数理解析研究所講究録 1358 巻 2004 年 98-109

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多次元領域における単純化された走化性方程式系の爆発解の挙動
宮崎大学・工学部

仙葉隆 (Takasi Senba)

Faculty of Engineering, University of Miyazaki

ff1Keller と Segel [6] は、細胞性粘菌が自分自身から生成される化学物質に引き寄せられる性質 (走化性) によって起きる集中現象を記述する方程式系を導出した。その後、 Nanjundiah[12] によって方程式系の単純化がなされた。 それが以下の方
程式系である。
$tt$$t>’ 0>0>0,$(KS)$\{\begin{array}{l}u_{t}=\nabla(\nabla u-u\nabla v)v_{t}=\Delta v-\gamma v+u\frac{\partial u}{\partial\nu}=\frac{\partial v}{\partial\nu}=0u(\cdot,0)--u_{0}\end{array}$$x\in\Omega x\in\Omega x\in\partial\Omega x\in\Omega’,$フ$x\in\Omega$,.

我々は方程式系 (KS) を Keller-Segel 系と呼ぶ。
$(N=1,2,3, \circ=0)$ の中の有界な領域でそ
ここで、 は$\mathrm{R}^{N}$$\Omega$の境界$\Omega$

ルとする。

は滑らかとし、$u_{0}$$\nu$

は境界の外向き単位法線ベクトは非負で滑らかな関数とする。
( x, ) はそれぞれ場所 x、時亥 における粘菌と$v_{0}$(x, ) との密度と粘菌によって生成される化学物質の濃度を表す。
十第 1 の方程式は粘菌の密度の時間変化を表し、は拡散による流れを表がその流れを表している。
は粘菌が化学物質の濃度勾配を感知して濃度の高いし、ほうに移動しようとするために生じる流れを表している。
$t$

$u$

$v$

$t$

$\mathrm{I}\mathrm{J}$$t$$\mathcal{F}=-\nabla u$$u\nabla v$$u\nabla v$$-\nabla u$

89
第 2 の方程式は化学物質の時間変化を表している。 $-v+u$は化学物質が粘菌によって生成され一定の割合で分解している事を表している。

Keller-Segel 系の解について以下の事が成立する。
(i) #\not\in 一つの古典解 $(u, v)$ が時間局所的に存在する。以下、古典解の最大存在時刻を(ii) 解は$\overline{\Omega}\cross$($T_{\max}$と書く。

max) 上で、 滑らかな正の関数となる。

$0,$ $T$(iii) 任意の $t\in[0,$ max) に対して
$T$$||u$( x, )$t$$||_{1}--||u\mathrm{o}||_{1}$が成り立つ。
ここで、任意の $1\leq p\leq\infty$ に対してする。

$||=||_{p}$を $IP$ ノルムと本稿では、 (KS) 並ひに (KS) を単純化した系の解の爆発について知られている結果と新たに得られた結果について述ベる。
ここで (KS) の解 $u$ が $\lim\sup_{tarrow T}||u($とき、時刻$T$$t)||_{\infty}=-$で解が爆発すると言う。そして、を満たす数列(qn’ )$\subset[0, T_{\max})$を満たす$\lim_{narrow\infty}(q_{n}, t_{n})=$$(q, T)_{\text{、}}\lim_{narrow\infty}u$$\{t_{n}\}$.,$t_{n}$$=+\mathrm{o}\mathrm{o}$があるとき点$q$$\{q_{n}\}\subset\overline{\Omega}$とを爆発点と呼ぶ。 また、爆発点の集合を $B$ で表す。
また、 $(u, v)$ を (KS)の解とし、 $T_{\max}<\infty$が成り立つ

ならは

u .,
$($

$\lim_{tarrow T_{maoe}}||$を満たす。 従って、$t)||_{\infty}= \lim_{tarrow T_{\max}}||v($$T_{\max}$

ならば$T_{\max}$.,$t)||_{\infty}=-$は爆発時刻となる。

100解の爆発条件や爆発解の挙動は、領域の次元によって異なる。 現在知られている結果は大きく分けて、 1 次元、 2 次元、3 次元以上と 3 つの場合に分けられる。 本稿では、 1 次元と 2次元の領域を「低次元領域」と呼び、 3 次元以上の領域を「多次元領域」 と呼ぶこととする。

2 節では、低次元領域において知られている結果について紹介する。 3 節では、多次元領域における知られている結果と問題点、そしてその部分的な解答について述べる。

2低次元領域のおける結果

本節では、 を低次元の有界領域で、その境界 \Omega は滑らかとは上の滑らかな非負関数でとする。また、$\Omega$$\overline{\Omega}$$u_{0}$$u_{0}\not\equiv 0$$v_{0}$

