3-8 図形と相似② 啓林館
1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と線分の比（１） 啓 P.133～134★平行線と線分の比
A

❶

❷

P

H

G
D

Q

B

E

C

F

△APQ と△ABC で△DGH と△DEF で

PQ//BC ならば，

EF//GH ならば，

AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC

DE：DG＝DF：DH＝EF：GH

AP：PB＝AQ：QC
次の図で DE//BC のとき，x と y の値を求めなさい。

(1)
8cm

B

[解き方]

[答]

(2)

A
x

4cm
D

6cm

10cm

C

B

21cm

x：10＝4：8

x：21＝4：12

x：10＝1：2

x：21＝1：3

2x＝10×1

3x＝21×1

2x＝10

3x＝21

x＝5

x＝7

6：y＝1：2

6：y＝1：3

y＝6×2

y＝6×3

y＝12

y＝18

x＝5cm，y＝12cm

[答]

E
6cm

A

y

E

y

x

D
4cm

x＝7cm，y＝18cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

12cm
CP2 【3-8 図形と相似② 啓林館】

2
ABCDE

平行線と線分の比 啓 P.133～134

次の図で DE//BC のとき，x と y の値を求めなさい。
①②

x：10＝4：8

x：21＝4：12

x：10＝1：2

x：21＝1：3

2x＝10×1

3x＝21×1

2x＝10

3x＝21

x＝5

x＝ 7

6：y＝1：2

6：y＝1：3

y＝6×2

y＝6×3

y＝12

y＝18

x＝5，y＝12

x＝7，y＝18

3
A

平行線と線分の比 啓 P.133～134

x の値を求めなさい。
①

DE//BC② AB//CD

AD：AB＝DE：BC より

AO：OD＝BO：OC より

4：6＝2：x

4：8＝3：x2：3＝2：x

1：2＝3：x

2x＝6

x＝6

x＝3

3cm

6cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【3-8 図形と相似② 啓林館】

4

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

平行線と線分の比（２） 啓 P.134
DE//BC ならば，AD：DB＝AE：EC であることを証明しなさい。
[証明] 点 E を通り，辺 AB に平行な直線をひき，辺 BC との交点を F とする。
△ADE と△EFC で，平行線の同位角は等しいので，DE//BC から，∠AED＝∠ECF…①

AB//EF から，∠DAE＝∠FEC …②①，②から，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ADE∽△EFC
よって，AD：EF＝AE：EC
四角形 DEFB は平行四辺形だから，EF＝DB
したがって，AD：DB＝AE：EC
5
CDE

平行線と線分の比 啓 P.134

DE//BC ならば，AD：DB＝AE：EC であることを証明しなさい。

点 E を通り，辺 AB に平行な直線をひき，
点 BC との交点を F とする。
△ADE と△EFC で，平行線の同位角は等しいので，

DE//BC から，∠AED＝∠ECF…①
AB//EF から，∠DAE＝∠FEC …②①，②から，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ADE∽△EFC
よって，AD：EF＝AE：EC
四角形 DEFB は平行四辺形だから，EF＝DB
したがって，AD：DB＝AE：EC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【3-8 図形と相似② 啓林館】

6

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線と線分の比（３） 啓 P. 135
次の図で，x の値を求めなさい。

(1) DE//BC
A

(2)
15cm

10cm
D
2cm
B

10cm
E

y

AB//CDA
4cm 3cm

12cm

B

x

O
l

x

C

C

D

[解き方] 15：x＝10：2

4：10＝3：x

15：x＝5：1

2：5＝3：x5x＝15×1

2x＝15
15
x＝
2

5x＝15
x＝3
y：12＝10：(10＋2)
y：12＝10：12
y：12＝5：6
6y＝12×5
y＝10[答]

x＝3cm，y＝10cm

15[答] x＝ cm2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【3-8 図形と相似② 啓林館】

7
ABCDE

平行線と線分の比 啓 P. 135
次の図で，x, y の値を求めなさい。
①

DE//BCA② AB//CDA
B
4cm 3cm
x
10cm
O

15cm

10cm
D
2cm
B

y
12cm

E

l

x
C

C

D

15：x＝10：2

4：10＝3：x

15：x＝5：1

2：5＝3：x5x＝15×1

2x＝15

5x＝15

x＝

15
2

x＝3
y：14＝10：(10＋2)
y：14＝10：12
y：14＝5：6
6y＝12×5
y＝10

x＝3，y＝10x＝

15
2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P6 【3-8 図形と相似② 啓林館】

8
ABCDE

平行線と線分の比 啓 P. 135

x の値を求めなさい。
DE//BC①② DE//BC③ AB//CD

AD：DB＝AE：EC より

AD：AB＝DE：BC より

4：x＝6：2

5：(5＋x)＝6：9

x：4.5＝2：3

4：x＝3：1

5：(5＋x)＝2：3

3x＝9

3x＝4

2(5＋x)＝15

x＝3

4
3

10＋2x＝15

x＝

AB：CD＝BO：OC より

2x＝5

x＝

4
3 cm

5
2

5
2 cm

3cm

9
A

平行線と線分の比 啓 P. 135

x の値を求めなさい。
①

DE//BC

12cm② DE//BC

A

A

3cm
D
E
x

B

4cm
D
6cm

C
10cm
AD：AB＝DE：BC より

3：(3＋12)＝x：10

E

x

B

C

AC：EC＝AB：DB より
15：x＝(4＋6)：6

3：15＝x：10

15：x＝10：6

1：5＝x：10

15：x＝5：3

5x＝10

5x＝45

x＝2

x＝9

2cm

15cm

9cm

10

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【3-8 図形と相似② 啓林館】

11
E

平行線と線分の比 啓 P. 135
右の図で AB // ED のとき BC，CE の長さを求めなさい。

AB//ED より，錯角は等しいから，∠CAB＝∠CED…①
対頂角より，∠ACB＝∠ECD…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABC ∽ △EDC

AB：ED＝3：5 より，△ABC と△EDC の相似比は，3：5
したがって，BC：DC＝CA：CE＝3：5

BC＝x とおくと，3：5＝x：5－x

CE＝y とおくと，3：5＝10－y：y

5x＝3(5－x)3y＝5(10－y)5x＝15－3x3y＝50－5y

5x＋3x＝15

3y＋5y＝50

8x＝15

8y＝50

15
x＝ 8

50
y＝ 8
25
＝4

15
BC
cm
8
12
E

25
CE
cm
4
平行線と線分の比 啓 P. 135

右の図で，AB//DE のとき x，y の値を求めなさい。

AB//DE より，同位角は等しいから，∠ABC＝∠DEC…①
共通より，∠ACB＝∠DCE…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABC∽△DEC

AB：DE＝10：6＝5：3 より，△ABC と△DEC の相似比は，5：3
CA：CD＝BC：EC＝5：3 よって，AD：DC＝BE：EC＝2：3
15
＝2：3
2

4：y＝2：3

3x＝15

2y＝12

x＝5

y＝6

x：

x

5cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

y6cm

P8 【3-8 図形と相似② 啓林館】

13
BCDE

平行線と線分の比 啓 P. 135
右の図で，AB//CD//EF のとき x，y の値を求めなさい。

AB//CD より，2 組の角がそれぞれ等しいから,△AOB∽△COD△AOB と△COD の相似比は，(3+6)：6＝9：6＝3：2
x：8＝3：2
2x＝8×32x＝24x＝12CD//EF より，2 組の角がそれぞれ等しいから,△COD∽△FOE
5：y＝6：7△COD と△FOE の相似比は，6：7

