磁化率：データ解析

課題テキスト2020／5／29

63 65

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⼭本雅博

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(((()))()))(このデータを利⽤する。
（70 ⼈全員が違うデータを⽤いた。
）2019 磁化率 W さんデータ 1 page(PDF)ファイルに 2019 年 6 ⽉ 27, 7 ⽉ 4 ⽇に，W さん，Ｉ君，Ｔ君が測定した磁化率のレポートの 1 ページ⽬を⽰す。

演習 1

以下の PDF 1page の(1)の値を求めよ。実験テキスト p99 の付録に⽔の密度の表がある。

演習 2

以下の PDF 1page の(2)の値を求めよ。

(1)

(2)

―――以下エクセルが使えない⼈は電卓でカラム⼀つ⼀つを計算してください。地獄のようにしんどいと思いますが。
。
。しかたありません。演習 3−9 までです。―――
エクセル等の表計算ソフトを⽴ち上げてください。甲南⼤情報教育センターのhttps://www.konan-u.ac.jp/system/service/office365t-2-2-2
office365 ログインからエクセルがオンライン・オフライン(ソフトダウンロードすれば)使えます。
演習 3

磁場 H と電磁⽯にながれる電流の関係は H = 450 + 171300 I である。磁場の単位は A m-1 で電流の単位は A ⽰せ。電流 I が 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,…,0.8, 0.9, 1.0 A の時の磁場 H をエクセルで 2 つの列にして⼊⼒せよ。電流は⼿⼊⼒し，磁場はエクセルで計算せよ。 B2 カラムに⾏き，=450+171300*A2で計算できる。B2 を cntl-C でコピーし，B3 から B12 までドラッグダウンして cntl-v でペーストすればよい。
演習 4

試料として MnSO4・nH2O を考えよう。磁場を変えて 4 回電⼦天秤で試料＋資料管の質量を測定した。1 回⽬の測定を m1, 2 回⽬の測定を m2, 3 回⽬の測定を m3, 4 回⽬の測定を m4 とする。単位は gである。各測定値を添付の PDF ファイルよりよみとり，その 44 個のデータを打ち込み以下のエクセルを完成せよ。

演習 5

各磁場での m1 から m4 までの平均値をエクセルの AVERAGE 関数で計算せよ。<m>の G2 カラム(⻩⾊)の位置に移動し，=AVERAGE(C2:F2)とすれば平均値がえられる。他の磁場での値は,⻩⾊の G2カラムをコピーし，G3-G12 の縦の列に渡ってドラッグダウンして，ペーストすればよい。
演習 6

⻩⾊の G2 カラムの値は，磁場のかかってない時の，試料とガラス管の質量の 4 回測定の平均値である。それを m0 [g]とする。各 44 個のデータで試料が磁場 H によって下⽅に引き込まれる⼒
Fi(H)は，Fi(H )= G [mi(H ) - m0 ] / 1000 となる。i=1,2,3,4 で G は重⼒加速度 9.806 65 m s-2 で，1000 で割っているのは g を kg に変換するためのものである。⼒は N ニュートンの単位をもつ。エクセルでは，m0 は G2 ではなく，$G$2 と$で記号をはさんだ「絶対参照形式」にしないといけない。H2 からむなら，=9.80665*(C2-$G$2)/1000 となる。H2 をコピーして H3 から H12 までドラックダウンしてコピーすればよい。I2 カラムは=9.80665*(D2-$G$2)/1000 となり，I2 をコピーして I3 から I12 までドラックダウンしてコピーすればよい。
1.234567E-07 等の表⽰があらわれることがある。これは浮動⼩数点表⽰という計算機⽤語であり，1.234567×10-7 の意味である。E は exp の意味ではなく桁のことであるので注意すること。
エクセルのカラムの表⽰桁が⼩さい場合は，フォーマット→セル→表⽰形式→数値→⼩数点以下の桁数で調整できる。

演習 7

F1(H)から F4(H)までを平均して，平均<F>を求めよ。エクセルの AVERAGE 関数を使って，L2−L12 カラムを埋めよ。
NhF (H)i =

演習 8

1 X
Fi (H)
N i=14 回測定したデータ F1(H)から F4(H)の誤差 δ<F>を求める。後でグラフ上に<F> ± δ<F>の形でエラーバーとして表⽰する。誤差はテキスト p104 に⽰された student の t 分布に従った式を⽤いる。

uhF i = tN 1 (z%) pNvu
Nu 1 Xtu=[Fi (H)N 1 i=1

hF (H)i]2

N は実験回数で今の場合 N = 4 である。tN-1(z%)は student の t 分布から求めらる値でテキスト p104 に表として与えられている。z%は信頼度といわれる数字で，90 %なら 100 回実験してこのエラーバーから外れるのが 10 回あるという意味である。N = 4 のとき，信頼度 68.3 %で 1.197，信頼度 90 %で 2.353, 信頼度 95 %で 3.182, 信頼度 99 %で 5.841 となる。どの信頼度を⽤いるかは実験者の判断で⾃由に選択してよいが，エラーバーをグラフで⽰すときに，必ず，「エラーバーは student の t 分布を⽤い信頼度** %で求めた。
」という記述が伴わなくてはならないことに注意。
u は標準偏差とよばれる量で，エクセルでは STDEV.S 関数で計算できる。従って，例えば，M2 カラムを信頼度 95%で求めようとする，=STDEV.S(H2:K2)/2*3.182 で計算できる。M カラムの後の値もコピー・ドラッグダウン・ペーストで計算できる。

