《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

物質科学における群論入門
対称性原理から物性予測まで
岸根順一郎
放送大学

2016 年 12 月 16 日
ノンが生まれる．フォノンが生まれると，それを媒介とし目次て電子がクーパー対を作り，超伝導を起こす．これは，今の見方では２回目の自発的対称性の破れです．」[1] とは南

1

はじめに

1

2

表現論の概観2

2.1

可換群 Cs. . . . . . . . . . . . . . . . .

2

この見方を具体化するのが「群とその表現論」です．系

2.2

非可換群 C3v . . . . . . . . . . . . . . . .

9の対称性は，ハミルトニアン（あるいはラグランジアン）

結晶点群

11

部陽一郎先生の言葉です．対称性のあり方とその破れ方を探求することは，現代物理学におけるもっとも基本的なものの見方であるといえるでしょう．

H を不変にする群 G で決まります．つまり
3

gHg −1 = H for all g ∈ G.

(1)

3.1

結晶の成り立ち. . . . . . . . . . . . . .

11

3.2

32 点群の導出 . . . . . . . . . . . . . . .

12

このようなわけで群論は物理学の至るところに顔を出し，

3.3

点群の既約表現13

物理を始める（ハミルトニアンを書き下す）ためのお膳立. . . . . . . . . . . . . .

てをしてくれます．例えば「南部・ゴールドストーンの定理」は，群論の言葉を使って「ある物理系の群 G の大局的

結晶空間群

14

4.1

部分並進と回転的要素 . . . . . . . . . . .

14

4.2

らせんと映進 . . . . . . . . . . . . . . . .

15

4.3

空間群の構造 . . . . . . . . . . . . . . . .

15

しかし物理で使う数学の中でも，群論は学びにくいもの

4.4

空間群の既約表現 . . . . . . . . . . . . .

15の代名詞のように言われることがしばしばです．その理由

4.5

k群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

は，目下の問題を群論のまな板に載せる作業そのものがそ

4.6k 群の既約表現 . . . . . . . . . . . . . . .

16

う簡単でないからです．解析的な方法の場合，たとえば微4.7

バンド理論との関係 . . . . . . . . . . . .

17

4.8

誘導表現の例題

174. . . . . . . . . . . . . .

対称性が部分群 H に自発的に破れる際，ゼロ質量の南部・
ゴールドストーンボソンが商空間 G/H の次元と同じ数だ
け現れる」*1 と言い表されます．

分方程式はすぐ書けるが解くのが大変，ということがよくあります．麓に立つのは簡単だが，上るのが大変というわけです．これとは逆に，群論は系の対称性を見渡しながら群論を使い始めるスタートラインに立つのが大変だが，そランダウ理論175.1

全対称表現と活性表現 . . . . . . . . . . .

17

んど四則演算しか出てこない）です．山頂から麓に降りて

5.2

周期的変調構造：群 G0 が空間群の場合 . .

18

いくような数学の使い方だといってもよいでしょう．

5.3

自由エネルギー

195. . . . . . . . . . . . . .

のあとの計算は簡単（実際，物質科学で使う群論にはほと物性物理でお目にかかる群は「結晶点群」，「結晶空間
群」，
「回転群」
，
「置換群」です．しかし，これらの群その1 はじめにものの性質を学ぶだけでは役に立ちません．「群」論だけではダメなのです．群の操作を受けるのがどんな物理量な

私たちは対称性の破れた物質世界に棲んでいます．「原子間の電磁的な力のために結晶の生成が可能になる．結晶*1 正確には，これは相対論的ローレンツ不変性を持つ系での話で，ができるとそれは並進対称性と回転対称性を破るから，こ

非相対論的な系では必ずしも等式が成り立たちません（NG ボゾ
ンの数は商空間の次元以下）．

れらに付随するゴールドストーンボゾンとしてとしてフォ1

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物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）のか，つまりどんな基底を使って対称性を議論しているの表現であるが，数学的には無駄がある．この無駄をなくすかはっきりさせないと物理が描けません．これが「表現」のが表現論の処方箋だ．いま，全体表現の基底を(論の問題です．具体的に，格子変位や電気分極，磁気モーメント，電子の波動関数，電子の波数などなどが基底にな

)

1
0

|1i =

(
|2i =

,

)

0
1

,

(3)

るわけです．しかし，残念なことに人間が適当に入れる基と表すと，任意の振動状態は底には（対称性の観点からみると）無駄があります．そこ
で無駄のない（既約な）基底を探し出す処方である「群の|vi = x1 |1i + x2 |2i ,(4)

表現論」が必要になります．
と書ける. 基底 |1i , |2i は粒子 1, 2 の独立な振動状態を表

この講義ノートでは，群の表現論のアウトラインをますもの（2 次元状態空間の基底）である．

とめます．より立ち入った内容については優れた教科書

全体座標を使って運動方程式を書くと（バネ定数 k ，ボー[2, 3, 4, 5] がたくさんありますのでそちらを参照してくだ

ルの質量 m），

*2
さい．

{

2 表現論の概観
2.1 可換群 Cs

mẍ1 = −2kx1 + kx2 ,mẍ2 = −2kx2 + kx1 ,(5)である．新たな基底ベクトル

2.1.1 結合ばね系
図 1(a) のように，質量 m の２個の物体をばね定数 k の1|Γ1 i = √2

ばねでつないで両端を固定した系を考える．このごく簡

(

1
−1

)

1
, |Γ2 i = √
2

(

1
1

)
,

(6)

を使って |vi を単な系の固有モードを調べる作業を通して群の表現論の|vi = x̄1 |Γ1 i + x̄2 |Γ1 i ,エッセンスを学ぶことができる．この系を不変に保つ，つまり操作の前後で全く見分けがつかない結果をもたらす(7)と表現する．つられて成分も操作を，その系の対称操作 (symmetry operation) と(呼ぶ．まず，どんな対象に対してでも「何もしない」という操作（恒等操作E ）が存在する．これに加え，この系
は鏡面m[図 1(a) の破線] に対する鏡映操作σ に対して不

x̄1
x̄2

)

1
=√
2

(

x1 − x2
x1 + x2),(8)と変換を受ける．x̄1 ，x̄2 が基準座標 (normal coordi-

変である．このとき，鏡面 m を鏡映操作 σ の対称要素nate) である．すぐ後で見るように，|Γ1 i , |Γ2 i は無駄のない対称性適合基底である．これを使うと (5) は{ ··x̄1 = −ω12 x̄1(9)··x̄2 = −ω22 x̄2(symmetry element) と呼ぶ（操作と要素をきちんと区
別しよう）．系の対称操作は E と σ の二つで尽きている．
この集合 {E, σ} に Cs という名前をつけておきます．後で見るように，これは 32 結晶点群の一つである．

と独立な単振動（固有モード）に分解できる．各々の固有√√
モードの振動数は ω1 =3k
m , ω2 =km である．これらのモードをそれぞれ Γ1 モード，Γ2 モードと呼んでおこう．(9) の一般解は
図1{

点群 Cs に属する結合ばね系

それぞれの粒子の平衡位置からの変位 x1 , x2 を並べて，2 次元ベクトル

(
|vi =

x1
x2

x̄1 (t) = c1 cos (ω1 t + θ1 )x̄2 (t) = c2 cos (ω2 t + θ2 )(10)の形になる．
ここで先走ると，ランダウの 2 次相転移理論の発想は，),無限系 の固有モードの中で，ただ一つの固有モードの振(2)

動数がゼロになって凍結することがあるのではないか，ということである．これをモードのソフト化という．たとえを作る．この表現を全体表現 (total representation)

ば，仮に Γ2 モードの振動数が ω2 −→ 0 になったとする．

と出も呼んでおくことにする．全体表現は素直に思いつく

このとき，時間平均をとると Γ1 モードは平均化されて見えなくなる (hcos (ω1 t + θ1 )i = 0)．この結果，系は*2 本テキストの内容は 2009 年から 2012 年にかけて「固体物理」誌(に 6 回連載した「物質科学のための表現論」という解説記事の内容をもとに再構成したものである．

2

x1
x2

)
=

c2 cos θ2
√
2

(

1
1

)
,

(11)

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集合 G = {G1 , G2 , · · · , Gg }という有限の変位が生きった状態に落ち着く．この状況に対して,を，「Γ2 モードが凍結した」と表現する．この状態は，図2(b) に示すように変位が強的 (ferroic) にそろった状態

G × G 3 (Gi , Gj ) 7→ Gi Gj ∈ G (積)とみなせる．この状態は，原型状態に備わっていた鏡映対称性が消失しているから，対称性が破れた状態である．まが与えられていて, 以下の性質を持つ演算を備えていればた，もし Γ1 モードが凍結するなら，これは図 2(c) に示す

G を群 (group) という.
(i) 結合律： (Gi Gj )Gk = Gi (Gj Gk ) for ∀Gi ,Gj ,Gk ∈ G(ii) 単位元の存在： E ∈ G が存在して, EGi = Gi E for∀Gi ∈ G(iii) 逆 元 の 存 在：∀Gi ∈ G に 対 し て, G−1
が 存 在 し,
i
−1
G−1
G
=
G
G
=
E
i
i
i
i
==========================
を満たしていることがわかる．つまり，集合 C1h は群(group) をなす．群元の個数 g（今の場合 g = 2）は群の位数 (order) と呼ばれる．群 Cs は，次回説明する 32 種の結晶点群 [6, 7, 8] のひとつである．

ように変位が反強的 (antiferroic) にそろった状態とみなせる．
この問題を，図 3 に示すように，はじめから 2 サイトにベクトル (今の場合は極性ベクトル) を配置する問題，ととらえることができる．このように描くと，電気双極子
モーメント（極性ベクトル）や磁気モーメント（軸性ベクトル）といった物理的なベクトル量を原子サイト上に並べていく問題（われわれが今後扱う問題）とのつながりがイ
メージしやすいだろう．

E
σ
第1表

E

σ

E

σ

σ E
群 C1h の積表．

第 1 表の積表のどの行もどの列も, それぞれ同一の元が 2 回現れることはない．これは群一般に成り立つ性質
で，組み換え定理 (rearrangement theorem) と呼ばれる．また，群 C1h の元は σ およびその積だけで表すことができる．この意味で，σ を C1h の生成元と呼ぶ．さ

図 2 (a) 原型状態, (b) Γ2 モードが凍結して対称性がらに，σ 2 = E, であるが，一般に有限群の任意の元 g に対破れた状態（変位が強的にそろった状態とみなせる）,

して，必ず g N = E, となる自然数 n が存在するはずであ(c) Γ1 モードが凍結して対称性が破れた状態（変位が反強的にそろった状態とみなせる）.

