2-7 三角形 啓林館
1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

二等辺三角形（１） 啓 P.126~129
てい ぎ★定義…ことばの意味をはっきりと述べたものを定義という。
★二等辺三角形の定義…2 辺が等しい三角形★右図のような AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠BAC を頂角，∠ABC，∠ACB を底角という。
てい り★定理…証明されたことがらのうち，基本になるものを定理という。
★二等辺三角形の性質の定理
１

二等辺三角形の底角は等しい。（定理）２二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に 2 等分する。（定理）

二等辺三角形 啓 P.126~129

2BCDE

空らんをうめなさい。
〇 ことばの意味をはっきり述べたものを（〇 二等辺三角形の定義は，（

2

定義

）という。

2 辺が等しい三角形）である。

〇 右図のような AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠BAC を（

頂角）∠ABC，∠ACB を（

底角〇 証明されたことがらのうち，基本になるものを（

）という。

定理

）という。

〇 二等辺三角形の性質の定理は，（二等辺三角形の底角は等しい（

二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に 2 等分する

）

）である。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【2-7 三角形 啓林館】

3

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

二等辺三角形（２） 啓 P.126~129「二等辺三角形の底角は等しい」という性質を，AB＝AC の二等辺三角形について
仮定と結論を答え，証明しなさい。

(1) 仮定と結論を答えなさい。
[答] 仮定 AB＝AC ，結論 ∠B＝∠C(2) 右の図のように，底辺 BC の中点を M とし，
頂点 A と M を結び，これを証明しなさい。
[証明] △ABM と△ACM で，
仮定より

AB＝AC

…①

BM＝CM …②
また，AM は共通だから，AM＝AM …③①，②，③より 3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する角は等しいから，∠B＝∠C
よって，二等辺三角形の底角は等しい。
4

二等辺三角形 啓 P.126~129

AB「二等辺三角形の底角は等しい」という性質を，AB＝AC の二等辺三角形について証明する
とき，空らんをうめなさい。
右の図のように，底辺 BC の中点を M とし，頂点 A と M を結ぶ。

△ABM と△ACM で仮定より，AB＝AC

…①

BM＝CM

…②

また，AM は共通だから，AM＝AM …③①，②，③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する角は等しいから，∠B＝∠C
よって，二等辺三角形の底角は等しい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【2-7 三角形 啓林館】

5

二等辺三角形 啓 P.126~129

ABC「二等辺三角形の底角は等しい」という性質を，AB＝AC の二等辺三角形について証明する
とき，空らんをうめなさい。
右の図のように，底辺 BC の中点を M とし，頂点 A と M を結ぶ。

△ABM と△ACM で仮定より，AB＝AC

…①

BM＝CM

…②

また，AM は共通だから，AM＝AM…③①，②，③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する角は等しいから，∠B＝∠C
よって，二等辺三角形の底角は等しい。
6

二等辺三角形 啓 P.126~129

AB「二等辺三角形の底角は等しい」という性質を，AB＝AC の二等辺三角形について証明する
とき，空らんをうめなさい。
右の図のように，底辺 BC の中点を M とし，頂点 A と M を結ぶ。

△ABM と△ACM で仮定より，AB＝AC

…①

BM＝CM

…②

また，AM は共通だから，AM＝AM…③①，②，③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する角は等しいから，∠B＝∠C
よって，二等辺三角形の底角は等しい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【2-7 三角形 啓林館】

7
ABCDE

二等辺三角形 啓 P.126~129「二等辺三角形の底角は等しい」という性質を，AB＝AC の二等辺三角形について証明しな
さい。

A① 仮定と結論を答えなさい。

仮定

AB＝AC

結論

∠B＝∠C

② 右の図で，辺 BC の中点を M とし，頂点 A と M を結ぶとき，①を証明しなさい。
B△ABM と△ACM で仮定より，AB＝AC

…①

BM＝CM

…②

また，AM は共通だから，AM＝AM …③①，②，③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する角は等しいから，∠B＝∠C
よって，二等辺三角形の底角は等しい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

MCP5 【2-7 三角形 啓林館】

8
BCDE

二等辺三角形 啓 P.126~129△ABC で∠BAC の二等分線を引き，辺 BC との交点を M とするとき，次の問いに答えなさい。
① 上のことがらに合う図をかきなさい。

