下関市立大学論集

第 67 巻

第 2 号（2023. 12）

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察
古典的テスト理論及び項目反応理論による結果を踏まえて

佐々木

淳

目 次

ては、慎重になる必要がある。なぜなら、文理で高1．はじめに等学校時に履修した数学に相違があるためである。

2．研究の方法

渡辺他（2021）が「文系にするか、理系を選ぶかは

3．本研究のテスト項目及びテストの内容

数学によって決まるといわれている」と述べるよう

4．古典的テスト理論による分析およびその結果（1）信頼性の確認に、文系学生は、数学Ⅲを含め履修していない科目（2）各項目の識別力及び困難度の算出

や数学を学習していない期間が存在するため、理系（3）各項目の識別力及び困難度の分析

学生と数学の基礎力に差があると考えられる。その5．項目反応理論適用の条件の確認・分析結果ため、初級レベルの数理・データサイエンス・AI（1）適応する項目反応曲線及びその条件を習得には効果的な教育の必要性が示唆される。

（2）一次元性の確認よって、本研究の目的は、今後文系大学生に行わ（3）局所独立性の確認（4）項目反応理論による分析結果

れる「数理・AI・データサイエンスに関する科目」

6．項目の誤答分析

において効果的な教育を実施するために、実際該当（1）名義尺度する科目である「統計入門」で躓きや理解不足とな（2）順序尺度っている内容について、テスト分析、特に誤答の分（3）間隔尺度

析を通して明らかにすることである。

（4）比（率）尺度（5）加重平均2．研究の方法（6）標準得点
7．まとめ
引用・参考文献

本研究の目標を達成するために、大学で開講されている統計入門のテストを分析した。回答時間は 60

1．はじめに分、有効回答数は 336 であった。なお、本研究は下
関市立大学の倫理委員会（受付番号 2301-0417）の内閣府は、AI 戦略 2022（内閣府，2022）におい

承認を得て行った。

て「文理を問わず、全ての大学・高専生（約 50 万

学生の基礎力を適切に把握するため、実施したテ人卒／年）が課程にて初級レベルの数理・データサ

ストに対して、古典的テスト理論によって信頼性のイエンス・AI を習得」する具体的目標を掲げてい確認を行った。その上で項目反応理論も加えてテスる。掲げられた初級レベルの教育プログラム（リテトの項目分析を行い、最後に得られた答案について

ラシーレベル）が具備すべき要素に「数理・データ

誤答の分析を行った。

サイエンス・AI の基盤には統計学等の数学や情報

3．本研究のテスト項目及びテストの内容

科学が存在していること及びその役割を理解する内容が含まれている」（数理・データサイエンス・AI
教育プログラム認定制度会議，2020）ことを考慮す

テストの項目数は 36 で、尺度水準に関する項目

ると、今後は文理を問わず数学の継続的な学習が必が 8、時系列データ・折れ線グラフの用語に関する要になることが示唆される。

項目が 2、ジニ係数に関する項目が 1、平均・分散に関する項目が 4、加重平均に関する項目が 1、度

しかし、この目標である「文理を問わず」に関し
51

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察

数分布に関する項目が 6、標準得点に関する項目が関である。熊谷他（2015）によると、IT 相関及び2、変動係数に関する項目が 1、2 変量データに関す

IR 相関の「目安は 0.2 以上」である。

る項目が 3、正規分布に関する項目が 3、2 項分布

表 1 のとおり、0.2 以上の基準に満たない IT 相関に関する項目が 4、区間推定に関する項目が 1 であは項目 3 の比（率）尺度のみであるが、IR 相関にった。項目の配列は表 1 の通りである。

ついては項目 2、3 の比（率）尺度、項目 12、27 のなお、本研究における正答率の算出は完全正答の平均の性質、項目 28 の分散の性質の 5 項目が該当

みを 1 とし、それ以外の誤答及び無答はすべて 0 とし た。 ま た、 除 外 α 係 数 が 全 体 の α 係 数 で あ るした。

0.8306 よりも大である項目、つまり除外することによりテストの信頼性が向上する項目は、項目 2、34．古典的テスト理論による分析およびその結果の比（率）尺度、項目 27 の平均の性質の 3 項目であった。

（1）信頼性の確認

これらの結果から、項目 2、3、12、27、28 を削

まずテストの信頼性の確認を行った。テストの信除し、算出した結果が表 1 の修正後の値である。修頼性を測る信頼性係数は直接求めることができない

正 後、IT 相 関 及 び IR 相 関 を 測 り 直 し た と こ ろ、

ため、再検査法、平行検査法、折半法などを用いて0.2 を下回る項目はなかった。

推定することができるが、いずれも実施することが容易ではない。そのため、折半法で得られるすべて（3）各項目の識別力及び困難度の分析の信頼性係数の推定値の平均値を信頼性係数の推定

