《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

ミクロな基本法則とマクロな基本法則の懸け橋
京都大学大学院理学研究科 佐々真一

概要
自然現象の背後にある単純な法則を見出し体系化するのが物理学である。現在、その体系は相当整備されているように見える。例えば、舞い落ちる銀杏の葉っぱを見てみよう。複雑によろめいているが、流体力学の方程式と境界条件で記述されるのは多分間違いない。あるいは、原子分子の世界でシュレーデンガー方程式の記述、いやいや、クォークの世界でゲージ場による記述… などもきっと正しい。現象の背後にある法則を求める
場合、どこまで後ろにまわるのも自由であり、自分が好きなところで法則を書けばよい。
こうしてできあがってきた基本法則群を眺めると、フロンティアは常にあるものの、物理学の牙城は万全なように見える。ところで、ある現象に対して、どの基本法則に拠っていいとしても、それらは同じ現象を記述しているはずである。その事実は説明できるのだろうか？そもそも、基本法則と基本法則を結びつける法則はどうなっているのか？
明日の研究にすぐに役立つわけではないが、普段考えないようなことをゆっくり学ぶ機会にしたい。

1

春

素朴な疑問

中に少し変わったソラがいた。

ソラは高校時代に先に勉強しているおませ
あまりにも不自然に桜が咲き誇る春。僕は なタイプではなかった。自分が疑問に思うこ
大学２回生になった。この１年間、物理はす とをストレートに表現するだけなのだが、そごく勉強したが、友人のキヨには知識量も理 の爽快さが他人とは違っていた。そして、何解の深さも遠く及ばない。キヨは高校時代か より、新しいことを勉強する意欲にあふれて
ら量子論や相対論を勉強していたというから、 いた。
受験勉強だけしていた僕との差は歴然としてディラックゼミが終わると、いつもダラダいる。
ラと雑談していた。最近勉強していることで２回生で何のセミナーをしようか。１回生 気持ちよく理解できないことを話することがでは、ゴールドスタインの古典力学、砂川の 多かった。そこでもキヨの役割は大きく、キヨ
理論電磁気学、ランダウの場の古典論のセミ の講義になってしまうこともしばしばだった。
ナーをして、物理の体系の整然さを堪能した。
次は、いかにも気持ち悪そうな量子力学かな。 ５月の GW の隙間にあったディラックゼミ
ディラックあたりで希望者を集めようか。統 の後の雑談で、ソラが突然聞いてきた。
計力学も気になっているが、もう少し自分で「熱い湯に水を足すとぬるま湯になるのも勉強してからの方がいいかもしれない。
量子力学の結果なんですよね？」
自分がしたいセミナーがあると、掲示板に薄々と気にしていたことだが、これは踏みセミナー案内を貼る。友人たちにも声をかけ、 込んではいけない問いに思えた。この問いのディラックセミナーが立ち上がった。掲示板 延長には、例えば、「自然法則を考える自分を見て参加した１回生も混じっていた。その《講義ノート》

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を記述する自然法則は何か」という大学１回 の絶対評価であることを良く知っている。キ生のときに誰かが持ち出す定番の問いがある。 ヨが勉強した、と宣言する科目についてそのこれは確かに興味深い問いだが、途方もない。 理解は完全である。熱力学、統計力学、流体問題の難しさの程度すら分からない。何から 力学はきっと勉強済みなのだろう。僕は、熱勉強すればいいのか分からないので、当面は 力学も統計力学も流体力学もちょうど勉強を先延ばしするしかないという類のものだ。
始めたばかりで、全然風景が見えないままにのたうっている。でも、お調子ものの僕は、キ「ぬるま湯になる」のは、そこまで極端でヨがいったことを自分が最初から分かっていはないが、同じ香りがする。よく知っている
たように続けた。
現象（ぬるま湯になるとか、自然法則を考える自分がいるとか）を物理の基本法則でかけ「せやな。色んな現象を体系的に記述する
ますか？という問い方をしている点では同じ んが基本法則としたら、基本法則同士の関係だ。よく知っている現象をわざわざ量子力学 を問うことというてええんかな。熱力学や流で説明する必要はないだろう。量子力学の世 体力学の基本法則と力学の基本法則を結ぶ問界では驚くべき非日常的現象が起こっている 題やから、現象から法則を抜き出す「普通ののだから、それを理解するのがまず第一だ、 物理の営み」とはちゃうなぁ。難易度以前にという意見が主流だろう。
問題のタイプがちゃうわ。」
それでも、１回生に聞かれたので、恰好よ
キヨがいったことを少し言葉を変えていっ
く答えてみた。
ただけだけど、何となく気持ちが良かった。
そうか、そういう問題か、と自分でもそのと「せやな。せやけど、記述のレベルがちゃきに自覚した。ソラはまたまっすぐだった。
うから、それを示すのは大変やろな。」「面白いです。熱力学、統計力学、流体力学「何がどう難しいのですか？」
も勉強します。勉強したらまた聞きますね。」
単純明晰なソラの追撃がきた。僕が何も分やばい。ピッチをあげて僕も勉強しよう。熱かっていないままに知ったかぶりをしたのが力学、統計力学、流体力学は本を読んでも中々ばれてしまう。キヨの方を向いて助けを請う。
頭に入ってこない。時間はかかるが、日々勉強だな。
「なぁ、キヨ..」
キヨは何事もなかったように説明する。
「水と湯をまぜてぬるま湯になる、という
2 秋 怒涛の１週間
変化についての法則は、熱力学第２法則だね。
これはマクロな世界に対して現象論として美しく整備されている。熱力学とミクロな力学 2.1 月曜日 パラドクス登場
世界を結ぶのが統計力学。ただ、統計力学は平衡状態に対してのみ有効なので、ぬるま湯
銀杏並木の風景がすっかり変わる秋。ディになる、という変化は統計力学の守備範囲で ラックゼミは順調に進んでいた。セミナー後ない。ぬるま湯になっていく過程は流体力学 の雑談で、突然、ソラが聞いてきた。
で記述されるから、流体力学とミクロな力学「半年くらい前に、熱い湯に水を足すとぬ世界を結ぶことになる。それは勉強不足で知るま湯になる話をしたじゃないですか。勉強らない。」
して考えたら、混乱して分からなくなったのキヨが「勉強不足」というとき、キヨの内で で、聞いてもらえますか？」《講義ノート》

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どうやら、ソラは、解析力学、熱力学、統 プに共有しておきたいが、後でいいか。続き
計力学、流体力学も勉強したらしい。ゼミの を聞こう。
様子を見ても一目瞭然だった。素朴な問いを「この時間変化を分子の世界から記述しまストレートに出すのは変わりないが、発言のす。左の箱に N 個の粒子が入っているとして、雰囲気に「理解している感」が漂っているし、それらの位置と運動量の組で力学状態が記述
何となくオーラも違う。噂によると、夏休みされるので、は物理の勉強漬けだったらしいが、いかにもLΓL = (r1L , · · · , rN
, pL1 , · · · , pLN )(1)
本当っぽい。いや、多分、真実は逆かもしれない。ソラの様子から、誰かがそういう伝説と書きます。右側の箱も同様で、M 個の粒子を作ったのかもしれない。いずれにせよ、変が入っているときわったのは間違いない。ソラが黒板の前で説RR
ΓR = (r1R , · · · , rM
, pR
(2)
明する。
1 , · · · , pM )「量子力学はいったん切り離します。水と湯の接触を温度の異なる物質が仕切り壁を介して接触するとします。箱全体は外の世界から孤立化されているとします。熱力学の設定
だと、断熱不動壁で囲まれる、ということです。また、分子の運動はハミルトン方程式で記述される、ということです。」と書きます。それぞれの箱のハミルトニアンと相互作用ハミルトンを H L (ΓL ), H R (ΓR ),H int (Γ) と書きます。全体のハミルトンはH(Γ) = H L (ΓL ) + H R (ΓR ) + H int (Γ)(3)になります。簡単のために質量は全て同じで
m とします。ハミルトニアンが与えられれば、左側の箱の中の粒子の運動方程式ははは。これ、S 先生の統計力学の講義の言い
∂H
dpLi
= − L
方やな。K 大学ではいつ単位をとってもいい。
dt∂ri
統計力学の講義にはソラを含む数人の１回生
Ldrm i = pLi
(4)が出席している。多くは２回生で履修するし、dt
僕も今年とっている。昨年履修しておけば良になります。右側の箱の中の粒子の運動方程かったとも思うが、他のセミナーとかで忙し式も同様です。」
くて統計力学まで手が回らなかったのだ。
ふむ。ミクロな力学法則の確認な。粒子間おそらくお互いに了解しているだろうことの相互作用や粒子と壁との相互作用も全てハでも、考える前提条件から丁寧に説明するのミルトニアンで決まると仮定するのは合理的が結局問題に素早く到達する。そういうことだが、何か今一ピンと来ない。ふむふむ、いっは、ゼミで学んだ。
ても退屈だし、ちょっと聞いてみる。
「仕切り壁を断熱不動壁とすることで、左「あぁ。ハミルトニアンの具体的な形はど右で異なる温度が維持される平衡状態が実現うすんの？」
します。透熱不動壁を断熱不動壁のすぐ横にそっと差し込んで、断熱不動壁を抜きます。こ「それは...」のとき、熱力学第ゼロ法則により、十分に時ソラが聞きたいことにハミルトニアンの形
間がたてば、左右の部分の温度が等しい状態など関係ないのに、横から中断された形になっになります。このとき、熱力学エントロピー
た。そういうところから脱線して楽しくなるは増えるし、時間変化の様子は流体方程式でこともあるが、今のポイントではない。さっ記述されます。」と答えて本題に戻りたいところだが、さすがうむ。マクロな法則の確認な。そこもシャー にそういう術はまだ身につけていないようだ。

