高等学校数学科における生徒の対話活動を重視した授業実践とその分析－数学Ⅲ「微分法の応用」凸性の活用から－

教育学研究科 教育実践創成専攻 教科領域実践開発コース 中等教科教育分野 望月宏紀
1 . はじめに「課題に対する複数の異なるアプローチを各高等学校においては、令和４年度の入学者エキスパートが担当し、比較検討しながら課から平成３０年に告示された学習指導要領が題解決を行うとともに、各アプローチの共通適用される。新学習指導要領には、育成すべ点や差異に着目し、理解の抽象化を図る方法

き資質・能力が、「知識及び技能」、「思考力、である」と述べている。筆者はその２つの型判断力、表現力」、「学びに向かう力、人間性の中から「多思考型ジグソー法」に着目し、等」の３つの柱で整理して示されている。目

実践研究を行った。その動機は２つある。１

まぐるしく環境が変化する時代を生き抜くた

つ目は、生徒一人ひとりに明確な役割を与えめには、前述した資質・能力を身に付けるこることによって、特定の生徒だけが活躍すると、また、生涯にわたって能動的に学び続けのではなく、グループ全体の活動性がより高る姿勢は生徒にとって不可欠な要素である。

められる技法であると考えたからである。２

資質・能力の育成に向けて、教師に求められつ目は、「多思考型」が、３つのエキスパート

ることは、長年培ってきた授業方法や指導体課題を組み合わせなくても、答えを求めるこ制を活かしつつ、「知識及び技能」を確実に習とができる「型」だからである。問いを解く得させることに加えて、「思考力、判断力、表ための最適なアプローチについて、複数の解現力」を高める指導の在り方を模索し続ける法を様々な視点から生徒たち自身が比較検討ことである。さらに、一人ひとりの生徒が主することで、生徒一人ひとりの複眼的思考が体的・対話的となりながら、日々の学びを実高まる技法になり得ると考えたからである。

感できるように授業改善を推進していくこと

成果と課題を含めた分析結果については、昨も必要である。

年度の教育実践研究報告書を参照されたい（望月，2020）。以下、概要を述べる。成果と2. 活動性の高い授業の実現に向けてしては以下の２点が挙げられる。個人活動①昨年度（令和元年度）は、一人ひとりの生から②で正答率の上昇が見られた点、また、徒が役割や責任感をもち、協同的に問題解決

生徒たちの OPP シートの記述から、複眼的にを図ることができるとされるグループワーク思考していることを見とることができた点での技法である「知識構成型ジグソー法」につある。一方、課題としては以下の点が挙げらいて実践研究を行った。知識構成型ジグソー法には、「組み合わせ型」「多思考型」というれる。問いの設定およびエキスパート課題の設定の難しさである。特に、エキスパート課

２つの大きなアプローチから問いに迫る方法

題の難易度にバラつきがあると、グループワがある。飯窪他（2017）によれば、組み合わークの停滞につながることがあり、他の活動せ型とは「課題を解くのに必要な複数の考えにまで影響を及ぼすこととなる。

を各エキスパートが担当し、組み合わせて課

今年度は昨年度の成果と課題を踏まえ、引題の解決を図る方法」であり、多思考型とはき続き、生徒が主体的・対話的となる活動性の高い授業について実践研究を行うこととしる会話の手法である」と述べている。筆者がた。安永（2012）は、「活動性の高い授業では、ワールドカフェ方式を取り入れた実践研究を学びを他人事ではすまされない自分自身のことであると学生に意識させ、自分と仲間の学行う動機について詳述する。１つ目は、生徒がよりリラックスしながら自由に発想するこ習過程に深く関与させる必要がある。
」と述べとのできる技法だからである。生徒同士が既ている。安永（2012）の見解を踏まえると、習事項と関連付けながら自由に意見を表明で

真に活動性の高い授業とは、生徒一人ひとりきるグループワークを設計することでより活が責任感をもち、主体的・対話的となりなが動性の高い授業を実現できると考えたからでら深い学びを実感することであると考えられある。２つ目は、協同学習の他の技法に比べ、る。真に活動性の高い授業を実現するために、より多くの人と意見交換することのできる技

授業者には協同学習の理論及び技法を十分に法だからである。３つ目は、数学における授理解すること、また、生徒の実態を踏まえた業実践例が少なく、本研究によって高校数学授業構想力が求められる。

