《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

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2

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(2)

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(8)

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2.2

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(10)

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(11)

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(13)

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∞
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(16)

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2.3

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2.4

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

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1[MV/cm]=10−2 [V/Å] Ͱ͋Γɺ·ͨਫૉ‫ࢠݪ‬ͷΤωϧΪʔ४Ґ͕ −13.6/n2 [eV](n = 1, 2, 3, · · · ) Ͱ͋Δ͜ͱΛࢥ͍ग़ͦ͏ɻैͬͯɺ1[MV/cm] ͱ͸ɺ‫ࢠݪ‬ͷେ͖͞ɺ΋͘͠͸‫ݻ‬ମ಺ͷ‫ִؒࢠݪ‬ఔ౓ͷ‫Ͱ཭ڑ‬ɺిࢠʹ‫಺ࢠݪ‬४Ґִؒͷ 1/10ʙ1/100 ఔ౓ͷిҐࠩΛ΋ͨΒ͢ి৔Ͱ͋Δɻ·ͨɺయ‫ܕ‬తͳ࣓ੑઈԑମͷަ‫׵‬૬‫༻࡞ޓ‬͸Թ౓ (࣓৔)‫ Ͱࢉ׵‬10-100[K](10-100[T]) ఔ౓Ͱ͋Δ͜ͱ͔Βɺ1[MV/cm] ͷి৔ৼ෯Λ࣋ͭి࣓೾ͷ࣓৔ৼ෯ 0.3[T] ͸య‫ܕ‬తަ‫׵‬૬‫ىྭؾ࣓( ༻࡞ޓ‬ΤωϧΪʔ) ͷ 1/10ʙ1/100 ఔ౓ͱ͍͑ΔɻҰํɺ‫ݻ‬ମதͷిྲྀ༌ૹ΍࣓‫ڞؾ‬໐ͳͲͷઢ‫ܗ‬Ԡ౴Λ‫؍‬ଌ͢Δࡍʹ࢖ΘΕΔి࣓৔ͷ‫౓ڧ‬͸ 1[MV/cm] ΑΓԿܻ΋ऑ͍ɻ੺֎΍ՄࢹޫྖҬͰ͸ɺ1-10[MV/cm]
ͷ CW Λੜ੒͢Δ͜ͱ͕Մೳ͕ͩɺTHz ྖҬͰ͸ 1-10[MV/cm] ͷϨʔβʔύϧεΛੜ੒Ͱ͖Δޫ෺ੑ‫ࣨڀݚ‬͸ੈքͰ΋͘͝গ਺ʹ‫ݶ‬ΒΕΔͷ͕‫ݱ‬ঢ়Ͱ͋Δɻ·ͨɺ10[MV/cm] Ҏ্ (΋ͷʹΑͬͯ͸ 1[MV/cm]) ͷߴ‫౓ڧ‬ϨʔβʔΛরࣹ͢ΔͱɺՃ೤ɾ೩মͯ͠͠·͏‫ݻ‬ମ෺࣭΋ଟ͍͜ͱ΋ೝ͓ࣝͯ͘͠΂͖Ͱ͋Δɻ͞Βʹɺ֤෺࣭͸ਅۭͱ͸ҟͳΔ༠ి཰ͱಁ࣓཰Λ࣋ͭͨΊɺҰൠʹਅۭதͷϨʔβʔͷి࣓৔‫౓ڧ‬ΑΓ෺࣭தͷͦΕΒ͸ऑΊΒΕΔ͜ͱ΋஫ҙ͢΂͖Ͱ͋Δɻಛʹిՙͱి৔ͷ݁߹͸‫͍ڧ‬ҝɺ෺࣭தͷϨʔβʔͷి৔‫౓ڧ‬͸ਅۭதͷͦΕʹൺ΂ͯେ͖͘‫ݮ‬গ͠΍͍͢ɻද 1 ͱ 2 ʹయ‫ܕ‬తͳϨʔβʔ‫͢܎ؔͱ౓ڧ‬Δ෺ཧྔͷදΛ‫͍ͯ͛ڍ‬Δ [21, 46]ɻ2.3 અ·Ͱͷϑϩέཧ࿦ͷ෣୆ͱͯ͠ཧ૝తͳͷ͸ɺCW ΛҹՃ͞Εͨ෺࣭Ͱ͋ΔɻҰํɺ্‫ه‬ͷΑ͏ʹɺϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάΛ‫ؚ‬Ίͨඇઢ‫ޮֶޫܗ‬ՌΛ࣮‫͢ݱ‬Δ্Ͱ͸ɺߴ‫౓ڧ‬ϨʔβʔύϧεΛ࢖͏͜ͱ͕༗རͰ͋
ΔɻϨʔβʔύϧεরࣹ࣌ͷඇฏߧ‫ݱ‬৅ʹϑϩέཧ࿦Λద༻Մೳ͔൱͔ʹ͍ͭͯ͸ɺ஫໨͢Δ‫ܥ‬ͷಛੑΛ౿·͑ͯ৻ॏʹߟ࡯͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɻҰൠʹϨʔβʔύϧε‫ʹܥ‬ରͯ͠ϑϩέཧ࿦͸ఆྔత༧‫ྗݴ‬Λ࣋ͨͳ͍ͩΖ͏͕ɺগͳ͘ͱ΋ղੳͷώϯτΛ༩͑ͯ͘ΕΔͩΖ͏ɻ·ͨɺϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάʹ߆Βͳ͚Ε͹ɺϨʔβʔύϧεͰੜ͡Δඇฏߧ‫ݱ‬৅ͷՊֶʹ͸ັྗతͳ‫ڀݚ‬։୓஍͕޿͕͍ͬͯΔͱ‫ͯͬݴ‬Α͍ɻ

3ϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͷ۩ମྫຊষͰ͸ɺ2 ষͰղઆͨ͠ߴप೾਺ల։ͱϑϩέɾϋϛϧτχΞϯʹ‫͍ͯͮج‬ɺ؆୯͔ͭ୅දతͳϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͷཧ࿦తఏҊʹ͍ͭͯ؆ܿʹղઆ͢ΔɻऔΓ্͛Δͷ͸ɺಈత‫ࡏہ‬ɺϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମɺ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

ి࣓೾

THz

प೾਺, ω/(2π)

12

10 Hz
4.1 meV109 Hz4.1 μeV

48 K
36 T

48 mK
36 mT

107 MV/cm
0.8 MV/cm

107 kV/cm
0.8 kV/cm

ϑΥτϯɾΤωϧΪʔ, ωԹ౓, T = ω/kB࣓ଋີ౓, B0 = ω/gμB
ి৔, E0 = cB0
ి৔ (ͦͷ 2), E1 = ω/(eaB )GHzද 1: GHz ͱ THz ଳͷి࣓೾ͷϑΥτϯɾΤωϧΪʔͱରԠ͢ΔԹ౓΍ి࣓৔‫[ ౓ڧ‬21, 46]ɻkB ͸ϘϧπϚϯఆ਺ɺg = 2͸ਅۭதͷిࢠͷ g ҼࢠɺμB ͸ϘʔΞ࣓ࢠɺe ͸ૉిՙɺaB ͸ϘʔΞ൒‫ܘ‬ɻి৔

