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数学的活動の道標 ②（その２）

前回は，確率と期待値の実用的な側面にふれました。今回は，教科書に掲載されている「道順」をもとに話を進めていこうと思います。
実をいうと「道順」は，この連載における第 1 回めの 例題 1 で，すでに登場しています。
北例題 1
図のように，東西南北に走る道路網があり等間隔に整備されている。このとき，次の【条件】を考える。

西

B

東

【条件】点 A から点 B に行く最短経路で，角をちょうど 5 回曲がる。A

南

この 例題 1 の場合の数を正しく求めることも目的の 1 つかもしれませんが，本来の目的を見失わずにいることが，「道順」の利活用の幅を拡充するものだと思います。

例題 16
ある街の一部では，最適な電力を供給するため，住宅の区画を整備する計画がある。その計画では，スマートエネルギー住宅か一般住宅の建築のみでその部分を整備しようとしている。
(1)

図のような 6 区画に，スマートエネルギー住宅を 3 棟，一般住宅を 3 棟建築する。ここで，西側から東側に向かって順に住宅を建築するとき，東西

どの段階でもつねに（西側にあるスマートエネルギー住宅の戸数）F（西側にある一般住宅の戸数）を満たす住宅の建て方の場合の数は何通りあるか求めよ。
次に，ある区画では，すべてスマートエネルギー住宅を建築する計画がある。また，その区画に建築されるスマートエネルギー住宅はそれぞれ相異なる省エネ基準レベルの住宅であり，数字が大きいほど省エネ基準レベルが高いものである。

北(2) 図のような 10 区画に，スマートエネルギー住宅を10 棟建築するとき，省エネ基準レベルの数値がつねに同一の行（東西方向）では，西側より東側の方が高く，同一の列（南北方向）では，南側より北側の方が高い
ような住宅の建て方の場合の数は何通りあるか求めよ。

1

西

東
南

（ 例題 16 の略解）
(1)

スマートエネルギー住宅を建築することを「1」，一般住宅を建築することを「0」とする。

ここで，「1」と書かれたカード 3 枚と「0」と書かれたカード 3 枚の合計 6 枚のカードを，左（西側）から順に並べていくとき，どの段階でもつねに並べたカードについて，「1」と書かれたカードの枚数が，「0」と書かれたカードの枚数以上であれば条件を満たす。
このとき，「1」のカードを横の移動に対応させ，「0」のカードをを並べる「0」

縦の移動に対応させると，すなわち，これら 6 枚のカードにより，右図のような 3# 3 マスの道順が対応する。
ここで，点 A から点 B に至る道順の最短経路を考えると， 印を通過してはならない道順の総数が，求める住宅の建て方の場合の数に等しいから，それは「1」を並べる

5 （通り） （答）である。
「南」と書かれたカードが 5 枚あり，合計 10 枚のカードを(2) 「北」と書かれたカードが 5 枚，横一列に左側から順に並べていくことを考える。ここで，スマートエネルギー住宅の省エネ基準レベルの 10 段階を 10，9，8，7，6，5，4，3，2，1 とすると，条件を満たすスマートエネルギー
住宅の建て方は， 10 棟すべての住宅の省エネ基準レベルはそれぞれ異なるから，数字が大きいほうから順に 10，9，8，……，2，1 と右上側（北東側）から詰めて住宅を建築すればよい。
したがって，10 枚のカードをすべて横一列に並べるとき，「北」と書かれたカードを置くと北側の区画に住宅を建て，「南」と書かれたカードを置くと南側の区画に住宅を建て，どの段階でも，横一列に左側からカードを並べると，つねに「北」と書かれたカードの枚数が，「南」と書かれたカードの枚数以上であればよい。
このとき，「北」のカードを横の移動に対応させ，「南」のカードを縦の移動に対応させると，これら 10 枚のカードを並べる
ここで，点 A から点 B に至る道順の最短経路を考えると，印を通過してはならない道順の総数が，求める住宅の建て方の場合の数に等しいから「南」を並べる

ことで右図のような 5# 5 マスの道順が対応する。

「北」を並べる

42 （通り） （答）である。

例題 16 の背景は，カタラン数です。個人的な見解（推測）で恐縮ですが，ケーキ屋さんのウインドウでケーキが並んでいるケーキ配列は，品質管理の側面からすると，カタラン数の配列が実現しているかもしれません。
上述したように，「道順」に対応させる手続きは，これ以外にもたくさん存在しますが，たとえば，2 チーム（2 人）で試合を行うときの勝敗問題は，より簡素化して考察できるようになるでしょう。
2例題 17
太郎さんチームと花子さんチームの 2 チームでドッジボールの試合を行い，先に 4 勝したチームを優勝と決める。優勝が決まった時点で，それ以降の試合は行わず，各試合に引き分けはないものとする。
過去の対戦成績によると，1 回の試合で太郎さんチームが花子さんチームに勝つ確率は3で5ある。
(1)

