ISSN 1882-5745 2018 年11月発行 隔月年6回発行 第11巻 第6号（通巻66号）

サイエンス・インタビュー
Science Interview

数学と錯覚が生み出す不思議な立体の世界！
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手前から見ると四角い筒を並べた立体。

サイエンス・インタビュー 科学のいま、そして未来

ところが、これが鏡に映ると、筒はなんと数学と錯覚が生み出す不思議な立体の世界！

丸い形に変身！
？（図 1） こんな不思議な杉原 厚吉（明治大学研究・知財戦略機構特任教授 / 同大学先端数理科学インスティテュート所長）

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立体アートを、数学を駆使して次々に生【特集】 博物館における文化財科学
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み出し続けているのが杉原厚吉先生です。
「不可能立体」や「変身立体」と名づけ博物館における臨床保存られた、錯覚を利用した数々の作品を前

神庭 信幸（東京国立博物館名誉館員）に、作品が生み出されるプロセスや錯覚

正倉院宝物を支える保存科学

中村 力也（宮内庁正倉院事務所保存課整理室長）

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世界の資料を保存する

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DNAから博物館資料を考える

園田 直子（国立民族学博物館教授）の不思議について語っていただきました。
ニコチンという毒のあるタバコも食べてしまうタバコシバンムシにより食害された植物標本。

写真提供：木川りか

どのような研究をなさっていたのですか。
私は大学と大学院で、数理工学を学ん小判を金色に見せる技術「色付」でいました。
数理工学とは、
簡単にいえば、

齋藤 努（国立歴史民俗博物館研究部教授）

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数学を道具としていろいろな工学の分野

X線 CTを用いた文化財の科学調査に活かす研究です。大学院を修了した年

鳥越 俊行（奈良国立博物館学芸部保存修理指導室長）

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標本の世界

新時代の菌類標本の活用

細矢 剛（国立科学博物館植物研究部菌類・藻類研究グループ長）

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日本の国立公園 第 9 回
白山国立公園 〜迫力ある火山地形と可憐な高山植物たち〜
宮下 央章（環境省中部地方環境事務所白山自然保護官事務所自然保護官）取材協力
大塚 健斗（白山市白峰化石調査センター化石調査員）取材協力

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親子で遊ぼう! 科学冒険隊＃65 偏光板ってなんだろう？
大山 光晴（秀明大学学校教師学部教授）監修

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DNAを知る 第 6 回

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世界の科学ニュース & おもしろニュースを10 分で

表紙写真

milsil カフェ／編集後記／定期購読のお知らせ／次号予告とうてつ

上の 3 点は、中国古代青銅器「細線饕餮もん か紋斝」の外観（左）とＣＴ画像（中央）、3Ｄ断面画像（右）。
写真提供：奈良国立博物館（上の3点）、中村力也（下）杉原 厚吉

すぎはら こうきち

1973 年東京大学大学院工学系研究科計数工学専門課程修士課程修了。工学博士（1980 年東京大学）。1973 年東京大学工学部助手、通商産業省電子技術総合研究所研究官、名古屋大学助教授、東京大学教授などを経て、2017 年より現職。東京大学名誉教授。錯覚作品「Impossible Motion: Magnet-Like Slopes」でBest Visual Illusion of the Year Contest 2010 優勝。
『不可能物体の数理』『だまし絵のトリック』『新 錯視図鑑』など著書多数。

次元）画像からコンピュータに立体の奥行させようとしたら、コンピュータにどんなの知識を活かして、ロボットの目を研究きを推測させるというものです。そのため計算をさせる必要があるのか。それを考するグループに配属されました。人間はには方程式を立てて、推測される立体のえるのが研究テーマでした。

目の網膜に映った画像を脳に送って、見頂点の3次元座標を求めます。
「1枚の平ロボットの目の研究と、「不可能立体」ているものを認識します。それと同じこ面画像が与えられたときに、それと同じよの作品づくりは、いつ、どのように結びつとをロボットにさせようという研究です。

うに見える立体は？」という方程式を立ていたのですか。

ロボットの場合はカメラに映ったデジタると、画像が正しければその答え（解）は一連の研究のなかで、線図形でできたル画像をコンピュータに送り、コンピュー無限に出てきます。でも、人間は網膜像か絵をロボットに見せ、それがどんな立体タが処理して認識結果を示します。

ら即座に単一の立体の形を思い浮かべるかを判定するコンピュータ・プログラムことができます（図2）。人間と同じことををつくりました。その性能を確かめるた図1
変身立体『四角と丸』（左）、『満月と星』（右）下は、正倉院宝庫内での点検作業の様子。