E0 =1 MV/cm

࣓ଋີ౓, B0

0.33 T
1.3×10 W/cm2 =1.3 GW/cm2

ΤωϧΪʔϑϥοΫε, I

9ද 2: 1[MV/cm] ͷి৔Λ΋ͭి࣓৔ͷ࣓৔‫ͱ౓ڧ‬ΤωϧΪʔྲྀ‫[ ౓ڧ‬21, 46]ɻ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌɺ࣓ੑઈԑମͷϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͷ 4 ͭͷ࿩୊Ͱ͋Δɻ

3.1

ಈత‫ࡏہ‬

ిࢠؒ૬‫͕༻࡞ޓ‬ແࢹͰ͖Δۚଐ΍൒ಋମதͷిࢠͷμΠφϛΫεΛ‫ه‬ड़͢Δ tight-binding ໛‫ܕ‬Λߟ͑Α͏ɻͦͷిࢠ‫ʹܥ‬ϨʔβʔΛরࣹͨ͠प‫ۦظ‬ಈ‫ܥ‬Λߟ͑ΔɻϋϛϧτχΞϯ͸
 
eiφr,r (t) fˆr† fˆr + e−iφr,r (t) fˆr† fˆr
Ĥ = −t(25)

r,r  

ͱ͢Δɻfˆr† ͱ fˆr ͸αΠτ r ʹ͍Δిࢠͷੜ੒ফ໓ԋࢉࢠͰ͋Γɺt ͸ྡ઀αΠτ r ͱ r  ͷؒͷϗοϐϯά (τϥϯεϑΝʔੵ෼) Ͱ͋Δɻ͜͜Ͱ͸ిࢠεϐϯʹؔΘΒͳ͍‫ݱ‬৅Λߟ࡯͢Δҝɺεϐϯࣗ༝౓͸ແࢹͨ͠ɻҐ૬Ҽࢠ eiφr,r (t) ͸͍ΘΏΔύΠΤϧεҐ૬Ͱ͋ΓɺϨʔβʔͷ AC ి৔͸ϕΫτϧϙςϯγϟϧ A(r, t) Λ༻͍ͯe
φr,r (t) = −
c

 r

dx · A(x, t)

(26)

r

Ͱද‫͞ݱ‬ΕΔɻc ͸ޫ଎ɺe(> 0) ͸ૉిՙͰ͋ΔɻεΧϥʔϙςϯγϟϧ φ(r, t) = 0 ͷήʔδͷԼͰ͸ɺAC ి৔͸ E(r, t) = − 1c ∂t A(r, t) ͷؔ܎Ͱ༩͑ΒΕΔɻैͬͯɺྫ͑͹ɺ௚ઢภޫి৔ E(r, t) = E0 (cos(ωt), 0, 0) ʹରԠ͢ΔϕΫτϧϙςϯγϟϧ A(t) = − ωc E0 (sin(ωt), 0, 0) Ͱ༩͑ΒΕΔɻ͜ͷͱ͖ύΠΤϧεҐ૬͸ φr,r (t) =


0
− eE
ω ex · (r − r ) sin(ωt) Ͱ͋Δɻex ͸ x ํ޲ͷ୯ҐϕΫτϧͰ͋Δɻ2.4 અͰগ͠৮ΕͨΑ͏ʹɺి৔ͷޮՌ͸ిҐࠩͱͯ͠ϋϛϧτχΞϯʹऔΓࠐΉ͜ͱ΋Ͱ͖Δ͕ɺҎԼͰٞ࿦͢Δಈత‫ࡏہ‬Λٞ࿦͢Δʹ͸ɺ͜ͷύΠΤϧεҐ૬ʹΑΔॲํ͕ޮՌతͰ͋Δɻ‫ݻ‬ମిࢠ‫ܥ‬ͷΤωϧΪʔεέʔϧ (όϯυ෯) ͸௨ৗ 1[eV] ΦʔμʔͰ͋Δ͔ΒɺϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάΛ࣮ߦ͢Δʹ͸ɺ1[eV] ͔ͦΕҎ্ͷϑΥτϯɾΤωϧΪʔΛ࣋ͭϨʔβʔ (Մࢹޫपล) ͕࠷దͱ‫͑ݴ‬Α͏ (ਤ 3 Λ‫ݟ‬Α)ɻۚଐ‫ܥ‬ͷϑΣϧϛ໘ۙ๣ͷిࢠͷΈͷΤϯδχΞϦϯάʹয఺Λ౰ͯΕ͹ɺ੺֎Ϩʔβʔ΋༗ޮͱ‫͑ݴ‬Δɻ
ͯ͞ɺ͜ͷ‫ߴʹܥ‬प೾਺ల։Λద༻͠ɺ࠷௿࣍ͷ༗ޮϋϛϧτχΞϯ Ĥ0 ΛධՁ͢Δͱ

Ĥ0 = −tr,r  J0 (αr,r )(fˆr† fˆr + fˆr† fˆr )(27)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)(a)΀݁ ௜థೝǡೝᇲ ΁(b)΀݁ ௜థೝǡೝᇲ ΁΀݁ ௜థೝǡೝᇲ ΁΀݁ ௜థೝǡೝᇲ ΁԰߱ ‫ܧ݁ ب‬଴ ܽ௫԰߱̱݁‫ܧ‬଴ ܽ௫

ਤ 4: ಈత‫͚͓ʹࡏہ‬ΔύΠΤϧεҐ૬ͷৼಈͷ༷ࢠɻΛಘΔɻ͜͜Ͱ J0 (z) = T1

 T /2−T /2dteiz sin(ωt) = J0 (−z) ͸ୈ 1 छϕοηϧؔ਺Ͱ͋Γɺ৽͍͠ύϥϝʔλ αr,r =


0

− eE
ω ex · (r − r ) Λಋೖͨ͠ɻ͜Ε͸ɺϨʔβʔʹΑΓϗοϐϯά t ͕ tJ0 (αr,r ) ʹ‫܁‬Γࠐ·Εͨ͜ͱΛҙຯ͢Δɻ

ؔ਺ J0 (αr,r ) ͸ɺJ0 (0) = 1 ͔Β αr,r ͷ૿Ճͱͱ΋ʹ୯ௐ‫ݮ‬গ͠ɺαr,r ≈ 2.4 Λ௒͑ΔͱෛʹͳΔɻex · (r − r  )͸ߴʑ݁থதͷ֨ࢠִؒ (਺ Å) ఔ౓Ͱ͋Δ͔Βɺαr,r ͸Ϩʔβʔ‫ ౓ڧ‬E0 ʹൺྫͯ͠૿Ճ͢Δɻैͬͯɺ༗ޮϋϛϧτχΞϯ (27) ͸ɺϨʔβʔʹΑΓϗοϐϯά (όϯυ෯) ͕‫ݮ‬গ͢Δ͜ͱΛ͍ࣔࠦͯ͠Δɻ͜ͷΑ͏ͳϨʔβʔʹΑΓిࢠ͕‫ݱ͏͔޲ʹࡏہ‬৅Λಈత‫ݺͱࡏہ‬ΜͰ͍Δ [47, 48]ɻ΄΅‫׬‬શʹిࢠΛ‫ͤ͞ࡏہ‬Δʹ͸ αr,r ∼ 2.4 ʹ౸ୡͤ͞Δඞཁ͕͋Δ (ਖ਼֬ʹ‫͑ݴ‬͹ɺͦͷΑ͏ͳߴ‫ ౓ڧ‬AC
ి৔ԼͰ͸ɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷΑΓߴ߲࣍΋ߟྀ͢Δඞཁ͕͋Δ)ɻͦͷ࣮‫ʹݱ‬͸ɺྫ͑͹ɺϑΥτϯɾΤωϧΪʔ ω ∼ 4.1[eV] ͷϨʔβʔ (प೾਺ ω/(2π) = 1[PHz]) ΛҹՃ͢Δ৔߹ɺ֨ࢠִؒ ax = ex · (r − r  ) Λ

