社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

パラメータ強制を含むロジスティック写像の広域結合系における同期の共存現象
粂野紘範†

西尾芳文†

DanieleFournier-Prunaret††† 徳島大学工学部 電気電子工学科 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島町 2-1†† LATTIS-INSA, Universite de Toulouse 135 avenue de Rangueil, 31077 Toulouse, France
E-mail: †{kumeno,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††daniele.fournier@insa-toulouse.fr
あらまし 本研究では、パラメータ強制を含む 4 つのロジスティック写像の広域結合系に発生する同期現象について調査している。このシステムにおいて、4 つの内の全ての写像の同期、4 つの内 1 つの写像以外の同期、同期のスイッチング現象、同期の共存現象などの様々な同期現象が確認されている。とくに同期の共存現象では様々な同期状態の共存が確認された。
キーワード

広域結合写像, カオス, 共存現象

Coexistence Phenomenon in Globally Coupled Logistic Maps
Involving Parametric ForceHironori KUMENO† , Yoshifumi NISHIO† , and Daniele FOURNIER-PRUNARET††† Dept. of Electrical and Electronic Eng., Tokushima University
2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506 Japan†† LATTIS-INSA, Universite de Toulouse 135 avenue de Rangueil, 31077 Toulouse, France
E-mail: †{kumeno,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††daniele.fournier@insa-toulouse.fr
Abstract Synchronization phenomena in globally coupled logistic maps whose parameters are forced into periodic
varying are investigated when maps are coupled. The observed synchronization phenomena are fall into four generalcategories, which are synchronization of all the maps, synchronization of the total number of the coupled maps minus one map, self-switching phenomenon of synchronization and coexistence phenomenon of synchronization states.
Especially, in the coexistence phenomenon of synchronization states, Various combinations of synchronization states
are confirmed.
Key words Globally coupled maps, Chaos, Coexistence phenomenon

1. ま え が き

いて、系に生じる振る舞いは文献 [6]-[8] によって調べられている。特に、Coupled Map Lattice (CML) や Globally coupled

同期は自然の基本的な現象の一つであり、典型的な非線形現Map (GCM) は離散時間系である数学モデルとして非常によく象の一つでもある。従って、結合システムにおける同期現象の知られており、これらの系では様々なダイナミクスを観察する研究は、物理学 [1]、生物学 [2]、工学など幅広い分野で行われことが出来る。CML や GCM のようなシステムの研究は、多ている。パラメータ励振回路は共振回路の一つであり、そこに自由度をもった非線形システムのモデルとしてだけではなく、発生する様々な非線形現象を調査することは将来的な工学応用

生物ネットワークや工学的応用の為に非常に重要である。我々のために重要である。パラメータ励振を含むシンプルな発振器

はこれまで結合ファンデアポール発振器においてパラメータ励において、非線形インダクタが飽和特性をもつとき既周期振動振の影響を観測してきた [9]。また、３つのパラメータ強制を含が発生することはすでに文献 [3] に報告されており、カオスのむロジスティック写像の結合系に発生する同期現象を調査して発生についても文献 [4],[5] などに言及されている。一次元写いる [10]。本研究では、さらに結合数の多い広域結合系に発生像の結合系を用いることでカオス的な素子のネットワークをモする同期現象を調査する。典型的な広域結合システムは次のよデル化することが出来る。カオス的な１次元写像の結合系におうに与えられる、—1—xi (n + 1) = (1 − ε)f [xi (n)] + NεN∑

f [xj (n)]j=1(1)

i = 1, 2, · · ·, N,
ここで、ε は結合強度である。広域結合写像は全ての写像の平均値がそれぞれの写像に影響を与える型である。本研究では、非常にシンプルな離散方程式で記述されることから、１次元写像としてロジスティック写像を使用する。数学的にロジスティック写像は次のように記述される。

x(n + 1) = αx(n)(1 − x(n)).

(2)
図 2 パラメータ強制ロジスティック写像の広域結合系での ε に対する

本研究ではパラメータが周期的に変化するロジスティック写最大リアプノフ指数。α1 = 3.0、α2 = 3.83. 横軸: ε. 縦軸: λ.

