N° d’ordre : 76-2007

Année 2007

THESE
présentéedevant l’Université Claude Bernard – Lyon 1
pour l’obtention
du DIPLOME DE DOCTORAT(arrêté du 7 août 2006)

présentéepar
Pierre-Emmanuel THÉROND

Mesure et gestion des risques d'assurance : analyse critiquedes futurs référentiels prudentiel et d'information financière

Directeur de thèse : Professeur Jean-Claude AUGROS

Soutenue publiquement le 25 juin 2007, devant le jury composé de :Jean-Claude AUGROS (Professeur, Université Claude Bernard – Lyon 1)
François EWALD (Professeur, Conservatoire National des Arts et Métiers)
Hans GERBER (Professeur, Université de Lausanne-HEC), RapporteurJean-Paul LAURENT (Professeur, Université Claude Bernard – Lyon 1)
Etienne MARCEAU (Professeur, Université Laval), Rapporteur
Frédéric PLANCHET (Professeur associé, Université Claude Bernard – Lyon 1)

SommaireSommaire........................................................................................................... 1
INTRODUCTION GÉNÉRALE ................................................................................ 3
PARTIE I NOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET
FINANCIÈRE DES RISQUES EN ASSURANCE ......................................................... 9
Chapitre 1 Traitement spécifique du risque : aspects théoriques .............. 13
1. Les outils mathématiques de l’analyse des risques ................................ 13
2. Un traitement différencié du risque ....................................................... 29
3. Contrats en unités de compte : les garanties plancher............................ 36
4. Conclusion ............................................................................................. 42
Bibliographie ............................................................................................... 44
Chapitre 2 Traitement spécifique du risque : aspects pratiques ................ 47
1. De nouveaux référentiels distincts ......................................................... 47
2. Des incidences opérationnelles .............................................................. 52
3. Cas pratique : portefeuille d’assurance vie ............................................ 64
Bibliographie ............................................................................................... 70
Chapitre 3 Incidence sur la gestion technique d’un assureur..................... 71
1. Modélisation de la société d’assurance .................................................. 72
2. Critère de maximisation des fonds propres économiques ...................... 73
3. Recherche de l’allocation optimale........................................................ 77
4. Conclusion ............................................................................................. 88
Annexe A : Démonstration des résultats mathématiques............................. 91
Annexe B : Simulation des réalisations de la charge de sinistres................. 93
Bibliographie ............................................................................................... 94
PARTIE II MODÉLISATIONS AVANCÉES EN ASSURANCE ................................ 95
Chapitre 4 Limites opérationnelles : la prise en compte des extrêmes ...... 97
1. Calcul de VaR en assurance................................................................... 99
2. Notations.............................................................................................. 101
3. Estimation de quantiles extrêmes......................................................... 102
4. Application du bootstrap...................................................................... 105
5. Robustesse du SCR.............................................................................. 111
6. Conclusion ........................................................................................... 117

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Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Annexe A : Loi de Pareto généralisée (GPD) ............................................ 118
Annexe B : Résultats probabilistes ............................................................ 121
Annexe C : Estimation du paramètre de queue .......................................... 125
Bibliographie ............................................................................................. 129
Chapitre 5 Prise en compte de la dépendance............................................ 133
1. Analyse mathématique de la dépendance ............................................ 134
2. Rappels sur la dépendance linéaire ...................................................... 143
3. La théorie des copules.......................................................................... 145
4. Rachat de contrats d’épargne : un modèle ad hoc................................ 161
5. Capital de solvabilité : les méthodes d’agrégation............................... 165
Bibliographie ............................................................................................. 168
Chapitre 6 Techniques de simulation.......................................................... 171
1. Introduction.......................................................................................... 171
2. Discrétisation de processus continus.................................................... 172
3. Estimation des paramètres ................................................................... 180
4. Génération des trajectoires................................................................... 185
5. Simulation de la mortalité d’un portefeuille d’assurés......................... 193
6. Conclusion ........................................................................................... 197
Annexe : Tests d’adéquation à une loi ....................................................... 198
Bibliographie ............................................................................................. 200
CONCLUSION GÉNÉRALE ............................................................................... 201
Annexe Solvabilité 2 - les modèles proposés par QIS 3 ............................ 205
1. Modèles d’évaluation : l’approche standard .......................................... 206
2. Provisions techniques en assurance vie.................................................. 209
3. Provisions techniques en assurance non-vie .......................................... 210
4. Capital éligible....................................................................................... 210
5. Capital de solvabilité (SCR) : formule standard .................................... 211
BIBLIOGRAPHIE GÉNÉRALE ........................................................................... 217
Notations utilisées ......................................................................................... 225
Table des illustrations .................................................................................. 227
Table des matières ........................................................................................ 229

INTRODUCTION GÉNÉRALE

Les prémices de l’assurance moderne
Les premiers dispositifs d’assurance modernes remontent au XIVe siècle etconcernent l’assurance maritime. Le commerce maritime s’était jusqu’alorsdéveloppé grâce aux prêts à la grosse aventure qui consistaient, pourl’armateur, à emprunter une somme d’argent gagée sur la valeur desmarchandises qui devaient être expédiées par delà les mers. En cas d’arrivée à
bon port, l’emprunteur remboursait cette somme majorée d’un intérêt très élevé
venant en contrepartie du risque des voyages maritimes puisque, si la cargaisonétait perdue, ni l’intérêt, ni le capital n’étaient remboursés.
Cette opération n’était pas à proprement parler une opération d’assurance
mais plutôt une opération de crédit dans laquelle le prêteur porte le risque de laperte du capital. Le fait que l’intérêt stipulé soit fixé arbitrairement sans réelle
considération au risque effectivement encouru a conduit au développementd’une activité spéculative sur ce type de contrats. Aussi, le recours au prêt à lagrosse aventure a pratiquement disparu suite à l’interdiction de la pratique del’usure par l’Église catholique en 1234. Il a alors fallu trouver un autre moyen
de financer ces expéditions qui participaient au développement du commerce etde l’économie. C’est ainsi que naît la convention d’assurance sous sa forme
moderne : des banquiers acceptent de garantir la valeur du bateau et de sa
cargaison (le capital sous risque) en cas de naufrage du navire (le risque) contre
le paiement d’une somme fixe (la prime). Le développement de ce type decontrat connaît un réel succès compte tenu, notamment, des conséquences de lasurvenance des risques de la mer sur la solvabilité des armateurs.
Le deuxième type d’assurance à connaître un essor considérable est
l’assurance incendie. Le début de son développement est généralement associéau gigantesque incendie qui frappa Londres au XVIIe siècle. En effet, le 2septembre 1666, un feu se déclare dans Londres et ravage les quatre cinquièmesde la ville en une semaine. Le bilan1 est de 13 200 maisons et 87 églises
détruites dont la cathédrale Saint-Paul. Le coût de la reconstruction est
considérable, aussi l’État britannique encourage la création de sociétésd’assurance pour couvrir ce risque dans le futur.
Les facteurs du développement de l’assurance
Ces deux exemples historiques illustrent parfaitement les deux axes qui ont
conduit ces derniers siècles au développement de l’assurance.
Le premier est celui du développement économique : des projets de grande
envergure comportent un grand nombre de risques différents dont la survenanced’un seul de ces risques peut mettre en péril l’intégralité de l’entreprise. Les
opérations d’assurance, en transférant le risque de l’assuré vers l’assureur,permettent d’envisager de telles initiatives qui seraient impossibles sinon. C’est
ainsi que des projets qui n’étaient concevables auparavant que par les États du1. Cf. Ewald et Lorenzi (1998) pour les données chiffrées sur l’incendie de 1666.

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Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

fait de leur capacité à lever l’impôt et de la solvabilité que cela leur procure, ont
pu, au fur et à mesure du développement de l’activité d’assurance, êtreenvisagés par des sociétés privées qui, par définition, disposent de ressources
limitées.
Par exemple, la construction du viaduc de Millau (400 M€) a été
intégralement financée par la Compagnie Eiffage du viaduc de Millau etréalisée par des sociétés du groupe Eiffage en échange d’une concession del’exploitation pour une durée de 75 ans. C’est donc cette société de droit privé
qui supporte les risques inhérents à la construction. Une société privée ne peut
envisager de supporter le coût d’un tel édifice sans la mise en place dedispositifs d’assurance ad hoc.
On peut trouver d’autres exemples dans des domaines tels que l’envoi desatellites spatiaux, initialement réservé à des usages militaires et scientifiques,qui est maintenant largement ouvert aux sociétés de communication.
Le second axe de développement est celui de la sécurisation financière de lasociété en général et de l’individu en particulier. Lorsque les autorités
britanniques favorisent le développement des sociétés d’assurance aprèsl’incendie de Londres de 1666, cela permet aux londoniens d’avoir lapossibilité de se prémunir de ce risque qui pouvait emporter la totalité de leurrichesse. De ce point de vue, le contrat d’assurance ouvre une option àl’individu ou la compagnie : celle de ne pas subir le risque comme une fatalité.
L’offre d’assurance met donc l’agent économique, quel qu’il soit, devant sa
responsabilité en lui offrant une issue lui permettant d’échapper, non pas à lasurvenance du risque, mais à ses conséquences financières.
Dans certains cas, le processus de sécurisation de la société va plus loin,
puisque l’État a été amené à imposer l’obligation d’assurance dans un certain
nombre de cas : responsabilité civile professionnelle, responsabilité civile duconducteur, assurance maladie ou retraite pour les salariés, etc. Le caractère
obligatoire de ces assurances vise à protéger les assurés (pour les assurances depersonnes obligatoires) et les individus à qui ils seraient susceptibles de causer
des dommages (assurances de responsabilité).
Un rôle croissant dans l’économie
Sous l’impulsion des deux facteurs précédemment évoqués, le marché del’assurance connaît un développement continu depuis ses prémices.
En France, le développement de l’assurance s’avère initialement plus lentqu’en Angleterre. Pour preuve, en 1681, l’ordonnance de Colbert sur lesactivités liées à la mer est muette en matière d’assurance. De plus, la mêmeannée, les opérations d’assurance vie sont prohibées car jugées immorales.
Dans le même temps, la première table de mortalité construite sur de réelles
bases scientifiques voit le jour en 1690, en Angleterre. Cette date marque ledébut de l’assurance vie. Cependant, en France, ce n’est qu’en 1787, qu’unarrêt du Conseil d’État autorise la création d’une Compagnie royale desassurances sur la vie. Autorisation de courte durée, puisque six ans plus tard,
les entreprises d’assurances sont supprimées par la révolution car considérées
comme spéculatives. Il faudra attendre la restauration pour voir la renaissancedes sociétés d’assurance.

Introduction générale

5

La deuxième partie du XIXe et le XXe siècles voient l’expansion de ladiversité de l’offre en assurance : de plus en plus de risques sont concernés.
Ainsi, le montant des capitaux assurés par les sociétés françaises d’assurancevie progresse, en moyenne, de 35 % par an entre 1907 et 1913 (cf. le rapport duSénat de Lambert (1998)).
Si le montant des capitaux assurés progresse, c’est également le cas desprovisions techniques que doivent constituer les assureurs du fait de l’inversion
de leur cycle de production. En effet, les assureurs percevant les primes avantde régler les prestations, ils doivent constituer des réserves de manière à êtrecapable de payer les sinistres en leur temps. Ces provisions sont investies surles marchés financiers de manière à dégager des produits financiers.
Le niveau de ces encours est un indicateur du développement de l’activitéd’assurance. Ainsi entre 1976 et 1995, ils ont augmenté de 17,8 % en moyenne
par an (cf. Ewald et Lorenzi (1998)). Á la fin de l’année 2005, la valeur2 desactifs gérés par les assureurs s’élève à 1 285 milliards d’euros. Cette somme est
investie, pour moitié, dans des obligations ou des actions d’entreprises
industrielles et commerciales. Ainsi l’assurance est de facto un acteur majeur
du développement économique en cela qu’il participe fortement au financement
des projets industriels et commerciaux. Le secteur de l’assurance est également
un créancier des états puisque 36 % de leur actif est constitué d’obligationsd’état. Le reste étant investi en immobilier et en monétaire.
Un contrôle spécifique
En vertu de leur rôle essentiel dans la sécurisation financière des individus
comme des sociétés, les compagnies d’assurance font l’objet d’une attention
particulière des pouvoirs publics avec pour objectif de préserver l’intérêt desassurés, des souscripteurs et des bénéficiaires de contrats. Le contrôle desassurances se développe à partir des années 30 dans un souci de protection desassurés en vue de parer à des situations telles que celle de la caisse Lafargemise en place à la fin du XVIIIe siècle et qui s’est terminée en 1888. Cetteaffaire symbolise tout ce qu’il ne faut pas faire en assurance : mauvaise
information des assurés qui, au surplus, ne comprennent pas les mécanismes en
jeu, utilisation d’hypothèses actuarielles (mortalité) extravagantes, opportunitésd’arbitrages des assurés, malversations suspectées des créateurs de la tontine etaffres de la révolution…
La veille prudentielle de l’État sur les opérations d’assurance s’organise endeux niveaux.
Le premier niveau d’intervention du législateur est celui des contrats. En
effet, le Code des assurances oblige les assureurs à inscrire dans les contrats desclauses de protection des assurés (telles que les clauses de rachat de contrat, derenonciation, etc.) et impose un formalisme censé procurer à l’assuré une bonne
visibilité des droits contractuels dont il bénéficie.
Le deuxième niveau relève du contrôle de la solidité financière desassureurs et donc de leur capacité à honorer leurs engagements. Le droit2. Valeur estimée par la Fédération Française des Sociétés d’Assurances (FFSA) dansson rapport annuel.

6

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

national et la transposition des directives européennes a conduit à la situation
actuelle dans laquelle la solvabilité des entreprises d’assurance est appréciée
annuellement par l’autorité de contrôle3 au moyen de ses comptes sociaux,d’états réglementaires spécifiques et de divers rapports (rapport de réassurance,
rapport de solvabilité, etc.).
Il est d’ailleurs intéressant de noter que les actuelles règles de solvabilité sesont enrichies dans le temps avec l’évolution de la gestion des risques etnotamment la prise en compte récente de certains risques4 pesant sur lesassureurs. Aussi le système de solvabilité s’est construit en « empilant » desnouvelles contraintes au fur et à mesure de l’identification de nouveaux risques(cf. Thérond (2005)). C’est ainsi que sont apparus récemment de nouveauxétats réglementaires tels que :−les états trimestriels T3 de suivi actif-passif ;−le test d’exigibilité (état C6bis) qui permet d’apprécier la solidité del’entreprise à des scénarios adverses d’actifs (chute des marchés
boursiers et immobilier, hausse des taux d’intérêt) et de passifs(triplement des rachats, sur-sinistralité, etc.) ;−les stress-tests sur les dispositifs de réassurance (états C8 et C9).

De nouveaux enjeux
Aujourd’hui, le secteur de l’assurance est confronté à une triple mutation :−prudentielle avec l’avènement du futur cadre prudentiel européen qui
résultera du projet Solvabilité 2 ;−du reporting financier avec le recours de plus en plus massif auxméthodes d’European Embedded Value de valorisation de compagnied’assurance ;−comptable avec la préparation de la phase II de la norme internationale
IFRS consacrée aux contrats d’assurance.
Dans ce contexte, les assureurs sont invités, pour chacun de ces trois
aspects, à mieux identifier, mesurer et gérer les risques auxquels ils sontsoumis.
Ces trois référentiels s’inscrivent dans une même logique d’uniformisationinternationale (à tout le moins communautaire) et de transparence. Pour cela, laréférence « au marché » est omniprésente : dès que c’est possible, c’est en
référence au marché que les engagements d’assurance doivent être valorisés. En
particulier, les risques financiers doivent être traités de la même manière que
des instruments financiers qui seraient cotés sur un marché financier liquide. Ce
principe n’est pas sans poser des problèmes conceptuels et opérationnels.
Pour s’en convaincre, il suffit de considérer un « simple » contrat
d’assurance vie de type épargne. Ces contrats présentent le plus souvent destaux garantis (taux minimum garanti, taux technique ou taux annuel garanti) et
3. L’Autorité de Contrôle des Assurances et des Mutuelles (ACAM).
. La plupart de ces risques ne sont pas à proprement parler nouveaux : c’est
généralement l’augmentation de la vraisemblance de leur survenance et l’évolution desoutils techniques qui a entraîné leur prise en compte.

4Introduction générale

7

une clause de participation aux bénéfices techniques et financiers (clauseréglementaire du Code des assurances ou contractuellement plus favorable pourl’assuré). Ainsi, chaque fin d’année, le montant de l’épargne accumulée est
revalorisé des intérêts techniques et de la participation aux bénéfices. Dans lesfaits, la participation aux bénéfices accordée aux assurés s’avère souvent
supérieure à la clause réglementaire ou contractuelle. Par ailleurs, la plupart desnouveaux contrats ne disposent plus de taux technique ou de taux minimum
garanti sur la durée du contrat mais plutôt des taux garantis annuellement enfonction des performances de l’année écoulée. Or pour ces contrats,
l’engagement de taux est relativement faible et la PB discrétionnaire constitue
une grande partie de la revalorisation. La revalorisation provient donc, en grandpartie de la décision de l’assureur. Cette décision intervient de deux manières :−dans le pilotage du rendement financier de la compagnie,− dans le choix du niveau de revalorisation des contrats.
La latitude mentionnée au premier point réside dans le fait que les clausesde participation aux bénéfices font référence au rendement comptable des actifs
en représentation des engagements5. Ainsi un contrat pourra prévoir que lesassurés bénéficieront d’au moins 95 % des bénéfices financiers. Si cette règle
semble constituer un minimum objectif, l’assureur dispose d’une marge demanœuvre dans la constitution du rendement qui sert d’assiette à ce calcul. En
effet, du fait du mode de comptabilisation des actifs financiers (la règle
générale étant le coût historique dans la réglementation française), un assureur
qui dispose de titres en plus ou moins-values latentes peut décider, parexemple, de vendre des titres en plus-values latentes, pour doper son rendement
ou, au contraire, de les conserver comme matelas de sécurité pour des temps
plus difficiles.
Concernant le deuxième point, de manière discrétionnaire6, l’assureur peut
revaloriser davantage l’épargne pour certains produits que pour d’autres, enfavorisant, par exemple, les plus rentables de manière à conserver ces contrats.
De plus, les assurés bénéficient du droit de racheter leur contrat à n’importequel moment moyennant une pénalité de rachat qui ne peut pas être supérieureà 5 % de la valeur de l’épargne.
On voit donc que, pour un contrat aussi simple que celui présenté et dont on
aurait pu dire, a priori, qu’il s’agissait uniquement d’un produit dérivé surl’actif de l’assureur, le dénouement du contrat et l’évolution de l’épargne va
non seulement dépendre de celle des rendements financiers mais également ducomportement de l’assureur (revalorisation notamment) et de l’assuré (rachat).
Par ailleurs, on se rend rapidement compte que comportements des assurés etde l’assureur ne sont pas indépendants : si l’assureur ne revalorise pas
suffisamment l’épargne, il risque de voir les assurés racheter leurs contrats et ne
pas en souscrire d’autres. De plus, en pratique, on observe des comportements
que l’on pourrait juger irrationnels : rachats de contrats avec des taux garantis
plus élevés que les taux actuels de marché (en vue de financer un emprunt par5. Le plus souvent l’actif général de la compagnie et dans certains cas des actifs
cantonnés.
6. L’assureur est tenu de revaloriser l’épargne selon un minimum contractuel mais cela
ne constitue qu’un minimum, il peut leur accorder une revalorisation plus favorable.

8

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

exemple), par exemple. Aussi l’assimilation, à des fins de valorisation, d’une
option de rachat sur un contrat d’épargne en euros à une option financière à
caractère européen n’est pas évidente puisque, de facto, les assurés ne secomportent pas comme des investisseurs sur un marché financier liquide.
Les comportements observés peuvent être rapprochés, pour leur aspect
irrationnel, de la prospect theory ou théorie des perspectives (1979) deKahneman7 et Tversky qui repose sur l’observation de comportements
asymétriques des individus selon qu’ils viennent de subir un gain ou une perte.
En effet, après des gains, les personnes ont tendance à consolider leurs gains en
vendant leurs actifs financiers par exemple de manière à matérialiser le gain et
se prémunir contre une baisse. Alors qu’après une perte, surtout si elle est
conséquente, la tendance est à surinvestir dans des placements risqués,puisqu’il n’y a « plus rien à perdre » de manière à conserver une probabilité de« se refaire ».
Ainsi les méthodes d’inspiration financière, prônées par les nouveaux
référentiels, se heurtent parfois à la réalité des observations. En effet, cesméthodes ont été élaborées dans des contextes où les instruments que l’on
cherche à valoriser sont des dérivés de titres cotés dont l’évolution du cours est
indépendante du comportement des parties prenantes. En assurance, la situation
est différente. Ces méthodes de valorisation nécessitent donc la modélisation ducomportement des assurés et de l’assureur. Or ceux-ci ont des comportements
parfois différents de ceux d’investisseurs sur un marché financier.
Organisation de la thèse
L’objectif de cette thèse est de présenter les principes communs sur lesquels
reposent les trois nouveaux référentiels, d’illustrer la limite de leur applicationen assurance et de proposer des modèles pour leur mise en œuvre effective.
Pour cela, la première partie est consacrée à la présentation des nouveaux
référentiels prudentiel, comptable et de communication financière et insiste
plus particulièrement sur la manière dont les risques sont valorisés etl’incidence de ces principes d’évaluation en termes de gestion d’une compagnied’assurance.
La seconde partie aborde ces nouvelles normes sous un angle plus
opérationnel en identifiant un certain nombre de problèmes pratiques auxquels
leur mise en œuvre confronte l’actuaire et en proposant des modèles permettant
de surmonter ces difficultés.

7. Kahneman reçut le prix Nobel d’économie en 2002 pour ses travaux en financecomportementale.

PARTIE INOUVELLES APPROCHESCOMPTABLE, PRUDENTIELLE
ET FINANCIÈRE DES RISQUESEN ASSURANCE

La première partie de cette thèse est dédiée aux risques portés par lessociétés d’assurance, leurs caractéristiques et leur traitement. En effet, l’activitéd’assurance est née du besoin de se prémunir contre le risque (les agentséconomiques sont généralement averses aux risques qui peuvent réduire leurpatrimoine), ce que permet l’opération d’assurance en transférant les risques del’assuré vers l’assureur qui, en vertu de la loi des grands nombres, bénéficie deles effets de la mutualisation et est donc relativement moins exposé au risqueque l’assuré.
Les évolutions récentes ou à venir amènent les assureurs à reconsidérer, aumoins pour partie, leur vision des risques qu’ils assurent. Ainsi, qu’il s’agisse
des nouvelles dispositions réglementaires (Solvabilité 2), de communication
financière (EEV/MCEV) ou comptables (IFRS), l’objectif est similaire :
identifier les risques et les analyser le plus finement possible.
Le passage d’un système où les hypothèses sont exogènes et prudentes, car
contraintes par la réglementation, à un système où les hypothèses les plus
réalistes doivent être privilégiées conduit à prendre en considération de« nouveaux risques ». Ces risques ne sont généralement pas à proprement parler« nouveaux » : la plupart du temps, ils existaient déjà mais n’avaient pas été
soit étudiés plus avant du fait de leur caractère secondaire par rapport aux
risques principaux, soit identifiés. Par exemple, dans le cas du risque demortalité, un assureur qui veut étudier ce risque va, dans un premier temps,
considérer son portefeuille et l’historique des données correspondant demanière à établir des statistiques descriptives de suivi du risque. Sur desportefeuilles d’assureurs, compte-tenu de la taille des échantillons, de tellesétudes mettront en évidence le phénomène de fluctuation d’échantillonnage
autour de la tendance centrale qui est le risque principal, mais certainement pas
les risques systématiques de mortalité (mortalité stochastique et risque delongévité) qui s’avèrent relativement plus petits (cf. Planchet etThérond (2007a) pour une étude du risque de mortalité sur un portefeuille derentiers). Ces deux risques ne pourront être identifiés que par des études plus
poussées, en étudiant par exemple, en parallèle les statistiques nationales del’évolution au cours du temps de la mortalité.
Cette partie s’organise en trois chapitres.

10

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Le premier chapitre s’intéresse aux aspects théoriques du traitement durisque. Après une première partie consacrée à l’analyse mathématique desrisques (leur mesure et leur comparaison), nous verrons, dans un deuxième
temps, que différents modèles de valorisation co-existent en assurance et que lerecours aux modèles économiques issus de la théorie financière est de plus enplus fréquent. Il convient néanmoins de remarquer qu’associer une valeur à unrisque et le gérer de manière effective relèvent de deux démarches distinctes.
Ce point est illustré dans le cas d’une garantie plancher en cas de décès del’assuré sur un contrat d’épargne en unités de compte.
Le deuxième chapitre s’attache à identifier les divergences entre lesdifférentiels précédemment évoqués de manière à en tirer les conclusions
adéquates en termes opérationnels. En effet, même s’ils reposent sur un socle
de principes communs, la diversité des finalités des référentiels conduit à desoptions différentes dans la modélisation des produits d’assurance.
En particulier, un des principes fondamentaux commun aux trois approches
est l’utilisation d’hypothèses best estimate, i.e. le recours aux hypothèses lesplus réalistes compte-tenu de l’information dont dispose l’assureur. Ce point est
fondamental car il diffère du contexte traditionnel de l’assurance qui repose surdes hypothèses prudentes. Par exemple, le taux d’actualisation d’un régime derentiers ne doit pas, selon la réglementation française, être supérieur à 60 % dutaux moyen des emprunts de l’État français (TME) quand bien même unesociété d’assurance investirait intégralement en OAT disposerait d’unrendement (certain) supérieur à ce taux d’actualisation. Á titre illustratif, uneattention particulière est portée sur l’évolution récente des tables de mortalité
pour les risques viagers. Cet exemple montre que sur une période de temps
relativement réduite, l’estimation de l’évolution de tel ou tel phénomène(l’espérance résiduelle de vie à 60 ans pour un assuré né en 1950 par exemple)
peut être révisée en profondeur et avoir un impact important sur les niveaux deprovisions techniques. De plus dans certains cas, un même phénomène sera
modélisé sur des bases différentes selon que l’on cherche à valoriser unportefeuille de contrats ou à assurer sa solvabilité.
Par ailleurs, la valorisation des portefeuilles d’assurance nécessite
fréquemment la modélisation du comportement de l’assureur et des assurés,particulièrement en assurance vie. Aussi les modèles implémentés ont de réels
impacts sur les valorisations obtenues. Un exemple dans le cas de la gestiond’un portefeuille financier vient illustrer cela.
Enfin ce chapitre se conclut sur la modélisation et la valorisation d’unportefeuille d’assurance vie.
Les exigences quantitatives prévues dans le Pilier I de Solvabilité 2
prévoient notamment des exigences de fonds propres en référence au risqueglobal supporté par l’assureur. Cette démarche impose des contraintes fortes entermes de gestion technique. Le troisième chapitre met ainsi en évidence lesconséquences du changement de référentiel prudentiel sur la gestion des actifs
de la société. Le projet Solvabilité 2 fixant les exigences quantitatives de fonds
propres en fonction du risque global supporté par la compagnie, n’importe quelacte de gestion modifiant la structure ou la forme de ce risque a pourconséquence automatique et immédiate de modifier l’exigence minimale deNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

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capitaux propres. Nous étudierons cela dans le cas du choix d’une allocation
stratégique d’actifs et observons notamment la manière dont le processus defixation de l’allocation évolue entre la réglementation prudentielle actuelle etSolvabilité 2.

Chapitre 1
Traitement spécifique du risque :aspects théoriques

L’activité d’assurance repose sur le concept de transfert de risque :moyennant une prime, l’assuré se protège d’un aléa financier. Mesurer le risqueassuré s’avère donc inévitable puisque cette information est nécessaire dans lecadre de la tarification pour déterminer les chargements de sécurité à ajouter àla prime pure et dans une approche de solvabilité pour déterminer le niveau desréserves et des fonds propres dont doit disposer l’assureur pour être solvable.
En effet, bien que bénéficiant de l’effet de mutualisation, l’assureur ne peutse contenter de demander la prime pure des risques qu’il assure. Ce pour une
raison évidente : la mutualisation ne saurait être parfaite et dès lors ne
demander que la prime pure reviendrait à ce que, en moyenne, la sociétéd’assurance soit en perte près d’un exercice sur deux1.
Le niveau de fonds propres vient ensuite comme un matelas de sécurité
destiné à amortir une sinistralité excessive mais aussi des placements risqués.
Le but de ce chapitre est, dans un premier temps, de présenter les outils
permettant de comparer les risques et d’apprécier leur dangerosité, puis
d’analyser le traitement du risque qui est effectué selon que l’on suit une
démarche financière de valorisation ou une démarche assurantielle de contrôle
et de gestion du risque.
Ces concepts sont illustrés dans le cas d’une garantie plancher en cas dedécès adossée à un contrat d’assurance vie en unités de compte.
1. Les outils mathématiques de l’analyse des risques
Ce premier paragraphe a pour objectif de résumer en quelques pages lesoutils mathématiques usuels de mesure et de comparaisons des risques. Une
attention particulière est portée aux caractéristiques particulières que l’on peut
attendre des mesures de risque pour pouvoir être utilisées à des fins desolvabilité et de mesure de capitaux économiques.
1.1. Les mesures de risqueAprès avoir défini ce qu’est une mesure de risque, nous rappelons lesprincipales propriétés qu’elles doivent respectées pour être jugées satisfaisantes
puis faisons un rapide tout d’horizon des mesures de risque les plus utilisées.

1. D’après le théorème de la limite centrale le débours moyen de l’assureur converge
avec le nombre de polices vers une variable gaussienne et donc symétrique.

14

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

1.1.1. Définition et propriétés

Nous reprenons ici la définition d’une mesure de risque telle qu’elle est
formalisée dans Denuit et Charpentier (2004).
Définition 1. Mesure de risqueOn appelle mesure de risque toute application ρ associant un risque X à unréel ρ ( X ) ∈ R + ∪ {+∞} .
En particulier, cette définition nous permet d’établir que lorsqu’ils existent,l’espérance, la variance ou l’écart-type sont des mesures de risque.
Si un grand nombre d’applications répondent à la définition de mesure derisque, pour être jugée « satisfaisante » il est souvent exigé d’une mesure derisque d’avoir certaines propriétés dont les plus fréquentes sont rappelées infra.
1.1.1.1

Chargement de sécurité

La notion de chargement de sécurité est étroitement liée à celle detarification : un principe de prime contient un chargement de sécurité s’il
conduit à exiger une prime supérieure à celle qui est exigée si la mutualisation
des risques est parfaite (cf. Partrat et Besson (2005)).
Définition 2. Chargement de sécurité
Une mesure de risque ρ contient un chargement de sécurité si pour tout
risque X, on a ρ ( X ) ≥ E[ X ] .
Nous verrons dans la suite qu’une Tail-Value-at-Risk (TVaR), lorsqu’elle
existe, contient un chargement de sécurité ce qui n’est pas le cas d’une Valueat-Risk (VaR).
1.1.1.2

Mesure de risque cohérente

La définition d’une mesure de risque est très générale puisque toutefonctionnelle réelle positive d’une variable aléatoire peut être considérée
comme étant une mesure de risque. Aussi, en pratique, on exige de telles
mesures qu’elles disposent de propriétés mathématiques dont la transcription
conceptuelle permette de les jauger. En pratique, on exige fréquemment qu’une
mesure de risque ρ possède une partie des caractéristiques suivantes :−−Invariance par translation : ρ ( X + c ) = ρ ( X ) + c pour toute constantec.

Sous-additivité : ρ ( X + Y ) ≤ ρ ( X ) + ρ (Y ) quels que soient lesrisques X et Y.

−

Homogénéité : ρ (c X ) = cρ ( X ) pour toute constante positive c.

−

Monotonie : Pr[ X < Y ] = 1 ⇒ ρ ( X ) ≤ ρ (Y ) quels que soient lesrisques X et Y.
Ces caractéristiques trouvent une interprétation naturelle dans la situation
où la mesure de risque doit permettre de définir un capital de solvabilité d’unesociété d’assurance.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

15

Ainsi la sous-additivité représente l’effet de la diversification : une société
qui couvre deux risques ne nécessite pas davantage de capitaux que la sommede ceux obtenus pour deux entités distinctes se partageant ces deux risques.
La monotonie traduit quant à elle le fait que si le montant résultat d’unrisque est systématiquement (au sens presque sûr) inférieur à celui résultant
d’un autre risque, le capital nécessaire à couvrir le premier risque ne saurait êtresupérieur à celui nécessaire pour couvrir le second.
L’association de ces quatre axiomes a donné naissance au concept decohérence d’une mesure de risque dans Artzner et al. (1999).
Définition 3. Mesure de risque cohérente
Une mesure de risque invariante par translation, sous-additive, homogène
et monotone est dite cohérente.
Cette notion de cohérence n’est toutefois pas ce que l’on attend a minima
d’une mesure de risque. Ainsi certaines mesures de risque parmi les plus
exploitées actuellement ne le sont pas. C’est notamment le cas de la Value-atRisk (VaR) ou encore de la variance.
1.1.1.3

Mesure de risque comonotone additive

Rappelons qu’un vecteur aléatoire ( X1 ; X 2 ) , de fonctions de répartition
marginales F1, F2 , est un vecteur comonotone s’il existe une variable aléatoire
U de loi uniforme sur [0;1] telle que ( X1 ; X 2 ) a la même loi que(F (U ); F (U )).
−1
1

−1
2

Définition 4. Mesure de risque comonotone
On appelle mesure de risque comonotone additive toute mesure de risque ρ
telle que : ρ ( X1 + X 2 ) = ρ ( X1 ) + ρ ( X 2 ) pour tout vecteur comonotone( X1 ; X 2 ) .
Une mesure de risque comonotone additive intègre donc le fait que deux
risques comonotones ne se mutualisent pas. Pour une mesure utilisée pourdéterminer un capital de solvabilité, cette propriété est souhaitable puisque, dès
que le risque U se produit, les risques X1 et X2 se produisent également avec une
ampleur croissante avec celle de U.
1.1.2. Mesures de risque usuelles

L’objet de ce paragraphe est de présenter les mesures de risque les plus
usuelles. On s’attardera particulièrement sur la Value-at-Risk et la Tail-Valueat-Risk dont l’utilisation en assurance va être pérennisée par le futur système desolvabilité européen (Solvabilité 2) puisqu’elles seront à la base de ladétermination du niveau prudentiel des provisions techniques et du besoin en
fonds propres : le « capital cible » ou Solvency Capital Requirement (SCR).
1.1.2.1

L’écart-type et la variance

Ce sont les premières mesures de risque à avoir été utilisées ; on lesretrouve notamment dans le critère de Markowitz (moyenne-variance) qui sert

16

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

de socle aux premières théories d’évaluation des actifs (MEDAF). Toutefois cecritère n’est pas bien adapté à l’activité d’assurance, notamment parce qu’il est
symétrique et pénalise autant les « bonnes variations » que les « mauvaises ».
1.1.2.2

La Value-at-Risk (VaR)

La notion de Value-at-Risk ou valeur ajustée au risque s’est originellement
développée dans les milieux financiers avant d’être largement reprise dans les
problématiques assurantielles. Elle est notamment la mesure de risque surlaquelle repose le nouveau référentiel prudentiel Solvabilité 2. De plus, elle estévoquée dans les travaux de l’IAS Board comme une des mesure envisageables
pour le calibrage des marges pour risque des provisions techniques.
Définition 5. Value-at-Risk (VaR)
La Value-at-Risk (VaR) de niveau α associée au risque X est donnée par :{}VaR ( X , α ) = Inf x Pr [ X ≤ x ] ≥ α .

On notera que VaR ( X, α ) = FX−1( α ) où FX−1 désigne la fonction quantile dela loi de X. Rappelons que, dans le cas général, la fonction quantile est la
pseudo-inverse de la fonction de répartition, soit
FX−1 ( p ) = inf { x | F ( x ) ≥ p} .

Cette mesure de risque a le mérite de reposer sur un concept simple etfacilement explicable : VaR ( X , α ) est le montant qui permettra de couvrir lemontant de sinistres engendré par le risque X avec une probabilité α . Ceconcept est directement lié à celui de probabilité de ruine puisque si une
société, disposant d’un montant de « ressources » égal à VaR ( X , α ) , assure ununique risque X, sa probabilité de ruine est égale à 1 − α .
Comme évoqué précédemment, la VaR n’est pas cohérente car elle n’est pas
sous-additive.
Ce résultat peut se démontrer à l’aide d’un contre-exemple. Soit X et Y deux
variables aléatoires indépendantes de lois de Pareto de paramètres (2 ; 1) et(2 ; 2), alors∃ α ∈ ]0;1[ , VaRα ( X + Y ) > VaRα ( X ) + VaRα ( X ) ,comme l’illustre la Figure 1.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

17

Figure 1 - Value-at-Risk de la somme de deux v.a. de Pareto
12
10
8
6

VaR(X+Y)

VaR(X)+VaR(Y)

4
2
0
0%

20%

40%

60%

80%

100%

Ordre de la VaR

Rappelons qu’une variable aléatoire X de loi de Pareto Par (α; θ ) a pourα θ fonction de répartition FX (x) = 1 −  si x > 0 , et FX (x) = 0 sinon. Sa
θ+ x
fonction quantile se calcule facilement et vaut :−1 αFX−1 ( p ) = θ (1 − p )− 1 .

Les Value-at-Risk ont un certain nombre de « bonnes » propriétés
mathématiques parmi lesquelles le fait que pour toute fonction g croissante etcontinue à gauche, on a : VaRα ( g ( X )) = g (VaRα ( X )) .
Il découle de cette propriété en prenant g = F1−1 + F2−1 et X = U , que les

VaR sont comonotones additives puisque pour tout α ∈ ]0;1[ , on a

((

) ) (

)

VaRα F1−1 + F2−1 (U ) = F1−1 + F2−1 (VaRα(U )) .

1.1.2.3

La Tail-Value-at-Risk (TVaR)

Initialement présentée dans les travaux de la Commission Européenne
comme une des deux alternatives possibles (avec la Value-at-Risk) commecritère de fixation de l’exigence de capitaux propres dans Solvabilité 2, la Tail
Value-at-Risk a rencontré beaucoup de partisans parmi les techniciens arguant
du fait que l’information sur la probabilité de ruine fournie par la VaR n’est pas
suffisante mais qu’il faut aussi en connaître son ampleur. Néanmoins elle n’a
finalement pas eu les faveurs du CEIOPS (cf. l’annexe dédiée à QIS 3)
notamment du fait de sa difficulté de mise en œuvre : espérance sur les valeursextrêmes d’une distribution que l’on n’observe pas directement la plupart dutemps (cf. le Chapitre 4).

18

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Définition 6. Tail Value-at-Risk (TVaR)
La Tail Value-at-Risk de niveau α associée au risque X est donnée par :TVaR ( X, α ) =1 1 −1
FX ( p ) dp .
1− α

∫α

On remarque que la TVaR peut s’exprimer en fonction de la VaR :TVaR ( X , α ) = VaR ( X , α ) +1+
E ( X − VaR ( X , α ) )  .
1 − α 


Il
vient
de
cette
réécriture
que
pour
tout
α ∈ ]0;1[ ,TVaRα ( X ) < +∞ ⇔ E[ X ] < +∞ . Par ailleurs, le deuxième terme du membre dedroite représente la perte moyenne au-delà de la VaR, la TVaR est donc trèssensible à la forme de la queue de distribution.
Propriétés : Une Tail Value-at-Risk :−est cohérente ;−inclut un chargement de sécurité ;− est comonotone additive.
Les deux derniers points résultent :−pour le chargement de sécurité, du fait que pour tout α ≥ 0 ,TVaR ( X ; α ) ≥ TVaR ( X ; 0 ) = E [ X ] ;−pour la propriété d’additivité pour des risques comonotones, du fait
que la TVaR est une somme de VaR qui sont elles-mêmes
comonotones additives.

Définition 7. Expected Shortfall (ES)L’expected shortfall de niveau de probabilité α est la perte moyenne audelà de la VaR au niveau α, i. e.
+
ESα ( X ) = E ( X − VaR ( X , α ) )  .

On peut remarquer que si X représente la charge brute de sinistres, ESα ( X )est le montant de la prime Stop-Loss dont la rétention pour l’assureur est la
VaR au niveau α.
Définition 8. Conditionnal Tail Expectation (CTE)
La Conditionnal Tail Expectation de niveau α est le montant de la pertemoyenne sachant que celle-ci dépasse la VaR au niveau α, i. e.
CTE ( X , α ) = E  X X > VaR ( X , α )  .

Cette définition est très proche de celle de la Tail-Value-at-Risk et enparticulier, ces deux mesures coïncident lorsque la fonction de répartition FX
du risque X est continue.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

19

Remarquons que si la TVaR est comonotone additive, ce n’est, en général,pas le cas de la CTE (cf. Dhaene, Vanduffel et al. (2004) pour un contreexemple).
1.1.2.4

Mesures de risque de Wang

Les mesures de risque de Wang (2002) utilisent l’opérateur espérance surdes transformations de la distribution de la variable aléatoire d’intérêt. L’idée
est en effet d’alourdir la queue de la distribution de la variable d’intérêt afind’engendrer un chargement par rapport à la prime pure. Cette transformation dela fonction de répartition sera effectuée à l’aide d’une fonction de distorsion.
Rappelons qu’une fonction de distorsion est une fonction non décroissanteg : [0;1] → [0;1] telle que g(0) = 0 et g(1) = 1 .
Définition 9. Mesure de risque de Wang
On appelle mesure de risque de Wang issue de la fonction de distorsion g,la mesure ρg définie par : ρ g ( X ) =∞∫ g ( Pr [ X > x]) dx .
0On remarque que toute mesure de Wang peut s’écrire comme somme de
VaR, i. e.
1ρ g ( X ) = VaR ( X,1 − α ) dg(α ) .

∫0

En effet, si l’on note FX ( x) = 1 − Pr[ X ≤ x ] , on a g ( FX ( x) ) =puisqueg (0 ) = 0

donc

ρg ( X ) =FX ( x )∫0dg (α)∞1∫0 ∫0 1{α ≤ FX (x)}dg (α ) dx . On déduit duthéorème de Fubini que :ρg ( X ) =

1∞

∫0 ∫0

1

1{α ≤ F (x) }dx dg (α ) = FX−1(1 − α) dg (α ) .
X∫0Définition 10. Wang-Transform (WT)
On appelle Wang-Transform (WT) la mesure de risque de Wang issue de la−1−1fonction de distorsion g α ( x ) = Φ Φ ( x ) − Φ ( α )  .
Certaines mesures de risque usuelles telles que la VaR ou la TVaR sont desmesures de risque de Wang, le tableau ci-dessous reprend les fonctions dedistorsion correspondantes.

20

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Tableau 1 - Fonctions de distorsion associées à quelques mesures de risqueMesure de risqueParamètre

Fonction de distorsion

Value-at-RiskVaRαg ( x ) = 1 [α;+∞ ] ( x )Tail-Value-at-RiskTVaRαg ( x ) = min ( x /(1 − α);1)

Mesure de risquePHPHξg ( x ) = x1 / ξ

Wang-transform

WTαg ( x ) = Φ Φ−1( x ) − Φ−1 ( α )

Figure 2 - Quelques fonctions de distorsion
1,00
0,75
0,50
0,25
0,00
0,0

0,2
VaR (75%)

0,4

0,6

TVaR (75%)

0,8PH (2)

1,0
WT (0,25)

Les mesures de risque de Wang sont homogènes, invariantes par translation
et monotones. Une mesure de Wang n’est en revanche sous-additive que si, etseulement si, la fonction de distorsion dont elle est issue est concave.
Ainsi une mesure de Wang est cohérente si, et seulement si, la fonction dedistorsion correspondante est concave. En effet, si g est une fonction dedistorsion concave, g FX est continue à droite et est donc la fonction dequeue d’une variable aléatoire. Ainsi ρ g ( X ) est l’espérance mathématique dela variable aléatoire de fonction de queue g FX .
Enfin comme une mesure de Wang peut s’écrire sous la forme d’une sommede VaR qui sont comonotones additives, elle est elle-même additive pour desrisques comonotones.
La démarche des mesures de distorsion est à rapprocher de celle de lavalorisation de dérivés financiers (cf. le paragraphe 2.2) : on détermine une
espérance sur une déformation de la distribution de la variable d’intérêt. Dansl’approche financière, la transformation se déduit des prix observés sur leNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques21

marché : le choix de l’un opérateur de distorsion ne revient pas à l’actuaire, il
lui est imposé par le marché.
1.1.2.5

Mesure de risque d’Esscher

La mesure de risque d’Esscher consiste à mesurer le risque comme étant laprime pure, i. e. l’espérance de la transformée d’Esscher du risque initial.
Définition 11. Mesure de risque d’Esscher
On appelle mesure d’Esscher de paramètre h > 0 du risque X, la mesurede risque donnée par :Es ( X ; h ) =E  X e d=ln E [ e hX ] .
hXdh
E [e ]hX

La mesure de risque d’Esscher n’est pas cohérente car elle n’est ni
homogène, ni monotone. En revanche, elle contient un chargement de sécurité
puisque Es ( X; h ) est une fonction croissante en h et Es ( X ; 0 ) = E[ X ] .
1.1.3. Choix d’une mesure de risque pour déterminer uncapital économique

Les travaux en cours sur Solvabilité 2 évoquent l’utilisation de mesures derisque dans la détermination du capital cible nécessaire à une sociétéd’assurance pour pérenniser son activité. Ce capital cible sera déterminé en
référence à une mesure de risque appliquée au risque global supporté par lasociété. Ce risque global sera modélisé à partir d’une formule commune à
toutes les compagnies d’assurance européenne ou à partir d’un modèle interne.
Les mesures de risque les plus souvent citées sont la Value-at-Risk et la TailValue-at-Risk. Un des principaux arguments en faveur de la TVaR est
notamment le fait qu’elle soit sous-additive, ce qui est assez intuitif s’agissantd’une mesure de risque destinée à calculer un capital de solvabilité.
Néanmoins les travaux récents de Dhaene, Laeven et al. (2004) montrent
que la propriété de sous-additivité est parfois trop forte. En effet considérons
deux risques X1 et X2, et ρ la mesure de risque associée à la détermination ducapital réglementaire. Si ρ est « trop » sous-additive, on peut se retrouver dansune situation où

(

)

(

)

(

)

+
+
+



E  X 1 + X 2 − ρ ( X1 + X 2 )  > E  X 1 − ρ ( X 1 )  + E  X 2 − ρ ( X 2 )  .







Cette inégalité signifie que l’ampleur de la ruine moyenne d’une société
pratiquant les risques X1 et X2 et disposant d’un capital de niveau ρ ( X1 + X 2 )est plus importante que la somme de l’ampleur de la ruine moyenne de deuxsociétés de capitaux respectifs ρ ( X1 ) et ρ ( X 2 ) couvrant respectivement lesrisques X1 et X2. Dhaene, Laeven et al. (2004) illustrent cette inégalité lorsquela mesure de risque considérée est la TVaR, en prenant deux risquesindépendants de loi de Bernoulli de même paramètre.
Dans le cadre du choix de la mesure de risque permettant de déterminer lecapital cible (au sens de Solvabilité 2), ils proposent donc de ne retenir que les22

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

mesures de risque qui respectent la condition du régulateur, à savoir lesmesures de risques ρ telles que pour ε fixé dans ]0;1[ et pour tous risques X1
et X2, l’inégalité suivante soit vérifiée :(E  X1 + X 2 − ρ( X1 + X 2 )

2

{

}

)+  + ρ( X1 + X 2 )ε ≤ ∑ E ( X i − ρ( X i ) )+  + ρ( X i )ε .
i =1Notons que ε peut s’interpréter comme le coût de l’immobilisation ducapital, puisque, le deuxième terme du premier membre de l’inégalité
précédente peut s’interpréter comme le flux à destination de l’actionnaire demanière à le rémunérer du capital ρ ( X1 + X 2 ) qu’il « prête » à la société. A
partir de cette condition, ils démontrent les trois propriétés suivantes.

Soit ε ∈ ]0;1[ . La condition du régulateur en référence au niveau ε estsatisfaite :−pour les TVaR p telles que p > 1 − ε ,−pour la VaR 1− ε ,−pour toute mesure deρ ( X ) ≥ VaR ( X ,1 − ε ) .

risquesous-additive

ρ

telle

que

En conclusion, ils démontrent enfin que la VaR de niveau 1 − ε est la
mesure de risque respectant la condition du régulateur qui conduit au plus petit
niveau de capital.
1.1.4. Value-at-Risk

La Value at Risk (VaR) tend à devenir un indicateur de risque largement
utilisé tant par les établissements financiers que par les compagnies d’assurance
car elle permet d’appréhender le risque global dans une unité de mesurecommune à tous les risques encourus, quelle que soit leur nature.
L’objectif de cette section est de fournir une présentation plus intuitive de la
notion de VaR que la formalisation mathématique directe présentée supra. Poursimplifier la présentation, on se place dans le contexte d’un portefeuillefinancier.
Pour un horizon de gestion donné, la VaR correspond au montant de perte
probable du portefeuille. Elle exprime la perte liée à des variations
défavorables. Si l’on note α le seuil de confiance choisi, la VaR vérifie doncl’équation suivante :Pr[ perte > VaR ] = 1 − α .

Afin de calculer la VaR, il est essentiel de spécifier la période sur laquelle lavariation de valeur du portefeuille est mesurée et le seuil de confiance 1 − α .
Il existe en pratique trois méthodes de calcul de la VaR. Notons dès àprésent que les deux premières méthodes utilisent les données du passé pourestimer les variations potentielles de la valeur du portefeuille. Cela suppose
implicitement que le futur se comporte comme le passé : il faut donc fairel’hypothèse que la série temporelle des valeurs du portefeuille est stationnaire.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques
1.1.4.1

23

Les différentes approches

La VaR analytiqueDans ce modèle, la valeur algébrique d’un portefeuille est représentée parune combinaison linéaire de K facteurs gaussiens. Notons P (t ) la valeur duportefeuille en t, F (t ) le vecteur gaussien des facteurs et a le vecteur dessensibilités aux facteurs, de dimension K.
Supposons que F ( t ) ∼ N ( m, V ) . A la date t, la valeur du portefeuille est
P (t) = a' F (t) .
En t, P (t + 1) est une variable aléatoire gaussienne de loi N ( a′m, a′Va ) .
La valeur de la VaR pour un seuil de confiance x correspond alors à :Pr ( P ( t + 1) − P ( t ) ≥ −VaR ) = α .

La différence

P ( t + 1) − P ( t )représente la variation de valeur duportefeuille entre l’instant t + 1 et l’instant t. On est donc en présence d’une
perte si la valeur réalisée du portefeuille dans une période est inférieure à sa
valeur d’aujourd’hui.
Comme P (t + 1) est une variable aléatoire gaussienne de moyenne a' m etde variance a' Va , nous avons alors l’équation suivante : P ( t + 1) − a ' m−1≥ Φ (1 − α )  = α ,
Pr 
a 'Va



où Φ−1 est l’inverse de la fonction de répartition d’une gaussienne centrée etréduite.
Comme Φ−1

(1 − α ) = −Φ −1 (α ) , nous obtenons alors que
VaR = P (t) − a' m + a' Va Φ

−1(α ) .

Lorsque les facteurs F modélisent directement la variation du portefeuille,
et comme nous supposons en général que m = 0 , nous obtenons alors
VaR = a' Va Φ

−1(α ) .

La VaR apparaît alors proportionnelle à l’écart type de la variation de valeur
du portefeuille.
Cette méthode analytique repose sur trois hypothèses qui permettent desimplifier les calculs : l’indépendance temporelle des variations de la valeur duportefeuille, la normalité des facteurs de risque F (t) et la relation linéaire entre
les facteurs de risque et la valeur du portefeuille.
La principale difficulté de cette méthode est d’identifier les facteurs etd’estimer la matrice de covariance. Cette méthode analytique ne prend encompte que des relations linéaires entre les facteurs de risque et la valeur duportefeuille.

24

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

La VaR historiqueContrairement à la VaR analytique, la VaR historique est entièrement basée
sur les variations historiques des facteurs de risque. Supposons que nous
disposions d’un historique de taille N. En t0 nous pouvons valoriser leportefeuille avec les facteurs de risque de l’historique en calculant pour chaquedate t = ( t0 − 1,… , t0 − N ) une valeur potentielle du portefeuille. On détermine
ainsi N variations potentielles. Ainsi, à partir de l’historique, nous construisonsainsi une distribution empirique de laquelle il est possible d’extraire le quantileà α %. Pour cela, il faut ranger les N pertes potentielles par ordre croissant et
prendre la valeur absolue de la (1 − α ) N -ème plus petite valeur. Lorsque(1 − α ) N n’est pas un nombre entier, on calcule la VaR par interpolation
linéaire.
En général, la VaR historique n’impose pas d’hypothèses sur la loi desfacteurs de risque à la différence de la méthode analytique. Mais il est tout demême nécessaire d’avoir un modèle sous-jacent pour estimer les facteurs derisque pour l’historique de longueur N. Cette méthode est très utilisée dans lapratique car elle est simple conceptuellement et est facile à implémenter.
Cependant, elle présente quelques difficultés : en effet, l’estimation d’unquantile demande beaucoup d’observations, condition rarement réalisée en
pratique en assurance. C’est particulièrement le cas lorsqu’il s’agit d’estimer
des valeurs dans la queue d’une distribution. Le Chapitre 4 s’intéresse à ces
problématiques, dans lesquelles, le recours à la théorie des extrêmes permet dedisposer d’estimateurs performants comparés aux estimateurs empiriques.
La VaR aléatoire (ou VaR Monte-Carlo)
La VaR Monte Carlo est basée sur la simulation des facteurs de risque donton se donne la distribution. Cette méthode consiste à valoriser le portefeuille enappliquant ces facteurs simulés. Il suffit alors de calculer le quantile
correspondant tout comme pour la méthode de la VaR historique. La seuledifférence entre ces deux méthodes est que la VaR historique utilise les facteurspassés, alors que la VaR Monte Carlo utilise les facteurs simulés.
Il faut cependant noter que cette demande beaucoup de temps de calcul. De
plus, elle demande un effort important de modélisation puisqu’elle détermine
entièrement les trajectoires des facteurs de marché utilisés pour le calcul de laVaR.
1.1.4.2

Les difficultés d’adaptation de la VaR à l’assurance

La VaR est à l’origine un modèle bancaire, et son adaptation à l’assurance
pose certaines difficultés. En effet, il existe, dans les contrats d’assurance, desoptions cachées qui font apparaître des problèmes de fluctuations des encours etdonc de la valeur sur laquelle on calcule la VaR. De plus, les durées de vie descontrats d’assurance sont beaucoup plus longues que celles des contrats
bancaires, ce qui amène à reconsidérer la question de l’horizon de calcul de la
VaR.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques25

La valeur sur laquelle on calcule la VaR
Alors qu’un portefeuille bancaire possède une valeur de marché facile àcalculer, il est simple de calculer la valeur de l’actif d’un produit d’assurance(on peut prendre la valeur boursière des actifs détenus) mais il est souvent plus
difficile de calculer la valeur de son passif. En effet, il n’existe pas de marchéoù cette valeur soit échangée (malgré l’apparition de certains produits dérivés etles tentatives de titrisation de certains risques). L’une des difficultés dans lavalorisation du passif réside en particulier dans la valorisation des options
cachées.
En effet, une caractéristique importante du risque en assurance-vie est la
présence d’options incluses dans les contrats : option de rachat, de versements(pour les anciens contrats dont le taux est garanti à vie), et risque d’arbitrage
pour les contrats multi-supports :−L’option de rachat : le client qui a souscrit un contrat d’assurance vie
a le droit de le résilier avant terme. Dans ce cas, si son retrait se fait
après le seuil fiscal, il n’encourt en général aucune pénalité et il
récupère le montant investi additionné des intérêts capitalisés. Commec’est seulement après un certain nombre d’années courues que lecontrat devient rentable pour l’assureur, les rachats anticipés sont trèscoûteux pour ce dernier, et ce d’autant plus si le rachat intervient dans
un contexte de hausse des taux, obligeant l’assureur à vendre des actifs
en situation de moins-value.

