3-10 三平方の定理 啓林館
三平方の定理 啓 P.182～184

2CDE

右の図のように正方形 ABCD に中の正方形 EFGH がある。
22AbaE

D2a ＋b ＝c が成り立つことを証明しなさい。

正方形 EFGH の面積＝正方形 ABCD の面積－4 つの合同な直角三角形の面積
したがって，c2＝(a＋b)2－4×2acbHcF

1ab2abB2＝(a ＋2ab＋b )－2abaGbC＝a2＋b2
よって，a2＋b2＝c2
三平方の定理 啓 P.182～184

3CDE

三平方の定理について，次のように証明した。にあてはまるものを答えなさい。

[証明] ∠C＝90°の直角三角形 ABC において
点 C から辺 AB に垂線 CD をひく。
△ABC∽△CBD より AB：CB＝BC：BD

BC2＝AB×BD△ABC∽

つまり a2＝c×BD …①△ACD より AB：AC＝AC： AD

AC2 ＝AB×AD

つまり

b2 ＝c×AD…②①＋②より

a2＋b2＝c×BD＋c×

AD ＝c×(BD＋ AD )＝c2

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P2 【3-10 三平方の定理 啓林館】

三平方の定理 啓 P.182～184

5ABCDE次の図の直角三角形で，残りの辺の長さを求めなさい。
①②64＋16＝x25＋x2＝13x＞0 だから，x＝ 80＝4x＞0 だから，x＝8＝2252 2 cm

4 5 cm三平方の定理 啓 P.182～184

6ABCDE次の図の直角三角形で，残りの辺の長さを求めなさい。
①②3cm

4cm2cm3x2＝12x2＝9x＞0 だから，x＝12＝232 3 cmx＞0 だから，x＝33cm三平方の定理 啓 P.182～1847CDE2 cm

右の図は直角三角形の各辺を 1 辺とする正方形をかいたものです。

a の面積が 46cm2，c の面積が 72cm2 のとき，b の面積を求めなさい。
72－46＝2626cm2

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P3 【3-10 三平方の定理 啓林館】

三平方の定理 啓 P.182～1848DE

次の図の台形と五角形で，残りの辺の長さを求めなさい。
①②

BE＝12－9＝3，AE＝6

直角三角形 ABC で，

32＋62＝AB2

72＋42＝AC2

9＋36＝AB249＋16＝AC2

AB2＝45

AC2＝65AB＞0 だから，AB＝ 45

AC＞0 だから，AC＝ 65

3 5 cm3cm
三平方の定理 啓 P.182～184

9ABCDE

直角三角形の直角をはさむ 2 辺の長さをそれぞれ a，b とし，斜辺の長さを c とする。このとき，次の表の空らんをうめなさい。

a52 108b12315c13717

三平方の定理の逆 啓 P.185～187

11ABCDE

次の長さを 3 辺とする三角形のうち，直角三角形となるものを選びなさい。
㋐㋒㋓5cm，6cm，8cm㋑ 20cm，21cm，29cm

15 cm，2 6 cm，3cm㋓ 0.8m，1.5m，1.6m

各辺の長さを 10 倍して得られる相似な三角形で調べてもよい。

82＋152＝289，162＝256㋑，㋒

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P4 【3-10 三平方の定理 啓林館】

三平方の定理の逆 啓 P.185～187

12CDE

2 辺の長さが 3cm，9cm の長方形の対角線を求めなさい。
x＞0 だから，x＝90

x＝310

3 10 cm
13三平方の定理の逆 啓 P.185～187CDE

2 辺の長さが 6cm，8cm の三角形がある。この三角形が直角三角形であるには，残りの 1 辺の長さは，何 cm であればよいか求めなさい。
62＋x2＝82x2＝28x＝2710cm もしくは 2 7 cm
三平方の定理の逆 啓 P.185～18714DE