太郎さんチームが 4 勝 2 敗で優勝する確率を求めよ。

(2)

花子さんチームは 1 試合めと 2 試合めに勝った。このとき，太郎さんチームが優勝する確率を求めよ。

(3)

4 試合めが終了した時点で，太郎さんチームは 1 勝 3 敗であった。このとき，どちらかのチームの優勝が決まるまでの残りの試合数の期待値を求めよ。

太郎さんチームが勝つことを， x 軸の正の方向に 1 だけ移動することに対応させ，花子さんチームが勝つことを， y 軸の正の方向に 1 だけ移動することに対応させると，下の図のような道順が考えられます。
たとえば，太郎さんチームが 4 勝１敗で優勝するのは，図における道順の最短経路に対し，点 O（試合前）から点 B に行き，点 B から点 Blに至ればよいことがわかります。
つまり，道順に対応させて考えると，太郎さんチームが 4 勝１敗で優勝するとき，点 Alは経由してはならないような誤認が回避でき，確率の計算もしやすくなるものと思います。
したがって，太郎さんチームが 4 勝１敗で優勝するのは，１試合めから 4 試合めのうち，太郎さんチームは 3 勝１敗（点 B に到達）であり，5 試合めで勝つ（点 Bから点 Blにいく）ことで優勝が実現するから，その確率は
4C3 d

3 3
33648
n d 1- n$ =5553125となります。実は，この確率は，本問の (1) と等しくなり，またこのような場面で意外性を認識することもできます。

（ 例題 17 の略解）
(1)

太郎さんチームが 4 勝 2 敗で優勝するのは，6 試合めで優勝が決定することである。すなわち，5 試合めが終了した時点で，太郎さんチームは 3 勝 2 敗であり，6 試合めは太郎さんチームが勝つことで太朗さんチームの優勝が実現できる（図においては，点 O から点 C に行き，点 C から点 Clに進むことが対応している）。
したがって，求める確率は
5C3 d

3 3
3 2 3648
n d 1- n $ =5553125である。
3(2)2 試合めが終了した時点で，太郎さんチームは 0 勝 2 敗であるから，太郎さんチームが優勝するのは，これより 4 連勝または 3 勝１敗のいずれかである。このとき，上図の道順で最短経路を考えると，または点 ]0 , 2g から点 C に至り，点 C から点 Clに到達する

点 ]0 , 2g から点 D に至り，点 D から点 Dlに到達するのいずれかであるから，求める確率は
3C3 d81648
1053
3 3 3
3 3 23+=n $ + 4 C 3 d n d n$ =6253125
3125
55555]約 34 %gである（太郎さんチームが優勝する可能性は 3 割もあるのか，それとも 3 割しかないのかととらえるのは，各個人の思いによるものです）。
(3)

4 試合めが終了した時点で，太郎さんチームは 1 勝 3 敗であるから，花子さんチームは 3 勝１敗である。5 試合め，6 試合め，7 試合めにおける勝敗で優勝が決まるから，このとき，優勝が決まるまでの試合数を N とする。
・ N = 1 であるとき，花子さんチームが優勝することになる。すなわち，その確率は25である。
・N = 2 であるとき，花子さんチームが優勝することになる。すなわち，5 試合めは太郎さんチームが勝ち，6 試合めは花子さんチームが勝つことで優勝となるから，その確率は

3 2
6$ =
5 525である。
・ N = 3 であるとき，太郎さんチームまたは花子さんチームが優勝することになる。すなわち，
5 試合め，6 試合め，7 試合めにおいて，太郎さんチームが 3 連勝するとき，太郎さんチームが優勝するから，その確率は
d3 327n =5125である。
また，5 試合め，6 試合めは太郎さんチームが勝ち，7 試合めは花子さんチームが勝つとき，花子さんチームが優勝するから，その確率は
d3 2 218n $ =55125である。

したがって，どちらかのチームの優勝が決まるまでの残りの試合数の期待値 E ]Ng は

E ]Ng = 1$26271810122749n=]試合g+ 2$+ 3$ d+++=525
12512525252525である（優勝に王手がかかったとき，このような考察が役に立つものと信じたいですね）。
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