8 式の計算(中2)まとめ1

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

単項式と多項式・同類項
たんこうしき★単項式…数や文字についての乗法だけでできている式を単項式という。

x2，2x， －ab，3y，4など

た こうしき★多項式…単項式の和の形で表された式を多項式という。

2x－y ，－3x2＋5 ，など★項…多項式の中の 1 つ 1 つの単項式を項という。

2x－y の項は，2x と－y－3x2＋5 の項は，－3x2 と＋5

どうるいこう★同類項…文字の部分が同じ項を同類項という。同類項は 1 つの項にまとめることができる。
次の式の同類項をまとめなさい。（計算しなさい。）(1)(2) 7＋3m＋2m2－2m－4－3m2
項の順番を並べかえる＝2m2－3m2＋3m－2m＋7－4

4x＋2y－x＋3y＝4x－x＋2y＋3y＝(4－1)x＋(2＋3)y＝3x＋5y2
ABCDE①－m＋2n－n－5m② 6x＋8y－6x－5y＝－m－5m＋2n－n＝6x－6x＋8y－5y＝(－1－5)m＋(2－1) n＝(6－6)x＋(8－5)y－6m＋nABCDE＝－m2＋m＋3次の計算をしなさい。

＝
3同類項どうし計算をする＝(2－3)m2＋(3－2)m＋7－4＝

3y次の計算をしなさい。
①

0.5x＋5y＋1.3x－4y② m－6n－5(m＋2n)＝0.5x＋1.3x＋5y－4y＝m－6n－5m－10n＝(0.5＋1.3)x＋(5－4)y＝m－5m－6n－10n＝

1.8x＋y＝(1－5)m＋(－6－10)n－4m－16n＝

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【8 式の計算(中2)まとめ】

4ABCDE

次の計算をしなさい。
①－ab＋a2＋2ab－5a2② y2－xy＋y2－xy－y＝a2－5a2－ab＋2ab＝y2＋y2－xy－xy－y＝(1－5)a2＋(－1＋2)ab＝(1＋1)y2＋(－1－1)xy－y－4a2＋ab2y2－2xy－y＝5ABCDE

次の計算をしなさい。

112
3x＋ y－ x＋ y2
33
5①② x2－1
3x＋ x2－2x2
4＝

12
13x－ x＋ y＋ y233
5＝x2＋＝3459x－ x＋y＋y661515＝

4 2 3 2 14x ＋ x － x－ x4422114x＋y615＝

7 2 5x－ x42－＝6＝

3 2 1x － x－2x42

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

多項式の加法・多項式の減法★かっこのはずし方（）の前になにもない，もしくは＋がある ⇒そのままはずす（）の前に－がある(1)⇒（(3x－2y)＋(x＋3y)＝3x－2y＋x＋3y

同類項を計算する＝4x＋y(2) (5x＋2y)－(3x－y)＝5x－3x＋2y＋y＝2x＋3y7ABCDE

かっこをはずす
並べ替える＝3x＋x－2y＋3y＝5x＋2y－3x＋y）の中の符号を変えてはずす

かっこをはずす
並べ替える
同類項を計算する

次の計算をしなさい。
①(－2x＋7y)＋(3x－5y)② (－3x＋5y)－(8x－2y)＝－2x＋7y＋3x－5y＝－3x＋5y－8x＋2y＝－2x＋3x＋7y－5y＝－3x－8x＋5y＋2yx＋2y＝＝(－3－8)x＋(5＋2)y＝－11x＋7y

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【8 式の計算(中2)まとめ】

8ABCDE

次の各問いに答えなさい。
① (2x2y＋xy)＋(－3x2y－xy)② (4x2－9x－2)－(x2－4x－3)＝2x2y＋xy－3x2y－xy＝4x2－9x－2－x2＋4x＋3＝2x2y－3x2y＋xy－xy＝4x2－x2－9x＋4x－2＋3＝(2－3)x2y＋(1－1)xy＝

3x2－5x＋1－ x 2y＝9ある式に，x－3y＋2 を加えたら，5x＋2y になった。ある式を求めなさい。

BCDE(5x＋2y)－(x－3y＋2) ＝5x＋2y－x＋3y－2＝5x－x＋2y＋3y－2＝4x＋5y－2

4x＋5y－2
10

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

数×多項式・多項式÷数★式と数のかけ算…多項式と数のかけ算は，分配法則を使って計算する。

(1)