表 1 より、IT 相関が 0.5 以上の項目を識別力の高値とする内的整合性による方法が考えられる。しかい項目と定義した場合、該当するのは項目 18 の標

し、すべての折半の組合せは、本テスト（36 項目）

準得点、項目 19 の偏差値、項目 20 の変動係数、項の場合 4537567650 となり膨大である。そこで、熊目 30 と項目 34 の標準正規分布、項目 32 の 2 項分

谷他（2015）にある「弱平行測定を仮定して計算を布の標準偏差、項目 33 の 2 項分布の確率であった。

簡便にした、クロンバックのα係数を利用」した。

いずれの項目も複雑な計算はなく、定義を記憶する算出したクロンバックのα係数（Cronbach, 1951）

ことで正答に至るものであった。

は 0.8306 であり、熊谷他（2015）によると「学力正答率が 0.4 未満の項目を困難度の高い項目と定などの能力を測定するテストでは 0.80 以上」を目義した場合、該当するのは項目 4 の順序尺度、項目

安にするとあるため、本テストは信頼性があると判22 の度数分布の中央値、項目 35 の 2 項分布の確率、断した。

項目 36 の区間推定の 4 項目であった。項目 22、項目 35 及び項目 36 は複数の計算が必要となる項目で、（2）各項目の識別力及び困難度の算出

項目 4 は尺度について正確な理解が必要なものであ

古典テスト理論に基く各項目の識別力の指標としった。正答率が 0.9 以上の項目を困難度の低い項目て項目テスト間相関（IT 相関）、項目リメインダ相と定義した場合、該当するのは項目 5 の名義尺度、関（IR 相関）、困難度の指標として正答率を算出し項目 14 の階級値、項目 29 の標準正規分布で、いずた結果は表 1 の通りである。テスト全体に対する各

れも単元の初期に学習する項目であった。

項目の寄与度を確認するため、当該項目を除外した

以上が古典的テスト理論による信頼性の確認、識クロンバックのα係数（除外α）を算出した結果も別力、困難度が高いもしくは低い項目の抽出である。

表 1 に含めた。

ただし、古典的テスト理論には、太田（2019）がIT 相関は、個々の項目と全項目の和との相関係「識別力や困難度の指標が受験者集団に依存する問数で、個々の項目の識別力を表す指標である。IT題がある。つまり、正答率が低いことがわかったと相関が低い場合はテストの信頼度を下げることにな

しても、受験した生徒の能力が低いのか、問題が難るため、テスト分析上は除外するべき項目となる。

しすぎるのかを区別するのが難しい」と述べる課題

IT 相関は当該項目を含んでいるため、個々の項目が存在する。

と残りの項目の和の相関係数を取ったものが IR 相

古典的テスト理論に対し項目反応理論は、加藤他
52

表1
項目の内容

困難度
正答率

項目の内容、困難度（正答率）、識別力等
識別力
IT 相関

1

比（率）尺度 1

0.88990.25282比（率）尺度 2

0.56553比（率）尺度 3

0.3988

4

順序尺度 1

5

IR 相関

除外α

修正後の識別力IT 相関0.2541IR 相関
0.2007

修正後の除外α0.20260.82930.83850.26740.18770.8309

項目の削除

0.0635‒0.01890.8375

項目の削除

0.38390.42930.35910.82510.43870.36460.8343

名義尺度

0.94640.28920.25390.82860.29310.25570.8376

6

順序尺度 20.61900.48290.41660.82320.50420.43520.83197

間隔尺度0.46130.31660.23830.82930.32580.24290.8387

8

順序尺度 30.56850.42530.35360.82530.43940.36380.83449

時系列データ

0.79170.33380.27110.82780.35190.28600.836710折れ線グラフ

0.68750.31990.24750.82870.32540.24850.838111

ジニ係数0.83040.28790.22860.82890.29660.23370.838012平均の性質 10.83040.22790.16690.830413分散の性質 10.61610.33910.26380.8283

