山梨大学教職大学院

令和５年度

教育実践研究報告書

数学的に説明する力を育てる研究

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 佐藤亮太

1. 研究の動機・目的を行い、その有効性を検証することと設定する。

数学的に説明することは、証明の問題だけでなく、どの領域においても必要な能力である。

2. 研究の方法

また、自分の考えを説明することで、自分の理本研究の目的を達成するために、以下の方法

解を深めることができる。しかし、筆者の中学で研究を進めた。

時代、自分の考えを相手に伝えたり文章に表し①説明する活動に焦点を当てた先行研究につたりして説明することが苦手であった。
平成 25 年度中学校指導要領実施状況調査のいて調査・分析する。
②先行研究から得られた示唆をもとに、教材研中で、「数学の授業で、自分の考えを説明し伝え究をし、生徒の数学的に説明する力を育てる授合う授業はありますか」という問に対し、業を実践する。

56.7％の生徒が「そうしていない・どちらかと③実践した授業のプロトコルや生徒のワーク言えばそうしていない」と回答した。このこと

シートを分析・考察することを通して、研究のから、説明する活動を取り入れた授業を、教師成果と課題をまとめ、本研究の結論を述べる。

が行っていない事も問題であることが考えられる。また、国立教育政策研究所は、令和４年

3. 研究の内容

度全国学力学習状況調査の記述式の説明する

3.1 先行研究の分析

問題を３つに分類した。

中学校数学における説明する活動に焦点を①見いだした事柄や事実を説明する問題（事当てた先行研究について、調査・分析すること柄・事実の説明）②事柄を調べる方法や手順を説明する問題（方で、生徒の説明する力を育てるための手立てについての示唆を得る。
ここでは、荒井ら（2018）

法・手順の説明）の「中学校数学における説明する能力の向上に③事柄が成り立つ理由を説明する問題（理由の関する研究―星形五角形の授業実践を通して説明）―」を挙げる。

筆者は、昨年度の研究において、生徒がデー

この先行研究は、「生徒を根拠に注目させるタの傾向を読み取り、１次関数と見なして問題ために 『不十分な説明をわかりやすい説明にを解決する際の説明について考察をした。これする』ことを取り入れた授業実践について述べ、は、上記の②方法・手順の説明に該当する。しその授業において、生徒が説明を改善していく

かし、令和４年度全国学力学習状況調査の大問様子を分析する。そして、説明する能力の向上

９（２）は正答率が 13.3％と低く、③理由の説に対する示唆を述べる」ことを目的としている。

明（証明）に課題があると考えられる。そのた（１）授業実践についてめ、本年度は、③理由の説明に焦点を当てて研究を進めていきたい。

対象は公立中学校第２学年である。授業の目
標は、「既習の知識を用いて、星形五角形の先端

したがって、研究の目的は、生徒の数学的ににできる５つの角の和の求め方を説明するこ理由を説明する力を育てるために、生徒が自らとができる」であった。次に、授業実践の概要の説明を修正する活動を取り入れた授業実践

は以下のようであった。

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教育実践研究報告書①星形五角形という図形の名前を確認し、星形説明を書こうとする態度を育てることができ五角形の角の大きさを求める問題を２問解いると考える。

た。全体で答えを共有した後、星形五角形の先②は説明を修正する活動を行うことである。

端の５つの角の和は 180°になりそうである

これにより、問題のどの図形において、何の既ことを予想した。

習知識を根拠として用いたのか明確にするよ②図１を示し、グループで話し合いながら、そうになる。それだけでなく、分かりづらい説明れを分かりやすい説明に改善した。

を修正することで、分かりやすい説明に必要な要素について気づき、後の証明の学習へとつなげることができると考える。
3.3 授業実践の観点
ここでは、先行研究から得られた示唆を取り入れ、星形五角形の先端の角の和が 180°になる説明を考える授業実践の特徴について述べ

