数学的な考え方を育てる思考プロセスの具体化について―連立方程式の文章題・立式過程の指導を通して―

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野
Ⅰ．研究の背景と目的

鈴木裕大

思考プロセスの具体化は，「①解決に必要な本研究において目指す生徒像は，思考することを具体的に補う表現（図１）」，「②解決の際に，さまざまな表現を使って問題を解決す際の思考過程を表した表現（図 2）」の 2 種類

ることができる生徒である。

ある。その中でも本研究では特に，②に限定

数学的な見方・考え方というのは課題を解して取り扱う。

決する際に用いられるものである。その考え方の一つとして，問題を解いていく際に考えていることを具体的に表現し，解決していくという手段があると考えられる。この過程が問題解決には効果的ではないかと筆者は考えた。以上の過程を思考プロセスの具体化と定

図1①が示す内容の例 左 授業内容,右 表現

義する（鈴木,2020）。具体化は「表現する」と言い換えることができる。このことから数学の授業において表現する活動の中でも書いて表現するという活動に着目した。書いて表現する活動には生徒の意見の発表時の黒板やノート，学習感想用紙などさまざまな媒体が図2②が示す内容の例あげられる。昨年度ノートづくりに着目して以上のことを踏まえ，本研究の目的は，思考を表現する活動を取り入れた研究を行い，表現する活動に焦点を当て，思考プロセスの得られた課題は次のとおりである。

具体化の有用性を感得させることである。

・ノートづくりが効果的であった生徒は学力が高い生徒であった。
・ノートであることからフィードバックの機会が不十分であった。
・表現を促進する指導が授業で生かされなかった。

Ⅱ．研究内容以上の課題から，思考プロセスの具体化を行う機会を作るだけでなく，まずは,有用性に気付かせる必要があると考えた。また，昨年度の研究から次のことを考慮する。

・思考過程を表現する方法・手段の指導
・生徒の思考を評価する手段の検討
・学力差によって表現する能力に差が出る

本研究では，思考プロセスについて取り扱う。
思考を持つことにより思考は表現できる。
そのうえでより良い，より強固な思考にしていくためには，思考を整理して精選していく必要がある。この段階を思考の整理の段階とする。この段階によって，思考プロセスは循環していくと考えた。また，思考を持つ前段階として思考の材料になるものを選別するという段階も存在すると考えた。この段階を情報の整理の段階とする。この二つの整理の段いく。この OPP シートは学習者が物事や事象階を設けることで思考を表現することにつなを認識する枠組みである認知構造を可視的にがっていくと考えた。以上のことを図 3 にま表現し，外化することを目的としている。まとめる。

た，OPP シートの主な役割として次の項目を上げている。

図3

思考プロセスのサイクル図

以上のことを踏まえ，本研究では連立方程式の単元の指導を通し，整理の段階を設けた思考プロセスの具体化の方法を指導する。
そして，生徒たちに実際に有用性を感じるか検証する。

・要約の力を養うこと
・授業理解と生徒の思考の変容(素朴概念)をみること
・思考や認知過程の内化・内省・外化を行い，生徒の資質能力を育成すること
・生徒に自己評価を行わせ，メタ認知の能力を育成することこの OPP シートの役割を踏まえたうえで生徒が振り返ることのできるシートを作成した。
（3）思考を表現する授業
柳田(2009）は「問題が与えられたことが思Ⅲ．研究方法考のきっかけとなり…」と述べ，竹内・沢田

1．授業デザイン(1984)は「…問題こそ思考活動を誘発する原（1）表現法動力である。」と述べている。このように，問中原（1995）は，表 1 に示すように数学教題は思考することと密接な関係があり，授業育の表現体系を大きく 5 つの表現に分類できでは問題に触れることを大切にする必要があるとしている。5 つの表現のうち図的表現のる。問題に触れるということを普段にない形役割を「A.現実的状況と学習内容との関連をで生徒たちには体験させていくことが意欲に図る」，「B.問題解決の手掛かり方法を示す」，つながると考えた。問題に触れる機会を授業「C.学習内容を効果的に示す」と述べており，

