社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

抵抗で結合されたパラメータ励振ファンデアポール発振器のスイッチング現象
粂野 紘範†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 電気電子工学科 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島町 2-1
E-mail: †{kumeno,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし 本研究では、パラメータ励振ファンデアポール発振器の結合系に発生する同期現象について調査している。
このシステムにおいて３つの部分回路を結合した場合、パラメータ励振を表す関数に位相差が無いとき同期の自己スイッチング現象が発生することを確認した。また、結合の強さによって、スイッチングの特徴が変化することを確認した。
キーワード

Synchronization, Parametric excitation, van der Pol oscillator, Self-switching phenomenon

Self-Switching Phenomena of Parametric Excited van der Pol Oscillators
Coupled by a Resistor
Hironori KUMENO† and Yoshifumi NISHIO†† Dept. of Electrical and Electronic Eng., Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima,770–8506 Japan
E-mail: †{kumeno,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate synchronization of parametrically excited van der Pol oscillators. In thecase of three subcircuits, we confirm self-switching phenomenon of synchronization states when there is not phasedifference of the functions corresponding to the parametric excitation. Additionary, we confirm that switching
characteristics is changed by bonding force.
Key words Synchronization, Parametric excitation, van der Pol oscillator, Self-switching phenomenon

1. ま え が き

周期振動が発生することはすでに文献 [3] に報告されており、カオスの発生についても文献 [4], [5] などに言及されている。本同期は自然の基本的な現象の一つであり、様々な分野にわた研究では、我々はパラメータ励振ファンデアポール発振器の結り観測される。そして結合発振器の同期現象の研究は、物理学合系における同期現象を調査する。このシステムにおいてコン[1]、生物学 [2]、工学などの幅広い分野で行われている。この

ピュータシミュレーションを行い、様々な種類の同期現象が発結合発振器の同期現象を調査することは現在解明されていない生することを確認した。2 個の部分回路を結合した場合は逆相様々な自然現象の法則の解明につながるとされ、将来の工学応同期が観測された。また 3 個の部分回路を結合した場合は、初用のために重要だと考えられる。結合発振器の中でもファンデ期値によって 3 個の部分回路が同相同期、3 個のうち 2 個の部

アポール発振器の結合系は系が単純で取り扱いが簡単なことな分回路が同相同期、そして同期の自己スイッチング現象が観測どから、多くの研究者によって研究されており、そのシステムされた。に発生する同期は自然のリズム現象の同期をモデル化できる。
また、パラメータ励振回路は共振回路の一つであり、日本の歴

2. 回路モデル

史的な計算機であるパラメトロン計算機の論理素子として研究

本研究で用いる回路モデルを図 1 に示す。このシステムは nされてきた。パラメータ励振回路に発生する様々な非線形現象個の同じパラメータ励振ファンデアポール発振器が一つの抵抗を調査することは記憶素子や論理素子として工学応用のためにR で結合された形で表される。この回路は時変インダクタを含重要であると考えられている。パラメータ励振を含むシンプル

み、その時間変化は次式で表し、その回路図を図 1(b) に示す。

な発振器において、非線形インダクタが飽和特性をもつとき概—1—

図 3

個々の部分回路による分岐図. 横軸: ε. 縦軸: x. α = 0.95,

ω = 1.50.
(a) 抵抗で結合されたパラメータ励振を含むファンデアポール

準周期的アトラクタそしてカオス的アトラクタが観測される。

回路.

図 4 は個々の部分回路で観測されるカオス的アトラクタの例である。ポアンカレセクションは “ωτ = 2nπ” としている。

(b) 時変インダクタ.

図1

回路モデル.

図 4

L = L0 γ(τ ).

個々の部分回路から得られるカオス的なアトラクタとポアンカ
レマップの例, α = 0.95, ω = 1.50. ε = 1.5.

