サブドミナント・ウルトラ距離に基づいたポートフォリオ分類に関する研究
2007MI167 成田

和人

指導教員

1 はじめにポートフォリオ (portfolio) とは,「複数の種類で構成される組み合わせ」のことである. 株式や債券などの証券投資を行うとき, ポートフォリオを組んで複数の証券に分散投資を行うことが多い. その理由は, ポートフォリオを組むと多くの場合, 収益率のリスクを分散させる (減少させる), あるいは, 定められた収益率のもとでの合理的なリスクに抑えることが出来ると考えられているからである. そのため, ポートフォリオ選択問題が盛んに研究されてきた. ポートフォリオ選択問題とは, 複数の投資対象の中から投資家にとって最も好ましいように, どの投資対象にどれだけ投資をしたらよいかを決定する問題である. ポートフォリオ選択問題において, 最も標準的なポートフォリオ選択モデルは Markowitz の平均分散モデルである [4, 5, 2]. この平均分散モデルは, ポートフォリオの期待収益率が要求期待収益率以上のもとで, ポートフォリオの収益率のリスク (分散) を最小化する数理計画問題として定式化される.
2008 年 9 月にアメリカ最大手投資銀行であるリーマン・ブラザーズがサブプライムローン問題により破産,これをきっかけにアメリカ経済に不安が広がり, 世界的な金融危機へと連鎖した. 日経平均株価は大暴落を起こし,2008 年 10 月には 6000 円台まで下落した. リーマン
ショックから 2 年ほどたつが未だに経済は不況であり,企業, 個人の所有する株式ポートフォリオは大きな打撃を受けている. このような背景の中, ポートフォリオのリスク管理が再び大きな関心事となっている. そのため, 金融工学で従来標準的に使用されてきたモデルの妥当性への疑念が再燃し, リスク管理に適した新しいモデルと解析手法が注目を集めている [1, 3, 6].
本研究は, 特に東証一部上場企業の株価のダイナミクスに着目し, 東証一部上場企業から構成されるポートフォリオに対する適切なリスク管理のための基礎となる解析結果を与えることを目的とする. その目的のために,ウルトラ距離に基づいた階層樹形図 [3] による東証一部上場企業の分類を実証的に研究する. そのために, まず日経平均構成銘柄の株式銘柄 i, j (i, j = 1, . . . , n) の収益率の間の相関係数 ρi,j を調べる. この相関係数をもとに, 銘柄間のユークリッド距離となる di,j を導く.
ここで, 銘柄間の階層化を適切に行うために,n 個の銘柄からなる位相空間は, ウルトラ距離空間になるという仮説を採用する. ウルトラ距離空間は, ユークリッド距離が満たす三角不等式よりも強いウルトラ距離不等式を満たすウルトラ距離が導入された距離空間である. ウルト
ラ距離空間という概念は, 階層の概念と直接関係してい2007MI210 柴

石崎

友規

文雄

るので, 複雑系の階層構造を表すのに自然な方法と考えられている.
例えば, これら複雑系の階層構造は, スピン・グラス,無秩序飽和系で観察される. ユークリッド距離 di,j から導かれるウルトラ距離の中で, サブドミナント・ウルト
ラ距離と言われるウルトラ距離は, 単純で有益な性質を持っていることが知られている.n 個の対象から成る距離空間があると, サブドミナント・ウルトラ距離は n 個の対象を結ぶ最小樹形 (minimal-spanning tree,MST) から得られる. このようにして得られたサブドミナント・ウルトラ距離は, 一つに定められた順序を持つ階層を作り, そこに矛盾のない位相構造をもたらす. これにより,東証一部上場企業の階層樹形図を作成し東証一部上場企業の分類を考える.
今回取り扱う株式は, 東証一部上場企業の株価検索ランキング (総合) 上位 30 位までの 30 銘柄とする. 分析
期間はリーマンショックの起こる二年前の 2006 年から2009 年までとし, あくまで長期的な株価の観測を目的とする. 本研究は投資家のリスク軽減を目的とし, 利益増大や株価の未来予測をするものではない.