6y＝5×7
6y＝35
35
y＝ 6

x

35
x＝12, y＝ 6

12cm

y

14
E

35
cm
6

平行線と線分の比 啓 P. 135

x の値を求めなさい。
①

DE//AF，DF//AC② DF//BE，DE//BC

BF＝y とすると，

AD ： DB ＝ AE ： EC よ り

BD：DA＝y：EF， BD：DA＝BF：FC
10
5：3＝y：2，
5：3＝2＋ ：x3
16
3y＝10，
5：3＝ ：x
3
10
y＝ ，
5x＝16
3
16
x＝
5

16
cm
5

AD：DB＝ 3 ： 2
AF ： AE ＝ AD ： AB よ り
x： 3 ＝ 3 ： 5
5x＝ 9
9
x＝
5

9
cm
5

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【3-8 図形と相似② 啓林館】

15

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

平行線にはさまれた線分の比（１） 啓 P.136～137★平行線と線分の比
右の図で，直線 ℓ // m // n，FH // AE のとき

AB：BC＝AD：DE で AD＝FG，DE＝GH
なので，AB：BC＝FG：GH
右の図で，直線 ℓ // m // n のとき，

AB：BC＝FG：GH であることを証明しなさい。
[証明] 点 A を通り直線 FH に平行な直線をひき，直線 ℓ，m，n との交点をそれぞれD，E とする。△ACE で，BD // CE だから，AB：BC＝AD：DE，
四角形 ADGF，四角形 DEHG はともに平行四辺形だから，AD＝FG，DE＝GH，したがって，AB：BC＝FG：GH
16
CDE

平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137
右の図で，直線 ℓ // m // n のとき，AB：BC＝FG：GH であることを証明しなさい。

点 A を通り直線 FH に平行な直線をひき，
直線 ℓ，m，n との交点をそれぞれ D，E とする。
△ACE で，BD // CE だから，
AB：BC＝AD：DE，
四角形 ADGF，四角形 DEHG はともに平行四辺形だから，AD＝FG，DE＝GH，
したがって，AB：BC＝FG：GH

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P10 【3-8 図形と相似② 啓林館】

17

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

平行線にはさまれた線分の比（２） 啓 P.136～137
下の図で ℓ // m // n のとき，x の値を求めなさい。
①

②

[解き方]

3：x＝4：6(20－8)：8＝x：6

3：x＝2：3

12：8＝x：6

2x＝3×33：2＝x：62x＝9

2x＝3×6

x＝9÷2

2x＝18

x＝4.5

x＝18÷2
x＝ 9[答] 4.5cm
18ABCDE[答] 9cm
平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137

下の図で ℓ // m // n のとき，x の値を求めなさい。
①②

3：x＝4：6(20－8)：8＝x：6

3：x＝2：3

12：8＝x：6

2x＝3×33：2＝x：62x＝9

2x＝3×6

x＝9÷2

2x＝18

x＝4.5

x＝18÷2
x＝ 9

4.5cm

9cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【3-8 図形と相似② 啓林館】

19
B

平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137
下の図で ℓ // m // n のとき，x の値を求めなさい。
①②③

9：x＝6：10

20：(x－20)＝15：9

7：x＝6：(15－6)

9：x＝3：5

20：(x－20)＝5：3

7：x＝6：93x＝9×55(x－20)＝20×3

7：x＝2：33x＝45

5x－5×20＝60

2x＝7×3x＝15

5x－100＝60

2x＝21

5x＝60＋100x＝10.55x＝160
x＝32

15cm

32cm

10.5cm20
B

平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137
下の図で ℓ // m // n のとき，x の値を求めなさい。

6：7.5＝60：75＝4：5
y：12＝4：5(18－x)：x＝4：5

5y＝12×4

4x＝5(18－x)5y＝48

4x＝90－5x48
y＝ (9.6)5

4x＋5x＝90
9x＝90
x＝10

x

10cm

48
(9.6)cmy5

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【3-8 図形と相似② 啓林館】

21
CDE

平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137
右の図でℓ // m // n // p のとき x，y の長さを求めなさい。

18：x＝24：36
18：x＝2：3
2x＝18×3
x＝27
27：12＝36：y27y＝12×36
y＝16

27cm

x
22
CDE

y

16cm

平行線にはさまれた線分の比 啓 P.136～137
右の図で p // q // r // s のとき，x，y，z の値を求めなさい。

10：20：15＝2：4：3

36：y＝4：3

x：36＝2：4

4y＝36×3

4x＝36×2

y＝27

x＝18
14：z＝2： 3
2z＝14×3z＝21

x＝18 ，y＝27 ，z＝21
x

18cm

y

27cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

z

21cm

P13 【3-8 図形と相似② 啓林館】

23

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

角の二等分線と比（１） 啓 P.137～138★角の二等分線と比△ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするとAB：AC＝BD：DC△ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするとAB：AC＝BD：DC であることを証明しなさい。
[証明] 点 B を通り，AD に平行な直線と，CA を延長した
直線との交点を P とする。

AD//PB だから，平行線の同位角は等しいから，∠CAD＝∠APB
また，錯角も等しいから，∠DAB＝∠ABP
仮定より，∠DAB＝∠CAD

したがって，∠APB＝∠ABP

2 つの角が等しいから，△ABP は二等辺三角形となり，AP＝AB …①△PBC で，AD//PB だから，CA：AP＝CD：DB …②①，②から，AB：AC＝BD：DC
24
CDE

角の二等分線と比 啓 P.137～138△ABC の∠A の二等分線と辺 BC との交点を D とするとAB：AC＝BD：DC であることを証明しなさい。

点 B を通り，AD に平行な直線と，CA を延長した直線との交点を P とする。
AD//PB だから，平行線の同位角は等しいから，∠CAD＝∠APB
また，錯角も等しいから，∠DAB＝∠ABP
仮定より，∠BAD＝∠DAC
したがって，∠APB＝∠ABP
2 つの角が等しいから，△ABP は二等辺三角形となり，
AP＝AB …①
△PBC で，AD//PB だから，CA：AP＝CD：DB …②①，②から，AB：AC＝BD：DC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【3-8 図形と相似② 啓林館】

25

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

角の二等分線と比（２） 啓 P.138
右の図で，AD が∠BAC の二等分線であるとき x の値を求めなさい。

(1)

(2)

[解き方]

9：6＝x：2

DC＝24－8＝16

6x＝18

10：x＝8：16x＝3

10：x＝1：2
x＝20[答] 3cm
26
ABCDE[答] 20cm

角の二等分線と比 啓 P.138
右の図で，AD が∠BAC の二等分線であるとき x の値を求めなさい。
①②

9：6＝x：2

DC＝24－8＝16

6x＝18

10：x＝8：16x＝3

10：x＝1：2
x＝20

3cm

20cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P15 【3-8 図形と相似② 啓林館】

27
E

角の二等分線と比 啓 P.138

x の値を求めなさい。
① ∠ABD＝∠CBD② ∠BAD＝∠CAD

10：x＝4：3

BD：DC＝5：7 より

4x＝30

x＝

7
7
，BC＝
×6
12
5＋ 7

30
x＝
4
＝

＝

15
2

15
cm
2

7
cm
2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

7
2

P16 【3-8 図形と相似② 啓林館】

28

角の二等分線と比 啓 P.138

E

AB＝8cm，BC＝7cm，CA＝6cm の△ABC で，∠A の二等分線と辺 BC の交点を D，∠B の二等分線と辺 CA の交点を E とする。また，AD と BE の交点を F とする。

