中学校数学における「関数の考え」の育成を目指した授業実践－依存関係に着目して－教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 中井敬吾
1. 問題の所在と研究の目的で指導されてきている。もちろん中学校にお数学は，現実世界と深く関わっている教科いても，この「関数の考え」が大切であると考であるが，数学と現実世界が関わっているこえるが，中島や清水が述べているように，特定とを実感している生徒は少ないということが，の関数そのものを教えることが中学校では重

全国学力学習状況調査の結果からもわかって視されているように感じる。学習指導要領にいる。そこで，数学が日常に生かせることを実おいても，「関数の考え」という言葉は，小学感し，実際に生かそうとするすることができる生徒を育成したいと考える。本研究では，関校算数科では載っているが，中学校数学科では載っておらず，指導する側も意識的に指導数領域に焦点を当てる。なぜなら，関数は，求していくことが大切であると考える。そのためたい数量に対して，何か都合のいい数量にめ，この「関数の考え」の育成を目指した授業置き換えて，その 2 つの数量の間で成り立つ実践をおこなっていきたいと考えた。

関係を明確にすることで，求めたい数量につ以上より，本研究の目的は，「関数の考え」いて推測するために使われるからである。しの育成について考察し，その育成を目指した

かし，清水(2006)は，「数学の授業では，1 次教材を開発し，授業実践していくこととする。

関数そのものを学習することが中心となり，数学が日常の事象とつながりを持っていることを生徒たちに実感させることが難しい」と

2. 研究の方法研究の目的を達成するために，次の方法で述べており，関数領域で数学と日常事象とつ研究を進めていくこととした。

ながりを持たせることの困難性は従来から言われてきている。また，中島(1981)は，「算数① 「関数の考え」について考察している文献を参考に，「関数の考え」の育成についや数学の指導に関して「関数」を重視する場合て示唆を得る。に，y=3x とか y=3x+5 とかいう「関数」を，指② 「関数の考え」の育成を重視した教材研導内容として理解させることに重点をおくの究を行い，学習指導の提案をする。

だということもまったく否定することはでき③ 提案した学習指導を実践・分析し，「関数ないが，むしろ，「関数という関係的な見方をの考え」の育成につながる実践であった

とり入れて，ことがらを考察しようとするア

か，成果と課題を明確にして考察する。

イデアやその手法を子どもに身につけさせるとともに，数学教育を，時代の進展に即応して，3. 「関数の考え」についてより有効なものにする上にも活用しよう」と「関数の考え」は，問題解決において，次のいうことに，その重点があるといってよい。」

三つの思考過程を経るとされている（『新編というように述べており，関係的な見方をとり入れて，ことがらを考察しようとするアイ

算数科教育研究』(2010)）。
(ア)まず，ある数量について，他のどんな数量デアやその手法を身につけさせることが大切と関係づけられるか，その数量をきめれであると考える。このような考えを「関数の考ばきまるか，その数量に伴って変化するえ」と一般的に呼んでおり，主に小学校の算数か，というような見方に立って，数量を考察していくこと。

る生徒にとって身近な課題であるが，実際に(イ)次に，伴って変わる二つの数量について比べるのは，面積の大きさとしている。なぜな対応や変化の特徴を明らかにすることへら，粘着する部分全体にゴミが付着したら，1進む。対応や変化の特徴をとらえるには，枚破いて捨てるため，長持ちするということ

変量の間の関係を表やグラフに表したり，は，「コロコロ」を全部広げたときの面積が大式に表したり，式からよみとったりするきいということであると考えられるからであことが必要になること。

る。全部広げたときの面積は，全部広げれば求(ウ)こうして，伴って変わる二つの数量の間められるが，実際に広げて面積を比べると，使の対応や変化の特徴が明らかになったら，い物にならなくなってしまうので，広げない

