2022年度

茨城キリスト教大学一般選抜入学試験 2 期

年度
年度茨城キリスト教大学入学試験問題
2022
茨城キリスト教大学入学試験問題

数学Ⅰ

数学Ⅰ（2数学Ⅰ（期）
期）
 解答上の注意
解答上の注意  1．解答は解答用紙に記入し，計算式の欄には計算過程を記述しなさい。
．解答は解答用紙に記入し，計算式の欄には計算過程を記述しなさい。
  2．分数で解答する場合，それ以上約分できない形で答えなさい。
．分数で解答する場合，それ以上約分できない形で答えなさい。
33
66と答えるところを， のように答えてはいけません。のように答えてはいけません。
   例えば，例えば， と答えるところを，4488

  3．根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。
．根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で答えなさい。と答えるところを，2√8のように答えてはいけません。のように答えてはいけません。
   例えば，4√2
例えば，4√2と答えるところを，2√8  4.分数の分母に根号を含む場合，分母を有理化して答えなさい。
分数の分母に根号を含む場合，分母を有理化して答えなさい。
   5.根号の中に根号が含まれる場合，そのままの形で答えなさい。
根号の中に根号が含まれる場合，そのままの形で答えなさい。
Ⅰ以下の問いに答えなさい。
以下の問いに答えなさい。
Ⅰ問１
問１ (𝑥𝑥(𝑥𝑥22++𝑥𝑥𝑥𝑥++1)(𝑥𝑥1)(𝑥𝑥22−−𝑥𝑥𝑥𝑥++1)1)を展開しなさい。
を展開しなさい。
問２
問２ 𝑥𝑥𝑥𝑥33−−𝑥𝑥𝑥𝑥2 2++𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑥𝑥𝑥𝑥−−𝑦𝑦𝑦𝑦を因数分解しなさい。
を因数分解しなさい。
11𝑚𝑚𝑚𝑚 問３
問３ √3の小数部分を𝑚𝑚𝑚𝑚とするとき，とするとき， の小数部分の小数部分𝑛𝑛𝑛𝑛の値を求めなさい。の値を求めなさい。
√3の小数部分を|𝑥𝑥|==3𝑥𝑥
問４
問４ 方程式
方程式|𝑥𝑥|3𝑥𝑥−−22を解きなさい。
を解きなさい。

問５
問５ 𝑥𝑥𝑥𝑥のの2次不等式
次不等式𝑥𝑥𝑥𝑥22++𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎++𝑎𝑎𝑎𝑎++33>>00の解がすべての実数であるとき，実数の解がすべての実数であるとき，実数𝑎𝑎𝑎𝑎のとり得る値の範のとり得る値の範   囲を求めなさい。
囲を求めなさい。

Ⅱ 以下の問いに答えなさい。
以下の問いに答えなさい。
Ⅱ
問１
問１ 𝑥𝑥,𝑥𝑥,𝑦𝑦𝑦𝑦を実数とする。
を実数とする。

(1)
  𝑥𝑥𝑥𝑥2 2++3𝑦𝑦
3𝑦𝑦2 2==22のとき，𝑥𝑥のとき，𝑥𝑥のとり得る値の範囲を求めなさい。のとり得る値の範囲を求めなさい。

(2)  (1)のとき，3𝑦𝑦 のとき，3𝑦𝑦2 2++𝑥𝑥𝑥𝑥の最大値と最小値を求めなさい。の最大値と最小値を求めなさい。

問２
問２ O2を中心とし，半径を中心とし，半径11の円に内接する正六角形がある。の円に内接する正六角形がある。
(1)
正六角形の周の長さ  正六角形の周の長さを求めなさい。𝐿𝐿
正六角形の周の長さ𝐿𝐿𝐿𝐿を求めなさい。
1 1を求めなさい。
1(2)を通り，正六角形の一辺を二等分する直線は３本あり，それらと円の交点は６  円の中心円の中心O2を通り，正六角形の一辺の長さを二等分する直線は３本あり，それらと円の交を通り，正六角形の一辺を二等分する直線が円と交わる点を頂点に加えた正個ある。この６個の点と正六角形の６個の頂点を直線で結んでできる正十二角形の周の長  点は６個ある。この６個の点と正六角形の６個の頂点を直線で結んでできる正十二角形の 十二角形の周の長さ𝐿𝐿2 を求めなさい。
周の長さを求めなさい。𝐿𝐿
さ𝐿𝐿2を求めなさい。
21

7

Ⅲ ある市には学校，展望台，動物園，灯台の 4 カ所がある。下図において 4 つの点 A, B, C, D はそれぞれ学校，展望台，動物園，灯台を表している。また，学校と動物園，学校と灯台，展望台と動物園，動物園と灯台の間の直線距離はそれぞれ 7𝑘𝑘𝑘𝑘, 5𝑘𝑘𝑘𝑘, 5𝑘𝑘𝑘𝑘, 3𝑘𝑘𝑘𝑘 であり，∠ADC = 120° であることがわかっている。
このとき，次の問いに答えなさい。

