透過優位な高フィネス光共振器の作製と評価丹治研究室 石井勇輔を通過する必要がある。また、量子情報処理

１ 序論への応用においては、しばしば、共振器内部

1.1 研究背景の光子を高確率で外部へ取り出すことが重量子力学の原理を利用した量子技術の研要となる。したがってミラーの透過率が散究が近年盛んに行われている。その応用例

乱ロスよりも十分に大きい、透過優位な光である量子通信[1]や量子計算[2]では、重共振器の作製が必要となる。共振器のフィね合わせの原理と非古典的相関を利用する

ネスは透過率と散乱ロスの和で決まるが、ことで、情報の効率的な保存、安全な通信、技術的な限界により散乱ロスには下限が存

高速な計算などを行う。量子通信において在するため、高フィネスミラーにおいては、は、高速かつ低ロスで遠方まで伝達可能な透過優位性の確保が困難である。本研究で光子の利用が前提とされているが、光子同は、このような、散乱ロスよりもミラーから士は直接相互作用しないため、光子によっの透過が優位となるような高フィネス光共て伝達された量子情報の任意の処理を光子振器の作製とその特性評価を行った。

のみで行うことはできない。特にスイッチ
ング[3]やゲート操作[4]などには、物質を2介した非線形光学効果が必要となる。しかし、このような効果の観測には通常高強度共振器の設計

2.1 共振器中の原子と光子の結合強度の光が必要となることから、少数光子ではここでは、図 2.1 のような、光共振器内に実現が困難である。微弱光でも観測可能な捕捉した原子と共振器モード中の光子との非線形光学効果を得ることができる系とし相互作用について議論する。て、光共振器中に捕捉された原子と光子との強い相互作用を利用するものがある [5]。
このような系を扱う研究分野は共振器量子電気力学(cavity QED)と呼ばれる。Cavity
QED 系では、高フィネス共振器を用いることで、光子の電場が十分に増強され、少数光子でも非線形光学効果を観測することができる。
1.2 研究目的
共振器を用いて光子に対する非線形な操図 2.1 Cavity QED 系の概念図作を行う多くの場合、光子は共振器モード1

共振器モードの共鳴角周波数𝜔と原子の𝜂=共鳴角周波数𝜔0 が一致している場合、原子24ℱ
𝜋𝑘 2 𝑤0 2(2.4)

は光子を吸収し放出することができる。つと書き換えることができる。この式から、原

まり、原子と光の相互作用により原子と光子と光子の相互作用を強めるためには、フ共振器モードの間でエネルギーの交換が行ィネスℱを大きくする、または共振器モーわれる。この時の原子-光子相互作用の強度ドのウェイスト𝑤0 を小さくするという二通は真空ラビ周波数𝑔と共振器中の光の減衰りの方法が考えられる。

レート𝜅、原子からの自然放出レート𝛾の三共振器モードのウェイスト𝑤0 とミラーのつのパラメータによって決まる。

曲率半径𝑅の関係は真空ラビ周波数𝑔は原子と共振器中の真𝑤0 2 =空場の間の相互作用エネルギー𝐸に対応す

𝜆𝐿 2𝑅√ −12𝜋 𝐿(2.5)

る角周波数であり、𝐸 = ℏ𝑔である。𝐸は遷移である。ここで𝜆は原子の共鳴波長である。の電気双極子行列要素𝜇12 と真空電場ℰ𝑣𝑎𝑐

また本研究で用いる共振器長は𝐿=によって21.93 mmである[6]。したがって、モードの𝐸 = |𝜇12 ℰ𝑣𝑎𝑐 |ウェイスト𝑤0 はミラーの曲率半径𝑅にのみ(2.1)

依存する。ここで𝜂と𝑅の関係はと表されるので、真空ラビ周波数𝑔は共振器
𝜂=モードの体積𝑉0 と共振角周波数𝜔を用いて以下のように表すことができる。
2𝜔𝜇12𝑔=√2𝜖0 ℏ𝑉048ℱ
𝜆𝑘 2 √𝐿(2𝑅 − 1)(2.6)と表され、図 2.2 のようになる。
(2.2)

