13 平行線と合同①(中2)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

対頂角・同位角・錯角
たいちょうかく★対 頂 角…右の図で∠a，と∠c，∠b と∠d のように向かい合った角を対頂角という。対頂角は等しい。
∠a＝∠c，∠b＝∠d
どう い かく★同位角…右の図のように，2 つの直線 ℓ，m に，1 つの直線 n がℓ交わってできる角のうち，∠a と∠e のような位置にある角を同位角という。
∠b と∠f，∠c と∠g，∠d と∠h も同位角である。
さっかく★錯角…右の図で，∠c と∠e のような位置にある角を錯角という。

ｍ∠d と∠f も錯角である。
★平行線の性質…2 直線に 1 つの直線が交わるとき

2 直線が平行ならば，同位角（∠a＝∠c），
錯角（∠b＝∠c）は等しい。
★平行線になるための条件…2 直線に 1 つの直線が交わるとき，同位角（∠a＝∠c）か錯角（∠b＝∠c）が成り立てば，その 2 直線は平行である。
※まとめ 対頂角は常に等しい∠a＝∠b，同位角と錯角は ℓ と m が平行なら等しい。

(1)

右の図で，∠a，∠b の角度を求めなさい。

[解き方] 対頂角は等しいから

a∠a の対頂角は 130°だから ∠a＝130°∠b の対頂角は 50°だから

b∠b＝50°

50°
130°[答] ∠a＝130°，∠b＝50°(2)右の図で，ℓ∥m，∠b＝140°のとき∠a，∠cの大きさを求めなさい。

amb[解き方] ∠b＝140°だから∠a＝180°－140°＝40°∠b と∠c は，同位角だから∠c＝140°ℓ[答] ∠a＝40°，∠c＝140°2c

次の図で∠x の大きさを求めなさい。

ABCDE

この角は x と等しいので，2x＋x＋63＝1802x＋x＝117

2x63°

x

3x＝117x＝39°∠x＝39°
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P2 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

3

右の図で，ℓ∥m，∠a＝35°のとき∠b，∠c の大きさを求めなさい。

ABCDE

ℓ
∠a＝35°だから∠b＝180°－35°＝145°m∠c は∠b と錯角だから∠c＝145°

acb∠b＝145°, ∠c＝145°
4BCDEℓ∥m のとき∠x の大きさを求めなさい。
①②

ℓ

ℓ57°
50°
❶xm

③78°

64°
xxℓ

❸❶mm

❹❶

126° ❷68°❶＝57°(錯角)❶＝78°(対頂角)❶＝68°(同位角)x＝180－(50＋57)＝73

x＝180－(78＋64)＝38❷＝180－126＝54❸＝54(錯角)，❹＝❸＝54(対頂角)x＝180－(68＋54)＝58∠x＝73°
5∠x＝38°∠x＝58°ℓ∥m のとき∠x，∠y の大きさを求めなさい。

BCDE110°yℓ❶＝80(同位角)，y＝180－80＝100❶❷＝110(同位角)，x＝180－110＝70m
6

❷x80°

∠x＝70°, ∠y＝100°

DE∥FG のとき∠x の大きさを求めなさい。

BCDEADEDE∥FG∥ℓ になる平行線ℓ を弾く∠x＝●＋〇…①ℓF

B△ABC で，●＋〇＋∠x＝180°…②x②に①を代入，
CG∠x＋∠x＝180°∠x＝90°∠x＝90°

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P3 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

7BCDEℓ∥m のとき∠x の大きさを求めなさい。
①②ℓℓ21° ㋐

❹51°
❸❷66°
❶38° ㋐❶ x
❹
❸37°
❷
㋑ 18°

m

㋐＝❶＝21°(錯角)，㋑＝❷＝18°(錯角)m㋐＝❶＝38°(錯角)，❷＝66－38＝28°❸＝37－18＝19°，❸＝❹＝19°(錯角)❸＝❷＝28°(錯角)，❹＝51－28＝23°∠x＝❶＋❹＝21＋19＝40∠x＝❹∠x＝40°
8x∠x＝23°ℓ∥m∥n，e∥f∥g のとき∠x の大きさを求めなさい。
❶＝120°(同位角)

fℓe

BCDE

120°

❷＝180－120＝60°❸＝∠x＝60°(同位角)xn∠x＝60°9g❸ ❶❷m

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

三角形の角の性質★三角形の内角・外角の性質
a① 三角形の 3 つの内角の和は 180°である。
∠a＋∠b＋∠c＝180°② 三角形の 1 つの外角は，そのとなりにない2 つの内角の和に等しい。

bcd∠d＝∠a＋∠bえいかくどんかく★鋭角・鈍角…0°より大きく 90°より小さい角を鋭角，90°より大きく 180°より小さい角を鈍角という。
★三角型の分類

