≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

物性物理にあらわれるトポロジカル応答現象
東京大学工学系研究科

森本高裕

1 アブストラクト
物性物理学は、ある物質が電気を通すか、磁石としての性質を示すかといった「ものの性質」を、
固体中の電子の振る舞いに即して研究する学問分野である。物質の電気的・磁気的性質の多くは、結晶中の電子を記述するバンド理論に基づいてそのエネルギー構造から理解することができる。一方で、近年の研究において、結晶中の電子の波動関数の構造、特にその位相の構造が顕著な物性現象を引き起こすことが明らかになってきた。このため、波動関数の位相のなす幾何学的な構造（トポロジー）に由来する新しい量子相や応答現象の研究が、現在の物性物理学の大きな流れの一つになっている。
本講義ではこのような物性物理にあらわれるトポロジカルな応答現象について解説を行う。物質
中の幾何学の基礎であるベリー位相やベリー曲率といった概念からはじめて、量子ホール効果、ト
ポロジカル絶縁体などにあらわれるトポロジカル応答現象を解説する。さらには、非線形応答現象にあらわれるトポロジカル現象であるシフト電流といった最新の話題についても触れる予定である。
３日間の講義は以下のような構成ですすめることを予定している。

• １日目：物質中の幾何学：ベリー曲率、異常速度、量子ホール効果、電気分極• ２日目：場の量子論と応答現象：経路積分法、グリーン関数、電磁応答のためのダイアグラ
ム法、トポロジカル応答現象への応用• ３日目：非線形応答におけるトポロジカル現象：シフト電流

2 物質中の幾何学
2.1 バンド理論とベリー接続
結晶中の電子は、イオンからのポテンシャル V (r) のもとで運動を行う。その波動関数 ψ(r) はシュレーディンガー方程式

Hψ = En ψ,

H=−

ℏ2 2
∇ + V (r),2m(1)

により与えられる。格子定数を a として、ポテンシャルの周期性 V (r + a) = V (r) から、ハミルト
ニアンは空間的に周期性を持つ。空間方向に周期的なハミルトニアンの固有関数に対してはブロッホの定理を適用することができる。つまり、固体中の電子の波動関数は、波数 k 、バンド n に対し

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）√て、平面波とユニットセルで周期的な部分 unk (x) に分解することで、ψnk (r) = (1/ N )unk (r)eikrと書くことができ、H(k)unk (r) = En (k)unk (r)(2)

が成り立つ。unk (x) はユニットセルで周期的（周期 L）で unk (x + L) = unk (x) を満たす。ここで H(k) はハミルトニアン H をフーリエ変換して得られるブロッホハミルトニアンであり、En (k)はエネルギー分散関係を与える。N は全系が含むユニットセルの数である。
次に、ブロッホ電子の幾何学的位相について簡単に説明しよう。波数空間描像では、位置演算子
は波動関数の k 微分、

r = i∂k .

(3)として表現される。c(k) を k = k0 の近傍のみで値を持つある関数として、ブロッホ波束

1ΨB (r) = √N∫dkc(k)eikr unk (r),
(2π)d

(4)

を考えよう (d:空間次元)。このブロッホ波束について、位置演算子 r の期待値をとると、

∫
⟨r⟩ =

drΨ∗B (r)rΨB (r) =∫dk ∗c (k)[i∂k + i⟨unk |∂k unk ⟩]c(k).
(2π)d

(5)

と書ける。*1 つまり、k 空間での位置演算子は最右辺の括弧の中の演算子で与えられると考えることができる。特にその第二項

an (k) = i⟨unk |∇k unk ⟩,(7)がベリー接続と呼ばれ、ブロッホ電子のセル内座標、つまりユニットセルの内部でブロッホ波動関数の中心位置という意味合いを持つ [1, 2]。上の式は n 番目のバンドのブロッホ電子からなる波束の位置 r はr = i∂k + an (k)*1(8)

この関係式は以下のように積分計算を行うことにより得られる：∫

drΨ∗B (r)rΨB (r) =

1
N

=

1
N

∫
∫
∫

′
dk
dk′
drc∗ (k′ )u∗nk′ (r)unk (r)c(k)rei(k−k )rd(2π) (2π)d′dkdk′drc∗ (k′ )u∗nk′ (r)unk (r)c(k)(−i∂k )ei(k−k )r(2π)d (2π)d

′
dk
dk′
drc∗ (k′ )i∂k [u∗nk′ (r)unk (r)c(k)]ei(k−k )rd(2π) (2π)ddkdk′ c∗ (k′ )i∂k [⟨unk′ |unk ⟩c(k)]δ(k − k′ )
=
(2π)d
∫
dk
dk′ c∗ (k′ )[i⟨unk′ |unk ⟩∂k c(k) + i⟨unk′ |∂k unk ⟩c(k)]δ(k − k′ )
=
(2π)d
∫
dk ∗
=
c (k)[i∂k + i⟨unk |∂k unk ⟩]c(k).
(2π)d

=

1
N
∫

(6)

３行目から４行目に移る際には、r 積分をユニットセル内の積分とユニットセルについての足し上げに分解し、前者から ⟨unk′ |unk ⟩ が、後者から δ(k − k′ ) が得られる。

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）と k についての共変微分の形で与えられることを意味している。

k 空間の曲がり方を表す量はベリー曲率と呼ばれ、ベリー接続から
Fn (k) = ∇ × an ,(9)と定義される。

2.2 ベリー曲率と異常速度k 空間の幾何学が輸送現象にどのようにあらわれるかを見るため、ブロッホ電子（波束）の速度について考えてみよう。ハイゼンベルグの運動方程式iv = ṙ = − [r, H],ℏ(10)と、固体中では位置演算子が k についての共変微分で与えられることから

11i⟨v⟩ = − ⟨[i∂k + an (k), H(k)]⟩ = ⟨∂k H(k)⟩ = ∂k En (k),
ℏ
ℏ
ℏ

(11)

となることがわかる。最後の等式は Hellmann-Feynman の定理を用いた。これは群速度であり、バンド構造の勾配により波束の速度が与えられることを示している。
次に、電場中での波束の運動を考えよう。x 方向に電場をかけたとすると、静電ポテンシャルによりハミルトニアンは H ′ = H − qEx と変化する。ここで、電子の電荷を q とした。これは素電
荷を e(e > 0) とすると、q = −e と与えられるが電子の電荷が負であることによる計算上の煩雑さを防ぐためである。同様にハイゼンベルグ方程式を用いて波束の速度を考えると、x 方向はii1⟨vx ⟩ = − ⟨[x, H(k) − qEx]⟩ = − ⟨[x, H(k)]⟩ = ∂kx En (k),
ℏ
ℏ
ℏ

(12)

と上の結果と変わらず群速度のみがあらわれる。一方、y 方向は、

iq
i
iq
1
i
⟨vy ⟩ = − ⟨[y, H(k) − qEx]⟩ = − ⟨[y, H(k)]⟩ + E⟨[y, x]⟩ = ∂ky En (k) − E⟨[x, y]⟩,
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
ℏ
(13)
となり、群速度に加え x と y の交換子を含む項があらわれる。一般に結晶中では x と y は交換しない。実際、共変微分の形で位置演算子が表されることを用いると、[x, y] = [i∂kx + ax,n , i∂ky + ay,n ] = i∂kx ay,n − i∂ky ax,n = iFn (k),(14)

となり、ベリー曲率があらわれる。(これは z 方向のベリー曲率であるが、添字 z を省略した。) つまり、k 空間の曲がり具合を測るベリー曲率は結晶中での x 方向と y 方向の非可換性という意味合いを持っている。これを上の式に代入して、⟨vy ⟩ =

q1
∂ky En (k) + EFn (k),
ℏ
ℏ

(15)

