年金 ALM のための多期間ポートフォリオ最適化モデル
慶應義塾大学

理工学部管理工学科

枇々木規雄(E-mail : hibiki@ae.keio.ac.jp)
みずほ年金レポート 2004 年 5/6 月号, pp.36-48

ì枇々木 規雄（ひびき のりお）1994 年慶應義塾大学大学院理工学研究科管理工学専攻博士課程修了、1992 年慶應義塾大学理工学部助手、1997 年同専任講師、2002 年同助教授、現在に至る。2002 年 9 月から 1 年間米国フロリダ大学にて訪問研究員。著書に『金融工学と最適化』(朝倉書店, 2001 年)、『金融工学入門』(共訳、日本経済新聞社, 2002 年) がある。

ê

í

1

はじめに

初期時点で行うモデルである。

ë

このように長期的な計画モデルを必要とす
複数の投資対象の中から投資家にとって最る年金 ALM にとって多期間モデルはよい特徴も好ましいように、どの投資対象にどれだけを持っていて使うのに適しているものの、実投資をしたらよいかという問題をポートフォ

際には理解されにくいのが現状である。『多期リオ最適化問題という。ポートフォリオ最適間モデルは 1 期間モデルを繰り返せば、同じで化問題を解くためのモデルとしては、モデルはないか?』という質問を受ける場合が多い。

構築や解法上の容易さから、運用期間にかか多期間は 1 期間を繰り返す構造になっているの

わらず、平均・分散モデルを代表とする 1 期間

で、構造的にはその通りである。しかし、最モデルが中心的に用いられている。しかし、年適化を行う場合、多期間最適化モデルと 1 期間

金基金などの長期的な資金運用を行う投資家

最適化モデルでは、求められる最適解が一般

は、実際には時間の経過とともに長期的な観的に異なる。これが多期間最適化モデルを使っ

点からリバランスを行う必要がある。このよた方がよい理由である1 が、期間が 1 期間からうな場合、1 期間モデルよりも多期間モデルの拡張されたモデルという概念だけでは、その方が多期間にわたる不確実性を考慮した動的

違いはわかりにくい。。そこで、本論文では、投資政策の決定を「明示的に」モデル化するç
1 投資戦略 (投資決定ルール)、ç
2 資産配分決定の際の負債の考慮、ç
3 キャッシュ・フロー

ことができる。

の考慮、という 3 つの要素を組み合わせること
収 益率 ︵資 産 価格 ︶によって政策アセットミックスを決定する様々なモデルを説明できることを示し、年金 ALM
における多期間最適化モデルの理解を助ける
０

１

２

３

投資決定

投資決定

投資決定

投資決定

４

ｔ

ことにする。
これら 3 つの要素は長期的な政策アセット

図 1: 多期間モデル

ミックスを決定するのに重要な要素と考えて多期間モデルは、図 1に示すように、将来のよいだろう。3.1項でも示すが、キャッシュ・フ

収益率分布に対する予測に基づき、将来発生

ローを明示的にモデル化し、リバランス戦略
1

多期間最適化モデルの方が、多期間計画の意味でより良い解を導いてくれる。

するキャッシュ・フローも明示的に取り扱って、
現時点 (初期時点) も含めた将来の投資決定を

1

で負債を考慮して資産配分を決定するには多の基礎率は一定とし、将来の資産側の収益変期間最適化モデルで政策アセットミックス決定

動を責任準備金 (数理債務) と比較する。複数プロセスをモデル化する必要がある。また、代の投資配分に対してモンテカルロ・シミュレー

表的なモデル化の方法も含めて、3 つの要素のションによって生成されたポートフォリオ収組み合わせの違いによって、モデル化できる。

益の確率分布を評価し、その中で最も適切な

これらの議論も含めて、本論文では政策ア

投資配分を決定する。

セットミックスの決定プロセスで用いる数理(2) バランスシート型年金 ALM

モデルの構築方法について議論することを目

資産時価から負債時価を引いたサープラス

的とする。本論文の構成に合わせて、それら(剰余金) とそのリスクを管理する方法で、負を以下に示す。

債の時価構造を明示的に考慮して資産配分をç
1 2節において、代表的な年金 ALM の政策ア決定する。サープラスフレームワークに基づ用いられる方法論の特徴をまとめる。

バランスシート型の基本形は 1 期間 (短期) でç
2 3節において、決定プロセスで用いることあり、非継続基準における年金債務を用いたができる様々な数理モデルの組み合わせを

サープラスリスクを管理する方法である。し検討し、それぞれの特徴を述べる。

かし、以降では多期間化およびシミュレーショ

く年金 ALM とも呼ばれている。

セットミックスの決定プロセスとそれらにン化を行うとともに、サープラス計算に必要なç
3 4節において、長期間の年金 ALM を行うたキャッシュ・フローを考慮したものをバランス

