第２学年
１連立方程式

連立方程式

１Q

２章

連立方程式とその解

教科書p.40～41ある遊園地には，チケットが2枚で乗れる乗り物と，チケットが1枚で乗れる乗り物があります。
(1) この遊園地で，チケット2枚の乗り物にx回，チケット1枚の乗り物にy回乗ったとして，使っ2x+y=11たチケットの枚数の合計を式で表しましょう。
(2) (1)の式を成り立たせるx，yの値の組を次の表にまとめましょう。

1197531

2x+y=11のように，2種類の文字をふくむ1次方程式を2元1次方程式という。これに対して，3x+5=8のように，1種類だけの文字をふくむ1次方程式を1元1次方程式という。
また，2元1次方程式を成り立たせるx，yの値の組を，2元1次方程式の解という。

問１

遊園地の乗り物に合計7回乗ったとすると，xとyの関係を式に表しましょう。また，その式を成り立たせるx，yの値の組を次の表にまとめましょう。

7問２65432x+y=710

Qと問１の2つの式を同時に成り立たせるx，yの値の組を，x=4表から求めましょう。

y=32x+y=11

2つの2元1次方程式を1組と考えたものを連立方程式または

x+y=7連立2元1次方程式といい，右のように表す。

連立方程式で，2つの方程式を同時に成り立たせるx，yの値の組を，連立方程式の解といい，解を求めることを，連立方程式を解くという。
上の連立方程式の解は，問３次の㋐～㋒の中で，㋐x=5y=4x=4y=3である。

2x+y=16x+y=9㋑の解はどれでしょうか。

x=7㋒

y=2- 1 -x=9y=-2(㋑)

第２学年
１２章

連立方程式

２Q

連立方程式

連立方程式の解き方(1)

教科書p.42～43

ある店でハンバーガー3個とジュース1個を買うと750円，ハンバーガー1個とジュース1個を買うと350 円です。ハンバーガー1個とジュース1個の値段は，それぞれいくらでしょうか。求め方を説明しましょう。
ハンバーガー3個とジュース1個750円から，ハンバーガー1個とジュース1個350円をとると，ハンバーガー2個400円が残る。これで，ハンバーガー1個が200円だとわかる。
ハンバーガー1個とジュース1個が350円で，ハンバーガー1個が200円だから，ジュース1個は150円だとわかる。
ハンバーガー1個200円，ジュース1個150円

問１

次のにあてはまるものを書き入れましょう。
Qは，次の連立方程式を解くことによって，答えを求めることができる。
3x+y=750①x+y=350②

この連立方程式は，①，②の 左辺 どうし， 右辺 どう①しをそれぞれひくと y の項が消え，1つの文字 x だけを② -)ふくむ1元1次方程式を導くことができる。

問２

3x+y=750
x+y=350
2x=400x=200

x=200を①に代入してyの値を求めましょう。また，x=200を②に代入してyの値を求め，2つの結果を比べましょう。
3*200+y=750①

問３②200+y=350

y=750-600

y=350-200

y=150

y=150

同じになる。

同じ店で，ホットドッグ2個とアイスクリーム3個を買うと720円，ホットドッグ2個とアイスクリーム1個を買うと480円でした。ホットドッグ1個とアイスクリーム1個の値段は，それぞれいくらでしょうか。連立方程式をつくってそれを解き，答えを求めましょう。
ホットドッグ1個の値段をx円，アイスy=120を②に代入すると，2x+120=480

クリーム1個の値段をy円とすると，
2x+3y=720 ①2x+y=480

x=180
したがって，x=180y=120②①から②をひくと，2y=240

答

y=120

ホットドッグ1個180円，アイスクリーム1個120円

- 2 -

第２学年
１２章

連立方程式

連立方程式

２

連立方程式の解き方(2)

教科書p.44

加減法
問１

次のにあてはまるものを書き入れましょう。
2x+y=13 ①
x-y=5②を解きましょう。

①，②の 左辺 どうし， 右辺 どうしをそれぞれ 加える と，2x+y=13①+)②x-y= 5
3x=18x=6x= 6 を①に代入すると，
2* 6 +y=13

答

y= 1

x= 6
y= 1

文字yをふくむ連立方程式から，yをふくまない1つの方程式をつくることを，yを消去するという。

問２

次の連立方程式を解きましょう。
(1)3x-y=2(2)

x+y=6x+y=3

上の式を①，下の式を②として①と②上の式を①，下の式を②として①からを加えると，②をひくと，4x=8

3y=6x=2

y=2x=2を②に代入すると，
2+y=6

答

y=4(3)

x+4y=9y=2を②に代入すると，
x=2x+2=3

y=4x=13x-2y=-13(4)-3x+4y=23

答x=1y=22x-y=-4x-y=-1

上の式を①，下の式を②として①と②上の式を①，下の式を②として①からを加えると，②をひくと，

2y=10

x=-3

y=5x=-3を②に代入すると，x=5を①に代入すると，
3x-2*5=-13x=-1答-3-y=-1x=-1

y=-2

y=5- 3 -答

x=-3y=-2

第２学年
１

連立方程式

連立方程式

２問１２章

連立方程式の解き方(3)

