第27回 回路とシステムワークショップ
The 27th Workshop on Circuits and Systems
in Awaji, August 4-5, 2014

強結合された多角形発振器ネットワークで観測される発振停止現象

Oscillation Death in Polygonal Oscillatory Networks
with Strong Coupling
上 手 洋 子†† 徳島大学 工学部

西 尾 芳 文†電気電子工学科

Yoko UWATE†
Yoshifumi NISHIO††Dept. of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
はじめにした。なぜなら，参考文献 [11],[12] のような結合の場合，奇数個の多角形ネットワークには，構造のフ同期は二つ以上の振動体が影響を受けることで，ラストレーションが生じることで，同相や逆相といっある一定のリズムに落ち着く現象であり，蛍の発光た安定な解が観測されずに，隣接する発振器の位相現象や，心臓細胞の律動など自然界の様々な分野でが 2π/N (N : 結合する発振器の数) ずつずれた N 相観測される．同期の調査は，そのメカニズム解明だけ同期が観測されるからである．フラストレーション
ではなく，より高度なアプリケーション開発が期待さをそれぞれ持つ 2 つの多角形ネットワークを結合されるため，物理学，生物学，神経科学，工学，経済学せることで，より強い構造のフラストレーションがなど様々な分野で活発に研究が行われている [1]-[7]．
回路システムに与えられると考えられる．対称なシ同期現象の数理モデルとしては，蔵本によって提案
ステムとして，同じ発振器数の多角形ネットワークされた蔵本モデルが有名であるが，発振器やカオスを結合させた場合，非対称なシステムとして，異な回路など電気回路を用いたモデルも多数提案されてる発振器数の多角形ネットワークを結合させた場合いる．遠藤らは，van der Pol 発振器を梯子状，環状，の同期現象について調査を行った．隣接する発振器二次元配列状に結合したシステムの理論解析と回路間の位相差に着目し，理論的に位相差を求める手法
実験結果を報告している [8]-[10].
を提案した [12]．また，発振器はシステム全体の消また，自然界にはハニカム構造や結晶構造など様々費エネルギーを最小にするように同期することを明なタイプのネットワーク構造が存在する．しかし，発らかにした．さらに，結合強度を大きくした場合の振器の大規模結合系の研究としては，環状や二次元同期現象について調査を行い，トーラスが発生する格子状のモデルが多く，多角形が結合されたネットことを確認している [13]．
ワークトポロジーについての研究はこれまであまり
しかし，これまでの研究で用いていた回路モデル報告されていない．我々は，発振器をより複雑なネッでは，結合部分以外のインダクタの接地に抵抗が含トワーク構造に応用することで，それぞれのネットワーク構造が持つ新しい特徴を見出すことができる まれておらず，結合強度がある程度以上大きくなるのではないかと考える．さらに，結合発振器システ と，結合抵抗に電流が流れなくなりインダクタで結ムに何らかのジレンマやフラストレーションが与え 合されたシステムになっていたと考えられる．
そこで本研究では，結合部分以外のインダクタのられたときの同期現象は非常に興味深く，発振器システムの大規模化や複雑系ネットワークの観点から 接地に抵抗を含む回路モデルを考え，結合強度を大研究を行う場合に，より実際のシステムと対応がつ きくした場合の同期現象について調査を行う．
くといえる．
2 2 つの結合多角形発振器ネットワーク
これまでの研究で，我々は 2 つの多角形ネットワー
クの一辺を介して結合したシステムで観測される同 まずはじめに，2 つの結合多角形発振器ネットワー
期現象についての調査を行ってきた．ここでは，1 つ クにおいて結合強度を大きくしたときの同期現象のの多角形ネットワークを構成する発振器は奇数個と 調査を行う．

1− 239 −

2.1

対称モデル

図 1 に対称な 2 つの多角形発振器ネットワークが一辺を介して結合した回路モデルの概略図を示す．本回路モデルにおいて，3 番目および 4 番目の発振器からの結合以外のインダクタは抵抗を介して接地している．本研究では，1 つの多角形発振器ネットワー
クの発振器数は奇数とし，3，5，7 個の場合について調査を行う．
5th osc.

1st osc.

(2)
ここで，変数変換とパラメータは次式に示す．

6th osc.
1st osc.

4th osc.

4th osc.

