数理解析研究所講究録 1214 巻 2001 年 62-75

62

3-transposition groups
Masaaki Kitazume (Chiba University)
北詰正顕 (千葉大・理)

1

はじめに

散在型単純群の中で, 代表的なものとし 語られるのは, Mathieu 群, Conway
群, Monster の系列であろう。「系列」 と書いたけれども, Golay code, Leech lattice,$.\text{て}$Moonshine VOA と続く 24 という数字に彩られた数学的対象は, まさに奇跡的であは, この系列に入れるには,る。 一方, 同じ 24 という数字を冠する Fischer 群
手がかりが少なすぎる。歴史的には, Fischer が Monster に (baby Monster を経由$F_{24}$して) たどり着く出発点であったにも関わらす。

本稿では,$F_{24}$を頂点とする,3-transposition groups について, 概略をまとめた

いと思う。対称群の一般化とも言える単純な定義ながら, 深いものを含んでいる対象である。最近になって ([M]) 頂点作用素代数の宮本自己同型の (2 つある内の) type

垣と呼ばれるものが必ず 3-transposition group になる, という結果によって思わぬところに再登場したのは記憶に新しい。 21 世紀に向けてとは大げさだが, まだまだ研究すべきことは多いと思われる。 本稿がこれからの研究の助け・きっかけになれば幸いである。
なお, 12 月の集会では私の話の組立が悪く, いくつかの話を省略した。 本稿では, その部分も加えたが, 特に, 3-transposition groups の構成については, 3 月の九大における 「代数的組合せ論ミニ集会」 で話したことが, この原稿作成の大きな助けになった。 ここに記して, 感謝いたします。

2

定義, 分類定理と実例

2.1

定義と分類定理

が 3-transposition group であるとは,
定義 2.1. 群$D^{G}=D$ )(1) $G$ は位数 2 の元の共役類の和集合 $D$ で生戒される。 (i.e.
(i.e. $a(\neq)b\in D\Rightarrow|ab|=2$(2) $D$ の相異なる 2 つの元の積の位数は 2 または$G$$G=\langle D\rangle,$$3_{\text{。}}$

63が成り立つことである。
最も典型的な例は,と, その互換全体の集合を $D$ としたものであ次対称群の部分群 $S_{k}\cross S_{n-k}$ なども仲間る。 定義の条件 (1) で「和集合」 としたのは,に入れるためである。 定義から, $D$ の部分集合で生成される部分群 $K$ は, $K\cap D$$S_{n}$$n$$S_{n}$

で生成される 3-transposition group になる。 このような部分群を $D$ -subgroup と呼ぶ。 なお, ここでは, 群 $G$ に有限性を仮定しなかった。
ここで,後に用いる記号と用語を導入しておく。

とするとき,$d\in D$

$G=\langle D\rangle$

を 3-transposition groupに対して$D_{d}=\{a\in D||ad|=2\}$ ,$A_{d}=\{a\in D||ad|=3\}$とおく。 明らか (ニ, $D=\{d\}\cap D_{d}\cap A_{d}$ となる。次 (ニ, $S$ を任意の Sylow 2-subgr0upとするとき, $|S\cap E|$ を $G$ の width と呼ぶ。 この値は, $D$ に含まれる互いに可換な元の個数の最大値を意味する。
さて,Fischer は 3-transposition group をある条件の下に分類した。 実例の紹介も兼ねて, その定理を述べておこう。

定理 22(B. Fischer [F1]). $G$ を有限群で, 3-transpositions の共役類 $D$ で生成されているとする。 さらに, 次を仮定する (その意味については後述)。

$O_{2}(G)\subset Z(G)\supset O_{3}(G)$

このとき,$(G, D)$.

は, 中心を除いて (つまり, $(G/Z(G), DZ(G)/Z(G))$ をあらためて $(G, D)$ とおけば)次のいずれかに同型である。 (ただしとする。)$\epsilon=\pm 1$(1) $G\cong S_{n},$ $D=$ {transpositions},(2) $G\cong S_{2n}(2),$ $D=$ {transvections},: 2, $D=$ {transvections which preserve (fixed)quadratic $fom$ },(3), $D=$ {reflections $w.r.t$ the $nom1$ vectors}(4)(5) $G\cong O_{2n+1}(3)$ : 2or $O_{2n+1}(3),$ $D=$ {reflections $w.r.t$ the norm vectors}(6) $G\cong U_{n}(2),$ $D=$ {transvections}$F_{24f}D:a$ unique class(7) $G\cong F_{22},$$D:a$ unique class(8) $G\cong O_{8}^{+}(2).S_{3},$(ま, (1) $n\geq 5,$ (2) $n\geq 2,$ (3) $,(4)\epsilon=+$ のとき $n\geq 3,$
ただし一のとき$n\geq 2,$ (5) $n\geq 2,$ (6) $n\geq 4$をみたすものとする。
$G\cong O_{2n}^{\Xi}(2)$$a$$G\cong O_{2n}^{\epsilon}(3):2$$\epsilon$$F_{23},$$O_{8}^{+}(3).S_{3},$$n$$\epsilon=$

