数学１

実践編

4線分 ＢC の垂直二等分線 m を作図する。

次に，弦BCの垂直二等分線mを作

25

問179 と 15 の公倍数で 100 以下のものに4 を加上より，¬，mの交点Oがもとの円に，2 つの半径と弧で囲まれ母線の長さの中心になる。
た図形を おうぎ形 という。おえて，49，94
応用３(2)
円の接 線の作 図⑵ 底面の円周の長さしたがって，Oを中心として，半径うぎ形で 2 つの半径のつくるＡ
問 7こがた角を 中心角 という。
確 か め よ OAの円をかけばもとの形が作図でう
18
ちゅう しん かく

⑵

17

2

3x+69x とまとめてしまった。
本書 を
P.166
参照

⑵

中心角Ｂ

問2

確かめよう28O

P.197
P.200

CmHB

3210 ページ解 説・留 意 点162

例 3 の図で，点 Ｎを通る円 O多面体はどれですの接線を作図しなさい。
か。

問1P.206

12の扱い 立面図

3P.209問1

辺 ＡＢとねじれの位置にある辺はどれですか。

見取図

円の中心を求めるには2 本の垂直二等分線を引Ｃをいいなさい。また，この立体の見取図，投影図を20

前述のように，投影図けばよいので，右の図のように，外周上に 4 点A

解 説・留 意 点

P.211

例310左の図の円 Oで，円周上の点の接線を作図しなさい。

手順

12Ｍ

P.197
P.200

1

それぞれの立体の2 点 O，Ｍを通る直線 m をＭを通る m の垂線を作図す
どんなことがわかったかな

アめいしょうイ

名称をいいなさい。
問8
例 3 の図で，点 Ｎを通る円 O多面体はどれですの接線を作図しなさい。
か。

192ウ

垂線や垂直二等分線の作図を円の中心，円の接線などを作15できます。

問1P.203
P.206

123

辺 ＡＢとねじれの位置にある辺はどれですか。の扱い

17 問 7
面 OＡＢと辺 ＣＤの位置関係をいいなさい。

行うとよい。

教 P.180 で学習した「円の接線は，接点を通①～④を正しく読み取って円を作図する。

5

ように，外周上に 4 点Aて，作図の方法を考える。【見方・考え方】
おうぎ形と中心角解 説・留 意 点

6問

AＢ，見方・考え方の扱い

18

教 P.180 で学習した「円の接線は，る半径に垂直である」という性質を基m↘ことを体験的に理解させたい。このとき，初め¬接線の作図の方法を考えさせる。に予想させてから取り組むことができるとよい。
O
円の接線と半径は垂直に交わること
5て，作図の方法を考える。
【見方・考
おうぎ形と中心角6問～Dをとって 2 つの弦をC
3 問 １ 「
おうぎ形と中心角については小学校では，発 （前ページ）
おうぎ形と中心角については小学校では，「発の扱い
BDD作ってもよい。
作ってもよい。
展」としての扱いになる。ここでは，半径と弧展」としての扱いになる。ここでは，半径と弧正四角錐の展開図を考える問題である。今ま正四角錐の展開図を考える問題である。今ま作図できる理由につい作図できる理由についという用語を用いておうぎ形を定義する。という用語を用いておうぎ形を定義する。
での展開図の学習と同様に，どの辺とどの辺がでの展開図の学習と同様に，どの辺とどの辺がては，生徒どうしで説明できるようにする。ては，生徒どうしで説明できるようにする。
接していたのかを考えることが大切である。立
接していたのかを考えることが大切である。立
13

問

１の扱い
（前ページ）方体の展開図と同様に，切り開く辺を変えるこCB2の扱い方体の展開図と同様に，切り開く辺を変えるこ20をいいなさい。また，この立体の見取図，投影図をかきなさい。の議論を基に拓真さんの平面図Ｃとるようにする。少人数の班で協力し右の図は，ある立体の展開図です。この立体の名称

P.209
問1

Ｄ

Ａ
生徒に作図させ，根拠を基に説明す

この正四角錐の高さを示す線分 OＨ を，右の図にかき入れなさい。

3

O

右の図の正四角錐について，次の問いに答えなさい。

P.202

210
，見方・考え方の扱い 作図につなげるようにしたい。ここでは，手順18正多面体の展開図はどんな形かな？

182

Cmn

立面図

19ｌ

右の ア ，イ ，ウ の立体について，次の問いに答えなさい。

2

円の中心を求めるには見取図る半径に垂直である」という性質を基にして，m↘ことを体験的に理解させたい。このとき，初め¬接線の作図の方法を考えさせる。2 本の垂直二等分線を引投影図に予想させてから取り組むことができるとよい。
O
けばよいので，右の図の円の接線と半径は垂直に交わることに着目しA～Dをとって 2 つの弦をH

