Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Actuariat de l’Assurance Non-Vie # 5
A. Charpentier (Université de Rennes 1)

ENSAE 2017/2018

credit: Arnold Odermatt@freakonometrics

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1Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Surdispersion?
Références: de Jong & Heller (2008), sections 6.2 et 6.3, Hilbe (2011).
Plusieurs documents sur le site http://www.casact.org/pubs/forum/ évoquent leproblème de la surdispersion. Les données sont les mêmes que pour la section #3,
1> sinistre = read . table ( " http : / / fre a ko no me tr ics . free . fr / sinistreACT2040. txt " , header = TRUE , sep = " ; " )2> contrat = read . table ( " http : / / f re ak on ometrics . free . fr / contractACT2040 .
txt " , header = TRUE , sep = " ; " )3> contrat = contrat [ ,1:10]

4> names ( contrat ) [10]= " region "...
1> freq = merge ( contrat , nombre _ RC )2

> freq = merge ( freq , nombre _ DO )@freakonometrics

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2Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Surdispersion ? (overdispersion)(extrait de Hilbe (2011), chapitre 7)
1. What is overdispersion? Overdispersion in Poisson models occurs when
the response variance is greater than the mean.
2. What causes overdispersion? Overdispersion is caused by positive
correlation between responses or by an excess variation between response
probabilities or counts. Overdispersion also arises when there are violationsin the distributional assumptions of the data, such as when the data areclustered and thereby violate the likelihood independence of observations
assumption.
3. Why is overdispersion a problem? Overdispersion may cause standard
errors of the estimates to be deflated or underestimated, i.e. a variable may
appear to be a significant predictor when it is in fact not significant.
4. How is overdispersion recognized? A model may be overdispersed if the@freakonometrics

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3Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

value of the Pearson (or χ2 ) statistic divided by the degrees of freedom (dof)is greater than 1.0. The quotient of either is called the dispersion.
Small amounts of overdispersion are of little concern; however, if thedispersion statistic is greater than 1.25 for moderate sized models, then acorrection may be warranted. Models with large numbers of observations may
be overdispersed with a dispersion statistic of 1.05.
5. What is apparent overdispersion; how may it be corrected?
Apparent overdispersion occurs when:• the model omits important explanatory predictors;• the data include outliers;• the model fails to include a sufficient number of interaction terms;• a predictor needs to be transformed to another scale;• the assumed linear relationship between the response and the link function
and predictors is mistaken, i.e. the link is misspecified.
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4Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion...
Rappelons que l’on observe des (Yi , Ei , X i ), où Ei est l’exposition, Yi est lenombre de sinistres observés sur la période [0, Ei ]. On peut voir cela comme unproblème de données censurées,

on voudrait Ni le nombre de sinistres non-observés sur la période [0, 1]@freakonometrics

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La surdispersion...
Pour estimer la moyenne de N (cf partie 3),
Pn
Yi
i=1
mN = Pn
i=1 Eiet pour estimer la variance de N
2
SN
=

Pn

2
i − mN · Ei ]i=1 [YPn
i=1 Eisoit, numériquement
1> Y <- baseFREQ $ nbre

2

> E <- baseFREQ $ exposition3> m = sum ( vY ) / sum ( vE )4

> v = sum (( vY - m * vE ) ^2) / sum ( vE )5

> cat ( " average = " ,m , " variance = " ,v , " phi = " ,v /m , " \ n " )6average = 0.0697

variance = 0.0739 phi = 1.0597

2où phi vérifie SN= ϕ · mX .
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6Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion...
On peut aussi prendre en compte de variables explicatives
Pi,X i =x Yi
mN,x = Pi,X i =x Ei
et pour estimer la variance de N
2
[Y
−
m
·
E
]
i
N
i
i,X i =xPi,X i =x Ei

P
2
SN,x
=

soit, numériquement
1>

X = as . factor ( baseFREQ $ carburant )2>for ( i in 1: length ( levels ( X ) ) ) {3+

Ei = E [ X == levels ( X ) [ i ]]4+

Yi = Y [ X == levels ( X ) [ i ]]5+meani = weighted . mean ( Yi / Ei , Ei )6+variancei = sum (( Yi - meani * Ei ) ^2) / sum ( Ei )@freakonometrics

