PROMOTION 2006
Mémoire d’actuariat présenté devant

Le Jury du CEA
Pour l’obtention duDiplôme d’Actuaire du CENTRE D’ÉTUDESACTUARIELLESPar Julie GAMONET

Sur le Sujet

MODÉLISATION DU RISQUE OPÉRATIONNELDANS L’ASSURANCE
Devant un jury composé deListe du Jury

Directeur du mémoire

Thomas BEHAR
Vincent DAMAS
Arnaud COHEN
Gérard CROSET
Jean-Pierre DIAZ
Brigitte DUBUS
Paul ESMEIN
Michel FROMENTEAUBenoît HUGONIN
Christophe IZARTPierre PETAUTON
Florence PICARD
Christian Yann ROBERT

Stéphane MENARTCONFIDENTIALITÉ□Centre d’Études Actuarielles

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REMERCIEMENTS
J’adresse mes remerciements à Stéphane Ménart, directeur de la Direction Technique
et des Risques, pour sa disponibilité, son soutien et ses précieux conseils.
Je tiens également à remercier tous les membres de la Direction Technique et desRisques qui m’ont supportée et beaucoup aidée, en particulier la directrice de la
Veille Technique Brigitte Dubus et mes collègues Romain Boyer Chammard,
Alexandre You et Véronique Girault.
Je voudrais aussi remercier Christian Yann Robert pour sa grande disponibilité aucours de la rédaction de mon mémoire.
Je tiens à remercier Patrick Naïm pour son aide dans le cadre des réseaux bayésiens.
Enfin, je souhaite remercier mon entourage pour m’avoir soutenue et encouragée.

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RÉSUMÉ
La nouvelle norme européenne Solvabilité II sera applicable dès 2012 et remplacera
Solvabilité I. Elle impose aux compagnies d’assurance un nouveau cadre
règlementaire plus strict mais plus adapté à leurs risques propres. Une des grandes
nouveautés est que les compagnies ont l’obligation de mobiliser une partie de leursfonds propres en couverture de leur exposition aux risques opérationnels. Pourcalculer ce montant de capital, le régulateur propose deux approches : une approche
standard et une approche avancée. L’approche standard est une approche simplifiée
calculée comme un pourcentage des primes ou des provisions. L’approche avancée
est un modèle interne où le risque correspond réellement à la situation del’entreprise. Le CEIOPS incite les compagnies à opter pour le modèle interne en
rendant l’approche standard beaucoup plus consommatrice en fonds propres. Cemémoire s’adresse aux compagnies qui souhaitent mettre en place un modèle interne
pour le risque opérationnel. Il propose notamment un modèle interne simplifié qui
ne nécessite pas forcément de données observées en s’appuyant sur des avis
d’experts. Puis il propose un modèle plus complexe dans lequel il distingue lesrisques de fréquence des risques de gravité qu’il modélise de façon indépendante parles approches Loss Distribution Approach (LDA) et réseaux bayésiens
respectivement. Il traite des problèmes de manque de données, de seuil de collectes,
d’estimation de probabilités conditionnelles et d’agrégation des risques. Il abordeégalement la théorie des valeurs extrêmes pour modéliser les risques de gravité.

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ABSTRACTThe new European standard Solvency II will be applicable from 2012 and will replace
Solvency I. It imposes to insurance companies a new stricter statutory frame but
more adapted to their appropriate risks. One of the big novelties is that thecompanies have the obligation to mobilize a part of their stockholders' equity on the
cover from their exposure to the operational risks. To calculate this amount of capital,
the regulator proposes two approaches: a standard approach and an advanced
approach. The standard approach is a simplified approach computed as a percentageof the premiums or the reserves. The advanced approach is an internal model where
the risk really corresponds to the situation of the company. The CEIOPS incites thecompanies to opt for the internal model by making the standard approach much
more consumer in stockholders' equity. This report addresses the companies whichwish to set up an internal model for the operational risk. It proposes in particular asimplified internal model which does not require necessarily observed data byleaning on opinions of experts. Then it proposes a more complex model in which hedistinguishes the risks of frequency of the risks of gravity which are modelled in an
independent way by the approaches LDA and the Bayesian networks respectively. It
treats problems of lack of data, of threshold of collections, estimation of conditional
probability and aggregation of the risks. It also approaches the theory of the extreme
values to model the risks of gravity.

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TABLE DES MATIÈRES
1 Introduction ......................................................................................................................... 9
1.1 Qu’est-ce que le risque opérationnel ? ....................................................................... 9
1.2 Contexte Solvabilité II ............................................................................................... 9
1.3 Enjeux et objectifs pour les compagnies d’assurance .............................................. 10
1.4 Objectifs du mémoire ............................................................................................... 11
2 Présentation du risque opérationnel ............................................................................ 13
2.1 Exemples de risque opérationnel fréquent ............................................................... 14
2.2 Exemples de risque opérationnel grave potentiel..................................................... 14
2.3 Exemples de risque opérationnel grave avéré .......................................................... 15
2.4 Comparaison du risque opérationnel sous Solvabilité II et Bâle II.......................... 15
3 Gestion du risque opérationnel dans une compagnie d’assurance ........................ 19
3.1 Présentation générale de la démarche ...................................................................... 19
3.2 Principe du Self Risk Assessment............................................................................ 20
3.3 Exemple de quantification de risque dans le Self Risk Assessment ........................ 23
3.4 Cartographie des risques .......................................................................................... 23
4 Présentation des méthodes de quantification............................................................. 27
4.1 Formule standard...................................................................................................... 27
4.1.1
4.1.2

Formule standard issue des QIS4........................................................................... 27
Formule standard issue du CP53 ........................................................................... 29

4.2 Méthode de mesures avancées ................................................................................. 31
4.2.1
4.2.2
4.2.3

Méthode LDA (Loss Distribution Approach) ......................................................... 31
Approche par scénarios.......................................................................................... 34
Approche Bayésienne ............................................................................................. 34

4.3 Méthodes de calcul de la charge totale..................................................................... 37
4.3.1
4.3.2
4.3.3
4.3.4

Formule récursive de Panjer.................................................................................. 37
Inversion de la fonction caractéristique................................................................. 41
Méthode basée sur les moments ............................................................................. 43
Simulation de Monte-Carlo .................................................................................... 43

4.4 Théorie des Valeurs Extrêmes.................................................................................. 45
4.5 Mesures de risque..................................................................................................... 51
4.6 Agrégation des risques ............................................................................................. 52
4.6.1
4.6.2
4.6.3
4.6.4

Mesure de concordance.......................................................................................... 53
Définition des copules ............................................................................................ 54
Estimation des paramètres d’une copule................................................................ 58
Méthode des rangs.................................................................................................. 60

5 Modèle théorique du risque opérationnel................................................................... 63
5.1 Modélisation des risques de fréquence..................................................................... 64
5.2 Modélisation des risques de gravité ......................................................................... 68
5.2.1
5.2.2

Apprentissage des connaissances........................................................................... 69
Apprentissage des données..................................................................................... 75

5.3 Définition de la matrice des risques ......................................................................... 87
6 Modélisation simplifiée du risque opérationnel ....................................................... 89
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7 Application de la modélisation des risques de fréquence ....................................... 95
7.1 Statistiques descriptives des données ....................................................................... 99
7.2 Estimation des distributions de sévérité ................................................................. 103
7.3 Estimation des distributions de fréquence.............................................................. 114
7.4 Application de la méthode Loss Distribution Approach avec seuil ....................... 117
7.5 Simulation des scénarios de perte totale ................................................................ 126
7.6 Agrégation des scénarios........................................................................................ 128
8 Application de la modélisation des risques de gravité........................................... 131
8.1 Self Risk Assessment du risque ............................................................................. 132
8.2 Modèle simplifié .................................................................................................... 133
8.3 Modèle Bayésien .................................................................................................... 138
8.4 Comparaison des résultats et conclusions .............................................................. 145
9 Application de la théorie des valeurs extrêmes........................................................ 147
9.1 Modélisation des pertes extrêmes .......................................................................... 147
9.2 Modélisation des pertes attritionnelles................................................................... 155
9.3 Simulation des pertes et résultat............................................................................. 163
10 Capital pour tout le risque opérationnel ................................................................. 165
10.1 La formule standard issue des QIS4....................................................................... 165
10.2 La formule standard issue du CP53........................................................................ 166
10.3 Comparaison des résultats entre formules standards QIS4 vs CP53...................... 167
10.4 Modèle interne simplifié ........................................................................................ 168
11 Conclusion générale .................................................................................................... 169
12 Bibliographie................................................................................................................. 171
13 Liste des abréviations .................................................................................................. 173
14 Annexes .......................................................................................................................... 174
14.1 Annexe A : Référentiel des risques Bâle II ............................................................ 174
14.2 Annexe B : Référentiel des processus de Generali ................................................ 176
14.3 Annexe C : Référentiel des risques de Generali..................................................... 177
14.4 Annexe D : Scénarios de place du secteur bancaire............................................... 180

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1 INTRODUCTION
1.1 QU’EST-CE QUE LE RISQUE OPÉRATIONNEL ?
Le risque opérationnel peut être défini comme le risque de pertes résultant deprocédures internes inadaptées ou défaillantes, d’erreurs humaines, de défaillancedes systèmes informatiques, d’évènements extérieurs. Ce sont donc des risques qui
existent depuis toujours dans les compagnies. Il peut s’agir par exemple, deproblèmes informatiques qui ralentissent les salariés pendant quelques heures qui
sont des incidents banals et courants mais il peut également s’agir de l’incendie deslocaux comme l’incendie du Crédit Lyonnais qui avait engendré de lourdes pertes.
Le risque opérationnel est donc un risque qui peut s’avérer très coûteux.
Jusqu’à présent, la règlementation ne prévoyait pas sa prise en compte. Aujourd’hui,
c’est chose faite avec la nouvelle règlementation Solvabilité II.

1.2 CONTEXTE SOLVABILITÉ II
Depuis 2001, le Comité Européen des Contrôleurs d’Assurance et des Pensions
Professionnelles (CEIOPS) prépare un nouveau cadre règlementaire pour lescompagnies d’assurances, Solvabilité II, qui s’apparente à celui mis en place dans lesbanques avec la réforme Bâle II. Ce cadre permettra d’harmoniser et de moderniser
les règles de solvabilité en les rendant plus adaptées aux risques de l’entreprise.
Ce projet s’organise en plusieurs niveaux dont le premier niveau est la directive
Solvabilité II qui édicte les principes. Adoptée par le Conseil Ecofin1 et votée le 22
avril 2009 par le Parlement Européen, la nouvelle directive entrera en vigueur en
octobre 2012 et remplacera la directive Solvabilité I en vigueur actuellement. Le
niveau 2 représente les mesures d’exécution de la directive. Pour les définir, le
CEIOPS organise de vastes consultations auprès des acteurs de marché par le biais
des papiers consultatifs (CP) et des études quantitatives (QIS). Le niveau 3 représente
les recommandations qui seront élaborées ultérieurement.
La réforme Solvabilité II prévoit une structure à trois piliers de type Bâle II :
 le Pilier I définit des règles quantitatives avec principalement une évaluation
prospective des provisions techniques, deux niveaux de besoin en capital(MCR2 et SCR) et des règles de couverture des engagements ;1
2

Conseil pour les Affaires Économiques et Financières
MCR est le capital minimum requis et le SCR est le capital de solvabilité requis

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 le Pilier II impose un processus de contrôle prudentiel avec un renforcement
des contrôles en matière de gestion des risques, contrôle interne, gouvernance,
processus de supervision et pouvoirs d’action du superviseur ; le Pilier III a vocation à rendre la communication externe des sociétés plustransparentes et plus harmonisée au niveau européen en fixant les exigences
en matière d’information publique, d’information aux assurés etd’information prudentielle.
Une des grandes nouveautés de Solvabilité II est l’introduction du risqueopérationnel qui intervient dans le pilier I avec la quantification du besoin en fonds
propres mais également dans le pilier II avec la mise en place de leur gestion.

1.3 ENJEUX ET OBJECTIFS POUR LES COMPAGNIES D’ASSURANCE
Actuellement, le régulateur propose aux compagnies deux approches pour quantifier
leur risque opérationnel : une approche standard et une approche avancée.
L’approche standard est une approche simplifiée calculée comme un pourcentage
des primes ou des provisions. L’approche avancée est un modèle interne où lesrisques correspondent réellement à la situation de l’entreprise. Le régulateur semble
vouloir inciter les compagnies à opter pour le modèle interne en rendant l’approche
standard beaucoup plus consommatrice en fonds propres.
Les risques opérationnels sont par nature très difficiles à quantifier et l’on pourrait
penser que les compagnies préfèreront choisir la formule standard qu’investir dans
un modèle interne.
Le modèle interne ne doit pas seulement fournir un capital au titre du risqueopérationnel, il doit également être utilisé dans la gestion d’entreprise c’est-à-direque les compagnies doivent prouver qu’elles utilisent leur modèle interne comme un
outil de pilotage et de management des risques (« use-test »).
De plus, les compagnies doivent mettre en place des moyens de gestion et decontrôle des risques qui soient implantés dans toute l’entreprise, traduits dansl’organisation, les procédures et les systèmes d’information, documentés, à la basedes décisions opérationnelles en préservant la réactivité de l’entreprise.
Il s’agit donc de mettre en place un véritable outil centralisé de quantification et depilotage des risques, assorti d’un dispositif de contrôle interne performant
permettant d’identifier, de contrôler et de gérer ces risques.

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1.4 OBJECTIFS DU MÉMOIRE
Dans ce cadre, ce mémoire va s’attacher à apporter des solutions concrètes en termesde quantification par modèle interne du capital au titre du risque opérationnel.
Nous commencerons par présenter le risque opérationnel dans le chapitre 2, en
donnant des exemples pour que le lecteur comprenne bien le caractère diffus desrisques opérationnels dans l’entreprise et donc la difficulté de modélisation.
Ensuite, dans le chapitre 3, nous présenterons un exemple de gestion des risquesopérationnels dans le cadre d’une première évaluation.
Dans le but de présenter les modèles, nous introduirons, dans le chapitre 4, lesdifférentes méthodes de quantification existantes : approche standard (formule
standard des QIS4 et CP53) et approche avancée (LDA ou Loss Distribution
Approach, scénarios et réseau bayésien) et la théorie permettant de les appliquer(calcul de la charge globale). Nous présenterons également dans ce chapitre la théorie
des valeurs extrêmes, la mesure de risque et l’agrégation des risques par les copules.
Nous proposerons alors, dans le chapitre 5, la démarche de quantification
décomposant les risques opérationnels en deux principales catégories : risques defréquence modélisés par LDA (avec notamment le problème des seuils de collectedes données) et risques de gravité modélisés par les réseaux bayésiens. Ce modèle
sera long à mettre en œuvre pour les compagnies et nécessitera beaucoupd’informations.
Aussi face aux manques de données des compagnies qui commencent à s’intéresser
au sujet, nous proposerons, dans le chapitre 6, un modèle alternatif simplifié, basé
sur les avis d’experts, nous permettant d’avoir une première vision de nos risques.
Le reste du mémoire sera constitué d’applications.
Dans le chapitre 7, nous modéliserons les risques de fréquence en appliquant laméthode LDA sur des données du secteur bancaire car, étant donné la similarité
entre les risques, les données d’une banque nous semblaient appropriées. Nous
distinguerons deux méthodes : la méthode LDA classique et la méthode LDA sur desdonnées tronquées. Nous verrons également l’impact des copules pour l’agrégationde ces risques.
Puis, dans le chapitre 8, nous prendrons un exemple de risque de gravité sur lequelnous appliquerons le modèle simplifié et les réseaux bayésiens, nous permettant
ainsi de les comparer.
Dans le chapitre 9, nous appliquerons la théorie des valeurs extrêmes sur notre basede données bancaires.
Enfin, dans la dernière partie, nous exposerons les résultats issus des formules
standards des QIS4 et du CP53 que nous comparerons aux résultats de notre modèleinterne simplifié.
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2 PRÉSENTATION DU RISQUE OPÉRATIONNELLe CEIOPS définit le risque opérationnel comme « le risque de pertes résultant deprocédures internes inadaptées ou défaillantes, ou de membre du personnel et desystèmes, ou d’évènements extérieurs. Le risque opérationnel ainsi défini comprend
les risques juridiques mais non les risques découlant de décisions stratégiques ni les
risques de réputation ».
Le risque opérationnel n’est pas un concept nouveau puisqu’il existe depuis toujours
dans les compagnies d’assurance du fait même qu’elles aient des clients, qu’elles
utilisent des outils informatiques, qu’elles fassent des placements financiers… Le
risque opérationnel est partout dans les entreprises. La nouveauté provient de lamise en place d’outils de mesure et de contrôle des risques opérationnels commepour les risques de marché, de crédit et d’assurance. Nous citerons plus loin desexemples de risques opérationnels.
Chez Generali, les risques opérationnels se divisent en neuf grandes catégories (voirannexe C pour plus de détails):
 Fraude interne (R1)
 Fraude externe (R2)
 Dysfonctionnement de l’activité et des systèmes (R3) Dommages aux actifs corporels (R4)
 Clients / Tiers et produits (R5) Exécution et gestion des processus (R6)
 Pratiques en matière d’emploi et sécurité sur le lieu de travail (R7)
 Règlementation et conformité (R8)
 Pilotage (cette catégorie est évoquée à indicatif mais elle est exclue dans la
Directive)
Ces risques sont appelés risques de niveau 1.
Chaque risque de niveau 1 est subdivisé en plusieurs sous-risques et ainsi de suite
jusqu’au niveau 4. Le niveau 4 représente l’évènement de risque.
Exemple de risque :Niveau 1
Niveau 2
Réglementation et Marché
conformité
financierrèglespratiques

Niveau 3
Nonet conformité

Niveau 4
Non-conformité de la société degestionà
son
agrément(moyens, organisation, activité…)

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Le risque opérationnel peut également être subdivisé en deux catégories : risques maîtrisables : ce sont les pertes provenant de défaillances desprocessus, des erreurs humaines, de défaillances informatiques… Ce type derisques peut être atténué par anticipation notamment grâce à des contrôles
préventifs,
 risques non maîtrisables : ce sont les pertes causées par des évènements
extérieurs non maîtrisables comme des catastrophes naturelles ou d’autres
facteurs non contrôlables par les compagnies d’assurances. C’est un type derisques non négligeable mais non maîtrisé par les assureurs. Par exemple, lacrue de la Seine n’est pas maîtrisée par les assureurs, il faut prévoir des plansde replis pour continuer l’activité en cas d’inondation des bureaux. Lescompagnies auront souvent recours à des couvertures d’assurances et desplans de continuité d’activité pour prendre en compte ce type de risques.

2.1 EXEMPLES DE RISQUE OPÉRATIONNEL FRÉQUENT
Afin d’illustrer la notion de risque opérationnel, voici quelques exemples de risquesfréquemment observés : Incidents informatiques qui empêchent momentanément les agents de réaliser
des affaires ; Erreur dans le paramétrage informatique des commissions ; Un partenaire nous quitte avec son portefeuille de clients ; Des sachants quittent la compagnie sans avoir transmis leur savoir ; Non respect des délais de livrable dans la conception d’un produit ; Délais de régularisation des écarts ACAV3.

2.2 EXEMPLES DE RISQUE OPÉRATIONNEL GRAVE POTENTIEL
Voici quelques exemples de risques opérationnels susceptibles de survenir : un incendie du serveur informatique qui paralyse toute la compagnie ; une crue centennale de la Seine qui touche les bureaux de la compagnie (lesdégâts faits sur les biens des assurés ne sont pas pris en compte ici mais dansle risque assurantiel) ; Une pandémie affecte un grand nombre de salariés de l’entreprise et empêche
la continuité des activités.
3

Ajustements correspondant à la moins-value potentielle des placements boursiers sur les contrats UC

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2.3 EXEMPLES DE RISQUE OPÉRATIONNEL GRAVE AVÉRÉDans les banques et compagnies d’assurances du monde entier, les plus grosses
pertes opérationnelles observées sont liées à des placements financiers risqués ou
frauduleux. Ces pertes sont liées à la déficience en matière de contrôle interne : nonséparation des pouvoirs, mauvaise supervision des employés ou non respect desprocess.
L’exemple de la Société Générale : La Société Générale a enregistré en 2008 des pertesénormes résultant de prises de positions frauduleuses d’un de ces traders M. Jérôme
Kerviel. Il aurait exposé la banque à un risque de marché alors que ce n'était pas dansses attributions : il aurait accumulé des positions acheteuses sur les contrats à terme
portant sur indice et dissimulé ces opérations faites sur le marché en introduisantdans le système informatique de la Société générale des opérations inverses fictives
les compensant. Les causes de ces importantes pertes sont la fraude interne et une
défaillance dans les contrôles.
L’exemple du Crédit Lyonnais : Le Crédit Lyonnais a été victime de l’incendie
spectaculaire de son siège parisien, le 5 mai 1996. L'incendie couvert par lesassureurs, a occasionné des dégâts très importants qui ont coûté plus de 1 milliard defrancs.
L’exemple de la banque Barings : l’effondrement de Barings a constitué la faillite laplus spectaculaire au monde car elle était la banque la plus ancienne du RoyaumeUni. La cause de cette faillite provient des risques pris par son trader M. Nicolas
Leeson. En effet, ce dernier a pris d’importantes positions à découvert sur l’indice
Nikkei en dépassant les montants autorisés. Le trader était à la fois responsable duBack office et du trading ce qui lui permettait de faire ce qu’il voulait. La chute del’indice due au tremblement de terre de Kobe a engendré d’énormes pertes pourBarings, ce qui l’a conduit à la faillite en 1995. Les causes ont été un risque humain
volontaire associé à un manque de contrôles et une mauvaise séparation despouvoirs.

2.4 COMPARAISON DU RISQUE OPÉRATIONNEL SOUS SOLVABILITÉ II ET
BÂLE II
Différents contextes règlementaires : Dans les banques, il existe une règlementation forte en matière de contrôleinterne depuis 1997 (CRBF 97-02 : ce texte a marqué une étape importantedans le fonctionnement de l’audit interne dans la mesure où il introduit lesnotions de risque et de contrôle continu),

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 En assurance, l’introduction des exigences de dispositif de contrôle interne est
récente (décret du 13 mars 2006). Les exigences à satisfaire sont moins précisesque dans la réglementation Bâle II.

Objectifs comparables pour le risque opérationnel :L’objectif des règlementations bancaire et assurantielle est d’introduire une
contrainte de surveillance du risque opérationnel pour éviter la survenance defaillites liées à des déficiences opérationnelles (i.e. Barings, incendie du siège duCrédit Agricole,…).

Définition similaire du risque opérationnel :La définition du risque opérationnel est identique dans Solvabilité II et Bâle II :
 Bâle II : risque de pertes résultant d’une inadaptation ou d’une défaillance
imputable à des procédures, personnels et systèmes internes, ou à desévènements extérieurs. Inclut les évènements de faible probabilitéd’occurrence, mais à risque de perte élevée. Le risque opérationnel ainsi défini
inclut le risque juridique, mais exclut les risques stratégiques et de réputation(Source : art. 4-1 de l’arrêté transposant Bâle II en France) ; Solvabilité II : risque de pertes résultant de procédures internes inadaptées ou
défaillantes, ou de membre du personnel et de systèmes, ou d’évènements
extérieurs. Le risque opérationnel ainsi défini comprend les risques juridiquesmais non les risques découlant de décisions stratégiques ni les risques deréputation (Source : directive cadre du 10 juillet 2007, articles 13 et 100).

Poids du risque opérationnel dans le capital règlementaire : Dans le secteur bancaire, le poids du risque opérationnel est inférieur à celui
des autres risques dans les exigences en capital : entre 12% et 20% desexigences en fonds propres pour une banque généraliste.
 Avec Solvabilité II, il semblerait que le poids soit revu à la hausse dans ladeuxième vague de papiers consultatifs mais ce n’est pas encore définitif. Il
représente pour Generali un des trois plus gros risques.

Méthodes de quantification :Deux méthodes sont proposées dans Solvabilité II contre trois dans Bâle II Modèles internes :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Institut des Actuaireso Bâle II : VaR à 99,9% et prise en compte des effets d’assurances (i.e.
remboursement des pertes) avec un plafond maximal de 20% des pertes
sur base individuelle ;o Solvabilité II : VaR à 99,5% pour le calcul du SCR (art 100, p3), lapossibilité de prendre en compte des couvertures d’assurance n’est pas
précisée ; Formules standard :o Bâle II : Indicateurs de base et standard, construits sur la base du PNB
et d’un coefficient multiplicateur de 15% pour la méthode de base etentre 12% et 18% pour la méthode standard ;o Solvabilité II : Méthode standard construite sur la base des primes etprovisions par activité, avec application d’un plafond à 60% du BSCR.

Nomenclature des lignes de métiers et risques : Ligne de métiers et catégories de risques normalisées dans Bâle II (ie matrice 8
x 7),
 mais non précisées dans Solvabilité II.

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3 GESTION DU RISQUE OPÉRATIONNEL DANS UNE COMPAGNIE
D ’ AS S UR AN C E
Dans ce chapitre, nous allons exposer la démarche de gestion des risquesopérationnels dans le cadre de la modélisation : le Self Risk Assessment (SRA) et les
travaux de cartographie avec leurs objectifs quantitatifs et qualitatifs.

3.1 PRÉSENTATION GÉNÉRALE DE LA DÉMARCHE
Dans le cadre de la mise en œuvre du dispositif de calcul du capital économique, leGroupe GENERALI a mené des analyses qualitatives et quantitatives de ses risquesopérationnels. Les données quantitatives issues de ces analyses permettront à termed’alimenter le modèle de calcul.
1) Approche « Top down » :Cette approche consiste à partir d’une vision générale du risque par les dirigeants
puis de faire analyser ces risques par des experts.
Les fonctions opérationnelles de Generali sont réparties en 3 directions par marché.
Chaque direction a été interrogée pour faire ressortir ses 10 risques opérationnels
majeurs.
Finalement, 25 risques ont été retenus et étudiés. L’analyse de chacun de ces risquespar les causes, les dispositifs de contrôle et les conséquences associés a permis
d’estimer des paramètres de quantification du risque et de réaliser une évaluation dechaque risque. Cette approche est appelée Self Risk Assessment. Cette démarche aété déployée en ateliers de travail avec des experts opérationnels internes désignés
par les Comités de Direction.
Cette approche dite « Top down » nous permet d’obtenir dans un premier temps une
visibilité sur les principaux risques auxquels est exposée la Compagnie. Elle constitue
par ailleurs un vecteur important d’information et de sensibilisation aux enjeux durisque opérationnel.
2) Approche « Bottom-up » :Depuis Août 2008, Generali mène des analyses plus exhaustives des risques. C’est
l’approche par la cartographie des risques dite « Bottom-up ». Elle consiste à analyser
de façon exhaustive et systématique les risques opérationnels et les contrôles liés àchaque processus identifié de Generali. C’est un outil majeur du pilotage du risqueopérationnel pour le management, les contrôleurs internes et les opérationnels euxmêmes.
Cette approche repose sur deux éléments :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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 Trouver un niveau de granularité approprié. Une maille trop fine impliquerait
un chantier trop lourd et la cartographie qui en résulterait serait ingérable auquotidien. Au contraire, une maille trop large ne permettrait pas le pilotage durisque opérationnel. Generali a donc sélectionné un certain niveau degranularité qui sera exposé plus loin.
 S’assurer de l’implication des acteurs de la gestion opérationnelle dansl’élaboration de la cartographie. Les propriétaires des processus et descontrôles, les contrôleurs internes, les managers et les gestionnaires desrisques doivent s’impliquer dans la construction dans un premier temps, puis
dans la mise à jour de l’outil dans un second temps.
3) Mise en place d’une base d’incidents :Parallèlement à la cartographie, Generali va mettre en place une base de données
historisées des évènements de risques opérationnels survenus et des pertes associées.
La constitution de cette base permettra : de corroborer ou non les évaluations données par les deux premières
approches (basées sur un Self Assessment) et participera au pilotage desrisques opérationnels,
 de suivre l’évolution des risques et l’efficacité des contrôles mis en place, d’alimenter le modèle interne pour le calcul du capital économique.

3.2 PRINCIPE DU SELF RISK ASSESSMENT
Les risques majeurs sélectionnés par le Comité ont été traités de la façon suivante :pour chaque risque, une analyse de scénarios a été faite selon 3 hypothèses : basse,moyenne et haute. Cette analyse est à la fois qualitative (causes / conséquences /dispositif de contrôle) et quantitative (fréquence / sévérité).

Plus précisément, la démarche méthodologique de Self Risk Assessment des risquesopérationnels se décompose en quatre étapes :Étape 1 : définition du périmètre d’analyse du risque
Étape 2 : détermination du contexte et des hypothèses d’évaluation
Étape 3 : identification des facteurs d’analyse qualitative
Étape 4 : identification des paramètres d’analyse quantitative

Étape 1 : l’expert définit et décrit précisément le risque. Cela permet de délimiter lepérimètre d’analyse. Il décline tous les contextes potentiels d’occurrence du risque.
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Parmi tous les évènements de risque identifiés, il sélectionne celui qui lui semble leplus significatif.
Étape 2Déclinaison du risque en3 scénarios de criticité
basse à élevéeÉtape 3
Analyse et
identification desimpacts potentiels durisque par scénario

Étape 4
Quantification del’impact net dechaque scénario

Scénario 1 :hypothèse haute

Causes
Dispositifs de contrôle
Conséquences

Paramètres
de quantification

Scénario 2 :hypothèse moyenne

Fréquenced’occurrence

Scénario 3 :hypothèse basse

Dispositifd’atténuation

Étape 2 : l’expert détermine ensuite des hypothèses d’analyse qui correspondentchacune à un scénario de gravité et de rareté croissantes : l’hypothèse basse est laplus faible en terme d’impact et de fréquence ; l’hypothèse haute correspond à une
situation sévère. Ces hypothèses doivent être décrites précisément pour permettre
une analyse qualitative et quantitative du risque.

Étape 3 : Analyse qualitative du risque fondée sur l’identification et la description
des facteurs suivants : cause du risque, dispositif de contrôle, conséquences.
La cause du risque constitue l’élément générateur direct de l’évènement de risqueanalysé.
Le dispositif de contrôle désigne tous les contrôles, procédures, systèmes, indicateursde suivi tant internes qu’externes dont dispose Generali afin de réduire l’occurrence
de l’évènement de risque et de limiter les impacts en cas d’occurrence.
La conséquence est un effet consécutif à l’occurrence d’un évènement de risque. Ellepeut être financière ou qualitative. Elle peut être directe ou indirecte : on considère
qu’elle est indirecte dès lors que les pertes sont consécutives à des actions correctrices
menées par l’entité.
Pour aider l’expert dans sa réflexion, le risk manager lui présente des typologies decauses et de conséquences.
Une fois tous ces facteurs de risques identifiés, il s’agit de construire descombinaisons « Causes / Conséquences / Dispositif de contrôle » associées à chaquehypothèse définie afin de permettre la quantification des impacts et fréquence.