Ｎ

確かめよう2N

B
Ａ
生徒に作図させ，根拠を基に説明する機会を3にかき入れなさい。
Ｂ
解 説・留 意 点とるようにする。少人数の班で協力しながら，正三角錐
右の図は，ある立体の展開図です。この立体の名称行うとよい。
16 2 の扱い
この正四角錐の高さを示す線分 OＨ を，右の図①～④を正しく読み取って円を作図する。
平面図

AＤ

O目して考えられるかな。

かな。

OO

D

518径の関係に着そのことが使えない

15できます。

O

おうぎ形

垂直に交わるから，Ａ&Ｂ の長さは，もとの円錐のどの部分の長さと等しいですか。

15Ｍを通る m の垂線を作図する。

円の中心，円の接線などを作図することがの扱い17 問 7
面 OＡＢと辺 ＣＤ の位置関係をいいなさい。

かきなさい。
前述のように，の議論を基に拓真さんの210作図につなげるようにしたい。ここでは，手順３

問 8
2 点 O，Ｍを通る直線 m を引く。

中心角

Ｂ

おうぎ形の半径は，もとの円錐のどの部分の長さと等しいですか。
円の接線と半直線 ｌ と半径 OＴは10立体の展開図

確かめよう

2中心角

Ｂ

O

右の図のような円 Oで， 円周上の点 Ｔ におけるどんなことがわかったかな

めいしょう

3立体の展開図

正三角錐

21Ａ

O

角錐の側面の展開図は二等辺三角形，円錐の側面の展P.211

右の図の正四角錐について，次の問いに答えなさい。

P.203

2接線

直線や平面の位置関係

直線や平面の位置関係

ASTION

文字をふくむ項と数はまとめること
文字をふくむ項⑴どんな形かな？
㋐ 五角柱㋑ 円錐 と数はまとめること
開図はおうぎ形で表すことができます。
m①2点 O，Tを通る直線mを引く。
1左の図の円㋒ Oで，円周上の点Ｍを通る円O三角錐ができない。
② Tを通るmの垂線を作図する。の接線を作図しなさい。
空間図形の見方
⑵ ㋐，㋒

182

P.202

71

どんなことがわかったかな

22問

問2

n2 点 O，N を通る直線mを引き，NＭ⑴ 辺 OC，OD
右の ア ，イ ，ウ の立体について，次の問いに答えなさい。
n1を通るmの垂線を作図する。
⑵ 平行
1 それぞれの立体のアイウO
垂線や垂直二等分線の作図を利用すると，⑶
名称をいいなさい。
問8OD

手順

167 ページの地図で，宝の隠し場所を作図によって求めなさい。

接線 ｌ の作図のしかたを考えてみましょう。
前ページの円錐の展開図について，次の問いに答えなさい。 見方・考え方

Ｔ 9x とまとめてしまった。
3x+6接点
本書 を
P.166
参照

1 正多面体の展開図は19Nｌれるかな。

例36（0.5時間）

いろいろな立体

いろいろな立体

2 点 O，N を通る直線mを引き，N⑴ 辺 OC，OD1を通るmの垂線を作図する。
解答 ⑵問平行8O⑶Oきる。

正しくない。

径の関係に着かな。

QUE

518

解答
目して考えらそのことが使えない

19がた

ちゅう しん かく

垂直に交わるから，Ａ&Ｂ の長さは，もとの円錐のどの部分の長さと等しいですか。

Ｎ

問 7こ角を 中心角 という。
確 か め よ OAの円をかけばもとの形が作図でう
18おうぎ形角錐の側面の展開図は二等辺三角形，円錐の側面の展また，この方法で作図できる理由を説明しましょう。

円錐の側面の展開図のよう

10おうぎ形の半径は，もとの円錐のどの部分の長さと等しいですか。
円の接線と半直線 ｌ と半径 OＴ は

文字式と数はまとめることができな
文字式と数はまとめることができな
五角柱㋑
円錐
開図はおうぎ形で表すことができます。
m① 2 点 O，Tを通る直線mを引く。
1㋒ 三角錐い。
② Tを通るmの垂線を作図する。
空間図形の見方㋐，㋒㋐

