《講義ノート》

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૬సҠμΠφϛΫεͱؔ࿈ͨ͠ඇฏߧ‫ݱ‬৅‫ా܀‬ɹྰ1֓ཁେ‫ؾ‬ѹதͰɼණ͸̌౓ͰਫʹͳΓɼ̍̌̌౓Ͱਫৠ‫ʹؾ‬มΘΔɽ͜ͷΑ͏ʹ෺࣭͸Թ౓΍ѹྗͳͲͷ‫ڥ؀‬ͷ΋ͱͰฏߧঢ়ଶΛͱ͓ͬͯΓɼ‫ڥ؀‬ͷมԽʹΑͬͯฏߧঢ়ଶؒΛసҠ͢Δɽ͜ͷసҠΛɼʮ૬సҠʯͱ‫Ϳݺ‬ɽ૬సҠΛ޿͍֓೦Ͱଊ͑ɼઇ่΍ରྲྀͳͲͷಈతͳసҠ΋‫ؚ‬ΊΔͱɼࣗવքʹ͸ͨ͘͞ΜͷసҠ͕͋Δ2 ɽ‫ݱ‬৅࿦తͳΞϓϩʔν͔Β૬సҠ‫ݱ‬৅ͷීวੑ΍μΠφϛΫεͷ‫ૅج‬Λཧղ͢Δ͜ͱ͔Β࢝Ί͍ͨͱࢥ͏ɽ·ͨɼۙ೥ɼ஫໨
͞Ε͍ͯΔӷମӷମ૬సҠ΍ɼయ‫ܕ‬తͳసҠʹ΋ؔΘΒͣະղ໌ͳ͜ͱͷଟ͍݁থԽɼඇ
ฏߧΛར༻ͨ͠૬෼཭ύλʔϯͷ੍‫ͦͱޚ‬ͷՄೳੑʹ͍ͭͯ঺հ͍ͯ͘͠ɽ
ࠓճɼ‫ૅج‬తͳ૬సҠμΠφϛΫεͷཧ࿦ͱ࠷ۙͷ૬సҠʹؔ࿈ͨ͠ඇฏߧ‫ݱ‬৅ͷ࣮‫͍ͯͭʹڀݚݧ‬ఆੑతʹ঺հ͍ͯ͘͠ɽؔ࿈ੑΛॏࢹ͠ʮ޿͘ઙ͘ʯͷ঺հʹͳΔͨΊɼ‫ݸ‬ʑͷ‫ݱ‬৅Λਂֶ͘ͼ͍ͨํ͸࿦จ΍ઐ໳ͷ‫ڭ‬ՊॻͰษ‫͍͖͍ͨͩͨͯ͠ڧ‬ɽ૬సҠͷ‫ૅج‬1͜ͷষͰ͸ɼ૬సҠͷฏߧঢ়ଶΛϞσϧʹ‫͍ͯͮج‬ཧղ͢Δɽ΋ͬͱ΋‫ૅج‬తͳඍࢹతϞσϧͱͯ͠ Ising εϐϯϞσϧΛಋೖ͢Δɽͦͷ‫ޙ‬ɼฏ‫ۉ‬৔ۙࣅΛ‫ͯܦ‬ɼ༳Β͗ͷޮՌΛऔΓೖΕͨϞσϧ΁ͱൃల͍ͤͯ͘͞ [1]ɽ1.1

Ising Ϟσϧ݁থͷ֤֨ࢠ఺ i ͕̎ͭͷঢ়ଶ si = ±1/2 ΛͱΔ΋ͷͱ͢Δɽ͜ͷ‫ܥ‬ͷϛΫϩͳΤωϧΪʔ͸

H = −Σ<i,j> Jij si sj − HΣi si(1)Ͱ༩͑ΒΕΔͱ͢Δɽ͜͜Ͱɼୈ߲̍ͷ Σ<i,j> ͸࠷ۙ઀ͷରʹ͍ͭͯͷ࿨Λҙຯ͠ɼH ͸֎৔࣓৔Ͱୈ߲̎͸࣓৔ʹΑΔΤωϧΪʔΛද͍ͯ͠Δɽ͜ͷϞσϧ͸ Ising ϞσϧͱΑ͹Εɼ࣓ੑମͷϞσϧͱͳ͍ͬͯΔɽ͜ͷ Ising Ϟσϧ͸ɼ࣮͸֨ࢠ‫ؾ‬ମͷϞσϧͰ΋͋Γɼ̎੒෼߹ۚ‫ܥ‬ͷϞσϧͱߟ͑Δ
͜ͱ΋ՄೳͰ͋Δɽ֨ࢠ఺ i ʹ෼ࢠ͕͋Δͱ͖ɼpi = 1 ͱ͠ɼͳ͍࣌Λ pi = 0 ͱ͢Δɽ͜ͷͱ͖‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔ͸ɼ

H = −Σ<i,j> Eij pi pj − μΣi pi(2)͜͜Ͱɼμ ͸ԽֶϙςϯγϟϧͰ͋Δɽͯ͞ɼsi = pi − 1/2 ͱఆٛ͢Δ͜ͱͰɼ ࣜ 1 ͱಉ౳ͷ͕ࣜಘΒΕΔɽ·ͨɼ̎੒෼߹ۚ‫ܥ‬ͷ৔߹ɼ֨ࢠ఺͕ A ‫ࢠݪ‬ɼB ‫Ͱࢠݪ‬઎༗͞ΕΔ͜
ͱʹͳΔɽ͜ͷͱ͖͸ɼpi ͸ A ‫͕ࢠݪ‬઎༗͢Δ਺ͱߟ͑Δ͜ͱͰ౳Ձͳ͕ࣜಘΒΕΔɽ
12౦‫ཱ౎ژ‬େֶཧֶ෦෺ཧֶՊ email : kurita@tmu.ac.jpʮ૬ʯ͸೤ྗֶฏߧঢ়ଶΛҙຯ͢ΔͷͰɼਖ਼֬ʹ͸૬సҠͰ͸ͳ͍ɽ

《講義ノート》

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͜ͷ̏ͭͷ‫Ͱܥ‬౳Ձͳ͕ࣜಘΒΕΔ͜ͱ͔Βɼ͜ΕΒͷ‫ීʹܥ‬วੑ͕͋Δ͜ͱΛࣔࠦ
͍ͯ͠ΔɽҰํͰɼ͜ͷ‫ܥ‬Λ‫ʹີݫ‬ղ͘͜ͱ͸ඇৗʹࠔ೉Ͱ͋ΔɽͦͷͨΊɼۙࣅΛ༻͍ͯɼ‫ݱ‬৅࿦తʹ‫ه‬ड़͍ͯ͘͜͠ͱΛҎ߱Ͱ͸ߟ͍͑ͯ͘ɽ

1.2

ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅ

͋Δ֨ࢠ఺ͷΤωϧΪʔΛͦͷपғͷ֨ࢠ఺ͱͷฏ‫ۉ‬తͳ૬‫ͯ͠ͱ༻࡞ޓ‬ଊ͑Δ3 ɽ۩ମతʹ͸ɼฏ‫࣓ۉ‬Խͷฏ‫ۉ‬ମੵ෼཰ φ = si  Λ༻͍ͯɼJij si sj → Jij si φ(3)ͱۙࣅ͢Δɽ͜ͷۙࣅΛฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͱΑͿɽ֤֨ࢠ఺͕ಠཱͱͳΓɼ෼഑ؔ਺͸ɼφJ μ − J/2
Z = 1 + exp
+
2T
T

N
(4)

ͱͳΔɽ͜͜ͰɼJ = Σj Jij ͱఆٛͨ͠ɽϔϧϜϗϧπͷࣗ༝ΤωϧΪʔ͸ɼ

F = −T log Z + N μφ

(5)Խֶϙςϯγϟϧ͸ɼφ = si  ΑΓɼ
1φexp − J(φ − 1)exp(μ/T ) =
1−φ
2T

(6)

ͱͳΔɽ̍֨ࢠ͋ͨΓͷϔϧϜϗϧπͷࣗ༝ΤωϧΪʔ f = F/N ͸ɼ

f = T [φ log φ + (1 − φ) log(1 − φ)] +J
φ(1 − φ)2

(7)

ͱͳΔɽӈลͷҰ߲໨͸ A ཻࢠΛ φ ͷׂ߹Ͱ֨ࢠ఺ʹ઎༗ͨ࣌͠ͷ഑ஔΤϯτϩϐʔʹ૬౰͢Δɽೋ߲໨͕εϐϯ͕ཚࡶʹࠞ߹͍ͯ͠Δ࣌ͷ૬‫͍ͯͬͳͱ߲༻࡞ޓ‬Δɽ

∂ 2f
= 0
∂φ2
∂ 3f
= 0
∂φ3

(8)
(9)

ͷͱ͖ɼྟք఺ͱͳΔɽ

1.3

૬సҠ

ࣜ 7 Λ kB T ͰׂͬͨྔΛ φ ͷ̐࣍ࣜͰۙࣅ͢Δͱɼ

1
1
f /kB T = τ φ2 + μ0 φ4 − hφ
2
4
3

(10)

ฏ‫ۉ‬తͳ૬‫͑ߟͱ༻࡞ޓ‬ΒΕΔͨΊʹ͸ɼଟ͘ͷ઀৮఺͕ඞཁͱͳΔɽͦͷͨΊɼ௿࣍‫Ͱݩ‬͸ฏ‫ۉ‬৔͸੒Γཱͨͣɼߴ࣍‫Ͱݩ‬੒Γཱͪ΍͍͢ɽLandau ཧ࿦Ͱ͸̐࣍‫Ͱݩ‬੒ཱ͠ɼ̏࣍‫΁ݩ‬ͷ֦ு͸̐࣍‫͔ݩ‬Βͷઁಈల։Ͱ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ

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ͱͳΔɽ͜ͷۙࣅ͸ Landau ཧ࿦ͱΑ͹Ε͍ͯΔɽ͍·ɼԹ౓ΛԼ͛ͨ࣌ʹ૬෼཭͕‫͜ى‬Δͱ͢ΔͱɼߴԹ͔ΒԼ͛ͨ࣌ʹ͋ΔԹ౓ʢྟքԹ౓ʣΛ‫ ʹڥ‬φ = 0 ͷ‫͕཰ۂ‬൓స͢Δ
ʢਤ 1ʣɽͦͷͨΊʹ͸ɼ