を満たすものとする。

領域が 1 次元の場合は (KS) 系の解は爆発しない。つまり、以下が成り立つ。
定理 1 $\Omega=(a, b)(-\infty<a<b<\infty)$ とする。 そのとき、 (KS) の解は時間大域的に存在し、有界である。

従って、解の爆発と言う切り口では 1 次元の場合の (KS) の解は興味がない。

一方、領域が 2 次元の場合は解の$L^{1}$ノルムと爆発現象の間に密接な関係があることがわかっている。
定理 2 ([1], [11]) 以下の (i) 又は (ii) が成り立つとせよ。

(i)$\Omega$

は 2 次元の有界領域であり、$u_{0}$は $\int_{\Omega}u_{0}dx<4\pi$ を満たす。

(ii)$\Omega$は原点を中心とする有界な 2 次元の開円盤であり、$u_{0}$

101と$v_{0}$は球対称で $\int_{\Omega}u_{0}dx<8\pi$ が成り立つ。

そのとき、 (KS) の解は時間大域的に存在し、有界となる。

序の (iii) より解の $L^{1}- J$ ルムは時間に依らず一定であることがわかるが、定理 2 は解の$L^{1}$ノルムが十分小さければ時間大域的に解が存在し、有界である事を主張している。 さらに、
以下の定理から定理 2 の中に現れる$4\pi$や$8\pi$という量が爆発解の挙動と関係している事がわかる。
定理 3([4])$\Omega$

は 2 次元の有界な開円盤とする。 そのとき、以下を満たす (KS) の球対称な爆発解が存在する。

in$u(\cdot, t)arrow 8\pi\delta_{0}+fas$ $tarrow T_{\max}(<\infty)$

ここで、 D はであり、$\delta_{0}$$L^{1}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}\backslash \{0\})$$\mathrm{n}(\Omega)$.に属する球対称な非負関数

は原点をサポートに持つデルタ関数である。

このとき、 定理 3 の解は、 半円盤 $\Omega_{+}=\{x=$ (x1,$\mathrm{R}^{2}||x|<1,$)$x_{2}>0\}$ 上の解でもある。 そのとき、 その解は$u(\cdot, t)arrow 4\pi\delta_{0}+f$as$tarrow T_{\max}$を満たす。 従って、定理 2 に現れる

$4\pi_{\text{、}}8$in\pi$x_{2}$$\in$$\mathrm{M}(\Omega_{+})$と定理 3 の解が持つ特異性に関係があると予想できる。

次に述べる定理がこの事の肯定的な証拠と考えられる。
定理 4 ([10])限時刻$T_{\max}$$\Omega$

を 2 次元の有界領域とせよ。 $(u, v)$ を有で爆発する (KS) の解とし、その爆発点は有限個であるとする。 そのとき、 以下の事が成立する。
$u( \cdot, t)arrow\sum_{q\in B}m(q)\delta_{q}+f$

as$t\prec T_{\max}$$M(\Omega)$.

102
ただし、$f$ は$L^{1}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}\backslash \mathcal{B})$に属する非負関数であり、$m(q)$は$m(q)\geqq m_{*}(q)\equiv\{\begin{array}{l}8\pi ifq\in\Omega 4\pi ifq\in\partial\Omega\end{array}$を満たす定数である。
我々は、 (KS) の解が有限時刻で爆発するときその爆発点は常に有限個であると予想している。 この予想は次に述べる (N)の解について示す事ができる。

(v),$0=\Delta v-\gamma v+u$$1u_{t}=\nabla-$,$\nabla u-u,\nabla 0_{\wedge}=\Delta v_{\wedge}-\gamma v+u\underline{\partial u}\underline{\partial v}==0$(N)$\partial\nu-\partial\nu-\cdot$$u(\cdot, 0)=u_{0}$,,x\in \Omega フ $t>0$ ,$x\in\Omega,t>0x\in\Omega,t>0x\in\partial\Omega,t>’,0$$\mathrm{w}\sim-..,$$x\in\Omega$,.

(N) は、 Nagai [8] によって (KS) を単純化することにより導出された方程式系であり、その解の構造は (KS) とよく似ていると予想している。 その意味で、以下の定理は (KS) の爆

発解の爆発点が常に有限個であると言う予想の肯定的な証拠となっている。
を 2 次元の有界領域とし、 $(u, v)$ を有限定理 5([13])時刻 Tm。x で爆発する (N) の解とする。 そのとき、爆発点は$\Omega$有限個であり、 以下の事が成立する。
$u(\cdot, t)$”$\sum_{q\in B}m(q)\delta_{q}+f$

ただし、D は$L^{1}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}\backslash B)$

as $tarrow Tmax$$\mathcal{M}(\overline{\Omega})$.に属する非負関数であり、$m(q)$は $m(q)\geqq m_{*}(q)$ を満たす定数である。

