一般社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
社団法人 電子情報通信学会
INFORMATIONAND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
IEICE Technical Report
NLP2019-48(2019-09)

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

３次元空間に分布する結合カオス回路によるクラスタリング現象
奈良拓海†

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{nara,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、抵抗で接続された結合カオス回路の同期現象の調査を行う。さらに、結合カオス回路の回路間の距離による同期現象の違いを調査する。結合カオス回路は、2 次元空間と 3 次元空間に配置する。最初は、結合カオス回路の数を 7 個から調査し、回路の数を 30 個まで増やす。従って、結合カオス回路のクラスタリング現象は、2 次元空間および 3 次元空間に配置し調査を行う。
キーワード

カオス回路、同期現象、クラスタリング

Clustering Phenomena in Coupled Chaotic Circuits
Distributed 3-Dimensional SpaceTakumi NARA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{nara,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate synchronization phenomena in coupled chaotic circuits which are connectedby resistance. In addition, we investigate the diﬀerence of synchronization phenomena by the distance between thecircuits of coupled chaotic circuits. The coupled chaotic circuits are located in two-dimensional space and three-dimensional space. At first, the number of coupled chaotic circuits is investigated from seven, and the numberof circuits is increased to thirty. Accordingly, the clustering phenomena of coupled chaotic circuits investigate on
two-dimensional space and three-dimensional space.
Key words Chaotic Circuit, Synchronization, Clustering.

1. ま え が き

象およびクラスタリング現象に焦点を当て研究を行う。この研究では、2 次元および 3 次元空間に結合カオス回路を配置す

同期現象は、自然界に存在する最も身近な現象であり、様々る。そして回路間の結合強度は距離情報を反映させ、2 次元空な分野において研究されている。同期現象は、ホタルの発光、間に配置したときの研究から行う。その後、結合カオス回路をメトロノームの針の揺れカエルの合唱や心臓の拍動などが例に3 次元空間に配置する。そして、結合カオス回路の数を増やす

挙げられ、私たちの日常生活のあらゆる場所で観察することがと共にクラスタの数も増やしていく。最後に、今回用いたネッできる非線形現象のひとつである。

トワークを大規模ネットワークに拡張させ、実世界のデータにまた、非線形現象のひとつにクラスタリング現象がある。クラスタリング現象とは、分類対象の集合を部分集合に分割することである。以前は、結合写像格子 (CML) や自己組織化マッおいても適用できるように検討する。

2. 回路モデル

プ (SOM) [1]- [2] など、クラスタリングの多くの研究が離散時本研究で使用する回路モデルを図 1 に示す。この回路は森・間モデルに対して行われてきた。ただし、連続時間モデルを用神力回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、インダクタ、いた分析はあまり研究されていない。近年、この同期現象等の2 つのキャパシタ、ダイオードにより構成されている。この回非線形現象の解析として、結合カオス回路を用いた研究が行わ

路方程式を式 (1) に示す。

れている [3]- [4]。
本研究では、結合カオス回路のネットワークにおける同期現- 67 —1—
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3. 1 2 次元空間での 7 個のカオス回路を用いたネットワーク

id

まず最初に、2 次元空間に配置された 7 個のカオス回路のとiL

ig

きにおける同期現象とクラスタリング現象に焦点を当て研究を-gv1v2

C1C2行う。7 個のカオス回路の配置座標と分布図を表 1 と図 2 にL示す。
表 1 2 次元空間に配置されたカオス回路の配置座標.

location

図 1 回路モデル.

diL L dt = v2



dv1
C1= gv1 − idndt(1)




dv2


C2= idn − iL .
dt


xy

1

0.15 0.35

20.10 0.10

30.30 0.20

40.70 0.60

50.90 0.80

60.80 0.95

70.55 0.80

非線形抵抗の i − v 特性を式 (2) に示す。


G (v − v2 − V )

 d 1
idn =




(v1 − v2 > V )0(|v1 − v2 | <=V)

Gd (v1 − v2 + V )(v1 − v2 < V ).

(2)

また、式 (1) 中の各変数を以下のように置き換えると、√iL =C2V x, v1 = V y, v2 = V zL√α=√

図 2 2 次元空間に配置されたカオス回路の分布図.

L
LC2, β = Gd, γ=g
C1C2C2√dt = LC2 τ, ” · ” =dτ

この場所にカオス回路を配置されたとき、すべてのカオス回路において回路間は抵抗で接続する。図 3 は、回路 1 と他の回路を抵抗で接続したときの 1 例である。

この回路の正規化された式 (4) が得られる。

 ẋ = z16ẏ = αγy − αβf(3)ż = βf − x.

7γ17

また、 f を以下に示す。

f=

y−z−1(y − z > 1)0(|y − z| <= 1)y−z+1(y − z < 1).

1 γ
13γ12(4)γ15γ1654γ1432

今回の研究ではコンピュータシミュレーションを用い、パラ01id

メータ α = 0.50, β = 20.00, γ = 0.50 と設定する。

iLig

3. シミュレーション結果

i-gv1

C1v2C2L

私達はコンピュータシミュレーションを用い、回路間のリサジュー図から同期現象やクラスタリング現象の調査を行う。
図 3 回路 1 と他の回路の接続例.

- 68 -—2—結合カオス回路の正規化方程式は以下のように表す。

dxi
 dτ = zi dyidτ
 dzidτ= αγyi − αβf − αN∑ri,j (yi − yj )(5)i,j=1= βf − xi .

また、このときの f を以下のように表す。

y − zi − 1
 if=
(yi − zi > 1)0(|yi − zi | <= 1)yi − z i + 1(yi − zi < 1).