内で工夫していくために竹内・沢田『問題かもっとも重要な役割として C を挙げている。

ら問題へ』（1984）の問題から問題を作る活動研究にかかわる点として中原が挙げる図的表に着目した。

現の特性にはさまざまある。その中でも視覚

竹内・沢田（1984）は，問題から問題を作る的に情報を把握できるという「視覚性」，学習活動について次のような利点をあげている。

者のイメージを表す「イメージ性」，問題文か・学力に関係なく取り組む姿勢が見られるら受け取った情報を感じたまま表現する「直・数学的な考え方が身に付く観性」などが重要な特性である。以上の点を・問題の構成要素が理解できる

踏まえ，表現体系が 5 つある中で図的表現に・他者を意識した表現方法に変わる

また，この活動が頭で考えているものを外絞った。に表出し，思考を表現することにつながると（2）表現媒体
本研究では，堀（2013）が提唱する OPP シートを参考に思考を表現する媒体を決定して
表１

現実的表現
操作的表現
図的表現
言語的表現
記号的表現

表現の体系考えた。そこで，この『問題から問題へ』を参考に問題を作る展開を授業で仕組む。
(中原,1995)

実世界の状況,実物による表現。
例えば,具体物や実物による実験等。
具体的な操作的活動による表現。
例えば,モデル化による具体物・教具等に動的操作を施すことによる表現。
絵,図,グラフ等による表現。
日常言語を用いた表現。または,その省略的表現。
数字,文字,演算記号,関係記号など数学的記号を用いた表現。

2．授業実践

目は授業前・後に解かせる問題，2,3 ページ（1）実習の概要

は 1 回の学習内容についてまとめる欄を授業・実習校 … 山梨県内の中学校
・実習期間… 令和 2 年 6 月～11 月
・対象… 中学校 2 年生 2 クラス
・授業期間… 6 月～7 月 全 13 回
・単元内容… 連立方程式
表212345678910111213

回数分作った。
記入内容の観点を，「①単なる感想ではなく自分の考えを書いているか。」，「②授業内容をわかりやすくまとめてあるか。」，「③他者でも単元計画決めたシュートの本数は？
連立方程式とその解連立方程式の解き方
加減法
代入法
いろいろな連立方程式①
いろいろな連立方程式②連立方程式の利用（花の本数と値段）
連立方程式の利用（個数と料金）連立方程式の利用（割合）連立方程式の利用（問題から問題へ/原問題「速さ」)
問題から問題へ/構造把握問題から問題へ/発展課題

わかる表現であるか。
」の 3 点とした。③に関して，中村(2002)はあとから見直す自分もメタ認知の観点から他者として考えることができると述べている。つまり，自己評価シートに書かれる表現は，他者を意識した表現である必要がある。以上の観点から，一回の授業欄に求めるのは図 4 のような内容になる。他者を意識した表現にするために，中村の 3 文
字返事を参考に生徒の記述に疑問形で返す形で個人へのフィードバックを行う。中村は，3 文字返事について，問いの形で返事を書くことによって，子供は問いを通して他者を意（2）実践概要①自己評価シートの作成・運用②補助発問による整理法③図的表現の具体的な指導④『問題から問題へ』を参考にした

識し生徒自身が表現するときにより具体的な学習感想が生まれると述べている。

授業の実施
図 3 の思考プロセスのサイクル図との関連を示すと，次のような表 3 になる。なお，表3 の△は，授業で扱っていない。
表3

思考プロセスのサイクル図との対応表

①
情報の整理
○
思考を持つ△
思考を表現する
思考の整理○（3）具体的な手立て

②
○○

③○△△
△

④
○○
○
○

①自己評価シートの作成・運用

図5

生徒 U の自己評価シート

図 5 において右上（6/24 授業回）教師側が「どこから？」と理由に該当する返事を書いたところ，次時の学習シート記入の際には生徒 U は色を変えて「問題文から…」と出典を意識する記述に変わった。このような返事をすることによって，「思考の整理」を促す。また，本実践では，学習内容をまとめることを「情報の整理」とする。学級へのフィ