演習 8

3 つの⾊つきのカラムを，別シートにコピぺする。数値だけコピペすればいい！

演習 9

この 3 つのカラムがあるシートを，「名前をつけて保存」する。Window，osX の場合ともにテキストフ
ァイル（タブ区切りテキスト）で保存すること。ファイルの名前は英字でおこなうこと。例えば，
MnSO4.txt

演習 10以後は free グラフソフトである gnuplot を使う。ソフトのダウンロード(DL)，インストール等をできないものは，⼿計算にまわること。
以下のサイトよりソフトを DL して動作確認せよ。このサイトからのソフトの DL および動作確認は複数の教員で⾏ったため，なんの問題も発⽣しないはずである！
[win]
https://sourceforge.net/projects/gnuplot/files/gnuplot/5.2.8/に⾏きgp528-win64-mingw.exe を DL しダブルクリック
destop にアイコンを作ると便利
アイコンをダブルクリックする
plot sin(x)で動作確認
font の設定はする必要あり？ → 多分必要ない
chdir ボタンでグラフ化するテキストファイルのある directory に⾏く
グラフはグラフ画⾯をコピーするコマンドあり
fitting したデータはテキストとコピペすること[osX]
https://csml-wiki.northwestern.edu/index.php/Binary_versions_of_Gnuplot_for_OS_Xに⾏きInstall X11/XQuartz
Install GnuplotXquartを⽴ち上げ gnuplotplot sin(x)で動作確認
⼀端 quit ででる
unix command で pwd で現在の directory 表⽰，
cd ****でグラフ化するテキストファイルのある directory に⾏く
そのご gnuplot を⽴ち上げる
グラフ出⼒はset terminal pdf
set output ʻʼaaa.pdfʼʼ
で gnuplot 終了時に aaa.pdf が出⼒される

演習 11 タブ区切りテキストファイルがある directory に移動して gnuplot を⽴ち上げる(osX)。
（あるいは，gnuplot を⽴ち上げてタブ区切りテキストファイルがある directory に移動する。Win）いま，データのファイル名を MnSO4.txt とする。以下のコマンドを順に打ち込む コマンドを打ち込んだら Returnキーを押すこと コマンド間違えた時は↑のカーソルで以前⼊⼒したコマンドがでてくる|→ここから先はコマンドの解説（⼊⼒しないこと）

plot ’’MnSO4.txt” u 1:2:3 w yerrorbar

1,2,3 カラムのデータを(x, y, y±δy)にしてプロットする

set xlabel ’’H / A m^{-1}”x 軸の説明set ylabel ’’F_{mag}(H) / N”

y 軸の説明set yrange [-0.0001:0.0012]

y 軸の範囲の設定

set gird

ｘ，y 軸にグリッド

replot

再プロット

f(x)=a*x**2

fitting に⽤いる関数 f(x)の定義，a：定数，x:変数(磁場 H のこと)

fit f(x) ’MnSO4.txt” u 1:2:3 via a

a を変化させて f(x)を重み付き⾮線形最⼩⼆乗法で fitting させる

plot ’’MnSO4.txt” u 1:2:3 w yerrorbar，f(x)f(x)および 1,2,3 カラムのデータを(x, y, y±δy)にしてプロットする

0.00120.001

Fmag(H) / N

0.00080.00060.00040.0002"MnSO4.txt" u 1:2:3f(x)

00

20000

40000

60000

80000

100000120000140000160000180000H / A m-1

上の重み付き⾮線形最⼩⼆乗法では，エラーバーの⼤きさの逆数を重みとしている。すなわち，エラーバーの⼤きいデータでは曲線とデータの差がそこそこあってもいいが，エラーバーの⼩さいデータでは曲線がデータの近くを通るようになる。
MnSO4.txt のデータの fitting の結果, a および δa を求めよ。ここの例では以下のように与えられることが明らかとなった。
a = 3.78116E-14 ± 7.867E-16 = 3.78116×10-14 ± 7.867×10-16 N A-2 m2a の単位を次元解析で求めよ。ヒント：[N]=[?][A2 m-2]
テキストの 89 ページより

Fmag (H) =1µ0 A H 2|2 {z }=a2aµ0 A
2=aµ0 A=

ここで，μ0 は真空の透磁率で μ0 = 4π×10-7 [N A-2], A は試料管の断⾯積[m2]である。

演習 12上の式から求めた磁化率 χ が無次元であることを確かめよ。ヒント：[N A-2 m2][N-1 A2][m-2]演習 13

上の式から MnSO4・nH2O の磁化率 χ およびその誤差 δχ をもとめよ。

gnuplot が使えない⼈：H と<F >のエクセルデータより H と<F >/H のグラフを⽰せ.

