26 相似②(中3)まとめ2ABCDEx の値を求めなさい。

①DE//BC② AB//CDA

A

6cm 4cm

OE8cmx2cm
Cx3cm4cm

DB

B

CD

2：3＝2：x

1：2＝3：x2x＝6x＝6x＝33cm
3BCDE6cmx の値を求めなさい。
①DE//BC② DE//BC
A

12cm

B

A

3cm
DEx4cmD
6cm

15cmxB

CC10cm1：5＝x：10

15：x＝5：3

5x＝105x＝45

x＝2x＝92cm
4E9cm

右の図で，AB//CD//EF のとき x，y の値を求めなさい。

BCDE

AB//CD より，2 組の角がそれぞれ等しいから,△AOB∽△COD△AOB と△COD の相似比は，

A
3cmx8cm

C6cm(3+6)：6＝9：6＝3：2

yx：8＝3：2
2x＝8×3E

2x＝24x＝12x12cmycm

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B
DO 5cm7cm
F

P2 【26 相似②(中3)まとめ】

5BCDEx の値を求めなさい。
①DE//AF，DF//AC
A
3cm② DF//BE，DE//BC

Ax 3cmF

D5cm

B

E F2cmCxE2cmB

C

BE＝y とすると，

AD ： DB ＝ AE ： EC よ り

BD：DA＝y：EF， BD：DA＝BF：FC
10
5：3＝y：2，5：3＝2＋ ：x
3

AD：DB＝ 3 ： 2cm7DAF ： AE ＝ AD ： AB よ り

cm

下の図で ℓ // m // n のとき，x, y の値を求めなさい。

ABCDE

ℓym

6：7.5＝60：75＝4：5
y：12＝4：5x

4x＝5(18－x)5y＝48

4x＝90－5xx

818cm(18－x)：x＝4：5

5y＝12×46cm
7.5cm

12cm

n10cm

y

右の図でℓ // m // n // p のとき x，y の長さを求めなさい。

BCDE

ℓ

18：x＝24：36

18cm

18：x＝2：324cmm

2x＝18×3xx＝27
27：12＝36：y
x27cm

y16cm

n12cm
p

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36cm
yP3 【26 相似②(中3)まとめ】

9右の図で p // q // r // s のとき，x，y，z の値を求めなさい。

BCDE

10：20：15＝2：4：3

36：y＝4：3x：36＝2：4

4y＝36×3

4x＝36×2

y＝27p14cmqr

x＝18x11ABCDE18cm

y36cmys

14：z＝2： 310cm

27cmzx20cm15cmz21cm

AB＝8cm，BC＝7cm，CA＝6cm の△ABC で，∠A の二等分線と辺 BC の交点を D，∠B の二等分線と辺 CA の交点を E とする。また，AD と BE の交点を F とする。

①

BD，AE の長さを求めなさい。
A4
BD：DC＝8：6＝4：3 より，BD＝4＋3
BP＝

AE：EC＝8：7 より，AE＝4cm

EFB

8，8＋7BD②

4×7＝4(cm)
7AE

DCcm

AF：FD，BF：FE のそれぞれを，もっとも簡単な整数の比で表しなさい。
AF：FD＝AB：BD＝8：4＝2：1
AF：FD

132： 1BF：FE

5：2

右の図で，AD：DB＝AE：EC ならば，DE//BC であることを証明しなさい。

ABCDE

C を通り，辺 DB に平行な直線をひき，直線 DE との交点を F とすると，AD//CF から錯角は等しいから，∠DAE＝∠FCE…①∠ADE＝∠CFE…②①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，

DB

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AECP4 【26 相似②(中3)まとめ】

14

右の図は点 O と△ABC の各頂点を通る直線 OA,OB,OC 上にそれぞれ，点 D，点 E，点 F をBCDE

3OA＝OD，3OB＝OE，3OC＝OF となるようとり，△DEF をかいたものである。
次の問いに答えなさい。
① △ABC∽△DEF となることを証明しなさい。

DA
FCO

3OA＝OD，3OB＝OE だから，
OA：OD＝OB：OE＝1：3B
よって，AB//DE だから，
AB：DE＝OA：OD＝1：3…①
同様に BC//EF，CA//FD だから，
BC：EF＝1：3…②，CA：FD＝1：3…③E② △ABC と△DEF の相似比を答えなさい。

