Zusammenfassung der Diplomarbeit mit dem Titel

Stochastic Mortality Models and Securitization in LifeInsurance
Sandra GaißerFakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften, Universität Ulm
1. Gutachter: Prof. Dr. R. Kiesel
2. Gutachter: Prof. Dr. H.-J. Zwiesler

Der Verlauf der (Versicherten-) Sterblichkeit bildet eine der wichtigsten Kalkulationsgrundlagen für Lebensversicherungsunternehmen. Traditionsgemäß gehen die Versicherungen von deterministischen Sterblichkeitsraten aus, was soviel heißt, dass die (zukünftigen) Sterblichkeitsraten zu jedem Zeitpunkt als bekannt angenommen werden. Die Höheder Versicherungsprämien und -leistungen werden dann zu Beginn eines Vertrages basierend auf dem so genannten Äquivalenzprinzip festgelegt. Insofern sind zuverlässigeAnnahmen über den zukünftigen Verlauf der Sterblichkeit und somit über die Längeund Höhe des mit einem Lebensversicherungsvertrages verbundenen Zahlungsstroms unerläßlich. Falls sich nun aber im Laufe der Zeit die Sterblichkeit anders entwickelt alserwartet, stellt dies aufgrund des bindenden und langfristigen Charakters dieser Verträgeein Risiko für die Unternehmen dar. Die Gründe für eine unerwartete Änderung des Sterblichkeitsverlaufs sind zahlreich. Beispielhaft erwähnen wir die in den letzten Jahrzehnten
verbesserte medizinische Versorgung im Alter, die Entwicklung neuer Medikamente gegen Krankheiten und Seuchen oder die verbesserte Ernährungssituation. Während dieseFaktoren eine langsame und allmähliche Veränderung der Sterblichkeit hervorrufen, ist
es ebenso möglich, dass sich die Sterblichkeit plötzlich und abrupt verändert. Letzteres
tritt, zum Beispiel, aufgrund von Naturkatastrophen oder dem plötzlichen Ausbruch vonEpidemien auf.

Tatsächlich kommen viele Autoren (wie zum Beispiel Cairns et al. (2004) und Currie etal. (2004)) überein, dass man die zukünftige Entwicklung der Sterblichkeit nicht präzise prognostizieren kann. Im Gegenteil, man geht davon aus, dass sich die Sterblichkeit
1eher stochastisch als deterministisch verhält. Um dieser Tatsache Rechnung zu tragen,wurden verschiedene stochastische Modelle eingeführt, wovon viele die Sterblichkeitsintensität als stochastischen Prozess modellieren. Hierbei verwenden die meisten Autoren
die Brownsche Bewegung als stochastischen Störprozess. In diesem Zusammenhang untersuchen wir zunächst so genannte ”short-rate Modelle” (vergleiche Dahl (2003)), dieauf bekannten Techniken aus der Interest Rate Theory basieren.
Aufgrund der strukturellen Eigenschaften der Brownschen Bewegung sind diese Modellejedoch nicht geeignet, um plötzliche Änderungen der Sterblichkeitsintensität zu modellieren. Aus diesem Grund führen wir eine neue Klasse stochastischer Modelle für die Sterblichkeitsintensität ein, die auf allgemeinen Lévy Prozessen als Störprozesse beruhen und
die Modellierung von Sprüngen der Sterblichkeitsintensität ermöglichen. Da gemäß derLévy Decomposition Formel jeder Lévy Prozess als Summe einer Brownschen Bewegung
mit Drift und einer möglicherweise unendlichen Summe von unabhängigen CompoundPoisson Prozessen dargestellt werden kann, kann mit diesem Prozess ein sehr unterschiedliches Sprungverhalten der Sterblichkeitsintensität modelliert werden. Weiterhinkann man in diesem Modellrahmen andere Verteilungsannahmen als die der Normalverteilung für die Sterblichkeitsintensität treffen. Dadurch ist es insbesondere möglich, extremen Ereignissen eine höhere Wahrscheinlichkeit zuzuordnen. Des Weiteren zeigt sich,dass die strukturellen Eigenschaften von Lévy Pozessen, wie die Unabhängigkeit undStationarität der Inkremente, eine Herleitung geschlossener Formeln für die Überlebenswahrscheinlichkeiten ermöglichen. Ferner sind wir in der Lage, wichtige Eigenschaften
wie die strikte Positivität der Sterblichkeitsintensität zu bewahren, indem wir geeigneteLévy Prozesse wählen.
Wir erweitern das deterministische Gompertz-Makeham Modell, indem wir die darin
auftretenden Parameter als Ornstein-Uhlenbeck (OU) Prozesse mit allgemeinen Lévy
Störprozessen modellieren. Das heißt, die Sterblichkeitsintensität µt (x) eines x-Jährigenzum Zeitpunkt t hat die folgende Formµt (x) = αt + βt eγx ,γ ∈ IR,(1)wobei α = (αt )t≥0 und β = (βt )t≥0 OU Prozesse mit unabhängigen Lévy Störprozessen
sind.

