《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064213（2017年11月号）

フラストレートした量子多体系
東京大学総合文化研究科

堀田 知佐

物性とは, 物質中の電子がもつ電荷・スピン・軌道などの自由度が互いに相互作用しあった結果, マクロな(熱力学的) 物理量に見出される性質である. その際, 系のエネルギー E とエントロピー S の兼ね合いがものを言う. 「この二つの熱力学量がどのような性質を持つか」 と「ミクロな自由度同士がどのような相互作用をもつか〜つまりどのようなミクロなモデルで系が表されるか」の間を繋ぐのが理論研究の役割といっていいだろう. ごく一般の系では, 温度が下がるにつれ エントロピーが比熱という形で放出され, エネルギーが最も低く, エントロピーがゼロの状態が最終的に極低温で実現する. これが熱力学第三法則である. エントロ
ピーが低い状態とは, 自由度が何らかの形で「秩序化」した状態に相当する. ところが, フラストレート系と呼ばれる系では, エントロピーがなかなか放出されず, そのために低エネルギー状態が混沌としてしまう. そこに何らかの新しい物理が生まれる〜特異な揺らぎが発生して, 通常とは異なった秩序や「相」が実現した
り, 特徴的なダイナミクスや応答が得られる場合もある. 本稿では, このようなフラストレート系のエッセン
スを, イジングモデルやハイゼンベルグモデル, tV モデルなどのミニマル有効モデルをもとに大掴みに捉え,それをどう理論的に”調理する”かについて解説する．

1 基本的なことがら

S(T = 0) = 0.323kB N *1 で全エントロピー (ln 2)kB Nの半分弱に相当する. 比熱の温度依存性を見ても, 緩

統計力学で学ぶことの一つに, エントロピー S はやかなピークをもちながら低温に向けて減少していく

示量性 (∼ O(N), N:システムサイズ) の物理量であだけで何ら異常はみられない. つまり絶対零度まで無∂Sり,= T−1 > 0 なので, S(E) ≡ s(E)N はエネル
∂E
ギー E の増加関数である, というくだりがある. そるが, このような 低エネルギー状態の「マクロな縮退」のため, どんな系であっても多体の状態密度 Ω(E) ∝はフラストレート系の特徴 である.

秩序の状態を保っているのである. 次節で詳しく述べは E とともに指数関数的に増大する (図 1(a)).

物質中のフラストレーションとはそもそも, 局所的理想的な状態密度の例として, 図 1(b) の正方格子イな相互作用エネルギーを最も得するような配置を同時

ジングモデルの場合が挙げられる. 最低エネルギーに全体が満たすことができない状況をいう. つまり系

では Ω(E) ∼ O(1) で, ln Ω(E) は上に凸の E の増加

全体のエネルギーが最低になるような配置は 各パーツ

関数（熱力学関数の凸性）である. 自由エネルギーが少しずつ我慢しあうことで成り立っているため, どF = E − TS が最低の状態が各温度で実現するので,こが我慢するかの選び方が ∼ O(N) 程度生じて, これ

低温ほど低エネルギー, 低エントロピーの状態が好まがエネルギーレベルの縮退として顕れるのである.

s(E)N

e

れ, T = Tc で二次相転移を起こして比熱が発散, そ

本稿では ２次元格子上の電子系およびスピン系を取れより低温で秩序化する. フラストレート系ではこり扱う. 一般にはフラストレーションと一口に言ってれがどう変わるのだろうか？図 1(c) の三角格子反強も様々な種類があるが, 今回は近接サイト間の２体相

磁性イジングモデルの場合を見てみると, 最低エネ

互作用の幾何学的フラストレーションに着目する. *2

ルギーのところは, 状態密度がそれまでの連続曲線が途中で止まった形になっている. この状態数 (絶対零度での縮退度) は, エントロピーで見積もると*1 Wannier の原著論文 [1] には 0.338kB N とあるがこちらがより正確な見積である. 久保健 · 田中秀数,「磁性」で指摘.
*2 フラストレーション系を設計するには, たとえば距離とともに減衰する長距離相互作用を導入する, フラットバンドを作る（量子的フラストレーション）, などいくつかの方法がある. 後者は幾何学的フラストレーションと関係している.

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ここでフラストレーション以外に「量子効果」というキーワードを簡単に説明しておこう. 多くの格子モ
デルで扱われる相互作用は,「古典的」および「量子的」といわれるものに分けることができる. 量子力学では,
粒子が実空間において古典力学でのようには局在せず,
波として広がった状態にあると捉える. つまり「量子状態」とは, 実空間で全自由度がとる配置のスナップ
ショットが, 複数パターン 重なり合ったものと言える.
たとえばスピンが N 個あり それぞれが ↑, ↓ の二状態を取りうる場合を考えてみよう. N スピン状態の基底は | ↑↓↑ · · · ↓⟩ などのように Λ = 2N 通り, スピン配置
を並べたものになる. これらを |n⟩ (n = 1 ∼ Λ) と表そう. この基底によるハミルトニアンの行列表現は,

H = Ψ† ĤΨ()  h11= |1⟩, |2⟩, · · · |Λ⟩  h21

 .
 .
 .

hΛ1

h12
h22



· · ·   ⟨1|    ⟨2|  . .   ..  ,.   . 


⟨Λ|

hij = ⟨i|Ĥ| j⟩(1)となる. もし hi j が対角要素 i = j のみノンゼロならば,各基底はハミルトニアンの固有状態となっている: これは「古典的」状態である. ところがもしハミルトニア
ンの非対角要素が存在した場合, 行列 (hij ) を対角化す
ること, つまり基底をユニタリ変換して重ね合わせる

図 1 (a) 多体状態密度 Ω(E) のエネルギー依存性，(b) 正方格子イジングモデルの状態密度と比熱 C.
Tc = 0.5673J. (c) 同様に三角格子イジングモデルの場合．式 (3) で J = 0, Jz = 1 とした.

ことで固有状態が構築される. これを「量子状態」として捉える. 実空間での自由度の配置で基底を張った時に, それらの間がハミルトニアンによって混じる (i , j

ぜ, 量子的に働く. 一方, V の項を基底に演算しても状で hi j , 0) ことが量子効果である.

