量子コホモロジーの整構造について(INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY)入谷寛(HIROSHI IRITANI)

Abstract. We discuss integral structures in the space of solutions to quantum
cohomology differential equations (quantum D-modules) associated to quantum
cohomology. In mirror symmetry, the quantum D-module of a manifold X becomes
isomorphic to the (semi-infinite) variation of Hodge structures (VHS for short) of
the mirror. The VHS of the mirror is equipped with an integral local system, so
a natural question is “what is the integral structure in the quantum D-module
corresponding to the mirror?” We study this problem in the case where X is atoric orbifold and see that the integral structure coming from the mirror can be
described only in terms of the K-group K(X) and a certain characteristic class(Γ̂-class). This article is a résumé of the results on integral structures in [8].

1. 序
本稿では量子コホモロジーに付随する微分方程式系 (量子 D 加群) の解空間における整構造について論じる．ここで考える整構造はたとえば整数環係数のコホモロジー群 H ∗ (X, Z) とは直接の関係はないが，ミラー側に移ると自然に見ることのできるいわば「隠された」整構造である．
超弦理論におけるミラー対称性によれば，Calabi-Yau 多様体 X に対してあるミラー
Calabi-Yau 多様体 X ∨ があって，X の量子コホモロジーから定まる Hodge 構造の変動 (A 模型 VHS) と X ∨ の複素構造の変形の定める Hodge 構造の変動 (B 模型 VHS)とが同型になると予言されている．ここで，B 模型 VHS における局所系，すなわちGauss-Manin 接続の平坦切断の空間は H n (X ∨ , C) であり，整部分格子 H n (X ∨ , Z) を自然に含んでいる．一方，A 模型 VHS における局所系は X の量子微分方程式の解空間として定まるが，ここにはアプリオリに自然な整格子は存在しないように見える．
ミラー側で自然に存在する整構造を量子コホモロジー側に引き戻すとどのように見えるか，というのが本研究の動機となっている．
本稿の構成は以下のとおりである．まず軌道体量子コホモロジーを導入し，トーリック軌道体のミラーである Landau-Ginzburg 模型を記述する．次にこのトーリッ
クのミラー (Landau-Ginzburg 模型) から引き戻される整構造を具体的に記述する．
この場合，量子コホモロジーに引き戻された整構造はトーリック軌道体の位相不変量 (K 群とある特別な特性類) だけによって記述される．
本稿は論文 [8] の整構造に関する結果の要約である．

2. 軌道体量子コホモロジー
本稿では一般に軌道体にたいする量子コホモロジーを考える．量子コホモロジー
は種数が 0 の Gromov-Witten 理論により定義されるが，軌道体 Gromov-Witten 理論
1

2(HIROSHI IRITANI)

入谷 寛

はシンプレクティック幾何学の文脈では Chen-Ruan [5, 6] により，代数幾何学においては Abramovich-Graber-Vistoli [1] により開発された．軌道体コホモロジーおよびその量子コホモロジーの詳しい解説はこれらの文献に譲る．X を滑らかな DeligneMumford stack でその coarse moduli space X が射影的であるものとする．IX を Xの慣性スタックとする．IX の点は X の点 x ∈ X とその自己同型群の元 g ∈ Aut(x)の組 (x, g) で代表される．以下では g を stabilizer とも呼ぶ．T を慣性スタックの連結成分の添え字集合とし，IX を次のように成分に分解する．
G
G
IX =Xv = X0 t
Xv
v∈T0

v∈T

ここで，T = T0 t {0} であり，X0 は自明な自己同型 g = 1 に対応する IX の成分をあらわし，X0 ∼= X である．各慣性スタックの成分 Xv には age と呼ばれる有理数 ιv∗が定まる．軌道体コホモロジー Horb
(X ) はMpHorb(X ) =
H p−2ιv (Xv )v∈T,p−2ιv ∈2Zで定義される．ここで p は一般に有理数である．本稿では慣性スタック上の偶数次のコホモロジー類のみを考えることにする (すなわち p − 2ιv が偶数)．inv : IX → IX
を (x, g) を (x, g −1 ) に送る対合とする．inv は添え字集合の間の写像 inv : T → T を誘導する．ここで inv(Xv ) = Xinv(v) である．軌道体 Poincaré ペアリングは次で定義される．
Zα ∪ inv∗ β(α, β)orb =IX

