軌道角運動量もつれ合い光子源及び検出系の設計と作製
学籍番号：1933139 渡辺大貴
主任指導教員：宮本洋子
指導教員：清水亮介
1.

はじめに
本研究は、光子の軌道角運動量もつれ合い状態の検出において、ホログラムシフト法と経路干渉計法の比較を行うため、もつれ合い光源及び検出系の設計と作製を行うことを目的とする。もつれ合い状態の検出のためには光子を軌道角運動量の重ね合わせ状態で検出することが必要であり、ホログラムシフト法と経路干渉計法はこの重ね合わせ状態を検出する手法である。前者はホログラムの欠陥位置を光軸からシフトすることで、重ね合わせ状態をガウスモードに変換し、シングルモードファイバーで抽出して検出する手法であり、原理上余分な方位角成分が混入するという問題点がある。後者はホログラムの欠陥位置を光軸と一致させた状態で複数の回折次数を干渉させる手法で、原理上余分な方位角成分が混入しないが、外部の環境の変化に対し、光路長差を一定に保つ必要がある。本研究では両手法の違いを明確に示すため、ホログラムシフト法で余分な成分の影響が強く現れる実験条件をシミュレーションで明らかにし、これに基づいてもつれ合い光子源の設計と作製を行う。また経路干渉計法の光路長差のフィードバックロックについて検討を行う。
2.

光子の軌道角運動量状態
本研究は、光子を軌道角運動量重ね合わせ状態で検出することを目的としている。本章では、光子の軌道角運動量状態とその検出方法について述べる。
ここで光子の軌道角運動量状態とは、光軸まわりの方位角 𝜑 に対する複素振幅の依存性がexp(𝑖𝑚𝜑)で表されるモードに光子が 1 個存在する状態である。複数の方位角指数 𝑚 に対応する状態を重ね合わせたものが軌道角運動量重ね合わせ状態である。
2.1. 光子の軌道角運動量状態の検出
図 1 に光子の軌道角運動量状態の検出系の概念図を示す。図 1 の検出系で検出される状態を特定するには、逆方向伝搬の考え方を用いて検出器から光源面まで遡って考える。レンズ 2 はファイバーカプラー出射面の像をホログラム上に、レンズ 1 はホログラムの像を結晶面上に形成し、結晶面上にビームウェストがあると想定する。位相ホログラ
ムの欠陥位置が光軸に対し(𝑑, 𝜃)の位置にあるとき、ホログラム面上の複素振幅分布は以下で表される。
𝑈𝑚,𝑛 (𝜌, 𝜑) = exp {𝑖 × 𝑛 × 𝑚 × arg (𝜌 cos 𝜑 − 𝑑 cos 𝜃 , 𝜌 sin 𝜃 − 𝑑 sin 𝜃)} × √2 1exp (− 𝜌2 ⁄𝑤02 )𝜋 𝑤0(1)

ここで(𝜌, 𝜑)は円筒座標、𝑛は回折次数、𝑚はホログラムの欠陥の次数を示す。arg(𝑥, 𝑦)は複素数𝑥 + 𝑖𝑦の偏角を表す関数であり、(𝜌 cos 𝜑 − 𝑑 cos 𝜃 , 𝜌 sin 𝜃 − 𝑑 sin 𝜃)は直交座標系で位相ホログラムの欠陥位置に対する変位を表す。(1)式よりレンズによる反転に注意し、観測する状態は結晶面上で以下で表される。
|𝜓 𝑚 (𝑑, 𝜃)⟩ ∝ ∫ exp{𝑖 × 𝑛 × 𝑚 × arg(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑑 cos 𝜑, 𝜌 sin 𝜃 + 𝑑 sin 𝜃)}
2 1×√exp (− 𝜌2 ⁄𝑤02 )𝑎 † (𝒓)|0⟩𝑑𝒓𝜋 𝑤0
ここで(𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑑 cos 𝜑, 𝜌 sin 𝜃 + 𝑑 sin 𝜃)は光源面における、位相ホログラムの欠陥位置に対する変位を示す。