② ∠ABM＝∠ACM ならば，AB＝AC になることを証明しなさい。

△ABM と△ACM で，仮定より ∠BAM＝∠CAM…①

AM は∠BAC の二等分線だから，∠ABM＝∠ACM…②①②と三角形の内角は 180°だから，∠BMA＝∠CMA…③
また，AM は共通だから，AM＝AM…④②，③，④より，

2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABM≡△ACM
対応する辺は等しいから，AB＝AC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P6 【2-7 三角形 啓林館】

9CDE

二等辺三角形 啓 P.126~129

AB＝AC の二等辺三角形で、辺 BC の中点を M とするとき，∠BAM＝∠CAM，BC⊥AM になることを証明しなさい。

△ABM と△ACM で
仮定より

AB＝AC

…①

BM＝CM …②
AM は共通だから，

AM＝AM …③①②③より，3 組の辺が，それぞれ等しいから△ABM≡△ACM …④
対応する角は等しいから，∠BAM＝∠CAM…⑤∠AMB＝∠AMC …⑥∠AMB＋∠AMC＝180° …⑦⑥，⑦より，∠AMB＝∠AMC＝90°
よって，BC⊥AM
10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

二等辺三角形（３） 啓 P.126~129
次の∠x，∠y，∠a の大きさを求めなさい。
(1)

(2)

[解き方]
∠y＝66°

2a＝148°∠x＝180°－(66°×2)

a＝148°÷2＝180°－132°

a＝74°

＝48°
[答]

∠x＝48°，∠y＝66°，∠a＝74°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【2-7 三角形 啓林館】

11
ABCDE

二等辺三角形 啓 P.126~129

次の∠x，∠y，∠a の大きさを求めなさい。
①②∠y＝66°

2a＝148°∠x＝180°－(66°×2)

a＝148°÷2
a＝74°＝180°－132°＝48°∠x＝48°，∠y＝66°
12DE∠a＝74°

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

二等辺三角形（４） 啓 P.126～129
次の∠x の大きさを求めなさい。

(1) AB＝AC ，∠ABD＝∠DBC[解き方]

AB＝AC より∠ABC＝66(2) AB＝BD＝AC

AB＝AC より∠ABC＝46∠ABD＝∠DBC より

AB＝BD より∠BAD＝∠BDA∠DBC＝66÷2＝33∠BAD＝∠BDA＝ (180－46)÷2∠x＝33＋66

＝67

＝99°

∠BAC＝180－46×2[答] ∠x＝99°＝88∠x＝88－67＝21[答] ∠x＝21°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P8 【2-7 三角形 啓林館】

13
DE

二等辺三角形 啓 P.126~129

次の∠x の大きさを求めなさい。
①

AB＝AC ，∠ABD＝∠DBC② AB＝BD＝AC

AB＝AC より∠ABC＝66

AB＝AC より∠ABC＝46∠ABD＝∠DBC より

AB＝BD より∠BAD＝∠BDA∠DBC＝66÷2＝33∠BAD＝∠BDA＝ (180－46)÷2∠x＝33＋66

＝67

＝99°

∠BAC＝180－46×2＝88∠x＝88－67＝21∠x＝99°
14BCDE∠x＝21°

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

二等辺三角形（５） 啓 P.126~129
次の∠BAD の大きさを求めなさい。また、求める過程も書きなさい。
[解き方] 図より，CA＝CB より，△ABC は二等辺三角形∠ABC＝∠CAB＝x とおく三角形の内角と外角の性質より，∠ACD＝2x