[kth oscillator]() dxk = ε 1 − 1 xk 2 xk − (yak + ybk + yck )


dτ
3
}

 dy ak1{=x−ηy−γ(y+y)
n

kakak

3
 dτ}
dy bk
1{
=x−
ηy−γ(y+y)
n
kbkbk
 dτ
3
}
dy ck1{=x−ηy−γ(y+y)nkckckdτ3(k = 1, 2, 3, 4).

t=

7th osc.
2nd osc.

3rd osc.

2nd osc.

3rd osc.

(a) 3-3 coupling network.

8th osc.

(b) 5-5 coupling network.

7th osc.

8th osc.

6th osc.

9th osc.

1st osc.

5th osc.

√√
√
g1
g1
CLCτ , vk =xk , iak =
yak ,
3g3
3g3 L
√
√
√
g1
CL
ibk =ybk , ε = g1
,3g3 LC√√
CC
γ=R, η = rm,
LL√(k = 1, 2, 3, 4).

10th osc.
2nd osc.

この回路方程式において，γ は結合係数，ε は発振器の非線形性を表すパラメータである．偶数個の多(c) 7-7 coupling network.
角形ネットワークの発振器数が増えた場合も，同様
図 1: 2 つの結合多角形発振器ネットワーク (対称モ に回路方程式を導出することができる．シミュレーデル)．
ションによる調査では，式 (2) を 4 次のルンゲ=クッタ法（ステップサイズ: h = 0.005）で解く．また各パラメータは，ε = 0.1，η = 0.001 のように設定した．
1st oscillator
3L
3L
ib4 ic4 3L
ic1
ib1rr
図 3 に 3 − 3 coupling network モデルの結合強ia4ia1iRiv
R度によるアトラクタの変化を示す．結合強度が弱い
CCv
ときは全ての発振器の振幅はほぼ同じ大きさである
RRR
4thoscillator(図 3(A))．結合強度がある程度大きくなると，2 つib2ia33L
3L ic33Lia2ib3ic2rの多角形発振器ネットワークに結合されている共有riiRv
発振器の振幅が他の発振器よりも小さくなっている
vCRCのがわかる (図 3(B), (C))．さらに結合強度を大きくすると全ての発振器において発振停止が観測され2nd oscillator
3rd oscillator
る (図 3(D))．
図 2: 発振器の結合方法 (3 − 3 coupling networks).
次に，5 − 5 coupling network モデルの結果を図 4に示す．この回路モデルでは，結合強度の増加に伴
次に，図 2 の回路モデル (3 − 3 coupling network) い，共有発振器から遠い 4 番目の発振器の振幅が小の回路方程式を導出する．この回路において非線形 さくなり，γ = 1.0 のときに発振停止となる．
抵抗の vk − iRk 特性は式 (1) に示すような 3 次特性7 − 7 coupling network モデルの場合も 5 − 5 couの多項式で近似される．
pling network モデルと同じように，結合強度の増加に伴い，共有発振器から遠い 5 番目の発振器の振幅
iRk = −g1 vk + g3 vk 3 (g1 , g3 > 0), (k = 1, 2, 3, 4).
が小さくなり，γ = 1.0 のときに発振停止となる．
(1)
それぞれの対称モデルにおける振幅変化の詳細を
図 6 に示す．これらの結果から，3 − 3 coupling net正規化後の回路方程式は以下のように導出される． work モデルの場合は全ての発振器の発振停止が同じ
4th osc.

3rd osc.

12th osc.

11th osc.

m3L

R13L

rm

3L

rm

m

R44rm

rm

3L

rm

3L

3L1rm

m

R3m

R232− 240 −タイミングで起こっていることがわかる．それに対して， 5 − 5 coupling network および 7 − 7 couplingnetwork モデルにおいては，共有発振器から一番遠くに結合されている発振器の発振停止がまず起こり，その後全ての発振器の発振停止が観察されることがわかった．また，結合発振器数が多いモデルほど，全ての発振器が発振停止するまでの結合強度が大きいことがわかった．

y1y2y3y1y2
x1y3y2y1y3x5x4y5y4y2

y1x3x2x1y4y3x5x4y5(C) γ=1.0x2

x1x3x3(B) γ=0.4x4x3y3y2

y1x2

y5y4x2y2

y1y4(A) γ=0.1x1y3(A) γ=0.1x5y5y4(D) γ=1.5x4x3x2

x1y4(a) 1st(b) 2ndx5x4(c) 3rd(d) 5th(d) 4th(B) γ=0.4

y2

y1x3x2x1

図 5: アトラクタ (7-7 coupling network).