ATLAS に従って, 単純群が表に出るように記述した。 :2 が付いているとのは, 単純群が index 2 で含まれていることを意味している。
は単純群を意味しない。 これらを
: 2,
: 2 と表すことも, もちろん出来る。
記号は,$F_{24}$$S_{n}$$A_{n}$$F_{24}’$

ここに現れた直交群やユニタリ群については, 他の本 [N], [A2] を参照されたい。

(5) では ”or” などと曖昧な書き方をしてしまったが, これは$n$と$\epsilon$で決まるとい64
うより, 内積の取り方に依る。 ベクトル空間の内積を, 正規 (長さ 1) 直交基底を取るように定めれば,$\epsilon=1$のとき :2 の付かない単純群が出てくる。 $\epsilon=-1$ なら,:2 の付く方になる。
なお, (7) は Fischer 群と呼ばれる系列で,が散在型単純群である。
最後の (8) の 2 つは, 分類における例外的なもので, 群としては前者がで, 後者はのある部分群である。 この 2 つは, $G’=G”$ という仮定を$F_{22},$ $F_{23},$ $F_{24}’$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(O_{8}^{+}(2))$$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(O_{8}^{+}(3))$

付ければ除くことも出来る。
この分類定理を完成させた Fischer の原論文 [F1] は, 一部分 [F2] を除いて出版のされなかった。 理由は推測しか出来ないが, 後述の Uniqueness theorem と構或の不完全さによるのだろう。 近年になり, これを補完する意味合いも込めて,
Cuypers-Hall [CH2] は, 有限性 (さらには上記の仮定) を仮定しない分類定理を完成させた。少しさかのぼるならば, 先鞭を付けた形の R. Weiss の仕事 [W1] がある。
$F_{24}$2.2

3-transposition groups の実例

群の例示としては, あまりに沢山が出てきてしまったので, もう少し身近なものに絞った例を述べよう。 対称群を含むワイル群と線形群の間に次のような同型が成り立つ。 ただし, 簡単のため $W^{*}(E_{k}):=W(E_{k})/\{\pm 1\}(k=7,8)$ という記号を用いる。
例 23(Weyl 群).
$U_{4}(2)\cong O_{5}(3)<\mathit{0}_{5}(3)$$S_{6}(2)\cong W^{*}(E_{7})$$O_{6}^{+}(2)$:$2\cong S_{8}$,$O_{4}^{-}(3)$,:$2\cong O_{6}^{-}(2)$: $2\cong W(E_{6})$$O_{8}^{+}(2)\cong W^{*}(E_{8})$: $2\cong S_{4}(2)\cong S_{6}$ ,この例は仲々に味わい深い。 第 1 行の, 基礎体 F4,
それだけで異様である。 後に,$\mathrm{F}_{3}$$O_{4}^{-}(2)$:$2\cong S_{5}$, F2 の入り交じった関係は,$O_{2n}^{\pm}(2)>S_{2(n-1)}(2)>O_{2(n-1)}^{\mp}(2)$の場合, $n=4$ のときが$W^{*}(E_{8})>W^{*}(E_{7})>W^{*}(E_{6})$ という例外型 Weyl 群の系列に相当しており, $n=3$という列について述べるが, 上記の例によれば,$\epsilon=+$のときは, 何故か 7 が抜けた対称群の列 $S_{8}>S_{6}>S_{5}$ に相当することが読みとれる。 $E$ 型の系列はただ添え字が 1 増えるという以上の変化をしているのである。

分類定理に現れない群にも重要なものがある。 $O_{2}(G)\neq 1$ をみたす群の典型例
はで, より一般に Weyl 群 $W(D_{n})$ が該当する。 $O_{3}(G)\neq 1$ をみたす群の典で, 一般に, 3 元体上の直交群 (分類定理の (4),(5)) の長さ 0 のベクト
型例は
の部分群に
ルの固定部分群として得られる parabolic subgroup が該当する。
$S_{4}$$S_{3}$$F_{24}$65というのがあるが, 直交群の場合と異なり “という著しい特徴がある。 Monster にはという non-split な部分群があるが, こちら
は 3-transposition group で (まない。 しかし, 同じ様な構造のという3-transposition group t ま存在する ([CH2])。
$3^{7}\cdot O_{7}(3)$$\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}- \mathrm{s}\mathrm{p}1\mathrm{i}\mathrm{t}^{77}$$3^{8}\cdot O_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}}(3)\ovalbox{\tt\small REJECT} 2$$3^{8}\cdot 0\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}(3)\ovalbox{\tt\small REJECT} 2$に匹敵する小さな群の中にも, とても重要な群がある。 3 っの互いに非可換(積の位数は 3) である 3-transposition で生或される群は 4 通り (本質的には 3 通り)$S_{3},$$S_{4}$であることが知られている。おなじみの $S_{3}((12),$(13) (23)に加えて, 次の生成元と関係式で定義される群
$,$

$),$

(13) (14) ,$S_{4}((12),$

$)$

$,$

$H:=\langle a, b, c|a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{3}=(bc)^{3}=(ca)^{3}=(abac)^{3}=1\rangle$と, その中心

