論理的思考力を育てる工学系数学教育の試みⅠ
上原 成功*1

池田 一磨*2

On an Attempt of Logical Education for Engineering Mathematics I
Shigenori UEHARA and Kazuma IKEDA

Abstract
平成２９年度から３０年度の専攻科基礎科目「応用数学特論」では，工学系の数学教育における論理教育を目的として，情報科学や数学の基礎である集合と論理からはじめて数学の基礎や数学一般の論法について講義した。この様子を報告して，工学系
数学および中等教育課程における論理教育や論理的な思考力を向上するための教材について模索する。

Keywords : 工学系数学，集合と論理，論理的思考力

１．はじめに

２．数学教育の現代化

理工系の大学生は，解析等の授業でε－δ論法の壁

スプートニック・ショックが一つの引き金となってにぶつかる。それが関数の極限を厳密に表現したもの“数学教育の現代化”が世界中で巻き起こり，日本のと理解するのに時間が掛かり，また，収束しないこと

中等教育課程においても過去に位相幾何や集合と論理を表した場合に，それが論理におけるド・モルガンの等の抽象的で高度な数学を積極的に導入して，数学教

法則に従っていることを知るのには更に時間が掛かる。 育の高度化と再編が試みられたことがあった[2]。当時，授業では教員が量化や含意について適宜説明している

数学の構造や集合の考え方が人間の思考の基本的な部

場合もあろうが，高校を出たばかりの学生が分かるよ

分と共通性が見られることが指摘され，複雑化した数

うに説明されることは少なく，大抵は学生が分かって学の内容を集合の概念を基盤にして単純化し明確化すいるものとして授業が進んで行く。高専の設立当時にることが現代化のねらいの一つであった。
残念ながら，[1]

は本校でも数学の教科書として解析概論 を使用して中学数学へ集合の概念や記号が導入されたものの，中いたそうで，当時中学を出たばかりの高専生達の苦労

学生にとっても教える教員にとっても専門外の集合やが推察される。理工系であっても集合と論理を基礎と位相幾何学は取り掛かり難い題材であったためか，期する論理教育を受ける機会が少ないのが現状である。

待通りの効果が得られる前にそれらの新しい項目を取本論文では，工学系数学における論理教育を一つのり除く改定が行われた。結果として，集合による論理目的として実施した平成２９年度と３０年度の専攻科の導入に関係する数学教育の現代化は失敗に終わった。

の応用数学特論の授業の様子や学生の感想を報告し，そして近年，人工知能（＝ＡＩ），ビッグデータや機数学を通した論理教育の方法や教材について考える。

械学習に関連する研究開発が官民を問わず盛んになり，

ここでの教材については，工学系の専門的な題材だけ世界に先駆けた超スマート社会（Society 5.0）の実現

でなく中等教育課程すなわち中学や高校数学でも扱えを目指すことが提唱されはじめた[3]。このための基盤

る身近で平易なものをできるだけ取り入れるようにし技術として人工知能等の情報関連技術が挙げられていて，一般的な論理教育の方法や教材も考えてゆく。

るが，米国や中国に比して情報関連技術者の不足が指＊1

香川高等専門学校 一般教育科

摘され，情報関連技術者の養成が望まれているところ＊2

杏林大学 保健学部

である[4]。これと同時に，情報関連技術の根幹と言え141

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 11(2020)

る数学の必要性も益々高まりをみせ，最近数年の日本

分野横断的能力に対する教育効果が示されはじめてい数学会では数学や数学教育の研究者を対象とした機械る。ある大学では，低学年にロジカルシンキング入門

学習に関する講演会が連続して開催されておりのような必修科目を設定して卒業研究をはじめとする[5][6][7][8]，講演者の言葉からは数学教育への要望や期待

実践的科目の履修要件とするカリキュラムをとっておが垣間見れることがある。一方，全国学力・学習調査

り，論理的思考のような分野横断的能力に関する基礎の結果によると，中学では数学的な表現を用いた理由

科目が設定されている大学は比較的多い。論理的思考の説明に課題が見られ，高校では論理的に説明するこ力というのは実践を通して自然に身につくとは限らず，とに課題があり，数学の学習に対して意欲が高くない

