《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ϕʔςԾઆೖ໳
ࠤ౻७

͸͡Ίʹ

1

ϕʔςԾઆͱ͸ɼҰ࣍‫ࢠྔݩ‬ଟମ‫ܥ‬ͷϋϛϧτχΞϯΛର֯Խ͠ɼΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋͓Αͼ‫ݻ‬༗ঢ়ଶΛ‫ʹີݫ‬
ߏ੒͢Δख๏Ͱ͋ΔɽຊςΩετͰ͸ɼ͜Εʹ͍ͭͯͷೖ໳తղઆΛߦ͏ɽϕʔςԾઆ͸‫ݩ‬ʑɼϕʔς͕ 1931 ೥ʹɼϋΠθϯϕϧΫ໛‫ܕ‬ͷ‫ݻ‬༗஋ɼ‫ݻ‬༗ϕΫτϧΛ‫ٻʹີݫ‬ΊΔख๏ͱͯ͠૑࢝ͨ͠΋ͷͰɼ‫Ͱࡏݱ‬͸࠲ඪϕʔςԾઆͱ‫ݺ‬͹ΕΔ [1]ɽຊςΩετͷલ൒Ͱ͸ɼϋΠθϯϕϧΫ໛‫ܕ‬Λগ֦͠ுͨ͠ XXZ ໛‫ܕ‬Λ༻͍ͯɼ࠲ඪϕʔςԾઆΛղઆ͢Δɽ࠲ඪϕʔςԾઆ͸ɼϕʔς‫ܕ‬೾ಈؔ਺ͷ෺ཧతඳ૾Λඳ͖΍͍͢ͱ͍͏ར఺͕͋ΓɼϕʔςԾઆΛॳΊֶͯͿͷʹదͨ͠ϧʔτͰ͋Δ͕ɼ໛‫ܕ‬ͷՄղੑͷഎ‫ܠ‬͸໌Β͔Ͱͳ͍ɽ࠲ඪϕʔςԾઆʹ͓͍ͯ͸ɼଟମͷࢄཚ͕ 2 ମࢄཚͷੵʹ͔͚Δ͜ͱ͕ຊ࣭తͰ͋Γɼ͜Ε͸ࢄཚͷલ‫Ͱޙ‬ӡಈྔͷ૊͕ෆมͰ͋Δ͜ͱͷ‫͋Ͱ݁ؼ‬Δɽӡಈྔʹର͢Δ͜ͷ‫੍͍ڧ‬໿͸ɼΤωϧΪʔͱӡಈྔͷอଘଇ͚͔ͩΒ͸ಋ͔ΕͣɼΑΓߴ͍ରশੑͷଘࡏ͕ࣔࠦ͞ΕΔɽ͜ΕΛ໌֬ʹͯ͘͠ΕΔͷ͕୅਺తϕʔςԾઆͰ͋ΓɼຊςΩετͷ‫ޙ‬൒Ͱղઆ͢ΔɽҰൠʹ d ࣍‫ܥࢠྔݩ‬͸d + 1 ࣍‫ݹݩ‬య‫ʹܥ‬ରԠ͢Δ͜ͱ͕஌ΒΕ͓ͯΓɼຊςΩετͰ͸ XXZ ໛‫ʹܕ‬ରԠ͢Δ 2 ࣍‫ݹݩ‬య౷‫ֶྗܭ‬໛‫ܕ‬
Ͱ͋Δ 6 ௖఺໛‫ܕ‬ΛऔΓѻ͏ɽ6 ௖఺໛‫ܕ‬ͷసૹߦྻ͕ɼରԠ͢Δྔࢠ‫͋Ͱܥ‬Δ XXZ ໛‫ܕ‬ͷແ‫ݸݶ‬ͷอଘྔͷ฼ؔ਺ͱͳ͓ͬͯΓ (ࣜ (3.19) ࢀর)ɼͦͷͨΊͷ৚݅ͱͯ͠ Yang-Baxter ؔ܎͕ࣜՄղੑͷࠜ‫͋Ͱڌ‬Δ͜ͱΛ‫ݟ‬Δɽ

2ϋΠθϯϕϧΫ XXZ ໛‫࠲ͱܕ‬ඪϕʔςԾઆ

2.1໛‫ܕ‬ͷఆٛ

1 ࣍‫ݩ‬εϐϯ 1/2 ϋΠθϯϕϧΫ XXZ ໛‫ܕ‬͸ɼҟํੑύϥϝʔλ ∆ Λ࢖ͬͯɼϋϛϧτχΞϯ
HXXZ =

$%
#
1
−
+
z
(Sn+ Sn+1+ Sn− Sn+1
) + ∆ Snz Sn+1
−
2
4

L "
!
1

n=1

(2.1)

Ͱ༩͑ΒΕΔɽͨͩ͠ɼ‫ޙ‬ͷ‫ࢉܭ‬ͷ౎߹্ɼਅۭঢ়ଶ | 0 ⟩ := | ↑↑ · · · ↑ ⟩ ͷΤωϧΪʔ͕θϩʹͳΔΑ͏ʹఆ਺ −1/4ΛՃ͑ͯ͋Δɽ͜͜Ͱ͸ɼप‫ڥظ‬ք৚݅ SL+1 = S1 Λߟ͑Δɽεϐϯ 1/2 ԋࢉࢠ͸ύ΢ϦߦྻΛ࢖ͬͯ S α = 12 σ α(α = x, y, z) ͱॻ͚ɼঢ߱ԋࢉࢠ͸ S ± = S x ± iS y Ͱఆٛ͞ΕΔɽ͜ΕΒͷ‫ج‬ఈ΁ͷ࡞༻͸
1| ↑ ⟩,
2

1
S z | ↓ ⟩ = − | ↓ ⟩,2

S−| ↓ ⟩ = 0
(2.2)
&
'
−
+
Ͱ༩͑ΒΕΔɽ͜͜ͰɼΞοϓεϐϯ | ↑ ⟩ Λਅۭɼμ΢ϯεϐϯ | ↓ ⟩ ΛཻࢠͱΈͳ͢ͱɼ 12 Sn+ Sn+1
+ Sn− Sn+1
Sz | ↑ ⟩ =S + | ↑ ⟩ = 0,

S + | ↓ ⟩ = | ↑ ⟩,S − | ↑ ⟩ = | ↓ ⟩,ͷ߲͸ཻࢠΛࠨӈ΁ϗοϐϯάͤ͞Δ͜ͱ͕෼͔Δɽͨͩ͠ɼഉআମੵޮՌ͕͋ͬͯɼ‫͍͕ࢠཻʹྡʹط‬Δ৔߹
'&z− 14 ͷ߲͸ɼཻࢠͷմ (Ϋϥελʔ) ͕͋ͬͨ৔߹ɼͦͷ྆୺ʹ͸ϗοϐϯά͸‫͜ى‬Βͳ͍ɽ࣍ʹɼ∆ Snz Sn+1ͷΈ਺͑ΔͷͰɼཻࢠͷΫϥελʔͷ਺Λ਺͑Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ؆୯ͳ‫ʹࢉܭ‬ΑΓɼΫϥελʔ͕ m ‫ݸ‬ͷ৔߹ʹ͸‫ݻ‬༗஋ −m∆ Λ༩͑Δ͜ͱ͕͔֬ΊΒΕΔɽ͢ͳΘͪɼϋϛϧτχΞϯ͸ཻࢠΛϗοϐϯάͤ͞Δ͚ͩͰ͋Γɼཻࢠ਺Λม͑ͳ͍ɽͭ·ΓɼϋϛϧτχΞϯΛߦྻදࣔ͢Ε͹ 2L × 2L ͷߦྻͱͳΔ͕ɼཻࢠ਺ N ͷ෦෼ۭؒ͝
&L'&L'ͰϒϩοΫର֯Խ͞Ε͍ͯΔɽҎԼɼཻࢠ਺ N Λ‫ݻ‬ఆ͠ɼ࣍‫ ݩ‬Nͷ෦෼ۭؒ͝ͱʹର֯Խ͢Δ͜ͱʹ࣍‫ ݩ‬N
ͱΛࢼΈΔɽ

2.2

࠲ඪϕʔςԾઆʹΑΔ XXZ ໛‫ܕ‬ͷର֯Խ

2.2.1

N = 0 ͷͱཻ͖ࢠ਺ N = 0 ͷঢ়ଶ͸ɼਅۭঢ়ଶͷΈͰ͋Γɼ͜Ε͸ɼ‫ݻ‬༗஋ 0 ͷ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͱͳ͍ͬͯΔ (HXXZ | 0 ⟩ = 0)ɽ

《講義ノート》

2.2.2

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

N = 1 ͷͱཻ͖ࢠ਺ N = 1 ͷ෦෼ۭؒͷ࣍‫ݩ‬͸&L '1 = L Ͱ͋ΓɼL ‫ݸ‬ͷ‫ݻ‬༗ϕΫτϧ͕ߏ੒Ͱ͖Ε͹Α͍ɽཻࢠ͕ n αΠτ−໨ʹ͍Δঢ়ଶΛ |n⟩ := Sn | 0 ⟩ ͱॻ͘ɽ͜ͷ෦෼ۭؒͷҰൠͷϕΫτϧ͸ɼL ‫ݸ‬ͷ‫ج‬ఈ |1⟩, · · · , |L⟩ ΛॏͶ߹ΘͤΔ͜ͱʹΑͬͯ

|ψ⟩ =

L
!

