ECCTD’03 - European Conference on Circuit Theory and Design, September 1-4, 2003, Cracow, Poland�������������� ����������� �������� ������������� ������� �������� ���� ��� ����������������� � �� ���� ������ �� �������� ��������� ������������ ������ � �������� ������������ �� �� �����
���� ��� ����������� ���� ���� �������� ������������
���� �� ��� ������������� ����������� �� ��� �����
����� ������������� �� ������� ���� ��� ��������
������� ������ ��� ������� ��� �������� �������������
����� ����������� ��������� ��� �������� �� ���������� ���������� ���� ��� ������ ��������� ��� ��������� ��� �� ������ ���� ������������ ����� �������� �������� ����� �� ��� ������ �������� �������
����� ��� ������ ��� �������� ������������ ��� �� ������� ����� ���� ��� ����� ������������� ��������� ��������� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� ���������� ��� ���������� � ��������� ���������� ���� � �������� ����������� �� ����� �� ���� ���iLinearv

ReactanceCircuit�� ������������

���� � � ��������� �����������

�������� �� ����������� ��� ���� ��������� ��� ���������� ������������� �������� ������� �� ���� �� ������� ����� ���������� ��������� ��� ������ ��� �������
����� ����� ��� ���� ����� �� ����������� ���� �� ���������� �������� ������� ����������� ����� ���� � ������
����������� ���������� �� ��� ����� ����� ����� ������� ������� ����������� ���� ��� ���� ���������� ���������� ����� ��� ������ ����������� ��������� ������ ���������� ������������ �������� ����� ������������ �� ������������ ��������� �� ��� �������� �� ��������� ��������� ������� ����������� ���� �������������� �� ����� ���� ��� ������� ����������� ��������� ������������������ ������������ ������ ����� ��������� ������ ���� ������ �� �������� ��� ������������ �������� ������������ �������� ������ �������� ������������� �� �� ����������� ���� �� ��� ��� ��� ��� ������ ��� �������� �������������� ����� ���� ���� ��������� ���� ������ ����������� �� ��� ������������ �������� �� ���������� �������������� � ������ ����������� �������� ����� ��� ��� ������� ��� ���������� ���� �� ����������� ��� ����������
������ ��������� ��� ���������� ������� ������ �� ��������� ���������� ��� �������� �� ��� ������� ���� ���� ����� �������� ������� ������� �� �� ������ ��� �� ������ � ������ �������� ���������� ��� � ����������� �������������� �������� �� ��������� �� � ��� � �� �����
����� ���������� ������� ��� ����������� ���������� ���������� ���� �� ���������� �� ��� ���������� �������� ����� ����������� ��� ������������ �������� �� ������� �� �� ��������� ��������� ���������� ��������� �� ����� ������� ��� ��������� ��������� �� ��� ������ ���������� ��� �����
����� ����� ������� �� ���������� ��� �������� ��� �����
�������� ������������ ����� �� ��� ������� �� ����������
������ �������� ������������ ����� ������������ ���� �������� ������ ��� ������������� ��������� ������ �����
����� �� ������� ���� � �������������� ������ �����
���� ��������� ����� �� ��� �������� ������� ��������� ��� �������� �� ��� �������� ������������� ����� ������� ��� �� ������ ��� ����������� ������� ���������
����������� �������� ��� ��� �������� ������� ����������� ��� �� ������ ������� ��� ���� ��� ���������
�������� �� �������� ������ �������� ������ ����� ����������� ��������� ���������� �� ���������� ��� ���������� ������������
��������� ����������� ��������� ���������� ������ �������������������������������

������ ���� ��� ��������� �������������� �� ��� ��������
���������� �� ��������� �� ��� ����� ������ �� ��������� � �� � �� � � �� � � � �� � � � � � � ������ ���� ������ ��� �������� �� ��� ��������� ������ � �� � �� ��� �� ��������� ��� ��� � ����� ��� ��������

���������� ���� ��� �������� ���� ��� ������� ������
���������� ������� �� ��� ����������� ������ ��� ���������� �� ��� �������� �� ��� ���������� ������� ��������� ��� �������� ������� ������ �� ��� ������� ��������
����� �� ���� �� �� ���� ��� ����������� �������� ������������� ��� � �� � � � � � ����� � �� � � � � � ������� ��� � �� � � � � � ����� � �� � � � � � ��� ����� ��� � �� � � � � � ����� � �� � � � � � ��� �������������������������������������������������������������
����� ��� � �� � � � � � ����� � �� � � � � � ��� ��� ����� ��� � �� � � � � � ����� � �� � � � � � ��� ������
����� ��� ��������� � ������� ��� ����������� ���������� ��������� �� �� ����������� ��� � �� ���������� ��������� ���������� ����� ��� ������������������� �� ��������� �� � ��� �� ��������� ������������������ �� ��� � ������������ ��� ��� ���� �������� ���������� ���� ���� �� �� ��� ���� �� ����� ��� ���������� �������� ������� �� ��� ���� ���� ��������� ������ �������� ���������� ����������� ����������� �� ��� ��� ��� ��� � ��� � ����� � � ��� � ����� �� ����� � �������� � � ��� � �� � � � � � ����� � ��� � �������� ��� ������� �������� ������ ���� �� ����� ���� �� ���� ��� ���������� ���������
���� �� � � ��� � �� � ��� ��� � � ���������� � �� �� ���������� ��������� ��� �� �� �� �������
������ ����� ��� �������� ����� ������ �� ��� � � � ������ ��� ��������� ���������� ��� �� �������� �� � � � ��� �� ������� ��� ������ ��� �� ������� �� ����������� ����������� ��� �������� ��������� ����������I-173

���� ����������� ������ ��� ����� ��� �� ������ ����� ����������� �� ��� ���������� ������ �� ��������
���� �� � �� � ��� ����������������������� ���������� � �� ��� ���������� ���� ��� �������� ����� ����� �������� ������ ����� ��������������������� �����
���� ��� �� ����������� ���� � ��� �� ��������� ����������� ������������������ ������ ����� ��� ��������� ��������� ����� �� ��� ��������� �������� �� ������ ������ �� ��� ��� ����� ��� ��� ����� ������� ���������
����� ��� ������� ������� �� ����� �� ����� ���� �������
������������

����� ��������� �� �������� ��� ����� ����� ��� ��� ����� ������
�������� ���������� �� � �� ���������� � ���� ������������� ���� ���� ���� �� ���� ��� ������� ������
���� �� �������

�������������
����� ���� � ���� � � � � � ����� ��� ���������� ��������� ������ � ���� � � � � � ����� � ����� ��� �������� ������� �� ������������ ��� ��� � ����������������� ������� �������������� � ��������

����� � ���������� � ������� � ������� �� � �� �� � � � � ��������������������������������� � ������� ������� �� ��� ������ ���������������� ��� ����� ������ ������ ������� � ��������
���������� ������� ������� ��� ��� ������� ���������� ��� �� ��� �� � �� �� ��� ��� ����� ������ ��� �� � �� ��� �� � �� � � � �� �� � � � � �� � � ��� � ��� �������� ������� �� ������

����������� ��� ��� � ������� ��� �����

����� ��� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� ��� �����
������ �������� ��������� ��� ������������ ����� ����� ����� ������������������������������������������ ��� ��� � ����� ��� ������������������� �� ����� ���� ������ � ������

�������� ��� ��� � ����� ��� ����� ��������������������������� � �� ��� �� � �� � � � �� �� � � � � �� � ������� ������� � ����� ��� ��� ���������� �� ��� ����������� ��� ��� ��������� ����������� ����� ��� ���������� �������� �� � ���� �� ��� ������� ������������������
������� ������� �� ����� �� ���� ����� ��������� ���������
������ ���� ��� ��������� ������ �� ��������� �� ��������������������� �������������� �� �����������
����� � � �� �� � �� ��� �� ��� �������
���� ���� ���� �� ������ ��� ������� ��������� �� �������������� �� �� ����� �� ��� � ���� �� �������

����� ������� ��� �������� ���� �� � �� �� ��� ���������� ������������ ����� ������� �������� �������� ��������� ���� �� ��� �� ������� ���������� � ���� ������ ����� �� �� � ���������� ����� ����� ������������ ����� � ��� ��� ���� ����� �� ��� ������ ����� ����������� ���� ���� �� ����������� ������ ������� ������� ��� ��� ��� �������� ������������ �� � � � ����� ������������ �������� �� �������� ���������� ������� ����� �� �������������� ���������� ���� �������� �� �������� ��� ���������� ���� ��������� �������� ������������� �� ��� ����������� �����
���� ��� ��� � ������ ��������� ������� ����� ��� �������
���� �������� ������� �� ��� ��������� ������������� ���� ������� ��� ��� ���� �������� �� ��� �������� ��� ������
���� ��� ��������� �������� ��� �������� �� ��� ��������
���������� ������� ������� ������ ��� ������������������
������� ����������� ��������� ��������
������ ��� �������� ��� �� ��������� �� ��� ��������
���������� �������������� �� ���������� � � � �� �� � �� ��� � �� ��� � � � � �������� ��������� ��������������� ���� �� ��������� �� �������� ������ ��������������������� ��� ������� �������� �� �� ���������� � ��� ����������� ��� ��� � ����� ��� ����� �������

������������ ���� ���� ����� �� ��������� � �� ��� ����������� ��� ��� � ����� ��� ������������
����� ��� � ��� � � � � � ����� ��� ���������� ��������� ����� � ��� � � � � � ����� � ����� ��� ��������������� �������
�������� �� ��������� �� ����� ��� ��� ���� ��� � � �������

����������� ��� ��� � ������� ��� ������������
����� ��� ���� ��� ������ ���������� ��� ��� ��� �����
�������� ��� ������������ ����� ������� � ���������� � ������� � ������� �� � �� �� � � � � ����������� ���������� � ������� ��� ��� �������� �� ������ ��������� ���������� �� ��� ��������� �����������
����� ��� ��������� �� �������� �� � ���� �� ��� ��������
���������� ������� ������� �� ����� �� ���� ��I-174

��� ��������� ������������� ��� ��� ����� �� ��� ������������������ ��������������������� ��������� ���������� �� �������� ������� ������������������ �������� �� ���������
���� ��� � � ��� � ����� � ��� ��� ��� �������

iG+vG-���������� ��� ������� �������� �� �� ���������� � ��� ��������������� ���� ���� ����� �� �����
���������� ��� ��� � ������ ��� ��������

��������� ��� ��� ����� ������ ��������� �� ��� ���� ��������� ���������� ��� ������������ ����� ������

���� ���� ��� ������������������ ��������� ��������� ������������ �� ��� ������������������ ���������� �� ������� ���� ��Inductor

vLVL,2k-1

Capacitor� = �^(i L )I L,2k
VL,2k

VL,2k-1 = k � � L,2k�� ��� � ���� ��� �� �I C,2k-1(v C )I C,2k-1 = k � Q C,2kiGvG

r1 I 11C � L 1I 11S

iG =i^G (vG )+�����f 1(v0)sin�t :

�����f 2(v0)

I 1S+

�

I 11S - � L 1I 11C- � C 1V11C V12S

V11S
-r 2 I 12S �L2 I 12S+

� C 2 V12S

V12C
-++

�V13C
-

� L 1I 11S

r 2 I12C - � L 2 I12C

- � C 2V12C-r 3 I 13S
� C 3V13S+V13S

I 13C

r3- � C 3 V13C-- � L 3I 13C^I G,2k
VG,2k^

� C 1V11S

V11C-r1

IC,2k = � k � Q C,2k-1

I G,2k-1

I G,2k-1 = I G,2k-1

I1CVC,2k

I C,2k��������� ������ � ����������������� ���� �� ������� ��� ���� �� ��� �� �� ���� �������� �� ��� ���������� ������� ������ ���� ��� ��������� ��� ��������� ��������������� ��� ������� �������� �������� ��� ��������� ��� �������� �� ��� ������������ ������������������ ������� ������� ��� ������������������ ������� ������� �� ��� ���� ��� ������ ���������� ����� �� ���� �� �� ��� ����������� �������� �� ����������� ����� ��� ��� ����� ������ �������� ����������� � ��� ��� ���������� ������� ��� ��� ����������� ����������� ��������� �������� �� ��� ������ �������������� �� ����� �� ���� � ��� �����������VL,2k= � k � � L,2k-1^VG,2k-1

�����cos�t :

VC,2k-1

L3C3

���� ���� ����� ��� ��������� ��������������� ��������������� �� ��� �������� �� ����������� ���� ������� ����� ������� �� ��� ���� �������� ��� ��� ����� �������������� ����������� ������ �� ��� ������ ��� ��������� �� �� ��������iCvC^
q =q

