山梨大学教職大学院

令和 3 年度

教育実践研究報告書

高等学校数学科における数学的に考える力を養う学習指導の工夫－生徒が作業することに着目して－教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 土橋雅生

1. はじめに

数学と身の回りの日常事象とを結びつけ、生平成 28 年 12 月の中央教育審議会答申により各教科の目標や内容に関する主な改善事項

徒に数学の有用性を伝えられるよう授業を工夫する必要がある。

が示され、これにより高等学校数学科の改訂「平成 27 年度高等学校学習指導要領実施状も行われた。高等学校学習指導要領（平成 30

況調査」によると、「数学の学習が好きだ」と

年告示）解説数学編理数編の「第 2 節 数学

いう質問に対して、「そう思わない」と回答し科改訂の趣旨及び要点」によると、「数学的にた生徒の割合が 33.9%、「どちらかといえばそ考える資質・能力の育成を目指す観点から、う思わない」と回答した生徒の割合が 16.7%

現実の世界と数学の世界における問題発見・となっており、合わせて否定的な回答の割合

解決の過程を学習過程に反映させることを意は 50.6%となっている。つまりこの調査に回図して数学的活動の一層の充実を図った。
」と記されており、数学的に問題発見・解決する

答した高校生の中で数学を好きと感じている
生徒は半分もいないという現状である。

過程を学習過程に反映させることを重視して筆者は研究授業校の 1 学年のクラスにおいいる。

て、数学に対する態度に関するアンケート調

ここで数学的活動とは「事象を数理的に捉査を行い、35 人から回答を得た。

え、数学の問題を見いだし、問題を自立的・(1) 数学の授業は好きだ

協働的に解決する過程を遂行すること」であ(2) 数学の授業は面白いる。この数学的活動は「数学学習に関わる目(3) 数学はほかの教科に比べて得意な方である的意識をもった主体的活動」という従来の意
味をより明確にしたものであり、今回の改訂(4) 数学で面白い問題があれば解いてみたによって数学的な見方・考え方を働かせた数い

学的活動を通して授業を展開することを重視している。つまり、新学習指導要領になることで生徒が授業でより主体となることができ

回答者 35 人のうち「数学の授業は好きだ」に対し、「強くそう思う」と回答した者は 9 人、るような環境を整備し、そのための学習指導「そう思う」7 人、「どちらともいえない」15の工夫を行う必要がある。

人、「そう思わない」4 人であった。よってこ

また、新学習指導要領で評価の観点が「知のクラスでは数学に対して否定的に感じてい識及び技能」「思考力、判断力、表現力」「学る生徒の数は少ないものの、「どちらともいえびに向かう力、人間性等」の 3 つの柱に沿っない」という回答が多く全体としては数学がて明確化された。これにより生徒がただ主体

好きな人が多いとは言えない。また「数学で的に数学に取り組むだけでなく、日常事象等

面白い問題があれば解いてみたい」という質との関わりを意識した数学的活動の充実等を問に対しては、22 人が肯定的な回答であるが、図っていくことが求められるようになった。

それ以外の 13 人は否定的な回答（「どちらとそのため教科書の内容を進めるだけでなく、もいえない」を含む）である。

－ 226 －

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この調査結果を受け、筆者は高校生の数学

これらを踏まえ、筆者はこの作業を「予想に対する意欲を高めるために、数学的活動をする・実験する・検討する」という 3 つの流

どのように授業に取り入れるか、具体的方法

れで行い、その活動を授業に取り入れることを検討するため、以下の先行研究を考察した。

よって生徒の数学に対する意欲に変容が現れ児童の意欲・好感度に関する要因について北るかどうかを目的として研究を進めた。

村ら（2002）は、「意欲・好感度」と「理解度」「肯定的算数科」との間に有意な相関が認め

2. 授業実践られたと述べている。また粟津ら（2007）は実習校：山梨県立 A 高等学校 1 コマ 65 分

数学嫌いに関して、「数学嫌いの最大要因は数

学校タイプ：進学校 普通科

学に他する苦手意識であることが明らかにな

実習期間：令和 3 年 6 月～令和 3 年 10 月った」と述べている。これらから数学に対す対象：1 学年の学級 40 名

る否定的な意見は、生徒の「できない」「わか

日時：令和 3 年 10 月 12 日

らない」が起因していると考えることができ

単元：数学 A「場合の数と確率」

る。

単元の目標：

また数学の意欲に関して松原（1987）は以下のように述べている。

場合の数を求めるときの基本的な考え方や確率についての知識を深め、それらの事象の考察に活用できるようにする。

子どもは、数学を面白いと感じている

題材：「モンティホール問題」

ときや数学の授業に夢中になっている

本時の目標：

ときは、「なぜ数学を学ぶのか」などとモンティホール問題の内容を理解し、確率（特懐疑的にならないものである。スポーツに条件付き確率・乗法定理）の考えを用いてが好きな生徒が、なぜスポーツするのか、数学的に考察してみよう。

