核図表計算のための新しいWoods-Saxon-Strutinsky法

田嶋直樹、 清水良文、 高原哲士、 大西直毅
（福井大工）（九州大理）（杏林大医）「核図表計算のための計算法」に込めた意味は２つ：（１）ドリップ線まで適用できる （連続状態を扱う処方を持つ）（２）Nuclear Chart １面の計算を繰り返し行える （１核に要する計算時間が比較的短い）モデルパラメータの最適化のため／現実とは異なる世界の原子核を論じるため内 容
１． Strutinsky法に連続状態を扱う処方を加える
Kruppa法 (Kruppa et al., 1998)
Reference Density法 （new）
Potential Depth Adjustment for Micro-Macro consistency (new)Kruppa－BCS法 （new）
2. 原子核のプロレート変形優勢の起源の考察への応用
スピン軌道ポテンシャルの重要性

Strutinsky法とは基底状態の決定

殻補正法

殻効果

一粒子スペクトル平均場
Woods-Saxon potential・半径出発点・深さ・表面の厚さ・スピン軌道力強度

巨視的部分
液滴模型
av, as, ac, aI, ...

各種の Hamiltonian
または Lagrangian
最終的に議論したい物理的要因がそのまま模型の入力となる。

Strutinsky法の歴史 （本研究に関連する事項）
・ Shell Correction Method

V.M.Strutinski (1967)

・ Nilsson-Strutinsky method
・ Woods-Saxon-Strutinsky method
Z.Szymanski et al. (1986頃～)
・for high-spin nuclei , Nilsson's l(l+1) potential should be replaced.
・ Finite-Range Droplet Model
Molller, Nix et al. (1995)
with shell correction for Folded Yukawa Potential
This result still seems to be the theoretical mass table.
・ Kruppa method
Kruppa et al. (1998)
treatment of the continuum in the harmonic oscillator basis

清水氏との共同研究
for Nilsson-Strutinsky (1998, 2001-2002) 偏長変形優勢の起源の研究に応用
for Woods-Saxon-Strutinsky (2005-) まず、ドリップ線まで適用可能に改良する

殻補正法とは左側の一粒子準位スペクトルεi準位密度に粗密がある。
右側の一粒子準位スペクトルεi

量子的効果を抜くことが可能なら～粗密は消えるはず。
（図では離散スペクトルとして描いてあるが、実際は連続な密度分布関数である。）
粗密を消すには何らかの平滑化処理をすればよい。
平滑化した結果を、量子的効果を抜いた結果とみなすことにする。
緑色の線分は順位の対応を表す
この線分の傾きが量子的効果による各準位のエネルギーの得失を表す。
殻補正法では、左右のスペクトルの差を量子的効果として巨視的模型のエネルギーに加える

核の全束縛エネルギーの表式は、
Esh = Σi=0n εi～～Esh = Σi=0n εi

および
ELDM

液滴模型のエネルギー 等を用いて、～ETOTAL = Esh – Esh + ELDMと表される。

残る唯一の問題は、いかにして準位密度を平滑化するかである。

Strutinsky の平滑化法

デルタ関数を幅γ程度の関数で置き換える。 幅γは主殻間隔程度にとる。
問題点
中性子のフェルミ準位が ーγ より高いと、連続スペクトルの影響が強くなる。
調和振動子基底による展開では、連続スペクトルの影響が、基底サイズに依存して変化する。少なくとも、結果の基底サイズ依存性は除去すべきである。
⇒ Kruppa法
Woods Saxon ポテンシャル中の一粒子のスペクトルから自由粒子のスペクトルを差し引く。両者は同じ基底での対角化で求める）
また、できれば、結果のγ依存性も小さくすべきである。 （プラトー条件を緩めたもの）⇒ Reference density 法
Kruppa準位密度のエネルギーゼロにある山は（Oscillator-Basis） Thomas-Fermi法でも存在するから、平滑化によって崩してはならない。

’ポテンシャルの深さの決定法

従来のStrutinsky法計算では核子分離エネルギー との差が大きい。

一粒子スペクトルのフェルミ準位ドリップ線の位置は、前者に基づいて決定した場合は、（巨視的部分のお陰で）もっともらしいが、後者に基づいて決定した場合は、１０核子、２０核子、と大きくずれる。
模型の 微視的部分 （Woods-Saxon potential parameter set)の決定に際して、巨視的部分との首尾一貫性があまり顧慮されてこなかったらしい。
我々は、トーマスフェルミ近似で求まるフェルミ準位が、巨視的部分の核子分離エネルギーと一致するように、ポテンシャルの深さを決定することにした。