周の長さが 30cm の右のような三角形がある。

y1 辺の長さが 12cm のとき，x, y の長さを求めなさい。

x36(9－x)＝14412cm

両辺÷36

9－x＝4
x＝5

これを①に代入

5＋y＝18y＝13x5cm

16CDE

y13c

三平方の定理の利用 啓 P.189～190
右のような半径 6cm の円がある。x を求めなさい。

OC は半径だから，OB＝OC＝6cm
OA＝6＋4＝10

三平方の定理より，

x2＝102－628cm

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P5 【3-10 三平方の定理 啓林館】

18平面における線分の長さや面積 啓 P.191

ABCDE

右の図の二等辺三角形 ABC の面積を求めなさい。

h＞0 だから，h＝A5

したがって，△ABC＝1×4×23cm

5 ＝23cm

5B

2 5 cm2194cm

C

平面における線分の長さや面積 啓 P.191

A

下の正方形と長方形の対角線の長さを求めなさい。
①②＝36＋36＝16＋4＝72＝20x＝6 2x＝2

6 2 cm

2 5 cm205平面における線分の長さや面積 啓 P.191

ABCDE

1 辺が 10cm の正三角形の高さと面積を求めなさい。
高さは，102－52＝75，75 ＝5
面積は，10×53

3 ÷2＝25
高さ

35 3 cm

21

面積

25 3 cm2

平面における線分の長さや面積 啓 P.191

ABCDE

底辺が 4cm で，2 辺が 6cm の二等辺三角形の高さと面積を求めなさい。
高さは，62－22＝32 より，32 ＝4
面積は，4×422 ÷2＝82
高さ4 2 cm

面積Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

8 2 cm2

P6 【3-10 三平方の定理 啓林館】

三角定規の３辺の長さの割合 啓 P.192

23ABCDE

つぎの直角三角形の辺の比㋐～㋕をそれぞれ書きいれなさい。
①②㋓：㋔：㋕

㋐：㋑：㋒

1㋐

㋑

12㋒㋓

2㋔

3

㋕

三角定規の３辺の長さの割合 啓 P.192

24ABCDE

1下の図で，x，y の値を求めなさい。
①②＝8③x＝42x＝ 3333 : y＝1 : 2y＝ 63x8cmx4cmx3 3 cmy8 2 cmy4cmy6 3 cm

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P7 【3-10 三平方の定理 啓林館】

三角定規の３辺の長さの割合 啓 P.192

25DE

下の図の△ABC の面積を求めなさい。
①②AA
20cm8cm45°
B

BC8cmC

AH＝8×1＝422 (cm)AH＝20×

面積は，1×8×42

2 ＝16 2 (cm2)

面積は，16 2 cm2

1＝10(cm)2

1×9×10＝45(cm2)
245cm2三角定規の３辺の長さの割合 啓 P.192

26E30°
9cm

右の図で，x，y の値を求めなさい。

332: y ＝1 :x3y3 3cm
2y9cm
2三角定規の３辺の長さの割合 啓 P.192

27CDE30°60°9y ＝2x3cm

1 組の三角定規は，次の図のように，2 辺がぴったり重なるように作られている。
AB＝10cm のとき，BC，CD の長さをそれぞれ求めなさい。 D△ABC は，30°，60°，90°の直角三角形なので

C

AB:BC＝2：1 より
BC＝5cmBC：AC＝1： 3 よりABC5cm

5 6cm
CD
2Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

BP8 【3-10 三平方の定理 啓林館】

弦の長さ 啓 P.193

29BCDE

半径が 6cm の円 O で，中心 O からの距離が 2cm である弦 AB の長さを求めなさい。

x＞0 だから，x＝32 ＝42

よって，AB＝2×42 ＝828 2 cm
弦の長さ 啓 P.193

30CDE

右の図で，半径が 5cm の円 O で，弦 AB の長さが 8cm のとき，中心から AB までの距離を求めなさい。

OH2＝9OH＞0 より，

O

OH＝33cmA

弦の長さ 啓 P.193

31CDE

B

次の問いに答えなさい。
① 半径 5cm の円 O に，中心 O との距離が 11cm の点 A から接線をひき，接点を P とする。AP の長さを求めなさい。

AP2＝121－25
AP2＝96
AP＝46 (cm)

4 6 cm② 円 O に，中心 O との距離が 8cm の点 A から接線をひき，接点を P とする。AP＝6cm のとき，円 O の半径を求めなさい。

OP2＝64－36
OP2＝28OP＝27 (cm)