などと疑わない。

本時の授業では以下のような問題文を提示した。

松原（1987）は生徒に考えさせる授業を展開

3 つの箱があり、そのうち 1 つがあたりである。

していくうえで、まず数学を面白いと思わせ

あなたはあたりの箱を選びたい。1 つの箱を選る必要があると指摘している。つまり数学に対する意欲を高めることは、数学的な見方・

んで開けようとすると、主催者が残った箱のうちのはずれの箱を開け、「箱の選択を変えて考え方の育成にもつながると推測している。

もいいですがどうしますか。」と言いました。

このことからも生徒の数学に対する意欲を高

あなたは箱の選択を変えますか、それとも変めていくことは重要であると言える。

えないですか。

そこで筆者は、生徒の意欲を高める方法として、生徒たちが具体物を用いて手を動かし

本研究授業で扱った「モンティホール問題」

たり実験したりしながら考える「作業するこはかつてアメリカの名司会者、モンティホーと」に焦点を当てた。数学の授業における「作ル氏がテレビ番組『Let’s make a deal』の中業」に関して松原(1987)は「作業は身体的活動で行われたゲームに由来する。番組で実際にを伴うもの」としている。さらに、「その本質行われていたのは、プレイヤーの前に 3 つのは精神活動（思考）にある」とも指摘していドアがあり、1 つのドアの後ろには「新車」がる。このことから作業とは必ずしも身体的活動のみを指しているのではなく、生徒が思考入っており、残りの 2 つのドアの後ろには「ヤギ」が用意されている。あたりを選べば「新し深めて発展させるという一連の流れのこと車」を手に入れることができる。このゲームを示している。

に関しては 1990 年 9 月 9 日に発行されたニュ－ 227 －

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ース雑誌『Parade』の中にて、マリリン・ボ
ス・サヴァント氏が連載するコラムで「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品をあてる確率が 2

図倍になるからだ。
」と回答している。この投稿に対して批判の投書が相次ぎ、またその投書の中には数学の博士号を保持しているものも
図 1 箱の選択に関する予想

含まれていた。しかしそれらの批判は間違いであり、マリリン氏の主張が正しいということが後々明らかとなった。

上図のグラフを見ながら、生徒は予想した

本題材は数学者でも間違えるほどの難問と理由について意見交換をした。変えないと予とらえられるが、実験をしてみることでどう想した生徒の中には、「いつも最初に選んだほ

してそのような確率になるのかが見えてくる。

うが当たることが多い。
」や「主催者が自分を本研究授業では、箱の選択を変えるべきかど

はずれの方にさせようとしていると思ったか

うか予想をたて、実験をし、結論を出してから。
」などが出された。逆に変えると予想した

つ深めるという流れを重視して行うことで、生徒の中には、「主催者は、どちらがはずれか

生徒たちの数学に対する意欲を高めることを知っていて、はずれのほうを開けたのかな、

ねらいとした。

と思ったから」と根拠があいまいな段階であ

研究授業では「モンティホール問題」につるものがあったが、中にはカードを図で表す

いて PoworPoint スライドを提示しながら説ことで 3 つのカードのうちのどのカードを最明し、生徒は以下のような質問が書かれてい初に選ぶかを考えることで、変える場合と変るワークシートに記入しながら学習を進めた。

えない場合の当たる確率を予想の段階で考察している生徒がいた。つまり、作業をする以①あなたは箱を選び変えますか。また、そのように考えた理由は何ですか？

前に数学的に考える（場合分けをして考える）という段階に至っており、それによって根拠②実験からわかったこと、気づいたことを記入し、またその結果はどうして起こるのか、理由を考えてみてください。

とともに変えたほうがいいと結論付けていた。
2.2 実験の段階③他のグループの中で自分のグループとは違予想の段階で変えたほうがいいという意見

う考えはあったか、またその考え方はどのと変えないほうがいいという意見がほぼ五分

ようなものかまとめてみましょう。

五分となっている。この集計を受け、実際は④今日の授業を通してどのような力が身につ変えた時と変えない時で当たる回数にどのくいたか、またその力をどのような場面で生らい違いが出るのか、そもそも違いは出るのかすことができそうか記述してください。