基本的で適切な手法がいくつか存在するので，あらかことが指摘されている[9]。ＯＥＣＤ生徒の学習到達度

じめ学んでおく必要があるということであろう。
また，調査（ＰＩＳＡ）では，日本の中等教育の課題として，

小学校で必修となったプログラミング教育では，プロ

読解力や論理的な説明に関する能力が相対的に劣ってグラミング的思考力の向上を目的の一つとしているが，おり，学年が上になるにつれて数学に対する学習意欲

プログラミング力は数学と理科だけでなく国語など各[10]が低下することも指摘されている 。また，諸外国と教科における学習能力との深い関係が指摘されている

比べて数学を学ぶ楽しさや実社会との関連が低い状況[17]。これらのように，分野横断的能力を育てる実践的[10]がある 。科目間の比較では数学が最も成績の良い科な取り組みの充実とその効果が示される一方で，これ目であって，これまでの数理科学における実績を見てまでの知識定着型の教育方法では通用しない難しさがも数学教育の取り組みに問題があることは考えられなあるため，ロジカルシンキング入門のようなリテラシ

いが，かつて昭和の時代にあった数学教育の現代化にー科目の設置や，頻繁に学習指導要領が改正され新設

おいて新しい数学の導入に挑戦したように，次世代の科目が乱立するなど，試行錯誤が続いている現状があ技術に対応する分野を導入したり，実社会との関連がる。加えて，分野横断的能力に対する定まった教育方

より深い題材を新しく用いたりと，中等教育課程の生法はあまり見当たらず，その直接的な評価方法も確立

徒が更に興味を持ってくれそうな題材を新たに試してされていない現状もある[18]。

みる余地はある。

工学系数学を通した論理教育を一つの目的として，
平成２９年度と３０年度の専攻科の応用数学特論では，情報科学や数学の基礎となる集合と論理や数学一般で

３．分野横断的能力と論理的思考力

用いられる論法と基礎事項に関する講義をした。学習[11]

主体的・対話的で深い学びが提唱され ，アクティした論理の応用として本科で証明せずに用いたいくつ

ブラーニング（ＡＬ）の導入が進められる中で，論理かの定理を厳密に証明するなど少し高度な数学を一部的思考力をはじめとして，リーダーシップやコミュニで扱ったが，講義の大部分は数学の基礎教育を通して

ケーション能力などの分野横断的能力の重要性が益々

論理の基礎を学ぶもので，言わば論理リテラシー教育

高まっている。
このために，
各教育課程で継続した様々の一案というべきものである。後の章において，これな動きがあり，最近の高校では必履修科目の総合的ならの講義の様子を報告し，工学系数学教育における論

探求の時間や理数探求のような新しいＰＢＬ型科目が理教育の方法について考察する。また，応用数学特論

導入されようとしており[12]，小学校ではプログラム的では，専門的な数学を応用として少し扱っただけで，思考なる論理的思考力の養成を目的として，令和２年

多くの話題は身近で単純なものであり，中等教育課程

度からプログラミング教育が必修科目化されている。

を対象とした平易な題材を出来るだけ用いるようにし以前から大学では，殆どの入試において面接のほか小た。これにより，工学系に限らない一般的な論理教育

論文や集団討論が取り入れられており，知識に限らなの方法と教材についても考えてみたい。

い論理的思考力をはじめとする分野横断的能力が重要視されて久しいことが分かる。大学に入学した学生の３割程度はＡＯ入試（旧総合型選抜）で選抜されてい４．平成２９、３０年度の応用数学特論[13]て年々その割合は増加傾向にあるが ，上位の大学ほ

