RIMS Kôkyûroku Bessatsu 4x(200x), 000–000

On toric vanishing theorems
トーリック多様体上の消滅定理について
By

Osamu Fujino ∗藤野修Contents§ 1. 歴史§ 2. トーリック多様体上の消滅定理§ 3. 消滅定理の証明のアイデア§ 4. 使用例§ 5. 関連する論文について§ 6. 思い出話§ 7. 今後の課題
References

Abstract
In this paper, I will explain the vanishing theorems for toric varieties obtained in mypaper: Multiplication maps and vanishing theorems for toric varieties. I will also explain themain idea of my proof and give many historical comments on toric vanishing theorems.

この論文では私の論文：Multiplication maps and vanishing theorems for toric varieties で得られたトーリック多様体上の消滅定理について説明する。また、証明のアイデアを説明し、トーリック多様体上の消滅定理へたくさんの歴史的コメントを与える。
2000 Mathematics Subject Classification(s): 2000 Mathematics Subject Classification(s):Primary
14F17; Secondary 14F25
Key Words: Key Words:トーリック多様体、消滅定理、代数多様体の自己準同型写像
科学研究費若手 (A)17684001 と稲盛財団から研究費の援助を受けている。
∗ Graduate School of Mathematics, Nagoya University, Nagoya 464-8602, Japan. 名古屋大学大学院多元数理科学研究科 〒 464-8602 名古屋市千種区不老町
c 2007 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University. All rights reserved.

2

Osamu Fujino

§ 1.

歴史

トーリック多様体の理論は、Mumford 達による仕事と小田達による仕事であっという間に基礎理論が確立してしまった印象がある。Demazure の先駆的な仕事からトーリッ
ク多様体の基礎理論の完成まではほんの数年だったようである。実際のところはよく分からないが、[KKMS] と [O1] を見るとそういう気がする。Mumford 達はトーリック多様体そのものの研究というよりは、トロイダル埋め込み、つまり、局所的にトーリック多様体とみなせる多様体に興味を持っていたようである。[KKMS] や [AMRT] を見ると納得していただけると思う。そこでは、半安定還元定理や、トロイダルコンパクト化の理論が展開されている。ものすごく興味深い話であるし、現在の log 幾何学につながる話でもある。一方、[O1] を見ると、トロイダル埋め込みというよりは、もう少しトーリック多様体そのものに主眼がおかれているように見える。完備だが射影的でない非特異トーリック多様体の例や小田予想など、面白い話題がつまっている。こちらの方が現在のトーリック多様体の理論の元ネタという気がする。ただ、Mumford 達も小田達もトーラス作用から出発してトーリック多様体を扱っている点は同じである。隅広の定理を使うことにより、扇のデータとトーリック多様体が一対一に対応しているということの証明が出発点になっている。現在スタンダードな教科書になっている Fulton の本 [Fl] などでは、扇のデータから構成される多様体としてトーリック多様体を導入している。この方が今や自然な気もする。[O2] でもこの態度が取られている。私も扇から始めるという態度を取ることにする。小田や Mumford 達による先駆的仕事のあと、トーリック多様体そのものを深く調
べようという試みは数多くあったと思われるが、[D] もそのひとつであろう。ここでも、トーラス作用云々というより、扇から構成される多様体としてトーリック多様体を導入している。さらに、様々な面白い試みがなされている。トーリック多様体のホッジ理論や交差理論なども扱っている。個人的にはお気に入りの論文である。この論文のなかにある厄介な主張が今回のお話の出発点である。ここに再録しておく。

The next proposition1 , which we give without proof, generalizes a well-known theorem of Bott:
7.5.2. THEOREM. Let Σ be a complete fan, and let E be an invertible sheaf suchthat ord(E) is strctly convex 2 with respect to Σ. Then the sheaves ΩpX ⊗ E are acyclic3 ,that is, H i (X, ΩpX ⊗ E) = 0 for i > 0.
この無責任 (?) な記述が後の人々を苦しめることになるのである！
？この主張は思ったより証明が難しかったのか、[O2] でも証明を放棄している。[O2] では、We leave theproof of it as well as Danilov [D1, Theorem 7.5.2] to the reader, ... と述べている。く
1 明らかにタイプミスと思われる。proposition ではなくて theorem であろう。Danilov の論文のロシア語から英語への翻訳は M. Reid 氏による。この論文の英訳の際に雑誌編集者の意見にしたがって toric という言葉を採用したのが toric 多様体の名前の起源だそうである。小田先生の「トーリック幾何のはじまり」（数学セミナー 2004 年 3 月号に収録）による豆知識である。
2 この条件は結局のところ、E が豊富な直線束であると言っている。
3 ここでの Ωp は通常 Ωe p と書かれるものである。詳しくは下の定義 2.2 を見ろ。
XX