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Étape 4 : la démarche d’analyse quantitative consiste à évaluer les conséquences
identifiées pour chacune des hypothèses définies préalablement et la fréquenced’occurrence associée.
Les conséquences qualitatives sont recensées pour information et pourront fairel’objet de quantification dès lors qu’elles donnent lieu à des coûts indirects.
Pour chaque conséquence quantitative, l’expert devra déterminer une formule
précise de calcul de l’impact.
La somme de toutes ces quantifications par hypothèse, donnera l’impact financier
global de chaque scénario.
Il est important de prendre en compte pour chaque hypothèse, les diverses mesuresd’atténuation et de récupérations afin de déterminer l’impact net.
La détermination de la fréquence d’occurrence de chaque scénario est laissée àl’appréciation des experts en fonction de leur connaissance de l’activité et de leurpropre sensibilité au risque sans qu’aucune assistance à la décision ne leur soit
proposée.

Voici la liste des risques étudiés dans le cadre du SRA :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

Non respect des procédures TRACFIN
Évolution réglementaire impactant les produits et l’activité
Non-respect du taux de PB annoncé
Vente forcée, défaut de conseil
Abus de marché (délit d'initié)
Non respect de la confidentialitéIndisponibilité temporaire des systèmes d'information
Paramétrage informatique
Virus informatique, malveillance
Inadéquation des ressources (dimensionnement équipe)
Perte de capital humain
Détournement de fonds de clients (fraude interne)
Fraude de la part des clients
Retard dans le traitement des actes de gestion des contrats
Défaillance du processus décisionnel (stratégie d'investissement)
Non respect des délégations commerciales
Mauvaise appréciation du risque à la souscription
Actes de vente inadaptés (couple risque/produit)
Non respect par un fournisseur de son contrat de prestation
Désadossement actif-passif
Erreurs dans les comptes consolidés
Fiabilité des données comptables (piste d'audit)
Risques de planification
Erreur d'exécution sur les marchés financiers
Sinistres sur immeubles d'exploitation

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3.3 EXEMPLE DE
ASSESSMENT

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QUANTIFICATION DE RISQUE DANS LE

SELF RISK

Nous présentons ici un résumé de fiche technique pour le risque d’erreur dans lepassage d’ordre :Risque d'erreur interne sur le sens, la quantité ou le code valeur à la saisie d'un ordre
Hypothèse Basse
Description

Hypothèse Moyenne

Hypothèse Haute

1% de décalage par rapport au marché

2% de décalage par rapport au marché

5% de décalage par rapport au marché

Moins de 1% de la VL moyenne duportefeuille

Entre 1% et 2% de la VL moyenne duportefeuille

Au-delà de 2% de la VL moyenne duportefeuilleDurée de détection de l'erreur (entraînant

Durée de détection de l'erreur (entraînant

Durée de détection de l'erreur (entraînant

risque d'erreur de VL et de fait un risquerisque d'erreur de VL et de fait un risquerisque d'erreur de VL et de fait un risqued'indemnisation) : quelques heures
Montant de l'ordre moyen fourchetted'indemnisation) : un jourMontant de l'ordre moyen fourchetted'indemnisation) : plusieurs mois
Impact sur les marchés de l'erreur

basse en portefeuille (5M€)

moyenne en portefeuille (50M€)

Montant de l'ordre moyen fourchette

Périmère : Generali Investments France

Périmère : Generali Investments France

haute en portefeuille (250M€)
Périmère : Generali Investments France

Fréquence

12 fois tous les ansConséquences financières (K€)

6 fois tous les ans

1 fois tous les 5 ans

175

825

15 500175

825

15 250Perte marge technique brute
Perte financière directeCoûts de communication / formationCoûts de rectification de l'erreur
Gestes co. / Réclamations clts
Sanctions réglementaires

250

Pertes juridiques
Autres pertes directes
Conséquences qualitatives
Satisfaction client / partenaire
Assignation
Réglementaire

Fort

Incidence sur la continuité
Santé et Sécurité
Climat social
Image / Réputation Grand PublicFort

VL = Valeur liquidative

3.4 CARTOGRAPHIE DES RISQUES
L’obligation de suivi et de maîtrise de nos risques passe par l’étape incontournablede la cartographie des risques opérationnels. Cette étape est d’autant plus importantepour l’entreprise qu’elle conditionne les actions de réduction des risques et lesystème de reporting incidents, qu’elle contribue au dimensionnement du contrôleinterne et qu’elle fait partie du modèle interne soumis à la validation de l’autorité decontrôle.
De façon générale, la cartographie consiste à décrire tous les processus et à yrattacher des risques notamment pour permettre au contrôle interne de cibler ses
actions et de préparer des plans d’actions.
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La cartographie requiert au préalable le recensement de tous les processus existantsrépertoriés dans un référentiel de processus (voir annexe B) et celui de tous lesrisques pouvant affecter une compagnie d’assurance, répertoriés dans un référentiel
de risques (voir annexe C).
Exemple de processus :Niveau 1
Niveau 2
Processus
Gérer lesmétierréseaux

Niveau 3
Administrer
les réseaux
agents,courtiers,
apporteurs

Niveau 4
AgentsNiveau 5
Sélectionner
un Apporteur

Une fois ce travail effectué, la cartographie consiste à identifier pour chaqueprocessus les risques opérationnels pouvant entraîner une perte sur le processus et à
quantifier les impacts moyens de ces risques.
Les processus seront déclinés par niveau comme les risques. Le référentiel desprocessus se décompose en cinq niveaux de granularité : Niveau 1 : métier (IARD, Vie, etc.)
 Niveau 2 : domaine (habitat, auto, etc.)
 Niveau 3 : processus (souscription, sinistre, etc.)
 Niveau 4 : opération (enregistrement, règlement, etc.)
 Niveau 5 : tâche élémentaire (envoi du chèque, etc.)
Mais à quel niveau de processus la cartographie doit-elle être faite ?
Le niveau médian « processus » semble être le niveau pertinent de la cartographie. Il
constitue d’une part le meilleur compromis entre le temps passé à l’élaboration de la
cartographie et le degré de pertinence de la vision des risques. D’autre part, c’est leniveau d’équilibre permettant de faire converger et de relier les éléments obtenus à
partir de chacune des deux principales méthodes (Top down et Bottom up).
Il semble également que ce niveau soit pertinent dans la construction et le suivi d’une
base incidents.
Dans le cadre du calcul du besoin en fonds propres, la cartographie intervient
surtout pour mettre en exergue les risques à modéliser. Pour cela, les expertsdétermineront la fréquence moyenne et la sévérité moyenne de chaque risque qui
seront ensuite utilisées pour classer les risques dans la matrice de Prouty (voir [1]).

Voici une représentation théorique de la matrice de Prouty qui croise fréquence
moyenne et sévérité moyenne de chaque risque :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Fréquence

Risque defréquence

Risqueimpossible

Risques
insignifiants

Risque degravitéSévéritéIl ressort quatre grandes catégories de risque de cette matrice : risque faible : fréquence faible, sévérité faible. Ce type de risque est
négligeable ; risque de fréquence : fréquence forte et sévérité faible. Le sinistre a un coup
unitaire faible mais survient souvent. Sa réduction relève essentiellement de laprévention ; risque de gravité : fréquence faible et sévérité forte. Le sinistre est rare mais a
un coût important voire très important. Sa réduction relève essentiellement dela protection et parfois du plan de continuité d’activité ; risque impossible : fréquence forte et sévérité forte. Il doit être hors du champdes possibles pour éviter la disparition rapide de l’entreprise.
Cette classification va nous permettre d’identifier les risques de fréquence et degravité et de les modéliser indépendamment.

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4 PRÉSENTATION DES MÉTHODES DE QUANTIFICATION
4.1 FORMULE STANDARD
Désormais, Solvabilité II nous impose de détenir du capital au titre du risqueopérationnel. Ce montant peut être calculé soit par une formule standard donnée parle régulateur, soit par un modèle interne qui sera validé par les autorités de contrôle.
Pour les entreprises qui auraient du mal à mettre en place un modèle pour le risqueopérationnel, la formule standard permet de déterminer facilement le besoin en
capital du risque opérationnel.
Le CEIOPS fait tester les formules standard auprès des assureurs du marché par lebiais de questionnaires appelés quantitave impact studies (QIS) et fait évoluer les
formules en fonction des remarques et difficultés rencontrées par les entreprises.

4.1.1

FORMULE STANDARD ISSUE DES QIS4

La dernière formule standard qui a été testée est celle issue des QIS 4, était de laforme suivante :0.03 • Earn life + 0.02 • Earn nl + 0.02 • Earn h ;SCRop = min Op load • BSCR; max  + Op unitlinked 0.003 • TPlife + 0.02 • TPnl + 0.002 • TPh 

TPlife=provisions techniques vie (brutes de réassurance)

TPnl

=

provisions techniques non vie (brutes de réassurance)TPh=provisions techniques d’assurance-santé (brutes de réassurance)

Earnlife=

primes acquises vie (brutes de réassurance)

Earnnl=primes acquises non vie (brutes de réassurance)

Earnh

=

primes acquises santé (brutes de réassurance)

BSCR

=

SCR avant ajustement

SCRop

=

Le montant de capital au titre du risqué opérationnel

Opload=Coefficient prédéfini (entre 25 et 50%)

Opunitlinked=

Coefficient prédéfini à 1% des provisions techniques pourl’entité liée

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Cette formule limite le risque opérationnel par un plafond qui est un pourcentage duSCR. Elle décompose le risque en vie, non-vie et santé d’une part et en primes etprovisions d’autre part. Le coefficient attribué aux primes en vie est plus élevé quepour la non vie et la santé car le risque semble plus élevé en vie du fait desplacements financiers qui n’existent pas ou peu en non vie et santé. En ce qui
concerne les provisions, cette fois, c’est le coefficient non vie qui est le plus
important.
Cette formule est trop simpliste pour être réaliste, elle ne prend pas en compte lesévènements extérieurs ni la façon de gérer les risques : 2 compagnies peuvent avoir lemême montant de primes et gérer leurs risques totalement différemment, elle ne tientcompte que des primes et des provisions. D’autres facteurs sont très importants pourévaluer ce risque.
Voici le retour sur les QIS4 (source CEIOPS):Les compagnies qui ont répondu au QIS4 sont partagées sur le fait que la formule
standard soit adéquate ou non (47% pensent qu’elle l’est contre 53%). En général, lesassureurs non vie ont une opinion plus positive de la charge du risque opérationnel
que les assureurs vie.
De nombreuses compagnies ont déclaré que la formule standard avait besoin dequelques améliorations. Les principaux problèmes remontés par les compagnies ausujet de la formule sont : La corrélation à 100% avec les autres risques ; Le plafond des 30% du SCR est trop élevé : en moyenne, la charge au titre durisque opérationnel tourne autour de 6% du SCR mais dans 8 états certaines
grosses compagnies ont dépassé le plafond des 30% ; Le manque de sensibilité au risque : la segmentation du risque opérationnel
dans la formule standard n’est pas suffisamment fine pour réellement capter
les risques.
Certaines compagnies pensent que le risque opérationnel ne peut être appréhendé
que via un modèle interne et repose essentiellement sur le pilier 2.
Les propositions de solutions faites par les compagnies : Modifier la formule standard en prenant un pourcentage du BSCR ou du
SCR ; Le capital doit être sensible au management des risques opérationnels ; Prendre en compte la diversification des risques.
Il ressort également que l’application de la formule standard à de nombreuses
compagnies pourraient conduire certaines compagnies à détenir plus de capital queleur modèle interne ne le suggère et d’autres à n’en pas détenir assez.

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D’autre part, le rapport du CEIOPS sur le QIS4 montre les résultats suivants : lemodèle interne aurait des résultats bien supérieurs à ceux obtenus par la formule
standard avec un ratio médian de 133%.
Le CEIOPS interprète ce résultat par le fait que le capital de la formule standard n’est
pas assez élevé. C’est pourquoi le calibrage de la formule standard du SCR a été revu
dans la deuxième vague de « consultation papers » (CP). Les nouveaux coefficientsont été calibrés par le CEIOPS à partir de données collectées dans cinq pays
européens et 32 compagnies au total de façon à faire converger l’approche formule
standard et modèle interne. Cette étude consistait à analyser les ratios des charges
issues des modèles internes sur les provisions techniques, primes acquises en vie etnon-vie en excluant les unités de comptes. Le CEIOPS a choisi de retenir lescoefficients qui correspondaient au quantile à 60%. Pour les unités de compte, le
CEIOPS a supposé qu’elles évoluaient de la même façon que la vie et a donc appliquéaux paramètres d’unités de compte la même évolution que les paramètres de la vie.

4.1.2

FORMULE STANDARD ISSUE DU CP53

Il résulte de l’étude du CEIOPS de nouveaux facteurs beaucoup plus pénalisant, leplafond du BSCR a été revu à la hausse en passant de 30% à 60%. Il pénaliseégalement la croissance des entreprises en ajoutant aux provisions et aux primes
leurs variations d’une année sur l’autre lorsqu’elles sont supérieures à 10%.
De plus, le CEIOPS a intégré un nouveau terme pour pénaliser la gestion financière
déléguée. Ceci pénalise en particulier les compagnies qui auraient une délégation
concentrée chez un même dépositaire.
Comparaison des facteurs :Voici la nouvelle formule issue des derniers CP :SCRop = Min {0,60 * BSCR ; Opall _ non _ ul }+ 0,5 * Expul + 0,005 * InvestOutsourc

Où Op all _ non _ unit _ linked = Max(Op premiums ; Op provisions )Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Avec
Op premiums = 0,076 * ( Earnlife + Earn SLT Health − Earnlife −ul ) +0,041 * ( Earnnon −life + Earn NonSLT Health ) +Max (0 ; 0,076 * (∆Earnlife − ∆Earnlife −ul )) +Max (0 ; 0,041 * ∆Earn non −life )Op provisions = 0,009 * (TPlife + TPSLT Health − TPlife −ul ) +0,044 * (TPnon −life + TPNonSLT Health ) +Dans le cas où

Max (0 ; 0,009 * (∆TPlife − ∆TPlife −ul )) +Max (0 ; 0,044 * ∆TPnon −life )Op provisions = 0,01 * (TPlife + TPSLT Health − TPlife −ul ) +0,044 * (TPnon −life + TPNonSLT Health ) +Dans le cas où

Max (0 ; 0,01 * (∆TPlife − ∆TPlife −ul )) +Max (0 ; 0,044 * ∆TPnon −life )ΔTP=

Variation dans les provisions entre t-1 et t

ΔEarn

=

Variation dans les primes acquises entre t-1 et t

TPlife=provisions techniques vie (brutes de réassurance)

TPnl

=

provisions techniques non vie (brutes de réassurance)TPh=provisions techniques d’assurance-santé (brutes de réassurance)

Earnlife=

primes acquises vie (brutes de réassurance)

Earnnl=primes acquises non vie (brutes de réassurance)

Earnh

=

primes acquises santé (brutes de réassurance)

BSCR

=

SCR avant ajustement

SCRop

=

Le montant de capital au titre du risqué opérationnel

Opunitlinked=

Coefficient prédéfini à 1% des provisions techniques pourl’entité liée

Expul

=

Montant des dépenses annuelles (brutes de réassurance)

InvestOutsourc=

Montant correspondant au plus important investissement
financier déposé ou externalisé avec une seule contrepartie

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4.2 MÉTHODE DE MESURES AVANCÉES
Les entreprises qui le souhaitent, ont la possibilité de mettre en place un modèleinterne en utilisant des méthodes de mesures avancées. Ces mesures s’avèrent très
intéressantes pour les entreprises car elles permettent une analyse plus précise deleur risque et une éventuelle réduction de l’allocation en fonds propres mais pas
toujours.
Actuellement, trois méthodes sont principalement utilisées : la méthode LDA,
l’approche par scénario et l’approche Bayésienne présentées en détail plus bas.

4.2.1

MÉTHODE LDA (LOSS DISTRIBUTION APPROACH)

C’est l’une des approches les plus utilisées dans le secteur bancaire pour laquantification du risque opérationnel : il s’agit d’ajuster des lois statistiques à desdonnées de pertes, plus précisément de modéliser d’une part la fréquence desincidents opérationnels et d’autre part leur sévérité, puis de les combiner pourobtenir la distribution de pertes totales. Cette approche est bien connue des assureurs
qui l’utilisent depuis longtemps pour modéliser la charge totale des sinistres dans lecadre de la tarification, du provisionnement, de l’optimisation de la réassurance…
La condition essentielle pour appliquer cette méthode sera la disponibilité dedonnées de pertes historiques afin de calibrer le modèle.
Etape 1 : choix et calibrage des lois de fréquence et de sévérité
La modélisation de la distribution des pertes se fera pour chaque croisement derisque k et de processus i :Ni ,kS i ,k = ∑ X i(,kj )j =1

où N i ,k est la variable aléatoire représentant le nombre de pertes pour le croisement(i,k)

X i(,kj ) est la variable aléatoire représentant le coût de la perte j pour le croisement (i,k)
S i ,k est la somme des pertes du croisement (i,k)

La démarche doit être reproduite pour chaque croisement (i,k). Elle consiste à ajuster
des lois de probabilité sur les données de fréquence des évènements de pertes d’unepart et les données de sévérité de ces mêmes évènements d’autre part, sur unintervalle de temps donné.
Pour ce faire il faut trier les évènements de pertes par fréquence d'une part, et parcoût d'autre part, puis représenter le résultat sous forme graphique. Pour chacune
des distributions empiriques obtenues, il s’agit de rechercher la distribution

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théorique qui rend le mieux compte de la forme de la courbe. Les principales lois
utilisées pour la fréquence sont Poisson, Binomiale et Binomiale Négative.
Les deux principales méthodes utilisées pour calibrer les paramètres de lois testéessont :
 la méthode des moments généralisés qui est relativement facile à implémentermais dont les résultats sont de moindre qualité ; la méthode des moments est
une méthode statistique intuitive qui consiste à estimer les paramètres d’une
loi en égalisant certains moments théoriques avec les moments empiriques,basée sur la loi des grands nombres.
 la méthode du maximum de vraisemblance qui est plus difficile à mettre enœuvre mais dont les résultats sont de meilleure qualité. La méthode dumaximum de vraisemblance est une méthode statistique courante permettant
d’estimer les paramètres d’une loi en maximisant sa fonction devraisemblance :Soit f(x ;θ) la densité de la loi étudiée dont l’ensemble des paramètres est notéθ
Soit ( x1 , x 2 ,… , x n ) un échantillon donné
La fonction de vraisemblance est définie par :n

L( x1 , x 2 ,… , x n ;θ ) = ∏ f ( xi ;θ )i =1nSoit : ln (L( x1 , x 2 ,… , x n ;θ )) = ∑ ln ( f ( xi ;θ ) )i =1

Il s’agit ensuite de résoudre l’équation :δ ln(L( x1 , x 2 ,… , x n ;θ ))=0δθIl y a un quasi consensus de place pour utiliser la méthode du Maximum devraisemblance afin d’estimer les paramètres des lois.
Pour valider le choix d'un modèle mathématique, le premier test d’adéquation est un
test graphique qui consiste à placer sur un même graphique les données réelles
observées et les réalisations simulées par le modèle. Si les deux courbes sesuperposent, le modèle semble fiable mais il est essentiel de valider cette impression
visuelle par des calculs. En effet, les tests statistiques sont plus précis et permettent
de valider le choix des modèles. Pour cela, nous disposons des tests de KolmogorovSmirnov, Anderson-Darling, Cramer Von Mises et du Khi-Deux.
Remarque : nous exposons ici la méthode LDA en supposant qu’il n’y aura pas deseuil de collectes, ce qui n’est pas très réaliste. Le seuil de collecte va induire un biais
impactant principalement le corps de la distribution puisque de manière générale, lesModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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incidents de faible intensité qui ne seront pas remontés sont les plus fréquents etconstituent le corps de la distribution.
Les travaux de la place sont encore en cours pour compenser ce biais mais latechnique principalement utilisée jusqu’à présent est la prise en compte du seuilsuivant une logique de probabilité conditionnelle qui sera étudiée dans la suite dumémoire.
Etape 2 : Construction de la distribution de pertes totales
Remarque : Cette modélisation ne conduit à une expression analytique de la fonctionde répartition FS de S que dans le cas où N suit une loi géométrique et X suit une loi
exponentielle. Cela nous permettra de faire des comparaisons entre la vraie
distribution et celle qui est estimée pour apprécier la qualité des estimations.
Il est possible d’obtenir des approximations de FS avec les méthodes suivantes que
nous détaillerons plus loin : algorithme de Panjer qui donne même les valeurs exactes dans le cas où X est
arithmétique Inversion numérique de la fonction caractéristique de S
 Utilisation des premiers moments de S et d’une distribution approximante,
l’approximation Normal Power Simulation de Monte-Carlo.
Pour chaque croisement risque processus, nous obtenons une courbe agrégée dedistribution des pertes pour un horizon de temps donné (dans Solvabilité II il s’agit
d’une année).
Remarques :Il semblerait plus logique d’appliquer cette méthode uniquement aux risques degravité faible et de fréquence élevée car les pertes observées seraient en nombre
suffisant pour que la modélisation soit valable. C’est ce que nous verrons plus loin.
Cette méthode permet de simuler indépendamment tous les risques et de les agréger
en additionnant les distributions empiriques. Cela suppose l’indépendance entre
tous les risques opérationnels ce qui n’est vraisemblablement pas le cas.
Dans le cadre de la réglementation Bâle II, le capital requis pour ce risque est la VaR
calculée avec une probabilité de 99,9%. Les banquiers utilisent plusieurs méthodes
pour agréger leurs risques : utilisation de matrice de corrélation, des copules, simple
somme des VaR…). Dans le cadre de Solvabilité II, la méthode d’agrégation desrisques n’est pas imposée.

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4.2.2

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APPROCHE PAR SCÉNARIOS

L’approche par scénarios consiste à réaliser dans un premier temps une analyse
qualitative des risques avec les experts métiers, qui vont construire des scénarios
pour chaque risque afin de déterminer les fréquences et sévérités moyennes ainsi quela sévérité extrême du risque. La construction des scénarios s’apparente à l’approche
SRA décrite plus haut. Les valeurs seront ensuite utilisées pour estimer lesparamètres de lois choisies a priori qui pourront donner lieu à des simulations deMonte-Carlo pour obtenir la charge totale de chaque risque. Nous verrons par lasuite des applications de cette approche.
Cette approche constitue un complément intéressant quand les données historiques
ne sont pas suffisantes pour appliquer une méthode purement statistique. Elle trouveen particulier son application dans l’évaluation des impacts d'événements de risquede sévère amplitude.

4.2.3

APPROCHE BAYÉSIENNE

La troisième approche la plus utilisée est l’approche bayésienne.
L’approche bayésienne consiste à réaliser une analyse qualitative des risques à dired’experts et à la transformer en une analyse quantitative. Cette méthode s’apparenteà la méthode par scénarios dans la mesure où elles se composent toutes deux d’une
première phase d’analyse qualitative et de constitution de scénarios.
L’approche bayésienne permet d’introduire de la variabilité dans les scénariosétudiés et de simuler les pertes sans nécessiter de base historisée. Elle permetégalement d’identifier des leviers de réduction de risque dans la mesure où les pertessont conditionnées à des indicateurs qui peuvent être suivis et modifiés pour réduire
le risque. Et enfin elle a l’avantage d’éviter les problèmes de diversification par laconstruction même du réseau comme nous le verrons plus loin.
L’avantage de l’approche bayésienne est aussi qu’elle permet de modéliser desrisques exogènes pour lesquels nous n’avons presque pas de données (par exemple lacrue centennale).
Un réseau bayésien est un graphe causal probabiliste représentant la structure de laconnaissance d’un certain domaine. Il est constitué de variables aléatoires discrètes
reliées par des arcs orientés, ces variables étant appelées des nœuds. Une distribution
est rattachée à chaque nœud. Les arcs sont des liens qui représentent unedépendance causale.
Une fois le réseau bayésien construit, il est possible de calculer la distribution d’unnœud conditionnellement à une observation effectuée sur un autre nœud, il s’agit del’inférence. Cela pourra nous permettre entre autres de détecter les variables leviers,
les variables sur lesquelles les contrôleurs internes devront porter plus d’attention.

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Nous avons étudié en particulier la méthode « XSG » (exposition, survenance,
gravité) qui consiste à définir et modéliser les trois grandeurs caractéristiques durisque à savoir l’exposition, la survenance et la gravité (voir [20]). Ces trois grandeurssont influencées par des variables appelées indicateurs de risque (ou KRI4).
Nous allons présenter les méthodes pour évaluer les différents éléments du réseau
bayésien.
a) Evaluation de l’exposition
L’exposition est l’ensemble des éléments de l’entreprise qui sont exposés au risque.
Elle doit être définie de sorte que le risque ne puisse survenir qu’une seule fois au
plus dans l’année.
La quantification du risque opérationnel doit être faite sur l’année à venir, le nombred’objets exposés au risque doit donc être anticipé pour l’exercice suivant.
En général, l’exposition prévue pour l’année à venir est l’exposition constatéemultipliée par un coefficient d’augmentation.
b) Evaluation de la survenanceL’objet exposé étant choisi de sorte qu’il ne puisse être frappé qu’au plus une seulefois, la survenance sera par construction une loi Binomiale B(n,p) où n est le nombred’objets exposés et p la probabilité que nous aurons à estimer.
Il existe plusieurs méthodes pour évaluer cette probabilité : Méthode empirique : elle consiste à rapporter le nombre de sinistres constatés
au nombre d’objets exposés dans le passé. Si aucun sinistre n’est survenu
pendant la période de référence alors on supposera à titre prudentiel qu’unsinistre est survenu.
 Méthode externe : c’est une évaluation externe pour les risques non
spécifiques à la compagnie.
 Méthode subjective : à dire d’experts.
 Méthode combinée : il s’agit de combiner l’avis d’expert au résultat empirique.
c) Evaluation de la gravité
Il faut se placer dans la situation où la survenance de la perte est avérée et identifier
les variables quantifiables (KRI) intervenant dans le calcul de la gravité.
d) Evaluation des KRI :Il existe plusieurs méthodes pour évaluer les KRI selon les informations dont on
dispose (nous privilégions toujours les évaluations basées sur des observations)L’évaluation à dire d’experts se fait autant que possible sous la forme de trois
hypothèses : hypothèse basse (cas favorable : la probabilité rattachée à cette
4

KRI = Key Risk Indicator

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hypothèse est fixée a priori à 25%), hypothèse moyenne (la probabilité rattachée àcette hypothèse est fixée a priori à 50%), hypothèse haute (cas défavorable : laprobabilité rattachée à cette hypothèse est fixée a priori à 25%).
L’évaluation empirique des KRI consiste à construire une distribution empirique surla base de données observées.

La structure du réseau bayésien sera définie par les experts à travers des scénarios.
Les paramètres du réseau bayésien pourront être déterminés de façon empirique ouà dire d’experts. Ce point sera développé en détail plus bas.
Une fois le réseau bayésien construit, il reste à définir l’algorithme de calcul.
Soient ( X 1 , … , X n ) les objets exposés au risque opérationnel étudié.
Soit Pi = P (Exposition = X i ) la probabilité que l’exposition soit les objets X i .
Soit PS i = P (Survenance =" Oui" Exposition = X i ) la probabilité que le risque survienne
sachant que l’exposition est Xi.
Ces deux probabilités sontprécédemment).

connues (elles ont

étéestimées commevu

Soit PG i = P (Gravité Survenance =" Oui" et Exposition = X i ) la distribution de la gravité
sachant que le risque s’est produit sur les objets X i .
L’algorithme consiste à réaliser successivement les étapes suivantes :1) positionner l’exposition à X i , la survenance à Oui dans le réseau bayésien et lire la

distribution de la gravité PG i = P (Gravité Survenance =" Oui" et Exposition = X i ) .
2) échantillonner le nombre de pertes Fi selon la loi binomiale B(nb( X i ); PS i ) .
3) pour chacun des incidents de 1 à

Fi , échantillonner la gravité suivant la

distribution PGi .
4) sommer les Fi gravités.
Répéter ces 4 étapes un grand nombre de fois en conservant les sommes des gravités
à chaque fois. Nous obtenons ainsi une distribution de pertes totales.