103
さらに最近、鈴木貴氏 (大阪大$m_{*}(q)$基礎工) により $m(q)=$であることが報告された。

ここまで述べた定理は、有限時刻で爆発する解の挙動に関する結果である。

以下の定理は、解が有限時刻で爆発すための初期値についての十分条件を与えている。
定理 6([9])を 2 次元の有界領域とし、$\Omega$$u_{0}$は以下の (i)または (ii) を満たしているとする。

$q$に対し(ii) $I$ $u_{0}(x)dx>4\pi$ であり、 境界上のある点$q$$\int_{\Omega}u_{0}(x)|x-$の近傍で境\Omega界が線分となっていて $\int_{\Omega}u_{0}(x)|x-q|^{2}dx<<1$ が成り立っている。

そのとき、 (N) の解は有限時刻で爆発する。
定理 5 上り定理 6 で得られた爆発解の挙動が定理 5 で述べられている挙動を示す事がわかる。
また、 が定理 6 の (2) を満たしていて、 $||u_{0}||_{1}\in(4\pi, 8\pi)$を満たしているとする。 そのとき、定理 5 より境界上に 1 点だけ爆発点が現れる事がわかる。
$u_{0}$

3

多次元領域における結果

本節では、 $L\in$ ( o) とし、 $\Omega=\{x\in \mathrm{R}^{N}||x|<L\}(N\geq$$3)$ とする。また、とは– 上の滑らかな非負関数で$0,$$u_{0}$$\Omega$$v_{0}$$u_{0}\not\equiv 0$

104を満たすものとする。
以下の結果は、 Nagai [8] の結果の 3 次元以上の部分を取り出したものである。 この定理より、 2 次元領域における定理に現れた$4\pi_{\text{、}}8$等の爆発と時間大域的存在を分離する\pi$L^{1_{-}}$

量が存在しない (、 または多次元領域の場合のその量が 0 である) 事がわかる。
定理 7([8])$\lambda$$\lambda$を任意の正の数とせよ。そのとき、$||u($.,$t)||=$を満たすような有限時刻で爆発する球対称解が存在する。

次の方程式系も (KS) を単純化したモデルとして、 J\"ager とLuckhaus [5] によって導出された方程式系であり、 この系の爆発解の挙動も (KS) のそれと似ていると予想している。
$u_{t}=\mathit{7}$$\{$$(\nabla u-u\nabla v)$$\mathrm{x}[0, \infty)$,$0=\Delta v-p+u$ in $\Omega \mathrm{x}[0,T_{\max})$ ,$[_{\Gamma 1}vdx=0$$\int_{\Omega}vdx=0$(JL)in 0$\partial u$$[0, T_{\max})$
T_{\max})$ ,in $[0,$\partial v$$\overline{\partial\nu}\overline{\partial\nu}==0$$u(\cdot, 0)=u_{0}$in$\partial\Omega\cross[0, T_{\max})$,in 0.

は非負定数である。
次の定理は定理 7 の補足として、任意の Ll-量に対してその量を重さとするデルタ関数が現れるような (JL) の爆発解
ここで、$\mu$が存在する事を主張している。 さらに上記で述べた我々の立場に立てぱ、 (KS) の解もその性質を持つ事が予想される。

せよ。任意の $\lambda>0$ と $T_{\max}>0$ に
定理 8([2])で爆発し以下を満たす (JL) with $\mu=1$ の球対対して、$\Omega=\mathrm{R}^{3}$$T_{\max}$

称な爆発解がある。
$u(\cdot, t)arrow\lambda\delta_{0}+f$

as $tarrow T_{\max}$in$\mathcal{M}(\mathrm{R}^{3})$.

105
ただし、 $f$ は$L^{1}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}\backslash \{0\})$に属する非負球対称関数である。

次の定理は、多次元領域上の (JL) 系はデルタ関数的な特異性を持たない爆発解がある事を主張している。その事は、 (KS)も同様の爆発解を持つ事を示唆している。
定理 9([3])$\Omega=\mathrm{R}^{3}$とせよ。

$\{\lambda_{n}\}_{n\geq 1}$

with limn。

$\lambda_{n}=$$\infty$があって、任意の $Tm\text{。}x>0$ に対して Tm。x で爆発し、以下を満たす (JL) with $\mu=0$ の爆発解が存在する。

$2$$u_{n}(\cdot, t)arrow u_{*n}$as$tarrow T_{\max}$$u_{*n}(x) \sim\frac{\lambda_{n}}{|x|^{2}}$定理$8_{\text{、}}9$in$\mathcal{M}(\mathrm{R}^{3})$,as $x\sim 0$ .