①

BD，AE の長さを求めなさい。
4
4＋3

BD：DC＝8：6＝4：3 より，BD＝
BP＝AE：EC＝8：7 より，AE＝

8
，
8＋7
AE＝

8
16
×6＝ (cm)
15
5

4cm

BD
②

4
×7＝4(cm)
7

AE

16
cm
5

AF：FD，BF：FE のそれぞれを，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
AF：FD＝AB：BD＝8：4＝2：1
16
BF：FE＝AB：AE＝8： ＝5：2
5
AF：FD

2： 1

BF：FE

5：2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P17 【3-8 図形と相似② 啓林館】

29

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140★線分の比と平行線の関係

図Ⅰ

図Ⅰの△ABC で，辺 AB，AC 上に，それぞれ，

図Ⅱ

点 D，点 E があるとき，❶

AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC❷

AD：DB＝AE：EC ならば，DE//BC◎ 上記の❶，❷は，2 点 D，E が，右図Ⅱのように，
辺 BA、CA の延長線上にある場合にも成り立つ。
図Ⅰで，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。
[証明] △ADE と△ABC において，仮定より， AD：AB＝AE：AC…①
共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC

よって，∠ADE＝∠ABC

同位角が等しいので，DE//BC
30
B

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明するとき
空らんをうめなさい。

△ADE と△ABC において，仮定より，AD：AB＝AE：AC…①

共通だから，∠EAD＝∠CAB …②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC
よって，∠ADE＝∠ABC
同位角が等しいので，DE//BC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P18 【3-8 図形と相似② 啓林館】

31
B

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明するとき
空らんをうめなさい。

△ADE と△ABC において，仮定より，AD：AB＝AE：AC…①

共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC
よって，∠ADE＝∠ABC
同位角が等しいので，DE//BC
32
BC

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明するとき
空らんをうめなさい。

△ADE と△ABC において，仮定より，AD：AB＝AE：AC…①

共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC
よって，∠ADE＝∠ABC
同位角が等しいので，DE//BC
33
B

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明するとき
空らんをうめなさい。

△ADE と△ABC において，仮定より，AD：AB＝AE：AC…①

共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC

よって，∠ADE＝∠ABC

同位角が等しいので，DE//BC

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P19 【3-8 図形と相似② 啓林館】

34
BCDE

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：AB＝AE：AC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。

△ADE と△ABC において，仮定より，AD：AB＝AE：AC…①

共通だから，∠EAD＝∠CAB…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角が，それぞれ等しいから，△ADE∽△ABC

よって，∠ADE＝∠ABC

同位角が等しいので，DE//BC
35
CDE

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で，AD：DB＝AE：EC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。

C を通り，辺 DB に平行な直線をひき，
直線 DE との交点を F とすると，AD//CF から錯角は等しいから，∠DAE＝∠FCE…①∠ADE＝∠CFE…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ADE∽△CFE
したがって、対応する辺の比は等しいから，
AD：CF＝AE：CE…③
仮定より AD：DB＝AE：EC…④③，④から，AD：DB＝AD：CF
よって，DB＝CF
DB＝CF，DB//CF より，
四角形 DBCF は平行四辺形だから，DE//BC
36
CDE

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140
右の図で、線分 DF,FE,ED のうち，△ABC の辺に平行な線分を理由と共に答えなさい。

AD：DB＝3.5：2＝35：20＝7：4 …①
BF：FC＝4.2：2.8＝42：28＝3：2…②
AE：EC＝4.5：3＝45：30＝3：2 …③②，③より，BF：FC＝AE：EC
よって，△ABC の辺に平行な線分は，EF(AB//EF)

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P20 【3-8 図形と相似② 啓林館】

37

線分の比と平行線の関係 啓 P.139～140

CDE

右の図は点 O と△ABC の各頂点を通る直線 OA,OB,OC 上にそれぞれ，点 D，点 E，点 F を

3OA＝OD，3OB＝OE，3OC＝OF となるようとり，△DEF をかいたものである。
次の問いに答えなさい。
① △ABC∽△DEF となることを証明しなさい。

3OA＝OD，3OB＝OE だから，
OA：OD＝OB：OE＝1：3
よって，AB//DE だから，
AB：DE＝OA：OD＝1：3…①
同様に BC//EF，CA//FD だから，
BC：EF＝1：3…②，CA：FD＝1：3…③①，②，③より，3 組の辺の比がすべて等しいので，△ABC∽△DEF②△ABC と△DEF の相似比を答えなさい。

1：3①より 1：338

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な図形の作図（１） 啓 P.141
右の図の四角形 ABCD を 2 倍に拡大した四角形 EFGH を作図しなさい。
[解き方]❶ 適当な場所に点 E をとる。
❷ 点 A から点 B に移動するには
左に 1 目盛り，下に 2 目盛り移動すればよい。
❸ ❷を 2 倍した数だけ点 E から移動し，移動した点を点 F とする。
❹ 同様に移動し，各点を結ぶ。

.

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P21 【3-8 図形と相似② 啓林館】

39

相似な図形の作図 啓 P.141
ABCDE 下の図の四角形 ABCD を 2 倍に拡大した四角形 EFGH を作図しなさい。

40

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な図形の作図（２） 啓 P.141
A

右の図で，点 O を相似の中心として，右の図の△ABC をB

O

2 倍に拡大した△DEF を作図しなさい。
[かき方] ❶ 相似の中心 O と頂点 A を通る
半直線 OA をかく。

C

❷ OA と同じ長さをコンパスで〇とり，半直線 OA 上に

2OA＝OD となるような点 D をとる。

〇

O

D

A
E

B
◎

◎

❸ 同様に各頂点について対応する点△をとり，線分で結ぶ。

C
△

F
41

相似な図形の作図 啓 P.141
ABCDE 右の図で，点 O を相似の中心として，右の図の△ABC を 2 倍に拡大した△DEF を作図しな
さい。

❶

相似の中心 O と頂点 A を通る半直線 OA をかく。

❷

OA と同じ長さをコンパスでとり，半直線 OA 上に 2OA＝OE となるような点 E をとる。

❸

同様に各頂点について対応する点をとり，線分で結ぶ。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P22 【3-8 図形と相似② 啓林館】

42
ABCDE

相似な図形の作図 啓 P.141
右の図で，点 A を相似の中心として，右の図の△ABC を1倍に縮小した△DEF を作図しな
2

さい。

43

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

中点連結定理（１） 啓 P.142
ちゅうてんれんけつてい り★ 中 点連結定理△ABC の 2 辺 AB，AC の中点を，それぞれ D，E とすると

DE//BC，DE＝1BC2

右の図で，D，E がそれぞれ AB，AC の中点であるとき，x の値を求めなさい。
[解き方] 中点連結定理より DE＝

1
BC
2

x＝

1
×8
2

x＝4
44
ABCDE

[答]

4cm

中点連結定理 啓 P.142
右の図で，D，E がそれぞれ AB，AC の中点であるとき，x の値を求めなさい。

中点連結定理より

DE＝

1
BC
2

x＝

1
×8
2

x＝4

4cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P23 【3-8 図形と相似② 啓林館】

45

中点連結定理 啓 P.142

BCDE

右の図で，D，E，F がそれぞれ AB，AC，BC の中点であるとき，次の問いに答えなさい。
①

x，y，z の値を求めなさい。

x＝8，y＝7.5，z＝5
x

8cm

z

5 cm

y

6.5 cm② △FED はどんな三角形か答えなさい。

AB//FE，BC//DE，CA//FD からそれぞれ同位角が等しいから，△ABC∽△FED△ABC と相似な三角形
46
BCDE

中点連結定理 啓 P.142
次の図の△ABC で，D，E，F はそれぞれ辺 BC，CA，AB の中点である。次の問いに答えな
さい。
① 辺 DE，EF，CA の長さを求めなさい。
中点連結定理より