る（そうしないと群が閉じない）．このような最小の N を
元g の位数*3 という．今の場合，元 σ の位数は 2 ということになる．

2.1.2 対称性と群

2.1.3 全体表現

鏡映操作を引き続いて 2 回行う操作を σ ◦ σ のように書「群」は「操作」の集合である．操作は，具体的な基底をいて σ と σ の積演算を定義する．すると，Cs のすべての入れることによって初めて正方行列で表現され，解析の対元（といっても 2 つしかないが）について象となる．まず，全体表現の基底 (3) を使って対称操作をE ◦ E = E,

σ ◦ E = σ,

E ◦ σ = σ,表現しよう．*4σ ◦ σ = E,

今の場合の状態空間は 2 次元であるが，話を縛らないよ
うに基底として d 次元の正規直交基底 Γ = (|1i , · · · , |di) ,が確かめられる．この結果をE (E, σ) = (E, σ) ,(12a)σ (E, σ) = (σ, E) ,(12b)

を考えよう．閉包関係式∑di=1 |ii hi| = 1, を使うと，|ii*3 群の位数と紛らわしいので混同しないように注意されたい．

とまとめると（積演算の記号 ◦ は省略する），E と σ をどう*4 このように，「もとの群」に「n 次正方行列の群」を対応させたも組み合わせても，これ以外の操作は生じない．これを表にのを群の行列表現という．もっと正確に言うと，群 G から一般線形変換群GL(n, C) への準同型写像D を G の行列表現という．ここで，GL(n, C) とは複素数を成分とする正則な n 次正方行列全体の作る群である．D はつまり，ベクトル空間の 1 次変換である．
１次変換 D の作用するベクトル空間を表現空間という．また，行列の次元を表現の次元という．

まとめたものが第１表に示すような積表（multiplicationtable）である．つまり集合 Cs は，その元の積演算について閉じており，群の定義==========================
3

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両 辺 に 左 か ら D−1 (G)S −1 を か け る と ，D† (G)S =に対する対称操作 G は，

G |ii =d∑

S 2 D−1 (G)S −1 , さらに右から S −1 をかけると証明終わ|ji hj| G |ii ,り．今後，有限群の表現はつねにユニタリー行列と考えて

(13)

よい．

j=1

2.1.5 回転と置換
鏡映の表現行列 Dtotal (σ) を，()
0 1
Dtotal (σ) =⊗(−1) ,
1 0| {z }| {z } ベクトル回転 Rとなる．ここに現れた d × d の正方行列

DΓji (G) = hj| G |ii ,(14)が，基底 Γ による操作 G の表現行列 (の ji 成分) である．
話を全体表現 (Γ =total) に戻そう．まず，恒等操作のサイト置換 W

表現はもちろん単位行列で表され，(Dtotal (E) =

1
0

0
1

(18)

と因子分解してみよう．くくりだした R = −1 は，鏡映に),よって粒子の変位を表すベクトルが反転（180◦ 回転）す

(15)

ることに対応している．また，(である．表現行列の形は基底の選び方で決まる．添え字とW =して“total”を明記しているのは，これが基底（3）を使っ

0 1
1 0

)
,

(19)

た表現（全体表現）であることを忘れないようにするためは，鏡映によって粒子 1 と 2 のサイトが入れ替わることにである（ちょっとくどいが）．次に，鏡映操作については，

対応している．図 4 に示すように，これは対称操作を「ベσ |1i = − |2i ,より

σ |2i = − |1i ,(Dtotal (σ) =

−1
0

0
−1

クトル回転R」と「サイト置換W 」の直積に分解したこと(16)に対応する．この分解は，結晶中の原子サイトにベクトル
自由度をくくりつけて様々な対称操作を施す場合，議論の),見通しを大変よくしてくれる．

(17)

*5
である．

2.1.4 ユニタリ表現
群の位数 g が有限の群は有限群と呼ばれる．有限群（無

1

2

1

2

限群の場合でも，コンパクト群*6 については同様）の表現
は，必ずユニタリ行列 U (U U † = U † U = 1) で表すことができる．これを証明するには，表現 D に対して実正則行
列 S が必ず存在し，(SDS −1 )† = (SDS −1 )−1 ,
図3とできることを示せばよい．このとき，固有振動状態を決定する問題を，はじめから 2

サイトにベクトルを配置する問題ととらえることもでき

S 2 = g −1 ΣG D† (G)D(G),る．このとき，対称性と適合する揃い方として，強的なΓ2 配置と反強的な Γ1 配置のいずれかが許されること(ΣG はすべての群元にわたる和) を満たす S が所望のもになる．

のであることがわかる．なぜならD† (G)S 2 D(G)
=g
=g

−1

†

†

0

ΣG0 D (G)D (G )D(G )D(G)−1ΣG0 D† (G0 G)D(G0 G)

2.1.6 不変部分空間（16）からわかるように，全体表現の基底は，鏡映によって，|1i が |2i へ“飛び出して”しまう．同様に，|2i は |1i
へ飛び出してしまう．一方，基準座標の基底 |Γ1 i に対称
操作 {E, σ} を施すと

0

= g −1 ΣG00 D† (G00 )D(G00 ) = S 2 .

E |Γ1 i = + |Γ1 i ,*5 群 元 と 表 現 行 列 の 対 応 が 1 対 1 で あ る 表 現 は ，忠 実 な 表 現(faithful representation) と 呼 ば れ る ．今 の 場 合 ，E →Dtotal (E) , σ → Dtotal (σ) と 1 対 1 に対応しているので全σ |Γ1 i = + |Γ1 i ,となる．これを並べてひとまとめにして，

体表現は忠実である．
*6 群元を指定するパラメータの変域が有限な群(E, σ) |Γ1 i = (+1, +1) |Γ1 i ,4(20)

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物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）と書こう．基底 |Γ1 i はすべての対称操作（群元）の同時今の場合，基底が 1 次元なので表現行列は 1 × 1 であり，固有状態になっており，対応する固有値の組は (+1, +1)

成分がそのまま「対角要素の和」つまり，表現の指標と呼であることがわかる．Γ1 モードはすべての対称操作のもばれるものになっている．*7
今の場合，|Γ1 i も |Γ2 i も 1 次元であるが，2 次元以上とで不変なので，全対称 (totally symmetric) モードと呼ばれる．

の場合に拡張しておこう．既約表現 α に対応する不変部
分空間の次元を dα とし，その正規直交基底を Γiα , と表記しよう．既約表現 α の i 番目の基底ということである．

i = 1, · · · , dα であり，dα を表現 Γα の次元と呼ぶ．閉包
関係式
dα
∑

Γiα

Γiα = 1,

(24)

i=1

を使うと， Γiα に対する対称操作 G は，

G Γiα =dα∑ΓjαΓjα G Γiα ,

(25)

j=1

となる．ここに現れた，dα × dα の正方行列
図4

対称操作を「ベクトル回転 R」と「サイト置換 W 」

Dαji (G) = Γjα G Γiα ,の直積に分解する．

(26)

が，既約表現の基底 Γiα による対称操作 G の既約表現行同様に，基底 |Γ2 i については(E, σ) |Γ2 i = (+1, −1) |Γ2 i ,列である．
今の場合，既約表現は 1 次元だから表現行列は 1 × 1 つ(21)

まり 1 つの定数であり，添え字 i, j は不要である．具体的には，となる．（20），（21）からわかるように，|Γ1 i，|Γ2 i それぞれの方向のベクトルは，すべての対称操作に対して方向（direction）を変えない（その方向から飛び出さない）．|Γ2 i に σ を作用させると，方向は変わらないが
向きが反転する．しかし，いずれにせよ各々自分の棲D1 (E) = 1,D1 (σ) = 1,(27)

D2 (E) = 1,D2 (σ) = −1,(28)となる．以上で見た既約表現と全体表現の表現行列をまと息する空間を飛び出すことはない [図??(a)]．このことめると第 2 表のようになる．繰り返しになるが，1 次元既を，|Γ1 i，|Γ2 i はそれぞれ独立な 1 次元不変部分空間

約表現行列は固有値と一致する．

（invariant subspace）あるいは既約表現空間 (spaceof irreducible representation) を張る，という．また，|Γ1 i，|Γ2 i は対称性適合基底 (symmetry-adaptedbasis) であるという．この様子を図??(b) にまとめる．
表現論の基本的な動機は，「できるだけ低次元の不変部分空間を探り当てよ」ということである．これを，「すべEσ

既約表現 Γ1

D1 (E) = +1D1 (σ) = +1

既約表現 Γ2

D2 (E) = +1D2 (σ) = −1

全体表現 Γt

Dtotal (E)
(
)
1 0

D
(σ)
)
( total0 −1ての対称操作の（できるだけ低次元の）同時固有基底を探=り当てよ」と言い換えても同じことである．

第2表

2.1.7 既約表現
不変部分空間の基底を使った表現を既約表現 (irre-0

2.1.8 既約分解

ducible representation，irreps. と略記される) と呼ぶ．(20) に左から hΓ1 | をかけると，(hΓ1 | E |Γ1 i , hΓ1 | σ |Γ1 i) = (+1, +1) ,=1−1
群 Cs の表現行列．
0

元をたどれば，座標変換 (8) は，ユニタリー行列

1
U=√
2

(22)

(

1 −1
1 1

)
,

(29)

となる．同様に，(hΓ2 | E |Γ2 i , hΓ2 | σ |Γ2 i) = (+1, −1) .

*7 固有値がそのまま指標と一致するのは，今の場合の表現が 1 次元

(23)

だからである.

5

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による座標変換

2.1.9 指標
(

x̄1
x̄2

)

(
=U

x1
x2

異なる表現をどうやって区別したらよいだろう．ここ),で，「相似変換で結ばれた D と U DU −1 は区別できない同(30)

じ表現である」という事実に注目しよう．これより，表現を区別する指標としては相似変換で変わらない量が適切でである．これに対応して，上でやったことは非対角だった

ある．この目的に最適なのが，表現行列 Dα (G) の対角和

Dtotal (σ) を，U Dtotal (σ) U

−1

(
=

1
0

0
−1

)
,

χα (G) = Tr [Dα (G)] =(31)

である．これを表現行列の指標（index）と呼ぶ．指標を区別するには，どの群元（G）のどの表現 (α) に対するも

V= 32 kx̄21 + 12 kx̄22 と対角的にほぐせる．(30) に対応して，V と V̄ は相似変換 V̄ = U V U −1 で結びついている．
表 現 と し て Dtotal (σ) の 代 わ り に こ れ と 相 似 な
U Dtotal (σ) U −1 を使うということは，基底を回転させのかを指定する必要がある．第 3 表に，群 C1h の指標をまとめる．今の場合，既約表現がすべて 1 次元なので，（繰り返しになるが）指標はそのまま固有値と一致する．つまり，(20), (21) に現れた固有値の並びがそのまま第 3 表のた だ け の 話 で あ っ て ，何 も 新 し い こ と は し て い な い ．

第 2 行，第 3 行に表れている．

U Dtotal (σ) U −1 は依然として全体表現のままである．しかし，U Dtotal (σ) U −1 は対角行列である．2 × 2 行列で表現された鏡映操作が 1 × 1 行列ふたつに分解できたのである．これを，「2 次元の全体表現 Γtotal は可約 (reducible)
で，1 次元の既約 Γ1 , Γ2 の直和 (direct sum) に既約分
解 (irreducible decomposition) された」と言い表し，

Eσ

既約表現 Γ1

χ1 (E) = +1

χ1 (σ) = +1

既約表現 Γ2χ2 (E) = +1

χ2 (σ) = −1

全体表現 Γtotal χtotal (E) = 2 χtotal (σ) = 0
第 3 表 群 C1h の指標．

(32)

2.1.10 既約表現の直交関係（123）で，群元を並べてベクトルのようにと書く．全体座標 x1 ，x2 で表現された 2 次元の世界は，
実は必要以上の情報が“ダブついた”空間で，振動モードは

Cs = (E, σ) ,もっとスリムで無駄のない 1 次元座標 x̄1 と x̄2 で分類し以上を一般化し，「U による相似変換によって，D はこれ以上対角化不可能なブロック行列 D1 , D2 , · · · にブロック対角化された」という．もちろん，今の場合は「1 × 1
行列ふたつ」というとても簡単な結果になるが，一般に

0
0

0

0

..