2 株価の相関と反相関
金融市場で取引されている二つの株価ダイナミックスに於いては, 多数の連動性が観測でき, 相関, 反相関の関係性がある. 市場では多数の銘柄の株が同時に取引されている. 二つの株価が同時に時間発展する際それらの類似性と差異を明らかにする一つの方法として,二つの銘柄 i, j の日毎の対数価格変動に関する相関係
数 ρij を導入することである. 銘柄 i に対して, 時刻 k(k = 0, 1, . . .) での株価を Yi,k で表すものとする. その時刻 k での対数収益率を Sik (k = 1, 2, . . .) で表すとす
ると

Si,k ≡ log Yi,k − log Yi,k−1(1)である. このとき, 銘柄 i,j の間の対数収益率の相関係数
ρi,j は

ρi,j = √hSi Sj i − hSi ihSj i
hSi2 − hSi i2 ihSj2 − hSj i2 i(2)で与えられる. ここで h· · ·i は, 分析対象にしている取引日全てにわたる時間平均を表わす. 相関係数の取り得る値は,−1 から 1 までで, 特別な値として{ρi,j =1
完全 (正の) 相関0
無相関−1 完全反 (負の) 相関(3)をとる. 本研究では東証一部におけるデータを検討する.
(i) 東証一部上場企業を算出する株価検索ランキング (総合) 上位 30 位までの 30 銘柄
東証一部上場 30 銘柄は次の通りである.
みずほ FG・トヨタ自動車・三菱東京 UFJ・パナソニッ
ク・日本電産・日立製作所・東芝・セブン＆アイ HD・
東京電力・住友信託銀行・ソニー・三洋電機・武田薬品・大和證券・三菱商事・住友不動産・三菱地所・タカラバイオ・新日本製鐵・東京製鐵・ソフトバンク・ヤ
フー・ローソン・イオン・伊藤忠商事・ANA・王子製
紙・日清 HD・昭和シェル・日産自動車
東 証 一 部 上 場 企 業 上 位 30 銘 柄 に た い して,(30 × 29)/2 = 435 個 の ρi,j が 考 え ら れ る. 各ρi,j は分析対象としている期間 (2006 年から 2009 年)
で考える.
表1

東証一部 30 銘柄の相関係数 ρi,j の最大値, 最小値

西暦

最小値最大値

2006 年
2007 年2008 年2009 年-0.833-0.905-0.724-0.788

0.935
0.916
0.952
0.888

3 ポートフォリオの分類学
銘柄間距離
時間変動している二つの銘柄に距離を定義する. そのために, 銘柄 i に関連する統計量である S˜i,k (i =1, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m) を以下のように定義する.

3.1(4)i

ここで Si,k は銘柄 i の時刻 k(k = 1, 2, . . . , m) における対数収益率である. この S̃i,k を m 次元ベクトル S̃i のk 番目の成分と考える. このとき, ベクトル S̃i と S̃j のユークリッド距離 dij を次のピタゴラスの関係式

d2ij = ||S̃i −S̃j ||2 =m∑
k=1(S̃i,k − S̃j,k )2dij =(5)√2(1 − ρi,j )(6)

また, このようにして定められた dij は, ユークリッド距離となっており, ユークリッド距離の満たすべき以下の3 つの性質を満たすことが知られている.

(i) dij = 0 ⇔ i = j(ii) dij = dji(7)(iii) dij ≤ dik + dkj
3.2 ウルトラ距離空間
n = 6 の銘柄：みずほ FG, トヨタ自動車, 三菱東京
UFJ, パナソニック, 日本電産, 日立製作所からなるポートフォリオという特殊な例を考える.2009 年に於ける ρijから距離行列 dij を計算する.6 銘柄は 2010 年 7 月 25 日
付けの株価検索ランキング (総合) 上位 6 銘柄でかつ,5年分の株価データが存在する銘柄である.
表2

表 1 には, これら ρi,j の最大値と最小値を示した. 表 1より明らかなことは,ρi,j の最大値は 4 年間すべて 0.9 以上か, もしくは 0.9 に近い値をとっている. 従ってかなり正に相関した二つの銘柄が存在することがわかる. また,最小値に関しては-1 に近く, 従って完全に負に相関する度合いは大きい.
ρi,j の最大の値は,2008 年に観測された 0.952 であり,それは伊藤忠商事と東芝との間のものであった. この両株はおどろくほど連動している. また,ρi,j の最小の値は,2007 年に観測された-0.905 であり, それは ANA と武田薬品との間のものであった. このことからグラフの連動性は酷似していない.

