微分積分と物理とを接続するための教材開発
青木 禎彦
Yoshihiko Aoki

【概要】
多くの高校生には，数学と物理を全く別な学問として捉える傾向がある。その理由の一つに，物理
基礎及び物理を履修する時期と数学 II 或いは数学 III において微分・積分を履修する時期とにずれがあり，物理の学習に当たって微分積分の学習内容を前提にできないことが挙げられる。加えて，数学
において微分方程式を扱わないために，運動方程式を解こうとすると，公式に当てはめて処理せざるを得ない状況にあるということがある。
この状況は，高等学校における数学科及び理科の学習内容をいたずらに難しくしないという観点か
らやむを得ないものと考えられるが，将来，理学系の研究者や工学系の技術者を目指そうとする生徒
にとっては必ずしも好ましいものではない。
そこで，高等学校における発展的学習のための教材又は高大接続におけるブリッジ教材として，できる限り高等学校で学ぶ数学を基に，線形２階斉次微分方程式を解けるようになることを目標とした教材の開発を試みることとした。

１

はじめに

平成元年（1989 年）改訂の高等学校学習指導要領から，微分方程式が除かれることに

昭和 35 年（1960 年）及び昭和 45 年（1970

なったが，それまでの状況を見ると変数分離年）改訂の高等学校学習指導要領では，「数学

形や，さらには誘導することにより同次形のIII」及び「応用数学」の学習内容に微分方程dy式が含まれており，いずれの科目でも=dx
kx 程度の微分方程式を扱うことになってい微分方程式を扱うことは，大学の理工学系学

た。このうち，「応用数学」は「職業に関する現行の学習指導要領においては，「数学 B」

専門教育で必要とする数学的な概念およびこの数列において簡単な漸化式を扱うことになの概念とそれが応用される事象との関連を理っている。その中で，隣接 3 項間漸化式は発解させ，数学的に処理する能力を養う。」こ

展的な内容になっているものの，現実的に，とを目標にした科目であり，そのような科目

普通科高校においては基本的に扱われているにおいても，選択的内容であったが微分方程内容である。そこで，数列の隣接３項間漸化式に関する単元があり，「数学 III」とほぼ同様

式の解法を基にして，線形２階斉次微分方程の扱いがされていた。続く，昭和 58 年（1978

式を指導することを考える。

部を目指す高校生にとって無理のあるものではなかったと考えられる。

年）改訂の学習指導要領でも，「微分・積分」２

において，それまで学習指導要領と同様に微分方程式を扱っていた。いずれの学習指導要dy= ky 程度」という記述か領においても「dxら分かるとおり，変数分離形の微分方程式が数列の漸化式と関連付ける理由

数列の隣接３項間漸化式

an+2 + pan+1 + qan = 0

中心であった。

1(1)を満たす数列 {an } の集合は線形空間をなし，学習指導要領における「物理」の内容は，同様に線形２階斉次微分方程式

様々な運動 から始まり，そこには「放物運動」が示されている。この点について，学習y ′′ + py ′ + qy = 0(2)

指導要領解説には次のように指示されている。
「ここでは，水平投射及び斜方投射におけの解空間もまた線形空間をなす。式 (1) と式

る速度，加速，重力の働きなどを扱う。空気(2) の解空間をそれぞれ V1 ，V2 とすると，V1の抵抗については，例えば速さに比例する抵と V2 は，線形空間として同じ構造をしてい抗力を受けるとした場合の運動に触れる。」

る。

水平投射及び斜方投射に関しては，微分方

今，V1 において数列 {an } を {an+1 } にずら

程式に関する概念がなくとも，質点の位置す写像を f1 ，V2 において y を y ′ に対応させP (x, y) に対して，その速度及び加速度ベク

る，すなわち，微分するという写像を f2 とおトルがそれぞれ
)
(
)
( 2
dx dy
d x d2 y
,
v=
,
, a=
dt dt
dt2 dt2

く。すると，(1) はan+2 = −pan+1 − qan

(1’)

(5)

であるという理解ができていれば微分と積分であるのでを用いて解くことができる。それに対して，

f1 :

(
)
an+2

(
=

an+1

−p −q
1

)(

0

an+1

)

空気の抵抗を受ける運動については，雨滴の(3)

終端速度などがよく取り上げられ，学習者にan

微分方程式を解くという概念があれば，そのと表すことができる。一方，f2 に関しても

f2 :

