(          ! "(      ))

240 #$&%('*)+ , I, II, III, IV ./103254(6&05798;:=<3>;?A@
2. B=+, CD?E2FG.7H8JI&K LNMJIO:1<;>(?P@ QSRG.7H8JI&KT2EU&V.W+, LX7H8 YN0(Z&6O[*\H6]@(^*_a`aB=+, 2b4J6*0 QSR(cOdO.-78OIWK LNe fg:=<3>;?A@
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4. FWuJvOwD:=<yxJzOIWKTZ&{b| YE\965@1.

I1. } 1 ~S m ~ 2 S mω (  ω > 0) ~~Ào Á 3 ¡¢³¤~Ã£Â¥XÄ¯Å§¦©¶¨o»ª¬Æ«¶·x ­o®¯o±°~ª³§Ço³²³~È´°SµS¸É¬¢¶³¼É·Ê¢¦AËÍÌ¸ÎPS¹Ã«ºÏÉÃ»½¼¯Ð«X¯Ñ¾¿»o³¸ Æx ­ 1, 2 ~ªÇ³È°³ÒÔÓ¤~ÕÈA +x ÀoÁ ÖS×¢ØÉ× u , u »ÚÙÖÛ·SÜÝÞ±ßà³áâ¼S¢³¬ãÉ~P»³¦Ãä¬å¯~Sæç¯èé«oêëÃ·21mω 2mω 2m

2mω 2myy--u1u2- x} 1(1) u , u §ìíÕ-»³¤¦³îºS~ 2 ïo~ Lagrangian §ðN«êëÃ·Àñò §ðNS«êSëÃ·(2) ºS~¯ïo~ÄÅ(3) ºS~¯ïo~óôõö¯Å³÷ÆÊo¦Éøù«êSëÃ·â  −mβu̇ (n = 1, 2; β ¸P~ ) 2. } 1 ©úë¦Ã¯ûü¸Sý¼Sþ¯ü »½¶·îºS~A»©ä¬å¯~Sæç¯èÿ é¶«ooê¤áëÃ· Àñò §ðNS«êSëÃ·(4) ºS~¯ïo~ÄÅ(5)  1 ~³Â¬©«SÕÈ oé¯A»Ãº ¬ö¯Å¢¶¢º¬»§«y¾ ªÇo~Èo°¬ ë©·-º~P»±¤ β » ω ~ ¯ ¡ A N«êSëÃ·3. É¬} 2 ~o¢SÃ m ~ 3 Ô 4 P£¥y¤¦±¨ª¢« x ­o®³°oÃ²´©µS¶·! "~S 2 ~ÉS$¸ # mω , ²´P~S 2 ~ÉS¸ #A mω( ¯P ω, ω > 0) ¬Ñ¢·³P~©ªÇ~È°¬¸Éo¼©Ê¦ÔË ÌÎ«ÏÃ³Ð¯¬%Ñ Ào¿Á ¯P¸ÀÁ~³ÂÄ¬Å¬¶S·A}~'&¢Ò÷Ó n (*)~~ÉªÇÈ°ÒXÓ~SÕÈ÷ +x  u »x­Ù¶ (n = 1, 2, 3)· ω = rω »Æú,+.-ÜÝ¬Þ³ßàáâ¼©¯P»¦äå¯~Sæçèoé«êë±·
12

n

2

020n0mω 02mω 2mymω 2m
y-u1mω 02m
y-u2-

u3- x} 2(6) r = 1 ~/10±¡¯ë¦³XºS~ï~óôõöÅ³÷§Êo¦Éøù«êë³·(7) r → 0 ~243³³6587~óôõö¯Å¼ ω $~ 9;:PÃ«¢©ÒÃ,< =? >î¤¦©èé«oêëÃ·~ 9,:³«¢ÉÒ³<@=? >î¦Éèé«oêSë±·(8) r → ∞ ~243³³6587~óôõö¯Å¼ ω Ⅱ
1

コイルについて以下の設問に答えなさい。なお透磁率を µ0 とする。

（1）

図 1 に示すような，半径 a，単位長さ当たりの巻き数 ｎの無限に長いソレノイドコイルがある。この→コイルに定常電流 I を流したとき，ソレノイドコイル内外での磁束密度 B を求めなさい。ただし，コ→イルの中心軸を z 軸とし，z 方向の単位ベクトルを ez と表記する。
（2）

このソレノイドコイルに定常電流 I が流れているとき，図 1 に示すようにソレノイドコイルの中心軸→上のある点から y 軸方向に電子（電荷‐e，質量 m）を速度 v0 で発射した。電子がソレノイドコイルの内壁に当たらず運動し続ける条件を求め，その運動の軌跡の一例を図示しなさい。ただし，ソレノイドコイルの導線の太さは無視できるものとする。

yyIav0‐e mv0‐e mz〈yz 平面での断面図〉

x〈xy 平面での断面図〉
図１（3）

図２に示すように一巻きコイル（半径 a）に定常電流 I を流した場合，中心軸上の点 P における磁束密度 B を図中に示された角度 θを用いた形で表しなさい。
→（4）

