第 25 回数値流体力学シンポジウム
C06-4

全速域に対応した Lagrange-Remap 法による数値解析
A numerical study with an all-speed Lagrange-Remap method○ 鈴木 勝久, 東北大, 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-3, E-mail:suzuki@iswi.cir.tohoku.ac.jp
孫 明宇, 東北大, 仙台市青葉区荒巻字青葉 6-3, E-mail:sun@cir.tohoku.ac.jp
Katsuhisa Suzuki, Tohoku University, 6-3, Aoba, Aramakiaza, Aoba-ku, Sendai
Mingyu Sun, Tohoku University, 6-3, Aoba, Aramakiaza, Aoba-ku, Sendai
It is necessary to employ a method that can deal with compressible and incompressible flows together to analyzecavitating flows. It takes long time for explicit method based on sound speed to analyze incompressible flows. In thisstudy, the semi-implicit method is employed to enhance the computational efficiency for incompressible flows. In thispaper, the modification introduced in AUSM+-up scheme for all-speed flows is employed in order to deal with low
Mach number flows. Moreover, two second-order methods have been implemented to calculate the normal velocity atunstructured grid interfaces. One is based on the acoustic Riemann solver coupled with MUSCL-type extrapolation,and the other is based on the finite difference.
１．諸言
気液二相流の代表的な現象としてキャビテーション現象がある．
キャビテーションとは液体が加速され，圧力が下がり，液相が気相に相変化し発生する気泡群のことである．この現象は主に液体中で作動するスクリューに性能低下や壊食などの影響を及ぼすた
め，現在ではキャビテーションに関する研究が行われている[1]．
しかし，実験では解析が困難な場合があるため数値計算によって解析を行う必要がある．
本研究グループでは，完全保存型の Lagrange-Remap 法を導入し，非圧縮性でも計算時間を短縮できる手法を開発した．しかし，この手法を用いて翼型の抗力係数と揚力係数の解析を行ったが，非粘性流体での解析において抗力係数が 0 に収束しないという問題がある．そこで，本稿では非圧縮性ベースの手法である低マッハ数近似[2]を用いて解析を行った．また，中心差分法をベースとした界面法線速度を定義し，従来の手法との比較を行った．

３．解析条件翼型は Clark-Y 11.7%を用い，迎角は 8[deg]，翼弦長は 1[m]とした．計算格子を Fig.1 と Fig.2 に示す．O 型格子であり，全体の格子数は 160×56 の 8960 点である．翼周辺は十分な領域を確保するために翼弦長に対して 20 倍とした．
流体は非粘性の水のみの単相とし，マッハ数は 0.005 から 0.35まで解析を行った．また，速度ベースのクーラン数は 0.4 とした．

２．計算手法
本研究では，Lagrange-Remap 法を用いて計算を行った．まず，Lagrange ステップとしてLagrange座標での基礎方程式を陰解法で解く．ここで，粒子界面での速度と圧力は単純なリーマン解法のacoustic Riemann solver[3]を用いた．また，MUSCL 法を導入し二次精度とした．界面での法線速度 U*と圧力 p*は次のように定義される．
1 pi  p j  IiU i  I jU j
U* (1)
Ii  I jp* 

 2 U i  U j Ii I j  Ii p j  I j pi
Ii  I j

Fig.1 Computational grid(2)

ここで，I は音響インピーダンスであり，各諸量の i と j は界面の左側と右側を表す．また， 1 と  2 は Liou らによって用いられた数値粘性係数で次のように示される[4]．
 1 
1  max1,
 2  2  min1, M 2  M 

(3)
(4)

ここで，M は上流マッハ数である．また，ILU-GMRES 反復法を用いて Lagrange 座標での速度と圧力を求め，界面での速度と圧力から Lagrange 座標粒子の保存量を求めた．次に Remap ステップとして Lagrange 座標で求められた保存量を Euler 座標にマッピング[5]し，次のステップでの初期値とする．

