第 25 回数値流体力学シンポジウム
B06-5

Kelvin-Helmholtz 波の遷移メカニズム
Transition mechanism of Kelvin-Helmholtz waves°

黒木祐樹，防衛大地球海洋, 神奈川県横須賀市走水 1-10-20 防衛大学校, g48099@nda.ac.jp：

中西 幹郎，防衛大地球海洋, 神奈川県横須賀市走水 1-10-20 防衛大学校, naka@nda.ac.jp：

Yuki Kuroki, Dept. of Earth and Ocean Sciences, N. D. A.,
1-10-20 Hashirimizu, National Defense Academy, Yokosuka, Kanagawa, Japan
Mikio Nakanishi, Dept. of Earth and Ocean Sciences, N. D. A.,
1-10-20 Hashirimizu, National Defense Academy, Yokosuka, Kanagawa, Japan
Large-eddy simulation を用いて Kelvin-Helmholtz 波が遷移する過程で変動する鉛直フラックスを調べた. 本研究によって Secondary instability はリチャードソン数に関係なく発生することが分かった. 鉛直フラックスを増加させる１つの要因
は Secondary instability であること示唆され, pairing はさらに鉛直フラックスを増加させ, ついには砕破を引き起こした.

1.

はじめに

の熱・水蒸気だけでなく, あらゆる物質の自由大気への鉛直輸送に大きく影響する. 本研究では KH 波が遷移する過程で変動する鉛直フラックスを調べ, エントレイン
メント層における KH 波による鉛直輸送の推定に役立てることを目的とした. まず, KHI 数値シミュレーションを行うために必要な計算領域を線形論から求めた. そしてここで得られた線形論の結果を利用して, Large-eddy
simulation(LES) を用いて乱流運動エネルギーや運動量
輸送の時間変化を調べる.

Kelvin-Helmholtz 不安定 (KHI) は水平風の強い鉛直シ
アが存在する安定な成層をした流体中に発生する不安定である. KH 波は, 鉛直シアベクトルに直行する渦の軸を持ち, この波は最終的に乱流へと遷移する (Browning andWatkins, 1970(1) ). KHI は, 晴天乱気流の主要因の１つと考えられ, 航空機の安全運航に大きな影響を及ぼす (e.g.
Ralph et al., 1997(2) ).
またエントレインメント層内に強い風のシアが存在することで Kelvin-Helmholtz(KH) 波を引き起こし, この KH波が乱流となり崩壊する過程で, 乱流混合や熱と熱と運動量の鉛直輸送に影響を与える (Stull, 1988(3) ; Garratt,1992(4) ). エントレインメント層内に発生する KH 不安定(KHI) の程度によりエントレインメント率を変化させることが指摘されている (Kim et al., 2003(5) ).
KHI に関する研究はまず線形理論から始まり, その必要条件, 一連の構造, 成長率及び波数に関して調べられた(e.g., Miles, 1961(6) ; Howard, 1961(7) ). 次に大気や海洋での観測によって KHI の振幅の流体への依存度や乱流への遷移過程が明らかにされた (e.g., Woods and Wiley,
1972(8) ). さらに室内実験によって KHI の構造と遷移過程中に発生する vortex pairing は初期の成層と粘性に強く依存することが明らかにされた (e.g., Koop and Browand,1979(9) ; Thorpe, 1987(10) ). 別の室内実験では, 流体の流れ方向の vortex 構造に KH 波間のブレードに強いシアを生じることが確認された (e.g., Lasheras and Choi,
1988(11) ).
数値シミュレーションによって２次元の KH 発展がシ
アと成層及び拡散に依存することを明らかにした (e.g.,
Peltier et al., 1979(12) ; Fritts, 1984(13) Klaassen andPeltier, 1985a(14) ). 近年の数値モデルの研究では, KH
波の３次元構造と２次元と３次元の Secondary instability について調べられ室内実験の結果とよく一致することが示された (e.g., Corcos and Lin, 1984(15) ; Klaassen
and Peltier, 1985b(16) ; Klaassen and Peltier, 1991(17) ;Smyth, 2003(18) ). しかし, KH 波の最初の不安定から
vortex pairing, Secondary instability の発生及び KH 波の崩壊までの遷移過程がどのように起こり, エネルギーや運動量と熱の鉛直輸送がどのように変化しているかは十分には明らかにされていない (Peltier and Caulﬁeld,
2003(19) ; Smyth, 2003). また, 研究対象のレイノルズ数
は小さい場合が多く, これらの結果をすぐ大気に利用できるとは限らない.
エントレインメント層における鉛直混合は, 地上付近

2.

