数理解析研究所講究録
第 1976 巻 2015 年 91-99

91

Bruce-Roberts ミルナー数の計算アルゴリズム
田島慎一

$*$

TAJIMA, SHINICHI筑波大学大学院数理物質系数学域
GRADUATE SCHOOL OF PURE AND APPLIED SCIENCES, UNIVERSITY OF TSUKUBA

鍋島克輔$\dagger$

NABESHIMA, KATSUSUKE

徳島大学大学院ソシオアーツアンドサイエンス研究部
INSTITUTE OF SOCIO-ARTS AND SCIENCES, TOKUSHIMA UNIVERSITY

Abstract

Bruce-Roberts’ Milnor numbers of hypersurface isolated singularities are considered in the context of symbolic computation. An eﬀective method to compute
Bruce-Roberts’ Milnor numbers is proposed. The key of the method is the use ofparametric local cohomology systems.

1序
J. W. Bruce と R. M. Roberts は，1988 年の論文 [5] において複素解析的な特異多様体上の函数の critical points の研究を行い，古典的な Milnor 数の概念を一般化した．今日，Bruce-Roberts ミルナー数と呼ばれるこの概念は，(M. Kashiwara, R. MacPherson らが独立に導入した) local Euler obstruction とも関係する重要な不変量であることが知られている．しかし，その値を実際に求めることは，特異多様体が超曲面である場合であっても一般には極めて困難である．本稿では，特異多様体が孤立特異点を持つ超曲面である場合を考察し，その場合は Bruce-Roberts ミルナー数を求めることが可能であることを示す．

rtajima@math.tsukuba.ac.jp
nabeshima@tokushima-u.ac.jp$\dagger$

92
基本概念

2
$X$

は

$\mathbb{C}^{n}$の原点 $O$ の近傍，$\mathcal{O}_{X}$は $X$ 上の正則函数のなす層，は層$\mathcal{O}_{X,O}$$\mathcal{O}_{X}$の原点 $O$における stalk を表すとする．$X$ 上正則な函数 $g(x)=g(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})$ が定める超曲面を$Z=\{x\in X|g(x)=0\}$ で表す．以下，超曲面 $Z$ は原点を孤立特異点として持っと仮定
する．

2.1

Bruce-Roberts ミルナー数

正則函数を係数とする正則ベクトル場$v=a_{1}(x) \frac{\partial}{\partial x_{1}}+a_{2}(x)\frac{\partial}{\partial x_{2}}+\cdots+a_{n}(x)\frac{\partial}{\partial x_{n}},$$a_{i}(x)\in \mathcal{O}_{X},$$i=1$ , . . . , $n$

は，条件
は によっ
を満たすとき，$Z$ に沿って対数的であるいう．ここで，
$Z$
$X$
上で
て生成されるのイデアルを表す．
に沿って対数的なベクトル場全体のなす加群の層を $\mathcal{D}er_{X}(-\log Z)$ で表す ([22]). 正則函数の germに対し，
$v(g)\in\langle g\rangle$$\langle g\rangle$$g$$\mathcal{O}_{X}$$f\in \mathcal{O}_{X,O}$$I_{BR(f,Z)}=\langle v(f)|v\in \mathcal{D}er_{X,O}(-\log Z)\rangle$と定める．これは，局所環$\mathcal{O}_{X,O}$

におけるイデアルである．局所環$\mathcal{O}_{X,O}$のイデアル $I_{BR(f,z)}$による剰余$\mathcal{O}_{X,O}/I_{BR(f,Z)}=\mathcal{O}_{X,O}/\langle v(f)|v\in \mathcal{D}er_{X,O}(-\log Z)\rangle$を考える．
定義 ([5]) 剰余数と呼び $\mu_{BR}(f, Z)$ で表す．

$\mathcal{O}_{X,O}/I_{BR(f,Z)}$のベクトル空間としての次元を，Bruce-Roberts ミルナー$\mu_{BR}(f, Z)=\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_{X,O}/I_{(BR(f,Z)})$

2.2$\mathbb{C}^{n}$.

