EXERCICES, SÉRIES TEMPORELLES, HIVER 2014, MAT8181
ARTHUR CHARPENTIER

8 On considère deux séries stationnaires (Xt ) et (Yt ), telles que pour tout t et h ∈Z, Cov(Xt , Yt+h ) = 0. Montrer que Zt = Xt + Yt est stationnaire. Donnez sa fonctiond’autocovariance.
9 Soit (ut ) une suite de variables i.i.d. N (0, 1). On pose
 εt = ut si t est pair1
 εt = √ (u2t−1 − 1) si t est impair
2
La série (εt ) est-elle un bruit blanc au sens faible ? au sens fort ?
10 Soit (Xt ) un processus AR(1) d’innovation (εt ), et considérons un bruit blanc (ηt )indépendant de (εt ) (au sens où cov(εt , ηt+h ) = 0 pour tout t, h). Montrer que (Yt ) défini
par Yt = Xt + ηt est un processus ARMA(1,1).
11 On considère le processus moyenne mobile suivant
Xt = εt + θ1 εt−1 + θ12 εt−12où (εt ) est un bruit blanc. Donnez les autocorrélations de la série (Xt ).
12 On considère le processus autorégressif suivantXt = φXt−1 + φ2 Xt−2 + εtoù (εt ) est un bruit blanc. A quelle(s) condition(s) sur φ existe-t-il une solution stationnaire? Donnez les autocorrélations de la série (Xt ). A l’aide des équation de Yule-Walker, trouver
des estimateurs pour φ et σ à partir de γb(0) et γb(1).
13 On considère un processus MA(1), Xt = εt + θεt−1 . Mais on hésite entre θ = 3 et
θ = 1/3. Donnez les fonctions d’autocorrélations dans ces deux cas.
14 Soit (Xt ) une série stationnaire, de fonction d’autocovariance γ(h).
12ARTHUR CHARPENTIER(1) On pose, pour n ≥ 2nXn =1XXtn
t=1Exprimez la variance de X n en fonction des autocorrélations γ(·).
(2) On posen

S2 =

1 X
[Xt − X n ]2n−1
t=1

Exprimez E(S 2 ) en fonction de γ(0) et de la variance de X n .
15 Soient (Xt ) et (Yt ) deux processus AR(1), avec
(1 − aL)Xt = ut et (1 − bL)Yt = vtoù les bruits blancs (ut ) et (vt ) sont supposés indépendants, et où a 6= b. Montrer que (Zt )défini comme Zt = Xt + Yt suit un processus ARM A(2, 1).
15? Pour les plus motivés, montrer que plus généralement, si (Xt ) et (Yt ) sont deux
processus AR(pX ) et AR(pY ), avec des bruits non-corrélés, et des racines distinctes, (Zt )défini comme Zt = Xt + Yt suit un processus ARM A(pX + pY , max{pX , pY }).
16 On suppose que (Xt ) un processus MA(1) d’innovation (εt ), avec
Xt = εt + θεt−1 .
Malheureusement, une observation - à la date τ - manque.
(1) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ −2 et Xτ −1(2) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ +2 et Xτ +1(3) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ −1 et Xτ +1(4) laquelle de ces extrapolations aura l’erreur quadratique moyenne la plus faible ?
17 On suppose que (Xt ) un processus AR(1) d’innovation (εt ), avec
Xt = φXt−1 + εt .
Malheureusement, une observation - à la date τ - manque.
(1) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ −2 et Xτ −1(2) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ +2 et Xτ +1(3) quelle sera meilleure prévision linéaire de Xτ en fonction de Xτ −1 et Xτ +1(4) laquelle de ces extrapolations aura l’erreur quadratique moyenne la plus faible ?

EXERCICES, SÉRIES TEMPORELLES, HIVER 2014, MAT8181

318 Exercice de pratique
1. Trouver un mot clé, peu importe la langue et la région (ex: ”gym” au Québec).
Aller surhttps://www.google.com/trends/?hl=fr
et recherchez le mot clé
https://www.google.com/trends/explore#q=gym&geo=CA-QC&cmpt=geo
Télécharger au format csv (sauver ensuite le fichier report.csv sur le disque dur).
2. Importer la base sous R à l’aide de la commande
report=read.table("report.csv", skip=4,header=TRUE,sep=",",nrows=528)
3. La base étant constituée de données hedbomadaires, on va la transformer dans unformat mensuel à l’aide du code suivant
H2M=function(BASE){
X=BASE[,2]date1=substr(as.character(BASE$Semaine),1,10)
date2=substr(as.character(BASE$Semaine),14,23)
D1=as.Date(date1,"%Y-%m-%d")D2=as.Date(date2,"%Y-%m-%d")vm=vy=N=NA
for(t in 1:length(D1)){
mois=seq(D1[t],D2[t],length=7)
vm=c(vm,as.POSIXlt(mois)$mon+1)
vy=c(vy,as.POSIXlt(mois)$year+1900)
N=c(N,rep(X[t],7))}
N=N[-1];
vm=vm[-1];vy=vy[-1]YM=vy*100+vm
Z=tapply(N,as.factor(YM),mean)
Zts=ts(Z,start=c(2004,1),frequency=12)
return(Zts)}

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ARTHUR CHARPENTIER

Pour récupérer des données mensuelles, on utilisera
X= as.vector(H2M(report))
pour avoir un vecteur de chiffres, et non et une série temporelle.
A l’aides des méthodes vues en cours, proposer au moins trois modèles pour cette série.
Avec ou sans tendance, avec sous sous composante saisonnière, et avec une composanteARMA(p,q).