2 7 cmCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【3-10 三平方の定理 啓林館】

弦の長さ 啓 P.193

32E

右の図の半径 6cm の円 O で，x の値を求めなさい。

x2＋92＝122x2＝63x＝3737 cm
弦の長さ 啓 P.193

33DE⌒
右の図で，AB の円周角が 60°のとき半径を求めなさい。
60°

中心 O から AB に垂線をひき，AB との交点を H とする。

O

円周角が 60°だから，∠AOB＝120°，∠AOH＝60°∠AHO＝90°，∠OAH＝30°
図Ⅱより，OH：OA：AH＝1：2：

3 ＝OH：OA：23A

B
43 cm4cm
弦の長さ 啓 P.193

34DE

次の図のように，半径が 8cm の球を，中心 O との距離が 6cm である平面で切った。
すると，その切り口は円となり，その中心を O’とすると，OO’＝6cm となった。
切り口の円 O’の半径を求めなさい。
三平方の定理より82－62＝AO’ 2
64－36＝AO’ 2
AO’ 2＝28
AO’＝2

72 7 cm
２点間の距離 啓 P.194

36ABCDE

2 点 A(4，3)，B(－3，－2)の間の距離を求めなさい。
AB を斜辺として，座標軸に平行な 2 辺をもつ直角三角形を考える。
右の図のように，直角三角形 ABC をつくる。

74

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P10 【3-10 三平方の定理 啓林館】

２点間の距離 啓 P.194

37
ABCDE

2 点 A(1，2)，B(8，6)の間の距離を求めなさい。
AB2＝65
AB＝

AB＞0 より，

65

65２点間の距離 啓 P.194

38
ABCDE

2 点 A(1，－1)，B(5，2)の間の距離を求めなさい。
AB2＝25AB＞0 より，

AB＝55２点間の距離 啓 P.194

39
BCDE

2 点 A(－2，－9)，B(－7，3)の間の距離を求めなさい。
AB2＝169

AB＞0 より，

AB＝1313２点間の距離 啓 P.194

40E

右の図の 2 点 A，B の距離を求めなさい。

A(－6, 9), B(8, －5)だから，AB2＝{8－(－6)}2＋{9－(－5)}2AB2＝142＋142

14 2

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P11 【3-10 三平方の定理 啓林館】

41

２点間の距離 啓 P.194

DE

3 点 O(0，0)，A(4，3)，B(7，－1)を頂点とする△OAB について，次の問いに答えなさい。
①OA，OB，AB の長さを求めなさい。
＝2550＝＝5＝ 32＋42＝5 2

25＝＝5OA②5OB

5 25AB△OAB はどんな三角形になるか答えなさい。

OA：AB：OB＝1：1：

2 より∠A＝90°の直角二等辺三角形
43

直方体の対角線 啓 P.195

BCDE

図のような直方体がある。 対角線 AG の長さを求めなさい。

AG2＝AE2＋EF2＋FG2＝42＋72＋52＝90

AG＞0 だから，AG＝4cmECBA

EG2＝EF2＋FG2…②①，②から，DGH7cm

F5cm

90 ＝3 10 (cm)

