27 円の性質(中3)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

円周角と中心角（１）えんしゅうかく⌒★円 周 角…下の図の円 O で，∠APB を，AB に対するちゅうしんかく⌒
円周角といい，∠AOB を AB に対する 中 心 角という。

PP55°

55°
O

⌒
また，AB(弧AB と読む)を，円周角∠APB に対する弧という。
こ★円 周 角の定理
❶P110°A

えんしゅうかく55°
B

1 つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である。

❷ 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
※ 弦が直径のとき円周角は 90°，中心角は 180°である。
❶半分になる❷ 90°になる❸ 同じになる❹ 二等辺三角形になる

30°
30°

55°
110°

円周の1の弧に対する中心角と円周角を求めなさい。
6[解き方] 中心角は 360°×

11＝60°円周角は中心角の半分だから，60°× ＝30°
62
[答] 中心角 60°

2円周角 30°

次の問いに答えなさい。

ABCDE① 円周の360°×5の弧に対する円周角651× ＝150°
62150°② 円周の4の弧に対する中心角9360°×4＝160°
9160°

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P2 【27 円の性質(中3)まとめ】

3BCDE

11⌒
⌒
右の図で AB の長さは円周の ，CD の長さは円周の である。AC と BD の交点を P とする
95Dとき，∠APB の大きさを求めなさい。

∠ACB＝360×1
1× ＝20°92∠ACB＝360×1
1× ＝36°52OPACB∠APB は△BPC における∠BPC の外角56°∠APB＝20°＋36°＝56°4

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

円周角と中心角（２）次の問いに答えなさい。
⌒ の何倍か。
⌒ は AB(1) 右の図で，CD[解き方] 1 つの円において，弧の長さは中心角に比例するから，
A[答] 3 倍90°÷30°＝3(倍)⌒ に対する円周角の大きさは，30°(2) 右の図で，CDB⌒
AB に対する円周角の大きさの何倍か。
⌒ に対する円周角は，90°÷2＝45°[解き方] CD⌒AB に対する円周角は，30°÷2＝15°45°÷15°＝3(倍)DC[答] 3 倍5

次の問いに答えなさい。
⌒⌒ は ABABCDE① 右の図で，CDの何倍か。

A

1 つの円において，弧の長さは中心角に比例するから，100°÷40°＝2.5(倍)

B

2.5 倍

⌒ に対する円周角の大きさは，② 右の図で，CD⌒ に対する円周角の大きさの何倍か。
ABD
40°
100°

C

CD に対する円周角は，100°÷2＝50°⌒AB に対する円周角は，40°÷2＝20°50°÷20°＝2.5(倍)2.5 倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【27 円の性質(中3)まとめ】

6

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

円周角の定理∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

(1)

(2)

(3)

92°÷2＝46°109°×2＝218°[答] ∠x＝46°

(4)

zy92°

[解き方]

38°

109°

x

同じ弧に対する円周角は等しい∠y＝218°∠z＝38°

(5)

A

(6)

C55°

DBACyx34°

AB[解き方] 半円の弧に対する円周角は 90°

55°

zCD

∠B＝34°，∠C＝90°∠ADB＝90°，∠y ＝180°－(34＋90) °∠ADC＝90°－55°

180°－(90°＋55°)＝35°

＝56°

＝35°
∠ADC＝∠z[答] ∠x＝35°
7ABCDE∠y＝56°∠z＝35°∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③y80°

x

31°
z

210°

80÷2＝4040°∠x＝B

210÷2＝105105°∠y＝31°∠z＝

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P4 【27 円の性質(中3)まとめ】

8BCDE∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③ BD が直径AADADE46°
yO142°
x
BzC30°

CO41°

B

B

C

直径の弧に対する円周角より∠BCD＝90°∠ABD＝∠ACD＝30°

218°÷2＝109°∠D＋∠C＝∠y＝∠BCD－∠ACB∠y＝30°＋46°＝76°＝90°－41°＝49°

109°

76°

∠x＝
9
ABCDE

∠z＝∠ACD

360°－142°＝218°

∠y＝

∠z＝

49°

∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

AD は直径

①②

A

A

26°

60°

x
O

③F

AE
y45°

CD

B

B

40°

Oz

34°

C

B

D

C

BD をひくFC をひくAO をひく∠D＝45°，∠ABD＝90°∠A＝∠BFC＝26°

BO＝AO＝CO(半径)∠x＝180°－(45°＋90°)∠y＝∠CFD＝60°－26°△ABO,△ACO は＝45°45°∠x＝＝34°34°∠y＝

二等辺三角形148°∠z＝Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【27 円の性質(中3)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