平成２９年度から３０年度まで専攻科１年の基礎科

どＡＯ選抜により入学した学生の評価が学力選抜で入目である応用数学特論で行った講義の様子を次に述べ学した学生よりも高い例が見られ，入学後の成績（Ｇてゆく。

ＰＡ等）についてもＡＯ入学者の方が優れているとの最初の講義では授業の目的を簡単に説明した後，復[14][15][16]

調査結果もあるように，論理的思考力のような習を兼ねて中等教育課程で学習した集合と論理に関す

142

上原成功 他：論理的思考力を育てる工学系数学教育の試みⅠるレポートを課した。
高校の数学Ⅰの意味での有理数・書[19]に沿って進めてゆくが，アクティブラーニング実

無理数・実数の定義，命題や条件の定義，命題が真で施の一環ということで，第４章までの集合と命題論理あるための同値な条件の確認，逆・裏・対偶の確認や，に関しては教科書を自学自習して章末の練習問題を課

背理法の確認である。背理法は数学の重要な証明法な題とする流れで進めた。応用数学特論は学修単位２単のでしっかり取り組んでもらい，ルート 2 が有理数で位の科目なので，まとまった自学自習のエビデンスがないことの証明，2 つのベクトルが線形独立であるこ必要となるが，章末の演習問題だけでも必要以上の量とと平行でないことが同値になることや，1 と虚数単があるため取捨選択する必要があった。命題論理に関位が 1 次独立であることの証明をしてもらった。ルー

して，学生たちは本科のデジタル回路で真理値表やカト 2 が無理数であることの証明では，背理法とともにルノー図を既に習っていたためスムーズに自学が進め無限降下法による証明も紹介した。本科の授業であるられていた。しかしながら，５章６章の述語論理に関

基礎数学Ⅰでは，有理数であることと循環小数である

しては少し苦戦している様子だったので，この章からことは同値であるとの言及があるが，教科書では証明

は教員の解説を加えながら学習をすすめることにした。

に触れていないので，これを次に学習する部屋割り論

資料１のコメントにあるように，これ以前の章につい法（鳩の巣箱の原理）を学習した後で証明してもらっては教科書が優れており非常に読み易く分かり易いた

た。Ｅテレの「大人のピタゴラスイッチ」の録画を視め，学生は問題なく理解できたようである。例えば，

聴し，主として部屋割り論法を詳しく学んで貰った。

上限の扱いをはじめ，数列の収束や発散，ベクトルの

大人のピタゴラスイッチでは部屋割り論法の他に数学

一次独立や基底の定義など，本科で曖昧な表現で扱わ的な話題がいくつか紹介されており，組合せや確率にれていたものが，量化子を使って単純かつ厳密に記述関する例として最適化計量装置によるピーマン袋詰めされることを問題演習を通じて知ってもらえたようでの工程，誕生日のパラドックスを大掛かりな装置を利ある。

用して実験する場面や，中国料理の手延べラーメンや教科書の後半部は，数学の基礎になり，学生からすミルフィーユのパイ生地作成の映像により指数関数的ると格段に難しく感じた様子であった[資料１]。教科

な増加の様子を説明する場面，二値化を利用したコイ書の全ての章を授業でこなすことは難しいので項目をンゲームの必勝法，ボロノイ図など，身近な題材を利選択して講義した。授業の目標として，コーシーによ用して数学の高度な理論を解説していたが，学生は楽る実数の構成を扱いたいこともあって，教科書の残り

しんで視聴できたようであった。授業が進んで行くとの項目のうち，写像・有限集合・鳩ノ巣箱の原理，同無限集合を扱うことになるので，その導入と話題提供

値関係・商集合，可算集合・対角線論法に絞って講義を目的として，実生活と関係が深い話題のうち無限のした。その後は，教科書から離れて実数の構成に入る

トリックを利用した例をパワーポイントの映像によりが，その前に，テレビ番組「しくじり先生」のしくじ紹介した。[資料１]で纏めた学生の感想によると，大り偉人伝“ピタゴラス”の回を視聴して歴史的な話題

