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le 3O llal 2O14
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RésuméMots clés : catastrophe naturelle, gel, modèle catastrophe, classification, EOF, modèle linéaire
généralisé, dépassement de seuil, série temporelle, copule, courbe de destruction, AEP, OEP.
Depuis plusieurs années, les catastrophes naturelles ont tendance à engendrer des coûts deplus en plus importants et peuvent impacter ainsi directement la solvabilité des organismesd’assurance. Les assureurs ont donc besoin de quantifier les risques que présentent les catastrophes
naturelles et d’estimer les pertes qu’elles pourraient entrainer. Or, la survenance imprévisible de ces
phénomènes rend la tâche difficile à réaliser. Pour cela, des modèles catastrophe sont spécifiquement
construits pour permettre d’accroitre significativement la connaissance des assureurs sur ces types derisque.
L’objectif de ce mémoire est de construire un modèle catastrophe pour le péril gel en France. La
survenance de gel étant directement liée à la température, la première partie a consisté à segmenter
la France en plusieurs régions présentant des températures homogènes afin de réduire la dimension
du problème et de faciliter les analyses. Ensuite, la deuxième partie a permis de modéliser lephénomène de gel dans le but de générer plusieurs scénarios d’évènements susceptibles de se
produire en France pendant une année. Puis, il a fallu transformer la survenance d’évènements gel enperte économique en fonction de l’exposition du portefeuille d’AXA grâce à la construction de courbes
de destruction. Enfin, dans une dernière partie, les résultats ont été mis en commun pour déterminer
une distribution des pertes subies par AXA en raison du déclenchement d’évènements de gel enFrance.

Abstract
Key words: natural disaster, freeze, catastrophe modelling, clustering, EOF, Generalized Linear
Model, Peak Over Threshold, time series, copula, vulnerability curve, AEP, OEP.
Over the past few years, the economic impact of natural catastrophes on populations hasnotoriously increased, jeopardizing the financial strength of insurance companies. Insurers thus needto measure the underlying risk and the losses their clients would experience from it. However, due tothe unpredictability of natural disasters, specific catastrophe models must be conceived in order toincrease insurers' understanding of these risks and their consequences in terms of insurance.
This paper aims at conceiving a catastrophe model for the freeze peril in France. Freeze being
directly linked to temperature, the first part consisted in reducing the dimension of the study bydefining temperature-homogeneous regions, enabling to later model each of them as a whole. In thesecond part, freeze was modelled from historical data, enabling the stochastic simulation of possible
future events in France. After building custom vulnerability curves, we were able to deduce theeconomic losses triggered by the simulated events on AXA's portfolio. Finally, results associated toeach event were put together to determine AXA's distribution of losses associated to freeze events inFrance.

Remerciements
Nous aimerions avant tout adresser nos remerciements à notre encadrant, Pierre Mouilhade,pour ses conseils avisés, sa patience et sa disponibilité tout au long de l’année.
Nous tenons également à remercier vivement Fabrice Balland pour sa collaboration et son aideprécieuse dans l’élaboration de ce mémoire.
Enfin, nous souhaitons remercier les professeurs et intervenants de l’ENSAE pour leursréponses à nos questions concernant le mémoire. Nous pensons notamment à Olivier Lopez etPhilippe Tann.

Sommaire
Introduction ...................................................................................................... 4I.

Le risque gel et sa modélisation ............................................................ 5
1. Les risques catastrophes naturelles ................................................................. 5
1.1.
1.2.
1.3.

Définition .......................................................................................................... 5
Impact des catastrophes naturelles pour un assureur ...................................... 5
Le risque gel .................................................................................................... 6

2. Intérêt de la modélisation du risque catastrophe .............................................. 8
2.1.
2.2.

Optimisation du capital réglementaire .............................................................. 8
Tarification de traités de réassurance optimaux ............................................... 9

3. La modélisation catastrophe ........................................................................... 11
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

Définition d’un modèle catastrophe .................................................................11
Le module Aléa ...............................................................................................12
Le module Vulnérabilité ...................................................................................12
Le module Financier ........................................................................................14
Résultats d’un modèle catastrophe .................................................................16

4. La modélisation catastrophe adaptée au risque gel........................................ 18
4.1.
4.2.

II.

Caractérisation du risque gel ...........................................................................18
Présentation des données utilisées .................................................................18

La classification des régions ................................................................ 20
1. L’Empirical Orthogonal Function (EOF) .......................................................... 20
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Méthode EOF et quelques variantes ...............................................................21
La matrice de données ....................................................................................21
Méthode de résolution .....................................................................................22
Critères de choix des dimensions ....................................................................23
Analyse des résultats ......................................................................................23

2. La classification .............................................................................................. 25
2.1.
2.2.

Notion de distances et de similarités ...............................................................26
Les méthodes de classification ........................................................................26

3. Première approche : combinaison des méthodes EOF et CAH ...................... 29
3.1.
3.2.
3.3.

La distance euclidienne ...................................................................................29
Le critère de Ward pour les distances euclidiennes .........................................29
Les résultats de la CAH sur les données issues de la méthode EOF ..............30

4. Deuxième approche : CAH avec utilisation de la distance DTW ..................... 34
4.1.
4.2.

La distance DTW .............................................................................................34
Les résultats de la CAH avec utilisation de la DTW .........................................37

1

III.

Construction du module Aléa ............................................................... 39

1. Caractérisation de l’évènement gel ................................................................. 39
1.1.
1.2.

Les déterminants de la survenance du gel ......................................................40
Modélisation de la fréquence de gel ................................................................45

2. Modélisation de la température....................................................................... 56
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

Présentation des données ...............................................................................56
Le modèle linéaire additif simple .....................................................................57
Le modèle ARMA ............................................................................................58
Le modèle à variance périodique.....................................................................61

2.5.

Application de la méthode aux autres régions .................................................68

3. Modélisation de la dépendance entre régions ................................................ 72
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

Présentation des données ...............................................................................72
La théorie des copules ....................................................................................73
Les copules paramétriques .............................................................................74
Méthode d’estimation ......................................................................................77
Sélection de la copule optimale .......................................................................79

4. Simulations de scénarios ................................................................................ 85
4.1.
4.2.

Scénarios de température ...............................................................................85
Scénarios d’évènements .................................................................................86

IV. Construction du module Vulnérabilité ................................................. 88
1. Modéliser la perte assurantielle ...................................................................... 88
2. La méthode MBBEFD ..................................................................................... 88
2.1.
2.2.

MBBEFD à deux paramètres...........................................................................89
MBBEFD à un paramètre (Hyperbolic MBBEFD) ............................................90

3. Taux de destruction médian............................................................................ 91
4. Construction des courbes de destruction ........................................................ 93

V.

Résultats du modèle .............................................................................. 95

1. Obtention des pertes journalières par police et par scénario .......................... 95
2. Construction des courbes AEP et OEP .......................................................... 96
2.1.
2.2.
2.3.

Agrégation des pertes journalières pour la réassurance ..................................96
La courbe OEP................................................................................................96
La courbe AEP ................................................................................................96

Conclusion ..................................................................................................... 98
Table des figures ........................................................................................... 992

Liste des tableaux........................................................................................ 102
Bibliographie ................................................................................................ 103
Annexe A - Schéma climatique de la France métropolitaine .................. 105
Annexe B - Fonctions d’autocorrélations et tests statistiques utilisés . 106
Annexe C - Résultats des tests de significativité ..................................... 108
Annexe D - Dépendance de queue ............................................................. 108
Annexe E - Dépendogrammes et fonctions de Kendall ........................... 109
Annexe F - Courbes de destruction associées à chaque LoB ................ 119

3

Introduction
1

L’entrée en vigueur prochaine de Solvabilité II impose à tous les assureurs d'avoir la meilleureconnaissance possible de l’ensemble des risques auxquels ils s’exposent. Dans cette directive, untraitement spécifique est notamment prévu pour les catastrophes naturelles dont les impacts peuvent
s’avérer dramatiques pour les compagnies d’assurance. A titre d’exemple, l’ouragan Andrew, survenu
en 1992 en Floride, a causé la faillite de onze assureurs. De telles conséquences incitent lescompagnies d’assurance à anticiper leurs pertes éventuelles en cas de réalisation d’évènementsextrêmes et à constituer des fonds propres spécifiques pour pouvoir y faire face. La prise en compte
des risques de catastrophes naturelles suscite ainsi un intérêt croissant chez les assureurs. Pour ce
faire, ces risques doivent inévitablement être modélisés.
Parmi les évènements extrêmes coûteux pour une compagnie d’assurance, on retrouve lestremblements de terre, les ouragans ou encore les éruptions volcaniques. Pour ces risques, certains
assureurs possèdent déjà des modèles, appelés modèles catastrophe, qui permettent de simuler lasurvenance du risque et les pertes associées. Ces modèles sont complexes car ils doivent à la fois
modéliser le phénomène physique mais aussi les répercussions financières en cas de réalisation dupéril. Des d’entreprises spécialisées dans la modélisation catastrophe existent et ont pour rôle decréer des modèles adaptés à différents périls.
Lorsque l’on évoque les catastrophes naturelles, il est rare de mentionner le risque gel car sa
survenance n’a généralement pas un impact aussi spectaculaire que les périls énoncés ci-dessus. Les
entreprises spécialisées dans la modélisation catastrophe ne modélisent donc pas ce risque enpriorité. Cela pousse les assureurs à développer leurs propres modèles afin de mieux cerner cerisque. En effet, la durée d’un évènement gel et la forte accumulation des polices touchées lors de sa
survenance peuvent entrainer de lourdes pertes. Tel a été le cas d’AXA durant l’année 2012 qui fut
une année particulièrement froide.
Dans ce mémoire, nous appliquerons au gel l’approche usuelle utilisée pour modéliser les
catastrophes naturelles. Cela confèrera à l’assureur de multiples avantages comme la couverture dece risque par un traité de réassurance ou la constitution de fonds propres nécessaires à la couverturede ce risque.
Pour cela, nous allons procéder en quatre étapes. Tout d’abord, nous effectuerons uneclassification des régions de France en fonction de leurs températures afin de réduire la quantitéd’information à notre disposition. Puis, dans les deux parties suivantes, nous détaillerons laconstruction de deux modules d’un modèle catastrophe, en les adaptant spécifiquement au péril gel.
Le premier module permettra de générer des évènements de gel en France sur une année et ledeuxième module aura pour objectif de calculer l’impact de ces évènements sur le portefeuille d’AXA,
traduisant les évènements physiques en pertes économiques. Enfin, dans la dernière partie, nousétudierons la distribution des pertes causées par le gel obtenue en sortie du modèle.

1

Directive européenne réglementaire du monde de l’assurance4

I.

Le risque gel et sa modélisation
1.

Les risques catastrophes naturelles
1.1.

Définition

Une catastrophe naturelle est un événement d’origine naturelle, subit et brutal, pouvant générer
une accumulation d’importants dégâts matériels et humains. Une catastrophe naturelle se distingue
d’autres évènements par une fréquence de survenance faible et une forte intensité.
Les catastrophes naturelles ont longtemps été considérées comme des évènements inévitables
et imprévisibles mais les progrès de la science permettent à présent de mieux les caractériser et deprévoir, dans certains cas, leur survenance.
Ci-après, une liste des principaux évènements classés dans la catégorie catastrophe naturelle :









tremblement de terre, tsunami ;ouragan, typhon, cyclone ;tornade ;inondation ;tempête de neige ;éruption volcanique ;avalanche, glissement de terrain ;températures extrêmes (gel ou sécheresse).

1.2.

Impact des catastrophes naturelles pour un assureur

Un assureur s’engage contractuellement à prendre en charge, contre le paiement d’une prime,
le règlement de sinistres futurs. Afin de pouvoir honorer ses engagements, le risque sous-jacent ausinistre doit être évalué aussi précisément que possible.
Une compagnie d'assurance peut caractériser un risque via trois grandeurs : sa fréquence, sa
sévérité et son ampleur géographique. Ces grandeurs doivent donc inévitablement être évaluées afinde pouvoir gérer au mieux le risque.
La fréquence d’occurrence Par définition, une catastrophe naturelle a une fréquenced’occurrence faible. Cela signifie qu’après plusieurs années sans sinistre, un assureur peut connaître
une année marquée par une catastrophe naturelle d’intensité très forte pouvant lui être fatale. Par
ailleurs, la fréquence de survenance de certaines catastrophes naturelles, comme les inondations ou
la sécheresse, a tendance à s’accroître en raison du réchauffement climatique.
Dans le cas général, pour des sinistres non extrêmes, la probabilité de survenance de sinistre
est évaluée par des méthodes statistiques à l’aide de l’historique des sinistres survenus dans leportefeuille de l’assureur. Cependant, ces méthodes ne sont pas adaptées aux catastrophes
naturelles qui surviennent trop rarement pour avoir un historique de sinistres significatif. Pour une
prise en compte adéquate des catastrophes naturelles, les méthodes statistiques doivent êtreprolongées au moyen de méthodes scientifiques afin de prendre en compte les caractéristiques duphénomène physique.
La localisation géographique. La localisation géographique est un facteur crucial dans lasurvenance de catastrophes naturelles. En effet, certaines régions « à risque » sont plus touchées5que d’autres en raison de leur localisation. Par exemple, le risque de séismes, particulièrement
important au Japon, est quasiment nul en France.
La Figure I-1 représente la fréquence de survenance de catastrophes naturelles par région etsouligne cette forte dépendance géographique en France.

Figure I-1 Fréquence de sinistres en France entre 1998 et 2006
Source : FFSA

L’intensité de l’évènement. Lorsqu’elle survient, une catastrophe naturelle peut provoquerd’importants dommages et avoir une incidence sur la solvabilité des assureurs. Par exemple, suite au
cyclone Andrew qui a ravagé la Floride en 1992, onze assureurs ont fait faillite par sous-estimation durisque. Ainsi, les assureurs sont de plus en plus incités à se doter de modèles spécifiques afind’évaluer les risques auxquels ils sont exposés dans le but de mieux tarifer les primes d’assurance
d’une part et de bien dimensionner les cessions en réassurance d’autre part.

1.3.

Le risque gel

1.3.1. Définition d’un évènement gel
Par définition, le « gel » correspond à la transformation d’un liquide en état solide par destempératures inférieures au point de solidification de la matière, c’est-à-dire par des températures
négatives.
Néanmoins, un évènement gel n’engendre pas nécessairement de pertes (dues au gel) pour unassureur. Ce que nous chercherons à capter dans cette étude est un évènement gel au sens
assurantiel et donc un évènement déclenchant des pertes.

1.3.2. Le risque gel comme catastrophe naturelle
Bien que le gel engendre des sinistres moins médiatisés que d’autres catastrophes naturelles(tremblement de terre, cyclones,…), il peut entrainer des pertes importantes pour un assureur
lorsqu’une longue période de froid est observée. Il convient de noter que la sinistralité liée à ce périls’est aggravée ces dernières années en raison d’une moindre qualité des constructions récentes surl’isolation et des dalles moins épaisses. Le gel entraîne essentiellement des sinistres liés à :

6





des ruptures de conduites d’eau qui peuvent nécessiter de lourds travaux deréparation ;des ruptures de structures liées à un sol gorgé d’eau qui se rétracte rapidement ;des pertes d’exploitation agricole dans le cas du gel de cultures.

La Figure I-2 représente les vagues de froid observées en France entre 1947 et 2012. Nous
pouvons ainsi voir que la France a connu 21 vagues de froid depuis 1947. La survenance d’un telévènement est donc faible historiquement.

Figure I-2 Vagues de froid en France
Source : Météo France

Sur la Figure I-2, le diamètre des sphères symbolise l’intensité globale des vagues de froid, lessphères les plus grandes correspondant aux vagues de froid les plus sévères. Nous pouvons voir queles plus grandes vagues de froid se sont déroulées en 1956, 1963 et 1985, ont duré jusqu’à 30 jours
et atteint la température de -32°C.
La vague de froid survenue en 2012 fait partie des six plus grosses vagues de froid observées
depuis 1947. A ce jour, cette vague de froid est à l’origine du sinistre gel le plus significatif dansl’historique d’AXA France.
La Figure I-3 montre que le gel est un évènement qui génère de façon irrégulière des pertes
importantes. En effet, des périodes de gel sont observées chaque hiver mais l’intensité
particulièrement forte de l’évènement gel en 2012 justifie que cet évènement soit classé dans lacatégorie catastrophe naturelle puisqu’il en vérifie les trois principales caractéristiques :montant de pertes irrégulier dépendant d’un phénomène physique ;évènement pouvant impacter plusieurs polices indépendantes ;forte dépendance géographique.

7

Figure I-3 Nombre de sinistres survenus entre 2008 et 2013 à cause du gel pour AXA

2.

Intérêt de la modélisation du risque catastrophe

Les catastrophes naturelles constituent d’importants risques pour un assureur qui est fortement
incité à les modéliser pour deux raisons principales : l’optimisation du capital réglementaire etl’optimisation de ses traités de réassurance.

2.1.

Optimisation du capital réglementaire

La réforme Solvabilité II (SII) est une réforme réglementaire européenne dont l’un des objectifs
est de mieux réglementer le montant de fonds propres minimal que doivent détenir des organismesd'assurances en fonction de leurs risques de bilan afin d’avoir une probabilité de défaut inférieure à
0.5% à horizon d’un an. Les risques d’un assureur se classent en quatre grandes catégories :risque financier ;risque de passif vie ;risque de passif non-vie ;risque systématique (ce dernier ne s’appliquant qu’aux 10 plus gros assureurs
mondiaux).

Le risque de passif non-vie est le risque qui nous intéresse dans cette étude. Il se décompose
en plusieurs composantes :le risque de prime lié à l’incertitude des polices souscrites ou renouvelées dans l’annéeà venir ;le risque de réserve lié à l’incertitude d’obligations existantes d’assurance ou deréassurance ;8le risque de catastrophe lié à la survenance d’évènements d’origine naturelle ou
humaine.

La directive SII prévoit le calcul des fonds propres réglementaires pour ce dernier type de risque
via deux approches différentes : la formule standard et les modèles internes.
Approche 1 – Formule standard : L’assureur calcule ici l’impact sur son résultat de scenarios
2
catastrophes fournis par le régulateur , ce qui lui permet de déduire le montant de capital qu’il doit
détenir pour se couvrir contre le risque catastrophe étudié. Dans le cas où aucun scénario n’est fourni,
une formule standard est appliquée sur la base des primes reçues. Ces deux méthodes peuvent êtrecombinées, sachant que le résultat le plus pessimiste doit être retenu.
Approche 2 – Modèle interne : L’assureur peut également construire un modèle interne
adapté à ses spécificités. Au sein d’AXA, plusieurs approches sont employées :l’utilisation de modèles tiers qui permettent de modéliser le phénomène physique, lavulnérabilité d’un portefeuille liée à ces phénomènes physiques et donc la distribution
de risque du portefeuille en question ;

le développement de modèles CAT (ou modèle catastrophe) propres à AXA ;

La calibration de scénarios de manière plus raffinée que la formule standard.

Des trois approches, l’approche par le modèle CAT est la plus précise, car elle est la seule àrefléter le profil de risque réel de l’assureur et à s’adapter à des changements de structure deportefeuille (géographique, type de risque assurés,…). Cependant, cette méthode étant spécifique àchaque assureur, la validation d’un modèle catastrophe fait l’objet d’un contrôle pointu de la part durégulateur.
3

Le péril gel n’étant pas considéré comme un péril majeur par Solvabilité 2 , aucun capitalréglementaire n’est prévu par la directive dans la formule standard pour la couverture de ce risque.
Cependant, comme nous l’avons introduit dans le paragraphe précédent, le risque gel peut engendrer
des pertes importantes, voire être le péril majeur dans certains pays comme l’Irlande. Modéliser le gelpermet à l’assureur de se doter d’un modèle interne et de connaitre précisément la distribution desrisques encourus. Il pourra ainsi en déduire le capital requis à la souscription de ce risque. Nous
appliquerons dans ce mémoire la méthodologie utilisée pour construire un modèle catastrophe.

2.2.

Tarification de traités de réassurance optimaux

2.2.1. Intérêt de la réassurance
Les catastrophes naturelles génèrent une charge et surtout une volatilité de bilan conséquente
pour un assureur. Dans le but de se prémunir d’une trop grande volatilité, l’assureur transfère unepartie de ses risques d’accumulation grâce aux mécanismes de réassurances (voir Figure I-4).

2L’Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution en France
Seuls les périls tempête, inondation, tremblement de terre, grêle et affaissement de terrain sont pris en compte
dans la formule standard.
3

9Figure I-4 Impact de la réassurance sur le ratio de sinistralité en France
Source : FFSA

2.2.2. Les traités de réassurance
Deux familles de traités de réassurance existent : la réassurance proportionnelle et laréassurance non proportionnelle.
La réassurance proportionnelle consiste à répartir les primes et les sinistres entre l’assureur etle réassureur selon un ratio défini de manière contractuelle. Ce type de traité n’est pas adapté à lacouverture de catastrophes naturelles car lors de la survenance d’un évènement extrême, l’assureur
aura toujours à sa charge un ratio des sinistres qui pourrait lui être défavorable lorsque le montant
total de sinistres est élevé.
La réassurance non proportionnelle consiste à transférer au réassureur les sinistres au-delàd’un montant spécifié (la priorité ou rétention) et jusqu’à un certain montant défini (la portée). La
priorité est en général suffisamment élevée pour que le traité ne se déclenche qu’en cas d’évènementextrême. La réassurance non proportionnelle est particulièrement adaptée aux catastrophes
naturelles.
La Figure I-5 illustre les mécanismes de ces deux familles de traités.

Figure I-5 Mécanismes de traités de réassurance

10

Le prix d’un traité de réassurance non proportionnel dépend directement des caractéristiques
du contrat, à savoir la priorité et la portée. La modélisation de l’évènement gel permettra à l’assureurde connaître les risques qu’il encourt et de déterminer ainsi de façon optimale la valeur de ces deuxéléments en fonction du profil de risque qu’il souhaite adopter.

3.

La modélisation catastrophe
3.1.

Définition d’un modèle catastropheGénéralement, pour évaluer la distribution des pertes liées à un risque spécifique en assurance
non vie, l’approche « fréquence-coûts » est utilisée. Elle se base directement sur les pertes
historiques de l’assureur pour modéliser une loi de fréquence (par exemple avec une loi de Poisson)
et une loi de coûts de sinistres (par exemple avec une loi de Pareto). Cependant, cette approche n’est
pas adaptée aux risques catastrophes puisqu’elle repose, en général, sur l’hypothèse que la
distribution des évènements passés est représentative de la distribution des évènements futurs. Or,
les catastrophes naturelles sont par définition des évènements extrêmes et rares, dépendants dephénomènes physiques, qui ne peuvent pas être modélisés par l’approche statistique traditionnelle.
Ainsi, dans les régions historiquement peu impactées par des évènements catastrophes, le risqueinduit par les périls naturels sera sous-estimé avec une approche purement statistique.
Afin d’estimer plus précisément les risques catastrophes, il est donc nécessaire d’utiliser desapproches par exposition plutôt que par historique. Pour ce faire, le secteur de l’assurance abeaucoup investi ces dernières années dans le développement de modèles catastrophes. Ce sont desmodèles qui combinent la représentation mathématique de la survenance des sinistres avec les
caractéristiques scientifiques du risque assuré pour générer une distribution de pertes.
Les modèles catastrophes sont devenus indispensables car ils permettent aux assureurs de :tarifer les contrats de réassurance pour optimiser le transfert de risque à unréassureur ;contrôler et diversifier les risques ;estimer les provisions à constituer pour faire face à une perte ;minimiser le capital requis par Solvabilité 2 ;

anticiper les catastrophes naturelles et prévenir les risques pour augmenter larésilience.

Un modèle catastrophe est structuré en trois modules indépendants comme le montre la FigureI-6 : le module Aléa, le module Vulnérabilité et le module Financier. Ces différents modules sontdétaillés dans les sections suivantes.

11

Figure I-6 Structure d'un modèle catastrophe

3.2.

Le module Aléa

Le module Aléa a pour objectif de reproduire le phénomène physique sous-jacent au péril. Par
exemple, il permet de simuler :la vitesse des vents pour les périls tempête, typhon ou cyclone ;la hauteur d’eau pour une inondation ;la propagation d’une onde pour un tremblement de terre ou une explosion.

Dans le cas du péril gel, nous chercherons à reproduire des phénomènes physiques liés à latempérature.
A partir d’évènements observés resimulés stochastiquement ou de modèles physiques
complets, le module Aléa vise à produire un ensemble conséquent d’évènements physiquement
réalistes et probabilisés permettant de représenter la multitude de « trajectoires » possibles duphénomène sous-jacent. Cependant, la constitution d’évènements réalistes est soumise à descontraintes de corrélation spatiale qui doivent être prises en compte dans la modélisation. Par
exemple, le module Aléa fonctionne généralement par bassin pour représenter l’intégralité du risquetempête au niveau de l’Europe entière. Dans le cas du gel, si un évènement est observé dans une
région, il y a de fortes probabilités pour que les régions voisines soient aussi affectées.
Le module Aléa est un élément central dans tout modèle catastrophe. Dans ce mémoire, nous
nous focaliserons principalement sur la construction de ce module qui regroupe les principalesdifficultés de la modélisation catastrophe. Par sa complexité, le module Aléa nécessite de procéder à
des choix de modélisation qui seront détaillés au fur et à mesure de l’étude.