めの多期間モデルの特徴と実務への適用に

シート型 ALM と考えることにする。したがっついて議論する。

て、資産に負債も加えて、平均・分散モデルを解き、モンテカルロ・シミュレーションによっ政策アセットミックス

2
2.1て多期間にわたるサープラスの将来分布を推計する方法を表す。

決定プロセス(3) 多期間確率計画モデルによる年金 ALM

年金 ALM とは、資産運用と負債のリスクを年金基金に対する多期間確率計画モデルを長期的に管理 (評価と制御) するための経営手用いた一つの例であるタワーズペリン (Towers法である。その中心である政策アセット・ミッ

Perrin) のモデル ([8]13 章) を用いて説明する。
タワーズペリンはグローバル CAP:Link と呼クス (資産配分) 決定プロセスは、年金 ALM を適切に実施するために十分に検討されるべきばれる資本市場のグローバルなシナリオ生成である。代表的な決定方法として、(1) シミュ

システムを開発し、年金基金や保険会社のリス

レーション型年金 ALM、(2) バランスシート

ク分析等に使っている。年金基金へ適用する際型年金 ALM、(3) 多期間確率計画モデルによのプロセス (段階) として、ç
1 年金基金の目的

る年金 ALM、の 3 つを簡単に説明する。

と仮定の設定、ç2 様々な投資戦略に対するリス(1) シミュレーション型年金 ALM

クとリターン (報酬) の分析、ç
3 意思決定およ

平均・分散モデルなどの最適化手法で得られび資産負債配分戦略の実行、を挙げているが、たいくつかの効率的フロンティア上の資産配注意事項として、標準的なプロセスに従って分政策に対し、多期間にわたりモンテカルロ

データを動かし、一つの答えを出すことが目標法などでシミュレーションを行い、継続基準にではなく、金融ダイナミクスを理解することがおける年金債務と対比することによって、リス目標であると述べている。主な計算手続きは、クを評価する方法である。具体的には、負債側

ç
1 資産クラスや経済変数に対する期待リター
2

ンの設定、ç
2 確率微分方程式のパラメータのしてシミュレーションを行い、年金のリスク

るサンプリング、ç
4 非線形確率計画モデルにに説明する。

キャリブレーション (推定)、ç
3 分散削減法によを評価する。ここではその 2 種類の手法を簡単

よる求解、である。また、CAP:Link(シナリオ

数理計画法は数理計画モデルで定式化され生成プログラム)、VALCAST(負債キャッシュた問題、すなわち制約条件式 (等式、不等式)

フローの計算パッケージ)、OPT:Link(多期間を満たすように目的関数を最大化もしくは最投資と拠出金の管理システム)、FIN:Link(財小化する問題を解いて、決定変数の値を求め

務・会計に関する統計値の計算システム) といる方法である。数理計画モデルの構成要素は、う 4 つの構成要素によって実装されている。

決定変数 (未知変数) とパラメータ (既知の入力
変数) であり、目的関数と制約式（等式、不等年金債務に関する前提条件

長期的な経済環境（予定利率、死亡率、脱退率など）

年金債務の運用対象資産の大きさの推定長期的特性の推定

経済環境に関する前提条件式）を決定変数とパラメータを用いて記述す（人口動態、インフレ率など）る。平均・分散モデルの場合、決定変数は投資

リスク・リターン推定に関する前提条件

比率、パラメータは期待収益率、分散、相関
多期間最適ALMモデルによる係数である。様々な実務制約や目標を考慮す

最適な政策アセット・ミックスの決定（継続基準上、退職給付会計、非継続基準上のリスク管理に関する制約やその他の実務的なる場合、一般に解析解を求めることができる

制約下での目的関数の最大化もしくは最小化）

ケースは少なく、数理計画法によって数値解

図 2: 年金 ALM における政策アセットミック
ス決定プロセス ([9] p.119 をもとに修正)を求めることになる2 。
シミュレーション

シミュレーション型 ALM やバランスシート
型 ALM では、候補となる効率的ポートフォリ

最適化

パラメータ（数値）パラメータ（数値）

決定変数（数値）

決定変数（未知変数）

オは年金債務のキャッシュ・フローに関係なく決定変数の数値を変更する。

算出される。年金債務を考慮して求められる

制約条件式（等式、不等式）

最適ポートフォリオが候補群の中に含まれてを満たす

制約条件式（等式、不等式）を満たすように目的関数をNO最大化もしくは最小化する。

YES

いるかどうかという問題に加え、たとえ存在

評価関数値に満足する。

したとしても様々な組み合わせを考慮して政

NO
終了

終了

YES

策アセットミックスを決定しなくてはならな

図 3: シミュレーションと最適化

い。これを回避するには、最初から年金債務を考慮して効率的ポートフォリオを求める必

効率的な方法ではないが、シミュレーション要がある。これは図 2のプロセスによって実現モデルによってもポートフォリオを決定するできる。タワーズペリンモデルや後述する多ことができる。数理計画モデルで決定変数 (未知変数) として設定される投資比率も、シミュ

