中性子減速理論と超多群計算
・減速理論の基礎
・超多群計算の基礎

名古屋大学 工学研究科 山本章夫

1

減速方程式を学ぶ必要性
原子炉内の中性子のエネルギースペクトル形成の基礎
 実効断面積計算(共鳴計算)の基礎
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

2熱中性子炉における中性子のエネルギー
核分裂による発生：～2MeV
 散乱による減速：10-4eV程度まで
 原子炉を構成する分子の熱運動による上方散乱：1eV以下程度で顕著となる


6

5Spectrum

4

3

2

10
1.0E-04

1.0E-02

1.0E+00

1.0E+02
Energy [eV]

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

1.0E+04

1.0E+06

1.0E+083弾性散乱と非弾性散乱
非弾性散乱：中性子が原子核と衝突し、一旦複合核を形成。その後、入射した中性子と(一般的に)別の中性子が複合核から放出される。エネルギーの一部は、原子核の励起に使用される(励起エネルギーは離散的)。重核で重要。100keV～1MeV以上の高エネルギー領域で重要。
 弾性散乱：中性子が原子核と衝突し、そのまま散乱される。全エネルギー領域で重要。力学の二体衝突問題と同じ扱いが可能。中性子の共鳴領域(数keV～1eV程度)で主要な減速の要因。
 中性子減速理論では弾性散乱を主として取扱う。
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

4弾性散乱におけるエネルギー損失

v0 （重心速度)（散乱後中性子速度、重心系)

v'cv'l （散乱後中性子速度、実験室系)

θϕ
入射方向

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

5弾性散乱におけるエネルギー損失

余弦定理から
𝑣𝑣′𝑙𝑙 2 = 𝑣𝑣𝑐𝑐2 + 𝑣𝑣02 − 2𝑣𝑣𝑐𝑐 𝑣𝑣0 cos 𝜋𝜋 − 𝜃𝜃
= 𝑣𝑣𝑐𝑐2 + 𝑣𝑣02 + 2𝑣𝑣𝑐𝑐 𝑣𝑣0 cos 𝜃𝜃(∵ 重心系では𝑣𝑣′𝑐𝑐 = 𝑣𝑣𝑐𝑐 )重心の位置を微分することにより(Lamarsh, 原子炉の初等理論, p.35)
Avlvc =A +1vlv0 =A +1

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

6弾性散乱におけるエネルギー損失


これより
222AvvAv
 l 2l l(v'l ) = cos θ
 +
 +22( A + 1)
 A +1  A +1

()

22+ 2 A cos θ + 1v
A2l(v'l ) =( A + 1) 2
 運動エネルギーを使って上式を書き直す

1 21El = mvl , E 'l = mv'l2
22
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO7弾性散乱におけるエネルギー損失


衝突前後のエネルギーの変化は A2 + 2 A cos θ + 1E 'l = El 
2( A + 1)

以下のパラメータを使用し、若干の変形をする
𝐴𝐴 − 1𝛼𝛼 =𝐴𝐴 + 12, 0 ≤ 𝛼𝛼 ≤ 1

1𝐴𝐴2 + 1
1 + 𝛼𝛼 =,22𝐴𝐴 + 1

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

12𝐴𝐴(1 − 𝛼𝛼) =2𝐴𝐴 + 1 28

弾性散乱におけるエネルギー損失

以下の形となる
1E 'l = El [(1 + α ) + (1 − α ) cos θ ]2
これより、散乱後の中性子エネルギー変化は
最大値

最小値

(E 'l )max = El , (θ = 0)
(E 'l )min = αEl , (θ = π )Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

9弾性散乱におけるエネルギー損失

これまでの導出で得られる重要な結論：弾性衝
突後の中性子エネルギーの最小値は、パラメータαによって決まる。また、このパラメータαは、原子核の質量(amu)のみに依存する。
典型的な核種のα値
水素（A=1)
重水素（A=2)
炭素（A=12)酸素（A=16)
U238（A=238)

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO:0:0.111:0.716:0.779:0.98310弾性散乱後のエネルギー分布
弾性散乱後の中性子のエネルギー分布はE～αEの間に入る。
 では、そのエネルギー範囲で、どのような分布になっているのか?
 以下の式が出発点(以下の導出では、エネル
ギーは全て実験室系、角度は重心系)
1E ' = E [(1 + α ) + (1 − α ) cos θ ]2Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

11

弾性散乱後のエネルギー分布


エネルギーの確率分布関数をP(E→E’)とする。
散乱されてE’～E’+dEのエネルギー範囲に入る中性子は角度θからθ+dθの方向に散乱された中性子。この範囲に中性子が散乱される確率を微分断面積σs(θ)を使って求める。

