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数学的活動の道標 ①（その２）

前回は，中学や高校での「学び」を「点」ととらえ，それらを結ぶ「学び」が実現できるような話をさせていただきました。今回はその続きであり，基本的な数学的内容がいつからか，高度で実用性が高い「学び」に繋がっているという観点を含め，話を進めていきたいと思います。
それらを具現化すると，たとえば，小学校で習得する「割合」は，中学校における「食塩水」の問題，高校における「漸化式」などへとつなげることができるものであり，逆に，高校で漸化式を学んだ際にこのように遡ることによって，「点」と「点」が結ばれる「学び」が体感できると思います。
「食塩水」の問題は実用的で汎用性が高く，たとえば，薬学部に進学し，いくつかの薬品を調合する際には，これらの「学び」が役に立っているものと実感できるものでしょう。現代は，それらの数量などはコンピュータによって教示（提示）されていることが多いですが，物事のベースにはこのような基本的な「学び」の連続性がともなっていることを，授業のなかでも伝えておいてもよさそうです。そのような観点をもって，「食塩水」の問題でクローズせず，幅広く対応しておく必要があると思います。

例題 12 （以下の設問では，濃度は質量パーセント濃度とする。）〔１〕ある 1 つの容器に，薬 A が均一に溶けこんでいる濃度 a ％の薬品が入っている。ここで，容器に入っている1の質量を取りだしそれを捨て，その代わりに同じ質量の水を容器に入れ5よくかき混ぜ均一にし，これを 1 回の作業とする。この作業をくり返し行うとき，次の問いに答えよ。ここで， n は自然数とし，必要ならば 0.301 < log 10 2 < 0.302 を用いてもよい。
(1) 作業を n 回くり返し行ったとき，容器に入っている薬 A の濃度を a を用いて表せ。
(2) 作業を n 回くり返し行ったとき，容器に入っている薬 A の濃度がはじめてa％以下と10なる最小の自然数 n を答えよ。
〔２〕ある会社が，二酸化炭素を回収できるセメントを開発した。容器 A には二酸化炭素回収
素材 S が均一に溶けこんでいる濃度 25% のセメントが 1000g 入っており，容器 B には二酸化炭素回収素材 S が均一に溶けこんでいる濃度 10 % のセメントが 1000g 入っている。
そこで，容器 B から 250 g を取り出し，それを容器 A に入れてよくかき混ぜ均一にした後，容器 A から 250 g を取り出し容器 B に戻しよくかき混ぜ均一にする。これを 1 回の作業として，この作業をくり返し行う。
この会社では，容器 A と容器 B に溶けこんでいる二酸化炭素回収素材 S の濃度差がはじめて 0.01% 以下になった際に，セメントを販売することにしている。これが実現できるのは，少なくとも何回めの作業を行ったときか。必要ならば log 10 2 = 0 . 301 ， log 10 3 = 0 . 477 を用いてもよい。
1

（ 例題 12 の略解）
〔１〕(1)

作業をする前，容器に入っている濃度 a ％の質量を M 0 g とすると，容器に溶けこんでいる

薬 A の質量 m 0 は

m0 =aM 0 （g）100である。
ここで，この容器からm1 =1の質量を取り出したとき，容器に溶けこんでいる薬 A の量 m 1 は544am0 = $M 0 （g）
55 100であるから，これに取り出した同じ量の水を加え，よくかき混ぜたとき，容器に入っている薬 Aの濃度は44am1M0$
55 100
4$ 100 =$ 100 = a ]%gM0541M0+ M055である。
したがって，1 回の作業によって，容器に入っている薬 A の濃度は4倍になるから，この作業5を n 回行ったとき，その濃度は

d4 nn a （％）
5（答）である。

(2)

作業を n 回くり返し行ったとき，容器に入っている薬 A の濃度がはじめてたとすると，不等式

d4 nan aE
510を満たす最小の自然数 n を見出せばよい。
このとき，両辺に常用対数をとるとn ]2 log 10 2- log 10 5g E -1……

①であり，ここでlog 10 5 = log 1010= 1- log 10 22であるから，①は]3 log 10 2- 1g n E -1

すなわち， 3 log 10 2- 1 < 0 より
2a％以下となっ10nF

1
1- 3 log 10 2……

②である。
このとき， 0.301 < log 10 2 < 0.302 より

1- 0.906 < 1- 3 log 10 2 < 1- 0.903であり，さらにこれより111<<0.097
1- 3 log 10 20.094であるから

11= 10.309g ,= 10.638g
0.0970.094である。
したがって，②より，求める自然数 n の最小値は（答）n = 11である。

〔１〕では，1 つの容器に対し，濃度を薄くするという作業に終始していますが，〔２〕では，入れ替え作業によって，濃度差に焦点を当てています。ここでは，2 つの容器に溶けこんでいる

素材 S の和は，作業回数 n の値に関係なく一定 ]a n + b n = 350g であるから，これを利用することで，一般的な a n , b n も得られます。このような考察が必要なとき，漸化式を学ぶ意義が深まるかと思います。以下の解説では，いきなり n 回めと ]n+ 1g 回めの作業における推移を述べていますが，ハードルが高い場合には，1 回めの作業が終了したときに，それぞれの容器に溶けこんでいる素材 S の質量を把握することもよいでしょう。また〔２〕の設問は，カーボンニュートラルに関連するマテリアル産業にスポットライトを当て考えてみました。夢のセメントかもしれません。
〔２〕n を 0 以上の整数とし， n 回めの作業後における容器 A と容器 B に溶けこんでいる二酸化炭素

回収素材 S の量を，それぞれ a n ]gg, b n ]gg とする。

このとき， ]n+ 1g 回めの作業を考えると，容器 A と容器 B に溶けこんでいる二酸化炭素回収

素材 S の量は，それぞれ

a n+1 = d a n +b n+1 =141]4 a n + b ng
b n n$ =4553111]a n + 4 b ng
b n + d a n + b n n$ =4554であり，これらの辺ごとの差により

a n+1 - b n+1 =3]a n - b ng
5であるから，0 以上の整数 n に対し

3a n - b n = ]250- 100gd

3 n3 nn = 150 d n55である。このとき， n 回めの作業後における容器 A と容器 B の濃度差が 0.01 % 以下になるのは150 d3 nn15$ 100 E
1000100すなわち15 d3 n
1n E5100を満たす自然数 n を見出せばよいから，ここで，両辺に常用対数をとるとlog 10 15+ n log 1031E log 105100]log 10 3+ log 10 5g+ n ]log 10 3- log 10 5g E -2log 10 3+ 1- log 10 2+ n ]log 10 3+ log 10 2- 1g E -2nF

3 . 176= 14 . 3g
0 . 222が得られる。
したがって，容器 A と容器 B に溶けこんでいる二酸化炭素回収素材 S の濃度差がはじめて 0.01% 以下になるのは

15 回め（答）の作業が終わったときである。
少し補足しておくと

a n + b n = 350 ,a n - b n = 150 d3 nn5であるから，これらの辺ごとの和より1 (3 n3 n350+ 150 d n 2 = 175+ 75 d n
255an =]n = 0 , 1 , 2 , gggであり，辺ごとの差によりbn =1 (3 n
3 n
350- 150 d n 2 = 175- 75 d n255]n = 0 , 1 , 2 , gggが得られます。
以上のように，小学，中学，高校での「学び」は，どのような場面でも数学的な観点とその実用的な観点をあわせもち，それらがそのまま社会へ還元され，学びのおもしろさにつながっていると思います。「細切れ」の「学び」が，大きなうねりとなる「学び」につながっていることを実感させたいものではないのでしょうか。

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