図 1： 光子の軌道角運動量状態の検出系(シングルモードファイバーと位相ホログラムを用いた手法)の概念図[1](2)2.2 結晶で発生する光子対の状態励起光がガウスモードであり、結晶が薄いと仮定すると、結晶で発生する光子対の状態は以下で表される。
∞∞

𝑙|Ψ⟩ = ∑ ∑ 𝐶𝑝,𝑝′|𝑙, 𝑝⟩𝑆 ⊗ | − 𝑙, 𝑝′⟩𝐼(3)

𝑙=0 𝑝,𝑝′=0

ここで、𝑙, −𝑙はラゲールガウスモードの方位角モード指数、𝑝, 𝑝’は動径方向のモード指数である。また波数空間表現のモード関数は以下の式で表される。
Φ(𝒓𝑆 , 𝒓𝐼 ) = ∬ 𝑑𝒒𝑆 𝑑𝒒𝐼 Φ(𝒒S , 𝐪𝐼 ) exp(𝑖𝒒𝑆 ∙ 𝒓𝑆 ) exp(𝑖𝒒𝐼 ∙ 𝒓𝐼 )= Nr exp (−|(𝒓𝑆 + 𝒓𝐼 )⁄2|2𝜔𝑃2) exp (−|(𝒓𝑆 − 𝒓𝐼 )⁄2|2)
𝑏2(4)

ここで、𝑁𝑟 は規格化関数であり、𝒓𝑆,𝐼 はビーム断面方向の位置、𝑤𝑃 は励起光のビームスポットサイズである。また、
𝑏 は励起光のビームの波長𝑘𝑃 と有効結晶長𝐿 を用いて、𝑏 = 1.42√𝐿⁄(4𝑘𝑃 ) で表される。(4)式のモード関数を用いて(3)式は以下のように書き直せる。
|Ψ⟩𝒓 = ∬ 𝑑𝒓𝑆 𝑑𝒓𝐼 Φ(𝒓𝑆 , 𝒓𝐼 ) 𝑎𝐼† (𝒓I )𝑎𝑆† (𝒓𝑆 )|0,0⟩(5)†
ここで𝑎𝑆,𝐼(𝒓𝑆,𝐼 ) はシグナル、アイドラ光のビーム断面方向位置𝒓𝑆,𝐼 に光子を作る生成演算子であり、|0,0⟩ は真空状態である。

3.

ホログラムシフト法における高次モードの影響のシミュレーション
ホログラムの欠陥中心を光軸からずらすことによっての重ね合わせ状態を検出することが出来る。しかし原理的に測定したい成分以外の軌道角運動量成分が10%程度混入してしまう問題点がある[3]。
そこで本研究では、ホログラムシフト法における余分な成分の混入の影響(以後、高次モードの影響とする)をシミュレーションによって明らかにする。
3.1 同時計数確率式(2)と式(5)から、同時計数確率はシグナル、アイドラ側の位相ホログラムの欠陥位置の関数として以下の式で表される。
𝑃𝑚 (𝑑𝐼 , 𝜃𝐼 , 𝑑𝑆 , 𝜃𝑆 ) = ⟨𝜓𝐼𝑚 (𝑑𝐼 , 𝜃𝐼 )|⟨|𝜓𝑆𝑚 (𝑑𝑆 , 𝜃𝑆 )|Ψ⟩𝑟 |2∝ | ∬ 𝑑𝒓𝑆 𝑑𝒓𝐼 Φ (𝒓𝑆 , 𝒓1 ) exp(−𝜌𝑆2⁄𝜔02 ) exp(−𝜌𝑆2 ⁄𝜔02 )(6)

