26 相似②(中3)まとめ1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と線分の比★平行線と線分の比A❶❷PHGDQB

ECF△APQ と△ABC で△DGH と△DEF で

PQ//BC ならば，EF//GH ならば，AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC

DE：DG＝DF：DH＝EF：GH

AP：PB＝AQ：QC
次の図で DE//BC のとき，x と y の値を求めなさい。

(1)
8cm

B

[解き方]

[答]

(2)

A
x4cm
D

6cm

10cm

C

B

21cm

x：10＝4：8

x：21＝4：12

x：10＝1：2

x：21＝1：3

2x＝10×1

3x＝21×1

2x＝10

3x＝21

x＝5

x＝7

6：y＝1：2

6：y＝1：3

y＝6×2

y＝6×3y＝12y＝18x＝5，y＝12[答]

E6cm

AyEyx

D4cmx＝7，y＝18

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

12cm
CP2 【26 相似②(中3)まとめ】

2ABCDEx の値を求めなさい。

①DE//BC② AB//CDA

A

6cm 4cmOE

8cmx2cm
Cx3cm4cm

D
B

B

C

D

2：3＝2：x

1：2＝3：x2x＝6x＝6x＝33cm
3BCDE

6cmx の値を求めなさい。
①DE//BC② DE//BC
A

12cm

B

A3cm
D
Ex4cm
D6cm

15cmxB

CC10cm1：5＝x：10

15：x＝5：3

5x＝10

5x＝45

x＝2x＝92cm
4E9cm

右の図で，AB//CD//EF のとき x，y の値を求めなさい。

BCDE

AB//CD より，2 組の角がそれぞれ等しいから,△AOB∽△COD△AOB と△COD の相似比は，

A
3cmx8cm

C6cm(3+6)：6＝9：6＝3：2

yx：8＝3：2
2x＝8×3E

2x＝24x＝12x12cm

ycm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

B
DO 5cm7cm
F

P3 【26 相似②(中3)まとめ】

5BCDE

x の値を求めなさい。
DE//AF，DF//AC
A
3cm①② DF//BE，DE//BC

Ax 3cm
F

D5cm

B

E F
2cmxCE2cm

B

C

BE＝y とすると，

AD ： DB ＝ AE ： EC よ り

BD：DA＝y：EF， BD：DA＝BF：FC105：3＝y：2，5：3＝2＋ ：x
3

AD：DB＝ 3 ： 2cm6D

AF ： AE ＝ AD ： AB よ り

cm

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線にはさまれた線分の比下の図で ℓ // m // n のとき，x の値を求めなさい。
①②

ℓ3cm

ℓ4cm
6cm

xnn
[解き方]

xm

m

8cm

6cm
20cm

3：x＝4：6(20－8)：8＝x：6

3：x＝2：3

12：8＝x：6

2x＝3×33：2＝x：62x＝9

2x＝3×6x＝9÷2

2x＝18x＝4.5

x＝18÷2
x＝ 9[答] 4.5cm[答] 9cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【26 相似②(中3)まとめ】

7

下の図で ℓ // m // n のとき，x, y の値を求めなさい。

ABCDE

ℓym

6：7.5＝60：75＝4：5
y：12＝4：5

5y＝48

4x＝90－5xn10cmy

右の図でℓ // m // n // p のとき x，y の長さを求めなさい。

BCDE

ℓ

18：x＝24：36

18cm

18：x＝2：324cmm

2x＝18×336cm

xx＝27
27：12＝36：y27cm

x
9

7.5cm

12cm

x

4x＝5(18－x)

x818cm(18－x)：x＝4：5

5y＝12×46cm

y16cm

n12cm
py

右の図で p // q // r // s のとき，x，y，z の値を求めなさい。

BCDE

10：20：15＝2：4：3

36：y＝4：3

x：36＝2：4

4y＝36×34x＝36×2

y＝27p14cm
qr

x＝18s

14：z＝2： 3x18cm

y27cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

yz

10cm
36cm

zx20cm
15cm21cm

P5 【26 相似②(中3)まとめ】

10

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

角の二等分線と比A★角の二等分線と比△ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするとAB：AC＝BD：DC
右の図で，AD が∠BAC の二等分線であるとき x の値をB