てくる群の

$D$

による剰余群 $H/Z(H)$ である。 ただし, 実例 (分類定理に出-subgroup) としては $H/Z(H)$ は存在しないようである。 従って, 以$\langle(abc)^{2}\rangle$

下では $H/Z(H)$ という群の存在の可能性はないものとして記述することにする。 な
お, 記号 $H$ は [F1] による。 [CH2] では,と書かれている。 また, 上記の関$(abac)^{2}=1$ (こすれば係式の最後を (abac) $=1$ t こすればの定義式{こなる。
この $H$ の 3-transposition の共役類は 9 個からなり, 全て互いに非可換である。
の extra-spatial group を index 2 で含む形をしている。
群構造としては位数
般に, 位数が 2という形の 3-transposition group は, $D$ の全ての元が互いに非可換になる。 このような群を, [CH2] では “Moufang type” と呼んでおり, 彼らの結果では, Moufang type を除く全ての (無限群も含めた) 3-transposition groupが分類されている。 また, 分類定理は, この $H$ (または $H/Z(H)$ ) を含まない場合$((1)-(3))$ と含む場合 $((4)-(8))$ とに分けて進められるのである。
この Moufang type の群も $H$ を筆頭に, 興味深いものがあり, 名前にあるように Moufang loop との関連から, 研究の歴史は古い。 筆者は [K2] で, 先に述べた(non-split) の具体的な構成を与えたが, そこでもある種の Moufang loopと, 対応する Moufang type の群が活躍した。そういう意味で, 次の問題も Moufang
loop との関わりから面白いかもしれないと思う。
$S_{3},$$3^{3}$$SU_{3}(2)’$$S_{4}$–$\cross 3^{N}$$3^{\overline{\prime}}\cdot O_{7}(3)$問題 1. 3-transposition group$3^{8}\cdot O_{8}^{-}(3)$: 2(non-split) のわかりやすい構成を与

えよ。

23

頂点作用素代数の問題から

以下,

頂点作用素代数に関わる問題をいくつか述べる。 宮本雅彦氏 ([M]) による,頂点作用素代数の宮本白己同型 (その内の type II と呼ばれるもの) に関わる問題である。 用語の説明を一切省いているので, 興味のない方は読み飛ばしても差し支えない。
問題 2. type 垣の宮本自己同型で生成される群は $H$ を含むか ?(今のところ, 存在は知られていない。)

66
問題 3. Code VOA の type 垣の宮本白己同型で生成される部分群
ような構造$G/O_{2}(G)\cong H$$G\ovalbox{\tt\small REJECT}$) ( が次の$D$

かつ $d\in D$ に対し $|d^{O_{2}(G)}|=8$を持つものは存在するか ?(初めの条件を $G/O_{2}(G)\cong S_{3}$ に替えれば, Hammingcode VOA が該当する。)
問題 4. [KM] で分類した Code VOA の自己同型群のうち, $O_{2}(G)\neq 1$ であるものの構造を, Cuypers-Hall の結果を用いて, 完全に決定せよ。

3

一般論

3.1

分類への諸定理

分類定理に至る一般論について概略を述べる。 その一部は, 原論文の出版された部分 [F2] にあるほか, [A2] に詳しい記述がある。 ここで述べる形は,Cuypers-Hall[CH1] による。
ここでは,

以下,

$G=\langle D\rangle$

は,3-transposition の共役類

$D$で生成されていると仮定する。

定理 3.1(Normal subgroup theorem). $Z(G)=1$ を仮定すると, 次のいすれかが成り立つ。

ab $|A_{a}=A_{b}\rangle$ $\neq 1(<O_{2}(G))$ ,(1)(2) $W:=(ab$ $|D_{a}=D_{b}\rangle\neq 1(<\mathit{0}_{3}(G))$ ,(3) ab $||ab|=2\rangle$ は単純群である。
$V:=\langle$$\langle$

前節の分類定理における仮定は, ここで (1), (2) が起こらないということを意味している。 これだけで, 群がおおむね単純群であることが導かれてしまうのである。
3-transposition group を考えるときには, $G$ の $D$ に対する, 共役による置換表現を考えることをよくする。 (1) または (2) が成立しているときには, この置換表現が,$\{b|A_{a}=A_{b}\}$ $\{b|D_{a}=D_{b}\}$という集合力 $a\in D$ を含む非原始域になる。分類定理の仮定は, さらに (8) を除外する仮定 $(G’=G”)$ を付けると, 置換表現が原始的であることを意味している, というのが次の定理である。
$\grave{\grave{1}}$定理 32(Transitivity theorem). $Z(G)=V=W=1$ と $G’=G”$ を仮定する。
とのそれぞれに可移に作用する。
このとき, $d\in D$ の中心化群 $C_{G}(d)$ は,$D_{d}$

特に $D$ への置換表現は rank 3 である。

$A_{d}$

67
この辺りのことに Aschbacher が早くから注目していたことは, 興味深い。 [A1]がそれである。 その後, odd transpositions に関する仕事も残しているが, ここでは触れない。
次に続くのは, 分類の根幹を作る定理である。 この定理の証明が, 原論文には全く書かれていないのが, 出版に至らなかった理由の一つであろう。 証明は後に, Weiss
により[W2] として発表されている。