On toric vanishing theorems

3

どいようだが、日本語版では「Danilov [D1 , 定理 7.5.2] と同様に証明は読者に委ねよう.」となっている。結局この定理が初めて証明されたのは [BTLM] においてであろう。結構な年月がかかってしまったのである。ここらで節をあらためて、トーリック多様体上の消滅定理の最新の結果について述べてみたい。その前にこの論文の構成を軽く概観しておこう。2 章でトーリック多様体上の消滅定理について述べる。[F2] で得られた結果である。
3 章では証明のアイデアを丁寧に説明する。特殊な場合しか扱わないが、これで十分であろう。詳しい証明や一般化は [F2] を見ていただきたい。消滅定理の使用例として、射影空間上のコホモロジーを計算してみる。これが 4 章である。5 章では [F2] 出現以前の先行
結果についてのコメントである。みなさんの勉強、研究の助けになれば幸いである。6 章
は個人的な思い出話である。最後の 7 章で今後の課題や未解決問題について言及する。

§ 2.

トーリック多様体上の消滅定理

この章では [F2] で得られたトーリック多様体上の様々な消滅定理について解説する。
次の定理は [F2] の主定理のひとつである。もう一度注意しておくと、扇のデータから構成される多様体をトーリック多様体とする。また、基礎体 k は任意の体とする。標数は任意でよいし、代数的閉体とも仮定しない。

Theorem 2.1 ( 主定理 I).
X を体 k 上のトーリック多様体とし、B を X 上のトーe a (log B)⊗
ラス不変な被約なヴェイユ因子とする。L を X 上の直線束とする。もし、H i (X, ΩXe a (log B) ⊗ L) = 0 である。特Ll ) = 0 がある正の整数 l について成立するなら、H i (X, ΩXiaeに、X が射影的で L が豊富なら、H (X, ΩX (log B) ⊗ L) = 0 が任意の i > 0 に対して成立する。
e a (log B) の定義を復習
後半の主張は Serre の消滅定理より明らかである。ここで ΩXしておこう。
Definition 2.2.
W を X のザリスキ開集合で、W は非特異、X \ W の X 内での余次元は 2 以上となるものとする。このとき、B は被約なトーラス不変なヴェイユ因子だったので、W 上 B は単純正規交差因子である。したがって、ΩaW (log B) は W 上
well-defined な局所自由層である。ここで、ι : W ,→ X を自然な開埋め込みとする。
e a (log B) = ι∗ Ωa (log B) とおくと、Ω
e a (log B) は X 上 well-defined な反射的層になる。
Ω
X
WX
ea = Ω
e a (log B) と書くこととする。
B = 0 のときは、Ω
X
X

主定理 I はかなり強力である。使いやすい形を系として述べておく。ひとつめは懸案の Danilov の主張である。すでに注意したように、Danilov の主張自身は [BTLM] で証明されていた。特殊な場合はいろいろな人が扱っていたと思うので、結局誰の定理かはよく分からない。主定理 I の後半で B = 0 と置くだけである。

Corollary 2.3 (Bott, Danilov, ...).
X を体 k 上の射影的トーリック多様体とし、
e a ⊗ L) = 0 が任意の i > 0 に対し
L を X 上の豊富な直線束とする。このとき、H i (X, ΩXて成立する。

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Osamu Fujino

次の系は Mustaţă による。我々の立場で考えると、主定理 I の後半で a = dim X としただけである。X が非特異で体 k の標数が零のときは、Norimatsu の消滅定理として知られている。Kodaira の消滅定理を使えばすぐに示せる定理である。この Mustaţă の結果を簡単に証明したいというのが私の最初の動機であった。

