物理学会北陸支部定例学術講演会
12 月 13 日, 2014

奇粒子数系の自己無撞着Hartree-Fock-Bogoliubov 解Self-consistent solutions of the Hartree-Fock-Bogoliubov equation
for systems of odd number of particles

杉浦友章，田嶋直樹 (福井大工)T. Sugiura, N. Tajima (Univ. of Fukui)

本研究の背景• 原子核を核子（陽子と中性子）の量子多体系として表す際の良い近似として、自己無撞着な平均場解が広く利用されている。
• 原子核では同種核子の間の対相関を考慮することが重要である。
• 対相関を含んだ平均場解は Hartree-Fock-Bogoliubov(HFB) 方程式の解として得られる。
• 通常は、HFB 解は粒子個数が偶数の成分の重ね合わせである。

本研究の主題• 奇数個の粒子の系の HFB 解を自己無撞着に求めるにはどうしたらよいか？

まず、下記の参考文献に基づいて理論のレビューを行う。

主な参考文献On the Character of the Hartree-Fock-Bogoliubov solutions in a rotating frame
B. Banerjee et al., Nucl. Phys. A, 221, 564 (1974).

Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB) 法
Bogoliubov 変換

β† =i

βi =n (∑
j=1n (∑j=1c†U ji + c jV jijc† V ∗ + c j U ∗jji))jic† : 一粒子基底状態 ϕi に粒子を生成する演算子, 1 ≤ i ≤ n, n は基底の次元iβ† : i 番目の準粒子の生成演算子, 1 ≤ i ≤ ni

行列の積で表すなら、⇀⇀⇀⇀††β†= (β , · · · , β n)、 β = (β1, · · · , β n)、 c†= (c†, · · · , c†n)、 c = (c1, · · · , c n)
11として、 ⇀  ⇀  † ⇀  † ⇀β , β  =  c , c  W,(W=U V∗
V U∗)

W にユニタリ性 ( WW † = W †W = I) を要請すると、β†, βi (1 ≤ i ≤ n) もi†
フェルミ粒子の反交換関係を満たす : {βi, β } = δi j , {βi, β j} = {β†, β†} = 0jij

変分条件δ⟨Ψ| Ĥ|Ψ⟩⟨Ψ|Ψ⟩=0を満たす W をきめる。

|Ψ⟩ =n∏βi|0⟩ : 準粒子の真空 (HFB の基底状態解)

i=1|0⟩ : 粒子の真空, 1 ≤ i ≤ n について ci|0⟩ = 0 を満たす。

(∵ 1 ≤ i ≤ n について, β2 = 0 より βi|Ψ⟩ = 0 を満たす)i⇒ HFB 方程式
 →  → 

UUii



H  →  = Ei  →  ,ViVi(H =h∆−∆∗ −h∗)H : 2n × 2n 次元行列, H † = H , quasi-particle Hamiltonianh : n × n 次元行列, h† = h, mean-field Hamiltonian∆ : n × n 次元行列, ∆† = −∆, pairing Hamiltonian→U i= (U1i, · · · , U ni)T : i 番目の準粒子の粒子励起成分の振幅を列ベクトルとして配置したもの→V i= (V1i, · · · , V ni)T : i 番目の準粒子の空孔励起成分の振幅を列ベクトルとして配置したもの

Ei : i 番目の準粒子の励起エネルギー得られた 2n 個の準粒子演算子を n 個の生成演算子と n 個の消滅演算子とに分ける
行列 H の構造に起因して、絶対値が同じで符号が正負のエネルギーを持つ準粒子の対が n 対得られる。
すなわち、n ()∑β† =c†U ji + c jV ji が固有値 Ei を持つなら
iβ† =
ı̄

j=1n (∑j=1j)c†V ∗ + c jU∗ は固有値 −Ei を持つ。
jij ji

準粒子の生成演算子は反対符号のエネルギーの準粒子の消滅演算子に等しい:β† = βi、 β† = βı̄ı̄i従って、2n 個の準粒子状態の候補から n 個を準粒子として選ぶ必要があり、残りの n 個はそれらの消滅演算子に過ぎない。

