2-8 四角形 啓林館
2ABCDE

平行四辺形の定義 啓 P.139
空らんをうめなさい。
〇 平行四辺形の定義とは，（四角形2 組の向かいあう辺が，それぞれ平行な）である。

〇 平行四辺形は，となりどうしの角をたすと（180

平行四辺形の定理 啓 P.1404AB）°になる。

次のことがらは，平行四辺形の性質(定理)と性質の内容を示したものです。
空らんをうめなさい。また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。

平行四辺形の定理 啓 P.140

5AB

次のことがらは，平行四辺形の性質(定理)と性質の内容を示したものです。
空らんをうめなさい。また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。
6ABCDE

平行四辺形の定理 啓 P.140
平行四辺形の性質(定理)を書き，また性質の内容を，図に印なさい。

平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
平行四辺形の 2 組の向かいあう角は等しい。
平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交わる。

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P2 【2-8 四角形 啓林館】

8CDE

平行四辺形の定理の証明 啓 P.140～141「平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。」という平行四辺形の性質を証明しなさい。

ABCD で，対角線 AC をひく。
△ABC と△CDA で，平行線の錯角は等しいので，AB//DC から，∠BAC＝∠DCA …①AD//BC から，∠ACB＝∠CAD …②AC は共通だから，AC＝CA …③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ABC≡△CDA
対応する辺だから，AB＝CD，BC＝DA
したがって，平行四辺形の 2 組の向かいあう辺は等しい。
10ABCDE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形で，x，y，z の値を求めなさい。
①②∠y＝180－110＝70°

x＝8cm，∠y＝70°

z＝29cmCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【2-8 四角形 啓林館】

11DE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の①②の平行四辺形で，x の値を求めなさい。
①②

三角形の内角と外角の関係から∠CED＝(180－36)÷2＝72°∠x＝58＋64＝122°∠x＝180－72＝108°∠x＝122°∠x＝108°12BCDE

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形 ABCD で，AB//EF，AD//GH のとき，x，y の値をそれぞれ求めなさい。

∠y ＝180－64＝116

x＝5cm，y＝116°
13E

平行四辺形の利用 啓 P.142
次の平行四辺形で，x，y の値をそれぞれ求めなさい。
△ABE において平行線の錯角は等しいから∠AEB＝∠EBC，よって△ABE は，二等辺三角形

x＝7△DEF において，∠DEF＝∠AEB (対頂角)，∠ABE＝∠DFE (錯角)，よって△DEF は，二等辺三角形，y＝8－7＝1

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P4 【2-8 四角形 啓林館】

15

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

AB

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
16

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

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P5 【2-8 四角形 啓林館】

17

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
18

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

A

次のことがらは，平行四辺形になるための条件と，それを図に示したものです。空らんをうめなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。

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P6 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

19
ABCDE

平行四辺形になるための条件を 5 つ答えなさい。また平行四辺形になるための条件を，図に印なさい。

２組の向かいあう辺がそれぞれ平行である。

２組の向かいあう辺がそれぞれ等しい。

２組の向かいあう角がそれぞれ等しい。

対角線が、それぞれの中点で交わる。

１組の向かいあう辺が、等しくて平行である。
平行四辺形になるための条件 啓 P.143～14520E

次の四角形は，平行四辺形であるといえるか。
平行四辺形であるものは，その条件も述べなさい。
①②いえない条件 ×③

いえるいえる1 組の向かいあう辺が対角線がそれぞれ等しくて平行である。の中点で交わる。

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P7 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形になるための条件 啓 P.143～145

21BCDE

四角形 ABCD の対角線の交点を O とするとき，次の条件のうち，四角形 ABCD が平行四辺形になるものをすべて選び，記号で答えなさい。
㋐AB // CD，AD // BC㋑ AB // CD，AD＝BC㋒

AD // BC，AD＝BC㋓ ∠A＝70°，∠B＝110°㋔

AD＝BC，∠A＝∠C㋕ AO＝BO，CO＝DO㋖

AO＝CO，BO＝DO㋐，㋒，㋖㋑，㋓，㋔は台形にもなるので×

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

23BCDE

下の図のように平行四辺形 ABCD の AD，BC 上に，それぞれ点 E，F を AE＝CF となるようにとるとき四角形 EBFD は平行四辺形になることを証明しなさい。

平行四辺形は 2 組の対辺がそれぞれ等しいので，AD＝BC …①
仮定より，AE＝CF …②①②より，AD－AE＝BC－CF
よって，ED＝BF …③
平行四辺形は 2 組の対辺がそれぞれ平行なので，AD // BC
つまり，ED // BF …④③④より，1 組の対辺が平行で長さが等しいので，
四角形 EBFD は平行四辺形