種数 0 の軌道体 Gromov-Witten 理論は軌道体コホモロジー上のある n 重線型な写像(相関函数) を定める．
∗
h·, . . . , ·i0,n,d : Horb
(X )⊗n → C.
ここで，d ∈ H2 (X, Z) は coarse moduli space X 上の 2 次の整ホモロジー類である．
Eff X ⊂ H2 (X, Z) を X 内の effective curve の代表する整ホモロジー類によって生成される半群とする．Gromov-Witten 相関函数は正則曲線を数え上げる不変量であり，d ∈ Eff X のときに限り 0 でない値を持つことができる．軌道体量子コホモロジーと∗は軌道体コホモロジー上の可換環の構造の族 (Horb(X ), ◦τ ) として与えられる．ここ∗で ◦τ は τ ∈ Horb
(X ) でパラメトライズされる積であって，種数 0 の Gromov-Witten
不変量を使って次のように定義される．
*
n times +z }| {X X 1(α ◦τ β, γ)orb =α, β, γ, τ 0 , . . . , τ 0ehτ0,2 ,di .
n!
n≥0d∈Eff X0,n+3,d

ここで，τ = τ0,2 + τ 0 であって τ0,2 ∈ H 2 (X0 ) は τ の H 2 (X0 ) 成分をあらわす．この積 ◦τ は τ 0 に関しては形式的冪級数，τ0,2 に関しては形式的 Fourier 級数とみなすことができる．一般にこの級数の収束は知られていないが，本稿では ◦τ はある開集合∗
U ⊂ Horb(X ) 上で収束すると仮定する．U は十分大きい M > 0 と十分小さい ² > 0に対し次のような形の領域を含む．これは極大体積極限 (large radius limit) の近傍と呼ばれる．
{τ ; <hτ0,2 , di < −M, ∀d ∈ Eff X \{0}, kτ 0 k < ²}.

量子コホモロジーの整構造について (INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY) 3

3. 量子微分方程式∗∗{φi }N(X ) の斉次な基底とし，ti をこの基底に双対な Horb
(X ) 上の線型座
i=1 を Horb
PN i∗(X ) の一般の点をあらわす．{φi }N標とする．τ = i=1 t φi によって Horbi=1 を軌道体
N
Poincaré ペアリングに関して {φi }i=1 と双対な基底とする．量子微分方程式 (量子 D∗∗∗加群) は自明なベクトル束 Horb
(X ) × Horb
(X ) → Horb
(X ) 上のパラメータ z ∈ C を持つ平坦接続 ∇ により定まる．

(1)

∇i =

∂
1
+ (φi ◦τ ).
i∂tz

コホモロジーに値をとる函数 s(τ, z) に対する微分方程式 ∇i s(τ, z) = 0 を量子微分方程式と呼ぶことにする．この平坦接続 ∇ はさらにパラメータ z の方向に拡張され，∗∗∗
b を定める．
(X ) × C∗ ) → Horb
(X ) × C∗ 上の平坦接続 ∇(X ) × (Horb
ベクトル束 Horbb i = ∂ + 1 (φi ◦τ )∇∂ti z
b z∂z = z∂z − 1 E ◦τ +µ
∇
z

(2)

∗
ここで µ ∈ End(Horb(X )) および Euler ベクトル場 E は

1
1µ(φi ) = ( deg φi − dimC X )φi ,2
2NX
deg φi i)t φi + c1 (X ),
E=
(1 −
2
i=1
b = 0 も量子微分方程式と呼ぶ．2 次のコホモロジー類で与えられる．方程式 ∇s22
τ0,2 ∈ H (X , C) の Horb (X ) への作用を
τ0,2 · τ = pr∗ (τ0,2 ) ∪ τ
で定義する．ここで pr : IX → X は自然な射影である．量子微分方程式 (1) の基本解は gravitational descendant と呼ばれる Gromov-Witten 不変量によって与えられる．
∗
Proposition 3.1. End(Horb(X )) に値をとる函数 L(τ, z) を次で定義する．
ÀX
¿
N
X
X
1 e−τ0,2 /z φ 0−τ0,2 /z0L(τ, z)φ = e
φ−, τ , . . . , τ , φk
φk .
l!
z
+
ψ
1
0,l+2,dk=1(d,l)6=(0,0), d∈Eff X