ポテンシャルの深さの決定についての補足
・ドリップ線の近くでは、外挿値を用いる。
・一粒子スペクトルのフェルミ準位と核子分離エネルギーとの食い違いは±２MeVくらい
さらに、調和振動子基底による展開が、弱束縛に起因する密度分布の空間的拡大の扱いに弱いということも考えると、Woods-Saxon-Strutinsky 型の手法は、ドリップ線上の核に関しては、記述の精度が落ちると言わねばならない。
これらの核には、ドリップラインに適用可能な解法による平均場法が適している。

Kruppa法の状態密度を用いた対相関相互作用強度の決定

クルッパ法では状態密度がエネルギーゼロに大きなピークを持つ。
このピークのため、対相関が強くなる。
これは現実を正しく反映しているのか？ いないのか？
我々は、安全策をとり、フェルミ準位がゼロに接近しても、対相関が異常に強まらないようにした。
（Skyrme Canonical-basis HFB法の結果に倣った）
具体的には、平滑化された準位密度を使って得られるBCSのギャップが 13/√A MeV に一致するように、対相関強度を決定する。

「新しいWoods-Saxon-Strutinsky法」 についてのまとめ
・ 連続状態の寄与には Kruppa法で対処できる。
(Woods-Saxon spectrum) – (fee-particle spcetrum) obtained in the same bass
・ Kruppa法で 緩めたプラトー条件 にこたえるため、Kruppa法の状態密度がエネルギーゼロにもつ山を平滑化で崩さない工夫をした
The reference deisity method
・ Kruppa法の状態密度がエネルギーゼロにもつ山で対相関が異常に強まらないように
Kruppa-BCS法・ 模型の巨視的部分（液滴模型）と微視的部分（Woods-Saxon potential）との首尾不一貫の改善
Potental depth determined in terms of the Thomas-Fermi approximation
開発の現状： 今週の悩み：
Kruppa法で、フェルミ準位が正になっても、それなりの解を出さねばならないが、表面の厚さを２倍にしたり、スピン軌道ポテンシャルをオフにしすると計算に失敗することがまだある。これに逐一対処して定式・コードを修正している
LDMはやわらか過ぎる？
FRDMのように曲率補正を入れるのが必要か？
高スピンの超変形、ハイパー変形の計算に使われていたものなのになぜ？

「原子核の偏長変形優勢の起源の探求」への応用

変形核の大半がプロレート（偏長）形に変形するのはなぜか？
液滴は、回転していなければ、球形か、分裂するかのどちらかである。
したがって、変形は殻効果である。
殻効果によって、プロレート、オブレートの両方の変形状態が可能となる場合、どちらが基底状態になるかには、液滴の性質も寄与する。
しかし、陽子間のクーロン反発は重い核以外では決定的要因ではない。
殻効果、即ち 一粒子運動 がプロレート変形優勢の原因であると思われる。
H. Friskの説（１９９０年）：
一粒子ポテンシャルの動径依存性が井戸型であることが原因である
古典軌道の性質に基づく議論
我々は、H.Friskの理論を、現実的な原子核の計算により、検証するとともに、スピン軌道ポテンシャルも重要な役割を果たすことを示したい。
なお、個々の核の形状は、Strutinsky法により、一粒子スペクトルに帰着できる。
しかし、この種の説明は、あまりに個別的な説明であり、一般的傾向の説明とは言えない。

このあと、ニルソンについて、スピン軌道ポテンシャルの強さを、現実の原子核での強さの -2.5～2.5 倍に変化させた場合の、四重極変形度の核図表上の分布を、ご覧下さい。

偏長変形優勢の起源 についてのまとめ
H. Friskの理論のとおり、表面が鋭くなるほど、偏長変形が優勢になる。
スピン軌道ポテンシャルによっても状況は大きく変わる。
表面の厚さを現実の原子核のままとすれば、スピン軌道ポテンシャルの強度に対して、偏長核の割合は大振幅の振動をする。
これはニルソンポテンシャルについて調べた結果と同じである。（２００１、２００２年）

研究の展望
H.Friskが古典周期軌道の性質に基づいて議論したように、スピンを含めた古典軌道の性質に基づいて、スピン軌道ポテンシャルの影響を議論できそうである。
Strutinsky法は一粒子ポテンシャルを出発点に置くため、古典周期軌道による考察との相性が大変に良い。