項目の削除
0.31140.22990.839014

階級値

0.97020.24560.21850.82940.23910.21010.838615

累積度数0.74110.38630.32110.82640.40000.33130.835416

相対度数

0.58330.39670.32350.8264

0.39100.31260.836217

加重平均0.82440.33090.27220.8277

0.33270.27020.837018

標準得点

0.4821

0.53820.47440.8211

0.5332

0.46470.830719

偏差値

0.43750.56490.50400.82010.56080.49540.829620

変動係数0.40480.53960.47710.82110.5362

0.46920.830621

度数分布の平均値

0.6786

0.34490.27300.82790.34120.26440.837622

度数分布の中央値

0.03270.23820.20970.82950.23390.20350.838623

度数分布の最頻値

0.72620.32360.25420.82840.34250.26940.837324

2 変量データの分散

0.69640.48730.42500.8231

0.48990.42370.832325

共分散0.56250.38000.30530.82700.40190.32370.83580.39720.31820.836026

相関係数0.52680.38870.31400.826727

平均の性質 20.62800.23630.15760.8318

項目の削除

28

分散の性質 20.08040.23790.19410.8295

項目の削除

29

標準正規分布 1

0.9137

0.29110.24710.82850.29890.25220.837530

標準正規分布 2

0.58630.53030.46680.82150.53790.47090.830631

2 項分布の平均

0.89880.43570.39320.82540.43830.39320.834432

2 項分布の標準偏差0.69350.61170.55960.8187

0.63320.57980.827133

2 項分布の確率 1

0.44640.53700.47350.8212

0.55850.49270.829734

標準正規分布 3

0.71130.5406

0.48330.82130.53860.47720.830635

2 項分布の確率 2

0.29170.48480.42310.82320.48990.42450.832336

区間推定0.33630.4636

0.39780.82390.4634

0.39320.8333（2014）が「テストに含まれる項目の難易度とそのテストの受験者の能力を分離して表現できる」と述べる利点がある。そのため、テストの受験者集団に依存しない識別力と困難度を推定するために、項目
反応理論による分析を行った。
53

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察

降順にプロットした結果は図 2 の通りで、第 2 固有

5．項目反応理論適用の条件の確認・分析結果

値以降の減衰状況から一次元性は成立するものと判断した。固有値の算出には、熊谷（2009）を用いた。

（1）適応する項目反応曲線及びその条件
本テスト分析では、受験者集団の能力値、正答確（3）局所独立性の確認

率、識別力及び困難度を図 1 の通りに設定し、2 パ

局所独立性は、Q 3 統計量（Yen，1984）で検討しラメータ・ロジスティック・モデルを用いて分析をた。本テストの全 36 項目から、IT 相関、IR 相関行った。

が 0.2 よりも低い 5 項目を除いた 31 項目で検討した際に、前述のとおり Q 3 統計量の絶対値が 0.2 を

能力値θの受験者が、項目 j に正答する確率

大きく超えたペアの項目が存在した。そのため、そを Pj（ θ）、識別力を aj 、困難度を bj とする。

の原因となる項目 6、18、19、32 を削除し、測りな

このとき、Pj（ θ）は、次の式で与えられる。

おした結果が表 2 である。異なる 2 個の項目のペア

Pj（θ）＝
図1351 のうち 9 つのペアについては、Q 3 統計量が 0.2

1と 0.3 の間の値となった。具体的には、項目 1 の比

1+exp{-a（j θ‒b j）}

（率）尺度と項目 5 の名義尺度、項目 4、8 の順序尺

項目反応理論の条件設定

度、項目 8 の順序尺度と項目 29 の標準正規分布、

項目反応理論は、受験者集団に依存しない識別力

項目 14 の階級値と項目 31 の 2 項分布の平均、項目と困難度を推定できる利点がある一方、適用する条

15 の累積度数と項目 16 の相対度数、項目 15 の累積件として一次元性及び局所独立性の成立が必要とな度数と項目 26 の相関係数、項目 20 の変動係数と項る。一次元性は、能力値が 1 つの指標でそれぞれの目 35 の 2 項分布の確率、項目 21 の度数分布の平均

項目の正答確率の分布が得られていることを保証す

値と項目 23 の度数分布の最頻値、項目 25 の共分散るもので、局所独立性は、ある項目の正答が、他項と項目 26 の相関係数であった。これらの項目が能目の正答と独立であるか、影響を与えていないかを力値、識別力及び困難度に与える影響の検証につい保証するものである。項目反応理論で分析するためては、今後の課題としたい。

に、それぞれの確認を行った。なお、古典的テスト（4）項目反応理論による分析結果

理論によって識別力が低かった項目 2、3、12、27、28 を削除したのち、一次元性、局所独立性を測定

項目反応理論による識別力、困難度の推定結果はしたところ、局所独立性について後に示す Q 3 統計

表 3 の通りであり、推定には熊谷（2009）を用いた。

量で大きいペアが存在したため、原因となる項目 6、

表 3 から困難度の高い項目を b j の値が 0.5 以上のものと定義した場合、項目 4 の順序尺度、項目 22

18、19、32 を削除した 27 項目で検討した。

の度数分布の中央値、項目 35 の 2 項分布の確率、（2）一次元性の確認

項目 36 の区間推定の 4 項目が該当したが、古典的因子数の決定には、固有値を降順にプロットし、

テスト理論で行った結果と変化は認められなかっ

推移がなだらかになる直前までを因子数とするスクた。
また、表 3 から識別力の高い項目を a j の値が 1.5

リープロット基準で検証した。27 項目の固有値を以上のものと定義した場合、項目 22 の度数分布の中央値、項目 30 及び 34 の標準正規分布、項目 31の 2 項分布の平均、項目 33 及び 35 の 2 項分布の確率の 6 項目が該当したが、項目 22 は古典的テスト理論の結果と大きく異なった。
次に困難度及び識別力を順序尺度と捉えて序列に図2したものが表 4 である。