における有効性を示したいと考えたからである。

3. 授業を構造化する

本研究では、図１のように授業を構造化し、協同学習に関する研究で世界的に高名なジ生徒の活動と教師の役割を明確にした。さらョンソン兄弟は、協同学習の基本要素としてに、昨年度に引き続き OPP シートを用いるこ

次の５つを挙げている。１つ目は肯定的相互とで、生徒自身が授業活動を振り返り、教師依存関係（互恵的協力関係）、２つ目は促進的がその記述を確認することで双方の内省を促相互作用、３つ目は個人の役割責任、４つ目進することとした。

は社会的スキル、５つ目はグループによる改善手続きである。授業者は単にグループによる対話活動を計画するだけではなく、この５つの基本要素を踏まえ、授業の中でどのように具体化し、実践するかを検討する必要がある。
協同学習の実践事例は学校種を問わず数多く存在している。知識構成型ジグソー法の中には、前述したように、適切なエキスパート課題の設定に困難さを示した報告がある。今図１ 授業形態と教師の役割（筆者作成）

年度は、昨年度の知識構成型ジグソー法のよ
うに活動の型に明確な規定がある技法ではな

最後になるが、平成３０年に告示された高

く、グループごと自由に活動できるワールド

等学校学習指導要領「総合的な探究の時間」

カフェ方式を適用した実践研究を行うこととによると、従来「協同的」としてきたものをした。

今回の改訂で「協働的」と改めた趣旨は、意ワールドカフェとは、１９９５年にアニー

図するところは同じであるが、異なる個性をタ・ブラウンとデイビッド・アイザックによもつ者同士で問題の解決に向かうことの意義って始められた対話技法である。香取（2009）を強調するためと述べている。本研究においは「ワールドカフェは、メンバーの組み合わせ変えながら、４～５人単位の小グループでては、ジョンソン兄弟の協同学習における５つの基本要素を踏まえ授業構想を行うが、学話し合いを続けることにより、あたかも参加習指導要領にある趣旨に同意するため、以下者全員が話し合っているような効果が得られ「協働」で統一することとする。

4. 実習校での研究授業
表１ ワールドカフェ方式 授業実践の流れ

出典：香取（2009）「ワールド・カフェをやろう」P59 を参考に筆者が加筆作成
堀（2012）は、教室で行うワールドカフェ演習型授業が続いている状況であった。のテーマには２つの条件があるとして、「一つは生徒たちが当事者意識をもって取り組める<研究授業の概要>テーマであるとともに、ある種の公共性をも実施日：令和２年１０月２９日

つテーマであること」もう一つは、「生徒たち実習校：山梨県立Ｂ高等学校（普通科）全員がフラットな関係で取り組めるテーマで対 象：３年理系クラス生徒（１４名）あること」と述べている。これらを踏まえた

単 元：数学Ⅲ「微分法の応用」

時、ワールドカフェ方式協働学習を実践する

内 容：「グラフの凸性と不等式」

授業者に求められることは、学習者が探究する価値を感じる課題（問い）の設定である。

【６５分授業の展開】

そのためには、探究課題（問い）を吟味し、第１ラウンド①課題提示 (５分) ➡PowerPoint 使用

出題には十分注意を払わなければならない。

②個人活動（１０分)

ワールドカフェ方式授業実践の流れについて

第２ラウンド グループワーク①（１５分）

は、堀（2012）のワールドカフェ１０のステ

第３ラウンド グループワーク②（１５分）

ップと香取（2009）のワールドカフェの標準

第４ラウンド グループワーク③（１０分）

的なプロセスを参考にしながら、図１を具体

第５ラウンド 全体交流・共有（５分）化し、表１のように作成した。
続いて、授業実践を行ったクラス（パート）➡ホワイトボード使用
第６ラウンド 振り返り（ＯＰＰシート）（５分）の実態について述べる。対象生徒は普通科高校３年生理系クラスに所属する生徒たちである。全生徒が数学Ⅲを履修し、主に国公立大第１ラウンド①課題提示

学理工系の大学進学を目指している。８月に授業の導入では、PowerPoint のスライド

は数学Ⅲの学習内容全般を一通り終えており、（図２～図５）などを用いて、凸な関数の不研究授業を実施した１０月には受験に向けた等式について触れた。その後、図６および図７の問い（１）（２）（３）に関するワークシートを配布した。