( )
y ′′
y′

(
=

−p −q
1

0

)( )
y′

理解はより深まるものと考えられる。
さらに，単振動については，実験等により(4)

その規則性を見出すことに重点が置かれておyり，その趣旨は十分理解できるものの，運動であり，２つの写像 f1 と f2 は同一の行列で方程式（微分方程式）を解くことによる裏付表される線形変換である。すなわち，漸化式

けがあれば，ここでもその理解はより深まる(1) を満たす数列 {an } も，微分方程式 (2) をことが期待できる。

満たす関数 y も同様に求めることができると以上のような観点から，線形２階斉次微分いうことである。

方程式の解法に関する知識をもつこと，しかこのことから，数列の隣接３項間漸化式のも複素数の指数を含めた理解ができているこ

解法を用いて線形２階斉次微分方程式を解くとは物理を学ぶ姿勢に良い影響を与えるもの

ことは，高校生にとって馴染みのあるものでと考えられる。その後に学ぶ，エネルギーやあるばかりか，大学進学後に線形代数を学ぶ

惑星の運動に関しては，１変数の微分・積分上でも有意義であると考えられる。

だけでは対応が難しく，偏微分・重積分或いはベクトル解析の知識も必要となるので，大３

物理における様々な運動

学で学ぶ数学に任せなければならないものの，物体の運動が数式により規定されており，そ2

の数式を適切に処理することで運動の仕組み

５

発展学習としての指導の実際を解き明かすことができる，という理解につながるであろう。また，大学進学後に，機械(1)

速度・加速度と導関数の関係

工学や電気・電子工学等を学ぶ学生にとっては，そこで学ぶ内容の基礎に数学があり，数速度と微分係数又は導関数との関連につい学を学ぶ動機につながるのではないかと期待ては，高等学校数学の教科書においてもかなできる。

りの差がある。例えば，最も多く採択されている「数研出版 新編 数学 II」は，平均の速４オイラーの公式について

さと瞬間の速さについて補充的内容として次のように説明している。


前述のとおり，かつての学習指導要領にお

いては変数分離形の微分方程式が扱われてお物体が静止した状態から重力の影響を受り，数列の隣接３項間漸化式と関連付けるこ

けて落下する運動を考えてみましょう。ことにより，線形２階斉次微分方程式を変数分の運動では，落下する距離を ym とする

離形の微分方程式と同様に解くことができる。

と，y は経過時間 t 秒後の関数で，およそ

ところが，単振動を扱おうとすると オイラー

次の式で表されることが知られています。

y = 4.9t2の公式

eiθ = cos θ + i sin θ

このとき，t = 5 から t = 5 + h までの，(6)

物体の平均の速さは4.9(5 + h)2 − 4.9 × 52(m/s)
hで表されます。

を押さえる必要がある。オイラーの公式は，
通常，関数 y = ex ，y = sin x 及び y = cos xのマクローリン展開の比較から導くことが多ここで，h を 0 に限りなく近づけるときい。これは，高校生にとってかなり高いハーの平均の速さの極限値は，落下し始めてドルとなる。

から 5 秒後における物体の瞬間の速さと一方で，数学 B の指数・対数関数の単元にいえます。

おいて，指数法則が成り立つという観点で，その瞬間の速さは，何 m/s でしょうか。

指数を自然数から整数，有理数，実数への拡

張することを学んでおり，さらに，数学 III の明らかに関数 y = 4.9t2 の t = 5 における微複素数平面の単元においては，ド・モアブル

分係数を求めているのであるが，微分係数との定理を含めて複素数の扱いを体系的に学んいう言葉は用いられていない。数学で学ぶ微でいる。そのことから，実数まで拡張した指分・積分を物理に活用しようと考えれば，速数を複素数の範囲にまで拡張することにより，

度・加速度と微分係数又は導関数との関係をオイラーの公式を直観的に理解することは比明確に説明しおく必要がある。例えば，

較的に受け入れやすいのでないかと考える。
正規のカリキュラム内の学習ではなく発展的な学習内容であるということを考えれば，直観的に受け入れられるという程度で十分であ
ろう。

3





x 軸上を動く質点 P の時刻 t における位置

標を 0 とすると，物体にかかる力は重力のみ

が x = f (t) であるとき，時刻 t から t + h

であってにおける平均の速さは

f (t + h) − f (t)h

鉛直方向上向きに x 軸をとり，地上の x 座

m
(7)

d2 x
= −mg
dt2

(9)