3.3.

Le module Vulnérabilité

Le module Aléa ayant constitué un dictionnaire conséquent d’évènements physiques, le module
Vulnérabilité permet ensuite de quantifier la sinistralité de chaque évènement. Connaissant les
caractéristiques physiques de la structure assurée, la perte peut être estimée. Lors de la survenancedu risque, la perte est estimée police par police puis agrégée pour obtenir une perte au niveau d’unportefeuille. Cette démarche est appliquée à chaque évènement probabilisé. Pour ce faire, deuxétapes doivent être réalisées :

une modélisation du portefeuille ;l’application des courbes de vulnérabilité.

12

3.3.1. L’exposition du portefeuilleL’exposition du portefeuille représente les caractéristiques des risques souscrits par l’assureur.
On observe que pour une même intensité, des dommages très divers peuvent être occasionnéssuivant le type de bien assuré. Par exemple, un immeuble aura généralement une vulnérabilité
moindre qu’une maison et sera donc plus résistant. Par ailleurs ces spécificités sont aussi
géographiques. Par exemple, au Japon, pays particulièrement exposé aux tremblements de terre, lesconstructions sont plus résilientes aux tremblements de terre qu’en Turquie qui est aussi une zone àrisque.
Dans la pratique, on définit cinq caractéristiques inhérentes aux biens assurés :La garantie du contrat qui peut être de trois types : Bâtiment, Contenu ou Perted’exploitation. La garantie Bâtiment assure la structure du bâtiment comme les murs ou
les fenêtres. La garantie Contenu couvre des objets comme des ordinateurs ou destélévisions. Enfin, la garantie Perte d’exploitation en assurance professionnelle couvre,
par exemple, les pertes financières liées à l’arrêt d’une activité ou les frais nécessaires
au relogement si ce dernier n’est plus habitable.



Le type de bien assuré représente l’utilisation du bâtiment assuré. En effet, desdommages très différents peuvent être causés suivant que le bâtiment assuré soit unmusée, une usine ou un immeuble résidentiel.



La structure du bien assuré représente le mode de construction du bien assuré(matériaux utilisés, agencement,…), ce qui entraine une résistance du bien plus ou
moins importante aux périls naturels.



La hauteur du bâtiment : le nombre d’étages d’un bâtiment est déterminant en
particulier pour les inondations ou les tremblements de terre.

L’année de construction car les normes de constructions évoluent et imposent desstandards aux constructions neuves.

Toutes ces caractéristiques ont un impact sur les dommages causés par un évènement gel,bien que certaines caractéristiques soient plus importantes que d’autres.

3.3.2. Les courbes de vulnérabilité
Afin de quantifier l’impact d’un évènement sur une police assurée, on définit la vulnérabilité
comme un ratio de pertes sur la valeur assurée pour un certain type de bien. Dans un modèle
catastrophe, le module Vulnérabilité est constitué de plusieurs courbes de vulnérabilité qui permettent
de prendre en compte à la fois le type de bien assuré et l’intensité de l’évènement. Ainsi, une courbe
de vulnérabilité permet, pour un type de bien, d’exprimer le taux de destruction causé par le péril enfonction de son intensité.
Pour chaque combinaison des cinq caractéristiques énoncées ci-dessus, une courbe devulnérabilité doit être construite. Pour cela, deux méthodes sont possibles :

La méthode statistique : des enquêtes sont menées afin de recueillir le plus grandnombre de sinistres possible survenus suite à un évènement. Ces sinistres sont ensuitemis en relation avec l’intensité des évènements associés par une régression statistique.
Cela permet ainsi de calibrer une courbe de vulnérabilité. Cette méthode nécessite unlarge historique des sinistres survenus ainsi que l’historique des évènements. Il fautnoter que les données de sinistre fournissent rarement des informations détaillées

13concernant les caractéristiques des biens assurés, ce qui complexifie la construction decourbes pour chaque combinaison des caractéristiques étudiées.


La méthode physique : des tests sont effectués pour construire une courbe devulnérabilité élémentaire en testant l’impact de l’intensité du risque étudié sur unbâtiment spécifique. En général, la physique du solide est utilisée pour étudier larésistance des matériaux et déterminer ainsi le taux de destruction en fonction de lavariable utilisée. Ensuite, ces courbes sont recombinées pour chaque combinaison descaractéristiques énoncées. Cette méthode a pour avantage de ne nécessiter aucune
donnée historique et de fournir un résultat dans tous les cas. Cependant, la mise œuvre
de cette méthode est lourde et peut entrainer des biais importants suivant le bâtimentutilisé pour la réalisation des tests.

La différence observée entre les méthodes peut conduire à des résultats très différents, ce qui
entraine souvent la nécessité de recalibrer les courbes obtenues. De manière générale, la méthodestatistique est utilisée lorsqu’un large historique des sinistres survenus suite au péril étudié est
disponible.
La Figure I-7 représente un exemple de courbe de vulnérabilité pour deux types de biens
assurés. Comme attendu, le pourcentage de destruction est bien croissant avec l’intensité del’évènement observé. De plus, ces courbes sont différentes suivant le type de biens assuré, ce qui
justifie l’utilisation de plusieurs courbes de vulnérabilité dans le modèle.

Figure I-7 Exemples de courbes de vulnérabilité

3.4.

Le module Financier

Ce dernier module a pour objectif de déterminer les pertes finales de l’assureur nettes desconditions assurantielles et ainsi, de déduire la perte à la charge de l’assureur. Pour chaque scénario,
le module Financier détermine la perte finale de l’assureur après application des caractéristiques
associées à chaque contrat souscrit, des conditions de réassurances choisies par l’assureur et la partde la coassurance. Ces caractéristiques sont donc :14

Les franchises et plafonds qui sont indiqués dans chaque contrat souscrit : ilsdéterminent la part du sinistre laissée à la charge de l’assuré. L’assureur a donc à sacharge les sinistres compris entre la franchise et le plafond. L’assuré doit régler lemontant restant.

La part des coassureurs dans chaque contrat, qui représente un pourcentage despertes générées.



L’application de facultatives : un assureur peut souscrire quelques polices qui, parleur taille disproportionnée par rapport aux autres polices, pourraient à elles seules
mettre à risque tout le portefeuille (par exemple les grands comptes, grands chantiersde construction, …). L’assureur peut alors céder une partie du risque spécifiquement
sur ces polices grâce à des couvertures facultatives par opposition aux traités qui
s’appliquent à l’intégralité du portefeuille.



Les conditions de réassurance : à cause de leurs natures extrêmes, les pertes
causées par les catastrophes naturelles ne peuvent pas être supportées seulement parles assureurs dans la majeure partie des cas. Ces derniers font appel à desréassureurs pour souscrire des traités de réassurance. Il existe plusieurs type detraités, les plus communs étant les traités en XS (ou traités non proportionnels) qui
permettent de transférer au réassureur les sinistres au-delà d’un montant spécifié (lapriorité) et jusqu’à un certain montant défini (la portée) comme le montre la Figure I-8.
Ce type de traité est subdivisé entre le traité par risque (perte subie sur une police ou
causée par une police) et le traité par évènement (consécutif à une accumulation depertes sur plusieurs polices causées par un évènement). Dans le cas d’un traité XS parévènement, lorsqu’un évènement spécifique se produit (gel, inondation,…), le traité sedéclenche et le réassureur prendra à sa charge les règlements de sinistres causés parl’évènement dans la limite de la portée et de la priorité spécifiées. En présence de deux
traités (par risque et par évènement), le traité par risque jouera en premier. Il convientde noter que le traité par évènement est le mieux adapté dans la gestion du risquecatastrophe.

Ces caractéristiques permettent donc de diminuer de façon significative la charge finale del’assureur et doivent être modélisées dans un modèle catastrophe.
Le Figure I-8 résume les principales caractéristiques et montre comment elles contribuent àdiminuer les pertes de l’assureur. On se place dans le cas d’un contrat présentant une franchise et unplafond, sur lequel une partie est cédée à un coassureur et qui est réassuré avec un traité de type XS
avec une priorité et une portée définies.
Ainsi, les parties grises représentent la charge supportée par l’assuré via l’application de lafranchise et du plafond. La partie verte correspond à la part des coassureurs impactés dans le contrat.
La part bleue correspond à l’application d’un traité de réassurance avec une portée et une priorité
définies. Finalement, la part que l’assureur devra payer après application de l’ensemble descaractéristiques associées au contrat est représentée en rouge.

15Figure I-8 Module Financier

3.5.

Résultats d’un modèle catastrophe

Par définition, chaque modèle comporte des incertitudes et la modélisation catastrophe ne fait
pas exception à la règle. En effet, on ne sait pas si la série d’évènements générée dans le module
Aléa est réellement représentative de la réalité future. De plus, compte tenu de la multiplicité desfacteurs mis en jeu dans l’évaluation des pertes (localisation, période de survenance), le montant deperte observé dans un scénario simulé ne peut être la valeur certaine d’un évènement réel.
Cependant, la moyenne de l’ensemble des sinistres modélisés donnera une bonne estimation durisque si les modules Aléa et Vulnérabilité ont été correctement modélisés.
L’objectif d’un modèle catastrophe est de mesurer l’exposition du portefeuille de l’assureur aupéril étudié. Pour cela, deux types de résultats peuvent être générés en sortie d’un modèle
catastrophe, en fonction de l’objectif de l’assureur.
Table d’évènements Tout d’abord, un modèle catastrophe génère une table d’évènements qui
fournit une analyse détaillée des pertes pour chaque évènement du dictionnaire généré par le modulealéa. Cela permet d’estimer les pertes associées au dictionnaire d’évènements simulés ainsi quel’incertitude concernant la perte.
Distribution de pertes En utilisant la table d’évènement, on construit la distribution des pertes
de l’assureur causées par le péril étudié. Pour cela, on introduit la notion de période de retour utiliséeen modélisation catastrophe. Une période de retour correspond à l’inverse de la fréquence statistiqued’un évènement parmi un ensemble d’évènements (annuels) équiprobables. Elle doit donc êtreinterprétée comme une probabilité statistique. Elle est exprimée en années et correspond à laprobabilité d’occurrence d’un scénario. Par exemple, un évènement de période de retour de 200 ans a
une probabilité de 0,5 % de se produire sur une année.

16

Pour définir cette distribution de pertes, deux mesures sont généralement utilisées enréassurance :La courbe OEP (Occurrence Exceedance Probability) : associe une période de retour(en années) à la perte maximale engendrée par un évènement sur une année. L’OEP
caractérise donc la probabilité annuelle qu’un évènement unique entraine des pertes
supérieures à un certain montant.



La courbe AEP (Aggregate Exceedance Probability) : associe une période de retour(en années) à la perte totale engendrée par l’ensemble des évènements sur une
année. L’AEP caractérise donc la probabilité annuelle que l’ensemble des évènements
sur une année entraine des pertes supérieures à un certain montant. Ainsi, une courbe
AEP est toujours au-dessus d’une courbe OEP.

La Figure I-9 donne un exemple de courbes OEP et AEP. Nous notons que la courbe AEP est
bien toujours supérieure à la courbe OEP mais l’AEP se rapproche de l’OEP pour des périodes deretour élevées. En effet, à période de retour élevée, l’OEP caractérise le montant de pertes générées
par un évènement extrême. Cet évènement comprendra en fait une grande proportion des pertes
associées à l’ensemble des évènements survenus pendant l’année représentées par l’AEP.
Ces courbes sont principalement utilisées pour deux raisons : la courbe AEP permet dedéterminer le capital réglementaire requis sous Solvabilité 2 pour la couverture du risque spécifié et lacourbe OEP permet de quantifier la sévérité du sinistre maximal pour optimiser la structuration deréassurance.

Figure I-9 Exemple de courbes OEP et AEP

Pour définir le montant de capital réglementaire, nous utilisons la courbe AEP car nous nous
intéressons à la perte totale engendrée par l’ensemble des évènements survenus pendant une année.
Ainsi, le capital réglementaire correspond au montant associé à la période de retour de 200 ans de la
courbe AEP qui est donc de 80K€ sur la Figure I-9.
Pour structurer des traités de réassurance de catastrophes naturelles, la courbe OEP est
privilégiée. En effet, c’est l’évènement générant la perte maximale annuelle (à période de retour fixée)
qui peut être fatale pour un assureur. Afin de réduire au maximum ce risque, l’assureur souscrit descontrats de réassurance. Les courbes OEP permettent de déduire les caractéristiques des contrats de17

réassurance (la priorité et la portée) à souscrire pour se protéger d’une perte maximale. Comme lescontrats de réassurance souscrits pour les catastrophes naturelles sont généralement des traités XS
par évènement, un traité qui permet de se protéger contre l’évènement générant la perte maximale
permettra de se protéger aussi contre les autres évènements dont la perte associée est modélisée parla courbe AEP.

4.

La modélisation catastrophe adaptée au risque gel

Le gel étant classé dans la catégorie catastrophe naturelle, nous allons décrire, dans ce
mémoire, la construction d’un modèle catastrophe en tenant compte des spécificités de ce risque.
Cela nous permettra de déduire les courbes OEP/AEP et donc une distribution des pertes d’AXA
causées par le gel.

4.1.

Caractérisation du risque gel

Afin de construire le module Aléa, il faut impérativement définir le facteur physique à l’origine
d’un évènement gel. Ce facteur physique sera alors modélisé afin de générer un dictionnaired’évènements. Cependant, comme l’apparition de gel ne génère pas forcément des sinistres, nous
chercherons plutôt à modéliser les évènements de gel au sens assurantiel, c’est-à-dire lesévènements qui causent des sinistres. Intuitivement, comme un évènement gel au sens physique est
déclenché par des températures négatives, nous pouvons penser qu’un évènement gel au sens
assurantiel est aussi directement lié aux températures. Nous montrerons dans la suite de l’étude
(paragraphe III.1) que des températures extrêmement froides couplées à une chute brutale detempérature sont à l’origine de la formation de gel et de pertes pour un assureur.
Ainsi, la température devra être modélisée dans le module Aléa. Or, comme la caractérisation
physique de la température est particulièrement complexe, nous adopterons une approche statistiquepour la modéliser. Nous générerons ainsi plusieurs scénarios de température puis, nous en déduirons
la probabilité de survenance d’un évènement gel. Cette approche est donc différente de la méthodetraditionnelle utilisée dans les modèles catastrophe car elle ne s’appuie pas sur la modélisation
physique du risque sous-jacent mais sur une modélisation statistique.

4.2.

Présentation des données utilisées

4.2.1. Les données de températures
Une modélisation statistique cohérente de la température nécessite un grand nombre dedonnées historiques. Pour cela, nous avons utilisé des données fournies par l’ « European Climate
4
Assessment & Dataset » (ECA&D) . Cela nous a permis de disposer des données de températureserminimales journalières réparties sur 250 points équidistants en France de 1950 jusqu’au 1 Juillet
2013.
Pour cela, les relevés de température disponibles sur 106 stations de France (représentées surla Figure I-10) ont été extrapolés sur une grille de pas de 50km à l‘aide de modèles climatiques depropagation de la température. Ce mémoire ne détaillera pas la construction de ce modèle dont la
4
documentation est disponible sur internet .

4

Données disponibles sur internet à l’adresse suivante : http://eca.knmi.nl/

18

Pour vérifier la cohérence de ces données, nous avons calculé les différences entre les relevés
historiques disponibles des 106 stations avec les points extrapolés les plus proches. Les résultatsétant très faibles (inférieurs à 0,1°C), nous considérons les données valides.
Finalement, nous disposons de 250 séries temporelles de température (extrapolées) qui
contiennent chacune 23 193 données (63 années).

Figure I-10 Stations des relevés de température en France

4.2.2. Les données de sinistres d’AXA France
Afin de modéliser la vulnérabilité et de caractériser la survenance d’évènements gel en France,nous nous sommes appuyées sur les données de sinistres d’AXA causés par le gel en France. Nous
disposions donc d’un historique des sinistres survenus pendant cinq années (de 2008 à 2013) avec
les variables suivantes associées à chaque sinistre :






date d’occurrence du sinistre ;lieu d’occurrence ;montant du sinistre ;valeur du bien assuré ;branche d’activité ou Line of Business (LoB) : Agricole, Habitation, Immeuble ou Industrie.

19

II.

La classification des régions

Le gel dépendant directement de la température observée, nous allons devoir simuler différents
scénarios de température dans un premier temps pour en déduire la survenance d’évènements geldans un second temps. Pour cela, nous disposons des données historiques (sur 23 193 jours) detempératures journalières minimales relevées en 250 points localisés dans toute la France, ce qui
représente un nombre important de données. Or, modéliser la température en chacun de ces 250
points serait fastidieux. Il est donc nécessaire de réduire cette quantité importante d’information dansl’espace et dans le temps pour obtenir des régions de France homogènes en température. Une fois
les régions obtenues, nous pourrons caractériser leur température associée par la moyenne destempératures des différents points géographiques qui appartiennent à ladite région. Notons parailleurs que la classification des points géographiques en régions homogènes permettra également detenir compte de la localisation géographique dans les modélisations qui seront effectuées par la suite.
Afin de regrouper les 250 localisations géographiques de la France, les méthodes statistiquesd’analyse factorielle de données et/ou de classification sont appropriées. Dans certains cas, il est
possible de combiner ces deux types de méthodes. En effet, certains auteurs recommandentd’appliquer une méthode d’analyse factorielle puis une classification sur les résultats de la première
méthode. Cela a l’avantage d’affiner l’information et les résultats obtenus. Dans cette partie, nousétudierons deux approches différentes pour répondre au problème.
Dans la première approche, nous combinerons une méthode d’analyse factorielle de données
avec une classification. Dans un premier temps, nous appliquerons la méthode Empirical Orthogonal
Function (EOF) qui se rapproche d’une Analyse en Composantes Principales (ACP), mais pour desdonnées spatio-temporelles. Cette méthode est donc adaptée à nos données de température prises
en différentes localisations géographiques. Dans un second temps, nous effectuerons une méthodede classification sur les premières coordonnées principales obtenues avec la méthode EOF.
La seconde approche consistera à appliquer une méthode de classification ascendantehiérarchique avec l’utilisation de la distance Dynamic Time Warping (DTW). L’intérêt de la distance
DTW est qu’elle permet de s’affranchir de la « rigidité » de la distance euclidienne appliquée à desséries temporelles. Néanmoins, les temps de calcul considérables nécessaires à l’implémentation decette méthode nous ont conduites à privilégier l’approche précédente ; ce d’autant plus que lesrégions obtenues avec ces deux approches sont quasiment identiques à quelques points près sur les
frontières des régions.
Dans la suite, nous présenterons les résultats obtenus avec ces deux approches. Nous nous
attarderons particulièrement sur celle qui a été privilégiée, à savoir la classification obtenue suite àl’application de la méthode EOF.

1.

L’Empirical Orthogonal Function (EOF)

La méthode EOF vise à déterminer un nouvel échantillon de variables qui permettent decapturer une partie importante de l’information observée sur les données à travers une combinaison
linéaire des variables initiales. Ainsi présenté, la méthode EOF est proche de l’ACP. Nous verrons parla suite que les étapes d’implémentation ainsi que les principaux résultats sont identiques.
Historiquement, l’ACP apparaît en 1933 avec les travaux de Hotelling alors que la méthode EOF
apparaît en 1956 avec les travaux de Lorenz et est appliquée à des données atmosphériques. Elle est
généralement utilisée par les météorologues. Cela nous a incitées à privilégier cette méthode. La

20

légère différence entre les méthodes EOF et ACP réside donc essentiellement dans le champ
d’application.

1.1.

Méthode EOF et quelques variantes

La simplicité et la facilité d’analyse associée à la méthode EOF expliquent son succès dans lesdomaines de la science liés à l’atmosphère. La principale critique qui peut être adressée à cetteméthode est qu’elle n’est pas toujours interprétable physiquement à cause de l’orthogonalité dans
5l’espace et dans le temps des vecteurs propres . Pour parer à cette limite, la méthode RotatedEmpirical Orthogonal Function (REOF) a été développée qui consiste à trouver des facteurs derotation qui permettent d’obtenir des structures simples et physiquement interprétables (HANNACHI,
2004).
La méthode EOF dérive sur des structures stationnaires, c’est-à-dire n’évoluant pas dans letemps. Les structures stationnaires obtenues prennent en compte la corrélation spatiale ou corrélation
entre les localisations géographiques. C’est une représentation « statique » de l’espace sur une
période de temps. Il en est de même pour la méthode REOF dont le « seul » avantage, dans certains
cas, est l’interprétation physique. Afin de tenir compte de la corrélation temporelle, une méthodesupplémentaire a été créée et est appelée Extended Empirical orthogonal Function (EEOF).
Nous ne nous intéressons qu’au caractère corrélé de nos points géographiques que nous
voulons rassembler en un nombre réduit de régions. A cet effet, nous n’appliquerons que la méthodeEOF et pas ses variantes

1.2.

La matrice de données

Généralement, pour la méthode EOF, les données sont tridimensionnelles ou bidimensionnelles
pour l’espace et unidimensionnelle dans le temps. Dans notre cas, les données sont une fonction dutemps , de la latitude et de la longitude et nous pouvons donc les écrire ainsi :Pour des besoins d’optimisation dans les calculs, nous nous ramenons à un tableau dedonnées à deux dimensions où les coordonnées spatiales sont regroupées afin de ne former qu’unpoint géographique. La deuxième coordonnée est le temps. Cette nouvelle matrice de données est
notée. Ainsi, comme nous avons 250 points géographiques avec 23 193

données de température, notre matrice de données transposées contientcolonnes etlignes.
Cette matrice de données peut se réécrire ainsi :Chaque colonnechaque lignede la matrice représente une évolution temporelle de la localisationde la matrice représente une carte de la France à l’instant5et. Les données doivent

Cette assertion est vraie lorsqu’il s’agit d’étudier les modes normaux de phénomènes physiques (HANNACHI(2004), SIMMONS et al. (1983)). Par modes normaux, on entend des modes propres d’oscillation de système
climatique.

21

ensuite être centrées à l’aide du vecteur des moyennes de température en chaque localisation
avec. Nous posons :En pratique, lorsquela transposée de, notée

, la matrice de données utilisée dans le logiciel d’implémentation est; ce qui est le cas pour nos données. Ainsi, notre matrice de données

finales comporte automatiquement

lignes etcolonnes.

Dans le cadre de l’ACP, il est souvent commode de centrer et de réduire les variables, ce qui
revient à utiliser une matrice diagonale des poids contenant l’inverse de la variance de chaquevariable . Dans le cas de la méthode EOF, la matrice de poids n’est employée que pour contrecarrer
un artefact géométrique qui apparaît lorsque les données observées ne sont pas uniformément
distribuées. Par exemple, on peut avoir des observations sur des carrés de résolution
5°latitudex5°longitude. Dans de tels cas, la meilleure manière d’attribuer des poids aux localisations
est de considérer le cosinus de la latitude comme poids. La matrice des poids est donnée par. La matrice des données avec les poids est donnée par :Nos données ne sont pas sujettes à cet artéfact géométrique donc la matrice de poids n’a pas
été intégrée. Les observations sont donc équipondérées.
Par ailleurs, la matrice de covariance est définie par :1.3.

Méthode de résolution

Comme dans le cas de l’ACP, l’objectif de l’EOF est de projeter les individus dans un sousespace de projection , de dimension avec
, qui maximise l’inertie totale. La méthode EOF
vise donc à trouver une combinaison linéaire des variables qui explique le maximum de la variance. Il
s’agit de trouver un axe principal
detelle que
ait la variabilité maximale. Ainsi,
on a :

La solution de cette équation est donnée par. La matrice Σ est symétrique définie
positive. On obtient vecteurs propres associés aux axes principaux. A chaque vecteur propre
est
associé une valeur propre . Les valeurs propres sont triées suivant un ordre décroissant et lepourcentage d’inertie expliquée par le -ième axe principal est donné par :22

L’espace de projection est donc le sous-espace engendré par les vecteurs propres associés
aux premières (ou plus grandes) valeurs propres du obtenus avec le programme de maximisation cidessus.

1.4.

