実数 x の小数部分を，0 ≤ y < 1 かつ x - y が整2+1
1== 2+1
2 - 1 ( 2 - 1)( 2 + 1)

数となる実数 y のこととし，これを記号 < x > で表す．実数 a に対して，無限数列 {an} の各項 anであり， 2 < 2 + 1 < 3 より

(n = 1,2,3,…) を次のように順次定める．
(i)a1 = < a >(ii)

1⎪⎧⎪ an ≠ 0 のとき， an + 1 =an⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ an = 0 のとき，an+1 = 0(1)a = 2 のとき，数列 {an} を求めよ．

(2)

任意の自然数 n に対して an = a となるようなである．ここで，一般に，ある自然数 k に対して
ak = 2 - 1であればとなる．よって，帰納的に，すべての自然数 n にpと表すとき，q 以上のすべてq対して
an = 2 - 1である．

《(1),(2) の考え方》{an} の定義が少し分かりづらいですが(2)an(≠ 0) の逆数をとって得られる数の任意の自然数 n に対して an = a より
a1 = a

小数部分を an+1 とする．

つまり

an = 0 となれば，それ以降は 0 が続く．

<a>=aということです．

が成り立つことが必要．よって(1) は具体的に頑張るだけです．
(2) は「任意の自然数 n に対して〜が成り立つ」というタイプの設定であり，こういう場合は0≤a<1であり，条件より1≤a<13

特殊な n で考えて，必要条件から攻めるというのが常套手段でした．「逆」についてもしっとなる．このときかり記述しましょう．

1<《(1),(2) の解答》

1
≤3aであるから，

1 < 2 < 2 より
a1 =2 + 1 = ( 2 + 1) - 2= 2-1の自然数 n に対して，an = 0 であることを示せ．

(1)

1=2-1

ak+ 1 =a が有理数であるとする．a を整数 p と自然数 q を用いて a =2 + 1 = ( 2 + 1) - 2= 2-1

1以上の実数 a をすべて求めよ．
3(3)

1=2-1

a2 =

1の整数部分は 1，2，3 のいずれかaである．よって

2 = 2-1である．次に1⎪⎧⎪ 1⎪⎪ a - 1⎪⎪⎪11
a2 == ⎪⎨ - 2⎪⎪ aa⎪⎪⎪⎪ 1 - 3⎪⎪⎩ aª1 < a1 < 2ºª2 ≤ a1 < 3ºª a1 = 3º（☆の証明）
ak = ak+1 ≠ 0 のとき，定義より
ak + 2 =an = a が導けるのでである．
（後半部分の証明は，本問のためには不要）《(3) の考え方》

0 ≤ a < 1 かつ a2 = a

いまいちイメージが湧かないと思うので，具体的であれば十分である．
1<(i)な a で実験してみましょう．
a = 3 のとき

11< 2 つまり < a < 1 のとき
a2

a1 = < 3 > = 0a2 = aとなり，以下，帰納的に an = 0 (n ≥ 2) となります．

1-1=aa- a2 + a - 1 = 0- a=5-12

つまり，a が整数の場合は，全て 0 となります．
a=ª # 12 < a < 1º2≤pにおける q = 1 のときの場合なので，確かにq1 以上の n で an = 0 となります．

である．
(ii)

a=111< 3 つまり < a ≤ のとき
a32a2 =ª # 13 < a ≤ 12 º

31=22となります．さらに逆数を考えてである．

a3 = < 2 > = 0となり，以下，全て 0 となり，3 以上の n で確かに

11= 3 つまり a = のとき
3aan = 0 となります．

a2 = 0 となり，不適である．

a=以上よりa=52=33であり，この数の逆数を考えることにより

1-2=aa- a 2 + 2a - 1 = 0-(iii)5のときはどうでしょうか？
3a1 =a2 = a- a= 2-1

1ak

ak = ak+1 = 0 のときは，ak+2 = 0 より，ak+2 = ak+1

逆に，a1 = a かつ a2 = a が成り立てば，a1 = a2ak+1 = ak+2 が成り立つ（☆）ことから，帰納的にak + 1, ak + 1 =となり，ak = ak+1 より ak+2 = ak+1 である．と分類でき，a2 = a が成り立つことが必要．
が成り立つことと，一般に ak = ak+1 であれば111のときはどうでしょうか？
4a1 =5-1, 2-1
2

