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June/2006■ 技術講座知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」
機能部品事業マテリアル
マシニング

Things to know about Tribology"Rolling Contact"〈キーワード〉接触問題・ヘルツ理論・接触楕円・
パルムグレン・線接触・クラウニング

部品事業部／技術一部

高 木 俊 行 Toshiyuki Takagi
監修

部品事業部／技術一部

渡 辺 孝 一 Kouichi Watanabe知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」

要旨ものの移動には転がりという運動を使うことで、楽1. 転がり運動のメカニズムに移動できることは紀元前12,500年のピラミッド建設

転がり運動は、エネルギー損失が低く、円滑な運時からわかっていました。今日でも自動車のタイヤなど、動が期待できるために、多くの摩擦面に応用されてあらゆるところに当たり前のようにこの技術は応用さいます。

れています。

転がり運動では、接触し合う2物体が必ず存在し転がり運動をしながら接触する2物体の間には、タイヤと地面、車輪とレールなどです。
ます。例えば、どのような力が動き、伝達していくのでしょうか。この接触し合う2物体には、硬さなどの所定の要件が必ような問題を扱うのが接触問題です。

要とされます。ピラミッド建設のときも、古代人は硬い※1

これはヘルツ理論と呼ばれ、今日では接触問題

タイヤで硬い道を伝って石を運んでいました。転がりに欠かせない重要な理論です。この論文の基本原運動しながら接触する２物体の間には、当然、石な理にさかのぼって接触問題を分かりやすく解説します。

どれだどの積載荷重が加わるからです。接触面は、けの大きさになって、その面積にどのように力が伝達

Abstract
It has been perceived since the era of Pyramidthat objects can be easily moved using rolling
motion rather than using sliding motion. At
present, the technology is being applied to every possible area as if its use is the norm. Oneof applications is the tires for automobiles.
Tow objects make contact with each otherwhile they are rolling. How is a force transferred to the contact area? The contact theory is
the theory that deals with such issues and iscalled Hertz Theory. Nowadays, the theory is
absolutely essential in term of dealing withsuch contact issues. The contact issues will be
explained intelligibly here including the basic
theorem of the theory.

1

していくのでしょうか。
このような接触問題を近代の鉄鋼製品に初めて（Heinrich Rudolf Hertz；独応用した人はヘルツ
1857〜1894）です。ヘルツ理論は、接触問題に多く貢献しているのですが、論文発表当時は誰も見向きもされなかったそうです。
では、この論文の基本原理にさかのぼって接触問題を解説します。

2. 接触面で生じること
1）楕円にかかる面圧
接触する2つの物体は一体どれだけの面積で接弾性接近量 δ力
F
力の分散（面圧分布）どれだけ潰れるのでしょう。ここでは表面の凸触し、なめらかなものと仮定します。
凹はなく、ゴムボール
Pmax

ゴムボールのようなものをイメージして、こ
例えば、れに力Fを加えて床に押しつぶすことを想像してく

床面そっと床に置いたときと較べて、あださい。ボールは、る量だけ沈みこんで、ある面積の分だけ床にくっつきます。ボールに色を塗っておくと、床についた色あとの大きさが接触の大きさと形状を示してくれます。こ※2

接触楕円（接触痕）

2a2b

図1 ゴムボールを床に押しつけたときの接触状況の接触した形状を「接触楕円」と呼び、沈み込んだ※3

量を「弾性接近量」または「弾性変位量」と呼んでいます。
これらの用語は、接触問題を考えるときには頻繁に出てくるので、ぜひ覚えてください。

2）接触楕円の形状と大きさ（接触点で生ずる接触痕）
ゴムボールを床に押しつけたときの接触痕を接触では、外力Ｆはどうなったのでしょう。この力は接ボールの楕円と呼びました。実際は円なのですが、触した面積に作用していることになります。
しかし、ような球体の場合は、確かに接触痕は円になりますが、たいていの場
接触楕円というのは、1平方ミリとか、ラグビボールのような球体の場合は、楕円の接触痕合はとても小さいのです。そんな小さい面積で大きこのような接触状になるからで、ほとんどのケースは、い力を受けるということになります。

況になるからです。

このように、局所的に大きな力を受けることになる

これは曲率半径といって、接触体をある断面で切この接触面をきちんと計算し、ので、接触問題では、この曲率半径の大きさると曲率を描いていますが、必要な強度などを吟味するようにしています。
設計上、が断面により異なるから生じるものです。

全体の力を接触面積で割ったものを「平均面圧（Pmean）」と呼びます。
しかし、力は接触面に均一に分散するわけではありません、中央部がもっとも大きくなります。これを「最大面圧（Pmax）」と呼びます。

ボールはどの断面で切っても同じ曲率半径ですが、大抵の物体は切る断面により異なります。
開いた断面で曲率これを表すのに、一般には90°半径を定義することが多いようです。