× exp [ −i × 𝑚 × {arg (ρI cos 𝜑1 + 𝑑𝐼 cos 𝜃1 , 𝜌𝐼 sin 𝜑𝐼 + 𝑑𝐼 sin 𝜃𝐼 )}]× exp [i × 𝑚 × {arg (ρS cos 𝜑𝑆 + 𝑑𝑆 cos 𝜃𝑆 , 𝜌𝑆 sin 𝜑𝑆 + 𝑑𝑆 sin 𝜃𝑆 )}] |2(6)式はすべての高次モードの成分を含んだものである。同時計数確率𝑃𝑚 (𝑑𝐼 , 𝜃𝐼 , 𝑑𝑆 , 𝜃𝑆 )は 4 つのパラメタ―(位相ホログラムの欠陥次数𝑚, ポンプ光および観測する量子状態のビーム径𝑤p , 𝑤0 結晶長𝐿)で特徴づけられる。

図 2：同時計数確率実験の実験配置[1]3.2 シミュレーション方法
ホログラムシフト法を用いて同時計数確率を測定する時、原理上余分な成分が混入してしまう。ここではこの影響を高次モードの影響と呼ぶ。高次モードの影響は正弦曲線とのずれで評価できる。高次モードの影響を評価する指標は以下の式で表される。
𝑉(7)𝑌 = 𝑃ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐 − 𝑃𝑚 = (cos 𝜃𝑆 − 𝑃𝑛𝑜𝑟𝑚 )2
ここで𝑃ℎ𝑎𝑟𝑚𝑜𝑛𝑖𝑐 は𝑃𝑚 と値の範囲を合わせた正弦曲線、𝑃𝑚 は高次モードも考慮した同時計数確率、𝑃𝑛𝑜𝑟𝑚 は𝑃𝑚 の最大値を 1、最小値を-1 に正規化した関数、𝑉は𝑃𝑚 の値の振れ幅である。(7)式の指標を用いて、高次モードの影響が最も大きく現れるパラメタ―をシミュレーションによって明らかにする。
先行研究では検出側の結晶位置でのビーム径𝑤0 に対するホログラムの相対的なシフト量に着目していたが、本研究ではシフト量および𝑤0 を走査し、最も高次モードの影響が現れるパラメタ―を探索した。その際、励起光のビーム径は先行研究を参考に𝑤𝑃 = 800 μmと設定した。シミュレーションには数式処理システム Mathematica を使用し、𝑌の最大値𝑌𝑚𝑎𝑥 を最大にするシフト量𝑑および検出側のビーム径𝑤0 を探索した。
3.3 シミュレーションの結果と考察
𝑤0 に対する𝑌𝑚𝑎𝑥 と𝑌𝑚𝑎𝑥 が最大値をとるときの𝑤0 と𝑑の関係をそれぞれ図 3、図 4 に示す。

図 3：検出側の結晶位置でのビーム径𝒘𝟎 に対する正弦曲線とのずれの指標の最大値𝒀𝒎𝒂𝒙

図 4：ずれの指標の最大値𝒀𝒎𝒂𝒙 が最大値を取るときの検出側の結晶位置でのビーム径𝒘𝟎 とシフト量𝐝の関係

図 3 より、検出側の結晶位置でのビーム径𝑤0 = 800 μm で最大値をとり、w0 = 400～800 μmの範囲で𝑌𝑚𝑎𝑥 はほぼ一定値となった。これは主要な高次モードは励起光ビーム径で決まる一定の範囲内に主に存在し、 𝑤0 をそれ以上に大きくしても効果がないことを示している。
また図 4 より、𝑤0 = 400 μmまではw0 の増加とともに、𝑌𝑚𝑎𝑥 の最大値を与えるシフト量も増加する線形の関係を示しているが、𝑤0 = 400～800 μmの範囲では、𝑌𝑚𝑎𝑥 の最大値を与えるシフト量は𝑑 = 200 μmで一定値をとっている。
これは、励起光ビーム径で決まる最適値があるが、 𝑤0 が最適値より小さい場合はそれに合わせて小さくする必要があることを示している。
以上の結果より、高次モードの影響が最も現れる条件は、シフト量𝑑 = 200 μm、検出側の結晶位置でのビーム径𝑤0 =400～800 μm ということが分かった。第 4 章で励起光源のビーム径の設計を行う。
4.

