Cramer-Lundberg の破産モデルについて
2001MT034 池江 貞治
指導教員

2001MT096 立川 康介

尾崎 俊治
険会社は一社では機能しない大数の法則を広く再保険に出再することで補おうとする．損害保険業はロンドンに

1 はじめにあるロイズを元締めとして，大数の法則を維持しようと確率モデルを利用した分析は，待ち行列理論，信頼性努めている．しかし，科学の進歩により人類の活動領域理論，金融工学などさまざな分野で重要な役割を果たしが飛躍的に拡大し，かつては想像もできなかった巨大事ている．今回は最も基本的なリスク評価モデルとして知故が頻発するようになったため，ロイズの収益は常に不られる Cramer-Lundberg モデルを取り上げ，そこでの安定である．よって今回は損害保険会社を対象にした破破産確率が待ち行列モデルの待ち時間分布として評価で産モデルについて研究を行う．以下保険会社とは損害保きることを説明する．

険会社を指す．

2 保険会社におけるリスク

3 Cramer-Lundberg モデル

2.1 保険会社

3.1 準備金 Rn の式の定義

保険会社は被保険者が将来起こるかもしれない危険に

ここではある保険会社の準備金 Rn の時間的変化を表

対し，予測される事故又は，病気，死亡等の発生の確率

す次のようなモデルを考える．初期時点での準備金を xに見合った一定の保険料を加入者から徴収し，万一の事，単位時間当たり保険料を a，初期時点以降の支払い請求故等が発生した場合，被保険者が被る費用を支払う．こ発生間隔を D1 ，D2 ，…，k 番目の支払い請求額を Xk とこで保険会社の破産となる要因として，事故等の発生率，すると，被保険者から請求される請求額，被保険者から徴収する

Rn = x + a

保険料があげられる．これらの要因は保険の対象によっnX

Di −i=1て大きく異なる．つまり保険の対象が病気又は死亡等のnX

Xii=1と表せる．

場合 (生命保険)，事故等の場合 (損害保険) に分かれる．

3.2 Cramer-Lundberg の破産モデル
2.2 生命保険会社

図 1 は，準備金の時間的変化を図示したものである．
このことからわかるように，請求額がその時点での準備生命保険の場合は支払金額が一定額に定められており，金を上回ると支払いができなくなるため，モデル上はこかつ人口が多いので死亡率は安定し，大数の法則が容易れを保険会社の破産と定める．破産時における準備金のにはたらく．生命保険料の計算には，一国の国民全体を時間的変化を以下の図 2 に示す．

対象とした国民表と生命保険会社の統計をベースとしたreserve

経験表に大別される．現在，日本の生命保険会社は経験表である生保標準死亡表を基本データとして使用している．そして，これらの生命表をもとに保険料が算出され

X1x

X2る．このように生命保険では，死亡率が安定しているた

X3

め破産はその他の外的要因によるもので考えられる．
D1

2.3 損害保険会社

D2D3

図 1 準備金の時間的変化 (1)

一方損害保険の場合はそうはいかず，9.11 同時多発テロのような大事件はとうてい大数の法則の枠に収まらない．支払い金額においても損害保険の場合は定額ではな
く，常に実際に発生した損害額である．そこで，損害保1timereserve

始し，待っている客がいる場合は後ろに並んでサービスが終るのを待つものとする．ここで，n 番目の客の待ち時
X1x

間 Wn を漸化式で表すと，

X2
X3

D1D2D3

Wn = max {0，Wn−1 + (Sn−1 − Tn−1 )}time(2)となる．これを再帰的に解くと，(

図 2 準備金の時間的変化 (2)Wn = max 0，max(n−1X1≤k≤n−1))(Si − Ti )

(3)

i=k

単位時間当たりの準備金の平均的な動きは，上向きが得られる．待ち行列モデルでは，平均的な意味でのに a，下向きに E(Xk )/E(Dk ) である．そのため a ≤処理能力が到着するサービス要求量を上回っていればE(Xk )/E(Dk ) の場合は，いつかは必ず破産してしまう．一方，a > E(Xk )/E(Dk ) の場合は平均的には準備金安定的に稼働することが知られている．このモデルではは増加にあるものの，大きな請求額が発生して倒産す布が存在する．具体的には，定常状態で待ち時間が x をる可能性も残されている．したがって，以下では，a >E(Xk )/E(Dk ) の場合を考えることにする．まだ破産していない場合，k 回目の請求発生直前の準備金よりも k 回超える裾確率 W̄ (x) は，，E(Tk ) > E(Sk ) が満たされていれば，待ち時間の定常分

ÃW̄ (x) = P max
k≥1目請求額が大きければ破産することになる．ここで破産の時期は Rn ≤ 0，n ∈ N の条件で τd (x) = ∞ のとき( kX)(Si − Ti )!
>x(4)i=1と表せる．