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P8 【2-8 四角形 啓林館】

24

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

CDE

平行四辺形 ABCD の対角線 AC 上に AE＝CF となるように点 E，F をとると，四角形 EBFDは平行四辺形となることを証明しなさい。

△ABE と△CDF において，
仮定より，AE＝CF…①AB∥DC の錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…②平行四辺形の対辺は等しいから，

AB＝CD…③①②③より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△ABE≡△CDF
よって，EB＝FD…④同様にして，ED＝FB…⑤④⑤より 2 組の向かい合う辺がそれぞれ等しい
したがって，四角形 EBFD は平行四辺形
25平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

E右の図で，四角形 ABCD，BEFC がともに平行四辺形ならば，四角形 AEFD は平行四辺形であることを証明しなさい。

仮定より，AD∥BC…①BC∥EF…②①②より，AD∥EF…③平行四辺形の 2 組の対辺はそれぞれ等しいから

AD＝BC…④
BC＝EF…⑤④⑤より，AD＝EF…⑥③⑥より，1 組の向かいあう辺が等しくて平行
よって，四角形 AEFD は平行四辺形

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P9 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

26E

右の図で平行四辺形 ABCD の辺 CD の延長上に，CD＝DE となる点 E をとり，線分 BE と辺 AD との交点を F とする。このとき，AF＝DF であることを証明しなさい。

△ABF と△DEF において，仮定より，CD＝DE …①
平行四辺形 ABCD で，2 組の対辺はそれぞれ等しいから，
CD＝AB …②①②より，AB＝DE …③
平行四辺形 ABCD で 2 組の対辺はそれぞれ平行だからAB//CE の錯角は等しいから，∠ABF＝∠DEF …④∠BAF＝∠EDF …⑤③④⑤より，1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから△ABF≡△DEF
よって，AF＝DF

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P10 【2-8 四角形 啓林館】

平行四辺形であることの証明 啓 P.145～146

27E

右の図のように，□ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上に，AE＝BF＝CG＝DH となるような 4 点 E，F，G，H をとる。

このとき，四角形 EFGH は平行四辺形になることを証明しなさい。

△AEH と△CGF において，仮定より，AE＝CG …①

DH＝BF …②
平行四辺形の 2 組の対辺はそれぞれ等しいから，AD=BC…③②③より，AH＝CF …④
平行四辺形の 2 組の対応する角はそれぞれ等しいから，∠EAH＝∠GCF…⑤①④⑤より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
よって，△AEH≡△CGF
したがって，EH＝GF…⑥
同様に，△BEF≡△DGH より， EF＝GH…⑦⑥⑦より，2 組の向かいあう辺がそれぞれ等しいので
四角形 EFGH は平行四辺形29AB

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
①長方形の定義

4 つの角がすべて等しい四角形②ひし形の定義

4 つの辺がすべて等しい四角形③正方形の定義

4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形

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P11 【2-8 四角形 啓林館】

30
AB

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
①長方形の定義

4 つの角がすべて等しい四角形②ひし形の定義

4 つの辺がすべて等しい四角形③正方形の定義

4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形
31
ABCDE

いろいろな四角形 啓 P.147～148
次の四角形の定義を答えなさい。
① 長方形の定義

4 つの角がすべて等しい四角形② ひし形の定義

4 つの辺がすべて等しい四角形③ 正方形の定義

4 つの角がすべて等しく，4 つの辺がすべて等しい四角形
33ABCDEいろいろな四角形 啓 P.148～149
平行四辺形が長方形，ひし形，正方形になるためには，それぞれどんな条件を加えればいいか。
①～④にあてはまる条件を内から選び，記号で書きなさい。

㋐∠B＝90°㋑AC＝BD㋒AC⊥BD㋓ BC＝CD①㋐，㋑②㋒，㋓③㋒，㋓④㋐，㋑Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【2-8 四角形 啓林館】

34
E

いろいろな四角形 啓 P.148～149
次の四角形について，それぞれもっている性質を㋐～㋒からすべて選び，記号で答えなさい。
㋐

4 つの辺の長さが等しい㋑ 対角線の長さが等しい㋒ 対角線が垂直に交わる

①長方形

㋑②

ひし形

㋐，㋒

③

正方形

㋐，㋑，㋒

35

いろいろな四角形 啓 P.148～149

BCDE

平行四辺形 ABCD が次のような条件をもつとき，それぞれどのような四角形になりますか。
その名前を書きなさい。ただし，O は対角線 AC と BD の交点です。
①BC＝CD② ∠A＝∠B