固有値を降順に並べたスクリープロット（縦軸は固有値，横軸は固有値番号）

困難度は、項目 1、10、21、30、34 について古典
54

55

項目 1
4
5
7
8
9
10 11 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 29 30 31 33 34 35 36
1
1
4 0.021
5 0.22 0.05
1
7 0.06 0.08 0.02
1
8 0.02 0.29 0.06 0.17
1
9
0 0.06 0.12 0.06 0.06
1
10 0.07 0.03 0.05 0.06
0 0.081
11 0.07 0.08 0.02 0.09 0.04 0.01 0.09
1
13 0.04 0.04 0.04
0 0.05 0.03 0.03 0.02
1
14
0.1 0.04 0.06 0.04 0.08 0.07 0.05 0.04 0.01
1
15 0.17 0.03 0.06 0.02 0.02 0.07 0.03 0.19 0.03 0.2
1
16 0.07 0.08 0.06 0.02 0.02 0.1 0.01 0.2 0.08 0.09 0.25
1
17 0.04
0 0.04 0.14 0.15 0.04 0.02 0.16 0.05
0 0.12 0.04
1
20 0.05 0.02 0.07 0.06 0.02 0.1 0.01 0.02
0 0.02 0.1 0.03 0.02
1
21 0.01 0.01 0.06 0.08 0.02
0 0.04 0.13 0.07 0.03 0.02 0.03 0.02 0.06
1
22 0.03 0.05 0.01 0.04 0.04 0.03 0.06 0.03 0.02 0.01 0.02 0.01 0.02 0.01
01
23 0.03 0.04 0.07 0.04 0.04 0.05 0.14 0.04 0.05 0.11 0.08 0.03 0.06 0.06 0.24 0.06
1
24 0.06 0.03 0.08
0 0.04 0.12 0.05 0.1 0.07 0.03 0.12 0.04 0.12 0.11 0.02 0.03 0.09
1
25 0.06 0.09 0.02 0.06 0.04 0.01 0.06 0.07 0.08 0.09 0.13 0.06 0.04
0 0.02 0.13 0.03 0.03
1
26 0.02 0.03 0.05 0.07 0.11 0.08 0.06 0.16 0.15
0 0.23 0.1 0.09 0.06 0.02 0.11 0.06
0 0.23
1
29 0.02 0.07 0.09 0.07 0.22 0.03 0.03 0.02 0.04 0.1 0.18 0.14 0.02 0.07 0.05 0.03 0.04 0.06 0.1 0.04
130 0.01 0.03 0.01 0.07 0.12 0.02 0.03 0.01 0.08 0.12 0.18 0.15 0.09 0.04 0.03 0.04
0 0.04 0.07
0 0.071
31 0.02 0.13 0.2 0.05 0.07 0.08 0.14 0.07 0.08 0.25 0.03
0 0.14 0.04 0.15 0.08 0.05 0.07 0.18 0.11 0.06 0.1
1
33 0.08 0.14 0.03 0.12 0.11 0.08 0.12 0.07 0.13 0.01 0.01 0.03 0.12 0.06 0.2 0.1 0.17 0.1 0.14 0.12 0.01 0.11 0.04
1
34 0.07 0.18 0.09 0.07 0.1 0.12
0 0.11 0.04 0.1 0.03 0.01 0.12 0.16 0.17 0.04 0.13 0.19 0.14 0.03 0.05 0.16 0.12 0.01
135 0.04 0.12 0.08 0.06 0.08 0.16 0.1 0.03 0.05 0.03 0.13 0.17 0.01 0.22 0.05 0.14 0.04 0.03
0 0.12 0.04 0.09 0.01 0.01 0.03
1
36 0.02 0.14 0.04
0 0.02 0.09 0.07 0.09
0 0.050
0 0.07 0.12 0.01 0.05 0.06 0.07 0.12 0.03 0.06 0.1 0.02 0.12 0.1 0.01
1

表 2 Q 3 統計量

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察

的テスト理論による結果と項目反応理論による結果
で差があったものの、大きな差ではなかった。
識別力は、項目 4、5、8、14、22、25、29、31 について、古典的テスト理論による結果と項目反応理論による結果で大きな差があった。これから、標本依存性、項目依存性の可能性も配慮して分析を行う。

表3

項目反応理論による識別力・困難度の推定

項
目

困難度

識別力

表4

項目反応理論 IRT
困難度

識別力

IT 相関

IR 相関

bj

aj

1

0.88990.27110.2063‒3.24130.7013

4

0.38390.42530.33280.67370.8016

5

0.94640.31350.2683‒2.7066

1.3276

7

0.46130.33460.23320.33580.488980.56850.41410.3189‒0.40910.756590.79170.38050.3012‒1.7191

0.8988100.68750.34290.2494‒1.5218

0.5535120.83040.29890.2219‒2.58630.6679130.6161

0.32890.2298‒0.9403

0.5358140.97020.25190.2168‒3.27391.2936150.74110.39540.3105‒1.35440.9039160.58330.40880.3136‒0.47310.8108170.82440.36330.2883‒1.9455

