日本物理学会第 64 年次大会 2009/3/30aXF10 於 立教大学

相対論的平均場模型とKUTY 流の近似的な変形の扱いに基づく原子核質量公式

山田 昌平, 田嶋 直樹 (福井大工)

背景
存在が確認されている原子核 ： 『約 3,000 種』
 質量 (エネルギーと等価)
原子核の性質 =  その他の性質
Nuclide120

Proton Number Z

100
806040200020406080

100

120

140160180

Neutron Number N

2003 年版原子質量推奨値表 (G.Audi,A.H.Wapstra)

研究の目的

理論的な予測手段『原子核の質量公式』
²質量公式

±¯°

原子核の質量を中性子の個数と陽子の個数の関数として与えるもの
昔 −式
現在 − プログラム

液滴模型
Weizsäcker-Bethe の質量公式 (1930 年代)
BE(N, Z) = Bvol + Bsurf + Bsym + BC + Beo
体積項
表面項
対称項
Coulomb 項

偶奇項²Bvol = avol A
Bsurf = asurf A2/3
Bsym = asym(N − Z)2AZ2BC = aC
1/3
 A


aeo/A1/2 (偶偶核)


0(奇核)
Beo =  −a /A1/2 (奇奇核)eo¯

５つのパラメータはフィッティングで決定 °±WB 質量公式の値と実験値の比較

Mass Error (MeV)

平均誤差：約３. ４ MeV
1050-5-10-15020406080100120140160

Mass Error (MeV)

Neutron Number N
1050-5-10-15020406080100Proton Number Z

原子核の魔法数 ： 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126120

核 (原子核) の変形
陽子数 (中性子数) が魔法数から離れた領域 −→核が変形
核の安定な形は必ずしも球形ではなく、楕円体の形になっている

Prolate ShapeSphereOblate ShapeKUTY 公式
2000 年に小浦氏、宇野氏、橘氏、山田氏が発表 (Nuclear Physics A 674(2000)47-76)

特徴：変形核を球形核の重畳と見る近似
メリット
変形を考慮した計算時間 −→ 非常に長時間球対称性を仮定した計算時間 −→ 比較的短時間その差、約２〜３桁 =⇒計算量が激減(広範なパラメータの最適化が可能になる)

KUTY 公式と本研究との違い

本研究

KUTY 公式

平均場として、Woods-Saxon ポテンシャルを5 パラメータ化したもの を使用

自己無撞着 平均場で置き換える=⇒ Skyrme-Hartree-Fock 法⇓V0V(r) ={1 + exp{(r − Rv )/av }} av/κ{}Vdp
1+1 + exp{(Rv − r)/av}·V1V0=V100-10-10-20V (MeV)

V (MeV)

φV0-30-40-50-20-30-40-50-6002468r (fm)

10 12 14-6002468r (fm)

10 12 14

Skyrme 相互作用
核内核子間に働く有効相互作用の現象論的モデル

1∑
VSkyrme =vi j2 i< j
密度依存２体力：v12 = t 0(1 + x0 P̂σ)δ(⃗r1 − ⃗r2)()
t12
2+ (1 + x1 P̂σ) δ(⃗r1 − ⃗r2) k̂ + k̂′ δ(⃗r1 − ⃗r2)2
ˆ⃗′2
ˆ+ t 2(1 + x2 P̂σ) k · δ(⃗r1 − ⃗r2)⃗kt3+ (1 + x3 P̂σ)ρσδ(⃗r1 − ⃗r2)
6ˆˆ+ iW0(σ⃗ˆ1 + σ⃗ˆ2) · k⃗′ × δ(⃗r1 − ⃗r2)⃗kÂ¿ÁÀ

１. δ 関数で表される −→ 計算しやすい
２. 各パラメータは実験データへのフィッティングで決定

KUTY 流の近似的な変形の扱い方
1. 変形核は球形核の重ね合わせとして扱う

2. 変形核の固有殻エネルギー Ein は、重ね合わせの重み W(N1) と球形殻エネルギー Es によって表せるとする

Ein(N, Z) =∑∑Z
W(N1)Es(N1, Z 1), Z 1 = N1
N
N1W(N1) = 1(規格化条件)

N1

3. 全殻エネルギー Esh ＝固有殻エネルギー Ein ＋液滴の平均変形エネルギー Ēdef
Esh が最小になるよう、変形を決める重ね合わせの重み W の決定
核子１個増える −→ 核の半径長くなる球体から余分な所を削り落とし、各準位の所が露出した立体角