Corollary 2.4 (Norimatsu, Mustaţă, ...).
X を体 k 上のトーリック多様体とし、B を X 上のトーラス不変な被約なヴェイユ因子とする。L を X 上の豊富な直線束とする。このとき、H i (X, OX (KX + B) ⊗ L) = 0 が任意の i > 0 に対して成立する。
最後の系は Kodaira の消滅定理のトーリック多様体版である。この系も見た目より証明は難しいような気がする。トーリック多様体 X の特異点については何の条件も課していないし、体の標数も一般である。我々の場合は、系 2.3 で a = dim X 、もしくは系
2.4 で B = 0 と置くとよい。

Corollary 2.5 (Kodaira, ...).
X を体 k 上のトーリック多様体とし、L を X 上のi
豊富な直線束とする。このとき、H (X, OX (KX ) ⊗ L) = 0 が任意の i > 0 に対して成立する。
次に主定理 II に行こう。主定理 I と同じ形の定理である。実は証明も全く同じと言って良い。ひとつの定理として述べられなかったので二つの主張に分けたと思っていただきたい。

Theorem 2.6 ( 主定理 II).
X を体 k 上のトーリック多様体とし、D を X 上のトーラス不変な Q-ヴェイユ因子とする。正の整数 l が存在し、lD はヴェイユ因子とする。もし、H i (X, OX (lD)) = 0（または H i (X, OX (KX + lD)) = 0）なら、H i (X, OX (xDy)) = 0（または H i (X, OX (KX + pDq)) = 0）が成立する。
主定理 II を使うと次の系はほぼ明らかである。トーリック多様体上に対してよく知られたテクニックをつかうことにより、主定理 II からすぐに示せる。新しい議論はほとんど必要ない。

Corollary 2.7 (Kawamata-Viehweg, Mustaţă, ...).
X を体 k 上完備なトーリック多様体とし、D は X 上の数値的正な Q-カルティエなトーラス不変な Q-ヴェイユ因子とする。ただし、D の飯高次元を κ(X, D) = κ とおく。このとき、H i (X, OX (xDy)) = 0
が任意の i > 0 に対し、H i (X, OX (KX + pDq)) = 0 が i 6= n − κ に対して成立する。ただし、n = dim X である。
この系の非常に特殊な場合は Mustaţă によって得られていたが、微妙に変な条件がついた不思議な定理であった。今回完全に一般化できたのである。[F2] の最大の貢献は、非常に初等的な方法で上記消滅定理を一網打尽にした点であろう。
次の章で主定理の証明のアイデアを解説する。アイデアはもの凄く簡単である。実際
私の論文 [F2] での上記主定理 I と II の証明は 2 ページ弱である。上で述べた形以外の消On toric vanishing theorems

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滅定理や相対化、ベクトル束についての消滅定理（それはまだ十分な形ではない）など、同じテクニックで証明出来る上記結果の様々な亜種は、[F2] を見ていただきたい。というより、[F2] で導入した議論を身につければ、必要な消滅定理を必要なときに自分で証明出来るようになると思う。

§ 3.

消滅定理の証明のアイデア

この章では消滅定理を特殊な場合に証明してみる。記号の設定等が面倒なのと、ア
イデアを明確にするために問題を特殊化する。この特殊な場合の証明が理解出来れば、一般のときを理解するのにはなんの障害もないであろう。