局所コホモロジーの原点 $O$ に台を持つ局所コホモロジーを$\mathcal{H}_{\{O\}}^{n}(\mathcal{O}_{X})$で表す．イデアル $I_{BR(f,Z)}$ により annihilate される局所コホモロジー類全体のなすベクトル空間を$H_{BR(f,Z)}=\{\psi\in \mathcal{H}_{\{O\}}^{n}(\mathcal{O}_{X})|h\psi=0, \forallh\in I_{BR(f,Z)}\}$で表す．このとき，次が成立する．
定理 1. ベクトル空間 $H_{BR(f,Z)}$ は，剰余$\mathcal{O}_{X,O}/I_{BR(f,Z)}$の双対ベクトル空間である．

従って，Bruce-Roberts ミルナー数は，ベクトル空間 $H_{BR(f,Z)}$ の次元と等しい．
$\mu_{BR}(f, Z)=\dim_{\mathbb{C}}(H_{BR(f,Z)})$

また，Grothendieck local duality により，$H_{BR(f,Z)}$ を用いることでイデアノレ $I_{BR(f,Z)}$ を完
全に特徴つけることができる．

93
対数的ベクトル場と局所コホモロジー3

論文 [26] において，孤立特異点を持つ超曲面 $Z$ に沿って対数的なベクトル場全体のなす加群の層 $\mathcal{D}er_{X}(-\log_{Z})$ の構造を調べる方法を与えた．この節では，まずこの結果を復習し，さらに $\mathcal{D}er_{X}(-1_{og}Z)$ の生成元を構成するための基本的枠組みを与える．
さて，[26] に既に示したように，対数的ベクトル場のなす加群 $\mathcal{D}er_{X}(-\log_{Z})$ の構造を調べるためには，まず，ぴの原点を通る超平面 $H$ を「適切に」 選び，その後に対数的ベクトル場を求めるための計算を行うことが重要である．対数的ベクトル場を求める際は，「適$H$$(z_{1},z_{2},
z_{n})$$H=\{z\in\mathbb{C}^{n}|z_{1}=0\}$の座標 $z=$
切に」 選ばれた超平面により，が，$(Z_{1},
Z_{2},
z_{n})$と表されるような座標系 $z=$を利用する．この節では，記号の混乱を避ける$\mathbb{C}^{n}$

ため，$X=$ $(x_{1}, x_{2}, x_{n})$ $(は \mathbb{C}^{n} に元々与えられた座標系，z= (Z_{1}, Z_{2}, z_{n})$ は新たに与えられる座標系を表すとする．函数 $f,$ 等は の函数とみなし $f(Z)$ , $g(z)$ と表すことにする．
$g$

$Z$

polar variety とイデアル商

3.1

,...,
は regular sequence であると仮定し，局所コホモロジー類からなる次のベクトル空間を考える

多少，天下り的になるが，$g,$$\overline{\partial}z_{2}\partial p,$$\frac{\partial}{\partial}z_{3}L$$\frac{\partial}{\partial}z_{n}L$$H_{\Gamma}= \{\psi\in \mathcal{H}_{\{O\}}^{n}(\mathcal{O}_{X})|g\psi=\frac{\partial g}{\partial z_{2}}\psi=\frac{\partial g}{\partial z_{3}}\psi=\cdots=\frac{\partial g}{\partial x_{z}}\psi=0\}.$

この有限次元ベクトル空間$H_{\Gamma}$

は，超曲面 $Z$ の polar variety$\Gamma=\{z\in X|\frac{\partial_{9}}{\partial z_{2}}=\frac{\partial g}{\partialz_{3}}=\cdots=\frac{\partial g}{\partial z_{n}}=0\}$と超曲面 $Z$ との交わり方を記述するベクトル空間であると解釈することができる．次に，$H_{\Gamma}$の各要素を$\mathcal{O}x,0$$\frac{\partial g}{\partial z_{1}}|_{FI}^{A}$することで得られる集合を$H_{\Phi}= \frac{\partial g}{\partial z_{1}}(H_{\Gamma})$とおくと，$H_{\Phi}$の局所環

における annihilator $Anno_{X,O}(H_{\Phi})$ は，イデアル商$Ann_{\mathcal{O}_{X,O}}(H_{\Phi(g)})=\{a($ 之 $) \in \mathcal{O}_{X,O}a(z)\frac{\partial g}{\partial z_{1}}\in\langle g,$$\frac{\partial g}{\partial z_{2}},$$\frac{\partial g}{\partial z_{3}}$...,$\frac{\partial g}{\partial z_{n}}\rangle\}$で与えられることが分かる．従って，次の結果を得る．
定理 2([26]). 正則関数

$a(z)\in \mathcal{O}_{X,O}$(i)$a(z)\in Ann_{\mathcal{O}_{X,O}}(H_{\Phi})$(ii)$\exists v\in \mathcal{D}er_{X}(-\log Z)$s.t.

