15 三角形(中2)まとめ1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE二等辺三角形
てい ぎ★定義…ことばの意味をはっきりと述べたものを定義という。
てい り★定理…証明されたことがらのうち，基本になるものを定理という。
ぎゃく★ 逆 …あることがらの仮定と結論を入れかえたものを，定理の逆という。
正しいことの逆はいつでも正しいとは限らない。
次のことがらの逆を述べ，それが正しいかどうかを答えなさい。また正しくない場合は反例も書きなさい。
「自然数 a が 4 の倍数ならば，a は偶数である。」…Ⅰ[答]
逆

自然数 a が偶数ならば，a は 4 の倍数である。…Ⅱ

正しくない 反例

6Ⅰは正しいが，Ⅱは正しくない。たとえば，6 は偶数であるが 4 の倍数ではない。

A

はんれい

このようにあることがらが成り立たない例を反例という。

頂角★二等辺三角形の定義…2 辺が等しい三角形★右図のような AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠BAC を頂角，∠ABC，∠ACB を底角という。
★二等辺三角形の性質の定理

底角

底辺

１二等辺三角形の底角は等しい。（定理）

２二等辺三角形の頂角の二等分線は，底辺を垂直に 2 等分する。（定理）B

右の図で，∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

2 辺が等しいので，二等辺三角形。

44°

二等辺三角形の底角は等しいから，

2×x＋44°＝180°
2x＝180°－44°x2x＝136°
x＝68°

[答]

∠x＝68°

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底角CP2 【15 三角形(中2)まとめ】

2ABCDE

次の∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②x148°z66°

y∠y＝66°

2z＝148°∠x＝180°－(66°×2)

z＝148°÷2148°z＝74°＝180°－132°＝48°∠x＝48°，∠y＝66°
3BCDE∠z＝74°

次の∠x の大きさを求めなさい。
①

AB＝AC ，∠ABD＝∠DBC
A② AB＝BD＝ACAxxD46°
B

66°
B

DCC

AB＝AC より∠ABC＝66

AB＝AC より∠ABC＝46∠ABD＝∠DBC より

AB＝BD より∠BAD＝∠BDA∠DBC＝66÷2＝33∠BAD＝∠BDA＝ (180－46)÷2∠x＝33＋66＝67＝99°∠BAC＝180－46×2＝88∠x＝88－67＝21∠x＝99°∠x＝21°

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P3 【15 三角形(中2)まとめ】

4

次の∠BAD の大きさを求めなさい。
ABCDE

図より，CA＝CB より，△ABC は二等辺三角形∠ABC＝∠CAB＝x とおく三角形の内角と外角の性質より，∠ACD＝2x，CA＝CD より，△ACD は二等辺三角形，∠CAD＝(180－2x)÷2＝90－x∠BAD＝∠CAB＋∠CAD∠BAD＝x＋90－x

BC90°∠BAD＝905BCDE

D

右の図において，次の問いに答えなさい。

A① ∠x を求めなさい。
∠BAC＝∠CAD＝∠ADC＝a とおく

4cm△ABC において
3a＋72＝180，3a＝180－72
3a＝108，a＝36

B

72°

xCD

△ACD において，2×36＋x＝180x＝180－72＝108108°② CD の長さを求めなさい。
∠ACB＝180－108＝72∠ABC＝∠ACB から，△ABC は二等辺三角形，よって，AB＝AC＝CD＝4cm

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4cm

P4 【15 三角形(中2)まとめ】

6次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

二等辺三角形の証明△ABC において，BD＝CE になるように，AB 上に点 E，AC 上に点 D をとる。
∠DBC＝∠ECB のとき，△ABC は二等辺三角形になることをA証明しなさい。
[証明] △DBC と△ECB において仮定より BD＝CE

E

D…①∠DBC＝∠ECB …②共通な辺なので， BC＝CB…③B①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから

C△DBC≡△ECB
合同な図形の対応する角の大きさは等しいから，∠DCB＝∠EBC
つまり∠ACB＝∠ABC
したがって，2 つの角が等しいから，△ABC は二等辺三角形になる。
7
ABCDE

右の図で AB＝AC の二等辺三角形 ABC で∠DBC＝∠ECB

Aならば，BD＝CE であることを証明しなさい。
E△DBC と△ECB において

D

仮定より，∠DBC＝∠ECB…①共通な辺だから，BC＝CB…②B二等辺三角形の底角は等しいから∠DCB＝∠EBC…③①②③より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△DBC≡△ECB，合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，BD＝CE