人のピタゴラスイッチのビデオ視聴よりも記憶に残っに触れてもらい，有理数や無理数に興味をもってもらていて興味深く聞いてくれたようである。これらをいった。

くつか列挙すると，部屋割り論法の利かない無限の例

授業の最後の項目では，授業の前半で時間をかけてとしてヒルベルトの無限ホテルや，無限連鎖講による学習した論理を応用するセクションということで，コトリック，期待値が無限大となる確率モデルによる賭ーシーによる実数の構成をハンドアウト教材により講けの必勝法，ツェノンのパラドックス等を解説した。

義した。まず，可算集合である有理数の集合を定め，また，無限の歴史的な話題として，ユークリッド原論

自己稠密などの性質を論理的な記述により確認した。

での素数が無数に存在することの証明，ピタゴラス教

アルキメデスの原理や，ε－Ｎ論法により数列の収束

団による三平方の定理の証明と無理数の存在の例示，と発散，ε－δ論法により関数の収束を記述する練習ガリレオの自然数と２乗数の個数比較におけるコメンをしてから，コーシーによる実数の構成を導入した。

トや，カントールによる対角線論法や，論理と理論のその定義による四則演算が well-defined となること

区別程度の話題としてゲーデルの完全性定理と不完全性定理，
選択公理およびバナッハ＝タルスキーの定理，
幾何学的トポロジーにおける話題も少し紹介した。
講義の導入と高校までの復習を終えたところで，授等[20]の確認には触れずに実数の構成のアウトライン
のみの紹介に終始した。それから本科の微分積分や応用数学等において証明せずに利用した諸定理の証明に取り掛かった。まず，ボルツァーノ＝ワイエルシュト

業前半の主題となる集合と論理に取り掛かった。教科

ラスの定理，上限の存在の証明，ボルツァーノの中間

143

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 11(2020)

値の定理，最大値の存在の証明，ロルの定理，コーシ

では時間をかけて論理の基礎の部分を省略せずに一かーの平均値の定理，ラグランジュの平均値の定理の順ら取り組み，授業の大部分は論理的思考に関する言わに解説した。
あと，絶対収束する数列が収束すること，

ばリテラシー教育となった。結果的には，授業時間数

ライプニッツによる交代級数が収束することも証明しから考えても，これ位の内容で丁度よかったようであた。学生達は，教科書の前半はよく理解でき，教科書る。

の後半は何とか取り組むことができたという程度で，分野横断的能力における論理と，数学で言うところ

最後の応用のセクションは難しくて理解できないことの論理とは意味合いが異なるかもしれないが，数学のが多かったようであるが，簡単なε－δ論法による収論理の方が基礎に位置付けられることは間違いない。

束の証明についてそれなりに理解できているようで，また，主観や予想や感想などが完全に排除され，客観最低限の到達目標は達成できた感はある。

的に正しいかどうかがを判断できるのは数学の議論だ
けであるから，論理的思考力を訓練する科目としては
数学が最も適しているとも言える。このため，数学の５．学生の感想と分析

授業で時間を割いて今回のような論理教育を目的とし学生達に記名式で書いてもらった授業の感想を，原た授業を実施したいところではある。しかし，高専の文のままで[資料１]に記した。ただし，一部の当授業

モデルコアカリキュラムに論理的思考力に関する教育とは無関係な記述は除いている。学生の感想から，全目標は殆ど存在せず，数学の学習項目においても試作員とまではゆかないものの，多くの学生に学習の意図段階で存在していた集合と論理の項目が最終段階で削が伝わっていたようではあった。また，授業で扱った