3 10 cm
直方体の対角線 啓 P.195

44BCDE

1 辺の長さが 4cm の立方体の対角線の長さを求めなさい。
＝48
対角線は、

48 ＝434 3

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P12 【3-10 三平方の定理 啓林館】

直方体の対角線 啓 P.195

45E

立方体を頂点 A，B，C を通る平面で切る時，切り口の△ABC の面積を求めなさい。

1 辺 6cm

①C

AB2＝62＋622A2 ÷2＝3 222 )2－(3AB ＝36＋36CH ＝(6AB2＝72CH2＝72－18

AB＝CH2＝5472

AB＝±62

CH＝±3AB＞0 より，AB＝6B

HB＝6＝1822 )26CH＞0 より，CH＝36318 3
1 辺 3cm②AC2＝32＋32A

AC2＝9＋9C

AC2＝18AC＝±18AC＞0 より，AC＝33HC＝B

2229 32
正四角錐の高さと体積 啓 P.196

47
CDE

次の正四角錐の高さと体積を求めなさい。

AAP2＝92－329cm

2AP ＝81－9AP＝6AH2＝(6DEAP2＝72B

2C6cm2 )2－32
高さ

3 7 cm

体積

36 7 cm3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【3-10 三平方の定理 啓林館】

正四角錐の高さと体積 啓 P.19648
CDE

次の正四角錐の表面積を求めなさい。

A9cm

AP2＝92－32
AP2＝81－9AP＝6DEAP2＝72B2C6cm

72 2 ＋36(cm2)正四角錐の高さと体積 啓 P.19649
CDE

底面の半径が 7cm，母線の長さが 11cm の円錐の体積と表面積を求めなさい。
円錐の頂点 A と底面の中心 O を結ぶと，線分 AO がこの円錐の高さを表す。
母線の 1 つが AB のとき，△ABO は直角三角形となるから，AO＝h cm とすると，
h2＋72＝112

表面積＝49π＋77π＝126π
体積98 2 πcm3126πcm2
正四角錐の高さと体積 啓 P.19650DE

表面積

次の図は円錐の展開図です。これを組み立てたときの円錐の高さを求めなさい。
底面の半径を r とすると2π×6×120＝2π×r360
4π＝2π×r
r＝22cmCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【3-10 三平方の定理 啓林館】

正四角錐の高さと体積 啓 P.196

51
DE

次の図で，直角三角形 ABC をℓ を回転軸として 1 回転してできたℓ立体の体積を求めなさい。
22AC ＝13 －5A

2AC2＝169－25
AC2＝14413cm

AC＝12体積は，52π×12×1＝100π3100πcm3

B

C5cm

学びを身につけよう 啓 P.200～201

53
BCDE

AB＝9cm，BC＝10cm，CA＝11cm の△ABC がある。
点 A から辺 BC に垂線 AH をひく。次の問いに答えなさい。
①BH，AH の長さを求めなさい。
2 つの直角三角形△ABH，△ACH のそれぞれで三平方の定理を使い，AH2 を 2 通りに表す。

BH＝x cm，AH＝h cm とすると，△ABH で，h2＝92－x2△ACH で，h2＝112－(10－x)23cm

BH

AH

6 2 cm② △ABC の面積を求めなさい。
△ABC＝1×10×62

2 ＝302 (cm2)

30 2 cm2
学びを身につけよう 啓 P.200～20154CDE

3 辺の長さが 9cm，8cm，7cm の三角形の面積を，8cm の辺を底辺として求めなさい。
A△ABC で，A から辺 BC に垂線と BC との交点を D とする。
9cm

DC＝x とすると，三平方の定理から，7cm

AD の長さは，72－x2＝92－(8－x)249－x2＝81－64＋16x－x2
B49－x2＝17＋16x－x2△ABC の面積＝1×8×32

5 ＝12＝458cm
AD＞0 だから，AD＝3 55 (cm2)

12 5 (cm2)

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CP15 【3-10 三平方の定理 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.200～20155CDE

次の図形の面積を求めなさい。
①② ひし形
AD120°5cm

BG4cm

HJC6cm

BE＝310cm

I

よって，GK：JG：KJ＝1：2：台形の面積 ABCD＝△ABE＋四角形
1＝ ×3×4＋4×(6－3)
2＝6＋12＝5：10：5 3

HJ＝103 ，GI＝10ひし形 GHIJ の面積＝＝18(cm2)

18cm2

1×10 3 ×102＝50 3 (cm2)

50 3 cm2
学びを身につけよう 啓 P.200～20156E3

右の図で，A，B，C は円 O の周上の点であり，△ABC は
AB＝AC＝5cm，BC＝6cm の二等辺三角形である。A から辺 BC にひいた垂線と BC との交点を H とすると，円の中心 O は線分 AH 上にある。
①

