ポスト LIBOR（NO.3）

TOTAN RESEARCH CO., LTD

ポスト LIBOR_2021.09.29
東短リサーチ 研究員 髙田栄人
「TONA 複利」は、「貸出」及び「債券」における円 LIBOR の代替金利指標として第２順位に推奨され、また「デリバティブ」では、ISDA マスターに準拠し円 LIBOR の代替金利指標として現在利用されています。しかし、一般的に、「TONA 複利」は非常に難しいもののように考えられています。その根本的な理由は、「TONA は単体で利用するものではなく、複利計算したものを参照金利として利用する」ことにあると思われます。そこで今回は、「TONA 複利」をより身近に感じて頂くために、その計算方法 1をご紹介いたします。
1. LIBOR スワップ
2. TONA スワップと円 OIS
3. TONA スワップのフィキシングと決済タイミング
4. 「複利」と「単利」
5. 「TONA 複利」算出の基本的な考え方
6. 具体的に「TONA 複利」を計算する(1) 各営業日間の元利合計金額を求める(2) 各営業日間の元利合計金額それぞれを乗じる(3) 元利合計金額から TONA 複利を導き出す

1. LIBOR スワップ
金利スワップ（：Interest Rate Swap）とはデリバティブの一つで、同一通貨の固定金利と変動金利を交換する取引が最も一般的です。これまで東京円金利スワップ市場では、日本国債の金利支払いサイクル（6 カ月ごとに年 2 回）に合わせて、6 カ月間の固定金利利息と 6カ月物円 LIBOR（変動金利）利息を交換する取引が一般的でした。金利スワップはオフバランス商品ですので元本の交換は行われず、元本は利息計算にのみ使用されるため「想定元本」と呼ばれています。そして、実際にやり取りするのは、固定金利利息と変動金利利息の差額のみです（「差金決済」）。
下の図は、スタンダードな円 LIBOR スワップ（プレーンバニラ）取引を行った場合の６カ月間の固定金利受け vs 変動金利（6 カ月物円 LIBOR）払いのキャッシュフロー（下向きは受け、上向きは払い、横軸は時間の流れ）を表しています。
1

参考資料：「TONAWJ（TONA 算出方法について）」（REFINITIVE）

および「TONA 複利（後決め）レートの規定参考例」（一般財団法人全銀協協会、2021 年 1 月 29 日）
https://www.zenginkyo.or.jp/fileadmin/special/libor/pdf/tona_rate_sample.pdf、

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払い：変動金利
フィキシング・デート（想定元本 x 6m¥LIBOR x 6か月の実日数/360）

受

3/30 4/1

受け：固定金利

払（想定元本 x 固定金利 x 6か月の実日数/365）

4/1

10/1

固定金利と変動金利の利息の差額を決済

受

LIBOR 金利は、利息計算期間がスタートする日（：バリューデート）（4/1）の２営業日前（：フィキシング・デート）（3/30）に決定する「前決め」方式です。固定金利・変動金利
サイドで別々に利息計算を行い、利息計算期間終了日（10/1）に、固定金利と変動金利の利息の差額のみを差金決済します。

2. TONA スワップと円 OIS「TONA スワップ」は、一定期間の固定金利と TONA 複利（後決め）の利息を交換するスワップです。1 年超では、通常 2年に 1 回、12 カ月間の固定金利利息と TONA 複利の利息を交換します。1 年以内の、例えば 3 カ月物 TONA スワップの場合は、3 カ月間の固定金利とTONA 複利の利息を 1 回のみ交換します。
TONA 複利を参照金利とする TONA スワップは、もともと中央銀行の金融政策を反映する金融商品として 1997 年に誕生し、当時は「円 OIS」（：Overnight Index Swap）と呼ばれていました。取引期間は最長でも 1～2 年以内に限定された短期金融商品でした。2006～2007 年の利上げ局面では、日銀の政策決定会合毎の利上げ（利下げ）確率を取引する金融商品として注目を集めました。
2016 年 12 月、「TONA」は日本円 RFR に採用され、円 LIBOR に代わる参照金利として注目を集めています。そして、1997 年に誕生した短期金融商品の円 OIS は、現在では「TONA スワップ」と呼ばれ、期間 40 年まで取引される金融商品に生まれ変わりました。

