数理解析研究所講究録 1369 巻 2004 年 225-232

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無限あるいは有限時間区間上て定義された非周期軌道の不変多様体と制御

矢ヶ崎一幸 (Kazuyuki Yagasah)$.$

岐阜大工学部

Faculty of Engineering, Gifu University

1. はじめに
力学系理論は, さまさまな分野において, カオスや分岐などの非線形現象を解明する上て大き.1な成功を収めている [1-4]. その結果のいくつかは非線形系の新たな制御法を確立するためにも用いられている [5-7]. 特に, Ott, Grebogi と Yorke [8] は, 安定多様体と不安定多様体が存在するという幾何学的な構造を用いることにより, カオス アトラクターに埋め込まれた不安定な双曲型周期軌道を安定化可能てあることを示した. その制御法は現在 OGY 法と呼ばれ, 彼らの論文$\circ$

発表後, 関連した分野について膨大な研究が行われ, カオス制御という大きな研究分野が形成されている $[5, 6]$
一方, 従来の力学系理論ては, 微分方程式の場合,自律的あるいは時間に関して周期的なベク主として時間が無限大での解の漸近的な挙動に関心が払われていた. そこて用いられたいくつかのアイデアは非周期的な時間依存性をもつ, あるいは有限時間区間上てのみ定義されたベクトル場の場合に一般化されている. 特に, 不変多様体の概念が拡張され [9-11],このような系のカオスカ学 [12-14] や輸送およひ混合現象 [10, 15-17] を説明する手法が開発されトル場が取り扱われ,ている.

本稿ては, 無限あるいは有限時間区間上て定義された, 一般的な非自律系の双曲型軌道やその不変多様体のいくつかの性質がさらに調べられる. 特に, 有限時間区間の場合, ここて採用する双曲型軌道とその不変多様体の定義は, Haller ら $[10, 16]$ の従来のものとは異なっている. OGY法のアイデアがこれらの系の場合に拡張され, 不安定な双曲型非周期軌道を安定化する制御法が提案される. 詳細については現在投稿中の論文 [18] を参照されたい.

2. 非双曲型軌道と不変多様体
ます-, 無限時間区間 $(-\infty, 0)$ の場合を考える.
正方行列とし,$||\cdot|$| によって$\mathbb{R}^{n}$$A(t)$上のノルムあるいは$n$の連続関数を要素としてもつ 次次正方行列のノルムを表す. 線形微分方を,

$n$

$t$

程式
$\dot{\xi}=A(t)\xi$,

は, 射影演算子 $P(P^{2}=P)$ と 2 つの正数 $K,$$\xi\in \mathbb{R}^{n}$

$a$

(1)

,が存在し, 任意の$||X(t)PX^{-1}(s)||\leq K\mathrm{e}^{-a(t-\epsilon)}$$s,t\in \mathbb{R}$f r $s\leq t$ ,に対して$\mathrm{o}$$||X(t)(\mathrm{i}\mathrm{d}-P)X^{-1}(s)||\leq K\mathrm{e}^{-a(s-t)}$

f r $s\geq t$$\mathrm{o}$

(2)

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を満たす (id(t) は式 (1) の基本行列である. もし式 (1) が exponential dichotomy を有するならとなるとき, exponential dichotomy をもつという. ここで,は $n$ 次単位行列),$\ulcorner$$X$$X(\mathrm{O})=\mathrm{i}\mathrm{d}$ば, 安定部分空間と不安定部分空間$E^{\mathrm{s}}( \tau)=\{\xi\in \mathbb{R}^{n}|\lim_{tarrow+\infty}||X(t)X^{-1}(t)\xi||=0\}$,(3)$E^{\mathrm{u}}( \tau)=\{\xi\in \mathbb{R}^{n}|\lim_{tarrow-\infty}||X(t)X^{-1}(t)\xi||=0\}$が存在する [19].
さて, 一般的な非自律系$i=f(x,t;\mu)$ ,$x\in \mathbb{R}^{n}$,を考える. ここて, $f$ は十分に滑らかてあると仮定し,$t\in \mathbb{R}$

$\mu$

,

$\mu\in \mathbb{R}^{m}$,(4)

はパラメータを表す. 式 (4) の軌道 $x=\gamma(t)$は, そのまわりて線形化された系(5)$\dot{\xi}=\mathrm{D}_{x}f(\gamma(t),t)\xi$

が exponential dichotomy を有するとき, 双曲型てあるという. 式 (4) の相空間を $\mathit{8}=\{(x, t)\in$$\mathbb{R}^{n}\mathrm{x}\mathbb{R}\}$に拡張し ,において双曲型軌道とする. ここて,$\Sigma_{\mathcal{T}}=\{(x, t)\in \mathit{9}|t=\tau\}$$\gamma(t)$$E^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\tau)$

とおき, これを時間スライスと呼ぶことにする.