AH の長さを求めなさい。

＝164cm②

円 O の半径を x cm として方程式をつくり，x の値を求めなさい。
8x＝9＋168x＝25x＝25825
8

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P16 【3-10 三平方の定理 啓林館】

58

学びを身につけよう 啓 P.200～201DE

右の図のような直方体がある。この直方体に，A から辺 BC を通って点 G までもっとも短くなるようひもをかけたとき，かけたひもの長さを求めなさい。

D

A

AG2＝(5＋4)2＋82

H＝81＋64＝145
AG＞0 だから，AG＝E1455cm

C4cm

BGF8cm145 cm59
DE

学びを身につけよう 啓 P.200～201

右の図のように，母線が 12cm，底面の半径が 4cm の円錐がある。
底面の円周上の 1 点から，円錐の側面を 1 周して最短の長さで、ひもをかけるとき，ひもの長さを求めなさい。

a＝120△DCA≡△DCB で，30°，60°，90°の直角三角形である。

BC：BD＝2：

3 ＝12：BD

2BD＝12 3 ＝AB …ひもの長さ

12 3 cm

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P17 【3-10 三平方の定理 啓林館】

60

学びを身につけよう 啓 P.200～201E

右の図のように，底面の 1 辺が 4cm，高さが 5cm の正三角柱に，点 A から辺 BE，CF を通って点 D まで糸をまきつける。糸の長さがもっとも短くなるようにまきつけるとき，次の問いに答えなさい。
① 糸の長さを求めなさい。

＝169

AD＝13(cm)13cm② 糸と辺 BE，CF との交点をそれぞれ G，H とするとき，BG，CH の長さを求めなさい。
図Ⅱより，平行線と線分の比から，

BG：5＝1：3

CH：5＝2：3

3BG＝53CH＝10

BG＝5cm
310CH＝ cm
3BG

5cm
3CH

学びを身につけよう 啓 P.200～201

62DE10cm3右の図で，92－x2＝112－(10－x)2 が成り立つことを説明しなさい。

△ABD と△ACD は、直角三角形である。

A11cm

9cm

△ABD で，92－x2＝AD2 …①△ACD で，112－(10－x)2＝AD2 …②①，②より，92－x2＝112－(10－x)2B

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xD10cmC

P18 【3-10 三平方の定理 啓林館】

64E応用

AB＝8cm，AD＝10cm の長方形 ABCD がある。いま，この長方形を下の図のように，線分 EF を折り目として折ったら，頂点 A が辺 BC 上の点 G に重なった。BG＝4cm のとき，AE の長さを求めなさい。
直角三角形 EBG について，三平方の定理を利用して方程式をつくる。

AE＝x cm とすると，△EGF は△EAF を折り返したものだから，

EG＝AE＝x cm

5cm
65
E

応用
右の図で，四角形 ABCD は正方形，△AEF は正三角形である。

AB＝3cm のとき，AE の長さを求めなさい。

AD
F

EC＝x cm とすると，△CEF は直角二等辺三角形だから
EF：EC＝EF：x＝
EF＝

2 ：1
2 ：12x△AEF は正三角形だから，EF＝AE＝△ABE で，三平方の定理により(＝－32 ＋32xBEC2 x)2＝32＋(3－x)26 (cm)

－3 2 ＋3 6 (cm)66E応用
右の図のような正三角柱 ABC‐DEF があり，AD＝3cm，AC＝4cm のとき，三角錐 ABCE の体積を求めなさい。

△ABC において，頂点 B から AC に垂線を引き，その交点を H とする。BC を底辺とすると高さはAB：BH＝2：

高さ＝2

3 ＝4cm：23 cm

3 cm，よって

4 3 cm3

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P19 【3-10 三平方の定理 啓林館】

67
E

応用
右の図のように，平行四辺形 ABCD の頂点 A から辺 BC の延長におろした垂線を AH とする。平行四辺形 ABCD の面積が 84cm2，AD＝7cm，DC＝15cm のとき，次の問いに答えなさい。
①

HB の長さを求めなさい。

三平方の定理より，152＝122＋x2
x2＝225－144x2＝81x＞0 だから

x＝9，よって HB＝9cm9cm②対角線 AC の長さを求めなさい。
x2＝122＋162
x2＝144＋256x2＝400x＞0 だから

x＝20，よって AC＝20cm

20cm

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