(2) (16x2－8x)÷ －5(3x－4y)



4
3
3
4

＝5×3x－5×4y＝(16x2－8x)× －＝15x－20y y

16x2×3 8x×3＝－＋4
4＝－12x2＋6x11ABCDE

次の計算をしなさい。
② (45x2－36x＋9)÷(－9)① －4(2a－b)＝－4×2a＋(－4)×(－b)＝－8a＋4b＝45x2×(－111)－36x×(－ )＋9×(－ )999－5x2＋4x－1＝

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P4 【8 式の計算(中2)まとめ】

12ABCDE

次の計算をしなさい。
①



(9a2－12a)× －＝－＝

1
3




② (12ab－6b)÷ －9a2 12a＋33

＝(12ab－6b)× －－3a2＋4a＝12ab× －
＝

132
3
3
2

3
 3
－6b× －2 2

－18ab＋9b

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

かっこがある式の計算★分配法則を使う計算(1)14ABCDEABCDE(2) 5(2x＋y)－3(3x－4y－1)＝6x－2y＋3x＋9y＝10x＋5y－9x＋12y＋3＝6x＋3x－2y＋9y＝10x－9x＋5y＋12y＋3＝9x＋7y＝x＋17y＋3

次の計算をしなさい。
①4(a2－2a)－3(2a2－5a)② 2(3x2＋x＋1)－3(2x－2)＝4a2－8a－6a2＋15a＝6x2＋2x＋2－6x＋6＝4a2－6a2－8a＋15a＝6x2＋2x－6x＋2＋6＝(4－6)a2＋(－8＋15)a＝6x2＋(2－6)x＋2＋6＝152(3x－y)＋3(x＋3y)－2a2＋7a＝6x2－4x＋8

次の計算をしなさい。
①12(4x＋6y)＋ (6x－12y)23②23(10a－5b)－ (8a＋20b)54＝2x＋3y＋4x－8y＝4a－2b－6a－15b＝2x＋4x＋3y－8y＝4a－6a－2b－15b＝(2＋4)x＋(3－8)y＝(4－6)a＋(－2－15)b＝6x－5y－2a－17b＝

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P5 【8 式の計算(中2)まとめ】

16

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

分数の形の式の計算 啓 P.18
5x＋2y 3x－y－を計算しなさい。
32≪ミスをなくす工夫≫
必ず上の式に(5x＋2y 3x－y (5x＋2y) (3x－y)
－＝
－32
32＝

17

10x＋4y－9x＋3y6＝x＋7y6

通分 例

21 4－3－ ＝326次の計算をしなさい。

ABCDE①－2x＋y －2x－y＋124②x＋7y x＋3y－10
6(－2x＋y) (－2x－y)
＋12
4

＝

＝(－2x＋y)＋3(－2x－y)12＝

3(x＋7y)－5(x＋3y)10＝－2x＋y－6x－3y
12＝

3x＋21y－5x－15y30＝－8x－2y12－2x＋6y＝
30＝＝18から計算をする。

2(5x＋2y)－3(3x－y)6＝)をつけて

－4x－y
1 
 2
または － x－ y36 
6(x＋7y) (x＋3y)－106＝－x＋3y 1 x＋ 1 yまたは －5  1515次の計算をしなさい。

ABCDE①m＋2nm－n＋2＝(m－n)＋(m＋2n)
2②

2x＋y－

3x＋4y
3(3x＋4y)＝(2x＋y)－3＝2(m－n)＋(m＋2n)
2＝＝

2m－2n＋m＋2n2

6x＋3y－3x－4y＝
3

3m＝
2

3(2x＋y)－(3x＋4y)
33x－y＝
3

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P6 【8 式の計算(中2)まとめ】

19

次のにあてはまる式を答えなさい。

BCDE① －3ab×＝－18ab2c

15x－3y＋2②＝－18ab2c÷(－3ab)