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明治大学研究・知財戦略機構特任教授／
同大学先端数理科学インスティテュート所長に就職した電子技術総合研究所では、そ私が受けもった課題の一つが、平面（2遺伝子操作でできること② 〜 CRISPR-Cas9 がもたらした大革命〜
NEWS & TOPICSから始まった先生は「不可能立体」の研究以前は、

木川 りか（九州国立博物館博物館科学課長）

16■■最 初はロボットの目の研究

手前から見た立体と、鏡に映った立体の形が異なるものに見える。互いに向かい合う方向から 45°の角度で見下ろすと、錯覚によって両側の立体の形が変わって見えるように設計されている。
写真 2 点：杉原厚吉

ロボットの推測

サイエンス・インタビュー

図2 ヒトの目とロボットの目の違い

Science Interview

平面画像には奥行きの情報が欠けているので、ある視点から平面画像のように見える立体は、実は無限にある。しかし私たちは、経験をもとにその図5 『変身するガレージ屋根』なかから特定の立体を推測している。

ある視点から見るとガレージは丸い屋根だが、鏡に視点映った姿は波屋根になっている。以下のアドレスに展開図（英語）があるので、実際につくってみよう。
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kokichis/

るのですか。
ヒトの推測

網膜像「不可能立体」の場合は、まず元にな

ambiguousc/handout.pdf
写真：杉原厚吉

る絵を手に入れます。絵がない場合は自めに、いろいろな絵をロボットに見せま※1という部署に協力をお願いしたりしまし分で描きます。その絵を、前述のプログに避けたいとき、素早く物をつかみたいラムに見せるわけです。プログラムに用ときに、あれこれ可能性を探っている余※2した。そのときに、エッシャー の「だた。当時共同で製作したものに、V字型いている数学は「線形代数 」という、裕はありません。瞬時に「これだ」と決まし絵」も見せてみたのです。当然「その隙間にあり得ない向きに棒が貫通する

理工系の大学生が教養課程で学ぶレベル

め打ちして行動に移した方が生きていく

んな立体はあり得ない」とコンピュータ立体があります（図3）。のものです。線形代数を使って方程式をうえで有利だったのではないでしょうか。

が答えることを期待していたのですが、こうした立体づくりは研究の本流では立て、平面から立体を推測させるプログ

か自分でも想像することはほとんどできでは、多くの可能性のなかから、脳はごくまれに「そういうふうに見える立体ないので、あまり時間を割くわけにはいラムを構築しました。このプログラムでませんでした。プログラムで得られた展どのように形を決め打ちしているのか、がある」という答えが返ってきたのです。

きません。ですから、それ以降は自分の得られるのは「不可能立体」の解です。

開図から工作してみて「あ、こんな形だっというのが次の問題だと思います。私が最初はプログラムのミスかと思いました

時間を利用して、立体としてつくれるだ

ただし、解は無限にありますから、そたのか！」と納得しました。こうした立しばしば感じるのは「脳は直角が大好き」

が、プログラムの誤りではなくて、実際まし絵を集め、ほそぼそと不可能立体ののなかからつくりやすそうで、見た目も体は、直観や試行錯誤でつくることはでだということです。同じに見える可能性に、不可能と思える立体でも、角度を固作品をつくりためていきました（図4）。

おもしろそうなものを選んで、コンピューきません。正しく方程式を立てることがのある立体のなかから、直角が多いものタに展開図を作画させます。以前はそのできれば、後はコンピュータが解いてくを好む傾向があるように思えるのです。

展開図を厚紙に写して自分で組み立ててれますから、数学の力を実感できる分野たとえば図6の上段を見てください。こいましたが、現在は3Dプリンタ用のデーでもあります。

れは『反重力三連すべり台』という作品

もう一つ重要なのは、数学を勉強するで、ある視点から見ると球が3つの台をモチベーションになり得るということで飛び移りながら上に転がっていくようにす。私は、中学生や高校生にだまし絵を定すればそう見えるものがある、ということがわかったのです。これが、だまし絵や人間の目の錯覚に興味が広がった■■数 学が教えてくれる未知の不可能立体