Resistor

Sine component

I L,2k-1

C2r3��������� ������ � ���������� � ������ � ������� � �������� �� � �� �� � � � � ��

Cosine component

C1L2

�� � ���� �� � ������ �� � ������ �� � ������� � ������ �� � ������ �� � � � � � �� � ������������ ��� ��� � ����� ��� ����� ����iL

L 1 r2���� � ����� ���������������� ��� � �� ���� �

r1omega :������

V11S � ����� � ���������� ������� ���������� ��� �����������
�������� ��� ��� ����������� ��������� ���������I G,2k = ^I G,2k���� � ���������� ������ ��� ���� ���������� �� ������������ ���������� ������������ ��������
�������� � ����� ���������� ���� � �������� �������� ������� �� ���� �� ��� ��� ��������� �������������� ������� ���� �� � �� �� � ���� � ��� �� � �� ��������� ���� ���� ����������� ��� ��� ���� ����������� ��� �������� ��� �� ����� �� ���� �� ��� ��������� �������� ������ ��� ����� �� ���� ���� ��� � � ���� ���� � �� ����� ��� ����� ���� ����������� �� ������������ �� �� ���� � ��������� �� � � � �� �������������� ����� �� ������ ��� ��������� ����� ����������� �������� �� ��� ��� ��������� �������� ��� ������������ ������������������ � �������� ����������� � ��� � �� ��� � �� ��� � ��������� ����������� � ��� � �� ��� � ������ �� ���� ��� ��������� ������� ���������� ������� ���� �� �� ���� ��������� ����� ����������� ��� ������ ����������� ���� �������������� ��� �� ������ �������� �� ��� ������
�������� ����� �� ������I-175

�� � �� �� � ������� �� � ��������� � ������� �� � ������ �� � ������
25

Fundamental frequency component

20

Stable solution
Unstable solution

15sin�t10�5

�=10-5-100�
cos�t
�551015(a)20s 25

15

10Stable solution
Unstable solution

�cos�t�2 �1

�34������ ��� ����������� ������� ���������� ��� �� �������� ����������� ���������� �� ���� ���� �� ������ ���������� ���������� ��� ��������� �������� �� ��� �����
������ ������ ����� ��� �� ���� �� ��� ��� �� ��������
���� �� ����������� �������� ����� ���������� ���� �������� ������������ �����
����� ������ �� ���� � �������������� ������������� ������� ���� ��� ������ ������������ ��� ������ �� ��� ��������� �������������� ��� ��� ������ �������� �� ������ ������ ��� ��������� �� ��� ��������� �������� ���� ��������� ������������

Fundamental frequency component

sin�t
�

5
�=10 �

�0-5-10-15-20-25

0510152025

303540 s 45(b)�������������� ���� �������� ������� � � �� ��� � � ���� ����������� �� ��� ������������ �� ���� �� ����� ��� ����������� �� ��� � ����������� ���� � �� ��� ����������� ���������� ����� ��� ������� �� �������� ��������
����� �������� �� ��� �������� ��� � ���� ������� � � �� � ��� � � �� � �� �� ��� ������� �����
����� ��� ����� ��� ������ � �� ����������� ����������� ��� ������� �� ����������� ��� ������������ �� �� �� �� ��� ��� ����������� ���������� �� �������� �������� ���� ����� ��� �������� ���� �� �������� ������������ �� ���� �� ������� ����� �� ���� ��� ���������
��������
������ ���������� �� �� � �� � ��� ���������� ���������� �� �� � �� � ��� ��������� ���� ��� ��������� ���� �� ��� �������������
����������� �� � �� � ��� �� ��� ������� ����� �������
����� ���� ��� ���������� ���� ��� ��������� ���� ������ ��������� �� ��� ������ �� ������� ��� ��������
��������� ���� �������������� ���������������� ��������� ��������� �������� ���� ��� ����������������� ��������� �� ��� �������� ������� ��������� ����� �� ����� ����� ��� ��� ���� ��� ���������
��������� ���� ��� ��� ����� �� ����� ����� ��� ������� ��� ��������� �� � � ������ �� ��� ���� ������������� �������� ���� ������ ���������� ��� �� ���� ������� ����� ������ ������� ��� ��������� ����� ���� ��������� ��������� ������ ���� ��� ������ �������� �����������
1.5