ψ(n)|n⟩

(2.3)

n=1

ͱߏ੒͞ΕΔɽ͜͜ͰɼॏͶ߹Θͤͷ܎਺ ψ(n) ͸ঢ়ଶ |n⟩ ͷ֬཰ৼ෯Λද͠ɼ೾ಈؔ਺ͱ‫ݺ‬͹ΕΔɽ1 ཻࢠͷ৔߹ʹ͸ɼ೾ಈؔ਺ͱͯ͠ฏ໘೾

ψ(n) = eikn

(2.4)ΛͱΕ͹‫ݻ‬༗ϕΫτϧʹͳΔ͜ͱ͸༰қʹΘ͔ΔͰ͋Ζ͏ɽ͜ΕΛɼ1 ཻࢠͷ৔߹ͷϕʔς೾ಈؔ਺ͱ‫ͼݺ‬ɼ|ψ⟩ ΛϕʔςϕΫτϧͱ‫Ϳݺ‬ɽϕʔςϕΫτϧ΁ͷϋϛϧτχΞϯͷ࡞༻Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΔͱɼHXXZ |ψ⟩ = (cos k − ∆)|ψ⟩ͱͳΓɼ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͜Ͱɼप‫ڥظ‬ք৚݅ʹΑΓ‫͕ܥ‬ฒਐରশͰ͋Δ͜ͱΛ࢖ͬ
ͨɽ·ͨɼ೾ಈؔ਺ ψ(n) ʹର͢Δप‫ڥظ‬ք৚͔݅Βɼψ(L) = 1ɼ͢ͳΘͪeikL = 1(2.5)

͕ཁ੥͞ΕΔɽ͜ΕΛɼ1 ཻࢠͷ৔߹ͷϕʔςํఔࣜͱ͍͏ɽ͜Ε͸༰қʹղ͘͜ͱ͕Ͱ͖ͯɼ

k=

2π
I,
L

I∈Z

(2.6)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼ೾਺ k ΛܾΊΔ੔਺ I Λϕʔςྔࢠ਺ͱ͍͏ɽ͜ͷ৔߹͸ I = 0, 1, 2, · · · , L − 1 ͱͱΔ͜ͱʹΑΓɼL ‫ݸ‬ͷಠཱͳ‫ݻ‬༗ϕΫτϧ͕ߏ੒͞Εɼ໨త͕ୡ੒Ͱ͖ͨɽ

·ͨɼӈ΁ͷฒਐԋࢉࢠ TR ͸ɼશӡಈྔԋࢉࢠ K Λ༻͍ͯ TR = e−iK ͱॻ͚Δɽ

TR |ψ⟩ =L!

n=1

ψ(n)TR |n⟩ =

L
!

n=1

ψ(n)|n + 1⟩ = e−ik |ψ⟩(2.7)ΑΓɼશӡಈྔ͸ K = k ͱͳΔɽ

2.2.3

N = 2 ͷͱཻ͖ࢠ਺ N = 2 ͷ෦෼ۭؒͷ࣍‫ݩ‬͸&L'
2= L(L − 1)/2 Ͱ͋ΓɼL(L − 1)/2 ‫ݸ‬ͷ‫ج‬ఈ |n1 , n2 ⟩ (1 ≤ n1 < n2 ≤ L)ͰுΒΕΔɽͨͩ͠ɼཻࢠ (Լ޲͖εϐϯ) ͕ n1 , n2 αΠτ໨ʹ͍Δঢ়ଶΛ |n1 , n2 ⟩ := Sn−1 Sn−2 | 0 ⟩ ͱॻ͍ͨɽ͜

ΕʹϋϛϧτχΞϯΛ࡞༻ͤͯ͞ΈΔͱɼ2 ཻࢠ͕཭Ε͍ͯΔ৔߹ͱ͍͍ͬͭͯ͘Δ৔߹ͰҟͳΔ࡞༻Λ͢Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜Ε͕ 2 ཻࢠؒͷ૬‫ͳͱ༻࡞ޓ‬Δɽ͜ͷ͜ͱʹ஫ҙͯ͠ɼ‫ݻ‬༗ํఔࣜ HXXZ |ψ⟩ = E|ψ⟩ ͷ੒෼⟨n1 , n2 |HXXZ |ψ⟩ = E⟨n1 , n2 |ψ⟩ Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΑ͏ɽ

N = 2 ͷ෦෼ۭؒͷ೚ҙͷϕΫτϧ |ψ⟩ ͸ɼL(L − 1)/2 ‫ݸ‬ͷ‫ج‬ఈ |n1 , n2 ⟩ ΛॏͶ߹ΘͤΔ͜ͱʹΑͬͯ
|ψ⟩ =

!

1≤n1 <n2 ≤Lψ(n1 , n2 )|n1 , n2 ⟩(2.8)ͱߏ੒͞ΕΔɽ2 ཻࢠͷ৔߹ʹ͸ɼ೾ಈؔ਺ͱͯ͠ 1 ཻࢠͷ৔߹ͷฏ໘೾Λࣗવʹ֦ு͢Ε͹ψ(n1 , n2 ) = ei(k1 n1 +k2 n2 )(2.9)

ͱॻ͚ΔͰ͋Ζ͏ɽ2 ཻࢠ͕཭Ε͍ͯΔ৔߹ʹ͸͜ΕͰ໰୊ͳ͍͕ɼ͜Ε͚ͩͩͱ 2 ཻࢠͷিಥͷޮՌΛදͤͳ͍ɽͦ͜Ͱɼϕʔς͸িಥʹΑΓ೾਺ k1 , k2 ͕ೖΕସΘ߲ͬͨ΋෇͚Ճ͑ͯɼҎԼͷϕʔς೾ಈؔ਺ψ(n1 , n2 ) = A12 ei(k1 n1 +k2 n2 ) + A21 ei(k2 n1 +k1 n2 )ΛఏҊͨ͠ɽҎԼɼ͜ͷ೾ಈؔ਺Λ࢖ͬͯɼ͜ΕΛ۩ମతʹ‫ͯݟ‬ΈΑ͏ɽ(♯) িಥʹΑΔ઀ଓ৚݅ʙࢄཚߦྻͱࢄཚҐ૬Ҽࢠ

(2.10)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）• n2 − n1 > 1 (2 ≤ n1 , n2 ≤ L − 1) ͷͱ͖⟨n1 , n2 |HXXZ |ψ⟩ = Eψ(n1 , n2 ),

E=

2
!
ℓ=1

(cos kℓ − ∆)(2.11)

ͱͳΓɼ‫ݻ‬༗ํఔࣜ͸ϕʔς೾ಈؔ਺ (2.10) ʹΑͬͯࣗಈతʹຬͨ͞ΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͜·Ͱͷٞ࿦Ͱ͸ɼ

A21 = 0 ͱͯ͠͠·ͬͯ΋໰୊ͳ͍͜ͱ͕෼͔ΔͰ͋Ζ͏ɽ• n2 − n1 = 1 (2 ≤ n1 , n2 ≤ L − 1) ͷͱ͖

n1 = n, n2 = n + 1 (2 ≤ n ≤ L − 2) ͱͯ͠ɼ⟨n, n + 1|HXXZ |ψ⟩ =1[ψ(n − 1, n + 1) + ψ(n, n + 2)] − ∆ψ(n, n + 1) = Eψ(n, n + 1)
2

(2.12)

ΛಘΔɽ͜͜Ͱɼઌఔ‫ ͨ͠ࢉܭ‬2 ཻࢠ͕཭Ε͍ͯΔ৔߹ʹग़ͯ͘Δࣜ

1[ψ(n1 − 1, n2 ) + ψ(n1 + 1, n2 ) + ψ(n1 , n2 − 1) + ψ(n1 , n2 + 1)] − 2∆ψ(n1 , n2 ) = Eψ(n1 , n2 )2(2.13)

ʹ n1 = n, n2 = n + 1 Λ୅ೖͯ͠ΈΔͱ

1[ψ(n − 1, n + 1) + ψ(n + 1, n + 1) + ψ(n, n) + ψ(n, n + 2)] − 2∆ψ(n, n + 1) = Eψ(n, n + 1)
2

(2.14)

ͱͳΔɽ͔͠͠ɼ΋ͱ΋ͱ೾ಈؔ਺ ψ(n1 , n2 ) ͷఆٛҬ͸ 1 ≤ n1 < n2 ≤ L ͩͬͨͷͰɼψ(n + 1, n + 1), ψ(n, n)͸ग़ͯ͜ͳ͍͸ͣͰ͋Δɽͦ͜ͰɼͦͷଞͷྖҬʹ΋ϕʔς೾ಈؔ਺ͷఆٛࣜ (2.10) ʹΑͬͯఆٛҬΛ֦ு͢Δ
ͱߟ͑Α͏ɽࣜ (2.14) ͔Βࣜ (2.12) ΛҾ͘ͱɼψ(n + 1, n + 1) + ψ(n, n) = 2∆ψ(n, n + 1)

(2.15)

ΛಘΔɽ͜Ε͕ɼিಥͷޮՌʹΑΔ೾ಈؔ਺ͷ઀ଓ৚݅ͱͳΔɽ͜ͷࣜʹϕʔς೾ಈؔ਺ͷ۩ମ‫( ܗ‬2.10) Λ୅ೖͯ͠ɼ

A21 /A12 = −1 + ei(k1 +k2 ) − 2∆eik2=: S(k1 , k2 )1 + ei(k1 +k2 ) − 2∆eik1(2.16)

ΛಘΔɽ͜͜Ͱɼ2 ཻࢠͷࢄཚʹΑΔࢄཚߦྻ S(k1 , k2 ) Λಋೖͨ͠ɽ͢ͳΘͪɼཻࢠ 1 ͱཻࢠ 2 ͕͢Εҧͬͯ

A12 → A21 ͱͳΔࡍʹɼࢄཚߦྻ S(k1 , k2 ) ʹΑΔࢄཚΛड͚ͯ A21 = S(k1 , k2 )A12 ͱͳΔͱղऍ͢Δɽͯ͞ɼ͜
͜ͰࢄཚҐ૬Ҽࢠ φ(k1 , k2 ) ΛS(k1 , k2 ) = − exp [−iφ(k1 , k2 )](2.17)