その特徴をはじめの問題の解決に利用すで面積を求めて，比べる方法を考える。全部広ること。

げると，縦の長さが非常に大きい縦長の長方以上の三つの過程を簡潔に表すと，(ア)依形となり，横にあたる長さはわかっているの存関係を考察する(イ)関数関係を見つける

で，全体の縦の長さがわかればよい。そして，(ウ)関数関係を利用すると表せることが読み全体の縦の長さを求めるために，1 枚 1 枚の縦取れる。どの過程も大切であると考えるが，本の長さがわかればよい。この問題では，1 枚の研究では，特に(ア)の過程に着目したいと考縦の長さと伴って変わる数量はどのような数える。なぜなら，関数の単元の問題では，あら量か，具体物を観察することで考えることがかじめ求めたい数量に対して，関係のある数できる。
「コロコロ」は巻かれているので，1 巻量が与えられている場合が多いと感じるからき目の縦の長さと 50 巻き目の縦の長さが異なである。これでは，与えられた問題を解くことる。これは，広げたときの縦の長さが，巻かれはできるが，日常生活に潜んでいる問題に対ている状態の円周にあたるからである。紙にしては，自ら関係のある数量を見つけて解決は厚さがあるため，紙の厚さ分だけ外側の円することを困難に感じるのではないかと考えの半径が長くなり，外側にいくにつれて円周る。そして，日常生活においてどのように数学が大きくなる。そのため，(紙 1 枚の面積)×(巻が生かせるかつながりが持てず，数学が日常き数)という単純な計算では求められないようとつながっていることを実感しづらくなってになっている。1 枚の縦の長さを求めるときに，しまうのではないかと考える。

巻き目に伴って円周(縦の長さ)が変化する関係に気づくことが解決には必要になる。この4. 本時の授業について

ときの巻き目と円周の関係は，(円周)=2π×⑴単元：「1 次関数」｛(巻芯の半径)+(1 枚の紙の厚さ)×(巻き目)｝⑵対象校・対象生徒となる。巻芯の半径と 1 枚の紙の厚さは定数

実習校である山梨県内公立中学校・第 2 学年なので，円周は 巻き目の 1 次関数になってい生徒(33 名)る。そのため，縦の長さは 1 巻き目から一定に⑶日時：令和 2 年 12 月 10 日(木) 5 校時

長くなることがわかり，1 枚 1 枚の縦の長さを

令和 2 年 12 月 17 日(木) 3 校時

測らなくても巻き目における縦の長さを求め⑷題材名：「ビッグとワイドどちらの「コロコることができる。

ロ」が長持ちするか」

表 1 パッケージに書かれているそれぞれの数値⑸教材について依存関係を考察する過程を入れた授業にするために，求めたい数量を直接調べることが困難である課題を設定する。この問題では，2つの「コロコロ」のどちらが長持ちするか比べ

ビッグ

ワイド

巻き数50 巻き

60 巻き

幅187mm240mm

巻芯内径76.5mm

38mm

⑹本時のねらい•

様々な角度から「コロコロ」の面積を求めようとすることができる。(関心・意欲・態度)•

1 巻きの面積と巻き目の関係に着目することで，「コロコロ」の粘着する部分の総面積を求めることができる。
（数学的な見方・考え方）•

数量関係を正しく見ることができ，定規を使って長さを測り，面積を求める計算をすることができる。
（数学的な技能）•「コロコロ」の粘着する部分の面積を求め方を振り返り，1 枚の円周は巻き目の 1 次関数であることを理解することができる。(数量・図形などについての知識・理解)⑺実際の授業展開過程

指導内容及び活動内容予想される生徒の反応

指導上の留意点

導入○課題を把握する。

10 分

先生は，掃除のときによく「コロコロ」を使っていて，この前使い切ってしまいました。いつものよう・実際のコロコロを見せる。に「コロコロ」を買いに行こうとすると，先生がいつも使っているノーマルの「コロコロ」よりもたくさん使えそうな，ビッグとワイドの 2 種類の「コロコロ」がありました。どちらもノーマルの「コロコロ」よりも長持ちしそうです。しかし，ビッグとワイドでは，どちらが長持ちするのかがわかりません。どちらがより長持ちするでしょうか。
・二つの「コロコロ」はどのよう・芯の大きさ

