3-9 円の性質 啓林館
1

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

円周角と中心角 啓 P.162~163
えんしゅうかく⌒★円 周 角…下の図の円 O で，∠APB を，AB に対する円周角といい，
ちゅうしんかく⌒ に対する 中 心 角という。
∠AOB を AB⌒ 弧AB と読む)を，円周角∠APB に対する弧という。
また，AB(
こ

円周角

中心角
2

円周角と中心角 啓 P.162～163

空らんをうめなさい。
⌒〇 下の図の円 O で，∠APB を，AB に対する（⌒∠AOB を AB に対する（

円周角
中心角

⌒
また，AB を，円周角∠APB に対する（

）といい，
）という。

弧

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）という。

P2 【3-9 円の性質 啓林館】

3

次の hakken.の法則を読んで内容を覚えなさい。

円周角の定理（１） 啓 P.164~165
えんしゅうかく★円 周 角の定理❶

1 つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である。

❷ 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

※ 半円の弧に対する円周角は 90°である。
つまり，弦が直径のとき円周角は 90°，直径

中心角は 180°である。
4

円周角の定理 啓 P.164~165
次の㋐～㋔に入る言葉を下の□から選び記号で答えなさい。
〇

1 つの円において，同じ弧に対する円周角の大きさは(〇

1 つの円で，弧の長さと円周角の大きさは( ㋑〇1 つの弧に対する中心角の大きさは，その孤に対する円周角の( ㋒ )である。

〇 直径に対する円周角は( ㋓ )で，中心角は( ㋔① 小さい ② 等しい ③ 大きい
⑧ 2倍

⑦ 半分

㋐

②

⑨ 2乗

㋑

④

㋐ )。

)する。
)ある。

④ 比例 ⑤ 反比例 ⑥ 2 乗に比例
⑩ 90°

㋒

⑧

⑪ 180°

㋓

⑫ 45°

⑩

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㋔⑪

P3 【3-9 円の性質 啓林館】

5

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円周角の定理（２） 啓 P.164~165★この４つをおさえよう。
❶

半分になる

❷ 90°になる❸ 同じになる❹ 二等辺三角形になる∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。

(1)

(2)

[解き方]

92°÷2＝46°(3)

109°×2＝218°[答] ∠x＝46°

同じ弧に対する円周角は等しい∠y＝218°∠z＝38°6円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

46°

∠x＝

③

218°

∠ y＝

38°

∠z＝

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P4 【3-9 円の性質 啓林館】

7

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

82°

③

90°

∠x＝

99°

∠y＝

∠z＝

8

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

98°

③

46°

∠x＝

116°

∠y＝

∠z＝

9

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

40°

∠x＝

③

105°

∠y＝

31°

∠z＝

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P5 【3-9 円の性質 啓林館】

10

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円周角の定理（３） 啓 P.164~165
AB が直径のとき，∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
(1)

(2)

A

(3)

C

B
C
y

x
A

B

[解き方]

