4 比例と反比例(中1)まとめ
1次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE

比例と反比例ざ ひょうじくy★座 標 軸…右の図のように，点 O で垂直に交わる 2 つの数直線を考える。このとき横の数直線をじく

Pじく

5x軸，縦の数直線を y軸という。x 軸と y 軸

原点

ざひょうじくを合わせて座標軸という。
げんてん

－5

また，座標軸の交点 O を原点という。
ざ ひょうy軸

3－2 O

5

ざひょう

★座 標 …右の図 P 点を表す数の組(－2,3)を点 P の座標

xx軸といい，－2 を x 座標，3 を y 座標という。
－5

へんすう

★変数…いろいろな値をとる文字を変数という。
かんすう★関数…ともなって変わる 2 つの変数 x，y があり，x の値を決めると，それに対応してy の値がただ 1 つ決まるとき y は x の関数であるという。
ていすう★定数…変数に対して，y＝ 2 x の 2 のように決まった数のことを定数という。
ひ れい★比例の式…ともなって変わる変数 x，y があり，その関係が，y＝ax で表されるとき，
ひれい

ひ れ い ていすう

y は x に比例するという。a は 0 ではない定数であり，比例定数という。
はん び れい★反比例の式…ともなって変わる変数 x，y があり，その間の関係が，y＝a(a は定数)x

はんぴれいで表されるとき，y は x に反比例するという。また，定数 a (a≠0，a は 0 ではない数)を
ひ れ い ていすう
a比例定数という。y＝ は，xy＝a と変形できる。
xy を x の式で表しなさい。
① y は x に比例し，x＝1 のとき② y は x に反比例し，x＝－5 のときy＝2 である。

y＝4 である。

[解き方] y＝ax に x＝1，y＝2 を代入する。

2＝1×aa＝ 2

よって y＝2x[答] y＝2xxy＝a に x＝－5，y＝4 を代入する。
a＝－5×4＝－20－20a20
これを y＝ に代入する。y＝＝－xxx

20[答] y＝－x

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P2 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

y を x の式で表しなさい。
ABCDE ① y が x に比例し，x＝2 のとき2②y が x に反比例し，x＝－1 のときy＝－6 である。

y＝－24 である。

y＝ax に x＝2，y＝－6 を代入する。

xy＝a に x＝－1，y＝－24 を代入する。

－6＝a×2a＝－24×(－1)＝24－2a＝6a
これを y＝ に代入する。
x－2a6＝－2－2

y＝a＝－324x

よって y＝－3x24
y＝xy＝－3xy を x の式で表しなさい。
y が x に反比例し，x＝－6 のとき①ABCDE3② y が x に比例し，x＝－16 のときy＝8 である。

y＝－24 である。

xy＝a に x＝－6，y＝8 を代入する。

y＝ax

a＝8×(－6)＝－48 ，－24＝a×(－16) ，a
これを y＝ に代入する。
x－24＝－16ay＝－16a 24＝1616

48x

a＝48
y＝－x4
ABCDEに x＝－16，y＝－24 を代入する。

32y＝

よって y＝3x23x2

次の問いに答えなさい。
①y は x に比例し，x＝1 のとき y＝2 である。このとき，x＝3 のときの y の値を求めなさい。
y＝ax に x＝1，y＝2 を代入する。2＝1×a，2＝a，a＝2
よって，求める式は y＝2x

y＝2x に x＝3 を代入する。y＝2×3，y＝6

y＝6②

y は x に反比例し，x＝7 のとき y＝4 である。x＝－2 のとき y の値を求めなさい。
x＝7，y＝4 を xy＝a に代入する。a＝7×4＝28a
これを y ＝ に代入する。
x2828
これに x＝－2 を代入する。y＝＝－14
y＝x－2

y＝－14

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P3 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