これらの数値は、どのようにして計算するのかをこれから論じたいと思います。

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知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」（接触痕の最大面圧）（接触痕の大きさ）

このように数値を定義することで、結論的に言えば、鉄鋼材料でできた接触する2物体間に発生する接力F

断面Ⅱ

触楕円の大きさと、最大面圧は、外力Ｆの大きさに断面Ⅰ応じて、次の計算式で算出することができます。

１／ρ１Ⅱ１／ρ１Ⅰ
物体1Pmax−3

1／3−31／3（F／Σρ）
2a＝23.6×10 ・μ・6×10 ・ν・（F／Σρ）
2b＝23．

物体22a※42b
接触楕円力
F

図2

点接触での2物体の直交する2断面での曲率半径の採り方と接触楕円の大きさの定義

接触状況を計算するときは、曲率半径の逆数を計算に用います。これを「曲率」と呼び、一般に記号ρで表します。

曲率ρ＝１／曲率半径 です。

断面により曲率は異なるので、これらを識別をする

ρⅠとかρⅡのようにサフィックスをつけることにしのに、ています。また、接触は平面とボールのようなくみ合

ここに、曲率和Σρ＝ρ1Ⅰ＋ρ1Ⅱ＋ρ2Ⅰ＋ρ2Ⅱ

単位系は全てN、ｍｍです。

※5

ここに出てくるμおよびνは断面による、曲率差Ｄρ＝ρ1Ⅰ−ρ1Ⅱ＋ρ2Ⅰ−ρ2Ⅱを補助的に計算して、Ｄρ／Σρを計算すれば数表を使用して求めることができます。
実際に計算すると、鉄鋼材料でできた通常のベアリングでは、10ミリ程度のボールでも、2aの寸法が2ミリ程度とか、大変小さな数値が計算されますが、実際にベアリングに付いた痕をみると、計算と実際がよく合っていることが多く確認されています。

ρ1Ⅰ〜ρ2Ⅱ
特徴的なのは、2つの球体の各曲率：

わせは実際のところは殆どなく、曲率をもったもの同が決まるとμとνおよびΣρが決まり、外力Fが増加し士の組み合わせがほとんどです。ても2a／2bの比率は変わらないということです。

これらを識別するのに、さらに物体1と2の識別をつけることで、

ρ１Ⅰ、
ρ１Ⅱ・・・・物体１のⅠ及びⅡ断面
ρ２Ⅰ、
ρ２Ⅱ・・・・物体２のⅠ及びⅡ断面と識別の上、さらに曲率半径の中心が物体の中にあと、定義れば＋（凸形状）、外にあれば−（凹形状）されます。
32／3×（Σρ） （＝1.5・Ｆ／π／a／bでもある）

１／ρ2Ⅱ
１／ρ2Ⅰ

1／3

Pmax＝861.5／μ／ν×Ｆ

つまり外力の1／3乗に比例して、2aも2bも共に大きくなっていきます
わずか数ミリ平方の面積で数百キロの荷重を受けて回転しているのがベアリングのボールなのです。

3. ヘルツの数式の成立まで
1）ブシネスク理論からの展開

2）ヘルツの設定した面圧分布

2.で述べた数式はヘルツが数理論的にまとめた

この集中荷重の集まりを、例えば半径aの中心がもので、今日ではベアリングに限らず、歯車など接触Pmax半球体のような荷重の分布が平面に設定しして力を伝達する分野では必ず、設計等に利用さたとすると、計算過程は複雑なので割愛しますが、れています。

Wmax＝aπPmax／2E

この 理 論 ができる前に、ブシネスク（ J o s e p hという人が、Valentin Boussinesq；仏 1842〜1929）としたとき、任意の中心からｒの距離の沈み込みの変位wは、平板の上に針のようなもので集中荷重を与えたときに、荷重点からｒだけ離れた場所での変位がどのようになるかを数理論的に明らかにしていました。
ブシネスクの理論解：w＝F／πEr・・・・ｒ＝0でw＝∞になってしまう

2W／Wmax＝1−（r／a）／2…a／r＜1（外側）のとき
π／2
32acos θdθ
W／Wmax＝πr2 1／2）
（1−（a／r・sinθ）0

この数式は理論的に単純で、完璧なものでしたが、…a／r＞1（内側）のときｒ＝０の荷重直下では解が得られない欠点がありました。と表されるとヘルツは誘導しました。積分によりｒ＝0

そ
そこで考えたのが、集中荷重をいくつも造って、での解不能が解消されたのです。
しかも、a／r＞１（内こからｒだけ離れた地点の変位を求めたらどうなるかだっ側）の平面が潰れている形状は面圧分布とよく似たのですが、集中荷重をいくつも造り、これらがあるた形状になっているのです。

