信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

距離に反比例した重みを持つ結合カオス回路の同期現象
藤井喬平†

橋本周平†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{fujii,s-hashimoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、10 個のカオス回路を結合することで制作されたネットワークを用いて同期現象を調査した。

第一に、ネットワーク内に 3 つのハブが生じているネットワークを 2 つ用意した。第二に、ハブにつながるノードをそれぞれ別にしたネットワークを 2 つ用意した。回路間は抵抗で接続しており、座標的な距離に反比例するように抵抗値を設定している。各ネットワークにおいて同期がどのように起こっているかを調査した。繋がっているノードが同様である二つのハブ間においては、結合強度が０であっても同期が発生することが確認できた。
キーワード

カオス回路、複雑ネットワーク、同期現象

Synchronization Phenomena in Coupled Chaotic Circuits withInverse Proportion Weights Depending on Distance
Kyohei FUJII† , Shuhei HASHIMOTO† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{fujii,s-hashimoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena in weighted complex networks using chaotic circuit. The
proposed chaotic circuits network has Scale-free distribution and the chaotic circuit are coupled by using distanceinformation. Next, we focus on the role of hubs in the proposed network. By computer simulations, we observe thatthe synchronization rate between hubs is high regardless of the coupling strength.
Key words Chaotic Circuit, Complex networks, Synchronization.

1. ま え が きのノードに対し行い比較する。また、結合に重みをつけるためにノードどうしをつなぐリンクに関しては座標における距離の同期現象は我々の日常の至るところで観察されている。例

反比例により結合強度の値を決定する。本研究では、これらのとして、カエルの合唱や、ホタルの明滅、心臓の拍動などがあ条件で設計されたネットワーク内のハブを中心としたリンクのる。特に発振器の同期現象は非常に興味深く、複雑ネットワー同期に関して調査する。また、得られた結果からハブ間の結合クは様々な分野で注目を集めている [1] [2]。ネットワークを特強度を低くした調査、ネットワークにおけるハブそれぞれのつ徴づける要素は次数分布や平均パス長、クラスタリング係数なながっているノードが全く別々のものになっているネットワーどがある。また、カオス回路を用いた複雑ネットワークも研究

クにおける調査を行った。

されているが、結合強度やハブに対して着目した研究は少な
い [3] [4]。

2. 回路モデル

本研究では、結合カオス回路の複雑ネットワークにおける同本研究で使用するカオス回路モデルを図 1 に示す。この回路期現象の調査を行った。実社会において形成される複雑ネットは森・神力回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、インワークにおいては、その中に多くのノードと接続するハブが自ダクタ、2 つのキャパシタ、6 つのダイオードにより構成され然発生する場合が多い。予めハブを 2 つ持つスケールフリーている [5]。この回路方程式を式 (1) に示す。

ネットワークを 1 つ作り、ハブ以外のノードの中から 1 つを選択する。選択したノードを新たにハブと設定することをすべて—1—

f (yn − zn ) = β(yn − zn − 1) (yn − zn > 1),
0, (|yn − zn | < 1),(5)





β(yn − zn + 1), (yn − zn < −1).


3. システムモデル
オリジナルネットワークを図 2 に示す。本研究では、オリジナルネットワークを元とした計 5 つのネットワークを用いる。
図 3(a) は、オリジナルネットワークの CC4 に 4 つのリンクを加えることでハブを増やしたネットワークである。リンク数は現存のハブと同数となっている。
図 1: カオス回路.

同様に図 3(b) は、オリジナルネットワークの CC8 に 4 つのdi1= V2n ,LdtdV1nC1リンクを加えることでハブを増やしたネットワークである。このリンク数は、図 3(a) と同様の数と。
図 3(c) は、オリジナルネットワークで一部のノードをハブと= gV1n − idn ,(1)dt



dV2n

= idn − in .
 C2dt

して設計し、他のハブの影響を減少させるために 2 つの設計を行ったネットワークとなっている。第一に、ハブの影響を減少させるために CC1 のリンクを 5 つ減らしている。次に、CC2と CC7 をハブとして設計するため、互いが同じノードとリン二対のダイオードによる非線形抵抗の特性を式 (2) に示す。


 Gd(V1n − V2n − V ) (V1n − V2n > V ),
idn =0, (|V1n − V2n | < V ), Gd(V1n − V2n + V ), (V1n − V2n < −V ).


