社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

正四面体結合された四つの発振器の同期現象に関する研究
永井隆博†

粂野絋範†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島町 2-1
E-mail: †{nagataka, kumeno, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、正四面体結合された４つの発振器で観測される同期現象について研究する。我々は、発振器として van der Pol 発振器を用いる。コンピュータシミュレーショにより、発振器間の位相差および同相・逆相状態の滞在時間について調査を行う。
キーワード

同期現象、結合発振器、四面体

Investigation of Synchronization in Four Coupled
van der Pol Oscillators by a Regular Tetrahedron Form
Takahiro NAGAI† , Hironori KUMENO† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima, Tokushimashi, Tokushima, 770-8506, Japan
E-mail: †{nagataka, kumeno, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate the synchronization in four coupled fan der Pol oscillators in tetrahedronform. We use four coupled van der Pol oscillators and observe the phase diﬀerence between each oscillator. Inaddition, we distinguish in-phase and anti-phase depending on the phase diﬀerence and calculate sojourn time ofin-phase and anti-phase.
Key words Synchronization, Coupled Oscillators, Tetrahedron Form

1. ま え が き
結合発振器システムは自然科学分野において高次元の非線形現象を表現するモデルとして適している。そのため、結合発振器の同期現象に関する研究は多くの研究分野にて報告されている [1]〜[7]。また、結合発振器システムは興味深い位相パターンを生みだすため複雑な波形模様を含んでいる。しかしながら、発振器の同期現象はまだ十分に解析されておらず、高次元の非線形現象を表現するためにより複雑な同期現象について研究する必要があると考えられる。
以前の研究では、図 1 に示されたような正三角形に結合された三つの van der Pol 発振器に関する同期現象について研究した [8]。この回路システムでは、結合発振器の数は奇数となっており、結合された発振器は同相、或いは逆相状態で同期することができない。すなわち、三相同期（位相差：120 °）状態が観図 1 三結合 van der Pol 発振器.

測される。
我々はよりフラストレーションの強い結合発振器システムをた四つの van der Pol 発振器の各発振器の位相差はコンピュー用いることで、興味深い同期現象が得られることができると考タシミュレーションによって計測される。さらに、非線形性のえた。本研究では、図 2 に示されたような正四面体の形に結合度合いや結合強度のパラメータを変化することで同相あるいはした四つの van der Pol 発振器について調査を行う。結合され逆相の滞在時間について調査を行う。

—1—

[First oscillator]

3ia 3ic 3


dx1


= ε(1 − x1 2 )x1 − (ya1 + yb1 + yc1 )dτ}dya11{ dτ = 3 x1 − ηya1 − γ(ya1 + yc2 )}dyb11{=x1 − ηyb1 − γ(yb1 + yb3 ) dτ3 dyc1 = 1 {x1 − ηyc1 − γ(yc1 + ya4 )}.
dτ
3

ib 3

ia 2

ic 4

ib 4

ib 2
24

ia 4

ic 2

ib1
i c1

[Second oscillator]dx2= ε(1 − x2 2 )xk − (ya2 + yb2 + yc2 )
dτ



 dya2 = 1 {x − ηy − γ(y + y )}
2a2a2c3
3 dτi a11(2)図 2 正四面体の概略図.

2. 回路モデル
図 3 は正四面体の形に結合された四つの van der Pol 発振器の回路モデルである。van der Pol 発振器はインダクタ、負性抵}
1{
dyb2

=x2 − ηyb2 − γ(yb2 + yb4 )


dτ3


}
dyc21{=x2 − ηyc2 − γ(yc2 + ya1 ) .


dτ3



(3)

抗、キャパシタから構成される。この回路モデルでは、隣接した発振器同士はインダクタを通して抵抗によって結合される。
本研究では、それぞれの頂点から流れる電流は iak 、ibk 、ick 、キャパシタの電圧を vk 、負性抵抗に流れる電流を iRk とする。
また発振器を四つ接続するとき、L ループを避けるために微小抵抗 rm を接続する。L ループが回路内で発生すると、回路シミュレーションを正常に実行することができない。
回路シミュレーションにおいて、各発振器の非線形抵抗のvk − iRk 特性は以下の三次元多項方程式で与えられる。
iRk = −g1 vk + g3 vk 3

(g1 , g3 > 0),(k = 1, 2, 3, 4).