像の広域結合系に発生する同期現象を調査する。まず次章では、パラメータ強制を含むロジスティック写像を紹介し、第３章では、パラメータ強制ロジスティック写像の広域結合系に発生する同期現象について記す。第４章では、同期状態の共存現象について、第５章では、その共存現象が発生するパラメータ領域について記述する。最後にまとめとする。
図 3 同期の自己スイッチング現象が観測されるときの写像間の差の2. パラメータ強制ロジスティック写像

時系列。ε = 0.045、α1 = 3.0、α2 = 3.83。

パラメータ強制を含むロジスティック写像は次のように記述される、

3. 同 期 現 象x(n + 1) = αf (n)x(n)(1 − x(n)),(3)
ここでは 4 つのパラメータ強制されたロジスティック写像のそして、広域結合系に発生する同期現象を調査する。以下のシミュレー

 α1 , “n”が偶数のとき
αf (n) =

ションではパラメータ強制ロジスティック写像のパラメータを

α2 , “n”が奇数のとき,(4)(n = 0, 1, 2, ...)

ここで αf (n) はパラメータ強制の項で時間的に変動する。このそれぞれ α1 = 3.0、α2 = 3.8 とする。
図 2 は ε に対する最大リアプノフ指数である。ε を変化させることで様々な同期現象を観測することが出来る。いくつかの観測された同期現象を図 3 と図 4 に示す。

システムでは、２つのパラメータ α1 と α2 が毎更新ごとに入まず、ε が 0 のとき、つまりそれぞれの写像が結合されていれ替わる。図 1 はパラメータ強制ロジスティック写像のリターないとき、リアプノフ指数は正であり、それぞれの写像はカオンマップの例である。元のロジスティック写像では、α = 3.0,ス的に振る舞う。ε が小さいときは全ての写像が非同期である。

α = 3.83 のとき、それぞれ２周期解と３周期解が得られる。そε を大きくしていくと、ε = 0.045 付近で図 3 のような同期の自れら２つの解は周期解だが、パラメータ強制されたロジスティッ

己スイッチング現象がみられる。この現象は、４つのうち３つク写像では、α1 と α2 をそれぞれ 3.0 と 3.83 とすると、図 1の写像が同期し、その同期する写像の組み合わせが時間ととものようにカオス的な解が得られる。つまり、元のロジスティッに変化するという現象である。図 3 は２つの写像間の x(n) のク写像では周期解となる２種類のパラメータを組み合わせ、周差の時系列を示している。つまり、振幅が小さいところが同騒期的に切り替えることでカオス的な解となる。

動記を表している。図 3 では、まず、写像 1 と写像 3 と写像 4が同期している。しかし、時間が経つと、その同期状態は崩壊し、新たに写像 1 と写像 2 と写像 4 が同期する。以上のように、この現象では同期状態が時間とともに変化し続ける。次に、さらに ε を増やしていくと、リアプノフ指数 0 または負になる。

ε が 0.05 から 0.08 の間では同期状態の共存現象が観測される。
同期の共存現象については次章で述べる。次に、さらに ε を増
図 1 パラメータ強制ロジスティック写像のリターンマップ 。 α1 = 3.0、

α2 = 3.83。

やしていくと、リアプノフ指数が再び正になる。ε = 0.160 のとき、図 4(c) のように 4 つのうち 3 つのカオス写像の同期が観測された。最後に、ε が 0.200 を超えると、図 4(d) のように全てのカオス写像が同期する。

—2—

(a-1)

(a-2)

(b-1)

(b-2)

(b-3)

(c)

(d)図 4 4 つのパラメータ強制ロジスティック写像の広域結合系にみられる同期現象。α1 = 3.0、α2 = 3.83。(a) ε = 0.050. (b) ε = 0.052. (c) ε = 0.160. (d) ε = 0.200.

