22 平方根②(中3)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE√のついた項をまとめること★√の中の数を，できるだけ簡単になるように変形してから計算する。

(1)

45 ＋45(2)32×5 ＋4＝＝3 5 ＋45＝5ABCDE

ABCDE①3 24 ＋242×2
2＝－ 254②＝322×2×3 ＋2＝66 ＋632×2×3

612 62 3－27＝23－32×3＝23 －3

3＝－3次の計算をしなさい。

75 ＋①8－27＝52×3 ＋＝53 ＋22 －3 3＝53 －3

3 ＋2 2＝20 －2＝32×5 －＝35 －2＝22×2 －32×3

2 3 ＋2 245 －②432×2 －次の計算をしなさい。

＝332＝3 2 －4＝7 5218 －522×5 －2 55 －2 5－ 550 －n ＝ 8 の等式を成り立たせる正の整数 n の値を求めなさい。

CDE

52－n ＝22－n ＝2 2 －5－n ＝－3 2－n ＝－

218n＝18n＝18

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P2 【22 平方根②(中3)まとめ】

5次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

BCDE√をふくむ式の計算★分母に√をふくまない形に変形してから計算する。

(1)

27 －

636× 3
3× 332×3 －＝6＝3 3 －

20
1＋52 5(2)33＝1× 522×5＋52 5× 52＝54 55＝＋1010＝ 35 5＝1052次の計算をしなさい。

BCDE①3 2＋4227 －②4× 22× 2＝32＋＝32＋＝32 ＋2 2＝75510＝3 3 －2 3＝6＋＝

2273－222＝

4 223232×33－226 3
3＝－225 3＝25 2次の計算をしなさい。

BCDE①10 ×5－325－②24×212＋32× 5 ×＝52 －4 2＝＝2＝412＝1812× 3＋3× 3＝＝6×3
3＋633 ＋632×3 ×10 3

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32×2

P3 【22 平方根②(中3)まとめ】

8次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE√をふくむ式の積と商(1)5(＝5 －3)

5× 5－(2) (5 ×310 －56 )÷

＝(10 －5＝10 5 6－2
2＝5－3 526 )×

12＝ 5 －5 3
9ABCDE次の計算をしなさい。
2(①＝＝10ABCDE10 －2)

20 －2② (25 －52＝(25 －5 )×2 5 －2 2

＝5 －1

15

次の計算をしなさい。
5(①＝＝20 －3)

100 －3② (
510－3 53 ＋5)÷5＝

35＋55＝

3× 5
5× 5＋5× 55× 5＝

15 5 5＋5515＋ 55＝115 )÷

次の計算をしなさい。

BCDE①(5－2 )÷ 10②＝5－10＝

11－25＝＝1× 2
1× 5－2× 2
5× 5＝

25－25＝＝210(6＋ 12 )÷
＝6 3＋262＝(6＋312 ×2

3 × 2＋2× 2

662＋3

6×2×3×3

3 6 ＋3 2

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12 )×332

P4 【22 平方根②(中3)まとめ】

12

次の計算をしなさい。

BCDE①2 15 ÷3－＝2 15 ×5－＝25 －4

132(2 －3)＋3(＝2－32 ＋3②20 51－3
5× 520 55＝2＝20
5＝2 ＋3)

2 ＋9115－2 5

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE√をふくむ式の展開次の計算をしましょう。

(1) (3 ＋4)(2 －1)＝ 3×

2 － 3 ×1＋4×＝ 6－

3 ＋4 2 －4(2) (＝(3 ＋4)(2 －4×1

3 －1)

2

3 ) ＋(4－1)

乗法公式

3 ＋4×(－1)(x＋a)( x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab＝3＋3 3 －4(x＋a) 2＝x2＋2ax＋a2＝－1＋3 3(3) (＝(5－7)(a＋b)( a－b)＝a2－b225 )2－2×

5×

7 ＋(7 )2＝5－2 35 ＋7＝12－2 35
14ABCDE

次の計算をしなさい。
①(5＋3 3 )(5－3 3 )＝52－(3＝25－27＝－23 )2② (2 6 －1)2＝(2 6 )2－2×2

6 ＋1＝24－4 6 ＋1＝

25－4 6

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P5 【22 平方根②(中3)まとめ】

15ABCDE次の計算をしなさい。
①(5 －1)(＝(② (5 )2＋(－1＋4)＝5＋3＝5 ＋4)
5 －4

5 －4

1＋3 5

7 －4)(6－7)＝(7 －4)(－7 ＋6)＝－(7 －4)(7 －6)＝－{(7 )2＋(－4－6) 7 ＋24}＝－7＋10

7 －24－31＋10 7＝
16

次の計算をしなさい。

BCDE①(5 －3)(＝(5 ＋3)＋(5 )2－32＋(＝5－9＋5－4②5－4 5(3＋＝(17CDE6 ＋2)(23 ) ＋2× 3 ×＝3＋2＝5 )2－2×

5 ×2＋225 ＋4＝2 )2＋(5 －2)2

6 ＋2＋6－2

2 ＋(6 －4)
2 )2＋(6 )2＋(2－4)

6 －2×46 －8

3

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

平方根の利用（１）右のような円形の砂場があります。この砂場の 3 倍の面積の砂場を作るには，半径を何 m にすればよいか答えなさい。
[解き方] 円の面積＝半径×半径×πより，3m

この砂場の面積＝32π＝9π(m2)3 倍の面積の砂場を作るから，3×9π＝27π(m2)円の半径を r とすると，円の面積＝πr2
3 倍の砂場の半径は，27 の平方根になる。