・パッケージに書かれている数量な違いがあるか。

・空洞の大きさと言葉の意味を確認する。

・幅・巻き数
ビッグ

ワイド

187mm

240mm
38mm

76.5 mm
60 巻

50 巻
・長持ちするとはどういうこと・巻き数が多い・1 枚捨てるタイミングは，紙一か。

・くっつく面積の合計が大きい

面にゴミが付着していたらであると統一し，広げたときの総面積が大きい方が長持ちすると考えることを確認する。

・どちらの「コロコロ」の面積が・ワイド大きいだろうか。

・ビッグ・どうしてそのように考えた・幅と巻き数の 2 つの数値がワイド

・予想の根拠を問い，どの数量がか？の方が大きいから。

面積に影響するのか考えるきっ・巻芯内径が約 2 倍もビッグの方がかけをつくる。

大きいから。

・手を挙げて人数を確認する。

展開○課題の再提示・幅，巻き数，巻芯内径が全て違35 分うことから，それぞれの面積を求広げないで「コロコロ」の面積を求めてみよう！

めていくことにする。
・授業で使ったものはその後に使いたいので，広げないで求められる方法を考えてほしいことを伝える。

(5 分)(10 分)○自分で解決の見通しを立て

・(円柱と見た底面の円の直径から)1・ワークシートを配る。(考えたこる。

巻きあたりの面積を求めて，それに巻とは消さないようにと伝える。)

き数をかける。

・ビッグとワイドを 10 セット配

・1 巻きの面積が全部違うんじゃないり，回すようにする。

か。

・1 巻きの面積が全部違うんじゃ・広げたときの体積と円柱と見たとないかという考えが出てきた場

きの体積の関係で長さを求める。

合，今回は，1 巻きの面積を同じ○見通しを発表させる。と仮定して，1 巻きあたりの面積×巻き数で全体の面積を求めていくことを確認する。
(20 分)○ビッグとワイドを広げたとき

・1 巻きの面積×巻き数

・電卓を使っていいが，計算をワの粘着する部分の面積を求めワイド：5.2π×24×60=7488π(cm²)

ークシートに書き残しておくよる。

まとめ=23512.32(cm²)

うに伝える。

ビッグ：8.8π×18.7×50=8228π(cm・長さを測っている生徒がいた場²) =26024.32(cm²)

合，全体で共通の長さにする。(円・広げたときの体積と円柱と見たと柱と見た底面の円の外側から外きの体積の関係で長さを求める。

側までの長さ，紙の厚さ)○個人での振り返り・学習感想を記入する。

５分
ここから第 2 時
導入
5分

○課題を振り返る。
ビッグとワイドどちらの「コロコロ」が長持ちするかそれぞれ面積を求めて比べてみよう！

展開

○発表

・ビッグの方が面積が大きそうであったことを確認する。

・1 巻きの面積×巻き数

・縦の長さは，円周と等しく，直40 分

ビッグ：76.5π×187×50=715275π

径の長さによって決まることを(15 分)

(mm²)

確認する。

=2245963.5(mm²)

・全部広げた長さを求め，どれぐ=22459.635(cm²)

らいの長さになると考えられる

ワイド：38π×240×60=547200π

か把握する。

(mm²)=1718208(mm²)

・紙には厚さがあるので，巻き目(25 分)=17182.08(cm²)

