新しい公的年金積立金運用の基本ポートフォリオ
枇々木 規雄慶應義塾大学 理工学部 管理工学科

2014 年 12 月 1 日

1.

はじめに

2006 年 4 月に公的年金積立金運用独立行政法人 (以降、GPIF) は、年金資金運用基金の年金資金管理運用事業を引き継ぎ発足された。そのときの基本ポートフォリオは 2008 年 3 月
末に実現するという前提でに策定された。その後、2013 年 6 月 17 日に「年金積立金管理運
用独立行政法人 中期計画の変更について」[3] で中期計画（基本ポートフォリオ）の変更を公表した。さらに、2014 年 10 月 31 日に「公的年金積立金運用 中期計画の変更について」[4] を公表し、基本ポートフォリオを再変更した。上記の経緯を含めて、基本ポートフォリ
オを表 1 に示す。
表 1: 公的年金積立金運用における基本ポートフォリオと乖離許容幅
公的年金積立金運用への移行時 (2008 年 3 月 31 日)
資産クラス
国内債券 国内株式 外国債券 外国株式 短期資産
基本ポートフォリオ
67%
11%
8%
9%
5%
乖離許容幅
±8%
±6%
±5%
±5%
なし
中期計画 (基本ポートフォリオ) の変更 (2013 年 6 月 7 日)
資産クラス
国内債券 国内株式 外国債券 外国株式 短期資産
基本ポートフォリオ
60%
12%
11%
12%
5%
乖離許容幅
±8%
±6%
±5%
±5%
なし
中期計画 (第 2 期) の再変更 (2014 年 10 月 31 日)
資産クラス
国内債券 国内株式 外国債券 外国株式
基本ポートフォリオ
35%
25%
15%
25%
乖離許容幅
±10%
±9%
±4%
±8%
再変更後の基本ポートフォリオでは短期資産は設けず、4 資産で 100%となるように設定されている。実際の運用では短期資産を保有する分、他の 4 資産のウェイトが小さくなるが、この分も含めて各資産の乖離許容幅の範囲で管理するとしている。具体的には運用目標は短期資産を 2%保有するとみなして確保することが必要であると記述されているが、98%を100%と見なして基本ポートフォリオが設定している。
公表資料 [4] には様々な分析を行ったと書かれているが、すべての資産配分割合が 5%刻みとなっている点が気になるところである。もちろん、わかりやすいということは重要であるが、「最適な」基本ポートフォリオになっているのかは確認する必要がある。そこで、本

稿では公表資料 [4] に記述されているパラメータや前提条件をもとに、策定された基本ポートフォリオが最適かどうかをできる限り確認するとともに、追加的な分析結果も示す。
本論文の構成は以下の通りである。2 節では GPIF により策定された基本ポートフォリオの導出を試みる。3 節では 1 期間最適化モデルを構築し、最適解を求めるとともに、様々な条件のもとで感度分析も行う。4 節ではまとめと今後の課題を述べる。

2.
2.1.

基本ポートフォリオの導出
設定条件

2014 年 10 月 31 日に公表された「公的年金積立金運用 中期計画の変更について」[4] によると、基本ポートフォリオは 4 資産のリターン、リスク等に基づき、多数のポートフォリオ(5%刻み) について推計したと述べている。用いるパラメータを表 2 に示す。
表 2: パラメータ
ケース
期待
経済中位
リターン 市場基準
標準偏差
相関係数
国内債券
国内株式
外国債券
外国株式
短期資産
賃金上昇率

国内
国内
外国
外国
短期
賃金
債券
株式
債券
株式
資産 上昇率
2.6% 6.0% 3.7% 6.4% 1.1%
2.8
2.0% 5.2% 3.5% 6.2% 1.0%
2.1
4.7% 25.1% 12.6% 27.3% 0.5%
1.9
国内
国内
外国
外国
短期
賃金
債券
株式
債券
株式
資産 上昇率
1.00 −0.16
0.25
0.09
0.12
0.18
−0.16
1.00
0.04
0.64 −0.10
0.12
0.25
0.04
1.00
0.57 −0.15
0.07
0.09
0.64
0.57
1.00 −0.14
0.10
0.12 −0.10 −0.15 −0.14
1.00
0.35
0.18
0.12
0.07
0.10
0.35
1.00

† 短期資産の収益率は市場で一般に観察される収益率ではなく、キャッシュアウトへの対応など実際の運用を想定した場合に想定される収益率

厚生労働省 [2] が 2014 年 6 月 3 日に公表した財政検証でいずれの経済シナリオでも必要な運用利回りが確保できるため運用目標の元となった「経済中位ケース」(財政検証のケース
E) と、現在の市場に織り込まれた将来の金利水準を前提とする「市場基準ケース」(財政検証のケース G）の 2 ケースに対する期待リターン、名目賃金上昇率を用いる。期待リターン
は名目リターンで、「実質的なリターン + 名目賃金上昇率」としている。リスク (標準偏差)と相関係数は 4 資産とも過去 20 年のデータ等を用いて推計している。国内債券のリスクの計算においては、将来のデュレーションの長期化を考慮している。

2.2.