態を変えないのでこれは h j j という対角項（古典的）に本稿で扱うハミルトニアンをいくつか紹介しておこう (図 2 参照). まず電荷自由度のモデルとして tV モ

S=1/2 局在スピン自由度のみを考えたモデルとして
XXZ モデルがある.

デルを挙げる.

HtV =

相当する.

∑(

− tij c†i c j + H.c. + Vij ni n j

)
(2)

⟨i j⟩

Hxxz =∑ ()
y y
J Ŝxi Ŝxj + Ŝi Ŝ j + Jz Ŝzi Ŝzj

(3)

⟨ij⟩

c†j /c j は j 番目の格子点での spinless fermion の生成/Ŝαi は i 番目のスピンの α = x, y, z 成分のスピン演算

消滅演算子, n j = c†j c j は数演算子である. tij , Vij は, i- j

子, J, Jz > 0 は反強磁性スピン交換相互作用, Jz /J はサイト間のは遷移積分とクーロン相互作用である (以相互作用の異方性をあらわす. ここで z 方向を量子化

後, 一様と考え t, V と書く). このモデルの Fock 空間

軸にとって | ↑↑↓ · · ·⟩ などのスピン配置を

は 2N 個の多粒子基底で, fermion がインデックス {m}と表し, 基底とすることができる. 上向きスピンを”仮†{m} cm |0⟩ と想的な粒子が存在する”, 下向きスピンを”粒子がいな表される. t を含む hopping 項は これらの基底を混い”と解釈すると, tV モデルの演算子と n j − 1/2 ↔ Ŝzj

で指定された一連のサイトにいるとして∏∏+{ j} S j |0⟩《講義ノート》

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や c†j /c j ↔ Ŝ jという対応関係が得られる. 実際, ス

ピン自由度に相当する仮想的粒子は, １サイトに最大で１粒子しかいられないという hard core 条件をもつ ボゾン (hard core boson) である. *3 このことを念y y

頭に置くと, ハミルトニアンの XY 項 Ŝxi Ŝxj + Ŝi Ŝ j =(Ŝ+i Ŝ−j + Ŝ−i Ŝ+j )/2 はボゾンがサイト間を遷移する量子的な項, Z 項は tV モデルのクーロン項と同様の古典的な項であることがわかる.
スピンの量子性は S の大きさが小さいほど大きい.

図 2 モデル間の相関図.

そのため 式 (3) で J = Jz としてスピンの大きさをS → ∞ とすると, スピンを古典的なベクトルとみなした古典ハイゼンベルグモデルとなる.
そのほかに横磁場イジングモデルを挙げておこう.

Htri =∑jΓŜxj +∑Jz Ŝzi Ŝzj

(4)

⟨ij⟩

これはイジングモデルに Ŝxj = (Ŝ+j + Ŝ−j )/2 という, ス
ピンの z 方向成分を上下にフリップする横磁場が加わったものであり, この横磁場 Γ が量子効果を担う.
これらのハミルトニアンはいわゆる格子上の強相関
電子系のミニマルモデルであるといってよい. 我々が念頭に置くのは 遷移金属化合物の d 電子系や, ２次元
有機 π 電子系など, 各原子や分子上に局在したワニエ関数が電子軌道のよいユニットとして成り立っている系である. これらの系では一般にクーロン相互作用が強く, 電子が量子性を持ちながらも相互作用の効果で各軌道に局在しやすくなっている. このような強相関系のモデルの一つとして 最後の節で取り上げる拡張
ハバードモデルを紹介しておく.

Hexth =∑(
⟨ij⟩,σ− tij c†iσ c jσ + H.c. + Vij ni n j) ∑Uni↑ ni↓+i(5)電子は同じ軌道/サイトに σ =↑, ↓ の２つの電子が同時に入るとオンサイトクーロン相互作用 U を感じる.
また近接サイト間でもクーロン相互作用 Vij をもつ.

Vi j = 0 の場合がハバード模型である. ここで U が非
常に強く, かつ電子数が格子の数と同じ (half-filling)
場合には, 一つの軌道あたり電子が１つずつ局在した*3 tV モデルと XXZ モデルの違いは粒子が位置を交換する際にフェルミ統計に従うか ボーズ統計に従うか, であり, １次元系では両者は Jordan-Wigner 変換によって (多くの短距離相互作用ハミルトニアンでは) 両者は厳密に一致する.

モット絶縁体となる. モット絶縁体の磁性は 各サイトの電子のスピン自由度が担う. その一番シンプルなハ
ミルトニアンが 式 (3) で J = Jz = 4t2 /U としたハイゼ
ンベルグモデルである. しかし一般に物質にはしばしば磁気異方性が存在するため, Jz /J が 1 からずれることもある. Jz /J → ∞ の極限では toy model の代表格であるイジングモデルが実現する.
一方, half-filling からずれたところではたとえ U →∞ の場合でも電子は動き回ることができる. この電荷自由度に着目すると, Vij , 0 もとりいれた tV モデルが実現する. このとき, スピン自由度ももちろん存在す
るが簡単のため無視している.

1/4-filling (1 サイトあたり電子 0.5 個) で, サイトが強い遷移積分 td でペアを組んだダイマーが, モット
絶縁体を形成しているときには, U = ∞ かつ Vij が強い領域で, 電荷がダイマー当たり１つずつ局在しながらダイマーの２サイトを揺らぐため, 横磁場イジング
モデルがよい有効模型となる [2].
強相関系で良く扱われるハバードモデルなどのモデ
ル自体も, 固体に内在する多くの自由度の影響を繰り込んで十分簡単化された 低エネルギー有効モデルだが, 実際にこれら量子多体モデルを真正面から解くことは多くの場合困難である. そこでこれら有効モデルの特定のパラメタ領域において, さらに高エネルギー
自由度を繰り込むと上記のようなより扱いやすい模型に変換される. このような変換をどれくらい巧みに行うかによって注目する物理現象を理解できるか否かが決まるといってよい. これについては §3, §4 で述べる.

