よって，b = d であり，これから a = c も従う．

それでは，前回の解答です．

（補題 1 の証明終）第１問（ⅠＡⅡＢ）

補題２

方程式

(2 + 3 ) = xn + yn 3 ( n = 0,1,2,ºº )n22x - 3y = 1ºº1

で非負整数 xn,yn を定めるときを満たす非負整数の組 (x,y) について考える．以(2 - 3 ) = xn - yn 3 ( n = 0,1,2,ºº )n

下の設問に答えよ．

ºº(*)(2 + 3 ) = xn + yn 3 ( n = 0,1,2,ºº )n(1)が成立する．

によって，非負整数 xn,yn を定めるとき，(xn,yn)は方程式 1 を満たすことを示せ．
(2)

方程式 1 を満たす自然数の組 (x,y) を一つと（補題２の証明）
数学的帰納法で示す．

りn = 0 のとき(i)(x + y 3 )(2 - 3 ) = x ' + y ' 3(2 + 3 ) 0 = 1 = 1 + 0 ∑ 3

によって，整数 x',y' を定めるとき，x' > 0,より，x0 = 1,y0 = 0 である．すると

y > y' ≥ 0 であり (x',y') は方程式 1 を満たすこ(2 - 3 ) 0 = 1とを示せ．
方程式 1 を満たす非負整数の組 (x,y) は (1)= x0 - y0 3の (xn,yn) (n = 0,1,2,ºº) ですべてであるであるから，n = 0 のとき (*) は成立する．

(3)

ことを示せ．

(ii)( 2 - 3 ) k = xk - y k 3( 解答 )(1)n = k (k は 0 以上のある整数 ) のときであると仮定する．すると

まず以下の２つの補題を示す．

(2 - 3 )k+1 = (2 - 3 )k (2 - 3 )= (xk - yk 3 )(2 - 3 )

補題 1= ( 2 xk + 3 y k ) - ( xk + 2 y k ) 3

有理数 a,b,c,d がである．またa+b 3 =c+d 3(2 + 3 )k+1 = (2 + 3 )k (2 + 3 )を満たすならば，a = c,b = d である．

= (xk + yk 3 )(2 + 3 )= ( 2 x k + 3 y k ) + ( xk + 2 y k ) 3( 補題１の証明 )であるから，補題１より

a + b 3 = c + d 3 - (b - d) 3 = c - axk+1 = 2 xk + 3yk,yk+1 = xk + 2yk

であり， b π d とするととなる．よって

c-a3=b-d(2 - 3 )k+1 = xk+1 - yk+1 3となるので，n = k + 1 のときも (*) は成立する．となり，左辺は無理数 , 右辺は有理数となり矛以上 (i),(ii) より 0 以上のすべての整数 n で (*)

盾する．

は成立する．
（補題２の証明終）1((1) の証明 )(2y)2 - x2 = 4y2 - x2xn,yn が非負整数であることは明らかであり，= 4y2 - (3y2 + 1)

補題１より一意的に定まることが分かる．

= y2 - 1

補題２より≥0n(xn + yn 3 )(xn - yn 3 ) = (2 + 3 ) (2 - 3 )\n2(2y) ≥ x2

-2y ≥ x-y' ≥ 0- xn - 3y n = 122両辺正 )であるから，y > y' ≥ 0 である．

であるから，(xn,yn) は 1 を満たす非負整数のまた組である．
(2)(#(x')2 - 3(y')2 = (2x - 3y)2 - 3(2y - x)2= (4x2 - 12xy + 9y2)(x,y) を 1 を満たす自然数の組であるとする．

- 3(4y2 - 4xy + x2)

すなわち= x2 - 3y2ºº2

x2 - 3y2 = 1=1x ≥ 1,y ≥ 1(#2)となるので，(x',y') は方程式 1 を満たす．

が成り立つ．
(x + y 3 )(2 - 3 ) = x ' + y ' 3(3)によって整数 x',y' を定めるとき，この式の左辺

方程式 1 を満たす非負整数の組 (x,y) を任意にとる．明らかに x π 0 である．また，y = 0 であはれば x = 1 であるから，(x,y) は (1) の (x0,y0)(x + 3y)(2 - 3 ) = (2 x - 3y) + (2y - x) 3に一致する．

であるから，(1) の補題１よりy π 0 のときを考える．このとき，(2) より

x' = 2x - 3y,y' = 2y - x(x + y 3 )(2 - 3 ) = x ' + y ' 3である．2 からとして (x',y') を定めると，(x',y') も 1 を満(2x)2 - (3y)2 = 4x2 - 9y2