P
ここで，(z +ψ1 )−1 は z −1 の冪級数 n≥0 (−1)n z −n−1 ψ1n に展開するものとする1．これは ∇i L(τ, z)φ = 0 を満たし，∇ の平坦切断の基本解を与える．さらに，L(τ, z)z −µ z ρ φb i (L(τ, z)z −µ z ρ φ) = 0, ∇b z∂z (L(τ, z)z −µ z ρ φ) = 0 を満たし，∇b の平坦切断の基本
は∇
2
−µ ρ
解を与える．ここで，ρ := c1 (T X ) ∈ H (X ) であり，z z = e−µ log z eρ log z である．
1一般に非負整数 k , . . . , k
1∗
r と αi ∈ Horb (X ) に対してDEX
α1 ψ1k , α2 ψ2k2 , . . . , αr ψrkr

0,r,dの形の不変量が定義され，gravitational descendant と呼ばれる．ψi は i 番目の点での余接直線束 Li の第一 Chern
類をあらわす．ここで Li は安定写像のモジュライ空間上の直線束であって，ひとつの安定写像におけるファイバーは曲線の i 番目の名前つき点での余接空間で与えられる．

4

入谷 寛

(HIROSHI IRITANI)

b = 0 の解空間 S にペアリング (·, ·)S を導入する．量子微分方程
量子微分方程式 ∇s
式の解 s1 (τ, z), s2 (τ, z) に対して
(s1 , s2 )S := (s1 (τ, eπi z), s2 (τ, z))orb
とおく．ここで，s1 (τ, eπi z) は s1 (τ, z) を道 [0, 1] 3 θ 7→ eπiθ z に沿って解析接続したものを表す．s1 , s2 は平坦ゆえ，右辺は τ, z によらない複素数になる．このペアリン
グは一般には対称でも反対称でもないが，X が Calabi-Yau(ρ = c1 (X ) = 0) のときはX の次元 n の偶奇に応じて対称または反対称になる．

b =0
Definition 3.2. 軌道体量子コホモロジーにおける整構造とは量子微分方程式 ∇sN∼の解空間 S (N 次元 C ベクトル空間) の整格子 SZ = Z であって，上のペアリング(·, ·)S の SZ への制限が Z に値をとり，完全 (perfect) ペアリングになる (同型 SZ ∼=Hom(SZ , Z) を誘導する) ものと定義される．
(·, ·)S : SZ × SZ −→ Z.
この定義だけでは整構造は一意には決まらず，この定義を満たす多くの整構造があると思われる．ここでは簡単のため省略したが，[8] では整構造に対して，極大体
積極限のまわりでの局所モノドロミーで保存される，という条件も課しており，これは整構造の強い制約を与える．(ただし，この条件を課してもやはり一意ではない．)
以下ではそのようなひとつの整構造の例を挙げる．

4. 整構造の例
K(X ) を位相的な軌道体複素ベクトル束 (orbifold vector bundle; orbibundle) のGrothendieck 群とする．IX 上の軌道体ベクトル束 V と IX の成分 Xv に対して，
V |Xv への Xv の stabilizer の作用に関する固有分解を次のようにおく．
M
Vv,f .
V |Xv =
0≤f <1

ここで，Xv の stabilizer は Vv,f に exp(2πif ) で作用する．軌道体複素ベクトル束に
e : K(X ) → H ∗ (IX ) は次で定義される．
対する Chern 指標 ch
M Xe ) :=ch(Ve2πif ch((pr∗ V )v,f )v∈T 0≤f <1

ここで pr : IX → X は自然な射影である．X 上の軌道体ベクトル束 V に対して，δv,f,i ,f : K(X ) → H ∗ (IX ) は
i = 1, . . . , lv,f を (pr∗ V )v,f の Chern roots とする．Todd 類 Td
次で定義される．
MYY
1
δv,0,i
f )=
Td(V
.
−δ
−2πif
1−e
e v,f,i1 − e−δv,0,iv∈T 0<f <1,1≤i≤lv,f

f =0,1≤i≤lv,0

軌道体ベクトル束が正則ベクトル束の構造を持つとき，コホモロジー群
H i (X , V )Pniiが定義されるが，正則オイラー標数 χ(V ) :=i=1 (−1) dim H (X , V ) は次の川崎Riemann-Roch 公式 [9] で与えられる．
Ze ) ∪ Td(Tf X ).
ch(V(3)
χ(V ) =
IX

量子コホモロジーの整構造について (INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY) 5

χ(V ) は定義から整数である．X 上の軌道体ベクトル束 V の Γ̂ 類を次で定める．
Γ̂(V ) :=

lv,f
M Y Y

Γ(1 − f + δv,f,i ) ∈ H ∗ (IX ).