CA＝CD より，
△ACD は二等辺三角形，∠CAD＝(180－2x)÷2＝90－x∠BAD＝∠CAB＋∠CAD∠BAD＝x＋90－x∠BAD＝90

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

[答] 90°P9 【2-7 三角形 啓林館】

15
BCDE

二等辺三角形 啓 P.126~129

次の∠BAD の大きさを求めなさい。また、求める過程も書きなさい。

図より，CA＝CB より，△ABC は二等辺三角形∠ABC＝∠CAB＝x とおく三角形の内角と外角の性質より，∠ACD＝2x，

CA＝CD より，△ACD は二等辺三角形，∠CAD＝(180－2x)÷2＝90－x∠BAD＝∠CAB＋∠CAD∠BAD＝x＋90－x

90°∠BAD＝9016CDE

二等辺三角形 啓 P.126~129

右の図において，次の問いに答えなさい。
① ∠x を求めなさい。
△ABC において∠BAD＝∠CAD＝∠ACD＝a とおく

3a＋72＝180，3a＝180－72
3a＝108，a＝36△ADE において，2×36＋x＝180

x＝180－72，
＝108
②

108°

CD の長さを求めなさい。
∠ACB＝180－108＝72∠ABC＝∠ACB から，△ABC は二等辺三角形，

よって，AB＝AC＝CD＝4cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

4cm

P10 【2-7 三角形 啓林館】

二等辺三角形 啓 P.126~129

17E

次の①，②の図で，二等辺三角形を見つけてすべて答えなさい。
① DA＝DC＝DB② ∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE△ADC において△ABC において∠DAC＝∠DCA＝65°∠ABC＝∠ACB△DBC において△PBC において∠DBC＝∠DCB＝25°∠PBC＝∠PCB△ADC，△DBC△ABC，△PBC
二等辺三角形 啓 P.126~129

18
BCDE

右の図は AD∥BC である紙テープを，EF を折り目として折った図である。紙テープが重なったところの△PEF は二等辺三角形であることを証明しなさい。

仮定より∠PFE＝∠EFC…①

AD∥BC の錯角は等しいから，∠PEF＝∠EFC…②①，②より∠PFE＝∠PEF
２つの角が等しいから，△PEF は二等辺三角形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【2-7 三角形 啓林館】

19

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

二等辺三角形の証明（１） 啓 P.128~130△ABC において，BD＝CE になるように，AB 上に点 E，AC 上に点 D をとる。
∠DBC＝∠ECB のとき，△ABC は二等辺三角形になることを証明しなさい。
[証明] △DBC と△ECB において仮定より BD＝CE…①∠DBC＝∠ECB …②

共通な辺なので， BC＝CB…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△DBC≡△ECB
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，∠DCB＝∠EBC
つまり∠ACB＝∠ABC
したがって，2 つの角が等しいから，△ABC は二等辺三角形になる。

二等辺三角形の証明 啓 P.128~130

20
BCDE

△ABC において，BD＝CE になるように，AB 上に点 E，AC 上に点 D をとる。
∠DBC＝∠ECB のとき，△ABC は二等辺三角形になることを証明しなさい。

△DBC と△ECB において仮定より BD＝CE…①∠DBC＝∠ECB…②

共通な辺なので，

BC＝CB

…③

①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△DBC≡△ECB
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，∠DCB＝∠EBC，つまり∠ACB＝∠ABC

したがって，2 つの角が等しいから，△ABC は二等辺三角形になる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【2-7 三角形 啓林館】

21

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

二等辺三角形の証明（２） 啓 P.128~130右の図で AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠DBC＝∠ECB
ならば，BD＝CE であることを証明しなさい。
[証明] △DBC と△ECB において仮定より∠DBC＝∠ECB…①
共通な辺だから BC＝CB…②
二等辺三角形の底角は等しいから∠DCB＝∠EBC…③①②③より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△DBC≡△ECB

合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，BD＝CE

二等辺三角形の証明 啓 P.128~13022CDE

右の図で AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠DBC＝∠ECB
ならば，BD＝CE であることを証明しなさい。

△DBC と△ECB において仮定より∠DBC＝∠ECB…①
共通な辺だから BC＝CB…②
二等辺三角形の底角は等しいから∠DCB＝∠EBC…③①②③より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△DBC≡△ECB，合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，BD＝CE

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【2-7 三角形 啓林館】

二等辺三角形の証明 啓 P.128~13023CDE

右の図で，△ABC は BC を底辺とする二等辺三角形である。BD＝CE ならば∠ADB＝∠AEC であることを証明しなさい。

△ADB と△AEC において
仮定より

AB＝AC…①
BD＝CE…②

二等辺三角形の底辺は等しいから∠ABD＝∠ACE…③①，②，③より
2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ADB≡△AEC

