華祁期 待 効 用 理
一批判的検討一

伊

藤

駒

之

著

神戸大学経済経営研究所
1986

は

し

が

き

リスク的状況にある意思決定者が数学的期待値を最大にすることは必ずしも良い方針ではないこと，これを示す有名な例は聖ペテルスブルグのパラドック
スであろう。このパラドックスは1枚の硬貨を表がでるまで投げつづけ，〃回

目に始めて表がでれば，意思決定者が2"万円を受けとることで終るゲームである。このゲームの期待値は無限大となる（すなわち, Z (1/2)" 2" =｡｡)。し刀＝1

かしながら，数学的期待値が無限大であるこのゲームをするために100万円を支払うような意思決定者はほとんどいないだろう。

このパラドックスを解決するために, D. Bernulli (1738)は数学的期待値よりもむしろ(( moral expeCtati on (すなわち，効用)''を最大化すべきであるということを指摘した。そして，聖ペテルスブルグのパラドックスの時代からほぼ200年という長い時間が経過した後に，合理的意思決定の本質（？）を具体化するものとしてVOn Neumann- Morgenstern (1947)の期待効用定理が現れた。その後，この期待効用定理を前提としたリスク回避理論( Arrow, 1963,

1970, Pratt, 1964)が展開された。現在にいたるまで，期待効用定理とリスク回避理論はリスクのもとにおける意思決定問題を研究する人々の主要な道具となっている。本書では，期待効用定理とリスク回避理論を合わせたものを期待効用理論と呼び，この期待効用理論の論理的構造をリスク的初期条件の視点から検討することが主題となっている。

期待効用理論の論理的構造に対する著者の関心は，ある効用関数の存在を仮定するとリスク的初期条件のもとでは意外な結果が生じる例を福場 庸教授(大阪大学）が示されたときに，始まった。最初は，期待効用定理の明蜥性のために，この例はなにか論理的に誤った手順を踏んでいるのではないかという疑念があった。そして，期待効用定理とリスク回避理論の文献を何回となく読んで，

’

は

し

が

き

福場先生に抵抗したものだった。とくに，期待効用定理には初期条件が明記されておらず，リスク回避理論には確実的な初期条件（あるいは初期資産）が含まれていること，これらのことについての解釈が著者にとって悩ましいことであった。しかしながら，例そのものは単純明解であり，疑問をさしはさむ余地
はほとんどなかった。期待効用理論に対する著者の盲目的な信頼は崩れていった。

期待効用理論に対する評価，解釈，見解などにおいて福場教授と著者の間には相違はあろうが，同教授との討論が本書の成立に大きく貢献している。このように，本書における研究の動機，具体的題材，構成などに関して福場教授に負うところ甚だ大である。ここに同教授に対し厚く御礼申し上げる。
本書がこのような形で刊行されるにあたっては，歴代所長をはじめとして研究所の諸先生方，米花

稔先生（福山大学）および恩師横山。保先生（高岡短大）から温い励ましと御指導を賜った。また，本書の原槁の段階で，福場庸，

田畑吉雄（大阪大学）の両先生から多くの助言，示唆を頂いた。改めて両先生に対し深謝の意を表する。

なお，本書の装丁，校正などに注意深い配慮を下さったことに対し，研究所
研究助成掛の諸氏に感謝の意を表したい。

昭和61年8月
伊

11

六甲台にて
藤

駒

之

次

目

は

し が き

第1章

目的と概要

1．目

的………“

1

2．概

要

4

第2章

…….，

基本概念と定義

１

3-1<!くじ'，．…….….…….………….…

3－2

確率ベクトルと単純確率分布・…．

3－3

混合集合

……………………..……

15

4－1

2項関係

….…..………….…….…

…・22

4－2

弱順序・全順序・半順序

．．………

5－1

線型効用関数と期待効用

……….、

5－2

確実等価額とリスク・プレミアム

選好関係

…・23

効用関数

………………….．

巳

■

●

■

８
２

記述的解釈と規範的解釈

●

５
２

■

早

■

30

期待効用理論………….

3．例題一効用の算定

４

2．期待効用定理３……．．…･……。

３

はじめに

３

1.

３

第3章

２

0

１

ハ

１

5

０

“くじ'’と混合集合

９3．

…………..……

》

確実性・リスク・不確実性

恥

2．

4

………･……･･…………･･･……･…・

》

はじめに

》

1．

39

……。

llI

目

次

4．リスク回避理論

第4章
1．

4－1

リスク回避性向……………….….…．

44

4－2

リスク回避関数……･…････……･……

48

4－－3

リスク回避関数に関する諸結果

……

51

4－4

リスク的初期条件におけるリスク回避

54

期待効用理論の妥当性
はじめに……………………………．..…………

61

2．多重くじの基本構造

2－1

多重くじの可換半群性……･…･…･…

2－2

基本的関係･･･………･………･…･……

.…

63
戸ノー

･・・・

00

……．．….．…．

….,…..…

68……..…….…….、

.…………

70

3．多重くじの相互依存性

3－1

相互依存と選好一例

3－2

相互依存性の分析

4．期待効用理論の難点

９
７

■■

■●

６
７

■●

●申

●■

……･…………･…

■●

評価のための原点

ｅ④

4－2

④●

l.

リスク的初期条件と期待効用の定義

■④

第5章

4－1

期待効用と初期条件についての再考
はじめに．……..…….……….....………………

83

2．期待効用における初期条件の認識
2－1

初期条件の経緯………………………

84

2－2

増分型と初期条件………．．…･………

89

2－3

初期条件型と増分型………･………･・

94………………

96……･…･･……………

98

3．初期条件の不確実性
3－1

初期条件の確定の問題

3－2

会計報告の場合

IV

目

3.

2-1

Allaisのパラドックス．.….･･……….

188

2 - 2

Savageの議論 ………･………･………‘

191

2 - 3

Morrisonの議論・…・…･…………･…‘

193

2 - 4

Machinaの議論…･…･……･………．．．

198..‘･………'…･………

201……….....…….…….….……...…...‘.………207

Fukubaのパラドックス

第11章
1.

次

総

括

はじめに

2．期待効用の定義…......………”………………‘

3．線型変換までの一意性．.….………………...…

．.…….、211

4．増分型と初期条件型……………….……..…“‘.…...…2125．初期条件のリスク性と多重くじ．…･…………．

……･…213……･･･……･……．．……

…..…・・214……･…….．……“………･………

．…．.…・216……………………………………………

………・2176．効用測定とそれの原点
7．小世界の問題
8．応用性

9．期待効用理論の制約条件

付……...、209…….….……,………

……...、218

付録l

効用関数の導出（定理3．1の証明）…

219

付録2

定理3．2の証明

・…･….．…･…･・・・･…，

225

付録3

定理4．2の証明

・・………･･･…………‘

227

付録4

諸公理系の同値性…………….…“…･…

231

付録5

効用関数の連続性と微分可能性

録

…･…“

251

参考文献

…

265

記号索引

…

271

著者索引・・・

273

項目索引

275

…

Ⅵ’

第1章

1．

目

目的 と概 要的'! A s"" "/Icj"goγγ加"s/ 69 /g"/α〃zﾉgα"αα/"αyss"〃"ノ/0 "2"isio" 0γαbα"“"加e"/ j"/壇"＃0/ /bcrs /"/αγg”zcO"－s's""/〃"ん,0γ"/si/y, /舵/"go". A /"207'jﾉ/"" is 6jﾉ〃so〃〃"γ加s dog加α〃C, "so/""s/α〃α〃g"”s"〃gc/ /0 ""'sio" js "0jα“”"〃〃c /""j'y"-W""α脚O"gγ"" (1983) -期待効用に関する本格的な議論はJohn Von Neumann - Oskar Morgensternの書物, Theory of Games and Economic Behavior,

第二版が1 947

年に出版された時から始まったと言っても過言ではないだろう。その後，期待効用の規範性を確信する人々は，期待用定理からリスク回避理論へと研究を進めた(Arrow, 1963,1970,

Pratt,

1964)。本書では，期待効用定理とリスク回避理論を一体として期待効用理論と呼ぼう。すなわち，

期待効用理論＝期待効用定理十リスク回避理論としよう。本書の目的はこの期待効用理論を批判的視点から検討することである。

記念すべき1 947年以来．ほぼ40年近くの年月が経過している。その間，期待効用に関する幾多の賛否両論が登場して来た。それにもかかわらず，期待効用に対して決定的な結論は打ち出されていないようにみえる。期待効用に対する批判には主として記述的な(descripti ve )有効性に向けられたものが多く，規範的な( normative )それは，－，二の例外を除いてほとんどない。例えば，
Machina (1982,a)の反例などはその例外として挙げられうる。

－1－

期待効用理論

規範（あるいはpre"ription )としての期待効用の目的として(1968,F is hbu rn

p. 339)は一応つぎの3つを掲げるil.期待効用は意思決定者が従うべき常識的（または合理的）指針である。
2．期待効用は意思決定者が複雑な選好対象に選好||頂位をつけるのに役立つことを狙いとしている。

3．期待効用は意思決定者の選好を数値的構造に変換し，最適化問題のアルゴリズムにおいて使用される。

規範に限定されたとしても，これらの目的を達成しているかどうかによって期待効用を評価しようとすることは錯綜した困難な問題である。
本来，期待効用概念の目的はリスク的選択対象に対する意思決定者の効用を測定することであった( Ramsey, 1931, Von Neumann - Morgenstern, 1947 )。

期待効用がしばしば可測効用(measurable utility)と呼ばれる所以はこれである。効用の測定には意思決定者の選好に関する情報とその情報を効用に変換するためのプロセスが必要とされる。測定（または変換）のプロセスは適切な情報と認められるものを期待効用の公理系と一貫している（効用と呼ばれる）数値に変換する。

効用が，充分，あるいは，ある程度，正確に測定されるとき，2つの応用の途がある。すなわち，指針（規範）のために効用を利用する途と予測（記述）のために効用を利用する途がある。経験的な事実は期待効用の最大化原則に必ずしも一致しないと言われている( Schoemaker, 1980)。

記述のために効用を利用することは多くの危険をともなう。多分，その結果であろうと推定されるが，最近の期待効用論者の多くは期待効用の記述的能力よりも規範における利点を強調している。しかしながら，意思決定者の選好に関する情報は意思決定者の行動に関する情報に基づいている。したがって，その情報は記述的性格を免れることができない。そのとき効用を規範のために使用する途は平坦ではな
いだろう。

－2－

第1章

目的と概要

また，現実の意思決定者はある状況のもとで選好行動をなす。例えば，企業はある経済状勢の中で，金額資産を有し，また工場

事務所などの有形資産な

らびにマーケット・シェア，商権などの無形資産を含む非金額的資産も有する。これらの資産の運用によって企業の経営活動がおこなわれる。その企業の経営者をとりかこむ状況はこれらの要因に加えて企業内における人間関係や家庭など等々を含むと考えられる。このような状況は企業の経営者が選好行動をなすときの初期条件と言われうる。一般的には初期条件が意思決定者の選好に影響すると考えることは不自然でないだろう。

比較的狭い範囲に限定した初期条件の例を考えよう。ある企業は“当面の経営活動”から，景気が良ければ4億円の利益を計上し，景気が悪ければ’億円の利益を計上することができるとしよう。そして良い景気が期待される確率は％であるとしよう。そして，この企業ではある投資計画が提案されている。その投資は，景気が良ければ1億円の利益を計上することができ，景気が悪ければ7千万円の損失を招く。この投資計画案すなわち選択対象を採用すべきかど

うかということに経営者が迫られているとき，“当面の経営活動'’は経営者の初期条件と言われうる。この場合，初期条件はリスク的となる。

このリスク的初期条件が意思決定問題の考察範囲に含まれているとき，期待効用理論にはいくつかの疑問が生じる。期待効用定理では，意思決定者が選択対象の集合に対して期待効用の公理系に従うような選好を示すならば，彼の選好を表現する効用関数の存在が保証されている。
したがって，期待効用定理には初期条件に特別な考慮は払われていない。一方，リスク回避理論には初期条件が組みこまれている。そのとき，期待効用の概念がリスク的初期条件を排除している理由はないようにみえる。事実，リスク的初期条件におけるリスク回避の議論がなされている(Ross, 1981, Kihlstrom-Romer-Williams, 1981,本書 第3章4－4節)。それにもかかわらず，
期待効用の概念がリスク的初期条件を組みこんでいるかどうかという点に明瞭－3－

期待効用理論性の問題がある。

意思決定者がリスク回避的であり，リスク的初期条件を有しているとき，期待効用定理の定式化による期待効用，すなわち，初期条件を組みこまない期待

効用は初期条件を組みこんだ期待効用と同じ選好順位を選択対象に与えるであろうか。すなわち，期待効用理論の内的一貫性に問題が生じないだろうか。期
侍効用にリスク的初期条件が組みこまれていると仮定しよう。そのとき，期待効用の定義そのものはなにを指しているのか，すなわち期待効用定理が導出される証明の過程はリスク的初期条件が組みこまれたときの期待効用の妥当性に疑問を生じさせないものなのか。

さらに，リスク的初期条件のもとでは期待効用を測定することには論理的困
難は存在しないのか。すなわち，効用の可測に関する検証性に問題はないだろうか。これらの問題点は期待効用の応用性に制約を加えることにならないだろうか。

このような疑問に答えることが本書の狙いである。もちろん,本書の第7章で議論するように．意思決定問題においては初期条件がリスク的（または不確実）であるかどうかは意思決定者の認識に関連する。しかしながら，初期条件が意思決定者の選好に影響するという視点から言えば，“重要な”意思決定問題では初期条件のリスク性（または不確実性）は不可避であるようにみえる。この問題提起により期待効用理論が一層深く理解されると我々は信じている。そして本書の分析から生じる結論では，もし初期条件のリスク性(または不確実性）が容認されるならば，期待効用理論には，規範的にも，記述的にも難点が存在するということである。

2．

概

要

本書は本文と付録から成立しており，図1－1で示されているような構成となっている。○内の文字は各章または各付録を示す。例えば，③は第3章で，

－4－

第1章

目的と概要

⑩は付録!であることを指す｡また,本書では数学的な証明に関連する議論をできるだけ付録に含めるようにした。

図

1

－1

①

帯/⑩－⑫
／

＝③一鰯------\－⑯
⑱
⑤
／

卿

⑰

⑦

⑨～⑪一⑩
②から③までは期待効用理論の基礎的解説である。

③から⑨へ至る途は期待効用の公理系の展望(survey )に相当する。
③から⑩へ到る途は期待効用理論に対する批判である。
⑪は10章までの分析結果からの結論である。

以下では各章と付録の内容を簡単に述べておこう。

第2章「基本概念と定義」：期待効用の議論で使用される基本概念とそれらに関連する用語の定義が述べられる。

第3章「期待効用理論」：期待効用理論の批判的検討をなすための前提として
期待効用理論がどのようなものであるかを示す。
第4章「期待効用理論の妥当性」愚本書の主眼たる「リスク的初期条件」の視点から期待効用理論の問題点を議論する。この章の議論は期待効用理論－5－期待効用理論に対する我々の批判の核である。
第5章「期待効用と初期条件についての再考」：期待効用では初期条件がどのような位置を占めているかを議論し，期待効用理論が適用される，現実の重要な決定問題においては，初期条件が確実でないことを例証する。

第6章「効用の測定」：効用の測定可能性と効用の測定方法に関する問題を議論する。これが解決されることなしには，期待効用理論は記述的にも，規範的にも無用の長物と化す。リスク的初期条件のもとでは，効用の測定には論理的困難が存在することを指摘する。

第7章「小世界と制約された合理性」：決定に関連する全ての事項と全ての可能性を考慮に入れることは不可能である。そしてそのような理想に近づ

く努力も制約されている。それゆえに，決定問題がある限定された範囲
内で取扱われなければ，期待効用は現実の決定問題において有効でないだろう。この範囲限定の問題は意思決定と深くかかわりあっていることを指摘する。

第8章「期待効用の諸公理系」：リスク的初期条件の視点からの批判に耐えうるような公理系が存在しないことを示すために，期待効用の典型的な公理系をいくつか挙げ，それらに注釈を加える。

第9章「公理系の評価」：期待効用の公理系に望まれる一般的性質を考察し，公理系に対する批判的注釈をおこなう。

第10章「パラドックス」：期待効用に対する反論は数多く存在するが，本章では初期条件に関係すると考えられているAllaisのパラドックスとFukubaのパラドックスならびにそれらに関連する議論を紹介する。

第11章「総括」：本書で議論された期待効用理論に対する分析の結果が要約される。

付録l「効用関数の導出」：第3章2節で掲げた期待効用定理が証明される。
ここでの証明は他の文献におけるそれと本質においては同じであるが，

－6－

第1章

目的と概要

本書の議論，とくに第4，5，6，7章の内容を深く理解する上で，証明
のう°ロセスをたどることは有意義である。

付録2「定理3．2の証明」：リスク回避に関するPratt(1964)の定理lの主要部分である定理3．2が証明される。

付録3「定理4．2の証明」：第4章は期待効用理論に対する我々の批判の核であると述べたが，この核の核とも言うべき，議論の重要部分を占めている定理4．2が証明される。

付録4「諸公理系の同値性」：第8章で掲げた諸公理系の同値性を示す。これによって期待効用の渚公理は同工異曲であることが判明する。
付録5「効用関数の連続性と微分可能性」：連続かつ微分可能な効用関数は数多くの応用において使われているが，これの存在に関する文献としては若干のものが見受けられるにすぎない。ここでは期待効用の公理系が与える位相を使って連続かつ微分可能な効用関数の存在を証明しよう。

－7－

第2章

1．

は

じ

め

基本概念と定義に

この章は，期待効用の理論で使われる主要な基本概念と用語に対する解説である。

期待効用はリスク的状況での意思決定問題の解決を狙いとしている。リスクなる用語は，日常会話でも，学術文献でもしばしば使われているが，それが指しているところは一意的でない。したがって，本書の議論においてもリスクなる言葉の意味を明確にしておく必要があると考えられる。2節では，確実性，リスク，不確実性の概念を定義しておこう。
3節では，“くじ”と確率ベクトルならびに単純確率分布の関係を説明し，これらが混合集合として特徴づけられることを指摘しよう。諸公理系の展望に関する第8章と付録を除いて我々は"くじ"を分析道具とする。そして本章の5節
では混合集合の上で定義された線型効用が期待効用に拡張される。

4節では，いくつかの二項関係の性質を定義し，それらの定義に基づいて弱順序，全順序，半順序を説明しよう。期待効用の議論では弱順序の概念が大きいウエイトを占めている。全順序，半順序との比較において弱順序の意味がより容易に理解されると期待される。
3節と4節に含まれる“くじ"，確実な結果の集合，混合集合，弱順序は期待効用で使われる根本概念(primitive concept)とみなされうる。
5節では，まず線型効用と期待効用の相違を指摘しよう。この相違は期待効
用を導出するときに生じる証明の技術的問題であると，普通，考えられている。

しかしながら，第4章と第7章で議論されるように，期待効用の論理的性格を不明瞭にする要素である。つぎに、期待効用概念に付随して生まれてきた確実－9－期待効用理論

等価額とリスク・プレミアムを初期条件の考慮なしに説明しよう。これらは本書で頻ばんに使われる概念である。

期待効用に対する解釈は，しばしば，規範的解釈と記述的解釈の2つの視点から分類されている。6節では期待効用に即して規範的解釈と記述的解釈を説明しよう。また期待効用では規範的解釈を記述的解釈から分離しえないという問題点が指摘される。

2．確実性・リスク・不確実性問題が設定されている状況に応じて，意思決定問題は確実性( certainty) ,リスク(risk) ,不確実性( uncertainty)なる3つの基本概念によって，しばしば分類されている。個々の研究分野における問題がこれらの基本概念によって必ずしも記述されているわけではない。オペレーションズ・リサーチ，経営科学( Management Science) ,経済学などでは，決定論的(determi nistic)モデルと確率論的( stoc hastic )モデルなる用語もしばしば用いられている。
（1）確実性 確実性とは，将来の事象において，ある結果だけが生じ，他の結果が生じる可能性は全くないことを示す性質である。
（2）リスク．リスクとは，将来の事象において，結果はランダム，すなわち，チャンスに依存するが，各々の結果に対応する確率分布が既知であることを示す性質である。

（3）不確実性

不確実性とは，将来の事象において，結果はチャンスに依存するが，各々の結果に対応する確率分布が未知である（パラメター不明の場合を含む）ことを示す性質である。

ただし，この分類方式にはつぎのような主張がある;K・Borch (1968,a )によれば「リスクと不確実性を2つの異なる，充分に定義された概念として初めて使用した人はFrank. H・Knightであった。1921年に刊行された彼の書物(( Ri s k, Uncertai nty and P r ofi t "は経済学において不確実性の要素を体系的

-10-

第2章

基本概念と定義に研究する途を切開いた。そして, Knightの用語法は多くの経済学者によって広く受け入れられてきた。しかしながら，リスクと不確実性を区別することは，もはや，有益でないようにみえる｡」

この主張に対するBorchの正当化は詳細でもなく，また，明確でもないが，暗黙的に主観確率を念頭において，一応，つぎのように述べられている。
「不確実性とリスクが存在することは一つの行動の結果が確実に予測されえないことを意味する。そのような状況において，全ての可能な結果の集合を指定できるものとし，さらに，このような状況を分析しようとするならば，結果についての生起の可能性に関する仮定が導入される必要ありと考えられる。しかしながら，これは可能な結果の集合上で確率測度一あるいは，それの等価物一が定義されることを意味している。ひとたび，このステップが不可欠，
あるいは，有用なものとして受け入れられるなら，リスクと不確実性の区別を要求しないような理論を展開することもできよう。このことは確率なる概念に関する哲学的な問題が解決されたということを意味するものではない｡」
このように，リスクと不確実性の区別が無意味であるという見解もあるが，リスクと不確実性を明確に区別しておくことは問題が設定されている状況を明確にするので，本書における議論では，確実性，リスク，不確実性を使いわけることにしよう。

このBorch的発想から，リスクと不確実性の区別を意識的に避けているのかどうか不明であるが，一部の文献では不確実性がリスクを指しているケースもあり，また，日常会話におけるような大ざっぱな使用がリスクと不確実性についてなされていることもある。本書でも，用語の煩雑さを避けるために，リス
クと不確実性を併せて不確実性と呼ぶことがある。ただし，そのような時には，必ず一言，その旨を示すことにしよう。

－11－

期待効用理論

3．“くじ”と混合集合
3－1

″くじ″

いま,硬貨が投げられたとき｡表がでる確率と裏がでる確率はそれぞれ;としよう。さらに表がでたときにある結果，例えば新車が得られ，裏がでたときにある結果，例えば中古車が得られるとしよう。そのとき，硬貨が投げられ，事象の生起に依存して結果が得られるプロセスは“くじ(lottery) "と呼ばれている。

さらに｡事象､表の確率は#であると言われ‘ある結果,新車の確率は;とも言われている。もし我々が事象の生起ではなく，結果の生起だけに関心をもつならば，結果の確率だけについて言うことが許される。“くじ”においては，
しばしば，事象を無視して，結果の確率だけに焦点が当てられている。
そのとき，“くじ”/は図2－1のような木( tree)で表現される。
図

2

－1

新車
／

中古車

また，“くじ”ノをつぎのように表現することもできよう；

ノー(;･新車;･中古車）
さて’有限個の結果妬1，力2’…，嫁が，それぞれ，ある既知の確率，1, p2,…，必で起るものとしよう。ただし，r

Z pj= 1,か≧O
z＝1とする。また，集合Xを

X={妬】, "2,…，嫁｝と定義しておこう。そのとき，これに対応する“くじ'’/は

－12－

第2章

基本概念と定義

ノー（’1．力1，’2．％2，…,pγ、聯）(2．1）と表現することにする。
図

2

－

2
１

％

２

″

ﾀンー
／

師γ

式（2．1)は〃jの確率が''であることを意味する。結果の集合X={x, ,師2,…，〃γ｝から作りうる，全ての“くじ''の集合を’としようj"={ﾉ|/ =(p'･",,必･〃2,…,必･ rr),γ

Z pj= 1,か≧0,xjEX, j=1, 2,…，γ｝
8＝1

ここで注意されたいことは，結果の数は有限個γであるが，“くじ"の集合2の要素の数は有限個でない。なぜならば，“くじ”の確率p,, '2,…，必は
γ

Zpi=1
Z＝1

なる制約の範囲内で，閉区間［0，1］内の全ての値をとることができる。
3－2

確率ベクトルと単純確率分布《‘くじ”／＝（’1．〃1，′2．%2，…,'γ･〃'）はx=(x1, "2,…,力γ）とα＝(p, , ,2,…，必）によって表現されうるので，確率ベクトル(probability vector) q=(p,, p2,…, pr)は結果のベクトルカ=(",, "2,…, "r)の上で定義されていると言われる。そして集合2に対応する，全ての確率ベクトルの集合
をR'としよう；γ

R,､'|(z=(p,, p2,…,pr), Z pf=1,',≧0,2＝1

j= 1, 2,…，γ｝－13－期待効用理論

例えば｡"くじ"ﾉｰ(;･大型車,#･中型車;･小型車)は確率ﾍｸﾄﾙ(;，;,;)と結果ベクトル(大型車,中型車,小型車)に分解される｡明らかなように｡確率ﾍｸﾄﾙ(;,;,;)の第一要素；は大型車が"くじ"'によ て得られる確率をﾎし,第二要素号は中型車が得られる確率を示し､第三要素;は小型車が得られる確率を示している。このように，一つの“くじ”に対して一つの確率ベクトルが定義され，その逆も真である。

確率ベクトルは確率分布の特殊な表現の一つである。上記の“くじ”にそくして言うと, 6("#)=pj, j=1,2,…，γとなる関数6が《《くじ”に対応する確率分布である。

定義2．1．

単純確率分布(si mple probability distributi on) 6とは，結果の集合X(必ずしも有限でない）において，つぎの条件(1), (2), (3), (4)を満たすような実関数(real-valued function)である(Fishburn, 1970, p,105) ;条件(1)全てのx】(CX)に対して6 (X,)≧0

条件(2)6(X)=1

条件(3)X,,X2CXかつX] nX2=のなるとき
6(X｣ U X2)= 6(X1)+6(X2)

条件(4)ある有限集合X3 (CX)に対して6(X3)= 1

集合X={大型車，中型車，小型車},X｣ ={大型車}, X2 ={中型車},X3={小型車}としよう｡さらに, '(x!)-;, '(x,)=#, '(x,)=;であるとしよう。そのとき,Xの部分集合Xs={大型車，中型車｝ではXs = X, UX2

であり,X』とX2の共通集合X1 nX2は空となる。したがって，条件(3)より

6(Xs) = 6(X! UX2)
= 6(X,)+6(X2)

＝識=：
－14－

第2章

基本概念と定義となる。

このように，もしXが有限集合であるならば，単純確率分布から得られる確率は確率ベクトルから容易に計算できるし，また，その逆も真である。

ここで，結果の集合Xにおける，全ての単純確率分布の集合をPsと定義しよう；

P' ={616は条件(1), (2), (3), (4)を満たす関数である｝
3－3

混合集合

これまでの議論では，‘《くじ”の結果は確実な結果，例えば自動車であった。
しかしながら，“くじ”の結果がまた<《くじ”であると考えることも可能である。

したがって，以下では“くじ”の結果が“くじ”であるような状況，すなわち，多段くじで考察を進めよう。そのとき，“くじ”の結果が確実な結果の集合xの要素であるか，“くじ”の集合pの要素であるかを区別したいときには，集合xの要素に“確実な”結果というように“確実な”という形容詞を付けることにする。

さて，結果ベクトル（大型車，中型車，小型車）に対応する“くじ”ノ,，／2，
すなわち，′,=(;･大型車ｻ･中型車;､小型車)，',=(;･人型車ｵ･中型車,:､小型車）を考えよう。さらに，結果が“くじ”／,，／2であるような‘‘くじ”/，すなわ
ち，

ノー（’1．ノ1, ,2･ /2),',+p2=1,p,,p2三0を考えよう。そのとき，ノを図で表現すると，図2－3のようになる。

－15－

期待効用理論

図

2

－

3

大

型

車

Ｉ

中

型

車

小

型

車

/2

鴬

ノ

|型車が，それぞれ，ある確率で得られこの“くじ”/は大型車，中型車，小型車が，中型車，小型車が得られる確率で《《くることを示している。そこで，大型車，中型車，

じ”/を表現すると図2－4のようになる。
図

2

－

4

大型車
ノ

中型車

小型車

このように,‘《くじ”ノの結果が“くじ”であるならば,“くじ',/も集合2の要素となる。

いま，､、じ”／をつぎのように表現しよう；/ =(p!・ノ!’ん。/2)=p,。/,+必。/2

そのとき，“くじ”の集合’はつぎの定義2．2における混合集合となる。
定義2．2．

混合集合とは，つぎの4つの条件を満たすような演算十，・が定義されている集合Fである(Herstein- Milnor,

1953) ;

全ての（, /bEFと全てのα,'E[0, 1]対して（ただし[0, 1]={"|0三α≦l}と定義される｡）

－16－

第2章

基本概念と定義

条件M1.
●

α・ハ＋（1－α）・んEF
条件M2.
●

●

α・ハ十（1－α）・ん＝（1－α）・ん＋α・ハ
条件M3.

α・(β・ハ＋（1－β)・ん)+( 1－α)・ん＝(αβ）・ハ+(1－αβ）・た条件M4.

"=0ならば，そのとき●"･/i +(1－α）・ん＝ん●

抽象演算十，・の定義は混合集合の定義2．2の中で与えられることになる。

註：混合集合の定義としては，つぎのような定義は数学的により明確であろう。混合集合とはつぎの四つの条件を満たす関数gが存在する集合Fである（この註は静岡大学の市川朗氏の示唆による。）；(1) g:F×F×[1, 0]→F(2) g(/i,/b,")=g(/b,/i,1－α）(3) g{g(ハ，た, "),/b, "}=g(/i,/Z,αβ）(4) g(/i,",0)=/b

この定義によれば,gの表現としての“くじ''(α・/,, (1－α）・ノ2), /,,ﾉ2E","E[0, 1]も上の四つの条件を満たす。しかしながら，後の議論における見通しをよくするために，我々はgの表現としてα・ノ]+(1α）・ノ2を使うことにする。

条件M1,
mm,

1979)

M2, M3, M4のもとで，つぎのM5,:－17－

M6が成立する( Fish-期待効用理論M5

α・ハ+(1－α)･ハーハ

(2．2）

M6

α・［β・ハ+(1－β)・ん] +(1－α）
･[r・ハ+(1－γ）・ん］＝[αβ+(1－α）γ］・ハ+ ["(1－β)+(1－α)(1－7)]・ん（2．3）

M5は以下のように導きだされる：(M4より）“・ハ+(1－α）・ハ●＝α・［0．/,+1・ハ]+(1－α）．／』(M3とM4より）=0・ハ+1．ハーハ

M6は以下のように導きだされる：もしβ＞γであれば,M2によって前後の項を置きかえることができるゆえに，一般性を失うことなしにγ三βと仮定しておく。
(M3より）

α・［β・ハ+(1－β）・ん]+(1－α）
。［γ・/i +(1－γ）・ん］＝α・｛β/γ・［γ・ハ十（1－γ）・ん］＋（1－β/γ）・ん｝＋（1－α）［γ・ハ+(1－γ）・ん］(M3より）=[l－a(1－β/7)]・［γ・ハ+(1－γ）・た］+" (1－β〃）・ん

－18－

第2章

基本概念と定義(M3より）＝[αβ十（1－α)γ］・ハ＋[a（1－β)＋（1－α）（1－γ)］・ん集合’が混合集合の条件を満たすことはつぎのように検証される。

全ての/,, /2E"と全てのp,e[0, 1]に対して●/=p】。/｣ + (1-p,)。/2E"
なることはいま上で述べた。したがって，集合Pは条件M1を満たす。また●●’1．/, +(1-p1)。/2 =(1-,1) ･ /2+p1．ノⅢなることは“くじ”の性質から明らかである。したがって，集合’は条件M2を満たす。

つぎに条件M3の検証に移ろう。全ての/1,ノ2E2と全ての'2E[0, 1]●

に対して“くじ”／3＝’2．／1十（1－，2）。／2を考えよう。そして，全てのp,E [0, 1]に対して結果がノ2, /3であるような“くじ''/4,すなわち●/4 =p,。/3+ (1-'1)・ノ2●●=p,･ [p2．ノ】+(1-,2) . /2]+(1-,1) . /2
を考えよう。この<《くじ”／4では，“くじ”/」が起こる確率は，』んであり，‘《くじ'’／2が起こる確率はp｣ (1－必)+(1-p,)= 1-p1,2である。それゆえに，“くじ”／4は●/4 =(p] p2)･ /,+(1-p] '2)・ノ2となる。結論として●●’1･ [p2．/1 +(1－ん）・ノ2]+(1一′1)．/2●= (p112)./!+(1-p1'2)・ノ2となり，集合’は条件M3を満たす。また“くじ'’の性質として条件M4の成立は明らかである。
●

上述では‘‘くじ”を表現するために演算十，・が使われているが，定義2．2－19－期待効用理論における演算十，・は抽象演算と考えられているゆえに，考察の対象となっている当該の集合によって演算十，・は具体的意味において異なる。例えば，集●合Fを実数の集合とし，演算十，・が，それそれ，実数の演算十，×であるならば，実数の集合は明らかなように混合集合となる。また，集合Fがベクトル●空間であり，演算十，・が，それそれ，ベクトルの和，スカラーとの積である
ならば，ベクトル空間が混合集合であることも容易に検証されうる。
つぎに，結果が確率ベクトルであるような“くじ”の集合と結果が単純確率分布であるような“くじ”の集合は混合集合であることを示そう。
結果ベクトル，（大型車，中型車，小型車）に対応する確率ベクトル‘!=(齢,;)と‘,=(紙,;）を考えよう。そして“くじ”の結果が確率ベクトルであるような‘《くじ,‘／'を/′= (p｣。α,, p2．α2)＝{'1．(品,;),，富･(品,:)｝としよう。ただし’』+p2=1''1''2E[0, 1]である。そして，また，/'を●

ノ′=p,。αⅡ+ p2．α2と表現しておこう。

この“くじ”／'において大型車が起こる確率はp,/6 +p2/8であり，中型車が起こる確率はp,/2 +p2/4であり,小型車が起こる確率はp,/3 +5p2/8となる。したがって，結果が起こる確率で“くじ”／'を書き換えると
ｌ

ｊ

＋

５－８

／１

Ａ’３

齢や

必

＋

此’４

Ａ’２

入

１’３

＋

’’２

。

く

２６

く

八

１’６ 必’８１』となる。ここで，／'の各要素は非負で，それらの総和はlであるから，“くじ”/'の結果が確率ベクトルならば，《《くじ”ノ′も確率ベクトルとなる。さらに，

-20-

第2章

基本概念と定義

この式から容易に理解されるように，／'はベクトルの和，スカラーとの積によって/'=(p,･ g,,必。α2)＝’］α］＋此α2と表現される。この結論は任意の確率ベクトルに対しても成立する。したがって，結果が確率ベクトルであるような“くじ”の集合は確率ベクトルの集合そのものである。

それゆえに，演算十，・が，それぞれ，ベクトルの和，スカラーとの積であるならば，確率ベクトルの集合は条件M1を満たす。また，《《くじ”の性質か

ら条件M2と条件M4の成立は明らかであり，ベクトル演算によって条件M3の成立も容易に検証されうる。このように，結果が確率ベクトルであるような“くじ”の集合は確率ベクトルの集合であり，また混合集合でもある。

さて，2つの単純確率分布61，62において6｣ (X1), 62(X1)は，それぞれ，
事象XⅢcXが起こる確率を示している。それゆえに/"= (p】・61, p2･ 62)' p｣+p2 = 1' pl'此≧Oにおいては,'!6](X,)は“くじ”/〃において6』がおこり，かつ，単純確率

分布6]においてX【が起こる確率を示し,'262(X,)は“くじ"/〃において62が起こり，かつ，単純確率分布b2においてX1が起こる確率を示している。
したがって,(p1．61, p2･62)は事象X,の確率が,p16｣(X1)十必62 (X,)

であるような確率分布であり，この確率分布はノ″= (p1．6,,必。62)= p1 61 +p2 62と表現されている(Jensen, 1967, Fishbum, 1970)。また，この確率分布’｣6】＋，262が単純確率分布であることは定義2‘1によって容易に確認される。
したがって，“くじ”/〃の結果が単純確率分布であるならば，’《くじ”／〃も単純確率分布となる。

－21－

期待効用理論

そこで，また，／”＝（’】｡6｣' '2･ 62)=,1 ･ 6｣ +p2．62と表現しよう。そのとき，演算十，・が，それぞれ，実数の和，積であるなら

ば，単純確率分布の集合は上述のように条件M1を満たす。また，条件M2,
M3,

M4の成立も容易に検証できる。

このように，結果が単純確率分布であるような‘‘くじ”の集合は単純確率分布の集合であり，また混合集合でもある。

本書では，混合集合を“くじ”の集合と考える解釈のもとで議論を進めることにしよう。

4．選好関係4－1

2項関係

期待効用の基礎である，選択対象間の選好関係を定義するために，2項関係といくつかの性質を考察しよう。

集合Yにおける2項関係(binary relation) Aとは,Yの要素yl, y2に対して，順序付きの組合せ(y,, y2)の集合の部分集合である，すなわち，

A={(y,,y2)l y,, y2EY}
普通, (y,,y2)EAは，記号Aを使って, y, Ay2と書かれる。また．noty, Ay2は(y,, y2)EAを意味する。
例, Y={1,2,3}であり,2項関係Aが＞であるならば> ={(2, 1),(3, 1),(3, 2)}となる，すなわち，>={(y｣, y2)ly,>y2, y,, y2 EY}

対象yl, y2における関係＞を集合の記号として使用しているものと解釈すれば容易に理解できるであろう。

2項関係としてつぎの4つの性質を説明しよう(Fishbum, 1970, p. 10)。
－22－

第2章

B1.

基本概念と定義

反射性( reflexiveness).

もし全てのyEYに対して, .yAyである

ならばAは反射的である。

例. Y={1,2,3}であり,Aが＝であれば，＝は反射的である。

B2.連結性(connectedness or completeness ).もし全てのjﾉ】,y2 EYに対して, y1A北か此Ay,の少なくともどちらか一つが成立するならば,Aは連結的である。

例 Y={1, 2, 3}であり,Aが≧であれば≧は連結的である。

B3.推移性( transti vity ).

もし全てのy1,y2'y3 EYに対して.y, Ay2

かつy2 Ay3がyl 44y3を成立させるならば,Aは推移的である。

例 Y={1, 2, 3}であり,Aが＞であれば＞は推移的である。

B4.歪対称性( antisymmetry).もし全てのy,,y2 EYに対して, j/,A.y2
かつy2 Ay｣がyl =y2を成立させるならば,Aは歪対称である。

例. Y={l;2,3}であり,Aが三であるならば，≧は歪対称である。

一方, Y={三木，福田，中曽根}であり,Aが身長の大小関係≧であれば，身長の大小関係≧は歪対称でない。なぜならば，三木の身長≧福田の身長かつ福田の身長≧三木の身長であるとしても，三木と福田は同一人物ではない。
4－2

弱順序・全順序・半順序

前節の2項関係を使って，選好における弱順序．全順序，半順序を定義しよ･J ( Roberts, 1979, p､28)。

では,

まず，基本として選好関係＞を使う。選好関係＞

y'>y2が地 よりylを選好するかγ」とy2を無差別とするかのどちらかであるとしよう。

定義2．3 弱順序( weak order )．

集合Yの上で定義された選好関係＞は，つぎの条件（1），（2）が成立するならば，弱順序である；（1）（連結性)・

全てのyl,y2 EYに対して, y'>y2かy2 >y,のうち少なくとも，どちらか一つが成立する。

（2）（推移性)

全てのy1, y2, y3に対して, j/, >y2かつ地 >y3である－23－

期待効用理論ならば,

y,>y3である。

つぎに，選好関係＞の弱順序から，選好関係シ(yⅢンy2はy2よりylを選好することを意味する｡),～(y]～北はy』とy2を無差別とすることを意味する｡）を定義しよう。

定義2.4 (>).

y!>y2かつnOty2 /yⅡであるならば,

y,>y2である。

定義2．5（～).

y｣>y2かつy2ンylであるならば,y」～y2である。

上記の3つの定義からつぎのような性質が導きだされる。
弱順序選好の諸性質；（1）（反射性).

y>y.

(2)y! " y2ならばnOty2 %y1.

(3)y｣ > y2なるための必要充分条件はy, >y2かつnot yl～”である。

(4)y」法y2かつy2 >y3ならばy, >y3.

(5)y」～y2かつy2～y3ならばyl～y3.

(6)y｣ > y2かつy2～y3ならばy, >y3.

(7)y｣ >y2, y｣～y2, y2 >ylのうちどれか一つだけが成立する。

歪対称であるような弱順序は全順序と呼ばれる。全順序の中で最も手近な例
は実数の大小関係三である。

定義2．6全順序(total order) .
ぎの条件(1),

(2),

（1）

（連結性)

（2）

（推移性)．

（3）（歪対称性)．

るならば,集合Yで定義された選好関係＞は，つ(3)が成立するならば，全順序である；

全てのyl,火巨Yに対して,y』法y2かつy2 >y,であ

yl=y2である。

弱順序と全順序を区別する理由は，弱順序では，異なった要素y,, y2(EY)に対してy, >y2かつy2 >y,の可能性か存在することである。

－24－

第2章

基本概念と定義

定義2．7半順序( partial order or semi order ) .

集合Yで定義された

選好関係＞は，つぎの条件(1)，(2)，(3)が成立するならば,半順序である；（1）（反射性)．

全てのyEYに対してy>yである。

（2）（推移性)．

（3）（歪対称性)．

集合Yがベクトルの集合で，2項関係がベクトルにおける≧であるとき，≧は半順序である。例えば，集合Yには(2,1),(1,2)なる2つのベクトルが含まれており，これらのベクトルには関係＝が成立しない。全順序は半順序であるが，半順序は全順序ではない。

表2－1

順序と諸性質（順序を定義する諸性質だけを示す｡）

連

結

性

反

射

性

推

移

性

弱順 序

全順序

○

○

○
○

歪対称性

5．

半順 序

○

○

○

○

効用関数
5－1

線型効用関数と期待効用

前節で，我々は選好関係を定義したが，ある公理系のもとで選択対象yEYに対する意思決定者の選好程度を表現する関数〃が導出される。そのとき,y

臣Yに対する選好程度を反映する，一つの実数としての〃(y)はyの効用と呼ばれ，意思決定者の選好程度を表現する関数〃は効用関数と呼ばれる。

定義2．8順序保存性( order preserving ) .効用関数〃が順序保存的であると呼ばれるための条件は；全てのy,, y2EYに対してyl岸y2であるため必要充分条件が〃(y, )三〃(y2)－25－期待効用理論である。すな･わち，全てのyl, y2EYに対して

y' >y2－妻〃(y, )三脚(y2)となることである。

明らかなように，効用の順序〃(y,)≧〃(y2 )はyl, y2の順序y」岸y2を保存している(Fishbum, 1970, p l4)。

また，2項関係＞が弱順序であれば，全てのy,,y2EYに対して

yⅢ～y2->"(yl)= "(y2)'y』ンy2－〃(y,)> " (y2)の成立が容易に検証できる。

例えば，定義2．5より,

y1>y2かつy2 >y,ならば,yl～y2である。

そして．効用の順序保存性，

y」湯y2 -"(y,)≧〃(y2),y2 >y】ー> "(y2)≧〃(y, )が同時に成立するためには,方,"(y,)="(y2)が成立しなければならない。一"(y,)="(y2)ならば’同様にyl～y2となる。

効用関数は．順序保存的であるとき，順序効用関数( ordinal utility fUnction)とも言われる( Roberts, 1979, p､102)。

定義2．9 線型性( linear property ) .効用関数〃が線型であると言われるための条件は；全てのy,, y2 EYと全てのαE[0, 1]に対して〃｛α・y｣ +(1－α)･y2}=α〃(y, )+( 1－α) "(y2)となることである。ただし演算十，・は前節で定義した混合集合における演算である。

本章の3－3節「混合集合」で議論したように，演算十，・は実数における演算十，×だけではなかった。それゆえに，効用関数の線型性は，厳密には，演算十，・に関して成立すると言われるべきである。混合集合が確率ベクトル

－26－

第2章

基本概念と定義の集合Rpであるとき，演算+,・はベクトル演算+,スカラーとの積×であり，単純確率分布の集合ではそれらは実数演算十，×であったことに注意されたい。
このような説明をしている理由は線型効用が必ずしも期待効用でないことに注目するためである。期待効用は確実な結果の集合Xの上で定義された効用関数を必要とする。それに反して，上述の線型効用は，一般的には，混合集合の上で定義された効用関数によって定められる。

そこで，“くじ”の集合2において，線型効用を期待効用に拡張するう°ロセ

スを考察しよう。いま，確実な結果〃jEXを確率1で与えるような“くじ”ノ蕪，
図

2

－

5
１

％

２

″

/産‘

r8

ガグ

の効用は〃（ノ藤i)で与えられる。一方9R1くじ”/箕‘と確実な結果Xjを同一視することが可能である。そこで，確実な結果節,の効用は“くじ”ﾉｪ#の効用であると定義しよう。すなわち，〃(xj)="(/xi)(2.

と定義しよう。

そのとき，効用関数の線型性，すなわち，〃(α・/】十（1－α）．ノ2）＝α〃（/1）十（1－α）〃（/2）
を，逐次，適用するとき，

－27－

4)

期待効用理論●〃(/)="(p]･ /x｣ +必・ノ灘2+'…,+pr・ノェγ）γ= Z pi"(/xi)
8＝1γ= Z ',"("j)
8＝1となり，期待効用の形式が導出される。いまγE(", /)= Zか〃(xi)

(2

5)

！＝1

と記すことにしよう。

定義2．10．

“くじ”ノの期待効用( expected utility)とはつぎの条件を満たすようなE(", /)である；

全ての/,，ノ2巨砲に対してノ」＞ノ2->E(", /｣)≧E(",/2)(26)

順序保存的かつ線型的な効用関数は基数的効用関数(cardinal utility fUnction)と呼ばれる。

したがって，期待効用も基数的効用である。形式的には，期待効用を定義す
る確実な結果の集合Xは現金，自動車，人間の行動など，考えられる全ての対象を含むとすることも可能である。
5－2

確実等価額とリスク・プレミアム

確実な結果の集合Xの要素は金額であるとしよう。すなわち，集合Xは金額の集合である。そしてリスクの要素を含む有価証券,投資などを代表的に《‘くじ”として表現することにする。いま，金額の集合Xの上で定義された“くじ”／
をもつ意思決定者を考えよう。意思決定者がある金額〃＊より高い値段では“くじ”/を喜んで売るが，この金額節＊より安い値段では売らないならば，この金額列＊は“くじ”／に対する意思決定者の確実等価額(certainty equivalent),
あるいは，‘《くじ”ノの確実等価額と言われる。明らかなように，

確実等価額

は“くじ”/の売り値である。

この確実等価額が，期待効用では，いかに定義されるかを考察しよう。意思
－28－

第2章

基本概念と定義

決定者は集合xの上で定義された効用関数脚をもち，その効用関数〃は連続であるとしよう(効用関数の連続性に関しては付録5，参照)。さらに，効用関数〃は“くじ”/から生じる金額の変化，すなわち, status quoからの金額の変化に対する選好の程度を表現すると仮定しよう。この最後の仮定は，本書の初期条件の視点から言えば，問題点を有するが，ここでは，一応，容認することにしよう。

意思決定者にとって確実等価額ヵ＊と“くじ”／は無差別である。それゆえに，

効用関数〃の性質によってこれを表現すると"("*)=E(",/)

(2.

