28 三平方の定理(中3)まとめ2ABCDE

次の図の直角三角形で，残りの辺の長さを求めなさい。
①②3cm

4cm2cm34＋x2＝169＋x2＝18x2＝12x2＝9x＞0 だから，x＝12＝23x＞0 だから，x＝33cm

2 3 cm3BCDE

2 cm

次の図の台形と五角形で，残りの辺の長さを求めなさい。
①②9cm

AEDA8cm

6cm
7cm
BEC12cmB

線分 AC をひく

BE＝12－9＝3，

直角三角形 ABC で，

AE＝632＋62＝AB272＋42＝AC29＋36＝AB249＋16＝AC2

AB2＝45AC2＝65＝353 5 cm
ABCDEC4cm

F 4cm

直角三角形 ABE で，AB＞0 だから，AB＝ 455D

AC＞0 だから，AC＝ 65

直角三角形 ACF で，AF＝83cm次の長さを 3 辺とする三角形のうち，直角三角形となるものを選びなさい。
㋐

2 3 m，2m，4m㋑ 5cm，12cm，13cm㋒2cm，2 7 cm，6cm㋓ 4cm，6cm，25 cm㋒22＋(27 )2＝4＋28＝32，62＝36 だから，成り立たない。

㋓42＋(25 )2＝16＋20＝36，62＝36 だから，42＋(25 )2＝62 が成り立つ。

㋐，㋑，㋓

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

7

右のような半径 10cm の円がある。x を求めなさい。

ABCDE

OC は半径だから，OA＝OC＝10cm
OA＝10＋5＝1522A

三平方の定理より，

Ox2x ＝15 －10C＝225－1005cm B

5 5 cm9ABCDE

次の問いに答えなさい。
①

1 辺が 6cm の正方形の対角線を求めなさい。
x2＝62＋62

対角線の長さを x cm とする。x＞0＝36＋36＝72x＞0 だから

6 2 cmx＝6 2② 底辺が 4cm で，2 辺が 6cm の二等辺三角形の高さと面積を求めなさい。
高さは，62－22＝32 高さ＞0 だから， 32 ＝4 2
面積は，4×4 2 ÷2＝82
高さ11ABCDE

4 2 cm

面積

8 2 cm2下の図で，x，y の値を求めなさい。
①②③9cm8cm

4x30°

2 cm
y45°

xyyx

8 : y＝1 :y＝8×＝82x : 4 2 ＝1 :222x : 9＝1 :2 x ＝4 23 x＝ 9x＝4x＝333，33 : y＝1 : 2y＝ 63x8cmx4cmx

3 3 cmy8 2 cmy4cmy6 3 cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

12下の図の△ABC の面積を求めなさい。

BCDE①②AA20cm8cm45°

H8cmC

AH＝8×

1＝422 (cm)

面積は，1×8×422 ＝16B

2 (cm2)

面積は，HC

AH＝20×16 2 cm21330°
9cm

B

1＝10(cm)
21×9×10＝45(cm2)
245cm2右の図で，x，y の値を求めなさい。

BCDEx : 3＝2x＝3x

3 : 2，
33cm30°60°
yx15ABCDE

3 3cm2y9cm2

右の図で，半径が 5cm の円 O で，弦 AB の長さが 8cm のとき，中心から AB までの距離を求めなさい。

AH＝8÷2＝4 だから，52＝42＋OH2
OH2＝9BO

25＝16＋OH2H

OH＞0 より，

3cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

A

P4 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

16

次の問いに答えなさい。

BCDE① 半径 5cm の円 O に，中心 O との距離が 11cm の点 A から接線をひき，接点を P とする。AP の長さを求めなさい。
△APO は，∠APO＝90°の直角三角形だから，

AP2＝112－52
AP2＝121－25

4 6 cm② 円 O に，中心 O との距離が 8cm の点 A から接線をひき，接点を P とする。AP＝6cm のとき，円 O の半径を求めなさい。

OP2＝64－36
OP2＝28
OP＞0 より，OP＝27 (cm)