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）をえる。右辺第二項は異常速度と呼ばれ、k 空間の非自明な幾何学構造によりあらわれる電流応答をあらわしている。電流の方向は電場の方向と垂直であり、ベリー曲率が存在するとホール電流が流れることがわかる。このようにベリー曲率に由来したホール効果は異常ホール効果とよばれ、必ずしも磁場を必要とせず、磁気構造などによりブロッホ波動関数が非自明な位相構造をもつときにあらわれる。
ホール電流は ⟨vy ⟩ を占有状態について足し上げて得られる。一つのバンドのみがすべて占有されている場合（絶縁体の場合）には、そのバンドのベリー曲率を F (k) として、∫
Jy = q

q2
dk
⟨v
⟩
=
E
y
(2π)d
ℏ

∫

dk
F (k).
(2π)d(16)

これは伝導度テンソルを用いて Jy = σyx Ex とかけることと σxy = −σyx であることから、∫

q2
σxy = −ℏ

dk
F (k),
(2π)d

(17)

dk 2
q2
F (k) = − C,
2π
h

(18)

を意味する。特に２次元系では、q2
σxy = −h∫と書き表され、C は整数値をとりチャーン数と呼ばれるトポロジカルな量である。以上が量子ホール効果の準古典的な理解である。
ホール効果はトポロジカルに非自明なバンドが占有されていることにより起こる。これは通常の電気伝導（σxx に対応する縦伝導）がフェルミ面近傍での電子分布の変化に起因することと対照的である。このことを理解するために、金属的な伝導度を準古典的なボルツマン運動方程式から導いてみよう。ニュートンの運動方程式 F = ma は、運動量 p = mv を用いて ṗ = F とかける。これを固体中の電子の運動に適用するため p を結晶運動量 ℏk と読み替え、外場 F は電場 E から生じて F = qE であるとすると、ℏk̇ = qE,

(19)

なるブロッホ電子の運動方程式を得る。*2 散乱の起こらない理想的な結晶中では、電場がかかると波数は k(t) = k0 + qEt/ℏ と変化し、ブリルアンゾーンの中でぐるぐると回り続ける（ブロッホ振*2よりきちんとした導出は、結晶中の並進演算子 T の時間発展方程式 Ṫ = (i/ℏ)[H, T ] を用いて与えられる。f (r)を位置 r の関数、a を格子定数として T f (r) = f (r + a) なるものと定義する。電場 E のもとでのハミルトニアン
をもとのハミルトニアン H0 を用いて H = H0 − qEr とすると、[H, T ] = −qE[r, T ] = qEaT から、

Ṫ =

i
qEaT
ℏ

(20)

を得る。波数 k の状態に対して T の期待値は ⟨T ⟩ = eika であるため、⟨Ṫ ⟩ = ik̇aeika = ik̇a⟨T ⟩(21)ℏk̇ = qE(22)である。これらを比較して、を得る。

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動と呼ばれる）。一方で、通常は散乱が起こり緩和時間 τ 程度でもとの状態に引き戻される。つまり、定常状態では t → τ と置き換えることができ k → k + qEτ /ℏ と結晶運動量が変化する。このため、1 次元系を考えると電流 J は、∆k = qEτ /ℏ として、∫ kF +∆kdkq
J =qv(k) =2πℏ−kF +∆k∫ kF +∆kdkq∂k ϵ(k) = (ϵ(kF + ∆k) − ϵ(−kF + ∆k))
2πh
−kF +∆k(23)

で与えられる (kF :フェルミ波数)。k に関して対称なバンドの場合（時間反転対称性がある場合）、フェルミ速度 vF を用いて ϵ(±kF + ∆k) ≃ EF ± ℏvF ∆k = EF ± qEτ vF となるため、

J = 2(q 2 /h)τ vF E となり、伝導度は
σ=2

q2
τ vF
h

(24)

で与えられる。特に放物線バンド ϵ(k) = ℏ2 k 2 /2m の場合、vF = ℏkF /m となる。このとき、電子密度 n = 2kF /(2π) を用いて、

σ=q 2 nτ
m(25)という電気伝導度の表式（ドルーデの式）を得る。金属伝導はフェルミ面の効果であり、緩和時間

τ に比例する。一方で、式 (17) のホール伝導度は占有状態全体（Fermi sea）の寄与とみなすことができ緩和時間によらないという特徴を持つ。

2.3 ベリー位相と分極
ベリー曲率は異常ホール効果をもたらすことをみたが、ベリー接続やそれを周回積分したベリー
位相はどのような物理現象をもたらすだろうか？ベリー接続は電子波束のセル内座標の意味をもっているため、電子の位置のずれにより引き起こされる電子分極と関係している。これは電気分極の現代的理論 (the modern theory of polarization) として知られている [1, 3]。次にこれを解説しよう。
結晶中電子による電気分極 P はブロッホ電子がどのくらい反転対称な位置からずれているかを測るものであり、位置演算子 r を用いて

∫

P =q

dk
⟨r⟩,
(2π)d

(26)

により与えられると考えられる。ここで問題が生じるのだが、それは、結晶は周期構造を持つのでr の原点をどこにとるか、つまりどのユニットセルから位置のずれを測ればよいのかというものである。つまり結晶中では r が mod a の恣意性を持ち空間的に広がったブロッホ関数と相性が良
くない。このため、分極を考えるためにも波数空間 (k 空間) による記述が必要であることを意味する。
まずは空間的に局在したワニエ関数というものを導入しよう。ワニエ関数はWn (r − R) =∑ke−ikR ψn,k (r)(27)

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1 ikr
e un,k (r) はブロッホ波動関数であり、R は格子ベクト
により与えられる。ここで ψn,k (r) = N

ル、N はユニットセルの数である。このワニエ関数は n 番目のバンドの波動関数のフーリエ変換
であり、格子ベクトル R で指定されたユニットセルの近傍に空間的に局在した波動関数である。
原点近傍に空間的に局在したワニエ関数 Wn (r) を用いることで、n 番目のバンドの電気分極への寄与 Pn を

q
Pn =
N V0

∫
drr|Wn (r)|2 ,(28)と定義することができる (V0 : ユニットセルの体積)。ブロッホ波動関数を用いてこれを書き直すと

Pn =

q ∑
⟨ψn,k |r|ψn,k′ ⟩N V0 ′(29)k,kとなる。ここで空間的に広がったブロッホ波動関数について r の期待値をうまく定義する必要がある。このため、r の期待値を直接計算するかわりに、全系で周期的な関数 exp(−i2πr/N a) を使って、位置のずれ ⟨r⟩ として⟨ψn,k |r|ψn,k′ ⟩ =iN alog⟨ψn,k | exp(−i2πr/N a)|ψn,k′ ⟩
2π

(30)

を考えることにする。ワニエ関数は原点近傍に局在しているため、exp(−i2πr/N a) ≃ 1−i2πr/N aがよい近似となり、この取り扱いが正当化できる。この右辺は

1⟨ψn,k | exp(−i2πr/N a)|ψn,k′ ⟩ =
N

∫

′

∫

drei(−k+k − N a )r u∗n,k un,k′2π

N unit cells= δk′ ,k+ N2πadru∗n,k un,k′(31)

unit cellとなることから、k, k ′ に関する和の中でデルタ関数が非ゼロになる項だけを残すことにすると

q ∑ iN alog⟨un,k |un,k+ N2πa ⟩
N V0
2π
k
∫
dk iN a2π≃qlog(1 +
⟨un,k |∂k un,k ⟩)d(2π) 2π
Na
∫
∫
dk
dk
=q
i⟨un,k |∂k un,k ⟩ = qan (k)
d
(2π)
(2π)d

Pn =

(32)

