数理解析研究所講究録
971 巻 1996 年 50-61

50

Galois 拡大のお茶の水女子大学理学部

有限次代数体の Galois 拡大$L/\mathrm{A}r$$\cross$\rightarrow Jk.,

堀江

に対して,

idclc 群及び乗法群とし, $N_{L/k}$. をな) 埋め込みん$1111111l_{)}(^{\iota},\Gamma \mathrm{k}_{11\mathrm{t}})\mathrm{t}$$J_{L}$$L^{\cross}arrow J_{L}$充子$J_{L},$$J_{k}$について(MITSUKO HORIE)

及び$L^{\cross},$$\mathrm{A}J^{\cross}$をそれぞれ $L,$,$\lambda\cdot$のからゐへのノルム写像とする. 自然な (対角的によって,$N_{L/k}$は通常のノルム写像$L^{\cross}arrow \mathrm{A}^{\cross}$,

を引き起こし, 可換図式
$L^{\cross}\downarrowarrow J_{L}\mathrm{I}^{N},\text{ノ}/k$.

$k^{\cross}arrow J_{k}$が得られるが,$l\text{ノ_{}L/k}=(N_{L/k}.(JL\rangle\cap\lambda^{\cross},\cdot)/N_{L/k}.(L^{\mathrm{x}})$

とおき, この剰余群を $L/k$ のこの小論では,$L$及び$\lambda$,$1111\ln\dagger$)$(^{\backslash \mathrm{r}\mathrm{k}_{1}},1\langle)\uparrow_{-}$と呼ぶ.

を動かしたときの$1111111\dagger$)$\mathrm{C}\mathrm{r}$knot$\iota\ovalbox{\tt\small REJECT}_{L/k}$の変化について考察

する.

\S 1.

準備.

有理数体を

$\mathrm{Q}$, 有理整数環を$\mathrm{Z}$, 全ての自然数の集合を$\mathrm{N}$とし,$\mathrm{Z}$で有理整数環の加法群も表す.
よく知られているように, llllll 市 Cr knot の構造はコホモロジー群を用いて記述される(後述の定理 A 参照) ので, まずコホモロジー群に関する知識を整理しておく.

51

有限群 $G$ と $G$ の作用する加群 $A$ が与えられたとき, 任意のける $G$ の 7/, 次元ホモロジ一群を $H_{n}(G, A)$ と書き, 任意の([9] 参照) での

$A$

$?1,$

$7^{\cdot}\in \mathrm{Z}$に対し,$\in \mathrm{N}$

$A$

にお

に対し, Tatc の意味

における $G$ の 7 次元コホモロジー群を $H^{r}(G_{:}A)$ と書く. 従って,$H^{0}(c, A)=A^{G}/N_{G}(A)$ ,$H^{-1}(G.A)=_{G}A/ \sum_{c\sigma\in}(1-\sigma)A$$H^{-n}(G, A)=H_{n-1}(G, A)$ ,$2\leq?|,$$\in \mathrm{N}$.

.

ここに $N_{G}$ は$(\lambda\in A$$N_{G}((l)= \sum_{\sigma\in G}\sigma \mathit{0},,$で定められる準同型写像 $Aarrow A$ であり,,$A^{G}=\{(\iota\in A|\sigma cx=(x (\sigma\in G)\}$$c^{A}=\mathrm{K}_{(}\backslash ,\mathrm{r}Nc$である. なお, ホモロジー群を記述する場合, 標準鎖複体の非斉次形を用いることにする.

すなわち, 各整数 $m\geq 0$ に対し
左 $G$ 自由加子 (特に$A\otimes_{G}p_{G}\eta-1$$P_{G^{\mathit{0}}}=\mathrm{Z}$$G^{m}$

を $G$ の

$n\iota$) とするとき, 各個の直積とし$?1,$$\in \mathrm{N}$$P_{G^{m}}$をに対し準同型$G^{m}$

で生成される: $A\otimes_{G}P_{G’}’arrow$$\partial_{n}$を$\partial_{n}(a\otimes_{G}(\sigma_{1}, \cdot’\cdot, \sigma_{n}))=(\sigma_{1}^{-1}a)\otimes c(\sigma_{2}, \cdots, \sigma_{n})-a\otimes c(\sigma_{1}\sigma 2\cdot\sigma 3\cdot.:.

