信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

時変抵抗のデューティ比を変更した
リング型ファンデアポール発振器の同期現象
松梨俊哉†

成相大貴†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{matsunashi,nariai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし 本研究では、時変抵抗 (TVR) で接続されたリング型ファンデアポール発振器の同期現象を調査した。時変
抵抗は正と負の抵抗の値が規則的に切り替わる性質を持っている。TVR の周波数が高くなるにつれて、正と負の切り替わりも速くなる。今回 3 つの TVR を用い、それぞれの TVR は別々の周波数の値に設定した。今回提案する回路モデルを用い、周波数とデューティ比を変更したときの同期現象を調査した。
キーワード

同期現象、van der Pol 発振器、時変抵抗

Synchronization Phenomena of van der Pol Oscillators due toChanges Duty Ratio of Time-Varying Resistor
Toshiya MATSUNASHI† , Daiki NARIAI† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{matsunashi,nariai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate the synchronization phenomena in a ring of van der Pol oscillators coupledby Time-Varying Resistor (TVR). TVR is realized by switching a positive and a negative resistor periodically. Whenthe frequency is high, positive resistor and negative resistor switch quickly. Three TVRs are used, and each TVR has
diﬀerent frequencies. And, we observe the synchronization phenomena in the proposed circuit system by changing
the frequency of TVRs and the duty ratio.
Key words Synchronization Phenomena, van der Pol oscillators, Time-Varying Resistor

1. ま え が き
同期現象は自然界でよく観測される現象で、生物分野、物理の周波数を変更することにより、TVR の正と負の切り替わるスピードを変更したときの同期現象を調査した [8]。
本研究では、TVR に接続されたリング型 van der Pol 発振

分野、電気分野などで幅広く観測されている [1]- [3]。例として器のシステムを提案する。また、本研究では TVR の周波数だホタルの発光現象やカエルの合唱や心臓の脈動などが挙げられけでなく、TVR のデューティ比も変更する。TVR の周波数とる。自然界の同期現象は電気回路を用いて再現することが可能

デューティ比を変化させることで、同期現象の変化を調査する。

で、用いるメリットとしては実験の再現性がとても高いことや実験時間が短くすむ点などがある。そのため、多くの研究者が2. システムモデル

電気回路と自然界の同期現象の関連性について調査している。

図 1 は van der Pol 発振器の回路図である。図 2 は今回提案

本研究では、van der Pol 発振器を用いて調査を行った。vanする回路モデルである。3 つの van der Pol 発振器が TVR にder Pol 発振器の構造は、非線形抵抗、キャパシタ、インダクよってリング型に接続されており、TVR をそれぞれ TVR1、タを並列接続したものになっている [4]- [6]。この発振器の用途

TVR2、TVR3 とおく。TVR は図 3 のように正と負の抵抗のは、自然現象のモデル化などに利用されている。

値が定期的に入れ替わる性質を持っている。TVR の周波数と事前研究では時変抵抗 (TVR) でリング状に接続された 3 つの van der Pol 発振器の同期現象の調査を行った。TVR とはデューティ比を変更させた場合、リング型 van der Pol 発振器の同期現象がどのように変化するのか観察する。

正と負の抵抗の値が規則的に入れ替わる素子である [7]。TVR—1—

ign

これらの回路で、n は回路の番号 1、2、3 であり、ε は非線形iLn度の強さを表す。γ1 , γ2 , γ3 はそれぞれ TVR1、TVR2、TVR3

gvCn

Cの結合強度を表している。

VDPL

3. シミュレーション結果
3. 1 3 つの周波数全て同じ場合
提案モデルのシミュレーション結果を下の図 4、図 5 に示す。

図 1 van der Pol 発振器.