τ = A(T − Tc )(11)

ͱ͔͚Δඞཁ͕͋Δʢͨͩ͠ɼA ͸ਖ਼ͷఆ਺ʣɽ͋Δ T ͱ H ʹ͓͚Δฏߧঢ়ଶͷ φ ͷ஋͸f Λ࠷খԽ͢Δ͜ͱͰಘΒΕΔɽh = 0 ͷ৔߹͸ɼ


φ=

0
±



(T ≥ Tc )
|τ |
μ0

(12)

(T < Tc )ͱͳΓɼτ < 0 ͷͱ͖ɼࣗൃతʹ̌Ͱ͸ͳ͍̎ͭͷ஋ͷ͍ͣΕ͔ʹͳΔɽ

f (φ)

T > TcT < TcφFigure 1: T = Tc Λ‫ࣗʹڥ‬༝ΤωϧΪʔͷ‫ܗ‬ঢ়͕มԽ͢Δɽৄࡉ͸ল͕͘ɼ̍੒෼ྲྀମͷฏߧঢ়ଶΛ‫ه‬ड़͢Δ Van der Waals ঢ়ଶํఔࣜͱ Landauཧ࿦͸ྟք఺ۙ๣ʹ͓͍ͯຊ࣭తʹಉ౳Ͱ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ࣓Խͱѹྗɼ‫ײ‬ड཰ͱ౳Թѹॖ཰͕ରԠ͢Δɽ͜Ε΋૬సҠʹ͓͚ΔීวੑΛ͍ࣔͯ͠Δɽ

1.4

Ginzburg-Landau-Wilson ϞσϧLandau ཧ࿦͸ฏߧঢ়ଶΛ‫ه‬ड़͢Δͷʹ͸ద͍͕ͯͨ͠ɼۭؒతʹෆ‫ۉ‬ҰͳΏΒ͕͗͋Δ
Α͏ͳ‫Ͱܥ‬͸ਖ਼֬Ͱ͸ͳ͍ɽྫ͑͹ɼLandau ཧ࿦Ͱ͸ɼ‫ڞ‬ଘ͢Δ̎૬ͷ φ ͸φ ∼ |τ | ∼ (T c − T )β(13)
β = 0.5(14)

ͱͳΔ͕ɼྟք఺ۙ๣ͷ࣮‫Ͱݧ‬͸ β ≈ 0.33 ͱ͍͏݁Ռ͕ಘΒΕ͍ͯΔɽ·ͨɼ༳Β͗ͷۭؒ૬ؔ௕ ξ ʹ͍ͭͯͷྟքࢦ਺ ν ͸ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͰ͸ ν = 1/2 Ͱ͋Δ͕ɼ࣮‫Ͱݧ‬͸ ν ≈ 0.625

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ͱͳ͓ͬͯΓɼେ͖͘ҟͳ͍ͬͯΔɽ͜Ε͸ɼྟք఺ۙ͘Ͱ͸௕೾௕ͷΏΒ͕͗ࢧ഑తʹͳ͓ͬͯΓɼۭؒෆ‫ۉ‬ҰΛߟྀ͍ͯ͠ͳ͍ Landau ཧ࿦Ͱ͸ॆ෼Ͱ͸ͳ͍͜ͱΛҙຯͯ͠
͍Δɽ௕೾௕ΏΒ͕͗ࢧ഑తʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͔Βɼ֨ࢠఆ਺ a ఔ౓ͷ༳Β͗͸ແࢹͯ͠ྑ
͍ɽͦ͜Ͱɼ‫ݩ‬ͷϛΫϩͳ֨ࢠͷ୅ΘΓʹΑΓେ͖ͳ֨ࢠΛߟ͑Δɽ৽͍֨͠ࢠͷαΠζ l
͸l = λa(15)ͱ͠ɼ৽͍͠εϐϯม਺ͱͯ͠ɼ৽͍֨͠ࢠ͝ͱʹɼ

1
φ(r) = Σi∈v si
v(16)

ͱఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱɼr ͸ηϧதͷ୅ද఺ͷҐஔϕΫτϧɼv = (λa)d ʢd ͸࣍‫ݩ‬ʣ͸ηϧମੵͰ͋Δɽi ʹ͍ͭͯͷ࿨͸ηϧ಺ͷϛΫϩͳ֨ࢠ఺ʹ͍ͭͯͷ଍͠߹Θͤͱͳ͍ͬͯ
Δɽ಺෦ΤωϧΪʔʢ૬‫༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔʣ͸ɼ

1
U = Σ<i,j> J(ri − rj )φ(ri )(1 − φ(rj ))2(17)

φ(ri )(1 − φ(rj )) = [(φ(ri ) − φ(rj ))2 − (φ(ri )2 + φ(rj )2 ) + 2φ(ri )]/2

(18)

͜͜Ͱɼ

ͱॻ͖௚͢ͱɼ಺෦ΤωϧΪʔ͸ඇ‫ʹ߲ॴہͱ߲ॴہ‬Θ͚Δ͜ͱ͕Ͱ͖ͯɼ

1JU = Σ<i,j> J(ri − rj )(φ(ri ) − φ(rj ))2 − Σi (φ(ri )2 − φ(ri ))
4
2

(19)

͜͜Ͱɼ࠷ۙ઀૬‫༻࡞ޓ‬ͷΈΛߟ͑ɼ࿈ଓ‫ݶۃ‬ΛͱΔͱɼ

(φ(ri ) − φ(rj ))2 ∼ l2 (∇φ)2ͱͳΓɼJd2 /2 = Kd3 ͷΑ͏ʹ K Λఆٛ͢Δͱɼ಺෦ΤωϧΪʔ͸
1
U= 3
dr[Kd3 (∇φ)2 + Jφ(1 − φ)]
2d V

(20)

(21)

ͱͳΔɽΤϯτϩϐʔ߲΋ಉ༷ʹɼ

S = −kB Σi [φ log φ + (1 − φ) log(1 − φ)]

kB
= − 3
dr[φ log φ + (1 − φ) log(1 − φ)]d V͕ͨͬͯ͠ɼࣗ༝ΤωϧΪʔ F = U − T S ͸



1
2
F =
dr K(∇φ) + f (φ)
2
VJφ(1 − φ) kB T
f (φ) =
+ 3 [φ log φ + (1 − φ) log(1 − φ)]
d3
d

(22)
(23)

(24)
(25)

͜͜Ͱɼྟք૊৫ φc = 1/2 ͷपΓͰɼψ = φ − 1/2 ʹ͍ͭͯల։ͯ͠ɼఆ਺߲ͱઢ‫߲ܗ‬Λ
མͱ͢ͱɼ



τ 2 u 4 K
2F =dr ψ + ψ + |∇φ|
(26)
2
4
2
V

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͜͜Ͱɼ܎਺͸ඍࢹతϞσϧͷύϥϝʔλͱ࣍ͷΑ͏ͳؔ܎ʹͳΔɽ

τ = (4kB T − J)/d3
u = 16T /(3d3 )K = J/2d

1.5

(27)
(28)
(29)

૬෼཭ք໘

ࣜ 26 Λ༻͍ͯɼ૬෼཭͍ͯ͠Δঢ়ଶʹ͍ͭͯߟ͑ͯΈΑ͏ɽF [ψ] = drf (ψ, ∇ψ)ͷ࣌ɼδf (ψ, ∇ψ)
δψ



δf
 δf


=
dr
δ(r − r ) +∇δ(r − r )δψδ∇ψδF [ψ]=δψdr ࠷‫ޙ‬ͷ߲Λ෦෼ੵ෼ͯ͠ɼ‫ڥ‬քੵ෼͕ফ͑Δ͜ͱΛԾఆ͢ΔͱɼδF [ψ]
δf
δf
=
−∇·
δψ
δψ
δ∇ψ

(30)

(31)
(32)

(33)

͕ಘΒΕΔɽࣗ༝ΤωϧΪʔ͕࠷খʹͳΔͱ͖ɼࣜ 33 ͸̌ʹͳΔɽF ʹࣜ 26 ӈลͷੵ෼಺ͷ߲Λ༻͍Δͱτ ψ + uψ 3 − K∇2 ψ = 0(34)

͕ಘΒΕΔɽ
·ͣɼ૬෼཭͍ͯ͠Δঢ়ଶͰ֤૬ͷք໘͔Β཭Εͨ৔ॴΛߟ͑Δʢਤ 2ʣɽ͜ͷ࣌ɼۭؒඍ෼͸‫͍ͳ͡ײ‬ͷͰɼ

1/2
|τ |
ψe = ±(35)uͱͳΓɼۭؒ‫ۉ‬Ұ‫ܥ‬Λߟ͍͑ͯΔ Landau ϞσϧͱҰக͢Δɽ࣍ʹք໘ۙ๣Λߟ͑ΔͨΊʹฏΒͳք໘Λߟ͑ɼͦͷਨ௚ํ޲Λ z ࣠ͱ͢Δɽ

d2
ψ=0
dz 2
͜ͷࣜͷ྆ลʹ dψ/dz Λ͔͚ͯɼz ʹ͍ͭͯͷੵ෼Λߦ͏ͱɼ2d1 |τ |2
1 2 1 4 1τ ψ + uψ − K
ψ =−
2
4
2
dz
4 u
τ ψ + uψ 3 − K͜ͷࣜͷղ͸ɼψint =

|τ |
tanh
u

|τ |
z
2K


≡ ψe tanh

z
√
2ξ

(36)

(37)

(38)

ͱͳΓɼ

ξ=

K
|τ |

͸டংม਺ͷ૬ؔ௕Ͱ͋Γɼք໘ްΈʹ΋ͳ͍ͬͯΔɽ

(39)