, \sigma_{n})+\cdots$.

$+(-1)’-1a\otimes c(\sigma_{1}, \cdots.\sigma_{n-2}.\sigma_{n_{-1}}\sigma_{n})+(-1)^{n}a\otimes c(\sigma_{1}, \cdots.\sigma_{n.-1})$$(\iota\in A$,$(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n})\in G^{n}$によって定めれば,$H_{n}(G, A)=\mathrm{K}\mathrm{c}\mathrm{r}\partial_{n}/\mathrm{I}111\partial_{n+1}$である. また, 加法群$?l,$$\in \mathrm{N}$,の元$\mathrm{Z}$$?|,$は常に自明な $G$ 半群とみなし,$a\otimes_{G}(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n}.)$書くことにする.

.

(但し,$a\in \mathrm{Z}:\sigma_{1},$$\cdots,$$\in \mathrm{N}$$A=\mathrm{Z}$$\sigma_{n}\in G$の場合の) を単に ($\mathrm{Z}$.

$\bigotimes_{\backslash }$${}_{G}P_{G}f1$.

$x(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n})$

,

と

52

改めて $G$ を有限群, $A$ を $G$ 加群とし, $H$ を $G$ の部分群とする時, 任意のて, Rcs$=\mathrm{R}\mathrm{c}\mathrm{s}^{(}c^{r)},H;A$で restriction $111i\lambda l^{)}H^{r}(G_{\backslash }.A)arrow H^{r}(H, A)$ を表し, Corで corestriction inap $H^{r}(H.A)arrow H^{r}(G, A)$ を表す.

系とし, 各に対し,$\sigma\in G$

数 $T|l\geq 0$ に対し$r\in \mathrm{Z}$$-\overline{\sigma}$)$\mathrm{R}\mathrm{c}^{\mathrm{Y}}\mathrm{s}_{c^{-}H}^{\mathrm{t},m}.\cdot-1$$A$を$H\overline{\sigma}=H\sigma$は$?’|,$

$=0$

$T$

を左剰余類

$H\backslash G$

に対し)$=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}_{G,H}^{\mathrm{t}}r$

$;A$

の完全代表

で–意的に定まる $T$ の元とすれば, 特に各整の場合

$a-\rangle$$\sum_{\tau\in T^{\mathcal{T}}}a,$$a\in A$

, により,$\mathcal{T}|l\geq 1$の場合$a\otimes_{G}(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{m})\vdash*$,$\sum_{\tau\in T}\tau a\otimes_{H}(\tau\sigma 1\overline{\tau\sigma 1},\overline{\tau\sigma_{1}}\sigma 2\overline{\mathcal{T}\sigma 1\sigma_{2}}11, \cdots,\overline{\tau\sigma_{1}\cdots\sigma_{tn-1}}\sigma_{m}\overline{\tau\sigma_{1}\cdots\sigma})m1$$a\in A$,$(.\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{m})\in G^{m}$

により定まる準同型 $A\otimes_{G}P_{G^{m}}arrow A\otimes_{H}P_{H^{m}}$ から導かれる. 同時に$a\otimes_{H}(\sigma_{1-}.’\cdots, \sigma_{m})-*a\otimes c(\sigma_{1}, \cdots.\sigma_{m})$,.

$a\in A$$\cdot$.

$\mathrm{c}_{\mathrm{C}}$) $\mathrm{r}c^{-}H;A\langle.m-1$)$(\sigma_{1}, \cdots.\sigma_{m})\in H^{m}$

により定まる準同型 $A\otimes_{H}P_{H^{l}},,arrow A\otimes c^{P}cn\iota$ から導かれる.
更に;

$H$

が $G$ の正規部分群であるとき各整数

$?$

}

$|,$

$\geq 0$に対して, deflation nnap

Defl: $H^{-m}(G, A)arrow H^{-m}(G/H, A^{H})$は$\mathit{7}^{\cdot}’|_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}=0,7t\iota=1$, ないし$?l\cdot 1,$$\geq 2$の場合に応じて, それぞれ

$a\vdash+a$,$a\in A^{G}$により定まる準同型 $A^{G}arrow(A^{H})^{G/H}$ ,$(x\vdash*NH((\lambda),$$a\in cA$

,

は

53

により定まる準同型 $cAarrow G/H(A^{H})$ , ないし,$a\otimes_{G}(\sigma\iota, \cdots, \sigma_{m-1})\vdash\Rightarrow N_{H}(\prime r.)\otimes G/H(\sigma_{1}H, \cdots, \sigma_{m-1}H)$.

