2-8 四角形 啓林館
1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形の定義 啓 P.139★平行四辺形の定義…2 組の向かいあう辺がそれぞれ平行な四角形
四角形 ABCD で，

AB∥DC，AD∥BC◎四辺形は，となりどうしの角をたすと 180°になる。

2
ABCDE

平行四辺形の定義 啓 P.139
空らんをうめなさい。
〇 平行四辺形の定義とは，（

四角形

2 組の向かいあう辺が，それぞれ平行な）である。

〇 平行四辺形は，となりどうしの角をたすと（3180）°になる。

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形の定理 啓 P.140★平行四辺形の性質（定理）1

平行四辺形の 2 組の

2 平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。

AB＝DC，AD＝BC

向かいあう角は等しい。

∠A＝∠C，∠B＝∠D

平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。

OA＝OC，OB＝OD
平行四辺形の定理 啓 P.140

4
AB

3

次のことがらは，平行四辺形の性質(定理)と性質の内容を示したものです。
空らんをうめなさい。また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形の定理 啓 P.140

5AB

次のことがらは，平行四辺形の性質(定理)と性質の内容を示したものです。
空らんをうめなさい。また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。

平行四辺形の定理 啓 P.140

6
ABCDE

平行四辺形の性質(定理)を書き，また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。
7

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

平行四辺形の定理の証明 啓 P.140～141「平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。」という平行四辺形の性質を証明しなさい。
[証明]

ABCD で，対角線 AC をひく。
△ABC と△CDA で，平行線の錯角は等しいので，

AB//DC から，∠BAC＝∠DCA …①
AD//BC から，∠ACB＝∠CAD …②
AC は共通だから，AC＝CA …③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ABC≡△CDA
対応する辺だから，AB＝CD，BC＝DA
したがって，平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【2-8 四角形 啓林館】

8
CDE

平行四辺形の定理の証明 啓 P.140～141「平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。」という平行四辺形の性質を証明しなさい。

ABCD で，対角線 AC をひく。
△ABC と△CDA で，平行線の錯角は等しいので，

AB//DC から，∠BAC＝∠DCA …①
AD//BC から，∠ACB＝∠CAD …②
AC は共通だから，AC＝CA …③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ABC≡△CDA
対応する辺だから，AB＝CD，BC＝DA
したがって，平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
9次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形で，x，y，z の値を求めなさい。

(1)

[解き方]

(2)

x＝8

z＝58÷2＝29∠y＝180－110＝70°[答]

x＝8 ㎝，∠y＝70°[答] z＝29 ㎝

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【2-8 四角形 啓林館】

10
ABCDE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形で，x，y，z の値を求めなさい。
①②∠y＝180－110＝70°

x＝8cm，∠y＝70°

z＝29cm

11
DE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の①②の平行四辺形で，x の値を求めなさい。
①

12
BCDE

②

三角形の内角と外角の関係から∠CED＝(180－36)÷2＝72°∠x＝58＋64＝122°∠x＝180－72＝108°∠x＝122°∠x＝108°平行四辺形の利用 啓 P.142

次の平行四辺形 ABCD で，AB//EF，AD//GH のとき，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

∠y ＝180－64＝116

x＝5cm，y＝116°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【2-8 四角形 啓林館】

13
E

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形で，x，y の値をそれぞれ求めなさい。
△ABE において平行線の錯角は等しいから∠AEB＝∠EBC，よって△ABE は，二等辺三角形

x＝7△DEF において，∠DEF＝∠AEB (対頂角)，∠ABE＝∠DFE (錯角)，よって△DEF は，二等辺三角形，y＝8－7＝1
14

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145★平行四辺形になるための条件…四角形は，次のどれかが成り立てば平行四辺形である。
１ 2 組の向かい