0.922420

0.40480.4666

0.37670.45511.040021

0.6786

0.36710.2744‒1.3872

0.5788220.03270.24330.20642.61391.798123

0.72620.36890.2807‒1.6611

0.638724

0.69640.48470.4025‒0.8727

1.218725

0.56250.42680.3325‒0.36420.779526

0.52680.41150.3152‒0.1503

0.807629

0.91370.31180.2550‒2.3892

1.218930

0.58630.5472

0.4653‒0.32221.524731

0.89880.42470.3686‒1.6742.077833

0.4464

0.55390.47190.1832

1.916334

0.71130.53970.464‒0.7598

1.828335

0.29170.51250.43390.76551.764236

0.33630.48950.40530.66911.3782位

正答率順

古典的テスト理論 CTT

56

困難度、識別力が高い項目の序列
表内の数値は項目番号

困難度

識別力

CTT

IRT

正答率

bj

CTT

IRT

IT 相関

IR 相関

aj

1

22

22

33

33

31

2

35

35

30

30

33

3

36

4

34

34

34

4

4

36

35

35

22

5

20

20

36

36

35

6

33

7

24

24

30

7

7

33

20

20

36

8

26

26

25

31

5

9

25

30

4

4

14

10

8

25

31

25

29

11

16

8

8

8

24

12

30

16

26

26

20

13

13

34

16

16

17

14

21

24

15

15

15

15

10

13

9

9

9

16

24

15

23

17

16

17

34

21

21

23

26

18

23

10

17

21

4

19

15

23

10

5

25

20

9

31

7

29

8

21

17

9

13

10

1

22

12

17

5

7

12

23

1

29

29

13

23

24

31

12

12

12

21

25

29

5

1

14

10

26

5

1

14

22

13

27

14

14

22

1

7

誤答の詳細は、表 7 の通りである。過半数を超え

6．項目の誤答分析

る 9 名が存在しない尺度水準を回答しており、4 水
準の定義を把握していないことが分かる。その他の項目 1 から項目 8 は、Stevens（1951）が提唱し7 人中、6 人が量的データである間隔尺度及び比た 4 水準に関するものである。この 4 水準を学ぶ理（率）尺度を回答しており、質的データである順序

由は、谷口（2017）が「構成する尺度がどの水準に尺度を回答した学生は 1 人であった。この結果から、あたるかは、その後の統計処理や研究する心理的概量的データ及び質的データの理解が得られていない

念に深くかかわることである」と指摘する通りであことが示唆される。4 水準の理解をさせるために、る。構成する尺度水準によって可能な計算や適した4 水準の定義を正確に記憶させることと合わせて量グラフが異なるため、これを誤ると、間違ったデー的データ及び質的データの正確な理解が必要になるタを提示することやデータをわかりやすくするためと考える。

のグラフがわかりにくくなることもある。

表74 水準すべて正答した学生は表 5 の通り、17 人で名義尺度に関する項目 5 の誤答例

人数全体の 5.06％に留まり、全体の 94.94％は少なくとも 1 項目は誤答をしていた。この結果から、統計処理を行う上で土台となる 4 水準の理解が十分ではな

誤答内容

4

間隔

2

比（率）、相対、質1

順序、記号、質量、差異、質的、心的いことが示唆された。4 水準を量的データの正誤、質的データの正誤に限定した結果も表 5 の通りであ

なお、本項目は 94.64％の学生が正答となったが、るが、いずれの理解も十分ではないことが示唆され本項目を回答できることと、それがどのような統計た。この結果から 4 水準の理解を徹底させる必要性処理に応用されるのかを理解しているのかは異ながある。以後、4 水準の理解度を名義尺度、順序尺る。そのため、谷口（2017）が指摘するように名義

度、間隔尺度、比（率）尺度の順に分析していく。

尺度は「各カテゴリに分類される度数（人数など）

表5を用いた統計は可能であり、全体に対する割合の算

4 水準、量的データ、質的データの正答及び正答率
正答（率）

不正答（率）

4 水準

17（5.06）

319（94.94）

量的データ

34（10.12）

302（89.88）

質的データ

91（27.08）245（72.92）

出、最頻値、クロス集計、χ2 検定などの度数に関するノンパラメトリック検定などが可能である。
」こと、つまり度数を用いることで様々な分析ができることを教育する必要があると考える。

（1）名義尺度（2）順序尺度

名義尺度に関する項目は項目 5 である。病因を名順序尺度に関する項目は、4、6、8 である。項目

義尺度と回答する項目で、結果は表 6 の通りであっ4 は震度を、項目 6 は相撲番付（横綱、大関、関脇た。学生の 94.64％が正答であり、誤答となった学など）を、項目 8 は授業のやり方の評価（非常に良生及び無答の学生を合わせると 5.36％であった。

い、中程度、常に悪い）を順序尺度と回答するもの

表6で、結果は表 8 の通りであった。前項目の名義尺度

名義尺度に関する項目 5 の正答及び正答率

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

5

318（94.64）

16（4.76）2（0.60）と比較して、正答率は大きく減少した。
表8

本項目が正答できていない学生は、他の項目も多
くが誤答もしくは無答となっており、4 水準の理解が得られていないことが示唆される。4 水準の理解

順序尺度に関する項目 4、6、8 の正答及び正答率

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

4

129（38.39）

201（59.82）

6（1.79）6

208（61.90）

123（36.61）

5（1.49）8

191（56.85）

140（41.67）

5（1.49）は統計処理を行う際に重要であり、理解不足が躓き
順序尺度については、数量化されている震度と数の原因にもつながるため、具体例などを通して理解量化されていない相撲番付及び授業のやり方の評価させる必要がある。
57

