27 円の性質(中3)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

円周角と中心角（１）えんしゅうかく⌒★円 周 角…下の図の円 O で，∠APB を，AB に対するちゅうしんかく⌒
円周角といい，∠AOB を AB に対する 中 心 角という。

PP55°

55°
O⌒
また，AB(弧AB と読む)を，円周角∠APB に対する弧という。
こ★円 周 角の定理

B❶

1 つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である。

❷

同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

※

弦が直径のとき円周角は 90°，中心角は 180°である。

❶半分になる❷90°になる❸ 同じになる❹ 二等辺三角形になる

30°
30°

55°
110°

円周の1の弧に対する中心角と円周角を求めなさい。
6[解き方] 中心角は 360°×11＝60°円周角は中心角の半分だから，60°× ＝30°
6260°

[答] 中心角2P110°
Aえんしゅうかく55°

円周角 30°

次の問いに答えなさい。

ABCDE① 円周の360°×5の弧に対する円周角651× ＝150°
62150°② 円周の4の弧に対する中心角9360°×4＝160°
9160°

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P2 【27 円の性質(中3)まとめ】

3BCDE

11⌒
⌒
右の図で AB の長さは円周の ，CD の長さは円周の である。AC と BD の交点を P とする
95Dとき，∠APB の大きさを求めなさい。

∠ACB＝360×1
1× ＝20°92∠DBC＝360×1
1× ＝36°52OPACB∠APB は△BPC における∠BPC の外角56°∠APB＝20°＋36°＝56°4

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

円周角と中心角（２）次の問いに答えなさい。
⌒ の何倍か。
⌒ は AB(1) 右の図で，CD[解き方]

1 つの円において，弧の長さは中心角に比例するから，A
90°÷30°＝3(倍)[答] 3 倍⌒ に対する円周角の大きさは，30°(2) 右の図で，CDB⌒に対する円周角の大きさの何倍か。
AB⌒ に対する円周角は，90°÷2＝45°[解き方] CD⌒AB に対する円周角は，30°÷2＝15°45°÷15°＝3(倍)DC[答] 3 倍5

次の問いに答えなさい。
⌒⌒ は ABABCDE① 右の図で，CDの何倍か。

A

1 つの円において，弧の長さは中心角に比例するから，100°÷40°＝2.5(倍)

B

2.5 倍

⌒ に対する円周角の大きさは，② 右の図で，CD⌒ に対する円周角の大きさの何倍か。
ABD
40°
100°

C

⌒ に対する円周角は，100°÷2＝50°
CD⌒
AB に対する円周角は，40°÷2＝20°50°÷20°＝2.5(倍)2.5 倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【27 円の性質(中3)まとめ】

6

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

円周角の定理∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

(1)

(2)

(3)

92°÷2＝46°109°×2＝218°[答] ∠x＝46°

(4)

zy92°

[解き方]

38°

109°

x

同じ弧に対する円周角は等しい∠y＝218°∠z＝38°

(5)

A

(6)

C55°

DBACyx34°AB[解き方] 半円の弧に対する円周角は 90°

55°

zCD

∠B＝34°，∠C＝90°∠ADB＝90°，∠y ＝180°－(34＋90) °∠ADC＝90°－55°

180°－(90°＋55°)＝35°

＝56°

＝35°
∠ADC＝∠z[答] ∠x＝35°
7ABCDE∠y＝56°∠z＝35°∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②

③y80°

x31°
z

210°

80÷2＝4040°∠x＝B

210÷2＝105105°∠y＝31°∠z＝

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P4 【27 円の性質(中3)まとめ】

8BCDE∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③ BD が直径AA

DADE46°
yO142°
x
BzC30°

CO41°

B

B

C

直径の弧に対する円周角より∠BCD＝90°∠ABD＝∠ACD＝30°

218°÷2＝109°∠D＋∠C＝∠y＝∠BCD－∠ACB∠y＝30°＋46°＝76°＝90°－41°＝49°

109°

76°

∠x＝9
ABCDE

∠z＝∠ACD

360°－142°＝218°∠y＝∠z＝49°∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

AD は直径

①②

A

A

26°

60°

x
O

③F

AE
y45°

CD

B

B

40°

Oz

34°

C

B

D

C

BD をひくFC をひくAO をひく∠D＝45°，∠ABD＝90°∠A＝∠BFC＝26°

BO＝AO＝CO(半径)∠x＝180°－(45°＋90°)∠y＝∠CFD＝60°－26°△ABO,△ACO は＝45°＝34°

二等辺三角形∠A＝40°＋34°＝74°∠z＝74°×2＝148°45°∠x＝34°∠y＝148°∠z＝

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P5 【27 円の性質(中3)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