5

拓真さんの方法で作図を行い，もとの形が作図できることを確

17
9 と 15 の公倍数で 100 以下のものに4 を加Ｂ 上より，¬，mの交点Oがもとの円に，2 つの半径と弧で囲まれ母線の長さOの中心になる。
た図形を おうぎ形 という。お円の接 線の作 図
底面の円周の長さ
えて，49，94
答 4，49，94
中心角
したがって，Oを中心として，半径うぎ形で 2 つの半径のつくるＡ

右の図のような円 Oで， 円周上の点 Ｔ におけるどんなことがわかったかな

182 ページ解答STIONＡ

接線 ｌ の作図のしかたを考えてみましょう。
前ページの円錐の展開図について，次の問いに答えなさい。 見方・考え方

問2

正図すると，mは円の中心を通る。以おしえて！

⑴

問6

QUE

⑴

おしえて！

1

（0.5時間）きる。

正しくない。

次に，弦BCの垂直二等分線mを作

2

Ｂの円をかく。

C

167 ページの地図で，宝の隠し場所を作図によって求めなさい。
Oｌ，m の交点 Oを中心として，半径 OＡ4

図すると，¬は円の中心を通る。

また，この方法で作図できる理由を説明しましょう。

円錐の側面の展開図のよう線分 ＢC の垂直二等分線 m を作図する。

3

拓真さんの方法で作図を行い，もとの形が作図できることを確かめましょう。

⑴

80 ページ
解答
解答 問 4円の弦である。

Ａ

線分 ＡＢ の垂直二等分線 ｌ を作図する。

2

O5

解答

誤の 点 だ か ら，線 分AB，BCは そ のｌまず，弦ABの垂直二等分線¬を作Ｂ

ｌ，m の交点 Oを中心として，半径 OＡの円をかく。

図すると，mは円の中心を通る。以62 ページ
解答

まず，弦ABの垂直二等分線¬を作図すると，¬は円の中心を通る。

解答
ページ
問

円の弦である。

3Ａ

線分 ＡＢ の垂直二等分線 ｌ を作図する。

2

ようようの 点 だ か ら， 線 分AB，BCは そ の2の扱い

数学 2

実践編
数学的活動

ページ 解答STION

10
AB を直径とする半円の弧の長さは，30 ページ長さは等しい。

解答

誤QUE

2π× 10 ×

1

1さの和は，どちらが長いでしょうか。

問題を見つけようAO と BO をそれぞれ直径とする２ＡＯ，ＢＯ をそれぞれ直径とする 2 つ

12∏×10×＝10∏（cm）
つの半円の弧の長さは等しいので，2AOとBOをそれぞれ直径とする
2
それらの和は，の半円の弧の長さの和の方が，曲がの長さと AO と BO をそれぞれ直解答径とする 2 つの半円の弧の長さの和
21

円周の長さは，（直径）*（円周率）で求められるね。

拓真さんは，解答

グラフ上円周の長さは，直径の長さ×∏なので，直径の長さを次のように文字でAO＝BO の長さを文字で表す。

解 説・留 意 点
10×２＝ 5π (cm)5

問８で求めたことから， ＡＢ を直径とする半円の弧の長さと，−3≦y＜3310

もっといろいろな場合で調べないといけないね。

たとえば，下のようなグラフにすると，排卵美月さんは，拓真さんの結論では，すべての場合を確かめたことにならないしょうか。話し合ってみましょう。

30⑴ AB の長さを文字で表す。
問６

最終行

2ＡＢ =10 ｃｍだから，ＡＯ，ＢＯは 5 ｃｍになるね。

う結論を出しました。この結論が正しいかどうか話し合いましょう。

134 ページ△ AOB ≡△ DCO表すことが考えられる。
⑵

1日の卵の重さは，58.10 と予想できる。から，文字で考えた方がよいと考えました。どの値を文字で表せばよいで日の卵の重さは，58.10g と予想できる。

ような方法が考えられる。

解答

1

ＡＢが 10 ｃｍでないときも，等しいといえるのかな。

問題を見直そう

何を文字で表すかについては，次のつの半円の弧の長さは等しいので，ＡＯ，ＢＯ をそれぞれ直径とする半円の弧の長さの和はいつでも等しいとい

たとえば，下のようなグラフにすると，排卵3＝ 5π (cm)