《講義ノート》

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φ
φe

r
-φe
Figure 2: ૬෼཭ք໘ͷ༷ࢠɽք໘ްΈ ξ =1.6



K/|τ | ͱͳΔɽք໘ΤωϧΪʔ͜ͷք໘ΤωϧΪʔΛ‫͢ࢉܭ‬Δʹ͸ɼք໘ೱ౓෼෍ͷղΛࣗ༝ΤωϧΪʔʹ୅ೖ͠ɼฏߧ
૬ͷࣗ༝ΤωϧΪʔΛҾ͚͹ྑ͍ɽ


2


K d
σ = dz f (ψint ) +(40)
ψint − f (ψe )2 dz

f ʹ୅ೖͨ͠‫ ࣜʹޙ‬37 Λ༻͍Δͱɼ




d
ψint
dz
dz

σ=K

2
(41)

ͱͳΓɼք໘෦෼ͷΤωϧΪʔ͸ (∇ψ)2 ͷ߲͔Βੜ͍ͯ͡Δ͜ͱ͕Θ͔Δɽ࣮ࡍʹ‫͢ࢉܭ‬Δͱɼσ=J(Tc − T )2kB T dξ(42)ͱͳΓɼฏ‫ۉ‬৔Ͱ͸ ξ ∼ (Tc − T )−1/2 ͳͷͰɼσ ∝ (Tc − T )3/2

(43)

ͱͳΔɽྟք఺ʹۙͮ͘ͱք໘ΤωϧΪʔ͸ஶ͘͠খ͘͞ͳΔɽ࣮ࡍʹ͸ɼ̏࣍‫ܥݩ‬ͷྟք఺ۙ๣Ͱ͸ɼσ≈ͱͳ͓ͬͯΓɼA ͸໿ 0.1 ͷఆ਺Ͱ͋Δ4 .
4ΏΒ͗ͷඇઢ‫ޮܗ‬Ռ͕Ө‫͍ͯ͠ڹ‬Δɽ

AkB Tcξ2(44)

《講義ノート》

2

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૬సҠμΠφϛΫεͷ‫ૅج‬ྟք఺ۙ͘Ͱ͸ɼடংม਺ͷΏΒ͗ͷۭؒαΠζ͕େ͖͘ͳΔͱͱ΋ʹɼͦͷ࣌ؒൃల΋ஶ͘͠஗͘ͳΔʢcritical slowing downʣɽ͜ͷΑ͏ͳଟମ‫͚͓ʹܥ‬ΔूஂతӡಈΛ‫ه‬ड़͢
Δ‫ج‬ຊతͳཧ࿦త࿮૊Έ͕ Langevin ํఔࣜͰ͋Δɽ

2.1

ඇอଘ‫ͱܥ‬อଘ‫ܥ‬ͷಈతϞσϧۭؒతʹ࿈ଓͨ͠ૈࢹԽ͞Εͨεϐϯม਺ ψ(r, t) Λߟ͑ΔɽεϐϯͷΑ͏ͳ‫ܥ‬શମͰอ
ଘ͍ͯ͠Δඞཁͷͳ͍டংม਺Λඇอଘ‫ͱܥ‬ΑͿɽ͜ͷεϐϯม਺ʹର͢Δ࠷΋؆୯ͳ
Langevin ํఔࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɽ

∂∂ψ(r, t) = −L (βH) + θ(t)
∂t
∂ψ

(45)

͜͜ͰɼβH ͸ࣜ 26 Ͱ༩͑ΒΕΔϋϛϧτχΞϯͰɼθ(t) ͸ϥϯμϜྗͰ͋Δɽடংม਺
ͷ؇࿨ʹൺ΂ͯɼଞͷύϥϝʔλ͕े෼ʹૣ͘؇࿨͍ͯ͠ΔͱԾఆ͢ΔͱɼϥϯμϜྗ͸࣍ͷΑ͏ʹॻ͘͜ͱ͕Ͱ͖Δɽθ(r1 , t1 )θ(r2 , t2 ) = 2Lδ(t1 − t2 )δ(r1 − r2 )(46)

ࣜ 26 Λ୅ೖͯ͠ॻ͖Լ͢ͱɼ

∂ψ(r, t) = −L[τ + u0 ψ 2 − K∇2 ]ψ + θ(t)
∂t

(47)

ͱͳΔɽ
࣍ʹɼεϐϯ‫Ͱܥ‬͸ͳ͘ɼ߹ۚ‫ܥ‬Λߟ͑Δɽ͜ͷ࣌ͷடংม਺͸ A ‫ࢠݪ‬ʢB ‫ࢠݪ‬ʣͷೱ౓ͱͳΔɽA ‫ࢠݪ‬ͷ૯਺͸อଘ͍ͯ͠ΔͨΊɼடংม਺͸อଘྔͱͳ͍ͬͯΔɽ͜ͷΑ͏ͳ‫ܥ‬Λอଘ‫͏͍ͱܥ‬ɽอଘ‫ܥ‬ͷ৔߹ɼ࿈ଓํఔࣜʹै͏ඞཁ͕͋ΔͷͰɼೱ౓ͷϑϥοΫε J Λ༻͍ͯ∂ψ(r, t) = −∇ · J
∂t

(48)

J = −L∇[τ + u0 ψ 2 − K∇2 ]ψ + g(49)ҰํɼJ ͸

͜͜Ͱɼg ͸ϥϯμϜͳྲྀΕΛද͠ɼͦͷ੒෼ gi (i = x, y, z) ʹରͯ͠ɼgi (r1 , t1 )gj (r2 , t2 ) = 2Lδij δ(t1 − t2 )δ(r1 − r2 )(50)ͱͳΓɼ࠷ऴతʹ͸ɼ∂ψ(r, t) = L∇2 [τ + u0 ψ 2 − K∇2 ]ψ + θ(t)∂t
θ(r1 , t1 )θ(r2 , t2 ) = −2L∇2 δ(t1 − t2 )δ(r1 − r2 )

(51)
(52)

͕ಘΒΕΔɽ‫ࣜܗ‬తʹ͸ɼ∂ψ(r, t) = −L(−∇2 )a [τ + u0 ψ 2 − K∇2 ]ψ + θ(t)∂t
θ(r1 , t1 )θ(r2 , t2 ) = −2L(−∇2 )a δ(t1 − t2 )δ(r1 − r2 )ͱͳΓɼa = 0 ͷͱ͖ඇอଘ‫ܥ‬ɼa = 1 ͷͱ͖ʹอଘ‫ͳͱܥ‬Δɽ

(53)
(54)

《講義ノート》

2.2

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ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͱ‫ܥ‬ͷ೤ྗֶత҆ఆੑψ ΛۭؒతʹҰ༷ͳฏ‫ͱۉ‬খ͞ͳ༳Β͗ʹΘ͚ͯߟ͑Δɽψ = ψ̄ + δψ(55)͞Βʹɼτef f = τ + 3u0 ψ̄ 2 ͱ͢Δɽ͜ΕΒΛࣜ 53 ʹ୅ೖ͢Δͱɼ∂δψ = −L(−∇2 )a [τef f − K∇2 ]ψ + θ(t)∂t
ψ(r, t) ͷϑʔϦΤม‫ ׵‬ψq (t) ʹ͍ͭͯɼ(56)∂
ψq = −Lq 2a [τef f + Kq 2 ]ψq + θq∂tͱͳΓɼ֤ q ʹରͯ͠ಠཱͳํఔ͕ࣜಘΒΕΔɽฏ‫ ۉ‬ψq  ͷ‫ݮ‬ਰ཰ Γq ͸
Γq = Lq 2a (τef f + Kq 2 )

(57)

(58)

೚ҙͷ q ʹରͯ͠ɼΓq > 0 ͷͱ͖ɼΏΒ͗ͷ‫ݮ‬ਰ͕‫͜ى‬Δɽ‫ܥ‬͸͜ͷ࣌ɼ҆ఆ΋͘͠͸४҆ఆྖҬʹ͋Δͱ‫͑ݴ‬ΔɽҰํɼτef f < 0 ͷͱ͖ɼΓq < 0 ͱͳΔ q ͕ଘࡏ͠ɼখ͞ͳ qʢ௕೾௕ʣʹ͓͍ͯ༳Β͕͗೤ྗֶతʹෆ҆ఆͱͳΔɽ͜ͷͱ͖ͷ૬෼཭‫ڍ‬ಈΛεϐϊʔμϧ෼ղͱΑͿɽ

2.3

ඇอଘ‫ܥ‬ͷεϐϊʔμϧ෼ղ؆୯ͷͨΊɼh = 0 ͱͯ͠ɼ͜ͷ࣌ͷεϐϊʔμϧ෼ղͷ࣌ؒൃలʹ͍ͭͯߟ͑Δɽ࣌ࠁ
t = 0 Ͱ τ Λਖ਼ͷେ͖ͳ஋ (κ20 ) ͔Βෛͷ஋ (−κ2 ) ΁ͱมԽͤ͞Δɽt > 0 ʹ͓͍ͯɼடংม਺ψ͸∂
ψ = −L[τ − ∇2 + u0 ψ 2 ]ψ + θ(t)∂t‫ྫྷٸ‬௚‫Ͱޙ‬͸༳Β͕͗খ͍͞ͱߟ͑Δͱɼ

(59)

Γq = L(−κ2 + q 2 )(60)ͱͳΓɼ௕೾௕‫Ͱݶۃ‬͸ɼγ0 = Lκ2 ͱͳΓɼॳ‫Ͱظ‬͸ࢦ਺ؔ਺తʹ༳Β͕͗૿େ͢Δɽͨ
ͩ͠ɼ༳Β͕͗ࢦ਺ؔ਺తʹ૿େ͢Δॳ‫ظ‬ஈ֊͸ɼඇઢ‫͖͕߲ͨ͘ܗ‬Ίɼ࣮ࡍ͸௕͘ͳ͍ɽ
͜͜Ͱඇઢ‫߲ܗ‬ͷ໾ׂʹ͍ͭͯɼߟ͑ͯΈΔɽψ 3 ͷ߲͸ɼψ Λ ±ψe ʹ๞࿨ͤ͞Δ໾ׂ
ΛՌ͍ͨͯ͠Δɽ∇2 ψ ͷ߲ͱϥϯμϜྗΛҰ౓ແࢹ͢Δͱɼ∂ψ = −L[−κ2 + u0 ψ 2 ]ψ∂t
2ͱͳΔɽ͜͜ͰɼX(t) = ψe /ψ 2 ͱม਺ม‫͢׵‬Δͱɼ