図4

自己評価シートのイメージ

ードバックは，学習内容の要約や感想から自自己評価シートの構成は，A4 サイズ 2 枚で分の意見への昇華した内容など観点別で抽出のちに１枚になるようなもので，1,4 ページしたものをプリントにまとめて共有した。

表5②補助発問による整理
片桐(2004)は，発問に関して，「助け」は「発問の形でなされるであろう」と述べている。
これは，学習の助けになると言い換えることTS

第 10 回プロトコルの一部

手が止まっている人が多いね。式は立てられましたか？
（沈黙）
じゃあ，なんで式が立てられないんですか？
今月の人数が分からない
先月から今月の増減が分からないもできる。また，松田・橋本・三上(2019)は，

T「子供に対して継続的に疑問を投げかけ，子供の中で思考を膨らませ引き出す発問が重要

S3
S4である」と述べている。このように，発問と不完全な問題を提示し，連立方程式の問題いう形で「情報の整理」,「思考の整理」が促を構成するために必要な情報は何か考えさせ，せると考えられる。今回は紙面の都合上，第引き出すような「情報の整理」を促す発問(太8 回・第 10 回の授業内容と補助発問時のプロ字)を行った。

トコルについて記載する。

③図的表現の具体的な指導

第 8 回「カーネーションとバラの値段は？」高橋・近藤・増子(2008)は，生徒にはそれにおいて問題は以下のとおりである。

ぞれに適する図的表現があると述べている。

1 本 210 円のカーネーションと 1 本 170 円のガーベラを合わせて 10 本買い，代金が 2000円で花束を作ってもらおうと思います。カー
ネーションとガーベラはそれぞれ何本になるでしょうか？

また，中原は図的表現にはさまざまな分類が問題提示し，自力解決場面に入ると手が止必要があるといえる。表 6 に，図的表現の分まる生徒が見受けられた。
表4T
S1
S2T

第8回あると述べている。したがって，図的表現の指導には，教師が事前扱う図的表現を吟味する必要があり，さまざまな図的表現を用いる類の詳細を記載する。
表6

プロトコルの一部

計算を途中で止めていた人や計算をしてカーネーションの本数が 7.5 本って出した人もいたね。なんで悩んだんですか？
小数になる真っ二つになる
なんで真っ二つになるって言えるの？
小数になるとなんでダメなの？

このように現実場面に適さない違和感を覚えさせ，生活経験に訴えることで生徒の疑問を明らかにし，「思考の整理」を促す発問(太字)を行った。
第 10 回 「ボランティアの参加人数は？」において問題は以下のとおりである。
ある中学校では，生徒がボランティアで地域の清掃活動をしています。先月の参加人数は 130人でしたが，今月の参加人数は 146 人でした。
男女別で調べると，今月は先月より男子15％，女子 10％それぞれ増えていた。先月の男子，女子の参加人数はそれぞれ何人ですか?

図的表現の分類(中原 1995)

情景図

現実的情景,状況を表す図

場面図

算数・数学的場面を表す図

手続き図

操作や計算などの手続きを表す図

構造図

場面や問題などの構造を表す図

概念図

算数・数学の概念を表す図

法則・関係図 算数・数学の法則,関係を表す図
グラフ図

各種のグラフを表す図

図形図

各種の図形を表す図

次に，実際の授業で行った，図的表現の指導について述べる。授業場面では，問題の把握場面で図的表現が有効であるという旨を生徒に伝えたうえで，全 4 回の授業を行った。
表 6 を参考に図的表現の分類と授業において指導に使った図的表現を表 7 にまとめる。
表7

授業時数と指導した図的表現の一覧

問題提示時(問題文に下線部は記載なし),

8 情景図
9 手続き図，情景図
10 構造図11 法則・関係図
実際に行った指導の中で第 9 回と第 11 回問題を解くことができず,ほとんどの生徒がの板書とともに授業内容について述べる。

ノートでは何もかけていない状態であった。

第 9 回「動物園の入園券の値段は？」ねらい：問題から新たな問題を作る授業を通して,連立方程式の構造を把握し(思考の整理）,より確かな思考をもち問題を表現する。
内容については、以下に述べる。また、一方のクラスを A，もう一方のクラスを B とする。
○情報の整理から思考を持つ段階(ⅰ)
授業で扱った原問題は次のとおりである。

