20 因数分解(中3)まとめ2ABCDE

次の式を因数分解しなさい。
①a2b－ac＝

3ABCDEABCDE①①①3xy(4x－3y＋1)② x2＋2x－15(a＋2)(a－8)＝(x－3)(x＋5)④ y2－5y－36(t＋2)(t＋9)

x2－2xy－3y2＝(y＋4)(y－9)② x 2＋8xy＋16y 2(x＋y)(x－3y)

x2－10xy＋9y 2＝＝④(x＋4y)2

a2＋4ab－5b2(x－y)(x－9y)＝(a－b)(a＋5b)

次の式を因数分解しなさい。
①x 2－9y 2＝③② x 2＋8xy＋12y 2(x＋3y)(x－3y)

x 2－10xy－24y 2
＝

ABCDE

＝

次の式を因数分解しなさい。

③83xy(3x＋4y)

t2＋11t＋18

＝

ABCDE

12x2y－9xy2＋3xy②a2－6a－16＝7xy(x－y)

次の式を因数分解しなさい。

③ABCDE＝

9x2y＋12 xy2＝6a(ab－c)

次の式を因数分解しなさい。

＝
5② x2y－xy2＝(x＋2y)(x＋6y)④ x 2－8xy＋16y 2(x＋2y)(x－12y)＝(x－4y)2

次の式を因数分解しなさい。
①x2＋3xy－10y 2＝③(x－2y)(x＋5y)

x 2＋12xy＋36y2＝② x 2＋8xy＋7y2(x＋6y)2＝④(x＋y)(x＋7y)

9＋x2－10x＝x2－10x＋9＝(x－1)(x－9)

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.P2 【20 因数分解(中3)まとめ】

9x2＋7x＋a が，自然数 b，c を用いて(x＋b)(x＋c)と因数分解できるような定数 a の値をすべてCDE答えなさい。

7＝b＋c であるから，(b，c)の組み合わせは(1，6)，(2，5)，(3，4)の 3 通りである。
また，a＝b×c であるから，a の値は 6，10，12 となる。

a＝6，10，1211
ABCDE

次の式を因数分解しなさい。

①8－8x＋2x2② －8＋2x2＝2(x2－4x＋4)＝2(x2－4)2(x－2)2＝12ABCDE＝

次の式を因数分解しなさい。
① －x2－3x＋54② －3x2＋33x－90＝－(x2＋3x－54)＝13ABCDE2(x＋2)(x－2)＝－3(x2－11x＋30)－(x－6)(x＋9)－3(x－5)(x－6)＝次の式を因数分解しなさい。
①

4ax2－16ax＋16a② 2ab2－72a＝2a(b2－36)＝4a(x2－4x＋4)＝4a(x－2)215

次の式を因数分解しなさい。

BCDE

①

＝

2x(3－y)－y＋32a(b＋6)(b－6)② xy－x－y＋1

2xA＋A

Ax－A

＝A(2x＋1)＝A(x－1)＝(3－y)(2x＋1)16次の式を因数分解しなさい。

BCDE

①

＝(y－1)(x－1)

ax＋ay－bx－by② (x＋y)2－81

x＋y＝A とおく

A2－92

aA－bA

＝(A＋9)(A－9)＝(x＋y)(a－b)

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【20 因数分解(中3)まとめ】

17次の式を因数分解しなさい。

BCDE①② x2－4x＋4－y2

x2－x－y2＋y＝x2－y2－x＋y＝(x－2)2－y2＝(x－y)(x＋y)－(x－y)

x－2＝A とおく＝(x－y)(x＋y－1)

