【解答解説】

A(1)

地表付近の万有引力のことを重力と定義しているので
m1 g = GG=

m1 m2
R2gR 2m2

9.78 ×(6.38 × 10 6 )G== 6.67 × 10−11
5.97 × 10 24⇒

log { g - ku(t)} = - kt + log g⇒

log { g - ku(t)} - log g = - kt⇒

 g - ku( t) log  = - ktg⇒g - ku(t)= e -ktg⇒u( t ) =2g(1 - e -kt )kまた ,t と u の関係は下図
m[m3/kg･s2]! LT'2 $ " ! L2 $#&% #" &% ! -1 3 '2 $!
! #" M L T &%（G の次元） "M# $(2)
(3)

du(t)
m=dt

_m∞ 5c_m l! 5 % ] %clc
(mg − mku(t)t → • のとき， u(t) → u• であり，du•=0dt

Bmg − mku•

よって， u• =lOであるから，(2) より=0)

gk(5)( ρの次元 ) ＝! M " =  ML-3  L3 ( τの次元 ) ＝! F " =  MLT  =  ML T -2(4)(2) よりdu(t)=dtg − ku(t)また , ! " !

であるから-1-2

uよりh LT -1 !L"であるから両辺を t に関して積分して( μの次元 ) ＝ [ML-1T-2] × [T]=[ML-1T-1]

1− log { g − ku(t)} = t + C （C は積分定数）k(6)f ! C! " " # u $ という形で表現されるとき , 力
f の次元 [MLT-2] は

ここで初期条件，t ＝ 0 のとき u(0) ＝ 0 より- L2 [ML-1T-2] ＝ ( μの次元 )1du(t) = 1dt
g − ku(t)1
C = − log gk L2 abgb[MLT-2] = [L] [ML-1T-1] [LT-1] = [M L(a-b+g) T -(b+g)]なのでと変形できるので , 指数を比較して11log { g - ku(t)} = t - log gkk

1

「面」では面上の１点を決めるのに，（x，y）＝（４，$! = 1&%" - ! + # = 1&- ! + # = -2"' !

３）と２個の数値を与えるとその点の位置が決定するので，面は２次元です｡（球の表面も２次元である｡ なぜなら，例えば地球の表面上のある位置はこの連立方程式を解いて緯度と経度の２個の数値で決定するからです｡）

α =β =γ =1

同様にして，体積をもつ立体は３次元であると言えCます｡(7)

浮力は以上，このように次元は決定されます｡ そして１

44!"# 3 g , 重力は !"s# 3 g , また ,33

次元の直線の区切り方として様々な単位が

速度 u(t) で運動している球に働く液体からの抵抗存在します｡ 例えばある直線の長さの区切り方で力は (6) より 6!"! u(t) であるから , この球の運も「１m」ずつ区切ったり１m を１００分割し「１動方程式はcm」ずつ区切ったり，さらにそれを１０分割して「１mm」ずつ区切ったりすることができます｡ 同じ4du(t) 44!"s# 3= !"s# 3 g - !"# 3 g - 6!#! u(t)3dt
33ように質量の直線軸の区切り方でも「１kg」ずつ区切ったり，それを１０００分割して「１g」ずつ区切っ(8)

球の速度が終端速度 u ∞ になった時たり，さらに１０００分割して「１mg」ずつ区切

du
=0なdt

れます｡ このように直線の区切り方だけでも色々あり，その区切り方のことをので (7) よりと呼びます｡

ただ上のような区切り方は地球上の人間達がその444!"s# 3 " 0 = !"s# 3 g - !"# 3 g - 6!#! u$
333⇒ u! =単位ように区切っているだけなので，他の惑星の人？生物？とにかく言葉が通じなくとも意思疎通できる存2" 2 ! #s - # " g9#

在に，例えば「この棒の長さは３m ３０cm」と伝えても「何それ？メートルとかセンチメートルって解答は以上です。 何？」となる（人間以外の存在が長さを人間と同じように区切っているとは限りませんから｡）ことを念頭に置いておいて下さい｡＜考察＞

さて，そろそろ本題に入りたいと思います｡ 出題

微分方程式を解くことができたなら，問題自体は易しかったでしょう。それではここから次元問題は流体中の物体の運動についての内容でした｡の問題文中に与えられている物理量で考察に移ります｡ まず，次元の定義から入りましょう。次元の定義は「１点の位置をを決めるのに必要流体の粘性抵抗 m [ML-1 T -1 ]な数値の個数」です｡

流体の速度 u [LT -1 ]具体的には，大きさを持たない「点」の中では位置の決めようがないので点は０次元です｡

流体の密度 r [ML-3 ]「直線」では基準となる点を決めておき，そこから流体中の物体の半径 w [L]の距離に相当する１個の数（例えば x ＝５）をあたえれば１点の位置が決定する｡ したがって直線は１がありました｡ これらの物理量を組み合わせると次元です。

2

R=!" u!

りながら，もしくは造ってから渦の影響が少なくな・・・①るよう修正していくのはナンセンスです｡ そこでこという単位のない物理量（これを無次元量と呼ぶ）のレイノルズ数が活躍します｡ ①式より建造物の実が作られます｡ この無次元量 R をレイノルズ数と呼物大の模型を用意しなくてもミニチュアサイズの模びます｡ この量が一体何なのかと言うと，実は流体型（①式の w の値は小さい）を用意し周りの流体の中の球体や棒の後方には「カルマン渦」と呼ばれる速度を大きく調整すればレイノルズ数は一致，つま渦ができています｡（コーヒーに入れたミルクを掻り渦の様子は変わりません｡ これを利用すると，物き混ぜたときにできる渦もカルマン渦です｡）

体の周りの流体の物理量を巧く調整することで実物そしてそのカルマン渦の出来具合（渦の様子）が大の建造物を造らなくてもミニチュアサイズの模型

このレイノルズ数の値で把握できます｡ レイノルズを用いた実験で，建造前にあらかじめ渦の影響を把数の値によって出来るカルマン渦は以下のようにな握することができます｡ このようにして，活躍するります。

無次元数としてレイノルズ数という量があるのです｡
そして，このレイノルズ数 R は無次元量であるので，地球上で人間が R ＝２００の時に測定した渦の様子と，異なる惑星の生物が彼らにとってのレイノルズ数 R が R ＝２００の時に測定した渦の様子は全く同じになります｡ つまり言葉は通じなくてもレレイノルズ数約 50 以下

イノルズ数が同じ時の渦の出来具合は共通認識できるということですね｡
以上です｡
＜追記＞

レイノルズ数約 60 以上

１９４０年にアメリカ合衆国ワシントン州タコマ
市でカルマン渦の影響を無視して（当時はカルマン渦の存在が知られていなっかた）設計した
ズ橋

ナローが崩壊した出来事があります｡ 橋がカルマン渦の影響で激しく振動し，ねじれている様子が，動画サイトにアップロードされているかもしれないの

レイノルズ数約 1500

で興味のあるかたはそちらも見てみて下さい｡

このように渦の様子が把握できて何が嬉しいのかと言うと，飛行機が空中を飛行している時や架橋周辺で風が吹いているとき，飛行機や架橋の後方にはカルマン渦が発生しており，建造物は渦の振動の影響を受けます｡ 飛行機や架橋の設計ではこのような渦の影響を考慮する必要がありますが，機体や橋を造3