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だった中央のサイトは周りの白３＋黒３と相互作用しているため, 黒に変えてもエネルギーは変わらない. そのため更に白黒を入れ替える選択肢が生まれる. 同様にカゴメ格子で 6 個の三角からなる星型構造を切り出したとき, 中央の六角形上に白黒が交互に並んでいる場合には, 白黒を逆にしてもエネルギーは変わらな
い. このような局所的な spin flip が許されているために 基底状態がマクロに縮退する. 三角格子とカゴメ
格子それぞれの場合の縮退度は それぞれ W ∼ e0.323N ,e0.502N [3] で, 後者はヒルベルト空間の次元の半分を超える巨大さである.
次にスピンを３次元のベクトルとみなした古典ハイ
ゼンベルグモデルを見てみよう. １つの三角形上で三辺の相互作用エネルギーの和が一番低いのは図 3(d)にある 120◦ 構造と呼ばれる配置で e = −J3/8 である.
ところが今回は三角格子ではイジングモデルのような局所的なフリップは許されない. 六角形の中央サイトが周りの白黒のスピンの配置でがっちり固められているからである. それに対して, カゴメ格子のほうはそもそも規則的に３色に塗り分ける方法にも q = 0,
図 3 (a) 三角格子の３副格子構造 と (b) カゴメ格子√√
3 × 3 などの選択肢があり, その縮退数は 1.13471Nの３副格子構造 (q = 0) およびにも及ぶ [4]. これらはスピンが同じ面に並んでいる

√

3×

√
3 構造. (c) イ

ジングモデルと (d) 古典ハイゼンベルグモデルにおける縮退に関係した局所磁気構造.

ので coplaner 状態と呼ばれる. さらに, 破線で囲まれた部分で二種類の向きのスピンが交互に並んでおり それを取り囲むスピンが残りの 1 色だった場合, 交互に並んだスピンの磁化している面 (格子の面ではな

2 古典系におけるエネルギーレベルの縮退い) を一斉に 2π の範囲で自由に回転させることがで

隣接サイト間で古典的な反強磁性相互作用するスピ

きる. このように局所的に一斉回転させることのできン系を考える. まず１つの三角形を考え, その頂点を黒るスピンの並びは閉曲線を成しており, line defect や白灰の三色に塗り分ける. この三角形の辺をつなぎ合

weathervane mode などと呼ばれる. マクロに縮退しわせて作ったのが三角格子, 頂点をつないだのがカゴた状態はすべて, 特定の状態から出発してこれらの操メ格子である (図 3(a),(b)). このとき一様に黒白灰に色作で生成することができる [5].

分けした構造を”３副格子構造”という.

一般にフラストレートしたユニット, つまり最低エ

イジングモデルでは, 1 つの三角形あたり 三辺の相ネルギーが一意に定まらないユニットを用意して, カ

互作用エネルギーの和が一番低い e = −J/4 となるのゴメ格子のように頂点共有（corner sharing) というは ↑2 つに ↓1 つの場合, あるいはその逆の場合である.
そこで 黒を ↑, 白を ↓ とみなそう. 図 3(a) で灰をす

方法で格子を作ると フラストレートした系が得られることが知られている. 代表例には checkerboard 格

べて白に塗り替えても黒に塗り替えても, ランダムに子, pyrochlore 格子などがあり, 其々 四角および正四白黒を選んでもエネルギーは変わらない. 次に格子か面体をユニットに持つ.

らある６つの三角からなる六角形を切り出し, 図 3(c)のように頂点の灰色を全部白に変えると, もともと白《講義ノート》

物性研究・電子版 Vol. 6, No. 4, 064213（2017年11月号）の対称性が保たれる限り縮退は守られる. これに対してフラストレート系の縮退は accidental degeneracyに相当するので, 揺らぎに弱い のが特徴である. 揺らぎといえば次節で議論する量子揺らぎ以外に温度揺らぎがある: 絶対零度では縮退した無秩序 (disorder)
図 4 corner sharing で構成されたフラストレート格子.

状態が有限温度で秩序化 (order) するという 一見,
熱力学に反した現象が起こることがある *4 . このと⟨ 付記 ⟩ : corner sharing 構造の縮退度の簡単な見積りを紹き kB T = 0 が特異点となり kB T , 0 になった瞬間

介しておこう. n 個の古典スピンからなるユニットが Nu 個

異なった状態になる. このような現象は ”order by

集まってできた N = nNu /2 個のスピン系を考える:

disorder” とよばれ Villain によって提唱された [9].

• イ ジ ン グ ス ピ ン の 場 合, ユ ニ ッ ト の 最 低 エ ネ ル ギ ー 状

カゴメ格子古典ハイゼンベルグモデルは order by

態数 d として縮退度 W = 2N (d/2n )Nu . カゴメ格子ではdisorder の代表例である [5]. 前節で述べたように マn = 3, d = 3 なので W = 2N (3/8)2N/3 である. checkerboard

クロに縮退した基底状態には, defect line による零格子, pyrochlore 格子は ice rule という規則で知られるよ

モードが無数に存在する. その中でも スピンがすべ

うに 最低エネルギーを持つのが 2-in-2-out という 2 つのス
ピンが内向き 残り 2 つが外向きの状態なので n = 4, d = 6
で W = 2N (6/16)N/2 である. この ice rule による縮退は氷て同じ面内に拘束された 特定の coplaner 状態は零モードの数が他の状態に比べて多い. 実際, 図 3(b) のの残留エントロピー問題で古くから有名である [6]. また√√
3 × 3 状態では, N/3 個ある六角形がすべて零モー

pyrochlore 磁性体は, 同様の縮退がイジングスピンによっドを形成する. この零モードの数は大雑把にいうと揺ておこる spin ice 物質として近年活発に研究されている [7].

