第 3 回横幹連合コンファレンス
2009.12.3-12.5 東北大学 片平さくらホール

ポートフォリオ最適化のモデル開発と実務への適用
枇々木 規雄 (慶應義塾大学理工学部)

Portfolio Optimization Modelling and Applications in Financial Engineering
N. Hibiki (Keio University)
Abstract{ We discuss modelling and applications for multi-period portfolio optimization problems in thepaper. We introduce the research topics for porfolio optimization modelling. We explain the features ofthe simulated path model and the hybrid model which are the multi-period optimization models developedby the author. We describe the applications using these models; pension ALM model used in practice andhousehold ånancial planning model.
Index terms{ Portfolio optimization, multi-period model, pension ALM, household ånancial planning

1

はじめに

本論文の構成は以下の通りである。2章ではポートフ

ポートフォリオ最適化モデルはリスクとリターンを

ォリオ最適化モデルに関する研究の概要を示す。3章で考慮して、最適な資産の組み合わせ (ポートフォリオ)

は多期間最適化のモデル化について解説する。多期間を見つける問題を解くための数理モデルで、株式ポー

最適化モデルの実際問題への適用事例として、4章ではトフォリオ選択問題、資産配分問題、ALM(資産負債

年金 ALM モデル、5章では家計の資産形成モデルにつ管理) において利用されている。理論的にも実務的にもいて説明する。最後に 6章でまとめを行う。

主に使われている代表的なモデルは平均・分散モデル2である。リスク尺度を収益率の分散 (標準偏差) とする

ポートフォリオ最適化のモデル化
ポートフォリオ最適化のモデル化に関する研究を大ため、投資家の効用関数が 2 次関数である場合を除き、

きく 3 つに分けて、その概要を説明する。

資産収益率が正規分布に従うという暗黙の仮定を置く(1) 一般的なモデル化に関する研究ことになる。しかし、デリバティブや保険商品などのモデルを記述するために必要な基本要素は、期間数ように正規分布を仮定できない場合には、他のリスク(時間)、収益率などの確率分布、投資決定 (最適解) の尺度を用いた方がよい。それに対応するために、下方

3 つである。期間数の違いによって、1 期間モデルか多部分積率や CVaR(条件付きバリュー・アット・リスク)期間モデルのどちらかで記述することになり、さらになどのダウンサイドリスク尺度を用いた最適化モデル

多期間モデルでは連続時間モデルか離散時間モデルにを利用することができる (詳しくは枇々木

17)

を参照さ

れたい)。

区分される。1 期間モデルは株式ポートフォリオ問題など投資対象数が多い問題に適用される。多期間モデル

一方、平均・分散モデルは 1 期間モデルであり、年は資産配分問題や ALM に適用される。収益率などの確金基金や保険会社のように、長期間におけるリバラン率分布も連続分布もしくは離散分布 (シナリオ) のどちスを前提とした資産運用に対応するためには多期間最らで取り扱うかによってモデル化の方法が異なる。最適化モデルが適している。また、年金や保険の ALM に

適解 (投資決定) として、解析解 (関数形) を得たいのか

対応するためには負債を考慮する (キャッシュ・フロー

、数値解でよいのかによっても解法が異なるため、解を含む) モデル化も必要である1 。

法に合ったモデル化をする必要がある。

本稿ではまずはじめに、ポートフォリオ最適化モデ(2) 実際問題へ適用するモデル構築に関する研究

ルに関する研究の概要を示す。そして、著者が研究し実際問題をモデル化するにあたり、問題の本質を深た多期間最適化モデルを中心に、今まで適用を試みた

く理解するとともに実務のニーズを認識することが必

実際の問題に対するモデル化や分析結果について説明要である。しかし、「研究レベルで実務に使えますと主する。

張するだけ」か、「実際に使えるモデル化を行う」かによって、そのレベル感は全く異なる2 。前者はテーマ

1 実際には、これらに対応できるモデルを構築せずに、平均・分散モデルを適用することが多いようである。ファイナンスの教科書にも平均・分散モデルしか書かれていないことが多いので、「ポート
フォリオ最適化モデル=平均・分散モデル」というのは仕方がない
ことかもしれない。

2 大学の研究者はコンサルタントを生業としているわけではない
ので、いきなり問題解決の依頼が来るわけではなく、前者の立場で研究を行い、それを見た企業が後者の形で研究を依頼してくるケー
スがほとんどであろう。