5ABCDE

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

比例のグラフ★比例のグラフ…y＝ax のグラフは原点を通る直線

a＜0 のとき右下がりのグラフ

a＞0 のとき右上がりのグラフである。

y比例定数 a が正のとき右上がりのグラフになりa が負のとき右下がりのグラフになる。

増加★比例のグラフのかき方

y増
加x増加

① 原点に点をとる。

x減少② 比例定数を分数の形に書きかえ，原点から分母の数だけ右へ分子の数だけ上へ移動した点をとる。
比例定数が負の場合は分子の数だけ下へ移動した点をとる。
）③ ①と②を通る直線をグラフ用紙いっぱいにかき，x 座標，y 座標がともに整数のところに点をかく。
④ グラフのそばに問題の番号を書く。
次の関数のグラフをかきなさい。

(1)

y＝1x3

(2) y＝－5x(3)y＝0.8x－5(2) 比例定数は－5＝1(3) 比例定数は 0.8＝810＝

45[解き方]

(1)

比例定数は

13

原点から右へ 3，上へ 1

原点から右へ 1，下へ 5原点から右へ 5，上へ 4移動したところに点をとる

移動したところに点をとる
y5

移動したところに点をとる

y5上へ 1－5右へ 35x

上へ 4右へ 15－5y5x－5

下へ 5－5－5Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

右へ 5－55x

P4 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

6ABCDE

次の式のグラフをかきなさい。
①

y＝4x たところに点をとる②y＝－0.2x
比例定数は

y5－15

原点から右に 5，下に 1－550x－5
移動したところに点をとる
7ABCDE

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。
反比例のグラフy16
次の表を完成させて y＝ のグラフをかきなさい。
xx－8－4－2－101248y－2－4－8－16×16842

表の x，y の値の組を座標とする点をとり，なめらかな曲線で結ぶ。
◎ 反比例の関係では，x＝0 のときの y の値はない。

50－55x－58ABCDE

次の式のグラフをかきなさい。
①15y＝x②y＝－y8x5－505－5Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

x

P5 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

9下の㋐～㋒の式を求めなさい。

ABCDE㋐y㋐

5－50㋑
㋒x5 ㋓

y＝－2x㋑y＝－3x5㋐と㋑は比例定数をグラフから読み取る。

6㋒ y＝－x8㋓ y＝x－510

次のことがらを y を x の式で表し，y が x に比例するもの、反比例するものをすべて選び，BCDE

記号で答えなさい。
㋐

200km の道のりを、時速 x km で進むとき y 時間かかる。

時間＝道のり÷速さ

式

200y＝x㋑ 底辺が x cm，高さが 15cm の三角形の面積は y cm2 である。

15式 y＝x21三角形の面積＝ ×底辺×高さ
2㋒ 所持金が 1600 円で，300 円のシャープペンシルを x 本買ったときの残金は y 円である。

15215式 y＝1600－300x
2㋓ 分速 120m の速さで図書館に向かった。図書館までは，𝑥分かかり，進んだ道のりは𝑦 m である。

道のり＝速さ×時間

24x

式

y＝120x㋔ 周の長さが 36cm の長方形の縦の長さが𝑥 cm，横の長さが𝑦 cm である。
周の長さ＝2×縦＋2×横 36＝2x＋2y 2y＝36－2x式

y＝18－x㋕ 面積が 24cm2 の長方形の縦が x cm，横が y cm である。

長方形の面積＝縦×横24＝x×y

比例24式 y＝x㋑，㋓

反比例

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

㋐，㋕P6 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

11BCDE

次の①～②について表の空らん㋐，㋑をうめ，y を x の式で表しなさい。また，y が x に比例するものには○，反比例するものには△と書きなさい。
①x1234y1263㋐㋐12式 y＝x4記号