緑本(9.12),(9.13)式を使った⼿計算で直線の切⽚と傾きを求めよ。最初の点のエラーバーは<F >/H のエラーバーの最⼩値に等しいとしてよい。また，(9.19)と(9.20)式をつかって関数電卓で切⽚と傾きの誤差を求めよ。これらの値から，磁化率 χ およびその誤差 δχ をもとめよ。
-96 x10

Fmag H-1-1/ NA m

5f(x)=a+bx
a =1.6683E-10 ± 2.46E-10
b =3.6109E-14 ± 3.28E-15

4321020406080100-1120140

3160 x10H/Am

演習 14

他の 7 つの試料のデータについても FeSO4・nH2O，CoSO4・nH2O, NiSO4・nH2O, CuSO4・5H2O,ZnSO4・nH2O, K4Fe(CN)6，K3Fe(CN)6 についても，演習 4〜演習 13 データ処理を繰り返し，磁化率 χ およびその誤差 δχ をもとめよ。⼤量のデータ処理となります。⼿計算ではしんどいと思います。

演習 15

硫酸銅 5 ⽔和物の磁化率が⽂献値として以下のように与えられている。

χrep (CuSO4・5H2O) = 1.68×10-4
この値と今実験で求めた磁化率 χexp(CuSO4・5H2O)の間には当然ではあるが差異がある。この差異は，実験装置からくるものと仮定し，補正を⾏う。補正係数を α とすると，↵=rep (CuSO4 · 5H2 O)

exp (CuSO4 · 5H2 O)

たとえば，χexp(CuSO4・5H2O)=1.00×10-4 ならば，α = 1.68 となる。本実験でのこの補正係数を α を求めよ。

演習 16

CuSO4・5H2O で実験から得られた δχ にこの補正係数を α を乗じて，補正後の誤差を求めよ。

演習 17 他の 7 つの試料についても磁化率 χ およびその誤差 δχ を補正して，以下のエクセルファイルを埋めよ。補正された磁化率 χ およびその誤差 δχ を以後は使⽤する。

演習 18

上のエクセルで，スピン量⼦数 Stheory と不対電⼦数（理論）nlp(theory)の値をいれよ。硫酸化物はイオン結晶で，2 価のカチオンと考えてよい。また，その基底状態の電⼦（スピン）配置は，テキスト 90 ページの図に⽰した通りである。スピン量⼦数 S と不対電⼦数 nlp の関係は，nlp = 2S である。

演習 19

ヘキサシアノ鉄(II)酸カリウム[通称名フェロシアン化カリウム, ⻩⾎塩] K4[Fe(CN)6]は電荷バランスを考えると Fe は２価(d 電⼦数 6)，ヘキサシアノ鉄(III)酸カリウム[通称名フェリシアン化カリウ
ム，⾚⾎塩] K3[Fe(CN)6]は電荷バランスを考えると Fe は 3 価(d 電⼦数 5)となる。これらの 2 つの化合物のスピン量⼦数および不対電⼦数が上の表に記載されているがそうなる理由を⽰せ。ヒント：5 重に縮退した d 軌道が±x, ±y, ±z 軸上に配位した 6 つの CN-アニオンにより分裂し，⼆重と三重の軌道に分裂する。テキスト 91 参照。なぜこのように分裂するのか d 電⼦とアニオンの配位⼦の静電相互作⽤を考え考察せよ。

演習 20 テキスト 95 ページ(1)式から 96 ページ(24)式までを導け（1）式は緑本 7 章を参照のこと

演習 21 実験で得られた補正後の磁化率 χ および補正後の誤差 δχ をつかって, 不対電⼦数 nlp(exp)とその誤差 δnlp(exp)を求め，エクセルを完成させよ。この計算では，テキスト 96 ページ(22)式，(24)式を使えばよい。計算に⽤いる物性値はテキスト 94 ページに⽰している。

演習 22gnuplot をつかって，横軸に nlp(theory)，縦軸に nlp(exp)とエラーバー±δnlp(exp)をプロットせよ。

演習 23

本実験で⽤いた試料の磁化率が，d 電⼦のスピンによるものであれば，nlp(theory)と nlp(exp)は⼀致するはずである。このことを確かめるために，演習 22 のデータを原点を通る直線 f (x) = a*x で，重みつき最⼩⼆乗近似を⾏い，傾きの値 a と誤差 δa を求め，1 にどれだけ近いのか評価せよ。