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7Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion....
1+ cat ( " Carburant , zone " , levels ( X ) [ i ] , " average = " , meani , " variance = " ,variancei , " \ n " )

2

+ }

3

Carburant , zone D average = 0.07881126

variance = 0.08425971

4

Carburant , zone E average = 0.06917643

variance = 0.07753765

que l’on peut représenter graphiquement
1> plot ( meani , variancei , cex = sqrt ( Ei ) , col = " grey " , pch =19 ,2+ xlab = " Empirical average " , ylab = " Empirical variance " )3> points ( meani , variancei , cex = sqrt ( Ei ) )La taille du disque est proportionnelle à l’exposition total dans la classe{i, X i = x}, et la première diagonale correspond au cas où E(N ) = Var(N ).

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8Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion, et type de carburant
Estimation de Var(N |X) versus E(N |X), si X est le carburant@freakonometrics

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9Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion, et zone géographique
Estimation de Var(N |X) versus E(N |X), si X est la zone géographique@freakonometrics

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10Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion, et densité de population
Estimation de Var(N |X) versus E(N |X), si X est la densité de population@freakonometrics

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11Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion, et âge du conducteur
Estimation de Var(N |X) versus E(N |X), si X est l’âge du conducteur@freakonometrics

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12Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion
L’équidispersion est une propriété de la loi de Poisson: si Y ∼ P(λ),
E(Y ) = Var(Y ) = λ.
Si on suppose maintenant que Y |Θ ∼ P(λΘ), où Θ suit une loi Gamma deparamètres identiques α (de telle sorte que E(Θ) = 1), on obtient la loi binomiale
négative,−1Γ(k + α )P(Y = k) =Γ(k + 1)Γ(α−1 )

11 + λ/αOn peut réécrire cette loi, en posant r = α
f (y) =

@freakonometrics

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α−1 

−1

1
1−
1 + λ/αk, ∀k ∈ N1
et p =
1 + αλypr [1 − p]y , ∀k ∈ N
y+r−1

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13Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion
ou encore
f (y) = exp y log(1 − p) + r log p + log

y
y+r−1


, ∀k ∈ N

qui est une loi de la famille exponentielle, en posant θ = log[1 − p],b(θ) = −r log(p) et a(ϕ) = 1.
Si on calcule la moyenne, on obtient
E(Y ) = b0 (θ) =r(1 − p)
∂b ∂p
=
= λ,
∂p ∂θ
p

et si on calcule la variance2∂ b
Var(Y ) = b (θ) = 2∂p00@freakonometrics

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

∂p
∂θ

2

∂b ∂ 2 pr(1 − p)+=∂p ∂θ2
p2

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14Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

La surdispersion
Autrement dit

1
Var(Y ) = E(Y ) = [1 + α · λ] · λpPour une régression binomiale négative de type 2 (NB2),
E(Y ) = λ = µ et Var(Y ) = λ + αλ2 .
Le lien canonique est g(λ) = θ, i.e. g(µ) = log

αµ1 + αµ

Remarque: si α = 0, on a une loi de Poisson; si α = 1, on a une loi géométrique.
Remarque: sous R, la régression NB2 se fait avec la fonction glm.nb delibrary(MASS)@freakonometrics

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15

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Régression de Poisson1>

regpoisson = glm ( nbre ~ carburant + zone + ageconducteur + offset ( log (exposition ) ) , family = poisson ( " log " ) , data = baseFREQ )2>summary ( regpoisson )3

Coefficients :Estimate Std . Error z value Pr ( >| z |)45

( Intercept )-1.0176256

0.0536858 -18.955< 2e -16 * * *6carburantE-0.2930830

0.0258247 -11.349< 2e -16 * * *

7

zoneB

-0.0815939

0.0516502-1.5800.114178zoneC

0.1074269

0.0402553

2.669

0.00762 * *

9

zoneD

0.2027631

0.0421105

4.815 1.47 e -06 * * *

10

zoneE

0.3041587

0.0430113

7.072 1.53 e -12 * * *

11

zoneF

0.4430020

0.0821833

5.390 7.03 e -08 * * *12ageconducteur -0.0092141

0.0009236-9.976

13

---

14

Signif . codes :< 2e -16 * * *0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

