第３学年
１１章式の計算

多項式の計算１式の乗法・除法(1)

教科書p.14単項式と多項式の乗法
Q

縦 a ｍ，横 bｍの長方形の土地があります。この土地の横を c ｍ長くすると， 全体の面積は何ｍ2になるでしょうか。次の2通りの式で表しましょう。
(1) (縦)×(横)(2) ㋐，㋑の面積の和

問１(a(b+c)ｍ2((ab+ac)ｍ)2)次の計算のしかたを説明しましょう。
(1) 3x(x+5)=3x*x+3x*5

分配法則を使ってかっこをはずし，計算する。

=3x2+15x(2) (5a-3)*(-2a)=5a*(-2a)-3*(-2a)

分配法則を使ってかっこをはずし，計算する。

=-10a2+6a

問２

次の計算をしましょう。
(1) a(a+3)(2) -4x(2x-5)=a +3a=-8x2+20x2(3) (-3a+1)*6a(4) (2x+4y)*(-y)=-18a2+6a=-2xy-4y2(5) 2a(a2+2a-3)

2(6) (6x-9)*-x3=2a3+4a2-6a=4x2-6xまとめ
単項式と多項式の乗法は，分配法則を使って，かっこをはずすことができる。

- 1 -

第３学年
１１章

式の計算

多項式の計算１

式の乗法・除法(2)

教科書p.15単項式と多項式の除法
Q

縦aｍ，面積(a2+6a)ｍ2の長方形の土地があります。この土地の横の長さは何ｍでしょうか。
式

問１((a+6)ｍ)

次の計算のしかたを説明しましょう。
除法を乗法に直し，分配法則を使ってそ12(2) (xy-4y2)/-y=(xy-4y2)*2y2
2=xy*--4y2*yy=2x-8y

除法を乗法に直し，分配法則を使ってそ

問２

1(1) (a2+6a)/a=(a2+6a)*a1
1=a2*-+6a*aa=a+6

れぞれの計算をする。

れぞれの計算をする。

次の計算をしましょう。
(1) (10x2+7x)/x=10x+72(3) (4x2-6xy)/-x3=6x-9y(2) (8a2b-2ab2)/2ab=4a-ba(4) (-2ab+a)/(--)）
4=8b-4まとめ多項式を単項式でわる除法は，乗法に直して計算すればよい。

「１式の乗法・除法」について，まとめましょう。

(例)単項式と多項式の乗法，多項式と単項式の除法は，これまでの文字式の計算と同じように計算することができる。

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第３学年
１式の計算

多項式の計算２Q

１章式の展開教科書p.16～17

右の図のような長方形があります。この長方形の面積をいろいろな式で表しましょう。
a(c+d)+b(c+d)(a+b)c+(a+b)dac+ad+bc+bd

問１(a+b)(c+d)

次のにあてはまることばや文字を入れましょう。
上のQで，全体の面積を表す式は，( 縦 )×( 横 )や㋐＋㋑＋㋒＋㋓で表すことができるか

ら，次の式が成り立つ。
(a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd(a+b)(c+d)で，(c+d)=Mとおいて計算しましょう。また，(a+b)=Nとおいて計算し，問２結果を比べましょう。
(a+b)(c+d)=(a+b)M(a+b)(c+d)=N(c+d)=aM+bM=Nc+Nd=ac+ad+bc+bd=ac+bc+ad+bd

結果は同じになる。

まとめ
一般に，(a+b)(c+d)は，右のように計算することができる。
単項式と多項式や，多項式どうしの積の形をした式のかっこをはずして，単項式の和の形に表すことを，もとの式を展開するという。

問３

次の式を展開しましょう。
(1) (a+b)(c-d)=ac-ad+bc-bd(2) (x-a)(y-b)(3) (x+2)(x-7)=xy-bx-ay+ab=x2-5x-14(4) (x+6)(x-6)(5) (-a+4)(2a-5)(6) (5x-y)(x+2y)=x2-36=-2a2+13a-20=5x2+9xy-2y2(7) (a-b)(x-y+2)=ax-ay+2a-bx+by-2b(8) (x+y+1)(x-y)=x2-y2+x-y- 3 -

第３学年
１１章

式の計算

多項式の計算３

乗法公式(1)

教科書p.18(x+a)(x+b)の公式
Q

次のにあてはまる文字や記号を入れましょう。
(x+a)(x+b)=x2+ b x+ a x+ab
=x2+( a+b公式①

問１)x+ab(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

次の式を展開しましょう。
(1) (x+2)(x+1)(2) (y+5)(y+4)=x2+3x+2=y2+9y+20(3) (a-5)(a+3)(4) (a-7)(a-2)=a2-2a-15=a2-9a+14(5) (x+8)(x-6)(6) (x+3)(x-3)=x2+2x-48=x2-9(7) (y-1)(y-10)(8) (x+3)2=y2-11y+10=x2+6x+92
1(9) (x+-)(x+-)3311(10) (x--)(x+-)
322=x2+x+91
1=x2+-x-66- 4 -第３学年
１１章

式の計算

多項式の計算３乗法公式(2)