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4.3 MÉTHODES DE CALCUL DE LA CHARGE TOTALE
Nous décrivons ici les différentes méthodes permettant d’obtenir la distribution de lacharge totale d’un risque opérationnel, sachant que nous avons ajusté au préalable
des lois de fréquence et de coût.
4.3.1

FORMULE RÉCURSIVE DE PANJER

La formule de Panjer est une formule de récurrence qui fournit la vraie distribution
de charge totale si les lois de coûts individuels et de fréquence sont connues, àvaleurs entières et bornées. Sinon ce sera une approximation.
Plusieurs conditions sur la loi des coûts et la loi des fréquences doivent être remplies
pour appliquer la méthode de Panjer. Il y a notamment une contrainte sur la forme
de la loi des coûts individuels qui doit être à valeurs entières et bornées et une
contrainte sur la forme de la loi de fréquence. Voici ces conditions et comment
adapter nos lois à ces conditions :1) Rendre la loi du coût individuel à valeurs entières et bornées :Pour pouvoir appliquer l’algorithme de Panjer, il est nécessaire de transformer la loi
des coûts individuels qui est en général continue en une loi à valeurs entières etbornées.
Pour cela, nous avons utilisé la méthode des arrondis que nous allons vous présenter
ci-dessous.
Méthode des arrondis :Cette méthode s’applique à une loi continue pour la rendre à valeurs entières
bornées.
Soit F la fonction de répartition du coût individuel X que nous avons déterminé aupréalable.
~
Soit K la fonction de répartition du coût individuel « arithmétisé » X que nous
cherchons à approcher.
~
En particulier, nous allons chercher à estimer les probabilités P ( X = jh) pour j=0, 1,…, n et h>0 le pas choisi (pour appliquer Panjer nous prendrons h=1).
La méthode des arrondis consiste à estimer ces probabilités selon les trois approches
suivantes : Arrondi à l’unité inférieure : PA~
Lorsque X prend la valeur 0, nous dirons que cela correspond à « X prend ses~
valeurs entre 0 et h, la valeur de X est la valeur de la borne inférieure de l’intervalle~[0 ; h] »: PA ( X = 0) = P (0 ≤ X ≤ h) = F ( h)Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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De même, lorsque X prend la valeur h, nous dirons que cela correspond à « X prend~
ses valeurs entre h et 2h, la valeur de X est la valeur de la borne inférieure de~l’intervalle [h ; 2h] »: PA ( X = h) = P ( h ≤ X ≤ 2 h) = F ( 2h ) − F ( h)
~
X =0

~
X =h

X entre 0 et h

0

~
X =2h

X entre h et 2hh

X entre 2h et 3h

2h

3h

~
En généralisant : lorsque X prend la valeur jh, nous dirons que cela correspond à « X~
prend ses valeurs entre jh et jh+h, la valeur de X est la valeur de la borne inférieurede l’intervalle [jh ; (j+1)h] »:~PA ( X = jh) = P( jh ≤ X ≤ ( j + 1)h) = F (( j + 1)h) − F ( jh) pour j ∈ ΝF(x)~P ( X = 2h)~
P ( X = h)~
P ( X = 0)

F(h)

0

h

2h

3h

x

 Arrondi à l’unité la plus proche :~Lorsque X prend la valeur 0, nous dirons que cela correspond à « X prend ses
h
~

h
valeurs entre 0 et h/2 » : PB ( X = 0) = P 0 ≤ X ≤  = F  
2

2

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De même, lorsque X prend la valeur h, nous dirons que cela correspond à « X prend~
ces valeurs entre h/2 et h+h/2, la valeur de X est le milieu de l’intervalle [h/2 ; 3h/2] »:
3h 
~
h
 3h h
PB ( X = h) = P ≤ X ≤ = F  − F 
2 
2
 2 
2
~
X =0

~
X =h

X entre 0 et h/2

0

~
X =2h

X entre h/2 et 3h/2

h/2h

X entre 3h/2 et 5h/2

3h/2

2h

5h/2

~
En généralisant : lorsque X prend la valeur jh, nous dirons que cela correspond à « X~
prend ces valeurs entre jh-h/2 et jh+h/2, la valeur de X est le milieu de l’intervalle [jhhhhh~h/2 ; jh+h/2] »: PB ( X = jh ) = P jh − ≤ X ≤ jh +  = F  jh +  − F  jh −  pour j ∈ Ν *
2
2
2
2




~
P ( X = 2h)~
P ( X = h)~
P ( X = 0)

0

h/2

h

h+h/2

2h

2h+h/2

 Arrondi à l’unité supérieure :~Lorsque X prend la valeur 0, nous dirons que cela correspond à « X prend ces~
valeurs entre 0 et 0+ »: PC ( X = 0) = P ( X ≤ 0+ ) = F (0 + )~De même, lorsque X prend la valeur h, nous dirons que cela correspond à « X prend~
ces valeurs entre 0 et h, la valeur de X est la valeur de la borne inférieure de~l’intervalle [0 ; h] »: PC ( X = h) = F (h + ) − F (0 + )Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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X =0

X est ≤ 0+~
X =h

X entre 0 et h

~
X =2h

X entre h et 2h

0

h

2h

~
En généralisant : lorsque X prend la valeur jh, nous dirons que cela correspond à « X~
prend ces valeurs entre jh-h et jh, la valeur de X est le milieu de l’intervalle [jh-h ;~jh] » : PC ( X = jh) = P ( jh − h ≤ X ≤ jh) = F ( jh + ) − F (( j − 1) h + ) pour j ∈ Ν *~P ( X = 2h)~
P ( X = h)~
P ( X = 0)

0

h

2h

3h

L’arrondi à l’unité la plus proche donne une bonne approximation de la distribution
de la charge totale et les deux autres arrondis forment un encadrement de ladistribution.
Par exemple pour « arithmétiser » la loi de Weibull avec un pas de 1, on aurait : 1/ 2 a ~
1PB ( X = 0) = F   = 1 − exp −   (a et b sont définis page 92)

2
b
 
 
 
  j −1 / 2  a   j +1 / 2 a 
1
1
~




PB ( X = j ) = F  j +  − F  j −  = exp −  − exp −    b    b  
2
2







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pour j ∈ Ν *40 / 180

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2) Vérification de la forme de la loi de fréquence :Une fois la loi du coût est à valeurs entières et bornées, nous devons nous assurer
que la loi de la fréquence∃ a, b ∈ ℜ tels que( pn )n≥0 utilisée vérifie bien :bp n =  a +  p n −1npour n ≥ 1

Cette propriété est nécessaire à l’application de la formule de Panjer (voirdémonstration [21])Les distributions Binomiale, Poisson et Binomiale Négative sont les seules lois àvérifier cette propriété avec les a et b indiqués dans le tableau suivant :DistributionsaΒ(α , p )

−

b
p
q

(α + 1)

p
q

Ρ(λ )

0

λ

ΒΝ (r , p )q(r − 1)q3-a) Formule récursive de Panjer dans le cas où X à valeurs dans N*:
La formule de Panjer nous permet de reconstituer la distribution de S discrétisée àpartir de P(S=0) = P(N=0) (car toute perte a un coût >0) :skP( S = s) = ∑  a + b  P( X = k ) P( S = s − k )s
k =1 

pour s ≥ 13-b) Formule récursive de Panjer dans le cas où X à valeurs dans N:
La formule s’étend au cas où X est à valeurs dans N :+∞P ( S = 0) = ∑ P ( N = k ) P k ( X = 0)
k =0
s



k

∑  a + b s  P( X = k ) P( S = s − k )P ( S = s ) = k =1

4.3.2

1 − aP ( X = 0)

pour s ≥ 1

INVERSION DE LA FONCTION CARACTÉRISTIQUE

Cette méthode consiste à obtenir la fonction caractéristique ϕ S de la charge totale S
puis de l’inverser par la transformée inverse de Fourier pour obtenir la loi de S.
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La fonction caractéristique ϕ S de la charge totale S peut être déterminée à partir de lafonction génératrice des probabilités g N de la loi de fréquence et la fonction
caractéristique ϕ X de la loi du coût individuel :ϕ S (t ) = g N [ϕ X (t )] pour t ∈ ℜ
La transformation de Fourier fonctionne avec des variables aléatoires à valeurs danskN, ainsi il va falloir « arithmétiser » la loi de X et par conséquent celle de S.
L’inverse de la fonction caractéristique repose sur la propriété suivante :Si Y est une variable aléatoire arithmétique à valeurs dans hN avec h>0 fixé, on aP(Y = kh) =1 2π −itk  t 
e ϕ Y  dt
2π ∫ 0hpour k ∈ ΝCette quantité peut ensuite être estimée grâce aux transformées de Fourier, commenous allons le montrer ici :L’intervalle [0 ; 2π ] est découpé en m sous intervalles de même longueur égale à2π.
m

L’expression peut alors s’écrire

P (Y = kh) =2π

1 m −1 m ( j +1) − itk  t ∑ 2π e ϕ Y  h dt
2π j = 0 ∫ m jpour k ∈ Ν

L’idée est alors d’approximer les intégrales sur les sous intervalles par des aires derectangles pour tomber sur des transformées de Fourier :∫2π( j +1)
m
2π
j
m

e

− itk

2π

−
jik
2π
 2πj t× e m ϕY 
ϕ Y   dt ≈mh mh 

2π

1 m −1 − m jik  2πj 
ϕY D’où P (Y = kh) ≈ ∑ e

m j =0 mh 

pour j , k = 0, 1, … , m − 1pour k ∈ ΝLes différentes étapes de calcul sont : Arithmétiser la loi du coût individuel (vu précédemment) Calculer la fonction caractéristique du X arithmétisé
 Calculer ϕ S en appliquant la fonction génératrice de N à ϕ X selon la propriété
vue plus haut
 Calculer la loi de S en appliquant la transformée de Fourier inverse.
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4.3.3

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MÉTHODE BASÉE SUR LES MOMENTS

Cette méthode repose essentiellement sur la loi Normale et les moments de S qui
s’obtiennent facilement à partir des moments de N et de X.
 S − µ  3 
Notons µ = E ( S ), σ = V ( S ) et γ 1 = E   les moments de S.
 σ  
Il existe plusieurs approximations
l’approximation Normal Power : 3
96  x − µ ++
FS ( s ) ≈ Φ − +1γ 1  σ  γ 12
 γ 1

4.3.4

baséessurlesmoments

notamment

γ
3 
pour x ≥ µ − σ  1 + et γ 1 > 0
 6 2γ 1 

SIMULATION DE MONTE-CARLO

Dans le cadre du calcul de la charge totale, la méthode de Monte-Carlo consiste à
simuler un certain nombre de scénarios à partir des lois de fréquence et de coûtindividuel des pertes comme le montre le schéma suivant.

Fréquence

SévéritéLa simulation d’un scénario consiste tout d’abord, à simuler la variable aléatoire defréquence avec la loi retenue. En fonction de la réalisation obtenue il faut alors
simuler le montant des pertes de façon indépendante. Dans l’exemple ci-dessous, lescénario n°1 correspond à la simulation des pertes sur une année. Au cours de cetteannée, l’entreprise aura subi 135 pertes du risque k dont la perte n°1 aura pourmontant 10 000€ et la perte n°135 aura pour montant 150 000€ et le total des pertes

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sur un an pour le risque k sera de 680 000€, c’est ce montant que nous conserverons
et qui représentera un point de la distribution empirique.
Il suffit alors de répéter cette opération en nombre assez important, de classer tous
les scénarios en ordre croissant et nous obtenons la distribution empirique des pertes
totales pour le risque k.

La convergence se vérifie en représentant graphiquement les valeurs du quantile enfonction du nombre de simulations. Si cela se stabilise cela a toutes les chances deconverger.

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4.4 THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES
La Théorie des Valeurs Extrêmes (voir [22]) fournit un certain nombre d’outils
probabilistes et statistiques pour la modélisation des évènements rares qui peut nousêtre utile pour modéliser les risques opérationnels graves. Nous présentons ici lesgrandes lignes de cette théorie puis nous verrons comment elle peut s’appliquer au
risque opérationnel.
Il existe deux approches principales : L’approche des maxima, ou méthode par blocs, qui consiste à observer etmodéliser les valeurs de pertes maximales. Si nous raisonnons sur tout notreéchantillon, nous n’avons qu’un seul maximum. Pour avoir un certain nombred’observations de maximum, il faut découper notre échantillon et prendre lemaximum pour chaque bloc. Nous obtenons ainsi un nombre de maxima égalau nombre de blocs.
Le théorème de Fisher Tippett nous fournit la loi limite du maximum
normalisé. Cette loi est la loi des extrêmes généralisés. Nous utilisons alors nos
maxima observés pour la calibrer.
 L’approche dite « Peaks Over Threshold (POT) » qui consiste à considérer lesvaleurs au-delà d’un seuil et non plus seulement le maximum. Toute ladifficulté revient à choisir un seuil approprié qui nous permette d’appliquer lethéorème de Pickands. Ce théorème nous permet de modéliser nos excès parune distribution de Pareto Généralisée (GPD). Cette approche est plus
couramment utilisée que l’approche des maxima car elle permet d’exploiterplus d’informations fournies par notre échantillon.

Approche des maxima :Soit ( x1 , x 2 ,… , x n ) un échantillon donné représentant le coût des pertes.
En pratique, le maximum de l’échantillon x( n ) ne représente qu’une seule observation,
il n’est pas possible de se baser sur une seule observation pour faire notre
modélisation.
L’idée est donc de découper notre échantillon en m échantillons de taille n/m pourobtenir m valeurs de maximum.
Puis le théorème de Fisher-Tippett nous fournit la loi du maximum.
Théorème de Fisher Tipett :Soit (X 1, X 2 ,… , X n ) une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement
distribuées de fonction de répartition FX .
Notons X n:n = max ( X 1, X 2 ,… , X n ) .
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S’il existe deux suites de réels (an) є R et (bn)> 0 et une loi non dégénérée de fonction
X − ande répartition G tels que n:n
→
G
loi
bn
alors G est nécessairement sous l’une des trois formes suivantes :FréchetWeibull0Φα ( x ) = −αexp(− x )si x ≤ 0
si x > 0

Gumbelexp(−(− x)α )Ψα ( x) = 1

si x ≤ 0
si x > 0(

Λ ( x) = exp − e − x)pour x ∈ ℜ

Ces trois distributions sont le cas particulier de la loi GEV (Generalized Extreme−1 / ξ
−1 / ξ

 

x−µ
x−µ



exp
−
1
+
⋅
,
si
1
+
⋅
> 0 et ξ ≠ 0,
ξ
ξ




 

σ
σ






Value) : G µ ,σ ,ξ ( x) = −1 / ξ

x−µ
 x − µ si 1 + ξ ⋅> 0 et ξ = 0.
 , exp − exp −σ σ  
ξ représente l’indice des valeurs extrêmes. Plus il sera élevé en valeur absolue, plus lepoids des extrêmes dans la distribution initiale sera important.
μ le paramètre de localisation. Il indique approximativement le cœur de ladistribution.
σ le paramètre d’échelle. Il indique l’étalement des extrêmes.
FréchetWeibull

Gumbelξ = α −1 > 0µn = 0ξ = −α −1 < 0µ n = xF

ξ =0




1
n

σ n = F −1 1 − 




1
n

σ n = xF − F −1 1 − 




1
n

µ n = F −1 1 − 
σn =

1

∞

S ( µ n ) ∫µ n

S (t )dt

Où S(x)=1-F(x) et xF = sup{x tel que FX ( x) < 1}

La fonction de répartition FX influe sur la distribution limite G, c'est-à-dire sur lesparamètres, elle est dite dans le domaine d’attraction de G.
La théorie des valeurs extrêmes nous permet de connaître les lois qui appartiennent
aux trois domaines d’attractions : Les lois de Cauchy, Pareto, Student et LogGamma appartiennent au domained’attraction de la loi de Fréchet : ce sont des lois à queues épaisses,

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 Les lois Weibull, Normale, Exponentielle, Gamma et Log-Normale
appartiennent au domaine d’attraction de la loi de Gumbel : ce sont des lois àqueues fines et moyennes,
 Les lois Uniformes et Beta appartiennent au domaine d’attraction de la loi deWeibull : ce sont des lois « à queues finies ».
Ainsi, si nous connaissons la loi des sinistres, nous pouvons en déduire la loi dumaximum. Or, en pratique nous ne connaissons pas la loi théorique de notreéchantillon et les paramètres doivent être estimés par des méthodes statistiques. Il
existe plusieurs méthodes pour estimer les paramètres : nous pouvons distinguer lesapproches paramétriques et non paramétriques.

Estimation des paramètres par la méthode du maximum de vraisemblance :Considérons l’échantillon des maxima sur les m échantillons créés, noté :( M 1 , M 2 ,..., M m ) . La log-vraisemblance peut s’écrire :Pour ξ≠0,m

ln L(M 1 , … , M m ; ξ , µ , σ ) = ∑ ln(h ξ , µ ,σ ( M i ))i =1m
Mi − µM − µ −1 / ξ
1+ξ m= − m ln σ − ()∑ ln(1 + ξ) − ∑ (1 + ξ i
)

ξ

σ

i −1

i =1

σ

Où hξ,μ,σ est la densité de la loi des Valeurs Extrêmes Généralisée (GEV) 1+ξ 


−
 ξ 
1
x
−
x − µ −1 / ξ
x − µ −1 / ξµ 1+ ξ ()
exp(−(1 + ξ () ), si (1 + ξ () ) > 0, ξ ≠ 0,
σ 
σ 
σ
σ
hξ,μ,σ = 
1
x−µ
x−µ
− exp()), si ξ = 0;
 exp(−σσ
σ

La résolution de cette équation se fait par des méthodes numériques (algorithme deQuasi-Newton). En pratique, nous utilisons les fonctions prédéfinies sur les logiciels
statistiques tels que le logiciel R.
Remarque : Lorsque la taille de l’échantillon est petite, l’estimateur du maximum devraisemblance fournit une estimation biaisée.
Dans le cas où ξ=0, la log-vraisemblance s’écrit :mln L(M 1 , … , M m ;0, µ , σ ) = -n ln σ - ∑ exp(i =1

Mi − µσm)−∑

Mi − µi =1

σ.

La résolution se fait là encore par des méthodes numériques.
L’approche des maxima est utilisée dans le cas où nous avons des observations
périodiques. Dans le cadre des risques opérationnels, cette méthode ne peut pas êtreModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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appliquée dans la mesure où nous n’avons pas forcément d’observations tous lesmois et peu de recul.

Méthode des sinistres au-delà d’un seuil :Cette méthode a pour but de modéliser la loi des observations au-delà d’un seuil parla loi de Pareto Généralisée à travers le théorème suivant :Théorème de Pickands-Balkema-de Haan :Soit X variable aléatoire de fonction de répartition FX.

 X −b
lim n − > ∞ P n, n n ≤ x  = G ( x)
 an


⇔

limu − > x F sup[ 0, x F ] FXu ( x) − Gξ ,σ (u ) ( x) = 0

Avec xF = sup{x tel que FX ( x) < 1} , FXu ( x) = P( X − u ≤ x X > u ) et Gξ ,σ est la fonction derépartition de la loi de Pareto généralisée :1 − (1 + ξx / σ )( −1 / ξ ) si ξ ≠ 0Gξ ,σ ( x) = 
1 − e( − x / σ ) si ξ = 0

Remarque : l’indice de queue intervenant dans la limite du maximum est identique
au paramètre ξ de la loi GPD.

Pour un seuil u fixé, la fonction de répartition des excès au-delà de ce seuil peut
P X ≤ x+u ∩ X >uF ( x + u ) − FX (u )s’écrire : FXu ( x) = P( X − u ≤ x X > u ) == X
P( X > u )1 − FX (u )()

u doit être suffisamment grand pour que l’on puisse appliquer le résultat précédent,
mais u ne doit pas être trop grand afin d’avoir suffisamment de données pourobtenir des estimateurs de bonne qualité. Généralement, u est déterminégraphiquement. Pour des échantillons de taille inférieure à 500, le nombre d’excès
représentent entre 5 et 10% de l’échantillon.

Méthodes pour déterminer le seuil u :Définissons la fonction d’excédent moyen (Mean Excess Function), il s’agit del’espérance des excès sachant que les pertes dépassent le seuil :xFe(u ) = E (X − u X > u ) = ∫ ( y − u )udFX ( y)avec xF = sup{x tel que FX ( x) < 1}
1 − FX (u )Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Cette fonction peut être estimée par la fonction d’excédent moyen empirique :nen (u ) =∑ ( X − u)

+

i

i =1

n

∑ I{
i =1

X i >u }Pour ν ≥ u , E [X − ν X > ν ] =σ (u ) + ξ × (ν − u )si les excès au-delà du seuil suivent une
1−ξloi GPD.
L’espérance conditionnelle des excès est une fonction affine de v, lorsque v est
supérieur au seuil de référence u. Cela donne un moyen empirique de tester si leseuil u choisi pour les calculs est suffisamment élevé : les espérances des excès audelà des seuils plus élevés doivent être alignées sur une droite de pente

ξ

1− ξ

.

Estimateur de Hill : c’est un estimateur de l’indice de queue qui n’est valable quepour ξ > 0, il s’écrit :ξˆkH, n =n1
∑ ln X (i ,n) − ln X ( n − k ( n) +1,n)k (n) i = n − k ( n ) +1

Une approche alternative au mean excess plot consiste à calculer l’estimateur de Hillde l’indice de queue pour différents seuils et à chercher à partir de quel seuil cet
estimateur est approximativement constant.

Il est également possible de calculer un estimateur de l’indice de queue par laméthode du maximum de vraisemblance pour différents seuils et à chercher à partirde quel seuil cet estimateur est approximativement constant.

Estimation des paramètres :Lorsque u est déterminé, les paramètres peuvent être estimés par la méthode dumaximum de vraisemblance.
La densité de la loi de Pareto généralisée peut s’écrire :x − (1+ξ ) / ξ1
si ξ ≠ 0
σ (1 + ξ σ )g ξ ,σ ( x ) =  1 e( − x / σ )si ξ = 0σModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Estimation des paramètres par la méthode du maximum de vraisemblance :

(

)

nu

La log-vraisemblance s’écrit ln L X 1 , X 2 ,..., X nu ; ξ , σ = ∑ ln(g ξ ,σ ( X i )) avec nu la taillei =1

de notre échantillon X 1 , X 2 ,..., X nu qui contient les pertes au dessus du seuil u.
Pour ξ≠0, la log vraisemblance est égale à :nu1ξln L X 1 , X 2 ,..., X nu ; ξ , σ = −nu ln(σ ) − ( + 1)∑ ln(1 + X i ) .

(

)

ξ

i =1

σ

Dans ce cas, la maximisation de la log-vraisemblance se fait par des méthodes
numériques.
Pour ξ=0, la log vraisemblance est égale à :()

ln L X 1 , X 2 ,..., X nu ;0, σ = − nu ln(σ ) −

1 nu

∑X

σ i =1iDans ce cas, la maximisation donne une forme analytique de l’estimateur σ̂ nu de σ :nuXi
i =1 nuσ̂ n = ∑u

Il existe d’autres méthodes pour estimer les paramètres d’une loi GPD. Hosking et
Wallis (voir [25]) ont montré que, pour des échantillons de taille inférieure à 500, lesméthodes des moments et des moments pondérés sont plus efficaces que la méthodedu maximum de vraisemblance. Cependant, le problème essentiel est le domaine devalidité de ξ : ξ <1/2.
Jean Diebolt, Armelle Guillou et Imen Rached (voir [13]) ont trouvé une méthodepermettant d’élargir le domaine de validité à ξ <3/2. Il s’agit de la méthode desmoments pondérés généralisée.
Pour un seuil suffisamment élevé, la fréquence des excès est modélisée par une loi dePoisson (voir démonstration page 428 [11]).

Cette méthode est très intéressante dans le cadre des risques opérationnels. En effet,
l’idée est de trouver un seuil par type de risque et de simuler les pertes en dessous
du seuil avec des lois classiques et les pertes au-dessus avec une GPD. Puis de lesagréger en supposant que les graves sont indépendants des pertes attritionnelles cequi est une hypothèse couramment utilisée. Si le nombre de graves est trop faible parrisque, nous considérerons notre base et estimerons le seuil des graves sur toute labase. Puis nous simulerons de la même façon que celle décrite précédemment lespertes attritionnelles et les pertes graves.

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4.5 MESURES DE RISQUE
Dès lors que l’on dispose de la distribution estimée de la perte totale, comment peuton en déduire le capital économique ? Il faut alors utiliser une mesure de risque quidans la plupart des cas sera la VaR ou la TVaR que nous définissons plus bas.
Une mesure de risque est, par définition, une fonctionnelle f qui associe le réel f(X) à
une perte X du risque. f(X) sera donc considéré comme le montant de capital dont lacompagnie doit disposer pour faire face à une perte de montant X. Cette mesure doit
vérifier un certain nombre propriétés: Invariance par translation : ρ ( X + a ) = ρ ( X ) + a
 Homogénéité : ρ (λ X ) = λ ρ ( X )pour tout X et a ≥ 0pour tout X et λ ≥ 0L’homogénéité peut traduire une invariance par rapport aux unitésmonétaires.
 Monotonie : X ≤ Y

implique ρ ( X ) ≤ ρ (Y )pour tout X et Y

La monotonie traduit le fait que plus le risque est important, plus le montant
de capital sera élevé.
 Sous-additivité : ρ ( X + Y ) ≤ ρ ( X ) + ρ (Y )pour tout X et Y

La sous-additivité traduit la réduction de risque par diversification.
 Borne supérieure : ρ ( X ) ≤ max( X )pour tout X

Si une mesure vérifie toutes les propriétés ci-dessus, elle est dite cohérente.
Les mesures de risque les plus utilisées actuellement sont la Value at Risk (VaR) et laTail Value at Risk (TvaR).
Définissons la VaR :Etant donné un risque X et un niveau de probabilité α ∈ [0; 1] , la VaR notée
VaRα ( X ) est le quantile d’ordre α de X.

VaRα ( X ) = inf {x ∈ ℜ FX ( x) ≥ α }La VaR ne possède pas toutes les propriétés précédentes et n’est donc pas une
mesure cohérente. Elle est invariante par translation, homogène et monotone.
La VaR n’est pas sous-additive ce qui implique que l’effet de diversification n’est pas
toujours positif : une compagnie pourrait avoir une VaR globale plus élevée que lasomme des VaR calculées sur chaque risque. Ceci pousserait les compagnies à ne pas
diversifier leurs risques ce qui est contraire à la logique du modèle interne.
De plus, l’inconvénient de la VaR est qu’elle fournit un niveau de pertes qui sera
dépassé dans 1-α cas au plus mais elle ne donne aucune information à propos de cequi se passe lorsque la VaR est dépassée. Par contre, c’est ce que va nous fournir laTVaR.
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En effet, la TVaR représente la perte moyenne au-delà de la VaRα ( X ) , ie dans les1
1
pires des cas : TVaRα ( X ) =VaRξ ( X ) dξ∫
1−α α
La TVaR est cohérente.
Malgré ces qualités, la TVaR est peu utilisée en assurance du fait de la difficulté decalcul et d’interprétation.
Par ailleurs, Solvabilité II recommande d’utiliser la VaR pour déterminer le capitaléconomique.
Calcul de la VaR dans la théorie des extrêmes :Soit n le nombre de pertes observées.
N u représente le nombre de sinistres qui dépassent le seuil u.

X représente le coût de chaque sinistre.
Une fois les paramètres de la loi de Pareto Généralisée ξˆ, σˆ estimés, il faut inverser la
−

1

N 
x − u  ξˆ
)  pour obtenir la fonction
fonction de répartition Fˆ X ( x) = 1 − u 1 + ξˆ (n σˆ quantile. Cela nous permet ensuite de calculer la VaR d’ordre α par la formule
− ξˆ

n 
σˆ   − 1 .
suivante: VaRα = u +   (1 − α )Nu ξˆ  



4.6 AGRÉGATION DES RISQUES
Comment modéliser les liens entre les risques ? Comment agréger les scénarios
simulés ?
Dans la méthode classique LDA, les VaR des différents risques sont additionnées ce
qui correspond comme nous l’avons déjà vu à une dépendance totale positive : lesscénarios sont triés par ordre croissant sur chaque risque puis ils sont additionnés.
L’emploi d’une matrice de corrélation est très souvent observé, cela permet deprendre en compte la diversification. L’indépendance est également souvent utilisée
pour des raisons de simplicité bien qu’elle ne soit pas représentative de la réalité.
Depuis plusieurs années est apparue l’utilisation de la théorie des copules dans lamodélisation des dépendances entre les risques. L’avantage des copules par rapport
à une matrice de corrélation réside dans la possibilité de lier les risques de façon non
linéaire. Nous allons exposer brièvement l’essentiel de la théorie.
Avant d’entamer la théorie des copules, rappelons que les notions de dépendance etcorrélation ne sont pas égales. En effet, si deux variables sont indépendantes alors
elles ne seront pas corrélées. Par contre, la réciproque n’est pas vraie (excepté dans leModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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cas gaussien). Intéressons-nous aux mesures de concordance qui sont utiles dans lathéorie des copules.

4.6.1

MESURE DE CONCORDANCE

Définissons la concordance :Soient ( x, y ) et (~x, ~y ) deux réalisations d’un vecteur aléatoire continu (X, Y), alors(x, y ) et (~x , ~y ) sont dites concordantes si (x − ~x )( y − ~y ) > 0 et discordantessi ( x − ~x )( y − ~y)< 0.

Le tau de Kendall et le rhô de Spearman sont deux mesures de concordance
couramment utilisées en statistique. Elles donnent une mesure de la corrélation entre
les rangs des observations, à la différence du coefficient de corrélation linéaire qui luiapprécie la corrélation entre les valeurs des observations. Elles offrent par ailleursl’avantage de s’exprimer simplement en fonction de la copule associée au couple devariables aléatoires. Par contre, ces mesures ne permettent d’estimer la dépendancequ’entre 2 variables.

Tau de Kendall :Pour ( x, y ) et (~x, ~y ) deux réalisations d’un vecteur aléatoire continu (X, Y), le tau deKendall est défini par τ ( X , Y ) = Pr (( x − ~x )( y − ~y ) > 0) − Pr (( x − ~x )( y − ~y ) < 0) .
Avec une structure de copule C continue (voir définition copule sur la pagesuivante), nous pouvons déduire :τ ( X , Y ) = 4 E[C (U ,V )] − 1

Rhô de Spearman :Le Rhô de Spearman est défini par :ρ ( X , Y ) = 3{Pr (( x − ~x )( y − ~y ) > 0) − Pr (( x − ~x )( y − ~y ) < 0)}S

Avec une copule continue : ρ S ( X , Y ) = 12 ∫∫ C (u , v )dudv − 3[ 0 ,1 ]2

Le Rhô de Spearman peut aussi être considéré comme un coefficient de corrélation
sur les rangs des variables.

∑ (R − R )(S − S )nρ S (X ,Y ) =

i =1

i

i

(R − R ) (S − S )

2

2

i

, où Ri et S i sont les rangs de la réalisation de (X, Y).

i

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4.6.2

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DÉFINITION DES COPULES

Nous pouvons à présent entrer dans le vif du sujet avec, pour commencer, ladéfinition d’une copule :Une copule est une fonction de répartition multivariée C définie sur [0 ;1]n et dont leslois marginales sont uniformes standards :C (u1 , … , u n ) = P (U 1 ≤ u1 , … , U n ≤ u n )L'outil fondamental de la théorie des copules est le théorème de Sklar (1959) :Soit F une fonction de répartition n-dimensionnelle avec des marginales F1 , … , Fn ,alors il existe une n-copule C telle que pour tout x denF ( x1 , … , x n ) = C ( F1 ( x1 ), … , Fn ( x n ))Si de plus les marginales F1 , … , Fn sont continues alors C est unique.
Ainsi une copule résume toute la structure de dépendance.

Il existe plusieurs types de copules dont les deux principaux sont : les copules
elliptiques et les copules archimédiennes.

 Copules archimédiennes :La définition d’une copule archimédienne est la suivante :Soit ϕ une fonction convexe, continue, strictement décroissante de [0; 1] dans [0 ;∞]telle que ϕ(1)=0 et ϕ(0)=∞ alors C (u1 , … , u n ) = ϕ −1 (ϕ (u1 ) + … + ϕ (u n )) est une copulearchimédienne stricte et ϕ est appelé générateur strict de C.
Les copules archimédiennes ont l’avantage de décrire des structures de dépendance
très diverses. L’inconvénient des copules archimédiennes est qu’elles ne possèdent
qu’un seul paramètre donc dans le cas où la dimension sera supérieure à 3 lastructure se résumera en un seul paramètre. Dans ce cas, il faudra passer par
plusieurs copules archimédiennes bi-variées mais là, le problème sera le conflit entre
les dépendances.

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Le tableau suivant comporte les caractéristiques des copules les plus connues.
Copuleϕ(u)C(u,v)

TauxdeKendall τaGumbel(− ln(u )) a , a ≥ 1

1exp − (− ln u ) a + (− ln v) a a 



Frank

 e − au − 1 , a ≠ 0
− ln − a
 e −1 

Clayton(u − a − 1)
,a>0
a

[

]

−

1  (e − au − 1)(e − av − 1) ln 1 +a e −a − 1


(u

−a

)

+ v −a − 1

−1

a

1− 1
1−

a

4 (1 − D1 (a ))
a

a
a+2

k x tkOù Dk ( x) = k ∫ tdt
x 0 e −1

Le paramètre a mesure le degré de dépendance entre les risques : plus il est élevé
plus la dépendance est forte et une valeur positive de a indique une dépendance
positive.

La copule de Gumbel n’appréhende que des dépendances positives et notamment laqueue supérieure. En particulier, elle convient très bien pour modéliser lesdépendances entre des risques rares à fort impact.

La copule de Frank permet de modéliser les dépendances aussi bien positives quenégatives mais il n’existe pas de dépendance de queue pour cette copule.

La copule de Clayton ne permet de modéliser que des dépendances positives commela copule de Gumbel. Cependant, elle appréhende les dépendances entre risques defréquence à faible intensité.

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 Copules elliptiques :Parmi les copules elliptiques figurent les copules gaussienne et de Student, elles sontpeu adaptées à nos problématiques dans la mesure où elles s’appliquent à desdistributions symétriques. Cependant, les copules gaussiennes offrent l’avantage
d’appréhender des dépendances en dimension n très simplement à l’aide d’unematrice de corrélation.