10Å ͱԾఆͯ͠ɺeE0 ax /(4.1[eV]) ∼ 2.4 Λຬͨ͢ి৔͕ඞཁͰ͋Δɻ͜Ε͸ 80[MV/cm] ͱ͍͏‫ڊ‬େి৔Λ࣋ͭϨʔβʔʹ૬౰͠ɺ΄΅͢΂ͯͷ‫ݻ‬ମ݁থ͸মࣦͯ͠͠·͏ɻैͬͯɺ‫׬‬શͳɺ·ͨ͸ɺஶ͍͠ಈత‫ݱࡏہ‬৅Λ‫ݻ‬ମిࢠ‫͢ݱ࣮Ͱܥ‬Δ͜ͱ͸ࠔ೉ͱ‫͑ݴ‬Δɻ༗‫ػ‬ಋମ݁থʹ͓͍ͯɺϨʔβʔʹΑΔ 10 ˋఔ౓ͷϗοϐϯάͷ௿Լʹ൐ͬͨޫ༠‫ى‬ઈԑମసҠ͕࣮‫ݧ‬ɾཧ࿦‫ʹڀݚ‬ΑΓ‫͞ূݕ‬Ε͍ͯΔ [2, 49]ɻҰํɺྫྷ٫‫Ͱܥࢠݪ‬͸ɺ໌ྎͳಈత‫ہ‬ࡏ͕‫؍‬ଌ͞Ε͍ͯΔ [50]ɻ࠷‫ʹޙ‬ɺϨʔβʔʹΑΓͳͥిࢠ͕‫͢ࡏہ‬Δͷ͔ɺʹ͍ͭͯఆੑతղઆΛ༩͑ΔɻϨʔβʔʹΑΔύΠΤϧε
Ґ૬ φr,r (t) ͸࣌ؒͱͱ΋ʹৼಈ͓ͯ͠Γɺ౰વ AC ి৔ৼ෯ E0 ͷ૿Ճͱͱ΋ʹ eiφr,r (t) ͷৼಈ΋ܹ͘͠ͳΔɻ͜ΕΛਤ 4 ʹࣔͨ͠ɻి৔ E0 ͕ऑ͍ͱ͖͸ (ύωϧ (a))ɺRe[eiφr,r (t) ] ͷ࣌ؒฏ‫ۉ‬͸΄΅ 1 Ͱ͋Γɺฏ‫ۉ‬తͳϗοϐϯά tRe[eiφr,r (t) ] ͷ஋͸Ϩʔβʔແ͠ͷ৔߹ͱ΄΅มΘΒͳ͍ɻҰํͰ E0 ͕૿େ͢Δͱ (ύωϧ (b))ɺ

Re[eiφr,r (t) ] ͸ܹ͘͠ৼಈͦ͠ͷฏ‫ۉ‬஋͸௿Լ͢Δɻैͬͯϗοϐϯάͷେ͖͞΋ܹ‫͢ݮ‬Δ༁Ͱ͋Δɻ͜ͷΑ͏ͳղઆ͸จ‫[ ݙ‬2] Ͱ΋༩͑ΒΕ͍ͯΔɻ

3.2

ϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମଓ͍ͯɺ3.1 અͱಉ͡Α͏ʹ tight-binding ໛‫͚͓ʹܕ‬ΔϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͰ࣌ؒฏ‫ۉ‬ϋϛϧτχΞϯ

Ĥ0 ͷ࣍ͷల։߲ (1/ω ͷ߲) ͕ຊ࣭తͳ໾ׂΛՌͨ͢ྫΛࣔ͢ɻ2 ࣍‫ ݩ‬massless σΟϥοΫిࢠ‫ʹܥ‬ԁภޫϨʔβʔΛরࣹͯ͠ɺσΟϥοΫ෼ࢄʹ mass gap Λ༠ಋ͠ɺΧΠϥϧΤοδঢ়ଶΛ࣋ͭτϙϩδΧϧઈԑମ (ਖ਼֬ʹ͸νϟʔϯઈԑମ) Λੜ੒͢Δɺͱ͍͏ྫͰ͋Δɻ͜ͷԁภޫ͕༠ಋ͢ΔτϙϩδΧϧঢ়ଶΛϑϩέɾτϙϩδΧ
ϧઈԑମ [51–53] ͱ‫Ϳݺ‬ɻτϙϩδΧϧྔࢠ૬ [57–60] ͕ଟ͘ͷཧ࿦‫ऀڀݚ‬Λັ͍ྃͯ͠Δ࣌‫ͱͨͬ͋͜Ͱظ‬΋͋Γɺ͜ͷ༧‫ݴ‬Λ༩͑ͨύΠΦχΞཧ࿦‫[ ڀݚ‬51, 52] ͕෺ੑ෺ཧֶ෼໺ʹ޿͘ϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͷ֓೦Λී‫͢ٴ‬ΔΩοΧέͱͳͬͨɻͦͷ‫ޙ‬ͷ࣮‫ʹڀݚݧ‬ΑΓɺ‫ݻ‬ମిࢠ‫[ ܥ‬54, 55] ͱྫྷ٫‫[ ܥࢠݪ‬56] ʹ͓͍ͯɺϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମͷՄೳੑΛࣔࠦ͢Δ෺ཧྔͷ‫؍‬ଌ͕ҝ͞Ε͍ͯΔɻ
ϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମΛղઆ͢Δҝʹɺਤ 5 ͷΑ͏ͳϋχΧϜ֨ࢠ্ͷిࢠ‫( ܥ‬άϥϑΣϯ) ʹԁภޫϨʔβʔΛҹՃͨ͠प‫ۦظ‬ಈ‫ܥ‬Λߟ͑Α͏ɻϋχΧϜ֨ࢠͷ 2 ͭͷ෭֨ࢠΛ A ͱ B Ͱද͢͜ͱʹ͢ΔɻϨʔβʔরࣹ《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

ԃยޭ
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ԃยޭϪʖδʖA

ԃยޭ͗༢಍ͤΖΩ΢ϧϩΦρζుླྀ

B

2࣏‫ݫ‬υΡϧρέుࢢ‫ܧ‬ਤ 5: (ࠨύωϧ) ԁภޫরࣹԼͷϋχΧϜ֨ࢠిࢠ‫( ܥ‬άϥϑΣϯͷ໛‫)ܕ‬ɻԁภޫʹΑΓ‫਺ڏ‬Ҽࢠ it2 Λ࣋ͭ࣍ۙ઀ϗοϐϯά͕ੜ͡Δ (ৄ͘͠͸ 3.2 અΛ‫ݟ‬Α)ɻ(ӈύωϧ) ϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମͷΠϝʔδਤɻάϥϑΣϯʹԁภޫϨʔβʔΛরࣹ͢Δ͜ͱͰɺΧΠϥϧɾΤοδిྲྀ͕ྲྀΕΔঢ়ଶ (ϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମ) ͕࣮‫͢ݱ‬Δͱ‫ظ‬଴͞ΕΔɻਤ 6: ϋχΧϜ֨ࢠʹ͓͚Δ࠷ۙ઀αΠτؒϕΫτϧ di ͱ࣍ۙ઀αΠτؒϕΫτϧ ai ɻલͷϋϛϧτχΞϯΛ