1.5

1.5

1.0

1.0

1.0

0.5

0.5

00

0

-0.5

-0.5

-0.5

-1.0

-1.0

-1.0

-1.5

0

5

1015(a)-1.5

25 t(s) 30

20

0.5

051015(b)25 t(s) 30

20

-1.5

0

5

1015(c)25 t(s) 3020

���� � ��� ������� �� ��������� �������� ����� �������
���������� ��� ��������� ���� ��� �������� ����������������� ��� �� � ��� ��� �� ���� ��� ��
10.9 168mHz(�=1.0556)

0.90.8

0.7

1.2

0.8

0.7

576mHz(�=3.6191)

0.6

0.8

0.5

0.5

0.6

0.4

0.4

3�

0.3

0.3

0.1

0.1

0001

0.4

3�

0.2

5�

0.2

234(a)

56

78f(Hz)904mHz(�=5.68)

1

0.6

0.2

5�

012

34(b)

56

78f(Hz)

03�
5�

01234

56(c)

78f(Hz)���� � ��������� �������� ��� ����� ���� � � ������� ��� � � ������� ��� � � ������ ����������� ��� ��������� ���� ������ �� �������� � ������ ��������� ������ ����� ��������� ��� ����������� �������� ������������� �� � ��������� ����������� ����� �� ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ���������� �������� �� � ���������
������ ������������� ���� ������ �������� ����� ���� ������ �� ��� �������� �������� �� ����� �� ������ ��� �� �������� ������� �����������
�������� ��� �������� ������ ��������������� ������
������������� ���� ������ ��� �� ��� �������� �������� �� ������ ��� �� ������� ���������� ����� �� ���������� ������� ����������� ���� ���� ����������������
����� ������ ������������� ���� ������ ��� �� ����������� �������� �� �������� �� ����� ��� �� ������������������������
������������ ������� ��� ���������� ������ ��� ���������� ��������� ������ �������� ����������� ��������������� �� �� ������� ��� ��� �� �� ������ �� �������� �����
����� �� ��������� ��� ������������ �������� �� ���������� ������������� ���� ������ ������� ������� ������� ��� �������� �������� �� ������� �� �������� �� ������� �� �������� ����� ������� ������������� �������� �� ��������� ��������
���� ������ �������� �������������� ����� ������������
���� �� ��� �������� �������� �� ��� �� ��������� ��� �� �������� ������������ �������������� ������� ��������� ��� ��������
������������ �������� �� ������������� ����� ���������
���� �� ��� �������� �������� �� �� ������ ��� �� �� ����� ��������� �������������
���� ����� � ����� �������� �� ������� �� ������ ��� �� �� ����� �������������
�������� �� ��������� �������� ����� �� ������ ��������
���� ������ �������� ����� �� ���� ��� ��� �� ��� �������� �����
���� �� ������ ����������� ��������� ��� ��������� ��������
��������� ����� �������� ����� ������ ���� ��� ��� �������� �����
���� ���� ������� ��� �� ������ �� ������ �� ���������
�������� � ��� ���� ������ ����� ������ ���� ��� ������� ��� ��� ������� �����
���� �� ��������� ��� �� ������� ��� ���������� ��������� ��������� ����������� ����� ��� �������� �����������
������ ����� ���� ������� ��� �������� �����
���� �� ��������� ��� �� ������� ��������� �� ������ ������
������ ����� ��� �������� ����������������� ����� ����������� ��� �������� �����
���� �� ������� �� ��������� �� ������� �� �������� ����� ������ � �� ������� ��������� ��� ������ ��������� �� ��������� ����� �� ��� �������������� ������
�������� �������� ���� ������ �� ��������������
������� ���� ��� ��� �� ��� �������� �����
���� �� �� ������ ��� �� �� ������ ���������� �������� ����������� �� ������ ��������� �������� ���� ��������
���� �� ��������� ������������ ������� ��� ��������
��������� �����
���� �� �� ���� ��� ����� ���� �������� ����� ���������� ���������� �������� ��������� ��� �������������
����������� �������������� �����
���� �� ������ ��� �� ������� ���������� ������� �������
������ ������ ���� ����� ��� ���������
���� �� �������� ����������� �� ������ ��� ����� �����
������� �� ���������� ��������������� �����I-176