図２ PowerPoint 資料①（表紙）

図７ 配布したワークシートの一部（問い）
図７の問いについて、出題意図を３つ述べる。１つ目は、（２）の凸関数上の２点の中点が曲線より上にあることに着目し、各y座標の大小関係を考察すること（不等式への応用）は、数学的な見方・考え方を働かせた学習活動につながると考えたからである。２つ目は、

図３ PowerPoint 資料②

凸性から２数の「相加・相乗平均の大小関係」が導かれることで、数学の不思議さや奥深さを感じてもらうことができると考えたからである。３つ目は、（３）を解く際、（２）の導出過程を振り返ることで、３数・４数…と「相加・相乗平均の大小関係」を拡張し、一般化した場合を推定できるなど数学的なよさを認識し、積極的に数学を活用する態度が養われ

図４ PowerPoint 資料③る対話活動になると考えたからである。本来であれば、直観的に分かることであっても数学的に証明することは必要である。厳密には、数式を用いて Jensen の不等式を導出する必要性があるかもしれないが、証明が少々難しくなるので本時で触れることはなかった。
②個人活動

図５ PowerPoint 資料④①の課題提示から、個人で問いについて解答することから始めた。
グループワーク前の個人活動①で正答・誤答であった生徒の数（１４名中）（１）正答１２名 誤答 ２名 無答 ０名（２）正答 ２名 誤答１２名 無答 ０名（３）正答 ０名 誤答 ２名 無答１２名（１）については、商の微分を用いて正確に計算することさえできれば容易に第二次導関

図６ 配布したワークシートの一部数の符号を判断することができる。誤答であった２名の生徒は第二次導関数を求める過程イアログ内容を踏まえ、ホストと旅人たちにで計算ミスをしていた。
（２）については、厳よるダイアログがより活発になっている様子

密には等号成立はしないが、等号を付けてあっても対数不等式を正確に計算した生徒２名が見られた。全生徒がそれぞれの役割や責任を自覚しており、全グループが自由にアイデを正答扱いとした。
（３）については、解答にアを出し合いながらダイアログを継続してい至る視点が見つからず無答の生徒が多数であた。

った。
第２ラウンド グループワーク①
１４名の生徒を４グループに分けた。
（４人グループ×２班 、３人グループ×２班）
グループメンバー全員が、個人活動で分かったことや分からなかったことを順番に発表することから始めるよう指示した。その後、グループワーク①を通して、特に「分からなか気づきや発見を統合する様子ったこと」を全員に意識させ、次の第３ラウンドのグループワークに臨むよう伝えた。

第５ラウンド 全体交流・共有
ワールドカフェにおける全体交流の場面で第３ラウンド グループワーク②

は、ホストが模造紙を使用してアイデアを発各グループには、前時にホスト役と旅人役表する場合があるが、本時ではグループの机を決定しておくよう伝えてあり、ぞれぞれのの上で書ける小型ホワイトボード（上写真を果たすべき役割や責任についても説明をして参照）に記述解答を作成させることにした。

いた。また、旅人は必ず別々のテーブルに移動することも伝えていた。事前準備を徹底したこともあり、スムーズにグループワーク②が開始され、新しいグループでもダイアログを継続することができた。
筆者はファシリテーターとして、グループワーク中は、極力各グループには関与せず、時間管理及び表１にある役割などを意識させることに専念した。
図８ ホワイトボードの記述①

旅人が他のグループに移動する様子
第４ラウンド グループワーク③
グループワーク①とグループワーク②のダ

図９ ホワイトボードの記述②

数学の学習に関すること・とにかく値を代入してみたり、とりあえず何かをやってみた
りすることで、解答が求められることもあるので「やってみる」ということが大切だと思った。
・その時にやった単元にとらわれず、過去の知識を引っぱり出してこなければならないときがある。
・一つの考え方にこだわっていて、よりよい案にたどりつかなかったのはもったいないと感じた。

図１０ ホワイトボードの記述③

・今まで習ったことを覚えているだけではあまり良くないということ。

図８は、等号は成立しないものの対数不等・証明などにおいては、数学の公式だけを覚えているだけでは式から導かれた不等式が２数の「相加・相乗十分に解くことができず、本質的な部分を理解していないとき平均の大小関係」であると気づいた解答であびしいということが分かった。また、式だけで考えるのではなる。図９は、（２）と同様に凸性を利用し、グく、図形的に思考することで、見えなかった部分が明らかになラフを考察することで不等式を導き出そうとっていったので、図やグラフを書いて考えることが大切なのだ