定理 33(Uniqueness theorem). $Z(G)=V=W=1$ と $G’=G”$ を仮定する。
$D_{d}\cap D_{x}(d\in D, x\in A_{d})$ の構造から一意に定まる。
は,
このとき,$G=\langle D\rangle$$D_{d},$

は, 中心化群 $C_{G}(d)$ を生成するので, この定理は中心化群からの多くの場合特徴付けと近いものがある。 先に挙げた例 23 で並べたのは, 実はこの
$D_{d}$$G=\langle D\rangle>\langle D_{d}\rangle>\langle D_{d}\cap D_{x}\rangle$という系列なのであった。 つまり, $W^{*}(E_{8})$ は $W^{*}(E_{7})$ と $W(E_{6})$ から特徴づけらが $S_{2(n-1)}(2)$ と $O_{2(n-1)}^{\mp}(2)$ から特徴づけられる。 ここで にれる。 一般に,$O_{2n}^{\pm}(2)$

よらず
さて,

$D_{d}$$\epsilon$に対応する群 $S_{2(n-1)}(2)$ は同じものであることに注意されたい。

この定理は実は 「特徴付け」 を超えて, 「構成」 へとつながるものなのである。 すなわち, 多くの場合$G=\langle D\rangle$

は,$D_{d}$と$D_{d}\cap D_{x}$から構成される (べき)なのである。 分類は (有限単純群分類がそうであったように) Uniqueness theorem
を用いて, 下から順に特徴付けて行く。 最後の段階で, 散在型単純群を得るところ
で「構成」 が本質的に必要になるのである。 先に, [F1] ではこの定理の証明が不完全だったと書いたが, ひとつひとつ個別に処理すれば良いとも言えるので, そのつもりだったのかもしれない。
例 34. 散在型の場合のデータを一覧表にしておこう。

3.2$G=\langle D\rangle$$D_{a}$$D_{a}\cap D_{b}$$F_{24}$$F_{23}$$O_{8}^{+}(3)$$F_{23}$$F_{22}$$O_{7}(3)$$F_{22}$$U_{6}(2)$$O_{6}^{-}(3)$:$D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}$$S_{3}$$O_{8}^{+}(2)$:$S_{3}$$S_{6}(2)$: 2$W(D_{6})$rank 3 のグラフ

例えば Higman-Sims の群がそうであるように, rank 3 の置換群はグラフの自己同型群として構成されることが多い。 Transitivity theorem により, 問題の 3-

transposition group は rank 3 の置換群なので, まさにそのように構成される。

68
定義 35. 3-transposition group
次のように定義する。

$G\ovalbox{\tt\small REJECT}(D)$(こ対応するグラフ$\mathrm{r}_{G}$(また (ま$\mathrm{F}_{D}$) を頂点集合は $D$ で, 相異なる 2 点 $a,$ $b\in D$ を可換 (i.e. $|ab|=2$ ) であるときに結ぶ。
中心を無視して, $G$ の代わりに $G/Z(G)$ を考えることにしてもグラフは変わらな4しかし, グラフの同型類と群の同型類は (一般には) 一対一対応にならない。
$\mathrm{a}_{\text{。}}$

例えば,という群は, split する場合でもしない場合でもグラフは同じものになる。 しかし, 分類定理 22 の仮定をみたす場合には, 一対一になってグラフから$3^{7}.O_{7}(3)$

群を復元することが出来る。 これは, 次のようなステップ (概略だけを述べる)よる。
(1) グラフ$\Gamma$の任意の 2 点 $a,$$b(b\not\in\{a\}\cup\Gamma_{a})$

に

&こ対し,

\Gamma a\cap \Gamma b=\Gamma a\cap \Gamma c=\Gamma b\cap r。
をみたす
ただし,

$c$

がただ一つ存在することを示す。 (これは, 群における$a^{b}$に相当する。)

はグラフにおける の近傍 (結ばれる点全体) を表す。
(2) グラフの任意の点 に対し, 点の置換 \sigma 。を$\Gamma_{a}$

$a$

$a$

上では恒等写像, b\not\in {a}\cup r。に対しては (1) で示される
対応させる$\{a\}\cup\Gamma_{a}$と定義する。
(3) 集合 $\Delta=\{\sigma_{a}|a\in\Gamma\}$ がグラフの自己同型群に含まれ,3-transposition の共役類になっていることを示す。
である。
(4)

$\langle\Delta\rangle$

$c$

を

において

$\triangle$

が$G/Z(G)\cong\langle\Delta\rangle$

3.3$C_{G}(a)$の置換表現

次に進む前に, 3-transposition の特質から説明することが出来る,

もうーっの置

換表現について述べる。
前述の 「非可換な 3 元 $a,b,$ の生或する部分群」 を考える。 そのときに注意した
ように $H/Z(H)$ は事実上出てこないと思うことにすると, 群構造は 3 種類ということになる。 これらを共役で移すことを考える。 まず $D$ を共役類と仮定して,は固定されると考えて良い。 次に, b\in A。は Transitivity theorem によりひとっに固定して良い。 このとき $b^{a}(=a^{b})$ も固定されるので, 実際には, ここでは $C_{G}(a)$ のというペア全体への置換表現を考えていると思うべきである。 問題のの生或する群は 3 通りなのだが,を作る場合は $c=b^{a}$ なので, これはもう固定されている。 だから, 残りの の取り方は (群構造でいうなら) 2 通りである。 実は, ここで「同型なものは共役で移る」 という事実が成り立つ場合が多いのである。
$c$

