２次行列の累乗について
学習数学研究所 特別顧問
一松 信
０．はじめに
a b 
n２次行列 A＝  の累乗 A の計算は，数学検定の１級（ときに準１級）によく出題さcdれている。それは標準的な手法によって対角化を（それが不可能ならばジョルダンの標準形に）して容易に計算できる。その意味で典型的な課題であり，何次でも同様である。
しかし２次に限れば，以下のようにスペクトル分解の応用による「ずるい」計算法がある。
このような方法は，線形代数学の「王道」とはいえない。将来高校数学に行列が復活しても，標準課程に取り入れるべきではないと思う。
しかし出題者の立場から見ると，こういった解法もあることを考慮に入れて，慎重に出題することが望ましい。そのような注意を喚起する意味で，敢えて本稿を執筆した次第である。
以下行列の成分は任意の体の要素でもよいが，実数として述べる。また一般の n 次正方行列についても同様だが，解説を２次行列に限定する。固有値を含む線形代数学の基礎知識は既知とする。
１．行列の固有値に関して（復習）
２次の正方行列 A は R 2 から R 2 への線形写像の表現である。それによって自分自身の（０でない）定数倍に写される（０でない）ベクトル v：Av＝λv が固有ベクトルであり，定数λは固有値とよばれる。
これに対して uA＝λu（u≠０）を満たす行ベクトル（横ベクトル）u を行固有ベクトルTとよぶ。それは A の転置行列 A の固有ベクトルを転置したものである。
固有値λは固有方程式 det(A－λI)＝０ の解として計算できる（det は行列式，I はa b 単位行列）。今の場合 A＝  に対して，固有方程式は
c d 

λ2－（a＋d ）λ＋（ad－bc）＝０⑴と表される。以下しばらく⑴が相異なる２個の解λ1，λ2 をもつ（判別式≠０）と仮定する。
λi（i＝１，２）に対する（列）固有ベクトルと行固有ベクトル（の１つ）をそれぞれ v i，u i とおく。v 1 ，v 2 ； u 1 ， u 2 はそれぞれ一次独立で,それぞれが R 2 の基底をなす。
補助定理１ u 1 ･v 2 ＝０, u 2 ･v 1 ＝０,s i＝u i･v i≠０
証明 u 1 ･A･v 2 ＝λ1 u 1 ･v 2 ＝λ2 u 1 ･v 2であり, λ1 ≠ λ2 から u 1 ･v 2 ＝０；u 2 ･v 1 ＝０も同様。他方 u 1 は u 2 と一次独立なので, s 2 ＝u 2 ･v 2 ≠０; s 1 ＝u 1 ･v 1 ≠０も同様である。▯
注意 A が対称行列なら u i は v i の転置行列としてよいが,そうでない場合には区別を要する。なお上記の積は u i を１行２列, v i を２行１列の行列とみなしたときの行列の積である。
２．スペクトル分解
前節の記号をそのまま続けて使う。
補助定理２
Pi＝

１v i・u i （２行２列の行列）si⑵とおくと,行列 P1 ，P2 は次の性質をもつ：
Pi2＝Pi ，P1 ･P2 ＝P2 ･P1 ＝O （零行列）⑶

P1 ＋P2 ＝I，λ1 P1 ＋λ2 P2 ＝A⑷

証明 ⑶は単なる計算でできる。行列の積に結合法則を適用する。
Pi2＝

１
si

2

P1 ･P2 ＝v i・u i・v i・u i＝sisi

2v i・u i＝Pi （i＝１，２）

１v 1 ・u 1 ・v 2 ・u 2 ＝O，P2 ･P1 も同様。
s１s２⑷は次のように考える。任意の（縦）ベクトル x は，一意的にα1v 1 ＋α2v 2 と表される。
これに⑷の左辺の行列を，線形変換として適用する。i，j＝１，２としてPi v j ＝

s１v i・u i・ v j ＝ i v i・δi jsisi（j＝ i なら v i ，j≠i なら０）だから，次の等式が成立する。
（P1 ＋P2 ）x＝α1v 1 ＋α2v 2 ＝ x＝I x（λ1 P1 ＋λ2 P2 ）x＝λ1 α1v 1 ＋λ2 α2v 2 ＝Aα1v 1 ＋Aα2v 2 ＝Ax
これらがすべてのベクトル x に対して成立する。これは両辺の写像を表す行列どうしが相等しい（式⑷）ことを意味する。▯
定義 上述の性質⑶，⑷を満たす２次行列 P1 ，P2 をもとの行列 A のスペクトル分解という。それは式⑷を P1 ，P2 の連立一次方程式とみなせば一意的である。▯
実用上には⑷を解いて，次のように直接に計算するほうが早い。
P1 ＝１１(A－λ2 I），P2 ＝(λ1 I－A）
λ1－λ2
λ1－λ2⑸３．Ａの累乗の式
定理３ スペクトル分解 P1 ，P2 が既知とする。λ1 ≠ λ2 のとき，A の累乗は次の式で与えられる。
An＝λ1nP1＋λ2nP2⑹系

