社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

抵抗で結合されたカオス回路ネットワークにみられるクラスタリング現象について
高丸裕司†

上手洋子†

トーマスオット††西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1†† チューリッヒ応用科学大学
E-mail: †{takamaru,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
あらまし

本研究では，結合カオス回路ネットワークで観測されるクラスタリング現象について調査を行う．まず，カオス回路を 2 次元平面上に配置し，結合強度をカオス回路間の距離に応じて設定したときの同期現象について着目する．コンピュータシミュレーションおよび回路実験の結果，カオス回路の距離が近い場合は，同相同期になり，遠い場合は非同期になることを確認する．そして，結合カオス回路ネットワーク全体を，同期現象によって任意のクラスタに分割できることを示す．さらに，結合強度とクラスタの関係についての考察を行う．
キーワード

クラスタリング, 同期現象, カオス回路, 複雑系ネットワーク

Clustering Phenomena in Complex Networks
Coupled with a Resistors
Yuji TAKAMARU† , Yoko UWATE† , Thomas OTT†† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima Univesity
2–1, Minami Josanjima, Tokushima, 770–8506 Japan†† Einsiedlerstrasse 31a, 8820 Waedenswil, Switzerland
E-mail: †{takamaru,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
Abstract In this study, we investigate clustering phenomena in coupled chaotic circuits networks. A couplingstrength between the circuits is set to depend on the distance. We search that the coupled chaotic circuits network
are formed cluster for synchronization when a chaotic circuits placed near distance. We investigate the synchronization phenomena caused by coupled chaotic circuits networks.
Key words Clustering, Synchronization, Chaotic Circuit, Complex Networks

1. ま え が き

また近年，私たちは実社会において，膨大な量のデータを扱うことが多くなってきた．これにより，膨大なデータを小さな同期現象は，自然界において観測される典型的な現象の一つグループごとに分割することで，高速な情報処理が期待される．

である．近年，同期現象に関する多くの研究が，結合カオス回そのため，大きなデータの集合を，同じようなデータごとに小路により研究されてきた．結合カオス回路を用いたシステムは，さなグループに分割するための手法として，クラスタリング手

カオス同期現象をはじめ多くの興味深い現象を得ることができ法がよく用いられている．クラスタリングにより，膨大なデーる．さらに，同期現象は，工学のみならず物理学，生物学にもタは容易に分割することができる．クラスタリングは，データ応用され研究されている．また，生物学において，脳の動作のマイニングや画像処理といった多くのアプリケーションにも適特徴の一つにニューロン活動の同期現象がある．このニューロ用することができ，結合写像格子を用いた多くのモデルがクラン活動の同期現象を解析することは，脳の情報処理において重スタリング法として提案されている [1]- [3]．しかし，結合カオ要な役割を担っていると考えられている．そのため，結合カオス回路を用いたクラスタリングについては，多くの議論がなさ

ス回路にみられる同期現象を解析することは，将来的に，脳活れていない．

動の解析や，脳型コンピュータの実現といった工学分野への応用にとても重要だと考えられる．

本研究では，結合間の距離に応じて変化させた抵抗で，カオス回路を結合したネットワークにで観測される同期現象につい—1—

ての調査を行う [4]．実際の物理システムにおいて，距離の値にf (y) =よって変化する要素は数多く存在する．よって，距離に応じて

δ2(y+11− y−δδ).

(4)

抵抗値が異なるシステムにみられる同期現象の調査は，実際の

図 2 に，この回路で観測されたカオスアトラクタを示す．図物理システムに近い状態であるといえる．得られた結果より，

2(a) がコンピュータシミュレーションによる結果で，図 2(b) が近い距離に配置されたカオス回路どうしが同期していることを回路実験による結果である．コンピュータシミュレーションで観測し，遠くに配置したカオス回路どうしは，非同期であるこは，各パラメータを α = 0.460, β = 3.0，δ = 470 のように設定とを確認する．さらに，結合カオス回路ネットワークにみられする. 回路実験による結果では，各素子の値を L1 = 500[mH]，る同期現象とクラスタリングとの関係を調査する．

L2 = 200[mH]，C = 0.0153[µF ]，rd = 1.46[M Ω] としている.