，τd (x) はランダムに変化する．ここで，

ψ(x) = P({R1 < 0} ∪ {R2 < 0} ∪ ．．．) = P(τd (x) < ∞)4.1 Cramer-Lunderg モデルと待ち行列モデルとすれば，この場合，無限破産確率である．また ψ(x) はここで，第三章の Cramer-Lunderg モデルと対応させ様々な u によって成り立つ時，破産関数である．一方

ると図 3 と図 4 である．Cramer-Lunderg モデルでは上，ψ(x; n) = P(τd (x) ≤ n) の破産は n 回目の支払い請求向きに a 増加し，ある請求発生時点 Dk では準備金 x がより後ではないという有限破産確率になる．このようにできる．しかし多くのケースでは ψ(x; n) の有限破産確Xk だけ減少する．一方，待ち行列モデルでは，システムの処理能力によって待ち時間 W が減少し，ある客の到着時点 Tk でシステム内での待ち時間がサービス時間 Sk だ

率で破産モデルを表すのは困難なため，数学的に容易なけ増加する．

破産確率は有限範囲，無限範囲の二通りで考えることが無限破産確率で表すことにする．ψ(x) への近似は全般的reserveなリスクモデルにもしばしば用いられるが，今回は無限破産確率を用いる．したがって，初期の準備金が x の場

( k)!
XB̄(x) = P max(Xi − aDi ) > x

X1x

合，いつかは破産してしまう確率は，

X2
X3

Ã

k≥1

(1)

D1

D2

D3timei=1

図 3 準備金の時間的変化 (1)と表せる．式 (1) の破産確率を求めることがリスクモデルとしての目的であるが，これは待ち行列モデルの待ち時間分布として求めることができる．

waiting time

4 待ち行列モデルとの関連性

S1

S4

S2
S3

次のような単一窓口の GI/GI/1 待ち行列モデルについて考える．空の待ち行列に 1 番目の客が到着する．そT1

れ以降の客の到着間隔を順に T1 ，T2 ，…とし，最初の客T2

図4も含めて k 番目に到着した客のサービス時間を Sk をする．到着した客は，先客がいなければすぐにサービスを開2

T3

待ち時間の推移time

waiting time

式 (1) と式 (4) から破産確率における Xk ，aDk と待ち時間分布における Sk ，Tk がそれぞれ対応することが分か

F4

F3

F2
F1=S1

る．

S4
S2

表 1：破産確率と待ち時間モデルの双対性

破産確率B̄(x)

T1

←→

SkaDk

←→

Tk

T2

図5

待ち時間分布 W̄ (x)Xk

S3

T3time

待ち時間の推移とすると Fn はシステム内での滞在時間時間である．

4.2 破産確率の算出

Cramer-Lundberg モデルの Rn を Fn に対応させると，実際に B̄(x) について求めてみる．待ち時間分布の関Rn = x + a連性から待ち行列モデルにおいて到着時間間隔 Tk とnX

Di −nXXi

サービス時間 Sk がともに指数分布に従う M/M/1 モデ

i=2ルについて考える．請求発生率が λ，パラメータ aµ とすである．また Cramer-Lundberg モデルの Rn を Fn をると，対応させたのが図 6 である．

λ −(aµ−λ)xB̄(x) =eaµ(5)i=1reserveとなる．この式から以下の表 2 のような破産確率を算出xした．

x1

表 2：破産確率 B̄(x)

R3

R1

D1

x4

x3

x2
R2

R4

D2

D3time

D4

初期準備金

破産確率

請求発生率

破産確率

保険料

破産確率

2000

0.05899231

10 ％0.00083465

14 ％

0.222623524000

0.00402000

11 ％0.00347981

15 ％

0.05899231

6000

0.00027394

12 ％0.01437089

16 ％

0.01933387

Cramer-Lundberg モデルを待ち行列モデルに対応さ

8000

0.00001867

13 ％0.05899231

17 ％0.00694625

せたため，一番目の請求間隔 D1 = 0 である. 次に，Fn

10000

0.00000127

14 ％

0.23966470

18 ％0.00279287

が x を超える破産確率を算出する．

図6

準備金の時間的変化

5.2 破産確率の算出

5 待ち行列モデルとの関連性 2

到着率を λ，パラメータ aµ の指数分布に従うとき破5.1 準備金 Rn とシステム内での滞在時間 Fn

産確率 C̄(x) は，との関連性

C̄(x) = e−(aµ−λ)x

第 4 章では待ち行列モデルを，Cramer-Lundberg モデ(6)ルに対応させることによって待ち行列における待ち時間となる．この式から次の表 3 のような破産確率を算出しの累積が x を超える確率を求めることによって破産確率た．

を求めた．ここでは，Cramer-Lundberg モデルを待ち行

表 3：破産確率 C̄(x)列モデルに対応させることによる待ち行列モデルの破産時の地点に着目する．図 5 を見てみると k 番目のサービスが到着し，そのサービス時間が x を超えると破産となる．つまりシステム内での滞在時間が x を超えると破産となる．ここで，Fn ＝ Wn + Sn