基本ポートフォリオの構築

以下の制約条件のもとで最もリスク (条件付平均不足率: 名目賃金上昇率を下回るときの平均不足率) の小さいポートフォリオを選定する。

⃝
1 運用目標 (名目賃金上昇率 +1.7%) を満たすこと (実質リターンベースの運用目標 rR =1.7%)⃝
2 ただし、短期資産を 2%保有することを前提に運用目標を設定する
2

⃝
3 ポートフォリオの下方確率 (名目賃金上昇率を下回る確率) が全額国内債券運用の場合の下方確率を下回ること⃝
4 外国株式 ≥ 外国債券公表資料 [4] に掲載されている基本ポートフォリオの統計量を表 3 に示す。
表 3: 基本ポートフォリオ (4 資産) の統計量

ケース

実質的な
名目
リターン リターン

経済中位
市場基準

1.77%
1.98%

4.57%
4.08%

条件付
条件付
平均不足率 平均不足率(正規分布) (経験分布)
12.8% 44.4%
9.45%
11.2%
12.8% 43.8%
9.38%
11.2%
標準
偏差

下方
確率

実質リターンベースの運用目標は 1.7%であるが、短期資産を 2%保有するとみなし、そのリターン減少分を逆算すると、経済中位ケースで 1.77%、市場基準ケースで 1.76%を確保することが必要であると記載されている 1 。表 2 を見ると短期資産、賃金上昇率ともに確率変数として設定しているため、基本ポートフォリオ (4 資産) の下方確率、条件付平均不足率がどのように計算されているか不明である 2 そこで本稿では基本ポートフォリオだけでなく、短期資産と賃金上昇率も含めた統計量を以下の方法で計算する。ただし、下方確率、条件付
平均不足率はともに各資産と賃金上昇率が正規分布に従う場合の計算式である 3 。条件付平均不足率 (正規分布) の計算方法は付録 A を参照されたい。
∑
実質リターン : rcp =rcj xj − rcw
(2.1)
j∈A

標準偏差 : σp =√∑ ∑σjk xj xk − 2j∈A k∈A1∑

σj,w xj + σw2

(2.2)

k∈A

基本ポートフォリオ (4 資産) の実質リターンベースの運用目標は以下のように計算される。
経済中位
市場基準

: {(1.7 − (1.1 − 2.8) × 0.02} /(1 − 0.02) = 1.7694 ≈ 1.77(%): {(1.7 − (1.0 − 2.1) × 0.02} /(1 − 0.02) = 1.7551 ≈ 1.76(%)

2

短期資産を含めずに表 3 に相当する基本ポートフォリオ (4 資産) の統計量を計算すると以下のようになる。賃金上昇率を期待値で一定と考える場合と確率変数とする場合の 2 ケースを以下に示す。
賃金
上昇率
期待値
で一定
確率
変数

ケース
経済中位
市場基準
経済中位
市場基準

実質的な
リターン
1.765%
1.975%
1.765%
1.975%

名目
リターン
4.565%
4.075%
4.565%
4.075%

標準
偏差12.766%12.766%
12.630%12.630%下方
確率44.50%
43.85%
44.44%
43.79%

条件付
平均不足率
9.571%
9.501%
9.462%
9.392%

表 3 の標準偏差は賃金上昇率を期待値で一定とした場合の数値に近く、下方確率、条件付平均不足率は賃金上昇率を確率変数として扱う場合の数値に近い。
3
条件付平均不足率 (経験分布) は「株式等は想定よりも下振れ確率が大きい場合 (いわゆる「テイルリスク」) もあることを考慮し、正規分布に替えて、過去 20 年のデータ (経験分布) から一定の仮定を置いて乱数を発生させ計算したものです」と記載されているが、「一定の仮定を置いて乱数を発生させて計算した」方法
が具体的に書かれていないため、条件付平均不足率 (正規分布) のみを用いて基本ポートフォリオを導出する。

3

rcp
c
下方確率 : N (Rw), ただし、Rwc = − , (c ∈ C)σp)(ch(Rw )
条件付平均不足率 : CSF c = −rcp +σp , (c ∈ C)
c)
N (Rw

(2.3)
(2.4)