3. TONA スワップのフィキシングと決済タイミング
TONA は、オーバーナイト取引をベースに算出されます。本来であれば、日銀から発表され

2

TONA スワップの固定金利受払頻度には、年 1 回と年 2 回の 2 タイプがあります。

2

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る TONA「確報値」を用いて毎営業日に差金決済されても良いようなものです。
例として、スタンダードな 1 年超の TONA スワップ（固定金利受け vs 変動金利払い）取引を行い、毎営業日ごとに決済すると仮定した場合の固定金利と変動金利（TONA）のキャッシュフロー（下向きは受け、上向きは払い、横軸は時間の流れ）を図に表してみました。
払い：変動金利（想定元本 x TONA x 1営業日の実日数/365）
4/1

翌年4/1

4/2 4/3 4/4 4/5

受け：固定金利（想定元本 x 固定金利 x 1営業日の実日数/365）

実際に決済するのは、下図のように固定金利と変動金利の利息の差額のみですが、1 年超の取引期間にわたって、毎営業日ごとに決済する事務作業は煩雑であり現実的ではありません。
払い：変動金利

4/1

翌年4/1

受け：固定金利
4/2 4/3 4/4 4/5
固定金利と変動金利の利息の差額を決済（毎営業日）

そこで、毎営業日ごとに決済するのと同じ効果を得ながらも、事務作業を極力抑えるために、営業日毎に元利合計金額を再投資する「複利」方式が取られています。実際に TONA「確報値」を参照金利として利用する場合には、最長 12 カ月間の TONA を複利計算します。
下の図は、実際に行われているスタンダードな 1 年超の TONA スワップ（固定金利受け vs変動金利払い）取引を行った場合のキャッシュフローを表しています。通常、1 年超の場合のペイメント回数は年 1 回で、12 カ月間の固定金利利息と TONA 複利の利息の差額のみを払い：変動金利（想定元本 x TONA複利 x １年間の実日数/365）

払4/1

受け：固定金利

翌年4/1（想定元本 x 固定金利 x １年間の実日数/365）

4/1

受（マチュリテー・デート）翌年4/1 4/3（ペイメント・デート）

固定金利と変動金利の利息の差額を決済

3

4/3

受
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TOTAN RESEARCH CO., LTD差金決済します。
ここで注意が必要なことは、決済日（ペイメント・デート）がスワップ期間終了日（マチュリティー・デート）の２営業日後である翌年 4 月 3 日になることです。主な理由として、このスワップの最後の TONA（翌年 3 月 31 日～4 月 1 日）の確報値が発表されるのが 4 月 1日の朝 10 時頃であるため、時差のある海外金融機関が決済事務を確実に行うための時間が必要だからです。

4. 「複利」と「単利」
金融商品の利息計算には、単利計算と複利計算があることはご存知だと思います。
単利計算ではオリジナルの元本に対して利息が付くため利息金額が同じになるのに対して、複利計算では利息と一緒に元本を運用し続けるため、プラス金利の場合は、利息金額がどんどん増えていきます。
では、元本 100 万円を期間 3 年、金利 3％で「単利」と「複利」で期間： 3年運用した場合を考えていきます。

金利： 3%
元本： 100万円「単利」運用した場合は下の表のようになります。詳しい説明は必要ないと思います。元本 100 万円に対して金利 3％（年利）で運用したとすると、毎年 3 万円、3 年間合計で 9 万円の利息が付きます。
単利

元本

金利

利息

元利合計

計算式

1年目 1,000,0003%

30,000 1,030,000 =1,000,000+1,000,000x3%

2年目 1,000,0003%

30,000 1,060,000 =1,000,000+1,000,000x3%x2

3年目 1,000,0003%

30,000 1,090,000 =1,000,000+1,000,000x3%x3

一方、「複利」運用した場合は下の表のようになります。1 年目は単利運用の場合と同じで、元本 100 万円を金利 3％で 1 年間運用するので、1 年後には 103 万円になります。単利と複利の違いは 2 年目以降の運用方法に現れます。
複利

元本

金利

利息

元利合計

計算式

1年目 1,000,0003%

30,000 1,030,000 =1,000,000+1,000,000x3%

2年目 1,030,0003%

30,900 1,060,900 =1,030,000+1,030,000x3%

3年目 1,060,9003%

31,827 1,092,727 =1,060,900+1,060,900x3%

つまり、1 年目の利息 3 万円も含めた元利合計 103 万円を、金利 3％で 1 年間運用するので、2 年後には 106 万 900 円となります。この 900 円は利息（3 万円）についた利息です。3 年目には、2 年目の元利合計である 106 万 900 円を、金利 3％で 1 年間運用するので、3 年後には 109 万 2,727 円となります。3 年目の利息 1,827 円は利息（6 万 900 円）についた利息です。このように、「複利」は利息と一緒に元本を運用していきます。
4