7)

となる。もし意思決定者がリスク回避的であるならば，意思決定者は“くじ'，／の期待金額E(/)より少ない金額X*に売り値をつけるだろう。すなわち，E(/)一銭＝江（ノ)>0(2．8)となる。この元（/）はリスク・プレミアム( risk premium)と呼ばれる。
図

2

－6

効用

u (x)

E(u, /)

’
X1

妬

*

E(/)=p1"1+,2jr2
－29－

金額

"2

期待効用琿論

リスク．プレミアムは，“くじ',/によって得られる金額が“くじ''/の期待金額より充分に小さくなるかもしれないというリスクを避けるために，意思決定者が期待金額を断念し確実な金額を得ようとするとき，期待金額からの犠牲分として支払われる最大限度額を表す。

第3章で示すように，リスク・う°レミアムが正であるとき効用関数〃は凹( concave)となる。この効用関数邸においてptRくじ'' /=('1．%1, ,2．〃2),
期待金額E(/),確実等価額〃*p期待効用の関係を図解すると図2－6のようになる。

6．記述的解釈と規範的解釈

意思決定に関する理論は記述的，規範的という2つの視点によって，しばしば，分類されている。記述的理論( descripti ve theory )は意思決定者が現実においていかに決定をなしているかを説明，あるいは，記述することに重点を置く。一方，規範的理論( normative theory)は意思決定者がいかに決定をなすべきかを示すことに重点を置く。

したがって，記述的理論の有効性は現実を説明する能力や現実を予測する能力によって判定される。規範的理論の目標は，ある所与の目的のもとで，この目的を追求する意思決定者に，利用可能な情報を使ってその目的を達成する最善の方法を提供することである。

期待効用もこの2つの視点から，しばしば，解釈されるが，規範的理論としての有効性を判定するには記述的側面を無視することは不可能である。この点に関して簡単に議論しよう。

いま．上で述べたように，規範的理論には所与の目的が必要とされた。期待

効用においてはその目的に記述的性格が含まれる。後に議論するように，期待効用はある公理系から導出される。それゆえに，期待効用の目的はその公理系によって定式化されている。そして，公理系は意思決定者に対する記述的前提

－30－

第2章

基本概念と定義である。例えば，公理の一つである選好の弱順序性は記述的表現である。

すなわち，連結性では,

yl,j/2EYに対して意思決定者はy, > y2, y2>y】のうち少なくとも一つを成立させ，また’推移性では,

y,,y2,y3EYに対してy, >y2かつy2 %y3ならば意思決定者はy, %y3を示すという予測が公理の内容に含まれている。
したがって，公理の記述的妥当性が確証されることによって，規範的理論として期待効用を有効にすることが可能であるようにみえる。しかしながら，たとえ公理の記述的妥当性が確証されたとしても，期待効用は規範的理論としてまだ充分でない。なぜならば，現実の意思決定に重要な影響を与える要素が公理系には欠落しているかもしれない。

“現実の意思決定に重要な影響を与える'，という表現の内容は明らかに記述的である。本書における，期待効用に対する批判的視点である初期条件ほその欠落の一例であろう。また，第7章"小世界と制約された合理性”における“制約された合理性”もその一つであろう。しかしながら，この欠落は無視しうるほどのものであると一部の人々は考えるかもしれない。この問題の正否を判定するためには，規範的議論だけでなく，記述的議論の展開が必要とされるだろう。

期待効用の記述的妥当性，すなわち，予測能力に関しては，第6章2節“期待効用仮説と効用の測定”で，その意味がより詳しく議論される。

－31－

第3章

1．

は

じ

め

期待効用理論に

本章では期待効用理論の内容を展開する。後に議論される諸問題に対する解釈に必要な洞察力を提供することが第一義とされる。それゆえに,期待効用の公理系は最も簡単であると考えられるMarschak型とし，期待効用は“くじ”のもとで考察される。期待効用定理に対する理解を深めるためには，効用関数の導出う°ロセスを熟知することは有意義であるし，さらに，後の詳細な議論の真意をくみ取るうえでも有益ではあるが，数学的にやや煩雑であるゆえに，これについては付録1にまわすことにした。その代りとしてある“くじ”の期待効用を算定する例題を解説しよう。

期待効用理論の二本柱の一つであるリスク回避理論，とくに，リスク回避関数についての議論は本書における主たる批判的視点である初期条件に深く関係している。そこで，リスク回避に関連する諸概念を明確にしておこう。

2節では, Marschak型(1950),すなわち，弱順序，代替性，連続性の諸公理からなる公理系をとりあげ，この公理系を解説することにする。しかし，公理系における選択対象の集合はMarsc hakにおける確率ベクトルではなく,Mくじ”によって定義されている。さらに, Marschakの公理系における構造上の公理M4(第8章3節「Marschakの公理系」， 参照）は省かれている。
3節では，前節で解説された公理系を使って，ある“くじ”の期待効用算定のフ･ロセスを例題により解説することにする。本節の議論には冗長な点が存在するかもしれないが，それの意図は解釈に重点を置いている。

4－1節では，リスク回避的，リスク中立的，リスク愛好的な効用関数の特性を，それぞれ，定義し，解説することにする。4－2節では，意思決定者の－33－

期待効用理論

リスク回避が効用関数を通じてどのようにして測定されるかという点から，初期資産すなわち初期条件が考慮に入るときのリスク・プレミアムと確実等価額
ならびにリスク回避関数を定義し，解説することにする。リスク・プレミアムは特定の“くじ”に対する，意思決定者のリスク回避を表現しているとみなされる。一方，リスク回避関数は初期条件の関数であり，初期条件によって意思決定者のリスク回避がどのように変化するかを示している。本節の視点から言えば,第2章5－2節で導入したリスク・プレミアムと確実等価額は初期資産がゼロであるときの，あるいは，選択対象の効用が初期資産からの増分として算定されたときのそれらに対応している。なお,第5章2－2節「増分型と初期条件」においてこの点に関連した議論がなされる。

4－－3節では，リスク回避理論の主たる結果であるPratt (1964)の定理が示される。この定理ではリスク・プレミアムとリスク回避関数の間に存在する
明確な関係が表現されている。さらに，リスク回避関数の中で，特に重要な逓
減リスク回避関数と一定リスク回避関数を定義しておこう。

4－4節では．リスク的初期条件におけるRoss (1981)のリスク回避概念とそれに関する諸結果を述べておこう。本節におけるRossのリスク回避概念が後の議論で用いられることはない。しかしながら，リスク的初期条件を期待効
用理論に含めることか非現実的でないこと．より強くは，現実的であることの検証として，また第4章以降で議論されるリスク的初期条件における効用関数の存在問題に対する“一般的な認識”の程度をうかがうにも，本節の議論は有効であろう。

2．期待効用定理“くじ”の集合2から一つの“くじ”ノを選択しなければならない意思決定者が居るとしよう。《《くじ”／は確実な結果の集合Xの上で定義されており，“くじ”ノによって結果ヵjが得られる確率はpjとしよう。そのとき,"くじ'，

－34－

第3章

期待効用理論／はノー（’1．郡1, p2．〃2，…,'γ・〃γ）と表現される。ただしγ

Z pj= 1,',≧0,

j=1,2,･･…｡，γ8＝1である。意思決定者が以下に示すような公理系を満たす決定をなすとき，意思決定者の効用関数〃の存在が期待効用定理によって保証される。

定理3．1“くじ''の期待効用定理( expected utility theoIBm).

集合2は集合Xの上で定義された“くじ”の集合であり，＞はpの上で定義された選好関係としよう。

そのとき，ノ1, /2E"に対して／‘と/2=>E(", /｣)三E(", /2)

(3.

1)

を満足する,Xの上で定義された関数〃が存在するための必要充分条件はつぎの公理系が成立することである。

さらに，式（3．1）における関数〃は正の線型変換まで一意的である。

公理系

全てのノ』, /2,/3 E堀に対して
公理1．弱順序：集合’の上で定義された選好関係＞は弱順序である。

公理2．連続性(continuity ):もし/』>/2 %/3であるならば，そのとき/2～α＊。/] +(1－α*)．/3（3．2）

であるようなα*E(0, 1)がただ一つ存在する。

公理3．代替性( substitutabi lity ) :もし/」～ノ2であるならば,そのとき全てのα臣（0，1）と全ての/3E"に対して●

α・ノ』十（1－“）・ノ3～α・ノ2＋（1－α）．／3
である。

－35－

（3．3）

期待効用理論

上に挙げた公理1,2,3が期待効用の公理( axi om)と呼ばれているものである。ここでは，各公理の批判には立ち入らず，公理の意味を説明しよう。

公理の妥当性を含む諸問題は第9章「公理系の評価」で議論される。この定理の証明は付録1にある。

公理1：弱順序

定義2．3が示すように弱順序は連結性と推移‘性からなる。
連結性は全ての“くじ”/】’／2巨必に対して／］＞/2か／2＞／】のうち少なくともどちらか一つが成立することであり，またノ】済/2’／】～/2，/2＞/」のうちどれか一つだけが成立することを意味する。

なぜならば，(1)／！＞/2かつ/2＞/」が成立するとき，定義2．5より/』～／2となる。
(2)／Ⅲ＞／2かつnot /2 >/,が成立するとき，定義2.4より/】>/2となる。（3）/2＞／』かつnot /」岸/2が成立するとき，定義2.4よりノ2>
ノ1となる。/［と/2の間における選好関係は(1)，(2)，(3)のどれか一つだけに適合する。

推移性は，全ての“くじ''/1, /2, /3E"に対して，ノ」＞ノ2かつノ2>/3ならば/」＞／3を要求する。
この“くじ”の弱順序は確実な結果の弱順序を含んでいることに注意されたい。なぜならば，確実な結果Xjを確率1で与えるような《‘くじ''/xjを考えよう。そのとき，意思決定者は“くじ”ノズ，と確実な結果ヵjを同一視することができる。したがって，ノズ，の弱順序性は確実な結果rjの弱順序性に移行することが可能となる。

公理2：連続性●第2章3節「“くじ”と混合集合」における議論のように，α・/, +(1－α)･/3は確率αで／！が得られ，確率(1－α）でノ3が得られる‘‘くじ”と解釈

－36－

第3章

期待効用理論される。そのとき，この公理の連続性は，αが連続的に変化するとき，/2とα・/｣+( 1－α）・ノ3の間における選好関係が連続的に変化することを意味する。
説明のために,

x,=1万円,

X2=5千円,x3= 0円としよう。また，確実な結果〃’を確率lで与えるような“くじ”／塚，を考えよう（図2－－5を参照せよ)。そして，光】＞節2＞妬3，すなわち，ノ麓！＞／麓2＞／難3と仮定しよう。
もし“くじ”/が●／＝α・/jf! +(1一α）。/x3

であるならば，そのときα=1では／は1万円相当であるゆえに,/>/翼2であり，α＝0では／は0円相当であるゆえに，ノx，＞/となる。
図

3

－

1

１

応

Ｊｊ

1万円

Ｚ

７６

0円
３

そして，αか1から少し小さくなるならば，／に対する選好の程度が微妙に変化するだろう。連続的にαがlから0の方向に変化していくとき，／に対する意思決定者の選好程度が連続的に下り，あるα＊の値で●α＊｡／犀! +(1－α*)。／蕪3～/難2となること．これを公理2は要求している。

公理3：代替性

さて，意思決定者は2つの“くじ”ノ'と／〃のどちらかを選択しなければなら●●ないとしようoただしノ′＝α、/Ⅱ十（1－α）・ノ3，／″＝α・/2+( 1－α）。/3であるとする。“くじ”ノ′と／〃の相違は／′では/！を確率αで，／〃では/2を確率“で得られるという点だけである。そのとき，／】～ノ2であるならば，意思決定者は/′と／〃に対して無差別であるべきであること，これを公理3は要求する。

－37－

期待効用理論説明のために，灘】＝自動車,"2 = 100万円,"3 =0円としておこう。そして，また，確実な結果Xiを確率1で与えるような‘‘くじ”ノェ，を考えよう(図2－5を参照せよ)。さらに，〃Ⅱ＝自動車と力2＝100万円は無差別であるとしよう。すなわち,/x,～ノ算2であるとしよう。
図

/′

3

－

2

自動車

言髻<i:

0円

いま，ノ'＝α・ノズ] +(1一α）。/z3 ,すなわち，自動車が確率αで,0円が確率（1－α）で得られることに相当するような《‘くじ”ノ'を考えよう。さらに，自動車と無差別な100万円を，自動車と入れ替えた“くじ”を／〃としよう。すなわち，ノ''＝α、/蕪2十（1－α）。／ｪ3としよう。
図

/〃

3

－

3

どく'〃
1－a

100万円～自動車
0円/x3

そのとき，自動車と100万円が無差別であるならば，すなわち，/藤,～／灘2
であるならば，無差別な結果ノェ2を‘《くじ”／′に代入した‘《くじ”／〃かもとの“くじ”／′と無差別であることを公理3は要求している。

さらに，我々は苑3＝0円としたが，節3が任意の対象であるときにも，‘《くじ”ノ′と／''が無差別であることも公理3は要求している。

正の線型変換までの一意性

期待効用定理における効用関数〃が正の線型変換まで一意的であることについて簡単な注釈をしておこう。正の線型変換まで一意的であることの意味はつぎの内容である；

－38－

第3章

もし関数〃が式(3

期待効用蠅論1)を満すならば，全ての6 >0,γと全ての"EXに対して"(x)=6"(x)+7(34)

なる関数りもつぎの条件Aを満足する；

条件A,全ての/,, /2 E"に対してノ】浜/2 <-E(",ノ」）≧E(", /2 )また関数〃が条件Aを満足するならば，式（3‘4）を成立させるような
6> 0,7が存在する。

したがって，〃（力｣)> "(x2)なる2つの〃,, x2EXに対して6> 0,γを適当に選ぶことによって式（34）より，〃（ヵ」)=1〃（苑2）＝0（35）とすることができる。

これは，適当に実数6＞0，7を選択することによって効用の数値を変えることが可能であることを示している。したがって，効用を示す数値そのものは効用関数が特定化されたときにのみ意味をもつ。このことは温度尺度との対比で説明されうる。ある対象の温度が絶対温度，摂氏，華氏のどの尺度で測定されようとも，それらは温度の表現としては同じである。しかしながら，それらは数値では相違する，そしてそれらの数値間には正の線型変換の関係がある。

3．例

題一効用の算定

本節では期待効用に対する理解を深めるために，前節における公理系を使って，ある特定の“くじ”の効用を算定する手続を解説しよう。結果の集合Xは1万円から100万円まで,1万円きざみの100個の金額から成立しているとしよう。そのとき，最も選好される要素αは100万円で，最も選好されない要素
6は1万円となる。

－39－

期待効用理論

さて，“くじ”ノズは兆万円が確率1で起ることを意味している。例えば，／30
は30万円が確率lで起る‘《くじ'’である。そのとき，公理2すなわち式（3．

2）より,/,00>/z>/,なるノズに対してノ藤～αZ。/,00 +(1一αェ）・ノ，

なるαZE(0, 1)が存在する。例えば，/30～α30．/100+ ( 1－a30)。/1となるα30E(0, 1)が存在する。
図

30万円

/30～

3

－ 4

ご聖<i"
1－α30

換言すれば,

100万円
1万円

砂1

100万円が確率α30で起り,1万円が確率(1－a30)で起る“くじ”ノ'＝{α30．100万円,(1－a30)・1万円｝が30万円と無差別であることを意味している。
図

30万円

～

ﾉﾉ

3

－

5

筆三二"鮒

そのとき, g=100万円, 6=1万円が固定されているならば,30万円の効
用はα30ということができる。したがって9"万円の効用は公理2すなわち式（3．2）によって定まるα蕪となる。

ここで，式（2．4）と同様に

α扉="(/x)="(x)(36)と定義しておこう。
●

さて，結果が‘《くじ''/J4,/Bであるような“くじ''を考えよう。そして'‘=(も･10万円, ;･'5万円）－40－/=pa,･/A十pB．/B

第3章

期待効用理論ノ‘=(;･20万円, f･'5"円, ;･'0カ円）とし｡，劇=;,，,=;としよう｡そのとき。
‘‐;･‘劇牛;･‘，（3 ？）となる。この“くじ”/の効用〃（ノ）＝ん（ノ）を求めてみよう( Holloway,1979,

p.422)。

公理2すなわち式（3．2）より●／～〃（/）・ノ,00＋｛1－〃（/）｝。／Ⅱなる〃（/）が存在する。さらに，/A～ん(/A)･ /100 +{ 1－〃(/A)}・ノ】

(3.

8)

ノB～ん（/β）。/,00 +{ 1－〃(/B)}。/Ⅱ(3

9)

なる〃(/A), "(/β）も存在する。
ここで，〃万円とは“くじ”ノ藤を指していると考えることにしよう。そのとき，‘』=:．'‘,壱・‘”（3 ｣0）

ノ’=；･‘,,鵠･‘,‘号･'”

(3.

11)

/,0～ん(/10)･ /100+{ 1－〃( /,0)}・ノ」

(3.

12)

/15～ん（ノ15）・ノ100 +{ l－ん（ノ15) }・ノ｣

(3．13)／20～ん（／20）。/100+{ l－ん(/20)}./｣

(3.

14)

12),

(3. 13),と表現される。さらに，公理2からが得られる。

式（3．10)，（3．11）における/,0，ノ,5，／20を式(3.
(3.

14)で代替させると，公理3すなわち式(3.

3)からノ劇～号･["(ﾉ‘,)･ﾉ皿,子{1-"(′叩)}･'‘］

号･["('崎)･ /,004{1-"(′,5)}･ /｣]－41－

期待効用理論′‘~:．["(‘,,)･ﾉ‘"千{｣-"('‘,)}･'‘］
弓･["(！,‘)･'1"手{!-伽(‘‘，)}･ﾉ’］鍔･["(/‘,)｡′‘"十{]-"(ﾉⅢ‘)}･ﾉ‘］となる。そこで，式（2．3）を適用すると，‘卿~[号"(′’,)手当"(',’)]･'!" ;[;{!-"(′1‘)｝
÷;{!-"(′1‘)}]．′‘（3．15）‘‘~[が('’‘)÷;"('‘’崎"(',,)]･‘1,‘崎{'一"(′")）
十;{｣-"('!‘)}÷;{1-A(‘,‘)}]･'，（3」6）が得られる。そのとき，公理2のα＊の一意性から，式（3．8），（3．9）と式（3．15)，（3．16）を比較するとき，〃( 'A)=;"(′,0)十号"('噸)〃(ﾉ,)-t" (',,)千t"('艫)÷;"(/,0)(3. 17)(3. 18)となる。

一方，式（3．7）における/A,/βを式(3.

8),

(3.

9)で代替させると，

ノー;･ ["('A)･',｡,+{ !-"(′劇)}･ /,]号･["(′侭)･ﾉ!,｡+{1-"(！,)}･ﾉ,］となり，式（2．3）より′~[;"(‘鯛)+;"(′‘)]･'!"牛[;{!-"(‘劇)｝暑{｣-"(′‘)}]･‘，
－42－

第3章

期待効用理論が得られる。
そのとき，公理2のα＊の一意性か.ら〃(′)=;"(′劇)+:"('‘）（3 ]9）となる。式(3. 17), (3. 18)におけるん(/A), "( /8)を式(3.
代入すると〃(/)-;[;" ( 'l,)+;" (!!')]+:[fA('2｡)＋:"(′‘，)+;"('‘,)］＝:"('‘,)-卜:"('‘‘)手;伽(′,,）
が得られる。定義式（3．6）を使うと〃(')-;"('0)+(15)+;"(20)(3 20)となり、“くじ”ノの期待効用〃（／）が導出された。

さて,‘-;･'崎･‘,を図で表現すると図3-6が得られる。
図

ノ

3

－

6

/,0

10万円

/,5

15万円

１

ノ

15万円

０

１

20万円

５

ノ

０

２

Ｊ

_ルー－
－－琉－－辿一

10万円

図3－6における‘《くじ”は図3－7のように簡略化される。
図

3

－7

０

２

７Ｊ

〃（20）

４

ん（15）

０

１

〃＃

５

１

ノＦＪ

／

ん（10）

■

－43－

■

p

■

19）に

期待効用理論

図3－7における/20,ノ,5，／10の効用力(20), "(15), "(10)に，それぞれ｡確率:,；｡；をかけ,和を算定すると,式(3 20)と同じ式が得られる。

4．リスク回避理論
4－1

リスク回避性向

意思決定者は結果の集合xが金額によって定義されている“くじ”に関心があるとしよう。そのとき，効用関数は金額を示す数値の全ての上で定義されることを必要とするかもしれない。すなわち，効用関数はある範囲内の全ての実数上で定義されることを必要とするかもしれない。そこで，結果の集合xは全ての実数からなるとしよう。

ここでは，実数直線上で定義された連続な効用関数への拡張が要求される。

そのような効用関数の存在に関する議論は位相数学など，やや，高級な数学的知識を必要とするので，ここでは連続かつ微分可能な効用関数は存在するという仮定から出発しよう。（効用関数の連続性と微分可能性に関しては，付録5を参照されたい｡）また，金額は大きくなればなるほどより選好されるので効用関数は増加関数である，すなわち，師】＞％2に対して〃（力1）＞〃（〃2）であることを仮定しておこう。

いま，意思決定者はつぎの2つの“くじ"/1, /2に直面しているとしよう；/, =(1．節0,0．0)

ノ,=(;･霧"号･鰯2）
ただし､"'= ;"!f"2,\ExであるO"くじ"′が確率αで〃円を与え，確率（1－α）で0円を与えることを意味するならば
ノー（α・え,(1－α)･0)＝（α・r）－44－

第3章

期待効用理論と表現しよう。したがって/｣= (1・〃o)となる。《‘くじ”ノ』，／2の期待効用は〃（ノ,）＝〃（光0）“(‘2)=;鯵(蕪!)千;"(難,）となる。

リスク回避的な(risk averse)ケース

全ての力1, "2 EXに対して意思決定者の選好関係がノ】>/2,すなわち“(鰯,)="(;鰯!+;"2）〉;灘(鰯!)十;”(鰯’）
ならば，その意思決定者はXのいたるところでリスク回避的(risk averse)と言われ，また，効用関数〃がリスク回避的であるとも言われる。
例えば，〃0＝0，力」＝妬，師2＝－〃, ">0としよう。

そのとき，〃（/｣）＝〃（0）“('2)-当鰯(鰯)+号泌(-態）となる。意思決定者は／1＞/2を示しているとしよう。“くじ”／」は意思決定者になんらの変化をもたらさない。しかるに，“くじ”ノ2は節を得るチャン
スと妬円を損するチャンスが半々であり，その期待値が0円であることを示している。この場合，期待金額が同じ0円であっても，ヵ円を損するかもしれな
いというリスクを意思決定者は回避している。

一般に，全ての師,,"2EX,"E( 0, 1)に対して，〃｛α力1 +(1－α)x2}>α〃("1)+(1－α）〃( "2)－45－期待効用理論

なる不等式が成立するとき，関数〃は凹であると言われ，また，〃"（節）＜0となる。ただし，〃"(x)は2次導関数である。効用関数がリスク回避的であるならば，〃（ノ｣）＞〃（／2）
すなわち“(茄,)-"(;簸1手;",）〉号"“‘)十;(鰯‘）が成立する。したがって，そのとき効用関数〃は凹関数となる。

“くじ”ノ2の確実等価額を"*とすれば，すなわち，〃(/2) ="("*)とすれば，“(",)>;鰯“!)十斗"(鰯‘）
し＝〃（節＊）

が成立する。効用関数〃の単調増加性から好0＞節＊が得られる。したがって

XO－〃*=" (/2)>0となり，リスク・プレミアム兀（ノ2）は正となる。

－46－

第3章

期待効用理論図3－8リスク回避

Ｊ

ガ

＊

ｕ

く

０

ガ

Ｊ

ｕ

く

２

妬

Ｊ

ｕ

く
／

、

u（％1ノ

図3－9

u

=|/食

が■‐ル
%1

ガ＊

(〃2）

, ("o)

→

リスク中立

(〃！）

XO= '/2 %1~LI/2X2

／

一一
Xl

"0=X*

列2

汀（/2）

リスク中立的な(risk neutral)ケース

全ての力1,"2EXに対して，意思決定者が/1～/2,すなわち 〃（ノ,)=〃（／2）を示すならば，そのとき，意思決定者の効用関数〃はXのいたるとこ
ろでリスク中立的であると言われる。また，"(;勤千:",)=;鰯("‘)浩灘(躯,）から効用関数は一次関数となるoしたがって，〃〃(")= 0 である。リスクプレミアムは〃（苑0）＝〃（ヵ*）から〃0－〃＊＝冗（ノ2）
＝0

となる。

リスク愛好的な(riSk prone)ケース

全ての力1, x2EXに対して，意思決定者がノ2>/】，すなわち－47－〃(/2) >

期待効用理論〃（ノ]）を示すならば，その意思決定者の効用関数〃はXのいたるところでリスク愛好的であると言われる。また，;灘は!)÷;鯉(燕,)>"(:鰯!+;難2）から，効用関数〃は凸関数となる。したがって〃〃（〃）＞0となり，リスク
フ°レミアム冗（／2）は負となる。

4－2

リスク回避関数

いままでは，効用関数〃は“くじ”から生じる金額の変化に対する選好表現であった。しかしながら，以後，効用関数〃は初期資産（あるいは初期条件）を考慮した資産全体の変化に対する選好を表現するものとしよう。いま，“資産”は金額で測定されたものと仮定しておこう。

そのとき，ここで問題とされることは，リスクに対する意思決定者の態度が効用関数によってどのように表現されるかである。それに対して直観的に最も理解しやすい概念はリスク・プレミアムであろう。そこで，まず，リスク回避関数との関連から，初期資産を考慮に入れたリスク・う°レミアムとそれに関連する諸概念を簡単に議論しておこう。

さて，金額で測定された初期資産を①としよう。ただしのは確実な金額である。この初期資産の確実性は4章以降で問題とされる。“くじ”／の期待金額
を E(/)と記すことにする。そして,/*のは､‘くじ”ノの結果に①を加えたものを結果とする“くじ”であるとしよう。この機能は“たたみこみ”と呼ばれる。また，ノ＊の＝の＊／である。
図

ノ

三二<:；

3

-10

α

力l+の

‘*･言三二通≠・ある“くじ”/に対する意思決定者のリスク・プレミアム兀は《《くじ”/を

－48－

第3章

期待効用理論受け入れることと確実等価額刀*={E( /)一元｝を受け入れることを無差別にさせるような値である。一般的には，“くじ”の売値である確実等価額は初期資産によって変化するだろう。したがって，リスク・う。レミアムは“くじ”/に依存するだけでなく，意思決定者の初期資産のにも依存する。それゆえに，

リスク・プレミアムは兀（②，/）と表現されよう。以上から，形式的には，リスク・う。レミアムは〃｛の+E(ノ）一花（の, /)}="(の*/)(3.21)

なる等式を満たす。

また，初期資産がのから（の十%）に変化し，‘《くじ”がノから/＊(－％）に変化したとき，同様に〃[の+ "+E{/ *(－〃)}－元｛の＋〃, /*(－ヵ)}]＝〃［(の十ヵ）＊｛／＊（－ヵ）｝］が得られる。そして，この式を整理すると，“[の+E(/)一花｛の＋〃，ノ*(－ヵ)}]= "(の*/)(3.22)となる。したがって，式（3．21)，（3．22）から

兀（の，ノ）＝兀｛の＋〃，ノ＊（－ヵ）｝（3．23）

が得られる。
確実等価額兀＊（の，／）はヵ*(G), /)=E(/)－兀（の,/)(3.24)と定義される。

なお，確実等価額ヵ＊（の，／）は式（2．7）におけるヵ*と同じであるが，初期条件のと“くじ”／が確実等価額に及ぼす影響を検討するためにこのような表現形式〃＊（の，／）がとられている。また兀（の，／）についても同様の趣旨である。さらに，式（2．7）の表現に沿った線で言えば，式（3．21）から理解されるように兀（の，ノ）＝元（の＊/），苑＊(の，ノ）＝ズ＊(の＊ノ）と定義することができる。

－49－

期待効用理論

一方，前節で述べたように，意思決定者のリスク回避的性向は効用関数の凹性として示される。そのとき効用関数の2次導関数〃''は負であった。また．
〃〃>0であれば，意思決定者はリスク愛好的であり，〃''=0であれば，意思決定者はリスク中立的であった。このように，効用関数の2次導関数はリスク回避に対する一つの指標であるようにみえる。

しかしながら，効用関数は正の線型変換までは一意的である。それゆえに，

効用関数に正の数を掛けることによって，効用関数の2次導関数は，符号が限定されているとはいえ，任意の値をとることができる。したがって，その値の大小は，期待効用においては，それ自身なんら積極的な意味をもたない。
このように，リスク回避の尺度は効用関数の正の線型変換のもとでは不変でなければならない。他方，リスク回避的であることは効用関数の凹性を意味していることから，リスク回避を表現する尺度は効用関数の2次導関数に基いて構成されなければならない。これらの考慮から, Arrow (1963, 1970)とPratt(1964)はリスク回避の程度を測定するために，上記の性質を有するものとしてリスク回避関数( risk averse functi on) '' (の),すなわち，
γ（の）＝－

"〃（の）
〃′（の）

（3．25）を導入した。

リスク・プレミアム兀（の，／）は‘《くじ”/に依存するのに反して，リスク回避関数はそうではない。したがって，もし全ての《‘くじ”に対してリスク．
プレミアムが有するある共通した性質をリスク回避関数が持っているならば，リスク回避関数はリスク回避の尺度として有用な道具となる。例えば，資産が増大すれば，意思決定者のリスク・プレミアムが，増々，減少することはリスク回避関数γの逓減性として特徴づけられる。さらに, Pratt (1%4, p.126 )は言う，“リスク回避は兀（の，／）によって測定されるだろうが，兀はγよりも，一層，複雑であるO"しかしながら，第4章における議論から理解されるように，

－50－

第3章

期待効用揮論

兀が常に取扱い難いものであるとは言えないだろう。

4－3

リスク回避関数に関する諸結果

いま，リスク回避関数とリスク．う．レミアムの関係についてPratt (1964)の議論をみてみよう｡初期資産のをもつ意思決定者が"くじ"‘-(;･‘,百・一E）に直面しているとしよう。ただし，Eは充分に小さい。
そのとき，〃｛の十E(/)－兀（の, /)}="(Q)*/)が成立し,E(/)=0であるから，“{｡-施(の,ﾉ)}=号"(･ﾅ‘)千;"(の-‘）となる。この式の両辺をのの周りでテイラー展開するとき，〃｛の一元（の，ノ）｝＝〃（の）一元（α)，/）〃'(の）＋0（汀2)，号"(｡+‘)+;"("-‘）‐;{"(")÷‘灘'("崎"''(｡)手｡(層‘)｝≠;(灘(｡)-‘"'(･崎灘"(")手｡(‘，)｝となる。ここで，兀（の,/),eの高次のオーダ0("2), 0(E3)が無視されるならば｡そのとき｡-葱(｡,')鰯'(｡)=;壜．""(｡)が得られ･式(3 25)によって“(",′)=;‘''("）（3 26）となる。このe2は，‘《くじ”ノが確率分布に対応させられるとき，それの分散に相等する。この注釈のもとでつぎのように言うことができる；「このような小さな“くじ”に対する意思決定者のリスク・う°レミアムは《‘くじ”ノの分散
E2の半分に,初期資産のにおけるリスク回避γ（の）を掛けた値に等しい｡」
さて，2つの効用関数〃1，〃2に対するリスク回避関数がγ]，γ2であり，－51－

期待効用理論

リスク・プレミアムが汀｣（⑳，ノ），汀2(の，ノ）であるとしよう。そのとき，

式（3．26）から近似的に

γ！（の）＞γ2（の）ー今冗,(の，/）＞元2（の，ノ）（3．27）となる。このとき，効用関数〃」は効用関数〃2よりリスク回避的であると言
われる。

式（3

27）はある初期資産のと充分に小さいeに対して成立した。すなわ

ち局所的(Iocal)関係であった。しかしながら，大域的(global )関係として
も，すなわち，任意ののEXと退化していない任意の/E"に対しても同様のことが成立する。つぎの定理3．2，3．3はPratt (19 64)の定理1,2から以後の議論に関連する部分を抜きだしたものである。

定理3.2 ( Pratt)．

単調増加で,2回連続微分可能な効用関数〃｣と〃2に対してつぎの3つの条件は同値である：

条件l.任意ののEXに対してγ1(の）≧(>) "2(の),条件2．任意ののEX,退化していない任意の/匡必に対して
兀,（の，/）三（＞)兀2（の，ノ）

条件3.

G'>0,G''三(<) 0,〃】= G("2)となるような関数Gが存在する。ただし，具体的にはG= ",〃面'である。
なお，かっこ内の不等号＞は条件1で不等号＞が成立するならば条件2，3でも不等号＞が成立することを示す。
（証明）

付録2，参照。

さて，初期資産のが増加するにつれて，リスク・プレミアムがますます小さ

くなる意思決定者を考えよう。すなわち，退化していない全ての/E"に対して兀（の，/）が①の減少関数であるケースを考えよう。意思決定者のこの性向
はリスク回避関数γの減少性として反映される。正のヵEXに対して〃｣(の）＝〃（の)，〃2（の)＝〃（の＋力）とおくことによって，定理3．2と定義γ(の)＝－〃"(の）／"'(の）から直ちにつぎの定理3－52－3が得られる。

第3章

定理3. 3(Pratt)．

期待効用理論

つぎの条件は同値である：

条件1．γはのの（狭義）減少関数である。

条件2．退化していない全ての/E"に対して兀（の,/)はのの（狭義）減少関数である。
リスク・う。レミアム汀（の，/）はの，/の関数であるのに反して，リスク回避関数γ（α)）はのだけの関数である。したがって，γ（の）は個々の“くじ'’に関係なく意思決定者のリスク回避の程度を表現している。

逓減リスク回避関数(decreasing risk avelse function)
もしγ′＜0であるならば，効用関数〃は逓減リスク回避関数をもつと言われる。

例1〃(")= log"

（3．28）〃'(")= d'｡gx/d"=4X〃"(節）＝－－〃2

γ（ヵ）＝－〃"(")
〃'（〃）
l
：＝＝

ガ

γ'(好）＝l

師2

一定リスク回避関数( constant risk averse fUncti on )もしγ′＝0ならば，効用関数〃は一定リスク回避関数をもつと言われる。

この効用関数では，‘‘くじ”が固定されたとき，リスク・プレミアムは全てののEXに対して一定である。

例2〃(")=-9-cx,

c>0〃'(苑）＝“-“〃'(x)= - c2e-cx

－53－

(3.

29)

期待効用理論

γ(")= cγ'(x)= 0

この関数〃=- g-cx(c> 0)は凹である。すなわち，リスク回避的であるが，ある特定の“くじ”に対してリスク・う°レミアムは常に一定となる。
4－4

リスク的初期条件におけるリスク回避

本節におけるRoss (1981)のリスク回避概念は後の議論では用いられない。
しかしながら，我々の批判的視点である初期条件のリスク性に注目がなされている点で, Rossの議論に触れずにおくことは許されないようにみえる。

さて，リスク回避関数は初期条件が確実な金額であるときのリスク回避の程度を表現する尺度であった。初期条件が|ノスク的であるときにも，リスク回避関数が適切な尺度であるかどうかという疑問が生じる。

これに対して, S.A.Rossは言う9[t意思決定者Aが意思決定者Bよりもリスク回避的であるならば，（本書の定理3．2により)Aはリスクに対する保険料（すなわちリスク・プレミアム）をBよりも多く支払う用意があると結論される。しかしながら，一般には，意思決定者はリスクの一部を保険にかけ，リスクのその残りを維持しているにちがいない。この場合には，よりリスク回避
的な意思決定者がより多くの保険料を支払う用意があるという結論はもはや正しくない｡”

いま，この事情を彼の例題からみてみよう。なお，リスク的初期条件においても効用関数は存在し，〃'>0,""<0と仮定されている。

Rossの例題

意思決定者の初期条件/oは図3－1lのように表わされ，そして，選択対象
図

3

－11
の】

ノ0
の2

ノが考慮されているとしよう。

－54－

第3章

期待効用理論

図

3

－12

Ｉ

E

(/0においての』が生じたとき）E(/0においてのⅡが生じたとき）O(/0においての2が生じたとき）

そして，意思決定者は初期条件を含めた多重くじ／0＊/の効用に関心があるとしよう（多重くじに関しては第4章2節を参照されたい)。
図

3 －13
ど
ど

１

①

’

１

の

＋

／0＊／

２

の

そのとき

“(/,*！)='{号"(の‘+‘) 十号聯(の,-‘)}+(1-,)"(②2）（3．30）となる。一方，初期条件/0における“くじ”／のリスク・プレミアムが兀泌(/0, /)とされるとき,

E(/)=0を考慮するならば．

〃(/0 */)= " [/o *{E(/)－兀" (/0,ノ)}]＝〃［j0＊｛－兀“（ノ0，/）｝］＝”｛の,－兀"(/0, /)}+(1-p)"{Q)2－兀幽(/0, /)}（3．31)となる。式（3．30）と式（331）の右辺を，充分に小さいEに対して（したがって兀幽( /o,ノ）も充分小さい),の」との2の周りでテイラー展開するとき，“('｡*′)→"("!ﾙﾄ('－，)"("｡)+;""("])‘，（3．32）〃［ノ0＊｛－兀必（ノ0，ノ）｝］＝”(の,）＋（1－p) "(の2)－｛”'(の｣) +(1-p)〃'(の2)}兀騨(/0, /)が得られる。そのとき，式（3．32）と式（3．33）から－55－(3．33)

期待効用理論

兀幽（ノ0，/）＝-”"''(Q), )62”'(α),）＋（1－，）〃'(の2）(3．34）となる。

いま，2つの効用関数〃」＝－e-z", "2=-e-bx, ">6>0を考えよう。これらの効用関数〃1，〃2に対応するリスク回避関数γⅢとγ2の間には，”=-垂=‘>’一誉='，〃ノ，なる関係がある。したがって，定理3．2から

7r,(", /)>7r2(x, j)となる。一方，もしの】一の2が充分に大きいならば，"；(の,）"i'(の,）＝αeα(の2-の')< 6eb(Q)2-G)') = "も(の2）"1（の2）となり，さらに，が充分に小さいならば，そのとき式（3．34）から

7r"2(/0' /)>7T"!(/o' /)(3．35)

が得られる。

リスク回避関数の議論からはリスク的初期条件のもとでも兀灘］（/0，ノ）＞'r"2(/0, /)が期待されるべきであるのに反して，式(3. 35)が成立する。
この結果は我々の直感に合致しないとS. A. Rossは言う。

そこで，彼は，初期条件がリスク的であるときにも，意思決定者のリスク回避の程度を比較できるような，より強いリスク回避の議論を展開した。以下では, Rossのリスク回避の定義とそれに関連した諸結果を述べておこう。ただし，
効用関数脚は実数直線上で定義され，〃'>0, ""<0と仮定されている。

定義3.1(Rossのリスク回避).

効用関数〃,が効用関数〃2より強くリスク回避である（記号的には，〃1コ〃2）ための必要充分条件は，全ての師，
yに対して

－56－

第3章

ｙ
ｙ

Ｊ

ノワ〕

く

Ｊ

〃。１

〃

く

〃

ン｜

〃；（ヵ）－

入〃《（ヵ）＞

期待効用理論

なる，あるスが存在することである。

この定義のもとでは，もし〃』．〃2であるならば，そのときPrattの意味で，"】は〃2よりリスク回避的である，すなわち"W("1> "{(x)〃；（〃）＝〃も（〃）ならば,"1>0,"2>0,"f<O,"%<0から，γ,（妬）＝－〃《（の＞－〃;（ヵ）"1 (")－ 〃､r;- '2(")となる。したがって定義3．1が成立すれば，定理3．2の条件1が成立することに注意されたい。

定理3.4(Ross).つぎの3つの条件は同値である：（1）全てのヵ,yとあるス>0に対して
ｙ

ｊ

ｙ

Ｊ

ノ、色

く

“

ノｑｌ

ン｜

く

〃

入

ガ

ｊ

ンｌ

〃

Ｊ

″、色

く

〃

く

〃

″１

(2)

G'三0,G〃三0, z4,=ス〃2+Gなるようなス>0とある関数Gが存在する。

（3）全ての“くじ”/0，ノに対して，“くじ”／0が所与であるとき，
E(/)= 0すなわちE( /i/0)= 0
かつ〃Ⅲ（ノo*/)=〃」[/0 *{一元｣(ノ0, /)}]
かつ

〃2（ノ0＊ノ）＝〃2［ノ0＊｛一元2 (/0,ノ)}]は兀」（／0，ノ）三兀2(/0, /)－57－

期待効用理論を意味する。
（証明)

例3

Ross (1981)。

いま,

x>0

〃】（ヵ）＝カーg~z〃2（力）＝〃－be~x, 1>6>0としよう。そのときスー1／6とおくならば
２

ｙ

ｇ

・ｙ

’１

＋ ６

ｙ

１ ＋

ｙ

Ｊｊ

“

ノ、“

く

“

ノー

く

ー

シ

節

ｊ

１ｌｂ

〃

“

″ワ』

ｊ

“

くく

″ロ１

となり，〃』弓〃2となる。

註: R"sの例題ならびに定理3.4にみられるように, Rossの議論では
初期条件ノ0と選択対象/が必ずしも確率的に独立である必要はない。一方，第4章における我々の議論では，簡単化のために初期条件／0と選択
対象ノは確率的に独立であると仮定されている。

初期条件がリスク的であるために, Rossにおける逓減リスク回避性は, Prattの場合と異なり，つぎのようになる。

定義3.2(Rossの逓減リスク回避).

効用関数〃が逓減リスク回避的であるための必要充分条件は任意の兀とy>0に対して" (x)つ〃(x+y)
が成立することである。

この定義3．2は定義3‘1において〃!="("), "2="("+y)とおくことによって得られ, Prattの逓減リスク回避の定義より強いことに注目されたい。すなわち，定義3．2より，

－58－

第3章

期待効用理論〃"(〃） ＞ス＞ 〃'(x)〃"("+y)－－〃'(r＋〃）であり，〃'>0, ""<0であるゆえに，
7'(x)= - 〃"">－脚"("+jﾉ） = "("+y)

〃'（難）－〃'("+y)となる。このように, R"sの逓減リスク回避性はγがヵの減少関数であることを意味している。

例4

いま，" (")= "-e-'x, g > 0としよう。この効用関数〃（ヵ）はRossの意味での逓減リスク的である。

ならば,

なぜ

y>0に対して

｜工

ザゴ

ｘａ

畝

ａ

計

’

ｅ

α

２

ｊ

嘩

－２
α

く

一

－

ｙ

２
ａ

１

＋ 十

１

ｇ

ｇ

ｙ

α

＋

訶

ｌ
ｇ

一 α

ａ ２

Ｖ》
＋

、ノ
ガ

〃

ｊ

Ｖ》
十

〃 〃、

椰、ガ

“

』

苑

、ノ
卯

／Ｉ

ノ

〃

ノ

／１

であるゆえに，固定したyに対してス==ggyとおくならば，〃〃（ヵ）〃,,(" +jﾉ) =e'y=ス＞ 〃'("〃'(")+y)となり，定義3．1より〃（ヵ）。〃（力十y)となる。
なお, Machina (1982, a )は，現実の世界が完全な確実性を提供することはまれであるという点から,<< R"sの定式化は現実性の方向への一歩であるが，それはまだ非現実的な側面，すなわち，初期条件に対する増分が非確率的であるという条件を有している”と言う。それゆえに，逓減リスク回避に対する直感では，初期条件のリスク的増分／‘＝（か力1, (1-p)・〃2),力｣, "2>0,
1 >p>0に対しても," (/o, /)> " (/0*/4, /)が成立すべきであると彼は主張する。ここで，“くじ”ノ0＊/4は“くじ”ノ0より不利な結果をもたら－59－期待効用理論

さないことに注意されたい。しかしながら, Machinaは，リスク的増分による，“より一般的な逓減リスク回避”を期待効用理論の枠組の外で（すなわち期待
効用の公理系を認めないところで）議論している。また，選択対象ノと初期条

件/0が確率的に独立である場合, V(")="("*/o),"EXと定義される関数Vにおける逓減リスク回避，すなわち，γ'(x)={-V"(")/V'(")}'< Oのとき，リスク・う°レミアム兀（/0，ノ）が〃の減少関数であることはKihlstr omRomer-Willams(1981)によって示されている。

註: R"sのリスク回避性の議論は，一見，妥当であるようにみえる。しかしながら，期待効用定理が存在を保証している効用関数はリスク的初期条件においても適用されうるかどうかという問題がある。この点に関する検討は, Ross (1981)では，なされていない。また,

Kihlstrom-Romer-

Williams (1981)の議論においても，同様に，この問題の重要性が見落されている。期待効用理論にリスク的初期条件を導入することには「形式的にも」障害はないという“一般的認識”があるようにみえる。事実, Ross,
Kihlstrom- Romer-Williamsらがリスク的初期条件を考慮に入れていることは「現実への第一歩」であるばかりでなく，この《‘一般的認識”が存在することの証拠でもある。我々は,第4章以降で，リスク的初期条件においては効用関数の存在が必ずしも保証されないという結論を導きだすである
つ○

-60-

第4章

1．

は

じ

め

期待効用理論の妥当性に

期待効用理論を妥当と考えている意思決定者が，リスク的初期条件のもとで，リスク的な選択対象の集合からどれかを選ばなければならないとしよう。そのとき，どのような問題が生じるかを考察してみよう。

意思決定者がリスク的初期条件ﾉ｡を有しているとき，リスク的選択対象ム（’＝1，2，．．．）の順位づけには，“たたみこみ"/o*/i,すなわち，

多重くじによる期待効用が算定されるべきであると考えることはごく自然な見解である。しかしながら，期待効用定理の定式化，すなわち，初期条件な'しでの期待効用と多重くじでの期待効用は必ずしも同じでないことが判明する。多重くじでの期待効用の算定には，リスク的初期条件は既知であることが要求されている。一方，期待効用定理の定式化では初期条件が既知であることは必要でない。そのとき，意思決定者はどちらの算定方式に従って期待効用を導くべきか。期待効用の概念では，たとえ初期条件がリスク的であるとしても，そのような事実を考慮に入れる必要性はないと言われるかもしれない。この主張は正当であろうか。

意思決定者の効用関数〃が既知であると仮定されるならば，上述のような疑問点が生じる。そこで，多重くじの視点から期待効用とは何であったのかということを振り返ってみよう。

“くじ”/の期待効用は，式（2．5）から
γ〃（ノ)=E(",/)=Z'#"(xi)＄:＝lと定義されている。すなわち，期待効用は確実な結果の集合x上で意味をもつ。
一方，多重くじﾉ｡*/#

(j=1,

2,

･･･)のこの形の集合には，初期条－61－

期待効用理論件ﾉ｡という迷惑な付属物のために確実な結果の集合Xは含まれていない。そのとき，意思決定者にとって期待効用はどのようなものになるのか。

さらに，初期条件ﾉ｡がリスク的であることから，選択対象の効用はどのような点を原点として測定されるのか。その原点は“くじ”ノ0の確実等価額ヵ＊（ん）であるのか。初期条件んが確実等価額"*(ん）に置き換えられるとき，多重くじの相互依存性が存在するにもかかわらず，期待効用は論理一貫した選好行動を意思決定者に保証しうるのか。

本章では，上に示した幾つかの疑問に導く原因として，多重くじの可換半群性と多重くじの相互依存性の2つが指摘される。さらに，この2つの事実から，
期待効用理論の妥当性に連なる期待効用の定義と効用評価のための原点に関する問題が議論される。

2節では，後の分析に必要な多重くじに関する基礎的な知識が与えられる。
2－1節で多重くじは可換半群であることが指摘され，2－2節で多重くじにおけるリスク・う°レミアムと確実等価額の間に存在する基本的関係が考察される。

3－1節では，多重くじの相互依存性が例題によって解説される。3－2節

では，たとえ初期条件において無差別であったとしても，初期条件がたたみこ
まれた形式での“くじ”の期待効用は初期条件の型によって異なることが示される。さらに，逓減リスク回避的な効用関数では，リスク・プレミアムが大であるような初期条件はそうでない初期条件よりも大きな期待効用を与えることを指摘しよう。

4－1節では，初期条件がリスク的であるとき，可換半群の性質から確実な結果の効用を決定することは困難となり，期待効用の定義に問題が生じることを指摘しよう。4－2節では，初期条件がリスク的であるとき，効用評価のための原点は存在しないことが示される。

なお，本章の内容は期待効用理論に対する批判的検討を本書で展開していく

－62－

第4章

期待効用理論の妥当性上での核であり, Fukuba- Ito (1980)における主要部分の解説である。また，
この論文の改訂版であるFukuba- Ito (1984)を参照されたい。

2．多重くじの基本構造
2－1

多重くじの可換半群性

さて，結果の集合Xは金額を示す数値によって定義されているとしよう。そして“くじ”の集合Qは集合Xの上で定義されている。第3章4－2節「リスク回避関数」では，“たたみこみ”と呼ばれる演算＊が簡単に説明された。これを形式的に書くと,/,=(6･x3,(1－β）・"4),1>6>0であるとき，の＊/,＝｛β・（の十列3），（1－β）．（の＋"4）｝

（4．1）

となる。

いま，確実な金額のではなく，確率的なもの，すなわち“くじ”ノ2＝（α・力,，（1－α）・好2），1＞α＞0を考えよう。例えば，意思決定者が初期資産/2を有するとしよう。そのとき，式（4．1）はつぎのように変わる。ただし確率αとβに対応する事象は確率的に独立であるとしよう。
j=/2

*/!