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Ausgehend von diesen Überlegungen untersuchen wir im Anschluss Möglichkeiten für Lebensversicherungsunternehmen, mit dem Risiko einer sich unerwartet ändernden Sterblichkeit umzugehen. Eine solche Möglichkeit ist, zum Beispiel, durch Securitization gegeben, die im Allgemeinen die Verbriefung und Absicherung von Forderungen am Finanzmarkt darstellt. Lebensversicherungsunternehmen sind somit in der Lage, einen Teil desRisikos an die Finanzmärkte beziehungsweise die Investoren abzugeben. Besonders dieSecuritization von so genanntem Longevity Risk ist von Bedeutung. Sie basiert auf derEinführung von Mortality Bonds (vergleiche Lin und Cox (2004)), deren Zahlungen vonder Entwicklung der Sterblichkeit in einem Pool von Versicherungsverträgen abhängen.
Longevity Risk umfasst hier das Risiko, dass künftige Sterblichkeitsraten niedriger sindals erwartet. Da eine sich unerwartet ändernde Sterblichkeit den Preis des Mortality
Bonds beeinflusst, ist eine Bewertung des Bonds basierend auf einem deterministischen
Modell für die Sterblichkeitsintensität unangemessen. Deswegen bewerten wir den Bondauf Basis des stochastischen Modells in (1). Eine abschließende Simulationsstudie ergibt,
dass der Mortality Bondpreis sehr sensitiv bezüglich Änderungen einzelner Parameterdes OU Prozess β in (1) ist. Des Weiteren zeigt sich, dass der Bondpreis in unserem
stochastischen Modell stets niedriger ist als der entsprechende Bondpreis, wenn man eindeterministisches Modell für die Sterblichkeitsintensität zugrunde legt. Dies ist zu erwarten, da eine stochastische Mortalität einen zusätzlichen Risikofaktor darstellt.

Der Aufbau der Arbeit ist folgendermaßen: Das zweite Kapitel vermittelt die notwendigen
Grundlagen für die Modellierung der Sterblichkeit. Nach der Definition der deterministischen Sterblichkeitsintensität und anderen verwandten Begriffen, diskutieren wir einige
deterministische Modelle zur Modellierung der Sterblichkeitsintensität wie, zum Beispiel,das Gompertz-Makeham und das Lee-Carter Modell, die häufig in der Praxis ihre Anwendung finden.
Im dritten Kapitel beschäftigen wir uns mit der stochastischen Modellierung der Sterblichkeitsintensität. Hier unterscheiden wir im wesentlichen die zwei erwähnten Modelle.
Zum einen die sogenannten ”short-rate” Modelle, die auf der Brownschen Bewegung als
Störprozess beruhen und die Sterblichkeitsintensität ähnlich der short-rate in der Finanzmathematik modellieren. Zum anderen diskutieren wir einen neuen Ansatz von stochastischen Modellen für die Sterblichkeitsintensität, der auf allgemeinen Lévy Prozessen be3