期間最適化モデルは図 2に示すプロセスに基づ

レーションモデルではパラメータ (数値) としいて、政策的アセットミックスを計算する。

て与えられる。制約条件式を満たすかどうか

2.2

を調べたのち、評価関数 (数理計画モデルにお方法論ける目的関数) の値を計算する。いくつかの投

現在よく用いられている政策アセットミック

資比率の値に対してこのことを繰り返し、評ス決定プロセスでは、シミュレーション手法

2

平均・分散モデルは非負制約式などの不等号制約式を含まない (線形の等号制約式のみを含む ) 場合、解析解を求めることができる (枇々木 [14] p.67 参照 )。しかし、実務上は非負制約式をはじめ、様々な不等号制約式を含めて問題を解くことがほとんどであるため、二次計画法を用いて最適化問題を解くことになる。

と数理計画法 (一般には最適化手法) の 2 つの方法論が用いられる。数理計画モデルの一つである二次計画モデルで定式化が可能な平均・分散モデルで最適解を求め、資産と負債に関

3

価関数の最も良い解 (投資比率) を求める。シ

を行う際には、以下に示す 3 つの要素がプロセ

ミュレーションと最適化の違いを図 3に示す。

スを決める重要な要素と考え、その組み合わ

非常に複雑なモデルの場合には簡単に数理

せで政策アセットミックス決定プロセスの違計画モデルで最適解を求めることができないいを記述する。

場合が多い。制約式および目的 (評価) 関数に(a) 投資戦略

用いることができる関数として、シミュレー(a1) コンスタント・リバランス戦略 (C.R.) :ションモデルはどのような複雑な関数形でも各時点である一定の投資比率にリバラ

よいのに対し、数理計画モデルでは一般に大ンスする。

域的最適解の導出を保証するには目的関数を(a2) 買い持ち (バイ・アンド・ホールド) 戦略

凸関数、制約式を線形関数とする必要がある。

(B&H) : 初期時点での投資比率を決定(詳しくは枇々木 [14] 1.2 節を参照のこと。) モ

したら、以降は何もしない。

デルが複雑であっても、制約式が線形関数で(a3) 一般リバランス戦略 (G.R.) : 各時点で目的関数が凸関数ならば、複雑なシミュレー

最適な投資比率にリバランスする。

ションモデルを組み込んだ最適化モデルを構
シミュレーションと最適化は相反するもので(b) 資産配分決定の際に負債を考慮する (AL)
か否か (AA) : 資産収益率のみで資産配分はなく、シミュレーションモデルと最適化モデを決定する場合を AA、負債の情報を何ルをうまく組み合わせることによって、問題をらかの形で考慮して資産配分決定を行う

解くことができる。シミュレーション型 ALM

場合を AL とする。必要な負債の情報はやバランスシート型 ALM による政策アセット

モデルによって異なる。

築可能である。

ミックス決定プロセスはまさにこの方法で、解くのが簡単な平均・分散モデルで最適化を実行(c) キャッシュ・フローを明示的に考慮する (YCF)
か否か (NCF) : 多期間にわたり管理を行

後、複雑なモデルでシミュレーションを行い、う場合、資産運用や掛金収入、年金支払い

年金基金の評価を行う。このように構築した等によりキャッシュ・フローが発生する。こモデルを利用する上で、数理計画モデル、シ

こでは、資産と負債それぞれでキャッシュ・

ミュレーション型モデルともに共通して行う

フローの増減を取り扱う場合には明示的にべきことは感度分析で、様々なパラメータに考慮していないと考えることにする。した対して実行し、評価することは重要である。ながって、厳密な意味でキャッシュ・フロー

ぜならば、実際にはほとんど (多く) のケースを無視していないが、それぞれで計算さで正しい (と思われる) パラメータを推定する

れた資産収益と責任準備金を比較するよ

こと自体が難しいからである。どのパラメー

うな場合には NCF、資産と負債の差であタが評価関数や最適解に影響を与えやすいかる剰余 (サープラス) を評価する場合にはなどを調べることによって、意思決定を助け