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CP5 【15 三角形(中2)まとめ】

8BCDE

右の図で，△ABC は BC を底辺とする二等辺三角形である。BD＝CE ならば∠ADB＝∠AEC であることを証明しなさい。

A△ADB と△AEC において
仮定より

AB＝AC…①
BD＝CE…②二等辺三角形の底角は等しいから∠ABD＝∠ACE…③B

DEC①，②，③より2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ADB≡△AEC

よって ∠ADB＝∠AEC
9BCDE

右の図は AD∥BC である紙テープを，EF を折り目として折った図である。紙テープが重なったところの△PEF は二等辺三角形であることを証明しなさい。

仮定より∠PFE＝∠EFC…①AD∥BC の錯角は等しいから，∠PEF＝∠EFC…②①，②より∠PFE＝∠PEF
２つの角が等しいから，△PEF は二等辺三角形
10次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE正三角形★正三角形の定義…3 辺が等しい三角形◎ 正三角形は二等辺三角形の特別なものである。
★正三角形の定理…正三角形の 3 つの内角は等しい。
◎ 正三角形の 3 つの角は 60°である。
右の図で，△ABC は AB＝AC，∠B＝60°の二等辺三角形である。
このとき，△ABC は正三角形になることを証明しなさい。

A[証明] △ABC において，仮定より AB＝AC …①①より∠B＝∠C＝60°…②②より∠A＝180－60×2＝60°…③②③より∠A＝∠B＝∠C

3 つの角が等しいから，△ABC は正三角形

B

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CP6 【15 三角形(中2)まとめ】

11右の図のように正三角形 ABC の辺 AB，BC 上に，それぞれ D，E をABCDE

AD＝BE となるようにとる。このとき，△ABE≡△CAD であることをA証明しなさい。

△ABE と△CAD において
D

仮定より，BE＝AD…①△ABC は正三角形だから，AB＝CA…②B

EC∠ABE＝∠CAD …③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ABE≡△CAD
12右の図で△ABC と△DCE は正三角形である。このとき，AE＝BD であることを証明しなさい。
ABCDE△ACE と△BCD において，DB△ABC と△DCE は正三角形なので，AC＝BCC…①

CE＝CD …②正三角形の内角はすべて 60°なので，∠DCE＝∠BCA＝60°∠ACE＝∠DCE＋∠ACD＝60°＋∠ACD∠BCD＝∠BCA＋∠ACD＝60°＋∠ACD
よって∠ACE＝∠BCD…③①，②，③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ACE≡△BCD
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝BD

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E

P7 【15 三角形(中2)まとめ】

13

右の図で，△ABD，△ACE はどちらも正三角形である。このとき，DC＝BE であることをBCDE証明しなさい。

DA△ADC と△ABE において，E

仮定より，AD＝AB…①

AC＝AE…②正三角形の内角は 60°だから，B

C∠DAB＝∠EAC＝60°…③∠DAC＝∠DAB＋∠BAC…④∠BAE＝∠EAC＋∠BAC…⑤③，④，⑤より，∠DAC＝∠BAE…⑥①，②，⑥より，
A

2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ADC≡△ABE
だから，

DC＝BE

14正三角形 ABC の辺 BC 上に点 D をとり，AD を 1 辺とする正三角形 ADE をつくる。CE をBCDE結ぶとき，BD＝CE であることを証明しなさい。

A△ABD と△ACE において，仮定より

AB＝AC…①E

AD＝AE…②正三角形の内角は 60°だから，B

D∠BAC＝∠DAE＝60°…③∠BAD＝∠BAC－∠DAC…④∠CAE＝∠DAE－∠DAC…⑤③，④，⑤より，∠BAD＝∠CAE…⑥①，②，⑥より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABD≡△ACE
だから，BD＝CE

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CP8 【15 三角形(中2)まとめ】

15右の図で，点 E は線分 AB 上の点であり，△AEC，△EBD はどちらも正三角形である。

BCDE

このとき AD＝CB であることを証明しなさい。また∠APC の大きさを求めなさい。
C△AED と△CEB において，P

仮定より，AE＝CE…①

D

ED＝EB…②正三角形の内角は 60°だから，AE∠AEC＝∠BED＝60°…③∠AED＝∠AEC＋∠CED…④∠CEB＝∠BED＋∠CED…⑤③，④，⑤より，∠AED＝∠CEB…⑥①，②，⑥より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△AED≡△CEB
だから，AD＝CB∠APC＝∠PAB＋∠PBA△AED≡△CEB より∠PBA＝∠EDA
よって∠APC＝∠PAB＋EDA＝∠DEB＝60°となる

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BP9 【15 三角形(中2)まとめ】

16

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

直角三角形の合同
しゃへん★斜辺…直角三角形の直角に対する辺を斜辺という。
★直角三角形の合同条件…2 つの直角三角形は，次のどちらかが成り立つとき，合同である。
① 直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい。
② 直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい。
右の図で，∠XOY 内の点 P から OX，OY にひいた垂線を PA，PB とする。このとき PA＝PB ならば∠AOP＝∠BOP であること