DC求めなさい。

(1)

(2)

A
9cm

B

[解き方]

xAx

10cm

6cm

8cm
BD 2cm CDC
24cm

9：6＝x：2

DC＝24－8＝16

6x＝18

10：x＝8：16

x＝310：x＝1：2
x＝20[答] 3cm
11ABCDE[答] 20cm

AB＝8cm，BC＝7cm，CA＝6cm の△ABC で，∠A の二等分線と辺 BC の交点を D，∠B の二等分線と辺 CA の交点を E とする。また，AD と BE の交点を F とする。

①BD，AE の長さを求めなさい。
A

44＋3

BD：DC＝8：6＝4：3 より，BD＝
BP＝AE：EC＝8：7 より，AE＝

F
B

8，
8＋7BD

②

4×7＝4(cm)
74cm

AED

cm

AF：FD，BF：FE のそれぞれを，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
AF：FD＝AB：BD＝8：4＝2：1
AF：FD

2： 1

BF：FE

5：2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

ECP6 【26 相似②(中3)まとめ】

12

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

線分の比と平行線の関係★線分の比と平行線の関係

図Ⅰ

図Ⅰの△ABC で，辺 AB，AC 上に，それぞれ，点 D，点 E があるとき，❶

AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC❷

AD：DB＝AE：EC ならば，DE//BC

DA

図Ⅱ
EE

B

DC◎ 上記の❶，❷は，2 点 D，E が，右図Ⅱのように，

AB

辺 BA、CA の延長線上にある場合にも成り立つ。

C

図Ⅰで，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。
[証明] △ADE と△ABC において，仮定より， AD：AB＝AE：AC…①共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC

よって，∠ADE＝∠ABC

同位角が等しいので，DE//BC
13

右の図で，AD：DB＝AE：EC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。

ABCDE

C を通り，辺 DB に平行な直線をひき，直線 DE との交点を F とすると，AD//CF から錯角は等しいから，∠DAE＝∠FCE…①∠ADE＝∠CFE…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，

DB

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

AEC

P7 【26 相似②(中3)まとめ】

14

右の図は点 O と△ABC の各頂点を通る直線 OA,OB,OC 上にそれぞれ，点 D，点 E，点 F をBCDE

3OA＝OD，3OB＝OE，3OC＝OF となるようとり，△DEF をかいたものである。
次の問いに答えなさい。
① △ABC∽△DEF となることを証明しなさい。

DA

O

3OA＝OD，3OB＝OE だから，
OA：OD＝OB：OE＝1：3B
よって，AB//DE だから，
AB：DE＝OA：OD＝1：3…①同様に BC//EF，CA//FD だから，
BC：EF＝1：3…②，CA：FD＝1：3…③FCE② △ABC と△DEF の相似比を答えなさい。

1：3①より 1：315

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE中点連結定理（１）A

ちゅうてんれんけつてい り★ 中 点連結定理△ABC の 2 辺 AB，AC の中点を，それぞれ D，E とすると

DE//BC，DE＝1BC2DEB

C

右の図で，D，E がそれぞれ AB，AC の中点でAあるとき，x の値を求めなさい。
[解き方] 中点連結定理より DE＝1BC2

x＝1×82

x＝4Dx

B

[答]

4cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

EC8cm

P8 【26 相似②(中3)まとめ】

次の図の△ABC で，D，E，F はそれぞれ辺 BC，CA，AB の中点である。次の問いに答えな
A
ABCDE さい。
16① 辺 DE，EF，CA の長さを求めなさい。

中点連結定理より，11cm
F11
DE＝ AB＝ ×11＝5.5225cm

11EF＝
BC＝ ×12＝622B

D②5.5cm

EF6cm

C12cm

CA＝10DE

E10cm

CA

ED と AB の位置関係を記号で答えなさい。

ED//AB③ ①②に使った定理を何と言いますか。漢字で書きなさい。

中点連結定理17

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

中点連結定理（２）8cm

AB // CD，AC，BD の中点をそれぞれ M，N とAするとき，x の長さを求めなさい。
[解き方]