DE＝1
1
AB＝ ×11＝5.5
2
2

EF＝

1
1
BC＝ ×12＝6
2
2

FD＝

1
2
1
2
CA，FD× ＝ CA× ，2FD＝CA，CA＝2FD，CA＝2×5
2
1
2
1

CA＝10
DE
②

5.5cm

EF

6cm

CA

10cm

ED と AB の位置関係を記号で答えなさい。

ED//AB③ ①②に使った定理を何と言いますか。漢字で書きなさい。

中点連結定理Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P24 【3-8 図形と相似② 啓林館】

47

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

中点連結定理（２） 啓 P.143
AB // CD，AC，BD の中点をそれぞれ M，N とするとき，x の長さを求めなさい。
[解き方]

線分 BC を引き，MN との交点を G とする。
△ACB において中点連結定理より，

MG＝

1
1
AB＝ ×8＝4
2
2△BCD において中点連結定理より

GN＝

1
1
CD＝ ×12＝622

x＝MG＋GN＝4＋6＝10[答] 10cm

48
BCDE

中点連結定理 啓 P.143

AB // CD，AC，BD の中点をそれぞれ M，N とするとき，x の長さを求めなさい。
線分 BC を引き，MN との交点を G とする。
△ACB において中点連結定理より，

MG＝

1
1
AB＝ ×8＝4
2
2△BCD において中点連結定理より

GN＝

1
1
CD＝ ×12＝622

x＝MG＋GN＝4＋6＝10

10cm
49
E

中点連結定理 啓 P.143
AB//CD，AC の中点 M，BD の中点を N とするとき x の値を求めなさい。
線分 BC を引き，MN との交点を G とする。
△BCD において中点連結定理より，

NG＝

1
1
CD＝ ×14＝72
2

MG＝10－7＝3，x＝3×2＝66cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P25 【3-8 図形と相似② 啓林館】

50

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

中点連結定理（３） 啓 P.143
四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA の中点をそれぞれ E，F，G，H とする。次の問いに答えなさい。

(1) 四角形 EFGH が平行四辺形になることを証明しなさい。
[証明]△ABD，△CBD のそれぞれにおいて，中点連結定理より，

EH // BD，EH＝

1
1
BD，FG // BD，FG＝ BD
2
2

したがって，EH // FG ，EH＝FG

1 組の対辺が平行でその長さが等しいから，四角形 EFGH は平行四辺形である。
(2) AC＝BD のとき，四角形 EFGH はどんな四角形になるか答えなさい。
[解き方] (1)より EH＝FG＝

1
BD2

また，△ABC，△ADC のそれぞれにおいて，中点連結定理より，

EF＝HG＝

1
AC，仮定より AC＝BD だから
2

EH＝FG＝EF＝HG，4 辺が等しいから四角形 EFGH はひし形になる。
[答] ひし形
51
CDE

中点連結定理 啓 P.143
四角形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA の中点をそれぞれ E，F，G，H とする。
次の問いに答えなさい。
①

四角形 EFGH が平行四辺形になることを証明しなさい。

△ABD，△CBD のそれぞれにおいて，中点連結定理より，
1
1
EH // BD，EH＝ BD，FG // BD，FG＝ BD
2
2
したがって，EH // FG ，EH＝FG
1 組の対辺が平行でその長さが等しいから，
四角形 EFGH は平行四辺形である。
② AC＝BD のとき，四角形 EFGH はどんな四角形になるか答えなさい。

EH＝FG＝EF＝HG，4 辺が等しいから四角形 EFGH はひし形になる。

ひし形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P26 【3-8 図形と相似② 啓林館】

52

中点連結定理 啓 P.143

E

AD：BC＝3：5 である AD//BC の台形 ABCD がある。辺 AB の中点 M を通り辺 BC に平行な直線と対角線 BD，対角線 AC，辺 CD との交点をそれぞれ E，F，N とする。次の問いに答えなさい。
①

MF：FN を簡単な整数の比で表しなさい。
中点連結定理より
1
MF＝ 2 BC，1
FN＝ 2 AD より

5：3

5
3
MF：FN＝ 2 ： 2 ＝5：3

② 台形 ABCD の対角線の交点を O とするとき，AO：OF を簡単な整数の比で表しなさい。
：AD＝5：3 より，CO：AO＝5：3
よって，CO：AO：AC＝5：3：8…(2(1) (2)より CF：OF：AO＝4：1：3

3：1

よって，AO：OF＝3：1
53

中点連結定理 啓 P.143

E

下の図のように，AB＝CD の四角形 ABCD の対角線 AC の中点を P，辺 AD，BC の中点をそれぞれ Q，R とする。次の問いに答えなさい。
① △PQR はどんな三角形になりますか。

二等辺三角形② ①のような三角形になることを証明しなさい。

1
AB …①
2
1
△ADC で，中点連結定理より，PQ＝ CD …②
2△ABC で，中点連結定理より，PR＝仮定より AB＝CD…③①，②，③より，PR＝PQ
よって，2 つの辺が等しいので△PQR は二等辺三角形である。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P27 【3-8 図形と相似② 啓林館】

54
E

中点連結定理 啓 P.143△ABC の 2 辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E とする。BE と CD の交点を F とするとき，

BF：FE＝2：1 になることを証明しなさい。

△DEF と△CBF において，△ABC で，中点連結定理より，
1
DE＝ BC …①
2
DE//BC …②②より，平行な辺の錯角なので，∠EDF＝∠BCF …③∠DEF＝∠CBF …④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△DEF∽△CBF①より，BC：ED＝2：1
相似な三角形の対応する辺の比はすべて等しいので，
BF：FE＝2：1
55
CDE

中点連結定理 啓 P.143
四角形 ABCD の辺 AD，BC の中点をそれぞれ E，F，対角線 AC，BD の中点をそれぞれH，G とする。AB＝CD のとき，四角形 EGFH はどんな四角形か。
中点連結定理より，HF//FG△CAB で，HF＝1
AB2△ABD で，EG＝1
AB2

同様にして，EH//GF より，EH＝GF

AB＝CD だから，EG＝GF＝FH＝HE
よって，４辺がすべて等しいから，四角形 EGFH は、ひし形

ひし形

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P28 【3-8 図形と相似② 啓林館】

56
BCDE

中点連結定理 啓 P.143
右の図の線分 DE，EF，FD のうち△ABC の辺に平行なA線分を答えなさい。

7cm

6.4cm
D

F
6cm

5.6cm

線分 DE

B

7cm

57
BCDE

E

8cm

C

中点連結定理 啓 P.143
右の図で，△ABC の辺 AB，辺 AC の中点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えなさい。
① 線分 EF の長さを求めなさい。
中点連結定理より，△ABC で，EF＝1
BC＝3.52

3.5cm② ∠AEF の大きさを求めなさい。

∠B＝∠AEB＝180－(45＋75)＝60°
58

60°

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似比と面積比（１） 啓 P.146～148★相似な平面図形
相似比が m：n のとき周の長さの比は m：n
面積の比は

m2：n2

59
ABCDE

相似比と面積比 啓 P.146～148
空らんをうめなさい。
相似比が m：n のとき周の長さの比は（

面積の比は（

m： n
m2：n2

）

）

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P29 【3-8 図形と相似② 啓林館】

60

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似比と面積比（２） 啓 P.146～148
DE // BC