(1)

本研究では γ(τ ) は図 2 のような矩形波で表される場合を対象

3. 2 個の部分回路を結合した場合とし、その振幅と角周波数は α、ω とする。

この節では、n = 2 の場合を考える。2 個のパラメータ励振を含むファンデアポール回路を一つの抵抗で結合する。まず、パラメータを ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50, δ = 0.80 で一定とし、矩形波の位相差を変化させる。このパラメータで 2 個の部分回路はそれぞれカオスを発生する。図 5 はコンピュータによるシミュレーション結果を示す。図 5(a) が示すように、位相差が無いとき、2 個の部分回路は逆相で完全に同期する。しかし
図2ながら、位相差が増えていくと、二つの部分回路は同期が外れパラメータ励振を表す関数.ていく (図 5(b) 参照)。

非線形抵抗の v − i 特性は次の式により近似する。

id = −g1 vk + g3 vk .

(2)

次の変数変換とパラメータを用いることにより、

t=√r
L0 Cτ, vk =r
ik =g1
g3r

g1
xk , δ =g3Cy k , ε = g1
L0rr

CR,L0L0,C(3)(a)

正規化された回路方程式は次式で与えられる。

dxk


= ε(xk − x3k ) − yk dτnXdyk1=xk − δyj .
 dτ
γ(τ )

(4)(b)(1)j=1

図 3 は個々の部分回路で得られる分岐図である。個々の部分回路においてパラメータ ε を変化させることで周期的アトラクタ、

図5(2)(3)アトラクタと位相差. ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50, δ = 0.80.
矩形波の位相差: (a) 0, (b) π/20, (c) π/4, (d) π. (1) x1 - y1 .

(2) x2 - y2 . (3) y1 - y2 .

—2—また、それぞれの部分回路が周期波形を発生するようにパラメータを設定したときでも、上記と同様の現象が見られた。

4. 3 個の部分回路を結合した場合の部分回路が周期的アトラクタを発生させている ε = 1.35 のときでもまた観測される。しかしながら、パラメータ ε が小さいとき、同期の自己スイッチング現象は観測されずに、初期値によって決まる一組の部分回路が逆相に同期する。従って、同

この節では n = 3 の場合を考える。まず、それぞれの部分回期の自己スイッチング現象はパラメータ ε に関係し、そしてそ路のパラメータ励振に与える矩形波に位相差が無いとする。図のスイッチングスピードは結合係数 δ に関係する。図 9 はス6 と図 7 は ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50, δ = 0.80 のときのイッチングの滞在周期の平均と標準偏差を示す。滞在時間の平コンピュータによるシミュレーション結果を示す。このとき、

均と標準偏差は結合強度に比例する。また、結合強度は同期の初期値によって 3 つの部分回路が同相同期、2 個の部分回路がスイッチングパターンにも影響を与える。図 11 に一定の自己同相同期、同期の自己スイッチング現象が確認される。3 個のスイッチングの推移パターンをとる確率を示す。結合強度があ部分回路の初期値が等しいとき 3 個の部分回路が同相同期するる程度より大きいと自己スイッチングで同期する部分回路の推(図 6(a))。3 個のうち 2 個の部分回路の初期値が等しいとき 2移パターンは初期値によって決まっている。例えば図 8(1) な個の部分回路が同相同期する (図 6(b))。3 個の部分回路の初期ら同期状態が (a)(b)(c) の順で繰り返し変化していく。しかし、値がそれぞれ別のとき、同期の自己スイッチング現象が観測さ結合強度が小さいと推移するパターンに誤差が生じる。

れた (図 7)。 図 7 の上段は各部分回路のアトラクタを、下段は次に、矩形波に位相差があった場合を考える。パラメータ

部分回路間の位相差を示す。そして、同期状態 (a)、(b) と (c)ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50, δ = 0.30 を一定にし、部分回路は時間で切り替わる。図 7(a) と図 8(a) が示すように、部分回の矩形波の位相差を 2π/3 と 4π/3 とする。この場合、同期の路 2 は他の 2 個の回路と逆相同期する。しかしながら、時間が自己スイッチング現象は発生せずに、3 個のうち 2 個の部分回たつにつれて、部分回路 1 か部分回路 3 の振幅が小さくなって路が逆相に同期する。