x4
y4

y3

2(C) γ=0.6

x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)

1.8
1.6

x2
y3

y2

y1x4

x3

1.4

amplitude

x1

y4(D) γ=0.7

1.2
1
0.8
0.6(a) 1stx3

x2

x1(b) 2ndx4(c) 3rd

0.4
0.2(d) 4th

00

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91γ

図 3: アトラクタ (3-3 coupling network).
y1y2y3(a) 3-3 coupling network.
2y5

y4

x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)

1.8(A) γ=0.1

1.6

x2
y3

y2

y1

x3

x5

x4
y5

y4

1.4

amplitude

x1(B) γ=0.4

1.2
1
0.8
0.6

y2

y1

x3

x2

x1

y4

y3

x5

x4

0.4
0.2

y5

0(C) γ=1.0

x2

x1

y3

y2

y1

x4

x3

0

x5

0.2

0.4

0.6

0.8

1γ

1.2

1.4

1.6

1.8

2(b) 5-5 coupling network.

y5

y42(D) γ=1.5

x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)x5 (5th osc.)

1.8(a) 1stx3x2(b) 2nd(c) 3rdx5x4(d) 4th

1.61.4(d) 5thamplitudex1

図 4: アトラクタ (5-5 coupling network).

1.2
10.80.6
0.4

2.20.2非対称ネットワーク

0

次に，非対称ネットワークモデルとして 3 − 5 coupling network，3 − 7 coupling network および 5 − 7coupling network について考える．それぞれの回路モデルは図 7 に示す．

− 241 −

00.51γ1.52(c) 7-7 coupling network.
図 6: 振幅変化の様子 (対称モデル).

4th osc.

1st osc.

5th osc.

1st osc.

4th osc.

2x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)x5 (5th osc.)

1.8

3rd osc.

1.4

amplitude

5th osc.

3rd osc.

1.6

6th osc.
2nd osc.

2nd osc.

7th osc.

6th osc.

8th osc.

(a) 3-5 coupling network.

(b) 3-7 coupling network.

1.2
1
0.8
0.6
0.4

6th osc.
5th osc.

0.2

7th osc.

0

1st osc.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

γ

0.6

0.7

0.8

0.9

1

(a) 3-5 coupling network.
8th osc.

4th osc.

2

2nd osc.
3rd osc.

10th osc.

9th osc.

x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)x5 (5th osc.)x6 (6th osc.)

1.8
1.6(c) 5-7 coupling network.
amplitude

1.4

図 7: 2 つの結合多角形発振器ネットワーク (非対称モデル)．

1.2
10.80.60.40.2

結合強度を増加させたときの振幅変化の結果を図 8に示す．3 − 5 coupling network の場合，全ての発振器の発振停止が同時に起こっている．3 − 7 coupling
network および 5−7 coupling network の場合，共有発振器から一番遠い発振器の発振停止がまず起こって，その後全ての発振器が発振停止している様子がわかる．これらの結果は対称モデルの場合とよく似た現象であることがいえる．しかし，3 − 7 coupling
network において結合強度が γ = 0.7 付近で，振幅の変動が見られた．このときのアトラクタを図 9 に示す．共有発振器の振幅が大きく振動していることがわかる．また，共有発振器と結合している発振器においても振幅の振動現象が観測される．

300.1

0.2

0.3

0.4

0.5

γ0.6

0.7

0.8

0.9

1(b) 3-7 coupling network.
2x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)x6 (6th osc.)x7 (7th osc.)x8 (8th osc.)

1.8
1.6

amplitude

1.4
1.2
10.8
0.6
0.4
0.2
00

0.2

0.4

0.6

0.8

1

γ

1.2

1.4

1.6

1.8

2(c) 5-7 coupling network.
図 8: 振幅変化の様子 (非対称モデル).