3.1 ( トーリック多様体の l 倍写像). N ' Zn を格子とし、M = HomZ (N, Z) を双対格子とする。いつものトーリック多様体の記号である。∆ を NR = N ⊗Z R 内の扇とし、それに付随するトーリック多様体を X = X(∆) と書く。ここで新たに格子 N 0 = 1l Nを導入する。l は任意の正の整数とする。M 0 = HomZ (N 0 , Z) は N 0 の双対格子である。
M 0 = lM と NR0 = NR に注意する。よって ∆ は NR0 内の扇とみなせる。∆ を NR0 内の扇と見たときは、∆ と区別するために ∆0 と書くことにする。∆0 に付随するトーリック多様体を X 0 = X(∆0 ) と書く。もちろんトーリック多様体としては X と X 0 は同型である。次に格子間の自然な単射 ϕ : N → N 0 を考える。この ϕ は有限全射なトーリック射F : X → X 0 を導く。この射を X の l 倍写像と名付けることにする。
3.2. X の中の稠密なトーラスを T 、対応する X 0 内のトーラスを T 0 とする。すると、OT は k[M ]、OT 0 は k[M 0 ] に他ならない。したがって、F∗ OT は k[M 0 ]-加群とみた k[M ] である。OT 0 → F∗ OT は k[M 0 ]-加群としての自然な準同型 k[M 0 ] → k[M ] である。ただし、xm 7→ xlm という対応から導かれる準同型である。M 0 = lM であったことも思い出しておこう。次に k[M 0 ]-加群の準同型 k[M ] → k[M 0 ] を以下で定義する。もしmα = lmβ と書けるなら xmα 7→ xmβ 、そうでないときは xmα 7→ 0 とする。結局この準同型によって OT 0 → F∗ OT は分裂する単射準同型であることが分かる。X の各トーラス
不変なアフィン開集合上で考えるとすぐにわかることだが、OT 0 → F∗ OT は分裂準同型
OX 0 → F∗ OX を自然に導く。まとめると以下の定理が示せたことになる。
Theorem 3.3.

自然な射 OX 0 → F∗ OX は分裂準同型である。

3.4. この定理 3.3 をもう少し詳しく見てみよう。以下簡単のため、k = C と仮定する。この定理の証明には余次元 2 以上の閉部分集合を取り除いても問題ないので、X は非特異と仮定してよい。必要ならさらに X を縮めて、X は有限枚の C × (C× )n−1 で覆われているとして良い。n = dim X である。この開集合 V = C × (C× )n−1 ⊂ X 上で F をみると、F : V = C × (C× )n−1 → V 0 = C × (C× )n−1 : (x1 , x2 , · · · , xn ) 7→ (xl1 , xl2 , · · · , xln ) となっている。座標ごとにみると、単なる l 乗するという写像である。V には G = (Z/lZ)nが自然に作用する。各座標ごとに l 次巡回群を積で作用させるのである。自然な準同型

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Osamu Fujino

OV 0 → F∗ OV が分裂するのは、(F∗ OV )G ' OV 0 より明らかである。ここで、(F∗ OV )Gは F∗ OV の G-不変部分である。この対応がまさしく上で与えた対応になっている。体 kが一般のときは、k に 1 の l 乗根が含まれるかどうか分からないので、群作用を考えるという記述はそのままでは使えない。この点は注意が必要である。
3.5. ここまでくると後はほとんど明らかである。L を X 上の直線束とすると、
F ∗ L0 ' Ll が成立する。ただし、L0 は X 0 ' X 上の L を表す。区別のために 0 をつけるのはいつも通りのルールである。これらの結果をあわせると次を得る。
H i (X, L) ' H i (X 0 , L0 ) ' H i (X 0 , OX 0 ⊗ L0 ) ⊂ H i (X 0 , F∗ OX ⊗ L0 ) ' H i (X 0 , Ll )最初の同型は単なる言い換えである。X も X 0 もトーリック多様体としては同型である。
次の同型は当たり前の同型である。その次の ⊂ が分かりやすいように書いただけである。
⊂ は上の分裂準同型の存在からわかる。最後の同型は射影公式である。以上で主定理 I の
a = 0 の場合が証明出来た。

3.6. 一般のときの証明の注意を与えてこの章を終わることにする。主定理 I については以下の定理を示せば十分である。
Theorem 3.7.
である。

e a (log B) は任意の a ≥ 0 に対し、分裂準同型
e a 0 (log B 0 ) → F∗ ΩΩ
X
X

これの証明は a = 0 のときと同様で、全然難しくない。注意すべきことは、対応
m
e
e
7→ dx
M ⊗Z k[M ] → H 0 (T, Ω1T ) : m ⊗ xm
· xm
で M ⊗Z k[M ] と H 0 (T, Ω1T ) の間の同型mxが存在することである。詳しくは [F2] を見ていただきたい。主定理 II の証明については以下の定理を証明すれば十分である。

Theorem 3.8.
OX 0 (xD 0 y) → F∗ OX (lD) と OX 0 (KX 0 + pD 0 q) → F∗ OX (KX +lD) は分裂準同型である。
こちらの証明は結局のところ、局所的な計算は Kawamata-Viehweg 消滅定理の証明
でやる計算と同じである。分岐被覆をとって Q-因子の分数部分を消し去るというテクニッ
クである。3.4 の記述を見るとほぼ明らかであろう。

§ 4.