Critères de choix des dimensions

Le but de la méthode EOF/ACP étant de réduire le nombre de dimensions pour lareprésentation des observations, il existe des critères théoriques et des critères empiriques permettant
de déterminer ce nombre de dimensions.
Les critères théoriques ont pour objectif de vérifier que les valeurs propres sontsignificativement différentes entre elles à partir d’un certain rang. Le cas échéant, seules lespremières valeurs propres sont conservées. Seulement, ce test repose sur une hypothèse forte que
les individus sont distribués suivant une loi normale. Cette hypothèse forte est contraignante sur la loi
utilisée par la statistique de test qui doit suivre une loi du(SAPORTA, 2011). Dans la pratique, il est
plus usuel d’utiliser les critères empiriques.
Le critère de Kaiser est le critère empirique le plus connu. Ce critère conduit à considérer tous
les axes principaux dont la valeur propre est supérieur à 1 pour des données centrées réduites. Par
ailleurs, SAPORTA (2011) interroge sur la « pertinence » du seuil. Est-ce significativement différent deconsidérer 1,1 comme seuil au lieu de 1 ? C’est ce qui l’a conduit à développer une formule pour lechoix des valeurs propres :Un autre critère, plutôt visuel, autant valable dans le cas des variables centrées réduites quedans d’autres cas, est la méthode du coude. Il s’agit de détecter sur un diagramme de décroissancedes valeurs propres l’existence d’un coude permettant de séparer les valeurs propres « utiles » decelles qui sont peu différentes et n’apportent pas d’information. C’est ce critère que nous utiliserons.

1.5.

Analyse des résultats

Après application de la méthode EOF, on obtient une matrice de données contenant nos 250
points initiaux et 250 axes principaux en colonnes. Ces axes principaux sont deux à deux
orthogonaux. Ils ont été obtenus par combinaison linéaire des variables temporelles initiales. Le
premier axe contient plus d’information que le second, et le second plus que le troisième et ainsi desuite. A partir d’un certain moment, l’information contenue par un axe principal est très petite. Il est
donc intéressant de se focaliser sur les axes principaux qui apportent le plus d’information pourl’analyse.
La Figure II-1 présente l’éboulis des valeurs propres ainsi que les pourcentages d’inerties
associées aux dix premières composantes principales.

23

Figure II-1 Eboulis des valeurs propres

A la vue du premier graphique de la Figure II-1, la règle du coude revient à choisir les 4
premières valeurs propres. A l’aide du second graphique, on constate que l’inertie expliquée par les 4
premiers axes principaux est de 87,63 %.
Nous allons à présent décrire rapidement les grandes tendances associées à ces quatre axes
principaux. Pour ce faire, nous allons représenter sur la France les points ayant une contribution
significative à la formation de chaque axe principal considéré, c’est-à-dire les points les mieux
représentés et ayant les coordonnées les plus élevées en valeurs absolues sur l’axe principal
considéré. Par exemple, sur le premier axe principal, on considère les points dont les coordonnéessont inférieures à -275 ou supérieures à 275. L’intérêt de cette représentation est d’arriver à cernerrapidement quelle est la principale information apportée par chaque axe. Ainsi, la Figure II-2 permet
de mettre en évidence différentes régions qui sont mises en opposition sur les différents axes.
Sur le premier axe factoriel, nous notons une opposition entre les massifs montagneux (points
en rouge) et les régions ayant un climat méditerranéen et des hivers plutôt doux (points en jaune). Le
second axe factoriel met clairement en évidence une opposition entre les points du Nord avec unclimat océanique et les points du Sud ayant un climat plus méditerranéen. Sur le troisième axe
factoriel, on a une opposition entre les régions avec un climat sous influence montagnarde (points en
jaune) et les zones ayant plutôt un climat sous influence semi-continentale (points en rouge). Enfin, lequatrième axe factoriel fait apparaitre une opposition entre les zones ayant un climat méditerranéen,
notamment sur la Corse et la côte d’azur (points en rouge) et le massif central (points en jaune).

24Axe principal 1

Axe principal 2

Axe principal 3

Axe principal 4

Figure II-2 Points géographiques les mieux représentés sur les 4 premiers axes principaux

Dans la suite, en implémentant la première approche combinant la méthode EOF avec une
méthode de classification, nous effectuerons le regroupement des 250 points géographiques de laFrance en nous servant de leurs coordonnées sur les 4 premiers axes principaux obtenus avec laméthode EOF.

2.

La classification

Les méthodes de classification permettent de regrouper des objets en fonction de la distancemesurée entre chacun d’eux. Deux notions importantes apparaissent ici à savoir la méthode departitionnement et la mesure de distance (ou de dissimilarité) utilisées.
Quelle que soit la méthode de partitionnement ou la mesure de dissemblance choisie, letableau de données en entrée de la classification est toujours un tableau
contenant les distances
entre les observations à classer.

25

2.1.
En notanttelle que :Notion de distances et de similarités
l’ensemble desobjets à classer, une distance est une application dedans

On parle de dissimilarité lorsque

La similarité est une application

de

dans

telle queIl existe de nombreux indices de similarités dans la littérature (Jaccard, Russel et Rao, Ochiaï).
Les indices de dissimilarité peuvent être obtenus à partir des précédents indices en faisant lacomplémentation à 1. Dans le cadre de ce mémoire, nous nous sommes essentiellement intéressés àla distance euclidienne et la distance DTW en implémentant la classification.

2.2.

Les méthodes de classification

Les méthodes de partitionnement ont initialement été développées pour des données statiques.
Certaines ont néanmoins pu être adoptées pour des séries chronologiques. Les principales
6
techniques utilisées pour la classification des séries temporelles sont :Les méthodes de partitionnement du type « nuées dynamiques » (k-means, fuzzy cmeans).

Les méthodes de classification hiérarchique (ascendante, descendante).

2.2.1. Les méthodes de partitionnement
Ces méthodes visent à regrouper rapidement un ensemble important d’objets en optimisantlocalement suivant un critère d’inertie. Suivant ce critère, chaque objet doit être affecté à une seuleclasse. L’idée générale de ces méthodes est de regrouper les objets en classes en maximisantl’inertie entre les classes, encore appelée inertie interclasse, et de minimiser l’inertie à l’intérieur dechaque classe. A titre d’exemple, lorsque l’on considère la distance euclidienne, l’inertie se définitcomme la moyenne des carrés des distances au centre de gravité.
De manière pratique, l’algorithme k-means cherche à minimiser une fonction objective, laquelle
est choisie comme étant la distance totale entre chaque point et le centre de la classe à laquelle il

6

Il existe également des méthodes basées sur des modèles notamment celles utilisant le modèle bayésien ou lesréseaux de neurones. Elles sont peu utilisées dans le domaine d’intérêt car elles ne sont pas toujours facilement
interprétables.

26

appartient. Le nombre de classes doit donc être connu et/ou choisi a priori. Cet algorithme comportedeux principales étapes :Choisir arbitrairement un nombre
centres correspondants ;Réallouer les objets dans les classes et mettre à jour des centres de classes.

de classes initiales et calculer les coordonnées desL’algorithme alterne entre ces deux étapes jusqu’à ce que la valeur de la fonction objective nepuisse plus être réduite.
La minimisation de la fonction objective pour la méthode k-means est donnée par :Avec :
l’ensemble des poids de chaque patternl’ensemble des centres de classel’ensemble des objets

La fuzzy means est une généralisation de la méthode k-means. Il y a simplement une
modification de la fonction objective : on attribue une puissance aux poids des classes. Ainsi pour laméthode fuzzy means, il faut donc de minimiser :Un avantage important de l’algorithme décrit est qu’il converge toujours. Néanmoins, un certain
nombre d’inconvénients lui sont associés. Outre la nécessité de connaître le nombre de classes apriori, ces méthodes sont applicables uniquement pour des séries de longueur équivalente. Cela peutêtre contraignant dans le cas de séries temporelles. Par ailleurs, la structure finale dépend beaucoup
du choix initial des centres de classes. Dans la pratique, il est nécessaire de répéter cet algorithme un
nombre important fois pour obtenir un regroupement stable ou de dégager les formes fortes. Cela est
très coûteux en calcul.
Cependant, cette méthode ne semble pas adaptée à notre problème puisque nous neconnaissons pas à l’avance le nombre de classes à considérer. De plus, afin de nous affranchir duproblème de stabilité et de temps de calcul, nous optons pour une méthode de classification
hiérarchique.

2.2.2. Les méthodes de classification hiérarchique
Il existe deux méthodes de classification hiérarchique :La méthode ascendante qui consiste à appliquer une stratégie de bas en haut pourl’algorithme.

La méthode descendante a une logique inverse et consiste à appliquer une stratégie dehaut en bas.

27

L’algorithme utilisé dans le cadre de la classification ascendante hiérarchique (la plus populaire)consiste à avoir initialement autant de classes que d’objets. L’étape suivante consiste à regrouper les
objets présentant les plus fortes similarités : cela forme un nœud. A cette étape, il ne reste plus que
objets. Ce processus est itéré jusqu’à ce que le regroupement complet soit effectué. A chaqueétape, toutes les combinaisons possibles de deux classes sont effectuées. La variance intraclasse est
calculée pour le nouveau groupe formé et la combinaison présentant la variance intraclasse minimale
est choisie. Le regroupement des objets dépend donc de la mesure de similarité/dissimilarité utilisée.
Les méthodes hiérarchiques consistent à regrouper les données en un arbre de classes ou
dendogramme. Un exemple de dendogramme est fourni sur la Figure II-3:

Figure II-3 Exemple d’un dendogramme

A la racine de l’arbre (c’est-à-dire l’axe horizontal en bas du dendogramme) sont représentésles individus à classer. Initialement, chaque individu représente une classe. Ensuite, les classesd’individus sont jointes deux à deux successivement en suivant l’algorithme de classification
ascendante hiérarchique décrit précédemment, jusqu’à ce que l’on retrouve une seule classe avec
tous les individus.
L’arbre est coupé horizontalement pour obtenir un nombre de classes précis. Par exemple, surla Figure II-3, les traits en pointillés désignent la hauteur à laquelle le dendogramme a été coupé. A ce
niveau de coupure, on obtient 8 classes. La longueur d’une branche est proportionnelle à la perted’inertie interclasse lors du regroupement des deux classes correspondantes. De manière générale, il
faut donc chercher à couper l’arbre à l’endroit où l’augmentation de la longueur des branches est laplus grande.
L’avantage des méthodes de classification hiérarchique est qu’il n’est pas nécessaire deconnaître a priori le nombre de classes. En effet, à partir du dendogramme et du niveau de détail
souhaité, l’utilisateur peut choisir son nombre de classes. L’inconvénient de cette méthode est qu’unefois le partitionnement effectué, il est impossible de le défaire.
Tout comme k-means, les méthodes de classification hiérarchique sont utilisées pour les séries
de longueur identique. Néanmoins, les méthodes de classification hiérarchique peuvent égalementêtre utilisées sur des séries de tailles différentes à l’aide de distances appropriées telle que DTW.

28

3.

Première approche : combinaison des méthodes EOF et CAH

A la suite de la méthode EOF, nous obtenons une matrice qui représente nos 250 localisations
géographiques sur les 4 premiers axes principaux résultant de l’implémentation de la méthode EOF.
Nous souhaitons à présent regrouper ces points en un nombre réduit de régions. Nous allons
appliquer une Classification Ascendante Hiérarchique (CAH) à ces points en utilisant le critère de
Ward.

3.1.

La distance euclidienne

Nous avons choisi d’utiliser, pour cette approche, la distance euclidienne qui est une mesure dedistance géométrique naturelle, très utilisée et très simple à mettre en œuvre.
Soitetentre et est définie par :deux séries temporelles. La distance euclidienne

Ainsi, la distance euclidienne entre deux séries temporelles est obtenue en additionnant lamesure la distance pour chaque pas de temps entre et . Cependant, cette distance a pourinconvénient de ne pas prendre en compte les décalages temporels qui peuvent exister au sein desséries de mesures. Nous avons cependant décidé d’adopter cette distance pour des raisons de temps
de calcul.

3.2.

Le critère de Ward pour les distances euclidiennes

La méthode de Ward est la méthode de classification hiérarchique de référence pour les
distances euclidiennes. Par ailleurs, cette méthode est complémentaire de l’ACP et repose sur uncritère d’optimisation assez naturel (SAPORTA, 2011). Cela explique notre intérêt pour cette méthodeà la suite de l’implémentation de l’EOF.
Le regroupement des objets se fait en rassemblant les objets qui font le moins varier l’inertie
intraclasse ou maximise l’inertie interclasse. L’indice de dissimilarité entre deux classes correspond àla perte d’inertie interclasse résultant de leur regroupement.
Si on considère deux classes nommées et ,etleurs centres de gravité respectifs,
etleurs poids respectifs, le centre de gravité résultant de la réunion de ces deux classes, notés’obtient par la formule ci-après :,L’inertie interclasse est la moyenne des carrés des distances des centres de classe au centre
de gravité total. La variation d’inertie entre les classes et est donnée par :Où

est le centre de gravité du nuage de points de .

Nous obtenons alors :29

Ainsi, si l’on dispose d’un certain nombre d’objets à regrouper en deux classes notées A et B, laclassification sera effectuée de manière à ce quesoit maximal.
Cette formule généralisée par Lance et Williams (SAPORTA, 2011) est donnée par :Il convient de noter que l’inertie totale du nuage est égale à la somme niveaux d’agrégation desdifférents nœuds du dendogramme.

3.3.
EOF

Les résultats de la CAH sur les données issues de la méthodeLe dendogramme issu de la CAH est présenté sur la Figure II-4.

Figure II-4 Dendogramme associé à la Classification Ascendante Hiérarchique (CAH) sur les coordonnéesdes 4 premiers axes principaux de l’EOF

Différentes classes peuvent être obtenues suivant le niveau où le dendogramme est « coupé ».
Afin d’obtenir des régions dans lesquelles la température est homogène, nous aimerions que lesvariances à l’intérieur des classes considérées soient très petites. Par exemple, il serait intéressantque l’écart type, au sein d’une région issue de la CAH, soit inférieur ou proche de 2° Celsius. Par
ailleurs, nous souhaiterions avoir le plus petit nombre de classes possible.
Nous avons donc décidé de couper le dendogramme à différentes hauteurs afin d’obtenir desnombres distincts de classes. Nous avons eu successivement de 3 à 6 classes et nous avonscomparé l’évolution des variances intraclasses pour les classes considérées. Ces variances
intraclasses sont présentées sur le Tableau II-1.

30

Classes
3

4

5

6

Variance
intraclasse
1,990
2,814
5,507
1,990
2,814
4,707
2,286
1,567
2,814
1,161
4,707
2,286
1,567
1,302
1,161
4,707
2,286
2,950

Ecart Type
1,411
1,677
2,347
1,411
1,677
2,170
1,512
1,252
1,677
1,078
2,170
1,512
1,252
1,141
1,078
2,170
1,512
1,718

Nombre points
par classe
97
64
90
97
64
28
62
45
64
52
28
62
45
44
52
28
62
20

Tableau II-1 Variances intraclasses pour différents nombres de classes

Nous constatons, sur le Tableau II-1, qu’en débutant avec trois classes, on obtient une seuleclasse dont l’écart type excède 2°C. En effet, avec trois classes, la variance intraclasse observée surla dernière classe est de 5,5 °C². Cette classe est ensuite divisée en deux par une autre coupure dudendogramme pour obtenir quatre classes. De manière générale, en regardant le dendogramme, il est
facile de constater que pour avoir une classe supplémentaire (avec un nombre maximum de classes
fixé à six ici), une classe devra être divisée en deux. Cela se perçoit également visuellement sur les
graphiques de la Figure II-5.

31

3 classes

4 classes

5 classes

6 classes

Figure II-5 Graphiques obtenus avec la CAH pour différents nombres de classes

Nous sélectionnons donc quatre classes par mesure de parcimonie et au regard de lacohérence de l’interprétation géographique. De plus, en analysant le dendogramme de la Figure II-4,
un regroupement en quatre classes semble être un choix convenable si on suit la règle explicitée plus
haut sur la manière de « couper » l’arbre.
Finalement, les différentes régions sélectionnées sont représentées sur la Figure II-6.

32

Figure II-6 Segmentation de la France en 4 régions (résultats de la CAH à la suite de l'EOF)

La première classe, en vert, regroupe une partie du Sud de la France. Elle est caractérisée pardes villes ayant un climat tempéré avec des hivers plutôt doux. La zone au Sud-Ouest de la France
est caractérisée par un climat océanique aquitain. On y retrouve des villes comme Bordeaux ouèreLimoges. Le reste des localisations géographiques dans cette 1 région est caractérisé par un climat
méditerranéen. On y retrouve des villes telles que Nice, Marseille, Perpignan, Toulon et toute laCorse.
La deuxième classe, en rouge, englobe le Nord-Ouest de la France et prend en compte leszones sous influence du climat océanique. On y retrouve des villes comme Paris, Lille, Caen, Rennes.
La troisième classe, en violet, regroupe le Nord-Est de la France et une partie du Centre. C’est
la zone sous influence d’un climat semi-continental. On y retrouve des villes telles que Strasbourg,
Nancy, Dijon. Elle également un point au Sud-Est de la France.
La quatrième classe, en bleu cyan, caractérise des zones sous influence montagnarde. On y
retrouve des villes telles que Saint-Etienne et Grenoble.
Nous trouvons en annexe A les différentes régions de France en fonction de leur climat et nous
pouvons constater que nous aboutissons à des régions semblables avec notre méthode, ce qui nous
conforte dans ce choix de segmentation des régions.
Dans la suite, nous nommons les classes issues de la segmentation par les attributs ci-après :

Région 1 : région Sud (en vert)



Région 2 : Région Nord-Ouest (en rouge)

Région 3 : Région Nord-Est (violet)

Région 4 : Région Montagneuse (bleu cyan)

33

4.
DTW

Deuxième approche : CAH avec utilisation de la distanceDans cette deuxième approche, nous souhaitons prendre en compte les déformations
temporelles des séries de température via une mesure de distance spécifique : la distance DTW.
Nous appliquons donc directement une Classification Ascendante Hiérarchique avec la distance DTW
à nos 250 localisations géographiques sur leurs coordonnées initiales (latitude*longitude et temps).
Notons qu’il aurait également été possible d’effectuer une EOF puis une CAH avec DTW. Cetteapproche n’a pu être implémentée en raison de temps de calcul trop importants.

4.1.

La distance DTW

4.1.1. DTW classique
La distance DTW est une distance spécialement adaptée aux séries temporelles. En effet, nous
observons souvent des déformations temporelles dans des séries de température dus, par exemple,
au déplacement d’anticyclones. L’objectif de DTW est de trouver un alignement optimal entre deuxséries temporelles prenant en compte des décalages temporels éventuels.
Soit

et

deux séries temporelles.

Nous introduisonsdistance euclidienne. Dans ce cas,

Soit

une mesure de distance locale,serait définie de la façon suivante :la matrice coût de taillepourrait être par exemple latelle queL’objectif de DTW est de trouver un alignement entre
Un alignement est une suite
trois conditions suivantes :etqui minimise le coût total.

avec

satisfaisant les

(i)
(ii)

et

(iii)
Le coût d’un alignement

entre

et

est défini de la manière suivante :Un alignement optimal entre et est un alignement
dont le coût est minimal parmi tous lesalignements possibles. Ce coût est la distance DTW entre et :34

entreAfin de trouver l’alignement optimal , nous pourrions tester tous les alignements possibles
et , mais cela mènerait à un algorithme de complexité exponentielle en * .

Nous allons donc définir un algorithme de complexité
distance DTW.
Pour cela, nous introduisons la matrice

Avec

et

Donc

.

de taille

permettant de trouver latelle que :L’algorithme consiste à remplir récursivement l’ensemble des cases de la matrice
manière suivante, la distance DTW étant le point
:

de la

Ainsi, l’avantage de cette distance par rapport aux mesures standards est qu’elle permet de nepas systématiquement comparer chaque point d’une série avec celui de l’autre série qui intervient aumême instant . Elle peut comparer un point d’une série avec un ou plusieurs autres points de l’autre
série, ceux-ci pouvant être décalés dans le temps et prendre ainsi en compte les décalages
temporels. Cependant, la complexité de l’algorithme entraine des temps de calculs considérables.

4.1.2. Décalage temporel
La condition
pour définir un alignement permet de prendre encompte des décalages temporels. Il faut néanmoins utiliser cette condition avec parcimonie, en ayant
bien observé les données. Par exemple pour des séries de température, prendre en compte undécalage temporel de un ou deux jours serait acceptable, mais prendre en compte un décalage
temporel d’un mois n’aurait plus de sens.
En effet, cette condition permet de prendre de compte des décalages temporels de n’importequelle taille, en théorie, tant que l’alignement présente le coût minimal. Ainsi, on pourrait associer avec
cette méthode un élément deavec 30 éléments depar exemple, et prendre en compte undécalage temporel d’un mois.
Afin d’éviter ce genre de problème, on peut paramétrer l’écart temporel maximum permis à lamesure pour comparer des points. Soit le décalage temporel maximum qu’on souhaite prendre encompte. A un instant , un point de ne pourra être comparé qu’avec les points de intervenant aux
instants.

35

4.1.3. Exemple illustrant la distance DTW
Afin de fixer les idées et comprendre l’intérêt de cette distance, notamment pour des donnéesde température, nous avons choisi de mesurer la distance entre deux séries temporelles périodiques,
simples, décalées de trois jours. Nous pouvons aisément assimiler ces séries à des séries detempérature. Soit:

Les Figure II-7 et Figure II-8 représentent ces deux séries. Les droites en pointillées joignant lesdeux séries représentent les distances calculées entre chaque point avec la distance DTW sur laFigure II-7 et avec la distance euclidienne sur la Figure II-8. A première vue, ces séries semblent
identiques et il serait cohérent que leur distance soit faible. Or, nous pouvons voir que la distance
DTW compare les points décalés deux à deux (et leur attribue ainsi une distance nulle) alors que la
distance euclidienne compare les points sans décalage (et attribue systématiquement une distancepositive à part lorsque les séries se croisent).
Ainsi, la distance obtenue avec la méthode DTW est égale à 1,9 et la distance obtenue avec la
distance euclidienne est égale à 74,2. En effet, avec DTW, seuls les trois premiers et les trois derniers
points n’attribuent pas une distance nulle et engendrent une distance de 1,9. Même si la série dedonnées était plus longue, la distance avec DTW serait donc toujours égale à 1,9 alors qu’elle
augmenterait avec la distance euclidienne.

Figure II-7 Distance DTW

Figure II-8 Distance euclidienne

La méthode DTW est donc a priori adaptée aux séries de températures. En effet, notre exemple
pourrait se retrouver dans la pratique avec les températures : on pourrait facilement imaginer deux
points de France subissant des températures décalées à cause de certains phénomènes (comme lavitesse du vent par exemple). De plus, pour la classification des régions, nous souhaitons obtenir desrégions dans lesquelles la température aurait un comportement similaire, ce qui est le cas dans notre
exemple, et donc leur attribuer une faible distance.
La Figure II-9 montre l’alignement optimal trouvé avec DTW à gauche et l’alignement avec la
distance euclidienne à droite. Pour prendre en compte le décalage de trois jours avec DTW, les trois
premiers points de sont donc comparés avec le premier point de et les trois derniers points desont comparés avec le dernier point de . A l’inverse, la distance euclidienne compare toujours
chaque point de façon linéaire et ne prend donc pas en compte le décalage temporel.

36

Figure II-9 Alignement avec la distance DTW (à droite) et la distance euclidienne (à gauche)

4.2.

Les résultats de la CAH avec utilisation de la DTW

L’implémentation de la CAH avec la distance DTW a été effectuée en tenant compte d’undécalage temporel maximal de quatre jours, qui permet d’accepter des décalages de température dus,par exemple, à la vitesse du vent. Au-delà de quatre jours, le décalage temporel n’est plus très
pertinent au regard du phénomène physique. Nous présentons sur la Figure II-10 le graphique obtenu
en implémentant la CAH avec la distance DTW pour un choix de quatre classes en le comparant avec
le graphique correspondant de la méthode précédente.

Figure II-10 Quatre régions de la France obtenues par la méthode CAH avec DTW (à gauche) et par laméthode EOF puis CAH (à droite)

En comparant les régions obtenues avec (i) la CAH sur les premières composantes principalesèreèmede la méthode EOF (1 méthode) et (ii) avec la CAH utilisant la distance DTW (2méthode), force
est de constater que les régions 2 et 3, respectivement en violet et bleu cyan, sont quasimentidentiques avec les deux méthodes.
La différence importante réside sur la classe en vert. Dans le cas de la CAH avec DTW, cetteclasse s’étend jusque sur la partie Nord-ouest de la France en incluant la Bretagne et une partie de laManche ; ce qui contribue à réduire l’étendue la première région en rouge.
Outre le temps calcul important pour une matrice de données telle que la notre (de taille
250x23 193) avec la distance DTW, il nous apparaît plus cohérent de considérer la classification
obtenue avec la combinaison des méthodes EOF et CAH qui semble mieux correspondre au schéma37

présenté en annexe illustrant les différents climats observés en France (cf. schéma climatique de laFrance en annexe A).
Cette partie a permis de réduire l’information à disposition sur les températures afin de seramener à quatre régions homogènes en température en France. Nous nous servirons de ces régions
dans la construction du module Aléa.