よって
24∠ADB＝∠AEC

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

逆・反例 啓 P.131~132
ぎゃく★ 逆 …あることがらの仮定と結論を入れかえたものを，定理の逆という。
正しいことの逆はいつでも正しいとは限らない。
次のことがらの逆を述べ，それが正しいかどうかを答えなさい。また正しくない場合
は反例も書きなさい。
「自然数 a が 4 の倍数ならば，a は偶数である。」…Ⅰ[答]
逆 自然数 a が偶数ならば，a は 4 の倍数である。…Ⅱ

正しくない 反例 6

Ⅰは正しいが，Ⅱは正しくない。たとえば，6 は偶数であるが 4 の倍数ではない。
はんれい

このようにあることがらが成り立たない例を反例という。
逆・反例 啓 P.131~132

25
ABCDE

次のことがらの逆を述べ，それが正しいかどうかを答えなさい。
「自然数 a が 4 の倍数ならば，a は偶数である。」

逆

自然数 a が偶数ならば，a は 4 の倍数である。
正しくない

反例６

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【2-7 三角形 啓林館】

26
ABCDE

次のことがらの逆を述べ，それが正しいかどうかを答えない。また，正しくない場合は反例も答えなさい。
①△ABC≡△DEF ならば，∠ABC＝∠DEF，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF である。

逆

∠ABC＝∠DEF，∠BCA＝∠EFD，BC＝EF ならば，△ABC≡△DEF である。
正しい。
x≧6 ならば，x＞4 である。

②

逆

x＞4 ならば，x≧6 である。
正しくない

③

x＝5

自然数 a，b で，a も b も奇数ならば，a＋b は偶数である。

逆

自然数 a，b で，a＋b が偶数ならば，a も b も奇数である。
正しくない

27

反例

反例

a＝2，b＝4 など (a，b が偶数であること)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

正三角形（１） 啓 P.132~133★正三角形の定義…3 辺が等しい三角形◎ 正三角形は二等辺三角形の特別なものである。

★正三角形の定理…正三角形の 3 つの内角は等しい。
◎ 正三角形の 3 つの角は 60°である。
正三角形 啓 P.132~133

28
ABCDE

正三角形の定義と定理を書きなさい。

正三角形の定義

3 辺が等しい三角形

正三角形の定理

3 つの内角は等しい

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P15 【2-7 三角形 啓林館】

29

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

正三角形（２） 啓 P.132~133
右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明しなさい。
[証明]△ABC において，仮定より

AB＝AC …①

①より

∠B＝∠C＝60°…②②より∠A＝180－60×2＝60°…③②③より∠A＝∠B＝∠C

3 つの角が等しいから，△ABC は正三角形

正三角形 啓 P.132~13330AB

右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△ABC において，
仮定より

AB＝AC

…①

①より， ∠B＝∠C＝60°…②②より， ∠A＝180－60×2＝60°…③②③より∠A＝∠B＝∠C

3 つの角が等しいから △ABC は正三角形
正三角形 啓 P.132~13331AB

右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△ABC において，
仮定より

AB＝AC

…①

①より， ∠B＝∠C＝60°…②②より， ∠A＝180－60×2＝60°…③②③より∠A＝∠B＝∠C

3 つの角が等しいから △ABC は正三角形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P16 【2-7 三角形 啓林館】

正三角形 啓 P.132~13332AB

右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△ABC において，
仮定より

AB＝AC

…①

①より， ∠B＝∠C＝60°…②②より， ∠A＝180－60×2＝60°…③②③より∠A＝∠B＝∠C

3 つの角が等しいから △ABC は正三角形
正三角形 啓 P.132~133

33
ABCDE

右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明しなさい。

△ABC において，
仮定より

AB＝AC

①より，

∠B＝∠C＝60°…②②より，∠A＝180－60×2＝60°…③…①∠A＝∠B＝∠C②，③より

3 つの角が等しいから △ABC は正三角形
正三角形 啓 P.132~13334DE

右の図のように正三角形 ABC の辺 AB，BC 上に，それぞれ D，E を

AD＝BE となるようにとる。このとき，△ABE≡△CAD であることを証明しなさい。

△ABE と△CAD において
仮定より，

BE＝AD …①

△ABC は正三角形だ， AB＝AC…②∠ABE＝∠CAD …③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ABE≡△CAD