かを実験を行うことで確かめる、という時間を設けた。また生徒には実験を行う中で、な

2.1 予想の段階

ぜそのような結果になるのかも併せて考える問題について授業者が説明した後、生徒はようにと指示した。

箱を変えるかどうかの予想を、ほかの生徒と実験を行うにあたって 3～4 人のグループをの意見交換はしないで、Google form に予想結果を投票した。投票結果は次のようになり、作り、各グループに 3 枚 1 セットのカードを配った。実験の行い方に関しては授業の中で生徒に提示した。

以下のように提示した。

－ 228 －

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教育実践研究報告書①ホスト役を決める②ホスト役の人はカードを選ぶ人に対して 3枚のカードを裏向きに提示する選び変える場合については、ほとんどの班があたる回数が半分以上となっている。実際に③カードを選ぶ人はカードを 1 枚選び、その計算してみると、

あとホストの人はカードを選ぶ人が選んだ

77= 0.6062 …
127

カード以外のはずれのカードを提示する④カードを選ぶ人はカードを変更する場合、変更しない場合、自由に選択する場合でわとなり、約 61％であたるという結果になった。

け、それぞれ何回やって何回あたりが出た

表 2 選び変えない場合の実験結果かを集計する。

②選び変えない場合⑤集計結果を比較し、どの場合があたりが出

あたりの数

試行回数

1班

5

20

2班

2

10

実験回数は特に指定しなかった。カードは

3班

5

10

方眼紙を長方形に切ったものに、○、はずれ

4班

2

10

を表す×を書いたものとし、○を「あたり」、

5班

1

15

×を「はずれ」とした。また④で提示した「自

6班

4

13

由に選択する場合」は時間に余裕がある場合

7班

7

13

にするよう指示した。

8班

7

15

9班

4

10

10 班

4

10

合計

41

126

やすそうか考察する。

授業中の生徒の活動に関しては、多くの生徒たちが楽しく実験している様子が看取れた。
また、本研究授業以外の授業ではいつも眠たそうにしている生徒も、本時の授業では積極的に参加していることが看て取れた。
10 グループの実験結果を集計したところ以下のようになった。

②の選び変えない場合については、ほとんどの班が当たる回数が半分以下となっている。
この場合も実際に計算してみると、

表 1 選び変えた場合の実験結果①選び変える場合

41= 0.3253 …
126となり、約 33％であたるという結果になった。
この結果から、箱は「選び変える」方があ

あたりの数

試行回数

1班

11

20

2班

7

10

3班

9

18

4班

8

10

5班

7

15

6班

7

10

7班

6

9

生徒たちに考えてもらったところ、(1)変え

8班

8

15

るとあたる確率は 2/3 になる、(2)変えるとあ

9班

7

10

たる確率は 1/2 になる、の 2 つの意見が出され

10 班

7

10

た。クラス全 40 人の中で(1)のような考えをし

合計

77

127

た生徒は 26 人、(2)のような考えをした生徒はたる確率が高くなるのではないかと推測できる、と生徒たちと共通理解を得ることができた。そのあとに、なぜこのような結果となる
かの理由を考える時間を設けた。
2.3 検討の段階－ 229 －

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14 人であった。考え方には次のようなものがが、選択を変えない場合の理由は、生徒 A とあった。

同様の記述である。しかし、生徒 B の記述は

生徒 A

数学的には根拠が薄いため十分に数学的な思考による記述であるかどうかは不明である。
生徒 C

図 2 生徒 A の考え
図 4 生徒 C の考え

この生徒は予想の段階で「選択を変えない」としていたが、実験をした後で変えたほうがいいとしている。考え方としては、変える場

この生徒は予想の段階で「選択を変える」と合は最初にはずれを選べば、最終的に必ずあしている。実験を通して自分の考えを図で表たりを選ぶことができると気づいている。そし、場合分けをして説明している。またこののことから変える場合はあたる確率は 2/3、変生徒 C はクラスの中でも比較的数学が苦手なえない場合はあたる確率は 1/3 と結論付けて生徒であったが、なぜ変えたほうが良いのかいる。また生徒 A は変更ありと変更なしで分を図や数字、言葉を用いて数学的に考えるこ

けて論理的に考えているため、数学的思考がとができている。

促されていると考えられる。
生徒 B

生徒 D

図 3 生徒 B の考え
図 5 生徒 D の考え
この生徒も予想の段階で「選択を変えない」としている。実験の後では変えるほうが確率

生徒 D は予想の段階で「選択を変える」とが高いとしており、実際にその確率がどのよしていたが、その理由として「変えたほうがうになるかについても書かれている。しかし良さそうだから」と漠然とした記述である。