らぎの強さを反映しており, coplaner 状態は, 有限温• スピンが連続値をとる場合, 各スピンが n 個成分をもつと度になった途端 この揺らぎで結ばれる状態の数が他して, ある回転軸を用意し それを基準に全スピンで N(n − 1)の基底状態と比べて多い. そのため coplaner 状態が,個の値を決めると状態が決まる. 一方, q スピンからなるユ

エントロピーの利得により, kB T < 10−3 |J| の領域で実ニット内でエネルギーを最低にする条件数を c 個とすると現することが解析的な見積もりやモンテカルロ計算な

f = N(n − 1) − cNu = Nu (q(n − 1)/2 − c) だけの自由度が基底状態に残る. checkerboard 格子, pyrochlore 格子では

q = 4 で c = 3(ユニット内の∑S j = 0 となる条件数) なのでハイゼンベルグモデル n = 3 では f = Nu つまりマクロな数

どで確かめられている [10, 11]. 10−3 |J| ≲ kB T ≲ 0.1|J|においては, 各三角形のスピンは 120◦ 配置をとる
が, 120◦ スピンの作る面が向く方向は三角形ごとにの自由度が残る. 一方, カゴメ格子 (q = 3) のハイゼンベルグ

バラバラになった, いわゆる古典的スピン液体状態

モデルの場合や, pyrochlore 格子 roter(2 次元ベクトル) モ

が安定で, さらに温度を上げるとようやく系は普通

デル (n = 2) では, それぞれ c = n − 1 = 3, 2 とすると f = 0の常磁性へと移行する. 特徴的なのは状態密度で,となってしまう. これらの場合, 実際にはユニット間のスピ

ln Ω(E)/Ω(E0 ) = γ ln(E − E0 )/|J| という 冪がちょうどンの関係から拘束条件数は c < n − 1 となるために上記に述

低温比熱 C/kB = γ = 11/12[5] の値となるような状態

べたような縮退は残る. そのためこの条件式は正確ではないがほぼ全域にわたって続く [12].

のだが, フラストレーションの度合いの大まかな目安は与えてくれる. 実際, 同じ古典ハイゼンベルグモデルでも, カゴメ
格子では次に述べる order by disorder が起こるのに対し,フラストレーションがより強い pyrochlore 格子では古典ス

なお coplaner 状態の磁気的性質は長年問題になっていた. nematic[5], octapole[10] など 120◦ スピンの面ベクトルが多重極秩序をもつ節が有力と考えられてピン液体的な状態を極低温まで保っている [8].
*4 通常はより高温の, エントロピーが高い状態のほうが無秩序

3 order by disorder
一般に縮退といえば, ハミルトニアンと可換な演算子が存在してその演算子に対応する対称性（主に空間群）によって守られた essential degeneracy であり, そとなる. しかし, 基底状態よりもエントロピーが高い低エネル
ギー励起状態が存在する場合, その状態が有限温度で出現しうる. 本稿の古典カゴメハイゼンベルグモデルの例では, マク
ロな基底状態がいくつかの部分空間に分けられ, その中で特にエントロピーが高い特定の部分空間が有限温度で選ばれて”擬秩序”が成立する.

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きたが, 最近になってモーメントの大きさが 1/10 程√√3 × 3 の磁気秩序が立っているとい

度まで縮んだ

う結果も報告されている [11]. *5 古典系でもこのようにデリケートで数値的取り扱いが難しく, ごく最近になっても議論が沸騰する問題はいくつか存在するのである.

4

有効ハミルトニアン

多体系のヒルベルト空間の次元 Λ はシステムサイ
ズ N とともに ∼ exp(N) 的に増大することは §1 で述べた. そのため, 量子多体ハミルトニアンの基底状態お

図 5 (a) Schrieffer-Wolff 変 換 の 模 式 図. (b) 非

よび低エネルギー状態を理解するにあたって有限サイ摂動ハミルトニアンの W0 , W⊥ での期待値 Em =ズ効果は宿敵である. しかしそもそも, たとえばハバー⟨m|H0 |m⟩, El = ⟨l|H0 |l⟩.

ドモデルやハイゼンベルグモデル自体, もともとの物
質をモデル化するにあたって状況に応じて大幅な簡単

この表式は厳密だが, 未知の E をあらわに含んでい化を行ったものである. それをさらに簡単化して解けるので実際にこのまま使えるわけではない. そこでる問題に落とすことは自然な成り行きである.
ハミルトニアン H とその固有値 E, 固有状態 |ψ⟩ を求めたい.

近似の出番である. 第二項は, 捨てた空間 W⊥ からの寄与を繰り込む効果に相当しており, この効果をどれくらいうまく取り込むかで得られる波動関数やエネルギーの精度が決まってくる. 式 (8) の第二項を実

H|ψ⟩ = E|ψ⟩,|ψ⟩ ∈ W

(6)

効的に PHQ で 展開したものに相当する Rayleigh-Schrödinger 摂動論が, 過去の夏の学校でも紹介されこれに対して, ヒルベルト空間 W のうち特定の部分空ているので参照されたい [13]. 摂動論以外にも近似の

間 W0 にのみ属する波動関数 |ϕ⟩ について次の関係を仕方にはいろいろな種類があり, 特に有限格子系の数満たすような有効ハミルトニアン Heﬀ を得たい, とい

値計算ではいろいろな方法論が開発されている.

うのが問題設定である.

一方, ハミルトニアンのエルミート性を保持しながら質的には Rayleigh-Schrödinger と同等の結論が得

Heﬀ |ϕ⟩ = E|ϕ⟩,|ϕ⟩ ∈ W0(7)

ここで, W0 に射影する演算子 P, およびそれの直交補
空間 W⊥ への射影演算子 Q を用意すると, P + Q = 1
を 式 (6) の両辺に作用させて,今回のように W0 に縮退がある場合には見通しが良い. ハミルトニアンを H = H0 + H ′ のように非摂動項と摂動項に分け, H0 |m⟩ = Em |m⟩ , H0 |l⟩ = El |l⟩ となるように W0 の基底を {|m⟩}, W⊥ の基底を {|l⟩} を選ぶ. これに対して, S をうまく選ぶことによって,PHP|ψ⟩ + PHQ|ψ⟩ = EP|ψ⟩
QHP|ψ⟩ + QHQ|ψ⟩ = EQ|ψ⟩→ Heﬀ |ψ⟩ = EP|ψ⟩1
Heﬀ = PHP + PHQ
QHP
E − QHQ

られる摂動論として Schrieffer-Wolff 変換がある [14].

(8)*5 注意しておきたいのは, この系は 2 次元で連続対称性をもつので Mermin-Wagner の定理からこれらの”秩序”は真の長距離秩序にはなりえず冪的に減衰する臨界的な”秩序”であることだ. 1 次元の場合と同様, このようなときは どの”秩序”が最も長距離まで相関を伸ばしているかを議論する.