XAを証明しなさい。
[証明]△AOP と△BOP において，P

仮定より，∠PAO＝∠PBO＝90° …①PA＝PB…②共通だから，OP＝OP…③O

Y

B①②③より直角三角形の斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい，よって△AOP≡△BOP
合同な図形の対応する角は等しいから，∠AOP＝∠BOP
17ABCDE

右の図で，△ABC は BC を底辺とする二等辺三角形である。AB⊥CD，AC⊥BE ならばAE＝AD であることを証明しなさい。

A△ABE と△ACD において，D

仮定より，∠AEB＝∠ADC＝90°…①E△ABC は二等辺三角形より，2 つの辺は等しいから，AB＝AC…②B共通だから，∠BAE＝∠CAD…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいから，AE＝AD
AE＝AD を証明するので△ABE と△ACD を使う

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CP10 【15 三角形(中2)まとめ】

18右の図の直角三角形 ABC において∠A の二等分線と BC との交点を D とし，D から AB にBCDEひいた垂線を DE とします。このとき，ED＝CD であることを証明しなさい。

△AED と△ACD において，

AE

仮定より，
∠AED＝∠ACD＝90° …①B∠A の二等分線より，∠EAD＝∠CAD

D…②C共通だから，AD＝AD …③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，△AED≡△ACD
合同な図形の対応する辺は等しいから，ED＝CD
19

右の図のように，AB＝AC，∠A＝90°の直角二等辺三角形 ABC のBCDE

頂点 A を通る直線 ℓ に B，C から垂線 BD，CE をひくとき，
DE＝DB＋EC であることを，次のように証明した。

AB＝D△CAECA

B

＝90°

…①…②∠BAD∠ABD＝90°－＝①②③より，2 つの直角三角形で，よって，

Cにおいて

∠CEA

仮定より，∠ADB＝Aにあてはまるものを答えなさい。

△ABD とE ℓ△ABD≡

したがって，DB＝EA∠CAE…③斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい

△CAE，

EC＝DA

だから，DE＝DB＋EC

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P11 【15 三角形(中2)まとめ】

20BCDE

右の図で，△ABC は正三角形，△ADE は∠DAE が直角で AD=AE のA
直角二等辺三角形である。∠BAD=15°であるとき，次の問いに答えなさい。

15°① ∠ADB の大きさを求めなさい。

EF∠ADB＋60°＋15°＝180°∠ADB＝105°
②105°

B

DC

AC と DE との交点を F としたときの∠CFE の大きさを求めなさい。
△ADE は直角二等辺三角形だから，∠DAE＝90°，∠ADF＝(180°－90°)÷2＝45°∠DAF＝60°－15°＝45°90°∠DFA＝180°－45°－45°＝90°＝∠CFE③ △ADF と合同な三角形を答えなさい。

△AEF
21

右の図のように，点 O を中心とする円と OA＝OB となる△OAB がある。

BCDE

△OAD≡△OBC であることを証明しなさい。
O△OAD と△OBC において，CD

仮定より，OA＝OB …①
円 O の半径だから，OC＝OD…②共通だから，∠AOD＝∠BOC …③A①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△OAD≡△OBC

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BP12 【15 三角形(中2)まとめ】

22BCDE

右の図のような二等辺三角形 ABC と ADE があり、頂点 C，E と頂点 B，D をEそれぞれ結ぶ。次の問いに答えなさい。
①AD//BC のとき，∠ADB を求めなさい。

44°A

D

44°

二等辺三角形 ABC で，∠ABC＝(180°－44°)÷2＝68°
錯角だから，22°∠ADB＝∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝68°－22°＝46°46°②B

C

BD＝CE であることを証明しなさい。

△ABD と△ACE において，仮定より，AB＝AC …①AD＝AE …②∠BAD＝44°＋∠CAD…③∠CAE＝44°＋∠CAD…④③④より，∠BAD＝∠CAE …⑤①②⑤より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABD≡△ACE23BCDE

よって，BD＝CE右の図のように，正方形 ABCD の頂点 B を通り，辺 AD と交わる直線ℓ に，A,C から垂線をひき，ℓ との交点をそれぞれ E,F とする。

△ABE≡△BCF を証明しなさい。

ℓAa xDE△ABE と△BCF において，FF仮定より，AB＝BC …①∠AEB＝∠BFC＝90°…②bB

cd62°
C

∠ABE＝90°－∠CBF＝∠BCF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，△ABE≡△BCF

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P13 【15 三角形(中2)まとめ】

24CDE

右の図のように，直角二等辺三角形 ABC，ADE があり，頂点 C,D，E

頂点 C,E をそれぞれ結ぶ。△ABD≡△ACE であることを証明しなさい。

△ABD と△ACE において，仮定より，AB＝AC…①

AD＝AE…②∠BAD＝90°＋∠CAD…③∠CAE＝90°＋∠CAD…④A

B

C③④より，∠BAD＝∠CAE…⑤①②⑤より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABD≡△ACE

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D