v∈T 0≤f <1 i=1

ここで δv,f,i は上と同じものである．右辺に現れる Gamma 函数は 1 − f > 0 でのTaylor 級数に展開されていると考える．また Γ̂X := Γ̂(T X ) とおく．
ここで，次の仮定をおく．
e : K(X ) → H ∗ (IX ) は C をテンソルすると同型になる．
(A1) 写像 ch(A2) 川崎-Riemann-Roch 公式の右辺 (3) は任意の位相的な軌道体ベクトル束 V に対して整数である．一般の (正則とは限らない) 軌道体ベクトル束 V に対して
χ(V ) を (3) の右辺で定義する．
(A3) K(X ) のペアリング (V1 , V2 ) 7→ χ(V1 ⊗ V2 ) は全射 K(X ) → Hom(K(X ), Z) を誘導する．
これらの性質は多様体に関しては正しい．また軌道体が位相軌道体として M/G（Mはコンパクト多様体，G はコンパクト Lie 群で G の M への作用の固定部分群は有限）の形を持つとき，(A1) は Adem-Ruan の分解定理 [2]，(A2) は川崎による指数定理 [10] から従う．

Definition 4.1. 滑らかな Deligne-Mumford stack X に対して条件 (A1), (A2), (A3)を仮定する．K 群から量子微分方程式の解空間 S への写像 Ψ を次で定める．
Ψ : K(X ) −→ Sµ[V ] 7−→ L(τ, z)z

−µ ρ

z

¶
1
deg /2∗ eΓ̂X (2πi)inv ch(V ) .
(2π)n/2

b の基本解であり，(2πi)deg /2 はここで，L(τ, z)z −µ z ρ は Proposition 3.1 であたえた ∇H 2p (IX ) 上で (2πi)p 倍として定義される End(H ∗ (IX )) の元である．仮定 (A1) の下で Ψ(K(X )) ⊗Z C = S であり SZ は S の整格子を与える．写像 Ψ は(Ψ(V1 ), Ψ(V2 ))S = χ(V1 ⊗ V2∨ )を満たし，解空間のペアリング (·, ·)S は向井ペアリングに対応する．したがって仮定(A2)，(A3) の下で (·, ·)S の SZ への制限は Z に値をとる完全ペアリングになる．この整格子 SZ の定める整構造を Γ̂-整構造と呼ぶ．
写像 Ψ がペアリングを保つことは川崎-Riemmann-Roch とガンマ函数の函数等式
Γ(1 − z)Γ(1 + z) = πz/ sin(πz) から従う．この函数等式は Γ̂ 類が Todd 類の二乗根の類似であり，Ψ(V ) は向井ベクトルの類似であることを示している．しかし，Γ̂ 類
は Todd 類の二乗根と異なり有理数体上定義された特性類ではない (オイラー定数 γやゼータ函数の値 ζ(3), ζ(5), ... 等を含むので，おそらく超越的であろう)．

5. トーリック軌道体
記号を定めるため，本節ではトーリック軌道体の一つの定義を与える．トーリッ
ク軌道体を次のデータから構成したい．
• r 次元の代数的トーラス T ∼= (C∗ )r ．L := Hom(C∗ , T) とおく．

6

入谷 寛

(HIROSHI IRITANI)• m
個の (順序付けられた) 元 D1 , . . . , Dm ∈ L∨ = Hom(T, C∗ ) で L∨ ⊗ R =Pm
i=1 RDi を満たすもの．
• 元 η ∈ L∨ ⊗ R.
D1 , . . . , Dm は準同型 T → (C∗ )m を定める. トーラス T をこの準同型により Cm に作用させる．
X
A := {I ⊂ {1, . . . , m} ;R>0 Di 3 η}.
i∈Iとおき，商スタック X を次で定める．

X = [Uη /T],Uη := Cm \

[

CI ,

I ∈A
/

ここで CI := {(z1 , . . . , zm ) ; zi = 0 for i ∈/ I} とおいた．このままでは X はコンパク
トかつ (stack の意味で) 滑らかなトーリック軌道体になるとは限らない．そこで最初のデータに次の条件を課す．

(A) {1,
P . . . , m} ∈ A.
(B) i∈I RDi = L∨ ⊗ R for
I ∈ A.
Pmm(C) {(c1 , . . . , cm ) ∈ R≥0 ;i=1 ci Di = 0} = {0}.
条件 (A), (B)，(C) は X が非空，固定部分群が有限，X がコンパクトであることにそれぞれ対応する．X の次元は n := m − r である．
D1 , . . . , Dm は次の完全列を定める．