1：3①より 1：3

次の図の△ABC で，D，E，F はそれぞれ辺 BC，CA，AB の中点である。次の問いに答えな
A
ABCDE さい。
16

① 辺 DE，EF，CA の長さを求めなさい。

中点連結定理より，

11cm
F

11
DE＝ AB＝ ×11＝5.5
225cm

11EF＝
BC＝ ×12＝622B

D②5.5cm

EF6cm

C12cm

CA＝10DEECA10cm

ED と AB の位置関係を記号で答えなさい。

ED//AB③ ①②に使った定理を何と言いますか。漢字で書きなさい。

中点連結定理18AB//CD，AC の中点 M，BD の中点を N とするとき x の値を求めなさい。

ABCDEA

線分 BC を引き，MN との交点を G とする。

B
10cm

M△BCD において中点連結定理より，

NG＝x11
CD＝ ×14＝722N

C6cm

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D14cm

P5 【26 相似②(中3)まとめ】

20BCDE

下の図のように，AB＝CD の四角形 ABCD の対角線 AC の中点を P，辺 AD，BC の中点をAそれぞれ Q，R とする。次の問いに答えなさい。
Q
D① △PQR はどんな三角形になりますか。
P

二等辺三角形②①のような三角形になることを証明しなさい。

BRC1AB …①21△ADC で，中点連結定理より，PQ＝ CD …②2△ABC で，中点連結定理より，PR＝仮定より AB＝CD…③21△ABC の 2 辺 AB，AC の中点をそれぞれ D，E とする。BE と CD の交点を F とするとき，CDE

BF：FE＝2：1 になることを証明しなさい。

A△DEF と△CBF において，D△ABC で，中点連結定理より，
1DE＝ BC …①2DE//BC …②E
FBC②より，平行な辺の錯角なので，∠EDF＝∠BCF …③∠DEF＝∠CBF …④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△DEF∽△CBF
22四角形 ABCD の辺 AD，BC の中点をそれぞれ E，F，対角線 AC，BD の中点をそれぞれCDE

H，G とする。AB＝CD のとき，四角形 EGFH はどんな四角形か。
A

中点連結定理より，HF//EG△CAB で，HF＝1AB2△ABD で，EG＝1AB
2同様にして，EH//GF より，EH＝GFDEGB

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HFCP6 【26 相似②(中3)まとめ】

23

右の図で，△ABC の辺 AB，辺 AC の中点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えBCDEなさい。

A① 線分 EF の長さを求めなさい。

45°

中点連結定理より，△ABC で，EF＝3.5cm

1BC＝3.52EF② ∠AEF の大きさを求めなさい。
75°∠B＝∠AEB＝180－(45＋75)＝60°
25ABCDE

B

60°

C7cm

△ABC∽△DEF で，その相似比は 3：2 である。
△DEF の面積が 16 cm2 のとき，△ABC の面積を求めなさい。

x＝3636 cm226

右の図の平行四辺形 ABCD において，辺 AB を 2：3 に分ける点を E とします。

BCDE

また，直線 CE と AD の交点を F とします。このとき，△CFD と平行四辺形 ABCD の面積比を求めなさい。

FA

DE

AE：EB＝2：3 より△AEF：△BEC＝4：9

AE：DC＝2：5 より
B△AEF：△CFD＝4：25，C

また，△AEF：四角形 AECD＝4：21

5： 627平行四辺形 ABCD の辺 AB の中点を E，AC と DE の交点を F とする。△AEF の面積が aBCDEのとき，△AFD，△DFC，四角形 EBCF の面積を，a を使って表しなさい。
A

AB//DC，AE：CD＝1：2 よりE△AEF：△AFD＝EF：FD＝1：2△AFD＝△AEF×2＝2aa

D
F

B△AFD：△DFC＝AF：FC＝1：2C△DFC＝△AFD×2＝4a△AFD

2a△DFC

4a四角形 EBCF

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5aP7 【26 相似②(中3)まとめ】

28

右の図のように，AB＝10cm，AD＝6cm の平行四辺形において∠DAB の二等分線と辺 BC をCDE

C の方へ延長した直線との交点を E，線分 AE と対角線 BD，辺 CD との交点を F，G とする。
6cm

次の問いに答えなさい。
A① 線分 AG と線分 GE の長さの比を求めなさい。
10cm△AGD と△EGC において

D

FAD//BE より∠DAG＝∠CEG…①G∠AGD=∠EGC(対頂角)…②B①，②より 2 角がそれぞれ等しいから，

CE△AGD∽△EGC

3：2

よって AG：GE＝3：2②

GE＝3cm のとき，線分 FG の長さを求めなさい。
△ABF∽△GDF＝AB：DG＝10cm：6cm＝5：3＝AF：FG
よって AG：FG＝8：3 ，FG＝

33 927AG＝ × cm＝cm88 216cm30ABCDE

相似な 2 つの円錐 A，B があり，底面の直径の比が 1：3 のとき，次の問いに答えなさい。
①A，B の表面積の比を答えなさい。
相似比が m：n のとき，表面積の比は m2：n2＝12：32＝1：9②