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

12弾性散乱後のエネルギー分布
微分断面積は、入射粒子の進行方向に対し放出粒子が角度θの方向に現れる断面積。
dϕ
 立体角dΩ dθθdΩ = 1× dθ ×1× sin θ × dϕ = sin θdθdϕθからθ+dθ、0≤ 𝜙𝜙 ≤2πに入る確率′2𝜋𝜋4𝜋𝜋𝑃𝑃(𝐸𝐸 → 𝐸𝐸𝐸)(−𝑑𝑑𝐸𝐸 ) = � 𝜎𝜎𝑠𝑠 (𝜃𝜃) sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 / � 𝜎𝜎𝑠𝑠 (𝜃𝜃)𝑑𝑑𝑑
0= 2𝜋𝜋𝜎𝜎𝑠𝑠 (𝜃𝜃) sin 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝜎𝜎𝑠𝑠

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

4πσ s ≡ ∫ σ s (θ )dΩ13

弾性散乱後のエネルギー分布

以下の式をθで微分する
1E ' = E [(1 + α ) + (1 − α ) cos θ ]2
これより
1dE ' = − E (1 − α ) sin θdθ2
前ページの式と組み合わせると4πσ s (θ )P( E → E ' ) =E (1 − α )σ s

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

14弾性散乱後のエネルギー分布
以上の結果をまとめると
4πσ s (θ )P( E → E ' ) =E (1 − α )σ sP( E → E ' ) = 0



E ' < αE , E < E '特に、重心系で等方散乱の場合 σ s (θ ) = σ s
1
P( E → E ' ) =E (1 − α )P( E → E ' ) = 0



αE < E ' < E

αE < E ' < E

4π

E ' < αE , E < E '重心系・等方散乱の仮定は共鳴エネルギー領域で精度良く成り立つ→超多群計算で使用

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

15弾性散乱後のエネルギー分布


なお、P(E→E’)が確率分布関数であることは以下の式から確認できる。
E
1∫αE P( E → E ' )dE ' = E (1 − α ) ∫αEdE ' = 1E



重心系で等方散乱を仮定できない場合、散乱角と散乱後のエネルギーは相互に依存する。つまり、P(E→E’)は散乱角依存となる。これは、高エネルギー領域(MeV領域)で重要となる(が、幸いにも共鳴エネルギー領域ではその影響は小さい)Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

16弾性散乱による平均エネルギー損失


弾性散乱によって中性子が失う平均的なエネル
ギー量は(重心系で等方散乱の場合)(1 + α )∫αE E ' P( E → E ' )dE ' = E 2E



初期エネルギーに対する割合はE(1 + α )(1 + α )/E =22

たとえば、水素に対しては、平均して半分のエネルギーを失う。

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

17水素中での中性子の減速もっとも取り扱いが単純な減速過程の解析として、水素による減速を取り扱う。
水素の無限均質体系
 エネルギーE0の中性子源(空間分布なし)
 中性子のエネルギー変化のみを考察する


Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO18水素中での中性子の減速エネルギーE～E+dEの範囲の中性子のバランスを計算する。


中性子源から直接入ってくる中性子dE
S
E0

E0～Eまでのエネルギーを持っている中性子
E0dE∫E Σ S ( E ' )φ ( E ' )dE ' E ' 合計してE～E+dEに入ってくる中性子数は
E0dE
dE+ ∫ Σ S ( E ' )φ ( E ' )dE 'S
E'E0 E

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

19水素中での中性子の減速

入ってくる中性子数は散乱により出ていく中性子数と同じである(共鳴エネルギー領域で水素の吸収断面積は小さく無視できる)から
E0dEdE
Σ S ( E )φ ( E )dE = S+ ∫ Σ S ( E ' )φ ( E ' )dE 'E0 EE'



両辺をdEで割るとE 0 Σ ( E ' )φ ( E ' ) dE 'SS
Σ S ( E )φ ( E ) =
+∫
E0 E
E'

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

20水素中での中性子の減速

両辺をEで微分すると
Σ S ( E )φ ( E )d[Σ S ( E )φ ( E )] = −dE
E



一般解は



E0における中性子のバランスからC
Σ S ( E )φ ( E ) =
E

C=S


結局φ (E) =S
ΣS (E)E

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

21水素中での中性子の減速


共鳴エネルギー領域では、水素の断面積はほぼ一定(約20barn）であることから、共鳴エネルギー領域において、中性子のエネルギースペクトルは1/Eに比例する。(1/Eスペクトル)
1φ (E) ∝E

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

22

レサジー(Lethargy)
水素媒質中の中性子束は、1/Eに比例する。すなわち、核分裂エネルギー領域(1MeV)と熱エネルギー領域(1eV)では、単位エネルギーあたりの中性子束は106倍も異なる値となる。
 そこで、レサジーという変数を新たに定義する。
(後で述べるが)単位レサジーあたりの中性子束は、水素媒質中ではほぼ一定値になる。
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

23

レサジー(Lethargy)レサジーの定義
u = lnE0E

ここで、E0は体系内のもっとも高いエネルギー(例えば軽水炉の解析では20MeVなど)とする。従って、レサジーは常に正の値である。
 上式をEで微分するとdEdu = −E