La copule gaussienne est définie par :(C (u1 , … , u d ) = Φ ∑ Φ −1 (u1 ), … , Φ −1 (u d ))Où Φ (x) est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite etΦ ∑ ( x1 , … , x d ) est la fonction de répartition jointe des distributions normales et Σ lamatrice de corrélation.
Le nombre de paramètres de la copule est le nombre de corrélations d(d-1)/2 .
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Il n’existe pas de forme simple de la copule. Dans le cas bi dimensionnel (avec unseul élément de corrélation), la copule gaussienne peut s’écrire :C (u1 , u 2 ) = ∫Φ −1 ( u1 )

−∞

4.6.3

∫

Φ −1 ( u 2 )−∞ x 2 − 2 ρxy + y 2  dy dxexp −
2 (1 − ρ 2 ) 
2π 1 − ρ 2
1

ESTIMATION DES PARAMÈTRES D’UNE COPULE

Nous allons présenter ici les différentes méthodes permettant d’estimer lesparamètres d’une copule.

 Méthode des moments :Cette méthode consiste à utiliser une mesure de concordance qui dépendra duparamètre de la copule et à l’inverser pour en déduire une estimation du paramètre.
Cette méthode n’est pas robuste dans la mesure où il y a plusieurs mesures deconcordances utilisables. Dans la pratique, c’est le taux de Kendall qui est le plus
utilisé en tant que mesure de concordance pour estimer le paramètre car il est facile àcalculer.
Pour les copules archimédiennes, nous avons vu plus haut les relations qui existaient
entre le tau de Kendall et le paramètre. Il suffit d’ « inverser » cette relation. Dans lecas de la copule de Frank, le tau de Kendall s’exprime en fonction d’une intégrale duparamètre, cette résolution sera donc numérique.
Pour les copules elliptiques, il existe un lien simple entre la matrice de forme Σ et letau de Kendall (ou le rhô de Spearman). Ces deux mesures ne dépendent pas desdistributions marginales des variables, mais uniquement de la copule.

τ (X i , X j ) =2πarcsin (ρ i , j ) , où ρ i , j est le coefficient de corrélation entre X i et X j .

Nous en déduisons Σ , en inversant chaque relation :

 1

 ρ1
ρ
2
∑=
 ⋮
 ⋮

ρ
 k

ρ1
1

ρ2
ρ k +1⋯⋯

ρ k +1⋱

ρ j +1⋯⋯⋯⋮⋮

ρ j +1

⋱

ρ n−2

⋮

1

ρj

ρ n −3

ρ n−2
ρ n −1

ρn

ρk 

ρj 
ρ n −3 ρ n−1 ρ n 
1 Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Institut des Actuaires Méthode du maximum de vraisemblance :La méthode du maximum de vraisemblance consiste à maximiser la vraisemblancede la loi jointe.
Grâce au théorème de SKLAR, nous pouvons exprimer la densité d’un vecteur
aléatoire ( X 1 , X 2 ,… , X n ) en fonction de la densité de la copule associée c et de ses
marginales.
Soit f la fonction de densité de la distribution jointe de ( X 1 , X 2 ,… , X n ) , alors :nf ( x1 ,… , x n ) = c(F1 ( x1 ),… , Fn ( x n ))∏ f i ( xi ) , où lessont les densités des lois

fi

i =1

marginales, les Fi sont les fonctions de répartition des lois marginales et c(.) est ladensité de la copule.
La fonction de log-vraisemblance s’écrit alors :
T

( (

)

(

) )

T

(

n

)

L(θ ) = ∑ ln c F1 x1t ; θ 1 , … , Fn x nt ; θ n ; α + ∑ ∑ ln f i x it ; θ i , où θ = (θ 1 ,… , θ n , α ) est le
t =1

t =1 i =1vecteur des paramètres à estimer
Nous pouvons déduire l’estimateur θ en maximisant la vraisemblance.

 Méthode IFM (Inference Functions for Margins):
Cette méthode propose une estimation séparée des paramètres des distributions
marginales et ceux de la copule.
Dans un premier temps, nous devons estimer les paramètres de chaque distribution
marginale une à une par la méthode du maximum de vraisemblance :θˆi = arg max Li (θ i ) = arg max ∑ ln f i (x it ; θ i ) , où Li est la fonction de log-vraisemblanceTt =1

de la distribution marginale Fi .
Nous pouvons alors déduire les paramètres α de la copule en utilisant l’estimation :
T

( (

)

(

) )

αˆ = arg max Lc (α ) = arg max ∑ ln c F1 x1t ; θˆ1 , … , Fn x nt ; θˆn ; α , où Lc est la fonction det =1

log-vraisemblance de la copule.

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Institut des Actuaires Méthode CML (Canonical Maximum Likelihood):
La différence entre cette méthode et la méthode IFM est que nous n’avons pas besoind’estimer les paramètres des distributions marginales pour calibrer la copule.
Etape 1 : Nous devons dans un premier temps transformer l’échantillon desobservations x1t ,… , xnt en un échantillon de fonction de répartition marginale()

uniforme standard (uˆ1t ,… , uˆ nt ) en utilisant la distribution empirique.

Etape 2 : Les paramètres de la copule sont alors les paramètres qui maximisent la logvraisemblance de la copule : αˆ = arg max ∑ ln c(uˆ1t ,… uˆ nt ; α ) .
T

t =1

Une fois la copule choisie et ses paramètres estimés, l’agrégation des scénarios est
réalisée par la méthode des rangs.

4.6.4

MÉTHODE DES RANGS

De manière générale, cette méthode consiste à lier les scénarios de différents risquespar leur rang à l’aide des copules pour obtenir des scénarios agrégés. Par souci declarté, la méthode détaillée ci-dessous est appliquée à deux risques uniquement.
Cependant, il est possible de la généraliser à plusieurs risques (c’est d’ailleurs ce quenous avons fait dans l’application ci-après).
1) Simuler n scénarios de pertes totales pour chacun des deux risques ;2) Pour chaque risque, classer les scénarios obtenus par le rang : la perte la plusélevée aura un rang égal à n et la plus faible, un rang égal à 1 ;3) Simuler n fois un couple de variables aléatoires N1 , N 2 par une copule ;4) Attribuer un rang à chacune des variables N1 et N 2 ;5) Lier le rang de N1 avec le rang du premier risque et celui de N 2 avec celui dusecond risque. Les valeurs du risque 1 sont ainsi reliées aux valeurs du risque 2 ;6) Sommer les deux risques pour obtenir une distribution de pertes totales.

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Voici une illustration de cette méthode :Pour le risque 1, le scénario n° 2 correspond à la perte de rang 9 658.
D’après le scénario n° 8 215 de la copule, le rang 9 658 du risque 1 est lié au rang
9 342 du risque 2, ce qui signifie que le scénario n°2 du risque 1 est lié au scénario n°
568 du risque 2 : la perte du risque 1 de 280 807 euros s’ajoute à la perte du risque 2de 18 920 euros ce qui donne une perte totale de 299 727 euros.

Scénario
Copule
1
2
:
:
8 215
:
n

Scénario
Risque 1
412
n

2
2 290

Risque 1
10 25031 380::280 807:520

Scénario
Risque 2
7 632
1

568
1 433

Risque 2
623
5 314
:
:
18 920:514 675

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Perte
Totale10 87336 694::299 727:515 195

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5 MODÈLE THÉORIQUE DU RISQUE OPÉRATIONNEL
Ce chapitre expose le modèle interne que Generali envisage de mettre en place àterme. Il nécessite un certain nombre d’informations et distingue deux types derisques opérationnels qui sont modélisés de façon différente : les risques de fréquence : associé à des pertes de montants peu élevés maisfréquentes, sont modélisés par la méthode LDA ; les risques de gravité : associé à des pertes de montants très importants maistrès rares, sont modélisés par les réseaux bayésiens.

Fréquence

Risque defréquence :LDA

Risques
insignifiants

Risque degravité :réseaux
bayésiens
SévéritéPour identifier la méthodologie à appliquer, le type de risque sera identifié lors de la
cartographie des risques et devra être revu périodiquement.
Les risques de pertes importantes et fréquentes ne seront pas modélisés car lorsqu’unrisque de gravité survient l’entreprise mettra en place des contrôles et autres plansd’actions qui viendront diminuer voire éliminer ce risque (case noire).
Lors de la cartographie, il faudra distinguer les risques qui nécessitent du capital deceux qui n’en nécessitent pas.
Les raisons possibles pour ne pas détenir de capital sont : Le risque n’impacte pas la solvabilité : risque d’opportunité stratégique, risqued’affaires nouvelles ;Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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 Il existe des actions plus appropriées pour faire face à ce risque, pour certains
risques, il vaut mieux :o renforcer les contrôles pour réduire ou éliminer le risque (parexemple en installant un nouveau processus de surveillance),o transférer le risque à travers des assurances : assurer le risque(lorsqu’il est assurable),o avoir un plan de contingence autre que détenir du capital comme par
exemple avoir des fonds externes,o éviter le risque en stoppant l’activité à risque en la différant ou enchangeant de stratégie.
L’entreprise devra documenter en détail les raisons qui l’autorisent à ne pas
détenir de capital pour certains risques, y compris les raisons qui luipermettent de croire que les contrôles et actions de réduction sont adéquats.
 L’impact est couvert par ailleurs.
Remarque 1 : Un des problèmes dans la modélisation du risque opérationnel est de
garantir l’exhaustivité des risques et d’éviter les doubles comptages. C’est leréférentiel de risques qui va nous permettre de résoudre en partie ce problème. C’est
pour cela qu’il est essentiel et qu’il doit être bien verrouillé avant de passer à lamodélisation.
Remarque 2 : La modélisation séparée des risques de fréquence et de gravité rend lamodélisation des risques de fréquence beaucoup moins sensibles aux choix
techniques (lois ajustées, agrégation).

5.1 MODÉLISATION DES RISQUES DE FRÉQUENCE
La méthode LDA décrite précédemment sera utilisée pour modéliser les risques defréquence. C’est ce qui est couramment employé dans le secteur bancaire pourmodéliser ce type de risque.
Pour utiliser cette méthode, il est nécessaire de disposer d’une base d’incidents
suffisamment bien alimentée pour pouvoir faire des ajustements de lois. Se pose ainsi
le problème du seuil de collecte des pertes : à partir de quel niveau doit-on récupérer
les pertes sans que cela ne soit trop lourd en terme de charges de travail pour lesopérationnels mais pour que le modèle soit suffisamment alimenté en données ?
Dans le secteur bancaire, le seuil le plus fréquemment utilisé est de 10 000 euros.
La base de données devra être retraitée des pertes issues des risques de gravité qui
sont modélisés par ailleurs.
Quelles sont les informations nécessaires et suffisantes pour mettre en œuvre lemodèle ?

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La base devra contenir au minimum : les catégories de risque aux niveaux 1, 2 et 3 ce qui permettra de rattacher laperte au référentiel de risques, le processus impacté (sous forme de codification du processus) ce qui
permettra de rattacher la perte au processus impacté,
 le service dans lequel s’est produit l’incident,
 les services impactés, la date de survenance,
 la date de détection,
 la date de fin d’incident,
 le coût estimé de la perte, les récupérations éventuelles.

Voici un extrait de la base prévisionnelle :
N°
Perte

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Date desurvenanceDate dedétection

Date de fin

Processus
impactéService
impacté

Catégoriederisqueniveau1

Catégoriederisqueniveau2

Catégoriederisqueniveau3

Pertesestimées
a priori

PertesréellesRécupérationestimé
e

Récupérat
ionsréelles20070115

20070115

20070115

000015000104000010000010061

147,95

147,950020070118

20070118

20070118

000020000152000040000040096

1405000

576620,22

0290254,7

200701192007011920070119000015000105000010000010

066

289

501

0

0

20061111

20061111

20061111

000015000118000010000010

008

12,2

12,2

0

0

20061208

20061208

20061208

000015000105000010000010086

170

247,380020061108

20061108

20061108000015000105000010000010

086

30

45,66

0

0

20061229

20061229

20061229

000015000105000010000010086

1700

2401,210020061213

20061213

20061213

000015000105000020000020086

80

181,260020061127

20061127

20061127

000015000104000020000020008

545,41

515,410020061215

20061215

20061215

000015000105000020000020008

9582,06

3194,02

0

0

A partir de cette base, des analyses de données seront menées pour ajuster les lois defréquence et de coûts. C’est une méthode classique de l’assurance.
Remarque : Le risque que nous souhaitons modéliser est le risque que nous
encourrons dans l’année à venir. L’historique de la base d’incidents ne sera utile quepour les risques dont la structure est stable dans le temps.
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Seuil de collecte :Généralement, les opérationnels ne déclareront pas toutes les pertes. Le seuil dedéclaration sera déterminé par le risk management. Les observations dont nous
disposerons seront alors les pertes dont le montant dépasse ce seuil. Il faudra ainsi
prendre en compte cette troncature dans nos ajustements et modifier l’estimation desparamètres et des tests d’adéquation en conséquence. En effet, si nous ne tenons pas
compte du fait que les données sont tronquées, nous allons sous-estimer la fréquence
et ajuster la loi des coûts individuels de façon erronée.
Loi du coût individuel :Si nous ne tenons pas compte du seuil de troncature, nous allons ajuster à nosdonnées une loi déformée comme nous le prouve le graphique ci-dessous (cegraphique représente le coût des pertes individuelles et l’adéquation de la loi
théorique ajustée sur les données tronquées) :Les données en dessous du seuil ne sont pas remontées mais doivent être prises encompte dans l’estimation des paramètres : il faudra estimer les paramètres de la loi
en tenant compte du manque de données à gauche de l’histogramme tel que nous lemontre le graphique ci-dessous dessous (ce graphique représente le coût des pertes
individuelles et l’adéquation de la loi théorique réajustée pour tenir compte desdonnées tronquées) :Soit U le seuil de collecte des pertes.
Soit X la variable aléatoire représentant les coûts des pertes non tronquées (c’est-àdire les pertes dont le montant peut être inférieur à U) et F sa fonction de répartition.

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Seule la loi de X X ≥ U produit des observations. Cette loi conditionnelle est la loi
de X tronquée à gauche de U.
Nous pouvons expliciter la fonction de répartition de la loi tronquée sachant que lesobservations sont au-delà du seuil U:
P( X < x X ≥ U ) =P (U ≤ X < x) F ( x) − F (U )=P( X ≥ U )1 − F (U )P( X ≤ x X ≥ U ) = 0

pour tout x > U

pour tout x ≤ U

Le graphique ci-dessous montre la déformation d’une loi Log-normale ln(2 ; 1) en
fonction du niveau de seuil de collectes.
0,01
0,009
0,008
0,007
0,006

f(x)
f(x|X>27)

0,005f(x|X>53)
0,004

f(x|X>60)

0,003
0,002
0,001

124

117

110

102

95

87,7

80,4

73,1

65,8

58,5

51,2

43,9

36,6

29,3

22

14,7

7,4

0,1

0

Remarque : certaines distributions sont stables par une troncature à gauche commeles lois exponentielle et Pareto.
La méthode du maximum de vraisemblance nous permet de calibrer nos lois mais nenous donne pas de solution analytique.
Soit ( x1 , x 2 ,… , x n ) un échantillon de pertes dont le montant excède le seuil U, lavraisemblance conditionnelle au seuil U peut s’écrire :nnf ( xi )f ( xi )=∏∏
i =1 P ( X i ≥ U )i =1 1 − F (U )La log-vraisemblance peut alors s’écrire : f ( xi )  n = ∑ ln ( f ( xi ) ) −n ln (1 − F (U ) )
ln
∑
i =1
 1 − F (U )  i =1n

Les paramètres sont estimés de manière classique en minimisant la logvraisemblance. En général, il n’y a pas de forme analytique des estimateurs desparamètres. Les algorithmes classiques tels que Newton ne sont pas très efficaces.
Nous aurons recours à des fonctions du logiciel R telles que « cdens » qui permet deModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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calculer la densité d’une loi connue tronquée et « fitdistr » qui utilise le maximum devraisemblance.

Loi de la fréquence :Lorsqu’il existe un seuil de collecte, la fréquence des pertes observées est sousestimée et elle doit être réajustée pour tenir compte des pertes non déclarées. Pourchaque période d’observation i, le nombre de sinistres noté ni est augmenté dunombre de sinistres estimés en-dessous du seuil noté m i : ni = ni + mi .
r

Le rapport entre le nombre de pertes en dessous du seuil et le nombre de pertes
observées est le même que le rapport entre la partie en dessous de la courbe de ladensité du coût individuel située à gauche du seuil, et celle située à droite du seuil :miFˆ (U )=
où F̂ est la fonction de répartition tronquée de X, dont les paramètres
ni 1 − Fˆ (U )ont été estimés avec la méthode précédente.
D’où nir = ni + mi = ni +ni × Fˆ (U )ni=.
1 − Fˆ (U ) 1 − Fˆ (U )5.2 MODÉLISATION DES RISQUES DE GRAVITÉ
Contrairement aux pertes des risques de fréquence, les pertes de risques de gravité
sont trop rares pour qu’une base de données soit constituée et exploitable. Le modèle
va donc reposer sur les scénarios à dire d’experts issus du SRA et des observations ded’indicateurs de risques et sera complété par d’autres scénarios de risques identifiéslors de la cartographie des risques par les experts. Nous devrons faire un SRA pources nouveaux risques.
Rappelons que dans le SRA nous avons défini pour chaque risque de gravité trois
scénarios qui vont être utilisés pour définir un graphe bayésien.
Dans le modèle XSG décrit plus haut, chaque graphe bayésien est composé d’une
exposition, d’une fréquence de survenance et d’un coût. Les différentes valeurs desvariables et les probabilités associées sont en principe déterminées par l’expert encollaboration avec le risk manager ou issues des observations des indicateurs derisques.
Le SRA nous permet de construire la structure du réseau bayésien. Cependant il n’est
pas suffisant pour en déduire tous les paramètres du réseau, notamment les
probabilités conditionnelles.
Une fois la structure du réseau fixée, il s’agit de déterminer l’ensemble desparamètres, ce qui est appelé l’apprentissage des paramètres. Pour cela, il y a deux
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approches possibles : soit il existe des données et nous appliquons des méthodes
statistiques, soit il n’y en a pas et il est nécessaire de réinterroger les experts pourtenter de déterminer les éléments manquants.
Les différents réseaux bayésiens sont assemblés pour former un réseau bayésien
global qui nous donne la distribution totale des risques de gravité. Il suffit deconnecter les différents indicateurs ensemble et de lancer toutes les simulations enmême temps.

Ex

Sur

Grv

Ex

Sur

Grv

Ex

Sur

Grv

Ex = exposition, Sur = survenance, Grv = gravité

5.2.1

APPRENTISSAGE DES CONNAISSANCES

Cette partie consiste à présenter les méthodes permettant d’estimer les paramètres à
dires d’experts lorsqu’aucune information n’est disponible.
Nous commençons par présenter une méthode pour aider les experts à estimer les
probabilités : il s’agit de l’échelle de probabilités.
L’échelle de probabilité permet aux experts d’utiliser des informations à la fois
textuelles et numériques pour assigner un degré de réalisation à leur affirmation puisde comparer les probabilités des évènements pour les modifier.

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Le problème qui se pose souvent, est que l’expert va devoir estimer des probabilités
conditionnelles en nombre très important. Ceci est peu réaliste et nous conduit àenvisager d’autres solutions. En général, pour pallier ce problème, nous ne retenons
que les variables que nous pouvons quantifier (expertise, base de données, formules).
Cependant, il existe plusieurs approches qui permettent de déduire un certain
nombre de probabilités conditionnelles à partir d’un nombre réduit de probabilités
estimées par les experts : OU-bruité, les facteurs d’interpolation, le modèle loglinéaire… Nous allons étudier les modèles OU-bruité et facteurs d’interpolation.
Les modèles OU-bruité et facteurs d’interpolation consistent à déterminer les
probabilités de l’enfant Y conditionnellement à l’état des parents X i . Cela nécessite
auparavant que les experts estiment certaines probabilités conditionnelles commenous le verrons plus loin.
Ces modèles reposent sur l’hypothèse que l’effet de chaque parent X i sur l’enfant Y
ne dépend pas de la valeur des autres parents X i .
Nous prenons le cas où les parents X i et l’enfant Y sont des variables binaires. Dansle cas des facteurs d’interpolation, cette théorie est généralisable à des variables qui
peuvent prendre plus de deux valeurs et même à des variables continues (voir ledocument de Cain [4]).
Nous noterons x i l’état positif du parent X i qui va le plus probablement provoquerl'état de succès du nœud enfant Y ( xi étant l’état négatif).
Nous noterons y l’état de succès du nœud enfant Y ( y étant l’état d’échec de l’enfant).
Plaçons-nous dans le cas où l’enfant Y possède trois parents.

L’expert estime dans un premier temps les probabilités marginales de chaquevariable : P (Y = y ) , P( X 1 = x1 ) , P( X 2 = x 2 ) et P ( X 3 = x3 ) .
L’expert devrait en théorie estimer 23 probabilités conditionnelles (2n dans le cas de nparents). Nous allons voir que ce nombre peut être réduit par les modèles.

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Modèle OU-bruité :L’expert est interrogé pour donner les probabilités P4 y , P6 y et P7 y correspondant au
cas où un seul parent est dans son état positif (voir tableau ci-dessous). Le nombre deprobabilités conditionnelles à estimer n’est plus que de trois (n probabilités dans lecas de n parents).
Le tableau ci-dessous représente la table des probabilités conditionnelles de l’enfantY
Numéro de Parent
X1
lacombinaison1x1

ParentX2

ParentX3

Fils Yx2

x3

P1 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

2

x1

x2

x3

P2 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

3

x1

x2

x3

P3 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

4

x1

x2

x3

P4 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

5

x1

x2

x3

P5 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

6

x1

x2

x3

P6y = P(Y = y X1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 )estimée par l’expert

7

x1

x2

x3

P7 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

8

x1

x2

x3

P8 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

L’expert n’a estimé que trois probabilités qui permettent cependant de déduire lesprobabilités restantes de la façon suivante :P1 y = 1 − (1 − P4 y ) × (1 − P6 y ) × (1 − P7 y )P2 y = 1 − (1 − P4 y ) × (1 − P6 y )P3 y = 1 − (1 − P4 y ) × (1 − P7 y )Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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P5 y = 1 − (1 − P6 y ) × (1 − P7 y )P8 y = 0

Exemple :L’expert fournit les probabilités suivantes :P(Erreur = « Oui ») = 0,001
P(Perte = « Oui ») = 0,0012
P(Contrôle défaillant = « Oui ») = 0,0001
P(Perte = « Oui » | Erreur = « Oui », Contrôle défaillant = « Non ») = 0,1P(Perte = « Oui » | Erreur = « Non », Contrôle défaillant = « Oui ») = 0,99
Alors nous en déduisons la probabilité :P(Perte = « Oui » | Erreur = « Oui », Contrôle défaillant = « Oui ») = 1 – (1-0,1)*(1-0,99)= 0,991
L’inconvénient de cette méthode est qu’elle estime que P(Perte = « Oui » | Erreur =« Non », Contrôle défaillant = « Non ») = 0.

Modèle des facteurs d’interpolation :L’expert est interrogé pour donner les probabilités suivantes : la première probabilité P1 y correspond au cas où les parents sont tous dansleurs états positifs,
 la deuxième probabilité P8 y correspond au cas où les parents sont tous dansleurs états négatifs,
 les autres probabilités P2 y , P3 y et P5 y correspondent au cas où un seul parent
est dans son état négatif.
Le nombre de valeurs à estimer est de cinq (2n - n valeurs dans le cas de n parents).

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Le tableau ci-dessous représente la table des probabilités conditionnelles de l’enfantY
Numéro de ParentlaX1
combinaison1x1

ParentX2

ParentX3

Fils Yx2

x3

P1 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

2

x1

x2

x3

P2 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

3

x1

x2

x3

P3 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

4

x1

x2

x3

P4 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )à estimer

5

x1

x2

x3

P5 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

6

x1

x2

x3

P6 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) àestimer

7

x1

x2

x3

P7 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) àestimer

8

x1

x2

x3

P8 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )estimée par l’expert

Les facteurs d'interpolation sont calculés pour chaque commutation dans l'état d'unparent de positif à négatif. Ils sont le rapport de la différence entre la probabilité desuccès sachant qu’un seul parent est dans son état négatif et la probabilité que tous
les parents soient dans leurs états négatifs et de la différence entre la probabilité laplus haute pour l'état de succès de l’enfant (c’est-à-dire quand tous les parents sontdans leurs états positifs) et la plus basse (quand tous les parents sont dans leurs états
négatifs).
Quand un des parents passe d'un état positif à un état négatif, la probabilité quel'enfant soit dans son état de succès est réduite. Le facteur d'interpolation évalue
simplement cette réduction pour la commutation de chaque parent.
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Posons IFi =Piy − P8 y
P1 y − P8 y

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pour i dans {2;3;5}

Il n’est pas nécessaire de calculer l’un d’entre eux pour trouver les probabilités
restantes :P4 y = (P3 y − P8 y ) × IF2 + P8 y
P6 y = (P5 y − P8 y ) × IF2 + P8 y
P7 y = (P5 y − P8 y ) × IF3 + P8 y

Nous n’avons pas besoin de calculer des facteurs d’interpolation pour les
probabilités d’échec. Une fois que nous avons utilisé les facteurs d’interpolation pourcalculer les probabilités de succès de chaque combinaison, la probabilité d’échec s’endéduit simplement par la formule suivante : Piy = 1 − Piy .

Test de cohérence des estimations :Le test de cohérence permet de vérifier la cohérence des estimations des experts.
Le test consiste à comparer la probabilité estimée par l’expert P(Y) avec la formule
des probabilités totales :P (Y = y ) = P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )+ P (Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) × P ( X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 )Si le résultat est incohérent, il faut alors corriger : soit manuellement : l’expert réestime les probabilités, soit automatiquement : en modifiant les probabilités en respectant les
proportions pour que l’égalité soit vraie.

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Reprenons l’exemple du modèle OU-bruité :P(Y = y ) = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 ) × P( X 1 = x1 , X 2 = x 2 )+ P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 ) × P( X 1 = x1 , X 2 = x 2 )+ P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 ) × P( X 1 = x1 , X 2 = x 2 )+ P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 ) × P( X 1 = x1 , X 2 = x 2 )P (Y = y ) = 0,1 × 0,001 × 0,9999 + 0,99 × 0,999 × 0,0001 + 0,991 × 0,001 × 0,0001 + 0= 0,00129

Les experts avaient estimé cette probabilité : P (Y = y ) = 0,012 ce qui est très proche etserait validé. L’inconvénient d’estimer nulle la probabilité P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x2 )peut être très problématique et fournir une estimation de P (Y = y ) totalement fausse.
Cette méthode ne fonctionne donc que pour des valeurs de P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x2 )proche de 0.

5.2.2

APPRENTISSAGE DES DONNÉES

Là encore il existe plusieurs approches selon que les données soient complètes ounon.
 Cas des données complètes :Étudions le cas de données complètes :Nous rappelons que le but est de déterminer des probabilités conditionnelles.
Notons P1 y = P(Y = y X 1 = x1 , X 2 = x 2 , X 3 = x3 ) les probabilités à estimer.

Apprentissage statistique :La méthode la plus utilisée dans le cas de données complètes est la méthode dumaximum de vraisemblance qui est assez intuitive et qui consiste à calculer laprobabilité d’un évènement par sa fréquence d’apparition dans la base de données.
Notons x j la configuration numéro j des parents et x k l’état du nœud X i .
Soit pa( X i ) le parent de X i .
Pour estimer la probabilité conditionnelle que X i soit dans l’état x k sachant que ses()

parents sont dans la configuration x j , P X i = x k pa ( X i ) = x j , nous pouvons utiliser
la formule :(Pˆ X i = x k)pa( X i ) = x j =N i , j ,k∑Ni , j ,kkModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Où N i , j , k représente le nombre de fois où X i apparaît dans l’état x k alors que ses
parents sont dans la configuration x j .
Vous trouverez la démonstration de cette formule dans [20] page 118.
l’estimateur par la méthode du maximum de vraisemblance deNotons θˆiMV, j ,k(P X i = xk)

pa ( X i ) = x j .

Pour économiser du temps et de l’espace nous noterons θ i , j ,k la probabilité(

conditionnelle P X i = x kpa ( X i ) = x j) qui est une notation classique dans ledomaine bayésien.

Exemple : considérons le réseau bayésien suivant.

Le nœud Échec contrôle est le parent du nœud Perte. Tous deux sont des variables
aléatoires binaires qui ont pour modalités Oui=O et Non=N.
Le nœud Échec contrôle sera noté E et le nœud Perte sera noté P. E sera la variable X1
et P la variable X2.
Si E = O alors cela signifiera que le contrôle a échoué. Cela correspond à son état 1.
Si E = N alors cela signifiera que le contrôle a fonctionné. Cela correspond à son état2.
Si P = O alors cela signifiera qu’une perte s’est réalisée. Cela correspond à son état 1.
Si P = N alors cela signifiera qu’aucune perte n’a été enregistrée. Cela correspond à
son état 2.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Supposons à présent que nous ayons les observations suivantes concernant ceréseau :Numéro scénario

Échec du contrôle

Perte

1

O

O

2

O

O

3

O

O

4

O

N

5

O

N

6

O

N

7

N

O

8

N

O

9

N

O

10

N

N

11

N

N

12

N

N

13

N

N

14

N

N

15

N

N

Les paramètres à estimer sont les probabilités :P(E = O ) (nous en déduirons P(E = N ) = 1 − P(E = O ) )P(P = O E = O ) (nous en déduirons P(P = N E = O ) = 1 − P(P = O E = O ) )P(P = O E = N ) (nous en déduirons P(P = N E = N ) = 1 − P(P = O E = N ) )Intéressons-nous en particulier à P(P = O E = O ) et P(P = O E = N ) , que nous
noterons respectivement θ P =O E =O et θ P =O E = N .

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La formule du maximum de vraisemblance nous donne :N 2,1,1θˆPMV= O E = O =N 2,1,1 + N 2,1, 2ceci correspond au rapport du nombre de fois où P est dansson état 1 sachant que son parent E est dans son état 1 par le nombre de fois où P est
dans ses états 1 et 2 sachant que son parent E est dans son état 1.
Voici une explication des indices :Correspond aunœud fils P

Correspond àl’état 1 du nœudparent E

Correspond àl’état 1 du nœudfils PN 2,1,1=
P = O E =O
N 2,1,1 + N 2,1, 2θˆ MV

Les observations nous permettent de quantifier l’estimateur :θˆP =O E =O =N 2,1,1
N 2,1,1 + N 2,1, 2=

3
3= = 0,5
3+3 6

1 1
Nous en déduisons θˆP = N E =O = 1 − θˆP =O E =O = 1 − = = 0,5
2 2
N 2, 2,1

θˆP =O E = N =N 2, 2,1 + N 2, 2, 2=

3
3
= ≈ 0,333
3+ 6 9

1 2
Nous en déduisons θˆP = N E = N = 1 − θˆP =O E = N = 1 − = ≈ 0,667
3 3Apprentissage bayésien :Cette approche consiste tout d’abord à appliquer le théorème de Bayes.
Soient ( X 1 , … , X n ) := X les variables ou nœuds composant notre réseau bayésien.

()

Soit d (l ) = x k(1l ) ,…, x k( ln) un scénario des états des nœuds de notre base de données.

