信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

異なる周波数の発振器を付加した結合 van der Pol 発振器系における同期現象
Tran

MinhHai†

大井康丞†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常島２–１
E-mail: †{minhhai,ooi,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

同期現象は、自然界において、ホタルの発光、カエルの鳴き声、心臓の鼓動などあらゆるところで観察される。また、同期現象のアプリケーションは、化学、物理学および生物学の分野で応用されている。本研究では、4 つ以上の van der Pol 発振器を結合したシステムにおいて、一部の発振器が異なる周波数のときに、スター結合された回路の影響と同期現象を調査する。コンピュータシミュレーションにおいて、回路内の発振器が逆相同期であることを確認する。さらに、発振器の周波数の違いが、システムに影響を与え、発振停止現象を観測できた。
キーワード

van der Pol，発振停止，同期現象

Synchronization Phenomena in Coupled van der Pol Oscillators Fitzhughby Adding Diﬀerent Frequencies Oscillator
MinhHai TRAN† , Kosuke OI† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University mimami josanjima 2–1,Tokushima-shi, Tokushima-ken, 105–0123 Japan
E-mail: †{minhhai,ooi,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract The synchronization phenomena are observed at everywhere of the natural world such as firefly luminescences, cry of frogs, cardiac heartbeat and so on. Furthermore, the applications of synchronization phenomena
have also found in chemical, physical and biological fields. This research gives an explanation of the aﬀect in astar-coupled circuit which contains four or more van der Pol Oscillators when a part of them has diﬀerent frequency
from the others. I investigate synchronization phenomena in van der Pol oscillators coupled with star combination.
By computer simulations, I confirm some of oscillators in the system is synchronized at anti-phase. The diﬀerence
frequency of a part of oscillators can make aﬀect system and observe oscillations death.
Key words van der Pol, oscilation death, synchronization

1. ま え が き

ある van der Pol により提案された。彼は、真空管を使用した電気回路内に安定な振動を発見し、これを緩和振動と呼んだ。

現在、同期現象は様々な分野で多くの研究者によって研究さこの振動は現在リミットサイクルとして認知されており、このれており、例として、対称性をもつ非線形素子を含む回路に発回路をリミットサイクルの近傍で動作させると回路は引き込み生する分岐現象とカオス [1]、抵抗で結合された周波数の異なる現象をおこす。van der Pol 方程式は、物理学と生物学の分野発振器にみられる同期現象 [2]、結合カオス回路にみられる同期で広く用いられている。例として、生物学では Fitzhugh は方現象とインターミッテンシーによる同期崩壊 [3] 、非対称に結程式を拡張し、神経細胞の活動電位に関するフィッツフュー-南合されたカオスシステムにおけるパラメータ誤差と同期現象の雲モデルを構成した。また、地震学において断層のモデル化に関係について [4]、大規模多角形発振器ネットワークで観測されも使用されている。

る同期現象とフラストレーションに関する研究 [5]、二つの四面本研究では、私たちはスター結合された３つの発振器に異な体構造を面で共有する結合発振器の同期現象に関する調査 [6]、る周波数の発振器を付加することによって、スター部分の同期などが報告されている。

現象の変化を調査する。次に、さらにもう 1 つ異なる周波数のvan der Pol 発振器は、オランダの電気工学者で物理学者でも発振器を付加し、同期現象の調査を行う。

—1—

2. 4 つの van der Pol 発振器の回路モデル

2L

I2B

2L

xn: 回路の番号. (n: 1-4)

2L

2L

I1A

I2A

I3A 2Lx32y4y3x2x1(2)iR2y2y1

本研究で使用する回路モデルを図１に示す。

x4x3xx42v2

CI3B 2L2LI4Ax1I4B 2Lxx1x33x1R0iR1iR3v1CCR1v3iR4Cv4x2(1)

(3)

(4)

図 1 回路モデル

x3スター結合された３つの van der Pol 発振器に異なる周波数の発振器を付加する。の発振器の周波数を変更 4 番変化させ、x4スター結合における同期現象への影響を調査する。
非線形抵抗の v − i 特性は次の式のように近似する。

iRk = −g1 vk + g3 vk3 .

図2

シミュレーション結果 (ω=1, ε=0.03).

