やさしい伝熱の話

1やさしい伝熱の話

・熱と温度・熱伝達の基礎
・熱伝導の基礎

2

熱と温度

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熱と温度の関係についての私の勝手なイメージ

・熱によって物質の温度が上昇する。
→ 熱エネルギーがその物質に渡され、熱エネルギー自体は「消滅する」というイメージ
・熱は物質内や物質間を移動する。
→ 移動するだけなので、熱エネルギーは「消滅しない」というイメージ4熱による温度上昇
・物体に付与される熱は、顕熱と潜熱に分類される。
・顕熱は物体の温度上昇に、潜熱は物体の状態変化に、それぞれ使われる。
・発熱する加熱壁面内を上方向に通過する流体の温度分布は右図のようになる。

蒸気

蒸気＋水
飽和温度
水温度
5

顕熱の例
・熱エネルギーによる温度上昇の大きさは物質の定圧比熱によって決まる。
・𝑞[W]の発熱がある加熱壁面内を通 𝑞[W]
過する流体の出入口温度差∆𝑇は、流体の質量流量を𝑚[kg/s]、比熱を𝐶[J/kg/K]とすると、𝑚𝐶∆𝑇 = 𝑞から得られる。

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潜熱の例（１）
・注射の前に皮膚にアルコールを塗ったらひんやりする。
・ビールを急いで冷やすために濡らしたキッチンペーパーに巻いて冷蔵庫に入れる。
・冷たいビールを外に出したままにすると、缶表面に水滴が生じて、ビールがぬるくなる。
・ガスコンロの使用後に取り外したガスボンベが冷たい。

・打ち水によって撒かれた水の気化で周囲の温度が下がる。

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潜熱の例（２）・かいた汗が乾くことによって体温が下がって風邪を引く。
・風呂上がりに髪を濡れたままにしたので、頭の表面で水が乾くことで体温が下がり、やはり風邪を引く。
・体温を下げるために、犬が舌を出す。
・寝苦しい夜に、凍らせたペットボトルを枕元に置くことによって、眠れるようにする。

8

減圧沸騰
・高温高圧の水が密閉容器内に蓄えられているとする。
・この容器の体積を瞬時に増やすと、容器内の圧力が低下する。
そのため、沸点が低下し、水の温度よりも低くなると容器内の水が沸騰を始める。
・沸騰により、水からエネルギーが潜熱として奪われることにより、水の温度が低下し、沸騰は停止する。

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熱伝達の基礎10断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。
なお、これらの値は一定であるとする。

𝑄

11

断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑄

物体の外側が完全に断熱されているとしたとき、時間とともに物体の何がどう変わっていくだろうか？

12断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑄

物体の外側が完全に断熱されているとしたとき、時間とともに物体の何がどう変わっていくだろうか？
→ 温度が増加していく。
では、温度はどのように変わっていくだろうか？
13

断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑄

物体の外側が完全に断熱されているとしたとき、時間とともに物体の何がどう変わっていくだろうか？
→ 温度が増加していく。
では、温度はどのように変わっていくだろうか？
→ 時間とともに一次関数的に増加していく。

14

断熱下での発熱

𝑇

比熱：𝐶[J/kg/K]
密度：𝜌[kg/cm3]
体積：𝑉[cm3]
出力密度：𝑄[W/cm3]
時刻0から𝑡[sec]までの発熱量は𝑄𝑉𝑡[J]でそれが全て物質の温度上昇Δ𝑇に使われるとするならば、

𝑇!

𝐶𝑉𝜌𝛥𝑇 = 𝑄𝑉𝑡
より、

𝑄
𝑇 − 𝑇! = Δ𝑇 =𝑡𝐶𝜌𝑡15断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。
微小時間∆𝑡における発熱量は𝑄𝑉∆𝑡[J]である。
一方、 ∆𝑡における温度上昇を∆𝑇としたとき、この温度上昇に必要な熱量は𝐶𝜌𝑉∆𝑇[J]である。

𝑄

従って、𝐶𝜌𝑉∆𝑇 = 𝑄𝑉∆𝑡であることが分かり、以下の微分方程式が得られる。
𝑑𝑇(𝑡)
∆𝑇
𝑄𝑉
= lim
=
∆#→!
𝑑𝑡
∆𝑡 𝐶𝜌𝑉%

よって、 𝑇 𝑡 = &' 𝑡 + 𝐷となり、 𝑇 0 = 𝑇!であるとするならば、
𝑇 𝑡 =%𝑡 + 𝑇!となり、温度が一次関数状に増加することが分かる。
&'16