している解答である。重心のy座標、曲線上のなと思った。

y座標の大小関係を比較しているという表現

・私はテストで分からない問題に出会ったとき、１つの視点ではないものの、あと一歩で正答に至る記述で分からない沼にハマっていってしまうけれど、考え方は多様であるといえる。図１０は、間違った記述でああると学んだので、１つの視点で突き進むのではなく、分からるが、（３）の（左辺）が三角形 ABC の重心ないとき、いろいろな視点をもつことが大事なのか…と思いまのx座標を表していることに気づき、グラフをした。

利用しながら解決を試みようとしている解答

・同じ問題でも、人によって解き方や考え方が違うということである。

を実感することができた。

筆者の観察から、全４グループが（２）の・式が何を表しているか本質を考えることが大切

相加・相乗平均の不等式まで導き出すことが・自分で考えて話し合うことで、新しい見方・考え方を得られできた。しかし、（３）については、重心の座る。

標に着目し、記述を試みたグループはあった
ものの、途中式の説明を含めて完答に至るグ

・基礎的な理解から考え方を広げられる。
・“分かろう”“理解しよう“”知りたい“と思う意欲的な態度

ループはなかった。

・論理的に説明すること
・数学でも、ただ公式を暗記するだけだと、すぐに忘れてしま

第６ラウンド 振り返り
（ＯＰＰシートの一部）※（原文のまま）

うし、応用問題に対処できなくなってしまうから、こういう本質や深いところまで考えることは本当に大事だと思う。

① 今日の授業で分かったことや大切だったことは何ですか。
問いに関すること②疑問点・質問

・微分の性質から、相加相乗平均を導くことができた。
・相加相乗の公式の求め方が分かった。
・微分法がテーマだったので、まさか相加相乗平均が出てくるとは思わず、やはり数学は様々なところでつながっていること

・点が 4 点、5 点、6 点～だった場合成り立つのか？

がわかった。

・（1）（2）は理解できたけど、（3）の進め方が、、、う～んとい・途中で「相加相乗」の式がでてきて、微分にまででてきてびう感じだった。

っくりした。この式の形が「相加相乗」だと分かったとき感動

・ワークシート（3）、どうやって導くのだろう…とモヤモヤしした。ています。

さらに意見をふくらませることができたので良かった。
・・「ホスト」と「旅人」のグループワークはなんだか新鮮で、・微分と相加相乗に何か関係性はあるのか。

色々な人の考えを聞くことができたり、普段あまり関わりのない人とも考えをシェアできて、とても楽しかった。できたら、③このようなグループワーク型授業についてどう思いますか。

またやりたいくらい楽しかったです。

自由に感想を書いてください。

・自分たちで話し合いながら答えを導いていくと、本質的な部

・人に説明するとき、100％分かっていないと相手を納得させ分からしっかり考えることができたので、できたら１，２年のられないので、本当に自分が理解しているかが分かりやすい。

ときに、こういう授業形態だったら、より理解が深まっただろ

・話し合うことでみんなの理解が早くなる。

うと思いました。

・他の人がどのようにして問題を解いているかを共有し、自分の勉強への参考にすることができるのでいいと思った。
・自分１人で考えるより他人と話し合った方が分からない時は5．成果と課題研究授業における生徒観察および生徒の良いと思った。

OPP シートの記述を総合的に判断したとき、・他人と話している時、理解が深まる。

高校数学における「ワールドカフェ」を適用

・話が盛り上がった時は楽しかった。

した協働学習は、生徒の活動性を高め、主体・友達の考え方を知ったり、同じ変形でも観点が違ったりする的・対話的となりながら深い学びを実感するのが知れるので良かった。

上で有効な方法であると考えることができる。

・目的にもよるが、「ディスカッション」を重視したいのなら、第１に生徒の OPP シート記述で顕著であった

本日のような授業はもちろん必要だが、その前にグループの「ホスト」の質を上げなければ意味がないと思う。

ことについて２つ述べる。１つ目は、探究課
題（問い）についての最適なアプローチ方法

・わざわざグループを作らなくても、普段の授業から意見が飛を協働的に考えることで、多角的な視点で問び交うのがよいと思う。

いを捉えることの重要性を認識している生徒

・自分で分からなかったことを共有できるし、解決もできるのが多数いたことである。２つ目は、他者に説で、やりやすかった。また、他の人がどのように考えているの明することで、説明者自身の知識理解の促進かを知れたし、それを教えてもらうことで「そういう考え方もにつながっていると感じている生徒が多数いあるのか！」と考え方の幅が広がった。