△記号

○②xy

1－42㋑3－12㋑－84－16式

y＝－4x12歯の数が 30 の歯車 A が 1 秒間に 4 回転する。また，歯の数がBCDEx の歯車 B は 1 秒間に y 回転する。これについて次の各問いに答えなさい。
① y を x の式で表しなさい。
1 秒間に歯が x×y 動く。
A の歯車と B の歯車の動く歯の数は等しいので 1 秒間に歯が x×y 動く。
よって，120＝xy，

y＝120
y＝x120x② 歯車 B の歯の数が 40 のとき，歯車 B は 1 秒間に何回転するか。

3 回転120に x＝40 を代入して，y＝3y＝x③ 歯車 B が 1 秒間に 2 回転しているとき，歯車 B の歯の数はいくつか。
y＝120に y＝2 を代入して，x＝60x60

みが13

3 人がボールを 1 人 100 個磨くことにしたが，1 人あたりの磨く数が多いので，人数を増やしCDEて 1 人あたりの磨く数を 30 個にしたい。このとき次の問いに答えなさい。
① 1 人あたりの磨く数を x 個，人数を y 人とするとき，y を x の式で表しなさい。
x y＝a に x＝100，y＝3 を代入すると100×3＝aa＝300
求める式は

y＝a300より，y＝xx300
y＝x② 何人で磨けばよいか答えなさい。

y＝300300に x＝30 を代入すると，y＝ 30 ＝10x

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

10 人

P7 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

14DE

体育館で，いすを 1 列に 20 脚ずつ，18 列に並べた。このとき，次の問いに答えなさい。
① いすを 1 列に x 脚ずつ，y 列に並べるとして，y を x の式で表しなさい。
xy＝a に x＝20，y＝18 を代入して，a＝20×18
a＝360

y＝360
x

② このいすを並べかえて，1 列に 15 脚ずつにするとき，列の数を求めなさい。
360に x＝15 を代入して，
y＝x360y＝15＝2424 列
15DE

3 人でポスターを 1 人 30 枚ずつかく。このとき，次の問いに答えなさい。
① 1 人あたりのかく枚数を x 枚，かく人数を y 人とするとき，y を x の式で表しなさい。
aに x＝30，y＝3 を代入すると，y＝xa3＝3090
y＝xa＝90②

1 人あたりのかく枚数が多いので，人数を増やして 1 人あたりのかく枚数を最初の1に6したい。何人でかけばよいか求めなさい。
最初は，1 人あたり 30 枚だったので，30×1＝5 よって 1 人あたり 5 枚かけばよい。
690に x＝5 を代入すると，
x90
y＝5y＝18 人＝18

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P8 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

16

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

ABCDE変域へんいき★変域…変数のとる値の範囲を，その変数の変域という。
★変域の数直線上での表し方…『以上』『以下』のときは（≧，≦）それ以外は（＞，＜）
で表す。
① 次のような変域を不等号を使って表しなさい。

(1)

x は 5 より小さい(2) x は－1 未満

x＜5x＜－1(3) x は 2 より大きく 6 以下

(4) x は－3 以上 0 未満

2＜x≦6②－3≦x＜0y は x に比例し，x＝3 のとき y＝－5 である。x の変域が－2≦x≦3 のとき，y の変域を求めなさい。

[解き方]－5 3a5y＝ax に x＝3，y＝－5 を代入する。－5＝3×a，＝ ，a＝－3335よって，求める式は y＝－ x35y＝－ x に x＝－2,3 を代入する。
355x＝－2 のとき， y＝－ ×(－2)， x＝3 のとき， y＝－ ×333＝103＝－510よって、求める変域は，－5≦y≦317ABCDE10[答] －5≦y≦3y は x に反比例し，x＝4 のとき，y＝－3 である。x の変域が 3≦x≦6 のとき，y の変域を求めなさい。

xy＝a (y＝a)に x＝4，y＝－3 を代入すると，4×(－3)＝a，a＝－12x12
よって，y＝－，xx＝6 のとき，y＝－x＝3 のとき，y＝－12，y＝－4312，y＝－2，よって，－4≦y≦－2
6－4≦y≦－2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P9 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

