《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 3, 033205（2014年8月号）

トポロジカル絶縁体とスピンホール効果
Topological insulators and spin Hall effect村上 修一
Shuichi Murakami

東京工業大学大学院理工学研究科物性物理学専攻
152-8551 東京都目黒区大岡山２－１２－１
Department of Physics, Tokyo Institute of Technology,
2-12-1 Ookayama, Meguro-ku, Tokyo 152-8551, Japan
E-mail : murakami@stat.phys.titech.ac.jp

上向きスピンの電子と下向きスピンの電子が互いに逆向きに流れている流れを「純粋スピン流」と呼ぶ。非磁性の物質で純粋スピン流に着目することで、今まで考えられていなかったような物
性現象が次々と発見されてきていて、一つがスピンホール効果、またそれから派生して出てきた分野がトポロジカル絶縁体である。ここではトポロジカル絶縁体およびスピンホール効果の基礎的な物性について理論・実験の両面から解説を行う。

１．はじめに(i)

本稿のテーマであるスピンホール効果
やトポロジカル絶縁体は、「純粋スピン流」の物理の一つである。
「純粋スピン流」とは聞きなれない人もあるかもしれないが、電(ii)

流を伴わない純粋なスピンの流れのことである。これを説明するため、電流とスピン流の関係を図１に示した。電子のスピンは上向き・下向きの２つの向きを持ち、上向(iii)

き・下向きの電子の流れの大きさは一般に異なっていてもよい。
図１(i)では上向きと下向きスピンの流れが等しく、この場合は（スピン流を伴わない）
電流である。
一方、
図１(ii)では上向きと下向きとの流れに違

図１：(i) 電流。(ii) スピン偏極電流（電流を伴うスピン流）。(iii) 純粋スピン流。 j , js は電流およびスピン流を表わす。

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いが生じており、この場合はスピン流を伴う電流（スピン偏極した電流）であり、これは例えば強磁性体中の電流で実現される。最後に今注目している純粋スピン流は図１(iii)のように、上向きスピンと下向きスピンとが互いに反対向きに流れているものである。この場合電荷の流れ（電流）を伴わないことから純粋スピン流(pure spin current)と呼ばれている。この大きな特徴は
時間反転対称性を破らないことである。
すなわち図１(iii)のような純粋スピン流に時間反転操作を行うと、スピンの向きと流れの向きがともに反転するため、純粋スピン流自身は不変である。
この性質により、時間反転不変な系（すなわち非磁性ゼロ磁場の系）でもスピン流が存在しうる。
つまり非磁性の系では「スピン」は偏極しておらず全体ではゼロであるが、「スピン流」は存在していることになる。
スピンホール効果[1,2,3]とは、試料に電場をかけるとそれに垂直に純粋スピン流が誘起される効果であり、種々の金属や半導体で実際に観測されている。図２にその模式図を示した。ここで想定しているのは非磁性の物質であり、物質中には上向きと下向きスピンの電子が同数存在している。電場を印加すると電子はそれと逆向きに加速されるわけであるが、その際に図２のように上向きスピンと下向きスピンとは逆向きに左右にそれていくような運動をする。つまり印加電場に垂直な方向の流れは電流を伴わないスピンの流れ、つまり純粋スピン流である。このようにして印加電場に垂直に純粋スピン流が発生し、これをスピンホール効果(spin Hall effect)という。
このような純粋スピン流を引き起こす方法であるが、その鍵になるのが固体中の電子に働くス
ピン軌道相互作用(spin-orbit coupling)である。これは相対論的な効果であり、特に重い元素（周期律表で下の方の元素）においては、電子は原子核の周りを光速に近い速さで回っているた
めに、相対論的な効果が現れる。これはスピン軌道相互作用と呼ばれるスピンと軌道との相互作用を生み出し、バンド構造もそれを反映したものとなる。このスピン軌道相互作用によって、電子の軌道運動がスピンに依存するようになり、それを用いて電子のスピンの運動を（磁場を使わない）電気的に制御できる。こうした手段の一つが上に示したスピンホール効果である。
図２を見て、
なぜスピンの向きによってこのような動きを起こすのか疑問に思うかもしれない。
これには例えばホール効果や異常ホール効果からの類推を行ってみると理解しやすい。例えばホール効果（図３(a)）を考える。金属板に垂直に磁場をかけて板に沿った方向に電場をかけると、

図２：スピンホール効果の模式図

図３：(a)ホール効果および(b)異常ホール効果の模式図

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磁場中で電子がローレンツ力を受けて曲がり、横向きの電流、すなわちホール効果が生じる。ここで磁場中の金属の代わりに、垂直に磁化した強磁性体を考えると、図３(b)のような異常ホール効果が現れる。磁場を磁化に置き換えるという類推を行えば、このような現象が起こることは想像しやすい。ここでこの強磁性体中では上向きスピンが多いので、これは上向きスピンが図中で右向きの方に軌道が曲がっていくことに他ならない。
次に強磁性体の代わりに非磁性体（常磁性体）を用いたのがスピンホール効果である。上向き
スピンが右に曲がるなら、もし下向きスピンがいたらそれは左に曲がるはずである。従って、常磁性体のように上向きと下向きスピンとが同数存在する場合でも、それぞれのスピンの向きに応じて右ないし左に軌道がずれていくと予想される。これがスピンホール効果である。
ただし、どのような機構でこうした効果が起こるかを考えると、磁場中でのホール効果と、異常ホール効果・スピンホール効果とではかなり異なる。磁場中では電子の受けるローレンツ力がホール効果を起こすが、異常ホール効果やスピンホール効果においては電子がローレンツ力を受けるわけではないので、別の機構を考える必要がある。それについては次章で議論する。

２．スピンホール効果
2.1 スピンホール効果の性質
通常のホール効果は、磁場下において電場を印加するとそれに垂直向きの電流が流れるというものであるが、一方でスピンホール効果では磁場がゼロの状況を考えていることを注意しておく。
前述のように、スピンホール効果においては、時間反転対称性が破れていない（非磁性物質・ゼロ磁場で電場印加する）状況であってもスピン流は誘起される。スピン流はスピンの向きと流れ(る向きと２つの向きを持つので、 j j ≈ s v jii) というテンソルで表される。ここでは、 i はスピンの向き、 j は流れる向きである。例えば（Si や GaAs などのように）立方晶で時間反転対称性があるとすると、電場に対するスピン流の応答は対称性より j j = σ s ∑ ε ijk Ek と表わせる（ ε ijk は完全ik

反対称テンソル）。すなわちこの場合、誘起される純粋スピン流のスピンの向き i 、流れの向き j 、
外部電場の向き k は全て互いに垂直である。またここの係数 σ s をスピンホール伝導率と呼ぶ。
こうしたスピン流が試料端にぶつかると、そこでスピンは蓄積し、スピン拡散とスピン緩和とつりあって定常状態に達する。また他の物質を接合しておくと、その物質にスピンを注入することもできる。
このスピンホール効果の原理は外因性と内因性に大きく分けられるが、いずれの機構にも必要なのがスピン軌道相互作用である。外因性(extrinsic)スピンホール効果[4]は固体中の不純物に由来する。不純物が固体中にあると、母物質や不純物のスピン軌道相互作用に由来して、不純物による電子散乱のされ方が、電子スピンの方向に依存して異なってくる。その結果スピンホール

