社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

簡単なカオス回路を交差結合させたことにより発生する現象の調査
内谷友美子†

西尾 芳文†† 徳島大学 〒 770-8506 徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{uchitani,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

結合カオス回路における同期現象は様々な分野で広く研究されている。本研究では，簡単な回路構成である森・神力回路 2 つをインダクタにより交差結合させた回路を対象とし，コンピュータシミュレーション及び回路実験により発生する現象の調査を行った.
キーワード

カオス回路，複雑系，同期現象

Investigation of Nonlinear Phenomenon in Cross-Coupled Chaotic
Circuits
Yumiko UCHITANI† and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima,Tokushima, 770–8506, Japan
E-mail: †{uchitani,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Studies on chaos synchronization in coupled chaotic circuits are extensively carried out in various ﬁelds.
In this study, two simple chaotic circuits cross-coupled by inductors are investigated. Interesting state transition
phenomenon around chaos synchronization is observed by computer simulations and circuit experiments.
Key words chaos circuit, complex system, synchronization

1. ま え が き
結合カオス回路における同期現象は自然科学の高次元非線形現象のモデルであり，様々な分野で広く研究されている．カオスの同期現象を調査することは将来，カオスを利用する工学分野に活用出来るのではないかと考える． [1]- [9]本研究では，簡単なカオス回路構成である森・神力回路 [10] [11]

2 つをインダクタにより交差結合させた回路を対象とし，コンピュータシミュレーション及び回路実験により発生する現象を観測し，詳細な調査を行った．

2. 回路モデル
回路モデルは図 1 に示される．この回路は 2 つの森・神力回路をインダクタにより交差結合させている．以下の正規化を行なうことにより，

図1 回路 図—1—


√

C2

i=
V x1 , v11 = V y1 , v12 = V z1 ,11

L1


√



C2

i=V x2 , v21 = V y2 , v22 = V z2 ,21

L1
√
√
C2C2i12 =V w1 , i22 =V w2 ,
L1L1√√
C2L1L1
α=,β=G,γ=g,
C1C2C2√ δ = L1 , t = L1 C2 τ, “·”= dL2

2.50(1)222.5

y2 0-3.00

τ

(c)

300

図 2 数値計算による状態推移現象 α = 1.5, β = 5.0, γ = 0.2,

δ = 0.005. (a) y1 − z1 平面でのアトラクタ．(b) y1 − y2 平面でのアトラクタ．(c) 時間波形2(2)ż1 = β f (y1 − z1 ) + w2 − x1ż2 = β f (y2 − z2 ) + w1 − x2




ẇ1 = δ(y1 − z2 ) ẇ = δ(y − z )
20(b)

-3.0
3.0



ẋ1 = z1







ẋ2 = z2






ẏ1 = α{γy1 − w1 − βf (y1 − z1 )}





 ẏ = α{γy − w − βf (y − z )}22.5 -2.5y1 0

次式を得る．

20(a)

3.0

dτ

2-2.5(a)(b)

1f は非線形抵抗の電流電圧特性を表しており次のような区分線形関数によって近似する．

f (y1 − z1 ) =f (y2 − z2 ) =y − z1 − 1
 1



0

(|y1 − z1 | <= 1)y1 − z 1 + 1(y1 − z1 < −1)y − z2 − 1
 2



(y1 − z1 > 1)(3)(y2 − z2 > 1)

0(|y2 − z2 | <= 1)y2 − z 2 + 1(y2 − z2 < −1).

(4)

3. 状態推移現象
我々は図 1 で示す回路より興味深い状態推移現象を観測することが出来た．その現象の例を図 2，3 に示す．図 2 は式 2 を(c)図 3 回路実験による状態推移現象 L1 = 9.93mH, L2 = 800mH,

C1 =32.8nF, and C2 =49.5nF, g=683mS. (a) v11 − v12 平面
でのアトラクタ. 横軸及び縦軸: 1 V/div. (b) v11 − v21 平面でのアトラクタ. 横軸及び縦軸: 1 V/div. (c) v11 と v21 の時間
波形. 横軸: 1.0 ms/div, 縦軸: 2 V/div.