$a$

$\{b, b^{a}\}$$a,$ $b,$$S_{3}$

$c$

$c$

69
への置換表現が (多くの場合) rank 3 になるのである。 さらに, それ以上のことが成り立つこともある。 分類定理の (1) $-(3)$は, 部分群 $H$ を含まないのであった。 このことは, 今の置換表現が 2 重可移になっていることを示している。

すなわち,$C_{G}(a)$の$\{\{b, b^{a}\}|b\in A_{a}\}$自体が分類定理の仮定をみたす場合が面白いわけである。 $G\cong S_{2n}(2),$ $U_{n}(2)$の場合は, その仮定をみたさない。
$G\cong S_{n}$ の場合は,
単に $C_{G}(a)\cong S_{n-2}$ の $(n-2)$ 重可移表現が現れるだけである。
: 2 のとき (ま, $C_{G}(a)\cong S_{2(n-1)}(2)$ の 2 重可移表現が現れる。 これは, 指定された symplectic form に対する 2 次形式全体への置換表現である。
$G$ が 3 元体上の直交群の時は,$Cc(a)$ も同様に直交群になる。 この場合は $H$ を含むので rank 3 になるが, それは, singular vector に対する置換表現である。 さらの rank 3 置換
$F24$ のとき (ま, それぞれ $Cc(a)\cong U_{6}(2),$に, $G\cong F_{22},$はこの種の置換
表現が現れる。 残念ながら $C_{G}(a)\cong F_{24}$ となる $G$ はないので,表現を持たない。
$C_{G}(a)$$G\cong O_{2n}^{\pm}(2)$$F_{22},$ $F_{23}$$F_{23},$$F_{24}$

例 36. 一つだけ例を挙 [ずる。 $G\cong W^{*}(E_{8})$ とすれば, ここに現れるの (ま, $C_{G}(a)\cong$$W(E_{7})$ の 28 次の 2 重可移表現である。 $W(E_{7})$ がと同型な $D$ -subgroup を含を自然に働かせる。
むことは容易にわかる。 8 文字の互換全体を考えて, この$S_{8}$$S_{8}$

次に,8 文字を 4 つずつに分ける任意の分け方を考えるとき, 例えば {1, 2, 3, 4} と{5, 6, 7, 8} に分けたなら,(12)$\Leftrightarrow(34),$(13) $++(24),$ (14)$\Leftrightarrow(23),$(56)$\Leftrightarrow(78),$という置換を考える。 これらが生戒する置換群が,(57)$W^{*}(E_{7})$$\Leftrightarrow(68),$(58) $++(67)$と同型になるのである。

43-transposition groups の構成
ここでは,

2 種類の 「構成」 について述べる。 一つは確実な定義として述べられる構成法であるが,4.1

もうひとつはそうではない。

Width extension

一つ目の構成法は, 前節の置換表現と関係している。 これは $C_{G}(a)$ , 正確には$\langle D_{a}\rangle$を構成する方法なのである。 Width という言葉は, 2.1 節で導入したものである。
まず, $a.b,$$c’\in D$ を$|ab|=|bc|=3,$ $|ac|=2$ととる。 互換で言うならのとき,$S_{4}$$I\acute{\mathrm{t}}=\langle D_{a}\rangle$を生成する (12), (23), (34) を取ったと思えばよい。 こ, L=(D。

$\cap D_{b}\rangle$, M=(D。

$\cap D_{b}\cap D_{c}\rangle$

70
とおく。 $K$ をから構成する方法である。 もちろん, $G$ や $K$ のことを知らなくてもできる構成法なので, これらと独立に, 3-transposition groupと, そ$\ovalbox{\tt\small REJECT} M$$L\ovalbox{\tt\small REJECT}(E)$の部分群 $M$ が与えられたとして $K$ を構成するのである。
この方法を定義するためには, まず, 次のような形の 「補題」 が必要である。

「補題」 任意の $x,$ $y\in L$ に対し,型である。

$M^{x}\cap M^{y}$は $X_{0}(\cong L),$

$X_{1},$$X_{r}$$\ldots,$のいずれかと同

定義 41(Width extension). $L,$ $M$ から定まるグラフ
を次のように定義すます,
点集合は $E\cup\{M^{x}|x\in L\}$ を考える。 辺で結ばれる条件は,る。
$\Gamma_{L,M}$$E$の 2 元 $a,$$b$