(61)∂
X = −2γ0 (X − 1)
∂t

(62)

͕ಘΒΕΔɽ݁Ռͱͯ͠ɼ



ψ(t) =

ψ(0)ψe / 1 +|ψ(0)|



ψe
ψ(0)

2


− 1 exp(−2γ0 t)

1/2
(63)

ॳ‫ظ‬஋͕ਖ਼ͳΒ ψe ΁ɼෛͳΒ −ψe ΁઴͍ۙͯ͘͠ɽࢦ਺ؔ਺తͳ૿Ճ͕໌֬ʹ‫ݟ‬ΒΕΔ
ψe ͷ৔߹Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔Δɽ
ͷ͸ɼ|ψ(0)|《講義ノート》

2.4

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)

ඇอଘ‫ܥ‬ͷք໘μΠφϛΫε

૬సҠ‫ظޙ‬աఔʹ͓͍ͯɼ‫ܥ‬͸ ±ψe ʹ෼཭͓ͯ͠Γɼք໘ͷμΠφϛΫεʹΑͬͯ૬సҠ͕ਐߦ͍ͯ͘͠ɽք໘ۙ๣ͷ఺ r ɼra Λ࠷ۙ઀ͷք໘্ͷ఺ͱ͢Δɽψ(r) ≈ ψint (na · (r − ra )) ≡ ψint (ζ)(64)ζ ͸఺ r ͱք໘ͱͷ‫͋Ͱ཭ڑ‬Δɽ∇ψ = ψintn(65)͞Βʹɼ‫ز‬ԿֶతͳࣜΛ༻͍Δɽք໘ͷ‫཰ۂ‬Λ R1 , R2 ͱ͢Δͱɼͦͷ๏ઢϕΫτϧ n ʹ
͍ͭͯɼ

∇·n=
͜ΕΛ༻͍Δͱɼ

1
1
+
R1 R2


2


∇ ψ ≈ ψint
+

1
1
+
R1 R2

(66)


ψint

(67)

͕ಘΒΕΔɽ໘͕๏ઢํ޲ʹ‫ ʹ͔ۇ‬vn δt ͚ͩಈ࣌͘ɼζ ͸ −vn δt ͚ͩ‫ݮ‬গ͢Δɽψ ͷ࣌ؒมԽʹ୅ೖ͢Δͱɼ11−vn ψint = L
+
(68)
ψint
R1 R2
͕ಘΒΕΔɽΑͬͯɼ
vn = −L

1
1
+
R1 R2

(69)

ͱͳΓɼ

1
∂
R = −2L∂tR
2
2
R(t) = R(0) − 4Lt

(70)
(71)

͕ಘΒΕΔɽͦͷͨΊɼυϝΠϯαΠζ͸ l ∼ t0.5 Ͱ૿େ͍ͯ͘͠5 .

2.5อଘ‫ܥ‬ͷεϐϊʔμϧ෼ղอଘ‫ܥ‬ͷ৔߹ɼඇอଘ‫ܥ‬ͷࣜʹ −∇2 ͕ӈลʹ͔͔͍ͬͯΔ‫͍ͯͬͳʹܗ‬Δɽ͜ͷ͜ͱʹΑΓɼ‫ݮ‬ਰ཰͸Γq = Lq 2 (−|τef f | + q 2 )ͱͳΓɼ‫ۃ‬େ஋Λ༩͑Δ qm ͕ଘࡏ͢Δɽ

1/2
1


qm =  τef f 
2Ͱ͋Γɼ࠷େ૿Ճ཰͸ L|τef f |2 /4 ͱͳΔɽ5

ࣜ 69 ͔Βք໘ͷશ໘ੵ͕࣌ؒʹରͯ͠୯ௐ‫ݮ‬গͰ͋Δ͜ͱ΋ূ໌Ͱ͖Δ.

(72)

(73)

《講義ノート》

2.6

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)

อଘ‫ܥ‬ͷք໘μΠφϛΫε

อଘ‫ܥ‬ͷૈେԽաఔʹ͓͍ͯɼओʹ̎ͭͷաఔ͕͋Δͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔ6 ɽҰͭ͸খ͍͞ߏ଄͔Βେ͖ͳߏ଄΁ͷϚτϦοΫεΛհ֦ͨ͠ࢄɾ‫( ूڽ‬Lifshitz-Slyozov ‫͋Ͱ )ߏػ‬Γɼ΋͏Ұͭ͸υϩοϓϨοτಉ࢜ͷিಥɾ߹ମաఔͰ͋ΔɽͲͪΒ΋R ∝ t1/3(74)

ͱͳΔ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɽ͜͜Ͱ͸ɼલऀʹ͍ͭͯߟ͍͑ͯ͘ɽ
อଘ‫Ͱܥ‬͸໘͔Βͷ֦ࢄ͕‫ͯͬ͜ى‬ք໘͕ಈ͘ͷͰɼք໘͔Β ζ ཭ΕͨྖҬͰͷ ±ψe͔ΒͷͣΕ δψ ͷ࣌ؒൃలΛߟ͑Δඞཁ͕͋Δɽ∂δψ = D∇2 δψ∂t
D = 2Lκ2

(75)
(76)

Խֶϙςϯγϟϧ μ = δ(βH)/δψ ͸ք໘ۙ͘Ͱ΋υϝΠϯαΠζͷεέʔϧͰΏͬ͘Γͱ࿈ଓతʹมԽ͢Δ͜ͱ͕֬ೝ͞Ε͍ͯΔɽք໘͔Β཭ΕΔͱɼμ = 2κ2 δψ Ͱ͋Γɼք໘ۙ
͘Ͱ͸ɼ


1
1
∂2

2
2
μ=−
ψint + −κ − 2 + 3u0 ψint
δψ
(77)
+
R1 R2
∂ζ

͜ͷ྆ลʹ ψintΛ͔͚ͯք໘·ΘΓͰੵ෼͢Δͱɼӈลୈ߲͕̎̌ʹͳΔͷͰɼ


σ
1
1
μ0 = −+
2kB T ψe
R1 R2͜ͷؔ܎͔Βɼք໘Ͱͷ‫ڥ‬ք৚݅δψ = −σ
4kB T ψe κ2



1
1
+
R1 R2

(78)

(79)

ͷ΋ͱͰղ͘͜ͱ͕Θ͔Δɽ͜ͷ‫ڥ‬ք৚݅Λ Gibbs-Thomson ͷؔ܎ͱΑͿɽ֦ࢄྲྀ −L∇μͷք໘Ͱͷෆ࿈ଓੑ͕ӡಈΛ༠‫͢ى‬Δɽ

2ψe vn = L[n · ∇μ] = D[n · ∇δψ](80)͜͜Ͱɼ R11 + R12 ∼ 1/l(t) ͱ͠ɼvn ∂l(t)/∂t, [n · ∇δψ] ∼ δψ/l(t) ͱ͢Δͱɼ

∂[l(t)3 ] = const.
∂t

(81)

ͱͳΓɼl(t) ∼ t1/3 ͰૈେԽ͍ͯ͘͜͠ͱ͕‫ٻ‬ΊΒΕΔ7 .

6ྲྀΕ͕͋Δ৔߹͸ɼྲྀମ؅ͷෆ҆ఆੑͷաఔ͕͋ΔɽྲྀମྗֶతޮՌ͕ࢧ഑తʹͳΔͱ͍͏‫ڀݚ‬΋͋Δ[2]ɽ
7߹ۚ‫ܥ‬Λߟ͍͑ͯΔ͕ɼ‫ݻ‬ମʹ͸֨ࢠఆ਺ͷҧ͍͔Β஄ੑޮՌ͕ॏཁͱͳΓɼૈେԽ͸్தͰࢭ·ΔͳͲҧ͍͕‫ݟ‬ΒΕΔ.

《講義ノート》

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ӷମӷମ૬సҠ3‫ݻ‬ମɾӷମɾ‫ؾ‬ମ͸෺࣭ͷ΋ͬͱ΋‫ج‬ຊతͳঢ়ଶͰ͋Γɼͦͷؒͷ૬సҠ΋ಉ༷ʹ‫ج‬ຊతͰ͋Δɽ‫ؾ‬ମɾӷମ૬సҠ͸ઌ΄Ͳͷ Ginzburg-Landau-Wilson ϞσϧͰ‫ه‬ड़͞ΕΔ͜ͱ
͕ଟ͍ɽ‫ݻ‬ମɾӷମ૬సҠʢ݁থԽʣ΋ॏཁͰ͋Δ͕ɼ݁থԽ͸ฒਐରশੑ͕ҟͳΔసҠͰ͋ΔɽҰํɼۙ೥࿩୊ʹͳ͍ͬͯΔ୯੒෼ͷӷମӷମసҠ8 ͸ͲͪΒͷ૬΋ӷମͰฒਐରশੑΛ΋ͪɼ‫ؾ‬ମӷମసҠʹ͍ۙͨΊɼ݁থԽΑΓઌʹ঺հ͢Δɽ