が増えると，1 枚の面積が大きく・1 巻きごとに面積が変わっているとなると考えた生徒がいることを考える。

共有する。

○全体での振り返り

・紙 1 枚の縦の長さを ymm とし，紙・数値が簡単なワイドをもとに考・1 枚の面積がどのように変化の厚さを 0.1mm とすると，えていく。

しているか，1 枚の縦の長さに1 巻き目：y=(38+0.2)π=38.2π(mm)・1 巻き目から 60 巻きの長さを注目して変化を見てみよう。

2 巻き目：y=(38+0.4)π=38.4π(mm)たすと，全部広げたときの長さに3 巻き目：y=(38+0.6)π=38.6π(mm)なることを確認する。

…

・全部足し合わせていくのは大変

60 巻き目：y=(38+0.2×60)π=50π

だが，高校で，簡単に計算する方(mm)法を学んでいくことを伝える。

・x 巻き目のときの円周を ymm

x 巻き目：

・60 巻き目の求め方をもとに式とすると，どのような式になるy=(38+0.2x)π=0.2πx+38πを立てるように促す。

・1 枚の紙の縦の長さと巻き目

・1 枚の紙の縦の長さは巻き目の 1 次・式をもとに関係を捉えさせる。の関係はどのような関係である関数である。

・「コロコロ」にも 1 次関数の関係か？

か？

が潜んでいたことを確認する。

・ビッグの場合，x 巻き目のとき

x 巻き目：

・同じ会社の製品であり，同じ材の縦の長さを ymm とすると，y=0.2πx+76.5π質なので，紙の厚さは，ビッグもどのような式になるか？

ワイドも同じであることを確認する。

・実物の「コロコロ」の最初の 1・ビッグとワイドの 1 枚の違いと枚と最後の 1 枚を見せる。

最初と最後の 1 枚の違いを，実物を使って確認し，実際にどれだけ違うのか目で見えるようにする。

まとめ〇個人で振り返りをする。

・学習感想を記入する。

5分

6. 授業の実際

その後，「長持ちする」ことを「面積を求める」＜1 時間目＞

ことで問題解決しようということを確認した。

問題を把握する

予想を立てる

本授業では，問題解決する必要性を持たせ今回の問題は，広げたときの想定をしにくるために，「長持ちする」という言葉を使った。

い問題なので，「今の段階で，ビッグとワイド「コロコロ」を使った生徒もいないと考えらどちらの方が面積が大きいと思いますか？」れるため，生徒に「コロコロ」を使う場面を実と発問し，予想を立てさせた。実際は，ビッグ演してもらい，ゴミが一面に付着したら 1 枚の方が面積が大きいが，ビッグを選んだのが 3破って捨てるということを全体で確認した。

人，ワイドを選んだ生徒が 27 人であった(同じ，わからないで手を挙げる生徒はいなかった)。さらに，予想の理由も発表させた。ビッグを選んだ生徒は，「芯の大きさが大きいから」，ワイドを選んだ生徒は，「芯は小さいけど，幅が大きくて巻き数が多いから」と発言をしていた。多くの生徒は，数値が大きい数量がビッグよりも 2 つ多いから，ワイドの方が面積が大きいと考えていることがわかる。
解決の見通しを立てる
実物のビッグとワイドの「コロコロ」を配り，生徒 B のワークシート(1 時間目)

＜2 時間目＞
発表と振り返り(紙の厚さを無視した考え)

面積の求め方の見通しを立てさせた。その結

まず，ビッグとワイドのそれぞれの面積を果，「1 枚の面積を求め，(1 枚の面積)×(巻き求めることができていた紙の厚さを無視した数)=(全体の面積)という式から，全体の面積を考えを発表してもらい，ビッグの方が面積が求める」という考えだけが生徒から出た。ここ

大きそうであることを全体で共有した。

では，1 枚の面積が内側と外側で違うのではな
いかという考えは出てこなかったが，そう思っていても発言しなかった生徒が若干名いたことに，自力解決が始まって机間巡視をしているときに気づいた。
自力解決する
紙の厚さを無視した考えと，紙の厚さを考慮した考えの大きく 2 つの考え方で面積を求