等しい弧に対する円周角★ 等しい弧に対する円周角は等しい。
等しい弧に対する中心角は等しい。
⌒⌒
AB＝CD ならば，∠AOB＝∠COD★1 つの円で，弧の長さは，その弧に対する円周角の大きさに比例する。
⌒⌒
AB＝2 CD ならば，∠APB＝2∠CQD∠APB＝∠CQD

PP Q

Q

18°

18°

O36°

A15°
D36°

A

D
B

30°

C

B

C

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒⌒⌒⌒⌒ ＝BC⌒(1) AB＝BC＝CD(2) 2AB＝BC(3) 2ABP QCPAx66°x
QC78°
OO30°
OAyBxCD

B[解き方]⌒ ⌒AB＝CD⌒ ⌒2AB＝BCBP
⌒ ＝BC
⌒
2AB

x：30＝1：1

x＝66÷2x＝78÷2÷2x＝30＝33＝19.5∠x＝33°∠x＝19.5°

y＝2xy＝60[答] ∠x＝30° , ∠y＝60°

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AP6 【27 円の性質(中3)まとめ】

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒ABCDE ① AD
＝BC・AC は直径②
11③

AC＝BCDAC56°
OOxA27°120°

yx D 45°

CAC は直径だから∠BDC＝180°－(45°＋27°)∠ADC＝90°＝108°

y＝180－(90＋56)

＝∠ADO

OyB

ABCx

B

x＝360°－120°＝240°∠ACB＝120°÷2＝34⌒⌒
AD＝BC∠AOB＝27°×2

x＝34°×2

x＝180°－(108°＋54°)

2y＝60°

x＝68°

＝18°

y＝30°

＝54°

別解＝60°

2y＋60°＋240°＝360°∠AOB＝27°×2＝54°∠ODC＝27°＋45°＝72°

x＝72°－54°
＝18°

68°

∠x＝12BCDE

34°∠y＝18°∠x＝∠x＝240°∠y＝30°⌒ ：CD⌒ ＝5：3 のとき，∠AEB の大きさを求めなさい。
次の図で，∠CFD＝27°，ABE

5：3＝x：27

D

3x＝135

F

x＝45°

45°

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CABP7 【27 円の性質(中3)まとめ】

13

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

円周角の定理の逆★円の内部と外部
円 O の円周上に 3 点 A，B，C がある。直線 AB について，点 C と同じ側に点 P をとるとき，∠APB と∠ACB の大小は，P の位置により次のようになる。
❶ 点 P が円周上に❷ 点 P が円の内部にあるとき❸ 点 P が円の外部にあるとき→∠APB＝∠ACB

あるとき→∠APB＞∠ACB

P

PCC→∠APB＜∠ACB
PCO

O

O
A

A

B

B

A

B

★円周角の定理の逆上の❶～❸から，∠APB＝∠ACB ならば，点 P は円 O の周上にあることがわかる。
Pしたがって，次の円周角の定理の逆が成り立つ。
Q
4 点 A，B，P，Q について，P，Q が直線 AB の同じ側にあって，∠APB＝∠AQB

Oならば，この 4 点は１つの円周上にある。

AB

右の図の 4 点 A，B，C，D は，同じ円周上にあるか答えなさい。また∠x を求めなさい。

A30°
70°

[解き方] 2 点 A，D は直線 BC について同じ側にあり，∠BAC＝∠BDC であるから，円周角の定理の逆により，

D70°

4 点 A，B，C，D は 1 つの円周上にある。このとき，⌒ に対する円周角であるから，∠x＝∠CAD＝30°∠x はDCBxC[答] 円周上にある。∠x＝30°14ABCDE

右の図で，4 点 A，B，C，D が同じ円周上にあるためには，∠x，∠y の大きさは何度でなければならないか，求めなさい。

Ax

同じ円周上にあるためには，同じ弧に対する円周角は52°DE等しくなければならないから，∠x＝50°，∠y＝52°50°∠x＝52°∠y ＝Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

B

50°34°yC

P8 【27 円の性質(中3)まとめ】

15

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

円周角の定理を利用した証明
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

DA[証明] △DAP と△BCP においてPB∠DPA＝∠BPC（対頂角） ･･･①
∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しいC

よって，△DAP∽△BCP
16

右の図のように，円の 2 つの弦 AB，CD が交わっている。2 つの直線 AD，CB をひいて，そのBCDE

交点を P とするとき，△ABP∽△CDP となることを証明しなさい。
C△ABP と△CDP においてB共通だから，∠APB＝∠CPD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAP＝∠DCP …②A

DP①，②より 2 組の角が，それぞれ等しい
よって，△ABP∽△CDP
17

右の図で，A,B,C,P は円周上の点で，BP＝PC である。また，AP と BC の交点を Q とする。

CDE

△ABP∽△AQC となることを証明しなさい。

△ABP と△AQC において

A

B

Q

同じ弧に対する円周角は等しいから∠APB＝∠ACQ …①

BP＝PC より，等しい弧に対する円周角は等しいから∠BAP＝∠QAC…②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABP∽△AQC