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）「２体の短距離相互作用と仮定すればいい になっています。途中の時刻でもちょうど反よ。その具体的な形は、状況に応じて量子力 対になっています。動画だと思うとまさに逆学にもとづいて近似的に評価されたりするけ 再生ですね。」
れど、それはソラが聞きたいことに関係ない「ところが、です。この逆回しも運動方程んじゃないかな。」
式の解になっているのですよ。Γ†t−s が運動方キヨがさっと助け舟を出す。僕の横やりに 程式を満たすのですよ。」
苛立っている様子もなく、自分の知識を誇っ
ソラが黒板に式を書いて確認する。確かているわけでもなく、当然なことを当然のよにそうだ。逆回しも運動方程式の解になってうにさらっという。そのたびに、僕はキヨのいる。
凄さを感じる。
「短距離相互作用」って何だろう... と思ったけど、後回しにした。ソラが続「あぁ....！熱い湯に水を足してぬるま湯にける。
なる解があるなら、それを逆再生したぬるま
湯が熱い湯と水に分かれる解もある、ちゅう「時刻 0 である力学状態 Γ ∈ R6(N +M ) を与ことか。これは見たことないし、マクロな法
えます。つまり、N + M 個の粒子の位置と運則の熱力学や流体力学と矛盾する..。 」
動量の組を与えます。これを初期条件として運動方程式を解きます。時刻 t での力学状態
僕が先走っていってしまった。
6(N +M )を Γt ∈ Rと書いて、Γ と t を与えれば「そうなんです。それが私が聞きたかった
一意に決まります。」
ことなんです。おかしくないですか。」
うむ。抽象的な言い方だが、これは力学でソラが質問をやっと言い終えたら、キヨが慣れている。計算機プログラムを書いて粒子ぽつりとの運動を追跡することを想像すれば視覚的にも分かる。補足した方がいいような気がして「可逆性のパラドックス」
声に出した。
とつぶやいた。
「あぁ。運動方程式の解ちゅうのは「動画」「１９世紀から議論されているパラドック
やな。プログラム書いて初期条件を入力する
スというのは読んだことがある。でも、それと、出力される動画はひとつに決まると。」
を解決する考え方は分からない。」
ソラが続ける。
キヨが分からない、というからには大変だ。
「そうですね。それはイメージしやすいで キヨは決して知ったかぶりはしない。豊富なすね。それで、ですよ。時刻 0 から時刻 t まで 知識はあるが、単なる物知りとは違う。理解の解 Γs (0 ≤ s ≤ t) があったとき、その解を逆 していることと理解していないことを自分の回ししますね。Γ に対して運動量の符号を反 中で区別がついている。理解していないこと対にしたのを Γ† と書きます。粒子が反対向き を表面的に喋ったりはしない。
に運動していくから、速度が反対になって時「あぁ。要するにや、ソラの質問はこんな間を逆にトレースするから、Γ†t−s (0 ≤ s ≤ t)
感じか。水と湯を混ぜるとぬるま湯になる、が逆回しの様子を示しています。数学的には、
ちゅう現象は、マクロな世界の基本法則で完s の関数を Γ†t−s として定義しただけですが、全に記述される。その一方で、水を構成する
s = 0 のとき時刻 t の力学状態で運動量の符
分子の運動方程式で記述すると、自然現象通
号を反転した Γ†t になってて、s = t では時刻りの解とその逆回しの解の両方がある。現実
0 の力学状態の運動量の符号を反転したもの

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物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）には、片方の解しか見えないないのはどうし の可逆性が素朴すぎて実際は対称でないとか。
てか？」
素粒子の世界では成り立っていない、ちゅう
話もどこかで見たことあるし。」
質問の内容を少しだけ言い換えてみた。ミ
クロな法則とマクロな法則が矛盾しているわ
キヨがすぐに冷静に応答する。
けではない。現実は一つである。分子の世界「それは関係ないだろうね。分子の運動がの解には現実に観測されないのも含んでいる
古典力学からずれていても、それはごくごくだけだ。しかし、どういうことだろう。全然僅かだろうし、その寄与が実際に確かにみえ分からない。
る不可逆な現象につながるのは不自然じゃな
その日の夜、布団に入って奇妙な気分になっ いかな。それに、可逆な古典力学が不可逆なた。僕たちは生まれて、やがて死ぬ。他人と 現象を記述するのは数値実験でも確かめるこ話をする。これは当たり前のことだ。当たり とができるはずだ。」
前のことを不思議に思ったりはしない。量子
前半は何をいっているのかよくは分からな
力学や相対論が描く非日常的な世界に比べてかったが、後半は納得した。
あまりにも慣れ親しんでいる。でも、僕たちの人生自身、宇宙の歴史のひとコマに過ぎな「せやな。ほな、実際に数値実験することい。僕たちが生まれて死ぬ歴史が運動方程式 考えよか。最初に、異なる温度の物質を断熱の解としてあるなら、それを逆戻ししたのも 壁で仕切って平衡状態をつくるところから。
解になっているのかもしれない。水と湯だけ ええと、あれ、断熱壁って何だっけ？」
でない。これは大変なことではないか。興奮
断熱壁は断熱壁で、そこやあそこにある。
して寝付けない。
日常会話でも出てくるが、実は科学としてきちんと定義されている概念を正しく理解するのは却って難しい。つい分かっていると勘違
いしてしまうから。しかし、これは熱力学で2.2 火曜日 具体的な問勉強したことを思い出せばよい。「あるものが何かというのは、実験によってその判定があくる日の夕方。セミナーはないが、構内可能となる手続きが与えられていること」とをブラブラしていると、ソラ、そして、キヨ強調されていた。それに従うと、断熱壁とは、に会った。不思議なもので、話をしたいと思っ
異なる温度差を維持できる理想的な壁のことていると、ちゃんと会えるようだ。空いていだった。力学世界でこの状況を表現するなら、る教室にいって、雑談を始めた。
仕切り壁の両側でエネルギーのやりとりを禁「あぁ。可逆性のパラドクスをもうちょっ 止する壁をデザインすればよい。キヨがすぐにきちんと説明する。
と具体的に分かりたい。」「粒子にとって壁は１体ポテンシャルとしと切り出した。午後に図書室にいって、いくつかの本を手にとってみたが、全然ピンと て表現できるから、理想的な設定をしたいな
こなかった。ボルツマンの話がどうのこうの、 ら、真空中でそれぞれの箱に相当する１体ポH 関数がどうのこうの.. という解説ばかりで、 テンシャルで粒子を閉じ込めて、単に二つの想像していた話と違っていた。少なくとも自 箱を相互作用長より離しておけばいいだろう。
分の知りたい話とは違う。昨日の話だと非常 独立な二つの孤立系をただ並べただけといってもいい。そして、統計力学に従って、平衡に一般的な問題のように思えるのだが。
状態にある力学状態は、確率で作ればよい。
「ええと。どこから疑えばええ？力学世界

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今の場合、で平衡状態にある、っちゅうのは、何やろ。」
L

L

L

L

L

R

R

R

R

R

言葉の定義にこだわるのは理解力の悪いせ
P0 (Γ) = eβ (F (β )−H (Γ ))+β (F (β )−H (Γ ))(5) いでもあるが、理解していないままに議論すという確率密度に従って、時刻 0 での Γ を選 ると気持ち悪い。
ぶと、左右の逆温度が β L , β R となる平衡状「統計力学の基本仮説とは、等重率の原理態になっている。」
ですよね？Γt が平衡状態にあるとは、Γt が示
す熱力学的性質が等重率の原理によってサンキヨが黒板に確率密度の式を書く。
プルされた力学状態の示す熱力学的性質と同「せやな。これで運動方程式の初期条件 Γ
じ、ということで....」を選べばええ。断熱仕切り壁から透熱仕切り
これは難しい。確か田崎さんの教科書でそ
壁にさっと入れ替える、ちゅうのは、箱をくっつけるんでええんやない。t > 0 では、異な ういうことが議論されていたけれど、完全にる箱の間の粒子間に相互作用の入った運動方 すっきりしなかった。S 先生の講義でも説明
程式を解くと。例えば、数値実験やと、初期 があったけれど、ふわっとした感じが残った。
条件をつくる部分と相互作用の入った運動方「あぁ。それな。式書いて分かるんか？Γt
程式を解く部分を別々に用意すればええ。」
は初期条件と時間発展則によって決まるから、
僕は相互作用する３個の粒子を２次元の箱 それが示す熱力学的性質は原理的には決まっに閉じ込めた場合の運動方程式を数値的に解 てる。せやけど、力学の初期条件は確率で選いたことがある。動画を作って楽しんだだけ ばれるから、Γt も確率的に定まるんで....」だが。ソラが続ける。
こうなるとキヨの出番だ。
「イメージがわきますね。異なる箱の粒子「統計力学では、大数の法則が決定的な役が相互作用しているから、エネルギーのやり割を果たす。巨視的な熱力学量の値はほとんとりがあって、段々、温度が等しい平衡状態にど確実に期待値をとる、と考える。力学状態向かうのですね。
「温度」という概念は力学での選択は確率的だが、どれが選ばれても大概は定義されていないですが、エネルギー配分の場合は大丈夫ということを前提にしている。
の状態数が最大になる平衡状態に向かう、と今の場合、運動方程式の時間変化が関わっていえばいいでしょうか。数値実験でそうなっいるから、自明ではないけれど、大数の法則ていることを確かめることはできそうですよがずっと成立する、と仮定するのはそんなにね。それで、十分に時間がたった時刻 t の力変ではないように思う。だから、どんな Γt を
学状態を Γt と書くと、昨日の議論を繰り返
見ても、ほとんど確実に熱力学的性質を再現して、その逆回しも解になることが分かりまして、平衡状態にあるといってもいいと思う。
す。そうすると、確かに、温度が一様な平衡
証明はともかく。」
状態から出発して、元に戻る様子を記述する
なるほど。すっきりすることで、さらに混運動方程式の解はありますよ。これが、可逆乱が増してきた。
性のパラドクスで...。」「あぁ。せやったら、パラドックスあるやん
か。気持ち悪う。何か、十分時間がたったあ「あぁ。時間がたった後の平衡状態ってどうとの平衡状態と最初に用意する平衡状態が同いう意味？初期条件が独立な二つの系の平衡
じ気がせんのやけど。あ、でも、ええと、運状態にあるのは統計力学の仮説によって認め動方程式の時間発展の結果で平衡状態に緩和るとしても、接触して十分時間がたったあと説明を聞くと僕は混乱した。