19

次の問いに答えなさい。

BCDE①x2＋ax－6 を因数分解すると(x－3)(x＋b)になるとき，a，b の値を求めなさい。
3b＝6
b＝2

これを(x－3)(x＋b)に代入(x－3)(x＋2)＝x2－x－6
x2＋ax－6 より
a＝－1

a＝－1，b＝2②x2＋px－18=(x＋a)(x＋b)の形に因数分解できるような整数 p の値をすべて答えなさい。
p＝3－6＝－3
p＝－1＋18＝17
p＝－2＋9＝7
p＝－3＋6＝3

p＝－17，－7，－3，3，7，1721

連続した 2 つの奇数の積は奇数になることを証明しなさい。

CDEn を整数とすると，連続した 2 つの奇数を 2n－1，2n＋1 とする。
その積は，(2n－1)(2n＋1)＝4n2－1＝2(2n2)－12n2 は整数なので，2(2n2)－1 は奇数になる。
よって，連続した 2 つの奇数の積は奇数になる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【20 因数分解(中3)まとめ】

22

連続する 3 つの整数で，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，中央数の平方になるこCDEとを証明しなさい。

まん中の整数を n とすると，連続する 3 つの数は，n－1，n，n＋1 と表される。
このとき，最大の数と最小の数の積に 1 を加えた数は，(n＋1)(n－1)+1＝n2－1＋1＝n2n2 は整数だから，これは中央数の平方である。
24ABCDE因数分解や展開を利用して，次の計算をしなさい。
①292

103×97②2＝(30－1)＝(100＋3)×(100－3)＝900－60＋1＝10000－9＝

841

＝25

因数分解や展開を利用して次の計算をしなさい。

CDE①3.04×2.96② 5.12×3.14－4.92×3.14＝32－0.042＝(5.1＋4.9) (5.1－4.9) ×3.14＝9－0.0016＝10×0.2×3.14＝
2799918.9984＝6.28

x＝27 のとき，(x－3)(x－6)－(x－5)2 の値を求めなさい。

BCDE

＝x－7
＝27－7＝2820

x＝17，y＝5 のとき，(x＋y)(x－y)－x(x－2y)の値を求めなさい。

BCDE＝－y2＋2xy＝－52＋2×17×5＝

145

29

a＝6.25，b＝3.75 のとき，a2－b2 の値を求めなさい。

BCDE＝(6.25＋3.75)×(6.25－3.75)＝10×2.5＝25

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【20 因数分解(中3)まとめ】

30BCDEa＋b＝4，ab＝－①9のとき，次の式の値を求めなさい。
4a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16＋＝② (a2－1)(b2－1)＝a2b2－a2－b2＋1

92＝(－32 9＋22＝41＝29 2 41) － ＋1
4281 328 16－＋161616231＝－1632半径 r の池の周りに幅 a の道がついている。道のまん中を通る線の長さを ℓ とすると，

CDE道の面積は，S＝aℓ になることを証明しなさい。

ℓ外の円の面積は π(a＋r)2ar

中の円の面積は πr2だから，道の面積 S は，S＝π(a＋r)2－πr2

また，ℓ＝2π(a＋r )2＝πa＋2πr
よって，aℓ＝πa2＋2πar①，②より，S＝aℓ…②となる。

33

右の図のような正方形で，色をつけた中の四角形の面積を求めなさい。

CDE(答えは計算をしてできるだけ簡単にしなさい。)

yxy(色をつけた中の四角形)＝(正方形)－(三角形)×4(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2
x×y÷2＝xxy2xxy×4＝2xy2

yx2＋2xy＋y2－2xy＝x2＋y2x2＋y2x

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

yP6 【20 因数分解(中3)まとめ】

34

右の図の色を付けた部分の面積を求めなさい。

DEa＋b 2ab() π÷2－( )2π÷2－( )2π÷2222a2＋2ab＋b2 a2 b2＝{－ － }π÷2444＝

ababπ4abπ435

右の図で AC：CB と面積 P：Q の間にはどんな関係がDEあるか答えなさい。

P＝(x＋y 2x 2y) π÷2＋() π÷2－( )2π÷2222＝{(x 2 x ＋y 2y) ＋() －( )2}π÷2222＝(xAQyCCPx2 (x＋y)2 y2＋－ )π÷24442xy＋2y2＝π÷24y2＋xy＝
π÷22yπ(x＋y)＝4xπyπP：Q＝(x＋y)：( x＋y)
44＝x：y＝AC：CB

AC：CB＝ P：Q

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

B