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察

で誤答の型が分かれた。

は、前述の通り名義尺度と回答する学生は減少する

数量化された震度の尺度に関する誤答の詳細は、が、比（率）尺度や間隔尺度と回答する学生が増加

表 9 の通りで比（率）尺度及び間隔尺度と間違えるする可能性が示唆される。特に、GPA のように、学生が多かった。それらの合計である 171 人は、正秀に 4、優に 3、良に 2、可に 1 を付与して、数値

答者数の 129 人を上回る数であるため、震度が間隔

間に等間隔性が保証されていないものを等間隔と仮尺度及び比（率）尺度とはならない、つまり量的デ定して考えるものもあり誤解を生みやすい。また、

ータとはならない理由を説明する必要がある。

井上（2015）が述べる通り「統計学の教科書は、例

前述を踏まえ順序尺度は、谷口（2017）が指摘す

えば算術平均値は間隔尺度以上でしか計算できない

る「昇順・降順による順序比較、代表値としての中と指摘するが、多くの統計学的分析では順序尺度を

央値や、順位相関係数を求めることができるが、順間隔尺度とみなしている」のが現状である。この点

位の和や差を求めることができない」ことを教育すについては、注意事項として慎重に扱い教育する必る必要があると考える。

要がある。

表9

順序尺度に関する項目 4 の誤答例

人数（3）間隔尺度

誤答内容

間隔尺度に関する項目は項目 7 である。テストの

107

比（率）

64

間隔

18

名義

5

量

1

頻分、震度、質、順位、序列、等級、順番

点数を間隔尺度と回答する項目で、結果は表 11 の通りであった。
表 11

数量化されていない相撲番付の尺度及び授業のや間隔尺度に関する項目 7 の正答及び正答率

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

7

155（46.13）

176（52.38）

5（1.49）

り方の評価の尺度について誤答の詳細は表 10 であ誤答の詳細は、表 12 の通りであるが、比（率）り、名義尺度と間違える学生が過半数を超えていた。

尺度の誤答が多くを占める結果となり、誤解しやす

表 10

項目 6
人数

いことが分かった。

順序尺度に関する項目 6、8 の誤答例
誤答内容

項目 8
人数

表 12

誤答内容

間隔尺度に関する項目 7 の誤答例

人数

誤答内容

93

名義

79

名義

141

比（率）

15

間隔

22

間隔、比（率）

12

順序

3

質

6

質

9

量

2

比（率）、順位

2

量、順位

8

名義

1

度 数、 相 対、 量、価値、序列、順位、等級、順番

1程度、心的、価値、序列、順列、等級、
順番

2

質

1

順列、得点、絶対、相対

この結果から多くの学生は、対象が数量化されて間隔尺度と比（率）尺度の違いはゼロを基点としいない場合は名義尺度と回答する確率が高いことがた絶対原点の有無である。間隔尺度は絶対原点がな示唆される。

く、比（率）尺度は絶対原点が存在する。

そのため名義尺度にはない順序の概念について説項目 7 のテストの点数は間隔尺度であるが、それ明する必要がある。順序については、震度の例のよはテストの点数が 0 であった場合、そのテストに関

うにダミー変数を用いることで数量化して説明する

する学力が全くないことを意味しない。例えば、大方法もある。

学生に算数オリンピックの問題を出題した場合を考ただし、相撲番付（横綱、大関、関脇など）及びえる。大学生は、義務教育を卒業しているため算数

授業のやり方の評価（非常に良い、中程度、常に悪を履修し、算数の知識はあるが、算数オリンピックい）に対してダミー変数を付与して数量化する場合の問題が解けず 0 点になる可能性は考えられる。
58しかし、このときの 0 点は算数オリンピックの問

