企業の始業時刻決定のモデリング 〜 N 人ゲームへの拡張 〜
H01209柳沼秀樹

指導教員 岩倉成志

１．はじめに衡解からずれてしまう可能性がある．

首都圏を中心とした都市鉄道において，ピーク時（４）強い合理性を仮定する Nash 均衡解を用いるこの混雑は劣悪な環境にあり長年の政策課題となってとは妥当か．均衡概念の検討が必要ではないか．

いる．このような混雑緩和策として，輸送力の増強（５）産業をプレイヤーとし，それらの始業時刻分や新規路線の整備が望まれるが，供給側の財政制約布を戦略としているが，実際は企業単位をプレイなどから困難と思われる．その中で注目を浴びていヤーとし，個別に始業時刻を戦略として与える必るのが，企業の始業時刻分散による交通需要平準化要がある．

を狙ったフレックスタイム制、時差出勤の促進やピ以上の５つが大きな問題点として挙げられる．これークロードプライシング（時間差料金制度）等の交らの問題は企業の利潤とゲームの２つの問題に集約

通需要マネージメント策（TDM）である．

される．そのため問題点を踏まえながらモデルの精

鍋山・原田(2003)は企業の始業時刻決定要因を分析緻化と拡張を行う．

し、始業時刻決定モデルの構築を行った．しかし３

３．利潤モデルの構築

人プレイヤー以上の分析が行えない等の問題点があ利潤を求めるモデルを構築する．利潤は生産額とる．そこで本研究では，モデルの精緻化と拡張を行費用の差分となる．本研究では Q を生産関数で、C をうことを目的とする．

費用関数により構築し利潤を算出する．
（式①）
π =Q −C… ①

２．既存モデルの概要と問題点
鍋山・原田は企業の始業時刻決定要因をアンケー

π : 利潤 , Q : 生産額 , C : 費用トにより「他社や顧客等の外部に合わせて始業時刻生産関数は既存モデルにならい時間集積変数を考を決定している」ことを明らかにした．このことは慮したモデルを用いる．関数形はコブ・ダグラス型

他社と始業時刻を合わせることより，自社の利益を（式②）を仮定した．ここで i は任意の企業を表す．

高めることができる「時間集積性の経済」が働いてQit = K iα ( pi Li ) β exp(γL*it + µFTiDummy )いることを示唆している．このことから企業は自社の利益が最大となる始業時刻を他社との関係より決定していると考えることができる．始業時刻決定モ
デルは自社の利益を生産関数で推定し、それを用いて他社との関係をゲーム理論で推定する２つのプロセスから構築されている．
モデルの問題点として以下が考えられる．
（１）企業は利益を最大にすると仮定すれば，生産関数だけではなく利潤関数で評価する必要がある．

L*it = ∑ R jt Pij… ②j

Qit : 始業時刻 t における生産額 , K : 資本 , L : 労働
p : 平均給与 , Lit : 始業時刻 t における時間集積性変 数

FTi : フレックスタイム制ダ ミー , Pij : 産業別取引割合
R jt : 始業時刻 t における他社の累積始 業者数
α , β , γ , µ : パラメータ費用関数は費用最小化行動を仮定することにより，（２）既存モデルではプレイヤーは２人までとなっ生産関数との双対性を利用して同一の関数形で導出ている．現実には多主体を考慮していると思われできる．また生産関数が貨幣単位で推定されているるため，N 人ゲームで解く必要がある．

ことを考慮すると以下のようになる．
（式③）（３）ゲームにおいて複数均衡解が生じた場合に期待値をとって均衡解を求めているが，その場合均δ : パラメータ

Cit = Qitδ

… ③表−１ 生産関数パラメータ符号

パラメータ推定は東京都本社の上場企業 1703 社を18 産業に分類して行った．使用データは会社四季報をベースに作成し推定を行った．結果は良好で決定
係数は生産関数，費用関数でほぼ 0.9 以上であった．
FT ダミーと時間集積性変数の t 値があまり優位でないことが問題である．符号の正負は生産性への影響を表し，産業の特性を見ることができる．
（表−1）
４．ゲーム理論の拡張No 産業
1 サービス業
2 情報・通信業
3 運送業
4 卸売業
5 不動産業
6 金融系
7 建設業
8 鉱業
9 小売業