は (以前と同じく) 可換なときに結ぶ。

と $M^{x}$ [ま $a\in M^{x}$ のとき結ぶ。

$a\in E$$M^{x},$ $M^{y}$は, 共通部分 $M^{x}\cap M^{y}$ があらかじめ指定された (例えば)$X_{1}$と同型なときに結ぶ。
と定義する。 ここから 32 節で述べた方法で $K$ が復元されるのである。
多くの重要な例では,$X_{1}$

は $L$ と width が一致する (唯一の) ものが指定される。

これが width extension という名前の由来である。

例 4.2. $G\cong W^{*}(E_{8})$ の場合,
記の 「補題」 は,$K\cong W(E_{7}),$ $L\cong W(E_{6}),$ $M\cong W(D_{5})$$M^{x}\cap M^{y}\cong W(D_{5}),$ $W(D_{4})$となる。

$S_{5}$

として指定するのは $W(D_{4})$ である。

$X_{1}$

演習 4.3. 上記の例で実際にグラフを作り,

4.2

or

となる。 上$W(E_{7})$が復元されることを確かめよ。

Central extension

記号は, 引き続き前節のものを用いる。今度は, 問題の$L=$をから構成する (方法というより) 原理のようなものである。
(
まず, 3-transposition groupと部分群 が与えられたとして, 前節と同様$G=\langle D\rangle$$K=\langle D_{a}\rangle,$$D\text{。}\cap D_{b}\rangle$$L$$K=\langle F\rangle$の「補題」を用意する。 $x,$ $y\in K$ に対するを分類するわけである。 $K,$ から定まるグラフ
は, 次のような定義になる。ます, 点集合は $F\cup\{(L^{x})_{1},$ $(L^{x})_{2}|x\in$$K\}$ とする。 記号の意味は, L\dashv こ対応する点が 2 つあるという設定を考えるので,添え字で区別したのである。 次に, 辺で結ばれる条件は,$L^{x}\cap L^{y}$$L$$\Gamma_{K,L}$$F$の 2 元 $a,$

結ぶ。

$b$

[ま可換なとき [こ結ひ,$a\in F$と$(L^{x})_{i}$は $a\in L^{x}$ のとき

71
ここまで (ま, 前と同様である。 最後のは,で場合分けされるのであるが,の区別は一般論ではできない。 ここは個別に処理せざるを得ず, 非常に大変なのである。
$(L^{x})\ovalbox{\tt\small REJECT},$$(L^{y})\ovalbox{\tt\small REJECT}$$L^{x}\cap L^{y}$$(L^{x}).,$ $(L^{x})_{2}$とする。 $K\cong W(E_{7}),$ $L\cong W(E_{6})$ である。 この場合 [ま, $K/L$の 2 重可移表現がうまく記述できるので話は簡単である。 例 36 によれば, この 2たち
8 次の置換表現の点集合は, 8 文字の置換全体と同一視できた 1 。だから,も同じ同一視ができる。 (厳密には $N_{h’}(L)--L$ という事実が必要。) そこで, rK, エ

例 44.

$G\cong W^{*}(E_{8})$$L^{x}$の点集合を$F\cup\{(ij)_{1}, (ij)_{2}|1\leq i<j\leq 8\}$と書くことができて, 問題の部分の辺の記述を$(ij)_{1}$は, 共通の文字のない $(kl)_{1}$ , および,

1 文字共通の $(ik)_{2}$ と結ぶ。

と定義すればよい。
演習 45. 上記の例で実際にグラフを作り,

5$F_{22},$ $F_{23},$ $F_{24}$$W(E_{8})$が復元されることを確かめよ。

の構成

最後の節として, 散在型の場合の構戒について述べる。 例 3.4 をご覧いただきたをい。 この表の下から積み上げて行くわけである。 概略だけ言うなら, まず$F_{23}$

Width extension で構成して, 出来上がったものを Central extension として見直しを同様に作ったときの情報が必要になる。)
は centralておく。 (このとき,に相当する部分を (先に見ておいた)
extension で作るしかないのだが, まずは
Central extension で作っておき, それを全体に延長するのである。
$F_{22}$$F_{24}$$F_{23}$

5.1

Width extension$U_{6}(2),$$F_{22},$$F_{23}$は,Width extension で作ることができる。 しかし,

$F_{23}$辺りにな

そのための準備の所に明確な誤り 2 がある。 そのためると十分難しい。 [F1] では,に, 次の重要な補題が抜け落ちてしまっている。 このような補題が独力で証明できれば, [F1] は十分読めると思う。
補題 5.1.

$L=\langle F\rangle\cong O_{8}^{+}(3)$に対し $M^{x}\cap M^{y}\cap F$ は,: 2, $L>M\cong O_{8}^{+}(2)$ : 2 とするとき, 任意の $x,$ $y\in L$$W(D_{4})\cross W(D_{4}),$のい: 2,$O_{8}^{+}(2)$$S_{9},$$S_{3}\cross S_{3}\cross S_{3}\cross S_{3}$

ずれかを生成するか, または空集合である。
1 このことが,例 42 の構成から読みとれれば良いと思い試みてみたのだが, すぐにはうまく行かなかった。
2 例えば,(15.3.10), (15.3.20), (16.1.21), (16.1.22) の主張は成立しない。

72
Width extension は数学的に紛れの余地もないし, 問題点が残っているわけでもCentral extensionない。 しかし, よりエレガントな記述があるなら, その後に続$\text{く}$の扱いが容易になる可能性もある。
問題 5.