生徒 C のワークシート(2 時間目)めている生徒の姿が見られた。具体的な人数

その後，面積だと実際の大きさが想像つき

は，紙の厚さを無視した生徒が 16 人で，紙のにくいことから，全体の縦の長さを求める計

厚さを考慮しようとした生徒が 17 人であると，算をし，全体の縦の長さの違いに着目させた。

生徒のワークシートと学習感想から読み取った。生徒 A のように紙の厚さを無視した考えで解決した生徒は，ビッグとワイドそれぞれの面積を求めることができていた。

生徒 C のワークシート(2 時間目)

振り返り(紙の厚さを考慮した考え)
1 時間目の自力解決で，紙の厚さの分だけ 1
生徒 A のワークシート(1 時間目)

枚の円周が大きくなることに気づいた生徒 D

生徒 B のように紙の厚さを考慮した考えでに発表してもらい，紙の厚さを考慮した考え解決した生徒は，紙の厚さの分だけ面積が大で全体の縦の長さの求め方を深めることをおきくなることはわかっていたが，ビッグとワイドそれぞれの面積を求めることができていなかった。

1 枚 1 枚を巻いていくことによって，つつの大きさが変わってくるのではないかと思った。
生徒 D の学習感想(1 時間目)

こなった。
紙の厚さは，1 時間目で実際に紙の厚さを測実物の「コロコロ」の最初の 1 枚と最後の 1 枚を見せる。っていた生徒 B を指名し，紙の厚さを 0.1mm

ビッグとワイドの最初の 1 枚と最後の 1 枚と仮定して全体の縦の長さ(円周の総和)の求の実物を両方見せ，ビッグとワイドの 1 枚のめ方についてクラス全体で考えた。1 巻き目の違いと最初と最後の 1 枚の違いを全体で確認円周，2 巻き目の円周，3 巻き目の円周を求めした。数学の世界と現実の世界をつなげる活た後に，60 巻き目の円周を求めさせた。そし動であり，実際にどれだけ違うのか目で見えて 1 巻き目から 60 巻き目の円周の長さの総和るようにした。

が全体の縦の長さになることを確認した。さらに，ワイドでは，厚さを考慮した全体の縦の7. 授業の考察

長さが厚さを無視した全体の縦の長さよりも＜成果＞

約 1m 大きいことについても触れた。

①観察することにより伴って変わる 2 つの数量に気づくことができた
1 時間目の授業の自力解決で，紙の厚さを無視した生徒が 16 人で，紙の厚さを考慮しようとした生徒が 17 人であった。つまり，紙の厚さを考慮しようとした生徒は，クラスの半数であることがわかる。ここでは，巻き目が増え

生徒 A のワークシート(2 時間目)

ることに伴って 1 枚の円周が大きくなるということは言っていないが，生徒 F のように観面積の求め方がわかったら，次に 1 枚の円察や操作を通して，その関係があるのではな

周の求め方に規則がなかったかを考えさせる

いかということを生徒が見つけることができために，x 巻き目のときの円周を ymm とするた。と，どんな式で表せそうなのか考えさせた。

最初は巻いていくにつれて芯の大きさが変わっていくことに気づきませんでした。途中で気づけたのでよかったです。でもまだ答えはわかっていないので，がんばりたいです。
生徒 F の学習感想(1 時間目)

生徒 E のワークシート(2 時間目)

また，1 時間目で厚さを無視して考えた生徒

式変形していくと，y=ax+b の形で表され，G は，2 時間目で厚さに着目した考えをクラス

1 枚の円周は巻き目の 1 次関数であるという全体で考えることができ，考えが広がったこことを全体で共有した。そして，ビッグについとが読み取れる。ても同じ会社が作っている商品で同じ素材であるため，紙の厚さは同じと考えられることから，「38」のところが「76.5」になるだけであることに気づかせることができた。

