山梨大学教職大学院

令和４年度

教育実践研究報告書

高校数学の陶冶的意味を共有する授業における生徒の意識変容－身につけさせたい数学的な態度や考え方に焦点を当てて－教育学研究科 教育実践創成専攻 教育実践開発コース 堀井 孝
1. 本稿の課題のみからではなく、その陶冶的側面に注目し、高校生にとって、数学は必修科目である。し

数学を学ぶ中で身につけるべき力について、平かしながら高校では数学が実用を離れ、学問的易な言葉で言語化しながら生徒と共有する。そな側面から語られることが多くなることや、扱の作業を通し、数学そのものの実用性や美しさう概念が難しくなることなどから、「高校で数ではなく、「数学的な考え方」や「数学的な態度」学を学ぶ意味がわからない」という者は多い。など、将来役に立つ有用な力が、数学の授業をTIMSS2019 によると、「算数・数学の勉強は楽しい」、「算数・数学は得意だ」、「数学を勉強す通して身につくという事実に気づかせることで、生徒の数学への意欲を向上させようと試み

ると、日常生活に役立つ」、「数学を使うことがている。ここで用いる数学的な態度、数学的な含まれる職業に就きたい」などの項目について、考え方については、片桐（2004）を参考として肯定的な回答と平均得点の高さには、正の相関おり、それぞれ表 1、表 2 に示した。

が見られる。これは小中学校段階での調査であ表１ 数学的な態度（片桐 2004）

るが、高校進学後、数学の内容が難しくなり、日常への応用場面も限られることを考えると、この傾向はより顕著になると考えられ、数学が苦手な者は、数学を楽しいと思えず、数学を学ぶ意味を見いだせていないと考えられる。
本研究では、数学が苦手である者にとっても、高校数学に取り組むことが意義のあることだと認識させたい。具体的には、数学の授業や数学の問題に向き合う際に発揮するべき姿勢について、数学的な考え方や数学的な態度という言葉を用い、その有用性を認識させ、言語化して共有する活動に焦点を当てる。高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説第 1 章第 2 節

表２ 数学的な考え方（片桐 2004）（2）では、高等学校における数学教育の意義について、実用的な意義、陶冶的な意義、文化的な意義の 3 点に分けて述べている。さらにその学びの質について、『高等学校数学科では，数学の学習を単に知識や技能などの内容の習得にとどめるのではなく，数学的活動を重視して創造性の基礎を養い，すべての高校生の人間形

2. 調査対象・調査方法について
山梨県内の H 高校で、2 年生 1 クラス（在籍成に資する数学教育を意図している。
』とある。

23 名、男 11 名、女子 12 名）を対象として、2そこで本研究のポイントとして、授業内で数学時間連続の授業を行った。事前アンケートの中を学ぶことの意味を、実用的側面や文化的側面で数学に対する意識を調査したものが、以下の－ 320 －山梨大学教職大学院

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表 3 である。調査対象のクラスでは、数学を得考に授業で扱うプリント作成の際に表現を工意だと思っていない生徒、好きでない生徒がと夫した。授業プリントの抜粋を図 1 に示す。

もに半数以上（14 名）である。数学の授業には

3.1 授業の概略

比較的意欲的に取り組んでいる者が多く、受験(ⅰ) 本時の問題(表 3)を解き、解説を行う。

する際に数学が「必要だ」「どちらかといえば必(ⅱ) Ⅱ数学的な考え方について、解くときに意要だ」と思っている者は 20 名と多数を占める。

識していたものには〇を、意識していなかっ表３ 数学に対する意識（事前アンケート）たものには×を□の中に記入させる。パート①からパート④については、問題が解けたかどうかではなく、私が説明する数学的な考え方について、その意味が理解できたかどうかについての理解度を〇△×で書かせている。
(ⅲ) Ⅰ数学的な態度についても同様に、解くと授業の前後にはアンケートを実施し、実践授きに意識していたものには〇を、意識してい業を通した生徒たちの数学に対する意識変化なかったものには×を□の中に記入させる。