等しい弧に対する円周角★ 等しい弧に対する円周角は等しい。
等しい弧に対する中心角は等しい。
⌒⌒
AB＝CD ならば，∠AOB＝∠COD★1 つの円で，弧の長さは，その弧に対する円周角の大きさに比例する。
⌒⌒
AB＝2 CD ならば，∠APB＝2∠CQD∠APB＝∠CQD

P

P Q

Q

18°

18°

O36°

A15°
D36°

A

D
B

30°

CB

C

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒
⌒⌒⌒
⌒ ＝BC
⌒
(1) AB＝BC＝CD(2) 2AB＝BC(3) 2AB
P QCPAx66°x
Q
C78°
OO30°OAyBxCD

B[解き方]⌒ ⌒AB＝CD⌒ ⌒2AB＝BCBP⌒ ＝BC⌒
2AB

x：30＝1：1

x＝66÷2x＝78÷2÷2x＝30＝33＝19.5∠x＝33°∠x＝19.5°

y＝2xy＝60[答] ∠x＝30° , ∠y＝60°

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AP6 【27 円の性質(中3)まとめ】

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒ABCDE ① AD
＝BC・AC は直径②11③

AC＝BCDAC56°
OOx∠BDC＝180－(45＋27)

OyB

A

AC は直径だから

B

x＝360－120∠ADC＝90＝108＝240

y＝180－(90＋56)＝∠ADO∠ACB＝120÷2＝34∠AOB＝27×2＝60

AD＝BC＝54x＝34×2x＝180－(108＋54)

2y＝60

x＝68＝18y＝3068°∠x＝BCDE27°

x D 45°

BCx120°yC12A34°∠y＝18°∠x＝2y＋60＋240＝360∠x＝240°∠y＝30°⌒ ：CD⌒ ＝5：3 のとき，∠AEB の大きさを求めなさい。
次の図で，∠CFD＝27°，ABE

5：3＝x：27

D

3x＝135F

x＝4545°

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CAB

P7 【27 円の性質(中3)まとめ】

13

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

円周角の定理の逆★円の内部と外部
円 O の円周上に 3 点 A，B，C がある。直線 AB について，点 C と同じ側に点 P をとるとき，∠APB と∠ACB の大小は，P の位置により次のようになる。
❶ 点 P が円周上に❷ 点 P が円の内部にあるとき❸ 点 P が円の外部にあるとき→∠APB＝∠ACBあるとき→∠APB＞∠ACB

PPCC→∠APB＜∠ACB
PC
O

O

OA

A

B

B

A

B

★円周角の定理の逆上の❶～❸から，∠APB＝∠ACB ならば，点 P は円 O の周上にあることがわかる。
Pしたがって，次の円周角の定理の逆が成り立つ。
Q
4 点 A，B，P，Q について，P，Q が直線 AB の同じ側にあって，∠APB＝∠AQB

O

ならば，この 4 点は１つの円周上にある。

AB

右の図の 4 点 A，B，C，D は，同じ円周上にあるか答えなさい。また∠x を求めなさい。

A30°
70°

[解き方] 2 点 A，D は直線 BC について同じ側にあり，∠BAC＝∠BDC であるから，円周角の定理の逆により，

D70°

4 点 A，B，C，D は 1 つの円周上にある。このとき，⌒ に対する円周角であるから，∠x＝∠CAD＝30°∠x はDCBxC[答] 円周上にある。∠x＝30°14ABCDE