線形安定性解析2.1 計算方法
２次元の非回転ブシネスク流体系を考える. これを長さスケール H0 , 速度スケール U0 , 温度差スケール ∆T0を用いて無次元化した線形擾乱方程式は以下のとおりで
ある.
∂u0
∂w0
+
= 0,
(1)
∂x
∂z
∂u0
∂u0
∂U
∂p0
1 2 0
+U
+ w0
=−
+
∇ u,
(2)
∂t
∂x
∂z
∂x
Re
∂w0
∂p0
1 2 0
∂w0
+U
=−
+ Rbθ0 +
∇ w,
(3)
∂t
∂x
∂z
Re
∂θ0
∂θ0
∂ θ̄
1
+U
+ w0
=
∇2 θ 0 .
(4)
∂t
∂x
∂z
ReP r
U と Θ は水平平均風速と温位である. (u0 , w0 ) = (u−U, w)
は風速の平均からのずれ, θ0 は温位の擾乱, p0 は動的圧力
擾乱, Re = U0 H0 /ν はレイノルズ数, P r = ν/κ はプラ
ントル数, ∇2 = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂z 2 はラプラス演算子,
Rb =g H0 ∆T0
Θ0 U02(5)はバルクリチャードソン数, g は重力加速度, Θ0 は基準
温位, ν は動粘性係数, κ は熱拡散係数を表す.
(1) 式を満たす擾乱の流線関数 ψ 0 は次のように定義さ
れる.
¶
µ 0
∂ψ 0
∂ψ
0
0
,−
.
(6)
(u , w ) =∂x∂z(6) 式を用いて (2) と (3) 式から p0 を消去すると (2)-(4)式は以下のように書き換えられる.
¶
µ
∂
1 2
∂ 2 U ∂ψ 0
∂θ0
∂
+U
−
∇ ∇2 ψ 0 −
=
−Rb
,
∂t
∂x Re
∂z 2 ∂x∂x(7)
1

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µ

¶
∂
∂
1
∂Θ ∂ψ 0+U−
∇2 θ 0 −= 0.
∂t∂x ReP r
∂z ∂x

(8)

(7), (8) 式に (ψ 0 , θ0 ) = (ψ̂(z), θ̂(z))exp[ik(x − ct)] を代入
すると,·¸
i 1 ˆ2 ˆ2∂2UU −c+∇ ∇ ψ̂ −ψ̂ = −Rbθ̂,
k Re
∂z 2

(9)

·
¸
i 1 ˆ2∂ΘU −c+ψ̂ = 0.
∇ θ̂ −k ReP r∂z

(10)

ˆ 2 = ∂ 2 /∂z 2 − k 2 で
k と c はそれぞれ波数と位相速度, ∇ある.
有限差分法を用いて近似し, 上下の境界に擾乱のない状態 (ψ̂ = θ̂ = 0) を適応した. (9), (10) 式を解くことで固有値 c の固有値問題となる. 導かれた行列が非対象な
らば c は複素数である. 角周波数 ω = kc の虚数部 ωi は
擾乱の成長率を示し, この最大値が最大成長率を表す.
2.2 基本場
本研究では基本場の水平風速 U と温位 Θ は以下のよ
うに与える.
U (z) = tanh(z),(11)Θ(z) = tanh(z) + Γz + Θ(z0).

(12)Γ ≥ 0 は無次元のシア層内の温位勾配, Θ(0) = Θ0 /∆T0
は無次元の基準温位である. ３つのスケール H0 , U0 と
∆T0 はそれぞれのシア層の厚さの半分, 速度差の半分, 温
位差の半分である.
この流体系は４つの無次元パラメータによって支配される. すなわち Rb, Γ, Re と P r であり, Rb は安定性,
Γ は成層を表す. 同様のパラメータのグラディエントリ
チャードソン数 Ri とブラントバイサラ振動数 N は以下のようになる.
N2 ≡g ∆T0 ∂Θg ∆T0=(1 − tanh2 z + Γ), (13)
Θ0 H0 ∂z
Θ0 H0