ͰఆΊΔͱɼ

φ(k1 , k2 ) = 2 arctan
ͱͳΔɽ

(

∆ sin

∆ cos

& k −k '& k −k '
1

2

2

1

2

2

− cos

& k +k '
1

2

2

)

(2.18)(♯) प‫ڥظ‬ք৚݅ʙϕʔςํఔࣜͷಋग़ͯ͞ɼ࣍ʹप‫ڥظ‬ք৚݅ʹ͍ͭͯߟ͑Α͏ɽ͢ͳΘͪɼࠓ·Ͱ͸‫ڥ‬քͷӨ‫ڹ‬Λආ͚ΔͨΊʹ 2 ≤ n1 , n2 ≤ L − 1 ͷൣғͰߟ͖͕͑ͯͨɼn1 = 1 ͷ৔߹ɼ͓Αͼ n2 = L ͷ৔߹Λߟ͑ɼϗοϐϯάʹΑͬͯϦϯάΛҰप͢ΔϓϩηεΛߟ͑Α͏ɽ͜͜Ͱ͸ྫͱͯ͠ n1 = 1 ͔ͭ 3 ≤ n2 ≤ L − 2 ͷ৔߹Λߟ͑Δɽͦͷଞͷ৔߹΋ಉ༷ͷ݁Ռ͕ಘΒΕΔɽલͷ΍Γ͔ͨͱಉ༷ʹͯ͠ ⟨1, n2 |HXXZ |ψ⟩ Λ‫͢ࢉܭ‬Δͱɼ

⟨1, n2 |HXXZ |ψ⟩ =1[ψ(n2 , L) + ψ(2, n2 ) + ψ(1, n2 − 1) + ψ(1, n2 + 1)] − 2∆ψ(1, n2 )2ͱͳΔ͕ɼ͜Ε͕લʹ΍ͬͨ n2 − n1 > 1(2.19)(2 ≤ n1 , n2 ≤ L − 1) ͷ৔߹ͷ‫ͱࢉܭ‬੔߹͢ΔͨΊʹ͸ɼψ(n2 , L) = ψ(n1 − 1, n2 ) = ψ(0, n2 )(2.20)

《講義ノート》

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Λຬͨ͞Ͷ͹ͳΒͳ͍ɽ͜ͷࣜʹϕʔς೾ಈؔ਺ͷ۩ମ‫( ܗ‬2.10) Λ୅ೖ͢Δͱ eik1 n2 (A12 eik2 L −A21 )+eik2 n2 (A21 eik1 L −A12 ) = 0 ͱͳΔͷͰɼϕʔςํఔࣜ

eik1 L = A12 /A21 = S(k2 , k1 ),eik2 L = A21 /A12 = S(k1 , k2 ),(2.21)͕ಘΒΕΔɽ

(♯) ӡಈྔ‫ݻ‬༗஋࠷‫ʹޙ‬ɼશӡಈྔ K ͷ‫ݻ‬༗஋Λௐ΂ΔɽϕʔςϕΫτϧΛฒਐͤͯ͞ΈΔͱ TR |ψ⟩ = e−i(k1 +k2 ) |ψ⟩ ͱͳΔͷͰɼK = k1 + k2 ΛಘΔɽ͜͜Ͱɼ೾ಈؔ਺ͷप‫ظ‬ੑ (2.20) Λ༻͍ͨɽ

2.2.4

Ұൠͷ N ͷͱ͖͜͜Ͱ͸ࢴ਺ͷؔ܎Ͱ‫ࢉܭ‬ͷࡉ෦͸লུ͢Δ͕ɼN ≥ 3 ͷ৔߹΋ಉ༷ʹٞ࿦͕ਐΉɽN ཻࢠͷ৔߹ͷ‫ݻ‬༗ϕΫτϧΛ |ψ⟩ ͱ͠ɼ‫ج‬ఈͰల։ͯ͠

|ψ⟩ =

!

1≤n1 <···<nN ≤L

ψ(n1 , · · · , nN )|n1 , · · · , nN ⟩.

ͱॻ͜͏ɽ͜͜Ͱɼn1 , · · · , nN ͸ཻࢠ (μ΢ϯεϐϯ) ͷҐஔΛද͢ |n1 , · · · , nN ⟩ :=(2.22)*N−
j=1 Snj | 0 ⟩. 2 ཻࢠͷ৔߹ͷࣗવͳ֦ுͱͯ͠ɼN ཻࢠͷ৔߹ͷϕʔς೾ಈؔ਺ ψ(n1 , · · · , nN ) Λฏ໘೾ͷॏͶ߹ΘͤͰψ(n1 , · · · , nN ) =

!

σ∈SN

⎡

A(σ) exp ⎣i

N
!
j=1

⎤

k σj n j ⎦(2.23)

ͱ͠Α͏ɽ͜͜Ͱɼ࿨͸ରশ‫ ܈‬SN ͷશͯͷ N ! ‫ݸ‬ͷ‫ ݩ‬σ ʹؔͯ͠औΔͱ͢Δɽ(♯) িಥʹΑΔ઀ଓ৚݅
2 ཻࢠͷͱ͖ͱಉ༷ʹɼ‫ݻ‬༗ํఔࣜ HXXZ |ψ⟩ = E|ψ⟩ ͷ |n1 , · · · , nN ⟩ ੒෼Λߟ͑Α͏ɽ·ͣɼશͯͷཻࢠ͕‫ڥ‬քͷӨ‫ڹ‬Λड͚ͣɼ͔ͭ‫཭ʹ͍ޓ‬Ε͍ͯΔ৔߹2 ≤ n1 , nN ≤ L − 1,n2 − n1 > 1, · · · , nN − nN −1 > 1(2.24)

Λߟ͑Δͱɼ‫ݻ‬༗ํఔࣜ͸ϕʔς೾ಈؔ਺ (2.23) ʹΑͬͯࣗಈతʹຬͨ͞ΕɼΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋͸

E=

N
!
ℓ=1

(cos kℓ − ∆)(2.25)

Ͱ༩͑ΒΕΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ࣍ʹɼt ‫ݸ‬ͷϖΞʔ͕ (β1 , β1 +1), (β2 , β2 +1), · · · , (βt , βt +1) ͱྡΓ߹͓ͬͯΓɼͦͷଞͷཻࢠ α1 , α2 , · · · , αN −2t͸શͯ‫཭ʹ͍ޓ‬Ε͍ͯΔͱ͠Α͏ɽ·ͨɼ‫ڥ‬քͷӨ‫ڹ‬Λड͚ͳ͍Α͏ʹ 2 ≤ n1 , nN ≤ L − 1 ͱ͓ͯ͘͠ɽ͜ͷ৔

߹ɼ2 ཻࢠͷ৔߹ͱಉ༷ʹɼ೾ಈؔ਺ͷఆٛҬΛ֦ு͢Ε͹2t∆ψ(n1 , · · · , nN ) =

t
!
ℓ=1

[ψ(· · · , βℓ , βℓ , · · · ) + ψ(· · · , βℓ + 1, βℓ + 1, · · · )](2.26)

ͱͳΔɽ͜Ε͕੒ΓཱͭͨΊͷे෼৚݅ͱͯ͠

2∆ψ(· · · , n, n + 1, · · · ) = ψ(· · · , n, n, · · · ) + ψ(· · · , n + 1, n + 1, · · · )(2.27)

ΛಘΔɽࠓɼ2 ͭͷཻࢠ͕ϖΞʔΛ૊ΜͰ͍Δ৔߹Λߟ͕͑ͨɼཻࢠͷΫϥελʔαΠζ͕ 3 Ҏ্ͷ৔߹Ͱ΋ (2.27)
͕े෼৚݅ͱͳΔ͜ͱΛࣔͤΔɽྫ͑͹ɼ(n, n + 1, n + 2) ʹ 3 ཻࢠ͕͋Γɼͦͷଞͷཻࢠ͸શͯ཭Ε͍ͯΔͱ͢
Δͱɼಉ༷ͷखଓ͖͔Β৚݅ࣜ

4∆ψ(· · · , n, n + 1, n + 2 · · · ) =ψ(· · · , n + 1, n + 1, n + 2 · · · ) + ψ(· · · , n, n, n + 2, · · · )+ ψ(· · · , n, n + 2, n + 2 · · · ) + ψ(· · · , n, n + 1, n + 1, · · · )(2.28)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

͕ಋ͔ΕΔ͕ɼ༰қʹ෼͔ΔΑ͏ʹ͜Ε͸ (2.27) ͕੒Γཱ͍ͬͯΕ͹ࣗಈతʹຬͨ͞ΕΔɽ
࣍ʹɼ৚݅ࣜ (2.27) ʹϕʔς೾ಈؔ਺ (2.23) Λ୅ೖ͢Δͱɼ઀ଓ৚݅ࣜ͸′′

1 + ei(k+k ) − 2∆eikA(σ )/A(σ) = −= S(k, k ′ ) = − exp [−iφ(k, k ′ )] ,1 + ei(k+k′ ) − 2∆eik′k := kσj , k ′ := kσj+1 ,(2.29)

ͱॻ͚Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜͜Ͱɼσ ͱ σ ′ ͸

σj′ = σj+1 ,′σj+1= σj ,

σℓ′ = σℓforℓ ̸= j, j + 1.