鋭角三角形

直角三角形

鈍角三角形

3 つの角がすべて鋭角

1 つの角が直角

1 つの角が鈍角

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P4 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

10ABCDE∠x の大きさを求めなさい。
①②

③x38°

115°

x＝180－(38＋115)

52°

xx46°

x＝52＋46∠x＝27°
1146°

104°

x＝104－46∠x＝98°∠x＝58°

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

多角形の内角と外角A★多角形の内角と外角…右の図で∠BCF，∠DCG のようにE

1 つの辺と隣の辺の延長とが作る角をその頂点におけるD外角（ 印の角）という。
また∠BCD，∠AED などを内角（印の角）という。

★多角形の内角の和と外角の和CBGF○n 角形の内角の和は，180°×(n－2 )○n 角形の外角の和は，360°○n 角形の 1 つの内角は，180°－(１つの外角)内角の和から求めても良い360°○正 n 角形の 1 つの外角は，n12
ABCDEが、外角を利用する方が簡単

次の問いに答えなさい。
①

十四角形の内角の和を求めなさい。
内角の和は＝180°×( n－2 )より②六角形の外角の和を求めなさい。
外角の和は 360°

180°×(14－2)

2160°

360°

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P5 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

13

次の問いに答えなさい。

BCDE

①

内角の和が 540°になる多角形は何角形か答えなさい。
内角の和は＝180°×(n－2)より180×(n－2)＝540(n－2)＝540÷180n－2＝3n＝3＋2『5 角形』ではなく，『五角形』

五角形

n＝ 5②

1 つの外角が 30°になるのは正何角形か。

正十二角形

360÷30＝1214∠x の大きさを求めなさい。

BCDE

①95°

1 つの内角＝180°－(１つの外角)より

104°

180－77＝103

102°

540－(102＋95＋104＋103)＝136

x77°∠x＝136°②

1 つの内角＝180°－(１つの外角)より

x

180－111＝69111°

外角の和は 360°より

97°
76°
53°

360－(97＋53＋76＋69)＝65∠x＝65°

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P6 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

15

次の各問いに答えなさい。

BCDE

①

正十八角形の 1 つの内角の大きさを求めなさい。

180×(18－2)＝2880②160°2880÷18＝160

正五角形の 1 つの外角の大きさを求めなさい。

72°

360°÷5＝72③

1 つの内角が，その外角の 5 倍である正多角形の辺の数を答えなさい。

○×6＝180°○＝30°
360÷30＝12

よって正十二角形

辺の数は，121216

1 つの頂点における内角と外角の大きさの比が 3：1 である正多角形は正何角形か求めなさい。

BCDE

内角＋外角＝180° なので，3＋1＝4，180÷4＝45

よって，1 つの外角が 45°の正多角形を求めればよい。360÷45＝8

正八角形
17次の∠x の大きさを求めなさい。ただし，五角形 ABCDEBCDEは正五角形で，2 直線 ℓ と m は平行である。

ABℓ

辺 DE の延長線と ℓ との交点を点 F，xE

直線 ℓ と辺 AE の交点を G とするℓ と m は平行だから，∠GFE＝60°
正五角形の１つの内角は、180°×(5－2)÷5＝108°だから，∠GED＝108°∠FGE＝108°－60°＝48°＝∠AGB

CmℓB60°
DGAxE∠BAG＝108°なので∠x＝180°－108°－48°＝24°∠x＝24°mC

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60°
D

F

P7 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

18

右の図で，∠x を求めなさい。

BCDE

下の図のように辺 BC を延長し，AD との交点を E とする。

62°

△ABE において，三角形の内角と外角の性質から
A∠BED＝62°＋24°
＝86°

62°

＝121°

x

24°

35°

∠x＝86°＋35°

ECx24°△CDE において35°B∠x＝121°D19∠x の大きさを求めなさい。

BCDE

①②33°
x72°

100°

❶❶30°

❷52°

91°

x

内角と外角の性質から❶＝30＋52＝82❶＝180－72＝108，❷＝180－91＝89x＋33＝82x＝360－(108＋100＋89)＝63x＝49∠x＝49°
20∠x＝63°

