社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

ネットワークトポロジーが確率によって変化する
結合カオス回路における同期現象の観測
西海利昌†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学工学部 〒 770-8506 徳島県徳島市南常三島 2-1
E-mail: †{nishiumi,uwate,nishio}@tokushima-u.ac.jp
あらまし

本論文ではネットワークトポロジーが確率によって変化する結合カオス回路における同期現象の調査を行う．まず提案手法におけるネットワークトポロジーの変化と，同期状態を確認した．シミュレーションの中で，多用なネットワークトポロジー伴い変化する同期割合に注目した．次に，結合回路における組み合わせのルールの提案し，同期現象への影響の調査を行った．さらに，結合カオス回路を拡張し，同期割合の変化に注目した．
キーワード

同期現象，カオス回路

Synchronization Phenomena of Coupled Chaotic Circuits with
Stochastically-Changed Network Topology
Toshiaki NISHIUMI† , Yoko UWATE† , and Hirohumi NISHIO†† Dept. of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima Tokushima 770-8506 Japan
E-mail: †{nishiumi,uwate,nishio}@tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate the synchronization phenomena observed from coupled chaotic circuits with stochastically changed network topology. First, we research the synchronization state changing network topology. For the simulation,
we focus on synchronization ratio with various coupling topologies. secondly, we propose several coupling rules and investigate the synchronization by the influence of the coupling rules. Furthermore, we expand the coupled chaotic circuits. Then,
we focus on the changing synchronization ratio with various coupling topologies.
Key words Synchronization, Chaotic Circuit

1. ま え が き
非線形現象とは非線形なシステムで観察できる一般的に解析

よって同期現象に与える影響についての調査を行った．

2. 回路モデルが困難で複雑な現象のことであり，これらの現象は工学，気象2. 1 西尾-稲葉カオス回路学，生物学等の多くの分野で確認されている．同期現象は非線

図 1 に本研究で使用するカオス回路を示す．

形現象の中で代表的なものの一つであり，鳥やカエルの合唱，橋の上で歩く人々の歩調，人間の神経細胞の動きなど，身の回りさまざまな所で確認されている [1]-[4]．特に近年，結合カオス回路を用いた同期現象については多くの研究者達の注目を集めており，将来的に工学アプリケーションの開発が期待されている．
本研究では，結合カオス回路におけるネットワークトポロジーと同期現象の関連性について調査を行った．まず初めに，結合状態を確率によって変化させた時のネットワークトポロジーを確認した．次に，ネットワークトポロジーの変化に伴い変化す

図 1 西尾-稲葉回路.

る同期割合に注目した．最後に回路の規模を拡大することに—1—この回路は西尾-稲葉回路と呼ばれている回路モデルである．
この回路は負性抵抗，2 つのダイオードを含んだ非線形抵抗，キャパシタ，2 つのインダクタで構成されている．この非線形抵
抗の I-V 特性は，次に示す (1) 式で示される．なお，パラメー
タ rd は非線形抵抗の傾きである．

vd (i2 ) =rd
VV(|i2 + | − |i2 − |).
2rdrd(1)また，回路のダイナミックは次のような区分線形三次の常微
図 2 提案モデル (n = 5).

分方程式により，表すことができる．

di1= v + ri1
dt
di1
L1= v − vd (i2 )dtdvC= −i1 − i2 .
dt

L1(2)

式 (2) 中の各変数を，以下のように置き換えることによって，
√√
C
L1 C
i1 =V x; i2 =Vy; v = Vz;
L1L2√
α=rC
L1; β=
δ = rd
L1L2√

L1 C; t=L2√(a) ネットワークトポロジー (p = 80%).

L1 Cτ.

式 (2) は正規化され，以下のような式 (3) が得られる．

ẋ = αxi + ziẏ = z − f (y)ż = −xi − βyi − βy(3)また，式中の f(y) は次のように記述できる．

f (y) =11
δ(|y + | − |y − |).
2δδ(b) 位相差 (p = 80%).

(4)
図3

次に，カオス回路を結合した場合，以下のような式 (5) が得られる．

合を定量的に測るために，同期割合を以下の式 (6) に示した．

ẋ = αxi + zi|z M − zN | < 0.1.

ẏ = zi − f (y)ż = −xi − βyi − γi j

シミュレーション結果 (p = 80%).

n∑(zi − z j )(M, N = 1, 2, · · · , 5)(6)M は回路番号であり， N は回路 M に接続された回路番号で(5)ある．

j=1(i, j = 1, 2, · · · , n)

