産学協同プロジェクト「数学授業における関数電卓実用化とグローバル展開」
対数目盛を用いた線形変換に関する数学ワークショップ指導案（略案）
棚澤日菜子

実験授業の目的
米国の標準テスト SAT の The SAT Math Test のサンプル問題 SAT math test Question 4 of 28 をもとに，関数電卓を用いて，次の 2 点について明らかにすることである：学生らが，自身が点をプロットした片対数グラフと，関数電卓（カシオ計算株式会社 fx-JP900-N）の「統計計算」モードによる回帰計算の結果をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことで，曲線で表されていたグラフの変化をどのように予想したのか，学生らはどのような根拠をもとに線形であるとみなしたのか。
授業のねらい学生らが，自身が点をプロットした片対数グラフと，関数電卓の「統計計算」モードによる回帰計算の結果をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことで，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想することができる。また，線形であるとみなすために必要な根拠は何かについて考察することができる。
本時の展開
第1時
学習活動

指導の手立て留意点

・米国の標準テスト SAT の・プレゼンテーションソ

The SAT Math Test のサンプ

フトを用いて，問題のル問題である SAT math test

内容を説明する。

Question 4 of 28 の内容を把握する。

SAT math test Question 4 of 28
導入

選択肢

A：14 B：15

C：19

D：20

E：21

問題：
アリソンは 500 ドルを，年 5%の複利で利息がつく新しい普通預金口座に預けました。もし，アリソンが預金を追加したり引き出したりしない場合，口座の残高が 2 倍になるには何年かかるでしょうか？

・口座の残高が 2 倍になるということは，口座の残高が1000 ドルになるということを確認する。
・選択肢 A〜E のうち，どれ T：口座残高が 1000 ドルにが正解かを予想する。

なるのに，何年くらいかかると思いますか？
選択肢 A〜E のうち，正解だと思うものに手をあげてみてください。

・年数を x，口座の残高を y と ・現在〜3 年後の口座のすると，口座の残高を求め残高の求め方を確認

る式はし，y = 500×(1.05)xy = 500×(1.05)x（x：0 以上の整数）になっていることを学生と一緒に確認する。

・y = 500×(1.05)x（x：0 以上 ・実際に，グラフを表示す ・プレゼンテーションソの整数）で表される口座のる。

残高の指数関数のグラフをを表示する。

確認する。
・指数関数のグラフでは，x が展開1 増加することに伴う y の増加量が大きいため，グラフが見づらいことを確認する。
・口座の残高である y の値の ・学生が，口座の残高額で常用対数をとる。
・「指数関数のグラフでは，xある y の値の常用対数をとる時間を確保する。

が 1 増加することに伴う y ・y の値の常用対数をとるの増加量が大きい」という際には，関数電卓の「基問題を解決するために，口本計算」モードを使用す

座の残高額である y の値のるよう指示する。

常用対数をとる。

フトを用いて，グラフ・最低でも 8 年分の y の値の常用対数をとるよう指示する。

○x と y の値の常用対数をも ・片対数グラフとワークとに，片対数グラフに点をシート（【資料 1】）を配プロットする。

布する。

○x の値と y の値をもとに，点をプロットした片対数グラフをもとに，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想する。
・予想したこと，気付いたことをワークシート（【資料1】）に記述する。
○関数電卓の「統計計算」モ ・ワークシート（【資料 2】）ードによる 2 変数（x , y）2を配布する。

次回帰計算（y = a + bx + cx2）の結果もとに，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想する。
・予想したこと，気付いたこ

回帰計算結果が一覧表示されたときの関数電卓画面とをワークシート（【資料2】）に記述する。
第2時
学習活動

指導の手立て○前時の振り返りをおこな T：x の値と y の値をもとう。に，点をプロットした・x の値と y の値をもとに，片対数グラフをもと点をプロットした片対数に，y 軸を対数目盛に変導グラフをもとに，y 軸を対更したことにより，曲入数目盛に変更したことに線で表されていたグラより，曲線で表されていたフがどのように変化しグラフがどのように変化たと予想しましたか。

するのか。

S1：直線
S2：直線っぽいグラフ

留意点

S3：ほぼ直線・関数電卓の「統計計算」モ T：関数電卓の「統計計算」
ードによる 2 変数（x , y）

モードによる 2 変数（x ,2 次回帰計算（y = a + bx +y）2 次回帰計算（y = acx2）の結果もとに，y 軸を+ bx + cx2）の結果をも対数目盛に変更したこととに，y 軸を対数目盛ににより，曲線で表されてい変更したことにより，たグラフがどのように変曲線で表されていたグ化するのか。