(4)(D1 ,...,Dm )β0 −−−→ L −−−−−−→ Zm −−−→ N −−−→ 0,

ここで N は 2 番目の写像 (D1 , . . . , Dm ) の余核として定まる有限生成アーベル群である．f1 , . . . , fm を Zm の標準的な基底とし，bi を fi の N における像 β(fi ) とする．
必要なら番号を付け替えて，1 ≤ i ≤ m0 に対しては {1, . . . , m} \ {i} ∈ A であり，m0 < i ≤ m に対しては {1, . . . , m}\{i} ∈/ A であると仮定する．Borisov-Chen-Smithの意味での X の stacky fan は次で与えられる．

• N のベクトル b1 , . . . , bm0 ．
• 一次元錘の集合が{R≥0 b1 , . . . , R≥0 bm0 } に一致する N ⊗ R 内の完備な単体的P
扇 Σ．σI = i∈I/ R≥0 bi が Σ の錘であることと I ∈ A は同値．
Borisov-Chen-Smith [3] はトーリック Deligne-Mumford stack をこの stacky fan から構成した．実は，我々の構成は coarse moduli space が射影的である全てのトーリッ
ク Deligne-Mumford stack を与えることもわかる．
L∨ = Hom(T, C∗ ) の元 ξ は X 上の軌道体直線束 Lξ を定める．
Lξ = Uη × C/(z, a) ∼ (t · z, ξ(t)a), t ∈ T.
対応 ξ 7→ Lξ により全射 L∨ → Pic(X ) ∼= H 2 (X , Z) が定まる．この全射の核はP∨
2
Di であらわi>m0 ZDi である．この全射による Di ∈ L の H (X , C)
P における像を∨∨0
す．また，L の整基底 p1 , . . . , pr であって pr +1 , . . . , pr が i>m0 RDi ∩L の整基底をなPr 0
すものをとっておく．このときある整数成分の行列 (mia ) に対して Di = a=1 mia pa ,1 ≤ i ≤ m0 とかける．ここで同様に pa ∈ H 2 (X , C) は pa ∈ L∨ の像である．

量子コホモロジーの整構造について (INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY) 7

L ⊗ Q の部分集合 K, Keff を次で定める．
K = {d ∈ L ⊗ Q ; {i ∈ {1, . . . , m} ; hDi , di ∈ Z} ∈ A},
Keff = {d ∈ L ⊗ Q ; {i ∈ {1, . . . , m} ; hDi , di ∈ Z≥0 } ∈ A}.
K および Keff は足し算では閉じていないが，K には L が作用する．次の集合 Box を定義する．
X
Box = {v ∈ N ; v =ck bk in N ⊗ Q, ck ∈ [0, 1), I ∈ A}.
k∈I/d ∈ K は Box の元 v(d) を定める．
mXv(d) :=
dhDi , diebi ∈ N .
i=1

この写像 d 7→ v(d) は K → K/L を通じて分解し，これにより K/L と Box は同一視される．v(d) ∈ Box は慣性スタック IX の成分 Xv(d) を定める．

Xv(d) = {[z1 , . . . , zm ] ∈ X ; zi = 0 if hDi , di ∈/ Z}√
Xv(d) の stabilizer は exp(−2π −1d) ∈ L⊗C∗ ∼= T により与えられるものと定義する．
Xv(d) は d のとり方によらず，Box の元 v(d) のみに依存して決まる．Xv(d) の age は
0

m
m
X
X
ιv(d) := age(Xv(d) ) ={−hDi , di} ={−hDi , di}.
i=1で与えられ，

IX =

G

Xv ,

i
Horb
(X ) =

v∈Box
∗

i=1

M

H i+2ιv (Xv )

v∈Box
∗

である．H (Xv ) は単位元 1v ∈ H (Xv ) により 2 次のコホモロジー類 D1 , . . . , Dm0 ∈H 2 (X , C) の作用で生成される．

6. Landau-Ginzburg 模型
完全列 (4) に完全函手 Hom(−, C∗ ) を適用して完全列(5) 1 −−−→ Hom(N , C∗ ) −−−→ Y := (C∗ )m −−pr−→ M := Hom(L, C∗ ) −−−→ 1を得る．前節で定義したトーリック軌道体にミラー双対な Landau-Ginzburg 模型は左から 3 番目の射 pr : Y → M によって与えられる代数的トーラスの族と次のポテンシャル函数 W : Y → C の組である．

W = w1 + · · · + wm ,(w1 , . . . , wm ) ∈ (C∗ )m = Y.