ruht. Hierzu geben wir eine Einführung in die Theorie der Lévy und Ornstein-Uhlenbeck(OU) Prozesse und leiten bestimmte Verteilungscharakteristiken verschiedener Funktionale von integrierten OU Prozessen her. Besonders die Laplace Transformierte von OU
Prozessen spielt eine wichtige Rolle und ist fundamental für die weiteren Kapitel. Im Speziellen diskutieren wir das erweiterte Gompertz-Makeham Modell in (1). Da in diesem
allgemeinen Fall die Sterblichkeitsintensität jedoch mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit negativ werden kann, schränken wir die Klasse der zulässigen Lévy Prozesse auf
sogenannte Subordinators ein. Diese garantieren dann unter gewissen Bedingungen einestrikte Positivität der Sterblichkeitsintensität. Ein Beispiel für solch einen Subordinatorstellt der Compound Poisson Prozess mit Drift dar, der hier ausführlich behandelt wird.
Sobald die Sterblichkeitsintensität als stochastischer Prozess modelliert wird, ist es notwendig, die Bewertung von Lebensversicherungsverträgen dementsprechend anzupassen.
Dies wird in Kapitel 4 behandelt. Hierzu untersuchen wir zunächst die Struktur des Zahlungsstroms von einfachen und auch komplexeren Lebensversicherungsverträgen, deren
Zahlungen, zum Beispiel, an die Entwicklung eines Aktienindizes gekoppelt sind. Nacheiner Einführung in die traditionelle Bewertung von Lebensversicherungsverträgen, die
auf der Annahme einer deterministischen Sterblichkeitsintensität und dem Äquivalenzprinzip beruht, modifizieren wir dieses Prinzip für den Fall einer stochastischen Sterblichkeitsintensität. Um sowohl einfache als auch an den Finanzmarkt gekoppelte Verträgezu bewerten, binden wir anschließend das stochastische Modell für die Sterblichkeitsintensität in ein Finanzmarktmodell ein. Das Kapitel endet mit einigen Beispielen vonFinanzprodukten und deren Bewertung.
Kapitel 5 befasst sich mit Securitization. Nach der Diskussion allgemeiner Aspekte zu
diesem Thema, befassen wir uns mit der Securitization des Longevity Risk. Wir stellen
die Bewertung des Mortality Bonds unter der Annahme einer deterministischen sowie
stochastischen Sterblichkeitsintensität vor. Besonders gehen wir auf die Unterschiede
zwischen diesen beiden Bewertungsansätzen ein und versuchen, diese genauer zu quantifizieren.
Ausgehend von letzterer Bewertungsformel für den Mortality Bond, wird in Kapitel 6
eine Simulationsstudie durchgeführt, um das Verhalten des Bondpreises näher zu untersuchen. Diese Simulationsstudie dient vor allem dazu, die Sensitivität des Bondpreisesbezüglich der Parameter der Sterblichkeitsintensität zu untersuchen. Ferner wird der4Preis mit dem entsprechenden Preis im deterministischen Modell verglichen.
Kapitel 8 schließlich zieht Schlussfolgerungen aus den vorherigen Kapiteln.
Der Anhang beinhaltet einige Resultate und Theoreme, die wir im vorangehenden Teilder Arbeit benötigen.

LiteraturCairns, A., Blake D., und Dowd K. (2004). Pricing Death: Frameworks for the Valuationand Securitization of Mortality Risk. Preprint. Heriot-Watt University.
Currie, I.D., Durban, M., und Eilers P.H.C. (2004). Smoothing and forecasting mortality
rates. Working paper. Heriot-Watt University.
Dahl, M.H. (2003 ).

Stochastic Mortality in Life Insurance: Market Reserves andMortality-Linked Insurance Contracts. Working paper No. 185. Laboratory of Actuarial Mathematics, University of Copenhagen.
Lin, Y. und Cox, S. (2004). Securitization of Mortality Risks in Life Annuities. Journalof Risk and Insurance 72(2), 227-252.

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