1Si,k − hSi i
S̃i,k ≡ √ √m hS 2 i − hSi i2で与える. このとき,dij は前節で導入した相関係数 ρi,jを使って, 以下のように表現できることが知られている.

みずほ
トヨタ

UFJ
パナ
日電
日立

2009 年上位 6 銘柄の距離行列 dij

みずほ

トヨタ

UFJ

パナ

日電

日立

01.382
0.779
1.243
1.451
1.440

0
0.937
0.440
1.414
1.411

0
0.818
1.446
1.441

0
1.438
1.428

0
1.417

0

n 個の銘柄からなる位相空間は, ウルトラ距離空間になるという作業仮説を採用する. ウルトラ距離空間とは, その空間内の対象の距離が, ウルトラ距離で計られるような空間である. ウルトラ距離 dˆij はユークリッド距離が満たす最初の二つの性質 (i)dˆij = 0 ⇔ i = j と(ii)dˆij = dˆji を満たすが, 通常満たすべき三角不等式(iii) の変わりにそれよりも強いウルトラ距離不等式dˆij ≤ max(dˆik , dˆkj )(8)を満たす. ユークリッド距離 dij から導かれるウルトラ距離の中で, ある一つのウルトラ距離は, その単純さと驚くべき性質をもっている. それは, サブドミナント・ウルトラ距離といわれ,n 個の対象からなる距離行列があると, サブドミナント・ウルトラ距離は n 個の対象を結ぶ最小樹形 (mininal-spanning tree,MST) から得ることができる.
2006 年から 2009 年までの間の 6 銘柄から得られた
MST を図 1, 図 2, 図 3, 図 4, 階層樹形を図 5 に示す.

図 1 2006 年 6 銘柄の MST

図 2 2007 年 6 銘柄の MST

図 1, 図 2, 図 3, 図 4 と図 5 から 6 銘柄の連動性とユークリッド距離を考察することができる.2008 年は 6銘柄間のユークリッド距離が最大でもトヨタ自動車と日立製作所の 0.515 であった. この結果より 2008 年においては相関性は非常に高い年だったと言える.
また三菱東京 UFJ とみずほ FG のユークリッド距離は年ごとに異なるが, 毎年隣接していることが分かる. 特に考察しやすいのが 2009 年のポートフォリオが二つのグループに分かれている. 一つめは対消費者金融企業 (みずほ FG・三菱東京 UFJ), もう一つは対消費者サービス業, 製造業 (パナソニック・トヨタ自動車) に分かれている. 以上より階層樹形は時間変化するが, 基本構造はほとんど維持することが言える. 図 5 の階層樹形は 6 銘柄に於ける結果であるが,30 銘柄の株価データで階層樹樹とMST を作成する.2009 年の 30 銘柄の MST を図 6, 階層樹形を図 7 に作成し表示する. なお, 予稿にはページ数の関係上掲載できないが,2006 年から 2009 年までの 30銘柄の MST, 階層樹形をもとに考察, 研究結果を述べる.