次の教科書p.45にあてはまるものを書き入れましょう。
x+3y=700 ①
2x+y=600 ②①* 2②を解きましょう。

2x+6y=1400-)

2x+ y= 600
5y = 800
y= 160y= 160 を②に代入すると，
2x+ 160 =600x= 220
問２答

x= 220y= 160

問１の連立方程式を，yを消去して解きましょう。
②*3から①をひくと，5x=110
x=220x=220を②に代入すると，2*220+y=600
y=160

問３

答

x=220
y=160

次の連立方程式を解きましょう。
(1)

2x-3y=12(2)3x+y=75x-8y=22
上の式を①，下の式を②として①*2から②をひくと，x=-2x=-2を①に代入すると，
3*(-2)-4y=10
x=-2
答
y=-4
y=-4

上の式を①，下の式を②として①と②*3を加えると，11x=33
x=3x=3を②に代入すると，
3*3+y=7
x=3
答
y=-2
y=-2(3)3x-4y=10-2x+3y=-9
4x-5y=15
上の式を①，下の式を②として①*2と②を加えると，y=-3
y=-3を②に代入すると，4x-5*(-3)=15x=0
答
x=0y=-3- 4 -第２学年
１連立方程式

連立方程式

２問１２章

連立方程式の解き方(4)次のにあてはまるものを書き入れましょう。
2x-3y=-7 ①
3x+2y=-4 ②問２教科書p.46を解きましょう。

①* 24x-6y=-14②* 3+ ) 9x+6y=-12
13x= -26

x= -2

x= -2 を②に代入すると，3*( -2 )+2y=-4
y= 1

x= -2
y= 1

問１の連立方程式を，xを消去して解きましょう。
①*3から②*2をひくと，-13y=-13y=1y=1を①に代入すると，
2x-3*1=-7x=-2

問３

答

x=-2

答

y=1

次の連立方程式を解きましょう。
(1)

2x+3y=8(2)3x-4y=-5
上の式を①，下の式を②として①*3から②*2をひくと，
17y=34y=2y=2を①に代入すると，
2x+3*2=8x=1
答
x=1
y=2(3)

7x-3y=-5

4x+5y=2
上の式を①，下の式を②として①*4から②*3をひくと，-23y=46y=-2
y=-2を①に代入すると，
3x-2*(-2)=13x=3
答
x=3
y=-2(4)6x-5y=33x-2y=13

上の式を①，下の式を②として①*5から②*3をひくと，
17x=-34x=-2x=-2を①に代入すると，
7*(-2)-3y=-5x=-2
答
y=-3
y=-3

4x+8y=7
6x+5y=7
上の式を①，下の式を②として①*3から②*2をひくと，
14y=7
1y=21y= を①に代入すると，
2
1
34x+8* =7x=24
答
3x=y=142

どちらかの文字の係数の絶対値をそろえ，2つの式の左辺どうし，右辺どうしを加えたりひいたりすることによって，その文字を消去する連立方程式の解き方を加減法という。
- 5 -

第２学年
１２章

連立方程式

連立方程式

２連立方程式の解き方(5)教科書p.47～48

代入法
問１

次のにあてはまるものを書き入れましょう。
y=x-1①x+2y=7 ②を解きましょう。

①を②に代入すると，
x+2( x-1 )=7x+2x-2=73x = 9x= 3x= 3 を①に代入すると，
y= 3-1

答= 2
問２x= 3y= 2

次の連立方程式を解きましょう。
(1)

x=3y+1(2)x+2y=11x-2y=9y=x-3上の式を①，下の式を②として①を②上の式を①，下の式を②として②を①に代入する。に代入する。

3y+1+2y=11x-2(x-3)=9

y=2

x=-3

y=2を①に代入すると，
x=3*2+1=7(3)答

x=-3を②に代入すると，
x=7

y=-3-3y=2=-6

y=7x-2(4)