半円の弧に対する
円周角は 90°

D∠B＝34°，∠C＝90°∠ADB＝90°，∠y ＝180°－(34＋90) °∠ADC＝90°－55°

180°－(90°＋55°)＝35°

＝56°

＝35°
∠ADC＝∠z[答]∠x =35°∠y =56°∠z＝35°11円周角の定理 啓 P.164~165

AB が直径のとき，∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

∠x =

35°

③

∠y =

56°

35°

∠z＝

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P6 【3-9 円の性質 啓林館】

12

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②

BD が直径

③

A

A

D

D

E
O
C

C

B

B

109°

76°

∠ x＝

∠y＝

∠z＝

13

49°

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

②

∠x =

③

54°

∠y =

76°

38°

∠z＝

14

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

BC は直径

∠x =

32°

②

∠y =

③

42°

81°

∠z＝

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P7 【3-9 円の性質 啓林館】

15

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，の大きさを求めなさい。
①

BD は直径

∠x =

③

40°

AC は直径

∠y =

44°

16

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①

AD は直径

②

45°

③

34°

∠ x＝

148°

∠y＝

∠z＝

17

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y，∠z の大きさを求めなさい。
①②③

AB//OD
z

118°

∠x＝

58°

∠y＝

30.5°

∠z＝

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P8 【3-9 円の性質 啓林館】

18

円周角の定理 啓 P.164~165∠x，∠y の大きさを求めなさい。
①②

AC は直径，CD は接線，D は接点

D

C

96°

67°

∠x＝
19

∠y＝

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円周角の定理（４） 啓 P.164~165
右の円 O で，∠C＝112°のとき，∠A を求めなさい。
また、その理由を述べなさい。
[理由] ∠C と∠x は同じ弧に対する円周角と中心角だから，∠x＝112×2＝224°，∠y＝360－224＝136°∠y と∠A は同じ弧に対する中心角と円周角だから，∠A＝136÷2＝68°
20

[答]

68°

円周角の定理 啓 P.164~165
右の円 O で，∠C＝112°のとき，∠A を求めなさい。また、その理由を述べなさい。

∠C と∠x は同じ弧に対する円周角と中心角だから∠x＝112×2＝224，∠y＝360－224＝136∠y と∠A は同じ弧に対する中心角と円周角だから，∠A＝136÷2＝68
∠A＝

68°

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P9 【3-9 円の性質 啓林館】

21

円周角の定理 啓 P.164~165
1
右の図のように，中心 O が∠APB の内部にある場合，∠APB＝ ∠AOB になることを証明
2
しなさい。

右の図のように，点 P と中心 O を通る直線 POQ をひくと△OPA と△POB は二等辺三角形になる。
三角形の内角と外角の性質より∠AOB＝∠AOQ＋∠BOQ＝(∠OPA＋∠OAP)＋(∠OPB＋∠OBP)＝2∠OPA＋2∠OPB＝2(∠OPA＋∠OPB)＝2∠APB
したがって，∠APB＝

1
∠AOB
2

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P10 【3-9 円の性質 啓林館】

22

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166★

等しい弧に対する円周角は等しい。

★1 つの円で，弧の長さは，等しい弧に対する中心角は等しい。
⌒⌒
AB＝CD ならば，∠AOB＝∠COD

その弧に対する円周角の大きさに比例する。
⌒⌒
AB＝2 CD ならば，∠APB＝2∠CQD∠APB＝∠CQD

次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
(1) AB＝BC＝CD(2) 2AB＝BC

[解き方]
⌒ ⌒
AB
＝CD

⌒ ⌒
2AB＝BC⌒ ＝BC⌒(3) 2AB

⌒ ＝BC
⌒
2AB

x：30＝1：1

x＝66÷2x＝78÷2÷2

x＝30

＝33

＝19.5

∠x＝33°∠x＝19.5°

y＝2x
y＝60

[答] ∠x＝30° , ∠y＝60°

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P11 【3-9 円の性質 啓林館】

23

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒⌒⌒ ＝⌒ ＝ ⌒
① AB
② 2AB
＝BC
BC CD

30°

∠ x＝
24

60°

∠ y＝

∠x＝

33°

③

⌒ ＝BC
⌒
2AB

19.5°

∠x＝

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y，∠z の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒
⌒ ⌒
⌒
⌒
⌒
① AB＝CD② 3AB＝BC③ AB＝BC

z

53°

∠x＝

∠y＝

15°

∠z＝

53°

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P12 【3-9 円の性質 啓林館】

25

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x，∠y の大きさをそれぞれ求めなさい。
⌒ ⌒① AD＝BC・AC は直径
②

③

AC＝BC

A

x

C

O

y

y
B

68°

∠ x＝

34°

∠y＝

∠x＝

18°

26

∠x＝

240°

∠y＝

30°

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166
次の∠x の大きさを求めなさい。
⌒ ⌒
＝BC
AD
∠BCD＝180°－(37°＋32°)＝111°

AD＝BC より
∠ACD＝37°∠x＝111°－37°＝74°74°27

等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166⌒ の長さが等しいこと⌒ ，BD
次の図のように，1 つの円で，平行な弦 AB，CD にはさまれた ACを証明しなさい。