に対し，次の (i), (ii) は同値である．

$v=a(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+a_{2}(z)\frac{\partial}{\partial z_{2}}+\cdots+a_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}$ただし， $a_{2}(z)$ , . . . , $a_{n}(z)\in \mathcal{O}x,0$ である．

のスタンダード基底を求め，局所環におけるこの定理により，イデアル
syzygy 計算を行なうことで，対数的ベクトル場のなす加群の生成元を構成出来ることが分$Ann_{\mathcal{O}_{X,O}}(H_{\Phi})$

かる．

94
超平面切断

3.2

は，剰余

さて，ここで，す．いま，$H_{\Phi}$$\mathcal{O}_{X,O}/Ann_{\mathcal{O}_{X}}(H_{\Phi})$の双対ベクトル空間であることを思い出$H_{T}= \{\psi\in \mathcal{H}_{\{O\}}^{n}(\mathcal{O}_{X})|g\psi=\frac{\partial g}{\partial z_{1}}\psi=\frac{\partial g}{\partial z_{2}}\psi=\cdots=\frac{\partial g}{\partial z_{n}}\psi=0\}$とおくと，ベクトル空間の完全列$0arrow H_{T}arrow H_{\Gamma}arrow H_{\Phi}arrow 0$

を得る．ここで，$H_{T},$$H_{\Gamma}$の $0_{x,0}$ におけるannihilators は其々，

$Ann_{\mathcal{O}_{X,O}}(H_{T})=\langle g,$$\frac{\partial_{9}}{\partial z_{1}},$$\frac{\partial g}{\partial z_{2}}$,...,$\frac{\partial g}{\partial z_{n}}\rangle,$$Ann_{\mathcal{O}_{X,O}}(H_{\Gamma})=\langle g, \frac{\partial g}{\partial z_{2}}, \frac{\partial g}{\partial z_{3}’}\ldots, \frac{\partial g}{\partial z_{n}}\rangle,$であることから，B. Teissier ([29]), D. T. L\^e ([12]) らの結果等より，$\dim_{\mathbb{C}}(H_{T})=\tau(g) , \dim_{\mathbb{C}}(H_{\Gamma})=\mu^{(n)}(g)+\mu^{(n-1)}(g|H)$が従う ([27], [12], [29]). ただし，
Iはの Milnor 数，の Tjurina 数， $\mu^{(n)}(g)$ I は$\mu^{(n-1)}(g|H)$ はを超平面 $H$ に制限して得られる函数の Milnor 数を意味する．これらよ$\tau(g)$

$g$

$g$

$g$

り，次の結果を得る．
命題 3 ([26]).
$\dim_{\mathbb{C}}(H_{\Phi})=\mu^{(n)}(g)-\tau(g)+\mu^{(n-1)}(g|H)$

剰余$\mathcal{O}_{X,O}/Ann_{\mathcal{O}_{X}}(H_{\Phi})$は，対数的ベクトル場$v=a_{1}(z) \frac{\partial}{\partial z_{1}}+a_{2}(z)\frac{\partial}{\partial z_{2}}+\cdots+a_{n}(z)\frac{\partial}{\partial z_{n}}$の係数 $a_{1}(z)$ の原点
における vanish の度合いを測るベクトル空間である．$\mu^{(n)}(g)-\tau(g)$$Z$の値は超曲面のみに依るが，$\mu^{(n-1)}(g|H)$ は超平面 $H$ の選びかたに依存する．従って，$O$

対数的ベクトル場の構造を記述する際は，$\mu^{(n-1)}(g|H)$ が最小となるような超平面 $H$ を選
び，この超平面が $H=\{z\in \mathbb{C}^{n}|z_{1}=0\}$ と表されるような座標系 $z=$ $(z_{1}, z_{2}, z_{n})$ を用
いて対数的ベクトル場を表現することが良いことが分かる．

4

超平面の選択今迄と同様に，正則函数 $g(x)=g(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n})$ が定める超曲面 $Z=\{x\in X|g(x)=0\}$
は，原点を孤立特異点として持つとする．原点を通る超平面を，超平面を定める法線ベクトルを用いてを通る超平面全体のなす集合で表す．以下，原点と同一視する．
を，法線ベクトルが定める射影空間
$O$

$\xi$

$=$

$(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{n})$$H_{\xi}$$\mathbb{P}^{n-1}$

$O$

95
4.1

genericityが原点で表す．函数に制限して得られる函数を
を孤立特異点として持つ場合，その Milnor 数を $\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})$ で表す．この時，Milnor 数
正則函数$\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})$