ルンゲクッタ法を用いての数値計算での結果を表しており，図3 は回路実験での結果を表している．この 2 つの回路により観測されたカオスは y1 -y2 平面で第 1 象限と第 3 象限を行き来している事により同相同期に近い状態であると言える．このカオスの振舞いの興味深いところは，y-z 平面の解が (y, z)=(±1.2,0) 付近の固定点に収束しようとしているように見えるということである．しかし，固定点に十分近づいたあと突然他方の固定点へと移動する．このように 1 つの回路が正の領域から負の領域へと，また負の領域から正の領域へと切り替わる．状態が切り替わった後，また各領域で上記で示した振舞いをする．

減少するということがわかる．同様の現象の回路実験結果を図5 に示す．これよりこの現象を数値計算，回路実験と両方から観測することが出来た．次にどのように各変数が変化しているかを図 6 に示す．x，z はそれぞれ LC 回路の電流と電圧に対応している．それ故 x，z は時間が立つにつれて 0 に収束しようとする．一方，y は負性抵抗側のキャパシタの電圧を表しているので値は不安定で ±1.2 付近の固定点で収束する傾向にある．

LC 回路の電流 x と電圧 z の振幅が 0 に近づくと，電圧 y が突然他方の固定点へと移動する．この推移現象のメカニズムを説

4. 詳細な調査

明することは難しいが発振が止まったときに結合インダクタは本研究では，上で述べた状態推移現象を詳細に調査する．まインピーダンスが 0 になり短絡状態になる，言いかえると結合ず我々は結合係数である δ の値を変化させ状態を観測した．そインダクタはスイッチの役割をしているのではないのかと考えの結果を図 4 に示す．結合係数 δ の値が増加すると滞在時間がている．

—2—

2.50-2.50

2.5 -2.50

2.5

2.0

y1 0(1a)-2.0
2.0(1b)y2 0-2.00

τ

(a)

1000

2.50-2.50

2.5 -2.50

2.5

2.0(1c)y1 0-2.0
2.0

y2 0-2.00

τ

(b)

1000

2.50(2a)-2.50

2.5 -2.50(2b)

2.5

2.0

y1 0-2.0
2.0

y2 0-2.00

τ

(c)

1000

図 4 結合係数 δ を変化させたときの状態推移現象 (数値計算結果).

α = 1.5, β = 5.0, γ = 0.2, δ= (a) 0.001, (b) 0.003, (c) 0.008.

図 7 は電圧 y の時間波形を拡大したものである．この図を見て(2c)分かる通り y1 と y2 はスイッチングが起こるタイミングでは同

図 5 結合係数 δ を変化させたときの状態推移現象 (回路実験結果).

L1 = 9.93mH, C1 =32.8nF, C2 =49.5nF. (1) L2 = 800mH,相で同期しているが推移の小さい振幅では逆相で同期している．

g=626mS. (2) L2 = 1.2H, g=495mS. (a) v11 − v12 平面での

5. 逆相での状態推移

アトラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (b) v11 − v21 平面でのアト次に，逆相同期の状態推移現象を図 8，9 に示す．同相同期

ラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (c) v11 と v21 の時間波形. 横軸: 0.5 ms/div (1) 1.0 ms/div (2), 縦軸: 2 V/div.と同様に結合係数である δ の値が増加すると滞在時間が減少する．
2.0

6. 4 相での状態推移

x1 0

我々はまた興味深い 90 度位相ずれでの状態推移を観測する

y1 0-2.02.0

ことが出来た．図 10 に数値計算での結果を，図 11 に回路実験での結果を示す．この状態では y1 -y2 平面で解が第 1 象限から第 4 象限へと順番に移動する．