𝑔 ≫ 𝜅, 𝛾の時を強結合、𝑔 ≪ 𝜅, 𝛾の時を弱結合と呼ぶ。
2.2 共振器パラメータの決定Λ型三準位系の暗状態を利用して非線形操作を行う場合、𝑔と𝜅, 𝛾の大小関係を表す、単一原子協働パラメータ
𝜂=4𝑔 2𝜅𝛾

図 2.2 単一原子協働パラメータ𝜂とミラーの曲率半径𝑅の関係(2.3)

𝜂はできるだけ大きいことが好ましいが、が重要となる。共振器のTEM00 モードにお図 2.2 の破線で囲まれた領域では共振器がいては、共振器の中心軸上かつ定在波の腹幾何学的に不安定になってしまうため、ミの位置で𝜂の値が最大値を取る。その時、式ラーの曲率半径を𝑅 = 12 mmと決定した。

(2.3)は、フィネスℱ、共振器モードのウェイ次にフィネスℱについて考える。フィネ

スト𝑤0 、原子の共鳴周波数に対応する波数

スは共振器ミラーの透過率𝒯と散乱ロスℒ

𝑘を用いてのみで以下のように表すことができる。
2ℱ=𝜋𝒯+ℒーの波長𝜆 = 780.246 nmを用いると、𝑤0 =(2.7)

2.89 × 10−2 mmとなった。

そこで、一般的な散乱ロスの下限であるℒ ≈ミラー表面におけるビーム径𝑤1 は𝑤0 と10 ppm程度と比較して十分に透過優位とビームウェイストからの距離𝑧及び、レイリなるよう透過率𝒯 = 50 ppmと決定し、特注ー長𝑧𝑅 によってミラーの作製を依頼した。この時の要求仕

𝑧 2
𝑤1 = 𝑤0 √1 + ( )𝑧𝑅

様は表 2.1 の通りである。これにより想定(2.8)

される光共振器のフィネスの値は52000 ≲と書ける。この式に𝑧 = 𝐿/2 = 10.965 mmをℱ < 63000となる。

代入して、ビーム径𝑤1 を求めると、𝑤1 =9.86 × 10−2 mmとなった。このミラー表面

表 2.1 特注ミラーの要求仕様
曲率半径𝑅12 mmの位置を空間発展の計算の起点とした。ま

表面粗さ𝑅𝑎< 1.7 Å

た、共振器を超高真空チャンバー内に設置

反射率ℛ99.995 ± 0.005 %する都合上、モードマッチ用レンズ間距離透過率𝒯50 ± 20 ppmを50 mm程度に収める必要があるため、𝑓 =散乱ロス(目標値)ℒ< 10 ppm

25 mmと決定した。
まず、モードマッチレンズから背面焦点距離(BFL)離れた位置でビームウェイスト

2.3 光共振器へのモードマッチ共振器ミラーの特性評価を行うにあたり、を形成するための𝑑′と、その時のビームウェイストを求めた。その際に用いた ABCD

外部から入射したレーザー光を共振器とモードマッチさせるための光学系の設計を行𝐴(𝐶う。ミラーの特性評価を行う試験用共振器

1𝐵
1 𝑑′′)=() (− 1𝐷
0 1𝑓011) (0𝑑′)1(2.9)

は図 2.3 のようになっており、𝑑′およびモー1(0ドマッチ用レンズの焦点距離𝑓を決定する必要がある。

01𝑛2 ) ( 1 𝑑) (𝑛2 −𝑛10 1𝑛1𝑅𝑛20𝑛1 )𝑛2行列は以下の通りである。
このとき、波面の曲率半径の逆数1/𝑅𝑑′の、𝑑′による依存性は図 2.4 のようになることが分かった。

図 2.3 試験用共振器の概略図
そこで、共振器モードの、共振器外への空間発展について計算した。共振器の中心におけるビームウェイスト𝑤0 は、ミラー表面での共振器モード波面の曲率半径がミラーの曲率半径に等しいことから、式(2.5)より

図 2.4 モードマッチレンズから BFL の距求められ、曲率半径𝑅 = 12 mm、入射レーザ離における曲率半径の逆数の距離𝑑′依存性3図 2.4 よりモードマッチレンズから BFL のの透過光強度は相補誤差関数を用いて表す

距離でビーム波面の曲率半径が𝑅 = ∞に最ことができ[7]、も近い値となるのは𝑑 ′ = 14.22 mmの時で𝐼𝑡 (𝑡) =あった。そして、その時の BFL の位置でのビーム径は𝑤1 = 0.305 mmとなった。そこ

