№ 6 2006

学会賞
多期間最適化手法を用いた世帯の資産形成モデル*
枇々木規雄**・小守林克哉***・豊田暢子〈キーワード〉多期間最適化

ライフサイクルモデル

フィナンシャルコンサルティング〈要 約〉
個人顧客へのフィナンシャルコンサルティングを行うためのツール開発に向けた試みとして、世帯の属性やライフサイクルを考慮した最適な投資戦略や生命保険・損害保険の加入保険金額を決定するモデルの構築を行う。具体的には、生命保険と損害保険が世帯の資産形成に与える経済的効果について明確にした上で、世帯がライフサイクルに対応した様々なリスクをヘッジして、退職時までに安定した資産形成を行
うための最適投資戦略と、生命保険と損害保険の最適な加入保険金額を同時に決定するためのモデルを、シミュレーション型多期間最適化手法を用いて構築する。
１

はじめに個人の資産形成アドバイスを行うための試みとして、世帯の属性やライフサイクルを考慮した最適な投資戦略や生命保険・損害保険の加入保険金額を決定するモデルの構築を行う。具体的には、世帯がライフサイクルに対応した様々なリスクをヘッジして、退職時までに安定した資産形成を行
うための最適投資戦略と、生命保険と損害保険の最適な加入保険金額を同時に決定するためのモデルを、シミュレーション型多期間最適化手法を用いて構築する。

２モデルの設定
2.1 世帯世帯とは１人の世帯主と複数の家族からなる集団と定義する。世帯の保有資産は、有価証券などの金融資産と家屋や耐久消費財からなる非金融資産の２種類で形成されるものとし、時点 t における金融資産をW1,t、非金融資産をW2, t と表記する。
世帯の収入は、世帯主の賃金収入 m t と保有する金融資産W1,t からの投資収益とする。消費は、生活のための消費 C1,t と、非金融資産の購入、すなわち住居、家財の購入や補修のための費用 C2,t の２種類に分けて考える。
以上の設定のもと、世帯は、収入をもとに消費を行いながら生活をする。ただし、世帯には、①世帯主の死亡事故と②火災事故の２つのリスクが存在する。前者が発生するとその時点以降の賃金収入 m t が途絶え、後者が発生すると保有する非金融資産 W2,t の一定割合αが毀損し、その復旧のために突発的な支出が生じると仮定する。したがって、世帯は保有する金融資産をリスク資産や無リスク資産に投資することの他に、生命保険や損害保険を購入することによって、これらのリスクをヘッジする。世帯主の収入関数 m t と世帯の消費関数 C 1,t, C 2,t は時間の関数として外生的に与える。
2.2 目的関数
現時点をt =０として、世帯は最終的に世帯主* 本論文は要約論文。正式掲載誌は『日本保険・年金リスク学会誌（2005）、Vol.1, No.1, p45-68』** 慶應義塾大学理工学部管理工学科*** 財団法人金融情報システムセンター

─ 17 ─

ファイナンシャル・プランニング研究の定年時 t = T における金融資産の保有額 W1,T に関する条件付きバリュー・アット・リスク（CVaR）を評価関数（目的関数）として金融商品の選択を行う。
これは、確率水準β（例：β=0.95）に対し、満期時点の金融資産額がβ-VaR（≡V β）を下回るという条件下での金融資産額の期待値をリスクと定義する。したがって、1式に示す CVaR の最大化問題として定式化を行う。
1CVaRβ = Vβ − ─── ・E[q]1−βq≡ {Vβ −W1,T }+非金融資産が毀損した場合には、復旧のため毀損額と同額の支出が発生するものと仮定する。このようなリスクに対するヘッジ手段として、世帯は１年満期の火災保険に加入すると考える。
１年満期の火災保険の予定利率をg2 とすると、収支相当の原則によって保険料収入現価 1 単位とそれに対応する保険金額θ2 の関係は6式で表現される。
1 + g2θ2λ261= ─── 、すなわち、θ2 = ───
λ2
1 + g2ここで、λ 2 は火災事故が発生する確率を表し、時点 t によらず一定とする。この保険は１年更新であるため、保険料と収入現価は一致する。
yF = 17122.3 投資資産
無リスク資産と n 個のリスク資産に投資すると仮定する。無リスク資産の時点 t（= 0, 1, 2, …, T−1）における無リスク金利をrt と表し、時点 t から t + 1 の期間で一定とする。一方、j（= 1, 2, …,n）番目のリスク資産の時点 t（= 0, 1, 2,…, T）における価格をρjt と表す。このとき時点 t における収益率 Rjt は3式で定義される。
ρjt
Rjt = ─── − 1,（t = 1, . . . , T）
3
ρj,t−1
数値計算においては無リスク金利 r t は時刻によらず一定、リスク資産の収益率 Rjt は正規分布N（μ, Σ）に従うと仮定する。Rjt からランダムサンプルを生成し、価格（ρjt）を計算する。