表 15比（率）尺度に関する項目 2 の誤答例

題が解けなかっただけであり、算数の能力が 0 であ人数ることを意味しない。テストの点数は比（率）尺度

132

間隔

と混同しやすいが、具体例を通して説明することで

6

順序

正確な理解につなげることができると考える。

2

量

1

名義、相対

誤答内容

（4）比（率）尺度
比（率）尺度に関する項目は、1、2、3 である。

項目 3 の誤答の詳細は表 16 の通りで、誤答の項目 1 は身長、項目 2 は時間の経過、項目 3 は日較

87.63％は、間隔尺度と回答していた。項目 3 が項差を比（率）尺度と回答するもので、結果は表 13

目 2 よりも誤答者が多い理由は、日較差の定義であの通りであった。項目 1 から 3 で、正答率が減少す

る「最高気温と最低気温の差」にあると考える。定るように作為して作問したため、結果は予想の範囲

義に差があるため、差に着目する尺度である間隔尺内に概ね収まった。なお、項目 1 から項目 3 まです度を回答とした可能性が示唆される。そのため定義

べて正答であった学生は 71 人で全体の 21.13％、少を記憶するのみならず意味も理解する必要がある。

なくとも 1 つの項目は不正答であった学生は 265 人

表 16で全体の 78.87％を占めていた。
表 13比（率）尺度に関する項目 3 の誤答例

人数

比（率）尺度に関する項目 1、2、3 の正答及び正答率

誤答内容

170

間隔
順序、名義

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

6

1

299（88.99）

34（10.12）3（0.89）5量2190（56.55）

142（42.26）4（1.19）2

質3

134（39.88）

194（57.74）

8（2.38）1

気温、絶対、格差、相対、重項目 1 の正答率は良好であった。身長は体重と合な お 項 目 3 は、IT 相 関 が 0.0635、IR 相 関 がわせて比（率）尺度の具体例として、最初に挙げら‒0.0189 と低いため、テストの項目としては熊谷他れることが多いため、良好な結果になったと考える。

（2015）の通り「今回測定している力をまったく反項目 1 の誤答の詳細は表 14 の通りであった。

映していない」ことになる。

表 14

しかし、テストの信頼度を向上させる項目として比（率）尺度に関する項目 1 の誤答例

人数は不適であっても、比（率）尺度を理解させる項目

誤答内容

19

間隔

7

名義

2

順序、量

1

相対、丈、序列、度数

としては重要であり、効果的に理解させるためにも誤答の分析は必要である。
そして、この項目の IT 相関及び IR 相関の値か
ら、統計のテストにおいて点数が高い学生も、点数が低い学生も一様に比（率）尺度を間隔尺度と間違項目 2 の誤答の詳細は表 15 の通りで、誤答のえることがわかる。つまり、間隔尺度と比（率）尺92.96％は間隔尺度と回答していた。時間が間隔尺

度の違いについては理解不足の学生が多いことが示度であるため、時間の経過も同様に考え誤答になっ唆される。そのため、両尺度については、具体例をた可能性が示唆される。

多く提示することによって理解を促進させる必要性

そのため、時間と時間の経過の相異点を、絶対原がある。

点の有無を通して、具体的に明示する必要があると考える。

（5）加重平均
加重平均に関する項目は項目 17 である。項目 17
は、表 17 の条件に対して、それぞれの点数を英語：数学：国語：社会＝ 3：4：1：2 と傾斜配点した場
59

文系学生の統計分野の能力分析及び誤答の考察

合の加重平均を求める項目であった。
表 17

まっている可能性がある。
なぜなら、平均値は最大値を超えることも最小値

項目 17 の条件設定

英語

数学

国語

社会

70

50

60

80

より小さくなることもないからである。本項目で考察すると、表 17 にある 4 科目の平均値が最大値 80を超えることも、最小値である 50 を下回ることも平均の理解度は、良好であり、計算間違いを除けない。しかし、一番多い誤答の 630/4 つまり 157.5

ば全員が正答になることを授業時に確認したため、は、最大値の 80 を超えており、次点の誤答である

加重平均の理解度を問うた。結果は表 18 の通りで、15.75 は最小値である 50 を下回っている。これらは、無答の学生が 1 人存在した。

平均値に関する正しい理解があれば、間違いである

表 18

ことは容易にわかる。その後は平均値の定義に従っ

加重平均に関する項目 17 の正答及び正答率

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

17

277（82.44）

58（17.26）1（0.29）て修正することとなるが、平均値に関する正しい理
解がなければ、修正する必要があることがわかっても、どのように修正するのかがわからず、その結果正答は図 3 の通りである。

間違ったまま回答を提出することになる。そのため、平均値を計算して求めることができるのみならず、

70 × 3 ＋ 50 × 4 ＋ 60 × 1 ＋ 80 × 2
10
図3

その計算は何を意味しているのか理解する必要があ= 63

る。特に、文部科学省（2019）にある通り「数学的活動を通して、その有用性を認識」させない限り、

項目 17 の正答

意味の理解が形式的なものや抽象的なものに留ま
誤答の詳細は表 19 の通りで、一番多かった誤答

り、具体的に応用できない可能性がある。平均値の及び次点の誤答は加重平均の定義を明確に理解して意味を理解させたうえで、具体的な問題を通して理いないものであった。

解させ有用性につなげる必要があると考える。

表 19

加重平均に関する項目 17 の誤答例

（6）標準得点

人数

誤答内容

28

630/4 ＝ 157.5（計算間違い 6 名を含む）

8

63/4（計算間違い 1 名を含む）

4

65（計算間違い）得点の定義を正確に記憶しているかを把握するた366（計算間違い）め、表 20 で与えた条件を標準偏差ではなく分散と2

26、68（計算間違い）した。つまり、曖昧に定義を記憶している学生が、

1

53、57、62、64、67、70、73、77.5、83

偶然正解することがないように、数値を調整して出

2

その他

題した。

標準得点に関する項目は項目 18 である。項目 18
は、表 20 から標準得点に求める問題である。標準表 20

一番多かった誤答を具体的に見ると、分母を 10とするのではなく 4 としたものが 28 人で誤答の中の 48.57％を占めていた。なおこの 28 人の中の 6 人