(2.30)

Λຬͨ͢೚ҙͷ SN ͷ‫ݩ‬ͷ૊Ͱ͋ΔɽN = 3 ͷ৔߹Λྫʹͯ͠۩ମతʹॻ͖Լͯ͠ΈΔͱɼ

A132= S23 ,A123

A213
= S31 ,A231

A321
= S12 ,A312

A213
= S12 ,A123

A321
= S23 ,
A231

A132
= S31
A312

(2.31)

ͱͳΔɽ͜͜ͰɼSjℓ := S(kj , kℓ ) ͱུ‫ͨ͠ه‬ɽͯ͞ɼ͜͜Ͱɼ2 ମࢄཚΛ‫܁‬Γฦ͢͜ͱʹΑͬͯ A123 ͔Β A321
Λ࡞Δͱ͖ɼ2 ௨Γͷ΍Γํ͕͋Δ͕ɼͦΕΒ͕ಉ݁͡ՌΛ༩͑Δඞཁ͕͋Δɽ͢ͳΘͪɼ

A321 = S12 A312 = S12 S13 A132 = S12 S13 S23 A123 ,A321 = S23 A231 = S23 S13 A213 = S23 S13 S12 A123

(2.32)

S12 S13 S23 = S23 S13 S12(2.33)

ΑΓɼࢄཚߦྻ͸ؔ܎ࣜΛຬͨ͢ඞཁ͕͋ΔɽXXZ ໛‫ܕ‬ͷ৔߹ɼࢄཚߦྻ Sjk ͸εΧϥʔͰ͋ΔͷͰ͜ͷؔ܎ࣜ͸ࣗ໌ʹ੒Γཱ͕ͭɼ಺
෦ࣗ༝౓ͷ͋Δ‫Ͱܥ‬͸ॏཁͳҙຯΛ࣋ͭɽ࣮ࡍɼεϐϯࣗ༝౓Λ࣋ͭϑΣϧϛΦϯ‫͍͓ͯʹܥ‬ɼYang ʹΑͬͯ࠷ॳʹಋೖ͞Εͨ [2]ɽҰํɼຊςΩετ‫ޙ‬൒ͷ 6 ௖఺໛‫ܕ‬ͷઅͰड़΂ΔΑ͏ʹɼՄղͳ‫ݹ‬య౷‫ֶྗܭ‬໛‫ܕ‬ͷϘϧπϚϯॏ཰͕ಉ༷ͷؔ܎ࣜ ((3.5) ࣜࢀর) Λຬͨ͢͜ͱ͕ Baxter ʹΑΓ‫ݟ‬ग़͞Ε [3]ɼ‫Ͱࡏݱ‬͸ Yang-Baxter ؔ܎ࣜͱ‫ݺ‬͹Ε͍ͯΔ [4, 5]ɽ

(♯) प‫ڥظ‬ք৚݅ʙϕʔςํఔࣜͷಋग़
2 ཻࢠͷ৔߹ͱಉ༷ʹɼप‫ڥظ‬ք৚͔݅Βϕʔςํఔࣜ
eikj L =N/

S(kℓ , kj ),j = 1, · · · , N

for

ℓ̸=j

(2.34)

Λಋ͘͜ͱ͕ग़དྷΔɽ͜ͷࣜ͸ɼj ൪໨ͷཻࢠ͕௕͞ L ͷϦϯάΛҰप͢Δؒʹଞͷશͯͷཻࢠ ℓ ̸= j ͔ΒࢄཚS(kℓ , kj ) Λड͚͍ͯΔɼͱಡΉ͜ͱ͕ग़དྷΔɽ

2.3

ٖӡಈྔ͔ΒϥϐσΟςΟ΁ͷม਺ม‫׵‬ٖӡಈྔ k ͔ΒϥϐσΟςΟz ΁ͷม਺ม‫׵‬Λ

ϕ(z − η/2),e =ϕ(z + η/2)ik

k = −i log#

ϕ(z − η/2)
ϕ(z + η/2)$

(2.35)

Ͱఆٛ͢Δɽ͜͜Ͱɼؔ਺ ϕ(z) ͱύϥϝʔλ η (= iζ) ͸ɼ∆ ͷ஋ͷൣғʹΑͬͯҎԼͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔɿ

ϕ(z) = z,ϕ(z) = sinh(z),ϕ(z) = sin(z),η = i (ζ = 1)
for∆=1
∆ = cosh η = cos ζ (0 < ζ < π) for −1 < ∆ < 1∆ = cos η = cosh ζ (ζ > 0)
for
∆>1

XXX
massless XXZ
massive XXZ(2.36)

͜͜Ͱ͸ৄٞ͘͠࿦Ͱ͖ͳ͍͕ɼྭ‫ى‬ΤωϧΪʔʹΪϟοϓ͕͋Δ (ͳ͍) ‫ܥ‬Λ massive(massless) ͱ‫Ϳݺ‬ɽ͜͜Ͱɼ
Ͳͷ৔߹ʹ΋ ∆ = ϕ′ (η) ͕੒Γཱͭ͜ͱʹ஫ҙͤΑɽ͜ΕΛ࢖͏ͱɼࢄཚߦྻ͸ϥϐσΟςΟΛ࢖ͬͯS(k, k ′ ) = −′′1 + ei(k+k ) − 2∆eikϕ(z − z ′ + η)
.
=
′)
i(k+k
ik
ϕ(z − z ′ − η)
1+e
− 2∆e

(2.37)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ͷΑ͏ʹॻ͚Δɽ͜ΕΛ࢖͑͹ɼϕʔςํఔࣜ͸#ϕ(zj + η/2)
ϕ(zj − η/2)

$L

=

N
/
ϕ(zj − zℓ + η)ℓ̸=j(2.38)ϕ(zj − zℓ − η)ͱͳΔɽ͜͜ͰɼTjℓ := ϕ(zj − zℓ − η) ͱ͍͏ྔΛಋೖ͢ΔͱɼSjℓ = −Tℓj /Tjℓ ͱॻ͚ΔͷͰɼ೾ಈؔ਺ͷ܎਺ΛA(σ) = (−1)σ//

Tσj σℓ = (−1)σ

1≤j<ℓ≤L1≤j<ℓ≤Lͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽͯ͞ɼ͜͜Ͱɼؔ਺ θn (z) Λ%"ϕ(z + nη/2)θn (z) = i log −ϕ(z − nη/2)#ϕ(zσj − zσℓ − η)(2.39)$(2.40)−e−iθn (z) =ϕ(z + nη/2)ϕ(z − nη/2)Ͱಋೖ͠Α͏ɽ͜ΕΛ࢖͏ͱɼٖӡಈྔͱࢄཚҐ૬Ҽࢠ͸k = θ1 (z) − π,φ(k, k ′ ) = θ2 (z − z ′ ).

ͱॻ͚Δɽ͜ͷؔ਺ θn (z) Λཅʹॻ͘ͱ⎧⎪θn (z) = 2 tan−1 [2z/n]⎪⎪⎨θn (z) = 2 tan−1 [cot(nζ/2) tanh z]
$
#
⎪
1
Rez
⎪
⎪
+
⎩ θn (z) = 2 tan−1 [coth(nζ/2) tan z] + 2πνπ
2(2.41)

XXX(∆ = 1)

massless XXZ(−1 < ∆ < 1)

massive XXZ(∆ > 1)(2.42)

ͱͳΔɽϥϐσΟςΟz ͷྖҬͱͯ͠͸ɼmassless ͷ৔߹͸ −π/2 < Imz ≤ π/2ɼmassive ͷ৔߹͸ −π/2 < Rez ≤π/2 ͷྖҬ͚ͩߟ͑Ε͹े෼Ͱ͋Δɽ͜͜Ͱ͸ z ͸࣮਺Ͱ͋ΔͱԾఆͯ͠ɼ−π/2 < tan−1 z < π/2 ͱ͢Δɽz ͕ෳૉ਺ͷͱ͖ʹ tan−1 ͷ෼‫ذ‬ΛͲ͏ͱΔ͔͸ࠐΈೖͬͨ໰୊ʹͳΔ͕ɼ͜͜Ͱ͸ٞ࿦͠ͳ͍ɽ·ͨɼmassive ͷ৔߹ɼθn ͕࿈ଓʹͳΔΑ͏ʹ ν(x) Λಋೖͯ͋͠Δ͜ͱʹ஫ҙɽ࣮਺ x ʹରͯ͠ n ≤ x < n + 1 (n ͸੔਺) ͷͱ͖ɼ

ν(x) = n ͱ͢Δɽ·ͨɼz = (ℓ + 1/2)π (ℓ ͸੔਺) ͷͱ͖ɼθn (z) = 2z ͱ͢Δɽ͜ΕΛ༻͍ͯɼϕʔςํఔࣜͷର਺ΛऔΕ͹N

θ1 (zj ) =

2π
1!
Ij +
θ2 (zj − zℓ ),
L
L

for

ℓ̸=j

j = 1, · · · , N,

(2.43)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼϕʔςྔࢠ਺ {I1 , · · · , IN } ͸ L − N ͕‫਺ح‬ͷͱ͖੔਺ͰɼL − N ͕‫਺ۮ‬ͷͱ͖൒‫ح‬੔਺ͱͳΔɽ

ΤωϧΪʔ‫ݻ‬༗஋͸

⎧
N
!
⎪
2
⎪
⎪
⎪ −
2+1
⎪
⎪
4z
⎪
⎪ j=1 j
⎪
⎪
N
N
⎨ !
!
sin2 ζ
iϕ(η)−
E=
a1 (zj ) =cosh 2zj − cos ζ
⎪
2 j=1
⎪
j=1
⎪
⎪
⎪
N
⎪
⎪
sinh2 ζ⎪ −!
⎪⎪⎩cosh ζ − cos 2zj
j=1

XXX

(∆ = 1)

massless XXZ(−1 < ∆ < 1)

massive XXZ(∆ > 1)(2.44)