となる。（２行目で un,k+ 2π をテーラー展開し、３行目で小さな x に対して log(1 + x) ≃ x であNaることを用いた。
）
１次元系の場合、ベリー位相 θ =∫dka(k) を用いて、
P =

q
θ
2π

(33)

と表される。ベリー位相は局所ゲージ変換に対して不変であり P がうまく k 表示を用いて記述できていることを意味する。一方で、大域的ゲージ変換 u(r) → u(r)einka (n ∈ Z) に対しては

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θ → θ − 2πn となり、P は mod 1 の不定性をもつことがわかる。これはちょうどどのユニットセルから分極を測るかの不定性に対応している。
最後に電気分極とベリー曲率との関係について説明しよう。分極が発生するためには反転対称性が破れている必要があるが、系の反転対称性の破れ具合がパラメータ λ によってコントロール
されている状況を考える。このとき分極は各 λ に対して定義できるため、これを P (λ) と書こう。

λ = 0 のときに反転対称性があるとして、P (λ = 0) = 0 と定義する。物理的には系を変化させた
ときの分極の変化のみが意味をもつため（たとえば系の状態が変化した場合、分極電流として取り出すことができる）、パラメータ λ を λ = 0 から λ = λ0 まで変化させた際の分極変化∆P (λ0 ) = P (λ0 ) − P (λ = 0)(34)を考える。これは 1 次元の場合、ベリー位相公式を用いて∫∆P = qdk (λ=λ0 )[a(k) − a(λ=0) (k)]
2π

(35)

と書き表される。パラメータ (λ, k) についての２次元空間で考えると、ちょうど λ = 0 と λ = λ0に挟まれた領域 S の周回積分であると考えることができる。ストークスの定理を用いると、

∆P =

q
2π

∫
dk[a(λ=λ0 ) (k) − a(λ=0) (k)] =

q
2π

∫ λ0

∫
dλ

dkFλk

(36)

0

と書き換えることができる。ここで、Fλk はパラメータ空間 (λ, k) におけるベリー曲率で、

Fλk = ∂λ ak − ∂k aλ ,
(λ)

(λ)

ax = i⟨uk |∂x uk ⟩(37)で与えられる (x = λ, k)。

2.4 Rice Mele 模型における電気分極
電気分極のベリー位相公式の適用例をみるために、１次元強誘電体のモデルである Rice Mele 模型について考えてみよう。Rice Mele 模型は２サイトがユニットセルを構成し、ハミルトニアン

H=

∑ t
δt
{[( − (−1)i )c†i+1 ci + h.c.] + (−1)i mc†i ci }
2
2
i

(38)

により与えられる (図 1(a) を参照)。ci はサイト i での電子の消滅演算子、t は平均的なホッピング
強度、δt は交替ホッピングの強度、m はユニットセル内の２サイトのポテンシャル差（の半分）を表す。これを k 空間で表示すると、H=∑Ψ†k H(k)Ψk ,k(
H(k) =

mkt cos 2 + iδt sin k2

Ψk = (ck,A , ck,B )Tt cos k2 − iδt sin k2
−m

)
,
(39)

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）と書くことができる。ここで ck,A/B はユニットセル内の２つのサイト（A/B）における電子の消滅演算子であり、格子定数は簡単のため a = 1 とした。ブロッホハミルトニアン H(k) は 2 × 2 行列であり、パウリ行列を用いて

kkd(k) = (t cos , δt sin , m)
2
2

H(k) = d(k) · σ,(40)と書くことができる。一般に、H = d · σ でハミルトニアンが与えられる場合、その固有エネル
ギーは E± = ±|d| で与えられ、対応する波動関数は cos θ = dz /|d|, tan ϕ = dy /dx として(u+ =cos θ2iϕe sin θ2

)

(
,

u− =

− sin θ2eiϕ cos θ2

)
,

(41)

と与えられる。このときベリー接続 a± は

a± =1(−1 ± cos θ)∇ϕ2(42)となる。注意すべきなのは、ブリルアンゾーン境界 (k = ±π) においてブロッホ波動関数は一般に周期的ではない。実際、Rice-Mele 模型においては、(δt/t > 0 として) ϕ(±π) = ±π/2 であるため、u±,k=−π = σz u±,k=π となっている。これは一般に natural gauge と呼ばれるゲージのとり方の例になっている。natural gauge は分極計算のときにとるべきゲージであり、逆格子ベクトル Gに対して、uk (r) = eiGr uk+G (r)(43)

を満たすものである。これは波動関数全体が ψk = ψk+G を満たすという条件に対応している。

u±,k=−π = σz u±,k=π という関係は、A サイト、B サイトのセル内座標をそれぞれ r = 0, r = 1/2ととることに対応している。
占有状態 u− の電気分極への寄与は、ベリー位相公式から

q
P− =
4π

∫
dk

−E+ − mδtk∂k tan−1 ( tan )
E+
t
2

(44)

と与えられる。図 1(b) に P− をボンド交替 δt の関数としてプロットした。δt = 0 では電子は B
サイトにいるため、そのセル内座標 r = 1/2 を反映して P/q = ±1/2 となっている。δt = 0 で不連続であるが（dx = dy = 0 のときに ϕ が不定となるため）、とびは ∆P/q = 1 であり、分極のmod 1 の不定性のもとで連続であると考えられる。δt > 0 では P/q は単調に増加していき、B サ
イトからその右の A サイトへと電子が動いていくことによる分極変化と対応している。

natural gauge を満たす波動関数は複数考えられる。別の固有関数として
)
( −iϕ
)
( −iϕ
−e
sin θ2ecos θ2
,
ũ− =
,
ũ+ =
sin θ2cos θ2(45)を考えてみよう。これは、ũ±,k=−π = diag(−1, 1)ũ±,k=π という条件を満たし (diag(. . .) は対角行列をあらわす)、A サイト、B サイトのセル内座標をそれぞれ r = −1/2, r = 0 ととることに対応≪講義ノート≫

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図 1 Rice-Mele 模型における電気分極。(a) Rice-Mele 模型の模式図。(b,c) δt の関数としての電気分極 P 。それぞれ P を (b)u− 、(c)ũ− から求めた。（t = 1, m = 0.2）

している。 これはさきほどの場合からユニットセルを 1/2 ずらしたゲージに対応している。この場合、ベリー接続はã± =となる、これから分極 P̃− = (q/2π)∫

1(1 ± cos θ)∇ϕ2

(46)

dkã を計算したものを図 1(c) に示す。P̃ は、P と比べて全体に ±1/2 シフトし、δt = 0 において P = 0 で連続になる。これはちょうどユニットセルの 1/2の結果である。また物理的に観測可能な量である δt を変化させたときの分極の差 ∆P (mod q) は、
２つのゲージで同じ結果を与える。

3 電磁応答のための場の量子論
この章は場の量子論とグリーン関数法を用いた電磁応答の導出について説明する。グリーン関数を用いた応答関数の計算の一般論について解説し、ホール伝導度や分極電流などのトポロジカルな量子応答現象に適用する。

3.1 フェルミオン系の経路積分とグリーン関数
まず電磁応答をグリーン関数を用いて計算するために、ダイアグラム法に基づいた応答関数の導出法の一般的なルールについて解説する。このための簡潔な理論枠組みとして経路積分法を本稿

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では用いる。経路積分法の詳細については Altland-Simons [4]、永長 [5] や Negele-Orland [6] といった教科書を参照されたい。この後の節を読みすすめるためにはダイアグラム法のルールのみ
知っていればいいので、もしも導出の詳細には興味がない場合は、本節の最後にルールをまとめた部分まで読み飛ばしていただければ結構である。
電子系の電磁応答を考えるために、フェルミオンの経路積分表示を用いる。簡単のため相互作用しない電子系を考え、ハミルトニアンが電子の生成消滅演算子 c† , c の２次形式として