項目 18 の条件設定

得点

平均点

分散

58

50

16

正答は図 4 の通りであり、結果は表 21 の通りでは計算間違いもしており、具体的には 90 と間違えあった。

た学生が 2 人、187.5、137.5、132.5、12.6 と間違えた学生がそれぞれ 1 人存在していた。

58 － 50

誤答の次点は、先ほどの数値を更に 10 で割った

√16ものであった。
これらの誤答から、平均値に関する理解の不足が

図4示唆される。平均値を求める計算は、小学校で学習するが、本結果から形式的な計算の方法の理解に留60=2

項目 18 の正答

表 21

いて、理解不足になりやすい点、誤答になりやすい

標準得点に関する項目 18 の正答及び正答率

項目

正答（率）

誤答（率）

無答（率）

18

162（48.21）

157（46.73）

17（5.06）

点を考慮した教育が必要になると考える。
加重平均の項目を通して、平均値の機械的な計算はできるものの、意味の理解に不足が見られる学生

誤答の詳細は表 22 の通りで、点数から平均点をが存在していた。

引き、分散で割った回答が 106 人と一番多く、誤答

また標準得点については定義を覚えていない学の中で 67.52％を占めており想定していた通りの結生、定義の記憶が曖昧な学生が散見された。

果となった。誤答の次点は、標準偏差を回答したもそのため、本研究で得られた誤答例を通して曖昧のあった。この誤答については問題文を正確に読んな理解や曖昧な記憶にならないように、定着を図る

でいない可能性と標準得点の定義を正確に記憶して教育を実施する必要がある。

いない可能性が示唆される。
他は、計算過程がなく 1 と回答したもの、変動係引用・参考文献

数を回答したものが続いた。標準得点は、偏差値やCronbach, L. J. (1951). Coefficient alpha and the

知能指数などの統計量を求める場合などを含め、internal structure of tests.，Psychometrika，16（3），297‒334．

様々な統計処理で活用される。誤答例の通り、計算

https://www.doi.org/10.1007/BF02310555

間違いを誘発するような難しい定義ではないため、

井上信次（2015）．項目反応理論に基づく順序尺度の等間理解させ記憶させる必要がある。
表 22

隔性―質問紙調査の回答選択肢（3 ～ 5 件法）の等間隔性と回答のしやすさ―．川崎医療福祉学会誌，25

標準得点に関する項目 18 の誤答例

人数

誤答内容

106

0.5 （点数－平均）／分散

11

4

9

1

5

0.08

（1）, 23‒35
加藤健太郎・山田剛史・川端一光（2014）．R による項目
反応理論．オーム社．

標準偏差を回答

熊谷龍一（2009）．初学者向けの項目反応理論分析プログ
ラム EasyEstimation シリーズの開発．日本テスト

変動係数を回答

4

54、0.83

8

学会誌，5，107-118．
熊谷龍一・荘島宏二郎（2015）．教育心理学のための統計変動係数を回答し、計算ミス

学．誠信書房．

変動係数を％で回答

2

55、60

文部科学省（2019）．高等学校学習指導要領（平成 30 年

1

0.1、0.16、0.2、0.32、0.84、1.16、5、34、50、52、54.9

内閣府（2022）．統合イノベーション戦略推進会議 AI 戦

告知）解説数学編理数編．学校図書．
略 2022，https://www8.cao.go.jp/cstp/ai/aistrategy2022_

7．まとめ

honbun. pdf（2023.10.5 参照）
太田絵梨子（2021）．数学の概念的理解を評価するテストの提案と実践的検討．教育心理学研究，69，204‒220．

本稿の目的は、統計入門に関するテストを分析す

Stevens, S. S. (1951). Mathematics, measurement, andることで、学生の理解不足及び躓き箇所を明らかに

psychophysics. In S. S. Stevens (Ed.), Handbook of

し、効果的な教育につなげることであった。

experimental psychology，1-49．

本研究結果から、Stevens の 4 水準について正確

谷口高士（2017）．心理評価実験における尺度構成の方法．

に理解している学生が少ないことがわかった。具体日本音響学会誌，73（12），774-782

的には、名義尺度の理解はあるものの、順序尺度、

渡辺信・青木孝子（2021）．高大接続：大学文系学部入試

間隔尺度、比（率）尺度については、理解不足が顕

数学必須の動き．日本科学教育学会研究会研究報告，
35（8），23-26．

著に表れた。

Yen, W. M. (1984). Effects of local item dependence on

Stevens の 4 水準は高等学校まででは学習せず、

the fit and equating performance of the three­

大学で学習する学生が多い。今後の統計処理に基礎

parameter logistic model. Applied Psychologicalとなる重要な概念であることから、本研究結果を用Measurement,．8，125-145

61