ͱॻ͚Δɽͨͩ͠ɼan (z) := θn′ (z) Ͱ͋Δɽӡಈྔ‫ݻ‬༗஋͸

K=

N
!
j=1

kj =

N
!
j=1

N

θ1 (zj ) − N π =2π !
Ij − N π
L j=1(Mod 2π)(2.45)

ͱͳΔɽ͜͜Ͱɼϕʔςํఔࣜ (2.43) Λ࢖ͬͨɽ(♯) ·ͱΊ
1. ҟํੑύϥϝʔλ ∆(> −1) ͷ஋ʹԠͯ͡ɼζ, η = iζ, ϕ(z) Λࣜ (2.36) ͰఆΊΔɽ
2. ϕʔςྔࢠ਺ I1 , · · · , IN ΛఆΊΔɽͨͩ͠ɼL − N ͕‫ )਺ح( ਺ۮ‬ͷͱ͖ɼIj ͸൒‫ح‬੔਺ (੔਺) Ͱ͋Δɽ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ਤ 3.1: (a) 2 ࣍‫ݩ‬௖఺໛‫ܕ‬ͷεϐϯ഑ஔ {αm,ℓ }, {βm,ℓ } (1 ≤ m ≤ M, 1 ≤ ℓ ≤ L). ͜͜Ͱ͸ L = 5, M = 4 ͱ͠ɼप‫ڥظ‬ք৚݅ͱ͍ͯ͠Δɽ(b) ௖఺पΓͷεϐϯ഑ஔͱɼ௖఺ͷΤωϧΪʔɽ(c) ‫ॴہ‬ϘϧπϚϯॏ཰

3. ϥϐσΟςΟz1 , · · · , zN ʹର͢Δϕʔςํఔࣜ (2.43) Λղ͘ɽ
4. ϕʔςํఔࣜͷղ z1 , · · · , zN Λ༻͍ͯɼϕʔςϕΫτϧ |ψ⟩ Λ (2.22), (2.23), (2.39) Ͱߏ੒͢Δɽ
5. ϕʔςϕΫτϧ |ψ⟩ ͸‫ݻ‬༗ํఔࣜ HXXZ |ψ⟩ = E|ψ⟩ ‫ ͼٴ‬TR |ψ⟩ = e−iK |ψ⟩ Λຬͨ͠ɼ‫ݻ‬༗஋͸ (2.44), (2.45)
ࣜͰ༩͑ΒΕΔɽ͜ͷର֯Խͷख๏Λ࠲ඪϕʔςԾઆͱ‫Ϳݺ‬ɽ

36 ௖఺໛‫ͱܕ‬୅਺తϕʔςԾઆ

3.1

6 ௖఺໛‫ܕ‬

3.1.1

2 ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠ্ͷ௖఺໛‫ܕ‬ॎઢ͕ L ຊɼԣઢ͕ M ͋ΔΑ͏ͳೋ࣍‫ݩ‬ਖ਼ํ֨ࢠΛߟ͑ɼล্ʹ ±1 ͷ 2 ௨Γͷ஋ΛͱΓ͏Δม਺ {αm,ℓ }, {βm,ℓ }(1 ≤ m ≤ M, 1 ≤ ℓ ≤ L) Λ഑ஔ͢Δ (ਤ 3.1(a))ɽ͜ͷม਺ͷ͜ͱΛ͜͜Ͱ͸ʮεϐϯʯͱ‫͢ʹͱ͜Ϳݺ‬Δ (෼‫ۃ‬౳ͱ‫Ϳݺ‬จ‫ݙ‬΋͋Δ)ɽ·ͨɼ؆୯ͷͨΊप‫ڥظ‬ք৚݅Λߟ͑Δ (αm,L+1 = αm,1 , βM +1,ℓ = β1,ℓ )ɽ

ล (edge) ͱลͷަ఺Λ௖఺ (vertex) ͱ‫Ϳݺ‬ɽ֤௖఺ͷपғʹ͸ 4 ຊͷล͕͋ΓɼͦΕΒͷεϐϯ഑ஔʹґଘ͠γδͱॻ͜͏ (ਤ 3.1(b))ɽ͜͜Ͱɼεϐϯͷ഑ஔ͕ಉ͡Ͱ΋ɼ௖఺ʹΑͬͯͯ௖఺ͷΤωϧΪʔ͕ఆ·ΔɽͦΕΛ Eαβ3.1(b)5 Ͱ͋Δͱ͖
ΤωϧΪʔ͸ҟͳΔͱ͠Α͏ɽԼ͔Β m ൪໨ɼࠨ͔Β ℓ ൪໨ͷ௖఺ͷ·ΘΓͷεϐϯ഑ஔ͕ਤ
4
γδ

γδ

γδ

ʹͦͷ௖఺͕࣋ͭΤωϧΪʔΛ (Emℓ )αβ ͱ͠ɼ‫ॴہ‬ϘϧπϚϯॏ཰Λ (Rmℓ )αβ = exp −β (Emℓ )αβ ͱॻ͘ɽ‫ܥ‬ͷશΤωϧΪʔ͸֤௖఺ͷΤωϧΪʔͷ࿨Ͱ༩͑ΒΕΔͱ͢Ε͹ɼશମͷϘϧπϚϯॏ཰͸‫ॴہ‬ϘϧπϚϯॏ཰ͷੵͱͳΔɽ෼഑ؔ਺ Z ͸ɼͦΕΛ 22M L ௨Γͷશεϐϯ഑ஔʹؔͯ͠࿨Λͱͬͨ΋ͷ

Z=

!

L
M /
/

α

β

m+1,ℓ
(Rmℓ )αm,ℓ+1
m,ℓ βm,ℓ(3.1){αm,ℓ },{βm,ℓ } m=1 ℓ=1

ͱͳΔɽҎԼ͜ΕΛɼసૹߦྻ๏Λ༻͍ͯ‫͢ࢉܭ‬Δ͜ͱΛࢼΈΔɽ

3.1.2

సૹߦྻʹΑΔ෼഑ؔ਺ͷ‫ࢉܭ‬ͯ͞ɼ෼഑ؔ਺ͱ͸શͯͷล্ͷεϐϯ഑ஔʹؔ͢Δ࿨ͷ͜ͱͰ͋Δ͕ɼ·ͣ͸ਖ਼ํ֨ࢠͷҰ൪ԼͷҰߦ͚ͩʹ஫໨͠ɼԣͷล্ͷεϐϯ {α1,ℓ } ʹؔ͢Δ࿨Λ࣮ߦͨ͠΋ͷΛ{β}(T1 ){β2,ℓ
:=
1,ℓ }

L
! /

{α1,ℓ } ℓ=1

α

β

2,ℓ
(R1,ℓ )α1,ℓ+1
1,ℓ β1,ℓ(3.2)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ਤ 3.2: 6 ௖఺໛‫ܕ‬ͷϘϧπϚϯॏ཰ɽ+ ͷεϐϯ഑ஔΛଠઢͰࣔͯ͋͠Δɽ

ਤ 3.3: Yang-Baxter ؔ܎ࣜͱॻ͜͏ɽͦͯ͜͠ΕΛ T1 ͱ͍͏ߦྻͷ {β2,ℓ } ߦ {β1,ℓ } ྻ੒෼Λද͍ͯ͠Δͱߟ͑Δɽ{β1,ℓ } = (β1,1 , β1,2 , · · · , β1,L )ͱ {β2,ℓ } = (β2,1 , β2,2 , · · · , β2,L ) ͸ͦΕͧΕɼશ෦Ͱ 2L ͷ഑ஔͷ࢓ํ͕͋ΔͷͰɼT1 ͸ 2L × 2L ߦྻͱͳΔɽ
ਖ਼ํ֨ࢠͷԼ͔Β 2 ߦ໨ʹؔͯ͠΋ಉ༷ʹͯ͠ɼβ2,ℓ ʹؔͯ͠࿨ΛऔΔͱ

!

{β2,ℓ }

{β

}

{β

}

{β

}

(T2 ){β3,ℓ(T1 ){β2,ℓ= (T2 T1 ){β3,ℓ
2,ℓ }
1,ℓ }
1,ℓ }

(3.3)

ͱɼߦྻͷੵʹͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɽ͜ΕΛ m = M ·Ͱ‫܁‬Γฦͯ͠ trace ΛͱΔͱɼ

Z=

M
! /

{βm,ℓ } m=1{β}(Tm ){βm+1,ℓ
=
m,ℓ }

!