$(\lambda\in A_{\backslash }$$(\sigma_{1}, \cdots.\sigma_{m-1})\in Gm-1$

により定まる準同型 $A\otimes_{G}P_{G}m-1arrow A\otimes_{H}P_{H^{m[}}-$ から導かれる (河田 [3],$\ldots)$$\mathrm{W}\mathrm{e}\},\mathrm{i}_{\mathrm{S}}\mathrm{s}[10]$,.

次に $A_{H}=A/ \sum_{\tau}\in H(1-\tau)A$ とおき, 各$?l,$$\in \mathrm{N}$に対して, residuation niap$\mathrm{R}\mathrm{c}\mathrm{S}i(1:Hn(c, A)arrow H_{\eta}.(G/H, A_{H})$を$a \otimes_{G}(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n})\text{ト}\Rightarrow(a+\sum_{\tau\in H}(1-\tau)A. )\otimes G/H(\sigma 1H, \cdots, \sigma_{n}.H)$,$(x\in A$ ,$(\sigma_{1}, \cdots, \sigma_{n})\in G^{n}$により定まる準同型 $A\otimes_{G}P_{G^{\eta}}arrow A_{H}\otimes c/HP(c/H)^{n}$ から導かれる準同型として定義
する (中山 [6] ).

注意$A=\mathrm{Z}$のとき, 各$?1_{J}\in \mathrm{N}$に対し$H^{-n-1}(G_{\text{、}}\mathrm{Z})$から $H^{-n-1}(H, \mathrm{Z})$ への写像として Defl と Rcsid の両方が定義され

D fl(く)$\langle$

Weiss [10] の中でこの
以下,

素点

$U$

,

$L/\lambda\cdot$

に対し,

‘

$\mathrm{R}(^{1},i^{\backslash },\mathrm{i}(1$$=|H|\mathrm{R}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}(\iota(\zeta), (\in H^{-}n-1(G\backslash \mathrm{Z})/\cdot$は$\frac{\mathrm{D}\langle_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\backslash }\mathrm{f}\mathrm{l}}{|H|}$と表されている.

を有限次代数体の Galois 拡大とし,$\prime \mathrm{t}$)$G=\mathrm{G}_{\dot{C}1}1(L/\mathrm{A}’)$とおく. 更に,の上にある $L$ の素点 $V$ を 1 つずつ選んで固定し,$G_{v}$$k$の各を $V$ の $L/k$ に

54

関する分解群,. を $V$ における $L$ の完備化とする.

$\cdot$$L_{\mathrm{t})}$巡回群なので,$H^{-3}(G_{v}, \mathrm{Z})=\{0\}$$\rho_{L/k}${

が $L$ で不分岐のときには$)$は$G_{\mathrm{t})}$となる. このことに注意して, 準同型写像$:\oplus.H-3(c_{v}., \mathrm{Z})1yarrow H^{-3}(G, \mathrm{Z})$を\rho L/k((く tf).,J)
により定義する. 更に,
さて$H^{2}(G_{v}.$$7^{\cdot}\in \mathrm{Z}$

とし

$\xi$

$C_{L}$$= \sum_{\mathrm{t}f}.\mathrm{C}\langle)1_{G^{-}}^{\cdot}G.,;\mathrm{Z}((,3)(_{\mathrm{t}f}.)$を $H^{2}(G, C_{L})$ の標準類とする. また$\mathrm{G}$$\mathrm{x}_{i}$の各素点 { に対し,
$.$

$)$

を

.

$\xi_{v}$

よく知られているように,$(a_{\backslash }.b)\vdash*a^{b}$$H^{r+2}(c, c_{L})$$(_{\mathrm{t})}.\in H-3(c_{v}, \mathrm{Z})$によって $L$ の idcle 類群を表すものとする.

.L 力の標準類とする.