用いた記号は以下の通りである。

A : リスク資産の集合 A = {DB, DS, F B, F S, SA} (DB: 国内債券, DS: 国内株式, F B:
外国債券, F S: 外国株式, SA: 短期資産)
C : ケースの集合 C = {e, m}(e: 経済中位ケース, m: 市場基準ケース)
σjk : 資産 j と資産 k の共分散
σj,w : 資産 j と賃金上昇率の共分散
σw2 : 賃金上昇率の分散
rcj : 資産 (証券) j の期待収益率 (名目期待リターン) (j ∈ A)
rcw : ケース c の名目賃金上昇率 (c ∈ C)
xj : 資産 j の投資比率 (j ∈ A)
この方法で計算された統計量を表 4 に示す。
表 4: 短期資産と賃金上昇率も含めた統計量
実質的な
名目
標準
下方
条件付
リターン リターン
偏差
確率
平均不足率
経済中位 1.696%
4.496% 12.38% 44.55%
9.283%
市場基準 1.914%
4.014% 12.38% 43.86%
9.210%
ケース

経済中位ケースの名目リターンの運用目標は 4.5%であるが、表 4 を見ると 4.496%となっている。表 1 で示された数値の有効数字によって目標値が達成されていない可能性がある。
そこで次節では有効数字を考慮して、パーセント表示で小数点第 3 位を四捨五入して制約条件を満たすかどうかを判定し、ポートフォリオを選択することにする。

2.3.

基本ポートフォリオの選択

各資産と賃金上昇率が正規分布に従うと想定し、5%刻みの全組み合わせ (1,771 通り) の中から制約条件を満たすポートフォリオの中で、条件付平均不足率のベスト 5 を表 5 に示す。
基本ポートフォリオの記載は合計 100%で示しているが、以降、期待リターン、条件付平均不足率ともに短期資産 (2%保有) と賃金上昇率を含めた統計量である。
5%刻みであれば、GPIF の推奨する基本ポートフォリオの条件付平均不足率が最小であることが分かる。GPIF の資料を見ると、「±2% の範囲で 1%刻みのポートフォリオについても同様の推計を行い、当初のポートフォリオが最も効率的であることを確認しました」と記述してあるので、確認のため同様の分析を行った結果 (ベスト 5) を表 6 に示す。
GPIF の推奨する基本ポートフォリオは 2 番目になっている。前述のように、GPIF の分
析では「条件付平均不足率 (経験分布)」を推計しているため、この影響で表 6 の 1 番目のポートフォリオが選択されていないかもしれないが、「条件付平均不足率 (経験分布)」の推計方法が書かれていないため、確かめることができなかった。