$F_{22}$や$F_{23}$のWidth extension の良い記述を考えよ。

正面から取り組む問題とは思わない。 Fischer の議論を追随するだけなら, 「問題」でなく 「演習」 であろう。 何かの別の方向からこれらの群の情報を得ることがあったら, そこで得た知識が Width extension の記述に使えないか,と考えていただければ良いと思う。

5.2

Central extension
以外は Central extension で構成されるのは Central extension としての構造を持っていて,

この section の最初に書いたように,$F_{24}$では無い。 (例えば)の辺が定まっているという事を前提として, 次の$F_{23}$問題 6. Fischer 群 (特に$F_{24}$

思うの場合なら,$F_{24}$)の$(L^{x})_{i},$ $(L^{y})_{j}$$F_{24}$に進むのである。

Central extension の良い記述を考えよ。

Fischer の議論を完全に正当化するだけでも, 十分価値があると(論文として出版に値するかどうかはわからないが)$F_{22},$ $F_{23}$$\text{。}$でも ( $U_{6}(2)$ でも) 良い記述 (例えば $W(E_{8})$ の例のような簡単な記述) があれば, 非常に価値は高いと思う。
なお, Central extension の考え方 (そこで必要な情報) は, より大きな群の部分を構成す群としての構成において有用である。例えば, $2E_{6}(2)$ の部分群として$F_{22}$る話が [C] の最後の数ページで実行されている。

最後に [F1] に書かれなかった補題をもう一つ掲げておく。
のものである。
補題 5.2. $K=\langle E\rangle\cong F_{23},$ $K>L\cong O_{8}^{+}(3)$ :$x,$ $y,$ $z\inK$$S_{3},$$F_{24}$の構或で使うはず$L>M\cong O_{8}^{+}(2)$:$S_{3}$とする。

が$\langle L^{x}\cap L^{y}\rangle\cong\langle L^{x}\cap L^{z}\rangle\cong\langle L^{y}\cap L^{z}\rangle\cong\langle L^{z}\cap L\rangle\cong M$

をみたすとき,$L^{x}\cap L^{y}\cap L^{z}\cap L\cap E\neq\emptyset$

である。

の性質を述べているようだが, この主張を $L^{x}\cap L^{y}\cap L^{z}$の中で考えることと $L^{y}\cap L^{z}\cap L$ との共通部分を調べるものと考えれば,での話である。 では, この 3 つの共通部分ができる。 つまりは $M\cong O_{8}^{+}(2)$ :
この補題は,$K=F_{23}$$L^{y}\cap L^{z}$$S_{3}$の共との中で( $L^{x}\cap L^{y}\cap L^{z}$ など) をどう処理するかと言えば,通部分として調べるのである。 これは, 補題 5.1 の応用として処理できるのである。
$L^{z}$$L^{x}\cap L^{z}$$L^{y}\cap L^{z}$

73
63.

.

$F_{24}$

本稿の締めくくりとして (講演でもそうだったように) 3-transposition group で(位数 3 の 回群との拡大) について触れる。
はない 3.
$F_{24}$6.1$\llcorner\backslash \{\langle\langle$

Conway-Norton 代数
783

次元の可換代数 (Conway-Norton 代数) の全自己同型群である
ことがわかっているが, このことを示した [K1] の議論はの存在を仮定している
この群は,$\cross 2$$F_{24}$ので,構成問題に答えたことにはならない。 かつて $F_{24}>2^{12}.M_{24}$ という包含関係からの構成を試みたが, ある理由で頓挫している。
問題 7. 783$\mathrm{x}2$次元の Conway-Norton 代数を$F_{24}$の存在と独立に構成し, その自己同型群を計算せよ。
可換代数は, 頂点作用素代数と深く関連する可能性がある。 モンスターに対するムーンシャイン頂点作用素代数と関連するのが,Griess 代数であるから, その部分代数として考察することが可能なのかもしれない。

6.2

Y-presentation-presentation である。
次の図形を Y555 と呼ぶ。 添え字は, 中心の点を除いた 3 本の枝にある点の個数をもう一つの手がかりは, 生成元と関係式による記述$\mathrm{Y}$表している。 (ただし, 中心の点も入れて数えた方が良いこと 3 があるため, 最近でという呼び方もされる。)
は$\mathrm{N}\mathrm{I}_{666}$$f_{2}$

これを Coxeter diagram と見て, 点はをみたす生成元を表し, 2 点 $x,$の間 (こ edge があれば $(xy)^{3}=1$ , な (y れば $(xy)^{2}=1$ とう関係式を表すものと$x^{2}=\mathrm{I}$

$y$

$|,$

$Z\backslash ^{\backslash }F\vee 3\Psi^{\mathrm{I}}\mathrm{J}$えば, 拡大$E_{8}$-diagram は$Y_{521}=\mathbb{M}_{632}$$\mathrm{a}$であるが, 後者の添え字の方が意味$( \frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1)$