パラメトリック蛍光光子対の励起光源の設計
本章では、パラメトリック蛍光の励起光源作製のために、励起光源のビーム径を調整する光学系を設計する。励起光源とは、縮退パラメトリック下方変換に使用される励起用の半導体レーザーのことであり、本研究の縮退パラメトリック変換では光子対は同方向に出射する。
本研究では、β-メタホウ酸バリウム(BBO)結晶から出射する蛍光光子対の波長は 810 nm、励起光源の波長は 405 nmを想定している。表 1 に励起光源のビームの強度分布撮影に使用した実験機器を示す。
レーザー光はシングルモードファイバーを通して出射される。ファイバーカプラーの調整を行った後、CCD カメラでビームの強度分布の撮影を伝搬距離100~800 mm の間で行った。ここで伝搬距離とは、自由空間側ファイバーカ
プラーの対物レンズから CCD カメラまでの距離のことである。CCD カメラによる撮影結果を図 5 に示す。

表 1：励起光源の特性測定の使用器具
使用器具
半導体レーザー
自由空間側ファイバーカプラー
レーザー側ファイバーカプラー
CCD カメラ
ND フィルター
パワーメーターメーカー
CNI 社
NewportSchäfter + Kirchhoff
浜松ホトニクス

型番
PSU-III-FDA
F-91-C1-T
60SMS-1-4-M4-33
C5948

ILX Lightwave

OMM-6810B

図 5：伝搬距離と強度分布
図 5 に示したビームの強度分布の画像を MATLAB に取り込み、以下の 2 次元ガウス関数でフィッティングする。
I(𝑥, 𝑦) = 𝑧0 + Aexp [−1𝑥 − 𝑥0 2𝑦 − 𝑦0 2 2𝑐𝑜𝑟(𝑥 − 𝑥0 )(𝑦 − 𝑦0 ){() +() −}]22(1 − 𝑐𝑜𝑟 ) 𝑥𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ
𝑦𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ𝑥𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ ∙ 𝑦𝑤𝑖𝑑𝑡ℎ(8)𝑥𝑤𝑖𝑑𝑡ℎと𝑦𝑤𝑖𝑑𝑡ℎはそれぞれ𝑥, 𝑦方向の強度分布の径、𝑥0 , 𝑦0 はビームの中心座標、𝑐𝑜𝑟は𝑥, 𝑦方向の分布の相関を示している。さらに伝搬距離ごとのビーム径からビームウェスト径と位置をフィッティングによって見積もる。フィッテ
ィングに用いる式は以下の式である[2]。
𝑤𝑥(𝑦) (𝑧) = √𝑤02 +21 𝜋(𝑧)}{−𝑧0𝑤02 𝜆(9)(9)式によるフィッティング結果を以下に示す。
表 2：ビームウェスト径とビームウェスト位置のフィッティング結果

x方向y方向ウェスト径 [m](9.2 ± 0.4) × 10−4
(1.1 ± 0.1) × 10−3

ウェスト位置 [m](9.6 ± 0.2)
(9.8 ± 0.1)

次に励起光源のビーム径800 μm を実現するための光学系を設計する。今回はレンズを 2 枚使用して、目標のビーム径を得るために、レンズ通過後のビームウェストの径と位置を見積もった。その際、計算に用いたビームの伝搬距
離𝑧1,2 の式、レンズ前後における曲率半径𝑅1,2 の式、およびレンズの式を以下に示す。

2𝑧1,2 = ±𝑧𝑅 √(𝑤(𝑧)) −1𝑤0(10)
(11)

2𝑧𝑅
𝑅1,2 = 𝑧1,2 {1 + ( ) }𝑧1,211
1=−𝑓 𝑅1 𝑅2(12)ここで𝑧𝑅 はレイリ―長、𝑤(𝑧) はz に依存するビーム径を表している。
(10)~(12) 式による見積もり結果および、設計した光学系を以下に示す。
表 3：2 枚のレンズ通過後のウェスト径とウェスト位置

x方向
y方向

ウェスト径 [m]8.15 × 10−4
8.02 × 10−4

ウェスト位置 [m]−5.00 × 10−2−5.00 × 10−2

図 6：ビーム径を調整するための光学系
5.