ひし形

長方形③ ∠C＝90°，AB＝BC④ AC＝BD

AB＝BC よりひし形→正方形

正方形
⑤長方形

AC⊥BD

⑥ AO＝BO，AB＝BC

AB＝BC よりひし形→正方形

ひし形

正方形

36
CDE

いろいろな四角形 啓 P.148～149
次の四角形 ABCD について㋐～㋕で適しているものをすべて記号で選びなさい。
㋐

AB//DC，AB＝CD である四角形は平行四辺形である。

㋑

正方形は長方形でもあり，ひし形でもある。

㋒

対角線の長さが等しい四角形は平行四辺形である。

㋓

対角線が等しいひし形は正方形である。

㋔

AB//DC，∠A＝∠C である四角形は平行四辺形である。

㋕∠A＝∠B＝90°の四角形は長方形である。

㋐，㋑，㋓，㋔Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【2-8 四角形 啓林館】

38

いろいろな四角形 啓 P.148～149

BCDE 「対角線が垂直に交わる平行四辺形はひし形である」ことを，証明しなさい。

平行四辺形 ABCD の対角線の交点をO とする△ABO と△CBO において，∠AOB＝∠COB = 90°…①BO は共通だから，BO＝BO…②平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから，

AO＝CO…③①②③より 2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABO≡△CBO
よって，AB＝CB…④
また平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，

AB＝DC…⑤
AD＝BC…⑥④⑤⑥より，4 つの辺がすべて等しいので，四角形 ABCD はひし形である。

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P14 【2-8 四角形 啓林館】

39
CDE

いろいろな四角形 啓 P.148～149「対角線の長さの等しい平行四辺形は長方形である」ことを，証明しなさい。

平行四辺形 ABCD で，AC＝DB とする△ABC と△DCB において，AC＝DB…①平行四辺形の向かい合う辺は等しいから，AB＝DC…②BC は共通だから，BC＝CB…③①②③より，3 組の辺がそれぞれ等しいから，△ABC≡△DCB
よって，∠ABC＝∠DCB…④また平行四辺形の向かい合う角は等しいから，∠ABC＝∠ADC…⑤∠BCD＝∠BAD…⑥④⑤⑥より，4 つの角がすべて等しいから，四角形 ABCD は長方形である
41
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151

PQ∥AB ならば，△PAB＝△QAB となることを証明しなさい。

平行な 2 直線間の距離は等しいから，

PM＝QN…①
また，△PAB と△QAB の底辺 AB は共通だから，

AB＝AB…②①②から，高さと底辺がそれぞれ等しいから，△PAB＝△QAB
43
ABCDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図の AD // BC の台形 ABCD において，BE＝EC のとき，△ABE と面積が等しい三角形をすべて答えなさい。
平行な 2 直線間の距離は等しいから，底辺が BE で，よって△ABE と面積が等しい三角形は，△DBE，△DEC，△AEC△DBE，△DEC，△AEC
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P15 【2-8 四角形 啓林館】

44
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図で，AD // BC であるとき次の問いに答えなさい。
①△ABC と面積の等しい三角形を書きなさい。

△DBC②△ACD と面積の等しい三角形を書きなさい。

△ABD③△ABO と面積の等しい三角形を書きなさい。

△DCO
45
DE

平行線と面積 啓 P.150～151
平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とするとき次の問いに答えなさい。
① △ABC と面積の等しい三角形をすべて書きなさい。

△ABD，△ACD，△BCD② △ABO と面積の等しい三角形をすべて書きなさい。

△AOD，△BOC，△COD
46
DE

平行線と面積 啓 P.150～151
平行四辺形 ABCD の面積が 24cm2 とき，△BEC の面積を求めなさい。
右の図のように，AB に平行に直線 EF をひく△ABE≡△FEB…①12cm247E

平行線と面積 啓 P.150～151
つぎの図の△ABC で，辺 BC 上に，BP：PC＝2：3 となる点 P があるとき，△ABP と△APC の面積の比を求めなさい。
高さが同じなので，底辺の比がそのまま面積の比になる

2： 3
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P16 【2-8 四角形 啓林館】

48
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図は平行四辺形 ABCD で，点 E，点 F が辺 AB，BC の中点で，線分 AF，CE の交点を G とする。線分 AC，DF の交点を H とする。このとき AC//EF となる。
次の問いに答えなさい。
① △AEC と平行四辺形 ABCD の面積の比を求めなさい。
△AEC と△BEC は，底辺と高さが同じだから，△ABC×
したがって，平行四辺形 ABCD×平行四辺形 ABCD×

