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日本物理学会第63回年次大会講演 2008/3/26aZH-10 於近畿大学

スピン軌道力を取り入れた正準基底HFB法プログラムの開発
Development of a canonical-basis HFB program
including spin-orbit force（1）Formulation
特に（昨秋の学会講演の補足として）準粒子ハミルトニアンの対角化法（２）Si アイソトープの計算結果

田嶋直樹 (福井大工)
Naoki Tajima, Fukui University
URL http://www.apphy.fukui-u.ac.jp/~tajima/jpsm07fl_slide.pdf （昨秋分）
jpsm08sp_slide.pdf (公開予定）

正準基底HFB法とは

正準基底HFB法
未知の核 ⇒ 任意の変形、任意の表面状態 (スキン、ハロー)
調和振動子等の基底展開は不利 (最適化がわずらわしい)
位置座標表現が適する (正方メッシュ表現等)

中性子過剰核 ⇒ フェルミ準位の上昇 (連続状態への接近)
対相関で連続状態を陽に取り入れる必要
位置座標表現で従来の解法 (準粒子法)は困難 (状態数が過大)

正準基底HFB法 + ３次元メッシュ表現 + Skyrme 相互作用
任意の変形、任意の表面状態、連続状態の対相関 を扱える

Skyrme HFB法におけるスピン軌道力

Ref. Bonche et al., Nucl.Phys. A443, 39 (1985)

HFB with the Skyrme force
Mean-ﬁeld interaction:

1v̂ = t0(1 + x0Pσ )δ + t1(1 + x1Pσ )(⃗k 2δ + δ⃗k 2) + t2(1 + x2Pσ )⃗k · δ⃗k2
1 α+ ρ t3(1 + x3Pσ )δ + iW (σ⃗1 + σ⃗2) · ⃗k × δ⃗k6
Pairing interaction:

diﬀerent parameters assumed,



only for (S=0, T=1) pairs.
1 − Pσρ ρn − ρp1 ⃗ 22

 ⃗

  δ −T−v̂p = vp
1− −kδ
+δk

z2
ρc
ρ′c
ρ̃c 2kc2• vp :

overall strength,2 ρ̃  

to be adjusted depending on the cutoﬀ.

Cutoﬀ can also be controlled by the number of canonical basis.
• ρc = 0.32 fm−1, ρ′c = ρ̃c = ∞ :• kc = 2 fm−1 :density dependence, insuﬃcient information

momentum dependence (=ﬁnite range eﬀect),prevents the point collapse

See http://www.apphy.fukui-u.ac.jp/∼tajima/jpsm07ﬂ slide.pdf for details.






時間反転対称性の利用

Time reversal symmetry
The time-reversal operator T can be deﬁned in |⃗rs⟩ representation byT |↑⟩ = |↓⟩,T |↓⟩ = −|↑⟩,∫T ψ(⃗r) = ψ ∗(⃗r)T[]Thus, for|ψ⟩ = d3r ψ↑(⃗r) |⃗r↑⟩ + ψ↓(⃗r) |⃗r↓⟩ ,[]∫∗3∗|ψ̄⟩ = T |ψ⟩ = d r ψ↑ (⃗r) |⃗r↓⟩ − ψ↓ (⃗r) |⃗r↑⟩ .
We use four real-value functions of ⃗r, { ψ (1)(⃗r), ψ (2)(⃗r), ψ (3)(⃗r),ψ (4)(⃗r) } , to express a time-reversal pair of orbitals.
ψ(⃗r, s) = 











ψ (1)(⃗r) + iψ (2)(⃗r) δs↑ + ψ (3)(⃗r) + iψ (4)(⃗r) δs↓,ψ̄(⃗r, s) = −ψ (3)(⃗r) + iψ (4)(⃗r) δs↑ + ψ (1)(⃗r) − iψ (2)(⃗r) δs↓,Time reversal and spatial symmetries• In other works, spatial symmetries are imposed(e.g., D2h, C4, C1h, R1), under which time reversal partners can be assigned to different subspaces.
• On the other hand, in thiswork, we do not impose any
spatial symmetries and thus
it is not possible to preﬁx a
subspace for i > 0 or i < 0.