Ĥ =

∑

†
k ck H(k)ck と表される場合を考える。このとき分配関数は虚時間形式の経路積分表示を用

いて

∫
Z=

†

Dc Dce

−S

∫
,

S=

dτ

∑ †
ck (τ )(∂τ + H(k))ck (τ ),

(47)

k

で与えられる。ここで c(τ ), c† (τ ) はグラスマン数として取り扱うものとし、τ は虚時間である。*3
虚時間方向にフーリエ変換（逆温度 β を用いて c(τ ) = β1∑n cn e4*−iωn τ

と定義される）を行い松原

周波数 iωn を用いて表示すると、∂τ → −iωn となるので、∫

Dc† Dc

Z=
=

∏

∏

†

e−cn,k (−iωn +H(k))cn,kωn ,kdet[−iωn + H(k)]

ωn ,k

=

∏

(−1)(iωn − ϵa (k)),(48)

ωn ,k,aとなる。ここで cn,k は松原周波数 iωn (ωn = πkB T (2n + 1) と与えられる)、波数 k の電子のモードを表すグラスマン数である。a はバンドのラベルであり、ϵa (k) はバンド a のエネルギー分散である。2 行目において、グラスマン数についての積分公式∫∗dξ ∗ dξe−ξ M ξ = det M を用いた。*5 グリーン関数はG(τ ) = −⟨Tτ c(τ )c† (0)⟩∫1=−
Dc† Dcc(τ )c† (0)e−SZ(49)と定義される。１行目右辺は演算子形式での表示で Tτ は時間順序積を表す。2 行目はその経路積*3 グラスマン数 ξ は非可換性 {ξ, ξ ′ } = 0 を満たす数であり、フェルミオンの経路積分表示に用いられる。その積分は∫

dξ1 = 0,∫dξξ = 1 より定義される。

*4 虚時間形式は実時間 t, 実周波数 ω を t → −iτ , ω → iωn と解析接続することで得られる。

∫∗*5 この公式は e−ξ M ξ = 1 − ξ ∗ M ξ 、dξξ = 1 およびグラスマン数の非可換性を用いてすぐに導出できる。

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分表示である。これをフーリエ変換した周波数表示のグリーン関数は1
Ga (iωn , k) = −
Z
∏
=−
=

∫

Dc† Dccn,a,k c†n,a,k e−S′(m,b,k′ )̸=(n,a,k) (−1)(iωm − ϵb (k ))∏′m,b,k′ (−1)(iωm − ϵb (k ))1iωn − ϵa (k)(50)と与えられる。*6
次に外場による摂動のもとでの応答現象について考えてみよう。摂動項 Â がフェルミオン演算子の２次形式でかけることとし、摂動のもとでのハミルトニアン

Ĥ ′ (t) = Ĥ + c† A(t)c(51)

であらわされるものとしよう。（簡単のため波数やバンドの添字は省略する。一般に c はベクトル
で A(t) は行列である。
）ここで A(t) は時間に依存する摂動を表す。経路積分法で物理量 B̂ = c† Bc
について考える。時刻 τ0 における B̂ の期待値は∫∫†1⟨B̂(τ0 )⟩ = ′(52)
Dc† Dcc† (τ0 )Bc(τ0 )e− dτ (Ĥ+c (τ )A(τ )c(τ ))Z∫∫†
で与えられる。ここで Z ′ = Dc† Dce−S− dτ c A(τ )c は外場のもとでの分配関数である。A に関して展開すると、期待値は∫∫[Dc Dcc (τ0 )Bc(τ0 ) 1 + dτ1 c† (τ1 )[−A(τ1 )]c(τ1 )∫∫]+ dτ1 dτ2 c† (τ1 )[−A(τ1 )]c(τ1 )c† (τ2 )[−A(τ2 )]c(τ2 ) + . . . e−S ,1⟨B̂(τ0 )⟩ = ′
Z

†

†

(53)

とかける。Wick の定理から、展開の各項においてすべての縮約 (−c(τ )c† (τ ′ ) → G(τ − τ ′ ) の組)のパターンが経路積分に寄与する。このうち縮約が１つのループをなしているもの以外は分母のZ ′ からの寄与と相殺するため、縮約をとって１つのループをなすもののみを考えることとする。
例えば期待値への A の一次の寄与 ⟨B̂(τ0 )⟩(1) は、⟨B̂(τ0 )⟩(1)*6 det(iωn − H(k)) =

いた。

∫
∫
1
†
= ′
Dc Dc dτ1 c† (τ0 )Bc(τ0 )c† (τ1 )[−A(τ1 )]c(τ1 )e−S
Z
∫
∫
1
†
= ′
Dc Dc dτ1 B[−c(τ0 )c† (τ1 )]A(τ1 )[−c(τ1 )c† (τ0 )]e−SZ∫= dτ1 tr[BG(τ0 − τ1 )A(τ1 )G(τ1 − τ0 )]∏a (iωn − ϵa (k)), および∫†dc† dccc† e−ac c =

∫

(54)

dc† dccc† (1 − ac† c) = 1 であることを用≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）となる (tr: 行列のトレース)。ここで A についたマイナス符号と c† (τ0 ) を右端に移動させた際にでるマイナス符号はそれぞれ縮約を G で書き換える際に吸収されている。*7 外場が A(τ ) = Ae−iωn τと単一のフーリエ成分で与えられるときには、一次の応答も B(τ ) = Be−iωn τ と単一のフーリエ成分で与えられる。このため両辺をフーリエ変換し周波数 iωn のフーリエ成分を書き下すと、∫ β⟨B̂(iωn )⟩(1) =dτ0 eiωn τ0 tr[BG(τ0 − τ1 )A(τ1 )G(τ1 − τ0 )]
0

1
= 2
β
=
=

∫ β
dτ0
0

1∑
β

∑

e−i(−ωn +ωl −ωm )(τ0 −τ1 ) tr[BG(iωl )AG(iωm )]l,mδωl ,ωm +ωn tr[BG(iωl )AG(iωm )]l,m1∑
tr[BG(iωm + iωn )AG(iωm )]
β m

(55)

と表される。*8 特に、ゼロ温度 (T = 0) においては松原周波数 iωn は連続変数 iω と書くことがで
き、 β1

∑

n →

∫ dω

2π と置き換えることができる。

3.2 グリーン関数法による電磁応答
次に外部電場 E のもとでの電磁応答を摂動論的に考えてみよう。ac 電場を考え E(t) =E(ω)e−iωt と電場が与えられるものとする。対応するベクトルポテンシャルは E(t) = −∂t A(t) から、A(t) =E(ω) −iωtと与えられる。電場の電子との相互作用を minimal coupling p → p − qAiω e

により導入すると、外場中でのハミルトニアン H̃(t) は

)
)
∑ † (
∑ † (
iq
q
ck H k +E(t) ckH̃(t) =
ck H k − A(t) ck =
ℏ
ℏω

(56)

k

k

と書き表すことができる。ブロッホハミルトニアンは、電場 E に関してテーラー展開することで

(

iq
H k+
E(t)
ℏω

)

iq
1
= H(k) +∂k H(k)E(t) +
ℏω
2

(

iq
ℏω

)2
∂k2 H(k)E(t)2 + . . . ,

(57)

と表せる。
次に外部電場のもとで電流がどう与えられるか考えよう。電流演算子 J はハミルトニアンのベ
クトルポテンシャル A に関する微分により J = −∂H/∂A と与えられるので、外部電場の効果こ*7 一般に、n 次の項においては、マイナス符号が A の係数から n 個と c† の入れ替えから一つ現れる。これらはちょう