資産と負債のキャッシュ・フローをまとめることができる。

て考えることができると考え、YCF とする3 。

政策アセットミックス決定モデル

3
3.1

組み合わせが異なれば、利用されるモデルも異なる。すべての組み合わせを考えると、表 1 に

モデル構築

3

基本的なバランスシート型 ALM の剰余 (サープラス ) 管理ではキャッシュ・フローまでは含めない。定義が異なっている点に注意されたい。

政策アセットミックスを決定する手法はさまざま考えられる。多期間にわたり年金 ALM

4

) xÉ
0 で各期リバランスを行い、各時点までに得られる累積収益 (分布) と責任準備金を比較し評価する。1 期間モデルをロールオーバー
しているが、モデルの構造上、実質的には 1示すような 11 種類のモデル化の方法が考えられる4 。バリエーションによって異なるが、モデル 1 とモデル 3 がシミュレーション型 ALM、モデル 8 とモデル 10 がバランスシート型 ALM、期間のみで比較していることになる。

モデル 11 が多期間モデルによる ALM と考えることができる。

xÉ
0x0

紙面の都合上、前述の 5 種類のモデル (1, 3,

0

xÉ
0

xÉ
0
T

0

8, 10, 11) を図とともに説明する。図 5〜図 9に
図 5: C.R. { AA { NCF

用いられる図の意味は図 4を参照のこと。

(モデル 3) B&H { AA { NCF (図 6)
表 1: 決定プロセスのモデル化
モデル
番号

投資
戦略

配分
決定

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
|
(11)

C.R.
C.R.
B&H
B&H
G.R.
G.R.
C.R.
C.R.
B&H
B&H
G.R.
G.R.

AA
AA
AA
AA
AA
AA
AL
AL
AL
AL
AL
AL

C.F.

è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 1 と同じ。

2.1項で

) xÉ
0 で運用の結果得られる収益 (分布) を各考慮説明したモデルNCF シミュレーション型

YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF
NCF
YCF

時点で必要とされる責任準備金と比較し評価する。

シミュレーション型

xÉ
0

x0
0

0

T

xÉ
0

バランスシート型
0

バランスシート型
モデル化できない
多期間モデル

T

xÉ
0
T

0

図 6: B&H { AA { NCFç
1 資産収益率

MV モデルおよび

ç
2 負債収益率

責任準備金評価に用いる。

ç
3 資産 C.F.

剰余 (サープラス) 評価に

ç
4 負債 C.F.

用いる。

ç5 MV 効用関数評価

MV モデルの目的関数

ç6 責任準備金評価

C.F. を考慮しない場合 (NCF)ç7 剰余 (サープラス) 評価

C.F. を考慮する場合 (YCF)(モデル 8) C.R. { AL { YCF (図 7)
è資産収益率と負債収益率を用いて、 1 期間モ
デル (MV モデル) の期待効用関数で評価し、最適ポートフォリオ xÉ
0 を求める。
) xÉ
0 で各期リバランスし、資産と負債のキャッシュフローを考慮したシミュレーションを行
い、剰余 (サープラス) 評価する。
xÉ
0

x0

図 4: 図の意味

0

xÉ
0

xÉ
0

0

T

(モデル 1) C.R. { AA { NCF (図 5)
図 7: C.R. { AL { YCF

è資産収益率の期待値、分散、相関係数を用いて、以下の 1 期間モデル (MV モデル) の目的
関数のもとで、最適ポートフォリオ xÉ
0 を求(モデル 10) B&H { AL { YCF (図 8)
è最適ポートフォリオ xÉ
0 はモデル 8 と同じ。

める。

) xÉ
0 で運用の結果得られる資産と負債のキャ

目的関数 = 期待収益率 Ä リスク回避係数 Ç 分散

ッシュフローを考慮したシミュレーションを行い、剰余 (サープラス) 評価する。

4

12 種類考えられるが、「G.R. { AL { NCF」の組み
合わせはモデル化することができない。

5

11 個のモデルを手法で分けるならば、モデル 1 〜 モデル 10 が「1 期間モデルによる最適解の導出」+「多期間にわたるシミュレーショ
ンによるリスク評価」、モデル 11 が「多期間