ポテンシャル W は pr の各ファイバーに制限すると Laurent 多項式を与える．L∨ の基
底 p1 , . . . , pr に双対な M = Hom(L, C∗ ) = L∨ ⊗C∗ の C∗ 値の座標を q1 , . . . , qr とおく．
射影 pr のファイバーを Yq = pr−1 (q) とおき，Wq = W |Yq とおく．Yq は |N tor | 個の連結成分からなり，各々は Hom(N free , C∗ ) ∼= (C∗ )n と同型である．ここで n = dimC X ．
完全列 (5) は一般には分裂しないが，
pr の多価な切断 (q1 , . . . , qr ) 7→ (q `1 , . . . , q `m )Q
rをとることができる．ここで q `i = a=1 q `ia であり，`ia は一般には有理数である．
N free の任意の基底 e1 , . . . , en を取り，y1 , . . . , yn を Hom(N free , C∗ ) の対応する座標と

8

入谷 寛

(HIROSHI IRITANI)する．これは平行移動により
Yq の各連結成分の座標を与える．さらに，N free におPn
いて bi = j=1 bij ej が成り立つとする．このとき Wq は以下の表示を持つ．

(6)

`1 b1

`m b mW q = W |Y q = q y + · · · + q y ,

`i

q =

r
Y

qa`ia ,nYby =yj ij .
bi

a=1

j=1

ここで多価函数 q `i の枝は Yq の連結成分に依存することに注意されたい．
次にある Zariski 開な部分集合 Mo ⊂ M が存在して，Landau-Ginzburg 模型はMo × C∗ 上の局所系を定めることを説明する．

Definition 6.1. Ŝ を b1 , . . . , bm ∈ N ⊗ R の凸包として得られる多面体とする．Laurent 多項式 Wq (y) (6) が無限遠で非退化であるとはŜ の余次元が 1 以上の全ての面
P∆ に対して Wq,∆ (y) := bi ∈∆ q `i y bi が y ∈ (C∗ )n 上で臨界点を持たないことである．
Wq が無限遠で非退化であるような q 全体のなす M の部分集合を Mo とおく．
点 (q, z) ∈ Mo × C∗ に対して次の相対ホモロジー群を考える．
∨
RZ,(q,z):= Hn (Yq , {y ∈ Yq , ; <(Wq (y)/z) < M }; Z),M ¿0

ここで右辺は十分小さい M のとり方によらない．生成的な q に対しては y 7→ <(Wq (y)/z)
は Yq 上の Morse 函数を与え，各臨界点の指数は n である．また Kouchnirenko の定理 [11] により，臨界点の個数 N は Ŝ の体積に n!|N tor | をかけたものに等しい．全て∨の臨界値の虚部が互いに異なるとき，RZ,(q,z)
は各臨界点 σ ∈ Yq の不安定多様体 Γσ :

Γσ = {y ∈ Yq ; lim φt (y) = σ}, φt (y) は <(Wq (y)/z) の勾配流t→−∞
Lたちによって生成される自由アーベル群
σ ZΓσ である．これらの相対ホモロジー
S∨を束ねてできる RZ := (q,z)∈Mo ×C∗ RZ,(q,z)
は Mo × C∗ 上のランク N の局所系をなすことが示される．ただし y 7→ <(Wq (y)/z) は固有写像ではないので，モース理論を使うためにはいわゆる Palais-Smale 条件を検証しないといけない．実際 q ∈/ Mo の時は，Yq の無限遠に逃げるサイクルがありモース理論がうまく働かない．
相対ホモロジーの間の交差形式は次の完全ペアリングを定める．
∨∨
RZ,(q,−z)× RZ,(q,z)→ Z.
∨
RZ,(q,z) = Hom(RZ,(q,z), Z) とおき，RZ を RZ∨ に双対な局所系とする．上記のペアリ
ングは完全ペアリング RZ,(q,−z) × RZ,(q,z) → Z を誘導する．RZ は Mo × C∗ 上の局所
b を定める．
自由層 R と可積分接続 ∇b = 局所系 R の定める R の可積分接続.
R = RZ ⊗ OMo ×C∗ , ∇ここで OMo ×C∗ は解析的構造層である．振動積分は R の特別な切断 ζ を定める．
Z11dy1 ∧ · · · ∧ dyn∨
eWq (y)/z∈ OMo ×C∗ .
(7) ζ : RZ,(q,z) 3 Γ 7→n/2(−2πz) |N tor | Γ
y1 . . . yn