(36a)

D2 = (D2 (E), D2 (σ)) ,(36b)

D∗α ·Dβ = gδαβ*8 この状況を，表現行列の形として
ない．

0
D2

D1 = (D1 (E), D1 (σ)) ,と書こう．すると，既約表現についての直交関係

D1 , D2 , · · · のすべてが 1 × 1 まで次元落ちするとは限ら

D1
 0
−1
D → U DU = (35)と書いた．これにしたがって，第 2 表の既約表現行列をきれることが発覚した，ということである．

Dαii (G)i=1と 対 角 化 し た こ と に 対 応 す る ．基 準 座 標 を 使 え ばΓtotal = Γ1 + Γ2 ,

dα
∑

(37)

が成り立っていることが見てわかる（g = 2 は群の位数）．
これを

(33)

∑

.

∗

hΓα | G |Γα i hΓβ | G |Γβ i = gδαβ

(38)

G

と書き，可約な表現行列 D が既約な表現行列 D1 , D2 , · · ·と書いても同じことである．和の直和

D = D 1 + D2 + · · ·∑はすべての群元にわGたってとる．直交関係 (37) は，表現が既約の場合だけ成

(34)

り立つ．
に分解できたという．

2.1.11 指標の直交関係
また，第 3 表の指標を χ1 = (+1, +1), χ2 = (+1, −1) ,と書こう．すると，指標についての直交関係*8 既約表現として 2 次元以上のものが現れるのは，位数が 6 以上の群である．これが，ほとんどの群論の本で位数 6 の群が例に使われる理由である.

χ∗α · χβ = gδαβ ,6(39)

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が成り立っていることが見てわかる．α = β ならば
2|χα | = g,

2.1.14 指標による既約分解
指標は表現の顔 である. 指標のリストを見るだけで，そ(40)の表現が可約か既約か，可約ならどんな既約表現に分解できるかを，数字の + − ×÷ だけで知ることができるマジッとなる．同じことであるが，(39) をきちんと書くと∑
χα (G)∗ χβ (G) = gδαβGとなる．α = β ならば∑

ク公式がある．（32）のように，可約な表現が(41)

Γ=n1 Γ1 + n2 Γ2 + · · · =2|χα (G)| = g となる．

∑

nα Γα ,

(46)

α

G

2.1.12 大直交定理（GOT）
実は，(37), (39) は大直交定理 (Great Orthogonality
Theorem=GOT) と呼ばれる表現論の最重要定理を 1次元の場合について示したものになっている．*9 一般に dα
次元の既約表現を考え，(36a)，(36b) を拡張して
( ij
)
ij
ij
Dij
(42)
α = Dα (G1 ), Dα (G2 ), · · · , Dα (Gg ) ,と簡約されたとする．ここで，nα は既約表現 Γα が含まと書こう．すると，(37) はと分解できることと等価である．

gkl
δαβ δik δjlDij∗
α ·Dβ =
dα

れる回数である．このことは，可約な表現行列 DΓ (G)[たとえば (14)] が既約な表現行列 DΓα (G)[たとえば (26)] の直和として

DΓ (G) =Γiα G Γjα∗GDχΓ (G) =∑nα χα (G),

(48)

α

E
g
Γkβ G Γlβ =δαβ δik δjldαとなる．これがすべての群元 G にわたって成り立つから，(44)

ベクトル表示でχΓ =で，生き残る成分だけ拾い出すと Dij
α

2

=

g
,（右辺が
dα

χ∗α · χΓ =単になる．あるいは

=

G

g
,
dα

nχα ,

(49)

と書ける．ここで，指標の直交関係（39）を使うと行列要素のインデックス i, j によらないことに注意）と簡2∑αとれば，既約表現の指標について (41) が得られる．(44)Γiα G Γjα

(47)

さて，nα を決定しよう．（47）の両辺の指標をとれば，(43)と書いても同じことである．i = j, k = l として対角和を∑

nα DΓα (G) ,αと一般化される．これを

∑

∑

∑

nβ χ∗α · χβ = gnα ,

(50)

1 ∗
χ ·χ
g α Γ

(51)

β

(45)
が得られる．つまり，

と書ける．

nα =

2.1.13 既約表現の次元異なる既約表現の次元数の 2 乗の和が群の位数に等しである．これがマジック公式である．あるいはい，つまり d21 + d22 + · · · + d2N = g が成り立つことが導け
る．第 2 表を見ると，群 C1h の場合 1 次元表現が二つあnα =り，12 + 12 = 2 が成り立っている．

1∑∗[χα (G)] χΓ (G)
g

(52)

G

ところで，群 G の任意の元 Gi , Gj が交換する，つまりGi Gj = Gj Gi , が成り立つとき，G を可換群（またはアー
ベル (Abel) 群）と呼ぶ．可換群の既約表現はすべて 1 次
元である．可換でない群は，2 次元以上の既約表現を少なと書いても同じことである．ここで，「ある既約表現が何回か現れる」というのがどういうことか説明しておく．たとえば既約表現 Γ2 は，指標 1 と −1 で指定される．では，くもひとつは持つ．

これとまったく同じ指標の組を持つ（つまり同じ既約表現を作る）別の基底はないだろうか？今の場合，粒子は一方*9 この証明には，シューアの補題を使う．補題 1：Dα (G) が既約

向にしか運動できないとしているので，このような可能性

表現で，行列 A がすべての G について Dα (G) と交換するな
らば A = λE （単位行列に比例）；補題 2：ふたつの既約表現
Dα (G)，Dβ (G) と dα × dβ 行列 A があり，すべての G について Dα (G) A = ADβ (G) が成り立つならば A = 0 であるか，
さもなくばこれらの表現は同値 (α = β)．表現が既約であるという事実はシューアの補題を通してビルトインされる．

はない．しかし，たとえば水分子の振動の場合，まったく同じ指標の組を持つが振動方向の異なる固有モードが存在できる．このような場合，ひとつの既約表現が複数回現れることになる．

7

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第 3 表の数値を公式 (52) に当てはめてみよう．すると，となる．こよれり，1{χΓ1 (E)χΓtotal (E) + χΓ1 (σ)χΓtotal (σ)} Γ1
21+ {χΓ2 (E)χΓtotal (E) + χΓ2 (σ)χΓtotal (σ)} Γ22
1
1= (2 × 1 + 0 × 1)Γ1 + (2 × 1 + 0 × (−1))Γ2
2
2= Γ 1 + Γ2 ,

Γtotal =

Pα =

1∑
∗
hΓα | G |Γα i G,
g

(54)

G

が求める射影演算子であることがわかる．
この演算子を今の例題にあてはめよう．既約表現 Γ1 の射影演算子は，(54) よりとなって（32）が確かめられる．

1(χ1 (E) E + χ1 (σ) σ)
2
1= (E + σ)2

P1 =2.1.15 射影演算子
考えている空間（表現空間）の既約分解は完了した．以上の議論では，既約表現の基底 (6) がとっくに求まっているわけである．しかし，一般には具体的な基底をどう入れである．いま，試行基底として全体表現の基底 |1i をとてやれば不変部分空間が張れるか分からない（これを明らると，かにすることこそが表現論の目的でなる）．そこで，適当

P1 |1i =なベクトル |vi を試行的（あてずっぽう）にとり，これを既約表現 Γα の基底 |Γα i に射影する処方があれば大変便

1(|1i − |2i) ,2となって，確かに (6) で導入した基底 |Γ1 i と同じ方向の利である．
ふたたび，既約表現がすべて 1 次元の場合から始めよ

ベクトルが得られる．

う．まず，|vi をすべての既約表現の基底の線形結合と
して

|vi =

∑

今度は，試行基底として a |1i + b |2i の形をとってみよう．すると，|Γβ i hΓβ |vi ,(53)
P1 (a |1i + b |2i)βab(E + σ) |1i + (E + σ) |2i22ab= (|1i − |2i) + (|2i − |1i)
2
2
a−b
=
(|1i − |2i) ,2と展開し，|vi から |Γα i だけ取り出すことを考える．これ=には，異なる既約表現の間の直交関係を活用すればよい．
（44）は

∑

∗

hΓα | G |Γα i hΓβ | G |Γβ i = gδαβ ,Gとなってやはり |Γ1 i と同じ方向のベクトルが得られる．

であった (1 次元を考えているので dα = 1) が，これをにらんで∑

このように，あてずっぽうの試行基底に射影演算子を作用させることで，取り出したい既約表現の基底が手に入る．

∗

hΓα | G |Γα i G,

dα 次元既約表現の場合の射影演算子を求めておこう．

G

この場合，既約表現 Γα の基底はという演算子をつくってみよう．これを |vi に作用させ
ると

∑
G

=

∑∑

hΓα | G |Γα i G |Γβ i hΓβ |vi

G

|vi =

∗

hΓα | G |Γα i |Γβ i hΓβ |G |Γβ i hΓβ |vi| {z }
G∑∑βと dα 個ある．このとき，任意のベクトルは
∗

∑∑
β

=

(55)

∗

hΓα | G |Γα i G |viβ=(j = 1, · · · , dα ),

Γjα

dβ
∑∑
β

Γlβ

Γlβ |v ,

(56)

l=1

挿入

と展開できる．このとき，基底 Γiα を取り出す射影演算∗hΓα | G |Γα i hΓβ | G |Γβ i hΓβ |vi |Γβ i

G

|

{z

子は

}

=gδαβ

Pαi =

= g hΓα |vi |Γα i ,dα ∑ i∗Γα G Γjα G
g
G

8

(57)

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で与えられる．証明は以下の通り．

dα ∑ i∗Γα G Γjα G |vi
g

(a)

G

l
∑∑
dα ∑ i∗Γα G Γjα G
Γlβ
=
g

d

G

dα ∑ i∗=Γα G ΓjαgβΓlβ |v

l=1

G

×

dβ dβ
∑
∑∑
β

Γm
β

l
Γm
β G ΓβΓlβ |v

l=1 m=1dα ∑ ∑ ∑g
β l=1 m=1∑∗l×Γiα G ΓjαΓm
β G Γβ
dβ

dβ

(b)

=

G

{z
g
=
δαβ δim δjldα|= Γjα |v

Γlβ |v

Γm
β

}

Γiα .