3. 同 期 現 象

上式において i j は回路番号であり，γi j は回路間の結合強度を

3. 1 提案モデルにおける同期割合の変化表す．

本章では，ネットワークトポロジーの変化を τ=100, または2. 2 提案モデル

τ=1500 ごとに変化させた時の同期割合の変化について調査を

図 2 に，本研究で用いた回路モデルを示す．5 つの西尾-稲行なった．なお τ=1500 はシミュレーションにおいて同期状態，葉回路を，それぞれ抵抗を介して結合させている．シミュレーあるいは非同期状態のいずれかに落ち着く状態である．図 4 にションにおける時間の経過と共に，結合状態 (結合しているか，シミュレーション結果を示す．図 4 における横軸は各結合にお切断しているか) を各結合ごとに確率によって変化させる．我々ける切断確率，縦軸は p = 10% ごとに 100 回トポロジーを変は結合の切断確率を (= p) と定義した．例を挙げると p = 80%化させた際の同期割合の平均を示している． 結果から， p の増の場合，結合回路の状態と位相差はそれぞれ図 3(a) と，(b) の加に伴い，同期割合は同期状態から非同期状態に変化している

ように示される，シミュレーションにおいて， p が 10%増加すことが分かる．また， p = 30% から p = 100% においての同期る度にネットワークトポロジーを 100 回変化させた．

割合は似た結果を示すが，それ以外は異なる結果を示している．

2. 3 同 期 割 合

すなわち，シミュレーションにおいて同期状態，あるいは非同ネットワークトポロジーの変化に伴い変化する同期現象の割期状態のいずれかに落ち着く前にネットワークトポロジーを変—2—

化させると，同期割合は非同期の割合が高くなるという結果が

表1

組み合わせのルール.

得られた．

(a) 結合のペア (Rule A).

図 4 シミュレーション結果 (提案モデル).

(b) 結合のペア (Rule B).

3. 2 組み合わせのルールに基づいた同期現象
本章では，切断する結合にペアを持たした場合における同期割合の変化に注目した．ここで，我々は 3 つの組み合わせのルールを定義した．これをルール A，ルール B，ルール C と呼ぶ．表 1(a)，(b) にルール A，ルール B に対応する組み合わせの結合を明記した．例えばルール A において，回路間の CC1 -CC2 が確率により切断とみなされると，表 1(a) により対応するCC2 - CC5 も切断とみなす．またルール B において CC1 -CC2が確率により切断とみなされると，表 1(b) により対応する CC2- CC3,，CC3 - CC4， CC4 - CC5，CC5 - CC1 も切断とみなされる．ルールＣにおいては，もしどれか一つでも確率で切断するとみなされたら，その他すべての結合は組み合わせにより切断とみなされる．本章において最も重要な点は，シミュレーショ
ン時間全体において結合の切断される時間の合計は各ルール

図 5 シミュレーション結果 (組み合わせのルールに基づいた同期現象).

すべて同一である事である．結合にペアを持たすことによって同期割合の変化に影響がでるかに注目し，シミュレーションを行った．図 5 にシミュレーション結果を示す．結果から，ルール A，ルール B，ルール C すべて同期割合の変化は異なることが分かった．すなわち，対応する結合数の数が多いほど，同期割合は高くなることが分かった．
図 5 の詳細を調査するために，図 6（a）(b) を示した．図 6(a)が p = 50% における同期割合の変化を表しており，横軸がネッ
トワークトポロジーの変化の回数，縦軸が同期割合である．また図 (b) は図 6(a) に対応するネットワークトポロジーを示している．これらの結果から，結合カオス回路における同期割合は回路の結合数に大きく依存し，結合数が同じである場合でも，異なる同期割合を示すことが分かった．

3. 3 提案モデルの拡大
本章では，結合させるカオス回路数を 20 に増やし，同期割合の変化に注目しシミュレーションを行った．また，3.2 で明記したルール C を適用させ，比較，検証を行った．図 8 にシミュレーション結果示す．図 8 から，提案モデルを拡大しても同期割合の変化は似ているが，各切断確率 p において，結合するカオス回路の数が多いほど，同期割合が高いことが結果から得られた．

4. ま と め
本論文では，結合カオス回路の同期現象を用い，ネットワークトポロジーと同期現象の関連性について研究を行った．ネッ
トワークトポロジーが変化させるタイミング，組み合わせのルールを定義する，提案モデルを拡大させる等が与える同期現象への影響をコンピュータシミュレーションを用いて調査し，非常に興味深い結果が得られた．
今後の課題として，我々が提案した確率ネットワークでの知見を用いて，より複雑なネットワークへの適応性の向上を行うことである．さらに，それらの同期現象におけるメカニズムを解明することが挙げられる．

謝辞
本研究の一部は, JSPS 科研費 26540127 の助成を受けたものである．
文

献[1] L.L. Bonilla, C.J. Perez Vicente and R. Spigler, “Time-periodic—3—

(a) 同期割合 (Proposed Model, 50%).

図7

図8[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]
(b) ネットワークトポロジー (Proposed Model, 50%).
図6

シミュレーション結果 (Proposed Model, 50%).

phases in populations of nonlinearly coupled oscillators with bimodal
frequency distributions,” physica D: Nonlinear Phenomena, vol. 113,
no. 1, pp. 79-97, Feb. 1998.
[2] J.A. Sherratt, “Invading wave fronts and their oscillatory wakes are

[9]

[10]

同期割合 (Rule C, 70%).

シミュレーション結果 (提案モデルの拡大).

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—4—