3.1

ӷମӷମసҠͷൃ‫ݟ‬୯੒෼‫ܥ‬ͷ୯७ӷମʹ͓͍ͯɼ෼ࢠ͕ແடংʹ٧·ͬͯಈ͍͍ͯΔঢ়ଶ͕ӷମͩͱߟ͑ΒΕ͓ͯΓɼҰൠʹ͸ີ౓͚ͩͰܾ·ΔϢχʔΫͳ૬Ͱ͋Δͱߟ͑ΒΕ͖ͯͨ9 ɽ͜ͷৗࣝʹ൓ͯ͠ɼۙ೥ɼ୯Ұ੒෼‫ܥ‬ӷମʹ͓͍ͯɼӷମঢ়ଶ͕ෳ਺ଘࡏ͠ɼͦͷؒΛసҠ͢Δͱ͍͏ӷମӷମసҠ͕‫ޫ٭‬Λཋͼ͍ͯΔ [3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]10 . ͜ͷ‫ݱ‬৅ͷൃ‫ʹݟ‬ΑΓɼӷମ͸ैདྷͷີ౓͚ͩͰঢ়ଶ͕ܾఆ͢Δͱ͍͏ߟ͑ํͰ͸ॆ෼Ͱ͸ͳ͍͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕͨɽC ͸ߴԹߴѹͱ͍͏৚݅ʹ͓͍࣮ͯ‫ݧ‬ɾཧ࿦తʹӷମӷମసҠͷՄೳੑ͕ࣔࠦ͞Εͯ
͍Δ [3]. SiO2 ΍ GeO2 , H2 O ͱ͍ͬͨωοτϫʔΫߏ଄Λ‫ܗ‬੒͢Δӷମʹ͓͍ͯ΋ӷମӷମసҠ͕͋Δͱߟ͑ΒΕ͍ͯΔ [3]. ಛʹਫʹ͓͍ͯ͸ɼߴີ౓Ψϥεͱ௿ີ౓Ψϥεͷ̍࣍సҠ͕࣮‫ݧ‬తʹ‫͞࡯؍‬Ε͍ͯΔ [4]ɽ͞ΒʹɼP ʹ͓͍ͯӷମӷମ૬సҠͷଘࡏΛܾఆͮ
͚Δ࣮‫݁ݧ‬Ռ͕ยࢁΒʹΑͬͯಘΒΕͨ [5]. γϯΫϩτϩϯ์ࣹޫΛ༻͍ͨ X ઢճંύλʔϯʹ͓͍ͯɼΘ͔ͣ 0.02 GPa ͷࠩͰɼӷମͷߏ଄Ҽࢠ͕େ͖͘มΘΓɼ͞ΒʹͦͷมԽ͸Մ‫ͨͬ͋Ͱٯ‬ɽ·ͨɼ‫ڞ‬ଘ͍ͯ͠Δ༷ࢠ͕‫͞࡯؍‬Εͨ͜ͱ͔Β̍࣍సҠͰ͋Δ͜ͱ
͕͔֬ΊΒΕ͍ͯΔɽୈҰ‫ݪ‬ཧ‫͔ࢉܭ‬Β΋ P ͷӷମӷମ૬సҠͷՄೳੑ͸ࢦఠ͞Ε͓ͯΓ
[6]ɼਖ਼࢛໘ମߏ଄͔ΒωοτϫʔΫߏ଄΁ͷߏ଄มԽ͕‫͞࡯؍‬Ε͍ͯΔɽӷମӷମసҠͷ੩తͳมԽͱͯ͠ߏ଄มԽ͕ॏཁͰ͋Δ͜ͱ͕ࣔࠦ͞Ε͕ͨɼసҠͷ‫ݯى‬ͷղ໌ʹ͸ಈతͳੑ࣭΋໌Β͔ʹ͢Δඞཁ͕͋Δɽ

3.2

ӷମӷମసҠͷμΠφϛΫε

͜Ε·Ͱൃ‫͞ݟ‬ΕͨӷମӷମసҠ͸ɼߴԹߴѹͱ‫ݧ࣮͍͠ݫ‬৚݅΍݁থԽʹ્֐͞Ε͓ͯΓɼৄࡉͳ࣮‫ݧ‬͸Ͱ͖ͳ͔ͬͨɽ࣮‫͕ݧ‬༰қͰ͋Δ Triphenyl phosphite ͱ͍͏෼ࢠੑӷମʹ͓͍ͯӷମӷମసҠ͕ൃ‫͞ݟ‬Ε [11, 7, 8, 9]ɼͦΕΛ‫ʹػܖ‬ӷମӷମసҠͷμΠφϛΫε
͕໌Β͔ʹͳͬͨɽTriphenyl phosphite(ҎԼɼTPP) ͸༥఺ 295 KɼΨϥεసҠԹ౓ 205
K ͷӷମͰաྫྷ٫ӷମঢ়ଶ͕ൺֱత҆ఆͰ͋ΔͨΊɼաྫྷ٫ӷମͷ‫ʹڀݚ‬Α͘࢖ΘΕΔ෺
࣭Ͱ͋Δɽ͜ͷ TPP Λ 210 K ∼ 223 K ͷؒͰ௕࣌ؒΞχʔϧ͢ΔͱɼӷମӷମసҠ͕‫ى‬
͜Δɽ

3.2.1

֩‫ܗ‬੒ɾ੒௕‫ܕ‬సҠ

TPP Λ 216 K ∼ 223 K ͷؒͰΞχʔϧ͢Δͱɼӷମ͕̎֩‫ܗ‬੒ͯ͠੒௕͍༷ͯ͘͠ࢠ͕
‫͞࡯؍‬ΕΔʢਤ 3ʣɽͦͷ‫ޙ‬ɼӷମ̎ͰຒΊਚ͘͞Εɼք໘͸ফࣦ͠ɼ‫ۉ‬Ұͳ૬ʹసҠ͢Δɽ͜ͷੑ࣭͔ΒɼӷମӷମసҠͷடংม਺͸ඇอଘ‫͋Ͱܥ‬Δ͜ͱ͕ࣔࠦ͞ΕΔɽ
8‫ޡ‬ղ͞ΕΔ͜ͱ͕ଟ͍ͷ͕ͩɼӷମӷମ૬෼཭ͱ͸શ͘ҟͳΔ‫ݱ‬৅Ͱ͋Δɽӷথ෼ࢠͷΑ͏ͳີ౓Ҏ֎ʹ΋டংม਺Λ࣋ͭ΋ͷ͸আ͘ɽ10ӷମӷମసҠͱʮ૬ʯΛೖΕ͍ͯͳ͍ཧ༝ͱͯ͠ɼաྫྷ٫ӷମঢ়ଶͰ‫͜ى‬Δ͜ͱ΋͋Γɼͦͷ৔߹ɼ೤ྗֶతฏߧঢ়ଶؒͰ͸ͳ͍ͨΊɽ
9

《講義ノート》

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Figure 3: 219 K ʹΫΤϯνͨ͠ͱ͖ͷసҠͷ༷ࢠɽ(a) 60 min, (b) 85 min, (c) 110 min,(d) 135 min, (e) 185 min, (f) 300 min. εέʔϧόʔ͸ 20 μm ʹରԠ [7]ɽҰํɼ೤ྔଌఆͰજ೤ͷ࣌ؒมԽΛௐ΂Δͱɼਤ 4 ͷࠇઢͱͳΔ͜ͱ͕Θ͔ͬͨɽ֩
‫ܗ‬੒ɾ੒௕‫ܕ‬ͷ࣌ؒൃలΛදࣜ͢ͱͯ͠ɼKolmogorov-Avrami ͕ࣜΑ͘஌ΒΕ͓ͯΓ [1],φ(t) = 1 − exp(−Ktn )(82)

K ͸ Avrami ܎਺ɼn ͸ Avrami ࢦ਺ͱ‫ݺ‬͹Εɼ֩ͷ‫ܗ‬੒͓Αͼ੒௕༷ࣜʹґଘ͍ͯ͠Δɽ͜ͷࣜͰ៉ྷʹ ﬁtting Ͱ͖ɼn = 4 ͕ಘΒΕɼ‫݁࡯؍‬ՌͱҰக͍ͯ͠Δɽ
3.2.2

εϐϊʔμϧ෼ղ‫ܕ‬సҠ

TPP Λ 210 K ∼ 215 K ͷؒͰΞχʔϧ͢Δͱɼ༳Β͕͗࣌ؒൃల͠ɼ࿈ଓతʹӷମ̎ʹసҠ͍ͯ͘͠εϐϊʔμϧ෼ղ‫ܕ‬సҠ͕‫ݟ‬ΒΕΔʢਤ 5ʣɽ·ͣɼ͋Δಛఆͷۭؒ૬ؔΛ࣋ͬͨେ͖͞ͷͦΖͬͨυϩοϓϨοτ͕Ұ੪ʹൃੜͨ͠ɽ࣌ؒͱͱ΋ʹυϩοϓϨοτ
͕ӷମ̍ͱͷίϯτϥετΛ͋͛ɼͦͷ‫ޙ‬ɼૈେԽ͠ͳ͕Β੒௕͍༷ͯ͘͠ࢠ͕‫͞࡯؍‬Εͨɽ࠷ऴతʹ͸ӷମ̎ͰຒΊਚ͘͞Εɼ‫ۉ‬Ұͳ૬ʹͳͬͨɽॳ‫ظ‬աఔ͸ɼඇରশ૊੒ͷอଘ‫ܥ‬ͷεϐϊʔμϧ෼ղͱྨࣅͨ͠‫ڍ‬ಈΛ͍ࣔͯ͠Δ͕ɼ࠷ऴաఔ͸ඇอଘ‫ܥ‬டংม਺ͷಛ௃ͱͳ͍ͬͯΔɽ‫ݦ‬ඍ‫ڸ‬ը૾ΛϑʔϦΤม‫͠׵‬ɼߏ଄ҼࢠΛ‫ٻ‬ΊΔͱɼ͋Δ೾਺ qp ʹ‫ۃ‬େ஋Λ΋ͭߏ଄ҼࢠͱͳΓɼ͜Ε͸อଘ‫ܥ‬ͷಛ௃Ͱ͋Δɽॳ‫ظ‬աఔʹ͓͍ͯɼϐʔΫ‫ ౓ڧ‬F (qp ) ͸ exp(γt)ͱͳ͍ͬͯΔҰํͰɼqp ͸ҰఆͰ͋Δʢਤ 6ʣɽ͜Ε͸ Cahn ͷઢ‫ྖܗ‬Ҭͱ‫ݺ‬͹Εɼεϐϊʔμϧ෼ղͷॳ‫ظ‬աఔͰΑ͘ΈΒΕΔಛ௃ͷҰͭͰ͋Δɽͦͷ‫ޙ‬ɼqp ∝ t−α ͰૈେԽ͍༷ͯ͘͠ࢠ͕‫͞࡯؍‬ΕΔɽα = 0.5 ͱͳΓɼ‫ظޙ‬աఔͰ͸ඇอଘ‫ܥ‬ͷૈେԽաఔͱͳͬ
͍ͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽ͞Βʹɼજ೤ͷ࣌ؒมԽ͸ɼਤ 4 ͷ੺ઢͰ͋Γɼͪ͜Β͸ࣜ 63 Ͱ
ﬁtting Ͱ͖Δ͜ͱ͕Θ͔͍ͬͯΔɽͭ·Γɼ࣌ؒൃల͸ඇอଘ‫͋Ͱܥ‬Δ͜ͱΛ໌֬ʹ͍ࣔࠦͯ͠Δɽεϐϊʔμϧ෼ղ‫ܕ‬సҠͷࢄཚҼࢠͷ࣌ؒൃల͸ɼอଘ‫ͱܥ‬ඇอଘ‫ܥ‬ͷ྆ํͷಛ௃Λ͍ࣔͯ͠Δɽ͜Ε͸ඇอଘύϥϝλʔ͕ࢧ഑తͰ͋Γɼอଘ‫ܥ‬ύϥϝλʔ͕ैଐม਺ͱͳͬ
ͯ݁߹͍ͯ͠ΔͨΊʹ‫͍ͯͬ͜ى‬Δɽ͜Εʹ͍ͭͯ͸‫͘͠ৄͲ΄ޙ‬આ໌͢Δɽ