AD を直線で結ぶ。
AB // CD より，錯角は等しいから∠ADC＝∠BAD
等しい円周角に対する弧は等しいから

AC＝BD

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P13 【3-9 円の性質 啓林館】

28

⌒ ⌒次の図で，∠CFD＝27°，AB：CD＝5：3 のとき，等しい弧に対する円周角 啓 P.165～166∠AEB の大きさを求めなさい。

5：3＝x：27
3x＝135
x＝45

45°
29

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円周角の定理の逆 啓 P.167～169★円の内部と外部
円 O の円周上に 3 点 A，B，C がある。直線 AB について，点 C と同じ側に点 P をとるとき，∠APB と∠ACB の大小は，P の位置により次のようになる。
❶ 点 P が円周上に❷ 点 P が円の内部にあるとき❸ 点 P が円の外部にあるとき→∠APB＝∠ACB→∠APB＞∠ACB

あるとき→∠APB＜∠ACB★円周角の定理の逆上の❶～❸から，∠APB＝∠ACB ならば，点 P は円 O の周上にあることがわかる。
Pしたがって，次の円周角の定理の逆が成り立つ。
Q
4 点 A，B，P，Q について，P，Q が直線 AB の同じ側にあって，∠APB＝∠AQB
ならば，この 4 点は１つの円周上にある。
右の図の 4 点 A，B，C，D は，同じ円周上にあるか答えなさい。また∠x を求めなさい。
[解き方] 2 点 A，D は直線 BC について同じ側にあり，∠BAC＝∠BDC であるから，円周角の定理の逆により，

4 点 A，B，C，D は 1 つの円周上にある。このとき，⌒ に対する円周角であるから，∠x＝∠CAD＝30°∠x はDC[答] 円周上にある。∠x＝30°

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O
A

B

P14 【3-9 円の性質 啓林館】

30

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
右の図は，4 点 A，B，C，D は，同じ円周上にあるか答えなさい。また∠x を求めなさい。

2 点 A，D は直線 BC について同じ側にあり，∠BAC＝∠BDC であるから，円周角の定理の逆により，⌒ に対する円周角であるから，∠x＝∠CAD＝30°∠x はDC30°

円周上にある。

∠x ＝31

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
次のうち，４点 A，B，C，D が同じ円周上にあるものをすべて選び，記号で答えなさい。
㋐

㋑

㋒

㋓

㋐

円周角が同じだから
32

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
右の図で，4 点 A，B，C，D が同じ円周上にあるためには，∠x，∠y の大きさは何度でなければならないか，求めなさい。
等しくなければならないから，∠x＝50，
∠y＝52

50°

∠x＝

∠y＝

52°

33

円周角の定理の逆 啓 P.167～169
次の図のように，△ABC で，頂点 B，C からそれぞれ AC，AB に
垂線 BD，CE をひき，その交点を P とする。このとき，A，B，C，D，E，P のうち同じ円周上にある 4 点をすべて答えなさい。
またその理由も答えなさい。

点 E，D は直線 BC の同じ側にあって，∠BEC＝∠CDB＝90°だから

4 点 B，C，D，E は 1 つの円周上にある。
[4 点]

B，C，D，E

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P15 【3-9 円の性質 啓林館】

34

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円の接線の作図 啓 P.173★定理 円外の 1 点から，その円にひいた 2 つの接線の長さは等しい。

AP＝AP′

半径 2cm の円 O の中心から 6cm の距離にある点 A を 1 つとり，点 A を通る円 O の
接線 AP，AP′を作図しなさい。
[書き方]❶

半径 2cm の円をかく❷

円 O の中心からP

6cm の距離にある点 A をとる❸ OA を直径とした円をかく。
❹

その円と，円 O との交点を結ぶ。

P’

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P16 【3-9 円の性質 啓林館】

35

円の接線の作図 啓 P.173
半径 2cm の円 O の中心から 6cm の距離にある点 A を 1 つとり，点 A を通る円 O の接線 AP，AP′を作図しなさい。
❶ 半径 2cm の円をかく❷ 円 O の中心からP

