16 四角形(中2)まとめ2次の①②の平行四辺形で，x の値を求めなさい。

ABCDE①A②DADx36°

ExB

364°
ECB

C

三角形の内角と外角の関係から∠CED＝(180－36)÷2＝72°∠x＝58＋64＝122°∠x＝180－72＝108°∠x＝122°∠x＝108°

次の平行四辺形 ABCD で，AB//EF，AD//GH のとき，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

BCDE

10cm
EA64°

Dx

∠y＝180－64＝1168cm
GyB
44cm

F

H
3cmx＝5cm，y＝116°

C

次の平行四辺形で，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

BCDE

FxAyE
D7cm

△ABE において平行線の錯角は等しいから∠AEB＝∠EBC，よって△ABE は，二等辺三角形

x＝7△DEF において，∠DEF＝∠AEB (対頂角)，

B

8cm

C

x＝7cm，y＝1cm

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P2 【16 四角形(中2)まとめ】

6ABCDE

平行四辺形 ABCD の対角線 AC 上に AE＝CF となるように点 E，F をとると，四角形 EBFDは平行四辺形となることを証明しなさい。

A

D
E△ABE と△CDF において，仮定より，AE＝CF…①AB∥DC の錯角は等しいから，

F
BC∠BAE＝∠DCF…②平行四辺形の向かいあう辺は等しいから，

AB＝CD…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△CDF
よって，EB＝FD…④7BCDE

右の図で，四角形 ABCD，BEFC がともに平行四辺形ならば，四角形 AEFD は平行四辺形でADあることを証明しなさい。
B

仮定より，AD∥BC…①CBC∥EF…②①②より，AD∥EF…③E平行四辺形の 2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから

AD＝BC…④
BC＝EF…⑤④⑤より，AD＝EF…⑥Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

FP3 【16 四角形(中2)まとめ】

8BCDE

右の図で平行四辺形 ABCD の辺 CD の延長上に，CD＝DE となる点 E をとり，線分 BE と辺 AD との交点を F とする。このとき，AF＝DF であることを証明しなさい。
E△ABF と△DEF において，仮定より，CD＝DE …①A

平行四辺形 ABCD で，FD

2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから，

B

C

CD＝AB …②①②より，AB＝DE …③平行四辺形 ABCD で 2 組の向かいあう辺はそれぞれ平行であり，AB//CE の錯角は等しいから，∠ABF＝∠DEF …④9BCDE

右の図のように，□ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上に，AE＝BF＝CG＝DH となるような 4 点 E，F，G，H をとる。

AHD

このとき，四角形 EFGH は平行四辺形になることをE証明しなさい。

G△AEH と△CGF において，仮定より，AE＝CG …①BFC

DH＝BF …②平行四辺形の 2 組の向かいあう辺はそれぞれ等しいから，

AD=BC …③②③より，AH＝CF …④平行四辺形の 2 組の向かいあう角はそれぞれ等しいから，
11
ABCDE

次の四角形について，それぞれもっている性質を㋐～㋒からすべて選び，記号で答えなさい。
㋐

4 つの辺の長さが等しい㋑ 対角線の長さが等しい㋒ 対角線が垂直に交わる

①長方形

㋑②

ひし形

㋐，㋒

③

正方形

㋐，㋑，㋒
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P4 【16 四角形(中2)まとめ】

12平行四辺形 ABCD が次のような条件をもつとき，それぞれどのような四角形になりますか。

BCDE

その名前を書きなさい。ただし，O は対角線 AC と BD の交点です。
①BC＝CD② ∠A＝∠B

ひし形③長方形∠C＝90°，AB＝BC④ AC＝BD

AB＝BC よりひし形→正方形

正方形
⑤長方形

AC⊥BD

⑥ AO＝BO，AB＝BC
AB＝BC よりひし形→正方形

ひし形
13正方形

「対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である」ことを，証明しなさい。
ABCDE

D

平行四辺形 ABCD の対角線の交点をO とする

O△ABO と△CBO において，∠AOB＝∠COB＝90°…①B

C

BO は共通だから，BO＝BO…②平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，AO＝CO…③①②③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABO≡△CBO

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P5 【16 四角形(中2)まとめ】

14「対角線の長さの等しい平行四辺形は長方形である」ことを，証明しなさい。

BCDE

A

D

B

C平行四辺形 ABCD で，AC＝DB とする△ABC と△DCB において，

AC＝DB…①平行四辺形の向かいあう辺は等しいから，AB＝DC…②BC は共通だから，BC＝CB…③①②③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABC≡△DCB
よって，∠ABC＝∠DCB…④
また平行四辺形の向かいあう角は等しいから，16ABCDE