Ĥ = −t1r,r  c†r cr + μs

r∈Aa†r ar −b†r br(28)

r∈B

ͱ͢Δɻcr ͕αΠτ r ͷిࢠͷফ໓ԋࢉࢠͰ͋ΔɻA ͱ B ෭֨ࢠͷిࢠΛදͨ͢Ίʹɺar = cr∈A ͱ br = cr∈BΛఆٛͨ͠ɻϋϛϧτχΞϯͷୈ 1 ߲͸࠷ۙ઀ϘϯυؒͷϗοϐϯάΛද͢ɻύϥϝʔλ μs ʹൺྫ͢Δୈ 2 ߲͸ελΨʔυ (ަ୅) ϙςϯγϟϧͰ͋ΔɻຊઅͷϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͰ͸ిࢠεϐϯ͸ຊ࣭తͰ͸ͳ͍ͷͰɺεϐϯࣗ༝౓͸ແࢹ͍ͯ͠Δɻμs = 0 ͷͱ͖ɺిࢠͷΤωϧΪʔόϯυ͸೾਺ۭؒͷ K ͱ K  ఺पΓʹσΟϥο
Ϋిࢠ‫ܕ‬ͷ massless ෼ࢄΛ࣋ͭ [61]ɻҎ‫ޙ‬ͷٞ࿦ͷͨΊʹɺ࠷ۙ઀αΠτؒ·ͨ͸࣍ۙ઀αΠτؒΛ݁ͿϕΫτϧͰ͋Δ dj ͱ aj (j = 1, 2, 3) Λਤ 6 தͷΑ͏ʹఆ͓ٛͯ͘͠ɻ࠷ۙ઀αΠτִؒ a0 Λ 1 ͱ‫֨ن‬Խ͢Δͱɺdj ͱ

aj ͷදࣜ͸࣍ͷΑ͏ʹͳΔɻ
√


 √
3 1
3 1
d1 = (0, 1, 0) , d2 =, − , 0 , d3 = −,− ,0 .
2
2
2
2


√
√
 √

3 3
3 3
a1 =
, , 0 , a2 =, − , 0 , a3 = − 3, 0, 0 .
2 2
22
͜͜Ͱ |di | = 1 Ͱ͋Δɻ

(29)
(30)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

લઅͱಉ͡Α͏ʹɺ͜ͷ‫ʹܥ‬ԁภޫϨʔβʔΛরࣹ͢Δͱ͖ɺAC ి৔ͱిࢠͷ݁߹ΛύΠΤϧεҐ૬ͷ‫Ͱܗ‬ϋϛϧτχΞϯͷதʹಋೖ͢ΔɻԁภޫʹରԠ͢ΔϕΫτϧϙςϯγϟϧΛ

A(t) = A (cos ωt, sin ωt, 0)(31)

Ͱఆٛ͢ΔɻରԠ͢Δ AC ి৔Λ E(t) = E0 (− sin ωt, cos ωt, 0) ͱ͢Ε͹ɺA = − ωc E0 Ͱ͋Δɻ͜ͷ A(t) Λ༻͍ͯɺԁภޫϨʔβʔͷޮՌΛՃ͑ͨϋϛϧτχΞϯͷϗοϐϯά (ӡಈΤωϧΪʔ) ߲͸ĤK (t) = −t1 ee−i c dj ·A(t) a†r br+dj + h.c.

r∈A j=1,2,3

= −t1



e

e−i c A cos(ωt−βj ) a†r br+dj + h.c.

(32)

r, j

ͱද‫͞ݱ‬ΕΔɻ͜͜Ͱɺh.c. ͸Τϧϛʔτ‫ڞ‬໾߲Λҙຯ͠ɺ2 ߦ໨Ͱ




r∈A

j=1,2,3 =r, j ͷུ‫ه‬Λ༻͍ͨɻ2 ߦ໨Ͱ͸ɺࢦ਺ͷத਎ͷ಺ੵΛ dj ·A(t) = A cos(ωt−βj ) ͱද‫͍ͯ͠ݱ‬Δɻβj ͸ϕΫτϧ dj ͱ x ࣠ͱͷ੒֯͢౓Ͱ͋Δɻe
A → A ͱུ‫͠ه‬Α͏ɻ͜ͷ࣌ؒґଘϋϛϧτχΞϯ͔Β࣌ؒํ޲ͷϑʔϦΤ੒෼ ĤnҎ‫ޙ‬ɺ൥ࡶ͞Λආ͚Δҝ − c∞∞Λ‫͢ࢉܭ‬Δҝʹɺϕοηϧؔ਺ʹ͍ͭͯͷެࣜ eix sin φ = n=−∞ Jn (x)einφ ·ͨ͸ eix cos φ = n=−∞ in Jn (x)einφΛ༻͍ͯɺࣜ (32) ΛҎԼͷΑ͏ʹॻ͖‫͑׵‬Α͏ɻ

ĤK (t) = −t1

in Jn (A) einωt−inβj a†r br+dj + h.c.

r, j n∈Z

= −t1



i−n einβj Jn (A)(−1)n a†r br+dj + b†r+dj are−inωt .

(33)

r, j n∈Z͜ͷද͔ࣜΒɺϑʔϦΤ੒෼ Ĥn ͸ɺ

Ĥ0 = −t1 J0 (A)r,r  Ĥn=0 = −t1 i−n Jn (A)c†r cr + μs

a†r ar −r∈Ab†r br

(34)

r∈B



einβj (−1)n a†r br+dj + b†r+dj ar

(35)

r, j

͜ΕΛར༻͢Ε͹ɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷ 1/ω ߲͸∞[Ĥ−n , Ĥn ]
n=1

nω

=

∞ 2

t Jn (A)J−n (A)
1

nω

n=1

×
=





e−in(βj −βj )r,r  ,j,j ∞ 2 2t1 Jn (A)
n=1

= −2i



nω



 

(−1)−n a†r br+dj + b†r+dj ar , (−1)n a†r br+dj + b†r +dj are−in(βj −βj ) a†r+dj −dj ar − b†r+dj br+dj − a†r+dj −dj ar + b†r+dj br+dj

r,j,j ∞ t2 J 2 (A) 
1 n
n=1

nω

r,j,j 
sin ((βj  − βj ) n) a†r+dj −dj ar − b†r+dj br+dj

(36)ͱ‫͞ࢉܭ‬ΕΔɻ͜͜Ͱɺࠨลͷ෼฼ʹ͓͍ͯ ω → ω ͱུ‫ͨ͠ه‬ɻdj −dj  = ±as (s = 1, 2, 3) ͷͱ͖ɺβj  −βj = ± 2π
3Ͱ͋Δ͜ͱΛར༻͢Ε͹ɺ∞
[H−n , Hn ]
n=1

nω

= −2i

∞ 2 2

t J (A)
1 n

n=1

nω


sin

2πn
3

 
r,r  τrr c†r cr

(37)