4

表 5: 基本ポートフォリオ (5%刻み)㻡㻑้䜏ᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ㻺㼛 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ㻝 㻟㻡㻑 㻞㻡㻑 㻝㻡㻑 㻞㻡㻑㻞 㻟㻜㻑 㻟㻜㻑 㻞㻜㻑 㻞㻜㻑㻟 㻟㻜㻑 㻞㻡㻑 㻞㻜㻑 㻞㻡㻑㻠 㻟㻡㻑 㻞㻜㻑 㻝㻡㻑 㻟㻜㻑㻡 㻠㻡㻑 㻟㻜㻑 㻜㻑 㻞㻡㻑ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁⤒῭ ᕷሙ୰఩ ᇶ‽㻠㻚㻠㻥㻢 㻠㻚㻜㻝㻠㻠㻚㻡㻟㻜 㻠㻚㻜㻟㻤㻠㻚㻡㻡㻜 㻠㻚㻜㻤㻣㻠㻚㻡㻝㻡 㻠㻚㻜㻢㻟㻠㻚㻡㻜㻝 㻟㻚㻥㻡㻜ᶆ‽೫ᕪ㻝㻞㻚㻟㻣㻡
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表 6: 基本ポートフォリオ ±2%(1%刻み)ᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ㻺㼛 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ㻝 㻟㻠㻑 㻞㻣㻑 㻝㻢㻑 㻞㻟㻑ᇶᮏ䝫䞊䝖 㻞 㻟㻡㻑 㻞㻡㻑 㻝㻡㻑 㻞㻡㻑㼼㻞㻑㻟 㻟㻠㻑 㻞㻢㻑 㻝㻢㻑 㻞㻠㻑䠄㻝㻑้䜏㻕 㻠 㻟㻟㻑 㻞㻣㻑 㻝㻣㻑 㻞㻟㻑㻡 㻟㻢㻑 㻞㻣㻑 㻝㻟㻑 㻞㻠㻑ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁⤒῭ ᕷሙ୰఩ ᇶ‽㻠㻚㻠㻥㻥 㻠㻚㻜㻜㻥㻠㻚㻠㻥㻢 㻠㻚㻜㻝㻠㻠㻚㻡㻜㻟 㻠㻚㻜㻝㻤㻠㻚㻡㻜㻥 㻠㻚㻜㻞㻟㻠㻚㻡㻜㻠 㻠㻚㻜㻜㻢ᶆ‽೫ᕪ㻝㻞㻚㻟㻟㻟
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ところで、GPIF は 5%刻みで制約条件を満たすポートフォリオを探しているが、もう少し厳密に行うために、1%刻みの全組み合わせ (176,851 通り) について調べてみよう。ベスト 5 を表 7 に示す。
表 7: 基本ポートフォリオ (1%刻み)㻝㻑้䜏ᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ㻺㼛 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ㻝 㻟㻝㻑 㻞㻥㻑 㻞㻜㻑 㻞㻜㻑㻞 㻟㻞㻑 㻟㻞㻑 㻝㻤㻑 㻝㻤㻑㻟 㻟㻟㻑 㻟㻜㻑 㻝㻣㻑 㻞㻜㻑㻠 㻟㻝㻑 㻞㻤㻑 㻞㻜㻑 㻞㻝㻑㻡 㻟㻞㻑 㻟㻝㻑 㻝㻤㻑 㻝㻥㻑ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁
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さらに条件付平均不足率の小さいポートフォリオを見つけることができた。掲載していないが、GPIF の推奨する基本ポートフォリオは 34 番目であった。5%刻みでポートフォリ
オを求めたあとで、「±2% の範囲で 1%刻みのポートフォリオについても同様の推計を行う」ということをするのであれば、最初から 1%刻みで分析を行い、基本ポートフォリオを求める方が理にかなっていると思われる 4 。
ところで、資産への投資比率の制約条件として「外国株式 ≥ 外国債券」を課しているが、投資比率に差を付けなければいけない場合の 1%刻みの最適ポートフォリオを表 8 に示す。
外国株式と外国債券の差を 5%とする場合も、GPIF が推奨する基本ポートフォリオよりも条件付平均不足率の小さいポートフォリオを得ることができている。
4「条件付平均不足率 (経験分布)」の推計をするために乱数を発生させて (モンテカルロ・シミュレーショ
ンで) 計算する場合、計算量は多いかもしれないが、行っていることに一貫性がないように思える。

5

表 8: 外国資産比率に差を付ける場合の最適ポートフォリオ (1%刻み)㻲㻿㻙㻲㻮㻩

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最適ポートフォリオの導出

3.

GPIF は 5%刻みのポートフォリオを推奨しているが、2 節での分析でも示したように 5%刻
みというのは制約ではない。そこで、最適化モデルを構築し、最適な基本ポートフォリオを
導出する。
3.1.

定式化

用いる記号は以下の通りである 5 。
(1) 集合A : リスク資産の集合 A = {DB, DS, F B, F S, SA} (DB: 国内債券, DS: 国内株式, F B:
外国債券, F S: 外国株式, SA: 短期資産)
C : ケースの集合 C = {e, m}(e: 経済中位ケース, m: 市場基準ケース)(2) パラメータ
σjk : 資産 j と資産 k の共分散
σj,w : 資産 j と賃金上昇率の共分散
σw2 : 賃金上昇率の分散
wSA : 短期資産の保有比率
rcj : 資産 (証券) j の期待収益率 (名目期待リターン) (j ∈ A)
rR : 運用目標 (実質リターン)
rcw : ケース c の名目賃金上昇率 (c ∈ C)(3) 決定変数, 中間変数
xj : 資産 j の投資比率 (j ∈ A)
dF : 外国株式と外国債券の差の下限
rcp : ケース c の「ポートフォリオ収益率 − 賃金上昇率」の期待値 (c ∈ C)
σp : 「ポートフォリオ収益率 − 賃金上昇率」の標準偏差
Rwc : ケース c の「ポートフォリオ収益率 − 賃金上昇率」の期待値をその標準偏差を使って基準化された値 (c ∈ C)

5

2.2 節で用いた記号と一部重複する。

6

2 ケースの条件付平均不足率の和を目的関数として最小化するモデルを以下に示す。
∑
Minimize
CSF c
(3.1)
c∈C

subject to

rcp =

∑

rcj xj − rcw

(3.2)

j∈A

σp =

√∑ ∑

σjk xj xk − 2j∈A k∈A∑

σj,w xj + σw2

(3.3)

k∈A

rcp
c
Rw = − , (c ∈ C)
σpc
rp ≥ rR , (c ∈ C)(

CSF c = −rcp +∑xj = 1h(Rwc )N (Rwc )

(3.4)
(3.5)

)
σp , (c ∈ C)

(3.6)
(3.7)

j∈A

xSA = wSA

(3.8)

xF S ≥ xF B + dF

(3.9)

xj ≥ 0, (j ∈ A)