から、多次元領域における走化性方程式並びにそれを単純化した方程式の爆発解は、低次元の場合に現れなかった特異性を持つ事がわかる。
そこで、「爆発解が持つ特異性の中で最も弱いものは何か。」、
そして 「それぞれの特異性は安定であるか。
」 と言う問題が起ニる。
ここでは、「特異性の強弱」や「特異性の安定性」の定義を明確に述べていないが、以下の定理を述べることでそれら定義も含めて説明していきたい。
以後、$N\geqq 3_{\text{、}}L$\in $(0, \infty)$ とし、 $\Omega=\{x\in \mathrm{R}^{N}||x|<L\}$ とする。 また、 $\omega_{N}=|S^{N-1}|$ とおく。

定理 10 $M\in$ (負関数で$0,$2\mbox{\boldmath $\omega$}N)$\text{、}k>0$とする。

$u_{0}$

を球対称な非$\int_{|x|<}rfor$ $0<r<L$ .

108
そのとき、 (JL) with$\mu=\lambda/|\Omega|$の解は時間大域的に存在し、有界である。

定理 11 $M>(2N-2)\omega_{N}/(N-2)\text{と}$ せこのとき、以下を満たす $k\gg 1$ と $0<\epsilon\ll 1$ が存在する。

『$\int_{1x1<r}u$0 $(x)dx\underline{>}Mkr^{N}/(1+kr^{2})$for$0\underline{<}r\leq\epsilon$

ならば、

$|<r$

with

$\mu=\lambda/|\Omega|$

ここで、定理$10_{\text{、}}1$の解は爆発する。 』

1 のの仮定において$karrow\infty$とおいてみ(x)dxの係数が十分小さければ解が時間大域的に存在し、逆にそれが十分大きければ解は爆発する事を主張している。
る。そのとき、定理 10、垣は大まかに言ってまた言って$\int_{|x|<r}\frac{1}{|x|^{2}}dx=\overline{N}-\overline{2}\omega \mathrm{p}rN-2$$u_{0}$$\overline{r}\varpi_{-\overline{2}}^{1}\int_{|x|<r}u\mathrm{o}$が成り立つ事より、 大まかには $1/|x|^{2}$ の定数倍に対応していると言える。

これらの事から、 $1/|x|^{2}$ 型の特異性が爆発解の持つ特異性の中で最も弱いものであると考えられる。 また、球対称な状
況下で爆発解の持つ特異性の強弱は爆発点 (原点) の近傍にどれだけ Ll-量が集中しているかが一つの指標となると考えられる$\text{。}$つまり、$\int_{|x|<r}u$(x, $T_{-x}$ ) x の $r=0$ の近傍での大小$d$が一つの指標となると考えられる。
定理 12$N\geqq 37_{\text{、}}||u\mathrm{o}||_{1}\in$($\frac{2N-2}{N-2}\omega_{N},$$4$\mbox{\boldmath $\omega$}N) とする。 さらに、 $0<\epsilon<<1$ と $k>>1$ に対して$\frac{Mk^{2}r^{4}}{1+k^{2}r^{4}}\leq\frac{1}{r^{N-2}}\int_{|x|<r}u_{0}(x)dx\underline{<}\frac{4\omega_{N}kr^{2}}{4(N-2)+kr^{2}}$が成り立っているとする。 このとき、解は

for $0<r<\epsilon$$T_{\max}^{\cdot}\underline{=}1/k$発し、 以下が成立する。
$M \leqq\frac{1}{r^{N-2}}\int_{|x|<r}u(x, T_{\max})dx\leqq 4\omega_{N}$.

で爆

107
定理垣の後に述べた立場に立つと、 定理 12 で得られた爆発解は大まかに言って $1/|x|^{2}$ 型の爆発解であると言える。 その意味で、上の定理の不等式を満たす初期関数に対する解は$1/|x|^{2}$ 型の爆発解であると言える。従って、その意味で $1/|x|^{2}$型の爆発解は安定であると言える。
さらに、以下の定理では $1/|x|^{2}$ 型の爆発解と自己相似解の間に密接な関係がある事を示唆している。 ここで、が (JL) with $\mu=0$ の白己相似解であるとは、任意の正の数$(\overline{u}, \overline{v})$

$T$

に対して
$u(x, t)= \frac{1}{T-t}\overline{u}(\frac{r}{\sqrt{T-t}})$(1)$v(x, t)= \overline{v}(\frac{r}{\sqrt{T-t}})$が (JL) with $\mu--0$ の解になる事を言う。 そのとき、 以下の定理が成立する。
定理 13(i) $3\leqq N\leqq 9$ の時、無限個の (JL) with $\mu=0$の自己相似解が存在し、 (1) で定義された解は $1/|x|^{2}$ 型の爆発をする。

(ii) 10\leqq N、少なくとも 1 個の (JL) with $\mu=0$ の自己相似解が存在し、 (1) で定義された解は型の爆発をする。
$1/|x|^{2}$

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