よって求める半径は 27 ＝33 (m)[答] 33m

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P6 【22 平方根②(中3)まとめ】

18

右の図のような大きさのお好み焼きを 2 枚作った。次に（A の円周＋B の円周）＝C の円周にCDEなるお好み焼きを作りたい。C の半径を求めなさい。

AB

円周＝2×半径×πより，A の円周は，12π(cm)6cm

B の円周は，18π(cm)9cm

C の円周は，12π＋18π＝30π(cm)円の半径を r とすると，円周＝2πr2rπ＝30π2r＝30r＝15(cm)

15cm
19CDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

平方根の利用（２）右の正方形の対角線の長さを求めなさい。
[解き方] 正方形の面積＝1 辺×1 辺より，10×10＝100(cm2)
正方形の面積＝対角線×対角線÷2 だから，10cm

求める対角線を x とすると，正方形の面積＝x×x÷2＝100x×x＝200
よって，求める対角線は 200 の平方根になる。

200 ＝10202 (cm)[答] 102 cm

底辺 8cm，高さ 5cm の三角形と面積が等しい正方形の 1 辺の長さを求めなさい。

CDE

三角形の面積＝底辺×高さ×11より，8×5× ＝20(cm2)22

正方形の面積＝1 辺×1 辺正方形の 1 辺の長さを xcm とすると，正方形の面積＝x2＝20(cm2)
求める正方形の 1 辺の長さは 20 の平方根になる。
－2 5 は答えに合わないから、

20 ＝25 (cm)

2 5 cmCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P7 【22 平方根②(中3)まとめ】

211 辺の長さが 10cm の正方形の折り紙を右のように 4 枚並べて，かざりを作った。全体の横のCDE長さが 40cm，AB＝x cm，BC＝y cm とするとき，x，y の長さを求めなさい。
全体の横の長さは，4x－3y＝40(cm)…①
折り紙の面積は，10×10＝100(cm2)

1x cm

AC

1By cm

正方形の面積＝対角線×対角線÷2＝x2÷2＝100(cm2)対角線×対角線は 200 になり，求める正方形の対角線 x の長さは 200 の平方根になる。

x＝102 を①に代入すると，40200 ＝102 (cm)2 －3y＝40－3y＝40－40 2

3y＝40y＝40 2 －40(cm)3x＝10 2 (cm) ，22BCDE

2 －40

40 2 －40y＝(cm)
3次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

平方根の利用（３）a を自然数とするとき，24a の値が自然数となるような a の値のうち，もっとも小さいものを求めなさい。
[解き方]

24 を素因数分解すると，24＝23×3＝22×2×3
24a ＝22×2×3×aだから，← a＝2×3×(整数)2 のとき自然数となる。

これを自然数にするもっとも小さい自然数 a の値は，a＝2×3a＝6すなわち(このとき，

24a ＝22×22×32 ＝2×2×3＝12[答] a＝6

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P8 【22 平方根②(中3)まとめ】

23

次の問いに答えなさい。

BCDE

①

28aの値が自然数となるような自然数 a のうち，もっとも小さいものを求めなさい。
28a＝ 22×7×aよって

a＝7a＝7②

124－8a の値が整数となるような自然数 a をすべて求めなさい。
124－8a ＝4(31－2a)＝231－2aよって，31－2a が 2 乗の数になればよい

31－2 a＝1 , 4 , 9 , 16 , 25 があてはまり
31－2 a＝1 , 9 , 25 のみ適合する
よって，a＝3，11，15a＝3，11，15
24CDEn を整数とする。

24nが最も小さい正の整数になる n の値を求なさい。
524n 2 6n＝552＝2×3×n
5を外すためには 2 乗を作ればよいため n＝2×3
また整数にするためには分子を 5 の倍数にしなければならないため n＝2×3×52
これを計算すると n＝150

n＝150
25
BCDE

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

平方根の利用（４）x＝ 2 ＋3 ，y＝ 2 － 3 のとき，(x－y)2 の値を求めなさい。

(x－y)2＝{( 2 ＋3 )－(2－3 )}2＝(2 3 )2＝12Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【22 平方根②(中3)まとめ】

26

x＝

3 ＋1，y＝ 3 －1 のとき，x2－xy の値を求めなさい。

BCDE

x2－xy＝( 3 ＋1)2－(＝3＋2

3 ＋1－(3－1)＝3＋2

3 ＋1－2＝27
BCDE3 ＋1) (与式＝x(x－y)として代入してもよい。

3 －1)

2＋2 3

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

応用
5 の整数部分を a，小数部分を b とするとき，a2－b2 の値を求めなさい。
[解き方] まず，a と b の値を求める。

4＜ 5＜

9 より，

2＜ 5 ＜3 よって 5 ＝2…

x の整数部分を a，小数部分を b とすると，すなわち a＝2，b＝ 5 －2

x ＝a＋b なので、b＝2x －a2

次に，a －b を因数分解すると，(a＋b)(a－b){2＋(これに代入する。

5 －2)}{2－(5 －2)}＝5 ×(4－ 5 )＝4 5 －5
28[答] 4 5 －5

17 を小数で表したとき，その整数部分と小数部分をそれぞれ答えなさい。

BCDE

16 ＜

17 ＜

25 より

4 ＜

17 ＜

5なので，よって，
29

17 ＝4.…

整数部分

4，小数部分17 －4

3 の整数部分を a，小数部分を b とするとき，a2＋2ab＋b2 の値を求めなさい。

BCDE

1＜

3＜

4 より，1＜

3 ＜2 だから，a＝1，b＝

3 －1２

よって，a2＋2ab＋b2＝(a＋b)＝( 3 )

２＝33

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