−

Le risque d’arbitrage pour les contrats multi-supports : le client peuttransférer une partie de sa provision mathématique vers des supports
en unité de compte. Cela est préjudiciable à l’assureur car ce dernier
ne sait pas quand ces transferts vont avoir lieu et donc quand ses
engagements vont changer.

−

L’option de versement : le détenteur d’un contrat d’assurance vie est
autorisé à verser de l’argent quand il le désire sur son contrat. Si lecontrat est ancien, il se peut qu’il garantisse un taux anormalementélevé par rapport au taux du marché. Dans ce cas, il est coûteux pourl’assureur de tenir ses engagements.
On pourrait résumer le problème en disant que la banque calcule un risque
sur un montant fixe d’argent placé (système fermé) tandis que dans l’assurance,le montant placé n’est pas figé : il faut tenir compte des entrées et des sorties(système ouvert). Autrement dit, dans la banque il n’y a pas de problèmes defluctuations des encours alors qu’en assurance, la bonne gestion de cet aspect
est primordiale.
L’horizon de calcul de la VaR
Le risque en assurance n’est pas à court terme mais plutôt à un horizon dequelques années. En effet, en assurance-vie, le cycle de production est long. La
durée avant rachat d’un contrat est en général au minimum égale à 8 ans
puisque c’est seulement au-delà de ce délai que l’assuré peut reprendre ses
intérêts sans être soumis à la fiscalité. De plus, en assurance-vie, les obligations
mises en représentation des contrats du passif ont en général une échéance

26

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

lointaine. Si les taux baissent, les assureurs peuvent continuer à servir des tauxqui ne sont plus accessibles sur le marché obligataire, parce qu’ils possèdent
dans leur portefeuille des obligations anciennes de taux supérieurs aux taux dumarché. Cependant, ils doivent renouveler leur portefeuille car les obligations
arrivent à maturité, et pour cela ils ont accès à des taux moins élevés. Par
conséquent, lorsqu’ils n’auront plus d’obligations anciennes dans leursportefeuille, ils proposeront des produits d’épargne moins attractifs. Il y a donc
une inertie des taux servis par les assureurs qui fait que si le marché varie trop
vite, ils ne pourront pas s’y adapter et les clients rachèteront leurs contrats.
Mais le risque n’est pas à court terme, au contraire de la banque, où unportefeuille d’actifs est immédiatement (quotidiennement) sensible aux
variations des cours.
1.2. Comparaison des risques
L’objet de ce paragraphe est de présenter des outils permettant de classer lesrisques selon leur « dangerosité ».
1.2.1. Relation associée à une mesure de risqueDans le paragraphe 1, nous avons étudié un certain nombre de mesures derisque. Une idée naturelle pour comparer deux risques X et Y est de choisir une
mesure de risque ρ et de comparer ρ ( X ) et ρ (Y ) , ce que l’on peut toujours
faire puisque R est ordonné par la relation d’ordre totale ≤ . Cette démarche
nous permet d’introduire la relation ≺ρ définie comme suit.
X ≺ρ Y si ρ ( X ) ≤ ρ (Y )La relation ≺ρ issue de la mesure de risque ρ est réflexive et transitive. De
plus il est toujours possible de comparer par ≺ρ deux lois de probabilité ou
deux variables aléatoires.
N.B. Cette relation n’est pas une relation d’ordre car elle n’est pas
antisymétrique. En effet, avoir simultanément ρ ( X ) ≤ ρ (Y ) et ρ ( X ) ≥ ρ (Y )n’implique pas que X = d Y (et a fortiori que X = Y ).
Le principal mérite de ce type de relation est qu’il est toujours possible decomparer deux risques. Il faut néanmoins rester prudent car l’on peut avoir
simultanément X ≺ρ Y et X ρ' Y pour deux mesures de risque ρ et ρ’différentes. C’est pour cette raison que l’on préférera se tourner vers des ordres
partiels qui permettent de disposer de davantage de propriétés.
1.2.2. Ordre stochastique

Définition 12. Dominance stochastique

On dit que X domine selon l’ordre stochastique Y (Y ≺ st X ) si pour toutefonction de distorsion g, on a : ρ g (Y ) ≤ ρ g ( X ) .

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques27

Cette notion est équivalente à celle de comparaison uniforme des VaR
puisque toute mesure de risque de Wang peut s’écrire comme somme de VaR(cf. le paragraphe 1.1.2.4) :X ≺ st Y⇔ ρ g ( X ) ≤ ρ g (Y ) pour toute fonction de distorsion g⇔ Var ( X , α ) ≤ Var (Y , α ) ∀ α ∈ [ 0;1].

La relation ≺ st est un ordre partiel sur l’ensemble des lois de probabilités.
L’ordre stochastique ne permet pas de comparer toutes les variables
aléatoires. En effet, il est possible d’avoir simultanément :Var ( X , α ) ≤ Var (Y , α ) ,etVar ( X ,β ) > Var (Y ,β ) .

Pour s’en convaincre, une simple expérience Bernoulli peut être envisagée.
Considérons les deux variables aléatoires : P [ X = 0] = 0, 2
 P [Y = 1] = 0, 5
et 
 [
]
 P X = 3 = 0,8
 P [Y = 2] = 0, 5

On a Var ( X ; 0,1) ≤ Var (Y ; 0,1) et Var ( X ; 0, 4 ) > Var (Y ; 0, 4 ) .
En revanche, on a l’équivalence suivante (pour autant que les espérances
existent) :X ≺ st Y ⇔ E ϕ( X )  ≤ E  ϕ(Y )  pour toute fonction ϕ croissante.

En particulier, on a l’implication :X ≺ st Y ⇒ E [ X ] ≤ E [Y ] ,qui signifie intuitivement que le risque X est plus « petit » que le risque Y. Cette
conséquence explique le fait que l’on parle de dominance stochastique au
premier ordre pour désigner la relation ≺ st .
1.2.3. Ordre convexe

Définition 13. Ordre convexe croissantOn dit que X est moins dangereux que Y sur la base de l’ordre convexe
croissant (≺icx ) et l’on note X ≺icx Y si, pour toute fonction de distorsion
g concave, on a : ρ g ( X ) ≤ ρ g (Y ) .

Cette notion est équivalente à celle de comparaison uniforme des TVaR,
puisque :X ≺ icx Y⇔ ρ g ( X ) ≤ ρ g (Y ) pour toute fonction de distorsion g concave⇔ TVar ( X , α ) ≤ TVar (Y , α ) pour tout α ∈ [ 0;1].

On supposera dans la suite que les risques ont des primes pures finies ce qui
garantit l’existence des TVaR. Cette relation est également connue sous les28

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

noms de dominance stochastique du deuxième ordre, d’ordre Stop-Loss etd’ordre sur les TVaR.
Définition 14. Ordre convexe
On dira que le risque X est moins dangereux que le risque Y de même prime
pure au sens de l’ordre convexe (≺ cx ) , s’il est moins dangereux au sens del’ordre convexe croissant, i. e. si X ≺ cx Y ⇔ X ≺ icx Y et E [ X ] = E [Y ] .

Pour toute fonction φ convexe croissante et pour autant que les variances
existent, on a : X ≺ cx Y ⇔ E φ( X )  ≤ E  φ(Y )  .
En

particulierpour

X ≺ cx Y ⇒ Var [ X ] ≤ Var [Y ]

x2

φ:x

pour

x ≥0,

on

a:

pour autant que les variances existent.

Intuitivement cette propriété signifie que si X ≺ cx Y , le risque X est moins« variable » que le risque Y.
L’ordre convexe permet de comparer des variables aléatoires de mêmeespérance, ce que ne permettait pas l’ordre stochastique puisqueX ≺ st Y et E [ X ] = E [Y ] ⇔ X =loi Y .

Proposition 1. Théorème de séparation
On a l’équivalence :X ≺ icx Y ⇔ ∃ Z tel que X ≺ st Z ≺ cx Y .

Le théorème de séparation permet d’établir que si X est moins dangereuxque Y selon l’ordre convexe croissant, X est à la fois plus « petit » (≺ st ) et

moins « variable » (≺ cx ) que Y.

1.2.4. Bornes comonotones d’une somme de variables
aléatoires

L’ordre convexe nous permet de disposer de bornes pour une somme devariables aléatoires.
Proposition 2.

Bornes comonotones d’une somme de variables aléatoires

Pour tout vecteur X = ( X1, … , X n ) et pour toute variable aléatoire Λ , onna les inégalités :∑i =1

E  X i Λ  ≺ cx

n

∑
i =1

n

X i ≺ cx

variable aléatoire de loi uniforme sur [0;1] .

∑ FX−i1 (U ) , où U est une
i =1

Ce résultat est démontré dans Kaas et al. (2000).
Le majorant de cette double inégalité est appelé la contrepartie comonotone
du vecteur X. En effet ces deux vecteurs ont les mêmes marginales mais le()

vecteur X c = FX−1, … , FX−1 est comonotone.
1nNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques29

Grâce aux propriétés de l’ordre convexe, cette majoration nous permet dedisposer d’un maximum pour les primes Stop-Loss de la somme de risques∑i =1 X i . Concernant la minorant, lorsque c’est possible, on choisira Λ de
n

l

(

)

manière à ce que X = E  X1 Λ  ,… , E  X n Λ  soit un vecteur comonotone∑ i =1 E  X i Λ  . Onnce qui permettra parfois d’expliciter analytiquement

trouvera dans Dhaene, Vanduffel et al. (2004) une procédure pour déterminerΛ de manière à ce que X l soit comonotone lorsque les marginales de X sontlog-normales.

De plus, lorsque l’on évaluera le risque associé à∑i =1 X i par une mesurende risque de distorsion, on disposera d’un encadrement dont les bornes seront
simples à déterminer puisque les mesures de risque de distorsion sontcomonotones additives (cf. le sous-paragraphe 1.1.2.4).
2. Un traitement différencié du risque
Bien que participant d’un même mouvement de rationalisation etd’homogénéisation, les trois référentiels en évolution (valorisationéconomique : embedded value, comptabilités : normes IFRS et contrôle
prudentiel : Solvabilité 2) n’arrivent pas à converger complètement sur letraitement qui doit être fait du risque. En effet, si ces trois approchess’accordent sur le fait que les entreprises d’assurance doivent utiliser lameilleure information disponible et, en particulier, les données de marché dès
que c’est possible, les objectifs poursuivis sont différents et conduisent à desapproches distinctes de traitement du risque.
En effet, si l’approche prudentielle vise à déterminer des niveaux deprovisions techniques et de fonds propres minimaux qui doivent permettre à lacompagnie de supporter le risque, les approches de valorisation économique etcomptable ont un objectif similaire, celui de donner une valeur à un portefeuillede contrats ou à une entreprise. Ces deux démarches sont très différentes.
2.1. L’approche assurantielle
La démarche prudentielle adoptée dans Solvabilité 2 est à rapprocher de laphilosophie de transfert de risque sur laquelle s’est développée l’activitéd’assurance.
Rappelons que l’opération d’assurance consiste en un transfert de risque del’assuré vers l’assureur moyennant une prime. Pour que cette opération soit
profitable pour les deux parties, il faut que l’aversion au risque des deux parties
soit différente. C’est la situation de base en assurance puisque la compagnied’assurance, couvrant un ensemble de risques, bénéficie d’effets demutualisation qui ont pour conséquence de réduire le risque relatif de30

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

l’entreprise2. Si l’opération ainsi réalisée peut semble déséquilibrée en
espérance, puisque si le tarif est bien établi, la prime payée par l’assuré est
supérieure à la prime pure du risque transféré, elle s’équilibre du fait de la
différence d’aversion relative au risque.
Considérons un exemple très simple : deux assurés sont soumis à un risquede même nature (mais touche les assurés de manière indépendante) qui, avec
une probabilité de 50 % leur causera une perte de 1. La situation individuelled’un assuré peut être résumée par
0, p = 0, 5,
X1 = 
1, 1 − p = 0, 5.

La prime pure (l’espérance mathématique) pour s’assurer contre un tel
risque s’élève à 0,5.
Supposons que nos deux assurés s’associent pour supporter les éventuelles
pertes causées par ce risque. Leur association peut être résumée par :0, p 2 = 0, 25,X1 + X 2 = 1, 2 p (1 − p ) = 0, 5,
2
2, (1 − p ) = 0, 25.

Cette association n’a pas d’impact sur le niveau de la prime pure (toujours0,5). En revanche, on peut remarquer que si les deux assurés ont contribué àcette association en apportant la prime pure, cela leur suffira pour se prémunirde ce risque dans 75 % des cas, à comparer avec un cas sur deux lorsqu’ils
gardent ce risque individuellement.
Ainsi l’opération d’assurance repose sur la mutualisation décritemathématiquement par la loi des grands nombres. Rappelons que celle-ciénonce le fait que si on considère ensemble un très grand nombre de risques demême nature mais indépendants, alors le montant que l’on aura à payer sera
proportionnel au nombre de ces risques et certain (au sens contraired’aléatoire).
En pratique les assureurs se trouvent confrontés à deux écueils :−les portefeuilles de risques similaires ne sont pas de taille infinie,−

les risques qui constituent ces portefeuilles ne sont pas
systématiquement indépendants les uns des autres.
Dans ce contexte et dans un souci de protection des assurés, les pouvoirs
publics ont imposé aux assureurs de disposer, en plus des provisions techniques
destinées à couvrir les prestations futures espérées, de ressources propres
destinées à pallier l’absence de mutualisation totale. Á ce sujet, il est intéressantque le dispositif actuel (issu notamment de la Directive Solvabilité 1) prévoit
des exigences en matière de capitaux proportionnelles à la masse des provisions
en assurance vie et proportionnelles à la somme des primes ou des sinistres en
2. Tout au moins dans la situation de référence d’indépendance entre les différents
risques. La prise en compte de la possible dépendance entre ceux-ci est étudiée dans le
Chapitre 5.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques31

assurance non-vie. De tels dispositions n’intègrent pas3 l’effet de mutualisation
qui va de pair avec la taille du groupe comme le montre la Figure 3 qui montre
le rapprochement relatif des bornes de l’intervalle de confiance à 90 % autour
de l’espérance.
Figure 3 - Évolution des bornes de l’intervalle de confiance à 90 % enfonction du nombre de polices assurées

Le dispositif Solvabilité 2 a pour vocation de rendre les entreprises
d’assurance plus solvables en fixant notamment des exigences quantitatives defonds propres en référence au risque réel supporté par ces sociétés.
Incidemment, cette référence explicite au risque passe nécessairement par lechoix d’une mesure de risque (cf. le paragraphe 1.1).
2.2. L’approche économiqueL’approche économique ne répond pas aux mêmes impératifs quel’approche prudentielle. En effet, qu’il s’agisse de problématiques d’Embedded
Value ou de normes IFRS, l’objectif est similaire : donner une valeur à unportefeuille de contrats ou à une compagnie. L’idée est ici de donner la vision
la plus juste possible de ce que « vaut » l’entreprise ou le portefeuille.
Par exemple, les travaux de l’IASB sur la phase II de la norme IFRS dédiée
au contrat d’assurance définissent le montant à inscrire en provisions au titred’un ensemble de contrats à sa Current Exit Value (CEV) ou valeur actuelle desortie, à savoir, le prix que l’assureur qui détient cet ensemble de contrats
pourrait donner à un autre assureur pour lui transférer tous les droits et toutes
les obligations résultants de ces contrats.
Cette définition renvoie donc à la notion de prix de marché alors mêmequ’un tel marché secondaire des contrats d’assurance n’existe pas stricto sensu.
Puisque l’assureur ne peut lire ces prix sur un marché organisé, les travaux duBoard évoquent les approches financières de valorisation qui ont connu unessor formidable dans les années soixante-dix avec notamment les travaux deBlack, Scholes et Merton. Ces travaux s’appuient notamment sur l’hypothèsed’absence d’opportunité d’arbitrage.
3. Ce point est à nuancer en assurance non-vie par l’application de deux coefficientsdifférents en fonction de la taille du portefeuille (cf. l’exemple du Chapitre 3).

32

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

2.2.1. Introduction binomiale

Considérons une action cotée S0 en 0 et une option d’achat sur cette action
dont la valeur actuelle est C0 . L’option arrive à échéance en 1, date à laquelle

nous supposons que l’action vaut Su = (1 + u ) × S0 avec une probabilité p et

Sd = (1 + d ) × S0 avec une probabilité 1 − p . Son prix d’exercice est K , leflux de l’option peut donc être résumé par :
+

+

+

+

Cu =  Su − K  = (1 + u ) × S0 − K C0

Cd =  Sd − K  = (1 + d ) × S0 − K 

On remarque qu’en prenant une position longue (achat) sur une action etcourte (vendeuse) sur un certain nombre n d’options, il est possible deconstituer un portefeuille dont la valeur en 1 est certaine. En effet, il suffit pourcela de déterminer n tel que :Su − nCu = Sd − nCd ,

soit
+

+

 S − K  −  Sd − K .
n=  u(u − d ) S

Un portefeuille constitué dans ces proportions procure un montant certain
en 1, il est donc sans risque. En l’absence d’opportunité d’arbitrage4, un tel
portefeuille procure le taux sans risque r. Sa valeur actuelle est donc donnée parsa valeur future (certaine) actualisée au taux sans risque, soit :{S0 − n × C0 = (1 + d ) S0 − n × (1 + d ) S0 − K 

+

}e .

On en déduit, la valeur actuelle de l’option d’achat :
C0 =

{(

)

−r

}

1
+
−r
−r
1 − (1 + d ) e
S0 − ne × (1 + d ) S0 − K  .
n

La valeur de cette option ne dépend pas directement de la probabilité p dehausse du cours de l’action sur la période. Ce résultat peut intuitif s’expliquepar le fait que cette information est déjà contenue dans le niveau actuel ducours de l’action S0 . En effet, potentiels et probabilités de hausse et de baisse4. Un marché présente des opportunités d’arbitrage lorsqu’il permet de mettre en œuvre
des stratégies systématiquement meilleures que d’autres. L’hypothèse d’absenced’opportunité d’arbitrage repose sur l’hypothèse de réactivité du marché : si une
opportunité d’arbitrage existe, le marché va l’utiliser ce qui va modifier les prix pour lesmettre au niveau d’équilibre pour lesquels il n’y aura plus cette opportunité.
r

Incidemment, cette hypothèse contraint à ce que 1 + d ≤ e ≤ 1 + u .

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

33

du cours du titre ont déjà été incorporés par le marché dans la valeur initiale del’action.
Si l’on cherche à exprimer la valeur du call en fonction de ses flux possibles
en fin de période, après quelques développements et réductions, on obtient :C0 = {qCu + (1 − q ) Cd } e− r ,où q =( er − 1) − d.
u−dCette réécriture nous permet d’observer que le prix du call peut s’exprimer
comme l’espérance de ses flux futurs actualisés au taux sans risque dans ununivers dans lequel la probabilité de hausse du cours de l’action vaut q. Dans
cet univers, le prix d’un actif est égal à l’espérance de ses flux futurs
actualisés5. Cette propriété se traduit par le fait que, dans cet univers, les agentséconomiques donnent le même prix à des investissements, de niveau de risquedifférent, mais de même espérance de gain d’où la dénomination d’« univers
risque-neutre ».
Cet exemple binomial s’étend naturellement au cas multi-périodique :
Suu
Su
S0

Sud
Sd
Sdd

Il s’agit alors de mettre en œuvre la même technique que précédemment
mais à rebours (valorisation de Cu et Cd puis de C) avec l’hypothèse
supplémentaire qu’il n’y a pas de frais de transaction (recomposition duportefeuille d’arbitrage à la fin de chaque période).
Le lecteur intéressé pourra se référer à Hull (1999) pour une présentation
plus complète de l’approche binomiale et plus généralement sur les méthodes
de valorisation des options et des dérivés financiers.
2.2.2. Retour sur les hypothèses

Le modèle binomial présenté supra et plus généralement le modèle deBlack et Scholes (1993) et ses dérivés (cf. Hull (1999)) reposent sur deux
hypothèses principales relatives au marché : celui-ci est parfait et complet.
On qualifie de parfait un marché idéalisé dans lequel :5−

les titres sont divisibles,−

les ventes à découvert sont autorisées sans limite,. On parle de propriété martingale des flux futurs actualisés.

34

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−les agents économiques disposent de la même information et aucun
d’entre eux n’a la capacité de faire bouger les prix par son seul
comportement,−

il n’y a pas de friction (frais, fiscalité) sur les achats et les cessions detitres,− les taux de prêts et d’emprunts sont identiques.
Dans un tel marché, les méthodes de valorisation des actifs financiers, etnotamment des dérivés, reposent sur l’hypothèse d’absence d’opportunitéd’arbitrage. On dit qu’il y a absence d’opportunité d’arbitrage lorsque aucune
stratégie financière n’est systématiquement préférable à une autre.
Sur les marchés financiers, ces opportunités peuvent exister, néanmoins lefonctionnement du marché conduit à ce qu’elles soient repérées et que lesarbitragistes prennent position ce qui conduit mécaniquement à équilibrer lesprix.
Par ailleurs, un marché est complet lorsque tous les états du monde d’arrivé
sont atteignables par une certaine composition du portefeuille des actifs dumarché. C’est cette dernière hypothèse qui assure l’unicité de la mesure deprobabilité sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Lorsque cen’est pas le cas, il existe une infinité de probabilités équivalentes pourlesquelles la propriété martingale est vérifiée. L’obtention d’un prix est alorsconditionnée par le choix d’une de ces mesures de probabilité. Ballotta (2005)
étudie les prix obtenus sous différentes probabilités dans le cas d’un contrat
participatif.
2.3. Confrontation des deux approches en assurance
L'analyse des contrats d'épargne toujours plus sophistiqués montre que
certaines garanties (taux garantis, participation aux bénéfices financiers ou
encore les garanties plancher sur les contrats en unités de comptes), pouvaientêtre exprimées formellement comme des flux d'options et elles sont alors
valorisées comme l'espérance actualisée en probabilité risque neutre des flux
qu'elles engendrent. On est conduit à mettre en avant deux points enparticulier :−pour un engagement d'assurance, l'évaluation financière est menée
conditionnellement à une réalisation de l'aléa démographique (pourune garantie plancher, par le théorème des probabilités totales, on
conditionne par la connaissance de la date du décès, par exemple), lerésultat final consistant à prendre la valeur moyenne des résultats
obtenus. Compte tenu de la mutualisation imparfaite d'un portefeuilleréel, le « coût » de la garantie optionnelle n'est in fine qu'uneapproximation de sa valeur théorique ;−quelle est la légitimité de l'évaluation d'un engagement via ladétermination d'un prix sur un marché ? La question pour l'assureurn'est pas tant de donner un prix à un portefeuille (sauf pourl’embedded value) que de provisionner à un niveau suffisant pourgarantir une maîtrise satisfaisante des risques gérés.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

35

Concrètement, l'assureur doit faire face à deux types de risques : des risquesmutualisables, dont la prise en charge fonde l'activité d'assurance et des risques
non mutualisables, comme ceux que l'on vient d'évoquer.
Les risques non mutualisables sont souvent financiers mais il peuvent êtredirectement associés aux engagements d'assurance : mortalité stochastique et,plus généralement, tous les phénomènes qui remettent en cause l'indépendance
entre les assurés (attentats, risques environnementaux, etc.). Il importe donc defixer une méthode techniquement fondée de calcul des provisions pour lesrisques non mutualisables. En effet, sur ces risques systématiques (autres que
risques de marché), il n’est pas possible de tenir le raisonnement introduit en
2.2 qui permet de constituer une stratégie qui élimine le risque. En particulier,on ne dispose pas d’actifs financiers ou de dérivés d’assurance qui permettent
de mettre en place de telles stratégies6. Pour ces risques d’assurance
systématiques, la distribution du passif n'a donc sens qu’en probabilité
historique.
C'est cette logique qu’adopte le projet Solvabilité 2 en fixant comme critère
de référence le contrôle de la probabilité de ruine à un an.
Par ailleurs, un engagement (ou une marge de risque) déterminé par lestechniques financières n'a pas de sens autre que conventionnel (i.e. imposé parla norme) puisque la gestion du portefeuille d'arbitrage n'est pas mise en oeuvre
et, quand bien même elle le serait, les imperfections et la durée desengagements rendent la couverture approximative.
Il convient donc de distinguer la fixation d'un prix qui, en l'absence d'unmarché organisé, relève d'une démarche conventionnelle et le contrôle desrisques pour la gestion technique.
Si, dans le premier cas, les techniques de couverture, pour lesquelles laprobabilité risque neutre fournit un moyen de calcul simple, sont acceptables, ilen va différemment pour quantifier les risques portés par l'assureur, dontl'évaluation se fait dans le monde réel. La probabilité risque neutre peut êtreutilisée lors d'étapes intermédiaires de valorisation, mais la mesure du risquenécessite le recours à la probabilité historique. Les deux approches ne sont pas
exclusives l'une de l'autre, elles traitent des problématiques différentes.
Il faut garder à l’esprit que l'assurance ne consiste pas à neutraliser desrisques via des techniques de couverture mais à les gérer en contrôlant le niveaud'incertitude qui leur est attaché. Si le recours à des méthodes financières
basées sur une condition d'absence d'opportunité d'arbitrage apparaît légitime
pour fixer un prix dans un cadre normatif (IFRS et MCEV), l'analyse de lasolvabilité doit être effectuée avec les lois de probabilité réelles. L'application
des méthodes financières en assurance doit être conduite avec discernement.

6. Le développement de la titrisation de risques d’assurance permettra, peut-être, dans lefutur de multiplier le nombre de risques pour lesquels on disposera de dérivésd’assurance.

36

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

3. Contrats en unités de compte : les garanties plancher
La garantie plancher en cas de décès sur les contrats en unités de comptes
est l’exemple type d’un engagement qui dépend simultanément du risque demarché et du risque de mortalité.
Après avoir présenté les contrats en unités de comptes tels qu’ils sontcommercialisés en France et les risques qu’ils peuvent présenter pour lesassureurs, nous revenons plus particulièrement sur les problématiques detarification et de gestion des risques induits par les garanties plancher en cas dedécès.
3.1. Contrats en unités de compte
Les contrats en unités de comptes sont des contrats d’assurance vie pourlesquels les primes versées sont investies sur des supports choisis par l’assuré.
L’épargne évolue en fonction de ces supports et l’assureur ne garantit que lenombre de parts et pas la valeur de celles-ci. C’est donc l’assuré qui supporte lerisque de placement. Ces contrats peuvent être mono-support ou multi-supports
et, dans ce cas, un des supports peut être un fonds en euros, voire l’actif généralde la compagnie.
Les supports sont généralement profilés (cf. les noms des supports desassureurs : prudence, dynamique, performance) de manière à permettre àl’assuré de choisir entre des investissements plus ou moins risqués et selon leurlocalisation géographique (France, Europe, États-Unis, Asie, pays émergents,
etc.)
Ces produits en unités de compte se sont particulièrement développés ces
dernières années. En France en 2005, le chiffre d’affaires des contratsd’épargne représente 116,6 milliards d’euros7 dont près d’un quart est affecté
aux unités de comptes.
3.2. Principaux risques
Le risque de placement étant supporté par l’assuré dans ce type de contrats,
les deux principaux risques proviennent de la présence de garanties plancher encas de vie ou en cas de décès et du risque de renonciation résultant d’une clausecontractuelle ou d’une mauvaise information transmise à l’assuré.
3.2.1. Garantie plancher

Dans le cas le plus fréquent, une garantie plancher sur un contrat en unitésde comptes permet à l’assuré ou à ses ayants-droits de toucher, au moment dudénouement du contrat, le maximum entre les primes versées et l’épargne
valorisée.
On distingue deux types de garanties plancher : en cas de vie (cf. Bergonzat
et Cavals (2006)) et en cas de décès (cf. Merlus et Pequeux (2000)).
Dans le premier cas, l’assureur garantit à l’assuré, qu’au terme du contrat, ilpercevra l’épargne constituée sauf si elle s’avère inférieure aux primes verséesauquel cas, ce sont ces primes lui seront reversées. Aujourd’hui très peu
7. Cf. le rapport annuel de la FFSA 2005, p. 16.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

37d’acteurs du marché prévoient encore ce type de clause dans les contrats qu’ils
commercialisent.
Dans le second cas, ce sont les bénéficiaires du contrat qui bénéficient decette disposition à la date de décès de l’assuré. Alors l’incertitude porte sur lavaleur de l’épargne et sur le décès de l’assuré. Généralement, les contrats qui
comportent ce type de garantie prévoient le prélèvement d’une partie del’épargne pour la financer. Selon que ce prélèvement est effectué comme uneprime de risque ou de manière forfaitaire en pourcentage des encours, il
conviendra ou non de constituer une provision pour garantie plancher.
3.2.2. Renonciation

La renonciation consiste, pour un assuré, à annuler le contrat et réclamer lesprimes qu’il a versées à l’assureur. Ce risque peut résulter :−−de l’application normale de l’art. L132-5-1 qui prévoit que dans undélai de 30 jours à compter de la date de réception de son certificatd’adhésion, l’assuré peut renoncer à son adhésion (cette clause est
généralement reprise dans les conditions générales des contrats) ;d’un manque d’information des assurés qui a pour effet de perpétuer ledroit à renonciation.
Sur le deuxième point, les arrêtés de mars 2006 précisent les informations
qui doivent être communiqués aux clients lors de la commercialisation descontrats.
L’arrêté du 8 mars 2006 précise qu’en tête de contrat, un encadré doit
permettre de répondre aux questions que se posent le plus souvent les assurés, àsavoir : la nature individuelle ou de groupe du contrat, la caractère garanti ou
non des sommes investies, la participation aux bénéfices, la disponibilité dessommes et les délais de versement, les frais prélevés par l’assureur, les enjeux
du choix de la durée de placement et les modalités de désignation desbénéficiaires.
L’arrêté du 1er mars 2006 impose aux assureurs de faire figurer dans untableau les valeurs de rachat des 8 premières années et d’expliquer clairement
leur mécanisme de calcul lorsque celles-ci ne peuvent être établies dès lasouscription (cas des contrats en unités de compte).
Ces deux arrêtés viennent à la suite de la loi 2005-1564 du 15 décembre
2005 qui a créé l’article L132-5-2 qui prévoit l’obligation de remise d’une noted’information distincte des conditions générales du contrat de manière àclarifier l’exhaustivité de l’information dont doit disposer l’assuré pour que ledroit à renonciation ne soit pas prorogé. Cependant cette loi n’étant pas
rétroactive, le contentieux pour les contrats souscrits antérieurement perdure.
Le risque de renonciation porte essentiellement sur les produits avec
supports en unités de comptes pour lesquels la propension d’une diminution
forte de la valeur du support sur un horizon même réduit (30 jours) est
vraisemblable.
On distingue donc deux problématiques dans le cadre de la gestion de cerisque : celle liée à la faculté contractuelle et celle résultant de l’éventuelleincomplétude de l’information aux assurés.

38

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

D’une manière générale, pour parer au risque de renonciation sur la périodedes 30 jours suivant la souscription, les conditions générales des contrats enunités de comptes spécifient que l’épargne ne sera investie de manière effective
sur les supports UC qu’à expiration de ce délai. En attendant, elle est le plus
souvent investie sur un fonds monétaire, voire l’actif général de l’assureur.
Concernant le risque lié à l’information aux assurés, si les services
juridiques des assureurs ont intégré les exigences résultats de la loi du 15
décembre 2005 et des arrêtés de mars 2006 aux nouveaux contrats, le risqueexiste souvent pour les contrats plus anciens. En particulier, l’arrêt du 7 mars
2006 de la deuxième chambre civile de la Cour de cassation a confirmé lamauvaise rédaction de nombreux contrats d’assurance vie.
La gestion de ce risque peut être envisagée de diverses manières :−mise à plat de l’information aux assurés avec mise en exergue du droit
de renonciation de 30 jours ;−clôture des contrats par décision de l’assureur (lorsque c’est possible)
avec proposition de basculement de l’épargne vers un nouveau contrat.

3.3. Valorisation et gestion des garanties plancher
Les travaux de Frantz, Chenut et Walhin (2003) illustrent parfaitement lesdifférences entre les méthodes présentées précédemment dans le paragraphe 2
et insistent notamment, en matière de gestion du risque, sur le lien entre leprocédé de valorisation et les stratégies mises en œuvre pour gérer le risque.
Ces travaux s’inscrivent dans une problématique de tarification d’un traitéde réassurance prévoyant la cession pleine et entière du risque induit par une
clause de garantie plancher en cas de décès sur un contrat en unités de comptes
mono-support.
Les auteurs étudient les deux approches évoquées précédemment pourassocier un prix à un risque :−l’approche « financière » qui repose sur l’hypothèse de complétude dumarché et donc sur la possibilité de mettre en place une stratégie
permettant de se couvrir complètement contre le risque (ou deminimiser le risque supporté dans le cas de marchés incomplets) ;−l’approche « actuarielle » qui repose sur la loi des grands nombres etqui conduit à déterminer la prime comme somme de la prime pure(moyenne des prestations futures) et d’une marge pour risquedéterminée en faisant référence au risque supporté par le biais d’une
mesure de risque (cf. le sous-paragraphe 1.1).
La garantie plancher étudiée prévoit qu’en cas de décès, les bénéficiaires ducontrat perçoivent le maximum entre la valeur des unités de comptes du contrat
et la somme des primes versées.
Formellement, si l’on note S = ( St )t ≥0

le processus décrivant l’évolution

de la valeur des unités de comptes au cours du temps et K la somme desprimes versées, le réassureur cherche à donner un prix à l’engagement de verser

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques39+

 K − St  ,en cas de décès de l’assuré en t.
3.3.1. Modélisation

Frantz et al. (2003) modélisent l’évolution de la valeur de l’épargne en UC
par un mouvement brownien géométrique :dSt= µdt + σdBt ,St

où B = ( Bt )t ≥0

est un mouvement brownien sous la probabilité historique P.

De plus, il est supposé que le marché financier est complet, ne présente pas
d’opportunité d’arbitrage et que le taux sans risque r est constant.
Dans ce contexte, il existe une unique mesure de probabilité Q équivalente àP sous laquelle les prix actualisés sont des martingales et, d’après le théorèmede Girsanov, le prix de l’épargne suit le processus suivant sous cetteprobabilité :dSt= rdt + σdBt ,St( )t ≥ 0 est un mouvement brownien sous la probabilité risque-neutreoù B = Bt
Q.

Par ailleurs, les assurés sont censés décéder tous selon une même table demortalité. Dans la suite, les notations actuarielles classiques sont employées :−Tx la durée résiduelle de survie (aléatoire) sachant que l’on est en vie

à l’âge x ;−n p x , la probabilité de vivre n années supplémentaires sachant quel’on a atteint l’âge x ;−qx , la probabilité de décéder dans l’année sachant que l’on a atteintl’âge x.
Enfin, l’évolution des marchés et la mortalité des assurés sont supposées
indépendantes.
3.3.2. Primes pures

En faisant l’hypothèse implicite que les prestations sont payées en fin
d’année et avec l’aide du théorème des probabilités totales, en conditionnant
par la survenance du décès, le flux actualisé auquel doit faire face le réassureur
est donné, pour un assuré d’âge x, par :e− rTx où τ désigne le terme du contrat.

+

K − ST  1T ≤ τ ,
x
x


40

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

S’il est possible de mettre en place une couverture qui permet de se
prémunir (complètement) du risque, le prix associé à ce risque ne saurait êtredifférent de celui de la couverture.
Comme on le verra infra, le marché n’est pas parfait, les coûts de friction
existent et la mise en place d’un portefeuille répliquant nécessite un arbitrage
entre rebalancements fréquents (et donc coûts de friction élevés) etrebalancements moins fréquents (et donc coûts de réajustement élevés).
Il est néanmoins possible d’établir une prime pure théorique, obtenue par lethéorème des probabilités totales en conditionnant par la probabilité de décès del’assuré, soit :+ − rT
SPP = E P×Q  e x  K − ST  1T ≤ τ 
x
x




=

τ

+

∑ n −1 px × qx + n −1 × EQ e−rn  K − Sn  
n =1

(

τ

)

(

)

−(µ − r )n
− rn
= ∑ n −1 p x × q x + n −1 ×  Ke Φ − d 2 ( n ) − S0 e
Φ − d1 ( n ) 


n =1

où d 2 ( t ) =(2) et d (t ) = d (t ) + σ t .

ln S0 K + r − σ 2 t
σ t

1

fi
2

S’agissant d’un risque mixte (mortalité et financier), il convient de préciser
ce que l’on entend par prime pure. En effet, si prime pure désigne en assurance
le montant moyen que devra débourser l’assureur qui assure le risque, SPP
n’est pas réellement une prime pure puisque la valorisation risque-neutre dudérivé financier inclut implicitement une prime de risque (cf. le sousparagraphe 2.2) et conduit donc à un montant supérieur à celui qui aurait été
obtenu par un calcul de valeur actuelle probable traditionnellement mené sur lesrisques d’assurance.
3.3.3. Gestion du risqueDonner un prix au risque et le gérer de manière effective sont deux choses
différentes. Par exemple, dans le paragraphe précédent, les hypothèses
financières classiques de perfection du marché et d’absence d’opportunitéd’arbitrage, ont permis de donner un prix à la garantie plancher. Cependant,même si ce prix est retenu pour la communication financière, par exemple, legestionnaire peut ou non mettre en place de manière effective la stratégie decouverture sur laquelle il repose.
En pratique, il est confronté au fait que les hypothèses idéales danslesquelles on se place pour utiliser les méthodes de valorisation risque-neutre(cf. le sous-paragraphe 2.2.2) ne sont pas vérifiées. En particulier, les coûts defriction ne sont pas nuls et donc recomposer son portefeuille répliquant entemps continu n’est pas envisageable. Si l’on souhaite mettre en place une
couverture qui minimise le risque financier, il faut donc choisir une périodicité
pour les recompositions du portefeuille répliquant. Comme évoqué
précédemment, le gestionnaire est confrontés à deux sources de coût résiduel :Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques−41

les frais liés aux cessions et aux achats de titre ;−les coûts liés au caractère non-continu des recomposition deportefeuille : entre les instants t et t + 1 , l’actif a peut-être évoluédéfavorablement auquel cas, le gestionnaire doit faire face à un coûtsupplémentaire.
Cet aspect est détaillé dans Planchet, Thérond et al. (2005).
En matière de gestion du risque, Frantz et al. (2003) remarquent qu’en tantque gestionnaire du risque, les deux situations peuvent être envisagées : mettreen œuvre ou pas la couverture financière (même si elle est imparfaite du fait
des frottements évoqués précédemment). Les deux graphiques suivants sontrepris de Frantz et al. (2003).
La Figure 4 reprend la distribution de la valeur actuelle des flux futurs
lorsque la couverture financière n’est pas mise en place.
Figure 4 - Distribution des coûts futurs en absence de gestion active de la
couverture

De manière alternative, il est possible de mettre en œuvre la stratégie decouverture de manière à minimiser le risque. Il s’agit alors de déterminer lecoût de la couverture et de mesurer le risque résiduel.
Dans leurs travaux, Frantz et al. (2003) font l’hypothèse que les frais liés
aux achats et aux cessions de titre sont nuls, que les recompositions deportefeuille sont annuelles et que donc, seuls les coûts de recomposition liés au
caractère non-continu de ceux-ci présentent une charge pour le gestionnaire. La
Figure 5 reprend la distribution de la valeur actuelle des flux futurs dansl’approche lorsque la gestion active de la couverture est mise en place.

42

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 5 - Distribution des coûts futurs lorsque la gestion active de la
couverture est mise en place

La mise en œuvre effective de la couverture a pour effet de réduire
considérablement le risque supporté par l’assureur, même si elle ne conduit pas
à l’éliminer complètement du fait du caractère discret des recompositions duportefeuille. Il subsiste donc un risque résiduel malgré la mise en place de la
couverture. Par ailleurs, à ce risque vient s’ajouter celui résultant de lamutualisation imparfaite des décès : les montants couverts sont déterminés àpartir de l’estimation des décès futurs du portefeuille.
4. Conclusion
L’objet de ce premier chapitre était de présenter les outils mathématiquesles plus utilisés en assurance pour mesurer et comparer des risques, puis
d’insister sur le fait que l’approche généralement retenue en termesd’évaluation dépend de la nature des risques eux-mêmes.
Ainsi pour les risques financiers, les modèles de valorisation économiquecommencent à s’imposer qu’il s’agisse d’établir les états comptable (normes
IFRS), les éléments de la communication financière à destination du marché(Market Consistent Embedded Value) ou même de déterminer des provisions et
les exigences de capitaux de solvabilité (Solvabilité 2). En particulier, ces
modèles s’imposent même dans des cas où la stratégie de couverture surlaquelle ils reposent ne peut être mise en œuvre de manière effective. De plus,même dans les cas où il est possible de mettre en œuvre la couverture,l’utilisation de ces méthodes ne signifie pas que la gestion du risque est
effectuée par la couverture.
Ce dernier point pose un problème conceptuel dans la mesure où deuxsociétés identiques quant à leurs engagements et leurs actifs mais avec une
gestion différente, mise en œuvre ou pas de la couverture, obtiendront lesmêmes résultats, les mêmes valeurs la plupart du temps. Il n’en demeure pas
moins que les profils de risque de ces deux compagnies sont très différents. On

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

43

l’a vu dans le cas des garanties plancher en cas de décès sur les contrats enunités de compte en comparant la Figure 4 et la Figure 5. Incidemment, le bon
gestionnaire n’est pas uniquement celui qui produit de bons reporting
comptables, de communication financière et prudentiels. En effet, bien qu’enconstante évolution, ceux-ci ne restent que des images, des projections del’entreprise d’assurance ; il s’agit pour le gestionnaire d’analyser le risque et demettre en place les bonnes mesures de gestion de manière à protéger les assuréset corrélativement à pérenniser la rentabilité de l’entreprise, dans l’intérêt
notamment de ses actionnaires ou sociétaires.
La prise en compte de ces règles de gestion dans les nouveaux référentiels
est un problème à part entière du fait de l’étendu du champ des possibles et dela difficulté d’appréciation de la capacité de l’entreprise à mettre en œuvre dansles faits les règles annoncées aux horizons de gestion annoncés. Nous revenons
sur la prise en compte des règles de gestion avec des exemples concrets dans le
Chapitre 2.

44

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

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Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

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Chapitre 2
Traitement spécifique du risque :aspects pratiques

Dans le premier chapitre de cette thèse, nous avons étudié la question dutraitement du risque en assurance, sous un angle général, en mettant en exergue
les différents modèles que l’on rencontre en pratique et notamment leurs limites
provenant des conditions de leur emploi.
Ce deuxième chapitre traite du même problème mais sous un angled’attaque différent et en faisant référence de manière plus explicite aux
nouveaux référentiels dans lesquels vont s’inscrire les sociétés d’assurance :normes IFRS, MCEV et Solvabilité 2. Ainsi dans un premier temps, nous
reviendrons sur ces trois cadres et leur finalité, et verront notamment qu’ils
reposent sur un socle de principes communs.
De manière opérationnelle, ces principes vont conduire à considérer
différemment de ce qui a été fait jusqu’à présent des éléments-clé del’évaluation de l’activité d’assurance tels que les hypothèses actuarielles. Par
ailleurs, la divergence des finalités conduit à ne pas considérer de la mêmemanière des évènements futurs tels que ceux découlant du comportement desassurés ou de celui de l’assureur.
Enfin, nous verrons, sur un exemple de contrats d’assurance vie de typeépargne en euros, l’impact de ces différences en termes de valorisation et demodélisation du risque.
1. De nouveaux référentiels distincts
L’objectif de ce premier paragraphe est de rappeler les grandes lignes desnouveaux référentiels comptables, de communication financière et desolvabilité puis de mettre en évidence les bases communes sur lesquelles ils ont
été construits et enfin de revenir plus particulièrement sur ce qui les distingue
les uns des autres.
1.1. Contexte
Le système actuel de solvabilité, régit en partie par la Directive
Solvabilité 1, repose sur les comptes sociaux des entreprises d’assurance.
Comme n’importe quelle entreprise commerciale, les sociétés d’assuranceétablissent des comptes en vue notamment de déterminer un résultat sur lequell’État pourra prélever l’impôt. En revanche, une des spécificités de l’activitéd’assurance est le contrôle qui en est fait par les autorités. En effet, compte tenu
du rôle de l’assurance dans le développement de l’économie et dans lasécurisation de la société, les sociétés d’assurance font l’objet d’un contrôle
spécifique de manière à éviter leurs défaillances et ses conséquences pour les48

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

assurés. Ce contrôle repose notamment sur des exigences en matières de fonds
propres caractérisées par l’exigence de marge de solvabilité, par des règles surles provisions techniques (comptables !) et la composition du portefeuilled’actifs. Le superviseur bénéficie également d’états réglementaires qui luipermettent de juger de la solidité financière des assureurs et, le cas échéant, deréclamer des capitaux propres supplémentaires. Ces états réglementaires sont,pour la-plupart, des déclinaisons des éléments comptables traditionnels et pourd’autres des stress-tests ou tests de sensibilité à des scénarios le plus souvent
adverses : états C6bis, T3, C8, C9, etc.
La situation actuelle est donc celle de l'enchevêtrement des reportingscomptable et prudentiel.
1.1.1. Normes IFRS

Depuis 2005, les sociétés européennes cotées ou faisant appel public àl’épargne doivent publier leurs comptes consolidés selon les normes IFRS pourInternational Financial Reporting Standards. Le passage à ce nouveau
référentiel constitue un « choc des cultures » pour nombre de sociétésfrançaises puisque cette information comptable n’est pas principalement
destinée à l’État mais aux marchés financiers. Ce contenu est sensiblement
différent puisque l’objectif de ces normes est de donner la meilleure visionéconomique possible de l’entreprise, de fournir des outils d’aide à la décision àla veuve de Carpentras et de mesurer la richesse créée pour l’actionnaire. En
conséquence, les principes sur lesquels repose ce cadre normatif ne sauraientcoïncider avec ceux du Plan Comptable Général.
Le principe directeur de ces normes est celui de juste valeur ou fair value.
Bien que la définition exacte de ce concept soit en cours de refonte dans lecontexte notamment de la convergence avec les normes comptables
américaines (les FAS), on peut définir la juste valeur d’un actif ou d’un passif
comme étant le montant auquel deux parties intéressées et également informéess’échangeraient cet actif ou ce passif.
C’est pour cela que les détracteurs des normes IFRS parlent de « valeur à lacasse » de la compagnie : la plupart de ses éléments comptables sont en effet
valorisés en juste valeur, c’est à dire au prix auquel ils pourraient être cédés. On
se rend compte que si cette notion est assez naturelle s’agissant d’instruments
financiers cotés dont on observe le prix sur un marché liquide, il est plus délicat
de donner la valeur d’un droit immatériel ou, pour ce qui nous concerne, d’unportefeuille de polices d’assurance.
On pourra consulter Thérond (2003) pour plus de renseignements sur lesnormes IFRS en général et notamment leurs processus d’élaboration etd’adoption au sein de l’Union européenne.
1.1.2. Solvabilité 2

Á cette première évolution qui touche l’ensemble des sociétés mentionnées
précédemment, s’en est ajoutée une seconde, propre au monde de l’assurance :Solvabilité 2. Il s’agit en fait d’un nouveau référentiel prudentiel destiné à
remplacer celui issu en partie de la Directive Solvabilité 1. Son objectif est
double : harmoniser les règles et le contrôle au sein de l’Union européenne, etNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques49

se doter d’un système plus adapté au risque effectif supporté par les assureurs.
Pour illustration de ce deuxième point, l’exigence en matière ne fonds propresne fera plus l’objet d’un calcul de proportion en fonction des provisions
mathématiques en assurance vie ou des primes et des sinistres en non-vie, mais
devra permettre à l’entreprise de ne pas être en ruine à la fin de l’exercice avec
une très forte probabilité (99,5 %). Il s’agit en fait de passer du système actueldans lequel les sociétés d’assurance disposent de marges de sécurité implicites
à plusieurs niveaux (provisions techniques, plus-values latentes, marge desolvabilité, etc.) à un système dans lequel la meilleure information possible est
utilisée et les marges de prudence sont explicitées (marge pour risque dans lesprovisions techniques, capital de solvabilité).
On pourra consulter Planchet, Thérond et al. (2005) et Thérond etGirier (2005) pour un descriptif plus complet des principes de Solvabilité 2 etde son mécanisme d’élaboration.
1.1.3. Market Consistent Embedded ValueÁ ces deux référentiels « obligatoires » pour les entreprises concernées,s’ajoute un troisième référentiel vers lequel se tournent de plus en plus desociétés d’assurance : celui de la communication financière par le biais del’embedded value. Utilisée depuis les années 1990, l’embedded value ou valeur
intrinsèque devient un outil de communication de plus en plus prisé et de plus
en plus sophistiqué. Il s’agit en fait de déterminer une valorisation del’entreprise à partir de la projection de son portefeuille et de la rapprocher de sa
capitalisation boursière le cas échéant. Ces techniques ont beaucoup évoluédepuis quelques années et notamment depuis la publication en 2004 desprincipes de l’European Embedded Value (EEV) par le CFO Forum1. Il s’agit
en fait d’un recueil des principes que doit respecter une évaluation d’embedded
value pour avoir le label EEV, l’objectif étant d’uniformiser au maximum ces
principes pour accroître la comparabilité des chiffres produits.
Parmi les approches qui répondent aux principes de l’EEV, l’approche ditemarket-consistent tend à s’affirmer comme le standard. Il s’agit en fait d’une
méthode qui valorise les risques réplicables selon l’approche économiquedécrite dans le Chapitre 1 et qui n’affecte pas de prime de risque aux risquesd’assurance mutualisables. Á l’instar de ce qui a été fait dans le cadre plus
général de l’EEV, un recueil des principes de la Market Consistent Embedded
Value (MCEV) devrait voir le jour en 2007.
1.2. Des finalités différentes
Pour comprendre les différences et les similitudes entre les trois référentiels
précédemment évoqués, il convient de revenir sur leurs objectifs. Si IFRS et
MCEV relèvent de l’empire de la communication financière, Solvabilité 2 n’est
pas destinée à l’information des marchés financiers mais à la déterminationd’exigences de solvabilité auxquelles doit répondre l’assureur. En cela lesprincipes rappelés dans la troisième étude d’impact quantitatif QIS 3 menée parle CEIOPS (cf. l’annexe) sont assez parlant puisqu’il est précisé que :1. Le CFO Forum est une association d’assureurs européens significatifs en termes depart de marché.

50

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−la formule standard doit permettre d’estimer le niveaux de capital que
doit posséder l’assureur aujourd’hui pour ne pas être en ruine dans un
an avec une probabilité de 99,5 % ;−les provisions techniques doivent comporter une marge pour risquequi, en cas de défaillance de l’assureur, permettrait leur transfert vers
un autre acteur du marché sans que, pour cela, celui-ci n’ait besoin dese financer.
Pour comparaison, rappelons que les normes IFRS et une MCEV visent à
donner une information sur la valeur de la société dans le cadre d’unetransaction dans des conditions normales. Si ces deux référentiels ont le mêmebut, ils n’ont pas la même portée : alors que la MCEV est une valorisation
globale de la compagnie, les comptes IFRS recèlent d’informations plus
détaillées, le niveau de calcul étant celui du portefeuille.
Le Tableau 2 propose un comparatif des finalités et des principes de ces
trois cadres d’évaluation.
Tableau 2 - Comparatif des référentiels IFRS, Solvabilité 2 et MCEV
MCEV
Valorisation économique(transactions)
Information financière
Valeur de la compagnie
Information Rentabilité des affaires
fournieen portefeuille (et desaffaires nouvelles)
Objectifs

Niveaud'application

Social puis consolidé

Solvabilité 2

IFRS phase 2

Contrôle prudentiel

Information financière

Provisions techniques
Exigence de fonds
propres

Provisions techniques,
Capitaux propres(variation des éléments
d'actifs et de passifs)

Social puis consolidé

Consolidé

Current Exit Value :montant qui serait exigé
Valorisation Espérance complétée deen contrepartie dudesla valeur de l'ensemble Espérance + marge pourtransfert deengagements
des options et desrisquel'engagement sur und'assurance
garanties financières
marché (espérance +marge pour risque +marge pour service)marge pour risqueexplicite (CoC ou VaR) au marge pour risque, au
Risques valorisés àniveau du portefeuille,
niveau du portefeuille
Valorisation travers les cash-flows
qui correspond à une+
capital de solvabilité
des risques futurs et les options &prime de risque(SCR) qui doit contrôler normalement disponible
garanties
sur les marchésle risque global de lacompagnie
Actualisation

Taux sans risqueTaux sans risqueTaux sans risque1.3. Un socle de principes communs
Il n’en demeure pas moins que, s’ils ont des finalités différentes, les trois
référentiels usent de moyens semblables en s’appuyant sur un socle deprincipes communs.
Ainsi, il est acquis dans les trois contextes, que ce sont les meilleureshypothèses possibles qui doivent être utilisées dans les projections. Si cela

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques51

semble naturel, il convient de se rappeler que les calculs de provision en
normes françaises sont effectués sur la base d’hypothèses prudentes (lois demortalité prudentes, taux d’actualisation nuls ou positifs mais prudents, etc.)
Nous revenons plus précisément sur ce point dans le sous-paragraphe 2.1.
1.3.1. Traitement des risques financiers

Par ailleurs un autre élément significatif est celui du traitement du risquefinancier, les trois référentiels convergent pour le valoriser selon les approcheséconomiques présentées dans le Chapitre 1. Il s’agit donc de valoriser lesrisques financiers au prix de leur portefeuille répliquant ou de couverture.
L’objectif étant de coller le plus possible aux prix observés sur le marché.
La limite de cet exercice réside dans le fait que deux portefeuilles identiques(mêmes clauses contractuelles, réglementaires, mêmes assurés et même actif enreprésentation) comportant des risques financiers dans deux entreprises
d’assurances différentes se verront attribuer la même valeur, obtenue selon desmodèles de type Black et Scholes, quand bien même l’une déciderait de mettreen place la couverture de manière à éliminer le risque et pas l’autre. C’est la
situation étudiée au Chapitre 1 dans le cas de la garantie plancher en cas dedécès sur un contrat en unités de compte.
Dans le cadre de Solvabilité 2, on obtiendrait donc le même niveau deprovision, néanmoins la différence d’exposition au risque financier seretrouverait au niveau de l’exigence de capital de solvabilité (le SCR, cf.
l’annexe). Pour ce qui est des comptes IFRS, on obtiendrait également unmême niveau de provision au titre du fait que, dans le cas du transfert duportefeuille, la gestion de ce risque revient au nouvel assureur qui est libre demettre ou pas en place cette stratégie. Aussi, il n’y a pas de raison que le prixdu portefeuille soit différent selon la politique de gestion mise en place parl’assureur qui détient actuellement le portefeuille. Ce point précis est une desdifficultés rencontrées par le projet de norme IFRS phase 2 dédiée aux contrats
d’assurance (cf. également le sous-paragraphe 2.2.2).
1.3.2. Traitement des risques non-financiersConcernant les risques non-financiers, normes IFRS et Soilvabilité 2
convergent sur le fait qu’il faut les valoriser selon une décomposition best
estimate + marge pour risque.
Si la notion de best estimate est proche entre les référentiels comptables etprudentiels (modulo les différences sur certaines hypothèses, cf. le sousparagraphe 2.1), celles de marge pour risque ne répondent pas à la mêmedéfinition.
Dans Solvabilité 2, la marge pour risque doit permettre le transfert duportefeuille en cas de faillite de l’assureur. QIS 3 (cf. l’annexe) adopte ainsi laméthode du coût du capital pour la définir comme étant le coûtd’immobilisation du capital relatif à cet engagement.
Le projet de norme IFRS phase 2 dédié aux contrats d’assurance propose
une définition différente : la marge pour risque est la prime de risque, au-delà
du best estimate, que requiert un intervenant du marché pour accepter de se voirtransférer le risque.