(

)

(

On a : P X = d (l ) θ = P X 1 = x k(1l ) ,…, X n = x k( ln) θ

{

)

}

Soit D = d (l ) pour l ∈ [ 1; N ] l’ensemble des N scénarios de notre base de données.
Le théorème de Bayes nous donne :P(θ X = D ) ∝ P( X = D θ ) P(θ )Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Cette approche utilise un a priori sur la distribution des paramètres, notamment la
distribution de Dirichlet qui est souvent employée pour certains avantages que nousétudierons plus loin :P (θ ) ∝ ∏∏∏ (θ i , j ,k ) i , j , k
n

qi

ri

i =1

j =1 k =1

α−1

où les paramètres α i , j ,k sont déterminés a priori par les

experts.

L’approche du maximum a posteriori nous donne l’estimateur suivant :(Pˆ X i = x k)pa( X i ) = x j =N i , j ,k + α i , j ,k − 1∑ (Ni , j ,k

+ α i , j ,k − 1)kOù α i , j ,k sont les paramètres de la distribution de Dirichlet associée à la loi a priori(

P X i = xk)

pa ( X i ) = x j .

(pa ( X i ) = x j .

(pa ( X i ) = x j .

Notons θˆiMAP, j , k l’estimateur du maximum a posteriori de P X i = x k)

La deuxième approche bayésienne :(Pˆ X i = x k)pa( X i ) = x j =N i , j ,k + α i , j ,k∑ (Ni , j ,k

+ α i , j ,k )kNotons θˆiEAP, j , k l’estimateur de l’espérance a posteriori de P X i = x k)

Exemple : reprenons notre exemple précédent.

Supposons que les paramètres θ P =O E = N et θ P =O E = N suivent une distribution a priori
de Dirichlet avec α i , j ,k = 1 pour tous i, j , k ∈ {1;2} .

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Institut des Actuaires

Maximum a posteriori :N 2,1,1 + α 2,1,1 − 1

θˆPMAP=O E = O =N 2,1,1 + α 2,1,1 − 1 + N 2,1, 2 + α 2,1, 2 − 1

θˆPMAP= 1 − θˆPMAP= 1−= N E =O
= O E =O

=

1
= 0,5
2

N 2, 2,1 + α 2, 2,1 − 1

θˆPMAP=O E = N =3 +1−1
1= = 0,5
3 +1−1+ 3 +1−1 2

N 2, 2,1 + α 2, 2,1 − 1 + N 2, 2, 2 + α 2, 2, 2 − 1=

3 +1−11= ≈ 0,333
3 +1−1+ 6 +1−1 3

13θˆPMAP= 1 − θˆPMAP= 1 − ≈ 0,667=N E=N=O E = N
Espérance a posteriori :N 2,1,1 + α 2,1,1

θˆPEAP=O E = O =N 2,1,1 + α 2,1,1 + N 2,1, 2 + α 2,1, 2

θˆPEAP= 1 − θˆPEAP= 1−= N E =O
= O E =O=

1 1
= = 0,5
2 2

N 2, 2,1 + α 2, 2,1

θˆPEAP=O E = N =N 2, 2,1 + α 2, 2,1 + N 2, 2, 2 + α 2, 2, 2θˆPEAP= 1 − θˆPEAP= 1−=N E=N=O E = N

3 +1
4= = 0,5
3 +1+ 3 +1 8

=

3 +1
4
=
≈ 0,364
3 + 1 + 6 + 1 114
≈ 0,63611

 Cas des données incomplètes :Les méthodes que nous venons de présenter sont uniquement valables dans le cas où
toutes les données sont observées. Si tel n’est pas le cas, voici d’autres méthodes
permettant d’estimer les probabilités conditionnelles.

Apprentissage statistique EM :Il s’agit de l’apprentissage statistique combiné à l’algorithme « expectation
maximisation » (EM).
Soit Dol’ensemble des données observées et Dm l’ensemble des donnéesmanquantes.

[

]

(

N i*, j ,k = Eθ N i , j ,k = N × P X i = x k , pa ( X i ) = x j θ *θ i(,tj+,k1) =)N i*, j ,k∑N*i , j ,kkModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Exemple :Supposons que nous disposions uniquement des informations suivantes :Numéro scénario

Echec du contrôle

Perte

1

O

?

2

O

O

3

O

O

4

O

N

5

O

N

6

O

N

7

N

O

8

N

O

9

N

O

10

N

?

11

N

?

12

N

N

13

N

N

14

N

N

15

N

N

Intéressons-nous en particulier à P(P = O E = O ) et P(P = O E = N ) , que nous
noterons respectivement θ P =O E =O et θ P =O E = N

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

81 / 180

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Institut des Actuaires

L’algorithme EM fonctionne avec des paramètres initiaux qui peuvent être issus d’unavis d’expert :θ P( 0=)O E =O = 0,6 et θ P( 0=)O E = N = 0,3

1ière itération :Etape E :E=O
Numéroscénario

Echeccontrôle

1

E=N

du Perte

P=O

P=N

P=O

P=N

O

?

0,6

0,4

0

0

2

O

O

1

0

0

0

3

O

O

1

0

0

0

4

O

N

0

1

0

0

5

O

N

0

1

0

0

6

O

N

0

1

0

0

7

N

O

0

0

1

0

8

N

O

0

0

1

0

9

N

O

0

0

1

0

10

N

?

0

0

0,3

0,7

11

N

?

0

0

0,3

0,7

12

N

N

0

0

0

1

13

N

N

0

0

0

1

14

N

N

0

0

0

1

15

N

N

0

0

0

1

2,6

3,4

3,6

5,4

N*

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Centre d’Études Actuarielles
L’étape M donne θ P(1=)O E =O =

θ P(1=)O E = N =Institut des Actuaires
2,6
2,6
=
≈ 0,433 , θ P(1=) N E =O = 1 − 0,433 = 0,567 et
2,6 + 3,4
6

3,6
3,6
=
= 0,4 , θ P(1=) N E = N = 1 − 0,4 = 0,6 .
3,6 + 5,4
9

2ième itération :E=O
Numéroscénario

Echeccontrôle

1

E=N

du Perte

P=O

P=N

P=O

P=N

O

?

0,433

0,567

0

0

2

O

O

1

0

0

0

3

O

O

1

0

0

0

4

O

N

0

1

0

0

5

O

N

0

1

0

0

6

O

N

0

1

0

0

7

N

O

0

0

1

0

8

N

O

0

0

1

0

9

N

O

0

0

1

0

10

N

?

0

0

0,4

0,6

11

N

?

0

0

0,4

0,6

12

N

N

0

0

0

1

13

N

N

0

0

0

1

14

N

N

0

0

0

1

15

N

N

0

0

0

1

2,433

3,567

3,8

5,2

N*

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

L’étape M donne
2,433
2,433
=
≈ 0,406 , θ P( 2=)N E =O = 1 − 0,406 = 0,5945
2,433 + 3,567
6

θ P( 2=)O E =O =et θ P( 2=)O E = N =

3,8
3,8
=
≈ 0,422 , θ P( 2=)N E = N = 1 − 0,422 = 0,578 .
3,8 + 5,2
9

Répétons les étapes E et M encore deux fois pour converger vers les estimateurs :
+ EM
+ EM
+ EM
+ EM
θˆPMV
= 0,4 , θˆPMV= 0,6 et θˆPMV= 0,428 , θˆPMV= 0,572 .
=O E =O= N E =O=O E = N=N E=N

Apprentissage bayésien EM:
Il s’agit de l’apprentissage bayésien combiné à l’algorithme « expectation
maximisation » (EM).
Soit Dol’ensemble des données observées et Dm l’ensemble des donnéesmanquantes.

[

]

(

N i*, j ,k = Eθ N i , j ,k = N × P X i = x k , pa ( X i ) = x j θ *θ

( t +1)
i , j ,k=)N i*, j ,k∑N*i , j ,kk

Exemple : reprenons l’exemple précédent dans le quel nous souhaitons estimer les
probabilités P(P = O E = O ) et P(P = O E = N ) , que nous noterons respectivement

θ P =O E =O et θ P =O E = N .
Nous supposons un a priori sur la distribution des paramètres : prenons une
distribution de Dirichlet avec α i , j ,k = 1 pour tous i, j , k ∈ {1;2} .
L’algorithme EM fonctionne avec des paramètres initiaux qui peuvent être issus d’unavis d’expert :θ P( 0=)O E =O = 0,6 et θ P( 0=)O E = N = 0,3 .

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Institut des Actuaires

1ière itération :Etape E :E=O
Numéroscénario

Echeccontrôle

1

E=N

du Perte

P=O

P=N

P=O

P=N

O

?

0,6

0,4

0

0

2

O

O

1

0

0

0

3

O

O

1

0

0

0

4

O

N

0

1

0

0

5

O

N

0

1

0

0

6

O

N

0

1

0

0

7

N

O

0

0

1

0

8

N

O

0

0

1

0

9

N

O

0

0

1

0

10

N

?

0

0

0,3

0,7

11

N

?

0

0

0,3

0,7

12

N

N

0

0

0

1

13

N

N

0

0

0

1

14

N

N

0

0

0

1

15

N

N

0

0

0

1

2,6

3,4

3,6

5,4

N*
L’étape M donne θ P(1=)O E =O =

θ P(1=)O E = N =2,6 + 1
3,6=
= 0,45 , θ P(1=) N E =O = 1 − 0,45 = 0,55 et
2,6 + 1 + 3,4 + 1 8

3,6 + 1
4,6=
≈ 0,418 , θ P(1=) N E = N = 1 − 0,418 = 0,582 .
3,6 + 1 + 5,4 + 1 11

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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2ième itération :E=O
Numéroscénario

Echeccontrôle

1

E=N

du Perte

P=O

P=N

P=O

P=N

O

?

0,45

0,55

0

0

2

O

O

1

0

0

0

3

O

O

1

0

0

0

4

O

N

0

1

0

0

5

O

N

0

1

0

0

6

O

N

0

1

0

0

7

N

O

0

0

1

0

8

N

O

0

0

1

0

9

N

O

0

0

1

0

10

N

?

0

0

0,418

0,582

11

N

?

0

0

0,418

0,582

12

N

N

0

0

0

1

13

N

N

0

0

0

1

14

N

N

0

0

0

1

15

N

N

0

0

0

1

2,45

3,55

3,836

5,164

N*
L’étape M donneθ P( 2=)O E =O =2,45 + 1
3,45=≈ 0,431 , θ P( 2=)N E =O = 1 − 0,431 = 0,569
2,45 + 1 + 3,55 + 1
8et θ P( 2=)O E = N =3,836 + 1
4,836=
≈ 0,44 , θ P( 2=)N E = N = 1 − 0,44 = 0,56 .
3,836 + 1 + 5,164 + 1
11

Répétons les étapes E et M encore un certain nombre de fois pour converger vers lesestimateurs :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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+ EM
+ EM
+ EM
+ EM
θˆPEAV= 0,429 , θˆPEAV= 0,571 et θˆPEAV= 0,444 , θˆPEAV= 0,556 .
=O E = O= N E =O=O E = N=N E=N

5.3 DÉFINITION DE LA MATRICE DES RISQUES
Dans le secteur bancaire, le Comité de Bâle a établi une matrice 8*7 de cellules derisques opérationnels (8 lignes métiers et 7 colonnes de types de risques). Dans
chacune de ces 56 cellules, les institutions financières déterminent le montant defonds propres puis les agrègent via une matrice de corrélation.
Dans Solvabilité II, rien n’est recommandé pour le moment mais il nous semble
judicieux d’utiliser une telle matrice pour modéliser nos risques opérationnels defaçon exhaustive. Il reste ensuite à définir la maille et le niveau de granularité de la
matrice.
Nous proposons une matrice croisant les risques de niveau 1 avec les activités del’entreprise. La base d’incidents étant définie sur plusieurs axes, dont les risques deniveau 1 et les activités, il sera alors facile de récupérer des informations par cellule.
Le travail de modélisation consistera à déterminer la distribution de perte totale pourchaque cellule et à les agréger.
Ce découpage doit permettre de modéliser des risques homogènes. Aussi il arrivera
que nous soyons amenés à subdiviser une cellule qui ne contiendrait pas que desrisques homogènes. La matrice croise les risques avec les activités. Chaque cellule
peut contenir des risques de fréquence et de gravité. La matrice permet d’avoir une
vision globale du risque et de pouvoir zoomer sur certains risques ou certaines
activités. Pour obtenir le capital total de la matrice, les risques de gravité sontsommés (ils ont été simulés en même temps par construction) et les risques defréquence sont agrégés par une matrice de corrélation ou par des copules.
Construction de la matrice :Nous souhaitons construire une matrice par risque de niveau 1 et activités.
Pour les risques de fréquence, nous récupérerons les pertes observées dans chaquecase.
Il est possible qu’il n’y ait pas assez de données dans une cellule, auquel cas nous
devons agréger cette case avec une autre case.
Si les données d’une cellule sont en nombre suffisant, nous regarderons si elles sonthomogènes par le biais de représentation graphique par exemple.
Lorsque les données d’une cellule sont homogènes, nous ajusterons une loi defréquence et une loi de coût à nos données. Puis nous calculerons la distribution decharge totale par une des méthodes décrites plus haut. Nous pourrons alors calculer
un montant de capital par case au titre des risques de fréquence.
Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Si les données d’une case ne sont pas homogènes, nous diviserons la case à un niveau
de risque plus fin (c’est-à-dire au niveau 2 ici) et ainsi de suite si cela est nécessaire,jusqu’à obtenir des risques homogènes pour que nos adéquations de lois soient bien
adaptées. Les distributions de pertes ajustées à des niveaux inférieurs seront ensuite
agrégées jusqu’au niveau 1 en supposant l’indépendance des risques de niveau
inférieur.
L’agrégation des cases permettra d’obtenir un capital global pour les risques defréquence. Elle pourra être réalisée via des copules ou une matrice de corrélation.
Les risques de gravité doivent également être modélisés de façon à attribuer une partde capital à chaque case au titre des risques de gravité.
Les risques de fréquence sont supposés indépendants des risques de gravité.
L’avantage d’une matrice par activité est la mise en place de « use tests » tels que desratios de rentabilité par risque et par activité. La base d’incidents possède tous lesaxes d’analyse permettant de descendre au niveau d’analyse le plus fin dans la
matrice.
Risques de niveau 1
Risque 1 Risque 2 Risque 3 Risque 4 Risque 5 Risque 6 Risque 7 Risque 8
A1
Activités

A2
A3
A4
A5
A6

Pas assez de données dans une
case=> regroupement avec desrisques du même type

Activité3

Risque 4

Risques deFréquence

Risques deGravitéSi les données ne sont pas homogènes, lamodélisation doit se faire à un niveau plus
fin, puis les distributions sont agrégées
par indépendance jusqu’au niveau 1

Risques de Fréquence
Niveau 2

Risques de Fréquence
Niveau 3

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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6 MODÉLISATION SIMPLIFIÉE DU RISQUE OPÉRATIONNEL
Modéliser le risque opérationnel n’est pas chose facile d’autant que cela nécessite unequantité très importante d’informations. Or, pour l’instant, nous ne disposons que depeu d’information. Nous allons proposer ici un modèle très simplifié et provisoirebasé sur le SRA.
Chez Generali, les seules informations disponibles pour l’instant sont les avis
d’experts sur les vingt-cinq risques opérationnels les plus importants issus du SRA(hors risques externes de type tempête, crue de la seine…).
Au vu de ce manque d’informations, le modèle proposé ici permettra d’avoir une
première idée du besoin en capital en attendant de pouvoir récupérer d’avantages
d’informations sur les différents indicateurs composant les scénarios.
L’idée générale du modèle est d’utiliser les trois scénarios de chacun des risquesmajeurs qui fournissent chacun une fréquence et un montant de pertes. Il s’agit
d’ajuster avec ces six points une loi de fréquence et une loi de coût et de simuler ladistribution de pertes de chacun de ces risques.
Le modèle consiste, pour chaque risque, à : d’une part, choisir une loi a priori du coût unitaire de la perte en estimant lesparamètres par la méthode des quantiles et sélectionner une d’entre elles àpartir d’un critère de décision ; et d’autre part, utiliser la loi de Poisson pour simuler la fréquence des coûts enestimant le paramètre par la fréquence moyenne des trois scénarios du SRA.

Notations utilisées dans le modèle :Pour le scénario i et le risque k avec i ∈ {B, M , H }où B correspond à l’hypothèse
basse, M à l’hypothèse moyenne et H à l’hypothèse haute et k ∈ [1; 25] , notons :λk ,i fréquence issue du SRA
ck ,i coût issu du SRA
N k ,i variable aléatoire représentant le nombre de pertes
X k ,i , j variable aléatoire représentant le coût de la perte j
S k ,i variable aléatoire représentant la charge totale des pertes
Ukvariable aléatoire de loi uniforme [0 ; 1]

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Risque 1
Scénario
Scénario
Scénario
Hypothèse Hypothèse Hypothèse
Basse
MoyenneHaute…
…

Risque 25
Scénario
Scénario
Scénario
Hypothèse Hypothèse Hypothèse
Basse
MoyenneHaute

Fréquence

λ1, B

λ1, M

λ1, H

…

λ 25, B

λ 25, M

λ 25, H

Coût

c1, B

c1, M

c1, H

…

c 25, Bc 25, Mc 25, H

1ière approche : Avant de développer le modèle, nous proposons une approche
empirique qui consiste à ajuster une loi de fréquence mais pas de loi pour le coût.
Nous choisissons une loi de fréquence a priori en estimant ses paramètres à l’aide du
SRA, et en utilisant les valeurs de pertes pour simuler le coût (le coût est constant).
Tous les scénarios d’un même risque peuvent survenir en même temps.
La loi de fréquence que nous avons choisie est la loi de Poisson de paramètre λ égal àla fréquence indiquée dans le scénario.
Pour tout i, k, on a :N k ,i suit la loi de Poisson P (λ k ,i )X k ,i , j = ck ,i pour tout j

La charge totale S k ,i du risque k dans le scénario i est alors S k ,i = c k ,i × N k ,iLa loi de S k ,i est à valeurs dans c k ,i N , on a alors :P ( S k ,i = n × c k ,i ) = P ( N k ,i × c k ,i = n × c k ,i ) = P ( N k ,i = n ) =λnk ,in!

× exp(−λ k ,i )pour n ∈ Ν

2nde approche : nous choisissons une loi de sévérité a priori en estimant lesparamètres avec la méthode des quantiles (décrite plus bas) en supposant que : la perte issue du scénario moyen donne le quantile à f M :=λk ,B + λk ,M / 2:∑ λ k ,ii∈{B , M , H }Qk ; f m = c k , M , la perte issue du scénario fort donne le quantile à 99,999% : Qk ;99,999% = c k , H .
Puis, nous utilisons un critère basé sur le scénario hypothèse basse pour départager
les lois :{Min (Fth (c k , B ) − Femp (c k , B ) )th2} où F (c ) =
emp

k ,B

λk , B∑ λ k ,ietF th

est la fonction dei∈{B , M , H }répartition empirique testée.
Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

90 / 180

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λk , B∑ λ k ,i0%

i∈{B , M , H }λk ,B + λk,M / 2∑λk,ii∈{B,M , H }Scénarios bas

Scénarios moyens

Critère de décision :2
Min (Fth (ck ,B ) − Femp (ck ,B ))Le scénario moyen
est supposé être aucentre de la tranchedes scénarios :Qk ; f m = c k , M

th

{

}

λk,B + λk ,M
∑λk,i

100%

i∈{B,M , H }Scénarios forts

Le scénario fort est supposéêtre le « maximum » de la
tranche des scénarios forts(99,999%) : Qk ;99,999% = c k , H

La fréquence est modélisée avec une loi de Poisson dont le paramètre est la somme
des fréquences du risque issues du SRA :λ k = ∑ λ k ,ii

Nous nous ramenons ainsi à un problème classique en assurance de déterminationde la charge totale et nous pouvons utiliser les méthodes décrites précédemment.
Remarque : cette méthode est très sensible à la précision choisie après la virgule pourle quantile extrême à 99,999%. Nous avons réalisé des tests de sensibilités desrésultats.

Décrivons la méthode des quantiles qui nous permet de calibrer notre loi de coût.
Cette méthode consiste à estimer les paramètres d’une loi à l’aide de quantiles car
ceux-ci s’expriment en fonction des paramètres de la loi.
Soient n réalisations de X qui suivent la même loi.

Posons Fθ ( x) = F ( x θ ) la fonction de répartition de cette loi avec θ T = (θ1 ,θ 2 ,...,θ p )Où θ T est le transposé de θ qui est un vecteur colonne contenant p paramètres à
estimer.
Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Posons Q g (θ ) le quantile à g% de la loi Fθ .

[]Nous avons par conséquent : F Q g (θ ) θ = g (si la fonction de répartition est continue
il y a au moins une solution à cette équation).
Posons Q̂ g un estimateur du quantile à g%.
Un estimateur par la méthode des quantiles de θ est une solution de p équations :Q g k (θ ) = Qˆ g k , k = 1,2, … , p

Où g1, g 2 , … , g p sont p quantiles choisis arbitrairement.
Par définition des quantiles, les équations peuvent encore être écrites de la façon
suivante :()

F Qˆ g k θ = g k , k = 1,2, … , p

Les limites de cette méthode est qu’il n’y a aucune garantie de l’existence et del’unicité d’une solution.

Nous avons étudié 4 lois de sévérité : Exponentielle, Log-normale, Weibull et Pareto.
Loi Exponentielle :La fonction de répartition de la loi Exponentielle est
F ( x) = (1 − exp(− λx )) × 1ℜ + ( x)pour λ > 0

Q g (λ ) , le quantile à g%, est égal à : Q g (λ ) = −1

λ× ln(1 − g )Nous pouvons en déduire un estimateur du paramètre en inversant la formule et enremplaçant Q g (λ ) par Q̂ g le quantile estimé :λˆ = −

1× ln(1 − g )QˆgLoi de Weibull :La fonction densité d’une loi de Weibull se présente sous la forme :a  xf ( x) = ×  
b b

a −1

  x a × exp −    b pour a et b > 0  x a 
Et sa fonction de répartition : F ( x) = 1 − exp −    b Nous en déduisons le quantile théorique à g% : Q g = b × (− ln(1 − g ) ) a
1

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Pour estimer les deux paramètres a et b, nous devons donc utiliser au moins deuxéquations :Q g1 = b × (− ln(1 − g1 ) ) a et Q g 2 = b × (− ln(1 − g 2 ) ) a , g1 ≠ 1 , g 2 ≠ 1
1

1

1

 Qg  1 ln(1 − g 1 )  a
 ln(1 − g 1 )  et ln 1  = × ln

= 
Soit


Q g 2  ln(1 − g 2 )  ln(1 − g 2 )  Qg2  a
Q g1

Les estimateurs des paramètres a et b s’en déduisent : ln(1 − g1 ) 

ln
Qˆ g1
ln(1 − g 2 ) et bˆ =aˆ =1 Qˆ g 
aˆ
(
−
ln(
1
−
g
)
)
1

1
ln
 Qˆ g 
 2

Loi Log-normale :La fonction de répartition d’une loi Log-normale de paramètres µ et σ est : ln x − µ 
F ( x ) = Φ

 σ


x
 y 2  dypour σ > 0 et où Φ( x) = ∫ exp −−∞ 2  2π

Nous en déduisons une expression du logarithme du quantile :ln(Q g ) = Φ −1 ( g ) × σ + µ
Pour estimer les deux paramètres µ et σ , nous devons utiliser au moins deuxéquations :ln(Q g1 ) = Φ −1 ( g1 ) × σ + µ et ln(Q g 2 ) = Φ −1 ( g 2 ) × σ + µ(ln(Q g1 ) − ln(Q g 2 ) = σ × Φ −1 ( g 1) − Φ −1 ( g 2 ))Les estimateurs des paramètres µ et σ s’en déduisent :σˆ =ln(Qˆ g1 ) − ln(Qˆ g 2 )−1−1

Φ ( g 1) − Φ ( g 2 )et µˆ = ln(Qˆ g1 ) − Φ −1 ( g 1 )Loi Pareto :La fonction de répartition d’une loi Pareto de paramètres λ et α s’écrit : λ F ( x) = 1 − λ + xαModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

93 / 180

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Nous en déduisons l’expression analytique des quantiles à g 1 % et g 2 % :
1
1
−
−




Q g1 = λ ×  (1 − g 1 ) α − 1 et Q g 2 = λ ×  (1 − g 2 ) α − 1Les estimateurs des paramètres λ et α s’en déduisent :
1
−
Qˆ g1
Qˆ g1
(
1 − g1 ) αˆ − 1ˆ=et λ =1
1
Qˆ g 2 (1 − g )− αˆ − 1(1 − g1 )−αˆ − 1
2Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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7 APPLICATION DE LA MODÉLISATION DES RISQUES DEFRÉQUENCE
L’objectif de ce chapitre est de montrer la méthodologie à adopter pour modéliser
des risques à partir d’une base de données. En particulier, nous utiliserons la basepour montrer comment s’applique la méthode LDA classique et comment gérer leproblème de seuil de collectes. Nous montrerons également comment utiliser lathéorie des valeurs extrêmes pour modéliser les pertes extrêmes. Nous étudierons
enfin l’impact d’une agrégation par les copules.
Nous rappelons que nous avons récupéré une base issue du secteur bancaire où lesrisques sont assez similaires à ceux de l’assurance.
Il s’agit d’une partie de l’historique d’une banque française sur 4 ans. Cette basecomporte les variables suivantes : le numéro de la perte, le début de la perte (date àlaquelle la perte est survenue), la fin de la perte (date de clôture de la perte), laconstatation de la perte (date de déclaration de la perte), la catégorie de risque(niveau 1 du référentiel) et les pertes réelles (montant de perte payé).
Voici un extrait de la base utilisée :Numéro de la perte
0000000000000330
0000000000000338
0000000000000342
0000000000000345
0000000000000347
0000000000000348
0000000000000350
0000000000000352
0000000000000353
0000000000000354
0000000000000355
0000000000000356
0000000000000358
0000000000000359
0000000000000360
0000000000000361
0000000000000367
0000000000000369
0000000000000380

Début dela perte

Fin de la Constatation Catégorieperte
de la perte de risque

Pertesréelles20070115
20070118
2007011920061111
20061208
20061108
20061229
20061213
20061127
20061215
20060407
20061213
20061115
20061214
20061220
20061229
20070118
20070122
20070110

2007011502007011920070123
20061214
20061108
20061229
20061214
20061208
20061219
20060407
20061214
20061115
20061214
20061229
20061229
20070125
20070123
20070110

147,95576 620,22
501,0012,20
247,3845,66
2 401,21
181,26515,41
3 194,02
233,595 795,84
611,9178,25
44,65
872,7086,46
256,002 196,72

20070115 PROCES
20070118 PROCES
20070119 PROCES
20061111 PROCES
20061208 PROCES
20061108 PROCES
20061229 PROCES
20061213 PROCES
20061127 PROCES
20061215 PROCES
20060407 PROCES
20061213 CLIENT
20061115 PROCES
20061214 PROCES
20061220 PROCES
20061229 SYSTEM
20070118 PROCES
20070122 PROCES
20070110 PROCES

Les montants sont exprimés en euros. L’établissement bancaire remonte ses pertes
dès le premier euro, afin de modéliser de manière fine sa fréquence. Les pertes dont
les montants sont très petits (inférieur à 5 euros) correspondent pour l’essentiel à desModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

95 / 180

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incidents de process de traitement d’ordres, qui sont détectés et remontés
automatiquement.
Composition des risques :Cette base fournit la catégorie de risque au niveau 1 et ne donne pas le détail desdifférentes sous catégories de risques. Cela va impliquer une certaine hétérogénéité
dans nos données. L’idéal aurait été de disposer d’un niveau plus fin pour modéliser
des risques homogènes mais encore aurait-il fallu avoir assez de données danschaque sous-catégorie. Tous les risques de niveau 1 ne ressortent pas dans cette base,en effet il n’apparait que 4 risques parmi les 7 risques du référentiel de Bâle 2 : lerisque clients, le risque de dysfonctionnement de l’activité et des systèmes, le risquede gestion des processus et le risque de fraude externe.
Les risques auraient également dû être décomposés par ligne métier afin de lesmodéliser de façon homogène, là encore nous ne disposons pas de l’information.
Cette étude a été réalisée sous le logiciel R avec les packages « vcd » pour LDA
classique, « truncgof » pour LDA avec seuil de collectes, « evir » pour la théorie desvaleurs extrêmes et « copula » pour les copules.
Données as if :La modélisation LDA s’appuie sur l’analyse des pertes observées dans le passé. Si lapériode d’observation est longue, il y a lieu d’actualiser les montants observés pourqu’ils correspondent à des montants qui pourraient être observés aujourd’hui. Les
risques opérationnels sont des risques sur les objets exposés de l’entreprise, ils sontdonc différents des risques assurantiels que nous avons l’habitude de voir. La vision
ultime de la perte est soumise à une incertitude plus grande.
De plus, nous ne connaissons pas les sous risques qui composent notre base. Par
conséquent, appliquer un coefficient d’inflation générale aux montants de pertes
historisées serait inadéquat. En effet, l’actualisation doit être spécifique à chaquecatégorie de risque et nous ne disposons pas d’informations suffisantes sur le type derisque pour lui appliquer le coefficient d’inflation adéquat.
Nous choisissons donc de ne pas rendre nos données « as if ».
Hypothèses LDA :Nous souhaitons appliquer ici la méthode LDA. Cette méthode repose surl’hypothèse que les variables de coût individuel sont indépendantes etidentiquement distribuées, i.e. chaque perte survient indépendamment desprécédentes et elles suivent la même loi. De plus, elle suppose que la fréquence et lecoût sont indépendants.
Il semble raisonnable de vérifier avant exploitation des données que l’hypothèse« iid » n’est pas grossièrement fausse. Pour cela, nous pouvons simplement examiner
visuellement la suite des coûts individuels ou faire appel à des tests statistiques.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

96 / 180

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Les tests d’indépendance entre la fréquence et le coût individuel sont peu robustes en
raison du faible nombre d’observations annuelles. Il faut alors se ramener à desobservations mensuelles du coût moyen des sinistres et de la fréquence.
Tests d’échantillon iid:
Soit ( X 1 , X 2 ,… , X n ) une suite finie de variables aléatoires réelles telles que
P (X i = X j ) = 0

pour i ≠ j

Pour un niveau de confiance donné, les hypothèses testées sont les suivantes :H 0 : X 1 , X 2 ,… , X n v.a.r. i.i.d . contre H 1 : X 1 , X 2 ,… , X n v.a.r. non i.i.d .

Dans une suite chronologique de n observations ( x1 , x 2 ,… , x n ) , nous nous intéressons
à la différence entre deux observations successives : xi − xi −1 .
Nous avons ainsi n-1 différences : ( x 2 − x1 , x3 − x 2 ,… , x n −1 − x n )Test des signes (voir page 155 [15]) : ce test s’intéresse au nombre de différences
positives successives de notre échantillon.
n −1

Soit S le nombre de différences positives : S = ∑1ℜ + ( X i − X i +1 )i =1Sous l’hypothèse H 0 , nous avons :S − E (S )→ N (0,1)
n → +∞σ (S )

avec E ( S ) =

n −1
n +1
et σ ²( S ) =2
12

L’approximation normale est valable dès que n ≥ 12 .

Test du nombre de points de retournement (voir page 159 [15]) : ce test s’intéresse au
nombre de points de retournement de notre échantillon c’est-à-dire aux points X itels que X i −1 et X i +1 sont tous deux inférieurs ou supérieurs à X i .