除されてしまった。このため，益々このような形の授

数学の基本事項や論法が，専門科目の授業でも少しは業を実施することは難しくなってしまったが，学校教役に立っていたようである。最初の授業での導入部分

育において，特に理工系においては，論理的思考の基や，授業の折に紹介した具体的事例について面白く感

礎を学習することは不可欠であるから，今後も継続しじてくれたようで，これらの教材については工学系にて工学系数学教育における論理教育の方法を考えてゆ限らず，数学一般の論理教育の教材としても利用でききたい。

る可能性があることが分かった。授業での学生の様子
から，命題論理に関しては本科の専門の授業で学習済
みのようで学生達はよく理解できていたようであるが，残念ながら，命題論理は弱い体系のため，それだけで［参考文献］
1 高木貞二著，解析概論 改訂第 3 版，1983 年，岩数学を記述し展開することはできない。加えて，専門

波書店の授業において量化子が特段の説明もなく使用されて2 学習指導要領 1969

いたため，当授業で学習したことが役に立ったとの感

3 「科学技術基本計画」閣議決定 2016 年 1 月 22 日

想があった。このことからも，モデルコアカリキュラ

4 Society 5.0 に向けた人材育成に掛かる大臣懇談

ムの数学の目標には集合と論理の項目は存在しないも会 2018 年 6 月 5 日のの，数学教育において当授業のような，何らかの論

5 数学連携ワークショップ SOCIETY 5.0と数学 ‐理教育をすべきであることが再認識できた。授業の最量子コンピュータと人工知能を題材に‐, 2018

終局面で説明した微積分における諸定理の証明はかな

年 日本数学会年会（東京大学）

り難しかったようではあったが，定期試験の結果から

6 数学連携ワークショップ SOCIETY 5.0 と数学

も，ある程度のε－δ論法による議論や無限の扱いを

2‐人工知能研究と数学とのかかわり‐ 2018 年

理解できており，やはり本校の専攻科生は優秀である

日本数学会秋季総合分科会（岡山大学）と感じる。

7 数学連携ワークショップ SOCIETY 5.0 と数学 3‐数学と情報セキュリティ研究とのかかわり‐2019 日本数学会年会（東京工業大学）

６．おわりに8 数学連携ワークショップ SOCIETY 5.0 と数学

今回の応用数学特論での集合と論理の授業は，本校

4‐AI やビッグデータが注目される現代におけの情報特化コース構想がきっかけで実施した。採用しる数学への期待から‐ 2019 年日本数学会秋季

た教科書は情報工学科の学生を対象としたもので，専総合分科会（金沢大学）

門的な話題もいくつか学習できたのだが，実際の授業

9 全国学力・学習状況調査結果（概要）平成 31 年

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上原成功 他：論理的思考力を育てる工学系数学教育の試みⅠ

6月
10 OECD による PISA2015，IEA による TIMSS
11 学習指導要領 201712 学習指導要領 2018
13 平成 31 年度国公立大学入学者選抜の概要，文部科学省
14 AO入試の何が変わり,何が変わらなかったか: 広
島大学 AO 入試の 10 年, 大学入試研究ジャーナル (25), 117-122, 2015-03
15 「AO 入試」の再評価 慶應義塾大学湘南藤沢キャ
ンパス
（SFC）
を事例に, KEIO SFC JOURNAL Vol.14
No.1 201416 東北大学入学者の追跡調査研究(3)－平成 17,18
年度入学者の学部別分析－, 東北大学高等教育
開発推進センター紀要(3)237(2008-3)
17 論理的な文章作成力とプログラミング力との関係の分析, 大場みち子, 伊藤恵, 下郡啓夫, 薦
田憲久, 情報処理学会 研究報告コンピュータと教育（CE）, 2015-CE-132(27),1-5 (2015-11-27) ,2188-8930
18 上原 成功，友安 一夫，赤池 祐次，新井 達也，
基礎数学Ⅰでのジェネリックスキルの測定，
香川高等専門学校 研究紀要 第 10 号 88--92
19 嘉田勝著，論理と集合から始める数学の基礎，
2008 年，日本評論社
20 斎藤正彦著，数学の基礎集合・数・位相，2002 年，
東京大学出版会