＝（α・苑,，（1－α) ･"2)*("･"3,={"･("'*/,),(1－β)･x4)(1－α）．("2 */,) }＝｛αβ・（",＋斑3），α（1－β) ･ ("'+")

,

(1－α）

β・（"2＋鰯3），（1－α）（1－β）．（財2＋鰯4)｝（4．2）となる（図4－1参照)。
図4－1
ガ1＋ 〃3
％

４

〃

３

２

斑

＋

１

％

＋

ノー／2＊／，"2+ "4－63－期待効用理論

このように，“たたみこみ”＊を拡張することにしよう。そのとき，αβ＋a（1－β）十（1－α）β＋（1－α）（1－β）＝1であるからノは“くじ”となり，“くじ'，／＝／2＊／1は多重くじ(multiple lottery)と呼ばれる。このとき，集合’は演算＊のもとで“閉じている( closed ) "と言われる。なお，
退化した“くじ”ノ簿あるいはxも集合’の要素であることを指摘しておこう。
全ての/】, /2, /3E"に対して（/‘＊/2）＊/3＝／Ⅲ＊（/2＊/3）が成立する。この性質は演算＊に関する結合法則と言われる。
全ての／,，ノ2E2に対してノⅡ＊ノ2＝ノ2＊ノ！

が成立する。このとき演算＊に関して可換法則が成立すると言われる。
そして，式（4．1）においての＝0ならば，全ての/,巨必に対して
O*ム=/!*0=/｣(4.3)

が成立する。の=0は集合2の単位元と呼ばれる。しかしながら，全ての退化
していない“くじ”／E’に対して／＊ノ,＝／Ⅱ＊／＝0となるような逆元/,は集合2の中には存在しない。
集合2が演算＊に関して“閉じており”，結合法則が成立するとき，代数(",*)は半群と呼ばれる。もし単位元が存在し，全ての元に対して逆元が存在すれば，半群は群となる。半群において可換法則が成立するとき，（’，＊）は可換半群と呼ばれる。このように，多重くじの集合2は群になりえない
可換半群として特徴づけられる。

註：集合’は“くじ”の集合であるが，演算＊が考慮に入れられるとき，それは多重くじの集合と呼ばれていることに注意されたい。

－64－

第4章

2－2

期待効用理論の妥当性

基本的関係

本節では，

ノー（'1．斑,,2､"+")),'', '2E(0 , 1) ,","EX,">0,,,+p2=1

なるタイプの“くじ”を考察することにしよう。以下の議論の目的にとってはそれで充分であることがやがて分るであろう。いま，確実等価額"*（ノ）を妬＊（/）＝の（ノ）と置こう。そのとき，“くじ”ノー（’,．”，必．（”＋々)）において，
図’4－2
ガ

ノ

〃＋々

p, , ,2,たが固定されているならば,d (/)はヵの関数と考えられるので，｡（ノ）＝の（斑）と表現することにしよう。そのとき，同様に，リスク・プレミアム冗（ノ）は
汀（／）＝雁（”）としよう。そして効用関数〃は〃'＞0とする。

また，〃（の(")) =p,"(")+,2" ("+h)であるから，〃の性質と陰関数定理により，逆関数〃‐‘を使って，確実等価額の（師）は｡ (x) ="-![',z'(x)+此〃（茄+h)](4.4)と書くことができる。

さて，リスク回避的な効用関数〃を持っている意思決定者を考えよう。そのとき，〃(/) =E (/)－の（/）＝力十p2h－の（力）＞0が得られる。つぎに，我々は

－65－

（4．5）

期待効用理論(4．6）

〃‘（”）＋廊（労）＝座向なる関数冗sを定義する。そのとき，

冗，（妬）＝の（斑）－〃となる。逆関数の微分を使うことによって，

施s'（〃）＝の'（妬）－1＝〃，(j (")){ '1〃′(")+血〃′("+") }-1が得られる。

ここで，元,’（r）＝0と冗;(x) >0の2つの場合を考えよう；

ケースα・冗《（斑）＝0<一の′（鰯）＝1曼一，!〃′（”）＋必秘′（斑十々）＝〃′（の（r)）（4．7）
ケースb."; (")>0－の′(") >1->，‘〃′(") +p2 "' (〃十向)>〃’（の(x))(4 . 8)ケースα，すなわち，”；（ヵ）＝0は効用関数〃が一定リスク回避的であることを意味する。なぜならば，の＊ノー（’1．（の＋〃），必．（の＋雅十々))であるゆえに，”の増加は①の増加であると考えられる。さらに，式（4．6）

から一庇；（”）＝泥′（ヵ）＝0となる。また，ケースb,すなわち, ";(x)＞0では，同じような推論から一元；（”）＝泥′（筋）＜0となり,効用関数〃は逓減リスク回避的である。

いま，我々は多重くじの分析に必要な基本的関係を導出する。
“くじ"

/,,

/2が

/!=(p1･",p2･(x+h)),x,hEX,">0,p,+,2=1,/2＝（91．％，92．（ヵ＋〃))，”，力匡X,">0,9,+92=1,

p1,,2E(0 , 1)

91,92E(0,1)
であるとき，2つの“くじ'' L!,L2,すなわち，

－66－

第4章

期待効用理論の妥当性

L!=の＊ノ，L2=の＊ノ2を考えよう。そのとき，式（4．5）から

E (/,)-x=" (/,)+｡ (/,)－藤．

= (E(/,) +m)-("+の）="(L!)+d(L,)- ("+の）となり，d(L,)=｡(/,) +"+"(/,)-"(LI)(4 . 9)が得られる。同様に｡ (L2) =0(/2) +の＋〃(/2) -"(L2)(4 .10)が得られる。

もし意思決定者がZ,2 >L1を示すならば，確実等価額の(L,), d (L2)に対しての(L2) >O(L,)でなければならない。したがって,

L2>L[ならば，｡（/2）＋冗（ﾉ2）一施(L2) >｡(/,)一冗( /,)一両(L2)となり，その逆も真となる。

また，もし意思決定者が一定リスク回避的，すなわち，応；（斑）＝0である
ならば，派（/,）一花(L,) =0となり，式(4.9)から“くじ'' L,の確実
等価額の(L ,)はd(LI) =j(',) +の(4 . 11)が得られる。すなわち，元；（〃）＝0では/,の確実等価額ヵ＊(の，／,）は，全てののExに対して斑*(の, /,)=O(/,)である。したがって，のとノ‘は相互依存的ではない。

しかしながら，意思決定者が逓減リスク回避的，すなわち，泥；（邦）＞0であるならば，/!の確実等価額ヵ*(の，／,）は，式（4．9）から，"*(｡ , /,) =｡(L,)＝の＝の（／,）＋花（/,）－施( L,)－67－期待効用理論となり，の＞0では花（/,）－花(L,) >0であるから,"*(Q) , /,)≠の( /,)である。それゆえにのと/‘は相互依存的となる。このケースは多重くじの相互依存性における最も単純な例の一つである。この場合，いままで，しばしば，述べてきたように，確実な金額のは“くじ”ノの＝（1．の）とみなされることから，“くじ”ノのと“くじ'，／,が相互依存していると言う意味で，のとノ！
は多重くじの相互依存関係にある。

3．多重くじの相互依存性
3－1

相互依存と選好一

例

分析に入る前に，我々が多重くじの相互依存性をなぜ重視するかという点についての理解を深めるために，興味ある例を挙げよう。
いま，期待効用理論を妥当と考えている意思決定者が居るとしよう。そして，

彼の効用関数は〃(")= log筋であると仮定しよう。したがって,第3章4－3
節，例1で示したように，〃（斑）は逓減リスク回避関数をもつ，すなわち，
花；（〃）＞0である。
意思決定者は初期資産の＝100をもっている。そして，彼はこのの=100を"くじ"’1=(;･80,；･｣22)と交換することができるとしよう｡。＝
100と‘,=(;･80,；．!22)を効用関数z' (") =log鯨で評価すると〃（の) = log lOO = 4.605 ," (',)-;!･g80ﾅ; log l22 = 4593
である。

さらに，彼は確率と結果のいずれも未知の“くじ" /2=(,!･",,2､"＋〃)）を引き受けなければならないものと仮定する。ただし，’1，ヵ，虎は未知とする。

－68－

第4章

期待効用理論の妥当性

図

4－3
師

＊

Z,o:の= 100

ﾀ
ﾙ2

"+h

L!:

/｣

撞:⑩
▲

白

X

＊

／2
兆

一

I

'

十

〃

そして，意思決定者はLo=の＊ノ2とZ,,=/, */2のどちらかを選好しなければならないものとする。

直観的に言って，“くじ”ノ2はLo,

L!のどちらにも含まれており，〃（の）= 4.605 , " (/,) = 4593であるから，意思決定者はLo >L]を示すようにみえる。しかしながら，“くじ”／2のp1," ,向が未知であるならば，期待効用理論を信じる意思決定者は“くじ''LO,L,の選好順序を決めることができない。

なぜならば，(1)もし"=60, x+h=200, ,,=0．3 , p2= 0.7であるならば,"(L､) = 5.51527 , " (L') = 5.5151となり，
Lo >L]が生じる。

(2)もし〃=60 , "+h=400 , ',=0.3 , p2=0.7であるならば, " (L｡)
= 5.8728 , " (L,) = 58729となり，Z,｣ >Z,oが生じる。

この例題は，意思決定者が初期資産のを“くじ”／‘なる形式のポートフオ
リオに変えることができるものと解釈される。したがって，これはポートフオ

リオの選択問題と考えられるが，いま述べたように期待効用理論ではこの問題－69－

期待効用理論は解決されない。この結論が生じる原因は初期資産の，ポートフオリオ／！と“くじ”/2の間にある相互依存性である。

ここで注意されたいことは，〃(D>" (/,)であるにもかかわらず，"(L,) >" (Lo)が生じることである。この現象を解明する一つの鍵はリス
ク・う。レミアムにあるようにみえる，すなわち，〃＝60，％＋々＝200では，

冗（/2）＝18.631であり,"=60,"+"=400では，死( /2)=71.59である。多重くじにおけるリスク・プレミアムの役割は，のちに与える定理4．1，
定理4．2によって明きらかになるだろう。
3－2

相互依存性の分析

つぎの2つの“くじ”ノ0，/｣を考えよう；
Lo=の*/2

L!=/'*/2

ただし,(4.12)/,=('｣･",必．（灘十々)) , /2=(9,･y1,92･ y2),'｣+,2=1'9､92=1'p]''2'9｣'92E(0'1) 'y｣'y2'h>0としよう。さらに，の＝の( /,)と仮定しよう。
そのとき，意思決定者が逓減リスク回避的であるとき，すなわち，応；（〃）＞0であるとき，式（4．12）によって与えられた“くじ" Lo,L1に対して，" (L,)>" (L｡ )であることが示される。
“くじ" Lo,L』を効用関数〃で評価すると，"(Lo)=9,"｡+y,)+92""+y2)(4.13)

式（4．2）から" (L,) =" (/'*/2)="{p19｣･ ("+y,),p[92･ ("+j'2),,29[･ ("+"+y,) , ,292．（妬+"+y2) }=9, { ,!" ("+y,)+p2" ("+h+y,)}+92{ p｣zI ("+y2)+此〃（力+h+y2)}-70-(4.14)

第4章

期待効用理論の妥当性が得られる。

他方，冗；（％）＞0は冗,(") =｡(x)-"が単調増加であることを意味している。したがって，

yj>0に対して",("+yi) >"s(")となり，式（4．4）から'rs("+yi) ="-!['[" (x+yi)+此〃("+y, +")] - ("+yi)"s(")=" ][p!"(x)+此〃（ヵ+ ")]－〃となる。すなわち，"-1[p｣" (Jr+y,)+此〃（〃+ "+ y,)] >｡(")+y;(4 .15)となる。式（4．15）を書き換えると，p[" ("+yj)+此〃（鰯+"+yi)>"(O(")+yi)
図(4.16)

4－4
の+yl

Lo;

Lo;

の＊/2

の+y2

2

図

4－5

郡

yl

L,; /,

＊/2
兜＋々

y2

"+jﾉ1

(力＊/2）"+y2

L,

r+h+yl((”＋々）＊ノ2）
力+ "+y2－71－期待効用理論が得られる。

そして，の(") =｡ (/,) =のを考慮し，式(4 . 16)において,

j =1,

j=2を代入した不等式を使うことによって，式(4 . 13)と式(4 .14)か＝

1つ" (L,)>" (L｡)が生じる。

さらに，式（4．16）から，の＞0に対して

9」〃(y｣ +の)+92" (y2+の)>"(O(/2) +の）である。そこで，の＝の(/,) >0とおくと" (L｡) =9'" (y､の)+92" (y2+の）＞〃（の(/2) +d(/1))(4 .17)が得られる。

一方，意思決定者が一定リスク回避的である，すなわち，泥;（％）＝0であるならば，'["("+yi)+p2"("+"+yi)="(d(")+yi)が得られる。これは，｡(/[(4.18)*yi)=｡(/,)+y#であるから，式(4 . 11)と同じ内容であり, Pf anzaglの一貫性公理( consistency axiom )と呼ばれている( Pfanzagl, 1959 ; Borch , 1968)。そこで，式(4 .18)を式(4.
14）に代入すると，" (L,)=9!" (d(力) +y,)+92" (の(x) +"2)となる。の（ヵ）＝の（/‘）＝のを考慮し，さらに，式（4．18）を適用すると" (L,) =" (｡ (/,) +O(/2))=" (Lo)(4 . 19)が得られる。
以上の議論を定理として整理しておこう。

－72－

第4章

期待効用理論の妥当性

定理4．1．

"'y1'y2>0 '']' '2' 91' 92 E(0 ' 1) ''!+p2=1 '9,+92=1 ,/｣=(''･x,p2･ (x+")),/2= (9] ･ y' , 92．y2) ,の（ノ‘）＝のとし，さらにLo= の*/2 ,

L!=/!

*/2

(4.20)としよう；（1）もし冗;(灘）＝0ならば," (L,) = " (L｡)が成立する。

（2）もし”;(妬）＞0ならば," (L,)>" (Lo)が成立する。

例1

兀;（〃）＞0のケース"(")=log",'!=,2=%,"-50,"+h=200,

91=)/@' 92=%' yl=100 , y2=300 ,の= 100としよう｡そのとき，第3章4－3節,例1で示したように効用関数〃(") = log兜は逓減リス
ク回避的，すなわち，施;(”）＞0である。そのとき，〃(/,) =l/ilog50+l/ilog 200＝4．60517の(/,) =100＝＝のとなる。一方，" (Lo) =%log (100+ 100)+%log (100+ 300)
＝57604198" (L,) =%{l'tlog (50+100)+%log (200+100) }＋弱{%log (50+300)+%log (200+300) }－73－

期待効用理論＝5.809899となり，" (L,)>" (Lo)が成立する。
さて，/' =(p!･〃Ⅲ，鯉・斑2) , ",>"2 ,
LO=/,

*/2

,

L,=/1

*/3,

の（ノ2）＝の（ノ3）としよう。そのとき，式（4．2）を考慮すると" (Lo)=zJ (/」* /2)="(''･"! */2,A･ x2*/2)=p｣" (節』*/2)+p2" ("2*/2)" (L,)=p!"(苑」*/3) +此〃("2 * /3)となる。したがって，〃（斑＊／2）と〃（斑＊ノ3）の大小関係が全ての〃に対して判明すれば," (L｡) , " (L,)に関する大小関係が導出される。

以下に示される定理4．2はある条件が満たされるとき,

Z,1=の* /1,

L2= Q)* /2に関して選好関係が定められることを示している。
定理4．2．

ノ】= (p[・ヵ，必。（ヵ+h)),/2 =(p1．y,p2．(y+")) ,'','2E(0,1) ,'､p2=1,Q',",h>0,
L,= の*/,,

L2= G) *ノ2，とする。そして，全てのxE(" ,")に対して冗;>0であるとする。
さらに，あるヵ令三αにおいて，全てのヵ, y E("+,")対して

－74－

第4章

期待効用理論の妥当性｡”（斑）＜0かつゅ" (y)<0(4．21）の（/1）＝の（/2）’かつ花（/2）＞死（/1）(4．22）

かつ

ただし，｡(")=｡(/,) ,"(y)=｡(/2) ,と仮定する。
そのとき，全てのの＞0に対して

d (L2) >d (L,)(4．23）

が成立する。
（証明）

付録3，参照。（証終）註：定理4．2において, " (y) =｡ (/2)とおいている理由は①( /2)
がの（/,）＝の（難）と異なる関数であることを明示するためである。なお，

式（4．22）が成立しているとき，“くじ”ノ!と“くじ”/2の相違は平均効用維持的リスク増加( mean utility preserving increase in risk )と言われている( Diamond-Stiglitz , 1974)。また“くじ''/2は“くじ”

ノ,と単純補償スプレッド( a simple compensated spread )だけ異なるとも言われている( Machina , 1982) ｡

０

型

２

例

〃(x)=log"," = 189.071 , " + h = 210

1Ⅱ＝ルー％，の= 100としよう。そのとき，〃(/,) =p｣" (") +,2"("+")= %log 189.071 + l/i log 210＝5.294615,〃（/2）＝5.294615,の(/,) =｡(ノ2) = 199.261 ,"(/,) =E(/,)－の(/｣) ,= 0.2745 ,－75－

y=165.437 , y+"期待効用理論

兀（/2）＝3.4575," (L,)=p」〃"+") +此〃（の十茄十向）=1/i log 289.071 +1/i log 310＝5．7016，" (L2) = 5.70516 ,O (L,) = 299.346 ,d (L2) = 300.415 ,｡ (L2) >j (L,)
となる。また，" (L,) = 0.1895" (L2) = 2.3025
である。

定理4．1，定理4．2が設定しているような状況（病的ではなく，ごく正常と判断される状況）では，より大きいリスク・フ・レミアムは多重くじにより大きい効用を与えている。言い換えると，期待効用理論は意思決定者が安定した“くじ”よりもよりリスク的な“くじ”を選好することを要請している。

4．期待効用理論の難点
4－1

リスク的初期条件と期待効用の定義

意思決定者の初期資産は必ずしも確実な金額のではなく，一般的にはリスク的であると考えられる。いま，そのリスク的初期資産は“くじ”／0であり，意思決定者の選択対象の集合は“くじ”の集合2であるとしよう。期待効用定
理では，初期資産（すなわち，一般的に言えば，初期条件）に関する言及が全くなしに, status quoにおける効用関数〃の存在が保証されている。
ここで/o*"={/｡*/ | /E",固定されたノoE" }

－76－

第4章

期待効用理論の妥当性と定義しておこう。そのときノ0＊2匡必となる。
つぎに，2つの表現(A) , (B)を考えよう；
表現(A).初期条件ノ0を有する意思決定者の選択対象の集合は2である。

表現(B).意思決定者の選択対象の集合は/0 *"である。

表現(A)に関して言えば，意思決定者が，たとえリスク的初期条件/0を持っていたとしても，集合2に対して期待効用の公理系と一貫した選好をする
ならば，期待効用定理によって効用関数の存在が証明されている。一方，表現(B)では意思決定者にとって選択可能な集合は集合Pではなく，集合2の部分集合である／0＊2となる。そのとき，意思決定者が期待効用で評価しなければならない対象はノ0＊ノ（／匡息）という形式の多重くじであろう。したがって，効用関数は/o *"の上で定義される必要がある。そのとき，期待効
用は存在するのか，以下で，これを議論しよう。

この部分集合ノ0＊”を第3章2節における期待効用の公理系に適用しよう；

全てのノ』，ノ2，ノ3E/0＊2に対して
公理1．弱順序：集合/o*"の上で定義された選好関係＞は弱順序である。
公理2．連続性：もしノ」＞/2＞/3であるならば

ノ2～α＊．/14（1－“＊）．／3
であるようなα*E(0,1)がただ一つ存在する。

公理3．代替性：もし／!～/2であるならば，そのとき全てのα臣（0，1）
に対してα、/‘＋（1－α）・ノ3～α、/2＋（1－α）．／3である。

さらに，/0＊2は混合集合の条件M1,M2, M3,

M4を満たすことは，容易に検証される。

このように，もし必に対して公理系の成立が認められるならば，/0＊2に対しても公理系の成立は認められなければならない。したがって，全てのノ］，－77－

期待効用理論/2 E/O *"と全てのαE[0,1]に対して〃（/[）＞〃（ノ2)ー今/［房ノ2かつ〃（α・／‘牛（1－α）・ノ2）＝α〃（/,）＋（1－α）〃（/2）
なる線型効用関数〃は存在する。

しかしながら，前に述べたように，線型効用は必ずしも期待効用でない（第2章5－1節「線型効用関数と期待効用｣，参照)。すなわち，線型効用を期待
効用に拡張するためには，確実な結果〃jEXを確率1で与えるような“くじ”/x,が必要とされた。しかし，意思決定者にとって意味のある，選択可能な“くじ”の集合ノo*"には，結果ヵjを確実に与えるような“くじ”ノ蕪,は存在しない。

すなわち，いかなるカメに対してもノ0＊ノーノ箕’となるような“くじ”/は2には存在しない。これはノo */-;=0となるような逆元/-;が存在しないことに象徴されている。もし逆元ﾉｰ;が存在すれば，ノ0* (/-;*"i)=ノx'となる。そしてﾉｰ;*"# E"であるから，/露‘E/0*"が生じる。
逆元/-;が存在しない例を示そう。リスク的初期条件を/0 = (p｣ ･ x｣ ,,2・力2）としよう。“くじ”ノ0がリスク的であることは鰯,キカ2かつ',, '2E（0，1）であることを意味する。そのとき,/｡*/-;=(p1．〃』*/1 ,座・力2＊ノー;）となる。もし”［＊ノー;＝0かつ〃2＊ノー;＝0なる／~；が存在すれば,/｡*/-;=0となるが，明らかなようにそのような“くじ"/-;は存在しない。

これは多重くじの集合ノ0＊’と“たたみこみ”演算＊からなる代数（/0＊2，＊）が可換半群であるが群ではないという性質から生じる結論である。さらに付記すれば，集合ノ0＊2には，“くじ'，ノ薦,が存在しないことから，単位元の役割を果す元0も存在しない。したがって，表現(B)では測定の原点として0をとることはできない。一方，表現(A)における集合’には式(4｡

－78－

第4章

期待効用理論の妥当性

3）で示されているように単位元0が存在する。

したがって，リスク的初期条件を有する意思決定者は“くじ”ノ巳ノ0*"に関する選好関係を結果〃EXの選好関係によって定義することが不可能となる。このように，集合ノ0＊必上で定義された効用関数からは，

期待効用定理が文字どおり指すところの効用の期待値が導入されない。すなわち，集合/0＊’上では期待効用は定義されえない。

註：結果ヵExを確実に与える“くじ”ノズの集合2蕪を

必蒻＝｛ノ”｜／蓮＝（1．ヵ) ,xEX}と定義しよう。そして，期待効用が定義できるように，集合ノ0*"U"ズを考えよう。そのとき，〃(/)=E(", /)と表現される関数〃が存在するようにみえる。しかしながら，集合ノo*"U2〆は混合集合の条件M1を満たさない。例えば，ある“くじ”／＝（α・ノ難！，（’一α）.／蕊2）＝α・／露‘牛（’一α）．/鰯2では，／翼,，ノ弱2匡必であるゆえに, /x,,
ノ藤2 E/0*"U2璽である。しかしながら,/生/0*"かつノ年"xでありうるから，ノ生ノo*"U"箕となりうる。したがって，集合/0 *"U
必は期待効用定理の前提条件たる混合集合ではない。

4－2

評価のための原点

リスク的初期条件ノ0を固定せず，全ての“くじ”を初期条件としうるような仮想的状況を考えよう。すなわち，意思決定者に全く関係がない対象に対して意思決定者は公理系を満たす選好を表示することが可能であるとしよう。そのとき，全ての多重くじも一つの“くじ”であるから，全てのノ0，ノE2に対してノ0*/E"となる。

したがって,"の上で定義された効用関数〃は期待効用定理により存在する。

－79－

期待効用理論

効用関数〃は全ての初期条件に対して定義されているが，意思決定者はある

特定の初期条件ノ0のもとで選好をする。それゆえに初期条件ノ0は固定される。
そして，意思決定者が/,, /2E"を無差別としているとしよう。この無差別性は/0＊ノ,～／0＊/2を意味している。すなわち，〃(/0*/,) ="(/｡*/2)となる｡

一方，期待効用定理では, status quoすなわち初期条件/0においてPの上で定義された効用関数〃（・’/0）の存在が保証されている。

註：期待効用では初期条件／0は表記されていないが，ここでは，便宜上，〃（・lj0）という形でそれを明記しておこう。

いま，効用関数〃（．｜／0）において,効用を評価するために，原点として〃（r01/0）＝0と定義される点〃0が少なくとも一つあると仮定しよう。ただし〃･はある数値である。そのとき，期待効用の性質から〃（ノⅢ｜/0）＝〃（ノ21/0）＝〃（妬＊｜ノ0）となるような確実等価額ヵ＊が存在する。関数〃（．｜/0）が意思決定者の選好を表現しているためには，全ての/E"に対して〃（/｜ノ0）＝6〃（/0＊/）＋γが満足されなければならない，ただし，6＞0，γは実数である。
それゆえに，〃（苑＊＊/0）＝〃（/‘＊/0）＝，（/2＊ノ0）（4．24）となる。しかしながら，定理4．1が示すように，式（4．24）が成立するための条件は元；（妬）＝0，すなわち，効用関数の一定リスク回避性である。もし意思決定者が逓減リスク回避的であるならば，式（4．24）は成立しない。

我々は点"0を効用評価のための原点として採用したが，原点が他の任意の実

-80 -

第4章

期待効用理論の妥当性

数に決められたとしても，上述の事情になんら変わるところはない。したがって，意思決定者が逓減リスク回避的であるならば，そのとき〃（．｜ノ0）を評価するための原点は存在しない。すなわち，効用関数〃（・’ノ0）は存在しないと言えることになる。

－81－

第5章

1．

は

じ

め

期待効用と初期条件についての再考に

期待効用定理では，リスク的な選択対象のある集合に対して意思決定者が公理系を満たす選好を示すならば，その選好を表現する効用関数の存在が保証されている。したがって，期待効用定理の定式化では初期条件に特別の配慮を払うことなく，意思決定者がそのような選好を示すならば，そのとき効用関数が存在することになる。

一方，リスク回避関数の定式化では，効用は初期条件がたたみこまれた“くじ”の上で算定されなければならない。もし期待効用理論が内的一貫性を有しているのであるならば，そのときリスク回避関数の定式化の場合と期待効用定理の定式化の場合における期待効用は選択対象の集合に同じ選好順位を付与しなければならない。しかしながら，初期条件がリスク的であるとき，それらは必ずしも同じ選好順位を生みださないことが判明するだろう。
また，初期条件がリスク的である場合は期待効用理論の考察対象外であると言われるかもしれない。そのような主張の理由がなにであろうとも，もしそうであれば，期待効用理論が応用される範囲は極度に限定されなければならない
し，現在，世間でもてはやされているほどには現実の分析能力を有していないことになるだろう。事実はそうであるようにみえる。本章では，期待効用論者

によって初期条件がどのように取扱われているかを考察し，リスク的初期条件
では期待効用定理の定式化，すなわち，多くの文献で使用されている増分型による分析がどのような問題点を含んでいるかを吟味しよう。また，期待効用の算定に困難を生ぜしめないような初期条件の確実性は，現実には，必ずしも保証されないこと，これを論証しよう。この論証の意図は，重要な意思決定問題－83－

期待効用理論において，常にと言えるほど，初期条件がリスク的または不確実であること，

ならびに，そのような問題においては初期条件を正確に認識することの必要性を強調することにある。

2－1節では，期待効用において初期条件がほとんど重視されていなかった

事実を示し，2－2節では，リスク的初期条件における期待効用の増分型分析には2種類の定式化が見い出されるが，それらは同じ分析結果をもたらさないことを示そう。2－3節では，増分型分析と初期条件型分析における齪鮪を指摘しよう。なお，第4章におけると同様に初期条件と選択対象は確率的に独立であると仮定しておく。

3－1節では．第3章3－1節の例題を使って初期条件を正確に認識することの必要性を説明しよう。3－2節では，企業の初期資産を表示する会計報告の内容に不確実性が存在することを示し，企業の意思決定という重要な場において従来の期待効用の適用が問題を含むことを指摘しよう。3－3節では，会計報告よりもより限定された局面である再保険のケースでは，本質的に，初期条件がリスク的であることを指摘し，再保険の効用モデルの一例をとりあげ，初期条件がどのように処理されているかを示そう。

2．期待効用における初期条件の認識
2－1

初期条件の経緯

期待効用において初期条件を無視することができないという事実は，充分に，認識されていないようにみえる。例えば, Schneeweiss (1974)は，確率と効用における双対性から，条件付確率に対する類推として条件付効用を簡単に議論しているにすぎない；“・・・二つの結果e1とe2が一つの結果{91と92 },

記号的には{ 91+e2 }を生ぜしめるように結合されると仮定されることによって，結果の空間に関する構造は拡張されなければならない。例えばp ejが消費される財の組であるならば，結合演算子十はベクトル和であろう。さて，効用

－84－

第5章

期待効用と初期条件についての再考

関数脚が所与であるとき，所与の結果eOに対して条件付効用関数は" ('/eO) =" (2+eO)－〃(80)と定義されるだろう。項一〃（eo）は本質的なものでなく,(5.1)"(0/eO)=0なることを保証するための慣習的な基準化としてつけ加えられている。・・・" (e/g｡)は財の組gOがもうすでに受け入れられているときにおける付加的な財の組eの効用と理解される・・・”そして，彼は言う，条件付効用の概念はあまり多くの注意をひいていない，なぜならば．これは比較的ささいな事柄であるからである。

しかしながら，事実はそうでない。効用関数の存在が仮定されたとしても，初期条件に，充分，慎重な考慮がはらわれていない評価方式は初期条件を直視した評価方式とは異なる結論をもたらす。

期待効用（あるいはmoral expectation)そのものに関する研究において初期条件を意識的に考慮に入れた人にはD. Bernoulli (1738)が挙げられる。その後，リスク回避理論では，主題の性質上, Arrow (1963,1970) , Pratt (1964):

Stiglitz (1969) , Yaari (1969) ,Sandmo (1969) ,Kihlstrom-Mirmann (1974),
Paroush (1975) , Ross (1981) , Kihlstrom- Romer- Williams (1981)によって必然的に初期条件が導入された。その中で, Bernoulli, Arrow, Pratt

Stiglitz , Kihlstrom - Mirmann , Paroushは確実な初期条件を基礎にして分析をなしている。そして,

Yarriにおいて始めてリスク的初期条件がてがけられており，第3章4－4節で述べたように, Rossにいたって，確実な初期条件のもとでのリスク回避関数による分析の不充分性から，リスク的初期条件におけるリスク回避の定義がArrow , Prattとは異った形式で提示されている。
また, Kihlstrom-Romer-Williamsはリスク回避関数に関しては, Arrow ,Prattの定義に類似な定義を使い，リスク的初期条件における問題を取り扱っている(第3章4－4節，参照)。そして, Sandmoも，確実な初期条件に対する，現実への適用についての疑念から，二時点的文脈( two period context)－85－期待効用理論によるリスク回避関数を示している。しかし，それは本質的には確実な初期条
件にもとづくものと解釈される。

さて，初期条件/oE"を有する意思決定者にとって“くじ''じ''/,E"と“く/2E"が無差別であるという状況を考えよう。そのとき，つぎの2つの表現が対応させられる；

表現I:

ノⅢ～/2

表現Ⅱ：

/0＊/］～／0＊/2

そのとき，表現Iは期待効用定理に登場し，表現Ⅱはリスク回避理論に登場する。表現Iが表現Ⅱを意味し，表現Ⅱが表現Iを意味するならば，問題はない。

そして，期待効用定理では，表現Iと表現Ⅱが同じことを意味するとの前提でも効用関数の存在が保証される。

期待効用定理が展開され始めた1 940年代頃には，表現Ⅱに対してほとんど注意が払われていなかったようにみえる。例えば, Frie dman-Sav age (1 948)の

議論には一貫性の公理(第4章3－2節，参照）が必要であることをPfanzagl（1959）は指摘した。この点に関してP fanzaglの叙述をたどってみよう。
Friedman-Savage (1948 ,p. 290 )はつぎのように言う，「“くじ''/の確
実等価額尤*が‘‘くじ”／の期待金額了よりも大であるならば，意思決定者は確実な金額万よりもこの“くじ”を選好し，“くじ”／をもつために，高々，( "*一万）を喜んで支払うだろう。もしヵ＊が了よりも小ならば,意思決定者
は了を選好し，“くじ”/に対する保険料として，高々，（万一r＊）を喜んで支払うだろう。」

このFriedman-Savageの議論は了が“くじ”ノの期待値E (/)である場
合に限定されている。しかしながら，上述の彼らの議論が了=E (/)で成立
しているならば，任意の金額万＝苑に対しても成立することは明白である。それゆえに, Pfanzaglはこれをつぎのように言い換える;"もし”＊が刃よりも大であるならば，意思決定者は確実な金額よりもこの“くじ”/を選好し,“く

－86－

第5章

期待効用と初期条件についての再考じ”/をもつために，高々，（ヵ＊一％）を喜んで支払うだろう｡，，

もし意思決定者が“くじ”ノに対して金額（苑＊－筋）を支払うならば，彼は，実際には，“くじ”/＊（妬一兆＊）をもっていることになる。そうすると，

上記のP fanzaglの言い換えから，この“くじ" /*(ガーヵ*)の効用は金額xの効用と等しくなる。すなわち，高々，金額（〃＊一〃）を意思決定者は喜んで支払う。それゆえに，〃（ノ＊（斑一筋＊)）三〃（鰯）となる。一方，意思決定者が（〃＊一妬）以上の金額を支払うことはない。それゆえに，" (x)三脚(/* (〃－〃*))となり，両式から〃（/＊（茄一”*)）＝〃（〃）（5．2）

が得られる。

“くじ”/の確実等価額苑＊＝〃-Ⅲ（〃（/)）＝の（ノ）としよう，すなわち，〃（斑＊）＝〃（/）＝〃（の（ノ)）としよう。そのとき，式（5．2）はカーの（／＊（妬一難＊)）を意味する，そして，ガーズ*=yとおき,

x*=｡(/)から

ガーヵ*+y＝の(/) +y＝の(/ *y)となる。したがって，｡(/*y) =d(/) +y（5．3）

が得られる。この関係式（5．3）はP fanzaglの一貫性の公理(con sistency
axiom)と呼ばれ，式(4 . 11)と同値である。

このように, Friedman-Savageの前述の議論は一貫性の公理を前提としてい－87－

期待効用理論

る。

さらに，初期条件として確実な金額のを有する意思決定者が2つの“くじ”/」，ノ2に関する選好を考慮している場を想定しよう。そのとき，の＊/,～の（の* /,)/‘～の（ノ,）の＊ノ2～の（の＊ノ2）／2～の（ノ2）であるゆえに，式（5．3）が成立すれば，の＊／，～の＊／2が成立するための必要充分条件は/，～／2である。したがって，／0＝ののとき，一貫性の公理が成立すれば，表現Iと表現Ⅱは同値である。

期待効用定理だけをみるかぎり，効用関数の存在を保証することそれが主たる目的である。期待効用定理の公理系が許容されるならば，数学的な証明の過程が生む論理的な結果として効用関数の存在は疑うことのできない事実である。
実際

表現Iと表現Ⅱが同じ意味を有する形での効用関数〃の存在は保証されている。

しかしながら，初期条件がのEXであり，一貫性の公理が成立するならば，そのとき，存在が保証されている効用関数は特殊な形，すなわち，一定リスク

回避形に限定されなければならないことが指摘された( Pfanzagl , 1959)。そして，リスク回避理論の登場とともに，期待効用定理では暗黙的に表現Ⅱの意
味での解釈も正当性を有しているとされているようにみえる( Pratt , 1964)。
それでも，なお期待効用定理での選好関係の表現形式は表現Iそのものを使用
している。

－88－

第5章

期待効用と初期条件についての再考

註：一定リスク回避性が一貫性の公理を意味することは式（4．11）で示されている。そして，ノ0＝ののとき，表現Iと表現Ⅱの同値性が一貫性の公理から導きだされることは，いま，上で述べた。また，式（4．11）から，表現Iと表現Ⅱの同値性は一定リスク回避性を意味する。したがって，一定リスク回避性，一貫性の公理，ノ0＝ののときの表現Iと表現Ⅱの同値性，これら3つの形式は全く同じ内容である。

2－2

増分型と初期条件

期待効用定理の定式化である表現Iでは意思決定者の初期条件が明記されていないが，リスク回避関数の定式化によれば表現Ⅱの意味も期待効用定理にあるとされているようにみえる。この主旨から効用関数の表現形式をみるとき，

Schneeweissの条件付効用〃（//の）は表現Ⅱに対応している。

〃（ノ／の）＝〃（の＊/）一〃（の），／E2
あるいは〃（灘／の）＝〃（の＋妬）一〃（の），鰯，のEX
一方，表現Iに対応する効用関数り（／）は期待効用定理によって存在する。
そのさい，初期条件のは固定されているゆえに，効用関数〃（/）に明記されていないようにみえる。表現Iにおける選好関係は表現Ⅱにおけるそれと一貫していなければならない。さらに期待効用定理の付加条件として，効用関数は正の線型変換まで一意的である。
それゆえに，〃（”／の）＝6〃(妬)＋γ’6＞0である。このことは条件付効用〃（％/の）が効用〃（〃）と線型関係であること，すなわち，初期条件のに依存しないことを示している。このような議論からみても，“くじ”/の効用は意思決定者の初期条件の，あるいは, statusquoからの増分として評価されうるようにみえる。この事情は図5－1として－89－

期待効用理論示される。そのとき，関数〃(y)は関数〃(")においてのを原点とした関数
図

〃（斑）

〃（α,）

5－1

" (y)=" ("/の)=" (")－〃t))

"(y)

y=ガーの

刀

％

の

である。この関数〃(y)を増分型と呼ぼう。ただし，" (y)=" (")一脚") ,y=茄一の（5．4）

初期条件が確実な金額のであるとき，増分型〃(y)は式(5,4)で定義されたが，初期条件がリスク的になるとき，増分型〃はどのようになるかを考えてみよう。以下に示すように二つのタイプ°が考えられる。

期待効用定理では，意思決定者が集合2に対して期待効用の公理系に従った
選好をするならば，効用関数の存在が保証されている。これは，初期条件が確
実的であれ，リスク的であれ，その事情に変りはないことを意味している。すなわち，期待効用定理には初期条件に対する言及がないということは任意の初期条件に対してこの定理が成立することを意味している。したがって，初期条件がリスク的であろうとも，表現Iに対応する効用関数〃は存在する。卓らに，期待効用に関する文献では，この増分型がしばしば使われている。例えば,"金額に対する兀一無差別曲線，あるいは，効用曲線を描くとき，横軸があなたの現在の資産付置からの増分を表すものと約束した”とされている( Raiffa ,1968,訳書, p.121)。したがって，初期条件，あるいは，初期資産ノoE"に

-90-

第5章

期待効用と初期条件についての再考

対して，効用関数邸によって，〃（/0）＝〃（の）となるような確実な金額のが存在し，“くじ”／巨必に対する評価は〃（/）＝〃（の＊／）一〃（の）（5．5）

なる形の関数〃によってなされているようにみえる。

そして，この〃（/）に対応する“くじ”／の確実等価額〃＊（の，／）は〃＊（の，/）＝〃-』〃（の＊／）－〃-』〃（の）（5．6）＝の（の＊ノ）－のとなることに留意しておこう。したがって，筋＊（の，ノ）は意思決定者の資産がのであるときの“くじ”／の確実等価額であり，すなわち，式（3．24）におけるそれと同じであり，｡（の＊/）は資産が0であるときの“くじ”の＊/の確実等価額である。言い換えると，〃（/）＝〃（灘＊（の，ノ)）〃（の＊／）＝〃（の（の＊／)）である。

式（5．5）は期待効用のもとでは不当な解釈ではない。なぜならば，“くじ”/0の売値たる確実等価額の（/0）＝のは期待効用のもとで，“くじ”／0が評価された唯一の値になるからである。また，“くじ”/0が市場価格で評価されるべきであるとしても( Morrison , 1967) ,意思決定者は売値以下の価格

では取引をしない。したがって，“くじ”／0の売値の以外の値が意思決定者の評価値にはなりえない。

さらに，もし意思決定者が有している初期条件/0をのと評価することが正当でないならば，そのとき増分型においても初期条件の形式に関する表現が必然的に存在しなければならない。逆に，もし選択対象/に関する評価が初期条件に依存することを認めるとされるならば，そのとき増分型の効用関数〃が初期条件を含んでいないことは選択対象の評価が不可能であることを意味する。このように，期待効用定理には初期条件に対する明示的表現がないゆえに，“く－91－期待効用理論

じ'，ノの効用は初期条件/0の効用〃( /o)に等しい効用〃（の）に対する増分と考えられているようにみえる。

なお, Schneeweissによる条件付効用の表現式(51), "(e/eo)では条件eOが効用関数に含まれているゆえに,いま述べた解釈には異論があるかもしれない。しかしながら，前述のように，条件付効用は比較的ささいな事柄であるとSchneeweissは言う。この陳述から判断するとき，多くの期待効用の研究者が, Schneeweissを含めて，条件付効用を増分型と代替させることによって解決されると解釈しているとみる見解は妥当であろう。
一方，前述のSchneeweissの表現を翻訳すれば,効用〃（/0 */)を平行移動させることによって，すなわち,"(0)=0となるような変換によって9"くじ”/に対する評価がなされる。Schneeweissがその重要性を見落している点，
すなわち，選択対象/の評価が初期条件の形式/0に依存すること，その視点か
ら増分型を，式（5．1）の類推に従って定義しよう；〃（ノ／/0）＝〃（/0＊/）一〃（/0）（5．7）

ただし〃（ﾉ0＊ノ）は存在すると仮定しておく。

また，“くじ”ノに対応する，条件付増分〃（／／/0）の確実等価額をヵ＊（/／/0）で記すとき，それは式（5．6）と同様に，"*(///0) ="-'{ " (/0 */)}－〃-' " (/0)＝の（/0＊/）一の（ノ0）（5．8）となることに留意しておこう。

註：このタイプの増分型の分析に関してHildreth (1974)を参照されたい。

このようにリスク的初期条件においては式（5．5）と式（5．7）によって定義される二種類の増分型が考えられる。

そのとき，確実等価額ヵ＊（の，/）とx＊（/／/0）は等しいだろうか。いま，

－92－

第5章

期待効用と初期条件についての再考"＊（の，ノ）＝”＊（ノ／/0）としよう。式（5．6），（5．8）から，｡（/0）＝のを考慮するとき，d(/0 */)=d(の*/)(5.9)

が生じる。定理4．1によれば，式（5．9）が成立するためには，意思決定者は一定リスク回避的でなければならなかった。もし彼が逓減リスク回避的であるならば，そのとき式（5．9）は成立しない。これは前述のように多重くじの相互依存性の結果である。

さらに，選択対象の評価方式として式（5．5）と式（5．7）は選好順序の決定に関しても同じではない。すなわち，“くじ"/,,/2E"に対して式（5．5）ではり(/,)>" (/2)であったとしても，式(5.7)では〃(/2／/0）＞〃（/,/ /0)になる可能性がある（伊藤, 1982)。例えば，〃(x) =log" ,/0= (%･50,%･200),の＝の（/0)=100 ,ノⅢ= (%･ 100,発・300) ,/2=(1 ･ 217,0･ 0)としよう。そのとき" (/,)一〃(/2) =" (の* /')－〃（の* /2)＝5．7604198－5．7589＞0となる。一方〃（/2／/0）一脚（/‘／/0）＝〃（ノ0＊／2）－〃(/0 */,)
= 5.81017 - 5.809899

＞0
となる。

このように，式（5．5）で定義された増分型の評価が与える選好順序と式（5．7）で定義された条件付増分型の評価が与える選好順序は必ずしも同じでないことが判明する。式（5．7）は“現在の資産位置からの増分”を条件－93－

期待効用理論

付効用の視点からより忠実に表現したものにすぎない。

したがって，リスク回避理論の焦点である最終的資産状況でなく，選択対象の評価を期待効用定理が意図しているとしても，初期条件の形式，例えば，具体的な“くじ”あるいは確実な金額などが既知でないとき，効用関数は意思決定者の選好からもたらされる順位づけとは一貫しない評価を与えるかもしれない。

2－3

初期条件型と増分型

前節では，選択対象の評価手続として“現在の資産位置からの増分を表わす”
ような効用関数がとりあげられ，その定義のもとで初期条件が選択対象の順位づけにいかに影響するかが検討された。本節では，そのような評価手続における確実同値額の妥当性を問題にしよう。

リスク回避理論に沿った線の視点から言えば，選択対象ノ匡必を評価するにさいして初期条件/0と対象/の"たたきこみ" /o*ノで定義された資産の最終的状況が選好の規準である。このタイプ｡の評価方式を初期条件型と呼ぼう。初期条件型と増分型の相違は前者が最終的資産状況だけに関連するのに反して，
後者は選択対象/E"だけの評価を狙っているという点である。

初期条件/0における増分型 式（5．7）をとりあげよう，そのとき，選択対象/に対する確実等価額は式（5．8）で表現されることが述べられた。一
方，初期条件型では，選択対象ノに対応する確実等価額節＊（/0，／）に初期条

件/0をくみこんだ形ヵ＊（/0，/）＊ノ0の効用は“くじ'，／0＊／の効用と同じでなければならない（確実等価額のこの定式化についてはKihlst rom- Romer-

Williams , 1981 ,参照)。すなわち，初期条件型のもとでは, x*(/0,/)はつぎの式をみたす；〃（/0＊/）＝〃（/0＊”＊（/0，／)）
さて，γL"*(/0, /)とおき，式(5 .10)からの(/0 */)=d(/｡*7*),－94－（5．10）

第5章

期待効用と初期条件についての再考となり，式（2．8）から，

E(/0 */)一施(/｡ */)=E (/｡ *"*)-" (/｡ *7*)となる。そのときE (/｡ * "*)=E (/0)+'*,E (/｡ */)=E(/0)+E (/)
であることを考慮すると，

E (/)一海(/0 *I)+,r ('**jO)=7*（5．11）が生じる。

一方，式（5．8）から”＊（／／/0）＝の（/0＊ノ）一の（/0）=E(/0 */)一死(/0 */) -{E(/0)-" (/0)}=E(/)－〃(/0*/)+"(/0)(5 .12)となる。そのとき，初期条件型におけるr＊（／0，ノ）＝γ＊と増分型における苑＊（/／/0）が無条件に等しいかどうかを検討しよう。
いま，γ＊＝〃＊(/0，／）＝苑＊（/／/0）と仮定しよう。式（5．11）と式(5 .12)から

γ＊一筋＊(/／/0）＝”（γ＊＊/0）－冗（/0）（5．13）

が得られる。

この'＊がゼロでなく，初期条件/0がリスク的であるとき，式(3 .21)から”（γ＊＊／0）＝花（γ＊，ノ0）なることに注目すれば，式（5．13）の右辺がゼロであるためには，効用関数〃は一定リスク回避的でなければならない。

このように，初期条件joがリスク的であり，かつ,効用関数〃が一定リスク回避的でないならば，そのとき増分型における確実等価額x*( ///o)と初期条件型におけるそれヵ*(/0, /)が一致する保証はない。
言い換えると，初期条件型すなわち表現Ⅱにもとづく評価方式の視点からは増分型における確実等価額の表現が不適切であると言える。

－95－

期待効用理論

このように，期待効用の分析では，三種類の定式化，すなわち，式（5．5)，（5．7），（5．10）が使われているが，たとえリスク的初期条件における効用関数の存在が仮定されたとしても，それらには論理一貫性が存在しない。

また，初期条件/0が確実な金額を確率1で与える“くじ”，すなわち，確実な金額であるとき，リスク・う°レミアムは両（γ＊＊/0）＝泥（/0）＝0となるゆえに，増分型，初期条件型のいずれで評価しても，“くじ”/の確実等価額は同じとなる。

3．初期条件の不確実性
3－1

初期条件の確定の問題

期待効用定理の導出に際しては初期条件が考慮に入れられていないことは，しばしば，述べられてきた。しかし期待効用の解釈において，選択対象の選好関係が初期条件に依存すべきであると考える人々はいる。

例えば, " D .Bernoulliの偉大な貢献は，プロスペクトのある集合から選択する機会を提供された場合，金持と貧乏人が同じような決定をすることはないであろうこと，そして決定すべきでもないことを，かれが指摘した点にあった。
いいかえれば，プロスペクトの集合についての選好順序は，一般に，意思決定者の富に依存せざるをえないということなのである(BorCh, 1968,訳書,p.
71)｡”また，“効用が付与されなければならないものは最終的資産( final

as sets)であって，損得にではない。・・・なんとならば，これらは結果( consequences )ではなく，結果間の差だけを記述している( Lindley, 1971 ,p 71)｡''

しかしながら，前節の議論から理解されるように，初期条件が確実な金額である限り，増分型の分析は初期条件型と矛盾しない。したがって，最終的資産であれ，損得であれ，効用の算定に関しては問題はない。最終的資産の効用を

－96－

第5章

期待効用と初期条件についての再考

算定することによって分析が進められているならば，意思決定者は初期条件を正確に確定しなければならない。そのとき，それが不可能であるならば，増分型の期待効用による分析は可能である。すなわち，期待効用定理では，初期条件が確実な金額であるならば，初期条件を知ることなしに選択対象の期待効用を算定することは可能である。

しかしながら，前節でみたように，困難な問題は，初期条件がリスク的であるとき，増分型の効用が初期条件型のそれと必ずしも一致しないことである。
さらに，もし意思決定者が逓減リスク回避的であり，かつ，初期条件はリスク的ではあるが意思決定者にとって未知であるならば，そのとき彼は期待効用による選好をなしえないだろう。

例えば，第4章3－1節「相互依存と選好

一例」における“くじ”をとりあげ，つぎのように解釈してみよう。意思決定者の効用関数は郷(") =log",
すなわち，逓減リスク回避的であるとしよう。初期条件/0は確率と結果，ともに未知の“くじ" /0= (p1･ " ,必．（茄+ "))であるとしよう。
もし意思決定者がの＝100' - (;･80,;･122)のどちらかを選好しなければならないならば，
Lo=ノ0*のL,=/0 */,の選好を決めることと同じ状況に彼はいる。

もしカ= 60 ,"+h=200 ,,,= 0．3 , p2=0.7であるならば，" (Lo)>" (L,)

となる。一方, x=60,"+h=400,',=0.3 ,p2=0.7であるならば，" (L,) >" (L｡)
となる。

－97－

期待効用理論

このように，初期条件/0が未確定であるならば，意思決定者は期待効用によって“くじ”ノ】と①のどちらを選好すべきかを決定することができなくなる。

意思決定問題を期待効用によって分析することが有効であるためには，初期条件の確定化は重要なプロセスであると考えられる。

現実の重要な問題において，初期条件が確実でないと考えるべきケースは数多くあると想定されるが，以下では企業の初期条件と再保険の2つの例を挙げ
よう。

3－2

会計報告の場合

企業の意思決定における重要な問題，例えば，ある事業の廃止，企業の命運をかけるような設備投資，企業の合併，合同では企業の現状，すなわち，初期条件を正確に把握する必要がある。一方，ルーチン( routine)化された問題，
例えば，事務作業に必要な文房具の購入では企業の初期条件を吟味することなど不必要であろう。

期待効用が有力な分析手段であるためには，後者のレベルの問題よりもむし
ろ前者のレベルにおける問題に対してそれは適用可能であるべきである。しかしながら，企業の初期条件を確定することは，原則的に，かなり困難であるよ

うにみえる。この点に関してFukuba-Miyamotoの議論をみてみよう( Fukuba-Miyamoto , 1981)。
彼らは，まず，つぎの2つの仮定を掲げる；(a)管理会計の視点から合理的な意思決定者による重要な決定は初期条件を基礎にしてなされるべきである。

(b)意思決定の時点における初期条件は測定可能である。

これらの仮定のもとで，意思決定者が重要な決定問題に直面しているとき初期条件は，高々，リスク的であると主張されている。以下，企業の初期条件のリスク性に関してFukuba- Mi yamotoが示すいくつかの原因を展開しよう。

－98－

第5章

さて,

期待効用と初期条件についての再考

XYZなる企業がとりあげられ，そ（その企業のある時点における貸借対照表の項目がつぎの表のように示されている。

貸

借

対

照

1

98X年

表

資 産 の 部AI

負 債 の 部

流動資産

LI

（1）現金預金（1）短期借入金（2）受取手形（2）支払手形（3）受取勘定（3）支払勘定

貸倒引当金（4）負債引当金（4）有価証券（5）その他の負債（5）棚卸資産

LⅡ（6）その他流動資産
AⅡ

固定資産

（2）特定引当金
C

減価償却引当金（2）土

固定負債（1）負債性引当金（1）有形固定資産資

本（1）資 本 金

地（2）資本剰余金（3）無形固定資産（3）利益剰余金（4）投（4）その他引当金

資
引当金

AⅢ

流動負債

（5）当期未処分利益

繰延資金

いま,Eは純資産( net assets)すなわち初期条件であり,Aは資産であり，
Lは負債であり,Cは資本であるとしよう。そのとき，企業の初期条件Eは
E=A－L(5．14)

によって定義される。この式（5．14）は資本等式と呼ばれる。そして，貸借－99－期待効用理論

対照表よりE=Cが成立する。資本等式（5．14）から，初期条件Eは資産Aと負債Lの評価額に依存する。そのとき，資産Aと負債Lの評価額はつぎに挙げるいくつかの理由によって，不確実，良くとも，リスク的になると言えるだろう。
（1）インフレーションの影響：会計では，貨幣価値は時間の経過に関係なく一定と仮定されている。そして，この仮定にもとづいて評価額の算定は歴史的原価によってなされる。そのとき，インフレーションによって有形固定資産と土地は必然的に過小評価される。ときには，有価証券，棚卸資産についても同じことが言えるだろう。極端に言えば，現金預金でさえ購買力の低下によって減価する( Colson-Zeleny ,1980 , P. 1 )。 仮に物価指数的な修正がなされたとしても，上記の資産項目の修正額は偏りを有し，正確な値を表わしていないだろう（横山保, 1960 ,Ⅲ部3．1節「所得効果と物価指数｣）。

（2）会計手続の採用の問題：財務諸表は“一般に公正妥当と認められた会計原則( generally accepted accounti ng principle s ) "すなわちGAAPに従って作成される。このGAAPは棚卸資産の評価に関してFifo (first in firstout ,先人先出) , Lifo (last in first out ,後人先出）などいくつかの方法を認めており，有形固定資産の評価に関しても定額法，定率法などいくつかの方法を認めている。これらの方法のどれを採用するかによって上記の資産項目の評価額は大きく変わる。