よって Pαi |vi = Γjα |v

Γiα が示せた．以上で，表現論の基礎をだいたい説明したことになる．
だいたい，といったのはここまでは可換群である Cs を

図 5 (a) 点群 C3v の対称性を持つ結合ばね系．(b)C3v

例にとって説明してきたことで顔を出さなかったことがあの対称操作．

るからだ．そこで，非可換群の例として正三角形の対称性である C3v を使って群論の用語を簡単に整理する．既約表現に関する一般公式や射影演算子などは，非可換群の場合も問題なく使える．

④①

2.2 非可換群 C3v
2.2.1 群 C3v と表現
図 5(a) のように，質量 m の３個の物体をばね定数 k の⑤②

ばねでつないだ結合ばね系を考えよう．

⑥③

対称要素を図 5(b) に示す．C3 は 2π/3 回転，σi （i =1, 2, 3）は鏡映である．これが点群 C3v{}
C3v = E, C3 , C3−1 , σ1 , σ2 , σ3

図 6 C3v による一般点の再生．

(58)

である．図 6 のように対称操作によって一般点の動きを追う．g1 = E, g2 = C3 , g3 = C3−1 , g4 = σ1 , g5 = σ2 , g6 =σ3 ．とすると，例えば g2 によって 1 → 2 と移る．これよりこうして点群 C3v の積表が図 7 のように得られる．たとえば

σ2 ◦ σ1 = g5 ◦ g4 = g3 = C3−1
σ1 ◦ σ2 = g4 ◦ g5 = g2 = C3なのでこれは非可換群である．正三角形，正方形，正六角形といった 3 回以上の回転を含む群はこのように非可換に

図7

なる．

9

点群 C3v の積表．

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2.2.2 類構造
図 7 で，マルを付けた σ1 に注意すると σ1 ◦ C3 = σ2 =−1
C3 ◦ σ1 が読み取れる．両辺に左から σ1−1 を作用させる

2.2.4 剰余類と剰余類分解
部分群 H = {h1 , h2 , · · · } ⊆ G を用意する．このとき，
G のひとつの元 g について（積をとる）と，

gH = {gh1 , gh2 , · · · }σ1 ◦ C3 ◦ σ1−1 = C3−1を，g を代表元（coset representative）とする H の左剰が得られる．一般に，群 G の二つの元 g1 ，g2 が 3 つ目の元 g によってg ◦ g1 ◦ g −1 = g2

余類 (left coset) と呼ぶ．組み換え定理 (rearrangement

theorem) によって，これらの元はすべて異なる．

(59)

同様に

で結ばれるとき，g1 は g2 に共役であるという．C3 と C3−1

gH = {h1 g, h2 g, · · · }は σ1 に関して共役であるが，同様に(64)

H の右剰余類 (right coset) と呼ぶ．
C3v の真部分群として {E, σ1 } を選ぼう．すると左剰余

σ2 ◦ C3 ◦ σ2−1 = C3−1
σ3 ◦ C3 ◦ σ3−1 = C3−1類の集合としてC3 ◦ C3 ◦ C3−1 = C3

E {E, σ1 } = {E, σ1 }C3−1 ◦ C3 ◦ C3 = C3C3 {E, σ1 } = {C3 , σ3 }{}C3−1 {E, σ1 } = C3−1 , σ2となるので，C3 と C3−1 は C3v 群のすべての群に関して共役である．同じように，σ1 , σ2 , σ3 も全て共役である．こ（ここまでで群元がすべて現れたことに注意）および

うして，C3v 群を{}{E} , C3 , C3−1 , {σ1 , σ2 , σ3 }σ1 {E, σ1 } = {E, σ1 }{}σ2 {E, σ1 } = σ2 , C3−1という 3 つの共役類（conjugacy classes）に類別するこ

σ3 {E, σ1 } = {σ3 , C3 }とができる．元 a の共役類はCl(a) = {b ∈ G|g ∈ G, b = gag −1 }(63)である．つまり

(60)

{
{
}
}
{gH|g ∈ G} = {E, σ1 } , σ2 , C3−1 , {σ3 , C3 }2.2.3 部分群，真部分群，正規部分群(65)

群論の言葉をもう少し整理しておく．
が得られる．これを• H ⊆ G なら H は G の部分群である．
• E と G 自身は自明な部分群である．
• 非自明な部分群を真部分群（proper subgroup）と呼ぶ．C3v は以下の真部分群を持つ：{}{E, σ1 } , {E, σ2 } , {E, σ3 } , E, C3 , C3−1
• Hが

G = H + C3 H + C3−1 H
あるいはG = H + σ2 H + σ3 Hと分解して書くことができる．これを「H を法とする剰

gHg −1 = H

for all g ∈ G

余類分解」と呼ぶ．有限群は必ず有限項の剰余類分解が可

(61)

能である．

を満たすとき，H を不変部分群 (invariant sub-

一方右剰余類はgroup) または正規部分群 (normal subgroup) と{{}}{Hg|g ∈ G} = {E, σ1 } , {σ2 , C3 } , σ3 , C3−1

呼び，

HEG

(62)

(66)

となって両者一致しない．このとき，剰余類の集合は群をと表す．C3v の不変部分群はなさない．

だけである．こは C3 と呼ばれる点群に他ならない．

2.2.5 商群
N が G の不変部分群である場合，左右剰余類は一致す
る．なぜなら gN = N g が成り立つから，ふたつの剰余類
gN ，hN について{}
N = E, C3 , C3−1

不変部分群は E と共役類を合わせてひとまとまりの真部分群になっている．σ1 , σ2 , σ3 は同じ類に属する

gN hN = ghN N = ghNのに異なる真部分群に分かれてしまっている．

10

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

が成り立ち，剰余類自体の間に積演算を定義できる．これ軌跡を描く．*13 点群操作の場合，一般点の軌跡は不動点のより，剰余類全体は群をなす．この，この群を G の N に

周りで閉じた軌道を描く．空間群の文脈 [11] では，この閉よる剰余類群または商群（quotient group）または因子

じた軌道をワイコフ (Wyckoﬀ ) 軌道と呼ぶ．

群（factor group）といい G/N と表す．正規部分群を

第 8 図 (a) に，点群 C4 [対称要素として 1 本の 4 回軸だ法とする剰余類は左右等しいので区別する必要はない．

けを含む点群] によるモチーフの再生と軌道の様子を示す．

{}
C3v の不変部分群 C3 = E, C3 , C3−1 を法とする剰余モチーフを一般点に置く限り，その形は何でもよい．一類分解は方，モチーフが対称要素上に置かれた場合，モチーフ自体が対称要素の持つ対称性を満たす必要がある．このような

C3v = C3 + C3 σ1

位置は特殊位置(special point) と呼ばれる．第 8 図 (a) のであり，C3 と C3 σ1 は実際に群をなす（下表）．

C3

C3

C3 σ1

C3

C3 σ1

ように，モチーフとしてそれ自身は対称性を持たない（つまりカイラル構造を持つ）立体を使うとこの点がよく理解できるだろう．例えば第 8 図 (a) で，モチーフを 4 回軸上に置くと，モチーフ自身が“自転”してしまうので 4 回対称C3 σ1 C3 σ1 C3
第 4 表 C3v の剰余類群 C3v /C3 の積表．

性とかみ合わない．実際のモチーフとして，例えば金属イ
オンにカイラル構造を持つ分子団が配位した原子集団を考えるとよい [第 8 図 (b)]．

つまりC3v /C3 = {C3 , C3 σ1 }単位胞の基本格子ベクトルを a1 ，a2 ，a3 とする．この(67)とき，基本並進ベクトルである．商群 G/N は G を粗視化した群であるといえ

Tn = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 ,

る．*10

(69)

(n1 ，n2 ，n3 は整数) で与えられる無限個の点の集合が3 結晶点群

空間格子 (space lattice) を形成する．これによって，第8 図 (c) に示すように単位胞が周期分布する．これが結晶

ここでは，後の議論に必要となる範囲で点群について整である．点群操作と並進を組み合わせて出来上がるのが結理しておく．*11

晶空間群である．空間群の場合，並進操作が加わるため一

3.1 結晶の成り立ち

般点の軌跡は閉じない．これが結晶軌道(crystallographic《結晶対称性》という言い方には二重の意味がある．ひorbits) である．*14

とつは，単位胞内部での原子分布が持つ対称性，もうひと

純粋回転と非純粋回転の組み合わせ (これらは有限個)

つは単位胞の繰り返し構造が持つ並進対称性である．対称と並進操作 (無限個) から，空間格子の持つ対称性として14 種類 のブラベー格子が生成される．ブラベー格子は，回転軸の次数によって 7 種類 の結晶系(hodohedral point
groups) に分類できる．*15 これらは，それぞれを特徴づけ
る回転軸によって三斜晶系 (triclinic, 1 回軸 1 本), 単斜晶
系 (monoclinic, 2 回軸 1 本)，斜方晶系 (orthorhombic, 2
回軸 3 本)，正方晶系（tetragonal，4 回軸 1 本），三方晶系 (trigonal，3 回軸１本)，六方晶系 (hexagonal，6 回軸1 本)，立方晶系（cubic，3 回軸 3 本）に分類できる．

要素上にない位置 [一般点(general point)] に，構造体（モチーフ）を置き，これに対称操作を施す．すると，対称操作によって一般点が次々と再生されて等価点*12 が生成され，モチーフは不動点の周りで“公転”してグルグル閉じた*10 数学的補足．群 G から K への写像 f: G −→ K は，群元g ∈ G に対する操作 k = f (g) ∈ K として定義される．いま，g1 , g2 ∈ G の積演算 g1 g2 = g3 に対して f (g1 )f (g2 ) =f (g1 g2 ) = f (g3 ) が成り立つ（積の写像が保存する）とき，f を準同型写像（homomorphism）という．さらに準同型写像 f が一対一 (one-to-one) である場合，f を同型写像（isomorphism）*13 このように，対称操作による等価点の集合を軌道（orbit）と呼ぶ．