15
16( Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)@freakonometrics

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16Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Régression Binomiale Négative
1>

library ( MASS )2>

regnb = glm . nb ( nbre ~ carburant + zone + ageconducteur + offset ( log (exposition ) ) , data = baseFREQ )3>summary ( regnb )4

Coefficients :Estimate Std . Error z value Pr ( >| z |)5
6

( Intercept )-0.979677

0.063003 -15.550< 2e -16 * * *7carburantE-0.294948

0.030338-9.722< 2e -16 * * *

8

zoneB

-0.090319

0.059876-1.5080.13149zoneC

0.099992

0.047132

2.122

0.0339 *

10

zoneD

0.208227

0.049360

4.219 2.46 e -05 * * *

11

zoneE

0.300395

0.050604

5.936 2.92 e -09 * * *

12

zoneF

0.407373

0.099042

4.113 3.90 e -05 * * *13ageconducteur -0.009268

0.001078-8.596

14

---

15

Signif . codes :< 2e -16 * * *0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

16@freakonometrics

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17Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 201717

( Dispersion parameter for Negative Binomial (0.4231) family taken to
be 1)@freakonometrics

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18Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Autres régression
En fait, dans la fonction glm, il est possible de spécifier family=negative.binomiale,mais il faut alors indiquer la valeur de α (qui n’est alors plus estimé).
Par exemple, negative.binomiale(1) permet d’avoir un régression géométrique, i.e.
E(Y ) = λ = µ et Var(Y ) = λ + λ2 .
µLe lien canonique est alors g(λ) = θ, i.e. g(µ) = log
1+µ@freakonometrics

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19Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 20171>

reggeo = glm ( nbre ~ carburant + zone + ageconducteur + offset ( log ( exposition) ) , family = negative . binomial (1) , data = baseFREQ )2>summary ( reggeo )3

Coefficients :Estimate Std . Error t value Pr ( >| t |)45

( Intercept )-0.999349

0.080774 -12.372< 2e -16 * * *6carburantE-0.294294

0.038878-7.570 3.80 e -14 * * *

7

zoneB

-0.085721

0.077204-1.110 0.266871

8

zoneC

0.103607

0.060485

1.713 0.086730 .

9

zoneD

0.205556

0.063309

3.247 0.001167 * *

10

zoneE

0.302989

0.064799

4.676 2.94 e -06 * * *

11

zoneF

0.425222

0.125571

3.386 0.000709 * * *12ageconducteur -0.009243

0.001386-6.669 2.61 e -11 * * *

13

---

14

Signif . codes :0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

15
16( Dispersion parameter for Negative Binomial (1) family taken to be
1.947198)@freakonometrics

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20Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions pour des données de comptage
Il existe aussi une library(counts)• Poisson, fonction variance V (µ) = µ, ml.pois• quasiPoisson, fonction variance V (µ) = ϕµ,• géométrique, fonction variance V (µ) = µ + µ2 ,• négative binomiale (NB1), fonction variance V (µ) = µ + αµ, ml.nb1• négative binomiale (NB2), fonction variance V (µ) = µ + αµ2 , ml.nb2
Pour comparer ces modèles utilisons le petit échantillon
1> x <- c (1 ,2 ,3 ,4 ,5)2> y <- c (1 ,2 ,5 ,1 ,8)@freakonometrics

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21Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions pour des données de comptage> regression <- glm ( y ~x , family = poisson ( link = " log " ) )

6

7

8

●

3

4

5

●

●

2
1

1

●

●

1

@freakonometrics

2

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3

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4

5

22

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions pour des données de comptage> regression <- glm ( y ~x , family = quasipoisson ( link = " log " ) )

6

7

8

●

3

4

5

●

●

2
1

1

●

●

1

@freakonometrics

2

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3

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4

5

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Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions pour des données de comptage> regression <- glm ( y ~x , family = negative . binomial (1) )

6

7

8

●

3

4

5

●

●

2
1

1

●

●

1

@freakonometrics

2

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3

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4

5

24

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Les régressions pour des données de comptage> regression <- glm . nb ( y ~ x )

6

7

8

●

3

4

5

●

●

2
1

1

●

●

1

@freakonometrics

2

freakonometrics

3

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4

5

25

Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Test(s) de surdispersion
Sur l’exemple évoqué au début, on peut ajuster une droite de régression passantpar l’origine@freakonometrics