生徒 A と違う点は、変える場合のあたる確率
を 1/2 としていることである。ワークシートのまた実験を通した考察の時間でも、「変えたほうが良さそう」としか記入されておらず、自記述では、生徒 B は選択を変えるときは残っ身で選択の根拠を明らかにしておらず、数学

た 2 つから選ぶことになるから 1/2 としている的な思考が十分に促されてていないとみて取－ 230 －

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教育実践研究報告書れる。
2.4 結論の共有
前述のように、実験の段階ではほとんどの生徒が「選択を変える」ことで、あたる確率が高くなるとしていた。しかし、その確率値
は 2/3 と 1/2 の 2 つの意見に分かれたため、どちらが正しいか再考察をする時間を設けた。
確率は 2/3 になると考えた生徒の説明では、

図 6 説明資料（田中・上野 2013）「選択を変えない時は最初にあたりを引く確
率がそのままあたる確率になる。選択を変え

ここで、乗法定理からるときは、最初にはずれを選べば選択を変え𝑃(𝐴 ∩ 𝐻) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐻)た時にそれがあたりとなるから最初にはずれを選ぶ確率 2/3。
」であった。一方確率は 1/2= 𝑃(𝐴)𝑃𝐴 (𝐻) + 𝑃(𝐵)𝑃𝐵 (𝐻)(𝐻)と𝑃となる。𝑃𝐴
𝐵 (𝐻)の値がどのようになるになると考えた生徒の説明は、「ホストの人がかを先に考えてみる。

はずれを 1 つ明らかにすることで残りは 2 枚「選択を変える」場合は、事象 A が起こればになる。そこからあたりを選ぶということに必ずはずれになり、事象 B が起これば必ずあなるから確率は 1/2 になる。
」であった。これ
らの生徒の意見の後、授業者が選択を変えるたりになる。つまり𝑃𝐴 (𝐻) = 0 𝑃𝐵 (𝐻) = 1（選択を変えない時も同じ）時点で何を選ぶとなる。

かが決まってしまうので、2 枚の中から 1 枚を𝑃(𝐴) =

選んでいるわけではないと説明した。その後、生徒のなかから「確率が 1/2 にはならないな

1
3

𝑃(𝐵) =

2
3なので、と思えてきました」という反応もあり、それ𝑃(𝐻) = 𝑃(𝐴)𝑃𝐴 (𝐻) + 𝑃(𝐵)𝑃𝐵 (𝐻)以外の生徒たちもそれで納得しているようで

=

あった。

1
2
2
∙0+ ∙1=
3
3
3

結局、モンティホール問題は箱を選び変えたほうがあたる確率は高くなり、その確率値となり、あたる確率が 3 になるのがわかる。

は 2/3 である、と授業者がまとめ、生徒たち

同様に「選択を変えない」場合も考えることもその結論で納得の様子であった。

ができ、この場合は
𝑃𝐴 (𝐻) = 1 𝑃𝐵 (𝐻) = 0となるので、𝑃(𝐻) = 𝑃(𝐴)𝑃𝐴 (𝐻) + 𝑃(𝐵)𝑃𝐵 (𝐻)

2.5 深める時間
本時はモンティホール問題を既習である条

2

件付き確率、乗法定理と結びつけることが目=標である。そこで、田中・上野(2013)の説明を参考に、授業者が次の図 6 のように板書した
うえで説明した。

12
1∙1+ ∙0=3
33となり、あたる確率が13になることがわかる。

3. 学習感想の分析
授業の終わりには、ワークシート設問④により、この授業を通して身についた力について学習感想を記述させた。「2.2.検討の段階」
でとりあげた 4 人の生徒の学習感想は以下の－ 231 －

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とおりである。

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動している様子がうかがえる。また確率の場
合分けについても理解ができていることが見生徒 Aて取れる。生徒 D の学習感想からは教科書で習ったことが意外なところで使えることにつ最初運だったり心理だったりで問題に取り組いて述べていて、その意外性から数学の面白んだけど、数値的に考える力も使うことがでさを感じている。しかしどのような力が身にきた。こういう確率を求めて勝負の時に得すついたかの記述がないため、授業者は授業時る機会があったらいいなと思った。

にもう少しこの点について強調するべきであったと感じている。これら 4 人の生徒以外の学習感想に、「数学が役に立つ」や「これからも数学を使っていきたい」という記述が多数

生徒 B

みられた。

学校で学習した内容を利用して身近なことに

4. 終わりに利用できる力が身についたと思います。この(1)成果と課題

ようなシチュエーションになったら変えたい

以上の研究の結果から、この教材による授と思った業は生徒に数学の有用性を感得させることができたと考えられる。事後アンケートでは「数学が好きだ」という質問に対して「強くそう