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することは...、数値実験だと良さそうなのか。 定で時刻 t での力学状態 Γ の分布関数とみる
式書いて示したいが...。」
なら Pt (Γ) と書いても良い。関数の引数だからな。ようするに、初期分布にしたがって初混乱して何を喋っているのか自分でも分か期の力学状態をたくさん用意してそれらをそらない。ともかく、問題を具体的に理解した
れぞれ時間発展して力学状態の頻度を見たのい、という今日の目標は達成できた気がする。
が Pt だ。Γt は Pt にしたがってサンプルされ「でも、面白くないですか。式を書いてみ た典型的な力学状態と考えればいいだろう。
そうすると時間が十分にたってある平衡状態
ます！」になるとは、ある β があって、ソラが元気にいう。こりゃいかん。僕もやりたい。
Pt (Γ) → eβ(F (β)−H(Γ))(6)
「俺も書いてみるわ。」ということだろうか？これは式で書けている
とりあえず宣言した。キヨは黙って黒板を から、YES or NO がはっきりしている。
見ている。先を見通しているような雰囲気はP0 (Γ) は最初に与えた分布で、それにもと漂っているが、黙っているうちはパスが通っ づいて時刻 t の分布を求めればいいのか。分
ていないのだろう。僕はこのまま黒板見ても 布に対する微分方程式を作って解けばいいの
進展する気はしない。具体的な設定は分かっ かな。まずは微分方程式を作ってみるか。みたので、家に帰って、ゆっくりと式で書いて るか。みるか。てとら。ゆーり。あ、いかん。
みよう。
ひとりでやっていると変なこと喋ってしまう。
微分方程式の鉄則で Pt+∆t を Pt と関係づければいい。うーん。また寝っ転がる。うーん
2.3 火曜日の夜 ー Γt の分布ん。うたた寝をして、目が覚めたら何となく分かった。時刻 t の力学状態と時刻 t + ∆t の
４畳半の部屋に小さい炬燵机がある。それ 力学状態は運動方程式でつながっていて、そが僕の勉強机だ。夕方の話をゆっくりと紙に の分布の関係だから、書いていく。まず、Γ を確率分布 P0 (Γ) に従っPt+∆t (Γ∆t ) = Pt (Γ)(7)て選ぶ。これは問題ない。統計力学と違って、
P0 (Γ) は左側と右側で温度が違っている。問か？あ、いかん。ヤコビアン忘れている。
題は Γt だ。紙に Γ → Γt と書く。運動方程式の解として決まる、というのがきついよな。
Pt+∆t (Γ∆t )dΓ∆t = Pt (Γ)dΓ
(8)
数値実験で様子が分かるとしても、式としては何もわからない。うーんんと天井を眺める。 だから、僕は寝っ転がるのが好きなので、手が止まる
∂Γ−∆t
(9)
Pt+∆t (Γ) = Pt (Γ−∆t )とすぐ横になる。
「待てよ。そもそも Γ だって∂Γ
どんな様子になっているのか分からないじゃかな。運動方程式をないか。P0 (Γ) という分布は統計力学でなん
dΓtとなく分かっているけれど、その確率分布か= Φ(Γt )(10)dt
ら選ばれた力学状態そのものについては知らない。じゃ、Γt でなくて Γt の分布はどうなっ と書いておくと、O((∆t)2 ) の寄与を無視して、ている？これは良い問いに思えた。
∂Γ−∆t
Pt+∆t (Γ) = Pt (Γ − ∆tΦ(Γ))(11)
その分布を Pt (Γt ) と書こう。与えられた設∂Γ

《講義ノート》

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及び、行列 A に対して、detA = expTrlogA
今日も、ソラ、そして、キヨに会った。空を思い出して、いている教室にいって、雑談を始めた。僕が口火を切った。
∂Φ
∂Γ−∆t
=1−
∆t
(12)
∂Γ
∂Γ
「ええと、初期分布 P から選んだ Γ の時間
発展 Γt が従う分布 Pt を考えて、それが統計となるから、力学の平衡分布になるかどうか、ちゅうんが最初の問題やろな。それを議論するために Pt
Pt+∆t (Γ) − Pt (Γ)
に対する時間発展方程式を出したんで、まず∂Φ= −Pt (Γ) ∆t
それから。」∂Γ∂
昨夜に導いた方程式を黒板で説明する。
−Φ(Γ) Pt (Γ)∆t∂Γ+O((∆t)2 ).
(13)
キヨは全て自明かのように、淡々と応える。
「Liouville 方程式だね。でも、それだけだを得る。すると、Γ の関数 φ(Γ) に作用する演と余りにも一般的で何も分からないと思う。」
算子 L をLφ = −∂(Φ(Γ)φ(Γ))
∂Γ

(14)

名前があるのか。そして、全くその通りなんだが...。

と定義して、「あぁ、いや、その通りで、線形方程式だから、演算子の性質が全てやし、この演算子∂t Pt (Γ) = LPt (Γ)(15) は量子力学で馴染みつつあるのとも全然違う
し、途方もないオーラが漂っていて、何か考という線形の微分方程式を導くことができる。
える糸口あるんか？」
めでたい... か？うーん。だからどうした？
何とか息も絶え絶えつないだ感じがした。
線形の微分方程式だから演算子 L の性質が全てか。量子力学と似ているけど、これエル「もう少しいけるよ。」
ミートでないし、作用する空間は「確率分布
キヨが黒板の前に立つ。
のあつまり」なので、量子力学とは随分違い
そうだ。その数学的な性質は今の僕には手も「ハミルトンの運動方程式だと足もでない。どうしようもない問題なのか。そ
∂Φ(Γ)
=0
(16)
れにこのあたりでウロウロしていると大数の∂Γ
法則との関係とか全くわからんなぁ。明日..... が成り立つよね。相空間上のベクトル場の発
キヨに聞こう。
散ね。」
ふむ。確かに。キヨが続ける。

2.4

水曜日前半

平衡化 I

「だから、Φ は Γ 微分の外に出してもよい。

∂t Pt (Γ) = −Φ(Γ)

次の日の朝。目が覚めると、自動的に昨夜のことを反芻していた。Γt でなくて、Pt を考 これはつまりえるのは悪くない。でもその微分方程式を考えるのは多分違う。方程式でなくて Pt を考えだよね。」
ることができるのか...。

∂Pt (Γ)∂ΓdPt (Γt )
=0
dt

(17)

(18)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）「おぉ。代入したら確かに成り立つわ。そ「一般に相空間の確率分布 Q(Γ) に対して、
れに、これはあれや、流体力学で出てきた La- シャノンエントロピー S(Q) を∫grange 微分...。」
S(Q) ≡ − dΓQ(Γ) log Q(Γ)(22)
「そう。これから(19) で定義します。このとき、∫が分かる。勿論、Pt (Γ) = P0 (Γ−t ) と書いてもS(Pt ) = − dΓt Pt (Γt ) log Pt (Γt )よい。ここで、定義からいつでも成り立つ式∫= − dΓP0 (Γ) log Pt (Γt )Pt (Γt )dΓt = P0 (Γ)dΓ(20)∫= − dΓP0 (Γ) log P0 (Γ)と比べると、∂Γt= S(P )
(23)
=1
(21)
∂Γ
Pt (Γt ) = P0 (Γ)ということを意味している。Liouville の定理 です。１行目から２行目は Pt の定義から、２だね。解析力学でやったよね。」
行目から３行目で Pt (Γt ) = P0 (Γ) を使いました。つまり、S(Pt ) は時間 t に依存しません。」「あぁ、すっかり忘れてた。やった。やった。ええと、時間発展が正準変換で書けるこ「おお。確かに成り立ってる。綺麗やな。」とから分かることやったっけ。」「ところで、Q に平衡分布を代入すると、「そう。正準変換を持ち出す証明でなくて S(Q) は熱力学エントロピーと一致するので、も、ハミルトン方程式から直接導くこともで S(P ) は異なる温度の系が断熱壁で接する平
きる。分布を使った今の議論も別証明になっ 衡状態の熱力学エントロピーです。そして、ているとは思うけど。」
もし Pt が平衡分布になるなら、S(Pt ) もその平衡状態の熱力学エントロピーになります。
そうか。解析力学のそのあたりは、色々なS(Pt ) = S(P ) ということは、最初と最後の表現をその場その場でおっかけている感じで、
熱力学エントロピーが一致することになりま
今一全体を把握してないんだよな。
す。熱接触での平衡状態間遷移では、熱力学
ソラは黙っているが、自分のノートを見て エントロピーは絶対に増えるはずです。従っ確認しているようだ。Liouville の定理がそこ て、Pt は決して平衡分布にならない、というにあるのは間違いない。どうやら、それに到 ことが分かります。」
達しなかったのは僕だけだったようだ。
これは極めて大事なことのような気がする。
「そして、P から始まる Pt の時間発展で あれ待てよ。今、喋ったのはソラだよな。つい平衡分布に到達するかどうかだけなら、Liou- この前まで、僕が教えていた気がするのだが、
ville の定理だけで議論できる。実は、平衡分 あっという間に前にでたのか..。あ、いや、そ
布にいかないことがすぐに分かる。」
れはともかく、何だって..。
なんだと〜！そこまでいっているのか。そ「ええと、例えばや、相互作用する頻度がして、それに引き続くソラの言葉に、僕は衝 非常に小さい系、つまり、理想気体に近い気撃を受けた。
体の場合やと... 左と右でエネルギー交換がランダムにおこると、全エネルギーが一定で左「私に説明させてください。」
右の区別がなくなるから、最終的な温度は最ソラが黒板の前に出る。えっ。
初の温度の相加平均や。そうすると、熱力学