が成り立つ。したがって

d2 x
= −g
dt2

である。ここで h を限りなく 0 に近づける（h → 0 の極限をとる）と，その値は(10)

質点 P の時刻 t における瞬間の速さを表である。そこで，式 (10) の両辺を t で積分すすと考えられる。質点 P の時刻 t におけるとdx= −gt + Cdt

る瞬間の速さを v(t) とおけば

f (t + h) − f (t)h→0hv(t) = limを得る。式 (11) に t = 0 を代入すれば(8)であり，このことは取りも直さず v(t) =dx
であることを表している。
dt



(11)

dx
=C
dt t=0というようなものにより，質点 P の位置を表(12)となって，積分定数 C の表すものが初速 v0であることが分かりdx= −gt + v0
dt

す関数の導関数が速さを表し，さらに質点 Pの速さを表す関数の導関数が加速度であるこ(13)とを示さなければならない。なお，本来は，となる。さらに，式 (13) の両辺を積分した上「速さ」ではなく「速度」を用いなければな

で，t = 0 で題意の物体が地上にあることをらないが，ベクトルの概念を同時に入れるこ

考慮すればとによる混乱を避けるために，ここでは敢え

1x = − gt2 + v0 t
2て「速さ」を用いた。

(2)であり，式 (13) と式 (14) でこの物体の運動

垂直投射


例題１

(14)

を捉えることができるようになる。


質量 m の物体を，地上から鉛直上方に最高点に到達する時刻を t1 とすれば，t = t1での物体の速度は 0 となるので，最高点の高さ H は，式 (14) に t = t1 を代入して求める

初速 v0 で打ち上げた。この物体が到達すことができる。さらに T = 2t1 であることはる最高点の高さ H と，再び地上に戻るま

明らかでありでの時間 T とを求めよ。ただし，物体は回転することなく，空気抵抗などの物体

t1 =にかかる力は重力を除いて無視できるも

H=

v02
,
2g

T =

2v0
g

(15)

が得られる。又は，式 (14) を平方完成する方のとする。また，重力加速度定数は g と
する。


v0
,
g



4

ここで改めて，±eC を C と書けば法も考えられる。

g
x=−
2

(
)2
v0
v02
+
t−
g
2g

y = Cekx

(16)

(19)

を得る。±eC を C としているので，C ̸= 0 でなお，このとき，式 (10) や式 (13) のように，
d2 x dx， などの導関数を含む方程式を微分方
dt2 dt程式ということを説明しておく必要がある。

あるが，関数 y が恒等的に 0 である場合にも微分方程式 (17) を満たしているので，C = 0の場合も含めて，式 (19) が微分方程式 (17) の(3)解であると分かる。この解法を用いて，雨滴

雨滴の運動（終端速度）の運動を求める。
「１ はじめに」に記載したとおり，かつ
例題２て高等学校の数学で微分方程式が扱われていdy
たとき，学習指導要領では= ky 程度のdx
方程式を扱うとされていた。実際，空気抵抗

雨滴は，上空から落下する際に重力と空気の抵抗とを受ける。空気の抵抗は速度に比例し，その比例定数を k と表すこを受ける運動の方程式や線形２階の斉次微分dy方程式を解くためには，= ky が解ければdx十分なのである。

とにする。重力により加速した雨滴は，速度に比例した空気の抵抗も同時に受ける
ので，空気抵抗が増して重力と釣り合う

dy
= ky
dx

と等速運動をすることになる。そして，等(17)

速運動となったときの速度を終端速度とは次のようにして解くことができる。

いう。
雨滴の質量を m として，雨滴の終端速関数 y が恒等的に 0 でなければ，式 (17) の度を求めよ。


両辺を y で割って

1 dy
·
=k
y dx

(18)



鉛直方向下向きに x 軸をとり，雨滴の落下速度を v とする。雨滴は，重力 mg と空気抵となる。この式の両辺を x で積分して
∫
∫
1 dy
·
dx = k dx
y dx
∫
∫
1
dy = k dxy

抗 −kv とを受けるので，運動方程式mdv= mg − kv
dt(20)を満たしている。この方程式を式 (17) の形にするために，次の変数変換を行う。

log | y | = kx + C| y | = ekx+Cv =u+

y = ±eC ekx
すると，

5

mg
k

(21)

dv
= 1，mg − kv = −ku となるの
du

で，微分方程式 (20) はを解くという演習は不要であると考える。か

du
k
=− u
dt
m

つての学習指導要領に示されていたように，(22)