Fig.2 computational grid(detail)1

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 I 1I p N lij
1  pi  p j    w U  w U   e  e U *  wiU i  w jU j 

４．解析結果4.1.低マッハ数近似
低マッハ数近似を行うため，式(3)と式(4)に局所マッハ数 M i をi i用いる．

Mi ui2  vi2
ci

(5)

j

1Ii  I jj

Ii  I jnN(6)p tn l  et  eN 

ここで，wi と w j はエッジに対して左右それぞれのセル中心から

ここで ui ，vi 及び ci はそれぞれセル i での x 方向，y 方向の速度

点 o への距離 lio と l jo を用いて，と音速である．上流マッハ数と局所マッハ数をそれぞれ用いて解析を行った．抗力係数と揚力係数の比較を Fig.3 と Fig.4 に示す．
解析結果より，揚力係数は定量的に変化はなかったが，抗力係数は下がった．しかし，非粘性流体での解析なので抗力係数は大きく，まだ改善しなくてはならないと考えられる．

wi l jolio  l jow j  1  wi

(7)(8)

と表される．また， l は左右のセル中心間距離， en はセル i の
中心からセル j の中心への単位ベクトル， et は en の-90 度回転のベクトル， eN は界面に対する単位法線ベクトルである．四角形
  構造格子では en  eN  1 ， et  eN  0 となるので式(6)を満たす．

Fig.3 Mach number vs. Drag coefficientFig.5 Schematic of an edge
式(6)を用いて解析を行い，式(1)に MUSCL 法を用いた従来の手法と比較を行った．マッハ数には上流マッハ数と局所マッハ数をそれぞれ用いて比較を行った．
解析結果を Fig.6 から Fig.9 に示す．
また，マッハ数 0.01 における収束特性の比較を Fig.10 と Fig.11 に示す．
解析結果より，抗力係数，揚力係数ともに定量的な変化はなかった．また，収束特性も大きな変化はなかった．

Fig.4 Mach number vs. Lift coefficient4.2.界面法線速度の定義
中心差分法をベースとした界面での法線速度 U*を次のように定義した．ここで，概略図を Fig.5 に示す．点 c はエッジの中点である．

Fig.6 Mach number vs. Drag coefficient(Global Mach number)2

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Fig.10 Histories of lift and drag coefficients at M=0.01(previous method)

Fig.7 Mach number vs. Lift coefficient(Global Mach number)

Fig.11 Histories of lift and drag coefficients at M=0.01(present method)

Fig.8 Mach number vs. Drag coefficient(Local Mach number)

５．結言
本稿では低マッハ数近似と界面法線速度の定義を変えることに
よって翼型周りの解析を行い，従来の手法との比較を行った．その結果以下のことが分かった．
・低マッハ数近似では抗力係数の改善が見られた
・新中心差分法ベースの界面法線速度の定義では定量的に大きな変化はなかった・また，収束特性も大きな変化はなかった

Fig.9 Mach number vs. Lift coefficient(Local Mach number)3

参考文献(1) C. Kato, Industry-University Collaborative Project on Numerical
Predictions of Catitating Flows in Hydraulic Machinery-Part 1:
Benchmark Test on Cavitating Hydrofoils, ASME-JSME-KSME
Joint Fluids Engineering Conference 2011, AJK2011-06084(2) X. Li, C. Gu, An all-speed Roe-type scheme and its asymptotic
analysis of low Mach number behavior, Journal of Computational
Physics 227, (2008), pp.5144-5149(3) R. Saurel, F. Petitpas, R.Berry, Simple and efficient relaxationmethods for interfaces separating compressible fluids, cavitatingflows and shocks in multiphase mixtures, Journal of Computational
physics 228, (2009), pp.1678-1712(4) M.S.Liou, A sequel to AUSM, PartⅡ: AUSM+-up for all speeds,
Journal of computational physics 214, (2006), pp.137-170(5) 矢田和之, 市東素明, 孫明宇, 非構造格子を用いた all-speed
流れ解析, 第 24 回数値流体力学シンポジウム, C3-3(2010)
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