図 3 2008 年 6 銘柄の MST

図 4 2009 年 6 銘柄の MST

図 6 2009 年 30 銘柄の MST

図 5 4 年間階層樹形

図 7 2009 年 30 銘柄の階層樹形

4 研究結果
本研究は, 企業の株式の相関性を考察し,2 銘柄の相関性を求め, 銘柄間の距離を考察する.30 銘柄の連動性において 2008 年は他の年とは異なった結果になった.
ユークリッド距離も 0.6 以下が非常に多く, このことから 2008 年は銘柄間の連動性が強い年だったといえる. なぜ 2008 年だけ非常に連動性が強く, 銘柄間のユークリッ
ド距離が小さかったかというと 2008 年に起こったリーマンショックが深く関係していると考察する. リーマン
ショックが起こったことにより急激な株安と円高によって日本企業の収益にブレーキをかけ, 金融機関への影響があった.9 月にリーマンショックが起こり日経平均株価が予想以上に下落し, 銀行の含み益は大きく減少し, 信用コストに当てる原資が枯渇, 経営圧迫により融資を絞りこんだ. そして企業に対する貸し渋りにより倒産, 地場企業の挫折などのいわゆる負の連鎖となったと考える. このことからみずほ FG といった金融銘柄が MST を見ると枝わかれの中心に位置していることで考察することができる. リーマンショックはそう毎年起こるものではな
く, 稀な一例である.
過去 4 年間の銘柄間の連動性とユークリッド距離から考察すると, 毎年ユークリッド距離の値などは様々であるが毎年銘柄同士が隣接している銘柄があることが本研究により分かった. グループ会社 (三菱東京 UFJ・三菱商事・三菱地所)(住友信託銀行・住友不動産) は銘柄間の距離は様々ではあるものの MST 表示をすると隣接,もしくは近い距離間に属していることが分かる. また, グループ銘柄ではないが武田製薬と東京電力, セブン＆ア
イ HD とローソン, 日清 HD と王子製紙と昭和シェルが隣接する確率が高いことが分かった. リスク軽減を可能にするためにはこれらの銘柄へ共に投資することはリスク増大を意味し, 投資家は連動性の低く, 銘柄間の距離も大きな値を取り得る銘柄同士に分配投資することによりリスク軽減が可能であると考える. すなわち他のグループに属したもの同士の銘柄を選択することによって, リスクを軽減させることができると考えられる. 本研究は投資家のリスク軽減を目的としており, 利益増大や未来予測をするものではない. また,ANA やローソン, 日清HD などの企業は比較的グループに属していないので,これらの企業の銘柄に分散投資することによってリスクを低減させることができると考えられる.

5 おわりに
本研究では, 東証一部上場企業 30 銘柄の株価のダイナミクスに着目し, サブドミナント・ウルトラ距離に基づいた 30 銘柄の階層樹形図を作成し,30 銘柄の分類を考えた. 分析期間はリーマンショックの起こる 2 年前の2006 年から 2009 年までを分析した. 本研究よりその年によって相関性はさまざまではあるものの, サブドミナント・ウルトラ距離において特定の企業は隣接または同じグループに属しているということが一貫して言える.
また, 今回は 2006 年から 2009 年の 4 年間の 30 銘柄で研究したが, より多くの銘柄と長期的な期間 (10 年程)のデータからサブドミナント・ウルトラ距離を算出する
ことにより, より細かで正確なデータが観測できると考察する. また, 他の分析方法 (ユークリッド距離のみ) で銘柄間を算出し, 今回のウルトラ距離の分析結果と比較するとより良い分析結果が算出できると考える.

参考文献[1] J.-P. Bouchaud,M. Potter 著, 森平爽一郎監修,森谷博之, 熊谷善彰訳, 金融リスクの理論-経済物理からのアプローチ-, 朝倉書店,2003.
[2] D. G. Luenberger 著, 今野浩, 鈴木賢一, 枇々木規雄共訳, 金融工学入門, 日本経済新聞社,2002.
[3] R. N. Mantegna, H. E. Stanley 著, 中島眞澄訳, 経
済物理学入門-ファイナンスにおける相関と複雑性-,エコノミスト社,2000.
[4] H. M. Markowitz, Portfolio selection: Eﬃcient diversiﬁcation of investments, second edition, BasilBlackwell, 1991.
[5] 枇々木規雄, 田辺隆人, ポートフォリオ最適化と数理計画法, 朝倉書店,2005.
[6] 宮原孝夫, 株価モデルとレヴィ過程, 朝倉書店,2003.