クを持たないようにするため、CC2 では CC10 から CC4 を、CC7 では CC5 から CC9 が接続されるように設計したネットワークである。
図 3(d) は、図 3(c) におけるネットワークのノード数を 20 に(2)したネットワークである。

以下に、各値を置き換えるパラメータを記載する。

√

C2


V xn , V1n = V yn , V2n = V zni=n

L



√
t=LC2 τ, α =C2,C1


√
√
√


L
L1L

 β=Gd, γ =g, δ =.
C2C2R(3)

図 2: オリジナルネットワーク.

C2

以下の式 (4) は前述のパラメータを用いて正規化したものである。

dx= zn , dτ dydτ

= αγyn − αf (yn − zn ),dz= f (yn − zn ) − xn .
 dτ

(4)(a) CC4 をハブにした(b) CC8 をハブにした

ネットワーク.

ネットワーク.

この式における、 f (yn − zn ) を以下に示す。

—2—

第一に、図 3(a) と図 3(b) における CC1-CC2 から CC1-CC8までに注目する。図 6、表 3 においては CC1-CC4 と CC1-CC3を比較する。この時同期率は、結合強度がより低い CC1-CC4の方が高いことを示している。同様に、図 7、表 4 においては結合強度が同じであるが、CC1-CC8 の同期率が CC1-CC4 よ
りも高くなっている。

(c) ノードを分けたネ(d) ノードを増したネットワーク.

ットワーク.

y1-y4

図 3: 提案するネットワーク.

y1-y8t

これらのネットワークモデルの正規化方程式は式 (6) のよう

図 5: 図 2 の電圧差分.に表すことができる。

dx= zn ,
dτ




 dy

表 2: 図 5 の同期率.
リンク= αγyn − αf (yn − zn ) − αδdτ



dz


= f (yn − zn ) − xn .

 dτ

∑

同期率

(yn − yk ),CC1-CC4 CC1-CC826%

18%

(6)

k∈Sn

y1-y3

式 (6) において、N は結合回路数を表し、δ は回路間の結合強y1-y4t度を示す。またパラメータ α = 0.500, β = 20.000 , γ = 0.500
図 6: 図 3 (a) の電圧差分.と設定する。
本研究において、ノード間の結合強度 δ は座標の距離によって定める。この値は最も短いものを 1.0 として、距離に反比例

表 3: 図 6 の同期率.

した合計 5 種類の値を導出する。この値を以下の表 1 に示す。

リンク

CC1-CC3

CC1-CC4

図 3(d) の場合、10 種類となる。また、本研究では以下の値に同期率32%50%

対し 0.2 を掛けることで結果の視認を容易にする。

y1-y4

y1-y8t
図 7: 図 3 (b) の電圧差分.

表 4: 図 7 の同期率.
図 4: 5 種の結合強度.

リンク

CC1-CC4

CC1-CC8

同期率26%40%

この結果から、ハブ間においては同期がその間の結合強度の表 1: 結合強度の値.
結合強度みに影響されないと考えた。

ABCDE

1.000

0.52570.38260.32490.3090

次に、既存のハブと新規のハブ間の結合強度を減少させた検証を行う。図 8、表 5 においては、CC1-CC4 の結合強度を 0とする。同様に図 9、表 6 においては、CC1-CC8 の結合強度を 0 とする。

4. シミュレーション結果
本研究の同期の定義は回路間の電圧差によって定める。方程y1-y3式 (7) で同期を定義する。

y1-y4|yj − yi | < 0.03

(i, j = 1, 2, · · ·, 10)t(7)図 8: 図 3 (a) の電圧差分.

