3-9 円の性質 啓林館
2

円周角と中心角 啓 P.162～163

空らんをうめなさい。

円周角⌒〇 下の図の円 O で，∠APB を，AB に対する（）といい，中心角⌒∠AOB を AB に対する（）という。

弧⌒
また，AB を，円周角∠APB に対する（4）という。

円周角の定理 啓 P.164~165
次の㋐～㋔に入る言葉を下の□から選び記号で答えなさい。
〇

1 つの円において，同じ弧に対する円周角の大きさは(〇

1 つの円で，弧の長さと円周角の大きさは( ㋑〇1 つの弧に対する中心角の大きさは，その孤に対する円周角の( ㋒ )である。

〇 直径に対する円周角は( ㋓ )で，中心角は( ㋔① 小さい ② 等しい ③ 大きい
⑧ 2倍

⑦ 半分

㋐②⑨ 2乗㋑④㋐ )。

)する。
)ある。

④ 比例 ⑤ 反比例 ⑥ 2 乗に比例
⑩ 90°

㋒

⑧⑪ 180°㋓

6⑫ 45°⑩㋔⑪円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②46°

∠x＝

③218°

∠ y＝38°∠z＝

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P2 【3-9 円の性質 啓林館】

7円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②82°

③90°

∠x＝99°∠y＝∠z＝8

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②98°

③46°

∠x＝116°∠y＝∠z＝9

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②40°

∠x＝

③105°

∠y＝31°∠z＝

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P3 【3-9 円の性質 啓林館】

11円周角の定理 啓 P.164~165

AB が直径のとき，∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②∠x =35°③∠y =56°

35°

∠z＝12

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②BD が直径

③A

A

D

D

EOCC

B

B

109°

76°

∠ x＝

∠y＝

∠z＝1349°円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②∠x =54°③∠y =76°38°∠z＝

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P4 【3-9 円の性質 啓林館】

14円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①BC は直径∠x =32°②③∠y =42°81°∠z＝15円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，の大きさを求めなさい。
①BD は直径∠x =③40°

AC は直径∠y =44°16円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①AD は直径45°

∠ x＝

②③34°

∠y＝148°∠z＝

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P5 【3-9 円の性質 啓林館】

17円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③AB//ODz118°58°∠x＝30.5°

∠y＝

∠z＝18

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y の大きさを求めなさい。
①②AC は直径，CD は接線，D は接点

DC96°∠x＝2067°∠y＝

円周角の定理 啓 P.164~165
右の円 O で，∠C＝112°のとき，∠A を求めなさい。また、その理由を述べなさい。

∠C と∠x は同じ弧に対する円周角と中心角だから∠x＝112×2＝224，∠y＝360－224＝136∠y と∠A は同じ弧に対する中心角と円周角だから，∠A＝136÷2＝68∠A＝68°

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P6 【3-9 円の性質 啓林館】

21

円周角の定理 啓 P.164~165
1
右の図のように，中心 O が∠APB の内部にある場合，∠APB＝ ∠AOB になることを証明
2
しなさい。

右の図のように，点 P と中心 O を通る直線 POQ をひくと△OPA と△POB は二等辺三角形になる。
三角形の内角と外角の性質より∠AOB＝∠AOQ＋∠BOQ＝(∠OPA＋∠OAP)＋(∠OPB＋∠OBP)＝2∠OPA＋2∠OPB＝2(∠OPA＋∠OPB)＝2∠APB
したがって，∠APB＝1∠AOB
223

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒⌒⌒ ＝⌒ ＝ ⌒① AB② 2AB＝BCBC CD30°

∠ x＝60°∠ y＝∠x＝33°

③

⌒ ＝BC
⌒
2AB

19.5°

∠x＝

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P7 【3-9 円の性質 啓林館】

24

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y，∠z の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒⌒ ⌒⌒
⌒
⌒
① AB＝CD② 3AB＝BC③ AB＝BCz53°∠x＝∠y＝15°

25∠z＝53°

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒① AD＝BC・AC は直径②③

AC＝BCAxCOyyB68°∠ x＝34°∠y＝26∠x＝18°∠x＝240°∠y＝30°

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x の大きさを求めなさい。
⌒ ⌒AD
＝BC
∠BCD＝180°－(37°＋32°)＝111°

AD＝BC より
∠ACD＝37°∠x＝111°－37°＝74°

74°
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P8 【3-9 円の性質 啓林館】

27

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166⌒ の長さが等しいこと⌒ ，BD
次の図のように，1 つの円で，平行な弦 AB，CD にはさまれた ACを証明しなさい。

AD を直線で結ぶ。
AB // CD より，錯角は等しいから∠ADC＝∠BAD
等しい円周角に対する弧は等しいから

AC＝BD28⌒ ⌒次の図で，∠CFD＝27°，AB：CD＝5：3 のとき，等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166∠AEB の大きさを求めなさい。

5：3＝x：27
3x＝135x＝4545°30円周角の定理の逆 啓 P.167～169
右の図は，4 点 A，B，C，D は，同じ円周上にあるか答えなさい。また∠x を求めなさい。