Heﬀ = e−S HeS ,S† = −S
11eS = 1 + S(1) + S(2) + S(3) + · · ·
2!
3!

(9)

のように H をユニタリ行列 eS で 正準変換した形,

Heﬀ が, W0 と W⊥ の間の行列要素 ⟨m|Heﬀ |l⟩ = 0 となるようにできる (図 5). S(n) は H ′ の n 次を含む項である. 計算の詳細は省くが, H ′ について各次数(n)で ⟨m|Heﬀ |l⟩ = 0 となるように小さな n から逐次的に

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S(n) を求め, それを使って Heﬀ を求めると, たとえば２′次以下の項は以下のようになる: heﬀ
mm′ = ⟨m|Heﬀ |m ⟩,子揺らぎを取り入れていく. ところがこの方法の場合
は, 出発点である古典極限の状態が well defined でな
くてはならない. マクロな縮退があるような disordereﬀ (0)

hmm′ = Em δmm′hmm′ = h′mm′)
1∑ ′ ′ ( 11eﬀ (2)
hmm′ =
hml hlm′+.
2
Em − El Em′ − El

状態はよい出発点とはならないのである.

eﬀ (1)

前述の縮退のある摂動論はその点, 非常に有用であ(10)る. 古典極限の縮退している基底状態全体を W0 として, 量子揺らぎの項を 摂動的に H ′ として扱って有効l

２次の項は |m⟩ → |l⟩ → |m′ ⟩ のように W0 に H ′ をモデルハミルトニアンを導出する例を以下でいくつか演算すると W⊥ に遷移してまた戻ってくるプロセス

取り上げてみる.

をすべて足し合わせたものである. 注意したいのはEm , Em′ でも構わないことであり, El ≫ Em , Em′ であること (図 5(b) のように W0 と W⊥ が H0 についてエネルギー的によく分離していること) が, 摂動が良い近似になる条件である. ３次以上が登場することは普通の系の場合はあまりないが, フラストレート系の場

5.1 XXZ と tV モデルの強結合理論§1 の式 (3) で取り上げた三角格子上の XXZ モデ
ルを考えよう. 出発点は J/Jz → 0 のイジングモデル
で, 基底状態のエネルギーは Jz N/4 でマクロに縮退している. 摂動項 H ′ = J∑y yŜxi Ŝxj + Ŝi Ŝ j は, (Szi , Szj ) のij合, 高次のリング交換項が特定のループの周りの重要(↑, ↓) ↔ (↓, ↑) という２つの状態を混成する. このことな揺らぎを担うことがある. 得られた有効ハミルトニ

だけから直ちに hmm′ のレベルで古典極限の基底状態

アンはのうちで total Sz を変えないもの同士が混成すること

Heﬀ =

∑
mm′

′
|m⟩ heﬀmm′ ⟨m |(11)

eﬀ (1)

がわかる *6 . その結果, t の１次で縮退が解け, 古典状態の重ね合わせによって図 6 にあるような supersolidと表せる. しばしば, これと同じ行列表現が 同じ空間状態が実現する [15]. これは １つの副格子が Sz のW0 について得られるように, Heﬀ を具体的に新たな対角長距離秩序を持ち, 他の２つの副格子が Sx の非有効演算子を導入して表すことが多い. 典型的な例で対角長距離秩序をもった状態で, 前者が固体, 後者がは, ハバードモデルの U → ∞ 極限での t/U に関する

honeycomb 格子上の液体と読めるので super solid

２次摂動の有効ハミルトニアンとして, スピン演算子と呼ばれる. supersolid は 元来これら２種類の秩序がを導入して得られるハイゼンベルグモデルである.

系全体で一様に共存する状態として探索されていたが実際に格子系で見つかったのは２つの秩序が空間的に住み分かれた状態であった.

量子揺らぎ

spinless fermion の tV モデルでも統計性が異なれ§1 で述べたように, 古典的な状態は, 実空間で, 粒子ども同様の現象が起こり, 筆者らが pinball liquid と5が局在したり, あるいはスピンの配置が一意に定まる

名付けた状態が形成される [16]. このあたりは詳しくような状態である. 量子揺らぎはそれらを混ぜる働き

は固体物理の解説記事を参照されたい [17]. Fermion

をする. 注意してほしいのは対称性が異なる状態は混を電荷自由度と捉えると, pinball liquid は絶縁体 (固成しないこと, 混成の度合いは 古典的なエネルギーが体) と金属 (液体) が共存した状態とみなせる. tV モ

近いほど大きいこと, である. フラストレート系でこのデル自体は極限まで電子系を単純化したモデルだが,揺らぎの効果が特に顕著なのは, マクロな数の状態が最近, これより一段二段と複雑なハバードモデルや２

縮退, あるいは擬縮退しており, それらが対称性と関係

軌道金森ハミルトニアンなどでも pinball liquid が実ない縮退であるからである.

現することも分かっており [18], 現実にその候補物質

ハイゼンベルグモデルなどでよく行われる処方箋としてスピン波理論がある. S = ∞ の古典極限から出発
して 1/S でハミルトニアンを展開することによって量AgNiO2 などが見つかってもいる.
*6 数値的に有限サイズ系で W0 で Sz が等しいすべての状態間が H ′ でつながってまじりあうことは筆者も確かめてある.

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図 7 (a) 三角格子上の QDM の (a) 模式図 と (b) 基底状態の相図. 丸印は flippable plaquette を示す.