右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。このとき，図の中で△ACF とA

E

D

面積が等しい三角形をすべて答えなさい。
F

AB∥DC より △ACF＝ △BCF
AC∥EF より △ACF＝ △ACE

△BCF△ACE△ABE
17B

C

平行四辺形 ABCD の面積が 24cm2 とき，△BEC の面積を求めなさい。

ABCDEA

右の図のように，AB に平行にED直線 EF をひく△ABE≡△FEB…①△EFC≡△CDE…②212cm
B＝12C

18

つぎの図の△ABC で，辺 BC 上に，BP：PC＝2：3 となる点 P があるとき，△ABP とBCDE△APC の面積の比を求めなさい。

A

高さが同じなので，底辺の比がそのまま面積の比になる

2：3

B

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PCP6 【16 四角形(中2)まとめ】

19右の図は平行四辺形 ABCD で，点 E，点 F が辺 AB，BC のBCDE中点で，線分 AF，CE の交点を G とする。線分 AC，DF の交点を H とする。このとき AC//EF となる。

AE

次の問いに答えなさい。

B

平行四辺形 ABCD×H

G① △AEC と平行四辺形 ABCD の面積の比を求めなさい。

DFC1：41＝△AEC
4② △ABF と同じ面積の三角形をすべて答えなさい。

同じように，△ABF＝平行四辺形 ABCD×

14

よって

△ABF＝△AEC＝△BEC＝△AFC＝△DFC△AEC，△BEC，△AFC，△DFC
ABCD の辺 AB，BC 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

20

右の図でBCDE

このとき，次の①，②にあてはまる三角形をすべて書きなさい。
①A

D△ACF と面積が等しい三角形
E

AB∥ DC より，△ACE＝△ADE
AD∥BC より，△ACF＝△CDF△ACE，△ADE，△CDF

BF② AE＝BE のとき，△BEF と面積が等しい三角形

AE＝BE より，△BEF＝△AEF
AC∥ EF より，△AEF＝△CEF△AEF，△CEF

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CP7 【16 四角形(中2)まとめ】

ABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

21

右の図でBCDE

DF：FC＝3：2 のとき，△AFD はABCD の何倍か求めなさい。
A△AFD＝3 とすると，E

D△ACF＝2 となる。

３よって△ACD＝5なのでABCD＝10 である。

よって，△AFD はABCD のF

3倍
10２B
22C

ABCD の面積の何倍であるか答えなさい。

図Ⅰ，図Ⅱに示す三角形，四角形の面積はBCDE （M，N はそれぞれ AD，BC の中点）

図Ⅰ

A

M

D

① △ACM（図Ⅰ）E△ACM＝1△ACD ，
2△ACM＝

1 1×2 2△ACD＝12ABCD

B

NC

ABCD

② 四角形 ABNE（図Ⅰ）①から，△AEM＝11△ACM＝28ABCD
12ABCD

18ABCD＝M，N はそれぞれ AD，BC の中点だから、

ABNM＝12ABCD－四角形 ABNE＝ABNM－△AEM＝38ABCD③ 四角形 AQRM（図Ⅱ）
図ⅡA

M

線分 MN をひき，BD との交点を O とすると，△MOR＝△NOQ となる
よって四角形 AQRM＝△ANM

1△ANM＝△BAN なので， 倍4Q
B

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O

N

DRC

P8 【16 四角形(中2)まとめ】

23BCDEA

右の図のひし形 ABCD について∠x の値を求めなさい。

Dx

三角形 BCE において∠BCE＝x－36，△BCD は二等辺三角形だから∠CBE＝180－xx－24＝66－22110＋(x－36)＋(66－E110°24°x)＝180236°

BC25

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれBCDEぞれ E，F とするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

ADF△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はEそれぞれの中点で交わるから，

B

OC

AO＝CO…①
AB // DC より，錯角は等しいから，∠EAO＝∠FCO …②対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，
26
CDE

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線 AC に頂点 B，D から垂線 BE，DF をひくとBE＝DF になることを証明しなさい。

AD

F△ABE と△CDF において

E

仮定より，
∠BEA＝∠DFC＝90°…①B

平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいから，AB＝CD…②AB // DC で，錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，

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CP9 【16 四角形(中2)まとめ】

27

平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線に A，C からひいた垂線をそれぞれ AE，CFCDEとするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

A△AOE と△COF において，DO

仮定から，∠AEO＝∠CFO＝90°…①平行四辺形の定理から，AO＝CO…②

E

B

対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△AOE≡△COF

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FC