1Soit Z i = 0

si ( X i +1 − X i )( X i − X i −1 ) < 0
sin onpour i ∈ {2,… , n − 1}

Soit R la variable aléatoire réelle représentant le nombre de points de retournement :n −1

R = ∑ Zi
i=2

Sous l’hypothèse H 0 , nous avons :R − E ( R)216n − 29n
→ N (0,1) avec E ( R ) = (n − 2) et σ ²( R) =→ +∞σ ( R)
390

L’approximation normale est valable dès que n ≥ 50 .
Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

97 / 180

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Test d’ indépendante entre la fréquence et le coût individuel :Soient F1 , F2 ,… , Fn et X 1 , X 2 ,… , X n les mesures de deux variables F et X sur nindividus.
Supposons que les Fi sont iid de loi PF et les X i sont iid de loi PX .
Test des rangs de Spearman :Ce test est basé sur la corrélation entre les rangs de F et ceux de X.
Notons Ri le rang de Fi et S i le rang de X i .
Les hypothèses testées sont H 0 : F et X sont indépendants

H 1 : F et X sont liées
Soit Di = S i − Ri l’écart entre les rangs, la statistique du test est alors

T = 1−n6∑ Di2
n (n² − 1) i =1

T est une statistique tabulée sous H 0 .

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

98 / 180

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7.1 STATISTIQUES DESCRIPTIVES DES DONNÉES
Dans un premier temps, nous allons étudier les données de façon à avoir une
première idée de la forme des distributions empiriques de la fréquence et du coûtindividuel des pertes.

Voici les statistiques descriptives du montant des pertes (les montants sont exprimés
en euros) :Risque Client

Risqueprocessus

Minimum

2,12

0,12

0,44

8

1ier quartile

71,02

31,92

29,32

965,1

Médiane

673,1

190,8

304,9

1 520

3ième quartile

3 455

860,8

612,5

2 632

Maximum

1 000 000

576 600

261 200

27 850Moyenne30 270

2 494

9 782

2 642

Ecart-type

154 118,6

26 783,1245 187,38

5 131,6

Coefficientd'aplatissement

37,42

434,38

27,47

20,82

Coefficientd'asymétrie

5,94

20,41

4,97

4,20

487

35

28

Nombre de pertes 42

de Risquesystème

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurancede Risque de fraude
externe99 / 180

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Statistiques descriptives du nombre de pertes par mois de survenance :Risque Client

MoyenneMédiane0,875
1

Risque deprocessus

Risque desystèmeRisque defraude externe

10,146

0,729

0,583

8

0

0

Variance

1,133

51,957

1,095

1,014

Minimum

0

0

0

0

Maximum

5

36

3

6

Statistiques descriptives du nombre de pertes par année :Risque Client

Risque deprocessus

Risque desystèmeRisque defraude externe

2004

4

45

4

7

2005

8

100

6

11

130

9

6

2006

12

2007

18

212

16

4

Moyenne10,5

121,75

8,75

7

Médiane

10

115

7,5

6,5

Variance

35,67

4 858,92

27,58

8,67

Minimum

4

45

4

4

Maximum

18

212

16

11

Nous remarquons que la moyenne la plus élevée de 30 270€ est celle correspondant
au risque clients avec une fréquence moyenne de 10 pertes annuelles : en effet, ces
pertes sont généralement dues à des poursuites juridiques faites par les clients etpeuvent s’avérer très élevées. Il s’agit d’un risque classifié comme étant à faible
fréquence et fort impact. Alors que la perte moyenne la plus faible est celle du risqueprocessus qui est de l'ordre de 2 500€ avec une fréquence moyenne de plus de 120
Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

100 / 180

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pertes annuelles. Ainsi, le risque processus constitue un risque à fréquence élevée etsévérité faible.
Ce constat confirme le fait que les montants de pertes par type de risque présentent
des caractéristiques différentes justifiant la modélisation par type de risque. Nous
pouvons même dire qu’il faudrait subdiviser la modélisation en sous-catégorie mais
ce n’est pas possible ici car nous ne disposons pas de l’information.
Par ailleurs, nous constatons que les données de pertes sont loin de présenter une
distribution symétrique. En effet, une simple comparaison entre la moyenne et lamédiane nous indique que la médiane est, dans tous les cas, beaucoup moins élevéeque la moyenne, montrant ainsi des distributions asymétriques. Ce constat est
confirmé par le calcul du coefficient d'asymétrie qui est positif dans tous les cas
favorisant ainsi des queues plus épaisses. De plus, des coefficients d’aplatissement
très élevés montrent l’existence de distribution leptokurtique5 à queues épaisses.
Citons l’exemple du type de risque processus où le coefficient d’aplatissement est del’ordre de 434 et le coefficient d’asymétrie est évalué à 20,41. En effet, nous
remarquons que 97,5 % des pertes sont inférieures à 10 000€.
Comme le montrent ces statistiques, les pertes opérationnelles ne peuvent en aucuncas être modélisées par des distributions normales et il y a lieu de tester d’autres
distributions plus adaptées.

Application des tests à notre échantillon :Test des signes :ClientFraudeSystème

S

17

237

18

16

E(S)

20,5

243

13,5

17

V(S)

3,6

40,7

2,4

3,0

S-E(S)-1/2

-1,8

-6,5

2,9

-0,6

|S-E(S)-1/2|

1,8

6,5

2,9

0,6

sigma(S)*N(0,1)

3,7

12,5

3,0

3,4

Test

5

Processus

hors zone
critiquehors zone
critiquehors zone
critiquehors zone
critiqueCorrespond à un coefficient d’aplatissement (ou Kurtosis) >3

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Test du nombre de points de retournement :ClientProcessus

FraudeSystème

R

21

240

16

18

E(R)

26

322,7

16,7

21,3

V(R)

7,1

86,3

4,7

5,9

R-E(R)-1/2

-5,5

-83,2

-1,2

-3,8

c'=sigma(R)*N(0,1)

-4,4

-15,3

-3,5

-4,0

c=c'+E(R)+1/2

22,1

307,9
zone
critique13,6hors zone
critique17,8hors zone
critique

Test

zone
critique

Test de corrélation de Spearman :ClientnProcessus

FraudeSystème

48

48

48

48

2196

14118

1415

719

rs

0,9

0,2

0,9

1,0

sigma(rs)*N(0,1)

0,3

0,3

0,3

0,3

Somme(Di²)

Test

zone
critiquehors zone
critiquezone
critiquezone
critiqueLe rejet de l’hypothèse H 0 pourrait nous conduire à subdiviser les risques en souscatégories mais nous ne pouvons rien faire puisque nous n’avons pas l’information.
Par contre, c’est un élément qui sera certainement utilisé sur notre base de donnéesassurantielles pour déterminer si les risques sont bien homogènes.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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7.2 ESTIMATION DES DISTRIBUTIONS DE SÉVÉRITÉ
Nous souhaitons ajuster une loi à nos échantillons de coût. Pour cela, nous sommes
limités à quatre distributions qui seraient susceptibles de convenir a priori. Nous
aurions pu tester bien d’autres lois mais notre objectif est de présenter laméthodologie. Pour chaque risque nous avons estimé les paramètres des différentes
lois via la fonction « fitdistr » de R qui utilise soit la méthode du maximum devraisemblance soit la méthode des moments selon le paramétrage.
Pour avoir une première idée sur le niveau d’ajustement, nous avons réalisé des tests
graphiques tels que le graphique des quantiles (connu également sous le nom « Q-Q
plot ») et le graphique des fonctions de répartition empirique et théorique. Les tests
graphiques sont ensuite complétés par les tests statistiques de Kolmogorov-Smirnov
et d’Anderson-Darling.
Q-Q plot :Le graphique Q-Q plot permet de comparer visuellement un échantillon et une
distribution théorique. Ce graphique représente les quantiles de la distribution
théorique en fonction des quantiles de notre échantillon.
Soient(x ≤ x(1)(x1 , x2 , … , x n ) un échantillon et (x(1) , x( 2) , … , x( n ) ) l’échantillon ordonné(2)≤ … ≤ x( n ) ) .

La fonction de répartition empirique Fn est définie par :Fn (x(i ) ) =inpour tout i ∈ {1,… , n}Dans le cas général, la fonction quantile Q est définie comme l’inverse de la fonctionde répartition F : Q( p ) = inf {x tel que F ( x) ≥ p} pour tout p ∈ ]0; 1[
La fonction quantile empirique Qn correspond à la fonction quantile de la fonction derépartition empirique.
 i −1 i pour tout p ∈ ;
Qn ( p ) = x ( i ) n n Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Le graphique ci-dessus représente la fonction de répartition empirique d’un
 2 3
échantillon de taille 6 et donne le quantile empirique d’ordre p lorsque p ∈  ;  .
 6 6
Au vu de cette définition, le Q-Q plot représente les quantiles de la distribution
théorique en fonction de notre échantillon ordonné c’est-à-dire qu’il représente les i 
points de coordonnées  x(i ) , Q   pour tout i ∈ {1,… , n} .
 n 

En particulier,
i  x(i ) , − ln1 −  
 n 


pour

la

loi

exponentiellenous

placeronslespointspour tout i ∈ {1,… , n}
 i 
Pour la loi Log-normale :  ln( x (i ) ), Φ −1   
 n 
 i 
Pour la loi Gamma :  x( i ) , χ 22υ   
 n 
pour tout i ∈ {1,… , n}pour tout i ∈ {1, … , n}i  

Pour la loi Weibull :  ln( x( i ) ), ln − ln1 −   n  pour tout i ∈ {1,… , n}

Il existe sous le logiciel R la fonction « qqplot » que nous avons utilisée pour réaliser
nos graphes Q-Q plot.

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Test de Kolmogorov-Smirnov :Le test de Kolmogorov-Smirnov est un test d'hypothèse utilisé pour déterminer si unéchantillon suit bien une loi continue donnée.
Soit ( x1 , … , x n ) notre échantillon supposé indépendant et identiquement distribué deloi inconnue PX .
Soit F0 est la fonction de répartition d’une loi continue donnée.
L’hypothèse nulle sera alors :H 0 : La loi PX a pour fonction de répartition F0

Il faut d’abord calculer la distance maximale notée KS obs entre l’échantillon et la loi
donnée F0 via la statistique de Kolmogorov-Smirnov KS.
KS = sup F0 ( x) − Fn ( x) Où Fn est la fonction de répartition empirique pour unxéchantillon donné
Pour calculer KS obs , il faut remplacer Fn par la fonction de répartition de notreéchantillon Fn ( x) =1 n
∑In i =1 x( i )≤ xii −1 
Ce qui donne : KS obs = max  F0 ( x(i ) ) − , F0 ( x(i ) ) −i =1,...,nnn Le graphique ci-dessous représente le calcul de KS obs

Représente l’écart
ientre F0 ( x(i ) ) etn

Représente l’écart entre
i −1
F0 ( x(i ) ) etnModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Le graphique ci-dessous représente la fonction de survie de la statistique KS
P(KS > x)1

p-value=P(KS>K obs)

niveau derisque = 5%
p-value=P(KS>K obs)

0

KSobs
Si KS obs <KSmax alors on accepte

KS obs

KS m axx

Si KS obs >KSmax alors on rejette

Il est nécessaire de se fixer un niveau de risque de première espèce qui est le risquede rejeter à tort l’hypothèse nulle lorsqu’elle est vraie. Souvent, un risque de 5% est
considéré comme acceptable (c'est-à-dire que dans 5% des cas quand H 0 est vraie,elle sera rejetée).
En supposant que H 0 est vraie, il faut ensuite calculer la p-value qui est la probabilitéd’obtenir une valeur de la variable de décision KS max au moins aussi grande que lavaleur de la statistique que l'on a obtenue avec notre échantillon KS obs .
On a p-value = P ( KS > KS obs ) .
Cette p-value peut se lire dans la table de la statistique KS.
Si la p-value est plus grande que le niveau de risque, l'hypothèse H 0 est acceptée. Si
la p-value est plus petite que le niveau de risque alors elle est rejetée.
Remarque : La probabilité pour que H 0 soit acceptée alors qu'elle est fausse est lerisque de deuxième espèce. C'est le risque de ne pas rejeter H 0 quand on devrait la
rejeter. Sa valeur dépend du contexte, et est très difficilement évaluable (voire
impossible à évaluer), c'est pourquoi seul le risque de première espèce est utilisé
comme critère de décision.
Le test de Kolmogorov est facilement applicable sous le logiciel R avec la fonction« ks.test ».

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Test d’Anderson-Darling :Ce test a exactement le même principe que le test de Kolmogorov-Smirnov mise àpart qu’il s’appuie sur la statistique d’Anderson-Darling :

 n
 
AD = − ∑ (2i − 1){ln( F0 ( x (i ) )) + ln(1 − F0 ( x( n +1−i ) )} / n − n   i =1
Nous choisissons un niveau de confiance de 95%.

Modélisation du coût individuel des pertes :Etudions la loi du coût individuel des pertes des 4 risques.

 Risque Clients :Estimation de la distribution de sévérité pour le Risque Client :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

107 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Paramètres

Institut des Actuaires

Gamma

Log-normale

Scale = 801 623

Meanlog
5,946

Shape = 0,037

Exponentielle= Rate = 0,000034

Weibull
Scale = 1 727,41
Shape = 0,315

Sdlog = 3,126
Test de KS

Testd’AndersonDarling

KS = 0,639

KS = 0,087

p-value
2,554e-15= p-value = 0,907

AD = Inf

AD = 0,280

p-value = 1429e- p-value = 0,952
05

KS = 1

KS = 0,116

p-value < 2,2e- p-value = 0,623
16AD = Inf

AD = 0,656

p-value
1,429e-05= p-value = 0,596

Les résultats présentés dans le tableau ci-dessus montrent que les distributions Lognormale et Weibull s’ajustent le mieux à nos données. En particulier, nous retenons laloi Log-normale comme loi de sévérité du risque client du fait de sa p-value
largement supérieure au seuil choisi de 5% pour les deux tests effectués.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

108 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

 Risque de Processus :Estimation des distributions de sévérité pour le Risque Processus :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

109 / 180

Centre d’Études Actuarielles
Gamma
Paramètres

Scale
679

=

Log-normale
4 624, Meanlog
5,019

Shape = 0,307
Test
de KS = 0,119
Kolmogorovp-value =Smirnov
569e-06
Test
d’AndersonDarling

Institut des Actuaires
Exponentielle= Rate = 0,0004

Weibull
Shape = 482,505
Scale = 0,435

Sdlog = 2,432
KS = 0,059
2, p-value = 0,068

KS = 0,969

KS = 0,041

p-value < 2,2e- p-value = 0,397
16

AD = Inf

AD = 1,984

AD = Inf

AD = 2,037

p-value
1,232e-06= p-value = 0,094

p-value
1,232e-06= p-value = 0,088

Les résultats présentés dans le tableau ci-dessus montrent que seules les distributions
Log-normale et Weibull « passent » les tests avec un seuil de 5%. En particulier, nous
retenons la loi de Weibull comme loi de sévérité du risque processus.

 Risque de Système :Estimation des distributions de sévérité pour le Risque Système :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

110 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Gamma
Paramètres

Test de KS

Testd’AndersonDarlingScale
13 630,6

Institut des Actuaires

Log-normale= Meanlog
5,055

Exponentielle= Rate = 0,0001

Weibull
Scale = 569,214
Shape = 0,336

Shape = 0,237

Sdlog = 2,665

KS = 0,299

KS = 0,140

p-value
0,0038= p-value = 0,497

AD = Inf

AD = 2,603

AD = Infp-value
1,232e-06= p-value = 0,044

p-value
1,232e-06

KS = 0,971

KS = 0,183

p-value < 2,2e- p-value = 0,190
16
AD = 13,583= p-value
1,232e-06

Les résultats présentés dans le tableau ci-dessus montrent que seules les distributions
Log-normale et Weibull « passent » le test de KS mais pas d’AD (les p-valeurs sontsupérieures au seuil acceptable de 5%). En particulier, nous retenons la loi Lognormale comme loi de sévérité du risque système.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

111 / 180=

Centre d’Études Actuarielles

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 Risque de Fraude externe :Estimation des distributions de sévérité pour le Risque Fraude externe :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

112 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Paramètres

Test de KS

Testd’Anderson-Darling

Institut des Actuaires

Gamma

Log-normale

Exponentielle

Weibull

Scale = 2 948,751

Meanlog = 6,661

Rate = 0,00038

Scale = 2 130,157

Shape = 0,664

Sdlog= 2,065

KS = 0,227

KS = 0,297

KS = 1p-value = 0,111

p-value = 0,014

p-value < 2,2e- p-value = 0,1757
16

AD = Inf

AD = 131,4956

AD = Inf

AD = Inf= p-value
1,232e-06= p-value
1,232e-06

p-value
1,232e-06= p-value
1,232e-06

Shape = 0,661

KS = 0,208

Les résultats présentés dans le tableau ci-dessus montrent que seules les distributions
Gamma et Weibull « passent » le test de KS avec un seuil de 5% (seul le test deKolmogorov-Smirnov passe). En particulier, nous retenons la loi Weibull comme loi
de sévérité du risque fraude externe.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

113 / 180=

Centre d’Études Actuarielles

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7.3 ESTIMATION DES DISTRIBUTIONS DE FRÉQUENCE
Nous proposons d’estimer le nombre de pertes opérationnelles avec les distributions
Poisson et Binomiale Négative. De nombreuses études ont déjà modélisé lesfréquences des pertes opérationnelles avec la loi de Poisson alors que peu d’entre
elles l’ont fait avec le modèle Binomial Négatif.
Nous estimons les paramètres de chacune des deux distributions par la méthode dumaximum de vraisemblance via la fonction « goodfit » de R, et ce, pour chacun desrisques. Les données utilisées sont les nombres de pertes observées par mois. Nousavons ainsi étudié 48 nombres de pertes par risque.
Il est important de tester le degré d’ajustement des distributions estimées pourchacun des risques. Comme nous sommes en présence de données discrètes, nous
mettons en place un test du Chi-deux.

 Risque Clients :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 0,875
X-squared = 9,5924
p-value = 0,6482

Binomiale Négative
size = 3,419119
prob = 0,7962304
X-squared = 8,301
p-value = 0,7256

Les graphiques montrent que la loi Binomiale Négative semble la plus adéquate. Les
résultats présentés dans le tableau ci-dessus le confirment.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

114 / 180

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 Risque de Processus :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 10,14583
X-squared = 256,38
p-value = 0,8201

Binomiale Négative
Size = 2,752463
prob = 0,2133974
X-squared = 325,4533
p-value = 0,91

A partir des graphiques aucune conclusion ne peut être tirée. Les résultats présentés
dans le tableau ci-dessus montrent que la Binomiale Négative peut être retenue.

 Risque de Système :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 0,7291667
X-squared = 14,0443
p-value = 0,1274

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

Binomiale Négative
Size = 0,9482954
Prob = 0,5653157
X-squared = 19,5246
p-value = 0,2359

115 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Les graphiques montrent que la loi Binomiale Négative semble la plus adéquate. Les
résultats présentés dans le tableau ci-dessus le confirment.

 Risque de Fraude externe :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 0,583

Binomiale Négative
Size = 1,512
prob = 0,722
X-squared = 15,517
p-value = 0,123

X-squared = 5,794
p-value = 0,654

Les graphiques montrent que la loi de Poisson semble la plus adéquate. Les résultats
présentés dans le tableau ci-dessus le confirment.

Voici le tableau récapitulatif des lois de coût et de fréquence retenues :Risque Clients

RisqueProcessus

de RisqueSystèmede RisquedeFraude externeLoiretenue LN(5,95 ; 3,13)
pour le coûtW(482,5 ; 0,44)

LN(5,056 ;2,67)

W(2130,16 ;0,66)

Loiretenue BN(3,42 ; 0,8)
pourlafréquence

BN(2,75 ;0,21)

BN(0,95 ;0,57)

P(0,583)

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

116 / 180

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7.4 APPLICATION DE LA MÉTHODE LOSS DISTRIBUTION APPROACH AVEC
SEUIL

L’idée est de valider la méthode que nous avons présentée dans le cas où les donnéessont collectées au-delà d’un seuil. Pour cela, nous avons utilisé nos donnéesbancaires et nous avons appliqué un seuil de 1500€ sur toutes les pertes.
Nous avons utilisé la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer nos
paramètres. Nous avons maximisé la vraisemblance sous R et sous excel avec lesolveur.

Test de Kolmogorov adapté à des données tronquées à gauche :Dans le cas de données collectées au-delà d’un seuil, le test de Kolmogorov-Smirnov
doit être adapté. L’hypothèse devient :H0 : la loi PX a pour fonction de répartition F0* , où F0* =F0 ( x) − F0 (U )1 − F0 (U )Notons à présent y j = F0 ( x j ) et yU = F0 (U )KS obs devient :*KS obs
=




n
j
j −1



(1 − yU ) max  sup  yU + (1 − yU ) − y j  , sup y j −  yU +1 − yU
n
n
j 


 
 j 

La p-value associée se calcule par simulation de Monte-Carlo de la façon suivante :1) nous créons un grand nombre d’échantillons issus de la distribution ajustée, de lamême taille que l’échantillon empirique.
*.
2) Pour chacun de ces échantillons, nous calculons la valeur de la statistique KS obs

3) Puis nous estimons la p-value comme la proportion de fois où la valeur de lastatistique étudiée est supérieure à la valeur estimée sur l’échantillon empirique.
Nous rejetons l’hypothèse si la p-value est inférieure à un seuil donné et nousl’acceptons si la p-value est supérieure.
Nous choisissons un niveau de confiance de 99,5%.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

117 / 180

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Modélisation du coût individuel : Risque Clients :Log-normale
Paramètres

Meanlog
3,287

Exponentielle= Rate = 0,0001

Weibull
Scale = 999,894
Shape = 0,249

Sdlog = 3,924
Test de KS

KS = 0,489

KS = 1,04

KS = 0,8006

p-value = 0,74

p-value = 0,128

p-value = 0,37

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

118 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Les résultats ci-dessus indiquent que la loi Log-normale s’ajuste le mieux à nosdonnées.

 Risque de Processus :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

119 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Log-normale
Paramètres

Meanlog
2,685=

Exponentielle- Rate = 0,0001

Weibull
Scale = 17,6
Shape = 0,247

Sdlog = 3,469
Test de KS

KS = 0,712

KS = 3,939

KS = 0,7504

p-value = 0,289

p-value < 2,2e- p-value = 0,33
16

Les résultats ci-dessus indiquent que la loi Weibull s’ajuste le mieux à nos données.

 Risque de Système :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

120 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Log-normale
Paramètres

Meanlog
1,635Exponentielle= Rate = 0,0001

Weibull
Scale = 10,006
Shape = 0,143

Sdlog = 5,002
Test de KS

KS = 0,547

KS =0,9972

KS = 0,534

p-value = 0,518

p-value = 0,152

p-value = 0,77

Les résultats ci-dessus indiquent que la loi Weibull s’ajuste le mieux à nos données.

 Risque de Fraude externe:

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

121 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Paramètres

Institut des Actuaires

Log-normale

Exponentielle

Weibull

Meanlog = 2

Rate = 0,00037

Scale = 12,3

Sdlog = 2
Test de KS

Shape = 0,3KS = 1,26

KS = 1,407

KS = 1,294

p-value = 0,024

p-value = 0,01

p-value < 2,2e16

Les résultats ci-dessus ne permettent pas vraiment de conclure, cependant nous
choisissons la loi dont la p-value est la plus importante, i.e. la loi Log-normale.

Remarques : l’adéquation à nos données tronquées ne nous donne pas forcément lesmêmes résultats que dans notre précédente étude.
L’algorithme de maximisation de la vraisemblance est très sensible aux paramètres
initiaux.
Vous remarquerez que nous n’avons pas affiché les tests de la loi Gamma qui ne sont
pas concluant pour des problèmes d’optimisation.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

122 / 180

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Institut des Actuaires

Modélisation de la fréquence : Risque Clients :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 1,96
X-squared = 6,7
p-value = 0,68

Binomiale Négative
size = 0,10
prob = 0,049
X-squared = 17,48
p-value = 0, 46

Nous ne pouvons pas tirer de conclusion à partir des graphiques. Les résultats
présentés dans le tableau ci-dessus montrent que la loi de Poisson semble plus
adéquate.

 Risque de Processus :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 34,69
X-squared = 96,45
p-value = 0,765

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

Binomiale Négative
Size = 0,399
prob = 0,011
X-squared = 103,168
p-value = 0,886
123 / 180

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A partir des graphiques aucune conclusion ne peut être tirée. Les résultats présentés
dans le tableau ci-dessus montrent que la Binomiale Négative peut être retenue.

 Risque de Système :Paramètres
test du Chi-deux

PoissonLambda = 0,633
X-squared = 6,591
p-value = 0,223

Binomiale Négative
Size = 0,018
Prob = 0,027
X-squared = 2,813
p-value = 0,72

Les graphiques montrent que la loi Binomiale Négative semble la plus adéquate. Les
résultats présentés dans le tableau ci-dessus le confirment.

 Risque de Fraude externe :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

124 / 180

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Institut des Actuaires
PoissonLambda = 82,63

Paramètres
test du Chi-deux

Binomiale Négative
Size = 0,056
prob = 0,0007
X-squared = 5,86
p-value = 0,504

X-squared = 78,24
p-value = 0,125

Les graphiques montrent que la loi Binomiale Négative semble la plus adéquate. Les
résultats présentés dans le tableau ci-dessus le confirment.

Voici le tableau récapitulatif des lois de sévérité et de fréquence retenues pour lamodélisation :Risque Clients

Loi
retenue LN(3,29; 3,92)
pour le coûtLoi
retenue P(1,96)
pourlafréquence

RisqueProcessus

de RisqueSystèmeW(0,25 ;17,6)

BN(0,4 ; 0,01)

de RisquedeFraude externe

W(0,14 ; 0,006)

LN(2 ; 2)BN(0,018;
0,027)

BN(0,056 ;0,0007)

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

125 / 180

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7.5 SIMULATION DES SCÉNARIOS DE PERTE TOTALE
Nous venons de déterminer les distributions de sévérité et de fréquence des pertes
opérationnelles pour chacun des types de risque, sur les données complètes et lesdonnées tronquées. Il y a lieu, à ce stade de l’analyse, de combiner les deux
distributions pour déterminer la distribution agrégée des pertes annuelles. Commenous l’avons vu précédemment, il existe plusieurs méthodes d’agrégation et nous
choisissons la méthode de simulation Monte Carlo pour déterminer la distribution
totale des pertes annuelles de chaque risque. Cette méthode n’est pas la plus rapide
mais elle a l’avantage d’être assez précise pour un nombre suffisant de simulations.
Nous rappelons que cette méthode consiste à :1. Générer un nombre n de pertes par an (on génère 12 nombres de pertes mensuelles
indépendamment que l’on somme) ;2. Générer n montants de pertes X i selon la distribution de sévérité estimée ;3. Répéter les étapes 1 et 2 un grand nombre de fois (100 000 fois par exemple) pour
avoir la distribution empirique des pertes annuelles ;4. La VaR est déterminée comme étant le quantile d’ordre 99,5 % de la distribution
agrégée empirique.
Nous avons fait 100 000 simulations et avons obtenu les résultats suivants :Résultats sur les pertes complètes :RisqueVaR 99%VaR 99,5%

VaR 99,9%

Client

6 654 501

12 171 741

50 357 163

Processus

292 762317 708359 160

Système563 295

951 215

2 497 366

Fraude externe

65 93175 63596 297

Nous constatons que le risque Clients est bien un risque grave, l’exigence en fonds
propres au titre de ce risque est très élevé par rapport aux autres risques.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Résultats sur les pertes observées au-delà du seuil de 1500€ :RisqueVaR 99%VaR 99,5%

VaR 99,9%

Client10 656 793

19 731 221

58 412 951

Processus

580 510672 104

857 810

Système

5 781 145

12 147 207

40 941 962

Fraude externe

96 847

111 881

190 095

La méthode a tendance à surestimer le capital. En particulier, le risque de Systèmefournit des résultats complètement incohérents dans la mesure où le nombre dedonnées utilisées est très faible. Ceci est dû à une surestimation de la fréquence. Il
faudrait améliorer la méthodologie permettant de modéliser la fréquence des pertes
tronquées.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

127 / 180

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7.6 AGRÉGATION DES SCÉNARIOS
La dépendance entre les risques peut être appréhendée par différentes mesures
introduites précédemment. Nous allons en particulier, évaluer pour chaque couple
de risque, le coefficient de Pearson, le taux de Kendall et le rho de Spearman. Poureffectuer ces calculs, nous avons regroupé les pertes par mois de survenance pour
avoir le même nombre d’observations.

Pearson
Client - Processus
Client - Système
Client - Fraude
Processus - Système
Processus - Fraude
Système - Fraude

0,592
0,496
0,619
0,587
0,732
0,621

Kendall

Spearman

0,138
0,204
-0,0190,078-0,028-0,021

0,186
0,263-0,0280,108-0,050-0,020Il y a plusieurs possibilités pour agréger les risques : Il est possible de les agréger deux à deux mais il faut alors choisir 3 relations à
modéliser pour éviter les conflits de dépendances entre variables. Les graphes
ci-dessous représentent deux exemples de liens de dépendance entre lesvariables : les doubles flèches suffisent à définir la dépendance de l’ensemble
des risques, mais nous aurions très bien pu choisir d’autres sélections pour ledéfinir. Les liens en pointillés ne rendraient peut-être pas la mêmedépendance que les doubles flèches. L’inconvénient de cette méthode est donc
qu’il faut choisir les dépendances à modéliser parmi toutes les possibilités.

ClientProcessus

FraudeSystème

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128 / 180

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ClientProcessus

FraudeSystèmeNous choisissons d’estimer des copules bi-variées pour Client-Processus, ProcessusSystème et Système-Fraude.
Nous estimons les paramètres des copules en utilisant la méthode des moments avec
la mesure de Kendall. Nous avons utilisé la fonction « calibKendallsTau » sous lelogiciel R, elle est surtout utile pour trouver le paramètre de la copule de Frank carnous n’avons pas de formule analytique du paramètre.
Le tableau ci-dessous montre les estimations obtenues :paramètre
copuleGumbelLog-vrais
Gumbelparamètre
copuleFranckLog-vraisFrankparamètre
copuleClaytonLog-vrais
Claytonparamètre
copuleNormaleLog-vrais
Normale

1,088

0,231

1,096

0,636

0,431

1,104

0,179

0,439

0,371

0,791

0,099

0,110

-0,252

0,404

Client - Processus
Processus - Système

1,008

0,002

0,481

0,113

Système - Fraude

0,857

0,528

-0,7770,210

 Nous pouvons également agréger les risques « d’un seul coup » par une
copule normale multi-variée pour Client-Processus-Système-Fraude.