《講義ノート》

͜͜Ͱ

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

r,r   ͸ಉҰ෭֨ࢠؒͷ࣍ۙ઀Ϙϯυʹ͍ͭͯͷ࿨Λද͢ɻτrr  ≡ ±1 ͷූ߸͸ɺਤ 6 ͷΑ͏ͳ࣍ۙ઀
ϘϯυʹԊͬͨϗοϐϯά r → r ͕ͭ͘Δ 3 ֯‫ܗ‬ͷճసํ޲͕࣌‫ܭ‬ճΓͷͱ͖ਖ਼ɺ൓࣌‫ܭ‬ճΓͷͱ͖ෛΛͱΔΑ
͏ʹఆ͍ٛͯ͠ΔɻҎ্ΑΓɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯ͸

Ĥeﬀ = − teﬀ1

c†r cr + iteﬀ
2

r,r  τrr c†r cr + μsr,r  a†r ar − b†r br



(38)

r

ͱͳΓɺ࠷ۙ઀͓Αͼ࣍ۙ઀ϗοϐϯάͷύϥϝʔλ͸teﬀ
1 = t1 J0 (A),teﬀ
2 = −2∞ 2 2
t J (A)
1 n

n=1

nω


sin

2πn
3


(39)

ͱධՁ͞ΕΔɻԁภޫϨʔβʔʹΑΓɺ‫਺ڏ‬ҼࢠΛ࣋ͭ࣍ۙ઀ϗοϐϯά߲͕ੜ੒͢Δ͜ͱ͕ॏཁͳϙΠϯτͰ͋Δɻ͜ͷ߲͸ɺϋχΧϜ֨ࢠͷϓϥέοτʹ༗ޮతͳ࣓ଋ͕؏͍͍ͯΔޮՌͩͱղऍ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ͢ͳΘͪɺԁภޫϨʔβʔʹΑΓɺ࣌ؒ൓సରশੑ͕ഁΕͨ੩త‫͕ܥ‬ੜͨ͡༁Ͱ͋ΔɻϨʔβʔ֯प೾਺ ω Λ −ω ʹ͢Δ͜ͱͰࠨӈԁภޫʹ৐ΓҠΔ͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ࣮ࡍɺ͜ͷූ߸มԽͰ teﬀ
2 ͷූ߸͕มԽ͢Δ͜ͱ͕෼͔ΔɻҰํɺω → −ω ͸௚ઢภޫʹຊ࣭తมԽ͸΋ͨΒ͞ͳ͍ɻͦΕ‫ނ‬ɺάϥϑΣϯʹ௚ઢภޫΛҹՃͯ͠΋ɺߴप೾਺ల։
ͷ 1/ω ߲͔Β࣌ؒ൓సରশੑΛഁΔϗοϐϯά߲͸ൃੜ͠ͳ͍ɻҎԼͰઆ໌͢ΔΑ͏ʹɺ͜ͷରশੑΛมԽͤ͞ΔϗοϐϯάʹΑΓɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ͸σΟϥοΫిࢠঢ়ଶ͔ΒΧΠϥϧɾΤοδిྲྀ͕ྲྀΕΔνϟʔϯઈԑମ૬ [57] ʹมԽ͢Δ (ਤ 5 ͷӈύωϧΛ‫ݟ‬Α)ɻ͜ͷϑϩέɾϋϛϧτχΞϯ (38) ͸ϋχΧϜ֨ࢠ্ͷϋϧσϯ໛‫[ ܕ‬62](ͷҰ෦) ͱ౳ՁͰ͋Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͍ͯΔɻͦΕ‫ނ‬ɺҎԼͰɺϋϧσϯ໛‫͍ͯͭʹܕ‬؆୯ʹղઆ͢Δɻϋϧσϯ໛‫ܕ‬ϋχΧϜ֨ࢠ্ͷϋϧσϯ໛‫[ ܕ‬62] ͷϋϛϧτχΞϯ͸

ĤH = −t1r,r  

= −t1


r∈B,j

c†r cr + t2
eiφτrr c†r cr + μs

r,r  b†r+dj ar + t2a†r ar −

r∈A



e

r,j



iφ

a†r+aj ar + e−iφ b†r+aj brb†r br

r∈B


+ μs





a†r ar −r∈Ab†r br(40)

r∈BͰ༩͑ΒΕΔɻӈลୈ 1,2,3 ߲͸֤ʑ࠷ۙ઀ϗοϐϯάɺෳૉҼࢠ t2 eiφτrr Λ࣋ͭ࣍ۙ઀ϗοϐϯάɺελΨʔυϙςϯγϟϧͰ͋Δɻ͜͜Ͱిࢠͷੜ੒ফ໓ԋࢉࢠͷ೾਺ۭؒ (ϑʔϦΤ) දࣔΛ

1  −ik·r
1  −ik·r
ar = √
eak , b r = √ebk ,N k∈BZ
N k∈BZ(41)

Ͱఆٛ͠Α͏ɻN ͸શ෭֨ࢠ਺ɺk ͸೾਺ϕΫτϧɺ k∈BZ ͸ɺϒϦϧΞϯɾκʔϯ (BZ) શྖҬʹ͍ͭͯͷ࿨Λҙຯ͢Δɻ͜ΕΛϋϛϧτχΞϯʹ୅ೖ͠ɺ2 × 2 ߦྻ‫Ͱࣜܗ‬ϋϛϧτχΞϯΛҎԼͷΑ͏ʹද‫͖Ͱݱ‬Δɻ


3

 

ak
(0)
()
†
†
hk σ .ɹɹɹ(42),
where Hk = hk σ0 +ĤH =a k bk H k
b
k
k∈BZ
=1
()

͜͜ͰɺHk ͸ 2 × 2 ߦྻɺσ0 ͸୯Ґߦྻɺσ1,2,3 ͸ύ΢ϦߦྻͰ͋Δɻύϥϝʔλ hk ( = 0, 1, 2, 3) ͸ҎԼͷ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

3 3

οϡʖϱ
ઊԓର 0

οϡʖϱ
ઊԓର

3 3

ώϱχઊԓର
ਤ 7: ϋχΧϜ֨ࢠϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ (φ, μs /t2 ) ্ۭؒͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ૬ਤɻΧΠϥϧΤοδྲྀΛ࣋ͭ 2 ͭͷνϟʔϯઈԑ૬ͱ௨ৗ
ͷόϯυઈԑମ૬͕‫ݱ‬ΕΔɻΑ͏ʹ‫͞ࢉܭ‬ΕΔɻ
(0)hk = 2t2 cos φ3

cos (k · aj )

j=1
(1)

hk = −t1⎛cos (k · dj ) = 4t1 ⎝j(2)

hk = −t1sin (k · dj ) = 4t1

j
(3)

hk

(43)

= μs + 2t2 sin φ



1
−
4



sin

j



⎞
cos

j

k · dj ⎠2(44)

k · dj2(45)

sin (k · aj )

(46)

j

ࣜ (44),(45) Ͱ͸ɺd3 = −d1 − d2 ͱࡾ֯ؔ਺ͷ࿨ੵͷެࣜΛ༻͍ͨɻ͜ΕΒΛ༻͍ͯɺϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ 2 ͭͷΤωϧΪʔόϯυ͸
(0)ε±k = hk ɹ ±







 (1) 2  (2) 2  (3) 2
hk  + hk  + hk 

(47)
(1)

(2)

(3)