38

III.

Construction du module Aléa

Le module Aléa vise à simuler plusieurs scénarios de gel en France. La classification effectuéedans la partie précédente, nous a permis de réduire la dimension du problème pour pouvoir simuler
des scénarios de gel dans chaque région, et donc uniquement en quatre points.
Pour ce faire, dans un premier temps, nous allons caractériser ce qui déclenche un évènement
de gel à l’aide de l’historique des sinistres survenus chez AXA. Nous verrons qu’un évènement gel
dépend directement des températures observées. Nous proposerons donc, dans un deuxième temps,
une modélisation statistique de la température tenant compte des corrélations inter-régions. Nous
pourrons par la suite simuler plusieurs scénarios de température à partir desquels seront déduits lesévènements de gel.

Caractérisation de l’évènement gel

1.

Le gel est caractérisé physiquement par des températures négatives. Or, nous voulons
caractériser ici un évènement gel au sens assurantiel, c’est-à-dire un évènement gel qui déclenche
des sinistres et engendre des pertes pour un assureur. Cette caractérisation diffère de lacaractérisation physique, car on observe historiquement que des températures négatives n’entrainent
pas nécessairement de sinistres. Cela complexifie donc la caractérisation du phénomène.
Il est intuitif de supposer que la survenance d’un évènement gel au sens assurantiel est aussilié à la température mais il faut se questionner sur la façon dont la température influe sur cephénomène. Dans cette partie, nous allons déterminer si, par exemple, le gel est lié à la température
du jour d’occurrence du sinistre ou est lié aux écarts de température sur une période précédant lesinistre. Ainsi, pour caractériser le gel, il est nécessaire de déterminer les variables de température
influençant son apparition. Une fois connues, elles seront utilisées comme variables explicatives
permettant de faire le lien entre le niveau température et les sinistres déclarés.
La caractérisation du gel passe donc par deux étapes essentielles. La première étape est
dédiée à la recherche de variables de température susceptibles d’expliquer la survenance du gel.
Ensuite, dans la seconde étape, les sinistres historiques seront modélisés au regard des variables
précédentes.
Pour ce faire, différentes données seront exploitées, notamment :Les fichiers de pertes dues au gel d’AXA en France entre 01/01/2008 et 31/12/2012,



Le fichier de polices assurées au gel d’AXA, en France

Les données de températures au niveau des 250 localisations géographiques ou au
niveau de la région selon le niveau de détail souhaité.

Dans cette section, ces données seront utilisées à différents niveau d’agrégation. Dans la suite,
pour chaque étape, les hypothèses émises, les données utilisées et les approches méthodologiques
adoptées seront décrites succinctement.

39

1.1.

Les déterminants de la survenance du gel

1.1.1. Les différents modèles possibles
Dans un premier temps, nous supposons a priori que le gel est causé par des températures
froides ou par des chutes de température sur une période donnée. Nous proposons donc de tester lesvariables suivantes comme variables explicatives de la survenance de gel :La température minimale le jour de la survenance du sinistre, notéeLes écarts de température minimale entre le jour de la survenance du sinistre
jours précédents(avec), notés,Les écarts entre le maximum et le minimum de température minimale atteinte entre lejour de la déclaration du sinistre
et les jours précédents(avec), notés.

,et lesPour chaque variable citée ci-dessus, un modèle sera construit. Ces modèles permettront dedéterminer si les variables considérées influent sur l’apparition de gel. Au total, sept modèles seront
donc implémentés. Afin de déterminer les variables expliquant la survenance du gel, nous souhaitonsavoir le détail le plus fin possible. Nous travaillerons donc sur les relevés des températures sur les 250
localisations géographiques. Par ailleurs, le gel étant susceptible de se produire uniquement en hiverlorsque les températures sont négatives (d’après la caractérisation physique), les données de pertes
utilisées ici sont celles pour lesquelles la température observée le jour de survenance du sinistre est
négative et pour lesquelles la déclaration s’est faite en hiver. Cela nous permettra de minimiser lebiais induit par la déclaration de sinistres tardifs. Par exemple, il est évident que les sinistres déclarésen été sont survenus antérieurement en réalité. Nous avions 1 827 jours pour l’ensemble des hivers
des années 2008 à 2012 pour 250 localisations géographiques, soit 456 750 observations. En ne
considérant que les jours de l’hiver où la température minimale est négative, notre historique est réduit
à 62 852 observations.
Nous supposons également que la survenance du gel peut être différenciée suivant la région en
France. Pour prendre en compte cette différenciation, la région sera inclue dans le modèle en tant quevariable qualitative.
La variable à expliquer est la survenance ou non du sinistre. La survenance peut êtreapproximée par une variable binaire qui prend la valeur 1 lorsqu’au moins un sinistre est déclaré et
0 dans le cas contraire. Dans le cas où la variable dépendante est binaire, il convient d’utiliser unmodèle dichotomique.

1.1.2. Les modèles dichotomiques
Les modèles dichotomiques spécifient la probabilité d’observer
conditionnellement auxréalisations des variables explicatives par une fonction.Ce qui se traduit par :.
La fonction
caractérise à la fois la distribution de probabilité mais également l’espérance
conditionnelle du modèle. D’où l’expression ci-après :40

Le domaine de définition de étant
, il est nécessaire que la fonction F soit croissante,bornée inférieurement par 0 et supérieurement par 1. Toute fonction de répartition (de n’importe quelle7
loi de probabilité) est donc appropriée. Néanmoins, dans la pratique, deux modèles sont utilisés :Le modèle probit dont la fonction de répartition associée est celle d’une loi normale.

Le modèle logit repose sur une fonction logistique et les erreurs associées suivent une
loi binomiale.

La différence essentielle entre ces modèles réside dans le choix de la loi du terme des erreurs.
Dans le cadre de ce mémoire, le choix est porté sur le modèle logit car on suppose a priori que leserreurs sont distribuées suivant une loi binomiale. En effet, la loi binomiale est adaptée lorsque l’on
s’intéresse à la survenance ou non d’un évènement.
Dans le cadre du modèle logit à une variable explicative, la probabilité de succès pour unindividu s’écrit :En généralisant la formule de la probabilité de succès avec

Le ratio

variables explicatives, on obtient :représente le odds ratio ou « rapport de cotes ». Lorsque le odds ratio est égal à 2,cela signifie que la probabilité d’apparition du sinistre est 2 fois plus élevée que sa non survenance.
Le

est le logit de . La fonction logit permet donc de linéariser le odds ratio.
En développant, il vient queoù p est la probabilité de succès.

1.1.3. Estimation des paramètres
Les paramètres du modèle sont estimés par la méthode du maximum de vraisemblance. La
vraisemblance est donnée par :Dans la pratique, on a plus souvent recours à la maximisation de la log-vraisemblance donnée
par la formule ci-contre :7

CREPON & JACQUEMET (2010) pensent que ces deux modèles sont privilégiés du fait de la concavité de lafonction de vraisemblance associée. En effet, cette condition de concavité globale assurée sur la fonction de logvraisemblance permet de garantir que l’optimum trouvé est celui recherché.

41

La déviance est égale à la log-vraisemblance à une constante négative près. Ainsi, maximiser
la log-vraisemblance est équivalent à minimiser la déviance.

1.1.4. Les critères de comparaison des modèles
Lorsque l’on dispose de plusieurs modèles, il est naturel de se demander quel est le meilleur.
Sachant que la vraisemblance permet de mesurer l’adéquation du modèle aux données, il est possiblede comparer la log-vraisemblance, et donc la déviance, calculée en des modèles afin de détecter lemodèle le plus performant. Néanmoins, le critère de la vraisemblance ne permet pas toujours dechoisir le meilleur modèle car la log- vraisemblance croît avec le nombre de paramètres estimés. Il
convient donc d’utiliser des critères de vraisemblance pénalisés à savoir :Le critère d’Akaike (AIC)où

est le nombre de paramètres du modèle

Le critère de Schwartz (BIC)où

est le nombre de paramètres du modèle et

le nombred’observations.
De manière générale, le « meilleur » modèle est celui qui aura l’AIC et/ou le BIC minimal. A ladifférence du critère l’AIC, le BIC tient compte du nombre de paramètres en plus de la taille del’échantillon. Pour de grands échantillons, le BIC aura tendance à favoriser des modèles à moins deparamètres que l’AIC.
Il convient de noter que nous ne nous intéresserons pas au meilleur modèle mais aux meilleursmodèles. En effet, on pourra choisir un panel de modèles suivant la significativité des coefficientsd’estimation et les critères de comparaison évoqués.

1.1.5. Résultats des régressions logistiques
Dans cette partie, nous allons estimer sept modèles différents, chacun visant à prédire laprobabilité d’occurrence du gel. S’agissant de la spécification, chaque modèle contient une variable à
expliquer binaire et deux variables explicatives. La première variable explicative est quantitative et est
une variable de température. La seconde est qualitative et contient les numéros de régions obtenues
avec la segmentation de la partie II.
Nous considérons que les modèles performants sont ceux dont toutes les variables explicatives
sont significatives. L’intérêt premier étant la variable de température susceptible d’expliquerl’apparition du gel, nous pouvons tolérer que les estimateurs des modalités de la région ne soient pas
significatifs.
Le Tableau III-1 présente les résultats des différents modèles. Le seuil de significativité descoefficients est fixé à 5 %. On constate que pour tous les modèles, la variable de température est
significative sauf pour le second modèle (avec). Ce second modèle sera donc exclu de nos
choix possibles. Sachant que six variables de température sur sept ont leurs estimateurs significatifs,

42

on conclut que de manière générale, la survenance du gel est bien due à la température journalière
ou à des écarts de température sur une période donnée.
Parmi les résultats des régressions présentées, force est de constater que le coefficient de larégion 2 n’est pas significatif pour les modèles 3 à 6. Par contre, deux modèles ont des résultats
satisfaisants. Toutes les estimations des variables explicatives de ces deux modèles sontsignificatives. Il s’agit du premier modèle dont la variable de température est
et le septième
modèle dont la variable de température est.
ModèlesModèle 1

Modèle 2

Modèle 3

Modèle 4

Modèle 5

Modèle 6

Modèle 7

Variables

Paramètres

Erreurt-Student

p-valeur Significativité

constantetmin
region2region3region4
constante
tmin10region2region3region4
constante
tmin15region2region3region4
constante
tmin20region2region3region4
constante
MinMaxT10
region2region3region4
constante
MinMaxT15
region2region3region4
constante
MinMaxT20
region2region3region4-3,240-0,3200,170-1,673-0,592-2,052-0,0050,074-0,823-0,252-3,0180,091
0,043-0,542-0,200-3,6490,136
0,066-0,372-0,163-3,7130,157
0,003-0,700-0,325-5,6620,282
0,064-0,609-0,425-6,7950,331
0,167-0,516-0,461

0,034
0,004
0,044
0,051
0,038
0,042
0,004
0,042
0,046
0,035
0,049
0,004
0,042
0,046
0,035
0,052
0,004
0,042
0,046
0,036
0,055
0,004
0,042
0,045
0,036
0,068
0,005
0,044
0,046
0,037
0,077
0,005
0,045
0,047
0,038

-95,556-72,597
3,824-32,973-15,463-49,254-1,285
1,752-18,066-7,173-62,170
23,573
1,020-11,845-5,667-70,81437,332
1,549-8,078-4,578-67,896
35,536
0,078-15,592-9,097-83,272
61,001
1,462-13,195-11,491-88,428
70,432
3,741-10,956-12,160<2e-16<2e-160,000<2e-16<2e-16<2e-160,199
0,080<2e-160,000<2e-16<2e-160,308<2e-160,000<2e-16<2e-16
0,121
0,000
0,000
<2e-16<2e-160,938<2e-16<2e-16<2e-16<2e-160,144<2e-16<2e-16<2e-16<2e-160,000<2e-16<2e-16





































Tableau III-1 Résultats des régressions logistiques pour la probabilité d'occurrence du gel

Le Tableau III-2 montre également que le modèle 7, directement suivi par le modèle 1, sont les
meilleurs modèles. Sachant que le nombre de paramètres à estimer est identique dans chacun de ces
modèles, il est légitime ici de limiter la comparaison entre les modèles à la déviance ou à la logvraisemblance. En utilisant les critères AIC et/ou BIC, on aboutit sans surprise aux mêmes
conclusions.

43ModèlesVariable 1

Déviance

Modèle1Modèle2Modèle3Modèle4
Modèle5Modèle6Modèle7Tmin
tmin10
tmin15
tmin20
MinMaxT10
MinMaxT15
MinMaxT20

31 32836 97636 43035 59135 73632 98031 183Degré deliberté
5
5
5
5
5
5
5

Log
vraisemblance-15 664-18 488-18 215-17 796-17 868-16 490-15 592

AIC

BIC

31 33836 98636 44035 60135 74632 99031 19331 38337 03136 48535 64735 79133 03531 238

Tableau III-2 Comparaison des modèles de régression logistique

La régression logistique ayant pour but de définir la probabilité d’occurrence du gel en fonction
des données de température, il est intéressant de savoir si cette probabilité d’occurrence est plus
importante dans une région plutôt qu’une autre. Pour cela, nous allons utiliser le modèle 7 qui est lemeilleur dans l’ensemble des régressions logistiques effectuées et qui contient des estimateurs
significatifs pour toutes les régions. La variable de température d’intérêt pour ce modèle est, c’est-à-dire l’écart entre le maximum et le minimum des températures minimales sur une
durée de 20 jours précédant la déclaration du sinistre. Il s’agit d’exhiber le lien entre le niveau deet la probabilité d’occurrence du gel suivant les régions.
La Figure III-1 présente la probabilité d’occurrence du gel suivant les écarts de température(entre le minimum et le maximum) sur 20 jours. On constate que la probabilité de gel croît lorsque cetécart sur 20 jours est important. Lorsque cet écart est strictement inférieur à 10°C, la probabilité de gel
est faible (<0,1) et est peu différenciée sur les régions. Lorsque cet écart dépasse 10°C, la probabilitéde survenance du gel est plus forte dans la région 2 (région Nord-Ouest) suivie de la région 1 (région
Sud) et ensuite dans les régions 4 (région Nord-Est) et 3 (région montagneuse). Pour ces deux
dernières régions, les probabilités sont assez proches. Plus l’écart est important, plus les probabilités
sur les régions sont différentes. Pour un écart supérieur à 22°C, la probabilité de survenance du gel
est supérieure à 0,5.

Figure III-1 Probabilité d'occurrence du gel par région (avec MinMaxT20)

A première vue, il peut sembler surprenant que la probabilité de survenance de gel soit très
importante dans la région Sud. Cela tient du fait que nous modélisons l’occurrence du gel au sens
assurantiel. Cette région étant moins habituée à subir de sévères chutes de températures, on peut
postuler que les structures des bâtiments sont moins robustes au péril gel.

44

1.2.

Modélisation de la fréquence de gel

La sous-section précédente a permis de sélectionner deux variables de température qui
expliquent la survenance du gel : les écarts de température sur 20 jours et la température minimale
journalière. Nous utiliserons ces deux variables pour la modélisation de la fréquence journalière dessinistre donnée par :La fréquence dépend à la fois du nombre de sinistres journaliers et de l’exposition. L’exposition
représente le nombre de polices assurées par AXA. L’exposition étant connue, la fréquence s’obtientaisément après la modélisation du nombre de sinistres journaliers. Dans la suite, nous nous
intéressons donc à la modélisation de ce nombre de sinistres.
Pour la modélisation de variables de comptage telles que le nombre de sinistres, nous
8
présenterons l’approche classique des régressions de poisson, géométrique ou binomiale négative.
Cependant, le gel étant un événement dont l’occurrence est faible et très localisée temporellement,cela amènera à évoquer les modèles avec excès de zéro. Bien que ces modèles estiment bien les
nombres de sinistres d’un point de vue global, ils tiennent mal compte des extrêmes. Cela nous
conduira finalement à retenir les modèles avec dépassement de seuil. Il convient de noter que lesdifférents modèles ont été testés pour chaque combinaison des deux variables de températuresélectionnées dans la section précédente. Ainsi, pour chaque étape d’implémentation et pour chaquerégression utilisée, nous avions trois modèles :

un modèle avec la température minimale journalière et les modalités des régions ;

un modèle avec des écarts de température sur 20 jours et les modalités des régions ;

un modèle avec les deux variables de température et les modalités de régions.

Le dernier s’est avéré être le meilleur suite au backtesting des simulations au regard deshistoriques. Nous présenterons uniquement ce dernier modèle.
Avant de présenter les résultats issus du modèle à deux variables de température, il est
important de préciser les données utilisées.

1.2.1. Des données par région
Dans cette partie, nous nous concentrons sur la modélisation des fréquences des sinistrescausés par le gel au niveau de la région. En effet, comme les simulations d’évènements dans lemodule Aléa sont effectuées pour chaque région de la classification (cf. partie II), il est nécessaired’avoir des données agrégées à la région.
9

Nous regroupons donc les polices d’AXA, classées initialement par code INSEE , par région en
utilisant des outils de géocodage. Pour chaque région, nous agrégeons le nombre de polices
couvertes par AXA pour obtenir l’exposition par région. Nous effectuons la même procédure surl’historique des sinistres survenus.
Par nécessité de confidentialité, l’exposition par région ne sera pas présentée. Par contre, il està noter que la région 1 (Sud) a la plus grosse part d’exposition. Elle est suivie par la région 2 (Nord8

Le modèle de régression géométrique est un cas particulier de modèle de régression binomiale négative,
lorsque le paramètre de forme est égal à l’unité. Nous nous limitons au cas général. Nous ne mentionnerons donc
pas le modèle de régression géométrique.
9
INSEE (Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques)45

Ouest), la région 4 (Nord-Est) et enfin, la région 3 (région montagneuse). Pour le modèle, l’exposition
par région est supposée constante chaque année. Cette hypothèse est justifiée par le fait que la partd’exposition par région est quasiment constante d’une année à l’autre, que le nombre de polices
assurées augmente ou non.
De même, nous agrégeons les variables de température déterminées précédemment au niveau
des régions. Nous obtenons alors les variables de température explicatives suivantes :La température minimale journalière moyenne sur la région considérée (que nous
appelons tminMoy) à la place de tminLes écarts moyens observés sur la région considérée entre le maximum et le minimum
des températures sur une durée de 20 jours (que nous appelons MinMaxT20Moy) à laplace de MinMaxT20

Comme dans la sous-section III.1.1, nous ne considérons que les sinistres ayant eu lieu durant
les mois d’hiver des années 2008 à 2012. Notre tableau de données contient également desrestrictions sur la température minimale du jour. Précédemment, l’information était plus fine et la tablede données était plus restrictive car réduit aux jours de température minimale négative. En seramenant au niveau de la région, nous considérons une moyenne de température minimale ()
mais nous posons une condition plus souple à savoir. En effet, bien que les classes
obtenues dans la partie II soient homogènes, il y subsiste un écart type non nul. Cet écart type excède
2°C dans la classe 3 mais reste en dessous de 3°C pour toutes les régions. Ainsi, même si latempérature moyenne au sein d’une région est de 1°C par exemple, certains points de la région
auront surement des températures négatives et pourront potentiellement être impactés par le gel. Cela
justifie la condition posée sur. Finalement, le tableau de données contient 1 646
observations.

1.2.2. Modèles classiques de comptage
Dans la section III.1.1, la survenance d’un sinistre a été modélisée par une variable binaire.
Dans cette partie, nous voulons modéliser le nombre de sinistres. Pour cela, des modèles decomptage sont appropriés.
Les modèles de comptage classiques font partie de la famille des modèles linéaires
généralisés. Les modèles linéaires généralisés décrivent la dépendance d’un vecteur
sur
un ensemble de régresseurs . La distribution conditionnelle deest une famille linéaire
exponentielle dont la fonction de densité est donnée parOù

est le paramètre canonique et ϕ le paramètre de dispersion.

La dépendance de l’espérance conditionnelle
est donnée par la fonction de liencanonique connue. La vraisemblance est la densité de la loi jointe de:Dans la suite, les différents modèles de comptage seront présentés en prenant en compte laspécificité de nos données. La normalisation des données est effectuée à l’aide de l’exposition qui est
l’offset. Dans notre cas, l’offset est donc égal à l’exposition sur la région.

46

Régression poisson
La régression de poisson est le modèle de comptage le plus simple. Sa fonction de densité
s’exprime ainsi :Le lien canonique est donnée par, ce qui signifie une relation log-linéaire entre
l’espérance de et le prédicteur linéaire. Par ailleurs, le modèle de régression de Poisson est basé
sur des hypothèses contraignantes :et le coefficient de dispersion
L’estimation se fait par maximisation de la fonction de vraisemblance.

.

Les résultats du modèle de régression sont présentés dans le Tableau III-3.
Paramètres

Erreurt-Student p-valeur Significativité-18,4120,054-343,020<2e-16



MinMaxT20Moy

0,459

0,004

131,053<2e-16

tminMoy-0,056

0,002-28,512<2e-16

region2

0,982

0,019

50,588<2e-16

region3

0,325

0,027

12,165<2e-16

region4

0,099

0,021

4,793

1,65E-06







Constante

Tableau III-3 Résultats de l'estimation avec la régression de poisson

Ce tableau montre que tous les coefficients sont significatifs au seuil de 5 %. Néanmoins,
compte tenu de la dispersion importante sur les nombres de sinistres, il est important de savoir si les
observations sont surdispersées.
Test de dispersion : poisson ou binomiale négative ?
Lorsqu’il y a surdispersion, c’est la régression binomiale négative qui est privilégiée. On parlede surdispersion lorsque. On peut donc tester l’hypothèse de dispersion suivante :D’après les travaux de CAMERON & TRIVEDI (2005), sous l’hypothèse nulle, on a
. En
cas de surdispersion,
avec
une fonction. En effet, CAMERON &TRIVEDI (2005) considèrent deux formes pour la fonction:dans le cas où on a une spécification linéaire de la forme de la variance,dans le cas où on a une spécification quadratique de la forme de la variance.

Le test de dispersion peut se réécrire ainsi :La statistique de test est. Les résultats obtenus à partir de nos données sontprésentées dans le Tableau III-4.

47alphaZp-value

46,20

4,11

1,97E-05

Tableau III-4 Résultats du test de dispersion

D’après ce tableau, est significativement différent de 0 au seuil de 5 %. On conclut que nos
observations sont surdispersées. Il est donc plus intéressant d’appliquer un modèle linéaire généralisé
avec des nombres de sinistres distribués suivant une binomiale négative.
Régression binomiale négative
La binomiale négative est une composition de loi gamma et de loi de poisson. La densité d’une
loi binomiale négative ajoute un paramètre de forme au paramètre de la loi de poisson afin de tenir
compte de la dispersion. La fonction de densité est donnée ci-après :Comme précédemment, l’estimation est effectuée par maximisation de la vraisemblance. Les
résultats de l’estimation sont donnés dans le Tableau III-5.
Paramètres

Erreurt-Student p-valeur Significativité

constante-17,443

0,234-74,548<2e-16

MinMaxT20Moy

0,389

0,018

22,061<2e-16

tminMoy-0,065

0,015-4,1820,000

region2

0,458

0,143

3,200

0,001

region3

0,414

0,137

3,022

0,003

region4

0,361

0,133

2,718

6,57E-03








Tableau III-5 Résultats de l'estimation avec la régression binomiale négative

Tous les coefficients sont significatifs au seuil de 5 %. Par ailleurs,
différent de zéro au seuil de 5 %. La valeur de est.

est significativement

En comparant les effectifs estimés et les effectifs pour chaque nombre de sinistres, l’ajustement
avec la distribution binomiale négative est meilleur qu’avec la loi de poisson. Néanmoins, on constate
que l’estimation pour les petits nombres de sinistres (notamment les sinistres nuls) est sous-estimée
avec la régression de poisson et mal estimée avec la binomiale négative. Le problème de l’ajustement
du nombre de sinistres avec une loi binomiale négative est que nos données sont très dispersées :l’écart type avoisine 50 sinistres sachant que le minimum du nombre observé de sinistres est nul etson maximum est d’environ 700 sinistres. La binomiale négative n’est pas très performante compte
tenu des variations importantes d’amplitude.
En outre, il faut relever que les données présentent un nombre important de zéros. En effet, surles 1646 observations de la table de données, 716 ont un nombre de sinistres nul (ces observations
correspondent aux jours où il n’y a pas eu de déclaration de sinistres). Dans le cas de données
possédant de nombreux zéros, les modèles classiques de comptage ne sont pas toujours adaptés.
Nous nous tournons donc vers les modèles de comptage avec excès de zéros.

1.2.3. Modèles de comptage avec excès de zéros
Afin de tenir compte du nombre important de valeurs nulles (les jours où aucun sinistre n’est
déclaré), de nouveaux modèles ont été développés : les modèles zero inflated et hurdle. Ces modèles
permettent également d’utiliser un offset en vue de la normalisation des données. Commeprécédemment, l’offset est l’exposition par région.