y=4x+1

答

x=-3
y=-6x-3y=5
2x+y=3

上の式を①，下の式を②として①を②上の式を①，下の式を②として①をに代入する。

x=3y+5 と変形し，②に代入する。

7x-2=4x+12(3y+5)+y=3

x=1

y=-1

x=1を①に代入すると，
y=7*1-2=5

答

y=-1を②に代入すると，
x=1

2x+(-1)=3

y=5x=2答

x=2
y=-1

一方の式を他方の式に代入することによって，1つの文字を消去する連立方程式の解き方を代入法という。
- 6 -

第２学年
１２章

連立方程式

２Q

連立方程式

連立方程式の解き方(6)教科書p.48

次の連立方程式を，加減法と代入法の2つの方法で解き，その解を比べましょう。どちらの解き方の方がよいと思いますか。
2x+3y=4 ①
x-y=2②加減法

代入法①から②*2をひくと，②をx=y-2と変形して，①に代入する。

5y=02(y-2)+3y=4y=0

5y=0y=0を②に代入すると，
x-0=2

答

x=2

y=0
x=2

y=0を②に代入すると，y=0

x-0=2x=2

答

x=2y=0

どちらで解いても解は同じになる。
(例)この問題は，代入法で解くには式を変形しなければいけないので，加減法の方が解きやすい。
問題によって，やりやすい方法はちがう。

問２

次の連立方程式を，適当な方法で解きましょう。
(1)

3x+y=7(2)x+2y=9上の式を①，下の式を②として① *2 から②をひくと，5x=5x=1x=1を①に代入すると，
3*1+y=7y=4

答

x=1
y=4x+3y=3x=-y+2
上の式を①，下の式を②として②を①に代入すると，-y+2+3y=3
1y=2
1
y=2 を②に代入すると，
1
3x=--+2x=22
答
3
1=y=22連立方程式は，加減法で解いても，代入法で解いてもよい。

- 7 -

第２学年
１２章

連立方程式

連立方程式

２

連立方程式の解き方(7)教科書p.48～49

いろいろな連立方程式
問１

次の連立方程式を解きましょう。
2(x-y)-x=8(1)5x-(3x-y)=1x-2y=8式を整理すると，3(x+2y)=2(x-3)(2)

y=4-xx+6y=-6式を整理すると，2x+y=1

y=4-xx=2解を求めると，x=6解を求めると，y=-3

問２次のにあてはまるものを書き入れましょう。
11-x+-y=1 ①23を解きましょう。
x+y=4②①*6 3x+2y=6②* 2③x= -2 を②に代入すると，

3x+2y=6③- ) 2x+2y=8x

問３y=-2次の連立方程式を解くには，-2 +y=4= -2y= 6x+y=6しょうか。また，その方法で5x+2y=15解を求めると，

x+y=6x=1
y=50.5x+0.2y=1.5
問４次の連立方程式を，係数を整数に直してから解きましょう。
8x-3y=90.2x+0.3y=0.5
1y(1)
(2)
--x+-=26
2x+5y=-1
2x+3y=58x-3y=9x+5y=-1-x+3y=12解を求めると，

x= -2
y= 6

文字の係数を整数にするために，下の式の両辺を10倍にする。

どんなくふうをすればよいで解を求めましょう。

答

x=4解を求めると，

y=-1

x=3
y=5- 8 -第２学年
１２章

連立方程式

連立方程式

２連立方程式の解き方(8)教科書p.50

連立方程式2x+3y=x+y=2のような，A=B=Cの形の連立方程式は，次の㋐，㋑，㋒のうちのどれかの組み合わせをつくって解く。

A=B

㋐

問１

㋑

A=C

A=B
B=C

A=C

㋒

B=C

上の連立方程式2x+3y=x+y=2を，㋐，㋑，㋒の形に直して解きましょう。
㋐㋑
2x+3y=x+y

2x+3y=x+y

2x+3y=2x+y=2整理すると，整理すると，

x+2y=0x+2y=02x+3y=2x+y=2x=4解を求めると，x=4解を求めると，

y=-2y=-2㋒
2x+3y=2x+y=2x=4解を求めると，

y=-2

問２次の連立方程式を解きましょう。
(1) 2x-y=-3x+y=1(2) 3x+2y=5+3y=2x+11

2x-y=1

3x+2y=5+3y-3x+y=1

3x+2y=2x+11解を求めると，

x=-2整理すると，

y=-5

3x-y=5x+2y=11解を求めると，

x=3y=4- 9 -

第２学年
１２章

連立方程式

２１

連立方程式

確かめよう

教科書p.50

2元1次方程式x+y=11…①，x-y=5…②について，下の(1)，(2)にあてはまるものを，次の㋐～㋓の中から選びましょう。

x=7㋐

㋑

y=2x=2㋒y=7x=6y=5(1) ①，②の解はそれぞれどれでしょうか。
①( ㋒，㋓ )②( ㋐，㋓ )(2) ①，②を連立方程式と考えたとき，その解はどれでしょうか。
(２㋓)

次の連立方程式を解きましょう。
(1)

(3)

x-3y=4x+3y=10(2)2x+5y=-8
4x+3y=12x=7x=6y=1

y=-4

2x-3y=7
3x+2y=4(4)2x+y=-9x=3y-1

x=2

x=-4

y=-1

y=-1- 10 -㋓

x=8y=3