右の図で次の問いに答えなさい。
(1) △ABC と△ADE の相似比を求めなさい。

[解き方]

AC：AE＝9：6 なので相似比は 3：2[答] 3：2(2) △ABC と△ADE の面積の比を求めなさい。

[解き方]

32：22＝9：4

[答]

9：4

(3) △ABC の面積が 36cm2 のとき，△ADE の面積を求めなさい。
[解き方]△ADE の面積を x cm2 とすると
(2)より

36：x＝9：4 ，9 x＝36×4

9 x 144，9 x＝144 ， ＝
，x＝16
9
9

[答] 16 cm2
61
ABCDE

相似比と面積比 啓 P.146～148
DE // BC

右の図で次の問いに答えなさい。
① △ABC と△ADE の相似比を求めなさい。

AC：AE＝9：6 なので相似比は 3：2

3：2② △ABC と△ADE の面積の比を求めなさい。

9：4

32：22＝9：4③ △ABC の面積が 36cm2 のとき，△ADE の面積を求めなさい。
△ADE の面積を x cm2 とすると
②より，

9 x 144，x＝16
36：x＝9：4 ，9 x＝36×4 ，9 x＝144 ， ＝
9
9

16cm2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P30 【3-8 図形と相似② 啓林館】

62
BCDE

相似比と面積比 啓 P.146～148△ABC∽△DEF で，その相似比は 3：2 である。
△DEF の面積が 16 cm2 のとき，△ABC の面積を求めなさい。
△ABC の面積を x とすると，面積比は 9：4 なので，9：4＝x：16

4x＝144x＝36

36 cm263
E

相似比と面積比 啓 P.146～148
右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：3 に分ける点を E とします。
また，直線 CE と AD の交点を F とします。このとき，△CFD と平行四辺形 ABCD の面積比を求めなさい。

AE：EB＝2：3 より△AEF：△BEC＝4：9

AE：DC＝2：5 より△AEF：△CFD＝4：25，
また，△AEF：四角形 AECD＝4：21△CFD：平行四辺形 ABCD＝△CFD：四角形 AECD＋△BEC＝25：21＋9＝25：30
＝5：6

5： 6
64
E

相似比と面積比 啓 P.146～148円の半径を 3 倍にすると，面積はもとの円の何倍になりますか。
もとの円の半径を r とすると，その面積は πr2
半径を3 倍した円の面積は，π( 3 r)2＝3πr2

3倍

よって 3 倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P31 【3-8 図形と相似② 啓林館】

65
BCDE

相似比と面積比 啓 P.146～148
右の図で，AE：EC＝2：1 で，△ABC の面積が 36cm2 のとき，△ADE，四角形 DBCE の面積

DE // BCを求めなさい。

A

２△ADE と△ABC で，

AE：EC＝2：1 だから，AE：AC＝2：3

D△ADE＝x とすると，△ADE：△ABC＝4：9＝x：36(cm2)B

9x＝4×36E
１C

9x＝144x＝16(cm2)
四角形 DBCE＝△ABC－△ADE＝36－16＝20(cm2)
△ADE

16cm2

66
CDE

四角形 DBCE

20cm2

相似比と面積比 啓 P.146～148
次の図のように，点 O を中心として，半径が 1cm，2cm，3cm の 3 つの円 A，B，C がある。
次の問いに答えなさい。
①

B の部分の面積は，A の部分の面積の何倍か求めなさい。
相似比は 1：2 なので面積比は 1：4

A の面積を 1 とすると，B の面積は 4－1＝3
よって，
②

3倍

3倍

C の部分の面積は，A の部分の面積の何倍か求めなさい。
相似比は 1：3 なので面積比は 1：9

A の面積を 1 とすると，C の面積は(全体－B の面積－A の面積)より，9－3－1＝5
よって，

5倍

5倍

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P32 【3-8 図形と相似② 啓林館】

67

相似比と面積比 啓 P.146～148

BCDE

相似比が 4：3 の相似な 2 つの台形 A，B があり，B の面積が 108cm2 のとき A の面積を求めなさい。
台形 A，B の面積比は 16：9

A の面積を x とすると，16：9＝x：108
9x＝108×16
x＝

108×169x＝192192cm368
E

相似比と面積比 啓 P.146～148
下の図のように，平行四辺形 ABCD の辺 BC を 3 等分する点を E，F とし，AC と DE の
交点を P とする。△PEC の面積が 4cm2 のとき，平行四辺形 ABCD の面積を求めなさい。
△PEC と△PDA は相似なのでEP：PD＝2：3
面積比は 4：9 なので△PDA の面積は 9cm2
また△PDC は△PEC と高さが同じなので面積比は底辺の比と同じく 2：3
よって△PDC の面積は 6cm2
△ADC の面積は 9＋6＝15cm2平行四辺形 ABCD の面積は△ADC の 2 倍なので，15×2＝3030cm2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P33 【3-8 図形と相似② 啓林館】

69
E

相似比と面積比 啓 P.146～148
右の図で，AD//BC で，BC＝3AD とする。また，E は AC，BD の交点である。△AED の
面積が 6cm2 のとき，台形 ABCD の面積を求めなさい。

AD//BC，AD：BC＝1：3 より，△ABE：△AED＝BE：ED＝3：1△ABE＝△AED×3＝18(cm2)△ABE：△EBC＝AE：EC＝1：3△EBC＝△ABE×3＝54(cm2)△DCE＝△ABE＝18cm2 だから，求める面積は，6＋18×2＋54＝96(cm2)(注)△AED∽△CEB で相似比は 1：3 だから，面積比は 12：32 であり，
△CEB＝6×32＝54(cm2)としてもよい。

96cm2
70
E

相似比と面積比 啓 P.146～148
平行四辺形 ABCD の辺 AB の中点を E，AC と DE の交点を F とする。△AEF の面積が aのとき，△AFD，△DFC，四角形 EBCF の面積を，a を使って表しなさい。

AB//DC，AE：CD＝1：2 より△AEF：△AFD＝EF：FD＝1：2△AFD＝△AEF×2＝2a△AFD：△DFC＝AF：FC＝1：2△DFC＝△AFD×2＝4a
また，△ABC＝△ACD＝2a＋4a＝6aだから，四角形 EBCF の面積は，△ABC－△AEF＝6a－a＝5a
△AFD

2a

△DFC

4a

四角形 EBCF

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

5aP34 【3-8 図形と相似② 啓林館】

71

相似比と面積比 啓 P.146～148

DE

右の図のように，AB＝10cm，AD＝6cm の平行四辺形において∠DAB の二等分線と辺 BC を

C の方へ延長した直線との交点を E，線分 AE と対角線 BD，辺 CD との交点を F，G とする。
次の問いに答えなさい。
① 線分 AG と線分 GE の長さの比を求めなさい。
△AGD と△EGC において

AD//BE より∠DAG＝∠CEG…①∠AGD=∠EGC(対頂角)…②①，②より 2 角がそれぞれ等しいから，△AGD∽△EGC

AE は∠DAB の二等分線なので，∠BAE＝∠DAG…③①，③より∠BAE＝∠BEA
なので△ABE は二等辺三角形であるから，BE＝10cm

BC＝6cm であるから CE＝4cm，3：2

よって AG：GE＝3：2②

GE＝3cm のとき，線分 FG の長さを求めなさい。

AG は 3：2＝AG：3cm，AG＝

9cm
2GC は 2：5＝GC：10cm，GC＝4cm よって DG＝6cm△ABF∽△GDF＝AB：DG＝10cm：6cm＝5：3＝AF：FG
よって AG：FG＝8：3 ，FG＝