生徒 C思う」5 人、「そう思う」15 人、「どちらともいえない」14 人、「そう思わない」2 人、「全確率を、事象を巻き込んで考える力がついた。

くそう思わない」1 人という結果になり、事前

今まで苦手で解けなかった問題で利用して克アンケートと比べ肯定的な意見が多少多くな服できるようになれればいいと思った。

った。また事後アンケートにより数学的に考

最初は割と心理的な面で考えるほかなかった

えることについて問うたところ次のグラフのものが、数学的思考で解けたことに感動した。

ようになった。このグラフから肯定的な回答

そうか、変えるか変えないかで分けて、この 2つの試行でのあたりを引く確率は別と考えれが 70％近くあり、大半の生徒が数学的に考えることの大切さを感じてると思われる。

ばいいのか、と気づかされた

数学的に考えることは大切だ
生徒 D
条件付き確率・乗法定理が意外なところで使えるのが面白いと思った。
生徒 A の学習感想からは、直観的な思考か

18
16
14
12
10
8
6
4
2
0

16
10

9
1

ら数学的な思考への移行が見て取れる。また数学の有用性を感得したことが推測できる。
生徒 B の学習感想では、数学で学習したことを身の回りに応用しようという意欲がみられる。生徒 C の学習感想からはモンティホール
問題を数学的に考えることができることに感－ 232 －

数学的に考えることは大切だ
図6

図 7 数学的思考に関するアンケート結果

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しかし、この授業によって生徒が「作業」す

童の算数学習への意欲と関連要因」広島大ることに意味を感じたかどうかについては、学心理学研究，2，pp.109-117

確かな結果が得られなかった。また、数学的・黒﨑東洋郎（2018）「機能する「数学的な見に考える力が身についているかどうかについ方・考え方」の育成の在り方」 岡山大学ても十分には明確にならなかった。

算 数 ・ 数 学 教 育 会 誌 パ ピ ル ス 第 25 号

モンティホール問題は今では YouTube などの動画配信サービスの紹介動画を見ることがpp.38-44
・桑原利通（2018）「高等学校数学科におけるでき、今回の授業でも、「先生、私この問題こ

統合的・発展的に考察する力を高める学習の前 YouTube で見ました。
」と教えてくれた生指導の工夫―解決の過程や結果を振り返り，徒がいた。しかしその生徒は、はじめ「箱を新たな数学の事象につなげていくパフォー

変えたほうがいいというのはわかっていても、マンス評価を通して―」，平成 30 年度教員

なぜ変えたほうがいいのかわからないです。」

長期研修（前期）教員長期研修生の研究，と言っていたのが、授業の終盤では「なぜ変広島県立教育センター

えたほうがいいか理解できました！」と授業

・西村圭一（2001）「数学的モデル化の授業の者に話しかけてきた。

枠組みに関する研究」日本数学教育会誌

理」と結びつけて説明をしたが、授業感想の83(11), pp.2-10 11-01
・西村圭一（2001）「数学的モデル化の教材開中にはこの内容があまり理解できなかったと発とその授業実践に関する研究ー高等学校

いう記述があり、もっと工夫が必要であった

数学科を中心にー」東京学芸大学数学教育と感じた。

研究 第 13 号 pp.125-134

授業内では最後に「条件付き確率・乗法定(2)今後について

・松原元一編著（1987）『考えさせる授業』 東

本研究において数学の授業における作業す

京書籍

ることと数学に対する意欲向上とを結びつけ

・柳本哲（2008）「数学的モデリングと数学的ることにまだ課題があると感じた。よって今活動ー社会を切り開く人間教育に向かって

後は生徒が作業することに意味を見いだせるー」数学教育学会誌

Vol.49No.3 ・ 4

授業感想の記述を見ても作業したことについての記述はあまり見られなかったことから、

pp.9-16
・山本武寿（2014）「高等学校数学科における課題学習の実践的研究」愛知教育大学数学

生徒は作業を単なる授業過程としてとらえて

教育学会誌イプシロン Vol.56, pp.121-126

ような教材研究を検討したいと考えている。

いたかもしれない。次年度の研究としては生徒が作業することにより着目できるような教材づくりに励み、またその教材と数学的思考とを結びつけられよう検討を重ねていく。
5. 引用・参考文献
・粟津俊二・竹内光悦（2007）「社会科学系女
子学生における数学嫌い・数学学習意欲の分析」実践女子大学人間社会学部紀要，3，
pp.167-176
・市川伸一著（1998）『確率の理解を探る』 共立出版
・北村剛志・森田愛子・松田文子（2002）「児－ 233 －