２ 2 組の向かい

３ 2 組の向かい

４ 対角線が，

５ 1 組の向かい

あう辺が

あう辺が

あう角が

それぞれの

あう辺が，

それぞれ平行

それぞれそれぞれ中点で交わる。 等しくて

である。

等しい。

等しい。

（定義）

（定理）

（定理）

（定理）

（定理）

AB∥DC

AB＝DC

∠A＝∠C

AO＝CO

AD＝BC

AD∥BC

AD＝BC

∠B＝∠D

BO＝DO

AD∥BC

平行である。

◎AB＝DC，AB∥DC
でもよい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P6 【2-8 四角形 啓林館】

15

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

AB

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
16

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【2-8 四角形 啓林館】

17

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
18

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P8 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

19
ABCDE

平行四辺形になるための条件を 5 つ答えなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
平行四辺形になるための条件 啓 P.143～14520E

次の四角形は，平行四辺形であるといえるか。
平行四辺形であるものは，その条件も述べなさい。
①

②

いえない
条件 ×

③

いえる

いえる

1 組の向かいあう辺が対角線がそれぞれ

等しくて平行である。

の中点で交わる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

21
BCDE

四角形 ABCD の対角線の交点を O とするとき，次の条件のうち，四角形 ABCD が平行四辺形になるものをすべて選び，記号で答えなさい。
㋐

AB // CD，AD // BC㋑ AB // CD，AD＝BC㋒

AD // BC，AD＝BC㋓ ∠A＝70°，∠B＝110°㋔

AD＝BC，∠A＝∠C㋕ AO＝BO，CO＝DO㋖

AO＝CO，BO＝DO㋑，㋓，㋔は台形にもなるので×
22

㋐，㋒，㋖

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146★平行四辺形であることを証明するときは，『対角線が，それぞれの中点で交わる』『1 組の対辺が平行で長さが等しい』を使うことが多い。
下の図のように平行四辺形 ABCD の AD，BC 上に，それぞれ点 E，F を AE＝CF となるようにとるとき四角形 EBFD は平行四辺形になることを証明しなさい。
[証明] 平行四辺形は 2 組の向かいあう辺が

A

E

D

それぞれ等しいので，AD＝BC …①
仮定より，AE＝CF …②①②より，AD－AE＝BC－CF
よって，ED＝BF …③

B

F

平行四辺形は 2 組の向かい合う辺がそれぞれ平行なので，AD // BC
つまり，ED // BF …④③④より，1 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので，
四角形 EBFD は平行四辺形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CP10 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

23
BCDE

下の図のように平行四辺形 ABCD の AD，BC 上に，それぞれ点 E，F を AE＝CF となるようにとるとき四角形 EBFD は平行四辺形になることを証明しなさい。

平行四辺形は 2 組の対辺がそれぞれ等しいので，AD＝BC …①
仮定より，AE＝CF …②①②より，AD－AE＝BC－CF
よって，ED＝BF …③
平行四辺形は 2 組の対辺がそれぞれ平行なので，AD // BC
つまり，ED // BF …④③④より，

1 組の対辺が平行で長さが等しいので，
四角形 EBFD は平行四辺形
24

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

CDE

平行四辺形 ABCD の対角線 AC 上に AE＝CF となるように点 E，F をとると，四角形 EBFD
は平行四辺形となることを証明しなさい。

△ABE と△CDF において，
仮定より，AE＝CF…①

AB∥DC の錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…②
平行四辺形の対辺は等しいから，

AB＝CD…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△CDF
よって，EB＝FD…④
同様にして，ED＝FB…⑤④⑤より 2 組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
したがって，四角形 EBFD は平行四辺形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【2-8 四角形 啓林館】

25

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

E右の図で，四角形 ABCD，BEFC がともに平行四辺形ならば，四角形 AEFD は平行四辺形であることを証明しなさい。

仮定より，AD∥BC…①

BC∥EF…②①②より，AD∥EF…③
平行四辺形の 2 組の対辺はそれぞれ等しいから

AD＝BC…④
BC＝EF…⑤④⑤より，AD＝EF…⑥③⑥より，1 組の向かいあう辺が等しくて平行
よって，四角形 AEFD は平行四辺形
平行四辺形であることの証明 啓 P.145～14626E