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

エントロピーは確実に増えているはずやから、 プルされた状態は、平衡状態と考えてええや矛盾する.. ちゅうことか。」
ろうけど、そこから時間を t だけ進ませると、異なる温度の平衡状態に戻る。Pt が平衡分布
今日の僕には思いもしなかった展開だ。つだとすると矛盾するけど、そうでない、と分
まり、Pt は時間がたっても平衡分布にいかな
かったんやから、パラドックスは消えた... といにも関わらず、系は平衡状態に向かうと考
思えばええんか？」
えてもいいわけ？
浮かれた僕の発言をキヨが冷静に戒める。
「あぁ、わけが分からんようになってきた。
平衡状態って何やった？これ昨日も確認した「十分時間がたったとき Pt からサンプルしんやったな。ええと、系が平衡状態にあると た状態が本当に平衡状態になっているかどうは、目前にある力学状態、今の場合 Γt 、の示 か、まだ分かっていない。つまり、高温物質とす熱力学的性質が、等重率の原理に従ってサ 低温物質を接触させたら、エネルギーは高温ンプルされた力学状態の示す熱力学的性質と から低温に流れる、という熱力学第２法則を同じ...。」
力学の立場からどのように理解するのか、さらには、高温と低温と接触した場合に十分に昨日の話をもう一度声に出す。声に出すの時間がたつと温度が等しい状態になる、といは悪いことじゃない。キヨが静かに補足する。
う熱力学第０法則を力学の立場からどう理解「orthodic アンサンブル。熱力学と矛盾し するのか。仕事をして云々を考えない今の問
ない正当なアンサンブルの族、という考え方 題では、第０法則が理解できれば第２法則のをボルツマンが考えていた、ということを 側面は含まれている。だから、当面、熱力学
Gallavotti の統計力学の教科書に書いてあっ 第０法則を力学から理解しないといけない。」
た。ミクロカノニカルやカノニカルなどは、「あぁ。確かに、ちょっと先走りすぎやな。十
その例に過ぎない。今の場合、十分に時間が分時間がたった後の Pt がどんなもんか、ちゅ
たったときの分布 Pt も熱力学と矛盾しない
うのが大事やな。S(Pt ) = S(P ) でありながし、同じ熱力学を再現する何かのカノニカルら、熱力学法則とは矛盾せん... と。」
分布と等価なのだろうけど、決して、カノニ
カル分布そのものではない。」
力学の理解が深まるにつれ、熱力学がます
ます不思議になるわけか。結局、Pt が分から
Gallavotti の統計力学の教科書？しかし、キないとどうにもならない気がする。
ヨは良く知っているなぁ。ともかく、昨日の会話のイメージを思い出してきた。昨日の夕「ふーん。結局、Liouville 方程式を解いて、方は、可逆性のパラドクスについてゆっくり Pt を議論するしかないんやないの？」
考えていて、Pt が平衡分布とは違う気分でいなんとなく挑発的な調子になった。Liouville
たのに、昨夜、紙に式を書いているうちにその定理で分かったことはあるけど、それだけの気分を忘れて平衡分布になることが目標にじゃダメだろう、というキヨとソラの結果になってしまっていた。昨日の気分と目前の式対する対抗心のようなものがあった。そこでが統合されてきた。
皆が沈黙した。今日はここまでかな...。
「あぁ、そうか。そうか。Pt が平衡分布に向かわへんからこそ、可逆性と矛盾せんのか？
例えば、時刻 t まで時間発展して、そこで速度を反転して得られる力学状態の確率密度を Pt†と書くと、十分時間がたったとき、Pt† でサン《講義ノート》

2.5

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

水曜日後半

平衡化 II「時間依存する温度を力学から決めたらどうでしょうか？例えば、１自由度あたりの運動エネルギーから決めるとか。」

休憩して自動販売機でお茶を買ってきた。 温度の問題は最近考えたので、負けじと反淀んでしまったときは、気分を変えるのがい 対する。
い。相対論における同時刻の定義についてひ「いやいやいや。平衡状態のときは、それとしきり話をしてひと区切りがついたとき、が温度になることは統計力学から分かるけど、ソラがぼそっといった。
それやと、平衡分布からサンプルしたのと全「温度の時間変化を追跡できないでしょう 然違う変な配置でも温度が定義されてしまうやろ。運動エネルギーは運動エネルギーであっか。」て、無条件でそれを敢えて温度と言い換えるは？温度の時間変化？何をいい始めた？僕
意味はないやろ。あくまで、平衡状態の場合
は脊髄反射でには、温度が運動エネルギーと関係づいた、「はぁ？温度って平衡状態を特徴づける量 と考えるべきやな。」
やから、時間変化する力学状態では定義されへんやろ？」

そういったところで何のプラスにもならな
い一般的な注釈だが、とりあえず口に出した。
と答えてしまった。キヨがソラの問いをき 生産的でないコメントにキヨがうまく継いでくれた。
ちんとフォローした。
「平衡分布の場合には、統計力学に従って、「それはそうだけど、例えば、流体方程式
だって、温度は時空間変化するよね。それは、 明確に温度が定義されるのはいいよね。平衡
流体記述における時空の各点では熱力学が成 分布からずれる場合でも、そのずれが小さい
立すると考える、という局所平衡の仮定から ときは、平衡分布の温度を拡張して使うと考きている。同じように、右側の箱と左側の箱 えればいいんじゃないかな。今の場合、左右がそれぞれ十分に熱力学が成立するような状 のそれぞれの箱では平衡分布に近いと思って況があってもいいと思う。具体的には、左右 いいんじゃないかな。」の粒子の相互作用頻度がすごく小さい場合とほう、と思ったが、疲れていたのか、全て
かだと、それぞれの箱では熱力学が成立しつにいちゃもんをつけたい気分になっていた。
つ、その温度が時間変化している記述、とい「せやけど、近いって何や？何に比べてどうのはありえると思う。このときの Pt を具体的に見ると、可逆性のパラドクスの核心が分 れくらい近いん？本当に近いん？」
かる気がする。」
分布の近さの定義を問うようなまたしてもなるほど。確かに。説得力がある。何とな 一般的な注釈を声に出してしまった。もはやくいっていることは分かる。でも同意するの やけくそに近いかもしれない。しかし、定義は悔しいので、とりあえずネガティブな方か は何にせよ、近い、というのは主張なのだから YES or NO がはっきりする。だから、それらいってみた。
を問うのは悪くない。それに「小さい」とい「せやけど、具体的にはどうするの？Pt のうときは、比べるものがちゃんとあって、必時間変化は難しくて分からへんのに、温度の要に応じてその小ささの程度を指定できると時間変化なんてどうやって議論すんの？」
きに使う。揚げ足取りのようだが、そんなにこれにはソラがすぐに素直な案を出した。 酷い問いではない。そして相変わらずキヨは

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

完璧だ。
「まじめにいえば、近いというのは、それぞれの箱での平衡分布と真の分布の差、例えば、各相空間点での分布の差の絶対値の相空間全体での積分とか、が 1 よりずっと小さいということだろうけど、まぁ、小さい無次元
パラメータ ϵ があって、分布がそれで展開できればいいんだと思う。今の問題だと、無次元化した逆温度差

ん、あぁ、セルフコンシステントに決めればええんか？」
喋りながら、僕が全く分かっていないことは分かってきた。分かっていないことが分かると、なんか誇らしげになって得意気な表情になる。悪い癖だが。突然、ソラが入り込んできた。

「あのぅ。関係ないかもしれないですが、力学演習で調和振動子の摂動問題をやったんでLRβ −βすよ。２変数の微分方程式の摂動解を構成す
(24)
ϵ≡
β̄
る話で凄く面白かったです。ポアンカレーやボゴリューボフたちが開発した特異摂動法とを小さいとするのでよいと思う。無次元化す呼ばれる方法らしいんですが、それ、今の話るための参照温度 β̄ は何でもいいだろうけど、に関係ないですか？」
見た目が綺麗な何。特異摂動だと..。その言葉は聞いたこと(25) はあるが、何物なのか全く知らない。ソラは果てしなく進化している。
と定義すれはいいだろう。例えば、20 ℃と 40「例えば、調和振動子に散逸と非線形性が℃の物体を接触させる場合だと、ϵ = 0.066 になるから小さいと思える。それで、このパラ 摂動的に加わった van der Pol 方程式を考えメータで分布 Pt を展開できるかどうか、つ るとしますね、調和振動子の解を未摂動解として摂動展開すると、補正項が時間とともにまり、発散するんですよ。それで、そういうのが出(0)(1)
Pt (Γ) = Pt (Γ) + ϵPt (Γ) + · · ·(26) ないように摂動展開を組み直すんです。特に、ボゴリューボフたちの方法だと未摂動状態の(0)と書いて、Pt として左右の箱で温度が異な
振幅が時間依存するようになり、その時間発る平衡分布をとれればいいんじゃないかな。」
展方程式とその変形した未摂動状態からの小摂動論って、量子力学でちょこっとやった さなずれを同時に系統的に計算できるのですくらいで、具体的に計算した経験があまりな よ。ね、似ていると思いません？」