Proposition 6.2. Mo ×C∗ 上の局所自由層 R は Mo ×C 上の局所自由層 R(0) に拡張さ
b は Mo ×{0}れ，(7) に与えた切断 ζ は R(0) の切断に拡張される．R(0) 上の可積分接続 ∇2に沿って高々2 位の極を持つ ．また RZ のペアリングは M × C 上で正則なペアリン
2Poincare rank 1 の接続とも呼ばれる．局所枠で接続を表示したときにその主要部が (A z −2 +A1 z −1 )dz の形をとることである．

2

量子コホモロジーの整構造について (INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY) 9

グ (−)∗ R(0) ⊗OMo ×C R(0) → OMo ×C に拡張される．ここで (−) : Mo × C → Mo × C
は (q, z) を (q, −z) に写す写像．

R の Mo × C への拡張 R(0) は Landau-Ginzburg 模型の定める半無限 Hodge 構造の変形において最も本質的な情報である．以下に述べるミラー対称性ではこの拡張
R(0) と量子 D 加群とが同一視される．R(0) の Mo × C∗ への制限 R は整数上の局所系を自然に含んでいるので，その整構造を量子コホモロジー側に引き戻すことができる．
7. ミラー対称性と引き戻された整構造∗(X ) に値をとる Mo 上の多価函数を次で定める．
I 函数と呼ばれる Horb
Q
Q
X
Pr
i;hD
,di<0
hD ,di≤ν<0 (D i + (hDi , di − ν)z)
i
p
log
q
/z
d
a
I(q, z) = e a=1 aq Q
1v(d) .
Q i
i;hDi ,di>00≤ν<hDi ,di (D i + (hDi , di − ν)z)d∈Keff

hp ,di

hp ,di

ここで， d ∈ L ⊗ Q に対して q d = q1 1 . . . qr r であり，ν は整数を動く. また，(q1 , . . . , qr ) は前節に与えた M の座標である．ミラー対称性を述べるためにトーリッ
ク軌道体に次の条件を課す．
P(D) ρ̂ := D1 + · · · + Dm ∈ L∨ は任意の I ∈ A に対して ρ̂ ∈ i∈I R≥0 Di を満たす．

Proposition 7.1. 条件 (D) の下で I 函数は q の級数として収束冪級数であり，次の展開を持つ．
τ (q)I(q, z) = 1 ++ O(z −2 ).
z≤2
ここで，τ (q) は Mo のある開集合 U 0 で収束する Horb
(X ) 値の多価函数．
∗
量子コホモロジーに付随する量子微分方程式は Horb
(X ) ⊗ OU ×C∗ 上の可積分接続
b (2) により定義されたことを思い出そう．ここで，U は量子積が収束する H ∗ (X )∇orbの開集合であった．この可積分接続は (自明な方法で) U × C 上の z = 0 に沿って 2
b に拡張される．トーリック軌道体に対するミラー対称性
次の極を持つ有理形接続 ∇は次のように述べられる．

Conjecture 7.2. X を条件 (D) を満たすデータから定義されるトーリック軌道体とす∗
b を X の量子微分方程式を定める可積分接続とし，(R(0) , ∇)bる．(Horb(X ) ⊗ OU ×C , ∇)o
を X にミラー双対な Landau-Ginzburg 模型の定める M × C 上の可積分接続とする．
≤2(X ) とおく．必I 函数の z 展開の z −1 の係数が定める多価写像を τ : Mo ⊃ U 0 → Horb
00
要なら U を小さくとり τ (U ) ⊂ U としてよい．次の同型 Mir が存在する．
∗bb U 0 ×C ∼(X ) ⊗ OU ×C , ∇)Mir : (R(0) , ∇)|= τ ∗ (Horb∗
Mir は R(0) の切断 ζ を Horb
(X ) ⊗ OU ×C の単位元切断 1 に写し，かつ Mir が誘導すo∗
る M × C 上の局所系の間の同型 Mir : RZ ⊗ C → S はペアリングを保つ．さらに，
Proposition 3.1 に与えた基本解 L(τ, z) に対してI(q, z) = L(τ (q), z)−1 (1) = L(τ (q), z)−1 (Mir(ζ))
が成り立つ．
∗
b の自己同型があるため
τ は多価写像であるが，量子 D 加群 (Horb(X ) ⊗ OU ×C , ∇)
τ による引き戻しは well-defined になっている．