Ri ≡

N2
1 − tanh2 z + Γ= Rb.
2[(U0 /H0 )∂U/∂z](1 − tanh2 z)2Fig. 1: Dimensionless growth rate ωi and dimensionless wavenumber k of the fastest growing mode for theinviscid ﬂow as a function of Ricen and Nrat .
2.3 結果と考察
非粘性流体の場合, Fig. 1 が示すように成長率 ωi はシ
ア層の安定度 (Ricen ) が減少すると増加する. 周囲の成層 (Nrat ) が減少すると ωi は同様に増加するが, その増加
は大きくない. その一方で k は Ricen と Nrat のいずれかが減少すれば減少する. 温位勾配は下層標準大気で約0.004Km−1 であるので, 例えば H0 = 10m, ∆T0 = 1Kのとき,
Γ ≈ 0.04, Nrat ≈ 0.2 となる. Nrat = 0.2,
0.02 ≤ Ricen ≥ 0.16 のとき, k = 2π/λ は 0.445 から 0.48
まで変わる. ここで λ は無次元の波長を表す. 従って, 波長はシアの厚さ (2H0 ) の 6.54 − 7.06 倍であり, 先行研究の結果と一致していた (e.g., Davis and Peltier 1976(21) ).
線形安定性解析の結果, 波長は Ricen か Nrat のいずれかが減少すると増加することが分かった. この結果を LESの計算領域の設定に利用する.

(14)

N は有次元の変数である． Scinocca(1995)(20) はシア層の周りの成層を Nrat を用いて定義した．Nrat =Next /Ncen は無限遠とシアの中心のブラントバイサラ振動数 Next (z = ±∞) と Ncen (z = 0) の比である. (13),(14) 式と Nrat を用いて次の関係式が得られる.

3.
Ricen
,
Rb =
1+Γ

(15)

2
Nrat
2 .
1 − Nrat(16)

Γ=Large-eddy simulation

3.1 方程式系
Nakanishi(2000)(22) のドライバージョン LES を２章と同様に長さスケール H0 , 速度スケール U0 , 温度差スケー
ル ∆T0 を用いて無次元化しブシネスク近似を適応した
非回転の解像スケール (RS) の方程式は以下のように表
せる.
∂ ūi
= 0,
(17)
∂xi

Ricen はシアの中心 z = 0 のリチャードソン数である.
Nrat が 0 に近づく (Nrat が 1 に近づく) と Γ は 0 に近づく (Γ が無限大に近づく). このことは周りの成層が中立に近づく (非常に安定になる) ことを意味する.

∂ ūi∂ u¯j ūi
∂τij ∂ p̄+=−+ Rbθ̄δi3 ,∂t∂xj∂xj ∂xj
2(18)

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∂ θ̄
u¯j θ̄
∂τθj
+
=−
.
∂t
∂xj
∂xj

3.4

(19)

3.4.1 KH 波の時間発展
Fig. 2, Fig. 3, Fig. 4 は Run1, Run2, Run3の温位の x − z 方向の時間変化を示したものである.
Run3 では, t=66(Fig. 4a) で KH 波特有の渦が形成される. t=79(Fig. 4c) 付近で KH 波が接近し始め,
t=90(Fig. 4d) で pairing が起こる. ここでブレードの 1 つが消失する. x=10 付近のブレードで渦が生じる. t=100(Fig. 4e) で pairing が終わり, ブレードに渦が見られる. その後 t=125(Fig. 4g) 付近で砕波し,t=150(Fig. 4h) 以降乱流状態へとなる. これに対し
Run2(Fig. 2) では波は接近するが, 明瞭な pairing は起
こらず乱流状態となり, Run3(Fig. 3) では波は接近することもなく乱流状態へとなった. このことは, Koop and
Browand(1979) の結果と一致している.
Fig. 5, Fig. 6, Fig. 7 は Run1, Run2, Run3 の温位の y − z 方向の時間変化を示したものである. x-z 方向のKH 波不安定から派生する y-z 方向の不安定を Secondary
instability と呼び (e.g., Kundu and Cohen, 2004(25) ),KH 波のコアが崩れ始める (Fig. 5c, 6c,7c) とそれまで一様な層が乱れ始め, Secondary instability が発生している. 特に, Run3 の渦が接近する時 (Fig. 4d, 7d,10d), y 方
向に温位の正の部分がシアの下部に集中し convection のような状態となり, 強い Secondary instability を発生している. Run3 の特徴的な点は, KH 波が接近する (Fig. 5c,7c) とシアの中心より下部が正, 上部が負になる. Pairingが起こる時 (Fig. 7d), 負の部分を正が包み込んだ状態となり, 成層の厚さは大きくなる. さらに砕波 (Fig. 7g) ではシアの中心の下部に正の温位が集中しており, その上部が負となっている.
Fig. 8, Fig. 9, Fig. 10 は Run1, Run2, Run3 の温
位の x − y 方向の時間変化を示したものである. Run2,
Run3 は, KH 波が接近する時 (Fig. 8c, 10c), y 方向に並んでいる列が x 方向に歪み始める. Run3 の pairing が起こる時 (Fig. 10d), 列は瘤のような形になる. 一度 x
方向に乱れた y 方向の縦列は, t=125(Fig. 7f ) 付近で再び y 方向の縦列になり, 砕波によって乱流状態へと移行
している.

