【特集日本哲学と科学】

森川健太郎・富田直秀・井上康博

生命と﹁わかる﹂の数理モデル化の試み

一 ﹁わかる﹂ことと生命﹁わかる﹂とはどういうことか︒我々は普段︑自分が何かをわかったのかわかっていないのか︑感覚的に判断している︒

しかし︑自分が本当にわかっているのかどうかと問われると︑それは答えるのが難しい問題である︒例えば︑物理学者の朝永振一郎は数学をわかることについての実感を︑エッセイで次のように述べている︒

数学を勉強しているとき︑本に書いてあること︑いくつかの公理から出発していろいろな結論を証明して︑それをもって大きな体系を組みたてていくその各段階の論理の展開はすっかりわかっても︑全体的に一向に理解したという気もちの起らないことがある︒︵⁝︶そういう︑あと味のよくないわかり方は︑おそらく本当の理解でな︵ ︶いようで︑そういう場合は大てい本を閉じるとともに中味をすっかり忘れてしまう︒

生命と﹁わかる﹂の数理モデル化の試み ︹森川・富田・井上︺

四九

このように︑各段階での論理の展開がすっかりわかったら︑それはわかったと言いたくなるが︑本当に理解したとは1日本哲学史研究

第十八号

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言い難い感覚が残ることがある︒また︑数学をわかることに関して︑数学者の岡潔は次のような実感を語っている︒

証明が始まるとともに意識が流れ始め︑証明が終わるとともに流れは止まる︒そのとき全体が一時にわかるのである︒これを経験するまでは︑純正数学がわかるとはどういうことかわからないのである︒︵⁝︶論理や計算は全くの異物であるから︑うっかりこんなものを混ぜようとすると流れはピタリと止まる︒︵⁝︶この流れは継げ︵ ︶ないのであって︑もし切れたら初めからやり直すほかないのである︒に現れる︑
implicit︵ ︶に通それよりその内容が分化発展する︑而してこの分化発展が終った時実在の全体が実現せられ完成せられる﹂という感覚は︑西田幾多郎が﹃善の研究﹄で述べている実在の発展・完成の仕方﹁先ず全体が含蓄的かる﹄﹂の﹁証明が始まるとともに意識が流れ始め︑証明が終わるとともに流れは止まる︒そのとき全体が一時にわかる﹂

時にわかる﹂わかり方は︑自分がわかっていることのはっきりとわかる実感的なわかり方である︒この﹁実感的な﹃わていると言えるものであるが︑﹁わかった！﹂という実感を伴うわかり方ではない︒一方で︑岡潔の言う﹁全体が一じ感覚を表したものだと思われる︒このわかり方は︑各段階での論理を追うことはできているので︑形式的にはわかっ

朝永振一郎の言う﹁本当の理解でない﹂わかり方は︑岡潔の言う﹁論理や計算﹂の混ざった切れ切れのわかり方と同2感覚ではないかと思われる︒︵ ︶を保った発展に対応するじるものに思われる︒すなわち︑実感的な﹁わかる﹂は︑西田の言う﹁厳密なる統一﹂

3

そのため︑実感的な﹁わかる﹂に至っていないとしても︑それを問題に思わないことが多い︒しかし一方で︑実感的さて︑形式的な﹁わかる﹂しか得られていなくても︑それを用いて問題を解くことなどは︑ある程度可能である︒

3

な﹁わかる﹂が得られたなら︑それは﹁わかった﹂ことそれ自体に心の充実を感じるものである︒これは︑自らが﹁いま﹂を生きる活動としての充実感であり︑形式的な﹁わかる﹂の状態では得られないものである︒また︑実感的に﹁わかる﹂ことは︑筆者②︵富田︶による本稿の別論文﹁科学・技術に﹃質﹄なる目標を与える﹃型﹄︵ Art-Science Link

Worker実感する実践者たち︶﹂で述べられているように︑﹁﹃自分事﹄として物事に真摯に対峙する﹂こととも言える︒

そして︑これは︑科学・技術の開発において︑﹁質﹂の高いものを生み出すのに必要なことである︒最適化すべき機能として書き下されたものを超えた︵書き下される以前の︶生の欲求を︑その時々に生きた﹁いま﹂の実感として持ちながら開発を行うことで︑機能として書き下しきれない﹁質﹂の高い開発が行われるのである︒﹁いま﹂を生きる活動として得られるのが実感的な﹁わかる﹂︵あるいは﹁本当の理解﹂︶であり︑それが心の充実をもたらし︑﹁質﹂の高い開発を生む︒西田幾多郎は︑﹁論理と生命﹂の序文において﹁具体的真理は具体的生命の立場から考へられるも︵ ︶と述べているが︑これは︑右に述べたような︑のでなければならない︒﹂﹁本当の理解﹂は﹁いま﹂を生きる活動