1＝△AEC，
21 1× ＝△AEC
2 2

1：4

1＝△AEC
4② △ABF と同じ面積の三角形をすべて答えなさい。
同じように，△ABF＝平行四辺形 ABCD×14

よって△ABF＝△AEC＝△BEC＝△AFC＝△DFC△AEC，△BEC，△AFC，△DFC
49
CDE

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。このとき，図の中で△ACF と面積が等しい三角形をすべて答えなさい。

AB∥DC より △ACF＝ △BCF
AC∥EF より △ACF＝ △ACEAD∥BC より △ACE＝ △ABE

△BCF△ACE△ABE50
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AB，BC 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

このとき，次の①，②にあてはまる三角形をすべて書きなさい。
①△ACF と面積が等しい三角形

AD∥BC より，△ACF＝△CDF△ACE，△ADE，△CDF②AE＝BE のとき，△BEF と面積が等しい三角形
AC∥ EF より，△AEF＝△CEF△AEF，△CEF

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P17 【2-8 四角形 啓林館】

51
E

平行線と面積 啓 P.150～151
右の図でABCD の辺 AD，CD 上に AC∥ EF となる点 E，F をとる。

DF：FC＝3：2 のとき，△AFD はABCD の何倍か求めなさい。

△AFD＝3 とすると，△ACF＝2 となる。
よって△ACD＝5なのでABCD＝10 である。

よって，△AFD はABCD の3倍
1052E平行線と面積 啓 P.150～151
図Ⅰ，図Ⅱに示す三角形，四角形の面積はABCD の面積の何倍であるか答えなさい。

（M，N はそれぞれ AD，BC の中点）

図Ⅰ

① △ACM（図Ⅰ）△ACM＝

1 1×2 2ABCD

1倍
4② 四角形 ABNE（図Ⅰ）

3倍8③ 四角形 AQRM（図Ⅱ）
図Ⅱ△ANM＝△BAN なので，1倍454
ABCDE平行線と面積 啓 P.150～151
次の図の四角形 ABCD の辺 BC の延長線上に点 E をとり，△ABE の面積が四角形 ABCD の面積と等しくなるように作図しなさい。

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P18 【2-8 四角形 啓林館】

55平行線と面積 啓 P.150～151

DECD を左右に延長し，C の左に点 F，D の右に点 G をとり，△AFG の面積が五角形 ABCDEの面積と等しくなるようにするには，点 F，点 G をどのようにとればよいか。作図で求めな
さい。

56
BCDE平行線と面積 啓 P.150～151ある土地が折れ線 ABC を境界として 2 つに分けられている。2 つの土地の面積を変えないで境界線を A を通る直線に変えたい。どのように境界線をひけばよいか。作図で求めなさい。

57
E平行線と面積 啓 P.150～151
右の図のひし形 ABCD について∠x の値を求めなさい。
110＋(x－36)＋(66－110－36＋66＋x)＝1802x＝1802xx＝180－140， ＝40，x＝8022∠x＝80°

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P19 【2-8 四角形 啓林館】

59
DE

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれぞれE，F とするとき，EO＝FO であることを証明しなさい。

△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるのでAO＝CO…①
AB // DC から，錯角は等しいので，∠EAO＝∠FCO…②対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③から，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので，EO＝FO
60
E

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線の交点 O を通る直線が，AB，CD と交わる点をそれぞれ E，F とするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

△AEO と△CFO において平行四辺形の，対角線はそれぞれの中点で交わるから，

AO＝CO…①
AB // DC より，錯角は等しいから，∠EAO＝∠FCO …②対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△AEO≡△CFO
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，AE＝CF

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P20 【2-8 四角形 啓林館】

61
E

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

右の図の平行四辺形 ABCD で，対角線 AC に頂点 B，D から垂線 BE，DF をひくとBE＝DF になることを証明しなさい。

△ABE と△CDF において仮定より，∠BEA＝∠DFC＝90°…①平行四辺形の対辺はそれぞれ等しいから，AB＝CD…②AB // DC で，錯角は等しいから，∠BAE＝∠DCF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しいから，△ABE≡△CDF
合同な図形の対応する辺の長さは等しいから，BE＝DF62
DE

平行四辺形の応用

啓 P.152～157

平行四辺形 ABCD の対角線の交点 O を通る直線に A，C からひいた垂線をそれぞれ AE，CFとするとき，AE＝CF であることを証明しなさい。

△AOE と△COF において，仮定から，∠AEO＝∠CFO＝90°…①平行四辺形の定理から，AO＝CO…②対頂角は等しいから，∠AOE＝∠COF…③①②③より，直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい
よって，△AOE≡△COF
したがって，AE＝CF

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