３−1(52.5 損害保険
本モデルでは、火災事故が発生して家屋などの─ 18 ─（C (i)1,t + C (i)2,t ）−yf 2τ3, t uL−yFuF,tD(i)t =τ3, t m(i)t −(i)(i)+τ(i)1,t θ1 uL+τ(i)2,t θ2 uF,t−1−τ (i)2,t W (i)2,t−1α(1−γ)
8ただし、uL は 0 時点で加入する死亡保険の単位数、u F, t は t 時点で加入する１年満期火災保険の単位数、γは非金融資産の償却率、添え字の i（= 1, 2, … , I）はシミュレーションパスを表している。ここで、t 時点の危険資産 j への投資単位数をzj,t、無リスク資産の投資単位数を vt と表現す
ると、世帯の最適化問題は次のように定式化される。
Imax{z , ,u ,u , }jtLFt

subject to1Vβ− (1−β)I Σq(i)i＝1nΣp z ＋（1＋r ）v ＋D1＝Σp z ＋v , ΣW ≥ W
I(i)jt

j＝1n(i)t−1j, t−1(i)t−1(i)t(i)1,TEI(i)
jt

j＝1jt

(i)
ti＝1(i)

W 1,T −Vβ＋q(i)≥ 0,（i=1,…,I）
ただし、WE はW1,T の期待値の下限であり、外生的に与えられる。また、パラメータτは以下の通りである。
(i)τ1,t ：世帯主死亡時に 1、それ以外は 0(i)
τ2,t ：火災事故発生時に 1、それ以外は 0(i)
τ3,t ：世帯主生存時に 1、死亡時以降は 014243(t1−Σi＝0 λ1,tt＝0（1＋g1）t

T−1yf 2 = Σ123

123

2.4 生命保険
本モデルでは、世帯主を被保険者とする満期時点 T の定期死亡保険を考える。世帯は生命保険に加入すると、定年時点までに世帯主が死亡した場合に保険金を受け取ることができる。
満期時点 T の定期死亡保険の予定利率を g1 とすると、収支相当の原則によって保険料収入現価１単位とそれに対応する保険金額θ 1 の関係は4式で表現される。
−1TT
θ1λ1,tλ1,t1 = Σ ───t 、すなわち、θ1= Σ ───tt=1（1＋g1）
t=1（1＋g1）4
ここで、λ1,t は時点0で生存している人が、時点 tで死亡する確率を表す。
また、この保険の平準払い保険料は、保険料はその時点で生存している被保険者のみが支払うことを考慮して、5式で表現される。

モデルの定式化
上記仮定のもと、時点 t（= 1, … , T − 1）における世帯のキャッシュ・イン・フローは賃金、生命保険金、損害保険金であり、キャッシュ・アウト・フローは消費、生命保険料、損害保険料、火災による損失額であるため、世帯のキャッシュフ
ロー D(i)t は、次のように表現できる。

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４

数値計算例
4.1 基本パラメータによる最適解の特性分析
表１のような基本パラメータを設定し、世帯主の年齢毎に最適戦略を導出した。ただし、制約条件として、定年時点における金融資産期待値水準
WE を、保有金融資産の期待収益率をμW=10%として、WE = W1,0 × (1 + μW)Tと設定した。
このとき、世帯主の年齢ごとに現時点 t = 0 にける最適なリスク資産投資金額、最適な保険加入表１額を計算した結果をまとめたものを図１に示す。
例えば、世帯主の年齢が50歳のとき、t = 0 の最適リスク資産投資額は514万円、最適生命保険加入額は5,362万円、最適火災保険加入額は1,040万円である。
この図より、年齢が増加するにつれて生命保険の最適保険金額は減少することや、火災保険の最適保険金額は年齢に関わらず一定であること、リスク資産の投資戦略は、年齢が増加するにつれて最適投資金額を減少させることなどの結果を確認することができる。
パラメータ設定

パラメータ

設定値

リスク資産の数
世帯主定年の年齢リスク資産収益率の期待値
リスク資産収益率の標準偏差無リスク金利
死亡事故発生率n=1
60歳：T=60−世帯主の現在年齢
μ = 0.1
σ = 0.2
r = 0.04「生保標準生命表1996（死亡保険用）男」
を用いてλ1,t を推計
λ2 = 0.005
g1 = 0.05
g2 = 0.05
平準払い： f1 = 0mt = 12.5 × t + 500
Ct = C1,t + C2,t = 12.5 × t + 425
t−1C2,t = 40 × (1 + 0.01)
W1,0 = 1, 000t
W2,t = 1, 000 × (1 + 0.01)
W2,0 = 1, 000
γ = 0.03
α=1Lv,t = −1, 000
β = 0.8

火災事故発生率
死亡保険の予定利率
火災保険の予定利率
生命保険の保険料支払い方法
賃金収入（万円）
消費支出（万円）うち、非金融資産購入支出（万円）
金融資産の初期保有額（万円）
非金融資産の保有額（万円）
非金融資産の初期保有額（万円）
非金融資産の償却率
火災事故による非金融資産損害率
無リスク資産の下限値
CVaR の確率水準

