          (    !

 ( ))12:30 ∼ 16:30"$#&%(') * I, II, III, IV ,.-0/2143657,98;:7<>=+2. 3.52? , @9)* AB<DCE2F+5(G0H(I 1KJ6H L , 1 M9F+5(G&H(I2CN(OF.)+* FP3Q5 1SRUT(/7?$T&V(WQTX=
3. @Q5$GBH$IUFPYQZ.[ C , )+*6\Q] <_^&`(\.] 1Ka;bdc.e7,98;:7<>=
4. E$f6g0hB,98Di6j0H$IU?(kml LnWQTX=1.

I
質点の質量を m ，位置ベクトルを r = (x, y, z) とする。質点は r =√x2 + y 2 + z 2 だけに依存するポテンシャル V (r) の中を運動する。

(1) ニュートンの運動方程式より，力学的エネルギー E 及び軌道角運動量 L
E=m 2v + V (r) ,2L = m r×v ,ただしv=drdtが保存することを示せ。

L が保存することから質点は平面上で運動する。この平面を xy 平面とする。z = 0 である。
(2) 極座標を用いて x = r cos θ , y = r sin θ とする。E 及び L の z 成分 L を極座標で表せ。
(3) 次式が成り立つことを示せ。複号は dr/dt > 0 のとき + ，dr/dt < 0 のとき − である。
dθL=± √,drr2 2m (E − W (r))

ただしW (r) = V (r) +L22mr2

以下では V0 を正の定数として V (r) = V0 /r の場合，質点が無限遠方から入射し無限遠方に飛び去る散乱を扱う。E > 0 である。また，簡単のため L > 0 とする。L = 0 は L → 0 の極限と見なせばよい。下図に軌道の概略を示す。

yr0

質点

φr
θ
x(4) 質点が原点に最接近する距離 r0 を求めよ。
(5) 図に示したように，質点は r → ∞ ，θ → 0 から入射して r = r0 に到達し，その後r → ∞ ，θ → π − φ に散乱する。(3) より tan(φ/2) を求めよ。必要なら次の積分を用いてよい。

∫dx
1bx/2 + c√
= − √ tan−1 √+ 積分定数cx x2 − bx − cc (x2 − bx − c)(6) r0 を φ で表すと r0 =V0f (φ) になる。f (φ) を求め r0 を φ の関数として概略を図示せ2Eよ。ただし 0 ≤ φ ≤ π である。

(7) E と V0 を与えたとき，r0 が最小になる場合の軌道の概略を図示せよ。


半径 の円板状の極板を間隔  離しておいた平行平板コンデンサーがある。図１に示すようにコンデンサーの両極板間に起電力  の電池をつなぎ 負極を接地し真空中においた。以下の問いに答えよ。ただし 真空の誘電率を ¼ 透磁率を ¼ とし また は  に対して十分に大きく端の影響は考えなくてもよい。

 コンデンサー内部に生じる電場の大きさを求めよ。

 コンデンサーの静電容量を求めよ。

上記コンデンサーの極板間に 極板と同じ形（半径 の円形）の底面を持ち 高さ  の円柱状誘電体を挿入する。このとき コンデンサーの正極側 に 負極側に  の面密度の電荷が誘起された。ただし この誘電体の誘電率は直線的に変化し 接地側 ½  正極側 ¾ ½  ¾  の値を持つとする（図２参照）。

 極板間で電束密度が一定であることに注意して コンデンサーの底面から （０の位置における電場   ）の大きさを求めよ。

 誘電体を挿入した状態のコンデンサーの静電容量を求めよ。

一度挿入した誘電体を取り除き コンデンサーを図１の状態に戻す。次に時刻 から微小な時
間  の間に極板の間隔を   から微小な間隔  だけゆっくり拡げる場合を考える。この間極板間の電場は空間的に一様であるとする。

 コンデンサーの極板間には磁場が発生している。その理由を  文字程度で述べよ。

 図１に示されるコンデンサーの中心軸から距離 （  ）の点  における磁束密度の方向とその大きさを求めよ。

 空間の任意の曲面から単位時間あたりに流出する電磁場エネルギー密度はポインティン

グ・ベクトル  

¼    で与えられる。上記コンデンサーから  の間に流出する電磁場のエネルギーを求めよ。

aV

Pxr

࿑㧝

aH
⺃㔚૕

xyH

࿑㧞

Ⅲ
質点がクーロンポテンシャルに束縛され定常状態にあるとして以下の問いに答えよ。
適当な単位系を用いると，ハミルトニアンとシュレディンガー方程式はµ−HL2∂2r−r ∂r2r2¶

Hϕ r− ,rEϕ rで与えられる。ここで L2 L2x L2y L2z は軌道角運動量の２乗である。
ϕrR` r Y` m θ, φ とおき変数分離すると，動径方程式がえられる。ただし, , , · · ·, −` 5 m 5 ` を満たす整数 `, m にたいし規格化された Y` m θ, φ は，`