西田幾多郎の生命観を参考にしたアプローチ

生命と﹁わかる﹂の数理モデル化の試み ︹森川・富田・井上︺五一

我々は有機体と云ふものを考へる時︑部分が何処までも全体の部分であると共に︑部分が独立的であり︑部分が西田幾多郎が生命をどのように捉えているのかの参考として︑筆者①は次の文章に着目した︒

二命についての捉え方を参考にして︑実感的な﹁わかる﹂とはどういうことかという問題へアプローチすることを試みた︒

としての﹁わかる﹂であるという感覚に通じるもののように思われる︒そこで︑筆者①︵森川︶は︑西田幾多郎の生4日本哲学史研究第十八号

五二

全体を宿すと考へる︒︵⁝︶細胞は何処までも身体の細胞であり︑一の多である︒全体的一に対してそれぞれの機能を果すかぎり細胞である︒併しそれが単に一の多となれば︑全体的一はもはや有機体ではなくして単なる機︵ ︶械となる︒生命と云ふものはなくなるのである︒

活動している状態﹂と︑②﹁部分が全体として一体になって活動している状態﹂をそれぞれ表現することと︑③前者﹁単に部分の活動の組み合わせではなく︑全体として一体となった活動﹂を表現するために︑①﹁部分が独立して三 ﹁わかる﹂の数理モデル化

うことかを調べることを試みた︒次節でこの数理モデル化について述べる︒

る﹂についての数理的な喩えを作り︑このモデルの振る舞いを観察することにより︑実感的な﹁わかる﹂とはどういなって活動する構造﹂ではないかと考えた︒そして︑この構造を数理モデルとして表現することで︑実感的な﹁わかこの解釈に基づき︑実感的な﹁わかる﹂を特徴づけるものは﹁単に部分の組み合わせではなく︑全体として一体と﹁部分が全体を宿す﹂活動となり︑生命となるのだと対応付けられる︒に一の多﹂であり︑全体的一としての﹁生命と云ふものはない﹂状態で︑それらが一つの意識の流れとなったときには第一節で述べた数学の﹁わかる﹂の実感と対応する︒すなわち︑﹁各段階での論理の展開﹂がわかっただけでは﹁単動として捉えられるときに︑それが生命として認識される﹂ということだと解釈した︒このように解釈すると︑これ筆者①は︑これを﹁全体の活動が︑単に部分の活動の組み合わせとしてではなく︑それが全体として一体となった活5または の値を状態としてとる要素たちの集合の状態遷移のダイナミクスとしてモデル化︵図から後者へ遷移することを表現することが必要である︒本研究では︑このそれぞれを︑次のようなモデル化によって実現した︒① 簡単のため︑︶︒︶︒の値を状態としてとる︶要素たちがネットワークとして結合され︑そのネットワークの性質として頂点 要(素 の) 状態が遷移するダイナミクスとしてモデル化︵図または1としてモデル化︵図 ︶︒

または0の値︶が遷移する︒論理演算は︑各頂点に定義された機能︵一般にはるネットワークモデルであり︑論理演算により各頂点の状態︵②で用いるネットワークは︑ブーリアンネットワーク︵ＢＮ︶と呼ばれ3五三で あ る と き︑ 頂ANDのように︑頂点Ａに対し4て 頂 点 Ｂ︑ Ｃ が 入 力 さ れ て お り︑ 頂 点 Ａ の 機 能 が態に対して行われるものである︒例えば︑図任 意 の ブ ー ル 関 数 と し て 定 義 さ れ る が︑ 簡 単 の た め︑ こ こ で は AND︑︑ XORのみとしている︶に従い︑その頂点へ入力する頂点たちの状
OR

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図 2 ネットワークの頂点集合ダイナミクス。

頂点集合ダイナミクスが与えられた要素集合ダイナミクスを再現するようなネットワーク構造を生成する過程①の要素集合ダイナミクスから︑そのダイナミクスを生み出すネットワーク構造︑すなわち︑ネットワークの2② ︵③0110
図 1 要素集合ダイナミクス。状態値が0 の要素を白色、1 の要素を灰色で示している。