を見取る。授業内で扱う問題は二次関数の最大(ⅳ) Ⅰ数学的な態度①～⑪それぞれについて、値について、範囲に定数 a を含む問題（表 3）

日常生活のどのような場面で役立てることとした。この問題は、教科書の応用例題レベルができるかを考えさせ、Teams の Classの問題であり、オーソドックスな問題でもある

notebook で共有する。

ため生徒が一度は解いた経験がある。基礎的な3.2 授業の様子とプリントからの考察(ⅰ)では表 3 に示す問題を生徒が実際に解き、知識を適切に組み合わせることによって解ける問題であるが、自らの力で問題解決の方針をそれに基づいて通常の授業で行うような解説立てたり、場合分けをする際に試行錯誤が必要をした。高校 1 年生での既習事項であり、定番であったりと、解く過程で数学的な考え方や数の問題であったため、23 人の中で 4～5 人ほど学的な態度が必要とされる問題といえる。または自力で解けるかと考えていたが、残念ながら実施クラスの生徒を普段から観察する中で、難解けた者はおらず、多くの生徒が平方完成まで易度も適切であると思われたため、この問題をはできたが、その後の場合分けで間違えたり止選んだ。この問題を解き、背後にある数学的な態度や数学的な考え方について解説を加えるまったりしていた。(ⅰ)は本題に入るための準備であるため、解説を丁寧に行い、既習事項をことでそれらを認知させる。それによって生徒確認することした。の数学に対する意識が変容するかどうか、生徒(ⅱ)では、Ⅱ数学的な考え方についての解説をたちが数学を学ぶ意味についてどのように考加え、プリントを読み上げながら生徒がそれぞえを変化させるかについて焦点を当てる。

れの項目に〇×を記入することを指示したと
ころ、生徒は皆、興味深そうに〇×をつけてい

表３ 本時の問題た。〇をつけた生徒の割合を項目ごとに整理したものが図 2 である。ポイントが高かったものは、あえて言語化しなくても彼らが自然と使っていた考え方といえる。後半の項目に関してポ
3. 授業実践についてイントが低いのは、完答できた者がいないこと

生田（2018）は中学生に対して数学的な考え方を提示する際、その表現の難しさを鑑みて、が影響している。一方、「(エ)最大値だからグラフの y 座標を見る」「(カ)それ以外の部分を考え平易な言葉に置き換えて提示している。私は、てみる」「(サ)平方完成を展開して確認」など、高校生にも同様の配慮が必要と考え、これを参所々でポイントが低くなっている項目があり、－ 321 －

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図１ 実際に授業で使用したプリント（抜粋）これらは生徒たちが問題を解く際にあまり気にかけていない点であるため、普段の授業や問題演習の中で言語化、明文化することを通して、その数学的な考え方について改めて認識させることが必要である。
(ⅲ)Ⅰ数学的な態度についても(ⅱ)と同様に読み上げながら生徒がそれぞれの項目に〇×を記入することを指示した。〇の生徒の割合を項目ごとに整理したものが図 3 である。最もポイントが高いのは「③わかるところ、できることから考える」であり、最も低いのは「⑨特徴を捉え、統合してパターン化、場合分け」である。
これも(ⅱ)と同様に、ポイントが高かった項目
は、あえて言語化しなくても彼らが自然と使っ図 2 問題を解く際に意識できた数学的な考え方ていた態度だといえる。前半では「④結論から－ 322 －山梨大学教職大学院

令和４年度の逆算、順序だて、見通し」や「⑥疑う、確認

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表 4 数学的な態度①～⑥が日常に役立つ場面する」の項目が低く、後半では「⑦具体的・特殊な場合を考える」、「⑨特徴を捉え、結合してパターン化・場合分け」の項目が特に低い。これらの項目は生徒たちがあまり認識できていないものであり、言語化して再認識させること、またそのような態度を数学の授業や問題演習を通して身につけていくことの重要性を伝えることが教員側に求められている。

