2 次元バーコードを用いた折紙の構造認識とモデル化
三純†

谷

本稿では，折りたたまれた紙を撮影したデジタル画像から，その折りたたみ構造を認識し，計算機内にモデル化する手法を提案する．提案する手法では，裏と表の両面に 2 次元バーコードが格子状に複数印刷された紙を用い，撮影された画像に含まれるバーコードの位置関係から紙の折りたたみ構造を推定する．一般に 2 次元
バーコードは文字列情報や固有の識別番号などを格納し「それが何であるか」を示すために用いられるが，本手法ではこれを紙の上に分散配置し，配置された位置に関する情報を格納することで，「紙がどのように折りたたまれているか」を認識することに応用している点に特徴がある．具体的には画像に含まれるバーコードの位置関係から折り線の位置と，どのような折り操作が行われたかを推定し，計算機内のモデルの更新を行う．本
手法を PC 上に実装し，実際に折りたたまれた紙を撮影した画像から，その構造を認識して計算機内にモデル化できることを確かめた．

Recognition and modeling of Origami using 2D bar codes
Jun Mitani†
This paper proposes a method for recognizing and modeling a folded paper from digital images whichphotoed the paper. 2D bar codes are printed in grid form on the both sides of the paper. The folding
structure is figured out from the positional relation of the codes in a photo. Though the 2D bar codes aregenerally used for recognizing what the object is, they are used for recognizing how the paper is folded. In
the method proposed in this paper, position of a folding line is estimated firstly, the detail information offolding operation is decided and then the model in a computer is updated. The system is implemented ona PC and the validity is confirmed.

1. は じ め に形の接続関係を表す位相情報を用いてモデル化することが紙を折って形を作成する「折紙」は日本に古くから伝わに構築するには CG や CAD の知識が必要となり，初学者一般的である．しかし，意図した形状のモデルを計算機内る文化の 1 つであり，教育の場での活用や趣味の 1 つとしには困難な場合が多い．一方で現実世界の紙を手で折ってて幅広い世代に親しまれている．近年では世界的にも広く形を作ることは，いわゆる「折紙」として誰でも体験した認知され，その学術的な研究も多くされている．特に最近ことがあるほど容易な事である．そこで本稿では，手作業

では計算機環境の発達と普及により，折紙を計算機で扱うで実際に折りたたんだ紙をデジタルカメラで撮影し，その研究も多い．

画像から自動で計算機内にモデルを構築する新しいインタ

ところで，折紙作品の折り方を他者に伝える方法は古くフェースを提案する．これにより，折紙を計算機内にモデルから存在する「折り図」に依存している．折り図とは，折化するための負担を軽減することができる．これを実現すり工程を図で表現したものであるが，この折り図の作成はるには，画像解析や認識に関する研究の成果を活用するこ労力のかかる作業であり，このことが様々な作品を効率的とが考えられるが，折りたたまれた紙の写真画像から得らに他者に伝達することを困難にしている．そこで，折紙のれる情報は輪郭線情報だけであり，これらから折りたたみ形状を計算機内に構築することができれば，折紙の構造をの構造を推測するのは難しい問題である．本研究では，近任意の角度から眺めることができ，またアニメーション表年広く普及している 2 次元バーコードを，表と裏の両面に示による折り工程の提示などへ発展させることができると印刷した紙を準備し，これを用いた折紙をデジタルカメラ考えられる．

で撮影することで，その構造を容易に認識し，計算機内にモデルを構築する方法を提案する．

折紙の形状を計算機内に構築する場合には，形状を平面

本研究は折りたたまれた紙の構造を認識しモデル化する

多角形の集合などで表現した幾何情報と，それぞれの多角ための新しい方法を提案すると共に，2 次元バーコードを用いた新しいインタフェースを提案するものである．

† 筑波大学大学院システム情報工学研究科
Graduate School, University of Tsukuba

本稿の第 2 章では関連する研究を紹介し，第 3 章では折1

りたたみの構造を推定する原理について述べる．第 4 章でところで，2 次元バーコードの 1 つである QR コードは，は本手法の詳細を述べ，第 5 章で結果を，第 6 章でまとめ早くから規格化され仕様が公開されている（ISO/IEC18004および JIS-X-0510）ことと，高速な認識に適していることを述べる．