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頂点Ａの時刻ｔ＋での状態はとなる︵図五四⒜︶︑それ以外の場合は︑4⒝︶︒このように︑各頂点の機能と︑ネットワークの入出力関係︵頂点Ｂ︑Ｃの時刻ｔでの状態が共に であれば︑頂点Ａの時刻ｔ＋ での状態は となり︵図104
図 4 ブーリアンネットワーク（BN）の状態遷移（頂点集合ダイナミクス）の例。

出すにものに近いＢＮ構造を生成してゆくアルゴリズムを集合ダイナミクスに一致する頂点集合ダイナミクスを生み率的に︶生成してゆくことで︑だんだんと与えられた要素したり︑入出力関係を一部繋ぎ替えたり︶させたＢＮを︵確からＢＮ構造を少しずつ変化︵頂点のどれかの機能を変更与えられた要素集合ダイナミクスとは一致しない︶︑そこ︵この段階では︑ＢＮの頂点の状態遷移のダイナミクスは︑与えられたときに︑最初にランダムにＢＮを生成してみてとしてモデル化した︒すなわち︑要素集合ダイナミクスが鎖モンテカルロ法︵ＭＣＭＣ︶によるサンプリングの過程の過程は︑ベイズ統計学などでよく用いられるマルコフ連

要素集合ダイナミクスに対して②のＢＮ構造を生成する③一体になって活動している状態﹂と言える︒そして︑①のは︑頂点たちの状態が︑それら全てを繋いだネットワークの性質として現れる振る舞いなので︑﹁部分が全体として︵各頂点の機能とネットワークの入出力関係を定めたとき︑ＢＮ構造を定めたと言うことにする︶︒このダイナミクス

点と頂点とを結ぶ矢印︶と初期時刻における各頂点の状態が定まると︑各頂点の状態遷移のダイナミクスが決定する

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図 3 ネットワーク構造を少し変化させて、そのネットワーク構造の頂点集合ダイナミクスを生み出す。そして、そのダイナミクスが与えられた要素集合ダイナミ
クスとどの程度一致しているかを調べ、その結果を参照しながらまたネットワーク構造を少し変化させることを繰り返す。

採用した︒

このモデルの振る舞いを︑第一節で挙げた数学の﹁わかる﹂の実感に対応させて述べると︑次のようになる︒まず︑要素集合ダイナミクスが与えられるが︑それは︑わかりたい問題が与えられた状態に対応する︒そして︑与えられた要素集合ダイナミクスに一致する頂点集合ダイナミクスを生み出すＢＮ構造をＭＣＭＣにより生成しようとしている過程は︑わかろうとして考えている状態に対応する︒この過程が進行し︑与えられた要素集合ダイナミクスを生み出すＢＮ構造が生成された状態が︑実感的にわかった状態に対応する︒ここで︑そのＢＮの生み出す頂点集合ダイナミクスが︑﹁証明が始まるとともに意識が流れ始め︑証明が終わるとともに流れは止まる﹂における意識の流れに対応しており︑その頂点集合ダイナミクスを生み出すＢＮが生成された状態︵頂点集合の状態遷移ダイナミクスが起こる前︶が︑﹁全体が含蓄的に現れ﹂た状態に対応すると考えられる︒実感的な﹁わかる﹂は︑自分がわかっていることがはっきりとわかるわかり方であり︑わかっているのかわかっていないのかが定まるようなものであるが︑このモデルにおいても︑その区別︵実感的な﹁わかる﹂に至っているかどうか︶は︑生成したＢＮが与えられた要素集合ダイナミクスを生み出すかどうかによって定まるものである︒すなわち︑わかっていない状態からわかった状態への遷移が不連続的である実感が︑このモデルでは表現されている︒また︑﹁各段階の論理の展開はすっかりわかっても︑全体的に一向に理解したという気もちの起らない﹂状態︵形式的な﹁わかる﹂︶は︑要素集合の部分的なダイナミクスについてはそれを生み出すＢＮが生成できているが︑全体として一つの︵連結な︶ＢＮは生成できていない状態に対応すると考えられる︒以上のように︑第一節で挙げた例に表れている実感に対応するものが︑このモデルで表現されている︒