-2.02.0

z1 0-2.0
2.0x2 0-2.02.0

7. ま と めy2 0

本研究では，2 つの森・神力回路をインダクタで交差結合させたことにより興味深い現象を観測することが出来た．発生のメカニズムを詳細に説明する事と同様に，この現象の状態の共存の調査や統計分析を出す事が今後の我々の課題である．
文献[1] N. Platt, E.A. Spiegel and C. Tresser, “On-Oﬀ Intermittency: A Mechanism for Bursting,” Phys. Rev. Lett.,
vol. 70, no. 3, pp. 279-282, 1993.
[2] P. Ashwin, J. Buescu and I. Stewart, “Bubbling of At--2.02.0z2 0-2.00τ

図6電流，電圧の状態推移. α = 1.5, β = 5.0, γ = 0.2, δ = 0.005.

tractors and Synchronization of Chaotic Oscillators,” Phys.
Lett. A,193, pp. 126-139, 1994.
[3] E. Ott and J.C. Sommerer, “Blowout Bifurcations: theOccurrence of Riddled Basins and On-Oﬀ Intermittency,”
Phys. Lett. A,199, pp. 39-47, 1994.

—3—

1000

2.0

2.5

y1 0-2.0
2.00y2 0-2.00

τ

250-2.5

図7

時間波形の拡大図. α = 1.5, β = 5.0, γ = 0.2, δ = 0.003.

0

2.5 -2.5

0

2.5

2.0

y1 0

2.5-2.0
2.0

y2 00-2.00-2.5

0

2.5 -2.50(a)

τ1000

τ1000

2.5

2.5

2.0

y1 00-2.0
2.0

y2 0-2.00τ

(a)

-2.5

1000

0

2.5 -2.50

2.5

2.0

y1 0

2.5-2.0
2.0

y2 00-2.5-2.000

2.5 -2.50(c)図 10 4 相同期 (数値計算結果).

2.52.0α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.1,(a) δ = 0.0004, (b) δ = 0.0014.

y1 0-2.0
2.0

y2 0-2.00

τ

(b)

1000

2.50-2.50

2.5 -2.50(a)2.5(b)

2.0

y1 0

図 11 4 相 同 期 (回 路 実 験 結 果).

-2.0
2.0

L1 = 9.93mH, L2 = 1.2H,

C1 =32.8nF, C2 =49.5nF, g=495mS. (a) v11 − v21 平面で

y2 0-2.00τ(c)

1000のアトラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (b) v11 と v21 の時間波
形. 横軸: 1.0 ms/div, 縦軸: 2 V/div.

図 8

逆 相 同 期 (数 値 計 算 結 果).

α = 2.0, β = 4.0, γ = 0.1,(a) δ = 0.0005, (b) δ = 0.0008, (c) δ = 0.0014.

(a)
図 9

逆 相 同 期 (回 路 実 験 結 果).

(b)
L1 = 9.93mH, L2 = 1.2H,

C1 =32.8nF, C2 =49.5nF, g=495mS. (a) v11 − v21 平面でのアトラクタ. 横軸と縦軸: 1 V/div. (b) v11 と v21 の時間波形.
横軸: 1.0 ms/div, 縦軸: 2 V/div.

[4] Y. Nishio and A. Ushida, “Spatio-Temporal Chaos in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEEE Trans. Circuits Syst.
I, vol. 42, no. 10, pp. 678-686, 1995.
[5] N.F. Rul’kov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchronized Chaotic Oscillations,” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.

[6] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,pp. 869-875, 1997.
[7] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Analysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.
Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.
[8] G. Abramson,V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “AnalyticSolutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,” Physica A: Statistical Mecanics and its Applications,vol. 305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[9] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.
[10] M. Shinriki, M. Yamamoto and S. Mori, “Multimode Oscillations in a Modiﬁed van der Pol Oscillator Containing
a Positive Nonlinear Conductance,” Proc. IEEE, vol. 69,
pp. 394-395, 1981.
[11] N. Inaba, T. Saito and S. Mori, “Chaotic Phenomena ina Circuit with a Negative Resistance and an Ideal Switchof Diodes,” Trans. of IEICE, vol. E70, no. 8, pp. 744–754,
1987.

—4—