線分 BC を引き，MN との交点を G とする。

BxM

N△ACB において中点連結定理より，

MG＝11AB＝ ×8＝422C

D12cm8cm△BCD において中点連結定理より

GN＝A1
1
CD＝ ×12＝622x＝MG＋GN＝4＋6＝10BxM[答] 10cm

C18B10cm

M△BCD において中点連結定理より，

NG＝x

A

線分 BC を引き，MN との交点を G とする。

11
CD＝ ×14＝722

D12cm

AB//CD，AC の中点 M，BD の中点を N とするとき x の値を求めなさい。

ABCDE

N

GN

C

6cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

D14cm

P9 【26 相似②(中3)まとめ】

19

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

中点連結定理（３）A

四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA の中点をH

Dそれぞれ E，F，G，H とする。次の問いに答えなさい。

(1) 四角形 EFGH が平行四辺形になることを証明しなさい。

E

G

[証明]
△ABD，△CBD のそれぞれにおいて，

EH // BD，EH＝CF

B

中点連結定理より，11BD，FG // BD，FG＝ BD
22

したがって，EH // FG ，EH＝FG

1 組の対辺が平行でその長さが等しいから，四角形 EFGH は平行四辺形である。
(2) AC＝BD のとき，四角形 EFGH はどんな四角形になるか答えなさい。
AH
1[解き方] (1)より EH＝FG＝ BD
2
また，△ABC，△ADC のそれぞれにおいて，

E

D
G

中点連結定理より，

EF＝HG＝1AC，仮定より AC＝BD だから
2FBC

EH＝FG＝EF＝HG，4 辺が等しいから四角形 EFGH はひし形になる。
[答] ひし形
20BCDE

下の図のように，AB＝CD の四角形 ABCD の対角線 AC の中点を P，辺 AD，BC の中点をAそれぞれ Q，R とする。次の問いに答えなさい。
Q
D① △PQR はどんな三角形になりますか。
P

二等辺三角形②①のような三角形になることを証明しなさい。

B

1AB …①21△ADC で，中点連結定理より，PQ＝ CD …②2△ABC で，中点連結定理より，PR＝仮定より AB＝CD…③Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

RCP10 【26 相似②(中3)まとめ】

21△ABC の 2 辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E とする。BE と CD の交点を F とするとき，CDE

BF：FE＝2：1 になることを証明しなさい。

A△DEF と△CBF において，

D△ABC で，中点連結定理より，
1DE＝ BC …①2DE//BC …②EFBC②より，平行な辺の錯角なので，∠EDF＝∠BCF …③∠DEF＝∠CBF …④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△DEF∽△CBF
22

四角形 ABCD の辺 AD，BC の中点をそれぞれ E，F，対角線 AC，BD の中点をそれぞれCDE

H，G とする。AB＝CD のとき，四角形 EGFH はどんな四角形か。
A

中点連結定理より，HF//EG△CAB で，HF＝1AB
2△ABD で，EG＝

1AB
2G

H

B

同様にして，EH//GF より，EH＝GF

DEC

F

23

右の図で，△ABC の辺 AB，辺 AC の中点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えBCDEなさい。

A① 線分 EF の長さを求めなさい。

45°

中点連結定理より，△ABC で，EF＝1BC＝3.523.5cm

EF② ∠AEF の大きさを求めなさい。
75°∠B＝∠AEB＝180－(45＋75)＝60°

60°

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

BC7cm

P11 【26 相似②(中3)まとめ】

24

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似比と面積比★相似な平面図形
相似比が m：n のとき周の長さの比は m：n
面積の比はm2：n2
DE // BC

右の図で次の問いに答えなさい。

A(1) △ABC と△ADE の相似比を求めなさい。
[解き方]

AC：AE＝9：6 なので相似比は 3：26cm[答] 3：2(2) △ABC と△ADE の面積の比を求めなさい。
[解き方]

32：22＝9：4

DE3cm[答] 9：4B(3) △ABC の面積が 36cm2 のとき，△ADE の面積をC求めなさい。
[解き方] △ADE の面積を x cm2 とすると(2)より