𝐼𝑖 𝒯 2 𝜔𝐹𝑆𝑅,0𝜋exp [−4 ℛ2 𝛺ℱ𝜔𝐹𝑆𝑅,0 𝜙1 (𝑡)−2] |𝑒𝑟𝑓𝑐[Λ(𝑡)]|2𝛺ℱ(3.3)となる。ここでΛ(𝑡)はで、この条件を満たすように入射ビームの1空間モードを整形した。

Λ(𝑡) =

1 − 𝑖 𝜔𝐹𝑆𝑅,0 2 𝜋 1 + 𝑖()−𝜋𝛺ℱ 2√22√2(3.4)

3[2𝜙1 (𝑡) (光共振器の特性評価

3.1𝜔𝐹𝑆𝑅,0𝜋𝛺12) −(𝜋𝛺𝜔𝐹𝑆𝑅,012) ]である。

Cavity ring-down 法によるフィネス

実際に観測された典型的な ring-down スの測定ペクトルを図 3.2 に示す。ここで透過光強光共振器の特性であるフィネスを、cavityring-down 法[7]を用いて測定する。この方法は、高フィネス光共振器の長さを高速で変化させたときに、共振器内を異なる回数往復した光同士が干渉し合うことで、共振器からの透過光強度が振動しながら減衰する ring-down 効果を利用したものである。

図 3.2 典型的な ring-down スペクト

この方法では、図 3.1 のように片側のミラーの位置が速度𝑣で変化する Fabry-Pérot

度が最初に極大値を取る時刻𝑡1 と二回目の共振器にレーザー光を入射し、透過光強度

時刻𝑡2 と時間差∆𝑡はの時間変化を測定する。

∆𝑡 =(√5 − 1)2√2𝜋𝛺𝜔𝐹𝑆𝑅,0(3.5)

ルとなる。
また、透過光強度はexp(−𝑡/𝜏)に従って減

図 3.1 共振器長の掃引衰する。ただし、𝜏は共振器の緩和時間であり、以下の式で表される。

透過光は共振器内を往復した光同士の重ね合わせと考えることができ、(𝑛 − 1)回往𝜏=復した場合の位相シフト𝜙𝑛 (𝑡)は、一度も往2𝜋𝑑(𝑡)/𝜆を用いて𝜙𝑛 (𝑡) = (2𝑛 − 1)𝜙1 (𝑡) − 𝜋𝑛(𝑛 − 1)

𝜔𝐹𝑆𝑅,0(3.6)

これより強度𝐼1 と𝐼2 の間には復せずに透過した光の位相シフト𝜙1 (𝑡) =𝛺ℱ𝑑0ℱ=𝜋𝑐𝜔𝐹𝑆𝑅,0𝐼1∆𝑡= exp ( )𝐼2𝜏
(3.1)の関係が成り立ち、と表される。フィネスℱが十分に大きい時
4(3.7)

𝜋𝑐∆𝑡𝐼1= ℱ ln ( )𝑑0𝐼2て考える。このとき、共振器のモードマッチ(3.8)

係数を𝜖とすると、入射光𝑃𝑖𝑛 と透過光𝑃𝑟 の関と書き直せる。

係はミラーの速度𝑣を変化させ、𝜋𝑐∆𝑡/𝑑0 を𝑃𝑡ℱ 2ℱ 2= 4𝒯1 𝒯2 ( ) = 𝒯 2 ( )𝜖𝑃𝑖𝑛2𝜋𝜋ln(𝐼1 /𝐼2 )に対してプロットすることで、図3.3 を得た。得られたデータを直線で近似し、その傾きから、式(3.7)を用いてフィネスℱ(3.9)となり、入射光𝑃𝑖𝑛 と反射光𝑃𝑟 の関係は𝑃𝑟 − (1 − 𝜖)𝑃𝑖𝑛𝜖𝑃𝑖𝑛を求めた。その結果、フィネスはℱ = (2.4 ±(3.10)ℱ 2ℱ 2= (ℒ1 + ℒ 2 + 𝒯1 − 𝒯2 )2 ( ) = ℒ 2 ( )2𝜋𝜋となる。式(3.9)と式(3.10)から𝜀を消去すると、透過率と散乱ロスをそれぞれ、