（3）会計担当者の予測と判断：受取手形，受取勘定のための貸倒引当金や有形固定資産のための減価償却引当金を決定する問題がある。そのような問題では，会計担当者は貸倒見積額や固定資産の耐用年数を予測しなければならない。
そのような予測の基礎には確率が必要とされる。さらに，製品の変化，生産方法の改善，新技術の開発などによる固定資産の陳腐化のために，耐用年数の確率分布を推定することは概して困難である。また，有価証券，棚卸資産では市

-100-

第5章

期待効用と初期条件についての再考

場価格と歴史的原価に差異がある。そのとき，この差異をどのように処理するかは会計担当者の判断あるいは態度に依存している。

（4）投資の評価：投資は関連会社に投入した金額 すなわち．歴史的原価で計上されている。関連会社が未上場の企業であるとき，その企業はどのようにして評価されるのか，純資産が企業の評価額として計上されるかもしれない。

そのとき，純資産の評価はXYZ会社の純資産の評価と同じような問題をもつ。
また，企業評価論における収益価値法，中位価値法などは将来の利益をくみこんでいる（小野二郎, 1973 , p. 162,参照）。このように，投資の評価には

リスク的要因や不確実な要因が含まれている。

（5）資産項目についての上記の議論は負債項目についても同様に適用されうる。

以上の議論から理解されるように，会計報告にある情報を詳細に検討すると

き, XYZ会社の初期条件Eが不確実であり，良くともリスク的であると意思決定者は判断するだろう。

3－3

再保険の場合保険業者は，大数の法則( the law of large numbers)が有効であるようにするために，同質の保険をできるだけ数多く集めることが必要とされる。この要件が満たされないとき，保険業者は一つの災害によって過大な損害を被るかもしれない。したがって，保険業者はこのような状態を避けなければならな

い。さもなくば，保険業者の危険が大きく，その業者の財務的な基礎が不安定になるだろう。巨大な損害は一人の保険加入者に支払われる金額が大きすぎることや，一つの大きな災害によって多くの保険加入者に保険金が支払われることによって生じる。

保険業者が安全に処理しうる最大の損害額は保有( retention)と呼ばれている。この保有は保険業者の経営規模 財務的状態，経営方針，問題となってい-101-

期待効用理論

る保険の性質(生命保険，火災保険，自動車保険など)等,種々の要因によって定まる。保有を高くすればするほど，保険業者はそれだけより大きいリスクにさらされることになる。一方，保有を低くすればするほど，保険業者は保険料から利益を得る機会をそれだけ失うことになる。

もちろん，保険業者はその保有を越える金額に対して保険契約を拒否することができる。例えば，自動車保険で，対人賠償は1億円以内，搭乗者傷害は3,000万円以内，対物賠償は5, 000万円以内とすることにより，保有を越える支払金を拒絶するような保険契約は作成されうる。

しかしながら，保有を越える保険契約を拒否することは適切な処理方法であると言えないだろう。もし保険契約の一部だけが拒絶されたり，一部だけが受け入れられたりするならば，保険加入者はそのことに対して不快感を示し，場合によっては，保険契約そのものを結ばないかもしれない。したがって，普通，
保険業者は保有を越える契約に対しては保険責任額の一部を他の保険業者との保険契約として処理する。この過程が再保険( reinsurance )と呼ばれている。

再保険の方法には，割合保険( quota share) ,超過再保険( surplus share ),超過損害再保険( excess loss) ,異常再保険( catastrophe )などいくつかがある；（1）割合保険では，1億円の保険に対してその割合が五分五分であれば，保険業者と再保険業が損害に対してそれの2分の1を各々が支払う。

(2)超過再保険では，もし5, 000万円が保険業者の保有であれば,1億円の契約では,5,000万円が再保険として処理される。もし損害額が8, 000万円であるならば，再保険業者は損害額の8分の3を支払う。（3）

超過損害再保険では，ある保有，例えば5,000万円，を越えるような損害額8, 000万円が生じたとき，再保険業者は3, 000万のあるパーセンテージを支払う。

(4)異常再保険では一つの異常な災害により，保有，例えば5, 000万円，を越えた損害額2

億5, 000万円が生じたとき，再保険業者は2億円の一部を支払うことになる( Williams-Heins , 1976)。

－102－

第5章

期待効用と初期条件についての再考

保険業者はいくつかの保険契約をかかえているゆえに，再保険行為をなすことは業者が所有する全ての保険契約の一部を再保険しその残部を保留していることになる。この残部は保険業者の初期条件とみなされるべきものである。したがって，保険契約を除く業者の資産が確実的であると仮定されても，再保険行為はリスク的な初期条件のもとでなされていることは事実である。

しかるに，つぎのような割合再保険のモデルがみいだされる(Borch,1974) ;〃：保険業者の効用関数，の：保険業者の初期資産（確実な金額），
X:リスクあるいは確率変数，

F(x):リスクXの確率分布,

F (") =P,(X≦灘),′:純保険料｡ '､;"dF(")としよう。そして，保険業者は保険契約のた％だけ再保険すると仮定しよう。
そのとき，保険業者は純保険料”を支払わなければならない。さらに，再保険業者の利益，再保険に必要な経費などの負荷要因ｽ”も支払わなければならない。保険業者に残るリスクの割合は（1－た）となる。そこで，

I:"{"- ('+') "'- ('-") "}@IF(x)なる式を最大にするhの値が最適再保険の割合とされている。

このモデルが再保険のそれとして不適切であることは初期資産を確実な金額であると仮定していることから容易に理解されるであろう。なお，第3章4－4節におけるRossの例も参照されたい。

－103－

第6章

1．

は

じ

め

効

用

の

測

定

に

普通，大きく分けて2つの視点，すなわち，記述的視点と規範的視点から期待効用が解釈されていることは第2章6節で述べられた。記述的視点では，期待効用は意思決定者の実際の行動を説明または予測することが意図されている。
規範的視点では，期待効用は意思決定者の実際の行動において指針として役立
つことが意図されている。

現実の行動を予測するためには，まず，意思決定者がどのような行動原理に従っているかが知られていなければならない。記述的視点の期待効用におけるこの原理では意思決定者が期待効用を最大にするように行動すると主張する。
これは期待効用仮説と言われる。つぎに，リスクに対する意思決定者の態度が導き出されなければならない。これは所与の状況においてある意思決定者の選
好表現を通してなされる。そして，このプロセスには確実な結果の集合上で定義された効用の測定が含まれる。

一方，規範的期待効用の目的として，指針を含め，第1章で掲げた，つぎの3つの項目：

1．合理的指針。

2．複雑な選択対象に選好順位をつけること。
3．最適化問題のアルゴリズムを適用すること。

を達成するには，特定の状況における特定の意思決定者の効用が必要とされる。

このように，いずれの視点においても効用の測定は欠くことのできない要素となっている。そして，この測定は意思決定者の，多分に，移り気な(erratic )選好に基づいて進められなければならない。すなわち，規範的視点のための効－105－

期待効用理論

用といえども，それの測定は記述的視点が問題とする現実の行動を観測することによってなされなければならない｡

本章では，現実の意思決定と深く係わる効用測定の問題を検討しよう。この問題は記述的視点ならびに規範的視点の期待効用が現実の証拠からどの程度まで弁明されるかという検証性に関連している。

2節では，期待効用定理と期待効用仮説の相違に焦点をあわし，期待効用仮説の意味が議論される。また，測定の一般的な議論から効用の測定可能性について考察しよう。

3－1節では，効用測定手続の簡単な分類，定量的制約，定性的制約について解説がなされる。3－2節では，効用測定手続の中で最も簡明な手続，すな
わち，半々くじにより，確実等価額を算定し，定量的制約が決定される手順が解説される。3－3節では，定量的制約のもとでの効用関数の推定とそれにともなう一般的な困難が議論される。

4節では，初期条件がリスク的であるとき，前節の効用測定手続，すなわち，数多くの文献で使われている測定手続には第4章4－2節の結論から導かれる論
理的困難が存在することを指摘しよう。ただし一定リスク回避の場合には困難が生じない（伊藤，1986）。

2．期待効用仮説と効用の測定

リスクを含む選択対象の選好に関して意思決定者はあたかも期待効用を最大化しているかのこ．とく行動するという仮説，これは期待効用仮説と呼ばれている。期待効用仮説をたてる主な目的は意思決定者の行動をその仮説によって予測することである。その際に注意すべき点はまだ観測されていない行動が仮説によって予測できるかどうかということである。
一見して矛盾を生みそうにない仮説は行動の予測に有効ではあるが，それそのものから興味ある事実あるいは意外性のある事実は引き出されないであろう。

－106－

第6章

効用の測定

それゆえに，有力な仮説は人にそれが真であるかどうかを疑わせるようなものでなければならない。すなわち，有力な仮説は原則的に反論を受けるような内容でなければならない( Friedman-Savage , 1952 , p. 465 ) ｡
そのような仮説が現実に照らし合わされたとき，予測された行動と現実の行動が，しばしば，明確に，相違しているならば，その仮説は誤りとされるだろう。一方，仮説が数多くの異るケースで，しばしば，正確な予測をなしうるならば，それは，増々，有力な仮説とされるだろう。

そのとき，行動の予測可能性を重視しすぎる結果，期待効用仮説が他の仮説よりも高い予測精度をもつということを強調することになるかもしれない｡ そして，公理と仮定された計算機構は，特別に，重要視されることなく，公理の記述的有効性( descriptive validity )よりも，むしろ仮説の予測能力だけが仮説の意義を決めるとされるかもしれない( Schoemaker , 1982)。
しかしながら，期待効用仮説論者は現実の行動を記述する能力よりも，他の点を強調しているようにみえる。期待効用仮説の非常に現実的な魅力はその取り扱い方が簡単なことと，少なくともある重要な領域で，仮説が矛盾を引きおこしそうにない間接的な証拠（すなわち公理系のもっともらしさ）にもとづいていること，この両者である。" Von Neumann- Morgensternの重要な，独創的な貢献は，正しく，仮説を公理化することによってこの間接的な証拠を提供したことである( Friedman-Savage , 1952 , p. 467) ｡ "効用関数の存在命題と公理系の成立は，論理的に同値である，すなわち，必要充分条件の関係にある。しかしながら，公理系は期待効用仮説の必要条件であるが，期待効用仮説の正当性を主張するための充分条件ではない。すなわち，
期待効用仮説の成立から公理系の成立は導きだされる。一方，公理系が行動の記述という点に関して全く妥当であるとしても，期待効用仮説は公理系が指している行動よりももっと広い範囲における行動を予測しようとしている。公理

系が意思決定者の行動を予測するに充分な条件であるという保証はない。それ－107－

期待効用理論

ゆえに，期待効用定理の成立は期待効用仮説の成立を意味していると我々は言うことができない。

一般的に言って，仮説はある現象や事実を合理的・体系的に説明するために仮りに設けられた仮定である。したがって，たとえ期待効用仮説が，ある範囲内で，意思決定者の行動を正確に，かつ，しばしば予測しえたとしても，それは有力な推測手段であり，より良い予測成果をもたらすだろうと期待されるにすぎない。したがって，1プラス1が2であるというような予測結果が期待効
用仮説によってもたらされるわけではない。

公理系を満足するような効用関数の存在を期待効用定理は保証している。しかしながら，効用の測定可能性の課題がある。期待効用仮説を立証するためには効用は測定可能でなければならない。測定されるということは何を意味しているのか,この点に関して,測定の基礎の視点から少し考察してみよう( Krantz- Luce- Suppes- Tversky, 1971,第1章)。
測定とは，経験的な関係(emprical relations)からなるシステムE(経験的関係システムと呼ぶ）と数値的な関係( numer ical relations )からなるシス

テム"(数値的関係システムと呼ぶ）の間における変換（正確には，準同型写像）の確立と考えられる。

註：準同型写像( homomorphism)の定義を示そう(Finkbeiner ,1960,

p. 261 )。システムEは要素の集合S,要素間の関係γj, j=1,2,…，
加，要素に関する演算Oj，ノー1，2，…，〃，から構成され,システムE'

は要素の集合S',要素間の関係齢',j==1, 2,…，加，要素に関する演

算Oノ，ノー1，2，…，〃，から構成されているとしよう。記号的には，
E={S,",j=1,2,…,"',q,ノ=1,2,…, "},E'={S,"',j=1,2 ,…,"',Q/,j=1,2 ,…，刀｝と定義される。そのとき．EからE'の中への準同型写像はつぎの条州α),

－108－

第6章

効用の測定

(6)を満たすSからS'の中への写像Hである；(α）もしSにおいてαγj6ならば，そのときS'においてαHγ；6",j=

1，2，…，腕，であり，(6)全てのα,6ESに対して（αOj6) "=αHOj' 6H,/=1,2 ,…，〃’である。

経験的関係システムEは現実の対象の集合とそれの間にある関係の集合から構成されている；例えば，対象の集合はリンゴの集りであり，関係の集合は“より重い”，“より軽い”，“等しい”の三つの関係からなる集りである。

一方，数値的関係システム〃は実数の集合とそれの間にある数値的関係の集合から成立している；例えば，実数の集合は，リンゴの集りに対しては，正の実数であり，数値的関係の集合は“大きい”，“小さい”，“等しい”の三つの関係からなる集りとなる。

そのとき，測定のシステムはシステムE,システム〃，システムEの対象の集合とシステム〃の実数の集合との間における変換／の三つの組(E, ",/)と定義される。ただし，変換ノ（準同型写像）はある経験的関係とある数値的関係を対応させている。
例えば，ハカリによって，リンゴには正の数が割り当てられる。そのとき，

リンゴαがリンゴ6“より重い”という経験的関係はリンゴαの60 (9)がリンゴ〃の30 (9)"より大きい”という数値的関係に対応している。
図

6－1

／
リンゴα

リンゴ6

≦、

609

309

リンゴαは

リンゴ6“より重い”

経験的関係システムE

－109－

60>30

数値的関係システム〃

期待効用理論

期待効用を測定システム(E, ", /)の視点から眺めるとき，経験的関係
システムEは選択対象の集合と公理系から成り立っており，数値的関係システ

ム〃は期待効用と大小関係から成り立っているから，変換／は効用関数であると言える。普通，重さが測定されたと言うとき，リンゴαはリンゴ6“より重い'，という関係だけでなく，リンゴαの重さはリンゴ6の重さの2倍であるという関係も維持されていなければならない。さらに，重さは加算，減算をも可能にさせる測定値を要求している。すなわち，重さが測定されたと言うとき，重さに関する経験的関係が数値的関係によって表現され，数値的関係が重さに関する経験的関係によって表現されることが意味されている。

同様に，期待効用が測定されたと言うとき，選好に関する経験的関係が効用の数値的関係によって表現され，効用の数値的関係が選好に関する経験的関係
によって表現されることが成立しなければならない。すなわち，効用の数値的関係または期待効用仮説が経験的関係を予測しなければならない。

しかしながら，重さが測定されたというときと効用が測定されたというとき

では，現実にはかなり相違がある。重さの測定では経験的関係が我々の常識に合致するように数値的関係に反映されている。一方，効用の測定では，現在までの研究が示すところは期待効用仮説と調和していないようにみえる( Scho-emaker, 1980 , 1982)。ただ，このことをもって，効用の測定は不可能であると言うことはできないだろう。

期待効用論者の中でも．規範的視点を重くみる人々，例えばMarschak（1951），は期待効用仮説に沿った行動をしないことを意思決定者の計算能力の欠除に帰着させている。さらに，重さの測定の場合でも常に測定可能であるとは言えない。例えば，測定の精度を高く要求すればするほど，測定は，増々，困難になり，ハカリが振動している状況でしか測定できない物体では，重さを測定することは不可能であるかもしれない。

それゆえに，測定の精度を粗くとり，測定される対象と測定がなされる環境

－110－

第6章

効用の測定

を限定するとき，効用は測定可能であると言えるかもしれない。

3．効用関数の推定手続
3－1

はじめに

確実な結果の集合Xは金額によって定義されているとしよう。そして，ヵ，y,zEXはヵ>y> zであるとしよう。そのとき,"くじ”ノ=('・師，(1 -p)・z)と金額yとの間に選好関係が考えられる。ただし金額yは確率1でyが生じる“くじ”ノyとみなしておく。
“くじ”／，ノ，は標準くじ( St an dard re ference lo tteries)と呼ばれる。
図

6－2

妬

y

ノ

ノッ
0

Z

効用の評価は，普通，これらの標準くじ間の選好関係を意思決定者に要求することによってなされる。

これら2つの標準くじ/, /yには4つの変数ヵ, y,2,，が含まれている。

これら4変数の中で，3変数が固定され，/とノヅが無差別になるように，残り一変数の値を意思決定者が決めることによって効用の測定手続は進められる。
したがって，標準くじノ,/"ではどの変数の値を意思決定者が決定するかにより，4つの効用の測定手続が考えられる；（1）確実等価法:",z,pが所与であり，意思決定者はノー/yとなるようなyの値を決める。

（2）確率等価法:", y, Zが所与であり，意思決定者はノーノyとなるような，の値を決める。

（3）カー等価法:y,2, pが所与であり，意思決定者は/ --/yとなるようなヵの値を決める。

－111－

期待効用理論(4)

z一等価法:",y,pが所与であり，意思決定者はノーノyとなるようなどの値を決める。

しかしながら，実際に，効用の測定手続で使われている方法の多くは確実等
価法と確率等価法である( Hershey- Kunreuther-Schoemaker , 1982)。以下，
我々は確実等価法のもとで議論しよう。確実等価法では，固定された労，2，，に対して，すなわち，“くじ'' /=(p･",(1-')．z)に対して，

確実等価額を意思決定者が表明するが，この4つの変数節,y,立する関係(%,y,z,z,p間に成p)は定量的制約( quantitative restrictions )と呼ばれている( Meyer -Pratt, 1968, Kee ney-Raiffa, 1976)。
意思決定者はこの定量的制約に加えて，定性的制約( qualitative restrict-ions )を持っているだろう( Meyer-Pratt ,1968, Keeney-Raiffa,1976)。例えば，意思決定者がリスク回避的であるかリスク愛好的であるかというような効用関数の性質を決定する要因がある。そして，効用関数の定義域Xのある点の，すなわち，ある金額のよりも大なる領域では意思決定者はリスク回避的であり，のよりも小なる領域では起死回生を期してリスク愛好的であるかもしれない。
さらに，意思決定者がリスク回避的であるとしても，彼の資産がのより増大していくとき，ある“くじ”ノに対するリスク・プレミアムは減少していくかもしれない。すなわち，意思決定者は逓減リスク回避的であるかもしれない。

定性的制約が定量的制約と無矛盾である保証はない。すなわち，意思決定者の選好表現は一貫していないかもしれない。このような矛盾を修正するプロセ
スを通じて効用関数の推定手続は進められる。
3－2

定量的制約の決定手順

定量的制約を決定する｡最も簡明な方法は半々くじノー(;･簸,,；･燕!）に対する確実等価額を意思決定者に求めることである( Marschak,1964, Ra-iffa,1968 ,Schlaifer ,1969,Keeney-Rai ffa,1976)。いま，区間["0 , ",]における定量的制約力:求められているとしよう。ただし, x｣>"oである。そし
－112－

第6章

効用の測定

て，求められるべき意思決定者の効用関数は〃であるとしよう。

効用は線型変換まで一意的であるという意味で相対的なものであるから，測定の原点と単位を決めるために，任意の二つの結果に効用を任意に付与し，他の結果に対してはこれら二つの結果に相対的な効用の評価をなすことが可能である（式（3．5），参照）。したがって，〃（x0）＝0（6．1）

〃(",)=1(6.2)とすることができる｡そのとき"くじ"'‘‐(;･鰯,,；･鰯,)に対する確
実等価額ヵ兇はつぎの式を満たす；“(臆舩)＝;“("‘)＋;〃(熊‘）
式（6．1），（6．2）から

〃（"兇）

1
:＝＝

2

(6．3）

となる｡したがって､一つの定量的制約(蝋,,鰯髄,鞄,;)が得られる。
1
つぎに｡意思決定者は"くじ"‘,＝(;･難,,面･簸髄)に対する確実等価額を〃兇と評価したとしよう。そのとき，“(鰯拠)-;" (",)f;" ("%)
となり，式（6．1），（6．3）から“(難脇)＝;となる｡また､“くじ"'‘=(;･態脇,;･鰯‘)に対しても同様に“("秘)＝;“(難舩)十;“(鰯‘）
となり，

－113－

期待効用理論

一

３－４

"(x")

ｐ

Ｏ

ｊ

範

く

が得られる。これらの点

図(難%,f)｡(鰯脇,;）
6－3

〃（”）

z4 (x)
1

弦

Ｉ

兇

１
１
１
１

％

Ｉ
ｌ
Ｉｌｌ

0
兀O

ヵ％

" l/t

ヵ弛

、;"･告難，ガ1(難弛,:)，(難‘,!)は,座標上に描くとき,図6-3のように癒る。
同様に｡‘ くじ"‘‘=(;･斑,,;･懇協）
では“(斑鮒)=;"(鰯‘)+;"(難髄）“(鰯賄)-；となり,“くじ"‘，=(;･鰯舩,;･鰯搦)では“(鰯雛)=;"は脇)十;"(鰯脇）“(薊粥)=；と”,“くじ"'‘=(;･葱搦,;･難弧)では
－114－

〃

第6章

効用の測定

“(鰯%)-;"(斯繼)+;"(秘）“(難%)=；となる｡さらに,"くじ"‘,-(;･"認,;･鰯‘)では“("鮒)-当"(鰯弛)借"(鰯,）ワ

灘(斑苑)＝きが得られる。

原則的には，このようにして得られた，数多くの点に最も適合する関数が意
思決定者の効用関数とされている。
3－3

効用関数の推定

前節における手順で定量的制約が得られたとしよう。しかしながら，意思決定者の選好表現は一貫していないかもしれない｡例えば｡"くじ"’‘-(;・灘施,;･鰯%)に対して意思決定者が確実等価額茄鑛を示したとき“(難兼)-;"(泌蝿)卜;"(鰯%）“(蒻率)=；となる。しかしこの〃＊が力弛と同じでないかもしれない。もしこのような事
実が観測されたならば，期待効用の視点から一貫した選好がなされていないことになる。

そのとき，意思決定者は妬＊，ヵ％あるいはそれら両者を変更し，期待効用の算定と彼の選好が矛盾しないようにしなければならない。また，意思決定者がリスク回避的であるにもかかわらず，“(難殆)〉"(;態”;燕!）を示すかもしれない。そのとき－115－

期待効用理論“(:物十;鯨!)〉“(態聡）となるように意思決定者は確実等価額力殆,力弛 あるいはそれら両者を再評価しなければならない。

しかしながら，確実等価額は意思決定者の“くじ”に対する態度によって決定される。したがって“くじ”に対するリスク回避の程度と“くじ”の結果の両者が意思決定者の選好に反映される。そのとき，意思決定者の効用関数がどのようなものであるかは未知であるゆえに，単に確実等価額〃苑を変更すべき
か，あるいは，意思決定者がリスク回避的であることを変更すべきかに対する解答が必要とされる。残念ながら，この問題に対して論理的に明確な解を与える根拠がない。確実等価額を再評価しなければならないとき，どの確実等価額が信頼しうるかについて意思決定者は慎重に考慮しなければならない。一つの確実等価額が変更されるならば数多くの確実等価額を変更しなければならない
かもしれない。定性的制約との一慣性を含めて，一慣性のある効用を評価する

手続はかなり煩雑である。さらに，仮りに定性的制約と定量的制約に関して一慣性が得られたとしても，それらの制約を満たす効用関数を定める一般的手続は存在しないと言われている( Keeney-Raiffa,1976 , p. 197)。

ただし，定量的制約が確定しているという条件のもとで所与の定性的制約を満たす効用関数が存在するかどうかの問題に対しては，限定されてはいるがかな
り重要なケースにおいて，その存在を確認するアルゴリズムが与えられている(Meyer-Pratt, 1968)。

とにかく，試行錯誤によって定量的制約と定性的制約を満たす関数は作成されるだろう。“原則的には，金額の上で定義された効用関数は効用に操作的な意味を与えるようなある実験によって決定される”とされている( Savage ,1971, p.785)。

しかしながら9"くじ”の結果を金額に換算することが容易でないならば，効用の測定は一層困難になるだろう。

－116－

第6章

効用の測定

例えば，癌患者の治療に関して，手術と放射線治療の比較がなされた。手術
では手術の失敗による危険はあるが，術後における生存率は放射線治療におけるそれよりも高い。医者のあるグループに2つの治療の各々における1年間と5年間の生存率が示された。このデータのもとで，医者の84％は手術を選好し，残りの16％は放射線治療を選好した。一方，医者の他のグループには同じデー

タで異なる表現が示された。すなわち，生存率の代りに，死亡率が使われた。
死亡率は1マイナス生存率であるゆえに，死亡率と生存率は論理的に同値であるだけでなく，2つの表現は互いに簡単に変換されうるものである。死亡率と生存率の間における変換は医者にとっていとも容易なことであるにもかかわらず，放射線治療よりも手術を選好する医者の比率は84％から50％に落ちたいr‐
rOw ,1982) ｡
このように，同じ内容に関して表現の方法あるいは文脈が異なるとき，効用測定の手続は意思決定者の選好とは異なる選好表現をもたらすかもしれない。

さらに，この選好の逆転現象( preference reversal phanomenon )は金額で定義される状況においても生じると報告されている( Grether-Plott ,1979 ,Hershey-Kunreuther-Schoemaker,1982)。この現象は文脈効果( context
effectsあるいはframing)と呼ばれている。

4．リスク的初期条件における推定

とにかく，金額の集合Xの上で定義された効用関数が前節で述べられたような手続によって推定されたとしよう。そのとき，初期条件がリスク的であるな
らば，推定された効用関数〃はどのような問題点を含んでいるかを検討しよう。
まず,代表的な期待効用論者の一人であるSchlaiferの見解をみてみよう。

効用の測定は区間[20 , 2,]でなされ，意思決定者の初期条件は-4000ドルであるとしよう。ある“くじ"/=(p｣･ヵⅢ，此･ "2)に意思決定者が直面しているとき，彼は，最終的資産の視点から（-4000）＊／について評価をなす。

－117－

期待効用理論

したがって，-4000*/ =-4000 * (p1 .x! , p2 ･"2)＝（，Ⅲ．（妬,-4000) , '2 . ("2-4000))であるゆえに，意思決定者の最終的資産は（", -4000)か( "2 -4000)のどちらかになる。いま，〃,-4000 = Wとおこう。そのとき9"くじ"/による結果

が％1であると言うことと意思決定者に起りうる最終的資産の一つがWであると言うことは同じ内容を2つの異なった形で表現しているにすぎない。

このような議論のもとで, Schlaiferはつぎのように言う;"もしMallon氏

が区間[20 , 2,]に関して最終的資産Wの効用を9とするならば，そのとき区H [ Zo +4000 , 2, +4000]に関して“くじ”/の結果〃, = W+4000の効用もまた9である( Schlaifer,1969, p.164 ) ｡ ''この結論から，意思決定者は，最終的資産に関心をもっていようとも，単に“くじ”そのものを選択対象とすることによって矛盾なく効用を決定することができることになる。これは式（5．4）によって示されている増分型の効用評価，すなわち"(y)= "(")－〃（の）
ただしy=〃－のの有効性を主張している。

さて，意思決定者のリスク的初期条件は“くじ”／0であるとしよう。そして，効用の測定手続における半々くじ'’=(;･慾,,;･鋤)の確実等価額が鰯搦であったとしよう。さらに，意思決定者の，推定されようとしている効用関数は〃であるとしよう。

そのとき，意思決定者にとって関心のある最終的資産の視点からは，/o *x弛～ノo */1
すなわち，〃(/｡ *力弛)="(/0*/,)(6.4)

でなければならない。一方，区間[zo , z,]で推定された効用関数を〃としよ

－118－

第6章

効用の測定

う｡そのとき｡“くじ"',=(;･簸・,;･鮒‘)と確実等価額璽焔が無差別であることをこの効用関数〃で表現すると" (/,)="(ガリ,i)である。推定されるべき効用関数〃と推定された効用関数〃は意思決定者の選
好表現に関して論理整合的でなければならない。
図

6－4

〃

〃

〃

y

〃(α)0）jrﾘ"

好の0+ "%の0

いま，推定された効用関数〃はある点の｡から算定されたものとしよう。

す

なわち，

〃（/）＝〃（の0＊/）一〃（の0）（6．5）

であるとしよう。式（6．5）を図に描くとき，図5－1と同様に図6－4が得られる。そのとき，図6－4から理解されるように，〃（"兇)は関数〃においては〃（の0＊妬舩）すなわち“（の0十％兇）と同じ値をもつ。そして，推定されるべき効用関数〃と推定された効用関数〃が論理整合的であるためには〃（/0＊苑％）＝〃（/0＊/'）＝〃（の0＊兀弛）＝〃（のo*/,)(6.6)

でなければならない。

もし式（6．6）を満たすようなの0が存在するならば，効用関数の推定手続によりこのの｡を原点とする関数〃を決定することができる。いま，区間[20,－119－期待効用理論z,]は正の金額上にあると仮定しておく。
意思決定者が一定リスク回避的であり，初期条件/0の確実等価額がの｡,すな
わち，の0＝の（/0）＝〃-‘〃（/0）
であるならば，そのとき，定理4．1から，〃(/｡ */,) =" (の0*/,)となる。さらに, Pfanzaglの一貫性公理，式(5.3)から，〃(/0 *"%) =zI (の0 *"l,i)となり，式（6．6）が成立する。したがって，もし意思決定者が一定リスク回避的であり，初期条件/0が既知であるならば，初期条件/0に対する確実等価額の｡が推定された効用関数〃の原点となる。ただし，一定リスク回避の場合には，効用の測定手続から理解されるように，関数〃の推定に初期条件/0は必要とされない。

一方，意思決定者が逓減リスク回避的であり，初期条件/0の確実等価額がの0＝の（/0）であるならば，そのとき，定理4．1より，〃（/0＊ノ,)>" (の0 */,)となる。したがって，確実等価額の0は式（6．6）を満たさず,確定された効
用関数〃の原点になる資格をもたない。

それでは，の0＝の（/0）以外の点の6を原点として効用関数〃が推定されたであろうか。この質問に対する答は否定的である。

効用〃（ﾉ0＊施舩）に対する確実等価額の（/0＊〃脇）は式（2．8）ならびに冗（/0＊ヵ％）＝兀（0，ノ0＊ヵ兇）＝〃（冗搦，ノ0)から
d(/o *力l/i)=E(/0) +"1,i一茄（力l,i,/0)(6･7)と表現される。そのとき，式（6．6）における〃（/0＊苑舩）＝〃（の6＊苑↓,i)
は

-120-

第6章

効用の測定

の（/0＊妬胎）＝の6＋茄舩（6．8）

を意味する。したがって，式（6．7），（6．8）からの6=E (/0)一花("！,f,/0)(6.9)

が得られる。

“くじ',/0は，初期条件であるゆえに，効用関数の推定手続のプロセスにおいて変ること“い｡一方｡”随は"くじ"’1=(;･燕｡,;･鋤)の確実等価額であった。式（6．9）から容易に理解されるように，点の6は確実等価額

力陥に依存している。このことは，推定手続において“くじ”ノ】とは異なる"くじ",例えば‘勲=(;･簸，,;･蒐陥)に対する確実等価額簸肋が求められたとき，の6=E (/0)一泥("%, /0)(6 ･10)の成立を要請する。

リスク・う．レミアム冗（〃％，ノ0）と〃（難弛，／0)が同じでないとき，式（6．9）と（6．10）は両立しない。推定されるべき効用関数〃が一定リスク回避的であるならば，リスク・う．レミアム元（兀胎，/0）と死（妬％，ノ0)は同じであるゆえにこの困難は生じない。しかしながら，効用関数あるいは意思決定者

が逓減リスク回避的であるならば，そのときリスク・う．レミアム施（苑殆，ノ0）と元（〃％，ノ0）は異なる。
したがって，効用関数〃の原点の6は，確実等価額の値が異なるような“くじ”が意思決定者によって評価されるたびに，移動する。このように，初期条件がリスク的であり，意思決定者が逓減リスク回避的であるとき，推定されたはずであった効用関数〃には効用を測定する一意的な原点が存在しない。

－121－

第7章

1．

は

じ

め

小世界と制約された合理性に将棋をいかに指すかということを意思決定問題の例としてとりあげよう。もしある人が初手から終局までに到る全てのケースを読み切ることができるならば，そのときその人は，ただ一度の長考で，初手から終局に到るまでの一連の指し手の中から最善のものを選ぶことができる。もしこれが可能であるならば，将棋に勝つ最も良い方法はこのただ一度の長考であろう。しかしながら，終局まで読み切るという方法は人間の能力を超えている。

将棋の専門家が考案した指し方は一局の将棋を序盤，中盤，終盤という3つの局面に分けることである( Toda-Shuford (1965)による，チェスのゲームをとり上げた同様の議論があるので参照されたい）。序盤では，将棋の戦い，すなわち，中盤を有利に進めるために駒組に腐心が寄せられる。中盤では，駒の取り合いによる駒の損得，盤上の駒の働きに関心が持たれる。終盤では，相手の王を詰めることに注意が集中され，寄せの速度が重視される。

いま，仮に，将棋の一局を大世界と呼ぶことにしよう。そのとき序盤

中盤，終盤は大世界を構成する小世界である。専門家と言えども大世界におけるただ一つの方針を選ぶことによって将棋に勝つことはできない。専門家の将棋には持時間制度がある。さらに，持時間が無制限であろうとも，初手から終局まで
読み切ることは手数の巨大さから言って不可能である。将棋より単純なゲームであるチェスでさえも，その手数は10120であると言われている。
したがって，専門家は限られた局面である序盤，中盤，終盤の各々において最善手を探索する。しかし，序盤，中盤 終盤という小世界はほとんど独立していない。さらに，これらの小世界をどのように認識しているかは各人によっ－123－

期待効用理論て異なるだろう。小世界の認識あるいは評価が勝負として結実する。

この将棋の世界は意思決定問題に対する含蓄のある例となっている。本章では，小世界と制約された合理性，この2つの視点から期待効用が考察される。
将棋の例から理解されるように，当面の意思決定問題に関係する全ての状態を完全に考慮に入れて決定することは最善の行動であるかもしれない。しかしながら，時間，費用ならびに情報処理能力の点からそれは不可能であると言えるだろう。そこで，意思決定者が満足できる程度まで，単純な問題に注意を限定する必要がある。

その限定された範囲をSavage (1954)は小世界( small world)と呼ぶ。この小世界において確実であると考えられている結果が大世界の視点からはリス

ク的または不確実である。2－1節では，小世界，大世界，この不確実性について考察がなされる。2－2節では，小世界の構成についての期待効用論者の見解，前節における不確実性と期待効用の関係についての議論がなされる。

3－1節はSimon (1982)の制約された合理性( Bounde d Rationality )の理論，それにおける2つの重要な概念，すなわち，欲求水準と満足化手続の解説である。小世界が定められるう°ロセスは制約された合理性の側面から潜在的な選択対象の探索となり，そのプロセスそのものは期待効用の算定に大きな影響を与えることが，3－2節で，指摘される。3－3節では，小世界は期待効
用の初期条件の認識に関連していること，初期条件は不確実またはリスク的であるとすることの意義が強調される（伊藤，1984,α）。
なお，「不確実性」は一応リスクを含むものとしておこう。

2．小
2－1

世

界

小世界と大世界

硬貨が投げられ，表がでるとき新車ｶﾒ得られ，裏がでるとき中古車が得られるような“くじ”ノを考えよう。意思決定者がこの“くじ”／を50万円で買う

－124－

第7章

小世界と制約された合理性べきかどうかを判断しなければならないとし，彼の関心はこの問題にだけあてられているとしよう。いま，表がでることを9l,裏がでることをe2,!6くじ”／を買わないことから生じる状況，すなわち50万円を保有することをg3としよう。そのとき,21 'g2'23はそれぞれ世界の状態(a state of the world )と呼ばれる。そして，世界の状態の集合E={ e]'g2'83}は世界( theworld)と呼ばれる。
“くじ”を50万円で買うことをα」，“くじ”を買わないことをα2としよう。

そのとき，α‘，α2はそれぞれ行為(an act)と呼ばれる。行為の集合をA=｛α1，α2｝と定義しよう。新車をC1,中古車をc2, 50万円をC3としよう。そのとき,

C1,C2'C3はそれぞれ結果( a consequence)と呼ばれる。結果の集合をC={ C｣ 'C2'C3}と定義しよう。そして，いまEを“くじ',の世界と呼ぶことにする。

そのとき, Savageの期待効用モデルの構成要素はこれらの集合E,A,

Cである。行為，状態 結果の関係は表7－1に示されているようになる。そして，

Savageによれば，意思決定者が関心をもつ対象は世界であり，世界の状態とは決定に関連する全ての側面を記述しているような，世界の一つの記述である。
表7－1
状

行 為

態

１

ａ

91

92

C1

C2

g司

り

２

ａ

C3

一般的に言って，意思決定者の選好に関連する世界はどのように決定されるかという問題がある。“くじ”ノを50万円で買うべきかどうかという決定問題

では，普通，“くじ”の結果である新車，中古車，あるいは，50万円は確実なものと仮定されている。これは，もちろん，結果に対する意思決定者の認識の問題ではあるが，ある意思決定者にとってはそのような仮定のもとで選好問題－125－期待効用理論を分析することが適切であるかもしれない。

しかしながら，思慮深い意思決定者がこれらの結果に対して充分な注意を払

うとき，それらの結果にはリスク的要素または不確実的要素が残っていることを彼は認識するかもしれない。運が良ければ，中古車はほとんど故障なしに走りつづけるだろう。新車を手に入れたときには，衝突事故によって新車が金額
的価値ゼロになるかもしれない。このリスクを防ぐためには彼は車両保険に人らなければならないかもしれない。新車に対する車両保険料は中古車に対するそれよりも高い。もしこの秋に大きな台風が襲ってくるならば，彼の家はかな
り被害を受け，それの修復に多額の金を必要としそうだと彼は考えている。そのとき，彼は50万円の支出を控え，“くじ”の購入による車の取得を断念するかもしれない。さらに，大きな台風が彼の住宅地を直撃する可能性はまた不確実である。等々，これらの不確実性，または，可能性に対する配慮はとめどもなく続くだろう。

このような慎重な配慮をSavageは" Look before you leap " (ころばぬ先のつえ，または，実行する前に熟慮せよ。New English-Japanese Dictionary

研究社）という諺で表現している( Savage,1954, p.16)。
世界Eの状態93,すなわちp"くじ”を買わないこと，あるいは,50万円を保有することに関して，大きな台風が襲ってくること，彼の家が被害を受けること，それの修復にある金額が必要とされること，これらの状態から構成される世界がある。これを50万円の世界と呼ぶことにしよう。そして，同様に，新車の世界，中古車の世界があるだろう。さらに，一つの決定は別の決定に導くかもしれない。例えば，被害を受けた家が元のように修復されないとき，意思決定者は妻の苦情に悩まされるかもしれないゆえに，家をどの程度まで修復す
るかについて彼は決定しなければならないかもしれない。

“くじ”の世界Eは50万円の世界，新車の世界，中古車の世界から構成されていると考えられる。したがって，50万円の世界，新車の世界，中古車の世界

－126－

第7章

小世界と制約された合理性における決定問題は“くじ”の世界Eにおける決定問題に比較して小さい世界
におけるそれであろう。このように，“くじ”の世界E,すなわち，小世界における決定問題で，普通，確実な結果と考えられているものは，現実には，高度に不確実であると考えられる( Savage,1954, p.84 )。

実際" Look befOre you leap ''の原則に正確に従って，行為，結果，状態を定式化することは不可能である。意思決定者が決定問題に関連ありとして選
びだした状態は彼の予見能力からみて必然的に不完全になるであろう。確実であると考えられている結果は，意思決定問題においては，本質的に確実ではない。意思決定者は将来になさなければならない一連の決定を，ある程度は，想定することができるだろう。しかしながら，彼が予測していなかった，あるいは，予測ができないような出来事により，想定された一連の決定は実行不可能であるかもしれない。

仮に, " Look before you leap "の原則に，完全にとまで言わなくとも，かなり忠実に従うとしても，決定に関連する世界の状態

それらにともなう結果，

とりうる行為を詳細にひろいあげることは膨大な作業量となり，それに必要な時間も長期的になるだろう。たとえそのような作業が完成されたとしても，それに要した時間があまりにも長いために，決定問題そのものが意思決定者にとって無意味になっているかもしれない。さらに，彼の目的や経験が変化しているかもしれない。

しかしながら，理想化されてはいるが，非常に簡潔なモデルが<( Look "-fore you leap"の原則から作成されうる。すなわち，全ての可能性が検討されているときには，一連の決定としての方針がただ一つの決定によって選好されること，そのことが可能になる。さらに，その結果として意思決定に時間的要因を考慮する必然性がない，なぜならば，意思決定者は決定に関連する全ての要因が配慮された，ただ一つの決定をなすからである。

ただ一つの決定なる視点が極端にまで強調されるとき，意思決定者は人生を－127－

期待効用理論

いかに生きるべきかについての方針を選好しなければならないことになる。その方針が選択されたのちには，彼は計画に従って行動し，死に到るまで意思決定問題を考慮する必要がなくなる。しかしながら，このプログラムは高度に理想化されており，現実には取扱い不可能なものである。
人生をいかに生きるべきかについての詳細な方針を選択する問題に関する世界は意思決定者にとって最も大きな世界であろう。このような世界をSavage

は大世界( grand world)と呼ぶ。前述の“くじ”の世界はこの大世界の一部とされる。期待効用モデルが現実の意思決定問題に対して有効な手法であるた

めには，大世界が取扱い可能な世界に分割されなければならない。ある意思決定問題をどのような範囲の枠組で定式化するかが決められなければならない。
現金50万円の処理に関して，それを保有すること9"くじ”ノを買うことな

どの行為以外に，他の行為，例えば有価証券を買うこと，はどの程度まで考慮されるべきかが決められなければならない。それらの行為にともなう一連の決定ならびに諸々の結果そして，同時に，時間的考察範囲，世界の状態についての詳細の程度が決定されなければならない。

2－2

小世界と期待効用

とにかく，このようにして決められる，取扱い可能な世界をSavageは小世界と呼ぶ。その小世界が大世界から孤立した状況であることは意思決定が有効に働くための必須条件である。もし小世界が大世界から孤立していないならば，そのとき大世界からの影響により意思決定者はその小世界だけで決定をなすことができない。とはいえ，“そのような孤立した状況が現実にどのように到達されるのか，どのようにして正当化されるのかを完全無欠に言うことは困難であると私は認める。”とSavageは言う( Savage ,1954, P83) ｡
意思決定問題を孤立させることには限界があり，その限界はかなり悪意的であり．満足できる程度という言葉で表現されるようなものとなるだろう。

－128－

第7章

小世界と制約された合理性“くじ”の世界のような場合においても，時間的限界，世界の状態 一連の決定などがかなり狭い範囲に限定されるときでさえ, " Look before you leap "の原則に従ってそれらを記述することは作業量として小さくはない。

しかし, Savageが展開している基本モデルは<< Look before you leap''が支配する大世界を前提としている。大世界と小世界の両者に一貫した決定がなされるためには，それら両者の間にある関係が成立しなければならない。大世界における4$ Look before you leap ''の原則が小世界にどのように適用されるかということはSavageの大きな関心の一つであった。大世界と小世界に一貫した定式化を試みた彼の意図は定式化における論理一貫性を示すことだけであったようにみえる。しかしながら，この企ては，大世界の非現実性からみるとき，意思決定理論としての期待効用をより有益な手法として促進させる役割を果していない。

意思決定問題の定式化は，必然的に，小世界を表現していなければならない。

孤立した小世界を構成することについてのSavageの結論では‘私はこれらの小世界を選ぶための規準を定式化することができない。そして，それらの選択は完全にかつ鮮明に定義された原則を述べることのできない判断と経験の問題であるだろう。

･･他方，それは我々全てが必然的に多くの経験を有している一つの活動( operation)であり，かつ，実際には大方の同意が得られている活動でもある( Savage, 1954, p.17)｡"さらに，つぎのような主旨のことは彼は言う; ｢ " Look before you leap"の原則を忠実に実行することは非常識ではあるが，この原則が適用されうるような小世界に注意を限定することによって，比較的単純な決定問題が分析されるならば，この原則は有益である。」
この主旨は，一見したところ，注意をひくべき内容を含んでいないようにみえるが, @; Look before you leap "の原則を小世界に適用する意図が小世界においても一連の決定をただ一つの決定として定式化することであることに注目
されたい。

－129－

期待効用理論ある人々, Toda-Shuford (1965) ,は期待効用を応用するさいにおける大きな問題は小世界を適切に定式化することの困難性にあると考えている。期待効用の意図に反する諸々の反例は小世界が大世界から有意義に分割されていないことの結果としている。すなわち，適切な小世界では期待効用が意思決定者の行動を説明できること，それが真実であるとしても，ある世界Eより大きい世界の文脈から期待効用仮説に従って行動する意思決定者はある世界Eの文脈か
らその仮説に従っているかのように行動しない( Toda-Shuford,1965, p. 252)。

そして，この困難を克服する方法として，小世界の決定問題が大世界の決定問

題（閉システム）の文脈内で開システムとみなされるとき，開システムを一時的に閉じる技術の必要性が強調されている。

同じようなことがFishbur nによっても言われている。彼によれば“・・期待
効用分析に入る前の事前決定分析( predecision analysis)に対する，いわゆ
る’客観的接近：すなわち，意思決定の状況において比較的重要，かつ，関連のある要因を認識する方法，それらが環境といかに相互作用を及ぼしあうかを理解する方法などの必要性を示している( Fishburn,1972, p30～31)｡"

しかしFishburnも, Savage , Toda-Shufordと同様，小世界を具体的に構成する手法を提案していない。オペレーションズ・リサーチ，サイバネティック

ス，システム分析などが事前決定分析に有益な，価値ある情報を与えるだろうと示唆されているにすぎない。

最後に，確実な結果と考えられているものに残っている不確実な要素あるいはリスク的要素が期待効用ではどのように処理されうるかについて注釈を与えよう。この点に関して, Savageは小世界の定式化においてつぎのように言う。
“実際，最終的分析において，結果は，多分，決して近似されえないような理

想的対象である。それゆえに，私はつぎのことを示唆する。典型的に孤立した決定問題では，不確実な結果をもたらすような行為が確実な結果をもたらすよ
うな行為の役割を果すことを我々は期待しなければならない。"－130－(Savage,第7章

小世界と制約された合理性

1954, p.84)j'そのとき,第2章5－1節「線型効用関数と期待効用」で述べたよ

うに,"くじ"｡’＝(;･新車,；･中古車),の期待効臘を算定するためには，確実な結果，新車，中古車を確率1で与えるような“くじ”ノ（新)，/仲）を必要とした。

一方，新車，中古車には不確実な要因があるとしよう。そのとき，期待効用ではなく，線型効用（第2章5－1節「線型効用関数と期待効用｣，参照)，すなわち，“(;･‘師苓･ノ仲))=;"(′師)舟"(‘(中)）の性質から，もし“くじ”ノ鰯D,/仲)の効用を意思決定者が決めることができるならば，そのとき，“くじ”／の効用は”(‘)=;"(！駒)+;"(′(中)）と算定される。

このようにして定まる〃（/）は,不確実要素を含む新車，中古車の効用を基礎にしているゆえに，期待効用ではない。しかしノ（新)，ノ（中）の効用を意思決
定者が決めることができるならば，“くじ”ノの効用算定にはなんら支障はない。
問題となる点は新車，中古車に不確実要素が含まれているかどうかではなく，新車，中古車の効用を意思決定者が決定できるかどうかということである。

もし, Savageが言うように（我々も同意見であるが),確実な結果と考えられているものが高度に不確実であるとみなされるならば，そのとき，普通，期待効用といわれるものは存在しないことになる。したがって，期待効用と考えられているものは期待効用であるかのような顔付きをしているが，事実は，線型効用そのものである。

このような視点からみるとき，期待効用と線型効用の区別はあまり意味がな
いようにみえる。基数的効用としては，期待効用は理想的概念として以外にはその存在の意義を失い，線型効用がその機能を充分に果している。結論として，“くじ”の結果が有する不確実性は，その“くじ”の結果の効用が決定される－131－

期待効用理論

かぎり，“くじ”の効用の算定に問題を残さない。この点においては，期待効用定理の構造は結果として巧妙に出来上っている。
しかしながら，その巧妙さが罪作りであるようにみえる。すなわち，結果に残っている不確実性が重要であるとき，その不確実な結果の効用が決められたとしても，期待効用あるいは線型効用は意思決定者の選好と論理整合的でないかもしれない。これは第4章「期待効用理論の妥当性」で議論されてきたことから容易に理解されるであろう。

3．制約された合理性における小世界
3－1

制約された合理性

意思決定者の情報処理能力に制約をとり入れた理論は“制約された合理性( bounded rationali ty) "の理論と呼ばれる。一方，合理的行動( rationalbe habior)の理論は所与の条件または所与の制約のもとで所与の目標を達成するような行動を記述することに意図がある(Simon,1982, 8-2,P409)。意思決定者の情報処理能力を制約する要因として, Simonはつぎのようなものを挙げる；（1）リスクと不確実性，(2)選択対象についての不完全情報，（3）

計算の複雑性(Simon,1982,8-2 ,p.410)｡"人生をいかに生きるべきか”という大世界における意思決定問題はこれら3つの要因を含んでいる。この大世界から孤立した小世界を構成する問題も一つの意思決定問題であろう。この意思決定問題は合理的行動の理論の対象ではない。なぜならば，意思決定者は世界の状態 結果，行為の全てについて不完全な情報を有するにすぎないからである。制約された合理性の理論は現実の複雑な世界における意思決定問題に関心を寄せる。孤立した小世界をいかに作り上げるかはそのような意思決定問題の一つである。

小世界はToda-Shufor dが言うように開システムである。したがって，一般
的には，開システムの要素は所与でなく，無数にあると言えるだろう。開シス

－132－

第7章

小世界と制約された合理性

テムを閉システム，すなわち，孤立した小世界に変換するためには，意思決定者は開システムの要素を選択しなければならない。開システムの要素の数が巨大であることから言って，開システムの要素全てを比較検討することは困難である。

もしこの困難さを認めるならば，要素の取捨選択になんらかの規準が必要とされる。すなわち，適当なあるいは満足しうるような要素が見い出されたかど
うかを決定する規準が使用されなければならない。意思決定においてこの機能を果す規準をSimonは欲求水準( aspiration level )と呼ぶ(SimOn , 1982,