といい，

G∼
=K

群 G による点 r = (x, y, z) の軌道 Gr は，Gr = {gr|g ∈ G} ということになる．再生される一般点の個数が，対応する群の位数に等しいことは重要な事実である．
*14 数学的補足：群 G が集合 X に作用するとき，g ∈ G によって変わらない（固定される）X の元の総数を |X g | とする．このとき，
1 P
g
軌道の数は |G|g∈G |X | で与えられる．これを Burnside’s(68)と 書 く ．こ の と き ，「 群 G か ら K へ の 準 同 型 写 像 f に
対 し て ，(1) f の 核 Kerf は G の 不 変 部 分 群 で あ り ，(2)G/Kerf ∼= K で あ る ．」こ れ を 以 下 の 準 同 型 定 理（fundamental theorem on homomorphisms）と呼ぶ．ここでKerf = {g ∈ G|f (g) = K の単位元 } .
*11 点群の記号としてはシェーンフリス (Schöenflies) 記号と国際記号がどちらもよく使われる．両者の対応については，文献 9) の付
録 A を参照されたい．
*12 対称操作によって互いに映される二つの点は等価であるという．
対称性の観点から等価ということである．

lemma と呼ぶ．Burnside は『有限群論』（1897 年）でこの定理を述べているが，Frobenius 1887 帰している（それ以前にも発見者がいる）．このため，the lemma that is not Burnside’s と称されることがある．

*15 逆に，7 晶系の単純格子に可能な点（体心，面心，底心）を付け加えるとブラベー格子ができる．

11

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）(a)

ない．これより，「並進と両立する回転の指標は整数であ(b)る」ことがわかる．(72) より，−1 ≤ χ1 (α) ≤ 3 であるから，χ1 (α) が取りえる整数値は −1, 0, 1, 2, 3 の 5 通り に限られる．対応する回転軸の次数はそれぞれ 2, 3, 4, 6, 1
である．

3.2 32 点群の導出
32 点群は
巡回 (5)







2
面体 (4)

純粋回転 (11)

正四面体
(1)


点群 (32)

正八面体
(1)


{


反転心あり
(11)


 非純粋回転 (21)
反転心なし (10)(c)

と分類できる．括弧内の数字がそのカテゴリーに属する点群の個数である．これについて以下に述べる．

図8

3.2.1 純粋回転点群§6.1 で見たように，3 次元実直交行列には純粋回転(proper rotation) と，非純粋回転 (improper rotation) が(a) 単位胞内部で，4 回回転軸によってモチーフ

ある．非純粋回転には反転と鏡映が含まれる．対称要素とが再生されてひとつのユニット構造が構成される様子．

して純粋回転軸だけを含む点群が純粋回転点群である．ま(b) カイラル構造を持つモチーフの例．(c) 結晶中で，並*17 2 回軸，3 回軸，4 回軸，6 回軸のみをず 1 本の 1 回軸，進操作によって単位胞が再生される．

持つ巡回群*18 がある．これらを，国際記号 [シェーンフリ
ス記号] でそれぞれ C1 [1]，C2 [2]，C3 [3]，C4 [4]，C6 [6] と書
ここに現れる 1，2, 3, 4, 6 という回転軸の次数は，空間

く．次に，これらの軸 (主軸) と直交する回転軸 (副軸) ををすき間なく敷き詰めることができるユニット構造に許さ1 本付加すると，自動的 に新たな回転軸が生成されていくれる回転軸の次数を表している．角度 2π/n の回転操作を（オイラーの角定理）．2 回, 3 回, 4 回, 6 回軸を主軸とし，Cn で表し，対応する対称要素 (回転軸) を n 回軸と呼ぶ．
極軸の周りの角度 α 回転を表わす行列の指標は直交する 2 回軸を付加して得られるのが 2 面体群であり，である．*16 基本並進 (69) は，整数を成分とするベクトル

D2 [222]，D3 [32]，D4 [422]，D6 [622] という 4 種がある．
さらに，正四面体を不変に保つ正四面体群T [23]，正八面体を不変に保つ正八面体群O[432] がある．ここに挙げた
11 種類 が純粋回転点群である．

n = (n1 , n2 , n3 ) であらわすことができる．このとき，こ3.2.2 非純粋回転点群

χ1 (α) = 1 + 2 cos α,(70)

純粋回転点群から出発して，対称要素として反転心と鏡れを回転した Rα n の各成分もすべて整数でなくてはなら

面をつけ加えていくと 32 点群が系統的に得られる．ただ*16 この結果は，角運動量の量子論 [?] から導くこともできる．自し，他の要素を付加することによっては得られない独立な

由回転群（球対称群）の既約表現は角運動量 ` でラベルされ，
Γ` と書かれる．Γ` の次元は 2` + 1 であり，縮退基底関数は
磁気量子数 m でラベルできる．Γ` の基底関数が球面調和関数
Y`m (θ, φ) である．極軸の周りの角度 α の回転 Rα を考えると，
Rα Y`m (θ, φ) = eimα Y`m (θ, φ) なので，角度 α の自由回転の指標はsin[(` + 12 )α],χ` (α) = Σ``=−m eimα =sin( 12 α)点群として，4 回回反転軸 1 本からなる点群 S4 [4̄] がある．
このようにして，巡回群から得られる点群：

C1
C2
C3
C4
C6

(71)

である．` = 1 の既約表現空間は 3 次元であり，空間ベクトルの棲む空間と等価である．これより，3 次元ベクトルに自由回転を施した場合の指標として

sin( 32 α)
χ1 (α) == 1 + 2 cos α,sin( 12 α)

i
Ci
C2h
C3i
C4h
C6h

σh
Cs
(C2h )
C3h(C4h )(C6h )

σv
(Cs )
C2v
C3v
C4v
C6v

(73)

*17 「1 回回転」は恒等変換である．つまり，1 回軸しか持たない点群

C1 は対称要素をひとつも持たない．
*18 位数 n の群で，r n = 1 となる r のべキ 1，r ，· · · ，r n−1 からな(72)

る群を巡回群という．Cn からなる群 Cn は位数 n の巡回群である．巡回群は可換群あり，その既約表現はすべて 1 次元である．

が得られる．

12

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

が整理できる．ここで，第 1 列が巡回群，第１行がこれら

分子軌道波動関数は 6 次の巡回群の既約表現として振るに付け加える対称要素である．また，重複して現れた点群舞う．このため，6 つの準位が現れる．これら 6 準位は 1

は括弧でくくった．σh は水平鏡面（参照球の赤道面内を重，2 重，2 重,1 重に縮退した準位にわかれる 1 から初め含む鏡面），σv は垂直鏡面（参照球の極軸を含む鏡面），iて単位円を 6 分割すると複素共役なペアが 2 組現れる．2は反転心である．例えば，点群 C2 に水平鏡面 σh を付加

重縮退準位が 2 ペア現れるのはこのためである．

すると点群 C2h [2/m] が得られる．

指標の直交関係を使うと，C3 の既約表現と指標：

2 面体群では，水平鏡面，垂直鏡面に加えて対角鏡面（参

C3
Γ1
Γ2
Γ∗2

照球の極軸を含み，赤道面内の隣り合う回転軸のまんなかに割り込む鏡面）による対称操作 σd が新たに加わる．このようにして，2 面体群から得られる点群：

i
D2h
D3d
D4h
D6h

D2
D3
D4
D6

σ h , σv
(D2h )
D3h(D4h )(D6h )σd
D2d(D3d )××(77)

なので，ひとまとめにして複素共役表現と呼ばれる．「ひとまとめにする」とは，Γ2 + Γ∗2 をひとつの物理的既約表
現とみなせということである．
この事情の背景には時間反転対称性がある．量子力学に

正八面体群 O から得られる点群：

T
O

C32
1
ε∗
ε

ε∗ = 0 の関係を使った．全対称表現 Γ1 のほかに，複素1 次元表現Γ2 と Γ∗2 が現れた．これらは互いに複素共役(74)

ると点群 D2d [4̄2m] が得られる．最後に，正四面体群 T とσh , σv
(Th )
(Oh )

C3
1
ε
ε∗

が求められる．ここで，ε = e2πi/n である．また，1 + ε +が整理できる．例えば，点群 D2 [222] に対角鏡面を付加す

i
Th
Oh

E
1
1
1

おいて，磁場が存在しない孤立系は時間反転対称性を持

σd
Td
−

つ．このとき，時間に依存するシュレーディンガー方程式i~∂ψ/∂t = Hψ の両辺のエルミート共役をとると，ハミ(75)

ルトニアン H がエルミートなので i~∂ψ ∗ /∂ (−t) = Hψ ∗が得られる．これより，時間変数の符号を t → −t と反転が整理できる．

させた方程式は ψ ∗ を解として持つ．つまり，ψ と ψ ∗ は3.3 点群の既約表現
32 点群についての詳細な情報は，[7] などを参照してい

時間反転によるペアをみなせ，定常状態でのエネルギー固有値は縮退する．これが時間反転対称性である．

ただくとして，今後の議論に役立つ最小限の事柄をまとめところで，Wigner の定理によれば，群 G0 がハミルトておく．複素共役表現，点群の類構造，反転心の役割など

ニアン H を不変に保つ群 (つまり H の群) であるとき，Hがすべて登場する (なかでももっとも単純な) 系列として，の固有状態は群 G0 の既約表現で分類できる．これより，3 回軸を含む点群を取り上げる．

ある既約表現とそれに複素共役な既約表現が同値でないな

3.3.1 点群 C3 ：複素共役表現と時間反転対称性}{
群元は E, C3 , C32 であり，可換群なので既約表現はす
べて 1 次元である (§4.3.13 参照)．一般に，n 回回転 Cnn
は位数 n の巡回群の生成元 (§4.3.1) であり，(Cn ) = Eを満たす．これより，Cn の指標はらば，これらは一緒にして次元を倍にした物理的既約表現nとみなす必要がある．
複素共役表現が互いに同値か異値かを判定する方法がある．これがフロベニウス-シューア (Frobenius-Schur)の判定条件：1∑χΓ (G2 )gG +1 ⇒ ΓとΓ∗ は同値な実表現−1 ⇒ ΓとΓ∗ は同値な複素表現=
0 ⇒ ΓとΓ∗ は異値nχ [(Cn ) ] = 1 ⇒ [χ (Cn )] = 1,を満たす．つまり，χ (Cn ) は 1 の n 乗根のひとつとして，()
2π
χj (Cn ) = exp i j ,n
j = 0, 1, 2, · · · , n − 1,

(76)

(78)

である．これによれば，（77）の Γ2 表現について{ ( )}2 ]1[22{χ (E)} + {χ (C3 )} + χ C32
3)
1(=
1 + ε2 + ε∗2 = 0,3と定まる. 第??図に示すように，(76) で表される n 個の元は，複素平面上の単位円を 1 から始めて n 分割する点として分布する．
この捉え方は，周期的境界条件を持つ 1 次元格子上の電子波動関数 (巡回群の既約表現の基底になる) を求める問が得られる．よって Γ2 と Γ∗2 は異値あることが納得で題にそのまま応用できる．たとえばベンゼン環のπ電子の