6cm の距離にある点 A をとる❸ OA を直径とした円をかく。
❹ その円と，円 O との交点を結ぶ。

P’

36

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。
[証明] △DAP と△BCP において
∠DPA＝∠BPC（対頂角） ･･･①
∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△DAP∽△BCP
37

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

△DAP と△BCP において
∠DPA＝∠BPC（対頂角）･･･①∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△DAP∽△BCP

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P17 【3-9 円の性質 啓林館】

38

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

△DAP と△BCP において
∠DPA＝∠BPC（対頂角）･･･①∠ADP＝∠CBP（円周角） ･･･②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△DAP∽△BCP
39

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，2 つの弦 AB，CD の交点を P とするとき，△DAP∽△BCP となることを証明しなさい。

それ

40

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図のように，円の 2 つの弦 AB，CD が交わっている。2 つの直線 AD，CB をひいて，その交点を P とするとき，△ABP∽△CDP となることを証明しなさい。

△ABP と△CDP において共通だから，∠APB＝∠CPD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAP＝∠DCP …②①，②より 2 組の角が，それぞれ等しい
よって，△ABP∽△CDP

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P18 【3-9 円の性質 啓林館】

41

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図で，A,B,C,P は円周上の点で，BP＝PC である。また，AP と BC の交点を Q とする。
△ABP∽△AQC となることを証明しなさい。

△ABP と△AQC において同じ弧に対する円周角は等しいから∠APB＝∠ACQ …①

BP＝PC より，等しい弧に対する円周角は等しいから∠BAP＝∠QAC…②①，②より 2 組の角がそれぞれ等しい
よって，△ABP∽△AQC
42

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174⌒⌒
右の図で，AB//CD ならば，AC＝BD であることを証明しなさい。

AD，BC をひく。
AB//CD より，錯角は等しいから，∠ABC＝∠BCD

円周角が等しければ，弧の長さは等しいから，
AC＝BD
43

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174⌒ ⌒右の図で，AC＝BD ならば，AB//CD であることを証明しなさい。

AD，BC をひく。
AC＝BD より，円周角は等しいから，∠ABC＝∠BCD
錯角が等しいから，AB//CD

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P19 【3-9 円の性質 啓林館】

44

円周角の定理を利用した証明 啓 P.174
右の図で，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠CAD です。AB＝10cm，AD＝8cm のとき，線分 CD の長さを求めなさい。
△ADC と△DEC で，仮定より，∠BAC＝∠CAD …①
同じ弧に対する円周角は等しいから，∠BAC＝∠BDC …②①②より，∠CAD＝∠CDE …③
共通より，∠DCA＝∠ECD …④
長さなので負の値はふさわしくない。よって 2

45

5 cm

2 5 cm次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

学びを身につけよう（１） 啓 P.178～179
次の図で，点 A,B,C,D,E,F は，円周を 6 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]⌒
FE をひく。図Ⅱより，DE の中心角は 360÷6＝60°

よって，円周角は 30°(＝∠PFE)⌒
BF の円周角は 60°(＝∠BEF)

図Ⅱ△FPE で，∠FPE＝180－(30＋60)＝90
対頂角は等しいから，∠x＝90
[答]
46

90°

学びを身につけよう 啓 P.178～179
次の図で，点 A,B,C,D,E,F は，円周を 6 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
，円周角は 30°(＝∠PFE)

BF の円周角は 60°(＝∠BEF)△FPE で，∠FPE＝180－(30＋60)＝90
対頂角は等しいから，∠x＝90

90°

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P20 【3-9 円の性質 啓林館】

47

学びを身につけよう 啓 P.178～179
次の図で，点 A,B,C,D,E,F,G,H は，円周を 8 等分した点である。
∠x の大きさを求めなさい。
よって，AB,GH の円周角は 45÷2＝22.5°△APH で，∠x＝180－(22.5×2)＝135°

135°
48

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

学びを身につけよう（２） 啓 P.178～179
次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
[解き方]