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効果が現れる。これは 1970 年代から知られていたが、最近まであまり注目されていなかった。これは、当時はスピン流の測定手段がなかったことや、不純物効果の見積もりの難しさや制御のしにくさのためであろう。
次章で述べるように、
現在ではスピン流の測定手段が確立してきている。
一方、内因性(intrinsic)スピンホール効果は固体自身のバンド構造に起因する効果であり、不純物散乱がなくても起こる。2003 年に同時に２つのグループによって独立に提唱された。村上・永長・Zhang[1]が p 型半導体について、また Sinova ら[2]が２次元 n 型半導体ヘテロ構造について、内因性スピンホール効果が起こることを理論的に予言した。これらの提案の後、さまざまな半導体や金属でスピンホール効果が実際に観測された。以下ではこの内因性スピンホール効果の原理について簡単に説明する。

2.2 内因性スピンホール効果の原理
この内因性スピンホール効果の原理はいくつか説明の方法があるが、半古典論においてベリー位
相(Berry phase) [5]を考慮にいれた理論で解釈するのが最も直観的に理解しやすい。以下にその概略を説明する[1,3,6,7]。電子のブロッホ波動関数は ϕ nk (r ) = e u nk (r ) （ n ：バンド指標）
ikrのような形を持ち試料全体に広がっている。これを重ね合わせて波束を作ると、この波束は実空rr間でも波数空間でもともにある範囲に局在して分布している。その波束の分布の中心の x と k をr考え、これらの時間発展を記述するのが半古典的運動方程式である。電場 E の下での半古典的運動方程式[6]はr
r& 1 ∂En (k ) r& r r
r + k × Ω n (k )
x=
h ∂k

(1)

r&
r
k = −eE(2)となる。
式(1)の第２項がなければ、
これは教科書にも載っているボルツマンの輸送方程式である。
このボルツマンの輸送方程式は、バンドが一つだけの場合は非常によい記述を与えている。ここでもし電子のバンドが複数ある場合を考えると(1)の第２項のような補正項が加わるというのが、ここでの新しい点である。 (1)式右辺第１項は通常現れる項であり群速度を表す。(1)式の右辺第rr２項は「異常速度」と呼ばれる。ここに現れる Ω n (k ) はベリー曲率(Berry curvature)と呼ばれ

r
r ∂
r
r r
r r
∂u r
Ani (k ) = −i nk
nk = −i ∫ u n*kr nk d d x , Ω n (k ) = ∇ kr × An (k )∂ki∂kiunit cell

r r

r

r

(3)

r

で定義される。 An (k ) と Ω n (k ) とはそれぞれ k 空間内のゲージ場（接続）と場の強さ（曲率）であり、電磁気学におけるベクトルポテンシャルおよび磁束密度と同様の数学的性質をもっている。なおこのベリー曲率はベリー位相と関係している。
「ベリー位相」[5]とはある系のパラメタ

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r

r

が断熱的に変化して元に戻った場合に波動関数が得る位相であるが、ここでのベリー曲率 Ω n (k )とは、波数空間で無限小のループを描いて波数が変化した場合に波動関数が得る位相に対応して

rr

以下ではこれが重要な役割を果たす。
いる。このベリー曲率 Ω n (k ) は多少抽象的な概念であるが、その性質については後述する。

r式(1)に戻ると、この異常速度は電場 E に垂直であるため、ホール効果、特に強磁性体の異常
ホール効果や非磁性体でのスピンホール効果を生みだすこととなる。この章の「内因性スピンホール効果」はまさにこの項から来ている。この異常速度の起源[3,7]は、波束が n 番目のバンドに拘束されて運動する際に、そのバンドの「曲率」（ベリー曲率）を感じて運動することである。

r

このことを別の言葉で述べると次のようになる。波束はある波数 k c に近い波数の波を重ね合わせrrて作られ、それらの干渉により波束の中心位置が決まる。ベリー曲率 Ω n (k ) がゼロでない場合は、波数空間が曲がっているため、電場下で波数が変化する際それらの波の干渉に影響を及ぼし、波束の中心の座標の変化を生み出す。つまりこれは電子の位相、すなわち電子の波動性に起因している。こういったベリー位相の物理は波動現象一般に普遍的に見られる。例えば光ビームについても同様の効果が現れ「光のホール効果」[8,9]と呼んでいる。また磁性体中のマグノン（スピン波）についても例えば温度勾配の印加によりホール効果が現れる[10,11]。
内因性スピンホール効果の研究での代表的な模型の一つは、文献[2]で扱われた Rashba 模型[12,13]

(

)

r
r r
h2k 2
H=
+ λ σ × k z , k = (k x , k y )(4)2m
式(4)第２項が、である。
これは xy 面内に形成されたヘテロ構造 2 次元 n 型半導体の模型であり、λ に比例する Rashba スピン軌道相互作用項である。ヘテロ構造により電子は xy 面内に束縛されているが、その束縛ポテンシャルが z ↔ − z に関して非対称で空間反転対称性が破れている場合に、この項が現れる。この系でゲート電圧を変化させると束縛ポテンシャルの形が変わるため、λの値が変わる。この項はスピン軌道相互作用の項であり、もしヘテロ構造でない対称量子井戸( z ↔ − z に関して対称)の場合は（閃亜鉛鉱型結晶構造に起因するバルクの空間反転対称性の破れを無視すると）、Rashba スピン軌道相互作用が現れないため、スピンホール効果はゼロになる。
これは伝導バンドが主に s 軌道からなっておりスピン軌道相互作用が弱いことに起因する。
もう一つの代表的な模型としては文献[1]で扱われた Luttinger 模型がある。
これは 3 次元の立方晶の半導体の価電子バンドを近似的に表す 4 バンド模型であり、

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H=

r r 2⎤ r
h 2 ⎡⎛5 ⎞ 2
2+−⋅ S ⎥ , k = ( kx , k y , kz )
γ
γ
k
γ
k
2⎟
2
⎜ 1
2m ⎢⎣⎝
2 ⎠
⎦

(

)

(5)

r

という形である。ただし S はスピン 32 行列であり、 γ 1 , γ 2 は定数である。この場合はバルクの結晶においてもスピン軌道相互作用の項が存在するため、p 型半導体においてはスピンホール効果
が有限に出る。これは言い換えると、半導体の価電子バンドは主に p 軌道から構成されていてス
ピン軌道相互作用が強いためである。
なおこの半古典論では、スピンの量子性、不純物散乱等のスピン緩和機構などが無視されて

(i)

(ii)

おり、そうした要因を考慮した線型応答理論の計算や有限系での数値計算などが行われている。
一方で、上記の半古典論にも意義があり、他の方法（線型応答理論、有限系での数値計算など）に比べて直観的理解が容易で、どんな系で内因性スピンホール効果が大きくなるかを考える際に便利な方法である。