準粒子ハミルトニアンの対角化法

Gradient step evolution で正準基底を改良していくと同時に、200 stepsくらいに１回の頻度でよいので、その時点の正準基底の張る部分空間内で、その時点の準粒子ハミルトニアンを対角し、得られた準粒子によりHFB解の一体密度を作り、その一体密度の固有状態としてよりよい正準基底を得ることで収束を早めることができる。

Diagonalization of HFB quasiparticle Hamiltonianin the subspace spanned by the canonical basis¯¯¯¯¯{For |α⟩ , |β⟩ ∈ |1⟩ , · · · , |M ⟩ , |1̄⟩ , · · · , M̄⟩ }h : mean-ﬁeld Hamiltonianh̃ : pairing Hamiltonianh† = h, [T, h] = 0h̃† = h̃, [T, h̃] = 0Hαβ = ⟨α| (h − ϵ ) |β⟩Ffor
1 ≤ i, j ≤ MAij = ⟨i| (h − ϵ ) |j⟩ Bij = ⟨ı̄| (h − ϵ ) |j⟩FF

∆αβ = ⟨α| h̃T |β⟩for1 ≤ i, j ≤ MCij = ⟨i| h̃ |j⟩ Dij = ⟨ı̄| h̃ |j⟩∗ A −B
H = ∗B A ∗ −C 
 −D
∆ =  ∗C −D A† = A, B T = −B, H † = H

C † = C, DT = −D, ∆† = ∆Quasiparticle Hamiltonian ¯is deﬁned
in the doubled basis ¯ ⟩ }⟩¯¯¯¯|1⟩ , · · · , |M ⟩ , |1̄⟩ , · · · , ¯M̄ , |1⟩ , · · · , |M ⟩ , |1̄⟩ , · · · , ¯¯¯M̄{H∆ H=∗∗−∆ −H 

 UUα α  = ϵα  ,HVαVα H† = H(α = 1, · · · , 2M ), quasiparticle states areFor ϵα > 0∗∗ V V
H  α∗  = −ϵα  α∗  .
UαUαVα : spatially localized
Uα : spatially localized for 0 < ϵα < −ϵ , dislocalized for ϵα > −ϵFAll the above calculations are to obtain the one-body density :ρ = V ∗V T, V = (V1, · · · , V2M )F

The one-body density ρ is very useful because
the eigenstates of ρ are an improved set of canonical basis states.
It guides the gradient step evolution to a fast convergence path.
note 1) One expects to obtain the eigenstates pairwisely.
M∑′|i⟩ =Wji |j⟩ + Wȷ̄i |ȷ̄⟩ ,
j=1
()
M
∑
′2|ı̄⟩ =ρWı̄ = vi Wı̄,Wjı̄ |j⟩ + Wȷ̄ı̄ |ȷ̄⟩ .
j=1∗.
It must hold Wjı̄ = −Wȷ̄i∗ , Wȷ̄ı̄ = Wji

ρWi = vi2Wi,()

No numerical troubles encountered.
note 2) One has to adjust the Fermi level ϵ to fulﬁll N = Trρand thus one has to repeat the above procedure many times.
FSi同位体の計算結果

Test calculation
Nucleus: Z = 14, 6 ≤ N ≤ 34
Mean ﬁled:
Skyrme SIII force, including the spin-orbit force,but excluding the Coulomb force
Pairing force:kc = 2 fm−1, ρc = 0.32 fm−3, vp = −1050 MeV fm3
The number of the canonical basis states:
three times as many as the number of neutrons/protons (N=14)
2M = N + 2 · 142/3N 1/3
Box: Cube with edge L = 25.6 fm → 40 fm → 60.8 fm,(313 points → 493 points → 753 points)mesh spacing ∆x = 0.8 fm
Initial state: Harmonic oscillator state with β2 = 0.3, γ = 30◦.

