Euler angle:Rotation of coordinate axes and rotation of molecular axes
Masahiro Yamamoto
例えば分子内に固定された座標系 {x′ , y ′ , z ′ } (例えば，量子化学計算で求められたある分子内の原子の xyz
座標）を空間に固定された実験室系の座標系 {x, y, z} で表すことを考える。この場合は，実験室系からみて分子は自由に並進・回転しており，座標系 {x′ , y ′ , z ′ } はその運動とともに並進・回転している。分子が剛体であるとすれば，分子に乗っかって並進・回転運動している観測者からは，分子は静止している。お互いの原点が一致するように並進移動させると，後は座標系の回転の問題となる。
FDECGBHOAFigure 1:
2 次元の場合の座標系の回転を Fig.1 に示した。実線の座標系 {x, y} は太線の座標系 {x′ , y ′ } に回転角 φ で⃗ を考えその座標 (x, y) が (x′ , y ′ ) とどのように関係にあるのか調べる。
移動する。ベクトル ODx = |OA| = |FD|,y = |OF| = |AD|,φ = ̸ AOB = ̸ FOG = ̸ CDB = ̸ EDF(1)′

x= |OC| = |OB| + |BC| = |GF| + |DE| = y sin φ + x cos φ(2)′= |OH| = |OG| − |GH| = |OG| − |FE| = y cos φ − x sin φ(3)yz 軸まで含めて考えると

xcos φ sin φ 0x′ ′  y  =  − sin φ cos φ 0   y z001z′
一般には，ベクトルと行列でr′ = Ar,



(4)

x
a11 a12 a13x′ ′   y  =  a21 a22 a23   y za31 a32 a33z′(5)と書かれる。また，変換前後でベクトルの長さ（ノルム）は変わらないので(r′ )2

x′′ 2′ 2′ 2′ ′ ′  ′ = (x ) + (y ) + (z ) = (x , y , z )  y  [= (r′ )T r]z′








x
a11 a12 a13
a11 a21 a31= (x, y, z)  a12 a22 a32   a21 a22 a23   y  = rT AT Arz
a31 a32 a33
a13 a23 a33
1(6)ここで，T は，行列要素 aij の i と j を入れ替える，すなわち転置することを意味する。定義より (r′ )T =(Ar)T = rT AT となることは明白である。最後の項が，rT r になるためには，

AT A = 1
TA(7)−1= A(8)である。

次に，実験室系であらわさている座標系 (x, y, z) を分子系で表されている座標系 (x′ , y ′ , z ′ ) に変換する。(I)z 軸回りに φ(= ̸ xOx′′ = ̸ yOy′′ ) 回転させ (r′′ = A(φ)r)，さらに (II) x” 軸の回りに θ(= ̸ z′′ Oz′′′ = ̸ y′′ Oy′′′ )回転させる (r′′′ = B(θ)r′′ )。最後に，(III)z”’ 軸の回りで ψ = ̸ x′′′ Ox′ = ̸ y′′′ Oy′ 回転させて (r′ = C(ψ)r′′′ )，x′ , y ′ , z ′ 軸系にする。

従って，r′ = C(ψ)B(θ)A(φ)r = D(ψ, θ, φ)rcos ψ sin ψ 0C(ψ) =  − sin ψ cos ψ 0  ,001




(9)


100


B(θ) =  0 cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ(10)cos φ sin φ 0100cos ψ sin ψ 0D(ψ, θ, φ) =  − sin ψ cos ψ 0   0 cos θ sin θ   − sin φ cos φ 0 0010 − sin θ cos θ0012

cos φsin φ0cos ψ sin ψ 0=  − sin ψ cos ψ 0   − cos θ sin φ cos θ cos φ sin θ sin θ sin φ − sin θ cos φ cos θ001

cos ψ cos φ − sin ψ cos θ sin φcos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ sin ψ sin θ=  − sin ψ cos φ − cos ψ cos θ sin φ − sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ cos ψ sin θ  (11)sin θ sin φ− sin θ cos φcos θまた，分子座標系から実験室系への座標変換はr = D−1 r′ = DT r′

DTcos ψ cos φ − sin ψ cos θ sin φ − sin ψ cos φ − cos ψ cos θ sin φ=  cos ψ sin φ + sin ψ cos θ cos φ − sin ψ sin φ + cos ψ cos θ cos φ − sin θ cos φ sin ψ sin θDT1

sin θ sin φcos ψ sin θ(12)(13)

cos θ= (CBA)T = AT B T C T(14)