場 合 (ferro bond) に そ れ と 直 交 す る honeycombbond に”dimer”と呼ばれる太い線を置いてみよう.
イジングモデルの基底状態では すべての三角形の頂点が黒黒白, 黒白白の組み合わせのいずれかなので,honeycomb 格子の各頂点から必ず１つの dimer が出ている. このような配置を ”dimer covering” と+ S−i )/2 を加えると Γ/J呼ぶ. ここに 横磁場項 Γ(S+iの一次で これらの dimer covering 状態が混じり合う. 具体的には三角格子の六角ユニットを取り出したとき周囲の６サイトが黒白交互に３つずつからなる場合, 中央のサイトの色を Γ 項によって黒 ↔ 白のようにひっくり返せる. これは dimer の言葉で言うと honeycomb 格子のユニット六角形の辺に沿っ
図 6 (a) 三角格子上の XXZ モデル, tV モデルの 強て dimer が１つおきに並んでいる場合にそれらを結合領域での基底状態 (supersolid, pinball liquid):

π/6 だけ回転させることに相当する. このような六J/Jz および t/V １次の摂動の範囲で, 古典イジングモ

角形を ”flippable hexagon” という. 実はこのよう

デルの基底状態をウェイトをかけて重ね合わせたもな dimer を 主 役 に し た モ デ ル は Quantum dimerのになっている. (b) 横磁場イジングモデルの強結合領域での基底状態. dual lattice である honeycomb
格子上の quantum dimer モデルの v = 0 の場合にmodel (QDM) と呼ばれ [19], 以下のようなハミルトニアンで表される.

相当する. 太線は dimer を示す. (c) QDM の基底状
態の相図.

(12)
5.2 横磁場イジングモデルと QDM

flippable hexagon の運動エネルギーが g で, 相互作

同じイジングモデルから出発して今度は式 (4) で用エネルギーが v である. v = 0 の場合が強結合の横磁場を摂動項として加えてみよう. すると, 更に

横磁場イジングモデルに相当する. honeycomb 格

少し面白い状況が生じる. まず, 図 6(b) にあるよう

子 QDM の基底状態はモンテカルロ計算で調べらに dual 格子である honeycomb 格子を三角格子にれており 図 6(c) のような相図が得られている [20]:重ねて描き, 三角格子の各ボンドの両端が同じ色のcolumnar, plaquette, staggered という３つの相はい《講義ノート》

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ずれも dimer が空間対称性を破った長距離秩序状態

point では ERK も基底エネルギーの下限 E0 も零とである. plaquette 状態は六角形上でダイマーが混なるので |RK⟩ が基底状態となるのである. もともと成した unit が, 並進対称性を破って valence bondAnderson-Fazekas によって提案された RVB, つま

crystal(VBC) を作った状態である. これを横磁場イジ

り Resonating valence bond 状態は [22], スピン液体

ングモデルに戻すと bond order と呼ばれる, 有限温という概念の原型で, ざっくりいうと spin singlet を度まで広がった相に対応する.

dimer とみなしたとき, それが格子を動き回るような

次に QDM を nonbipartite な格子に拡張すること

形で量子力学的に揺らいだ状態である. この概念がよを考えよう. その代表例が三角格子である. ハミルト

り具体性を帯びたのがフラストレーション系の理論研

ニアンは次式で与えられ, dimer covering のルールは究が進んだ 2000 年代であり, 実際, RK 状態はまさに前と同じである (図 7(a)).

最初に提案された概念通りの状態になっている.

Staggered 状態は N f l = 0 なので v > g でエネル
ギーが零の基底状態となることは上記の議論から自明(13)
今回は plaquette(平行四辺形) 上に dimer を交互に並べた flippable なユニットが g で量子的に揺らぐ. 相図を honeycomb 格子の場合と比べてみると, g ≲ v
あたりに short range RVB 相が出現しているのがわかるだろう [21]. この RVB 相は 理論モデルで同定されている, 数少ない, トポロジカル秩序相 (スピン液体) の一つである. QDM はもともと正方格子において

Rokhsar-Kivelson (RK) point v = g で RVB 相を実現するモデルとして提案された [19]. しかし正方格子
や honeycomb 格子のような bipartite 格子の場合には１点でしか RVB 相が出なかったため 他の格子での探索が進んだのである. このことを念頭に少し詳しく

QDM を見てみよう [21].
まず, RK point v = g では, すべての dimer cov-

ering のパターンを同じ重みで足し合わせた RK 状
態が厳密な基底状態となっている. このことは, 系を孤立した plaquette の集合とみなして議論すると見通しが良い: まず flippable plaquette の総数を N f lとする. nonflippable plaquette は Hqdm を演算す
る と 消 え て し ま う の で エ ネ ル ギ ー は 零, flippableである. 一方 最も左側の columnar 状態については

v/g = −∞ の極限から出発しよう: 極限で最低エネル
ギーをもつのは様々な古典的な maximally flippableな (⟨n̂ f l (c)⟩ が最大の) dimer 配置 {c} で O(eL ) 程度縮退している. そのうち g/v(≪ 1) の４次および６次の摂動で irregular な配置はエネルギーが下がりきらず,

columnar 状態が選ばれる *7 . これは量子揺らぎによる order by disorder の一例である.

5.3

カゴメ格子上のスピン系

それでは長らく探索されたスピン液体が実現した三角格子 QDM は, どんな系の低エネルギー有効モデルになっているのだろうか? そこで再びカゴメ格子に戻り, XXZ モデルを考えよう [23]. 最近接の相互作用 J
以外に 各六角形内の次近接および J′ , ２つおきの J′′という相互作用を加え, J = J′ = J′′ および Jz = Jz′ = Jz′′とすると カゴメの h 番目の六角形の６つのスピンの総和を Ŝh として H =

∑

y2

x2
Jz Ŝz2h + J(Ŝh + Ŝh ) + const

h=hexのように表すことができる. §2 でみたように 縮退した状態をもつユニットを corner sharing で組み合わせた格子は 高い縮退度をもつ. 今回のユニットはカゴ

plaquette は ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー v, 運 動 エ ネ

メの六角形で, Jz /J → ∞ の古典極限で Szh = 0 (白３黒

ルギーを高々 −g だけもつので, 基底エネルギーは

３) の 20 通りの状態が最低エネルギーをもつ. そこで,

E0 ≥ min(0, N f l (v − g)) と評価される. 一方, RK 状
Nc
∑
−1/2
|c⟩, (|c⟩ は dimer covering 配置,
態 |RK⟩ = Nc

結んでできる三角格子 (図 8(a)) で表してみよう. 三角

c=1

全部で Nc 個存在する)のように書けるのでそのエネルギーは ERK = ⟨RK|Hqdm |RK⟩ = (v − g)⟨n̂ f l ⟩ と表せる (n̂ f l は flippable hexagon の数演算子). RK

格子全体の古典的基底状態を, 今度は六角形の中心を*7 やる気のある読者は |m⟩ → |l⟩ → |l′ ⟩ → |l⟩ → |m⟩ という４次摂∏動のプロセスのエネルギー利得 h′ml h′ll′ h′l′ l” h′lm / s=l,l′ ,l” (ϵm −ϵs ) を columnar 状態および irregular な配置の一例で評価してみよう.