厚さを求めることまで考えられなかったので，今回考えることができてよかったです。ビッグとワ
イドの最初と最後の差がけっこうあってびっくりしました。
生徒 G の学習感想(2 時間目)

1 時間目で厚さを考慮しようとした生徒 Hは，面積の求め方まで辿りついていなかった。
生徒 E のワークシート(2 時間目)

そのため，2 時間目でクラス全体で求め方を考えたことによって，考えが深まったことが読み取れる。
厚さの分面積が増えるのかなとは思っていたけ
ど，求め方全然わからなかったので，今日みんなで確認できてよかったです。x と y の関係もわかりました。

①厚さを考慮する考えが難しかった
半数の生徒が，厚さを無視した考えで自力解決していた。このことから，そもそも巻き目が増えることに伴って 1 枚の円周も大きくなることに気づけなかったのか，気づいていたがあえて 1 枚の円周を全て同じだとみなしたかのどちらかであると考える。前者の場合，全生徒 H の学習感想(2 時間目)ての 1 枚の円周が，一番内側に巻いてある 1②日常の問題を数学で解決するよさを実感す

枚の円周と同じであると思い込んでいたことることができたが考えられる。実物の観察や操作を十分に行

1 時間目の予想の段階では，ワイドの方が面うことにより，「コロコロ」の構造を捉えさせ積が大きいと考える生徒が多かったが，面積ることが大切であると考えた。後者の場合、厚を求めることで，ビッグの方が面積が大きそみを加えていいのか迷ったことが考えられる。

うであることを求めることができた。生徒 E

厚さを自分で調べて設定することが難しかっのように，予想と計算した結果が異なり，計算たと考えられるため、「自分で定規で測って」

した結果の方が正しそうであるとわかったとということを強調する必要があったと考える。

き，日常の問題を数学で解決するよさを実感するのではないかと考える。
最初はワイドの方が大きいと思っていたけれど，計算してみたらビッグの方が大きかった。計算は便利だと思った。
生徒 E の学習感想(1 時間目)

8. まとめと今後の課題
掃除用具「コロコロ」の効果を調べる際，生徒たちはシートの面積でその効果を比較できると考えた。総面積を求める際，1 枚の厚さを考慮したとき，巻き目が増えるに伴って，1 枚の円周が一定に大きくなる規則を見つけるこ

2 時間目の授業の最後に，最初の 1 枚と最後とができた。さらに、文字に表わすことによりの 1 枚でどれだけ違うのか，数値で確認した

1 次関数の関係になることに気づき，数学を活後に，実物を用いて，見せる活動をおこなった。

かして解決することができた。関数の学習で計算で数値を求めても，それが実際にどれだけの長さなのかわからない生徒もいるので，日常事象を扱う際には，観察や操作を通して，伴って変わる数量関係を見いだし、その規則実物を用いて長さを確認することは，数学のを追究する授業実践をおこなっていきたいと世界と現実の世界をつなげる上でも有効であ考える。今後も「関数の考え」について研究をると考える。

続けていきたい。

一番はじめのと最後のとじゃ，紙の大きさがけっこう違うんだなと思いました。そういう所は気にした

9. 引用・参考文献

ことがなかったので驚きました。こういうことをも・算数科教育学研究会編（2010）『新編 算数科教育研とに，身の回りのものも興味がでてきました。
生徒 I の学習感想(2 時間目)究』学芸図書・清水宏幸(2006)『日常の場面で1次関数を活用させる指導－ガス料金について考えさせる指導－』日本

生活の中にも 1 次関数があって，こんなところで使われているんだと驚きました。厚みでこれだけの差が生まれるのだなと思いました。
生徒 E の学習感想(2 時間目)

＜課題＞

数学教育学会数学教育 88(7) p.2－p.9
・中島健三（1981）『算数・数学教育と数学的な考え方』
金子書房
・文部科学省（2017）『小学校学習指導要領解説算数編』
・文部科学省（2017）『中学校学習指導要領解説数学編』