3
3 9
27
AG＝ × cm＝
cm
8
8 2
16

27
cm
16

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P35 【3-8 図形と相似② 啓林館】

72

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

CDE

相似な立体の表面積・体積 啓 P.149★相似な立体
右の図で，2OA＝OF，2OB＝OG，2OC＝OH

2OD＝OI，2OE＝OJ のとき，△ABC∽△FGH である理由を述べなさい。
[理由] △AOC と△FOH で，
仮定より，

OA：OF＝OC：OH＝1：2 …①
共通だから，∠O＝∠O…②①，②より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，△AOC∽△FOH よって，AC：FH＝1：2…③

同様にして，AB：FG＝1：2 …④

BC：GH＝1：2 …⑤③，④，⑤より，3 組の辺の比がそれぞれ等しいから，△ABC∽△FGH73
CDE

相似な立体の表面積・体積 啓 P.149
右の図で，2OA＝OF，2OB＝OG，2OC＝OH，2OE＝OJ，2OD＝OI のとき，F
△ABC∽△FGH である理由を述べなさい。
A△AOC と△FOH で，
O

仮定より，

E

B
C

OA：OF＝OC：OH＝1：2 …①
共通だから，∠O＝∠O

J

G
D
H

…②

①，②より，2 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいから，△AOC∽△FOH よって，AC：FH＝1：2 …③
同様にして，AB：FG＝1：2 …④

BC：GH＝1：2 …⑤③，④，⑤より，3 組の辺の比がそれぞれ等しいから，△ABC∽△FGH

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

IP36 【3-8 図形と相似② 啓林館】

74

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比（１） 啓 P.150～151★相似な立体
相似比が m：n のとき表面積の比は m2：n2
体積の比は m3：n3

75
ABCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.150~151
空らんをうめなさい。
〇

相似比が m：n のとき表面積の比は（
体積の比は

76

（

m2：n2

）

m3：n3

）

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

相似比と体積比（２） 啓 P.150～151
2 つの立体 P，Q があり，その相似比は 2：3 である。
(1) P の表面積が，36 ㎠のとき，Q の表面積を求めなさい。
[解き方] Q の表面積を x とすると，相似比が 2：3 だから，表面積の比は 22：32＝4：9

4：9＝36：x
4x＝9×36
4 x 9×36
＝
4
4
x＝81

[答] 81cm2(2) P の体積が，80 ㎤のとき，Q の体積を求めなさい。
[解き方] Q の体積を y とすると，相似比が 2：3 だから，体積の比は 23：33＝8：27

8：27＝80：y8y＝27×80
8y 27×80
＝
8
8
y＝270

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

[答] 270cm3

P37 【3-8 図形と相似② 啓林館】

77
ABCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.150~151

2 つの立体 P，Q があり，その相似比は 2：3 である。
①

P の表面積が，36 ㎠のとき，Q の表面積を求めなさい。
Q の表面積を x とすると，相似比が 2：3 だから，表面積の比は 22：32＝4：9

4：9＝36：x
4x＝9×36
4 x 9×36
＝
4
4
x＝81

81cm2
②

P の体積が，80 ㎤のとき，Q の体積を求めなさい。
Q の体積を y とすると，相似比が 2：3 だから，体積の比は 23：33＝8：27

8：27＝80：y8y＝27×80
8y 27×80
＝
8
8
y＝270

270cm3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P38 【3-8 図形と相似② 啓林館】

78
BCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
相似な 2 つの円錐 A，B があり，底面の直径の比が 1：3 のとき，次の問いに答えなさい。
①

A，B の表面積の比を答えなさい。
相似比が m：n のとき，表面積の比は m2：n2＝12：32

1： 9

＝1：9
②

A，B の体積比を求めなさい。
相似比が m：n のとき，体積の比は m3：n3＝13：33

1：27

＝1：27

③

B の体積が 54πcm3 のとき，A の体積を求めなさい。
A の体積を x とすると，1：27＝x：54π
27x＝54π×1
x＝

54π
27

x＝2π

2πcm3
79
E

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.150~151
相似な 2 つの円柱の表面積の比が 16：9 のとき，体積比を求めなさい。
表面積の比が 16：9 なので相似比は 4：3
体積比は 64：27

64：27

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P39 【3-8 図形と相似② 啓林館】

80
BCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
次の図において，円柱 P と円柱 Q は相似である。

P の高さが 9cm，Q の高さが 15cm のとき，次の問いに答えなさい。
① 円柱 P と円柱 Q の底面の円周の長さの比を求めなさい。
高さの比は 9：15＝3：5 だから，直径の比も 3：5

3：5

円周＝2πr だから，円周の比も 3：5② 円柱 P と円柱 Q の底面の表面積の比を求めなさい。

相似比は 3：5 だから，表面積の比も 9：25③

9：25

P の体積が 54πcm3 のとき，Q の体積を求めなさい。
P と Q の相似比は 3：5 なので，体積比は 27：125
Q の体積を x とすると，27：125＝54：x
x＝250250πcm381
BCDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
直径 12cm と直径 16cm の P，Q の地球儀がある。

Q の地球儀の体積は P の地球儀の体積の何倍か答えなさい。
PQ

相似は 12：16＝3：4 だから、体積比はＰ：Ｑ＝27：64
したがって，
64
Ｑの地球儀は P の地球儀の 27 倍

64
27 倍

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P40 【3-8 図形と相似② 啓林館】

82
E

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
右の図のような底面の直径が 12cm，高さが 8cm の円錐の容器がある。この容器に深さが4cm になるまで水を入れたとき，この水の体積を求めなさい。
全体と求める部分の相似比は 2：1 なので，体積比は 8：1 となる。
全体の体積は 6×6×π×8÷3＝96π(cm3)8：1＝96π：x ，8x＝96π
x＝12π12πcm383

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152

E

右の図のような円錐の容器に 250cm3 の水を入れたところ水面の高さは 10cm になった。水面をさらに 2cm 高くするには，何 cm3 の水を加えればよいか答えなさい。
相似比は 10：12＝5：6
体積比は 125：216

125：216＝250：x
x＝432
432－250＝182

182cm3Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P41 【3-8 図形と相似② 啓林館】

84
E

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
右の図の台形 ABCD を，辺 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
辺 AB を点 A 側に延長した線と辺 DC を点 D 側に延長した線の交点を点 E とする。
台形 ABCD を回転してできた立体の体積は△EBC を回転してできた円錐から△EAD を回転してできた円錐を引くと求めることができる。また辺 EA の長さは

6：9＝x：x＋4
2：3＝x：x＋4
3x＝2x＋8x＝8△EBC を回転してできた円錐

9×9×π×12÷3＝324π△EBC：△EAD＝27：8 だから
求める体積は27－819324π× 27 ＝324π× 27 ＝228π228πcm3

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P42 【3-8 図形と相似② 啓林館】

85
E

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
右のような母線の長さが 5cm の三角錐がある。図のように上から 2cm のところで，底面に平行な面ができると，小さい三角錐 P と立体 Q ができる。次の問いに答えなさい。
① もとの三角錐と P の表面積の比と体積の比を求めなさい。
相似比が 5：2 だから表面積の比は 52：22＝25：4
体積の比は 53：23＝125：8
表面積の比