1： 9A，B の体積比を求めなさい。
相似比が m：n のとき，体積の比は m3：n3＝13：33＝1：27③

1：27

B の体積が 54πcm3 のとき，A の体積を求めなさい。
27x＝54π×12πcm331BCDE

相似な 2 つの円柱の表面積の比が 16：9 のとき，体積比を求めなさい。
体積比は 64：2764：27

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P8 【26 相似②(中3)まとめ】

32

右の図のような円錐の容器に 250cm3 の水を入れたところ水面の高さは 10cm になった。水面BCDEをさらに 2cm 高くするには，何 cm3 の水を加えればよいか答えなさい。

x＝432
432－250＝18210cm

182cm333

右の図の台形 ABCD を，辺 AB を軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めなさい。

BCDE延長した線の交点を点 E とする。

6cm

A

辺 AB を点 A 側に延長した線と辺 DC を点 D 側に

D

4cm

台形 ABCD を回転してできた立体の体積は△EBC を回転してできた円錐から△EAD を回転してできたBC9cm

円錐を引くと求めることができる。また辺 EA の長さは228πcm334

右の図で，点 B，C，D は四角錐の辺 AE を 4 等分する点である。それらの点を通り底面にCDE平行な 3 つの平面で四角錐を切り，㋐，㋑，㋒，㋓の 4 つの立体に分ける。 A① もとの円錐の表面積は，㋐の表面積の何倍か。
㋐B
もとの円錐と㋐の相似比は 4：1CD16 倍②E㋐の体積が a のとき，㋑～㋓の体積を，a を使って表しなさい。

㋑…a×23－a＝7a㋑

7a㋒…a×33－a×23＝19a㋒

19a㋓㋓…a×43－a×33＝37a37a

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㋑㋒㋓

P9 【26 相似②(中3)まとめ】

36EM//CD，BC の中点を M とするとき x，y の値を求めなさい。

BCDE

①AEB

②

D6cm2cm

FA8cm
Dyx6cm
MECx3cm 4cm

B

y＝8－2＝6FMyCx＝2△BCD で中点連結定理より，

DC＝3×2＝6y＝6－2＝4x4cm ， y 6cmx2cm ， y 4cm

37

右の図のように，長方形 ABCD の辺 CD 上の点 P と頂点 B を結ぶ線分 BP を折り目としてCDE

この長方形を折り返したところ，頂点 C がちょうど辺 AD と重なった。その点を C’とするとき，△ABC’∽△DC’P を証明しなさい。

AC’

D△ABC’と△DC’P においてP

仮定より，∠BAC’＝∠C’DP＝90° …①∠BC’A＝180°－∠PC’B－∠PC’D

B

C＝180°－90°－∠PC’D＝90°－∠PC’D …②①，④より，2 組の角がそれぞれ等しいので，△ABC’∽△DC’P
38

右の図で AB//CD//EF のとき，EF の長さを求めなさい。
ADE△ABE と△DCE で，AB//CD より，錯角は等しいから18cmCE∠ABE＝∠DCE…①∠EAB＝∠EDC…②2 組の角がぞれぞれ等しいから，△ABE∽△DCE12cmB相似比は 18：12＝3：2 よって，EA：DE＝3：2，DA：DE＝5：2…③

F△DAB と△DEF で，7.2cm
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DP10 【26 相似②(中3)まとめ】

39

右の図で，AD//BC の台形の対角線の交点を通り，辺 BC に平行な直線をひき，AB，DC とのDE交点をそれぞれ E，F とするとき，次の問いに答えなさい。

9cm
A①EO，FO の長さを求めなさい。

DE

FO△AOD と△COB で，AD//BC から錯角は等しいから，
B∠DAO＝∠BCO…(1)C15cm∠ADO＝∠CBO…(2)(1)，(2)より，2 組の角がそれぞれ等しいから，
45
同様に，EO＝8EOcmcm

FO② 台形 ABCD の面積は△AOD の何倍になるか答えなさい。

台形 ABCD の高さを h とすると，台形 ABCD の面積＝(9＋15)×h×12h÷

1＝12h2倍40

右の図のような平行な平面 P，Q，R 上に A，B，C，D，E，F があるとき，DE

AB：BC＝DE：EF であることを証明しなさい。
ただし，ABC と DEF はそれぞれ一直線上にAあるものとします。

A を通り，直線 DF に平行な直線と平面 Q，R との交点をそれぞれ X，Y とする。

BC

平面 P，Q，R は平行だから，四角形 AXED と四角形 XYFE は共に平行四辺形
よって，AX＝DE，XY＝EF…①

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DPE

QFR