βL + βRβ̄ ≡2い。大変そうなイメージがあって、しかも、全
然面白そうでない。でもまぁ、いっていることは分かる。分かるが... 色々と腑に落ちない。

僕は血の気が引いた。

「あああ。似ている.. て、同じやないか。い(0)
や、落ち着け。落ち着いてないのは俺か。Pt(0)「せやけど、Pt としてそういうのが選べた(1)として逆温度 β̄ の平衡分布をとったら、Pt
として、温度の時間変化はどうやって決まる(0)が時間とともに発散する、ちゅうことか？Ptの？マクロな法則をカンニングするのは反則やとして時間依存する温度をいれると、その時ろ。ミクロな立場で微妙な問題を考えるんや(1)
間変化とずれ Pt の両方がちゃんと求まるから、そこをカンニングしたら意味ないし...。
んか？ほんまか。全然分からんが、そのボゴ(0)
うーん。それにその ϵ で展開するなら Pt とリューボフの方法とやらを勉強せなあかん。」
しては逆温度 β̄ の平衡分布でええんちゃうの？
僕が浮かれていてもキヨはやっぱり冷静だ。
あれ、何がしたかったんや？分布を求めたい
んか、時間変化する温度を求めたいんか。う《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）「そうか、特異摂動か..。結果として同じこ ギーの変化についてはとかもしれないけれど、特異摂動とかいわな
dH L (Γt ) dH R (Γt )
+
̸= 0
(29)
くても、未摂動状態のそれぞれの箱の温度は、dt
dt
それぞれの箱のエネルギーから逆算して決めだから、右から左へ流れるエネルギーの変化ればいいだろうし、摂動分は Pt (Γ) = P0 (Γ−t )率を考えるときも相互作用の寄与がないと綺からちゃんと決まると思うけどね。」
麗にならないなぁ。箱のエネルギーの定義か
なるほどそれはそれで何となく分かる気が ら問題なのか...。
する。式を具体的に書いてみよう。それにどっ
漠然と分かった気になっていることでも、
ちにしろ特異摂動も勉強しよう。
きちんと式に書いて確実に確認しないと、実際は見えていないことがよくある。おそらくそれぞれの箱のエネルギーの定義は、知りた
2.6 水曜日の夜 相互作用の扱い
い問題の全体からすれば小さいことだろう。
しかし、こういう細部を考えることができな
自分の部屋に帰って、まず特異摂動の勉強 いと、知りたいことには絶対に届かない。そをした。文献をざっと見て、最初の簡単な例題 れは分かっているが、疲れているのかそのまについては、計算を追った。ソラが話してた ま寝てしまった。
非線形振動の扱い方も式の上では分かった。
しかし、腑に落ちた感じは全くしないので、理解しているとはいえず、特異摂動を今日考 2.7 木曜日昼 落とし穴えるのは無理だ。それはそれでおいといて、
まずは、キヨが最後にいった方針で進んでみ
次の日の昼休み、キヨとすれちがった。すよう。
れちがいざまに、設定での初期分布は
L

L

L

L

L

R

R

R

R

R

「あぁ。昨日の話やけど、相互作用エネル
ギーどうやんの？」P0 (Γ) = eβ (F (β )−H (Γ ))+β (F (β )−H (Γ ))
と聞いた。
(27)
だった。Liouville の定理より、時間 t での分「半分づつ入れておいたら綺麗になるよ。」
布 Pt (Γ) が Pt (Γ) = P0 (Γ−t ) と書けることは分かっている。参照とする分布 P (0) として、 へぇ、そうなのか。さすがにキヨは計算す
時間に依存する温度 βtL , βtR を使ってすめているようだ。
L
L L
L
L
R
R R
R
R
(0)
「じゃ、16:30 にいつもの部屋で。」
Pt (Γ) = eβt (F (βt )−H (Γ ))+βt (F (βt )−H (Γ ))(28)
キヨは講義に向かったが、僕は図書室でノーを考えるのかな。
トを広げて計算を続けた。

1
あっと、左右の箱の粒子の相互作用 H int (Γ)
H̃ L (Γ) ≡ H L (ΓL ) + H int (Γ)
2がある。その寄与は接触面近くだけしかなく、
1
典型的な配置ではバルクのエネルギーに比べH̃ R (Γ) ≡ H R (ΓR ) + H int (Γ) (30)2て圧倒的に小さいので、無視っていい。これは平衡統計力学で繰り返し使う論法だ。でも、 を定義するのか。なるほど、そうすると、これがあってこそエネルギーを交換するのだ
dH̃ L (Γt )= J(Γt )(31)
から、無視はまずいな。それに、箱のエネル
dt《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

によって、左箱のエネルギー増加率 J を定義 が時間に依存する温度の決定条件になる。確する。H̃ L + H̃ R は時間に依存しないので、 かにこれは「温度」の条件として変でない気がする。エネルギー期待値
dH̃ R (Γt )= −J(Γt )(32)
dt
EtL ≡ ⟨H̃ L ⟩t ,(37)が成り立つから、J は右箱のエネルギーの減EtR ≡ ⟨H̃ R ⟩t(38)
少率にもなっており、まさしく、J は右箱から左箱へのエネルギー移動率と考えてよい。 を見るときは、その温度のカノニカル分布で見ているのと同じだ。本当にちゃんと定義で具体的に計算しておこう。左右の粒子の相 きているのか、つまり、エネルギー期待値を互作用ポテンシャルが V int (|riL − rjR |) で表さ 指定したとき、その決定条件を使ってそれぞれているとすると
れの箱の温度が一意に決まるのか、というの
L
R
int
L
R
∑ pi + pj ∂V (|ri − rj |)は気になる。
J =−
(33)
2m
∂riL
ij
まぁでも、それはおいといて、先にすすもう。エネルギー配分と温度の組が１：１に対となった。当然だが、相互作用だけで決まっ応するなら、温度の時間変化はエネルギーのている。何となくエネルギー移動っぽい式に
時間変化で決まる。エネルギー移動率の期待なっているからいいのだろう。
値 It ≡ ⟨J⟩t が分かればいい。念のため式を書
それで、それぞれの箱で別の温度が定義さ いておくと(0)dEtL
れている状態に対応する分布 Pt は、
= It
(39)
dt
L
R
L
L
R
R
(0)
Pt (Γ) = e−Ψ(βt ,βt )−[βt H̃ (Γ)+βt H̃ (Γ)] (34) だ。真の分布は局所カノニカル分布に近いと考えているので、PβLC
による期待値を考えれt
かな。統計力学のように、規格化因子の定数ばよい気がする。つまり、
を指数関数の肩にまとめてひとつの定数とし∫(0)て書くのがいいような気がする。Ψ は平衡状It ≡ dΓPβLC(Γ)J(Γ)(40)t
態 β L = β R だと熱力学関数になる。確か久保演習書に名前があった。
とすると、これは β が決まれば決まる。このt(0)
Pt の t 依存性は、βt ≡ (βtL , βtR ) のみを通(0)
じて入るので、Pt を PβLCと書いておくのがt

依存性を求めれば βt の時間発展が具体的に分かる。

便利にみえる。それぞれの箱でカノニカル分
おぉ。なんか無茶調子いい。大体、こうやっ
布だから、局所カノニカル分布という名前を てトントン拍子で進むときは大きな落とし穴
つけて、そこから記号 LC をつけた。昨日、キ が待っている。だから油断するなよ、と表面ヨがいっていたのは、βtL 、βtR をそれぞれの箱 的には思いながらも、内心では、もう答えがの期待値から決めればいい、ということで、 見えた気がしていた。16:30 に間に合う。あと
つまりは、局所カノニカル分布によるエネル は何とかして I (0) を計算するだけ。といって
t
ギー期待値が正しい期待値となるように、βt も、こんなの計算できるのかな。J(Γ) の具体を決めるということか。式で書こう。PβLCに 的な表式を見てもすぐに積分できる感じがしt
LC
よる期待値を ⟨ ⟩βt , Pt による期待値を ⟨ ⟩t と ない。一般論では無理か..。ここまでかな...。
書くと、図書室でうたた寝をしていた。計算がいきL
L LC(35) づまると、すぐにうたた寝をしてしまう。おか⟨H̃ ⟩t = ⟨H̃ ⟩βt ,R
R LC(36) しな夢を見た気がするけれど、それが何だった⟨H̃ ⟩t = ⟨H̃ ⟩βt