ど n + 1 個のグリーン関数 G で書き換える際に吸収される。
∑ −iω τn G(iω ) となることがわかる。
nne*8 c のフーリエ変換の形から、G(τ ) = 1
β≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

みのハミルトニアン H̃ から電流演算子は

(
)
∂ H̃
q ∂ H̃
q∑q==∂k H k − A(t) c†k ck
∂A
ℏ ∂k
ℏ
ℏ
k
[
]
iq 2
q∑
∂k H(k) +∂ H(k)E(t) + . . . c†k ck
=
ℏ
ℏω k

J ≡−

(58)

k

と与えられることがわかる。第一項はちょうど群速度に比例する電流を示し、第二項以降は電場による電流の補正に対応する。前者は常磁性電流 (paramagnetic current) と呼ばれ、後者は反磁性
電流 (diamagnetic current) と呼ばれる。特に、放物線バンド H = (p − qA)2 /2m の場合を考える
と、J =

∑

†
k q[(p − qA)/m]ck ck となり、括弧内第一項が常磁性電流、第二項の A に比例する項が反磁性電流である。反磁性電流は応答関数の dc 極限や E に関する非線形応答を考える際に重要となる。
電場 E に関して 1 次の応答を考え、伝導度の公式を導こう。外部電場に対する電流の線形応答

J(ω) = σ(ω)E(ω)(59)

を考える。線形伝導度 σ は、２つの寄与からなり σ = σp + σd と書き表される。ここで σp は常磁性電流 (Jp = ℏq ∂k H(k)) の寄与であり、もう一つ σd は反磁性電流（J のうち E の１次に比例する
2

部分 Jd = ℏiq2 ω ∂k2 H(k)E(t)) の寄与である。常磁性電流の寄与 σp は式 (55) において、

A=iq∂k H(k)E(t)
ℏω

B=

q
∂k H(k)ℏ(60)とすることにより

iq 2
σp (iωn ) = 2
ℏ ω

∫

dωm
2π

∫

dk
tr[∂k H(k)G(iωm + iωn , k)∂k H(k)G(iωm , k)]
(2π)d

(61)

と得られる（d:空間次元）。反磁性電流の寄与はグリーン関数の導出と同様の計算により、

iq 2
σd (iωn ) = 2
ℏ ω

∫

dωm
2π

∫

dk
tr[∂k2 H(k)G(iωm , k)]
(2π)d

(62)

と与えられ、電場の周波数 ω に依存しない。これらをファインマン・ダイアグラムを用いて表すと、σp は２つの Jp を頂点とするバブル・ダイアグラム (bubble diagram) に対応し、σd は 1 つの頂点 Jd とループのみからなるおたまじゃくしのようなダイアグラム (tadpole diagram) に対応する（図 2）。

T = 0 の場合に、線形の伝導度をハミルトニアンの固有状態を用いて書き表してみよう。ブロッ
ホハミルトニアン H(k) がH(k)|ua,k ⟩ = ϵa,k |ua,k ⟩,(63)≪講義ノート≫

図2

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

線形伝導度に寄与するファインマン・ダイアグラム。(a) σp に対応するするバブル・ダ

イアグラム (bubble diagram)。(b) σd に対応するするおたまじゃくしダイアグラム (tadpole

diagram)。

と対角化されるとしよう。(a はバンドのラベルである。) v ≡ ∂k H(k) として、σp は、tr の中で 1の分解 1 =∑

a |ua,k ⟩⟨ua,k | を用いることにより、

iq 2
σp (iωn ) = 2
ℏ ω
2

=

iq
ℏ2 ω

∫
∫

dωm
2π

∫

dk ∑
vab vba(2π)d(iωm + iωn − ϵb )(iωm − ϵa )a,bdk ∑ fab vab vba(2π)diωn − ϵba

(64)

a,b

と書くことができる。ここで、vab = ⟨ua |v|ub ⟩ は v の行列要素、ϵba = ϵb − ϵa である。また、

fab = f (ϵa ) − f (ϵb )（f (x) は T = 0 のフェルミ分布関数）である。*9 求めた表式は T ̸= 0 の場合にも有効であり、その場合は fab を有限温度のフェルミ分布関数を用いて定義すればよい。同様に、σd はiq 2
σd (iωn ) = 2
ℏ ω
iq 2
= 2
ℏ ω

∫
∫

dωm
2π

∫

dk ∑ (∂k v)aa(2π)d a iωm − ϵadk ∑fa (∂k v)aa(2π)d a(66)とかける（fa = f (ϵa ), (∂k v)ab = ⟨ua |∂k v|ub ⟩）。
実周波数 ω についての光学伝導度 σ(ω) は松原周波数 iωn を iωn → ℏω + iδ と解析接続することにより得られる。ここで微小な δ > 0 は因果律を担保するための因子である。*10 系に散逸や緩和があるときは、この微小な δ を散乱強度 γ と置き換えることで現象論的に緩和の効果を取り込むこ*9 ωm 積分は、留数定理を用いて

∫

1
dωm
2π (iωm + iωn − ϵb )(iωm − ϵa )()∫
d(iωm )
11
1=−2πi iωn − ϵb + ϵa iωm − ϵaiωm + iωn − ϵbf (ϵa ) − f (ϵb )=iωn − ϵb + ϵa

(65)

となる。
*10 摂動項が e−i(ℏω+iδ)t/ℏ = e−iωt+δt/ℏ という時間依存性を持つため、無限の過去 t → −∞ において摂動がない（系がもとの H の基底状態にある）ということを保証する。

≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

図3

一般の電磁応答のためのファインマン・ダイアグラム。Ref. [7] より転載。

とができる。解析接続を実行すると、光学伝導度の表式
2σ(ω) =

iq
ℏ2 ω

∫



∑
∑
dk 
fab vab vba 
fa (∂k v)aa +d(2π)ℏω − ϵba + iδ
a

(67)

a,b

を得る。

3.3 一般の電磁応答のためのダイアグラム法
より一般的に、外部電場 E(ω) のもとでの n 次の電流応答

J(ω) = σ (n) (ω; ω1 , . . . , ωn )E(ω1 ) . . . E(ωn )(68)について考えてみよう。σ (n) (ω; ω1 , . . . , ωn ) は n 次の非線形伝導度であり、ω1 , . . . , ωn は入射光の周波数たち、ω =∑ni=1 ωi は電流応答のもつ周波数である。このとき、σ(n)(ω; ω1 , . . . , ωn ) は次のファインマン・ダイアグラムの寄与をすべて足し上げることにより得られる [7]：1.

∑i ni +∑

j mj = n を満たす自然数 ni , mj の組を考え、ni -photon input vertex たちと

mj -photon output vertex たちを考える。
∏ni ( iq )2. ni -photon input vertex に l=1ℏωl ∂k H(k) を対応させる。
(
)
∏
mj −1
iq
3. mj -photon output vertex に ℏq ∂k l=1∂
H(k) を対応させる。
kℏωl
4. すべての頂点が一つのループをなすように electron propagator Ga (ω) で結ぶ。各頂点ではエネルギー保存則が満たされるように電子のエネルギーを決める。

5. 対応するダイアグラムはすべての頂点とグリーン関数に対応する因子をかけ合わせたものとする。

≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

このダイアグラムのルールを図 3 にまとめた。実際に、1 次の光学伝導度 σ(ω) は、図 2 の２つのダイアグラムにこのルールを適用することにより得られることをすぐに確かめることができる。