使用例

ひとつだけ消滅定理の使用例を書いておく。よく知られている結果であるが、面倒なのでついつい確認を怠ってしまう例である。

Example 4.1 ( 射影空間のコホモロジー). 以下の等式が成り立つ。
 k+n−p k−1for q = 0, 0 ≤ p ≤ n, k > p

k
p


1
for k = 0, 0 ≤ p = q ≤ ndim H q (Pn , ΩpPn (k)) =−k+p −k−1

for q = n, 0 ≤ p ≤ n, k < p − n

n−p

 −k
0
otherwise7

On toric vanishing theoremspp

ただし、ΩPn (k) = ΩPn ⊗OPn OPn (k) である。

Proof. この証明中では断りなしに消滅定理を使うことにする。完全系列
0 → OPn → OPn (1)⊕n+1 → TPn → 0を考える。双対をとって適当に外積をとり、必要なだけ直線束をテンソルすると、

n+1⊕

0 → ΩpPn (p) → OPnp→ ΩPp−1n (p) → 0を得る。p = 0 の場合はさすがに well-known とする。これはどの教科書にも載っている話だと思う。次に p が小さいときは成り立つことを認めて、p のときを考える。帰納法である。完全系列n+1⊕ pp
0 → ΩPn (k) → OPn (k − p)
→ ΩPp−1n (k) → 0を考えると良い。結局、等式


 

 


k+n−p k−1
k+n−p+1 k−1
n+1 k−p+n
=
−
p
k
p−1
k
k−p
p
p

n−p

から q = 0 の場合は従う。Serre の双対定理により、H n (Pn , ΩPn (k)) と H 0 (Pn , ΩPn (−k))
は双対である。従って q = 0 と n のときは証明が完成した。以下 q 6= 0, n とする。やはpn−p
り Serre の双対定理をつかうと、H q (Pn , ΩPn (k)) と H n−q (Pn , ΩPn (−k)) は双対である。
よってコホモロジーが生き残る可能性があるのは k = 0 の場合のみである。これは

n+1
⊕
p
p
→0
→ ΩPp−1
0 → ΩPn → OPn (−p)
nを使って p が小さい方から確認していける。以上で目的の等式が得られた。

§ 5.

関連する論文について

この章では先行結果のいくつかについて簡単にコメントをつけてみたい。コメントに客観性は全くないことをお断りしておく。

5.1. [BC] について述べてみる。この論文は基本的にホッジ理論の話である。複素数体上で定義された、高々商特異点しか持たない完備なトーリック多様体に対して Danilovの主張をチェックしている。混合ホッジ構造に付随した重みフィルトレーションを考慮にいれた消滅定理も扱っている。ただし、消滅定理そのものを知りたいという立場から見ると、あまり面白くない論文である。射影空間内の超曲面のホッジ構造を調べた Griffiths の結果、それを重み付き射影空間に一般化した Dolgachev の話、Steenbrink による商特異点を許した所でのホッジ理論などを、高々商特異点しかもたないトーリック多様体上の超8Osamu Fujino

曲面へ一般化したという感じの論文である。詳しくは読んでいない。もちろん、ミラー対称性などの立場からは非常に重要な論文だと思われる。自分達の理論に必要だから、必要な程度の消滅定理を手持ちのテクニックで証明しておきました、という感じであろうか？
実際、消滅定理に裂かれたページ数は少ない。