52

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Bien que distinctes, ces deux approches ne sont pas très éloignées, si l’on
considère, par exemple, que la prime de risque requise par le marché
correspond au coût d’immobilisation du capital de solvabilité.
Les calculs de MCEV font une distinction supplémentaire parmi les risquesnon-financiers : ces risques sont-ils diversifiables ou pas ? Le principe étant dene pas accorder de prime de risque aux risques diversifiables puisquel’actionnaire, conformément à la loi des grands nombres, pourrait l’éliminer.
Par exemple, le risque de fluctuation d’échantillonnage de la mortalité au sein
du portefeuille d’assurance ne conduira pas à constituer une marge pour risque.
En revanche, le risque systématique de mortalité (cf. Planchet etThérond (2007a)) qui n’est pas diversifiable en nécessitera une : l’actionnaire
ne peut pas s’en prémunir en achetant des titres des différents assureurs de laplace puisqu’ils sont tous touchés par ce même risque.
2. Des incidences opérationnelles
Sur le plan opérationnel, les trois nouveaux référentiels amènent à réviser
les techniques et méthodes mises en œuvre jusqu’à présent lorsqu’il s’agissait
notamment d’établir des comptes en normes françaises.
Parmi les éléments les plus importants, le recours aux meilleures hypothèses
possibles nécessite une attention particulière d’autant plus que c’est un principe
commun aux différents cadres précédemment évoqués.
Par ailleurs, les projections stochastiques des portefeuilles d’assurance en
général et d’assurance vie en particulier nécessitent la modélisation ducomportement de l’assureur et des assurés dès lors que des choix sont offerts àl’un ou aux autres. C’est notamment le cas de toutes les décisions d’ordre
discrétionnaire. Elles sont particulièrement nombreuses dans les contratsd’épargne. Parmi elles, on peut citer :−pour les assurés, la possibilité de racheter totalement ou partiellement
leur contrat, la possibilité de ne plus payer ses primes périodiques(mixtes), la possibilité d’effectuer des versements libres, etc.

−

pour les assureurs, la politique de gestion des actifs, la revalorisation
discrétionnaire des contrats et corrélativement la gestion de laprovision pour participation aux bénéfices (PPB), etc.
Au sujet de ces futures décisions de gestion, la lecture des textes deréférence sur les différents projets laisse augurer des différences assez nettes.
2.1. Hypothèses actuarielles
L’évaluation des engagements d’assurance repose sur des hypothèses deprojection. Dans le contexte français d’établissement des comptes et des états
réglementaires à destination des autorités de contrôle, le Code des assurancesprescrit une bonne partie des hypothèses dites actuarielles : tables de mortalité,de maintien en incapacité temporaire, taux d’actualisation, etc.
La plupart de ces hypothèses sont volontairement prudentes de manière à
obtenir des niveaux de provisions techniques relativement prudents. Cela
conduit en particulier à l’introduction de marges implicites de prudence. Elles
sont implicites dans la mesure où elles résultent de l’application d’hypothèses

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

53

prudentes. Ainsi elles ne sont pas quantifiées, par exemple, par analyse del’écart sur les provisions par rapport à des hypothèses plus réalistes.
Les nouveaux référentiels économiques, comptables et prudentiels exigent
pour leur part de mesurer explicitement le risque et de fixer la prudence en
référence à ce risque. C’est notamment l’objet de la marge pour risque.
Dans ce contexte, les assureurs doivent utiliser la meilleure information
possible pour évaluer leurs engagements. En particulier, les hypothèses dites
actuarielles doivent, lorsque c’est possible, être fixées en référence au marchéou à l’expérience de l’entreprise.
2.1.1. Références internes et externes

Concernant les hypothèses, une des principales distinctions que l’on peut
faire entre les normes IFRS d’une part et les autres référentiels d’autre partprovient du calibrage de ces hypothèses sur des données internes ou externes.
En effet, de par la définition de la Current Exit Value, il s’agit, dans leréférentiel IFRS, de déterminer une valeur de transfert du portefeuille surlaquelle s’entendraient deux assureurs. Sur ces bases, l’IASB précise que lesparamètres de projection doivent être ceux du marché et non ceux del’entreprise qui détient le portefeuille en question (i.e. celle dont on établit lescomptes). Par exemple, si l’assureur A a des frais de gestion de ses actifs del’ordre de 0,5 % alors que, pour le reste du marché, ils ne sont que de l’ordre de
0,3 %, le portefeuille doit être valorisé sur les bases des paramètres de marché
puisque le 0,5 % n’est propre qu’à l’assureur A et que le transfert duportefeuille d’implique pas le transfert de ces frais de gestion des actifs
alourdis.
Si ce principe semble cohérent avec le modèle d’évaluation retenu (laCurrent Exit Value), il n’en demeure pas moins que ces « paramètres demarché » sont rarement observables, ce qui pose une difficulté supplémentaireà l’utilisation de ces références externes.
Pour des hypothèses telles que la mortalité en revanche, c’est bienl’expérience issue du portefeuille qui doit être utilisée dans la mesure où letransfert de celui-ci ne va pas conduire à modifier la mortalité de ses assurés.
Cette question des références externes ou internes à l’entreprise dans lechoix des paramètres de projection amène également celle des règles de gestion
future. En effet, il n’est pas possible de projeter les flux futurs d’une sociétéd’assurance sans modéliser les règles de gestion futures en matière d’allocationd’actifs, de revalorisation de contrats, de gestion des provisions pourparticipation aux bénéfices, etc. Or chaque entreprise a ses propres règles et lavaleur du portefeuille peut significativement varier selon les règles utilisées. Cepoint est plus particulièrement développé dans le sous-paragraphe 2.2 infra.
2.1.2. Le cas de la mortalité

Que ce soit dans le cadre de l’évaluation des engagements d’un régime deretraite, la valorisation d’un portefeuille d’épargne ou encore le suivi techniquede contrats en cas de décès, la mortalité constitue un paramètre déterminant du54

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

résultat des valorisations. La question se pose donc du choix pertinent del’hypothèse à retenir.
D’une manière générale, les normes comptables IFRS conduisent à
privilégier, au travers d’une approche « économique » de la valorisation del’entreprise, le choix d’hypothèses « réalistes », tenant compte de l'expérience
du portefeuille (IFRS 4 et le projet de norme assurance en phase II) ou del’entreprise (IAS 19, cf. Planchet et Thérond (2004b)). Dans le cas particulier
de la mortalité, cela conduit naturellement à vouloir se tourner vers des « tables
d'expérience » en lieu et place de références exogènes (tables nationales, tables
réglementaires dans le cas des assureurs, etc.) pas nécessairement en phase avec
la réalité du risque.
Mais, dès lors que le risque est viager, et notamment dans les
problématiques de rentes, la table de mortalité utilisée se doit d'être prospective
afin de prendre en compte l’évolution future des taux de décès, ce qui induit defortes contraintes en terme de volume de données si l'on souhaite construire une« surface de mortalité » spécifique de la population concernée anticipant
correctement les évolutions à venir.
Ainsi, lors de la construction des nouvelles tables de mortalité
réglementaires utilisées par les assureurs pour le provisionnement de leurengagements viagers, les quelques centaines de milliers de têtes observées surune dizaine d’années n’ont pas suffit à construire une table autonome (ou «endogène ») et il est apparu nécessaire de s’appuyer sur des tables construites
préalablement sur l’ensemble de la population française pour dégager destendances de long terme.
En pratique, la taille des groupes existants et le nombre d’années
disponibles sont souvent insuffisants pour espérer réaliser une construction
robuste d'une telle table « endogène », obtenue uniquement à partir desobservations issues du groupe considéré. Ceci est valable tant sur desportefeuilles de rentiers que dans le cas d’entreprises.
Il n’en demeure pas moins qu’il n’apparaît pas efficient de ne pas tenir
compte de l'information apportée par les observations. En effet, lesdéterminants de la mortalité sont nombreux : le sexe, le mode de vie, le niveau
de revenu, la région d'habitation figurent parmi les plus importants. Une
population particulière donnée (portefeuille d’assureur ou rentiers futurs et encours dans le cas d’un régime supplémentaire d'entreprise) présente donc apriori une mortalité différente de celle décrite par des références nationales ou
de place.
Dans ce contexte, dès lors que l’on abandonne une évaluation prudentielle
des engagements au profit d’une évaluation « réaliste » avec une quantification
qui se veut explicite de la marge de risque, il est indispensable de prendre encompte l’information apportée par les données disponibles, sous peine dedéformer « l’image économique fidèle » de l’entreprise que l’on entend donner.
Se pose toutefois la question du moyen d’y parvenir, compte tenu desdifficultés techniques exposées précédemment.
Un examen plus attentif de la structure d'une table de mortalité prospective
conduit alors à distinguer le niveau de la mortalité (âge par âge) d’une part etNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques55

son évolution anticipée dans le futur d’autre part. Déterminer le niveau de la
mortalité à un moment donné revient à fixer une table du moment, proposer une
tendance pour l'évolution future conduit à lui ajouter une dimension prospective
pour aboutir à une surface de mortalité. On parle alors de table prospective.
Les données disponibles fournissent en général une détermination
suffisamment riche pour la construction d'une table du moment, quitte àprocéder à des extrapolations en dehors de la plage où des observations sontdisponibles. Ces extrapolations sont aisées dans le cadre des modèlesparamétriques de mortalité, comme par exemple le modèle classique deMakeham ou les modèles de régression logistique (cf. Planchet etThérond (2006)).
C’est au moment de déterminer la tendance d’évolution des taux demortalité dans le futur que les données s’avèrent insuffisantes en pratique :historiques trop faibles (souvent moins de 10 ans) et effectifs insuffisants(quelques dizaines de milliers) pour supprimer le bruit issu des fluctuationsd’échantillonnage rendent la démarche prospective délicate à appliquer
directement, sauf à prendre des risques importants sur l’appréciation de latendance. Il existe par exemple des versions paramétriques du célèbre modèle
de Lee-Carter qui permettent d’estimer une surface de mortalité à partir d’unnombre réduit de paramètres : la diminution du nombre de paramètres permet
une estimation plus fiable et augmente le pouvoir prédictif du modèle, mais elleaugmente en parallèle le risque d’inadéquation du modèle à la réalité.
Toutefois, on peut noter à ce stade que la question n’est pas tantfondamentalement ici de construire une table de mortalité que d’être en mesurede sélectionner une hypothèse bien adaptée au groupe pour le risque considéré,et à tout le moins mieux adaptée qu’une référence réglementaire utilisée demanière arbitraire. En effet, si l’objectif de construire une table spécifique pourla population étudiée s’avère délicat à atteindre, une démarche pragmatiqueconsiste à se tourner vers les différentes références existantes et à recherchercelle qui, parmi elle, représente le mieux le comportement de la population enterme de mortalité. Les outils statistiques d’analyse de l’adéquation d’une loi demortalité donnée a priori à des observations issues de l’expérience sontclassiques et peuvent ici être employés avec succès.
Ainsi, il est donc important de noter qu’en pratique l'analyse de la mortalitéd’expérience du groupe peut conduire à retenir comme « table d’expérience »une table exogène au groupe, par exemple la TPG 1993, une table INSEE, ou
plus généralement toute table dont on aurait des raisons de penser qu’elle peutraisonnablement représenter la mortalité de la population considérée ; d’unemanière générale, la justification de l’adéquation d'une table à un groupe donné
pour un risque donné (vie ou décès) relève d'une analyse différente de laconstruction d'une table de mortalité propre au groupe. Et cette analyse est plus
robuste et plus simple à mettre en œuvre que la construction proprement dite.
Face à ces contraintes, l’obtention d'une information raisonnablement fiable
sur la mortalité d’expérience du groupe passe donc in fine par lepositionnement de cette mortalité par rapport à une référence, que celle-ci soit
une table nationale, une table de place ou une table d’expérience construite sur

56

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

une population plus large présentant des similitudes de comportement sur ce
registre.
Une table de mortalité est, on l’a vu, essentiellement décrite par le niveau dela mortalité à un moment donné et la tendance future d’évolution des taux dedécès (ou de tout autre grandeur décrivant la survie, comme par exemple
l’indicateur classique d’espérance de vie). Cette structure conduit à observerque le positionnement par rapport à une référence peut, en fonction de la qualitédes données à disposition, s’envisager de deux manières :−un positionnement sur le niveau uniquement, la tendance reprenant
strictement la tendance de la référence proposée ;−un positionnement conjoint sur le niveau et la tendance. Plus délicat à
mettre en oeuvre techniquement, il permet une appréciation plus fine
du risque de longévité lorsque le volume de données est suffisant.
Pour l’une ou l’autre de ces deux approches, les outils techniques existent :on peut citer notamment les régressions logistiques ou le modèle de Cox et ses
dérivés.
On peut d’ailleurs noter que les nouvelles tables réglementaires TGH et
TGF 05 légitiment d’une certaine manière cette démarche. En effet, la relative
petite taille des portefeuilles utilisés pour la construction a nécessité comme on
l’a rappelé infra le calage des tendances sur des tables prospectives
préalablement construites pour l’occasion sur la base de données INSEE. Ainsi,
les tables réglementaires elles-même sont en un certain sens le résultat d'unpositionnement de la mortalité des assurés par rapport à la mortalité générale.
Au global si la construction d’une table d’expérience propre au groupe etélaborée à partir de ses seules données n’est en pratique pas une solution
systématiquement envisageable, les techniques de positionnement de la
mortalité d’expérience par rapport à une référence externe fournissent une
palette d'outils opérationnels conduisant à une appréciation plus réaliste durisque porté.
C’est dans ce contexte que s’inscrivent les travaux de Hardy etPanjer (1998). Ceux-ci consistent à mettre en place un modèle de crédibilité2
qui offre aux différentes entreprises du marché canadien de calculer, à partir deleurs propres données, un taux d’abattement relatif à une table de mortalité
standard. Grâce à ce modèle, qui repose sur une variante du modèle deBühlmann et Straub (1970), chaque entreprise peut donc calculer son propre
taux d’abattement. Incidemment, ce type de modèle permet aux entreprises qui
ne disposent pas de données suffisantes pour établir une table d’expérience
uniquement à partir de celles-ci, d’utiliser des hypothèses de mortalité plus
adaptées à leur propre risque que la table standard.
Ce genre de démarche est typiquement ce qui peut être mise en œuvre pardes associations d’assureurs de manière à disposer d’un maximum
d’informations pour apprécier la structure du risque interne aux assureurs et sa
variabilité entre les assureurs. Incidemment, en se regroupant pour mener detelles études, des assureurs avec des portefeuilles modestes peuvent déduire des2. Cf. l’ouvrage de référence de Bühlmann et Gisler (2005) pour plus de détail sur lesmodèles de crédibilité en général et celui dit de Bühlmann-Straub en particulier.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques57

lois d’expérience qui leur sont propres, ce qu’ils n’auraient pu faire sur la basede leurs seules données.
2.2. Futures décisions de gestion
Les calculs prospectifs préconisés par Solvabilité 2, les principes de l’EEV
ou encore les normes IFRS ne peuvent faire l’économie de la modélisation desdécisions de gestion future. Il s’agit de se donner un modèle qui permettra desimuler de manière automatique le comportement des agents économiques (icil’assureur et les assurés) et de l’adapter aux conditions simulées (état del’assuré, conditions de marché, etc.)
Dans la suite de ce paragraphe, nous dressons la liste des comportements à
modéliser pour les assurés comme pour l’assureur et analysons ce que prévoientles différents référentiels à leur sujet.
2.2.1. Comportement des assurés

Les principales options qui sont offertes à un assuré pendant la vie de son
contrat relèvent :−de la gestion du contrat : rachats partiels ou total, transfert, arbitrages
entre des supports en unités de compte en en euros pour un contratd’épargne multi-support ;−du paiement (ou non) des primes futures : versements libres,versements programmés et primes périodiques ;−des options qui lui sont offertes : conversion de l’épargne en rente,prorogation ou modification des garanties du contrat dans desconditions favorables, etc.
Bien qu’ils fassent partie de la vie effective des contrats, l’analyse de ces
comportements n’est pas aisée. En effet, si la plupart des assureurs ont construitdes lois d’expérience sur le rachat de contrats, celles-ci sont le plus souvent
segmentées en fonction de l’ancienneté du contrat (cruciale en raison des dates
fiscales des quatrième et huitième anniversaires) sans distinction de l’âge del’assuré ou plus encore du moment auquel est intervenu le rachat et donc desconditions de marché correspondantes.
La transposition de ces lois dans un contexte de projection stochastique desactifs notamment est encore plus ardue. Pour le rachat par exemple, il s’agit, leplus souvent, de déformer les lois standard obtenues sans distinction desconditions de marché pour les alourdir ou au contraire les alléger en fonction del’évolution des taux d’intérêt par exemple. Cet exercice se heurte à un écueil
qu’il est difficile de contourner autrement que par une décision arbitraire : dansl’économie actuelle, avec des taux d’intérêts à deux chiffres, quel serait lecomportement des assurés bénéficiant de contrats à taux garantis de l’ordre de2,5 % ? Ce type de scénario peut se produire dans des projections stochastiques
et les lois de comportement ad hoc n’ont pas pu être calibrées pour celui-ci
puisqu’il n’existe pas de données statistiques.
De manière générale, sur la modélisation du comportement des assurés, lesréférentiels peuvent diverger. C’est notamment le cas sur les primes futures.

58

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Le projet de norme assurance IFRS phase II prévoit des critères
relativement stricts pour inclure les primes futures dans l’évaluation desprovisions des contrats d’assurance. Ainsi, le Board prévoit que les flux
projetés doivent tenir compte des primes futures :−si l’assureur dispose d’un droit contractuel lui permettant d’exiger leurpaiement ; ou−

si l’assureur ne peut refuser de percevoir ces primes et que la valeur
actuelle de ces primes est inférieure à la valeur actuelle des prestations
additionnelles qui en résultent ; ou−

si le paiement de ces primes permet à l’assuré de conserver son
assurabilité.
Ainsi des primes futures probables mais qui ne correspondraient pas à l’unde ces trois critères ne devront pas être prises en compte pour l’évaluation de laprovision IFRS alors qu’elles devront l’être pour un calcul de MCEV par
exemple (cf. principe n° 6 de l’EEV Principles).
2.2.2. Comportement de l’assureur

La modélisation du comportement de l’assureur est essentielle puisqu’elle
va avoir de lourds impacts sur l’évolution des contrats. C’est surtout le cas pourles contrats d’épargne en assurance vie dont l’évolution dépend grandementde :−la gestion du portefeuille financier : réalisation des plus ou moinsvalues latentes qui participe à la constitution du taux de rendement
comptable sur lequel est déterminée la participation aux bénéfices
réglementaire et, le plus souvent, contractuelle également,
recomposition de la composition du portefeuille, gestion de la réservede capitalisation, etc.

−

la revalorisation des contrats : incorporation, dotation et reprise à la
PPB.
Il s’agit donc, pour l’assureur, de mettre en évidence les décisions degestion qu’il prendrait dans différentes conditions de marché de manière àétablir une règle générique qui s’adaptent à celles-ci. Les résultats desévaluations seront dépendants de ces règles. C’est d’ailleurs une des difficultés
auxquelles se trouve confronté le projet de norme IFRS phase 2 sur les contrats
d’assurance : la méthode retenue pour valoriser un engagement d’assurance estcelle de la Current Exit Value (CEV) ou valeur de sortie du portefeuille. Dèslors, on peut se demander si cette valeur de sortie devrait dépendre des règles
de gestion de l’assureur dans la mesure où le transfert effectif du portefeuillevers un autre assureur conduirait à ce que ce soit cet autre assureur qui le gère
avec ses propres règles de gestion, pas nécessairement identiques à celle dupremier (et même, le plus souvent, différentes). Il n’en demeure pas moins qu’iln’est pas possible de se passer de la modélisation de ces règles pour projeter lesflux futurs. De plus ces comportements sont étroitement liés3 : une politique de3. Un modèle de rachat dépendant des taux servis et des taux de marché est présenté dansle dernier paragraphe du Chapitre 5.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques59

revalorisation des contrats qui se contente des taux minimums garantis conduiraà des rachats plus massifs qu’une politique d’attribution de PB plus en phaseavec le marché.
2.2.3. Exemple : gestion du portefeuille d’actifs

Pour illustrer l’impact de la modélisation des décisions de gestion sur lesvaleurs de portefeuille, nous avons modélisé deux politiques de gestion d’actifs
à partir du portefeuille d’actif à la date d’évaluation. Nous avons observé lesvaleurs obtenues pour un contrat de type épargne qui comporte une garantie detaux et une clause de participation aux bénéfices.
De manière à isoler le phénomène que l’on souhaite observer, nous avons
fait abstraction des risques biologiques tels que le décès ou l’arrêt de travail etdes risques liés au comportement des assurés (rachats, prorogation, etc.), ainsil’assuré bénéficie de son épargne au terme prévu contractuellement.
2.2.3.1

Présentation du produit

Considérons un contrat d’épargne de durée 8 ans qui comporte une garantie
de taux annuelle4 de 2,5 % et une clause de participation bénéficiaire de 90 %.
Si l’on note PM k , la valeur de l’épargne à la date anniversaire k, le processus
de revalorisation, à chaque date anniversaire est le suivant :()

PM k +1 = 1 + max {2, 5% ;90% × ρ k +1} PM k ,où ρ k désigne le rendement du portefeuille financier sur la k-ème période.
Ainsi on suppose que l’assureur n’attribue pas de participation auxbénéfices au-delà de son engagement contractuel. Dans un cas réel, cettehypothèse doit être levée du fait de la prise en compte des rachats (cf.
notamment le modèle de rachat présenté en fin du Chapitre 5 et le paragraphe3).
2.2.3.2

Modélisation du rendement financier

Dans la suite nous supposerons que l’assureur dispose aujourd’hui d’unactif composé d’actions dans une proportion θ = 30% et d’un bon decapitalisation pour les 70 % restants. De plus, nous supposerons que le boncapitalise à un taux d’intérêt certain et constant au cours des huit années ducontrat égal à 4 %. Par ailleurs, le cours de la poche action est modélisé par un
mouvement brownien géométrique avec une volatilité de 20 %.
Étudions à présent les deux stratégies envisagées.
Dans la première, l’assureur ne touche plus à ses actifs jusqu’au terme ducontrat. Dans ce cas de figure, le rendement (discret) pour la k-ème période est
donné par l’expression suivante :4. Il s’agit d’une garantie cliquet comme présente dans les contrats français : chaqueannée les 2,5 % sont acquis. Pour mémoire, les contrats anglais comportent plus souvent
des terminal bonus pour lesquels la revalorisation n’intervient effectivement qu’auterme.

60

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérondρ (k ) =θSk + (1 − θ ) Bk

θSk −1 + (1 − θ ) Bk −1−1,

où Sk et Bk sont respectivement les prix des actions et du bon decapitalisation à la date k. On supposera, sans perte de généralité, que
S0 = B0 = 1 .
La deuxième stratégie consiste à recomposer, chaque début d’année, leportefeuille financier de manière à ce que la poche action représente 30 % de lavaleur totale du portefeuille. Dans ce cas, le rendement (discret) pour la k-ème
période est donné par l’expression suivante :ρ (k ) = θSkB+ (1 − θ ) k − 1 .
Sk −1
Bk −1

Le risque que l’on cherche à analyser étant purement financier,conformément aux principes évoqués précédemment dans le sous-paragraphe
1.3, ces rendements ont été modélisés dans l’univers risque-neutre. Sous lamesure risque-neutre Q, le cours des actions évolue selon le processus suivant :dSt= rdt + σdBˆt ,St

où B̂ est un mouvement brownien sous Q et r = ln ( Bk +1 Bk ) = ln (1 + 4% )est le taux sans risque instantané.
Dans l’univers risque-neutre, les deux processus de rendement ont, sur une
période, une même espérance égale au rendement sans risque.
Les distributions des rendements ont pu être obtenues grâce aux méthodes
de Monte Carlo5.
Comme le montrent les graphiques suivants, les deux stratégies mènent àdes résultats sensiblement différents. La Figure 6 représente l’évolution durendement moyen au cours des années selon la règle de gestion utilisée et lepositionne par rapport au rendement sans risque.

5. Les résultats ont été obtenus à partir de 30 000 simulations. Le mouvement brownien
géométrique a fait l’objet d’une discrétisation exacte et les variables aléatoires
gaussiennes ont été simulées à partir de réalisations uniformes simulées par l’algorithme
du tore mélangé et transformées par l’approximation de Moro. Cf. le Chapitre 6 pour ledétail de ces techniques.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

61

Figure 6 - Évolution du rendement moyen de l’actif
4,08%
Rendement moyen / recomposition annuelle
Rendement moyen / pas de recomposition

4,06%

Taux sans risque
4,04%
4,02%
4,00%
3,98%
3,96%
3,94%
3,92%
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Malgré le nombre important de simulations effectuées, il réside un biais qui
atteint un maximum de 1,7 % pour le rendement moyen de la huitième période.
Néanmoins, le rendement moyen de ces deux stratégies est comparable, ce qui
est normal puisqu’elles ont le même rendement espéré.
La Figure 7 représente l’évolution de l’écart-type du rendement au cours
des huit périodes dans les deux stratégies.
Figure 7 - Évolution de l'écart-type du rendement
6,38%

Ecart-type du rendement / recomposition annuelle

6,37%

Ecart-type du rendement / pas de recomposition

6,36%
6,35%
6,34%
6,33%
6,32%
6,31%
6,30%
6,29%
6,28%
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

La stratégie de recomposition périodique du portefeuille conduit à desrendements moins variables que celle qui consiste à acheter et ne plus toucher
au portefeuille financier jusqu’au terme.

62

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Nous allons voir dans le paragraphe suivant les incidences de ces
différences sur le contrat d’assurance vie considéré.
2.2.3.3

Résultats

La Figure 8 représente la distribution de la revalorisation de l’épargne au
terme pour l’assuré selon les deux règles de gestion des actifs.
Figure 8 - Distribution empirique de la revalorisation l'épargne au terme
8%
Pas de recomposition
Recomposition annuelle

7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%

95
%
10
3%
11
0%
11
8%
12
5%
13
3%
14
0%
14
8%
15
5%
16
3%
17
0%

88
%

80
%

73
%

65
%

58
%

50
%

43
%

35
%

28
%

20
%

0%

On peut remarquer que la politique de recomposition annuelle duportefeuille conduit à une distribution plus resserrée autour de la valeur
moyenne. Á l’inverse, l’autre stratégie a une queue de distribution plus lourdevers les montants d’épargne élevés mais son cœur se situe davantage en deçà dela valeur moyenne. Si les deux distributions sont différentes, l’espérance de larevalorisation au terme est, dans les deux cas, de l’ordre de 51 %, ce qui
représente un gain de 10 % sur 8 ans par rapport au sans risque. Incidemment,
si l’assureur choisit de recomposer son portefeuille en tout début de contrat
pour n’investir que sur les bons de capitalisation, la revalorisation au terme(certaine dans ce cas précis) n’atteint que 32,7 %. La gestion du portefeuillefinancier a donc une incidence importante sur la valorisation du contrat.
Si les valeurs de l’épargne à chaque date d’inventaire ont des moyennes trèsproches dans les deux politiques de gestion envisagées, au niveau desrendements actuels, les profils de rendement sont différents. La Figure 9
reprend l’évolution du taux de revalorisation moyen de l’épargne au cours de lavie du contrat dans les deux situations étudiées tandis que la Figure 10 présente
son coefficient de variation6.
6. Le coefficient de variation d’une variable aléatoire est le rapport de son écart-type surson espérance (lorsque les deux premiers moments existent). C’est un indicateur devariabilité couramment utilisé pour comparer des risques qui n’ont pas la même taille(espérance).

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

63

Figure 9 - Évolution du taux de revalorisation moyen
5,34%
Pas de recomposition

Recomposition annuelle

1

4

5,32%
5,30%
5,28%
5,26%
5,24%
5,22%
5,20%
5,18%
5,16%
0

2

3

5

6

7

8

9

Le rendement moyen avec recomposition annuelle s’avère supérieur à celuisans. Cependant, sa variabilité étant plus faible (cf. la Figure 10), les deux
stratégies aboutissent à des montants espérés d’épargne au terme très proches.
Figure 10 - Évolution du coefficient de variation du taux de revalorisation
80,0%
Pas de recomposition

Recomposition annuelle

1

4

79,5%
79,0%
78,5%
78,0%
77,5%
77,0%
76,5%
76,0%
0

2

3

5

6

7

8

9

Conformément, à ce que l’on avait déjà observé au sujet des rendements duportefeuille d’actifs, la stratégie de recomposition annuelle conduit desrevalorisations de l’épargne moins variable que l’autre stratégie étudiée.

64

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

3. Cas pratique : portefeuille d’assurance vie
Dans ce paragraphe, nous allons voir comment les principes précédemment
présentés s’appliquent dans le cas de la valorisation d’un produit d’assurancevie individuel (contrat d’épargne en euros) commercialisé par une sociétéd’assurance.
Dans ce paragraphe, sauf mention contraire, toutes les références juridiquessont relatives au code des assurances.
3.1. Présentation du produit
Le produit modélisé est un contrat d’épargne en euros commercialisé parune société d’assurance qui prévoit, contre le paiement à la souscription d’une
prime unique, le versement d’un capital :−à l’assuré en cas de survie au terme ;− à ses ayant-droits en cas de décès de l’assuré avant le terme.
Le montant du capital versé en cas de décès ou au terme est garanti à lasouscription. Il n’est pas possible d’effectuer de versements libres sur ce
contrat. En revanche, l’assuré peut, à tout moment, demander le rachat de son
contrat.
3.1.1. Caractéristiques techniques

L’objet de ce sous-paragraphe est de détailler les caractéristiques techniquesde ce contrat afin d’identifier les risques qu’il fait courir à l’assureur et dedéterminer la modélisation qui peut en être faite.
3.1.1.1

Caractéristiques générales

La durée du produit est fixe et de 8 ans. Le contrat peut cependant êtreprorogé par tacite reconduction à un taux minimum garanti de 60 % du TME.
La prime nette initialement versée est investie dans l’actif général del’assureur. Il n’y a pas de canton spécifique pour ce produit.
3.1.1.2

Revalorisation de l’épargne

Ce type de contrat est principalement souscrit par les assurés en tantqu’outil de placement permettant de bénéficier des avantages fiscaux queconfère la réglementation des contrats d’assurance.
De ce fait, sa principale raison d’être de ce produit est de procurer unrendement financier à l’assuré. Ainsi l’épargne constituée par la prime unique(diminuée des frais sur versement) est revalorisée chaque année civile. Le
processus de revalorisation de ces contrats est complexe. En effet, il dépend dela politique de gestion de l’assureur sous les contraintes contractuelles (tauxminimum garanti), réglementaire (participation aux bénéfices) et économiques(taux affichés par la concurrence).
Contractuellement, chaque police se voit attribuer à sa souscription un taux
minimum garanti (TMG) qui dépend, pour ce contrat, des conditions de marché
à la souscription (référence au Taux Moyen des Emprunts de l’État Français, leNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

65

TME). Ce taux est un plancher pour le taux de revalorisation effectif del’épargne.
Par ailleurs, le Code des assurances prévoit qu’au moins 90 % des bénéfices
techniques et 85 % des bénéfices financiers doivent être redistribués aux
assurés. En particulier, le taux de rendement des actifs est calculé selon lesréférences françaises : le rendement comptable n’intègre pas les éventuelles
plus-values latentes. Les éventuelles moins-values latentes sont quant à elles,
au moins en partie, constatée via l’inscription dans les comptes d’éventuelles
provisions pour dépréciation durable7 (PDD) (provision ligne à ligne) ou
provision pour risque d’exigibilité8 (PRE).
Enfin, si l’assureur veut éviter des vagues massives de rachats qui peuvent
lui poser des problèmes de liquidité de ses actifs et ne souhaite pas donner designe négatif aux éventuels futurs clients, sa politique de revalorisation ne peut
faire l’économie de la prise en compte des revalorisations accordées par ses
concurrents. Cette nécessité de communication sur les taux de revalorisations’observe également sur les taux futurs au travers d’offres à fenêtre par
exemple. En effet, l’article A132-3 autorise de fixer et de communiquer un taux
minimum de revalorisation pour l’année suivante pouvant s’élever jusqu’à
85 % de la moyenne sur deux ans des taux de rendement de l’actif constatés.
La revalorisation des contrats intervient au 31/12 de chaque année. Lescontrats de l’année sont revalorisés au pro-rata de leur présence au cours del’année.
Concernant les contrats sortis au cours d’une année. Compte-tenu du fait
que le taux de revalorisation n’est calculé qu’en fin d’année, ils sont revalorisésà un taux fixé par l’assureur (supérieur à leur TMG) au prorata de leur présence
sur l’année.
3.1.1.3

Rachats

Le contrat étudié prévoit deux types de rachat :7−

Le rachat total qui permet à l’assuré de se voir verser une somme égale
à sa provision mathématique (PM) diminuée d’une indemnité de 0,3 %par semestre entier restant à courir jusqu’au huitième anniversaire ducontrat. Cette clause respecte les dispositions du code des assurancesqui prévoient, qu’en cas de rachat, la pénalité demandée par l’assureur
ne peut être supérieure à 5 % de la PM.

−

Les retraits, possibles à partir du premier anniversaire, qui permettent
à l’assuré de retirer une partie de son épargne avec les mêmes

. Lorsqu’un titre est durablement en moins-value latente, il est prévu que lescompagnies d’assurance inscrivent, dans leurs comptes sociaux, une PDD pour constater
comptablement cette situation. Il s’agit donc d’une provision ligne à ligne dont lesmodalités pratiques sont notamment régies par l’avis n° 2002-F du 18 décembre 2002 duConseil National de la Comptabilité (CNC).
8. La PRE est une provision globale qui est constituée lorsque une moins-value latente
nette est constatée sur l’ensemble des placements R332-20 (titres non amortissables). Cf.
art. R331-5-1.

66

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

pénalités qu’en cas de rachat total. Un retrait ne peut conduire à ce quel’épargne restante soit inférieure à un certain seuil.
3.1.1.4

Frais

Ce contrat prévoit deux types de frais :−des prélèvements sur encours qui sont effectués chaque fin d’année aumoment de la revalorisation ;−des frais sur les versements effectués lors du paiement de la prime
unique à la souscription.

3.1.2. Identification des risques

L’objet de ce sous-paragraphe est de cartographier l’ensemble des risquesqui influent sur le résultat engendré par ce contrat.
De manière à identifier quels sont les conséquences de tel ou tel risque,nous allons les comparer à ce que nous appellerons dans la suite la situation deréférence.
3.1.2.1

Situation de référence

La situation de référence correspond au cas le plus fréquent : l’assuré
souscrit son contrat et le mène à son terme (ne sort ni pour raison de décès, ni
pour cause de rachat total) dans son intégralité (pas de retrait). Dans le mêmetemps, l’assureur réalise chaque année un taux de rendement financier
comparable à celui du marché qui lui permet de revaloriser les contrats à destaux du même ordre de grandeur que ceux de la concurrence.
Cette situation, qui peut paraître idéale, est la plus probable comme on peutle constater. L’hypothèse sur le décès est la plus vraisemblable compte tenu del’âge moyen des assurés (autour de 50 ans) et de la durée du contrat (8 ans).
Concernant le rachat, qui est étroitement lié aux taux effectifs derevalorisation, il est relativement faible notamment grâce au fait que la durée ducontrat (8 ans) est collée sur une durée fiscale et que les taux de rendement dela société sont comparables à ceux observés sur le marché (la composition del’actif n’est pas atypique et le portefeuille financier recèle des plus-values
latentes pour amortir d’éventuels chocs adverses).
Par rapport à ce scénario de référence, plusieurs alternatives peuvent
survenir :−décès de l’assuré avant le terme ;−rachat partiel ou total du contrat ;− sous-performance financière.
Ces différentes situations sont détaillées ci-après.
3.1.2.2

Décès de l’assuré

En cas de décès de l’assuré avant le terme du contrat, l’assureur verse aux
ayants-droits l’épargne acquise.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques67

Par rapport à la situation standard présentée supra, il prélèvera pas les frais
sur encours futurs. Dans le même temps, il n’aura plus à supporter le risque,essentiellement financier, associé au contrat.
3.1.2.3

Rachat du contrat

La situation du rachat total est semblable, du point de vue de l’assureur, àcelle du décès de l’assuré. La seule différence réside dans la pénalité que va
pouvoir conserver l’assureur.
3.1.2.4

Performance financière

Comme nous le verrons par la suite, la situation la plus défavorable pourl’assureur est celle où il réalise des contre-performances financières.
Contractuellement, s’il ne réalise pas le TMG, il va devoir constater despertes pour revaloriser les contrats et ainsi puiser dans ses fonds propres.
Incidemment cela conduira à détériorer sa marge de solvabilité.
De plus, même si le rendement financier s’avère supérieur au TMG mais
ressort inférieur aux attentes du marché (et des assurés), l’assureur peut choisirde réaliser des pertes pour afficher des taux de revalorisation en ligne avec laconcurrence de manière à endiguer une éventuelle vague de rachats massive età ne pas décourager d’éventuels futurs clients.
3.2. Le portefeuille des assurés
Le portefeuille est constitué de 160 assurés d’âge moyen 55 ans. A la dated’évaluation (31/12/2006), l’épargne moyenne accumulée est de l’ordre de
14 k€. S’agissant de la production de l’année 2006, le terme résiduel moyen est
de l’ordre de 7, 5 ans.
3.3. Modélisation retenue
De manière à être aussi exhaustif que possible avec les différents risques en
jeu, nous avons choisi de modéliser les risques engendrés
3.3.1. Mortalité des assurés

Le risque de mortalité des assurés a été modélisé grâce aux techniques desimulation à partir d’une loi de mortalité nationale.
Compte tenu de la taille du portefeuille, le risque systématique de mortalité(cf. Planchet et Thérond (2007a)) n’a pas été modélisé du fait :−de la difficulté de sa modélisation sur un portefeuille de cette taille,−de son faible impact sur une durée si courte (inférieure à 8 ans anmoyenne) et sur un portefeuille de cette taille.

3.3.2. Rendement financier

C’est le rendement comptable de l’actif général qui a été modélisé
directement. Il est supposé corrélé avec un rendement « de marché » de l’actif
des autres sociétés d’assurance.

68

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Ces deux rendements sont modélisés dans l’univers risque-neutre par desmouvements browniens arithmétiques d’espérance le taux sans risque supposé
constant sur l’horizon de projection.
3.3.3. Rachat de contrats

On dispose d’une loi centrale de rachat fonction de l’ancienneté du contrat.
Cette loi est déformée en fonction des revalorisations accordées à l’épargne desassurés : si cette revalorisation s’éloigne trop de la revalorisation moyenne
accordée par le marché (déduite du rendement de l’actif général du marché), laprobabilité de rachat augmente proportionnellement à l’écart de revalorisation
constaté.
3.4. Analyse des résultats
Chaque simulation a donné lieu à un engagement obtenu comme étant lavaleur des prestations futures actualisées au taux sans risque.
L’ensemble de ces valeurs permet de tracer une distribution empirique de lavaleur actuelle des prestations futures.
Figure 11 - Densité empirique de la valeur actuelle des prestations futures
12%

10%

8%

6%

4%

2%

2 477

2 461

2 445

2 429

2 413

2 398

2 382

2 366

2 350

2 334

2 319

2 303

2 287

2 271

2 255

2 239

2 224

2 208

2 192

2 176

2 160

2 144

2 129

2 113

2 097

2 081

0%

Si l’on mesure le risque associé à cette distribution empirique grâce à lavariance (cf. le Chapitre 1 pour une présentation des différentes mesures derisque usuelles en assurance), une décomposition de variance nous permet dedécomposer le risque global entre risque financier et risque non-financier. Pource contrat et ce portefeuille, le risque financier représente 99 % du risqueglobal. Comme les référentiels IFRS, Solvabilité 2 et d’EEV prévoient devaloriser les risques financiers à leur prix de marché ou de manière équivalente
au prix de leur portefeuille de réplication, il est naturel de s’intéresser à ladistribution de la valeur actuelle des prestations futures lorsque le risquefinancier est couvert. Il s’agit en fait de reproduire, dans notre situation, ladémarche utilisée par Frantz, Chenut et Walhin (2003) dans le cas des contrats

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques69

en unités de compte (cf. le paragraphe 3 du Chapitre 1). La distribution ainsi
obtenue est représentée par sa densité empirique dans la Figure 12
Figure 12 - Densité empirique des prestations futures actualisées
25%

20%

15%

10%

5%

21
8,
3
2
21
8,
5
2
21
8,
8
2
21
9,
1
2
21
9,
3
2
21
9,
6
2
21
9,
8
2
22
0,
1
2
22
0,
4
2
22
0,
6
2
22
0,
9
2
22
1,
1
2
22
1,
4
2
22
1,
7

2

2

2

21
7,
8
21
8,
0

0%

Comme annoncé précédemment, on remarque que, même sur unportefeuille de taille aussi restreinte, le risque non-financier, et en particulier lerisque de mortalité et la partie structurelle du risque de rachat, ont un très faible
impact sur la variabilité de l’engagement.
3.5. Conclusion
Compte tenu de la part non-significative de la part du risque non-financier
dans l’engagement de l’assureur, on peut considérer que la valorisation de cetype de contrat peut s’épargner la simulation des fluctuations d’échantillonnagede risques tels que la mortalité. Ces risques doivent néanmoins être pris encompte, en moyenne, via leur probabilité de survenance.
De manière opérationnelle, cette conclusion est intéressante dans la mesureoù la mortalité des assurés augmente considérablement les temps de simulation.
Il n’est en revanche pas sûr que l’on tire les mêmes conclusions pour descontrats de prévoyance à prime périodique disposant d’une composanteépargne. Pour de tels contrats, des garanties d’exonération des primes prévoientqu’en cas d’incapacité temporaire, l’assureur verse les primes périodiques à laplace de l’assuré. Dans de tels cas, les fluctuations d’échantillonnage, du risquearrêt de travail par exemple, peuvent conduire à une variabilité accrue del’engagement de l’assureur.

70

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Bibliographie
Bühlmann H., Straub E. (1970) « Glaubwürdigkeit für Schadensätze », MitteilungenderVereinigung
Schweizerischer
Versicherungsmathematiker 70.
Bühlmann H., Gisler A. (2005) A course in credibility theory, Berlin : Springer.
Frantz C., Chenut X., Walhin J.F. (2003) « Pricing and capital allocation for
unit-linked life insurance contracts with minimum death guarantee »,Proceedings of the 13th AFIR Colloquium, Maastricht.
Hardy M.R., Panjer H.H. (1998) « A credibility approach to mortality risk »,ASTIN Bulletin 28 (2), 269-83.
Planchet F., Thérond P.E. (2004b) « Les principes de valorisation desengagements sociaux », Revue fiduciaire comptable, n° 310, 18-25.
Planchet F., Thérond P.E. (2006) Modèles de durée. Applications actuarielles,
Paris : Economica.
Planchet F., Thérond P.E. (2007a) Pilotage technique d’un régime de rentes
viagères, Paris : Economica.
Planchet F., Thérond P.E., Jacquemin J. (2005) Modèles financiers en
assurance. Analyses de risque dynamiques, Paris : Economica.
Thérond P.E. (2003) Impact des futures normes IFRS sur la tarification et leprovisionnement des contrats d'assurance vie : mise en oeuvre deméthodes par simulation, Mémoire d'actuariat, ISFA.
Thérond P.E. (2005) « Contrôle de la solvabilité des compagnies d'assurance :évolutions récentes », Séminaire Gestion des risques et assurance, Hanoï,28 février 2005.
Thérond P.E., Girier G. (2005) « Solvabilité 2 en construction », L’Argus del’assurance, Hors-série de décembre.

Chapitre 3
Incidence sur la gestion techniqued’un assureur

Jusqu’alors dans le dispositif prudentiel français et, plus largement, dans denombreux dispositifs européens, la solvabilité des sociétés d’assurance est
assurée par une série de provisions1 au passif, des contraintes sur les supports
admissibles pour les placements à l’actif et la marge de solvabilité. En effet, lesplacements sont soumis à diverses règles prudentielles ayant pour but d’assurer
leur sécurité. En particulier, leur répartition géographique et entre lesdifférentes classes d’actifs, leur dispersion et leur congruence (cohérence de lamonnaie dans laquelle ils sont libellés avec celle dans laquelle seront payées lesprestations) répondent à des règles strictes2. Ce mode de fonctionnement a pourconséquence directe que les problématiques de détermination des fonds
propres, d’une part, et d’allocation d’actifs, d’autre part, sont distinctes. En
effet, dans la cadre de la réglementation européenne actuelle, le niveau minimaldes fonds propres (l’exigence de marge de solvabilité) dont doit disposer unassureur dépend uniquement3 du niveau des provisions techniques en assurancevie et du niveau des prestations et des primes en assurance non-vie.
Le projet Solvabilité 2 en cours d’élaboration modifie profondément ces
règles en introduisant comme critère explicite de détermination du niveau desfonds propres le contrôle du risque global supporté par la société. Ce risquedevra notamment être quantifié au travers de la probabilité de ruine. Ainsi, ladétermination de l’allocation d’actifs se trouve de fait intégrée dans ladémarche de fixation du niveau des fonds propres, la structure de l’actif
impactant directement la solvabilité de l’assureur.
Un certain nombre de travaux s’attachent à définir des approches standards
pour la détermination du capital de solvabilité (cf. AAI (2004), Djehiche et
Hörfelt (2004) et la formule publiée par le CEIOPS dans le cadre de l’étude
d’impact quantitatif QIS 34). Dans ces approches la structure de l’actif est une
donnée et les auteurs s’attachent à déterminer le niveau minimal de capital qui
contrôle le risque global de la société.
Nous proposons ici un point de vue alternatif dans lequel les interactions
entre le niveau du capital cible requis et l’allocation sont explicitement prises
en compte et où l’on cherche à déterminer directement un couple capital /allocation d’actifs. La motivation de cette approche est qu’il nous apparaît
1. Cf. art. R331-6 du Code des assurances.
. Cf. art. R332-1 et suiv. du Code des assurances.
3. Le calcul de l’exigence de marge de solvabilité intègre également la réassurance dessociétés.
4. Cf. l’annexe.
2

72

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

préférable dans ce nouveau contexte de déterminer de manière conjointe leniveau du capital et la manière d’allouer ce dernier, du fait des fortes
interactions que Solvabilité 2 induit à ce niveau.
Pour cela nous allons utiliser le critère de maximisation des fonds propreséconomiques (MFPE) initialement élaboré dans des problématiquesd’assurance vie dans Planchet et Thérond (2004b). Ce critère revient àdéterminer le couple capital / allocation d’actifs qui maximise la valeur initiale
de la firme (exprimée en pourcentage des fonds propres réglementaires) lorsquecelle-ci est mesurée sous l’opérateur espérance. Ce critère permet d’obtenir une
allocation dont la détermination ne dépend pas d’un critère subjectif tel que leniveau de la probabilité de ruine. L’allocation déterminée est ensuite confrontée
ex post à de tels indicateurs de manière à la calibrer et à valider son respect descontraintes réglementaires.
Après avoir présenté un modèle simplifié de société d’assurance sur laquelle
nous allons travailler, nous reprenons la définition d’allocation optimale au sens
du critère de MFPE et l’explicitons, en particulier, d’abord dans le cadre de laréglementation française puis d’un référentiel de type Solvabilité 2.
Nous illustrons ensuite la mise en œuvre de ce critère dans le cas d’unesociété d’assurance couvrant deux types de risques dépendants et devant
composer son portefeuille financier parmi un actif risqué (dont le rendement est
modélisé par un processus de Lévy simple) et un actif sans risque. Provisions
techniques et niveaux de fonds propres minimaux sont déterminés dans lesdeux référentiels prudentiels ; puis le critère de MFPE conduit à une allocationd’actifs dans le cadre de la réglementation française et un couple capital cible /allocation d’actifs dans le référentiel de type Solvabilité 2.
Ce chapitre s’appuie sur Planchet et Thérond (2005a) et (2007b).
1. Modélisation de la société d’assurance
Une société couvre sur une période5 n risques qui engendreront sur cettepériode les montants de sinistres S1, … , Sn où Si correspond à la charge desinistres de l’ensemble des polices de la branche i dont la fonction derépartition sera notée Fi . Cette modélisation n’est pas restrictive dans lamesure où la variable aléatoire (v.a.) Si peut représenter les prestations
effectivement versées sur la période ou leur valeur actualisée en fin de période.
Nous ferons l’hypothèse que le versement des prestations a lieu en fin depériode. Nous supposerons également que l’assureur ne souscrit pas de nouveau
contrat en cours de période et que toutes les survenances de sinistres sontconnues en fin de période.
En début de période, conformément à la réglementation, l’assureur a doté
ses provisions techniques d’un montant L0 . Parallèlement l’assureur disposed’un niveau de fonds propres E0 qui doit être supérieur au niveau minimum de

5. Les documents de travail de la Commission européenne privilégient une approchemono-périodique pour l’appréciation de la solvabilité.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

73

fonds propres réglementaires E0R . Nous supposerons que l’assureur place lemontant

E0 + L0

proportions

6

dans m actifs financiersA = ( A1, … , Am )avec lesω = (ω1, … , ωm ) . Pour simplifier les notations, nous poserons,sans perte de généralité, pour tout j ∈ {1, … , m} , A j = 1 etm

ω j = 1 . Nous∑j =1

noterons Ω l’ensemble des choix de portefeuille admissibles au regard de laréglementation.
Dans le cadre de la législation française actuelle, le calcul de L0 et E0R

dépend uniquement7 de S = (S1, … , Sn ) , alors que sous un référentiel du typeSolvabilité 2, E0R est également fonction de ω, A1, … , Am .
En fin de période, l’assureur doit payer le montant de prestations
S=

n

m

Si . Il dispose comme ressource de (L0 + E0 ) ∑ ω j A j . Dans la suite,
∑
i =1
j =1

nous ferons l’hypothèse que les vecteurs aléatoires S et A sont indépendants.
Dans la suite Φ désignera la fonction de répartition de la loi normale
centrée réduite N ( 0;1) .
2. Critère de maximisation des fonds propreséconomiques
Après avoir introduit de manière générale le critère de maximisation desfonds propres économiques, nous étudions sa mise en œuvre dans le cadre de laréglementation française actuelle d’une part, puis d’un référentiel de typeSolvabilité 2 d’autre part.
2.1. Présentation générale
En espérance, l’assureur devra débourser E  S  = E

n

∑
i =1

Si =

n

∑ E  Si  en
i =1

fin de période. Par ailleurs et à la même date, ses ressources seront constituéespar ses provisions techniques, ses fonds propres et les produits financiers qu’ils
ont engendrés, soit (L0 + E0 )m

ω j A j . En espérance, l’actif de l’assureur en∑
j =1

fin de période atteindra donc le montant :6. On suppose donc implicitement que les règles de placement sont identiques pour lesactifs en représentation des provisions techniques et pour les actifs associés aux fonds
propres.
7. Sous réserve de l’utilisation d’un principe de primes ne dépendant que des lois des Si .

74

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérondmm

E ( L0 + E0 ) ω j A j  = ( L0 + E0 ) ω j E  A j  .
 


j =1
j =1



∑

∑

−1

n
m
ω
Dans la suite nous noterons Λ 0 = S 
ω A  la chargej =1 j j 
 i =1 i 
des prestations actualisée au taux de rendement du portefeuille financier et

∑

∑

ω
ω
Σω
0 = (L0 + E0 ) − Λ0 . La variable aléatoire Σ0 peut s’interpréter comme lavaleur (aléatoire) du surplus au terme actualisée au taux de rendement del’actif.
Définition 15. Fonds propres et provisions économiques
Nous appellerons « fonds propres économiques » l’espérance de ce surplusω
actualisé E  Σω
0  = E  E0 + L0 − Λ 0  et « provision économique » laquantité E  Λ ω
0 .
Pour tout ω ∈ Ω , placer en début de période la quantité E  Λ ω
0  selonl’allocation ω permet d’être, en espérance, capable de payer les prestations en
fin de période. En effet, la fonction inverse étant convexe sur ]0;+∞[ ,l’inégalité de Jensen assure que pour toute variable aléatoire X à valeurs−1strictement positives, E  X −1  > ( E[ X ]) et donc
m

 n 
 × E ω A  ≥ E S  ,E  Λ ωi 0 
 j =1 j j  i =1 



∑

∑

puisque A et S ont été supposés indépendants.
Aussi les fonds propres économiques E  Σω
0  peuvent s’interpréter comme

une valorisation, sous l’opérateur espérance, de la compagnie en 0. L’assureur
peut rechercher à maximiser cette valorisation en référence aux capitaux de lasociété par le biais de son allocation d’actifs, i. e. à choisir le portefeuille ω qui
maximise la quantitéφ( ω ) =E  Σω0E0,

i. e. le rapport entre la « valeur économique » de la société et ses fonds propres
comptables.
Dans la suite, on dira qu’une allocation ω* est optimale au sens du critèrede maximisation des fonds propres économiques (MFPE) si ω* est solution duprogramme d’optimisation sup {φ( ω )} .
ω∈ΩNouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques75

On note que l’ensemble des solutions ω* de sup {φ( ω )} coïncide avec
ω∈Ωl’ensemble des solutions du programme supω∈Ω{( L − E Λ  ) E } . Le terme
0

ω
0

0

E0−1 ne peut quant à lui être éliminé puisque l’assureur doit disposer d’unniveau de fonds propres E0 ≥ E0R et que E0R peut dépendre de ω (ce sera
notamment le cas dans le référentiel de type Solvabilité 2 présenté infra).
On démontre de manière immédiate que si les variables aléatoires




∑

ω A 
j =1 j j 

m

−1

n

Si et
∑
i =1

sont indépendantes, ω* est optimale au sens du critère

MFPE si, et seulement si, ω* est solution du programme d’optimisation :−1   n   m
  
 −1  .

sup  E0  L0 − E  Si  E
ω j Aj   
 i =1   j =1
ω∈Ω 









∑

∑

Dans la suite, on supposera que l’assureur dispose du niveau minimal defonds propres réglementaires et donc que E0 = E0R .
2.2. Mise en œuvre dans le cadre réglementaire français
La réglementation française impose d’évaluer les provisions techniques
branche par branche. Elle précise8 que ces provisions correspondent à la
« valeur estimative des dépenses (…) nécessaires au règlement de tous lessinistres survenus et non payés ». Aussi le montant à provisionner en début depériode au titre de la branche i sera l’espérance de Si . Par ailleurs l’escompte
des provisions est prohibé9 de sorte que l’on a ∀i ∈ {1, … , n} , Li0 = E  Si  et
L0 =

n

i
L0 .
∑
i =1

Dans le cadre de la réglementation actuellement en vigueur, E0R est appelé« exigence de marge de solvabilité10 » et est indépendant de ω, A1, … , Am . En
effet, le niveau de l’exigence de marge de solvabilité est uniquement fonction
des sinistres passés et des primes encaissées11 : l’assureur calcule donc
séparément l’exigence de marge selon les méthodes à partir des primes d’une
8. Cf. art. R331-6 du Code des assurances.
. À l’exception de branches à très long développement telles que l’assurance
responsabilité civile en assurance construction par exemple.
10. Cf. art. L334-1 du Code des assurances.
11. Cf. Directive européenne 2002/13/CE.
9

76

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

part et des sinistres d’autre part, puis retient la plus grande des deux valeurs.
Nous supposerons ici que l’exigence de marge de solvabilité est calculée àpartir des primes. En l’absence de réassurance, la méthode à partir des primes
consiste à retenir le montant
18% × min {Π S , 50 M€} + 16% × max {Π S − 50 M€ , 0} ,où Π S désigne le montant total des primes commerciales encaissées. Dans lasuite, nous supposerons ainsi queR
E0 = 18% × (1 + γ ) E  S  ,où γ est le taux de chargement des primes, que nous supposerons commun à
toutes les branches.
Dans ce contexte, le passif de la société n’intègre ni la dépendance qui peut
exister entre les branches, ni les risques liés aux placements et, a fortiori, lesrisques actif-passif. L’indépendance de E0R par rapport à ω, A1, … , Am permetd’établir trivialement que, dans le cadre réglementaire français, une allocation
ω* est optimale au sens du critère de maximisation des fonds propreséconomiques si ω* est solution du programme d’optimisation :
−1
 m
 


inf E 
ω j Aj   .
ω∈Ω j =1 ∑Dans ce modèle mono-périodique et en appliquant la réglementation
actuelle en vigueur, l’allocation optimale au sens du critère de MFPE ne dépend
donc que des caractéristiques des placements financiers. Rappelons que
lorsqu’il est mis en oeuvre dans un modèle multi-périodique tel que dans le casd’un régime de rentiers (cf. Planchet et Thérond (2004b)), la structure du passif
est intégrée par le biais du profil espéré des flux futurs. Le problèmed’optimisation à résoudre s’écrit alors
−1 
 α 
 m
 
 

inf E  E  Flux ( k )   ω j A j (k )   ,ω∈Ω k =1  j =1
 
 


∑

∑

qui est une généralisation naturelle du critère présenté supra.
Dans la situation traitée ici, le fait que le critère de MFPE ne dépende quede l’actif est donc la conséquence d’une part du fait que la marge de solvabilité
ne dépend pas de ω, et d’autre part que le modèle considéré est monopériodique.
2.3. Mise en œuvre dans le référentiel Solvabilité 2
Le projet Solvabilité 2 vise à introduire des outils de gestion de lasolvabilité globale de la société d’assurance. En termes quantitatifs, il s’agira
essentiellement :Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques−77

de déterminer, pour chaque branche, un niveau de provisions
techniques qui intègre la dangerosité du risque appréciée par une
mesure de risque ;−de déterminer un niveau de « capital cible » qui contrôle, avec une
forte probabilité, tous les risques supportés par la société sur unhorizon fixé.
Dans la suite, nous supposerons que pour chaque branche, l’assureur doit
provisionner, en début de période, le montant qui lui permet de faire face à ses
engagements de payer en fin de période les prestations engendrées par cettebranche dans 75 % des cas. Cela revient à provisionner, pour chaque branche i,la Value-at-Risk (VaR) à 75 % du risque Si escomptée au taux d’intérêt sansrisque sur la période r. Nous supposerons, sans perte de généralité, que lapériode est de durée 1.
On rappelle que la Value-at-Risk (VaR) de niveau α associée au risque X est{}

donnée par VaR ( X , α ) = inf x Pr [ X ≤ x ] ≥ α .
Pour chaque branche i, on aura donc :Li0 = VaR ( Si , 75% ) e − r .