図４：(i)バンド交差と(ii)ベリー曲率の模もし注目している n 番目のバンドのエネル

式図。上のバンドと下のバンドでベリー曲

ギーが他のバンドのエネルギーと近接している

率が逆符号となる。
rと、その波数 k 付近では、一般にベリー曲率r r
r r
Ω n (k ) が増大する。これを考えるために、図４(i)のように２つのバンドが波数 k = k0 において互いに近接するような系を考えよう。２次元系を考え、モデルとしては例えば

r r r
r
r
H = λ k − k0 ⋅ σ + mσ z , k = ( k x , k y ) , σ = (σ x , σ y ) (6)()などを考えてベリー曲率を計算すると図４(ii)のようになり、上のバンド、下のバンドともにベrr

リー曲率の大きさが k = k0 で極大になることが分かる。もっと複雑な場合も同様であり、例えばrp 型半導体では k = 0 で重い正孔バンドと軽い正孔バンドが縮退しているため、その付近でベリー曲率が発散的に大きくなっており、スピンホール効果が大きくなることが理解できる。
なお詳しい議論をする際には、スピン流の定義が一意的でないという問題に注意する必要がある。電荷は保存するため電流は一意的に定義されるが、スピンは保存しない（スピン軌道相互作
用により歳差を起こし緩和する）ため、スピン流を、スピンとの間に連続の方程式が成り立つよ
うに定義することはできない。これは言い換えると、スピン流の値はどのように観測するかにも依存し、スピン蓄積で観測するかスピン流注入で観測するかなどで一般に変わってくると考えら《講義ノート》

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れるが、半定量的なレベルでは実験方法によってそれほど区別せず「スピン流」という物理量があると考えて差し支えないと思われる。

2.2 スピンホール効果の実験とスピントロニクスへの応用
スピンホール効果の実験は、(a)光学的観測[14,15,16]と(b)電気的観測[17,18,19]の２つに大きく分けられる。まず(a)光学的観測については、(a-1)スピン蓄積量のカー効果による光学的観
測と、(a-2)spin-LED による円偏光の測定、が挙げられる。(a-1)スピン蓄積量のカー効果による光学的観測[14,15]では、半導体に電場を印加して、試料の各部分でのスピン蓄積の量をカー効果
で光学的に測定している。スピンホール効果がある場合は、電場をかけるとスピン流が流れ、それが試料端にぶつかるとスピン蓄積となることは前述のとおりである。実験の結果、試料の端に沿って一様にスピン蓄積が現れ、これはスピンホール効果によるスピン流が試料端で蓄積したものと解釈できる。
また、(a-2)spin-LED による円偏光の測定[16]においては、p 型半導体と n 型半導体とを組み合わせて発光ダイオード(LED)をつくり、p 型半導体に横向きに電場をかけてスピンホール効果でス
ピン偏極した正孔の流れを作る。それを n 型半導体内の電子と再結合させて、出てきた光の円偏光度を測定するというものである。
発光が円偏光していれば、正孔の流れはスピン偏極している、
すなわちスピンホール効果の証拠となる。結果として出てきた発光は１％程度の円偏光度を持っており、スピンホール効果の結果であると解釈される。
一方(b)電気的観測としては、スピンホール効果に加えて、その逆効果の測定、すなわちスピン
流 を系に注入 した際に垂 直方向に生 じる電場の 測定が行わ れている。 物質とし て は
Al[18],Pt[17],Au[19]など種々の金属で行われている。
特に Pt ではシグナルが大きく室温でも測定されており[17,19]、その効果は主に内因性であるという理論的計算がある[20]。
このスピンホール効果は、スピントロニクスへの応用の観点からも興味を持たれている。スピ
ントロニクスとは電子のスピンを利用した高機能・高性能のデバイスを設計するエレクトロニク
ス分野のことである。電子スピンはいろいろな方向を向くことができ、しかもその挙動は量子力学で支配される非自明なものであるため、その利用は大きな可能性を秘めている。特に半導体を用いるスピントロニクスについては、Datta-Das スピントランジスタ[21]に代表される多様なス
ピントロニクスデバイスの理論的提案があり、高機能なデバイスが期待される。こうしたスピン
トロニクス応用においては、試料中へのスピン注入および試料内でのスピン操作を行う必要があるが、そのためには磁性体や磁場を用いてスピンを操作することが最も直接的な方法である。しかし単純に例えば強磁性を半導体に接合して電流を送り込むと、スピン偏極の大半が接合界面で失われることが多く、スピン注入効率は低い。

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図５：スピンホール効果を用いたスピン流の注入および検出の例。(a)スピンゼーベック
効果の測定[22]。(b)強磁性絶縁体中のスピン波スピン流の伝導[23]。

このスピン注入効率向上のための方向性の一つが、スピン軌道相互作用を利用して磁性体や磁場を使わずに電気的にスピンを制御するという方法であり、スピンホール効果はその一つに当たる。電場を使って電子の軌道運動を制御することで、スピン軌道相互作用からスピンが制御できるというのがスピンホール効果の精神であり、磁場や磁性体を使わない点が有利であると考えられる。またこの点を生かして、図５に挙げるように例えばスピン流の注入源やスピン流のプローブとして実験で使われている[22,23]。

３．トポロジカル絶縁体
トポロジカル絶縁体(topological insulator)[24,25,26,27,28,29,30,31]は 2005 年に理論的に提唱された、非磁性絶縁体での新しい量子相であり、その後さまざまな物質において実験で観測されている。この相は２次元及び３次元系で実現されており模式図は図６のようになる。バルク（試料内部）が非磁性絶縁体でエネルギー分散にはギャップが開いているに対して、そのエッジ（２次元の場合）[24,25,26]や表面（３次元の場合）[28]にギャップレス、すなわち金属的な状態があるという性質を持つ。このエッジ/表面状態は純粋スピン流を運んでおり、この状態をヘリカルエッジ状態/表面状態(helical edge/surface state)と呼ぶ。このエッジ/表面状態は非磁性不純物等による散乱からトポロジカルに保護されていて、ギャップレスな性質を保つという特異な性質を持つ。このトポロジカル絶縁体は、通常の絶縁体と異なりその系の境界にギャップ
レス状態[32,33]が存在するため、全体としては絶縁体ではなくエッジ・表面に起因した伝導を示す。
このエッジや表面では平衡状態でもスピン流が常に流れていて、そこにもし試料に端子を付けて電場をかけると、
このエッジ/表面スピン流によって、印加電場に垂直向きにスピン流が流れる。
このことから、トポロジカル絶縁体は前述のスピンホール効果の絶縁体版と考えることができ、量子スピンホール系(quantum spin Hall system)ともよばれている。スピンホール効果と量子ス

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ピンホール効果の関係はちょうど、ホール効果と量子ホール効果の関係と類似している。

3.1 ２次元トポロジカル絶縁体
２次元トポロジカ
ル絶縁体の一番簡単

(i)

(ii)

