非磁性自由度由来の量子臨界現象の新奇ユニバーサリティの構築	 Construction of a novel universality for quantum critical points driven bynonmagnetic degrees of freedom東京大学	  	  	  	  	  	  服部	  一匡派遣期間	  	  	  	 	  2013 年 7 月 1 日～2014 年 5 月 31 日研究機関	  	  	  	 	  Institut für Theoretische Physik, Universität zu Köln,Zülpicher Str., 77, D-50937 Köln, Germany研究指導者	  	  	 Prof. Achim RoschWe have analyzed systems where some non-magnetic degrees of freedom play important roles in stronglycorrelated electron systems.

The first one is constructing a new algorithm of continuous-time quantum Monte Carlomethod for quantum impurity problems in Tomonaga-Luttinger liquids. Using our new method, we have calculatedvarious dynamical response functions such as electron’s Green function in this system for the first time. The method canalso be applied to the Kondo type problem and we have analyzed the scaling properties for the two models. The otherone is a quantum critical theory for nematic or quadrupole fluctuation coupled with acoustic phonons. Nonmagneticnematic fluctuations inevitably couple with lattice degrees of freedom, that is, phonons. We have developed a newcritical theory for the coupled fluctuations and discussed its thermodynamic and transport properties. The typical aspectof the present theory is that the phonons along particular directions in the first Brillouin zone become soften near thecritical point and these directions are related to the symmetry of nematic order parameter. These soft modes stronglyinfluence the low-energy and the low-temperature properties of the systems.

研究目的	 磁性不純物を入れると、その不純物による電子の散凝縮系固体物理学での量子多体系においては,そ乱効果がどんなに小さくても、（クーロン相互作用のの低エネルギーの物理現象が本質的に非相関系ではように電子—電子相互作用が斥力の場合には）絶対零考えられない新しいものである可能性があり、その度においてはその不純物散乱が一次元の細線を二つような現象を発見、解明する事が大きな目標である。

に分断することが理論的に知られている。この模型これらは例えば非従来型の超伝導であり、分数量子は Kane-Fisher 模型[1]とよばれ、これに類似の系はホール効果といった現象である。しかしながら、量1990 年代から盛んに研究されているが、電子の状態子多体系において厳密な理論を構成する事は特殊な密度に対応する動的相関関数（グリーン関数）につ場合を除いて一般には非常に困難である。そのためいてはその知見は近似的な理論が存在するだけであに、現象の本質的な部分を抜粋し低エネルギー有効る。本研究では、近年強相関電子系において開発さ理論を構築したり、数値的には厳密な数値計算の手れた連続時間モンテカルロ法[2]をこれらの一次元法を開発することが非常に重要になってくる。

系に拡張する事を目指した。また、コンダクタンス本研究では特に近年注目を集めている nematic 等の非磁性自由度に着目し、ドイツ、ケルン大学理論物理学研究所において研究を行った。

やその他の物理量に関しても数値的に厳密な結果を得ることを目的とした。
第二の課題は電気四極子と呼ばれる自由度の臨界第一の研究課題は一次元 Tomonaga-Luttinger liquid理論の構築である。電気四極子は例えば Pr 等を含む(TLL)中の不純物効果についてである。TLL の中に非f 電子系化合物[3]において基底状態が非磁性二重項の場合に発現する非磁性の自由度である。最近の流して第一の課題と平行して行った。Garst 講師は上記行では nematic と呼んだりする事もある（これは磁縦波フォノンと結合したモット金属絶縁体転移の臨気双極子のように「向き」を持たない自由度である界理論[4]の提唱者でもある。まず我々は Pr 化合物[3]ためである）。電気四極子は磁気双極子と異なり、他で実現している四極子に関する理論を構築することの非磁性自由度と線形に結合することが期待され、を考えた。これらの物質は立方晶系の物質であり、臨界理論はそれら全てが「混ざった」ものにならざその場合の四極子は E または Eg 表現と呼ばれ、二るを得ない。このような状況の有効理論はモット金次元表現である。この「二次元」という事実がフォ属絶縁体転移における縦波フォノンとの結合と似たノンと結合しない場合にも非常に珍しい理論体系を状況にあり[4]、電気四極子の場合はその異方的な場要請し、得られた有効作用は従来のものと異なり、合への拡張になっていることが期待できる。

非常に興味深いものであった。しかしながら、議論	 を進めるうちに、その「二次元」性は相転移の一般研究経過	 論として一次転移を誘発する事が判明した。そのた第一の課題については、滞在先の Rosch 教授ととめ、実際の実験データは二次転移のように振る舞っも に 2013 年 8 月 ご ろ か ら 本 格 的 に 着 手 し た 。

ているが[3]、二次の連続転移を基礎とした議論は土Kane-Fisher 模型に対する連続時間量子モンテカルロ台となる仮定にパラメータの詳細な調整が必要とな法のアルゴリズム自身は早い段階で完成し終わったるため、異なる系を解析する事に方針を変更した。