{β1,ℓ }{β}(TM TM −1 · · · T2 T1 ){β1,ℓ= tr (TM TM −1 · · · T2 T1 )
1,ℓ }

(3.4)

ͱͳΓɼঢ়ଶ࿨ͷ‫ࢉܭ‬ΛߦྻͷੵͰද͢͜ͱ͕Ͱ͖ͨɽͭ·Γɼ෼഑ؔ਺ͷ‫͕ࢉܭ‬ɼసૹߦྻ T1 , · · · , TM ͷ “ಉ࣌”ର֯Խͷ໰୊ʹ‫ؼ‬ணͨ͜͠ͱʹͳΔɽͦͷͨΊʹ͸ɼҟͳΔసૹߦྻ͕શͯՄ‫ͯͬͳʹ׵‬ཉ͍͠ɽͦͷ৚݅Λ༩͑Δͷ͕ Yang-Baxter ؔ܎ࣜͱͳΔͷͰ͋Δɽ6 ௖఺໛‫ܕ‬͸ Yang-Baxter ؔ܎ࣜΛຬͨ͢Ұͭͷྫʹͳ͍ͬͯΔɽ

3.1.3

6 ௖఺໛‫ܕ‬۩ମతʹ௖఺ͷΤωϧΪʔ͓Αͼ‫ॴہ‬ϘϧπϚϯॏ཰Λ༩͑ͯɼ‫ࢉܭ‬ΛਐΊΑ͏ɽࠓɼ௖఺ (m, ℓ) ΛҰͭબΜͰ‫ݻ‬ఆͨ͠ͱߟ͑ͯɼRmℓ Λ୯ʹ R ͱུ‫͢ه‬Δɽ͜͜Ͱɼ‫ॴہ‬ϘϧπϚϯॏ཰Λ໼ҹ෇͖ͷάϥϑͰදͦ͏ (ਤ

3.1(c))ɽ͢ͳΘͪɼਤ 3.1(c) ͸ɼ(α, β) ͷεϐϯΛೖྗͯ͠ɼ௖఺ʹ͋Δ R-ߦྻͷ࡞༻Λड͚ɼ(γ, δ) ͷεϐϯ͕ग़͖ͯͨɼͱಡΉɽͨͩ͜͜͠Ͱ (α, β) ͷॱͱɼ(γ, δ) ͷॱ൪ʹ஫ҙ͢Δ͜ͱɽ6 ௖఺໛‫ͱܕ‬͸ɼεϐϯͷ࿨͕อ
ଘ͢ΔΑ͏ͳϘϧπϚϯॏ཰͚͕ͩθϩͰͳ͍஋ΛͱΔ໛‫ܕ‬ͷ͜ͱͰ͋Δɽεϐϯͷ࿨͕อଘ͢Δͱ͸ɼೖྗεϐϯͷ࿨ α + β ͱग़ྗεϐϯͷ࿨ γ + δ ͕౳͍͠ͱ͍͏͜ͱͰ͋Δɽ͢Δͱɼશ෦Ͱ 24 = 16 ௨Γͷ഑ஔͷ͏ͪɼθϩͰͳ͍ͷ͸ਤ 3.2 ʹࣔ͢ 6 ௨Γ͚ͩͱͳΔɽશεϐϯΛ͍͍ͬͤʹ൓సͤ͞ΔରশੑΛ໛‫ʹܕ‬Ճຯ͢ΔͱɼϘϧπϚϯॏ཰ͷ஋͸ 3 ௨ΓʹߜΒΕɼͦΕΒΛ a, b, c ͱ໊෇͚Δɽ

3.2

Yang-Baxter ؔ܎ࣜͱసૹߦྻͷର֯Խ

3.2.1

Yang-Baxter ؔ܎ࣜਤ 3.3 ʹද͞Ε͍ͯΔؔ܎ࣜΛ Yang-Baxter ؔ܎ࣜͱ‫Ϳݺ‬ɽࢄཚͷॱংʹ஫ҙͯ͠ R-ߦྻͷੵʹද͢ͱ

R12 R13 R23 = R23 R13 R12(3.5)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ਤ 3.4:

#

ग़ྗεϐϯ
ೖྗεϐϯ

$

=

#

+−+
++−

$

ͷ৔߹ͷ Yang-Baxter ؔ܎ࣜ

ͱͳΔɽͯ͞ɼ(3.5) ͷ྆ล͸ End(V1 ⊗ V2 ⊗ V3 ) ͷ‫ͳݩ‬ͷͰɼ8 × 8 ߦྻͱͳΓɼશ෦Ͱ 64 ‫ݸ‬ͷཁૉʹରԠ͢Δ

ؔ܎͕ࣜ͋Δɽ͜Ε͕੒ΓཱͭͨΊʹɼϘϧπϚϯॏ཰ a, b, c ͕ຬͨ͢΂͖ؔ܎ࣜΛ‫ٻ‬ΊΑ͏ɽ͜͜Ͱɼೖྗεϐϯͷ࿨ͱग़ྗεϐϯͷ࿨͕౳͍͜͠ͱʹ஫ҙ͠Α͏ɽೖྗεϐϯ͕શͯͦΖ͍ͬͯΔͱ͖ʹ͸ࣗ໌ͳؔ܎ࣜΛ༩͑Δɽ͞Βʹɼશεϐϯͷ൓సରশੑΑΓɼೖྗεϐϯͱͯ͠ (−) ͕ͻͱͭͷ৔߹ͷΈɼ͢ͳΘͪɼ(+ + −), (+ − +), (+ + −) ͷ 3 ௨ΓͷΈߟ͑Ε͹े෼Ͱ͋Δɽग़ྗ΋ಉ༷ʹ 3 ௨Γ͋ΔͷͰɼશ෦Ͱ 9௨ΓͱͳΔɽͨͩ͠ɼೖྗεϐϯͱग़ྗεϐϯ͕౳͍͠৔߹ʹ͸ɼࣗ໌ͳؔ܎ࣜΛ༩͑Δɽ͕ͨͬͯ͠ɼ࢒Γ͸ 6
௨ΓͰ͋Δɽ͜ͷ͏ͪɼೖྗͱग़ྗΛೖΕସ͑ͨ΋ͷ͸ಉؔ͡܎ࣜΛ༩͑ΔͷͰɼ݁‫ہ‬ಠཱͳ΋ͷ͸ 3 ͭͱͳΔɽ͜ΕΒΛਤ 3.4 ͷΑ͏ʹ۩ମతʹ‫ͯ͠ࢉܭ‬⟨+ − +|R12 R13 R23 | + +−⟩ = c12 c13 b23 + b12 a13 c23 ,⟨+ − +|R23 R13 R12 | + +−⟩ = a12 b13 c23 ,⟨− + +|R12 R13 R23 | + +−⟩ = b12 c13 b23 + c12 a13 c23 ,⟨− + +|R23 R13 R12 | + +−⟩ = a12 c13 a23 ,⟨+ + −|R12 R13 R23 | + −+⟩ = b12 c13 c23 + c12 a13 b23 ,⟨+ + −|R23 R13 R12 | + −+⟩ = c12 b13 a23(3.6)

ΛಘΔɽ͜ΕΛ a23 , b23 , c23 ʹର͢Δ࿈ཱํఔࣜͱ‫ͯݟ‬ɼ͜Ε͕ࣗ໌Ͱͳ͍ղΛ࣋ͭͨΊͷ৚݅͸

6
6 0
6
6
6−a12 c13
6
6 −c12 b13

c12 c13b12 c13c12 a136b12 a13 − a12 b13 66# 2$
a213 + b213 − c213
a12 + b212 − c212
6−=0
c12 a13
6 = a12 b12 c12 a13 b13 c13
62a12 b12
2a13 b136
b12 c13(3.7)

ͱͳΔɽa, b, c Λਖ਼ͷ࣮਺ͱ͢Δͱɼ͜Ε͸ ∆ := (a2 + b2 − c2 )/(2ab) ͕௖఺ʹΑΒͳ͍ఆ਺ͱͳΔ͜ͱΛҙຯ͢
Δɽ͜ͷͱ͖ɼϘϧπϚϯॏ཰ a, b, c ͸ɼ(2.36) Ͱఆٛ͞Εͨؔ਺ ϕ(λ) ͱఆ਺ η Λ࢖ͬͯɼa = ϕ(λ + η),

b = ϕ(λ),

c = ϕ(η)(3.8)ͱύϥϝʔλදࣔͰ͖Δɽ͜͜Ͱɼύϥϝʔλ λ ͷൣғͱશମͷ‫֨ن‬ԽҼࢠΛద౰ʹબ΂͹ a, b, c Λਖ਼ͷ࣮਺ʹ͢Δ͜ͱ͕Ͱ͖Δ͕ɼҎ߱͜ͷ఺͸‫ʹͣͤʹؾ‬࿩ΛਐΊΔɽͯ͞ɼ࣍ʹ Yang-Baxter ؔ܎ࣜΛຬͨ͢Α͏ͳ λ Λ௖఺͝ͱʹͲ͏બ΂͹Α͍͔Ͱ͋Δ͕ɼ࣮͸ Vj ⊗ Vk ʹରԠ͢Δ௖఺Ͱ͸ λ = λj − λk ͱ͢Ε͹Α͍͜ͱ͕෼͔Δɽ͢ͳΘͪɼ֤εϐϯۭؒ Vj ʹ͸ “εϖΫτϧύϥϝʔλ λj ”͕ॅΜͰ͍ͯɼVj ⊗ Vk ʹରԠ͢Δ௖఺ͷϘϧπϚϯॏ཰Λ

ajk = a(λj , λk ) := ϕ(λj − λk + η),

bjk = b(λj , λk ) := ϕ(λj − λk ),cjk = c(λj , λk ) := ϕ(η)

(3.9)

ͱ͢Δɽ

3.2.2

Ϟϊυϩϛʔߦྻ

Yang-Baxter ؔ܎͕ࣜ੒Γཱͭͱ͖ɼసૹߦྻ͕ͨͪՄ‫ͳʹ׵‬Δ͜ͱΛࣔͦ͏ɽ·ͣɼۭؒ Vj , Vk ʹεϖΫτ
ϧύϥϝʔλ λj , λk ͕ͦΕͧΕରԠ͍ͯ͠Δͱ͖ɼVj ⊗ Vk ʹରԠ͢Δ௖఺ͷ R-ߦྻΛ Rjk (λj , λk ) ͱॻ͜͏ɽͦ

ͯ͠ɼϞϊυϩϛʔߦྻ τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) Λਤ 3.5 Ͱఆٛ͢Δɽ۩ମతʹࣜͰॻ͘ͱɼ

τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) = R0L (λ, ξL ) · · · R02 (λ, ξ2 )R01 (λ, ξ1 )(3.10)

ͱͳΔɽτ0,12···L ͷԼͷఴ͑ࣈ 0, 12 · · · L ͸ɼτ0,12···L ͕ۭؒ V0 ⊗ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ VL ʹ࡞༻͢ΔԋࢉࢠͰ͋Δ͜ͱΛද͍ͯ͠Δɽ

