20 因数分解(中3)まとめ1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

因数分解
いんすう

★因数…単項式や多項式が，いくつかの単項式や多項式の積の形で表されるとき，その1 つ 1 つの式を，もとの式の因数という。

展開(2x＋3)( 2x－3)

2xy では，2，x，y は因数である。

4x2－9

因数分解

いんすうぶんかい★因数分解…多項式をいくつかの因数の積の形に表すことをその多項式を因数分解するという。
きょうつういんすう★ 共 通因数…ax＋ay のように，各項に共通な因数 a をもつ多項式は，共通因数 a をax＋ay＝a(x＋y)

とり出して因数分解することができる。
次の式を因数分解しなさい。
(1) x2－6x＝x×x－x×6(2)

4ab＋2a＝2a×2b＋2a×1＝x(x－6)＝2a(2b＋1)
共通因数2ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①a2b－ac＝3ABCDE② x2y－xy2a(ab－c)＝xy(x－y)次の式を因数分解しなさい。
①9x2y＋12 xy2＝②3xy(3x＋4y)

12x2y－9xy2＋3xy＝3xy(4x－3y＋1)

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P2 【20 因数分解(中3)まとめ】

4

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

因数分解の公式を使った因数分解★公式１’ x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)
公式２’ x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2
公式３’ x2－2xy＋y2＝(x－y)2

a2－b2＝(a＋b)(a－b)

公式４’x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)を利用した因数分解★公式１’x2＋6x＋5(1)t2－6t＋8(2)x2 ＋ 6 x＋5

t2 －6 ta＋b＝6

ab＝5a＋b＝－6

積が＋5和が＋6積が＋8－1， 5○－1，－8

[解き方]

＋8
ab＝8
和が－6－1，－8－1，－5－2，－4－2，－4

x2＋6x＋5＝(x＋1)(x＋5)

t2－6t＋8＝(t－2)(t－4)[答] (x＋1)(x＋5)★公式２’，公式３’(1)○[答] (t－2)(t－4)

22x ＋2xy＋y ＝(x＋y) ，x －2xy＋y2＝(x－y)2 を利用した因数分解

9x2＋12x＋422(2)4a2－20ab＋25b2[解き方] 9x2＝(3x )2，4＝22，12x＝2×3x×2 4a2＝(2a)2, 25b2＝(5b)2, 20a＝2×2a×5b[答](3x＋2)2[答](2a－5b)2★公式４’a2－b2＝(a＋b)(a－b)を利用した因数分解

(1)

9x2－4

ABCDE

64x2－1＝(3x)2－22＝(8x)2－12＝(3x＋2)(3x－2)＝(8x＋1)( 8x－1)

[答]
5(2)

(3x＋2)(3x－2)[答](8x＋1)( 8x－1)

次の式を因数分解しなさい。
①a2－6a－16＝③② x2＋2x－15(a＋2)(a－8)

t2＋11t＋18＝＝(x－3)(x＋5)④ y2－5y－36(t＋2)(t＋9)＝(y＋4)(y－9)

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P3 【20 因数分解(中3)まとめ】

6ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①x2－2xy－3y2＝③ABCDE①③④(x＋4y)2

a2＋4ab－5b2(x－y)(x－9y)

x 2－9y 2＝(a－b)(a＋5b)② x 2＋8xy＋12y 2(x＋3y)(x－3y)

x 2－10xy－24y 2
＝

ABCDE

＝

次の式を因数分解しなさい。

＝

8(x＋y)(x－3y)

x2－10xy＋9y 2＝

7② x 2＋8xy＋16y 2＝(x＋2y)(x＋6y)④ x 2－8xy＋16y 2(x＋2y)(x－12y)＝(x－4y)2

次の式を因数分解しなさい。
①x2＋3xy－10y 2＝③(x－2y)(x＋5y)

x 2＋12xy＋36y2＝② x 2＋8xy＋7y2(x＋6y)2＝④(x＋y)(x＋7y)

9＋x2－10x＝x2－10x＋9＝(x－1)(x－9)

9x2＋7x＋a が，自然数 b，c を用いて(x＋b)(x＋c)と因数分解できるような定数 a の値をすべてCDE答えなさい。

7＝b＋c であるから，(b，c)の組み合わせは(1，6)，(2，5)，(3，4)の 3 通りである。
また，a＝b×c であるから，a の値は 6，10，12 となる。

a＝6，10，12

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P4 【20 因数分解(中3)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

いろいろな因数分解（１）次の式を因数分解しなさい。
2(1) ax ＋8ax＋15a

共通因数は a＝a(x＋3)(x＋5)(2) 24x－48－3x2❸❷共通因数を取り出す

因数分解❸かっこの中の式の因数分解を考える❶(❶，❷はしなくて良い場合もある)