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この単利と複利の場合の元利合計金額の算出式は以下のように表すことができます。単利の場合は金利部分に対して年限の数だけ掛け合わせるのに対して、複利の場合は、(1+金利)を年限の数だけ累乗します 3。
元利合計金額（単利）= 元本 x(1+金利 x 年限数)
元利合計金額（複利）= 元本 x(1+金利)年限数

5. 「TONA 複利」算出の基本的な考え方
先の「複利」の基本的な考え方を「TONA 複利」計算に応用していきます。両者の違いは、毎年の複利計算と毎営業日の複利計算にあります。そこで、計算式中の年限数を期間日数に変更し、また TONA が 1 営業日分であることを考慮して修正すると次のようになります。
元利合計金額 = 元本 x(1+TONAx1/365)期間日数
元利合計金額が分かれば、TONA 複利を求めることが出来ます。なぜなら、元利合計金額
は、オリジナル元本とオリジナル元本に対する利息（TONA 複利）で構成されているからです。
（以下は、オリジナル元本=1 と仮定した場合の公式です。
）
元利合計＝1 + (TONA複利 x 実日数/365)の関係が成立します。
これを変形すると、
TONA複利 ＝ ( 元利合計 - 1)x365/実日数となります。

では、3 日間、元本 1 を金利 TONA（年利）で複利運用した場合

期間： 3日金利： TONA（年利）
元本： 1を例にとって考えていきます。
元本１を TONA 金利で１日運用した場合の利息は 1x(TONAx1/365)、元本を含んだ元利合計金額は 1+1x(TONA x1/365)となります。
複利

元本金利

利息

元利合計

1日目

1TONA

1x(TONAx1/365）(a)=1+1x(TONAx1/365）

2日目

(a)

TONA

(a)x(TONAx1/365）(A)=(a)+(a)x(TONAx1/365）

3日目

(A)

TONA

(A)x(TONAx1/365）(B)=(A)+(A)x(TONAx1/365）

計算式

2 日目に、オリジナル元本 1 に 1 日目の利息を加えた元利合計(a)を TONA で運用した場合の元利合計金額(A)は、(a)+(a)x(TONA x 1/365)となります。
3

元利合計金額（複利）= 元本 x(1+金利)年限数は、FV=PVx(1+R)n の変形です（FV：将来価値、PV：現在価値、R：金利、n：年数）。

5

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3 日目に、2 日目に運用した場合の元利合計(A)を TONA で運用した場合の元利合計金額(B)
は、(A)+(A)x(TONA x 1/365)となります。
例えば、TONA が 1 年を通して同じ金利で、且つ週末を含めた 365 日間を複利計算する場
合、以下の計算式で 1 年間の TONA 複利を算出することが出来ます。
元利合計金額 = 元本 x(1+TONAx1/365)365
しかし、実際には、TONA は毎営業日変化し、また TONA 複利には「週末や祝祭日は複利計算しない」というルールがあるため、この計算式を TONA 複利計算に採用することはできません。そこで、次の例題で示すように、毎営業日間の元利合計金額を求め、それらを合算する方法をとっていきます。

6. 具体的に「TONA 複利」を計算する
先ほど、「元利合計金額が分かれば TONA 複利が求められる」ことを学びました。
「TONA 複利」を求める計算順序は以下の通りです。
(1) 各営業日間の元利合計金額を求める。
(2) 各営業日間の元利合計金額それぞれを乗じる。
(3) 元利合計金額から TONA 複利を導き出す。
例として、期間の短い２週間物 TONA スワップ取引を行った場合の「２週間の TONA 複利」を求める考え方、および計算方法を見ていきます。
期間： ２週間（14日）
開始日： 2021/9/13

して複利計算の結果の違いを分かりやすくするために、毎営業終了日： 2021/9/27日の TONA 確報値は 3％と仮定しました。

TONA： 3%
元本： 1日月

火

56121926

左のカレンダーを見てください。対象期間内に、通常の週末以外９月に 2 回の祝祭日があります。この場合の元利合計金額計算方法

2021年

水木

金土

7891011131415161718202122232425272829開始日
祝日
終了日

期間は 2021 年 9 月 13 日～2021 年 9 月 27 日、元本は 1、そ12

祝日

3034に注意してください。
(1) 各営業日間の元利合計金額を求める
下の表の「営業日」とは、開始日の 2021 年 9 月 13 日から終了日の 2021 年 9 月 27 日までの営業日毎の日付と曜日、「TONA」

は開始日の 9/13～24（：9/27 の前営業日）までの各営業日の TONA 確報値（3％）、「Days・期間」は各営業日間の実日数とその期間です。
6

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開始日（9/13）から終了日（9/27）までの各営業日間を TONA（3%）で運用した場合の各営業日間の元利合計金額（a～h）は次のようになります。
TONA