48

Modèle zero inflated
Un modèle zero inflated est la combinaison d’un Dirac en 0
et d’une distribution decomptage. Dans ce modèle, il y a deux sources d’apparition des zéros. Les zéros
peuvent apparaître à cause de l’existence d’un Dirac ou être générés par le modèle de comptage.
Cela se traduit par deux phénomènes : soit l’évènement (ici, le gel) générant le sinistre ne s’est pas
produit, soit l’évènement s’est produit mais n’a généré aucun sinistre.
Pour calibrer la distribution de comptage, notée, nous partons d’un modèle classiquede comptage (régression de poisson, régression géométrique ou régression binomiale négative). La
probabilité d’apparition du zéro ou la fonction de densité en zéro notée
est modélisée en
faisant appel à un modèle binaire de type probit ou logit. Il apparait bien que la probabilité d’observer
une valeur de comptage nulle est augmentée de la probabilité d’obtenir un zéro dans le modèle enzéro.
La fonction de densité dans le cas du modèle zero inflated est spécifiée ainsi qu’il suit :Dans l’équation précédente, et sont les paramètres à estimer. On notera que x et z sont desobservations. Avec le modèle zero inflated, il est possible d’utiliser des données différentes pour lesfonctions de densitéet.
Dans le cadre du mémoire, les mêmes observations seront utilisées pour spécifier le modèle enzéro et le modèle de comptage, donc
. Par ailleurs, une régression logistique sera utilisée pourapprocher le modèle en zéro. Sachant que le test de dispersion implémenté précédemment a montré
que les données étaient sur-dispersées, la distribution de comptage sera approchée par une
régression binomiale négative.
L’estimation des coefficients se fait par maximisation de la vraisemblance. Les coefficients
estimés sont présentés dans le Tableau III-6. Dans le modèle de comptage, les coefficients sont tous
significatifs au seuil de 10 %. A ce même seuil, il convient de noter que la variable de dispersion est
significativement différente de zéro. En effet,.
Par contre, pour le modèle en zéro, seule la variable des écarts de températurea un estimateur significativement différent de zéro. Pour le modèle en zéro, seule la variable
permet d’expliquer l’apparition de zéro, les autres coefficients estimés étant tous nuls.

49

Modèle de comptage
Paramètres

Erreurt-Student

p-valeur Significativité(Intercept)-17,270

0,224-77,101<2e-16



MinMaxT20Moy

0,375

0,017

22,449<2e-16

tminMoy-0,0640,015-4,3910,000



region2

0,676

0,156

4,348

0,000



region3

0,414

0,137

3,022

0,003



region4

0,366

0,130

2,813

4,90E-03



Modèle en zéro
Paramètres

Erreurt-Student(Intercept)-9,089320,973-0,0280,9774MinMaxT20Moy-0,7260,303-2,3980,0165tminMoy

0,273

0,209

1,303

0,193



region2

15,300320,962

0,048

0,962



region3-0,801

744,095-0,0010,999



-1.03781006.9618-0.0010.9992

region4p-valeur Significativité

Tableau III-6 Résultats de l'estimation avec la régression zero inflated

Dans la suite, nous présentons les résultats des estimations avec le modèle hurdle.
Modèle hurdle
Un modèle hurdle est un modèle à deux composantes : un modèle binaire censuré à droite (endans notre cas) et un modèle de comptage tronqué à gauche (endans notre cas). Le
premier modèle prédit la probabilité d’avoir un nombre de sinistres nul. Le second modélise laprobabilité d’avoir un nombre de sinistres non nul.
Contrairement au modèle zero inflated, le modèle hurdle ne suppose pas deux sources dezéros mais que les valeurs nulles et les valeurs non nulles du nombre de sinistres sont générées pardeux lois différentes. Dans l’optique du hurdle, la seconde composante du modèle n’est estimée quesi la première composante n’est pas satisfaisante (par exemple, lorsque la probabilité estimée den’avoir aucun sinistre est très faible).
Le modèle hurdle se spécifie ainsi :Avec la loi de densité du modèle binaire dit modèle hurdle de zéros etsecond modèle tronqué pour les valeurs non nulles du nombre de sinistres.

la loi de densité duLes paramètres du modèle final sont une combinaison des paramètres de chaque loi de densitéet sont obtenus via l’estimation des paramètres des deux modèles sous-jacents. Pour chaque modèle
sous-jacent, les paramètres sont estimés à l’aide de la maximisation de log-vraisemblance. Lesparamètres du modèle global s’estiment donc à l’aide du maximum de vraisemblance.
La première composante du modèle hurdle est généralement modélisée par une loi binomiale(avec une fonction de lien canonique logit). La seconde composante du modèle hurdle est
implémentée à l’aide les modèles de comptage classique (poisson, géométrique, binomiale négative).
Comme dans le cas du modèle zero inflated, la distribution binomiale négative sera utilisée pourapproximer le modèle de comptage.

50

Avec un seuil de 10 %, les coefficients estimés avec la régression hurdle sont tous significatifs
comme le montre le Tableau III-7. Les résultats sur le modèle en zéro sont meilleurs que ceux trouvés
avec la régression zero inflated effectuée précédemment (cf. Tableau III-6).
Modèle de comptage
Paramètres

Erreurt-Student-24,750

14,643-1,6900,09099



MinMaxT20Moy

0,435

0,027

16,028<2e-16

tminMoy-0,0480,023-2,0560,040



region2

0,802

0,234

3,424

0,001



region3

0,485

0,219

2,218

0,027



region4

0,445

0,201

2,218

2,66E-02

Constantep-valeur Significativité

Modèle en zéro
Paramètres

Erreurt-Student

p-valeur Significativité

Constante-1,6540,283-5,853

4,81E-09



MinMaxT20Moy

0,226

0,022

10,145<2e-16

tminMoy-0,0860,020-4,2950,000



region2-0,776

0,179-4,3440,000



region3-1,5700,171-9,183<2e-16region4-0,6670,170-3,9298,52E-05



Tableau III-7 Résultats de l'estimation avec le modèle hurdle

1.2.4. Comparaison des modèles précédents
Les modèles estimés précédemment (Poisson, Binomiale négative ou « NB », Hurdle avec labinomiale négative ou « Hurdle-NB », zero inflated avec la loi binomiale négative ou « ZINB ») ont unnombre différent de paramètres. Le critère de comparaison utilisé est donc le critère d’Akaïke.
Le Tableau III-8 montre que le critère AIC du modèle de poisson est très important, soit 38 286
alors que pour les autres modèles, ce critère reste inférieur à 8 000. Globalement, les valeurs ducritère AIC sont les moins élevées pour les modèles hurdle et zero inflated (environ 7 244 et 7 370
respectivement). Il convient de noter que les critères AIC des régressions binomiale négative et zeroinflated binomiale négative sont très proches. Cela peut être dû au fait que la composante en zéro dumodèle zero inflated est peu significative. En effet, un seul coefficient est significatif dans le modèle enzéro de la régression zero inflated (cf. Tableau III-6). Finalement, le meilleur modèle est la régression
hurdle avec la binomiale négative comme proxy de la distribution de comptage.

ModèlesPoisson
NB
Hurdle-NB
ZINB

Degrés deLoglibertévraisemblance
6
7
13
13

-19 137-3 683-3 609-3 672AIC
38 286
7 379
7 244
7 370

Tableau III-8 Comparaison des différents modèles de comptage

L’intérêt principal de l’implémentation des modèles hurdle et zero inflated réside dans lecomptage de zéros. Le Tableau III-9 détaille le nombre observé de zéros et les nombres estimés dezéros pour les différents modèles implémentés. S’agissant des modèles de comptage classique, larégression de poisson sous-estime beaucoup le nombre de zéros tandis que la régression binomiale
négative surestime mais n’est pas loin du nombre observé. Sans surprise, les nombres estimés de51

zéros par la NB et la ZINB sont proches. S’agissant des modèles avec excès de zéros, nous
constatons que la régression hurdle estime exactement le nombre de zéros observés tandis que larégression ZINB surestime ce nombre de zéros. Cela est normal car pour la ZINB, il y a deux sourcesde zéros alors que pour Hurdle-NB, les zéros ont leur propre loi génératrice. En réalité, le nombre dezéros estimés sera toujours égal au nombre de zéros observés par construction du modèle hurdle.
Observés
716

Poisson
375

NB
771

Hurdle-NB
716

ZINB
777

Tableau III-9 Effectifs des nombres de sinistres nuls (observés et estimés)

Après un backtesting du modèle simulant le nombre de sinistres au travers d’une régression
hurdle, il ressort que ce modèle sous-estime le nombre de sinistres sur l’ensemble des années. En
effet, le total estimé de sinistres sur l’ensemble des années est égal à 81% du total historique desinistres sur les années 2008 à 2012. En faisant le détail de cette estimation par année, on se rend
10compte que l’année 2012 , qui à elle seule compte près de 76% du nombre total de sinistres, est trèslargement sous-estimée dans le modèle, l’écart de prédiction étant de -72%. En effet, l’année 2012 a
été très froide et compte les nombres les plus importants de sinistres. Le modèle hurdle a du mal à
prendre en compte ces extrêmes. Il a en fait lissé les observations : il surestime très fortement lesannées où il y a eu peu de sinistres et sous-estime celles où il y a eu de nombreux sinistres. Or, nous
souhaitons justement capter les évènements extrêmes dans un modèle catastrophe. Même si en
moyenne l’estimation semble pertinente, elle ne convient pas pour l’étude.
Les températures extrêmement froides et le nombre de sinistres importants observés en 2012nous incitent à penser que les sinistres se déclenchent massivement dès qu’un seuil de température
est atteint. Face à cette problématique et à la variabilité importante du nombre de sinistres, nous
avons décidé d’implémenter différents modèles suivant un seuil de température afin de capter lesnombres de sinistres élevés lorsque les températures sont extrêmement basses.

1.2.5. Modèles avec dépassement de seuil
L’objectif de cette partie est de déterminer un seuil à partir duquel la sinistralité observée estextrême. Pour ce faire, nous utiliserons la notion de mean excess function, empruntée à la théorie desvaleurs extrêmes. Nous ne nous attarderons pas sur la théorie des valeurs extrêmes. Nous
exposerons uniquement les généralités de cette méthode nécessaires à la compréhension de la mean
excess function. Une fois le seuil déterminé, nous chercherons à estimer le meilleur modèle
correspondant au déclenchement des sinistres au-delà du seuil. Nous ferons de même pour lesvaleurs de température en dessous du seuil. Nous obtiendrons finalement deux modèles différents
suivant le seuil de température observé.
Dans la suite, nous ferons un rappel succinct des principaux résultats de la théorie des valeursextrêmes qui seront utilisées pour aboutir à la détermination du seuil. Puis, les modèles retenus seront
présentés.
La détermination du seuilDans la théorie des valeurs extrêmes, deux approches principales sont utilisées pourdéterminer les extrêmes :

10

L’approche des blocs maxima qui consiste à s’intéresser au maximum dans unéchantillon. Dans cette approche, le maximum est choisi périodiquement (parexemple annuellement). C’est une approche peu exploitable en assurance du fait de la
rareté des sinistres extrêmes.

Année ayant générée des pertes extrêmes pour les sinistres de gel.

52L’approche Peak Over Threshold (POT) qui vise à répondre à la question de savoir :« Etant donné un sinistre extrême, à quel point ce sinistre est-il extrême ? ». Cetteapproche tient compte des dépassements de seuil.

Dans POT, au lieu de considérer le maximum
dépassements du seuil
notés, avecd’un échantillon, on s’intéresse aux. Ainsi, on s’intéresse aux observations

qui sont strictement positives. Ces observations sont caractérisées par une loi de Pareto
généralisée ().
La distribution de Pareto généralisée

se définit ainsi :Où :La Figure III-2 illustre les observations étudiées dans le cadre de dépassements d’un seuil .

Figure III-2 Illustration de la méthodologie POT

Un outil graphique important pour étudier les extrêmes est la fonction de dépassement moyen(en anglais, mean excess function) ou durée de vie résiduelle. Elle se définit théoriquement par :Lorsquesuit une, sa mean excess function est linéaire en

Empiriquement, la mean excess function se calcule ainsi :

53

:

Avec
La Figure III-3 illustre le tracé de la mean excess function pour la variable. Pourfaciliter la lecture graphique de la mean excess function, nous avons tracé. En théorie, leseuil de température extrême est celui à partir duquel les températures peuvent être modélisées parune loi de Pareto généralisé. En pratique, le seuil choisi doit correspondre à un point de cassure dansl’allure de la mean excess function. Nous fixons donc notre seuil à -5,5°.

Figure III-3 Mean Excess function de tminMoy

Modèles suivant le seuil
Le seuil pour la moyenne régionale des températures minimales est fixé à -5,5°Celsius. Le seuila permis de partager nos données en deux sous-populations :les observations pour lesquelles

les observations pour lesquelles°°, soit 1 352 observations ;°, soit 294 observations.

Pour chaque sous-population, on cherche le modèle qui ajuste le mieux le nombre de sinistres.
Nous effectuons d’abord la même démarche que précédemment sur le premier sous-échantillon(quand) ; du fait de la surdispersion des nombres de sinistres et un excès dezéros dans les données. Nous ne présentons que les résultats du modèle avec les meilleurs résultats
après backtesting. Il s’agit du modèle hurdle avec une composante de comptage approchée avec laloi binomiale négative. Le Tableau III-10 présente les résultats de l’estimation avec ce modèle hurdle.

54

Modèle de comptage
Paramètres

Erreurt-Student

p-valeurSignificativité

Constante-30,318

MinMaxT20Moy

0,443

94,963-0,3190,74953

0,029

15,236<2e-16

0,040

0,038

1,058

0,290

region2

0,744

0,240

3,096

0,002

region3

0,695

0,234

2,968

0,003

region4

0,415

0,209

1,981

4,76E-02








tminMoy

Modèle en zéro
Paramètres

Erreurt-Student

p-valeurSignificativité-1,7700,299-5,922

3,17E-09

MinMaxT20Moy

0,234

0,024

9,732

<2e-16

tminMoy-0,0650,027-2,3690,018

region2-0,772

0,180-4,2910,000

region3-1,4980,175-8,558<2e-16-0,6390,173-3,702

2,14E-04








Constante

region4

Tableau III-10 Résultats du modèle hurdle (tminMoy>-5,5°)

Ce tableau montre que tous les coefficients sont significativement différents de zéro au seuil de
10 %, exception faite de la constante et de la variable
dans la composante de comptage.
Dans la composante de comptage, la variable de température qui influence le nombre de sinistres est
la moyenne des écarts de température maximum et minimum sur une durée de 20 jours. Par ailleurs,le paramètre de dispersion est nul.
Pour le second sous échantillon (quand), les modèles de comptage
classiques sont les mieux adaptés car le problème d’excès de zéros dans la base de données adisparu. Par contre, les données sont toujours surdispersées. C’est donc la régression binomiale
négative qui est la plus appropriée. Les résultats sont présentés dans le Tableau III-11. Au seuil de
10 %, les estimateurs des variables de températures sont tous significatifs mais les régions 3 et 4 ont
des coefficients nuls. Par ailleurs, est significativement différent de 0 au seuil de 10 %.
Paramètres

Erreurt-Student

p-valeur Significativité

Constante-15,887

0,639-24,876<2e-16

MinMaxT20Moy

0,225

0,042

5,335

9,56E-08

tminMoy-0,251

0,050-5,0280,000

region2

1,459

0,496

2,939

0,003

region3-0,5600,355-1,5800,114

region4-0,031

0,352-0,0890,929

Tableau III-11 Résultats de la régression binomiale négative (







)

En cas de sinistralité extrême, le modèle avec dépassement de seuil (régression binomiale
négative sur) fournit une meilleure estimation que le modèle hurdle sur toutes lesobservations (de la sous-section III.1.2.3) . En effet, avec le modèle hurdle de la sous-section III.2.3,l’écart de prédiction sur l’année 2012 est de -72 %. En tenant compte du seuil, le modèle prédit prèsde 97% du nombre de sinistres de 2012, soit un écart de prédiction de -3%.
Pour conclure, au terme de cette section, nous retenons deux modèles pour caractériser lafréquence de gel. Il s’agit d’une régression hurdle lorsqueet de la régression
binomiale négative lorsque
.

55

2.

Modélisation de la température

L’étude précédente a montré que la survenance d’un évènement gel dépend directement destempératures observées et plus particulièrement de l’amplitude des décalages de températures. Il est
donc nécessaire d’effectuer une modélisation de la température en France pour pouvoir en déduirel’apparition d’évènements gel.
Initialement, les données à disposition sont des relevés de températures minimales journalières
depuis 1950 en 250 points équidistants en France. Il aurait cependant été fastidieux de modéliser latempérature en chacun de ces 250 points. Une approche raisonnable consiste à considérer lestempératures moyennes dans chaque région obtenue avec la classification de la section II. En effet, laclassification a été réalisée dans le but d’obtenir des températures homogènes et très peu dispersées
au sein de chaque région.
Finalement, nous avons donc quatre séries de températures journalières correspondant aux
températures moyennes observées dans les quatre régions de la classification depuis 1950. Danscette partie, chacune de ces séries sera modélisée afin de pouvoir simuler plusieurs scénarios detempérature pour l’année suivante. Nous pourrons en déduire, ensuite, la survenance d’évènements
gel dans la suite.
Plusieurs approches seront étudiées ici, pour finalement retenir un modèle linéaire à variance11
périodique qui s’est révélé particulièrement adapté à nos données de température .

2.1.

Présentation des données

Par souci de clarté, nous ferons toujours référence à la série temporelle associée à la région 1(la région Sud) dans cette partie. Le raisonnement et la démarche suivie seront appliqués aux trois
autres régions.
La série à modéliser correspond à la moyenne des températures minimales journalières
erobservées dans la région 1 (la région Sud), du 1 janvier 1950 au 2 juillet 2013, soit 23 193 données.
Pour des besoins de cohérence dans la définition de la périodicité de la série, nous avons choisi desupprimer les 29 février afin d’avoir des années de taille équivalente (365 jours). Finalement,
supprimer les 29 février revient à ôter 16 valeurs à l’ensemble des données, ce qui est négligeable encomparaison de la taille initiale de la série.
La Figure III-4 montre que la série étudiée présente une forte saisonnalité, ce qui est prévisible
dans le cas de données de températures. Afin d’avoir une meilleure visibilité et une analyse plus
précise, les graphiques présentés dans cette partie ne montrent pas toujours l’intégralité des données(depuis 1950).

Figure III-4 Températures moyennes journalières observées dans la région 1 depuis 1980
11

Cette section s’inspire des travaux réalisés par ROUSTANT (2003) .

56

2.2.

Le modèle linéaire additif simple

Nous allons dans un premier temps utiliser l’approche Box & Jenkins (1976) pour décomposer
notre série de données en une réalisation de plusieurs phénomènes simultanés. Nous décomposons
donc notre série initiale de températurede la manière suivante :Le premier phénomène est la tendancequi représente l’évolution temporelle dela série. Il est vu aussi comme le comportement « basse fréquence » et permet demodéliser l’évolution de la série sur le long terme.

Le deuxième phénomène est la saisonnalité

qui est une composante périodiquede période T. La saisonnalité de période T vérifieet.
La saisonnalité permet, quant à elle, de modéliser le comportement sur le court termede la série.



Enfin, le troisième phénomène, appelé série résiduelle, est la composante qui
explique les écarts du modèle obtenu à partir de la tendance et de la saisonnalité. Ellepeut se voir comme la réalisation d’un processus aléatoire stationnaire.

Cette décomposition est obtenue à l’aide du logiciel R. Pour cela, la tendance
est d’abord
12estimée par une méthode de régression locale . Cette méthode repose sur un algorithme qui permetde déterminer localement un modèle de régression non paramétrique adapté aux données locales.
Puis, la saisonnalité et la série résiduellesont déduites de la série sans tendance. Les
résultats sont présentés dans la Figure III-5.

Figure III-5 Décomposition de la série
12

Régression « LOESS » : Local regrESSion »57

La Figure III-5 montre que la saisonnalité de la série étudiée est périodique annuellement, ce
qui est cohérent pour des données de température. De plus, une tendance légèrement haussière estèmeobservée (2graphique de la Figure III-5). Cela peut être dû au réchauffement climatique constaté
depuis quelques années dans le monde. Cette tendance haussière sera confirmée dans la suite deèmel’étude. Enfin, la série résiduelle (3graphique de la Figure III-5) ne semble présenter à première
vue ni tendance, ni saisonnalité.
Pour pouvoir développer des prédictions intéressantes, il faut que la série résiduelle présente
certaines propriétés structurelles : soit de la “rigidité” qui permet en partie d’extrapoler, soit une formed’invariance statistique, qu’on appelle stationnarité, qui permet d’apprendre le présent et prévoir lefutur à partir du passé. De manière générale, pour qu’un modèle soit correctement spécifié, il faut quela série résiduelle soit un bruit blanc, ce qui permet de prendre en compte les propriétés structurelles
souhaitées. La série résiduelle est un bruit blanc (faible) si ses termes ont une moyenne nulle, unevariance constante et la covariance de ses termes pris deux à deux est nulle. La série résiduelle est
un bruit blanc fort si ses termes sont soient indépendants et identiquement distribués (iid) avec une
moyenne nulle et de variance constante. On parle de bruit blanc gaussien lorsque les résidus sont iid
et suivent une loi normale centrée réduite.
Pour vérifier si la série résiduelle est un bruit blanc, le test de Ljung Box ou test de Portmanteau
est couramment utilisé. Le test de Ljung Box permet de vérifier l’indépendance sérielle entre lesrésidus. L’hypothèse nulle est que les coefficients de corrélation entre les résidus sont nuls. La-16p-value de ce test étant inférieure à 10
pour
(Tableau III-12), cela nous amène à rejeterl’hypothèse nulle. La série résiduelle n’est donc pas un bruit blanc et le modèle linéaire simple estégalement rejeté. Le fonctionnement de ce test est fourni dans l’annexe B.
Résultat
Test de non corrélation des résidus : p-value
Test de Ljung-Box

Tableau III-12 Test de Ljung Box

2.3.

Le modèle ARMA

2.3.1. Définition
La série résiduelle n’étant pas un bruit blanc, nous allons tenter d’ajuster un modèle ARMA à .
Les modèles ARMA (Auto Regressive Moving Average) ont été développés par Box et Jenkins en1970 et représentent une classe très populaire de processus dans l’étude de séries temporelles. Ces
processus ont, par exemple, l’avantage de pouvoir s’appliquer à de nombreux domaines, comme lamétéorologie, et sont facilement interprétables.
Un modèle ARMA(p,q) se décompose en deux processus : un processus AR (Auto Regressive)d’ordre p et un processus MA (Moving Average) d’ordre q. Soit
un processus ARMA(p,q), il vérifiel’équation suivante :Le processus
est un bruit blanc et correspond au terme d’erreur. Le premier terme
correspond à un processus AR(p) qui permet d’exprimer le processus en fonction de ses p valeurspassées. Enfin, le deuxième terme correspond au processus MA(q) qui permet d’exprimer leprocessus en fonction des q termes d’erreurs passés.

58

2.3.2. Estimation d’un modèle ARMA
Dans un premier temps, nous devons sélectionner les ordres p et q qui correspondent
respectivement au terme autorégressif et au terme de moyenne mobile.
13

Les diagrammes des autocorrélations (ACF) et des autocorrélations partielles (PACF) sontreprésentés respectivement par les Figure III-6 et Figure III-7. Ils nous amènent à sélectionner unprocessus autorégressif. En effet, quand le diagramme des autocorrélations (ACF) décroît
exponentiellement vers 0 et que le diagramme des autocorrélations partielles est nul à partir du
ème
(p+1)
retard, alors un processus AR(p) doit être sélectionné. Ici, les conditions sont donc réunies
pour sélectionner un processus autorégressif. De plus, les autocorrélations partielles (PACF) n’étant
plus significatives à partir de l’ordre 3, nous pouvons supposer que
suit un modèle AR(3), c'est-àdire un processus auto-régressif d’ordre 3.
Intuitivement, un processus auto-régressif semble adapté à la modélisation de données detempératures puisque cela signifie que la température un jour donné dépend de la températureobservée durant les jours précédents. Nous allons cependant vérifier si cette hypothèse est bien
acceptable par quelques tests.

Figure III-6 Diagramme des autocorrélations de lasérie résiduelle

Nous estimons donc les coefficientssoit un processus auto-régressif d’ordre 3 :Le terme

Figure III-7 Diagramme des autocorrélations
partielles de la série résiduelle,eten maximisant la vraisemblance afin que

est communément appelé résidu.

Pour accepter ce modèle, plusieurs vérifications doivent impérativement être réalisées. Il fauttout d’abord que soit un bruit blanc gaussien :13Les résidus doivent être stationnaires, c'est-à-dire de variance constante au cours dutemps. Pour vérifier cela, nous utiliserons un critère graphique (le box plot).