2. 回路モデル
図 1 に，本研究で使用する回路モデルを示す [5]- [7]．この回路は西尾-稲葉回路と呼ばれている回路モデルである．

(a) シミュレーション.

(b) 回路実験.

図 2 カオスアトラクタ.

3. 同 期 現 象
図1

3. 1 7 個のカオス回路ネットワーク

回路モデル.

初めに，カオス回路を 7 個を 2 次元平面上に配置し，完全結
この回路は，キャパシタ，インダクタ，負性抵抗，二つのダイオードで構成された非線形抵抗により構成されている．この非合させたときにみられる同期現象について調査を行う．図 3 に，7 個のカオス回路の配置図を示す．

線形抵抗の I − V 特性は，次に示す式 (1) で示され，パラメー
タ rd は非線形抵抗の傾きである．
()rd
VVvd (i2 ) =i2 +− i2 −.
2rdrd

(1)

また，回路のダイナミックは次のような区分線形三次の常微分方程式により，表すことができる．

di1= v + ri1dt
di2
L2= v − vd (i2 )dtdv
C= −i1 − i2 .
dt
L1(2)

図 3 7 個の回路の配置図.

式 (2) 中の各変数を，以下のように置き換えることによって，√CV x; i2 =L1√

配置したすべてのカオス回路は，他のカオス回路と抵抗で結L1 CV y; v = V z;
L2
√√
C
L1
L1 C
r= α;= β; rd= δ;
L1L2L2√dt = L1 Cτ ; ” · ” =dτi1 =合されている．結合方法は，カオス回路どうしを自己以外の回路とすべて抵抗で結合された完全結合の場合を考える．

式 (2) は正規化され，以下のような式 (3) が得られる．

ż = −x − βy(5)N∑dzi= −xi − βyi −γij (zi − zj )dτi,j=1ẋ = αx + zẏ = z − f (y)dxi= αxi + zidτdyi= zi + f (y)dτ(3)(i, j = 1, 2, · · ·, N )式 (5) 中の i は，自己の回路を表し，j は他の回路との結合

また，式中の f (y) は次のように記述できる．

を表す．パラメータ γ は，回路どうしを結合する結合強度の値—2—を示している．今回のシミュレーションでは，結合強度の値を距離に応じて変化するように設定し，γ を求める式は次に示す．

γi,j =g.
(lengthi,j )2(6)式 (6) 中の g は，結合強度を決めるための結合変数パラメータである．今回のシミュレーションの場合，g = 0.00327 と設定している．また，lengthi,j は，i 番目と j 番目の間のユークリッド距離を表している．
図 4 に，コンピュータシミュレーションによる結果を示す．
また，図 5 は回路実験による結果であり，シミュレーションの場合と比較し同期現象の調査を行う．これらの結果より，1 番目と 2 番目，3 番目のカオス回路のグループが同相同期であり，また 4 番目と 5 番目，6 番目，7 番目のカオス回路グループも

図 6 7 個のカオス回路ネットワークのクラスタリング結果.

同相同期であるといった結果が得られた．しかし，1 番目と 4番目のカオス回路の関係は，非同期という結果であった．この3. 2 20 個のカオス回路ネットワーク

結果より，カオス回路ネットワークは，カオス同期の判別によ

次に，カオス回路を増やしたネットワークの場合を考える．

り 2 つのクラスタに分かれるといった結果が得られた．図 6 は，20 個のカオス回路を用いて，2 次元平面上に配置し距離に応じカオス回路ネットワークのクラスタリングの結果を示している．て変化させた抵抗で各カオス回路間を結合する．図 7 に，20 個のカオス回路の配置図を示す．すべてのカオス回路間は抵抗で結合され，各回路間の結合強度は，式 (6) から求める．今回の場合，g = 0.25 × 10−4 と設定している．

(a) 1-2(b) 1-3(c) 1-4(d) 4-5(e) 4-6(f) 4-7

図 4 回路間の位相差 (コンピュータシミュレーション).

図 7 20 個のカオス回路の配置図.