によって定義される,-pairillgを与えるが, . この,$a\in C_{L}$は$C_{L}\cross \mathrm{Z}arrow C_{L}$$(j\mathrm{u}\iota)$

積による各

,

$b\in \mathrm{Z}$$\mathrm{c}:11\iota$$(\xi, ()$)

積 $H^{2}(G, C_{L})\cross H^{r}(G, \mathrm{Z})arrow$, ($\in H^{r}(G.\mathrm{Z})$, の像を$\xi\cup$

くと書けば,$(\in H^{r}(G, \mathrm{Z})$$\Phi_{L/k}((.)=\xi\cup(.,$により同型: $H^{r}(G, \mathrm{Z})arrow\sim H^{r+2}(G, CL)$ が引き起こされる (Tate, [3.9] 参照).

$\Phi_{L/k}$

同様に : の素点 I こ対して, 自明な$k$$c_{v^{-}}\iota$)$H^{2}(G_{1J}., L^{\cross})v\cross H^{r}(G_{v}, \mathrm{Z})arrow H^{r+2}(G_{\mathrm{t}J}., L.|J\cross)$を)$\dot{c}\iota \mathrm{i}1^{\cdot}\mathrm{i}_{1}1\mathrm{h}$の引き起こす.

$\cross \mathrm{Z}arrow L_{1J}^{\cross}$$L_{1}^{\cross}.,$による各$(\xi_{1}.,.(_{v}),$$\langle_{\mathrm{t}J}.\in H^{r}(c_{v}, \mathrm{z})$$\mathrm{c}:11\mathrm{I}$

)

積

, の像

, と書けば$\xi_{v}\mathrm{U}_{v}\zeta_{f}.$$\Phi_{\mathrm{t})}.(\zeta.v)=\zeta.\iota f\bigcup_{\iota}.f$

により同型$\Phi_{L/k^{\backslash }}:$$\Phi_{v}$:$H^{r}(G_{v}, \mathrm{Z})arrow\sim$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})arrow H^{-1}(.c, C_{L})$

く l)’

H叶2

$(_{v}\in H^{r}$$(G_{v}.L_{v}^{\cross})$(G.,,, Z)が定まる ($\mathrm{T}_{\dot{\epsilon}}\iota\uparrow,$(, [3] 参照)は, 2-cocycle $f\in\xi$ をとったとき$a(\sigma_{1}, \sigma_{2})-*f(\sigma 1, \sigma 2)^{O}.$.

$a\in \mathrm{Z}$,$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\in c^{2}$

. 特に

55

で定まる準同型$\mathrm{Z}\otimes cP_{G}2arrow C_{L}$$\Phi_{L/k}$

から導かれる同型に他ならない. なお, 周知のように: $H^{-2}(G, \mathrm{Z})arrow H^{0}(G, C_{L})$は類体論の相互法則を与えている. さて,.

$\Phi_{1J}$:$k$のすべての素点 I こ関する$H^{-3}(c_{v}, \mathrm{Z})arrow H^{-1.\mathrm{x}}(Gv’ L\sim|y)$は同型$\oplus H^{-3.1}(G_{v}, \mathrm{z})arrow H^{-}(c, JL)=\tau’\sim\oplus.H-1(G,.\cdot’.L_{J}^{\cross},\mathrm{t}y.)$を引き起こし, 自然な $G$ 準同型 $J_{L}arrow C_{L}$ は準同型

$H^{-1}(G, J_{L})arrow H^{-1}$(G.

$C_{L}$)を引き起こす. そしてこれらは可換な図式$\oplus_{v}H^{-3}(G_{v}.\mathrm{z})arrow H^{-1}(G, J_{L})$$1^{\rho/./k}$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})$$\downarrow$$arrow\Phi_{/./k}H^{-1}(G_{\}C_{L})$を与える. –方 $N_{L/k}$. は準同型

$H^{-1}$(G.

$C_{L}$).

$=c(c_{L})/( \prod_{G\sigma\in}c_{L}1-\sigma)arrow l\text{ノ_{}L/k}$を引き起こすが, この準向型も $N_{L/k}$. と書くことにすれば, 完全系列

$H^{-1}(G, J_{L})arrow H^{-1}(G, C_{L})^{N}-\prime_{d}/\kappa l\ovalbox{\tt\small REJECT}_{L}/k$. $arrow 1$を得る. 従ってよく知られた次の結果が得られる.