23x－5y 15x－3y＝－32

18ab2c＝
3ab＝＝6bc＝＝2(23x－5y)－3(15x－3y)6

46x－45x－10y＋9y6x－y
6x－y66bc
2023x－5y＝3

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

式の値の計算★式の値は，文字に数を代入して計算する。
★もし，式を簡単にできるときは，いきなり代入せず文字のまま計算してから代入する。

(1)

x＝5，y＝－2 のとき，2x－3y の値を求めなさい。
2x－3y＝2×5－3×(－2）

負の数は必ずかっこをつけて代入すること＝10＋6＝16(2)x＝1，y＝－3 のとき，2(x＋2y)＋5(2x－y)の値を求めなさい。
62(x＋2y)＋5(2x－y)＝2x＋4y＋10x－5y

いきなり代入せずに＝12x－y＝12×

まず式を簡単にすること

1－(－3)
6＝2＋3＝521
ABCDE

a＝2，b＝－4 のとき，次の式の値を求めなさい。
①3a－2b②(a－2b)－(4a＋b)＝3×2－2×(－4)＝a－2b－4a－b＝6＋8＝－3a－3b＝

14＝－3×2－3×(－4)＝－6＋12＝

6Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【8 式の計算(中2)まとめ】

22a＝0.2，b＝－1.4 のとき，次の式の値を求めなさい。

BCDE① －2(4a＋b)＋3(3a＋b)② －6a2b÷3ab3×(－5b3)＝－8a－2b＋9a＋3b＝＝a＋b6aab×5bbb
3abbb＝10ab＝0.2＋(－1.4)＝10×0.2×(－1.4)＝0.2－1.4＝＝－2.8－1.2

23

A＝2x＋y，B＝x－3y のとき，次の式の値を求めなさい。

BCDE

A－B－2A－4B＝－A－5B＝－(2x＋y)－5(x－3y)＝－2x－y－5x＋15y＝

24－7x＋14y

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

単項式の乗除★単項式の乗法…まず数字を計算し，次に文字を計算する。

(1)(2) (－2x)2

5x×(－4y)(3) －(5a)2＝5×(－4)×x×y＝(－2x)×(－2x)＝－(5a)×(5a)＝－20×xy＝(－2)×(－2)×x×x＝－5×5×a×a＝－20xy＝4×x2＝－25×a2＝4x2＝－25a2★単項式の除法…必ず分数の形に変形し，約分をする。

(1)

(2)

9x2y÷6xy ＝9x2y6xy

＝9xxy
6xy

＝

3x2

4 2 5 24xy2
5x2yxy ÷ x y ＝
÷3
63
6＝

4xyy
5xxy
÷36＝4xyy6×35xxy＝8y5x9x2y を 9xxy と書くとミスしにくい

文字を分子として計算すること

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P8 【8 式の計算(中2)まとめ】

25
ABCDE

次の計算をしなさい。
①(2xy)3×3x8② －55ab÷ ab
126＝2xy×2xy×2xy×3x8＝－＝

3x4y3

5ab
6＝－×125ab

5ab 5ab÷
126

1＝－226ABCDE

次の計算をしなさい。
①9a2÷(－3a)×2a② 16a2÷4a÷(－2a)2＝－9a2×2a3a＝16a2÷4a÷4a2＝－9aa×2a3a＝

＝－6a2

16a2
4a×4a216aa＝4a×4aa1＝a27ABCDE

次の計算をしなさい。
1① x2y×y÷ xy2
3＝＝② (－x)3÷

2 2x ×4x3x2y×y×3xy2＝－x3÷

3xx3×3×4x＝－2x2＝2x2×4x3－6x2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【8 式の計算(中2)まとめ】

28

次の計算をしなさい。

ABCDE(－1 23127x) ÷(－ y)3×12xy2＝ x2÷(－ y3)×12xy22248＝x227y3)×12xy2
÷(－48＝x28×(－)×12xy2
427y3＝－x2×8×12xy2
4×27y38x3＝－9y29ABCDE

a＝1，b＝－3 のとき，次の式の値を求めなさい。
3①3a2÷2b×6b2＝② 24a3b3÷(－2a2)÷(－3b2)

3aa×6bb2b＝＝9a2b＝
30＝4ab11× ×(－3)
33＝4 ×9× 3
3× 3＝＝9×＝－24aaabbb
2aa×3bb
1×(－3)
3－4－3