113=44であり，この数の逆数を考えることによりである．

a2 =241=33となります．さらに逆数を考えて連分数展開の書き進め方について，詳しくは前回の私の原稿を確認していただければと思いますが，a3 = < 3 > = 0となり，以下，全て 0 となります．3 以上の n で今回の有理数について簡単にまとめると

an = 0 なので，4 以上の n で成り立つと言えます．

1整数部分と小数部分とに分けるある n で an = 0 となればそれ以降ずっと 0 になる

2

小数部分の逆数をとる形で，分母が 1 より大のは上述の通りで，その最初のタイミング，つまり，きいような分数とする
3初めて 0 となるときが大事です．初めて 0 となるための条件は，メカニズムより，その 1 つ手前の分子とを繰り返す
4が 1 であることと分かります．
また，一連の作業を 1 つの式にしてみると，以下= 1+= 1+という流れでしたね．
ここで大事なことは

113= 3+4
41
321ªº
1+= 3+= 3+1
2

小数部分の分子が 1 になれば終了（その数の逆数の小数部分は 0 になる）の連分数展開が浮かび上がります．
52= 1+33

その分母について，改めて 1,2 を行うこ

1 回の手続きにより，考えるべき有理数の分母がどんどん小さくなっている

1431ªº1+ということです．分母，つまり割る数が小さくなっていくので，分子に登場する数もどんどん小さくなり，いつかは分子が 1 になるというわけです．ただ13q - 1 回以内に分子が 1 になることを目標に答案を作るのは少し面倒なので，答案もう 1 つ，分母が大きい別の例も載せます．

では，この「分子」を，ある数をある数で割ったと

14
5
1= 1+ = 1+9995
1
1= 1+= 1+4
11+1+55
4
1= 1+11+11+4ªº

きの「余り」と捉え，この「余り」がどんどん小さくなっていくことを利用します．
では，以下，解答です．

ªº《(3) の解答》(3)

整数 p，自然数 q を用いた
a=pqについて，p を q で割った商を q1, 余りを p1 と今回の場合，赤字が数列 {an} に相当します．分子が 1 になった時点で連分数展開は打ち止めでした．
この打ち止めになるところ以降，an は 0 という扱い

すると
p = qq1 + p1 (0 ≤ p1 < q)となる．するとになります．

a=(3) で示すことは aq 以降は全て 0 ということであり，これは，q - 1 回以内の時点で，打ち止めにな

qq1 + p1
p= q1 + 1qqとなり，このとき q1 は整数， 0 ≤ることを示せばよいわけです．とに注意すると

3p1< 1 であるこqa1 = a =p1qであるから，N が q を超えることはない．よって，
N ≤ q であり，これは q 以下の自然数 N で aN = 0となる．ここで，p1 = 0 であれば a1 = 0 となり，となることを意味する．一般に

以下，a2 = a3 = …… = aq = …… = 0 となるので，ak = 0 のとき ak+1 = 0

題意は成り立つ．

であることから，これにより，n ≥ N を満たすす

qp1 ≠ 0 であれば，次は a1 の逆数：について
p1べての n で an = 0 となる．
N は q 以下より，q 以上のすべての自然数 n に考えればよく，q を p1 で割った商を q2，余りを p2

対して an = 0 となることが示された．とすると
q = p1q2 + p2

(0 ≤ p2 < p1)《終わりに》となる．するといかがだったでしょうか？

p q + p2
p1
q== 1 2= q2 + 2
a1
p1
p1p1となり，q2 は整数， 0 ≤出典は 2011 年の東京大学の理科（理系）の問題です．なお，文科では，(3) がなく (1),(2) のみでした．

p2< 1 であることに注意
p1

連分数展開を知っていればイメージは掴みやすい

するとはずですが，知らないとなると，見たこともない漸a2 =化式であることもあり，かなり難解に感じることで

p1= 2
a1
p1

しょう．となる．ここで，p2 = 0 であれば a2 = 0 となり，余談ですが，東大の場合は，実際は簡単な内容で以下，a3 = …… = aq = …… = 0 となるので，題意あっても，難しい（難しく見える）問題文にしてあは成り立つ．

ることが多いです．試験会場であっても，見た目にp2 ≠ 0 であれば，次は a2 の逆数：惑わされたり面食らったりせず，まずは手を動かしp1についてp2てとりあえず考えてみる，という姿勢が大事だったりもします．

考えればよい．

では，今回はここまでです．次回も，また別の切

p1 = p2q3 + p3 (0 ≤ p3 < p2)り口で「連分数展開」がテーマになっている問題をとなる整数 q3,p3 をとることができ，これよりa3 =出題します．では，また次回．

p2 q3 + p3
p1
1==a2p2p2= q3 +（数学科p3p= 3p2p2となる．
以下，an が初めて 0 になる（そのときの n をN とする）ところまで同じことを繰り返し，p4,p5,p6,……,pN を定義すると
0 = pN < pN-1 < …… < p2 < p1 < qが成り立つ．ここで，p1,p2,…,pN は 0 以上 q未満つまり 0 以上 q - 1 以下の異なる N 個の整数

4野口）