特定の一つの箇所にどのように影響するかを計算

つまり、球体を平面に押しつぶしたときの形状とこのことでｒ＝0することは、積分という作業が入り、酷似していたのです。これが大きな進展となりました。

で解が得られなくなるという欠点を克服できたのです。
a：点接触における接触楕円の半径
E：ヤング率または縦弾性係数とも言い、弾性範囲内での引っ張りまたは圧縮の応力に対するひずみ量の関係から求まる定数。
面圧負荷前の表面形状
Pmax
集中荷重F

W−3a−2a−aa

中心からの距離2a3a00.5r

ブシネスクの理論解：w＝F／πEr・・・・
ｒ＝0でw＝∞になってしまう

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面圧負荷後の表面形状
1.0

図3 ブシネスクの1点集中荷重の理論解模式図

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この部位が最も引っ張られる

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図4

W／Wmax平面に半球体面圧分布を設定したときの平面沈込み量のヘルツの理論解

4知りたいトライボロジー講座③「転がり接触について」（球体と平面の接触面はフラット）3）日常生活で面圧分布を経験すること

これを実際の球体と平面の接触に当てはめるとヘルツの面圧分布と、それに伴う平面部の表面

図5のように弾性接近量は、平面自身の沈込みと球をみればわかるのですが、接触楕円が切れる縁の体の潰れ量とで構成され、このことで接触面はフラッ

表面形状には変曲点があることがわかります。実は、ト（平面）になることを理論的に誘導できたわけです。

この部分の表面が最も引っ張られているのです。

ヘルツの理論では、接触楕円の大きさが接触したとえば豆腐のような柔らかいものにこのことは、合う物体に比べ充分小さいときに適用できると断り硬貨を何枚か重ねてそっと置いていくと目でわかる書きをしていますが、この範囲内であれば確かに接ようになります。硬貨の縁からピリピリと亀裂が入る触面はフラットになると計算できるのです。

ようになります。

この面圧分布を仮定したときに生じる沈込みとそ

一般的に、このように２つの物体を押しつけると接ヘルツは2．のときの接触痕が実際とよく合うことから、触痕の縁から順次傷が発生していくのは、このようで述べた点接触の理論解を誘導しました。

な理由によります。ここでもヘルツの面圧分布の確※6

このようにして、接触問題はどんな形状のものでもからしさが納得できます。

計算できるようになりました。また、接触面そのものはフラットになるとした面圧分布のもとで弾性流体潤滑
これらの理論は事実を理論が構成されていますが、うまく説明できるとして学会、産業界で広く支持されています。

Wmax
平面のベースがWmax／２下がる
力F
Wmax／2Wmax
球体がWmax／２潰れ接触面は平面になる
荷重負荷前

図55

荷重負荷後

平面に球体を押しつけたときの弾性接近量のヘルツ理論解

※74）線接触への展開（修正線接触理論）

ここで書いた数式では、点接触といって接触し合ころのクラウニング曲率半径値の決め方は、仮に、う2物体の各断面に曲率半径をもっているものです。

ラグビボールのよう長さleffが有限値ではないとして、ところがころ（ローラー）といって、一つの断面では曲なころが点接触したとしたときに、計算される接触楕率半径が無限大になってしまう物体を平面に押し円の長径2ａが、有限長さleffのちょうど1.5倍になるよ

つけた場合はどうなるのでしょうか？図6（ａ）の断面Ⅰクラウニング曲率半径値を決めるとしています。
うに、

ころ半径の曲率値はありますが、断面Ⅱでは曲には、この考え方が修正線接触理論の中身です。有限率半径値は無限大になっています。

長さをもった線接触の適切な接触状態を現実に作

現実的には、このようなケースはかなりあります。ピ

り出すときによく用いられる考え方となっており、ころラミッド建設に使われた運搬具も実は「ころ」でした。

軸受の設計では最もよく使う理論式の一つになっこれに対し現実を説明できる答えは与えてヘルツは、ています。

いません。この理論解を構成するには、ルンドベルグ

ある外力で接触し合う2物体の接このようにして、（Gustaf Lundberg；独 1901〜1961）、パルムグレン

触面がどのようになっているかは、ほとんど計算でき（Arvid Palmpren；スウェーデン 1890〜1971）の登場るようになってきました。

を待たなければならなかったのですが、それにしてもヘルツの接触楕円理論の特殊解として与えられました。

計算された接触楕円長径2a

それでも未だに完璧性には欠けているのですが、力Fが実態です。この大きな理由は、点接触で計算される接触楕円の大きさは接触し合う2物体の内部に確ころ有効長さleff

ころ有効長さleff

断面Ⅰ

断面Ⅰ

実に入るのに対し、線接触の場合は、接触痕がころ断面Ⅱの有限長さの端にまで至り、平面部は十分な長さがころの方は有限長さなので、ころ潰れ量があっても、断面Ⅱころ不連続になってしまうからです。
平面