それぞれのパラメータの値は、ε=0.1、γ1 =±0.01、γ2 =±0.01、γ3 =±0.01 に設定し、TVR1、TVR2、TVR3 の周波数をそれcircuit1

ぞれ f1 、f2 、f3 とおいた。左側の図 (a) は初期状態を同相に設VDP結果である。最初に、f1 =f2 =f3 =0.09 に設定した場合は、同定した場合、右側の図 (b) は初期状態を三相に設定した場合のi3R3TVTV
R1i1

相同期と三相同期の両方が観測される。次に f1 =f2 =f3 =0.1 に設定した場合は三相同期のみが観測される。周波数によって、両方の同期現象を観察できる範囲とできない範囲が存在することがわかる。

VDPTVR2VDP

circuit2i2

circuit3図 2 回路モデル.

(a) 初期値：同相.

γ γ γ3(b) 初期値：三相.

図 4 位相差 (f1 = f2 = f3 = 0.09).

20.010ωτ(a) 初期値：同相.

(b) 初期値：三相.

図 5 位相差 (f1 = f2 = f3 = 0.1).

次に、TVR のデューティ比を変更した時の影響の調査を行−0.01う。TVR のデューティ比を p とおき、その特性を図 6 に示す。
図 6 より、デューティ比 p の値が小さくなると、TVR が正の抵抗の値を持つ時間が長くなり、デューティ比 p の値が大き

図 3 TVR の特性.

くなると、TVR が負の抵抗の値を持つ時間が長くなる。図 7の f1 = f2 = f3 = 0.09 の状態において、デューティ比 p が非線形抵抗の特性を下式に示す。

igk = −g1 vk + g3 vk3 .

(1)√vk =g1
xk , ik =g3√
ε = g1L1, γ=Cr

√

√

g1g3

√C
yk , t = LCτ
L期の両方を観測することができるが、49.84%より小さい時は初期値によらず同相同期が観測され、50.08%より大きい時は初期(2)、(3) 式は、正規化に用いたパラメータである。

√

49.84%から 50.08%の間では初期値によって同相同期と三相同値によらず三相同期が観測される。また、図 8 の f1 = f2 = f3(2)

= 0.1 の時にはデューティ比 p が 49.84%から 49.98%の間では初期値によって同相同期と三相同期の両方を観測することができるが、49.84%より小さい時は初期値によらず同相同期が観測

L,C

(3)

され、49.98%より大きい時は初期値によらず三相同期が観測される。デューティ比 p を考慮していない時は初期値によらず三次に正規化された方程式を (4) に示す。
x˙1 = ε(x1 − x31 ) − y1 + γ1 (x2 − x1 ) + γ3 (x3 − x1 )

3x˙2 = ε(x2 − x2 ) − y2 + γ1 (x1 − x2 ) + γ2 (x3 − x2 )x˙3 = ε(x3 − x33 ) − y3 + γ2 (x1 − x3 ) + γ3 (x2 − x3 )y˙n = xn .

相同期が観測されるが、デューティ比 p を考慮することによって同相同期と三相同期どちらも観測できる範囲が存在することがわかる。

(4)

このことから、デューティ比 p を変化させることによって同相同期のみ、同相同期と三相同期、三相同期のみの範囲を自由に調節できることがわかる。

—2—

γ１ γ2 γ32π0.010ωτ(a) 同相.
図 9 位相差 (f1 = 0.1, f2 = 0.2, f3 = 0.15).

−0.012πp
図 6 TVR の特性.

(b) 三相.
図 10

位相差 (f1 = 0.1, f2 = 0.2, f3 = 0.15).

次にデューティ比を変更して同期現象の調査を行った。図 11は初期状態を同相に設定した場合においてデューティ比 p を変更した時の位相差の変化を表す。それぞれのグラフは、回路 1回路 2 間、回路 2-回路 3 間、回路 3-回路 1 間の位相差を表している。図 11 はデューティ比 p が 49.97%よりも小さいと同相同期を示すが、50%を超えると同相同期からは外れることがわかる。図 12 は初期状態を三相に設定した場合である。図 12 では、デューティ比が 49.94%よりも小さい時は同相同期を示すが、それよりも大きくなると同相同期ではなくなる。どちらの
図 7 位相差 (f1 = f2 = f3 = 0.09).