から，現在では携帯電話のカメラに標準で読み取り機能が備

2. 関 連 研 究わっていることが多い．QR コードを読み取るための API

2.1 折紙のモデル化
日本に古くから伝わる折紙の手法は，正方形の紙を折り曲げることによって様々な形を作るものであり，幾何の分野における研究題材として多く取り上げられている1)2) ．ま使用し，読み取り機能の実装には 13) の API を用いることた，国内に留まらず海外でも研究が行われており，近年でとした．

は市販されており，新規システムへも容易に利用できる環境が整っている．そこで本稿で提案するシステムでは，折りたたみの認識に用いる 2 次元バーコードに QR コードをは対象とする形状を計画的に生成する「設計」の概念が折

3. 折りたたみ構造のモデル化の原理

紙にも導入されるようになっている3) ．
折紙を計算機で扱う研究として，内田ら4) は紙の物理的3.1 状態の表現と折り操作
本研究では計算機内に折りたたまれた紙の構造を保持すな制約条件を元に，折紙の展開図を構成する幾何学的要素から出来上がりを推論するプログラムを提案した．Miyazaki

るために，Miyazaki らの提案する折紙モデルを使用する．

ら5) は，計算機を用いて折紙を対話的に操作する手法を提このモデルでは，Stage と呼ばれる構造体が折紙の状態を案した．紙を折る操作によって折紙の形状が逐次変化する表すために使用される．1 回の折り操作の情報と，現在の際の，データ更新の手法を提案している．折紙の形状を計算機内に保持するデータ構造はシンプルであり，折り手順

Stage の情報から，折り操作を行った後の状態を表す新しいStage が構築される．初期状態を Stage[0]，n 回目の折り操を含めた情報が，二分木を用いて保持される．ここで提案作を F old[n]，n 回の折り操作を行った後の状態を Stage[n]されたデータ構造を含むプログラムのソースコードは Webと表すと，これらの関係は図 1 のようになる．

6)

上で公開されており ，本研究で提案するシステムでは実装の一部にこれを使用した．Kato ら7) は，教本に含まれるStage[0]「折り図」の画像を計算機で解析することで，折り操作を推Fold[1]定し，それを元に計算機内の折紙モデルを更新する手法をStage[n-1]提案した．この手法は図中に含まれる矢印や折れ線の情報Stage[1]を活用しているため，写真画像からのモデル構築には適用

Fold[n]Fold[2]することができない．Ju ら8) は計算機とのインタフェース

Stage[n]Stage[2]に関する研究の中で，無線タグを埋め込んだ紙を使用した折紙の教示を例題として扱った．無線タグの空間位置を元に折紙の形状を計算機が把握できるようになっている．こ図 1 折り操作 Fold による Stage の更新
Fig. 1 Updateing of Stages by Fold operations.の手法は本研究の目指すところと共通する点が多いが，無線タグと読み取り機器という大がかりな装置が必要となる点で一般的には扱いにくいという問題がある．三谷ら9) は

本稿で扱う折紙の状態には，実際に人の手によって折られ計算機内に構築された折紙モデルに対し，その構造を理解たものと，計算機の中に構築するモデルの 2 つが存在する．

しやすくするために，厚みや頂点のずれを追加して表示す

これらを区別するために，以降ではそれぞれを StageReal [n]る手法を提案した．本研究では計算機内のモデルを表示すと StageM odel [n] と表すこととする．
なお，本手法では平坦に折りたたまれた紙だけを対象とる際にこの手法を用いる．

2.2 2 次元バーコードの利用

し，紙飛行機や折り鶴の翼を広げた状態のような立体的な構

一般にバーコードは，それが付随する個体の識別 ID を造を持つものは対象としない．そのため，折り操作 F old[n]格納するため，または個体に関する情報を格納するためにには，折り線の位置に関する情報と，それが山折か谷折り使用される．近年では，従来の 1 次元バーコードよりも多のどちらであるかの情報，および紙が複数枚重なっているくの情報を格納できるものとして 2 次元バーコードが開発

箇所（図 8 の例を参照）については何枚目が折り操作の対10)され，様々なものが存在する．これらは，アパレル業界象となっているかの情報が含まれていればよい．折り角はや医療機関，工場などでの物品管理用途などに幅広く使用

常に 180 度であるので，角度に関する情報は必要ない．

されている11) ．また，ロボットの環境認識への応用12) など

3.2 処理の流れ
本稿では図 2 に示すように，折る操作を一回行う毎にデジタルカメラで撮影し，その都度計算機内のモデルを更新することで，複数回の折り操作で折りたたまれた紙のモデ新しい用途への活用も研究されている．インタフェースの分野においても，計算機に物体を認識させる上で広く活用されている．
2