8-2 ,p.415)。欲求水準を定め，その欲求水準によって適切と認められる要
素が見い出されるまで探索を行い，そして要素を選択する過程は満足化手続( sat isficing procedure )と呼ばれる。欲求水準は探索における成功と失敗に対して非常に敏感である。すなわち，欲求水準がしばしば達成されるならば欲求水準は引き上げられ，失敗がしばしば生じるならば欲求水準は引き下げられると言われている。

このような探索過程は，開システムにおける不確実性，複雑性，不完全性により，体系的に実行することが困難なものであろう。満足化手続における探索の効率を高めるものがあるとすれば，それは多分ヒュリスティックスの方法であろう。そして，前述のSav ageの言9"それらは”判断と経験の問題であろう…”はヒュリスティックスを念頭においているようにみえる。

3－2

小世界とその影響‘｡くじ"‘＝(;･新車｡；･中古車)を50"円で買うべきかどうかを意思決定者が判断しなければならないとき，期待効用理論では意思決定者の行為は“くじ”ノを50万円で買うこと（これをα,と記す)，“くじ”/を買わないこと（これをα2と記す)のどちらかとされる。しかしながら，行為α2は50万円を保有することと解釈されるが，実際には行為α2は，もし“くじ”／を50万円で買－133－期待効用理論

わないならば，そのとき意思決定者がとりうる他の行為を含んでいる。例えば，有価証券を買うこと，台風にそなえて50万円を保有すること，家具などの耐久消費材を買うことなど全てがそれに含まれている。

すなわち，行為α2は50万円の世界を含む。そして，意思決定者が行為α1かα2を選択する前に，50万円の世界が決定されなければならない。また，50万円の世界は“くじ”ノの機会費用( opportunity cost)に関連するとも言える(Simon, 1982,

7 -11, p.394)。

50万円の世界が満足化手続に従って決定されるとするならば，ある欲求水準

により,50万円の世界における行為がある限定された時間内で探索される。この探索過程は全ての行為のほんの一部だけを見い出し，見い出された行為を不完全にしか記述しないだろう。浅く，できるだけ数多くの行為を探索すること，深く，見い出された行為をできるだけ記述することなど，探索努力の配分も欲求水準により定められるだろう。このようにして定められた小世界は行為α2に対する期待効用の算定に結びついている。

事実，満足化手続において“くじ”/を50万円で買うことよりも選好される
ような行為が見い出されているとき，“くじ”ノは買われないだろう。さもな

くば，“くじ”ノは買われるだろう。このように，“くじ”／を50万円で買うべきかどうかということは小世界の決定に依存している。そのとき,50万円の世界，新車の世界，中古車の世界がどのように決定されているかが行為の期待効用を定める。すなわち，小世界は意思決定者の選好を制約している。

“くじ”ノの世界を定めるときの欲求水準が何であるかを具体的に指定することはできないが，今日の昼食に何を選ぶかは“くじ”ノの世界と独立していると我々は考える。しかしながら，これは意思決定者の主観の問題である。自動車の取得は車の維持費，ガソリン代などにより彼の生活方式に影響を与え，したがって今日の昼食費用は自動車の取得，すなわち，“くじ”ノと無関係ではないとみなされるかもしれない。意思決定者が小世界を構成する視点は行為，

－134－

第7章

小世界と制約された合理性

世界の状態，結果，決定などの情報に関与している。
意思決定者によって認識される小世界は現実の世界とはかなり異なっている。

したがって，小世界に対する意思決定者のモデルは現実の世界における全ての適切な特徴の中の，ほんのわずかの部分を占めているにすぎないかもしれない。
このことは小世界が意思決定者の省略と偏りの産物であることを示している。
この省略と偏りは，意思決定者の情報処理能力の限界により，避けられないことであるが，期待効用の定式化は，それらにより，意思決定者から，潜在的可能性を評価する機会，それを奪うことになる。

ある‘‘くじ”は意思決定者の現在の選択対象の中では最も大きい効用を有する。しかしながら，意思決定者によって認識されている小世界は，省略と偏りからもたらされた不完全性から，将来のより良い機会を閉ざしているかもしれない。もし意思決定者が将来のより良い機会に充分大きな望みをたくしている
か，将来のより良い機会を見落しているのではないかという不安を有するならば，そのような機会は具体的な“くじ”でなくとも，現在の意思決定に影響を与えるだろう。したがって，最も大きい効用を有する“くじ”といえども選好されないかもしれない。このような将来に対する希望は現在の選択対象の一つであることに間違いない。そしてそれはかなり重要な要素である( Hildreth ,1974,p 119)。しかしながら，将来のより良い機会は意思決定者が具体的に期待効用を算定できる世界に存在しない。

小世界が意思決定にどのような影響を与えるかを，第4章3－1節「相互依存と選好 一例」における例題からみてみよう。

意思決定者の効用関数を灘(") =log xとしよう。さらに，彼の小世界Esににおける決定問題は｡='00と"くじ"',=(;･80,号･'20)のどちらかを選択することであるとしよう。そのとき，〃（の）＝4.605
脚（/,）＝4.593－135－期待効用理論であるゆえに，の= 100が選好される。

しかしながら，彼は，将来，ある“くじ”/2＝（，‘・斑，’2．（茄十だ))を受け入れなければならない。そして，“くじ”/2は，たまたま，小世界Esの構成において省略されている。彼は，本来，小世界Esより大きい世界E流で，Lo=Q)* /2とL1=/1 */2に関する選好を考えるべきであったが9"制約された合理性”によってのと/,に関する選好問題を作ってしまった。
もし〃＝60,％＋々＝400，力」＝0．3，

ルー0．7であるならば，" (Lo) = 5.8728," (L,) = 5.8729

であるゆえに，“くじ"L,は“くじ'' Loより選好される。

期待効用の視点から言えば，小世界Esで,"くじ'' /,よりのを選好したことは，より大きい世界E祠では，意思決定者が誤った方針を選んだことになる。将来に対する適確な見通しなしに小世界を決定することがいかに無謀であるかを
この例題は示している。

3－3

小世界と初期条件

我々が第6章まで問題としてきた初期条件も小世界の一部である。前述のように，確実であると考えられる金額も大世界の視点からは不確実であると言わねばならない。この不確実性の意味は第5章3節｢初期条件の不確実性｣における不確実性とは趣を，少々，異にしている。我々はいま手許に100万円をもっているとしよう。そのとき，5章3節では，その100万円は確実な金額であった。
しかしながら，大世界の視点からはそれは確実ではない。すなわち," Lookbefore you leap "の原則は小世界において確実な結果の存在を認めない。
このような主旨から言えば，期待効用論者が金額の上で定義された効用関数の存在を仮定するとき，本来，不確実であるべき金額を確実とするような孤立した小世界が暗黙的に設定されているようにみえる。金額の効用はその金額の

－136－

第7章

小世界と制約された合理性

世界を詳細に調べることなしに定められている。さらに，前述のように，金額の世界が未知であるとしても，その金額の効用が定められるかぎり，期待効用の算定に支障はない。しかしながら，50万円の世界に関する考察でみたように，

このような孤立した小世界が常に妥当である根拠は見い出し難い。数百万円という年間所得の人にとっては,10円ないしは100円は確実な金額であると言えるかもしれないが，1,000万円ないしは1億円は上述の意味で確実であると言えないだろう。この議論はあまりにも細部にとらわれているという主張があるかもしれない。しかしながら我々はそうでないと考えられるケースの存在を信じている。意思決定者にとって重要な決定問題がそれである。

例えば，ある企業が450億円を投資して新しい百貨店の店舗を開くべきかどうかを検討しているとしよう。そのとき，しばしばみられるように（例えば，
Schlaifer, 1969),期待効用ではこれは450億円と（新しい店舗による収益の）“くじ”のどちらを選ぶべきかという決定問題に定式化されるだろう。

普通，企業は450億円もの大金を銀行の普通預金として寝かしているようなことをなしてはいない。450億円は，増資，有価証券の売却，銀行からの借入，手持ち店舗の売却など，いくらかの手段で調達される。増資が額面株で発行される限り，資金の予測に狂いは少ないが，株式の時価発行では調達される資金は確実でない。有価証券の価格は，時々刻々，変化する。銀行からの借入では一般経済情勢により利子率が異なる。店舗の売却価格も安定していないだろう。

このように，資金調達時点における450億円はリスク的または不確実な要因を含んでいる。

さらに，調達されうる450億円が新しい店舗への投資に限られるべき理由はない。手持の店舗を改装，拡大すること，関連会社に融資すること,POS(販
売時点情報管理）などの管理設備の導入，等々，いくつかの資金利用可能性がある。そして，それらによる利益貢献と償却負担などが考慮されなければならない。さらに，それらが企業の将来にひき起す世界の状態，結果，ならびに，－137－

期待効用理論

これらに起因すると考えられる決定など全てが450億円に関連する。
450億円を確実な金額とする小世界は現実の450億円の世界と大きく異なっている。450億円はある意味で現実の450億円の世界と似ていると言えるかもしれないが，その詳細において多くの部分を欠いている。期待効用論者にもつぎのような指摘がある；“意思決定者にとっての金額の効用が，彼の現在の状

況，決定のための条件，彼の決定が将来に対して持っている意味，そしてリスクに対する彼の態度によって条件づけられていることを我々は心にとめておくべきである(Fishburn, 1968, p. 357)｡''しかしながら，この小世界に関連する事項が期待効用にどのような効果を及ぼすかについて言及がみられないところから判断すると，この問題に対する認識はそれほど深くないとみなされる。

初期条件が確実であるとする仮定に対して我々が疑念をもつ根拠はここにもある。言うまでもなく，初期条件が確実であるか，リスク的であるか，不確実であるかは小世界を意思決定者がどのように認識するかに依存する。しかしながら，その認識の程度によっては，期待効用が意図している首尾一貫した決定など，現実的な意味で，霧散してしまうかもしれない。

－138－

第8章

1．

は

じ

め

期待効用の諸公理系に

期待効用の公理系は数多く展開されているが，それらに含まれる公理はつぎの4つの類のどれかにぞくする；(1)弱順序の公理の類，（2）連続性の公理の類，（3）独立性の公理の類，（4）構造の公理の類。上記の類の中で，(1)，(2)，(3)の公理の類が意思決定者の選好行動に関連しており，期待効用概念の基礎となっている。

弱順序の公理の類に関して言えば，ほとんどの期待効用の公理系では弱順序の公理が使われているが，例外としてVon Neumann-Morgensternの公理系
では選択対象の集合の性質から全順序の公理が使われている。連続性の公理の類にはアルキメディアン公理と連続性の公理が含まれており，これら2つの公理のどちらかが期待効用の公理系では用いられている。なお, Herstein-Mil -､orの公理系では，連続性の公理と呼ばれてはいるが，多くの期待効用の公理
系における連続性の公理とは異なった形の公理が採用されている。
独立性の公理の類には，独立性の公理 絶対確実の原則，代替性の公理，単調性の公理が含まれている。独立性の公理の類にぞくする全ての公理を一括して独立性の公理と呼ぶこともある( Fishburn,1979,p. 247 )。本章で収録されている独立性の公理以外に，形の異なる独立性の公理もある( Fishburn ,1979,
p. 247 )。絶対確実の原則にはとくに変った形のものはないが，代替性の公理に関してはHerstein-Milnorの公理系で半々くじに相当する最も単純な形の代替性の公理が使われている。単調性の公理そのものが単独で公理系において用いられているケースは見当らないが，これはほとんど絶対確実の原則に等しい(付録4の定理16,参照）。

－139－期待効用理論

期待効用の公理系では，弱順序の公理の類，独立性の公理の類，連続性の公理の類の各類の中から少なくとも一つの公理が使われている。したがって，各類の中からどれを選ぶかによって種々の公理系が考えられる。

本章で議論される諸公理系は, Von Neumann-Morgensternの公理系VM(1947) , Marschakの公理系M (1950) , Herstein-Milnorの公理系HM(1953), Fergusonの公理系F (1967) , Luce-Raiffaの公理系L R (1957) ,Blackwell-Girshickの公理系B G (1954)である。

上で述べたように期待効用の公理にはいくつかのタイプ。が存在するが，本章でとりあげられた諸公理系にはその他の公理系で使われている諸公理の典型が含まれている。例えば，紙数の都合で省かれたが, Fishburn (1970,PlO7)の公理系では，本章の5節における式（8．17）で表現された独立性の公理，アルキメディアン公理，弱順序の公理から成り立っており, Holloway (1979,p.

439）の公理系は公理系LRから公理LR5を省いたものであり（公理系LRの冗長性に関しては本章，6－2節，参照) , DeGroot (1970, plO1)の公理
系は弱順序の公理，アルキメディアン公理，公理系Fの公理F2において選好関係＞の代りに＞が使われた独立性の公理（弱順序の公理を考慮に入れるとき
これは公理F2そのものである）から構成されている。

本章では，諸公理の典型を含めるという点から，また選択対象の集合が異なるという点から期待効用の諸公理系をとりあげ，我々の批判的視点たる初期条件が考慮されているかどうかを調査する目的で諸公理系を吟味しよう。とくに，

付録4「諸公理系の同値性」と第9章「公理系の評価」における議論の前提として，諸公理系の特徴，それらに含まれる諸公理の特徴，意味などを解説しよう。

2.

Von Neumann- Morgensternの公理系
2－1

公理系VM

抽象的な対象α,6,c,…からなる集合をSとしよう。そしてこの集合S
－140－

第8章

期待効用の諸公理系

では，選好関係α＞6と演算

αα＋（1－α) 6=c,α筐(0,1)
が所与とされる。そのとき，演算αα＋（1－α）6は確率αでαが生じ，確率（1－α）で6が生じることを意味する。換言すれば，αα十（1－α）6は“くじ”（α・α，（1－α）．b）と解釈される。したがって，この演算における記号十は実数やベクトルに対する加算記号でないことに注意されたい。

公理VM1
すなわち，

(全順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は全順序である。
（1）連結性，任意のα,bESに対して，つぎの3つの関係，α＞6，α～6，6房αのどれか一つだけが成立する。

（2）推移性，全てのα，6,">cが成立する。

cESに対して，αン6かつ6>cであるならば,（3）歪対称性，全てのα,6ESに対して，αメゥかつ6ンαならば，α＝6が成立する。

公理VM2(絶対確実の原則- Surething principle ) :もし任意のα,6ESに対して，α＞6ならば，任意のaE(0 , 1)に対してα＞αα十（1－α）6かつ“α＋（1－α）6＞6が成立する。

公理VM3(アルキメディアンーArchimedean )に対して，α＞6かつ6>cであるならば，6＞αα十（1－α)c－141－

もし任意のα,6,cES

期待効用理論

かつ

βα十（1－β) c>6なるα，β筐（0，1）が存在する。
公理VM4(結合の代数- Algebra of combining) :任意のα,beS,

任意のα，β臣（0，1）に対して“α十（1－α）6＝（1－α）6＋αα（8．1）

a（βα十（1－β）6)十（1－α）6＝αβα＋（1－αの6

（8．2）

かつ

が成立する。

定理8 . 1 ( Von Neumann-Morgensternの期待効用定理).q, 6eSに対して〃（α）＞〃（6）－〉α＞6（8．3）

〃（αα＋（1－α）6）＝α〃（α）十（1－α）〃（6），α臣（0，1）（8．4）

であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理VM1, VM2, V
M3,

VM4が成立することである。

さらに，式（8．3），（8．4）を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である；すなわち，関数〃とは異なる関数〃が式（8．3)，（8．4）を満たすための必要充分条件は全てのαESに対して〃（α）＝6〃（α）＋γ

であるような数,6>0とγが存在することである( Von Neumann-Morgenstern ,1947,p.24)。

公理VM1,公理VM2,公理VM3,公理VM4から構成されるVon

Neu mann-Morgensternの公理系を公理系VMと呼ぼう。
－142－

第8章

2－2

期待効用の諸公理系

公理系VMに対する注釈

公理系VMでは集合Sは単なる対象を要素としているが, Von Neumann-Morgens ternはこの対象の背後に順序効用（定義2 .8,参照）を念頭においている( Von Neumann-Morgenstern,1947, p.26,脚注1)。事実，彼らは順序効用で公理系を説明している。もし結果の集合Xの要素〃α，ヵ6に対して意思決定者が，それぞれ，順序効用α，bを付与することができるならば，それらのα’6は集合Sの要素となる。以下ではSを順序効用の集合として議論しよう。

そして，演算αα+(1－α)6= c が所与であるということは，

対象α，6の結合αα＋（1－α）6に対して，αα十（1－α) 6=cとなるようなcが集合Sに存在することを意味する。数学的に言えば，集合Sはこの演算に関して閉じている。そのとき，αα十（1－α) 6=cにおけるcも順序効用となる。

結合αα十（1－α）6は“くじ”（α・α，（1－α）．b）と解釈されうるゆえ
えに，対象cは“くじ”（α・α，（1－α）．b）に付与された順序効用でもある。

集合Sが順序効用の集合であるゆえに，集合Sの任意の要素は一つの数値となる。したがって，順序効用の集合Sにおける選好関係は無差別関係～より強い恒等関係＝の成立を要請する。形式的な便宜上，公理VM1では無差別関係の記号～が使われているが，公理系VMでは記号～の代りに記号＝で公理系を記述することも可能である。また，選好関係の記号＞の代りに記号三(実数の不等号）で処理することも可能である。事実, Von Neumann-Morgensternは記号＞，＝だけを使っている。結果斑α，”に対して〃‘～ヵ6であることは，
公理系VMでは，対象α,6に対してα=6であることが対応している。
本章で，以下に掲げる諸公理系は弱順序であるのに反して, Von Neumann-Morgensternでは全順序である点が，少々，異なっている。容易に理解されるように，これは順序効用，すなわち，実数の性質から生じる結果である。さて，演算αα十（1－α) 6=cにおいてαは区間(0,1)の要素とされてい－143－

期待効用理論

る。すなわち，α＝1ないしはα＝0は許されていない。しかし，結合αα＋（1－α）6は“くじ”（α・α，（1－α）．b)と解釈されうるゆえに，α＝Oのとき結合αα十（1－α）6は6を確率1で与える“くじ”とみなすことができる。したがって，同様に, "==0ならば，αα+(1－α) 6=6と定義される。そのとき，公理VM4が考慮されるならば，集合Sは混合集合となる。
いま，これを示そう。
●

結合αα十（1－α）6をα・α十（1－α）・ひと表現しよう。そのとき,全てのα, 6ESと全てのαE[0,1]に対してαα+(1－α) 6=cとなる
ようなcが集合Sに存在することから，全てのα, 6ESと全てのαE[0,●1］に対してα・α十（1－α)･6ESとなる。これは混合集合の条件M1に対応している。

公理VM4の前半の部分は●●α・α十（1－α）．b＝（1－α）．b＋α・αを意味している。これは混合集合の条件M2に対応している。そして，同様に，

公理VM4の後半の部分は混合集合の条件M3に対応している。また，混合集合の条件M4に対応する部分は，もうすでに，上で示された。

したがって，集合Sは条件M1, M2, M3, M4を満たす。集合Sが混合集合とみなされるとき, Von Neumann- Morgensternの公理系は公理VM1,
VM2, VM3から構成されることになる。

以下，簡単に公理VM1, VM2, VM3の内容を説明しよう。
1）公理VM1(全順序)。結合αα+(1－α)6は“くじ''(α・α, (1-α）．b）に対応し，“くじ”（α・α，（1－α）．b）は“くじ”（α・〃‘，（1－α）・ヵ，）に対応している。ただし，斑、，ヵ6EXで,a,6は，それぞれ, X", "bの順序効用である。したがって，集合Sは結果の集合Xの上で定義された“くじ”の集合』2の要素に対する順序効用から構成されている。この

順序効用は集合2の要素に対して意思決定者が与える選好順位を示す数値であ
－144－

第8章

期待効用の諸公理系

る。それゆえに，集合S上で全順序が成立する。

2）公理VM2 (絶対確実の原則).もし任意のα,6ESに対してα>6ならば，全てのaE(0, 1)に対してαα十（1－α）か＞6が成立することを公理VM2は要求する。結合αα+(1－α)6は確率αでαが生じ，確率（1－α）で6が生じることを示すゆえに，αが生ずれば，6は生じない。そして6が生じるならば，そのときαは生じない。すなわち，αが生じる事象Aと6が生じる事象Bは互いに排反的な事象である。

したがって事象Aが生じることを意思決定者が知っているならば，そのとき意思決定者は6よりも結合αα十（1－α）6を選好するだろう，すなわちαα十（1－α）6湯6となるであろう。事象Bが生じることを意思決定者が知っているならば，そのときαα＋（1－α）6＝6となるであろう。以上を要約すると，事象Aの確率αが正であるかぎり，6よりも選好されるαが生じる可能性，すなわち，正の確率αを有することだけ，結合αα十（1－α）6は6よりも選好される。

3）公理VM2が，ここでは, Jensenに因んで絶対確実の原則(suret hingprinciple )と名付けられているが，その謂れは, Savageにその源を求められるからである(Jensen,1967,p. 174)。本来, Savageが提唱した絶対確実の原則の意味はVon Neumann-Morgensternの文脈ではつぎのような内容である；「事象Aが生じる確率P (A)をα，事象Bが生じる確率P (B)を(1－α）としよう。すなわち，事象Aと事象Bは排反的であるとしよう。そして，

g,

6,

c,

d,

/,

gESに対して2つの関係，/=P (A) c+P (B) g（8．5）

g=P (A) d+P (B) 6(8 . 6)－145－

期待効用理論が成立しているとしよう。事象Aが生じたとき意思決定者の選好は/>gであり，事象Bが生じたとき同様に/>gであるならば，そのとき彼の選好は無条

件に/>gとなる。さらに,(事象Bの確率P (B)が正であるという条件のもとで）事象Bが生じたとき，彼がgよりも／を選好し，かつ，事象Aが生じたとき，彼が／よりもgを選好することはないならば，そのとき彼は無条件にgよりも／を選好する(Savage,1954,p.21)｡」

形式的には,

P 2 ( postulate 2の意味）の前提のもとでP3と論理的に同値な定理3（原書の番号）としてこの原則は与えられている( Savage ,1954 ,p 26)。このSavageの絶対確実の原則における後半の部分を形式的に書き換
えると,P(B)>0に対して事象Bが所与であるとき, />9,すなわち，

α＞6，かつ，事象Aが所与であるとき,/%9,すなわちc>αであるならば，そのとき/>gが成立する。

いま,

c=d=αとおくならば，式(8．5), (8. 6)から/'=P (A) '+P (B) @g'=P (A) '+P (B) 6が得られる。この/',g'に絶対確実の原則を適用するとき，事象Aでは，／'～g',すなわち，α～α，かつ，

事象Bでは,/'%9',すなわち,

であるならば，そのとき,

g>6

P(B)>0に対し/'> g'となる。すなわち，P (A) q+P (B)αンP (A) @+P (B) 6

－146－

第8章

となる。したがって,

期待効用の諸公理系

g=P (A) @+P (B)αと表現し，α6ならば，任意のα匡（0，1）に対してαシαα十（1－α)b(8．7)

が成立する。

式（8．7）は公理VM2の成立を意味している。ただし，式(8.7)に限定するかぎり, Savageの絶対確実の原則はα=0のケースを含むが，VM2では,

公理"=0のときαα＋（1－α）6湯6が成立しないことに注意されたい。

4)公理VM3 (アルキメディアン）。対象αが対象6より選好され，かつ対象6が対象cより選好されるならば，そのとき，結合αα＋（1－α)cは，確率αが充分に大きいとき，対象6より選好される。また，確率αが充分に小さいとき，対象6はこの結合より選好される。これが公理VM3の内容である。

さて，自動車の大型車，中型車，小型車の順序効用を，それぞれ，α（大），6（中),c(小）としよう。いま，α（大)>6(中)>c(小）であるとき，αa（洵十（1－α)c@j9>6仲)(8.8)

なるαの存在が公理VM3によって要求されている。結合αa（大)+(1－α）

c(小）は，α巨(0,1)では,6(中）より選好されないc(小）が起る
可能性を有している。しかし，その可能性（1－α）が極度に小さいならば，そのとき式（8．8）はこの結合と6（中）に関する選好の表現ではあるが，c(小）の可能性(1－α）が無視され，α（大）と6(中）に関する選好関係が重視されるだろう。すなわち，結合αa（大）十（1－α)c(小）と6（中）に関する選好は，確率（1－α）が極度に小さいとき，実質的にはα（大）と6（中）におけるそれになるだろう。
5）しかしながら，自動車ではなくて,最も忌み嫌われるべき死が選択対象で－147－

期待効用理論

あるとき，公理VM3の成立に疑問が生じるかもしれない。いま，死の順序効

用をd(死）としよう。そのとき，結合αa（大)+(1－α)d(死）において，確率（1－α）が極度に小さいとき，公理VM3はαa（大）＋（1－α)d(殉>6(中)(8.9)の成立を要求する。式（8．9）の成立は不当であると考える人々がいるかもしれないが，日常生活においてはこの要請を満たすような行動が，普通，とられている。

例えば，外出には交通事故による死の可能性がある。それにもかかわらず，
人々は外出が生みだす便益を求めて行動する。それは，通常，事故死の可能性が非常に小さいとみなされているからであろう。した力:って，外出という行動
は忌み嫌われるべき死の可能性をともなうが，その可能性が極度に小さいためにそれが生みだす便益にもとづいて価値判断されているようにみえる。
このように，公理VM3は絶対的に忌み嫌われるべき選択対象の存在を許さない。逆に絶対的に愛好されるような選択対象の存在も許さない。

公理VM3は実数のアレキメデスの性質( Archimedian property)との対応からアルキメディアンと呼ばれる，正の数％がいかに小さくとも，正の数yがいかに大きくとも，〃〃>jノとなるような正の整数〃が存在すること，これがアルキメデスの性質である。
これは任意の2つの正の数が比較可能あるいは連結的であることを意味している。したがって，公理VM3 (アルキメディアン）では結合αa（大)+ (1－α）‘（死）に非常に小さな順序効用d(死）が含まれていようとも，この結合が6（中）より選好されるようなaE(0 , 1)が存在する。経済学的に言えば，公理VM3は全ての財には価格が付与されうることと同様な内容を有
している。

－148－

第8章

3.

期待効用の諸公理系

Marschakの公理系
3－1

公理系M

集合Sは有限個の点の集合Xの上で定義された確率ベクトルの集合としよう。

公理M1(弱順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である。す～なわち，(1)連結性と（2）推移性が成立する。

公理M2(代替性):もしα,tz'E Sに対してα～α'であるならば，そのとき全ての6ESと全てのaE(0,1)に対してαα十（1－α）6～αα'＋（1－α）6が成立する。

公理M3(連続性):もしα,6,cESに対してα湯6>cならば，そのとき，6～αα十（1－α)cなるような"E(0,1)が一意的に存在する。

公理M4(構造):集合Sにはα>6あるいは〃＞αであるような要素α’6が存在する。

確率ベクトルα＝（’‘，此’･･･，’,）は結果ベクトルjif= (x[,x2,…，",)の上で定義されているとしよう。確率ベクトルαに関する関数〃の期待値
E (",@)はγ〃(g) =E(",Q) =Z p,zI("I)
j＝1と定義される。

定理8 . 2

( Marschakの期待効用定理).d,－149－

6ESに対して

期待効用理論

α＞6 －＞〃（α）＞〃（6）（8．10）であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理M1, M2,

M3,

M4が成立することである。

さらに，式(8 . 10)を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である( Mars chak ,1950)。
公理M1,公理M2,公理M3,公理M4から構成されるMar schakの公理系を公理系Mと呼ぼう。

3－2

公理系Mに対する注釈

第2章3－2節「確率ベクトルと単純確率分布」において《《くじ”と確率ベク
トルの対応関係が述べられた。そしてMars chakの公理系は弱順序，代替性，連続性の諸公理ならびに構造の仮定である公理M4から成り立っている。一方，
第3章2節｢期待効用定理｣では，選択対象は“くじ”であるが，弱順序，代替性，連続性の諸公理からなる公理系について述べられた。したがって，構造上の公理M4を除くとき，“くじ”と確率ベクトルの対応関係からM arsch akの公理系は第3章2節の公理系に完全に対応している。弱順序，代替性,連続性の公理に関する解釈については第3章2節を参照されたい。ここでは, Von Neu-mann- Morgensternの公理系とMarschakの公理系について比較,検討しよう。
1）公理系VMでは選択対象は順序効用であり，公理系Mではそれが確率ベ
クトルである。確率ベクトルでは歪対称性が成立しないゆえに，選好関係は公理

系VMでは全順序であるのに対して，公理系Mではそれが弱順序である。

2）記号十は，公理系VMでは混合集合の演算牛pOと同じ解釈をしなければならないが，公理系Mではベクトルとスカラーに関する加算，乗算におけるよ

うな普通の意味として使われている。その点では, Marschakの公理系は直観的に理解容易である。ただし，第2章3－3節「混合集合」において述べられたように確率ベクトルの集合は混合集合であるゆえに，記号十がこの公理系で

－150－

第8章

期待効用の諸公理系

も混合集合の演算と解釈されることにはなんら支障はない。

3）公理系VMにおける結合⑰α十(1－α)6は，実質的には9!fくじ''/＝（α・α，（1－α）．b）を意味している。一方，確率ベクトルは“くじ”に対応している。したがって，公理系VM,公理系Mの両者とも“くじ”に関する期待効用の公理系と考えられる。

4）代替性の公理M2と絶対確実の公理VM2を比較するとき，数値における大小関係では等号は不等号よりきびしい制約であるというような意味で，代替性の公理は絶対確実の公理よりきびしい条件である。

5）結果の集合Xの要素に対する順序効用は公理系Mにおける単位ベクトルに対応する。例えば，結果ベクトルをカ= ("@,"6,"c), x｡, x6, "cEXとしよう。そのとき,Xg,"6,Xcが確率1で生じる確率ベクトルは，それぞれ，(1,0,0),(0,1,0),らの単位ベクトル(1,0,0),(0,0,1)となる。このように，これ(0,1,0),(0,0,1)と順序効用

g,6,cは結果"g,X6, Xcに対応している。

6）構造上の公理M4は集合Sには無差別でない要素が少なくとも二つ存在することを要請している。

一方, Von Neumann-Morgensternの公理系にはこの種の公理はない。しかし，つぎのような脚注が示されている；“厳密に言って，公理系は二つの異った順序効用が存在しない可能性を認めている。この可能性はほとんど興味をひ

くものでないが，それは容易に処理される( Von Neumann- Morgenstern ,1947, p 627) ｡''事実，集合Sの要素が全て同じ( Marschakの公理系では無差別）であるならば，集合S上で定義された効用関数を見い出す問題は集合Sの全ての要素αに対して一定値を与える関数，例えば〃(g)= 1を定義することによって解決される。我々がとり挙げた諸公理系においてこの種の仮定を公理として掲げるものはMaIschakの公理系のみである。

7）公理系Mには公理VM4 (給合の代数)に相等するものはない｡結合ac－151－期待効用理論＋（1－α)bにおける結合の対象cがまたc＝βα+(1－β)6と定義された結合であるとき，2段階の結合a（βα＋（1－β）6）＋α6が一段階の結合αβα十（1－αβ）6と等しいこと，これが公理VM4の後半部分の内容であった。しかしながら，2段階の構成からなる結合が一段階の結合と等しい，あるいは，無差別であることはギャンブル的な要素をできるだけ避けようとする人々，あるいは，それを特に好む人々にとって認めがたいことである

かもしれない。この点に関するVon Neumann-Morgensternの見解によると，
彼らの公理系にはギャンブルの効用は含まれていないとされている( Von

Neumann-Morgenstern ,1947 ,p. 28)。
一方, Marschakの公理系では選択対象が確率ベクトルであるゆえに，結合αα十（1－α）6は単なるベクトル演算として算定される。したがって

αα十（1－α）6＝（1－α）6＋ααa（βα十（1－β）6）＋（1－α）6＝αβα十（1－αβ）6が成立する。このように，ベクトル演算の使用そのものが公理VM4の成立を仮定していることになる。すなわち．ベクトル演算あるいは確率演算がMar-

schakの公理系では選好行動において暗黙的に正当とされている。

4.

Herstein- Milnorの公理系
4－1

公理系HM

集合Sは混合集合としよう。

公理HM1 (弱順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である。
～

すなわち，（1）連結性と(2)推移性が成立する。

公理HM2 (代替性):もしα,g'ESに対してα～α’ならば，そのとき全ての6ESに対して

－152－

第8章

期待効用の諸公理系

百・‘号･‘~号･a'亀･‘
1が成立する。

公理系HM3 (連続性):全てのα,6,cESに対して集合Aと集合B,

すなわち，
●

A={ cz Iα・α+(1－α) ･6%c}～と●B={"|c>"･g+は閉集合である。ただしαE[0,定理8 . 3

(1－α)

･b}

1]である。

(Herstein-Milnorの線型効用定理).

g,6ESと全てのαE[0, 1]に対して〃（α）＞〃（6） ー α＞6〃（α・α牛（1－α) ･b)=α〃(｡) + (1－α)"(6)であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理HM1,（8．11）(8.12)
HM2,

H

M3が成立することである。

さらに，式（8．11)，（8．12）を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である( Herstein- Milnor, 1953)。
公理HM1,公理HM2,公理HM3から構成されるHerstein-Milnorの公理系を公理系HMと呼ぼう。

4－2

公理系HMに対する注釈

1）結果の集合xが有限個の要素を含むとき，確率ベクトルに関する効用関数
はMarsch akの公理系で取り扱われた。これに対して, Herstein-Milnorの公理系は要素の数が有限でないケースに拡張する意図で作られた。一方, Bl ack well-Girshickの期待効用定理にみられるように，無限集合Xで定義された離－153－

期待効用理論

散的確率分布に対する効用関数は有界( bounded)となる。この有界性はHerstein-MilIm･ (1953)では議論されていない( Fishburn, 1967)。
このような意味から言って,Herstein-Milnorは混合集合の上で定義された

線型効用関数を導きだしてはいるが，必ずしも，混合集合の上で定義された期
待効用を確立しているわけではない。もちろん,Herstein-Milnorは線型効用関数の議論に限定してはいるが，本来の目的である無限集合での期待効用には未解決の問題が残っていた。

2）しかしながら，いままで述べてきたように，第3章における“くじ"の集合, Von Neumann-Morgensternにおける順序効用の集合, Marschakにおける確率ベクトルの集合，これらはいずれも混合集合であった。したがって，これらの上で定義される線型効用関数はHerstein-Milnorによって導出された線型効用関数の特殊な場合であると言える。

さらに，“くじ”の集合, Von Neumann-Morgensternの順序効用の集合，
Marschakにおける確率ベクトルの集合がいずれも有限個の要素を有する結果の集合Xにもとづいているとき，期待効用はHerstein- Milnorの線型効用関数によって定義される。また，本章における期待効用定理の諸公理系は，付録4で示されているように，混合集合の条件のもとでは定式化における外見上の相違にもかかわらず同値である。このような意味で,Herstein-Milnorの定式化

は結果の集合Xが有限個の要素を有するときの期待効用定理における一般化とみなされる。

3）公理HM2はつぎのような内容を主張する；もしαとα'の選好に関して意思決定者が無差別であるならば，そのとき，全ての6に対して，選択対象α，6の半々くじ'＝(;･a,;･’)と選択対象‘'’6の半々くじ'，=(;･a'，:．‘)の選好に関して意思決定者はまた無差別である｡線型効用関数の存在を証明する過程で, Herstei n-MilnorはMarschakの公理M2(代替性）に対応する定理（原書の定理2）を導きだしている( Herstein-Milnor, 1953,p.294)。

－154－

第8章

期待効用の諸公理系

すなわち，α～α'なるようなα',gESに対して，全ての6ESについて

ノー(;･a,;･’)～''＝(;･α',;･‘）が成立することは，全てのαE[0, 1]に対して，

ノ!＝（α・α，（1－α）．b)～/i=("･g',(1－α）・6)(8 .13)なることを公理系HMとして要請している。
ここで，“公理系HMとして”という意味は公理HM1,

HM2,

HM3の

成立が式（8．13）を要請しているのであって，公理HM2だけがこの結論を指していることではないということである。一方，式（8．13）においてα＝;のとき,公理日M2が生じる｡このように｡公理M2(代替性)の特殊形が公理HM2であると言うことができる。

そして，このMars chak型の代替性を通じて証明の過程は進められているゆえに，証明の過程を単純化するために式（8．13）の形式が公理HM2の代りに公理として使われうる。しかしながら，公理HM2は半々くじという驚くべき簡明性，あるいは，直観的な理解容易性を有する。そこで,Herstein-Mil-

norは言う;"一般性と直観的な理解容易性における公理HM2の利点(gain)
は結果として生じる数学的な（証明の）複雑さに，充分，値すると我々は感じている( Herstein-Milnor, 1953, p 294,脚注)｡”●

4）集合A= {"|α・α+(1－α)･6/c}が閉集合であることは集合Aの要素αjから構成される点列{"f}がαに収束するならば，そのとき極限値αが集合Aの要素であることを意味する。すなわち，もしlimj→函αj＝αかつα’．α十（1－αi) ･6>c
ならば，そのとき●

α・‘十（1－α)･6%cとなる。集合B={"| c〆α・α+(1一α)－155－･6}に関してもそれは同様

期待効用理論である。公理HM3 (連続性）の内容はこれである。
関数／（"）が”＝〃’のとき一つの定まった値／（苑,)を有し，かつ, lim
工→エ，/(") = /(",)なるとき，関数/(x)は節= X1において連続であると言われる。そして関数／（斑）が区間Iにぞくする全ての〃に対して連続であるときには，区間Iにおいて関数／（労)は連続であると言われる。この関数の連続性に関する定義の類推から公理HM3の連続性に対する解釈力:得られる。

公理HM3における連続性の意味は意思決定者の選好関係＞が連続であるということである。すなわち，選好関係＞があるαにおいて●α・α十（1－α)･6>cを成立させ，
limj…αj=="と●"j･ 'z+ (1－αi)

6>cがα・‘＋（1－α)･6>cを意味するならば，そのとき選好関係＞はαにおいて連続であると言える。そして，選好関係＞が全てのaEAに対して連続であるとき，区間Aにおいて選好関係＞は連続であると定義される。この選好関係＞の連続性の定義は集合A＝｛α｜α・α十（1－α)･6>c}が閉集合であることそのものである。
この議論から理解されるように, Von Neumann-Morgensternにおけるアル

キメデスの公理, Marschakにおける連続性の公理など，いずれも選好関係の性質を規定していることが判明する。

5.

Fergusonの公理系
5－1

公理系F

集合Sは単純確率分布( simple probability distribution)の集合としよう。

－156－

第8章

期待効用の諸公理系

ただし，集合Sの要素は有限個の結果から構成された集合Xの上で定義された確率分布である。そしてα,6ESとαE[0 , 1]に対してαα+(1－α）

6は部分集合A(こx)の確率がαa(A) +(1－α)6(A)であるような確率分布である。

公理F1(弱順序）：集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である。す～なわち，(1)連結性と (2)推移性が成立する。

公理F2(独立性- Independence ) : (z , 6 , c E ､S'と全てのαE(0, 1)に対してαα十（1－α)c湯α6+(1-") c
なるための必要充分条件はα＞6である。

公理F3(アルキメディアン):もしα,6,cESに対してα>b %cならば，そのとき

αα＋（1－α) c%6
かつ6＞βα十（1－β)cなるα,"E(0,1)が存在する。

定理8 .4 (Fergusonの期待効用定理).

g,6ES,に対して

α＞6－＞〃（α）＞〃（6）であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理F1,（8．14）
F2, F3が成立することである。

さらに，式（8．14）を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である( Ferguson, 1967)。

－157－期待効用理論

ただし〃(@)=E(",c)=Z"(")@(")
x EXと定義される。そして公理F1,公理F2,公理F3から構成されるFergu sonの公理系を公理系Fと呼ぼう。

5－2

公理系Fに対する注釈

1）要素α,

6ESに対してα>6であることの否定は6>αである。なぜならば，公理F1の弱順序性により全てのα,6ESに対してαン6,α～6,6＞αのどれか一つが成立しなければならない(第2章4－2節｢弱順序，全順

序，半順序」，参照)。それゆえにロメ6，または，α～6が否定されるとき，
6法αが成立する。したがって，公理F2の必要条件の部分の対偶，すなわち，αα十（1－α) c>"6+(1－α)cであるならばα＞6であることの対偶は6＞αならば～

α6十（1－α)c>αα+(1－α)cであることである。

このように，公理F2は，必要条件の部分ではα>6ならばαα十（1－α) c>"6+(1－α)cであることを，充分条件の部分ではα＞6ならばαα十（1－α) c>"6+(1一")cであることを要求している。

そしてα～6がα＞6，かつ，6＞αを意味していることを考慮するとき，
公理F2は，もしα～6であるならば

αα十（1－α) c>d6+(1－α)c（8．15）

α6十（1－α)c>αα+(1－α)c（8．16）

かつなることを要請する。したがって，もしα～bであるならば，式（8．15），

－158－

第8章

期待効用の諸公理系（8．16）によりαα十（1－α)c～α6+ (1－α)cが成立する。

そしてα湯6が成立し，α＞6が成立しないならば，α～6が成立する。以
上の議論から，公理F2は（1）もしα＞6ならば，そのときαα＋（1－α) c>czb+(1－α)c（8．17）

あるいは（2）もしα～6ならば，そのとき

αα十（1－α)c～α6+ (1－α)c(8.18)

これら二つの内容を含んでいることが判明する。

式（8．17）も独立性の公理と呼ばれている( Fishburn, 1970, Jense n ,1967)。式（8．18）は明らかに代替性公理である。
2）式（8．17）の部分に限定して公理F2の解説をしよう。

結合αα＋（1－α)cは“くじ”ノ,=("･", (1－α)･c)と解釈される。同様に，結合α6＋（1－α)cは“くじ"/2=(cz･6,(1－α）．c)となる。事象Aが生じる確率P(A)をαとし，事象Bが生じる確率P (B)を（1－α）としよう。そのとき，公理F2はもしαが6より選好されるならば意思決定者が“くじ”／2より“くじ”ノ,を選好することを要請する。
支払行列を考えることによってその意味が一層明瞭になるだろう。
表

１

Ｊ

２

Ｉ

－159－

A

B

Ｃ

l

象

Ｃ

Lノ

事

〃〃

1､､

、

支払行列

ａ

ttノ

8－1

つぎの

期待効用理論

支払行列から理解されるように，事象Bが生じたときには，“くじ”／Ⅱと“くじ”ノ2は同じ確率分布cをもたらす。事象Aが生じたときには，“くじ”/1は確率分布αをもたらし，“くじ”ノ2は確率分布6をもたらす。確率分布αが確率分布6より選好され，事象Aが生じる確率P(A) =αが正であるとき，“くじ”ノ,は，6より選好されるαが確率P (A)で得られる可能性が存在するゆえに，“くじ”／2より意思決定者にとって望ましいと言える。言い換えると，“くじ"/1は“くじ"/2を支配( dominate)している。さらに公理F2は，事象Aの確率P(A)が任意の値α巳(0, 1)であり，確率分布cESが任意であるときにも，この支配の成立を要求している。

3）式（8．17）のタイプ．はSamuelson (1952, 1966)によって提唱され，独立性の公理と呼ばれた。しかしながら, Samuelsonは確率論の独立性の公理( the independence axiom of the probability theory)なる表現を使っているが，確率論で使われる独立性と公理F2における独立性とは意味が異なる( Samuelson, 1952, p. 673 )。したがって，この独立性の意味は少々注意を必要とする。

いま，事象Bが起ったという条件のもとで事象Aが起る条件付確率をP(A/B)と記すことにしよう。そのとき, P(A)>0ならば2つの事象A,Bが確率的に独立であるための必要充分条件はP(A/B)=P(A)(8.19)

が成立することである(Feller, 1950,p. 114)。しかしながら，事象A,Bの排反性から, P(A)=",P(A/B)=0となり，式(8 .19)は成立しない。
したがって，事象A,Bは確率的に独立ではない。

公理F2における独立性とはつぎのような内容である；事象Aと事象Bは相互に排反的( mutually exclusive)である。すなわち，事象A力:生じたならば，

事象Bは生じないし，事象Bが生じたならば，事象Aは生じない。事象Aが生じたとき，選好問題は，支払行列（表8－1）から理解されるように，選択対
－160－

第8章

期待効用の諸公理系

象αと6の間における選好を決めることである。一方，事象Bが生じたとき，選好問題は選択対象cとcの間における選好を決めることである。したがって，
事象Aと事象Bの相互排反性によって事象Aにおける選好問題が事象Bにおける選好問題に影響を与えることはないし，逆に事象Bにおける選好問題は事象Aにおける選好問題に影響を与えることもない。このように，公理F2における独立性は事象Aにおける選好と事象Bにおける選好が独立であるという意味
である。

6.

Luce-Raiffaの公理系
6－1

公理系LR

有限個の結果を含む集合Xを
X={力」' "2'…，〃γ｝とし，そのXの上で定義された“くじ”の集合をSとしよう。また，結果〃j，〃j十,にはヵj >xj+,なる関係があるとしよう。

公理LR1

(弱順序）

：集合Xの要素に関する選好関係＞は弱順序である。
～

すなわち，(1)連結性と (2)推移性が成立する。

公理LR2(複合く じの簡略化）．”,)，’＝1，2， ..･9

Sならば，もし/j =(p(i)･"｣, ")･x2,…, '(;)
そのとき（91．/1，92． /2,･･･, 9s･ /，）= (p1･"! ’’2．〃2，．“ ,p,・ヵ,）となる。ただしか＝9‘銚'） "2 pI2'+…+ 9s p(>)
である。

－161－

期待効用理論

公理LR3 (連続性):全ての〃iEXに対して力'～("#･x' ,0･"2,…, 0･",-!,(1－αj)",) =r,であるような数ajE[0,1]が存在する。便宜上，ri= (czi･"!, (1－αi) ･",)と表現しよう。

公理LR4 (代替性):全ての“くじ"/ESにおいて謡は"jと代替させられうる，すなわち，(p｣･"｣ , p2･"2,…,''・”'）～( ',．", ,,2･"2,…’pj･ri ,…, ',･ ",)が成立する。

公理LR5 (推移性):"くじ”に関する選好関係＞は推移的である。
～

公理LR6

(単調性）

(,'･"!, (1-p')“くじ''/,=(p・妬!,(1-p)･",),/2=",）に関して/‘＞/2なるための必要充分条件は，＞，，なることである。

定理8 . 5 ( Luce- Raiffaの期待効用定理).

/,/'巨Sに対して/済ノ'一一〃（ﾉ）≧〃(/')
であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理LR1,
R3,

LR4,

LR5,

(8 . 20)
LR2,

LR6が成立することである。

さらに，式（8．20）を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である( Luce-Raiffa, 1957)。

ただし,/=(p｣・"1'座・え2，…,',・力,）に対してγ"(/)=E(", /) =Zp#"(xi)
8=1

－162－

L

第8章

期待効用の諸公理系と定義される。そして公理LR1,公理LR 2,公理LR 3,公理LR 4,公理LR 5,公理LR6から構成されるLu ce-Raiffaの公理系を公理系LRと呼
ぼう。

6－2

公理系LRに対する注釈

1）3章2節における公理系と同様に,

Luce-Raiffaの公理系は結果の集合

Xの上で定義された“くじ”に対する効用関数の存在を保証している。公理L

Rlは結果の集合の要素に関する弱順序を要求している。一方，第3章における公理1は<‘くじ',の集合’の要素に関する弱順序を要求している。結果の集合に関する選好と“くじ”の集合に関する選好を区別しようとしている点に公理
系LRの特色がある。

しかしながら，結果の集合Xは任意の対象から構成される集合であるゆえに，集合Xが“くじ”の集合であることも可能である(第7章2－2節「小世界と期待効用｣，参照)。そのとき公理LR4と公理LR6は重複した内容を有するゆ
えに，どちらか一つは期待効用の公理系には不必要である（付録4，参照)｡また，公理LR5は公理LR1に含まれることになる。その結果，期待効用の公理系は公理LR1,

LR2,

LR3,

LR4から構成されることになる。したがって，ここでは，結果の集合Xは確実な結果から構成されていると解釈しよう。

2）公理LR5は“くじ”に関する選好関係が推移的であることを示しているが，“くじ”に関する連結性は公理系LRには明示的に示されていない。そこで，公理系LRにおいて“くじ”に関する連結性がどのように引きだされるかをたどってみよう。

任意の“くじ”/における結果ヵjに対して公理LR3,公理LR4

公理L

R5,公理LR2を順次適用するならば，そのとき公理LR6のタイプの“くじ”が得られる。すなわち’任意の､‘くじ''－163－/=(p1･"], '2．"2,…，必。〃γ）

期待効用理論における任意の節jに対して，公理LR3によって

節#～("j･x',(1－αi)･"r) =r,なるαjE[0,1]が存在する。公理LR4によって/= (' ･x1 ,,2･x2,…．，A・邦＃，…’，・ル）~(p]･"[ ,必・"2,…, pj･rj ,…, ',･ ",)が得られる。この過程を”タキ列，（ノー1，2，．．．，γ，ノキ')に適用すると
き，公理LR5によって，最終的に／～(' ･r! ,九・了2，…, ',･r,)が得られる。そのとき，公理LR2によって，／～（，！．r[ , ,2．了2，…, p,･r)～（，．〃！，（1－，）・〃,）となる，ただしカーα】'! + "2 12+…＋αγ必である。

このように，任意の“くじ”/に対して，それと無差別な（’・〃‘，（1－’）・嫁）なるタイプの“くじ”が存在する。そして（’・〃！，（1－’）・”γ）
タイプの“くじ”に対しては，公理LR6によって,'の大小関係を通じて連結性が保証されている。この連結性が公理LR5における“くじ”の推移性によって“くじ”に関する連結性に移行される。
3）確実な結果の集合Xに関する連結性は“くじ”の集合sに関する連結性

よりも意思決定者にとって処理しやすい仮定であろう。例えば，100万円と10万円の比較は‘ くじ"',=(;･'00万円,;･'0万円),’2=(;･'00万円．
:．30万円)に関する比較より容易である。
4）公理LR2は公理VM4の後半部分あるいは混合集合の条件M3に対応している。留意されるべきことは確率ベクトルp(i)= ( p{') , ") ,…, p(/)),(j＝1，2，…,s)と確率ベクトル9= (91,92,…, 9s)が互いに独立であるこ

－164－

第8章

期待効用の諸公理系とである。

5）最も選好される結果ヵ,と最も選好されない結果ル,これら二つの結果だ

けを含む“くじ”／,＝（，．”’，（1－p)・灘,),/2=(p'･"｣,(1一'')･鰯,）が存在するとき，意思決定者は結果苑,が生じる確率の大きい“くじ”を選好すること，これが公理LR6の内容である。したがって最も選好される結果",の確率，が大きくなればなるほど，“くじ"/=(p･x1,(1-p)･x,)はますます選好されるようになる。さらに，確率，が大きくなるとき，最も選好されない結果斑,の確率(1-')は小さくなる。
6）関数／（")において妬!>"2ならば/ (",)>7 ("2)であるとき，関数／（節）は単調増加あるいは単調であると言われる。同様に，“くじ" /=(p･",, (1-') ･妬,)においてp,>,2ならば，(p,･"｣, (1-p,) ･x,)%(p2･"｣, (1-p2)･妬,）であるゆえに，“くじ”／は，に関して単調であると言えるだろう。公理LR6における単調性はこのような意味で使われている。

7.