を $\Gamma=\{(\gamma(t),t)|t\in \mathbb{R}\}$ と表し,$g$$E^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\Gamma)=\{(x, t)|x\in E^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(t),t\in \mathbb{R}\}$は線形化方程式 (5) の安定およぴ不安定部分空間てある. 次の定理が成立する [18].

定理 1$x=\gamma(t)$を式 (4) の軌道とし,$\gamma\pm(t)$を$i=f_{\pm}(x, t)$(6)$\lim||\gamma(t)-\gamma\pm(t)||=0$(7)の双曲型軌道て$tarrow\pm$を満たすものとする. また,$x=\gamma(t)$

科の近傍て

(8)

$\lim_{tarrow\pm\infty}||f\pm(x, t)-f(x,t)||=0$

およひJim\pm (x, )$||\mathrm{D}_{x}f$t\rightarrow \pm c コ$t$$-\mathrm{D}_{x}f$(9)(x, ) $||=0$$t$$\cross$が成立し , 式 (6) に対する線形化方程式$\dot{\xi}=\mathrm{D}_{x}f_{\pm}(\gamma\pm(t),t)$はの安定およひ不安定部分空間
る. このとき, 線形化方程式 (5) が’$ff_{\pm}^{\mathrm{u}}$$\dim E_{+}^{8}=\dim E_{-}^{\mathrm{s}},$$(-\infty, \infty)$

曲型てある.

,(10)

im$\mathrm{d}$$E_{+}^{\mathrm{u}}=\dim E_{-}^{\mathrm{u}}$となるものと仮定す

上て非自明な有界な解をもたないならば,$\gamma(t)$は双227

図 1. 安定多様体と不安定多様体

定理 1 より式 (4) の双曲型平衡点あるいは周期軌道に対する横断的なホモクリニツク軌道は双曲型てあることが導かれる.
一般に, 双曲型軌道を有する.

$\Gamma$は,あるいは$W^{\mathrm{s}}(\Gamma)$

上て$\Gamma$$W^{\mathrm{u}}(\Gamma)$に漸近する (図 1 を参照)

$E^{\mathrm{s}.\mathrm{u}}(\Gamma)$と接する安定多様体上を出発した軌道は,さらに, 小さな摂動下て

詳細は文献 [9, 11, 15, 18] を参照せよ.

$W^{8}(\Gamma)$$tarrow+\infty$$W^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\Gamma)$と不安定多様体$W^{\mathrm{u}}(\Gamma)$

あるいは $tarrow-\infty$ のとき,$\Gamma$は存在し続ける. これらの事実の$W^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\Gamma, \tau)=W^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\Gamma)\cap\Sigma_{T}$を,$t=\mathcal{T}$における$\Gamma$の安定スライスあるいは不安定スライスと呼ぶ. 次の結果が成り立つ [18].
定理 2
道とし,れ,式 (4) の軌道$\gamma(t)$に対して,と表す.

$\Gamma\pm=\{(\gamma\pm(t),t)|t\in \mathbb{R}\}$$W^{8}(\Gamma+, T)$

例として,と$f\pm(x, t)$と$Tarrow\infty$を, 条件 $(7)-(9)$ を満足する式 (6) の双曲型軌のとき,が$t$により, 不変多様体 $W^{8}(\Gamma+, T)$ と$W^{\mathrm{u}}(\Gamma_{-}, -T)$とにより, 不変多様体$W^{\mathrm{u}}(\Gamma_{-}, -T)$

$W^{8}(\Gamma+, T)$

を時間の負の方向に発展させるこを近似的に求めることがてきる.