(1)
き、3 番の回路の発振器と 4 番の回路の発振器は発振停止する。

以下の変数変換を用いることにより、√vk =g1
xk , ik =3g3

Cg1yk ,3Lg3√
1
α = 2 , t = L1 Cτ
ω√δ0 = R0

この場合、1 番の回路の発振器と２番の回路の発振器の間に逆√C, δ1 = R1L√C, ε = g1
L

(2)

dτdz3

dτ

 dx4



dτ


 dy4dτ

部の同期現象に影響を与えることがわかる。

(3)

y2y1
√

LC

(4)

=

ε(xk − 13 x3k ) − yk − zk=

1x − 12 δ0 (y1 + y2 + y3 )2 k=

1x2 k=

1x − δ1 (z3 + y4 )2 3=ω 2 (ε(x4 − 13 x34 ) − y4 − z4 )=1x − 12 δ1 (z3 + y4 )2 4x32y4y3x2x1x

正規化された回路方程式は次式で与えられる。

 dxk
 dτ
dyk
dτ

 dzk

相同期が見られる。この結果によって、周波数 ω はスター結合x4x3xx42(k = 1, 2, 3)(k = 1, 2, 3)

x1(k = 1, 2, 4)(5)

ここで、 ε は非線形強度を示す。δ0 、δ1 は結合強度を示す。

3. シミュレーション結果

x1x3x3x1x2x3x4

まず、パラメータを δ0 =0.1、 δ1 =0.3 に設定し、コンピューターシミュレーションを用いて、同期現象と振動の状態を調査する。次に、ω (ω=1 から ω=2）と ε を変更し、同期現象を調図 3 シミュレーション結果 (ω=1.2, ε=0.03).

査する。図２から図 4 までシミュレーションの結果を表す。
図 2 において、 ω =1 と ε=0.03 の場合、４つの発振器はすべて発振する。つまり、回路は ω による影響を受けないことがわかる。3 番の回路の発振器と 4 番の回路の発振器の間に逆相同期が観測できる。図 3 では、ω の値を 1.2 までに増加したと—2—

図４では、4 番の回路の発振器だけ再び発振する。ω を増加させることにより、明確に再発振の現象を見ることができる。

y2y1x2x1xy4y3x32xx1

dz3
dτdxk
 dτ dyk

x42xx1x3

 dxk
 dτ

dyk

dτdzk dτdz2dτ

x4x3

正規化された回路方程式は次式で与えられる。

dτ3x1

=

ε(xk − 31 x3k ) − yk − zk=

1x − 12 δ0 (y1 + y2 + y3 )
2 k

=

1x2 k

=

1x − δ2 (z2 + y5 )2 2=

1x − δ1 (z3 + y4 )2 3=

ωi2 (ε(xk − 31 x3k ) − yk − zk ) (k = 4, 5)(i = 1, 2)=

1x − 12 δz (z3 + yk )(k = 4, 5; z = 1, 2)
2 k(k = 1, 2, 3)(k = 1, 2, 3)(k = 1, 4, 5)(10)

ここで、δ2 は結合強度を示す。

5. シミュレーション結果

x2

この節では、パラメータを ε = 0.03、δ0 =0.1、δ1 =0.3、δ2 =0.3

xと設定し、コンピューターシミュレーションを行い、発振器の3同期現象と振動の状態を調査する。シミュレーション結果は図６から図８までに表す。

x4

図６から図８では、ω2 =1 に固定して、ω1 のみを変化させ、５つの発振器を調査する。ω1 =1、ω2 =1 の場合 3 節と同様、前図 4 Simulation result (ω=2, ε=0.03).のシステムと同じで、ω1 や ω2 はスター結合された回路に影響

4. 5 つの van der Pol 発振器の回路モデルを与えないことが分かる。よって、すべての発振器が発振する。

3 番の回路の発振器と 4 番の回路の発振器、２番の回路の発振
2L

2L I2Bn: 回路の番号 (n: 1-5)iR2器と５番の回路の発振器の間ではは逆相同期が観測される。次2L I5B

I5Aに、ω1 =1.1 に増させ、ω の影響を調査する。3 番の回路の発振

(5)

(2)
v2

C

2C

iR2R2器と４番の回路の発振器は振動は弱まり、振幅も小さくなる。

v5

この場合には、非同期にも観測される。図８では、ω1 を 1.2 ま
2L

2L

I1A

I2A

I3A

2L2L

R0

iR1C

iR3v1(1)

I4A

I3B

Cv3で増加する。ここでは、3 番の回路の発振器と４番の回路の発I4B 2L2L

R1(3)振器が発振停止する。残りの発振器はすべて発振する。
iR4  C1v4y1(4)

図 5 回路モデル

この節では、図５に示す回路モデルを用いて、調査を行う。

x2x1xy3y2x32y5y44xx32x5xx3x5

このシステムでは、前のシステムに 4 番の回路の van der Polx1発振器を付加していた。4 番の回路の発振器と 5 番の回路の発振器の周波数を変化させ、スター結合部における同期現象への影響を調査する。
このシステムでは、周波数 α1 や α2 の値は次式のように表y1(i = 1, 2)

y3y2x2x1x1
ωi2xx324

図 6 シミュレーション結果 (ω1 =1, ω2 =1).