きる．

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3.3.2 点群 D3 [32]：類構造
2 面体群であり，ステレオ投影図はで与えられる．この群は，主軸の 3 回軸と直交する 2 回軸 C2a を 1 本付け加えるだけで構成できる．図（??）から明らかなように，3
回軸 C3 による回転操作によって，2 回軸 C2a から C2b ，
C2c の 2 本が自動生成されることがわかる．対称要素と対称操作を同じ記号であらわすことにすると，この自動生成は3.3.3 点群 D3d [3̄m]：反転心の付加
この点群は，D3 と Ci との直積 D3 ⊗ Ci として得られ，
D3d = D3 + iD3 ,と分解（剰余類分解）できる．これより，D3d の位数はD3 の位数の 2 倍の 12 になる．i の固有値は +1 か −1 い
ずれかなので，iD3 の指標は

C2a 軸を 120◦ 回転：C3 C2a C3−1 = C2c ,χΓ (iD3 ) = ±χΓ (D3 ),などと表わせる．つまり C2a ,C2b ,C2c は互い共役である．
そこで C = {C2a , C2b , C2c } をひとかたまりの組にまとめである．符号 ± は，空間反転 i に対して偶 (gerade) か
奇 (ungerade) かに対応している．これより，表 (79) をると，C は D3 の任意の対称操作について自分自身と共役である，つまり
−1

GCG

= C,

Γ

(80)

と表わすと，D3d の指標：であることがわかる．このような集合 C は共役類 (class)と呼ばれる．点群 D3 の場合，異なる共役類は 3 種類あっ

{

D3
χ

}

D3d
Γg
Γu

て，{E}， C3 , C32 ，{C2a , C2b , C2c } である．
定義により，異なる共役類に属する元が対称操作によっ

D3
χ
χ

iD3
χ
−χ

(81)

て移り合うことはあり得ない．たとえば，C3 と C2a を結が得られる．

び付ける対称要素はない．こう考えると，共役類というのは対称操作で移りあう者同士を組にしたものである．以上

4 結晶空間群を踏まえて点群 D3 の指標：

D3
Γ1 (A1 )Γ2 (A2 )Γ3 (E)

E
1
1
2

2C3
1
1
−1

3C2
1
−1
0

4.1 部分並進と回転的要素
第 8 図 (c) に示したように，《一般点に回転と並進を繰り返して，結晶軌道を作り上げる対称操作の群》が空間群 G である．並進操作には，基本並進（primitive translation）
Tn と部分並進（non-primitive translation）τR がある．

(79)が得られる．*19 ここで，指標 χ とは表現行列の対角和で部分並進は，単位胞内部での ミクロな並進である．
点群操作の要素 Ri ∈ R と部分並進 τR を組み合わせたあったことを思い出すと，(回転 Ri に引き続く並進 τRi を行う) 操作：()()
χ GCG−1 = χ G−1 GC = χ (C) ,(Ri |τRi ) ,(82)

であることが分かる．つまり，(a)「共役類内部の元はすべて共通の指標を持つ」．さらに，重要な性質として (b)[i = 1, · · · , N − 1 (N は点群 R の位数 )] を空間群 G「既約表現の個数は共役類の個数に等しい」がある．*20 (a)，の回転要素 (rotational elements) と呼ぶ．ただし，(b) より，共役類ごとにまとめた指標のテーブルは必ず正方 [表 (79) の場合 3 × 3] になることがわかる．

(R0 |τR0 ) = E としている．ここで用いた (Ri |τRi ) は
Koster-Seitz 記法と呼ばれる．τRi は原子間隔程度の長さの並進であり，位置ベクトル r を*19 第 1 行で，2C3 は類 {C3 , C 2 } を，3C2 は類 {C2a , C2b , C2c }3(Ri |τRi ) r = Ri r + τRi ,を表す．また，既約表現の記号としてベーテ記号 (マリケン記号)のように記した．ベーテ記号 (Γ1 , Γ2 , · · · ) は整然として便利である．一方，マリケン記号 (A,B,E, · · · ) は直接的な意味を持つので分かりやすい．マリケン記号のルールは以下のとおりである．
A：主軸周りの回転で対称的な 1 次元表現．B： 主軸周りの回転で反転する 1 次元表現．E：2 次元表現．T：3 次元表現．Xg ：空間反転偶．Xg ：空間反転奇．
*20 証明には，指標の直交性を使う.9)，12)(83)

へずらす．このようなミクロ並進を含む，という意味で空間群は《微視的対称性》を表わすといえる．*21*21 回転対称性はミクロでもマクロでも適用可能であるが，τR は真にミクロな並進である．

14

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物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

4.2 らせんと映進
点群操作 Ri として回転操作 Cn をとり，回転軸に沿った格子周期を T とする．このとき，部分並進
τCn =4.4 空間群の既約表現
空間群の代数構造がわかったので，その表現を考えよう．まず，
基本並進群T は可換な巡回群である

m
T,nと い う 点 を 踏 ま え る だ け で T（m < n）をとったものがらせん (screw) 操作である．*22
また，点群操作 Ri として鏡映 σ をとり，鏡面に沿った可換群の既約表現はすべて 1 次元

格子周期を Tk とする．このとき，部分並進

τσ =の 既 約 表 現が す べ て 求 め ら れ る ．繰 り 返 し に な る が ，で あ る ．*23 次 に ，

巡回性についてであるが，結晶が無限の広がりを持てば，位数が無限大となる．しかし，周期境界条件を課すことで

1
Tk ,
2

無限の位数を回避できる．基本格子ベクトル a1 ，a2 ，a3方向の格子点数をそれぞれ N1 ，N2 ，N3 として周期境界をとったものが映進 (glide) 操作である．Tk の種類に条件を課すと，

よって軸グライド a，b，c，対角グライド n，ダイヤモン

N

N

N

(E|a1 ) 1 = (E|a2 ) 2 = (E|a3 ) 3 = (E|0) ,ドグライド d がある．

230 個 の 空 間 群 の う ち ，ら せ ん と 映 進 を 含 ま な い
73 個 を 共 型(symmorphic)，含 む 157 個 を 非 共 型(nonsymmorphic) と呼ぶ．

が要請できる．これより，(E|a1 ) , (E|a2 ) , (E|a3 ) の既約
表現はそれぞれ，0 から N − 1 までの N 個の整数 j1 ，j2 ，

4.3 空間群の構造
Koster-Seitz 記法を使うと，基本並進操作は (E|Tn ) とj3 を用いて，Γj1 ，Γj(
Γj1
2 ，Γj3 とラベルされる．例えば)
2πの指標は χΓj1 = exp i
j1 , となる．§7.4.1 で見たよN1

書かれ，基本並進群

うに，巡回群の指標が，複素平面上の単位円を等分割する
点として分布することを思い出すと分かりやすい．3 次元

T = {(E|Tn ) |n1 , n2 , n3 ∈ Z}

基本並進群は a1 ，a2 ，a3 各方向の基本並進群の直積であ(84)るから，既約表現は (j1 , j2 , j3 ) でラベルされ，Γj と書かを構成する．回転的要素：()
E, (R1 |τR1 ) , (R2 |τR2 ) , · · · , RN −1 |τRN −1 ,れる．その指標は

χΓj = χΓj1 χΓj2 χΓj3
[
(
)]
j1
j2
j3
= exp 2πi
+
+
,
N1
N2
N3

(85)

と組み合わせれば，空間群 G はという N 3 個が存在することがわかる．これが，1 回の 基

G = {(Ri |τRi + Tn ) |Ri ∈ R, n1 , n2 , n3 ∈ Z}
= {(Ri |τRi ) T |Ri ∈ R} ,(89)

本並進についての既約表現である．

(86)

原点 R0 から出発して格子点 Rn = n1 a1 +n2 a2 +n3 a3 ,と構成できる．もちろん，空間群 G の位数は無限大であに到達するには，(E|a1 ) を n1 回，(E|a2 ) を n2 回，(E|a3 )る（基本並進が無限にあるから）が，回転的要素の個数を n3 回実行すればよい．これに対応する指標はは点群 R の位数（もちろん有限）に等しい．これより，

(
)n1 (
)n2 (
)n3
χΓj (Rn ) = χΓj1
χΓj2
χΓj3
[
(
)]
j1
j2
j3
= exp 2πi
n1 +
n2 +
n2 ,
N1
N2
N3

(Ri |τRi ) T を集めて()
G = T + (R1 |τR1 ) T + · · · + RN −1 |τRN −1 T ,(87)の形に書くと，項は N 個しかない．これは「空間群 G を，
部分群 T を法として剰余類 (coset)G/T に分解した」こ

(90)と簡単に求められる．
さて，指標（90）を，あるベクトル k を使って平面波の形：とに他ならない．この場合の因子群は

χΓj (Rn ) −→ χk (Rn ) = exp (ik · Rn ){() }G/T = T , (R1 |τR1 ) T , · · · , RN −1 |τRN −1 T , (88)(91)

*23 あらためて証明しておく．可換群のすべて (N 個) の元は単独で共役類を作る．既約表現の個数は共役類の個数に等しい．よって可換群では元の数と既約表現の数が等しい．既約表現の次元についての関係式 (4.60) を使うと，d21 + d22 + · · · + d2N = N である．これを満たす自然数 di はすべて 1 である（証明終わり)．

である．
*22 回転軸と並進軸が垂直な場合，原点を移動すれば単純回転に引き戻せる．これはらせん操作ではない．

15

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）に表わすことを考える．言い換えれば，既約表現 Γj のラとなって形がかわる．つまり，波数 k は

ベルを j から k に換え，Γk と表したい．その答えは，逆格子ベクトルbµ = 2πaν × aλ,Vk −→ Rk,(92)のように方向を変えてしまう．もちろん，ミクロ並進 τR(µ,ν,λ = 1, 2, 3 は循環的) を導入することで与えられる．
ここで，V = a1 · (a2 × a3 ) は単位胞の体積である．これらを使ったベクトル

k=

j1
j2
j3
b1 +
b2 +
b3 ,
N1
N2
N3

は単なる平行移動であり，波数 k の変換には顔を出さない．
まず，回転要素 (Ri |τRi ) に含まれる点群 R の操作 Riのうち，第 1 ブリルアンゾーン内の k を不変に保つ，つ
まり

(93)

が所望のベクトルであり，これを波数ベクトルと呼ぶ．指.
k =Ri k,.
gk = {Ri |k =Ri k}の既約表現が波数 k でラベルされ，実空間での並進 Rn は
位相 k · Rn をもたらす」という事実が明確になる．

間群 G の要素のうち，回転要素として gk の元だけを使っで，1 次元既約表現では 表現行列，指標，固有値 がすべてた部分群であることに注意しよう．これより，

ψk (r) = exp (ik · r) uk (r)が得られる．*25 u(98)

を k の点群 (point group of k)*27 と呼ぶ．そして，空次に，既約表現 Γk の基底関数 ψk (r) を考えよう．ここ
同じ

(97)

となる*26 操作だけを選び出して作った点群，標を（91）の形で書きなおすことによって，「基本並進群

*24

(96)