$\psi(x)=\phi$($x+\overline{\gamma}$(t-),$\psi$

論 $[1,2]$ によって, 安定多様体 $W^{8}(0)$ と不安定多様体[t, ] と拡張し,間不安定多様体を次式によって定義する.
$\}$$\overline{\gamma}(t)$$t_{+;}t_{-}$

を Poincar\’e 型写像と呼ぶ. 明らかに, 原点 $x=0$ は$t_{+}$$\phi(x_{0},t;t0)$を式 (4) によって生が絶対値 1 の固有値をもたないとき, 式 (4) の軌道$\mathrm{D}_{x}\phi(\overline{\gamma}(t-), t+;t_{-})$

を有限時間双曲型てあるという. 有限時間双曲型軌道$\mathbb{R}^{n}\mathrm{x}$$\overline{\Gamma}=\{(\overline{\gamma}(t),t)|t\in[t_{-},t+]\}$){$(\phi$(x,$t;t_{-}$),$t)\in\overline{\mathit{9}}|$$\overline{\gamma}(t)$に対して, 写像(11)$-\overline{\gamma}(t_{+})$の双曲型不動点であり, 標準的な力学系理$W^{\mathrm{u}}(0)$が存在する. 相空間をと表す 1$\overline{\Gamma}$$\overline{\mathit{8}}=\{(x, t)\in$の有限時間安定多様体と有限時$\overline{W}^{8}(\overline{\Gamma})=\{(\phi(x,t;t_{+}), t)\in\overline{g}| x-\overline{\gamma}(t+)\in W(0), t\in[t_{-},t_{+}]\}$$\overline{W}^{\mathrm{u}}(\overline{\Gamma})=$は, それぞ多次元の場合には拡 ae. された方法 $[22, 23]$

次に, 有限時間区間 $[t_{-}, t+](t-<0<t_{+})$ の場合を考える.

成される流れとする.

$W^{\mathrm{u}}(\Gamma, -T)$を容易に計算てきる. 定理 2 を用いると, 式 (4)を時間の正の方向に,$W^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\Gamma)$とに関して周期的てある場合を考える. このとき, 不変多様体が 1 次元の場合は標準的な方法 $[20, 21]$ により, また,の流れの下て,$W^{8}(\Gamma, T)$に漸近する.

$W^{\mathrm{u}}(\Gamma_{-}, -T)$$\gamma\pm(t)$$x=\gamma\pm(t)$$x-\overline{\gamma}(t-)\in W^{\mathrm{u}}(0),$$t\in[t_{-},t_{+}]$,}

(12)

228

図 2. 2 つのタイプの安定およひ不安定スライスの違い$\tau\in[t,t_{+}]$に対してと表し ,$\overline{W}^{\mathrm{s},\mathrm{u}}(\overline{\Gamma}, \tau)=\overline{W}^{\epsilon,\mathrm{u}}(\overline{\Gamma})\cap\Sigma_{\mathcal{T}}$$t=\tau$における$\overline{\Gamma}$の有限時間安定ス

ライスあるいは有限時間不安定スライスと呼ぶ. 有限時間双曲型軌道の近傍ては, 有限時間区間において有限時間安定多様体上の軌道は有限時間双曲型軌道に近つき, 有限時間不安定多$[t_{-}, t+]$様体上の軌道は有限時間双曲型軌道から遠さかる. 次の定理が成立する [18].
を無限時間区間 $(-\infty, 0)$ て定義された式 (4) の双曲型軌道とし,定理 3$\gamma(t)$して$\overline{\gamma}(t)=\gamma(t)$曲型であり,から高々と表す. このとき, 任意のの近傍において,$\overline{\gamma}(\tau)$$\overline{W}^{\mathrm{s}}(\overline{\Gamma}, \tau)$とと十分大きな$|t\pm|$に対して,は, それそれ,$\overline{W}^{\mathrm{u}}(\overline{\Gamma},\tau)$$\overline{\gamma}(t)$に対は有限時間双と$W^{\mathrm{s}}(\Gamma, \tau)$( $c>0$ はある正数) の距離にある (図 2 を参照)と $\theta(e^{-c|t_{-}|})$$\mathit{9}(e^{-ae}+)$$\tau\in \mathbb{R}$$t\in[\mathrm{L}, t+]$$W^{\mathrm{u}}(\Gamma, \tau)$‘3. 制御と同様に, 不安定方向に小さな摂動を適用し, 双曲型軌道トル) の次元 $m$ は不安定スライス

間OGY 法 [8]を, 無限時間区間 $(-\infty, \infty)$ て定義された式 (4) の不安定双曲型軌道とする.