な例として、試料のエッジに沿って上向きスピン・下向きス
ピンが互いに逆向きに等量流れている状

図６：(i) ２次元および(ii) ３次元トポロジカル絶縁体の模式図態を挙げることができる（図６(i)）
。純粋スピン流は時間反転対称であるため、２次元トポロジ
カル絶縁体は時間反転対称性(time-reversal symmetry)を破っていないことが確認できる。ここ
で上向き・下向きスピンと述べたがこれは最も簡単な場合であって、一般には面に対するスピンの向きは物質により、またエッジ・表面の方位によって様々である。一方で全ての２次元トポロ
ジカル絶縁体に普遍的な性質は、時計回りと反時計回りに流れているスピンが互いに逆向きであ
ることであり、これは時間反転対称性による。すなわち、時間反転対称操作で時計回りのエッジ
状態と反時計回りのエッジ状態は互いに移り合うため、これらの持つスピンの向きは互いに逆向きである。これらの２つのエッジ状態は時間反転対称性よりクラマース縮退しているため、これをクラマース対(Kramers pair)と呼ぶ。なお時間反転対称性が保たれていること（外部磁場ゼロ）がトポロジカル絶縁体に必要であるため、もし外部磁場を印加すると時間反転対称性を破り、トポロジカル絶縁体状態が壊れてしまう。

3.1.1 トポロジカルナンバー
トポロジカル絶縁体の何が「トポロジカル」なのかについて以下で説明をしておきたい。トポ
ロジーというのは、ある条件の下で対象を連続的に変形する際に、互いに移り変わるものを同一のクラスとして分類する数学の分野である。例えばコーヒーカップを考える。コーヒーカップが粘土のように自由に連続的に変形できるとして、切り離したりくっつけたりすることなく変形することを考える。するとコーヒーカップはドーナツに変形させることはできても、ボールに変形することはできない。この変形が可能かどうかを特徴づけるのが穴の数（genus とよばれる）gである。コーヒーカップとドーナツは同じ g=1 を持つが、ボールは g=0 である。この g は連続変形によって変わらない整数値をとるので、これをトポロジカル不変量ないしトポロジカルナンバーと呼ぶ。穴の数 g が異なる物体同士は、（連続変形では g が保存されるため）互いに連続変形できないことはすぐに分かる。
トポロジカル絶縁体も同様である。トポロジカル絶縁体の場合は、バルクのギャップを閉じず《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 3, No. 3, 033205（2014年8月号）に時間反転対称性も保ったままで（つまり非磁性絶縁体のままで）ハミルトニアンを連続変形させ、互いに移り変われるかを考える。こうした変形による分類を特徴づけるのが、Z2 トポロジカ
ル不変量(topological invariant)ないし Z2 トポロジカルナンバー(topological number) ν[25,29,30]である。これは２次元ではν = 0 とν = 1 の２つの値をとり、ν = 0 が通常の非磁性
絶縁体、ν = 1 が２次元トポロジカル絶縁体に対応する。詳しい研究によると、ν = 1 の場合は少なくとも一個ギャップレスエッジ状態の対があることが分かっていて、一方ν = 0 の場合はギャップレスエッジ状態が存在しないか、もしくはギャップレスエッジ状態が偶数対ある場合がある。
しかしν = 0 の場合はギャップレスエッジ状態があっても、非磁性の摂動が加わるとこのエッジ状態もギャップを開ける[29,30]。このように Z2 トポロジカルナンバーν はエッジ状態の情報を表している。重要な点はこれがバルクの波動関数から決まることであり、つまりこの「トポロジカル秩序」はバルクの性質である。すなわちエッジの詳細によらずバルクの性質によって、トポ
ロジカル絶縁体か通常の絶縁体かが決まる。これらは異なる相であって、これらの相の間は非磁性絶縁体状態を保ったままでは連続変形できない。

3.1.2 例：Kane-Mele 模型
例として、Kane-Mele 模型と呼ばれる、蜂の巣格子上の tight-binding 模型を用いて、トポロ
ジカル絶縁体相のエッジ状態の計算をした結果を示す。この模型のハミルトニアンは()

r
H = t ∑ ci+ c j + iλSO ∑ ν ij ci+ sz c j + iλR ∑ν ij ci+ s × dˆij c j + λv ∑ ξi ci+ ci
i, j

i, j

i, j

i

という形である。t , λSO , λR , λv は実数のパラメタであり、ci , ci はそれぞれ i 番目のサイトの電子+()の消滅および生成演算子で、 ci = ci ↑ , ci ↓ のように２成分のスピンからなる。 ξi は蜂の巣格子+++の A,B 副格子点でそれぞれ+1,-1 という値をとる。また、 i, j は i と j とが最近接の格子点同士の組について和をとり、 i, j

は i と j とが次近接の格子点同士の組について和をとることを意味する。また、dˆij は、i サイトから j サイトへ向かうベクトルを単位ベクトルとしたものである。
初めてみると複雑な模型に見えるが、これは常磁性状態でスピン軌道相互作用があるという系を蜂の巣格子上で実現する場合に最も簡単な tight-binding 模型であり、パラメタを変えることでトポロジカル絶縁体相と通常の絶縁体相との両方を記述できる便利な模型であるため、理論計算によく使われる。
この模型に適当なパラメタを入れて無限に大きな系でバンド構造を計算すると、
例えば λSO = 0.06t , λR = 0.05t , λv = 0.1t に対して図７(a)、 λSO = 0.06t , λR = 0.05t , λv = 0.4tに対して図８(a)のような形のバンドが得られる。A,B 副格子がありしかもスピンの向きの自由度

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があるため、２×２で４バンド模型となっている。以下では電子数が単位胞あたり２つあるとす
ると、ちょうど２つのバンドを埋めるため、図７(a),図８(a)についてはフェルミエネルギーがゼロでありバンドギャップ中にある。つまり、バンド絶縁体となっている。

図７：リボン状の Kane-Mele 模型でのバンド構造の計算結果。パラメタ値は

λSO = 0.06t , λR = 0.05t , λv = 0.1t で、トポロジカル絶縁体相である。(a)無限系、(b)zigzag エッジを持つリボン、(c) armchair エッジを持つリボンでの計算。

図８：リボン状の Kane-Mele 模型でのバンド構造の計算結果。パラメタ値は

λSO = 0.06t , λR = 0.05t , λv = 0.4t で、通常の絶縁体相である。(a)無限系、(b) zigzag エッジを持つリボン、(c) armchair エッジを持つリボンでの計算。
( )
ジ ( )
ジ
しかし実はトポロジカル絶縁体という観点で見ると両者は違っている。実は図７はトポロジカ
ル絶縁体、図８は通常の絶縁体に相当する。例えばこの系をリボン状の形状とする。すなわちある方向には無限に長いが、それと直交する方向には有限の幅をもつような系を考えてバンド計算
をしてみる。どの方向に無限に長くとるかは自由度があるが、ここでは zigzag エッジと呼ばれる
場合と、armchair エッジと呼ばれる場合の２種類についてプロットしてみる。図７(b)(c)ではフェルミエネルギーを横切るようなバンドが現れているのに対して、図８(b)(c)ではそのようなものは現れていない。しかも図７(b)(c)で現れた、エネルギーがゼロ付近の新しいバンドは図７(a)の計算には出てきていない。これは実は、リボン状の系のエッジ（系の端）付近に局在している

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状態であり、エッジ状態であるため、図７(a)の無限系の計算には出てきていないのである。図７(b)(c)で分かるように、エッジの取り方(zigzag か armchair か)によらず、エッジ状態がフェル
ミエネルギーを横切るように存在しているのが分る。一方で通常の絶縁体相では、フェルミエネ
ルギーを横切るようなバンドはなく、系のエッジも絶縁体であることが分る。