1,500

12,000
生命保険
受取
保険
金額
︵万円︶

損害保険

リスク資産

10,0001,2008,000

1,0006,000

750

4,000

500

2,000

250
0030 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
世帯主年齢

図１

世帯主の年齢と最適戦略

─ 19 ─

リス
ク
資産
投資金額
︵万円︶

ファイナンシャル・プランニング研究4.2 実務への適用事例
本モデルの実務への適用を視野に入れ、より現実的なコンサルティングツールとしての使用方法を検討する。そのために表２に示すような属性の異なる３世帯に対して本モデルを用いたフィナンシャルコンサルティングを行うことを考える。
モデルのインプットであるキャッシュフロー表を作成するために、世帯の賃金収入は就労者の年齢と職種によって異なるものと考え、厚生労働省（2003）の「賃金構造基本統計調査（平成15年）」をもとに作成した。また、消費支出については、総務省（2000）の「全国消費実態調査（平成11年）」から世帯の人数および収入別の平均支出額を、文部科学省（2003a, 2003b）の「こどもの学表２項
家族構成（年齢）

職業

子供の教育

現在の住居

住宅購入予定目

習費調査（平成14年）」と「学生生活調査（平成14年）」から教育機関の種別による平均的な教育費を算出することで算出した。
このようにして計算した各世帯の最適戦略を、
図2、3、4 に示す。
５

おわりに
本研究ではシミュレーション型多期間最適化手法を用いて、世帯に対する資産形成モデルを構築した。まず、世帯が直面するリスクとして世帯主の死亡事故、火災事故、インフレを考え、それぞれのリスクに対するヘッジ機能を有する金融商品として生命保険、火災保険、リスク資産をモデル化した。その上で、世帯がこれらのライフサイク世帯の属性とライフイベント予定
A 世帯

世帯主
配偶者
第一子第二子
世帯主
配偶者
小中高
大学
その他
住宅タイプ
家賃（月額）
居住地域
購入時期
住宅タイプ
購入金額
頭金の金額
ローン金利
借入期間

B 世帯

−
地方公務員
公立校
国立大学（下宿通学）
公務員官舎
25,000 円
地方都市
一戸建
3,000 万円
1,000 万円

30 歳
28 歳
0歳
3 年後誕生予定
金融機関勤務専業主婦
私立校
私立大学（自宅通学）
結婚資金も援助マンション
200,000 円
東京都心
世帯主40 歳時
マンション
5,000 万円
2,000 万円
6% 固定
20 年

16,00014,000
受取 12,000
保険 10,000
金
額 8,000︵万 6,000円︶
4,000

−
開業医
私立校
医学部（自宅通学）
一戸建（兼診療所）
420,000 円
東京郊外
一戸建（兼診療所）
10,000 万円
3,000 万円

80%
最適生命保険金額
最適火災保険金額
耐久消費財価値
リスク資産投資比率

70%
60% リ
ス
50% ク
資産
40% 投
資
30% 比
率
20%
10%

2,0000C 世帯

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
世帯主年齢（歳）図２

A 世帯における最適戦略の推移

─ 20 ─

0%

№ 6 2006

16,00014,000受
取 12,000
保険
金 10,000
額︵ 8,000万円 6,000︶
4,000

最適生命保険金額
最適火災保険金額
耐久消費財価値
リスク資産投資比率

80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%

2,0000リス
ク
資産
投資比率

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 580%

世帯主年齢（歳）図３

世帯における最適戦略の推移

32,00028,000
受取
保険金額︵万円︶

24,00080%
最適生命保険金額
最適火災保険金額
耐久消費財価値
リスク資産投資比率

70%

8,00060% リス
50% ク
資
40% 産
投資
30% 比率20%

4,00010%

20,00016,00012,000030 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 580%

世帯主年齢（歳）図４

C 世帯における最適戦略の推移

ルに対応した様々なリスクをヘッジして、退職時までに安定した資産形成を行うための最適投資戦
略と、生命保険と損害保険の最適な加入保険金額を同時に決定するためのモデルの構築を試みた。
数値計算例では、基本パラメータによる解の傾向を調べるとともに、３つのモデル世帯による活用事例を検討し、モデルの有用性を示すことができた。
今回の研究は、多期間最適化手法を個人の資産形成モデルに適用した試みであり、近年重要性が高まっている個人に対するフィナンシャルコンサルティングツールとしての活用可能性を示すものである。今後、このようなモデルが、金融機関の顧客サービスの一環として、実務においても幅広く活用されていくことが期待される。

参考文献［1］金融広報中央委員会（2003）、「家計の金融資産に関する世論調査」http://www.saveinfo.or.jp/kinyu/yoron/2003/03yoron.html［2］厚生労働省（2003）、「賃金構造基本統計調査（平成15年）」、http://wwwdbtk.mhlw.go.jp/toukei/kouhyo/indexk-roudou.html［3］社団法人日本アクチュアリー会（1996）、「生保標準生命表（1996）の作成過程」.
［4］総務省（2000）、「全国消費実態調査（平成11年）」、
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─ 21 ─

ファイナンシャル・プランニング研究

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テクニカルレポート、No.02-003.
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［15］Merton, R.C. (1992), Continuous-Time Finance,
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Review of Economics and Statistics, Vol.51, No.3,
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─ 22 ─