図 3 問題を解く際に意識できた数学的な態度

表 5 数学的な態度⑦～⑪が日常に役立つ場面

興味深いのは、図 2 でポイント 58 と周囲に比べて低かった「(カ)それ以外の部分を考えてみよう」に対応させた、図 3 の「③わかるところ、できることから考える」のポイントが 94 と最も高いことである。これはおそらく、生徒が問題を考える際に漠然と「わかるところ、できることから考えよう」と思ってはいるものの、実際に問題を解いていく中で「範囲に a が入っていてわからないから、それ以外の部分を考えてみよう」という文脈では考えられていないからだと分析する。また逆に、図 2 でポイントが58 と半分を超えている「(シ)範囲の a に具体的な値を代入してみる」に対応させた、図 3 の「⑦具体的・特殊な場合を考える」のポイントが 22と低い。これは「代入してみる」と「考える」という表現の違いや、「a に」という細かな指示が生徒に与えた印象の違いによるものだと考の思考も活性化された。Class Notebook でのえられる。
(ⅳ)では、2 人で 1 台のパソコンを使い、話共有はとても有効であったといえる。10 分ほし合いながら書き込むように指示をした。事前

ど時間を取って生徒が入力した共有シートを、に Class Notebook に①～⑪の項目を用意しておき、生徒が思いついたものを随時書かせた。

表 4、表 5 に示す。
表 4、表 5 とも、どの項目についても複数の他者が書き込んだものがリアルタイムで更新記述があり、最後にそれを取り上げ、授業を終され、皆で共有できることによって、生徒たちえた。具体的に見ると恋愛や結婚、ギャンブル－ 323 －

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教育実践研究報告書などが挙げられているが、これは教員が事前に表 7 事後アンケート想定していなかった類のものであり、彼らが数学的な態度について、自由に自分の言葉でイメージしたことがわかる。
3.3 事前・事後アンケートからの考察実施した事前アンケートと事後アンケートを表 6、表 7 に示した。ここから特筆すべき項目を見ていくが、紙面の都合でデータの掲載を断念した部分があることに触れておく。
表 6 事前アンケート

図 4 数学的な態度とはどんな態度か

3.3.1 記述内容の変化（自由記述・事前アンケート Q10）

図 4、図 5 は、数学的な態度について数学が割合が高い。
「数学的な態度」という言葉を聞い得意な者（事前アンケート Q1 で「4」もしくはたことがある者は 23 名中 0 名と、「数学的な態「3」と回答：9 名）と数学が得意でない者（事度」は生徒たちにとって馴染みのない言葉だと

前アンケート Q1 で２もしくは１と回答：14 名）わかった。

で色分けして集計した。図 4 を見ると「数学的一方、事後アンケート Q6 の結果が図 5 であな態度とはどのようなものか」との問い（事前る。数学的な態度について大事だ、ためになるアンケート Q10）に「わからない」や未回答のと思ったものについて、全ての生徒が番号を選者が合わせて 11 名と約半数おり、数学が得意択し、なぜその態度が役立つと思うかが記述ででない者に多く見られた。また、「物事を考えようとする」は数学が得意な者からのみの回答できており、授業後には明らかに「数学的な態度」への認識が深まったといえる。 図 5 の結果をあり、数学が得意であると感じている者は、「考詳しく見ると、「⑥疑う、確認する」ことが役立えること」を数学的な態度として見なしている

つと答えた者が最も多かった。図 2 で「(サ)平－ 324 －山梨大学教職大学院

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減り、「論理的思考力」「社会・生活に役立つ力」「応用力」「最適解を見つける力」などが多く書かれた。事前アンケートには書かれなかった「推測力」「見通す力」「試行錯誤する力」なども登場し、回答のバリエーションも増えている。
このことから、生徒たちが授業前に「数学的な考え方」という言葉で表していた漠然とした概念を、より具体的に言語化し、認知できるようになったと考えられる。
ここまで見てきたように、プリントを用いて、

図 5 数学的な態度について、特に役立つもの（選択式・事後アンケート Q6）

数学的な考え方、数学的な態度に焦点を絞って方完成したものを展開して確認」のポイントが伝える授業を通して、生徒は数学的な考え方や低く、図 3 では「⑥疑う、確認する」のポイン

数学的な態度について、認識を深め、自らの言トが低かったことから、生徒たちは問題を解く葉で言語化することができるようになった。生際に自らの解答についてあまり疑ったり確認徒自身が認識できる数学的な考え方や数学的したりしていない。わかりやすい概念であるにな態度について概念が広がったり、認知が進んも関わらず、指摘されて初めて気づいたことや、だりしたと考えられる。