次数の大きい順に並びかえる＝－3x2＋24x－48❷

共通因数は－3＝－3(x2－8x＋16)❸＝－3(x－4)2ABCDE❶次数の大きい順に並びかえる❷＝a(x2＋8x＋15)11★因数分解の解き方

因数分解

次の式を因数分解しなさい。

①8－8x＋2x2② －8＋2x2＝2(x2－4x＋4)＝2(x2－4)2(x－2)2＝12ABCDE＝次の式を因数分解しなさい。
① －x2－3x＋54② －3x2＋33x－90＝－(x2＋3x－54)＝13ABCDE＝－3(x2－11x＋30)－(x－6)(x＋9)－3(x－5)(x－6)＝次の式を因数分解しなさい。
①4ax2－16ax＋16a② 2ab2－72a＝2a(b2－36)＝4a(x2－4x＋4)＝14BCDE2(x＋2)(x－2)

4a(x－2)2＝2a(b＋6)(b－6)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

いろいろな因数分解（２）(1) (x－y)2－4(x－y)＋4(2)2ax＋a－2bx－bx－y＝A とおく＝a(2x＋1)－b(2x＋1)

A2－4A＋42x＋1＝A とおく＝(A－2)2＝aA－bA＝{(x－y)－2}2＝A(a－b)＝ (x－y－2) 2＝ (2x＋1)(a－b)

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P5 【20 因数分解(中3)まとめ】

15

次の式を因数分解しなさい。

BCDE①2x(3－y)－y＋3② xy－x－y＋12xA＋A

Ax－A＝A(2x＋1)＝A(x－1)＝(3－y)(2x＋1)16次の式を因数分解しなさい。

BCDE①② (x＋y)2－81x＋y＝A とおく

A2－92

aA－bA

＝(A＋9)(A－9)(x＋y)(a－b)

17

次の式を因数分解しなさい。

BCDE①② x2－4x＋4－y2

x2－x－y2＋y＝x2－y2－x＋y＝(x－2)2－y2＝(x－y)(x＋y)－(x－y)

x－2＝A とおく

＝BCDE(y－1)(x－1)

ax＋ay－bx－by

＝

18

＝

(x－y)(x＋y－1)

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

いろいろな因数分解（３）(1)

x2＋ax－3 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。

[解き方] (x－3)(x＋b)を展開すると，x2＋(－3＋b)x－3b となるので
x2＋ax－3＝x2＋(－3＋b)x－3ba＝(－3＋b)…①

3＝3b…②②より b＝1

これを①に代入して連立方程式を解くと
a＝－2[答] a＝－2，b＝1(2)x2＋px－5＝(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答えなさい。
[解き方]－5＝5×(－1) ，－5＝1×(－5) だから
x2＋px－5＝(x＋5)(x－1)＝x2＋4x－5

x2＋px－5＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5[答] p＝－4，＋4

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P6 【20 因数分解(中3)まとめ】

19

次の問いに答えなさい。

BCDE①x2＋ax－6 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。
3b＝6b＝2

これを(x－3)(x＋b)に代入(x－3)(x＋2)＝x2－x－6
x2＋ax－6 より
a＝－1

a＝－1，b＝2②

x2＋px－18=(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答えなさい。
p＝3－6＝－3
p＝－1＋18＝17
p＝－2＋9＝7
p＝－3＋6＝3

p＝－17，－7，－3，3，7，1720
CDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

式の計算の利用 啓 P.29～30
連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は 4 の倍数になることを証明しなさい。
[証明] n を整数とすると，連続する 2 つの奇数は 2n＋1，2n＋3 と表される。
それらの積に 1 を加えた数は(2n＋1)(2n＋3)＋1＝4n 2＋8n＋3＋1＝4n 2＋8n＋4＝4(n＋1)2n＋1 は整数なので，4(n＋1)2 は，4 の倍数である。
よって連続する 2 つの奇数の積に 1 を加えた数は，4 の倍数になる。
21

連続した 2 つの奇数の積は奇数になることを証明しなさい。

CDE

n を整数とすると，連続した 2 つの奇数を 2n－1，2n＋1 とする。
その積は，(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1＝2(2n2)－12n2 は整数なので，2(2n2)－1 は奇数になる。
よって，連続した 2 つの奇数の積は奇数になる。

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P7 【20 因数分解(中3)まとめ】

22

連続する 3 つの整数で，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，中央数の平方になるこ

CDEとを証明しなさい。

まん中の整数を n とすると，連続する 3 つの数は，n－1，n，n＋1 と表される。
このとき，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，(n＋1)(n－1)+1＝n2－1＋1＝n2n2 は整数だから，これは中央数の平方である。
23