の設定を間違わずに、しかも理論的になりすぎなけれ用いた近似解法により数値解を求める手法が Brandt,

ば (実務への適用可能性が見えれば)、通常の研究と変et al.4) によって提案されている。現実的な問題に対しわらない。一方、後者は (多くの経験があるわけではなては数値解を計算する方法が有力になると思われるがいが、著者の経験から言えば)、実務家に理解可能で、、それでも実務的な制約を加えることは難しい。

モデルの実装まで行わなければいけない。モデルをブ一方、金融工学やオペレーションズ・リサーチの分

ラックボックス化しないためには実務家への教育まで

野で研究されている離散時間モデルは離散時間・離散分

ある程度、携わる必要があり、いろいろな面でコスト布でモデルを記述し、数理計画法によって数値解を計が高くなる。

算する。定番モデルは、1990 年代に急速に発展したシ

前述したように、モデル化の方法にはいくつかの選

ナリオ・ツリー型モデルであり、これまでに様々な研究択肢がある。ただし、実務的な制約を含めて最適解を成果が発表されている (Ziemba and Mulvey44) , Zenios

得るためには、数理計画モデルによる定式化が必須でand Ziemba45, 46) )。数理計画モデルでは、実務的な制あるとともに、既存の計算アルゴリズムを利用するた約を加えることは容易である。しかし、収益率分布のめにモデルを近似するなどの工夫も必要である。

記述を詳細にすると、ツリーが指数的に増加すること(3) 高速解法のためのモデル化の研究により計算負荷が大きくなり、実際に問題を解くこと大規模で複雑な問題の場合には、ナイーブなモデルが難しくなる。それに対し、枇々木15) は、モンテカル化をするだけでは、高速に解くことが難しい問題もあロ法によるシミュレーション・パスを用いて収益率分布る。その場合、モデル構造を変形して、既存のアルゴリを近似して問題を解く数理計画モデルとして、シミュズムを適用するか、新しい解法アルゴリズムを開発し、レーション型モデルを開発した。さらに枇々木16) はシ

高速に解く研究も行われている。モデル構造を変更しミュレーション型モデルに条件付き意思決定を導入して問題を解く代表例として、平均・分散モデルに対すた混合型モデルを開発した。以下では、これらのモデ

35)

るコンパクト分解表現 (Konno and Suzuki) がある。

著者もこれを株式の最適執行戦略に応用して高速に問題を解けるモデル表現を開発している (枇々木22) )。一方、非凸非線形計画問題の例として、取引コストを考ルおよび研究成果について説明する。

3.2
3.2.1

シミュレーション型モデルと混合型モデル
シミュレーション型モデル

慮したポートフォリオ最適化問題があるが、この問題

著者は 1992 年頃 (博士課程の学生のとき)、シナリオ・に対しては、0-1 型混合整数計画を用いたモデル化およ

ツリー型モデルを用いて銀行の ALM モデルを研究してび解法アルゴリズムも開発されている (山本43) )。

いた。当時、シナリオ・ツリーの作成方法を具体的に

多期間最適化モデルに関する研究

記述した既存論文はなく、クラスター分析を使ったア3モデルの対象期間が 1 期間なのか多期間なのかによって、モデル化の方法は大きく異なる。1 期間モデルと多期間モデルの最大の違いは、多期間モデルでは期中の富の水準もしくはキャッシュ・フローを明示的に考慮する必要があることである。しかし、そのことが多期間モデルの最適解の導出を難しくしている。ここでは、多期間最適化のモデル化に関する研究について説明する。

3.1

連続モデルと離散モデル

数理ファイナンスや金融経済学の分野で研究されている連続モデルは連続時間・連続分布でモデルを記述し、ベルマン方程式やマルチンゲール・アプローチによって解析解を見つけることを目指している。ただし、Kim

and Omberg34) , Liu37) , Civitaniì
c and Karatzas7) など
解析解が得られるケースは限定されている。近年、最小二乗モンテカルロ法 (Longstaã and Schwartz38) ) を