図6

板書１

入園券に見立てた教具を用いて状況を説明し，足りない部分は書いて補うよう生徒二人に指示した。生徒たちは式の形を考え図 6 のような情景図と手続き図を使用した。ここから，文字に置くものが何を表しているのかを再確認した。
第 11 回「甲府からイオンモールまではどれくらいかかるか？」

A さんは 13 時に甲府駅を出発し，9900m 離れたイオンモールまで向かいました。甲府駅から常永駅まで電車で行き，常永駅からは分速60m のペースで歩き，イオンモールまで行きました。その時の電車の分速を考えると 500mで，イオンモールについたのは 13 時 33 分でした。電車に乗っていた時間と常永駅からイオンモールまで歩いた時間をそれぞれ求めましょう。

問題作りの段階に行くためには，この原問題を理解した状況であることが必要であるため,図 7 のように図的表現を用いて,立式過程を丁寧に確認し,指導した。ここでの情報の整理とは,問題場面を把握することである。
○思考を持つから思考を表現する段階(ⅱ)
「この問題をもとに新しい問題を作りましょう」という発問をし，発展課題としてまずは個人で考えるよう，取り組ませた。構造把

図7

板書 2

握のためには，さまざまな問題を生徒たちに立式の前に情報を整理するため，生徒たちは考えてもらう必要がある。また，問題を作がどういう表現を使って立式したか問うと数る際に，“もと”にすることを速さの問題で直線という意見が出た。その後，図的表現を違う問題を作るととらえる生徒も考えられ取り扱うことで学力に課題がある生徒でもこた。そのため，授業では素早く取り組んでいの数直線を見て立式できている様子があった。

る生徒の中で速さの問題以外を取り扱ってい④『問題から問題へ』を参考にした授業の実施

る生徒の問題を発表させた。最終的に A,B と竹内・沢田(1984)では，授業の手順を図 8

もに約半分の生徒が速さにまつわる問題以外のように示されている。

を考えていた。ここでの思考を持つとは，個ⅰ．原問題の解決
ⅱ．問題づくりⅲ．つくった問題の発表と分類・整理
ⅳ．つくった問題の解決
ⅴ．まとめと発展人で問題を作りあげることである。

図8

授業実践の流れ(竹内・沢田,1984)○思考の表現から思考の整理の段階(ⅲ)
各クラス班活動で連立方程式の問題の分類を行った。A では，個人の問題を印刷し,分類をさせた。B は，教師からの提示した分類以上の図 8 と筆者の思考プロセスのサイクルで，それはどんな分類であるか考えさせた。

図(図 3)を関係づけ、授業を構成した。次にB では,教師からの提示こともあり，少し強本単元のねらいについて述べ、内容を記載し引であったがどちらのクラスも，連立二元一ていく。

次連立方程式の問題には，「条件」は 2 つあるという構造を把握することにつながった。

3．検証

ここでいう「条件」とは,「リンゴ 1 個とオ「問題から問題へ」の授業を通して最後のレンジ 2 個買って 300 円」のような問題文の(ⅳ)の段階で思考プロセスの具体化がどの程式になる部分の情報を指している。ここでの度なされているか検証することが授業中にで思考を表現するとは，自分の問題を表現するきなかったことから検証問題を作成し，担当ことである。

時間外に実施した。
目的：立式するときにどのように表現するのかを検証する。
内容：3 問の文章題を連立方程式の立式まで行う。その際，問題用紙には「連立方程式を作る際に用いた計算式やメモ，図，表などは消さずに残しておいてください。」と記載した。
問題：全 3 問で難易度は 1,2 問目を教科書レベル,3 問目を発展のレベルで設定した。
1 問目 個数○思考の整理から思考を持つ段階(ⅱ)“もと”にすることが構造を把握することだと共通理解を図ったうえで，「より難しい問題を作ろう」と発問した。その後、班員の問題を見比べながら，問題の構造を把握した
うえで，各班なりの難しい要素を加え，新しい問題を作成していた。図 9 に各学級各班で作成した問題を記載したプリントの一部を示した。