図 8 にシミュレーションによって得られた，位相差の結果を示す．結果より，1 番目と 2 番目の回路は同期している，しかし，1 番目と 7 番目の回路のグループとは非同期であり，同様に 13 番目の回路のグループとも非同期である．また，7 番目(a) 1-2(b) 1-3(c) 1-4と 8 番目の回路は同期しているが，7 番目と 13 番目の回路のグループとは同期していない．すなわち，このカオス回路ネットワークは，カオス同期の判別により，3 つのクラスタに分かれている．さらに，18 番目と 19 番目，20 番目は独立して発振しており，他のどの回路とも同期していない．図 9 はカオス回路ネットワークのクラスタリング結果を示している．
次に，結合強度とクラスタ数の関係について考察する．図 10(d) 4-5(e) 4-6

図 5 回路間の位相差 (回路実験).

(f) 4-7は，結合強度を決定するパラメータ g を変化させたときの，カオス回路ネットワーク中のクラスタ数の変化を表したもので—3—ループが同期する．g の値が 1.20 × 10−4 を超えるとすべてのカオス回路は同期するといった結果が得られた．

(a) 1-2(b) 1-3(c) 1-7(d) 1-13(e) 7-8(f) 7-11

図 10 結合強度の変化によるクラスタ数の変化.

4. ま と め
本研究では，結合間の距離に応じて変化させた抵抗で，カオス回路どうしを結合したネットワークで観測される同期現象に(g) 7-13(h) 7-19(i) 13-14

ついての調査を行った．また，同期現象から生じるクラスタリング現象の調査も行った．コンピュータシミュレーションおよび回路実験により調査をした結果，近い距離に配置したカオス回路どうし同相同期が観測され，遠くの距離の回路とは非同期という結果であった．さらに，結合カオス回路のネットワーク中にカオス回路の距離に応じて，いくつかのグループを形成しているといった非常に興味深い結果を得ることができた．

(j) 13-16(k) 16-18(l) 19-20

図 8 回路間の位相差 (コンピュータシミュレーション).

今後の目標として，クラスタを判別する効率の良いプログラムの提案と，実データへ本研究で提案されたシステムを応用していくことが必要であると考える．
文

図 9 20 個のカオス回路ネットワークのクラスタリング結果.

ある．g = 0.05 × 10−4 までは，すべてのグループは同期していない．0.06 × 10−4 ∼ 0.32 × 10−4 の領域では，図 8，図 9で得られたクラスタリングの結果が得られた．0.33 × 10−4 ∼0.62 × 10−4 の領域では，1 番目の回路のグループと 7 番目の

献[1] K. Kaneko, “Clustering, Coding, Switching, HierarchicalOrdering, and Control in a Network of Chaotic Elements,”
Physical D, vol. 41, pp. 137-172, 1990.
[2] T. Ott, M. Christen and R. Stoop, “An Unbiased Clustering
Algorithm Based on Self-organization Processes in Spiking
Neural Networks”, Proc. of NDES’06, pp. 143-146, 2006.
[3] L. Angelini, F. D. Carlo, C. Marangi, M. Pellicoro and S.
Stramaglia, “Clustering Data by Inhomogeneous Chaotic
Map Lattice”, Phys. Rev. Lett., 85, pp. 554-557, 2000.
[4] Y. Takamaru, H. Kataoka, Y. Uwate and Y. Nishio, “Clustering Phenomena in Complex Networks of Chaotic Circuits”, Proc. ISCAS’12 Mar. 2012.
[5] Y. Nishio, N. Inaba, S. Mori and T. Saito, “Rigorous Analyses of Windows in a Symmetric Circuit,” IEEE Transactions
on Circuits and Systems, vol. 37, no. 4, pp. 473-487, Apr.
1990.
[6] C. Bonatto and J. A. C. Gallas, “Periodicity Hub andNested Spirals in the Phase Diagram of a Simple ResistiveCircuit,” Phys. Rev. Lett., 101, 054101, Aug. 2008.
[7] R. Stoop, P. Benner and Y Uwate, “Real-World Existenceand Origins of the Spiral Organization of Shrimp-ShapedDomains,” Phys. Rev. Lett., 105, 074102, Aug. 2010.

回路のグループが同期し始め，ネットワーク中のクラスタは 3つである．0.63 × 10−4 ∼ 1.10 × 10−4 の領域では，1 番目の回路のグループと 7 番目の回路のグループ，13 番目の回路のグ—4—