初期条件においてもデューティ比 p が 50%の時は同じ波形が観測されるが、デューティ比 p を 50%より少し小さくした時に初期条件による違いが見られた。

図8

位相差 (f1 = f2 = f3 = 0.1).

3. 2 3 つの周波数が異なる場合
次に、f1 、f2 、f3 3 つをそれぞれ違う周波数に設定した場合の同期現象を調査する。図 8、図 9 に f1 =0.1、f2 =0.2、f3 =0.15、p=50%の時の 3 つの回路間の位相差を示す。図 9 が初期状態

図 11

位相差 (初期値：同相).

を同相に設定した場合、図 10 が初期状態を三相に設定した場合である。図 9、図 10 を見ての通り、デューティ比を考慮していない時は初期状態が同相、三相に関わらず同様の波形が観測されることがわかる。

—3—

[6] H. Fotsin, S. Bowong, “Adaptive control and synchronization of chaotic systems consisting of van der Pol oscillators
coupled to lisear oscillators", Chaos, Solutions Fractals 27(2006) 822-835, Apr. 2005.
[7] Y. Uwate, Y. Nishio, “Two van der Pol Oscillators Coupledby Chaotically Varying Resistor", Proceedings of International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electric Systems(NDES’06), pp.189-192, Jul. 2006.
[8] T. Matsunashi, D. Nariai, Y. Uwate, Y. Nishio, “Synchronization Phenomena in a Ring of van der Pol Oscillators
Coupled by Time-Varying Resistor", Proceedings of RISPInternational Workshop on Nonlinear Circuits, Communications and Signal Processing (NCSP’18), pp.168-171, Mar.
2018.
図 12

位相差 (初期値：三相).

4. ま と め
本研究では、3 つの van der Pol 発振器を TVR でリング型に接続した回路モデルを提案した。TVR の周波数とデューティ比を変更することで様々な同期現象を観測できた。TVR3つの周波数が同じ時は、同相同期と三相同期を両方観測でき、デューティ比を変更した時は同期の種類を選択することが出来た。TVR3 つの周波数が異なる場合はデューティ比を考慮しない時は初期条件による結果の違いは見られないがデューティ比を考慮した場合は初期条件による違いを確認することが出来た。
これからは、さらに複雑な回路モデルにおいて同様の調査を進めて行きたい。
文

献[1] Y. Sato, K. Nakano, T. Nagamine, M. Fuse, “Synchronization Phenomena of Oscillators (Experimental and Analytical Investigation for Two Metronomes)", Transactionsof the Japan Society of Mechanical Engineers. Series C,
00066(00642), 363-369, 2000-02-25.
[2] K. Suzuki, T. Tsubone, “In-Phase and Anti-phase Synchronization Phenomena in Coupled Systems of Piecewise Constant Oscillators", IEICE Transactions on Fundamentals ofElectronics, Communications and Computer Sciences, Jan.
2015.
[3] Y. Sugitani, T. Watanabe, K. Konishi, N. Hara, “Delayindependent design for chaotic synchronization in delaycoupled Bernoulli map networks", NOLTA, IEICE, 8(2) 162172 Apr. 2017.
[4] A.N. Njah, U.E. Vincent, “Chaos synchronization between
single and double wells Duﬃng-van der Pol oscollators using
active control", Chaos, Solitons Fractals volume37, Issue5,Pages 1356-1361, Sep. 2008.
[5] D. Nariai, M.H. Tran, Y. Uwate, Y. Nishio, “Synchronizatioin in Two Rings of Coupled Three van der pol Oscillators", Proceedings of RISP International Workshop on
Nonlinear Circuits, Communications and Signal Processing(NCSP’17), pp.289-292, Feb. 2017.

—4—