18BCDE

10L 入る容器に，毎分 2L の割合で水を入れる。このとき，水を入れる時間 x 分と，y水の量入った yL の関係を，式とグラフに表しなさい。
(L)
10

時間が 2 倍，3 倍…になると水の量も 2 倍，3 倍…となるからy は x に比例している。y＝ax で，毎分 2L なので
x＝1，y＝2 を y＝ax に代入すると，a＝2
よって，比例の式は，y＝2x5
容器は 10L なので，y＝10 を y＝2x に代入すると，
x＝5 より，x の変域は，0≦x≦5y＝2x（0≦x≦5）x019

父とＡくんが同時に家を出発し，家から図書館に行った。

CDE

右のグラフはその様子を表したものです。

y (m)
300

父 Ａくん

① 父とＡくんの速さを求めなさい。
200

右の図から 速さ＝道のり(y)÷時間(x)グラフから 父(4 , 300)

100

A くん(5 , 300)より
父の速さ＝300÷4＝75(m/分)

0A くんの速さ＝300÷5＝60(m/分)

父75m/分

5A くんx (分)60m/分② 父とＡくんそれぞれについて，y を x の式で表しなさい。また，x の変域も答えなさい。
道のり(y)＝速さ×時間(x)より 父
変域はグラフより
父

父

y＝75x

0≦x≦4

y＝75x(0≦x≦4)

Ａくん

y＝60x

Ａくん

0≦x≦5

Ａくん

y＝60x(0≦x≦5)③ 父とＡくんが 30ｍはなれるのは，家を出発してから何分後か答えなさい。

1 分で 15m ずつはなれていくので，30÷15＝2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

2 分後P10 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

20CDE

点 P は，右の図のような正方形 ABCD の辺 AB，BC 上を A から B，
B から C の順に C まで動く。点 P が xcm 動いたときの三角形 APDの面積を y cm2 として，次の①～③に答えなさい。
① 点 P が辺 AB 上にあるとき，y を x の式で表しなさい。

4cmAy cm2Dx cm
P

AP を底辺とみると，高さは AD＝4cm。
1y＝ ×x×4＝2x
また，AP＝xcm だから，
2式

y＝2xx の変域

BC0≦x≦4② 点 P が辺 BC 上にあるとき，y は常に同じ値をとる。この y の値を求めなさい。
また，このときの x の変域を答えなさい。

AD を底辺とみると，高さは常に 4cm だから，
1
y＝ ×4×4＝82
y の値

y＝8x の変域③ ①，②のグラフをかきなさい。

4≦x≦8y (cm2)50521

太さが一定の針金が 40m ある。この針金 3m の重さをはかると 135g であった。この針金

DExm の重さを y g として，次の①～③に答えなさい。
① y を x の式で表しなさい。
針金の重さは長さに比例するから， y＝ax と表される。
x＝3 のとき y＝135 だから，135＝a×3a＝45
したがって，y＝45xy＝45x② この針金 6m の重さは何 g か。

270g

③y＝45x に x＝6 を代入すると，y＝45×6＝270(g)x の変域は 0≦x≦40 である。このときの y の変域を求めなさい。
x＝0 のとき，y＝0x＝40 のとき，y＝45×40＝1800

したがって，0≦y≦18000≦y≦1800
Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P11 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

22

毎分 6L ずつ水を入れると，60 分間でいっぱいになる水そうがある。毎分 xL ずつ水を入れるDEと y 分間でいっぱいになるとして，次の①～④に答えなさい。
① 水そうに入れることができる水全体の量は何 L か。

②360L

6×60＝360(L)y を x の式で表しなさい。

360
y＝ x

360
xy＝360 より，y＝ x③ 毎分 15L ずつ水を入れるとすると，いっぱいになるまでに何分間かかるか。

24 分間

360
②の式に x＝15 を代入すると，y＝＝24(分間)15④ x の変域が 3≦x≦20 のときの y の変域を求めなさい。
360
x＝3 のとき，y＝＝1203
360＝18 したがって，18≦y≦120
x＝20 のとき，y＝2018≦y≦120
23DE