また、負のエネルギーを持つ準粒子が存在するような解 (真空) は、その準粒子の励起に対して不安定であるから、通常は、正のエネルギーを持つ準粒子を選んで、「1 ≤ i ≤ n で Ei > 0」とする。

粒子の個数の偶奇性 (number parity)

HFB 解 |Ψ⟩ =n∏βi|0⟩ は粒子の個数の異なる状態の重ね合わせであるが、i=1個数の偶奇性は混ざらず、作用させる準粒子の消滅演算子（βi）の個数 n の偶奇性と一致する。

素朴に考えると…
通常は一粒子基底には時間反転対を揃えるので、基底の次元 n は偶数である。
従って、HFB 解は偶数粒子系を表すはずである。
しかし、高スピン状態を求めるため、系を一定角速度で回転させる (cranking) と,特定の角速度範囲で HFB の基底状態解が奇数粒子系になってしまうことがある。
(Banerjee et al., 1974)

これはn 個の正エネルギーの準粒子の消滅演算子のうちn−1∏
n − 1 個を |0⟩ に作用させて |Ψ⟩ =βi|0⟩ とすれば、i=1|Ψ⟩ は既に残りの 1 個の準粒子の真空にもなっている (β n|Ψ⟩ = 0) ためである。

この場合、奇数粒子系の基底状態が、変分解として正確に求まったことになる。

一般的な状況でも、奇数粒子系の基底状態を、正確に自己無撞着に求めるにはどうしたらよいだろうか。

準粒子状態のブロック
詳しい考察によると、エネルギーの絶対値が等しい準粒子演算子の対のどちらを生成演算子に指定するかを一ヶ所変える度に、HFB 解の number parity が反転することが示せる。(Banerjee et al., 1974)

HFB の真空は「BCS 変分関数に何個かの一粒子生成演算子を乗じた形」、
例えば「何個か」が「１個」ならn/2∏|Ψ⟩ = a†(ui + vi a† a†)|0⟩1i=2i ı̄と表せるという Bloch-Messiah の定理 (1962 年) が成り立つ。
証明はこの定理を活用して行われる。

ある準粒子状態の生成と消滅の定義を入れ替えることを、理解の容易な BCS 変分関数で言い表すと、一粒子状態の時間反転対 i, ı̄ の片方だけに、１個の粒子を入れることに対応する。
粒子が１個入ることにより、number parity が反転するとともに、その状態対は対相関に利用できなくなる。
⇒ その状態対をブロックする。
これにならい、ある準粒子状態の生成と消滅の定義を入れ替える。
⇒ その準粒子状態をブロックする。
ブロックすることで平均場が変化するので、ブロックの仕方を同一に保ちつつ反復計算を行い自己無撞着性を達成する必要がある。

反復で解に収束するのか?
プログラム HFODD では
1. 「全準粒子状態 から 平均場 を計算すること」
2. 「平均場 から 全準粒子状態を求めること」

を繰り返すことで自己無撞着解を求める。
しかし、この反復により解に収束するとは限らない。プログラムには、収束しない場合の対処法が２つ用意されている。
1. 減衰因子2. Broyden 法
収束を速める効果がある。振動を止める効果もあるか？ 現在、試そうとしている。

減衰因子を使った計算結果
n 番目の potential を V n とすると減衰因子はプログラム HFODD では

V n+1 = (1 − ϵ)V n + ϵV ′n+1の 1-ϵ の部分にあたり、ϵ の値を変更することによって減衰因子を大きくまたは、小さくできる。
今回使用した ϵ の値は、0.05〜0.55 まで 0.05 ずつおきの 11 個である。
また、計算対象とした核は 162Tb97 で、Skyrme 力に SLy4 を使い65
5
中性子 |6,4,2, 2 +⟩ , 陽子 |5,3,2, 52 −⟩ をブロックした。

まとめ1. 奇数粒子数の Hartree-Fock-Bogoliubov 解について、review をした。

2. 減衰因子を大きくとったからといって、振動の幅が小さくなるとは限らないことと、収束先が変わることがわかった。

3. Skyrme HFB 法プログラム HFODD で奇数粒子数の自己無撞着な解を求める際の問題の解決を目指して研究を続けている。