10

入谷 寛

(HIROSHI IRITANI)

Theorem 7.3. Conjecture 7.2 が成立すると仮定する．X を条件 (D) を満たすデータから定義されるトーリック軌道体とし，X は 4 節の仮定 (A3) を満たすとする．ミラー同型 Mir : RZ ⊗ C ∼= S の与える S の整格子 Mir(RZ ) は Definition 4.1 における
Γ̂-整構造 SZ と一致する．
証明の最も鍵となるステップは I 函数と振動積分を比較することである．M の実部を MR := Hom(L, R>0 ) とおく．q ∈ MR に対してはファイバー Yq は実部分多様∨を
体 ΓR := Hom(N , R>0 ) を含み，z < 0 のとき相対ホモロジーの元 [ΓR ] ∈ RZ,(q,z)
与える．q ∈ MR かつ z < 0 のとき次が成り立つ．
Z−1 −ρ µf X ), H(q, z) := (2π)n/2 inv∗ (2πi)− deg2 Γ̂ζ(ΓR ) =H(q, z) ∪ Td(TX (z z I(q, z)).
IX

ここで左辺の ζ(ΓR ) は (7) で与えられる振動積分．右辺は H(q, z) と構造層 OX の向井ペアリングに等しいので，この等式はホモロジカルミラー対称性において Yq のLagrangian ΓR が構造層 OX に対応することを示唆している．ΓR は Yq の Lagrangian
torus fibration | · | : Yq → Hom(N , R>0 ) (絶対値を取る写像) における Lagrangian
section とみなすと，この対応は Strominger-Yau-Zaslow の描像と合致する．
K 群とミラーに現れる整構造との関係は細野 [7] および Borisov-Horja [4] などにおいてもすでに指摘されている．たとえば，細野 [7] で指摘されている P4 内の 5 次超曲面の量子微分方程式の整構造はここで挙げた Γ̂-整構造と一致しているようである．
また，Borisov-Horja では非コンパクトなトーリック Calabi-Yau 多様体の場合に K 群の複素化を対応する GKZ 系の解空間と同一視し，さらに K 群の間の Fourier-Mukai
変換が GKZ 系の解析接続に対応することを示している．

References
1. Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo Gromov-Witten theory of Deligne-Mumford
stacks. preprint, arXiv:math.AG/0603151.
2. Adem, Alejandro; Ruan, Yongbin Twisted orbifold K-theory Comm. Math. Phys. 237 (2003),
no. 3, pp.533–556.
3. Borisov, Lev A.; Chen, Linda; Smith, Gregory G. The orbifold Chow ring of toric DeligneMumford stacks. J. Amer. Math. Soc. 18 (2005), no. 1, pp.193–215.
4. Borisov, Lev A.; Horja, R. Paul Mellin-Barnes integrals as Fourier-Mukai transforms. Adv.
Math. 207 (2006), no. 2, pp.876–927.
5. Chen, Weimin; Ruan, Yongbin, A new cohomology theory of orbifold. Comm. Math. Phys.
B 359 (1991) no.1, pp.1–31.
6. Chen, Weimin; Ruan, Yongbin Orbifold Gromov-Witten theory. Orbifolds in mathematics
and physics (Madison, WI, 2001), Contemp. Math., vol. 310, Amer. Math. Soc., Province,
RI, 2002, pp.25-85.
7. Hosono, Shinobu Central charges, symplectic forms, and hypergeometric series in local mirror symmetry. Mirror symmetry. V, pp.405–439, AMS/IP Stud. Adv. Math., 38, Amer.
Math. Soc., Providence, RI, 2006.
8. Iritani, Hiroshi Real and integral structures in quantum cohomology I: toric orbifolds.
preprint, math.AG/0712.2204.
9. Kawasaki, Tetsuro, The Riemann-Roch theorem for complex V -manifolds. Osaka J. Math.,
16, 1979, pp.151–159.
10. Kawasaki, Tetsuro, The index of elliptic operators over V-manifolds. Nagoya Math. J., 84,
1981, pp.135–157
11. Kouchnirenko, A. G., Polyèdres de Newton et nombres de Milnor. Invent. Math. 32 (1976),
no. 1, pp.1–31.

量子コホモロジーの整構造について (INTEGRAL STRUCTURES IN QUANTUM COHOMOLOGY)11

812-8581 福岡市東区箱崎 6-10-1 九州大学大学院数理学研究院
E-mail address: iritani@math.kyushu-u.ac.jp