3.1.3

Z2 トポロジカルナンバーの計算

以下ではトポロジカルナンバーν はどのように計算するのかを説明する。それには大きく分けて２つの方法がある。第一の方法は、上で Kane-Mele 模型で行ったように、リボン状の系などエ
ッジや表面を持つ形状の系（有限系）でバンド計算を行い、エッジ状態や表面状態がどのように出るかを確かめる方法である。この方法は直観的に分かりやすいが、簡単な模型についても解析計算は難しく、数値計算に頼らなければいけない部分がある。
第二の方法として、バルクの固有状態から計算する方法がある。バルクの系（無限系）の電子のバンド構造から、後述する方法でトポロジカルナンバーを計算できる。その際注意すべきこと
は、図７(a)のようなバルクの系（無限系）の計算においては、系の形状にエッジや表面がないた
め、エッジ状態・表面状態が現れないことである。すなわち通常の絶縁体もトポロジカル絶縁体
も、バルクの電子状態計算をすると同じようにギャップを開けたバンド構造が出てくるため、バ
ルクのバンド構造を見ただけでは両者の区別がつかない。
実はトポロジカルナンバーは、バルクのシュレディンガー方程式の固有エネルギーではなく、
むしろ固有状態（波動関数）の情報に反映されている。これを以下に説明する。まず準備としてrrrk ≡ − k (mod G ) を満たす波数を time-reversal invariant momenta (TRIM)と呼ぶことにする。
r
こ こ で G は 逆 格 子 ベ ク ト ル で あ る 。 ２ 次 元 ブ リ ル ア ン ゾ ー ン の 中 に は TRIM が ４ つ

(

)

r
r
r
r
r
r r
k = 0, G1 2, G2 2, G1 + G2 2 存在する（図９(a)）。ただし、 G1 , G2 は逆格子基本ベクトルでrある。これらの TRIM を k = Γi (i = 1,2,3,4) と書くことにしよう。トポロジカルナンバーの計算
は結晶の空間反転対称性の有無で異なるが、ここでは簡単のため空間反転対称性がある場合に話を限る（空間反転対称性がない場合でも計算はできるが、かなり話は複雑になる）。
空間反転

図９: (a) ２次元での TRIM、(b)３次元での TRIM、（c）バンド構造の模式図。

対称性がある場合は、各rr

TRIM は空間反転操作（ r → − r ）に対して不変であるため、TRIM の波数における波動関数は

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rr

ψ k ( −r ) = ±ψ k ( r ) を満たす。この ± の符号をパリティ固有値(parity eigenvalue)とよび、これは+1 または－1 となる。そしてエネルギーが低い状態からフェルミエネルギーまでの状態を順rに m = 1, 2, L , 2 n と番号付けをし、 m 番目の状態の、TRIM k = Γ i でのパリティ固有値を

ξ m (Γi ) と書く。( 2m − 1) 番目の状態と 2m 番目の状態は図９(c)に示すようにクラマース縮退しており、これらのパリティは共通である。それらを各組から１つずつ重複しないように（つまりn2m 番目の状態のみとって）パリティの積を計算する：δ i = ∏ ξ 2 m ( Γi ) 。これらを４個の TRIMm =1

ν

で積をとって ( −1) =4∏ δ とする。この ν が上で述べたトポロジカルナンバーとなる。
ii =1

このようにバルクの電子状態からトポロジカルナンバーが計算されてどちらの相にあるかが分かると、それによりエッジ状態の現れ方にも違いが出る。エッジ状態を調べるためにはエッジを持つような系の形状、例えば半平面状の系を考えて電子状態計算を行う。そうした半平面の系での、通常の絶縁体とトポロジカル絶縁体でのバンド構造の模式図は図１０のようになる（なお、リボン状の形状の系では、エッジが左側・右側の２本あるため、エッジ状態の本数は図１０の２倍現れる。これは図７(b)(c)に対応する）。フェルミエネルギーはバルクギャップ、つまり図１０で伝導帯と価電子帯の間にあるとする。まず通常の絶縁体の場合（図１０(1)）
、エッジ状態がな
い場合も多いが、場合によってはエッジ状態を持つことも可能である。今スピン軌道相互作用がある場合はエッジの存在により空間反転対称性が破れるため、エッジ状態が図１０(1)のようにス
ピン分裂する（Rashba 効
果）。一方、トポロジカル絶縁体のエッジ状態は図１０(2)のように、伝導帯と価電子帯とをつなぐようにエッジ状態が存在することである。なお今は非磁性の系を考えていて、時間反転対称性により、エッジ状態の分
散は k = 0 に関して互いに対称になっており、対応する点同士は互いに逆向きのスピン状態を示すことに注

図１０：２次元系の場合の(1) 通常の絶縁体と(2) トポロジカル
絶縁体のエッジ状態の比較。３次元系の表面状態も同様である。
k=0 に関して互いに対称な状態は逆向きのスピンを持つ。

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意しておく。通常の絶縁体（図１０(1)）と、トポロジカル絶縁体（図１０(2)）とは、バルクのギャップが一旦閉じない限りは連続変形によって互いに移り変われない。このためこの２つは異なる相である。図１０(2)では k = 0 でエッジ状態の分散が交差しているが、この交差は時間反転対称な摂動があっても、交差がなくなってエッジ状態のギャップが開くことはない。これは

k = 0 ではクラマースの定理により全ての状態は２重縮退であることが要請されることによる。

図１１ (1)２次元トポロジカル絶縁体のエッジ状態と(2)３次元トポロジ
カル絶縁体表面状態での非磁性不純物による散乱の比較。

もう少し正確に述べると、トポロジカル絶縁体(ν = 1 )では、フェルミエネルギー上にあるクラマース対の数が奇数個、通常の絶縁体(ν = 0 )では、フェルミエネルギー上にあるクラマース
対の数が偶数個となり、図１０ではそれが成り立っていることが分かる。図１０(1)ではフェルミエネルギーの位置がギャップ内で変化すると、エッジ状態のクラマース対の数が０個になった
り２個になったりするが、偶数であることには変わりがない。トポロジカル絶縁体ではクラマー
ス対の数が奇数（図１０(2)では１個）であり、０は奇数でないことからこの場合は必ずギャップ
レスエッジ状態が存在することがいえる。実験では光電子分光や輸送現象の測定などで表面状
態・エッジ状態のバンド構造が分かれば、そこから上の基準によりトポロジカルかどうかの区別ができる。
なお、エネルギー分散の傾きは速度を表わしている：

v = 1h dE
dk(7)

