Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres

J EAN -L OUIS N ICOLAS
Statistiques sur le groupe symétrique
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 13, no 2 (1971-1972),
exp. no G2, p. G 1-G 6.
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G2-01

Séminaire(Groupenombre)

dosdu

13e année,

29 novembre 1371

1971/72, n° G2, 6 p.
STATISTIQUES SUR LE GROUPE SYMÉTRIQUE
par Jean-Louis NICOLAS.

L’objetsomeexposede cetERDO) et P. TURAN :est de résumer les travaux de P.

"Onproblems of a statistical group theory". Déjà 4 articles ont paru sous ce titre([2], [3], [4], L5"!) et 3 autres au moins sont en préparation.
1. Introduction~
SoitS

le groupe desPla permutationao(P) l’ordre deS . E. LANDAU (cf. [8]~ § 6l et [l0]~ chap. 2)

permutations dedans le groupe

objets,net notons

définiet montré quid’ordre

npart, il y a beaucoup de permutations

log n .

log

(ce qui est très petit devant ~(r~) ), il yr a au moins les (n - l~:permutations circulaires. Il semble donc difficile de trouver une loi de distribution pour O(P)pourtant on a le résultat suivant.
quandTHEOREME

1([2].- L’ordre prépondérant deyau

plusestnx)

uniformément pour -symétriqueS .

1° Un élémentdu groupeS137). Par exemple, pourLes longueurs desle nombre dex

2. Etude du groupe
Pexp(.1 + o(l))log npour n >, n 0

tous les~n: , vérifient

Soitp.

S5)

Pour tout ~ , ô > 0 , il existe

S , sauf

dans°et , plus
P 6

T’n=

sosatisfaisant àP E Sétant aussi grand que l’on veut.

décompose en cycles de façon unique (cf.

9 ?

cycles forment une partition den ~Ondésigne parles différentes longueurs decycles dele nombre deet par mv

P ,cycles denv . On agueur

2° A chaque élément P ~ Sn ,de l’entier

onpeut donc associer une partition

Réciproquement, une partition étant donnée, le nombre den .

P esnlui sont associés est

quid’après une for!nule due àp.

67).

l’automorphisme intérieur 03C303BB, défini parchaque À e Sn , onlP~. _1 , Si la décomposition en cycles de P est

A=On voit que 03C303BB

Ainsi

QP(P)

transforme 03BBa1etenqu’on peut écrire âassociés à la même partition.

etRéciproquement, si

sont associés à la mène partition, il est facile de trouver XPettel que

Q = c~ (P) . La classe de conjugaison deP ,, c’est-à-dire l’ensemble des~coïncide donc avec l’ensemble des permutations associées à la par-X

quandtition deP ,3° Soit

PetuneP

cardinal est donne para ceux

03C303BB(P) = P, c ’est-à-diretels quequi forment le normalisateuret(1).

permutation associée à la partition 03A3 v m v nv ,il J

mi les 03BB ~ Sn ,avec

son

C(P)

deP . Il ya

1v

ceux

les autres

1: . Par-commutent

03BBpourQ(P) de P. Mais si
P’ E ~(P~ , il existe une bijection entreet H(P’) == ~1~ ~ S ~Îa (P~ P’) .
est un élément fixé de H(P’) , l’application qui àC(P) fait correspondre 03BB0 03BB~ H(P’) est une telle bijection : Lorsque P’ parcourt Q,(Pi , lesH(P’) ont tous le même cardinal que C(P~ , et l’on aappartient à la classe de conjugaison

lesquels=

y4° Soit

Q=

G

un

groupe fini d’ordre

Q , ... , ~ av~ec .

=Ilayant pour classes de conjugaisoncard ~, . Les résultats du paragraphe précèdent

s’appliquent, et l’on a, poura E1couples (a y b)

Le nombre definiG

5~ Dans un groupeil,est doncoùégal àkG .

conjugaison deest le nombre de classes deG

commutent danspeut pas y avoir trop peu de couples
k de classes de conjugaison de Gne( a , b)qui commutent, autrement dit le nombre
ne peut pas être trop petit. Plus précisément, on doit avoirk >, log log N .
Avec les mènes notations

4°,et~..-vise~~pour touti ,lesdoivent vérifier :q = 1 , ~~1 oi-1 ,~ i ~ k . Si l’on pose xi = ~’T~q. ~ onc~ldoit avoir :tetappendice 1,[6]). - Soitla suite définie par

03B1v

03B11 = 2, 03B12 = 3 , 03B13 =7 , 03B14 = 43, ... , 03B1v+1 = 03B11 03B12 ... 03B1v + 1.
Si,Si, pour1’"r +X2

X1

fixé etv

1+1..

l ,~Xv

A l’aide depour

des entiers posi
>osi tifs
ti=salors

GLo ne1 +" $ 1 - 1.
"

11y1

lemme, d’une estimation dece

on a. 1x ,, on... ,, Xv
a:x2, , ...

x , x ,la suite

et

03B1v

de ( 3) , on déduit quek .~ log log Iv .

6° Tout groupe fini

1 , 2 ,d’ordre

Gnseles élé ents du groupe,... ,9S ; En désignant parplonge dans
on

fait

correspondre àa ~G

la permuta-tion

etonconstate que c’est

Un grouped’ordre

Gun

étant

donnée un problème classique et irrésolu est detrouver f(n) minimum tel que G se plonge dans
On a ici une réponse partielle à ce problème dans le cas des groupes commutatifs. On désigne par G(n) lenombre dencommutatifs

d’ordre ~ n . On ai

3 (L5], théorème 6). - Si~(n) -~~’..