もしλ1 ≠０，λ2≠０ならば，A の逆行列 A-1 は⑹で n＝－１とおいた式

１１
P1＋ P2λ2λ1で与えられる。
。次に n＞０のとき正しい
証明 n＝０，１のときは補助定理２による（A0＝I とみなす）とすれば
An＋1＝An・A＝（λ1nP1＋λ2nP2）（λ1P1＋λ2P2）＝λ1n＋1P1＋λ2n＋1P2＋（λ1nλ2・P1・P2＋λ1λ2nP2・P1）⑺

だ が ， P1・P2 ＝P2 ・P1＝O（零行列）で⑺の末尾の（ ）内は O に等しく，⑺は⑹のn＋１の場合になる。すなわち n に関する数学的帰納法で正しい。
系は同様に，n＝－１とした式に A＝λ1 P1 ＋λ2 P2 を掛ければ P1 ＋P2 ＝I になるので，それが逆行列である。▯
以上によって A の固有値λ1 ，λ2 （但しλ1 ≠λ2 ）さえ計算できれば，A の累乗もさらに逆行列（λ1λ2 ≠０のとき）も，対角化行列などを計算せずに，直接に計算できる。
４ １
例１ A＝ 
８ ６

固有方程式はλ2－１０λ＋１６＝０であり，固有値はλ1 ＝８，λ2 ＝２；式⑸から
P1 ＝１ ４ －１
１２ １， P2 ＝ ６－８ ２ 
６８ ４であり，累乗は次のようになる。
An＝n＋23n＋1８n－２n ８n ２ １ ２n  ４ －１ １２ ＋２＋＝
６ ８ ４６ －８ ２  ６８n +1－２n＋3 ２3n＋2＋２n＋1 

必要ならば A を対角化して検算してみるとよい。
４．固有値が重解の場合固有方程式⑴が重複解λをもつ場合には，上述の方法は適用できないが，伝統的な標準手法で累乗 An が計算できる。
もしも重複固有値λに属する固有ベクトル空間が２次元ならば，A は（λ，λ）を対角線成分とする対角線行列に変換できる。しかしそれは初めから A＝λI の場合であって，計算は容易である。
それ以外の場合には A は対角化できない。しかし（いろいろな方法で）適当な可逆な変換行列 M により
λ １
０ １
＝λI＋ J， J＝ 
B＝M -1AM＝ ０ λ
０ ０とジョルダンの標準形に変換できる。J 2 ＝ O であり
An＝MB nM -1；B n＝（λI＋ J）n＝λnI＋ nλn－1Jの形で A の累乗が計算できる。具体的には次の通りになる。

An＝λnI＋ nλn－1（MJM -1）⑻

p q －r p pとおくと，MJM -1＝M＝ ps－qr －p r r s 

結局変換行列 M を求めることができれば，式⑻により An が計算できる。
２ －１
例２ A＝ 
１ ０ 2
固有方程式はλ2－２λ＋１＝（λ－１）＝０で，固有値は１（重解）１だが，固有ベクトル空間は１次元である。その一例は v＝   。
１１１ １
（A－λI）w ＝v である一般固有ベクトル w の一例は w ＝   。M＝[v w]＝ ，０ 
１ ０
０ １ 
１ １
１ n -1n
M－1＝  により，B＝M AM＝ ０ １ となる。B ＝I＋ nJ＝ ０ １ であり，１－１
n＋１ －n 
An＝MB nM -1＝ を得る。
１－n 
 n⑼ジョルダンの標準形に変換する行列 M は他にもあるが，An の結果は同一である。結果の式⑼がわかれば，それが正しいことは，n に関する数学的帰納法で確かめられる。
５．むすび
以上の議論はある程度一般の正方行列に拡張できるが、特に２次の場合の簡便法に重点を置いた。初めに述べた通り，こういった「安直な便法」が広まるのは必ずしも望ましいとは思われない。しかし出題者側は十分心得ていてほしい知識として紹介した次第である。