The number of canonical basis states
An estimation in terms of a harmonic oscillator relation
Γ(Nosc) =. 13 (Nosc + 2)3 : 主量子数 Nosc 以下の状態数 (近似式)(1) energy up to the Fermi level + ϵcut








3N 1/3ϵcut
2M = 3 + 21/3
3(41 MeV) 

2N for ϵcut = 12MeV「2 倍スペース」=  3N for ϵcut = 21MeV「3 倍スペース」
 4N for ϵcut = 28MeV「4 倍スペース」⇒ Empirically, pairing gap is roughly independent of N .

(2) n-major shells above the Fermi level (ϵcut = 41nA−1/3 MeV, A = 2N )













3n2/3nN 2/3 + · · ·2M = N 1 +=N+3(3N )1/3 ⇒ Dependence on N is still too weak.
(3) In this talk, I choose
2M = N + 2 · 142/3N 1/3for Z = 14 isotopes,（N = Z = 14 で 3 倍スペース, 1.5h̄ω カットオフ）

for N = Z = 150,

2M = 150（2 倍スペース）

-150

3.5
Z=14 isotopes

3pairing gap (MeV)

total energy (MeV)

-200
-250
-300

2.5
2
1.5
1-350

neutronproton12.5/sqrt(A)

0.5
-400

0
8

121620

24

28

32

8

16

20

24

28

32

24

28

32

0.25

0

neutronproton-5

0.2

neutronproton-10
beta_2Fermi level (MeV)

12-15

0.15
0.1

-20
0.05

-25
-30

0
8

121620

24

28

32

8

1216

20

460
50

3.6
gamma (deg)r.m.s. radius (fm)3.83.43.232.8
2.64030(plotted only for deformed nuclei)

2010

neutronproton2.4neutron
proton08121620<N>

2428328121620<N>

242832

解の精度
1Hi |i⟩ =2M∑j=1|j⟩⟨j| Hi |i⟩が成立. そこで|Ri ⟩ = Hi |i⟩ −2M∑|j⟩⟨j| Hi |i⟩

j=1として∆ϵi := ⟨Ri |Ri⟩
= ⟨i| Hi2 |i⟩ −2M∑| ⟨j| Hi |i⟩ |2

j=1

max Delta epsilon_i (MeV)HFB 解では

mesh 31^3 -> 49^3
mesh 49^3 -> 59^30.1

0.01

0.001

1e-04と定義される量が解の精度の目安となる.

Z=14, N=32
1e-05
05000

10000

ただし正規直交時にゼロとなる項は省いた.

青線：陽子、赤線：中性子

15000

20000

25000

-403.64-403.66

Neutron’s Fermi level = −40 keV-403.68

By changing the length of the box edge
L = 25.6fm → 40fm|∆E| = −50 keV

total energy (MeV)

Z=14,N=32 (a nucleus in the drip line)-403.7-403.72-403.74-403.76∆rrms = 0.013 fm-403.78-403.85000

L=40fm → 60.8fm

10000

15000

20000

25000

10000

15000
gradient step

20000

25000

3.802

|∆E| < 1 keV∆rrms = 0.0003 fm
Even for this extremely weakly bound nucleus, there is no diﬃculty to expand thebox size until the result converges.

neutron r.m.s. radius (fm)

3.8
3.798
3.796
3.794
3.792
3.79
3.788
3.786
5000

まとめ

1．正準基底HFB法プログラムを、スピン軌道力が扱えるように改造した。
２．空間的対称性を一切課さず、一方、時間反転対称性は最大限に利用した。
３．Z=14同位体の計算例を示した。ドリップ線まで何の困難もなく扱えた。
４．昨秋、計算途中まで示したN=Z=150核の計算についても、対角化時の問題を解消でき、超重核でも扱える計算法であることが確かめられた。ただし、計算時間不足で完全には収束していないため今回はグラフを示さなかった。

今後の計画
１．クーロンポテンシャルの導入 → 完了後、論文としてまとめる。
２．プログラムの活用、 対相関の反中性子暈効果の系統的研究、核図表全面の計算。
３．各種の拘束項の導入、 外場による変形の収束の加速。