ここで上線は RS の量を表し, ui (i = 1, 2, 3) は速度ベク
トル, p は平均密度 ρ と U02 で割った気圧, τij はサブグ
リッドの運動量フラックス (j = 1, 2, 3), τθj はサブグリッ
ドスケールの乱流熱フラックス, δi3 は Kronecker のデル
タ記号である.

3.2 サブグリッドモデル
サブグリッドスケールの乱流フラックス τij と τθj はSmagorinsky-Lilly モデル (Smagorinsky, 1963(23) ; Lilly,
1966(24) ) に従いモデル化した.
2
τij = −2νt S̄ij + eδij ,3
τθj = −

(20)

νt ∂ θ̄.
P rt ∂xj(21)

ここで νt は渦粘性関数, e はサブグリッドスケールの乱
流運動エネルギー, Sij はS̄ij ≡

1
2

µ

∂ ūi
∂ u¯j
+
∂xj
∂xi

¶
(22)

で定義される RS の歪みテンソルである.

µ¶Rb ∂ θ̄νt = (cs l)2 2S̄ij S̄ij −,P rt ∂x3
µ
e=

νt
Ck l

(23)

¶2
.

結果と考察

(24)

ここで, Cs , Ck は Smagorinsky 定数, l = (∆x × ∆y ×∆z)1/3 は乱流の長さスケール, ∆x, ∆y, ∆z は x, y, z 方
向の格子間隔である.

3.4.2 KH 波の TKE 時間発展
計算領域全体の乱流運動エネルギー (TKE) とシア及び浮力生成項は以下のようになる.
Z 10®
1 ­ 02[E] =u + v 02 + w02 dz,
(25)
−10 2

3.3 計算条件
上下の境界を free-slip, 側面境界は周期境界を用いた.
計算領域を x 方向に２波長, y 方向に１波長, z 方向に
20H0 とり, 格子数を 270 × 135 × 200 に設定した. 下層の標準大気のもとで, Nrat ∼ 0.2 であり, Koop and
Browand(1979) から Ricen < 0.09 の時 vortex pairing がほぼ確実に起こり, Ricen > 0.15 で全く起こらないことを考慮し, 線形論から初期条件を Table 1 のように決めた.

Z 10
[S] =
−10

− hu0 w0 i

Z 10

[B] =
−10

Tab. 1: LES experimental conditions．Run ] represents
run number.
Run ]

Nrat

Ricen

∆x

∆y

∆z

1

0.2

0.10

0.10360.1036

0.1

2
3

0.2
0.2

0.16
0.06

0.10040.10450.10040.10450.1
0.1

Z 10 ³[D] =3∂ hūidz,∂zRb hθ0 w0 i dz,∂ < u0 (τ13 − < τ13 >) >
∂z
−10
∂u0
+ h(τ13 − < τ13 >)i)∂z∂ < w0 (τ33 − < τ33 >) >
−
∂z
∂w0 ´
dz.
+ h(τ33 − < τ33 >)i
∂z

(26)
(27)

−

(28)

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Fig. 2: Evolution of the scalar ﬁeld θ(x, z, t) for Run1.
(a) − (g) The model times, respectively, of 78, 90,
104, 110, 124, 150 and 169 advection timescale units
H0 /U0 . Color indicate values ranging from −1.25(blue)
to +1.25(red).