Gk = {(Ri |τRi ) T | Ri ∈ gk }

(99)

(94)
を k 群(little group of k，あるいは小群)*28 と呼ぶ．

k (r) は格子周期をもつ関数（基本並進群

k を不変に保つのが点群 gk であったので，逆に gk の元の全対称表現の基底，つまり基本並進操作のもとでスカ

でない回転を施すと k は回転する．一般に，空間群 G のラーとして振る舞う関数）である．これがブロッホの定回転要素のすべてを k に作用させるとブリルアンゾーン

理である．

内で k が再生されて星と呼ばれる矢印の集合を作る．星

基本事項を補足しておくと，逆格子ベクトル

G = j1 b1 + j2 b2 + j3 b3 ,を描いたとき，ひとつひとつの k ベクトルはアームと呼ば
れる．

(95)

以上の事柄をもっと物理的に言い表しておくと次のように対して，k → k + G という置き換えは (94) の位相に寄になる．回折実験によって電荷整列や磁気構造の伝搬ベク与しない．なぜなら，G · Rn は 2π の整数倍だからであトル k の存在が確認されたら，結晶自体を不変に保つ対称る．このため，並進群の既約表現をラベルする k として操作の中で，k を動かしてしまうような要素は除外されなは，G のずれが許される．このことから，k を逆格子空間

くてはならない．つまり，空間群 G でなく k 群 Gk を考えの単位胞，つまり第１ブリルアンゾーンの境界及び内部になくてはならない (k 群は平面波 exp (ik · r) を不変に保限定してよいことになる．

つ)．この結果，電荷整列や磁気構造は k 群の既約表現の4.5 k 群

基底で表わされなければならない．この理解の仕方が，ランダウ理論の基礎となる．

周期構造は平面波を基底として表わせる．そこで，空間保つ要素を選び出す必要が出てくる．平面波に (R|τR ) を

4.6 k 群の既約表現
k の点群 gk は 32 点群のひとつなので既約表現 DΓα (Ri )作用させると，一般には既知である．一方，並進群の既約表現は平面波で書けて群の回転要素 (R|τR ) のうち平面波 exp (ik · r) を不変にいる．これより，k 群 Gk の既約表現が，(R|τR ) exp (ik · r) = exp [iRk · (r − τR )] ,DΓkα (Ri |t) = exp (ik · t) DΓα (Ri )*24 表現行列が 1 × 1 なので自明の理である．
*25 ψk (r)へ の 基 本 並 進 は ，固 有 値 方 程 式：(E|Rn ) ψk (r) =χk (Rn )ψk (r) と し て 表 わ せ る ．一 方 ，(E|Rn ) ψk (r) =ψk (r − Rn ) で あ る ．こ れ よ り ，ψk (r − Rn )=exp (ik · Rn ) ψk (r) が 言 え る ．両 辺 に exp [−ik · (r − Rn )]を か け る と
exp [−ik · (r − Rn )] ψk (r − Rn )=exp (−ik · r) ψk (r)が 得 ら れ る ．こ れ よ り ，
こ と が 判 明 すexp (−ik · r) ψk (r) が格子周期を持つ
る ．つ ま り ，格 子 周 期 を も つ 関 数 uk (r) に よ っ て ，
exp (−ik · r) ψk (r) = uk (r) と書けなくてはならない．

(100)で与えられることがわかる．ここで，t = τRi + Rn は部分並進と基本並進を含んだ並進である．簡単に言うと ，「 点 群 を 並 進 さ せ れ ば お し ま い 」で あ る ．た だ し.

*26 逆格子ベクトル G のずれを許したうえでの等号として記号 = を用いる．
*27 ‘little cogroup of k’ とも呼ぶ．
*28 ‘group of k’ と呼ぶ．

16

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

こ れ に は 注 意 が 必 要 で あ る ．空間群が共型 で あ る か ，T

非共型であってもk がブリルアンゾーン内部にある（境界にない）
場合は（100）で話が尽きる．この場合，gk の元について

k =Ri k,

Tc

(101)

.

である（等号は = でない！）．よって，eiRi k·t = eik·t が言えるので並進による余分の位相を考える必要はない．しかし，非共型空間群で，しかも k がブリルアンゾーンの境界にある場合は Ri k − k = G が許される．この場合，

図9

eiRi k·t = eiG·t eik·t となって余分の位相が現れる．この場
合は，射線表現の理論か Herring の方法を使って仕切りなでその中間はない」の内容を示す図．

「対称要素というのは，有るか無いかのどちらか*29
おさねばならない．

：となるユニタリー行列 U が存在する場合，dΓ (h) から誘

空間秩序形成の問題を議論するのに必要な知識はここま導される表現は dΓ (h) および ±U dΓ (h)．

ででおしまいである．なぜなら我々は k が定まった構造

具体的に，点群 D4 を剰余類分解

だけを相手にするからである．

4.7 バンド理論との関係

D4 = C4 + C2x C4

少し話がそれるが，電子のバンド理論ではブリルアン
ゾーンのすべての k 点での既約表現が必要になる．これに基づいて調べよう．

には，k を不変に保たない回転要素を含めて表現空間を拡

まず，C4 の Γ1（A）表現の指標は χΓ1 (hi ) = 1 （for allk
大しなくてはならない．この操作を，「Gk の既約表現 DΓ
αhi ∈ C4 ）．よってによる G の誘導」と呼び，

DΓkα ↑ G,−1χΓ1 (C2x
hi C2x ) = χΓ1 (hi ) = 1(102)

これは (2) の場合に該当し，U = 1．これより C4 の Γ1 表と表す．こうして，空間群 G の既約表現が余すところな

現から誘導される D4 の既約表現の指標は χΓ1 (hi ) = 1 とく求められることになる．バンド理論に表現論を適用する±U χΓ1 (ghi ) = ±1 となる．

場合，この作業が必要となるので話が大きく広がることになる．また，非共型空間群で k がブリルアンゾーン境界に

5 ランダウ理論

ある場合は話が面倒になる．これらは本連載の趣旨とは別

本節では，2 次相転移のランダウ理論 [9, 10] を表現論のの内容なのでこれ以上触れない．

立場から概観する．

4.8 誘導表現の例題

5.1 全対称表現と活性表現
ランダウの 2 次相転移理論のエッセンスは，1937 年の誘導表現というい言葉が出たついでに，例を挙げておく． 群 G が G = H + gH と剰余類分解されているとす

記念碑的論文 18) に記された「対称要素というのは，有るる．ただし H は指数 2（指数＝剰余類の個数）とする．こか無いかのどちらかでその中間はない」という一文に凝縮の場合，H は自動的に不変部分群になる． このとき，大されている．第 9 図は，ランダウ論文 18) に Fig.1 としてきな群 G の既約表現が，部分群 H の既約表現から以下の与えられたものと同じ内容であり，この一文を可視化したように構成できる．[12]ものである．

(1) H の既約表現 dΓ (h) が dΓ (g −1 hg) と同値でない場合：()
dΓ (h)0DΓ (h) =(103)0dΓ (g −1 hg)(
DΓ (gh) =(2) dΓ (h) が dΓ (g

−1

dΓ (g

0
dΓ (ghg)dΓ (h)
0

出発点の高対称相 (転移温度を Tc として，T > Tc での相) として，周期 a の分布 ρ0 (r) があったとする (簡単に 1次元分布を考えておく)．温度が下がると，T = Tc で分布)のひとつおきの山の高さが連続的に変化し，T < Tc で周期 2a の分布に変わった (doubling が起きた) とする．つ(104)

まり，高対称相での ρ0 (r) にずれが生じ，低対称相でhg) に同値，つまり−1hg) = U−1dΓ (h)Uρ(r) = ρ0 (r) + δρ(r),

(106)

(105)
のようになる．この状況を，表現論の言葉で言いなおそう．
まず，高対称相が持つ対称性の群を G0 とし，群 G0 の指*29 『応用群論』9) 第 10 章参照．

17

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

標が表：

以上まとめると，(106) のそれぞれの項は

G0
Γ1
..
.
Γα
..
.

E
1

···
···

Gg
1

基底

∗
dα

···
···

∗
∗

∗
ϕΓα

∗

···

∗

∗

ρ0 (r) = cΓ1 ϕΓ1 (r),| {z }

ϕΓ1

(110)

全対称表現

(107)

δρ(r) → δρΓα (r) = cΓα ϕΓα (r),| {z }

(111)

活性称表現

と書けることがわかる．活性表現の次元が dα > 1 の場のように与えられたとする．§4 で強調したように対称性

合，その基底も dα 個（高々 3 個であるが）の基底関数でと適合しない（つまり G0 の既約表現の基底関数で張れな

張られ，
α)
{ϕ(1)
(r), · · · , ϕ(d
(r)}
Γα
Γα

い）マクロ物理量は除外される．このため，この系に許されるマクロな分布関数 ρ(r) はのようになる．この場合，(111) の代わりに，これらの線形結合

ρ(r) = cΓ1 ϕΓ1 (r) + cΓ2 ϕΓ2 (r) + · · · + cΓα ϕΓα (r) + · · · ,| {z }| {z }δρΓα (r) =

活性称表現

全対称表現

(108)
のように各既約表現の基底関数の線形結合で書けなくては

dα
∑
i=1

ϕ(i)
(r)
c(i)
Γα
Γα

(113)

をとればよいことになる．ここまではスカラー量の分布*30 ここで，Γ は全対称表現*31 であって，G の
ならない．
1
0

を考えたが，磁気モーメントの場合は，基底がベクトル任意の元 g についてϕΓ1 (g −1 r) = ϕΓ1 (r),

(112)

ϕ(i)
(r) に置き換わり，
Γα(109)
MΓα (r) =

dα
∑

c(i)
ϕ(i)
(r)
Γα
Γα

(114)

である．もっと平たく言うと，ϕΓ1 (r) は G0 のすべての対

i=1

称操作に耐えて不変に保たれる．これが，「高対称相の対となる（δM(r) = 0 とした）．これらの展開式に現れる称性が G0 である」という意味である．次に，「2 次相転移《展開係数》（基底関数に対する座標値といってもよい）c(i)Γαが起きて系の対称性が自発的に低下する」とは，対称性が秩序パラメータであり，温度や圧力によって変化する量(この場合並進対称性) が不連続に変化し，対応する群は
G0 の部分群 G に変化するということである．今の場合，周期が a から 2a に変わり，周期 a の並進対称性が消失する．この際，G0 の既約表現のうち 特定の 既約表現 Γα [これを 2 次相転移の活性表現 (active representation) と呼ぶ]*32 が選ばれ，それ以外の既約表現は姿を消す．結局，(108) において全対称表現と活性表現を除く他の既約表現
は相転移とは無関係なので落としてよい．ここで，G はG0 の部分群なので，ϕΓ1 (r) は G0 の全対称表現でもあることに注意しよう．*33 また，ϕΓα (r) は部分群 G の対称操作の下では不変なので，部分群 G の全対称表現である．Γαは，「G0 から見れば活性表現」であり，「G から見れば全対混同することになる．基底は空間を張るための骨組であ称表現」である．