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格子の各 bond が元の格子点の白 (↓) をよぎるとき その bond に dimer を置く操作をすると, 前述の QDM
での dimer covering とは異なった dimer 配置が得られる (図 8(b)): 今回のルールは 三角形の各サイトから
３つの dimer bond が出ていること である. 次に J/Jz
による摂動に移ろう：有意な最低次のプロセスとして２次で縮退した状態を混ぜる ring exchange 項がある. 図 8(b) の bowtie の４つの頂点のスピンを考え, Jあるいは J′ の項を２回演算するとスピンが交互に並んでいるときそれら４つが巡回して (ring exchange)
別の古典的基底状態にうつる. 有効ハミルトニアンはHring = −Jring∑ ()
S+1 S−2 S+3 S−4 + H.c.

bowtieJring = 2(J2 + J′ 2 )/Jz

(14)であり, これは QDM で dimer を flip する操作そのものである. つまりこの拡張カゴメ XXZ モデルは 三角格子 QDM の v = 0 の場合に相当する. 但し dimer

covering のパターンが前節の場合と異なるので, 式(13) が演算するヒルベルト空間の構成が変わること
からこれを extended QDM と呼ぼう. 基本的にはextended QDM も QDM と同様の基底状態を持つと考えられている [23].
ちなみに, 拡張カゴメ XXZ モデルに磁場 H をかけ
ると −H

∑

z
j Ŝ j という Zeeman 項が生じるので磁場の∑強さに応じて 系の磁化 M = j Szj の値が変化する.

図8(a) カゴメ格子 XXZ モデルの古典的基底状

態の例と, (b) 対応する三角格子 QDM の dimer 配
置. bowtie 上の２次のスピンフリッププロセスがdimer flip に相当する. (c) 磁場 H をかけたときに現れる 1/3 磁化プラトー相に相当する fully packed
loop model.

特に M/Ms = 1/3, 2/3 (全スピンが上向きの場合の磁化 Ms = N/2) の場合は六角形の６スピンを ↑:↓=4:2,
および 5:1 の割合で割り振った状態に相当する. こ
れらの状態は三角格子 QDM の異なったヒルベルト空間にマップされる: 後者は三角格子１サイトあたり
１ dimer を割り振った通常の dimer covering が実現する. 一方, 前者は 2dimer/1 サイトなので図 8(c) のように dimer をつないだ閉曲線が交わることなく格子を覆いつくす”fully packed loop covering”と呼ばれる dimer 配置となる. そこに Hring を作用させると loop が２つつながって大きな１つの loop になる,

loop が融合して１つになるなど, loop が構造を変えながら格子空間を動き回るという状況が生じる [24].

M/Ms = 0, 1/3, 2/3 のいずれの場合も QDM や extended QDM の v = 0 で 実現するのは valence bond
crystal 相である. 実際, スピン液体を得るためには

QDM の相互作用 v 項を元のハミルトニアンに戻して得られる やや複雑で非現実的な項を加えねばならな
い. もともと J = J′ = J′′ の設定自体, かなり非現実的な設定なので, QDM におけるスピン液体相を現実的なモデルで得るにはまだまだ相当の努力が必要ということになる. ちなみに, J′ = J′′ = 0 のカゴメ格子ハイ
ゼンベルグモデルはスピン液体の有力候補であり, その低エネルギー有効モデルとして QDM より少し複雑な dimer model が盛んに研究されている. その結果,
有効 dimer model が スピン液体相と非常に近いパラ
メタ領域にいることも報告されている [25]. またハイゼンベルグモデル自体も J′ を入れるとスピン液体が安定化するという結果もある [26].

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ら何度も述べたようにこれらはマクロに縮退している.
ま ず 図 9(a) の 1/6-filling の 場 合 を 見 て み よ う.

dual の honeycomb 格子をつくり, カゴメで電子がいるサイトを honeycomb dimer bond でおきかえると, QDM で出てきた dimer covering 構造が得られる. t/U ≪ 1 の摂動を考えると, dimer covering のマ
クロな縮退を解くプロセスは, 電荷がカゴメ格子の六角形に１つおきに並んでいるときに 隣のサイトに順
次飛び移る ３次の ring exchange 項である. これはdimer flip 項に相当し, 式 (12) の第一項で g = 6t3 /V 2としたものである. そのため電荷自由度は QDM のv = 0 における plaquette VBC に相当する長距離秩序を形成する. ここで各電荷自由度には, スピンがのっかっていることも忘れてはならない〜dimer もスピンの ↑, ↓ に対応して二種類に塗り分けておく. しかし,
元々この摂動の範囲ではスピン間の直接の交換相互作
用はないわけだから 一見ただの free spin の常磁性が起こりそうだ. ところが flippable hexagon の存在がヒルベルト空間を混ぜこぜにするため, 長岡強磁性と同じ機構で kinetic ferromagnetism が生じることがわかっている [28].

1/3-filling の場合の電子配置は (図 9(b)), honeycomb 格子の fully packed loop 構造にマップされる[29]. loop はすべて閉曲線を成し, 互いに交わらない.
図9

カゴメ格子拡張ハバードモデルの U ≫ V ≫ t

領域における有効モデル. (a) 1/6- (b)1/3-filling の場合の古典的基底状態の例. dimer model の太線
は ↑, 二重線は ↓ の電子をあらわす. ) (c)1/3-fillingの場合の基底状態の相図 [29]. (d) g ≫ J におけるfully packed loop 上の動的 AB 副格子構造. 印をつけられた flippable hexagon を回転させると, loopの組み換えが起こる.

loop がないところ（hole 描像に相当）に着目すると
これは dimer covering と同じ構造になっているわけなので, 結局この場合も QDM の v = 0 と同様の, g による電荷のダイナミクスが実現する. ところが今回は電荷が loop 上で隣同士になるので ring exchange 以
外にハイゼンベルグ相互作用 J =2t3
2t2+ 2 が顕わ
U−V Vに存在する. この J には, 通常の２次摂動のスピン交換プロセス以外に, 三角形の空いているサイトを利用

5.4 カゴメ格子上の電子系

した３次のプロセスも加わっていることにも留意した

ここまでは量子スピン系の話が多かったが, 電子系

い. つまり U と V の大きさの具合, および t の符号にでもこのような物理が生じる例を, 筆者の仕事も交え応じて J は負 (強磁性的) にもなりうるのである.