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

応用（１）
A

右の図で，印のついた角の和を求めなさい。
[解き方] 三角形の外角は，それと隣り合わない2 つの内角の和に等しいから

FB

GE△BDG おいて，∠B＋∠D＝∠AGF…①△CEF おいて，∠C＋∠E＝∠AFG…②△AFG おいて，∠A＋∠AGF＋∠AFG＝180° …③①②③より，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°
[答]

180°

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DP8 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

21

次の図で，印のついた角の和を求めなさい。

BCDE①②180°③540°

180°
aeba＋db＋ecd

線を引く
a＋b＝・＋ となるので三角形が 3 つできるのでc がある三角形に全ての角を三角形の内角の和を求めるのと180°×3＝540°集めることができる。よって同じことになるから 180°22三角形の内角の和になる。

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE

応用（２）
右の図のように△ABC の∠B，∠C の二等分線の交点を P とAするとき，∠BPC の大きさを求めなさい。

80°

[解き方]
∠PBC＝a，∠BCP＝ｂとする。

Px△ABC において2a＋2b＋80°＝180°だから，両辺を 2 で割ってa＋b＋40°＝90°

B●＝a, ○＝ba＋b＝90°－40°
a＋b＝50°…①△PBC において，a＋b＋x＝180°①より50°＋x＝180°
x＝180°－50°
x＝130 °

[答] 130°

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CP9 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

23∠x，∠y の大きさを求めなさい。

BCDE

①②

同じ記号（同じ角度を表す

x60°

112°

x35°a）は15°by60°＋35°＋15°＋a＋b＝180°

2×(●＋▲)＋112°＝180°

a＋b＝180°－(60＋35＋15) °2×(●＋▲)＝180°－112°

a＋b＝70°…①2×(●＋▲)＝68°

a＋b＋x＝180° …②●＋▲＝34°①を②に代入，70°＋x＝180°

y＝180°－34°

x＝180°－70°

y＝146°

x＝110°

x＝180°－3×34°
x＝180°－102°x＝78°∠x＝110°∠x＝78°∠y＝146°24∠XOY があり，右の図のように OA＝AB＝BC＝CD となる点 A，B，C，D をCDEOX，OY 上に交互にとる。このとき次の各問いに答えなさい。

①DB∠XOY＝25°のとき，∠YDC の大きさを求めなさい。
x＝25°だから 3x＝75°

OA

X

C

D

よって∠YDC＝180°－75°
B

105°
②

∠DCX＝72°のとき，∠XOY の大きさを求めなさい。

xOx

Y

A

2x

∠DCX＝4x＝72°だから x＝18°

18°

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3xx
3x2x

4x
X
C 2xY

P10 【13 平行線と合同①(中2)まとめ】

25

右の図は長方形 ABCD を，対角線 BD を折り目としてBCDE折った図である。∠x の大きさを求めなさい。

CDA∠CBD＝∠DBC＝24°

折り曲げた角だから

x∠DBC と∠ADB は錯角だから∠DBC＝∠ADB＝24°24°

x＝180°－(24°＋24°)＝132°
B132°
26C

右の図は、１組の三角定規を重ねたものです。∠x の大きさを求めなさい。

BCDE

三角定規だから，∠a＝30°，∠c＝45°∠b は∠c の外角だから，∠b＝180°－45°＝135°x∠a＋∠b＋∠x＝180°30°＋135°＋∠x＝180°a∠x＝180°－(30°＋135°)b c∠x＝15°

15°27∠x，∠y の大きさを求めなさい。同じ記号( ， )は同じ角度を表す。

BCDE

①②
xx

130°

84°

78°

y38°

2×(●＋▲)＋130°＋78°＝360°

三角形の内角と外角の関係から，38°＋x＝y2×(●＋▲)＝360°－(130°＋78°)…①

84°＋x＋y＝180° …②2×(●＋▲)＝152°①より，x－y＝－38°●＋▲＝76°…①’●＋▲＋x＝180°②より，x＋y＝180°－84°

76°＋x＝180°

x＋y＝96°x＝180°－76°①’＋②’，

x＝104°…②’

x－y＝－38°＋) x＋y＝96°
2x＝58°
x＝29°

x＝29°を①に代入，38°＋29°＝y，y＝67°
x

104°

x29°

y

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67°