図１ 根拠が不十分な式だけの考える。

③グループの説明を黒板へ提示し、１人の生徒（１）課題の提示が口頭で説明して考え方を共有した。

本実践の目標は、「星形五角形の先端の角の④分かりやすい説明にするために、図１の式だ和が 180°になることを説明しよう」である。

けの考えに何を加えたのかを考えて、まとめた。

この課題を提示する際、生徒に星形五角形の先（２）荒井らの考察

端の角の和が 180°であるという見通しを持荒井らは、式だけで書かれている説明をよりたせる必要がある。そこで、GeoGebra を用い分かりやすくするために、式の意味を考え、何て星形五角形を提示する。これにより、星形五を根拠にしているかを検討する場面を考察し角形の先端の角度を表記して足し合わせるこた。その結果、説明の対象となる図と式を既習とで 180°になることを示したり、頂点を動かの知識とどう結びつけるかが話し合われていしても先端の角の和が 180°になることに気ることが分かった。既習の知識を想起するだけづかせたりすることができる。

でなく、それが今問題になっている図や式にどう対応するかをつかむことが、その知識を根拠（２）自力解決
荒井らの授業実践においては、教師が式だけと認める上で重要であると述べている。の考えを提示し、生徒はその説明について話し合うという授業であった。そのため、生徒の自3.2 先行研究から得られた示唆力解決の時間はなかった。しかし、自力解決の荒井らの先行研究より、生徒の説明する力を時間をとることで、生徒の学習に取り組む意欲向上させるために、次の２つの点を取り入れたや思考の流れを止めずに授業を進めることが授業を行う必要があると考える。

できると考えた。また、星形五角形は生徒から①式だけの考えを先に提示する

すると複雑な図形であるため、色々な考えを思②説明を修正する活動を行う

い付く生徒もいれば、手が止まってしまう生徒①は式だけの考えを先に提示することであがいると考えられる。そこで机間巡視をし、手る。式だけの考えを提示することで、どの図形が止まっている生徒には、前時までに学習したに着目しているのか、何の既習知識を使った考えなのかを生徒が思考するようになり、根拠に矢じり型を星形五角形の中から見つけさせる。
（３）全体検討

注目させることができる。また、分かりづらい

あらかじめ、自力解決の時間中に机間巡視を説明に触れることで、自分はより分かりやすい行い、発表させる生徒を決めておく。その後、－ 356 －

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その生徒に式または図だけを発表させ、その考せることで、自分の説明を振り返り、えについて他の生徒に説明をさせる。これによ分かりやすく説明できるようにする。

り、不十分な式または図だけの説明から、根拠

4.2 授業実践の実際となる既習知識は何なのか、説明に不足してい授業を行った３クラスのうち、１クラスの第るものは何かを考えさせることができると考1 時、第 2 時について、授業実践の実際を具体える。また、発表する生徒の発言の中で、根拠的に述べていく。となる既習知識や分かりやすく説明するため（１）１時間目の工夫などを積極的に認めておく。そうして、①星形五角形を提示

次の活動の「分かりやすい説明に必要なこと」

あらかじめ星形五角形を作図しておいたを生徒が気づけるようにしておく。

GeoGebra ファイルを教室のスクリーンに提示（４）わかりやすい説明に必要な要素した（図２の右側）。次に、この図形の名前につ全体検討後に、分かりやすい説明に必要な要いて確認した。生徒は、形に関しては即座に「星素について生徒に考えさせ、発表させる。根拠形」と解答することができた。しかし、何角形を明確にしたり、角に文字を置いたりすることかを問うと、「五角形のなんか無くなったやで説明が分かりやすくなり、根拠の必要性に気つ？」や「５と３と５」と発言をし、少し混乱づかせることができる。また、ここでの気づきしている様子であった。そのため、GeoGebraを後の証明の学習へとつなげていく。本実践に上で、五角形と星形五角形を作図して見せた。

おける分かりやすい説明の対象は、自身ではな――――――――――――――――――――

く説明を聞く相手とする。

T４：みんながさ、知ってる五角形で書きます（５）自分の説明を直すね。みんなが知ってる五角形っていうの他の人の説明を聞いたり、説明に必要な要素

はさ、５つの点があったら、まず A かについて考えたりした後、生徒に自分の説明をら始まって、B、こうやって順番に点を見直し修正する時間を取る。自分の考え・説明取っていくと、みんなが知ってる五角形を振り返り、不足している部分を補うことを通になりますね。で、これを 1 個ずつじして、図や式に既習の知識とどう結びつけるかゃなくて、例えば A から始まったら Bを考えさせることができる。これにより、自分じゃなくて C っていうように、こう 1の理解を深めることができると考える。