°--°-

alors tous les groupes commutatifs

plongeables dans~lais si

f(n)

=avec

[nf(n)~) ~ il yqui’ ne sont pas plengeables dansad’ordre=

G(n) An (cf. [7])-avec
20142014

n , sauf

n , et si

201420142014

lo~ no ,eux, sont[~n/(~(n))] .

plus decG(n)groupes comniutatifs d’ordren3. Résultat statistiques.

récapitulatif.

1° Tableau~._.. _ ,.....~.~.,........_,.~.~..._....,...._~--_.

~._.

r’"iGroupen ,Ensemble dessymétriquepartitions

LP

card S = n!

denv , 1m

card

=n

quandnkV-~-~ ~n~ E~ ~’~Ensemble des ordres dec.

p, p.

P ~

Snm.

[n1 ,... ,P,p(n)
--

p( n)

Cardinauxr-J

1 4.n/3 exp 203C0 6 Jn

prépondérant

--, ~ 1~~ "’Lv ~Idel_-.
-1cyclesprépondérant lognmv ,6v([5], Théorème 2)

kn 6 203C0 nflog n ± 03C9(n)n[5], § 12a

les classes de(a) Mises â part~ .

conjugaison :classes,9toutes les autres ont.

obtenuded’une classe de conjugaison est

lorsque la permutation

Pa

deux cycles, l’un de3° Résultats sur l a divisibilité dew(n) ----->

onpose :x0(P) (f_3]).

comme

cardinal([5],’"(b) Le cardinallongueur 1 . Une telle permutation ne commute qu’avec

Soitn94r

sur+ 0log n
203C0 6n log n([5], Théo rème 1;« paraître)(cf. [2])2° Résultats,o(1)) n exp(1+o)(1)) log2 03C0 n log(ERDOS et(cf. [2])=-,Nombre+nexpRAMANUJAN)

etordreJn.

longueur(n - 1)

1)n -et est

1 , l’autreéléments deS .

P EAlors, pour presque tous les

est divisible par tous les nombresS ~A , et n’est pas divisible par un nombre premier

est

S , le plus grand facteur premier deP E

Enfin, pour presque tous les

B .

O(P)

compris entre

4. Questions ouvertes.

plus précis à l’ a.ide de fonctions

1° Transformer les résult ats du § 3 ende distribution.
tel que presque tous les

2° Trouver
decommutent

avecn(1 +Sn .
1h(m) = card{P ~ Sn

3° SoitP ~ S=

m3 . Trouver

msoit maxi-tel quemal.

~.° Calculer les moyennes:

5° Quels sont les groupes

avec unnnombre de classes deconjugaison ni-

nimal ?
’de S

6° L’ordre des sous-groupes

7°n

avons

9i, ~-.1, 2, 3 .

8°

D’après un résultat den2assurer

la commutativité deJ. J.

5/8n2 paires parmila commutativité du groupe. Trouver

paires possibles

analogue,4 et--pourles

toujours pair ?

5, le nombre de paires qui commutent dansnombre de triplets
g. J.
g2 , g3 tels que gi g’7étudié dans les § 2,G . Etudier leun

est-il presqueunrésultatque le groupe soit résoluble.

BI BLIOGRAPHIE[1]The distribution of some variables
BEST (M.
nederl. Akad. Wetensch., Proc., Series A, t. 73,Math., t. 32, 1970, n° 5).

R.). -symetric groups, Koninkl.
1970, p. 385-402 (indag.

on[2] ERDÖS (P.) and TURÁN (P.). - On some problems of a statistical group theory, I.,
Z. für Wahrscheinlichkeitstheorie, t.

4, 1965, p. 175-186.

[3] ERDÖS (P.) and TURÁN (P.). - On some problems of a statistical group theory,[4]

Hung., t. 18, 1967, p. 151-163.
ERDÖS (P.) and TURÁN (P.). - On some problems of a statistical group theory,III., Acta Math. Acad. Scient. Hung., t. 18, 1967, p. 309-320.

[5]ERDÖS

II., Acta Math. Acad.

Scient.

(P.) and TURÁN (P.). - On some problems of a statistical group theory,IV., Acta Math. Acad. Scient. Hung.,[6]ERDOSt.

19, 1968,p.

(P.). - On the integer solutions of the equation[en hongrois],

Matematikai

Lapok,t.

1, 1950,p.

413-435.

1/x1

192-210.

+ ...

+1/xn = a/b

G2-06[7] ERDÖS (P.) und SZEKERES (G.). - Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener[8]LANDAU

Ordnung, Acta.

Scient.

Math., Szegedy t. 7, 1934,

p. 95-102.

(E.). - Handbuch der Lehre von der Verteilung der laimzalhen . - Leip-Borlin, B. G. Teubner, 1909.
[9] LANG (S.). - Algebra, - Reading, Addison-Wesley, 1965.
zig und[10]NICOLAS (J.-L.). - Ordre maximal d’un élément du groupe des permutations, Bull.
Soc. math. France, t. 97, 1969, p. 129-191 (Thèse Sc. math., Paris, 1968).

[11]

RIORDAN (J.). - An introduction to combinatorial analysis. - New York, J.
and Sons, 1958.

(Texte reçu le 13 décembre
Jean-Louis
65 ru e du Javelot
75013 PARIS

Wiley