右の図で，4 点 A，B，C，D が同じ円周上にあるためには，∠x，∠y の大きさは何度でなければならないか，求めなさい。

A
x

同じ円周上にあるためには，同じ弧に対する円周角は等しくなければならないから，52°DE∠x＝50，∠y＝5250°∠x＝52°∠ y＝

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B

50°

34°
yC

P8 【27 円の性質(中3)まとめ】

15

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

円周角の定理を利用した証明
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

DA[証明] △DAP と△BCP において

PB

∠DPA＝∠BPC（対頂角） ･･･①
∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しいC

よって，△DAP∽△BCP
16右の図のように，円の 2 つの弦 AB，CD が交わっている。2 つの直線 AD，CB をひいて，そのBCDE

交点を P とするとき，△ABP∽△CDP となることを証明しなさい。
C△ABP と△CDP においてB共通だから，∠APB＝∠CPD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAP＝∠DCP …②A

DP①，②より 2 組の角が，それぞれ等しい
よって，△ABP∽△CDP
17右の図で，A,B,C,P は円周上の点で，BP＝PC である。また，AP と BC の交点を Q とする。

CDE

△ABP∽△AQC となることを証明しなさい。

△ABP と△AQC において

A

B

Q

同じ弧に対する円周角は等しいから∠APB＝∠ACQ …①

BP＝PC より，等しい弧に対する円周角は等しいから∠BAP＝∠QAC…②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABP∽△AQC

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PCP9 【27 円の性質(中3)まとめ】

18

右の図で，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠CAD です。AB＝10cm，AD＝8cm のとき，

CDE

線分 CD の長さを求めなさい。

D△ADC と△DEC で，A

仮定より，∠BAC＝∠CAD …①

E

同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAC＝∠BDC …②C
B①②より，∠CAD＝∠CDE …③

AC：DC＝DC：EC，DC＝x とおくと10：x＝x：(10－8)
10：x＝x：2x2＝20x＝±25長さなので負の値はふさわしくない。よって 2192 5 cm

5 cm

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用（１）
A次の図で，点 A,B,C,D,E,F は，円周を 6 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

B⌒
FE をひく。図Ⅱより，DE の中心角は 360÷6＝60°

よって，円周角は 30°(＝∠PFE)⌒
BF の円周角は 60°(＝∠BEF)

図Ⅱ△FPE で，∠FPE＝180－(30＋60)＝90
対頂角は等しいから，∠x＝90
[答]

90°

xA60°

EDED

20

次の図で，点 A,B,C,D,E,F,G,H は，円周を 8 等分した点である。

BCDE∠x の大きさを求めなさい。

AxB
PAH をひくAB, GH の中心角は 360÷8＝45°

PCF

B
CF

HGC

よって，AB, GH の円周角は 45÷2＝22.5°△APH で，

D135°

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FE

P10 【27 円の性質(中3)まとめ】

21

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用（２）
次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

円 O の中心から，点 A,B に線をひくと

A

QA⊥OA，QB⊥OB

四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°
P∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)

Ox58°＝122°⌒
AB の中心角は 122°

B

AB の円周角は 61°したがって∠x＝61°
22Q61°[答]∠x，∠y の大きさを求めなさい。

ABCDED32°△ACP で，Q三角形の内角と外角の性質から，

yy＝26°＋32°
＝58°

26°

xPCB

△QBC で，90°x＝23

次の問いに答えなさい。

CDE

①58°

y＝y－x＝a であることを証明しなさい。

PDxaQ△PCA で，b三角形の内角と外角の性質より，

Aa＋x＝yB－y＋x＝－ay－x＝a②

yx＋y＝b であることを証明しなさい。

DA の円周角より，∠x＝∠B…①△ABQ で，①と三角形の内角と外角の性質より，x＋y＝b

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CP11 【27 円の性質(中3)まとめ】

24

次の図で，A，B，C，D，E，F は円 O の円周を 6 等分する点である。

CDE∠x，∠y の大きさを求めなさい。
BAx

AO をひく，∠AOF＝360÷6FO

y＝60°∠x＝60÷230°∠x＝∠y＝60°

25

次の図で，∠x，∠y の大きさを求めなさい。

CDE①BC は直径Ax y74°

B

D②D58°

O

D
Ax30°

30°
CE45°

∠y＝74°÷265°△ABE で，内角と外角の関係から＝37° …①∠BEC＝30°＋45°∠AOD＝180°－(74°＋58°)＝75°△EBC で，＝48°∠ABD＝48°÷2∠EBC＝180°－(75°＋65°)＝24° …②＝40°∠x＝∠EBC＝40°