応付けを容易にすることが可能であるが，折り操作を進めルを計算機内に構築するシステムを提案する．

る度に頂点の数は増えるので（図 (a) では頂点数 4 である
(a)

(b)

(c)

fold

が図 (b) では 6）現実的な対応は難しい．
ところで，頂点の位置でなくても図 (c) の点 Q と点 Q

fold

ように，モデル上の特定の点の位置がわかるようにマークを付けておけば，この 2 点の垂直二等分線から折り線を推Realcapture(d)capture

定することができる．ただし，この点 Q はカメラか可視で(e)

折り操作によって位置が変わる場所（図 3 の例では直線 lの下側）に存在する必要があるため，事前に特定の位置に配置しておくと任意の折り方に対応できないという問題が(f)compare&estimate(h)ある．

(g)(i)

compare&estimate

update

そこで本研究では，事前に紙の上に複数の QR コードを分散配置し，その QR コードを目印に利用する．状況に応(j)

じて目印とするコードを切り替えることで上述の問題を解update決する．QR コードには，QR コード自身が存在する（紙上の）位置に関する情報を格納しておくことで，色の付いたシールを貼るような煩雑な手間を無くすことができる．QR

Model

コードの配置方法や折れ線の推定方法などについては次章

図 2 処理の流れ
Fig. 2 Flow.

で詳細を述べる．

図 2 に示した処理の流れを以下にまとめる．

(1)

折る前の紙 (a) を計算機内にモデル (h) として保持(2)折り操作を 1 回行った様子 (b) をデジタルカメラで(a)する．

(b)

(c)
ll

撮影し (d)，それと (h) を比較してどのような折り操Q
図 3 折り線位置推定の原理
Fig. 3 Estimation of the position of a fold line.

推定 (f) に基づいて計算機内のモデル (h) を更新し，モデル (i) を生成する．

(4)

Q'

P作が行われたかを推定する (f)．

(3)

P'

引き続き，2 回目の折り操作を行った様子 (c) をデジタルカメラで撮影し (e)，それを (i) と比較してどの4. 手法の詳細ような折り操作が行われたかを推定する (g)．

上記の (4)(5) の処理は (2)(3) の処理の繰り返しであるが，4.1 QR コードの配置
図 4 のように紙の両面に QR コードを格子状に配置する．
それぞれの QR コードには，その位置と裏表の別を表すた

必要に応じて繰り返しを増やすことで，回数の多い折り操作めの 5 桁の数字をエンコードする．数字の 1 桁目は表裏の別(5)

推定 (g) に基づいて計算機内のモデル (i) を更新し，モデル (j) を生成する．

Real[n +によって作成される形に対応する．つまり，Stage1] の写真と StageM odel [n] から F old[n + 1] を推測し，StageM odel [n] と F old[n + 1] によって StageM odel [n + 1]を構築することが，本研究で提案する手法である．

（0:面，1:裏）とし，2 桁目と 3 桁目で何列目であるか，4 桁

3.3 折り線推定の原理
図 3(a) のように紙を折り線 l で谷折りし，図 (b) の状態になった場合，この操作を計算機内のモデルに反映するた
めには折り線 l の位置と折る向き（谷折りまたは山折り）の情報が必要である．図 (c) のように，モデル上の頂点 P がQR コードを配置する．これにより，写真画像中に含まれる QR コードをデコードすることで，その紙上での位置と面の表裏の別を識別できる．
紙の横幅と縦幅がそれぞれ W ，H であり，QR コードが横方向に U ，縦方向に V だけ等間隔に配置され，デコード目と 5 桁目で何行目であるかをそれぞれ 2 桁の整数で表現する．例えば表面の 6 列 7 行目の QR コードには「00607」という数列を格納し，裏側の同じ場所には「10607」を表す移動した後の点 P  の位置がわかる場合，この 2 点の垂直二された QR コードが i 列 j 行目であった場合，この QR コー等分線を折り線と推定できる．しかし，StageReal [n + 1] の(i + 0.5), H(j + 0.5))
ドの中心は紙の左上を原点として ( WUV

写真と StageM odel [n] の間で対応する頂点を何の工夫も無の位置にあることがわかる．紙の上に配置する QR コード

しに画像処理だけで見つけ出すのは容易でない．頂点位置の数（または大きさ）は，写真画像からの認識成功率と，折に色の付いたシールを貼るなどのマーキングによって，対りたたみ形状を推定する精度のトレードオフで決定される
3

(TQPV=?

