第33回数学カフェ予習会 #2〜射影空間の定義から〜

Feb/27/2021

本日の内容• 前回の復習• 線形空間• 射影空間• 立体射影• 二次形式• 二次超曲面• 射影代数的多様体• 射影空間の有理関数• 射影空間の有理写像

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カメラと代数幾何学の講演の予備知識として必要なことに絞りざっくりとお話します※このセミナーでは体Kの標数は0で、主にℝ, ℂを考えるとします

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前回の復習（一言で言うと何？くらいのざっくりした振り返り）• 線形空間• 集合と代数的構造•体• 線形空間• 準同型写像• 射影空間こちらは資料 第１回の予を御習会
覧くのださい• 定義• 具体例• （予習会後の質問より）カメラと射影空間

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一次元実射影空間と円周（立体射影）
例2.3.2（射影空間の幾何学）ℙ$ℝ = ℝ ∪ {∞}※は円周と同相（円周とℙ$ℝ の間には連続な全単射がとれる）
Pを通る直線によって円周上の全ての点の集合と1直線ℝに無限遠点を付け加えた集合上の全ての点が1:1に対応付けられている
そして、対応を与える関数は連続

P(固定する)𝜃2𝜃
-1

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ℝ𝑥O

Pʼ

R

全ての点・・・全射性
1:1 ・・・・・単射性
対応を与える関数が連続・・・連続性

φ(𝑥)※実数全体の集合に、無限遠点と呼ばれる点を１つ付け加えてできる集合

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一次元実射影空間と円周（立体射影）
例2.3.2（射影空間の幾何学）ℙ$ℝ = ℝ ∪ {∞}は円周と同相（円周とℙ$ℝ の間には連続な全単射がとれる）
1

𝜃

ORʼ
𝑥2𝜃
-1

図のように点に名前をつける
このときPとR を通る直線と単位円のPでない交点Rの座標を𝑥 の関数で表す

P(固定する)PʼRℝφ(𝑥)∠P ! PR = θとする
∠P ! OR = 2θ（三角形ORPは二等辺三角形）となる。また、OR の長さ 𝑥 は tan θ (= OR′/OP)と表せる

半径１の単位円を考えているが、半径rとしてもよい（計算が面倒くさくなる）

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一次元実射影空間と円周（立体射影）
例2.3.2（射影空間の幾何学）続き1P(固定する)
𝑎𝑏2𝜃
-1

O2𝜃𝑏Pʼ

2021/3/2ℝOPʼ

1𝑎𝑎R 𝑏𝑎
Rの座標をとおくと(𝑎, 𝑏 は実数)で𝑏𝑎sin 𝜃
𝑎== sin ∠P ! OR = sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 = 20 cos 2𝜃ORcos 𝜃12𝑥= tan 𝜃 0=tan 2𝜃 + 1 𝑥 " + 1𝑏= − cos ∠P ! OR = − cos 2𝜃 = −(2 cos 2𝜃 − 1)OR
1𝑥" − 1= −2 0+1= "tan 2𝜃 + 1𝑥 +1𝑏=

よって𝑥 ∈ ℝに対してRの座標はR

また、𝑥 → ±∞とすると
数学カフェ"##!$%#!&%#!$%となり座標を表す関数は連続0となり、これは点Pである。
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一次元実射影空間と円周（立体射影）
例2.3.2（射影空間の幾何学）±∞の点を同一視して無限遠点∞とすればℝ ∪ {∞}の点に対して１つの円周上の点を対応づける
連続な※写像が作れることがわかった
1P(固定する)
𝜃O

この写像が全単射であることを示すには次の２つを確認すればよい（今回の目的に対し脇道にそれすぎるので割愛した）
Rʼ𝑥2𝜃
-1

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Pʼ

R

φ(𝑥)

ℝ ・円周上の任意の点に対し対応するℝ ∪ {∞}の点が取れること・円周上の点を１つ取ったときに、対応するℝ ∪ {∞}の点は唯１つに定まること
セミナーでは左図から直感的な説明を行った

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二次形式
定義（二次形式）
𝑉をK上の線形空間とする
Q：VからKへの写像が全ての項がｍ次の多項式とは各項に含まれている変数が重複も含めてすべてｍ個である式
全ての項が二次の多項式の例

A

Q = $ 𝑎?@ 𝑥? 𝑥@ ,𝑥 C + 𝑥𝑦 + 𝑦 C
𝑥 C + 2𝑥𝑦 + 𝑦 C
𝑥 C + 𝑥𝑧 + 𝑦 C?,@

ただし𝑥B𝑎?@ ∈ 𝐾 , 𝑣 = ⋮ ∈ 𝑉𝑥Aと書けるときQ を𝑉上の二次形式という（全ての項が二次の多項式）
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二次形式
𝑣D =𝑥B , ⋯ , 𝑥A