3.4 金属伝導度
グリーン関数法による電磁応答理論の最も簡単な適用例として金属中での電気伝導を考えてみよう。これはすでに求めた σ(ω) の表式において dc 極限 (ω → 0) をとればよい。式 (67) を簡単化するために、反磁性電流の項 (∂k v)aa を書き換えたい。シュレーディンガー方程式の両辺を k 微分していくことにより、関係式⟨ub |∂k ua ⟩ = −

vba
,
ϵba

(∂k v)aa = ∂k2 ϵa + 2∑ vab vba
,
ϵba

(69)

b̸=a

が得られる。（１つ目の関係式は b ̸= a のときに成立。）*11 式 (67) において、括弧内第二項については ℏω + iδ → 0 とし、２つ目の関係式を用いることで、

iq 2σ(ω → 0) = 2
ℏ ω

∫

dk ∑
q2 τ
2
f
∂
ϵ
=
a
a
k
(2π)d aℏ2∫

dk ∑fa ∂k2 ϵa(2π)d a(73)を得る。ここで全体にかかる ω は散乱の効果を現象論的に取り込むために、緩和時間 τ (散乱強度は δ = ℏ/τ に対応) を用いて ω → 0 + i/τ と置き換えた。*12 特に１次元系で一つのバンドが k ∈ (−kF , kF ) において部分的に占有されている場合を考えよう。フェルミ速度vF = (1/ℏ)∂k ϵ(kF ) を用いて、金属伝導度 σdc は
σdc = 2

q2
τ vF
h

(74)

と与えられる。放物線バンド ϵ(k) = (ℏk)2 /2m (m:有効質量) の場合を考えると、フェルミ速度はvF = ℏkF /m で与えられる。k ∈ (−kF , kF ) が占有されているときの電子密度 n = 2kF /2π を用
いると、

σdc =

nq 2 τ
m(75)という電気伝導度のドルーデの式 (Drude formula) を得る。これは準古典的なボルツマン方程式から得られた伝導度の結果と一致していることがわかる。
*11

H(k)ua = ϵa ua を k 微分して∂k H(k)ua + H(k)∂k ua = ∂k ϵa ua + ϵa ∂k ua(70)を得る。両辺において ub との内積をとり整理することで、１つ目の関係式を得る。上式をさらに k 微分することで、∂k2 H(k)ua + 2∂k H(k)∂k ua + H(k)∂k2 ua = ∂k2 ϵa ua + 2∂k ϵa ∂k ua + ϵa ∂k2 ua(71)

を得、ua との内積をとると(∂k v)aa + 2∑

vab ⟨ub |∂k ua ⟩ + ϵa ⟨ua |∂k2 ua ⟩ = ∂k2 ϵa + 2∂k ϵa ⟨ua |∂k ua ⟩ + ϵa ⟨ua |∂k2 ua ⟩

(72)

b
*12

となる。⟨ub |∂k ua ⟩ を含む項に１つ目の関係式を用いてさらに整理することにより、２つ目の関係式を得る。
この置き換えは現象論的であるが、よりマイクロスコピックには不純物散乱によるバーテックス補正として考えることができる。詳しくは Mahan [8] や阿部 [9] などの教科書を参照されたい。

≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

3.5 ホール伝導度
次にホール伝導度 σxy を考えてみよう。ホール効果は y 方向に電場をかけたときに x 方向に電流が Jy = σxy Ey と流れる現象である。これまでの伝導度計算では電場や電流の方向は特に指定
してこなかったが、ホール伝導度を考えるために、α 方向の電流演算子を考えることに対応して、

kα に関する微分をとることとする。２次元系を考えることにすると、ホール伝導度 σxy (ω) は式(67) から、
2

σxy (ω) =

iq
ℏ2 ω

∫



∑
∑
dk 
fab vx,ab vy,ba 
fa (∂kx vy )aa +(2π)2ℏω− ϵba + iδ
a

(76)

a,b

と書き表すことができる。ここで、vα = ∂kα H(k) (α = x, y) と定義する。反磁性電流からくる第一項は、金属伝導度のときに行ったようにシュレーディンガー方程式を k 微分していくことにより得られる関係式を用いて書き換えることができる。*13 これを用いて、さらにギャップ中にフェルミ
エネルギーが存在する絶縁体の状況を考えると、

σxy (ω → 0)



∑
∑
∑
dk 
vx,ab vy,ba + vy,ab vx,ba
fab vx,ab vy,ba iqfa+= lim 2
ω→0 ℏ ω(2π)2ϵ
ℏω − ϵba
ba
a
b̸=a
a,b
[
(
)
(
)]
∫
dk ∑ ∑
11
1
1
iq 2
vx,ab vy,ba++ vy,ab vx,ba−= lim 2
ω→0 ℏ ω(2π)2 a∈occ.
ϵbaℏω − ϵbaϵbaℏω + ϵbab∈unocc.
()∫
iq 2
dk ∑ ∑
vx,ab vy,bavy,ab vx,ba
=
−
+
(79)
2
2
ℏ
(2π) a∈occ.
ϵba
ϵ2ba
2

∫

b∈unocc.

*13

H(k)ua = ϵa ua を ky と kx で微分することで∂kx ∂ky H(k)ua + ∂kx H(k)∂ky ua + ∂ky H(k)∂kx ua + H(k)∂kx ∂ky ua= ∂kx ∂ky ϵa ua + ∂kx ϵa ∂ky ua + ∂ky ϵa ∂kx ua + ϵa ∂kx ∂ky ua(77)を得る。ua との内積をとり、さらに式 (69) を用いることで、)∑(−vy,ba−vx,ba= ∂kx (vy )aa(∂kx vy )aa +vx,ab+ vy,ab
ϵba
ϵba
b̸=a

を得る。左辺の和のなかで b = a の項は右辺の ∂k ϵa を含む項たちとキャンセルした。

(78)

≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）*14 ここで、occ.(unocc.) は占有状態（非占有状態）を表す。式 (69) を用いて行列要と変形できる。

素をベリー接続により書き換えると、∫]
dk ∑ ∑ [⟨ua |∂kx ub ⟩⟨ub |∂ky ua ⟩ − (x ↔ y)2(2π) a∈occ.
b∈unocc.
∫
2
∑
∑ [
]
dk
iq
⟨∂
u
|u
⟩⟨u
|∂
u
⟩
−
(x
=−
↔
y)
k
a
b
b
k
a
x
y
ℏ
(2π)2 a∈occ.
b∈unocc.
]
[
2 ∫
∑
iq
dk ∑
=−
⟨∂kx ua |ua′ ⟩⟨ua′ |∂ky ua ⟩ − (x ↔ y)⟨∂kx ua |∂ky ua ⟩ −ℏ(2π)2 a∈occ.
a′ ∈occ.
∫]iq 2
dk ∑ [=−(80)⟨∂kx ua |∂ky ua ⟩ − (x ↔ y)2ℏ(2π) a∈occ.

iq 2
σxy =
ℏ

３行目から４行目にいく際に、a′ を含む項は (a ↔ a′ ) の入れ替えにより (x ↔ y) の中の項とキャンセルすることを用いた。一方で、k 空間でのベリー曲率は

Fkx ky = ∂kx ay − ∂ky ax= i⟨∂kx u|∂ky u⟩ + i⟨u|∂kx ∂ky u⟩ − (x ↔ y)(81)と書くことができる。これを用いるとホール伝導度のベリー曲率による表式

σxy = −
=−

q2
ℏ

∫

dk ∑
Fk k ,a(2π)2 a∈occ. x yq2 ∑Cah a∈occ.

