2-6 図形の調べ方② 啓林館
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

証明とそのしくみ（１） 啓 P.113～116
か てい

けつろん

★仮定・結論…「●●●ならば（のとき），■■■である」の形で表されることがらの，●●●の部分を仮定，■■■の部分を結論という。
次のことがらについて仮定と結論を答えなさい。
2 直線が平行ならば，錯角は等しい[答] 仮定 2 直線が平行

証明とそのしくみ 啓 P.113～116

2ABCDE

結論 錯角は等しい

次のことがらについて仮定と結論を答えなさい。
「2 直線が平行ならば，錯角は等しい」

仮定

2 直線が平行結論

錯角は等しい証明とそのしくみ 啓 P.113～116

3ABCDE

次のことがらについて，それぞれ仮定と結論を答えなさい。
① △ABC≡△DEF ならば，∠B＝∠E である。

仮定②△ABC≡△DEF

結論

∠B＝∠E

結論

－4a＝－4ba＝b ならば，－4a＝－4b である。

仮定a＝b

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P2 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

4次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

証明とそのしくみ（２） 啓 P.113～116
右の図で，点 M は線分 AB，CD のそれぞれの中点である。
このとき，AC＝BD であることを証明するとき，次の問いに答えなさい。

(1)

仮定と結論を答えなさい。
仮定

AM＝BM，CM＝DM

結論 AC＝BD(2) この証明のすじ道は次のようになる。㋐～㋒にあてはまる根拠となることがらを，次の A～C から選びなさい。

A 合同な図形の性質

B 対頂角の性質

C 三角形の合同条件△AMC と△BMD において，

AM＝BM，CM＝DM，∠AMC＝∠BMD㋐㋑△AMC≡△BMD
㋒

AC＝DB

[答] ㋐

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B ㋑C ㋒ A

P3 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

証明とそのしくみ 啓 P.113～116

5ABCDE

右の図で，点 M は線分 AB，CD のそれぞれの中点である。このとき，AC＝BD であることを証明するとき，次の問いに答えなさい。
① 仮定と結論を答えなさい。

仮定

AM＝BM，CM＝DM

結論

AC＝BD

② この証明のすじ道は次のようになる。㋐～㋒にあてはまる根拠となることがらを，次のA～C から選びなさい。
A 合同な図形の性質

B 対頂角の性質

C 三角形の合同条件△AMC と△BMD において，

AM＝BM，CM＝DM，∠AMC＝∠BMD㋐㋑△AMC≡△BMD㋒

AC＝DB㋐6B㋑C㋒A

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

証明の進め方 啓 P.117～119
しょうめい

証 明 …すでに正しいと認められていることがらを根拠として，仮定から結論を導くことを証明という。
右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCO となることを証明しなさい。
[証明] △AOB と△DOC において仮定より AO＝DO…①

BO＝CO…②対頂角は等しいから， ∠AOB＝∠DOC …③①②③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO

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P4 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

証明の進め方 啓 P.117～1197ABC

右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCOとなることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOB と△DOC において仮定より，AO＝DO …①BO＝CO …②対頂角は等しいから，∠AOB＝∠DOC …③①②③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO
証明の進め方 啓 P.117～1198AB

右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCOとなることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOB と△DOC において仮定より，AO＝DO …①

BO＝CO …②対頂角は等しいから，∠AOB＝∠DOC …③①②③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO

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P5 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

証明の進め方 啓 P.117～1199ABC

右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCOとなることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOB と△DOC において仮定より，AO＝DO …①BO＝CO …②対頂角は等しいから，∠AOB＝∠DOC …③①，②，③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO
証明の進め方 啓 P.117～11910AB

右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCOとなることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOB と△DOC において仮定より，AO＝DO …①

BO＝CO …②対頂角は等しいから，∠AOB＝∠DOC …③①，②，③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO

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P6 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

証明の進め方 啓 P.117～119

11ABCDE

右の図で，AO＝DO，BO＝COならば，∠ABO＝∠DCO となることを証明しなさい。

△AOB と△DOC において仮定より，AO＝DO …①
BO＝CO …②対頂角は等しいから，∠AOB＝∠DOC …③①，②，③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので，△AOB≡△DOC
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABO＝∠DCO
12BCDE