Blackwell-Girshickの公理系
7－1

公理系BG

集合Sは離散的確率分布( discrete probability distribution )の集合としよう。すなわち，集合Sの要素は可付番無限個の( denumerable)結果から構成される集合の上で定義されている。そして，確率分布αα+(1－α)6Esにおいて部分集合ACxが生じる確率をαα(A) +(1－α) b(A)と表現しよう。

公理BG1(弱順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である～

すなわち，(1)連結性と（2）推移性が成立する。

公理BG2(独立性):全てのα", 6"ESに対してα">6"が全ての〃につ
～

－165－

期待効用理論

いて成立しているならば，そのとき

Zﾃｰ」α〃α" >ZW-』α" 6",α赫三0 ,ZW=Ⅱα,,=1が成立する。さらに，もしある自然数〃に対してα">0で，α河>6"であるな
らば，そのとき

Zﾃｰ」α"g">Z胃=Ⅱα"6"が成立する。

公理BG3(連続性):もしα,6,cESに対してα>6 /cであるならば，そのとき6＞αα十（1－α)cβα＋（1－β) c>6
なる，α, "E(0,1)が存在する。

定理8 . 6 ( Blackwell- Girshickの期待効用定理).

α法6 －〉〃（α）＞〃（6）g,

6ESに対して（8．21）

を満足する“有界”な関数〃が存在するための必要充分条件は公理BG1,
G2,

BG3が成立することである。

さらに，式（8．21）を満たす関数〃は正の線型変換まで一意的である( Blackwell-Girshick, 1954)。
ただし｡｡〃(g)=E(",g) =Z"(",)g(ヵj),雄EX
j＝1と定義される。そして公理BG1,公理BG 2,公理BG3から構成される
Blackwell-Girshickの公理系を公理系BGと呼ぼう。

－166－

B

第8章

7－2

期待効用の諸公理系

公理系BGに対する注釈

1）公理BG2はFergusonの公理F2を可付番無限の場合に拡張されたものと考えられる。そしてこの公理によってBlackwell-Girshickは効用関数の有界性を導いている。いま，彼らの議論に従ってこの有界性を示そう( Blackwell-Girshick, 1954, plO9)。効用関数〃は（上から）有界でないとしよう。そのとき，α"ES,("=1,2,…）に対して〃(a") >2" ,かつ〃(@") >〃（α"_!）である列｛α"｝を作ることが出来る。そして
6 =ZW_1 2-" a"6N= (EW_1 2-" a") + 2-〃α〃としよう。そのとき,

2-"=Z7="+1 2-"から，

6 =ZWL] 2-" g"+ZW_Iv+] 2-〃α〃6"=ZW_｣ 2-"α禰+ZW_"ﾅ, 2-"α〃であるゆえに，公理BG2によって全ての〃に対して6房6〃となる。したがって全ての〃に対して“（6）＞〃（”となる。一方，仮定〃（α"）＞2"によって" (6N) = " (ZW_｣ 2-" @"+2-卿α"）=EW_1 2-" " (｡") + 2~" " (α〃>"+ 1が得られる。そのとき，全ての〃に対して〃（6）＞〃（”＞〃＋1となるが，〃（6）はある実数値であるゆえにこれは不可能である。このように，公理系BGでは効用関数〃は有界となる。
2）もし効用関数〃が有界ならば，そのとき" (Zr_' "" @") = Z胃_! "" " (g")
が成立する。
〆－167－

期待効用理論

なぜならば，いま，ある数"0より大きい自然数〃に対してα〃>0(したがって全ての〃に対してZ胃_".！α"キ0）としよう。そのとき" (Z W_' "" "") = " [EW_｣ <z" ｡"+ (E系"+! "")Z W="十! (""/ZW=NHα〃)@"]=EW_' "" " (｡")十Z篇_"+｣ "" " (Z7_"+｣ ("" / EW_"H "") g")が成立する。関数〃は有界であるゆえに，Ⅳ→｡｡のとき

E W_,v十』α" " (Z7_"兼! ((z"/ZW-"､【α") "")→0となる。したがって"(E胃=1 ""α")=Z胃_' "" " (｡")
が得られる。

3）結果の集合Xは金額の集合とし，力』, "2EXに対して%1 >"2であるな

らば斑,> x2であるとしよう。もし効用関数が〃(") ="であるならば,期待値が存在するような確率分布の集合Sに関してFergusonの公理系は成立している。いま，これを検証しよう。

効用関数〃（妬）＝斑は全てのα, 6ESに対して
α＞ウー> E(",g)≧E(",6)
なる関係を満たす。明らかなように,(8.22)

E(@4,a)は，〃(")="であるとき，確率分布αの期待値である，すなわち，E(",Q) =E(x,g)=Z xuz(")

式（8．22）は弱順序の成立を意味している。したがって公理F1が成立する。そしてE (","Cz+(1－α)c)=E x{αα(x) +(1－α) c(x)}=Zrαα(x)+ Zr(1－α) c(")="E(", Q)+(1－α)E(", c)であるゆえに，αα十（1－α) c>cz6+(1－α)c

－168－

第8章

期待効用の諸公理系であるための必要充分条件はE (",αα+(1－α)c)三E (","6+(1－α)c)
すなわちE (z',Q)三E(",6)
すなわち
α＞6

である。したがって公理F2が成立する。また，もしα>6 >c,すなわち，

E (",g)>E(",6)>E(",c)であるならば，そのときαα＋（1－α)c>6(8.23)であるための必要充分条件は"E (",')+ (1－α)E(",c)>E(",6)(8．24)となる。それゆえに式（8．24）を満たすaE(0,1)が存在し，そのαは式（8．23）も満たす。同様に，6＞βα十（1－β)cを満たすβ巨（0，1）も存在する。したがって公理F3が成立する。
しかしながら脚（"）＝ヵは有界な効用関数ではない。このように, Fergusonの期待効用定理では効用関数の有界性は要求されていない。
4）もし公理BG2が成立するならば，そのときα岸6,c～cなるα,6,cESに対してαα十（1－α) c>"6+(1－α)c（8．25）

が成立する。それゆえに，公理BG2は公理F2よりも強い仮定と言える。
しかしながら，付録5の定理5から理解されるように，もしSが離散的確率分布の集合であるならば, Fergusonの公理系は効用関数の有界性を要求している。したがって離散的確率分布の集合における期待効用定理であったとしても，公理BG2を有限個の結合である式(8 .25)タイプ°の独立性公理によっておき換えることが可能である。その意味では公理BG2は冗長な公理である。

－169－

第9章

1．

は

じ

め

公理系の評価に本章の2節では、期待効用の公理系または公理の一般的性格ならびにそれらに望まれる一般的性質について、主としてVbn Neumann-Morgenstern (1947)の所論から、考察がなされる。未定義の概念及びルール、公理系における公理の数､単純性､理解容易性、直観的明瞭性、直載的感覚などが議論の対象である。

第8章でとりあげられた諸公理系が基本的には同値であることは付録4で示されている。その諸公理系に含まれる各公理はつぎの4つの類のどれかにぞくする、（1）弱順序(の公理)の類：弱順序の公理、ただし公理系VMでは全順序の公理、（2）独立性(の公理)の類：独立性の公理、絶対確実の原則、代替性の公理、
単調性の公理、（3）連続性(の公理)の類：アルキメディアン公理、連続性の公理、（4）構造(の公理)の類：混合集合、公理VM4，公理M4、公理LR 2｡
その中で、（4）構造の類にぞくする諸公理は各公理系において必ずしも掲げられていないが、暗黙的には仮定されている。そして、付録4の議論から理解されるように、意思決定者の選好行動を強く規制していると考えられる諸公理

は(1)弱順序の類、（2）独立性の類、（3）連続性の類のどれかに含まれている。
さらに、各公理系はこれら(1)、(2)、(3)の各類に含まれている公理の少なくとも一つを必要としている。例えば、公理系Mは(1)の類にぞくする弱順序の公理、(2)の類にそくする代替性の公理、(3)の類にぞくする連続性の公理から構成されている。

3節では、これら4つの類ごとに、主に批判的視点から公理系または公理の－171－

期待効用理論

問題点が検討される。3－1節では、無差別と決定不能の問題、リスク的初期条件のもとにおける無差別と初期条件なしの無差別の問題が議論される。3－2節では、確率と確実な結果の相互作用、小さな確率を無視することなどの影響が検討される。3－3節では、意思決定者の認識能力、リスク的初期条件のもとでの連続性などが吟味される。3－4節では、リスク的初期条件と選択対象の確率的独立性、確実性効果などが考察される。

2．公理系の構成に関する考察

公理系をどのように構成するかということは、以下に述べるように、完全に論理的に決定される事項ではない。公理系には、ある明確な目的を達成するための議論に対して基礎または枠組たることが要求されている。ある制約された環境で意思決定者は“満足”を増大するような行動を選好するという前提で、意思決定者の行動を分析すること、これが目的である。そのとき、意思決定者の行動を科学的に、精密に分析するためには、‘‘満足'，あるいは“効用”を量的記述でなされた明瞭な表現に変換することは必要な過程の一つであろう。すなわち、意思決定者の行動を科学的に、精密に分析するためには“効用”の尺度(measurement )が要求される。

一般的な意味での尺度なるものは、究極的には、それ以上分析されえないし、分析される必要性を認めないような直裁的な感覚に基づかなければならないよ
うにみえる。‘‘長さ”という感覚はそのようなものの一例である。“満足”あるいは‘‘効用”の尺度の場合では、選好という直裁的な感覚が基礎となりうる。

そのとき、選好に関連する非定量的な経験の関係あるいは経験の性質から“効用”の尺度は導きだされなければならない(Von Neumann-Morgens tern,
1947, p.16)。

公理として定式化される選好の関係あるいは性質は、表現の形式において異なると言えども、本質的には、意思決定者が従うべき常識的な指針(guideline)
－172－

第9章

公理系の評価を含むだろう。すなわち、ある意味で不変な内容を含むだろう( Fishburn,1968, p.237)。

もし意思決定者の行動に関する公理が、全て、窓意的に構成されているならば、そのときそのような公理系から導出された結果には一般的な意思決定者の集合に適用されない例外的な命題があるにすぎない。このような意味においても公理系の構成が全く窓意的になされうるものではない。
効用の尺度を確立すること、それは選好に関する経験的な関係( Von
Neumann-Morgenstern (1947)は自然の関係(natural relation)と呼ぶ）
を定量的な関係に翻訳することである。そのさい、我々はまず効用の尺度が適用される状況を記述しなければならない。少し具体的に言えば、例えば、選択の対象としてどのようなものを想定しているかである。これに関連する公理は選好行動から制約されたものでなく、考察の対象となっている選択対象の構造そのものを規定するか、あるいは、形式上の違いではあるが、ある構造上での関係を規定する。この構造上の仮定は意図された尺度が所与であるかぎり表現においてそれほど大きな相違をもたないだろう。

このように、効用の尺度を展開するという目的、それを達成できる程度まで過不足なく、かつ、客観的に、公理系は構成されなければならない。この最低必要限度、すなわち、上記の公理系の客観性を越える考察には、やや不明瞭な表現ではあるが、望ましさ(desiderata )という基準に従うことが必要となろう。それらの具体的な項目としてVbn Neumann -Morgens tern ( 1947, p.
251）あるいはKrantz -Luce-Suppes-Tversky ( 1971, p､22)
つを挙げている；

はつぎの3（その1）公理系における公理の数は、過度に、多くあるべきでない、（その2）公理系はできるかぎり単純、かつ、理解容易であるべきである、（その3）公理はそれの適切さが直ちに判断できるように直裁的に明瞭な意味をもつべきである。公理系における公理の数は、ある程度、調整可能なものである。すなわち、公理の数を削減するという意図のもとに、技術的に可能なかぎりいくつかの公理を結合することはできるだろう。しかしながら、－173－

期待効用理論

そのときには、種々の概念の相違が不明瞭になり、単純性、理解容易性、直裁的明瞭性などが犠牲となるかもしれない。そして、一見単純に見える公理の中にかなり複雑な内容が含まれている可能性はある( Krantz- Luce- SuppesTversky, 1971, p.22)。
したがって、公理の数をできるだけ少なくするということは必ずしも歓迎されるべきことでもない。一方、公理の数が、不当に、多くなることは公理系全体の意味することを理解困難にならしめ、前述の望ましさを減少させることになるだろう。このように、公理の数という公理系の構成規準は諸々の要因を調和させるような判断によって支配されているようにみえる。

一般的に言って、“直裁的に明瞭な意味”この語句が指しているところのものは厳密に定義されるものではないけれども、選好に関連するような場においてはこの規準は特に重要であると考えられる。公理は後に展開される議論の基
礎、あるいは、出発点である。もし直裁的に明瞭でないような概念、ルール、言語が公理系に含まれるならば、そのとき公理系からの議論において意思の疎通に障害が生じるだろう。そして建設的な議論を進めることができる可能性は全くないと言われるべきである(Finkbeiner, 1960, p3)。それゆえに、不明瞭な概念やルールはなんらかの解説を必要としよう。もしその解説が充分でないならば、そのときさらに解説が要求される。

そのとき、その解説の過程が論理的であるならば、最終の解説は公理となりうるかもしれない。このように未定義の言語が公理系の確立には要求される。

この要件が認められないとすれば、我々の限られた範囲内での語彙では同意語

反復( tautology )が生じるにすぎない。それゆえに、解説の過程は終りのな
い循環的性質を有することになるだろう。議論の基礎として使われる基本的な知識に関してFinkbeiner (1960, p.4)はつぎの2つの仮定を挙げる；（1）他の用語を定義するために使われる基本的な言語に共通の理解がある。
（2）仮説から結論へと進めるための論理的推論の体系に共通の理解がある。
－174－

第9章

公理系の評価

このように、それ以上の分析を要求されない基本的知識としての未定義の概念

ならびにルールは公理系内では直裁的な明瞭性という性質を有さなければならない。

“あいまいさ”を含むヒュリスティック( heuristic)な望ましさや美的な

望ましさなどの視点は公理系の構成に関して一意的な方法がないことを示している。上記のような状況のもとで、Von Neumann - Morgens tern ( 1947 )が狙いとしたところは論理的または数学的処理に耐えうるような直裁的概念を構成し、それがどのような仮説を指しているかをできる限り明確にしようとすることであった。

3．公理に対する批判的注釈
3－1

弱順序の公理の類

弱順序の公理における連結性のもとでは、意思決定者は、任意の2つの“くじ”に対して、どちらか一方を選好するか、あるいは、無差別でなければならない。しかしながら、現実に、2つの“くじ”が示され、どちらか一方の“くじ”がとりあげられたとき、それは選好ではなく、無差別であるがただとりあげられたことを示しているかもしれない。すなわち、無差別である“くじ”をただとりあげたことと、選好したこととの区別が明確でないかもしれない。また意思決定者は比較能力を越えた選択対象に対しては選好を示すことができないゆえに、それらは無差別であるとされるかもしれない。例えば、“くじ”が非常に複雑であるために、どちらが意思決定者にとって望ましいかについての判断が可能でない場合はそれに当るであろう。

一方、推移性が首尾一貫した選好行動をとろうとする意思決定者によって守られなければならないルールであることは明らかである。そして、また“くじ”が複雑であるならば、そのとき推移性を犯すよう判断が生じる可能性は存在す
る。

－175－

期待効用理論

しかしながら、期待効用の提唱者の一部では、意思決定者は選択対象の全ての対(pairs )に対して首尾一貫した選好関係を表現できることではなく、比較的単純な選択対象に対してそれがなされうること、それが要請されている(Luce- Raiffa, 1957, p.24, Pratt- Raiffa- Schlaifer, 1964 )｡
事実、期待効用が意図したところは選好関係が容易に示されないような選択

対象間に選好順位をつけることであった。すなわち、複雑な選択対象（“くじ”として複雑であるという意味で）に選好順位をつけるためには、その対象を構成する単純な対象（すなわち、確実な結果）に関する選好関係が要求され、そののちに、それらの選好関係が期待効用によって統合された結果として、複雑な選択対象に対する選好順位が生じる。

第8章で挙げた渚公理系の中で、Luce- Raiffaの公理系だけがこの議論に適合すると考えられる。なぜならば、Luce-Raiffaの公理LR1は確実な結果だけに弱順序性を要求しているからである。また、Luce- Raiffaの公理系を除く他の公理系のように、意思決定者が全ての選択対象に弱順序を与えることができ
ることは選択対象全てに選好順位がついていることでもある。そのとき最も望ましい選択対象を選好するという機能に関して期待効用は、もはや、必要でなくなる(Fishburn, 1968,p.339)｡

規範的(normative )視点からは、意思決定者が弱順序に関して不明確な判断をなすことは許容されている。その結果が公理を犯しているならば、一貫した選好を意図している意思決定者はその矛盾を矯正することを望むであろう。

そのとき、この公理はその矯正に必要とされる。すなわち、この公理は意思決定者が従うべき首尾一貫性の表現とみなされている(Fishburn, 1972, p. 33)。

しかしながら、現実問題として確実な結果が極度に多いとき、効用の推定は困難になるかもしれない。さらに、実際に直面することが想像もできないような“くじ”に対して、意思決定者が適切な選好関係を表現できるかどうかは大きな疑問である( Jensen, 1967, a, p. 239)。

－176－

第9章

公理系の評価意思決定者は初期条件として“くじ”/0を有しようとする。そのとき意思決定者が2つの“くじ”ん、// E"に対してノj>ノノであると表明することは、/0*/j> /0*ノノであると判断していることを示す(#!たたみこみ''*に関しては第4章2－1節「多重くじの可変半群性」を参照せよ)。一方、／0＊/,＞／0＊ﾉﾉであるならば、“くじ"/j、ノノだけの選好関係から言及するとき、意思決定者がノjシノノであると表現することは可能である。
結論としてノノ＞ノノ＜一 ノ0*/j >/0*ノノとなる。それゆえに、“くじ”ノj、ノノに関する連結性はこれらの‘‘くじ”に初期条件をたたみこんだ状況での多重くじに関する連結性と同値になる。
推移性に関しても、また、同様のことが成立する。

しかしながら、意思決定者が/j >/ノ

であると表明することは常に初期条

件／0のもとでそうであると考えるべきである。初期条件を無視しても／＃＞ノノになると言えない例を示そう。

いま、3つの投資を“くじ”として表現しよう。“くじ'，／0は、つぎの選挙において自民党が勝つならば10億円の利益があり、野党が勝つならば2億円の利益があることを示している。“くじ”／]は、自民党が勝てば20億円の利益があり、野党が勝てば3億円の利益があることを示している。‘‘くじ'，/2は、自民党が勝てば3億円の利益があり、野党が勝てば20億円の利益があることを示している｡そして自民党と野党が勝つ確率は､それぞれ､：としよう｡これらの状況を表9－1で要約しておこう。
表

9

選 挙 の

選

勝

勝つ確率

者

挙

－

に

1

“く

－177－

じ”

ノ0

ノ，

ノ2

10

20

3

2

3

20

期待効用理論”くじ"‘!＝(;･20,；･3)と"くじ"',＝(;･3,；･20)は"くじ”として全く同じものであるゆえに、初期条件／0が無視されるとき明らかに/1～/2である。一方、初期条件をたたみこんだ状況/0＊／1、/0＊ノ2は、“くじ”間における確率的独立性がないために、式（4．2）における定義とは事情が少々異なり、

ノ0＊ノⅡ＝（兇。(10十20) ,リ/力。(2+3))＝（弛・30，リ&・5)/0＊／2＝（猫。(10+3), l/i･ (2+20))＝（舩・13, l/i・22)

なる‘‘くじ”となる。このようなとき、“くじ”ノ0＊/，と“くじ" /o*ノ2
が無差別であると必ずしも言えないだろう(Bell, 1982)。

3－2

独立性の公理の類

付録4「諸公理系の同値性」における議論から理解されるようにつぎの諸公
理は同じ機能を果していると見なされる；全てのa、b、c、。ESと全てのα、βE(0,1)1)に対して( Von Neumann-Morgens tern)もしa>bであるならば、そのとき●

a>α・a+ (1－α）。b>b
である。

2)

(Marschak)もしa～bであるならば、そのとき●、

α・a +(1－α）。c～α・b+ (1－α）。c
である。

3)

(Herstein-Milnor)もしa～bであるならば、そのとき・1ｹ．｡暗･｡~;･bキヮ･
である。

4)

(Ferguson) a >bなるための必要充分条件は
－178－

第9章

公理系の評価α・a+(1－α）。c>α・b+ (1－α）。c

(9.

1)

である。

5)

(Luce-Raiffa)

もしa>bであるならば、そのとき

α・af (1－α）．b>β・a 4(1－β）．b
なるための必要充分条件はα＞βである。
61(Blackwell-Girshick)

もしa>b、かつ、c>dであるならば、～そのとき

α・a-F (1－α)･c湯α・b\ (1－α)･d～である。

第8章｢期待効用の諸公理系｣での各公理に対する注釈から理解されるように、これらの公理に従って意思決定者が行動すべきであるという主張は不合理ではないようにみえる。しかしながら、つぎのような例を考えよう。

“くじ" /100は100万円を確率1で、“くじ'' / 250は250万円を確率1で、“くじ”ノー500は－500万円を確率1で与えるものとしよう。そして“くじ''/】は/』＝（0．96．250万円,

0.04．－500万円）●= 0.96．/250 + 0．04．ノー500であり、“くじ”ノ2は/2 =(0.5 ･ -500万円,0．5･100万円）●＝0．5．ノー500十0．5．/,0o

（9．2）

としよう。

さて、ある意思決定者にとって“くじ”ノ,とノ,00が無差別であるとしよう。
そのとき代替性公理(Marschak)によれば●/2＝0．5・ノー500 +0．5・メloo~ 0.5．ノ_500 -i 0.5．( 0.96./250 f 0.04．ノ_500 )●＝0．52．ノー500 +0．48 ･

/250

－179－

期待効用理論

＝／3

（9．3）

となる。

“くじ”ノ2と“くじ”ノ3を比較すると、／2において100万円が得られる確率0.5を0.02だけ犠牲にすることによって、100万円の2.5倍の金額が生じる“くじ“ノ3を手に入れることができるということが判明する。この確率と金額の交換は有利であると意思決定者が考え、“くじ”/3が“くじ”ノ2より選好されるかもしれない。このような場合には代替性の公理は成立しない。非常に小さな確率、あるいは、非常に小さな確率的差異を無視する、すなわち、例における確率0．5と確率0.48を無差別とみなすことが現実的である場合があると考える人々はいる（伊藤1980, p. 49)。意思決定者がそのような傾向を有しているならば、また“くじ”ノ3が“くじ”／2より選好されるだろう。

一方、Herstein- Milnorの代替性公理、すなわち、a～bであるならば、；･‘手方．．~;･ b+;･ ｡
では､確率;で成立することが要求されているだけである｡それゆえに､この●1

公理が使われるかぎり、意思決定者は微小な確率的差異を無視するという非難は問題にならないと議論されるかもしれない(Amihud, 1979, p. 150)。しかしながら、Herstein- Milnorの公理系はMarschakの代替性公理を意味する。
そして効用関数の存在はMarschakの代替性公理を通じて証明されている。

そして公理系が混合集合の上で定義されていることに注意されたい。上記の例においても“くじ”ノ2から‘‘くじ”/3を導出するにさいして、代替性の公理と混合集合の条件M3が使われている。それゆえに、代替性公理、そのものが直接に攻撃されているのではなく、混合集合の条件M3の適用後に、代替性の公理に対する不適切性が言及されている。後に述べる確実性効果( certainty
effect )、Allaisのパラドックスにおいても全く同じことが言われうる。

初期条件/0が組みこまれた状況での代替性公理は、もしノ,～ノ2であるな
らば、そのとき全ての/E"と全てのaE(0,-180-1)に対して

第9章

公理系の評価

α・ノ0＊/】＋（1－α）。／0＊ノーα・/O * /2+(1－α）。/0*/であることである。いま、／｣～／2が/0＊ノ1～/0＊／2であることを意味す
るならば、そのときこれらの“くじ”において確率αを与える事象と確率(1一α）を与える事象は排反的であるゆえに、この公理だけをみるかぎり、この公理に対する疑問の余地はない。

3－3

連続性の公理の類

つぎの諸公理は、また付録4における議論から理解されるように、それぞれの公理系において同じ機能を果しているとみなされうる；全てのa、b、C E
Sに対して

1)

(Von Neumann-Morgenstern)もしa>b>cであるならば、そのとき
α・a+ (1－α）。c>b
かつ

bシβ・a+(1－β）。cとなるようなα、βE(0,2)1)が存在する。

(Marschak)もしa %b>cであるならば、そのとき
b～α・a +(1－α）．cなるαE(0,3)1)が一意的に存在する。

(Herstein-Milnor)集合Aと集合B、すなわち

A={czIcU.a4(1－α)･b>c}と

B={cMlc>cr.a4(1－α)･b}は閉集合である。
これらの公理の含意には、前に述べたように、“くじ”あるいは‘‘くじ”の－181－

期待効用理論

結果に絶対的な価値を付与することを禁じていることがある。例えば、‘‘くじ”/｣は生命の危険なしに結果、百円、を意思決定者に与え、“くじ”／2は生命の危険なしにゼロ円を与え、“くじ”／3は、生命が危険になる可能性は極度に小さいが、結果、百円、を与えるとしよう。

そのとき、もちろん、‘‘くじ”／』は“くじ”/2より選好される。しかしな
がら、連続性の公理では、“くじ”/3における死の可能性が充分に小さいならば、“くじ”/3は“くじ”ノ2より選好されるべきであるとされている。すなわ
ち、百円を受けとることと比較にならないような結果、死、といえども、その可能性が充分に小さいとき、百円なる金額との比較が意味をもつとされている。
このような現象は日常しばしばみられるところである。それゆえに、連続性の公理は現実生活における問題を定式化するにさいして不可避で無害な単純化であるといわれている(Arrow, 1970, p. 48)｡

しかしながら、つぎのような例がFishburn (1979, p､247 )によって示されている。“くじ”／35は35万円を確率1で与え、“くじ”／36は36万円を確率'で与え､"くじ"‘は'00万円を確率号で､ｾﾛ円を確率;で与えるとしよう｡そのとき､‘"シ‘,‘であろう｡一方､"くじ"‘に含まれる確率;に対する判断、ならびに、“くじ”／と36万円または35万円に対する選好の識別困難によって、／～／35、かつ、／～/36なることがもたらされたとしても驚くべ
きことでないだろう。

そのとき、連続性の公理におけるαの一意性は成立しない。さらに、“くじ”

ノ36や“くじ”/35よりもより一層複雑な‘‘くじ”の場合、意思決定者がαを一意的に決めることはますます困難になるだろう。上の例は互いによく似ている“くじ”を識別することの困難性を指摘している。

さて、意思決定者の選好が／』＞／2＞/3であるとき、連続性の公理により／2～α・ノ』＋（1－α）．／3（9．4）

なるα臣（0，1）が一意的に存在する。一方、初期条件ノ0を組みこんだ状

－182－

第9章

公理系の評価況を考えよう。そのとき、/0*ノ】>/0*/2 >/0*/3なるノ0 */1、/0*/2，／0＊／3に対しても公理は論理的には全く同じ構造であるゆえに、/O */2～α0･ /0*/!+(1－α0)・ノO* /3なるczo E (0,1)が存在する。このようにして定められたαとα0は等しい
数値になるであろうか。

演算＊の定義から

α0．／0＊/」十（1－α0）・ノ0＊／3＝ノ0*(cz0･ j!+(1－α0) ･ /3)の成立が容易に検証されうる。したがって、／0＊j2～／0＊（α0．/」＋（1－α0）。/3）となる。もしαとα0が同じ数値であるならば、数値αは初期条件とは独立であることになる。このαは‘‘くじ”/』と‘‘くじ”／3を基準としたときの‘‘くじ”／2に対する意思決定者のある評価値、すなわち、効用である。それゆえに、この数値αに基づく選好順序は初期条件／0とは独立になる。
しかしながら、意思決定者が逓減的リスク回避的であるならば、αがα0と等しくなる保証はない（第4章｢期待効用理論の妥当性｣における式(4．17）ならびに式（4．19）を参照せよ)。例えば、‘‘くじ”/0は確実な金額のとしよう。そのとき/2～α・/』十（1－α）・ノ3との＊／2～の＊（α・／」十（1－α）。/q)が同値であるためには、一貫性の公理の成立が必要とされた（第5章2－1節｢初期条件の経緯｣を参照せよ)。一貫性の公理が成立するとき効用関数はP fan-zagl族、すなわち、指数型か線型でなければならない。この場合、意思決定者
は一定リスク回避的となる。したがって、連続性の公理すなわち式（9．4）
が無条件に成立するという主張は疑わしい。

－183－

期待効用理論

3－4構造の公理の類

第8章｢期待効用の諸公理系｣で挙げられた諸公理系において構造の公理と言われうるものには、Von Neumann-Morgensternの公理VM4、Marschakの公理M4、Luce-Raiffaの公理LR2がある。公理M4は選択対象の集合
Sが、少なくとも、2つの無差別でない要素を含むことを要求している。公理

M4が成立しない場合、すなわち、集合Sの要素が全て無差別である場合には、任意の関数が効用関数になりうる資格を有する。したがって、この公理には特に注釈を加えるべき事項はない。

一方、公理VM4における式(8.

1)は混合集合の条件M2に、式(8.

2）は条件M3に相等する。そして公理LR2は条件M3に相等する。さらに、

確率分布の集合は混合集合であった（第2章3－3節｢混合集合｣を参照せよ)。
選択対象の集合が確率分布の集合であるとき、公理系には登場しないが暗黙的に混合集合が仮定されている。第8章における諸公理系の中で､VOn Neumann- Morgenst er nの公理系とLuce- Raiffaの公理系を除く、全てがそうである。
それゆえに、ここでは、混合集合の条件を考察することにしよう。
混合集合の条件M1、M2、M4に関しては意思決定者の選好を混乱させる問題はないようにみえる。しかし条件M2、すなわち、/,、ノ2E"とα E(0,1)に対してα・/‘ギ（’一α）・ノ2＝（’一α）・ノ2牛α・/‘が初期条件/oE"が考慮されるとき、成立しないかもしれない。
例えば、“くじ" L&=(I/i・ノ],1/f・ノ2)と“くじ" L2=(ﾘ/i・ノ2,%。／,）は‘‘くじ”として同じである。しかしながら、これらの“くじ”に含まれる確率号の事象が初期条件′･に含まれる確率の事象と独立でないとき､"くじ"LⅢと“くじ'' L2が必ずしも同じでないことは3－1節に掲げた表9－1で示されるような例から容易に理解されるだろう。
条件M3は普通の確率演算に相等する。しかしながら、リスク的状況での意

－184－

第9章

公理系の評価思決定者の行動が条件M3に従っていると仮定することには大きな疑問がある。

例えば、Kahneman-Tversky ( 1979 )によってつぎのような例が示されている。いま、つぎのような四つの‘‘くじ”を考えよう。
ノ』＝（0．8．4000 , 0．2･0),/2＝（1．3000，0．0），／3＝（0．2 ･ 4000, 0.8 ･ 0),
ノ4＝（0．25．3000 , 0.75．0),

ただし、結果の数値における単位はイスラエル・ポンドである（図9－1を参
照せよ)。
図

9

－

1

4000

3000

/2

/，
0

0

4000

30 00

/3

/4
0

0

そして、つぎのような質問が95人対して示された；
質問1：“くじ”ノ］と“くじ''ノ2のどちらを選好しますか。
質問2：‘‘くじ”/3と“くじ”ノ4のどちらを選好しますか。
その結果、質問1では、“くじ”ノ！を選好した人々は20％あり、残り80%の

人々は“くじ”／2を選好した。また、質問2では、“くじ”／3を選好した人々
は65％あり、残り35％の人々は“くじ”／4を選好した。

‘‘くじ”／3と“くじ”ノ4は●／3＝0．25・ノ，＋0．75．ノ0－185－期待効用理論

ノ4＝0．25．ノ2＋0．75．ノ0と書き換えられる、ただし、/0はゼロポンドを確率1で与える“くじ”である｡そのとき、独立性公理、あるいは、式（9．1）によれば、もし／2＞ノ｣であるならば、そのとき

ノ4＝0．25．／2＋0．75．ノo > 0.25．/, +0.75・ノ0= /3

でなければならない。しかしながらKahneman- Tve r skyは言う;.{我々の被験者( subjects )はこの公理に従わない｡”
すなわち、ノ2＞／｣であるにもかかわらず、ノ3＞ノ4なる現象が生じることは否定できない。彼らによれば、意思決定者には、リスク的な結果よりも確実な結果を過度に重視する傾向が存在する(Kahneman-Tversky, 1979, p. 265)。

この傾向は確実性効果(certainty effect)と呼ばれている。また類似の問題が神戸大学経済経営研究所内の22人に示されたところ、この確実性効果がKahneman - Tve rskyの場合よりも顕著に現れた。確実性効果は意思決定者が必ずしも確率演算のルールに従って行動しないことを示している。

－186－

第10章

1．

は

じ

め

パラドックスに数多くの実験的ならびに実地的( field)研究の結果は期待効用が記述的な妥当性を有しているということを示していない( Schoemaker, 1982)。それらの中で最も有名な例はAilaisのパラドックスと呼ばれるものである。この
例は2つの“くじ”のどちらを選好するかという問題を2組有している。各々の問題において最も選好される‘‘くじ”を意思決定者に選ばすとき、多くの意
思決定者がとった選好行動は独立性の公理を犯すことが報告されている。すな
わち、多くの意思決定者は期待効用最大化原則に反している。

いま述べたように、Allaisのパラドックスは独立性の公理の妥当性を攻撃しているものと一般的にはみなされている。しかしながら、本章の2節で議論するように、独立性の公理そのものは直接に非難されてはいない。すなわち、
Allaisが提示する“くじ”に対する選好は他の公理(混合集合の条件を含む）の適用の後に独立性の公理に反する結果を生みだす。

2節では、独立性の公理からではなく、我々の主眼たる初期条件の視点から
Allaisのパラドックスを検討している議論を紹介しよう｡

2-1節では、

Allaisのパラドックスならびにそれが独立性の公理に対する反例となっている事情などが解説される｡ 2-2節では、このAllaisの主張に対して、規範的解釈から期待効用を弁護する典型としてS avageの議論を紹介しよう。
2－3節では、Allaisのパラドックスにおいて独立性の公理と一貫していないとみなされている選好行動が、視点を変えることによって、実は、独立性の公理に反していないとするMorri sonの議論を展開しよう。そのとき、変えられた視点とは意思決定者の初期条件である。しかしながら、このMorri son－187－期待効用理論の議論にはリスク的初期条件に対する認識の不足がある。この点について簡単な注釈が加えられる。

2－4節におけるMachinaの議論では、選択対象ならびに初期条件が変る
とき、それにつれて効用関数も変るとされている。我々が抽出したMachinaの3つの特徴づけの中で、3番目のそれは意思決定者の選好が初期条件に依存していることを特に顕著にさせている。

一方、Allaisのパラドックスに反して、Fu ku baのパラドックスは実験的または実地的証拠から引きだされた問題ではない。これは期待効用理論が論理的な明瞭性を欠いていることを指摘している例とみなされる。リスク的初期条
件が確実等価額またはある確実な金額として評価されうるのか。リスク的初期条件を確実等価額によって評価することは不当であるのか。期待効用理論にはこの疑問に対する解答は用意されていない。この不明瞭性がFukubaのパラドックスに導く源である。

さらにさかのぼれば、リスク的初期条件はそれの確実等価額が初期条件とされたときより一般的に大きな期待効用を選択対象に与える。これはリスク・プ

レミアムの作用による結果である。確実等価額の概念はどのような状況において有効なのか。あるいは、常に有効であるとしうるのか。この問題に対する明確な処方が提示されなければ、そのとき現実の決定問題に直面している意思決

定者は暗闇の中をさまよわなければならない。さらに、期待効用理論が現実の決定問題に対してどのような応用性をもつのかという点に関しても、Fukubaのパラドックスは疑問を投げかけている。

2.

Allaisのパラドックスに関する議論
2-1

Allaisのパラ

ドックス

このパラドックスは、1952年、フランスのパリにおけるリスクに関するコロ

キアム( colloquium)でこれを提示したフランスの経済学者Maurice Allais

－188－

第10章

パラドックスに因んで｡･ Allaisのパラドックス“と呼ばれている(Allais,1979,p446)。
この反例に対して、コロキアムに出席していたL､J.Savage、P.A. Samuelsonなど有名な研究者が期待効用の公理系と矛盾する返答をなしたと報告されている(Allais,

1979, p. 103, p. 535)｡

さて、つぎのような4つの“くじ”を考えよう。“くじ”ノ,は意思決定者に1億フランを確率1で与え、“くじ”／2は5億フランを確率0．1で、1億フランを確率0．89で、ゼロフランを確率0．01で与え、“くじ”ノ3は5億フランを確率0．1で、ゼロフランを確率0.9で与え、“くじ'' /4は1億フランを確率0.
11で、ゼロフランを確率0．89で与えるとしよう。
図

1

0

－

1

/，

罵、

/3

薩、裳二,…ゞ

0．10

臓
5億フラン

1億フラン

そのとき、状況’では意思決定者は“くじ”ノ』か“くじ”/2のどちらかを選好しなければならないとし、状況Ⅱでは‘‘くじ”／3か“くじ”ノ4のどちらかを選好しなければならないとしよう。大半の意思決定者は状況，では“くじ”ノ2
より“くじ”/】を選好し、状況Ⅱでは“くじ”／4より‘‘くじ”／3を選好する傾向がある。そのとき、/』＞ノ2、かつ/3シ/4なる選好は期待効用の公理系に矛盾する。つぎにこの矛盾を示そう。

さて、“くじ”ノoはゼロフランを確率’で与えるものとしよう。そして“くじ”ノ5は5億フランを確率10／,，で、ゼロフランを確率，／,，で与えるとし
よう。

－189－

期待効用理論

図

1

0

－

2

5億フラン

ノ0

/5
0

フラン

言二：

フラン

フラン

そのとき
●

/, = 0.11．ノ,+0．89．/1●/2＝0．11．/5十0．89．ノ，●／3＝0．11．/5~＋0．89．／0

(10.

1 )

(10.

2 )

(10．3）●(10．4）/4＝0．11．ノ】＋0．89．／0と表現することが可能である（図10－3を参照せよ)。
図

1

0

－

3

1億フラン

/，
1億フラン
10/1 1

5億フラン
0

フラン

/2
1億フラン
5億フラン
0

フラン

0

フラン

/3

そしてFergusonの公理F2によれば、ノ1>ノ2、すなわち0.1 1．/,40.89 ･ノ,>0.11 ･ /5ギ0.89．/,

(10.

5）

であるならば、そのときノ」テノ5となる。さらに、公理F2によれば、 任意の“くじ”／に対してノ】＞/5であるならば，

0．11．/｣ 4 0.89．/>0.11 ･ /5 40.89 ･ /

(10.

6）

が成立しなければならない。したがって期待効用の公理系によれば/4 ＞ノ3でなければならない。それにもかかわらず、多くの意思決定者は/3＞/4 である

-190-

第10章

パラドックスことを要求する。これがAllaisのパラドックスである。

2-2

Savageの議論

前節のAllaisのパラドックスに対して、Savage (1954, p.101-103)は以下のような議論を展開した。まず、‘‘くじ”における、それぞれの金額は1952
年のフランとドルの為替換算率1ドル/ 200フランによってドルに換算されている(Allais, 1979,p､534)。

状況I･@くじ''/』と“くじ”ノ2のどちらかを選びなさい。
/！：50万ドルを確率1で与える。

/』＝（1．50万，0．0）/2：250万ドルを確率0．1で、50万ドルを確率0．89で、0ドルを確率0.0 1で与える。

／2＝（0．1．250万，0．89．50万,

状況Ⅱ

0.01．0)“くじ”/3と‘‘くじ”／4のどちらかを選びなさい。

/3 : 250万ドルを確率0.1で、0ドルを確率0.9で与える。
/3＝（0．1．250万,

0.9．0)/4 :50万ドルを確率0.1 1で、0ドルを確率0.89で与える。
／4＝（0．11．50万，0．89．0）

もし意思決定者が状況Iでは“くじ”ノ】を選び、状況Ⅱでは“くじ”ノ3を選

ぶならば、そのとき彼の選好は期待効用の概念と矛盾する。事実、任意の効用関数Uに対して、ノ」＞/2、かつ／3岩ﾉ4はu (50万)> 0.1 u (250万) + 0.89 u (50万)+0.01u(O)(10. 7)かつ

0.1 u (250万) + 0.9u (0) > 0.11 u (50万)+0．89u(O)(10．8)を意味するが、これらは明らかに両立しない。多くの意思決定者がこのような選好をなすことをSavage (1954, p.102)は認めている。

－191－

期待効用理論

そしてSavage (1954, p. 102)はつぎのように言う;､!一般に、規範的理論を試みに受け入れた人はその理論が彼を迷わすように導いているとみられる状
況を誠実に検討しなければならない；彼は、再考(演鐸はほとんど関係しない）
によって、その状況に対する始めの印象を保持するか、理論の含意を受け入れるかどうかを決めなければならない｡”
すなわち、期待効用に矛盾したこのような選好が生じた場合に意思決定者がとりうる立場はつぎの2つになるであろう；（その1）熱慮した後、なおもその矛盾した選好を欲するならば、そのとき意思決定者は期待効用を放棄しなければならない。
（その2）期待効用を規範として受け入れ、矛盾した選好を期待効用に適合するように、意思決定者は選好を変更しなければならない。

そのとき、S avageは（その2)の立場をとる。すなわち、状況Iと状況Ⅱ
が、最初、提示されたとき、彼は‘‘くじ”／2より“くじ”/,を選好し、“くじ”/4より“くじ”ノ3を選好したが、彼の公理系と個人的趣向に照して検討した

結果、状況Ⅱでは“くじ'，/3より“くじ”／4を選好するように変更した。

註：状況Iと状況Ⅱのそれぞれにおいて、“くじ”/Ⅲと“くじ”/4を選好することが、ある意思決定者にとって、正しい判断であるというような議論は成立しない。なぜならば選好そのものは主観的判断である｡S avage
が選好を変更した理由は、状況Iでは“くじ”/！を選好することが彼の趣向からみて動かし難いと考え、状況Ⅱでは“くじ“／！を選好したという事と公理系の両者に矛盾しないように決めること、それであった。一方、ある意思決定者が状況Ⅱにおいて‘‘くじ”/3を選好したことを基礎にすべきであると考えるならば、そのとき公理系に矛盾しない選好は状況Iにおいて“くじ”/2を選好することである。さらに、仮に期待効用を規範として受け入れたとしても、状況Iにおける選好と状況Ⅱにおける選好の

－192－

第10章

パラドックスどちらが意思決定者の選好態度を正しく反映しているかという判断が要求されている。言い換えると、別次元における選好問題力§生じている。

2-3

Morrisonの議論

パラドックスを解くためにMorrison (1967)は初期条件を導入した。まず、彼は“くじ”を売ることが許されないと仮定している。そして、意思決定者の初期条件( Morrisonは資産状態(asset position)と呼ぶ）は物財的保有、
現金、株、公債、その他諸々を含むが、多くの意思決定者にとってこれらは1億フランに較べるとわずかなものにすぎないゆえに、初期条件はゼロと仮定される。

註: MorrisonがAllaisのパラドックスを説明するために使っている金

額はS avageにおけるドル表示の2倍となっている。煩雑さを避けるために、我々はAllaisが使用した金額で説明しよう。ただし、当時の1億フ

ランあるいは50万ドルという金額が、現在、多くの意思決定者の資産をゼロとみなしうるほど巨額であるかどうかは疑問のあるところである。

以下のような理由によりMorrison ( 1967,p. 378)は初期条件を導入する：「“くじ”ノ,では我々には1億フランが保証されている。もし‘‘くじ”/2をとりあげるならば、我々は5億フランを得るかもしれないが、我々がゼロで終る
チャンスもある。しかしこのゼロは意思決定者にとって初期条件としてのゼロ("くじ”ノ2を実施する以前の状態)と同じであろうか？

否な1

1億フランが指の間からすべり落ちたという考えは最も幸せな人を気むずかしくさせるに充分である｡」

すなわち、状況Iでは意思決定者は、望むならば、1億フランを保証されている。それゆえに、意思決定者の初期条件はゼロから’億フランに変化し、図－193－

期待効用理論

10- 4で示されるような“くじ”/f、/;に彼は直面しているとみなされうる。
一方、状況Ⅱでは意思決定者は‘‘くじ”を売ることができないゆえに、彼の初期条件はゼロであり、図10－5で示される“くじ”ノ3、／4に彼は直面しているとみなされる。

このような議論からMorri sonはつぎのような結論を一応導きだす：(i)意思決定者の効用は初期条件によって影響される。

(ii)状況I(ただし図10- 4における状況を指す）における意思決定者の初期条件、1億フラン、は状況Ⅱにおける彼の初期条件、ゼロ、とは異なる。

(iii)それゆえに、状況Iと状況Ⅱは比較できない。
図

1

0

-

4

1．0

/f

ゼ

初 期 条 件ロ

4億フラン′

1億フラン

/；

0

－1億フラン
gl

10

-

5

5億フラン

/3
ゼ

初 期 条 件
ゼ

ロ

ロ

1億フラン

/4
ゼ

ロ

そして、さらにつぎの3つの仮定をおく；（1）‘‘くじ”の結果、5億フラン、の効用は、初期条件がゼロであれ、1億フランであれ、同じである。同様に、“くじ”の結果、1億フラン、の効用は、初期条件がゼロであれ1億フランであれ、同じである。

－194－

第10章

パラドックス（2）初期条件として1億フランを保有しそれを全て失うことは、ゼロで出発
し、ゼロで終ることより望ましくない。

（3）1億フランから5億フランへ移行することをC*とし、1億フランからゼロへ移行することをC*としよう。記号的にはC*= (1億→5億)、C*=（1億→O)としよう。初期条件ゼロで1億フランを得ること、(0→1億）とゼロでとどまること、（0→0）は

C*>(0→1億) >(0→0)> C*
であるゆえに、連続性の公理により●（0→1億）～α」。C*+ (1－α,)。C*（0→O)～α0･C*+ (1－αo)･C*なるα0、α」医（0，1）が存在する。
これら3つの仮定は記号的には図10－6で示されるようになる。
図

(1)

1

0

－

6

（0→5億）～(1億 →5億)>(0 ～（1億 →

(2)

(0

→

0)>(1億(3)（0→1億）～

1億）

1億）

→

0)
C*

C*

r､＊
世

(0

→

0）～

C*

註：仮定(1)と仮定(2)の両立には理解しがたい点がある。例えば、仮定(2)における（0→0）＞（1億→0）が成立するならば、そのとき（0→1億）%(1億→1億）であるようにみえる。しかし我々はこれらの仮定を便宜－195－期待効用理論

上の単純化として好意的に解釈しておこう。

これらの仮定のもとで、図10 -4における状況は図10-7のそれと同値になる。そのとき、“くじ”〃はC*を確率α,で与え、“くじ”ノ；はC*を確率( 0.1 + 0.89 cz,)で与える。したがって、ノ】＞/2なるための必要充分条件は〃＞ノガであり、/f >/;であるための必要充分条件は

“,〉署
である。

一方、図10－5は図10－8と同値になる。そのとき、‘‘くじ”/；はC*を確率（0．1＋0．9α0）で与え、“くじ”ノガはC*を確率(0.11 ", +0.89"0)で与える。それゆえに、/; >/iなるための必要充分条件は10/11 + 1/11．α0>α』
となる。

図

1

0

－

7
Ｃ

＊

/f
＊

Ｃ

Ｃ

＊

Ｃ

＊

Ｃ

＊

Ｃ

＊

Ｃ

＊

″ワ

ワノ砂

C*

－196－

第10章

図

パラドックス

1

0

－

8

介し

＊
＊

（し

/；
（し

＊
＊

《』
Ｃ

＊
＊

Ｃ

ﾉイ
Ｃ

＊
＊

Ｃ

状況Iと状況Ⅱにおいて/』＞/2、かつ、／3＞ノ4なるための必要充分条件
は10／11＋1／11．α0＞α］＞10／11（10．9）となる。不等式(10．9)を満たすα0とα,では、“くじ'' /1と“くじ”ノ3を選好することは矛盾でないとMorri sonは結論づける。

さらに、“くじ”/を売ることが許されるならば、その“くじ”／の市場価
値により意思決定者の初期条件がゼロからMVに移行させられるとMorri sonは考える。例えば、“くじ”ノ2の市場価値をMVとし、
M*=max{MV,

1億フラン｝としよう。そのとき、状況Iは図10-9で示されているように変る。しかしながら、一般的には“くじ”／2の確実等価額妬*がMVより大であるならば、この分析は実行不可能である。なぜならば、確実等価額X*は“くじ"/2に対する意思決定者の売値であり、市場価値MVより大である。

－197－

期待効用理論

図

1

0

－

"

（1億フラン－M*)

Ｍ
Ｍ

＊

ｊ
Ｊ

０

＊

く

荊ノ
Ｍ

１

ン
ラ

く

ン
ラ

５

一

く

輝偉

ノ

＊２

M*

1･0

ま

初期 条 件9

しかしながら、“くじ”／2を市場価値で評価すること、ならびに、確実等価額で評価することの不当性については、本書の第4章、第5章で、長々、議論してきたところでもあり、この場で、さらに、この点を解説することは省くことにしよう。

2-4

Machinaの議論

Allaisのパラドックスが生じてくる原因としてMachina (1982)は以下で紹介する3つの特徴づけを挙げている。

註：期待効用におけるいくつかの問題点(Allaisのパラドックスを含む）

を解決する意図でMachina (1982)が提示しているモデルは期待効用の場
そのものから外れている。したがって、本節ではMachinaのモデルに関する議論を省くことにする。なお、Machinaのモデルに対する詳細な解説については、福場一伊藤一田畑一坂上（1983）を参照されたい。

（1）状況Iで“くじ”／】が選好され、状況Ⅱでは“くじ”/3が選好されるとき、期待効用の概念と矛盾しない効用関数は、前述のように、存在しない。そのとき、Machinaは、まず、“くじ'' /,が“くじ”ノ4を確率支配し(stoc-

hastically dominate)、“くじ”/2が“くじ”/3を確率支配していることを
指摘する。

－198－

第10章

パラドックス

註：関数F(ヵlとG(")はX上で定義された分布関数としよう。そのとき、もし全ての師巨Xに対してG(z) > F(")

であるならば、分布関数F(")は分布関数G(x)を一次確率支配( first-orderstochastically dominate)していると言われる。上述の確率支配は一次確率支配の意味である。

さらに、効用関数Uがノ」＞/2（/3乃/4）と順序づけるための必要充分条
件は、0.01 u (の-0.11 u (の+1" +0.1u(の+5億）が負（正)であること、

すなわち、1億フランを確実に受けとることが5億フランを確率10/11で受けとることより選好されること（選好されないこと）であると指摘されている。
ただし、のは意思決定者の初期条件である。

註：この指摘の前半部分は式（10．7）と式（10．8）が示すところである。また後半は式(10．5)と式(10.

