信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

シングルリングとダブルリングモデルにおけるカオス伝搬と同期現象
近澤隆啓†

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{chikazawa,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、ダブルリングとシングルリングの二つの提案するモデルにおいて、結合カオス回路におけるカオス伝搬と同期現象について調査を行う。それぞれのモデルにおいて、中心の回路はカオスアトラクタになるようにパラメータを設定し、その他の回路は三周期アトラクタになるようにパラメータを設定する。また、それぞれの回路を抵抗により結合する。そして、システム内の回路間の結合強度やエッジ数を変化させた際のカオス伝搬や同期現象の調査をコンピュータシミュレーションを用いて行う。結合強度を増加させることのよって、カオス解が他の三周期解に伝搬する事を確認することができた。また、同様に結合強度大きくすると位相差が小さくなり同期状態に近づく。そして定常状態においてはモデルによる違いは確認されなかった。しかし、定常状態に至る過程においては、モデルによって大きく変化する事が確認できた。
キーワード

カオス回路、カオス伝搬、同期現象

Chaos Propagation and Synchronizationin Coupled Chaotic Circuits as Single Ring and Double Ring Combination
Takahiro CHIKAZAWA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{chikazawa,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we investigate chaos propagation and synchronization phenomena in coupled chaotic circuit. We compare the diﬀerences models between double and single ring model. These models are coupled chaoticcircuits when one circuit is set to generate chaotic attractor and the other circuits are set to generate three-periodic attractors. By using computer simulations, we have observed that the chaotic attractor is propagated to theother circuits. The three-periodic attractors are aﬀected from the chaotic attractors when the coupling strength isincreased. Furthermore, we have observed that the process to chaos is changed in each model.
Key words Chaotic Circuit, Chaos propagation, Synchronization,

1. ま え が き

その為、他とは異なる複雑な振る舞いがシステム全体にどのような影響を及ぼすかを調査する必要があると考える。生物学の同期現象は、自然科学の分野において、様々な高次元非線形分野において例を挙げると、ネットワーク内におけるウイルス現象を記述すのに非常に適したモデルでる。その中でも、 結の感染や蔓延を防ぐ事ができれば未知なるウイルスの流行を未合カオス回路においては、カオス同期現象など様々な現象が見然に防ぐ事ができるのではないだろうか。我々の研究グループられるため、工学的応用のみならず物理学や生物学など様々なは、星型および環状結合したシンプルなネットワークモデルに分野で研究されている [1]〜[3]。一方で、あるネットワークにおいて、他とは異なる振る舞いがネットワーク内全体に伝搬すおいて困難な状況下においてのカオス伝搬の調査が重要な研究る事を確認している [4]、[5]。

テーマである。困難な状況下の例として、一時的な外部刺激が本研究では、結合カオス回路においてダブルリングとシング与えられた場合やネットワーク内でのフラストレーションが発ルリングモデルにおけるカオス伝搬と同期現象について調査を生した場合が考えられる。また、ネットワーク内における伝搬行う。それぞれのモデルにおいて、カオス解と 3 周期解を生の例として、ウイルスの感染や交通網の渋滞などが挙げられる。

成することのできるカオス回路を用いる。また、ネットワーク—1—

モデルによって回路の繋ぎ方を変化させるが、使用する回路数は同じとする。この二つのモデルにおいてコンピュータシミュレーションを用いて、結合強度やエッジ数を変化させた場合におけるカオス伝搬と同期現象の調査を行う。さらに、それぞれのモデルにおいてシステム全体が同期状態に至るまでの過程を調査、比較する。

vd =rd2

図１に本研究で使用するカオス回路モデルを示す。これは,成されている。
本研究では二つのモデルを提案する。シングルリングモデル
は、中心の回路は１０個全ての回路に直接繋がっている (図２(a))。一方でダブルリングシステムは、中心の回路から５つの回路のみが直接繋がっている。その他の５つの回路はその外側に二重になるように繋がっている (図２ (b))。

)
.

