27 円の性質(中3)まとめ
2次の問いに答えなさい。

ABCDE① 円周の360°×5の弧に対する円周角
6② 円周の51× ＝150°
62360°×150°
3BCDE

4の弧に対する中心角94＝160°9160°

11⌒⌒右の図で AB の長さは円周の ，CD の長さは円周の である。AC と BD の交点を P とする
95Dとき，∠APB の大きさを求めなさい。

∠ACB＝360×1
1× ＝20°92∠ACB＝360×1
1× ＝36°52O

PACB∠APB は△BPC における∠BPC の外角∠APB＝20°＋36°＝56°
5ABCDE

56°

次の問いに答えなさい。
⌒⌒ は AB① 右の図で，CDの何倍か。

A

1 つの円において，弧の長さは中心角に比例するから，100°÷40°＝2.5(倍)

B

2.5 倍

⌒ に対する円周角の大きさは，② 右の図で，CD⌒ に対する円周角の大きさの何倍か。
ABD
40°
100°

CCD に対する円周角は，100°÷2＝50°⌒AB に対する円周角は，40°÷2＝20°50°÷20°＝2.5(倍)2.5 倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【27 円の性質(中3)まとめ】

7ABCDE∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③y31°80°

xz210°

80÷2＝40210÷2＝10540°

105°∠x＝8BCDE

31°

∠y＝

∠z＝

∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③ BD が直径AADADE46°
yO
142°
xBzC30°CO41°

BBC直径の弧に対する円周角より∠BCD＝90°∠ABD＝∠ACD＝30°

218°÷2＝109°∠D＋∠C＝∠y＝∠BCD－∠ACB∠y＝30°＋46°＝76°＝90°－41°＝49°

109°

76°

∠x＝
9ABCDE∠z＝∠ACD

360°－142°＝218°∠y＝∠z＝49°∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

AD は直径

①②A

A

26°

60°

x
O③F

AEy45°

CDB

B

40°

Oz34°

C

B

DC

BD をひくFC をひくAO をひく∠D＝45°，∠ABD＝90°∠A＝∠BFC＝26°

BO＝AO＝CO(半径)∠x＝180°－(45°＋90°)∠y＝∠CFD＝60°－26°△ABO,△ACO は＝45°45°∠x＝＝34°34°∠y＝

二等辺三角形

148°∠z＝Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【27 円の性質(中3)まとめ】

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒ABCDE ① AD
＝BC・AC は直径②11③AC＝BCD
AC56°
OOxOyBA

AC は直径だから∠BDC＝180－(45＋27)B

x＝360－120∠ADC＝90＝108＝240

y＝180－(90＋56)＝∠ADO∠ACB＝120÷2＝34∠AOB＝27×2＝60

AD＝BC＝54x＝34×2x＝180－(108＋54)

2y＝60

x＝68＝18y＝3068°

34°∠x＝BCDE27°

x D 45°

BCx
120°

yC12A

∠y＝18°∠x＝2y＋60＋240＝360∠x＝240°∠y＝30°⌒ ：CD⌒ ＝5：3 のとき，∠AEB の大きさを求めなさい。
次の図で，∠CFD＝27°，ABE

5：3＝x：27

D

3x＝135Fx＝4545°
14ABCDECAB

右の図で，4 点 A，B，C，D が同じ円周上にあるためには，∠x，∠y の大きさは何度でなければならないか，求めなさい。

Ax

同じ円周上にあるためには，同じ弧に対する円周角は等しくなければならないから，52°DE∠x＝50，∠y＝5250°∠x＝52°∠ y＝

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B

50°

34°yC

P4 【27 円の性質(中3)まとめ】

16

右の図のように，円の 2 つの弦 AB，CD が交わっている。2 つの直線 AD，CB をひいて，そのBCDE交点を P とするとき，△ABP∽△CDP となることを証明しなさい。
C△ABP と△CDP においてB共通だから，∠APB＝∠CPD …①同じ弧に対する円周角は等しいから，
A∠BAP＝∠DCP …②DP①，②より 2 組の角が，それぞれ等しい
よって，△ABP∽△CDP
17右の図で，A,B,C,P は円周上の点で，BP＝PC である。また，AP と BC の交点を Q とする。

CDE

△ABP∽△AQC となることを証明しなさい。

A△ABP と△AQC において

B

Q

C

同じ弧に対する円周角は等しいから∠APB＝∠ACQ …①

BP＝PC より，等しい弧に対する円周角は等しいから∠BAP＝∠QAC

P…②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABP∽△AQC
18

右の図で，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠CAD です。AB＝10cm，AD＝8cm のとき，CDE

線分 CD の長さを求めなさい。

D△ADC と△DEC で，A

仮定より，∠BAC＝∠CAD …①

同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAC＝∠BDC …②①②より，∠CAD＝∠CDE …③

AC：DC＝DC：EC，DC＝x とおくと10：x＝x：(10－8)
10：x＝x：2x2＝20x＝±25長さなので負の値はふさわしくない。よって 25 cm

2 5 cmCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

ECB

P5 【27 円の性質(中3)まとめ】

20

次の図で，点 A,B,C,D,E,F,G,H は，円周を 8 等分した点である。

BCDE∠x の大きさを求めなさい。

AxBP

AH をひくAB, GH の中心角は 360÷8＝45°

HGC

よって，AB, GH の円周角は 45÷2＝22.5°△APH で，DF135°
21E

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用（２）
次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