それでも、何らかの計算の指針を与える必要があ

平面

ります。
クラウニング曲率半径Rcを使い計算された接触楕円（実際の接触幅ではない）（ころの外径面を曲率半径で近似）※8ころの外径面にクラウニングといって大きそこで、い曲率半径をもたせ、この半径がある適切な数値のときに次のような近似ができるとしてパルムグレンはクラウニング曲率半径RC（a）
クラウニングのないとき

図6（b）
クラウニングのあるとき（修正線接触）平面ころを押しつけるときの曲率の採り方理論付けしました。
それが今日では、修正線接触理論と呼ばれているもこの理論によれば次の結果になります。のですが、1／2（Ｆ／Σρ／leff）
2b＝3.257×10−3・1／2
Pmax＝195.4・（Ｆ・Σρ／leff）

Σρ＝ρ1Ⅰ＋ρ2Ⅰ
ここに、この分が点接触の２ａleffはころの有効長さであり、に相当するので、２ａの計算式はありません。
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4. 地球同士の衝突と接触理論
このようにして、ヘルツは今日の転がり（ベアリング）の開発にはなくてはならない功績を残してくれました。

「弾性理論（Theory of Elastity）」という著述の中で、引用し説明しています。

ヘルツは、世間の注目を集めるために、常人ではそれによれば、地球同士は数キロメートル弾性変考えつかない計算をしています。それは、地球と地位し、当然接触面はフラットになるのですが、数分後という球をその公転速度で衝突させたらどうなるか、には再び離れていくとしています。

計算でした。

計算式は複雑なので省略しますが、ベアリングある力で接触弾性変位量というくらいですので、bearingが「耐える bear」などの意味を持つように、し合う2物体は変位すると弾性エネルギーをもちます。

接触理論も地味な学問体系であったことには違いこの弾性エネ2物体の衝突前の運動エネルギーが、ないと思います。そして、そのような基本となる地味この計ルギーと釣り合うとして計算したものですが、な学問の積み重ねで、今日の産業が成立しているこ算手法はロシアの弾性理論の権威であるチェモシェとも事実だと思われます。

もンコ（Stephen P, Timoshenko；露 1878〜1972）

用語解説※1 ヘルツ理論※7 線接触二つの弾性物体が接触し荷重とともに接触面積が増加してゆく時、二物体の接近量、接触領域、接触圧力を弾性力学にもとづいて解析した理論計算式。

※2 接触楕円

円柱と平面の接触の様に、二物体が線で接触し接触部に垂直方向の荷重と増加とともに、接触面が一方向に幅をもって増大する様な接触状態。
平行2円筒も線接触となる。

※8 クラウニング

二つの弾性物体が接触面に対し垂直方向に加重を受け、接触部が潰れた時の接触部楕円形状。

※3 弾性接近量

線接触におけるころと内輪の様に円柱形と円柱形の接触、または円柱形と平面の接触の場合、ころの形状が軸方向に垂直になっているときにころ両端部で発生するエッジロードを回避するため、ころの外形面に曲率半径をもたせるとともに、ころ両端部付近にも曲率形状をもたせるもの。

二つの弾性物体が接触し、接触面に対し垂直面に対し垂直方向に加重を受けた場合、その荷重により各物体が潰れる二物体接触中心の接近量の和。

※4 曲率和Σρ＝ρ1Ⅰ＋ρ1Ⅱ＋ρ2Ⅰ＋ρ2Ⅱで表され、接触する二物体の接触面中央位置で直交する、各断面における各曲率の総和。

参考文献
1）
チェモシェンコ：弾性理論（Theory of Elastity）
2）山本雄二・兼田 宏：トライボロジー 理工学社刊.

※5 曲率差Ｄρ＝ρ1Ⅰ−ρ1Ⅱ＋ρ2Ⅰ−ρ2Ⅱで表され、接触する二物体の接触面中央位置で直交する、各断面における各物体毎の曲率の差をたしたもの。

※6 点接触球面と球面の接触の様に、接触面に対し垂直方向の荷重が増加すると荷重の増加とともに接触面が全ての方向に増加し、一般に楕円接触面を生じる様な接触状態。球面と平面、直交2円筒も点接触となる。

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〈発関連記事
1）渡辺孝一：知りたいトライボロジー講座①「トライボロジー入門」
NACHI-BUSINESS news Vol.7 D1、May／2005
2）横山 良彦・渡辺 孝一：知りたいトライボロジー講座②「摩擦・摩耗」
NACHI-BUSINESS news Vol.9 D2、November／2005

行〉 2006年6月20日
株式会社 不二越 開発本部 開発企画部
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