25：4

体積の比

125：8

② もとの三角錐の底面積が 6cm2 のとき，P の底面積を求めなさい。

P の底面積を x とすると，面積の比は 25：4 だから
25：4＝6：x ，25x＝4×6 ，25x＝24 ，x＝

24
25

24
cm2
25
P と Q の体積の比を求めなさい。

③（Q の体積）＝（もとの三角錐の体積）－（P の体積）①より（もとの三角錐の体積）：（P の体積）＝125：8（もとの三角錐の体積）：（Q の体積）＝125：（125－8)＝125：117
よって（P の体積）：（Q の体積）＝8：117

8：117
86
CDE

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
右の図で，四角錐 OABCD∽四角錐 OEFGH で，OA：OE＝2：1 のとき，
底面 EFGH で分けられた上の部分をＰ，下の部分を Q としたとき，Ｐ，Q の体積比を求めなさい。
四角錐 OABCD∽四角錐 OEFGH で，OA：OE＝2：1 だから，四角錐 OABCD と四角錐 OEFGH 体積比は 8：1＝P＋Q：P＝(7＋1)：1

P：Q＝7：1

7：1

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P43 【3-8 図形と相似② 啓林館】

87
E

相似な立体の表面積の比と体積の比 啓 P.152
右の図で，点 B，C，D は四角錐の辺 AE を 4 等分する点である。それらの点を通り底面に平行な 3 つの平面で四角錐を切り，㋐，㋑，㋒，㋓の 4 つの立体に分ける。
① もとの円錐の表面積は，㋐の表面積の何倍か。
もとの円錐と㋐の相似比は 4：1
表面積の比は，42：12＝16：1

16 倍② ㋐の体積が a のとき，㋑～㋓の体積を，a を使って表しなさい。
㋑…a×23－a＝7a
㋑
88

7a

㋒…a×33－a×23＝19a㋒

19a㋓…a×43－a×33＝37a37a㋓

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

相似の利用 啓 P.153～154
右の図のようなみかんの缶詰 A，B，C があります。
次の問いに答えなさい。

(1) A を 3 つ買うのと，B を 1 つ買うのでは、どちらが割安か答えなさい。
[解き方] 3 つの缶詰は相似だから，相似比は A：B＝4：6＝2：3
体積比は A：B＝8：27

A を 3 つ買うときの合計の体積と B の体積との比はA×3：B＝8×3：27＝24：27
よって，B を買う方が割安。

[答] B(2) C の値段がいくら以下であれば、1 番割安になるか答えなさい。
[解き方] B，C の相似比は B：C＝6：8＝3：4

B，C の体積比は B：C＝27：64 …①
値段の比は B：C＝300：x …②①，②より，27：64＝300：x

27x＝300×64
27x＝19200
x＝711.11…

よって，711 円以下であればよい。
[答]

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

711 円以下

P44 【3-8 図形と相似② 啓林館】

89
BCDE

相似の利用 啓 P.153～154
右の図のようなみかんの缶詰 A，B，C があります。 次の問いに答えなさい。
①

A を 3 つ買うのと，B を 1 つ買うのでは、どちらが割安か答えなさい。
3 つの缶詰は∽だから，相似比は A：B＝4：6＝2：3
体積比は A：B＝8：27

A を 3 つ買うときの合計の体積と B の体積との比はA×3：B＝8×3：27＝24：27
よって，B を買う方が割安。

B②

C の値段がいくら以下であれば、1 番割安になるか答えなさい。
B，C の相似比は B：C＝6：8＝3：4
B，C の体積比は B：C＝27：64 …①
値段の比は B：C＝300：x …②①，②より，27：64＝300：x

27x＝300×64
27x＝19200
x＝711.11…

よって，711 円以下であればよい。

711 円以下
90

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

２地点間の距離（１） 啓 P.155
右の図で，AC＝15m，BC＝21m，∠ACB＝58°のとき，縮図をかいて，AB 間の長さを求めなさい。
[解き方]

AC＝5cm，BC＝7cm，∠ACB＝58°として，1の縮図をかき，定規で AB 間の長さを図り，
300
300 倍する。
A’B’＝6cm
AB＝6×300＝1800(cm)＝18m[答] 約 18m

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P45 【3-8 図形と相似② 啓林館】

91
ABCDE

２地点間の距離 啓 P.155
右の図で，AC＝15m，BC＝21m，∠ACB＝58°のとき，縮図をかいて，AB 間の長さを求めなさい。

AC＝5cm，BC＝7cm，∠ACB＝58°として，1の縮図をかき，定規で AB 間の長さを図り，
300
300 倍する。
A’B’＝6cm
AB＝6×300＝1800(cm)
＝18m

約 18m
92
E

２地点間の距離 啓 P.155
次の図は，池をはさんだ 2 地点 A，B 間の距離をはかるためにかいた縮図である。

AC，BC の実際の長さがそれぞれ 20m，25m のとき，AB 間の距離を求めなさい。
定規で測ると，

AB=約 6cm
AC=約 4cm
BC=約 5cm

AB の実際の長さを x m とすると，
4：6＝20：x2：3＝20：x
x＝30

約 30m

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P46 【3-8 図形と相似② 啓林館】

93E

２地点間の距離 啓 P.155
湖をはさんだ 2 地点 A，B 間の距離を求めるため，地点 C を決めて長さと角度をはかった
ところ，AC＝30m，BC＝40m，∠ACB＝80°だった。
この池の縮図△ABC をかいて，AB 間の距離を求めなさい。

AC＝3cm，BC＝4cm の縮図△ABC をかき，AB 間をはかると，約 4.5cm になる。
よって AB：30＝4.5：3

AB＝45

約 45m
94

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

２地点間の距離（２） 啓 P.155
影が 12ｍの木の高さを測りたい。そこで長さ 1m の棒を地面に垂直に立て，その影を測ったら 80 ㎝だった。
この木の高さは何 m か求めなさい。
[解き方] 三角形の相似で考える。右の図で，2 つの三角形は相似である。
木の高さを x m とすると

1：x＝0.8：12
0.8 x＝12x＝12÷0.8
x＝15[答] 15m

95

２地点間の距離 啓 P.155
ABCDE 影が 12m の木の高さを測りたい。そこで長さ 1m の棒を地面に垂直に立て，その影を測ったら 80cm だった。この木の高さは何 m か求めなさい。
三角形の相似で考える。右の図で，2 つの三角形は相似である。
木の高さを x m とすると

1：x＝0.8：12
0.8 x＝12x＝12÷0.8
x＝1515m

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P47 【3-8 図形と相似② 啓林館】

96

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

２地点間の距離（３） 啓 P.155
ビルから 40ｍ離れた地点 P から，ビルの上端 Aを見上げたら，水平方向に対して 25°上に見えた。
目の高さは 1.5m であった。40m を 4cm とした
縮図をかき，ビルの高さを求めなさい。

P[解き方] まず，右のような縮図をかく。

A’C’の長さを定規で測ると，2cm になるのを確認する。
△ABC と△A’B’C’は相似だから AC の長さをx m とすると

2：x＝4：40
2：x＝1：10
x＝2×10
x＝20

ビルの高さ＝AC の長さ＋目の高さ だから，20＋1.5＝21.5
97
BCDE

[答]

21.5m

２地点間の距離 啓 P.155
ビルから 40ｍ離れた地点 P から，ビルの上端 A を見上げたら，水平方向に対して 25°上に見えた。目の高さは 1.5m であった。40m を 4cm とした縮図をかき，ビルの高さを求めなさい。
まず，右のような縮図をかく。
A’C’の長さを定規で測ると，2cm になるのを確認する。