$g$

を超平面

は一般に，

$[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}$$g|H_{\xi}$$9|H_{\xi}$$H_{\xi}$に依存するが，最小値$\min_{[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}}\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})$が存在する．この最小値を B. Teissier ([30]) に従って，$\mu^{(n-1)}(g)$ で表す．の部分集合
B. Teissier ([28, 29, 30]) は，射影空間$\mathbb{P}^{n-1}$$\{[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}|\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})=\mu^{(n-1)}(g)\}$が，Zarisky open, dense であることを示した．この事から，$\dim_{\mathbb{C}}(H_{\Phi})=\mu^{(n)}(g)-\tau(g)+\mu^{(n-1)}(g|H)$を最小とするような超平面 $H$ は超平面全体のなす集合$\mathbb{P}^{n-1}$において generic に存在することが直ちに従う．
を考える．
いま，$U=\{[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}|\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})=\mu^{(n-1)}(9)\}$ とおき，補集合
B. Teissier ([29]) により，
は，超曲面 に対する Nash blow-up の特異点 上のfiber, 即ち，limiting tangent space と一致することが示されている．従って，対数的ベクトを予め選んで種々のをみたす に対する超平面
ル場を構成する際は，$\mathbb{P}^{n-1}-U$$\mathbb{P}^{n-1}-U$$[\xi]\not\in \mathbb{P}^{n-1}-U$

$O$

$Z$

$\xi$

$H_{\xi}$

計算を行うことが良い事になる．

D. O’Shea が論文 [21] において，limiting tangent space を求めるアルゴリズムを発表している．D. O’Shea の提案したアルゴリズムを用いてを求め，その情報から「対数的ベクトル場の計算に適した超平面」 を決めることが可能である．しかしながら，このアルゴリズムは一般に計算コストがかなり高い．次の節で， に属すような generic な$\mathbb{P}^{n-1}-U$$U$

超平面を求めるための新たな計算法を提案する．

4.2

Parametric local cohomology system の利用

この節では，parametric local cohomology system を用いることで，条件 $\mu^{(n-1)}(g|H)=$$\mu^{(n-1)}(g)$を満たす generic な超平面 $H$ と， $H=\{z\in \mathbb{C}^{n}|z_{1}=0\}$ となる座標系$z=$ $(z_{1}, z_{2}, z_{n})$まず，条件を同時に求めることが可能であることを示す．
全体のなす集合を満たす超平面$\mu^{(n-1)}(9|H_{\xi})=\mu^{(n-1)}(g)$$H_{\xi}$$\{[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}|\mu^{(n-1)}(g|H_{\xi})=\mu^{(n-1)}(g)\}$において open dense であることに注目する．
は，与えられた座標系 $x=$ $(x_{1}, x_{2}, x_{n})$ に対し，パラメータ $P=(l_{2}, l_{3}, l_{n})\in \mathbb{C}^{n-1}$ を$\mathbb{P}^{n-1}$

用いて

96

$\{\begin{array}{l}z_{1} = x_{1}-l_{2}x_{2}-l_{3}x_{3}-\cdots-l_{n}x_{n}z_{2} = x_{2}z_{3} = x_{3}:z_{n-1} = x_{n-1}z_{n} = x_{n}\end{array}$なる座標変換を施し，函数とおく．この函数$r_{\ell}$

超平面飾の原点数$r\ell$$g$を用いて，$r_{l}(z_{2}, z_{3}, z_{n})=g(l_{2}z_{2}+l_{3}z_{3}+\cdots+l_{n}z_{n}, z_{2}, Z3, z_{n})$は， を超平面 $H_{\ell}=\{z_{1}=0\}$ に制限することで得られる函数である．
$g$

$O$

に台を持つ局所コホモロジーに属するコホモロジー類であり，函のヤコビイデアルみ l$= \langle\frac{\partial}{\partial z}r_{2}\angle$,$\frac{\partial}{\partial z}r_{3}\angle$,$\cdots$,$\frac{\partial r}{\partial z_{n}}\rangle$

により annihilate されるもの全体のなす空間を$H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)}=\{\psi\in \mathcal{H}_{\{O\}}^{n1}(\mathcal{O}_{H_{\ell}})|J_{r_{\ell}}\psi=0\}$

とおく．

函数

$r_{\ell}$が原点 $O$ を孤立特異点として持つ場合，$H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)}$

その次元は，$g|_{H_{\ell}}$は有限次元ベクトル空間となりの Milnor 数と等しい．
$\dim_{\mathbb{C}}(H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)})=\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{O}_{H_{\ell}}/J_{r_{\ell}})$.