右の図で平行四辺形 ABCD の辺 CD の延長上に，CD＝DE となる点 E をとり，線分 BE と
辺 AD との交点を F とする。このとき，AF＝DF であることを証明しなさい。

△ABF と△DEF において，
仮定より，CD＝DE …①
平行四辺形 ABCD で，2 組の対辺はそれぞれ等しいから，
CD＝AB …②①②より，AB＝DE …③
平行四辺形 ABCD で 2 組の対辺はそれぞれ平行だから

AB//CE の錯角は等しいから，∠ABF＝∠DEF …④∠BAF＝∠EDF …⑤③④⑤より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△ABF≡△DEF
よって，AF＝DF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

27
E

右の図のように，□ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上に，AE＝BF＝CG＝DH となるような 4 点 E，F，G，H をとる。

このとき，四角形 EFGH は平行四辺形になることを証明しなさい。

△AEH と△CGF において，
仮定より，AE＝CG …①

DH＝BF …②
平行四辺形の 2 組の対辺はそれぞれ等しいから，

AD=BC

…③

②③より，AH＝CF …④
平行四辺形の 2 組の対応する角はそれぞれ等しいから，∠EAH＝∠GCF…⑤①④⑤より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△AEH≡△CGF
したがって，EH＝GF…⑥
同様に，△BEF≡△DGH より， EF＝GH…⑦⑥⑦より，2 組の向かいあう辺がそれぞれ等しいので
四角形 EFGH は平行四辺形
28

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

いろいろな四角形（１） 啓 P.147～148
★長方形

★ひし形

★正方形

定義…4 つの角がすべて

定義…4 つの辺がすべて

定義…4 つの角がすべて等しく

等しい四角形

等しい四角形

4 つの辺がすべて等しい
四角形

⾧方形

正
方
形

ひし形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【2-8 四角形 啓林館】

29
AB

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
①

長方形の定義4 つの角がすべて等しい四角形②

ひし形の定義4 つの辺がすべて等しい四角形③

正方形の定義4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形
30
AB

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
①

長方形の定義4 つの角がすべて等しい四角形②

ひし形の定義4 つの辺がすべて等しい四角形③

正方形の定義4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形
31
ABCDE

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
① 長方形の定義

4 つの角がすべて等しい四角形② ひし形の定義

4 つの辺がすべて等しい四角形③ 正方形の定義

4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【2-8 四角形 啓林館】

32

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

いろいろな四角形（２） 啓 P.148～149★四角形の関係
長方形∠A＝∠B＝90°

AB＝BC

AC＝BD

AC⊥BD

平行四辺形

正方形

AB＝BC

∠A＝∠B＝90°

AC⊥BD

AC＝BD
ひし形

※ 対角線の性質
長方形…長さが等しい。ひし形…垂直に交わる。正方形…長さは等しく，垂直に交わる。
33
ABCDE

いろいろな四角形 啓 P.148～149
平行四辺形が長方形，ひし形，正方形になるためには，それぞれどんな条件を加えればいいか。
①～④にあてはまる条件を内から選び，記号で書きなさい。

㋐∠B＝90°

㋑

AC＝BD

㋒

AC⊥BD

㋓ BC＝CD

①

㋐，㋑

②

㋒，㋓

③

㋒，㋓

④

㋐，㋑

34
E

いろいろな四角形 啓 P.148～149
次の四角形について，それぞれもっている性質を㋐～㋒からすべて選び，記号で答えなさい。
㋐

4 つの辺の長さが等しい㋑ 対角線の長さが等しい㋒ 対角線が垂直に交わる

①

長方形

㋑

②

ひし形

㋐，㋒

③

正方形

㋐，㋑，㋒
Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P15 【2-8 四角形 啓林館】

35

いろいろな四角形 啓 P.148～149

BCDE

平行四辺形 ABCD が次のような条件をもつとき，それぞれどのような四角形になりますか。
その名前を書きなさい。ただし，O は対角線 AC と BD の交点です。
①