9 x 144，x＝1636：x＝9：4 ，9 x＝36×4 ，9 x＝144 ， ＝99[答] 16 cm225
ABCDE△ABC∽△DEF で，その相似比は 3：2 である。
△DEF の面積が 16 cm2 のとき，△ABC の面積を求めなさい。

x＝3636 cm226

右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：3 に分ける点を E とします。

BCDE

また，直線 CE と AD の交点を F とします。このとき，△CFD と平行四辺形 ABCD の面積比を求めなさい。

FA

D

E

AE：EB＝2：3 より△AEF：△BEC＝4：9

AE：DC＝2：5 より△AEF：△CFD＝4：25，

BC

また，△AEF：四角形 AECD＝4：21

5： 6

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【26 相似②(中3)まとめ】

27

平行四辺形 ABCD の辺 AB の中点を E，AC と DE の交点を F とする。△AEF の面積が a

BCDEのとき，△AFD，△DFC，四角形 EBCF の面積を，a を使って表しなさい。
A

AB//DC，AE：CD＝1：2 より

aE△AEF：△AFD＝EF：FD＝1：2△AFD＝△AEF×2＝2aDFB△AFD：△DFC＝AF：FC＝1：2

C△DFC＝△AFD×2＝4a△AFD

2a△DFC

4a5a四角形 EBCF

28

右の図のように，AB＝10cm，AD＝6cm の平行四辺形において∠DAB の二等分線と辺 BC をCDE

C の方へ延長した直線との交点を E，線分 AE と対角線 BD，辺 CD との交点を F，G とする。
6cm

次の問いに答えなさい。
A① 線分 AG と線分 GE の長さの比を求めなさい。
10cm△AGD と△EGC においてDFAD//BE より∠DAG＝∠CEG…①G∠AGD=∠EGC(対頂角)…②①，②より 2 角がそれぞれ等しいから，B

C△AGD∽△EGC

3：2

よって AG：GE＝3：2②

GE＝3cm のとき，線分 FG の長さを求めなさい。
△ABF∽△GDF＝AB：DG＝10cm：6cm＝5：3＝AF：FG
よって AG：FG＝8：3 ，FG＝33 9
27
AG＝ × cm＝cm
88 216cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

E

P13 【26 相似②(中3)まとめ】

29

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比★相似な立体
相似比が m：n のとき表面積の比は m2：n2
体積の比は m3：n3

2 つの立体 P，Q があり，その相似比は 2：3 である。
(1) P の表面積が，36 ㎠のとき，Q の表面積を求めなさい。
[解き方] Q の表面積を x とすると，相似比が 2：3 だから，表面積の比は 22：32＝4：9

4：9＝36：x
4x＝9×36
4 x 9×36＝44x＝81[答] 81cm2(2) P の体積が，80 ㎤のとき，Q の体積を求めなさい。
[解き方] Q の体積を y とすると，相似比が 2：3 だから，体積の比は 23：33＝8：27

8：27＝80：y8y＝27×80
8y 27×80＝88y＝27030
ABCDE[答] 270cm3

相似な 2 つの円錐 A，B があり，底面の直径の比が 1：3 のとき，次の問いに答えなさい。
①A，B の表面積の比を答えなさい。
相似比が m：n のとき，表面積の比は m2：n2＝12：32＝1：9②

1： 9A，B の体積比を求めなさい。
相似比が m：n のとき，体積の比は m3：n3＝13：33＝1：27③1：27B の体積が 54πcm3 のとき，A の体積を求めなさい。
27x＝54π×12πcm331BCDE