(2)

また、式 (1) 中の各変数を以下のように置き換えることによって、

√√C
L1 C

i=Vx,i=V yn , v = V z n
1n2LL
12√√
C, β=L1L1 C, δ=rd
L1L2L2√√ γ = 1 L1 , t = L1 C2 τ,R

西尾・稲葉 回路と呼ばれるカオス回路である。この回路は負性抵抗、二つのインンダクタ、キャパシタ、とダイオードから構V
V− i2 −rdrd

i2 +α=r

2. システムモデル(3),C

正規化された式 (4) が得られる。

 dxn

= αxn + zn dτ
 dyn = z − f (y )nn dτ(4)N∑dzn
=−x−βy−γij (zn − zn+1 )nn dτn=1
(n = 1, 2, · · ·, N ).

i2i1

(式 (4) において、N は結合回路数であり γ は結合強度である。
また、 f (yn ) を以下に示す。

L1

f (yn ) =L2Cnv

C-r12(yn +11− yn −δδ).

(5)

また、本研究ではカオス度を表わすパラメータを以下のように設定する。カオス解となるパラメータを αc とし、三周期解とvdなるパラメータを αp とする。

3. シミュレーション結果
提案する二つのシステムにおいて、エッジ数と結合強度を変図 1 カオス回路.

化させた時のカオス伝搬について調査を行った。また、各回路間の位相差の平均することによって同期現象の調査を行った。

P

さらに、モデルによるエッジ数のパターンを図 3、4 に示す。シ

P7P

ングルリングとダブルリングにおける基本形とするモデルを図P2P8P11PP4PP3P5P7P6Pn

三周期解 αpCn

カオス解 αcP4P10減らした時のモデルを図 4 に示す。シングルリングにおいては、中心の回路から直接、他の回路に繋がるエッジ数を 1 本に減らP9す。またダブルリングにおいて、内側のリングに繋がっている(b) ダブルリング(a) シングルリング

3 に示す。次に、中心の回路から他の回路に繋がるエッジ数をエッジ数を１本に減らし、内側と外側のリングをつなぐエッジ数も 1 本に減らす。

図 2 システムモデル.

この回路の回路方程式を式 (1) に示す。

PP2di= v + riL1dt
diL2= v − vddtdvC= −i1 − i2 .
 dt
非線形抵抗の I − V 特性を式 (2) に示す:

P7PP8P11PP4P3P5(1)P7P6P10(a) Single -10
図3P4P9(b) Double-5-5
基本形のモデル図.

—2—

P7PPP2P8P11PPP4P3z1P5P7P6x1z7((a)γ=0.0000P9P10(b) Double-1-1(a) Single-1
図4z2z3z4z5z6P4z1

エッジ数を減らした時のモデル図.

3. 1 カオス伝搬
シングルリングモデルにおけるカオス伝搬のアトラクタをz1

図 5 に示す。結合強度が γ = 0.0000 の時は、それぞれの回路同士が繋がっていない状態を表すためカオスは伝搬しない (図5(a))。次に結合強度を γ = 0.0008 まで大きくすると、一部分((c)γ=0.0030x5z11x6x7x8x9x10x11z3z4z5z6x3z9x2z8x4z10x5z11x6x7x8x9x10x11z2z3z4z5z6x1z7の回路のみが伝搬している事が分かる (図 5(b))。さらに、結合x4z10z2x1z7((b)γ=0.0007x3z9x2z8x3z9x2z8x7x8x4z10x9x5z11x10x6x11

強度を γ = 0.0030 まで大きくすると全ての回路にカオスが伝
図 6 カオス伝搬 (ダブルリング).

搬してる事が確認できた (図 5(c))。
同様に図 6 にダブルリングモデルにおけるカオスアトラクタを示す。結合強度が γ = 0.0000 の時は、それぞれの回路同士が3. 2 同 期 現 象繋がっていない状態を表すためカオスは伝搬しない (図 6(a))。

この章では、同期現象についてそれぞれのモデルにおいて調次に結合強度を γ = 0.0007 まで大きくすると、一部分の回路査する。まずはじめに、中心から全ての回路に繋がっている場のみが伝搬している事が分かる (図 6(b))。さらに、結合強度を合の double-5-5 と single-10 とについて比較する (図 7)。結合

γ = 0.0030 まで大きくすると全ての回路にカオスが伝搬してる強度を大きくすることによって初めの位相差 90◦ がだんだんと事が確認できた (図 6(c))。