Par ailleurs, nous supposerons que le « capital cible » E0R est déterminé detelle manière que l’entreprise soit capable, en fin de période, de faire face à ses
engagements envers ses assurés avec une probabilité de 99,5 %. Formellementcela signifie que E0R est le plus petit montant qui remplit la condition :Pr  L0 + E0R



(



) ∑ ω A ≥ ∑ S  ≥ 0, 995 .
m

j =1

n

j

j

i =1

i



Donc E0R + L0 est la VaR à 99,5 % de Λω0 . Le niveau du capital cible est
donc égal à :


 ω n

−r
R
E0 = inf  E0 ≥ 0 Pr  Λ 0 −
VaR ( Si , 75% ) e ≤ E0  ≥ 0, 995 .


i =1



∑

Cette expression nous permet d’observer qu’à la différence de la marge desolvabilité, le capital cible est fonction de la dépendance stochastique entre lesdifférentes branches et des risques liés aux placements financiers.
3. Recherche de l’allocation optimale
Dans cette partie, nous allons mettre en œuvre le critère de MFPE dans lecas d’une société d’assurance qui couvre deux risques S1 et S2 et qui doit
composer son portefeuille financier parmi deux actifs A1 et A2 .

78

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Après avoir comparé les bilans obtenus dans les deux systèmes prudentiels,
nous comparons les allocations obtenues par le critère de MFPE et leursensibilité à l’évolution de différents paramètres.
3.1. Modélisation des risques
La compagnie supporte deux types de risque : les risques de passif liés à lasinistralité engendrée par son portefeuille de contrats d’assurance et les risquesde placements. Par nature ces deux types de risques sont différents aussi biendans la manière dont ils affectent l’assureur que dans le pilotage qui peut êtremis en œuvre pour les contrôler. Ainsi, à la différence des risques de sinistres,
les risques de placements ne se mutualisent pas mais l’assureur peut lescontrôler par sa politique d’investissement.
3.1.1. Risques des sinistres

Nous supposerons que les deux risques S1 et S 2 couverts par la sociétéd’assurance sont distribués selon des lois log-normales LN ( µ1 , σ1 ) et
LN ( µ 2 , σ 2 ) . Notons Cα la copule de Franck qui sera supposée modéliser ladépendance entre ces deux risques. Le théorème de Sklar (cf. Chapitre 5 pourune présentation de la théorie des copules) nous indique que la loi du couple(S1, S2 ) peut s’écrire, de manière unique,Pr [ S1 ≤ s1 , S2 ≤ s2 ] = Cα ( F1 ( s1 ) , F2 ( s2 ) ) ,où :−F1 et F2 , les fonctions de répartition respectivement de S1 et S2 ,
 s − µi sont telles que Pr [ ln Si ≤ s ] = Φ  pour i ∈ {1;2} , σi 

−− α u1− 1)( e − α u2 − 1) 
1  ( eCα ( u1 , u2 ) = − ln 1 +.
α 
e−α − 1

La copule de Franck permet de disposer d’une structure de dépendance qui
permet, selon la valeur de α , de modéliser des risques indépendants ( α → 0 ),avec une dépendance négative ( α → −∞ conduit à la copule de la borne
inférieure de Fréchet) ou avec une dépendance positive ( α → +∞ conduit à lacopule de la borne supérieure de Fréchet). La structure de dépendance induite
par cette copule est illustrée par le graphe suivant.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

79

Figure 13 - Densité de la copule de Franck de paramètre 1

1,7

1,5

1,3

1,1

0,9

1,0
0,7

0,8
0,6
u2

0,4

0,5
0,2
0,0

0,2

0,0

0,4

0,6

0,8

1,0

u1

Pour les applications numériques, nous utiliserons les paramètres
suivants12 :µ1 = 5, 0099 σ1 = 0, 0377
µ 2 = 3,8421 σ 2 = 0, 3740

α =1
γ = 0,15

Notons que α = 1 correspond à des risques dont la dépendance est positive.
Comme il n’est pas possible d’expliciter par une formule directement
utilisable la loi d’une somme de v.a. log-normales, nous utiliserons lestechniques de Monte Carlo pour obtenir la fonction de répartition empirique decette somme. Cependant, en pratique, il apparaît souvent souhaitable dediminuer le nombre de variables à simuler, dès lors il peut être intéressantd’utiliser des approximations de leur loi. Par exemple, Dhaene et al. (2004b)
proposent d’approximer S par la comonotonic upper bound S c de S définie
par
Sc =

∑ exp{µi + σi Φ−1 (U )} ,2

i =1

où U est une v.a. de loi uniforme sur [0;1] .
12. Les paramètres sont en fait choisis pour que l’espérance de la charge sinistre pour lerisque n° 1 soit égale à 150 et à 50 pour le risque n° 2.

80

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Cette approximation permet notamment de disposer de formules fermées
pour calculer des Value-at-Risk ou encore des Tail-VaR. Son utilisation
requiert néanmoins de mesurer l’erreur d’approximation commise. Ce point ne
sera pas développé plus avant dans le présent travail.
Le graphique suivant présente la distribution de la charge totale de sinistresobtenue pour cette modélisation du passif avec les paramètres indiqués supra.
Figure 14 - Distribution de la charge totale de sinistres100%

VaR à 75%

Somme des VaR à 75% desdeux branches

75%

Espérance
50%

25%

0%
150

170

190

210

230

250

270

290

On remarque en particulier que la somme des VaR à 75 % est supérieure à
la VaR à 75 % de la somme des risques bien que la dépendance entre lesrisques soit positive. On rappelle en effet que la Value-at-Risk n’est pas une
mesure de risque cohérente au sens de Artzner et al. (1999) car elle n’est pas
sous-additive (cf. le Chapitre 1 pour un contre-exemple).
3.1.2. Risques des placements

Nous supposerons que l’assureur doive composer son portefeuille financier
parmi deux actifs A1 et A2 . Pour fixer les idées, nous supposerons que A1 est
une actif risqué et A2 un bon de capitalisation. Nous supposerons que le cours
de l’actif risqué suit le modèle de Merton, et est donc un processus à saut défini
par
Nt

σ2 

A1 (t ) = exp  µ −  t + σ Bt + ∑ U k  ,
2 

k =1


où :
−
−
−

B = (Bt )(t ≥ 0 ) est un mouvement brownien,

N = ( Nt )(t ≥ 0 ) est un processus de Poisson d’intensité λ ,

U = (U k )(k ≥1) est une suite de variables aléatoires indépendantes

identiquement distribuées de loi une loi normale N ( 0, σu ) ,Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques81− les processus B, N et U sont mutuellement indépendants.
Les sauts sont ici, dans un souci de simplicité, supposés symétriques et en
moyenne nuls ; des modèles plus élaborés à sauts dissymétriques peuventégalement être proposés (cf. Ramezani et Zeng (1998)).
Notons Ψ t la tribu engendrée par les Bs , N s pour s ≤ t et U k 1 k ≤ N

{

t

}

pour j ≥ 1 ; B est un mouvement brownien standard par rapport à la filtration
Ψ , N est un processus adapté à cette même filtration. De plus pour tout t > s ,Nt − N s est indépendant de la tribu Ψ s .
Proposition 3. Distribution de A1(t)Pour tout x > 0 ,Pr  A1 (t ) ≤ x  =)(

 ln x − µ − σ 2 2 t n − λt ( λt )
Φ
e
.

2
2
n
!
+
n
σ
t
σ
n=0 

u

+∞

∑

Démonstration : Soit x > 0 , on a : NtPr  A1 (t ) ≤ x  = Pr  U k + µ − σ 2 2 t + σBt ≤ ln x  k =1



+∞
 Nt

2
=
Pr  U k + µ − σ 2 t + σBt ≤ ln x, Nt = n  k =1

n =0


+∞
 n

=
Pr  U k + µ − σ 2 2 t + σBt ≤ ln x  Pr  Nt = n  , k =1

n =0

)

(

∑

∑

∑

(

)

∑

∑

(

)

puisque les processus N, B et U sont mutuellement indépendants. Par ailleurs,nles processus∑ U k et σBt étant indépendants et gaussiens, leur somme est

k =1

n

∑ U k + σBt ~ N  0; nσu2 + tσ2  . Enfin comme N estégalement gaussienne :k =1

un processus de Poisson d’intensité λ , pour tout t > 0 , la v. a. Nt est
distribuéeselon

Pr  Nt = n  = e− λt

une

loi

de

Poissondeparamètre

λt

et

donc

( λt ) . nn!

Lorsque λ = 0 (cas de l’absence de sauts) on retrouve la loi log-normale
usuelle du brownien géométrique. Dans le cas général, l’expression de la
Proposition 4 permet d’approcher la distribution de l’actif en ne conservant
qu’un nombre fini de termes dans la somme.

82

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Par ailleurs, nous supposerons qu’à la date t, le bon de capitalisation A2
rtvaut A2(t) = e où r est le taux d’intérêt sans risque, supposé constant sur lapériode étudiée, utilisé pour escompter les provisions dans le paragraphe 2.3.
Pour les applications numériques, nous utiliserons les paramètres suivants.
µ = 0, 6
λ = 0, 5

σ = 0,15
σu = 0, 2

r = 0, 344

Les sauts seront donc d’espérance nulle et, en moyenne, il en surviendra un
toutes les deux périodes. Par ailleurs le taux sans risque r a été pris de manièreà ce que le taux d’escompte discret soit de 3,5 %.
Enfin nous ferons l’hypothèse que Ω = [0;1] × [0;1] , ce qui signifie que lesventes à découvert sont interdites à l’assureur.

3.2. MFPE dans la réglementation française
Dans un premier temps, nous allons nous intéresser à ce qui se passe dans laréglementation française dans laquelle le niveau minimal de fonds propres nedépend pas du choix de portefeuille et donc dans laquelle le problèmed’optimisation n’intègre pas, lorsque l’on ne considère qu’une période, lavariabilité des flux de sinistres.
3.2.1. Bilan initial

Dans le cadre de la réglementation française, l’assureur va doter ses
provisions techniques en début de période du montant L0 = E  S1  + E  S2  .
Le montant de ses fonds propres E0 sera supposé être égal à la marge desolvabilité E0R soit : E0R = 18% × (1 + γ ) E ( S1 + S2 ) . Avec les modélisations desinistres retenues supra, le passif de l’assureur est donc déterminé par
2
2



σ 
σ 
 L0 = exp  µ1 + 1  + exp  µ 2 + 2 
2 
2 




2
2



σ1 
σ2  
R
 E0 = E0 = 0,18 (1 + γ )  exp  µ1 + 2  + exp  µ 2 + 2   .


Avec les paramètres sélectionnés, le bilan en 0 de la société est résumé dansle tableau infra.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

83

Tableau 3 - Bilan initial dans la réglementation française actuelle
BILAN(réglementation française)
E0 = 41,4
E0 + L0 = 241,4

L10 = 150
L20 = 50

3.2.2. Allocation optimale

Dans le cadre de la réglementation française, on a vu que l’allocation
ω = (ω1,1 − ω1 ) est optimale au sens du critère de MFPE si ω1 est solution duinf E ( ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 )  . La propositionω∈Ω
suivante donne la condition nécessaire et suffisante pour que ce programmed’optimisation ait une solution non triviale13.
−1

programme d’optimisation

Proposition 4.

Unicité de la solution du critère MFPE

−1
Le programme inf E ( ω A1 + (1 − ω) A2 )  admet une unique solution ω*ω∈[ 0;1])(

non triviale ω* ∈ ]0;1[ si, et seulement si,
r < µ < r + 2σ 2 + λ  exp( σ u2 ) − exp( σ u2 2 )  .

Ce résultat est démontré en annexe.

On peut vérifier que les paramètres (r, µ, σ, σu, λ ) choisis en 3.1.2 sont tels
qu’il existe une solution non triviale :r < µ < r + 2σ 2 + λ  exp( σ u2 ) − exp( σ u2 2 )  .

0,03440,06

0,0897

Cette proposition permet d’établir que si µ < r , l’assureur consacrera
l’intégralité de son portefeuille financier au bon de capitalisation. En revanche()

si µ > r + 2σ 2 + λ exp{σ u2 } − exp{σ u2 2} , provisions techniques et fonds
propres seront exclusivement investis dans l’actif risqué.
Le graphique suivant présente l’évolution−1
E ( ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 )  en fonction de ω1 .



13

de

la

quantité. L’expression analytique du minimum est en revanche délicate à obtenir et les calculs
numériques seront menés par des techniques de simulation.

84

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 15 - Provision économique exprimée en pourcentage de la provision
réglementaire en fonction de ω1
97,5%

97,0%

96,5%

96,0%

95,5%
0%

20%

40%

60%

80%

100%

Cette fonction a un minimum non trivial pour ω1 = 0,391 . La société
maximisera donc ses fonds propres économiques si elle place son actif initialpour 39,1 % en actions.
3.2.3. Probabilité de ruine

Afin de mesurer le niveau de prudence associé à l’allocation fournie par lecritère de MFPE, il est naturel de déterminer la probabilité de ruine qui lui est
associée. Aussi nous allons nous intéresser à la probabilité que l’assureur nepuisse payer les prestations en fin de période. Nous supposerons que la société
 m
est en faillite en fin de période si Sˆ > (E0 + L0 ) ω j Aj  .
 j =1∑À chaque allocation ω , il est possible d’associer le niveau de probabilité deruine π (ω) défini parm
π (ω) = Pr  S > ( E0 + L0 ) ∑ ω j Aj  .
j =1



L’expression analytique de π (ω) est complexe, mais cette grandeur peutêtre aisément approchée numériquement par des techniques de simulation. Le
graphique suivant reprend l’évolution de la probabilité de ruine en fonction dela part d’actifs investie en actions.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

85

Figure 16 - Probabilité de ruine en fonction de ω1
14%
12%
10%
8%
6%
4%
2%
0%
0%

20%

40%

60%

80%

100%

Avec un niveau de fonds propres initial égal à la marge de solvabilité, laprobabilité de ruine de l’assureur en fin de période est minimale (2,4 %)lorsqu’il a placé ses provisions et ses fonds propres pour 4,3 % en actions.
L’allocation optimale au sens du critère de MFPE (39,1 %) correspond quant àelle à une probabilité de ruine de l’ordre de 3,9 %.
3.3. MFPE dans un référentiel du type Solvabilité 2
Dans la cadre d’un référentiel de type Solvabilité 2, comme le niveau
minimal de fonds propres dépend de l’allocation d’actifs, la mise en œuvre ducritère MFPE passe, dans un premier temps, par la mise en lumière de larelation liant l’allocation et le capital cible ; puis par la détermination du couple
capital cible / allocation qui maximise le rapport entre les fonds propreséconomiques et le capital cible.
3.3.1. Bilan initial ln x − µ i Comme Si ~ LN ( µ i , σi ) , Pr [ Si ≤ x ] = Φ  et donc σi
VaR ( Si , 75% ) = exp {µ i + σ i Φ −1 ( 0, 75 )} .

Ce qui nous permet au passage de vérifier que si les charges sinistres sontdistribuées selon des lois log-normales, l’utilisation de la VaR pour déterminer
le niveau des provisions est cohérente avec une approche market value margin(telle qu’évoquée dans le DSOP) qui consisterait à prendre
exp {σ i Φ −1 ( p ) − σ i2 2} − 1 comme coefficient de majoration de l’espérance. En
effet, la log-normalité de la charge sinistres permet d’exprimer, par le biais
d’un coefficient ne dépendant que de σi , la VaR en fonction de l’espérance
puisque

86

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond()

VaR ( Si , p ) = 1 + exp {σ i Φ −1 ( p ) − σi2 2} − 1 E [ Si ] .
2

L0 = ∑ VaR ( Si , 75% ) e − r , le niveau total des provisions

Comme

i =1

techniques est donné par
L0 =∑ exp {µi − r + σi Φ−1 ( 0, 75)} = 148, 55 + 57, 97 = 206, 52 .
2

i =1

On peut noter que la faible variabilité du risque S1 conduit, dans ce
référentiel, à un niveau de provisions pour ce risque (148,55) inférieur à celui
obtenu dans la réglementation française actuelle (150). La situation est inverse
pour le risque S2 . Au global, le changement de référentiel prudentiel conduit àaugmenter les provisions techniques de 3,26 %.
Rappelons que le niveau du capital cible E0R dépend des risques de passif
comme des risques de placement puisqu’il est solution du programmed’optimisation{}

inf E0 ≥ 0 Pr  Λ 0 ≤ E0 + L0  ≥ 99, 5% ,ωqui admet une unique solution car la distribution sous-jacente est absolument
continue. Ce programme peut se réécrireS + S2 
inf  E0 ≥ 0 Pr  ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 ≤ 1
 ≤ 0, 5%  .
E0 + L0 

Comme nous avons supposé que l’évolution des actifs est indépendante dela sinistralité, on aPr  ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 ≤



S1 + S 2 s = ∫ Pr  ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 ≤
 f S ( s ) ds ,E0 + L0 
E0 + L0 où f S désigne la densité de la v. a. S = S1 + S2 . On a démontré supra que

(

2


 +∞  ln ρ ( s ) − µ − σ 2sPr ω1 A1 + (1 − ω1 ) A2 ≤Φ
=
E0 + L0  n = 0 nσu2 + σ 2∑où ρ ( s ) =

1 
s
r
− (1 − ω1 )e  .

ω1  E0 + L0())  e λ ,



−λ

n

n!

 ln ρ ( s ) − µ − σ 2 2 k −λ λCommeΦef ( s ) ds n’est pas simple àk! S
nσu2 + σ 2
n=0 



calculer, nous avons choisi de résoudre numériquement ce programmed’optimisation en simulant des réalisations de S = S1 + S2 puis en estimant+∞∫∑Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques87

ωà
partirdelamoyenneempiriquedesPr  Λ 0 ≤ E0 + L0  ln ρ ( s ) − µ − σ 2 2 n+∞k −λ λwpk =e
où sk désigne une réalisation de la
Φ

2
2
n
!
+
n
σ
σ
n=0 

u


)

(

∑

variable aléatoire S . La méthode d’obtention des réalisations de S est décriteen annexe de ce chapitre.
En pratique nous avons développé la somme jusqu’à n = 7 bien que lecinquième terme de la suite soit déjà négligeable devant la somme desprécédents. Cette méthode nous permet d’obtenir la courbe suivante qui
représente le niveau du capital cible en fonction de l’allocation stratégiqueω = (ω1,1 − ω1 ) .
Figure 17 - Capital cible en fonction de la part investie en actions ω1
170
150
130
110
90
70
50
0%

20%

40%

60%

80%

100%

Cette fonction a un minimum non trivial pour ω1 = 6,1% avec un capital
cible de 60,71. Pour cette allocation, le passif de l’assureur s’élève à 267,24
contre 241,40 dans le cadre réglementaire français. Le passif peut atteindre
368,99 pour un actif intégralement composé d’actions.
3.3.2. Allocation optimale

Dans un référentiel de type Solvabilité 2, l’allocation ω = (ω1,1 − ω1 ) est
optimale au sens du critère de MFPE si ω1 est solution du programmed’optimisation
sup φ( ω1 ) ,ω1∈[ 0,1]

où φ ( ω1 ) =1

2

E0 ( ω1 ) i =1R

 µ − r + σi Φ −1 ( 0,75)∑ e i(

µ + σ2 2 r−e i iE ω1 A1 + (1 − ω1 ) e)   .
−1

88

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Les conditions du premier ordre de ce programme sont délicates à expliciterdu fait de la présence du terme E0R au dénominateur de la fonction objectif.
Aussi nous avons cherché à résoudre numériquement ce problème qui, avec lesparamètres utilisés, possède une unique solution sur ]0;1[ .

Pour une allocation ω = (ω1,1 − ω1 ) fixée, le montant du capital cible a étédéterminé en 3.3.1 ; il reste donc à faire varier l’allocation optimale, puis àcalculer pour chaque allocation la valeur de la fonction objectif.
Le graphique suivant reprend l’évolution du rapport entre les fonds propreséconomiques et le fonds propres réglementaires selon la part ω1 initialement
investie en actif risqué A1 .
Figure 18 - Graphe de ϕ
125%

120%

115%

110%

105%
0%

20%

40%

60%

80%

100%

On constate empiriquement que la fonction objectif présente un maximum
sur ]0;1[ .
Si l’assureur souhaite maximiser ses fonds propres économiques, il devra
composer son portefeuille financier de 15,4 % d’actions en début de période.
Pour réaliser cette allocation, les actionnaires devront fournir un capitalréglementaire de 62,6. Pour cette allocation et ce capital, la société sera
valorisée, sous l’opérateur espérance, à 75,7.
La probabilité de ruine définie en 3.2.2 est évidemment égale à 0,5 %puisque le capital cible a été déterminé de manière à contrôler la ruine avec
cette probabilité.
4. Conclusion
L’avènement du nouveau référentiel prudentiel Solvabilité 2 va engendrer
une refonte des processus de gestion des compagnies d’assurance. En effet,
l’objectif annoncé d’une exigence en matière de fonds propres en référence
explicite au risque global supporté constitue une révolution pour le monde del’assurance dans la mesure où toute décision de gestion qui a un impact sur

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

89

l’exposition au risque de l’assureur a, par ricochet, un impact sur l’exigence defonds propres de celui-ci.
Cette situation a été analysée plus particulièrement ici au sujet des choixd’allocation stratégique. Si l’on étudie la Figure 17 reprise ci-dessous, on serend compte que le choix d’une allocation stratégique a un impact important surle niveau minimal de capitaux dont doit disposer l’assureur.
Figure 19 - Capital cible en fonction de la part investie en actions ω1
170
150
130
110
90
70
50
0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pour comparaison, dans le référentiel actuel, seules les règles de limitation
entre les différentes catégories d’actifs se seraient imposées14 à l’assureur. Par
ailleurs, le calcul de l’exigence de marge de solvabilité (en référence aux
provisions mathématiques en vie, aux sinistres et aux prestations en non-vie)
n’est directement dépendant du risque effectif que dans la mesure où celui-ci ajustement un impact sur les provisions en vie, les prestations ou les sinistres en
non-vie. L’exigence de marge de solvabilité calculée selon la règle stricto sensu
est donc, dans la plupart des cas, indépendante des règles de gestion de l’actif,de la gestion actif-passif ou encore des risques opérationnels.
Comme ans Solvabilité 2, toute règle de gestion qui déforme le risquesupporté par la compagnie a un impact sur le capital de solvabilité, il va s’agir
de mettre en œuvre des processus de décision qui permettront de limiter lerisque opérationnel d’une décision prise sans en mesurer les conséquences
prudentielles. Ce type de mesure est d’ailleurs du ressort du pilier II de
Solvabilité 2 comme plus généralement tous les processus opérationnels et lesprocédures de contrôles par les superviseurs.
Les sociétés ont commencé à mettre en place ce type de mesures depuis
quelques années, sous l’impulsion, entre autres de l’application des normes
IFRS depuis 2005. Ainsi, par exemple, de nombreuses sociétés qui avaient
inscrits des obligations dans la catégorie Held-To-Maturity (HTM) de l’IAS 39
14. Pour ce qui est des règles automatiques : le superviseur peut demander un relèvement
de l’exigence de marge de solvabilité s’il juge que la composition de l’actif expose tropl’assureur au risque action par exemple. En tout état de cause, ce jugement appartient au
superviseur et n’est pas automatique.

90

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

(cf. Planchet, Thérond et al. (2005) pour un résumé de l’IAS 39) de manière à
pouvoir les valoriser selon la méthode du coût amorti plutôt qu’en valeur demarché, ont mis en place des procédures de contrôle strictes de manière à cequ’un de ces titres ne soit pas cédé inopportunément ce qui aurait pourconséquence de re-qualifier tous les autres titres HTM dans la catégorie
Available For Sale (AFS) et ainsi de les valoriser en valeur de marché.
Ce type de risque a d’ailleurs incité une majorité d’acteurs français dumarché de l’assurance à délaisser totalement la catégorie HTM et à valoriser
tous leurs actifs financiers en juste valeur.

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

91

Annexe A : Démonstration des résultats mathématiques
Proposition 4. Le programme(−1
inf E ( ω A1 + (1 − ω) A2 )  admet uneω∈[ 0;1] )unique solution ω* non triviale ω* ∈ ]0;1[ si, et seulement si,

( )

)

(

2
2
2
r < µ < r + 2σ + λ  exp 2σu − exp σu 2  .
Démonstration : Cette démonstration va s’articuler en deux étapes. Dans unpremier temps nous allons déterminer E  A1p (t )  pour tout réel p. Ce résultat
nous permettra d’expliciter une condition sur les paramètres des modèles
d’actifs ( r , µ, σ, σu , λ ) pour que ω* ∈ ]0;1[ .
Etape 1 : Soit p ∈ R , on a :
Nt

 

σ2 


p
 t + p σ Bt + p U k  .
E  A1 (t )  = E  exp  p  µ −






2
k =1

 



∑

Les termes aléatoires de l’exponentielle sont indépendants ce qui ramène le

 Nt



calcul au produit de E  exp { p σ Bt } et E  exp  p U k  .
 k =1 


∑

(

)

Pour tout t > 0 , Bt est une v. a. de loi N 0; t donc
 p 2 σ 2 
E  exp { p σ Bt } = exp t .
 2 

Par ailleurs on a vu (cf. le sous-paragraphe 2.1) que

+∞
 N

( λt )n E exp  p n U  .
 t

− λt
E  exp  p U k  = e

k

n!

 k =1  k =1 
n=0



∑

∑

∑

Comme les sauts sont gaussiens et centrés,
2 2
n



 n p σu E  exp  p U k  = exp 
,
2 





k
1
=







∑

et doncE  exp  p




Nt

∑

 k =1



U k  = e

Ce qui permet d’obtenir

− λt

+∞

( λt )2

∑ n!

n=0

{

) }

2 2
 n p σu 2 2 = exp λt  exp p σu 2 − 1 .
2



exp 

(

92

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

 

σ2 
p2 σ2
p
2 2
t +
E  A1 (t )  = exp  p  µ −t + λt  exp p σu 2 − 1  .



 
2 
2
 



)

(

Etape 2 : La fonction objectif dans le cas réglementaire français s’écrit
−1 
 r
φ ( ω ) = E  e + ωX  avec X = A1 (1) − er . On a donc



)

(

)

(

−2 

∂φ
( ω ) = − E  X e r + ωX  ,
∂ω



et
2

( ω ) = 2 E  X 2 ( er + ωX )
2

∂ φ



∂ω



−3 

.

2

∂ φ

On en déduit trivialement que la fonction objectif est convexe :∂ω2( ω) > 0 .

Par ailleurs

(

)

∂φ
( 0 ) = − e −2 r E ( X ) = − e − 2 r e µ − e r ,
∂ω

et

)

(

∂φ
(1) = − E  A1−2 A1 − er  = E  A1−2 er  − E  A1−1  .
∂ω

Cette dernière expression se calcule à l’aide du résultat de l’étape 1 puisque 2σ 2 −2 r
2E  A1 e  = exp r − 2µ + 3σ + λ  e u − 1  ,




 

et
 σ 2 2  −1
2
E  A1  = exp −µ + σ + λ  e u − 1  .



 


Ce qui nous permet d’écrire
∂φ
∂ω









2













2



(1) = exp r − 2µ + 3σ 2 + λ  e2σu − 1  − exp −µ + σ 2 + λ eσu 2 − 1  .


La fonction ϕ est strictement convexe sur [ 0;1] , elle atteint donc un uniqueminimum∂φ( 0) < 0
∂ω

sur

]0;1[

2

( { } { }) . 

si
2

2

r < µ < r + 2σ + λ exp 2σu − exp σu 2et∂φ(1) > 1 ,
∂ω

i. e.

si

Nouvelles approches comptable, prudentielle et financière des risques

93

Annexe B : Simulation des réalisations de la charge desinistres
Les réalisations de la charge sinistres S ont été obtenues par les techniquesde Monte Carlo, à partir de la méthode des distributions conditionnelles qui
permet de simuler des v. a. dont la dépendances est modélisée par une copule.
Cette méthode des distributions conditionnelles consiste à simuler15
indépendamment deux réalisations v1 , v2 de v. a. de loi uniforme sur [ 0;1] puis
d’utiliser la transformation suivante :u1 = v1
−1
u2 = Cu1 (v2 )où Cu ( u2 ) = Pr  F2 ( S2 ) ≤ u2 F1 ( S1 ) = u1  =1∂C
C ( u1 , u2 ) .
∂u1Dans le cas de la copule de Franck utilisée dans ce travail, cette dernière
expression se calcule analytiquement :Cu ( u2 ) =1()

exp( −αu1 ) exp( −αu2 ) − 1

exp( −α ) − 1 + ( exp(−αu1 ) − 1)( exp(−αu2 ) − 1).

De plus cette fonction s’inverse analytiquement puisque :( exp( −α ) − 1) u2  .
1 ln 1 +
1α  u2 + (1 − u2 ) exp( −αu1 ) Enfin la charge totale de sinistres simulée est obtenue parCu−1 ( u2 ) = −s = F1−1 ( u1 ) + F2−1 ( u2 ) .

15. Pour les illustrations numériques, les simulations de réalisations de v.a. ont été
obtenues à partir du générateur du tore mélangé présenté dans Planchet etThérond (2004a) et au Chapitre 6.

94

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Bibliographie
AAI (2004) A global framework for insurer solvency assessment,
http://www.actuaires.org.
Artzner Ph., Delbaen F., Eber J.M., Heath D. (1999) « Coherent measures ofrisk », Mathematical Finance 9, 203-28.
Commission européenne (2003) « Conception d’un futur système de contrôle
prudentiel applicable dans l’Union européenne – Recommandation desservices de la Commission », MARKT/2509/03.
Commission européenne (2004) « Solvency II – Organisation of work,
discussion on pillar I work areas and suggestions of further work on pillar
II for CEIOPS », MARKT/2543/03.
Dhaene J., Vanduffel S., Tang Q.H., Goovaerts M., Kaas R., Vyncke D. (2004)« Solvency capital, risk measures and comonotonicity: a review »,Research Report OR 0416, Department of Applied Economics,
K.U.Leuven.
Dhaene J., Vanduffel S., Goovaerts M., Kaas R., Vyncke D. (2005)« Comonotonic approximations for optimal portfolio selection problems »,Journal of Risk and Insurance 72, n° 2.
Djehiche B., Hörfelt P. (2005) « Standard approaches to asset & liability risk »,Scandinavian Actuarial Journal 2005, n° 5, 377-400.
Merton R.C. (1976) « Option pricing when underlying stock returns are
discontinuous », Journal of Financial Economics 3, 125-44.
Planchet F., Thérond P.E. (2004a) « Simulation de trajectoires de processus
continus », Belgian Actuarial Bulletin 5, 1-13.
Planchet F., Thérond P.E. (2004b) « Allocation d’actifs d’un régime de rentes
en cours de service », Proceedings of the 14th AFIR Colloquium, Boston,111-34.
Planchet F., Thérond P.E. (2005a) « Asset allocation : new constraints inducedby the Solvency 2 project », Proceedings of the 36th ASTIN Colloquium,
Zürich.
Planchet F., Thérond P.E. (2007b) « Allocation d’actifs selon le critère de
maximisation des fonds propres économiques en assurance non-vie :présentation et mise en oeuvre dans la réglementation française et dans unréférentiel de type Solvabilité 2 », Bulletin Français d’Actuariat 7 (13), 1038.
Planchet F., Thérond P.E., Jacquemin J. (2005) Modèles financiers en
assurance. Analyses de risque dynamiques, Paris : Economica.
Ramezani C.A., Zeng Y. (1998) « Maximum likelihood estimation ofasymmetric jump-diffusion processes: application to security prices »,Working paper.

PARTIE IIMODÉLISATIONS AVANCÉES EN
ASSURANCELa deuxième partie de cette thèse est consacrée aux techniques avancées degestion du risque d’une compagnie d’assurance.
L'avènement du référentiel prudentiel Solvabilité 2 et, dans une moindre
mesure, du nouveau cadre comptable induit par la phase II de la norme IFRS
dédiée aux contrats d'assurance, va systématiser l'emploi de la Value-at-Risk(VaR) en assurance. Particulièrement utilisées en finance de marché, lestechniques de calcul de VaR exigent une adaptation spécifique dans un contexte
assurantiel de par la nature des risques qui sont ainsi mesurés.
Schématiquement on distingue deux contextes, qui imposent des approches
différentes :−La mesure du risque lié à la sinistralité au moyen d'une VaR dans lecorps de la distribution : la provision1 devra suffire à payer les sinistresdans 75 % des cas ;−la mesure de risque liée à la ruine de la compagnie par le biais d'une
VaR d'ordre très élevé : le capital de solvabilité devra permettre à lacompagnie de ne pas être en ruine, à la fin de l’exercice, avec une
probabilité supérieure à 99,5 %.
Dans la première situation, que l'on adopte une approche VaR historique ou
que l'on cherche à modéliser la sinistralité, on reste dans un cadre dans lequelon dispose d'un matériel statistique de taille généralement suffisante pourestimer une VaR dans le corps de la distribution. Dans le second cas, on est en
revanche confronté à l'absence d'observations et il convient alors, dans unpremier temps, de modéliser les variables de base qui influent sur la solvabilitéde la compagnie, dans un deuxième temps, de simuler la ruine de la compagnie
et enfin d'estimer une VaR d'ordre élevé. Cette dernière étape nécessite lerecours à la théorie des valeurs extrêmes. Le cinquième chapitre s'attache à
présenter les contextes de calcul de VaR en assurance, les résultats
probabilistes sous-jacents et les limites de ces critères.
Par ailleurs un autre phénomène à intégrer est celui de la dépendance entre
les risques. L’activité d‘assurance, qui repose sur la mutualisation et la1. Les travaux les plus récents du CEIOPS sur Solvabilité 2 (cf. l’annexe) donnent lapréférence à une approche coût du capital plutôt qu’à la VaR à 75 % pour le calibrage dela marge pour risque.

96

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

convergence en probabilité énoncée dans la loi des grands nombres, s’estdéveloppée sur une des hypothèses principales de cette loi : l’indépendance
entre les risques. Les exigences de solvabilité comme les référentielséconomiques de valorisation ne font aujourd’hui plus l’économie de la nonprise en compte des risques inhérents à la dépendance. Ainsi le capital desolvabilité fixé en référence au risque global supporté par la société ne sauraits’analyser comme la somme des capitaux qui permettraient de couvrir chaquerisque individuellement. Par ailleurs, dans une approche de valorisation, si lesmarchés financiers n’accordent pas de prime à un risque mutualisable, il n’enest pas de même pour les risques non-mutualisables (ou systématiques) dont lessociétés d’assurance cherchent à se défaire au maximum que ce soit au travers
de traités de réassurance ou, de plus en plus, grâce aux opérations de titrisation.
Par exemple, AXA a récemment titrisé une partie du risque non-mutualisable
sur son portefeuille automobile en France et du risque lié à l’évolution à moyenterme (5 ans) de la mortalité en Europe, aux États-Unis et au Japon.
Le sixième chapitre aborde cette problématique en présentant, dans unpremier temps, les aspects mathématiques de la mesure et de la modélisation dela dépendance ; puis en analysant l’impact de la prise en compte de celle-ci
dans les contextes assurantiels de détermination d’un capital de solvabilité et devalorisation du contrat d’épargne présenté dans le deuxième chapitre.
Cet exemple n’a pu être mis en œuvre que grâce à l’utilisation de méthodes
de Monte Carlo. En effet, la complexité des contrats d’assurance etl’interdépendance intrinsèque et temporelle des phénomènes qui concourent à
leur dénouement obligent les assureurs à avoir un recours de plus en plus
systématique aux techniques de simulation. Par exemple, l’alternative àl’utilisation de la formule standard (cf. l’annexe) pour déterminer le capital desolvabilité passera par la mise en place d’un modèle interne. Un tel modèle
revient à modéliser l’ensemble des variables qui influent sur le risque global
supporté par la compagnie (cf. la Figure 20 au début du Chapitre 4). La mise enœuvre effective d’un tel modèle ne pourra faire l’économie du recours aux
techniques de simulation. C’est justement l’objet du septième chapitre qui
revient notamment sur les techniques de discrétisation temporelle des processus
stochastiques continus, l’estimation des paramètres et la génération de nombres
aléatoires. Les illustrations des différentes techniques en jeu s’appuient sur unmodèle de taux d’intérêts.

Chapitre 4
Limites opérationnelles : la prise encompte des extrêmes

Á l'instar de ce qu'a connu le monde bancaire ces dernières années avec lesaccords dits de Bâle II, le monde européen de l'assurance se prépare à se doterd'un nouveau référentiel prudentiel qui résultera du projet Solvabilité 2.
Construit également sur une structure à trois piliers, le futur système desolvabilité vise à ce que les entreprises d'assurance mesurent et gèrent mieux
les risques auxquels elles sont soumises. Une bonne gestion des risques pourra
avoir pour conséquence une moindre exigence en terme de capitaux propres. Le
premier pilier, consacré aux exigences quantitatives, fait largement référence à
des mesures de risques bien connues des financiers, les Value-at-Risk (VaR).
Les travaux en cours sur Solvabilité 2 prévoient que les assureurs devront
disposer d'un montant de provisions techniques1 leur permettant d'honorer leursengagements de payer les prestations avec une probabilité de 75 % (à ce stade,une approche cost of capital est également envisagée en assurance-vie). Ils
devront de plus disposer d'un niveau de fonds propres leur permettant de ne pasêtre en ruine, à horizon un an, avec une très forte probabilité (a priori 99,5 %).
Pour mémoire, dans le système actuel, les montants de provisions sont, le plus
souvent, déterminés par des méthodes déterministes prudentes (méthodes ethypothèses conservatrices d'estimation de la charge ultime de sinistres etabsence d'actualisation ou actualisation à un taux résolument prudent).
L'exigence minimale de fonds propres est quant à elle régie par le système de lamarge de solvabilité : les assureurs doivent disposer d'un niveau de fonds
propres et de plus-values latentes sur les placements financiers supérieur à une
exigence de marge de solvabilité qui est exprimée en pourcentage desprovisions mathématiques en assurance vie, et en pourcentage des primes
perçues ou des sinistres payés en assurance non-vie. Ce système est donc
entièrement déterministe et ne fait pas explicitement référence au risqueréellement supporté par la compagnie. En particulier, deux entreprises qui ont
des profils de risque très différents mais les mêmes éléments comptables sevoient exiger un même niveau de capitaux propres2. Il convient néanmoins depréciser que, d'un point de vue prudentiel, ce système s'avère relativement
1. Le passif d'une société d'assurance est essentiellement composé des provisions
techniques d'une part, et des fonds propres d'autre part.
2. Ce constat est néanmoins à modérer de par l'intervention de l'autorité de contrôle(l'ACAM) qui peut relever les exigences de capitaux propres des assureurs.

98

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

efficace au vu du faible nombre de sociétés d'assurance européennes qui ont fait
faillite au cours des dernières années.
Si elles font toutes les deux références à une VaR, les deux nouvelles
exigences quantitatives prévues par Solvabilité 2 sont très différentes de parleur nature. L'exigence portant sur les provisions techniques ne va pas poser deproblème pratique majeur. En effet, les assureurs disposent d'un nombre
conséquent d'observations et de méthodes stochastiques de provisionnement
robustes. De plus le quantile à estimer n'est pas très élevé, on se situe donc dansle cœur de la distribution pour lequel on dispose d'une information de qualité. Il
en va différemment pour la détermination du niveau souhaitable de fonds
propres ou Solvency Capital Requirement (SCR). En effet, l'assureur n'observepas directement la variable d'intérêt (le résultat), il ne dispose donc pas dematériel statistique pour estimer directement la VaR.
Une formule standard3 sera proposée et aura pour vocation d'approcher
autant que possible le critère de probabilité de ruine. Le projet prévoit, qu'enparallèle, les sociétés pourront construire un modèle interne qui, sur la base dela modélisation de l'ensemble des variables influant la solvabilité de lacompagnie, permettra de simuler la situation de la société à horizon un an etainsi de mesurer le niveau de fonds propres dont a besoin aujourd'hui lacompagnie pour ne pas être en ruine, un an plus tard, avec une probabilité de99,5 %. La construction d'un tel modèle est une problématique à part entière :elle nécessite la modélisation fine des variables de base et de leurs interactions.
Un tel modèle doit de plus intégrer des contraintes techniques liées à lapuissance de calcul informatique. Par ailleurs, le montant à estimer est un
quantile extrême de la distribution. Une estimation empirique naïve robuste parle quantile empirique à 99,5 % nécessiterait un nombre de simulationsextrêmement important, chacune de ces réalisations résultant de la simulation
de différents phénomènes tels que la sinistralité, l'écoulement des provisions
techniques, l'évolution des actifs financiers, etc. L'estimation d'un tel quantile
devra donc passer par l'utilisation des techniques issues de la théorie desextrêmes qui s'est particulièrement développée depuis le milieu des années 70
et les travaux de Pickands (1975) et Hill (1975), et plus récemment de
Smith (1987), Dekkers et de Haan (1989) ou encore Dekkers et al. (1989) et a
été rapidement appliquée aux problématiques financières et assurantielles(Embrechts et al. (1997)). Or ces résultats utilisent les données de queue ; celapose un nouveau problème, celui de la robustesse de ces données qui,rappelons-le, ne sont pas observées mais simulées. En effet, les modèlesinternes passeront, le plus souvent, par une modélisation paramétrique desvariables de base (évolution du cours des actions par exemple), or ces modèles
ne collent pas parfaitement aux observations. En particulier les paramètres sontestimés sur l'ensemble de la distribution au risque de ne pas bien représenter lesqueues de distribution. Dans la problématique qui nous intéresse, ce sontjustement ces queues de distribution qui vont engendrer les situations les plus
3

. Dans le cadre de l'étude d'impact quantitative QIS2 portant que les exigences de fonds
propres auxquelles pourrait conduire le projet Solvabilité II, le Comité Européen desContrôleurs d'Assurance et de Pensions Professionnelles (CEIOPS) a publié un modèle
qui vise à la mesure de chaque risque et à l'agrégation des capitaux correspondants parune formule du type de celle du RBC américain.

Modélisations avancées en assurance99

catastrophiques en termes de solvabilité, i.e. les valeurs extrêmes sur lesquelles
vont reposer l'estimation de la VaR à 99,5 %.
Ceci pose le problème de la robustesse de ce critère de VaR à 99,5 %, avec
en ligne de mire le souci de la sécurité des assurés : les sociétés d'assurance
pourraient être tentées, en jouant sur les paramètres ou sur les modèles desvariables de base, de sous-estimer le SCR. Après avoir décrit les spécificités ducalcul de VaR en assurance, nous présentons différentes méthodes d'estimationde quantiles extrêmes, puis nous explicitons et illustrons les limites de lamesure de risque proposée pour déterminer le SCR dans le projet Solvabilité 2.
Dans un souci de clarté, les principaux résultats de la théorie des extrêmes
utilisés dans ce travail sont présentés en annexe.
Ce chapitre s’appuie sur Thérond et Planchet (2007).
1. Calcul de VaR en assurance
La transposition de la VaR (et de la TVaR) aux problématiques d'assurance
est récente et impose une approche radicalement différente de l'approchebancaire. En effet, la situation de référence du monde bancaire consiste à
estimer la VaR sur un échantillon important de gains / pertes sur un portefeuilleou une position. Les données sont disponibles en quantité, avec une fréquenceimportante. Les approches de type VaR historique sont ainsi le socle sur lequelsont construits de nombreux modèles bancaires (cf. Christoffersen etal. (2001)). L'adaptation des techniques bancaires au portefeuille d'actifs d'unassureur nécessite un certain nombre d'aménagements, essentiellement pourtenir compte de la durée de détention plus importante. On pourra par exemple
se reporter à Fedor et Morel (2006) qui présentent des analyses quantitatives
sur ce sujet. Dans le cadre de la détermination du capital de solvabilité, denouvelles difficultés apparaissent ; la nature des données disponibles invalidant
l'approche historique. Il convient ici de revenir sur les situations d'assurance
dans lesquelles on est amené à évaluer des VaR ; en pratique on peut en
distinguer principalement deux, dont on va voir qu'elle imposent des approches
différentes :−−le calcul d'une provision via un quantile à 75 % de la distribution dessinistres ;la détermination du niveau du capital de solvabilité (SCR) pourcontrôler une probabilité de ruine en imposant que celle-ci soit
inférieure à 0,5 % à horizon un an.
La première situation constitue une simple évolution par rapport à lasituation qui prévaut actuellement ; en effet, les provisions sont aujourd'hui
calculées sur la base d'une espérance (approche best estimate, cf. Blum etOtto (1998)). On conçoit que, du point de vue de la technique statistique, lesdeux calculs (calcul d'une espérance et calcul d'une VaR à 75 %) ne soient pas
fondamentalement distincts. En particulier on dispose dans les deux cas dedonnées permettant de mettre en oeuvre les techniques classiques de statistiqueinférentielle. En pratique, on propose souvent une modélisation de la charge dessinistres à l'aide d'un modèle paramétrique et tout se ramène alors à l'estimation
des paramètres de la loi considérée (cf. Partrat et Besson (2005) pour une revue
des lois les plus utilisées en pratique).

100

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Pour ce qui concerne la détermination du capital de solvabilité (SCR), lasituation est radicalement différente ; en effet, on ne dispose que de très peu dedonnées directes (quelques années au plus d'observation du résultat par
exemple) et d'aucune donnée dans la zone de la distribution concernée (si on enavait, l'assureur aurait fait faillite...). Alors que dans le cas précédent la variabled'intérêt était directement observable, la VaR à calculer est maintenant larésultante d'un modèle, souvent complexe, mettant en jeu les différents postes
du bilan de l'assureur : prestations, provisions, actifs financiers, etc. La
démarche va donc consister à construire un modèle en décrivant chaque poste
du bilan ; en pratique l'approche consiste à modéliser le passif, dont le poste leplus important est constitué des provisions techniques, puis l'actif et enfin leséventuelles interactions actif / passif. Après avoir estimé les paramètres de ces
modèles, on peut obtenir, en général par des techniques de simulation, uneestimation de la loi du résultat ; de cette estimation, on déduira enfin le niveau
de la VaR cherchée. La mise en pratique d'une telle démarche comporte àchaque étape des risques qu'il importe a minima d'identifier :−un risque de modèle : le modèle utilisé n'offre qu'une représentation
imparfaite de la réalité ; au surplus, les modèles usuellement employés
tant à l'actif qu'au passif conduisent à sous-estimer les situationsextrêmes ; nous reviendrons sur ce point potentiellement très
pénalisant dans l'approche Solvabilité 2 ;−un risque d'estimation : les paramètres estimés qui alimenteront lemodèle sont entachés d'une erreur. Les conséquences de cette erreur
peuvent être lourdes dans le cas d'un modèle peu robuste (voir par
exemple Windcliff et Boyle (2004) pour une illustration dans le cas dumodèle de Markowitz) ;−un risque de simulation : la distribution du résultat sera, en général,obtenue par simulation, et ne sera donc qu'approchée.
De plus, s'agissant de l'estimation d'un quantile d'ordre élevé (VaR à
99,5 %), et la forme de la loi du résultat n'étant en général pas aisée à ajuster
globalement à un modèle paramétrique, il faudra se tourner vers les techniquesde valeurs extrêmes pour calculer finalement la mesure de risque, avec
l'apparition ici d'un nouveau risque d'estimation, sur la queue de la distribution
simulée. La Figure 20 propose une synthèse de ces différents risques et dessituations dans lesquelles on les rencontre.

Modélisations avancées en assurance

101

Figure 20 - Typologie des différents risques rencontrés

Typiquement les études de variations extrêmes de variables financières
classiques s'inscrivent dans le cadre des branches A3 ou A1 : on dispose d'unnombre important d'observations et les variables sont relativement régulières(elles possèdent généralement des moments d'ordre 3 ou 4). En assurance,
l'estimation d'une VaR à 75 % dans le cadre de la détermination d'une provision
Solvabilité 2 par exemple, correspondra, dans le meilleur cas, à la branche A1
pour les risques pour lesquels on dispose de beaucoup d'observations (risquesnon-vie à forte fréquence) et le plus fréquemment aux branches B4 ou B5 (onse donne un modèle, paramétrique le plus souvent, puis selon le cas on estime
les paramètres et l'on en déduit la VaR ou l'on procède par les méthodes deMonte Carlo).
L'estimation du SCR procède, quant à elle, de la branche B3 qui cumule lesrisques de modèle, de simulation et d'estimation (à deux reprises). Les risquesd'estimation et de simulation ne sont pas spécifiques à la problématique duprésent travail, et les techniques propres à les contrôler sont robustes etaccessibles.
En revanche, le risque de modèle prend ici une importance particulière ; defait, et comme on l'illustre infra, la mesure correcte du capital de solvabilité
impose de refondre l'ensemble de la modélisation des postes du bilan pourprendre en compte correctement les événements extrêmes et éviter ainsi une
sous-estimation du capital de solvabilité.
2. Notations
Considérons un n-échantillon de variables aléatoires (v.a.) X1 , …, X nindépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) de fonction de répartition F
et de fonction de survie F : x 1 − F ( x) . La statistique d'ordre associée sera
notée X n, n , … , X1, n et est définie par

102

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

min { X1 , …, X n } = X n, n ≤ X n −1, n ≤ … ≤ X1, n = max { X1 , … , X n } .

Par ailleurs, on notera Fu la fonction de répartition de la v.a. u X qui
représente le surplus au-delà du seuil u de X, lorsque X dépasse le seuil u, soit
Fu ( x) := Pr  u X ≤ x  = Pr [ X − u ≤ x | X > u ] .

On notera de plus xF la borne supérieure du support de X de fonction derépartition F, soit
xF := sup { x ∈| F ( x) < 1} .

Enfin, nous noterons Nu le nombre d'observations qui dépassent le seuil u,
soit
Nu =

n

∑ 1X i > u .
i =1

3. Estimation de quantiles extrêmes
Plaçons-nous dans la situation standard où l'on observe directement desréalisations du phénomène dont on souhaite déterminer la valeur qu'il nedépassera qu'avec une faible probabilité. L'objet de ce paragraphe est depréciser les différentes méthodes d'estimation possibles et de mesurer leserreurs d'estimation commises relativement à la quantité de données
disponibles.
Les différentes méthodes sont illustrées à partir d'un échantillon simulé deréalisations d'une variable aléatoire de loi de Pareto de première espèce.
3.1. Estimation naturelle
Comme X k , n est un estimateur naturel du quantile d'ordre 1 − ( k − 1) n , unestimateur naturel de F−1( p ) ( p ∈ ]0;1[ ) est([ pn] - pn + 1) X n -[ pn]-1, n + ( pn - [ pn]) X n -[ pn], n ,où [.] désigne l'opérateur partie entière.
Cette méthode nécessite pour être efficace en pratique un volume dedonnées jamais disponible dans notre contexte.
3.2. Ajustement à une loi paramétrique
Une méthode naturelle consiste à ajuster l'ensemble des données à une loi
paramétrique puis à estimer la fonction quantile au niveau de probabilité
souhaité. En effet, on rappelle que si θ̂ est l'estimateur du maximum de−1
θ̂vraisemblance (e.m.v.) du paramètre θ de la loi de X, alors F( p ) est

l'e.m.v. de Fθ−1 ( p ) . De plus, les méthodes quantiles bootstrap BC (BCa) (cf.

Modélisations avancées en assurance

103

Efron et Tibshirani (1993) et le paragraphe 4) permettent d'obtenir desintervalles de confiance de l'estimation.
Cette méthode d'estimation se décompose en deux étapes :−ajustement à une loi paramétrique : choix d'une ou plusieurs lois,
estimation des paramètres, tests d'adéquation ;−inversion de la fonction de répartition (analytiquement quand c'est
possible, numériquement sinon).
La principale difficulté de cette méthode consiste en le choix des lois
paramétriques qui vont être utilisées. Elles doivent répondre à la double
contrainte de permettre une évaluation numérique de leur fonction quantile aux
ordres souhaités et doivent être en adéquation avec les données. Ce dernier
point est particulièrement problématique dans la mesure où l'estimation desparamètres est effectuée sur l'ensemble de la distribution observée et représente
rarement bien les valeurs extrêmes. À moins d'être assuré que la loi choisie
pour l'ajustement est la véritable loi d'où sont issues les données, ce qui est
exceptionnel en pratique, l'intérêt de cette méthode apparaît très limité dans uncontexte d'estimation de quantiles extrêmes.
3.3. Approximation GPD
Connue sous le nom de méthode Peaks Over Threshold (POT), cettetechnique repose sur le théorème de Pickands-Balkema-de Haari (cf. l’annexeB.3) qui établit que, pour u assez grand, Fu peut être approximée par une
distribution Pareto généralisée (GPD). Une fois les paramètres de la GPD
estimés (cf. l’annexe A3), comme F ( x) = F (u ) × Fu ( x − u ) , on dispose del'approximation suivante :N  ξ̂
F ( x) ≈ u 1 + ( x − u ) n  β̂


−1 ξˆ

,

pour x > u . L'inversion de cette fonction de répartition nous fournit unestimateur de la fonction quantile Fxˆ p = u +−1

aux ordres élevés :


−ξ̂


ξ̂   n(1 − p )  − 1 .
Nβ̂   uN.B. Si l'on choisit comme seuil une des observations X k +1, n (par exemple lequantile empirique à 99 % pour estimer le quantile à 99,5 %) alors Nu = k etl'estimateur se réécrit de la manière suivante :xˆ p = X k +1, n +pour p > 1 − k n .