《講義ノート》

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か思い出せない。でも、目が覚めたとき、Li「なるほど。それは綺麗な話だね。知らな
ouville の定理、というフレーズが浮かんだ。 かった。」
何気なしに Liouville の定理 dΓt = dΓ を書いとキヨが答えた。その計算はしていなかっていると見えた。それを使うと、たらしい。ソラは∫d=0dΓPβLC (Γt )(41)「私もそこまで計算できていませんでした。
dt
t=0
それに付け加えるコメントが一つと質問が一が成り立つ。ってことは、任意の β について つあります。」∫といいながら、黒板に向かう。
LR(β − β ) dΓPβLC (Γ)J(Γ) = 0(42)「コメントは、与えられたエネルギー配分(0)に対して、温度の組が一意に決まることにつとなる。つまり、It = 0 じゃないか！
いてです。」
そうか、これが落とし穴か。話がうますぎ
え、その議論をやったのか。ソラが続ける。
ると思ったんだ。何度も計算や論旨をチェックしたが、計算や設定は間違っていない。そ「局所カノニカル分布は統計力学と同じ形(0)
もそも、分布の主要部分 Pt しか使わないな
式だから、
ら、Pt (Γ) の時間発展の形、Pt (Γ) = P0 (Γ−t )∂Ψ(βtL , βtR )を使わずに温度の時間発展が求まることにな
EtL = −(43)
∂βtLるのだから、何かがおかしい。しかし、局所∂Ψ(βtL , βtR )カノニカル分布で高温と低温を用意している(44)
EtR = −∂βtRのに、エネルギーが流れない... とはな。局所
カノニカル分布からのずれがエネルギー変化 は分かりますよね。それで、二つの箱のエネを決めているのか。そういえば、昨日、僕は ルギーに対する「エントロピーのようなもの」「セルフコンシステントに決めるのか」と勢 をルジャンドル変換でいで喋ってしまったが、そういう話ではない、 S(E L , E R ) ≡ inf [Ψ(β L , β R ) + E L β L + E R β R ]βということかな。ソラのいうように特異摂動(45)を考えないといけないのかもしれない。キヨと定義するとはどうするのだろうか。
∂S(EtL , EtR )
βtL =
(46)
∂EtL
∂S(EtL , EtR )
R
β
=
(47)
2.8 木曜日夕方 結果t∂EtRとなりますよね。エントロピーのようなもの
16:30 になった。いつもの部屋に、ソラ、キS は、H int がなければそれぞれの箱の熱力学
ヨ、そして僕が集まった。いつもの部屋といっ
エントロピーの単なる足し算です。巨視的なても、今週だけずっと使っているだけだ。こ系だとこの相互作用の影響はおそらく無視での３日は３週間くらいに感じる。この話は春きると思います。いずれにしても、S(E L , E R )からずっとやっているような錯覚に陥るが、の関数形はダイナミクスと関係なく、与えら密に話したのは今週だけだ。
れたハミルトニアンに対して統計力学の計算
僕が図書室で理解した話をする。少なくと で決まるということが大事です。そして、そもキヨにはお見通しだと思っていたが、予想 れぞれの箱のエネルギー期待値が分かれば、外にも温度が分かることになります。」

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

おぉ、凄く綺麗じゃないか。いわれてみれ
ばもっともだ。何で僕はそこにいかなかったのだろう。条件なしでいけてるようにも見えるが、つい聞いてみた。
「ええと、そこで仮定された条件は....」
こういうのはキヨが即答する。

近くの寄与しかないんで、バルクの寄与を持
つ H L , H R とは典型的な値は全然違うやろ。
この小ささを表現するために、H int の前に無次元の小さなパラメータ δ をおいて摂動的に扱うようにすれば、形式的には議論できる。
δって何かっていわれたら、ちゃんと答えられ
へんけどな。それで、Pt (Γ) を(0)

Pt (Γ) = Pt (Γ) + Q̃t (Γ) + P̃t (Γ)(49)
「Ψ の凸性。ルジャンドル変換を使っているから。統計力学だと短距離相互作用の場合(0)と書いといて、参照する分布 Pt (Γ)、今の場には大丈夫らしいというのは読んだことはあ合、局所カノニカル分布で、初期分布のずれ
るけれど、勉強しきれてない。」
から決まる分 Q̃t (Γ) とその他のずれ P̃t (Γ) にあ、短距離相互作用.. また出てきた。何や 分けたらえんちゃうの。それでエネルギー変ろ、と思ったが、止めなかった。ソラが続ける。 化率の期待値 It を「そうですね。そうすると、Ψ の凸性が成り立つことを仮定します。いずれにしても、これは形式的なコメントですが、別のことで混乱(0)しています。私も Pt の選択で色々迷って、相互作用分を半分入れるのが綺麗かなとも思っ(0)
たのですが、そのときには、P0 (Γ) ̸= P0 (Γ)
ですよね。t = 0 では二つの箱は切り離されて平衡分布にあるという設定だったから、相互作用分がないのですよね。昨日書いた(00)

It = It

(10)

+ δIt

(01)

+ ϵIt

+ ···

(50)

(nk)

と展開して、つまり、δ n ϵk It の和として書(00)
くんやろな。さっき示したのが It= 0 で、
何かの極限で最も主要な項を取り出せばええ
んやけど、嫌やなぁ。そんな計算できる気せんな。」
ついにキヨが立ち上がった。

「全部つながった気がする。昨夜、Pt (Γ) =(48) P0 (Γ−t ) の使い方を考えていたんだ。それを併せると、多分、最後までいく。」という展開では、この初期条件のずれはどこ
黒板の前の役者がキヨに交代する。
に入るのでしょうか？そこを混乱して、先に進めなくなったのです。」「まず、局所カノニカル分布からのずれをおぉ〜。僕は気が付いてなかった。そこは あらわすためにスルーして、浮かれたままで先を計算してい
L R
L L
R R
Pt (Γ) = e−Ψ(βt ,βt )−[βt H̃ (Γ)+βt H̃ (Γ)]+Σt (Γ)
た。いつものように理解しないままに口走る。
(51)(0)
「ええと、どうすれば...。あれ、Pt (Γ) は とおく。ずれを Σt によって表したとも考えれ初期条件と一致するように選んだ方がええん るし、論理的には Σt の定義といってもよい。
か。けど、そうするとさっき示した一般的な ところで、Pt (Γ) = P0 (Γ−t ) だから、Σt は具
式は成り立たんようになるし、色々と複雑に 体的に書ける。全部書き出すね。単なる移項(0)なる。Pt (Γ) としては、やはり、相互作用が だけど、式で書くと長い。
半分づつ入る局所カノニカルの方がええ...。」
Σt = δ β̄H int (Γ−t ) + B
そうか、喋りながら方針が見えた気がする。
+Ψ(βtL , βtR ) − Ψ(β L , β R )黒板の前にでて説明する。
+β L H̃ L (Γ) − β L H̃ L (Γ )(0)(1)
Pt (Γ) = Pt (Γ) + ϵPt (Γ) + · · ·「よし、相互作用も摂動や。H

int

は接触面

−t
t
R R
R R
+βt H̃ (Γ) − β H̃ (Γ−t )(52)

《講義ノート》

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ここで、B はネルギー増加は右の箱のエネルギー増加と符号が反対で大きさが同じだったことを思い出
すと、

B = Ψ(β L , β R ) + β L F L (β L ) + β R F R (β R )(53)
σs = (βsL − βsR )J(Γs−t ) + O(ϵδ 2 , δ 2 ) (59)という定数で、Σt の 1 行目が初期分布と局所
カノニカル分布の差に由来している。相互作 になるね。」
用がない δ = 0 だと分布が時間変化しないのおぉ〜。まるで魔法のようだ。何と鮮やかだから、δ = 0 のときは Σ = 0 に注意して、な。摂動といっても、単なるオーダー評価しΣt の形を見ると、か使っていない。摂動という言葉からイメー
Σt = O(δ) + O(δϵ)(54) ジするような激しい計算は何一つ使っていない。Σt は一見複雑に見えたが、何のことはなとオーダー評価できる。これは、つまり、Σt い、最初からそこに向かっていたのか。凄い。
を摂動的に扱かってよいということをいって 凄い。キヨが続ける。
いる。それで、Pt = PβLCeΣt を Σt について展t「分布の局所カノニカルからのずれのうち、開するとQ̃t (Γ) は Σt の第一項から、その他のずれ P̃t (Γ)
LC
2 2 3
は σs の積分からくる。そして、It の主要項もIt = ⟨JΣt ⟩βt + O(ϵ δ , δ )= O(δ 2 , ϵδ 2 )(55) 分かる。
(20)

が主要項になっていることが分かる。ここで、と君の結果 ⟨J⟩LC
βt = 0 と∂s H̃ L (Γs−t ) = J(Γs−t ) = O(δ)(56)

を使った。」

δ 2 It(21)
δ ϵIt == −δ⟨β̄H int (Γ−t )J(Γ)⟩LC
βt .

(60)

∫ t
ds(βsL − βsR )⟨J(Γs−t )J(Γ)⟩LC
βt .

2

0

(61)
(20)
かな。しかし、It は t が H int と J の相関時

ふむ。Σt がごちゃごちゃしているが、論旨 間より大きくなると０に近づくから効かない。
(21)
は明快に見える。局所カノニカル分布からの 残る主要項は It だけだと思う。」
ずれを小さいと考える、というのはまさに昨
僕は終わったつもりだったが、ソラが素朴
日期待していたことだ。そして、キヨのウル な問いを発してきた。
トラ C が炸裂した。
「この主要項だけが重要ってどうやったら「ところで、この Σt の２行目から４行目は、 分かるのでしょうか？単に ϵ → 0 や δ → 0 だ∫ tとこの項自身もゼロに近づくので..。」
dsσs
(57)
0
あれれ、確かに。
と書くことができる。σs は、微分して積分し「その小ささに合わせて時間を長くとるのて端の値の寄与として、Σt の 2 行目から 4 行−1に対して、だろね。温度差の減衰率 τrel
目になるように
dβ dE
ϵ
=
(62)
τrel
dE dt
σs = ∂s [Ψ(βs ) + βsL H̃ L (Γs−t ) + βsR H̃ R (Γs−t )](58)となる。微分を実行するといくつかの項がでるけど、O(It ) ≃ O(∂s βs ) だから、∂s βs からくる項は主要項からはずれるし、左の箱のエ−1) になる。上の式とだから、dE/dt は O(ϵτrel−2
比べると、τrel = O(δ ) だから、τ = δ 2 t を一定に保ったまま δ → 0, ϵ → 0, t → ∞ を考えればいいと思う。」