円 O の中心から，点 A,B に線をひくと
QA⊥OA，QB⊥OB

四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)
＝122°
⌒
AB
の中心角は 122°

AB の円周角は 61°したがって∠x＝61°[答]61°
学びを身につけよう 啓 P.178～17949

次の図で，AQ，BQ は円 O の接線である。∠x の大きさを求めなさい。
円 O の中心から，点 A,B に線をひくと

QA⊥OA，QB⊥OB
四角形 AOBQ で，∠QAO＝∠QBO＝90°∠AOB＝360°－(90°×2＋58°)∠x＝61°

61°

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P21 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～179

50∠x，∠y の大きさを求めなさい。
△ACP で，三角形の内角と外角の性質から，
y＝26°＋32°＝58°∠DAC＝∠DBC＝32°
三角形の内角と外角の性質から，
x＝58°＋32°
x＝

90°

58°

y＝

学びを身につけよう 啓 P.178～179

51

次の問いに答えなさい。
①

y－x＝a であることを証明しなさい。

△PCA で，三角形の内角と外角の性質より，

a＋x＝y－y＋x＝－ay－x＝a②

x＋y＝b であることを証明しなさい。

DA の円周角より，∠x＝∠B…①△ABQ で，①と三角形の内角と外角の性質より，

x＋y＝a

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P22 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17952

次の図で，A，B，C，D，E，F は円 O の円周を 6 等分する点である。
∠x，∠y の大きさを求めなさい。
AO をひく，∠AOF＝360÷6＝60°∠x＝60÷2
＝30°
∠x＝

30°

60°

∠y＝

学びを身につけよう 啓 P.178～17953

次の図で，∠x，∠y の大きさを求めなさい。
①

BC は直径②∠x＝∠EBC＝40°∠BAC＝∠BDC だから，A,B,C,D は同じ円周上にある。°
よって，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DBC＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°

DC に対する円周角だから，∠x＝∠DBC＝40°

119°

∠x＝

37°

∠y＝

∠x＝

40°

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P23 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17954

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
⌒⌒① AB = CD⌒ ⌒⌒⌒② AC＝CD＝DE＝EB∠AEB＝∠DBC=∠ACB=40°

AC＝CD＝DE＝EB，よって，△BCD において，∠x＝∠ABC＝∠EAB＝∠DAE

30＋40＋40＋x＝180三角形の内角と外角の性質から，∠x＝180－30－40－40△FAB において，3x＝87°，x＝29°

＝70
∠x＝

70°

∠x＝

29°

学びを身につけよう 啓 P.178～17955

次の図で，∠x の大きさを求めなさい。
①

ABCDEF は正六角形② BC は直径

CF は直径だから，∠CBF＝90°

AC をひく，△BCG において，

DC に対する円周角，中心角から，90°＋30°＋x＝180°∠DAC＝58÷2x＝180°－90°－30°
＝60°
∠x＝

60°

＝29°

x＝90＋29＝119°

119°

∠x＝

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P24 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17956

次の円周角を求めなさい。
①

円周の

5
の弧に対する円周角
6

360°×

5 1
× ＝150°
6 2

②

360°×

150°
57

円周の

4
の弧に対する円周角
94 1
× ＝80°
9 280°

学びを身につけよう 啓 P.178～179⌒
右の図で，円周上に△ABC があり，∠ABC の二等分線をひき，辺 AC と AC との交点をそれぞれ P，Q とするとき，△ABQ∽△PAQ であることを証明しなさい。

CQ の円周角だから，∠CAQ＝∠CBQ…①

仮定より，∠CBQ＝∠ABQ…②①，②より，∠ABQ＝∠CAQ(∠PAQ)…③△ABQ と△PAQ で，共通だから，∠BQA＝∠AQP…④③，④より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△ABQ∽△PAQ
学びを身につけよう 啓 P.178～17958