—3—これらの結果から、より大きいネットワークにおいても、二表 5: 図 8 の同期率.
リンク

CC1-CC3CC1-CC4同期率29%38%

つのハブは互いが同じノードとリンクを持たない設計である場合、同期は結合強度に比例することがわかる。

5. ま と め
y1-y4
本研究では、様々なネットワークにおいてハブの位置を変更

y1-y8することで様々な影響を観測した。その結果から、ハブ間の同t
図 9: 図 3 (b) の電圧差分.

期率が高い理由を二つの手法で調査した。初めに、ハブ間の結合強度を変更する調査を行い、次に二つのハブが互いが同じノードとリンクを持たない設計にした。
まずこの結果から、ハブ間の同期は同期率のみに依存しない

表 6: 図 9 の同期率.
リンク

CC1-CC4

CC1-CC8ことがわかった。ハブ間の結合強度を 0 にした時同期が起こっ同期率24%29%ていたことからそのことが把握できる。そしてハブ間の同期率が高い理由を調査するため、二つのハブが互いが同じノードとこの結果から、ハブ間の同期は結合強度に寄らず繋がっていリンクを持たない設計にして計測を行った。この時、同期率は結合強度に比例した。また、大きいネットワークでも同様に結るノードに依存すると考えた。
第二に、二つのハブにおいて互いが同じノードとリンクを持合させてみたが、同じ傾向が見られた。

たないように設計する。図 3(c) においては、CC2 と CC7 がハ

この調査において、結合強度は距離に依存する 5 種類のみでブになるよう設計している。CC2-CC7 の間の結合強度を変えある。他のネットワークと比べるためには規模が小さいので、ることにより見られる電圧差分を以下の図 10、表 7 に示す。

より大きなネットワークを用いた同様の調査を行う必要があると判断した。
文

y2-y7
y2-y7t
図 10: 図 3 (c) の電圧差分.

表 7: 図 10 の同期率.
CC2-CC7 の結合強度02.0

同期率6%

26%

この結果から、二つのハブは互いが同じノードとリンクを持たない設計である場合、同期は結合強度に比例することがわかる。
図 10、表 7 を基に、ハブとしての性質を更に高めた調査を行う。図 3(d) は、ノード数が 20 のネットワークである。この献[1] M. Uchida, S. Shirayama, “Analysis of Network Structureand Model Estimation for SNS” 情報処理学会論文誌, Vol. 47,
No. 9, Sep. 2006.
[2] H. Kori, N. Masuda, “Synchronization of Coupled Oscillators on Complex Networks” 日本ロボット学会誌, Vol.26,
No.1, pp.6〜9, 2008.
[3] K. Ago, Y. Uwate, Y. Nishio, “Investigation of Synchronization in Coupled Chaotic Circuit Network with Local
Bridge”, IEEE Workshop on Nonlinear Networks December
12-13, 2014.
[4] K. Oi, Y. Uwate, Y. Nishio,“Influence of Regional Change inSynchronization of Complex Networks in Coupled Parametrically Excited Oscillators", IEEE Workshop on Nonlinear
Circuit Networks. December 9-10, 2016.
[5] K. Ago, Y. Uwate and Y. Nishio,“Synchronization of Coupled Chaotic Circuits with Parameter Dispersion in SmallWorld Network", Proceedings of International Symposiumon Nonlinear Theory and its Applications,pp. 431-434, Dec.
2015.

ネットワークにおいて CC3 と CC13 はハブとして設定する。
このネットワークにおけるハブ間の結合強度を変えることで、ハブ間の同期について調べる。この結果を図 11、表 8 に示す。

y3-y13y3-y13t
図 11: 図 3 (d) の電圧差分.

表 8: 図 11 の同期率.
CC3-CC13 の結合強度02.0

同期率17%

82%—4—