そのため、図１０(2)において、フェルミエネルギー上の状態は、逆向きに伝搬する逆向きのスピ《講義ノート》

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ンからなっており、純粋スピン流を運んでいることになる。 このエッジ状態は、非磁性不純物による後方散乱を受けないという性質がある[32,33]（図１１(1)）
。エッジ状態は互いに逆向きのスピンが逆向きに伝播する状態の対であるため、後方散乱にはスピン反転が必要であるが、非磁性不純物はスピン反転を起こせない。これを図１０(2)に対応させて述べると、不純物は弾性散
乱を引き起こすため、ある状態から、同じエネルギーを持つ別の状態への散乱を引き起こす。一方でトポロジカル絶縁体の場合同じエネルギーを持つエッジ状態は互いにスピンが逆であり、これらの間の非磁性不純物による散乱は禁止される。このようにエッジ状態は非磁性摂動に対して安定で、後方散乱が起こらずギャップレスのままである。これはエッジ状態のトポロジカル保護（topological protection）と呼ばれる。こうした散乱に対する性質は HgTe 量子井戸系で実際に観測されている[34,35]。ここでもしエッジに強磁性体が近接すると、エッジ状態の時間反転対称性が破れるためエッジ状態にギャップが開く。そこで、エッジに沿って２つの強磁性体を少し離して接合すると、その２つの強磁性体の磁化の向きに依存して分数電荷（１個の電子の電荷に満たない電荷量）がその間にトラップされるという理論予言があり、これはトポロジカル絶縁体
固有の特徴の一つである[36]。
トポロジカル絶縁体を実現するための必要条件を挙げると、(i)時間反転対称性を持つこと、(ii) 強いスピン軌道相互作用、の２つである。(i)の条件は、ゼロ磁場で非磁性であると言い換えてもよい。(ii)の条件に関して、スピン軌道相互作用がゼロである絶縁体は、トポロジカルでない通常の絶縁体である。しかしスピン軌道相互作用が強いからといって必ずしもトポロジカル
絶縁体ではなく、ある物質がトポロジカル絶縁体かどうかは、Z2 トポロジカルナンバーを実際に計算して初めて分かる。こうした理論的予言に基づいて、Bi 超薄膜がトポロジカル絶縁体となることが理論的に提案された[37] 。この提案は第一原理計算でも確かめられたが、実際の Bi 超薄膜では提案されている構造とは別の構造の方が実験上はわずかにエネルギー的に安定なようであり、合成はされていない。他方、後述するように HgTe 量子井戸系における２次元トポロジカル絶縁体の予言がなされ、実験でも確かめられている。

3.2 ３次元トポロジカル絶縁体
３次元トポロジカル絶縁体[28,30,31]の場合には TRIM は図９(b)に示すように

(

)

r
r
r
Γi = 12 n1 G1 + n 2 G 2 + n 3 G 3 , i = (n1 n 2 n 3 ), n i = 0,1(8)の計８個存在する。これらでの指数が２次元と同様に、nδ i = ∏ ξ 2 m (Γi )

(9)

m =1

と定義される。この指数から Z2 トポロジカルナンバーをν 0 ,ν 1 ,ν 2 ,ν 3 の４つを定義する。

ν 0 ,ν 1 ,ν 2 ,ν 3 は 0 ないし 1 の値をとり、まとめてν 0 ; (ν 1ν 2ν 3 ) と書かれる。その定義は以下のとおりである。

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8(−1)ν 0 = ∏ δ ii =1ν(−1) j =∏δii = ( n1n2 n3 ), n j =1(10)すなわち、ν 0 は全ての指数 δ i の積から、他のν 1 ,ν 2 ,ν 3 は逆格子空間でのある面上の TRIM に関する δ i の積から定義される。その結果として

ν 0 ; (ν 1ν 2ν 3 ) は１６通りの可能性があるため、１６個の異なる相があることになる。これは任意の方向の結晶表面に関する表面状態のフェルミ面のトポロジーの情報を与える。トポロジカルナンバ
ー ν 0 が 1 の場合には、どの方向の表面にも必ず一枚は表面フェルミ面が存在する。すなわちどの
表面にもギャップレスな表面状態が必ず存在する。
一方トポロジカルナンバー ν 0 が 0 の場合には、特定の表面方向については表面フェルミ面が一枚もなく、表面状態がギャップを開けている可能性がある。これよりν 0 = 1 の場合を強いトポロジカ
ル絶縁体(strong topological insulator、STI)、

図１２：３次元トポロジカル絶縁体の表面状態の一例であるディラックコーン型分散。

ν 0 = 0 の場合を弱いトポロジカル絶縁体(weak topological insulator、WTI)と呼ぶ。また、
ν 1 ,ν 2 ,ν 3 は 結晶の各結晶面に対してどのようにフェルミ面が現れるかという情報を持っている量である。このことを詳しく述べると以下のようになる。ある結晶表面上の表面状態を知りたい場合は、バルクのブリルアンゾーンからその面に対応する表面ブリルアンゾーンへと射影を行う。するとバルクの TRIM は表面での TRIM へと射影され、その際に同じ表面 TRIM へと射影される
TRIM の指数 δ i 同士を掛け合わせる。そうしてできた指数の積は、各表面 TRIM に対し ±1 となる。
そこから表面状態のフェルミ面に関する情報が・指数の積が同じ点同士の間には偶数枚の表面フェルミ面。

・

指数の積が異なる点同士の間には奇数枚の表面フェルミ面、となることが知られている。
これにより表面フェルミ面に関する情報が得られる。
このことから、

ν 0 = 1 の場合はどの表面でも必ず表面フェルミ面が１枚以上あることがいえる。
例えば Bi2Se3 や Bi2Te3 の場合には、バルクのバンド計算からトポロジカルナンバーは 1; (000)と計算されている。この場合(111)表面の表面 TRIM はΓ点１個と M 点３個からなるが、この面へ射影された指数の積はΓ点のみマイナスで他はプラスとなる（なおゲージの取り方を変えるとプラス・マイナスが入れ替わるが、以下の結論は変わらない）。そのため、最も簡単な可能性としては、 k = 0 （Γ点）のみを囲む一枚の表面フェルミ面があることが考えられる。実際実験や第一原理計算で得られた表面状態は、図１２にあるように近似的に線形な分散を持つディラックコー

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ンとなっていて、確かに k = 0 （Γ点）のみを囲む一枚の表面フェルミ面があり、トポロジカルr

ナンバーからの計算結果と合致している。波数 k の１次までで書くと、ハミルトニアンはr r
H = λ σ ×k(⎛

) = λ ⎜ k − ik
0

⎝ y

z

x

k y + ik x ⎞
⎟
0 ⎠

(11)

r

と書ける。ここで k = ( k x , k y ) は表面方向の波数であり、 z は表面の法線方向を表わす。これを対角化すると、エネルギーは E = sλ k , s = ±1 でディラックコーンを形成していて、その固有状
態は

1
⎛
⎞
⎟
⎜ −is ( k x + ik y ) k ⎟⎝⎠ψ skr ∝ ⎜となる。これからrψ σ ψ =s(12)

( , − , 0) となり、スピンの向きは図９のように、波数 k に
ky
k

kx
k

r

垂直な向きに巻いている。なおディラックコーン状の分散はグラフェンでも見られるが、グラフェンの場合は(a) スピン縮退している、(b) ブリルアンゾーン内に２か所（K,K’点）ディラックコーンがある、という２点でトポロジカル絶縁体と異なっており、これがさまざまな物性の違いを生み出す。特にトポロジカル絶縁体のディラックコーンはスピン縮退がなく、各状態が決まったスピン状態を持つことから、スピンに関係した特異な物性現象が期待される。またディラックコーンがブリル
アンゾーン内に１個のみという状態は、純粋な２次元系では実現されないことが示されており、トポロジカル絶縁体表面でのみ実現される特異な状態である。