(3.10)

2.2 節に示した条件の⃝
1 は (3.5) 式に、⃝
2 は (3.8) 式に、⃝4 は (3.9) 式に示されている 6 。ただし、(3.9) 式には外国株式と外国債券の差も与えることができるように、dF を加えている。
⃝
4 の条件の場合、dF = 0 と設定すればよい。また、⃝3 の条件は表 2 の設定値では不要である。そのことを以下に示す。
⃝
3 の条件は以下のように記述できる。
( c
)
( c)
−rp
rw − rcDB
N≥N(3.12)σDBσp
ここで、N (·) は正規分布の累積分布関数であるが、単調増加関数なので、−rcp
rcw − rcDB≥σDBσpである。したがって、以下の制約条件として記述できる。
( c)rw − rcDBcrp ≥ −σpσDB(3.13)(3.14)

表 2 の設定値では rcw − rcDB > 0 のため、(3.14) 式の右辺は負である。rR = 1.7% であるので、⃝
1 の制約条件 ((3.5 式) の方がきついため、(3.14) 式は不要である。
6(3.5) 式に対する双対解を λc∗ とする。(3.5) 式を除いて、目的関数を∑∑CSF c −
λc∗ rcpc∈Cc∈C

としても同じ最適解を得ることができる。

7(3.11)

3.2.