=?

=?

=?

$CEM⎡=?

−s sin θdx

A = ⎣ s sin θs cos θ0dy ⎦1⎢0=?

=?

⎤s cos θ=?

⎥(1)

上記行列の未知数は 4 であるため，2 つの QR コードの写真座標での位置とモデル座標での位置がわかれば A を導出できる．基準とする 2 つの QR コードは図 6 の点 X と点 Y=?

=?

=?のように，StageReal [n + 1] の写真画像に含まれ，なおか=?

つ StageM odel [n] の中でその点での法線の向きが同一（この場合は手前に向かう方向）であればよい（図中の点 Z は

図 4 QR コードの配置 (正方形の紙に縦横 20 ずつ配置した場合)
Fig. 4 Arrangement of QR codes (placing 20 × 20 codes on asquare sheet).

が，次章で述べる実験結果では 20cm 四方の紙に 20×20 のStageM odel [n] の中で裏側に存在し，法線の向きが奥に向いているため点 X と点 Z のペアは基準に使用できない）．
このような条件を満たす任意の 2 つの QR コードから変換行列を算出し，写真に写った QR コードをモデル座標に変コードを配置することで実用的な成果を出すことができた．

換する．ただし，誤差を小さくするために互いに最も離れ4.2 撮影
QR コードを配置した紙を通常の折紙のように折り，折った後の様子をデジタルカメラで撮影する．ただし，本手法
では折る前と折った後の QR コードの位置の変化に基づいている 2 点を選択することとする．

APhoto Coodinatex

Oて折り線の位置を推定するため，QR コードの位置関係の変XY化が把握できる方向から撮影する必要がある．つまり，図Stage5(a) の点線で奥に折るような場合，(b) のように一方の面が他方の面に完全に隠された状態ではなく，(c) のように両方が見える側から撮影する．なお，図 3 のような折り方の

Real

[n+1]

X

Model CoodinateOZZyy

場合は，一方が他方を完全に隠すことはないため，どちら&RPSDUH
xOから撮影しても構わない．
XModelNGxYStageOKY[n]yZ

図 6 座標変換
Fig. 6 Coordinate transformation.

(a)

(b)

4.4 折り線位置の推定(c)

前出の変換を用いて StageReal [n + 1] の写真画像に含ま

図 5 撮影Fig. 5 Taking a photo.

れる各 QR コードをモデル座標に変換し，StageM odel[n] での各座標値と比較する．このときに，誤差によって値が多少4.3 座 標 変 換
本稿で提案する手法では，StageReal [n + 1] の写真と計異なるものが存在するが，特に大きく異なる QR コード（例

算機内に構築されているモデル StageM odel [n] を比較して位置が変わったものであると判断できる．このようなコード

折り操作を推定するため，まず両者で座標系を統一する必のうち，最も移動量の大きいものについて，StageM odel [n]要がある．ここでは，写真の座標系（写真座標）から計算での座標と StageReal [n + 1] の写真画像から算出した座標機内のモデルの座標系（モデル座標）への変換を行い，両を図 3 に示す点 Q と点 Q として用いることで，折り線の者をモデル座標で比較することとする．カメラレンズの収位置を推定する．なお，本システムを実装する際には，折差による歪みが無いという仮定の下，変換行列を A とする

り操作による位置の変化ではなく誤差によるものだと判断と，A は拡大率 s のスケール変換と角度 θ による回転およする閾値は紙の幅の 5%程度に設定した．写真画像に含まえば図 6 の点 Z ）が存在する場合，これは折り操作によってび (dx , dy ) の移動量による平行移動を伴う次のような 3×3れる全ての QR コードが折り操作によって位置が変化しなの同次変換行列で表現できる．

かったと判断された場合は 4.7 節で述べる「二等分折り」がされたものと判断する．
44.5 折り方向の推定
折り線の位置が決まっても，折り方には図 7 の (a) と (b)のように谷折りと山折りの 2 通りが存在する．この折り方向を決定するために，まず計算機モデルに対して両方の折り方を試行し，それぞれの折り方を行ったときに外部から見える QR コード群を算出する．この QR コード群と，実際に写真から抽出された QR コード群を比較し，両者に含(a)まれる QR コードの数が多い折り方を正しい折り方として(b)(c)

図 8 一重折りと多重折りFig. 8 Single folding and multiple folding.