経路干渉計法のフィードバックロック
ホログラムシフト法によってもつれ合い光子対を測定する方法では、原理上余分な成分が混入してしまう。それに対して、光軸に固定された位相ホログラムとファイバー干渉計を組み合わせて検出する手法では、原理上余分な軌道角運動量成分は混入しない。ここではこの検出手法を経路干渉計法と呼ぶ。図 7 に経路干渉計法の光学系を示す。

図 7：経路干渉計法の光学系
経路干渉計を用いて同時計数率測定を行う際、外部の環境の温度変化等に対し、ファイバー干渉計の光路長差を光子計数中に一定に保つ必要がある。ここではその制御のことをフィードバックロックと呼ぶ。フィードバックロック
は、光子計数に用いない方の経路から出射されるレーザー光の干渉強度に応じて位相変調器(ピエゾ素子) を操作することで、ファイバー干渉計の光路長差を一定に保つことが出来る。本実験では、LabVIEW を用いて干渉強度のモニターを行い、リアルタイムでフィードバック制御を実現することを目指している。構想しているフィードバックロックの概要図を以下に示した。

図 8：フィードバックロックの概要図
図 8 に示したように、パワーメーターで測定した干渉強度を LabVIEW 上でモニターし、干渉強度が一定になるように電圧設定値を電圧発生器に送る。その後電圧発生器から出力される電圧信号によって位相変調器用のドライバを制御し、位相変調器のピエゾ素子に電圧が印加されることでファイバーが伸縮し、光路長差が一定に保たれる。まず初めに、LabVIEW とパワーメーター、および電圧発生器との通信が行えることを確認した。さらにパワーメーターの測定値をリアルタイムでとりこめるプログラムを作成した。また図 9 のファイバー干渉計と接続してデータの読み込みの遅延について確認したところ、LabVIEW を実行して 30 秒ほど置いた後では強度変化を反映するまでの時間は 0.5秒となった。 干渉計の光路長差の変化がこれよりも速い場合はモニター方法の変更が必要である。

図 9：ファイバー干渉計の実験系
6.

まとめ
本研究では、光子の軌道角運動量重ね合わせ状態の検出における余分な成分の混入のシミュレーション、励起光源の設計、および検出系のフィードバック制御の検討を行った。まず、ホログラムをシフトする手法の設計のために、余分な方位格成分の影響が大きくなる実験条件について、ホログラムシフト方向に対する光子対の同時検出確率の振る舞いをシミュレーションで調べ、正弦関数とのズレを評価することで検討した。その結果、励起光源のビーム径が𝑤0 = 800 μmのとき、高次モードの影響が最も現れる条件は、シフト量が𝑑 = 200 μm、検出側の結晶位置でのビーム径が𝑤0 = 400~800 μmということが分かった。
つぎに励起用レーザーのビーム径を実験により見積もり、ガウスビームの伝搬とビーム径の式より、ビームウェスト位置とビームウェスト径を求めた。その結果をもとにビームウェスト径を800 μm にする光学系の設計を行った。
結果として、レンズを 2 枚使う光学系において、励起光源のビームウェスト径800 μmを実現できることが分かった。
最後に、ホログラムの欠陥位置を光軸と一致させた状態で、検出する手法を実現するために、ファイバー干渉計のフィードバックの検討を行った。フィードバックに用いるソフトウェアである LabVIEW と各装置を接続し、データ通信をできるようにした。またファイバー干渉計と LabVIEW を接続し、測定値を取り込めることを確認した。
参考文献[1] 川瀬大輔，「光子の軌道角運動量もつれ合いの生成と制御に関する研究」，北海道大学博士論文，(2009)[2] H. Kogelnik and T. Li, "Laser Beams and Resonators", Proc. IEEE, 54, pp. 1312-1329 (1966)[3] 和田篤, 「位相特異点を持つ光ビームの発生と伝搬に関する研究」, 電気通信大学博士論文, (2006)