(82)を得る。ここで

1
Ca =
2π

∫
dkx dky Fkx ky ,a(83)

はバンド a のチャーン数で整数値をとる。前章では準古典的な電子の異常速度からホール伝導度の公式を得たが、本章ではよりミクロな量子論から同じ公式を導出できることがわかった。

3.6 分極電流
次に分極電流について応答理論に基づいて考えよう。分極電流は、系のパラメータを変化させた
ときに電気分極が変化することにより流れる電流である。電気分極は反転対称性が破れた際に現れるので、系の反転対称性の破れをコントロールするあるパラメータ λ を考えることにし、ハミルト
ニアンのパラメータ族 H(λ) を考えよう。電気分極を λ の関数として P (λ) と書くと、分極電流は
分極の時間微分で与えられるため、

J = Ṗ (λ) = ∂λ P (λ)λ̇*14 (∂k(84)

x vy )aa を書き換えた際に現れる ∂kx (vy )aa の項は全微分であるため、絶縁体でフェルミ面がない状況では kx
積分により消える。

≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）と λ の時間変化率 λ̇ に比例する。λ の時間変化が微小振動していて λ(t) = λ0 + δλe−iωt と与えられる場合を考え、このときの電流応答を求めてみよう。このときハミルトニアン H ′ は

H ′ = H(λ0 ) + ∂λ H(λ)|λ=λ0 δλe−iωt = H(λ0 ) +i∂λ H(λ)|λ=λ0 λ̇ω(85)と与えられる。ここで、λ̇ = −iωδλe−iωt であることを用いた。これに対応して、電流演算子はJ = (1/ℏ)∂k H ′ となる。ここでパラメータの時間変化率 λ̇ を摂動、電流 J を応答と考えると、応
答関数 ∂λ P は式 (55) において、

A=i∂λ H λ̇
ω

B=

q
∂k H
ℏ

(86)

と 置 く こ と に よ り 得 ら れ る 事 が わ か る 。こ れ は ホ ー ル 伝 導 度 の 式 (76) に お い て 、∂kx →∂k , (q/ℏ)∂ky → ∂λ と置き換えて得られる表式に等しい。（反磁性電流の項は、電流演算子の変化 ∂λ J λ̇ の寄与に対応する。
）このため前節の結果をそのまま用いることができ、分極電流は∫J = −q λ̇

dk ∑
Fkλ,a
2π a∈occ.

(87)と与えられる。ここで Fkλ は (k, λ) 空間のベリー曲率であり、λ 方向のベリー接続 aλ = i⟨u|∂λ u⟩を用いて、Fkλ = ∂k aλ − ∂λ ak と定義される。λ = 0 で反転対称性があり分極がゼロだとすると、

λ = λ0 での分極は分極電流を積分することにより、
∫
∫ λ0
∫
dk ∑
P (λ0 ) = Jdt = −qdλ
Fkλ,a2π a∈occ.
0(88)と与えられる。１バンドが全て電子で占有されている場合を考えると、∫
P (λ0 ) = −qdk
2πとなり、分極のベリー位相公式 (θ =∫ λ0∫dλ(∂k aλ − ∂λ ak ) = q

0

∫

dk
q
ak =
θ
2π
2π

(89)

dkak ) を与える。さらにパラメータ λ に関してハミルトニ

アンが周期的な場合（例えば H(λ = 0) = H(λ = 2π) の場合）、λ についても周回積分をおこなう
ことで、

∫ 2π
P (2π) − P (0) = −q01とチャーン数 Ca = 2π

∫

∫
dλ

∑
dk ∑
Fkλ,a = −qCa
2π a∈occ.
a∈occ.

(90)

dkdλFkλ,a を用いて書き表すことができ、分極変化は整数値をとることがわかる。このようなパラメータサイクルによるチャーン数に対応した分極変化はトポロジカルな
チャージポンプと呼ばれる。

4 非線形応答におけるトポロジカル現象：シフト電流
この章では反転対称性の破れた結晶において現れる光起電力効果であるシフト電流について紹介しよう。シフト電流はバンドギャップを超えて電子正孔対が光励起された際に、その電子正孔対の≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

図 4 シフト電流に寄与するファインマン・ダイアグラム。(a) 反磁性電流を含むバブル・ダイ
アグラム。(b) 常磁性電流のみからなる三角ダイアグラム。

もつ電気分極に駆動された非線形 (dc) 電流応答である。シフト電流の記述には、物質中の幾何学的位相（ベリー位相）があらわれ、現代的な分極理論と密接に関連したトポロジカルな非線形応答現象であるといえる。以下では、筆者らによる固体物理の記事 [10] に基づいてシフト電流について解説する。

4.1 ダイアグラム法によるシフト電流の導出
まずは前章で紹介したダイアグラム法を用いてシフト電流の表式を導出してみよう。シフト電流は周波数 ω の光が物質に照射したときに現れる dc 電流応答であり、(2)

Jµ = σµαβ (ω)Eα (ω)Eβ (−ω)(91)という電流応答として書き表すことができる。ここで µ, α, β は電流および電場の方向を表す。シフト電流はバンドギャップよりも大きなフォトンエネルギーの光により電子正孔対が生成されることによって生じる dc 電流応答である。このため σ (2) の表式には電子の光励起に対応したエネル
ギー分母 (デルタ関数) が現れる。このような寄与は図 4 の２種類のダイアグラムにより表される。
図 4(a) は常磁性電流と反磁性電流のバブルダイアグラムであり、式 (55) において、A = (iq/ℏω)∂kα H(k)E(ω),

B = [iq 2 /ℏ2 (−ω)]∂kµ ∂kβ H(k)E(−ω)(92)

として与えられる。図 4(b) は常磁性電流の三角ダイアグラムであり、２つの入射光の頂点は

A1 = (iq/ℏω)∂kα H(k)E(ω),

A2 = [iq/ℏ(−ω)]∂kβ H(k)E(−ω)(93)

により与えられ、dc 電流に対応する頂点は B = (q/ℏ)∂kµ H(k) で与えられる。これらの寄与をあわせることで、非線形伝導度のシフト電流に対応する部分 σ shift がえられる。特に、直線偏光≪講義ノート≫

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α = β の場合には、σ shift は[
3 ∫∑ fab (∂kµ vα )ab vα,ba
q
dk
shift
σµαα
(ω) = 3 2ℏ ω(2π)dℏω − ϵba + iδa,b)]
∑ vµ,ac vα,cb vα,ba (
fab
fcb
+
−
+ (ω ↔ −ω).
ϵacℏω − ϵba + iδℏω − ϵbc − iδ
a,b,c̸=a(94)と与えられる。*15 第一項は線形の伝導度のバブルダイアグラムの計算と同様に求めることができる。第二項は三角ダイアグラムについての松原周波数の和の公式から得ることができる。*16 ここで、1/(ℏω − ϵba + iδ) のようなエネルギー分母たちは、1/(ℏω − ϵba + iδ) = −iπδ(ℏω − ϵba ) のよ
うに、デルタ関数の形に書き換えることができる。これは、シフト電流が光吸収に伴う電子正孔対の実励起に伴って生じる dc 電流であることを示している。非線形伝導度 σ shift は３次元 (d = 3)
においては [A/V2 ] の次元を有する。
この表式 (94) は、さらにいくつかの和則を用いることで、ベリー接続を用いた形に書き直すことができることが知られている [11]。つまり、シフト電流はブロッホ波動関数の幾何学的性質を反映した非線形応答現象であるといえる。次節では、σ shift における幾何学位相の効果をより簡明に理解するために、シフト電流の別の導出法であるフロッケ理論に基づいた非線形応答の定式化を紹介する。

4.2 フロッケ理論
次に、シフト電流のより簡便な記述法を与えるフロッケ理論について簡単に解説を行う。フロッ
ケ (Floquet) 理論は周期的な外場で駆動された系を実効的に静的なバンド描像で記述する方法で、*15 式 (94) と同等のシフト電流の表式は、[7, 11, 12] において導出されている。[11, 12] は length gauge と呼ばれる手*16法を用いている。[7] では本稿と同じダイアグラム法を用いている。
三角ダイアグラムの計算にあらわれる松原周波数の和は以下のようにとることができる。