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26Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Test(s) de surdispersion
1>

library ( AER )2>variance = as . vector ( MV [ ,2])

3>

moyenne = as . vector ( MV [ ,1])

4>

regression = lm ( variance ~ 0+ moyenne , weight = as . vector ( exposition ) )5>summary ( regression )6
7

Coefficients :Estimate Std . Error t value Pr ( >| t |)89moyenne1.09308

10

---

11

Signif . codes :0.0117193.35<2e -16 * * *0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

12
13

Residual standard error : 0.007593 on 82 degrees of freedom

14

Multiple R - squared : 0.9907 , Adjusted R - squared : 0.9906

15

F - statistic :@freakonometrics

8714 on 1 and 82 DF ,freakonometrics

p - value : < 2.2 e -16

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27Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Test(s) de surdispersion
On peut faire un test pour voir si la pente vaut 1, ou pas,1>

l i ne ar Hy pot hes is ( regression , " moyenne =1 " )2Hypothesis :3moyenne = 145Model 1: restricted model

6

Model 2: variance ~ 0 + moyenne

7

Res . Df

8

RSS Df Sum of Sq

91

83 0.0083700

102

82 0.0047272

11

---

12

Signif . codes :F

Pr ( > F )1 0.0036428 63.19 8.807 e -12 * * *0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

Sinon, en utilisant la famille quasi-Poisson, on peut aussi faire un test pour testersi ϕ vaut 1, ou pas.
@freakonometrics

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28Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Test(s) de surdispersion
Pour cela, on note que la surdispersion correspond à une hétérogénéité résiduelle,
c’est à dire un effet aléatoire. Par exemple on peut supposer que(Y |X = X, Z = z) ∼ P(exp[X T β + z T α])
de telle sorte que si u = z T α − E(Z T α|X = X), alors(Y |X = X, Z = z) ∼ P(exp[X T γ + u])
On a un modèle dit à effets fixes, au sens où(Y |X = X) ∼ P(exp[X T γ + U ]),où U = Z T α − E(Z T α|X = X). Par exemple, si on suppose que U ∼ γ(α, α),i.e. d’espérance 1 et de variance σ 2 = α−1 , alors(Y |U = u) ∼ P(λu) où λ = exp[X T γ],@freakonometrics

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29Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Test(s) de surdispersion
de telle sorte que E(Y |U = u) = Var(Y |U = u). Mais si on regarde la loi
nonconditionnelle, E(Y ) = λ alors que
Var(Y ) = Var(E[Y |U ]) + E(Var(Y |)) = λ + λ2 σ 2 .
On peut alors proposer un test de la forme suivante: on suppose que
Var(Y |X = x) = E(Y |X = x) + τ · E(Y |X = x)2 ,on on cherche à tester
H0 : τ = 0 contre τ > 0.
Parmi les statistiques de test classique, on pourra considérer
Pn
2
[(Y
−
µ
b
)
− Yi ]
i
i
i=1
p Pn
T =
2 i=1 µb2i
qui suit, sous H0 , une loi normale centrée réduite.
@freakonometrics

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30Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 20171

> r egq ua si poi ss on <- glm ( nbre ~ bs ( ageconducteur ) + carburant + offset ( log( exposition ) ) ,2+ data = baseFREQ , family = quasipoisson )3> summary ( r eg qua si pois so n )45

Coefficients :Estimate Std . Error t value Pr ( >| t |)6
7

( Intercept )-0.8130

0.1055-7.706 1.32 e -14 * * *8bs ( ageconducteur ) 1-0.9984

0.3388-2.9470.00321 * *9bs ( ageconducteur ) 2-0.2508

0.3426-0.732

0.4640610bs ( ageconducteur ) 3-1.19860.5307-2.2580.02393 *11

carburantE-0.26640.0381-6.992 2.74 e -12 * * *

12

---

13

Signif . codes :0 ’* * * ’ 0.001 ’* * ’ 0.01 ’* ’ 0.05 ’. ’ 0.1 ’ ’ 1

14
15( Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 2.196859)

16
17

Null deviance : 28271@freakonometrics

freakonometrics

on 49999

degrees of freedom

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31Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 201718