《講義ノート》

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なるほど、なるほど、至極もっとも。しか「ええと。もともと、ソラが春に「熱い湯し、びしっとこない。
に水を足すとぬるま湯になるのも量子力学の結果じゃないか」といい出したのが最初やっ「あぁ。ええと、ちゃんと式で書けるんか？」
たな。量子力学でやらんと終われへんな。」
既に細部に入っているが、キヨは動じない。
キヨが静かにいう。
「スケールされた変数を導入しようか。エネ「初期状態として異なる温度のカノニカル
ルギーとか温度とかの時間変化は非常にゆっ分布に対応する密度行列を用意して、量子力
くりしていて、τ でみないと追跡できないわ
学の時間発展を考えれば同じだよ。Liouville
けだから、そのような「ゆっくりした時間尺の定理がユリタリー性に変わるだけ。エネル
度」で逆温度差の時間変化をみる。つまり、
ギー変化の期待値を考えるときに、演算子がLR∆τ ≡ βt − βt(63) 交換しないことに注意しないといけないけれとおく。β̄τ∗ = β̄t も導入しよう。さらに、J = ど、それはそんなに難しくない。全くパラレ
O(δ) だったので、J ∗ = J/δ と定義しよう。そ ルに議論できる。」
うすると、エネルギー変化率の相関時間が ϵ
キヨがこれまでの話の量子版を完全に講義に関係ないだろうことに注意して、先の極限 した。なるほど、これは明快だ。量子性がどで残るのは、
こでどのように効いてくるのかも分かる。そ
d∆τ
dβ̄
=
κ(β̄τ∗ )∆τ(64) れで終わりか...。あと残っているのは、可逆LdτdE EτL∗性のパラドクスかな。
とかけて、

∫ 0

κ(β) =−∞

ds⟨J ∗ (Γ−s )J ∗ (Γ)⟩C
β(65)となる。この期待値 ⟨ ⟩C
β は逆温度 β でのカノニカル分布での期待値ね。熱容量が正だから∂β/∂E < 0 で、κ は時間積分の分散でかけるから正になる。だから、逆温度差 ∆ はゼロに近づく。」
今度こそ本当だ。間違いない。湯と水を接触するとぬるま湯になる、というあたり前の現象をミクロなハミルトン力学系の世界から導出することができた。κ が本当に有限になるかどうか、また、その具体例も知りたいが、
今日はこれでいい気がした。興奮しきってい
るし、ひとつの山場は完全に超えた。

2.9

金曜日

次の問題へ

「あぁ。可逆性のパラドクスって結局何やったんだろ。時間依存する温度は確かに平衡状
態に向かっている。その一方、分布は平衡分布に向かっていない。例えば、Pt† (Γ) から力学状態を選べば、典型的には元に戻る。これは、Pt と Pt† が異なる、ということを主張している。Pt からサンプルして得られる状態から出発する振る舞いと Pt† からサンプルして得られる状態から出発する振る舞いが異なっているのは何も不思議なことではない。その意味で、パラドックスはないのかもしれないが、何か気持ち悪いな。その気持ち悪さの起源は何だろう。」
ソラが答える。
「具体的には、(Γ)eΣt (Γ)
Pt (Γ) = PβLCt(66)

今日も 16:30 にいつもの部屋に３人が集まっ だったので、時間反転非対称性 Σt (Γ† ) ̸=
た。何となく 3 人とも穏やかだ。静かに僕が Σt (Γ) が全てですよね。この関数はそれまでの温度変化の履歴から決まっていて、時間反口火を切る。

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

転対称でないことは具体的に確認できますね。 は途方もない。そういうことかな。続く... と。」
面白いことに、Σt は熱力学量の期待値に寄与
ため息をついた。
せず、温度変化には主たる寄与をもたらすのですよね。しかも、昨日の設定だと、Pt と Pt†「何か凄いですね。景色が変わりました。
LCはどちらもある局所カノニカル分布 Pβt から 本当に面白いです。」
は同じように近いのに、その後の時間変化はしばらくの沈黙の後、僕が話題を変えた。
全く異なるのですね。もっといえば、その後の時間変化を見るときには、Pt を PβLCに置き「あぁ。それはそれで考えるとして、ついt
換えても大きな影響がない、というか、温度 でに色々出来るんちゃうの。例えば、流体方の時間変化は同じなのに、Pt† のその後の振る 程式をミクロな力学から出せたら面白いやろ。
舞いは大きく異なっているのだから、その意 速度場があるから複雑やろうけど、やってみ
味では局所カノニカル分布 PβLCに近いとはい るわ。」
t
えない。この辺りの奇妙な事実が気持ち悪さ
僕がつぶやくと、ソラが続いた。
の大元ではないですか。」「私は、特異摂動との関係が気になるので、
確かに、何か気持ち悪さの起源に近いとこ考えます。昨日の計算は特異摂動としても定ろにいるが、まだふわっとしている。キヨが式化できるはずだと思うんですよ。」
続ける。
キヨもつられた。
「そもそも初期条件として、それぞれの箱でカノニカル分布を仮定したよね。実際は、色々「昨日の話は、エネルギー期待値の時間変な歴史があってその状態があるのだから、厳 化で徹したけれど、それは大数の法則を前提
密にカノニカル分布になっているはずはない。 にして、一回きりのイベントの結果を期待値
カノニカル分布でよい、と考えてよいのは、そ で見ていると考えたのだった。実際はそのまの仮定にもとづく統計力学の計算が数々の実 わりでずれているのだけど、それがどうなっ験と一致するからだと、統計力学では考える。 ているか調べてみるよ。」
本当は、カノニカル分布からずれているはず
このキヨがやりたいことは、よく理解できだが、そのずれは関係ない... と。今回の話は、なかった。数学的な評価のことをいっているの
統計力学からもう一歩踏み込んで、時間変化
か、それとも大数の法則に関連した極限分布、までを整合性の条件として考えたとき、どの中心極限定理のようなこと、を念頭に置いてような統計分布が代表的なものとして考えているのか。もう疲れて問う気力はなかった。
いいのか、ということを問うているんだと思う。それにはまだ答えきれていない。」
なるほど。僕が自分の言葉でいう。

3

冬

エピローグ

「ふー。つまりやな、観測されるマクロな現象と矛盾のない初期条件はあるが、それ自身クリスマスの頃。ソラ、キヨ、僕が順番にが時間反転対称性を破っていると。その初期 発表する機会をもった。
条件は熱力学との整合性だけでは決まらない。
ソラは、van der Pol 方程式を例題にして、その後に引き続いておこるダイナミクスと整特異摂動の分かりやすいレビューをして、特合するように選ばないといけない。可逆な力
異摂動を使って、熱接触における温度の時間
学と不可逆な現象を整合させているのは初期変化を記述する方程式をハミルトン力学から条件であり、それを別の何かから理解するの再導出した。キヨの用意した設定が特異摂動《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

では、ゼロモードの分離条件に対応するのを たなポイントだった。これで流体方程式の位見るのは驚きだった。素朴な摂動における永 置づけも気持ちよくなった。
年項の除去という立場から自然にキヨの設定「冬休みにレポートを書いて、S 先生に見に到達する。イリノイ大学の大野らが開発してもらいませんか？」
たくりこみ群方程式の言葉での解説も加えた。
ソラが提案した。そうだな、折角色々と理
キヨは、熱接触の例題で、ゆらぎながら時間解したことだし、気分的にも盛り上がる。
発展する方程式について説明した。１９６０
年代の森らの射影演算子の話を解説し、この「そういえば、S 先生、第 59 回物性若手夏
例題でその対応を再構成した。キヨの導出方 の学校で講義したらしい。講義ノートが読め
法では、射影演算子という考え方を最初から るという噂を聞いたけど。。」
持ち出さず、むしろ、知りたいことにまっすぐ
さっとソラが検索する。
向かっている。ソラの特異摂動の話と併せて、これらの計算技巧の全貌は明らかになった。
「この講義ノート面白いですよ。」
僕は、熱接触の例題を一般化して、流体方
程式をハミルトン力学から導出した。マクロな運動量の熱力学や統計力学での扱い方を整理して、局所共動座標系をうまく使うのが新「あまりにも不自然に桜が咲き誇る春。....
「この講義ノート面白いですよ。」「あまりにも不自然に....」」」.....

解説
本文の物語風記事は、第 59 回物性若手夏の学校 (2014) の講義ノートとして書かれている。
私は、ミクロな世界の基本法則とマクロな世界の基本法則をつなぐ、ということに対して強い興味を持っていて、その興味をそのまま講義の題名にした。講義ノートでは、その典型的な例として、いわゆる「時間の矢」問題をとりあげた。大学１，２回生くらいで一度は話題にのぼる問題だし、問題設定に高度な専門的知識はいらないので、説明しやすいと考えたからである。ただ、水と湯をまぜるとぬるま湯になる、という至極当たり前の現象に対して、
敢えてミクロな力学世界から考えると不思議に思えてくる、という一回ひねった不思議さを議論するので、問題意識が共有されない場合も多い。そこで、大学１，２回生時代の気分に戻って、問いに素直に向かっていく様を伝える形式の解説がいい気がした。それが物語風にした一つの理由である。また、この物語は、登場人物の設定や話の構成などについて、[結城浩、「数学ガール」（ソフトバンククリエイティブ）] を大きく参考にしている。
（物語の中で無断登場もしている。）
物語風といっても、内容は、物性若手夏の学校にふさわしく最先端の知見が紹介されている。木曜日のソラ、キヨ、僕がそれぞれ持ち寄ってくる関係式３つを組み合わせることで、ミクロな可逆ダイナミクスからマクロな不可逆ダイナミクスを導出することができる、というコンセプトは、2014 年に出版された論文 [S. Sasa, Phys. Rev. Lett. 112 100602 (2014);
arXiv:1306.4880] のハイライトである。この論文では、流体方程式をハミルトン系から導く議論を展開している。この３つの関係式を組み合わせることで一気に見通しがよくなることが分かったのは 2013 年 5 月のことである。流体方程式の場合には、運動量の扱いや局所共動座標系の扱いなどさらに技巧的な部分が必要になるので、より簡単な例題でこの論文の本