結果

いくつかの最適化問題を解くことにする。数値分析に用いた計算機は、Lenovo ThinkPad
T530(Windows 7, 2.8GHz, 4GB)，数理計画ソフトウェアは (株)NTT データ数理システム
社の数理計画法パッケージ Numerical Optimizer Ver.16.1 である。計算時間はすべて 0.1
秒以下である。GPIF が要求している制約は dF = 0 であるが、暗黙のうちに外国株式は外国債券よりも大きくなる制約を置いていると考えられる。そこで、dF = 0% を含めて
dF = 0.98%, 1.96% . . . , 4.9% の 6 種類 (4 資産で 100%となる場合に 1%刻み) について最適解を求めると、表 9 が得られる。
表 9: 最適ポートフォリオ᮲௳௜ᖹᆒ୙㊊⋡ᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁ไ⣙ ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ ▷ᮇ ⤒῭ ᕷሙ ᶆ‽⤒῭ᕷሙ㻲㻿㻙㻲㻮 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ ㈨⏘ ୰఩ ᇶ‽ ೫ᕪ ୰఩ ᇶ‽ ྜィ㻜㻑 㻟㻜㻚㻡㻠㻑 㻞㻥㻚㻝㻥㻑 㻝㻥㻚㻝㻟㻑 㻝㻥㻚㻝㻟㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻡 㻝㻞㻚㻞㻠㻠 㻥㻚㻝㻣㻢㻤 㻥㻚㻝㻜㻤㻣 㻝㻤㻚㻞㻤㻡㻡㻝㻑 㻟㻝㻚㻜㻝㻑 㻞㻥㻚㻜㻜㻑 㻝㻤㻚㻡㻜㻑 㻝㻥㻚㻠㻤㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻠 㻝㻞㻚㻞㻡㻢 㻥㻚㻝㻤㻢㻝 㻥㻚㻝㻝㻤㻞 㻝㻤㻚㻟㻜㻠㻟㻞㻑 㻟㻝㻚㻠㻤㻑 㻞㻤㻚㻤㻞㻑 㻝㻣㻚㻤㻣㻑 㻝㻥㻚㻤㻟㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻟 㻝㻞㻚㻞㻢㻤 㻥㻚㻝㻥㻡㻢 㻥㻚㻝㻞㻤㻜 㻝㻤㻚㻟㻞㻟㻢㻟㻑 㻟㻝㻚㻥㻡㻑 㻞㻤㻚㻢㻟㻑 㻝㻣㻚㻞㻠㻑 㻞㻜㻚㻝㻤㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻞 㻝㻞㻚㻞㻤㻜 㻥㻚㻞㻜㻡㻟 㻥㻚㻝㻟㻤㻜 㻝㻤㻚㻟㻠㻟㻟㻠㻑 㻟㻞㻚㻠㻝㻑 㻞㻤㻚㻠㻡㻑 㻝㻢㻚㻢㻝㻑 㻞㻜㻚㻡㻟㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻞 㻝㻞㻚㻞㻥㻟 㻥㻚㻞㻝㻡㻟 㻥㻚㻝㻠㻤㻞 㻝㻤㻚㻟㻢㻟㻡㻡㻑 㻟㻞㻚㻤㻤㻑 㻞㻤㻚㻞㻢㻑 㻝㻡㻚㻥㻤㻑 㻞㻜㻚㻤㻤㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻜 㻠㻚㻜㻜㻝 㻝㻞㻚㻟㻜㻡 㻥㻚㻞㻞㻡㻢 㻥㻚㻝㻡㻤㻣 㻝㻤㻚㻟㻤㻠㻟
GPIF は短期資産を除く 4 資産で 100%となるように基本ポートフォリオを設定している。
しかし、最適化モデルでは短期資産を含んで最適解を求め、各種統計量も計算しているので、誤解を避けるために基本ポートフォリオの合計は 98%(短期資産は 2%) となる最適解をそのまま掲載している。短期資産を除く 4 資産の基本ポートフォリオで 100%となるようにしたい場合、各比率を 0.98 で割った値が投資比率となる。
条件付平均不足率を見て分かるように、GPIF が推奨する基本ポートフォリオ (表 4) よりもよい解が得られている。しかし、1%刻みで求めた表 8 と比べると、F S − F B = 0% と 3%の解が悪くなっている。これは何故であろうか。よく調べてみると、表 8 における経済中位
ケースの期待リターンがそれぞれ 4.49668%、4.49766%と、4.5%を下回っている 7 。そこで、
表 8 と同じ条件で比較するために、経済中位ケースの期待リターンの制約値として 4.5%の代わりに表 8 のポートフォリオに対する期待リターンを用いて最適解を求めると表 10 が得られた。
表 10: 最適ポートフォリオᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁
᮲௳௜ᖹᆒ୙㊊⋡⤒῭ᕷሙไ⣙ ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ ▷ᮇ ⤒῭ ᕷሙ ᶆ‽㻲㻿㻙㻲㻮 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ ㈨⏘ ୰఩ ᇶ‽ ೫ᕪ ୰఩ ᇶ‽ ྜィ㻜㻑 㻟㻜㻚㻢㻢㻑 㻞㻥㻚㻝㻡㻑 㻝㻥㻚㻝㻜㻑 㻝㻥㻚㻝㻜㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻣 㻠㻚㻜㻜㻝 㻝㻞㻚㻞㻞㻠 㻥㻚㻝㻢㻝㻢 㻥㻚㻜㻥㻟㻢 㻝㻤㻚㻞㻡㻡㻟㻝㻑 㻟㻜㻚㻥㻥㻑 㻞㻥㻚㻜㻝㻑 㻝㻤㻚㻡㻝㻑 㻝㻥㻚㻠㻥㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻝 㻠㻚㻜㻜㻡 㻝㻞㻚㻞㻡㻥 㻥㻚㻝㻤㻤㻤 㻥㻚㻝㻞㻝㻜 㻝㻤㻚㻟㻜㻥㻣㻞㻑 㻟㻝㻚㻡㻢㻑 㻞㻤㻚㻣㻥㻑 㻝㻣㻚㻤㻠㻑 㻝㻥㻚㻤㻜㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻤 㻠㻚㻜㻜㻝 㻝㻞㻚㻞㻡㻟 㻥㻚㻝㻤㻠㻥 㻥㻚㻝㻝㻣㻠 㻝㻤㻚㻟㻜㻞㻟㻟㻑 㻟㻞㻚㻜㻟㻑 㻞㻤㻚㻢㻜㻑 㻝㻣㻚㻞㻝㻑 㻞㻜㻚㻝㻡㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻤 㻠㻚㻜㻜㻜 㻝㻞㻚㻞㻢㻢 㻥㻚㻝㻥㻠㻣 㻥㻚㻝㻞㻣㻠 㻝㻤㻚㻟㻞㻞㻜㻠㻑 㻟㻞㻚㻟㻢㻑 㻞㻤㻚㻠㻣㻑 㻝㻢㻚㻢㻟㻑 㻞㻜㻚㻡㻡㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻞 㻠㻚㻜㻜㻟 㻝㻞㻚㻟㻜㻞 㻥㻚㻞㻞㻞㻡 㻥㻚㻝㻡㻡㻠 㻝㻤㻚㻟㻣㻣㻥㻡㻑 㻟㻞㻚㻢㻥㻑 㻞㻤㻚㻟㻟㻑 㻝㻢㻚㻜㻠㻑 㻞㻜㻚㻥㻠㻑 㻞㻚㻜㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻢 㻠㻚㻜㻜㻣 㻝㻞㻚㻟㻟㻥 㻥㻚㻞㻡㻜㻢 㻥㻚㻝㻤㻟㻢 㻝㻤㻚㻠㻟㻠㻞
7
2 節で示したように、GPIF が推奨している基本ポートフォリオが制約条件を満たすために、パーセント
表示で小数点第 3 位を四捨五入して制約条件を満たすかどうかを判定している。