△ABC と△A’B’C’は相似だから AC の長さをx m とすると

2：x＝4：40

P

2：x＝1：10
x＝2×10
x＝20

ビルの高さ＝AC の長さ＋目の高さ だから，
20＋1.5＝21.5

21.5m

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P48 【3-8 図形と相似② 啓林館】

98
E

２地点間の距離 啓 P.155
高さ 6m の街灯 PQ から 3m のところに身長 150cm の人 AB が立っている。
この人の影の長さを求めなさい。
影の先を C，影の長さを xm とすると，△ABC∽△PQC となり，相似比は 1.5：6
比を簡単にすると 1：4 よって，

1：4＝x：(x＋3)
これを解いて，x＝1
よって，

1m
3

1m
99

x

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

DE

学びを身につけよう 啓 P.158～159
EM// CD，AD＝DE＝EB，BM＝MC のとき x の長さを求めなさい。
[解き方] 中点連結定理より，

DC＝2EM＝2×8＝16
DF＝1
1
EM＝ ×8＝422

x＝16－4＝12[答] 12cm
学びを身につけよう 啓 P.158～159

100
DEEM// CD，AD＝DE＝EB，BM＝MC のとき x の長さを求めなさい。

中点連結定理より，
DC＝2EM＝2×8＝16
DF＝1
1
EM＝ ×8＝422

x＝16－4＝1212cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P49 【3-8 図形と相似② 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.158～159

101
E

EM//CD，BC の中点を M とするとき x，y の値を求めなさい。
①②△AEM で，△AEM で，中点連結定理より x＝2×2＝4

8：12＝x：3△BCD で，

2：3＝x：3

中点連結定理より DC＝x×2＝8，

3x＝6

y＝8－2＝6

x＝2△BCD で中点連結定理より，

DC＝3×2＝6
y＝6－2＝4x

4cm ， y 6cm

x2cm ， y 4cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P50 【3-8 図形と相似② 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.158～159

102E

右の図のように，長方形 ABCD の辺 CD 上の点 P と頂点 B を結ぶ線分 BP を折り目としてこの長方形を折り返したところ，頂点 C がちょうど辺 AD と重なった。その点を C’とするとき，△ABC’∽△DC’P を証明しなさい。

△ABC’と△DC’P において
仮定より，
∠BAC’＝∠C’DP＝90° …①∠BC’A＝180°－∠PC’B－∠PC’D＝180°－90°－∠PC’D＝90°－∠PC’D …②
三角形の内角の和は 180°なので，∠C’PD＝180°－∠PDC’－∠PC’D＝180°－90°－∠PC’D＝90°－∠PC’D …③②，③より，∠BC’A＝∠C’PD …④①，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ABC’∽△DC’P

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P51 【3-8 図形と相似② 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.158～159103DE

右の図で AB//CD//EF のとき，EF の長さを求めなさい。
△ABE と△DCE で，

AB//CD より，錯角は等しいから∠ABE＝∠DCE…①∠EAB＝∠EDC…②

2 組の角がぞれぞれ等しいから，△ABE∽△DCE
相似比は 18：12＝3：2 よって，EA：DE＝3：2，DA：DE＝5：2…③△DAB と△DEF で，

AB//EF より，同位角は等しいから∠DAB＝∠DEF…①∠DBA＝∠DFE…②

2 組の角がぞれぞれ等しいから，△DAB∽DEF…④③，④より，△DAB と DEF の相似比は 5：2 したがって，AB：EF＝5：2＝18：EF

5EF＝2×18
5EF＝36
EF＝7.2

7.2cm

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P52 【3-8 図形と相似② 啓林館】

104

学びを身につけよう 啓 P.158～159DE

右の図で，AD//BC の台形の対角線の交点を通り，辺 BC に平行な直線をひき，AB，DC との交点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えなさい。
①

EO，FO の長さを求めなさい。

△AOD と△COB で，

AD//BC から錯角は等しいから，∠DAO＝∠BCO…(1)∠ADO＝∠CBO…(2(1)，(2)より，2 組の角がそれぞれ等しいから，
AOD∽△COB①より，△AOD と△COB の相似比は 9：15＝3：5

したがって，AO：OC＝3：5 よって，AC：OC＝8：5…(3)△CAD∽△COF だから，(3)より，相似比は 8：5 よって，AD：OF＝8：5

9：OP＝8：5
8OF＝45
OF＝45
同様に，EO＝
8

45
EO
cm
8

45
8

45
FO
cm
8

② 台形 ABCD の面積は△AOD の何倍になるか答えなさい。

台形 ABCD の高さを h とすると，台形 ABCD の面積＝(9＋15)×h×△AOD の面積＝9×

12h÷

1
＝12h
2

3
1
27
h× ＝
h
8
2
16

64
9倍

27
64
h＝
16
9

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P53 【3-8 図形と相似② 啓林館】

105
DE

学びを身につけよう 啓 P.158～159
右の図のような平行な平面 P，Q，R 上に A，B，C，D，E，F があるとき，

AB：BC＝DE：EF であることを証明しなさい。
ただし，ABC と DEF はそれぞれ一直線上にあるものとします。

A を通り，直線 DF に平行な直線と
平面 Q，R との交点をそれぞれ X，Y とする。
平面 P，Q，R は平行だから，四角形 AXED と四角形 XYFE は共に平行四辺形
よって，AX＝DE，XY＝EF…①
また，BX//CY だから，△ACY で，

AB：BC＝AX：XY…②①，②から，AB：BC＝DE：EF106

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

E

線分を等分する点・応用★平行線と線分の比の性質を利用して，線分を等分する点を求める。
右の図で直線 AB を 3 等分する点をかき入れなさい。

A

B

[かき順]
❶

点 A から直線 AB と重ならない直線 AX をひく。

❷

AX 上に，点 A から順に等間隔に P，Q，R をとり，点 R と B を結ぶ。

❸

点 P，Q から RB に平行な直線をひき，AB との交点をそれぞれ S，T とする。
❶

X

X

❷
R

R

Q

Q
P

P
A

B

A

X

❸

B

A

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

S

T

B

P54 【3-8 図形と相似② 啓林館】

107
E

線分を等分する点・応用
下の図で直線 AB を 3 等分する点を書き入れなさい。

A

B

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P55 【3-8 図形と相似② 啓林館】

108

啓林館 中３５章 図形と相似

２節 平行線と線分の比

hakken.教材

教科書 目次P. 133~134

QR 1~3

P. 134

QR 4~5

P. 135

QR 6~14

P. 136~137

QR 15~22角の二等分線と比（１）P. 137~138

QR 23~24角の二等分線と比（２）P. 138

QR 25~28

P. 139~140

QR 29~38

P. 141QR 39~43

P. 142

QR 44~47

P. 143

QR 48~58

１

相似な図形

平行線と線分の比（２）２中点連結定理QR コード３節 相似な図形の計量

hakken.教材

教科書 目次１

相似な図形の面積

P. 146~148

QR 59~72２

相似な立体の表面積・体積

P. 149

QR 73~74

P. 150~151

QR 75~80

P. 152

QR 81~88

QR コード４節 相似の利用

hakken.教材

教科書 目次
１

相似の利用

P. 153~154

QR 89~90

P. 155

QR 91~99

章末問題

P. 156~157

学びを身につけようP. 158~159

QR 100~106

応用

QR 107~108

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

QR コード