(6)
図 5 7 個の結合カオス回路のクラスタリング.

ここで、i はそのとき示す回路を表し、j は他の回路を表す。

3. 2 3 次元空間での 30 個のカオス回路を用いたネット

パラメータ r は、回路間の結合強度を表す。このとき、結合パワーク

ラメータの値 ri,j を以下のように設定し、回路間の距離を表す。

ri,j =

次に、3 次元空間の場合における研究を行う。先ほどの研究

q(di,j )2.

よりカオス回路の数を 30 個に増やし、3 次元空間に配置する。

(7)30 個のカオス回路の配置座標と分布図を表 2 と図 6 に示す。先di,j は、i と j の回路間の距離をユークリッド距離を表す。さらにパラメータ q は、結合強度の重みを決定するパラメータでほどの研究と同様にすべてのカオス回路は抵抗により接続し、各回路間の結合強度は式 (7) を用いる。この場合、パラメータq=0.004724 と設定する。

ある。この場合、パラメータ q=0.01 と設定する。
図 4 は、図 2 に示した 7 個のカオス回路を配置したときのコンピュータシミュレーション結果を表す。これらの結果から、

表 2 3 次元空間に配置されたカオス回路の配置座標.

第 1 の回路と第 2、第 3 の回路、第 4 の回路と第 5、第 6、第location

7 の回路間において同相同期していることが確認できた。ただ10.15 0.05 0.15

160.80 0.20 0.15

し、第 1 と第 4 の回路間は同期していない。その結果、近い距20.20 0.25 0.30

170.85 0.15 0.05

離にある回路間では同期し、遠い距離にある回路間では非同期

30.35 0.35 0.25

180.70 0.60 0.95であることが確認された。これらの結果より、図 5 に示すよう40.25 0.25 0.05

190.90 0.80 0.85に結合カオス回路は 2 つのクラスタに形成することができる。

50.30 0.15 0.05

200.80 0.95 0.75

60.05 0.20 0.10

210.75 0.85 0.70

70.15 0.30 0.15

220.85 0.80 0.85

80.05 0.05 0.25

230.60 0.60 0.60

90.20 0.05 0.35

240.80 0.65 0.90

100.25 0.10 0.20250.65 0.80 0.80

110.35 0.05 0.25

26

0.65 0.65 0.85

120.25 0.05 0.35

27

0.95 0.95 0.95

130.75 0.15 0.25

28

0.90 0.65 0.75

140.80 0.25 0.10

29

0.70 0.85 0.65

15

0.95 0.30 0.3530

0.75 0.80 0.85x3x2x4x1x1(a)1-2(b)1-3x5(c)1-4x6x7x4(d)4-5x1x4(e)4-6xyz

location

xyzx4(f)4-7

図 4 2 次元空間にある 7 個の回路間のリサジュー図.

- 69 -—3—chaos circuitchaos circuit

zzyyxx

図 8 30 個の結合カオス回路のクラスタリング.

図 6 3 次元空間に配置されたカオス回路の分布図.

図 7 は、図 6 に示した 30 個のカオス回路を配置したときの4. ま と め

コンピュータシミュレーション結果を表す。これらの結果から、第 1 の回路と第 2、第 3 の回路、第 13 の回路と第 14、第本研究では、結合カオス回路が 2 次元空間および 3 次元空15 の回路、第 18 の回路と第 19、第 20 の回路間において同相間にある場合の同期現象とクラスタリング現象について研究を同期していることが確認できた。ただし、第 1 と第 13、第 18行った。同期現象においては、近い距離にある回路間においての回路間と第 13 と第 18 の回路間は同期していない。そして、同相同期が観測され、遠い距離にある回路間において非同期に第 1 と第 13 の回路間のリサジュー図と第 1 と第 18 の回路間のなると観測された。この結果より、回路間の距離が近いほど同リサジュー図から回路間の距離が近いほど同期状態に近いと確期状態が同相同期に近づくという結果になり、距離情報により認された。これらの結果より、図 8 に示すように結合カオス回クラスタリング現象が見られた。
今後の研究として、結合カオス回路の数を増加することであ路は 3 つのクラスタに形成することができる。

る。また、増加することで次元の数も増やし、より複雑なネッx2x3x13

トワークでの検証、回路間の同期率の測定などが挙げられる。

文x1(a)1-2x1(b)1-3(d)1-18x15x13x1(e)13-14x18x19x13(d)13-18[1] K. Kaneko, “Clustering, Coding, Switching, HierarchicalOrdering, and Control in a Network of Chaotic Elements”,
Physical D, vol. 41, pp. 137-172, 1990.

(c)1-13x14x18x1[2] L. Angelini, F. D. Carlo, C. Marangi, M. Pellicoro and S.
Stramaglia, “Clustering Data by Inhomogeneous Chaotic
Map Lattice”, Phys. Rev. Lett., 85, pp. 554-557, 2000.
[3] Y. Takamaru, H. Kataoka, Y. Uwate and Y. Nishio, "Clustering Phenomena in Complex Networks of Chaotic Circuits", Proceedings of IEEE International Symposium on
Circuits and Systems (ISCAS’12), pp. 914-917, May 2012.

x13(f)13-15[4] T. Chikazawa, Y. Uwate, Y. Nishio. "Investigation ofSpreading Chaotic Behavior in Coupled Chaotic Circuit
Networks with Various Features", Proceedings of RISP International Workshop on Nonlinear Circuits, Communications and Signal Processing (NCSP’17), pp. 337-340, Feb.
2017.

x20x18(e)18-19

献x18(f)18-20

図 7 3 次元空間にある 30 個の回路間のリサジュー図.

- 70 -—4—