イデアを考えていたが、実際にはアイデアのみでシナ
リオ・ツリー「ありき」でモデルの研究を行った。その後、数年経ち、企業研究者から Barberis1) の拡張として「リスク資産を 1 つから複数に拡張できないか?」という相談を受け、多期間モデルの研究を再開した。この論文はシミュレーションを使って数値解を計算していた。その枠組みでは拡張は難しかったので、全く発想を変えたシミュレーション型モデル15) を開発した3 。
シミュレーション型モデルは、Fig.1のように、モンテ
カルロ・シミュレーションで生成した将来の資産収益率などを用いた多期間最適化モデルである。シミュレ
ーション・パスごとに条件付き意思決定を行うと非予想条件をクリアできないため (予想できるもとでの意思
3 銀行 ALM モデルの研究以外に、新たな研究テーマを模索しているときに、市場リスクや信用リスクを評価する方法としてモンテ
カルロ・シミュレーションが使われていることを知り、勉強をしていたことが、この研究に繋がった。

決定になるため)、意思決定の柔軟さを犠牲にして、どー型モデルと同じになる。したがって、混合型モデルの時点でも意思決定を同一にするモデル化を行った (行はシナリオ・ツリー型モデルに比べて、不確実性を詳

4「同一の意思決定」とは、すべわざるを得なかった) 。

細に記述できるモデルとなる。Hibiki19) は混合型モデてのパスに対して、同一のリスク資産の投資量 (単位数

ルとシナリオ・ツリー型モデルを数値分析を用いて比)、投資額、もしくは投資比率で投資することを表す。

較した。その結果の一部として、効率的フロンティア

1
2
3
4

を Fig.3に示す。
Expected Wealth

10,5005
6

10,4507
8

10,40010,350

9
10

Scenario

10,300

11
12

Scenario(H)10,250Hybridti m e012

10,200

3

0

50

100

150

200

Risk (LPM_1)

Fig. 1: Simulated path modelFig. 3: Eécient frontiers for two models
3.2.2

混合型モデル

紙面の都合上、詳細は省略するが、シナリオ・ツリ

シミュレーション型モデルにおいて、条件付き意思決定を導入するために、を応用して混合型モデル16) を開発した5 。枇々木21) は様々な数値分析によってモデルの特徴を明らかにしている。混合型モデルは Fig.2のように、パスを束ねた決定ノード内においては同一の意思決定を行うが、それぞれのパス群に対しては条件付き意思決定を行うモデルである。したがって、混合型モデルはシミュレーション型モデルに比べて、意思決定を柔軟に記述できるモデルとなる。

ーはシミュレーション・パスを束ねて生成している。

`Scenario(H)' はシナリオ・ツリー型モデルの最適解を用いて、シミュレーション・パス上で最終富を計算し、その期待値とリスク (1 次の下方部分積率 (LPM1 )) の曲線を描いている。このリスク・リターン曲線に比べて、シナリオ・ツリー型モデルの効率的フロンティア(`Scenario') は左上にシフトし、パスを束ねて問題を解くことによって過大評価されることが分かる。また、シナリオ・ツリー型モデルの最適解でシミュレーション

1
2

評価したリスク・リターン曲線 (`Scenario(H)') は低い

3
4

リスク値を持つ最適解を導出することができない。こ

5
6
7
8

のことから、混合型モデル (`Hybird') はシナリオ・ツ
リー型モデルに比べて、リスクを適切に評価し、管理できることが分かる。

9
10
11
12
ti m e
0

1

2

3

3.3

リスク・マネジメントにおける問題点の解決

金融リスクを評価する方法としてモンテカルロ・シ
ミュレーションが使われるのに対し、リスクとリター

Fig. 2: Hybrid model

ンを考慮して資産配分決定を行う多期間最適化の定番

混合型モデルは決定ノードに含まれるパス上でのリは (今でも) シナリオ・ツリー型モデルである。マネジ

スク資産価格をすべて同じとすると、シナリオ・ツリ

メントは、PDCA サイクルを繰り返すが、著者はリス

4 Gaivoronski and de Lange13) はシナリオ・ツリー型モデルを用いて、不確実性の記述の正確さは意思決定の柔軟さよりも重要であることを示している。
5 収益率分布を詳細に記述できるシミュレーション型モデルと条件付き意思決定ができるシナリオ・ツリー型モデルの混合モデルである。モデルにあたり、Tilley42) のアイデアが役に立った。これはモンテカルロ法によりアメリカン・オプションの価格付けを行う論文であるが、生成したパスを束に分割して計算を行う点に着目した。

クの評価と制御 (意思決定) を行うシナリオが違っていても良いのか?という問題意識も持っていた。混合型モデルを用いることによって、リスクマネジメントにおける計画と評価を同じシミュレーション・パスを用いて行うことができる。