6)によって示されている。この後半の指摘のためには独立性の公理が使われていることに注目されたい。

したがって、確率支配している“くじ”、すなわち、ノ,、ノ2を評価するさ

いに、意思決定者は、確率支配された“くじ”、すなわち、／3、／4を順序づけるのに使われた関数よりリスク回避的な効用関数に従って行動する(Machina ,1982, p.288)。

（2）いま、Eを確率0.11で起こる事象とし、～Eをそれの補事象としよう。
そのとき、式（10．1）、（10．2）、（10．3）、（10．4）から理解されるよ

うに、“くじ”/1，／2、／3，／4は、事象Eが生じたならば、それぞれ/1､/5、－199－

期待効用理論/5、/1を与え、事象～Eが生じたならば、それぞれノ1、/1，/0、ノ0を与える。そこで、事象Eが生じたという前提での“くじ”ノ5に対する確実等価額郎＊(/5 /E)はEにおける“くじ”ノ5の条件付確実等価額と呼ばれている｡
事象Eに関する条件付確実等価額〃* (/5/E)は補事象～Eが生じたとき得られる“くじ”の結果とは独立であると言うこと、これが独立性の公理の内容である。しかし、状況Iと状況Ⅱにおける、/』湯/2と／3湯ノ4はつぎのことを意味する；～Eが1億フランを与えるときには、師* ( /5/E)は1億フラン
より小さく、～Eがゼロを与えるときには、師＊（ノ5/E)は1億フランより大きい。

このように、～Eにおける金額の増大（一般的には、～Eの所与での条件付．
分布における確率支配的移動）は“くじ”／5の条件付確実等価額力* ( /5/E)

を小さくする。したがって、事象Eが生じたならば、意思決定者が多く失えば失うほど（すなわち、補事象～Eでの金額が増大すればするほど)、Eにおける“くじ”／5を評価するさいに意思決定者は、増々、リスク回避的になる(Machina, 1982, p.289 )。

（3）“くじ”/lから“くじ”／2へ、あるいは、‘‘くじ”／4から“くじ”/3への確率の移動に注目するとき、それらはいずれも（の＋1億）から（の＋5億）へ確率0.10を移動させ、かつ、（の+1億）からのへ確率0．01を移動させていることとみなされうる。“くじ”／1に注目するとき、確率0.1を（の+1億）から（の＋5億）へ移動させることは（の＋1億）からのへの確率0.0 1の移動を補償するに充分でない。したがってそのような確率の移動は選好されない（/Ⅲ＞ノ2)。しかしながら、“くじ”ノ4に注目するとき、“くじ”の結果としてののはもはや初期条件（すなわちの）から離れた“遠隔の事象( outlying
event) "ではない。なぜならば（/』に比較して）その確率(.@くじ“の結果としてのが生じる確率）は0から0．89まで大きくなっている。それゆえに、(Q)+ 1億）を犠牲にする確率0.01の移動に対して意思決定者はもはやそれほ

－200－

第10章

パラドックス

ど敏感ではなく、確率0.01の⑦への移動は確率0.1の(Q)+5億）への移動によって充分に補償される。したがってそのような確率の移動は選好される（/3＞／4)。

言い換えると、注目すべき‘‘くじ”を／,からノ4に変えることは、のと（の＋1億）に比較して、“くじ”の結果たる（の＋5億）を“より遠隔”にしているとみなされる。なぜならば、確率0．1は変わらないけれども、ノ』から／4に変えたとき確率0.89は（の+5億）から遠く離れた所（すなわちの）へ移動している。このように、“くじ'，／1におけるよりも“くじ”ノ4においてより“遠隔な事象”になっている（の＋5億）に関して、意思決定者は確率0．1の変化に対して、一層、敏感になり、（の＋1億）から（の＋5億）への確率0.1の移動は（の＋1億）からのへの確率0.01の移動を補償するに充分である。結論としてMachina (1982, p.290)は言う；「・・・小さな確率を有する“遠隔事象”における確率の変化に対して意思決定者は過度に敏感である傾向が存在する・・・」

註：式（9．2）、（9．3）で定義された“くじ‘‘ノ2、ノ3に関して議論したように、確率と金額（あるいは確実同値額）の交換( trade-off)比率がある意思決定者にとっては固定されていない。この事実を、焦点を絞り、言い換えたものがMachinaの特長づけ(3)であるようにみえる。

3.

Fukubaのパラドックス

多重くじの相互依存性の視点から期待効用に対するパラドックスがFukuba

によって提示されている(Fukuba-Ito,1980)。

以下、我々はこのF ukubaのパラドックスを紹介しよう。

二人の意思決定者、AとBは同じ効用関数U(")=logヵを持っているとしよう。そして、意思決定者Aは現金〃0＝100（単位）と‘‘くじ”/］＝（0．5．10,－201－期待効用理論

0．5．140 )を持ち、意思決定者Bは“くじ'' /2= (0.94．20, 0.06．18×107 )を持っている。そのとき、

u ("0*/,) =5.091
u(zo)=4.605u(/,)=3.622u (/2)= 3.956

力*(/2）＝52.274であることに注意しておこう。ただし力*（/2）は“くじ”ノ2の確実等価額である。すなわちU(/2)= U (X*(/2))である。
図

10-10
10

２

０

０

ﾉ2

４

B:

100* j,
１

"0=

一

A:

~面5~－－－－－

18×107

ここで、意思決定者Aの師0= 100はなんらかの投資に使うことができる資金であり、一方意思決定者Bの“くじ”／2は、もし可能であるならば、売却することができる資産である。そして“くじ”ノ2の売値は確実等価額の意味から
力*（ﾉ2）＝52.274である。

註：“くじ”/2はかなり異常な形をなしているようにみえる。すなわち、“くじ”の結果、20と18×107の差が極度に大きい。しかしながら、この“くじ”の異常性は議論の本質に係るものではない。パラドックスの特徴を顕著にするために、“くじ”／2が選ばれたにすぎない。多重くじにおけるリスク･プレミアムの重要性を例証すること、それが“くじ”ノ2の使用

－202－

第10章

パラドックスの理由の一つである。

そこで、Fukubaのパラドックスを成立させ、異常な形をしていない一組の‘‘くじ”の例を示しておこう。もし"0 =80,/,=(0．5．10, 0.5 ･140 )､',=(;･30, ; ･ 120)であれば､ﾛ(z)=log霧では
u ("0 * /,) = 4.94672,

力*(jro * ',) = 140.713、

u ( /! * /2) = 4.99456,"* ( /, * /2) = 147.608

u ( /2) = 4.32539,

Jr* ( /2 ) = 75.5952となる。そのとき、/2の取引価格を80とすれば、以下で示す主張1と主張2の成立が容易に検証されうる。

さて、意思決定者Aは意思決定者Bに“くじ”／2を価格100で購入することを提案したと仮定しよう。もし意思決定者Bがこの提案に同意するならば、売買取引の後に、意思決定者Aは‘‘くじ'’ノ2＊／」を所有し、意思決定者Bは現

金"0 = 100を所有する。その結果、意思決定者Aの効用はU(/2*/,) =5.124 (u ("0 * /] ) = 5.091)となり、意思決定者Bの効用はu ("0)=4.605(u(/2) =3.956)となる。このように、両者、AとBはともに取引によって一層高い効用を享受する。この事実からつぎのような主張が考えられる。
主張1:AとBは取引をすることができる。

一方、この主張と対称的な、つぎのような主張も正当化されうる。
主張2:AとBは取引をすることができない。

主張2を正当化する根拠は、粗く言って、つぎのようになる；意思決定者A、Bを納得させることができるような一般的取引ルールを見い出すことが困難である。以下、この根拠に関して詳細に議論しよう。

さて、意思決定者、AとBはN"h解によって取引を成立させることに同意していると仮定しよう( Nashの定式化に関する解説にはLuce- Raiffa,1957,

p.124を参照されたい)。

そのとき、取引は2人協力ゲーム( two person－203－期待効用理論

cooperative game)となる。いま、LA= ("0－6)*/2 *ノ1
LB=6としよう。取引はつぎの式(10. 10)の解6* (/2の取引価格)を見い出すことによって成立させられるという主張がありうる；

max u (LA) u (LB) =nfx[ 003109 ( 180000240-6) (180000110-6)+ 0.47 109 (260-6) (130-6)] log8(10. 10)

ただし、βE [ 52.274, 100]である。

他方、意思決定者Bは、“くじ”ノ2と現金を交換するために、ノ2を兎*（/2）と評価する。同様に意思決定者Aは取引前の資産ズo* /,を妬*("0*/,) =162.552と評価する。
いまLA = ( 162.522-6)* I2L白＝βとしよう。そのとき、“くじ”ノ2の取引価格はつぎの式(10. 11)の解β*＊になるべきであると主張されうる；

max u (LA) u (LA) =nfx[ 0.06109 ( 180000162552- 6)＋0.94 109 (182.552-6)] log 6

ただし、6 E [ 52.274, 100]である。
しかしながら、式（'0.10）と式（'0.1'）から一見して、

βE［52．274,

100 ]に対して
β＊＝6＊＊とmax a (6) log6 = max b (6) log6が、成立するようにはみえない。ただし-204 -(10. 11)

第10章

パラドックスa ( 6) = 0.03 109 ( 180000240-6)(180000110-6)+ 0.47 109 (260－8) (130－8）b (6) = 0.06109 (180000162.522-6)+ 0.94 109 (182.552-6）
事実、近似計算を行うと

6＊ ÷

87，

6＊＊＝100
であり、a(6)<b(8)となる。

そうして、期待効用の概念には、取引ルールとして、式（10.10）と式（1011)のどちらが正当であるかを判断する規準はない。したがって、“くじ'' /2の取引価格が決められないゆえに、意思決定者、AとBは取引をすることができない。

ここでは、Nashの定式化と効用関数uix)= log "によって議論されているが、効用関数が逓減リスク回避的関数を有するかぎり、単なる取引ルールの変更によってこのパラドックスの本質は変るものではない。すなわち、期待効用という尺度における問題点がこのパラドックスを生みだした。

しかしながら、第4章の議論からリスク的初期条件のもとでは逓減リスク回
避的な効用関数は存在しないゆえに、これはパラドックスであると言えないかもしれない( Fkuba- Ito, 1984)。効用関数の存在が仮定されているときには、F ukubaのパラドックスが成立する。

－205－

第11章

1．

は

じ

め

総

括

に

人間は満足を得るために行動する。しかし、その満足がどのような意味を指すかは直面している状況によって異なるであろう。すなわち、倫理的、利害的、友好的、長期的、短期的などのいくつかの形容詞が付加された満足が存在する。
人間は満足を得るために行動するゆえに、その満足を大きくすることは、どのような意味であろうと、人間が追求する目的となりうる。我々にとって不明な価値体系が満足という尺度で測定されると仮定することができよう。

さらに、この満足は選好という現象により顕在化されると仮定しよう。期待効用は、リスク的な状況のもとで、顕在化されるまたは顕在化されるべき選好を表現するための手段である。この意味において期待効用が選好を決定するということではなく、選好を別の形に変換した便宜的、人工的概念である。換言すれば、人間の内在的因子ではなく、すなわち、人間の行動を刺激する因子ではなく、選好を表現するには便利な道具であること、これが期待効用の本質であると言われている(Luce-Raiffa, 1957, p,31)。
本書の研究主題は期待効用理論の批判である。この期待効用理論はつぎの2つの要素から成立するものとして第1章で定義された；（その1)期待効用定理、（その2）リスク回避関数を核とするリスク回避理論。期待効用は、普通、規範的視点からの解釈と記述的視点からの解釈をもつと言われている。本書で議論された研究内容は期待効用のこれら2つの解釈のいずれにも関連している。
期待効用理論に対する従来の非難は主として記述的妥当性に関する疑念から生じている。その非難に対して期待効用をよしとする人々は規範的解釈からその理論を弁護する。すなわち、期待効用の公理系は意思決定者の選好が満足す－207－

期待効用理論

べき合理性の基準とみなされるべきであると主張されている（第10章2－2節、参照)。

一方、本書における議論は規範的解釈においてもいくつかの困難を指摘している。

本章で、期待効用理論に対する我々の批判を要約することにしよう。そのことに入る前に、つぎの2つの事項に対する注釈を加えておこう；(1)記述的意義と規範的意義の対立性、(2)リスク的初期条件とリスク回避関数。
(1)：もし意思決定者の選好行動が期待効用の最大化原則に従っているならば、
すなわち、期待効用が記述的に有効であるならば、そのとき期待効用の規範的意義はほとんど失われてしまう。なぜならば、意思決定者は期待効用を指針として使用するまでもなく、意識することなしに期待効用の最大化を目的として行動していることになるからである。一方、期待効用の規範的意義が強調されるならば、すなわち、意思決定者は選択対象の選好において期待効用を最大にするような選択対象を選好すべきであると主張されるならば、そのとき期待効
用の記述的能力はほとんど認められていないことになるであろう。なぜならば、期待効用が意思決定において有益な指針であると強調されることは、現実の意
思決定者の選好行動がしばしば期待効用の最大化原則に反していることを意味しているからである。このように、期待効用における記述的意義と規範的意義は両立し難い概念である。

(2)：もし初期条件がリスク的であるならば、そのとき逓減リスク回避性は実質的な意味をもたない。なぜならば、リスク的初期条件における、逓減リスク
回避性が定義されていない。換言すれば、リスク的初期条件の順位づけが定義されていないからである。そうではあるが、これそのものは効用関数の性質として逓減リスク回避性が存在しないことを指していることにならない。すなわ

ち、効用関数がもつことのできる性質の一つが逓減リスク回避性である。誤解を避けるためにつぎのことを確認しておこう。

我々の意図には、リスク回避的な効用関数がリスク的初期条件では何をもた

－208－

第11章

総

括

らすかを吟味すること、これが含まれている。そして、リスク回避的な効用関数はリスク回避関数によって特徴づけられるが、その一つが逓減リスク回避性である。意思決定者がそのような性質を有する効用関数によって期待効用を算定しようとするとき、リスク的初期条件のもとでは期待効用の概念には疑念が生じること、これが我々の結論である。

なお、Ross (1981)、Kihlstrom-Romer- Williams ( 1981 )、Machina（1982）のように、リスク的初期条件のもとでの逓減リスク回避を定義することは可能である（第3章4－4節、参照)。しかしながら、それらはまた別の話であり、我々の議論を損なうものでもない。

2．期待効用の定義

初期条件がリスク的であるとき、期待効用を算定すべき対象は多重くじとなる。第4章の2節と3節では、多重くじの重要な性質として可換半群性と相互依存性が指摘された。意思決定者がリスク的初期条件/0を有するとき、ある“くじ" /=(pⅡ・師1, p2．％2)、p,+ p2= 1，pl、p2> 0，力1，％2EXから生じる結果は力」＊／0か〃2＊’のどちらかとなる。ただしXは確実な結果の集合である。

一方、期待効用定理では、初期条件ﾉ。に関係なく、選択対象の集合Qの要素
に対して意思決定者が公理系を満足するような選好を表示できるならば、そのときその選好を表現するような効用関数uの存在が保証されると言われている。
その場合、期待効用の算定は確実な結果の集合Xの上での効用、例えば100万円の効用、を基礎にしている。

しかしながら、多重くじノo*/において、“くじ"/から意思決定者に実現される結果は邦】＊ノ0かx2* /0であり、多重くじの可換半群性から論理的に確実的な結果になりえない。したがって、リスク的初期条件のもとでは、期待効用は算定不可能である。これは第4章4－1節において議論された。
-209 -

期待効用理論

意思決定者が", */0とr2*/0に対する効用を直接に定めることができる
ならば、期待効用ではなく、線型効用として“くじ”／の効用を決定することは可能である（第7章2－2節、参照)。意思決定者が力」＊ノ0と兀2＊/0の効用を直接に定めるという意味は初期条件/0の詳細を知ることなしにそれがなされるということである。しかしながら、そこには大きな問題が残っている。すなわち、多重くじの相互依存性がそれである。

増分型分析のように、初期条件/0が確実等価額〃*(/0)と評価されるならば、多重くじの相互依存性が無視されることになる。多重くじの相互依存性が認識され、精密な分析が要求されているとき（規範的視点では必然的にこれが要求されている）、

初期条件を正確に知ることは期待効用の算定にとって避けられない重要な過程である。集合ノ0*Qでは､期待効用が存在しないことは上で述べられた。この困難を克服するために、想像可能な初期条件の全てを含む
集合Qo (=Q)の存在を仮定しよう。

集合Qo *Qの要素に対して公理系を満たすような選好が示されるならば､期待効用定理は効用関数〃の存在を保証する。そのとき、関数〃は集合/0*Qの要素に数値を与える（第4章4－2節、参照)。そして、この関数〃は想像可能な全ての初期条件のもとで選択対象の集合Qに選好順位を与えることを意図している。すなわち、裸一貫から巨万の富（リスク的であるかもしれない）を有する状態までの全ての初期条件における意思決定者の選好がこの関数〃によって表現されるとされている。換言すれば、関数〃は意思決定者が足を踏み入れることのできない別世界をも表現しようとしている。

効用関数あるいは選好を決定する要因がなにであるかについて期待効用理論
はなにも言及していないし、また、なにかを言及する意図も有していない。ある意思決定者では初期条件がその要因の一つであるかもしれない。上述の効用関数〃はこの可能性を否定する。

選好は、しばしば、意思決定者の趣向( tastes )の問題であると言われてい
－210－

第11章

る(第10- 2-2節、参照)。

総括

意思決定者が置かれている環境(初期条件を含む）

が彼の趣向とは無関係であるとは言い難い。この効用関数〃は一体なにを表現しているのか、どのような前提または場のもとでこの関数〃は意思決定問題で有効になるのであろうか。従来の期待効用理論にはこの関数〃についての議論は存在しない。

3．線型変換までの一意性

期待効用定理では、初期条件が不確実であれ、リスク的であれ、確実であれ、意思決定者が選択対象の集合Qに対して公理系を満たすような選好を示すならば、彼の選好を表現する効用関数uの存在が保証されている。しかしながら、初期条件がリスク的であり、意思決定者が逓減リスク回避的であるならば、そのとき期待効用定理が保証する効用関数uの線型変換では初期条件型の分析は実現されない。

なぜならば。初期条件型の効用関数はり（/0＊/)、ノEQであると仮定しよう。期待効用の付加条件によって効用関数は線型変換まで一意的であった。したがって、初期条件型の効用関数〃（/0＊/）が意思決定者の選好を表現しているためには" (/0*/) =6u(/)+7,/

E Qが成立しなければならない。ただし6>0、γは任意の実数である。しかしな

がら、逓減リスク回避の場合では多重くじの相互依存性によって関数〃（/0＊／）は関数u (/)の線型関数になりえない。このように、初期条件がリスク的であり、意思決定者が逓減リスク回避的であるならば、そのとき効用関数は線型変換まで一意的であるという主張は成立しない。したがって期待効用理論
は内的一貫性を有していない（第5章2－2節、参照)。

－211－

期待効用理論

4．増分型と初期条件型

選択対象に対する意思決定者の選好が初期条件によって影響されること、これは期待効用を非常に有益な概念であると考えている人々にも認められているようにみえる。リスク回避関数の議論が広く受け入れられていることはこの証拠の一つであろう（ただし、この場合、初期条件が効用関数に与える影響は単なる関数のシフトと考えられている)。

さらに、リスク的選択対象の期待効用が算定されるとき、期待効用の分析は初期条件型であるべきである、すなわち、

リスク的選択対象から生じる利得あるいは損失にではなく、初期条件を含めた全体としての利得または損失の効用を算定すべきであると言う期待効用論者は存在する(Schlaifer, 1969, Lindley, 1971)。
しかし、彼らの議論には、初期条件のリスク性に慎重な配慮が払われている

様子はうかがえない。初期条件を金額または単一財に換算せよという議論は見い出される。例えば､Arrow (1970, p.92)､Morrison (1967,本書 第10- 2－3節、参照）は市場価格で、Schlaifer (1969)は市場価格または意思決定者の評価で、初期条件を金額に換算する方法を提案している。
もし初期条件がこのように確実な金額に換算されるならば、そのとき期待効

用による分析方法は本質的に増分型となる(第5章2－2節、参照)。すなわち、初期条件が確実な金額であるとき、初期条件型によって選択対象の集合の要素に与えられる選好順位は増分型によるそれと同じである。実際、多くの文献で議論されている効用算定手続は増分型である。

しかしながら、リスク的初期条件のもとでの増分型、式（5．7）は確実的
初期条件のもとでの増分型、式（5．5）とは異なる分析結果を与えるかもしれない。我々の議論によれば、効用関数が逓減リスク回避的であるとき、リスク的初期条件のもとでの増分型が選択対象に与える選好順位は確実的初期条件のもとでの増分型によるそれと一致しない。確実的初期条件のもとでの増分型
では多重くじの相互依存性が選好順位の決定に介入する余地はない。一方、リ

－212－

第11章

総

括

スク的初期条件のもとでの増分型では、効用関数が一定リスク回避的でないな
らば、多重くじの相互依存性が選好順位の決定に影響を与える（5章2－2節、参照)。

視点を変えて、選択対象の確実等価額から期待効用分析を吟味するとき、増分型、初期条件型は必ずしも同じ分析結果を与えない。（第5章2－3節、

参照)。

すなわち、もし効用関数が逓減リスク回避的で、初期条件がリスク的であるならば、増分型、初期条件型は、それぞれ、リスク的選択対象に異なる

確実等価額を付与する。仮に、意思決定者の効用関数が与えられたとしても、上記の分析型式のどれが意思決定者に正確な確実等価額を与えるのか、期待効用の原則はこの点について明確な指示を与えていない。

さらに、効用関数が逓減リスク回避的であるとき、確実的初期条件のもとでの増分型の分析では無差別であるが、リスク・プレミアムが異なる2つの選択

対象は初期条件型では無差別でなくなる。そのとき、期待効用論者の常識に反しているようにみえるが、リスク・う°レミアムが大なる選択対象はリスク・プ

レミアムが小なる選択対象より大きい期待効用をもつという奇妙な事実がある（第4章3－2節、参照)。

5．初期条件のリスク性と多重くじ

現実の世界における意思決定者は、常に、不確実な、あるいは、リスク的な環境にとりまかれていると言われうる。意思決定者の初期条件も、選択対象もそのような環境を構成する部分であることは疑問の余地を残さない事実である。
そのとき、意思決定問題の考察範囲に初期条件のリスク性を含めることが有意義であるのかどうかということは検討に値する問題であろう。多重くじの相互依存性は原則としてそのことの必要性を明らかにしている。

したがって、リスク的初期条件のもとでは、多重くじの相互依存性を考慮する

とき、原則として、意思決定者は多重くじノ0＊／（ノEQ)に関する選好によって選択対象ノEQの選好順位を決めるべきである。しかしながら、現実には－213－

期待効用理論

初期条件がリスク的または不確実であるとは考えられないと言う意思決定者は存在するだろう。

また、日常の微々たる意思決定問題では、多くの意思決定者は、初期条件を考慮することなしに、選好行動をなしているだろう。そのような状況においては、初期条件をとくに重視すべきであると主張する、強い根拠は見い出し難い。

なぜならば、日常の微々たる意思決定問題における選好がどのような結果をもたらそうとも、それらは意思決定者が容易に修復可能であると考えているもの
か、意思決定者にとってそれほど重要でないと考えているものであろう。その場合、リスク的初期条件を考慮に入れた複雑な分析は分析コストという点から言って経済的でない（第7章3－1節、参照)。
もしある意思決定問題における意思決定者の選好が彼の人生、または、資産状況に大きな影響を与えると想定されるならば、そのとき意思決定者は選好行動に慎重な配慮を払うだろう。そして、リスク的初期条件のもとで意思決定者が多重くじの相互依存性を確認するならば、彼は選択対象の選好にリスク的初期条件を加味して行動すべきである。とくに、期待効用の規範的解釈のもとでは、多重くじ/o * / (/EQ)に対する選好から選択対象/(/EQ)の選好順位を決めるべきである（第5章3節、参照)。

6．効用測定とそれの原点

公理系に反する、あるいは、移り気な決定をなす意思決定者の選好を基礎にして効用関数は推定されなければならない。そのような選好行動の原因は、例

えばMarschak (1951)によれば、意思決定者の計算能力の不足（公理系にそくした選好をなす能力の不足という意味で）に帰着させられている。しかしながら、これは単なる計算能力の不足だけでなく、選好そのものが意思決定者にとって明確になっていないことにも関係している。

なぜならば、2つの選好の矛盾を公理系に照らして修正することは可能であ

－214－

第11章

総

括

る。しかし、それら2つの選好のどちらが意思決定者にとって正しい選好とするかは彼の趣向に依存していると言われているが、これも一つの選好問題となっている。この選好問題は計算能力によって解決されるものではない。
期待効用論者が言う、首尾一貫した、または、合理的な選好をなすためには、上で述べた、公理系に反しないことと正しい選好を決定すること、この2つが満たされていなければならない。首尾一貫した選好をなす能力は適切な訂||練によって増大すると期待効用論者は考えている(Marschak, 1964,

Savage,1971）。しかし、彼らと言えども、どの選好が正しく意思決定者のそれを反映しているかを決めることの困難性を認めているようにみえる。選好行動の確率モデルを提示していることはそれを示す証拠であろう( Becker-DeGroot -Marschak, 1963)｡

このモデルでは、ある意思決定者において選択対象／1が選択対象／2より大きい期待効用をもつための必要充分条件は／｣を選択する確率が/2を選択する確率より大きいことであると定義されている。そのとき、全く同じ2つの選択対象が、続けて、意思決定者に何回か示されたとしても、意思決定者の選好が変る可能性はほとんどないであろう。したがって選好行動の確率モデルによる効用測定が実施されるとき、実験にはなんらかの工夫が必要とされる。
正しい選好を定めることの困難を克服するためのこのような手段は効用の測定を可能にさせるであろうか。リスク的初期条件のもとで、意思決定者の定性的制約が逓減リスク回避であるならば、そのとき推定された効用関数は推定されるべき効用関数にはならないだろう。
効用が測定されているかどうかの判定は測定されるべき効用の精度に依存している。しかしながら、上記のような状況での効用測定は論理的な難点を有している。すなわち、推定されたと考えられている効用関数には効用を測る一意的な原点が存在しない。
一方、初期条件が確実的であるとき、または、意思決定者が一定リスク回避－215－

期待効用理論であるとき、この困難は生じない。したがって、そのときには効用は測定可能であるかもしれない（第4章4－2節、第6章3－3節、参照)。

7．小世界の問題

ある小世界が決定されていると仮定しよう。そのとき意思決定者の選好行動

がこの小世界の要因だけによって決定されているという保証はない。期待効用のモデルとしての小世界と現実の選好行動には必然的な不調和がある。小世界
において確実な結果であるとされたものが大世界の視点においては確実でない（第7章2節、参照)。

健康な人が昼食になにを食べるべきかということは、人生を如何に生きるべ

きかを決定する問題に比較して、重要な意思決定問題ではない。この昼食の問

題の小世界においては、多分、初期条件は確実的であろう。さらに、この程度の重要性の問題では小世界は人世を如何に生きるべきかという大世界の視点から言っても確実な結果の存在を許すだろう。すなわち、重要性の低い意思決定問題においては小世界を実質的に大世界から孤立させることは可能である。

一方、企業の命運をかけるような投資問題においてどの選択対象を選ぶべきかということは、昼食の選択問題に比較して、より重要な問題であろう。この問題に対する小世界では初期条件を確実的であるとみなすことは不適切である。
なぜならば、多重くじの相互依存性が選好順位に影響するかもしれないからである。意思決定問題は、重要になればなるほど、より大きい世界で考察されなければならない。そして、重要性の高い意思決定問題では、大世界の視点から眺めるとき、小世界における結果は常に確実的でないと考えられる。すなわち、重要な意思決定問題では小世界を大世界から孤立させることは容易でない（第7章3－3節、参照)。

我々は、いま、小世界と大世界の関係を結果の確実性に関して議論してきたが、小世界の問題は効用の測定にも関連して議論されうる。ある小世界で効用
－216－

第11章

総

括

の測定が計画されているとき、意思決定者がその小世界より大きい世界の視点から選好行動をとっているならば、そのとき測定されたと考えられている効用は意思決定者の行動の予測にも、行動の指針としても有効でない。
効用測定のより具体的な例にそくして言えば、文脈効果(context effect)
も小世界と大世界の関係から発生しているようにみえる。文脈効果では、期待効用の定式化において全く同じ2つの選好問題が、表現の相違によって、選好の逆転現象を生みだす（第6章3－3節、参照)。

この場合、一つの表現、すなわち、一つの小世界S,の視点からなされた選
好が別の表現、すなわち、別の小世界S2の視点からなされた選好と同じでない。小世界S2は小世界S1を含むより大きい世界G,に含まれている。小世界
S】における選好が期待効用の概念の中では大きい世界G1の一部である小世界
S2によって影響されている。このように、文脈効果が生じているときには小世
界は大世界から孤立していないと言えるだろう。

8．応

用

性

さて、Borch (1968,訳書p. 93)

が言うように、“意思決定者の富と独立な決定規則を求めなくてはならない理由が、とくにあるわけではない｡”と考えられるならば、病的なケースでなくとも、効用の測定が不可能になる状況が存在すると言っても過言ではないだろう。その状況では、前述のように、初期条件が確実的でなく、効用関数は一定リスク回避的でない。そのとき、効用測定のための一意的な原点が存在しない。あるいは、確実等価額の概念がはなはだ困った役割を果している。
さらに、重要な意思決定問題では初期条件は不確実またはリスク的であるという主張が認められるならば、そのとき逓減リスク回避的な効用関数を使用できる正当な理由は存在しない。そして、そのような場合、Bo rchの見解に反することではあるが、効用の測定を可能にさせる意思決定者の選好行動は一定リ－217－

期待効用理論

スク回避に限定されなければならない。

粗く言えば、逓減リスク回避的な意思決定者は、金持になればなるほど、任意の“くじ”の効用をますます高める。日常、一般的に許容されていると考えられるこの逓減リスク回避の仮定が認められないならば、期待効用理論の応用はかなり特殊な範囲に制約されざるをえない（第10章3節、参照)。

9．期待効用理論の制約条件

本書における議論から、期待効用理論が規範的に受け入れられるためには、
少なくともつぎの条件を満たすことが要求される：（1）意思決定者は期待効用の公理系の“もっともらしさ”を信じること。
（2）意思決定者の選好行動が混合集合の演算（あるいは、これに対応する確率演算）に従っていること。
（3）初期条件が確実的であること。

（4）前項(3)が満たされていないとき、初期条件が選択対象とは確率的に独立であり、意思決定者が一定リスク回避的であること。

（5）前項(3)、(4)にも関連するが、小世界が大世界から適切に孤立させられていること。

我々はリスク的初期条件の視点から期待効用理論に関するいくつかの難点を指摘してきた。それに対して、ある人々は期待効用モデルに代るモデルが存在するのかと我々に迫るかもしれない。現在、我々はそれに代るモデルを持ちあ
わせていない。そのとき、代替的モデルが提示されないかぎり、期待効用の概念をすてることはできないと主張されるかもしれない(Amihud, 1979, P.149)。
もしそのように主張するならば、それも良し、しかしながら我々が指摘した
期待効用モデルにおける難点は受け入れられるべきである。そして、これらの難点に充分な配慮がなされた後に、期待効用は意思決定の分析に使用されるべ
きである。

－218－

付録1

効用関数の導出（定理3．1の証明）
期待効用定理の証明

この付録1においては、第3章2節における期待効用定理を証明しよう。したがって、《‘くじ"の集合Qのもとで効用関数の導出が議論される。しかしながら、線型効用関数の導出プロセスでは、公理系は別として、集合Qが混合集合であるという条件だけが使われているので、混合集合の条件を満たす集合、例
えば単純確率分布の集合、確率ベクトルの集合などにおける線型効用関数の存
在も証明されていることになる。

準備としてつぎの2つの補題を証明しよう。

補題1：もし/1、/2EQに対して/'>/2ならば全てのaE(0,

1)に

対して

／」＞α・ノ！子（1－α）・ノ2＞/2（証明）α・／』＋（1－α）．ノ2＞/Ⅱ＞ノ2と仮定しよう。そのとき、公理2より／】～β＊.（α・／】￥（1－α）。/2）十（1－β*）。/2（混合集合の条件M3を適用するとき）＝β＊α・ノⅡ＋（1－β＊α）。/2

(A1.

1)

なるβ＊臣（0，1）が存在する。

式(A1.

1)を代入するとき、公理3と（混合集合の）条件M3により

α・／1手（1－α）．/2～α・（αβ＊．／｣牛（1－αβ*）●・ノ2）十（1－α）。/2＝α2β＊・ノ』子（’一α2β*）．/2
同様に、α2β＊。/］十（1－α2β*）・ノ2＞ノ』＞ノ2であるから、公理2により－219－

期待効用理論

ノ!～ﾉl* ("2"*･ノ’+(1一α2 "*)．/2)+(1一ス*)．/2＝ス＊β＊α2．ノ】十（1－ス＊β＊α2）・ノ2
なるス*E(0,(A1．2)

1)が存在する。

式(A1. 1)と式(A1．2)を満たす2つのス＊β＊α2とαβ*(ス＊β＊f<αβ*)が存在することは公理2におけるα＊の一意性と矛盾する。したがって、ノ】＞α・／』十（1－α）。／2
となる。

同様に、

α、/!4 (1－α）．/2> /2となる。（証終）

補題2：

もし/1、ノ2EQに対してノ1> /2ならば、α、β臣(0,1)に対してα＞βなるための必要充分条件は
α・／】＋（1－α）。／2＞β・／｣＋（1－β）・ノ2
である。

（証明）

補題1より

α、／‘午（1－α）．/2＞／2となる。そこで、α＞βとしよう。0<6/u< 1であるゆえに、補題1より". /｣-F(1-cz)．′'>;･ (｡'･ !!4(｣-") ･!,) \（1-:)･',＝β･ﾉ‘ギ(]-β)・'’となる。

一方、ノ】＞／2かつ

α・ノ‘牛（’一α）・ノ2＞β・ノⅢ牛（’一β）．/2
であるならば、同様に、α＞βとなる。（証終）（定理の証明）

固定された /α、ノbEQ、（/α> /6)に対して集合I=｛／｜／‘＞/浜／，｝を考えよう。
-220 -

付録1

効用関数の導出

公理2より、／‘済/＞/6なるノに対して、●／～α＊・ノα十（1－α*）・ノ6なるα＊匡（0，1）が存在する。そして、ノαとノかが固定されているゆえに、
α＊は“くじ”／に依存する。したがって、α＊は/とある関数関係にある。
すなわち、"*=h(/)(A1．3)である。

そのとき、／α＞/』＞ノウ、ノ｡＞ﾉ2＞ﾉｩなる“くじ”／1、ノ2に対してh（/,）とh(/2)が定まる。そして、補題2よりh(ﾉ1)>h(/2)なるた

めの必要充分条件はノ｣＞ノ2となる。形式的に書くと、／,～h (/])。/･+(1-h十（1－h(/,))。/6>h(/2)・ノα(/2))・/6ーノ2となる。

ただし、もし任意の/α、/6 EQにおいて／α～/bならば、公理3により、●●

α・／α＋（1－α）。/6～α・／'十（1－α）。/αとなる。そして、条件M3においてβ=0とすると、●

a（0．ノウ＋1．ノα）十（1－α）・ノα＝0．／6＋1．ノαとなる。そして条件M4より●

o・ノ6＋1．／α＝ノαとなり、全てのノに対してノー／α～/6となる。それゆえに、全ての／に対して一つのある数値、例えばl、がh(/)= 1として定められるので、今後、/α＞／6と仮定しておこう。
さて、‘‘くじ”ノは/ =pi・ノ, +ph。/22Zp}=1,p;≧0,8＝lとしよう。ただし

－221－

j=1，2

期待効用理論/α>/j>/6,

j=1，2とする。また補題1より
ノα＞ノ＞／6となる。

そのとき、関数hの定義式(A1.

3)から

●

／～h (/)。/｡+(1-h (/))・ノ6となる。しかしながら、／j～h（ノj）。／α十（1－h（/j））・ノb
h(/j)･ /｡aF(1-h (/j))
であるゆえに、公理3によって●ノーpi ･[h(/,)・ノ｡+(1-h (/,))．/6]●●+･ph・[h (/2)・ノα+(1-h (/2))。/6](M6すなわち式(2.

3)を適用するとき）=[ip}h (ﾉ,)]．′.f[!-ip}h (ﾉj)]､ﾉ‘
8＝1

1＝1

となる。したがって、公理2におけるα＊の一意性から、すなわち、hの一意性から、
2h (/)=Zp}h(/j)(A1. 4)2＝1が得られる。このようにIにおける線型関数hが得られる。

さて、固定された／‘、／‘、（/‘＞/d）と集合I={/ | /｡>ノ>/6 }、（/c、/d EI)を考えよう。そのとき、式(A1. 4)から容易に理解されるように、集合I上での線型効用関数gが存在し、任意の定数6>0、γに対して集合Iの要素ノの関数g'、すなわち、

g'(ノ) =69 (/)+r
も、また、集合I上での線型効用関数となる。

とくに、g(/c) >9(ﾉｺ）であるゆえに、

69 (/c) +7=1
69 (/d) +7=0
－222－

付録1

効用関数の導出

なるような6＞0、γを選ぶことが可能である。さらに、集合I上での線型効
用関数を

u (/I1，9)=69 (/)+γ、ノEIによって定義しよう。そのとき、任意の2つの集合1,，12 (/c、/d EIⅢ、

／c、/dE I2)、I,上で線型効用関数91，12上での線型効用関数92に対してu(/ |1｣，9,)=u(/ I 12，92)、ノEI, nl2が成立する。その理由は以下の通りである。

もしノーノcあるいはノーノdならば結果は明白である。(i) / >/c、(ii) /c＞ノ> /d, (in)ノゴ＞ノの3つの場合には、公理2より(i)/c～(1－ス,)・〃十入，・ノ

6i)ノー入2．ノc+ (1－地)･

/d

●

⑰

／α～（1ー入3）。/+A3．ノc

なるようなス』、ス2，ス3 E(0，1)が存在する。そして、これら3つの場合には線型効用関数u(・|I'、gj)の性質から、j=1，2、(i)

1=ス'u(/| I,、gi)

⑪

u(/I

⑰

0＝（1－入3)U (ノII'、9j) +A3

I#、gi) =12が得られる。したがって、/EI,n l2に対してu(/ I I&、9,)=u (/|I2、92)となるo

任意の/EQに対して／、ノc、/dを含む集合Iが存在する。これらの／、/c、/dを含む全ての集合IとI上での全ての線型効用関数gに対するu(/|I、g)の共通の値をu (/)と定義しよう。そのとき、u (/)は全ての/EIに対して定義され、uはそのような集合lの全てに対する線型効用関数となる。したがって、集合Q上での線型効用関数uが存在する，

ここで、／鴬‘は確実な結果カィが確率1で得られる“くじ”としよう。そし－223－

期待効用理論て、第2章5節「効用関数」で議論したように、

h(/z,) =h ("j)

と定義しよう。さらに、任意の“くじ”ノは確実な結果の集合で定義された“くじ”に還元されるので、●/ =p,・ノズ, +p2・ノエ2+ ・・． +pγ・ノxγと表現することが可能である。
そのとき、式(A1.

4)より

γ

h(/) =Zpjh (/xi)
8＝l

γ

γ

=Zpjh("j),
8＝1

Zpj=1,

p'≧0,

j=1,．．．,r8＝1となる。したがって

h(ノ)=E(h、/)となり、期待効用が導出される。
正の線型変換までの一意性

もし、関数uが式（3．1）を満たし、関数〃が式（3．4）を満たすなら
ば、E(〃、/) =6E (u，/)+r

なる関係を考慮するとき、明らかに、関数〃も式（3．1）を満たす。（証終）

－224－

付録2

定理3．2の証明

つぎに示す証明の(1)はKihIstrom-Mirman (1974)によるものであり、(2)と(3)はPratt (1964)によるものである。
（証明）（'）条件1 ー＞条件3．効用関数u1とU2の仮定によってu,=G (u2)となるような単調増加で、2回連続微分可能な関数G=u, (u5')が存在する。
微分することによって

ui=G'ub(A2.

1)

uf=G''(ui)2+G'u;

(A2.

2)

が得られる。式rA2.

G''= ui

1)と(A2.

2)からqu;(Ub )2－(吾-苦）（缶）となる。それゆえに、G''< (<) 0なるための必要充分条件はγ!>(>) 72となる。

（2）条件3 － 条件2．
nu(/)=E(u,/)=Zu("j)p:8=1=E{u(")}とし、

ヵ＊（の、ノ)=u一』E{u (の+") }と表現することにしよう。そのときJrj(の、/)=の+E(/)-u7｣E{uj (の+x)}、j=1、2となる。したがって

元Ⅱ（の、ノ）一兀2（の、ノ）=u5｣E{u2 (の+")}-ur｣E{u｣ (の+x)}－225－

期待効用理論＝u塚』E{t} -u｢」E{u｣ (u5｣ (t)) }(A2．3)となる。ただしt=U2 (の＋力）である。

もしG=u｣ (u5')がG''< (<) 0であるならば、J ens enの不等式と“くじ”が退化していないことから

E{u] (u5｣(t)) }< (<) u! (u5｣ (E {t}))となる。そのとき式(A2.

3)より汀】（の、／）一元2 (G)､ I)=u5｣E {t}一ur｣E {u｣ (u訂】(t)) }>(>) u5｣E{t}-ur｣u｣(u面』E {t})=0となる。したがってG"<(<) 0であるならば、

汀』（の、ノ）＞（＞）兀2（の、／）となる。

（3）条件2一つ条件1．上記の証明(1)と(2)によって条件1＝＝条
件2、すなわち、γ】（の）＞（＞）γ2（の)＝＞汀』（の、／）＞（＞）汀2（の、/）が証明されている。そこで条件1一条件2の対偶命題を考えることによって条件2一条件1を証明しよう。

さて、γ】（の）＞（＞）γ2（①）の否定はγ2（の）＞（＞）γ』（の）であり、元Ⅱ（の、ノ）＞（＞）汀2（の、ノ）の否定は冗2（の、／）＞（＞）元Ⅱ（α)、/）であることに注意するならば、条件1一条件2は

汀2（の、/）＞（＞）兀，（の、／）＝今γ2（の）＞（＞）γ』（の）と同値である。ここで引数1と2を交換するならば、冗！（の、／）＞（＞）冗2（の、ノ）一γ』（の）＞（＞）γ2（の）となり、条件2＝＞条件1が証明された。（証終）

－226－

付録3

定理4．2の証明

つぎに示す証明はFukuba- Ito (1980)によるものである。
（証明）

仮定、の（／,）＝の（ﾉ2）から、u~｣{plu (")+p2u ("+k)}=u~'{p｣u (y) +p2u (y+h)}plu (")+p2u("+k)=p｣u (y) +p2u (y+k)

P2{u (y+h) -u ("+k)}=p,{u (x)一u (y)}となる。もし〃>yならば、u(x )の単調増加性からu(x)- u(y)> 0である。したがって、u (y+h) -u ("+k)>0となり、また、u (xm単調増加性か
らy+h>Jr +kとなる。ゆえに、

y+ h>力+ k>">yとなる。

一方、もしy>ヵならば、同様に、"+k>y+ h>y>"となる。

仮定、兀（/2）＞兀（/,）から、

兀（/2）一元(/1) ={y+p2h－の(/2)} - {"+P2 kーの(/1) }=p2{(y+h)-(X+k)}+p｣ (y一％)>0となる。したがって、力+ k>y+h>y>力では、兀(/2) >" (/,) は成立しない。それゆえに、仮定、の（/2）＝の（/,)，元（/2）＞元（ﾉ,)のもとではy+ h>"+k>">yとなる。明きらかにh>ko
さて、pl、p2、Xが固定されるとき－227－

期待効用理論d (k) = 0 (/,) = d (x)=u一』[p]u (x) +p2u (x+k)]なるkの関数の(k)を定義しよう。そのとき、同様に、
7r (k)=7r (/1) = "+P2k－の(k)が定義される。そこで、

u(d (k))=p[u(") +p2u("+k)
をkに関して徴分することによっての′(k) =p2u'("+k)/u'(d (k))(A3．1)

が得られる。同様に、

元'(k) =p2－の'(k)となる。さらに、u'(") >0であるから｡'(k) >0となり、u''(ヵ）＜0からu'(d (k))>u'(x+k) となり、"'(k) =p2 (1-洲槻)>0となる。

M'(y)=u~｣ [p｣u (y) +p2u (y+h)]、d (y)=u~｣ [p｣u(y)+p2u (y+k)]であることを考慮するとき、7r (/2)>y+p2k－の(y)となり、これから

p2 (h-k) >'(y)一の(y)>0
が生じる。
さらに、

の，(")= p]u'(力)+p2u'(x+k)
u'（の（〃)）
において、の′（r）をkの関数f (k)とし、v (x)=u'(x)とおこなう。す
なわち、

－228－

付録3

f

(k)=

定理4．2の証明p]v(x) +p2v("+k)(A3.

v(O (k))2)としよう。ただし、f (k)は式(A3.1)のの'(k)とは異なることに注意されたい。

そのとき、式(A3.

2)をkに関して徴分することによって、{ v(d (k)}2 f'(k)=p2v'("+k) v (O (k))-{P!v(x)+p2v("+k)}v'(d (k)) d'(k) (A3. 3)が得られる。式(A3.

3)における第一項、第二項はともに負であることに注意されたい。
ここで、v，("+k)= du'､(jr+k)=ju'("+k)
dk
d"
二＝＝

であることに注目し、式（4．8)、plu'(")+P2u'("+k) >u'(d (x))を使うことによって{ v [d (k))}2 f'(k)>v (O (k)) {p2v'("+k)-v'(d (k))の′(k)}

(A3.

4)

が生じる。

汀§(x) >0、すなわち、γ′(") = (-u''(ヵ)/u' (力))'<0から、:;W il > WW)}となる。すなわちu"("+k) -{u''(d (k)) u'("+k)/u'(d (k))}>0が得られる。それゆえに、式(A3.

1)を使うことによって

p2v'("+k) -v'(O (k))の′(k)=p2U''("+ k)一u"(d (k))

p2P:("t*)u'(d (k))=p2 {U''(蛎手k)-u'"(k)) ::("} )>, (A3 ')
となる。

－229－

期待効用理論

したがって、v (｡ (k))=u'(. (k))>0、式(A3.

4)、

式(A 3.

5）から

f'(k)

> 0

が得られる。式(A3.

(A3

6）

(A3

庁

6)から、

ウ'(y) >の′(y)となり、式（4．21）と節>yから、の′(y) >｡'(")
が生じる。結果として、"(y) >の′（〃）が得られる。

式（4．22）と式(A3.

7)から、全てのの>0に対して｡ (L2)=yr(y+Q)) >. (x+の)=｡ (L,)
が得られる。（証終）

－230－

､

イノ

付録4

1．

は

じ

め

諸公理系の同値性に第8章で挙げられた諸公理系には､一見､同値であるようにみえないものが含まれている。しかしながら、構造が限定されるとき、すなわち、混合集合に限定されるとき、実は、公理系LRを除く諸公理系は同値である。付録4ではこれを示そう（伊藤駒之、1984)。

公理系LRには“くじ”に対する連結性が含まれていない。したがって、混合集合の上で公理系LRを記述することは不可能である。しかし、混合集合の上で定義されたその他の公理系は公理系LRを意味している。一方、公理系L
Rは期待効用算定の結果として“くじ”に対する連結性を意味している。それゆえに、第8章における諸公理系が同値であることは事実である。他の公理系に較べて公理系LRは冗長であるが、この公理系には独得の意図が込められている。この点に関しては第9章3－1節「弱順序の公理の類」を参照されたい。

我々の議論はHerstein- Milnorの公理系を出発点とするので、便宜上、もう一度、混合集合の定義と公理系HMを提示しておこう。

定義2．2．

混合集合(mixture set)は演算子、・のもとでつぎの4つの条件を満たす集合Sである(Herstein-Milnor, 1953) ;条件M1・全てのa、bESと全ての"E[0,1)に対してα・a+ (1－α）・bES

条件M2.
●

α・a+ (1－α）。b= (1－α) ･b+α・a

条件M3.全てのa,bESと全てのα, 'E(0,●α・（β・a+ (1－β）。b)+(1－α）・b－231－1)に対して期待効用理論＝（αβ）・a+ (1－αβ）。b
条件M 4.