Fig. 5: Evolution of the scalar ﬁeld θ(y, z, t) for Run1.
(a) − (g) and Color same as Figure 2.

Fig. 3: The same as Figure 2 except for Run2. (a) − (g)The model times, respectively, of 110, 120, 130, 135,
141, 154 and 161 advection timescale units H0 /U0 .

Fig. 6: Evolution of the scalar ﬁeld θ(y, z, t) for Run2.
(a) − (g) and Color same as Figure 3.

Fig. 4: The same as Figure 2 except for Run3. (a) − (i)The model times, respectively, of 66, 72, 79, 90, 100,
112, 125, 136 and 150 advection timescale units H0 /U0 .

Fig. 7: Evolution of the scalar ﬁeld θ(y, z, t) for Run3.
(a) − (i) and Color same as Figure 4.
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Fig. 8: Evolution of the scalar ﬁeld θ(x, y, t) for Run1.
(a) − (g) and Color same as Figure 2.

Fig. 9: Evolution of the scalar ﬁeld θ(x, y, t) for Run1.
(a) − (g) and Color same as Figure 3.

Fig. 11: Evolution of the TKE, shear and buoyancy production terms. (a),(b) and (c) Run1, Run2 and Run3,
respectively. Solid, dashed, dotted and dashed dottedlines Shear production term, Buoyancy term, TKE and
Destruction term, respectively.

項, [D] は散逸項, <> は水平平均を表す.
計算領域全体の乱流運動エネルギー (TKE) とシア生成
項及び浮力生成項の時間変化をそれぞれの Run について調べたのが Fig. 11 である. 生成項は明瞭な極大, 極小があり, Run3(Fig. 11c) は２回目で最大となる. ３回目の極大の時は, シア生成項と浮力生成項が Run3 のみ同符号となっており, Fig. 4g の砕波が起こった時刻 (t=125) にFig. 10: Evolution of the scalar ﬁeld θ(y, z, t) for Run1.
(a) − (i) and Color same as Figure 4.

ここで, [E] は TKE, [S] はシア生成項, [B] は浮力生成5c 2011 by JSFM
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Fig. 13: Vertical momentum and heat ﬂux at maximum
and minimum shear terms. (a),(b) and (c) Run1, Run2and Run3, respectively. Solid, dotted, dashed dottedand dashed dotted dotted lines maiximum 1, 2, 3 and4, respectively. Dashed line minimum 1.
Fig. 12: Evolution of the momentum and heat ﬂux.
(a),(b) and (c) Run1, Run2 and Run3, respectively.
Solid and dashed lines momentum and heat ﬂux.

れぞれの Run の < u0 w0 > と < θ 0 w0 > の極大・極小はTKE のシア及び浮力生成項の極大・極小に対応している.
Fig. 12c から波が接近する (t=72) 時に − < u0 w0 > が減少し, pairing(t=90) の時に増加しているのが分かる.
TKE シア生成項が極大となるときの鉛直フラックスを調べたものが Fig. 13 である. Run1 の極小１の時,− < u0 w0 > はほとんどゼロとなり < θ0 w0 > は正になる. 極大 2 の時, − < u0 w0 > が再び増加しており, この時に対応する Fig. 5e を見ると, y 方向の乱れが活発となっていることから Secondary instability による影響を対応する. Run1, 2(Fig. 11a, b) の極大の回数は Run3より少ない. Run2 の不安定は開始が遅く, 散逸が早い.

3.4.3 KH 波の鉛直フラックス
シア層の中央の運動量と熱フラックスの時間変化をそれぞれの Run について調べたのが Fig. 12 である. そ6c 2011 by JSFM
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受けたと考えられる. Run2 の極大１は Run1 と同様である. これに対して, 極小１の時 − < u0 w0 > は比較的大き
く, < θ0 w0 > は中心を挟んで正になる. Run3 の極小１はRun1 と同様に − < u0 w0 > はほとんどゼロとなる. その一方で, < θ0 w0 > は負になる. 極大２で − < u0 w0 > が大きく増加しており, この時に pairing が起こっていることから Secondary instability だけでなく pairing の影響を受けたことが示唆される. 極大３では < θ0 w0 > が正となっており, 温位の鉛直勾配が正であることから逆勾配
拡散を意味する. この時砕波が起こっていることから, 砕
波の影響を受けたと示唆される.