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独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 11(2020)[資料１] 講義を受講した学生の感想（アンケートの記述）
・数学帰納法や，論理式・集合などについて学んだ。また，ε－δ論法などについても触れた。記号のみで P ならば Q などを表記できることを学んだ。ε－δ論法あたりから少し授業の進行が早く感じたからかもしれない。説明がもう少し欲しい。

・他の授業でも応用数学特論で学んだ論理関数が出てきて改めてこの授業の重要さに気が付いた。個
人的に授業内容がおもしろく，授業とは別に自分で調べて勉強しようと思った。背理法のおかげでレポートのまとめを書きやすくなりました。

・レポート①～⑩の内容については授業時間である程度理解できたと思う。今レポートを見返してもどんなことをしたか何となく思い出せるので。レポート⑥の関数と論理式の問題では，全射を表す∀y∃x(y=f(x))では，グラフ y=f(x)が混ざって混乱した。∀x∀x’(f(x)>g(x’))において，x’とは何か，有界を表す∃y∀x(y>f(x))でもグラフ y=f(x)と混ざって混乱して悩んだ気がする。問題を解く前に，少し（教員からの）説明が欲しかった。レポート⑪⑫の内容は難しかった。対角線論法においては，
実数 x(i)と少数第 i 位が同じ数字にならなければよいということを最初に説明して欲しかった。極限
について，εより小さければ証明できるというのがあまり納得できなかった。

・一番役に立ったのは論理記号∀∃→∧∨￢等である。なぜならば本科時代にほとんど触れなかった
のに，専攻科では分かったものとして説明なく出てくるから。それで意外と他の授業でも役に立った。しかし，この授業では本科の微分積分の応用等を勉強したかったと思う。論理の話は進めるにつれて全然分からなくなって，正直使うのかな？という思いが大きくなってきた。私は数学が苦手
で・・・（略）
・・・とは言うものの，熱心に授業してくださったので，有意義な時間ではあったと思う。

・家庭教師で教える時以外は数学に１年くらい触れていない生活をしていたから，かなり頭の中の抵抗感が大きかった。授業の前半の方は日常生活にも少し関係している内容も多かったから比較的気負わず取り組めた。無限ホテル，ねずみ講，鳩ノ巣論法はおもしろく感じた。真理値のところも今までの知識で理解できた。背理法も，アルゴリズムの授業とあわせて分かりやすかった。∃などの量化記号に慣れるのに時間がかかった。対角線論法などの話がでてきてからはけっこう苦しかった。三角不等式やε－δ論法は答えをみて何となく理解できる程度で，自分で考えるのは難しかった。担
当教員の授業を受けたのははじめてだったが，流すところは流して，分かりにくそうなところはゆっくりしてくれたから良かった。はじめて出てくる単語や記号ははじめに大きく書いて欲しい。

・論理は苦手だったがある程度分かるようになったと思う。今までやったことはなかったので新鮮だった。ノート（板書）が少し早いときがあった。読みにくいところもいくつかあった。ありがとうご
ざいました。

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上原成功 他：論理的思考力を育てる工学系数学教育の試みⅠ

・本科での数学と違って具体的な数字はあまり扱わず，ものの考え方のようなものがメインだった。
論理的な問題が多く，この科目特有の文章に慣れるまで理解しにくかった。鳩ノ巣論法や誕生日の問題は感覚では分かっていても文で説明するのは難しい。

・背理法の書き方を学んだ。無限に対する苦手意識を少し克服できた。論理というものを，この授業を受講することで簡単に理解できた。ノートのペースが少し早いときがあった。授業にノートをとる
時間と説明を聞く時間の区切りがあるとより授業中の理解度が高まると思った。