2 問目

速さ

3 問目

水量

Ⅳ．結果
1. 授業実践
実践結果からノート記述において図的表現(板書の写し，自己判断によるもの)が記述されていた生徒の割合は,A が 69.4％(N＝36),Bが 100％(N=33)であった。そのうち，板書以図9

クラスの問題をまとめたプリント

外の表現を使っていた割合はそれぞれ，ここでの思考の整理とは，問題を分類し，連84.0％(21 人),63.6％(21 人)であった。

立方程式の構造把握につなげることである。

2. 検証問題○思考を持つから思考を表現する段階(ⅳ)

思考プロセスの具体化が行われた割合と正

授業時間の関係で手順の(ⅳ)は授業内に行しい立式ができた割合が次のとおりである。

うことができなかった。そのため，(ⅳ)は生

表 8 検証問題の結果徒に図 9 のプリントを配り，個人で解くよう指示した。ここでは，問題を解くことを通して思考プロセスの具体化がどのように活用されるか,みとることを目指していた。

3. インタビュー調査
目的：図的表現の有用性を探る
対象：以下の観点から 4 パターンに分類(ⅰ)．調査問題で図的表現が活用されているか(ⅱ)．日々の授業で図的表現の有用性を感じて

上記の項目に加えて生徒 M には追加のインタビューを行った。

いるのか【判断基準】

生徒 M は調査問題の解答内容としては，1，授業時のノートで図的表現が使用されている。または，自己評価シートで有用である旨が記述されている。

ア．活用している かつ 有用性を感じている
イ．活用している かつ 有用性を感じていない
ウ．活用しない かつ 有用性を感じている
エ．活用しない かつ 有用性を感じていない
各項目 2 名程度，さらに特定の記述をした
生徒 M を加え，計 11 名を抽出してインタビューを行った。
内容：全 3 問
表9○普段からちょこちょこ使う。(イ)×使うほどの問題でない,もし難しい題にあたれば使う。(ウ)△必要に応じて。(エ)インタビュー内容

2 問目は図的表現使い，正しい立式ができている。3 問目は，無回答であった。このことか
ら次の仮説を立てた。
・問題の難易度が高い
・思考プロセスの具体化が難しい
・時間がなかった
この生徒には上記の仮説をもとに次のことを行った。
i． なぜ 3 問目はできなかったのかイン
タビューを行う。
ii． 新たな図的表現を与えた際に解けるのかの検証(筆者が検討した図的表現)解答）

ⅰでは生徒 M は「時間がなかったのと，問題が難しかった」と述べ，ⅱではもう一度 3問目の問題をやってもらった。手が止まり悩
以下では，はいを○，いいえを×，その他む様子を見せ、こちらが作成した図を見せたを△で明記する。

が「 (今回の)図があっても変わらない，わか① 図的表現は式を立てるのに役立つか
はい（10 人）/ その他（1 人）○自分の頭を整理するために。(ア)○図とかがあることによって頭の中が整理されるから。(イ)○その状況とかを整理して，考えやすくなるから。(ウ)△図とか表があれば，見ただけで分かったりするから。(エ)らない」と述べていた。
1～3 の結果をまとめると次のようになる。

② 調査問題で図的表現を使ったか
はい（5 人）/ いいえ（6 人）

Ⅴ．成果と課題○必要な情報を適切に抜き出すために文章とか，表とかで可視化しているつもりです。(ア)○桁数によって整理しなきゃと思うようなものがあれば。(イ)×問題文に数字が書いてあってそのまま式にできたから。(ウ)③ 他の単元で図的表現は使うかはい(8 人)/いいえ(2 人)/その他(1 人)① 立式過程において思考プロセスの具体化の有用性があると感じている。
② 思考プロセスの具体化の機能として整理（視覚化）することが挙げられる。
③ 自分の学力にあった図的表現がある。