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図で，AB＝CD，AD＝CB ならば，
∠ABD＝∠CDB となることを証明しなさい。

△ABD と△CDB において仮定より，AB＝CD …①AD＝CB …②共通だから，BD＝DB …③①，②，③から，3 組の辺がそれぞれ等しいので，△ABD≡△CDB
合同な図形では，対応する角は等しいので，∠ABD＝∠CDB

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P7 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

13

証明の進め方 啓 P.117～119
ABCDE 右の図で，AC∥DB，AM＝BM ならば AC＝BD であることを証明しなさい。

△AMC と△BMD において

AC∥DB の錯角は等しいから∠CAM＝∠DBM …①
仮定より

AM＝BM…②対頂角は等しいから，∠AMC＝∠BMD…③①，②，③から，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△AMC≡△BMD
合同な図形の対応する辺は等しいので AC＝BD
14E

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図で，AB＝AC，点 D が BC の中点ならば，∠BAD＝∠CAD であることを証明しなさい。

△ABD と△ACD において仮定より

AB＝AC…①
BD＝CD…②共通だから AD＝AD…③①，②，③から，3 組の辺がそれぞれ等しいから△ABD≡△ACD
合同な図形の対応する角は等しいから∠BAD＝∠CAD

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P8 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

15BCDE

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図で，AC が∠BAD，∠BCD それぞれの二等分線ならば，BC＝DC であることを証明しなさい。

△ABC と△ADC において仮定より，∠BAC＝∠DAC…①∠ACB＝∠ACD…②共通だから，AC＝AC…③①，②，③から，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△ABC≡△ADC
合同な図形の対応する辺は等しいから BC＝DC
16DE

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図で，点 M は線分 AB，CD のそれぞれの中点である。このとき，AC∥DB であることを証明しなさい。

△AMC と△BMD において，仮定より，AM＝BM…①CM＝DM…②対頂角は等しいから，∠AMC＝∠BMD…③①，②，③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△AMC≡△BMD
合同な図形の対応する角は等しいから，∠ACM＝∠BDM
よって，錯角が等しいので，AC∥DBCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

17

証明の進め方 啓 P.117～119DE

次の図で，△ABC と△BDA は直角三角形です。∠C＝∠ABD であることを証明しなさい。

△ABC で，∠A＋∠B＋∠C＝180°∠B＝90°だから，∠A＋∠C＝90°…①△BDA で，∠A＋∠ABD＋∠BDA＝180°∠BDA＝90°だから，∠A＋∠ABD＝90°…②①，②より，∠C＝∠ABD
18

証明の進め方 啓 P.117～119DE

次の図で，線分 AB の垂直二等分線 ℓ 上の点 P は，2 点 A，B から等しい距離にあることを証明しなさい。

△AMP と△BMP において，二等分しているから，

AM＝BM…①垂直だから，∠AMP＝∠BMP＝90°…②共通だから，PM＝PM…③①，②，③から，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△AMP≡△BMP
合同な図形の対応する辺は等しいから，AP＝BPCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P10 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

19E

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図で，AD∥BC，AD＝CB ならば，AE＝CE であることを証明しなさい。

△ADE と△CBE においてAD∥BC の錯角は等しいから，∠DAE＝∠BCE…①∠ADE＝∠CBE…②
仮定から，AD＝CB…③①，②，③から，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ADE≡△CBE
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝CE★結論が AE＝CE なので AE，CE を 1 辺とする合同な三角形を見つける。
★△ADE と△CBE，△AEB と△CED の 2 通りの三角形での証明が考えられるが，△AEB と△CED では条件が足りないので証明できない。
20E証明の進め方 啓 P.117～119
右の図は，AD// CB の台形 ABCD である。辺 AD，CB 上に AE＝CF となる点 E，F をとり，対角線 AC と EF の交点 M とするとき，△AME≡△CMF となることを証明しなさい。

△AME と△CMF においてAD// CB の錯角は等しいから∠AEM＝∠CFM …①∠EAM＝∠FCM …②
仮定より，AE＝CF …③①，②，③から，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△AME≡△CMF

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P11 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

21E

証明の進め方 啓 P.117～119
右の図のように正方形 ABCD の辺 BC，CD 上に，CE＝DF となる点E，F をそれぞれとる。また，直線 AF と BC の延長との交点を G とする。このとき，∠CDE＝∠CGF となることを証明しなさい。