ラフがどのように変化したと予想しましたか。
S1：直線っぽいグラフ
S2：ほぼ直線にみえる放物線
S3：直線に近い曲線？

○y 軸を対数目盛に変更した T：y 軸を対数目盛に変更し ・近くの席の学生同士ことにより，曲線で表されたことにより，曲線で表で考えを共有して良ていたグラフが線形であさ れ てい たグ ラフ が 線いことを伝える。

るとみなせるというため

形 で ある とみ なせ る とには，どのようなことを根いうためには，どのよう拠にすればよいか，点をプ

な こ とを 根拠 にす れ ばロットした片対数グラフよいでしょうか。点をプやデータの並び，関数電卓

ロ ッ トし た片 対数 グ ラの「統計計算」モードによフやデータの並び，関数る 2 変数（x , y）2 次回帰

電卓の「統計計算」モー2

展
開計算（y = a + bx + cx ）の結ドによる 2 変数（x , y）

果，ワークシートの記述内

2 次回帰計算（y = a + bx

容をもとに，線形であると+ cx2）の結果，ワークシみなすための根拠についー ト の記 述内 容を も とて考察する。に，線形であるとみなす

・片対数グラフに点をプロットすると，線形になっているように見えることを根拠として線形とみなす。
・x の値と，log10y の値に着目すると，log10y の値の増加量がほぼ一定である。このことから，変化の割合もほた め の根 拠に つい て 考察してみましょう。
・ワークシート（【資料 3】）を配布する。

ぼ一定となるため，x の値と，log10y の値の変化の割合が一定であることを根x の値，log10 𝑦の値，log10 𝑦の値の増加量をまとめた表拠として線形とみなす。
・関数電卓の「統計計算」モードを用いて，2 変数（x ,y）2 次回帰計算をおこな
い，出力結果をもとに，x2の係数（c の値）に着目す
ると，−7.14285×10-11 であり，限りなく 0 に近い値となっている。
出力結果をもとに，2 次関数で表すと，以下のような式になる。
log10y = −7.14285×10-11 x2+ 0.0211892997x+ 2.698970003
このことから x2 の係数（c関数電卓の「統計計算」モードによる2 変数（x, y）2 次回帰計算の結果の値）が，−7.14285×10-11 であり，限りなく 0 に近い値であることを根拠として線形とみなす。
・曲線で表されていたグラフが線形であるとみなすための根拠について，考えたことを発表し，全体に共有する。

2 次関数 log10y = −7.14285×10-11 x2 +0.0211892997x+ 2.698970003 のグラフ

○y 軸を対数目盛に変更した
ことにより，曲線で表されていたグラフが線形とみなせることを確認する。
○線形で表された口座の残高を求める式で求めた解答と，指数関数で求めた解指数関数 y = 500×(1.05)x で求めた解答

答が同じになっているかを確認する。
・関数電卓の「統計計算」モードによる 2 変数（x , y）
2 次回帰計算の結果より，y 軸を対数目盛に変更した
ことにより，曲線で表されていたグラフが線形変換され，線形とみなすことが関数電卓の「統計計算」モードによるできる。これより，2 変数

2 変数（x , y）1 次回帰計算の結果（x , y）1 次回帰計算をおこない，線形変換された口座残高を求める関数を式で表す。
log10y = 0.0211892993x+2.698970004…（＊）
・口座の残高が 2 倍になる年数を求めるため，関数電卓の「基本計算」モードのソルブ機能を用いて，式（＊）の y に 1000 を代入する。
→x = 14.20669894 と表示されるため，口座の残高が式（＊）の y に 1000 を代入し，x = 14.20669894

2 倍になるのは 15 年後と表示された後の関数電卓画面である。よって正しい選択肢は B となる。
○［課題］を確認する。
まとめ・課題シート（【資料 4】）［課題］を配布する。

直線であるとみなすための根拠のうち，最も必要であると考える根拠を 1 つ選
び，その理由を記述しなさい。

【資料 1】x の値と，y の値をもとに，片対数グラフに点をプロットしなさい。また，プロットした点をもとに，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想し，その内容を記述しなさい。

【資料 2】関数電卓の「統計計算」モードを用いて，2 変数 2 次回帰計算（y = a + bx + cx2）をおこない，y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフがどのように変化するのかを予想し，その内容を記述しなさい。

【資料 3】y 軸を対数目盛に変更したことにより，曲線で表されていたグラフが直線であるとみなせるというためには，どのようなことを根拠にすればよいか。点をプロットした片対数グラフやデータの並び，関数電卓の「統計計算」モードを用いておこなった 2 変数 2 次回帰計算（y = a + bx + cx2）の結果，ワークシートの記述内容をもとに，直線であるとみなすための根拠について考え，その内容を記述しなさい。

【資料 4】直線であるとみなすための根拠 3 つのうち，最も必要であると考える根拠を 1 つ選び，その理由を記述しなさい。