xÉ
0

x0
0

0

0

T

xÉ
0
T

モデルによる最適解の導出およびリスク評価」を行うモデルである6 。
モデル 1 〜モデル 10 のようなシミュレー
ションを用いた評価モデルでは、2.2 項で議論したように複雑な関数でも記述可能である。しかし、計画期間が多期間であるにもかかわらず、1 期間モデルで求めたいくつかの候補の中からシミュレーション結果をもとに政策アセッ
トミックスを選択するため、設定した条件をすべて含めた形で最適化問題を解くことはできない。一般に目的関数や制約式が凸関数でないと大域的な最適解を求めることができな
いものの、モデル 11 は設定した条件をすべて含めた形で最適化問題を解き、政策アセット
ミックスを求めることができる。モデル記述の複雑さと最適解の計算可能性の間にあるトレードオフ関係を考慮してどのモデルを選択するか決める必要がある。モデル 11 で最適解を求めてから、より精緻なシミュレーション
モデルを用いてリスク評価する方法も考えられるが、ここでは省略する。
年金基金は長期的な資金運用を必要としており、負債の情報やキャッシュ・フローを考慮
して各時点で最適な政策アセットミックスのリバランスを「明示的に」記述したモデル 11(「G.R. { AL { YCF」モデル、多期間最適化モデル) は有力な選択肢の一つである。年金リ
スク管理者が資産と負債に関する条件を適切に設定できるならば、多期間最適化モデルによって、「事前の意味」で最善の政策アセット
ミックスを求めることができる7 。数学モデル

xÉ
0
T

0

図 8: B&H { AL { YCF(モデル 11) G.R. { AL { YCF (図 9)
資産と負債のキャッシュフローを同時に考慮
し、剰余 (サープラス) 評価を目的関数に組み込んだ多期間モデルで、x0, x1, x2 を同時に決定する5。この組み合わせを実現するためには、多期間モデルとしてモデル化をせざるを
得ない。
xÉ
0

xÉ
1

xÉ
2
T

0

図 9: G.R. { AL { YCF

3.2

モデル選択

3.1 項で示したモデルの中からどれを選択す
ればよいか? 残念ながら、ある一つのモデル化の方法が絶対的に優位であるとは言えない。
なぜならば、
è プロセスとしての優位性を何で評価するか、
è 年金リスク管理者が意思決定プロセスをどのように考えるか、

è それを実行できる能力があるか、によって選択するモデルが異なるからである。
いくら一般によいと言われていたとしても、たとえば、入力パラメータを推定する能力がほ
とんどなかったり、管理者の意図することを反映できないとすれば、モデルをうまく利用することはできないだろう。

6

ここで取り扱うすべてのモデルは、計画期間をいく
つかに分けて問題を考えているので、すべて多期間モデルと考えることができる。しかし、一般に「 1 期間モデ
ル」か「多期間モデル」かは最適ポートフォリオを計算するモデルとしてどちらを採用するかで分けられることが多い。そのため、ここでもモデル 1 〜モデル 10 を 1 期
間モデル、モデル 11 を多期間モデルと呼ぶ。
7
政策アセットミックス決定は計画のプロセスである
ため、行うべきことは事前の意味で最善の方策を見つけることである。もちろん、これは結果を無視してよいと言っているのではな。重要なのは結果を評価し、それを次の計画へフィードバックすることである。

5

4.1項で説明するシナリオ・ツリー型モデルやシミュ
レーション型モデル、シミュレーション／ツリー混合型
モデルでは、決定変数を投資量 (単位数 ) とすることで、凸計画問題として記述することができる。また、特殊なケースとして、 x0 = x1 = x2 の制約を入れると、コン
スタント・リバランス戦略、初期時点以外リバランスをしないという制約を入れると、買い持ち戦略になる。

6

として多期間モデルを構築し、うまく利用す
るには、資産と負債に関する条件を適切に設定することが重要である。
多期間モデルの場合、各期間の収益率分布を予測することが求められるので、現在広く用いられている 1 期間モデルに比べて多くの入力パラメータを推定する必要がある。数学
モデルとは入力パラメータを出力 (ここでは政策アセットミックス) に変換する関数のようなものと考えてよいが、入力パラメータがおか
しければ、いくら数学モデルが正しくても出力は正しく出てこない。一方、入力パラメー
タが正しくても数学モデルがおかしければ正しい出力を得ることはできない。一般に、現実をより精緻に記述するために数学モデルを複雑にすればするほど、入力パラメータの推定の難しさは高まっていく。多期間モデルは 1
期間モデルに比べて概念上は優位であり、年金基金にとって利用するに値するモデルである。しかし実際には、感度分析を行うことを前提にしつつ、入力パラメータの推定の難しさと数学モデルとしての精緻さのトレードオ
フを考慮して利用するかどうかを決める必要
がある。