熱が逃げる条件での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？

17

熱が逃げる条件での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？
→ 発熱量＞除熱量、すなわち𝑄𝑉 > 𝑞𝐴である限りは、温度上昇が続く。
𝑑𝑇(𝑡)𝑄𝑉 − 𝑞𝐴
=𝑑𝑡
𝐶𝜌𝑉

18

熱が逃げる条件での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？
→ 発熱量＝除熱量、すなわち𝑄𝑉 = 𝑞𝐴である場合は？

19

熱が逃げる条件での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？
→ 発熱量＝除熱量、すなわち𝑄𝑉 = 𝑞𝐴である場合は、温度は時間に対して不変である。
𝑑𝑇(𝑡)𝑄𝑉 − 𝑞𝐴
==0𝑑𝑡
𝐶𝜌𝑉
20

熱が逃げる条件での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？
→ 発熱量＜除熱量、すなわち𝑄𝑉 < 𝑞𝐴である場合は、温度は減少する。
分子が負になる。
𝑑𝑇(𝑡)𝑄𝑉 − 𝑞𝐴=𝑑𝑡
𝑉𝜌𝐶
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対流熱伝達による伝熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。

𝑞
𝑄

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとしたときにはどうなるだろうか？
物体の外側を流体が流れていて、発熱物体の表面と流体との間で対流熱伝達により熱が伝わっているものとする。このとき、平均熱流束𝑞を記述するためにはどのようなパラメータが必要か？
22

対流熱伝達による伝熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。
ニュートンの冷却法則

𝑄𝑞 = ℎ 𝑇" − 𝑇#𝑇"

𝑇#ℎ：熱伝達係数[W/(cm2K)]
𝑇( ：発熱体の表面温度𝑇) ：外側流体のバルク温度

物体表面から外部に平均熱流束𝑞[W/cm2]で熱が逃げていくとした
ときにはどうなるだろうか？
物体の外側を流体が流れていて、発熱物体の表面と流体との間で対流熱伝達により熱が伝わっているものとする。このとき、平均熱流束𝑞を記述するためにはどのようなパラメータが必要か？
23

対流熱伝達による伝熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。
ニュートンの冷却法則

𝑄𝑞 = ℎ 𝑇" − 𝑇#𝑇#

𝑇#ℎ：熱伝達係数[W/(cm2K)]
𝑇( ：発熱体の表面温度𝑇) ：外側流体のバルク温度

発熱体の温度は空間的に一様に変化するものとし、外側流体の温度𝑇) は一定であるとする。
仮に、最初の状態で、物体の温度が外側流体の温度と同一であったとき、時間とともに物体の温度はどのように変化するだろうか？

横軸に時間、縦軸に温度をとった図をイメージしよう。

24

対流熱伝達による伝熱

𝑇

𝑇#
𝑡
25

対流熱伝達による伝熱

𝑇

𝑇#

𝑄
𝑇#

𝑇#

最初の状態では、物体（表面）と流体との間に温度差が無いので、熱は物体の温度上昇のみに使われる。

𝑡26

対流熱伝達による伝熱

𝑇

𝑇#

𝑄
𝑇#

𝑇 > 𝑇#

時間の経過に伴い物体の温度が上昇し、物体と流体との間の温度差が大きくなる
ため、除熱量が徐々に増加する。従って、物体の温度上昇に使われる熱量が低下し、温度上昇は緩慢になる。

𝑡27

対流熱伝達による伝熱𝑇

最終的に、発熱と除熱が釣り合う温度まで上昇し、その後は温度は一定となる。

𝑇"

𝑄
𝑇#

𝑇#

𝑇"
𝑡28

対流熱伝達による伝熱𝑇

この温度𝑇( はどのように決まる？

𝑇"

𝑄
𝑇#

𝑇#𝑇"
𝑡29

対流熱伝達による伝熱

𝑇

この温度𝑇( はどのように決まる？

𝑇"

𝑇#𝑞𝐴 = ℎ 𝑇! − 𝑇" 𝐴 = 𝑄𝑉を満足する𝑇!