《講義ノート》

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Figure 4: ӷମӷମதʹ͓͚ΔΤϯλϧϐʔͷ࣌ؒมԽɽͲͪΒͷ࣠΋‫֨ن‬Խ͞Ε͍ͯΔ[9]ɽ

Figure 5: 212 K ʹΫΤϯνͨ͠ͱ͖ͷసҠͷ༷ࢠɽ(1) 75 min, (2) 90 min, (3) 120 min,(4) 150 min, (5) 210 min, (6) 440 min. εέʔϧόʔ͸ 20 μm ʹରԠ [7]ɽ

《講義ノート》

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Figure 6: AɿࢄཚҼࢠͷϐʔΫ‫౓ڧ‬ͷ࣌ؒมԽɼB : ࢄཚҼࢠͷϐʔΫ೾਺ͷ࣌ؒมԽ [7]ɽ3.2.3

ྟք‫ݱ‬৅

√Cahn ͷઢ‫ྖܗ‬ҬͷϐʔΫ೾਺͔Β‫ܥ‬ͷ૬ؔ௕ ξ(= 1/ 2qp ) Λ‫ٻ‬ΊΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ૬ؔ௕ͷԹ౓ґଘੑΛࣔͨ͠ͷ͕ɼਤ 7 Ͱ͋Δɽ
ξ = ξ0 [(TSD − T )/T ]−ν(83)Ͱ ﬁtting ͢Δͱɼξ0 = 60 nm, εϐϊʔμϧԹ౓ TSD = 215.5 K, ν = 0.5 Ͱ͋ͬͨɽ͜ͷν = 0.5 ͸ฏ‫ۉ‬৔ۙࣅʹΑΔ‫ͱࢉܭ‬Ұக͍ͯ͠Δɽ͜Ε·Ͱͷٞ࿦Ͱฏ‫ۉ‬৔ۙࣅ͸पғʹଟ͘ͷཻࢠ͕͋Δ͜ͱ͕ඞਢͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱΛड़΂͕ͨɼξ0 = 60 nm ͱ૬ؔ௕͕ඇৗ
ʹ௕͍ͨΊʹɼฏ‫ۉ‬৔ۙࣅͱҰகͨ͠΋ͷͱߟ͑ΒΕΔɽ

Figure 7: ૬ؔ௕ͷԹ౓ґଘੑɽεϐϊʔμϧԹ౓ʹ޲͔ͬͯൃࢄ͍ͯ͠Δ [7]ɽ

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3.3

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2 டংม਺Ϟσϧͦͷ‫ޙ‬ͷ‫ʹڀݚ‬ΑͬͯɼTPP ͷΈͳΒͣ n-ϒλϊʔϧ [10] ʹ͓͍ͯ΋ӷମӷମసҠ͕‫ݟ‬͔ͭΓɼಉ༷ͷμΠφϛΫεͰ͋Δ͜ͱ͕ใࠂ͞Ε͍ͯΔɽ͜Ε͸సҠμΠφϛΫε͸ීวతͰ͋Γɼ‫ݱ‬৅࿦Ͱ‫ه‬ड़Ͱ͖ΔՄೳੑ͕͋Δ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠ΔɽӷମӷମసҠΛ‫ه‬ड़͢ΔϞσϧͱͯ̎͠டংม਺Ϟσϧ͕͋ΓɼͦΕʹ͍ͭͯ঺հ͢Δɽ௨ৗ, ‫ؾ‬ମɾӷମͷΑ͏ͳϥϯμϜͳҰ༷ঢ়ଶ͸ີ౓ͱ͍͏ม਺ͰϢχʔΫʹ‫ه‬ड़͞Ε
Δͱߟ͑ΒΕ͖ͯͨ. ͦΕʹର͠, ૬‫༻࡞ޓ‬ͷϙςϯγϟϧͷෳࡶ͞, ྫ͑͹ɼ‫ٿ‬ରশతͳϙςϯγϟϧʹՃ͑, ਫૉ݁߹, ‫ڞ‬༗݁߹ʹ୅ද͞ΕΔҟํతͳ૬‫༻࡞ޓ‬ͷଘࡏΛ൓өͯ͠, ӷମͱ͍͑Ͳ΋‫ॴہ‬తʹ͸୹‫཭ڑ‬டংΛ࣋ͪಘΔɽӷମͷঢ়ଶΛද͢ʹ͸, ີ౓ (ρ) ʹʮ̎டՃ͑‫҆ॴہ‬ఆԽߏ଄ͷ਺ີ౓ (S) ͱ͍͏৽ͨͳடংม਺͕ඞཁͰ͋Δͱߟ͑ͨͷ͕ɼংม਺ϞσϧʯͰ͋Δ [12]ɽ
ΤωϧΪʔ Ej , ମੵ vj ɼॖୀ౓ gj ͱͨ͠ϊʔϚϧͱ‫҆ॴہ‬ఆߏ଄ͱͷ̎४Ґ‫ܥ‬Λߟ͑
Δɽఴࣈͷఆٛͱͯ͠ɼj = ρ ΛϊʔϚϧͳ෼ࢠͷ਺ີ౓ɼj = S Λ‫҆ॴہ‬ఆߏ଄ͷ਺ີ
౓ͱ͢Δɽ‫҆ॴہ‬ఆߏ଄ಉ࢜ͷ૬‫ ༻࡞ޓ‬J ΛߟྀʹೖΕΔͱɼࣗ༝ΤωϧΪʔ͸

f = U − T σ + [SvS + (1 − S)vρ ]P= SES + (1 − S)Eρ + JS(1 − S) + [SvS + (1 − S)vρ ]P +


S
1−S
kB T S ln+ (1 − S) ln
gS
gρ

(84)

ͱͳΔɽΑͬͯɼS ͷฏߧঢ়ଶ͸ ∂f /∂S = 0 ΑΓ,

β[−ΔE + ΔvP + J(1 − 2S)] + lngρ S=0gS (1 − S)(85)Λຬͨ͢ S Ͱ͋Δɽ͜͜ͰɼΔE = Eρ − ES > 0, Δv = vS − vρ Ͱ͋Δɽ͜ͷϞσϧͰ͸ɼ‫҆ॴہ‬ఆߏ଄͕‫ڠ‬ಉతʹ‫ܗ‬੒͞ΕΔ͜ͱʹΑͬͯ‫͜ى‬Δ‫҆ॴہ‬ఆߏ଄ͷ਺ີ౓͕มԽ͢Δ
૬సҠͰ͋Δͱ͍͑ΔɽεϐϊʔμϧԹ౓ʹ͓͚Δෆ҆ఆ‫ۃ‬஋Λ SSD ͱ͢ΔɽS = SSD + δS ͱͯ͠ɼࣗ༝ΤωϧΪʔΛ S = SSD ·ΘΓͰల։͢Δͱɼ
κ 2 b 3 3 b4 4
δS + δS + δS + hδS
f (δS) =
dV
(86)
2
3
4
kB T
(1 − SSD ) − 2J
(87)
κ =
SSD


kB T
1
1
−
b3 = −(88)
2
2
SSD(1 − SSD )2


kB T
1
1
−
(89)
b4 =
3
3
SSD
(1 − SSD )3


gr ho
SSD
+ ln
(90)
+ J(1 − 2SSD )h = −ΔE + P Δv + kB T ln
gS
1 − SSDࣜ 85 ͱࣜ 90ɼT = TSD Ͱ͸ ∂ 2 f /∂S 2 = 0 ΑΓ


SSD
gr ho
h = kB ln+ ln(T − TSD )gS
1 − SSDkB (T − TSD )κ =2SSD (1 − SSD )

(91)
(92)

《講義ノート》

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Figure 8: ֩‫ܗ‬੒੒௕‫( ܕ‬a) γϛϡϨʔγϣϯ݁Ռɽ(b) ࣮‫݁ݧ‬Ռ [8]ɽ

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ͱͳΓɼδS ͷ̎࣍ͷ܎਺ͷଞʹɼ֎৔ h ʹ૬౰͢Δ܎਺ʹ΋Թ౓ґଘੑ͕ೖͬͯ͘Δɽ͞Βʹີ౓ͷ༳Β͗Λࣗ༝ΤωϧΪʔʹՃ͑ͯɼρ ͱ S ͷΧοϓϦϯάΛߟྀ͢Δͱɼ
τ 2 κ 2 b3 3 b4 422
δρ + δS + δS + δS + hδS + Kρ (∇δρ) + KS (∇δS) + CδρδS (93)f (δρ, δS) = kB T dV2234ͱͳΓɼಈతํఔࣜ͸∂δρ = Lρ ∇2 [τ δρ − Kρ ∇2 δρ + CδS] + θρ∂t∂δS = −LS κδS + bδS 2 + b4 δS 3 + h + KS ∇2 δS + Cδρ + θS∂tͱͳΔʢθj ͸ϥϯμϜྗʣɽ