3.3 表面状態の特異な性質
３次元トポロジカル絶縁体の輸送特性の模式図は図１１(2)のようになる。前述のように、２次元トポロジカル絶縁体（図１１(1)）では互いに逆向きスピンの状態が逆向きに伝播していて、非磁性不純物は一切後方散乱を起こさない。他方３次元トポロジカル絶縁体（図１１(2)）では、完
全後方散乱（180 度向きを変える散乱）は時間反転対称性で禁止されるが、他の後方散乱（180度でない角度の散乱）は禁止されないため、結果として伝導は拡散的になる。なおディラックコ
ーンが１個という特異性により、不純物が増えてもアンダーソン局在を起こさないと理論的に提唱されている[38,39,40]ため、拡散的であっても伝導の特異性は残っている。
ディラックコーンの円錐の頂点での縮退は時間反転対称性によるクラマース縮退であるため、
例えばこの表面に磁場印加や磁性膜付加を行うと時間反転対称性が破れて、ディラックコーンの頂点にギャップが開く。
それを見るため例えば式(10)で表面に垂直な磁場を Zeeman 分裂として入《講義ノート》

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れると

r r
H = λ σ ×k(

) − Bσz(13)zとなり、このエネルギー固有値はE = ± λ 2k 2 + B 2(14)で確かにエネルギーには 2 B のギャップが開くことになる。
この状態でギャップ中にフェルミエネルギーが有る場合には、（通常の量子表面のホール伝導率はσ xy = ± e (2h) となり、2化値の半分の）量子ホール状態が実現することが分かる[41,42]。またこれを用いると、ME 効果（電気磁気効果）を生み出すことができる[41,42]。
その例として図１３のように、
図１３：３次元トポロジカル絶縁体による電気磁気効果。

円筒状のトポロジカル絶縁体に強磁性体膜を貼り付け、その磁化は放射状外向きである場合を考えよう。このとき、トポ

ロジカル絶縁体の円筒側面の表面状態は、もともとはギャップレスだったものが、磁性膜によりギャップが開いている。ここで電場 E を軸方向にかけると、円筒側面でのホール効果により電流が円筒側面を周回する方向に流れ、これは円筒軸方向に磁化を生み出す。ホール伝導率の値から2磁化を計算するとそれは 2e h E となり、普遍定数のみで ME 効果が表わされることが分かる。
また別の興味深い理論的予想として、トポロジカル絶縁体中の結晶転位（らせん転位や刃状転位など）にはギャップレス（金属的）な１次元状態ができるという予想がある[43]。この状態はスピン流を担い、互いに逆向きのスピンが逆向きに伝播する状態対からなる。結晶転位に沿ったr

一次元的ギャップレス状態が存在する条件とは、その転位のバーガースベクトル B と Z2 トポロジ
カルナンバーが次の式を満たすことである。

r r
r
r
r
r
B ⋅ M ≡ π ( mod 2π ) , M = 12 (ν 1G1 +ν 2G2 +ν 3G3 )

(15)

r

(

r

r

r

)

具体的に述べると、例えば Bi1-xSbx (0.07 < x < 0.22)では M = 12 G1 + G2 + G3 であるため、

r

転位によっては１次元ギャップレス状態が付随する。一方、Bi2Se3 や Bi2Te3 では M = 0 なので転位には１次元ギャップレス状態が付随しない。

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3.4 トポロジカル絶縁体に関する実験
3.4.1 ２次元トポロジカル絶縁体：HgTe 量子井戸
トポロジカル絶縁体の初めての実験的検証は CdTe/HgTe/CdTe 量子井戸[44,34,35,45]におけるものであり、理論的予言[44]の後、コンダクタンス測定[34,35]で実証された。CdTe は GaAs などと同じく通常の立方晶の半導体であるが、HgTe は強いスピン軌道相互作用のために、通常の半導体と比べるとバルクの伝導帯と価電子帯の対称性が逆転している反転ギャップ半導体である。そrのバンド構造は、 k = 0 においてギャップが閉じているゼロギャップ半導体となっていて、このrk = 0 での価電子帯と伝導帯との縮退は立方対称性に起因する。このため HgTe の層を CdTe で挟んだ量子井戸構造をつくると立方対称性がなくなり、ギャップが開く。このとき、HgTe 層の厚さd が dc=60Å以上になると HgTe に類似したバンド構造になって、dc=60Å以下だと CdTe に類似したバンド構造になることが計算で分かっている。その結果を用いて、トポロジカルナンバーを計算した結果、 d > d c と d < d c がそれぞれ２次元トポロジカル絶縁体と通常の絶縁体であることが理論的に提唱された[44]。
この系ではゲート電圧を変化させてフェルミエネルギーを変化させることができ、フェルミ
エネルギーがバルクギャップ中にあるようにしたとき、２次元
トポロジカル絶縁体となる。このとき両側のエッジ状態からの寄与により２チャネル分（図１

図１４：２次元トポロジカル絶縁体のエッジ伝導。両側のエッジで合計２チャネル分の量子伝導となる。

2４）2e h の電気伝導度を示すと予想される。実験結果はその通りになり、確かに後方散乱を受けないエッジ状態が存在することが実証された[34]。なお、磁場をかけると後方散乱が許されるようになるため、コンダクタン
スは急速に小さくなると理論的に予想され、実験結果もそれと合致している[34]。またエッジ状態の非局所伝導、すなわち電流端子・電圧端子をさまざまに変えて実験した測定が行われた。理論的にはエッジでの伝導が弾道的伝導と仮定すると Landauer-Büttiker 公式を用いて、任意の端2子の配置に対して非局所コンダクタンスの値を計算でき、その値は端子の配置に応じて e h に
簡単な分数をかけたものになる。実験結果[35]はそれと一致していて、エッジ状態では逆向きのスピンが互いに逆向きに弾道的に伝搬していることが確認された。

3.4.2 ３次元トポロジカル絶縁体：Bi1-xSbx 合金
ビスマス(Bi)はスピン軌道相互作用が大きい半金属であり、非常に小さな電子ポケットとホールポケットを持つ。キャリアがあるので絶縁体ではないがキャリア密度が非常に小さく絶縁体に《講義ノート》

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非常に近いので、何らかの操作で絶縁体化できればトポロジカル絶縁体になる可能性があると予想される。その一つの方法は薄膜にすることであり、前述のように Bi 超薄膜が２次元トポロジ
カル絶縁体になると理論的に予想された[37]。別の方法は Bi に Sb をドープして Bi1-xSbx とすることである。するとキャリアポケットが消失し、0.07<x<0.22 において３次元トポロジカル絶縁体になることが予言されている[46]。この場合は TRIM のうち、L 点で指数が+1, 他の TRIM では－1 となっている。Bi1-xSbx は (111)面でへき開するため (111)表面を考えると、表面 TRIM での指数はΓ点で+1、３個の M 点で－1 となる。そのため表面ブリルアンゾーンにおいては、Γ点と M
点の間で奇数枚のフェルミ面があると予言される。角度分解光電子分光(ARPES)による表面状態のバンド構造測定実験では確かにこの間に５枚[47]ないし３枚[48]のフェルミ面が観測され、これが３次元トポロジカル絶縁体の最初の実験的報告となった。スピン分解角度分解光電子分光[48]も行われ、表面のスピン状態がトポロジカル絶縁体であることを保証している。
またトポロジカル絶縁体のエッジ・表面状態は時間反転対称性がある限り、後方散乱を受けないと予測され、これも STM/STS によって確認されている。STS イメージのフーリエ変換をとることで表面の不純物などによる散乱がどのような波数の状態間で起こるか解析できて、その実験結
果は、表面状態がスピン分裂していると考えて初めて説明できる結果となっている [49]。
なお、輸送現象の実験も行われていて[50,51,52]、表面キャリアの輸送を測定する試みが行われているが、Bi1-xSbx では試料の一様性など外的な要因により、まだバルクが完全に絶縁体になっておらず一部導体となってしまっており、このバルクキャリアも輸送現象に関与しているため、表面のみの伝導の測定には至っていない。