𝑄
𝑇#𝑇"𝑡30

対流熱伝達による伝熱
以下のように微分方程式を立てれば厳密な解が得られる：

𝑇𝑑𝑇(𝑡)𝑄𝑉 − 𝑞(𝑡)𝐴
𝑄𝑉 − ℎ 𝑇(𝑡) − 𝑇) 𝐴==𝑑𝑡
𝑉𝜌𝐶𝑉𝜌𝐶𝑇"

定数𝛼と𝛽を用いて書き直すと、以下となる。

𝑇#𝑑𝑇(𝑡)= 𝛼𝑇 𝑡 + 𝛽𝑑𝑡
これより、𝑇(𝑡)は指数関数と定数の和となることが分かる。

𝑡31

熱伝導の基礎32

熱伝導の基礎
これまでは、発熱体の温度は空間的に一様に変化するものとしていたが、実際には発熱体の内部に温度分布が生じる。
このことを考えるために、この発熱体の内部の微小体積を考える。

𝑞
𝑄33

熱伝導の基礎𝑞

微小体積の、ある表面位置における熱流束𝑞は、その位置での微小面積∆𝐴を（単位時間に）通過する熱量が∆𝑄であるとき、

𝑄∆𝑄𝑞=∆𝐴と書ける。
従って、熱流束は、「単位面積あたりの通過熱量」と理解できる、というのは正しくありません。
34

熱伝導の基礎𝑞⃗

厳密には、熱流束はベクトル量であり、「熱流束ベクトルに対して直交する平面上の」単位面積あたりの通過熱量を示す。

𝑄35

熱伝導の基礎𝑞⃗ 𝑛𝑄

厳密には、熱流束はベクトル量であり、「熱流束ベクトルに対して直交する平面上の」単位面積あたりの通過熱量を示す。
従って、「物体表面の」単位面積あたりの通過熱量は、熱流束ベクト
ルを𝑞⃗ 、物体表面の法線ベクトルを𝑛とすると、 𝑞⃗ . 𝑛 と書ける。

36

熱伝導の基礎𝑞⃗ 𝑛𝑄

このような場合は𝑞⃗ = 𝑛 = 0となり、この表面での通過熱量はゼロである。

厳密には、熱流束はベクトル量であり、「熱流束ベクトルに対して直交する平面上の」単位面積あたりの通過熱量を示す。
従って、「物体表面の」単位面積あたりの通過熱量は、熱流束ベクトルを𝑞⃗ 、物体表面の法線ベクトルを𝑛とすると、 𝑞⃗ . 𝑛 と書ける。

37

熱伝導の基礎𝑛𝑞⃗

𝑄

このような場合は𝑞⃗ = 𝑛 = 𝑞となり、⃗熱流束ベクトルの大きさそのものが「物体表面の」単位面積あたりの通過熱量を示す。

厳密には、熱流束はベクトル量であり、「熱流束ベクトルに対して直交する平面上の」単位面積あたりの通過熱量を示す。
従って、「物体表面の」単位面積あたりの通過熱量は、熱流束ベクトルを𝑞⃗ 、物体表面の法線ベクトルを𝑛とすると、 𝑞⃗ . 𝑛 と書ける。

38

熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛

左図のような場合、この物体表面から漏れていく総熱量はどのように記述されるか？

𝑄39熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛𝑄

左図のような場合、この物体表面から漏れていく総熱量は以下のように 𝑞⃗ . 𝑛 の表面積分で記述される。
/ 𝑞⃗ . 𝑛 𝑑𝐴40

熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛𝑄

左図のような場合、この物体表面から漏れていく総熱量は以下で記述される。
/ 𝑞⃗ . 𝑛 𝑑𝐴

この表面積分は、ガウスの発散定理を用いると、以下の体積積分に置き換わる。
/ 𝑞⃗ . 𝑛 𝑑𝐴 = / ∇ . 𝑞⃗ 𝑑𝑉 = / div 𝑞𝑑𝑉⃗41熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛

熱流束 𝑞⃗ は、フーリエの法則により、温度分布𝑇 𝑟⃗ と以下のように関連付けられる。
𝑞⃗ 𝑟⃗ = −𝜆∇𝑇 𝑟⃗

𝑄

ここで、𝜆は物体の熱伝導率を示す。
以降の議論では、熱伝導率𝜆は物体内で一定値をとるものとする。

42

熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛

熱流束 𝑞⃗ は、フーリエの法則により、温度分布𝑇 𝑟⃗ と以下のように関連付けられる。
𝑞⃗ 𝑟⃗ = −𝜆∇𝑇 𝑟⃗

𝑄

以上より、表面から漏れていく熱の総量は以下で書き直せる。
/ 𝑞⃗ . 𝑛 𝑑𝐴 = / ∇ . 𝑞⃗ 𝑑𝑉= / −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉
43熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛𝑄

表面からの熱の漏れの総量∫ −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉が発熱量∫ 𝑄𝑑𝑉と釣り合っているとき、 以下が成り立つ。
/ −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉 = / 𝑄𝑑𝑉
この式は以下のようにも書ける。
/ −𝜆∇# 𝑇 − 𝑄 𝑑𝑉 = 044

熱伝導の基礎/ −𝜆∇# 𝑇 − 𝑄 𝑑𝑉 = 0𝑞⃗𝑛𝑄

体系を構成する全ての微小領域でこの熱バランスが成り立っているとするならば、以下の式が物体内の全ての位置で成り立つと言える。
−𝜆∇# 𝑇 = 𝑄

これが定常の熱伝導方程式である。

45

熱伝導の基礎𝑞⃗𝑛𝑄

表面からの熱の漏れの総量∫ −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉と発熱量∫ 𝑄𝑑𝑉が釣り合っていないときには、その差分だけ、その位置での媒質の温度が変化する。
∫ −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉 < ∫ 𝑄𝑑𝑉のとき：→ 温度は増加∫ −𝜆∇# 𝑇𝑑𝑉 > ∫ 𝑄𝑑𝑉のとき：→ 温度は減少46熱伝導の基礎
以降では一次元で考える。
横軸が位置、縦軸が温度を示す。

𝑇

初期状態では、発熱物質の温度が外側流体のバルク温度𝑇" と等しいものとして、以降の進展を考えよう。

𝑄

𝑇#
𝑥47

熱伝導の基礎
以降では一次元で考える。
初期状態では、発熱物質の温度が外側流体のバルク温度𝑇" と等しいものとして、以降の進展を考えよう。

𝑄𝑇#

このとき、物体表面と外側流体との間に温度差は無く、物体内の温度勾配も無いので、熱は移動せず、物体の温度上昇のみに使われる。

48

熱伝導の基礎
すると、物体表面と外側流体との間に温度差が生じるため、対流熱伝達による熱の移動が発生し、表面付近での物質の温度上昇は抑えられる。

𝑄

一方、物体内では温度勾配が無いので、熱は移動せず、物体の温度上昇のみに使われる。

𝑇#49

熱伝導の基礎
物体の表面付近では、温度上昇により対流熱伝達がさらに促進され、温度上昇はさらに抑えられる。

𝑄

物体内でも温度勾配が生じはじめ、特に外側では熱伝導による正味の熱の漏れがあるため、その位置での物体の温度上昇が抑えられる。

𝑇#50

熱伝導の基礎𝑄

最終的にはある一定の温度分布をとる。この分布のもとでは、物体内の全ての位置において、発熱量と熱の漏れが釣り合っている状態となっており、熱は温度上昇には使われず、移動するのみとなる。
また、物質内の発熱量と、表面からの対流熱伝達による熱の移動量も釣り合っている。

𝑇# 「熱的な定常状態」とはこのような状態を表している。

51

熱伝導の基礎
ここで、仮に発熱量を𝑄から𝑄′（𝑄$ > 𝑄）に変化させた場合を考えよう。

𝑄′

𝑇#52

熱伝導の基礎𝑄′

ここで、仮に発熱量を𝑄から𝑄′（𝑄$ > 𝑄）に変化させた場合を考えよう。
全ての位置で、熱バランスが崩れ、発熱量＞除熱量となるため、その差分が温度上昇に使われる。
そのため、温度分布は高い側にシフトする。

𝑇# そして、発熱量＝除熱量となる新たな定常状態に落ち着く。

53

54

断熱下での発熱
比熱が𝐶[J/kg/K]、密度が𝜌[kg/cm3]、体積が𝑉[cm3] 、表面積が𝐴[cm2]の物体を考え、それが出力密度𝑄[W/cm3]で発熱しているとする。
微小時間∆𝑡における発熱量は𝑄𝑉∆𝑡[J]である。
一方、 ∆𝑡における温度上昇を∆𝑇としたとき、この温度上昇に必要な熱量は𝐶𝜌𝑉∆𝑇[J]である。

𝑄

従って、𝐶𝜌𝑉∆𝑇 = 𝑄𝑉∆𝑡であることが分かり、以下の微分方程式が得られる。
𝑑𝑇(𝑡)∆𝑇
𝑄𝑉= lim=∆#→!
𝑑𝑡∆𝑡 𝐶𝜌𝑉%

よって、 𝑇 𝑡 = &' 𝑡 + 𝐷となり、 𝑇 0 = 𝑇!であるとするならば、
𝑇 𝑡 =%𝑡 + 𝑇!となり、温度が一次関数状に増加することが分かる。
&'55