のは良かったが、プログラムコード実装後、厳密解上記対象物質に変わる系は正方晶系の四極子の系が得られる極限での数値解と厳密解との比較をするで、この場合は、四極子自由度が一次元表現である。

段階で困難に陥った。およそ１ヶ月半の試行錯誤の同様の解析を実行し、有効作用を書き下し、四極子末、これは数値計算に必要な「短距離の切断」の取と結合するフォノンモードの同定等をし終わった頃り方に起因していることが判明した。しかしながら、に渡航期間が終わってしまい、現在研究を継続して災い転じて、この困難克服の過程において、モンテいる所である。

カルロ法のアルゴリズムを高速化するためのブレー	 クスルーがあった。

考察	 TLL では一次元の相互作用する電子系はボゾン化法を適用し相互作用しないボゾン系で記述される。
そのため、当初は全てモンテカルロのアルゴリズムはボゾン系の表式で記述していた。しかし、計算過程で必要になるバーテックス演算子の多点相関関数ここではすでに研究が完了している第一の課題についての結果の詳細を述べる。
まず本研究で開発したモンテカルロ法の優れている点を列挙する。
①の表式は、上記の「短距離の切断」が小さい極限において、電子系の表式になる事に気づかされた。こに取り込む事が可能である。
②の関係を考慮する事により、上記の困難は完全に取り除かれ、かつ副産物として、電子系の表式を用いすくなくとも扱った２つの模型では量子モンテカルロ法の天敵である負符号問題がない。

③る事でこれまでに培われてきた高速更新の手法を適用することが可能になり、計算速度の向上およびプボゾン化法により電子—電子相互作用を厳密プログラムコードは電子系のものから容易に拡張可能である。

④さまざまな動的物理量が計算可能である。

ログラムコードの簡易化に成功した。１１月頃から②に関しては一般の模型に適用する場合には負符号は、上記 Kane-Fisher 模型の数値計算を行いつつ、さがでる可能性があるため注意が必要である。

らなる拡張として、動的な内部自由度をもつ Kondo	  Kane-Fisher 模型に関しては主に電子グリーン関数模型に対する方法を開発し、冬にかけてそれらの模G(t)を求めた。その長時間（虚時間）極限での振る型に関する詳細な解析を行った。また３月末から四舞いは G(t)~1/t1/2g となり近似計算による結果が正し月にかけて開催されたドイツ物理学会において、そい事が示された。ここで g は TL parameter と呼ばれの研究結果を発表した。

る電子—電子相互作用を表わすパラメータである。ま第二の課題は Rosch 教授とともにケルン大学のた、G(t)のスケーリング関数 F(tT*,T/T*)=G(t)/G0(t)にGarst 講師および大学院生の Max 氏との共同研究とついても解析した(Fig.1 参照)。ここで、T は温度、T*は不純物ポテンシャルに依存する系の特徴的な温度である。また G0(t)は不純物がない場合の電子グリ参考文献	 ーン関数である。数値計算の結果は F(tT*,T/T*)が確[1] C. L. Kane and M. P. A. Fisher, Phys. Rev. Lett. 68,かに tT*と T/T*関数であることをしめしており、こ1220 (1992).

れによって、この系において初めて電子グリーン関[2] E. Gull et al., Rev. Mod. Phys. 83, 349 (2011).

数のユニバーサルスケーリング関数が確認された。

[3] A. Sakai and S. Nakatsuji, J. Phys. Soc. Jpn. 80,これらのデータから、局所電子状態密度の振動数ス063701 (2011).

ペクトルを計算することが可能になり、今後の発展[4] M. Zacharias et al., Phys. Rev. Lett. 109, 176401が期待できる。また近藤模型の解析では、スピン感(2012).

2g受率の t 依存性~1/t や帯磁率の温度依存性~T2g-1を数値的に厳密に計算する事に成功した。

研究の発表	
 口頭発表1. “Continuous-time quantum Monte Carlo1approach for quantum impurity problems in(x, 0)Tomonaga-Luttinger liquids,”
g=0.75−110K. Hattori and A. Rosch,g=0.5Deutsche Physikalische Gesellschaft (DPG)spring meeting 2014, Dresden, Apr. 2, 2014.

−210

g=0.3a=1

誌上発表1. “Quantum impurity in a Tomonaga-Luttinger−310−410−310−210x−1101110liquid: Continuous-time quantum Monte Carloapproach,”Fig.1: Scaling function for the electron Green’s functionK. Hattori and A. Rosch,in the Kane-Fisher model as a function of x=tT* at T=0.

Phys. Rev. B 90, 115103 (2014).

The short distance cut off is set to a=1.The data withdifferent colors mean the data are taken for differentcoupling constants, and thus, different T*.