集合 $\{[1, -l_{2}, -l_{2}, -l_{n}]\in \mathbb{P}^{n-1}| (l_{2}, l_{3}, l_{n})\in \mathbb{C}^{n-1}\}=\{[\xi]\in \mathbb{P}^{n-1}|\xi_{1}\neq 0\}$ は，$\mathbb{P}^{n-1}$において open dense であることから，$\min_{\ell}\dim_{\mathbb{C}}(H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)})=\mu^{(n-1)}(g)$が成立することが保障される．従って，$H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)}$

が有限次元となるような$r_{\ell}$を与えるパラを最小にするの中から，dimc
を選ぶことで，対数的ベ$\{x\in\mathbb{C}^{n}|x_{1}-l_{2}x_{2}-l_{3}x_{3}-\cdots-l_{n}x_{n}=0\}$
クトノレ場の計算に用いる超平面
および座標
メータ

$\ell$$l=(l_{2_{\rangle}}l_{3}, l_{n})$$(H_{J_{r\ell}}^{(n-1)})$系 $(z_{1}, z_{2}, z_{n})=(x_{1}-l_{2}x_{2}-l_{3}x_{3}-\cdots-l_{n}x_{n}, x_{2}, x_{3}, x_{n})$ を求めることが出来る．

この計算法を実行するためには，パラメータ$\ell\ovalbox{\tt\small REJECT}$こ依存する函数馳により定義されるパ

タメータ付局所コホモロジー類のなす空間を計算することが必要となるが，その計算には [18] に与えた parametric local cohomology system を求める計算アルゴリズムを用いる．函数は孤立特異点をはパラメータを含むため，パラメータ値によっては定義しない場合もあり得ることに注意されたい．論文 [18] で与えた計算アルゴリズムは，$H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)}$$r_{\ell}$$r_{\ell}$

パラメータ付局所コホモロジーの計算を開始する前に，特異点集合の次元判定を予め行う
等の前処理を行うように設計してあり，この種の問題に対応可能なようにしてある．本稿で扱う問題の場合，$\mu^{(n-1)}(g)$ は，不等式$\mu^{(n-1)}(g)$. multiplicity $(g)\leq\mu^{(n)}(g)$97を満たすことが示されている ([29], page 323, proposition 2.1) ので，パラメータ付局所 :の次元が， (g)/multiplicity(g) の値
ホモロジー計算において，ベクトル空間
超えた場合，その (パラメータ空間の) stratum 上での局所コホモロジー計算を止めるこで，この種の問題を処理することが出来る．
$H_{J_{r_{\ell}}}^{(n-1)}$5$\mu^{(n}$アルゴリズムの概要

超曲面を定義する 9 および函数 はともに，多項式であるとする (計算は理論的には 1
束幕級数とみなして行う). 以下のアルゴリズムは，対数的ベクトル場の構造が分かるよな方法で，Bruce-Roberts Milnor 数の計算を行うものである．
$f$

アルゴリズムInput : 超曲面の定義多項式$g$および多項式 (正則関数)$f$1. B. Teissier の条件を満たす generic な超平面および座標系を構成する．

2. Polar variety と超曲面の交わり方を記述する局所コホモロジー類の計算を行う，
3. 対数的ベクトル場の計算に必要となるイデアル商の双対空間を構成し，イデアル商のスタンダード基底計算を行う．

4. 拡張イデアルメンバーシップアルゴリズムおよび局所環におけるシジジー計算によ
対数的ベクトル場の生成元を構成する

5. イデアル$I_{BR(f^{Z})}$によりannihilate される局所コホモロジー類のなすベクトル空間$H_{BR(f,Z)}=\{\psi\in \mathcal{H}_{\{O\}}^{n}(\mathcal{O}_{X})|h\psi=0, \forallh\in I_{BR(f,Z)}\}$の基底局所コホモロジー類を求める．

6. ベクトル空間 $H_{BR(f,Z)}$ の次元．イデアル $I_{BR(f,Z)}$ の reduced standard 基底を計算す 1
Output :$H_{BR(f,Z}$,の基底局所コホモロジー類，Bruce-Roberts ミルナー数，およびイデアル $I_{BR(f,Z)}$ の reduced standard 基底

このアルゴリズムは，Bruce-Roberts ミルナー数を求めるだけでなく，ベクトル空$H_{BR(f,Z)}$ , イデアノレ $I_{BR(f,Z)}$ の reduced standard 基底も出力することに注意された
た，対数的ベクトル場のなす加群の生成元を出力させることも可能である$\fbox{Error::0x0000}\backslash .$$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{1}$$\sim\dot{c}$参考文献[1] I. Ahmed, M. A. Soares Ruas and J. N. Tomazella, Invariants of topological relatic
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