3.4

現在の研究課題

例と近年の各国での事例を含めて挙げると、Mulvey and

現実の世界で連続的にリバランスが行われることはThorlacius40) , Consigli and Dempster10) , Donhi et

なく、リバランスは離散時間で行われる6 。したがって

al.12) , Hilli et al.27) , Geyer and Ziemba14) , Dupaî
cova、実務で用いたい理想的な多期間最適化モデルは「収and Polivka11) , Kilianovì
a and Pçug33) 等がある。

益率分布に制約がなく、実務的な制約条件を含めるこ

一方、枇々木15, 16, 19, 21) の多期間最適化モデルも年とができて、離散時間、連続分布で条件付き意思決定

金 ALM モデルに応用されている。多田羅, 枇々木41) はを行うことができるモデル」である。しかし、この条

企業年金に、枇々木, 茶野24) は公的年金にシミュレー

件を完全に満たすことができて、最適解を導くことがション型モデルを用いて年金 ALM のモデル化を行い、できる多期間最適化モデルは存在しない。

数値分析を用いて有用性を示している。著者以外でも混合型モデルは、決定ノードごとに条件付き意思決

Bogentoft, et al.3) はオランダの年金基金に対し、混合定はできるものの、連続分布での条件付き意思決定は型モデルの特殊形によって、CVaR をリスク尺度に用できない。モデルの構造上、完全にこれに対応するこいた ALM モデルを構築し、その有用性を示している。

で提案された (投資決定を記

上崎, 山本29) はシミュレーション型モデルを用いて、公述する) 投資量関数を工夫することによって、より良的年金の ALM モデルを構築し、分析を行っている。本

い意思決定を行うことが期待される。Kawaguchi and

稿では、枇々木15, 16, 19, 21) の多期間最適化モデルに年c and Karatzas7) の連続時間モ
Hibiki32) では、Civitaniì

金負債 (責任準備金や退職給付債務) を考慮して構築しデルと混合型モデルの比較を行い、投資量関数を工夫た年金 ALM モデルを議論する。

するための基礎研究を行っている。

4.2

19)

とはできないが、Hibiki

4

年金 ALM モデルに関する研究

4.1

研究の概要

年金 ALM とは資産運用と負債特性を同時に考慮し

年金 ALM のモデル化

資産配分モデルに対し、年金 ALM モデルでは負債のキャッシュ・フローや年金 ALM 固有の制約条件を含めることが必要であるが、拡張は容易である。枇々木

て、年金基金のリスク管理を総合的に行う手法である。

17)

現在、多くの年金 ALM では、最初は負債を考慮せずに的な定式化を示しているが、著者はこのモデルをベー、資産のみの情報から平均・分散モデルを用いて政策アスとして住友生命との共同研究により、年金 ALM シス

セットミックスの候補をいくつか選択している。そのテムを開発した (「日経金融新聞」2002 年 7 月 5 日)。ま候補案をコンスタント・リバランス戦略で運用するといた、同様に、みずほ年金研究所との共同研究により、混う前提で、ALM シミュレーションを行い、継続基準に合型多期間モデルを用いた年金 ALM モデルを開発しおける年金債務 (責任準備金) と対比することによって、、2009 年度よりその運用を開始している (「年金情報」

候補案の中から最も相応しい政策アセットミックスを2009 年 9 月 7 日号)。ここでは、桂, 桃北30, 31) (みずほ

決定している。これはシミュレーション型年金 ALM と年金研究所との共同研究) を参照し、年金 ALM のモデ呼ばれる。一方、年金債務の金利変動リスクを明示的ル化の方法を記述する。

に織り込み、資産時価から負債時価を引いたサープラ(1) モデル化のプロセスの第 9 章で年金や保険に対する ALM モデルの基本

ス (剰余金) を管理するバランスシート型年金 ALM もモデル化のプロセスを Fig.4に示す。資産サイドとし利用され始めている。退職給付債務 (PBO) が年金債務て将来金利、インフレ率、各資産の将来リターン、負として用いられる。しかし、いずれの方法も 1 期間モ