あるバネは，100g 以下のおもりをつるすとき，のびる長さはおもりの重さに比例する。このバネに 30g のおもりをつるしたら，6cm のびた。x g のおもりをつるすと y cm のびるとして，次の①～③に答えなさい。ただし，つるすおもりは 100g までとする。
①y を x の式で表しなさい。
x＝30 のとき y＝6 だから，6＝a×30a＝②1x525g のおもりをつるすと，バネは何 cm のびるか。
y＝③y＝155cm11xに x＝25 を代入すると，y＝ ×25＝555x，y の変域をそれぞれ求めなさい。
x の変域は 0≦x≦100x＝0 のとき y＝0x＝100 のとき y＝20
したがって，y の変域は，0≦y≦20x の変域0≦x≦100y の変域0≦y≦20

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P12 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

24

右の図において， A(6，3)は㋐のグラフ上の点である。また，点 P は㋐と㋑のグラフのCDE交点で，P の x 座標は－4 である。このとき，次の①～④に答えなさい。

y① ㋐の式を求めなさい。
㋐は比例のグラフだから，y＝ax に x＝6，y＝3 を代入して，3＝a×6，a＝123－41
y＝ x21
したがって，y＝ x2A0㋐㋑x6P② 点 P の座標を求めなさい。

11①より，y＝ x に x＝－4 を代入すると，y＝ ×(－4)＝－222㋑(－4,－2)

したがって，③ ㋑の式を求めなさい。

P(－4, －2)は㋑のグラフ上にある。
b㋑は反比例のグラフだから，y＝ に x＝－4，y＝－2 を代入して，
x－2＝b，b＝8－4

したがって，y＝8xy＝8x④ ㋑のグラフ上にあって，x 座標が－1 である点の y 座標を求めなさい。

y＝88に x＝－1 を代入して，y＝＝－8x－1

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

y＝－8P13 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

25

右の図で ℓ は直線で，m は双曲線である。直線 ℓ と曲線 m は点 A，B で交わり，点 A の座標

DEは(3 , 2)，点 B の x 座標は−3 である。このとき，次の問いに答えなさい。
y m① 直線 ℓ と曲線 m の式を求めなさい。

y＝ax に(3 , 2)を代入して，

2a＝
32＝3a ，2－32
y＝ x
3xy＝a (y＝y＝a)に(3 , 2)を代入して，x0ℓA

3C x(4, 0)

B(－3, －2)a＝66x

直線 ℓy＝2x3

曲線 my＝6x② 点 B の座標を求めなさい。

x＝－3 を y＝③2x に代入
3(−3 , −2)y＝－2x 軸上に点 C(4 , 0)をとるとき，三角形 ABC の面積を求めなさい。
原点を O とおくと三角形 ABC＝三角形 AOC＋三角形 OBC

OC を底辺と考えると三角形 AOC の高さは2OC を底辺と考えると三角形 OBC の高さも2

三角形 AOC＋三角形 OBC＝1
1×4×2＋ ×4×2
2
2＝88

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

P14 【4 比例と反比例(中1)まとめ】

26DE

15右の図は反比例 y＝ のグラフ上にかいた 2 つのxy(3,5)

四角形です。四角形 ABCD の面積が 10cm2 のとき，四角形 CEFG の面積を求めなさい。

y＝AD15，xy＝15 よりx(5,3)

x 座標と y 座標の積はつねに 15 だから
四角形 AOED と四角形 BOFG の面積は 15 cm2CBG

四角形 ABCD＝15－四角形 BOEC
四角形 CEFG＝15－四角形 BOEC
よって，四角形 ABCD＝四角形 CEFG＝10cm2OE

F

10cm2

Copyright (C) 2009 hakken.inc All Rights Reserved.

x