教科書p.19

平方の公式
Q

次のにあてはまる文字や記号を入れましょう。
(x+a)2=(x+a)(x+a)=x2+ a x+ a x+a2
=x2+(2a)x+a2(x+a)2=x2+2ax+a2(和の平方)公式③(x-a)2=x2-2ax+a2(差の平方)

問１

公式②

次の式を展開しましょう。
(1) (x+3)2=x2+6x+9(3) (x+1)2=x2+2x+1(5) (x-2)2=x2-4x+4(7) (a+b)2=a2+2ab+b2(2) (x-5)2=x2-10x+25(4) (y+7)2=y2+14y+49(6) (a-9)2=a2-18a+81

1(8) (x--)22
1=x2-x+4- 5 -第３学年
１

１章

式の計算

多項式の計算３乗法公式(3)

教科書p.20

和と差の積の公式
Q

次のにあてはまる文字や記号を入れましょう。
(x+a)(x-a)=x2- a x+ a x-a2
=x2-a2

公式④

問１(x+a)(x-a)=x2-a2

次の式を展開しましょう。
(1) (x+2)(x-2)=x2-4(3) (3+y)(3-y)=9-y2(5) (x-5)(5+x)=x2-25(2) (x-8)(x+8)=x2-64(4) (a-b)(a+b)=a2-b2

1
1(8) (x+-)(x--)
33
1
=x2-9

4つの乗法公式をまとめましょう。
乗法公式①(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab②(x+a)2=x2+2ax+a2③(x-a)2=x2-2a+a2④(x+a)(x-a)=x2-a2- 6 -

第３学年
１１章

式の計算

多項式の計算３乗法公式(4)教科書p.21

いろいろな計算
問１

次の計算のしかたを説明しましょう。
(3x+1)(3x+7)

3xを1つの数と考えて，3x=Aとおく。

=(A+1)(A+7)

乗法公式を使って計算する。

=A2+8A+7

Aを3xにもどして計算する。

=(3x) +8*3x+72=9x2+24x+7

問２

次の式を展開しましょう。
(1) (3a+2)(3a+5)(2) (5a-4)(5a+6)=9a2+21a+10=25a2+10a-24(3) (2x+5)2=4x2+20x+25=16x2-8xy+y2(5) (3x-1)(3x+1)(8) (6a+7b)(6a-7b)=9x -12

問３(4) (4x-y)2=36a2-49b2

悠悟さんは， (5x-3)2 の展開を，右のように行いました。この展開は正しいでしょうか。誤りがあれば，正しく直しましょう。
正しくない。
(5x-3)2=(5x)2-2*3*5x+(-3)2=25x2-30x+9- 7 -

第３学年
１

１章

式の計算

多項式の計算３乗法公式(5)

教科書p.22

いろいろな計算
問１

次の計算のしかたを説明しましょう。
(x+y+5)(x+y-2)

x+yを1つの数と考えて，x+y=Mとおく。

=(M+5)(M-2)

乗法公式を使って計算する。

=M2+3M-10

Mをx+yにもどして計算する。

=(x+y) +3(x+y)-102=x2+2xy+y2+3x+3y-10
問２

次の式を展開しましょう。
(1) (x+y+4)(x+y+1)=(x-y)2-9(x-y)+18=x2+2xy+y2+5x+5y+4=x2-2xy+y2-9x+9y+18(3) (a-b+3)2

問３(2) (x-y-3)(x-y-6)=(x+y) +5(x+y)+42(4) (a+b-7)(a+b+7)=(a-b)2+6(a-b)+9=(a+b)2-49=a2-2ab+b2+6a-6b+9=a2+2ab+b2-49

次の式を展開しましょう。
(1) x2+(x+5)(x+1)(2) (a+4)2-(a-2)(a+2)=x2+x2+6x+5=a2+8a+16-(a2-4)=2x2+6x+5=8a+20(3) (y+2)(y-7)-y(y-4)

「２(4) 2(x-1)2-(2x-1)2=y2-5y-14-y2+4y=2(x2-2x+1)-(4x2-4x+1)=-y-14=-2x2+1式の展開」，「３乗法公式」について，まとめましょう。

(例)多項式どうしの乗法は，分配法則を使って計算し，同類項をまとめる。
多項式どうしの乗法の中には，乗法公式を利用すると計算できるものがある。

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第３学年
１

１章

式の計算

多項式の計算確かめよう
１

教科書p.23

次の計算をしましょう。
(1) x(2x+5y)(2) 2x(3x-4y)=2x2+5xy=6x2-8xy(3) (6a2-7a)/a(4) (12a2+9a)/3a=6a-7２=4a+3

次の式を展開しましょう。
(1) (x+2)(y+5)(2) (2x+1)(x-4)=xy+5x+2y+10

３=2x2-7x-4

次の式を展開しましょう。
(1) (a+5)(a+9)(2) (x-7)(x+3)=a +14a+45=x2-4x-21

2(3) (y-1)(y-8)(4) (a+8)2=y2-9y+8=a2+16a+64(5) (x-3)2(6) (y-4)(y+4)=x2-6x+9５=y2-16(x+1)2+(2+x)(2-x) を計算しましょう。
(x+1)2+(2+x)(2-x)=x2+2x+1+4-x2=2x+5- 9 -