たことである。第２にグループワークを観察

・皆と話しながら勉強することで、“学びたい”“知りたい”とした場面でもその有効性を感じることができ強く思えた。

た。そのように感じられた場面を２つ挙げる。

・基礎的な知識を使って様々な問題を解くことは、普段の数学

１つ目は、対話活動を通して、生徒個々が自の問題を解く上でもすることだから、今日みたいな授業はそこらの役割や責任を自覚し、思考を働かせながにも活きてくると思う。

ら論理的に解決を図ろうとしていたことであ・グループワークは１回分からないゾーンに入ってしまうと、る。２つ目は、対話活動が活性化したことで、なかなか抜け出せなくなってしまうところは課題だと思った。

「もっと知りたい」「もっと学びたい」といっ・分からないところは聞けるし、新しい考えを得られるし、組た学習者の内発的動機付けが高まったことでみ合わせることで思いつけたりすることができるので良いとある。次に課題について述べる。１つ目は、思いました。

昨年度の「多思考型ジグソー法」を取り入れ・授業は楽しかったが、考える時間をもっと欲しかった。

た授業を設計する場合と同様、探究課題（問・自分の考えを発表することは完全に理解しないと上手に説明い）の設定が難しいことが挙げられる。２つできないと感じている。グループワークは、自分の理解度が分

目は、ホストの育成が必要であることが挙げ

かる上でよいと思う。

られる。ホストはファシリテーターとしての・最初の３人の話し合いで、自分たちの意見をまとめるこがで責任と役割を果たさなければならない。グルき、「旅人」となって他のグループの考えを共有できたことでープワークの質を上げるために、ホストの育成は必要条件である。今後の授業実践に向け・改訂版 高等学校 数学Ⅲ（数研出版）ての課題となった。

・望月宏紀（2020）高等学校数学科における昨年度は「多思考型ジグソー法」、今年度は「ワールドカフェ方式」の協働学習について複眼的に思考する力を育む授業実践とその分
析－数学 A「場合の数」
最短経路問題から－（令実践研究してきた。大きな成果として挙げら

和元年度山梨大学教職大学院教育実践研究報

れることは、生徒達が協働的に学ぶことで、

告書）（個々の学びだけでは得られない）より深い

・望月宏紀 成田雅博 （2021）高等学校数学学びへとつなげられる可能性を示すことでき科における知識構成型ジグソー法およびワーた点である。

ルドカフェを適用した協働学習の実践と評価

来年度以降も引き続き、ワールドカフェ方（令和２年度山梨大学教育学部附属教育実践式を取り入れた授業を行い、個々の生徒（ま総合センター研究紀要）

たはグループ）がどのように思考を深めて問・高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解

題解決を図るか、その変容を見とり・分析し説 数学編理数編ていきたいと考えている。また、生徒一人ひ・高等学校学習指導要領（平成 30 年告示）解とりが主体となり、学びを深められる構造的説 総合的な探究の時間編なグループワーク授業についてもさらに研究を重ねていきたいと考えている。現在は、高校数学における協働学習に適した授業として、①複数のアプローチを比較検討し、課題の解決に向かう授業 ②規則性や対称性を見いだし、考察する授業 ③間違った解答を根拠に基づいて正しい解答に書き直す授業について構想を進めている。
令和４年度の新学習指導要領実施に向け、今後も協働学習について実践分析し、生徒が深い学びを実感できる授業を検討していく。
6．引用文献・飯窪真也・齋藤萌木・白水始（2017）
知識構成型ジグソー法による数学授業（東京大学 CoREF）
・安永悟（2012）活動性を高める授業づくり―協同学習のすすめ（医学書院）
・ジョンソン,D.W.・ジョンソン,R.T.・ホルベ
ック,E.J.（訳）石田裕久・梅原巳代子（2010）
学習の輪―アメリカの協同学習入門（二瓶社）
・香取一昭・大川恒（2009）「ワールド・カフ
ェをやろう！」（日本経済新聞出版社）
・堀裕嗣（2012）教室ファシリテーション
１０のアイテム１００のステップ（授業への参加意欲が劇的に高まる１１０のメソッド）（学事出版）