問1
問2
問3
Ⅳ

4 カ所を直線で結んでできる四角形ABCDが円に内接するとき，学校から展望台までの直線距離（ABの長さ）を求めなさい。
4 カ所のそれぞれの場所から等距離にある場所に新たに公園をつくる計画がある。学校と公園の間の直線距離を求めなさい。
展望台から灯台までの直線距離（BDの長さ）を求めなさい。

放物線 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 2 と直線 𝑙𝑙 が 2 点 A, B で交わっており，点Aの 𝑥𝑥 座標は −1 である。また，直線 𝑙𝑙 は 𝑦𝑦 軸と点𝐶𝐶 において交わっている。さらに，三角形OABと三角形OACの面積の比は点Cにおいて交わっている。さらに，三角形OABと三角形OACの面積の比は3:3:1 1である。このとき，次の問である。このとき，次の問いに答えなさい。
いに答えなさい。

BCA
O

問 1 点B の 𝑥𝑥 座標を𝑏𝑏 とする。𝑏𝑏 の値を求めなさい。

2)
問 2 放物線上に2 つの動点
3𝑎𝑎2 )，Q(𝑎𝑎, 0)がある。
放物線上に動点P(𝑎𝑎, 3𝑎𝑎P(𝑎𝑎,がある。ただし，𝑎𝑎は ただし0 ≦ 𝑎𝑎 <0 𝑏𝑏≦を満たすように動く。このとき，三角𝑎𝑎 < 𝑏𝑏 である。このとき，三角形 PAB形の面積
PAB の面積
𝑆𝑆 を，𝑎𝑎𝑆𝑆の式で表しなさい。
を，𝑎𝑎 の式で表しなさい。

問 3 𝑆𝑆 の最大値を求めなさい。

問題は以上で終わりです。
28

2022年度
茨城キリスト教大学一般選抜入学試験 2 期
年度茨城キリスト教大学入学試験

問 1

数学Ⅰ解答用紙（1R）（ 期）

  計算式
計算式

Ⅰ
𝑥𝑥 4 + 𝑥𝑥 2 + 1問１

√3 − 1
2問３

問２
問４

−2 < 𝑎𝑎 < 6問５

(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦)𝑥𝑥 = 1

Ⅱ












60°
   AC2 = AB2 + BC2 − 2 × AB × BC × cos 60°
1222
 7 = 𝑥𝑥 + 5 − 2 × 𝑥𝑥 × 5 × 2 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 − 24 = 00

 (𝑘𝑘𝑘𝑘)
答え     8 (𝑘𝑘𝑘𝑘)
                  答え  したがって，AB = 𝑥𝑥とおいて三角形 ABC に余弦定理を用いると，に余弦定理を用いると，   𝑥𝑥 = 8 (= AB)    四角形 ABCD
ABCDは円に内接しているから∠ABCである．
は円に内接しているから ∠ABC = 180° − ∠ADC = 60° である．

 (𝑥𝑥 − 8)(𝑥𝑥 + 3) = 00(𝑥𝑥 𝑥𝑥 = AB > 00であるから，であるから，



Ⅲ
Ⅲ
余白（計算用に利用してください。）

問１

 問  −√2 ≦ 𝑥𝑥 ≦ √26  9, 最小値 − √2
最大値
412√2 − √3 問 2 計算式
  計算式

  公園を点 P で表すとで表すと AP = BP = CP = DP が成り立つ．
が成り立つ．
 したがって，点 P は四角形 ABCD の外接円の中心であるから，AP の長さは四角形 ABCD のの 外接円の半径である．
外接円の半径の長さに等しい．

 これは，三角形ABC
これは，三角形 ABCの外接円の半径と同じであるから，正弦定理を用いると，の外接円の半径の長さと同じであるから，三角形 ABC に正弦定理を用いると，  AC7√37==
32 sin 60° √3    (𝑘𝑘𝑘𝑘)                   答え                 (𝑘𝑘𝑘𝑘)
  

数学Ⅰ解答用紙（1R）（No.2）（（2 期）
期）
数学Ⅰ解答用紙（1R）（ 期）
問 3問



問 計算式
 計算式


 計算式
BD == 𝑦𝑦とおいて三角形𝑦𝑦とおいて三角形 ABD
ABDおよび三角形 BCDにそれぞれ余弦定理を用いると，
BCDにそれぞれ余弦定理を用いると，
 および三角形  BD