2 7 cm
17CDE⌒ の円周角が 60°のとき半径を求めなさい。
右の図で，AB60°

中心 O から AB に垂線をひき，AB との交点を H とする。

O

円周角が 60°だから，∠AOB＝120°，∠AOH＝60°∠AHO＝90°，∠OAH＝30°
図Ⅱより，OH：OA：AH＝1：2：

3 ＝OH：OA：2

A

3H
4B

3 cm

4cm
18

次の図のように，半径が 8cm の球を，中心 O との距離が 6cm である平面で切った。

CDE

すると，その切り口は円となり，その中心を O’とすると，OO’＝6cm となった。
切り口の円 O’の半径を求めなさい。
AO’

AO＝8cm，OO’＝6cm なので三平方の定理より82－62＝AO’ 264－36＝AO’

O
22 7 cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

BP5 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

202 点 A(1，－1)，B(5，2)の間の距離を求めなさい。

ABCDE

AB2＝16＋9AB2＝25

AB＞0 より，

AB＝5521

右の図の 2 点 A，B の距離を求めなさい。

yA

BCDE

9A(－6, 9), B(8, －5)だから，
AB2＝{8－(－6)}2＋{9－(－5)}2AB2＝142＋142
AB ＝196＋196－5

14 2
238－62B

1 辺の長さが 4cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。

ABCDE

42＋42＋42＝16＋16＋16＝48
対角線は、

48 ＝44 3324

立方体を頂点 A，B，C を通る平面で切る時，切り口の△ABC の面積を求めなさい。

BCDE

①

1 辺 6cmCAH

AB2＝62＋62

HB＝62 ÷2＝3 2AB2＝36＋36

CH2＝(62 )2－(3AB2＝72CH2＝72－18

AB＝CH2＝5472

AB＝±62

CH＝±3B618 3 cm2

1 辺 3cm②AH

AC2＝32＋32C

AC2＝9＋9AC2＝18
AC＝±18AC＞0 より，AC＝3B

29 3cm22Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

2 )2xP6 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

26

次の正四角錐の表面積を求めなさい。

A

BCDE

AP2＝92－329cm

2AP ＝81－9E

AP2＝72
AP＞0 だから， AP＝6B2HCP D
6cm

72 2 ＋36(cm2)27

底面の半径が 7cm，母線の長さが 11cm の円錐の体積と表面積を求めなさい。

BCDE

円錐の頂点 A と底面の中心 O を結ぶと，線分 AO がこの円錐の高さを表す。
母線の 1 つが AB のとき，△ABO は直角三角形となるから，AO＝h cm とすると，
h2＋72＝112
体積2898 2 πcm3

表面積126πcm2

次の図は円錐の展開図です。これを組み立てたときの円錐の高さを求めなさい。

CDE

図Ⅱのような円錐になる。
底面の半径をr、高さをhとすると120＝2π×r
2π×6×360120°

4π＝2π×r

6cm

4 2 cm30BCDE

3 辺の長さが 9cm，8cm，7cm の三角形の面積を，8cm の辺を底辺として求めなさい。
A△ABC で，A から辺 BC に垂線を引き，BC との交点を D とする。
9cm

DC＝x とすると，三平方の定理から，

7cm

AD の長さは，72－x2＝92－(8－x)249－x2＝81－64＋16x－x2
B49－x2＝17＋16x－x2
16x＝49－17△ABC の面積＝

1×8×3
2

5 ＝125 (cm2)

12D8cm5 (cm2)

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CP7 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

31CDE

次の図形の面積を求めなさい。
①② ひし形
AD5cm

B

4cm
EG120°
KH

C

6cm

10cm

I

A から辺 BC にひいた垂線と辺 BC との交点を E とする。
△ABE で，∠BEA＝90°
AB＝5cm, AE＝4cm だから，
BE2＝52－42＝25－16＝9