△CDE と△DAF において，仮定より，CE＝DF …①正方形だから，CD＝DA …②∠DCE＝∠ADF＝90° …③①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△CDE≡△DAF
合同な図形の対応する角は等しいから∠CDE＝∠DAF…④

また，AD//CG より錯角は等しいから，∠DAF＝∠CGF…⑤④，⑤から，∠CDE＝∠CGF
22

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

学びを身につけよう 啓 P.122～123
右の図で，印のついた角の和を求めなさい。
[解き方] 三角形の外角は，それと隣り合わない2 つの内角の和に等しいから△BDG おいて，∠B＋∠D＝∠AGF…①△CEF おいて，∠C＋∠E＝∠AFG…②△AFG おいて，∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180° …③①②③より，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°[答]180°

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P12 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.122～12323CDE

右の図で，印のついた角の和を求めなさい。
三角形の外角は，それと隣り合わない 2 つの内角の和に等しいから△BDG おいて，∠B＋∠D＝∠AGF…①△CEF おいて，∠C＋∠E＝∠AFG…②△AFG おいて，∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180° …③①②③より∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°

180°
学びを身につけよう 啓 P.122～12324DE

次の図で，印のついた角の和を求めなさい。
①②180°

③540°

180°

線を引く
a＋b＝・＋ となるので三角形が 3 つできるのでc がある三角形に全ての角を三角形の内角の和を求めるのと180°×3＝540°集めることができる。よって同じことになるから 180°三角形の内角の和になる。

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P13 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

25

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

E

応用（１）
右の図のように△ABC の∠B，∠C の二等分線の交点を P とするとき，∠BPC の大きさを求めなさい。
[解き方]∠PBC＝a，∠BCP＝ｂとする。
△ABC において2a＋2b＋80°＝180°だから，両辺を 2 で割ってa＋b＋40°＝90°a＋b＝90°－40°
a＋b＝50°…①△PBC において，a＋b＋x＝180°50°＋x＝180°①よりx＝180°－50°
x＝130 °

[答]

130°

26
E

応用
右の図のように△ABC の∠B，∠C の二等分線の交点を P とするとき，∠BPC の大きさを求めなさい。
∠PBC＝a，∠BCP＝ｂとする。
△ABC において

P

2a＋2b＋80°＝180°だから，両辺を 2 で割ってa＋b＋40°＝90°a＋b＝90°－40°
a＋b＝50°…①△PBC において，a＋b＋x＝180°①より50°＋x＝180°

x＝180°－50°
x＝130 °

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130°

P14 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

27
E

応用
∠XOY があり，右の図のように OA＝AB＝BC＝CD となる点 A，B，C，D をOX，OY 上に交互にとる。このとき次の各問いに答えなさい。
① ∠XOY＝25°のとき，∠YDC の大きさを求めなさい。

x＝25°だから 3x＝75°
よって∠YDC＝180°－75°

105°② ∠DCX＝72°のとき，∠XOY の大きさを求めなさい。
∠DCX＝4x＝72°だから x＝18°18°28

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

E

応用（２）
右の図は長方形 ABCD を，対角線 BD を折り目として折った図である。∠x の大きさを求めなさい。

[解き方]
折り曲げた角だから ∠CBD＝∠DBC＝24°∠DBC と∠ADB は錯角だから∠DBC＝∠ADB＝24°

x＝180°－(24°＋24°)＝132°[答] 132°29E応用
右の図は長方形 ABCD を，対角線 BD を折り目として折った図である。∠x の大きさを求めなさい。
折り曲げた角だから ∠CBD＝∠DBC＝24°∠DBC と∠ADB は錯角だから∠DBC＝∠ADB＝24°

x＝180°－(24°＋24°)＝132°

132°

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P15 【2-6 図形の調べ方② 啓林館】

30

啓林館 中２４章 図形の調べ方

２節 証明

hakken.教材

教科書 目次１

証明とそのしくみ

P. 113~116

QR 1~5２

証明の進め方P. 117~119

QR 6~21

章末問題

P. 120~121

学びを身につけようP. 122~123

QR 22~24

応用

QR 25~29

QR コードCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.