日常生活で疑ったり確認したりすることが大3.3.2 数学に対する意識の変化事だという思考に至りやすいことなどが、「⑥次に、数学的な考え方や数学的な態度に関す疑う、確認する」の回答数の多さに繋がったとる生徒の認知が進んだことにより、生徒が数学考えられる。また、数学が得意でない者の回答そのものに対しての意識をどのように変容さは①③④⑥に集中しており、数学が得意な者のせたかについて、事前事後のアンケートを比較回答がばらけていることも対照的である。

しながら見ていきたい。表 8～表 11 は、事前アンケートと事後アンケートを比較し、表にしたものである。右上にいくほど、授業後に望ましい改善が見られたことを示している。
表 8 高校の数学が自分にとって役立つか（事前アンケート Q４、事後アンケート Q1）
高校の数学は私にとって役立つ
事
後平均3.57

事前平均 2.91

4

324

4人

9人

1人

14人

31人

2人

4人

7人

2人

2人

211

図 6 数学を通して身につく力（自由記述）
5人 11人（事前アンケート Q9、事後アンケート Q8）7人

図 6 は、数学を通して身につく力について自表 8 は、高校の数学が自身にとって役に立つ由記述したものを分類したものである。事前アンケートでは「論理的思考力」「数学的な考えかどうかについてまとめたものである。事前アンケートでは平均 2.91 だったものが、事後に方」「計算力」などに回答が集中したが、事後アは 3.57 まで上昇した。数値が上昇した者の記ンケートでは「数学的な考え方」の数が大きく述内容を見てみると、事前アンケートでは「基－ 325 －山梨大学教職大学院

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本的な算数ができれば大丈夫」「ただ勉強する力が身につくと思った。
」「今回の授業を通して科目に数学があるから（勉強している）」などの数学では日常生活に必要な思考力を学べる学記述が見られたが、事後アンケートでは「数学問だと感じた」など、数学の授業をただの受験的な態度が数学以外の場面でも自然と使って勉強としてのみではなく、人としてのスキルをいることがわかった。生きていく上で必要なこ身につけるための時間として捉えられる者がとなのかもしれない」「自分の将来のことにも増えたといえる。

繋がる可能性があるかもしれないと思い、頑張

表 10 高校の数学が将来の仕事で必要かろうと思った」「とてもおもしろかった。高校の（事前アンケート Q7、事後アンケート Q3）

数学にもちゃんと意味があるなと思った。
」な

高校の数学は将来の仕事で必要である

ど数学に好意的な記述へと変化していた。
表 9 高校の数学が社会の発展にとって役立つか事
後（事前アンケート Q5、事後アンケート Q2）
高校の数学は社会の発展に役立つ事
後平均
3.6243

事前平均 3.17437人

6人
7人

2

平均

13.43

13人
3人

4

事前
432

1

5人

2人

3人

1人 11人

4人

4人

2人 10人

2人

2人

32
1
5人

10人

平均 2.57

6人

9人

3人

表 11 では、高校の数学を勉強する意味につ2いての意識をまとめた。事前アンケートでは

1
7人 13人「数学を勉強する意味がわからない」という、3人数学全般に対する否定的な文言で質問し、事後

表 9 は高校の数学が社会の発展に役立つか

アンケートでは「今回の数学の授業を通して数どうかについてまとめたものである。事前アン学を勉強する意味がわかった」と 1 回の授業にケートでは平均 3.17 だったものが、事後には焦点を当てて、肯定的な文言で質問した点を補3.62 に上昇した。数値が上昇した者の記述内容足しておきたい。今回の授業で数学を勉強するを見てみると、事前アンケートでは「社会に役意味が分かった（事後アンケートで 4 または 3立つとか、必要だとか考えたこともなく、興味もない。
」「日常生活や仕事で使われているとこと答えた）者は、23 人中 22 人であった。特に、事前アンケートで「3（どちらかといえば意味ろを見る機会が少なく、本当に将来必要なのかがわからない）」、事後アンケートで「4（意味が疑問」という記述があったが、「なぜ数学を私たわかった）」と回答した者の記述には、「数学をちはやっているのかを見直すいい機会になっ勉強する理由が、ただ受験に使うなどだけではた。
」「話し合いで認識を改められた。社会に出なく将来のためにもなることを知ることがでても役に立つことを再認識できた」など、前向きて良かった」とあった。また、事前アンケー