5.2. 次に [BTLM] を見てみよう。この論文はタイトルのとおり、トーリック多様体上のフロベニウス写像を調べている。その結果、Bott 型の消滅定理を得ている。つまり、Danilov の主張を初めて確認した論文になっている。体 k を標数 p > 0 の完全体とし、
l = p と選んで l 倍写像を考えると、それはまさしく相対フロベニウス写像に他ならない。
分裂射を作る射はカルティエ作用素である。よって、[F2] の証明と [BTLM] の証明は基本的に全く同じものである。ただし、任意の l 倍写像を考えられると気付いた点が [F2] の重要な点である。これによって、Kawamata-Viehweg や Mustaţă 型の消滅定理（定理 2.6
や系 2.7 である）への道が開けた。フロベニウスだけでは到達不能なタイプの消滅定理である。著者の名前を見れば分かるが、トーリック多様体の消滅定理に興味があるというよ
りは、フロベニウス写像そのものの方に重点が置かれているような気がする。
5.3. 論文 [Mu] は非常に有名である。トーリック多様体上の消滅定理を本格的に扱った初めての論文だと思われる。タイトルはそのものズバリである。ジェットやアークで有名になる前の Mustaţă 氏の論文である。Cox の斉次座標環の理論をつかい、様々な消滅定理を得ている。Pn は Cn+1 \ {0} を C× で割ったものとみなせる。この描写は一般のトーリック多様体に対しても成立する。それが Cox の斉次座標環の理論である。トーリック多様体 X の斉次座標環を S とする。このとき、X 上の任意の連接層 F に対し、有限生成な次数付き S-加群 P が存在し、F は P に付随する層として書ける。非常に大雑把に言うと、一般の射影的スキームのときにやることと同様のことが成立するのである。
このようにして、X と F の話を S と P の話に焼き直す。そして、この次数付き環とその上の加群の世界で消滅定理を示す。Pn 上のコホモロジーを Cn+1 の原点に台をもつ局所
コホモロジーの計算に持っていく話と同じ戦略である。ただし、この Mustaţă の方法だと、多様体と層の世界と次数付き環と加群の世界との翻訳作業が必要になるので、ギリギリの条件まで考えるのはかなり大変だと思われる。新しい消滅定理を多数生み出したが、[F2] のせいで微妙に中途半端な結果になってしまったかもしれない。
以上３つが主な先行結果である。幾つか補足的なコメントを付け加えておく。

5.4. 系 2.5、つまり Kodaira 型の消滅定理に関しては、[L] の Theorem 4.1 に比較的簡単そうな証明が載っている。トーリック幾何学的には一番由緒正しい証明かもしれない。この論文はタイトルから分かるように、組み合わせ論的な記述を好んで用いている。
5.5. 主定理 II の半分の特殊な場合は Mustaţă 氏による。見た目がかなり異なるので同じ主張であることがすぐには分からないかもしれない。詳しくは [F2] を見ていただ
きたい。この部分に関しては、Payne 君も全く異なる方法（これはこれでかなりエレガン

On toric vanishing theorems

9

トな初等的方法である）で別証明を与えていた。残念ながら未公表である4 。

§ 6.