1 dΩim(rim(N1))
W(N1) = − ·dN14π

重ね合わせの重み W の決定
核子１個増える −→ 核の半径長くなる球体から余分な所を削り落とし、各準位の所が露出した立体角

1 dΩim(rim(N1))
W(N1) = − ·dN14π

重ね合わせの重み W の決定
核子１個増える −→ 核の半径長くなる球体から余分な所を削り落とし、各準位の所が露出した立体角

W(N1)1 dΩim(rim(N1))
W(N1) = − ·dN14π

Z=68 N=98 [Er] α2=0.2

変形度 α2λ[1 + α2 P2(cos θ)]

球体の半径R0(Z, N)
体積保存
λ変形のパラメータα2Legendre 多項式 P2(cos θ)major axis (fm)r(θ) =

R010Deformation
Sphere5r(θ)
R00510²=⇒± 中間形状を導入¯°

10505minor axis (fm)10

陽子・中性子比が同じ核だけを重ね合わせる
表したい核 (N, Z)
半径 R0
重ね合わせに使う核 (N1, Z 1) 半径 r1(N1 =Z1 =r1)3R0( )3r1R0NZZN

重ね合わせの重み W の具体的な表式]
1
11W(N1) =Ωim(rim(N1 − )) − Ωim(rim(N1 + ))4π
22[中間形状 (intermediary-shape) の立体角 Ωim はrim > r1 である方向の立体角
=⇒
( )2
4π(1−cosθ)r(Prolate) 1−h cos θ rimΩim = ( )2
4πcosθr(Oblate)1−h(1−cos θ) rim

Â

各値を求めるプロセス
N1−→rim−→θ−→rÁ¿Àrimr1

Z = 68, N = 98 エルビウムの重み W

0.2

Weight W(N1)

0.18
0.16

N
α2= 0.2 (Prolate Shape)
α2=−0.2 (Oblate Shape)

0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0405060708090

100

Neutron Number N1110120130

平均変形エネルギー Ēdef²

変形に依存する巨視的エネルギー¯

変形を抑える働き °±Ēdef = ∆Es + ∆EC + ∆Eprl

表面エネルギー∆Es = 25 α2(as A2/3 − asI(N − Z)2 A−4/3)

Coulomb エネルギー∆EC = − 15 α2 aC Z 2 A−1/322Prolate 優勢エネルギー ∆Eprl = −Cprl1α2 A2/3 exp[−Cprl2α2]2

全殻エネルギー Esh[]
Esh(N, Z) = min Ein(N, Z) + Ēdef (N, Z)
α2²

固有殻エネルギー Ein ＋ 平均変形エネルギー Ēdef⇓

Ein(N, Z) =∑[{}−→最小±{}]W(N1) Emf (N1, Z 1) − Eg(N1, Z 1) − Emf (N, Z) − Eg(N, Z)

N1

Emf (N, Z) : 球形平均場解のエネルギー
Eg(N, Z) : Emf (N, Z) の平均的挙動
KUTY では Strutinsky 風の方法 → 多くの困難への対処を要する
我々は、 Emf (N, Z) にフィットした Weizsäcker-Bethe の式を使用(平均場法は大域的挙動が正しいので可能)¯°

核の全エネルギー Etot
Etot(N, Z) = Emf (N, Z) + Esh(N, Z) + Eeo(N, Z)
Eeo

偶奇エネルギー

Z = 68, N = 98 エルビウム-1332

Energy Etot (MeV)-1334

OblateProlate

-1336
-1338
-1340
-1342
-1344
-1346
-1348
-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

α20.1

0.2

0.30.4

新しい質量公式

M(N, Z) = Nmn + Zmp + Etot(N, Z)

中性子質量 mn = 939.5652 MeV
陽子質量mp = 938.2720 MeV

球対称平均場計算値と実験値の差
核種：２, １４７種
Skyrme 相互作用のパラメータ：SIII²±¯

RMS 誤差：5.06MeV＞ WB 公式：3.4MeV°

新しい質量公式の値と実験値の差²±¯

RMS 誤差：1.60MeV =⇒ 約７割減少°

まとめG.Audi、A.H.Wapstra の表にある 2,147 核種の質量の実験値からの RMS 誤差● 球対称平均場計算 (既存の相互作用 SkyrmeSIII 力を用いた) =⇒５. ０ MeV● Weizsäcker-Bethe 公式 (最小２乗法で実験値にフィット) =⇒３. ４ MeV● 変形を取り入れた平均場計算 (SkyrmeSIII) =⇒２. ２ MeV● 今回の新公式 (球形 SkyrmeSIII, 変形の近似的扱い,1 パラメータを最適化) =⇒１. ６ MeV
平均変形エネルギーの as を 34%弱くした● KUTY 公式 (約８０パラメータ) =⇒０. ７２ MeV

今後の課題

1. 相互作用パラメータも含め、最適化するパラメータを増やすことで、RMS 誤差が KUTY 公式を下まわるまで、下がるかを調べる。

2. 未知の領域への外挿の信頼性が高い『相対論的平均場模型』とも組み合わせる。