微分方程式 (17) が解ければ十分である。

に帰着することができる。式 (19) に従えば

(5)

u = Ce− m t となり，変数 u を v に戻してkv = Ce− m t +k

mgk

線形２階斉次微分方程式

前述したように，線形２階斉次部分方程式(23)

は，数列の隣接３項間漸化式の解法を参考にを得るが，t = 0 で v = 0 と考えれば
mg
C=−
であるので
k
)
k
mg (
(24)
v=
1 − e− m tkして解く。そこで，まず次の例題を考える。

例題３



{
漸化式

an+2 − 5an+1 + 6an = 0
a1 = 0,mg
ここで，t → ∞ とすると，終端速度がでkあることを示すことができる。

を

a2 = 1満たす数列 {an } の一般項 an を求めよ。

(4)

変数分離形微分方程式



前述のとおり，この漸化式は，教科書で発展的な内容として取り扱われているものの，

ここで，次のことを説明すべきであろう。





dy
= f (x) · g(y)
dx

(25)

大学進学希望者の多い普通科高等学校において必ず扱われるものである。その際，ほとん
どの教員が特性方程式と特性解を用いて指導している。

の式で与えられる微分方程式を変数分離

特性方程式 λ2 − 5λ + 6 = 0 を解いて，特形微分方程式と呼び，微分方程式 (25) は性解 λ = 2 と λ = 3 を得るので

1dy·= f (x)g(y) dxan+2 − 5an+1 + 6an = 0(26)

は次の２通りに変形することができる。
と変形したした上で，両辺を x で積分することにより

∫

1
dy =
g(y)

∫
f (x) dx

(27)

(28)

an+2 − 3an+1 = 2 (an+1 − 3an )(29)

この２つの変形は，２次方程式の解と係数のとして解を求めることができる。
an+2 − 2an+1 = 3 (an+1 − 2an )

変数分離形は，微分方程式として最も基本的関係からも明らかである。式 (28) からは

an+1 − 2an = 3n−1 (a2 − 2a1 ) = 3n−1 (30)
式 (29) からはな形であり，これ以降の微分方程式を解くた

an+1 − 3an = 2n−1 (a2 − 3a1 ) = 2n−1 (31)めの基本となるからである。
ただし，最終的な目標は線形２階斉次微分

したがって，(31) − (30) より

方程式を解くことにあるので，複雑な方程式

an = 3n−1 − 2n−1

6

(32)

を得る。

る題材が，線形空間という共通性から同様に

次に，この漸化式解法を基に線形２階斉次

解けてしまうことは，大学入学後に線形代数

微分方程式の解法を考える。

を学ぶ上でも大変興味深い。


例題４



y ′′ − 5y ′ + 6y = 0

指数の複素数への拡張

(6)

(33)


オイラーの公式については

eiθ = cos θ + i sin θ

例題３の漸化式とまったく同じ形をしている



(40)



ので，次の２つの変形ができる。

の成立を，高校生に発見させることはかなり

y ′′ − 2y ′ = 3(y ′ − 2y)(34)y ′′ − 3y ′ = 2(y ′ − 3y)(35)

難しいと考える。したがって，このように定義することで，指数法則に矛盾なく指数を複素数にまで拡張できることを確認し，理解す′

式 (34) からは，y − 2y が恒等的に 0 ではなる程度に留めることが無難であろう。具体的

いときには，式 (40) と定義したとき

y ′′ − 2y ′=3y ′ − 2y(36)
eiα+iβ = eiα · eiβであるので，両辺を x で積分することにより，∫∴

y ′′ − 2y ′dx = 3y ′ − 2y∫(41)の成り立つことを示せば，式 (40) の定義の妥

dx

当性を確認することができる。

log | y ′ − 2y | = 3x + C

eiα · eiβ= (cos α + i sin β) (cos β + i sin β)となるので，変数分離形の場合と同様に= (cos α cos β − sin α sin β)y ′ − 2y = C1 e3x(37)+ i (sin α cos β + cos α sin β)= cos (α + β) + i sin (α + β)であり，y ′ − 2y が恒等的に 0 になる場合もこ= ei(α+β)の式に含まれる。同様にして式 (35) からはy ′ − 3y = C2 e2x= eiα+iβ(38)が得られるので，(37) − (38) によって，微分