円 O の中心から，点 A,B に線をひくと

A

QA⊥OA，QB⊥OB

四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°
P∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)

Ox58°

Q＝122°⌒ABの中心角は 122°

B

AB の円周角は 61°したがって∠x＝61°
22[答]∠x，∠y の大きさを求めなさい。

61°

A

BCDE

D

32°

△ACP で，Q三角形の内角と外角の性質から，

yy＝26°＋32°＝58°

26°

xC

B

△QBC で，

90°

x＝58°

y＝

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PP6 【27 円の性質(中3)まとめ】

23

次の問いに答えなさい。

CDE①y－x＝a であることを証明しなさい。

PDCxaQ△PCA で，b三角形の内角と外角の性質より，

Aya＋x＝yB－y＋x＝－ay－x＝a②x＋y＝b であることを証明しなさい。

DA の円周角より，∠x＝∠B…①△ABQ で，①と三角形の内角と外角の性質より，x＋y＝b24

次の図で，A，B，C，D，E，F は円 O の円周を 6 等分する点である。

CDE∠x，∠y の大きさを求めなさい。
B

AO をひく，∠AOF＝360÷6AxFOy＝60°∠x＝60÷2EC30°∠x＝∠y＝60°

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DP7 【27 円の性質(中3)まとめ】

25次の図で，∠x，∠y の大きさを求めなさい。

CDE①BC は直径
Ax y74°

B

②DD
Ax30°

30°

58°

COE45°

65°

CB

AB に対する円周角，中心角の関係から，∠y＝74°÷2△ABE で，内角と外角の関係から＝37° …①∠BEC＝30°＋45°∠AOD＝180°－(74°＋58°)＝75°△EBC で，＝48°∠ABD＝48°÷2∠EBC＝180°－(75°＋65°)＝24° …②＝40°∠x＝∠EBC＝40°

119°

37°

∠x＝26DE∠y＝

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
⌒⌒① AB = CD
ED40°

∠x＝

⌒ ⌒
⌒
⌒
② AC＝CD＝DE＝EB
D
C30°

87°

OAxC40°

EFxA

B

B

AB＝CD だから，AB,AE をひく。

△BCD において，∠x＝∠ABC＝∠EAB＝∠DAE

30＋40＋40＋x＝180三角形の内角と外角の性質から，∠x＝180－30－40－40△FAB において，＝70∠x＝70°

3x＝87°，x＝29°∠x＝29°

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P8 【27 円の性質(中3)まとめ】

27

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。

DE①ABCDEF は正六角形
A
Bx② BC は直径
D

AGxF58°B
CCOED∠BCA＝11∠CBF＝ ×90＝30°
33∠BAC＝90°△BCG において，DC に対する円周角，中心角から，90°＋30°＋x＝180°∠DAC＝58÷2x＝180°－90°－30°＝29°

x＝90＋29＝119°＝60°∠x＝28DE60°

119°

∠x＝⌒
右の図で，円周上に△ABC があり，∠ABC の二等分線をひき，辺 AC と AC との交点をそれぞれ P，Q とするとき，△ABQ∽△PAQ であることを証明しなさい。
A

CQ の円周角だから，∠CAQ＝∠CBQ…①

P

仮定より，∠CBQ＝∠ABQ…②

Q

B①，②より，∠ABQ＝∠CAQ(∠PAQ)…③C△ABQ と△PAQ で，共通だから，∠BQA＝∠AQP…④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABQ∽△PAQ
29

右の図で，2 つの円が 2 点 A,B で交わり，PQRS が 2 つの円周上にあるとき，

DE△AQR∽△APS であることを証明しなさい。
A

同じ円周上で，P

AB に対する円周角だから，∠APB＝∠AQB…①

R
Q

B∠ARB＝∠ASB…②S△AQR と△APS で，①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AQR∽△APS

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P9 【27 円の性質(中3)まとめ】

30

右の図で，円周上に 3 点 A,B,C がある。AB,BC の中点をそれぞれ P,Q とするとき，

DE

点 B,O,P,Q は同じ円周上にあることを証明しなさい。

B を通る直径をひき，円周との交点を R とする。 B
また A と R を結ぶ。

〇◎P〇AOQ◎∠BAR＝90°

C△BAR で，BO＝RO(半径)，中点連結定理より，PO//AR
よって，∠BPO＝90°…①同じようにして，∠BQO＝90°…②①，②から，点 B,O,P,Q は(BO を直径とする)同じ円周上にある32

次の図において，∠x，∠y の大きさを求めなさい。ただし，②の AC は円 O の直径である。

BCDE①②AAx39°yBODO104°xED99° yBCC∠x＝180°－104°＝76°

AC は直径だから、∠y は、弧 BD の中心角だから，∠ADC＝90°∠y＝104°×2＝208°

BC の円周角だから、∠BDC＝∠BAC＝39°∠x＝90－39＝51°∠x＝76°∠y＝208°

51°

∠x＝

∠y＝

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60°

P10 【27 円の性質(中3)まとめ】

33
CDE

⌒ を
⌒ ，CAAB，BC
次の図で，3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，∠ABC＝75°である。⌒

二等分する円 O 周上の点をそれぞれ D，E，F とするとき，∠DFE の大きさを求めなさい。
A∠DFB＝11∠AFB，∠EFB＝ ∠CFB なので22∠DFE＝11∠AFB＋ ∠CFB22＝

1(∠AFB＋∠CFB)
2

D75°

B

E

52.5°

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FOC