Ͱ༩͑ΒΕΔɻ͜ͷ 2 όϯυ͕઀৮ (ަࠩ) ͢Δ৚݅, ͭ·ΓόϯυؒΪϟοϓ͕ด͡Δ৚݅͸ɺhk = hk = hk = 0

(2)
k·d
Ͱ༩͑Β͑ΕΔɻ͜ͷͱ͖ྔࢠ૬సҠ͕‫͖ى‬Δͱߟ͑ΒΕΔɻ·ͣɺhk = 4t1 j sin 2 j = 0 Λຬͨ͢೾਺ϕj ʹରͯ͠
k · dj = 0 Λຬͨͤ͹Α͍ɻͭ·Γɺk ͸ dj ͱ௚ަ͢Ε͹Α͍ɻ͜ͷ৚݅Ϋτϧ k ͸ɺ͍ͣΕ͔ͷ



(1)
k·dj
1
√ ΛಘΔɻ͜ΕΛຬͨ͢೾਺ k ͸ 6 ఺ଘࡏ͢Δɻ= 0 ʹ୅ೖ͢Ε͹ɺ|k| = 34π
Λ hk = 4t1 4 − j cos 23
kj (j = 1, 2, 3) Λ kj · aj = 4π
− 2π
3 ͔ͭ kj · aj =3 (j = j) Ͱఆٛ͢Ε͹ɺ6 ఺ͷ೾਺͸ k = ±kj ͱද͞ΕΔɻ೾
√(3)
਺͕ k = ±kj Λຬͨ͢ͱ͖ɺhk = μs ± 3 3t2 sin φ ͱͳΔɻΑͬͯɺΪϟοϓ͕ด͡Δ৚݅ √
 μs   = 3 3 | sin φ|(48)
 t2 

ΛಘΔɻ͜ΕΛ༻͍ͯඳ͍ͨϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ‫ج‬ఈঢ়ଶ૬ਤ͕ਤ 7 Ͱ͋Δɻਤதͷ 2 ͭͷνϟʔϯઈԑମ૬ [57] Ͱ͸ɺ‫ܥ‬Λಛ௃͚ͮΔνϟʔϯ਺ (ྔࢠϗʔϧ఻ಋ౓ʹൺྫ) ͕֤ʑ ±1 ΛͱΓɺ‫ܥ‬ͷ‫ڥ‬քۙ๣Ͱ͸࣌‫ܭ‬ճΓɺ·ͨ͸ɺ൓࣌‫ܭ‬ճΓͷ (ͭ·ΓΧΠϥϧͳ) Τοδిྲྀ͕ൃੜ͍ͯ͠ΔɻҰํɺͦͷ֎ଆͷόϯυઈԑମ૬͸ΤοδྲྀΛ࣋ͨͳ͍௨ৗͷ૬Ͱ͋ΔɻෳૉҼࢠͷ͋Δ࣍ۙ઀ϗοϐϯάʹΑΓ࣌ؒ൓సରশੑ͕ഁΕ͓ͯΓɺͦͷ݁Ռɺνϟʔϯઈԑମ૬Ͱ͸ΧΠϥϧΤοδྲྀ͕ੜ͍ͯ͡Δ༁Ͱ͋Δɻ˙ (ϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷղઆऴྃ)《講義ノート》

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ͯ͞ɺϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ݁ՌΛϑϩέɾϋϛϧτχΞϯ (38) ʹԠ༻͠Α͏ɻάϥϑΣϯΛҙࣝͯ͠ɺελΨʔυϙςϯγϟϧ͕θϩʹ͍ۙঢ়‫گ‬Λߟ͑Α͏ (μs  0)ɻϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ t1 ͱ t2 eiφτrr ʹରԠ͢Δύϥϝʔλ͕ teﬀ
1
ͱ iteﬀ
2 τrr  Ͱ͋ΔɻΑͬͯɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯ (38) ͸ɺϋϧσϯ໛‫ܕ‬ͷ࣍ۙ઀ϗοϐϯάͷҐ૬ φ = ±π/2্ʹҐஔ͢Δɻteﬀ
2 ͷେ͖͞Λૈ͘‫ੵݟ‬΋Ε͹

teﬀ
2 ∼

t1 (eE0 a0 )2
t21 A2
∼ t1
ω
(ω)3

(49)

ͱͳΔɻ࠷‫ޙ‬ͷࣜม‫Ͱܗ‬ɺ|A| = |cE0 /ω| ͰϕΫτϧϙςϯγϟϧ͔Βి৔‫ ౓ڧ‬E0 ʹ৐ΓҠΓɺ,e,c ͱ֨ࢠఆ਺

a0 Λ෮‫ͨͤ͞׆‬ɻ͍·ɺߴप೾਺ల։͕ଥ౰ͳྖҬ |ω|  |eE0 a0 |, |t1 | Λߟ͍͑ͯΔҝɺ|teﬀ
2 | ͸ |t1 | ʹൺ΂ͯখ√eﬀ
͍͞ɻελΨʔυϙςϯγϟϧ΋े෼খ͞ͳঢ়‫͋Ͱگ‬Ε͹ɺ|μs /t2 | < 3 3 ͕ຬͨ͞ΕΔͱߟ͑ΒΕΔɻ͜ͷͱ͖ɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯ͸ɺਤ 7 ͷ૬ਤͷνϟʔϯઈԑ૬ʹҐஔ͢Δ͜ͱʹͳΔɻΑͬͯɺάϥϑΣϯʹԁภޫϨʔβʔΛҹՃ͢ΔϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͰ͸ɺΤοδిྲྀ͕ྲྀΕΔνϟʔϯઈԑମঢ়ଶʹ͍ۙঢ়ଶ͕
࣮‫͢ݱ‬Δ͜ͱ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɻ࠷‫ʹޙ‬ɺචऀΒ͸ɺ͜ͷϑϩέɾτϙϩδΧϧઈԑମͷྔࢠεϐϯӷମ൛Λཧ࿦తʹఏҊ͍ͯ͠Δ͜ͱΛ௥‫ه‬͓ͯ͘͠ [63]ɻ

3.3

ۚଐʹ͓͚Δ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌ

2.4 અͰ৮Εͨ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌ͸ɺྔࢠଟମ‫͚͓ʹܥ‬Δ࠷΋ઌ‫ۦ‬తͳϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάͱ‫ͯͬݴ‬Α͍͔΋͠Εͳ͍ɻ͜Ε͸ɺεϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬Λ΋ͭ෺࣭ (ओʹ࣓ੑମ) ʹɺԁภޫϨʔβʔΛরࣹ͠ɺϨʔβʔ༝དྷͷ༗ޮθʔϚϯ૬‫ൃ͕༻࡞ޓ‬ੜ͠ɺ࣓Խ͕ੜ͡Δ‫ݱ‬৅Λࢦ͢ɻ༗ޮθʔϚϯ࣓৔ͷ޲͖͸ޫࢠεϐϯͷ޲͖ (ӈԁภޫɾࠨԁภޫ) ͱରԠ͍ͯ͠Δɻ