− ξ̂


ξ̂   n

,
p
−
−
1
1
)
 (

β̂   k




104

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Cette méthode présente en pratique la difficulté du choix du seuil u. En
effet, u doit être assez grand pour que l'approximation GPD soit bonne mais pas
trop proche du quantile à estimer de manière à ce que l'on dispose desuffisamment de matériel statistique pour que l'estimation de la probabilitéd'être entre u et ce quantile (estimation qui fait apparaître Nu ) soit fiable. La
problématique posée par le choix de u est similaire à celle du choix du nombred'observations à utiliser dans le cadre de l'estimation de Hill de l'épaisseur de laqueue de distribution (cf. l’annexe C.2.4). Une approche pratique visant àchoisir le seuil u consiste à traceren (u ) :=1 n+
 X − u  ,Nu i =1  i∑l'estimateur empirique de l'espérance résiduelle de X et à choisir u de manière àce que en ( x) soit approximativement linéaire pour x ≥ u . En effet, comme lafonction espérance résiduelle d'une loi GPD de paramètre ξ < 1 est linéaire :e(v) := E  v X  =β + ξv,1− ξon cherchera un u aussi petit possible sous la contrainte que l'estimateur
empirique de l'espérance résiduelle des excès au delà de u soit
approximativement linéaire.
Il ne faut pas attendre de cette technique la bonne valeur de u, elle fournit
néanmoins une aide précieuse. En pratique, plusieurs valeurs de u doivent êtretestées.
3.4. Estimateur de Hill
Considérons les fonctions de répartition appartenant au domaine d'attraction
maximum (DAM) de Fréchet ( ξ > 0 ) . Le théorème taubérien (cf. l’annexe B.2)
nous indique que F ( x) = x −1 ξ LF ( x) , où LF est une fonction à variation lente.
Ainsi, on aF ( x)F ( X k +1, n )=LF ( x ) x LF ( X k +1, n )  X k +1, n 

−1 ξ

.

Pour k suffisamment petit et x > X k +1, n , on peut négliger (au premierordre) le rapport des fonctions à variation lente ; il vient alors x F ( x ) ≈ F ( X k +1, n )  X k +1, n 



−1 ξ

.

D'où l'on déduit l'estimateur de F :k x 
Fˆ ( x ) = 1 − n  X k +1, n −1 ξ kH,

Modélisations avancées en assurance

105

pour x > X k +1, n . L'inversion de cette fonction nous donne l'estimateur de Hillde la fonction quantile pour des ordres élevés ( p > 1 − k n ) :n
1− p xˆ H
p = X k +1, n 
k

(

)



−ξ H
p

.

Le problème du choix de k est similaire à celui rencontré dans l'estimation
du paramètre de queue ξ (cf. l'annexe C.2.4).
3.5. Illustration
La Figure 21 illustre les différentes techniques dans le cadre de l'estimationd'un quantile extrême d'une loi de Pareto de première espèce, i.e. de fonction derépartitionαx 
F ( x) = 1 −  0  , pour x > x0 .
 x 

Figure 21 - Estimation d'un quantile extrême : erreur relative d'estimation

Une telle loi appartient au DAM de Fréchet. La méthode POT (exacte dansle cas d'une loi de Pareto de première espèce) et l'estimateur de Hill donnent
des résultats comparables et nettement plus précis que l'estimateur naturel.
4. Application du bootstrap
La méthode du bootstrap proposée initialement par Efron (1979) est
devenue d’application courante en assurance (cf. Partrat et Jal (2002) et Verall

106

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

et England (1999)). Plus généralement, le lecteur intéressé trouvera une revue
des applications de la méthode bootstrap en économétrie dans Horowitz (1997).
Dans le contexte d’estimation de valeurs extrêmes, son application nous
permet de disposer d’intervalles de confiance utiles à l’appréciation de larobustesse des estimations.
4.1. Présentation
Le principe de la méthode classique consiste à remarquer que, pour unéchantillon de taille suffisante, la fonction de répartition F de la loi sous-jacente
peut être approchée par la fonction de répartition empirique :Fn ( x ) =1 n.
1n i =1 { X n ≤ x}∑

En pratique ce principe très général conduit à décliner des méthodes
bootstrap adaptées à différents contextes : séries chronologiques, modèles
linéaires, modèles de régression non linéaires, etc. On en présente ci-après leprincipe dans le cas simple de la construction d’un intervalle de confiance pourun estimateur de tendance centrale.
Pour évaluer une fonctionnelle de F de la forme I ( g ) = g ( x ) dF ( x ) ,∫l’approche par simulation classique suggère de calculer
I n ( g ) = g ( x ) dFn ( x ) =∫1 n
g ( Xi ) ,n i =1∑qui constitue une approximation de I ( g ) . La théorie asymptotique fournie desinformations sur la loi de la statistique I n ( g ) : le théorème central limite
permet en effet de prouver que la loi asymptotique est normale et d’en déduire,par exemple, des intervalles de confiance de la forme
σ g −1  α 
σ g −1  α  Jα =  In ( g ) −φ 1 −  , I n ( g ) +φ 1 −   ,2
2  
nn

avec σ 2g = Var ( g ( X ) ) qu’il s’agit d’estimer. Toutefois dans certaines
situations l’approximation asymptotique n’est pas suffisamment précise, et laméthode bootstrap fournit une approche alternative pour obtenir desinformations sur la loi de I n ( g ) .
Cette technique consiste à considérer des réalisations I nb ( g ) , pourb = 1, …, BoùB ≤ nnobtenues

enremplaçantl’échantillon

initial( X1,…, X n ) par les échantillons « bootstrapés » () obtenus eneffectuant des tirages avec remise dans ( X1 , …, X n ) . On dit que B est la taillebb
X1 , … , X nde l’échantillon bootstrap.

Modélisations avancées en assurance

107

En effet, évaluer des statistiques par simulation se ramène alors à générerdes échantillons à l’aide de la distribution empirique. Or un tirage dans la
distribution empirique s’obtient simplement par un tirage avec remise des nvaleurs dans l’échantillon initial. On obtient ainsi au plus n n échantillons« boostrapés » à partir desquels on va calculer les estimateurs empiriques desstatistiques d’intérêt.
Le bootstrap permet ainsi, à partir d’un tirage aléatoire au sein del’échantillon d’origine, de le perturber afin d’obtenir de nouveaux estimateurs
des paramètres.
Une fois que l’on dispose de B estimateurs I nb ( g ) de I ( g ) , en posantB1
Ib (g) ,µ̂  I 1n ( g ) , … , I nB ( g )  =B b =1 n∑etσˆ 2  I 1n ( g ) , … , I nB ( g )  =2
1 B  bI n ( g ) − µˆ  ,

B − 1 b =1∑

on obtient un intervalle de confiance de la forme

σˆ
α
σˆ
α 
−1 
−1 
Φ 1 −  , µˆ +
Φ 1 −   .
J α = µˆ −
2
2 


B
B


Deux techniques alternatives permettent d’affiner les résultats : le boostrap
percentile et la méthode BCa (cf. Efron et Tibshirani (1993)). Ces techniquessont décrites infra dans le cas particulier de l’estimation de quantiles.
La méthode bootstrap n'est toutefois pas pertinente dans tous les cas defigures : elle ne fonctionne par exemple pas lorsque l'on s'intéresse à la valeurmaximum de l’échantillon. En effet, par construction, il est impossible deconstituer des échantillons contenant des valeurs supérieures à la valeurmaximale de l’échantillon de départ. Pour ce type de problème, d’autres
méthodes existent telle que celle proposée par Zelterman (1993) qui consiste à
rééchantillonner les intervalles entre deux valeurs adjacentes des données dedépart plutôt que les données elles-mêmes. Cette méthode semi-paramétrique
est illustrée dans le cas de l’estimation par intervalle de l’intensité maximale
des séismes dans différentes régions par Bottard (1996).
Tel quel, le bootstrap est en revanche très efficace dans toutes lesstatistiques basées de près ou de loin sur la moyenne. Les calculs de capital desolvabilité ne correspondent pas à cette configuration.
La technique du bootstrap est communément utilisée en assurance pouranalyser la variabilité des montants de sinistres et obtenir des erreurs deprédiction pour différentes méthodes de provisionnement, et notamment pourles méthodes basées sur Chain Ladder et sur les modèles linéaires généralisés(cf. Partrat et Jal (2002)). Le schéma général (repris de Planchet, Thérond etal. (2005)) est résumé par la Figure 22.

108

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 22 - Méthode boostrap en provisionnement non-vie
Triangle des incréments

Passage au triangle desrésidus par la formulerˆij =

y ij - m̂ ijv( m̂ ij )Triangle des résidus

Rééchantillonnage.......

Triangle des résidus 1

Triangle des résidus 2

Triangle des résidus 3

Triangle des résidus k.......
Passage au triangle desincréments en inversant laformule :rˆij =
Triangle des incréments 1

Triangle des incréments 2

Triangle des incréments 3

y ij - m̂ ijv( m̂ ij )Triangle des incréments k.......
Estimation des paramètres
qui permettent de compléter
le triangle de liquidation.

.......

Pour chaque triangle,
détermination de lastatistique désirée.
(1)Ê (R)(2)Ê (R)(3)Ê (R)(k)Ê (R)

4.2. Calcul d’un intervalle de confiance pour une VaR
Les différentes techniques de bootstrap sont présentées dans ce paragraphedans le contexte spécifique de l’estimation par intervalle d’un quantile.
Dans le cas classique, où l’on suppose que les observations sont desréalisations de variables aléatoires dont la loi sous-jacente appartient à une
famille paramétrique (gaussienne, log-normale, Pareto, Benktander, etc.),
l’estimation d’un quantile d’ordre quelconque peut être envisagée de la manière
suivante :−

estimation θ̂ du paramètre θ (par maximum du vraisemblance quand
c’est possible ou par une autre méthode) ;−inversion de la fonction de répartition ;−ˆ (q) = Festimation ponctuelle de la VaR par VaR−

recherche d’un intervalle de confiance.

−1
θ̂

(q) ;

Modélisations avancées en assurance

109

On s’intéresse à la précision de l’estimateur ainsi obtenu. Dans le cas
particulier où le paramètre est estimé par l’estimateur du maximum devraisemblance (e.m.v.), on déduit des propriétés générales de cet estimateur queˆ ( q ) est l’e.m.v. de la VaR (comme fonction d’un e.m.v.). Il est donc
VaR
asymptotiquement sans biais et gaussien. En obtenant une estimation de sa
variance asymptotique, il sera donc possible de construire un intervalle deconfiance.
ˆ ( q ) est toutefois difficile à déterminer. Dans ce
La loi de la statistique VaR

contexte, il est conseillé de se tourner vers la méthode bootstrap.
Dans le cas de l’estimation d’une VaR, l’échantillon initial est constitué parles n observations de X utilisées pour estimer les paramètres du modèle. La
statistique d’intérêt est :ˆ ( q ) = F −1 ( q ) .
VaRθ̂On cherche à construire un intervalle de confiance de la forme :Pr ( b1 ≤ VaR ( q ) ≤ b2 ) = 1 − α .

On distingue trois techniques bootstrap permettant de construire l’intervallede confiance recherché :−ˆ (q)bootstrap classique : estimation de la variance bootstrapée de VaR

que l’on utilise ensuite avec l’hypothèse de normalité asymptotique ;−bootstrap percentile : classement des estimations ponctuelles obtenues
pour chaque échantillon bootstrap et constitution des bornes del’intervalle de confiance par les estimations correspondantes ;−estimation directe de l’intervalle de confiance bootstrapé via laméthode Bias corrected and accelerated (BCa) (cf. Efron etTibshirani (1993)).
Dans la première approche, l’estimation de la variance bootstrapée consiste
simplement à calculer la variance empirique de l’échantillon desˆ b ( q ) = F −1 ( q ) avec
VaR
θ̂b

θ̂ b

le paramètre estimé sur le b-ème échantillonbootstrap. On obtient alors aisément un intervalle de confiance en utilisant lanormalité asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance. En
pratique, cette méthode n’est pas recommandée pour les problèmes nonparamétriques (pour lesquels l’estimation, pour chaque échantillon, du quantile
reposerait sur son estimateur empirique).
Une méthode plus performante et plus adaptée aux problèmes nonparamétriques est le bootstrap percentile. Cette technique consiste à classer lesˆ b ( q ) par ordre croissant et à prendre comme bornes de l’intervalle deVaR
confiance les B × α 2 et B × (1 − α 2 ) -èmes plus grandes valeurs. Cette

technique est bien adaptée aux problèmes non-paramétriques car elle ne recourt
pas aux propriétés asymptotiques de l’e.m.v.

110

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

La méthode BCa (cf. Efron (1987)) se propose d’optimiser la construction
de l’intervalle de confiance, comme la méthode percentile sans s’appuyer surles propriétés asymptotiques de l’e.m.v. Cette méthode consiste à déterminerles bornes de l’intervalle de confiance en prenant pour bi la valeur d’ordreˆ b ( q ) , oùB × βi de l’échantillon des VaR

z0 + uα 2
z0 + u1− α 2
β1 = Φ  z0 +
 et β 2 = Φ  z0 +,
1 − γ z0 + uα 2 
1 − γ z0 + u1− α 2 





(

)

(

)

avec Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, uc lequantile d’ordre c de cette même loi, le paramètre de correction de biais
z0 = Φ −1 ( k ) où k est la proportion des échantillons bootstrapés pour lesquels

la VaR estimée est inférieure à la VaR estimée sur l’ensemble des échantillons.
Enfin le paramètre d’accélération γ est estimé par :∑ i =1(VaRi − VaR )

3

n

γ=


6


2

∑ i =1 (VaRi − VaR ) 
n

32

,

où VaRi est l’estimation de la VaR provenant de l’échantillon Jackknife n° i(échantillon observé auquel on a retiré l’observation i) et VaR est la moyenne
de ces n estimations (cf. Quenouille (1949)).
4.3. Illustration numérique
On illustre numériquement ces méthodes dans la cas d’une loi log-normale.
Dans ce cas il est immédiat de vérifier que :VaR p ( X ) = F−1( p ) = exp ( m + σφ−1 ( p ) ) ,et l’on obtient donc comme estimateur du maximum de vraisemblance de la
VaR d’ordre p :)(ˆ p ( X ) = exp mˆ + σφ
ˆ −1 ( p ) ,VaRoù mˆ =

1 n
X et σˆ =n i =1 i∑

1 n
2
X i − mˆ ) .
(n i =1∑On retient les valeurs numériques suivantes : m = 5 , σ = 0, 4 , ce qui
conduit à une VaR théorique à 99,5 % de(

VaR99,5 % ( X ) = exp m + σφ−1( p ) ) = 415,85 .

On estime ce quantile sur la base d’un échantillon de taille 1 000 et on
détermine les intervalles de confiance à 90 % avec les méthodes classique,percentile et BCA. On obtient en fonction de la taille de l’échantillon bootstrap
les résultats typiques suivants :Modélisations avancées en assurance

111

Figure 23 - Intervalles de confiance (VaR à 99,5 %)465
Classique (borne inf)
Classique (borne sup)460

Percentile (borne inf)
Percentile (borne sup)BCa (borne inf)
BCa (borne sup)Théorique
EMV

455
450
445
440
435
430
425
420
415
410
0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

On note que les méthodes classique et percentile sont très proches. La
méthode Bca fournit un intervalle dont la borne supérieure est proche des deux
autres méthodes, mais avec une borne inférieure plus élevée. Dans l’exemple
ci-dessus on constate par exemple que si la vraie valeur est bien dans lesintervalles de confiance « classique » et « percentile », elle est inférieure à laborne inférieure de l’intervalle fournie par la méthode BCa.
Les résultats obtenus par les méthode bootstrap restent peu robustes pour unquantile élevé. Pour un quantile d’ordre inférieur, comme par exemple lequantile à 75 %, les estimations deviennent nettement plus fiables :Figure 24 - Intervalles de confiance (VaR à 75 %)200
Classique (borne inf)
Classique (borne sup)198

Percentile (borne inf)
Percentile (borne sup)BCa (borne inf)
BCa (borne sup)Théorique
EMV

196

194

192

190

188

186
0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

5. Robustesse du SCR
L'objet de ce paragraphe est de préciser les limites d'un critère de type VaRextrême pour fixer le capital de solvabilité d'une société d'assurance. En effet lacomplexité du dispositif à mettre en place rend la pertinence des résultats issus
du modèle interne toute relative. Deux points sont plus particulièrement
développés et illustrés à l'aide d'un exemple simple : l'erreur d'estimation des

112

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

paramètres des variables de base puis l'erreur de spécification de modèle de ces
variables.
5.1. Estimation des paramètres des variables de baseConsidérons le modèle interne simplifié inspiré des travaux de Deelstra etJanssen (1998) dans lequel les sinistres de l'année sont modélisés par une
variable aléatoire de distribution log-normale et payés en fin d'année.
Supposons de plus que le rendement des actifs financiers sur la période soit
gaussien et indépendant de la sinistralité. Formellement, notons B ∼ LN ( m, s )la v.a. modélisant le montant à payer en fin de période et ρ ∼ N ( µ, σ ) lerendement financier sur la période.
Déterminons le montant minimal d'actif a0 dont doit disposer l'assureur en
début de période pour ne pas être en ruine, en fin de période, avec une
probabilité supérieure à 1 − α . Formellement, a0 est la solution d'un problèmed'optimisation :{}ρ
a0 = min a > 0 | Pr  ae ≥ B  > 1 − α .

Comme

(

)

Be−ρ ∼ LN m − µ, s 2 + σ 2 , on dispose d'une expression

analytique pour la valeur de a0 :{}a0 = exp m − µ + Φ −1 (1 − α ) s 2 + σ 2 .

Étudions à présent le sensibilité de a0 aux paramètres des modèles de base.
Par exemple pour le passif, on a :
1 ∂a0
= 1,
a0 ∂m

et
−1

1 ∂a0 Φ (1 − α )
.
=
a0 ∂s
1 + σ2 s2

Ainsi une erreur relative d'estimation du paramètre m conduit à la mêmeerreur relative sur a0 . Par ailleurs, une erreur relative de 1 % sur s conduit à
une erreur relative de Φ −1 (1 − α )une VaR à 99,5 %, lorsque s

1 + σ 2 s 2 sur a0 . Cela correspond pourσ , a une erreur 1,82 fois plus grande.

5.2. Simulation
La complexité inhérente à la modélisation du résultat d'une activitéd'assurance rend incontournable le recours aux techniques de simulation pourobtenir des résultats numériques. Si le principe de base de ces méthodes est
simple et universel (utilisation de la convergence forte de la Loi des grandsModélisations avancées en assurance

113

nombres), une mise en œuvre efficace nécessite de prendre quelquesprécautions. En effet, l'utilisation de résultats approchés par simulation est
source de différentes erreurs :−fluctuations d'échantillonnage liées au nombre fini de tirages
effectués ;−biais de discrétisation lors de la transformation d'un modèle continu
dans sa version discrète ;−erreurs associées aux approximations utilisées par certaines techniquesd'inversion ;−biais induits par un choix mal approprié du générateur de nombres
aléatoires.
Aussi, les algorithmes utilisés devront permettre un contrôle quantitatif del'ensemble de ces sources d'erreurs afin de pouvoir calibrer le nombre de tirages
nécessaire pour le degré de précision (un niveau de confiance étant fixé apriori) requis.
5.3. Spécification du modèle
5.3.1. Contexte et motivation

La construction d'un modèle interne nécessite la modélisation desdifférentes variables influant sur la solvabilité de l'assureur. Pour ce faire, lapremière étape consiste en la modélisation de ces différentes variables. Dans lecas d'ajustements paramétriques, il est naturel d'effectuer l'estimation desparamètres et les tests d'adéquation sur l'intégralité des données disponibles.
Cependant, dans notre problématique, ce sont les queues de distribution quivont influer sur le niveau du SCR. Or celles-ci sont souvent mal décrites parl'approche globale utilisant une loi paramétrique simple unique. En particulier,la plupart des modèles usuels (log-normal, Benktander, etc.) conduisent à deslois dans le DAM de Gumbel alors que les observations tendent à opter pourdes queues de distribution dans le DAM de Fréchet. En effet, les modèles
stochastiques qui fonctionnent actuellement chez les assureurs ont initialement
été créés pour effectuer des études de rentabilité ou calculer des provisions
techniques ; les résultats étant, le plus souvent, appréciés par des critères detype espérance-variance (ou VaR dans le cœur de la distribution – 75 % par
exemple), la modélisation des événements extrêmes a dans ce contexte une
influence toute relative. Dans l'approche Solvabilité 2, on ne s'intéresse
quasiment plus qu'aux valeurs extrêmes de la variable d'intérêt : le capital dont
on doit disposer aujourd'hui pour ne pas être en ruine dans un an. Cette
remarque est à nuancer par le fait que la plupart des assureurs qui investissent
dans le développement de modèles internes escomptent, qu'à quelquesaménagements près, celui-ci leur permettra d'affiner leur plan stratégique et derépondre aux futures exigences comptables résultant du passage à la phase II dela norme dédiée aux contrats d'assurance.
Considérons le modèle présenté ci-dessus. La Figure 25 présente unéchantillon de 1000 réalisations du montant d'actif dont doit disposer la société
en 0 pour ne pas être en ruine en 1.

114

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 25 - Modèle interne simplifié : identification des valeurs extrêmes

Les cinq points soulignés correspondent aux cinq scénarios qui ont conduits
aux valeurs maximales.
Figure 26 - Modèle interne simplifié : identification des valeurs extrêmes
(probabilités)Modélisations avancées en assurance

115

On remarque sur la Figure 26, qui représente les probabilités associées àchaque grandeur, que ces points se situent dans la queue de distribution d'aumoins une des deux variables de base. Or justement aux queues de distribution,l'adéquation des données au modèle retenu est souvent imparfaite.
5.3.2. Modélisations avancées

Considérons la Figure 27 qui représente le QQ-plot normal du rendement
journalier du titre TOTAL (de juillet 2005 à avril 2006).
Figure 27 - Rendement journalier du titre TOTAL : QQ-plot loi empiriquevs loi normale

On peut d'ores et déjà observer graphiquement que l'ajustement semble
globalement satisfaisant mais que les queues de distribution du modèle (enparticulier celle des rendements négatifs pour ce qui nous intéresse) sont trop
fines. Les tests statistiques de Jarque-Béra et de Lilliefors au seuil 5 %conduisent en effet à ne pas rejeter l'hypothèse de normalité du rendement.
Cependant, dans le cadre de la détermination d'un SCR sur le fondement d'uncritère VaR à 99,5 %, le modèle gaussien tendrait à minimiser le risque pris en
investissant sur ce placement. Par exemple, sur les données du titre TOTAL, lequantile à 0,5 % du rendement quotidien observé vaut −0,0309 alors que lequantile du même ordre du modèle gaussien ajusté vaut −0,0286, ce qui
représente une erreur de l'ordre de 7,5 %. Pour remédier à cela, dans lessituations où l'on dispose d'un nombre conséquent d'observations, on pourraitêtre tenté d'adopter une approche non-paramétrique en utilisant la distribution
empirique. Cela n'est toutefois pas satisfaisant en pratique, car de telles
approches sont techniquement plus difficiles à implémenter, nécessitent destemps de simulation plus longs et pénalisent une compréhension simplifiée du116

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

modèle. Dans ce contexte, il est naturel de conserver une approche
paramétrique et de rechercher un modèle qui représente mieux les queues dedistributions.
Le modèle suivant est une extension naturelle du rendement gaussien.
Supposons que le rendement de l'actif sur la période soit régi par leprocessus suivant
ρ = µ + σ 0ε 0 + σuN

∑ εi ,i=1

où les ε 0 , ε1 ,… sont des v.a.i.i.d. de loi N ( 0;1) et indépendantes deN ∼ P ( λ ) ( λ > 0) .

Ce processus est une version mono-périodique du processus de Merton (1976).
L'estimation des paramètres par maximum de vraisemblance nécessite
l'utilisation de techniques numériques (cf. Planchet et Thérond (2005b)).
Dans notre problématique, on peut toutefois souhaiter calibrer
manuellement les paramètres de manière à alourdir les queues de distribution.
Par exemple, en fixant l'espérance et la variance globale du rendement(identiques à celle du modèle gaussien), on peut pondérer la variabilité
représentée par la composante à sauts de manière à ce que la queue dedistribution du modèle soit aussi lourde que celle des observations.
Formellement, cela revient à choisir λ, σ 0 et σu sous la contrainte :σ 02 + λσu2 = σ 2 .

La Figure 28 représente cet ajustement. En la comparant avec la Figure 27,
on observe que les queues de distributions ont été alourdies. D'une manière
générale, la démarche illustrée supra dans le cas de la modélisation durendement financier devra être reconduite pour l'ensemble des variables de baseà l'actif et au passif sous peine de sous-estimer le SCR.

Modélisations avancées en assurance

117

Figure 28 - Rendement journalier du titre TOTAL : QQ-plot loi empiriquevs modèle de Merton

6. Conclusion
Le projet Solvabilité 2 a pour objectif d'établir un référentiel prudentiel
harmonisé et cohérent à l'ensemble des sociétés d'assurance européennes. Pourcela, il prévoit notamment d'inciter les sociétés à mieux modéliser leurs risquesen les autorisant à construire des modèles internes qui aboutissent à un capitalde solvabilité inférieur à celui fourni par la "formule standard". Cependant,nous avons vu que la robustesse du critère VaR à 99,5 % sur des données nonobservées mais générées par le modèle interne est toute relative. En particulier,les modèles stochastiques actuellement en place chez les assureurs (tant à l'actifqu'au passif) ne sont pas orientés vers l'estimation de valeurs extrêmes et sont,le plus souvent, construits à partir de modélisations des "variables de base" quisous-estiment les queues de distribution. L'utilisation en l'état de tels modèles
conduirait à sous-estimer le SCR. Aussi les sociétés d'assurance qui
souhaiteront développer un modèle interne devront modéliser plus finement lesqueues de distribution. Parallèlement, les autorités qui auditeront les modèlesinternes devront porter une attention particulière à celles-ci dans le processus devalidation. En particulier, une harmonisation au niveau européen de ces
procédures est indispensable sous peine d'introduire une distorsion deconcurrence entre les différents intervenants. Au global, la prise en compte ducritère de contrôle d'une probabilité de ruine qui sous-tend le dispositif
Solvabilité 2 implique donc une profonde refonte des modèles utilisés
jusqu'alors dans les sociétés d'assurance.

118

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Annexe A : Loi de Pareto généralisée (GPD)
A.1 Définition
Définition 16. Loi de Pareto généralisée
Soit H ξ,β la fonction de répartition définie pour β > 0 par  ξ −1 ξ
1 − 1 + x, si ξ ≠ 0,H ξ,β ( x) =   β si ξ = 0.
1 − exp ( − x β ) ,Cette fonction de répartition correspond à la loi de Pareto généralisée(GPD) de paramètres ξ et β . Elle est définie pour x > 0 si ξ > 0 et pour0 ≤ x ≤ −β ξ si ξ < 0 .
On notera dans la suite D ( ξ,β ) le domaine de définition de H ξ,β .
On montre (cf. Denuit et Charpentier (2005)) que la loi de Pareto
généralisée peut être vue comme une log-gamma ou encore, dans le cas où
ξ > 0 , comme un mélange de lois exponentielles dont le paramètre suit une loi
gamma.
A.2 Quelques propriétés
Les résultats suivants sont énoncés pour une variable aléatoire Y distribuée
selon une GPD de paramètre ( ξ,β ) .
Propriété 1. Si ξ < 1 , on a ξ E 1 + Y 
 β 

−r

=

1
, pour r > −1 ξ ,1 + ξrk  ξ kE  ln  1 + Y   = ξ k ! , pour k ∈ N ,
β

 

(

)

r

β
, pour ( r + 1) ξ > 0 .
E Y H ξ,β (Y )  = ( r + 1 − ξ ) ( r + 1)

Propriété 2. La variable aléatoire Y admet des moments jusqu'à l'ordre  ξ −1 et l'on a()β r Γ ξ −1 − rr
E Y  =r ! , pour r ≤  ξ −1  .
−1
r +1
ξ Γ ξ +1()

Modélisations avancées en assurance

119

Propriété 3. (Stabilité) La variable aléatoire Yu = [Y − u | Y > u ] est distribuée
selon une GPD de paramètre ( ξ,β + ξu ) . On en déduit que si ξ < 1 , alors pour

tout u < y F ,E [Y − u | Y > u ] =β + ξu, pour β + uξ > 0 .
1− ξOn rappelle que y F est la borne supérieure du support de Y, soity F = sup { y ∈ R, F ( y ) < 1} .

A.3 Estimation des paramètres
Considérons un n-échantillon (Y1 , … , Yn ) de la variable aléatoire Y defonction de répartition H ξ,β .
A.3.1 Méthode du maximum de vraisemblance

La densité f de Y vautf ( y) =1 ξ 
1+ yβ  β −1 ξ −1, pour y ∈ D ( ξ,β ) .

On en déduit la log-vraisemblance
n
 1
 ξ 
ln L ( ξ,β; Y1 , …, Yn ) = −n ln β −  1 +  ln 1 + Yi  .
ξ i =1  β ∑

En utilisant la reparamétrisation τ = ξ β , l'annulation des dérivées
partielles de la log-vraisemblance conduit au système
1 nln (1 + τYi ) =: ξˆ ( τ ) ,ξ =n i =1nYi
1 1  1 1=+
 1 + τY .
τ n  ξ i =1i∑∑

L'estimateur du maximum de vraisemblance de ( ξ, τ ) est ( ξˆ = ξˆ ( τˆ ) , τˆ ) oùτ̂ est solution denYi
1 1 1

.
= 
+ 1
ˆ
τ n  ξ ( τ )  i =1 1 + τYi∑

Cette dernière équation se résout numériquement de manière itérative pourautant que l'on dispose d'une valeur initiale τ 0 pas trop éloignée de τ . En
pratique, cette valeur initiale pourra être obtenue par la méthode des moments(pour autant que ceux-ci existent jusqu'à l'ordre 2) ou par la méthode desquantiles.

120

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Lorsque ξ > −1 2 , Hosking et Wallis (1987) ont montré la normalité
asymptotique des estimateurs du maximum de vraisemblance :


β̂

L
 1 + ξ −1 
n1 2  ξ̂ n − ξ, n − 1 → N  0, (1 + ξ ) 
 .
n →∞
β
 −1 2  

Ce résultat permet en particulier de calculer les erreurs approximatives
d'estimation commises par les estimateurs du maximum de vraisemblance.
A.3.2 Méthode des moments

D'après les résultats du paragraphe A.2, si ξ < 1 2 , les deux premiers
moments de Y existent et l'on aµ1 := E [Y ] =

β
,
1− ξ

et
µ 2 := Var [Y ] =β2(1 − ξ )2 (1 − 2ξ ).

On en déduit que
2

ξ=

1 µ1
−
2 2µ 2etµ  µ2 
β = 1  1 + 1  .
2  µ2 

En remplaçant µ1 et µ 2 par leurs estimateurs empiriques, on obtient lesestimateurs de la méthode des moments ξ̂ MM et β̂ MM . Ces estimateurs sont
simples à mettre en oeuvre, mais ne fonctionnant que pour ξ < 1 2 , ils
nécessitent la connaissance a priori de cette information.
A.3.3 Méthode des moments pondérés par les probabilités

Une alternative intéressante à la méthode des moments a été proposée par
Hosking et Wallis (1987). En remarquant queβr ( )
ωr := E YH ξ,βY =, pour r = 0;1 , ( r + 1) ( r + 1 − ξ )on obtientβ=2ω0 ω1
ω0 − 2ω1etξ = 2−

ω0.
ω0 − 2ω1

En remplaçant ω0 et ω1 par leurs estimateurs empiriques, on obtient lesestimateurs des moments pondérés par les probabilités ξ̂ PWM et β̂ PWM .
Dans le cas d'échantillons de taille réduite, Hosking et Wallis (1987)
montrent que, lorsque ξ < 1 2 , ces estimateurs sont plus efficaces que ceux dumaximum de vraisemblance. Le domaine de validité de cette méthode est sa

Modélisations avancées en assurance

121

principale limite à une utilisation en assurance : si la plupart des risques
admettent des moments d'ordre 2, ce n'est pas une généralité (tempêtes,tremblements de terre, risques industriels, responsabilité civile, etc.). Des
généralisations (Diebolt et al. (2005b)) permettent d'étendre cette méthode àξ <3 2.
A.3.4 Méthode des quantiles

La fonction quantile d'une loi GPD de paramètre ( ξ,β ) est donnée par−1
q p := H ξ,β( p) =β(1 − p )−ξ − 1 .
ξEn remarquant que−ξ
1 − p2 ) − 1(=, pour p1 , p2 ∈ ]0;1[ ,qp(1 − p1 )−ξ − 1
1

qp

2

la solution ξ̂ MQ de−ξ
1 − p2 ) − 1(=
Qp(1 − p1 )−ξ − 1
1Qpoù Q p1

et Q p2

2

sont les quantiles empiriques d'ordres p1 et p2 , est

l'estimateur des quantiles de ξ .
A.3.5 Méthodes bayésiennes

Des développements récents (cf. Coles et Powell (1996) ou Diebolt etal (2005a)) proposent des approches bayésiennes pour estimer les paramètres
de la GPD. Utilisant des algorithmes Markov Chain Monte Carlo (MCMC), cesméthodes permettent d'intégrer une information a priori (avis d'expert) dans descontextes où l'on dispose d'un nombre réduit d'observations.
Annexe B : Résultats probabilistes
Sont successivement rappelés dans ce paragraphe des résultats de calcul desprobabilités concernant la loi du maximum, l'épaisseur des queues dedistribution et la loi des excès au-delà d'un seuil. Les différents résultats sontdémontrés dans Embrechts et al. (1997).
B.1 Loi du maximum
Définition 17. Lois de même type
Deux v.a. X et Y sont dites de même type s'il existe deux constantes a ∈ R
et b > 0 telles que Y =d a + bX .

122

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Théorème 1. Fisher-Tippett-Gnedenko
Considérons une suite X1 , X 2 , … de v.a.i.i.d. S'il existe une suite de réels( an ) , une suite positive ( bn ) et une loi non-dégénérée H telles que
X1, n − anbn→d H ,

alors H est du même type qu'une des lois suivantes :{G ( x) = exp − (1 + ξx )−1 ξ

} , pour 1 + ξx ≥ 0,

Λ ( x) = exp {− exp ( − x )} , pour x ∈ R.

Les fonctions de répartition

G+ ( ξ > 0 ) ,Λ ( ξ = 0)etG− ( ξ < 0 )correspondent respectivement aux lois de Fréchet, de Gumbel et de Weibull.
Définition 18. Domaine d’attraction maximum
On dira d'une fonction de répartition F qui répond aux hypothèses duthéorème de Fisher-Tippett-Gnedenko qu'elle appartient au domained'attraction maximum (DAM) de H.
La représentation de Jenkinson-Von Mises fournit une caractérisation
synthétique des lois extrêmes : la distribution généralisée des valeurs extrêmes
(Generalized Extreme Value, ou GEV). La fonction de répartition GEV a laforme suivante :
1


− 

x−µ  ξ x−µ
 
> 0, ξ ≠ 0,
 si 1 + ξexp −  1 + ξ

σ  
σ



H ξµ,σ ( x) = 





−
x
µ


exp − exp −si ξ = 0,σ  


où le paramètre de localisation µ est directement lié à la valeur la plus
probable de la loi, il donne donc une information approximative sur le cœur dela distribution alors que σ est le paramètre de dispersion qui indiquel’étalement des valeurs extrêmes. Enfin ξ est l’indice de queue précédemment
introduit.
B.2 Épaisseur des queues de distribution
Définition 19. Fonction à variation régulière
Une fonction h : R*+ → R + est dite à variation régulière (en +∞ ) d'indice
α si h vérifieh ( tx ) α= t pour tout t > 0 .
x →+∞ h ( x )lim

Si α = 0 , on parlera de variation lente ; si α = ∞ , de variation rapide.

Modélisations avancées en assurance

123

Théorème 2. Théorème taubérien
Une v.a. de fonction de répartition F et de transformée de Laplace LF est àvariation régulière d'indice −α ( α ≤ 0 ) si les conditions équivalentes
suivantes sont vérifiées ( LF , L −1 , LL et L f désignent des fonctions àFvariation lente) :(i) F est à variation régulière d'indice −α , i.e. F ( x ) = x −α LF ( x ) .
(ii) La fonction quantile est à variation régulière :F −1 (1 − 1 x ) = x1 α L −1 ( x ) .
F(iii) La transformée de Laplace de F vérifie LF ( t ) = t α LL (1 t ) .
(iv) Si la densité existe et vérifie xf ( x ) F ( x ) → α quand x → +∞ , alorsladensitéf ( x) = xest− (1+ α )àvariation

régulièred'indice− (1 + α ) ,i.e.

Lf ( x ) .

La condition relative à la transformée de Laplace permet d'établir que la
propriété de variation régulière à paramètre fixé est stable par convolution.
B.3 Loi des excès au-delà d'un seuil
Théorème 3. Pickands-Balkema-de Haari
Une fonction de répartition F appartient au domaine maximum d'attractionde Gξ si, et seulement si, il existe une fonction positive β (.) telle que
lim supu → x x >0

{ F ( x) − H ( ) ( x)} = 0 .
u

ξ,β u

Ce théorème établit le lien entre le paramètre de la loi du domained'attraction maximum et le comportement limite des excès au-delà d'un seuil
grand. En particulier, l'indice de queue ξ est identique au paramètre de la loi
GPD qui décrit le coût résiduel des sinistres dépassant un seuil suffisammentélevé.
Ceci permet notamment de distinguer les lois à queue épaisse qui
appartiennent au DAM de Fréchet ( ξ > 0 ) des lois à queue fine qui
appartiennent au DAM de Gumbel ( ξ = 0 ) . Le tableau suivant indique lecomportement limite de certaines lois usuelles.

124

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Tableau 4 - Comportement extrême de lois usuelles en assurance
Lois à queue épaisse
ξ>0Lois à queue fineξ=0

Lois bornées à droite
ξ<0CauchyParetolog-gamma
Student
α-stable ( α < 2 )gammanormalelog-normale
Weibull
Benktander

uniformebeta

La propriété suivante concerne le nombre Nu de dépassements d'un seuil uassez élevé.
Proposition 5.

Nombre de dépassements d’un seuil élevé

Le nombre de dépassements du seuil un dans un échantillon de taille n est
asymptotiquement distribué selon une loi de Poisson pour autant que la
probabilité de dépasser un diminue proportionnellement à l'inverse de la
taille de l'échantillon. Formellement, on alim nF ( un ) = τ ⇒ Nu →d P ( τ ) .
nn →∞En effet, commePr  Nu = k  = Pr 

 n


∑ i =11X i >un = k net que lesX1 , X 2 , … sont indépendants et identiquement distribués, on a :(Pr  Nu = k  = Cnk F k ( un ) 1 − F ( un )
 n


)

n−k

, pour n ≥ k .

Cette expression peut se réécrire sous la forme :

(

)

n−k
k k
Pr  Nu = k  = Cn F ( un ) 1 − F ( un )
 n

n
1
 1   k −1 k=
1 − … 1 −F ( un ) 1 − F ( un ) .

k 
n 
 n 
1− F u(Lorsquen→∞,(( n ))nF ( un ) → τ ,F ( un ) → 0

et

)

j n→0

pour

j ∈ {0,… , k − 1} , doncnkk
 nF ( un ) 
τ
τ −τ
e ,
lim Pr  Nu = k  =lim 1 − = n k ! n →∞ 

n
k!
n →∞



la dernière égalité pouvant se montrer par un développement limité de(ln 1 − nF ( un ) n).
nModélisations avancées en assurance

125

Annexe C : Estimation du paramètre de queue
L'épaisseur de la queue de la fonction de répartition F est résumée par leparamètre ξ de la loi dont elle fait partie du DAM. Ainsi les lois appartenant
au DAM de la loi de Fréchet ( ξ > 0 ) voient leur queue décroître en fonction
puissance tandis que celles appartenant au DAM de Gumbel ( ξ = 0 ) ont desqueues qui décroissent de manière exponentielle.
Les estimateurs de quantiles extrêmes faisant appel à ce paramètre de queueξ , son estimation doit faire l'objet d'une attention particulière.
L'objet de cette section est donc de présenter les principales méthodes
d'estimation de l'épaisseur de la queue de distribution. Sont ainsi notamment
présentés les estimateurs de Pickands (1975), de Hill (1975) et de Dekkers etal. (1989).
C.1 Méthodes paramétriques
C.1.1 Ajustement à la loi du maximum

Le théorème de Fisher-Tippett-Gnedenko nous donne la loi asymptotique deX1, n . A supposer que l'on dispose de réalisations de cette v.a., i.e. de méchantillons permettant d'observer m réalisations x1,(1)n , …, x1,( mn ) de X1, n , laméthode du maximum de vraisemblance permettrait d'estimer les paramètres dela loi limite et en particulier ξ .
C.1.2 Ajustement de la loi limite des excès

Considérons une distribution F appartenant au domaine d'attraction
maximum de Gξ . D'après le théorème de Pickands-Balkema-de Haari, il existe
une fonction positive β (.) telle que
lim supu → x x >0

{ F ( x) − H ( ) ( x)} = 0 .
u

ξ,β u

En particulier, le paramètre ξ de la distribution Pareto généralisée H ξ,β est
identique à celui de Gξ . Ainsi pour un seuil u assez élevé, la distributionH ξ,β ( u ) est une bonne approximation de Fu dont on dispose de Nu

observations X N , n − u, …, X1, n − u . Les techniques présentées au paragrapheu

A.3 permettent alors d'estimer ξ .
En particulier, si ξ > −1 2 est estimé par la méthode du maximum devraisemblance, Smith (1987) montre que la variance asymptotique de cet
estimateur vaut (1 + ξ )

2

Nu .

126

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

C.2 Méthodes semi-paramétriques
C.2.1 Estimateur de Pickands

Pour k n → 0 , l'estimateur de Pickands, défini parξ kP =X k , n − X 2k , n1ln,
ln 2 X 2 k , n − X 4 K , n

est un estimateur convergent de ξ . De plus, sous certaines conditions
supplémentaires portant sur k et F (cf. Dekkers et de Haan (1989)), il est
asymptotiquement gaussien :ξ 2 ( 2ξ +1 + 1) .
k ξ kP − ξ →d N  0,2ξ
 2 ( 2 − 1) ln 2 

(

)

(

)

C.2.2 Estimateur de Hill

Pour k n → 0 , l'estimateur de Hill défini par
H

ξk =

X j,n
1 k
,
ln
k j =1 X k , n∑

est un estimateur convergent de ξ . De plus, sous certaines conditions sur k et F
(cf. de Haan et Peng (1998)), il est asymptotiquement gaussien :

(

)

(

)

k ξ kH − ξ →d N 0, ξ 2 .

Bien que plus performant que l'estimateur de Pickands (cf. le rapport desvariances asymptotiques), l'estimateur de Hill n'est utilisable que pour les
distributions de Fréchet ( ξ > 0 ) .
C.2.3 Estimateur de Dekkers-Einmahl-de Haan

L'estimateur de Dekkers-Einmahl-de Haan est une généralisation del'estimateur de Hill à l'ensemble des lois extrêmes ( ξ ∈ R ) .
Pour k n → 0 , l'estimateur de Dekkers-Einmahl-de Haan défini par( )(1) 2 
ξ


1
(
)
1
DEdH
= 1 + ξ k −  1 − k( ) 
ξk
2

2
ξk


k

i

−1

,

X j,n avec
 ln
 , est un estimateur convergent de ξ . De plus,
k j =1  X k +1, n 
sous certaines conditions sur k et F (cf. Dekkers et al. (1989)), il est
asymptotiquement gaussien :
1
(i )
ξk =

∑

Modélisations avancées en assurance

(

127

)

(

)

k ξ kDEdH − ξ →d N 0,1 + ξ 2 .

Cet estimateur est également connu sous l'appellation d'estimateur desmoments, les ξ (ki ) pouvant s'interpréter comme des moments empiriques.
C.2.4 Nombre d'observations à utiliser

Les résultats concernant les estimateurs de l'indice de queue énoncés
précédemment sont asymptotiques : ils sont obtenus lorsque k → ∞ et
k n → 0 . Comme en pratique, on ne dispose que d'un nombre d'observations nfini, il s'agit de choisir k de manière à ce que l'on dispose de suffisamment dematériel statistique (les X k , n , …, X1, n ) tout en restant dans la queue dedistribution ( kn) .

En particulier, l'estimateur de Hill satisfaisant la propriété asymptotique

(

)

(

)

k ξ kH − ξ →d N 0, ξ 2 ,pour k → ∞ avec un certain taux de croissance en fonction de n, on pourraitêtre tenté de choisir k aussi grand que possible de manière à minimiser l'erreur
quadratique moyenne commise par ξ kH . Cependant, le comportement au
deuxième ordre de la fonction à variation lente LF introduite dans le théorème
taubérien induit un biais lorsque k est trop grand. Des solutions pour fixer k demanière à disposer d'un estimateur asymptotiquement sans biais ont notamment
été proposées par Goldie et Smith (1987) puis de Haan et Peng (1998).
Concernant l'estimateur de Hill pour des fonctions appartenant au DAM deFréchet, de Haan et Peng (1998) ont proposé de retenir le nombre d'observationk ∗ qui réduit l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur de Hill, i.e.
1 ( 2ξ +1) (1 + ξ )2 

2ξ
2ξ
1
+
(
)



∗
, si ξ ∈ ]0;1[
 2ξ k ( n ) = 1 + n 23
si ξ > 1.
2n ,

Toutefois, on remarque que k ∗ s'exprime en fonction de ξ qui n'est pas
observé. De plus ce critère ne concerne que l'estimateur de Hill.
En pratique, il sera préférable de suivre la démarche proposée par
Embrechts et al. (1997) qui suggèrent de tracer les estimateurs en fonction dek n et de choisir k dans un intervalle où la droite des estimations est
approximativement horizontale (cf. la Figure 29 détaillée infra).
C.2.5 Illustrationloi

La Figure 29 illustre les différents estimateurs du paramètre de queue d'unede Pareto de première espèce (de fonction de répartition

F ( x ) = 1 − ( x0 x ) , pour x > x0 ). Cette famille de distributions faisant partieα128

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

du DAM de Fréchet, les estimations de Pickands, de Hill et de DekkersEinmahl-de Haan ont pu être tracées en fonction de k.
Figure 29 - Estimation de l'épaisseur de la queue d'une distribution de
ParetoOn observe la suprématie de l'estimateur de Hill sur ceux de Pickands et de
Dekkers-Einmahl-de Haan. Par ailleurs, pour k < 0, 02 × n , l'estimateur de Hill
est relativement volatile. On serait donc amené à utiliser de l'ordre de 2,5 % desdonnées les plus extrêmes pour estimer l'épaisseur de la queue de distribution.

Modélisations avancées en assurance

129

Bibliographie
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Chapitre 5
Prise en compte de la dépendance

Le cœur de l’activité d’assurance repose sur le principe de mutualisation
découlant de la loi des grands nombres.
Théorème 4. Loi faible des grands nombres
Soit

X1, X 2, …

une suite de variables aléatoires indépendantes
22d’espérances m1, m2, … finies et de variances σ1 , σ2, … finies. Si
Pr
1 n 2
1 n
1 n
mi → m et si 2
σi → 0 , alors ∑ X i → m .
n i =1n i =1n i =1∑∑

La loi des grands nombres requiert l’indépendance des risques. Si les
risques ne sont pas indépendants, on a toujours la propriété limite
1 n
E  ∑ X i  = m , mais on ne dispose plus de la convergence en probabilité quin i =1 assure la mutualisation.
Intéressons-nous par exemple à deux variables aléatoires X1 et X 2 de loi

exponentielle de paramètre 1, i. e. telles que Pr[ X i < x ] = 1 − e − x pour x ∈ R + .

Supposons que ces deux variables modélisent deux risques supportés par un
assureur. En faisant l’hypothèse d’indépendance, la charge globale de sinistres
X1 + X 2 est distribuée selon une loi gamma G ( 2;1) alors qu’elle sera
distribuée selon une loi exponentielle de paramètre 1 / 2 lorsque la dépendance
est parfaitement positive. Si les espérances de ces deux lois sont égales, il ensera autrement des primes Stop-Loss ou encore des Value-at-Risk.
Aussi la prise en compte de la dépendance stochastique est primordiale dans
une approche de contrôle du risque. Notons enfin la part croissante prise par lathéorie des copules dans la cadre de la modélisation des risques d’assurance.
Après avoir examiné les différents types de dépendance et les outils pourquantifier le degré de dépendance, on s’attache dans cette section à décrire lesoutils usuels de modélisation des structures de dépendance.
On distingue d’une part la dépendance linéaire (dont l’intérêt est lié demanière assez intime au caractère gaussien des phénomènes sous-jacents) et ladépendance non linéaire, au travers de la théorie des copules.

134

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

La dernière partie de ce chapitre est consacrée à deux exemples demodélisation de la dépendance en assurance : le rachat de contrats d’épargne en
eurois et le calcul d’un capital de solvabilité par une formule modulaire.
1. Analyse mathématique de la dépendanceL’étude mathématique de la dépendance entre variables aléatoires nous
permet de disposer d’outils pour quantifier la force de cette dépendance : lesmesures de dépendance, et de structures de dépendance.
Ces deux aspects sont abordés successivement.
1.1. Mesures de dépendance
L’objet de ce paragraphe est de définir ce qu’est une mesure de dépendance
et de présenter les mesures les plus usuelles. On se restreint tout d’abord au casde deux risques avant de généraliser.
1.1.1. Définition

Définition 20. Mesure de dépendance
Une mesure de dépendance est une application qui associe à deux variables
aléatoires un réel permettant de quantifier la force de la dépendance qui lie
ces deux variables aléatoires.
Cette définition n’est pas très restrictive mais en pratique, on demandera
souvent à une mesure de risque de posséder un certain nombre de « bonnes
propriétés », i. e. d’être une mesure de concordance définie comme suit.
Définition 21. Mesure de concordance
Une mesure de dépendance δ est une mesure de concordance si elle possède
les propriétés suivantes :(P1) δ ( X1, X 2 ) = δ ( X 2, X1 ) (symétrie) ;(P2) − 1 ≤ δ ( X1, X 2 ) ≤ 1 (normalisation) ;()(P3) δ ( X1, X 2 ) = 1 ⇔ ( X1, X 2 ) =loi F1−1(U ), F2−1(U ) où U ~ U[ 0;1] ;()(P4) δ ( X1, X 2 ) = −1 ⇔ ( X1, X 2 ) =loi F1−1(U ), F2−1(1 − U ) où U ~ U[ 0;1] ;(P5) Si f est strictement monotone,δ ( X1, X 2 )si f ↑δ ( f ( X1 ), X 2 ) =  − δ ( X1, X 2 ) si f ↓ .

Ainsi une mesureδ ( X1, X 2 ) = 0 ⇔ X1 et X 2
concordance.

de dépendance δ
indépendantes n’est

En effet si l’on considère le couple
Z ~ U[ 0; 2π ] .

Puisquequipas

a la propriété
une mesure de( X 1 , X 2 ) =loi ( cos Z , sin Z )( X1, X 2 ) =loi (− X1, X 2 ) ,

on

où
a:

Modélisations avancées en assurance135

δ ( X1, X 2 ) = δ (− X1, X 2 ) . Par ailleurs f : x−x est strictement décroissantedonc δ ( X1, X 2 ) = δ (− X1, X 2 ) = −δ ( X1, X 2 ) = 0 alors que X1 et X2 ne sont pas
indépendantes.
En revanche, nous verrons que la plupart des mesures de dépendance
utilisées en pratique vérifient la propriété :X1 et X 2 indépendantes ⇒ δ ( X1, X 2 ) = 0 .

1.1.2. Coefficient de corrélation de Pearson

Le coefficient de corrélation de Pearson, également appelé coefficient decorrélation linéaire, est la première mesure de dépendance à avoir été utilisée. Il
repose sur la propriété suivante :Var[ X 1 + X 2 ] = Var[ X 1 ] + Var[ X 2 ] + 2 Cov[ X 1 , X 2 ] .

La covariance mesure donc le surcroît de variabilité (éventuellement
négatif) de la somme de deux variables aléatoires par rapport à la somme de lavariabilité de chacune de ces variables aléatoires. La covariance permet donc
d’apprécier le sens de la covariation de deux variables aléatoires. Le coefficientde corrélation de Pearson en est une version normée sans dimension.
Soit deux variables aléatoires X1 et X2 admettant des moments jusqu’àl’ordre 2. Le coefficient de corrélation de Pearson entre X1 et X2 que l’on noterar ( X1, X 2 ) est défini parr ( X1 , X 2 ) =Cov[ X 1 , X 2 ]Var[ X 1 ] Var[ X 2 ].

Plus le coefficient de corrélation de Pearson sera grand en valeur absolue,
plus la dépendance entre les variables aléatoires sera forte.
Par ailleurs, quelles que soient les variables aléatoires X1 et X2 admettant
des moments jusqu’à l’ordre 2, on a toujours − 1 ≤ r ( X1, X 2 ) ≤ 1 .
Notons que considérant deux variables aléatoires X1 et X2 de fonction derépartition F1 et F2, il n’est pas toujours possible de trouver une distribution
jointe telle que les bornes de l’inégalité soient atteintes.
Propriétés : Le coefficient de corrélation possède les deux propriétéssuivantes :r ( X1, X 2 ) = 1 ⇔ X 2 =loi a + bX1 avec b ≠ 0 . De plus le signe de r−

est identique au signe de b.

X1 et X 2 indépendantes ⇒ r ( X1, X 2 ) = 0 . La réciproque est fausse.

−

La démonstration de la première propriété est triviale. Pour la deuxième, il
suffit de considérer X ~ N ( 0;1) . X est symétrique donc E[ X 3 ] = 0 . Posons
Y = X , E[ XY ] = 0 , donc r ( X, Y ) = 0 alors que X et Y ne sont pas
indépendants.
2

136

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

En revanche le coefficient de corrélation linéaire n’est pas une mesure deconcordance. En effet, il n’a pas les propriétés (P3) et (P4) de la définitiond’une mesure de concordance présentée au paragraphe 1.1.1.
1.1.3. Coefficient de corrélation des rangs de Kendall

Le coefficient de corrélation des rangs de Kendall, ou τ de Kendall, utilise
les concepts de concordance et de discordance définis comme suit.
Définition 22. Concordance de couples

Les couples ( X1, X 2 ) et (Y1, Y2 ) sont en concordance si( X1 < Y1 et X 2 < Y2 ) ou ( X1 > Y1 et X 2 > Y2 ) .

Définition 23. Discordance de couples

Les couples ( X1, X 2 ) et (Y1, Y2 ) sont en discordance si( X1 < Y1 et X 2 > Y2 ) ou ( X1 > Y1 et X 2 < Y2 ) .

Il faut noter que ces deux couples peuvent n’être ni en concordance ni en
discordance.
Définition 24. Coefficient de corrélation des rangs de Kendall

Soit X = ( X1, X 2 ) un vecteur aléatoire dont les fonctions de répartition
marginales sont continues. Le coefficient de corrélation des rangs de
Kendall du vecteur X , que l’on notera τ ( X1, X 2 ) est défini par
τ ( X 1 , X 2 ) = Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) > 0  − Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) < 0  ,où(Y1, Y2 ) est un couple indépendant de ( X1, X 2 ) et de même loi.

Le τ de Kendall compare ainsi la probabilité que deux couples indépendants
mais de même loi soient en concordance et la probabilité qu’ils soient en
discordance. Aussi un τ positif signifiera qu’en probabilité, les couples
considérés sont plus souvent en concordance qu’en discordance.
Proposition 6.

Pour tout couple X = ( X 1 , X 2 ) de fonctions de répartition

marginales continues, τ ( X 1 , X 2 ) = 4 E  FX ( X 1 , X 2 )  − 1 .