債サイドのデータとして将来の掛金、給付を発生させデルを用いて政策アセットミックスを決定し、シミュる。負債指標である退職給付債務 (PBO) や責任準備金

レーションを行う手法である。年金 ALM は長期にわたを計算する。資産・負債の将来予測を行い、政策アセッ

る資産と負債を管理する必要があり、その目的に合っ

トミックスを求める。Fig.2のようなツリー構造ではなたモデル化の方法として、多期間最適化モデルを利用

く、Fig.5のような格子構造を持つ混合型モデルを用いすることができる。

て最適化を行う。混合型モデルで問題を解くために、最シナリオ・ツリー型多期間最適化モデルを用いた年金

初にシミュレーション型モデルで最適化を行い、そのALM モデルの研究は数多く行われている。初期の代表結果を用いてパスの束を作る (クラスタリングを行う)。

6 年金基金の場合には 1 年ごとに政策ポートフォリオを見直す。

(i)Liability Data

Future interest rate , Inflation rate

Asset return

Lt : t 時点のパス i で積み立てておくべき負債金額(PBO, 責任準備金)

Pension premium, benefit
PBO、actuarial liability
Solving multi-period optimization problem by simulated path model+(i)
Dt : t 時点のパス i に積み立てられる予定の掛金
Ä (i)

Dt
Clustering simulated paths and making decision nodes

U : 1 次の下方部分積率の加重平均 (LP M1 ) の上限

Solving multi-period optimization problem by lattice based hybrid model
Determining policy asset mix

ç
3 決定変数
zj0 : 0 時点のリスク資産 j への投資量 (単位数)

1
2

st
zjt
: t 時点の決定ノード st のリスク資産 j への投資

5
6
9
10
3
4

v0 : 0 時点の現金 (無リスク資産)
(i)

11
12
tim e
2

量 (単位数) (s 2 St ; t = 1; . . . ; T Ä 1)

vt : t 時点、パス i の現金 (無リスク資産)

781

k : 負債指標に乗ずる係数!t : t 時点のリスク加重調整係数

Fig. 4: Modeling Process0: t 時点のパス i に支払われる予定の給付金

3(t = 1; . . . ; T Ä 1)(i)(i)
qt : パス i の富 Wt の k ÅLt を下回る部分(3) 定式化

Fig. 5: Lattice based hybrid model
積み立てるべき水準 (年金債務に対する不足金額の平均的な水準) に対する制約条件のもとで、目的関数として最終時点における富 (資産時価) を最大にするようにモデル化する。記号および定式化を以下に示す。

(2) 記号7ç
1 集合
St : t 時点の決定ノード st の集合 (t = 1; . . . ; T Ä 1)

Vtst : t 時点の決定ノード st に含まれるパスの集合(st 2 St ; t = 1; . . . ; T Ä 1)ç
2 パラメータn : リスク資産数。リスク資産の添字 j の要素 (j =1; . . . ; n) の記述は以降省略する。
T : 期間数 (最終時点も表す)。時点の添字 t の要素が(t = 1; . . . ; T ) の場合は記述を以降省略する。
I : パス数。パスの添字 i の要素 (i = 1; . . . ; I) の記
述は以降省略する。

öj0 : 0 時点のリスク資産 j の価格(i)öjt : t 時点のパス i のリスク資産 j の価格

r0 : 0 時点 (期間 1) の金利(i)rtÄ 1 : tÄ1 時点 (期間 t) のパス i の金利 (t = 2; . . . ; T )7 Fig.5の場合、T = 3, I = 12, S = f1; 2; 3g, S = f1; 2g で12ある。

1 X (i)W
I i=1 T
I

最大化

(1)

制約条件
n
X
öj0 zj0 + v0 = W0
j=1
n
X

(2)

(i)

+(i)

öj1 zj0 + (1 + r0 )v0 + D1

j=1

=

Ä (i)

Ä D1

n
X
(i) s1(i)
öj1 zj1+ v1 (s1 2 S1 ; i 2 V1s1 )

(3)

n
ê
ë
X
(i) stÄ 1
(i)
(i)
+(i)
Ä (i)
öjt zj;tÄ
+
1
+
r
Ä Dt
tÄ 1 vtÄ1 + Dt
1
j=1

j=1

=

n
X
(i) st(i)öjt zjt+ vt
j=1(st 2 St ; i 2 Vtst ; t = 2; . . . ; T Ä 1)
n
ë
ê
X
(i)
(i) sT Ä 1(i)(i)
W1;T =
öjT zj;TÄ 1 + 1 + rT Ä1 vT Ä1

(4)

j=1

+(i)

+DT

Ä(i)