4.

(12) Peltier, W. R., J. R. Halle. and T. L. Clark., “Theevolution of ﬁnite-amplitude Kelvin-Helmholtz billows,” Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 10 (1979),
pp. 53-87.
(13) Fritts, D. C., “Shear excitation of atmosphericgravity waves. Part 2:Nonlinear radiation from afree shear layer,” J. Atmos. Sci., 41 (1984), pp.
524-537.
(14) Klaassen, G. P., and W. R. Peltier., “The evolutionof ﬁnite amplitude Kelvin-Helmholtz billows in two
spatial dimensions,” J. Atmos. Sci., 42 (1985a), pp.
1321-1339.

結論(15) Corcos, G. M., and S. J. Lin., “he mixing layer: Deterministic models of a turbulent ﬂow. Part 2. The
origin of the three-dimensional motion,” J. Fluid
Mech., 139 (1984), pp. 67-95.

Ricen = 0.06 では pairing が起こったが Ricen = 0.10
や Ricen = 0.16 では, 明瞭な pairing は起こらなかった.
しかし Ricen に関係なく Secondary intability が発生することが分かった. 鉛直フラックスを増加させる 1 つの要因は Secondary instability であることが示唆された.
Pairing はさらに鉛直フラックスを増加させ, ついには砕波を起こし, 砕波によって TKE のシア・浮力生成項は同位相となり, 鉛直フラックスを砕波が起こらない場合より大きくした.

(16) Klaassen, G. P., and W. R. Peltier., “The onsetof turbulence in ﬁnite amplitude Kelvin-Helmholtz
billows,” J. Fluid Mech., 155 (1985b), pp. 1-35.
(17) Klaassen, G. P., and W. R. Peltier., “The inﬂuence of stratiﬁcation on secondary instability in free
shear layers,” J. Fluid Mech., 227 (1991), pp. 71106.

参考文献(1) Browinig，K. A., and C. D. Watkins., “Observations of clear-air turbulence by high-power radar,”Nature., 227 (1970), pp. 260-263.

(18) Smyth, W. D., “Secondary Kelvin-Helmholtz instability in weakly stratiﬁed shear ﬂow,” J. Fluid
Mech., 497 (2003), pp. 67-98.

(2) Ralph, F. M., Neiman P. J., Levinson D., “Lidar
observations of a breaking mountain wave associated with extreme turbulence,” Geophys. Res.
Lett., 24 (1997), pp. 663-666.

(19) Peltier, W. R. and C. P., Caulﬁeld., “Mixing eﬃciency in stratiﬁed shear ﬂows,” Ann. Rev. Fluid.
Mech., 35 (2003), pp. 135-167.
(20) Scinocca, J. F., “The mixing of mass and momentum by Kelvin-Helmholtz billows,” J. Atmos. Sci.,
52 (1995), pp. 2509-2530.

(3) Stull, R. B., “An Introduction to Boundary Layer
Meteorology,” Kluwer Academic Publishers, Dordrech (1988), pp. 666.
(4) Garratt, J. R., “The Atmospheric Boundary
Layer,” Cambridge University Press, U.K(1992),
pp. 316.

(21) Davis, P. A., and W. R. Peltier., “Resonant parallel
shear instability in the stably stratiﬁed planetary
boundary layer,” J. Atmos. Sci., 28 (1976), pp.
181-189.

(5) Kim, S.-W., S.-U. Park, and C.-H. Moeng., “Entrainment processes in the convective boundary
layer with varying wind shear,” Bound.-Layer Meteor., 108 (2003), pp. 221-245.

(22) Nakanishi, M., “Large-eddy simulation of radiation
fog,” Bound.-Layer Meteor., 94 (2000), pp. 461493.
(23) Smagorinsky, J., “General circulation experimentswith the primitive equations I. The basic experiment,” Mon. Wea. Rev., 91 (1963), pp. 99-164.

(6) Miles, J. W., “On the stability of heterogeneous
shear ﬂows,” J. Fluid Mech., 10 (1961), pp. 496508.
(7) Howard, L. N., “Note on a paper of John W. Miles,”J. Fluid Mech., 10 (1961), pp. 509-512.

(24) Lilly, D. K., “On the application of the eddy viscosity concept in the inertial subrange of turbulence,”
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