119°

CB

AB に対する円周角，中心角の関係から，

∠x＝EC

37°

∠y＝

∠x＝40°

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P12 【27 円の性質(中3)まとめ】

26DE

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
⌒⌒① AB = CD
ED40°

⌒ ⌒⌒
⌒
② AC＝CD＝DE＝EB
DC30°

AxEF87°OxACB

B

AB＝CD だから，

AB,AE をひく。

△BCD において，∠x＝∠ABC＝∠EAB＝∠DAE

30＋40＋40＋x＝180三角形の内角と外角の性質から，∠x＝180－30－40－40△FAB において，3x＝87°，x＝29°＝70∠x＝70°∠x＝27

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。

DE①ABCDEF は正六角形
AB

x29°

② BC は直径DAGxF58°

BCOCED∠BCA＝11∠CBF＝ ×90＝30°
33∠BAC＝90°△BCG において，DC に対する円周角，中心角から，90°＋30°＋x＝180°∠DAC＝58÷2x＝180°－90°－30°＝60°∠x＝60°＝29°

x＝90＋29＝119°

119°

∠x＝

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P13 【27 円の性質(中3)まとめ】

28DE⌒
右の図で，円周上に△ABC があり，∠ABC の二等分線をひき，辺 AC と AC との交点をそれぞれ P，Q とするとき，△ABQ∽△PAQ であることを証明しなさい。
A

CQ の円周角だから，∠CAQ＝∠CBQ…①

Q

P

仮定より，∠CBQ＝∠ABQ…②

B①，②より，∠ABQ＝∠CAQ(∠PAQ)…③C△ABQ と△PAQ で，共通だから，∠BQA＝∠AQP…④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABQ∽△PAQ29右の図で，2 つの円が 2 点 A,B で交わり，PQRS が 2 つの円周上にあるとき，

DE△AQR∽△APS であることを証明しなさい。
A

同じ円周上で，PAB に対する円周角だから，∠APB＝∠AQB…①R
Q

B∠ARB＝∠ASB…②S△AQR と△APS で，①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AQR∽△APS30

右の図で，円周上に 3 点 A,B,C がある。AB,BC の中点をそれぞれ P,Q とするとき，

DE

点 B,O,P,Q は同じ円周上にあることを証明しなさい。

B を通る直径をひき，円周との交点を R とする。 B
また A と R を結ぶ。
∠BAR＝90°〇◎P〇AOQ◎C△BAR で，BO＝RO(半径)，中点連結定理より，PO//AR
よって，∠BPO＝90°…①同じようにして，∠BQO＝90°…②①，②から，点 B,O,P,Q は(BO を直径とする)同じ円周上にあるCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【27 円の性質(中3)まとめ】

31

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

円に内接する四角形★4 つの頂点が 1 つの円周上にある四角形を円に内接する四角形という。
Aがいせつえん

また，その円をその四角形の外接円という。

D

このとき，次の性質がある。
∠A＋∠C＝180°

B∠B＋∠D＝180°∠DCE＝∠AA

次の図で，∠x，∠y の値を求めなさい。

EC

88°

[解き方] ∠B＋∠D＝180°より，∠x＝180－103

x

D＝77°
∠DCE＝∠A より，∠y＝88°[答] ∠x＝77°

B∠y＝88°

103°

yCE

32

次の図において，∠x，∠y の大きさを求めなさい。ただし，②の AC は円 O の直径である。

BCDE①②AAx39°yBODO104°

xED99° yBCC

∠x＝180°－104°＝76°

AC は直径だから、∠y は、弧 BD の中心角だから，∠ADC＝90°∠y＝104°×2＝208°

BC の円周角だから、∠BDC＝∠BAC＝39°∠x＝90－39＝51°∠x＝76°∠y＝208°

51°

∠x＝

∠y＝

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60°

P15 【27 円の性質(中3)まとめ】

33CDE

⌒ を
⌒ ，CAAB，BC
次の図で，3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，∠ABC＝75°である。⌒

二等分する円 O 周上の点をそれぞれ D，E，F とするとき，∠DFE の大きさを求めなさい。
A∠DFB＝

11∠AFB，∠EFB＝ ∠CFB なので22∠DFE＝

11∠AFB＋ ∠CFB
22＝1(∠AFB＋∠CFB)
2D75°

B

E

52.5°

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FOC