微積分演習 S[FBA1722,FBA1732]
担当 丹下 基生：研究室 (B715) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）• slido・・・event code # 1744435
URL:https://app.sli.do/event/4TgZpgAn7S6x5QEFHEGchk• 演習には宿題以外にも主体的に取り組むこと。

第 2 回（’23 年 6 月 5 日)関数の極限続き問題 3-9以下の極限を求めよ。
sin 3x(1) lim(2)x→0 sin 5xlog(1 + x)x→0xlim(3)

1lim x 1−xx→1

今日やること連続関数についての理解を深めること。また、微分について理解すること。

§4連続関数の性質

定義. lim f (x) = f (a) が成り立つとき、関数 f (x) は x = a で連続であるという。
x→a定理. 関数 y = f (x) が閉区間 [a, b] において連続とする。このとき、f (a) ̸= f (b) がならば、f (a) と f (b)の中間の実数 y に対して、f (c) = y となる実数 a < c < b が存在する。この定理を中間値の定理という。
定理. y = f (x), y = g(x) が x = a で連続関数とする。c を実数とする。このとき、以下の関数が x = aで連続となる。
(1) f (x) ± g(x)(2) cf (x)(3) f (x)g(x)f (x)(4) g(x) ̸= 0 となる x においてg(x)定理. 関数 y = f (x) と x = g(z) に対して、その合成してできる関数 y = f (g(z)) のことを f ◦ g と書く。
もし、f, g がそれぞれ連続であれば、f (x), g(z) は連続である。
定理. f (x) が x = a で連続であるとき、an → α(n → ∞) となる数列に対して、 lim f (an ) = f (α) とn→∞なる。

定理. an が有界な単調増加であるとする。その収束先を α とすると、α = sup{an |n ∈ N} である。

§4.1

初等関数

多項式関数・指数関数・三角関数・対数関数や、それらの関数の和などのよく知られた関数を初等関数という。これらの関数は連続関数の例である。
例題 4-1多項式による関数 y = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an や多項式関数 f (x), g(x) の商となる関数数という。多項式函数や有理関数は連続関数である。

6f (x)
を有理関g(x)指数関数
α > 0 となる実数とする。指数関数 y = αx を定義する。実数 α に対して、n が正の整数のとき、αn を1α · α · · · α として定義する。n が負の整数の場合 αn = −n とする。また、α が正の実数の場合、実数α1
α n を α の n 乗根として定義する。
問√α 2 はどうやって定義するのか？高校までに習った指数関数の存在を仮定せずに以下の問題を解け。
問題 4-1
α > 0 の場合に指数関数 y = αx を以下のように定義する。問題に答えよ。

(1) 正の実数 x, y と任意の自然数に対して以下が成り立つことを示せ。
x < y ⇔ xn < y n(2) 任意の正の実数 y と整数 n に対して、y = xn となる実数 x はただ一つ存在することを示せ。y に1対してこのような x のことを y n と表す。
(3) lim xn = ∞ かつ lim xn = 0 を示せ。
x→∞x→0(4) a を正の実数とする。このとき、有理数 r ∈ Q に対して、関数 y = ar が定義できることを示せ。
(5) 正の実数 α に対して、r, r′ を任意の有理数とする。このとき以下が成り立つことを示せ。
α > 1 ならば′r < r ′ ⇔ αr < αr
α < 1 ならばr < r ′ ⇔ αr > αr′

つまり、有理数 r 上の関数において α > 1 なら関数 y = αr は単調増加、0 < α < 1 なら y = αx は単調減少である。

(6) 実数の連続性公理を用いて、正の実数 α に対して、y = αx が定義できることを示せ。
(7) αx は単調増加な連続関数であることを示せ。

問題 4-2x sin πxf (x) =0x ̸= 0x=0とする。関数 y = f (x) は連続であることを示せ。
問題 4-3sin πxf (x) =0とする。関数 y = f (x) は連続ではないことを示せ。

7x ̸= 0x=0§4.2

三角関数の逆関数

定義. sin x, cos x, tan x の逆関数をそれぞれ Arcsin x, Arccos x, Arctan x とする。ただし、定義域、値域は以下のようになる。
関数

定義域y = Arcsin x−1 ≤ x ≤ 1y = Arccos x−1 ≤ x ≤ 1y = Arctan xR

値域
ππ− ≤y≤220≤y≤πππ− ≤y≤22

例題 4-2次を解け。

(a) 次の値を求めよ。
√3(1) Arcsin2(2)( √ )2Arccos −2(b) 次の方程式を解け。
√(1) Arcsin x = Arctan 5(2)1Arctan √3(3)Arctan x = Arccos 2x問題 4-4
次の等式を満たす x を求めよ。
54(1) Arcsin x = Arcsin+ Arcsin
13517(2) Arcsin x = Arccos + Arccos
39§5微分の定義

定義. 関数 f (x) の x = a での微分 (もしくは微分係数) とは、

f (x) − f (a)x−aの x → a での極限として定義され、その極限が存在する場合、f (x) は x = a で微分可能という。
いくつかの計算方法
積・商の微分法′′(′(f (x)g(x)) = f (x)g(x) + f (x)g (x),f (x)g(x))′=f ′ (x)g(x) − f (x)g ′ (x)g(x)2合成関数の微分法

f (g(x)) = f ′ (g(x))g ′ (x)逆関数の微分法
y = f (x) に対して、x = g(y) を満たす関数 g(x) が一意に決まるとき、y = g(x) を関数 y = f (x) の逆関数という。このとき、以下の式が成り立つ。

g ′ (x) = df

1dy (f (y))

8§5.1

いくつかの微分の公式 (三角関数・指数関数・逆三角関数・双曲線関数・逆双曲線関数)• 三角・指数関数の微分

微分

sin x

cos x

cos x

− sin xtan x1(cos x)2exex• 双曲線関数の微分

微分sinh xcosh xcosh xsinh xtanh x1(cosh x)2• 逆三角関数の微分

微分Arcsin x1√
1 − x2

Arccos x1−√
1 − x2

Arctan x
11 + x2

微分

Arsinh x1√1 + x2

Arcosh x1√2x −1

Artanh x
1
1 − x2• 逆双曲線関数の微分

例題 5-3以下の関数の微分を逆関数の微分法、合成関数の微分法などを用いて計算せよ。
(1) Arcsin x(2) log sin x(3) Arctan x

宿題 2-1(1)次の極限値を求めよ。

ex − cos xx→0sin xlim(2)(3)(4)

11+xlogを示せ。
21−x1(Artanh x)′ =を計算せよ。
1−x2√1 − x2関数を微分せよ。
1 + x2
等式 Artanh x =宿題 2-2
R 上で定義された関数 f (x) がf (x + y) = f (x) + f (y)を満たすとする。このとき、以下の問題に答えよ。

(1) ある実数 c が存在して、任意の整数 n に対して f (n) = nc が成り立つことを示せ。
(2) 任意の有理数 r に対して、f (r) = rc であることを示せ。
(3) 関数 f (x) が R 上で連続ならば、f (x) = cx であることを示せ。
(Hint：連続関数ならば、収束する任意の数列 an に対して f (an ) が f (α) に収束することを用いよ。)
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