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PCP9 【27 円の性質(中3)まとめ】

18

右の図で，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠CAD です。AB＝10cm，AD＝8cm のとき，CDE線分 CD の長さを求めなさい。

D△ADC と△DEC で，A仮定より，∠BAC＝∠CAD …①E

同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAC＝∠BDC …②CB①②より，∠CAD＝∠CDE …③共通より，∠DCA＝∠ECD …④③④より 2 組の角がそれぞれ等しいので，△ADC∽△DEC
相似な三角形の対応する辺の比は等しいので，

AC：DC＝DC：EC，DC＝x とおくと10：x＝x：(10－8)
10：x＝x：210cm

5長さなので負の値はふさわしくない。よって 219xE
C8cm

Ax2＝20x＝±2D8cm

2 5 cm5 cm

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用（１）
A

次の図で，点 A,B,C,D,E,F は，円周を 6 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

B⌒FE をひく。図Ⅱより，DE の中心角は 360÷6＝60°

よって，円周角は 30°(＝∠PFE)⌒
BF の円周角は 60°(＝∠BEF)

図Ⅱ△FPE で，∠FPE＝180－(30＋60)＝90
対頂角は等しいから，∠x＝90[答]

90°

xA60°

EDE

D20

次の図で，点 A,B,C,D,E,F,G,H は，円周を 8 等分した点である。

BCDE∠x の大きさを求めなさい。

Ax

B
P

AH をひく⌒⌒ GHの中心角は 360÷8＝45°
AB,⌒ ⌒よって，AB, GH の円周角は 45°÷2＝22.5°

PCF

BCFHGCD△APH で，∠x＝180°－(22.5°×2)＝135°

FE

135°

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P10 【27 円の性質(中3)まとめ】

21次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用（２）
次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

円 O の中心から，点 A,B に線をひくと

A

QA⊥OA，QB⊥OB

四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°
P∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)

Ox＝122°⌒
AB の中心角は 122°

22

[答]

∠x，∠y の大きさを求めなさい。

61°

A

BCDE

D32°

△ACP で，Q三角形の内角と外角の性質から，

26°xyy＝26°＋32°＝58°

CB△QBC で，⌒DC に対する円周角だから，∠DAC＝∠DBC＝32°
三角形の内角と外角の性質から，
x＝58°＋32°

＝90°
x＝90°

Q

B

AB の円周角は 61°したがって∠x＝61°

58°

58°

y＝Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

PP11 【27 円の性質(中3)まとめ】

23

次の問いに答えなさい。

CDE①y－x＝a であることを証明しなさい。

PD

CxaQ

△PCA で，b三角形の内角と外角の性質より，

A

ya＋x＝yB－y＋x＝－ay－x＝a②x＋y＝b であることを証明しなさい。

⌒DA の円周角より，∠x＝∠B…①△ABQ で，①と三角形の内角と外角の性質より，x＋y＝b24

次の図で，A，B，C，D，E，F は円 O の円周を 6 等分する点である。

CDE∠x，∠y の大きさを求めなさい。
B

AO をひく，∠AOF＝360°÷6AxF
Oy＝60°∠x＝60°÷2EC＝30°D∠y＝∠x×2＝60°

30°

∠x＝

∠y＝60°

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P12 【27 円の性質(中3)まとめ】

25

次の図で，∠x，∠y の大きさを求めなさい。

CDE①BC は直径Ax y74°

B

②DDA

x30°

30°

58°

COE45°⌒AB に対する円周角，中心角の関係から，

65°CB∠y＝74°÷2△ABE で，内角と外角の関係から＝37° …①∠BEC＝30°＋45°∠AOD＝180°－(74°＋58°)＝75°△EBC で，＝48°∠ABD＝48°÷2∠EBC＝180°－(75°＋65°)＝24° …②＝40°①，②より，∠BAC＝∠BDC だから，

∠x＝180°－(37°＋24°)

A,D,C,D は同じ円周上にある⌒DC に対する円周角だから，＝119°∠x＝∠EBC＝40°∠BAC＝∠BDC だから，A,B,C,D は同じ円周上にある。

②別解

よって，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DBC＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°⌒ に対する円周角だから，∠x＝∠DBC＝40°
DC119°37°