小さくなり最終的には 10◦ 付近で落ち着く。これにより結合強度を大きくすることで位相差が小さくなり同期状態に近づいて

z2x1z7((a)γ=0.0000z1z1((c)γ=0.0030z4x3z9x2z8z5x4z10x5z11x6x8x9x10x11z3z4z5z6x3z9x4z10x5z11x7x8x9x10x11z3z4z5z6x3z9x2z8x7x8x4z10x9x5z11x10さくなり同期状態に近づいていることが分かる。

x6z2x1z7と single-1 について比較する (図 8)。先ほどのモデルと同様にエッジ数を減らしても結合強度を大きくすることで位相差が小x7x2z8いることが分かる。次にエッジ数を減らした場合の double-1-1

z6z2x1z7((b)γ=0.0008

z3x6x11

phase difference[°]z1

図 5 カオス伝搬 (シングルリング).

それぞれの結果より、結合強度を大きくすることで三周期解がカオス解の影響を受けるため、全ての回路にカオスが伝搬しcoupling strength γ
図7

位相差と結合強度の関係ていくことが分かる。また、結合強度が小さいと部分的にカオスが伝搬するがこれは初期値による影響だと考えられる。

—3—

phase diﬀerence[°]状態に至るまでの過程を調べた。全ての三周期解がカオスになるまでの処理回数を調べた結果、回路の繋ぎ方により変化が見られた。
今後の課題として、三周期解がカオス解になる判断基準を理論的に明確化することがより重要な課題だと考えられる。また、提案システムモデルをさらに大規模化したネットワークにおけるカオス伝搬の挙動にも注目したい。
文献[1] N.F. Rullckov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchronized Chaotic Oscillations," Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.

coupling strength γ[2] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor," IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,pp. 869-875, 1997.

図 8 位相差と結合強度の関係

3. 3 カオスになるまでの過程
この章では、三周期解がカオス解の影響を受けてカオスアトラクタになるまでの処理回数を調査した。それぞれのモデルにおいて全ての回路がカオスになるまでの処理回数を 5 回測定し、その平均を表したもを表１に示す。まずはじめに、double-5-5 とsingle-10 とについて比較する。double-5-5 に対して、single-10の方が中心の回路から全ての回路に繋がっている為より早く伝搬している事が分かる。次に double-1-1 と single-1 について比較する。表１より double-1-1 の方がより早く伝搬している事が分かる。これは中心の回路から最も遠い回路までの平均距[3] G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,"Physica A: vol. 305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[4] Y. Uwate and Y. Nishio, “Chaos Propagation in a Ring ofCoupled Circuits Generating Chaotic and Three-Periodic
Attractors,” Proceedings of IEEE Asia Pacific Conferenceon Circuits and Systems (APCCAS’12), pp. 643-646, Dec.
2012.
[5] T. Chikazawa, S.Tamada, Y. Uwate and Y. Nishio, “ChaosPropagation and Synchronization in Coupled Chaotic Circuits with Star-and-Ring Combination,” Proceedings ofIEEE Workshop on Nonlinear Circuit Networks (NCN’15),
pp. 63-65, Dec. 2015

離数に影響を受けているのではないかと考えられる。
表1

カオスになるまでの処理回数.

model

single-10 double-5-5 single-1 double-1-1

1st194654269522703099395966

2nd181786280897662670395175

3rd219974

2900516971704632054th2027272691236837564000165th

186565276105663768451242Average1969592771406820934211304. ま と め
本研究では二つの提案するモデルにおいて、結合カオス回路におけるカオス伝搬と同期現象の調査を行った。コンピュータシミュレーションにより調査を行った結果、結合強度を大きくするにつれて三周期解がカオス解の影響を受けて、カオス解へと推移していくという結果が得られた。また、位相差について調査を行った結果、同様に結合強度を大きくすることで位相差が小さくなり同期状態に近づくと考えられる。さらに、それぞれ異なるモデル同士の比較を行った結果、位相差の傾きは似たような傾きになった。その為、定常状態においては変化が見られないと考えられる。しかし、それぞれのモデルにおいて定常—4—