五五

また︑以上の説明は︑数学の問題に対する﹁わかる﹂のみならず︑一般の現象についての﹁わかる﹂についても当てはまるものだと考えられる︒

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四 計算機シミュレーション

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第三節で説明した数理モデルは︑計算機上で実装し︑その振る舞いを観察することができる︒例えば︑図 のようみ出すＢＮ構造生成シミュレーションを実行すると︑図 のようなＢＮ構造が生成された︒ここで︑四つの異なるＢな三つの要素からなる要素集合のダイナミクスに対して︑そのダイナミクス︵と等しい頂点集合ダイナミクス︶を生5つの要素からなる図のような要素集合ダイナミクスについて同様のＢＮ構造生成シミュレーションを行った︒そのこの例は︑三つの要素からなる単純な系についてのシミュレーションであったが︑次に︑要素数を少し増やした七合ダイナミクスに対して︑対応するＢＮ構造は複数存在し得る︒

Ｎ構造を示しているが︑これらは全て同じ頂点集合ダイナミクスを生み出すＢＮ構造である︒すなわち︑同じ要素集6に示す︶︒これは︑同じ問題や現象に8ＢＮ構造も生成され得る程度の数なので︶︒そこで︑同じ頂点集合ダイナミクスを生み出すＢＮ構造がいくつ程度あ出すＢＮ構造が︑例えば数百程度の数しかなければ︑無数とは言えない︵何度もシミュレーションを繰り返せば同じ造が無数にあると述べたが︑それは﹁無数﹂と呼ぶ根拠としては弱いものである︒同じ頂点集合ダイナミクスを生みえる︒なお︑シミュレーション結果として同じＢＮ構造が現れない故に同じ頂点集合ダイナミクスを生み出すＢＮ構

対して︑その実感的なわかり方が多様であり︑人によって︑あるいは時によって千差万別であることを示す結果と言造が無数にあることが示唆される結果となった︵生成されたＢＮの数例を図等しい︶が生成され︑同じＢＮ構造が生成されることはない︑つまり︑この要素集合ダイナミクスに対応するＢＮ構

結果︑生成されるＢＮ構造は︑シミュレーションの度に異なるＢＮ構造︵ただし︑生み出す頂点集合ダイナミクスは7

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図 5 要素集合ダイナミクス。

図 6 生成された BN 構造。これら四つの BN 構造は、すべて同じ頂点集合ダイナミクスを生み出す。

図 7 要素集合ダイナミクス。

五七
図 8 生成された BN 構造の例。これらの BN 構造は、すべて同じ頂点集合ダイナミクスを生み出す。同じ頂点集合ダイナミクスを生み出す BN 構造はこれらの他にも無数に存在する。

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五八るのかを推定することを行った︵非常に多数であるので︑厳密に数え上げることは不可能だが︑推定することは可能︶︒

ここで用いた推定手法は︑ヒストグラム再重法と呼ばれるものである︒これは︑ＭＣＭＣサンプリングで生成されたサンプル︵ＢＮ構造︶たちから作られるヒストグラムに対して適切に重み付けすることで︑対象系についての様々な量を推定する手法であり︑計算統計物理の分野で︑︵任意の温度での︶物理量の期待値を近似的に求めるのに用いられている︒この手法を適用し︑七つの要素からなる要素集合ダイナミクスに対して︑それに対応するＢＮ構造の個数を推定すると︑その数は二百億個程度と計算された︒これほどの数が可能性としてあるのであれば︑何度シミュレーションを行っても︑同じＢＮ構造は現れないと考えられる︒また︑三つの要素の系では対応するＢＮ構造は四個であった︵この系については︑個数が少ないので厳密に数え上げることができた︶のに対し︑要素数を七つに増やすだけでこれほど対応するＢＮ構造の個数が増加することから︑要素数の増加に従い爆発的にＢＮ構造の数が増加することが示唆される︒ それ故︑このモデルでは︑同じ現象︵要素集合ダイナミクス︶に対する実感的な﹁わかる﹂が無数に今後の展望存在すること︑すなわち︑人により︑また時により得られる﹁わかる﹂が一回きりであるという性質が表現できていると言える︒

五

これまでに述べたのは︑一つの問題や現象に対する﹁わかる﹂についてのモデル化だった︒しかし︑実際には︑一つの﹁わかる﹂は次の﹁わかる﹂へと応用され︑そうして﹁わかる﹂の体系が作り上げられる︒これを表現するためには︑個々の﹁わかる﹂が結合され︑﹁わかる﹂の体系を作り︑その体系が次の﹁わかる﹂にフィードバックされる

構造をモデルに組み込むことが必要である︒個々の﹁わかる﹂を﹁わかる﹂の体系に結びつける過程は︑要素集合ダイナミクスに対してそれらを一つの全体と捉える過程︵ＢＮ構造生成︶と同様に考えることができる︒すなわち︑ＢＮ構造生成という一つの原理によって︑個々の﹁わかる﹂と﹁わかる﹂の体系の形成の両方が記述できると考えられる︒そして︑既に生成された﹁わかる﹂の構造がフィードバックされながら体系が成長することで︑﹁わかる﹂活動に関して﹁個性﹂が創発することなどが︑モデルの振る舞いとして観察されることが期待される︒