4
4.1

ることによって、定式化上では確定的なパラ
メータによる数理計画モデルとして記述でき、様々な実務的制約を入れて問題を解くことができる。シナリオ・ツリー型モデルは近年、コンピュータの高速化と解法アルゴリズムの発展に伴い、大規模な問題を解くことが可能になり、様々な研究が行われている。シナリオ・
ツリー型モデルを中心に資産配分問題や ALM
に関する最近の研究成果を集めた論文集として Ziemba and Mulvey[8] がある。特に、第 1
章は研究分野全体のサーベイがあり、参考になるだろう。また、Mulvey and Ziemba[6] も同様にサーベイを行っている。
シナリオを生成するためによく用いられるのは、将来の資産価格 (収益率) を確率微分方
程式や時系列モデル式などで記述し、モンテ
カルロ・シミュレーションを行う方法である。
例えば、Mulvey and Thorlacius ([8]13 章) は
各国間の影響関係と滝構造 (変数の関係がある
一方向へ影響される構造) による経済構造を用いたシナリオ生成システム Global CAP:Linkを構築している。各経済変数 (金利、インフレ率、実質利回り、為替レート、株式収益率) を
確率微分方程式で記述している。また、ラッセ
ル・安田モデル ([2, 3],[8]24 章) は、時系列モデル (ファクターモデル) によって資産リター
ンのシナリオを生成している。しかし、シナ
リオ・ツリーの生成手続きは記述されていな
いため、具体的にどのようにシナリオを生成すればよいか不明である。シナリオ・ツリー
型モデルは不確実性の記述を詳細にしようとすると、問題の規模が指数的に増加するという欠点があるため、問題を大規模にしないた
めには数少ないシナリオでうまく不確実性を記述しなければいけない難しさもある8 。
一方、枇々木は、離散時間で離散分布に従う
確率変数を図 10(右) のように、モンテカルロ・
シミュレーションにより発生させたパスを利用して不確実性を記述するが、数理計画問題
として定式化が可能なシミュレーション型モデル [12]、シミュレーション／ツリー混合型モ

多期間ポートフォリオ最適化モデル
多期間最適化モデルの概要

一般的に多期間最適化問題を解くことは難しい。そのため、近似モデルとして定式化する必要があるが、(1) 決定変数をどのように取り扱うか (投資決定の方法)、(2) 確率変数 (収益率) をどのように取り扱うか (離散化の方法)、
によってモデル化の方法が異なる。
数理計画モデルとして構築される多期間最適ポートフォリオモデルは、1990 年代になって本格的に研究が進み、中心となって (定番として) 発展したのは図 10(左) のようなシナリオ・ツリーを用いた多期間確率計画モデルである。
シナリオ・ツリー型多期間確率計画モデルは、シナリオ・ツリーによって不確実性を離散的に記述し、各ノード (ツリーの中の枝をつなぐ節
で、状態を表す) において条件付き意思決定を行うモデルである。離散的な確率変数を用い

8
例えば、5 期間問題を考えよう。各期間同数で状態が広がる場合、最終時点でのシナリオ数を仮に 10 万本としても、10 5 = 100; 000 であり、1 時点目には 10 個の状態しか想定できない。

7

デル [13] を提案している。従来、多期間にわたるシミュレーション・パスのもとで最適化問題を解くモデル化の方法は研究されていなかったが、これらのモデルによって (しかも、標準的な数理計画ソフトウェアを用いて) 問題を解くことができるようになった。将来の資産価
格 (収益率) を確率微分方程式や時系列モデル
式などで記述できれば、モンテカルロ・シミュ
レーションの標準的な手続きでシナリオを容易に生成できる。シミュレーション・パスは 0
時点では 1 時点で生じる状態を特定することはできないが、1 時点では 2 時点以降の生じる状態がモデルでは特定される。そのため、混合型モデルでは図 11に示すように似たパスをバンドリングして同一ノード内のパスに対する意思決定を共通にすることによって、非予想条件9を満たしつつ、条件付き意思決定を行えるようにモデル化している。このモデルを混合型モデルと呼ぶ。シミュレーション型モ
デルはすべてのパスをバンドリングした混合型モデルの特殊形である。これらのモデルに関する具体的な研究は、枇々木 [4, 5, 15, 16],
多田羅, 枇々木 [11], Bogentoft, Romeijn, andUryasev[1] を参照されたい。
シナリオ・ツリー01

似たパスのバンドリング

2

3

1
2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11
12

11
12

時点

時点
0

1

2

2 パス

1-2

2 パス

3-4

2 パス

5-6

1-4

3
4

4 パス

5
6

4 パス

7

5-8

8

2 パス

7-8

2 パス

9 - 102 パス

11 - 12

4 パス

9
10
11
12

9 - 12

時点
0

1

2

3

時点
0

1

2

3

図 11: シミュレーション・パスと拡張決定ツリー
多期間最適化モデルの実務への適用

4.2

実務への適用例として、シミュレーション／
ツリー混合型モデルを用いて慶應義塾大学と某企業が共同開発した企業年金 ALM システムについて説明しよう。
(1) 期間の設定
年金運用の場合、超長期 (20 年程度) の計画
期間で運用することが必要であるが、財政再計
算までの運用 (5 年ごと) も重要である。また、
ある程度、資産収益率モデルで予測が可能な期間は 5 年までであろう。そのため、5 年目以降の資産収益率を投資決定に用いるならば、全体の投資決定を歪める可能性がある。そこで、期間を以下のように分割し、定式化を試みる。