"=0ならば、そのとき
α・a+ (1－α) ･b=b演算十、・が、それぞれ、ベクトルの加算、スカラーとの積を意味するとき、ベクトル空間は混合集合の条件を全て満たしている。

公理系HM (Herstein-Milnor, 1953)

公理HM1 (弱順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である。
すなわち、(1)連結性と(2)推移性が成立する。

公理HM2 (代替性):もしa、a'E Sに対してa～a'ならば、そのとき全てのbESに対して;･ ｡4#･b～;･ ｡'4;･ blが成立する。

公理HM3 (連続性):全てのa、b、cESに対して集合Aと集合B、すなわち、

A= {cUIcz.a4(1－α)･b>c}と●

B={cZIc>cZ･a+(1－α）．b}は閉集合である。

公理系Aから公理系Bが導かれることを、公理系A一公理系B、と記すことにしよう。そのとき、この付録における同値性の証明手順は公理系HM-

公理系BG一公理系F==一公理系VM-公理系M一公理系HMを示すことになる。もしこれが示されるならば、そのときこれらのどれから出発しても、その他の公理系が導かれる。

なお、公理系間の同値性に関する議論は、部分的には、Jensen (1967)と
－232－

付録4

諸公理系の同値性

Fishburn(1982)によってなされている。結果だけを簡単に要約することにしよう。まず、J ensenの議論はつぎの公理系から始まる。

J ensenの公理系( Jensen, 1967)
公理J1(弱順序)。

公理J2(独立性､第8章5節の式(8. 17)、参照):もしa, bESに対してa>bならば、全てのcESと全てのaE(0,1)に対してα・a+ (1－α）．c>α・b+ (1－α)･cが成立する。
公理J3(アルキメディアン)。

この公理系から、Jensen (1967)は単調性の公理､絶対確実の原則､代替性の公理（第8章3節の公理M2)、連続性の公理（第8章3節の公理M3)を導きだしている。一方、Fishburn (1982)によって、このJ ensenの公理系とHerstein- Milnorの公理系の同値性力:証明されている。

2．同
2－1

値

性

公理系HMと公理系BG

さて、Blackwell-Girshick (1954)の公理系BGにおける独立性の公理は可付番無限個の要素に関連するものであるが、それを2個の要素に限定すると
き公理系BGはつぎのように表現される。

公理系BG

公理BG1

(弱順序):集合Sの要素に関する選好関係＞は弱順序である。

すなわち、1)連結性と(2)推移性が成立する。

公理BG2 (独立性):もしal、a2、b,、b2ES、αE[0,

－233－

1]対して

期待効用理論a, >b,、a2 >b2が成立するならば、そのときO●

α・a!+(1－α）・a2>α・b,+(1－α) .b2が成立する。

さらに、a,> b,、a2 >b2ならば全てのαE(0,1)に対して～α・a｣ 4 (1－α)･a2房α･b｣牛(1－α) .b2が成立する。

公理BG3(アルキメディアン):もしa、b、c筐Sに対してa>b>cであるならば、そのとき●

b>α・a+ (1－α）。c●β・a+ (1－β）。c>b

なるα、β筐（0，1）が存在する。

本節の目的はつぎの定理1を証明することである。

定理1．公理系HMから公理系BGは導出される。
定理1の証明の準備として公理系HMから導きだされたHers tein- Milnorの諸結果を定理として提示しておこう。

定理2．公理HM1、HM3が成立しているとしよう。もしa、b、CES、かつ、a >b>cであるならば、そのとき～～

b～α・a+ (1－α）。cなるαE[0,1]が存在する。

さらに、a >b>cであるならば、aE(0,
(証明)
定理3．

1)である。

Herstein-Milnor (1953)の定理1の証明を参照せよ。（証終）公理HM1、HM2、HM3が成立しているとしよう。もしa、b

ES、かつ、a>bであるならば、そのとき●

α・a+ (1-")。b>1．a+ (1－ス）｡b

なるための必要充分条件はα＞スであることである。

－234－

付録4

諸公理系の同値性（証明) Herstein-Milnor (1953)の定理4の証明を参照せよ。（証終）定理4．公理HMl、HM2、HM3が成立しているとしよう。もしa、a'ES、かつ、a～a'であるならば、そのとき全てのαE[0, 1]と全てのbESに対して●■α・a+ (1－α）。b～α・a'+ (1－α）。bが成立する。

（証明)

Herstein-Milnor (1953)の定理2の証明を参照せよ。（証終）定理5．公理HM2、HM3が成立しているとしよう

もしa、a'ES、かつ、a～a'であるならば、そのとき全てのαE[O, 1]に対して●

α・a+ (1－α）・a'～aが成立する。

（証明) Herstein-Milnor (1953)の備考( remark(d))を参照せよ。（証終）

さて、公理系HMから公理BG3を導出する仕事に移ろう。
定理6．公理系HMから公理BG3は導出される。
（証明）いま、a、b、CES、かつ、a>b >cであるとしよう。そのとき、

定理2の後半部分によって｡

b～α・a+ (1－α）・c

なるaE(0,(A4.

1)1)が存在する。そして定理3によってス＞αではO●

入・a+ (1－入）。c法α・a+ (1－α）。c

(A4.

2)

となる。そのようなスはαが開区間（0，1）の点であるから常に存在する。
それゆえに、式(A4.

1)と式(A4.

2)から推移性によって●ス・a+ (1－入）。c>bとなる。また、同様に、●

b>〃・a+ (1－浬）。

なる〃E(0,1)も存在する。(証終）定理8を導出する準備としてつぎの定理7を証明しよう。

－235－

期待効用理論

定理7．公理系HMが成立しているとしよう。もしa、beS、a>b、αE[0,1]であるならば、そのとき全てのcESに対して■●

α・a+ (1－α）。c>α・b+ (1－α）。cが成立する。

（証明）いま、a>b、かつ、αE[0,1]としよう。そして、まずc>a>bと仮定しよう。そのとき定理2の前半部分によって●a～ス。c+ (1－ス）。bとなる入E[0,1]が存在する。したがって定理4と条件M3によって"･aギ(1－α）．c～α･(卜cf(1－ス) .b)f(1－α)･c●＝（1－a（1－1））。c+d(1-1)･bとなる。そのとき、1－a(1-A) >1－αであるから、定理3と定理5によってc>bに対して●●（1－a（1－入)）。c+" (1－ス) ･b>(1一切)･c+α・bとなる。したがって、推移性により

α・af(1一α)･c>α、b4 (1－α)･cが成立する。

また、a>c %bの場合、a>b >cの場合も同様に証明される。（証終）
～

～

～

～

定理8．公理系HMが成立しているとしよう。そのとき、al、a2、b,、b2

ES、a,>b,、a2 >b2、かつ、αE[0,1]に対して"･ a'4(1－α).a2>α・b,f(1－α) .b2が成立する。

（証明）定理7より

cz･ a｣f(1－α).a2>α、b,ギ(1-")．a2となる。さらに定理7より●●

α、b｣+(1－α)･a2>α、b] +(1－α）・b2が成立する。したがって推移性によって

－236－

付録4

諸公理系の同値性

α・a｣+(1－α).a2>α・b]+(1－α）・b2が成立する。（証終）定理10を証明するために定理9を提示しておこう。

定理9．公理系HMが成立しているとしよう。もしa、bES、a>b、かつ、切巨(0,1)であるならば、全てのcESに対して●●

α・a+ (1－α)･c>α・b+ (1－α）。cが成立する。

（証明）定理7と同様に証明される。またFishburn (1982, p.17)におけるH4を参照されたい。（証終）定理10．公理系HMが成立しているとしよう。そのときal、a2，b,、b2E
S、a, >b,、a2 >b2、かつ、α 筐(0,1)に対して(z･ a｣f(1－α).a2>CZ.b｣f(1－α) .b2が成立する。
（証明）定理9より｡●

α・a]+ (1－α）・a2>α・b｣+(1－α）・a2となる。そして定理7より"･bⅢ子(1－α）・a2>α・bⅢギ(1－α) .b2となる。したがって、推移性より●●

α・a｣+ (1－α) ｡a2>α、b,+ (1－α）・b2が成立する。（証終）以上の議論から定理1の証明は自動的に生じる。
（定理1の証明）（1）弱順序性に関しては公理HM1、公理BG1はともに同じである。

（2）公理BG2の前半部分は定理8によって、後半部分は定理10によって導出される。

（3）公理BG3は定理6によって導出された。（証終）－237－期待効用理論

2－2

公理系BGと公理系F

さて、Ferguson (1967)の公理系Fは混合集合の演算のもとでつぎのように表現される。

公理系F

公理F1(弱順序）

公理F2(独立性):全てのa、b、cESと全てのaE(0,

1)に対し

て

“・af (1－α).c>cr.bf(1－α)･c
なるための必要充分条件はa>bである。
公理F3(アルキメディアン）

定理11．公理系BGから公理系Fは導出される。

（定理11の証明）公理系BGと公理系Fは公理BG2と公理F2において相違するだけである

したがって、公理系BGから公理F2が導出されるならば、定理11の証明は完成する。（証終）定理12．公理F2は公理系BGから導出される。
（証明）（1）公理BG2の前半部分においてa2=b2=cとおくならば、a, >b,から“．a｣f(1－α）．c>".b14(1－α）．cとなる。それゆえに公理F2の充分性が示された。
（2）必要性を示すために、

α、aギ(1－α）．c>cZ.bf(1－α)･cであるならばそのときa>bであることの対偶を示そう
あるならばそのときあるαE(0,1)に対して－238－

その対偶はa>bで

付録4

諸公理系の同値性

α・a+ (1－α）。c>α・b+ (1－α）。c

(A4.

3)

が成立することである。公理BG2の後半部分においてa2 =b2=cとおくな
らば

d･ a+(1－α)･c>α、bf (1－α）．cとなる。したがって、公理系BG2が成立するならば、そのとき公理F2の必要性も成立する。（証終）2－3

公理系Fと公理系VM

さて、Von Nelnnann- Morgens tern q947 )の公理系における構造の公理

は混合集合の条件に含まれるので、Von Neumann- Morgens ternの公理系はつぎの公理系VMとして表現される。ただし公理VM1は弱順序としよう。
公理系VM

公理VM1

(弱順序）

公理VM2 (絶対確実の原則):a、b、CESと全てのαE(0,1)に対して、もしa>bであるならば、そのとき
a>α・a+ (1－α）｡b
かつ

α・a+ (1－α）。b>bが成立する。
公理VM3(アルキメディアン）

定理13．公理系Fから公理系VMは導出される。

（定理13の証明）公理系Fが公理系VMを意味することを示すには、公理系Fから公理VM2が導出されることを示すことで充分である。（証終）定理14．公理系Fが成立しているとしよう。そのとき公理VM2が成立する。
（証明）公理F2は、式(A4.

3)から、もしa>bであるならば、そのと－239－

期待効用理論

き全てのcESと全てのαE(0,1)に対してα・a+ (1－α)･c>α・b+ (1－α）。cであることを意味している。したがって

a～α・aギ(1－α)･a>cz･aギ(1-")

b＞α・b+ (1－α）。b～bとなる。それゆえに

a>α・a+ (1－α) ･b>bとなり、公理VM2が成立する。（証終）2－4

公理系VMと公理系M

さて、Marschak (1950)の公理系は、構造上の公理M 4 (Postulate m ,Marschak, 1950)が無視されるとき、つぎの公理系Mとして表現される。
公理系M

公理M1(弱順序）

公理M2(代替性):もしa、a'E Sに対しa～a'であるならば、そのとき全てのbESと全てのα臣（0，1）に対して●、

α・a+ (1－α）。b～α・a'+ (1－α）。bが成立する。

公理M3(連続性):もしa、b、CESに対してa>b >cであるならば、そのとき●b～α・a+ (1－α）。cなるようなaE(0,1)が一意的に存在する

定理15．公理系VMから公理系Mは導出される。

公理M3の導出は実質的にはBlackwell-Girshick (1954)によってなされている。これを定理17とし、定理17の導出に必要とされる単調性に関する結果

-240-

付録4

諸公理系の同値性

を定理16として示しておこう。定理16と定理17は公理M2を導出するための定
理18の証明で使われる。

定理16.(単調性)．

公理VM2が成立するとしよう。もしa、bESに対してa>bであるならば、そのとき●●

ス・a+ (1－入）。b>α・a+ (1一α）。bであるための必要充分条件はス＞αである。

（証明）公理VM2より、1 >"/i >0、すなわち、ス＞αなるα、』E(0,1）に対してハ・ヨ牛(]-A) ･b>:､A･&f(]-1) ･b)4(｣-f)･b●＝α・a+ (1－α）・b(証終）定理17．公理VM2，VM3から公理M3は導出される。

（証明) Blackwell-Girshick (1954, p.107)における証明Bを参照されたい。（証終）

定理18．公理系VMが成立しているとしよう。もしa、bESがa>bであるならば、そのとき全てのαE(0,1)と全てのcESに対して●

α・a+ (1－α）。c>α・b+ (1－α)･c(A4.4)

が成立する。
（証明）（1）もしa、bESに対してa～bであるならば、そのとき全てのαE (0,1）に対して⑰。a+ (1－α）．b～a～b

(A4.

5)

が成立することを示そう。いま
α・a+ (1－α）。b法a～bと仮定しよう。そのとき公理VM2より、

α・a+ (1－α）．b法え･(α・a+ (1－α）．b)ギ-(1－ス)･b
>a～b

－241－

期待効用理論となる。すなわち、条件M3によって
α八・a+ (1－αA)。b>a～bとなる。そのとき（1－α）／（1－αえ)E(0,1)であるゆえに、また公理VM2と条件M3によって
αA・a+ (1一αス）。b>(1－α)/ (1－α1)。（αス・a＋（1－αA)。b) +(1-(1－α)/ (1－α入))･a＝α・a+ (1－α）。bとなる。これは矛盾である。
また●a～b>α・a+ (1－α）。bの場合も同様に証明される。
（2）もしa、b、cESに対してc～a>bであるならば、そのとき式(A4．5）と公理VM2より全てのaE(0,1)に対して●α・a+ (1－α)c～c>α・b+ (1－α）。cが成立する。

（3）もしa>c房bであるならば、そのとき公理VM2より全てのaE (0,1）に対してa>α・a+ (1－α)･c>c>α・b+ (1－α)･c>bが成立する。
（4）いまc>a%bと仮定しよう。そのとき公理M3よりa～β】･ b+(1－β,)･c
なるβ&が存在する。
公理VM2より●

c湯β」・a+ (1－β,)．c>a～β】．b+ (1－β,)･c"bが成立する。したがってβ,<αに対して定理16より
α・a+ (1－α）。c>α・b+ (1－α）・c

－242－

付録4

諸公理系の同値性が成立する。それゆえにα＜β]としよう。そのとき、もしβ2＜αであるならば、式(A4．4)が成立するように、定理16より●●c >'｣・a+ (1－β1)。C>'2．b+ (1一β2)･C>βⅡ．b●

十（1－β,)･cなるβ2E(0,1)を選ぶことができる。他方、α＜β2ならば、この過程をくり返すことにしよう。

このようにして得られる｛β”｝は単調減少であり、β蹴E(0,1)から下限β＊が存在する。しかしながら、β＊＞0でないことを示そう。いま、β＞'* >0に対して●●

β・a+ (1－β)･c>β・b+ (1－β）。c

(A4.

6)

(A4.

7)

であるが、β＊に対して●●β＊。b+ (1－β*)．c >'*・a+ (1－β*).c
であると仮定しよう。

さて、充分に小さい正数6に対してβ='*+ 6とおこう。そのときβ＞β＊であるゆえに、式(A4.

6)から

●

c>β・a+ (1－β）。c>β・b+ (1－β）。cが成立する。そして公理M3より'･ a+(1－β）。c～スβ・b+(1-1")･c
なる入匡(0,1)が存在し、定理16から●●

スβ・a+ (1－スβ)･c>β・a+ (1－β）．c～1β・b+ (1－スβ）・c

(A4.

8)

となる。しかしながら、

えβ一β＊＝ス（β＊＋ど）－β＊＝一β＊（1－ス) +iEであるから、充分に小さい正数6に対してβ＊＞』βとなる。一方、β＞α＞
スβに対して式(A4.

8)と定理16から－243－

期待効用理論

α・a+ (1－α）.c>β・a+ (1－β）。c●●～スβ・b+ (1－スβ)･c>α・b+ (1－α）。cとなり、α＞スβなる全てのαE(0,1)に対して●●(A4.

α・a+ (1－α)･c>α・b+ (1－α）。cが成立する。式(A4.
るから、式(A4.

なβ*E(0,9)9)は、充分に小さい正数Eに対してβ*>Aβであ7)と矛盾する。したがって式(A4.

7)を満たすよう

1)は存在しない。

（5）また、a>b～cの場合、a >b>cの場合も同様に証明される｡(証終）（定理15の証明）（1）公理VMlと公理M1は同じである。

（2）公理M2は定理18の結果からJensen (1967, p.175)の定理5によって導出される。

（3）公理M3は定理17によって導出された。（証終）2－5

公理系Mと公理系HM

公理系HMが公理系Mから導出されるならば、そのとき公理系HM 一 公

理系BG一 公理系F一公理系VM 一公理系M一>公理系HMと証明の過程は循環し、これらの公理系が同値であることが示される。それゆえに、つぎの定理19が証明されたとき、我々の目的は達成される。
定理19．公理系Mから公理系HMは導出される。
定理19の証明の主要部分は公理系Mから公理HM2を導出することである。
そのための準備としてつぎの定理20を証明しよう。

定理20．公理系Mが成立しているとしよう。もしa、bES、かつ、a>bであるならば、そのとき全てのaE(0,1)に対してa法α・a+ (1－α) ･b>bとなる。さらに、もしa>bであるならば、そのとき全てのαE[0,

－244－

1]に

付録4

諸公理系の同値性

対して

a>α・a+(1-cz)･b>b(A4. 10)となるぅ（証明）いまα・a+ (1－α)･b>a>bと仮定しよう。そのとき公理M3によってa～〃．（α・a+ (1－α) ･b)ギ(1－“)･b●＝α〃・a+ (1－α〃) ･b

なる邸E(0,(A4. 11)1)が一意的に存在する。そして、公理M2によって●

α・a+ (1－α）。b～α・（α〃・a+ (1－α〃) ･b)+(1－α)。b＝α2〃・a+ (1－α2,α）。b%a >bとなる。さらに公理M3によって

a～1 ["2".a+(1－α2浬）．bR (1一A) ･b＝』α2〃．a+ (1一スα2〃）・bとなるスE(0,(A4. 12)1)が一意的に存在する。

式(A4. 11)と式(A4. 12)より

a～α〃･ a+(1－α〃)･b～スα2"･af(1－入α2") ･b
かつ、α‘α＞えα2〃となるが、これは‘"の一意性と矛盾する。それゆえに●

a>α・a+ (1－α）。bとなる。さらに●a～α・a+ (1－α）。bなるα巨（0，1）が存在すれば、公理M2をn回適用すると●

a～α"･ a+(1－α")･bが得られ、ここで、→｡｡とするとa～bとなる。したがって●

a～α・a+ (1－α）。bとなることはない。それゆえに－245－

期待効用理論a>α・a+ (1－α) ･b(A4. 13)

α・W(1－α) ･b>b(A4. 14)が成立する。
同様に、も成立する。
もしa～bであるならば、そのとき公理M2によって●

a～α・a+ (1－α）・a～α・a+ (1－α)

が成立する。式(A4.

13)、

式(A4. 14)、

･b

(A4.

15)

式(A4. 15)を合成することによって、全てのα匡（0，1）に対して式(A4. 10)が成立する。α＝Oとα＝1に対して式(A4. 15)が成立することは明らかである。（証終）定理21.

もしa、bESかつ、a>bならば、そのとき●

α・a+ (1－α）。b>A･ a+(1－ス）。b

なるための必要充分条件はα＞スなることである。

（証明）いま、a>bとしよう。そのとき定理20より全てのα臣(0,

1)に

対して

α・a+ (1－α）。b>bである。さらに、定理20より全ての典巨(0,1)に対して●α・a+ (1－α）。b>〃。（α・a十(1－α）。b)+(1－〃）。b＝α鰹・a+ (1－α〃）。bとなる。そこでα座＝スとおくとき、α＞スとなり、｡●

α・a+ (1－α) ･b>八・a+ (1－ス）。bが得られる。（証終）定理22．公理系Mから公理HM3は導出される。
（証明）集合Aを

A={czl"･a+(1－α）．b>c }と定義しておこう。また、一般性を失うことなくa>bと仮定しよう。

－246－

付録4

諸公理系の同値性(1)もしa>b >cであるならば、定理20より全てのαE[0,
～

1]に対し

～

て

α・a+ (1－α）。b>bンcが成立する。したがって

A={"Icz･ a+(1－α)･b>c}
=[0,

1]

は閉集合である。

（2）もしc>a >bであるならば、そのとき定理20より全てのαE[0, 1]
に対して
c>a >α・a+ (1－α）。b
～

～

すなわち

c>α・a+ (1－α）・b(A4. 16)である。したがって集合Aの制約式と式(A4. 16)の共通部分は●

c～α・a+ (1-")。b～a

(A4.

17)

となる。そのとき、もしa>bであるならば、定理20より全てのα臣(0, 1)に対して

aンα・a+ (1一α) ･ bとなる。しかしながら、式(A4．18)は式(A4.

(A4.

18)

17)と矛盾する。したがってa～bとなる。それゆえにc～a～bとなる。
そのとき、

A={"lcz･ a+(1－α)･b>c}=[0,1]は閉集合である。

（3）もしc%a >bであるならば、そのとき定理20より全てのαE[0, 1]に対して
c>a浜α・a+ (1－α）。b
～

すなわち

－247－

期待効用理論

c湯α・a+ (1－α）。bとなる。

したがって、連結性より

A={ czIcz･a+(1－α）．b>c }は空集合である。空集合は閉集合である。
（4）

いま、a>c>bとしよう。
～～(i)もしa～c>bであるならば、そのとき定理20より全てのαE[0,

1]

に対して
●

c～a>α・a+ (1－α）。b～となる。集合Aの要素は1だけとなる。したがって集合Aは閉集合である。
(ii )もしa>b～cであるならば、そのとき定理20より全ての"E[0,

1]

に対して

α・af(1－α）．b>b～cとなる。したがって集合A=[0,1]となり、それは閉集合である。

(ni)最終としてa>c>bと仮定しよう。もしa,EA、かつ、α2>"]である
ならば、そのとき定理21によりa2EAとなる。さて、公理M3より■

c～α*･ a+(1一α*)なるα*E(0,･b1)が一意的に存在する。そのとき集合A=["*,

1]なることを示そう。
もしα＊＞“であるならば、そのとき定理21より●●

c～α＊・a+ (1－α*)･b>α・a+ (1－α）。bとなり、α碑Aである。また●

1．a+O．b=a >cであるゆえに、1EAとなる。したがってA=["*,
集合Bの場合も同様に証明される。（証終）（定理19の証明）－248－1]は閉集合である。

付録4

諸公理系の同値性(1)弱順序性に関しては公理M1と公理HM1はともに同じである。
公理HM2が生じる。
'2)公理M2においてα-;とおけば､公理HM2が‘

(3)公理HM3は定理22によって導出された。（証終）

－249－

付録5
1．

は

じ

め

効用関数の連続性と微分可能性に多くの文献で見受けられるところでは，選択対象の集合が全ての“くじ”，
あるいは，全ての単純確率分布，あるいは，全ての離散的確率分布などである

とき，それぞれの集合に対応する効用関数の存在が期待効用定理において証明されている（本書，第8章，参照)。
そのような期待効用定理では，効用関数の連続性，微分可能性についてなにも言及されていない。しかるに，期待効用理論の応用においては連続な，あるいは，微分可能な効用関数の存在を示すことなしに，そのような関数が，しば

しば，使われている。とくに，微分可能な効用関数に関する議論なしに，リスク回避関数の理論に入ることには理論的間隙がある。

効用関数の連続性あるいは微分可能性の問題は結果の集合Xと確率分布の集合P,両者の位相( topol ogy)に関連して議論される。連続な効用関数についての文献はいくつかあるが(Arrow, 1970, Debreu, 1959, Foldes, 1972, Grand-mont, 1970),この付録ではFoldesとGrand montの定式化が参考にされた。
両者の内,Grandmontでは集合Xは距離空間であり，集合Pには弱収束の位相が仮定されている。一方, Foldesでは集合Xは位相空間であり，集合Pは全ての単純確率分布からなる集合，全ての離散的確率分布からなる集合，全ての確率分布からなる集合に分けられている。位相空間Xが使われている関係か
らFoldesの議論はGrandmontのそれよりも数学的に複雑である。
ここでは，リスク回避関数への適応を念頭において結果の集合Xの要素は金額であると仮定しよう。したがって集合Xは実数直線Rである。さらに，大きい金額は小さい金額より選好されると仮定される。このような仮定のもとでは，次節で示されるように，連続な効用関数の存在に関する議論は上述の2人のそ－251－

期待効用理論

れに比べて非常に簡単である。3節における微分可能性の議論はFoldes (1972)のそれを再構成したものである。しかしながら，ここでは，期待効用の公理系がもたらす位相を出発点としているゆえに，期待効用の公理系と効用関数の連続性における連なりが上述の2人の議論より明確であろう。同様のことが微分可能性についても言われうる（伊藤，1985)。

さて，次節での議論の準備として，期待効用の公理系と線型効用定理から始
めよう。

集合Pは実数の集合R上で定義された確率分布の集合としよう。そして，α，6EP, "E[0, 1]に対してαα+(1－α)6は部分集合A(亡R)の確率がαα(A) +(1－α) 6(A)であるような確率分布である。またαα+(1－α)6E

P,すなわち,Pは凸集合であるとしよう。さらに，前に述べたように，集合
Rの要素は金額であるゆえに, "1, "2 ERに対して〃』＞〃2であるならばX1＞力2と仮定しよう。

期待効用の公理系（第8章，5節，参照）

公理1（弱順序）：集合Pの要素に関する選好関係＞は弱順序である。

公理2（独寸件）：全てのα, 6, cEPと全てのα巨(0, 1)に対して，α＞6であるための必要充分条件はαα＋（1－α)c >"6+(1－α)cである。

公理3（アルキメディアン）：もしα, 6, c,EPに対して,
るならば，そのとき
αα+(1－α)c>66＞βα十（1－β)c

なるα,'E(0, 1)が存在する。

－252－

g>6%cであ付録5

効用関数の連続性と微分可能性

このタイプの期待効用の公理系が選ばれた理由は次節の補題lにおいて，すぐに，独立性の公理2，アルキメディアン公理3が使われるためである。第8章における他の公理系から独立性の公理，アルキメディアン公理は導出されるゆえに，我々の議論の出発点が独立性の公理，アルキメディアン公理を含む公理系である必然性はない（付録4，参照)。

集合Pが全ての単純確率分布からなる集合Rであれ，全ての離散的確率分

布からなる集合"であれ，連続な確率分布を含む全ての確率分布の集合凡（。〃。R)であれ，つぎの線型効用定理が証明されている。これは証明のプロセスから容易に理解される（付録1，参照)。

定理1（線型効用定理)．

全てのα, 6EPに対して

αシ6 ‐ 〃（α)≧H(6)かつ全てのα, 6EPと全てのαE[0, 1]に対して〃{αα十（1－α）6｝＝α〃(")+(1－α)"(6)であるような関数〃が存在するための必要充分条件は公理1,2,

3が成立することである。

いま，集合Pは単純確率分布の集合Psであるとしよう。そして，線型効用関数Hに対して，ヵERを確率1で与える退化した確率分布αxを使い，〃（〃）＝〃（α蕪）

とおくことによって，関数〃を定義しよう。
そのとき〃(")=Z"(")Q("),

gEP$

X

が得られる。

定理2（単純確率分布の期待効用定理)．定理lの関数〃は全てのaEPsに対して〃(g)= Z "(")a(")
万

－253－

期待効用理論

なる表現をもつ。

この関数力は効用関数と呼ばれており，しばしば見受けられるこの形式の期待効用定理では効用関数の連続性は言及されていない。次節以降，関数Hは関数αEPの関数であるゆえに，数学の用語にしたがって（線型）汎関数(functi onal)と呼ぼう。また, Stieltjes積分の記号を使ってH(")=Z "(")g(")
工＝＝＝

I "(x)d｡(")と書くことにする。なお，ここでは，便宜上，線型効用関数と効用関数の記号は区別されている。

2．連続性

汎関数Hの連続性を示すためにつぎの補題lを証明しよう。

補題1：集合Pは期待効用の公理系を満たし，αEPを含む部分集合P (g)cPはP(g)={61',>6>'2, ',, @2E P}としよう。そのとき，集合P (g)はPにおいて開集合である。
（証明）任意の6E P(c)に対して，アルキメディアン公理3よりαα｣ +(1－α)"2 >6>βα】+(1－β)α2

なるα,'E(0, 1)が存在する。さらに，独立性の公理2より
α1＞αα】＋（1－α)α2差βα】＋（1－β)α2＞α2となる。そして集合Pは凸集合であるから，αα,+(1一")g2E P

βα,十（1－β)a2 EPとなる。したがって，任意の'E P(")に対してP(g) aP (6)なる集合，
P(6) ={clαα] +(1－α)g2 >cンβα’+(1一β) a2,

－254－

付録5

効用関数の連続性と微分可能性

c EP(g), ",6E(0, 1)}が存在する。これは集合P(a)が内点のみからなる集合であることを示している。それゆえにP(g)は開集合である。（証終）註：補題1における集合P(a)は要素αの近傍と呼ばれる。任意の要素αEPに対してつくられた近傍P (g)の全体は近傍系と呼ばれ，この近傍系
が近傍公理（ハウスドルフの分離公理を含む）を満たすことは容易に確認される（証明，省略)。

集合P上で定義された汎関数〃が連続であることを示すには,Rの開集合R』の〃による逆像H－｣ (R,)が集合Pの開集合になることを言えばよい（亀谷，
1963, p.100)｡定理3．定理1の汎関数Hは集合P上で連続である。

（証明）あるα1,22E Pに対して,Rの開集合{苑|"(@1)> " >"(@2)," ER}のHによる逆像は，〃の順序保存在によって，集合{α|｡｣ >αシα2，g EP}となる。補題lよりこの集合はPにおける開集合である。したがって
汎関数〃はP上で連続である。（証終）この定理3によって期待効用の公理系から導出された汎関数Hは任意の凸集

合P上で連続であることが判明する。つぎに，汎関数〃の連続性から単純確率分布の集合Psにおける効用関数〃が尺上で連続であることを示そう。
定理4．集合Ps上の汎関数Hが連続であるならば，そのとき〃(@)=I"", 'EP'であり，関数〃は尺上で連続である。

（証明）定理2は前提とされるゆえに，関数〃が尺上で連続であることだけを示す必要がある。

いま,"ERに対して{""}, (x"ER)を＃に収束する点列とし，それらに－255－

期待効用理論

対応する退化した確率分布を，それぞれ，α藤,α箕"としよう。
汎関数HはPs上で連続であるゆえに,X"→節であるとき〃("")= "(α難鰯）→"(ax)= "(")
となる。それゆえに，関数〃は点ヵで連続である。点冗はRの任意の点となしうるから，関数〃はR上で連続である。（証終）
つぎに，離散的確率分布の集合"における効用関数〃がR上で有界かつ連続であることを示そう。

定理5．集合"上の汎関数Hが連続であるならば，そのとき"(")-I"",aERj
であり，関数〃はR上で有界かつ連続である。

（証明）離散的確率分布α匡励は，退化した確率分布α燕'匡島によって'= 21"!｡",,"'E[0, ｣], 21"'= ',"'ERと表現される。ただしαjは分布αにおいてXjが生じる確率である。いま沈

加b,,, =,ZI ("i/2, " " )α※j,cM'>0としよう。そのとき，〃の線型性から
加

加"(6") =(1/Zα々){ j=l
Z "j"(α露j)}た=1となり，そして,"の連続性から力”→αなるとき"(｡)= 2'","(｡"')- I"""となる。

さて,"は有界でないと仮定し, "(gj)>2'なる列{"}, "匡屍をとりあげよう。そのとき，全ての加に対して

角,(当)i"(")>”となる｡したが-てα＝倉,(:)'α,なる確率分布に対して"(｡)= 2,(;):"("i)-"となり, "(a)は存在せず,"はαで連続でなくなる。それゆえに,"は有

－256－

付録5

効用関数の連続性と微分可能性界である。したがって関数〃も有界である。同様に関数〃は下からも有界である。

また,Pd．Psであるゆえに，〃の連続性に関しては定理4の証明の議論が適用され．関数〃は連続となる。（証終）

つぎに，連続な確率分布を含む全ての確率分布からなる集合凡（．〃。R)における効用関数〃が尺上で有界かつ連続であることを示そう。そのために，
つぎの補題2を証明しよう。

補題2：集合Psは集合"において稠密である。

（証明）集合凡の要素αに対して，補題lで定義された集合P (")と集合凡の積P(g) n月が必ずPsの要素を含むことを示せばよい(亀谷, 1963, p,118)。
公理1，2，3は連続性の公理を意味している，すなわち, 6,6,,62E凡に対して61＞6＞62であれば
6～α6，十（1－α) "2なる“E(0，1）が一意的に存在する（付録4の議論において公理系F､が公理〃3を意味していることに注目されたい)。いま，P(Gz)={61@,>6 >｡2, @,, Cz2 E凡｝
に対して

6, >", >6差α2 >62

なるb,, 62 EPsが存在すれば，連続性の公理により，あるaE(0, 1)に対して6～α6，＋（1－α)62 EPs
かつα6」十（1－α)62 EP(")となる。したかって, P(")n月は必ずPsの要素α6｣ +(1一α)62を含む。
そのような61，62を選ぶには，節】を充分に大きい正の金額，r2を充分に大きい負の金額とし，それぞれに，対応する退化した確率分布α産1，αｪ2を使って，－257－

期待効用理論

α露!＝6】,α灘2＝62とすればよい0(証終）定理6．集合凡（．a aPs)上の汎関数Hが連続であるならば，そのとき"(P)- I"d.,α巨凡であり，関数〃は尺上で有界かつ連続である。

（証明）汎関数〃は凡上で連続であり，凡。Rｺであるゆえに,"は彫 上で連続となり，定理5より，〃(｡)- 1"d｡, @E彫となり，関数〃は尺上で有界かつ連続な関数となる（凡におけるHの連続性
は局の相対位相による，亀谷, p.117)。

さらに，補題2からPsは凡において稠密であり，かつ, HaPsであるゆえに，任意のα匡凡に対してα"→,なる列｛α擁}, g" EPsを選ぶことが可能である。そのとき，汎関数〃の凡上での連続性から〃(α)＝!i”(α")=liPI"‘α"＝I"dαとなる｡したが,て,Psにおける"(｡)=I'd｡,aERは局における" (g)､"", "匡凡を成立させる(これは等式的延長と呼ばれている,ﾌﾙﾊｷ，
1 964,訳書, p.33)｡(証終）

3．微分可能性

我々が考察している効用関数〃は金額の上で定義されており，金額の増大は効用の増大をもたらすと仮定された。したがって，前節で議論された連続な効
用関数は単調増大関数である。一般的に言って，単調増大関数は“ほとんどいたるところで”有界な微係数をもつ（溝畑,1966, p.166)。それゆえに，一回微分可能性のみを問題とするとき，連続な効用関数〃は常に微分可能である。
しかしながら，我々はリスク回避関数で使われる効用関数の二回微分可能性に関心をもつ。そこで，効用関数の微分可能性についてFoldes (1972)の定式化に沿って議論を展開しよう。ただし，数学的な道具の制約から，議論は有界

－258－

付録5

効用関数の連続性と微分可能性

な効用関数の微分可能性に限定されている。
主題に入る前に予備的な議論から始めることにしよう。

さて,Sを確率分布の集合凡に対応する分布関数の集合としよう。そして分布関数FE S,を使い，F{(力1'X2)}=F("2)-F("1)' (X1,"2)CRを定義することによって,Fは確率測度ともみなされる。分布関数の集合Sは

v= v(s)={,"|"= "1 F､"2F2;F1,F2Es, ",,"2ER}であるようなベクトル空間Vを生成する。また, I/(S)に|"||- = ess sup l"(鯨)’（すなわち，零集合を除いた点における上限）をノルムとして導入することによって,V(S)はBanach空間となる(ILarson, 1974, p.517 ) ｡

そして,S上での汎関数Hは，

ウ(〃]月十力2足）＝力】"(FI) +"2 H(Fb),
F1,易ES, "1, "2 ER

とおくことによって,V上の線型汎関数少に一意的に拡張される。また，逆に，v上の線型汎関数ウの制限はs上の汎関数Hである。もし〃がFESに関して

Lebesgue - S tieltj es積分可能であるならば,すなわち, I"dF<", FEs
であるならば，〃は幽E V(S)に関しても積分可能である。したがって，少が1"d"なる形をもつための必要充分条件はHがI""､なる形をもつことである。

いま，〃は確率密度（2汀)－1ﾉ2 exp(－力2 /2)をもつ正規分布関数としよう。

そのとき｡全てのF筐sに対してル|‘ﾉvは有界である｡そしてL (")は尺上でⅣ一積分可能な関数／からなる空間としよう，すなわち，全ての／ELⅡ(")に対して〃d"<-である｡さらに, L,(")にノルムl/|| =ル|d"を導入すれば,

L,(N)は完備なべクトル空間，( Gikhman - Skorokhod,

1963, p.74)。

空間L, (N)の部分集合とみなされる。

－259－

すなわち,

Banach空間となる

したがって，集合SはこのB anach期待効用理論

ノルムル|""の意味で｡列{F"}がFに収束するとき｡この収束を正規収束と呼ぼう，すなわち,

F",FESに対して

I IF" -F|d"→0なるとき,F"→Fは正規的に収束すると言われる。

さて，集合sにノルム||P|| = sup lF|を導入しよう。したがって，距離d(FI, &)はd(FI, ") = supl月－尾｜と定義される。この距離d(FI, &)に対応するF､の近傍をP' (F)とし，補題

lにおける選好関係＞に対応するFの近傍をP (F)としよう。そのとき，つぎの補題3が成立する。

補題3：任意の近傍P(F)に対してP(F) a P'(F)なる近傍P'(F)が存在する。
（証明）いま，P(F)={clFI >c>&}としよう。そのとき，

A ={cM|全てのcE P(F)に対してα>c },B={61全てのc EP(F)に対してc>6 }なる集合A,Bが存在する。充分に大きい金額を確率lで与える退化した確率分布に対応する分布関数を考えるならば，そのとき集合Aが空でないことは明らかである。また，同様に集合Bも空でない。要素Fと集合Aの距離d(F, A)
はd(F,A)= inf "(F, a)αEAと定義される。同様に，d(F,B)=inf d(F, 6)bEBと定義される。そのとき,d(F,A)≠0,d(F, B)≠0－260－

なることも明らかで

付録5

効用関数の連続性と微分可能性ある。そして7= min{d(F,A),d(F,B)}としよう。このγを使うことによってP'(F)={cld(F, c)< ,}なる近傍かつくられる。この近傍P'(F)はP(F)a P'(F,）

を成立させる。その理由は以下のとおりである。

全てのc E P'(F)に対してc S P(F､）であるならば,

cEAかあるいはc

EBでなければならない。しかしながら，これはc EP'(F)の定義と矛盾する。それゆえに,cEP(F)となりP(F) aP'(F､）が得られる｡(証終）

微分可能な効用関数の存在の問題に移ろう。

定理7．集合S上で定義された汎関数〃が連続であるならば，そのとき"(F)=I"", FEs
であり，関数〃は有界かつ連続であり“ほとんどいたるところで”定義された導関数をもつ。

（証明）列{F"}が近傍P(F、)に関してFに収束するならば．そのとき，補題3によってP (F) .P'(F)であるゆえに，列{F"}は近傍P' (F)に関しても収束する。さらに，列{F"}がP' (F)に関して収束するならば，

IIFﾙｰFld/v≦I supIF" -Fld"→0となる。したがって，列{F" }は正規的にFに収束する。

このことから，集合S上で汎関数〃がP (F)に関して連続ならば，〃は正規収束に関しても連続となる（亀谷, 1963, pll6)。そのとき，前節の議論と同様の論法で汎関数HはI"”なる形をもち。〃は有界な連続関数となる｡一方。
浬匡I/ (S)はﾉVに関して絶対連続である（すなわち，任意のA匡尺に対して－261－

期待効用理論"(A)= 0→〃(A)= 0)ので,Radon-Nikodym の定理によって"(A)- 1 /(x) '", ff -/;/筐L] ("), " E I/(S)なる等長同型写像α→／が定義される(Du㎡ord-Schwartz,

1966, p・1 76)。

さて，集合s上で連続な汎関数Hに対して，砂をV (S)へのHの拡張としよう。そのとき〃と／の一対一の対応関係から,"EV(S,)に対しての（／)＝少(〃）なる等式が定義できる，ただしﾉｰ器,/eL, (")
である。したがってのはL｣(ﾉV)上で連続となる。そのような汎関数可はZ(/) ､ /9d", / E L｣ ("), g E L-(jv)
なる形をもち,gは可測であり，一意的であり，有界である( DunfOrd - "hwartz, 1966, p.289)。

結果として,Z,｣（Ⅳ)上での｡からの制限HはH(F)=I""-IF(z)g(") ["V("), FES
なる形をもつ。そこで,

zERでゼロから1へ変る分布関数F倉を上式のFに代入すると〃(急) ､9(")α"(鰍）Zが得られる。このん(z)を微分するならば，〃'(z) =-9(z)Ⅳ'(z)は“ほとんと､いたるところで”定義されている（積分記号のもとでの微分に関してApostol, 1971, p.220,参照)。（証終）
つぎに，関数〃の2回微分可能性を検討しよう。いま，任意のFESに対して，積分分布関数FをZ

i(z)- I F(') dﾉV(/),

"ER
－262－

付録5

効用関数の連続性と微分可能性と定義しておこう。

定理8．集合S上で定義された汎関数〃が連続であるならば，そのとき"(F)-1"cIF,Fesであり，関数〃は有界かつ連続であり，“ほとんどいたるところで”定義された2次導関数をもつ。

（証明）微分可能性だけを議論することにしよう。
もしF", FESに対して，脇→Fが正規的に収束するならば，そのとき
函X

l lj"-台ldJv(x) =川[F" (r)-F(/)]d"(r)|域"(")－聟-ざ。

≦I IIF"(')-F(')ld"(')α"(x)‐聟一｡。

-I|凡-Fldzv
であるゆえに，氏→Fも正規的に収束する。すなわち,f､EL｣ (ﾉV)である。
したがって，集合S上の汎関数〃がFの正規収束に関して連続であるならば，
この汎関数〃はFの正規収束に関しても連続である。一方，集合S上の汎関数

Hが連続であるならば，汎関数HはFの正規収束に関して連続であった（定理7の証明，参照)。

さて,Fの定義はFとFの間における一対一の線型演算であるゆえに,"(F)= "(F､）と表現することが可能である。ここで，〃をL｣（Ⅳ)上の線型関数に拡張するならば，定理7と同様に

I"dF-"(F)-"(i)= 1icC"vが得られる。ただしGは可測であり，一意的であり，有界である。また．同様に,zERでゼロから1へ変る分布関数凡を選び,

F=F墓とおくならば"(z)-I [JV(")-jV(z)]G(")dﾉV (x)Zとなる。このん(z)を微分するならば〃'(z)- -jV'(z) IG(") dﾉV (x)Zが得られ，さらに微分するならば，－263－

期待効用理論

誓""(z)=-Jv''(z)I G(x) dﾉV(X)+G(Z) {"'(2)}2Zが得られる。これらの〃'(z) ,〃〃(z)は‘‘ほとんどいたるところで"定義されている。（証終）

なお，（た＋1）回微分可能な効用関数の存在についても，
ガj'"!(")-I "'"-'!(') ""(#),〃ERを定義することによって定理8と同様の議論がなされうる，ただしF(1)(") =八

F(")とする。

－264－

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No3.

記

号

索

引

本書で広く使われ，特に注意を身
特に注意を要すると考えられる記号の定義または説明がある頁数を示すために，この索引は作られた。
ル。b），12/= (p1．α，●，，。/, +p2・ノ2，

兀（の，／），49

16

兀（の

＊

／），49

と，23

X*(の，ノ),

＞，24

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～

24

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28

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＊ ノ，

/2＊ノ '1，63

の（ノ），

65

28

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29

48

/0*2.

76

－271－

49

/), 49γ（の)，50

－

の

*

著

者

Allais, M, 6, 180, 187, 188, 189, 191, 193,

索引

Grand mont,J,M, 251

198

Grether, D. M., 117

Amihud, Y .,180, 218

Heins, R､M., 102

Apostol, T. M, 262

Hershey, J. C., 112, 117

Arrdw, K J., 1, 50, 85, 117, 182, 212, 251

Herstein, 1．N., 16, 139, 140, 152, 153, 154, 155,

Becker, G. M., 215

178，180,181,231,232,233,234,235

Bell, D. E., 178

Hildreth, C･,

Bernoull i, D., 85, 96

Holloway, C. A_,

Blackwel1, D., 140, 153, 165, 166, 167, 179,

市川

233,240,241

92, 135
41, 140

朗，17

伊藤駒之(or lto), 63, 93, 106, 124, 180, 198,

Borch, K., 10, 11, 72, 96, 103, 217

201,227,231，252

ブルバキ，258

Jensen, N. E, 21, 145, 159, 176, 226, 232, 233,

Colson, G., 100244

Debreu, G., 251

Kahneman, D.,

DeGroot, M. H･, 140, 215

亀谷俊司，255,257,258,261

Diamond, P. A., 75

Keeney, R. L., 112, 116

Dunford,N.,
Feller, W.,

262

Kihlstrom, R. E.,

160140, 156, 157, 158, 167,

Krantz, D. H., 108, 173, 174

168,169,178,190,238

Finkbeiner, D. T.,

Kunreuther, H., 112, 117

108, 174

Lindley, D. V.,

Fishburn, P. C., 2, 14, 17, 21, 22, 26, 130,
138，139，140,154,159,173,176,182,

Luce, R. D.,

96, 212108, 140, 161, 162, 163, 173, 174,

176,179,184,203,207

233,237

Machina, M J,

251, 252, 258

Marschak J.,

庸(or F ukuba, Y.), 6, 63, 98, 188,

198,201,203,205,227

214,215,240

Meyer, R､F.,

Girshick, M A.,

Milnor, J.,

179, 233, 240, 241

33, 110, 112, 140, 149, 150, 151,

152, 154, 155, 156, 178, 179, 180, 181, 184,

Gikhman, 1．1., 259

140, 153, 165, 166, 167,

1, 59, 60, 75, 188, 198, 199,

200, 201, 209

Friedman, M, 86, 87, 107

福場

3, 60, 85, 94, 209, 225

Knight, F. H., 10, 11

Ferguson, T. S.,

Foldes, L.,

185, 186

112, 116

16, 139, 140, 152, 153, 154, 155,

178,180,181,231,232,233,234,235－273－

項目索引
期待効用の公理． 3
6

あ行

期待効用の目的，Allais のパラドックス． 1
8
7
,1
9
1
アルキメディアン， 1
4
1
,1
4
8

2

期待効用理論． 1
期待効用理論の制約条件． 218

一意的な原点，

1
2
1
7
2
,8
7
一定リスク回避， 5
3
,6
6
,6
7
,8
9

規範的理論． 30

一貫性公理．

距離 d (F, A), 2
60

遠隔の事象． 200近傍系， 2
5
5

凹関数．

近傍． 2
5
5
逆元， 6
4

4
6

くじ． 1
2
くじの売り値．

か行

28

経験的な関係． 1
0
8

1
3
0

開システム．

64
64
可測効用． 2
確実性． 10
確実性効果． 186
確実等価額． 28,49確実等価法． 1
1
1
確実な結果． 15

非定量的—,

可換半群，

結合の代数．

可換法則，

結合法則．

確率支配．

1
9
9

1
1
1
確率ベクトル． 1
3
拡張． 2
5
9
機会費用． 1
34
基数的効用関数． 28記述的理論． 30
期待効用． 28
確率等価法．

期待効用仮説．

1
0
6

期待効用定理． 3
5

1
7
2

1
4
2
6
4
個人的趣向． 192効用関数の微分可能性．

251

効用関数の有界性． 1
6
7
,2
5
6
効用関数の連続性． 251
効用の測定可能性．

108

効用評価のための原点． 78,80
公理系 BG, 1
6
5
公理系 F
, 1
5
6
公理系 HM, 1
5
2
公理系 LR, 1
61
公理系 M, 1
49
公理系 VM, 1
4050万円の世界． 1
2
6
合理的行動の理論． 1
3
2
孤立した小世界． 1
2
9
混合集合． 1
6‑275‑

期待効用理論

測定．

さ行

1
0
8
1
0
9

測定のシステム．

1
0
3
1
9
7

再保険行為．
市場価値，

た行

支配 (
d
o
m
i
n
a
t
e
)
, 1
6
0
弱順序， 2
3,3
6

大世界． 1
2
8

首尾一貫した選好行動． 1
75

代替性の公理．

重要な決定問題． 4
,9
8
,1
3
7

多重くじ，

順序効用関数， 2
6

ただ一つの決定， 127

順序保存性． 2
5

たたみこみ， 4
8
,6
4

3
5
,3
7
6
1
,6
4

1
5

準同型写像， 1
0
8

多段くじ，

小世界， 127,128

単位元． 64

初期条件． 3
,4
8
,7
7
,9
0
,1
2
1
,1
9
3

単純確率分布， 1
4
,2
5
5

9
8
初期条件型． 94単純性， 174

企業の一単純補償スプレッド． 75

諸公理系の同値性． 232

単調性の公理，1
6
2

将来のより良い機会，

1
3
5

禰密， 2
5
7

条件付確実等価額．

200

直裁的明瞭性， 174

推移性． 2
3

当面の経営活動，

1
0
8
S
t
i
e
l
t
j
e
s積分． 254
正規収束． 260逓減リスク回避，

数値的な関係，正の線型変換までの一意性． 3
5
,3
8
制限． 2
5
9
制約された合理性の理論． 1
3
2

世界． 1
2
5
積分可能．

2
5
9

絶対確実の原則．

3
5
3
,6
6
,6
7

1
1
2
1
1
2
独立性の公理． 1
5
7
,1
5
9
等式的延長． 2
58
閉じている， 64等長同型写像． 262凸関数， 48
定性的制約，
定量的制約，

1
4
1

絶対連続． 261

な行

線型効用． 27
,1
3
1
線型性． 26内在的因子， 207

選好関係． 23

2項関係， 2
2
Nash 解， 203
認識の程度， 1
3
8
望ましさ (
d
e
s
i
d
e
r
a
t
a
)
,1
7
3

全順序． 24
相互依存性．
増分型． 9
0

6
8
,9
3
,2
0
1

‑276‑

項

は

目

索

引

リスク中立的，47

イ丁

連結性，23Banach空間,

連続性の公理，36259

汎関数，254

Rossのリスク回避,56

半順序，25
半々くじ，112

わ行

反射性，23
微小な確率的差異，180歪対称性，23

標準くじ，111

不確実，10
小世界における－，127
複合くじの簡略化，161

Fukubaのパラドックス,

188, 205

文脈効果，117
平均効用維持的リスク増加，75

ま行

満足，172
満足化手続，133や

イ丁欲求水準，133

。

〃

わ

何

一

理解容易性，174
離散的確率分布,165, 256

リスク,10

リスク愛好的，48

リスク回避関数，50

リスク回避的，45
リスク・プレミアム，29，49－277－

期待効用理論一批判的検討一
昭和6
1年 1
1月1
0日 印 刷
昭和61年 1
1月1
5日 発 行（非売品）
著 者

伊 藤 駒 之神戸市灘区六甲台町

発行所

神戸大学経済経営研究所
天理市稲葉町 80番地

印刷所

株式会社天理時報社