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

質を伝えることを目指した。
物語では金曜日にキヨが解説したことになっている量子力学からの導出は、実は、この講義ノートを書きながら平行してすすめた。量子力学にもとづく流体方程式の導出は複雑そうなので誰かにまかせようと思っていたが、熱接触の場合だと量子力学でも簡単に議論できるはずだと思って手を動かしてみた。この講義ノートの最後に殴り書きノートを添付している。
ただ、量子系の場合には、形式的な表現ではピンとこないので、具体例を解析して学ぶ必要があるだろう。
さらに、例題が簡単になっている分だけ、特異摂動との関係も見やすくなっている。実は、流体方程式導出においても、特異摂動と同じ構造があることは意識していたのだが、複雑なので完全な整理はできてなかった。今回はこの講義ノートを準備しながら、レポート用紙上
では特異摂動との関係は概ね明快になった。その部分もソラに金曜日に喋らそうと思っていた時期もあったのだが、分量的日程的に無理だった。何かの機会に公表したい。夏の学校の講義では、その解説にも触れようかと思っている。
特異摂動との関係については、少し思い入れがある。文献 [蔵本由紀, 物性研究 49(3), 299326 (1987) ; NII 論文 ID(NAID):110006466699 (http://ci.nii.ac.jp/naid/110006466699)] にあるように、私が大学院生のとき、蔵本さんによる、ミクロダイナミクスからマクロダイナ
ミクスを得る系統的な方法についての連続講義があった。この講義は刺激的で、それまで断片的な知識でしかなかった考えや計算方法が系統的に理解できた気がした。８０年代後半は、そのような計算方法を使って、既知のものを少しアレンジするような論文がたくさん出版されていた。私は、その方法に興味を持ちつつも単純な応用をすることを面白いと思えなかった。そこで、むしろ、誰もが知っている流体方程式をミクロ力学から導出することを目標にした。流体方程式のミクロからの基礎には学部生のときから興味を持っていたのでちょうどよかったが、全くできなかった。レベルが違う問題だと思ってあきらめた。今や、流体方程式を導出し、特異摂動の言葉でも理解できそうになったのは、そのときの宿題を終えた気分になって大変うれしい。
キヨが最後に話している射影演算子法との関係についても触れておきたい。射影演算子法
は、非平衡統計力学の金字塔の一つであるが、何をやっているのかが分からないまま今日まで至っている。演算子の自明な恒等式は勿論分かるが、それを使って何を計算したことになっているのかがはっきりしない。本文でとりあげた例題に対して射影演算子の関係を議論する
ことで、射影演算子の恒等式の意義について理解を深めれると思っている。
本文の導出では、平衡からの距離 ϵ と相互作用 δ の両方で展開している。初期条件を相互作用を含むぴったり局所平衡から出発すると δ に関する展開はいらない。流体方程式導出の論文はその形になっている。相互作用に関する展開をするなら ϵ は小さくなくてもいいと思った時期もあったのだが、これは非常に微妙な問題があって、形式的にはいいように見えるのだが丁寧に分析すると、まずい点があった。このあたりのうまくいくとかいかないとかのボーダーはまだよく見えていない。
この講義ノート草稿に対して、武末真二さん、伊丹将人さん、水口毅さん、高橋惇さんには３点以上の間違いを指摘していだきました。また、田崎晴明さんと結城浩さんには、twitter 上で強く励ましていただきました。これらの方々、および、間違いを指摘くださった多くの方と励ましを送ってくださった多くの方に感謝します。

2014 年 5 月 7 日 (改訂 5 月 11 日,5 月 18 日; 最終版 5 月 19 日)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

Relaxation dynamics of weakly interacting two quantum systems
2014/05/06 Shin-ichi Sasa

Question
We consider a quantum system consisting of two subsystems whose Hamiltonians are
given by H1 and H2 . We assume that [H1 , H2 ] = 0 and that the two subsystems interact
through the interaction Hamiltonian δHint , where δ is a dimensionless constant. The total
Hamiltonian is written as
H = H1 + H2 + δHint .
(S1)
The initial state of the system is described by the density matrix ρ. For simplicity of later
arguments, we study the case that ρ is given by the local canonical state−Ψ(β )−β H−β̄ δHint
ρLC,
β0 = e
0

0

0

(S2)

∑
where β 0 = (β10 , β20 ), β 0 H = 2k=1 βk0 Hk , and β̄ 0 ≡ (β10 + β20 )/2. βk0 represents the temperature of the k-th subsystem.
Let U (t) = e−iHt be the time evolution operator. (The Planck constant ℏ is set to unity.)
With the definition of modified Hamiltonians
1H̃k ≡ Hk + δHint ,
2

(S3)

†
Ek (t) ≡ Tr[U (t)ρLC
β 0 U (t)H̃k ].

(S4)

E1 (t) + E2 (t) = E1 (0) + E2 (0).

(S5)

dEk (t)†= Tr[U (t)ρLC
β 0 U (t)Jk ]
dt

(S6)

Jk = i[H, H̃k ].

(S7)

we study the time evolution of

It should be noted thatWe then havewithIn this note, we derive a (well-known) formula describing the energy exchange rate dE1 /dt
under the condition that (i) the system is near equilibrium0≤ϵ≡β10 − β20
≪1
β̄ 0

(S8)

and (ii) the coupling is week
0 ≤ δ ≪ 1.

(S9)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

Derivation
First, we introduce the time dependent parameter β(t) such that†
LC
Tr[U (t)ρLC
β 0 U (t)H̃k ] = Tr[ρβ(t) H̃k ],which is written as
Ek (t) = −∂Ψ(β(t)).
∂βk (t)

(S10)

(S11)

Here, by defining
S(E) ≡ inf [βE + Ψ(β)],β

we also obtainβk (t) =∂S(E(t)),∂Ek (t)

(S12)

(S13)

which provides βk (t) for a given E(t). It is natural to define β̄(t) ≡ (β1 (t) + β2 (t))/2.
Next, we define the operator Φ(t) by†Φ(t)U (t)ρLC.
β 0 U (t) = e(S14)

Φ(t) = U (t)Φ(0)U † (t)(S15)

Φ(0) = −Ψ(β 0 ) − β 0 H̃.

(S16)

Φ(t) = −Ψ(β(t)) − β(t)H̃ + Σ(t),(S17)

We then confirm thatwith
Now, we express Φ(t) as

which, precisely speaking, provides the definition of Σ(t). Namely,
Σ(t) = Ψ(β(t)) + β(t)H̃ − Ψ(β 0 ) − β 0 U (t)H̃U † (t),∫ t=dsσ(s)

(S18)
(S19)

0

with
σ(s) = ∂s [Ψ(β(s)) + β(s)U (t − s)H̃U † (t − s))]

(S20)

= (∂s β(s))[U (t − s)H̃U † (t − s) − E(s)]+[β1 (s) − β2 (s)]U (t − s)J1 U † (t − s).

(S21)

Since
|Σ(t)| ≤ |Ψ(β(t)) − Ψ(β 0 )| + |β(t)H̃ − β 0 U (t)H̃U † (t)|,(S22)

it is expected that |Σ(t)| = O(ϵ) for all t. (It is not a proof.) We thus obtain
dE1 (t)†= Tr[U (t)ρLC
β 0 U (t)J1 ]dt= Tr[e−Ψ(β(t))−β(t)H̃+Σ(t) J1 ]= Tr[ρLCβ(t) J1 ]∫ t ∫ 1uβ(t)H̃+ds
duTr[ρLC
σ(s)e−uβ(t)H̃ J1 ] + O(ϵ2 ).
β(t) e00(S23)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 4, No. 1, 041203 （2015年2月号）

We then notice
Tr[ρLCβ(t) J1 ] = 0,

(S24)

†
which is obtained from Tr[U (t)ρLC
β U (t)] = 1 for any t and any β.
Now we consider the condition 0 ≤ δ ≪ 1. By recalling (S21) and |J1 | = O(δ), we find thatdE1 /dt = O(ϵδ 2 ), and ∂s β(s) = O(ϵδ 2 ). By using this estimation and noting J1 + J2 = 0,
we obtain∫ t∫ 1
dE1 (t)uβ(t)H̃=ds[β1 (s) − β2 (s)]duTr[ρLC
U (t − s)J1 U † (t − s)e−uβ(t)H̃ J1 ]β(t) edt
00+O(ϵ2 ) + O(ϵδ 3 )
(S25)
∫ 0
∫ 1
†
=
ds[β1 (t + s) − β2 (t + s)]
duTr[ρCβ̄ U (−s + iuβ̄)J1 U (−s + iuβ̄)J1 ]
−t

0
2

3

+O(ϵ ) + O(ϵδ ),(S26)

where ρC
denotes the canonical density matrix.
β̄At the last step, by introducing the scaled timeτ ≡ δ 2 t,

(S27)

defining the scaled variables E1∗ (τ ) ≡ E1 (t), βk∗ (τ ) ≡ βk (t), and J ∗ = J/δ, we consider thetime evolution of∆(τ ) ≡ β1∗ (τ ) − β2∗ (τ )(S28)
in the limit t → ∞, ϵ → 0, and δ → 0 with fixed τ . With some assumptions, we then obtaind∆(τ )dβ̄=
κ(β̄ ∗ (τ ))∆(τ )dτ
dE1 E ∗ (τ )

(S29)

1

∫ 1

with
κ(β) =

∫ 0
du

0

−∞

∗ †
∗
dsTr[ρC
β U (−s + iuβ)J1 U (−s + iuβ)J1 ],(S30)

where ρC
β is the canonical density matrix.
The choice of the initial state seems very special. A more natural one is
ρ=e

∑

0
0
k βk [F (βk )−Hk ]

,

(S31)

which represents the situation that two independent equilibrium states with diﬀerent temperatures are prepared. In this case, we rewrite0ρ = eΦ(0)+β̄ δHint +B ,

(S32)

∑
where B = k βk0 [F (βk0 ) + Ψ(β 0 )] = O(δ). It is easy to modify the above argument. The
final result is the same as (S29).