シミュレーション・パス
1
2

拡張決定ツリー1
2

è 動的取引戦略 (t = 0; . . . ; ú) : 最初の 5 年
間 (0 時点〜4 時点: 1 年ごと、5 回)
è 固定取引戦略 (t = ú+ 1; . . . ; T ) : 5 年目、10 年目、15 年目、20 年目 (4 つの時点)
動的取引戦略固定取引戦略30

図 10: シナリオ・ツリーとシミュレーション・パス

1

2

3

4

5

10

15

20

図 12: 計画期間と意思決定
動的取引戦略をとる時点はリバランス (意思決定による投資配分の変更) を行う時点で、固定取引戦略をとる時点はリバランスを行わない時点である。モデルは、8 期間問題として定式化される。各時点でリスク評価を行うが、リターン評価は 5 年目と 20 年目とする。
(2) リスク指標の設定
資産額が年金債務を下回ること (サープラスの不足) をリスクと考え、下方リスクを利用する。すべての時点でリスクを考慮するために、

9

非予想条件 (non-anticipativity condition) とは、モデルの定式化において、将来の不確実な状態の中からどの状態が生じるかを確定的に知っていることを利用して意思決定ができる機会を許さない条件のことである。不確実性下の投資決定を行う確率計画モデルには必要な条
件である。

8

合成リスク指標 =

T
X

t=1

wt : 成熟度

TX

政策アセットミックスを決定する際に、負債を考慮し、キャッシュ・フローを明示的に記述
して、リバランス投資戦略を行いたいならば、多期間最適化モデルは最適方策を決める有用なモデルである。しかし、多期間モデルは 1 期
間モデルに比べて、モデル自体も複雑で、多くの入力パラメータを要求されるため、モデル利用者はモデルの特徴 (長所と欠点) を十分に理解したうえで、使う必要がある。
『 多期間モデルは 1 期間モデルに比べてよ
いか? 』という質問を受けることも多い。これに対する答えは、『概念上は優位であり、年金基金にとって利用するに値するモデルであるが、多期間モデルを使った方が絶対によいと言うことはできない。』である。実際には今まで説明してきたように、多期間モデルをう
まく使いこなせるかどうかに委ねられる。1 期
間モデルを使っている年金運用担当者は、すぐには 1 期間モデルに比べて多期間モデルをう
まく使いこなすことはできないだろう。だからといって、多期間モデルは使えないとは言えない。
『 各期の予想を伴う多期間モデルを使うと、予想がはずれたときに 1 期間モデルに比べてよい結果を得られないから、多期間モデルを使わない』10 と言う人がいる。多期間モデルを使って徐々に経験を積んでいけば、様々な状況を想定できるモデルは年金運用担当者の技量を反映させることができ、柔軟なモデルとして使い勝手がよくなるであろう。一方、
年金 ALM においては、政策アセットミックスを決定することが主であるが、様々な予想に対する結果を評価することも重要である。多期間モデルはこのニーズに応えてくれることのできる柔軟なモデル化の方法である。将来の収益に関連する多くの要因に対する感度分析を行うことによって、年金 ALM におけるリスク評価を様々な側面から明らかにすることができる。
多期間モデルには、実務上克服しなければいけない問題点は多い。モンテカルロ・シミュ

dt Åwt ÅRiskt

用いる記号の意味は以下の通りである。
dt : 割引率 †!

wt = 1 となるように変換

t=1

Riskt : t 時点のリスク指標値(3) リターン指標の設定
中期的なリターンと長期的なリターンの両方を考慮するために、5 年目と 20 年目の期待
資産額の加重平均値をリターン指標として設定する。
リターン指標 = wR E [W5 ] + (1 Ä wR)E [W20]用いる記号の意味は以下の通りである。
wR : 5 年目の期待資産額の重み係数
E [Wt ] : t 年目の期待資産額(4) 目的関数の設定
合成リスク指標とリターン指標を用いた関数を目的関数として設定し、その最大化を目指す。
目的関数 = リターン Ä リスク回避係数 Ç リスク(5) 最適資産配分と効率的フロンティア
一つの計算例として、リスク回避係数をパ
ラメトリックに変化させて求めた効率的フロ
ンティアを図 13に示す。資産配分比率は効率的フロンティア上のある一点における結果を表す。ただし、1 時点以降は各ノードごとに最適配分が求められるが、紙面の都合上、各ノードの平均値を表す。
220
210