74
からいくつかの点を除いた場合も考える。
(resp.
) とは,(resp.
) を除 たものである。 この図形で表される関係式に, もう一つする。

$\mathrm{Y}_{553}$$\mathrm{Y}_{555}$$\{e_{2},$ $f_{2},$ $e_{3},$ $f_{3}\},$$\{e_{3}, f_{3}\}$$\{d_{3},$ $e_{3},$ $f_{3}\}$$(\#)$$\mathrm{Y}_{533},$$\mathrm{Y}_{552}$$\mathrm{a}$$\mathrm{A}$$(ab_{1}c_{1}ab_{2}c_{2}ab_{3}c_{3})^{10}=1$を付け加えることで, モンスターを含む有限群が定義されるというのが, 有名な$\mathrm{Y}$-presentation である。
$\mathrm{M}12\cong<\mathrm{Y}_{555},$$(\#)>,$

22.B\cong <h 羽, $(\#)>$ ,$2\cross \mathrm{M}\cong<\mathrm{Y}_{553},$3.

$F_{24}\cong<\mathrm{Y}_{552},$$(\#)>$$(\#)>$

Fischer 群については, [CP] で詳しく調べられており, 証明が与えられている。 $$の生成元, あるいは関係式の数学的な意味を知りたいと思う。 21 世紀において, 次の問題の解決を期待したい。
問題 8.

の生成元が自然に現れるような $3.F_{24}$ の構成を与えよ。 そして, 関係
式 $(\#)$ の意味を調べよ。
$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\sigma)$$\mathrm{Y}_{552}$

Fischer ffl$F_{23},$ $F_{22}\not\in$)$\mathrm{Y}_{432},\mathrm{Y}_{332}\mathrm{B}_{1}\text{ら}$$2\cross F_{23}\cong<\mathrm{Y}_{432},$$(\#)>,$$2^{2}.F_{22}\cong<\mathrm{Y}_{332},$$(\#)>$

として, それぞれ得られる。 また, 5 節で何度も出てきたから: 2 も得られる。 この 3 つ [ま, 全て 3-transposition group そのものが出てくる。 これらの
$O_{8}^{+}(3)$$\mathrm{Y}_{422}$

群の中で, 生成元と関係式の意味を探るのも面白いかもしれない。 いすれにせよ,の subdiagram から
3-transposition groups の視点で重要な群は, ことごとく$\mathrm{Y}_{555}$

出てくるのである。 そして, その延長線に Monster も Baby Monster もある。 何か
良い説明はないのだろうか。

参考文献[A1J M. ASCHBACHER, Ahomomorphism theorem for finite graphs, Proc. Amer.
Math. Soc. 54 (1976), 468-470.
[A2] M. ASCHBACHER, “3-transposition groups”, Cambridge University Press,

1997.
[C] B. COOPERSTEIN, The Geometry of Root Subgroups in Exceptional Groups,
Geometriae Dedicata, 15 (1983), 1-45.
$\mathrm{I}\mathrm{I},$. HALL, The Classification of 3-Transposition Groups[CH1] H. CUYPERS AND
with Trivial Center, in “Groups, Combinatorics and Geometry”. (M. Liebeck
and J. Saxl, Eds), pp. 121-138, London Math. Soc. Lecture Notes 165, Cambridge University Press, 1992.
$\mathrm{J}.\mathrm{I}$75
HALL, The 3-Transposition Groups with Trivial Cen[CH2] H. CUYPERS AND
ter, J. Algebra, 178 (1995), 149-193.
$\mathrm{J}\mathrm{L}$[CP] J.H.CONWAY AND A.D.PRITCHARD, Hyperbolic reflections for the Bimonster and $3Fi_{24}$ , in “Groups, Combinatorics and Geometry” (1992).
[F1] B. FISCHER, Finite group generated by 3-transpositions, University of Warwick, Lecture notes, 1969.
[F2] B. FISCHER, Finite group generated by 3-transpositions , Invent. Math. 13(1971), 232-246.
$\mathrm{I}$$\Omega(7,3),$[K1] M.KITAZUME, The Conway-Norton algebras fortheir full automorphism groups, Invent. Math. 88 (1987), 277-318.
$\Omega^{-}(6,3),$$F_{24}’$, and[K2] M. KITAZUME, Some Non-split Extensions of the Orthogonal Group $\Omega(7,3)$ ,Journal of Algebra, 224 (2000), 59-76.
[KM] M. KITAZUME AND M. MIYAMOTO, 3-transposition automorphism groupsof VOA, to appear in “Finite Groups Theory and Combinatorics in honor ofMichio Suzuki” Advanced Studies in Pure Mathematics.

[M] M. MIYAMOTO, Griess algebras and conformal vectors in vertex operator algebras, J. Algebra 179 (1996), 523-548.
[N] 永尾汎, 群とデザイン, 岩波書店

[W1] R. WEISS, 3-transpositions in infinite groups, Math. Proc. Cambridge Phdos.
Soc. 96 (1984), 371-377.
[W2] R. WEISS, Auniqueness lemma for groups generated by 3-transp0siti0ns,
Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 97 (1985), 421-431.