BD×𝑦𝑦とおいて三角形
BD22 == AB
AB22 ++ AD
AD22 −− 22 ××AB
AB×=ADAD× cos
cos ∠BAD∠BAD ABD および三角形 BCDにそれぞれ余弦定理を用いると，
×   {{ BD222222BD == BCBC ++ CD
CD −− 22 ×× BCBC ×× CD
CD2×× coscos ∠BCD∠BCDBD22   { BD2 = AB2 + AD2 − 2 × AB × AD × cos ∠BAD
BD = BC + CD − 2 × BC × CD × cos ∠BCD  が成り立つ．ここで，が成り立つ．ここで，
 が成り立つ．ここで，
cos ∠BCD∠BCD == cos(180°cos(180° −−∠BAD)∠BAD)=−− coscos ∠BAD∠BAD    cos=であるから，    であるから，   cos ∠BCD = cos(180° − ∠BAD) = − cos ∠BAD  55 ×であるから，
= 8822 ++ 5522 −− 22 ×× 88××× cos
cos ∠BAD∠BAD
𝑦𝑦𝑦𝑦22 =222222222𝑦𝑦𝑦𝑦 ==55 ++33 −+22××55××33××cos
cos𝑦𝑦∠BAD∠BAD= 82 + 52 − 2 × 8 × 5 × cos ∠BAD
   {22= 6464 ++ 2525 −− 8080cos
cos∠BAD∠BAD𝑦𝑦 = 5 + 3 − 2 × 5 × 3 × cos ∠BAD
𝑦𝑦𝑦𝑦22 =    {{ 22= 2525 ++ 99 −+ 3030cos
cos∠BAD∠BAD 𝑦𝑦 2 = 64 + 25 − 80 cos ∠BAD
𝑦𝑦𝑦𝑦 =
 { 2𝑦𝑦 = 25 +− 4930 を得る．したがって，
cos ∠BAD=49を得る．したがって，
この 2 つの式からつの式から coscos ∠BAD
∠BAD を消去するとを消去すると
    この
𝑦𝑦𝑦𝑦229=   {{(= BD)= 77 (=BD)
𝑦𝑦 =    この  つの式から cos ∠BAD を消去すると 𝑦𝑦 2 = 49 を得る．したがって，
𝑦𝑦 = 7 (= BD)(𝑘𝑘𝑘𝑘)
答え         77 (𝑘𝑘𝑘𝑘)
                  答え                  答え         7 (𝑘𝑘𝑘𝑘)
ⅣⅣ問１問１Ⅳ



問１

計算式
 計算式


 計算式
三角形 OABOAB と三角形と三角形 OAC
OAC の面積比がの面積比が3: 1 であるから，三角形 OAC と三角形 OBC の面積比は1:の面積比は1: 2
2
三角形3:








 計算式
 計算式


 平面上に３点 D(E( 2, 0 ), Q(をとる．
C( −1, 00 ), D(Q( 𝑎𝑎, 0 ) をとる．
APQDの面積，台形PBEQ の面積をそれぞれ 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 , 𝑆𝑆 とおくと
台形ABEDの面積，台形APQDの面積，台形 PBDQ
とおくと 台形ABDCの面積，台形APQC
  𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆 − 𝑆𝑆 123  である．問１の結果から B( 2, 12 ) , 0 ≦ 𝑎𝑎 < 2 であるから，であるから，





𝑆𝑆1 = (3 + 12) × 3 ÷ 2 =45

2𝑆𝑆2 = (3 + 3𝑎𝑎2 ) × (𝑎𝑎 + 1) ÷ 2 =3 2(𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 + 1)1)2

𝑆𝑆3 = (3𝑎𝑎2 + 12) × (2 − 𝑎𝑎) ÷ 2 =3 2(𝑎𝑎 + 4)(2 − 𝑎𝑎)𝑎𝑎)
2 したがって，したがって，
45 3 23  𝑆𝑆 =− (𝑎𝑎 + 1)(𝑎𝑎 + 1) − (𝑎𝑎 2 + 4)(2 − 𝑎𝑎)
𝑎𝑎)
222
99= − 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎 + 9 22

三角形 OAB と三角形 OAC 2の面積比が3: 1 であるから，三角形と三角形 OBC の面積比は1: 2 である．したがって，OC を底辺とみると高さの比が1:を底辺とみると高さの比が1:2 である．これと点である．これと点の 𝑥𝑥𝑥𝑥 座標が座標が −1−1OACであるである．したがって，OCAA のである
である．したがって，OC を底辺とみると高さの比が1: 2 である．これと点 A の 𝑥𝑥 座標が −1 である
ことから，点 BB の𝑥𝑥の𝑥𝑥 座標は座標は 22 であるである
ことから，点ことから，点 B の𝑥𝑥 座標は 2 である

答え2 2                  答え問 2
問2 （計算用に利用してください。）
余白                  答え 2                  答え

数学Ⅰ解答用紙（No.3）（2 期）123

数学Ⅰ解答用紙
数学Ⅰ解答用紙（1R）（1R）
（
（期）
期）
 

問３
問３
  計算式
計算式
 
9 9 9 9𝑆𝑆 =− −𝑎𝑎 2𝑎𝑎+2 +𝑎𝑎 +𝑎𝑎 9+9 
𝑆𝑆 =2 2 2 22 2
9 9 1 18181
  ==− −(𝑎𝑎(𝑎𝑎− −) )+ +  
2 2 2 2 8 8

余白（計算に利用してください。）
余白（計算用に利用してください。）


ここで，0≦
0 𝑎𝑎≦<
𝑎𝑎 2<であるから，2 であるから，𝑆𝑆 は𝑆𝑆 は
ここで，のときに最大値をとる．求める最大値はのときに最大値をとる．求める最大値は



1 12 2  𝑎𝑎 =𝑎𝑎 = 8181
   8 8         







                  答え答え           