三次元映像のフォーラム 「3D映像」 Vol.33 No.4 pp 18 - 38 (2021)

レンチキュラー方式３Ｄディスプレイ

市販レンチキュラー板の曲率半径を計算する (その2 発表資料)

元日本工業大学、元凸版印刷株式会社

山田 千彦

18

はじめに過去

1903 Parallax Stereogram
メガネなしで立体視
1918 Parallax Panoramagram
1960 国内最初のレンチキュラー方式ステレオ印刷製品

現代

アナログ から デジタル 時代 技術進歩
商品化 → 個人向け → 市場拡大
メガネなしで立体視出来る製品 → 市場の認識、拡大に貢献

課題が残っている
未来

立体ＴＶ放送の開始

メガネなしで立体視出来る19

レンチキュラー板の形状
通常使用

レンチキュラー板の外観はシリンドリカルな形をした凸レンズが面状に並んでいる。
その断面形状 曲率半径 = r
ピッチ = p
最適厚さ = t

レンチキュラー板の裏面にl立体合成されrた画像が密着されている。
収束像は細い縦線状のサンプリング画像となる

20

ステレオ印刷製品の幾何学的計算計算式(1/3)
奥行き再現性 (立体感)

xFD
K +xF
xBD
SB =K −xB
S = SF + SB
SF =SF ： 画像面より浮いて見える立体感
SB ： 画像面より沈んで見える立体感21、
202dd

ステレオ印刷製品の幾何学的計算

計算式(2/3)
レンチキュラー形状の幾何学

2a ：視角、

2a = 2 tan −1pt2 n20 = 2 sin −1p2r2d = 2 cos−1p2r20 ：開口角、

2d ：切削角、

d ：切削深さ2 p
d = r (1 − cos0 ) = r − r −  222p  +d 22r = 2dp = 2 2rd − d 222

ステレオ印刷製品の幾何学的計算

計算式(3/3)
立体視領域

23

関与する計算式
最適厚さ ：ｔ を求める式
ｔ（一般式）nt=r
n −1t
N.A.Valyus ： 「STEREOSCOPY」
THE FOCULPRESS 1966

t：厚さｔ（大越式）
t=g ( 0 )n2 −1

x( M ) + r sin 0  + r (1 − cos0 ) 0 = sin −1
M =

02

p2r
f ( M ) − f ( 0 )g ( M ) + g ( 0 )n：屈折率x( M ) = r

r：曲率半径f ( ) = n 2 − sin 2  + cos2：開口角0どちらの式が実用的か ?

g ( ) =n 2 − sin 2  + n 2 cossin 

大越孝敬著「三次元画像工学」
産業図書（株） 197324

確認・最適厚さ
Ⅰｔ（一般式）から最適厚さを計算
ｔ（大越式）から最適厚さを計算

レンチキュラー板
から収束像の幅を測定

スネルの法則から導いた
集光特性

Ⅱ
25

確認（Ⅰ）／最適厚さを計算
ｔ（一般式）

ピッチが小さいN=1.50

ピッチが大きい
最適厚さは屈折率：ｎ 、および曲率半径：ｒ から計算され、開口角に関係なく、一定値となる。
26

確認（Ⅰ）／最適厚さを計算
ｔ（大越式）
レンズ面に入射した光束は樹脂内の厚さ：ｔ の位置に集光する。
通常、樹脂の厚さは ｔ で造られており、レンズとしての焦点距離 ： ｆ はｔ＝ｆg (0 )となる。
x( ) + r sin  + r (1 − cos )t=n2 −1M0

0 = sin −1この時最適厚さ：ｔ は開口角により計算する： 開口角p = 0の時 20 = 0

p = 2rの時 2 0= 180度となるM =02x( M ) = r

0p2r
f ( M ) − f (0 )g ( M ) + g (0 )f ( ) = n 2 − sin 2  + cosg ( ) =n 2 − sin 2  + n 2 cossin 27