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P17 【2-7 三角形 啓林館】

35

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

DE

正三角形（３） 啓 P.132~133
右の図で△ABC と△DCE は正三角形である。
このとき，AE＝BD であることを証明しなさい。
[証明]△ACE と△BCD において，△ABC と△DCE は正三角形なので，

AC＝BC

…①

CE＝CD

…②

正三角形の内角はすべて 60°なので，∠DCE＝∠BCA＝60°∠ACE＝∠DCE＋∠ACD＝60°＋∠ACD∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝60°＋∠ACD
よって∠ACE＝∠BCD…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ACE≡△BCD
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝BD

正三角形 啓 P.132~13336DE

右の図で△ABC と△DCE は正三角形である。このとき，AE＝BD であることを証明しなさい。

△ACE と△BCD において，△ABC と△DCE は正三角形なので，

AC＝BC

…①

CE＝CD …②正三角形の内角はすべて 60°なので，∠DCE＝∠BCA＝60°∠ACE＝∠DCE＋∠ACD＝60°＋∠ACD∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝60°＋∠ACD

よって ∠ACE＝∠BCD…③①，②，③より，

2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ACE≡△BCD
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝BD

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P18 【2-7 三角形 啓林館】

正三角形 啓 P.132~13337E

右の図で，△ABD，△ACE はどちらも正三角形である。このとき，DC＝BE であることを証明しなさい。

△ADC と△ABE において，
仮定より，AD＝AB…①

AC＝AE…②正三角形の内角は 60°だから，∠DAB＝∠EAC＝60°…③∠DAC＝∠DAB＋∠BAC…④∠BAE＝∠EAC＋∠BAC…⑤③，④，⑤より，∠DAC＝∠BAE…⑥①，②，⑥より，

2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ADC≡△ABEだから， DC＝BE38

正三角形 啓 P.132~133

E

正三角形 ABC の辺 BC 上に点 D をとり，AD を 1 辺とする正三角形 ADE をつくる。CE を結ぶとき，BD＝CE であることを証明しなさい。

△ABD と△ACE において，
仮定より

AB＝AC…①
AD＝AE…②正三角形の内角は 60°だから，∠BAC＝∠DAE＝60°…③∠BAD＝∠BAC－∠DAC…④∠CAE＝∠DAE－∠DAC…⑤③，④，⑤より，∠BAD＝∠CAE…⑥①，②，⑥より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABD≡△ACE
だから，BD＝CE

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P19 【2-7 三角形 啓林館】

正三角形 啓 P.132~13339E

右の図で，点 E は線分 AB 上の点であり，△AEC，△EBD はどちらも正三角形である。
このとき AD＝CB であることを証明しなさい。また∠APC の大きさを求めなさい。

△AED と△CEB において，
仮定より，AE＝CE…①

ED＝EB…②正三角形内角は 60°だから，∠AEC＝∠BED＝60°…③∠AED＝∠AEC＋∠CED…④∠CEB＝∠BED＋∠CED…⑤③，④，⑤より，∠AED＝∠CEB…⑥①，②，⑥より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△AED≡△CEB
だから，AD＝CB40

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

直角三角形の合同（１） 啓 P.135~137
しゃへん★斜辺…直角三角形の直角に対する辺を斜辺という。
★直角三角形の合同条件…2 つの直角三角形は，次のどちらかが成り立つとき，合同である。
① 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
② 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい。

直角三角形の合同 啓 P.135~137

41
ABCDE

空らんをうめなさい。
直角三角形の直角に対する辺を（

斜辺

）という。

直角三角形の合同条件は直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P20 【2-7 三角形 啓林館】

42

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

直角三角形の合同（２） 啓 P. 137
下の図で合同な直角三角形を見つけ，記号で表しなさい。また合同条件も答えなさい。

[答] △ABC≡△NMO△DEF≡△GIH

直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい。
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
∠EDF＝90°－43°＝47°＝∠IGH（1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）でもよい。

△JKL≡△PRQ

1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P21 【2-7 三角形 啓林館】

直角三角形の合同 啓 P. 137

43
ABCDE

下の図で合同な直角三角形を見つけ，記号で表しなさい。また合同条件も答えなさい。

△ABC≡△NMO
直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい△DEF≡△HGI
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい∠EDF＝90°－55°＝35°＝∠GHI（1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい）でもよい△JKL≡△PRQ
1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
44
ABCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138
右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であることを証明しなさい。
[証明]△AOP と△BOP において，

仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90°
PA＝PB

…②

共通だから，OP＝OP…③…①①②③より直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい，よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P22 【2-7 三角形 啓林館】

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

45
AB

右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき
PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOP と△BOP において，仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90° …①

PA＝PB …②共通だから，OP＝OP …③①②③より，
直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

46
AB

右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき

PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOP と△BOP において，仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90°
PA＝PB

…①

…②

共通だから，OP＝OP…③①②③より，
直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P23 【2-7 三角形 啓林館】

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

47
AB

右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき

PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であることを証明するとき，空らんをうめなさい。

△AOP と△BOP において，仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90°
PA＝PB

…①

…②

共通だから，OP＝OP…③①②③より，
直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP
直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

48
ABCDE

右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき

PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であることを証明しなさい。

△AOP と△BOP において，仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90° …①

PA＝PB …②共通だから，OP＝OP…③①②③より直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい
よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P24 【2-7 三角形 啓林館】

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

49
BCDE

次の図は，AB＝AC の二等辺三角形である。頂点 B，C からそれぞれ AC，AB に
垂線 BD，CE をひいたとき，BE＝CD であることを証明しなさい。

△EBC と△DCB において，
仮定より，∠BEC＝∠CDB＝90°…①
二等辺三角形の底角は等しいから，∠EBC＝∠DCB…②
共通だから

BC＝CB…③①②③より，
直角三角形の斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△EBC≡△DCB
合同な図形の対応する辺は等しいから，BE=CD
直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

50
DE

右の図で，△ABC は BC を底辺とする二等辺三角形である。AB⊥CD，AC⊥BE ならば

AE＝AD であることを証明しなさい。

△ABE と△ACD において，△ABC は二等辺三角形より，
仮定より，∠AEB＝∠ADC＝90°…①2 つの辺は等しいから，AB＝AC…②

共通だから，∠BAE＝∠CAD…③①②③より，
直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝AD

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P25 【2-7 三角形 啓林館】

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

51
E

右の図の直角三角形 ABC において∠A の二等分線と BC との交点を D とし，D から AB にひいた垂線を DE とします。このとき，ED＝CD であることを証明しなさい。

△AED と△ACD において，
仮定より，∠AED＝∠ACD＝90°…①∠A の二等分線より，∠EAD＝∠CAD共通だから，AD＝AD…②…③①②③より，
直角三角形の斜辺と 1 鋭角がそれぞれ等しいから，△AED≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいから，ED＝CD
直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

52
CDE

右の図のように，AB＝AC，∠A＝90°の直角二等辺三角形 ABC の
頂点 A を通る直線 ℓ に B，C から垂線 BD，CE をひくとき，

DE＝DB＋EC であることを，次のように証明した。

にあてはまるものを答えなさい。

△ABD と△CAE∠CEA

仮定より，∠ADB＝

AB＝

CA

において
…①

…②

∠BAD

∠ABD＝90°－＝①②③より，2 つの直角三角形で，
よって，

＝90°

△ABD≡

したがって，DB＝

EA

∠CAE

…③

斜辺と 1 鋭角がそれぞれ等しい

△CAE
，

DA＝EC

だから，DE＝DB＋EC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P26 【2-7 三角形 啓林館】

53
E

直角三角形の合同条件を使った証明 啓 P.138

右の図で，△ABC は正三角形，△ADE は∠DAE が直角で AD=AE の直角二等辺三角形である。∠BAD=15°であるとき，次の問いに答えなさい。
① ∠ADB の大きさを求めなさい。
∠ADB＋60°＋15°＝180°∠ADB＝105°②

105°

AC と DE との交点を F としたときの∠CFE の大きさを求めなさい。
△ADE は直角二等辺三角形だから，∠DAE＝90°，∠DAF＝60°－15°＝45°∠ADF＝(180°－90°)÷2＝45°90°∠DFA＝180°－45°－45°＝90°＝∠CFE③ △ADF と合同な三角形を答えなさい。

△AEF
54

啓林館 中２5 章 図形の性質と証明

１節 三角形
hakken.教材

教科書 目次１

二等辺三角形P. 126~134

QR 1~39２

直角三角形の合同

P. 135~138

QR 40~53

QR コードCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.