Démonstration : Soit (Y1, Y2 ) est un couple indépendant de ( X1, X 2 ) et demême loi. Comme Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) > 0  + Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) < 0  = 1 ,d’après
ladéfinitionduτ
deKendall,τ ( X 1 , X 2 ) = 2 Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) > 0  − 1 . Comme :

il

vient

Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) > 0  = Pr[ X 1 < Y1 , X 2 < Y2 ] + Pr[ X 1 > Y1 , X 2 > Y2 ] ,on peut écrire que Pr ( X 1 − Y1 )( X 2 − Y2 ) > 0  = E  FX (Y1 , Y2 ) + FY ( X 1 , X 2 )  .
Par ailleurs, les couples X et Y étant indépendants et distribués identiquement,
on a E  FX (Y1 , Y2 )  = E  FY ( X 1 , X 2 )  , ce qui assure le résultat. Modélisations avancées en assurance

137

Quelles que soient les fonctions f et g toutes deux croissantes ou toutes deuxdécroissantes, on a τ ( f ( X1 ), g ( X 2 )) = τ ( X1, X 2 ) .
Par ailleurs on dispose de l’implication :X1 et X 2 indépendantes ⇒ τ ( X1, X 2 ) = 0 .

Eneffet,

si

et

X1

X2

sont

indépendantes,

alors

FX ( x1 , x2 ) = Pr[ X 1 ≤ x1 ] Pr[ X 2 ≤ x2 ] donc E  FX ( X 1 , X 2 )  = 1 4 ce qui assure

le résultat grâce à l’écriture de la Proposition 6.
On en déduit que le τ de Kendall est une mesure de concordance.
1.1.4. Coefficient de corrélation des rangs de Spearman

Le coefficient de corrélation des rangs de Spearman1, ou ρ de Spearman,
fait également appel aux notions de concordance et de discordance encomparant le couple dont on veut mesurer la dépendance à une version
indépendante de ce couple.
Définition 25. Coefficient de corrélation des rangs de Spearman

Considérons le couple X = ( X1, X 2 ) de fonctions de répartition marginales
continues F1 et F2 , le coefficient de corrélation des rangs de Spearman dece couple, noté ρ ( X1, X 2 ) est défini par{ (ρ( X 1 , X 2 ) = 3 Pr  X 1 − X 1⊥

où le couple X
indépendant.

⊥

(

⊥

)( X − X ) > 0 − Pr ( X − X )( X − X ) < 0} ,2⊥= X1 , X 2

⊥
2

1

⊥
1

2

⊥
2

) a les mêmes marginales que X mais est

Proposition 7. Pour tout couple X = ( X1, X 2 ) de fonctions de répartition
marginales continues, ρ ( X1, X 2 ) = r (F1( X1 ), F2 ( X 2 )) .
Le ρ de Spearman ne dépend donc pas des marginales F1 et F2 , puisqueF1( X1 ) et F2 ( X 2 ) sont des variables aléatoires de loi uniforme sur [0;1] .
Par ailleurs, quelles que soient les fonctions f et g toutes deux croissantes ou
toutes deux décroissantes, on a ρ ( f ( X1 ), g ( X 2 )) = ρ ( X1, X 2 ) .
Enfin le ρ de Spearman est une mesure de concordance.
1.1.5. Liens entre le τ de Kendall et le ρ de Spearman

Plusieurs relations lient les deux mesures de concordance. Le lecteur
trouvera les démonstrations des deux premières dans Denuit etCharpentier (2004). La troisième se déduit des deux premières. Lorsqu’il n’y apas d’ambiguïté possible, on omettra de préciser à quel couple s’appliquent lesmesures de dépendance.

1. Pour mémoire, Spearman était psychologue.

138

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Propriétés : Pour tout couple X = ( X1, X 2 ) de fonctions de répartition
marginales continues, on a :−1 ≤ 3τ − 2ρ ≤ 1 ;2

2

1+ τ 1− τ − 1 + 2 ≤ ρ ≤ 1 − 2

 ;
 2 
 2 
1 + 2τ − τ2
− 1 + 3τ≤ρ≤si τ ≥ 0 ,2
2

et
1 + 3τ
− 1 + 2τ + τ 2≤ρ≤si τ ≤ 0 .
2
2

1.2. Structures de dépendance
Si deux variables aléatoires n’ont qu’une manière d’être indépendantes, ladépendance peut quant à elle revêtir de nombreuses formes. Ce sont ces formes
que tentent de capter les structures de dépendance. L’objet de ce paragraphe est
de présenter trois types de structure de dépendance qui seront étudiées dans desespaces de Fréchet.
1.2.1. Espaces de Fréchet

Définition 26. Classe de Fréchet
La classe de Fréchet associée aux fonctions de répartition F1 et F2 , notée
F (F1, F2 ) , est constituée de l’ensemble des distributions de probabilités descouples X = ( X1, X 2 ) dont les marginales sont respectivement F1 et F2 .
Les classes de Fréchet constituent un cadre idéal pour analyser ladépendance puisqu’elles ne regroupent que des lois de probabilité de couples
qui ne diffèrent entre elles que par leur structure de dépendance et non par leursmarginales.
Définition 27. Borne supérieure de Fréchet
La fonction de répartition W définie parW ( x1 , x2 ) = min{ F1 ( x1 ), F2 ( x2 )} ,est appelée borne supérieure de Fréchet de la classe F ( F1 , F2 ) .
Définition 28. Borne inférieure de Fréchet
La fonction de répartition M définie parM ( x1 , x2 ) = max{ F1 ( x1 ) + F2 ( x2 ) − 1, 0} ,est appelée borne inférieure de Fréchet de la classe F ( F1 , F2 ) .
Ces deux fonctions de répartition tirent leur nom de la propriété suivante.
Propriété : Pour tout FX ∈ F ( F1 , F2 ) ,Modélisations avancées en assurance139

M (x) ≤ FX (x) ≤ W (x) pour tout x ∈ R 2 .

Cette propriété traduit le fait que, pour tout couple X = ( X1, X 2 ) , la classede Fréchet correspondante est bornée par les fonctions de répartition W et M.
Dans la suite, on parlera parfois de couple X = ( X1, X 2 ) appartenant à laclasse de Fréchet F ( F1 , F2 ) , il s’agit d’un abus de langage car une classe deFréchet est composée de fonctions de répartitions et non de vecteurs aléatoires :c’est en fait la fonction de répartition FX du couple X qui appartient à laclasse de Fréchet.
1.2.2. Comparaison supermodulaire

La comparaison supermodulaire permet de comparer la force de ladépendance existant entre les composantes de couples de risques. Cette
comparaison utilise les fonctions supermodulaires, également appelée fonctions
superadditives.
2

Rappelons qu’une fonction g : R → R est dite supermodulaire lorsque2

pour tous ε > 0, δ > 0, x ∈ R , l’inégalité suivante est vérifiée :g (x1 + ε, x2 + δ ) + g ( x1, x2 ) ≥ g (x1 + ε, x2 ) + g ( x1, x2 + δ ) .

En particulier lorsque g est dérivable par rapport à chacun de ces arguments
en un point x, comme on a :g (x1 + ε, x2 + δ ) − g ( x1, x2 + δ ) ≥ g ( x1 + ε, x2 ) − g ( x1, x2 ) ,lorsque ε → 0 , il vient∂∂g ( x1, x2 + δ ) ≥g ( x1, x2 ) .
∂x1∂x1

Puis lorsque δ → 0 , on a enfin∂2g ( x1, x2 ) ≥ 0 .
∂x1∂x2Ce qui nous conduit naturellement à la caractérisation suivante pour lesfonctions dérivables par rapport à chaque argument.

(R , R ) est supermodulaire si, et seulement

1,1

Propriété : Une fonction g ∈ C

2

2

si,

∂
g (x ) ≥ 0 pour tout x ∈ R 2 .
∂x1∂x2

Cette caractérisation en amène une autre.

(

1,1

2

)

Propriété : Soit g ∈ C R , R une fonction supermodulaire. Pour toutes
fonctions f1 et f2 toutes deux croissantes ou toutes deux décroissantes, lafonction Ψ : x
g ( f1(x1), f2 (x2) ) est également supermodulaire.

140

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Définition 29. Comparaison supermodulaire
Le couple X est dit inférieur au sens supermodulaire au couple Y , et l’onnote X ≺ sm Y , lorsque pour toute fonction supermodulaire g telle que
E  g ( X )  et E  g (Y )  existent, on a l’inégalité E  g ( X )  ≤ E  g (Y )  .

Lorsque X ≺ sm Y , on pourra dire que l’intensité de la dépendance qui lie
les variables aléatoires X1 et X 2 est moins forte que celle qui lie les risques
Y1 et Y2 .
De plus, pour tous couples X et Y dont les fonctions de répartition
appartiennent à F (F1, F2 ) , quelles que soient les fonctions f1 et f2 croissantes,
on a : X ≺ sm Y ⇒ ( f1(X1), f2 (X 2) ) ≤ ( f1(Y1), f2 (Y2) ) .
Pour pouvoir être comparées les fonctions de répartition de deux couples
doivent faire partie de la même classe de Fréchet. En effet,
X ≺ sm Y ⇒ X i =loi Yi pour i = 1,2 ⇔ FX , FY ∈ F (F1, F2 ) .

Ce résultat se démontre en utilisant les fonctions supermodulaires
g1 : z1{z > x } et g2 : z
1{z ≤ x } .
L’utilisation de ces mêmes fonctions g1 et g2 permet de démontrer lacaractérisation suivante de l’ordre supermodulaire.
Proposition 8. Soient X et Y deux couples dont les fonctions derépartition appartiennent à une même classe de Fréchet. On a
X ≺ sm Y ⇔ FX ( x ) ≤ FY ( x ) pour tout x ∈ R 2 .

Le résultat suivant traduit l’intuition selon laquelle la somme de deux
risques est d’autant plus dangereuse que les risques sont dépendants.
FX , FY ∈ F (F1, F2 ) ,Proposition 9. Pour
toutesX ≺ sm Y ⇔ X1 + X 2 ≺ cx Y1 + Y2 .

ona:Démonstration : Soient X et Y deux couples tels que FX , FY ∈ F (F1, F2 ) .
D’après la Proposition 8, on a :X ≺ sm Y ⇔ ∀t ≥ 0, ∀s ≤ t, FX (t, s − t ) ≤ FX (t, s − t )tEn remarquant que ∫ 1 {x1≤s , x2 ≤t −s} ds = ( t − x1 − x2 ) et en utilisant le théorème+

0de Fubini, on obtient l’équivalence :X ≺ sm Y

Par ailleurs, comme⇔ ∀t ≥ 0, E ( X 1 + X 2 − t )  ≤ E (Y1 + Y2 − t ) ⇔ X 1 + X 2 ≺ cx Y1 + Y2 .
++

Modélisations avancées en assurance141

 = t + E[ X1 + X 2 ]E ( X 1 + X 2 − t )  − E ( t − X 1 − X 2 ) 



+



+



=

t + E[Y1 + Y2 ]=E ( Y1 + Y2 − t )  − E ( t − Y1 − Y2 ) 



+





+



puisque X i =loi Y pour i = 1,2 , on a :E ( X1 + X 2 − t )  ≤ E ( Y1 + Y2 − t )  ⇔ E ( t − X1 − X 2 )  ≤ E ( t − Y1 − Y2 )  ,
+

+

+

+

+
+
qui assure que X ≺ sm Y ⇔ ∀t ≥ 0, E ( X1 + X 2 − t )  ≤ E (Y1 + Y2 − t )  . 

On dispose de l’implication suivante qui relie la comparaison
supermodulaire avec les mesures de dépendance étudiées dans leparagraphe 1.1 :Propriété : Quels que soient les couples X et Y , on a
 r ( X ) ≤ r (Y )X ≺ sm Y ⇒  τ ( X ) ≤ τ (Y ) .
ρ ( X ) ≤ ρ (Y )
1.2.3. Comonotonie et antimonotonie

Les concepts de comonotonie et d’antimonotonie sont équivalents à celui dedépendance parfaite.
Définition 30. Comonotonie

Le couple X = ( X1, X 2 ) est comonotone s’il existe des fonctions
croissantes g1 et g2 telles que X =loi ( g1(Z ), g2(Z )) .

Définition 31. Antimonotonie

Le couple X = ( X1, X 2 ) est antimonotone s’il existe une fonction
croissante g1 et une fonction décroissante g2 telles que
X =loi ( g1(Z ), g2(Z )) .

Ces notions correspondent à la plus forte dépendance possible, ce qui se
traduit, quand on se place dans l’espace de Fréchet correspondant, àl’équivalence avec les bornes de la classe de Fréchet.

Ainsi, le couple X = ( X1, X 2 ) est comonotone si, et seulement si, il admet
W comme fonction de répartition.

De la même manière, le couple X = ( X1, X 2 ) est antimonotone si, etseulement si, il admet M comme fonction de répartition.
Rappelons que la VaR de la somme de deux risques comonotones est égale
à la somme des VaR de chacun de ces risques, pour autant que les fonctions de142

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

répartitions marginales de ces deux variables aléatoires soient continues (cf. lespropriétés des mesures de risques dans le Chapitre 1).
1.2.4. Dépendance positive par quadrant

Le concept de dépendance positive par quadrant repose sur la comparaisonde la fonction de répartition d’un couple par rapport à celle d’un couple demêmes marginales mais dont les composantes sont indépendantes.
Définition 32. Dépendance positive par quadrant

Le couple X = ( X1, X 2 ) dont la fonction de répartition appartient à laclasse F (F1, F2 ) est dépendant positivement par quadrant (DPQ) si pour
tout x ∈ R 2 , on a : FX ( x ) ≥ F1( x1 )F2 ( x2 ) .

Le nom de cette structure de dépendance provient du fait que la probabilité
que le vecteur X soit dans le quart de quadrant supérieur droit au point ( x1, x2 )⊥est supérieure à celle que le couple X , version indépendante de X , y soit.
Remarquons qu’un couple indépendant répond à la définition de couple DPQ.
Les probabilités conditionnelles nous offrent une caractérisation de ladépendance positive par quadrant.
Caractérisation : Le couple X est DPQ si, et seulement si,
Pr  X 2 > x2 X1 > x1  ≥ Pr  X 2 > x2  pour tout x ∈ R 2 .

On déduit de cette caractérisation que :−−X est DPQ ⇔ X ⊥ ≺ sm X ;pour tout couple X = ( X1, X 2 ) dépendant positivement par quadrant,
on a l’équivalence :X1 ⊥ X 2 ⇔ r ( X1, X 2 ) = 0 ⇔ τ ( X1, X 2 ) = 0 ⇔ ρ ( X1, X 2 ) = 0 .
1.2.5. Croissance conditionnelle

Définition 33. Croissance conditionnelle
Le couple X est dit conditionnellement croissant lorsque−quels que soient x1 ≤ y1 , Pr  X 2 > t X1 = x1  ≥ Pr  X 2 > t X1 = y1 pour tout t ∈ R ,−quels que soient x2 ≤ y2
Pr  X1 > t X 2 = x2  ≥ Pr  X1 > t X 2 = y2  , pour tout t ∈ R .

Cette notion de croissance conditionnelle peut également s’exprimer à
l’aide de l’ordre stochastique (cf. Chapitre 1). En effet, on a l’équivalence :X est conditionnellement croissantModélisations avancées en assurance

[
[

]
]

143

[
[

]
]

 X1 X 2 = x2 ≺ st X1 X 2 = y2⇔pour tous x1 ≤ y1 et x2 ≤ y2 .
 X 2 X1 = x1 ≺ st X 2 X1 = y1
Cette notion de dépendance est plus forte que celle de dépendance positive
par quadrant : X est conditionnellement croissant ⇒ X est DPQ.
2. Rappels sur la dépendance linéaire
Les catégories d’actifs en portefeuille d’une société d’assurance sont en
général corrélées. Cette corrélation peut être matérialisée (cf. Planchet, Thérond
et al. (2005)) par le biais de la matrice ci-dessous où l’on a noté zmouvement brownien associé à l’évolution de l’actif « Actif ».

Actif

dztObligation

dztAction

dztImmobilier

dztMonetaire

dztObligationdt

ρ12 dt

ρ13dt

ρ14 dtdztAction

ρ12 dtdt

ρ 23dtρ 24 dt

dztImmobilier

ρ13dt

ρ 23dtdt

ρ34 dtdztMonetaireρ14 dtρ 24 dt

ρ34 dtdt

leEn vue d’aboutir à une dé-corrélation des actifs, on utilise la décompositionde Choleski d’un vecteur gaussien. On considère un vecteur aléatoire gaussienX = ( X1 , X 2 , …, X n ) dont la distribution est normale non dégénérée. Sa
densité s’écrit de la manière suivante :f X ( x) =1

( 2π )

n2

× det ( Σ )

n2

 1

'
× exp  − ( x − µ ) Σ -1 ( x − µ )  ,2où l’on a noté µ = ( µ1 , µ 2 , …, µ n ) le vecteur espérance des lois marginales etΣ la matrice de variance – covariance. Plus précisément, cette dernière matrices’écrit : 1ρΣ =  12
ρ13
ρ14


ρ12
1
ρ 23
ρ 24

ρ13 ρ14 ρ 23 ρ 24 .
1 ρ34 
ρ34 1 Comme Σ est symétrique, il est possible de trouver une matrice T définiecomme suit :144

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

 b11 0bb
T =  21 22b 31 b32
b41 b42

0
0 
0
0 
,
b33 0 b43 b44 et vérifiant Σ = TT ′ . D’autre part, on sait que si Z est un vecteur i.i.d. de loi
commune N ( 0;1) , alors le vecteur X = ΤΖ + µ a pour matrice de variancecovariance Σ . Cette dernière relation permet de retrouver de proche en proche
les valeurs des coefficients de la matrice triangulaire T :X1 = b11Z1 + µ1 .

En considérant la variance de chacun des termes de cette égalité, on trouve
b11 = 1 .
X 2 = b21Z1 + b22 Z 2 + µ1 .

En considérant la variance de chacun des termes de cette égalité, on trouve
b11 + b22 = 1 . Si l’on s’intéresse à la covariance, on obtient l’égalité suivante :Cov ( X1, X 2 ) = ρ12 = E b11Z1 ( b12 Z1 + b22 Z 2 )  .

Finalement, b21 =

)

(

12
ρ12
2
= ρ12 et b21 = 1 − ρ12. L’application de cetteb11

méthode permet d’aboutir aux valeurs des bij :
j −1

ρij −

∑

bik b jk
=
1
k
bij =
.
j −1


2
 ρ jj −b jk 


k =1



∑

( )

Et la matrice T = ti , j s’écrit donc :
1

ρ12


 ρ13

Τ =


ρ
 14




0

0

2
1 − ρ120

ρ 23 − ρ12 ρ13
2

1 − ρ122

1 − ρ13 −ρ 34 − ρ14 ρ13 −2

1 − ρ122( ρ 23 − ρ12ρ13 )22

1 − ρ12

ρ 24 − ρ 43ρ12 ρ 23 − ρ13ρ12

ρ 24 − ρ14 ρ12
1 − ρ13 −



0



0





2
2
2
1 − t 4,1 − t 4, 2 − t4,3 




0

2

2

1 − ρ121 − ρ12( ρ 23 − ρ13ρ12 )22

1 − ρ12Modélisations avancées en assurance145

3. La théorie des copules
Le concept de copule a été introduit par Abe Sklar en 1959, comme solutiond’un problème de probabilité énoncé par Maurice Fréchet dans le cadre desespaces métriques aléatoires (travaux réalisés avec Berthold Schweizer).
Ce concept est resté longtemps très peu utilisé en statistique ; on peut
toutefois citer les travaux de Kimeldorf et Sampson sur la dépendance (1975)
ainsi que les recherches de Paul Deheuvels à la fin des années 70.
L’étude systématique des copules débute dans le milieu des années 1980
avec Christian Genest et son équipe. L’article fondateur est celui de Genest et
Mac Kay (1986).
Depuis, de nombreux développements statistiques ont été menés par C.
Genest et ses coauteurs (R.J. MacKay, L.P. Rivest, P. Capéraà, A.L. Fougères,K. Ghoudi, B. Rémillard).
Les copules sont devenues un outil de base dans la modélisation desdistributions multivaluées en finance et en assurance.
Le présent chapitre est une introduction à la théorie des copules, il enprésente de manière succincte les principales définitions et outils.
3.1. Copules, lois conjointes et dépendance
3.1.1. Rappels et notations

Si F désigne la fonction de répartition d’une v.a. X, alors par définition
F ( x ) = Pr ( X ≤ x ) ; la fonction F est continue à droite avec des limites àgauche ;F−1on

définitalors

l’inverse

généralisée

de

F

en

posant( y ) = inf ( x | F ( x) ≤ y ) .

La variable aléatoire U = F( X ) est distribuée selon une loi uniforme sur[0,1] (car Pr (U ≤ u ) = Pr ( X ≤ F −1 ( u ) ) = u ).

3.1.2. Définitions et résultats de base

Une copule en dimension n est une fonction C définie sur [0,1]n et à valeursdans [0,1] possédant les propriétés suivantes :Cn ( u ) = C (1, …,1, u ,1, …,1) = u ,22∑ ∑ ( −1) 1
…

k1 =1

pour tous

k +…+ kn

kn =1

k

k

C (u1 1 , … , unn ) ≥ 0 ,(u ,…, u ) et (u ,…, u ) tels que u ≤ u . Cette condition
1
1

1
n

2
1

2
n

1
i

2
i

s’interprète en disant que le C-volume de l’hypercube [ x, y ] de [ 0,1]npositif quel que soit l’hypercube, le C-volume étant défini par :

est

146

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

() ∑ ε ( z ) C ( z1,…, zn ) ,VC [ x, y ] =la somme étant étendue à tous les sommets de l’hypercube, et la fonction ε( z )valant 1 si un nombre pair de sommets ont une valeur de x et –1 sinon. Il s’agit
d’une propriété de « croissance » de la copule. On dit que la fonction C est« supermodulaire » (voir également le sous-paragraphe 1.2.2).
Il résulte directement de la définition d’une copule que C est une fonctionde répartition d’un vecteur dont les composantes sont uniformes. De plus, si on
se donne des distributions réelles univariées
F1 , … , Fn , alors(

F ( x1 , … , xn ) = C F1 ( x1 ) ,… , Fn ( xn )) est la fonction de répartition d’unvecteur aléatoire dont les lois marginales sont les lois F1 , … , Fn . Cela est laconséquence directe du fait que pour toute v.a. X de fonction de répartition F,
F(X) suit une loi uniforme sur [0,1] .

()− y −1la distribution logistique
Exemple n° 1 : Soit F ( x, y ) = 1 − e − ebivariée de Gumbel ; par intégration on trouve que les lois marginales sont−x(

identiques, de fonction de répartition FX ( x ) = 1 − e− x
aisément inversible et on en déduit que :() ; cette fonction est−1) u + uvv − uvC(u, v ) = F FX−1(u), FX−1(v) =.

Le calcul explicite de la copule est toutefois rarement possible car ellenécessite l’inversion des fonctions de répartition des marginales.
Exemple n° 2 : Utilisation de la copule cubique avec des marginales
gaussiennes.
La copule cubique est définie pour 1 ≤ α ≤ 2 par :C ( u1, u2 ) = u1u2 + αu1 ( u1 − 1)( 2u1 − 1) u2 ( u2 − 1)( 2u2 − 1) .

Avec des marginales gaussiennes, on obtient la fonction de répartition
représentée sur la Figure 30.

Modélisations avancées en assurance

147

Figure 30 - Fonction de répartition de la copule cubique

La copule cubique présente la particularité suivante : si les marginales sontcontinues et symétriques, leur coefficient de corrélation est nul, alors qu’elles
ne sont pas indépendantes. On peut ainsi aisément construire des distributions à
marginales non corrélées dépendantes.
Les copules apparaissent ainsi être un outil naturel pour construire desdistributions multivariées. De plus, lorsque les distributions marginales sontsuffisamment régulières on a le théorème de représentation suivant :Théorème 5. Théorème de Sklar
Si F est une distribution de dimension n dont les lois marginales F1,.., Fnsont continues, alors il existe une copule unique telle que :()

F ( x1 , … , xn ) = C F1 ( x1 ) , … , Fn ( xn ) .

Remarque : Lorsque les marginales ne sont pas continues, il est toujours
possible de définir une copule, mais celle-ci n’est plus unique et de ce fait perd
beaucoup de son intérêt. En effet, on peut toujours poser :()

C (u1 , …, un ) = F F1−1 (u1 ), …, Fn−1 (un ) ,−1avec les « inverses généralisées » des marginales : F j( u ) = inf {t | F j ( t ) ≥ u}(ces fonctions sont également appelées fonctions quantiles).
Ce résultat est important en pratique pour les applications à l’assurance et àla finance, car il indique que l’analyse d’une problématique multivariée peutêtre décomposée en deux étapes, tout d’abord l’identification des distributions
marginales, puis l’analyse de la structure de dépendance entre les composantes.
Le théorème de Sklar fournit ainsi une représentation canonique d’une
distribution multivariée, via la donnée des distributions marginales et de lastructure de dépendance.

148

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Deux fonctions particulières jouent un rôle important dans l’analyse descopules, les bornes de Fréchet ; on pose par définition : n
C − ( u1 , …, un ) = max  un − n + 1, 0  et C + ( u1 , …, un ) = min ( u1 , …, un ) .
 i =1∑On a pour toute copule C et tout u dans [0,1]n :C (u ) ≤ C(u ) ≤ C (u ) .
−+Lamajoration
est
laconséquence
directedeCn ( u ) = C (1, …,1, u ,1, …,1) = u ; la borne supérieure est atteinte avec levecteur (U , …, U ) où la v.a. U suit une loi uniforme sur [0,1] . Cela prouve

que la fonction C (. ) est une copule. Ce résultat reste valable à unetransformation strictement croissante des composantes près ; on parle alors devariables comonotoniques.
+

En dimension 2, la borne inférieure est atteinte avec le couple (U,1 − U ) ;en dimension supérieure à 2 la fonction C (. ) n’est pas une copule.
−

La situation d’indépendance des v.a. est associée à une copule particulière,
la copule C (. ) , définie par C ⊥ ( u1 , …, un ) =

n

⊥

i =1

ui .

Propriété : Si X = ( X1 , …, X n ) est un vecteur aléatoire et h1, … , hn sont des(fonctions strictement croissantes, alors h ( X ) = h1 ( X1 ) , …, hn ( X n )) a lamême copule que X.
En effet, comme les fonctions hi sont strictement croissantes, elles sontinversibles et

(

)

(

P h1 ( X1 ) ≤ x1, … , hn ( X n ) ≤ xn = P X1 ≤ h1

donc

(

)

−1

( x1 ) ,…, X n ≤ hn−1 ( xn ) ) ,( ( h ( x ) ) ,…, F ( h ( x ) ) ) .

P h1 ( X1 ) ≤ x1 , …, hn ( X n ) ≤ xn = C FX

−1
1

1

1

Xn

−1
n

n

De par l’unicité de la décomposition copule (en remarquant que latransformation affecte uniquement les marginales dont la loi devientFh( X ) = FXi()

hi ), on conclut que h ( X ) = h1 ( X1 ) , …, hn ( X n ) a la même−1i

copule que X.
3.1.3. Exemples de copules

Il existe un grand nombre de copules adaptées à différentes situations ; touterépartition associée à un vecteur dont les marginales sont uniformes sur [0,1]définie une copule. Toutefois, quelques formes particulières sont souvent

Modélisations avancées en assurance

149

utilisées en pratique du fait de leur simplicité de mise en œuvre. On peut
notamment citer les exemples ci-après :Tableau 5 - Exemples de copules
Nom

Copule(Gaussienne2

C (u1 , …, un , ρ) = Φρ N

−1ClaytonC (u , v , θ ) = ( u−θ+v(u1 ), …, N
−θ

− 1)

−1

−1

(un )

)

θ

Franck1  ( exp(−θu ) − 1)( exp(−θv) − 1) C (u, v, θ) = − ln 1 +θ 
exp(−θ) − 1
Gumbel1θθ θC (u , v, θ) = exp  − ( − ln(u ) ) + ( − ln(v ) )  
 
 



On peut illustrer avec une copule simple le fait (classique) que la noncorrélation peut être observée dans des situations de forte dépendance entre lesvariables.
Il suffit de considérer la copule suivante :u
1
0 ≤ u1 ≤ 2 ≤ ,
u1 ,
2 2

u2
u
 u2
0≤
≤ u1 ≤ 1 − 2 ,C ( u1, u2 ) =  ,222u + u − 1, 1 ≤ 1 − u2 ≤ u ≤ 1,
1
 1 22
2()

alors on vérifie que Cov (U1 , U 2 ) = 0 et pourtant Pr U 2 = 1 − 2U1 − 1 = 1 , cequi signifie que si on connaît la valeur prise par U1 alors on connaît presquesûrement celle prise par U 2 .
3.1.4. Les copules archimédiennes

La notion de copule archimédienne regroupe un certain nombre de copules
ci-dessus (Clayton, Gumbel, Franck); l’idée d’une copule archimédienne degénérateur ϕ est que la transformation ω ( u ) = exp ( −φ ( u ) ) appliquée aux
marginales « rend les composantes indépendantes » :(n) ∏ ω ( ui ) .

ω C ( u1 , …, un ) =i =1. Φ ρ est la distribution normale multivariée de matrice de corrélations ρ.

2

150

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Définition 34. Copule archimédienne
La copule archimédienne de générateur φ est définie par l’égalitéC ( u1, … , un ) = φ−1n( φ (u1 ) + … + φ ( un )) , dès lors que ∑ φ (ui ) ≤ φ ( 0 ) , eti =1

C ( u1, … , un ) = 0 sinon. Le générateur doit être choisi de classe C 2 desorte que φ (1) = 0 , φ ' ( u ) ≤ 0 et φ '' ( u ) > 0 .
Les copules archimédiennes peuvent être également définies via unconditionnement par une « variable de structure », Z ; à cet effet, on se donne
une v.a. positive Z telle que :−1−

la transformée de Laplace de Z est ψ = φ ,−conditionnellement à Z les v.a. X i sont indépendantes,−

Pr ( X i ≤ x Z ) = ω FX ( x )

alors

(

la

C ( u1, … , un ) = φi

copule
−1

) ,
Z

3

du

( X1 , … , X n )vecteurest( φ (u1 ) + … + φ ( un )) . L’idée importante ici est que, via unconditionnement, on retrouve la situation d’indépendance.
En effet, par définition de la copule :(C ( u1, … , un ) = Pr FX ( X1 ) ≤ u1 , …, FX
1(n( X n ) ≤ un ))= E  Pr  FX ( X1 ) ≤ u1 , …, FX ( X n ) ≤ un Z  
 
1
n
 
−1
mais on a l’identité E  exp ( −φ ( u ) Z )  = φ ( φ ( u ) ) = u et, conditionnellement

à Z les v.a. X i sont indépendantes et de part la forme des distributions
conditionnelles :C ( u1 , … , un ) = Enω uiZ = E exp  − Z j( ui )  = φ −1 ( φ ( u1 ) + … + φ ( un ) ) .


i =1
 i =1

n

∏ (

)

∑

En particulier, la copule C (. ) est archimédienne, de générateur − ln u , qui
est un cas limite de copule de Gumbel ; en effet, la copule de Gumbel est⊥

archimédienne de générateur ( − ln u ) , avec θ ≥ 1 . Les copules de Clayton etθde Franck sont également archimédiennes.

3. Cette transformation définie une fonction de répartition car la fonction ϕ est
décroissante.

Modélisations avancées en assurance

151

Tableau 6 - Générateurs de copules archimédiennes
CopuleGénérateur

Indépendance− ln uClaytonu −θ − 1 , θ ≥ 0Franck e−θu − 1 , θ≠0− ln  −θ e −1 

Gumbel( − ln u )θ , θ ≥ 1

3.1.5. Copules et mesures de dépendanceComme on l’a vu plus haut dans ce chapitre, il existe en statistique uncertain nombre de grandeurs proposées par leurs auteurs comme des mesures dela dépendance entre deux variables aléatoires. Parmi elles, on peut citer le ρ deSpearman (coefficient de corrélation de Pearson, mais calculé sur les rangs desdeux variables), le τ de Kendall (probabilité de concordance des rangs moinsprobabilité de discordance des rangs), l’indice de Gini (mesured’équirépartition de deux échantillons).
Ces coefficients sont en effet associés à la structure de dépendance ducouple, et on peut donc logiquement les exprimer en fonction de la copule
associée.
Tableau 7 - Mesures de dépendance et copules associées
ExpressionusuelleIndiceExpression copule

n

6

∑ di2

11

Rho deSpearman

ρ =1−

Tau deKendall4Rτ=−1n(n − 1)

i =1
2

(

ρ = 12)n n −1

00

11

τ=4

∑ xi − x j

γ=i , j =1

2µn

2

∫ ∫ C ( u1, u2 ) dC (u1, u2 ) − 100nIndice deGini∫ ∫ u1u2dC ( u1, u2 ) − 3

11

γ=2

∫ ∫ ( u1 + u2 − 1 − u1 − u2 ) dC ( u1, u2 )00

N.B. Dans le Tableau 7, les notations suivantes ont été employées :−le di de la formule du ρ de Spearman représente la différence desrangs de l’individu i dans chacun des classements ;152

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−dans l’expression du τ de Kendall, R désigne la somme sur tous lesindividus du nombre de paires concordantes ;−dans celle de l’indice de Gini, µ représente l’espérance de ladistribution.
On pourra vérifier que le coefficient de corrélation de Pearson ne peut se
mettre sous une forme ne faisant intervenir que la copule, les marginales restent
présentent dans l’expression : ce coefficient n’est pas, comme on l’a vu, unemesure de dépendance.
3.2. Inférence statistique
En pratique lors de la mise en œuvre d’un modèle intégrant des copules ilconvient d’être capable d’estimer la structure de dépendance à partir desdonnées disponibles.
Les méthodes d’inférence statistique utilisées sont des déclinaisons deméthodes standards, paramétriques ou non paramétriques selon le cas.
3.2.1. Estimation non paramétrique
3.2.1.1

Rappel : fonction de répartition empirique

Le cadre général de l’estimation non paramétrique d’une loi marginale
s’appuie sur la fonction de répartition empirique, définie par :FK ( x ) =1 K
1K i =1 ( xi ≤ x )∑pour un n-échantillon ( x1 , … , xK ) de la loi F. En dimension n, si l’on se donne( x , …, x )
k
1

k
n

1≤ k ≤ K

un K-échantillon du vecteur (de dimension n) X, on peut

généraliser l’expression de la fonction de répartition empirique en posant :FK ( x1 , …, xn ) =)1 K
1 x k ≤ x1 , …, xnk ≤ xn .
K i =1 1∑(

Cet estimateur conduit à un estimateur non paramétrique naturel d’une
copule présenté infra.
3.2.1.2

Copule empirique

Soit comme ci-dessus( x ,… , x )
k
1

k
n

1≤ k ≤ K

un K-échantillon du vecteur (dedimension n) X. En observant que C (u1 ,… , un ) = F ( F1−1 (u1 ),… , Fn−1 (un )) on
introduit la notion de copule empirique à partir des version empiriques desfonctions de répartition de cette expression :()

CK ( u1, … , un ) = FK F1,−K1 (u1 ), … , Fn−,1K (un ) ,Modélisations avancées en assurance

avec

−1

{

153

}

F j , K ( u ) = inf t | F j , K ( t ) ≥ u . Cette notion a été introduite par

Deheuvels (1979).
Remarque : C est la fonction de répartition d’un vecteur dont les marginales
sont uniformes sur [0,1] ; cette propriété n’est plus vraie pour CK qui est,
conditionnellement aux observations, la distribution d’un vecteur dont les
K − 1
 1marges sont réparties uniformément sur l’ensemble discret 1, , … , . IlK  Ksuffit donc de connaître les valeurs de la copule empirique en ces points
discrets ; on a en particulier le lien avec les statistiques d’ordre suivant :∑{}k  1 K
k
(k )
(k )
CK  1 ,… , n  =1 x1k ≤ x1 1 , … , xnk ≤ xn n .
K  K k =1
K

Cette expression peut être également écrite à partir des rangs desobservations (ce qui est intuitif, puisque la copule est invariante par toutetransformation croissante des marginales) :∑{}k  1 Kk
CK  1 ,… , n  =1 r1k ≤ k1 ,… , rnk ≤ kn .
K
K
K


k =1

Deheuvels (1979) a obtenu des résultats asymptotiques sur CKetK −1 2 ( CK − C ) , généralisant les résultats classiques sur la fonction derépartition empirique.
Les copules empiriques sont notamment utiles pour fournir des estimateurs
non paramétriques de mesures de dépendance.
Par exemple on peut ainsi proposer l’estimateur suivant du ρ de Spearman :

ρˆ =

12

K

K 

k

k 

kk 

∑∑  Cˆ K1 , K2  − K1 22  .
2
K −1
k1 =1 k2

On pourra se référer à Deheuvels, Peccati et Yor (2004) pour des résultats
asymptotiques sur les copules empiriques.
3.2.1.3

Identification d’une copule archimédienne

Dans le cas d’une copule archimédienne, la copule est entièrement définie()

par son générateur ; on remarque alors que si K ( u ) = Pr C (U1 , U 2 ) ≤ u , ona:K (u ) = u −φ (u )φ ' (u )

.

154

En

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

effet,(K (u ) = P φpar−1

définitiond’une

copulearchimédienne,ona:( φ (U1 ) + φ (U 2 ) ) ≤ u ) ; or la loi conditionnelle se calcule à) ∂∂uC (u1, u2 ) .

(partir de la copule : P U 2 ≤ u2 U1 = u1 =1

1

La fonction K est liée au τ de Kendall par τ = 4 (1 − K ( u ) ) du − 1 .

∫
0

(

)

En effet, comme τ = 4 E C (U1, U 2 ) − 1 , d’après la définition de K qui est lafonction de répartition de C(U1, U 2 ) , on en déduit la relation liant K et τ .
3.2.2. Estimation paramétrique et semi-paramétrique

On se place ici dans le cas où la distribution conjointe dépendrait d’unparamètre, que l’on cherche à estimer.
3.2.2.1

Méthode des moments

Cette méthode est notamment utilisée pour les mesures de dépendance ;l’estimateur des moments de la mesure de dépendance considérée est alors
simplement obtenu en égalant l’expression paramétrique (analytique) de lamesure avec un estimateur non paramétrique de cette même mesure.
c−davec c (respectivement
c+dd) le nombre de paires concordantes (respextivement discordantes) dans1l’échantillon. Donc pour une copule de Gumbel l’expression τ = 1 − conduit àθ1.
l’estimateur des moments θ̂ =1 − τˆ

Par exemple, pour le tau de Kendall, on a τ̂ =3.2.2.2

Maximum de vraisemblance

Il s’agit de la méthode classique du maximum de vraisemblance. Del’égalité(F ( x1 , … , xn ) = C F1 ( x1 ) , … , Fn ( xn )) on déduit par dérivation

l’expression de la densité du vecteur ( X1 , …, X n ) :(f ( x1, … , xn ) = c F1 ( x1 ) , …, Fn ( xn )où c ( u1 , …, un ) =∂ C ( u1 , …, un )) ∏ fi ( xi ) ,i =1n∂u1 …∂undésigne la densité de la copule. L’expression

de la log-vraisemblance de l’échantillon
immédiatement :n( x , …, x )
k
1

k
n

1≤ k ≤ K

s’en déduit

Modélisations avancées en assurancel (θ ) =155∑ ln  c ( F1 ( x1k , θ ) ,…, Fn ( xnk , θ ) , θ )  + ∑∑ fi ( xik , θ ) .
K

K

n

k =1

k =1 i =1

Il reste maximiser cette expression en θ , ce qui peut s’avérer en pratique
fastidieux. La méthode IFM, présentée ci-après, propose une résolution parétapes du problème de maximisation.
3.2.2.3

Méthode IFM

Cette méthode, proposée par Louis et Shih (1995) consiste à « découper » leproblème d’estimation en deux étapes successives : l’estimation des paramètres
θ1 , …, θ n des marginales, puis l’estimation du paramètre θC de la copule.
Le paramètre θ est donc décomposé sous la forme θ = ( θ1 , …, θ n , θC ) et oncommence par déterminer les estimateurs du maximum de vraisemblance desparamètres des marginales, soit :θ̂i = arg max
θi∑ fi ( xik , θi ) .
K

k =1

On « injecte » alors ces estimateurs dans la partie « copule » de la logvraisemblance, ce qui conduit à :θˆ C = arg max
θC∑ ln  c ( F1 ( x1k , θˆ1 ) ,…, Fn ( xnk , θˆ n ) , θC )  .
K

k =1

D’autres procédures peuvent être imaginées, comme par exemple
l’estimation non paramétrique des marginales suivi d’un maximum devraisemblance pour le paramètre de la copule (procédure « omnibus » deGenest et al. (1995) ou Louis et Shih (1995)).
3.3. Copules et valeurs extrêmes
Une copule de valeurs extrêmes est par définition une copule vérifiant, pour
tout λ > 0 :

(

)

λ

C u1λ , …, unλ = C ( u1 , … , un )  .

On peut vérifier par exemple qu’une copule de Gumbel possède cettepropriété. Caperaa, Fougeres et Genest (1997) ont introduit la notion de« copule archimax » qui englobe les copules archimédiennes et les copules EV
Le lien entre la théorie des copules et les valeurs extrêmes est donné par lethéorème suivant.

156

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond
( p)

Théorème 6. Si X p= max X i désigne le maximum d’un échantillon de1≤ i ≤ p

taille p, et si on a n échantillons et des constantes de normalisation tellesque : X ( p) − aX (pp, n) − a p , n
p ,1
p ,1

≤ x1 , …,≤ xn  = F ( x1, … , xn ) ,lim Prb p,1b p, np →∞alors la copule associée à la représentation canonique de F est une copulede valeurs extrêmes.
Par ailleurs, on dit qu’une copule bivariée présente de la dépendance dequeue si ∃λ ∈ ]0,1] tel que :λ(u ) =C (u, u)→ λ ,u →1
1− uavec la fonction C ( u, v ) = 1 − u − v + C ( u , v ) de survie conjointe. L’idée de cequotient est de mesurer la probabilité que U dépasse le seuil u sachant que V l’adépassé :λ ( u ) = Pr (U > u V > u ) .

La modélisation de la dépendance des extrêmes est particulièrement
importante dans les problématiques de détermination d’un capital desolvabilité. En effet, lorsque celui-ci est censé prémunir la société de la ruine
avec une très forte probabilité (99,5 % dans les documents de travail du projet
Solvabilité 2), il s’agit de modéliser non seulement les queues de distribution
des risques qui concourent à la solvabilité de la compagnie mais également lesdépendances entre ces queues.
En particulier, des événements extrêmes telles que les tempêtes peuvent
toucher simultanément les queues de distribution de branches d’assurance dontla dépendance des cœurs de distribution sont faibles.
Ces considérations se heurtent aux difficultés pratiques de modélisation detels dépendances sur les queues de distribution du fait notamment du peu
d’information disponibles pour les estimer.
3.4. Copules et simulation
Les copules fournissent un cadre d’analyse bien adapté à la « fabrication »de distributions conjointes possédant une structure de dépendance donnée.

En effet, soit X = ( X1 , …, X n ) est un vecteur gaussien centré de matrice devariance-covariance fixée ; on peut remplacer les lois marginales gaussiennes
par d’autres lois (par exemple pour tenir compte d’un caractère leptocurtiqueaffirmé des observations) tout en conservant la même structure de dépendance.
Pour simuler des réalisations d’un vecteur X = ( X1 , …, X n ) à partir de ladécomposition « copule » de F, il faut être capable de simuler des réalisations

Modélisations avancées en assurance

157

d’un vecteur U ayant des marginales uniformes et dont la distribution est la
copule C, puisqu’on a l’égalité en loi:()

X = F1−1 (U1 ) , …, Fn−1 (U n ) .

La suite de ce paragraphe illustre quelques méthodes qui permettent demener à bien cette tâche. Par ailleurs, la génération de nombres aléatoires et desimulation de réalisations de variables aléatoires est abordée dans le Chapitre 6.
3.4.1. La méthode des distributions

On suppose que l’on se trouve dans une situation où la loi conjointe de X est
plus facile à simuler directement que la copule C ; c’est par exemple le cas dela copule gaussienne : un vecteur gaussien de dimension n est aisé à simuler(via la décomposition de Cholesky de la matrice de variance-covariance), alors
que la copule gaussienne n’est pas simple à simuler directement.
La méthode consiste à simuler des réalisation de X (de loi F) et à appliquer()

ensuite la transformation U = F1 ( X1 ) , …, Fn ( X n ) .

3.4.2. La méthode des distributions conditionnelles
3.4.2.1

Présentation générale

On se donne (U1, U 2 ) 4 un vecteur dont la distribution est C; on simule(v1, v2 ) uniformes et indépendantes.
On pose alors u1 = v1 , puis
−1

u2 = Cu1(( v2 ) ,)avec Cu (u2 ) = P U 2 ≤ u2 U1 = u1 . Cette expression se calcule à partir de la1

copule C :) ∂∂uC (u1, u2 ) .

(C2 1 ( u1 , u2 ) = P U 2 ≤ u2 U1 = u1 =1

En effet, si l’on écrit

()

P U 2 ≤ u2 u1 ≤ U1 ≤ u1 + h =P (U1 ≤ u1 + h, U 2 ≤ u2 ) − P (U1 ≤ u1 , U 2 ≤ u2 )P (U1 ≤ u1 + h ) − P (U1 ≤ u1 ),(qui est simplement une application de la formule P ( B ) P ( A B ) = P ( A ∩ B ) ) ;cette expression s’écrit à l’aide de la copule :()

P U 2 ≤ u2 u1 ≤ U1 ≤ u1 + h =4( C ( u1 + h, u2 ) − C ( u1, u2 ) ) h .
( C ( u1 + h,1) − C ( u1,1)) h. Cette méthode s’étend sans difficulté en dimension n.

158

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

On remarque alors que puisque les marginales sont uniformes alorsC(u,1) = u et donc le dénominateur de la fraction est égal à 1 ; on fait alors
tendre h vers 0 pour obtenir le résultat.
Toutefois en pratique il n’est en général pas aisé d’inverser la fonction derépartition conditionnelle, sauf dans quelques cas particuliers.
Exemple : Copule de Franck
Dans le cas de la copule de Franck la méthode des distributions
conditionnelles peut être mise en œuvre simplement. L’expression de cettecopule est :1  ( exp(−θu ) − 1)( exp(−θv) − 1) C (u, v,θ) = − ln 1 + .
θ 
exp(−θ) − 1
On en déduit que C2 1 ( u, v ) =exp ( −θu ) ( exp ( −θv ) − 1)

exp ( −θ ) − 1 + ( exp(−θu ) − 1)( exp(−θv) − 1)eton peut alors inverser cette équation (en résolvant l’équation en x
C2 1(u, x ) = v ) pour obtenir :v ( exp ( −θ ) − 1) 
1 
.
C2−11 ( u , v ) = − ln  1 +
v + (1 − v ) exp ( −θu ) θ La simulation peut donc être mise en œuvre simplement en simulant
indépendamment deux réalisations υ1 et υ2 de variables uniformes sur [0,1]puis en utilisant la transformation :u = υ1 ,
−1
v = Cu (υ2 ).
3.4.2.2

Cas particulier des copules archimédiennes

Dans le cas particulier d’une copule archimédienne, la distribution
conditionnelle s’exprime à l’aide du générateur de la copule et conduit à :   v u2 = φ−1 φ φ'−1 φ' 1    − φ(v1 )  .
 



  v2    
3.4.3. Les méthodes adaptées spécifiquement à une copule

Comme pour la simulation de loi univariées, des méthodes ad hoc adaptées
à une copule particulière peuvent être élaborées; par exemple pour la copule deClayton. L’algorithme décrit ici est proposé par Devroye (1986).
Considérons la copule définie par :()

C ( u , v, θ ) = u − θ + v −θ − 1

−1 θ

,

Sa simulation peut passer par l’utilisations de l’algorithme suivant :Modélisations avancées en assurance−

159

simulation de x1 et x2 deux réalisations indépendantes de v.a. de loi

exponentielle de paramètre 1 ( E (1) ) ,−simulation d’une réalisation x issue d’une v.a.de loi Γ (1, θ),

−

x 

calcul de u2 =  1 + 2 
x 


−θ

x 

et u1 =  1 + 1 
x 


−θ

.

Ainsi ( u1 , u2 ) est distribué selon la copule de Clayton avec des marginales
uniformes. Le passage à la réalisation d’un couple (Y1 , Y2 ) avec la mêmestructure de dépendance mais des marginales quelconques pourra, par exemple,
passer la méthode d’inversion de la fonction de répartition :( y1, y2 ) = ( F1−1 (u1 ), F2−1 (u2 ) ) .
3.5. La méthode NORTA
La théorie des copules fournie des moyens efficaces d’intégrer dans lesmodèles dynamiques la dépendance entre branches. Une situation que l’on
rencontre en pratique souvent est le besoin de simuler des montants de sinistredans des branches dépendantes, en connaissant d’une part la loi des marginales(c’est à dire les lois de coût de chaque branche) et d’autre part la corrélation
entre les branches. On suppose que l’on est dans une situation qui rend délicate
l’estimation directe d’une copule, par exemple du fait d’un nombre restreint dedonnées.

L’objectif est donc de simuler un vecteur ( X1 , …, X d ) dont on connaît lesmarginales, et en respectant des corrélations fixées. On suppose sans perte degénéralité que les v.a. X i sont centrées et réduites.
L’idée de la méthode NORTA (normal to anything) est de considérer que lastructure de dépendance du vecteur ( X1 , …, X d ) est décrite par une copule
normale, c’est à dire que l’on fait l’hypothèse que la loi conjointe de( X1,…, X d ) est décrite par l’égalité en loi( X1,…, X d ) = ( F1−1 ( Φ (Y1 ) ) ,…, Fd-1 ( Φ (Yd ) ) ) ,avec (Y1 , …, Yd ) un vecteur gaussien centré de matrice de variance-covarianceΣY et Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Chacune

des variables Yi est également réduite, de sorte que ΣY est en fait une matricede corrélation avec des un sur la diagonale et définie entièrement par la donnéed (d − 1)destermes en dessous.
2
La solution du problème consiste alors à choisir ΣY de sorte que l’on
retrouve la matrice Σ X en calculant les corrélations des variables

160

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

( X1,… , X d ) . Plus précisément, si on note ρij le terme générique de Σ X ,comme les variables sont centrées et réduites on a ρij = E  X i X j  . De même,en notant rij le terme générique de ΣY , rij est le coefficient de corrélation
entre Yi et Y j , pour i < j .

( )On a alors une relation de la forme ρij = ωij rij avec
ωij ( r ) =+∞ +∞∫ ∫ Fi−1

Φ ( yi ) F j

−1

−∞ −∞

( ) (

)

Φ y j h r , yi , y j dyi dy j ,la fonction h étant la densité d’un vecteur gaussien bi-dimensionnel : x 2 + y 2 − 2rxy d (d − 1)1 . On obtient ainsih ( r , x, y ) =exp 2
2π (1 − r )2 (1 − r )équations indépendantes les unes des autres en rij , que l’on peut résoudre
numériquement.
On notera qu’il est préférable d’imposer comme donnée de base la matricede corrélation des rangs, c’est à dire la matrice de corrélation du vecteur( F1 ( X1 ) ,…, Fd ( X d ) ) car on obtient alors une expression analytique de rij :

(

u

)

rij = 2 sin πρij 6 . Cela découle directement de ce que, dans l’intégrale

définissant ωij , les marginales Fi sont remplacées par l’identité.
Dès que d > 2 il se peut que le problème n’ait pas de solution, c’est à direque la matrice de coefficients rij ainsi obtenue ne soit pas semi-définie
positive ; on peut alors chercher la matrice semi-définie positive la plus proche
possible de ΣY , au sens d’une norme sur l’espace des matrices.
3.6. Exemples d’application des copules
Outre les questions de modélisation de la charge sinistre évoquées cidessus, la théorie des copules s’applique directement dans les problématiquesde solvabilité (détermination du capital économique). Elle peut également êtreutilisée dans certains modèles d’actifs.
3.6.1. Mesure du capital sous risqueLes copules interviennent directement dans l’agrégation de risques lorsquela mesure de risque choisie est la VaR. En effet :VaR( X i, α ) = FX−i1(α ) .

Donc, dans le cas de deux risques, comme par définition d’une copule :FX + X ( x ) =12∫ dC(FX1(x1 ), FX 2 (x2 )) ,x1 + x2 ≤ x

Modélisations avancées en assurance161

on voit que la VaR de la somme dépend des distributions marginales et de la
copule. Les VaR s’ajoutent si la copule est la borne supérieure de Fréchet.
Cet exemple pose le problème de l’agrégation de risques. Ce thème anotamment été abordé par Meyers, Klinker et Lalonde (2003) dont les travaux
ont servis de fondation au modèle de capital économique Prism élaboré parl’agence de notation Fitch.
Ce problème est crucial en assurance puisque notamment la formule
standard de calcul du SCR en solvabilité 2 reposera, au moins en partie, sur desagrégations de capitaux.
Rappelons que la démarche vise à associer à chaque risque, un capital puis àagréger ces capitaux à l’aide de formules dont les paramètres varient enfonction de la dépendance estimée entre les risques considérés.
Á ce stade, il faut d’ailleurs noter que la formule proposée dans le cadre del’étude quantitative QIS 3 pré-suppose que la dépendance entre les différents
risques est linéaire. Cette hypothèse, pratique de manière opérationnelle, posenéanmoins des problèmes conceptuels lorsque le niveau de capital recherché est
défini par une VaR d’ordre très élevé (99,5 %) et donc à un niveau de ladistribution où les comportements ne sont pas gaussiens.
3.6.2. Application aux processus de diffusion

Les copules sont également utilisées pour analyser les structures dedépendance dans les processus de diffusion.
La copule brownienne a ainsi été introduite par Darsow et al. (1992).
L’intérêt de cette approche est de permettre de construire de nouveaux
processus avec une structure de dépendance connue mais des marginales
différentes, comme, par exemple, un mouvement brownien à marginales« Student » pour épaissir les queues de distribution. Cela peut constituer une
alternative à l’introduction des processus à sauts.
4. Rachat de contrats d’épargne : un modèle ad hoc
Qu’il s’agisse de valoriser un portefeuille en IFRS ou de le projeter pourdéterminer une MCEV, les méthodes de valorisation économique des contrats
d’assurance vie de type épargne-retraire ne font plus l’économie de la prise encompte de phénomènes de dépendance tels que ceux du comportement derachat des assurés avec la revalorisation de son épargne et celle observée sur lereste du marché.
Dans ce paragraphe, nous proposons un modèle d’attribution departicipation aux bénéfices et de rachat simple qui peut, par exemple, êtreimplémenté pour des calculs de MCEV ou de Current Exit Value (cf. leChapitre 2).
4.1. Notations
Dans la suite, nous considérerons un contrat d’épargne en euros, de taux
technique nul, avec les notations suivantes :−taux minimum garanti : tmg ;162

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−taux minimum de participation aux bénéfices : taux_pb_min ;−taux de revalorisation cible pour la période n : taux_revalo_cible(n)−entrées (primes) de la période n : entrées(n) ;−sorties (rachats, décès) sur la période n : sorties(n) ;−encours en début de période n : encours(n) ;−encours en fin de période n avant revalorisation et prélèvements sur−

encours : encours( n + 1) ;−taux de prélèvement sur encours : taux_prelev_encours ;−taux de rendement financier net des charges de placement pour lapériode n : taux_rdt_fi(n) ;−le volume de plus-values latentes sur les actifs R332-20 en fin de−période n : PVL ( n + 1) ;−la contrainte contractuelle ou réglementaire de revalorisation (fonction
du taux de rendement financier net des charges de placement de lapériode) : ρ ( taux rdt fi ) .