ス IILA($\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}_{0}1\mathrm{Z}[8]$,$\mathrm{T}_{\dot{\mathrm{e}}\mathrm{i}}\mathrm{t}$( $[9]$, 国吉 [4])$l\ovalbox{\tt\small REJECT} L/k\cong \mathrm{C}()\mathrm{k}(J\mathrm{r}\backslash (\rho L/k)$.

56\S 2. 可換図式.
$L/k$ 及び $M/K$

を有限次代数体の Galois 拡大とし

$G=\mathrm{G}\mathrm{a}1(L/k)$

とする.

$L/k$

.

$x_{--}\mathrm{G}\dot{C}\iota 1(M/K)$と $M/K$ の間に何らかの関係があるとき, 二つの完全系列$H-3(G, \mathrm{Z})arrow H-\Phi_{L}/k1(c, C_{L})N/-^{/k}\nu_{L/k}$$H^{-3}$(X. Z),$\Phi_{\Lambda l/J\backslash ,arrow}\cdot H^{-1}(X, cM)^{N_{\Lambda}}-’/h\nu_{M/K}$の問にどのような関係があるかを, 以下四つの場合について考察する.

I. $L=M\supset K\supset k$ である場合,であるが, 各$G\supset X$$r\in \mathrm{Z}$に対し次の二つの図式が可換であることはよく知られている.
$H^{r}(G.\mathrm{Z})arrow\Phi_{L/k}H^{r+2}(c, c_{L})$$H^{r}(G.\mathrm{Z})arrow\Phi_{\mathfrak{l}./\mathrm{A}}H^{r+2}(G, C_{L})$.

$\downarrow{\rm Res}$$\downarrow{\rm Res}$.
$H^{r}(X.\mathrm{Z})arrow\Phi_{,/\mathit{1}\backslash },$$\uparrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}$$\uparrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}$.

$H^{r+2}(X, C_{L})$$H^{r}(X, \mathrm{Z})arrow\Phi_{J./’\backslash }\cdot H^{r+2}(x, c_{L})$.

従って次の結果が得られる.

金題

二つ図式

$\downarrow{\rm Res}$$arrow N,k\Phi//\cdot’,/k$.

$arrow N,,/k.\Phi r_{\lrcorner}/k$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})$$\nu_{L/k}$$\downarrow$$l\text{ノ_{}L/k}$$\uparrow$$\uparrow \mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}$.

,$H^{-3}(X_{\backslash }.\mathrm{Z})’arrow N_{/K}\cdot\Phi_{L/\backslash }j\prime l\text{ノ}L/K$$H^{-3}(X, \mathrm{Z})arrow N/,/li.\Phi/,/’\backslash \cdot l\text{ノ}L/K$

は可換である. ただし, 左から 2 番目の縦写像は自然な埋め込み. $arrow J_{K}$ から導かれ$J_{k}$

る準同型であり, 右辺の縦写像は $N_{K/k}$ : $J_{K}arrow$ みから導かれる準同型である.

57

II. $L\supset M\supset K=k$ である場合,
を剰余群
$S$

$G/\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}--\mathrm{G}\mathrm{a}1(L/M)$の完全代表系とし, 各$\sigma\in G$とおけば $X=G/\mathrm{Y}$ とみなせる.

に対して

を

$\overline{\sigma}$$\overline{\sigma}\mathrm{Y}=\sigma Y$$S$

で–意的に定まるの元とすれば,,$(\sigma_{1}\mathrm{Y}, \sigma_{2}\mathrm{Y})\vdash\Rightarrow|\mathrm{Y}|(\overline{\sigma_{1}},\overline{\sigma 2})$

により定まる準高型$\mathrm{z}^{\mathrm{t}}\otimes xP\dot{x}^{2}.\simarrow \mathrm{Z}:\otimes c^{P\cdot)}c\sim$$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\in G^{2}$

は準同型$H_{2}(X, \mathrm{z})arrow H_{2}(G_{\backslash }\ddot{\mathrm{Z}}):$

ことが Millcr [5] における議論よりわかる. そこでこの準同型を

補題 1$?’\cdot\iota$

を導く.