AO と BO をそれぞれ直径とする２

拓真さんは，ＡＢ =10 ｃｍとして，それぞれの弧の長さを求めようと考えましいとは断定できないから。

105 ページ2

それらの和は，2 つの半円の弧の長さの和を求めましょう。

説明しようだけであり，それ以外の場合にも正Ｂした。ＡＢを直径とする半円の弧の長さと，ＡＯ，ＢＯをそれぞれ直径とする

2−3≦y≦3

基本２(3)
AB＝10 cm の場合について調べた

根拠を明らかにして，説明できるかな。

1π× 10 ×π× 5 ×

正しいというには不十分である。

解答

見方・考え方確かめればいいのかな。

は等しい。

102 ページ

10Ｏ

半径がわからないけど，どうやって具体的な数で考えよう

よって，ABを直径とする半円の弧
81 ページ
問９Ａ

りくねっていて長いと思う。

つの半円の弧の長さは等しいので，12π× 5 ××２＝ 1010π (cm)
それらの和は，
2
12∏×5× ×2＝10∏（cm）
2

AB を直径とする半円の弧の長さは，

こき，ＡＢを直径とする半円の弧の長さと，ＡＯ，ＢＯをそれぞれ直径とする 2 つの半円の弧の長＝ 1010π (cm)2
AB を直径とする半円の弧の長さは，正右の図で，点Ｏは線分ＡＢの中点です。このと，見方・考え方の扱い

学習指導要領解説・数学編(P.100)に，数学△ AOB ≡△ DOC↘いても同様である。このように学年の進行に伴い，事象を数学化したり，数学的に解釈したりすることを，一層自立的に進めることができるようにすることが大切であり，その基礎をなす技能を身に付けることができるようにする。
』
このの学習活動において，拓真さんの的推論を用いた論理的思考の重要性について，考えのように具体的な数値にする考え方につい次のような説明がある。て話し合うことで，生徒が主体的に問題点を明『第 2 学年では図形を中心に，数学的な推論をらかにし，美月さんのような文字を用いること

2

数学 2

実践編ページ

誤正176 ページ(1)

AR ＝ QB が成り立つ。

❶AR ＝ QB が成り立つ。

解答

(2)

PB ＝ AQ が成り立つ。

❷PB ＝ AQ が成り立つ。

３204 ページ( 拓真さん )9)9 〜 21 点を約 50％の割合( 拓真さん )8)8 点未満の低い点がなく解答で得点しているので安定しているかで得点しているので安定しているか安定しているから。

問２ら。
209 ページ

・拓真さんのデータについて・拓真さんのデータについて

解答

第１四分位数6m

第１四分位数6点

第２四分位数(6 ＋ 7) ÷ 2 ＝ 6.5 (m(m)

第２四分位数(6 ＋ 7) ÷ 2 ＝ 6.5 ( 点 )第３四分位数7m

第３四分位数7点

基本１四分位範囲

解答

１

四分位範囲

7−6＝1(点)・美月さんのデータについて・美月さんのデータについて

第１四分位数(5 ＋ 6) ÷ 2 ＝ 5.5 (m(m)

第１四分位数(5 ＋ 6) ÷ 2 ＝ 5.5 ( 点 )第２四分位数7m

第２四分位数7点

第３四分位数(8 ＋ 9) ÷ 2 ＝ 8.5 (m(m)

第３四分位数(8 ＋ 9) ÷ 2 ＝ 8.5 ( 点 )四分位範囲

232 ページ

7 − 6 ＝ 1 (m(m)

Ⓐ

3 cm²

8.5 − 5.5 ＝ 3 (m(m)
Ⓑ

3 cm²

四分位範囲

8.5 − 5.5 ＝ 3 ( 点 )・辺上の格子点の数が同じ。
・図形の中の格子点の数が同じ。

3

数学 3

実践編

ページ

誤72 ページ
解説・留意点❹

24：34 ＝ 1：21.5
30.5

正21.5：30.5 ＝ 1：30.5
21.5

94 ページ

これを解くと，x ＝− 10，x ＝ 13

これを解くと，x ＝− 10，x ＝ 13

類題解答２x ＞ 5 であるから，x ＝ 13 は問題x ＞ 8 であるから，x ＝ 13 は問題に適しているが，x ＝− 10 は適に適しているが，x ＝− 10 は適していない。

していない。

239 ページの実際の母平均は，7.715 秒 ( 約 7.7 秒 ) であり，母集団の実際の母平均は，7.715
母集団の実際の母平均は，7.715 秒 ( 約 7.7 秒 ) で解答推定した値により近い値が得られた。

あり，推定した値により近い値が得られた。

PQ//FACPQ//
FAC から，PQ//AC から，

基本２272 ページ
解答２△ ACQ ＝△ ACP
AP//FBC から，△ ACQ ＝△ ACP
AP//BC から，

4