Dans la suite, on omettra l’argument de la période lorsque cela ne porterapas à confusions.
4.2. Hypothèses simplificatrices
Le modèle proposé repose sur un certain nombre d’hypothèses
simplificatrices détaillées comme suit :−les sorties en cours de période sont revalorisées au taux minimum
garanti (tmg) uniquement ;−les bénéfices techniques sont supposés nuls ;−les prélèvements sur encours interviennent en fin de période après
revalorisation.
On déduit de ces hypothèses, qu’en fin de période, la valeur de l’encourss’élève à :entrées ( n )  encours ( n ) − sorties ( n ) + × (1 + taux revalo ( n ) )2.
encours ( n + 1) = 
1 + taux prelev encours

4.3. Attribution de PB
L’objet de ce paragraphe est de définir un modèle d’attribution departicipation aux bénéfices (PB).
Des projections en vue de déterminer une EEV/MCEV doivent intégrer descontraintes d’attribution de PB aussi réalistes que possible. Intuitivement, unmodèle d’attribution de PB doit intégrer le taux de rendement des actifs réalisé
par la société et un taux cible de revalorisation du contrat, fonction decontraintes juridiques (réglementaires et contractuelles) et de contraintes

Modélisations avancées en assurance163économiques (liées aux conditions de marché et aux objectifs commerciaux) derevalorisation.
En effet, le taux de rendement financier des actifs en représentation descontrats (ou le cas échéant de l’actif général de la société) engage la société, au
moins au titre des clauses contractuelles et réglementaires d’attribution debénéfices financiers. Par ailleurs, ce taux indique le taux de revalorisation
maximal que peut accorder l’assureur sans toucher à ses plus-values latentes.
Quant au taux cible, il dépend en partie du contexte commercial et des tauxpratiqués par le marché indépendamment du taux de rendement des actifs
propres à l’assureur.
4.3.1. Définition du taux cible de revalorisation

La société doit déterminer, en fonction de ses contraintes économiques etréglementaires un taux cible de revalorisation.
Le taux cible de revalorisation peut, par exemple, être fonction des taux dumarché obligataire sur des horizons semblables à ceux des contrats d’épargne(ex : OAT 10 ans).
Il apparaît naturel que ce taux soit supérieur :−au taux de prélèvement sur encours,− au tmg du contrat considéré.
Par exemple, on peut proposer comme taux cible de revalorisation :taux revalo cible = max {taux OAT(10 ans), taux prelev encours, tmg} .

Le mécanisme de détermination de ce taux cible peut être calibré sur lesdernières années (dans notre exemple, comparaison du taux cible envisagé parla société et du taux des OAT à 10 ans pendant les mêmes périodes deréférence).
4.3.2. Détermination de la revalorisation effective

Deux cas de figure peuvent se produire :−le taux de rendement financier est suffisant pour servir le taux cible derevalorisation ;−le taux de rendement financier ne suffit pas à servir le taux cible derevalorisation ; auquel cas, selon les plus-values latentes disponibles, ilpeut être envisagé de céder une partie des actifs pour réaliser durendement financier.
Les deux situations sont détaillées infra.
4.3.2.1

taux_rdt_fi > taux_revalo_cible

Dans cette situation, le taux de revalorisation effectif doit être au moins égalau taux cible :taux revalo ≥ taux revalo cible .

Dans des situations de marché très favorables, il est possible que lesdispositions réglementaires ou contractuelles concernant l’attribution de PB

164

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

conduisent à un taux de revalorisation plus favorable que le taux cible, auquelcastaux revalo = ρ ( taux rdt fi ) .

Au final,
taux revalo = max ( taux revalo cible, ρ ( taux rdt fi ) ) .
4.3.2.2

taux_rdt_fi < taux_revalo_cible

Dans cette situation, il convient de déterminer si le portefeuille d’actifs
recèle des plus-values latentes sur les actifs R332-20.
Schématiquement, trois situations peuvent se produire :−on constate d’ores et déjà une provision pour risque d’exigibilité(PRE) sur les actifs,−

il existe des plus-values latentes dans un volume insuffisant pourservir le taux cible de revalorisation,−il existe des plus-values latentes dans un volume suffisant pour servir
le taux cible de revalorisation,

1er cas : PVL<0Dans ce cas, la société ne cède pas d’actif, sert au moins le tmg et peutchoisir de verser un taux qui lui est supérieur en réalisant un résultat négatif,
soit :
taux revalo = tmg +R−,
encours(n) − sorties + entrées 2

où R − ≥ 0 représente la perte supplémentaire que consent à faire l’assureur
pour augmenter le taux de revalorisation.
2e cas : PVL>0 et PVL<(taux_revalo_cible-taux_rdt_fi) x encours(n+1)
La société sert au moins le tmg et peut réaliser une partie de ses plus-values
latentes pour servir un taux supérieur au tmg mais ne pouvant égaler le tauxcible, soittaux revalo = tmg + αPVL< taux cible ,encours(n) − sorties + entrées 2

où α ∈ [ 0;1] représente la proportion des plus-values latentes sur les actifs
R332-20 réalisée pour augmenter le taux de revalorisation.
3e cas : PVL>0 et PVL>(taux_revalo_cible-taux_rdt_fi) x encours(n+1)
La société peut réaliser une partie de ses plus-values latentes pour servir untaux supérieur au tmg et pouvant aller jusqu’au taux de revalorisation cible, soittaux revalo = tmg + α

PVL,encours(n) − sorties + entrées 2

165

Modélisations avancées en assurance

où α ∈ [ 0;1] représente la proportion des plus-values latentes sur les actifs
R332-20 réalisée pour augmenter le taux de revalorisation.
4.4. Rachat
Le rachat de contrats peut s’expliquer en partie par des arbitrages d’assurésqui se tournent vers des placements plus performants. En l’absence d’étude dece phénomène sur les portefeuilles considérés, un modèle simple peut êtreproposé.
Il consiste à découper le rachat :−en « rachat structurel » indépendant de l’évolution des marchés
financiers et de la politique de revalorisation de l’épargne de la sociétéd’assurance ;−en « rachat conjoncturel » dépendant de l’évolution des marchés
financiers et de la politique de revalorisation de l’épargne de la sociétéd’assurance.
Considérons un contrat en particulier (ou de manière équivalente, un groupede contrats homogène vis-à-vis du comportement des différents assurés quantau rachat), le taux de rachat moyen constaté dans le passé pour ce contrat est
taux_rachat_moyen. Ce taux peut, par exemple, être extrait d’une loi de rachat
fonction de l’ancienneté du contrat et de l’âge de l’assuré estimée sur lesdernières années.
Considérons que dans des conditions « normales » de marché, la société
serve le taux de revalorisation cible. Si le taux de rachat pour ce contrat a été
estimé sur une période présentant de telles conditions, on peut supposer que cetaux de rachat moyen constaté par le passé correspond au rachat structurel.
Le taux de rachat conjoncturel peut être modélisé par une fonction
croissante de l’écart de taux entre le taux de revalorisation cible de la période
précédente et le taux de revalorisation effectif de la période précédente.
Par exemple, le modèle de rachat peut-être le suivant :taux rachat( n ) = taux rachat struct × [1 + α ( taux revalo cible( n − 1) − taux revalo( n − 1) )] ,où α ≥ 0 représente la sensibilité du taux de rachat de la période n à l’écart
entre le taux cible et le taux de revalorisation effectif sur la période précédente( n − 1) .
Une alternative prenant en compte également les différentiels de taux desannées précédentes (éventuellement avec une sous-pondération) pourraitégalement être envisagée :taux rachat( n ) = taux rachat struct × 1 +∑ α ( taux revalo cible(n − i ) − taux revalo(n − i) ) .
i

5. Capital de solvabilité : les méthodes d’agrégation
La prise en compte de la dépendance des risques auxquels sont soumises lescompagnies d’assurance est un thème central de Solvabilité 2. En effet, leprincipal volet quantitatif de cette directive concernera l’exigence de capitaux
propres : les sociétés d’assurance devront disposer de ressources (fonds

166

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

propres) suffisantes pour ne pas être en ruine à horizon un an avec une très forte
probabilité (99,5 %).
Ce critère est très ambitieux dans la mesure où il s’agit de contrôle le risqueglobal supporté par la compagnie avec une très forte probabilité. Sur ce
deuxième point, le Chapitre 4 revient sur les difficultés opérationnelles de miseen œuvre de ce genre de critère lorsque l’on est confronté à des valeursextrêmes et le Chapitre 6 sur les techniques de simulation auxquelles ils font
recours.
En pratique les assureurs vont pouvoir déterminer cette exigence de capital :−par le biais du modèle interne qui, sur la base de la modélisation detous les risques de l’assureur, permettra de simuler des besoins en
capitaux à partir desquels on estimera la Value-at-Risk à 99,5 %. ;−grâce à l’utilisation d’une formule standard commune à tous lesassureurs européens.
Le calibrage de cette formule standard est un des enjeux des deuxième ettroisième études d’impact quantitatif menées par le CEIOPS (cf. l’annexe
consacrée à QIS 3).
L’élaboration de cette formule standard n’est pas aisée car elle doit
permettre d’approcher un quantile extrême tout en restant simple à mettre enœuvre et accessible aux sociétés les plus modestes.
C’est une approche modulaire qui a été retenue par le CEIOPS. Elleconsiste, pour chaque risque identifié, à déterminer les besoins en capitauxnécessaires pour se prémunir de chacun de ces risques pris isolément selon lecritère précédemment évoqué, puis en l’agrégation des capitaux ainsi obtenus
de manière à refléter l’effet de diversification et les éventuelles dépendances
entre ces risques.
5.1. Un cadre gaussien
Les méthodes d’agrégation retenues repose sur des résultats sur les Valueat-Risk dans un cadre gaussien. En effet, si(  m   σ2XXX
 Y  ≈ N  m , 
  Y  ρσ σ
 
 X Y


alors X + Y ≈ N m X + mY , σ 2X + σY2 + 2ρσ X σYρσ X σY   ,σY2  ) et l’on en déduit que

VaRα ( X + Y ) = m X + mY + Φ −1 (1 − α ) σ 2X + σY2 + 2ρσ X σY .

Dans le cas de la fixation d’un capital de solvabilité à ajouter au montant
best estimate des provisions, on a donc pour un risque particulier X :SCRα ( X ) = VaRα ( X ) − m X = Φ −1 (1 − α ) σ X .
Pour deux risques on en déduit la formule d’agrégation simple :SCRα ( X + Y ) = SCRα2 ( X ) + SCRα2 (Y ) + 2ρSCRα ( X ) SCRα (Y ) ,167

Modélisations avancées en assurancequi se généralise naturellement par :SCR =∑ ρij SCRi × SCR j .

Incidemment, la VaR est sous-additive dans ce cadre gaussien5 et donc
cohérente au sens de Artzner et al. (1999). Ce résultat provient du fait queΦ −1 (1 − α ) σ 2X + σY2 + 2ρσ X σY ≤ Φ −1 (1 − α )  σ X + σ X  ,pour tout ρ ∈ [ −1; 1] . L’égalité étant obtenue lorsque ρ = 1 .
5.2. Les limites des modèles retenus
L’approche retenue repose sur une approximation gaussienne, non pas desrisques eux-mêmes, mais de leurs effets sur la solvabilité de l’assureur.
Le choix de cette méthode a été dicté par des considérations pratiques : ils’agit de mettre un modèle sous les contraintes opposées de robustesse et desimplicité. Or si l’approximation gaussienne facilite l’agrégation des capitaux,
il n’en demeure pas moins qu’elle ne représente pas bien les phénomènesextrêmes que l’on cherche justement à mesurer : le choix du critère desolvabilité étant lui-même un critère extrême (VaR à 99,5 %). En particulier
cette approximation gaussienne risque sous-estime généralement les queue dedistribution.
La modélisation retenue risque donc de conduire à une sous-estimation del’exigence de capital. Aussi le modèle proposé par QIS 3 (cf. l’annexe de cettethèse) retient des coefficients de corrélation jamais négatifs et mêmerelativement élevés dans les calculs d’agrégation de capitaux, ce qui a poureffet de rajouter, a posteriori, de la prudence dans le calcul de l’exigence decapitaux.
Incidemment des solutions telles que celle proposée par la méthodeNORTA permettraient de se placer dans un cadre de dépendance non linéaire
sans qu’il soit besoin de définir d’hypothèses supplémentaires par rapport au
cas gaussien.

. Pour autant que α < 0, 5 , ce qui est le cas dans notre contexte puisque α = 0, 005 .

5

168

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

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Modélisations avancées en assurance

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Chapitre 6
Techniques de simulation

Les processus stochastiques continus sont des outils largement employés en
finance et en assurance, notamment pour modéliser taux d’intérêts et coursd’actions. De nombreuses problématiques amènent à la simulation destrajectoires de tels processus. C’est notamment le cas des modèles internes (cf.
la Figure 20 au début du Chapitre 4) qui pourront être utilisés pour déroger au
niveau de capital fourni par la formule standard dans Solvabilité 2 (cf.
l’annexe) ou encore les modèles de projection de l’activité utilisés pourdéterminer une MCEV. La mise en œuvre pratique de ces simulations nécessite
de discrétiser ces processus, d’estimer les paramètres et de générer des nombres
aléatoires en vue de générer les trajectoires voulues. Nous abordons
successivement ces trois points que nous illustrons dans quelques situations
simples.
Ce chapitre s’appuie en partie sur Planchet et Thérond (2005c).
1. Introduction
La fréquence des variations de cotation des actifs financiers sur les marchésorganisés a conduit les financiers à considérer des processus stochastiques
continus pour modéliser les évolutions de taux d’intérêt comme de coursd’actions. Si les outils mathématiques sous-jacents peuvent, de prime abord,
sembler plus complexes que leurs équivalents discrets, leur usage a notamment
permis d’obtenir des formules explicites pour l’évaluation d’actifs contingents(cf. les formules fermées de prix d’options européennes obtenues par Black et
Scholes (1973) lorsque l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien
géométrique). Ces modèles sont aujourd’hui utilisés dans de nombreux
domaines, notamment en assurance. Leur mise en œuvre pratique nécessite deles discrétiser, que ce soit pour l’estimation des paramètres ou pour lasimulation des trajectoires.
En effet les données disponibles étant discrètes, l’estimation des paramètres
des modèles en temps continu n’est pas immédiate. De nombreux processus,
tels que le modèle de taux proposé par Cox, Ingersoll et Ross (1985),
n’admettant pas de discrétisation exacte, l’estimation des paramètres nécessite
souvent une approximation discrétisée. Les estimations directes à partir dumodèle discrétisé s’avérant, en général, biaisées lorsque le processus ne dispose
pas d’une version discrète exacte, on est alors conduit à utiliser des méthodes
indirectes comme la méthode par inférence indirecte (cf. Giet (2003)) ou encore
la méthode des moments efficients pour estimer le modèle.

172

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

De plus, de nombreuses problématiques impliquent que l’on soit capable desimuler l’évolution de cours ou de taux modélisés par des processus continus ;la réalisation pratique de telles simulations nécessitera là encore ladiscrétisation de ces processus. C’est notamment le cas des problématiques detype DFA (Dynamic Financial Analysis, cf. Kaufmann, Gadmer et Klett (2001)
et Hami (2003)) qui consistent en la modélisation de tous les facteurs ayant un
impact sur les comptes d’une société d’assurance dans le but d’étudier sasolvabilité ou de déterminer une allocation d’actif optimale par exemple. Le
nombre de variables à modéliser est alors très important : actifs financiers,
sinistralité de chaque branche assurée, inflation, réassurance, concurrence etdépendances entre ces variables. Certaines de ces variables seront modélisées
par des processus de diffusion ; lorsque l’équation différentielle stochastique(EDS) concernée dispose d’une solution explicite, comme c’est le cas pour lemodèle de Vasicek (1977), la discrétisation s’impose à l’utilisateur. Lorsqu’unetelle expression n’est pas disponible, l’utilisateur pourra se tourner notammentvers les schémas d’Euler ou de Milstein qui sont des développements d’ItôTaylor à des ordres plus ou moins importants de l’EDS considérée.
L’approximation sera d’autant plus satisfaisante, au sens du critère deconvergence forte (cf. Kloeden et Platen (1995)), que l’ordre du développement
est élevé.
Par ailleurs, la performance des simulations étant conditionnée par legénérateur de nombres aléatoires utilisé, une attention particulière doit êtreportée à son choix. Nous comparons ici deux générateurs : le générateur
pseudo-aléatoire Rnd d’Excel / Visual Basic et le générateur quasi-aléatoire
obtenu à partir de l’algorithme de la translation irrationnelle du tore présenté
par Planchet, Thérond et al. (2005). L’algorithme du tore s’avère nettement
plus performant que Rnd mais souffre de la dépendance terme à terme desvaleurs générées qui induit un biais dans la construction de trajectoires. Pour
remédier à ce problème, nous proposons un générateur du tore mélangé qui
conserve les bonnes propriétés de répartition de l’algorithme du tore et peut êtreutilisé pour construire des trajectoires de manière efficace.
L’objectif du présent chapitre est de proposer au praticien quelques guides
méthodologiques lui permettant d’effectuer de manière efficace des simulationsde processus continus, plus particulièrement dans le contexte desproblématiques d’assurance. Nous abordons donc les trois étapes clé que sontl’estimation des paramètres, la discrétisation du processus et la génération denombres aléatoires.
2. Discrétisation de processus continus
Les méthodes de Monte Carlo utilisées, en assurance, lors de la mise enœuvre de modèles du type DFA ou, en finance, lors de l’évaluation d’options
font souvent usage de la discrétisation d’équations différentielles stochastiques(EDS). En effet la fréquence de variation du prix des actifs financiers et lacommodité mathématique ont souvent conduit les économistes à les modéliser
par des processus continus. Toutefois la simulation effective de ces processus
requiert la discrétisation du temps et donc la détermination de la loi duprocessus aux instants de discrétisation. Si pour certains processus tels que lemouvement brownien géométrique, il est possible de déterminer la loi du173

Modélisations avancées en assurance

processus à n’importe quel instant (on parlera alors de discrétisation exacte),
pour les autres, il va falloir les approcher par des processus discrets quiconvergent vers les processus que l’on souhaite simuler (on parlera alors dediscrétisation approximative).
Même si cette problématique n’est pas abordée ici, remarquons que ladiscrétisation temporelle est également nécessaire lors de l’estimation desparamètres des modèles ; cette dernière opération reposant évidemment sur desdonnées discrètes. En particulier, Giet (2003) met en lumière l’incidence duchoix de la discrétisation sur la qualité de l’estimation des paramètres.
L’objet de ce chapitre est de présenter les différents procédés dediscrétisation usuellement employés ainsi que leur efficacité en terme derapidité de convergence.
Prenons le cas d’un processus défini par l’EDS suivante : dX t = µ ( X t , t ) dt + σ ( X t , t ) dBt X 0 = x

où B est un mouvement brownien standard. Le calcul d’Itô permet de voir cetteéquation comme une formulation symbolique de :tt

X t = x + µ ( X s, s ) ds + σ( X s, s ) dBs .

∫0∫0

Si le processus considéré ne dispose pas d’une discrétisation exacte, undéveloppement d’Itô-Taylor de l’équation sous sa forme intégrale nous permet
de disposer d’une version discrétisée approximative. Cette approximation est
d’autant plus précise que le développement intervient à un ordre élevé.
Dans la suite, on notera δ le pas de discrétisation, c’est à dire le temps qui
s’écoule entre deux instants où l’on va simuler le processus. T désignera
l’horizon de projection. D’une manière générale, X sera le processus que l’on~
souhaite simuler et X kδ k ∈[1;T / δ ] le processus discret effectivement utilisé( )pour simuler des réalisations de X aux instants de discrétisations k δ oùk ∈ [1; T / δ ] . Enfin ε désignera une variable aléatoire de loi normale centrée

réduite.
2.1. Discrétisation exacte
La simulation d’un processus d’Itô pourra être effectuée directement (sanserreur de discrétisation) dès lors que celui-ci admet une discrétisation exacte.
Nous allons voir ici ce qu’il faut entendre par le terme discrétisation exacte qui
peut apparaître comme une oxymore et voir que dans le cas des modèles deBlack et Scholes d’une part et de Vasicek d’autre part, la simulation desprocessus pourra passer par une discrétisation exacte.

174

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

2.1.1. Définition

Définition 35. Discrétisation exacte d’un processus continu~
Un processus X kδ k ∈[1;T / δ ] est une discrétisation exacte du processus X

( )

~ L
si ∀ δ > 0, ∀ k ∈ [1; T / δ ] X k δ ~ X k δ .

Un processus admet une discrétisation exacte dès lors que l’on peutrésoudre explicitement l’EDS qui lui est associée.
C’est notamment le cas du mouvement brownien géométrique retenu parBlack et Scholes pour modéliser le cours d’une action ou encore celui duprocessus retenu par Vasicek pour modéliser le taux d’intérêt instantané.
2.1.2. Processus d’Ornstein-Ulhenbeck

Dans le cas du modèle de Vasicek, le taux instantané r est solution de l’EDS
drt = a (b − rt ) dt + σ dBt .

La solution s’écrit dans ce cas :

)

(

t

rt = r0 e− at + b 1 − e− at + σe− at eas dBs .

∫0

En effet un processus d’Ornstein-Ulhenbeck X est l’unique solution de :dX t = −cX t dt + σ dBt

avec

( )

X 0 = x . Si l’on pose Yt = X t ect , on a :dYt = ect dX t + X t d ect + d X., ec.

t( ) = ce dt donc X., e. Or d e

ct

ct

c.
t

= 0.

t

Ainsi dYt = σ ect dBt et donc X t = x e− ct + σe− ct ecs dBs . Enfin le résultat∫0

est obtenu par : rt = X t + b et a = −c .
Les propriétés de l’intégrale d’une fonction déterministe par rapport à unmouvement brownien conduisent à la discrétisation exacte :()

rt + δ = rt e− aδ + b 1 − e− aδ + σ

1 − e− 2aδε.
2aOn montre que si σ( x, t ) est une fonction du temps, alors X admet une
discrétisation exacte (cf. Kloeden et Platen (1995)).
En effet, notons p ∈ N et δ le pas de discrétisation retenu et cherchons à
simuler la trajectoire d’un mouvement brownien B. Pour obtenir une réalisationde Bpδ, il suffit de calculer Bδpδ = δp∑ εk où les ε sont des v.a.
k =1kmutuellement indépendantes de loi normale centrée réduite. La loi del’approximation Bδpδ est identique à celle de Bpδ. Donc dès lors que σ ( x, t ) est

175

Modélisations avancées en assurance(p +1)δ

une fonction qui ne dépend que du temps,∫ σ( x, t ) dBt reste une variablepδ

aléatoire de loi normale centrée et de variance(p +1)δ
2∫ σ ( x, t ) dt .

pδ

2.1.3. Mouvement brownien géométriqueIntéressons nous à présent au cas du mouvement brownien géométrique :dSt= µ dt + σ dBt .
St

Ce processus admet une discrétisation exacte :


σ2 
 t + σ ( Bt − B0 )  .
St = S0 exp  µ −

2 




En choisissant un pas de discrétisation δ, on obtient le schéma récursif exact
suivant :


σ2 
 δ + σ δ ε .
St + δ = St exp  µ −

2 




On remarque que, Dans le cas du mouvement brownien géométrique,σ ( x, t ) = σ x et n’est donc pas uniquement une fonction du temps. Ceci illustre
le fait qu’un processus peut être discrétisé de manière exacte sans que lafonction σ qui lui est associée soit nécessairement uniquement une fonction dutemps.
2.2. Discrétisation approximative
Lorsque la discrétisation exacte n’existe pas, il convient de se tourner vers
des approximations discrètes du processus continu sous-jacent. Les schémasd’Euler et de Milstein sont les procédés de discrétisation les plus répandus.
Tous deux sont des développements d’Itô-Taylor de la forme intégrale del’équation définissant la diffusion à des ordres différents.
2.2.1. Critère de convergence forte

Dans la suite, nous ferons référence au critère de convergence forte pour~classer les procédés de discrétisation. Une discrétisation approximative X
converge fortement vers le processus continu X lorsque l’erreur commise sur lavaleur finale (à la date T) de la trajectoire obtenue par le processus discrétisé est
en moyenne négligeable.
∀ T > 0,δ
lim E  X T − X T  = 0 .
δ →0 

176

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

La vitesse de convergence de cette équation nous permet d’introduire un~
ordre entre les procédés de discrétisation. Ainsi le processus discrétisé X
1converge fortement à l’ordre γ vers le processus X si :δγ
∃ K > 0, ∃ δ0 > 0, ∀ δ ∈  0, δ0  , E  X T − X T  ≤ K δ .


2.2.2. Développement d’Itô-Taylor

Définissons pour toute fonction g de classe C2,1, les opérateurs L0 et L1 par2σ L0 g ( X t , t ) = gt + g x µ +g
2 yy
L g ( X , t ) = σ gtx
 1

où les fonctions g, µ, σ et leurs dérivés sont évaluées en ( X t , t ) .
L’opérateur L0 est également appelé Dynkin du processus X.
Rappelons à présent le lemme d’Itô qui, si X est un processus d’Itô, permet
de différencier le processus g(X) sous réserve que g soit suffisamment
régulière.
Théorème 7. Lemme d’Itô

Si X est un processus d’Itô qui vérifie dX t = µ ( X t , t ) dt + σ( X t , t ) dBt , si g
est de classe C2,1 et si Z (t ) = g ( X t , t ) , on a :dZt = L0 g ( X t , t ) dt + L1 g ( X t , t ) dBt ,ou de manière équivalente :tt

Zt = g ( X t , t ) = g ( X 0 , 0 ) + L0 g ( X s , s ) ds + L1 g ( X s , s ) dBs .

∫

∫

0

0

Rappelons le principe du développement d’Itô-Taylor. Ce développement
repose sur la combinaison du lemme d’Itô et de l’écriture sous forme intégraled’un processus.
En effet, en considérant que
Xt = X0 +t∫0 dX s ,il vient
Xt = X0 +∫0 ( µ( X t , t ) dt + σ( X t , t ) dBt ) .
t

En appliquant le lemme d’Itô aux fonctions µ et σ , on obtient :1. On notera que ce critère ne fait pas référence à la convergence uniforme.

177

Modélisations avancées en assurance

Xt = X0 +

s
s


t



µ
X
,
0
+
d
µ
X
,
s
dt
+
σ
X
,
0
+
dσ ( X s , s )  dBt .
()
 ( 0 ) ( 0 )
s
0
0




0
0

∫

t


∫

∫

∫

Les techniques de discrétisation approximative présentées infra reposent sur
des développements d’Itô-Taylor.
2.2.3. Schéma d’Euler

Le procédé de discrétisation d’Euler consiste en l’approximation du~processus continu X par le processus discret X défini, avec les mêmes
notations que précédemment, par :

(

)

(

X t +δ = X t + µ X t , t δ + σ X t , t) δε .

Ce procédé est obtenu, en négligeant le reste dans le développement d’ItôTaylor au premier ordre :tt

X t = X 0 + µ ( X 0 , 0 ) ds + σ ( X 0 , 0 ) dBs + R1 ( 0, t ) ,

∫

∫

0

0

où le reste R1 (0, t ) est donné par :R1 ( 0, t ) =
+

t s

t s

00
t s

00
t s

00

00

∫ ∫ L0 µ( X (u ), u ) duds + ∫ ∫ L1 µ( X (u), u ) dBu ds∫ ∫ L0 σ( X (u), u ) dudBs + ∫ ∫ L1 σ( X (u ), u ) dBu dBs

Le schéma d’Euler revient donc à faire l’approximation naturelle suivante :
t

t

0

0

∫ µ ( X s , s ) ds + ∫ σ( X s , s ) dBs ≈ µ ( X 0 , 0 ) t + σ ( X 0 , 0 )( Bt − B0 ) .
Kloeden et Platen (1999) prouvent que sous certaines conditions derégularité2, le schéma d’Euler présente un ordre de convergence forte de 0,5.
Par exemple dans le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (CIR), le tauxd’intérêt instantané est solution de l’EDS :drt = a ( b − rt ) dt + σ rt dBt .

r déterminé par le schéma d’Euler peut
Aussi le processus discret ~s’écrire :rt + δ = rt + a ( b − rt ) δ + σ rt × δ ε .

2

4. Il faut pour cela que µ et σ soient des fonctions C avec des dérivés bornées jusqu’àl’ordre 4.

178

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Le graphique suivant permet de comparer les évolutions moyennes de ladiffusion du modèle de Vasicek selon que l’on se tourne vers la discrétisation
exacte ou vers le schéma d’Euler.
Figure 31 - Évolution moyenne du taux modélisé par Vasicek selon leprocédé de discrétisation retenu
5,25%

5,00%

4,75%

4,50%
Schéma d'Euler
Discrétisation exacte

4,25%

Espérance

4,00%
0

5

10

15

20

25

30

35

40

Les discrétisations exacte et selon le schéma d’Euler sont relativement
proches graphiquement. L’écart est en particulier négligeable lorsque l’on
s’intéresse aux évolutions moyennes d’un bon de capitalisation qui évolue
selon les taux simulés pour effectuer le graphique précédent.
Figure 32 - Modèle de Vasicek selon le procédé de discrétisation retenu
6

5Schéma d'Euler
Discrétisation exacte
Espérance

4

3

2

1

0
0

5

10

15

20

25

179

Modélisations avancées en assurance
2.2.4. Schéma de Milstein

Le schéma de Milstein est obtenu en allant plus avant dans le~développement d’Itô-Taylor. Le processus discret X est alors défini par :

(

)

(

X t +δ = X t + µ X t , t δ + σ X t , t

(

)

σ

) δε + x( X t , t ) σ( X t , t ) δ ε 2 − 1 ,

(

2

)

où σ x X t , t désigne la dérivée par rapport au premier argument de la fonction~
σ(.,.) évaluée en X t , t .

( )Ce schéma est obtenu à partir d’un des développements d’Itô-Taylor au
deuxième ordre :
t

Xt

t

= X 0 + µ ( X 0 , 0 ) ds + σ ( X 0 , 0 ) dBs∫+ L1 σ ( 0, X 0 )

∫

0
t s

0

∫ ∫ dBu dBs + R2 ( 0, t )00où le reste R2, qui sera négligé pour obtenir le schéma de Milstein, est donnépar :R2 ( 0, t ) =

t s

∫∫

L0 µ ( X (u ), u ) duds +

00
t s

+

t s

∫ ∫ L1 µ( X (u), u ) dBu ds
00∫ ∫ L0 σ( X (u), u ) dudBs
00
t su

+

∫ ∫ ∫ L0 L1 σ( X (v), v ) dv dBu dBs
000
t su

+

∫ ∫ ∫ L1 L1 σ( X (v), v ) dBv dBu dBs
000

Remarquons qu’il existe plusieurs développements d’Itô-Taylor à l’ordre 2
puisque plusieurs termes sont développés. En effet, dans le développement
présenté ci-dessus, on a développé la quatrième intégrale double du reste R1 ,on aura pu choisir d’en développer d’autres et l’on aurait abouti à un autre
développement du deuxième ordre. Toutefois le développement effectué a la
« bonne idée » de nous faire aboutir à une expression qui ne demande lasimulation que d’une unique variable aléatoire ε (que l’on utilisera deux fois).
Cette expression permet donc, sans simuler davantage de réalisations devariables aléatoires, d’être plus précis que le schéma d’Euler.
Ce procédé de discrétisation présente, en général, un ordre de convergence
forte de 1. Néanmoins la vitesse de convergence est identique à celle du schémad’Euler pour des fonctions régulières (les plus fréquentes en pratique) ce qui

180

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

conduit à lui préférer alors le schéma d’Euler qui demande moins de temps decalcul (on simule moins de termes).
Par ailleurs, remarquons que si la volatilité σ(.) ne dépend que du temps, lesprocédés de discrétisation d’Euler et de Milstein conduiront à la mêmediscrétisation, c’est le cas pour les modèles de Vasicek et de Hull et White.
Alors on se tournera de préférence vers une discrétisation exacte. En revanche
pour le modèle de CIR, il vient selon le schéma de Milstein :σ2
δ ε2 − 1 .
4Dans le cas du modèle CIR, ce schéma de discrétisation est intéressant dansla mesure où l’on obtient une meilleure approximation sans avoir à simuler
davantage de réalisations de v.a.
En développant à des degrés supérieurs l’équation intégrale, il est possibled’obtenir des processus discrétisés d’ordre de convergence encore plus élevé.
Toutefois ils nécessiteront des calculs plus nombreux et peuvent faire intervenir
plus d’une variable aléatoire ce qui signifie des temps de simulation plus
importants. De plus un résultat de Clark et Cameron (cf. Temam (2004))
prouve que, vis à vis de la norme L², le schéma d’Euler est optimal dans laclasse des schémas n’utilisant que les variables B kδ .
rt + δ = rt + a ( b − rt ) δ + σ rt × δ ε +()

En outre, le schéma de Milstein peut poser des problèmes pratiques de miseen œuvre en dimension supérieure ou égale à 2.
3. Estimation des paramètres
L’estimation des paramètres est une étape délicate dans la simulation detrajectoires d’un processus continu car elle peut être l’origine d’un biais. En
effet, le praticien peut se voir confronté à deux problèmes :−le processus n’admet pas forcément de discrétisation exacte,− la variable modélisée n’est pas toujours directement observable.
En effet si le processus considéré n’admet pas de discrétisation exacte, ilsera impossible d’estimer les paramètres du modèle par la méthode dumaximum de vraisemblance. Par ailleurs il est souvent impossible d’exprimer
de manière exacte les densités transitoires entre deux observations. Il faudra
alors se tourner vers des méthodes simulées telles que l’inférence indirecte pourestimer les paramètres.
3.1. Le biais associé à la procédure d’estimation
On reprend ici le cas simple de la modélisation du taux à court terme par unprocessus d’Ornstein-Ulhenbeck. On a vu précédemment que la discrétisation
exacte d’un tel processus conduit à un processus auto-régressif d’ordre 1 (cf. leparagraphe 2.1.2).
L’estimation des paramètres du modèle s’effectue classiquement en
régressant la série des taux courts sur la série décalée d’une période, que l’onécrit sous la forme usuelle :Y = α + β X + σ1 ε ,181Modélisations avancées en assurance

avec
a = − ln β , b =α2 ln βet σ 2 = σ12 2
.
1− β
β −1

L’estimateur du maximum de vraisemblance (EMV) coïncide avec
l’estimateur des moindres carrés ; on obtient ainsi les estimateurs suivants desparamètres du modèle d’origine :α̂2 ln βˆ2aˆexact = − ln βˆ , bˆexact =et σˆ exact= σˆ 2 2.
1 − βˆ
β̂ − 1
On constate en particulier que ces estimateurs, s’ils sont EMV, sont biaisés.
Ceci peut être gênant, notamment dans le cas où les paramètres du modèle ont
une interprétation dans le modèle, comme par exemple b dans le cas présent,
valeur limite du taux court. On voit sur cet exemple qu’on sera donc conduit à
mettre en œuvre des procédés de réduction du biais.
3.2. Principe de l’estimation par inférence indirecte
Cette méthode est utilisée lorsque le processus n’admet pas de discrétisation
exacte ou que sa vraisemblance, trop complexe, ne permet pas d’implémenter laméthode du maximum de vraisemblance. Elle consiste à choisir le paramètre θ̂
qui minimise (dans une métrique à définir) la distance entre l’estimation d’unmodèle auxiliaire sur les observations et l’estimation de ce même modèle
auxiliaire sur les données simulées à partir du modèle de base pour θ = θˆ . Le

modèle auxiliaire étant une discrétisation approximative de l’équation
différentielle stochastique de base, le schéma d’Euler est souvent utilisé pourservir de modèle auxiliaire.
Cette méthode conduit à des estimations bien plus précises que celles
obtenues à partir d’estimations « naïves » des paramètres du modèle auxiliaire
sur les données observées.
Giet (2003) étudie l’impact du choix du procédé de discrétisation utilisé
pour fournir le modèle auxiliaire sur l’estimation par inférence indirecte etmontre qu’utiliser un procédé d’ordre de convergence plus élevé (comme laschéma de Milstein par rapport au schéma d’Euler) permet de réduire
considérablement le biais sur l’estimation des paramètres.
Toutefois, que ce soit dans le cas d’une estimation par maximum devraisemblance ou par inférence indirecte, on doit observer que dans le cas d’unmodèle de taux tel que celui de Vasicek, l’estimation des paramètres de la
dynamique d’évolution du taux court dans l’univers historique ne suffit pas etdoit être complétée par l’estimation de la prime de risque, qui constitue unpoint délicat (cf. Lamberton et Lapeyre (1997) sur ce sujet). En pratique, on est
amené à exploiter les informations contenues dans les prix observés (taux àterme, swaps, swaptions) qui reflètent les primes de risque et qui permettent
ainsi de disposer directement du modèle dans l’univers risque-neutre.

182

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

3.3. Les méthodes d’estimation ad hoc
En pratique, dans les problèmes assurantiels, la grandeur modélisée par unprocessus continu n’est, le plus souvent, pas la grandeur d’intérêt :typiquement, on modélise le taux court, par exemple par un processus dediffusion, mais dans le cadre d’une problématique d’allocation d’actif pour unrégime de rentiers, il sera déterminant que le modèle représente correctement
les prix des obligations d’échéances longues. De manière équivalente, on est
amené à estimer les paramètres du modèle pour représenter correctement lacourbes des taux zéro-coupon, qui est dans une relation bijective avec la courbe
du prix des obligations zéro-coupon :P ( 0, T ) = exp {−T R ( 0, T )} .

L’idée est alors d’estimer les paramètres pour minimiser une distance (parexemple la distance quadratique) entre les prix prédits par le modèle et les prix
observés sur le marché. Cette méthode est notamment utilisée dans Fargeon etNissan (2003).
De plus, en pratique on pourra s’interroger sur les paramètres que l’on
estime et les paramètres que l’on fixe arbitrairement compte tenu de laconnaissance que l’on peut avoir du contexte par ailleurs. Ainsi, dans l’exempleévoqué, l’estimation simultanée des paramètres a, b et σ conduit à une courbe
des taux quasi déterministe (σ est petit), ce qui peut apparaître irréaliste. On est
ainsi conduit à fixer arbitrairement σ, puis à estimer les deux paramètres
restants.
Dans cette approche il convient également d’être attentif au choix effectué
quand à la paramétrisation du modèle : courbe des taux zéro-coupon ou courbe
des prix des zéro-coupon ; en effet, la fonction de correspondance entre ces
deux grandeurs accentue les écarts de courbure et le choix de l’une ou l’autre
des paramétrisations peut conduire à des résultats sensiblement différents. Cepoint est développé sur le plan théorique par Roncalli (1998) et est illustré sur
un exemple dans la section suivante.
Au surplus, on notera que l’exploitation directe de données telles que le prixdes zéro-coupon (ou les taux zéro-coupon) évite l’estimation de la prime derisque ; celle-ci est en effet incluse dans ces prix de marché et conduit ainsi àtravailler naturellement dans l’univers corrigé du risque. L’estimation directe
des paramètres sur des historiques de taux court nécessite, on l’a vu,
l’estimation (délicate) de la prime de risque.
Dans les illustration présentées ci-après, l’exploitation de données incluant
les primes de risque est privilégiée.
3.4. Illustration dans le cas du modèle de Vasicek
A partir de la courbe des taux publiée par l’Institut des Actuaires, nous
avons estimé les paramètres du modèle de Vasicek selon l’approche ad hoc
décrite supra. L’estimation est menée d’une part directement à partir desvaleurs des taux zéro-coupon de la courbe et d’autre part à partir des prix desobligations qui s’en déduisent. Cette courbe des taux est construite à partir desprix de marché et elle inclut les primes de risque.

183

Modélisations avancées en assurance

Estimation ad hoc sur le prix des zéro-coupons : cette procédure consiste àdéterminer par une méthode de type « moindres carrés » les paramètres dumodèle de Vasicek qui permettent de représenter au mieux les prix des zérocoupons. Cette méthode a été mise en œuvre en estimant les trois paramètres a,~b et σ puis en fixant σ et en n’estimant plus que le deux autres paramètres.

Comme on peut le voir dans le Tableau 8, l’estimation des paramètres dumodèle de Vasicek donne des résultats très différents selon l’approche retenue :Tableau 8 - Paramètres du modèle de Vasicek estimés selon les techniquesd’estimation des paramètres
EMC sur le prix des zéro-coupon

EMC sur les taux zéro-coupon

Paramètres
estimés

a, b et σa et ba et ba, b et σa et ba et ba=0,22930,23530,5032

0,39510,32530,4232b=

0,05720,07600,0701

0,0624

0,07450,0869r0 =0,02070,02070,02070,02070,02070,0207σ=0,00000,05000,10000,00000,05000,1000

Le prix P(t) en 0 d’un zéro-coupon d’échéance t est donné par la formule
classique :










P (t ) = exp  −t * b −

σ

2

2a

−

2
2

2  
σ
σ

− at
− at
b −
  .
1− e− r0  1 − e
−

 
2a
4a
at   

 


1 

(

)

(

)

La Figure 33, qui indique le prix des zéro-coupons, en fonction de leuréchéance, selon les différentes méthodes d’estimation des paramètres, nous
permet d’observer que l’estimation des paramètres par le critère des moindres
carrés sur les taux zéro-coupon s’avère moins performant que la méthode ad
hoc si la variable d’intérêt est le prix des obligations zéro-coupon.

184

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 33 - Prix des zéro-coupons en fonction de leur échéance et de laméthode d’estimation des paramètres
1,0
Observation
0,8

Estimation MCO sur les prix
Estimation MCO sur les taux

0,6

0,4

0,2

0,0
0

5

10

15

20

25

30

En revanche, cette technique d’estimation des paramètres permet de générer
des taux zéro-coupon nettement plus proches en espérance de la courbe destaux originelle que ceux obtenus par la méthode ad hoc comme on peutl’observer sur la Figure 34.
Figure 34 - Taux instantanés espérés en fonction de leur échéance
et de la technique d’estimation des paramètres
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
Observation
0,02
Estimation MCO sur les taux
0,01

Estimation MCO sur les prix

0,00
0

5

10

15

20

25

30

Si les taux obtenus par la méthode ad hoc sur le prix des zéro-coupons sont,en espérance, éloignés des taux observés, ils permettent néanmoins d’approcher
le prix des zéro-coupons avec une bonne précision.

185

Modélisations avancées en assurance

Ainsi, en pratique, on sera conduit à privilégier pour une problématiqued’allocation d’actifs d’un régime de rentes l’approche ad hoc sur le prix deszéro-coupons.
4. Génération des trajectoires
La génération des trajectoires passe nécessairement par la génération denombres aléatoires. De manière pratique, il s’agit de générer des réalisations devariable aléatoire de loi uniforme sur le segment [0, 1]. En effet, si u est une

telle réalisation, F −1(u) peut s’apparenter à une réalisation d’une variable
aléatoire de fonction de répartition F. La technique d’inversion de la fonctionde répartition permet ainsi à partir de réalisations de variables uniformes,
d’obtenir de simuler des réalisations d’autres variables aléatoires. Lorsqu’on ne
dispose pas de formule explicite pour F-1, on utilisera des algorithmes
d’approximation de cette fonction ou des algorithmes spécifiques à la loi quel’on souhaite traiter Par exemple, pour simuler une réalisation d’une loi dePoisson de paramètre λ, on générera une suite (Vi ) de réalisations de variable{ ∑ V > λ} suit

aléatoire exponentielle de paramètre 1. En effet N = inf n |n +1
i =1 iune loi de Poisson de paramètre λ.
Les modélisations retenues en finance et en assurance faisant souvent
intervenir des mouvements browniens, il est nécessaire de simuler desréalisations de variables aléatoires N ( 0;1) . On ne dispose pas de formule
exacte de l’inverse de la fonction de répartition inverse de la loi normale
centrée réduite, mais l’algorithme de Box-Muller permet à partir de deux
variables uniformes indépendantes sur [0,1] de générer deux variables
indépendantes N ( 0;1) . En effet, si U1 et U2 sont des v.a. U ( 0;1)
indépendantes alors en posant : X1 = −2 ln U1 cos ( 2πU 2 ) X 2 = −2 ln U1 sin ( 2πU 2 )Les variables aléatoires X1 et X2 sont indépendantes et suivent une loi
gaussienne centrée réduite. Cette technique (exacte) est toutefois relativement
longue à mettre en œuvre et nécessite l’indépendance des réalisations
uniformes générées. Augros et Moréno (2002) présentent divers algorithmes
pour approximer l’inverse de la fonction de répartition de la loi normale centrée
réduite. Dans la suite, nous utiliserons l’algorithme de Moro (cf. Planchet,
Thérond et al. (2005)) qui allie rapidité et précision.
4.1. Deux générateurs de nombres aléatoires : Rnd et letore
4.1.1. Le générateur implémenté dans Excel / Visual Basic

Le générateur implémenté dans Excel (Rnd) est un générateur congruentiel,
c’est à dire un générateur périodique issu d’une valeur initiale (on parleégalement de « graine » du générateur). Changer de valeur initiale permet de186

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

changer de suite de nombres. Le lecteur se réfèrera à Planchet, Thérond etal. (2005) pour plus d’informations sur l’implémentation informatique de telsgénérateurs.
4.1.2. La translation irrationnelle du tore

Ce générateur multidimensionnel donne à la n-ème réalisation de la d-ème
variable aléatoire uniforme à simuler la valeur un :[]u n = n pd − n pd ,où pd est le d-ème nombre premier et [.] désigne l’opérateur partie entière.
4.1.3. Quelques éléments de comparaison

Les tests statistiques élémentaires (test d’adéquation du χ2, de KolmogorovSmirnov et d’Anderson-Darling) rappelés en annexe permettent d’apprécier lasupériorité de répartition de la suite générée par le tore par rapport à celle
générée par Rnd.
Figure 35 - Répartition et tests statistiques du générateur Rnd

187

Modélisations avancées en assurance

Figure 36 - Répartition et tests statistiques du générateur du tore

Par ailleurs, pour comparer les performances des deux générateurs, nous
avons étudié la précision de l’estimation empirique du prix d’un call européen
sur une action modélisée par un mouvement brownien géométrique sous laprobabilité risque-neutre :dSt = r St dt + σ St dBt .
~où r est le taux sans risque et B un mouvement brownien sous la mesurerisque-neutre. Rappelons que, sous les hypothèses du modèle de Black et
Scholes, la probabilité risque-neutre est l’unique probabilité sous lesquels lesprix actualisés sont des martingales. La densité de Radon-Nikodym de cetteprobabilité par rapport à la probabilité historique est donnée par le théorème deGirsanov (cf. Augros et Moréno (2002)).
Ce processus dispose d’une discrétisation exacte :
 

σ2 
δ + σ δ ε ,
St + δ = St exp   r −

2 

 


où ε est une variable aléatoire de loi N ( 0;1) .
Par ailleurs, nous disposons d’une formule fermée pour le prix en t d’unCall européen de prix d’exercice K et d’échéance T sur ce titre :Ct ( S , K , T ) = St Φ ( d1 ) − K e− r (T − t ) Φ ( d 2 ) ,

où :
ln

St 
σ2 
 (T − t )+ r +
2 
K 


,
σ T −t−d1 =−d 2 = d1 − σ T − t ,188

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond− Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Nous pouvons donc mesurer la performance des générateurs par le biais del’erreur d’estimation du prix de l’option considérée. En effet, si sTi est la prixdu titre considéré à la date T dans la i-ème simulation, l’estimateur naturel duprix de l’option en t est :eCˆt ( S , K , T , n ) =− r (T − t ) nn+∑  sTi − K  .
i =1

L’erreur relative d’estimation peut donc s’écrire :Cˆ ( S , K , T , n ) − Ct ( S , K , T ).
ρ= tCt ( S , K , T )Le graphique suivant présente l’évolution de ρ selon le nombre desimulations effectuées pour une action de volatilité 20 % et un Call d’échéance
6 mois.
Figure 37 - Erreur d’estimation en fonction du nombre de simulations
1%

0%
0

10 000

20 00030 00040 00050 00060 00070 00080 00090 000100 000-1%
Algorithme du tore (p = 5)
Générateur Rnd
-2%

-3%

L’estimation à partir des valeurs générées par Rnd est biaisée de manière
systématique de prés de 0,2 % alors celle effectuée à l’aide du tore converge
rapidement vers la valeur théorique : à partir de 7 000 simulations, l’erreur
relative est inférieure à 0,1 %.
Il ressort des ces différentes comparaisons que le générateur du tore semble
plus performant que Rnd. Son utilisation connaît toutefois un certain nombre delimites.
4.2. Limites de l’algorithme du tore
Les valeurs générées par le tore ne sont pas indépendantes terme à terme,
ceci peut générer des erreurs non négligeables. Par exemple nous avons généré
10 000 trajectoires, avec un pas de discrétisation de 1, sur 20 ans d’un

189

Modélisations avancées en assurance

mouvement brownien géométrique de volatilité 20 % et avons comparél’évolution moyenne du cours estimée à partir des simulations et l’évolutionimoyenne théorique. En effet, si st est le cours du titre à la date t dans la i-ème
simulation, l’estimateur empirique du cours moyen à la date t, st est donné
par :
st =

1 n i
s .
n i =1 t∑

Le graphique suivant présente les deux trajectoires obtenues.
Figure 38 - Trajectoire moyenne simulée par le tore d’un mouvement
brownien géométrique
275

250
Espérance
Moyenne empirique à partir des trajectoires générées par le tore (p=5)

225

200

175

150

125

100
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A partir de t = 2 , les trajectoires générées à partir de l’algorithme du tore
sont en moyenne très en dessous de la trajectoire moyenne. Cet algorithmen’est donc pas utilisable en l’état pour générer des trajectoires. Ce biais
s’explique par la dépendance terme à terme des valeurs générées par le tore quenous permet d’observer le corrélogramme de la suite générée par ce générateur.

190

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 39 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p = 5)
100%

75%

50%

25%

0%
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-25%

-50%

Rappelons que le h-ème terme du corrélogramme ρh s’écrit :n∑ ( uk − u )( uk + h − u )ρ h = k =1n

∑ ( uk − u )

,
2

k =1

où u désigne la moyenne empirique de la suite u.
Le « test du poker » permet également de mettre en évidence cette faille del’algorithme du tore. L’idée de ce test est de comparer les fréquences théoriquesdes mains au poker avec les fréquences observées sur les simulations
effectuées. De manière pratique, ce test consiste à prendre des listes de quatre
chiffres tirés aléatoirement, de manière à observer les « combinaisons devaleurs » puis à effectuer un test d’adéquation du χ2 pour voir si les fréquences
observées correspondent aux fréquences théoriques. On distingue ainsi cinq
cas :−les quatre chiffres sont tous différents,−

la liste contient une et une seule paire,−la liste contient deux paires,−

la liste contient un brelan (trois chiffres identiques),− la liste contient un carré (quatre chiffres identiques).
En constituant les listes en prenant les chiffres dans l’ordre où ils sontsimulés, le tableau 2 résume les fréquences suivantes.

191

Modélisations avancées en assurance

Tableau 9 - Test du poker sur 4 000 réalisations générées par l’algorithme
du toreLes p-valeurs des tests d’adéquation du χ2 sont proches de 1, toutefois quel
que soit p, le tore ne conduit jamais à l’obtention d’un carré, ni d’un brelan, ni
d’une double paire alors que ces trois situations représentent 6,4 % des cas.
Ce test, rudimentaire, permet donc de se rendre compte que les valeursengendrées par l’algorithme ne sont pas indépendantes.
4.3. Générateur du tore mélangé
Pour contourner le problème posé par la dépendance terme à terme desvaleurs générées par l’algorithme du tore, nous proposons une adaptation qui
consiste à « mélanger » ces valeurs avant de les utiliser.
4.3.1. Descriptif de l’algorithme

Notons (un ) la suite générée par le nombre premier p. Au lieu d’utiliser lanombre un lors du n-ème tirage de la loi uniforme sur [0 ; 1], nous proposons
d’utiliser um où m est choisi de manière aléatoire dans N.
Le générateur ainsi obtenu présente les mêmes bonnes caractéristiques
globales que l’algorithme du tore sans la dépendance terme à terme. Il nécessite
toutefois davantage de temps de simulation du fait du tirage de l’indice m. Nous
proposons l’algorithme suivant lorsque l’on souhaite générer N réalisation devariables uniformes :um = uφ( n ) ,avec :
φ(n) = [ α × N × u + 1] ,où :−[.] désigne l’opérateur partie entière,−α ≥ 1,−

u est la réalisation d’une variable aléatoire de loi uniforme.

Le facteur α a pour vocation de réduire le nombre de tirages qui donneraientlieu au même indice et donc au même nombre aléatoire. En effet, plus α est
grand plus la probabilité de tirer deux fois le même nombre aléatoire est faible.
Dans la pratique, α = 10 est satisfaisant.

192

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

4.3.2. Choix de la procédure de mélange
Pour la génération de u~ , nous avons retenu le générateur Rnd ou tout autre

générateur congruentiel ayant une période importante. En effet, utiliser
l’algorithme du tore pour effectuer le mélange ne réduit pas la corrélation
observée comme le montre le corrélogramme suivant.
Figure 40 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p1 = 5) mélangé
par le tore (p2 = 19)
100%

75%

50%

25%

0%
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-25%

-50%

Figure 41 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p1 = 5) mélangé
par Rnd
100%

75%

50%

25%

0%
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

-25%

-50%

En revanche l’utilisation de Rnd permet de réduire considérablement lescorrélations. La Figure 41 nous permet de constater que le mélange apratiquement fait disparaître la corrélation terme à terme, le générateur du tore

193

Modélisations avancées en assurance

mélangé conservant néanmoins les propriétés de bonne répartition globale et derapidité de convergence du tore.
De plus, comme le montre le Tableau 10, le tore mélangé par Rnd satisfait
de manière satisfaisante le test du poker puisque toutes les « mains » sontreprésentées dans des proportions proches des fréquences théoriques.
Tableau 10 - Test du poker sur 40 000 réalisations générées par le tore
mélangé par Rnd

Figure 42 - Trajectoires espérée et moyenne des 5 000 trajectoires simulées
par le tore mélangé d’un mouvement brownien géométrique
275

250
Espérance
Moyenne empirique à partir des trajectoires générées par le tore mélangé (p=5)

225

200

175

150

125

100
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

La Figure 42 nous permet enfin de vérifier que les trajectoires générées à
partir du tore mélangé sont satisfaisantes.
5. Simulation de la mortalité d’un portefeuille d’assurés
Plusieurs approches sont envisageables pour simuler la mortalité d’unensemble d’assurés. Parmi elles, l’approche classique consiste à segmenter lapériode de temps qui sépare la date de simulation du terme du contrat en
plusieurs sous intervalles puis à modéliser le passage de l’état « vivant » à l’état« décédé » successivement sur chaque intervalle de temps. En pratique, lasegmentation retenue correspond le plus souvent à des périodes de référence

194

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

pour le versement de prestations (l’année, le trimestre ou le mois). Néanmoins
cette approche s’avère être peu efficace en pratique, puisqu’elle conduit àutiliser un nombre conséquent de variables aléatoires pour simuler le parcours
de l’assuré et par conséquence à simuler un grand nombre de réalisations de ces
variables aléatoires.
Dans ce paragraphe, nous proposons une approche différente qui consiste à
simuler, pour chaque assuré, directement sa date de décès. Dans la situation
classique, où la loi de la mortalité est une table de mortalité, cette technique
nécessite un travail préalable et l’utilisation d’une hypothèse de répartition desdécès entre deux âges.
Le premier sous-paragraphe décrit l’algorithme permettant de simuler l’âge(entier) au décès, il est complété par le second qui permet d’obtenir l’âge précis
au décès et donc la date du décès. En effet, les problématiques courantes enassurance nécessitent souvent de disposer de cette date. Par exemple, si l’on
considère un contrat d’épargne tel que dans le Chapitre 1, un assuré peut mourirà 50 ans, le montant à reverser aux ayant-droits pourra être significativement
différent selon que le décès survient avant ou après la date de revalorisation(31/12).
5.1. Simulation de l’âge au décès
Considérons un assuré d’ âge réel y à la date de la simulation. L’objet dece sous-paragraphe est de décrire un algorithme permettant de simuler l’âge audécès de cet assuré. Dans la suite, nous noterons ts la date de début de la

projection, tterme la date de fin (éventuellement infinie) et τ la date aléatoirede décès. Enfin [ i ] désignera l’opérateur partie entière.