右の図で，2 つの円が 2 点 A,B で交わり，PQRS が 2 つの円周上にあるとき，△AQR∽△APS であることを証明しなさい。

同じ円周上で，AB に対する円周角だから，∠APB＝∠AQB…①∠ARB＝∠ASB…②△AQR と△APS で，①，②より，2 組の角がそれぞれ等しいから，△AQR∽△APS

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P25 【3-9 円の性質 啓林館】

学びを身につけよう 啓 P.178～17959

右の図で，円周上に 3 点 A,B,C がある。AB,BC の中点をそれぞれ P,Q とするとき，
点 B,O,P,Q は同じ円周上にあることを証明しなさい。

B を通る直径をひき，円周との交点を R とする。

また A と R を結ぶ。
∠BAR＝90°△BAR で，BO＝RO(半径)，中点連結定理より，PO//AR
よって，∠BPO＝90°…①
同じようにして，∠BQO＝90°…②①，②から，点 B,O,P,Q は(BO を直径とする)同じ円周上にある60

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円に内接する四角形★4 つの頂点が 1 つの円周上にある四角形を円に内接する四角形という。
がいせつえん

また，その円をその四角形の外接円という。
このとき，次の性質がある。
∠A＋∠C＝180°∠B＋∠D＝180°∠DCE＝∠A
次の図で，∠x，∠y の値を求めなさい。
[解き方] ∠B＋∠D＝180°より，∠x＝180－103＝77°∠DCE＝∠A より，∠y＝88°[答] ∠x＝77°∠y＝88°

61

円に内接する四角形
次の図で，∠x，∠y の値を求めなさい。
∠B＋∠D＝180°より，∠x＝180－103＝77°∠DCE＝∠A より，∠y＝88°
∠x＝

77°

88°

∠y ＝

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P26 【3-9 円の性質 啓林館】

62

円に内接する四角形
次の図において，∠x，∠y の大きさを求めなさい。ただし，②の AC は円 O の直径である。
①②∠x＝180°－104°＝76°

AC は直径だから、∠y は、弧 BD の中心角だから，∠ADC＝90°∠y＝104°×2＝208°

BC の円周角だから、∠BDC＝∠BAC＝39°∠y＝180－(81＋39)＝60°

∠x＝
63

76°

∠y＝

208°

51°

∠x＝

∠y＝

60°

円に内接する四角形⌒ を二等分⌒ ，CA⌒ ，BC次の図で，3 点 A，B，C は円 O の周上の点で，∠ABC＝75°である。AB
する円 O 周上の点をそれぞれ D，E，F とするとき，∠DFE の大きさを求めなさい。
∠DFE＝∠DFB＋∠EFB となる
∠DFB＝

1
1
∠AFB，∠EFB＝ ∠CFB なので
2
2

∠DFE＝

1
1
∠AFB＋ ∠CFB
2
2

＝

1
(∠AFB＋∠CFB)
2＝52.5°

52.5°

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P27 【3-9 円の性質 啓林館】

64

次の hakken.の法則を読んで解き方を覚えなさい。

円と接線★右の図で，∠BAC＝∠CBT
下の図で，直線 T が円の接線であるとき，∠x の値を求めなさい。
[解き方]∠A＝74°△ABC で，∠x＝180－(74＋46)∠x＝60°
[答]

60°

65

円と接線
右の図で，直線 T が円の接線であるとき，∠x の値を求めなさい。
∠A＝74°△ABC で，∠x＝180－(74＋46)∠x＝60°

60°

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P28 【3-9 円の性質 啓林館】

66

啓林館 中３

６章 円の性質

１節 円周角と中心角

hakken.教材

教科書 目次P. 162~163

QR 1~2円周角の定理P. 164~165

QR 3~21等しい弧に対する円周角P. 165~166

QR 22~28

２

P. 167~169

QR 29~33

１

円周角と中心角

円周角の定理の逆QR コード２節 円の性質の利用

hakken.教材

教科書 目次１円の性質の利用

円の接線の作図

P. 173

QR 34~35円周角の定理を利用した証明

P. 174

QR 36~44

P. 178~179

QR 45~59

章末問題
学びを身につけよう
円に接する四角形

QR 60~63

円と接線

QR 64~65

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