BC＝CD

② ∠A＝∠B

ひし形

長方形③ ∠C＝90°，AB＝BC④ AC＝BD

AB＝BC よりひし形→正方形

正方形
⑤

長方形

AC⊥BD

⑥ AO＝BO，AB＝BC

AB＝BC よりひし形→正方形

ひし形

正方形

36
CDE

いろいろな四角形 啓 P.148～149
次の四角形 ABCD について㋐～㋕で適しているものをすべて記号で選びなさい。
㋐

AB//DC，AB＝CD である四角形は平行四辺形である。

㋑

正方形は長方形でもあり，ひし形でもある。

㋒

対角線の長さが等しい四角形は平行四辺形である。

㋓

対角線が等しいひし形は正方形である。

㋔

AB//DC，∠A＝∠C である四角形は平行四辺形である。

㋕∠A＝∠B＝90°の四角形は長方形である。

㋐，㋑，㋓，㋔37

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

いろいろな四角形（３） 啓 P.148～149「対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である」ことを，証明しなさい。
[証明] 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とする△ABO と△CBO において，∠AOB＝∠COB = 90°…①

BO は共通だから，BO＝BO…②
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，AO＝CO…③①②③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABO≡△CBO
よって，AB＝CB …④
また平行四辺形の向かいあう辺は等しいから，AB＝DC…⑤

AD＝BC…⑥④⑤⑥より 4 つの辺がすべて等しいので，四角形 ABCD はひし形である

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P16 【2-8 四角形 啓林館】

38

いろいろな四角形 啓 P.148～149

BCDE 「対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である」ことを，証明しなさい。

平行四辺形 ABCD の対角線の交点をO とする△ABO と△CBO において，∠AOB＝∠COB = 90°…①

BO は共通だから，BO＝BO…②
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，

AO＝CO…③①②③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABO≡△CBO
よって，AB＝CB…④
また平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，

AB＝DC…⑤
AD＝BC…⑥④⑤⑥より，

4 つの辺がすべて等しいので，四角形 ABCD はひし形である。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P17 【2-8 四角形 啓林館】

39
CDE

いろいろな四角形 啓 P.148～149「対角線の長さの等しい平行四辺形は長方形である」ことを，証明しなさい。

平行四辺形 ABCD で，AC＝DB とする△ABC と△DCB において，

AC＝DB…①
平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，

AB＝DC…②
BC は共通だから，BC＝CB…③①②③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABC≡△DCB
よって，∠ABC＝∠DCB…④
また平行四辺形の向かい合う角は等しいから，∠ABC＝∠ADC…⑤∠BCD＝∠BAD…⑥④⑤⑥より，4 つの角がすべて等しいから，
四角形 ABCD は長方形である
40

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

平行線と面積（１） 啓 P.150～151
平行な 2 直線ℓ，m★底辺が共通な三角形
Ⅰ

PQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB は，
2 つの三角形の面積が等しいことを示す。

Ⅱ △PAB＝△QAB ならば，PQ∥AB

PQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB となることを証明しなさい。
[証明] 平行な 2 直線間の距離は等しいから，