Partant d’une table de mortalité classique, il s’agit de déterminer les
probabilités de décès de l’assuré sur les intervalles d’âges I 0 =  y, [ y ] + 1 , Ii = [ y ] + i, [ y ] + i + 1 ,sachant qu’il est en vie à la date de début de projection ts . Notons θ ( x, i ) les
probabilités :θ ( x, i ) = Pr ( τ ∈ Ii | τ > ts ) .

Simuler un âge de décès revient à simuler une réalisation de variable
aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle ]0;1[ puis déterminer l’intervalle I i
correspondant.
Dans la suite on supposera que l’on dispose de la loi de mortalité desassurés et que celle-ci se présente sous la forme d’une table de mortalité
classique où Lk représente le nombre d’assuré ayant atteint l’âge k . Avec lesnotations actuarielles classiques (cf. Planchet et Thérond (2006)), on détermine
les probabilités conditionnelles qk de décès à l’âge k sachant que l’on a atteintcet âge, de la manière suivante :195

Modélisations avancées en assurance

qk =Lk − Lk +1.
Lk

En pratique, on observe généralement un âge non entier pour l’assuré. Pour
passer d’une expression discrète à une expression non discrète, nous retenons
l’approche de linéarisation de la fonction de survie, qui revient à supposer une
répartition uniforme des sorties sur [ k , k + 1[ (hypothèse DUD, cf. Planchet etThérond (2006) pour une revue des hypothèses de répartition des décès les plus
classiques). Formellement, cela revient à déterminer :1− t q[ x ] + t =(1 − t ) × q[ x ]1 − t × q[ x ].

De la même manière on détermine le Lx (où x n’est pas nécessairement
entier) correspondant en utilisant la formule :Lx = L[ x ]+ t =L[ x ]+1
1 − 1− t q[ x ]+ t

, où t = x − [ x ] ,et en remplaçant 1− t q[ x ]+ t par son expression on obtient :Lx = (1 − t ) × L[ ] + t × L[ ] .
xx +1

On est maintenant en mesure de calculer les probabilités θ ( x, i ) :−pour la première période :θ ( x, 0 ) =−L[ x ]+1
L[ x ]+ tpour les périodes entières suivantes :θ ( x, i ) =−× 1− t q[ x ]+ t ,L[ x ]+ i
L[ x ]+ t

× q[ x ]+ i .

pour la dernière période non entière avant le terme :θ ( x, n ) =L[ x ]+ n
L[ x ]+ t

× ∆ q[ x ]+ n ,où Λ = tterme − [ x ] + n .
On construit alors la fonction Θ ( x,i ) de la manière suivante :Θ ( x, i ) =i∑ θ ( x, j ) , pour 0 ≤ i ≤ n .
j =0

Par construction, Θ ( x, i ) représente la probabilité que l’assuré décède avantl’âge [ x ] + i + 1 .
L’algorithme à suivre pour simuler la date de décès est le suivant :196

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−tirage d’une réalisation u de la loi uniforme sur ]0;1[ ;−si u > Θ ( x, tterme ) alors l’individu survit jusqu’au terme ;−Si Θ ( x, i ) < u ≤ Θ ( x, i + 1) alors l’individu décède entre les âgesentiers [ x ] + i et [ x ] + i + 1 .

La Figure 43 repend la fonction de répartition de l’âge au décès pour unassuré de 50 ans selon la TD 88-90.
Figure 43 - Distribution de l’âge au décès pour un assuré de 50 ans
100%
90%
80%

Probabilité

70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
50

60

70

80

90

100

Age au décès

Si le tirage de la v.a. uniforme est de l’ordre de 0,323, cela correspond à undécès à 70 ans.
5.2. Détermination de la date du décès
L’objet de ce sous-paragraphe est d’affiner l’algorithme présenté supra demanière à déterminer la date exacte du décès. Ce point est d’importance dansdes situations où le versement de prestations (ou le montant de celles-ci) est
conditionné par la présence de l’assuré à des dates prédéfinies. Par exemple,
versement d’une rente si l’assuré est en vie en début de trimestre ou
revalorisation de l’épargne selon des règles différentes selon que l’assurédécède avant ou après la date de revalorisation des contrats.

Considérons la réalisation u obtenue précédemment. On cherche le réel δ
qui représente la partie non entière de l’âge réel au décès [ x ] + i + δ . Il est
solution de l’équation :u − Θ ( x, i ) = δ q[ x ]+ i .

Conformément à l’hypothèse DUD de répartition des décès, δ est donné
par :

197

Modélisations avancées en assuranceδ=δ q[ x ] + iq[ x ]+ i=u − Θ ( x, i ).
Θ ( x, i + 1) − Θ ( x, i )L’intérêt de la méthode décrite supra est évident en termes de temps decalcul.
Selon la TD 88-90, l’espérance de vie à 50 ans pour un homme est del’ordre de 26 ans. L’approche pas à pas nécessitera donc en moyenne 26
simulations de variables aléatoires avant que l’assuré ne meurt. Un seul tirage
est nécessaire dans notre méthode.
6. Conclusion
Les nouvelles normes comptables, prudentielles et économiques imposent lerecours le plus fréquent aux méthodes de simulation. En particulier, elles sont à
la base du modèle interne qui permettra de déroger à la formule standard dedétermination du capital de solvabilité dans Solvabilité 2. Si les méthodes deMonte-Carlo s’avèrent des outils particulièrement intéressants puisqu’elles
permettent d’obtenir des résultats numériques lorsque les processus étudiés sonttrop complexes pour être étudiés analytiquement, il n’en demeure pas moinsque leur utilisation nécessite des traitements préalables et des attentions
nouvelles (optimisation des algorithmes de calcul, développements
informatiques).
En particulier, la génération pratique de trajectoires de variables modélisées
par des processus continus nécessite l’estimation des paramètres, ladiscrétisation du processus et la génération de nombres aléatoires.
L’étape de discrétisation conduit à arbitrer entre précision et temps de calcul
à moins qu’une discrétisation exacte peu coûteuse en calculs soit disponible.
Lorsque ce n’est pas le cas, on préfèrera le schéma de Milstein au schémad’Euler car il demande le même nombre de tirages de nombres aléatoires pourune meilleure précision.
L’estimation des paramètres doit faire l’objet d’une attention particulière dufait des biais auxquels conduirait une estimation « naïve ». Il convient depréférer la méthode d’estimation par inférence indirecte à une estimation
directe souvent porteuse de biais. Le principe de l’estimation ad hoc permettraégalement d’estimer des paramètres satisfaisants lorsque la variable d’intérêt
n’est pas directement la variable simulée, ce qui est le plus souvent le cas dansles problématiques d’assurance.
Enfin nous recommandons l’utilisation du tore mélangé pour touteconstruction pas-à-pas de trajectoires. Ce générateur, simple à mettre en place,donne des résultats très satisfaisants, notamment comparé au Rnd d’Excel.
Par ailleurs, nous avons vu dans le cas de la simulation de la mortalité d’unportefeuille d’assurés que des méthodes alternatives aux méthodes les plus
naturelles (simulation pas à pas qui « colle » à la forme des lois de mortalité)
permet de gagner en temps de calcul.

198

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Annexe : Tests d’adéquation à une loi
Le lecteur trouvera un descriptif plus détaillé de ces tests dans
Saporta (1990) pour les deux premiers et dans Partrat et Besson (2005) pour ledernier.
1. Test du χ2
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans E de loi PX inconnue et P0 une
loi connue sur E. Soit A1, … , Ad une partition de E telle que π k = P0  Ak  > 0

pour tout k. Nous disposons d’un n-échantillon indépendant et identiquement
distribué ( X1 , …, X n ) de X. Soit Nk le nombre de variables aléatoires Xi dans
Ak. Si PX = P0 (H0) considérons la statistique D2 définie comme suit :2

D =( N k − n π k )2 .

d

∑

n πk

k =1
2

La statistique D est asymptotiquement distribuée comme une variable deχ 2d −1 . La p-valeur de ce test est donc donnée par :α̂ = P  χ d −1 > D  .


2

2

2. Test de Kolmogorov-Smirnov

Si Fn* est la fonction de répartition empirique d’un n-échantillon d’une
variable aléatoire de fonction de répartition F, alors la statistique*

Dn = Sup Fn ( x) − F ( x) est asymptotiquement distribuée comme suit :P  n Dn < y  →∞∑ (−1)k exp {−2 k 2 y 2 } .
−∞La statistique Dn est indépendante de F et le résultat précédent nous permetde tester : H 0 : F ( x) = F0 ( x)
 H1 : F ( x) ≠ F0 ( x)α

3. Test d’Anderson-Darling

Ce test repose sur l’écart d’Anderson-Darling An2 défini comme suit :( F ( x) − F ( x)) dF ( x )
A =n
2
n

∞

*
n

2

∫ F ( x) (1 − F ( x) )
0

0

199

Modélisations avancées en assurance

Cet écart permet de tester H 0 : F ( x) = F0 ( x)
 H1 : F ( x) ≠ F0 ( x) ,α
l’expression opérationnelle de An2 étant :An2 = −n −

{

)}

1 n
(2i − 1) ln F x(i ) + ln 1 − F x( n − i +1)  ,n i =1∑( )(où x(i) désigne la i-ème plus petite réalisation de X dans l’échantillon.
On rejettera H0 si
−n −

{

)}

1 n
(2i − 1) ln F0 x(i ) + ln 1 − F0 x( n − i +1)  ,n i =1∑( )(est supérieur à une valeur que la variable aléatoire An2 a une probabilité α dedépasser.

200

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Bibliographie

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CONCLUSION GÉNÉRALE

L’avènement des nouveaux référentiels comptable, prudentiel et decommunication financière que constituent la phase II de la norme IFRS dédiée
aux contrats d’assurance, la Directive européenne Solvabilité 2 et le cadre
MCEV vont modifier profondément le rapport au risque des assureurs. En effet
les assureurs vont devoir revoir leurs processus de valorisation des contrats
d’assurance et, de manière plus générale, intégrer de nouvelles contraintes dansla gestion effective de la compagnie.
De nouvelles règles de valorisation
Concernant la valorisation des portefeuilles et des sociétés, les nouvelles
règles se distinguent de l’actuel cadre prudentiel français et du Code desassurances.
En premier lieu, les nouveaux référentiels imposent un recours systématique
aux hypothèses actuarielles les plus adaptées de manière à procéder à desévaluations dites best estimate. Au niveau des provisions techniques(comptables comme de solvabilité), ces évaluations best estimate seront
complétées de marges pour risque en référence explicite au risque réellement
supporté. En effet, ces marges pour risque auront pour vocation :−de représenter la prime de risque sur laquelle l’engagement pourraitêtre échangé sur un marché organisé (conception IFRS) ;−de permettre le transfert de l’engagement d’assurance d’un assureurvers un autre en finançant les coûts d’immobilisation du capitalcorrespondants, en cas de faillite du premier assureur (conception
Solvabilité 2).
Les deux conception se rejoignent partiellement en cela qu’elles font
référence au transfert de l’engagement d’assurance. Néanmoins, elles se
distinguent par les conditions dans lesquelles s’effectue ce transfert : la faillite
dans le cas de Solvabilité 2 alors que ce sont des conditions standard de marchéqu’évoquent les normes IFRS.
Le recours à la référence au marché est d’ailleurs omniprésent puisque, dansles trois référentiels, les risques financiers doivent être valorisés grâce auxméthodes économiques initialement développées pour donner un prix aux
dérivés financiers. Ainsi des garanties de taux ou de participation aux bénéfices
sont assimilées à des options financières. Conceptuellement, cette associationamène deux commentaires :−les actifs sur lesquels sont assises ces garanties ne sont généralementpas cotés sur des marchés (il s’agit généralement de l’actif général del’assureur) et leur évolution n’est pas indépendante du comportement
de l’assureur (ex : actif général d’un assureur) ;202

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−les agents économiques concernés (assurés et assureurs) n’ont pas
nécessairement le comportement économique que celui que l’on prête
à l’investisseur rationnel sur les marchés financiers.
En effet, la situation de l’assurance est complexe et la prise en compte
uniquement des garanties financières minimales que procure l’assureur à ses
assurés ne reflète pas la réalité de leurs relations. Par exemple, pour descontrats d’assurance vie de type épargne en euros, si l’assureur se contente derevaloriser l’épargne de ses assurés uniquement du minimum contractuel(éventuellement taux garanti et participation aux bénéfices), il risque d’être
confronté à des vagues de rachat de contrats et (surtout) à un risque d’image qui
réduira sa capacité à se développer en commercialisant de nouveaux contrats.
Le deuxième grand chantier est celui des exigences de capitaux desolvabilité.
Le critère annoncé par Solvabilité 2, i.e. le contrôle de la probabilité deruine à 99,5 %, est très ambitieux. Il s’agit, en effet, pour les sociétésd’assurance, de disposer de ressources suffisantes pour se prémunir de la ruine,à horizon un an, dans 199 cas sur 200.
On l’a vu, les assureurs pourront déterminer l’exigence de fonds propres
grâce à une formule standard commune à tous les assureurs ou par le biais d’unmodèle interne qui leur sera propre et qui est censé mieux représenter le risqueeffectif auquel ils sont soumis.
La formule standard proposée dans la troisième étude d’impact quantitatif
menée par le CEIOPS (QIS 3) repose sur une approche modulaire des risques :à chaque risque correspond un niveau de capital élémentaire, ceux-ci fontl’objet d’une agrégation pour aboutir à l’exigence globale. Au final, le montant
obtenu est censé approcher la Value-at-Risk à 99,5 % annoncée comme
objectif. Le modèle repose cependant sur des hypothèses simplificatrices qui
tendent à biaiser les résultats. En particulier, ce modèle est construit dans ununivers gaussien alors même que les grandeurs en jeu reflètent des événementsextrêmes éminemment non gaussiens.
Par ailleurs, la mise en place d’un modèle interne nécessite de modéliser
l’ensemble des risques auquel est exposé l’assureur puis de simuler leurréalisation de manière à disposer « d’observations » pour estimer le capital desolvabilité. Ces modèles se heurtent principalement aux problèmes
opérationnels du choix de modèles qui n’est pas immédiat, surtout lorsqu’ils’agit de représenter des queues de distribution et donc des phénomènes quel’on observe, par définition, rarement. De plus, la multiplicité des risques etleurs imbrications nécessite de modéliser leurs dépendances et le comportement
des assurés et des assureurs, y compris dans des situations extrêmes, pourlesquelles on ne dispose pas d’historique (ex : quid du rachat de contratsd’épargne dans une économie avec des taux d’intérêt à 15 % ?). La complexitéde ces modèles nécessite le recours aux techniques de simulation, dont on sait
qu’elles sont gourmandes en ressource informatique et en temps de calcul etqu’elles peuvent conduire à un risque opérationnel important du fait de leurcomplexité et des pièges qu’elles comportent.
Entre formule standard et modèle interne devraient se développer desmodèles partiels. Il s’agit en fait d’utiliser le format modulaire de l’approche

Conclusion générale

203standard en utilisant comme capitaux élémentaires pour certains risques desrésultats issus de modèles développés spécifiquement pour ces risques. En
effet, les sociétés d’assurance de taille modeste et qui sont spécialisés dans un
nombre restreint de branches, dont certaines mutuelles d’assurances, sont lesplus affectés1 en termes d’exigences de capitaux par la formule standard. Si ces
sociétés n’ont pas les moyens financiers de développer ou d’acquérir un modèleinterne global, elles auront certainement intérêt à développer un modèle partiel
sur les risques qu’elles assurent et qu’elles maîtrisent particulièrement bien.
En parallèle le régulateur devra se donner des règles strictes d’appréciation
des modèles internes (globaux ou partiels) en imposant, par exemple, uncontrôle de leur adéquation sur les valeurs extrêmes.
De nouvelles règles de gestion
La mise en place des nouveaux standards prudentiels et de reporting
financier n’est pas sans conséquence en matière de gestion de la compagnie.
La référence explicite au risque réellement supporté par l’assureur dans ladétermination du capital de solvabilité a une grande incidence en terme degestion technique de la société puisque toute mesure de gestion des contrats(revalorisation de contrats, abaissement de franchise, etc.), tout dispositif deréassurance et tout acte de gestion des actifs financiers a potentiellement un
impact sur le niveau minimal des fonds propres dont doit disposer l’assureur.
Les sociétés vont donc devoir poursuivre la normalisation des processus degestion en vue de prévenir le risque opérationnel qui résulterait d’une erreur degestion.
Á terme, ces nouvelles règles devraient également participer à l’essor de latitrisation des risques d’assurance. Compte tenu des économies de capitaux
qu’elle peuvent permettre de réaliser, ces opérations de titrisation vont tendre àse développer.
Le processus s’est d’ailleurs déjà accéléré avec les opérations d’AXA sur lerisque auto2 et de Swiss Re et Axa sur le risque systématique de mortalité.
Concernant le risque de longévité, JP Morgan a mis en place un indicesynthétique pour suivre l’évolution de la mortalité. Déjà disponibles pour lespopulations américaines, anglaises et galloises, cet indice devrait permettre ledéveloppement de dérivés permettant de se couvrir contre des variations
adverses de l’évolution de la longévité. De telles initiatives devraient encore
plus favoriser la titrisation des risques d’assurance.
Par ailleurs, les états financiers qui résultent de l’application des normes
IFRS, de même que la Market Consistent Embedded Value, sont destinés aux
marchés financiers. Compte tenu de l’importance de l’information financière
sur la valorisation boursière des sociétés, les assureurs vont être amenés à
considérer l’impact des décisions de gestion envisagées sur les états financiers
1. Cf. les résultats de QIS 2 publiés par le CEIOPS au niveau global et par l’ACAM au
niveau français.
2. Cette opération était particulièrement novatrice dans la mesure où la titrisation n’avait
jusqu’alors concernée que des risques à faible fréquence et à forte amplitude (risques
catastrophiques essentiellement), l’objectif de cette opération était de se prémunir contre
une dérive d'un risque de forte fréquence et de faible variabilité.

204

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

avant de trancher entre plusieurs alternatives. Dans le futur, on peut penser queles produits commercialisés auront été pensés en fonction de leur rentabilité
attendue mais également de leur susceptibilité à produire de « bons » états
financiers, par exemple à ne pas conduire à des jeux de comptes trop volatiles.
Valorisation versus gestion des risques
Si les nouveaux standards conduisent à mieux identifier et mesurer lesrisques supportés par les sociétés d’assurance, il convient néanmoins dedistinguer valorisation et gestion des risques.
Lorsque l’on détermine, par exemple, un niveau de provision, on calcule
une valeur destinée à alimenter des états financiers. Même si les règles
préconisées exigent la prise en compte des risques dans la méthoded’évaluation, l’aboutissement de la démarche n’en demeure pas moins qu’unevaleur, censée représenter l’engagement considéré.
La démarche de valorisation est en cela différente de la démarche de gestion
effective du risque qui consiste à prendre des décisions sur la manière de se
protéger (ou pas) contre le risque supporté. L’exemple caractéristique est celui
des garanties plancher en cas de décès sur les contrats en unités de compte
présenté dans le Chapitre 1 : les méthodes de valorisation nous donnent un prix
mais l’assureur a le choix de gérer le risque en mettant en œuvre ou pas lastratégie de couverture qui lui permet de réduire considérablement le risqueassocié à l’engagement.
S’ils ne constituent pas des règles de gestion, les nouveaux référentiels
devraient néanmoins permettre aux assureurs d’apprécier l’exhaustivité desrisques auxquels ils sont soumis et d’encourager leur bonne gestion via deséconomies d’exigences de capitaux propres.

Annexe
Solvabilité 2 - les modèles proposéspar QIS 3

Dans le cadre de l’élaboration du futur référentiel prudentiel commun aux
assureurs européens, la Commission Européenne a demandé conseil au
CEIOPS1 pour élaborer de nouvelles normes de solvabilité et de contrôle. Ces
travaux sont accompagnés d’études d’impact quantitatif (Quantitative Impact
Studies - QIS) de manière à estimer les impacts quantitatifs du système desolvabilité en construction. Ces études d’impact reposent sur la participation
des entreprises d’assurance européennes : le CEIOPS publie un cahier despécifications techniques puis, sur ces bases, les assureurs peuvent réaliser lescalculs demandés sur leur propre portefeuille et communiquer les résultats àleur autorité de tutelle (l’ACAM pour les assureurs français) qui les restitue au
CEIOPS.
La première étude d’impact QIS 1 visait principalement à mesurer l’impact
sur le niveau des provisions techniques qu’engendrerait la mise en place denouvelles exigences de provisionnement : Value-at-Risk à 60 %, 75 % ou 90 %.
QIS 1 a rencontré un grand succès puisque 312 assureurs (dont 150
pratiquent des activités vie, 190 des activités non-vie et 4 sont des réassureurs)
ont répondu à l’enquête. Ces entreprises ne furent néanmoins pas toutes
capables de produire des chiffres avant la date limite de l’enquête.Cette étude anéanmoins permis de constater que, dans la plupart des cas, des provisions
techniques calculées par une Value-at-Risk à 75 % ou 90 % sur des hypothèses
best estimate aboutissaient à des montants inférieurs à ceux qui figurent
aujourd’hui dans les comptes des assureurs.
La deuxième étude d’impact QIS 2 visait principalement à obtenir desinformations pour élaborer la formule standard de calcul du capital desolvabilité qui doit approximer la Value-at-Risk à 99,5 % du risque global sur
un an. Cette formule standard est construite sur la base d’agrégation de capitauxde solvabilité obtenus risque par risque. Un objectif annexe était d’approfondir
les résultats de QIS 1 en faisant des tester des approches coût du capital (Costof Capital - CoC) dans le calcul des provisions techniques.
Cette étude d’impact était donc particulièrement importante pour lesassureurs dans la mesure où elle était destinée à élaborer la formule d’exigence
1. Committee of European Insurance and Occupational Pension Supervisors. Le
CEIOPS regroupe l’ensemble des autorités de contrôle des pays de l’Union européenne.

206

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

de capitaux propres d’une part et à indiquer quels éléments pouvaient venir en
couverture de ce montant de capitaux.
Les assureurs européens ont massivement répondu présent puisque 514
d’entres eux ont participé à l’étude, ce qui représente 65 % du marché européen
en vie et 56 % en non-vie. Il convient de remarquer que les sociétés françaises(76) et parmi elles les mutuelles (31) se sont particulièrement bien mobilisées.
Néanmoins, les résultats de cette étude ne sauraient être sans biais dans lamesure où ce sont principalement les grandes entreprises des trois principaux
marchés (Royaume-Uni, France et Allemagne) qui font le gros des réponses.
En moyenne, les exigences de capitaux qui résultent de la formule QIS 2
s’avèrent légèrement supérieures aux exigences Solvabilité 1 (marge desolvabilité). On remarque cependant que certaines catégories d’assureur sontparticulièrement impactés par cette formule standard. C’est le cas des petitessociétés d’assurance non-vie qui, le plus souvent, ne pratiquent qu’une branched’activité et ne bénéficient donc pas des facteurs de diversification qui leurspermettraient de réduire leur capital de solvabilité. Á ce problème s’ajoute celuide leur taille, puisqu’ils ne bénéficient pas pleinement de l’effet demutualisation du fait de leur taille.
Dans ce contexte, le CEIOPS a conçu une nouvelle étude d’impact
quantitatif qui a pour but d’affiner la formule standard. QIS 3 a débuté le 1er
avril 2007 et les résultats doivent être retournés aux autorités de contrôle avant
le 30 juin 2007. Cette date limite est particulièrement importante puisque leprojet de directive cadre sur Solvabilité 2 doit être publié en juillet.
Ayant tiré les conclusions des QIS 1 et 2, QIS 3 propose une formule
standard modifiée et donne la préférence à la méthode coût du capital dans lecalcul des provisions techniques. Les grandes lignes de cette étude sont reprises
ci-après.
1. Modèles d’évaluation : l’approche standard
L’objet de ce premier paragraphe est de décrire de manière synthétique lesmodèles retenus pour valoriser les provisions techniques d’une part et les actifs
en représentation des engagements d’autre part.
1.1. Les actifs
Les différents actifs devront être évalués en valeur de marché. Ces valeursdevront être égales à des prix du marché fiables et observables que l’on trouve
dans des marchés liquides. Pour des positions dites longues (positions à l’achat)sur l’actif, le prix approprié et coté du marché est le prix offert (bid price) pris àla date d’évaluation, alors que pour des positions dites courtes (positions à lavente), c’est le prix vendeur (offer price).
Dans les cas où il n’y a pas de valeur de marché disponible, une approche
alternative peut être adoptée, mais celle ci doit être encore cohérente avec les
informations de marché.
Les actifs non-négociables ou peu liquides devront être évalués sur desbases prudentes, en prenant pleinement en compte la réduction de valeur due aucrédit et à la liquidité des risques attachés :Annexe207−

en l’absence d’indications suffisantes, la valeur de ces actifs ne devrapas être plus élevée que leur coût d’acquisition dont on aura déduit à lafois, la marge de profit estimée et faite par le vendeur, et ladépréciation due à l’utilisation ou la désuétude de l’actif en question ;−en l’absence d’indications suffisantes, les actifs incorporels, lesfournitures, les installations et actifs similaires avec un risquesignificatif de dépréciation devront être évalués comme nuls.
Si des avis fiables et indépendants d’experts sont disponibles, ils devrontêtre pris en compte dans l’évaluation.
1.2. Les provisions techniques
L’évaluation des provisions techniques doit être effectuée en décomposant
les passifs réplicables ou hedgeable, d’une part, et les passifs non-réplicables
ou non-hedegeable d’autre part. Un passif est réplicable si les flux qu’ils
engendrent peuvent être parfaitement répliqués ou couverts à l’aided’instruments financiers se monnayant sur un marché liquide et transparent2.
Lorsque la distinction entre passifs réplicables et non-réplicables est
incertaine ou lorsque des valorisations market-consistent ne peuvent êtreobtenues, c’est l’approche non-réplicable (best estimate + marge pour risque)qui s’imposera.
Le niveau des provisions techniques ne pourra pas être réduit en raison de lasolvabilité de l’assureur lui-même.
Les valeurs des passifs réplicables et non-réplicables devront être présentées
distinctement. De plus, pour les passifs non-réplicables, le best estimate et lamarge pour risque feront de même l’objet d’une présentation séparée.
Si un passif peut être parfaitement répliqué sur un marché liquide, profondet transparent, le portefeuille répliqué procure de façon immédiate un prix
observable qui doit être utilisé pour valoriser le passif. On parle d’évaluation
marked to market.
1.2.1. Le best estimate

Le CEIOPS définit le best estimate comme étant égal à la valeur actuelle
probable des potentiels flux futurs de trésorerie estimés à partir d’informations
courantes et fiables et à partir d’hypothèses spécifiques.
Une projection à horizon assez long saisissant tous les flux résultant decontrats ou de groupes de contrats devra être utilisée. Si l’horizon de la
projection n’est pas étendu jusqu’au terme du dernier contrat ou de la dernière
indemnisation, l’entreprise devra s’assurer que l’utilisation d’un horizon réduit
n’affecte pas significativement les résultats.
Un certain nombre d’hypothèses est à prendre en compte :2. Le CEIOPS définit de tels marchés comme des marchés dans lesquels les participants
peuvent rapidement exécuter un large volume de transactions avec de faibles impacts surles prix.

208

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−les flux financiers devront être actualisés au taux sans risque demarché observé pour des instruments de même durée3;−

la valeur actuelle des chargements sur contrats et la valeur actuelle desdépenses probables devront être examinées dans les projections deflux.
Pour ce qui est des passifs cédés en réassurance, le best estimate devra êtreestimé par un calcul brut et par un calcul net. Dans certaines compagnies deréassurance, l’existence d’un certain laps de temps entre l’enregistrement d’une
indemnisation et le moment de l’indemnisation directe à l’assuré doit être priseen compte lors de l’évaluation du best estimate net. Lors du calcul du best
estimate net, il est supposé que le réassureur ne fera pas défaut4.
Par ailleurs, les primes futures ne seront prises en compte que dans lamesure où :−elles sont prévues contractuellement ;− elles permettent à l’assuré de bénéficier de conditions plus favorables.
Dans le deuxième cas, il s’agira d’estimer la probabilité d’occurrence duversement de ces primes.
Il est précisé dans la cahier de spécification de QIS 3 que le best estimate
devra être évalué en utilisant au moins deux différentes méthodes. Deux
méthodes sont considérées différentes quand elles sont basées sur différentes
techniques et sur différents groupes d’hypothèses. Au final, c’est le résultat leplus prudent qui sera retenu comme le best estimate.
1.2.2. La marge pour risqueC’est une méthode de coût du capital (CoC) qui doit être utilisée dans ladétermination de la marge pour risque pour les passifs non-réplicables.
Le calcul de la marge CoC repose sur l’hypothèse d’insolvabilité del’entreprise d’assurance qui, à la fin de l’année en cours ne dispose plusd’aucun capital. Les provisions techniques doivent être suffisamment
importantes pour permettre le transfert des engagements de l’assureur ruinévers un autre assureur. La marge pour risque est alors définie comme le coût dela valeur actuelle du futur SCR que devra immobiliser l’assureur qui recevra lepassif jusqu’à sa liquidation.
Cette méthodologie est décrite plus précisément dans le sous-paragraphesuivant.
Concernant les actifs réplicables, la marge pour risque n’est pas à expliciter
puisqu’elle est incluse dans leur prix de marché (cf. le Chapitre 1).
1.2.3. La méthode du coût du capitalLes étapes de calcul de la marge pour risque avec la méthode CoC serésument en trois étapes :3. Lorsque les marchés ne recèle pas une telle information, elle devra être extrapolée àpartir des taux observés.
4. Ce risque est pris en compte à un autre niveau : celui du capital de solvabilité.

Annexe

209−

Détermination du SCR pour chaque exercice futur jusqu’à laliquidation du portefeuille. Le SCR projeté sera estimée sur des bases
simplifiées par rapport au SCR global.

−

Multiplication de chacun des futurs SCR par le facteur de coût ducapital (par exemple 6 % au dessus du taux sans risque) afin d’obtenirle coût de détention des futurs SCRs.

−

Actualisation des montants obtenus par la courbe des taux sans risque.
La somme de ces montants actualisés correspond à la marge pourrisque recherchée.
Cette démarche est résumée sur la Figure 44.

Figure 44 - Étapes de calcul de la marge pour risque (méthode CoC)
Steps to calculate the Risk Margin under a Cost-of-Capital approach
1

Project the SCR for future years until run-off of the current liability portfolio

1

2

2

4

...

5

Determine the cost of holding future SCRs, by multiplying the projected SCR
by the CoC factor

1

3

3

2

3

4

5

...

Discount the cost of holding future SCR's at the risk-free rate to get the CoC
Risk Margin (RM)n

RM = ∑ CoC _ factor × SCR i × v i
i =1

Tous les participants devront prendre un même facteur CoC de 6 % audessus de la courbe des taux sans risque pour l’évaluation de la marge pourrisque.
2. Provisions techniques en assurance vie
Pour les activités en assurance vie, la segmentation générale suivante devraêtre opérée :210

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

−contrats avec des clauses participatives de profit ;−contrats pour lesquelsd’investissement ;−autres contrats sans clause participative ;lesouscripteur

supportelerisque− réassurance.
Dans un deuxième temps, pour chaque premier niveau de segmentation, une
deuxième subdivision consistera à distinguer :−les contrats en cas de décès ;−les contrats en cas de vie ;−les contrats pour lesquels le principal risque est un risque de type arrêt
de travail;− les contrats d’épargne.
L’évaluation doit être effectuée sur des données extraites police par police,mais des méthodes raisonnables et actuarielles peuvent être utilisées. En
particulier la projection des flux futurs basée sur des polices types est
autorisée : l’utilisation de données agrégées est donc possible.
Les projections de flux doivent aussi prendre en compte les éventuels
options dont disposent les assurés. Ceci implique notamment que les règles degestion de la société (gestion d’actifs, PB discrétionnaire, etc.) doivent êtremodélisées dans la mesure où elles ont un impact sur le comportement desassurés vis-à-vis de ces options (renonciation, rachat de contrats, etc.)
3. Provisions techniques en assurance non-vie
Les différentes valeurs à prendre en considération en assurance non vie
doivent être indiquées pour chaque ligne d’activité définies à l’article 63 duCouncil Directive dans les comptes annuels et les comptes consolidés desentreprises d’assurance, à savoir selon les types d’activités suivants :−accident et santé ;−véhicules et responsabilité des tiers ;−véhicules et autres classes ;−marine, aviation, transport ;−incendie et autres dégâts ;−responsabilité des tiers ;−crédit et caution ;−dépenses légales ;−assistance ;−diverses assurance non vie.

4. Capital éligible
Le capital éligible joue le même rôle dans Solvabilité 2 que la marge desolvabilité dans l’actuel référentiel Solvabilité 1. Il s’agit donc des capitauxAnnexe211éligibles à la représentation du SCR. Ce capital éligible se décompose en trois
catégories en fonction de leur capacité à absorber les pertes. Ainsi les capitauxde première catégorie (Tier 1) comme par exemple les capitaux propres ou lesréserves statutaires sont admis sans limite, alors que ceux de deuxième
catégorie (Tier 2) sont admis avec des limites et que ceux de troisième
catégorie, comme par exemple la capacité des mutuelles au rappel decotisations, doivent faire l’objet d’une autorisation préalable du superviseur
pour être admis.
5. Capital de solvabilité (SCR) : formule standard
La formule standard telle que proposée dans QIS 3 repose sur une approche
modulaire qui divise le SCR selon les différents risques identifiés. Après une
présentation de cette approche, nous étudierons plus particulièrement lamanière dont sont modélisés certains risques qui la composent.
5.1. Approche modulaire
L’approche modulaire retenue pour la formule standard est résumée par la
Figure 45.

Figure 45 - Structure modulaire de la formule standard

Au premier niveau, le SCR provient de l’agrégation de capitaux obtenus
pour deux composantes : le SCR de base (basic SCR ou BSCR) et le risqueopérationnel ( SCRop ).

212

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Les paramètres et hypothèses retenues pour le calcul du SCR sontdéterminés de manière à ce que le modèle estime une Value-at-Risk à 99,5 %sur le risque global de la compagnie à horizon un an.
En pratique, la démarche consiste, pour chaque risque, à déterminer unmontant de capital (à partir d’un scénario défavorable) puis à agréger ensemble
des risques de même niveau et ainsi de suite en remontant dans la hiérarchie dela formule modulaire.
Par exemple, au niveau le plus haut de la hiérarchie, le niveau final du SCR
s’obtient par la formule d’agrégation suivante :SCR = BSCR + SCRop ,où SCRop désigne le capital associé au risque opérationnel et BSCR le basic
SCR.
Les deux termes sont directement additionnés pour donner le SCR, cela
traduit le fait que les risques sous-jacents ne se mutualisent pas.
5.2. Basic SCR
Le basic SCR est obtenu grâce à l’agrégation des capitaux associés à cinq
risques différents :−le risque de marché SCRmkt ;−le risque de défaut SCRdef ;−le risque de souscription en vie SCRlife ;−le risque de souscription en non-vie SCRnl ;−le risque de santé SCRhealth .

Pour représenter la capacité des assureurs à absorber des chocs grâce aux
participations aux bénéfices futures, la formule fait également intervenir lesgrandeurs suivantes :−le montant global des provisions techniques correspondant à laparticipation aux bénéfices discrétionnaire future FDB ;−l’effet d’atténuation par la PB future du risque de souscription vie
KClife ;−l’effet d’atténuation par la PB future du risque de marché KCmkt ;−l’effet d’atténuation par la PB future du risque santé KChealth .

La formule d’agrégation est la suivante :BSCR =



∑ CorrSCRr ,c × SCRr × SCRc − min  ∑ CorrSCRr ,c × KCr × KCc , FDB 
r ×c



r ×c

où la matrice de corrélation CorrSCR est donnée par le tableau suivant :



213

AnnexeCorrSCR=

SCRmktSCRdefSCRmkt1

SCRdef

0.25

1SCRlife

SCRhealth

SCRlife

0.25

0.25

1

SCRhealth

0.25

0.25

0.25

1

SCRnl

0.25

0.5

0

0

SCRnl

1

Il faut noter qu’il s’agit d’une matrice de corrélation entre les capitaux
associés aux risques et non les risques eux-mêmes.
5.2.1. Risques de marché

Le risque de marché est une des principales composantes du basic SCR. Le
capital qui lui est associé résulte également de l’agrégation des capitauxobtenus pour les sous-risques que sont les risques de taux, du marché action, del’immobilier, d’inflation et de change. Ainsi le SCRmkt s’obtient à partir de laformule s’agrégation suivante :SCRmkt =∑ r×c CorrMktr ,c × Mktr × Mktc ,où la matrice de corrélation CorrSCR est donnée par le tableau suivant :CorrMkt

MktintMktint

1

Mkteq

0.5

Mkteq

Mktprop

Mktsp

Mktconc

Mktfx

1

Mktprop

0.5

0.75

1

Mktsp

0.25

0.25

0.25

1

Mktconc

0

0

0

0

1

Mktfx

0.25

0.25

0.25

0.25

0

1

Par ailleurs, pour chacun de ces risques, la propension des participations
aux bénéfices futures à amortir des variations adverses des grandeurs financièrea été quantifiée par les facteurs KCeq , KCint , KC prop et KC fx . Ces
grandeurs sont agrégées en utilisant la même formule d’agrégation que
précédemment :KCmkt =

∑ r ×c CorrMktr ,c × KCr × KCc .

5.2.2. Exemple : risque de taux

Le risque de taux est un des principaux risques auxquels sont soumis lesassureurs du fait de la composition de leur actif essentiellement obligataire etdes garanties de taux qu’ils peuvent proposer à leurs clients.

214

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

La formule standard de calcul du SCR prévoit que le capital élémentaire
venant en contrepartie de ce risque est obtenu comme étant le niveau de capital
dont doit disposer l’assureur pour ne pas être en ruine dans un scénario de forte
hausse ou de forte baisse des taux d’intérêt.
QIS 3 prévoit les déformations suivantes de la courbe des taux :Figure 46 - Coefficients de déformation de la courbe des taux
1,00
s_up
s_down

0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

-0,20
-0,40
-0,60

Les courbes des taux déformées sont obtenues en multipliant la courbe destaux actuelle par les coefficients (1 + sup ) ou (1 + s down ) qui évoluent enfonction de la maturité considérée.
Sur la base de ces courbes de taux d’intérêt, il s’agit de projeter à nouveau
les flux futurs de l’assureur et d’observer la différence entre les valeurs nettes
de l’actif et du passif dans la situation de référence, d’une part, et dans lesscénarios avec courbe des taux modifiée, d’autre part. Cette différence est

Annexe215

déterminée dans les scénarios de majoration et d’abattement de la courbe destaux et c’est le résultat le plus élevé qui est retenu comme Mktint .
Un deuxième calcul est ensuite effectué pour mesurer la capacité desclauses de participation aux bénéfices futures à absorber des chocs (cf. laformule du basic SCR). Il s’agit, en conservant, les revalorisations futuresobtenues dans le scénario de référence de déterminer la valeur nette des actifs etdes passifs dans les deux scénarios de chocs de la courbe des taux puis decomparer les résultats obtenus à ceux des projections dans lesquelles lesrevalorisations futures ont été adaptées aux modifications opérées sur la courbe
des taux. La différence entre ces résultats permet d’obtenir KCint qui
représente une sorte de matelas de sécurité à la disposition de l’assureur pouramortir des variations adverses de la courbe des taux. C’est pour cette raison
que cette grandeur vient, après agrégation, en diminution dans le calcul du
BSCR.

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Notations utilisées

Le tableau ci-dessous reprend l’essentiel des notations utilisées tout au longde la thèse.
SymboleDescriptiona (t ) ∝ b (t )Les fonctions a et b sont proportionnelles (leurrapport est indépendant de la variable t)a∧b

Minimum de a et ba∨b

Maximum de a et b

Y ≺ st X

X domine stochastiquement YY ≺ cx X

X domine Y selon l’ordre convexe

Y ≺ icx X

X domine Y selon l’ordre convexe croissant

X =loi Y

X et Y ont la même distribution de probabilité

E[ X ]

Espérance de X

FX ( x )Fonction de répartition de X prise au point x

f (t )

Densité prise au point t

F ( F1 , F2 )Classe de Fréchet associée aux fonctions derépartition F1 et F2h (t )

Fonction de hasard prise au point t

H (t )

Fonction de hasard cumulée prise au point t

L ( θ, x )Vraisemblance de l’échantillon x et du paramètre θ

L X (t )Transformée de Laplace de X prise au point t

LN ( µ, σ )Loi log-normale issue d’une gaussienne N ( µ, σ )N ( µ, σ )Loi gaussienne de moyenne µ et d’écart-type σ226

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre ThérondP (λ)

Loi de Poisson de paramètre λPProbabilité historique

Q

Probabilité risque-neutre

S (t ) = F (t )Survie au delà de l’instant t

Su ( t )Survie au delà de l’instant t, sachant que l’on est envie en utMTransposée de la matrice M

Var [ X ]Variance de X

VaRq ( X ) = FX−1 ( q )Quantile (ou Value-at-Risk) d’ordre q de la loi de X

X1, n = X ( n )Maximum de X1 , …, X n

X k , n = X ( n − k +1)

k-ième plus grande valeur de X1 , …, X n

X n, n = X (1)Minimum de X1 , …, X nΦFonction de répartition de la loi normale centrée
réduite[ x]

Partie entière de x→dConvergence en loi→PrConvergence en probabilité

Table des illustrations

Figure 1 - Value-at-Risk de la somme de deux v.a. de Pareto .......................... 17
Figure 2 - Quelques fonctions de distorsion ..................................................... 20
Figure 3 - Évolution des bornes de l’intervalle de confiance à 90 % enfonction du nombre de polices assurées.......................................... 31
Figure 4 - Distribution des coûts futurs en absence de gestion active de la
couverture ....................................................................................... 41
Figure 5 - Distribution des coûts futurs lorsque la gestion active de la
couverture est mise en place ........................................................... 42
Figure 6 - Évolution du rendement moyen de l’actif ........................................ 61
Figure 7 - Évolution de l'écart-type du rendement............................................ 61
Figure 8 - Distribution empirique de la revalorisation l'épargne au terme........ 62
Figure 9 - Évolution du taux de revalorisation moyen ..................................... 63
Figure 10 - Évolution du coefficient de variation du taux de revalorisation..... 63
Figure 11 - Densité empirique de la valeur actuelle des prestations futures..... 68
Figure 12 - Densité empirique des prestations futures actualisées ................... 69
Figure 13 - Densité de la copule de Franck de paramètre 1.............................. 79
Figure 14 - Distribution de la charge totale de sinistres ................................... 80
Figure 15 - Provision économique exprimée en pourcentage de laprovision réglementaire en fonction de ω1 ...................................... 84
Figure 16 - Probabilité de ruine en fonction de ω1 ........................................... 85
Figure 17 - Capital cible en fonction de la part investie en actions ω1 ............. 87
Figure 18 - Graphe de ϕ.................................................................................... 88
Figure 19 - Capital cible en fonction de la part investie en actions ω1 ............. 89
Figure 20 - Typologie des différents risques rencontrés................................. 101
Figure 21 - Estimation d'un quantile extrême : erreur relative d'estimation ... 105
Figure 22 - Méthode boostrap en provisionnement non-vie ........................... 108
Figure 23 - Intervalles de confiance (VaR à 99,5 %)...................................... 111
Figure 24 - Intervalles de confiance (VaR à 75 %)......................................... 111
Figure 25 - Modèle interne simplifié : identification des valeurs extrêmes.... 114
Figure 26 - Modèle interne simplifié : identification des valeurs extrêmes
(probabilités)................................................................................. 114
Figure 27 - Rendement journalier du titre TOTAL : QQ-plot loi
empirique vs loi normale .............................................................. 115
Figure 28 - Rendement journalier du titre TOTAL : QQ-plot loi
empirique vs modèle de Merton ................................................... 117
Figure 29 - Estimation de l'épaisseur de la queue d'une distribution de
Pareto ............................................................................................ 128
Figure 30 - Fonction de répartition de la copule cubique ............................... 147
Figure 31 - Évolution moyenne du taux modélisé par Vasicek selon leprocédé de discrétisation retenu.................................................... 178
Figure 32 - Modèle de Vasicek selon le procédé de discrétisation retenu ...... 178

228

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

Figure 33 - Prix des zéro-coupons en fonction de leur échéance et de laméthode d’estimation des paramètres........................................... 184
Figure 34 - Taux instantanés espérés en fonction de leur échéance et de latechnique d’estimation des paramètres ......................................... 184
Figure 35 - Répartition et tests statistiques du générateur Rnd....................... 186
Figure 36 - Répartition et tests statistiques du générateur du tore .................. 187
Figure 37 - Erreur d’estimation en fonction du nombre de simulations ......... 188
Figure 38 - Trajectoire moyenne simulée par le tore d’un mouvement
brownien géométrique .................................................................. 189
Figure 39 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p = 5)................. 190
Figure 40 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p1 = 5)
mélangé par le tore (p2 = 19) ........................................................ 192
Figure 41 - Corrélogramme de la suite générée par le tore (p1 = 5)
mélangé par Rnd ........................................................................... 192
Figure 42 - Trajectoires espérée et moyenne des 5 000 trajectoires
simulées par le tore mélangé d’un mouvement brownien
géométrique .................................................................................. 193
Figure 43 - Distribution de l’âge au décès pour un assuré de 50 ans.............. 196
Figure 44 - Étapes de calcul de la marge pour risque (méthode CoC)............ 209
Figure 45 - Structure modulaire de la formule standard ................................. 211
Figure 46 - Coefficients de déformation de la courbe des taux ...................... 214

Table des matières

Sommaire........................................................................................................... 1
INTRODUCTION GÉNÉRALE ................................................................................ 3
PARTIE I NOUVELLES APPROCHES COMPTABLE, PRUDENTIELLE ET
FINANCIÈRE DES RISQUES EN ASSURANCE ......................................................... 9
Chapitre 1 Traitement spécifique du risque : aspects théoriques .............. 13
1. Les outils mathématiques de l’analyse des risques ................................ 13
1.1. Les mesures de risque..................................................................... 13
1.2. Comparaison des risques ................................................................ 26
2. Un traitement différencié du risque ....................................................... 29
2.1. L’approche assurantielle ................................................................. 29
2.2. L’approche économique ................................................................. 31
2.3. Confrontation des deux approches en assurance............................. 34
3. Contrats en unités de compte : les garanties plancher............................ 36
3.1. Contrats en unités de compte .......................................................... 36
3.2. Principaux risques........................................................................... 36
3.3. Valorisation et gestion des garanties plancher................................ 38
4. Conclusion ............................................................................................. 42
Bibliographie ............................................................................................... 44
Chapitre 2 Traitement spécifique du risque : aspects pratiques ................ 47
1. De nouveaux référentiels distincts ......................................................... 47
1.1. Contexte.......................................................................................... 47
1.2. Des finalités différentes .................................................................. 49
1.3. Un socle de principes communs ..................................................... 50
2. Des incidences opérationnelles .............................................................. 52
2.1. Hypothèses actuarielles .................................................................. 52
2.2. Futures décisions de gestion ........................................................... 57
3. Cas pratique : portefeuille d’assurance vie ............................................ 64
3.1. Présentation du produit ................................................................... 64
3.2. Le portefeuille des assurés.............................................................. 67
3.3. Modélisation retenue ...................................................................... 67
3.4. Analyse des résultats....................................................................... 68
3.5. Conclusion ...................................................................................... 69
Bibliographie ............................................................................................... 70
Chapitre 3 Incidence sur la gestion technique d’un assureur..................... 71
1. Modélisation de la société d’assurance.................................................. 72

230

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

2. Critère de maximisation des fonds propres économiques ...................... 73
2.1. Présentation générale ...................................................................... 73
2.2. Mise en œuvre dans le cadre réglementaire français ...................... 75
2.3. Mise en œuvre dans le référentiel Solvabilité 2 .............................. 76
3. Recherche de l’allocation optimale........................................................ 77
3.1. Modélisation des risques................................................................. 78
3.2. MFPE dans la réglementation française ......................................... 82
3.3. MFPE dans un référentiel du type Solvabilité 2 ............................. 85
4. Conclusion ............................................................................................. 88
Annexe A : Démonstration des résultats mathématiques............................. 91
Annexe B : Simulation des réalisations de la charge de sinistres................. 93
Bibliographie ............................................................................................... 94
PARTIE II MODÉLISATIONS AVANCÉES EN ASSURANCE ................................ 95
Chapitre 4 Limites opérationnelles : la prise en compte des extrêmes ...... 97
1. Calcul de VaR en assurance................................................................... 99
2. Notations.............................................................................................. 101
3. Estimation de quantiles extrêmes......................................................... 102
3.1. Estimation naturelle ...................................................................... 102
3.2. Ajustement à une loi paramétrique ............................................... 102
3.3. Approximation GPD..................................................................... 103
3.4. Estimateur de Hill ......................................................................... 104
3.5. Illustration..................................................................................... 105
4. Application du bootstrap...................................................................... 105
4.1. Présentation .................................................................................. 106
4.2. Calcul d’un intervalle de confiance pour une VaR ....................... 108
4.3. Illustration numérique................................................................... 110
5. Robustesse du SCR.............................................................................. 111
5.1. Estimation des paramètres des variables de base.......................... 112
5.2. Simulation..................................................................................... 112
5.3. Spécification du modèle................................................................ 113
6. Conclusion ........................................................................................... 117
Annexe A : Loi de Pareto généralisée (GPD) ............................................ 118
A.1 Définition ....................................................................................... 118
A.2 Quelques propriétés........................................................................ 118
A.3 Estimation des paramètres.............................................................. 119
Annexe B : Résultats probabilistes ............................................................ 121
B.1 Loi du maximum ............................................................................ 121
B.2 Épaisseur des queues de distribution .............................................. 122
B.3 Loi des excès au-delà d'un seuil ..................................................... 123
Annexe C : Estimation du paramètre de queue .......................................... 125
C.1 Méthodes paramétriques................................................................. 125
C.2 Méthodes semi-paramétriques........................................................ 126
Bibliographie ............................................................................................. 129

Table des matières

231

Chapitre 5 Prise en compte de la dépendance............................................ 133
1. Analyse mathématique de la dépendance ............................................ 134
1.1. Mesures de dépendance ................................................................ 134
1.2. Structures de dépendance.............................................................. 138
2. Rappels sur la dépendance linéaire ...................................................... 143
3. La théorie des copules.......................................................................... 145
3.1. Copules, lois conjointes et dépendance ........................................ 145
3.2. Inférence statistique ...................................................................... 152
3.3. Copules et valeurs extrêmes ......................................................... 155
3.4. Copules et simulation ................................................................... 156
3.5. La méthode NORTA..................................................................... 159
3.6. Exemples d’application des copules ............................................. 160
4. Rachat de contrats d’épargne : un modèle ad hoc................................ 161
4.1. Notations....................................................................................... 161
4.2. Hypothèses simplificatrices .......................................................... 162
4.3. Attribution de PB.......................................................................... 162
4.4. Rachat ........................................................................................... 165
5. Capital de solvabilité : les méthodes d’agrégation............................... 165
5.1. Un cadre gaussien ......................................................................... 166
5.2. Les limites des modèles retenus.................................................... 167
Bibliographie ............................................................................................. 168
Chapitre 6 Techniques de simulation.......................................................... 171
1. Introduction.......................................................................................... 171
2. Discrétisation de processus continus.................................................... 172
2.1. Discrétisation exacte..................................................................... 173
2.2. Discrétisation approximative ........................................................ 175
3. Estimation des paramètres ................................................................... 180
3.1. Le biais associé à la procédure d’estimation................................. 180
3.2. Principe de l’estimation par inférence indirecte ........................... 181
3.3. Les méthodes d’estimation ad hoc................................................ 182
3.4. Illustration dans le cas du modèle de Vasicek .............................. 182
4. Génération des trajectoires................................................................... 185
4.1. Deux générateurs de nombres aléatoires : Rnd et le tore .............. 185
4.2. Limites de l’algorithme du tore..................................................... 188
4.3. Générateur du tore mélangé.......................................................... 191
5. Simulation de la mortalité d’un portefeuille d’assurés......................... 193
5.1. Simulation de l’âge au décès ........................................................ 194
5.2. Détermination de la date du décès ................................................ 196
6. Conclusion ........................................................................................... 197
Annexe : Tests d’adéquation à une loi ....................................................... 198
1. Test du χ2 ......................................................................................... 198
2. Test de Kolmogorov-Smirnov........................................................... 198
3. Test d’Anderson-Darling .................................................................. 198
Bibliographie ............................................................................................. 200

232

Mesure et gestion des risques en assurance - Pierre Thérond

CONCLUSION GÉNÉRALE ............................................................................... 201
Annexe Solvabilité 2 - les modèles proposés par QIS 3 ............................ 205
1. Modèles d’évaluation : l’approche standard .......................................... 206
1.1. Les actifs ........................................................................................ 206
1.2. Les provisions techniques .............................................................. 207
2. Provisions techniques en assurance vie.................................................. 209
3. Provisions techniques en assurance non-vie .......................................... 210
4. Capital éligible....................................................................................... 210
5. Capital de solvabilité (SCR) : formule standard .................................... 211
5.1. Approche modulaire....................................................................... 211
5.2. Basic SCR ...................................................................................... 212
BIBLIOGRAPHIE GÉNÉRALE ........................................................................... 217
Notations utilisées ......................................................................................... 225
Table des illustrations .................................................................................. 227
Table des matières ........................................................................................ 229

Mesure et gestion des risques d'assurance : analyse critique des futurs
référentiels prudentiel et d'information financière

Résumé
L’avènement des nouveaux référentiels comptable (IFRS), prudentiel(Solvabilité 2) et de communication financière (EEV/MCEV) va modifier
profondément le rapport au risque des assureurs au travers de nouvelles
exigences de valorisation des contrats d’assurance et de calcul des exigences decapitaux propres. L’objectif de cette thèse est de présenter ces changements,
d’identifier leurs limites et d’analyser leurs conséquences sur la gestion
effective d’un assureur.
La première partie est consacrée à la présentation et à l’analyse desprincipes sur lesquels repose le traitement des différents risques requis par lesdifférents référentiels. Une attention particulière est portée sur leur mise enœuvre pratique. Enfin, une illustration des incidences de ces nouveaux
référentiels sur la gestion technique d’un assureur est proposée.
La seconde partie porte sur les aspects opérationnels de la mise en œuvre
des référentiels. Une attention particulière est portée à la prise en compte desvaleurs extrêmes sur laquelle repose le calcul des exigences de capitaux
propres, sur la prise en compte de la dépendance entre les risques et revient surles méthodes de simulations rendues incontournables par les approches
retenues.
Mots-clés : Risque, assurance, solvabilité, International Financial ReportingStandards (IFRS), Market Consistent Embedded Value (MCEV), valeursextrêmes, simulations de Monte Carlo, garanties de taux, participation auxbénéfices, option de rachat, allocation d’actifs, capital de solvabilité.

Risk measure and management in insurance : critical analysis of the future
prudential and financial reporting frameworks

Abstract
The advent of the new accounting (IFRS), prudential (Solvency 2) andfinancial reporting (EEV/MCEV) frameworks will deeply change the risktreatment of the insurers. Indeed, they are facing new requirement for valuating
contracts and for calculating solvency capital. This thesis objective is to present
these changes, to identify their limits and to analyze their consequences on theeffective management of the insurance company.
The first part is devoted to the presentation and the analysis of the principlesof the new frameworks. A close attention is paid to their practicalimplementation. Lastly, an illustration of the incidences of these new frames on
the technical management of an insurer is proposed.
The second part relates to the operational aspects of these new frameworks.
A detailed attention is paid to the extremes on which is based the calculation of
the solvency capital requirement, to the dependence between the risks and to
the Monte Carlo methods wich become uncountournable within the newstandards.
Keywords : risk, insurance, solvency, International Financial ReportingStandards (IFRS), Market Consistent Embedded Value (MCEV), extremes,Monte Carlo simulations, guaranteed life insurance, participating contracts,
surrender option, asset allocation, solvency capital.