$\mathit{1}^{J},Y$と書くことにする.

を負でない整数とするとき, 次の二つの図式は可換である.

$H^{-m-2}(G, \mathrm{z})arrow\Phi_{J_{}/k}$$H^{-\dot{m}}.\cdot.(G-, c_{L})$$\mathrm{I}^{\mathrm{R}\epsilon:\mathrm{s}}\mathrm{i}\mathrm{d}$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})arrow\Phi_{I,/k}$$\downarrow \mathrm{D}\mathrm{e}.\mathrm{f}\mathrm{l}$$H^{-m-2}(X, \mathrm{z})arrow\Phi_{\Lambda l/k}H^{-m}\cdot(x, c_{M})$$H^{-1}’(G, c_{L})$$\uparrow\mu_{Y}$,$\uparrow$$H^{-3}(X_{\backslash }^{\cdot}.\mathrm{Z})arrow\Phi_{l\iota\prime/k}H^{-1}(x, c_{M})$.

ここで右辺の縦写像は$\mathfrak{a}M^{\cross}\vdasharrow aL^{\cross}$,$\mathfrak{a}\in J_{M}$により定まる準同型 $x(C_{M})arrow G(C_{L})$ が自然に導く準同型である.
従って:

金題 l 二つ図式$H^{-3}(c_{:}\mathrm{z})arrow N,./k.\Phi’,/k$$H^{-3}(G.\mathrm{Z})arrow N,./k.\Phi J_{\wedge/}k$$\nu_{L/k}$.

$\downarrow{\rm Res}$$\mathrm{i}\mathrm{d}$$\nu_{L/k}$$\downarrow$$H^{-3}(X, \mathrm{Z})arrow N_{1l/\mathrm{t}^{\Phi}\Lambda\prime/k}.\iota \text{ノ_{}M/k}$$\uparrow\mu$,$H^{-3}$).

$\uparrow$

(X. )

.

$arrow N_{\backslash f/k1}.\Phi.J/k\nu_{M/k}$$\mathrm{Z}$は可換である. ここで左から 2 番目の縦写像は恒等写像. $arrow$ みから導かれる準同型$J_{k}$

であり, 右辺の縦写像はみの自己準同型$a\vdash\Rightarrow a^{1^{L:}M]}=a^{|Y|}$から導かれる準同型である.

.

.

$a\in J_{k}$58

注童 ‘命題 2 の左側の図式の可換性は既に国吉 [4] の中で述べられている.

III. $M=LK$ かつ $k=L\cap K$ である場合,$(\sigma_{1}, \sigma_{2})-\rangle(\sigma_{1}|L, \sigma_{2}|L)$

により定まる同型をを,$(\sigma_{1}.\sigma_{2})\in X^{2}$. が引き起こす同型$\mathrm{Z}\otimes_{X}P_{X\underline{)}}.arrow \mathrm{Z}\otimes_{G}\Gamma_{G^{\underline{\prime}}}$$H_{2}.(X, \mathrm{z})arrow H_{2}(G, \mathrm{Z})$と書こう.

$’\psi$

次の二つ図式は可換である.

命題 3$H^{-3}(G, \mathrm{Z})$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})$$\nu_{L/k}$$\downarrow[K:k]\psi-\iota$$\nu_{L/k}$$\uparrow$$\uparrow\psi$$\downarrow$. ,$H^{-3}(,X, \mathrm{Z})arrow N\Lambda l/J\backslash \cdot\cdot\Phi\Lambda l//\backslash \cdot\nu_{M/K}$

ここに各

$?|,$

$\in \mathrm{Z}$に対し$?^{-}l’,\psi_{)}-1$

く.

$H^{-3}(X, \mathrm{Z})arrow N_{4//\Lambda\prime}/\backslash \cdot\Phi/l\backslash \prime l\text{ノ}M/K$,

く $\in H^{-3}(G, \mathrm{z})$は勿論$\vdash\Rightarrow?|,(’\psi_{J}-1(())$

により定まる準同型 $H^{-3}(G, \mathrm{Z})arrow H^{-3}(X, \mathrm{Z})$ を表し, 左から 2 番目の縦写像は自然な埋め込み. $arrow J_{K}$ の導く準同型, 右辺の縦写像は $N_{K/k}$. : $J_{K}arrow$ みの導く準同型で$J_{k}$

ある.