図 3.3

Cavity ring-down の測定結果

𝑃𝑡
2()
𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛
𝒯=𝑃𝑡ℱ( )(− 1)
𝜋 𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛(3.11)𝑃𝑡
𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛ℒ=𝑃𝑡ℱ( ) (1 −)𝜋𝑃𝑟 − 𝑃𝑖𝑛(3.12)

1+0.1) × 104 と求まった。ミラーの設計値から想定されたフィネスはℱ = 5.2 × 104 であっと表すことができる。これらの式より、透過たことから、想定されたよりも大幅に低い率と散乱ロスは共振器のフィネスℱと共振値となったことがわかる。

器の入射光𝑃𝑖𝑛 、反射光𝑃𝑟 、透過光𝑃𝑡 のみによって求められることが分かる[8]。

3.2 共振器の透過率及び散乱ロスの評価

透過率と散乱ロスの測定は、図 3.5 のよ

Cavity ring-down 法によって求められたうな光学系を用いて行った。アバランシェ

共振器のフィネスℱを用いて、共振器の透過率𝒯と散乱ロスℒを求める。ここで図 3.4のような状況を考える。一般には、ミラーの図 3.5 測定に使用した実験系
図 3.4 損失の測定における光共振器フォトダイオード(APD)によって測定した
透過光パワーと反射光パワーの測定結果の透過率及び散乱ロスは、ミラーの個体ごとに異なるが、ここでは𝒯1 = 𝒯2 、ℒ1 = ℒ2 とし5

一例を図 3.6 と 3.7 にそれぞれ示す。このとである。さらに、ミラーのコーティングは入射角が０°で設計されている一方で、特性評価の際にはレーザーが共振器に対して5.7 °の角度を持って入射していた。これによって透過率が下がった可能性も考えられる。

4

図 3.6 透過光パワーの測定結果

まとめと今後の展望
本研究では共振器を使用した少数光子による非線形光学効果の観測に向けて透過優位な光共振器の作製とその評価を行った。
作 製 した 共振 器の フィ ネ スは ℱ = (2.4 ±0.1) × 104 となり、これを用いて求めた透過率と散乱ロスは、それぞれ𝒯 = 31 ± 2 ppm、
図 3.7 反射光パワーの測定結果ℒ = 106 ± 5 ppmmとなった。これは先行研
究[9]で特性評価を行ったミラーよりも透とき、入射光パワーは過優位であった。また、この共振器の単一原

𝑃𝑖𝑛 = 3.130 ± 0.004 μW

子協働パラメータは𝜂 = 3.3 ± 0.1であり、光であり、複数回の測定結果を用いて求めた子同士の非線形な相互作用の観測が可能で反射光𝑃𝑟 および透過光𝑃𝑡 はあることが分かった。

𝑃𝑟 = 3.051 ± 0.004 μW

今後の展望としては、非線形光学効果の𝑃𝑡 = 0.024 ± 0.006 nW観測を目指す上で、今回特性評価を行ったとなった。これらの結果より式(3.11)と式ミラーと先行研究[9]で特性評価を行った(3.12)を用いて透過率と散乱ロスを求めるミラーのどちらを使用するかを検討する。と𝒯 = 31 ± 2 ppm

参考文献ℒ = 106 ± 5 ppm[1] Brassard, G. Found Phys 33, (2003).となった。

[2] Barenco, A. et al., Phys. Rev. A 52, (1995).

透過率は納品前のモニターガラスでの測[3] Volz, T. et al., Nat. Photonics. 6, (2012).

定値である60 ppmよりも低く、散乱ロスは[4] Daniel Tiarks et al., Nat. Phys. 15, (2019).

想定よりも大きくなってしまっている。こ[5] Haruka Tanji-Suzuki, et al., Science 333, (2011).の原因として考えられることはモニターガ[6] 田中貴大 修士論文. 電気通信大学, (2020).

ラスは平面である一方、使用したミラーは[7] N. V. Vitanov et al., Rev. Mod. Phys. 89, (2017).

12 mm の曲率半径を持っているため、研磨[8] Christina J. Hood et al., Phys. Rev. A 64, (2001).

およびコーティングがより困難であったこ[9] 荒木陸 修士論文. 電気通信大学, (2021).

6