Client -Processus
Client - Système
Client - Fraude
Processus - Système
Processus - Fraude
Système - Fraude

Coefficients
CopuleNormale0,215
0,315-0,0300,122-0,044-0,033

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

129 / 180

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Nous avons également testé la dépendance totale et l’indépendance entre les risques.
Voici le tableau des VaR à 99,5% obtenues par les différentes méthodes :Risquesindépendants

Risques
Totalement
Corrélés

12 430 975

13 516 299

Client Processus:
ClaytonProcessus Système:
ClaytonSystème Fraude:
Normale12 566 782

Client-Processus-Système-Fraude:
Normale12 341 511

Nous constatons que le résultat pour les risques indépendants est très proche de celui
des risques agrégés par les copules. Globalement les résultats sont assez proches
dans notre exemple car le risque client est prédominant. Mais en réalité ce ne sera pas
toujours le cas. Le problème d’agrégation doit s’appréhender en sachant qu’il neconcerne que les risques de fréquence. En effet, dans notre modèle les risques degravité seront modélisés par les réseaux bayésiens : la dépendance entre ces risques
est prise en compte dans les réseaux par construction. Notre problème d’agrégation
s’avère donc relatif et l’impact du choix de la méthode d’agrégation sera limité.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

130 / 180

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8 APPLICATION DE LA MODÉLISATION DES RISQUES DE GRAVITÉCe chapitre concerne une application de la modélisation des risques de gravité. Nous
allons appliquer le modèle simplifié et le modèle bayésien puis comparer lesrésultats.
Le risque que nous avons étudié est le risque d'erreur interne sur le sens, la quantité
à la saisie d'un ordre d’investissement/désinvestissement sur les produits actions
dans un contexte de décalage des marchés. C’est un risque de gravité qui peut
entraîner des pertes significatives.
Nous noterons ici ce risque, le risque n°24.
Dans un premier temps, nous avons appliqué le modèle utilisé à court terme avec laméthode des quantiles en testant plusieurs lois.
Puis, nous avons appliqué le modèle théorique bayésien en testant les probabilités.
Enfin, nous avons comparé les résultats pour valider notre approche à court terme.

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8.1 SELF RISK ASSESSMENT DU RISQUE
Voici le résultat du SRA sous forme de fiche technique :Risk

Risque d'exécution

Risk event 1 Risque d'erreur interne sur le sens, la quantité ou le codevaleur à la saisie
d'un ordre lors de l'exécution des ordres sur
Problématiqued'exactitude
Risk event description
les produits actions
Périmètre: placements pour le compte des sociétésd'assurance du Groupe
Basse
MoyenneHaute
Hypotheses
Description: Risque d'erreur interne sur la quantité d'un ordre 1% de décalage par rapport au marché
2% de décalage par rapport au marché
5% de décalage par rapport au marché
Au-delà de 2% de la VL moyenne du portefeuilled'investissement / désinvestissement exécuté à la saisie dans Moins de 1% de la VL moyenne du portefeuille
Entre 1% et 2% de la VL moyenne du portefeuille
un contexte de décalage des marchés (actions)Durée de détection de l'erreur (entraînant risque d'erreur de Durée de détection de l'erreur (entraînant risque d'erreur de Durée de détection de l'erreur (entraînant risque d'erreur de
VL et de fait un risque d'indemnisation) : quelques heures VL et de fait un risque d'indemnisation) : un jour
VL et de fait un risque d'indemnisation) : plusieurs mois
Montant de l'ordre moyen fourchette basse en portefeuille Montant de l'ordre moyen fourchette moyenne en portefeuille Impact sur les marchés de l'erreur(5M€)(15M€)
Montant de l'ordre moyen fourchette haute en portefeuille(50M€)
CausesNiveau 1
InterneNiveau 2
ActeurCommentaires / Description
Erreur de saisie d'un acteurinterne Generali

Sélection

Sélection

Sélection

✔

✔

✔

✔

✔

Processus
SI

ExterneEnvironment(naturel /technologique /culturel /Réglementaire)

SI inadapté (absence d'alertes
ou de blocages au-delà d'uncertain seuil, si montant de lavente > 5% de l'actif, si vented'un titre non présent en
portefeuille, etc.)
Environnement technologiquede migration
Sous-effectif conjoncturel✔

✔

Tiers /
Fournisseurs /Prestataires
Autres
Dispositif de contrôle
Description
Formation des collaborateurs
Contrôle de la délégation (SI)
Contrôle de la bonne application de la procédure de passation desordres pour chaque type d'instrument financier (dont écoute desbandes enregistrées)

Selection✔

Selection

Selection
✔

✔

✔
✔

Mise en place d'alertes ou blocages dans le SI
Séparation des tâches (contrôles effectués par le Middle Office etdivers rapprochements)✔

✔

Contrôle du calcul de la VL (analyse des variations atypiques)✔

✔

Consequences
Niveau 1
Selection
Niveau 2
Conséquenc Pertes de Chiffre d'affaires (souse financière performance, diminution desdirecteactifs sous gestion)

Description

Formule de calculMontant

Description

Delta de cours = spread moyen
1% + volatilité moyenne sur lepériode de non détection del'erreur soit quelques heures 2% =3%

175 000 €825 000 €

€

€

✔

€
€

✔

€
175 000 €Total
Atténuation / Mitigation / Récupération
Description
Pas d'actions d'atténuation / mitigation / récupération

Selection

Quantification

Fréquence
Fréquence d'occurrence
Quantification (1)Atténuation / Mitigation / Récupération (2)Quantification finale (=1-2)

Montant

Total

Selection€€
0,00 €

Total

Impact sur lesmarchés del'erreur sur la
VL

Delta de cours = spread moyen 3% +volatilité moyenne sur le période denon détection de l'erreur soit unejournée 2% = 5%

Conséquenc Satisfaction cliente qualitative (Fort / Moyen /Faible)

Climat social
Image et reputation(Fort / Moyen /Faible)

Formule de calculMontant€
Indemnisation (Ordre moyen actions dans
du fonds
fourchette moyenne en portefeuille
15M€ x delta de cours) + 0,5% del'ordre moyen (coûts de transaction)✔

Réglementaire

Montant Description€
Indemnisatio (Ordre moyen actions dansn du fonds fourchette basse en portefeuille
5M€ x delta de cours) + 0,5% del'ordre moyen (coûts detransaction)

Autres pertes directes

Formule de calcul

Quantification

Delta de cours = spread moyen
10% + volatilité moyenne sur lepériode de non détection del'erreur soit plusieurs mois 20% =
30%

€

€
15 500 000 €Montant

Montant

Selection

Quantification

250 000 €€€€0,00 €

Total

12 fois tous les ans

6 fois tous les ans

1 fois tous les 5 ans

175 000,00 €825 000,00 €15 500 000,00 €0,00 €

0,00 €

0,00 €

175 000,00 €825 000,00 €15 500 000,00 €Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

15 250 000 €Sanction
Montant forfaitaire des pénalités€ Réglementaire réglementaires€
Impact€ réputation fort
825 000 €
Total

€
€
0,00 €

Total(Ordre moyen actions dansfourchette haute en portefeuille
50M€ x delta de cours) + 0,5% del'ordre moyen (coûts detransaction)

132 / 180

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8.2 MODÈLE SIMPLIFIÉ
Nous appliquons ici le modèle simplifié présenté plus haut pour modéliser le risquen°24.
Reprenons les résultats obtenus lors du SRA :Fréquence

Scénario Hypothèse
Basse (B)λ 24, B =12

Risque 24
Scénario Hypothèse
Moyenne (M)λ 24, M =6

Scénario Hypothèse
Haute (H)λ 24, H =1/5Coût (M€)

c 24, B =0,175

c 24, M =0,825

c 24, H =15,51ère approche : Approche empirique
La loi de la charge totale s’obtient par la formule :P ( S 24,i = n × c 24,i ) =λn24,in!

× exp(−λ 24,i )pour n ∈ Ν et i ∈ {B, M , H }Où B représente l’hypothèse basse, M l’hypothèse moyenne et H l’hypothèse haute.
Ce qui donne pour les trois scénarios :Pour i=B, on a P ( S 24, B = 0,175n ) =12 n× exp(−12)
n!

pour n ∈ Ν

6n× exp(−6)
n!

pour n ∈ ΝPour i=M, on a P ( S 24, M = 0,825n ) =Pour i=H, on a P ( S 24, H = 15,5n ) =0,2 n
× exp(−0,2)n!

pour n ∈ ΝNous avons testé deux hypothèses d’agrégation : soit les scénarios sont totalement
corrélées, soit ils sont indépendants.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

133 / 180

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Institut des Actuaires

Hypothèse 1 : les trois scénarios sont totalement corrélés
Pour chaque scénario, nous calculons numériquement le quantile empirique à
99,5% à partir de la fonction de répartition :nn*0,175
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27

0
0,175
0,35
0,525
0,7
0,875
1,05
1,225
1,4
1,575
1,75
1,925
2,1
2,275
2,45
2,625
2,8
2,975
3,15
3,325
3,5
3,675
3,85
4,025
4,2
4,375
4,55
4,725

n*0,825
0
0,825
1,65
2,475
3,3
4,125
4,95
5,775
6,6
7,425
8,25
9,075
9,9
10,725
11,55
12,37513,2
14,02514,85
15,67516,517,32518,15
18,97519,8
20,62521,45
22,275

n*15,5F(S(24,B)<=n)

0
15,5
31
46,5
62
77,5
93
108,5
124
139,5
155
170,5
186
201,5
217
232,5
248
263,5
279
294,5
310
325,5
341
356,5
372
387,5
403
418,5

6,14421E-06
7,98748E-05
0,000522258
0,002291791
0,007600391
0,020341029
0,045822307
0,089504497
0,155027782
0,242392162
0,347229418
0,461597333
0,575965249
0,681535632
0,772024532
0,844415652
0,898708993
0,937033703
0,96258351
0,978720231
0,988402263
0,993934853
0,996952629
0,998527121
0,999314367
0,999692245
0,99986665
0,999944164

F(S(24,M)<=n) F(S(24,H)<=n)0,002478752
0,017351265
0,061968804
0,151203883
0,2850565
0,445679641
0,606302782
0,74397976
0,847237494
0,916075983
0,957379076
0,979908036
0,991172516
0,996371507
0,998599646
0,999490902
0,999825123
0,999943083
0,999982403
0,99999482
0,999998545
0,999999609
0,999999899
0,999999975
0,999999994
0,999999999
1
1

0,818730753
0,982476904
0,998851519
0,99994316
0,999997742
0,999999925
0,999999998
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

Nous lisons : Q24, B ;99,5% = 3,85M € , Q24, M ;99,5% = 10,725M € et Q24, H ;99,5% = 31M € .
D’où Q24;99,5% = 3,85 + 10,725 + 31 = 45,575 M € .
Remarque : nous aurions pu améliorer l’estimation du quantile par une interpolation
linéaire.

Hypothèse 2 : les trois scénarios sont indépendants
Pour chaque scénario, nous simulons la perte totale un grand nombre de fois (ici 1
000 000 fois).
Puis nous additionnons les différents scénarios sans ordonner les valeurs (ce qui
reviendrait à une corrélation totale) pour obtenir les valeurs de la charge totale durisque 24.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

134 / 180

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Ce calcul a été réalisé sous le logiciel R (avec les fonctions « rpois » et « quantile ») etconduit à Q24,99,5% = 39,575 M € .

2nde approche : Nous modélisons la fréquence par une loi de Poisson et nous testonsplusieurs lois de sévérité.
L’estimateur du paramètre de fréquence est égal à: λ 24 =

∑λ

24 ,i
i∈{B , M , H }= 18,2 .

Dans un premier temps, nous choisissons quatre lois a priori pour modéliser lasévérité d’une perte : Exponentielle, Log-normale, Weibull et Pareto et nous estimons
les paramètres par la méthode des quantiles en supposant que :
 la

perte
issue
du
scénariomoyen
λ 24, B + λ 24, M / 2 15=
≈ 82,4% : Q24;82, 4% = 0,825
18,2∑ λ24,idonne

lequantileà

i∈{B , M , H } La perte issue du scénario fort donne le quantile à 99,999% : Q24;99,999% = 15,50
Puis, nous utilisons un critère basé sur le scénario hypothèse basse :{Min (Fth (c 24, B ) − Femp (c 24, B ) )th2} où F (cemp

24 , B)=

λ 24, B∑ λ24,ii∈{B , M , H }λ 24, Bλ + λk,M / 2 12 + 6 / 2
12=≈ 65,9% k,B=≈ 82,4%18,2∑ λ 24,i 18,2
∑λk,i

0%

i∈{B , M , H }i∈{B,M ,H }Scénarios bas{

Scénarios moyens

Min (Fth (0,175) − 65,9%)
th

100%

2

}

Q24;82, 4% = 0,825

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

Scénarios forts

Q24;99,999% = 15,5

135 / 180

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Institut des Actuaires

Voici les résultats de la sélection de la loi de coût :RisqueEcart sur lescénario bas
exponentielle

Ecart sur lescénario bas
Weibull

Ecart sur lescénario bas
Lognormale

Ecart sur lescénario bas
ParetoEcart minLoi retenue

24

0,29

0,04

0,21

0,10

0,04

Weibull

Le critère nous permet de retenir la loi Weibull comme loi de coût.
Pour modéliser la charge totale, nous avons appliqué les quatre méthodes présentées
plus haut : Panjer, inversion de la fonction caractéristique, Normal-Power et MonteCarlo. Nous avons regardé les résultats pour toutes les lois pour étudier les écarts liésau choix de la loi. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :Estimation des paramètres

PanjerInversion Normalfonction
Power
caractérist
ique

MonteCarlo

25M€

27M€

27,15M€

26,87M€

20M€

22M€

22,04M€

21,94M€ln(Q g ) − ln(Q g 2 )Loi
Log18M€σˆ = −1 1−
1normaleΦ ( g 1) − Φ ( g 2 )ln(0,825) − ln(15,5)= −1≈ 0,88Φ (0,82) − Φ −1 (0,999)

20M€

20,77M€

20,97M€

Loi
Exponentielle

λˆ24 = −=−Loi Weibull

1
Q24, g× ln(1 − g )ln(1 − 99,999%)≈ 0,7415,5

 ln(1 − p1 ) ln
ln(1 − p 2 ) 
≈ 0,65aˆ = Q p1 ln Qp 
 2
bˆ =

Q p1

(− ln(1 − p1 ))1aˆ≈ 0,35µˆ = ln(Q g ) − Φ −1 ( g1 )1

= ln(0,825) − Φ −1 (0,82) ≈ −1

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

136 / 180

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Loi de Pareto

Institut des Actuaires(1 − g1 )−αˆ − 1=
1Qg(1 − g 2 )− αˆ − 1
1

Q g1

17M€

19M€

18,75M€

20,18M€2αˆ ≈ 5,51
λˆ =

Q g1

(1 − g1 )− αˆ − 1
1≈ 2,22

Nous pouvons remarquer que les résultats ont des ordres de grandeur assez
comparables.
La loi Weibull retenue nous donne un résultat de 21,94M€ en utilisant la méthode deMonte-Carlo.
Le point sensible de la méthode est le choix du quantile extrême à 99,999%. C’est un
choix totalement arbitraire, aussi avons-nous testé la sensibilité à ce paramètre.
Test de sensibilité au quantile extrême : nous avons regardé comment évoluer lerésultat en fonction du nombre de neufs ajoutés après la virgule.
99,9999%

99,99%

99,9%

Loi retenue

Weibull(0,71;
0,38)

Weibull(0,57 ;031)

Weibull(0,47 ;
0,25)

VaR

20,41

25,93

36,18

à -7%

+18%

+65%

Ecart par99,999%rapportNous constatons en effet, comme nous le redoutions, que le résultat est très sensible
au choix du nombre de « 9 » après la virgule. Nous devrons donc interpréter lesrésultats avec beaucoup de précaution.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

137 / 180

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8.3 MODÈLE BAYÉSIENNous appliquons à présent le modèle bayésien à notre risque n°24. Ce risque est
traité de façon très simple car le but est de montrer comment s’applique l’approche
Bayésienne.
La première étape dans l’approche bayésienne consiste à créer le réseau à l’aide d’ungraphe et à définir les distributions correspondant à chaque facteur. Ces paramètres
pourront être revus dans une phase de « back-testing ».
Une analyse du risque nous a permi de construire le graphe suivant :Remarque : nous avons négligé les sanctions règlementaires.
Rappelons que l’approche bayésienne proposée pour le risque opérationnel consisteà définir trois objets : l’exposition, la survenance et la gravité.
L’exposition : l’exposition doit correspondre aux objets exposés de l’entreprise qui nepeuvent être touchés par le risque qu’une seule fois dans la période. Nous avonschoisis les ordres, en effet un ordre ne peut être erroné qu’une seule fois. Nousn’anticipons pas d’augmentation dans le nombre d’ordres pour l’année à venir et lenombre d’ordres observés est en moyenne de 25 000 par an.
La survenance : la survenance est définie comme l’erreur sur un ordre. En moyenne,
le SRA nous fournit un nombre de pertes annuelles moyen de 18,2 soit une
probabilité d’erreur sur un ordre de 18,2/25 000 =0,0728%.
La gravité : la gravité est définie comme la somme de la perte due au décalage desmarchés et des frais de transaction. Nous faisons les hypothèses suivantes sur les
facteurs intervenant dans le calcul de la gravité :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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 le montant de l’erreur (exprimé en millions d’euros) :Montant de l'erreur (enmillions d'euros)
5
15
50

66%
18%
16%

 la durée de correction de l’erreur : c’est la période allant de la date desurvenance de l’erreur à sa date de correction par le passage d’un nouvel
ordre :
Durée de correction (enjours)
0,125
1
90

66%
33%
1%

 les frais de transaction : nous supposons que les frais de transaction sontégaux à 0,25% du montant de la transaction. Le montant d’erreur est passé une
première fois puis une seconde fois lors de la correction. Les frais seront ici
calculés en multipliant le montant de l’erreur par 0,5%.

 le taux de décalage des marchés : il s’agit de la variation des taux observée
pendant la durée de correction de l’erreur.
Taux dedécalage desmarchés

2%
5%30%

Durée de correction (en jours)

0,125
66%
34%
0%

1
62%
37,99%
0,01%

90
60%
28%
12%

 La perte due au décalage des marchés : elle est calculée en multipliant lemontant de l’erreur par le taux de décalage.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

139 / 180

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Institut des Actuaires

Ce réseau bayésien est ensuite construit sous un logiciel spécifique, ici nous utilisonsla version d’essai d’Hugin. Ce logiciel nous permet d’obtenir un élément importantde l’algorithme ci-dessous.
Lançons-nous dans l’algorithme décrit dans la partie théorique :Ici, les objets exposés sont du même type, ce sont des ordres de même nature :X i = X , ce qui implique que Pi = P (Exposition = X i ) = 1 .
Nous en déduisons la probabilité que le risque survienne sachant que l’exposition est
X i : PS i = P Survenance =" Oui" Exposition = X i = P(Survenance =" Oui") = 0,0728%()

L’algorithme consiste à réaliser successivement les étapes suivantes :1) positionner l’exposition à X i , la survenance à Oui dans le réseau bayésien et lire la()

distribution de la gravité PG i = P Gravité Survenance =" Oui" et Exposition = X i :cette étape est réalisée avec le logiciel Hugin qui nous permet d’avoir très
rapidement la distribution de la gravité conditionnellement à la survenance.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

140 / 180

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2)ÉchantillonnerleInstitut des Actuaires

nombredepertesBinomiale B ( nb ( X i ); PS i ) = B ( 25 000; 0,0728 %) .

En

selon

Fi
effet,

les

la

loi

ordressont

indépendants et chaque ordre suit une loi de Bernoulli.
3) Pour chacun des incidents de 1 à Fi , échantillonner la gravité suivant la
distribution PGi
4) Sommer les Fi gravités.
Nous répétons ces 4 étapes 10 000 fois en conservant les sommes des gravités àchaque fois. Nous obtenons ainsi une distribution de pertes totales et nous en
déduisons la VaR à 99,5% en ordonnant les pertes et en prenant la 50ième perte enpartant du bas.
Nous avons réalisé des tests de sensibilité aux différents paramètres du réseau
bayésien : à chaque jeu de tests, nous faisons varier les paramètres d’un facteur en
fixant les paramètres de tous les autres facteurs.
Le tableau suivant représente les tests de sensibilité de la fréquence d’occurrence. Le
premier scénario est le scénario central.

Tests de sensibilité de la fréquence d'occurrence
Simulation n°1
Occurrenceoui
0,0728%non

99,9272%Montant de l'erreur
566%

Durée de correction Décalage des
0,125
66%
marchés

Durée de correction
0,125
1

90

15

18%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

16%

90

1%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

Perte totale
21,275

Simulation n°2
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Durée de correction

Perte totale

Décalage des66%
marchés

0,125

1

90

2%

66%

62%

60%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

oui

0,0500%

5

66%

0,125

non

99,9500%

15

18%

1

33%

50

16%

90

1%

16,175

Simulation n°3
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

oui

0,10%

5

66%

0,125

66%

non

99,90%

15

18%

1

33%

50

16%

90

1%

Décalage desDurée de correction

Perte totale

0,125

1

90

2%

66%

62%

60%

marchés

5%34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

27,85

Simulation n°4
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Durée de correction

Perte totale

oui

0,20%

5

66%

0,125

66%

Décalage desmarchés

0,125

1

90

non

99,80%

15

18%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

16%

90

1%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

141 / 180

44,85

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Le tableau suivant représente les tests de sensibilité du montant d’erreur.
Tests de sensibilité du montant d'erreur

Simulation n°1
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Durée de correction

Perte totale

oui

0,07%

5

60,0%

0,125

66%

Décalage desmarchés

0,125

1

90

non

99,93%

15

20,0%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

20,0%

90

1%

5%

34%

38%

28%

30%

0%

0%

12%

24,10

Simulation n°2
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Durée de correction

Perte totale

Décalage des66%
marchés

0,125

1

90

oui

0,07%

5

50,0%

0,125

non

99,93%

15

30,0%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

20,0%

90

1%

5%

34%

38%

28%

30%

0%

0%

12%

24,175

Simulation n°3
OccurrenceMontant de l'erreur

oui

0,07%

non

99,93%

Durée de correction
0,125Perte totale

Durée de correction

Décalage desmarchés
66%

0,125

1

90

5

40,0%

15

30,0%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

30,0%

90

1%

5%

34%

38%

28%

30%

0%

0%

12%

30,45

Simulation n°4
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Décalage des66%
marchés

Durée de correction

Perte totale

oui

0,07%

5

30,0%

0,125

0,125

1

90

non

99,93%

15

40,0%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

30,0%

90

1%

5%

34%

38%

28%

30%

0%

0%

12%

31,375

Simulation n°5
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

Durée de correction

Perte totale

oui

0,07%

5

30,0%

0,125

66%

Décalage desmarchés

0,125

1

90

non

99,93%

15

30,0%

1

33%

2%

66%

62%

60%

50

40,0%

90

1%

5%

34%

38%

28%

30%

0%

0%

12%

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

142 / 180

35,15

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Le tableau suivant représente les tests de sensibilité de la durée de correction.
Tests de sensibilité de la durée de correction

OccurrenceMontant de l'erreur

Simulation n°1
Décalage
Durée de correction
des

oui

0,07%

5

66%

0,125

60%

non

99,93%

15

18%

1

30%

50

16%

90

10%

Montant de l'erreur

Occurrence

Durée de correction

Perte totale

0,125

1

90

2%

66%

62%

60%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

marchés

Simulation n°2
Décalage
Durée de correctiondesDurée de correction

Perte totale

oui

0,07%

5

66%

0,125

50%

0,125

1

90

non

99,93%

15

18%

1

40%

2%

66%

62%

60%

50

16%

90

10%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

OccurrenceMontant de l'erreur

marchés

Simulation n°3
Décalage
Durée de correction
des

oui

0,07%

5

66%

0,125

50%

non

99,93%

15

18%

1

30%

50

16%

90

20%

Durée de correction

28,78

Perte totale

0,125

1

90

2%

66%

62%

60%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

marchés

19,57537,20

Simulation n°4
OccurrenceMontant de l'erreur

Durée de correction

DécalagedesDurée de correction

Perte totale

oui

0,07%

5

66%

0,125

40%

0,125

1

90

non

99,93%

15

18%

1

40%

2%

66%

62%

60%

50

16%

90

20%

5%

34%

37,99%

28%

30%

0%

0,01%

12%

marchés

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

32,35

143 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Le tableau suivant représente les tests de sensibilité de la variation des actifs.
Tests de sensibilité du taux de décalage des marchésOccurrenceMontant de l'erreur

Simulation n°1
Décalage
Durée de correction
des

oui

0,07%

5

66%

0,125

66%

non

99,93%

15

18%

1

33%

50

16%

90

1%

OccurrenceMontant de l'erreur

oui

0,07%

non

99,93%

Occurrence

5

66%

60%

60,00%

5%33,99%

37,90%

27,00%

30%

0,01%

0,10%

13,00%

marchés

1

90

1

30%

2%

66,00%

62,00%

60,00%

10%5%

33,90%

37,80%

27,00%

30%

0,10%

0,20%

13,00%

Simulation n°3
Décalage
Durée de correction
des

5

66%

0,125

50%

15

18%

1

40%

50

16%

90

10%

Montant de l'erreur
5

66%

50%

0,125

1

90

62,00%

60,00%

5%

34,90%

37,50%

26,00%

30%

0,10%

0,50%

14,00%

marchés

22,65

Perte totale

65,00%

Simulation n°4
Décalage
Durée de correction
des
0,125

Durée de correction

2%marchés

21,375Perte totale

Durée de correction
0,125

90

0,07%

99,93%

62,00%

18%

99,93%

non

66,00%

16%

oui

0,07%

2%

15

non

oui

90

50

Montant de l'erreur

Occurrence

Perte totale

1

Simulation n°2
Décalage
Durée de correction
des
0,125

Durée de correction
0,125

marchés

Durée de correction

23,875Perte totale

0,125

1

90
50,00%

15

18%

1

30%

2%

60,00%

60,00%

50

16%

90

20%

5%

39,00%

39,00%

34,00%

30%

1,00%

1,00%

16,00%

28,83

Remarque : les paramètres du modèle ont été fixés par les experts mais nous aurions
très bien pu prendre des observations et utiliser les méthodes statistiquesd’apprentissage pour définir les distributions des différents facteurs.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

144 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

8.4 COMPARAISON DES RÉSULTATS ET CONCLUSIONS
Les résultats des deux modèles sont très comparables : le modèle simplifié nous
donne 21,94M€ et le modèle bayésien 21,275M€. Cependant nous avons vu que lemodèle simplifié était très sensible au choix du quantile extrême. L’approche
simplifiée nous donne une première idée du résultat mais nous ne pouvons pas nous
y limiter. Elle doit absolument être complétée par une autre approche.
Le modèle bayésien est une approche beaucoup plus transparente. Il permet deprendre en compte à la fois des facteurs quantitatifs mais aussi des facteurs
qualitatifs, ce que ne font pas la plupart des modèles. L’approche bayésienne est très
intéressante dans le cadre des risques opérationnels car elle permet de détecter desfacteurs de réduction du risque grâce à l’inférence. Elle peut être utilisée à d’autres
fins que l’évaluation des fonds propres : le risk management peut l’utiliser pourmettre en place des plans d’actions, constater l’efficacité de ces derniers, voir l’impact
des aggravations de certains facteurs sur les risques.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

145 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Modélisation du risque opérationnel dans l’assuranceInstitut des Actuaires

146 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

9 APPLICATION DE LA THÉORIE DES VALEURS EXTRÊMES
L’idée est de découper notre échantillon en deux sous ensembles : le premier pour lespertes attritionnelles et le second pour les pertes exceptionnelles.
Pour cela, nous utilisons la méthode « POT » décrite plus haut appliquée aux pertes
exceptionnelles et nous modélisons nos pertes attritionnelles de façon classique avec
la méthode LDA.

9.1 MODÉLISATION DES PERTES EXTRÊMES
Nous rappelons que la méthode « POT » consiste à déterminer un seuil de graves audelà duquel les excès suivent une loi GDP.
Dans un premier temps, nous allons faire des tests graphiques pour regarder sil’espérance et la variance de nos risques sont finies ou infinies : cela nous donnera
une première idée de la valeur de l’indice de queue. En effet, si X est une variable
aléatoire de loi GPD, alors :E(X) finie  indice de queue <1
V(X) finie  indice de queue <1/2

Pour cela, considérons S n (r ) =(max X 1r ,… , X nr
n

∑X
i =1

) pour r>0.

riD’après Embrecht, nous avons la propriété suivante :S n (r ) n
→ 0 ps ⇔ E ( X r ) < +∞→ +∞Pour r=1, nous pourrons savoir si l’espérance est finie ou infinie en traçant S n (r ) en
fonction de n : si S n (r ) tend vers 0 quand n tend vers l’infini, alors l’espérance sera
finie. De même pour r=2, nous regarderons si la variance est finie ou infinie.
Sur nos échantillons qui sont de taille limitée, il sera difficile de conclure mais cela
peut déjà nous donner une idée.
Représentons S n (r ) pour r = 1 en fonction de n pour les quatre risques étudiés.
Le graphique ci-dessous représente S n (1) pour le risque de processus :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

147 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1

51

101

151

201

251

301

351

401

451

Sn(risque process)Nous observons que S n (1) décroît rapidement, mais nous ne pouvons pas assurer
qu’il tende vers 0. Nous pouvons présumer que l’espérance du risque de processus
est finie avec des réserves.
Le graphique ci-dessous représente S n (1) pour les risques client, système et fraude
externe :
1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1

11
Sn(risque client)21
Sn(risque systeme)

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

31

41

Sn(risque fraude externe)

148 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

En observant ce graphique, nous pourrions penser que S n (1) restera au même niveau
et ne décroîtra pas vers zéro pour les trois risques mais, étant donné le faible nombre
de données, nous ne pouvons pas nous prononcer.
Représentons S n (r ) pour r = 2 en fonction de n pour les quatre risques étudiés.
Le graphique ci-dessous représente S n (2) pour le risque de processus :
1,01
1
0,99
0,98
0,97
0,96
0,95
0,94
0,93
0,92
0,91
1

51

101

151

201

251

301

351

401

451

S²n(risque process)S n (2) décroît lentement, nous pourrions penser qu’il tende vers 0, ce qui pourraits’interpréter par le fait que la variance du risque de processus est finie mais nousémettons des réserves sur cette interprétation.

Le graphique ci-dessous représente S n (2) pour les risques client, système et fraude
externe :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

149 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1

11
S²n(risque client)21
S²n(risque systeme)

31

41

S²n(risque fraude externe)

Au premier abord, il semblerait que S n (2) ne tende pas vers 0, ce qui pourraits’interpréter par le fait que les variances sont infinies mais nous émettons desréserves sur cette interprétation vu le faible nombre de données.

Étant donné le faible nombre d’observations pour les risques client, système etfraude externe, nous choisissons de regrouper toutes nos pertes et d’ajuster une loi
GPD sur l’ensemble de nos excès.
Le graphique ci-dessous représente S n (1) pour l’ensemble des risques :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

150 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1

51

101

151

201

251

301

351

401

451

501

551

Sn(risque total)

Nous observons que S n (1) décroît rapidement, mais nous ne pouvons pas assurer
qu’il tende vers 0. Nous pourrions penser que l’espérance de l’ensemble des risques
est finie et donc que l’indice de queue est inférieur à 1, avec de fortes réserves.

Le graphique ci-dessous représente S n (2) pour l’ensemble des risques :
1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0
1

51

101

151

201

251

301

351

401

451

501

551

S²n(risque total)

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

151 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Nous observons que S n (2) décroît très lentement, mais nous ne pouvons pas assurer
qu’il tende vers 0. Nous pourrions penser qu’il ne tend pas vers zéro et donc que lavariance est infinie, ce qui signifierait que l’indice de queue est supérieur à ½, maisnous émettons de fortes réserves.