営業日

2021/9/13
2021/9/14
2021/9/15
2021/9/16
2021/9/17
2021/9/21
2021/9/22
2021/9/24
2021/9/27

月
火
水
木金
火
水
金
月

Days

3.0%
3.0%
3.0%
3.0%
3.0%
3.0%
3.0%
3.0%

期間

元利合計

計算方法

1 9/13 ～ 14
1 9/14 ～ 15
1 9/15 ～ 16
1 9/16 ～ 17
4 9/17 ～ 21
1 9/21 ～ 22
2 9/22 ～ 24
3 9/24 ～ 27

1.00008219178082
1.00008219178082
1.00008219178082
1.00008219178082
1.00032876712329
1.00008219178082
1.00016438356164
1.00024657534247(a) =1+(3%x1/365)(b) =1+(3%x1/365)(c) =1+(3%x1/365)(d) =1+(3%x1/365)(e) =1+(3%x4/365)(f) =1+(3%x1/365)(g) =1+(3%x2/365)(h) =1+(3%x3/365)

9/13～14 の１日間、元本１に対して TONA 3％で運用した場合の元利合計金額（a）を求める計算式は 1+(3％x1/365)。9/14～15 の１日間、元本１に対して TONA 3％で運用した場合の元利合計金額（b）を求める計算式は 1+(3％x1/365)。同様に、9/15～9/16、9/16～9/17、
9/17～9/21、9/21～9/22、9/22～9/24、9/24～9/27 の各営業日間、元本 1 に対して TONA3%で運用した場合の元利合計金額（c～h）を求める計算式は 1+(3%x 実日数/365)となります。
(2) 各営業日間の元利合計金額それぞれを乗じる
次に、9/13～27 の２週間、TONA（3%）で複利計算した場合の元利合計金額 (G)を求めます。
9/13～27 の 2 週間は、9/13～14、9/14～15、9/15～9/16、9/16～9/17、9/17～9/21、9/21～9/22、9/22～9/24、9/24～9/27 の８つのパートから構成されています。それぞれの元利合計金額（a～h）は既に求められており、それら（a～h）を乗じたものが 9/13～27 の元利合計金額となります。
9/13～27 の元利合計金額（G）= (a)x(b)x(c)x(d)x(e)x(f)x(g)x(h)
期間

元利合計

計算方法

9/13 ～ 15
9/13 ～ 16
9/13 ～ 17
9/13 ～ 21
9/13 ～ 22
9/13 ～ 24
9/13 ～ 27

1.00016439031713
1.00024659560949
1.00032880765844
1.00065768288288
1.00073992871983
1.00090443391359
1.00115123226716(A) =(a)x(b)(B) =(a)x(b)x(c)(C) =(a)x(b)x(c)x(d)(D) =(a)x(b)x(c)x(d)x(e)(E) =(a)x(b)x(c)x(d)x(e)x(f)(F) =(a)x(b)x(c)x(d)x(e)x(f)x(g)(G) =(a)x(b)x(c)x(d)x(e)x(f)x(g)x(h)TONA複利

計算方法

3.00012% =((A)-1)x365/2
3.00025% =((B)-1)x365/3
3.00037% =((C)-1)x365/4
3.00068% =((D)-1)x365/8
3.00082% =((E)-1)x365/9
3.00108% =((F)-1)x365/11
3.00143% =((G)-1)x365/14(3) 元利合計金額から TONA 複利を導き出す想定元本が 1 の場合、以下の関係が成り立ちます。
元利合計 = 1+(TONA 複利 x 実日数/365)
TONA 複利 = (元利合計–1)x365/実日数7

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9/13～9/27 の元利合計金額(G)は想定元本 1 を前提としているため、9/13～9/27 の TONA 複利は以下のように求めることができます。
9/13～27 の TONA 複利 = ( (G) -1 ) x 365/14= (1.00115123226716 - 1) x 365/14= 3.00143%
ところで、TONA 複利計算時の注意すべきポイントは以下の３点です。
(1) 土日や祝祭日に係る TONA は複利計算せず、そのまま（横置きして）適用します。そのため、今回の２週間物 TONA 複利を求めるために複利計算した回数は 14 日間に対して8 回となります。
(2) 元利合計金額は、小数点以下 15 位を切り捨て、小数点以下 14 位までとします。
(3) 「TONA 複利」の端数処理について、小数点以下 6 位を四捨五入して小数点以下 5 桁（%）とします（3.00143％）。
以上
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