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ਤ 3.5: Ϟϊυϩϛʔߦྻਤ 3.6: 2 ͭͷϞϊυϩϛʔߦྻͷੵʹࠨӈ͔Β R-ߦྻΛ͔͚Δɽ
సૹߦྻ T ͸ࣜ (3.2) ͷΑ͏ʹɼԣͷล্ͷεϐϯશͯʹؔͯ͠࿨Λͱͬͨ΋ͷ͔ͩͬͨΒɼप‫ڥظ‬ք৚݅Ͱ͸ɼϞϊυϩϛʔߦྻʹ͓͍ۭͯؒ V0 ͷೖΓ‫ͱޱ‬ग़‫ޱ‬ͷεϐϯΛͦΖ͑ͯ࿨Λऔͬͨ΋ͷɼ͢ͳΘۭͪؒ V0 ͰτϨʔεΛऔͬͨ΋ͷʹͳΔɿ

T12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) := tr0 τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL )(3.11)

T12···L ͷԼͷఴ͑ࣈ 12 · · · L ͸ɼT12···L ͕ۭؒ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ VL ʹ࡞༻͢ΔԋࢉࢠͰ͋Δ͜ͱΛද͍ͯ͠Δɽ͜
͜Ͱɼۭؒ V0 Λิॿۭؒɼۭؒ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ VL Λྔࢠۭؒͱ͍͏ɽ‫ऀޙ‬͸ྔࢠϋϛϧτχΞϯ HXXZ ͕࡞༻

͢ΔۭؒͰ͋Δ͜ͱ໊͕લͷ༝དྷͰ͋Δɽ

3.2.3

సૹߦྻͷՄ‫׵‬ੑͯ͞ɼసૹߦྻͷՄ‫׵‬ੑΛࣔ͢४උͱͯ͠ɼϞϊυϩϛʔߦྻͷੵ τ0 (λ)τ0′ (µ) ͱɼੵͷॱংΛೖΕସ͑ͨ΋ͷτ0′ (µ)τ0 (λ) Λߟ͑ͯΈΑ͏ɽͨͩ͠ɼ2 ͭͷิॿۭؒ V0 ɼV0′ ʹ෇ਵ͢ΔεϖΫτϧύϥϝʔλΛͦΕͧΕ λ, µͱͨ͠ɽ·ͨɼτ0 (λ) = τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ), τ0′ (µ) = τ0′ ,12···L (µ|ξ1 , · · · , ξL ) ͱུ‫ͨ͠ه‬ɽ͜͜Ͱɼਤ 3.6 ͷΑ͏ʹࠨӈ͔Β R-ߦྻΛ͔͚ͯΈΑ͏ɽͦΕͧΕ R00′ (λ, µ)τ0 (λ)τ0′ (µ) ͱ τ0′ (µ)τ0 (λ)R00′ (λ, µ) ͱͳΔ͕ɼ͜ΕΒ͸ Yang-Baxter ؔ܎ࣜͷ͓ӄͰ౳͘͠ͳΔ

R00′ (λ, µ)τ0 (λ)τ0′ (µ) = τ0′ (µ)τ0 (λ)R00′ (λ, µ)(3.12)

͜ͱ͕෼͔Δ (ਤ 3.7)ɽ͜Εͷ྆ลʹ R-ߦྻͷ‫ྻߦٯ‬Λ͔͚ͯ V0 ⊗ V0′ ͰτϨʔεΛͱΔ͜ͱʹΑΓɼ8
7T0 (λ)T0′ (µ) = tr00′ R00′ (λ, µ)−1 τ0′ (µ)τ0 (λ)R00′ (λ, µ) = tr00′ [τ0′ (µ)τ0 (λ)] = T0′ (µ)T0 (λ)(3.13)

ͱసૹߦྻ͕ަ‫͢׵‬Δ͜ͱ͕ಋ͔ΕΔɽ

3.2.4

Yang-Baxter ୅਺ͯ͞ɼϞϊυϩϛʔߦྻ τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) Λิॿۭؒ V0 Ͱ 2 × 2 ͷߦྻͰදࣔͯ͠ɼͦͷ 4 ͭͷߦྻཁૉΛ A, B, C, D ͱॻ͜͏ɿ

τ0,12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) =9

A12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL )C12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL )

B12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL )

D12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL )

:

0

.

(3.14)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

ਤ 3.7: Yang-Baxter ؔ܎ࣜΛ࣍ʑͱద༻͢Δ͜ͱʹΑͬͯɼ྆ऀ͸౳͍͜͠ͱ͕෼͔Δɽ͜ΕΒ͸ྔࢠۭؒ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ VL ্ͷԋࢉࢠͱͳΔɽ·ͨɼྔࢠۭؒͷఴ͑ࣈ͸͠͹͠͹লུͯ͠ A(λ) =A12···L (λ|ξ1 , · · · , ξL ) ౳ͱॻ͘ɽ͜͜Ͱɼసૹߦྻ T ͸ϞϊυϩϛʔߦྻΛิॿۭؒͰτϨʔεΛͱͬͨ΋ͷͩͬͨͷͰɼT (λ) = A(λ) + D(λ) ͱͳΔɽͦΕͰ͸ɼB(λ), C(λ) ͸ԿʹରԠ͍ͯ͠ΔͷͩΖ͏͔ʁ͜ΕΒ͸‫ʹڞ‬ɼิॿۭؒͷεϐϯ͕ೖྗͱग़ྗͰ൓స͍ͯ͠Δɽ͜͜Ͱɼೖྗεϐϯͷ࿨ͱग़ྗεϐϯͷ࿨͕อଘ͢Δ͜ͱΛࢥ͍ग़ͦ͏ɽྔࢠ XXZ ໛‫ܕ‬ͷষͰड़΂ͨΑ͏ʹɼྔࢠۭؒʹ͓͍ͯ − εϐϯ (Լ޲͖εϐϯ ↓) ΛཻࢠͱΈͳ͠ɼ+ εϐϯ (্޲͖εϐϯ ↑) ΛਅۭͱΈͳͦ͏ɽ͢ΔͱɼB(λ) ͸ิॿۭؒͰ − Ͱೖྗͨ͠εϐϯ͕ + ʹͳͬͯग़͖ͯ

͍ͯΔɼ͢ͳΘͪɼཻࢠ͕ͻͱͭʮফ໓ʯ͍ͯ͠ΔɽิॿۭؒͰཻࢠ͕ͻͱͭফ໓͍ͯ͠Δͱ͍͏͜ͱ͸ɼશཻࢠ਺ͷอଘʹΑΓɼྔࢠۭؒͰཻࢠ͕ͻͱͭੜ੒͍ͯ͠ͳ͚Ε͹ͳΒͳ͍ɽ͜ͷΑ͏ʹͯ͠ɼB(λ) ͕ྔࢠۭؒʹ
͓͚Δʮੜ੒ԋࢉࢠʯͱΈͳͤΔ͜ͱ͕ಋ͔ΕΔɽಉ༷ʹɼC(λ) ͸ʮফ໓ԋࢉࢠʯͱΈͳ͢͜ͱ͕Ͱ͖Δɽ͜ͷੜ੒ফ໓ԋࢉࢠΛ࢖ͬͯసૹߦྻΛର֯Խ͠Α͏ɽ·ͣɼਅۭঢ়ଶ | 0 ⟩ = | ↑↑ · · · ↑ ⟩ ΁ͷసૹߦྻ T (λ) = A(λ) + D(λ) ͷ࡞༻Λௐ΂ͯΈΑ͏ɽͦͷͨΊʹɼϞϊυϩϛʔߦྻ τ0 (λ) ʹ | 0 ⟩ Λ࡞༻ͤ͞Δͱɼ
9A(λ)| 0 ⟩
τ0 (λ)| 0 ⟩ =C(λ)| 0 ⟩B(λ)| 0 ⟩D(λ)| 0 ⟩:=0ͱͳΔ͜ͱ͕෼͔Δɽͨͩ͠ɼA(λ), D(λ) ͷ‫ݻ‬༗஋Λ a(λ) =9*La(λ)| 0 ⟩0∗d(λ)| 0 ⟩:(3.15)

0*L

n=1 b(λ, ξn ) ͱ͓͍ͨɽ͠

n=1 a(λ, ξn ), d(λ) =͕ͨͬͯɼਅۭঢ়ଶ | 0 ⟩ ͸సૹߦྻ T (λ) ͷ‫ݻ‬༗஋ a(λ) + d(λ) ͷ‫ݻ‬༗ঢ়ଶͱͳ͍ͬͯΔ͜ͱ͕෼͔ͬͨɽ
લड़ͷٞ࿦ʹΑΓɼਅۭঢ়ଶ | 0 ⟩ ʹੜ੒ԋࢉࢠ B(λ) Λ N ճ࡞༻ͤ͞Δ͜ͱʹΑͬͯɼN ཻࢠঢ়ଶB(λ1 )B(λ2 ) · · · B(λN )| 0 ⟩ Λߏ੒Ͱ͖Δɽ͜ͷঢ়ଶ΁ͷసૹߦྻ T (λ) = A(λ) + D(λ) ͷ࡞༻Λௐ΂ΔͨΊʹ͸ɼ