PM＝QN…①
また，△PAB と△QAB の底辺 AB は共通だから，

AB＝AB…②①②から，高さと底辺がそれぞれ等しいから，△PAB＝△QAB

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

間の距離は等しい

P18 【2-8 四角形 啓林館】

41
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151

PQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB となることを証明しなさい。

平行な 2 直線間の距離は等しいから，

PM＝QN…①
また，△PAB と△QAB の底辺 AB は共通だから，

AB＝AB…②①②から，高さと底辺がそれぞれ等しいから，△PAB＝△QAB
42

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と面積（２） 啓 P.150～151
右の図の AD // BC の台形 ABCD において，BE＝EC のとき，△ABE と面積が等しい三角形をすべて答えなさい。
[解き方] 平行な 2 直線間の距離は等しいから，底辺が BE で，△ABE と高さが等しい三角形は△DBE
仮定から，BE＝EC だから
底辺が EC で，△ABE と高さが等しい三角形は，△DEC と△AEC，
よって△ABE と面積が等しい三角形は，△DBE，△DEC，△AEC[答] △DBE，△DEC，△AEC
43
ABCDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図の AD // BC の台形 ABCD において，BE＝EC のとき，△ABE と面積が等しい三角形
をすべて答えなさい。
平行な 2 直線間の距離は等しいから，底辺が BE で，よって△ABE と面積が等しい三角形は，△DBE，△DEC，△AEC△DBE，△DEC，△AEC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P19 【2-8 四角形 啓林館】

44
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図で，AD // BC であるとき次の問いに答えなさい。
①△ABC と面積の等しい三角形を書きなさい。

△DBC②△ACD と面積の等しい三角形を書きなさい。

△ABD③△ABO と面積の等しい三角形を書きなさい。

△DCO
45
DE

平行線と面積 啓 P.150～151
平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とするとき次の問いに答えなさい。
① △ABC と面積の等しい三角形をすべて書きなさい。

△ABD，△ACD，△BCD② △ABO と面積の等しい三角形をすべて書きなさい。

△AOD，△BOC，△COD
46
DE

平行線と面積 啓 P.150～151
平行四辺形 ABCD の面積が 24cm2 とき，△BEC の面積を求めなさい。
右の図のように，AB に平行に直線 EF をひく
△ABE≡△FEB…①

12cm2
47
E

平行線と面積 啓 P.150～151
つぎの図の△ABC で，辺 BC 上に，BP：PC＝2：3 となる点 P があるとき，△ABP と△APC の面積の比を求めなさい。
高さが同じなので，底辺の比がそのまま面積の比になる2： 3
Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P20 【2-8 四角形 啓林館】

48
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図は平行四辺形 ABCD で，点 E，点 F が辺 AB，BC の中点で，線分 AF，CE の交点を G とする。線分 AC，DF の交点を H とする。このとき AC//EF となる。
次の問いに答えなさい。
① △AEC と平行四辺形 ABCD の面積の比を求めなさい。
△AEC と△BEC は，底辺と高さが同じだから，△ABC×
したがって，平行四辺形 ABCD×平行四辺形 ABCD×1＝△AEC，2

1 1
× ＝△AEC
2 2

1：4

1
＝△AEC
4

② △ABF と同じ面積の三角形をすべて答えなさい。
同じように，△ABF＝平行四辺形 ABCD×

1
4

よって

△ABF＝△AEC＝△BEC＝△AFC＝△DFC△AEC，△BEC，△AFC，△DFC
49
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。このとき，図の中で△ACF と面積が等しい三角形をすべて答えなさい。

AB∥DC より △ACF＝ △BCF
AC∥EF より △ACF＝ △ACEAD∥BC より △ACE＝ △ABE

△BCF△ACE△ABE
50
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AB，BC 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

このとき，次の①，②にあてはまる三角形をすべて書きなさい。
①△ACF と面積が等しい三角形

AD∥BC より，△ACF＝△CDF△ACE，△ADE，△CDF②

AE＝BE のとき，△BEF と面積が等しい三角形
AC∥ EF より，△AEF＝△CEF△AEF，△CEF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P21 【2-8 四角形 啓林館】