確認（Ⅰ）／最適厚さを計算(スネルの法則 1/2)

n1 sin1 = n2 sin2
レンズ面に入射集光位置 = d + y
d =r−r 2 − x2y = x tan(3 + 2 )xsin−1 xr
= x tan cos−1 +rn 

永田真一：「図解レンズが分かる本」（株）日本実業出版社 pp.44 (2004)
28

確認（Ⅰ）／最適厚さを計算(スネルの法則 2/2)
開口角＝80度、および140度の場合
ｔ（一般式）＝３ｒt(スネル)＝t(大越式)＝2.77rｔ（一般式）＝３ｒt(スネル)＝t(大越式)＝2.36rｔ（大越式）＝2.65r

大越式における最適厚さ＝スネルの法則における最適厚さ≠ 一般式における最適厚さ
29

確認（Ⅰ）／まとめ・最適厚さｔ（一般式）から最適厚さを計算
ｔ（大越式）から最適厚さを計算
スネルの法則から導いた
集光特性
樹脂の屈折率：n=1.50

レンチキユラー板の最適厚さは大越式から計算できる30

確認（Ⅱ）／まとめ・収束幅(解像力)
収束幅 [w] ＝ 解像力 [p/w] ＝ 解像力 [本/p]３Ｄ画像用＝開口角の小さなレンチキュラー形状が良い２Ｄ画像用＝開口角の大きなレンチキユラー形状が良い31

市販のレンチキュラー板
カタログに表示されている項目
・用途：3D用・ピッチ：p・厚さ：t・切り替え角度：2a(視角)・材料名：アクリル樹脂

カタログ数値の一例
・用途：3D用・ピッチ：20lpi

何故か、曲率半径：rの表示がない ! ?

( p − 1.2700mm)

・厚さ：t = 3.81 mm
・材料：アクリル樹脂(n = 1.49)

・視角：2a = 29

32

市販のレンチキュラー板の曲率半径を推定する (1/3)(1) 視角を求める計算式から曲率半径を計算する
2a − 2 tan −1pt
2nr = 1.35 mm

大越式から最適厚さを計算する

r = 1.35t = 3.96mm

計算結果はカタログ数値と一致していない➡正しい数値は別にある ! ?

市販のレンチキュラー板の曲率半径を推定する (2/3)(2) カタログにあるレンチキュラー板を顕微鏡でレンチキュラー形状を実測する
曲率半径： r = 1.43 mm
収束位置を測定する

f = t = 3.81+0.23×1.49 = 4.15 mm

収束位置から曲率半径を計算する (大越式)
t(大越式) = 4.15 mm となる曲率半径は、

曲率半径： r = 1.41 mm
34市販のレンチキュラー板の曲率半径を推定する (3/3)(3) 市販品のレンチキュラー板の多くを測定すると、製品の厚さ≒最適厚さの90%程度の物が多い。
この時の曲率半径を大越式で計算すると、
曲率半径：r=1.43 mm(4) 球面収差、等を考慮する
左右から観ているときは、球面収差が上下から観ているときは、楕円形の集光特性が問題になる？

しかし、実質、観察位置による立体画像の劣化は無い様だ！

35

市販のレンチキュラー板の曲率半径を決定する
曲率半径を推定する (1/3, 2/3, 3/3)から曲率半径を r=1.43 mm と決定する。

曲率半径を推定するための計算手順は本文に付録のEXCEL「Ｌ形状／カタログから r を計算」
を使って簡単に計算できる。

36

付記
カタログ上のピッチは金型のピッチであり、レンチキュラー板の製造方法により、実際のピッチを実測すると、やや小さめの値となっている。
製造現場では、実際のピッチにあった画像ピッチで製版、印刷することになる。

< 計算上重要 >レンチキュラー板の最適厚さ ≠ 焦点距離のためｔ/ｎ(ｔ－ｒ) として計算すべき37

「３Ｄ映像」 Vol.33 No.4 (2021)

レンチキュラー方式３Ｄディスプレイ

市販レンチキュラー板の曲率半径を計算する

ありがとうございました© 2021 山田 千彦
38