たす非負整数の組であり，y > y' ≥ 0 が成立する．

= 4(3y2 + 1) - 9y2= 3y + 4

同様の操作を繰り返し行うことで，(x,y) の y の>0値はどんどん小さくなっていき，y 回以内には 0\(2x)2 > (3y)2になるので，(x,y) は (x0,y0) になる．すなわち-2x > 3y-x' > 02(#両辺正 )m(x + y 3 )(2 - 3 ) = (x0 + y0 3 )を満たす自然数 m が存在し，この両辺にである．また
22(2 + 3 ) をかけることで
m2x - y = 2y + 1 > 0

x + y 3 = (x0 + y0 3 )(2 + 3 )mより
x2 > y2 -x>y(#= xm + y m 3両辺正 )であるからである．(1) の補題１より

y - y' = x - y > 0\x = xm,y = ymとなるから，方程式 1 を満たす非負整数の組

y > y'である．さらに(x,y) は (1) の (xn,yn) (n = 0,1,2,ºº) です
べてである．

2□

較ができるようになり，問題中の xn,yn がただ（コメント）
数学科の川﨑です．今年度は，「無限降下法」に一つ定まる (well - defined であると言います )こだわって出題してみました．このページを読んで，ことが分かります．

無限降下法が自分のものになっていれば嬉しいで( このページでも過去に第 24 回の数学の問題で補す．問題を見て無限降下法に気づけるだけでもだい題１を扱う問題を紹介しています．覗いてみてくだ

ぶ違うと思います．問題を見たら思わずニンマリしさい．)てしまうぐらいになるまで練習してくださいね．

補題２も一度は見たことある人が多いのではとさて，今回は「ペル方程式」の問題を出題しました．

思います．帰納法の中に出てくる，「一つずらして漸化式を立てる」

ペル方程式の問題とは
x - Dy = 1 ( または - 1 )という手法は頻出ですので，しっかりマスターし(D は平方数でない自然数 )ておいてください．

22の形の方程式の整数解・有理数解を考える問題のこ補題２を使うことに気づかないと (1) さえも手とです．ペル方程式の整数解・有理数解をすべて求が出なかったかもしれませんがめることは古くから研究されていて，代数的整数論

xn 2 - 3yn 2 = (xn + yn 3 )(xn - yn 3 )という分野の有名問題です．本問は D = 3 で右辺がから xn - yn 3 が必要になることに気づいてくだ

1 の場合を扱っています．右辺が 1 の場合は，自明さい．

な解 (x,y) = (1,0) を持つのですが，それ以外にも(2)(x,y) という自然数解があればx',y' を x,y で表すこと，(x',y') が方程式1 を満たすことは単なる計算ですので，できるでn( x + y D ) = xn + y n Dしょう．不等式の評価がやや難しいですが 2 ので定めた自然数の組 (xn,yn) もペル方程式の解にな条件から 2 乗して比較するのが簡明です．

ります ( 本問の (1) と同様にして示せます )．自然数計算問題ですが，証明した x' > 0,y > y' ≥ 0

解 (x,y) のうち，x が最小のものをこのペル方程式が無限降下法を示唆する不等式になっていますの最小解といいます ( 実はこのとき y も最小です )．

ね．式の形が重要です．

最小解を (a,b) とすると，このペル方程式の非負整(3)

数解は(2) をヒントに無限降下法を使いましょう． 自然数解 (x,y) に対しては，(2) で与えられた式で(a + b D ) = an + bn D ( n = 0,1,2,ºº )(x',y') を作ると，これらも非負整数解で y > y'と定めたときの (an,bn) に限られることが知られてと y が小さくなります．これがポイントです．こいて，本問 (3) は D = 3 のとき，これを証明せよと言っの操作を繰り返せば y はどんどん小さくなり，最ています．

後は 0 になります．あとは 2 - 3 をかけた分だけn

なお，この「強者への道」のページのコラム第割ってあげれば証明終了です．

１７回に吉田信夫先生がペル方程式にまつわる記事を書かれていますので，興味を持った人はそちらのこの問題は，1960 年代の京都大学の問題を，誘ほうもぜひ読んでみてください．

導を少し省略して出題したものです ( 原題は問題文が非常に長いので，読むのが大変だと思いこのよう以下，問題ごとの補足です．
(1)な形にしました )．実は，1988 年に京大は再びこの補題１は有名事実ですので，きちんと証明でき問題を ( 少し形を変えて ) 出題しています．その問るようにしておきましょう．これにより，係数比

題では 2 + 3 の代わりに3

A=ª -21 -23 ºという行列を用いて，x',y' を定義していました．
y' = 2y - x,x' = - 3y + 2xという形をみればこの行列の意味が理系の人は分かると思います．「良問は繰り返す」とある大学の先生がおっしゃっていましたが，まさにその通りです
ね．日頃から，取り組んでいる入試問題一題一題を大切にしてください．
高３生は，センター試験も終わりいよいよ最後の詰めの段階となりました．体調には気をつけて，本番で最高のパフォーマンスをしてきてください．
高１・高２生は，学年が変わるこの直前の時期に，他の人より一歩進んだ勉強をして，新年度いいスタートをきってください．
今年度１年間，このページの数学のコーナーにお付き合いいただきありがとうございました .
（数学科川﨑）4