∫

1
dωl
2π (iωl + iωm + iωn − ϵc )(iωl + iωm − ϵb )(iωl − ϵa )
fb
fc
fa
+
+
=
(iωm + iωn − ϵca )(iωm − ϵba )(iωn − ϵcb )(−iωm − ϵab )(−iωn − ϵbc )(−iωm − iωn − ϵac )
fab
fcb
=
+
(95)
(iωm + iωn − ϵca )(iωm − ϵba )(iωn − ϵcb )(iωm + iωn − ϵca )I≡となる。２行目から３行目に行く際に、

fb
= −fb
(iωn − ϵcb )(−iωm − ϵab )

(

1
1
+
iωn − ϵcbiωm − ϵba)1iωm + iωn − ϵca(96)を用いた。さらに、シフト電流の場合、松原周波数は iωm → ℏω + iδ および iωn → −ℏω + iδ と解析接続する。
これにより、

I=
をえる。

1
ϵac

(

fab
fcb
−
ℏω − ϵba + iδℏω − ϵbc − iδ

)

(97)

≪講義ノート≫

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周期ポテンシャル中の波動関数を記述するブロッホ理論の時間方向版と考えることができる。具体的には、時間依存シュレーディンガー方程式を直接扱うのではなく、フロッケハミルトニアン

1(HF )mn =T∫ Tdtei(m−n)Ωt H0 (t) − δmn mℏΩ.

(98)

0

を考える。フロッケハミルトニアンはもとのバンドインデックスに加え、余分な整数によるラベル（フロッケインデックス：m, n など）によって拡張されたヒルベルト空間に作用し、フロッケハミ
ルトニアンから得られるフロッケバンドは、もとの時間依存方程式を解いて得られるダイナミクスと等価な情報を与える。
単色光が照射された系は、周期的な電場により駆動された系であるためにフロッケ理論を適用することができる。この場合、余分な整数ラベルであるフロッケインデックスは、もとのバンドが実
効的に n 個の光子をまとった状態と捉えることができ、実効的に静的なフロッケバンドを考えることで、非平衡・非線形現象を取り扱うことができる。特に、図 5 に示すような光学遷移による非線形光学応答を考える場合、１つの光子をまとった価電子バンドと光子をまとわない伝導バンドからなるバンド交差を考えることになる。これらフロッケバンドのバンド交差は 2 × 2 のフロッケハミ
ルトニアン [13]HF =(ϵ1 + Ω
iAv21−iA∗ v12
ϵ2)≡ d0 + d⃗ · ⃗σ ,(99)

で記述することができる。(ここで簡単のために e = 1, ℏ = 1 と置いた。) ここで、添字 1、2 は価電子、伝導バンドを意味し、ベクトルポテンシャルを A = E/Ω、速度演算子を v = ∂H0 (A = 0)/∂kとした。これに伴い、フロッケ描像での電流演算子 ṽ は

(
ṽ =

v11
iA(∂k v)21

−iA∗ (∂k v)12v22)
≡ b0 + ⃗b · ⃗σ .

(100)と与えられる。このフロッケ理論と、非平衡定常状態における電子分布を記述できるケルディッ
シュグリーン関数法とを組み合わせることで、光照射下で実現する非平衡定常状態における電流応
答現象を一般に記述することができる。

4.3 反転対称性の破れた結晶におけるシフト電流
以上の道具立てを用いることで、シフト電流を考察する。シフト電流は光照射したときにあらわ
れる dc 電流応答で、2 次の非線形伝導度 σ (2) (ω) を用いて

Jshif t = σ (2) (ω)|E(ω)|2 .

(101)と書き表される。空間反転操作により電流 J は符号反転する一方、|E|2 は符号反転しないのでシフト電流がノンゼロになるためには空間反転対称性が破れている必要がある。つまり、反転心を欠いた結晶においてシフト電流応答が一般にあらわれる。おもしろいのは、磁気カイラル異方性の時のように時間反転対称性の破れを必要としないということである。このことは、シフト電流が光≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）

E
conduction band
valence band
+1 photonvalence bandk
図5

フロッケバンドによる（非線形）光学応答の描像。フロッケ理論では、ブロッホ状態が光子をまとったフロッケバンドを考える。光学遷移が起こる状況では、1 光子をまとった価電子バ
ンドともとの伝導バンドが交差することになる。このフロッケバンドのバンド交差が非平衡定
常状態を表し、そこにおけるベリー位相の構造がシフト電流をもたらしていると考えることができる。[13] より転載。

キャリアの群速度によって起こるものではなく（T があればバンド構造は ϵ(k) = ϵ(−k) となるので群速度の寄与は ±k で相殺する）、むしろブロッホ波動関数の量子力学的性質から現れることを示唆している。
光照射下での dc 電流応答にフロッケ理論を適用すると、電流 J は∫J = −iTr(ṽG< ) =

Γ

dk 2

(−dx by + dy bx )2

d2 + Γ4,(102)

で与えられる。ここで Tr は、バンドインデックスに関するトレースと、ω および k に関する積分を意味する。被積分関数は、速度演算子に現れる ∂k v の行列要素を書き直すことで、−dx by + dy bx = A2 |v12 |2 Rk ,(103)と書くことができる。ここで Rk はシフトベクトルと呼ばれる長さの次元を持つ量で

[
Rk =

]
∂
Im(log v12 ) + a1 − a2 .
∂k

(104)

と 2 バンドのベリー接続の差によって与えられる。これによりシフト電流の表式

2πe3
Jshif t = 2 2 |E(ω)|2ℏ ω∫[dk]|v12 |2 Rk δ(ω21 − ω),(105)

を導くことができる。ここでは 1 と置いていた e、ℏ をあらわに書き、[dk] = dk/(2π)d （d：次元）という表記を用いた [13]。
このシフト電流は、直感的には光励起された電子正孔対の分極電流として理解できる。励起された電子正孔対は、2 バンドのセル内座標の差 (≃ Rk ≃ a1 − a2 ) に相当する分極を有しており、こ≪講義ノート≫

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101201 （2022年3月号）の分極が電子正孔対の定常的な光励起によって時間的に増加していく。分極の時間微分は電流に対応するため、この過程により dc の定常電流、シフト電流が流れるわけである。ただし、系の分極は増え続けていくわけではなく、キャリアが電流として外部に取り出される過程で分極が開放されることで、非平衡定常状態が成り立っている。

4.4 電子間相互作用のもとであらわれるシフト電流
空間反転が破れた結晶であれば、相互作用する電子系についてもシフト電流を考えることができる。半導体における相互作用効果の例として、電子正孔間の引力相互作用による励起子形成が考えられる。フロッケ理論を用いると、引力相互作用を平均場近似で扱い励起子が形成された非平衡定
常状態下での光学応答をフロッケ理論により解析することができる [14]。これにより、反転心を欠いた結晶中の励起子共鳴によってもシフト電流応答が現れることを示すことができる。おもしろいのは、励起子は光励起された電子正孔対の束縛状態であるため自由な光キャリアがいないにもかか
わらず dc 電流が流れる点である。シフト電流応答は、励起子の場合も電子正孔対の分極がノンゼ
ロであることから生じる。つまり、分極を持つ励起子が光照射により定常的に生成されるため分極が時間的に増加し、これが定常電流をなすわけである。さらに、時間反転と空間反転が同時に破れているマルチフェロイックス物質においては、エレクトロマグノンという電気分極と磁化の揺らぎが結合した素励起が低エネルギーに存在するが、これを光で励起するとやはり dc のシフト電流が流れることが理論的に示されている [15]。

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≪講義ノート≫

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