図6 『反重力三連すべり台』

上図のような決まった視点から見ると、球が重力に逆らって下から上へ登っていくように見える。下図
写真 2 点：杉原厚吉
は視点を変えた種明かし。

ればよいと思います。

だまし絵は、もともとお好きだったのですか。

タにして、一気に立体をつくりあげます。

小学生のころから、だまし絵を見るの先生の代表作の一つ『変身するガレージ

■「直角」
■
が大好きな人間の脳は好きでした。最初の出合いは学校の図

屋根（図5）』は、実際につくってみると先生は数学を使った錯覚研究をされてい錯覚します。実際は下段のように滑り台楽しんでもらうときに、「数学がないとこ書館だったと思います。特にエッシャー納得できる不思議な作品です。これはどのますが、ヒトはなぜ錯覚するのでしょうか。の柱が斜めに傾いているのですが、脳はういうものはつくれませんよ」と強調してコンピュータにだまし絵を見せたのは、いのだまし絵は不思議で魅了されました。

ように着想されたのですか。

それは、心理学や認知科学の問題だと「柱が垂直に立っている」と解釈し、長います。それなら、数学を諦めないでおつごろのことですか。

工作も好きで、ゴム動力で飛ぶ模型飛行

ある方向から見ると曲面のかまぼこ屋思います。錯覚を利用する作品を扱ってい柱ほど高いところを支えていると推論

こうと言ってくれる生徒もいるし、高校のプログラムは28 〜 30歳のころに完成機をよくつくりました。竹ひごをろうそく根に見え、別の方向から見るとＭ字型のいると、錯覚を起こした方が、脳にとっしてしまうのです。

数学の先生は、数学によるだまし絵づくしました。コンピュータの判定を受けての火であぶって曲げて翼の骨組みにして、波屋根に見える立体があるはずだ、といて都合が良いのだろうと感じます。純粋

私たちはだまし絵により自分が錯覚を起こりという話題を歓迎してくれます。数学

興味がわき、実際に自分の手で最初の不そこに紙を貼るのです。私は山の中で育っうことは、数学でわかりました。なぜなに数学的に調べると、1枚の平面の画像かすことを知って楽しんでいますが、錯覚をを使うからこそ得られる楽しさを、たくさ可能立体をつくってみたのが1980年のこたので、自然を相手にした遊びが至るとら、それぞれの形に見える画像から方程らでは立体の形が1つに決まらないという知ることにはどんな利点がありますか。

んの人に知ってもらいたいですね。とです。このときは、つくるといってもころにあり、昆虫採集も好きでした。

式を立て、それを連立して解けば得られことは、情報が足りないわけです。もし

錯覚は単なる勘違いではなくて、正解どういう形かわからないので、展開図を子どものころからの経験が活きているのでるはずだからです。しかし、方程式を立脳が「こんな形の可能性もある、あんなを教えられても直らないものです。いろ書いて紙工作をしたり、研究所の工作部すね。実際の作品はどのように生まれてくてた段階では、それがどんな形になるの可能性もある…」と思い始めたら、ヒトいろな錯覚を知ることで「見たら物の形はいつまで経っても行動に移せないではわかるはず」という常識が怪しいことしょう。たとえば、飛んできた物をとっさを理解してもらえるので、その素材になきっかけでした。
■■不 可能立体『ペンローズの四角形』をつくる※ 1マ ウリッツ・エッシャー…1898-1972 年。オランダの版画家。無限ループ状になった階段が描かれた『上昇と下降』をはじめ、建築不可能な構造物を描いた作品が有名。
※ 2線形代数…線形空間（ベクトル空間）を研究する数学の一分野で、「行列」という数学の考え方を使う。応用範囲が広く、統計学、画像処理、量子力学などの分野で使われている。

楽しみがあるから、研究も頑張れる
私は研究者になって良かったと思っています。新しいものを見つけたり、つくり出したり、つくったものを人に見せて驚いてもらったりするのは、とても楽しいことです。研究でも仕事でも一生懸命やろうとするとき、エネルギー源が必要です。私の場合、それは「楽しい」ということ。自分が楽しいから寝ることも忘れて研究ができます。少なくとも私の場合は、世の中の役に立ちたいという使命感だけでは、十分なエネルギーにはならないように思図4 『ペンローズの四角形』

図3 『V と棒』

木でつくられている。不可能立体は、角度を変えて見ることで、
写真 2 点：杉原厚吉
そのからくりがわかる。

『ペンローズの四角形』（左）。角度を変えて見る（右）と、実際は、平面に見えたところに曲面を使っていることがわかる。
右下はヒントとなった「ペンローズの三角形」（イギリスの科学者であるライオネル・ペンローズとロジャー・
写真 2 点：杉原厚吉
ペンローズ父子が考え出した不可能立体）。

います。
使命感をもって研究や仕事に励んでいる人も、そこに楽しみがあるから続けられるのでしょう。皆さんも、楽しいと感じることを仕事に選んでください。

文：上浪春海 写真：浅賀俊一 図 2、4：カサネ・治