いく (図 8(2) では部分回路 3)、そして最終的には同期のパター一組の逆相同期した部分回路は矩形波の位相の順番によってンが別のパターンへ変化する。パターン変化後は図 7(b) と図決まる。また、逆相同期している回路とと残りの回路、例えば8(b) が示すように、変化前に部分回路 2 と逆相同期していたも図 12(a) では部分回路 1 と 2 は位相が約 π/4 ずれている。

う一つの部分回路が他の 2 個の部分回路と逆相同期する。そして次はパターン変化前に他の 2 個の部分回路と逆相同期していた部分回路 2 の振幅が小さくなっていく。さらに時間がたつと

5. ま と め
本研究では、パラメータ励振ファンデアポール発振器の結合次のスイッチングが起こる。
部分回路のパラメータが一定だと見なしたとき、スイッチングスピードは結合係数 δ に関係する。結合係数 δ が小さいとき結合力が弱いので、スイッチングスピードが速い (10(a))。そして結合係数 δ を増やすとスイッチングスピードが遅くなる(10(b))。さらに加えて、同期の自己スイッチング現象は、個々(a)

(a)
(b)

(b)
図 6 2,3 個の部分回路が同相同期. ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50,

δ = 0.80.

(c)
図7

自己スイッチング現象のアトラクタと位相差. ε = 1.50, α = 0.95,

ω = 1.50, δ = 0.80.

—3—

(1)

(2)
図8

自己スイッチングの時系列. ε = 1.50, α = 0.95 and ω = 1.50.

(1)δ = 0.80. (2)δ = 20.00.
図 11

決まったスイッチングパターンをとる確率. ε = 1.50, α = 0.95

and ω = 1.50.

(a)

図 12

各部分回路の矩形波に位相差があったときのアトラクタ, 位相差, 時系列. ε = 1.50, α = 0.95, ω = 1.50, δ = 0.30. 矩形波の位相差: 2π/3, 4π/3.

かったとき同期の自己スイッチング現象が発生する。そして自己スイッチング現象の特徴に結合強度が様々な影響を与えることを確認した。また他方、パラメータ励振を表す関数に位相差(b)図 9 自己スイッチングの滞在時間の平均周期と標準偏差. 横軸: δ. 縦軸: period. ε = 1.50, α = 0.95 and ω = 1.50. (a) 平均. (b)
標準偏差.

があった場合、3 個のうちの 2 個の部分回路は逆相に同期する。
謝辞
本研究は矢崎科学技術振興記念財団の援助を受けて実施されたものである。
文(a)

(b)
図 10

部分回路間における x の差の時系列. ε = 1.50, α = 0.95 andω = 1.50. (a) δ = 0.80. (b) δ = 20.0.

系にみられる同期について調査した。2 個、または、3 個の部分回路の場合にコンピュータシミュレーションを行い、発生する様々なカオスの同期現象を確認した。2 個の部分回路の場合、パラメータ励振を表す関数の位相差に関係する同期現象を確認した。そのとき 2 個の部分回路は逆相に同期する。3 個の部分

献[1] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and graph topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol.15, no.11, pp.3423-3433, Nov. 2005.
[2] J. Cosp, J. Madrenas, E. Alarcon, E. Vidal and G. Villar, “Synchronization of nonlinear electronic oscillators forneural computation,” IEEE Trans. Neural Networks, vol.15,no.5, pp.1315-1327, Sep. 2004.
[3] C. Hayashi, “Nonlinear Oscillations in Physical Systems,”
Chap. 11, McGraw-Hill, New York (1964).
[4] C. Hayashi, M. Abe, K. Oshima and H. Kawakami, “Themethod of mapping as applied to the solution for certaintypes of nonlinear differential equations,” Ninth International Conference on Nonlinear Oscillations, Kiev (Aug.Sept.1981).
[5] M. Inoue, “A Method of Analysis for the Bifurcation of theAlmost Periodic Oscillation and the Generation of Chaos
in a Parametric Excitation Circuit,” Trans. of IEICE, vol.
J68-A, no. 7, pp. 621-626, 1985.

回路を結合した場合、パラメータ励振を表す関数に位相差が無—4—