図３に示すような有限の長さのソレノイドコイル（単位長さ当たりの巻き数 ｎ）に定常電流 I を流した

µ 0 nI →C e z と表場合，ソレノイドコイル中心軸上の点 Q での磁束密度 B は2→→せる。C を図中に示された角度 θ1 ,θ2 を用いて表しなさい。ただし， ez は z 方向の単位ベクトルとする。

aIθ

θ1PzI
図２図３Q

θ2z

2→→

真空中を電磁波が伝播している。電磁場ベクトルとして E = ( E x , E y , E z ) , H = ( H x , H y , H z ) を考える。真空中でのマクスウェル方程式（微分形）と，ベクトルの公式が以下で与えられる。
→∇ ⋅ D = 0,→∂B∇×E = −,∂t→→∇ ⋅ B = 0,→
→
→


2∇×
∇×A  =∇∇⋅ A −∇ A



→

∂D
∇×H =∂t→→A : 一般のベクトル場

真空の誘電率と透磁率をそれぞれ ε0 及び µ0 として以下の問いに答えなさい。
→→（１） 電場ベクトル E が ∇ 2 E =→1 ∂2 Ec2∂t2を満たすことを示しなさい。（ただし， c は光速とする。）（２） z 方向に進む平面電磁波の電場の x, y 成分が，それぞれ( z − ct )を変数とする任意の関数を用→

いて， E x = f ( z − ct), E y = g ( z − ct) と与えられる時， H x , H y を E x , E y を用いて表し， E と→H が直交することを示しなさい。
（３） 図４に示すように、平面電磁波を真空（ z ≧ 0）から誘電率 ε ，透磁率 μ0 の媒質（z ＜ 0）に入射する。この時， E は入射面（ xz 平面）に平行， H は入射面に垂直とする。入射角 θと反射角→→→θは等しく，屈折角を φとする。連続の条件（ →E , H の境界面における接線成分は連続である）と，スネルの法則（ε0 sin θ = ε sin φ ）を用いて，入射電場と反射電場の振幅の比をθ, φを使って表しなさい。
（４）（３）において，入射角がある値のとき，反射波がゼロになる。この時の θ+φの値を求めなさい。ただし, θ ≠φとする。

zEi
ε0µ0εµ0HiErθθφHt
図４HrEtxIII~ B,C@DFE4GH$I,J Àñò1 8A1Ĥψ(x) = Eψ(x) ,Ĥ =p̂2+ V (x) ,2mp̂ = − i~ddx

LKé·;5,MPS a » v §»½¶o'ENPO6;QP~ V (x) = ~mv δ(x − a) R-Û·(1) x = a ¬~ S,T;U,V¸ ε → + 0 »³¦dψψ (a + ε) − ψ (a − ε) = 2v ψ(a) , ψ (x) =(i)dxÃ«¬º¢»SX WE«êë±· ψ(x) ¸8£ TÑ¬·¼ ];_¢¶oo»± , Y;Z,[;\~³'µ `,a E » ,ó b;c(2) Y;Z,[;\ ( |x| → ∞ ~P»© ψ(x) → 0 ) ^'µ `d¤ ψ(x) Æøù«êë±·PS a » v X P~-»³¦
20000000V (x) =∞X~2 v0n=−∞mδ(x − na)»Æ¶· V (x) ¸ V (x + a) = V (x) eÃ¶^f,g¤oÑ¬· v > 0 . E > 0 Ã«¢·~ ¤ F (x)  jî¦(3) Û = exp iap̂/~ »Æ¶·h;i10aĤ Ûa F (x) = Ûa ĤF (x)XWE«êë±· , k1lmJ$noP4F (x + a) =∞X
1n=0Ñ¬·n!

an d dnF(x)=expaF (x) = Ûa F (x)dxndxpq OrsJtvuw Û » Ĥ ¸Xxy¬ÑÒAÓÚº ×ÔÓ½~^z±ÐÃµ`.½ ψ(x) ¼]_¯¶¬¤· pvq
OrsJ? tvuvw ~©À µ`¢a ¸?{ja 1 ~?|6©} ¬Ñ¤·§¡1~4 , θ s± î»©½¦ Û ψ(x) = e ψ(x)»Æú ·1 , Û ψ(x) = ψ(x + a) Ñ¬ÉÒNÓaaiθa³«¢·ψ(x + a) = eiθ ψ(x)(ii)

4 a < x < 2a ±ú  ψ(x) ¸© 0 < x < ap©ú  ψ(x) ÉÙ·;S,T;U,V
.- ψ(x) ¸ x = a S£8T¬Ñ¬º¢»ÆÒNÓ , q = 2ma E/~ »Æ¶o» , q ¸sin q− 1 ≤ B(q) ≤ 1 , B(q) = cos q + βqe±¶É· β Æøù«oêSë±·(5) 0 ≤ q ≤ 3π ~ . B(q) $~ ©$} WE½8Ôê×o q ~ ;Ô Wy«oêSë±·(4) (ii)(i)22