頂点 G,I，頂点 H,J を結ぶ対角線をかきその交点を K とする。
△GKJ で，∠GKJ＝90°，∠JGK＝120°÷2＝60°∠KJG＝180°－(90°＋60°)＝30°

BE＞0 だから，BE＝3

よって，GK：JG：KJ＝1：2：18cm250 3 cm232右の図で，A，B，C は円 O の周上の点であり，△ABC はDE

AB＝AC＝5cm，BC＝6cm の二等辺三角形である。A から辺 BC にひいた垂線と BC との交点を H とすると，円の中心 O は線分 AH 上にある。
① AH の長さを求めなさい。
＝16AH＝4(cm)②J

AH＞0 より，4cm

円 O の半径を x cm として方程式をつくり，x の値を求めなさい。

OB＝AO＝x cm，BH＝3cm，OH＝AH－AO＝(4－x)cm だから，△OBH で，三平方の定理により，32＋(4－x)2＝x225
8Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

3P8 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

34

右の図のように，母線が 12cm，底面の半径が 4cm の円錐がある。

BCDE底面の円周上の 1 点から，円錐の側面を 1 周して最短の長さで、ひもをかけるとき，ひもの長さを求めなさい。

12cm

側面の展開図は，図Ⅱのようなおうぎ形になる。
中心角を a とすると，中心角は，2π×12×4cm

a＝2π×4360

12 3 cm35

右の図のように，底面の 1 辺が 4cm，高さが 5cm の正三角柱に，点 A から辺 BE，CF をCDE通って点 D まで糸をまきつける。糸の長さがもっとも短くなるようにまきつけるとき，4cm
次の問いに答えなさい。
A① 糸の長さを求めなさい。

CB
222

図Ⅱより，AD ＝5 ＋(4×3) ＝25＋1445cm

G＝169

AD＞0 だから，

AD＝13(cm)

HFD13cmE② 糸と辺 BE，CF との交点をそれぞれ G，H とするとき，BG，CH の長さを求めなさい。

BG：5＝1：3

CH：5＝2：3

3BG＝53CH＝10

BG＝5(cm)
3CH＝BG

5cm
310(cm)310cm
CH
3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

37

右の図で，四角形 ABCD は正方形，△AEF は正三角形である。

BCDE

AB＝3cm のとき，AE の長さを求めなさい。

AD
F斜辺(AE＝AF)と他の 1 辺(AB＝AD)がそれぞれ等しいから△ABE≡△ADF よって，△CEF は直角二等辺三角形

EC＝x cm とすると，EF：EC＝

2 ：1

EF：x＝

2 ：1

EF＝

△AEF は正三角形だから，EF＝AE＝△ABE で，三平方の定理により(B2xEC2x2 x)2＝32＋(3－x)22x2＝9＋9－6x＋x2－3 2 ＋3 6 (cm)38

右の図のような正三角柱 ABC‐DEF があり，AD＝3cm，CDEAC＝4cm のとき，三角錐 ABCE の体積を求めなさい。

△ABC において，頂点 A から BC に垂線を引き，CAその交点を H とする。BC を底辺とすると高さはAB：AH＝2：

高さ＝2

3 ＝4cm：23 cm3 cm，よって△ABC の面積は 4×2

F

3 ÷2＝43 cm2BD

4 3 cm3

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

E

P10 【28 三平方の定理(中3)まとめ】

39

右の図のように，平行四辺形 ABCD の頂点 A から辺 BC の延長におろした垂線を AH とDEする。平行四辺形 ABCD の面積が 84cm2，AD＝7cm，DC＝15cm のとき，次の問いに答えなさい。
①

HB の長さを求めなさい。

A7cmD平行四辺形 ABCD＝84＝7×AH

AH=84÷7＝12cm なので，三平方の定理より

15cm

HB＝x とすると，152＝122＋x2
x2＝225－144

9cm

H② 対角線 AC の長さを求めなさい。

AC＝x とすると，x2＝122＋162
x2＝144＋256x2＝400x＞0 だから

x＝20，よって AC＝20cm

20cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

BC