個飛ばしで点を結んでいくと。
S４：おぉ。

4. 授業の実践

T５：こんな感じで星形五角形になります。

4.1 授業実践の概要（どこで誰に、ねらい等）
本研究では、中学校第２学年の平行と合同の単元において全２時間の授業実践を行った。授業実践の概要は以下の通りである。
日付：令和５年 11 月 15・17・18 日
対象：山梨県内の公立中学校第２学年３クラス
第１時…星形五角形の先端の角の和が 180°図２ GeoGebra での星形の作図になることの説明を、既習の知識をも図２の左側の五角形 ABCDE を作図した後、とにして考えることができる。

５つの点を点 A→点 C→点 E→点 B→点 D→点第２時…星形五角形の先端の角の和が 180°になることを分かりやすく説明する

A の順に一つ飛ばしで結ぶことで星形五角形ために必要な要素について気づかせとなることを説明した。
②問題、目標を把握る。それをもとに自分の説明を修正さ－ 357 －星形五角形の先端の角に注目させ、５つの先山梨大学教職大学院

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端の角の和について予想させた。生徒は、教育実践研究報告書

T21：お、矢じり型。矢じり型の性質何かあり「360°、180°、540°」と予想した。その後、ましたよね。覚えてますか。

GeoGebra 上で星形五角形の先端の角度を表示

S19：内角の和は外角になる。

し、先端の角の和が 180°になることを計算し

T22：そうだね。今、言ってくれたんだけど、て示した。そして、星形五角形の頂点を自由にこの角全部足すとどこになるんだっけ。

動かし、様々な形に変形する星形五角形の一般

S20：その股になっているところ。
（弧を板書）の姿を観察した（図３）。生徒たちは、形を変えT23：そうね。こうやって、この赤いところのても先端の角の和が常に 180°になるのでは先端の角、∠a、∠b、∠c を足すと、このないかと予想し、その理由を追求し始めた。

青いところになる。これ、前回やった矢じり型の性質にありましたよね。ここからどうしたらいいですかね。
S21：例えば、対頂角。
T24：対頂角。ちょっとヒントですね。ここから対頂角を使えばできそうだな。ここまできたら、分かりそうじゃないですか。

図３ 先端の角の和を示した図

じゃあここで一旦皆さん、また自分で考その後、目標を提示した。

えてみてください。

星形五角形の先端の角の和が 180°にな――――――――――――――――――――ることを説明しよう。
③既習知識の確認
前時までに学習した平行と合同の単元の内容で、説明の根拠となりそうな次の事柄を発表させた。
・三角形の内角の和は 180°・三角形の外角はそれと隣り合わない２つの図４ 矢じり型の考えの板書

内角の和に等しい・多角形の内角の和は 180×（n－２）
・多角形の外角の和は 360°

⑤全体検討
３名の生徒の考えを取り上げた。まず、すで・平行線の同位角、錯角は等しいに板書されている K.K 生の考えについて、他・対頂角は等しいの生徒に説明をさせた。説明の場面は、次の通④自力解決
まず、個人で説明を考える時間を 20 分間とりであった。

った。机間巡視をしている中で、手が止まってO.T 生：あのー、この矢尻型のこの∠a と∠dいる生徒が多く見られたため、５分経過したとと∠c の合計はここになるわけです。で、ころで、K.K 生を指名し、その生徒の考えを黒その対頂角ここになるんで、ま、ここは板の図にかかせた（図４）。その後、次のようにa＋c＋d になる。で、ここで三角形がで発問した。

きるので、 その三角形の内角の和は 180――――――――――――――――――――

なんで、この全部の数を足したものはT20：今ちょっと、K.K 生にこんな風に赤ペン

180 です。
T28：はい、ありがとうございます。皆さんわで囲ってもらいました。この形、何か見――――――――――――――――――――

かりましたか。O.T 生さん、説明の中で覚えないですか。
S18：矢じり型。

ここって言ってたんだけど、こういう時－ 358 －山梨大学教職大学院

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K.K 生：考えながら説明します。どこからいどうしたらいいと思いますか。
S25：名前を付ける