品位$M/h.$,が Galois 拡大である場合,$\tilde{X}=\mathrm{G}\dot{\epsilon}\mathrm{t}1(M/\lambda’)$とおけば,$’\psi$は合成写像$H^{-3}(X, \mathrm{Z})arrow H-3(\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{r}\tilde{X}, \mathrm{z})^{{\rm Res}}-\mathrm{i}\mathrm{d}H-3(c, \mathrm{Z})$に他ならない.

$Y=\mathrm{G}.A(M/L)$$H^{-3}(G, \mathrm{Z})arrow H^{-3}(\tilde{X}, \mathrm{Z})$とおくとき, II におけるのと同様にして準同型を得るが, この場合 $[K : k]^{2}\psi^{-1}$ が合成写像$H^{-}\mathrm{s}(G, \mathrm{Z})\prime^{x\prime}\iota H-arrow(3\tilde{X}, \mathrm{Z})arrow H^{-3}(X, \mathrm{z}\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s})$である.

$l^{l}Y$:59

IV. 同型 $\gamma:Larrow^{\sim}M$ が存在し,$\gamma|\lambda,\cdot$

が同型 $karrow K\sim$ を与える場合,$X=\{\gamma\cdot\sigma\cdot\gamma-1|\sigma\in G\}$であるから$(\sigma_{1}, \sigma_{2})\vdasharrow(\gamma\cdot\sigma_{1}\cdot\gamma^{-1}\backslash .

により準同型$\mathrm{Z}\otimes_{G}P_{G}.2arrow \mathrm{Z}\otimes xP_{X}2$.

\gamma\cdot\sigma_{2}\cdot\gamma^{-1})$が定義される. -方,を与える. そこでこれらの引き起こす準同型 $H^{-3}$ (G.

.

$\nu_{L/k}$$arrow\iota \text{ノ_{}M/K}$

金題 4

をそれぞれ

$\overline{\gamma}$

ないし$\gamma^{*}$$(\sigma_{1}.\sigma_{2})\in c^{2}$$\mathrm{Z}$$\gamma$は自然な同型$J_{k}arrow^{\sim}J_{K}$) $arrow H^{-3}(X, \mathrm{Z})$ ないし準同型と書けば次の結果が容易に得られる.

図式$H^{-3}$(G. Z)$l\text{ノ_{}L}/k^{\backslash }$$\downarrow\overline{\gamma}$$\downarrow\gamma^{\mathrm{x}}$$H^{-3}(X_{\backslash }.\mathrm{Z})arrow N_{\lambda l/\backslash }’\cdot\Phi\backslash l//\backslash ’\nu_{M/K}$

は可換である.

\S 3. 応用.
前節で与えた可換図式により, Galois 拡大の llllluborには,$\mathrm{Z}$$\mathrm{k}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{o}\uparrow$,の変化する様子を見るため

における Galois 群の $-3$ 次元コホモロジー群の変化する様子を調べればよい.

最後に, 前節の結果を応用してわかることをいくつか挙げることにする.
$L/k$を有限次代数体のるとき, 恒等写像$\mathrm{G}\mathrm{a}1\langle$ $)\mathrm{i}_{\mathrm{S}}$

拡大とし,

$K$

. $arrow.J_{k}$. が与える準同型$J_{k}$

を $L$ に含まれる廊の Galois 拡大体とす. $arrow\nu_{K/k}$ の核を $\nu_{L/K/k}$. と書く :$l\text{ノ_{}L/k}$.

$l\text{ノ_{}L/K/k^{\backslash }}=\mathrm{K}\mathrm{C}\Gamma(U_{L}/karrow l\text{ノ_{}K/k}.)=N_{L/\cdot K/}k(J_{L})\mathrm{n}Nk.(K^{\mathrm{x}})/N_{L/k}.(L^{\mathrm{x}})$60

定理\downarrow$k$を有限次代数体とし,

及び

$K$

を

$L$

$h$

,

の有限次 Galois 拡大体で $[K : k]$ と$[L:k]$ が互いに素なものとするとき, $M=KL$ とすれば $\nu_{M/K}\cong\nu_{M/}K/k$ \cong \nu L/んであり$\nu_{M}/k=\nu_{M}/K/k\cross\nu_{M}/L/k$が成り立つ.