り，この骨組みに沿って物理量が現れるか否かは座標値である．たとえば，係数 cΓα が相転移温度 Tc 以下で第??
図のように連続的に立ち上がると，cΓα > 0 である限り系の対称性は変化しないまま δρ(x) が連続変化して第??図
のような変形が生じる．
ここで秩序パラメータc(i)は単なる展開係数であるΓαという見方を強調しておく．[13] そこでも強調されている
ように，「秩序パラメータ c(i)に対して対称操作を施す」
Γαという見方は混乱の元なので避けたほうがよい．この点をあいまいにすると，基底関数 ϕ(i)(r) を秩序パラメータとΓαc(i)が決めることである．
Γα
5.2 周期的変調構造：群 G0 が空間群の場合*30 この例では，Γ3 は 2 次元既約表現である．
*31 全対称表現あるいは全対称モードについては §4.3.5 参照．全対称

Ｘ線回折や中性子回折によって電荷整列あるいは磁気構

表現は，恒等表現と呼ばれることもある．
*32 狭義には，いわゆる《ランダウ条件》と《リフシッツ条件》（これついては次回以降に述べる）を満たす表現を活性表現という．ここでは，結果的に相転移に関与する表現を活性表現と呼ぶことにする．
．
*33 逆にこの点を保障するために，「G は G0 の部分群」でなくてはな
らない．つまり，低対称相が高対称相の部分群であるという要請と，基本式 (111) は互いに整合性を保証しあい，ランダウ理論の基礎をなす．

造の変調波数 k が決定したとする．この場合，考える部分群として k 群 Gk を考えることになり，既約表現は，Γkのように波数 k でラベルされる．つまり，(113) の各量に
ラベル k を加えてδρΓk (r) =

dα
∑

18

c(i)
ϕ(i)
(r)
Γ
Γ
k

i=1

k

(115)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

である．ここで，h(r, r0 ) は実数でありかつ対称 [h(r, r0 ) =と書いておけばよい．磁気構造の場合はとなる．まずは変調構造の k が定まり，その既約表現 Γkh(r0 , r)] である．つまり，エルミートである．ところで，（120) の展開の 1 次の項はどうなっているだろう．しかし，定義 [式 (111)] により，δρ(r) は全対称表現ではない．
よって，δρ(r) をひとつだけ含む 1 次の展開項は全対称でが決まり，さらにその基底のラベルとして i が現れる，とはあり得ないので除外してよい．

MΓk (r) =

dα
∑

c(i)
ϕ(i)
(r)
Γ
Γ
k

k

(116)

i=1

ラベルの階層を心得ておけば分かりやすいと思う．

h(G−1 r, G−1 r0 ) = h(r, r0 ),5.3 自由エネルギー着目する物理量の振る舞いが式 (113) で与えられたとし(122)である必要がある．フレドホルム型の固有値方程式として∫て，系の自由エネルギー Φ はどうなるだろう．自由エネ
ルギーは系のマクロ状態を記述する熱力学関数であって，

dr0 h(r, r0 )ϕ(r0 ) = aϕ(r),(123)

物量量の分布 ρ(r) に応じて 値 が定まるものである．つまり，Φ は ρ(r) の汎関数であり，Φ[ρ] と書かれる．また，を満たす固有関数が完全形を張る．これは，

自由エネルギーはマクロなスカラー量なので，群 G0 のす

bhϕ = aϕ,

べての対称操作に耐えて不変に保たれなくてはならない．
結晶に対称操作を施すと，その前後で全く見分けがつかなの形をした固有値方程式であり．bh がエルミートでかい．このとき，自由エネルギーも見分けがつかないのは自つ G0 のすべての対称操作の下で不変なのでる．これは明である．

Wigner の定理の議論と本質的に同じ状況であり，固有状
態は G0 の既約表現で分類できる．
前節の議論と擦り合わせると，ϕ は活性表現の基底関数
ϕΓα (r) であり，固有値方程式 (123) のすべての固有関数

以下，文献 [13] に従って議論を進める．いま，結晶中の一点 r を中心とする微小体積領域での自由エネルギー密度
を f [ρ(r)] と書こう．ρ(r) はミクロな自由度の統計平均であり，格子定数に比べると非常に緩やかに空間変化するとのうち活性表現に対応する

考えなくてはならない．すると系全体の自由エネルギーは∫f [ρ(r)] を結晶全体（表面を無視すれば無限系）にわたって積分することで∫Φ[ρ] =f [ρ(r)]dr,(124)

dr0 h(r, r0 )ϕΓα (r0 ) = aΓα ϕΓα (r),(125)

だけを引っ張りだせばよいことになる．これを展開式

(117)

(118)

(120) に代入すると，2 次の項として
∫
∫
1
2
Φ2 =
cΓα
dr dr0 ϕΓα (r)h(r, r0 )ϕΓα (r0 )2∫22= aΓα cΓαdr |ϕΓα (r)|2 = aΓα cΓα , (126){z}|である．式 (106) のように，分布 ρ0 (r) がわずかにずれたがえら得れる．これがランダウ自由エネルギーの 2 次項の場合，自由エネルギー (117) は一般形である．活性表現が 2 次元以上である場合は，と書ける．ここで，f [ρ(r)] もまたスカラーであり，群 G0のすべての対称操作のもとで不変でなくてはならない．
式 (106) より，高対称相での自由エネルギーは∫

Φ0 [ρ0 ] =f [ρ0 (r)]dr,=1∫

Φ[ρ] =

f [ρ0 (r) + δρ(r)]dr,(119)

Φ 2 = aΓα

次の項まで書くと

(127)

となる．

(120) の展開を進め，秩序パラメータの 4 次の項 b|cΓα |4まで考慮すると（簡単のため，再び dα = 1 として），単純なケースでは1Φ = Φ0 + aΓα |cΓα |2 + b|cΓα |4
2

(120)

が得られる．ここで，1
δ2 Φh(r, r0 ) =2 δρ(r)δρ(r0 ) ρ(r)=ρ0 (r)

|c(i)
|2
Γα

i=1

となる．これを微小なずれ δρ(r) について展開しよう．2

Φ[ρ] = Φ0 + Φ2∫
= f [ρ0 (r)]dr∫∫1+
dr dr0 δρ(r)h(r, r0 )δρ(r0 ),
2

dα
∑

(128)

が得られる（熱力学的安定性を保証するために b > 0 でなくてはならない）．これがギンツブルク・ランダウ (GL)(121)

自由エネルギーである．Φ を最小化する秩序パラメー

19

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物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064201 （2017年11月号）

タとして，aΓα > 0 であれば cΓα = 0，aΓα < 0 なら

cΓα =

√

−aΓα /b となる．つまり，aΓα = 0 が 2 次相転移の転移点を定める．これはよく知られた基本事項である．
以上の議論のエッセンスは，「GL エネルギー（128）に現れる秩序パラメータ cΓα が，着目する物理量を（111）のように活性表現の基底で表した際の係数として現れる」，「転移のカギを握る係数 aΓα がフレドホルム方程式固有値
方程式 (123) の固有値として得られる」の 2 点である．このような対称性に基づくトップダウン的な考察では，係数aΓα や b の微視的起源は全く明らかでない．これを明らかにするには，微視的模型に戻らなくてはならない．微視的な素過程を取りこんで素朴に書き下されたハミルトニアン
を“初期値”として，繰り込み（繰り込み群）解析を行い，ＧＬ自由エネルギーの具体形を見定める必要がある．*34
さてさて，まだまだこれから話が始まるわけで，あまりにも尻切れトンボですが紙幅が尽きたのでここで止めます．講義で触れた，あるいいは時間切れで触れられなかった話題のリストだけ挙げておきます．

• 結晶場理論と 2 重群
• ヤン・テラー効果• 多電子多重項の決定法• 空間群の既約表現とバンド理論• ゼロ質量ディラック電子とワイル電子• 多極子とテンソル秩序• 磁性表現論と複雑磁気構造• 異方的超伝導• 結晶点群とスピン SU(2) の結合• などなど私事？ですが現在これらの内容をカバーする群論の本を執筆中なので，これが出た暁にはそちらを参照していただ
ければと思います（これが絵に描いた餅にならぬよう鋭意
努力中です）．

参考文献[1] 南部陽一郎「超伝導から Higgs ボソンまで」（素粒子論研究 1990 年 12 月号）より．一部表現を変更してあります．
*34 ランダウは，ＢＣＳ理論に先立つこと 10 年も前にギンツブルク・

ランダウ (GL) 理論を提唱している．しかし，ＢＣＳ理論が現れるまで，超伝導秩序パラメータ ∆ の意味は明らかでなかった．Ｂ
ＣＳ理論および引き続くゴルコフ理論が出て初めて，クーパー対を平均場とし，これと結合する 1 電子自由度を積分することでＧ
Ｌエネルギーが得られることが分かった．量子力学的な状態の構成法が分かって初めて，マクロな自由エネルギーが構築できた例
である．ではなぜランダウはＢＣＳより 10 年前に GL 理論を作れたのか？これはもちろん，表現論に基づく 2 次相転移理論に対する確固たる信念と，「表現されいるのが何ものか」はそのうち解明されるだろう，という楽観的な態度の賜物であろう．

20[2] 犬井鉄郎, 田辺行人, 小野寺嘉孝：応用群論，（裳華房,1980）.
[3] 今野豊彦：物質の対称性と群論，（共立出版, 2001）.
[4] 柳瀬章，空間群のプログラム，（裳華房, 1995）.
[5] MS Dresselhaus, G. Dresselhaus,and A. Jorio：
Group Theory:Application to the Physics of Condensed Matter, (Springer2008).
[6] M. J. Burger, Elementary Crystallography, (revised
printing, MIT Press, 1963).
[7] GF Koster, J. O. Dimmock, R. G. Wheeler, and H.
Statz, Properties of the Thirty-Two Point Groups(MIT Press, Cambridge, Mass., 1963).
[8] O. V. Kovalev, Representations of the Crystallographic Space Groups, Edition 2 (Gordon andBreach Science Publishers, Switzerland, 1993).
[9] J.-C. Toledano and P. Toledano: Landau Theory of
Phase Transitions, (World Scientific Pub, 1987).
[10] 石橋善弘： 群論の相転移への応用，固体物理, 1982.
[11] International Tables for Crystallography, Volume
A: Space Group Symmetry, Ed. T. Hahn, Springer;
5th rev. ed. 2002.
[12] 尾崎正明「物性理論における群論的分岐理論入門」（物性研究 78-5, 2002 年 8 月号）p.511-.
[13] Y. Onodera and Y. Tanabe: Phys. Soc. Jpn. 45(1978) pp. 1111-1118．