∠x＝26
DE

∠y＝

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
⌒⌒① AB = CD
ED
40°

∠x＝

⌒ ⌒
⌒
⌒
② AC＝CD＝DE＝EB
D
C30°87°O
Ax40°xACEFBB⌒⌒ だから，AB＝CD∠AEB＝∠DBC=∠ACB=40°

AB,AE をひく。
⌒⌒
⌒
＝CD＝⌒
AC
DE＝EB，よって，△BCD において，∠x＝∠ABC＝∠EAB＝∠DAE

30°＋40°＋40°＋x＝180°三角形の内角と外角の性質から，∠x＝180°－30°－40°－40°△FAB において，＝70°∠x＝70°

3x＝87°，x＝29°∠x＝29°

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P13 【27 円の性質(中3)まとめ】

27

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。

DE①ABCDEF は正六角形
ABx② BC は直径
DAGxF58°

B
CCO

E
D

CF は直径だから，∠CBF＝90°

AC をひく，AB=CD=DE=EF だから

BC は直径だから，

∠BCA＝

11
∠CBF＝ ×90＝30°
33∠BAC＝90°△BCG において，

DC に対する円周角，中心角から，90°＋30°＋x＝180°∠DAC＝58°÷2x＝180°－90°－30°＝29°

x＝90°＋29°＝119°＝60°∠x＝28DE60°119°∠x＝⌒右の図で，円周上に△ABC があり，∠ABC の二等分線をひき，辺 AC と AC との交点をそれぞれ P，Q とするとき，△ABQ∽△PAQ であることを証明しなさい。
A⌒ の円周角だから，∠CAQ＝∠CBQ…①CQ
仮定より，∠CBQ＝∠ABQ…②①，②より，∠ABQ＝∠CAQ(∠PAQ)…③

PQ

B△ABQ と△PAQ で，共通だから，∠BQA＝∠AQP…④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABQ∽△PAQ

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CP14 【27 円の性質(中3)まとめ】

29

右の図で，2 つの円が 2 点 A,B で交わり，PQRS が 2 つの円周上にあるとき，

DE△AQR∽△APS であることを証明しなさい。
A

同じ円周上で，⌒ に対する円周角だから，
ABPR∠APB＝∠AQB…①QB∠ARB＝∠ASB…②S△AQR と△APS で，①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AQR∽△APS30

右の図で，円周上に 3 点 A,B,C がある。AB,BC の中点をそれぞれ P,Q とするとき，

DE

点 B,O,P,Q は同じ円周上にあることを証明しなさい。

B を通る直径をひき，円周との交点を R とする。 B
また A と R を結ぶ。

A〇P〇O
◎

RQ

◎

∠BAR＝90°

C△BAR で，BO＝RO(半径)，中点連結定理より，PO//AR
よって，∠BPO＝90°…①同じようにして，∠BQO＝90°…②①，②から，点 B,O,P,Q は(BO を直径とする)同じ円周上にある
31

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

円に内接する四角形★4 つの頂点が 1 つの円周上にある四角形を円に内接する四角形という。
Aがいせつえん

また，その円をその四角形の外接円という。

D

このとき，次の性質がある。
∠A＋∠C＝180°

B∠B＋∠D＝180°∠DCE＝∠A
次の図で，∠x，∠y の値を求めなさい。

ECA88°[解き方] ∠B＋∠D＝180°より，∠x＝180－103

x

D＝77°
∠DCE＝∠A より，∠y＝88°[答] ∠x＝77°∠y＝88°

B103°

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yCE

P15 【27 円の性質(中3)まとめ】

32

次の図において，∠x，∠y の大きさを求めなさい。ただし，②の AC は円 O の直径である。

BCDE

①②A

Ax39°

yB

ODO104°xED99° yBCC

∠x＝180°－104°＝76°

AC は直径だから、∠y は、弧 BD の中心角だから，∠ADC＝90°⌒
BC の円周角だから、∠y＝104°×2＝208°∠BDC＝∠BAC＝39°∠x＝90°－39°＝51°△ECD において，∠DEC=180°－99°＝81°∠EDC＝39°∠y＝180°－(81°＋39°)＝60°∠x＝76°∠y＝208°

51°

∠x＝

∠y＝

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60°

P16 【27 円の性質(中3)まとめ】

33
CDE

⌒ を
⌒ ，CAAB，BC
次の図で，3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，∠ABC＝75°である。⌒

二等分する円 O 周上の点をそれぞれ D，E，F とするとき，∠DFE の大きさを求めなさい。
A∠DFE＝∠DFB＋∠EFB となる

D∠DFB＝11∠AFB，∠EFB＝ ∠CFB なので
22

∠DFE＝

11
∠AFB＋ ∠CFB
2275°

BE

1＝ (∠AFB＋∠CFB)
2
円に接する四角形 ABCF の対角の和は 180°になるので∠ABC＋∠AFB＋∠CFB＝180°∠AFB＋∠CFB＝180°－∠ABC＝180°－75°
＝105°
∠DFE＝

1×105°
2＝52.5°52.5°

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FOC