Ä DT

(i)
(i)
Wt + qt ï k ÅLt
†
!
T
I
X
1 X (i)îU!tq
I i=1 tt=1
stzj0 ï 0 ; zjtï 0 (st 2 St ;v0 ï 0 ;(i)
qt ï 0

(5)
(6)
(7)

t = 1; . . . ; T Ä 1)(i)vt ï 0 (t = 1; . . . ; T Ä 1)

(8)
(9)
(10)

(i)

(i)

(3) 式の値は W1 、(4) 式の値は Wt 、(7) 式の値は

LP M1 を表す。詳しい数値分析については桂, 桃北
30, 31)

を参照されたい。

5.1

モデルの設定世帯主のみが働き、配偶者は専業主婦とする。世帯

ところで、掛金を保険料収入、給付金を保険金支出

主の死亡事故、世帯主の重大な疾病、住宅の火災事故と考えれば、保険 ALM モデルの基本形にもなる。5章という 3 つのリスクが存在し、世帯の収入や支出の構の家計の資産形成モデルにおいては、逆に保険金の受造はこれらのリスクの発生によって影響を受ける。各け取りがキャッシュ・イン・フロー、保険料の支払いが時点で発生する可処分所得、退職金、遺族年金、生活+(i)キャッシュ・アウト・フローになる。また、掛金 Dt
Ä(i)、給付金 Dtの部分を取り除くと、資産配分問題と宅を購入すると仮定する。また、退職後に必要な資金して記述することができる。ただし、追加型の投資信の不足が心配である一方で、できるだけ資金も増やし

託において入金と解約金が発生する場合には、このまたいと考える。そこで、退職時点 (計画最終時点) の最までも投資信託に対する資産運用モデルの基本形にな

終富の CVaR をリスク尺度、最終富の期待値をリターる。このように、多期間最適化モデルの基本形を記述

ン尺度としてモデル化を行う。具体的には、最終富のできれば、様々なタイプの問題に応用可能である。

CVaR の下限制約9 のもとで、期待最終富を最大化する

5

支出などのキャッシュ・フローを所与とし、te 時点で住ように、以下に示す最適な資産配分と保険購入・解約

家計の資産形成モデル

を決めるモデルを構築する。概要を Fig.6に示す。
世帯は家族構成、収入・支出、資産・負債や住宅購入、子供の教育、退職後の生計などの将来に対する希望è 0 時点で資産配分を行い, 1 時点以降も T Ä 1 時点まで毎時点リバランスを行う.

や目標、家計に与える様々なリスクを考慮して、長期間にわたる投資や保険などの戦略を決定する必要があè 0 時点で T 期間満期の生命保険を購入し、住宅購入
時点で一部もしくは全部を解約できる。

る。個人の最適な投資戦略は学術的にも古くから研究が進められており、近年では Campbell5) も家計のファ
6)

イナンスの重要性を述べている。Chen et al. は資産配分に加えて、賃金収入、消費支出、生命保険を含む

1 期間最適化モデルを提唱している。それに対し、枇々
木, 小守林, 豊田26) , 枇々木, 小守林25) , Hibiki21) , 枇々木23) は 3章で説明したシミュレーション型多期間最適化モデルによって、家計の資産形成モデルを提案している8 。

è 0 時点で T 期間満期の医療保険を購入する。
è 1 期間満期の火災保険を 0 時点から T Ä 1 時点まで
毎時点購入する。

0

資など、家計に与える要因が多岐にわたり、世帯の2

3

t e (House buying time) T Ä 1 T （Retirement）

House buying
Maximization
Life andFire insurance Surrendering Fire insurance of expected
medicalwealthRiskyasset,
cash
insurance Risky asset, cash life insurance
partially

Fig. 6: Modeling structure

モデルに組み込むべき特徴は以下の通りである。

ç
1 共働きか否か、住宅購入の有無、子供の数、教育投

1

5.2

数値分析

世帯主が 30 歳で、60 歳で定年となる仮想の世帯を設

個別性が強いため、柔軟なモデル化を行う。

定する。無リスク資産と 1 つのリスク資産にのみ投資ç
2 世帯主 (人的資産) が家計に与える影響が大きく、特すると仮定する。紙面の都合上、詳細な設定の説明はに労働者が世帯主だけの場合、万が一のために生命省略する。以下に分析結果を示す。