IVN  (N  1) ~ ^_16HÆÒPÓ «¯Æï¢~6'É«ÃKÃé¯Û· i () (i = 1, 2, · · · N )~d8HÉ$~ [8\÷ σ » ÙE§ýd8HÉ¸ 2 ¡$~ [8\ σ = 1 ~¯¸± σ = −1 »S»Æ¶S·¸ {;j;8ü -»¤¦³ä¬å¯~çëèé«oêëÃ·β = 1/(k T )  k ¸ Boltzmann ¬ T $1. 6;,¼«ëA»Ã¦±Xº~ïo' v$« 68/ H  ¡X§¦ë¬o»É³L Ké ,· 6;/ H 6 ¡¢¶o¬º¬»4  ±ýP,HS~ ¢^ N.£J¸ −µH σ » Ù¶Aº¬»Æ¼³·AºÉ~»±¤ïo~ Hamiltonian ¸i

Bii

B

00 i0

H(σ1 , σ2 , · · · σN ) = −µH0NXσi» ð  ·(1) ï¢v¼ ¤6¬Ñ¢º¬»¥iE¤¦L¦8§ Z(β, N ) uE«oêSë±·Ps¦;§¸
i=1Z(β, N ) =XX

σ1 =±1 σ2 =±1©¨Xê×o·(2) ©ª.¢¯^
 N4£6J E(β, N ) ¸···

Xexp [−βH(σ1 , σ2 , · · · σN )]σN =±1E(β, N ) = −∂log Z∂βo P øù÷Ó½×· E(β, N ) §øù«êÉëÃ·@~v«6¯ü T ~1-»¦¢Ö~$,¬N§ðyÉ«êëÃ·(3) (2) ~;¥ ­A? ¬ë³¦ «Ãï~ ®,¯ C(T, N ) ½øvù «'ü T ,~ §E»Ã¤'¦ 6¬½ðN«êë±·(4) T → 0 » T → ∞ ?
~ /;0 Aê§×X[6\ÃÔ$ Ké¬º¯» °«©ï^~ ¢4H±³²8J S(T, N )¼ T → 0 » T → ∞ $~ 2.3 ´~o¤^« aP -¾ÍÒèoé¯«êÉë³!· ~L «PÖÉ× µPo¤¦ ü T 8~ »¤¦ÂA»Ã±~ ¶;m,·$~ ,¬N§ðî«êSë³¸·  S(T, N ) 1~ ¤; ¬÷S(T, N ) @¹É¶o?º»P¸³«ë±¼· 
 ~,H¼6½'¾o®¢¿ÀëïÔLKéÚ·ª«,;,;/¸³«y¾ÂÁS.d8H
~Â'88¢¼Ñ»½¶o·ºS~A»©?«¯ï~ Hamiltonian ¸

2. N

H(σ1 , σ2 , · · · σN ) = −J» ð  ·N−1Xi=1σi σi+1(5)¦;§d¤ Z(β, N ) ¼
Z(β, N ) =X

X···

σ1 =±1 σ2 =±1=

X

X···

X

X

βJσ1 σ2X

X

eβJσ1 σ2 eβJσ2 σ3 · · · eβJσN −1 σN

σN =±1eσ1 =±1 σ2 =±1

exp [−βH(σ1 , σ2 , · · · σN )]σN =±1σ1 =±1 σ2 =±1=

X(X

σ3 =±1eβJσN −2 σN −1

σN −1 =±1eβJσ2 σ3 · · ·(XeβJσN −1 σN

σN =±1» ð  ¬º¬»ÉÃ1N¤¦6« Z(β, N ) uy«oêSë±·(6) (5) ~,¥ ­? Ã8N¦ «©X¢^ N.£J E(β, N ) §øoù«oêëÃ·)
 '« N ~6P8H¼Ä Å,[A$¿ÀëïÔ'KéÛ·ª«,;,;/¸³«y¾ÂÁ6S.
8H~³ÂL88¬¼¬Ñ»Æ¶o·ºS~A»©?«¯ï~ Hamiltonian ¸3.

H(σ1 , σ2 , · · · σN ) = −J» ð  ·ª« σ(7)N +1 = σ1¦;§d¤ Z(β, N ) ¼»Æ¶·N
Xσi σi+1i=1Z(β, N ) = TrAN
A=exp(βJ) exp(−βJ)
exp(−βJ) exp(βJ)!

» Ù¬º¬»ÉXWE«oêSë±·ù «¢Ö~¥ ­A?¢ë³¦ N ¼'Æ¦;ÇÔëA»ÉÉ~¦;§P Z(β, N ) ~È6¬ vu(8) TrA ½ø^«oêSë±·¥ ­? Ã8N¦ «©X¢^ N.£J E(β, N ) §øoù«oêëÃ·(9) (8) ~,(10) ï6ü Ê,]8÷L Kéo· 1.(4) $~ /10» ÿ Ë^¦ #,Ì¶«Í «¢~ ? ¢@Î¸H Ï±É«²êLë±J · S(T, N ) '~ 8N