授業実践において板書以外の表現でノート記述されている生徒は，思考する際に自身が思考する際に役に立つと感じ、図的表現を使ったと考えられる。ここで、板書以外の表現を用いて表現した割合が高いことから思考プロセスの具体化が有用であると認識している割合が高いといえる。また，上記結果①②より，思考プロセスの具体化の有用性はわかっているが，自分の学力のレベルと提示される問題のレベルによって表現をするか否かの判的表現が見つけることができていないことが断をすると考えられる。また，インタビューわかる。これは図的表現の「自由性」が起因の判断基準でアに該当する生徒で「特に書かすると考えられる。表現方法が多様であるこなくてもいいかなと思っている問題でも一応とは，学習者にとっていい面であるが，その書きます。」という発言があった。一方で，こ中で学習者自身が自分に適した図的表現を見の生徒は「図をかいたら逆に時間がかかりそつけ出せるかが課題である。図的表現の指導うな問題は書きませんけどね。」とも述べておだけではなく，学習者自身が評価するようなり，問題のレベルがその生徒にとって簡単で展開を仕組んだ授業を立案することが望ましあると判断する水準であれば表現しないと考い。教師が指導し，学習者自身が自己内で評えられる。とらえ方を変えれば、生徒が自身価するのでなく，学習者同士で考えられる表の学力と同等の問題に当たった場合に思考プ

現を評価し，自身に落とし込む時間を設定すロセスの具体化をする可能性があるといえる。

る必要がある。このことから図的表現の「準学力に課題がある生徒に関しては，生徒 N が備性の原理」がより一層必要であることが証

授業内で図的表現を指導した回の自己評価シ明された。この「準備性の原理」には，「視覚ートに「問題を読んで，まず頭の中でイメー的処理力」，「図的情報の解釈力」等が必要とジすることがとも大切だと思いました。」といされている。普段の授業で視覚情報の処理をう記述をしていた。これは問題把握において意識した単元構成の作成が必要である。その具体的な場面を考えることが有用だととらえうえで，生徒の思考プロセスの具体化を評価ている様子である。つまり、思考プロセスのする授業を作っていく。生徒それぞれの図的具体化が有用であると案に気付いていると考表現の評価し，最終的に自分なりの図的表現えられる。以上のことから，生徒たちは，思を持つことができることを目標とする。今後

考プロセスの具体化の有用性を感得しているはこの単元構成と授業立案に臨んでいきたい。と示唆される。
直接的に整理の段階が思考プロセスの具体化を促進するという結果を出すことが難しかった。だが、インタビュー①と③の解答結果

参考文献⚫

⚫の差から考えると実践③やインタビュー①のように情報の整理の段階など, 思考プロセス⚫の具体化の場面を区切ったことが有用性を高めることにつながるのではないかという可能性を見出すことができた。
しかし，目指す生徒像に近づけるには思考プロセスの具体化の活用という面も考えなけ⚫

⚫

⚫

ればならない。今回の実践において，活用の側面を振り返ってみる。生徒 N は，有用性に気付く意見を述べているが，検証問題におい⚫て図的表現を用いることをしていない。このことから，有用性を感じていても，実際に思考プロセスの具体化は今回の指導だけでは不十分であったことが考えられる。また，生徒
M のインタビュー内容ⅱからも自分なりの図⚫

堀哲夫 著（2013）『 一枚ポートフォリオ評価OPPA』東洋館出版社
片桐重男 著 (2004）『数学的な考え方の具体化と指導-算数・数学科の真の学力向上を目指して-』 明治図書松田航・橋本忠和・三上清和（2019）「数学的な見方・考え方」を育む発問を視覚化する発問評価シートについての一考察 ― 米国
NCTM の数学的モデル化を活用して ―」中原忠男（1995）『算数・数学教育における構成的アプローチの研究』聖文新社
中村享史（2002）『「書く活動」を通して数学的な考え方を育てる算数授業 』東洋館出版社
鈴木裕大 (2020) 「数学的な見方・考え方を育てる思考プロセスの具体化に関する研究－教師による板書と生徒によるノート記述・発言に注目して－」山梨大学教職大学院研究報告書
高橋将也・近藤早苗・増子恭信（2008）新潟大学教育人間科学部数学教室『数学教育研究』「立式における図的表現の効果に関する研究―連立方程式の立式を中心に―」
竹内芳男・沢田利夫編著（1984）『問題から問題へ―問題の発展的な扱いによる算数・数学科の授業改善』