3

初期準備金

破産確率

請求発生率

破産確率

保険料

破産確率

2000

0.06814455

10 ％0.00125341

14 ％

0.23930598

4000

0.00046438

11 ％0.00475044

15 ％

0.06814455

6000

0.00031644

12 ％0.0179841416 ％0.02379509

8000

0.00002156

13 ％0.06814455

17 ％

0.00908269

10000

0.00000147

14 ％0.25840602

18 ％0.00386698

ジン比率を算出する際の分母にあたるリスク額とは，保6 ソルベンシー・マージン

険会社の保有するリスク額の全額であるが，Cramer-

6.1 ソルベンシー・マージン比率

平均のシステムで滞在する時間を，分子にあたる支払い

Lundberg モデルでのリスクは一回の請求額であるため，余力は準備金を対応させる．よって C-L ソルベンシー・

保険会社の「支払余力」を意味するソルベンシー・マー

マージン比率は，

ジン比率という保険会社の経営の健全性を表す代表的なC − L ソルベンシー・マージン比率
準備金= 平均のシステムで滞在する時間
÷2 × 100(%)
x= 1 ÷2 × 100(%)

指標がある．ソルベンシー・マージンとは「支払余力」を意味し，万が一の場合，つまり，通常予想外の危険が発生した場合には「保険金の支払いに回せる財源」のことµ(1−ρ)となる．

である．ソルベンシー・マージン比率とは保険会社が抱える様々な危険，つまり一般保険リスク，巨大損害リス

7 おわりにク，予定利率リスク，資産運用リスク，経営管理リスクなどを金額化し，それに対してソルベンシー・マージン

今回の研究では保険会社の初期準備金，請求発生率，の総額が，どのくらいの比率になるかを示す数字のこと

保険料の要因による破産確率を待ち行列モデルの待ち時をさす．ソルベンシー・マージン比率の求め方は以下の間分布を利用し求めた．まず，待ち行列モデルの待ち時ようになる．
ソルベンシー・マージン比率 =間の累積を Cramer-Lundberg モデルの保険料と支払請求額との差の累積に対応させて求める方法，二つ目は，

ソルベンシー・マージン×100(%)
各種リスク額の合計÷2

Cramer-Lundberg モデルの k 番目の準備金に k + 1 番目の保険料と支払請求額の差額を加えたものを，待ち行

その保険会社の保有するリスク額の二分の一を分母，列モデルのシステム内で滞在する時間に対応させ，破産支払余力 (ソルベンシー・マージン) 総額を分子とする．

地点に着目した方法である．また，ソルベンシー・マー

ここで各種のリスク額の合計を二分の一にするのは，リジン比率を利用して (C-L ソルベンシー・マージン比率)

スクが同時に起きることはまずないという前提があるたを示すことができた．今後の課題としては支払請求間隔めである．よって 200% なら，リスク額と支払余力額がと支払請求額はともに指数分布に従うものとして算出し釣り合っていることになる．この値が 200% 以上なら，たが，その他の分布の違いによる破産確率を算出できれ支払余力がリスク額より大きいので，一般的には「経営ばよかった．しかし，今回の研究をきっかけに保険につの健全性の一応の目安になる」と言われている．

いての知識はもちろんのこと，保険を扱う保険会社を選ぶことも同時に学べたのではないかと思う．

• 両方が釣り合うと 200%
• 支払余力額の方が大きいと 200% 超参考文献• リスク額の方が大きいと 200% 未満[1] 牧本直樹， 「リスク評価と待ち行列モデル」，オペ
通常予想外のリスクに対してソルベンシー・マージンがレーションズリサーチ，2004 年 7 月号，pp.418-422．

充てられるのに対して，通常予想内のリスクおいては責任準備金というかたちであらかじめ積み立ててある．

[2] P．Embrechts，C．Kluppelberg
andT．
Mikosch，”Modelling Extremal Events”，

6.2 C-L ソルベンシー・マージン比率pp.22-57， Springer， New York， 2003．
[3] T．Rolski， H．Schmidli， V．Schmidt and J．

ソルベンシー・マージン比率の算出方法を Cramer-Teugels ”Stochastic Processes for Insurance andLundberg モデルに適応させることにする．CramerLundberg モデルでの初期準備金が保険会社での責任準Finance”，pp.147-204， Wiley， New York，1999．
[4] 尾崎俊治， 「確率モデル入門」，朝倉書店，1996．

備金にあたる．つまり Cramer-Lundberg モデルに適応[5] 出口治明， 「生命保険入門」，岩波書店，2004.

させたソルベンシー・マージン比率と通常のソルベンシー・マージン比率と異なる点は，通常予想できる範囲におけるソルベンシー・マージン比率 (以下 C-L ソルベンシー・マージン比率) である．またソルベンシー・マー

4