現される。

αi =xx1x32y5y44xx32x5xx3x5(6)x1

非線形抵抗の v − i 特性は次の式のように近似する。
iRk = −g1 vk + g3 vk3 .
(7)

図7xx1xx324

シミュレーション結果 (ω1 =1.1, ω2 =1).

y1y3y2y5y4

次の変数変換を用いることにより、√
vk =g1xk , ik =3g3√
δ0 = R0√C, δ1 = R1
L√C, δ 2 = R2
L√C, ε = g1
Lx2x1

√
Cg1
yk , t = L1 Cτ
3Lg3

(8)

√xx32x1LC

図8x14xx32x3x5xx3x5x4x2シミュレーション結果 (ω1 =1.2, ω2 =1).

(9)—3—図９では、ω1 だけではなく、ω2 も増加させ、調査する。の発振器を付加することによって、スター部分の同期現象の変ω1 =1.2 と ω2 =1.2 に増加させる。2 番の回路の発振器と 3 番の化を調査した。コンピューターシミュレーションを行い、異な回路の発振器の振幅が減少する。しかし、４番の回路の発振器る周波数の影響により、各スター部分の同期現象に変化をもたと５番の回路の発振器は完全に発振停止する。さらに、逆相同らすだけでなく、発振停止現象が起きることを確認できた。し期と非同期も観測される。

かし、5 つの van der Pol 発振器のシステムの場合には、ω1 、ω2

図 10 では、ω1 =2.36 と ω2 =1.6 に増加する。ここでは、4 番の値次第で、発振停止する発振器の数は４つの van der Pol 発の回路の発振器と５の発振器が再び発振する。１番の回路の発振器のシステムに比べて、増加する。そして、４つの van der

振器と２番の回路の発振器、２番の回路の発振器と３番の回路Pol 発振器の場合には、ω が増加しても、3 つ目の発振器は再発の発振器の間の位相差は逆相同期になり、残りの発振器間は非振せずに、発振停止が続ける。さらに、周波数 ω を増加させる同期になる。

ことにより、位相差では、逆相同期と非同期とが観側された。
文

y1y3y2[1] 西尾芳文, 稲葉直彦, 森真作, 斉藤利通,

y5y4献
対称性をもつ非線形素子を含む回路に発生する分岐現象とカオス,
x2x1xx324xx3x2x5xx3

情報通信学会 非線形問題研究会 技術報告, no. NLP87-78,

pp. 33-40, Mar. 1988.

5[2] 瀬濤喜信, 中原大輔, 西尾芳文, 牛田明夫,
x1xx1xx324電子x1抵抗で結合された周波数の異なる発振器にみられる同期現象,

電子情

報通信学会 非線形問題研究会 技術報告, no. NLP94-23,

pp. 91-96, May 1994.

x2[3] 上手洋子, 西尾芳文,

x3

結合カオス回路にみられる同期現象とインターミッテンシーによる同期崩壊,

第 17 回 回路とシステム軽井沢ワークショップ 論文集, pp. 19-23,

x4

Apr. 2004.
[4] 細川康輝, 西尾芳文,

x5

非対称に結合されたカオスシステ

ムにおけるパラメータ誤差と同期現象の関係について,
図9

電子情報通信学会 非線形問題研究会, 回路とシステム研究

シミュレーション結果 (ω1 =1.2, ω2 =1.2).

会 技術報告, no. NLP2010-68, CAS2010-52, pp. 99-104,

Aug. 2010.

y1y3y2[5] 上手洋子, 西尾芳文,

y5y4

大規模多角形発振器ネットワーク

で観測される同期現象とフラストレーションに関する研x2x1xx324xx32x5xx3x究, 第 24 回 回路とシステムワークショップ 論文集, pp.

12-15, Aug. 2011.

5[6] 永井隆博, 粂野紘範, 上手洋子, 西尾芳文,
x1x1x3x4x2x1

二つの四面体構造を面で共有する結合発振器の同期現象に関する調査,

電子情報通信学会 非線形問題研究会 技術報告, no.

NLP2012-17, pp. 89-92, Apr. 2012.

x2x3x4x5

図 10 シミュレーション結果 (ω1 =2.36, ω2 =1.6).

6. ま と め
本研究では、スター結合された３つの発振器に異なる周波数—4—