きに捉える言葉が出てくるようになった。

トで「1（意味はわかっている）」と答えた者の表 10 は、高校の数学が将来の仕事で必要か事後アンケートからは、「今後、数学の問題を解どうかについてまとめたものである。事前アンくときだけでなく、将来、社会に出て生活してケートでは平均 2.57 だったものが、事後にはいく中で必要な力を高校数学で身につけられ3.43 に上昇した。数値が上昇した者の記述内容るとわかったのでとても良かった。
」「面白かっを見てみると、「自分の将来にはあまり使わないと考えていて、利用例がなく実感がわかない」

た。自分の問題の解き方を見直すいい機会になった。
」など、元々数学の授業に意味を感じては「受験の時に必要だから勉強している」などのいたものの、さらにその見方や感じ方などが変記述から「仕事ができる力など、将来に使える化した様子も見て取ることができた。

－ 326 －

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表 11 高校の数学を勉強する意味がわかるか意識できていないものも多かった。それらを改（事前アンケート Q8、事後アンケート Q4）めて言語化して提示したことで、図 4、図 5、図 6 のように、認識の改善が見られ、生徒たち高校の数学を 事前（勉強する意味がわからない）勉強する意味
1
2
3
4にとって自らの言葉で言語化できるところまで認識のレベルを高めることができた。

（勉わ
強かす 事っ る後た意） 味が

4

8人

4人

2人

1人 15人2 つ目は、
表 8 から表 11 までで示した通り、

3

2人

3人

2人

7人

数学的な態度や数学的な考え方に対する認識1人の改善が、数学の授業を受けること、数学の問

21人題を解くことに対する意義と結びつけられ、数1学や数学の授業が自分にとって役立つものだ
10人

8人

4人

1人と感じる生徒が増加したことである。これは、事後アンケート Q9「今日の授業の感想を教数学的な態度が日常の中で役立つ場面についえてください」という質問の回答について分類て考え、共有した活動によって、言語化して認したものが図 8 である。
「数学の認識が改善し識したものが、生徒自身にとって有用であるとた」が 12 人、「楽しかった・面白かった」が 9

実感された成果に他ならない。

人、「やる気になった・頑張ろうと思った」が 5

今回の研究では以上の成果が得られたが、調人、「数学に対する取り組み方を見なおす」が 3

査対象が非常に限られており、この取り組みが人となった。ここから、半数超の者が数学に対学力の異なる他の高校生集団でも同様の結果する認識を改善していることがうかがえる。数を残すかどうかは検証の余地がある。また、今学の授業でどのような力がつくか、何を考えな回は 2 次関数を取り扱ったが、他の単元の応用がら問題を解くべきかが明確になったことで、例題レベルの問題や、大学入試の問題などにお数学に対する意欲を向上させたり、自らの数学いても同様の取り組みを行うことも考えられに対する取り組みを変化させたりしようといる。また、数学的な考え方や数学的な態度を言う姿勢も見られた。

語化することに焦点を当てた授業を定期的、断続的に行うことによって得られる効果についても今後検証していきたいと考えている。
5. 引用・参考文献
国立教育政策研究所 「国際数学・理科教育動向調査（TIMSS2019）のポイント」
https://www.nier.go.jp/timss/2019/point.pdf
高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解説

図８ 数学を通して身につく力（自由記述）【数学編・理数編】文部科学省（事前アンケート Q9、事後アンケート Q8）

生田直子(2018) 数学的な考え方を視点とした

4．本稿の成果と課題ルーブリックの開発と学習指導法

全国数本研究を通して得られた成果は、大きく分け

学教育学会誌 数学教育学研究 第 24 巻 第 1 号て 2 つある。1 つ目はプリントを用いて「数学片桐重男(2004) 算数・数学科の真の学力向上的な考え方」や「数学的な態度」について、言を目指して－ 明治図書語化して平易な表現で説明することによって、佐々祐介(2000) 生徒の数学に対する意識に関「数学的な考え方」や「数学的な態度」について、数学が苦手な生徒たちの認識のレベルを上する 研究－中学生と高校生の意識差に関する一考察－ 日本教科教育学会誌 第 23 巻 第 1

げられたことである。図 2 や図 3 で調べた通号

り、以前から意識できているものもあったが、－ 327 －