こうかな。これがここにきます。

T29：お、じゃあ、ここどうしますか。

T42：なんでそこにいくんですか？

S26：f（f を教師が板書）

K.K 生：錯角。錯角が等しいから。えーじゃ――――――――――――――――――――

あこれが違うわ。合ってる。合ってる

また、説明の中で用いた性質を書いた用紙を、か。これがここにきます。そうするその図形の近くに掲示した。続いて、O.T 生にと、ここに行きます。e が∠b の上半自分の考えの図のみを板書させ（図５）、他の生分のとこに。
S.A 生：名前を付けなさいよ。

徒に説明させた。

K.K 生：はい、じゃあここ e'。でこの e’がここにも来ます。はい、で、ここも辿ってみると c なんですよ。これ c’。
で、これ d’。で最後のここ、これはf。一直線上にあるので 180°。
――――――――――――――――――――
図５ O.T 生の考えの板書――――――――――――――――――――
S.A 生：えー、三角形の外角は、それと隣り合わない２つの内角の和に等しいという性質を使って、この三角形の、ここは∠b と∠d を足した大きさで（∠b＋∠d を板書）
、図６ A.K 生の考えの板書

ここの三角形のここの外角は∠a と∠cを足した大きさなので（∠a と∠c を板（２）２時間目

書）、そしたら、ここ、ここに三角形がで①前時の復習

きて、ここの三角形の、 あー、内角を全前時で取り上げた３つの考えを黒板に提示

部足すと 180°になります。
T33：はい、ありがとうございます。

し、それぞれの考えをもう一度生徒に説明させた。説明を聞く生徒には、どんな説明をしていK.K 生：f と g 書いといた方がいいんじゃない。

るのかに注意をさせて聞くように促した。

そしたら文章ですらすら書けると思う。

②分かりやすい説明に必要なポイント

T34：お、今、塩島さんは∠b＋∠d って書いて前回と本時を通して、説明に必要なポイントくれたんだけど。

について生徒に考えさせた。まず、個人で５分K.K 生：そこ f でいいんだよ。

間考えさせてから、発表をさせた。実際に出たT35：分かりました。変えますね（f を板書）。

意見は次の通りである。

ここが∠f でいい？こっちが？

ⅰ.式や図を用いて説明すること

KK 生：g。
（g を板書）ⅱ.どの性質を使ったのかはっきりさせる――――――――――――――――――――

ⅲ.棒や指で説明している箇所を指す同様にして、A.K 生に自分の考えの補助線のⅳ.赤色などで色を使って分ける

み板書させた（図６）。全体で補助線が星形五角形のどの辺と平行なのかを確認した後、他の生ⅴ.∠f など説明がしやすいように角に名前徒に説明をさせた。

③自分の説明を修正をつけて分かりやすく伝える――――――――――――――――――――②の説明に必要なポイントを参考にして、自－ 359 －山梨大学教職大学院

令和５年度分の説明を修正する活動を行った。その際、生教育実践研究報告書変わってますか。

徒の修正する前後を見取ることができるよう

S9：変わってない。に、消しゴムで消すのではなく、色ペンで付け（２）文字を使わない生徒の説明足したり２本線で訂正したりするよう指示を生徒のワークシートを分析していると、多く出した。修正する時間は８分間とった。の生徒は文字を使って説明を考えていた。しか④グループワーク

し、U.A 生は、図７のような説明を記述してい３、４人のグループを作らせ、自分の修正後の説明を発表させた。まず、自分の修正後の説た。説明については、文字が小さく見づらいため書き起こした。

明を発表してから、どこを修正したのかを伝え

多角形の外角の和は 360°る。その後、分かりやすかった部分についてグ五角形の 1 つの外角は 72°

ループで話し合うように指示した。

180° − (72° + 72°)をして 36°⑤まとめ、学習感想360° × 5 = 180°

生徒に授業について振り返らせながら次のようにまとめをした。

図７ U.A 生の考え使った性質を示したり、図を用いたりしこの考えは、星形正五角形と考え、内側の正て、星形五角形の先端の角の和が 180°にな五角形の１つの外角を求める。そして、外側のることを説明できた。