2 点 A，D は直線 BC について同じ側にあり，∠BAC＝∠BDC であるから，円周角の定理の逆により，⌒ に対する円周角であるから，∠x＝∠CAD＝30°∠x はDC30°円周上にある。

∠x ＝31円周角の定理の逆 啓 P.167～169
次のうち，４点 A，B，C，D が同じ円周上にあるものをすべて選び，記号で答えなさい。
㋐㋑㋒㋓㋐

円周角が同じだから

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P9 【3-9 円の性質 啓林館】

32

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
右の図で，4 点 A，B，C，D が同じ円周上にあるためには，∠x，∠y の大きさは何度でなければならないか，求めなさい。
等しくなければならないから，∠x＝50，∠y＝5250°∠x＝∠y＝52°33

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
次の図のように，△ABC で，頂点 B，C からそれぞれ AC，AB に垂線 BD，CE をひき，その交点を P とする。このとき，A，B，C，D，E，P のうち同じ円周上にある 4 点をすべて答えなさい。
またその理由も答えなさい。

点 E，D は直線 BC の同じ側にあって，∠BEC＝∠CDB＝90°だから

4 点 B，C，D，E は 1 つの円周上にある。
[4 点]

B，C，D，E

35円の接線の作図 啓 P.173
半径 2cm の円 O の中心から 6cm の距離にある点 A を 1 つとり，点 A を通る円 O の接線 AP，AP′を作図しなさい。
❶ 半径 2cm の円をかく❷ 円 O の中心からP6cm の距離にある点 A をとる❸ OA を直径とした円をかく。
❹ その円と，円 O との交点を結ぶ。

P’Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P10 【3-9 円の性質 啓林館】

37

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

△DAP と△BCP において
∠DPA＝∠BPC（対頂角）･･･①∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△DAP∽△BCP
38

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

△DAP と△BCP において
∠DPA＝∠BPC（対頂角）･･･①∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△DAP∽△BCP
39

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

それCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【3-9 円の性質 啓林館】

40

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，円の 2 つの弦 AB，CD が交わっている。2 つの直線 AD，CB をひいて，その交点を P とするとき，△ABP∽△CDP となることを証明しなさい。

△ABP と△CDP において共通だから，∠APB＝∠CPD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAP＝∠DCP …②①，②より 2 組の角が，それぞれ等しい
よって，△ABP∽△CDP
41

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図で，A,B,C,P は円周上の点で，BP＝PC である。また，AP と BC の交点を Q とする。
△ABP∽△AQC となることを証明しなさい。

△ABP と△AQC において同じ弧に対する円周角は等しいから∠APB＝∠ACQ …①

BP＝PC より，等しい弧に対する円周角は等しいから∠BAP＝∠QAC…②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABP∽△AQC
42

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174⌒⌒
右の図で，AB//CD ならば，AC＝BD であることを証明しなさい。

AD，BC をひく。
AB//CD より，錯角は等しいから，∠ABC＝∠BCD

円周角が等しければ，弧の長さは等しいから，AC＝BD

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P12 【3-9 円の性質 啓林館】

43

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174⌒ ⌒右の図で，AC＝BD ならば，AB//CD であることを証明しなさい。

AD，BC をひく。
AC＝BD より，円周角は等しいから，∠ABC＝∠BCD
錯角が等しいから，AB//CD
44

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図で，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠CAD です。AB＝10cm，AD＝8cm のとき，線分 CD の長さを求めなさい。
△ADC と△DEC で，仮定より，∠BAC＝∠CAD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAC＝∠BDC …②①②より，∠CAD＝∠CDE …③共通より，∠DCA＝∠ECD …④長さなので負の値はふさわしくない。よって 2465 cm

2 5 cm

学びを身につけよう 啓 P.178～179
次の図で，点 A,B,C,D,E,F は，円周を 6 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
，円周角は 30°(＝∠PFE)

BF の円周角は 60°(＝∠BEF)△FPE で，∠FPE＝180－(30＋60)＝90対頂角は等しいから，∠x＝9090°
47

学びを身につけよう 啓 P.178～179
次の図で，点 A,B,C,D,E,F,G,H は，円周を 8 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
よって，AB,GH の円周角は 45÷2＝22.5°△APH で，∠x＝180－(22.5×2)＝135°

135°

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P13 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17949

次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
円 O の中心から，点 A,B に線をひくと

QA⊥OA，QB⊥OB
四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°∠x＝61°∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)

61°
学びを身につけよう 啓 P.178～179

50∠x，∠y の大きさを求めなさい。
△ACP で，三角形の内角と外角の性質から，
y＝26°＋32°＝58°∠DAC＝∠DBC＝32°
三角形の内角と外角の性質から，
x＝58°＋32°
x＝90°

