社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

異なるサイズのリング状結合発振器を結合させたときに観測される同期現象
久米保奈美†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学 工学部 電気電子工学科〒 770–8506 徳島県 徳島市 南常三島町 2-1
E-mail: †{honami, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

同期は非線形科学における基本的な概念の一つであり、さまざまな非線形系を対象として同期現象を調べていくことは重要である. 本研究では、van der Pol 発振器をインダクタを介して結合抵抗で落とすタイプの方法でリング状に結合した系をベースとし、２種類の異なるサイズのリング状結合発振器をさらに抵抗で結合した場合に見られる同期現象を調査する. ５相同期が見られるリングと７相同期が見られるリングを結合することで、フラストレーションが生じ、複雑な同期現象が発生する.
キーワード

van der Pol 発振器，結合発振器，同期現象，フラストレーション

Synchronization of Two Rings with Diﬀerent Sizes of Coupled Oscillators
Honami KUME† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima, Tokushimashi, Tokushima, 770-8506, Japan
E-mail: †{honami, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Synchronization is one of fundamental concepts in the field of nonlinear science and it is important toinvestigate synchronization phenomena for various nonlinear systems. In this study, synchronization phenomena
are investigated when two rings of diﬀerent sizes of coupled van der Pol oscillators, whose coupling is resistive viainductors. By coupling two rings with 5-phase synchronization and 7-phase synchronization, frustration occurs andcomplicated synchronization can be observed.
Key words van der Pol oscillator, Coupled oscillators, Synchronization phenomena, Frustration

1. ま え が き
非線形性を持つシステムにおける注目すべき現象のなかで最も代表的なものは、同期現象である. 同期現象は生物や化学な調査する. 結合の大きさにより、強いフラストレーションが発生し、複雑な同期現象が発生することが確認される.

2. 回路モデル

ど、さまざまな分野において古くから研究がなされており、特図 1∼3 に、本研究で対象とする回路モデルを示す. いずれのに電気工学の分野では、van der Pol 発振器の結合系に関してモデルも、５連リング（５相同期を発生する５個のリング状結盛んに研究が行われてきた [1]- [5].

合発振器）と７連リング（７相同期を発生する７個のリング状抵抗で結合された van der Pol 発振器は、結合抵抗による損結合発振器）を５本の抵抗で結合したネットワークとなってい失が小さくなるように同期が発生することから、多数の vanるが、７連リングの中で５連リングに直接結合されていない発der Pol 発振器をインダクタを介して結合抵抗で落とすタイプ

振器の相対的な位置の違いにより、結合方法 A、B、C と呼んの方法でリング状に結合した系では、発振器数が奇数個の場合でいる.には、N 相同期が見られることが確認されている [5].
本研究では、５相同期を発生する５個のリング状結合発振器と７相同期を発生する７個のリング状結合発振器を抵抗で結合したときに見られる同期現象を計算機シミュレーションによりそれぞれのリングにおいては、隣り合う van der Pol 発振器
は、L と抵抗 r で結合されており、５連リングと７連リング間は抵抗 R によって結合されている.
以下に結合方法 A の回路方程式を示す.

—1—

図1

結合方法 A

図 3 結合方法 C.

を用いることで、正規化された回路方程式を得ることができる.


α(xk − 31 x3k ) − (yak + ybk ) − γ(xk − x(k+5) ): (k = 1 ∼ 5)





 α(x − 1 x3 ) − (y + y ) + γ(xdxkakbkk(k−5) − xk )3 k=dτ:(k=6∼ 10)α(xk − 31 x3k ) − (yak + ybk ): (k = 11, 12)dyak= xk − β(yak + yb(k+1) )dτ

結合方法 B.