(7)

単振動

方程式 (33) の解をそれでは，これまでの議論を踏まえて，最3x

y = C1 e− C2 e2x(39)

終的な目標である単振動について考えていく。
単振動は，次の運動方程式で規定される運動と求めることができる。

である。

先に述べたように，例題３と例題４の数列の漸化式と微分方程式という一見大きく異な

m
7

d2 x
= −kx (k > 0)
dt2

(42)


例題５



m
で定
k
まることも分かる。このようにして，単振動
よって，単振動の周期に関しては 2π運動方程式 (42) で表される単振動について，x を時刻 t の関数として表わせ。
√ に関しても，運動方程式 (42) からどのような運動をするかを求めることできるのである。
特性方程式がmλ2 + k = 0 であり，特性解√kがλ = ±
i であるから，その解は
m√k√kx = C1 e m i t + C2 e − m i t
(43)

(8)

特性方程式が重解をもつ場合

以上で，高校の物理の力学に関する部分を微分方程式を用いて概観したが，数学的な興である。オイラーの公式を用いると

(

√

√

味としては，特性方程式が重解をもつ場合の)線形２階斉次微分方程式がどのような解をもkkt + i sin
t
m
m
( √
)
√
k
k
+ C2 cost − i sin
t
m
m
√
k
t
= (C1 + C2 ) cosm √kt+ i (C1 − C2 ) sinm

x = C1 cos

つかが残っている。この点について考察をしておきたい。ここでも，まず，数列の隣接３項間漸化式の場合を考えてみよう。

例題６



{
漸化式

an+2 − 4an+1 + 4an = 0
a1 = 0,

ここで，注意しなければならないのは C1 とを

a2 = 1満たす数列 {an } の一般項 an を求めよ。

C2 が複素数であり，x は実数値関数であるという点である。したがって，C1 と C2 は共役複素数であり，C1 + C2 と i (C1 − C2 ) を改め



この漸化式はて C1 と C2 と書けば，運動方程式 (42) の解は次のとおりである。

an+2 − 2an+1 = 2 (an+1 − 2an )√kk
x = C1 cos
t + C2 sin
t
m
m
(√
)
√
k
∴ x = C12 + C22 sin
t + φ (44)
m

C1


 cos φ = √ 2
C1 + C22 を満ただだし，φ はC2
 cos φ = √ 2
C1 + C22
す角

(45)

√

としか変形することができない。ここから

an+1 − 2an = (a2 − 2a1 ) · 2n−1 = 2n−1 (46)を得る。右辺の 2n−1 に着目すると，式 (46) の両辺を 2n+1 で割るという解法が見えてくる。

an+1 an
1
− n =
n+1
2
2
4
an
a1 1
∴
+ (n − 1)=2n24∴ an = (n − 1) 2n−2C1 と C2 は初期条件と呼ばれるものにより√k
は物体の質量変化するが，角速度であるm
である m 及び比例定数 k で定まる値である。
8


例題７


′′

′

y − 4y + 4y = 0



参考文献

(47)


・新編 数学 II（大谷雅則 他／数研出版）
・新編 数学 III（大谷雅則 他／数研出版）

例題６に準じて解くことを考える。
′′

′

′

・物理（國友正和 他／数研出版）
・線形代数入門（斎藤正彦／東京大学出版会）

y − 2y = 2(y − y)(48)

y ′ − 2y = C1 e2x

(49)

であるから

を得る。式 (46) の右辺の形を見て 2n+1 で式(46) の両辺を割ったように，式 (49) の両辺をe2x で割ることを試みる。すると
e−2x y ′ − 2ye−2x y = C1(50)を得るが，この式の左辺は e−2x · y の導関数になっていることに気付く。したがって，次のように解くことができる。
′(e−2x · y) = C1e−2x · y = C1 x + C2
∴

６

(51)

y = (C1 x + C2 ) e2xまとめ

微分方程式は，数学の中で決して易しい分野ではなく，どの高校生にも対応できるものではない。しかしながら，大学で理学や工学を学び，将来的に研究者や技術者を目指す高
校生にとっては，早い時期に慣れ親しむ必要があるものである。物理や機械・電気といった工学の分野を学ぶためには必要不可欠であるので，高等学校の発展的な学習に取り入れることは，意義あることと考える。
上述したような高校生が，微分方程式の解法を習得し，それにより物理や工学分野を興味をもって学ぶことを期待する。

9