また︑﹁わかる﹂は人から人へと伝えられるものである︒筆者②による本稿の別論文で強調されているように︑科学・技術の﹁質﹂の維持は︑アーティストの感覚を持った技術者たちが欲求に﹁自分事﹂として対峙することで為されてきた︒それは︑機能や技術として書き下せない実感を持って開発を行うことである︒すなわち︑科学・技術の﹁質﹂の伝承は︑実感的な﹁わかる﹂を持った人が︑それを人に伝え︑伝えられた人がまた実感的な﹁わかる﹂を得ることで行われてきたと言える︒ここで注意したいことは︑実感的な﹁わかる﹂は人によって︑また時によって唯一的であることと︑実感的な﹁わかる﹂の感覚そのものを伝えることはできないということである︒実感的な﹁わかる﹂の唯一性は︑﹁自分事﹂としての﹁わかる﹂はコピーできないものであるという経験的な事実であり︑ＢＮ構造生成モデ

ルでは︑同じ問題・現象︵要素集合ダイナミクス︶に対して︑それに対応する﹁わかる﹂︵ＢＮ構造︶が無数に存在することに対応している︒では︑唯一的な﹁わかる﹂が伝えられるとはどういうことか︒この問題は︑実感的な﹁わかる﹂の感覚そのものを伝えることができないことにもつながるものである︒実感的な﹁わかる﹂の感覚そのものを伝えることができないというのは︑ＢＮ構造生成モデルでは︑現象は要素集合ダイナミクスの形で現れるものであるた

め︑ＢＮ構造そのものは認識の対象とはならないことに対応する︒すなわち︑﹁わかる﹂の感覚そのもの︵ＢＮ構造︶

五九ではなく︑要素集合ダイナミクスの形で﹁わかる﹂を表現し︑その要素集合ダイナミクスに対して受け手がＢＮ構造

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六〇を生成する形になる︒あくまでも実感的な﹁わかる﹂を得るのは︑わかる主体の﹁能動的﹂な行為︵ＢＮ構造生成︶によるのである︒そして︑わかる主体によって生成されたＢＮ構造はその時々で唯一的であるので︑実感的な﹁わかる﹂の感覚としては︑伝え手の持っていた元の実感とは異なるものになる︒﹁わかる﹂を伝えることについては︑まだ数理モデルにはまだ組み込まれていないが︑以上のことに注意しながらそれを数理モデルに加えることで︑実感︱︱唯一的であり︑さらに直接には伝えられないもの︱︱が伝えられることを︑数理モデルという喩えを通して理解できるようになることが期待される︒

形式的な﹁わかる﹂と実感的な﹁わかる﹂の違いや︑実感的な﹁わかる﹂の唯一性︵コピー不可能性︶︑コピー不可能な﹁わかる﹂を伝承するとはどういうことか︑それは如何にして︵どのような意味で︶可能かといったことは︑技術や機能として書き下せるものだけに着目していては理解することのできないことであった︒書き下しきることのできない実感に着目し︑その実感の構造を数理モデルという比喩表現で表すことにより︑それらを理解することにつながることが期待される︒本稿では︑その数理モデルを構築する一つの試みとして︑西田幾多郎の生命観を参考にして構築したＢＮ構造生成モデルを提案した︒ここで提案したモデルは︑西田幾多郎の哲学についての十分な理解に基づいたものではないが︑この試みが人文科学の知見と自然科学の知見とを相互に活用し合う方法の一つを切り拓く契機となれば幸いである︒

注︵ ︶朝永振一郎﹃科学者の自由な楽園﹄︵岩波文庫︑二〇〇〇︵ ︶岡潔﹃一葉舟﹄︵角川ソフィア文庫︑二〇一六年︶年︶1︵ ︶西田幾多郎﹃善の研究﹄︵岩波文庫︑一九五〇年︶

2︵ ︶西 田 幾 多 郎﹃ 西 田 幾 多 郎 全 集 ﹄第 八 巻︵ 岩 波 書 店︑3︵ ︶西 田 幾 多 郎﹃ 西 田 幾 多 郎 全 集 ﹄第 十 二 巻︵ 岩 波 書 店︑一九六五年︶

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一九六六年︶

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