51
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

DF：FC＝3：2 のとき，△AFD は

ABCD の何倍か求めなさい。

△AFD＝3 とすると，△ACF＝2 となる。
よって△ACD＝5なので

ABCD＝10 である。

よって，△AFD は

ABCD の

3
倍
10

52
E

平行線と面積 啓 P.150～151
図Ⅰ，図Ⅱに示す三角形，四角形の面積はABCD の面積の何倍であるか答えなさい。

（M，N はそれぞれ AD，BC の中点）

図Ⅰ

① △ACM（図Ⅰ）

△ACM＝

1 1
×
2 2

ABCD

1
倍
4

② 四角形 ABNE（図Ⅰ）3倍8③ 四角形 AQRM（図Ⅱ）
図Ⅱ△ANM＝△BAN なので，

1
倍
4Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P22 【2-8 四角形 啓林館】

53

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と面積（３） 啓 P.150～151
次の図の四角形 ABCD の辺 BC の延長線上に点 E をとり，△ABE の面積が四角形 ABCD の面積と等しくなるように作図しなさい。

[解き方]
A

B

D

C

❶ BC を延長し、AC を結ぶ❷

点 D を通り AC に平行な直線を引く❸ BC との交点を E とし、AE を結ぶ△ABE=四角形 ABCD となる

54
ABCDE

平行線と面積 啓 P.150～151
次の図の四角形 ABCD の辺 BC の延長線上に点 E をとり，△ABE の面積が四角形 ABCD の面積と等しくなるように作図しなさい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P23 【2-8 四角形 啓林館】

55

平行線と面積 啓 P.150～151

DE

CD を左右に延長し，C の左に点 F，D の右に点 G をとり，△AFG の面積が五角形 ABCDEの面積と等しくなるようにするには，点 F，点 G をどのようにとればよいか。作図で求めな
さい。

56
BCDE

平行線と面積 啓 P.150～151ある土地が折れ線 ABC を境界として 2 つに分けられている。2 つの土地の面積を変えないで境界線を A を通る直線に変えたい。どのように境界線をひけばよいか。作図で求めなさい。

57
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図のひし形 ABCD について∠x の値を求めなさい。
110＋(x－36)＋(66－110－36＋66＋

x
)＝180
2

x
＝180
2

x
x
＝180－140， ＝40，x＝80
22∠x＝80°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P24 【2-8 四角形 啓林館】

58

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

DE

平行四辺形の応用 啓 P.152～157
右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれぞれ E，F とするとき，EO＝FO であることを証明しなさい。
[証明]△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるのでAO＝CO…①
AB // DC から，錯角は等しいので∠EAO＝∠FCO…②
対頂角は等しいので∠AOE＝∠COF…③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，EO＝FO
59
DE

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれぞれE，F とするとき，EO＝FO であることを証明しなさい。

△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるのでAO＝CO…①
AB // DC から，錯角は等しいので，∠EAO＝∠FCO…②
対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，EO＝FO

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P25 【2-8 四角形 啓林館】

60
E

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれ
ぞれ E，F とするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるから，

AO＝CO…①
AB // DC より，錯角は等しいから，∠EAO＝∠FCO …②
対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，AE＝CF
61
E

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線 AC に頂点 B，D から垂線 BE，DF をひくと
BE＝DF になることを証明しなさい。

△ABE と△CDF において
仮定より，
∠BEA＝∠DFC＝90°…①
平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいから，AB＝CD…②

AB // DC で，錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…③①②③より，
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，△ABE≡△CDF
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，BE＝DF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P26 【2-8 四角形 啓林館】

62
DE

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線に A，C からひいた垂線をそれぞれ AE，CFとするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

△AOE と△COF において，仮定から，∠AEO＝∠CFO＝90°…①
平行四辺形の定理から，AO＝CO…②
対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△AOE≡△COF
したがって，AE＝CF
63

啓林館 中２5 章 図形の性質と証明

2 節 四角形
hakken.教材

教科書 目次１

平行四辺形の性質

P. 139~142

QR 1~13２平行四辺形になるための条件

P. 143~146

QR 14~27

３

いろいろな四角形

P. 147~149

QR 28~39４

平行線と面積P. 150~151

QR 40~57３四角形の性質の利用

P. 152~153

QR 58~62

章末問題

P. 154~155

学びを身につけよう

P.152～157

QR コードCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.