Les résidus doivent être indépendants, ce qui sera testé par le test de non corrélationde Ljung-Box.

Les résidus doivent être gaussiens. Nous avons recours pour cela au test de normalitéKolmogorov-Smirnov.

Voir définitions de ACF et PACF en Annexe B - Fonctions d’autocorrélations et tests statistiques utilisés.

59

Enfin, les paramètres estimés doivent tous être significatifs. Cette propriété est vérifiée avec letest de Student.
Les fonctionnements de l’ensemble de ces tests sont détaillés dans l’annexe B et les résultats
sont présentés dans le Tableau III-13:
RésultatsSignificativité des coefficients
Test de Student



Test de non corrélation des résidus : p-value
Test de Ljung-Box

97,7%

Test de normalité des résidus : p-value
Test de Kolmorogov-Smirnov

5%




Tableau III-13 Tests d’adéquation avec un modèle AR(3)Afin de s’assurer de la stationnarité des résidus ( ), nous avons tracé, sur la Figure III-8, un
box plot mettant en évidence cette propriété. Le box plot résume quelques caractéristiques de la sérieétudiée (médiane, quartiles, minimum, maximum et déciles) et permet ainsi de vérifier rapidement lastationnarité de la série. Pour cela, les valeurs prises paront été regroupées par mois et les
caractéristiques correspondantes sont mises en évidence sur le graphique. Cela permet d’observer ladispersion des valeurs de ce processus par mois. Il apparaît très clairement que les valeurs de sontplus dispersées pendant les mois d’hiver que pendant les mois d’été. Cela prouve donc quen’est
pas un bruit blanc et le modèle ARMA est rejeté.

Figure III-8 Dispersion des résidus par mois

Il faudra donc prendre en compte cette dispersion dans la suite de l’étude pour obtenir unmodèle convenable. De plus, la dispersion semble saisonnière car elle est visiblement plus importantependant les mois d’hiver. Nous allons tester dans la section suivante un modèle linéaire à variancepériodique pour tenir compte de la saisonnalité des résidus.

60

2.4.

Le modèle à variance périodique2.4.1. Introduction
La partie précédente a mis en évidence la non stationnarité des résidus dans le modèle ARMA.
La série des températures étant périodique de périodicité annuelle, nous pouvons supposer que lavariance des résidus est périodique de la même façon. Cette hypothèse sera vérifiée par la suite.
Nous proposons donc le modèle suivant :Avec :
: la série initiale de températures: la saisonnalité: la tendance: un processus ARMA à estimer avecn’était pas constant.

: l’écart type de la série, supposé périodique de périodicité annuelle. Dans la section précédente,

Afin de faciliter la prédiction des séries dans la partie suivante, le modèle doit être entièrement
paramétrique. Chacun des éléments ci-dessus sera donc modélisé dans les sections suivantes.

2.4.2. TendanceTout d’abord, la tendance de la série est modélisée par une droite. Pour cela, une régression
linéaire est effectuée afin de trouver les coefficients et tels que :Le résultat de la régression est illustré sur la Figure III-9 et les coefficients obtenus sont :et.
Nous pouvons cependant nous interroger quant à la significativité de ces coefficients,
particulièrement pour le coefficient qui semble tellement faible qu’il pourrait éventuellement être nul
en théorie. Pour vérifier cela, nous avons effectué des tests dont les résultats sont présentés enannexe C. Les résultats se sont révélés positifs, ce qui signifie que la tendance est bien haussière etconfirme donc l’observation faite au paragraphe précédent.
La droite théorique permet juste de capter la tendance de la courbe originale, mais pas ses
variations. Les écarts observés entre la droite théorique (en rouge) et la courbe originale (en noir)seront modélisés dans la série résiduelle associée au processus ARMA.

61

Figure III-9 Modélisation de la tendance

2.4.3. Saisonnalité
Nous savons que la saisonnalité de la série est de périodicité annuelle. Ainsi,
Nous cherchons donc à modéliser ici pour.

.

Néanmoins, nous pouvons chercher si une périodicité plus fine que la périodicité annuelle
existe. Deux approches ont donc été testées :La périodicité annuelle en effectuant une régression linéaire sur
Cette modélisation est représentée par la courbe bleue sur la Figure III-10.

La

périodicité

semi-annuelleen.

effectuant une régression linéaire sur. Cette modélisation est représentée par la

courbe rouge sur la Figure III-10.
Avec
Les coefficients estimés de la seconde régression étant tous significatifs (résultats du test deStudent en annexe C), il apparait donc clairement qu’une périodicité semi-annuelle est plus
représentative des données initiales.
Il existe donc des coefficients

,

,

et

tels que :Finalement, les valeurs obtenues sont :

,

,

62

et

.

Figure III-10 Modélisation de la saisonnalité

2.4.4. Estimation de l’écart typeL’objectif de cette section est d’estimer l’écart typepar une fonction paramétrique telle que :etPour cela, nous définissons la série

telle que :

avec

et

les fonctions paramétriques estimées dans les sections précédentes.
Ainsi,.

Le box plot présenté à la Figure III-8 montre que la variance de la température est plus
importante pendant les mois d’hiver. Nous supposons donc que
a une périodicité annuelle, et peuts’écrire de la façon suivante :avec
Afin de calculer l’écart type de la série, nous calculons un écart-type mobile centré ent. Cet écart type est dit mobile parce qu'il est recalculé de façon continue, en utilisant à chaque calcul
un sous-ensemble d'éléments dans lequel un nouvel élément remplace le plus ancien. Pour cela, unparamètre de lissage h est déterminé et permet de définir le sous-ensemble sur lequel est calculél’écart-type.
Soitl’écart type dela série extraite detelle quepour tout t appartenant à l’intervalle

63. Ainsi,:est défini commeAvec

la moyenne mobile définie de la même façon par :Le paramètre h est bien un paramètre de lissage car plus h augmente, plus le nombre dedonnées sur lequel est calculé l’écart type augmente et plus la série
est lisse. La difficultémajeure est de trouver un compromis entre le lissage et la précision des données. Il faut que lelissage soit suffisant pour pouvoir déterminer un modèle de régression cohérent. Cependant, il ne fautpas que le paramètre soit trop élevé pour pouvoir capter aussi les valeurs singulières.
Afin de coller au maximum avec les données initiales et contrebalancer l’effet du lissage, nous
avons choisi d’introduire une fonction de pondération dans le calcul de l’écart-type mobile afind’attribuer un poids plus important aux valeurs proches de t. Cette fonction de pondération est
obtenue en appliquant une pondération triangulaire et est illustrée sur la Figure III-11 : un poids de 1
est donné à la valeur de l’élément en t, et les poids sont de moins en moins importants à mesure quel’on s’écarte de t.
1,2

Poids non normalisés

1

0,8
0,6
0,4
0,2

0

Figure III-11 Fonction de pondération triangulaire

La Figure III-12 permet de représenter
pour différents paramètres de lissage afin desélectionner un paramètre optimal pour nos données. Nous pouvons observer que la différence entre
des paramètres de lissage à 25 et à 50 est très importante alors que la différence entre un paramètrede lissage à 50 et à 75 est moins évidente. Nous pouvons ainsi considérer qu’un paramètre de lissage
de 50 constitue un bon compromis pour nos données dans la mesure où cela permet de lisser
suffisamment tout en conservant au mieux les variations de.

64Figure III-12 Choix du paramètre de lissage

Une régression linéaire est ensuite effectuée sur
pour trouver lescoefficients , et qui se révèlent être tous significatifs par l’application d’un test de Student. La
Figure III-13 montre que l’hypothèse faite au début de la section concernant la saisonnalité de lavariance est bien vérifiée avec des données de température car une périodicité annuelle estclairement identifiée ici.

Figure III-13 Ecart type mobile – h=50

Les valeurs desont bien toujours positives, ce qui est une condition indispensable car
représente un écart-type. Les valeurs des coefficients obtenus sont les suivantes :,etLes résultats du test de Student pour vérifier la significativité de ces coefficients sont fournis enannexe C et sont positifs.

65

Nous pouvons nous demander encore une fois si les écarts entre la courbe réelle (en noir) et lacourbe estimée (en rouge) ne fausseraient pas notre modèle : les pics observés sur la courbe réelle
(par exemple en 2008) pourraient nous amener à penser que les pics extrêmes de température
seraient atténués avec la courbe lissée dans notre modèle. Or, le modèle qu’on souhaite réaliser
cherche justement à capter les pics de température afin de prévoir les pertes extrêmes dues auxpériodes de grand froid. Ces pics seront en réalité pris en compte dans le modèle ARMA défini dans lasection suivante.

2.4.5. Ajustement d’un modèle ARMA
Le dernier élément du modèle à paramétrer est

tel que :

Avec
,
et
les fonctions paramétriques définies dans les sections suivantes qui
représentent respectivement la tendance, la variance mobile et la saisonnalité de la série initiale.
Ainsi, le processus permettra de prendre en compte les écarts entre la fonction réelle observée ( )et les fonctions paramétriques estimées. Nous capterons ainsi implicitement les pics observés par
rapport aux courbes réelles dans les sections précédentes, et donc de capter aussi la survenance detempératures extrêmes.
Pour modéliser , nous allons ajuster un modèle ARMA et tester ensuite la validité de ce
modèle. Comme dans le paragraphe précédent, nous sélectionnons les ordres p et q du modèle
ARMA en traçant les diagrammes des autocorrélations (ACF) et des autocorrélations partielles(PACF) représentés sur les Figure III-14 et Figure III-15. Les diagrammes étant similaires à la section
précédente, cela nous amène encore à sélectionner un processus autorégressif d’ordre 3.

Figure III-14 Diagramme des autocorrélations

Figure III-15 Diagramme des autocorrélations
partielles

Les diagrammes semblent identiques à ceux obtenus dans le paragraphe précédent car nous
avons seulement extrait la saisonnalité de la variance des résidus dans ce nouveau modèle. Il existe
donc des coefficients,ettels que :

Avec
,
,
et
la série résiduelle. Les estimations de ces
coefficients sont réalisées comme précédemment par maximisation de la vraisemblance. Les
coefficients obtenus sont significatifs (résultats obtenus à l’aide du test de Student et détaillé enannexe C).

66

2.4.6. Validation du modèle
Pour valider le modèle, nous souhaiterions que
soit un bruit blanc gaussien, ce qui implique
la stationnarité du processus. Dans le modèle précédent, l’hypothèse de stationnarité n’était pas
respectée. C’est précisément cela qui nous a conduit à tester le modèle à variance périodique.
Contrairement au box plot précédent (Figure III-8), la dispersion des résidus représentée sur laFigure III-16 semble constante pour tous les mois de l’année, ce qui valide l’hypothèse de stationnaritédes résidus.

Figure III-16 Dispersion des résidus par mois

De plus, le test de Ljung-Box permet d’affirmer que la série résiduelle ( ) est bien un bruitblanc (Tableau III-14).
Enfin, pour vérifier le caractère gaussien de la série résiduelle, nous traçons un QQ-plot (FigureIII-17).Ce type de graphique est souvent utilisé pour vérifier la cohérence d’une modélisation
statistique. Pour cela, les quantiles théoriques suivis par une loi normale sont représentés par l’axe
des abscisses et les quantiles relatifs àsont représentés par l’axe des ordonnées. Ainsi, plus lespoints tracés sont proches de la première bissectrice, plus l’estimation réalisée en affirmant que
estgaussien est correcte. Sur la Figure III-17, les points sont très proches de la bissectrice, ce qui justifie
bien l’hypothèse de normalité des résidus.
Par ailleurs, le test de Kolmogorov-Smirnov conduit aussi à accepter l’hypothèse de normalitédes résidus (Tableau III-14).

67

Figure III-17 QQ plot comparant la distribution deet la distribution d'une loi gaussienne

Enfin, nous testons comme précédemment la significativité des coefficients estimés duprocessus auto-régressif.
L’ensemble des résultats des tests effectués sont donnés dans le Tableau III-14 :RésultatsSignificativité des coefficients
Test de Student



Test de non corrélation des résidus : p-value
Test de Ljung-Box

98,2%

Test de normalité des résidus : p-value
Test de Kolmorogov-Smirnov

14%




Tableau III-14 Tests d'adéquation avec un modèle AR(3)Finalement, l’ensemble des hypothèses sont vérifiées et nous pouvons donc accepter ce
modèle à variance périodique pour la modélisation de la série moyenne de températures pour larégion 1 (région Sud). Le paragraphe suivant permettra d’adapter ce modèle aux trois autres régions.

2.5.

Application de la méthode aux autres régions

Dans cette partie, le modèle à variance périodique est adapté à chacune des régions obtenues
avec la segmentation réalisée dans la partie II. Nous allons comparer, pour chaque région, chacun
des éléments définissant le modèle, puis nous vérifierons la validité du modèle.

2.5.1. La tendance
La tendance est l’élément principal qui va caractériser chaque région. En effet, les températures
en France ne sont pas identiques, les régions au sud étant généralement plus chaudes que lesrégions se trouvant au nord.
Sur la Figure III-18, nous pouvons clairement voir que la tendance est différente pour chaquerégion. Comme nous pouvions nous y attendre, la région montagneuse (en bleue) a la tendance laplus faible, alors que la région du sud (en vert) a la tendance la plus élevée.

68

Cependant, la pente associée à chaque région est positive, ce qui confirme bien la tendance
légèrement haussière des températures avec le temps. En effet, le réchauffement climatique touchebien de la même façon l’ensemble des régions dans le monde.

Figure III-18 Comparaison des tendances dans chaque région

2.5.2. La saisonnalité et l’écart-type mobile
La saisonnalité et l’écart-type mobile semblent similaires dans chaque région au regard desFigure III-19 et Figure III-20 puisque les courbes sont très proches, et se confondent même parfois.
L’effet saisonnier caractéristique de la température impacte toutes les régions bien que nous pouvons
constater de légères différences entre les régions.

Figure III-19 Comparaison de la saisonnalité

Figure III-20 Comparaison de l'écart-type mobile

2.5.3. Ajustement d’un modèle ARMA
De la même façon que dans la partie précédente, nous traçons les diagrammes desautocorrélations (ACF) et des autocorrélations partielles (PACF) pour sélectionner un modèle ARMA
cohérent. Les Figure III-21 et Figure III-22 nous indiquent, comme précédemment, qu’un processus
auto-régressif d’ordre 3 est le processus le mieux adapté à nos données.

69

Région 2

Région 3

Région 4

Figure III-21 Diagramme des autocorrélations pour chaque région

Région 2

Région 3

Région 4

Figure III-22 Diagramme des autocorrélations partielles pour chaque région

Pour pouvoir accepter les modèles sélectionnés, il faut à présent s’assurer que certaines
propriétés sont vérifiées.

2.5.4. Validation
Comme dans la partie précédente, afin de valider le modèle, il faut s’assurer que, pour chaquerégion, les résidus sont des bruits blancs gaussiens.
Dans un premier temps, les p-value du test de Ljung-Box nous assurent que les résidus
associés à chaque région sont bien des bruits blancs (Tableau III-15).
Nous vérifions par ailleurs que les résidus associés à chaque région suivent bien une loi
gaussienne grâce aux QQ-plot représentés sur la Figure III-23. En effet, les points sont proches de labissectrice sur chacun des trois graphiques ce qui confirme le caractère gaussien des résidus.
Cependant, l’hypothèse pourrait être remise en question pour la région 3 qui présente des points unpeu éloignés de la bissectrice aux extrémités mais les résultats du test de Kolmogorov-Smirnov(Tableau III-15) nous permettent tout de même d’accepter l’hypothèse de normalité.

70

Région 2

Région 3

Région 4

Figure III-23 QQ Plot permettant de vérifier le caractère gaussien des résidus de chaque région

Enfin, l’hypothèse de stationnarité des résidus est vérifiée comme précédemment à l’aide debox plots. La Figure III-24 montre que la dispersion des résidus semble globalement constante, ce qui
permet d’accepter l’hypothèse de stationnarité des résidus :Région 2

Région 3

Région 4

Figure III-24 Dispersion des résidus par mois

Les résultats des tests pour les trois régions sont répertoriés dans le Tableau III-15 :Région 2

Région 3

Région 4

Test de non corrélation des résidus : p-value
Test de Ljung-Box

96,3%

99,6%

98,3%







Test de normalité des résidus : p-value
Test de Kolmorogov-Smirnov

15,7%

8,1%

19,2%







Significativité des coefficients
Test de Student

Tableau III-15 Tests d'adéquation pour les régions 2, 3 et 4

Finalement, le modèle à variance périodique est bien transposable à chaque région. Ce modèle
sera donc utilisé par la suite pour générer des scénarios de températures pour l’année suivante.
Néanmoins, l’utilisation de séries temporelles pour capter les températures extrêmes pourraitêtre contestée. Ce choix peut cependant être justifié par plusieurs raisons. En effet, la longueur desséries de températures utilisées permet de prendre en compte à la fois le réchauffement climatique etl’ensemble les vagues de froid survenues depuis 1950. Cela constitue des informations importantes
pour générer ces valeurs extrêmes de températures. En outre, la modélisation des séries temporelles
a bien intégré la cyclicité des températures et la dispersion saisonnière. Enfin, dans la section III.1,

71nous avons observé que les scénarios extrêmes étaient principalement liés au franchissement d’uncertain seuil de température (-5,5°C), ce que les séries modélisées sont à même de restituer.

3.

Modélisation de la dépendance entre régions

La partie précédente nous a permis de déterminer une modélisation statistique de latempérature dans quatre régions de France. La prochaine étape sera donc de simuler différents
scénarios de température à partir de ces quatre modèles. Cependant, les températures dans lesquatre régions ne peuvent pas être simulées indépendamment. En effet, la température est un
phénomène homogène. Si un pic de température est observé dans une région de France, il est très
probable que les autres régions soient aussi affectées par ce pic. Par conséquent, nous devonségalement modéliser la dépendance entre les différentes régions pour pouvoir effectuer desprédictions cohérentes.
La modélisation statistique des régions a fait apparaitre que le seul terme non déterministe dumodèle est la série résiduelle de l’ARMA. Nous allons donc, dans cette partie, modéliser les quatreséries de résidus associées aux séries de température en prenant en compte la dépendance entre lesrégions. Pour cela, nous aurons recours à la théorie des copules qui permet de caractériser ladépendance entre plusieurs variables aléatoires.

3.1.

Présentation des données

Nous avons à notre disposition quatre séries de résidus suivant des lois normales centrées
réduites. Cette propriété a été vérifiée dans la partie précédente.
A priori, nous pouvons nous attendre à ce qu’il y ait une forte corrélation entre les températuresdes différentes régions. Nous allons donc vérifier cela en traçant les nuages de points des résidus
deux à deux sur la Figure III-25 :Figure III-25 Nuages de points des résidus empiriques

72

Nous pouvons remarquer que les corrélations entre les résidus semblent
particulièrement entre les résidus des régions 3 (région Nord-Est) et 4 (région Montagneuse).

fortes,Afin de mesurer cette corrélation, nous utiliserons la corrélation de Spearman empiriquereprésentée par le Tableau III-16. Le coefficient de corrélation de Spearman permet de mesurer lacorrélation entre deux variables qui n’ont pas forcément de relation linéaire entre elles. Ainsi, lecoefficient de corrélation de Spearman (appelé aussi communément Rho de Spearman) est défini
comme le coefficient de corrélation linéaire entre les rangs des deux variables.
Rho de Spearman
Région 1
Région 2
Région 3
Région 4

Région 1
100%
55%
54%
74%

Région 2
55%
100%
78%
68%

Région 3
54%
78%
100%
82%

Région 4
74%
68%
82%
100%

Tableau III-16 Matrice de corrélation de Spearman empiriqueComme nous pouvions nous y attendre, les corrélations entre les résidus sont élevées,
supérieure à 54%, les résidus les plus corrélés étant les résidus associés aux régions 3 et 4, ce quiétait clairement identifié sur les graphiques précédents.
Enfin, nous observons le comportement des résidus empiriques sur les vingt-cinq derniers jours
de données à notre disposition sur la Figure III-26. Cela permet de valider graphiquement ladépendance entre les résidus, particulièrement entre les résidus des régions 3 (région Nord-Est) et 4
(région Montagneuse) représentés en bleu et violet.

Figure III-26 Résidus observés les 25 derniers jours

3.2.

La théorie des copules

Pour mesurer la dépendance, la corrélation linéaire de Pearson est fréquemment utilisée. Cette
mesure est performante lorsque la relation de dépendance entre deux variables est linéaire, ce qui
n’est souvent pas le cas dans la pratique. C’est pourquoi, nous avons recours à d’autres indicateurs
se fondant sur les discordances et concordances observées dans un échantillon comme le tau deKendall ou le rho de Spearman. Ce sont de bons indicateurs qui permettent de mesurer globalementla dépendance entre deux variables aléatoires à l’aide d’un nombre compris entre -1 et 1. Cependant,
ces indicateurs contiennent l’ensemble de l’information de la dépendance entre deux variables dans73

un seul nombre. Ils ne permettent donc pas de prendre en compte la complexité sous-jacente à lastructure de dépendance empirique.
Pour remédier à cela, Abe Sklar a introduit la théorie des copules en 1959. Les copules
fournissent une structure de dépendance plus précise et plus générale à des vecteurs de données.
Plus précisément, elles permettent de « coupler » des lois marginales afin d’obtenir une loi multivariée
qui correspond simplement à des fonctions de répartition en dimension quelconque.
Définition La copule bivariée C fonction desuivantes :(i)(ii)
marges uniformes.
(iii)

est définie par les caractéristiques: les marges des distributions marginales sont desC est 2-croissante :Cette définition se généralise aisément en dimension supérieure à 2.
L’ensemble des résultats de la théorie des copules repose sur le théorème de Sklar qui précise
le lien existant entre les fonctions de répartition marginales et la fonction de distribution multivariée :Théorème Soit
marginales

la fonction de répartition multivariée du vecteur. Alors il existe une copule telle que:de lois,Si, en plus, les lois marginales

sont continues, alors

est unique.

Ce théorème est fondamental car il permet de modéliser la fonction de répartition multivariéed’un vecteur de variables aléatoires et de modéliser ainsi la dépendance en deux étapes : modéliserd’abord les lois marginales, puis définir la structure de dépendance pour « lier » ces lois marginales.
Grâce à la fonction de répartition multivariée, nous pourrons simuler différents scénarios de résidus
tout en respectant les dépendances.
Pour cela, nous devons estimer les lois marginales
d’une part et la copule d’autre
part. Les lois marginales sont connues dans notre problème puisque nous avons montré, dans lapartie précédente, que les résidus suivaient des lois normales centrées réduites. Il nous reste donc àdéfinir la copule qui permettra de modéliser la dépendance entre les résidus.
Cependant, déterminer la copulen’est pas trivial. Dans la pratique, des copules
paramétriques sont utilisées afin de simplifier le problème. En effet, les copules paramétriques
permettent de décrire de nombreuses formes de dépendance et sont suffisantes dans de nombreux
cas. Elles ont par ailleurs l’avantage d’être entièrement définies par un nombre fini de paramètres. Il
suffit donc de calibrer les paramètres associés à la copule paramétrique choisie pour la définir. La
difficulté majeure réside ainsi dans le choix de la copule paramétrique.

3.3.

Les copules paramétriques

L’objectif ici est de déterminer la copule paramétrique la mieux adaptée à nos données etreflétant au mieux les relations de dépendance entre résidus. Il existe deux grandes familles decopules paramétriques : les copules elliptiques et les copules archimédiennes. La recherche de la
copule optimale est réalisée sur un ensemble de quatre copules paramétriques sélectionnées a priori
et présentées dans cette section, deux copules appartenant à la famille des copules elliptiques etdeux copules appartenant à la famille de copules archimédiennes.

743.3.1. Copule elliptiques
Les copules elliptiques ont la particularité d’être relativement simples d’utilisation. Elles sontassociées à une distribution multivariée symétrique, ce qui semble correspondre aux données derésidus (Figure III-25). Plus particulièrement, elles sont utilisées lorsque la distribution du vecteur
considéré suit une distribution elliptique.
suit une distribution elliptique si et seulement s’ilDéfinition Le vecteur aléatoire
peut s’écrire sous forme affine :Avec:•
vecteur de dimension
orthogonale )suivant une loi sphérique (•matrice racine carrée telle que•

vecteur réel de dimension

pour toute matrice

Parmi les copules elliptiques, les copules gaussiennes ainsi que les copules de Student sont lesplus répandues.
La copule gaussienne La copule gaussienne (ou normale) est définie par :,Avec
la fonction de répartition multivariée normale standard de matrice de corrélation
la fonction de répartition marginale de
.

et

14

Cette copule n’a pas de dépendance de queue (sauf pour une corrélation parfaite de 1) et nepermet donc pas de corréler des valeurs extrêmes. Ainsi, cette copule n’est pas adaptée lorsque l’on
souhaite modéliser une dépendance non linéaire ou entre événements extrêmes. Nous pouvons donc
questionner son utilisation dans notre étude vu que nous désirons également modéliser desévènements rares et extrêmes (le gel).
La copule de Student La copule de Student est définie par :

,
Avec
et de

la fonction de répartition d’une loi de Student multivariée de matrice de corrélation

degrés de liberté etla fonction de répartition univariée dedegrés de liberté.