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

因数分解や展開を利用した計算★因数分解の公式や式の展開を利用すると，計算が簡単にできることがある。
(1)

652－352＝(65＋35)(65－35)＝100×30＝3000(2)24ABCDE

852＝(80＋5)2(3) 28×32＝(30－2)(30＋2)＝802＋2×80×5＋52＝302－22＝6400＋800＋25＝900－4＝7225＝896

因数分解や展開を利用して，次の計算をしなさい。
①292②103×97＝(30－1)2＝(100＋3)×(100－3)＝900－60＋1＝10000－9＝841＝25

因数分解や展開を利用して次の計算をしなさい。

CDE①

3.04×2.96

9991② 5.12×3.14－4.92×3.14＝32－0.042＝(5.1＋4.9) (5.1－4.9) ×3.14＝9－0.0016＝10×0.2×3.14＝

8.9984＝

6.28

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P8 【20 因数分解(中3)まとめ】

26

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE式の値の計算
x＝35，y＝3 のとき，(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)の値を求めなさい。
[解き方] 式を簡単にしてから代入する。

(x＋3y)2－(x＋y)(x＋4y)＝x2＋6xy＋9y2－(x2＋5xy＋4y2)＝xy＋5y2＝y(x＋5y)＝3×(35＋5×3)
＝3×50
＝150
27

x＝27 のとき，(x－3)(x－6)－(x－5)2 の値を求めなさい。

BCDE＝x－7＝27－7＝2820

x＝17，y＝5 のとき，(x＋y)(x－y)－x(x－2y)の値を求めなさい。

BCDE＝－y2＋2xy＝－52＋2×17×5
＝

145

29

a＝6.25，b＝3.75 のとき，a2－b2 の値を求めなさい。

BCDE＝(6.25＋3.75)×(6.25－3.75)＝10×2.5＝30
BCDE

25

a＋b＝4，ab＝－①9のとき，次の式の値を求めなさい。
4a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16＋＝92

32 9＋2241＝2② (a2－1)(b2－1)＝a2b2－a2－b2＋1＝(－＝9 2 41) － ＋14281 328 16－＋161616231＝－16

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P9 【20 因数分解(中3)まとめ】

31CDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

図形の性質の証明
右の図のように，一辺の長さが х である正方形の土地の周りに，幅 a の道がある。
この道の面積を S，道のまん中を通る線の長さを ℓ とするとき，S＝aℓ となる。
このことを証明しなさい。

ℓ[解き方] S，ℓ をそれぞれ a，x を使って表す。
[証明]

S＝(x＋2a) 2－x2＝x2＋4ax＋4a2－x2a＝4ax＋4a2 …①xℓ＝4(x＋a)＝4x＋4aしたがって，aℓ＝a(4x＋4a)＝4ax＋4a2 …②①，②より，S＝aℓ32

半径 r の池の周りに幅 a の道がついている。道のまん中を通る線の長さを ℓ とすると，CDE

道の面積は，S＝aℓ になることを証明しなさい。

ℓ外の円の面積は π(a＋r)2ar

中の円の面積は πr2だから，道の面積 S は，
S＝π(a＋r)2－πr2

また，ℓ＝2π(a＋r )2＝πa＋2πr
よって，aℓ＝πa2＋2πar①，②より，S＝aℓ…②となる。

33

右の図のような正方形で，色をつけた中の四角形の面積を求めなさい。

CDE(答えは計算をしてできるだけ簡単にしなさい。)

yxy(色をつけた中の四角形)＝(正方形)－(三角形)×4(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2
x×y÷2＝xxy2xxy×4＝2xy2

yx2＋2xy＋y2－2xy＝x2＋y2x2＋y2xCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

yP10 【20 因数分解(中3)まとめ】

34

右の図の色を付けた部分の面積を求めなさい。

DEa＋b 2ab() π÷2－( )2π÷2－( )2π÷2222a2＋2ab＋b2 a2 b2＝{－ － }π÷2444＝ababπ4abπ435右の図で AC：CB と面積 P：Q の間にはどんな関係がDEあるか答えなさい。

P＝(x＋y 2x 2y) π÷2＋() π÷2－( )2π÷2222＝{(x 2 x ＋y 2y) ＋() －( )2}π÷2222＝(xAQyCCPx2 (x＋y)2 y2＋－ )π÷24442xy＋2y2＝π÷2
4y2＋xy＝π÷22yπ
(x＋y)
＝
4xπyπ
P：Q＝
(x＋y)：( x＋y)
44＝x：y＝AC：CB

AC：CB＝ P：Q

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B