保険で収入リスクをヘッジする。

(1) リスク資産

ç
3 賃金収入や消費支出などのキャッシュ・フローを考慮し、長期計画問題として明示的にモデル化する。

本稿では枇々木23) のモデルの概要を簡単に説明する。
8 資産配分決定を行う個人投資家向け ALM モデル (シナリオツリ

ー型多期間最適化モデル) として、Berger and Mulvey2) , Consiglio
et al.8, 9) , Hocht et al.27) , Medova et al.39) , Kotlikoã36) がある。保険を含めるためにはシミュレーション型多期間最適化を利用する方が適している。その理由は保険に関連する死亡率や火災発生率などは発生確率が低く、サンプルパスで記述するためには多くのパスを必要とするからである。

Fig.7にリスク資産の最適投資比率を示す。CVaR の値が大きくなる (リスクが小さくなる) につれて、投資比率の値も小さくなる。住宅を購入する際に支払う頭金を確保するために、10 時点まで現金比率を高めている (リスク資産比率を下げる)。住宅を購入すると、頭金を現金で支払うことによって相対的にリスク資産の9 下限値を退職後に必要な資金とすると、たとえば å = 0:8 の場
合、下位 20%の確率で生じる最終富の条件付き期待値を退職後に必要な資金以上にするという制約になる。

比率が上昇する。それ以降は、定年時に安定的な富を(3) 賃金と株式の相関の考慮築くために、リスクを考慮しない最終期待富最大化を除き、徐々にリスク資産比率は減少する。
MaX CVaR
CVaR=3040

CVaR=3120
CVaR=3000

相関を持つと仮定する。
90%

CVaR=3080
Min CVaR

80%
Investment ratio

100%

資産運用の対象とする株式と勤務する企業の業績はInvestment ratio of a risky asset

90%
80%
70%
60%

40%

40%

20%
30.0

30%

c =－0.4
c =－0.250%30%

c = 0.0
c = 0.2
c = 0.4
30.5

31.0

31.5

32.0

32.5

33.0

20%

CVaR (million yen)

10%

Fig. 10: Investment ratios for various correlation
0

2

4

6

8

10

12

14 16 18
time

20 22

24 26

28 30

賃金の変動と株式収益率の相関係数が異なる場合の各時点の投資比率の平均と CVaR の関係を Fig.10に示

Fig. 7: Investment ratios of a risky asset

す。相関係数が大きくなるにつれて賃金と株式の分散(2) 生命保険

効果が小さくなるため、同じリスクの値を得るには、投生命保険として、無解約返戻金型の平準定期保険、逓減定期保険、収入保障保険の 3 種類を対象とする。

資比率を低くする必要があることを表している。これは Chen et al.6) と整合的な結果である。

600
Premium (thousand yen)

60%

50%

0%

5.3

time 0 to 9500

今後の研究課題

退職時点以降の老後の計画 (リタイアメント・プラン

time 10 to 29

400
300

ニング) のモデル化、共働き世帯も含めた対象世帯の多200

様化、期間の集約モデルの構築による計算時間の短縮

100に関して研究を行う予定である。また、最近では、行動

0
Portfolio

TermDecreasing

Family income

ファイナンスでの研究成果を踏まえて、個人が合理的に (自動的に) 行動するための商品開発も必要であるこ

Fig. 8: Premium of life insuranceとが言われている。ライフサイクルファンドはその一例であり、本研究成果もその設計に使うことができる。

200
Life insurance money (mil.yen)

70%

Portfolio

150

6

Term

本稿では多期間最適化モデルに関する研究を中心に、

Decreasing

100

おわりに

Family income

その適用事例に対するモデル化や分析結果も含めて説50明した。ポートフォリオ最適化は資産運用や ALM に利

0
0

2

4

6

8

10 12 14 16 18 20 22
time of the householder's death

24

26

28

30

Fig. 9: Life insurance money
CVaR 最大化問題を解いたときの生命保険の平準保険用され、金融工学の重要な研究分野の一つである。コンピュータの計算速度や最適化の計算技術が今後進展するにつれて、実務で必要な大規模で複雑な最適化モ
デルも解けるようになると期待される。

料を Fig.8に、保険金額を Fig.9に示す。平準定期保険

参考文献(Term insurance) に比べて、逓減定期保険 (Decreasing

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term insurance) または収入保障保険 (Family income
insurance) を購入する場合には、平準保険料も約半分になる10 。保険の種類にかかわらず、住宅購入により保険を一部解約することが最適解となる。
10 紙面の都合上省略しているが、効率的フロンティアも改善する。

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