Ce test donne un résultat indicatif qui doit être pris simplement comme une première
idée de la finitude de l’espérance et de la variance. De plus, nous avons, ici, très peu
de données pour réellement conclure que l’indice de queue est compris entre ½ et 1,
en général ce genre de test se construit sur plusieurs milliers d’observations.

A présent, nous cherchons le seuil des excès pour l’ensemble des risques. Attention à
ne pas confondre ce seuil avec celui de collectes.
Nous commençons par tracer le Q-Q plot qui nous fournit une indication del’appartenance probable à un des domaines d’attraction possibles de la distribution
des pertes. Son principe est de représenter graphiquement les quantiles de ladistribution exponentielle versus les valeurs ordonnées de notre échantillon.
Nous utilisons la fonction « qplot » avec xi=0 sous le logiciel R.

Si la loi appartient au domaine d’attraction de Gumbel alors les points sontapproximativement alignés.
Si la loi appartient au domaine d’attraction de Fréchet alors les points ont tendance à
se disperser vers le bas.
Si la loi appartient au domaine d’attraction de Weibull alors les points ont tendance à
se disperser vers le haut.
Le Q-Q plot nous montre que la loi appartient au domaine d’attraction de Fréchet.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

152 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Puis nous traçons le mean excess plot empirique en fonction du seuil u.

Nous ne pouvons pas tirer de réelle conclusion de ce graphique ce qui nous amène à
représenter l’indice de queue en fonction du seuil :Puis, nous traçons l’estimateur de Hill (défini page 49) en fonction du seuil :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

153 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Nous recherchons le seuil autour duquel les courbes deviennent plates car l’indice dequeue doit être stable ou du moins pas trop volatile par rapport au seuil.
En règle générale, pour des échantillons de taille inférieure à 500, les pertes
dépassant le seuil sont de l’ordre de 5 à 10%. Nous choisissons de tester plusieurs
seuils qui donnent des indices de queue plus grands que 1, nous aurons donc une
espérance et une variance infinie. La plupart des méthodes ne sont alors pas valides
pour estimer les paramètres et nous avons eu recours à la méthode des moments
pondérés généralisée qui permet une estimation pour un indice de queue <3/2.
Nous retenons plusieurs seuils que nous allons tester. Dans le tableau ci-dessous
figurent le seuil des pertes graves, le nombre des excès au-delà du seuil et lesparamètres de la GPD estimés par la méthode des moments pondérés généralisée :Test n°1

Test n°2

Test n°3

Test n°4

Seuil

750

1 900

3 000

4 500

Nombred’excès

183

94

64

43

Shape

1,18

1,26

1,37

1,43

Beta

1 089,61

2 061,01

2 690,78

4 126,57

Les graphiques ci-dessous représentent l’adéquation de la GPD à notre échantillon
pour les différentes valeurs de seuil testées.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

154 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

Remarque : l’indice de queue supérieur à 1 implique une espérance et une varianceinfinies. Cela va poser des problèmes lors de la simulation des excès.

9.2 MODÉLISATION DES PERTES ATTRITIONNELLES
Nous modélisons classiquement chaque risque pour les pertes inférieures au seuil
par la méthode LDA. Ces calculs étant chronophages, nous avons tenté d’utiliser laméthode de Wilson Hilferty qui est une méthode d’approximation basée sur les
moments des coûts et de la fréquence qui simule directement la charge totale. Mais
elle n’a pas fonctionné dans la mesure où sur certains risques elle a fourni des pertes
cumulées négatives. Dans le cadre du risque opérationnel, nous ne devons pas
considérer de pertes négatives.
Nous avons appliqué la méthode LDA pour les différents seuils.
Voici les résultats obtenus pour chaque seuil ainsi que les graphiques d’adéquation : Seuil des extrêmes : 4 500€
Risque Clients

RisqueProcessus

de RisqueSystèmede RisquedeFraude externe

Loi des coûts Weibull
retenue

Weibull

Log-normale

Exponentielle

Paramètres

Shape=0,52
Scale=367,37

Shape=0,55
Scale=332,23

Meanlog=4,65
Sdlog=2,14Rate=0,00063

Test de KS

D = 0,12

D = 0,045

D = 0,21

D = 0,21

p-value = 0,72

p-value = 0,30

p-value = 0,12p-value = 0,20

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

155 / 180

Centre d’Études ActuariellesLoifréquence
retenueParamètres

Institut des Actuairesde Poisson

Lambda=0,69

PoissonBinomiale
Négative

PoissonLambda=9,46

Size=1,11

Lambda=0,54

Prob=0,62
Test du Khi- X-squared
deux
4,2

= X-squared
24187

p-value = 0,985

p-value = 0,82

= X-squared
9,29
p-value = 0,94

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance= X-squared
4,96=

p-value = 0,93

156 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

 Seuil des extrêmes : 3 000€
Risque Clients

RisqueProcessus

de RisqueSystèmede RisquedeFraude externe

Loi des coûts Weibull
retenue

WeibullGamma

WeibullParamètres

Shape=0,54

Shape=0,57

Shape =0,66

Shape=0,81

Scale=284,88

Scale =289,54

Rate=0,0021

Scale=1 100,93

D = 0,125

D = 0,049

D = 0,15

D = 0,28

p-value = 0,67

p-value = 0,24

p-value = 0,44

p-value = 0,08

Test de KS

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

157 / 180

Centre d’Études ActuariellesLoifréquence
retenueParamètres

de Poisson

Lambda=0,65

Institut des Actuaires
PoissonBinomiale
Négative

PoissonLambda=9,19

Size=0,91

Lambda=0,44

Prob=0,58
Test du Khi- X-squared
deux
11,81
p-value = 0,3= X-squared
193,58p-value = 0,66

= X-squared
9,70= X-squared = 6
p-value = 0,68

p-value = 0,62

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

158 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

 Seuil des extrêmes : 1 900€
Risque Clients

RisqueProcessus

de RisqueSystèmede RisquedeFraude externe

Loi des coûts Weibull
retenue

WeibullGamma

WeibullParamètres

Shape=0,56

Shape=0,61

Shape=0,66

Shape=0,78

Scale=220,91

Scale=225,67

Rate=0,0021

Scale=925,06

D = 0,13

D = 0,056

D = 0,15

D = 0,29

p-value = 0,63

p-value = 0,16

p-value = 0,44

p-value = 0,079

Test de KS

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

159 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des ActuairesLoifréquence
retenuede Binomiale
Négative

Binomiale
Négative

PoissonPoissonParamètres

Size=3,16

Size=2,77

Lambda=0,67

Lambda=0,4

Prob=0,84

Prob=0,24

Test du Khi- X-squared
deux
14,14

= X-squared
422,15p-value = 0,51

= X-squared
13,28

p -value = 0,77

p-value = 0,39

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance= X-squared
2,55=

p-value = 0,91

160 / 180

Centre d’Études Actuarielles

Institut des Actuaires

 Seuil des extrêmes : 750€
Risque Clients

RisqueProcessus

de RisqueSystèmede RisquedeFraude externe

Loi des coûts Weibull
retenue

Weibull

Log-normale

WeibullParamètres

Shape=0,66

Shape=0,68

Meanlog=4,19

Shape=2,92

Scale=93,6

Scale=126,21

Sdlog=1,99

Scale=23,21

D = 0,18

D = 0,062

D = 0,21

D = 0,168

p-value = 0,42p-value = 0,13p-value = 0,18

p-value = 0,98

Test de KS

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Centre d’Études ActuariellesLoifréquence
retenueParamètres

de Poisson

Lambda=0,48

Test du Khi- X-squared
deux
9,79
p-value = 0,29

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Binomiale
Négative

Binomiale
Négative

Binomiale
Négative

Size=2,98

Size=1,07

Size=0,007

Prob=0,29

Prob=0,65

Prob=0,055= X-squared
386,73= X-squared
12,69= X-squared
2,48

p-value = 0,2p-value = 0,34

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance=

p-value = 0,46

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Pour chaque seuil, nous avons retenu des lois pour la fréquence et la sévérité dechaque risque. Cette « paramétrisation » va nous permettre par la suite de simuler lespertes attritionnelles pour chaque seuil et comparer les résultats par seuil.

9.3 SIMULATION DES PERTES ET RÉSULTAT
La simulation des pertes attritionnelles ne pose aucun problème technique puisqu’ils’agit d’appliquer un Monte-Carlo classique. En revanche, la simulation des pertes
exceptionnelles va être plus compliquée. En effet, un indice de queue supérieur à 1
implique que la convergence de Monte-Carlo n’est plus valable puisque l’espérance
est infinie. Nous pouvons alors introduire un plafond appelé sinistre maximum
probable ou SMP en assurance. Nous choisissons un SMP global de 12M€ défini sur
avis d’expert. La fréquence des pertes extrêmes est modélisée par une loi de Poisson
dont nous affichons le lambda dans le tableau ci-dessous.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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Nous avons simulé les pertes attritionnelles et extrêmes pour les différents seuilschoisis afin de pouvoir comparer les résultats.

Test n°1

Test n°2

Test n°3

Test n°4

Seuil

750

1 900

3 000

4 500

Nombred’excès

183

94

64

43

Shape

1,18

1,26

1,37

1,43

Beta

1 089,61

2 061,01

2 690,78

4 126,57Lambda

45,75

23,5

16

10,75

VaR(99,5%)pertesextrêmes

12 607 818

12 920 160

13 445 422

13 623 875

VaR(99,5%)

12 623 697

12 972 241

13 496 723

13 754 789

Total pertes
Les résultats ne sont pas très sensibles au changement de seuil. Ils sont comparables
à ceux obtenus par la méthode classique LDA. Cependant, il faut noter que le résultat
est très sensible au choix du SMP, étant donné que l’espérance et la variance sontinfinies.
La limite de cet exemple est que nous ne connaissons pas exactement la nature despertes reportées et par conséquent nous ne pouvons pas apporter un avis d’expert àl’analyse.

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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10 CAPITAL POUR TOUT LE RISQUE OPÉRATIONNEL
Dans cette partie, nous nous intéressons au calcul du capital pour tous les risquesopérationnels. Nous présentons les résultats des deux formules standard (QIS4 et
CP53) puis nous les comparons. Ensuite nous présentons les résultats du modèle
simplifié en faisant l’hypothèse d’une totale corrélation entre les risques.

10.1 LA FORMULE STANDARD ISSUE DES QIS4
A l’heure actuelle, la dernière formule testée par les compagnies d’assurance est celledes QIS4. Nous présentons ci-dessous les résultats de Generali à fin 2007 :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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10.2 LA FORMULE STANDARD ISSUE DU CP53
Nous appliquons la formule standard des CP53 sur la même vision que les QIS4 pourpouvoir faire une comparaison. Voici les résultats obtenus :Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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10.3 COMPARAISON DES RÉSULTATS ENTRE FORMULES STANDARDS QIS4 VS
CP53
A fin 2007, le besoin en capital au titre du risque opérationnel est multiplié par 3,6
pour Generali Vie et 2,5 pour Generali IARD en passant de la formule standard issue
des QIS4 à la formule standard du CP53 :Comparaison des SCR risque opérationnel QIS4 et CP53 (en M€)
QIS4

CP53

Ecart en %Generali Vie

268

971

262%

Generali IARD

67

170

154%

Modélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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10.4 MODÈLE INTERNE SIMPLIFIÉ
Nous appliquons la deuxième approche du modèle simplifié, en faisant l’hypothèsed’une totale corrélation entre les risques.

Voici le tableau représentant les lois retenues pour la modélisation dans la deuxième
approche du modèle simplifié :Pour des raisons de confidentialité, nous ne donnerons pas le résultat du modèleinterne simplifié mais il renvoie un SCR risque opérationnel relativement proche decelui de la formule standard des QIS4. Nous sommes confortés dans l’idée que laformule standard issue du CP53 n’est pas représentative de nos risques et donne desrésultats beaucoup trop élevés.
Toutefois, ce modèle simplifié est contestable dans la mesure où il ne prend pas encompte les risques externes du type crue centennale.

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11 CONCLUSION GÉNÉRALE
Le risque opérationnel n’est pas un risque négligeable au sens de Solvabilité II, bien
au contraire. En effet, nous avons vu que la formule standard issue de la deuxième
vague de CP, qui risque d’être utilisée dans les QIS5, a multiplié par plus de 3 lebesoin en capital du risque opérationnel par rapport à l’ancienne formule des QIS4.
La formule standard des CP est très consommatrice en fonds propres et ne reflète pas
forcément nos risques. C’est pourquoi nous nous sommes intéressés à la mise enplace d’un modèle interne qui quantifierait les risques plus précisément.
Nous avons proposé un modèle décomposant les risques opérationnels en deuxcatégories : les risques de fréquence et les risques de gravité. Les risques de fréquence
ont été modélisés par une méthode Loss Distribution Approach (LDA) modifiée pourtenir compte du seuil de collecte des données. En effet, toutes les pertes ne sont pas
reportées par les opérationnels, uniquement celles qui dépassent un certain seuil.
Pour valider cette approche, nous avons appliqué cette méthode à des données
dépassant un seuil fixé à 1 500€ pour tous les risques et nous l’avons comparé à laméthode LDA classique appliquée à nos données complètes. Nous avons constaté
que l’approche LDA modifiée est plus pessimiste car elle surestime le nombre depertes. Il faudrait notamment améliorer l’approximation de la fréquence endéveloppant une nouvelle méthode qui ne surestime pas la fréquence.
Nous avons testé l’agrégation par les copules contre l’agrégation avec une totale
corrélation. Cette application nous a montré que l’utilisation des copules pouvait
faire diminuer le besoin en capital par rapport à la somme des VaR mais ce n’est pas
toujours le cas. Nous devrons faire des tests sur nos propres données. Par ailleurs,l’agrégation ne concerne que les risques de fréquence qui sont modélisés par des lois
à queues fines. L’impact du choix de la méthode d’agrégation est ainsi limité.
Les risques de gravité ont été modélisés par des réseaux bayésiens. Ce sont des outils
qui présentent de nombreux avantages : ils permettent de visualiser les liaisons decausalité entre les variables, ils peuvent prendre en compte des variables qualitatives,
ils permettent de gérer les risques en identifiant des variables leviers. Ce modèle va
donc être utile au risk management pour piloter les risques. Le risk management
pourra l’utiliser pour mettre en place des plans d’actions, constater l’efficacité desplans d’actions, simuler l’impact d’aggravation de certains facteurs sur les risques.
L’inconvénient majeur des réseaux bayésiens est qu’ils sont longs à mettre en place.
Une autre solution plus rapide pour modéliser les risques de gravité serait les loisextrêmes.
Nous avons ainsi exploré la piste de la théorie des valeurs extrêmes pour modéliser
nos risques de gravité. Pour cela nous avons déterminé plusieurs seuils de graves àpartir de tests graphiques classiques puis nous avons séparé nos pertes au-dessus etau-dessous du seuil. Les pertes au-dessus du seuil ont été regroupées par manque deModélisation du risque opérationnel dans l’assurance

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données pour modéliser l’excédent par une loi Pareto généralisée GPD. Cette
pratique peut être critiquée dans la mesure où les risques ne sont pas forcément
homogènes. Nous privilégierons de décomposer par type de risques cette analyse.
L’indice de queue trouvé pour les différents seuils est toujours supérieur à 1 ce qui
pose un problème lors de la simulation car l’espérance et la variance sont infinies. Ce
problème a été résolu en introduisant un plafond appelé Sinistre Maximum Probable(SMP). Les pertes en-dessous du seuil ont été modélisées par risque avec la méthodeLDA. Les différents seuils testés donnent des résultats plutôt comparables avec desécarts de moins de 9%. La limite de cette approche est la sensibilité au choix du SMP.
Cependant elle présente l’avantage d’utiliser la base de données sans avoir àréinterroger les experts, ce qui est très consommateur en ressources et qui serait long
à refaire.
De plus, il faudrait envisager d’exploiter des bases de données externes type FIRST
ou ORIC pour modéliser nos risques de gravité. Cela requiert un travail préalable deretraitement des données avec la mise à l’échelle de l’entreprise, la compréhension
des évènements, l’appropriation des risques, le traitement des seuils de collecte…
Nous avons proposé un modèle simplifié faisant appel aux avis d’expert pour avoir
un premier aperçu de notre capital. Ce modèle s’est appuyé sur la méthode desquantiles et un critère de sélection des lois a priori. Les limites de ce modèle sontqu’il ne modélise pas les risques externes et qu’il est sensible au paramétrage. Nousavons appliqué ce modèle à tous les risques identifiés comme importants par laméthode top-down et étudiés dans le Self-Risk Assessment. Nous avons obtenu uncapital proche de celui de la formule standard des QIS4, ce qui semble signifier que laformule standard des CP53 ne reflète pas nos risques. Certes le capital de notre
modèle simplifié est à prendre avec précaution car il ne prend pas en compte lesrisques externes. Mais les risques externes peuvent éventuellement faire l’objet decouverture d’assurance et ne pas rentrer dans le modèle.
Nous avons proposé de modéliser les risques via une matrice de type Bâle II qui
découpe les risques par type de risques de niveau 1 et par activité. Elle permetd’obtenir un capital par type de risques et activité. Cela permettra d’utiliser lemodèle pour le pilotage des activités : nous pourrions imaginer de calculer et suivre
périodiquement des ratios de rentabilité du risque opérationnel par activité et defournir des objectifs de ratios cibles aux différentes directions. Mais ceci reste encoreà définir.
Ce modèle sera utilisé dans le modèle interne pour évaluer un risque global. Quels
sont alors les liens avec les autres risques et comment les modéliser ? Par exemple, lerisque de pandémie peut à la fois toucher les assurés et les salariés de l’entreprise, il
relève donc du risque de mortalité, du risque santé et c’est aussi un risqueopérationnel.
La nouvelle formule standard utilisée dans les QIS5 ne vient en rien modifier lesconclusions de cette étude.
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13 LISTE DES ABRÉVIATIONSLDA = Loss Distribution Approach
SCR = Solvency Capital Requirement
MCR = Minimum Capital Requirement
CP = Consultation paper
QIS = Quantitative impact studies
SRA = Self Risk Assessment
GPD = Loi de Pareto généralisée
VaR = Value at Risk
XSG = Modèle Exposition Survenance Gravité
SMP = Sinistre maximum probable

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14 ANNEXES
14.1 ANNEXE A : RÉFÉRENTIEL DES RISQUES BÂLE II

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14.2 ANNEXE B : RÉFÉRENTIEL DES PROCESSUS DE GENERALI
Liste des processus de niveau 2 :EX 1 - Définir et décliner la stratégie
EX 2 - Lever et allouer le capital
EX 3 - Gérer les risques
EX 4 - Mettre en place des règles de gouvernanceEX 5 - Gouverner l’entrepriseEX 6 - Piloter l'activité
EX 7 - Gérer la communication
MT 1 - Concevoir et suivre les produits
MT 10 - Assurer le contrôle de gestion et le pilotage opérationnel
MT 11 - Gérer le juridique opérationnel
MT 2 - Gérer et suivre la relation client
MT 3 - Distribuer les produits
MT 4 - Administrer les contrats
MT 5 - Gérer les réseaux (hors réseau salarié)
MT 6 - Gérer les prestations
MT 7 - Gérer les cotisations
MT 8 - Gérer la réassurance
MT 9 - Gérer les placements
SU 1 - Gérer les Ressources Humaines
SU 2 - Gérer la réglementation juridique et fiscale
SU 3 - Gérer les Systèmes d'Information
SU 4 - Gérer les achats
SU 5 - Gérer les moyens généraux
SU 6 - Assurer la sécurité des biens et des personnes
SU 7 - Gérer la comptabilité et les finances

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14.3 ANNEXE C : RÉFÉRENTIEL DES RISQUES DE GENERALI
Catégorie derisque(niveau 1)

Définition (niveau 1)

Sous catégorie derisque (niveau 2)

Vol et fraude (interne)

FraudeinterneFraudeexterneDéfinition (niveau 2)

Actes frauduleux qui impliquent au moins une partie interne (salarié ou intermédiaire lié) résultant d'un détournement d'actifs et/ ou de documentation, ayant pour conséquence des pertes pour la Société, voire pour les clients.

Pertes dues à un acteintentionnel de fraude, dedétournement de biens,
Actes frauduleux liés au processus d'assurance (souscription, gestion de portefeuille, prestations), qui impliquent au moins une
Activité non autoriséepartie interne (salarié ou intermédiaire lié), résultant d'activités non autorisées ou de manipulations de données internes,
d'enfreintes à la législation ou
d'assurance
impliquant des pertes pour la compagnie, voire pour les clients.
aux règles de l'entreprise qui
Activités frauduleuses qui ne sont pas liées au processus assurance qui impliquent au moins une partie interne (salarié ou
implique au moins une
Autre activité nonintermédiaire lié), résultant d'activités non autorisées ou de manipulation de données internes, impliquant des pertes pour laautorisée hors assurance
personne en internecompagnie, voire pour les clients.
Sécurité des systèmes

Actes frauduleux qui impliquent au moins une partie interne (salarié ou intermédiaire lié) résultant d'intrusion du système et de(fraude interne)

non disponibilité / vol / détérioration des données ayant pour conséquence des pertes pour la Société, voire pour les clients.

Vol et fraude (externe)

Actes frauduleux qui impliquent seulement un tiers dans un détournement d'actifs et / ou de la documentation avec pourconséquence des pertes pour la Société, voire pour les clients.

Pertes dues à un acteintentionnel de fraude, deActivité non autorisée
détournement de biens,d'enfreintes à la législation ou d'assurance
aux règles par une tierce
Autre activité non
partieActes frauduleux en rapport avec le processus d'assurance (souscription, gestion de portefeuille, de traitement des créances), qui
impliquent seulement un tiers, résultant d'activités non autorisées ou internes de manipulation de données impliquant des pertes
pour la Société, voire pour les clients.
Actes frauduleux non liés au processus assurance qui impliquent seulement un tiers, résultant d'activités non autorisées ou

autorisée hors assurance internes de manipulation de données, impliquant des pertes pour la Société, voire pour les clients.
Sécurité des systèmes

Actes frauduleux, qui impliquent seulement un tiers, résultant d'intrusion du système et non disponibilité / vol / détérioration

des données avec pour conséquence des pertes pour la Société, voire pour les clients.
Pertes imprévues découlant d'une structure organisationnelle inadaptée qui ne fournit pas une définition claire et objective desOrganisation et gestion
rapports hiérarchiques et des responsabilités, y compris une séparation appropriée des tâches, en prenant en considération la(fraude externe)
du personnel

Rémunération desPratiques en Pertes résultant d'actes
salariésmatièreincompatibles au regard de laFormation etd'emploi et loi en matière d'emploi, decompétences
sécurité sur législation relative à la santéle lieu de ou à la sécurité , du paiement Turnover
travaild'indemnités ou deSécurité du lieu dediscrimination sociale
travailRelations sociales

Clients /Tiers etproduits

Pertes résultant d'un acte non
Défauts produits
intentionnel ou d'uneAdéquation desnégligence dans l'exercice
produits et services
d'une obligation
professionnelle face au client client(incluant les exigences en
Sélection et exposition
matière fiduciaire et dedu clientconformité)

taille et la nature des activités de l'entreprise, des stratégies, des objectifs et des besoins.
Pertes imprévues découlant de la démotivation ou l'insatisfaction liées au niveau de rémunération ou à l'évaluation desperformances.
Pertes imprévues découlant de recrutements inadaptés ou d'un niveau de formation inadapté
Pertes inattendues résultant d'un niveau élevé de départs

Pertes imprévues résultant de la santé ou du paiement de préjudices corporels subis sur le lieu de travail.

Pertes d'efficacité découlant de la détérioration de l'environnement de travail et les relations avec les employés (ex. grève,…)
Pertes de business imprévues découlant de l'absence de produits compétitifs, ou de défauts de l'offre produits (cannibalisation,
etc.)
Pertes de business imprévues, en termes d'insatisfaction du client et / ou érosion du portefeuille, résultant d'une inadéquation dela qualité du service (y/c agents) ou de l'adaptation des produits de la compagnie à la clientèle

Pertes de business imprévues découlant d'une sélection et d'une gestion inappropriée des contreparties (clients) avec une
attention particulière à leur solvabilité

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Pertes résultant de la perte ou Environnement et
Pertes imprévues ou dommages aux actifs matériels et / ou aux ressources humaines de la compagnie découlant de catastrophes
Dommages du dommage sur un actif
catastrophes naturelles naturelles (inondations, tremblements de terre, incendies, pandemie, etc.)
aux actifs corporel à la suite d'une
corporels catastrophe naturelle ou d'unCatastrophes du fait de Pertes ou dommages aux biens matériels et / ou aux ressources humaines de la compagnie découlant de l'action humaine (guerre,
autre sinistre
l'Hommeinsurrection, terrorisme, vandalisme)

Sélection des SI

Pertes imprévues résultant d'une inadéquation des investissements entraînant une baisse d'efficacité du système

Développement des SI

Maintenance des SI

Pertes imprévues résultant de défaillances du système en raison d'erreurs et de déficiences de projets ou de l'obsolescence
technologique entraînant une baisse d'efficacité du système
Pertes imprévues résultant d'une mise à niveau tardive ou inadaptée du système (en rapport avec l'évolution des besoins del'entreprise), provoquant une baisse de l'efficacité du système

Dysfonction Pertes résultant
Disponibilité des SI et Pertes imprévues résultant de l'interruption d'activité due à une indisponibilité du système informatique causée par des facteurs
nements de d'interruptions de l'activité ou des données
externes (coupure de courant, perturbations des télécommunications, etc.)
l'activité et de dysfonctionnement desdes systèmes systèmes

Intégrité des donnéesComplexité etformalisation desprocessus

Pertes imprévues résultant de la perte / indisponibilité des données dans le cas d'une indisponibilité des systèmes, issue dedommages à des bases de données ou altération données causées par des erreurs accidentelles par les utilisateurs

Pertes imprévues résultant d'une formalisation / configuration inadéquate des processus / procédures, ou de leur complexité
excessive ou d'un degré d'automatisation insuffisant provoquant une baisse de l'efficacité

Saisie, exécution et suivi Pertes imprévues résultant des erreurs, retards dans le traitement des transactions (entrée des données incorrectes, activitésdes transactions

retardées, transactions incorrectes, etc.) ou du non respect des procédures provoquant une baisse de l'efficacité

Pertes résultant d'un problème
dans le traitement d'une
Exécution et transaction ou dans la gestion
gestion des des processus ou pertes subies Surveillance et rapports Pertes imprévues résultant de reportings internes basés sur une information incomplète ou inadaptée
processus
avec les contreparties
commerciales et lesPertes imprévues résultant d'erreurs et d'omissions dans la collecte et la conservation de documents, ayant des conséquences surDocumentation
la validité des contrats
fournisseurs
Intermédiaires etexposition
Vendeurs etfournisseurs
Externalisation
ModèlePertes imprévues résultant d'une sélection et d'un suivi inadapté des intermédiaires, avec une attention particulière à leursolvabilité, leur comportement et leur capacité, qui peuvent avoir un effet adverse sur la fidélisation du client et la part demarché.
Pertes inattendues résultant la mauvaise exécution des prestations fournies par les vendeurs / fournisseurs de biens et services
Pertes imprévues résultant de services externalisés inadaptés par rapport aux accords fixés avec le prestataire.
Pertes imprévues issues du risque q'un modèle quantitatif (utilisé pour des besoins financiers ou d'assurance) ne donne pas une
description adaptée du sous jacent, ou soit basé sur des paramètres non réalistes / réels.

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Litiges

Pertes imprévues dues à des actions en justice

Juridique

Pertes imprévues liées à une contractualisation insuffisanteRègles en matièred'assurance (absence deconformité)

Règles actuarielles

Pertes imprévues (légales ou
réglementaires ou dessanctions financières matériel
perte) découlant de nonMarché financier etrespect des dispositions
règles pratiqueslégislatives, réglementaires etRéglementat
administratives. Cela inclus
ion etles pertes découlant desconformité
modifications des lois ou laRègles comptables
jurisprudence des lignes
directrices (par exemple, la Règles en terme dereporting externes
jurisprudence)

Non respect de la réglementation AMF

Loi italienne 262(FARG)

Réglementation dupersonnel
Règles de gouvernanceLoi italienne 230
Autres règles

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14.4 ANNEXE D : SCÉNARIOS DE PLACE DU SECTEUR BANCAIRE
Défaillance d'un dépositaire externe
Grève généralisée d'un ou des centres techniques ou informatiques
Erreur de saisie d'une instruction VGM par un collaborateur
Non recouvrement REMDOC/CREDOC
Erreur sur le paramétrage des taux conduisant à souscrire des prêts à taux usurier de façon massive
Détournement de fonds VGM par fraude externe
Détournement de fonds VGM par fraude interne
Falsification externe d'un ordre de virement papier au débit d'un client entreprise
Falsification d'un chèque-effet import ou export
Vol de vignettes de chèques dans un centre de stockage et rejeu (représentation) de ces chèques
Monétique - Compromission de clé d'une autorité de certification (fraude interne chez ACCB, VISA, MCI)
Monétique - Compromission externe sur pistes ISO2 (fraude interne chez un commerçant ou unintermédiaire du réseau acquéreur de l'établissement)
Monétique - Compromission interne de clé (fraude interne d'un ou plusieurs officiers de sécurité
monétique)
Monétique - Compromission interne sur pistes ISO2 (fraude interne d'une personne ayant accès à desvolumes importants de données porteur)
Monétique - Fraude courante externe (vol de cartes ou de pistes)
Monétique - Fraude informatique retrait - fraude interne d'un personnel ou fraude externe d'un prestatairele conduisant à pouvoir vider facilement des GAB
Monétique - Fraude informatique paiement - fraude interne d'un personnel ou fraude externe d'unprestataire le conduisant à court-circuiter l'autorisation
Destruction d'une agence, d'un siège ou d'un bâtiment technique par incendie ou autre cause
Cyber-attaque rendant indisponible les sites internet du groupe
Destruction de gros systèmes informatiques dans des centres de production informatique bancaire
Perte d’intégrité de base de données de production bancaire
Indisponibilité de la plate-forme de paiement / règlement de la banqueDivulgation d'informations confidentielles
Phishing ou autre usurpation d’identité lors d’un accès Banque à Distance
Assignations (actions individuelles, actions collectives) pour différents motifs dont défaut de conseil,soutien ou rupture abusifs.
Place - Crue centennale de la Seine ou autre fleuve
Place - Grève générale des transports
Place - Multiples attentats (Explosif/ Nucléaire, Radiologique, Biologique et chimique)
Place - Pandémie grippale ou autre
Place - Panne générale EDF rendant indisponible plus de 48h plusieurs sites névralgiques
Blanchiment / financement du terrorisme, non respect de la réglementation TRACFIN
Déclaration fiscale ou sociale erronée pour un établissement bancaire
Déclaration fiscale ou sociale établie par la banque pour ses clients erronée (cas de l'IFU)
Délit d'initié
Non respect de la règlementation AMF (Autorité des marchés financiers)
Non respect de la règlementation fiscale, sociale, CNIL, etc.
Départ conflictuel de salariés ou d'équipes de salariés
Départ de salarié clé ou d'équipes de salariés clés à la concurrence
Grève interne
Rogue trading (trader véreux ou courtier ripoux),

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