一つの三角形の底角が、正五角形の外角になる

生徒に学習感想を書かせ、授業を終了した。

ため、三角形の内角の和を用いて先端の角度が分かり、先端の角度が 180°であるという説明

4.3 授業実践の分析・考察である。生徒がこのような誤答をしないために、筆者が行った授業実践について、分析・考察

自力解決をする前に、先端の角に文字を置いてを行っていく。

説明するということを全体で確認したり、ワー（１）課題の提示

クシートの図形を星形正五角形と見られない導入部分で、GeoGebra を用いて星形五角形ように崩した図形にしたりする必要があったの作図の過程を示しながら説明をした。これにと考える。

より、多くの生徒が星形五角形という名前につ（３）自力解決中の手立て

まずくことなく、授業を進めることができたと

自力解決の序盤では、多くの生徒の手が止ま考える。また、GeoGebra 上で、星形五角形のっていた。そのため、途中で矢じり型を使った先端の角度を表示し、頂点を動かした。これに考えの生徒に図のみを板書させた。これにより、より、どんな形の星形五角形でも先端の角の和多くの生徒が手を動かすようになった。以下のが 180°である見通しを持たせることができた。以下の場面から読み取ることができる。

K.S 生の学習感想からも、手立ての有効性を読（GeoGebra で先端の角度を表示）

・最初は求め方が分からなくて、手が止まっ

T8：（中略）じゃあ、今、この形の星形だと 180°ていたけれど矢じり形を見つけたときは、になりました。例えば、この点 a をちょっかんたんに求めることができて楽しかっと動かしたり、 少し違う形にしたら、こたです。もっといろんな図形を求めたいなと思いました（K.S 生）

み取ることができる。の 180°変わると思いますか。
S8：変わらない。
T9：お、変わらない。じゃあ、この 180 のとこ（４）説明に必要なポイントについて１時間目の全体検討で、O.T 生の説明についろに注目をして、今から僕が点 a を動かして、筆者が「ここ」という言葉に言及して、全てみたいと思います。じゃん。こうやって体に問うた。これにより、次に S.A 生が発表しa とか c とか d 変わってますね。
どうです。

た際にも、K.K 生が文字で置いた方がいいとい－ 360 －山梨大学教職大学院

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教育実践研究報告書うような発言をした。また、生徒が発表をして次に、
図 9 の O.M 生の考えについてである。

いる際に、根拠となる性質を書いた紙を掲示し説明の修正前においては、I.M 生と同様に式のた。これらのことによって、説明に必要なポイみであった。これだけでは、どのような考えなントに「ⅱ.どの性質を使ったのかはっきりさのかが分からない。しかし、修正後の説明では、せる」や「ⅴ.∠f など説明がしやすいように角根拠を明確にし、どの図形に着目しているのかに名前をつけて分かりやすく伝える」が挙げらを図に書き込んでいることが分かる。これによれ、生徒に意識付けることができたと考える。

り、生徒は自分の考えを見直し、ワークシート（５）生徒が修正した説明を見ただけでも分かりやい説明となったこと

生徒が修正した説明について分析していく。

が分かる。

まず、全体検討で O.T 生が説明した考えと同じ考えの I.M 生の説明（図 8）である。この生徒は、自力解決においては、式のみしか書かれていない状態だった。しかし、修正後は、∠F や∠G と文字を置いたり三角形の内角の和が180°であることを明確にしたりして説明している。このことから、全体検討で不十分な生徒の説明（図のみの考え）を他の生徒が説明する
図 9 O.M 生の説明

ことで修正の手本を生徒に見せ、その後に自分の考えを修正する時間を設けることで、生徒が自分の説明を見直し、修正していくことができ

5. 成果と課題たと考える。

5.1 成果について授業実践の成果について述べる。得られた成果は以下の２点である。
①説明に必要な要素を生徒に気づかせることができた。
②生徒が自分の説明を分かりやすく修正することができた。
①について、１時間目の全体検討において、

図 8 I.M 生の説明不十分な説明（図のみ）を発表させ、他の生徒この生徒がグループワークで説明した場面に説明させたり、教師がどうしたらもっと分かからも、自分の中で理解をし、相手に分かりやりやすくなるかを考えさせたりした。これによすく、簡潔に説明できていることが分かる。