$\gamma(t)$$E^{\mathrm{u}}(\tau)$

が$e_{j}^{\mathrm{u}}(\tau),$$j$=1, ... ,$n_{\mathrm{u}}$$W^{\mathrm{u}}(\Gamma, \tau)$$\gamma(t)$を安定化する. パラメータ (ベクの次元に一致し , 線形化方程式 (5) の不安定部分空, によって張られるものとする. 任意のを導入する.
を溝たす時刻列から微小量
時刻 $t=t_{k}$ において双曲型軌道$k$に対して $t_{k}<t_{k+1}$$\{tk|k\in \mathbb{Z}\}$$\gamma(t)$

時刻 $t=tk+1$ においてその軌道が安定スライスの値をだけ変化させる. 流れ$\Delta\mu_{k}\in \mathbb{R}^{m}$$\phi$$\phi$$\Delta xk\in \mathbb{R}^{\mathrm{n}}$$W^{\mathrm{s}}(\Gamma, t_{k+1})$

行列$A_{\mathrm{u}}(t)=$( t) を考える.

$x$に移動するようにパラメータ$\mu\in \mathbb{R}^{m}$を線形化すると,( $\gamma(tk)+\Delta$xk, $t_{k+1};t_{k};\mu+\Delta\mu k$ ) $-\gamma(tk+1)$$\approx \mathrm{D}_{x}\phi(\gamma(t_{k}),t_{k+1};t_{k};\mu)\Delta xk+$となる.

だけ偏差した軌道

D$\mu\phi$( (tk), $t_{k+1};t_{k};\mu$ )$\gamma$$\Delta\mu$(13)kt))T とする. ここて, 上添え字 は転置演算を表し , $m$ 次正方( (t), ... ,を( $\gamma(tk),tk+1;t$k; ) は正則てあると仮定した. パラメータ の変動量$\mathrm{T}$$e_{n_{\mathrm{u}}}^{\mathrm{u}}($$e_{1}^{\mathrm{u}}$$A_{\mathrm{u}}(tk+1)\mathrm{D}_{\mu}\phi$$A_{\mathrm{u}}(t_{k+1})$[$\Delta\mu$

$\mu$

$\mu$

) $\Delta xk+$ D, ( (tk), $t_{k+1};t_{k};\mu$ )$\mathrm{D}_{x}\phi(\gamma(t_{k}),t_{k+1};t_{k};\mu$$\phi$$\gamma$$\Delta\mu k$] $=0$となるように, すなわち,$\Delta\mu k=-(A\mathrm{u}(t_{k+1})\mathrm{D}_{\mu}\phi(\gamma(t_{k}), t_{k+1};t_{k};\mu))-1$A$\mathrm{u}(t_{k+1})\mathrm{D}_{x}\phi(\gamma(t_{k}),t_{k+1}; t_{k};\mu)\Delta$

x ,$k$$(14)$

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$t$

図 3. ホモクリニック軌道の制御結果 :(a) 軌道 ;(b) パラメータと選ぶと,$\Delta x_{k}$と$\Delta\mu$$\mu$の変動が十分に小さいという条件の下て, 時刻 $t=t_{k+1}$ において軌道は安定スに収束する. 有限時間区間の場合に対しても, 同様な方法により, 不安定な有限時間双曲型軌道を安定化し, その近傍に留まるよライス$W^{\mathrm{s}}(\Gamma, t_{k+1})$に移動し,$tarrow+\infty$のとき双曲型軌道$\gamma(t)$う軌道を制御することがてきる.

4. 計算例
具体的な計算例として, 次の運動方程式て与えられる, 制御された振り子を考える.
$\dot{\theta}=v$,$\dot{\theta}=-$(15)

sin $\theta-\delta v+u(t)$は定数, $u(t)$ は以下て定義される制御力である. $\delta=0,$ $u(t)\equiv 0$ の場合, 系 (15) は, $tarrow$のとき双曲型平衡点 $(\pi,0)$ に収束するホモクリニツク軌道 $(\theta, v)=$ ( $2\arcsin$ ($\tanh t$ ), sech )ここで,$\delta$$2$$\pm\infty$を有する. 目標軌道をこのホモクリニツク軌道に選ひ,$\mu\in \mathbb{R}$とし$t$

制御力を$\text{て},\cdot$(16)u(t)=2\mbox{\boldmath $\delta$}1$℃ h $t+\delta_{0}+\mu$とする. この目標軌道は不安定て双曲型てある [18].