Example1

以下の図のような Y 型の分子を考える。分子座標系から実験室系への座標変換について求める。

分子に固定した座標系 (x′ , y ′ , z ′ ) は，o = (0,0,0), a =(0, 0, 2a), b = (2a, 0, 4a),c = (−a, 0, 3a) となる。今，a = 1 で，φ = 0 ˚, θ = 30 ˚, ψ = 50 ˚の場合を考える。x′ , y ′ , z ′ 軸を x, y, z 軸に一致させてこの操作を行うと，
2) [0(-1)0] 方向に 30 ˚oa 軸は傾き，その傾いた oa 軸回りに 50 ˚c-a-b は回転する。Fig.2 にその様子を示す。

fm.ehcc.kyoto-u.ac.jp> cat eulerangle.fc234567890
implicit real*8 (a-h,o-z)
dimension d(3,3) ! D^T
dimension r(10,3) !r’
pi=acos(-1.0d0)
a=1.0d0
p=0.0d0/180.0d0*pi
t=30.0d0/180.0d0*pi
s=50.0d0/180.0d0*pi
d(1,1)=cos(s)*cos(p)-sin(s)*cos(t)*sin(p)d(1,2)=-sin(s)*cos(p)-cos(s)*cos(t)*sin(p)d(1,3)=sin(t)*sin(p)3d(2,1)=cos(s)*sin(p)+sin(s)*cos(t)*cos(p)d(2,2)=-sin(s)*sin(p)+cos(s)*cos(t)*cos(p)d(2,3)=-sin(t)*cos(p)d(3,1)=sin(s)*sin(t)d(3,2)=cos(s)*sin(t)d(3,3)=cos(t)r(1,1)=0.0d0r(1,2)=0.0d0r(1,3)=0.0d0r(2,1)=0.0d0r(2,2)=0.0d0r(2,3)=2.0d0r(3,1)=2.0d0r(3,2)=0.0d0r(3,3)=4.0d0r(4,1)=-1.0d0r(4,2)=0.0d0r(4,3)=3.0d0

do i=1,4x=d(1,1)*r(i,1)+d(1,2)*r(i,2)+d(1,3)*r(i,3)
y=d(2,1)*r(i,1)+d(2,2)*r(i,2)+d(2,3)*r(i,3)
z=d(3,1)*r(i,1)+d(3,2)*r(i,2)+d(3,3)*r(i,3)
write (6,’(5f15.7)’) x,y,zenddoend

Figure 2: z 軸方向から眺めた図。底面で右側へ伸びる軸が x 軸で，上側にのびる軸が y 軸である。

2Example2以下の図のような末端にカルボキシル基をもったチオール分子を考える。分子座標系から実験室系への座標変換について求める。Au-S-(CH2 )7 -COOH の分子構造を Gaussain03 で計算すると，左下図にあるように分子座標系は S-C-C-C.. 面が z = 0 として与えられる。S から C6 に向かうベクトルを z 軸 ([001] 方向) に一致させ，

4

S-C の xy 面への射影を y 軸に平行な [010] 方向へ，（従って，C=O を y 軸に平行な [010] 方向，COH を [01̄0]方向）に配向させる。

Figure 3: Gaussain03 で計算された Au-S-(CH2 )7 -COOH の分子構造（左図）。C6-C7-C8-O のひねり角は，180°回転した分子構造が 55 meV 真空中の計算では安定であるが，R. G. Nuzzo ら (JACS, 1990, 112, 558-569)の結果より左下図の構造を Au(111) 面上での分子構造として採用した。右図において，底面で右側へ伸びる軸が x 軸，上側にのびる軸が y 軸, 手前側に伸びる軸が z 軸である。
r = DT r′ において，R. G. Nuzzo ら (JACS, 1990, 112, 558-569) の結果より，φ = 0, θ = −32 ˚, ψ = 55˚とした。θ の回転およびその後の ψ の回転を行った結果を下図に示す。

5

Figure 4: 上図の２つの図において，底面で左へ伸びる軸が z 軸，上に伸びる軸が y 軸，手前側にのびる軸がx 軸である。x 軸回りに-32 °回転させた。また，２つの下図では，回転する分子軸方向から見たもので，底面(S がある面）手前に伸びる軸が y 軸, 左側が x 軸である。

6