採用する．
なお，このようにして複数の折り方から最適なものを決定する方法を，以降では簡単のために「可視コード群比較計算機モデルに対して試行し，「可視コード群比較法」で最法」と呼ぶこととする．

適な折り方を決定する．なお，二等分折りが行われる場合は，少なくとも 1 つの頂点が他の頂点に重なるように移動するので，全ての頂点の組み合わせから得られる二等分線(a)について，それぞれを折り線であると仮定した試行を行う．
この方法だと，二等分折りでないケースも含まれるが，可P能な二等分折りは必ず含まれ，また実装が容易である利点がある．

"(a)(b)Q
図 7 谷折りと山折り
Fig. 7 Folding direction: valley and ridge.

(b)

4.6 一重折りと多重折りの判別
図 7 のように，折り曲げられる対象となる面が 1 つである場合，前節で述べた折り方向が決定すれば，折り方は一意に定まるが，図 8 のように折り曲げの対象となり得る面が複数存在する場合，折る対象となる面と対象とならない面

図 9 二等分折り
Fig. 9 Median folding.

を明らかにする必要がある．図 7(b) のように，1 枚の面だけを折る場合を一重折りと呼び，(c) のように複数の面を同4.8 折れ線を元にした計算機モデルの更新
前節までに述べた手法により，折り操作の情報 F old[n +1] を 決 定 で き る た め ，こ れ と StageM odel [n] を 元 にStageM odel [n + 1] を生成して計算機内のモデルを更新する．

時に折る方法を多重折りと呼ぶ．図 7(a) の場合は (b)，(c)の 2 通りしか存在しないが，場合の数は折ることが可能な面の数に依存する．
このように折る対象となる面が複数ある場合は，取り得る全ての場合を計算機モデルに対して試行し，前節と同様

本システムではデータの保持に Miyazaki らの提案を採用しに「可視コード群比較法」で最適な折り方を決定する．ているため，データの更新方法についても同様に Miyazaki

4.7 二等分折りへの対応
図 9 のように，折り線によって元の形が二等分されるよ
うな折り方を「二等分折り」と呼ぶこととする．この場合，らの提案手法を用いる．

折りたたまれた形をどちら側から見ても，相対的に場所が本稿で提案するシステムを CPU Pentium Mobile Processor 2.0GHz，RAM 1.0GB の PC 上に実装し検証を行った．QR コードはバージョン 1(21 セル四方．最もサイズの小さなバージョン)，誤り訂正能力レベル H（最も高いレベル）を用い，20cm 四方の紙に縦横 20 ずつの計 400 を配置

5. システムの実装結果変化した QR コードが存在しないため，4.4 節で述べた方法
では折り線の位置を推定することができない．そこで，4.4節の方法で折り線位置が推定できなかった場合は，二等分折りがなされたものと判断し，可能な全ての二等分折りを5

5.2 二等分折り長方形に二等分折りし，さらにそれをもう一度二等分折りした結果を図 12 に示す．

した．この紙に対して折り操作を行う度に，2048×1536 ピクセルの解像度でデジタル撮影した．
図 10(a) は検証に使用した紙を撮影したものであり，(b)は本システムのアプリケーションウィンドウで初期状態の折紙モデルを表示した様子である．折紙モデルの表示には，
文献 9) で提案されている厚みを強調する手法を用い，構造を把握しやすいようにしている．

(a)

(b)

(a)

図 10 初期状態の写真とモデル表示
Fig. 10 A photograph and a model display of the initial state.

(b)
図 12 二等分折り
Fig. 12 Median folding.

5.1 一般的な折り方
5.3 一重折りと多重折り
一重折りと多重折りの存在する例題として，「ヨット」を折った結果を図 13 に示す．1 回目の折操作は三角形への二等分折りであるが，2 回目の折り操作では，折り操作の対象となる面が 1 枚なのか 2 枚なのかを識別する必要がある．

本稿で提案する折り線の推定手法が妥当であることを検証するために，一般的な折り方（二等分折りでなく，かつ多重折りの場合分けを考慮する必要のない折り方）を 2 回行った結果を図 11 に示す．(a) は撮影された写真の画像である．なお，システムではデジタルカメラで撮影したものをそのまま入力として使用しているが，(a) はわかりやすくするために必要な箇所だけをトリムしている．結果の (b)は，本手法で得られたモデルをアプリケーションウィンドウに表示したものである（以降の図も同様である）．実際の紙の形状を計算機のモデルに反映できたことが確認できる．

(a)

(a)

(b)

(b)

図 13 一重折りと多重折りの判別が必要な例（ヨット）Fig. 13 An example that requires single folding and multiplefolding (Yacht).