(94)
(95)

͜ͷࣜΛ༻͍ͯɼ਺஋γϛϡϨʔγϣϯΛߦ͏ͱɼ֩‫ܗ‬੒੒௕‫ܕ‬ʢਤ 8ʣɼεϐϊʔμϧ෼ղ‫ܕ‬ʢਤ 9ʣ͕΄΅ಉ༷ͳ݁Ռ͕ಘΒΕɼ‫ظޙ‬աఔͷૈେԽͳͲ΋ఆྔతʹҰக͢Δ
݁Ռ͕ಘΒΕ͍ͯΔɽ

4݁থԽӷମΛ༥఺ҎԼʹ͢Δͱɼաྫྷ٫ӷମͱΑ͹ΕΔ४҆ఆঢ়ଶΛ‫ͯܦ‬ɼ݁থԽ͢Δɽ୯੒෼‫ܥ‬ɼ͓Αͼɼࠞ߹‫͚͓ʹܥ‬Δ݁থԽաఔ͸෺ཧͷ‫͔͘ݹͯ͠ͱૅج‬Β‫͞ڀݚ‬Ε͓ͯΓɼ‫ݹ‬యతͳ݁থԽཧ࿦͸ཱ֬͞Ε͍ͯΔ [13]ɽ൒ಋମσόΠε΍λϯύΫ࣭ͷ݁থߏ଄ղੳͳ
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Խ͠΍͍͢͜ͱ͕‫ݧܦ‬తʹଟ͍ɽTa ʹ͓͚Δߏ଄؇࿨࣌ؒ͸݁থ͕֩‫ܗ‬੒͞ΕΔΑΓ΋
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Δ‫͍ͯͭʹܥ‬ղઆ͢Δɽ

4.1

‫ݹ‬య࿦

҆ఆ૬ͷ֩Λ࡞Δͷʹք໘ΤωϧΪʔͱ಺෦ΤωϧΪʔͷ‫͜ى͕߹ڝ‬Δɽ֩ͷେ͖͕͞খ
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‫ٿ‬ঢ়ͷ͕֩ੜ੒͞ΕΔ৔߹Λߟ͑Δɽ൒‫ ܘ‬Rɼ୯Ґ໘ੵ͋ͨΓͷ݁থͱӷମͷؒͷք໘ΤωϧΪʔΛ σ ɼΪϒζͷࣗ༝ΤωϧΪʔࠩΛ ΔGɼϔϧϜϗϧπͷࣗ༝ΤωϧΪʔΛF ɼ֩‫ܗ‬੒ΤϯλϧϐʔΛ ΔH ͱ͢Δɽք໘ΤωϧΪʔͱ಺෦ͷΤωϧΪʔརಘ͔Β4π
F = −ΔF R3 + 4πσR2(96)
3͜Ε͕‫ۃ‬େͱͳΔ Rc ͱͦͷ࣌ͷ F ͷ஋͸ɼ
2σ
Rc =
(97)
ΔG
16πσ 3
(98)
Fc =
3ΔG2

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Figure 9: εϐϊʔμϧ෼ղ‫( ܕ‬a) γϛϡϨʔγϣϯ݁Ռɽ(b) ࣮‫݁ݧ‬Ռ [8]ɽ

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ͱͳΔɽ·ͨɼ༥఺ʹԹ౓͕͍ۙ࣌ɼΤϯτϩϐʔ͕ࠩ͋·ΓมԽ͠ͳ͍ͱԾఆͰ͖Δ͜ͱ͔ΒɼTm − T
ΔH
Tm(99)

16πσ 3 Tm2
3(Tm − T )2 ΔH 2

(100)

ΔG =
͜ͷࣜΛ Fc ʹ୅ೖ͢Δͱɼ

Fc =Αͬͯɼ֩‫ܗ‬੒ස౓ J ͸ɼ16πσ 3 Tm2
J = J0 exp −3(Tm − T )2 ΔH 2 kB T

(101)

ͱͳΔʢJ0 ͸ස౓Ҽࢠʣɽ

4.2‫ݹ‬య࿦ͷഁ୼‫ݹ‬య࿦ͷ໰୊఺͸ɼ฼૬Ͱ͋Δӷମ͸ (a) ӷମ͔Β࠷ऴ‫͋Ͱܥ‬Δ݁থʹ௚઀సҠ͠ɼ(b)༳Β͗Λ‫׬‬શʹແࢹͨ͠౳ํӷମͰ͋Δ͜ͱΛԾఆ͍ͯ͠Δɽ(a) ʹ͍ͭͯ͸ɼ‫ʹ࣮ݱ‬͸ӷମ͔Β࠷ऴ‫ܥ‬ͷ݁থʹ௚઀సҠ͢ΔΘ͚Ͱ͸ͳ͘ɼதؒঢ়ଶΛ͍͔ͭ͘‫࠷ͯܦ‬ऴ‫ͨʹܥ‬ʮதؒঢ়ଶͱ͸ͲΓͭ͘ͱߟ͑Ε͓ͯΓɼ͜Ε͸ Ostwald εςοϓϧʔϧͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔɽ
ͲͷΑ͏ͳঢ়ଶ͔ʁʯʹ͍ͭͯ͸෺࣭ʹΑΔ෦෼΋͋Δ͕ɼ෺࣭ґଘੑ͸ແࢹͯ͠ఆੑత
ͳٞ࿦Λ͍ͨ͠ͱࢥ͏ɽ(b) ʹ͍ͭͯ͸ɼ݁থͷྟք֩͸ඇৗʹখ͘͞ɼ༳Β͗ͷ௕͞ΑΓ΋খ͍͞৔߹΋͋ΓಘΔɽ͜ͷΑ͏ͳ৔߹ɼฏ‫ۉ‬తͳঢ়ଶྔͰ͸ͳ͘ɼ‫ॴہ‬తͳঢ়ଶྔ
͕݁থԽʹؔ܎ͯ͘͠Δɽ

4.2.1

݁থԽμΠφϛΫε

·ͣɼӷମ͔Β݁থԽ͢Δ࣌ʹɼͲͷΑ͏ʹ݁থԽ͍͔ͯ͘͠ʹ͍ͭͯߟ͍͑ͯ͘ɽ͜͜
Ͱ͸ɼ௕‫཭ڑ‬ͷେ͖ͳ༳Β͗͸ߟྀͤͣɼ༳Β͗ʹ͍ͭͯ͸࣍ͷઅͰઆ໌͢Δɽ౳ํతͳ
ߏ଄Λ࣋ͭӷମ͔Βடংߏ଄Λ࣋ͭ݁থ΁ͷసҠ͸ɼํҐடংͱີ౓ͷ྆ํ͕มԽ͢ΔɽํҐடংͱີ౓͸ಉ࣌ʹมԽ͢Δඞཁ͸ͳ͍ͨΊɼ͜ΕΒ͸ಠཱͯ͠มԽ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖
Δɽӷମ͸େ͖ͳମੵ஄ੑ཰Λ΋ͪɼඇѹॖੑͱͳ͍ͬͯΔɽͭ·ΓɼϥϯμϜͷ··ɼີ౓Λߴ͘͢Δ͜ͱ͸೉͍͠ɽҰํɼํҐʹؔͯ͠͸ɼ‫ॴہ‬తͳ഑ஔ‫ࡁͰ͑׵‬ΉͨΊɼΤωϧΪʔόϦΞ͸খ͍͜͞ͱ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɽ࣮ࡍʹɼίϩΠυͷ݁থԽաఔͷγϛϡϨʔγϣϯͷ݁Ռ͸਺ଟ͋͘Γɼྫ͑͹ɼਤ 10 ͸݁থԽաఔʹ͓͚Δີ౓ ρ ͱํҐடংม਺Q6 ͷଘࡏ֬཰Λද͍ͯ͠Δɽ౳ߴઢ͕ີ౓ʹରͯ͠ฏߦʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͔ΒɼํҐடংม਺͕ओʹมԽͯ͠ߦ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ [14]ɽѹॖੑ͸ߏ଄ʹґଘ͢ΔͨΊɼѹॖ͠΍͍͢ߏ଄ʹม‫ͨ͠ܗ‬ͷͪʹີ౓͕มԽ͢Δͱ͍͏̎ஈ֊తͳ݁থԽ͕࣮ࡍʹ͸‫͖ͯى‬
͍Δͱ༧૝͞ΕΔɽ

4.2.2

ྟք఺ۙ๣ͷ݁থԽઌఔͷઅͰ͸౳ํӷମ͕ඇѹॖੑΛ͍࣋ͬͯΔͱ͖ͷ࿩Ͱ͕͋ͬͨɼྟք఺ۙ๣Ͱ͸டংม਺ͷ༳Β͗͸૿େ͢Δɽ͜ͷடংม਺͕݁থԽ֩‫ܗ‬੒ΤωϧΪʔʹؔΘΔͱ͖ɼ݁থԽ
ͷ֩‫ܗ‬੒͸Ұ‫૿ʹؾ‬େ͢ΔɽλϯύΫ༹࣭ӷͰ͸ɼ༥఺ҎԼʹӷମӷମ૬෼཭ͷ‫ڞ‬ଘઢ͕

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)