8

すべてのケースで表 8 よりもよい解が得られたことが分かる。ただし、最終的に得たい基本ポートフォリオは分かりやすさの点から考えると、1%刻みである必要があるかもしれない。そこで、GPIF の方法と同様に、最適解から ±2% の範囲で 1%刻みのポートフォリオについて、dF = 0.98% と dF = 4.9% に対する 1%刻みの基本ポートフォリオ (4 資産) で条件
付平均不足率が小さい 5 種類のポートフォリオをそれぞれ表 11, 表 12 に示す。
表 11: 外国資産の差 1%に対する最適解の 1%刻みのポートフォリオᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸 ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁᮲௳௜ᖹᆒ୙㊊⋡⤒῭ᕷሙᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ ⤒῭ ᕷሙ ᶆ‽㻺㼛 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ ୰఩ ᇶ‽ ೫ᕪ ୰఩ ᇶ‽ ྜィ㻝 㻟㻝㻑 㻞㻥㻑 㻞㻜㻑 㻞㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻣 㻠㻚㻜㻜㻣 㻝㻞㻚㻞㻞㻣 㻥㻚㻝㻢㻠㻡 㻥㻚㻜㻥㻠㻣 㻝㻤㻚㻞㻡㻥㻞᭱㐺ゎ 㻞 㻟㻞㻑 㻟㻞㻑 㻝㻤㻑 㻝㻤㻑 㻠㻚㻡㻜㻝 㻟㻚㻥㻤㻥 㻝㻞㻚㻞㻡㻟 㻥㻚㻝㻤㻟㻡 㻥㻚㻝㻞㻜㻤 㻝㻤㻚㻟㻜㻠㻟㼼㻞㻑 㻟 㻟㻟㻑 㻟㻜㻑 㻝㻣㻑 㻞㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻤 㻟㻚㻥㻥㻠 㻝㻞㻚㻞㻢㻡 㻥㻚㻝㻥㻠㻜 㻥㻚㻝㻞㻤㻤 㻝㻤㻚㻟㻞㻞㻤㻔㻝㻑้䜏㻕 㻠 㻟㻝㻑 㻞㻤㻑 㻞㻜㻑 㻞㻝㻑 㻠㻚㻡㻜㻝 㻠㻚㻜㻝㻢 㻝㻞㻚㻞㻣㻜 㻥㻚㻝㻥㻣㻡 㻥㻚㻝㻞㻡㻣 㻝㻤㻚㻟㻞㻟㻞㻡 㻟㻞㻑 㻟㻝㻑 㻝㻤㻑 㻝㻥㻑 㻠㻚㻡㻜㻡 㻟㻚㻥㻥㻥 㻝㻞㻚㻞㻤㻠 㻥㻚㻞㻜㻢㻥 㻥㻚㻝㻠㻞㻟 㻝㻤㻚㻟㻠㻥㻟ไ⣙㻲㻿㻙㻲㻮㻪㻩㻝㻑

表 12: 外国資産の差 5%に対する最適解の 1%刻みのポートフォリオᇶᮏ䝫䞊䝖䝣䜷䝸䜸 ᮇᚅ䝸䝍䞊䞁᮲௳௜ᖹᆒ୙㊊⋡ᅜෆ ᅜෆ እᅜ እᅜ ⤒῭ ᕷሙ ᶆ‽⤒῭ᕷሙ㻺㼛 മๆ ᰴᘧ മๆ ᰴᘧ ୰఩ ᇶ‽ ೫ᕪ ୰఩ ᇶ‽ ྜィ㻝 㻟㻟㻑 㻟㻜㻑 㻝㻣㻑 㻞㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻤 㻟㻚㻥㻥㻠 㻝㻞㻚㻞㻢㻡 㻥㻚㻝㻥㻠㻜 㻥㻚㻝㻞㻤㻤 㻝㻤㻚㻟㻞㻞㻤᭱㐺ゎ 㻞 㻟㻞㻑 㻟㻝㻑 㻝㻤㻑 㻝㻥㻑 㻠㻚㻡㻜㻡 㻟㻚㻥㻥㻥 㻝㻞㻚㻞㻤㻠 㻥㻚㻞㻜㻢㻥 㻥㻚㻝㻠㻞㻟 㻝㻤㻚㻟㻠㻥㻟㼼㻞㻑 㻟 㻟㻟㻑 㻞㻥㻑 㻝㻣㻑 㻞㻝㻑 㻠㻚㻡㻜㻞 㻠㻚㻜㻜㻠 㻝㻞㻚㻟㻜㻟 㻥㻚㻞㻞㻞㻣 㻥㻚㻝㻡㻡㻡 㻝㻤㻚㻟㻣㻤㻞㻔㻝㻑้䜏㻕 㻠 㻟㻞㻑 㻟㻜㻑 㻝㻤㻑 㻞㻜㻑 㻠㻚㻡㻜㻤 㻠㻚㻜㻜㻥 㻝㻞㻚㻟㻝㻥 㻥㻚㻞㻟㻟㻠 㻥㻚㻝㻢㻢㻤 㻝㻤㻚㻠㻜㻜㻞㻡 㻟㻡㻑 㻟㻝㻑 㻝㻠㻑 㻞㻜㻑 㻠㻚㻠㻥㻥 㻟㻚㻥㻤㻝 㻝㻞㻚㻟㻝㻢 㻥㻚㻞㻟㻠㻤 㻥㻚㻝㻣㻠㻜 㻝㻤㻚㻠㻜㻤㻤ไ⣙㻲㻿㻙㻲㻮㻪㻩㻡㻑