2.4 અͰ͸ɺTHz Ϩʔβʔͱిࢠεϐϯͷ௚઀తͳ݁߹Λհͯ͠ྔࢠεϐϯ‫ܥ‬ͷ࣓ԽΛૢ࡞͢ΔචऀΒͷཧ࿦ఏҊ [39, 64] ʹগ͠৮Ε͕ͨɺ͜͜Ͱ͸ɺߴप೾਺ͷՄࢹ΍੺֎ྖҬͷԁภޫΛ࣓ੑମʹরࣹͯ͠ੜ͡ΔిࢠͷμΠφϛΫεΛհͨ͠‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌ [65–67] ʹয఺Λ౰ͯΔɻ͜ͷ‫ݱ‬৅ͷඍࢹతཧ࿦͸ɺ͸͡Ί Pershan Β [66]ʹΑͬͯల։͞Εͨɻ൴Β͸রࣹԁภޫΛઁಈ࿦తʹѻ͍ɺ༗ޮθʔϚϯ࣓৔͕ి৔‫౓ڧ‬ͷ 2 ৐ͱεϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬ͷ݁߹ఆ਺ʹൺྫ͢Δ͜ͱΛࣔͨ͠ɻ࣮ࡍɺଟ͘ͷ࣓ੑମ [68–72] Ͱ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌ͕‫؍‬ଌ͞Ε͓ͯΓɺ࣓ੑ‫ڀݚ‬ͷ࣓Խଌఆํ๏ͱͯ͠΋Ԡ༻͞Ε͍ͯΔɻ
͜͜Ͱ͸ tight-binding ໛‫ݱ͍ͯͮجʹܕ‬୅తͳϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷํ๏Λ༻͍ͯɺ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌͷຊ࣭త෦෼Λղઆ͠Α͏ɻҎԼͷ‫ࢉܭ‬͸ɺจ‫[ ݙ‬73] ʹ‫͍͍ͯͮج‬Δɻ2 ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ (x-y ໘) ্ͷϥογϡό‫ܕ‬εϐϯ‫ي‬ಓ૬‫༻࡞ޓ‬Λ΋ͭిࢠ໛‫ܕ‬Λߟ͑ΔɻͦͷϋϛϧτχΞϯΛ

Ĥ = ĤK + Ĥso   †
ĤK = −t1
cr+ej ,σ cr,σ + h.c.

(50)
(51)

r σ=↑↓ j=x,yĤso = −α  i(σy )σσ c†r+ex ,σ cr,σ − i(σx )σσ c†r+ey ,σ cr,σ + h.c.
2


(52)

r,σ,σ

Ͱఆٛ͢Δɻcr,σ ͸αΠτ r ͷεϐϯ σ(=↑ or ↓) Λ࣋ͭిࢠͷফ໓ԋࢉࢠͰ͋Δɻ֨ࢠִؒ a0 Λ 1 ͱͯ͠ɺx ͱy ࣠ํ޲ͷ࠷ۙ઀αΠτؒϕΫτϧ ex = (1, 0) ͱ ey = (0, 1) Λಋೖ͍ͯ͠Δɻୈ 1 ߲ ĤK ͸࠷ۙ઀ϗοϐϯά
(ӡಈΤωϧΪʔ) ߲ɺୈ 2 ߲ Ĥso ͕ϥογϡόεϐϯ‫ي‬ಓ૬‫[ ߲༻࡞ޓ‬74, 75] Ͱ͋Δɻα ͕ϥογϡόύϥϝʔλ(݁߹ఆ਺) Ͱ͋Γɺ(σa )σσ ͸ύ΢Ϧߦྻ σa (a = x, y, z) ͷ σσ  ੒෼Λද͍ͯ͠ΔɻĤso ʹ͓͍ͯɺ֨ࢠִؒθϩ(a0 → 0) ͷ࿈ଓ‫ݶۃ‬Λߟ͑Ε͹ɺ͜ͷ߲͕ϥογϡό߲ͷୈ 1 ྔࢠԽදࣔα (p × σ)z = −α (i σy ∂x − i σx ∂y )(53)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

ͱ‫͍͕ͯͬܨ‬Δ͜ͱʹ͙͢‫ͩͮ͘ؾ‬Ζ͏ɻεϐϯ‫ي‬ಓ૬‫ʹ༻࡞ޓ‬ΑΓɺ↑ εϐϯͱ ↓ εϐϯͷੈք͕݁߹͍ͯ͠
Δɻ͜ͷ‫ʹܥ‬ԁภޫϨʔβʔΛҹՃ͢ΔɻϕΫτϧϙςϯγϟϧΛ

A(t) = A (− sin ωt, cos ωt, 0)(54)

Ͱఆٛ͢ΔɻରԠ͢Δ AC ి৔Λ E(t) = E0 (cos ωt, sin ωt, 0) ͱ͢ΔͱɺϕΫτϧϙςϯγϟϧͷৼ෯͸ A = ωc E0
ͱͳΔɻAC ࣓৔ʹΑΔθʔϚϯ૬‫༻࡞ޓ‬͸ɺࠓߟ͑Δۚଐͷ‫ٯ‬ϑΝϥσʔޮՌͷओཁ߲Ͱ͸ͳ͍ͷͰɺແࢹ͢Δɻ͜ͷԁภޫͷޮՌΛύΠΤϧεҐ૬ͷ‫Ͱࣜܗ‬ϋϛϧτχΞϯʹऔΓࠐΉͱ͖ɺϗοϐϯάͷ֤߲Λec†r+ej cr → ei c A(t)·ej c†r+ej cr(55)eͱมߋ͢Ε͹Α͍ɻҎ߱ɺલઅͱಉ͡Α͏ʹɺ− c
A → A ͱུ‫͠ه‬Α͏ɻੜ੒ফ໓ԋࢉࢠͷϑʔϦΤม‫׵‬1  ik·r
cr,σ = √eck,σ ,N k

1  −ik·r †c†r,σ = √
e
ck,σ
N k

(56)

Λఆٛ͢Δɻk ͸೾਺ϕΫτϧɺN ͸શαΠτ਺Ͱ͋ΔɻҎ্ΑΓɺԁภޫϨʔβʔதͷ 2 ࣍‫ݩ‬ϥογϡόిࢠ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯ͸ 2 × 2 ߦྻ‫Ͱࣜܗ‬ †ck,↑ c†k,↓Ĥ(t) =k

εk,A (t)
∗
(t)
γk,A

γk,A (t)εk,A (t)



ck,↑
ck,↓


(57)

ͱදࣔͰ͖ͯɺߦྻཁૉ͸εk,A (t) = −2t1 [cos(kx + Ax (t)) + cos(ky + Ay (t))] ,γk,A (t) = α [i sin(kx + Ax (t)) + sin(ky + Ay (t))](58)Ͱ༩͑ΒΕΔɻଓ͍ͯɺߴप೾਺ల։͔ΒϑϩέɾϋϛϧτχΞϯΛ‫ٻ‬ΊΑ͏ɻ͜ͷͨΊʹલઅͱಉ͡Ͱ্‫ؒ࣌ه‬ґଘϋϛϧτχΞϯͷ࣌ؒґଘ෦෼Λϕοηϧؔ਺Λ༻͍ͯॻ͖‫ͱ͓ͯ͑͘׵‬ศརͰ͋Δɻe±iz sin ωt ͱ e±iz cos ωtͷϑʔϦΤม‫׵‬

e±iz sin ωt =(±1)n Jn (z)einωt ,n∈Ze±iz cos ωt =(±1)n Jn (z)in einωt

(59)

n∈Z

Λར༻͢Ε͹ɺϋϛϧτχΞϯͷதͷߦྻͷ֤੒෼͸ϕοηϧؔ਺ Jn (A) Λ༻͍ͯ



nπ 
nπ 
+ cos ky +Jn (A)e−inωt ,εk,A (t) = −2t1
in cos kx −
2
2
n∈Z



nπ 
nπ 
+ sin ky +Jn (A) e−inωt .
in+1 sin kx −γk,A (t) = α
2
2

(60)

n∈Z

ͱॻ͖‫͑׵‬ΒΕΔɻ͜ͷϕοηϧؔ਺ͷදࣔΛ࢖͑͹ɺϋϛϧτχΞϯͷϑʔϦΤ੒෼ Ĥn ͸



 †
ck,↑
(n)
†
ck,↑ , ck,↓ hk
Ĥn = Jn (A)
ck,↓
k

(61)