相似な 2 つの円柱の表面積の比が 16：9 のとき，体積比を求めなさい。
体積比は 64：2764：27

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【26 相似②(中3)まとめ】

32

右の図のような円錐の容器に 250cm3 の水を入れたところ水面の高さは 10cm になった。水面BCDEをさらに 2cm 高くするには，何 cm3 の水を加えればよいか答えなさい。

x＝432432－250＝18210cm

182cm333

右の図の台形 ABCD を，辺 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。

BCDE延長した線の交点を点 E とする。

6cm

A

辺 AB を点 A 側に延長した線と辺 DC を点 D 側に

D4cm

台形 ABCD を回転してできた立体の体積は△EBC を回転してできた円錐から△EAD を回転してできたBC

9cm

円錐を引くと求めることができる。また辺 EA の長さは228πcm334

右の図で，点 B，C，D は四角錐の辺 AE を 4 等分する点である。それらの点を通り底面にCDE平行な 3 つの平面で四角錐を切り，㋐，㋑，㋒，㋓の 4 つの立体に分ける。 A① もとの円錐の表面積は，㋐の表面積の何倍か。
㋐
B
もとの円錐と㋐の相似比は 4：1

CD16 倍②E㋐の体積が a のとき，㋑～㋓の体積を，a を使って表しなさい。

㋑…a×23－a＝7a㋑

7a㋒…a×33－a×23＝19a㋒

19a㋓㋓…a×43－a×33＝37a37a

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

㋑㋒㋓P15 【26 相似②(中3)まとめ】

35

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

応用
AEM// CD，AD＝DE＝EB，BM＝MC のとき x の長さを求めなさい。
D[解き方] 中点連結定理より，

F

DC＝2EM＝2×8＝16
DF＝x＝16－4＝12[答] 12cmEM//CD，BC の中点を M とするとき x，y の値を求めなさい。

BCDE

①A

B

6cm2cm

FCA8cmD
y6cm
MM②Dx8cm

B

36ExE

1
1
EM＝ ×8＝422ECx3cm 4cmBy＝8－2＝6FMyCx＝2△BCD で中点連結定理より，

DC＝3×2＝6y＝6－2＝4x4cm ， y 6cmx2cm ， y 4cm

37

右の図のように，長方形 ABCD の辺 CD 上の点 P と頂点 B を結ぶ線分 BP を折り目としてCDE

この長方形を折り返したところ，頂点 C がちょうど辺 AD と重なった。その点を C’とするとき，△ABC’∽△DC’P を証明しなさい。

AC’△ABC’と△DC’P において

DP

仮定より，
∠BAC’＝∠C’DP＝90° …①∠BC’A＝180°－∠PC’B－∠PC’D

B＝180°－90°－∠PC’D＝90°－∠PC’D …②①，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ABC’∽△DC’P

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

CP16 【26 相似②(中3)まとめ】

38

右の図で AB//CD//EF のとき，EF の長さを求めなさい。
ADE△ABE と△DCE で，18cm

AB//CD より，錯角は等しいから

CE∠ABE＝∠DCE…①∠EAB＝∠EDC…②2 組の角がぞれぞれ等しいから，△ABE∽△DCE12cm

B

相似比は 18：12＝3：2 よって，EA：DE＝3：2，DA：DE＝5：2…③

F

D△DAB と△DEF で，7.2cm
39

右の図で，AD//BC の台形の対角線の交点を通り，辺 BC に平行な直線をひき，AB，DC とのDE交点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えなさい。

9cm
A①EO，FO の長さを求めなさい。

DEOF△AOD と△COB で，AD//BC から錯角は等しいから，
B∠DAO＝∠BCO…(1)C15cm∠ADO＝∠CBO…(2)(1)，(2)より，2 組の角がそれぞれ等しいから，
45
同様に，EO＝8EOcm

FOcm② 台形 ABCD の面積は△AOD の何倍になるか答えなさい。

台形 ABCD の高さを h とすると，台形 ABCD の面積＝(9＋15)×h×12h÷倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

1＝12h2

P17 【26 相似②(中3)まとめ】

40

右の図のような平行な平面 P，Q，R 上に A，B，C，D，E，F があるとき，DE

AB：BC＝DE：EF であることを証明しなさい。
ただし，ABC と DEF はそれぞれ一直線上にAあるものとします。

A を通り，直線 DF に平行な直線と平面 Q，R との交点をそれぞれ X，Y とする。

BC

平面 P，Q，R は平行だから，四角形 AXED と四角形 XYFE は共に平行四辺形
よって，AX＝DE，XY＝EF…①

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

DPEQFR