La copule de Student a l’avantage de mieux modéliser les dépendances de queue par rapport àla copule gaussienne et semble donc mieux adaptée à notre problème a priori. En effet, le paramètre
permet de faire varier le niveau de dépendance des queues de distribution.
La Figure III-27 représente 20 000 simulations d’un couple de variables aléatoires modélisé parune copule gaussienne et une copule de Student.

14

Détails en annexe D.

75

Copule gaussienne de paramètre de corrélation
0,5

Copule de Student de paramètre de corrélation
0,5 et de degré de liberté 1

Figure III-27 Comparaison des copules gaussiennes et de Student de dimension 2

Nous pouvons donc observer sur la Figure III-27 la différence entre ces deux copules, la copulede Student permettant d’accentuer la dépendance des points extrêmes.
Les copules gaussiennes et de Student sont définies d’une part par la matrice de corrélation duvecteur de données et par le degré de liberté pour la copule de Student. Nous avons à notre
disposition quatre séries de données. Cela conduit donc à l’estimation de six paramètres pour la
15
copule gaussienne et de sept paramètres pour la copule de Student .

3.3.2. Copule archimédiennes
Les copules archimédiennes représentent une classe importante de copules. A la différence
des copules elliptiques, les copules archimédiennes ont l’avantage de décrire des structures dedépendance très diverses prenant en compte notamment les dépendances asymétriques. Elles sontparticulièrement utilisées pour décrire des évènements extrêmes, ce qui pourrait convenir à notreétude.
De plus, contrairement aux copules gaussiennes et aux copules de Student, la fonction derépartition multivariée associée à une copule archimédienne n’est pas déduite du théorème de Sklar.
Elles présentent des formes analytiques fermées et sont donc faciles à simuler :Définition Une copule est strictement archimédienne si et seulement si il existe une fonction
continue, strictement décroissante, convexe, allant de
à
avec
et
, tel que :,Dans ce cas,

est un générateur strict de .

Les copules archimédiennes sont donc entièrement définies par la fonction génératrice . Nous
allons nous focaliser ici sur deux copules paramétriques de la famille des copules archimédiennes : lacopule de Gumbel et la copule de Clayton. La Figure III-28 représente 20 000 simulations d’un couple
de variables aléatoires modélisé par une copule de Gumbel et une copule de Clayton.

15

Pour d marginales, l’estimation de la matrice de corrélation nécessite

nécessite donc
paramètres et la copule de Student en nécessite
correspondant au degré de liberté.

76

paramètres. La copule gaussienne, le paramètre supplémentaireLa copule de Gumbel La copule de Gumbel est définie par sa fonction génératrice:

avec a ≥ 1
Comme nous pouvons le constater sur la Figure III-28, la copule de Gumbel permet demodéliser des dépendances extrêmes à droite. La copule de Gumbel est entièrement définie par leparamètre qui accentue la dépendance quand le paramètre augmente.
La copule de Clayton La copule de Clayton est définie par sa fonction génératrice:

avec
A la différence de la copule de Gumbel, la copule de Clayton permet de modéliser lesdépendances extrêmes à gauche, comme nous pouvons le constater sur la Figure III-28. La copule deClayton est aussi entièrement définie par le paramètre
qui accentue la dépendance quand ilaugmente.

Copule de Gumbel de paramètre 4

Copule de Clayton de paramètre 3

Figure III-28 Comparaison des copules de Gumbel et de Clayton de dimension 2

Ainsi, les copules archimédiennes présentent de nombreux avantages. Elles permettent d’unepart de modéliser les dépendances extrêmes, ce qui est un critère important dans la modélisation decatastrophes naturelles. Elles permettent d’autre part d’avoir recours à l’estimation d’un seulparamètre, à la différence des copules gaussiennes et de Student qui en nécessitent six et sept.
Cependant, un seul paramètre sera-t-il suffisant pour représenter la complexité de la dépendance desrésidus ?

3.4.

Méthode d’estimation

Qu’elles appartiennent à la famille elliptique ou à la famille archimédienne, les copules
paramétriques sont toutes caractérisées par un nombre fini de paramètres. L’estimation desparamètres est donc une étape décisive dans la sélection de la copule optimale. Pour ce faire, nous
avons choisi d’adopter la méthode CML (Canonical Maximum Likelihood) ou maximisation de lapseudo-vraisemblance. Cette méthode permet d’estimer les paramètres d’une copule sans estimer lesfonctions de répartition des marginales, qui sont bien connues dans notre cas (des lois normales
centrées réduites).

77

Soit
le vecteur de paramètres associé à la copule paramétrique que l’on souhaite calibrer.
Nous estimons par maximisation de la vraisemblance :Avec
modéliser et

,…,

pour
, n observations du vecteur aléatoire qu’on souhaite
la densité de la copule de paramètre .

Nous avons sélectionné la méthode CML par rapport aux autres méthodes disponibles car ces
dernières permettent d’estimer, en plus des paramètres de la copule, les lois marginales. Commenous avons connaissance des lois marginales, leur estimation pourrait entrainer un biais dansl’estimation des paramètres. De plus, la méthode CML permet de réduire le nombre de paramètres à
estimer ce qui donne des temps de calcul moins importants et des résultats plus précis.
Ainsi, pour chaque copule paramétrique sélectionnée, nous trouvons les paramètres associés
estimés avec la méthode CML. Tout d’abord, les paramètres correspondants aux matrices decorrélation des copules gaussienne et de Student sont regroupés respectivement dans les Tableau
III-17 et Tableau III-18. Dans chaque cellule nous pouvons lire deux chiffres. Le premier représente lecoefficient de corrélation estimé pour les deux séries indiquées en ligne et en colonne. Le second,entre-parenthèses, indique l’écart-type estimé pour ce coefficient.
Matrice de corrélation
Copule gaussienne
Région 1
Région 2
Région 3
Région 4

Région 1

Région 2

Région 3

Région 4

100% (0%)
57% (6%)54% (9%)74% (5%)57% (6%)
100% (0%)
78% (17%)71% (13%)54% (9%)78% (17%)
100% (0%)
82% (11%)74% (5%)71% (13%)
82% (11%)
100% (0%)

Tableau III-17 Estimation des paramètres de corrélation de la copule gaussienne avec la méthode CML

Matrice de corrélation
Copule de Student
Région 1
Région 2
Région 3
Région 4

Région 1

Région 2

Région 3

Région 4

100% (0%)
57% (7%)55% (9%)75% (6%)

57% (7%)
100% (0%)
80% (20%)
71% (11%)55% (9%)80% (20%)
100% (0%)
83% (9%)75% (6%)
71% (11%)83% (9%)100% (0%)

Tableau III-18 Estimation des paramètres de corrélation de la copule de Student avec la méthode CML

Nous remarquons que les paramètres de corrélation estimés pour les copules gaussiennes etde Student sont très proches. Par ailleurs, nous notons que la corrélation estimée entre les régions 3(région Nord-Est) et 4 (région montagneuse) est bien la plus importante, ce qui confirme l’observation
faite en début de section.
Ensuite, le paramètre estimant le nombre de degrés de liberté de la copule de Student est de
4,49, avec un écart-type estimé à 9%, ce qui est plutôt caractéristique d’une queue de distribution peuépaisse.
Enfin, les paramètres de dépendances
estimés pour les copules de Gumbel et de Clayton
valent respectivement 2,79 et 1,18 avec des écarts-types de 5% et 8%.

78

3.5.

Sélection de la copule optimale

3.5.1. Comparaison des résultats
Grâce à la méthode d’estimation présentée précédemment, nous avons trouvé pour chacune
des quatre copules paramétriques sélectionnées, les paramètres correspondants maximisant lavraisemblance. L’objectif à présent est de comparer les résultats obtenus avec l’utilisation de ces
quatre copules avec les données de résidus empiriques. Nous sélectionnerons ainsi la copuleparamétrique qui modélise au mieux la structure de dépendance des résidus.
Pour ce faire, nous utiliserons deux types de critère : des critères graphiques et des critères
quantitatifs qui permettront de comparer les résultats obtenus avec l’utilisation des différentes copules
paramétriques étudiées.
Critères graphiques
La fonction de Kendall La fonction de Kendall est un outil permettant une comparaison directeentre la copule empirique et la copule théorique. Elle nous permettra de sélectionner rapidement les
copules paramétriques ayant un comportement semblable aux données empiriques.
Soit
un couple de variables aléatoires de distribution jointe et. La fonction
de Kendall est définie comme la fonction de répartition du couple le long de la première bissectrice :Nous supposons que nous disposons de n observations des variables et : soit
observations obtenues pour
. Nous pouvons estimer de la façon suivante :Nous définissons

lesde la façon suivante :Nous voulons à présent comparer les fonctions de Kendall empiriques avec les fonctions de
Kendall théoriques pour chaque copule paramétrique étudiée. Nous traçons alors sur un mêmegraphique la fonction de Kendall empirique (obtenue avec les données des résidus à notre
disposition) en noir et la fonction de Kendall théorique (obtenue avec les données simulées par une
copule paramétrique) en rouge.
La Figure III-29 représente, pour chaque copule paramétrique testée, la fonction de Kendall
associée en rouge et la fonction de Kendall associée aux observations empiriques en noir. Nous nous
limitons ici à l’étude de la dépendance des résidus correspondant aux régions 1 (région Sud) et 2
(région Nord-Ouest). Les fonctions de Kendall correspondants aux cinq autres couples de résidus ont
donné des résultats similaires et sont disponibles en annexe E. Ainsi, plus les deux courbes sontproches, plus la copule paramétrique est adaptée.

79

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Figure III-29 Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 1 et 2

Nous pouvons ainsi clairement identifier ici que les copules elliptiques (gaussienne et Student)
représentent le mieux les dépendances empiriques des résidus, la courbe rouge étant la plus prochede la courbe noire empirique pour ces copules.
Le dépendogramme. Le dépendogramme représente la structure de dépendance sous laforme d’un nuage de points des simulations d’une copule théorique. Nous comparons ledépendogramme de la copule empirique à celui des quatre copules paramétriques sélectionnées. Le
dépendogramme permet d’observer aussi le caractère plus ou moins simultané des réalisations issues
de l’échantillon. Dans les queues plus précisément, il sera utile d’analyser si la simultanéité est forte etdonc s’il est nécessaire de calibrer sur notre échantillon une copule avec une dépendance de queue.
Nous avons représenté sur la Figure III-30 les dépendogrammes associés à la copule
empirique et aux copules paramétriques pour les résidus correspondants à la région 1 (région Sud) età la région 2 (région Nord-Ouest) pour 20 000 simulations. Cela nous permettra de sélectionner lacopule paramétrique qui semble correspondre le mieux à la copule empirique. Les dépendogrammes
associés aux cinq autres couples sont disponibles en annexe E et donnent des résultats similaires.

80Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Figure III-30 Dépendogrammes associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour lesrésidus 1 et 281Tout d’abord, il est clair que les copules de Gumbel et de Clayton ne sont pas satisfaisantes car
elles présentent une asymétrie. Or, le nuage de points associé à la copule empirique semble
symétrique. Les copules gaussiennes et de Student se rapprochent du nuage de points de la copule
empirique et semblent convenir. Nous pouvons noter cependant que la copule de Student permet demieux modéliser la dépendance des points extrêmes et semble donc mieux adaptée aux données
empiriques.
Les critères graphiques nous incitent donc à sélectionner plutôt une copule de la famille
elliptique et plus particulièrement la copule de Student. Cependant, les critères graphiques ne tiennent
pas compte du nombre de paramètres à estimer pour définir le modèle. Les copules elliptiquesnécessitent six et sept paramètres alors que les copules archimédiennes n’en nécessitent qu’un seul.
Il n’est donc pas surprenant que les copules elliptiques parviennent à mieux reproduire la structure dedépendance grâce à leur surparamétrisation par rapport aux copules archimédiennes. Les critères
quantitatifs permettront dans la suite de prendre en compte le nombre de paramètres dans ladéfinition du modèle et de pénaliser les modèles nécessitant beaucoup de paramètres. Cependant, lecaractère asymétrique associé aux copules archimédiennes nous incite à sélectionner une copule
elliptique.
Critères quantitatifs
Pour vérifier et comparer l’adéquation de chacune des copules paramétriques aux données derésidus, nous choisissons plusieurs critères.
Tout d’abord, nous calculons et nous comparons la vraisemblance associée à chaque copuleparamétrique. Puis, les critères BIC et AIC nous permettent de pénaliser le nombre de paramètres
associés à chacun des modèles. Le Tableau III-19 regroupe les résultats obtenus pour chaque copule
testée :
BIC

AIC

35306

Nombre deparamètres
6- 70 551- 70 600

36621

7- 73 171- 73 228

Gumbel24919

1- 49 827- 49 836

Clayton23047

1- 46 083- 46 092

CopuleLog Vraisemblance

Gaussienne
Student

Tableau III-19 Critères quantitatifs

De manière générale, le « meilleur » modèle sera celui qui aura un AIC et un BIC minimal. Il
apparaît clairement sur le tableau que la copule de Student semble la mieux adaptée. Bien qu’elle ait
le plus grand nombre de paramètres, la vraisemblance du modèle est suffisamment grande pourqu’elle ne soit pas pénalisée par son nombre élevé de paramètres.
Au regard des résultats des critères graphiques et quantitatifs, nous retenons la copule deStudent pour la suite de l’étude.

3.5.2. Simulations obtenues avec la copule de Student
Nous vérifions à présent l’adéquation de la copule de Student pour caractériser la structure dedépendance des résidus.
Qualité d’adéquation Nous avons superposé les nuages de points associés aux données
empiriques et aux données simulées avec la copule de Student pour vérifier l’adéquation du modèle
sur la Figure III-31. Les points noirs représentent les données empiriques (23 177 points) et les points
rouges représentent les données simulées avec la copule paramétrique de Student (50 000 points
simulés).

82

Les résultats obtenus sont satisfaisants car les points théoriques et empiriques semblent biencoïncider. De plus, les valeurs extrêmes des points empiriques semblent ne pas dépasser les valeursextrêmes des points simulés qui sont plus nombreux. Ils sont donc bien pris en compte dans lesvaleurs simulées. Les périodes de froid extrême pourront ainsi être captées avec cette modélisation.

Figure III-31 Superposition des nuages de points théoriques et simulés avec la copule de Student83Matrice de corrélation simulée Après avoir simulé 50 000 résidus avec la copule de Student,
nous souhaitons comparer la matrice de corrélation de Spearman obtenue avec les données simulées(Tableau III-20) et les données empiriques. Nous remarquons, en comparant à la matrice decorrélation empirique (Tableau III-16), que la matrice de corrélation associée à la copule paramétrique
est légèrement sous-estimée par rapport à la matrice de corrélation empirique. Cependant, les deux
matrices sont proches, l’erreur entre la matrice théorique et empirique étant de 0,4%. Les résultats
sont donc acceptables.
Rho de Spearman
Région 1
Région 2
Région 3
Région 4

Région 1
100%
51%
50%
70%

Région 2
51%
100%
75%
64%

Région 3
50%
75%
100%
80%

Région 4
70%
64%
80%
100%

Tableau III-20 Matrice de corrélation de Spearman simulée avec la copule de Student

Simulation de la série résiduelle sur vingt-cinq jours La Figure III-32 représente la série
résiduelle simulée avec la copule paramétrique de Student sur vingt-cinq jours. Nous pouvonsobserver aisément que les quatre séries sont corrélées. De plus, la corrélation observée semble
cohérente avec celle observée sur les données empiriques (Figure III-26) et conforte notre choix.

Figure III-32 Résidus simulés avec la copule de Student pendant 25 jours

A présent, nous avons à notre disposition les outils suffisants pour construire des scénarios detempérature pour l’année qui suit. Ce sera donc l’objectif de la prochaine section.

84

4.

Simulations de scénarios

L’objectif de cette section est de regrouper l’ensemble des résultats précédents pour construire
des scénarios de gel sur une année en France. Pour cela, nous simulons dans un premier temps
plusieurs scénarios de température sur un an pour pouvoir en déduire ensuite la survenance depériodes de gel.

4.1.

Scénarios de température

Tout d’abord, nous nous servons de la modélisation des températures dans chaque région
définie au paragraphe III.2 pour prédire différents scénarios de température. Par ailleurs, nous
utilisons la théorie des copules détaillée au paragraphe III.3 pour simuler conjointement les résidus
associés à chaque région. Nous simulons alors 10 000 scénarios de température pour l’annéeersuivante. Nos données de température s’arrêtant au 1 Juillet 2013, nous construisons 10 000
scénarios de température du 2 Juillet 2013 au 2 Juillet 2014 pour chacune des quatre régions. Notons
que les températures simulées correspondent à la moyenne des températures minimales au sein dechaque région.
La Figure III-33 représente les températures prédites dans chaque région pour le premierscénario. La courbe noire représente les températures observées disponibles depuis Août 2011 et lacourbe rouge un scénario de températures pour l’année suivante.
Région 1

Région 2

Région 3

Région 4

Figure III-33 Exemple d'un scénario de température par région de Juillet 2013 à Juillet 201485

La Figure III-34 représente les températures simulées dans les quatre régions. Ce graphique
fait bien apparaitre une corrélation entre les régions qui a été obtenue grâce à l’utilisation de copules.

Figure III-34 Exemple d’un scénario de température dans les quatre régions

Les températures minimale et maximale sur l’ensemble des scénarios sont respectivement de-30°C et de 34°C, ce qui semble à première vue être des valeurs acceptables au regard del’historique. Ces deux valeurs sont plus extrêmes que les valeurs historiques (respectivement à -19°C
et à 23°C), ce qui semble cohérent puisque 10 000 scénarios ont été simulés et que nous disposions
d’un historique de 63 années. Il convient de noter que la température minimale observée en France
depuis 1947 était de -32°C.

4.2.

Scénarios d’évènements

Nous nous servons des températures simulées ainsi que des modèles retenus pour prédire lafréquence de l’évènement gel (section III.1.2.5) afin de générer 10 000 scénarios de sinistresjournaliers pour chaque région pour la période annuelle définie précédemment. Une fois les sinistres
simulés, les fréquences s’obtiennent en divisant le nombre de sinistres simulé par l’exposition
régionale correspondante.
Pour obtenir les sinistres prédits, on dispose déjà de la température moyenne minimale danschaque région. A partir de cette information, nous déduisons les écarts de température (minimum etmaximum) sur 20 jours. Nous avons également fait l’hypothèse que l’exposition par région est
constante d’une année à l’autre. On dispose de l’exposition par région sur l’année 2012. Les
informations par région sont donc toutes connues.
Ensuite, il s’agit de prédire les nombres de sinistres dans chaque région en tenant compte duseuil de -5,5°C, de la température le jour du sinistre et de la saison. En effet, la prédiction doit êtreeffectuée pendant l’hiver uniquement et lorsque la température est inférieure à 3°C. Par ailleurs,
lorsque cette température est strictement supérieure à -5,5°C, les prédictions de sinistres utilisent larégression hurdle présentée dans la sous-section III.1.2.5. Sinon, la prédiction utilise la régression
binomiale négative présentée dans cette même sous-section III.1.2.5. Dans le reste des cas, en été
ou lorsque la température est supérieure à 3°C, on prédit un nombre nul de sinistres. Une fois que lesnombre de sinistres sont obtenus sur les 10 000 scénarios pour chaque région et sur les 365 jours, lesfréquences se déduisent aisément.

86

Finalement, nous obtenons 10 000 scénarios donnant la probabilité de sinistralité journalière(ou probabilité de survenance de l’évènement gel pour une police donnée) au sein dechaque région pendant une période d’un an.

87

IV.

Construction du module Vulnérabilité
1.

Modéliser la perte assurantielle

Le module Aléa construit précédemment a permis de générer 10 000 scénarios journaliers
donnant la probabilité de survenance de l’évènement gel dans chacune des quatre régions. Nous
voulons à présent connaitre la perte associée aux différents biens assurés lorsqu’un évènement gel
survient.
Le module Vulnérabilité doit permettre de quantifier le sinistre produit par un évènement gel sur
un bien donné. Pour cela, ce module fournit des courbes de destruction (ou courbes de vulnérabilité)
16
qui modélise la fonction de répartition du taux de destruction observé suite à un évènement gel. Ces
courbes diffèrent des courbes présentées dans la partie I qui associaient un taux de destruction
différent selon l’intensité de l’évènement considéré. Pour le risque gel, nous considérons que lesmontants de sinistres causés par le gel ne dépendent pas de l’intensité de l’évènement. En effet,
quand il survient, un évènement gel cause généralement des sinistres très similaires, peu importe leurseuil de déclenchement. Nous faisons donc l’approximation ici que le montant de perte lors de lasurvenance d’un sinistre gel dépend uniquement du type et de la valeur du bien assurée et non del’intensité de l’évènement gel qui est prise en compte dans la probabilité de sinistralité dans le module
Aléa.
Par leur nature (habitation, immeuble, locaux professionnels), les biens assurés par AXA ne
présentent pas les mêmes pertes lorsqu’un évènement gel survient. Pour cette raison, nous
calibrerons des courbes de vulnérabilité adaptées aux spécificités propres à chaque type de biens.
Finalement, le module Vulnérabilité permettra d’appliquer un évènement gel aux spécificités duportefeuille de biens, et de traduire une probabilité d’évènement en un montant de perte pourl’assureur.

2.

La méthode MBBEFD

Pour modéliser la vulnérabilité des biens au gel, nous allons calibrer des courbes de la famille
paramétrique MBBEFD (Maxwell-Boltzman, Bose-Einstein, Fermi-Dirac). Cette méthode a été
17
popularisée par un article de S. BERNEGGER et est devenue un standard dans le secteur del’assurance pour plusieurs raisons :Les courbes MBBEFD permettent de modéliser la probabilité de destruction d’un bienen prenant en compte des discontinuités. Par exemple, certains biens peuvent subir
des destructions soit mineures soit totales et la fonction de répartition du taux dedestruction présente donc des discontinuités.



Elles peuvent prendre des formes très diverses : convexes, concaves, points
d’inflexion, …

Deux méthodes permettent de définir une courbe MBBEFD. Tout d’abord, il y a la méthodegénérale qui nécessite deux paramètres. Il existe aussi un cas particulier de la méthode générale,16
17

Montant du sinistre divisé par la valeur du bien assuré“Swiss RE exposure curves and the MBBEFD distribution class”, 199788

appelée Hyperbolic MBBEFD, qui nécessite un seul paramètre. Dans la pratique, la seconde méthodeest souvent préférée pour sa simplicité.

2.1.

MBBEFD à deux paramètres

Nous décrivons dans un premier temps la méthode générale qui nécessite de calibrer deuxparamètres et . L'avantage de cette méthode est la possibilité de modéliser de nombreuses formesde la fonction de répartition du taux de destruction : elle peut être concave, convexe ou convexe puis
concave avec un point d'inflexion, en fonction des valeurs des paramètres et .
Soit la fonction de répartition associée au taux de destruction (ou courbe de destruction). Elle
est définie sur l'intervalle, elle est continue suret elle a une masse au point 1, c’est-à-direavec
la variable aléatoire associée au taux de destruction.
On définit alors la courbe d’exposition

par :

Avec
La fonction

s’exprime donc aisément en fonction de:

La famille MBBEFD, définie par S. BERNEGGER, impose une expression particulière à lafonction en fonction des deux paramètres et :Nous pouvons alors réécrire la fonction de la façon suivante :Nous avons donc croissante,
fonction de répartition. Par ailleurs, est discontinue endestruction totale, c’est-à-dire :La fonction densité associée àetest alors définie par :89. Notons. Cela définit bien unela probabilité associée à une

Sa moyenne est donc égale à:

2.2.

MBBEFD à un paramètre (Hyperbolic MBBEFD)

La méthode MBBEFD à un paramètre permet de calibrer plus facilement les courbes dedestruction d’une part et d’obtenir des résultats plus robustes d’autre part. Nous avons donc choisi
d’adopter cette méthode dans l’étude.
La méthode MBBEFD à un paramètre est un cas particulier de la méthode à deux paramètres
en prenant les paramètres et tels que :Soit
le taux de destruction médian. La fonction de répartition Hyperbolic MBBEFD(m), dansce cas particulier, s’exprime simplement en fonction de ce paramètre :Nous avons donc :répartition.
Puisqueetce qui définit bien une fonction de, la probabilité de destruction totale

est discontinue en

La fonction de densité associée à

est donnée par :est alors définie par :Sa moyenne est donc égale à :Enfin, son quantile d’ordre

est défini par :Ainsi, avec la connaissance du taux de destruction médian
courbe de destruction correspondante.

90, nous pouvons construire la3.