思い出話

この章は私の思い出話である。適当に読み流していただきたい。

6.1 ( 遭遇). そもそも私が最初にトーリック多様体の研究に手を染めたのは [F1] である。そこではトーリック多様体上で因子と曲線の交点数を計算することにより、様々な結果を得ている。トーリック多様体の端射線の長さの評価がもっとも重要な貢献だと思う。その応用としてトーリック多様体上で藤田予想の一般化を解決している。この論文を書いた後、類似の結果が知られているかどうか佐藤拓さん（当時東北大の院生）にたずねたところ、[Mu] を教えてもらった。そこでは消滅定理の応用として藤田予想の一般化を扱っていた。ただ、私の方が藤田予想に関してははるかにシャープな結果を得ていたし、
トーリック多様体上の消滅定理の有用性は全く分からなかった。その後私は一貫してトーリック多様体上では消滅定理などは必要なく、交点数の計算をつかう方が有効だという態度で論文を書いてきた。ただ、あるとき、すぐに示せそうな系 2.4 が手持ちのテクニック
では歯が立たないと気付いたのである。で、トーリック多様体上でも少し消滅定理を考えてみようかな？と思ったのである。それと、トーリック多様体とは限らない一般の多様体についての消滅定理は、おそらく私の専門のひとつである。簡単に示せそうな消滅定理が示せないのは凄く気分が悪かったのである。それから紆余曲折を経て [F2] の誕生である。
6.2 ( 反響). 論文 [F2] をアーカイブに出したところ、その日のうちに Arapura 氏とPayne 君からメールが届いた。反響があるのは嬉しいことである。おそらく二人とも、「しまった！こんなに簡単に出来たのか！
！」と思ったのではないだろうか？ちなみに、Arapura
氏は一時期消滅定理の証明を専門としていた人である。Payne 君はかつて私と共著論文を書いたこともある若い人である。でも会ったことはない。Fulton の学生だった人で、たぶん現在はクレイから大金をもらって (?) 研究しているアメリカの若手のホープと思われる。彼はトーリック幾何学にメチャクチャ強い人である。
6.3 ( 越後湯沢にて). 2006 年の 12 月に越後湯沢で Mustaţă 氏と話した。そのとき
彼は私の消滅定理の証明をさして、「お前は正しい方法を見つけた。」と言ってくれた。
ちょっと嬉しかった。たとえお世辞であっても嬉しいもんである。
6.4 ( 台湾にて). 2007 年の 3 月に台湾で Lin さんと会った。女性数学者である。彼
女は私のことをトーリック多様体の専門家と認識しているようで、「あなたの学生のうち何人がトーリック幾何学を勉強しているの？」とたずねてきた。「いや、誰もやってないんですが、、、」と答えたのだが信じてもらえなかった。今回の論文もトーリック幾何学の専門家が書いたというよりは、消滅定理の専門家がトーリック多様体の上で頑張ってみたという感じだと私自身は思うのだが、みなさんの印象はどうなんだろうか？
4 かなりキチンと書かれたノートが存在するのだが、[F2] が先に世に出てしまったので出せなくなってしまっ

たかも知れない。

10

Osamu Fujino

6.5 ( 宣伝). ちなみに、論文 [L] の Lemma 4.3（これは Fulton の教科書 [Fl] の演
習問題からとったようである）に反例を作り、正しい主張と一般次元での証明を以前メー
ルで Lin さんに教えてあげたことがある。それで彼女は私をトーリック多様体論の偉い人と勘違いしているようである。この問題に関してはいずれどこかに発表すると思う。思いのほか簡単に反例が作れるのである。

§ 7.

今後の課題

最後に今後の課題や問題をいくつか取り上げる。

7.1 ( スフェリカル多様体). 今回の証明の議論はスフェリカル多様体でトロイダルになっているもの（おそらく色無し扇が対応するスフェリカル多様体）に対してもほとん
どそのままで適用可能である、というようなことを 2006 年 12 月に越後湯沢で Alexeev
氏に指摘された。その後少し勉強しようかと思ったのだが、なかなか大変そうで全く勉強が進まない。スフェリカル多様体の専門家で私を助けてくれる人を募集中！連絡待ってます！
！
7.2 ( ベクトル束).

Manivel の結果を思い出しておこう。

Theorem 7.3.
X を複素数体上定義された非特異射影的トーリック多様体で dim X =n とする。E を X 上の豊富なベクトル束で階数を e とする。このとき、H i (X, ΩpX ⊗∧a E) =0 が i > e − a で、H i (X, ΩpX ⊗ S m E) = 0 が i ≥ e で成立する。
論文 [Ma] の 5 章に載っている結果である。Payne 君に共同研究を持ちかけられた問
題は、この定理も l 倍写像のテクニックで示せないか？である。少し考えてみたが、単純には無理そうである。フランス語で書かれているので私は Manivel の証明を読んでさえいない。E を同変ベクトル束と仮定してもよくわからない。X がトーリック多様体で Eが同変ベクトル束であっても、それに付随する PX (E) は一般にトーリック多様体でない。
したがって、ベクトル束の話を直線束の話に帰着させるといういつもの方法は使えないのである。そもそも、一般の体 k 上で Manivel の結果は成立するのだろうか？X が特異点を持つときはどうなんだろうか？Payne 君も無責任な提案だったのか、その後連絡無しである。お互い別の仕事をしているので何の進展もない。皆さんのコメントをいただけるとありがたい。

References[AMRT] A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport, Y. Tai, Smooth compactification of locally symmetric varieties, Lie Groups: History, Frontiers and Applications, Vol. IV. Math. Sci.
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On toric vanishing theorems

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