億
円

170

︵

加
重
期
待
資
産
額

200
100%

短期資産

190
80%

180

外国株式

︶

資
産
配
分
比
率

160
150

60%
外国債券
40%
国内株式
20%

0.0

0.5

1.0

合成リスク指標（億円）

1.5

2.0
国内債券

0%
0

1

2

3

まとめ

5

各時点で計算されるリスク指標を成熟度を用いて、一元化し、合成リスク指標を設定する。

4時点

図 13: 最適資産配分と効率的フロンティア10予想というのは、収益率がある一つの値になることを当てることでなく、収益率分布もしくはそのパラメー
タ (期待収益率や分散など) を想定することである。

9

レーションを最適化の中にうまく組み込むことができる混合型モデルは従来のシナリオ・ツ
リー型モデルに比べて、シナリオ生成の上で有利な点が多く、実務的なモデルとして有用であると考えられる。今後、多くの人に多期間最適化モデルに興味を持っていただき、そこから得られた知見や情報などが研究者や実務家にフィードバックされることによって、よりよいモデルへと発展していくことを望んでいる。

et al., 1995, pp.435{463. (邦訳 : 枇々木規
雄 : グローバル環境における資産負債配分, 第 15 章, 今野浩, 古川浩一編著, ファイ
ナンスハンドブック, 1997, pp.424{450.)[7] J.M. Mulvey and W.T. Ziemba, Assetand Liability Management Systems forLong-Term Investors: Discussion of theIssues, Chapter 1 in Ziemba and Mulvey[8] (1998), pp.3{38.
[8] W.T. Ziemba and J.M. Mulvey, Worldwide Asset and Liability Modeling, 1998,
Cambridge University Press.

参考文献[1] E. Bogentoft, H. Romeijn, and S. Uryasev, Asset/Liability Management for
Pension Funds Using CVaR Constraints,
The Journal of Risk Finance, Fall 2001,
pp.57{71.

[9] 大場昭義, 菅原周一 編, 年金資産運用の理論と実践, 日本経済新聞社, 2002.
[10] 厚生年金基金連合会・リスク管理研究会,
厚生年金基金のリスク管理 ― 政策アセッ
トミクスの策定 ― 第一次報告, 2001.

[2] D.R. Cari~no, D.H. Myers and W.T.
Ziemba, Concepts, Technical Issues, andUses of the Russell-Yasuda Kasai Financial Planning Model, Operations Research, 46, 4(1998), pp.450{462.

[11] 多田羅智之, 枇々木規雄, 多期間確率計画
モデルの年金 ALM への適用, 日本金融・
証券計量・工学学会 2001 年夏季大会予稿集, pp.350{366.

[3] D.R. Cari~no and W.T. Ziemba, Formulation of the Russell-Yasuda Kasai Financial Planning Model, Operations Research, 46, 4(1998), pp.433{449.

[12] 枇々木規雄, 戦略的資産配分問題に対す
る多期間確率計画モデル, Journal of Operations Research Society of Japan, 44,
No.2(2001), pp.169{193.

[4] N. Hibiki, Hybrid Simulation/Tree
Stochastic Optimization Model for Dynamic Asset Allocation, Chapter 14 in"Asset and Liability Management Tools:
A Handbook for Best Practice" edited
by B. Scherer, Risk Books, pp.269{294,2003.

[13] 枇々木規雄, 最適資産配分問題に対するシ
ミュレーション/ツリー混合型多期間確率
計画モデル, 高橋一編, ジャフィー・ジャー
ナル [2001] 金融工学の新展開, pp.89{119.

[5] N. Hibiki, Multi-period Stochastic Optimization Models for Dynamic Asset Allocation, 日本金融・証券計量・工学学会
2003 年冬季大会予稿集, pp.243{264.

率計画モデルに対する数値実験による考察. 日本金融・証券計量・工学学会 2002
年夏季大会予稿集, pp.81{100.

[14] 枇々木規雄, 金融工学と最適化, 朝倉書店,
2001.
[15] 枇々木規雄: シミュレーション型多期間確[16] 枇々木規雄, コンパクト表現によるシミ[6] J.M. Mulvey and W.T. Ziemba, Assetand Liability Allocation in a Global Environment, Chapter 15 in \Handbooks
in OR & MS, Vol.9", edited by R.Jarrowュレーション型多期間確率計画モデルの定式化, Journal of Operations ResearchSociety of Japan, 45, 4(2002), pp.529{
549.
10