A, B, C, D ͷؒͷަ‫܎ؔ׵‬ͷ৘ใ͕ඞཁͰ͋Δɽ͜ΕΒͷަ‫܎ؔ׵‬͸ɼ࣮͸ؔ܎ࣜ (3.12) ͔Βग़ͯ͘Δɽ͜ΕΛ۩ମతʹΈΔͨΊʹɼV0 ⊗ V0′ ۭؒͷ 4 × 4 ߦྻͱͯ͠ (3.12) ͷ྆ลΛදࣔ͢Δͱɼ
⎞ ⎛
⎞⎛
⎛
⎞⎛
⎞⎛
A 0
0
A′ B ′ 00
a 0 0 0A 0 B 0A′ B ′ 0
⎟ ⎜ ′
⎟⎜
⎜
⎟⎜
⎟⎜ ′
′
′
⎜
⎜
⎜0 b c 0⎟⎜ 0 A 0 B ⎟⎜C D
0
0⎟
0
0⎟
⎟ = ⎜C D⎟⎜ 0 A⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎜0 c b 0⎟⎜C 0 D 0 ⎟⎜ 0
′
′⎟
′
′ ⎟⎜
0 A B⎠ ⎝0
0 A B ⎠⎝C 0
⎝
⎠⎝
⎠⎝
0 C
0 0 0 a0 C 0 D
0
0 C ′ D′
0
0 C ′ D′

⎞⎛
0
a
⎟⎜
⎜
B⎟
⎟⎜0
⎟
0 ⎠⎜
⎝0
D
0

B
0
D
0

⎞
0 0 0
⎟
b c 0⎟⎟
c b 0⎟⎠
0 0 a

ͱͳΔɽͨͩ͠ɼa = a(λ, µ), A = A(λ), A′ = A(µ) ౳ͷද‫ه‬๏Λ༻͍ͨɽ4 × 4 ߦྻͷ͔͚ࢉΛ۩ମతʹ࣮ߦ͢Δ

͜ͱʹΑΓɼA, B, C, D ͷؒͷަ‫͕܎ؔ׵‬෼͔Δɽ·ͣɼ4 ۱ͷߦྻཁૉΛൺֱͯ͠ɼA, B, C, D ͸ҟͳΔεϖΫτ
ϧύϥϝʔλΛ࣋ͭࣗ෼ࣗ਎ͱަ‫͢׵‬Δ͜ͱ͕෼͔Δɽ࣍ʹɼ1 ߦ 2 ྻཁૉɼ1 ߦ 3 ྻཁૉΛൺֱ͢ΔͱɼA(λ) ͱB(µ) ͷؒͷަ‫ ܎ؔ׵‬A(λ)B(µ) = f (µ, λ)B(µ)A(λ)+g(λ, µ)B(λ)A(µ) ΛಘΔɽ͜͜Ͱɼf (λ, µ) = a(λ, µ)/b(λ, µ),g(λ, µ) = c(λ, µ)/b(λ, µ) Λఆٛͨ͠ɽ

3.2.5

సૹߦྻͷର֯Խͱϕʔςํఔࣜ͜ͷަ‫܎ؔ׵‬Λ࢖͏ͱɼ
9N
:
(
9N
:
9N
:) 9 N
:
/
/
/
/
T (λ)
B(zℓ ) | 0 ⟩ = a(λ)
f (zℓ , λ) + d(λ)
f (λ, zℓ )B(zℓ ) | 0 ⟩
ℓ=1

+

N
!
j=1

⎡

⎛

⎣a(zj )g(λ, zj ) ⎝

ℓ=1

N
/

ℓ̸=j

⎞

ℓ=1

⎛

f (zℓ , zj )⎠ + d(zj )g(zj , λ) ⎝

N
/

ℓ̸=j

⎞⎤

ℓ=1

⎛

f (zj , zℓ )⎠⎦B(λ)⎝

N
/

ℓ̸=j

⎞

B(zℓ )⎠| 0 ⟩(3.16)

《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064233（2017年11月号）

Λࣔ͢͜ͱ͕Ͱ͖ΔɽϕΫτϧ*Nℓ=1 B(zℓ )| 0 ⟩ ͕సૹߦྻ T (λ) ͷ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͱͳΔͨΊʹ͸ɼ๬·͘͠ͳ͍߲

ͷ֤܎਺͕ফ͑ͯ͘ΕΕ͹Α͍ɽ͢ͳΘͪɼ‫ݻ‬༗ϕΫτϧͱͳΔͨΊͷे෼৚݅ͱͯ͠ϕʔςํఔࣜL/ϕ(zj − ξn + η)

n=1

ϕ(zj − ξn )=N/ϕ(zj − zℓ + η)ℓ̸=jϕ(zj − zℓ − η)forj = 1, 2, · · · , N(3.17)

ΛಘΔɽϘϧπϚϯॏ཰Λ౳͘͢͠Δ “Homogeneous limit” ξ1 → η/2, · · · , ξN → η/2 ΛͱΕ͹ɼҎલʹಋग़ͨ͠

XXZ ໛‫ܕ‬ͷϕʔςํఔࣜ (2.38) ʹҰக͢ΔɽϥϐσΟςΟzj ͕ϕʔςํఔࣜΛຬͨ͢ͱ͖ɼసૹߦྻͷ‫ݻ‬༗஋͸
9N
:
9N
:
/
/
t(λ) := a(λ)
f (zℓ , λ) + d(λ)
f (λ, zℓ )(3.18)ℓ=1ℓ=1

Ͱ༩͑ΒΕΔɽઌ΄Ͳಋ͍ͨϕʔςํఔࣜ (3.17) ͸ɼεϖΫτϧύϥϝʔλ λ Λ‫ؚ‬ΜͰ͍ͳ͍ɽ͢ͳΘͪɼҟͳΔ λ ʹର͢Δ
T (λ) Λಉ࣌ର֯Խͨ͜͠ͱʹͳΔɽ͜ΕΛ λ Ͱల։͢Δ͜ͱʹΑΓɼແ‫ݸݶ‬ͷ‫ʹ͍ޓ‬Մ‫ͳ׵‬อଘྔ͕ੜΈग़͞Ε
Δɽಛʹɼసૹߦྻ T (λ) ͸ XXZ ໛‫ܕ‬ͷӡಈྔ K ͱϋϛϧτχΞϯ HXXZ ΛҎԼͷΑ͏ʹ‫ؚ‬ΜͰ͍Δɿ
)
(∞
!
L
n
T (λ) = ϕ(η) exp
An (λ − η/2) , A0 = −iK, A1 = ϕ(η)−1 (2HXXZ + L∆)(3.19)n=0

A2 , A3 , · · · ͸͞Βʹߴ࣍ͷอଘྔΛ༩͑Δɽ·ͨɼసૹߦྻͷ‫ݻ‬༗஋ (3.18) ʹ ξ1 = · · · = ξL = η/2 Λ୅ೖ͠ɼ(3.19) ͔ࣜΒ XXZ ໛‫ܕ‬ͷશӡಈྔͱΤωϧΪʔͷ‫ݻ‬༗஋Λ‫ͯ͠ࢉܭ‬ΈΔͱɼ࠲ඪϕʔςԾઆ͔Β‫ٻ‬Ίͨࣜ (2.44),(2.45) ʹҰக͢Δ͜ͱ͕͔֬ΊΒΕΔɽ4͓ΘΓʹຊςΩετͰ͸લ൒Ͱ XXZ ໛‫ܕ‬ͷ࠲ඪϕʔςԾઆͷղઆΛߦ͍ɼ‫ޙ‬൒Ͱ 6 ௖఺໛‫ܕ‬ͷ Yang-Baxter ؔ܎͓ࣜΑͼసૹߦྻͷର֯ԽΛٞ࿦ͨ͠ɽ͜͜Ͱ͸ࢴ਺ͷ౎߹্ৄ͘͠ड़΂ΒΕͳ͔ͬͨ෦෼΋͋ΔͷͰɼ‫ڵ‬ຯ͋Δಡऀ͸ྫ͑͹จ‫[ ݙ‬5, 6] ͓Αͼ೔ຊ‫ޠ‬ͷղઆ‫[ ࣄه‬7, 8] ౳Λࢀরͯ͠΄͍͠ɽ࠷৽ͷ‫͍ͯͭʹڀݚ‬ड़΂Δ༨༟͸ͳ͔͕ͬͨɼ࠷ۙͰ͸౷‫ֶྗܭ‬ͷ‫͚෇ૅج‬ͷ໰୊ͱͯ͠ɼ‫ܥࢠྔཱݽ‬ͷ؇࿨μΠφϛΫε͕‫ࢉܭີݫ‬ՄೳͳՄੵ෼‫ܥ‬Λ༻͍ͯ੝Μʹ‫͞ڀݚ‬Ε͍ͯΔ [9]ɽ࠷৽ͷಈ޲ʹ͍ͭͯΑΓৄ͘͠͸ϨϏϡʔ࿦จ [10, 11] Λࢀর͞Ε͍ͨɽࢀߟจ‫ݙ‬[1] H.A. Bethe, “Zur Theorie der Metalle”, Z. Phys. 71 (1931) 205.
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Interaction”, Phys. Rev. 168 (1968) 1920.
[3] R.J. Baxter, “Eight-Vertex Model in Lattice Statistics”, Phys. Rev. Lett. 26 (1971) 832.
[4] R.J. Baxter, “Exactly solved models in statistical mechanics” (Academic Press, London, 1982)[5] V.E. Korepin, N.M. Bogoliubov and A.G. Izergin, “Quantum Inverse Scattering Method and Correlation
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[8] ࡖ࿨ޫ, “Մੵ෼‫ͱܥ‬ϕʔςԾઆ”, ਺ཧՊֶ 49(2), pp.19-26, 2011 ೥ 2 ݄߸
[9] ग़‫ޱ‬఩ੜ, ࠤ౻७, ্੢‫ܛ‬ཧࢠ, “Մੵ෼ྔࢠଟମ‫ܥ‬ͷඇฏߧμΠφϛΫεͱ౷‫ֶྗܭ‬ͷ‫”ૅج‬, ೔ຊ෺ཧֶձࢽ
2015 ೥ 6 ݄߸, ղઆ.
[10] F.H.L Essler and M. Fagotti, “Quench dynamics and relaxation in isolated integrable quantum spin chains”,
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