[Fourth oscillator]dx4= ε(1 − x4 2 )xk − (ya4 + yb4 + yc4 )
dτ


}
dya41{ dτ = 3 x4 − ηya4 − γ(ya4 + yc1 )}1{
 dyb4 dτ = 3 x4 − ηyb4 − γ(yb4 + yb2 )
 dyc4 = 1 {x4 − ηyc4 − γ(yc4 + ya3 )}.
dτ3v3

3L

C3rm

ib3

ic3

iR3

3L

ic4

rm
3L

rm

R

rm

rm

RR

rm

rm

3L

ic2

3Lv4

RC4
4th oscillator

ib1

rm

rm

3L

3L

ic1

ia1

iR1

√3L

rm

v1

R

(5)

ここで、変数変換とパラメータは下式に示す。
√√
√
g1
g1 C
t = LCτ , vk =xk , iak =yak ,g3
g3 L

ib2 3L

ia4

3L

ia2

rm

R

ib4
3L

iR4

3rd oscillator

rm

3L

(4)

(1)

正規化後の回路方程式を以下のようになる。

ia3[Third oscillator]dx3

= ε(1 − x3 2 )xk − (ya3 + yb3 + yc3 )dτ}1{dya3 dτ = 3 x3 − ηya3 − γ(ya3 + yc4 ) dyb3}1{=x3 − ηyb3 − γ(yb3 + yb1 )

dτ
3






 dyc3 = 1 {x3 − ηyc3 − γ(yc3 + ya2 )}.
dτ
3

iR2v2

ibk =
√C2
ε = g1
2nd oscillator

g1 Cybk , ick =g3 L

L,γ = RC√√g1 Cyck ,g3 L

C, η = rm
L√C,L(k=1,2,3,4),

C1 1st oscillator
この回路方程式において、ε は発振器の非線形性、γ は結合
図 3 四結合 van der Pol 発振器.

強度、η は抵抗成分を示すパラメータである。この回路方程式を用いて近接した発振器間の位相差について調査を行う。

—2—

180

3. 同 期 現 象

1-2
1-3
1-42-32-43-4160
140x1x2(a)Phase difference

120
100
80
60x34020x400

τ

20000

40000

60000
τp

80000

100000120000

図 4 電圧の時間波形図.
180
1-2
1-3
1-4
2-32-43-4160

正四面体の形に結合された四つの van der Pol 発振器回路に140関する回路シミュレーションを実行する。図 4 に本研究で用いシミュレーションの時間を示し、縦軸は電圧を示している。図5 に図 4 で示された時の近接した発振期間の位相差を示す。この図は、シミュレーションを実行してからしばらく時間が経っ(b)Phase difference

120た回路モデルのキャパシタ電圧の時間波形を示す。横軸は回路1008060ており、位相差が時間により変化している。本研究ではいずれ40の発振器の組み合わせでも位相差が 0◦ から 180◦ まで周期的に20変化することを確認した。

00図 6 はあるパラメータを指定したときの位相差の変化を示す一例である。(ε=0.50, η = 0.02, γ = 0.15(図 6(a)), γ =20000

40000

60000
τp80000

100000120000

図 6 各発振器間の位相差 ε = 0.5 ，η = 0.02. (a)γ = 0.15. (b)γ =0.40.

0.40 (図 6(b)).) この図は各発振器の時間に対する位相差の変化を示している。ここで図 6 中の”1-2”は一つ目の発振器と二x2つ目の発振器の位相差を示す。

x3

この図において、すべての発振器の位相差は周期的に変化すると考えられる。加えて、逆相の滞在時間は同相の滞在時間がx1x1一瞬であるのに対し、相対的に長いことがわかる。また図 6(b)と比較すると、γ が増加することで、位相差の変化の周期はより長くなっている。それゆえ、図 6(b) では逆相に滞在する時間が図 6(a) よりも長くなっていることがわかる。

4. 滞 在 時 間x4x2x3x3

この章では同相や逆相の滞在時間について研究する。ここでは、位相差に関する同期状態を二種類に区別する。滞在時間とx1x2は同相もしくは逆相の状態を保っている時間を表している。本研究では、同相状態を位相差が 0◦ から 20◦ とし、逆相状態はx4位相差が 160 °から 180 °の場合とする。そして、数周期回路x4シミュレーションを実行し、シミュレーション結果より滞在時x4間の平均を算出する。このシミュレーションでは、一つ目の発x4振器と二つ目の発振器に限定して観測する。
まず ε の変化を観測するために γ と η を固定する。図 7 に εx2x3を変化したときの滞在時間のシミュレーション結果を示す。図7(a) は γ=0.15 とし、図 7(b) は γ=0.40 とした場合である。この図では、逆相の滞在時間は同相の滞在時間より長くなっていることが分かる。つまり、位相差は同相の領域より逆相の領域
図 5 リサジュー図.に長い間滞在すると考えられる。逆相領域では、ε の値を増加—3—