3.4.3 ３次元トポロジカル絶縁体：Bi2Se3、Bi2Te3
３次元トポロジカル絶縁体として Bi2Se3 および Bi2Te3 が近年盛んに研究されている[53,54,55,56]。
これらの物質はBi1-xSbx に比べてバンドギャップが大きく(最大のBi2Se3 で0.3eV)、
室温でもトポロジカルな性質が残ることが予想されている。表面状態のフェルミ面は図１２に示したように、 k = 0 点を囲む円となり、これは各点で決まったスピン方向（図１２矢印で示す）を持っている。分散はディラックコーンを形成し、光子のように一定の速さで表面を運動する。
なおこの場合の Z2 トポロジカルナンバーは 1;(000)[53]であり、これは前述のように、実際の表面状態であるΓ点を囲む円状のフェルミ面と一致している。
これらの物質の表面状態は角度分解光電子分光[54,55,56]で検証されている。スピン方向についてもスピン分解角度分解光電子分光で測定されており[54]、理論的に予想されるものと一致している。さらに STS 測定によりその表面状態がトポロジカルに保護された形での散乱しか受けな
いことも示される[57]など、多くの実験上の発展がある。なお Bi2Se3 については、フェルミエネ
ルギーがディラック点から離れると、フェルミ面は円からずれて、雪の結晶の形のような６個の角がある形になり[58]、これはフェルミ面のワーピングと呼ばれ、理論的な対称性の議論とも合《講義ノート》

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致している [59]。
そして最近では三元ホイスラー合金(LuPtSb 等) [60,61]、TlBiSe2 などが新しくトポロジカル
絶縁体として提唱され、後者は(111)面でのディラックコーンが実験で実証される[62, 63,64]な
ど、次第に物質の幅が広がってきており今後の発展が楽しみである。

3.5 ３次元トポロジカル絶縁体とマヨラナフェルミオン
２次元トポロジカル絶縁体の場合と同様に、３次元トポロジカル絶縁体の表面に強磁性体をつけると、表面状態にギャップが開く。このディラックコーン状態はスピン縮退していないため、そのギャップの開き方には、スピンの性質を反映した特異な現象がみられる。例えば表面を xy 平
面としたとき、+ z 向きの磁化の強磁性体と − z 向きの磁化の強磁性体を隣接してつけると、その間にはギャップレスカイラル状態、すなわち一つの向きのみに進むギャップレス状態が形成されると予想されている。
一方、超伝導体をつけると超伝導体からの近接効果によって、やはり同様に表面状態にギャップが開く。こうした超伝導体との接合はマヨラナフェルミオン(Majorana fermion)と呼ばれる特異な状態を生み出すことが知られている。例えば超伝導を接合した場合の磁束渦や、もしくは表面に強磁性体と超伝導体を隣接して接合した際の隙間などに、このマヨラナフェルミオンが現れる[65,66,67,68,69,42]。
このマヨラナフェルミオンは１個のフェルミオンの半分に対応する自由度を持ち、これは、元の表面ディラック電子がスピン縮退しておらず通常の電子ガスなどと比べて状態数が半減していることによる。マヨラナフェルミオンはフェルミオン１個を非局所的に２個に引き離したものにあたり、デコヒーレンスに強い量子計算への可能性などから注目されている。
こうした現象を実現するためには、例えば Bi2Se3 との相性が良い超伝導体・強磁性体、言い換
えると接合によってトポロジカル絶縁体表面状態に大きなギャップを開けるような超伝導体・強磁性体が必要である。そういった目的のために、Bi2Se3 に Cu をインターカレートして超伝導体にしたり[70,71]、また磁性元素のドープにより強磁性を発現させたり[72,73]という試みがあり、今後のマヨラナフェルミオンの実験的観測が期待される。

3.6 トポロジカル絶縁体の物質探索に向けて
例えばバルクギャップが開いた通常の（非磁性）絶縁体を考えて、仮想的にスピン軌道相互作用を強くしていく過程を考える。場合によっては元のバンドギャップがスピン軌道相互作用によって徐々に閉じていき、一旦閉じてまた次第に開くということが起こる。この過程においては伝導バンドと価電子バンドの状態の対称性が入れ替わることになる。こうした過程をバンド反転と呼び、多くの場合においてこれはトポロジカルナンバーの変化を伴う。例えば HgTe 量子井戸でHgTe 層の厚さを変化させた場合はこのようなことが起こっている。これを理解するためには、ト《講義ノート》

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ポロジカルナンバーの計算方法を思い出せばよい。前述のように、２次元系での Z2 トポロジカル
ナンバーν の計算方法では、フェルミエネルギー以下の状態の TRIM でのパリティ固有値の積が( −1) ということであった。HgTe 量子井戸では、価電子バンドと伝導バンドのΓ点でのパリティ
νが逆である。
ここで HgTe 層の厚さを変化させると両バンドのエネルギーの大小関係が入れ替わり
その際にギャップが一旦閉じるため、それに付随してパリティ固有値の入れ替わりが起こり、Z2
トポロジカルナンバーν が変化することになる。
このように元のギャップの大きさよりスピン軌道相互作用が大きくなれば、トポロジカル絶縁体になる可能性がある。結果としてできたトポロジカル絶縁体のギャップのサイズは基本的にそれらの差で与えられると予想される。スピン軌道相互作用のエネルギースケールが最大で数百
meV であることを考えると、結果としてできるトポロジカル絶縁体のギャップはせいぜい数百 meV
程度で、ナローギャップ半導体に属するものと考えられる。なおトポロジカル保護の強さはバルクギャップの大きさサイズで決まり、例えば温度や不純物によるエネルギースケールがそれより小さければトポロジカル絶縁体としての性質は保持されるため、ギャップサイズは大きい方がよ
いといえる。
なおナローギャップ半導体という点では高効率の熱電変換材料物質と性質が重なるため、それらの物質群はかなり重複しており、それらの間の物理的性質の関係も議論されている[74]。

４．まとめ
純粋スピン流という単純なアイデアから、スピンホール効果・トポロジカル絶縁体など新しい分野が生まれて実験・理論両面にブレイクスルーが生まれてきているのは意外である。特に非磁性絶縁体というあまり普段注目されない物質にこういった新物質相が見出されたのは、物質科学の深遠さを示す一例と思われる。スピンホール効果・トポロジカル絶縁体ともにまだ分野が始まったばかりであり、まだまだ多くの興味深い問題が残っていて、今後の理論・実験両面での発展が多いに期待される。

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