バブル構造ネットワーク

最後に一般化モデルへの第一歩として，図 10 に示すようなバブル構造ネットワークを考える．この回路モデルでは，4 つの多角形ネットワークがバブル構造のように結合されている．

y1

図 11 に結合強度による振幅変化の結果を示す．バ
ブル構造ネットワークでは，4 つの多角形ネットワー
クと共有している発振器の発振停止が一番に起こることがわかった．この回路モデルにおいても，振幅の振動現象をを観察することができた (図 12)．

40

まとめと今後の課題

y2x1y3x2x5x3y7y6y5y4x6x4y8x7x8

図 9: アトラクタ (3-7 coupling network, γ=0.7).

本研究では，これまでに提案してきた多角形発振器ネットワークの結合部分以外のインダクタの接地に− 242 −

7y18y2y3y4y56x1152x6x3y8y7y69x2x7x4y9x8x5y10x9x104103

図 12: アトラクタ (バブルモデル, γ=0.6).
図 10: バブル構造ネットワークの概略図．

furcation and Chaos, vol.15, no.11, pp.3423-3433,
Nov. 2005.

2x1 (1st osc.)x3 (3rd osc.)x4 (4th osc.)x5 (6th osc.)x8 (7th osc.)x9 (8th osc.)

1.8
1.6

amplitude

1.4
1.2[4] C.M. Gray, “Synchronous oscillations in neural systems: mechanisms and functions,” J. Computational Neuroscience, vol.1, pp.11-38, 1994.

10.8[5] R. Stoop and C. Wagner, “Neocortex’s architecture optimizes computation, information transfer
and synchronizability, at given total connection
length,” International Journal of Bifurcation andChaos, vol.17, no.7, pp.2257-2279, 2007.

0.60.40.2
000.20.40.60.81γ1.21.41.61.82

図 11: 振幅変化の様子 (バブルモデル).
抵抗を含む新しい回路モデルを考え，結合強度を大きくした場合の同期現象について調査を行った．コンピュータシミュレーションの結果，2 つの多角形発振器ネットワークモデルにおいては，共有発振器から遠い発振器から発振停止が起こるという興味深い現象が観察された．また，ネットワークモデルが非対称になることで，振幅の振動現象が起こることがわかった．バブル構造ネットワークの場合は，4 つの多角形ネットワークと共有している発振器の発振停止が一番に起こることがわかった．
本研究で得られた結果のより詳細な調査，回路実験での実証およびネットワークモデルの一般化，また，van der Pol 発振器をカオス回路にした場合の調査が今後の課題である．
参考文献[1] L.L. Bonilla, C.J. Perez Vicente and R. Spigler,“Time-periodic phases in populations of nonlinearly coupled oscillators with bimodal frequencydistributions,” Physica D: Nonlinear Phenomena,
vol.113, no.1, pp.79-97, Feb. 1998.
[2] G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic solutions for nonlinear waves in coupled reacting systems,” Physica A: Statistical Mechanics
and its Applications, vol.305, no.3-4, pp.427-436,
Mar. 2002.

[6] T. Suezaki and S. Mori, “Mutual synchronization of two oscillators,” Trans. IECE, vol.48, no.9,
pp.1551-1557, Sep. 1965.
[7] H.B. Fotsina and J. Daafouza, “Adaptive synchronization of uncertain chaotic colpitts oscillators
based on parameter identification” Physics Letters
A, vol.339, pp.304-315, May. 2005.
[8] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of a multimode ladder oscillator,” IEEE Trans. Circuits
Syst., vol.23, pp.100-113, Feb. 1976.
[9] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of twodimensional low-pass multimode oscillator,” IEEE
Trans. Circuits Syst., vol.23, pp.517-530, Sep. 1976.
[10] T. Endo and S. Mori, “Mode analysis of a ring of alarge number of mutually coupled van der Pol oscillators,” IEEE Trans. Circuits Syst., vol.25, no.1,pp.7-18, Jan. 1978.
[11] Y. Uwate, Y. Nishio and R. Stoop, ”Synchronization in Two Polygonal Oscillatory Networks Sharing a Branch,” Proc. of NDES’10, pp. 62-65, May
2010.
[12] Y. Uwate and Y. Nishio, ”Synchronizing Coupled
Oscillators in Polygonal Networks with Frustration,” Proc. of ISCAS’11, pp. 745-748, May 2011.
[13] Y. Uwate and Y. Nishio, ”Frustrated Synchronization in Two Coupled Polygonal Oscillatory Networks,” Proc. of ISCAS’13, pp. 1781-1784, May
2013.

[3] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer,“Synchronization and graph topology,” Int. J. Bi-− 243 −