L2 Y` m θ, φY` m θ, φ ,``Lz Y` m θ, φをみたす。ここで

ρp|E|r,sλmY` m θ, φ|E|

とおき 改めて動径波動関数を R` ρ とすると
µ¶``
λd2
ρ−
R` ρ−
ρ dρ2ρ2ρとなる。

ρ が小さいとき R` ρ がみたす簡単化した方程式を書け。つぎに ρ が０に近づくときの解の漸近形 F` ρ を求めよ。
ρ が大きいとき R` ρ がみたす簡単化した方程式を書け。つぎに ρ → ∞ のときの解の漸近形 G` ρ を求めよ。
R` ρF` ρ G` ρ v` ρ と仮定すると，v` はρd2v`dρ2`−ρdv`dρλ−`−v`を満たす。

v` ρ は最高次が１次以下の多項式であるとして，解およびそのときの λ を求めよ。規格化は不要である。
`の下から２番目の解と `示せ。の一番低い解とは縮退していることをさて，いま考えている質点がスピン s/ をもちハミルトニアンに小さいポテンシャル AL · s が加わるとする。スピン波動関数 χ± はs2 χ±χ± ,を満たす。また全角運動量は JM
J 2 YJ,`J JJ2Lsz χ±± χ±s と表され以下が成り立つ。

LM
YJ,`

s2L2M
Jz YJ,`MM YJ,`

L·ss2` が与えられたとき可能な J の値を書け。
M =JJ 2 , Jz の固有状態で M J, `の場合を考える。波動関数 YJ,`=1を，軌m道角運動量の固有状態（波動関数 Y` ）とスピンの固有状態（波動関数 χ± ）を用いて書け。ただし
pL− Y`m` m `− m Y`m−1 , L− Lx − iLyを用いて計算すること。

問で求めた解を使って表される，全てのエネルギー固有値を書け。次に，`, と制限する。Aの場合と A が小さい正の値の場合の両方のエネルギー固有値を，おおまかに，そして縮退が解ける様子が分かるように図示せよ。

IV L   m   N  !"$#%& '@A (< )*:+; , < -.%/ 0 12  3547689  :;< = &' i > ? x p BC % D EFG0H$IKJ$LMN(iiHN =NX
p2i2mi=1+ U (x1 , x2 , · · · , xN )(1)

B OQP " #Q&R' U (x , x , · · · , x ) (RQS/ T/U/V= WQX/Y&R'Z/Q(RZ/ < Q Q!/% &[\X<Yi ]^ B T UVW( _`Xa& B &'D EFbc  T defghY&' k Ij Nk BC % β = 1/k T XY&'D EFlmn Z(β) ( 1N2BB"NX
p2#1J(β) = NhZ

dp1 · · · dpN exp − β1N!

Zdx1 · · · dxN exp − βU (x1 , x2 , · · · , xN )Q(β) =ii=12mh(2)iBC % Z(β) = J(β)Q(β) B OP "$#&' h (oN  k  XY& '6p q Pr '< x P &'
1. s tuS TUVW_`Xa& vw U (x , · · · , x ) = 0< yz C {| < λ = h/√2πmk T < W%}~'  "$l(1) J(β)
N1T(3)B

Z ∞−ax2e< W% r ' Z(β) < yz ~ r '(2) EFlmn(3) EFIIj I dx =−∞rπa(a > 0)(4)

F =−1ln Z(β)β(5)P =−

 ∂F (6)<yz C {| < λ  L N < W%}~'RN ln N ! ' N ln N −N
< W%  F  9 B  &   = &D B ' 12  = & +(4) D EFT∂L< yz C D EFgh 1  < ¡ ! r 's¢D# < £¤ < L¥¤ < P B ]¦0§$¨©bc T  C %ª~ r '<¯2. 6 «l¢!  ¬XU ­®
 vw²± 0 < x < x < · · · < x < L³ < x P & '¢[ C #´° P µ&(D _B `XXaa&¶·$¸   B = = &'s¢­® <¹ °Xa   B Kº$D B$»¼ ( S( TUVW(½©  B & '12NT,ND vw/ (3) Q(β) #&  1/N ! (XY& '   ©  <  ~ r ' vwR¨% x Pr º ' U/ ­® <(2) E/F Q[\©
CC¹ ° C   =  x < x XY&D B ©"  Q(β) l( 6 r º$ & ' F  C
(1)

1

2

Q(β) =Z L

dx1

Z L

dx2 e−βU(7)∞ (xi+1 − xi < d)
0 (xi+1 − xi ≥ d)(8)

< yz ~ r '< yz ~ r '(3) EF$Y& vw¨%  Q(β)
 Z(β)  < {|©
(4) EF  N Y&vw¨%EFlmn" k~ r '< W/%R D/REFQ g/h 1/  < ¡ ! r ' D #Q(  p 1. (5) X ¡ !¢(5) (4) R{|gh 1  B  = &©' 0C  vw  <   ~'3.
% ª< ¹ r º   <x/!a <" .%$#0]^%< &{' | /¬ X Ud (E ) +B * C % ­® = °X=Qa  vw Pr º ' DDX( r  B-, k &R' R/.10 x − x [/\0/#Q¢12]w º$ /QS//(  T/UV/W0i+1v(xi+1 − xi ) =x1i



 ½ §¦'# »¼ TUVW( _`Xa& B = &' yz  3 ¢! x @A < ªr º$ B & '(1) E/F /  < C y$© z  C  v/w # r 4   C © C  vw#15# ¨%  Q(β)~ r '(2) EF N   = &vw¨%EFlmn  Z(β)  < {|©" k~ r '< W/%/D/REFQRgh 1/  <R¡ !R £¤ < L ¥¤ < P  B ]¦Z
(3) (2) R{/|§ ¨© bc T   C %ª ~ r 'L-0d/ 2x2x2+dL2dL-xLdd/ 2