4. 同期状態の共存現象
ε が 0.05 から 0.08 の間では、一つの ε の値に複数のリアプノフ指数が見える部分がある。これは、その領域では同期状態•

4 つのうち 2 つのカオス写像の同期、２組のカオス写像のの同期、の 2 種類の同期状態の共存現象。

5. αf (n) に対する共存現象の発生領域が多安定であることを示している。ε を変化させることによっ

ここでは共存現象が発生する αf (n) の組み合わせについて調て図 4(a-1) と (a-2) のような様々な同期状態の共存現象が観測査する。図 5 は結合強度 ε を固定し、横軸に α2 、縦軸に α1 をされる。図 4(a-1) では２組のカオス写像の同期がみられる。まとった２次元分岐図である。それぞれの図の上に記した数字がた、図 4(a-2) では、４つのうち３つのカオス写像が同期していそれに対応する色の領域で観測されるアトラクタの周期である。

る。どちらの同期状態になるかは初期値に依存する。多安定領

また、黒色の領域は周期が 15 以上またはカオスが観測される域では、以下のような同期状態の共存現象が確認されている、領域である。ここで、α1 = α2 の線に対称でないところ、色の•4 つのうちの 2 つのカオス写像の同期、2 組の周期的な境界が滑らかでないところでは、系は多安定となり、同期状態写像の同期、4 つのうち 3 つの周期的な写像の同期、の３種類の共存現象がみられる。ε を変化させることで、異なる αf (n)の同期状態の共存現象 (図 4(b))、の組み合わせの領域で同期状態の共存現象が確認される。

•、2 組の周期的な写像の同期、2 つの周期的な写像が同期し、他の 2 つの周期的な写像が準同期する同期状態、の 2 種類の同期状態の共存現象、

6. む す び
本研究では、パラメータ強制を含む 4 つのロジスティック写—3—ていることが確認され、また、パラメータ領域において、共存現象が確認される範囲についても調査された。

謝辞

本 研 究 の 一 部 は 、日 本 学 術 振 興 会 の 科 学 研 究 費 補 助 金(22500203) により得られた成果である。
文(a)

(b)

献

[1] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol.15, no. 11, pp.3423-3433, Nov. 2005.
[2] J. Cosp, J. Madrenas, E. Alarcon, E. Vidal and G. Villar, “Synchronization of Nonlinear Electronic Oscillators for
Neural Computation,” IEEE Trans. Neural Networks, vol.
15, no. 5, pp. 1315-1327, Sep. 2004.
[3] C. Hayashi, Nonlinear Oscillations in Physical Systems,
Chap. 11, McGraw-Hill, New York 1964.
[4] C. Hayashi, M. Abe, K. Oshima and H. Kawakami, “TheMethod of Mapping as Applied to the Solution for Certain
Types of Nonlinear Diﬀerential Equations,” Proc. of theNinth International Conference on Nonlinear Oscillations,pp. 1-8, 1981.
[5] M. Inoue, “A Method of Analysis for the Bifurcation of theAlmost Periodic Oscillation and the Generation of Chaos
in a Parametric Excitation Circuit,” Trans. of IEICE, vol.
J68-A, no. 7, pp. 621-626, 1985.
[6] K. Kaneko, “Spatiotemporal Intermittency in Coupled Map
Lattice,” Progress of Theoretical Physics, vol. 74, no. 5, pp.
1033-1044, Nov. 1985.
[7] K. Kaneko, “Pattern Dynamics in Spatiotemporal Chaos,”
Physica D, vol. 34, nos. 1-2, pp. 1-41, Jan. 1989.
[8] K. Kaneko, “Clustering, Coding, Switching, HierarchicalOrdering, and Control in a Network of Chaotic Elements,”
Physica D, vol. 41, no. 2, pp. 137-172, Mar. 1990.
[9] H. Kumeno and Y. Nishio, “Synchronization Phenomena inCoupled Parametrically Excited van der Pol Oscillators,”
Proc. of International Symposium on Nonlinear Theory andits Applications (NOLTA’ 08), pp. 128-131, Sep. 2008[10] H. Kumeno and Y. Nishio, “Globally Coupled Parametrically Forced Logistic Maps,” Proc. of Asia Paciﬁc Conference on Postgraduate Research in Microelectronics andElectronics (PrimeAsia’09), pp. 181-184, Nov. 2009.

(c)

図 5 2 次元分岐図。(a) ε = 0.050. (b) ε = 0.080. (c) ε = 0.200.
横軸: α2 . 縦軸: α1 .

像の広域結合系に発生する同期現象について調査した。このシステムにおいて、4 つの内の全ての写像の同期、4 つの内 1 つの写像以外の同期、同期のスイッチング現象、同期の共存現象などの様々な同期現象が確認された。特に同期状態の共存現象について調査した結果、様々な同期状態の組み合わせが共存し—4—