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

連続する３つの整数の和
3 つの連続した整数の和は 3 の倍数になる。このわけを，文字を使って説明しなさい。
[説明] 3 つの連続した整数のうち，もっとも小さい整数を n とすると，3 つの連続した整数は，n，n＋1，n＋2 と❶文字を表される。

使って表す。

したがって，それらの和は，n＋(n＋1)＋(n＋2)＝n＋n＋1＋n＋2＝3n＋3＝3(n＋1)n＋1 は整数だから，3(n＋1)は 3 の倍数である。
したがって，3 つの連続した整数の和は 3 の倍数になる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

❷計算し、まとめる。
❸最後の文を書く。

P10 【8 式の計算(中2)まとめ】

31

5 つの連続した整数の和は 5 の倍数になることを説明しなさい。ただし，まん中の整数を nBCDEとすること。

5 つの連続した整数のうち，まん中の整数を n とすると，5 つの連続した整数は，n－2，n－1，n，n＋1，n＋2 と表される。
したがって，それらの和は，(n－2)＋(n－1)＋n＋(n＋1)＋(n＋2)＝n－2＋n－1＋n＋n＋1＋n＋2＝5nn は整数だから，5n は 5 の倍数である。
したがって，5 つの連続した整数の和は 5 の倍数になる。
32

奇数と偶数の和は奇数になることを説明しなさい。

BCDEm,n を整数とすると，奇数は 2m＋1，偶数は 2n と表される。
したがって，それらの和は(2m＋1)＋2n＝2m＋1＋2n＝2m＋2n＋1＝2(m＋n)＋1m＋n は整数だから， 2(m＋n)＋1 は奇数である。

したがって，奇数と偶数の和は奇数になる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【8 式の計算(中2)まとめ】

33

2 けたの自然数と，その数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえた数の差は，9 の倍数にBCDEなることを説明しなさい。

はじめに考えた数の十の位を x，一の位を y とすると，はじめの数は，10x＋y，入れかえた数は，10y＋x と表される。
したがって，それらの差は，(10x＋y)－(10y＋x)＝10x＋y－10y－x＝9x－9y＝9(x－y)
x－y は整数だから 9(x－y)は 9 の倍数である。

したがって，2 けたの自然数と，その数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえた数の差は，9 の倍数になる。
34

連続する 2 つの奇数を 2n＋1，2n＋3 (n は整数) とすると，連続する 2 つの奇数の和は 4 でBCDEわり切れることを説明しなさい。

連続する 2 つの奇数の和は，(2n＋1)＋(2n＋3)＝2n＋1＋2n＋3＝4n＋4＝4(n＋1)
n＋1 は整数だから，4(n＋1)は 4 の倍数である。

したがって，連続する 2 つの奇数の和は 4 でわり切れる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【8 式の計算(中2)まとめ】

35

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

ABCDE

等式の変形
★はじめの等式(y＝4x＋3)から x を求める式(x＝y3－ )を作ることをはじめの等式を44x について解くという。
次の等式を，〔 〕内の文字について解きなさい。
(1) a－b＝4 〔a〕(2)

a＝4＋by＝3ax 〔x〕
3ax＝y

両辺を 3a でわる

3axy＝3a3ax＝36
ABCDE

次の式を〔 〕内の文字について解きなさい。
①6(a＋b)＝2S 〔a〕② S＝2(r＋p) 〔p〕

2(r＋p)＝S6a＋6b＝2S

2r＋2p＝S

6a＝2S－6ba＝2S－6b6

2p＝S－2rS－3b1
または(a＝ S－b)
a＝3337y
3aS－2rS
または( p＝ －r )p＝22

次の式を〔 〕内の文字について解きなさい。

ABCDE①3b－4c〔 b〕
5＝2② y＝1(x－z)〔x〕
43b－4c＝521(x－z)＝y4

両辺に 2 をかける

両辺に 4 をかける

3b－4c＝10x－z＝4yx＝4y＋z

3b＝10＋4c10＋4cb＝3または(b＝4c10)＋33Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P13 【8 式の計算(中2)まとめ】