・対角線論法やε－δ論法など有名な論法について軽くだが学べてよかった。鳩ノ巣論法や無限ホテルなど分かった部分もあるが，論理についてもう少し詳しく学びたくなった。集合についてあまり理解できなかったので詳しく解説して欲しかった。

・いまいちよくわからなかった。レポート⑦まではなんとなく理解しているが，それ以降はわからない。

・鳩ノ巣論法やε－δ論法等の様々な論法や原理を学ぶことができた。レポート⑥の第 3 章の問題は悩むことが多かった。全射と単射は分かりにくかった。各種文字や記号の意味を理解することが難しかった。

・朝一なのが辛かった。いつも使っている記号とちがうのが分かりづらかった（and, or, 補集合とか）結局よく分からなかった。レポート⑥のやつと⑫がむずかしかった。

・鳩ノ巣論法，対角線論法などを学び，内容として難しい所もあったが，先生の教え方がていねいで理解できた。

・ピタゴラスイッチのビデオから始まり，アルキメデスの原理やε－δ論法までを学習した。今まであまり触れてこなかった分野であるために多少とまどったが，その分インパクトもあった。文章の解釈を表せたり，実数集合が不可算であることを証明したり，1/n→0 などの今まで何も考えずに使っていたことを証明できておもしろかった。

・レポート①でのビデオでピーマンが出てきたとき最初ピーマンと数学が何の関係があるのか分からなかったが，ビデオを見てすべての袋に９０％以上の確率でほぼ同じ重さにできることを知りました。応用数学で証明を行う方法としてよく使用する方法である背理法は条件を否定して矛盾を導く
ことにより証明を行うと分かりました。最初の方は全体的に分かりやすかったが，最後の方は難しかったです。

・無限ホテル，ねずみ講，賭けで必ず１万円を勝ち取る方法など初めは身近でおもしろい話題から対角線論法などの数学の少し深い話題まで沢山のことを学ぶことができた。最初の方の鳩ノ巣論法は147

独立行政法人国立高等専門学校機構香川高等専門学校研究紀要 11(2020)

ビデオなどを使ってゆっくり説明してくれたため，理解することができたがレポート⑨⑩あたりから授業のスピードが早く内容も難しくなってきていることから理解することが難しかった。レポー
トに関しては授業時間内に取り組む時間や解説の時間があったため負担になることは少なく理解しやすかった。対角線論法やε－δ論法など大学生はこんなに難しいことをしていたと始めて知った。

・前半の授業内容は理解し易かった。後半に行くにつれて理解できないことが増えていった。鳩ノ巣
論法からはじまり，アルキメデスの原理，ε－δ論法まで今までふれたことのない分野だったのでオモシロかった。

・学習したこと：鳩の巣箱の原理，背理法，再帰的定義，有理数・無理数の性質，命題論理，必要・十分条件，集合，対角線論法，ε-Ｎ論法。本科４，５年で数学の授業を受けていなかったのでヤバイなと思っていたが，先生の説明と教科書が分かりやすくある程度は理解できた。教科書は暇があれば読みたいと思った。

・学んだこと：鳩ノ巣原理，背理法，真理値，述語論理で要素が３つであることを論理式で表したこと。
前半は理解できていましたが，後半は厳しかったです。たぶんほとんどの人がこのような論理を学んでいないと思います。もっと基礎だけやったほうがいいと思います。

・鳩ノ巣箱の原理を大人のピタゴラスイッチで学ぶというところは分かりやすくて良かったです。十分条件や必要条件は研究でもたまに出るので復習になった。数学の基礎的な部分はやっていなかったと知り，この授業は取り組もうと思って受講した。背理法は後に他の授業で使ったので理解しやすかった。授業はプリント教材をメインに使っていたのでテスト勉強もしやすいと思った。ものごとを数学的に証明するのは難しく感じたが，今回でマスターできるよう取り組んだ。

（一部の学生のアンケートに於いて，本科等の他の科目に関する記述があり，部分的に削除しています）

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