表 11 の No.1 ポートフォリオは表 7 の 1%刻みの No.1 ポートフォリオであり、1%刻みの全組み合わせ (176,851 通り) について調べなくても最適化モデルの近似解としても求められることが分かる。一方、表 12 は GPIF が推奨する基本ポートフォリオのように外国資産の差を 5%とした場合の結果である。差は 3%のポートフォリオが選ばれたが、表 11 の No.3 ポー
トフォリオが No.1 ポートフォリオになっている。

4.

おわりに

本稿では、各資産の収益率と賃金上昇率が正規分布と仮定して、公的年金積立金運用が再変更した基本ポートフォリオの構築方法について検討した。5%刻みのポートフォリオとしては、GPIF が選定したポートフォリオが最適となるが、1%刻みでは異なるポートフォリオが選定されることを明らかにした。ただし、GPIF では経験分布を用いた条件付平均不足率
も選定基準として用いられており、本稿ではその点を考慮できていないため、結果の解釈には注意が必要である。また、公表資料 [4] には乖離許容幅の導出方法について何も記述されていない。Hibiki and Yamamoto[1] を参考にして導出方法を検討したい。
参考文献[1] N. Hibiki and R. Yamamoto, Optimal Symmetric No-trade Ranges in Asset Rebalancing
Strategy with Transaction Costs, -An application to the Government Pension Invest9

ment Fund in Japan-, Asia-Pacific Journal of Risk and Insurance, Vol.8, No.2(July
2014), pp.293-327.
[2] 厚生労働省, 国民年金及び厚生年金に係る財政の現況及び見通し ー平成 26 年財政検証
結果ー, 平成 26 年 6 月 3 日. http://www.mhlw.go.jp/topics/bukyoku/nenkin/nenkin/zaisei-kensyo/dl/h26_kensyo.pdf[3] 年金積立金管理運用独立行政法人, 中期計画の変更について, 2013 年 6 月 7 日
http://www.gpif.go.jp/topics/2013/pdf/midterm_plan_02_henko.pdf[4] 年金積立金管理運用独立行政法人, 中期計画の変更について, 2014 年 10 月 31 日
http://www.gpif.go.jp/topics/2014/pdf/1031_midterm_plan_henkou.pdf

付録

A.

収益率の条件付平均不足率 CSF と標準偏差の関係

収益率 r が平均 r、標準偏差 σ の正規分布に従うならば、収益率が目標 rG を下回る条
件付平均不足率 CSF と標準偏差 σ は以下の関係で表すことができる。
(
)
[
]
1
h(G)
−
CSF (r) =E |r − rG | = rG − r +
σ
N (G)
N (G)
ただし、|a|− = max(−a, 0)、G =確率密度関数である。

rG − rとする。N (x) は x の累積分布関数、h(x) は x はσ(導出) 収益率 r が期待値 r、標準偏差 σ の正規分布に従うとき、確率密度関数は以下のように表すことができる。
(r−r)2
1
f (r) = √e− 2σ22πσr−ru=とすると、u は以下に示す標準正規分布に従う。
σu21h(u) = √ e− 22π
目標を下回る平均不足率 E [(r − rG )− ] は以下のように展開される。

[]
E (r − rG )− =

∫ rG
−∞
∫ G

(rG − r)f (r)dr
∫ G

∫ G

h(u)du − σuh(u)du(rG − r − σu)h(u)du = (rG − r)
−∞
−∞
∫ G
2
σ
σ [ − u2 ] G− u2= (rG − r)N (G) − √du = (rG − r)N (G) − √
ue
−e 2
∞
2π −∞
2π
(
)
2
G
1
= (rG − r)N (G) + √ e− 2 σ2π= (rG − r)N (G) + h(G)σ∫G
ただし、N (G) = −∞ f (u)du である。
=−∞

10