Residual deviance : 28024

19

AIC : NA

on 49995

degrees of freedom

20
21

Number of Fisher Scoring iterations : 6

22
23> ( summary ( r egq ua sipoi ss on ) $ dispersion )24[1] 2.196859

Le test est programmé de la manière suivante1> library ( AER )2> regpoisson <- glm ( nbre ~ bs ( ageconducteur ) + carburant + offset ( log (exposition ) ) ,3+ data = baseFREQ , family = poisson )4> dispersionte st ( regpoisson )5
6

Overd ispersion test

7
8

data :

regpoisson@freakonometrics

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32Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 20179z = 3.1929 , p - value = 0.0007042

10

alternative hypothesis : true dispersion is greater than 1

11sample estimates :12dispersion

13

1.754662@freakonometrics

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33Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Modèles à inflation de zéros
Un modèle dit à inflation de zéros ou zero inflated) est un mélange entre une
masse en 0 et un modèle classique de comptage
Pour modéliser la probabilité de ne pas déclarer un sinistre (surpoids en 0),
considérons un modèle logistiqueexp[X Ti β]
πi =1 + exp[X Ti β]Pour le modèle de comptage, pi (k) est la probabilité que l’individu i ait k sinistres
Alors
P(Ni = k) =@freakonometrics

freakonometrics π + [1 − π ] · p (0) si k = 0,iii

[1 − πi ] · pi (k) si k = 1, 2, · · ·freakonometrics.hypotheses.org

34Arthur Charpentier, ENSAE - Actuariat Assurace Non Vie - 2017

Modèles à inflation de zéros
Si pi correspond à un modèle Poissonnien (de moyenne λi ), alors
E(Ni ) = [1 − πi ]λi et Var(Ni ) = πi λi + πi λ2i [1 − πi ].
La library(gamlss) propose la fonction ZIP (pour zero inflated Poisson), et ZINBI
lorsque pi correspond à une loi binomiale négative.
La library(pscl) propose également une fonction zeroinfl plus simple d’utilisation,
proposant aussi bien un modèle de Poisson qu’un modèle binomial négatif
Remarque: Il existe aussi des modèles dits zero adapted, où l’on suppose que πi si k = 0,
P(Ni = k) =pi (k)
[1−π]·
si k = 1, 2, · · ·i1 − pi (0)Dans library(gamlss) le modèle précédant dans le cas d’une loi de Poisson est ZAP,
avec aussi une loi ZANBI.
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Modèles à inflation de zéros1> library ( pscl )2> regNZI <- glm ( nbre ~ bs ( ageconducteur ,5) + offset ( log ( exposition ) ) ,3+ data = baseFREQ , family = poisson ( link = " log " ) )4> regZI <- zeroinfl ( nbre ~ bs ( ageconducteur ) |5+ bs ( ageconducteur ) , offset = log ( exposition ) ,6+ data = baseFREQ , dist = " poisson " , link = " logit " )On peut s’intéresser plus particulièrement à l’impact de l’âge sur la probabilitéde ne pas déclarer de sinistres (correspondant au paramètre de la loi binomiale)
1> age <- data . frame ( ageconducteur =18:90 , exposition =1)2> pred0 <- predict ( regZI , newdata = age , type = " zero " )3> plot ( age $ ageconducteur , pred0 , type = " l " , xlab = " " , lwd =2 ,4

+ ylim = c (0 ,1) , ylab = " Probabilite de ne pas declarer un sinistre " )@freakonometrics

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Modèles à inflation de zéros

La principale explication avancée - en France - pour la non déclaration de sinistre
est l’existence du système bonus-malus.
1> regZIbm <- zeroinfl ( nbre ~ 1 |2+ bs ( bonus ) , offset = log ( exposition ) ,3+ data = baseFREQ , dist = " poisson " , link = " logit " )@freakonometrics

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> B <- data . frame ( bonus =50:200 , exposition =1)

5> pred0 <- predict ( regZIbm , newdata =B , type = " zero " )6> plot ( age $ ageconducteur , pred0 , type = " l " , xlab = " " , lwd =2 ,7

+ ylim = c (0 ,1) , ylab = " Probabilite de ne pas declarer un sinistre " )@freakonometrics

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