6000060000

in-phase(a)in-phaseanti-phase50000

anti-phase

40000

30000

(a)

20000

10000

Sojourn Time [τp ]Sojourn Time [τp]5000040000

30000

20000

10000
00.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

00.05

ε0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

0.35

0.40

0.45

0.50

0.55

γ
60000

in-phase

60000

anti-phasein-phase
50000

40000

30000

20000

(b)
10000

00.20

0.25

0.30

0.35

ε0.40

0.45

Sojourn Time [τp](b)

Sojourn Time [τp]50000

anti-phase

40000

30000

20000

10000

0.50

00.05

0.10

0.15

0.20

0.250.30γ

図 7 η = 0.02 の時の滞在時間の ε の推移:(a)γ = 0.15. (b)γ = 0.40.
60000

in-phase

することで、γ の値に関係なく滞在時間は長くなることが分かる。しかし ε の値が 0.40 を越えると滞在時間は短くなることが言える。また同相領域では、いずれの γ の場合でも ε の値を増加させても滞在時間に大きな変化はない。

(c)

次に、η と ε を固定し γ を変化させシミュレーションを実行

Sojourn Time [τp ]50000

anti-phase

40000

30000

20000

10000

する。図 8 はパラメータ γ の変化させた場合のシミュレーショ
00.05

ン結果を示している。図 8(a) ではパラメータを ε=0.20 に固定

0.100.20

0.25

0.30

γ

し、図 8(c) では ε=0.50 に固定する。図 8(a) と (c) を比較すると、おおよそ γ の値が 0.05 から 0.35 の範囲で滞在時間が長く0.15

図 8 η = 0.02 の時の滞在時間の γ の推移:(a)ε = 0.20. (b)ε = 0.35なっていることがわかる。また γ が小さいとき或いは、大きい(c)ε = 0.50.

とき滞在時間は短くなる。つまり結合強度 γ を小さくするか、大きくすることで位相差の変化はより鋭敏になる考えられる。
一方図 8(b)(ε=0.35) は、図 7 のグラフにおいて、滞在時間が他の ε の値よりも比較的長かった場合の結果である。この図[3]では、γ の値を変化させても、滞在時間が一様に長いことがわかる。
[4]

5. ま と め
本研究において、正四面体の形をした結合された四つの発振器について回路シミュレーションを実行し、位相差が周期的に[5]変化する同期現象を観測した。この位相差の変化は非線形性をを弱くすることで変化がより急峻となることがわかった。加え[6]て結合強度を増加することで、逆相の状態はより長く続いた。
さらに、入力したパラメータを変化することによって滞在時間は非常に変化すると考えられる。
文献[1] L.L. Bonilla, C.J. Perez Vicente and R. Spigler, “Timeperiodic phases in populations of nonlinearly coupled oscillators with bimodal frequency distributions,” D: Nonlinear
Phenomena, vol.113, no.1, pp.79-97, Feb. 1998.
[2] J.A. Sherratt, “Invading wave fronts and their oscillatory
wakes are linked by a modulated traveling phase resetting[7][8]wave,” Physica D: Nonlinear Phenomena, vol.117, no.1-4,pp.145-166, June 1998.
G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic solutions for nonlinear waves in coupled reacting systems,”
Physica A: Statistical Mechanics and its Applications,vol.305, no.3-4, pp.427-436, Mar. 2002.
I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and graph topology,” International Journal ofBifurcation and Chaos, vol.15, no.11, pp.3423-3433, Nov.
2005.
C.M. Gray, “Synchronous oscillations in neural systems:mechanisms and functions,” J. Computational Neuroscience, vol.1, pp.11-38, 1994.
R. Stoop and C. Wagner, “Neocortex’s architecture optimizes computation, information transfer and synchronizability, at given total connection length,” International
Journal of Bifurcation and Chaos, vol.17, no.7, pp.22572279, 2007.
T. Suezaki and S. Mori, “Mutual synchronization of twooscillators,” Trans. IECE, vol.48, no.9, pp.1551-1557, Sep.
1965.
Y. Uwate, Y. Nishio and R Stoop, “Synchronization inthree coupled van der Pol oscillators with diﬀerent coupling
trength,” Proc. of NCSP’10, pp.109-112, Mar. 2010.

—4—