図2Cdybk= xk − β(ya(k−1) + ybk )
dτ
(4)

1

−iRk − (iak + ibk ) − R(vk − v(k+5) ): (k = 1 ∼ 5)
 −i − (i + i ) + 1 (v−v )器をフリーとする結合方法 A では、11 番と 12 番をフリーと: (k = 6 ∼ 10)

する. また、間に 1 つの発振器をはさんでフリーとする結合方

dvkRkakbk=dt
−iRk − (iak + ibk )




R

3. 計算機シミュレーション
本シミュレーションでは、７連リングの隣接する２つの発振k(k−5)

法 B では、10 番と 12 番をフリーとし、5 番と 11 番を結合す: (k = 11, 12) (1)る. 最後に最も離れた２つの発振器をフリーとする結合方法 Cでは、9 番と 12 番をフリーとし、4 番と 10 番、5 番と 11 番をL

diak= vk − r(iak + ib(k+1) )dt

Ldibk= vk − r(ia(k−1) + ibk )dt

それぞれ結合する.
結合方法 A、B、C のそれぞれにおいて、結合パラメータ γを変化させて、アトラクタと時間波形を観察する. 今回のシミュレーションでは α=0.1 β=1.0 で固定し、γ を 0.001、0.01、ここで、非線形抵抗の電圧電流特性は以下で示されるものと全体的にアトラクタを見比べると、５連リングの発振器の方する.

iRk = −g1 vk + g3 vk3

(2)

√vk =
√g1xk , iak =3g3

√√
LCτ,

α = g1

g13g3

L,C

√

C
yak , ibk =L√

β=rC,Lが、７連リングの発振器よりも、振幅が小さい傾向がある. 結合パラメータ γ=0.001 のときは結合強度が弱いため、両方の変数変換

t=0.1、1.0 と変化させた.

√γ=

g13g31R√√

リングから、5 相同期と 7 相同期をはっきり観察することがでC
ybk ,LL. (3)Cき、結合方法による違いはほとんどない. 一方、結合強度の大きい γ=0.1 や γ=1.0 においては、各アトラクタの大きさが一見不規則のように見え、5 相や 7 相ははっきりとした形では観測することができない. また、７連リングのフリーの発振器に—2—

図4A 微結合

γ ＝ 0.001.

図8B

微結合

γ ＝ 0.001.

図5A

弱結合

γ ＝ 0.01.

図9B

弱結合

γ ＝ 0.01.

図6A

中結合

γ ＝ 0.1.

図 10

B

中結合

γ ＝ 0.1.

図7A

強結合

γ ＝ 1.

図 11

B

強結合

γ ＝ 1.

はさまれた少数発振器群には発振が停止するものも見られた.
また、当初は７連リングのフリーの発振器に隣接する発振器のフラストレーションが強くなると予想していたが、図 6 を見るれた発振器で、最大となっていることがわかる.

4. ま と めと必ずしもそうはなっていないことがわかる. γ=0.01 では、5５相同期を発生する５個のリング状結合発振器と７相同期を連リングにおける振幅が変動しており、5 相と 7 相との間で強発生する７個のリング状結合発振器を抵抗で結合したときに見いフラストレーションが発生していることがわかる. また、振られる同期現象を計算機シミュレーションにより調査した. 結幅の変動の大きさは、７連リングのフリーの発振器から最も離合パラメータを変化させることで、フラストレーションによる、—3—文

図 12

C

微結合

γ ＝ 0.001.

図 13

C

弱結合

γ ＝ 0.01.

図 14

C

中結合

γ ＝ 0.1.

図 15

C

強結合

γ ＝ 1.

献[1] 木村英俊, 真野国夫, “抵抗結合による 3 相同期発振器”, 信学技報,1965[2] H. Kimura and K. Mano, “Some Properties of Mutually Synchronized Oscillators Coupled by Resistance”,
Trans. IECE, Vol.48, No.10, pp.1647-1656, Oct. 1965.
[3] T. Endo and S. Mori, “Mode Analysis of Ring of a Large
Number of Mutually Coupled van der Pol Oscillators”,
IEEE Trans. Circuits Syst., Vol.CAS-25, No.1, pp.7-18,1978.
[4] S. Moro, Y. Nishio and S. Mori, “Synchronization Phenomena in Oscillators Coupled by One Resistor”, IEICE Trans.
Fundamentals, vol.E78-A, No.2, pp.244-253, Feb. 1995.
[5] 瀬濤善信, 西尾芳文, 牛田明夫, “抵抗で環状に結合された発振器に見られる同期現象”, 信学技報, NLP93-89, pp.31-37,Mar. 1994.

興味深い同期現象を確認することができた.
今後の課題は, 理論解析と回路実験を行うことである.

謝辞

本 研 究 の 一 部 は 、日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 費 補 助 金(23700269）により得られた成果である.

—4—