図 11 一般的な折り方
Fig. 11 General case.

6

5.4 複合的な例
より複雑な例として，「セミ」を折った結果を図 14 に示す．
最後まで折るには 9 回の折り操作が必要になるが，紙幅の都合上途中の一部を省略している．最終的にできあがった精度を優先することとした．図 14 下段の最も QR コードが少ない写真は約 1 秒で処理することができ，目視で全体が写っていることが確認できる 17 個のコード中 16 個（94%）
を正しく読み取ることができた．

形を正しく計算機に取り込むことができた．

読み取ったコードから折紙モデルを構築する処理は，図13 の最終ステップで 0.15 秒，図 14 の最終ステップで 3.34秒であった．今回は特に高速化の工夫を施していないため，
例えば「可視コード群比較法」での可能性の無い折り方を効率よく省くなどの改善で，より高速にモデルを構築する

Stage[2]ことが可能であると考えられる．
システムでは 1 つの折り操作に対して 1 つの写真を読み込む必要があるが，複数の写真を連続的に読み込むことで複数回の折り操作を一括で処理できるため，ユーザーは読み込むファイルを最初に 1 度指定するだけでよい．従来のマStage[5]ウスとキーボードを使用した折紙モデルの操作に比べ，極めて簡単に折紙の形を計算機内に構築することが可能である．実際に紙を折りながら写真を撮影することが若干の手間ではあるが，7 章で述べるように動画像から QR コードを抽出できるようにすればリアルタイムでの取り込みへ改善可能であると考えられる．

6. ま と め
本稿では QR コードを紙の両面に印刷し，それを撮影しStage[7]たデジタル画像から折紙のモデルを計算機内に構築する新しいインタフェースを提案した．提案する手法を PC 上に実装し，検証することで簡単な折紙であれば，本手法が有効に機能することを確認した．本システムは，一般的な PCとプリンタ，およびデジタルカメラがあれば十分である．特別な装置を必要としない，安価に構築可能な環境で，現実世界での紙を折る操作で計算機内の仮想的な折紙モデルを更新できることを示せた．

Stage[9]ただし，本手法では平坦に折りたたまれるケースのみを対象としているため，紙飛行機や紙風船のような立体的な構造を持つ形には対応できないという制約がある．さらに，
図 15 に示すような「折り込み」操作を扱えないという制約も存在する．

(a)

(b)

図 14 複合的な例（セミ）
Fig. 14 A compositive example (cicada).

5.5 評
価
QR コードの読み取りには既存の API を使用し，400 個

図 15 折り込み
Fig. 15 Tack-In folding.のコードが含まれる図 10(a) の写真を処理するのに要した
時間は 20 秒であった．また，そのときに認識できたコード

7. 展の数は 391（全体の約 97%）であった．使用した API には

望

読み取り時に設定可能なパラメータが複数有り，その設定に本システムでは立体的な構造を持つ折紙は扱えないが，例よって読み取り時間と精度は異なったものになるが，今回はえば複数のカメラから撮影することで問題が解決できるか
713) ソフトアドバンス株式会社: QR Code Solution.
http://www.softadvance.co.jp/qr/index.html.

もしれない．
「折り込み」操作に対しては，原理的に写真だけからの認識は困難であるため，人の手による対話的な指示を受け入れる柔軟性を追加する必要があるだろう．また，静止画ではなく動画を継続的にキャプチャすることで，実際の折り操作とリアルタイムに連動して折紙モデルを更新させるインタフェースを実現することも可能であろう．
本稿では，計算機内でモデル化する対象に折紙を用いたが，これ以外にも一定の拘束条件のある物体（例えばリンク構造を持つ物体など）に QR コードを分散配置することで，その物体がどのような状態にあるのか認識することにも応用可能と考えられる．
謝辞 本システムの実装において，QR コード読み込みにソフトアドバンス株式会社の「QR コードソリューションキット」を，折紙の構造保持のために Web 上で公開されている宮崎慎也氏のプログラムコードを使用させていただいた．また，本研究は日本学術振興会科学研究費補助金（若手研究 B，課題番号 17700131）により助成を受けて行ったものである．ここに感謝の意を表する．

参考文 献1) 川崎敏和: バラと折り紙と数学と, 森北出版株式会社(1998).
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