これより[m→kmなどの単位換算と同じ考え方]dE
φ (u ) = −φ ( E )= Eφ ( E )duReactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

24

レサジー(Lethargy)

水素媒質中ではφ (u ) = Eφ ( E ) ∝ C (一定値)

つまり、単位レサジーあたりの中性子束は一定値となる。
65Spectrum

4

3

2

10
1.0E-04

1.0E-02

1.0E+00

1.0E+02
Energy [eV]

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

1.0E+04

1.0E+06

1.0E+0825

レサジー(Lethargy)

一回の衝突あたりのレサジー平均増加量
E
∆u = ξ = ∫ ln  P( E → E ' )dE 'αE
 E' E



重心系に関して等方散乱の場合
Eα1E
ξ=ln dE ' = 1 +ln α∫Eα1−αE (1 − α ) E' 2(A − 1)  A + 1 ξ = 1−lnξ≅

22A



 A −1 

Aが大きい場合
2A+
3
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

26

A>1の場合の中性子の減速
A>1の場合、中性子は衝突によってエネルギーを完全に失うことはない。
 この条件により、重心系で等方散乱を仮定しても、減速方程式を解析的に解くことは極めて難しくなる。
 実際の動力炉では、水素のみならず、酸素や重核種なども減速に寄与している→数値解析(超多群計算の利用)
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

27超多群スペクトル計算
共鳴エネルギー領域の詳細な中性子エネルギー分布を求めるため、超多群計算が利用される。
 超多群計算では、共鳴領域(1keV～1eV)を数万点のエネルギー点に分割し、減速方程式を数値的に解く。
 得られた詳細な中性子エネルギースペクトルを用いて、共鳴領域の平均断面積を求める(実効断面積)
 動力炉の解析では、集合体計算(格子計算)の群定数(100群程度)を準備する際に用いられる。
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

28

超多群スペクトル計算


一般的に以下の仮定を用いる。
弾性散乱のみを考慮(共鳴エネルギー領域では、非弾性散乱の効果は小さい。特に軽水炉の解析では)
 重心系で等方散乱(共鳴エネルギー領域では非等方散乱の効果は小さい)
 各群のエネルギー幅は十分小さく、群内の中性子束および断面積のエネルギー変化は無視できる。
 下方散乱のみを考慮する。(共鳴領域は1eV程度までであり、上方散乱の効果は小さい)
 自群散乱は無視する。


Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

29

超多群スペクトル計算
基礎式
Σ t , gφ g = Sfission
gg −1+ ∑∑ (N kσ S ,k , g ' )φ g 'g '=1 kdE g(1 − α k )E g 'ここで、中性子束は、エネルギー積分された値。
kは異なる核種を示す。

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

30

超多群スペクトル計算
計算の準備
全断面積：NJOYコードなどで計算しておく
235Uな
 核分裂中性子源：代表的な核分裂性核種(例：どの核分裂スペクトル)から計算する
 微視的散乱断面積：NJOYコードなどで弾性散乱断面積の値を計算しておく。
 α：原子量から計算可能 原子数密度：入力値


Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

31

超多群スペクトル計算
計算手順



1群の中性子スペクトルを計算
Σ t ,1φ1 = S1fission
2群の中性子スペクトルを計算

Σ t , 2φ2 = Sfission
2dE2+ ∑ (N kσ S ,k ,1 )φ1(1 − α k )E1k

以下同様
 なお、Kierらが提案した漸化式を用いることで、計算を大幅に高速化できる。(Handbook of Nuclear
Engineering, Chap.9参照)
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

32

超多群スペクトル計算


空間依存性のある場合は、以下の値を固定中性子源として、各群において中性子の空間分布を計算する
g −1dE gfission
Sg+ ∑∑ (N kσ S ,k , g ' )φ g '(1 − α k )E g 'g '=1 k

空間分布は、拡散・輸送理論どちらを用いて求めても良いが、精度と計算時間の観点から衝突確率法が用いられる場合が多い。
 衝突確率法を用いる場合、群ごとに衝突確率を計算するのは時間がかかるので、代表的な断面積に対して衝突確率をあらかじめ計算しておき、それを内挿することで計算時間の短縮を図る。
Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

33

超多群スペクトル計算
PWRガイドシンブル隣接体系における計算例(MOCを用いた超多群計算)
17 9

1.00E+00

0210 81112 1334PWR, 5wt%UO2燃料

1.00E-01

Neutron Flux

56

1.00E-02

領域1領域3領域5

1.00E-03

領域6

1.00E-04

1.00E-05
1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

Energy(eV)

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

34

超多群スペクトル計算
計算例(1eV～10eV拡大)
1.00E+00

Neutron Flux

1.00E-01

1.00E-02

領域1領域3領域5

1.00E-03

領域6

1.00E-04

1.00E-05
4

56

7

8

910Energy(eV)

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

35

まとめ

中性子減速理論
減速理論の基礎
 水素中における中性子の減速
 レサジー

中性子超多群計算

Reactor Physics, Nagoya University, Akio YAMAMOTO

36