58°

y＝学びを身につけよう 啓 P.178～179

51

次の問いに答えなさい。
①y－x＝a であることを証明しなさい。

△PCA で，三角形の内角と外角の性質より，

a＋x＝y－y＋x＝－ay－x＝a②x＋y＝b であることを証明しなさい。

DA の円周角より，∠x＝∠B…①△ABQ で，①と三角形の内角と外角の性質より，x＋y＝aCopyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17952

次の図で，A，B，C，D，E，F は円 O の円周を 6 等分する点である。
∠x，∠y の大きさを求めなさい。
AO をひく，∠AOF＝360÷6＝60°∠x＝60÷2＝30°∠x＝30°

60°∠y＝

学びを身につけよう 啓 P.178～17953

次の図で，∠x，∠y の大きさを求めなさい。
①BC は直径②∠x＝∠EBC＝40°∠BAC＝∠BDC だから，A,B,C,D は同じ円周上にある。°
よって，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DBC＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°

DC に対する円周角だから，∠x＝∠DBC＝40°

119°∠x＝37°∠y＝∠x＝40°

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P15 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17954

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
⌒⌒① AB = CD⌒ ⌒⌒⌒② AC＝CD＝DE＝EB∠AEB＝∠DBC=∠ACB=40°

AC＝CD＝DE＝EB，よって，△BCD において，∠x＝∠ABC＝∠EAB＝∠DAE

30＋40＋40＋x＝180三角形の内角と外角の性質から，∠x＝180－30－40－40△FAB において，3x＝87°，x＝29°＝70∠x＝70°∠x＝29°

学びを身につけよう 啓 P.178～179

55次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
①ABCDEF は正六角形② BC は直径

CF は直径だから，∠CBF＝90°

AC をひく，△BCG において，DC に対する円周角，中心角から，90°＋30°＋x＝180°∠DAC＝58÷2x＝180°－90°－30°＝60°∠x＝60°＝29°

x＝90＋29＝119°

119°

∠x＝

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P16 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17956

次の円周角を求めなさい。
①

円周の5の弧に対する円周角6360°×

5 1× ＝150°
6 2②360°×150°
57

円周の4の弧に対する円周角
94 1× ＝80°
9 280°

学びを身につけよう 啓 P.178～179⌒
右の図で，円周上に△ABC があり，∠ABC の二等分線をひき，辺 AC と AC との交点をそれぞれ P，Q とするとき，△ABQ∽△PAQ であることを証明しなさい。

CQ の円周角だから，∠CAQ＝∠CBQ…①

仮定より，∠CBQ＝∠ABQ…②①，②より，∠ABQ＝∠CAQ(∠PAQ)…③△ABQ と△PAQ で，共通だから，∠BQA＝∠AQP…④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABQ∽△PAQ
学びを身につけよう 啓 P.178～17958

右の図で，2 つの円が 2 点 A,B で交わり，PQRS が 2 つの円周上にあるとき，△AQR∽△APS であることを証明しなさい。

同じ円周上で，AB に対する円周角だから，∠APB＝∠AQB…①∠ARB＝∠ASB…②△AQR と△APS で，①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AQR∽△APS

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P17 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17959

右の図で，円周上に 3 点 A,B,C がある。AB,BC の中点をそれぞれ P,Q とするとき，
点 B,O,P,Q は同じ円周上にあることを証明しなさい。

B を通る直径をひき，円周との交点を R とする。

また A と R を結ぶ。
∠BAR＝90°△BAR で，BO＝RO(半径)，中点連結定理より，PO//AR
よって，∠BPO＝90°…①
同じようにして，∠BQO＝90°…②①，②から，点 B,O,P,Q は(BO を直径とする)同じ円周上にある61

円に内接する四角形
次の図で，∠x，∠y の値を求めなさい。
∠B＋∠D＝180°より，∠x＝180－103＝77°∠DCE＝∠A より，∠y＝88°∠x＝77°88°

∠y ＝

62

円に内接する四角形
次の図において，∠x，∠y の大きさを求めなさい。ただし，②の AC は円 O の直径である。
①②∠x＝180°－104°＝76°

AC は直径だから、∠y は、弧 BD の中心角だから，∠ADC＝90°∠y＝104°×2＝208°

BC の円周角だから、∠BDC＝∠BAC＝39°∠y＝180－(81＋39)＝60°∠x＝76°∠y＝208°

51°

∠x＝

∠y＝

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60°

P18 【3-9 円の性質 啓林館】

63

円に内接する四角形⌒ を二等分⌒ ，CA⌒ ，BC次の図で，3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，∠ABC＝75°である。AB
する円 O 周上の点をそれぞれ D，E，F とするとき，∠DFE の大きさを求めなさい。
∠DFE＝∠DFB＋∠EFB となる∠DFB＝11∠AFB，∠EFB＝ ∠CFB なので22∠DFE＝11∠AFB＋ ∠CFB
22＝1(∠AFB＋∠CFB)
2＝52.5°

52.5°
65

円と接線
右の図で，直線 T が円の接線であるとき，∠x の値を求めなさい。
∠A＝74°△ABC で，∠x＝180－(74＋46)∠x＝60°

60°

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