て紹介したい. カゴメ格子上で, 式 (5) の拡張ハバー

そこで 1/3-filling の場合は スピンの相互作用 J とドモデルの U/t → ∞, U ≫ V の強結合極限 (古典極

電荷のゆらぎ g の両方を考えねばならない. 図 9(c) に限) を考える. 電子密度が ρ = Ne /N = 1/3 及び 2/3

あるように J と g の大小で系の基底状態は２つに分け(1/6- 及び 1/3-filling) の場合, 電子は三角形１個あた

られる: g = 0 側ではじまる short loop 相とは そもそり各々１及び２電子が, 二重占有なしで存在する, といも電荷が動き回れない/動きづらい場合に生じる. こう拘束条件が最低エネルギー状態に課せられる. 前かのとき ハイゼンベルグ J 項によってスピンは反強磁性

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的相関を loop 上で発達させる. 系全体で loop を全部

6 おわりに合わせた長さはボンド N/3 本分で一定値なので, これをどんな長さの何個の独立な loop に分けるかを考え以上駆け足で, 物性理論研究でよく顔を出す横磁場

よう. そのために loop 上のスピン系の 1 ボンド当た

イジングモデル, XXZ モデル, 拡張ハバードモデルなりのエネルギーを知る必要がある〜１次元の有限サイ

どがフラストレートした格子の上に乗ったときに 多彩

ズ L のハイゼンベルグスピン鎖のエネルギー E(L) はな状態が得られる様を紹介してきた. 本稿で一貫して

L の関数として厳密に求まっている. そして L が短い行った処方箋は, 強結合 (古典）極限のマクロに縮退しほど E(L)/L が低いのである. 今回許される配置で最もた低エネルギー状態から出発して, 低エネルギー自由

短い loop は ６ボンドからなるものであり, 実際 J に度のみを取り出して量子揺らぎの効果を摂動で取り入よって電荷が図のように秩序化し, 有限の電荷ギャッ

れ, 有効モデルを構築する, というものである. そこでプを生じる. このときスピンは六角形内で短距離反強

新たな形をとった自由度が 動きまわり, 重ね合わさっ磁性相関を発達させた S = 0 の状態にある. これがて order by disorder による nontrivial な秩序や, ス

short loop phase である.

ピン液体のような量子力学的な無秩序状態を形成す

g が大きいときは もっと奇妙な状況が生まれる.

る. 見ての通り 様々なモデルは互いに密につながってJ = 0 において loop は g によって格子を動き回っており, あるモデルで得られる描像が他のモデルで, 一見

分離したり融合したりしている. この loop は動的な雲をつかむようだった量子多体状態の性質を浮き彫り

２つの副格子 AB に分けられる. 動的とは loop が組にしてくれる.

み変わっても常に各 loop 内で ABAB· · · という構造

これらの研究の蓄積は, 量子力学や多体問題といっが保たれるという意味であり, ある特定の bond に着た基本的な物理を実地で教えてくれるのだがどのよ

目してもこの bond は g に応じて A にも B にも, 電子

うなトピックスでもそうであるように, すでに解説にがいない状態にもなりうる. loop の dynamics によっ

書かれているような話の多くは既に過去の話であるて A と B が混ざることはないので, A の運動は B と(今からこのような研究を始めようと思ってはいけな

独立に考えられる. その結果, 其々の副格子が kineticい！). それではフラストレート系で残っている大き

ferromagnetism の機構でスピンを揃えることになるな問題とは何だろうか？すぐ念頭にあがることの一つ〜1/6-filling 系が二つ合わさって loop を作っているは 本稿でも紹介したスピン液体相の同定の方法論, おと思えばイメージしやすいかもしれない. これらの g

よび現実的なスピン液体相を発見することである. こによって生じた二つの巨大な副格子スピンが, J によっ

ちらも 2000 年代に入ってから相当研究が進んではいて相互作用して 反強磁性長距離秩序を形成しているるが, その一角であるトポロジカル秩序相 (本稿ででのである. loop が動き回った結果 plaquette VBC 構てきた QDM の RVB 相もその一つで, 分数量子ホー造ができるのだが, plaquette 上には A 副格子の ↑ ス

ル効果と同じクラスの状態である) を同定する方法がピンが, そのまわりに B 副格子の ↓ が配置したようないくつか提案されたものの (例えば [26, 30] など), ま

構造をとっている. 一見ただの磁気秩序のようだがそだ議論は沸騰しており その全体像はまだわかっていの背後にはフラストレーション系ならではの電荷のダない. そもそもトポロジカル秩序というものはいわゆ

イナミクスがあるのである. このように, g と J の大小る秩序パラメタのような熱力学量で同定されるものでの両側の領域でそれぞれ, スピンと電荷の自由度がフはなく (比熱や磁化率などの熱力学量の異常で相転移

ラストレーションによって絡み合って互いに影響を及が同定されるものではなく) 量子力学ならではの波動

ぼしあう事態が, 何の変哲もない拡張ハバードモデル

関数系全体にわたる非局所構造によって特徴づけられで起こっていること自体ちょっと不思議なことではな

たものである. そのつかめるようでつかめなそうなといだろうか.

ころが面白いところではあるのだが, それだけに 多くの努力が今後も求められていることは間違いないだろう. 物性物理の概念は, 実験で証明されて初めてそれが《講義ノート》

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現実の物理として受け入れられる. だからこそ, 実験的なアプローチが困難なこうした問題に対しても, toymodel における解析で終わるのではなく 現実に実験で観測できるような「物理量」は存在するのか？存在
するならばそれをどうやって探せばよいか？を常に念頭におきながら理論を展開したいものである.

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