(n)

ͱॻ͚ͯɺ2 × 2 ߦྻ hk ͷ֤੒෼͸




nπ 
nπ 
(n)
(n)
+ cos ky +,hk↑↑ = hk↓↓ = −2t1 in cos kx −
2
2





∗

nπ
nπ
(n)
(−n)
hk↑↓ = hk↓↑
+ sin ky += α in+1 sin kx −
2
2

(62)
(63)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

ͱ‫͖Ͱࢉܭ‬ΔɻϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷ 1/ω ͷθϩ߲࣍Ͱ͋Δ࣌ؒฏ‫ۉ‬ϋϛϧτχΞϯ Ĥ0 ͸ҎԼͰ༩͑ΒΕΔɻ




 †
εk γ kck,↑†
ck,↑ , ck,↓
(64)
Ĥ0 =J0 (A)γk∗ εkck,↓k৽͍͠‫ ߸ه‬εk = εk,A=0 ɺγk = γk,A=0 Λಋೖͨ͠ɻҰํɺ1/ω ͷ߲̍࣍͸ɺ∞[Ĥ−n , Ĥn ]
n=1

nω

=

∞

(−1)n J 2 (A)  
n

nω

n=1

kk ijkl(−n) (+n)
hkij hk kl c†k,i ck,j , c†k ,k ck ,l




 c
(−1)n Jn2 (A)  †
k,↑
(−n)
(+n)
†
ck,↑ , ck,↓ hk , hk
=
nω
ck,↓
k n=1



 B (k)ck,↑
0
1  †
eﬀ
ck,↑ , c†k,↓
=
2
ck,↓
0
−Beﬀ (k)k
Beﬀ (k)Ŝkz
=
∞


(65)

k

ͱ‫͖Ͱࢉܭ‬Δɻަ‫܎ؔ׵‬ͷ෼฼Ͱ  → 1 ͱུ‫ͨ͠ه‬ɻ·ͨ̍ߦ໨Ͱ J−n (A) = (−1)n Jn (A) Λ༻͍ͨɻ࠷‫ޙ‬ͷߦͷ Ŝkz ͸೾਺ۭؒͷεϐϯԋࢉࢠͰ͋Δɻ

1
Ŝkz =

2c†k,↑ ,

c†k,↓




σz

ck,↑
ck,↓


.

(66)

͜ͷද͔ࣜΒɺϑϩέɾϋϛϧτχΞϯͷ 1/ω ߲͸༗ޮθʔϚϯ૬‫ͱ༻࡞ޓ‬Έͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɻ༗ޮ࣓৔ Beﬀ ͸



 
 (+n) 2  (−n) 2
Beﬀ (k) = 2 hk↑↓  − hk↑↓ 

= 8α

2

∞

(−1)n J 2 (A)
n

n=1

nω

cos



(n + 1)πnπ nπ sin kx −sin ky +
2
2
2

(67)

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(69)

《講義ノート》

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(71)

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《講義ノート》

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2ω

(73)

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物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)

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[2] ‫ؠ‬Ҫ৳Ұ࿠ʮଟిࢠ‫ܥ‬ͷ௒ߴ଎ޫ༠‫ى‬૬సҠ-ޫͰ‫ݟ‬ΔɾૢΔɾ‫ڧ‬૬ؔిࢠ‫ܥ‬ͷੈք-ʯ(‫ཱڞ‬ग़൛ɼ2016 ೥).
[3] ࠊ‫ݪ‬৳໵ʮޫ༠‫ߏى‬଄૬సҠ: ޫ͕୓͘৽ͨͳ෺࣭Պֶʯ(‫ཱڞ‬ग़൛ɼ2016 ೥).
[4] ‫ݻ‬ମ෺ཧ ಛू߸ʮεϐϯτϩχΫεͷ৽ల։-εϐϯม‫ݱ׵‬৅Λத৺ʹʯ(Ξάωٕज़ηϯλʔɼ2015 ೥ 11 ݄
߸).

[5] Spin Current, edited by S. Maekawa, S. O. Valenzuela, E. Saitoh, and T. Kimura (Oxford University Press,
Oxford, England, 2012).
[6] ᴡ౻ӳ࣏ɼଜ্मҰʮεϐϯྲྀͱτϙϩδΧϧઈԑମ-ྔࢠ෺ੑͱεϐϯτϩχΫεͷൃల-ʯ(‫ཱڞ‬ग़൛ɼ2014೥).
[7] ଟʑྑ‫ݯ‬ʮεϐϯτϩχΫεͷ෺ཧ-৔ͷཧ࿦ͷཱ৔͔Βʯ(಺ా࿝௽ะɼ2019 ೥).
[8] ྫ͑͹ Thermodynamics in the Quantum Regime: Fundamental Aspects and New Directions edited by F.
Binder, L. A. Correa, C. Gogolin, J. Anders, and G. Adesso (Springer, 2019).

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 10, No. 1, 101210(2022年3月号)[9] A. M. Zagoskin, Quantum Theory of Many-Body Systems: Techniques and Applications 2nd ed. (Springer,
New York, 2014).
[10] G. Stefanucci and R. v. Leeuwen, Nonequilibrium Many-Body Theory of Quantum Systems: A Modern
Introduction (Cambridge University Press, Cambridge, England, 2013).
[11] H. J. W. Haug, and A-P. Jauho, Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors (Springer,2007).
[12] ᜊ౻‫࢘ܓ‬ɼ෺ੑ‫ڀݚ‬ʮඇฏߧ༌ૹ‫ݱ‬৅ʯ(2009 ೥).
[13] J. H. Shirley, Phys. Rev. 138, B979 (1965).
[14] H. Sambe, Phys. Rev. A 7, 2203 (1973).
[15] M. Bukov, L. D’Alessio, and A. Polkovnikov, Adv. in Phys. 64, 139 (2015).
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[18] T. Mikami, S. Kitamura, K. Yasuda, N. Tsuji, T. Oka, and H. Aoki, Phys. Rev. B 93, 144307 (2016).
[19] ࠤ౻ਖ਼‫׮‬ɼ∁٢৻ଠ࿠ɼԬོ࢙ʮϨʔβʔ‫ۦ‬ಈ௒ߴ଎εϐϯτϩχΫεͱϑϩέɾΤϯδχΞϦϯάʯ(೔ຊ෺ཧֶձࢽɼ2017 ೥ 11 ݄߸).
[20] T. Oka and S. Kitamura, Ann. Rev. Cond. Mat. Phys. 10, 387 (2019).
[21] M. Sato, Floquet Theory and Ultrafast Control of Magnetism (Chap. 11) in Chirality, Magnetism andMagnetoelectricity, edited by E. Kamenetskii (Springer, 2021).
[22] H.-P. Breuer and F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems (Oxford University Press, Oxford,2007).
[23] R. Alicki, and K. Lendi, Quantum Dynamical Semigroups and Applications (Springer; 2007).
[24] ࠫ઒‫و‬େɼ্ాਖ਼ਔʮྔࢠଌఆͱྔࢠ੍‫ޚ‬ʯ(αΠΤϯεࣾɼ2015 ೥).
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