注意

定理 1 の仮定の下でいる([2] も参照).

定理 2

$F/k$

$\nu M/k\cong\nu K/k\cross l\text{ノ}L/k$となることは既に Razar [7] で示されてを有限次代数体の Galois 拡大とし,$L$

は $F$ と$\lambda$)の任意の有限次. から自然に導かれる準同型

大体との合成体とすれば, 恒等写像

$J_{k^{\backslash }}arrow J_{k}$$\mathrm{A}\dagger$)$\mathrm{c}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{\backslash }1$拡$l\text{ノ}L/karrow|\text{ノ}F/k$は全射である.

さて各$(7|\tau.\mathit{7}l)\in \mathrm{N}\cross \mathrm{N},$$?7^{\cdot}l|?l$, に対し$\phi_{m.n}(a+?1,\mathrm{z})=a+r\prime l\mathrm{Z}$により準同型偏.n :$\mathrm{Z}/\mathit{7}\iota \mathrm{Z}arrow \mathrm{Z}/?$}$\iota \mathrm{Z}$$(\{\mathrm{Z}/?\iota \mathrm{Z}|n\in \mathrm{Z}\}$,が定義され, 射影系,が得られる. この射影系の射影的極限を$\{(t_{m,n}|?’\iota, 7\mathfrak{l}_{}\in \mathrm{Z}, ?’$\hat{\mathrm{Z}}$

と書く

$P$

に関する

$P$

t, |?t,\})$:$\hat{\mathrm{Z}}=1\mathrm{i}\mathrm{n}_{\mathrm{N}}n\inarrow 1\mathrm{Z}/?1_{\text{ノ}}\mathrm{Z}$2 はすべての素数$(x\in \mathrm{Z}$.

進整数環の加法群の直積に位相群として同型である. 周知のように, 任意の有限次代数体

$k$

に対し,

$k$,

の Galois 拡大体んで位相群として$\mathrm{G}_{\dot{r}1}1(\tilde{k}/k)\cong\hat{\mathrm{Z}}$となるものが存在する. このような代数体んをみの$\hat{\mathrm{Z}}$拡大体と呼ぶ.

61

定理\downarrow$K/k$を有限次代数体の Abel 拡大とし,成体とすれば,
限次中間体.

定理\downarrow$K$$\nu_{M/\mathrm{Q}}=1$$L$$\Omega/.K$

を 2 次体とし,$|\nu_{F/\mathrm{Q}}|--|\nu_{L/\mathrm{Q}}|=2$

$L/F$

$M$

注意

$k$

の任意の 2 拡大体との合$\nu_{L/k}\cong_{U_{F/k}}$を $M/K$ の中間体の拡大とし,

となる.

しかも

$\nu_{F/\mathrm{Q}}arrow\nu_{L/\mathrm{Q}}$F- と$\Omega/F$の任意の有が成り立つ.

を極大な $K$ の狭義不分岐 2 巾次巡回拡大体とすれば$J_{\mathrm{Q}}$$M\neq L,$ $F\neq K$とするとき,の自己準同型$arightarrow a^{[L:F1}$

が与える準同型

を $K$ との中間体であるほとんど全ての有限次代数体

に対し $\nu_{L/F/k}=1$ であり従ってであって,$\Omega$,$a\in J_{\mathrm{Q}}$は同型写像である.

定理 2 の仮定の下では (定理 2 により)$\nu_{L/k}$の生成系 (の代表) がそのまま$\nu_{F/k}$の生成系を与えることになる. 定理 3 についそも同様である. 逆に定理 4 の仮定の下では$\nu_{F/\mathrm{Q}}$の生成元の代表を $[L:F]$ 乗したものが文$\nu_{L/\mathrm{Q}}$の生成元を与えるのである.

献

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$K_{\ddot{O}rper}er-$$I$$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.)$$\mathrm{L}_{\mathrm{o}\mathrm{I}1}\mathrm{d}_{\mathrm{o}\mathrm{n}}/\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{w}$