$T=10$ とおき, 初期条件 $\theta(-T)=-\pi,$ $v(-T)=0$ を満たす軌道に対して制御を行った結果を図 に示す{ ここて, $\delta=0.5$ てあり, 強度 0.02 のホワイトノイズが式 (15) の第 2 式の右辺 [こ3加えられている. パラメータの摂動$\Delta\mu$を計算するための時刻列は, 時間区間 (-1, 2) の時刻は含ます, 時間区間 (-1, 2) 以外は 1 の等間隔に取られている. 軌道はほぼ目標軌道通りに制御されていることがわかる. 比較のために, パラメータの値が $\mu=0$ に固定された場合の結果が図$3(\mathrm{a})$に破線て描かれている.
次に,$\mu=0$ のとき,ある $T$ と $\Delta T>0$ に対して $(\theta,v)=$ (0(t)) が式 (15) の解となる$\theta_{0}(t),v$

230

$t$

図 4.

ように制御力 $u(t)$ を選ぶ. ここて,

$T_{1}=T-\Delta T_{\mathrm{r}}T_{2}=T-2\Delta T$

for $t\in[-T,$ -T2);$- \frac{\pi[(t+T)^{4}-4\Delta T(t+T)^{3}]}{16T_{1}\Delta T^{3}}-\pi$$\theta 0(t)=\{$for $t\in[-T_{2},T_{2}]$ ;$\frac{\pi}{T_{1}}t$$- \frac{\pi[(t+T)^{3}-3\Delta T(t+T)^{2}]}{4T_{1}\Delta T^{3}}$for $t\in[-T,$ -T2);
for $t\in[-T_{2}, T_{2}]$ ;$\frac{\pi}{T_{1}}$$\frac{\pi[(t-T)^{3}+3\Delta T(t-T)^{2}]}{4T_{1}\Delta T^{3}}$(17)

for $t\in(T_{2},T]$ ,$\frac{\pi[(t-T)^{4}+4\Delta T(t-T)^{3}]}{16T_{1}\Delta T^{3}}+\pi$$v_{0}(t)=\{$として,(18)

for $t\in(T_{2},T]$である. この目標軌道は, 時刻 $t=-T$ に $\theta=-\pi$ を出発し , $t=T$ で $\theta=\pi$ に到達する, 振り子が 1 回転する軌道を表す. 次式が得られる.
$u(t)=\sin\theta$

0(t;$\theta_{*}$)$+\delta$

1v0(t)$+\delta 0+$

uo(t) $+\mu$(19)

ここで,$- \frac{3\pi[(t+T)^{2}-2\Delta T(t+T)]}{4T_{1}\Delta T^{3}}$$u_{0}(t)=\{$

for $t\in[-T, -T_{2})$ ;0for $t\in[-T_{2},T_{2}]$ ;$\frac{3\pi[(t-T)^{2}+2\Delta T(t-T)]}{4T_{1}\Delta T^{3}}$for $t\in(T_{2}, T]$(20)231$\delta=0.2,$$T$=10,$\Delta T=1$の場合に, 初期条件 $\theta(-T)=-\pi,$ $v(-T)=0.01$ を満たす軌道に対して, 強度 0.02 のホワイトノイズの影響下で制御を行った結果を図 3 に示す. パラメータの摂動$\Delta\mu$を計算するための時刻列は, 時間区間 (-1, 1) の時刻は含ます.- 時間区間 (-1, 1) 以外は 1の等間隔に取られている. 破線で描かれた,
くはすれるのに対し ,$\mu=0$に固定された場合の軌道が目標軌道から大き本制御法により制御された軌道はほぼ目標軌道通りとなっていることがわ

かる.

参考文献

[1] J. Guckenheimer and P. Holmes, Nonhnear Oscdlations, Dynamical System, andtions of Vector Fields (Springer, New York, 1983).