38

次の等式を〔 〕内の文字について解きなさい。

BCDE①V＝1πr 2h〔h〕
3②1πr 2h＝V3
両辺に 3 をかける
πr 2h＝3V(a＋b)h1
S＝〔b〕
43(a＋b)h S＝34別解

両辺に 3 をかける

両辺に 12 をかける(a＋b)h＝3Vh＝
π r23S44(a＋b)h＝3S4ah＋4bh＝3S4bh＝3S－4ah

3Sa＋b＝4hb＝

3S－a4h3Sb＝－a4h39

正の整数 x を 6 でわると商が y で余りが 1 になり，y を 8 でわると商が z で余りが 3 になる。

CDE

このとき，次の問いに答えなさい。
①x を y の式で表しなさい。
わられる数＝わる数×商＋余りにあてはめる。

例

17÷5＝3 あまり 2
17＝5×3＋2よって

x÷6＝y あまり 1
x＝6×y＋1

x＝6y＋1②x を z の式で表しなさい。
y÷8＝z あまり 3
y＝8z＋3…①①を②に代入，

x＝6y＋1…②

x＝6(8z＋3)＋1
x＝48z＋18＋1
x＝48z＋19

x＝48z＋19③x を 12 でわったときの余りを求めなさい。
x＝48z＋19＝12×4z＋12×1＋7＝12(4z＋1)＋77

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【8 式の計算(中2)まとめ】

40

右の 2 つの円で小さい方の円周を P，大きい方の円周を Q とするとき

CDE

次の問いに答えなさい。
①

P：Q＝a：2a となることを説明しなさい。
a cma cm

P＝πa，Q＝π×2a＝2πa

よって P：Q＝πa：2πa
P：Q＝a：2a となる②

P：Q＝a：2a を P について解きなさい。
P：Q＝a：2a2aP＝aQ

両辺÷2aQ
P＝ 2Q
P＝241

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

BCDE

応用
底面の半径が rcm，高さが hcm の円柱 A と，底面の半径が A の 2 倍で，高さが同じ円柱 B がある。

B の体積は A の体積の何倍になっているか。
[解き方]両方の体積を文字式で表す。

A の体積は，πr2×h＝πr2h(cm3)円柱の体積＝底面積×高さ

B の体積は，π×(2r)2×h＝4πr2h(cm3)
したがって，4πr2h÷πr2h＝4(倍)[答] 4 倍42

1 辺の長さが acm の立方体がある。この立方体の 1 辺の長さを 2 倍にした

BCDE

立方体をつくるとき，次の①，②に答えなさい。
① 体積は何倍になるか。
もとの立方体の体積は a3

つくった立方体の体積は，(2a) 3＝8a38倍

8a3÷a3＝8(倍)② 表面積は何倍になるか。
もとの立方体の表面積は 6a2
つくった立方体の表面積は，6×(2a)2＝24a2

24a2÷6a2＝4(倍)4倍Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P15 【8 式の計算(中2)まとめ】

43

半径が acm の円の外側に，半径を bcm のばした円がある。2 つの円のBCDE周の長さの差を求めなさい。
外側の円周は，2π×(a＋b)

a内側の円周は，2πabO

よって，2 つの円周の差は，2π×(a＋b)－2πa＝2πa＋2πb－2πa＝2πb(cm)

2πbcm
44

底面の半径 r，高さ h の円錐 P がある。円錐 P の底面の半径を 2 倍にし，高さを 3 倍にした

CDE

円錐を Q として，次の問いに答えなさい。
① 円錐 P の体積を求めなさい。

1πr2h31
円錐の体積＝底面積×高さ×3② 円錐 Q の体積を求めなさい。

4πr 2h1π×(2r)2×h×3＝4πr2h3③ 円錐 P と円錐 Q の体積の比を求めなさい。

1：1211πr 2h：4πr 2h＝ ：4＝1：123345BCDE

右のカレンダーで，の形で囲んだ 4 つの数字の和は，どこを囲んでも 2 の倍数になることを説明しなさい。

一番小さい数を n とすると，4 つの数字は，日

月火

水

木

金

土

12345678910111213141516171819202122232425262728

n，n＋1，n＋8，n＋9，となる。

その和は，n＋(n＋1)＋(n＋8)＋(n＋9)＝4n＋18＝2(2n＋9)
したがって，囲まれた 4 つの数の和は 2 の倍数になる。

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.