り、生徒に分かりやすい説明に必要な要素を気I.M 生： K.K 生の参考にしたため、説明も、づかせることができたと考える。また、その後最初は説明も何もなかったんですけど。
矢じり型を作って、∠f と∠g を増やしの「説明に必要なポイント」では５つ挙げられ、ます。∠g＝∠a＋∠b＋∠c なので∠f＝全体で共有することができた。以下の学習感想∠a＋∠b＋∠c になります。∠f+∠e＋からも、読み取ることができる。

∠d は三角形の内角の和になるので、三・説明に大切なことがわかった。
（H.S 生）角形の内角の和は必ず 180°になるた・やはり、図を使ったり、線を引いたりする

め、星形五角形の先端の角の和は180°

ことで、分かりやすく、伝えたいことも分になります。

かりやすく伝えられるということがわかった。
（U.Y 生）

分かりやすい説明に必要な要素を明確にして－ 361 －

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教育実践研究報告書②について、全体検討後に、分かりやすい説討後に修正する時間を設ける必要がなくなる

明に必要なポイントについて生徒に考えさせ、とともに、それを習慣づけていくことで、生徒自分の説明を修正する時間を設けた。これによが自発的に自分の説明を修正していくことがり、生徒は根拠を明確にしたり文字を置くなどできると考える。の工夫をして自分の説明を修正したり、自分の考えを深めたりすることができた（図 8、図 9）。

6. 本研究の結論

以下の学習感想からも、読み取ることができる。

本研究の目的は、「生徒の数学的に理由を説・星形五角形という求めたことのない形で明する力を育てるために、生徒が自らの説明をしたが、今まで習った性質や解き方を思い修正する活動を取り入れた授業実践を行い、そ出しながら 180°になることを求められの有効性を検証すること」であった。

た。分かりやすい説明の仕方を知り、自分説明に必要なポイントを考えさせ、生徒が自の考えを前よりも分かりやすく伝えるこ分の説明を修正する時間を設けることで、生徒とができた。
（O.K 生）が根拠を明確にしたり新しく文字を置いたりして、分かりやすい説明に修正することができ・他の人の意見を聞いて、自分の意見を深めた。しかし、説明を修正する時間を設けなけれることができました。
（O.M 生）

ば、生徒は自分の説明を修正することがないと・いままでよりも分かりやすく説明できるいう課題が明らかとなった。

ようになりました。
（K.K 生）

今後の課題として、本研究では理由の説明を
5.2 課題について
次に、授業実践の課題について述べる。得らする力の育成に焦点を当てたが、事柄・事実のれた課題は以下の２点である。

究を進めていく。

説明をする力の育成について焦点を当てて研①課題の把握を丁寧に行う必要があった。
②生徒が自分の説明を自発的に修正できてい引用・参考文献なかった。

・荒井雄貴、日野圭子（2018）「中学校数学に①について、U.A 生は星形正五角形と考えて、おける説明する能力の向上に関する研究―説明を考えていた（図７）。そのため、どんな星星形五角形の授業実践を通して―」,宇都宮

形五角形でも先端の角の和が 180°であることを説明するためには、どうしたらいいかを考

大学教育学部教育実践紀要第５号別冊 P.565～P.568

えさる。その後、先端の角に文字を置いて説明

・国立教育政策研究所（2022）「中学校学習指するということを共有しておく必要があった。

導要領実施状況調査 生徒質問紙調査結果

また、ワークシートの星形五角形の形を崩し、星形正五角形と見間違わないような工夫も必（数学）」P.8、P.12
・国立教育政策研究所（2022）『令和 4 年度全国学力・学習状況調査解説資料【中学校/数要であった。

学】
』P.8

②について、本実践では、全体検討後に自分の考えを修正する時間を設けることで、生徒が・国立教育政策研究所（2022）『令和 4 年度全

自分の説明を修正していた。しかし、修正する

国学力・学習状況調査報告書【中学校/数学】』

時間を設けなければ、生徒が自分の説明を修正P.72することはなかった。生徒の望ましい姿として、全体検討で他者の説明を聞き、自分の説明と見比べ、自発的に修正をすることである。そのため、全体検討中に他者の説明を聞き、自分の説明を修正するように指示を出すことで、全体検－ 362 －