$Eifi_{l7}\mathrm{r}a-$[2] S. Wiggins, Introduction to Apphed Nonlinear Dynamid System and Chaos. (Springer,New York, 1990).
[3] E. Ott, Chaos in Dynamical Systems (Cambridge University Press, Cambridge, 1993).
[4]$\mathrm{K}.\mathrm{T}$. Alligood,$\mathrm{T}.\mathrm{D}$. Sauer and$\mathrm{J}.\mathrm{A}$. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical System.

(Springer, New York, 1996).
[5] G. Chen and X. Dong, $f$}$vm$ Chaos to(World Scientific, Singapore, 1998).

[6]$\mathrm{H}.\mathrm{G}$$O_{\mathit{7}}der:Meth\circ d\circ l\eta ies,$

Perspectives and Applications. Shuster (ed.) Handbook of Chaos Control (Wiley-VCH, New York, 1999).

[7] S. Sastry, Nonlinear Systems-Analysis, Stabdity, and Control (Springer, New York, 1999).
[8] E. Ott, C. Grebogi and$\mathrm{J}.\mathrm{A}$. York, Controlling chaos, Phys. Rev. Lett., 64 (1990), 1196-1199.
[9] Y. Yi, Stability of integral manifold and orbital attraction of quasi-periodic motion, J. Diff.
Eqns., 103 (1990), 278-322.
[10] G. HaUer and A. Poje, Finite time transport in aperiodic flows, Phys. $D,$ $119(1998)$ ,352-380.
[11]$\mathrm{A}.\mathrm{M}$. Mancho, D. Smal, S. Wiggins and K. Ide, Computation of stable and unstable man-ifolds of hyperbolic trajectories. in twO- imensional, aperiodically time-dependent vector
fields, Phys. $D,$ $182$ (2003), 188-222.
[12] D. Stofler, Transversal homoclinic points and hyperbolic sets for non-autonomous maps I& , J. Appl. Math. Phys. (ZAMP), 39 (1988), 518-549; 783-812.
$\mathrm{I}\mathrm{I}$[13]$\mathrm{L}.\mathrm{M}$. Lerman and$\mathrm{L}.\mathrm{P}.$\S ilnikov, Homoclinic structures in nonautonomous system8: Nonau-tonomous Chaos Chaos, 2 (1992), 447-454.

232. Balasuriya, C.K.R.T. Jones and P. Miller, Melnikov theory for finite[14] B. Sandstede,time vector fields, Nonlinearity, 13 (2000), 1357-1377.
$\mathrm{H}.\mathrm{S}$[15] N. Malhotra and S. Wiggins, Geometric structures, lobe dynamics, and Lagrangian transport in flows with aperiodic time dependence, with applications to Rossby wave flow, .
$J$

Nonlinear Sci., 8 (1998), 401-456.
[16] G. Haller, Finding
10 (2000), 99-108.

-time invariant manifolds in$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\triangleright$$\mathrm{t}\mathrm{w}\iota\succ$

imensional velocity fields, Chaos,[17] G. Haller, Lagrangian structures and the rate of strain in a partition of two dimensional
turbulence Phys. Fluids $A,$ $13$ (2001), 3365-3385.

[18] K. Yagasaki, Invariant manifolds and control of hyperbolic trajectories, submitted for pub-lication.
[19]$\mathrm{W}.\mathrm{A}$. Coppel, Dichotomies in Stability Theory, Lecture Notes in Math. N0.629 (Springer,New York, 1978).
[20]$\mathrm{T}.\mathrm{S}$. Parker and$\mathrm{L}.\mathrm{O}$. Chua, Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems (Springer,New York, 1989).
[21]$\mathrm{H}.\mathrm{E}$. Nusse and$\mathrm{J}.\mathrm{A}$. Yorke, Dynamics: Numerical Essploratiotes (Springer, New York, 1997).

[22] B. Krauskopf and H. Osinga,, Twxdimensional global manifolds of vector fields, Chaos 9(1999), 768-774.

[23] Dellnitz
and Junge 02002 Set oriented numerical methods for dynamical systems, inB. Fiedler (ed.), Handbook of Dynamical Systems, Vol. 2 (Elsevier, Amsterdam, 2002),
pp 221-264.
$\mathrm{M}$