Figure 10: ݁থԽաఔʹ͓͚Δີ౓ ρ ͱํҐடংม਺ Q6 ͷଘࡏ֬཰ɽ౳ߴઢ͕ີ౓ʹରͯ͠ฏߦʹͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͔ΒɼํҐடংม਺͕ओʹมԽͯ͠ߦ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δ [14]ɽ
͋Δ͜ͱ͕Α͋͘Δɽ͜ͷྟք఺ۙ๣Ͱɼ֩‫ܗ‬੒ΤωϧΪʔ͕௿͘ͳΔ͜ͱ͕਺஋γϛϡϨʔγϣϯ͔ΒಘΒΕ͍ͯΔ [15]ɽ݁থͷք໘͕‫ܗ‬੒͞Εͨ࣌ʹɼք໘෇ۙͰͷடংม਺ͷۭؒมԽ͸ΏΒ͗ͷ૬ؔ௕ʹൺྫ͢Δɽྟք఺ۙ๣Ͱ͸݁থք໘෇ۙͰͳΊΒ͔ʹมԽ͢ΔͨΊɼք໘ΤωϧΪʔ͕ஶ͘͠‫ݮ‬গ͢Δ11 ɽ࣮ࡍʹɼϦκνʔϜͷ࣮‫͍͓ͯʹݧ‬εϐϊʔμϧԹ౓ʹ޲͔ͬͯ݁থ֩‫ܗ‬੒ස౓͕૿େ͍ͯ͠Δ݁Ռ͕ಘΒΕ͍ͯΔ [16]ɽ͔͠͠ɼ
ҰํͰ༳Β͕͗େ͖͘ͳΓ͗͢ΔͱɼλϯύΫ࣭෼ࢠͷҠಈੑ͕‫ݮ‬গ͠ʢ೪ੑ͕૿େ͠ʣɼ
ΩωςΟοΫͳӨ‫ܗ֩Ͱڹ‬੒ස౓͕‫ݮ‬গ͢Δɽ
࠷ۙɼTPP ͷӷମӷମసҠΛ༻͍ͨ‫͕ڀݚ‬ใࠂ͞Ε͍ͯΔ [17]ɽӷମӷମసҠ΋༥఺ҎԼͰ‫͜ى‬Δ‫ݱ‬৅Ͱ͋ΓɼλϯύΫ࣭ͷ૬ਤͱࣅ͍ͯΔɽεϐϊʔμϧԹ౓ۙ๣ Ta Ͱ਺෼ (tw ) Ξχʔϧ͠ɼS ͷ༳Β͗Λ૿େͤͨ͞‫ʹޙ‬ɼঢԹͯ݁͠থԽԹ౓ Tx Ͱ݁থԽͤ͞
Δͱ͍͏ख๏Λ༻͍͍ͯΔɽਤ 11 ͸݁থ֩‫ܗ‬੒ස౓ J ͷ tw ґଘੑͰ͋Δɽ

J(tw ) = JS exp[−b exp(−tw /τS )]kn
exp[−ΔG(S eq )/kB T ]
JS =
τt

(102)
(103)

Ͱ ﬁtting ՄೳͰ͋ΓɼS eq ͸ఆৗঢ়ଶʹͳͬͨͱ͖ͷ S ͷ஋Ͱ͋Δɽ͜ͷ࣌ɼb = [ΔG(0) − ΔG(S eq )]/kBT(104)ͱͳΓɼb ͸ S ͷΏΒ͗ʹΑΔ݁থԽΤωϧΪʔͷࠩɼτS ͸ S ͷ༳Β͗ͷ੒௕࣌ؒͱͳΔɽ
͞ΒʹɼJS ͷ Ta ґଘੑΛࣔͨ͠ͷ͕ਤ 12 Ͱ͋ΔɽεϐϊʔμϧԹ౓ʹ޲͔ͬͯɼ݁
থ֩‫ܗ‬੒ස౓͕਺ܻେ͖͘ͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δɽ͜͜Ͱɼ݁থԽԹ౓ Tx ͕ಉ͡Ͱ͋
ΔͨΊɼࣜ 101 ͷ σ Ҏ֎ͷύϥϝʔλ͸શͯ౳͍͜͠ͱ͔ΒɼS ͷ༳Β͗ʹΑͬͯ σ ͕খ͘͞ͳͬͨͨΊͱߟ͑ΒΕΔɽ
11Cahn ͷྟք wetting ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽ

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)-4

J (s -1 μ m -3 )

10

-5

10

-6

10

-7

10

-8

10

0

50

100

150

t w (s)

200

250

300

Figure 11: ݁থԽස౓ͷΞχʔϧ࣌ؒґଘੑ [17]ɽ

AB

J0 (s -1 m-3 )D 10-3

E

F/kBT

-7

10

-9

4
0

-5

10

10

C

TSD
215 220

TSD

-4
-8

-12

225 230 235

Ta (K)

-16
0.00

0.04

0.08

0.12

Figure 12: Ta = (A) 220 K (B) 217 K, (C) 150 K ͷͱ͖ͷ‫ݦ‬ඍ‫ڸ‬ը૾ɽεέʔϧόʔ͸
20 μm. (D) ݁থԽස౓ͷΞχʔϧԹ౓ґଘੑɽ(E) S ͷ༳Β͕͗ଘࡏͨ͠ͱ͖ͷ݁থ֩‫ܗ‬੒ΤωϧΪʔͷ‫ݮ‬গ [17].

《講義ノート》

5

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)

࠷‫ʹޙ‬ࠓճɼ૬సҠμΠφϛΫεʹண‫఺؟‬Λ͓͍ͯɼ঺հ͖ͯͨ͠ɽ૬సҠͷ‫ڀݚ‬ͷྺ࢙ࣗମ͸௕͘ɼΘ͔͖͍ͬͯͯΔ͜ͱ΋ଟ͍ҰํͰɼ݁থԽͷΑ͏ͳ‫ݹ‬యతͳ࿩Ͱ͢Βະղ໌ͳ໰
୊͕࢒͍ͬͯΔɽ࠷ۙͰ͸ɼඇฏߧ‫ݱ‬৅Λར༻ͨ͠ Directional quenching ʹΑΔ૬෼཭͸ීวੑΛ΍Ϳ༷ͬͯʑͳύλʔϯΛ‫ܗ‬੒͢ΔͳͲɼ૬෼཭ࣗମʹ΋৽͍͠ల։͕͋Γɼ·
ͩ·ͩൃల͍ͯ͠Δ෼໺Ͱ͋Δɽࠓճ঺հͨ͠૬సҠͷଞʹ΋ΨϥεసҠ΍δϟϛϯάసҠɼඇฏߧ‫ݱ‬৅ͷྟքత‫ڍ‬ಈͳͲ༷ʑͳసҠ‫ݱ‬৅͕ະղ໌ͳ··ଟ͘࢒͍ͬͯΔɽύʔίϨʔγϣϯཧ࿦͸ήϧ΍ΧʔϘϯφϊνϡʔϒͷి‫఻ؾ‬ಋ౓ͱؔΘͬͯ͘Δ͠ɼੜ໋Պֶ
ͷ෼໺Ͱ͸ࡉ๔಺ͷӷମӷମ૬෼཭͕࣬ප࣬‫ʹױ‬ॏཁʹͳ͖ͬͯͨɽ̎੒෼ରྲྀͰ͸೪஄ੑ૬෼཭΍γΞ༠‫ى‬૬෼཭͕ؔΘͬͯ͘Δɽ૬సҠ΍సҠμΠφϛΫε͸͍ΖΜͳ෼໺ͱؔ܎ͯ͘͠Δͱ͜Ζ͕ɼඇৗʹ໘ന͍ͱ‫ݸ‬ਓతʹ͸‫͍ͯ͡ײ‬Δɽ·ͩ·ͩ஌͕ࣝઙ͍ஶऀ
ͳͷͰɼ΋ͬͱ͍ΖΜͳ෼໺ͰؔΘ͍ͬͯΔͷͩΖ͏ͱࢥ͏ɽಡ·Εͨํͷ‫ͪʹڀݚ‬ΐͬͱͰ΋໾ʹཱͭ͜ͱΛ‫ͯͬئ‬ɼకΊͷ‫ݴ‬༿ͱ͍͖ͤͯͨͩ͞·͢ɽ

References[1] A. Onuki. Phase Transition Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge,
United Kingdom, 2002.
[2] R. Shimizu and H. Tanaka. A novel coarsening mechanism of droplets in immiscible
ﬂuid mixtures. Nat. Commun., Vol. 6, p. 7407, 2015.
[3] P. H. Poole, T. Grande, C. A. Angell, and P. F. McMillan. Science, Vol. 275, p. 322,
1997.
[4] O. Mishima and H. E. Stanley. Nature, Vol. 396, p. 329, 1998.
[5] Y. Katayama, T. Mixutani, W. Utsumi, O. Shimomura, M. Yamakata, and K. Funakoshi. Nature, Vol. 403, p. 170, 2000.
[6] T. Morishita. Phys. Rev. Lett., Vol. 87, p. 105701, 2001.
[7] R. Kurita and H. Tanaka. Critical-like phenomena associated with liquid-liquid transition in a molecular liquid. Science, Vol. 306, pp. 845–848, 2004.
[8] R. Kurita and H. Tanaka. Phase-ordering kinetics of the liquid-liquid transition insingle-component molecular liquids. J. Chem. Phys., Vol. 126, p. 204505, 2007.
[9] R. Kurita and H. Tanaka. Kinetics of liquid-liquid transition of triphenyl phosphite.
Phys. Rev. B, Vol. 73, No. 104202, 2006.
[10] R. Kurita and H. Tanaka. On the abundance and general nature of the liquid-liquid
phase transition in molecular systems. J. Phys.:Conden. Matter, Vol. 17, No. L293L302, 2005.
[11] I. Cohen, A. Ha, X. Zhao, M. Lee, and D. Kivelson. J. Phys. Chem., Vol. 100, p.
8518, 1996.
[12] H. Tanaka. General view of a liquid-liquid phase transition. Phys. Rev. E, Vol. 62,
pp. 6968–6976, 2000.

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101204(2022年3月号)[13] ੪౻޾෉. ݁থ੒௕. ী՚๪, 2002.
[14] J. Russo and H. Tanaka. The microscopic pathway to crystallization in supercooled
liquids. Sci. Rep., Vol. 2, p. 505, 2012.
[15] D. Frenkel P. R. ten Wolde. Enhancement of protein crystal nucleation by criticaldensity ﬂuctuations. Science, Vol. 109, pp. 1975–1978, 1997.
[16] O. Galkin and G. Vekilov. Control of protein crystal nucleation around the metastableliquid–liquid phase boundary. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., Vol. 97, pp. 6277–6281,
2000.
[17] R. Kurita and H. Tanaka. Drastic enhancement of crystal nucleation in a molecularliquid by its liquid–liquid transition. Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., Vol. 116, pp.
24949–24955, 2019.