Taux de destruction médian

Le paragraphe précédent a permis de montrer qu’une courbe de destruction de type MBBEFD
hyperbolique est entièrement définie par le taux de destruction médian que nous allons donc
modéliser ici.
Comme introduit, nous supposons que le montant des pertes liées à un sinistre gel ne dépend
que du type et de la valeur du bien assurée. Pour le vérifier, nous nous baserons sur l’historique despertes gel du portefeuille France d’AXA entre 2008 et 2012 et nous montrerons qu’il existe un modèle
linéaire entre les sommes assurées et les pertes historiques.
Pour débuter, il est nécessaire de partitionner le portefeuille en branches d’activité (Line ofBusiness en anglais ou LoB) afin de distinguer les types de biens couverts :Habitation ;Agricole ;Immeuble ;Industrie.

Pour chaque LoB, nous appliquons la démarche suivante :1. Regrouper les pertes en couches de sommes assurées croissantes.
2. Calculer pour chacune des pertes le taux de destruction qu’elle représente,comparativement à la valeur assurée du bien.
3. Calculer pour chaque couche
destruction médian : (,la somme assurée

18

médianeet le taux de).

4. Tester l’existence d’un lien log-linéaire linéaire sur l’ensemble des couples

(

,

).

La Figure IV-1 illustre la régression linéaire effectuée entre
etpour les quatre
branches d’activité considérées. Lorsque cela est possible, nous regroupons les branches d’activité
qui ont les mêmes caractéristiques de régression. Dans notre cas, nous obtenons deux
regroupements : les assurances de particuliers (LoB habitations) d'une part et les assurances
professionnelles d'autre part qui regroupent les LoB agricole, immeuble et industrie.

18

La somme assurée correspond à la valeur d’un bien assuré91

Figure IV-1 Régression Log-linéaire sur les points médians

Nous obtenons alors deux modèles de régression (un modèle pour la LoB habitation et unmodèle pour les autres LoB) :Avec () les paramètres associés à la régression donnés dans le Tableau IV-1 :abModèle 1 (LoB Habitation)-0,7153,75

Modèle 2 (LoB Professionnelles)
Agricole – Immeuble - Industrie-0,947

6,68

Tableau IV-1 Paramètres de la régression

Nous illustrons sur la Figure IV-2 les quatre régressions linéaires associées aux quatre
branches d’activité en observant notamment l’écart avec le regroupement des trois branches d’activité
professionnelles (représenté par la droite rouge). Le modèle log-linéaire semble ainsi bien adapté à19
nos données avec des coefficients R² satisfaisants (égaux à 86% pour la LoB Habitation et à 99%
pour les autres LoB).
Finalement, grâce à ces deux modèles, nous pouvons pour une branche d’activité et une
somme assurée médiane données, associer un taux de destruction médian.
19

Dans le cas d’une régression linéaire simple, le coefficient de détermination (R²) est un indicateur de la qualitéd’adéquation du modèle aux données. Ce coefficient représente la part de la variance expliquée par le modèle
dans la variance totale. Il est compris entre 0 et 1. Plus le R² est élevé, plus le modèle est bien ajusté auxdonnées.

92

Habitation

Agricole

Immeuble

Industrie

Figure IV-2 Régressions log-linéaires sur chaque ligne de business

4.

Construction des courbes de destruction

Grâce au modèle de régression proposé, nous pouvons à présent construire la courbe dedestruction d’un bien en fonction de sa somme assurée et de sa branche d’activité. A titre d’exemple,
nous traçons les courbes de destruction associées à cinq valeurs de somme assurée pour chaquebranche d’activité. La Figure IV-3 donne les résultats obtenus pour la branche d’activité Habitation.
Les courbes associées aux autres branches d’activité sont fournies en annexe F.
Pour la branche d’activité Habitation, nous avons sélectionné cinq valeurs de sommes assurées
différentes données dans la légende sur la Figure IV-3. Ainsi, grâce au modèle de régression défini

93

dans le paragraphe précédent, nous trouvons cinq valeurs différentes pour le paramètre
en fonction
des (Tableau IV-2), ce qui donne donc cinq courbes de destruction associées à chaque tranche.
Tranches

Somme assurée (SI)Paramètre m (en %)Tranche 1
Tranche 2
Tranche 3
Tranche 4
Tranche 5

15 00037 00092 000228 000
566 000

4,4
2,3
1,2
0,6
0,3

Tableau IV-2 Paramètre de l'Hyperbolic MBBEFD

Par ailleurs, nous pouvons voir sur la Figure IV-3 que plus la somme assurée ( ) augmente,
plus la courbe de destruction associée se rapproche d’un Dirac en zéro. En effet, plus le bien est cher,moins il sera impacté par un évènement gel proportionnellement à sa valeur totale.

Figure IV-3 Courbes de destruction pour la LoB Habitation

94

V.

Résultats du modèle
20

Les principaux résultats d’un modèle catastrophe sont synthétisés par les courbes AEP et21
OEP . Comme nous l’avons vu dans la première partie, ces courbes permettent de définir
respectivement le capital réglementaire requis dans le cadre de Solvabilité II et la couverture deréassurance optimale à souscrire.
Les courbes AEP et OEP de notre modèle sont obtenues en couplant les modules Aléa,
Vulnérabilité et Financier. Pour une question de confidentialité, le module Financier permettant deprendre en compte les caractéristiques des contrats souscrits et les conditions de réassurance n’a pas
été modélisé. Nous considérons donc ici la perte brute avant l’application des conditions financières.

1.

Obtention des pertes journalières par police et par scénario

Les évènements gel, générés de façon quotidienne pour chaque région avec le module Aléa,
doivent être appliqués au portefeuille de polices pour traduire la probabilité d’occurrence du risque en
une perte financière. A cette fin, les polices du portefeuille d’AXA France ont été regroupées selon
leur appartenance géographique à l’une des 4 régions de notre segmentation. Pour chaque jour d’unscénario régional annuel, nous commençons par évaluer la perte causée par le gel sur les polices duportefeuille régional.
Chaque police

possède les caractéristiques associées suivantes :la somme assurée représentant la valeur totale du bien assuré :la branche d’activité de la police représentant le type de bien assuré :la région de la classification dans laquelle elle se trouve :;;.

Le taux de destructiond’un bien touché par un évènement gel a été modélisé dans la partie
précédente. Au sein de chaque famille de biens assurés, nous avons montré qu’il existe un lien loglinéaire entre la somme assurée et le taux de destruction historique constaté. Nous avons ainsi calibré
une courbe MBBEFD hyperbolique adaptée à chaque police du portefeuille. Pour une police
donnée, le taux de destruction
ne dépend donc que deet(paramètres nécessaires à lacalibration de la courbe MBBEFD).
Au sein d’une région donnée, considérons une police de somme assuréeet de taux dedestruction associé. Notons la probabilité de survenance de l’évènement gel pour un jour donnéd’un scénario. L’espérance de perte associée à cette police le jour considéré est :La probabilité de l’évènement gel a été générée dans le module Aléa pour 10 000 scénariosde 365 jours pour chaque région de la classification. Pour chaque région, la probabilité associée à lapolice du scénario et du jour dans l’année simulée est notée
.

20
21

Aggregate Exceedance Probability
Occurrence Exceedance Probability

95

Nous pouvons écrire l’espérance des pertes par police, par jour et par scénario de la façon
suivante :Où est le numéro du scénario, le jour au sein de l’année simulée etla police considérée.

La perte du portefeuille AXA France pour un scénario et un jour donnés est donc :2.

Construction des courbes AEP et OEP
2.1.

Agrégation des pertes journalières pour la réassurance

La courbe OEP représente la distribution de la perte maximale causée par un seul évènement
pendant une année et la courbe AEP représente la distribution de la perte causée par l’ensemble desévènements survenus pendant une année. Pour construire ces courbes, il faut donc définir ce qu’est
un évènement gel.
Dans le cadre du risque de gel, les dispositions contractuelles de réassurance sont établies surdes périodes de 21 jours consécutifs. Ces périodes sont déterminées de façon à maximiser le montant
des pertes qu’elles regroupent, pertes qui peuvent ensuite être transférées par le biais de traités deréassurance. Elles définissent donc un évènement gel pour la construction des courbes AEP et OEP.

2.2.

La courbe OEP

La courbe OEP présente les périodes de retour associées à l’évènement de perte maximale sur
21 jours associé à chaque année. Nous disposons ainsi de 10 000 pertes, engendrées par la périodede 21 jours de chaque scénario ayant le plus sévèrement impacté le portefeuille. Après avoir ordonnéces pertes par ordre décroissant, nous pouvons tracer la courbe OEP en associant à chaque perte,
une période de retour. Soit le nombre total de scénarios, le classement d’une perte (dans l’ordre
décroissant), alors la période de retour associée à la perte considérée est :

ème

50

Par exemple, au sein de nos 10 000 relevés de pertes annuelles maximales sur 21 jours, laperte la plus sévère de notre simulation aura une période de retour de 10000 / 50 = 200 ans.

2.3.

La courbe AEP

La courbe AEP représente les périodes de retour associées à la distribution des pertes
annuelles. Pour obtenir la perte annuelle d’un scénario, nous sommons les pertes de l’ensemble desévènements de 21 jours du scénario considéré. Nous disposons ainsi de 10 000 pertes annuelles
issues des 10 000 scénarios que nous avons simulés.
Pour tracer la courbe AEP, nous procédons ensuite de la même façon que pour construire la
courbe OEP.

96

La Figure V-1 représente les courbes AEP et OEP prises sur des périodes de retour de 1 à 250
ans. Pour des raisons de confidentialité, les montants de pertes ne sont pas communiqués dans ce
mémoire. Cependant, la valeur associée à l’axe des ordonnés représente la perte brute totale d’AXA
causée par le gel pendant l’année 2012. Nous pouvons donc déterminer que la période de retour
associée à cet évènement sur la courbe AEP est de huit ans. Or, dans la partie I.2 (Figure I-2), nous
avons vu que l’année 2012 correspondait à la sixième plus grosse vague de froid survenue durant lessoixante dernières années, et donc correspondait à un évènement de période de retour de 10 ans.
Ainsi, une période de retour de huit ans estimée avec le modèle semble cohérente et prudente d’unpoint de vue risk management.

Figure V-1 Courbes AEP et OEP

97

Conclusion
L’objectif de ce mémoire était de construire un modèle catastrophe modélisant le risque de gelen assurance non vie. Un modèle catastrophe combine trois modules, chaque module apportant une
information précise. Ce mémoire est focalisé sur la construction des deux premiers : le module Aléa etle module Vulnérabilité. Nous obtenons en résultat final une distribution des pertes brutes issue del’application de la modélisation du risque gel sur le portefeuille exposé. Le module financier, dernièreétape de la modélisation, est réalisé par l’équipe interne d’AXA pour une question de confidentialitédes clauses. La prise en compte des conditions financières avec ce dernier module permettra d’affinerle résultat final via l’obtention d’une distribution des pertes nettes.
Le module Aléa est l’élément central d’un modèle catastrophe. Ce module, dédié à lacaractérisation physique du phénomène naturel étudié, aboutit à la génération d’un catalogued’évènements reproduisant le péril. Pour construire ce module, nous nous sommes appuyées sur unensemble de méthodes statistiques afin de pouvoir simuler aléatoirement des évènements de gel.
L’évènement gel a ainsi pu être caractérisé du point de vue de l’assureur en intégrant l’information surles sinistres historiques d’une part, mais aussi des éléments sur le phénomène physique tels que lestempératures et la localisation géographique d’autre part. A partir de cette caractérisation du gel etdes températures simulées, nous avons proposé un modèle de prédiction des probabilités journalièresde survenance du gel en chaque région de France.
A la différence des modèles catastrophes classiques, où les évènements sont simulésponctuellement et donc de façon non consécutive, l’approche adoptée dans ce mémoire permetd’apporter une information journalière sur la survenance de sinistres liés au gel. Cette informationprésente un atout majeur pour un assureur dans le cadre de l’optimisation de ses traités deréassurance et de sa gestion du risque de gel.
La démarche que nous avons adoptée a le mérite d’être souple et adaptable. Le modèle a été
pensé de façon à pouvoir intégrer de nouveaux pays tout en tenant compte de leur corrélation.
Actuellement, l’étude est étendue à la Suisse et sera poursuivie pour l’ensemble des pays de l’Union
Européenne. En effet, les résultats sur la France sont crédibles car cohérents avec les pertes
historiques d’AXA ; ce qui suscite un intérêt important pour l’application du modèle aux autres pays dubassin Europe.
Enfin, le modèle construit pourrait être adapté à un autre risque climatique important : le risquede sécheresse. En effet, le phénomène physique à l’origine de la sécheresse étant également latempérature, la construction d’un modèle catastrophe pour la sécheresse pourrait s’inspirer de laméthode décrite dans ce mémoire. Il faudrait alors considérer cette fois les températures maximales ettenir compte de la typologie des sols.

98Table des figures
Figure I-1 Fréquence de sinistres en France entre 1998 et 2006 Source : FFSA ................................. 6
Figure I-2 Vagues de froid en France Source : Météo France ................................................................ 7
Figure I-3 Nombre de sinistres survenus entre 2008 et 2013 à cause du gel pour AXA ........................ 8
Figure I-4 Impact de la réassurance sur le ratio de sinistralité en France Source : FFSA.................... 10
Figure I-5 Mécanismes de traités de réassurance ................................................................................ 10
Figure I-6 Structure d'un modèle catastrophe ....................................................................................... 12
Figure I-7 Exemples de courbes de vulnérabilité .................................................................................. 14
Figure I-8 Module Financier ................................................................................................................... 16
Figure I-9 Exemple de courbes OEP et AEP ........................................................................................ 17
Figure I-10 Stations des relevés de température en France ................................................................. 19
Figure II-1 Eboulis des valeurs propres ................................................................................................. 24
Figure II-2 Points géographiques les mieux représentés sur les 4 premiers axes principaux .............. 25
Figure II-3 Exemple d’un dendogramme ............................................................................................... 28
Figure II-4 Dendogramme associé à la Classification Ascendante Hiérarchique (CAH) sur lescoordonnées des 4 premiers axes principaux de l’EOF ................................................................ 30
Figure II-5 Graphiques obtenus avec la CAH pour différents nombres de classes .............................. 32
Figure II-6 Segmentation de la France en 4 régions (résultats de la CAH à la suite de l'EOF) ............ 33
Figure II-7 Distance DTW ...................................................................................................................... 36
Figure II-8 Distance euclidienne ............................................................................................................ 36
Figure II-9 Alignement avec la distance DTW (à droite) et la distance euclidienne (à gauche) ........... 37
Figure II-10 Quatre régions de la France obtenues par la méthode CAH avec DTW (à gauche) et parla méthode EOF puis CAH (à droite) ............................................................................................. 37
Figure III-1 Probabilité d'occurrence du gel par région (avec MinMaxT20) .......................................... 44
Figure III-2 Illustration de la méthodologie POT .................................................................................... 53
Figure III-3 Mean Excess function de tminMoy ..................................................................................... 54
Figure III-4 Températures moyennes journalières observées dans la région 1 depuis 1980 ............... 56
Figure III-5 Décomposition de la série ................................................................................................... 57

99

Figure III-6 Diagramme des autocorrélations de la série résiduelle ...................................................... 59
Figure III-7 Diagramme des autocorrélations partielles de la série résiduelle ...................................... 59
Figure III-8 Dispersion des résidus par mois ......................................................................................... 60
Figure III-9 Modélisation de la tendance ............................................................................................... 62
Figure III-10 Modélisation de la saisonnalité ......................................................................................... 63
Figure III-11 Fonction de pondération triangulaire ................................................................................ 64
Figure III-12 Choix du paramètre de lissage ......................................................................................... 65
Figure III-13 Ecart type mobile – h=50 .................................................................................................. 65
Figure III-14 Diagramme des autocorrélations ...................................................................................... 66
Figure III-15 Diagramme des autocorrélations partielles ...................................................................... 66
Figure III-16 Dispersion des résidus par mois ....................................................................................... 67
Figure III-17 QQ plot comparant la distribution deet la distribution d'une loi gaussienne ................ 68

Figure III-18 Comparaison des tendances dans chaque région ........................................................... 69
Figure III-19 Comparaison de la saisonnalité ........................................................................................ 69
Figure III-20 Comparaison de l'écart-type mobile ................................................................................. 69
Figure III-21 Diagramme des autocorrélations pour chaque région ...................................................... 70
Figure III-22 Diagramme des autocorrélations partielles pour chaque région ...................................... 70
Figure III-23 QQ Plot permettant de vérifier le caractère gaussien des résidus de chaque région ...... 71
Figure III-24 Dispersion des résidus par mois ....................................................................................... 71
Figure III-25 Nuages de points des résidus empiriques ........................................................................ 72
Figure III-26 Résidus observés les 25 derniers jours ............................................................................ 73
Figure III-27 Comparaison des copules gaussiennes et de Student de dimension 2 ........................... 76
Figure III-28 Comparaison des copules de Gumbel et de Clayton de dimension 2 .............................. 77
Figure III-29 Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 1 et 2 80
Figure III-30 Dépendogrammes associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour lesrésidus 1 et 2 ................................................................................................................................. 81
Figure III-31 Superposition des nuages de points théoriques et simulés avec la copule de Student ... 83
Figure III-32 Résidus simulés avec la copule de Student pendant 25 jours ......................................... 84

100

Figure III-33 Exemple d'un scénario de température par région de Juillet 2013 à Juillet 2014 ............ 85
Figure III-34 Exemple d’un scénario de température dans les quatre régions ..................................... 86
Figure IV-1 Régression Log-linéaire sur les points médians ................................................................. 92
Figure IV-2 Régressions log-linéaires sur chaque ligne de business ................................................... 93
Figure IV-3 Courbes de destruction pour la LoB Habitation .................................................................. 94
Figure V-1 Courbes AEP et OEP .......................................................................................................... 97

101

Liste des tableaux
Tableau II-1 Variances intraclasses pour différents nombres de classes ............................................. 31
Tableau III-1 Résultats des régressions logistiques pour la probabilité d'occurrence du gel ............... 43
Tableau III-2 Comparaison des modèles de régression logistique ....................................................... 44
Tableau III-3 Résultats de l'estimation avec la régression de poisson ................................................. 47
Tableau III-4 Résultats du test de dispersion ........................................................................................ 48
Tableau III-5 Résultats de l'estimation avec la régression binomiale négative ..................................... 48
Tableau III-6 Résultats de l'estimation avec la régression zero inflated ............................................... 50
Tableau III-7 Résultats de l'estimation avec le modèle hurdle .............................................................. 51
Tableau III-8 Comparaison des différents modèles de comptage......................................................... 51
Tableau III-9 Effectifs des nombres de sinistres nuls (observés et estimés) ........................................ 52
Tableau III-10 Résultats du modèle hurdle (tminMoy>-5,5°) ................................................................ 55
Tableau III-11 Résultats de la régression binomiale négative (°) ............................. 55

Tableau III-12 Test de Ljung Box .......................................................................................................... 58
Tableau III-13 Tests d’adéquation avec un modèle AR(3) .................................................................... 60
Tableau III-14 Tests d'adéquation avec un modèle AR(3) .................................................................... 68
Tableau III-15 Tests d'adéquation pour les régions 2, 3 et 4 ................................................................ 71
Tableau III-16 Matrice de corrélation de Spearman empirique ............................................................. 73
Tableau III-17 Estimation des paramètres de corrélation de la copule gaussienne avec la méthodeCML ............................................................................................................................................... 78
Tableau III-18 Estimation des paramètres de corrélation de la copule de Student avec la méthodeCML ............................................................................................................................................... 78
Tableau III-19 Critères quantitatifs ........................................................................................................ 82
Tableau III-20 Matrice de corrélation de Spearman simulée avec la copule de Student ...................... 84
Tableau IV-1 Paramètres de la régression ............................................................................................ 92
Tableau IV-2 Paramètre de l'Hyperbolic MBBEFD ............................................................................... 94

102

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RONCALLI T., FRACHOT A., 2009, La Gestion des Risques Financiers, Economica
ROUSTANT O., 2003, Produits dérivés climatiques : aspects économétriques et financiers
SAKOE H., CHIBA S., 1978, Dynamic programming algorithm optimization for spoken word
recognition
SAPORTA G., 2011, Probabilités, Analyse de données et Statistique, Technip
SKLAR A., 1959, Fonctions de répartition à n dimensions et leurs marges, Publications de l’Institut deStatistique de l’Université de Paris
STRAUSS D., 2009, Empirical Orthogonal FunctionAnalysis (Principal Component Analysis), ICTPSWISS RE, 2003, Catastrophes naturelles et réassurance
SWISS RE, 2003, Introduction à la réassurance
ZEILEIS A., KLEIBER C. & JACKMAN S., 2008, Regression models for count data in R, Journal of
statistical software, Volume 27, Issue 8104Annexe A - Schéma climatique de la France métropolitaine

Cette carte est disponible via le lien ci-après :http://fr.wikipedia.org/wiki/Climat_de_la_France105Annexe B - Fonctions d’autocorrélations et tests statistiques
utilisés1) Fonction d’autocorrélations (ACF) et fonction d’autocorrélations
partielles (PACF)
La fonction d’autocorrélation d’un processus stationnaire
définie par :, la fonction à valeurs dans Z

La fonction d’autocorrélation partielle permet de définir le lien entre
et, une fois quel’on exclut l’influence des variables entreet. La fonction d’autocorrélation partielle d’ordre h est
définie par :Avec
l’opérateur pour l’espérance linéaire.
sur le sous-espace engendré parest la projection orthogonale de.

2) Test de Ljung Box
Le test de Ljung Box permet d’évaluer la corrélation entre les résidus et est très utilisé dansl’étude de séries temporelles pour vérifier que les résidus sont des bruits blancs.
Nous souhaitons tester :: les résidus sont indépendamment distribués contre: les résidus ne sont pas indépendamment distribués
La statistique du test est définie par :Avec :: la taille de l’échantillon: l’autocorrélation de l’échantillon au lag: le nombre de lags testés
Alors, pour un niveau de confiance , la zone de rejet de l’hypothèse nulle est :Avec

le quantile

d’une distribution du chi-deux à

106degrés de libertés.

3) Test de Kolmogorov Smirnov
Le test de Kolmogorov Smirnov est utilisé pour déterminer si un échantillon suit bien une loi
donnée (la loi normale centrée réduite dans notre étude).
Soit

la variable étudiée etles observations de . Nous souhaitons tester :: la distribution de suit une loi normale centrée réduite contre: la distribution de ne suit pas une loi normale centrée réduite
Soit
la fonction de répartition empirique etcentrée réduite. On calcule :la fonction de répartition de la loi normaleSous, suivra une distribution selon la fonction de Kolmogorov Smirnov. Soitla valeurcritique de la loi Kolmogorov Smirnov pour un seuil . Alors, la zone de rejet de l’hypothèse nulle est :4) Test de Student
Le test de Student permet de tester la significativité d’un paramètre et de déterminer s’il est
significativement non nul.
Soit:

le paramètre étudié etson estimation. Nous souhaitons tester :contre:La statistique du test est définie par :suit alors une loi de Student. Donc, pour un niveau de confiancel’hypothèse nulle est :Avec
le quantile d’ordre d’une distribution de Student àdépendant du nombre de paramètre du modèle.

107, la zone de rejet dedegrés de libertés etAnnexe C - Résultats des tests de significativité
Le tableau ci-dessous permet de présenter l’ensemble des tests de significativité (avec le testde Student) effectués dans la partieIII.2 :Valeur6,668e-05
7,372
-6,18
-3,02
0,019
0,58
2,67
0,64
0,07

Ecart-type
5,286e-07
7,073e-03
0,003525
0,003525
0,003525
0,003525
0,002987
0,004230
0,004219

p-value<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16<2e-16

Annexe D - Dépendance de queue
Soit

un couple de variables aléatoires. La dépendance de queue est alors définie par :: la dépendance de queue à droite: la dépendance de queue à gauche

La dépendance de queue d’une copule gaussienne bivariée de paramètre

est

22

:

La copule gaussienne ne permet donc pas de corréler des dépendances extrêmes.

22

Pour plus de détails, voir RONCALLI T. (2002).

108Annexe E - Dépendogrammes et fonctions de Kendall
Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Nuages de points associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour les résidus 1 et 3109Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Nuages de points associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour les résidus 1 et 4110Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Nuages de points associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour les résidus 2 et 3111

Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Nuages de points associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour les résidus 2 et 4112

Copule empirique

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Nuages de points associés à la copule empirique et aux copules paramétriques pour les résidus 3 et 4113

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 1 et 2114

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 1 et 4115

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 2 et 3116

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 2 et 4117

Copule Gaussienne

Copule de Student

Copule de Gumbel

Copule de Clayton

Comparaison des fonctions de Kendall empiriques et théoriques pour les résidus 3 et 4118

Annexe F - Courbes de destruction associées à chaque LoB

Courbe de destruction Agricole

Courbe de destruction Immeuble

119

Courbe de destruction Industrie120