４−１．N 人ゲームへの拡張--FT++++

L*++++++

17 電気・ガス業
18 水産・農林業＊No８，17，18 はサンプル数が少ないため推定不可

ゲームを N 人へ拡張するためには Nash 均衡解の計

表−2 ゲームの均衡解
Nash 均衡解算アルゴリズムを検討する必要がある．今回の推定にあたっては 線形相補性を用いた Lemke-Howson アルゴリズムを拡張したものを用いた．後に記すが，EWA モデルも N 人へ拡張を行った．
４−２． 複数均衡の選択
Nash 均衡を算出するにあたって複数の最適解が求まることがある．この時にどの解を選択するかという均衡選択問題が生じる．この解消策は現在のゲーム理論の研究において重要課題とされており，明確な理論は確立されていない．そのため本研究では広く用いられるパレート優位による均衡選択を行う．
パレート優位とは各均衡解から得られる利潤が最大となる解を用いるものである．この概念は直感的に理解がしやすい．
４−３++++

L* No 産業+
10 食料品
11 化学
12 金属系
13 非金属系
14 機械系
15 電気機器+16 その他製品-FT

戦略１
戦略２戦略３戦略４Player1 Player2 Player3
7:00
7:00
7:00
8:00
8:00
8:00
9:00
9:00
9:00
10:00
10:00
10:00

EWA 解
戦略１
戦略２戦略３戦略４Player1 Player2 Player3
7:00
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7:00
8:00
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9:00
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9:00
10:00
10:00
10:00

Ai j (t ) = φ ⋅ N (t − 1) ⋅ Ai j (t − 1) +π i (s ij , s −i (t )) ⋅ (δ + (1 − δ )) ⋅ I (sij , s i (t )) / N (t )where
⎧1 if sij = si (t )I (sij , si (t )) = ⎨⎩0 otherwise…

exp( λ ⋅ Ai j (t ))Pi j (t + 1) = mi
∑ exp( λ ⋅ Aik (t ))

… ⑤

④k =1

５．シミュレーション構築したモデルを用いて, 企業の始業時刻選択を均衡概念の検討検証する．分析には異なる産業に属し，現状で同じNash 均衡は高い理論性を持つ反面，強い仮定が存在する．その１つが合理性の要求である．これを緩8:30 に始業している３社を対象に行った．また企業 1，企業 2 は時間集積性があり，企業 3 はない．

和した均衡概念として，進化ゲームで用いられていゲームは 3 人プレイヤーゲームとなり，同一の戦る ESS や，EWA モデルの解などが挙げられる．本研

略を持つと仮定する．利得を利潤モデルより戦略別

究では Nash 均衡解と EWA モデルによる２つの分析に算出した．それらを用いて Nash 均衡解と EWA 解を用いて比較を行う．

を求めた．またピーク時（8:00〜9:00）に始業する企EWA モデルは人間の戦略を選ぶ思考過程をモデル業の利潤に対して 10%の課税を行った．

化し均衡解を導くものである．t 期において，プレイ

表−2 の結果を見ると，両分析で始業時刻の相違がヤー i の戦略 jよる効用 Ai は前回の学習 N (t − 1)と効見られる．Nash 均衡では企業 1 と企業 2 の集積性が用をパラメータφ により割引いたものに，自分の前表現されている．EWA 解では企業 3 も追従している．

回の選択結果 I ( si , s − i (t ))と相手の選択 π i ( si , s −i (t ))均衡概念の違いによるものと思われるが，相違を深によって経験づけるものとする（式④）．その効用をく検証する必要性がある．

用いて次の選択時 (t + 1) に，ロジット型選択確率式

６．まとめ

jjjj

によって各戦略の選択確率 Pi を算出する（式⑤）．

本研究では始業時刻決定モデルの N 人ゲームへのφ , δ , λ はパラメータである．このような過程を数回拡張を行うことができた．今後はさらに多数の主体繰り返すことにより，経験による重みづけを行ったでの分析と，進化ゲーム等の均衡概念への拡張を行

個人ごとの解を求めることができる．

いたい．