A=𝑎BB⋮𝑎AB⋯⋱⋯左のように書けることの確認
𝑎!! ⋯ 𝑎!"𝑥!
⋮⋱⋮⋮
Q= 𝑥! , ⋯ , 𝑥"𝑎"! ⋯ 𝑎""𝑥"
𝑎!! 𝑥! + ⋯ +𝑎!"#"⋮⋮⋮= 𝑥! , ⋯ , 𝑥"
𝑎"! 𝑥! + ⋯ +𝑎"" 𝑥"= 𝑥! 𝑎!! 𝑥! + ⋯ + 𝑎!"#"+ 𝑥$ (𝑎$! 𝑥! + ⋯ + 𝑎$"#" )⋮𝑎BA⋮
𝑎AAとすると(AはKを成分にもつ行列)
Q = 𝑣 D A𝑣と書ける（右参照）+ 𝑥" (𝑎"! 𝑥! + ⋯ + 𝑎""#" )行列Aが正則、すなわち逆行列を持つときQは非退化という※2021/3/2=∑"%,' 𝑎%' 𝑥% 𝑥'※行列の計算については口頭で簡単な説明に留めましたが、気になる方はぜひ線形代数のテキスト・問題集等で勉強してみて下さいね。
（Twitterで検索すると沢山のおすすめ書籍情報に出会えます）

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二次形式の例
おまけ（座標変換との関係）

2変数
𝑥= + 𝑦=𝑥= − 𝑦=3変数
𝑥= + 𝑦= + 𝑧=𝑥= − 𝑦= + 𝑧=
𝑥= + 𝑦= − 𝑧=

適当な座標の変換によってqはλ1X1" + ⋯ + λ𝑛X𝑛"と書ける（λ𝑖は行列Aの固有値）
また、Kが代数閉体のときはある整数 r ≤ 𝑛 が存在してX1" + ⋯ + Xr "と書ける（非退化のときは𝑟 = 𝑛）二次形式を考えるときは上のような標準形を考えれば良い

4変数
𝑥 = + 𝑦 = + 𝑧 = + 𝑤 =など
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具体例と計算は次回

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二次超曲面
K：標数2ではない代数的閉体とする

具体例

定義（二次超曲面）n=1のとき𝑉の元は1+2次元の線形空間の元だから𝑞として3変数の二次形式を考える

V：n+2 K-線型空間
q：V上の0ではない二次形式とする。このとき、n+1次元の射影空間の部分集合
𝑄 = 𝐾𝑣 𝑞 𝑣 = 0𝑞 ∶ 𝑥 " + 𝑦 " − 𝑧 " とすると
𝑥" + 𝑦" − 𝑧" = 0をn次元の二次超曲面という
これは、𝑞 𝑣 = 0を満たすような𝑣と原点を通る直線の全体になっているを満たす点を𝑣とする
原点と𝑣を通る直線上の点は全て上を満たし※
この直線の全体からなる集合は1次元の二次超曲面となる※ (𝜆𝑥, 𝜆𝑦, 𝜆𝑧)を(𝑥, 𝑦, 𝑧)に代入すれば良い

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二次超曲面ｑ：非退化二次形式とするとき
このn次元の二次超曲面は非退化という前のページの具体例の続き
1次元の二次超曲面の例
3変数の二次形式 𝑥 " + 𝑦 " − 𝑧 " を考える

また、1次元超曲面は二次曲線（円錐曲線）
2次元超曲面は二次曲面という𝑥 " + 𝑦 " − 𝑧 " =0に対して、𝑧 ≠ 0のとき式全体をzで割り、移項すると
𝑥 "𝑦 "+=1𝑧𝑧
となり

#
$,%
$を2変数とする単位円になる

これは射影空間ℙ" ℝ 内の円を表している
また、単位円とℙ" ℝ 、すなわちℝ ∪ {∞}は同相であった（立体射影）。このようにℙ$ ℝ （の部分集合）からℙ" ℝ の間の写像も考えられる（次回詳しくやります）

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数学カフェ12射影代数的多様体例）k=2のときXは黄緑とピンクの集合の共通部分に含まれる点を通る直線の全体定義（ザリスキー閉集合）
P = 𝐾𝑣 ∈ ℙ∗(𝑉) とｍ次同次多項式 𝑓 に対して、
𝑓 𝑣 =0が成り立つとき f P= 0 ※と書き、 P は

𝑓𝑖: 𝑉𝐾𝑓 の零点であるという0

射影空間ℙ∗ (𝑉)の部分集合 X は有限個のｍ次同次多項式

𝑓$ (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑘)が存在してその共通零点

𝑋 = 𝑋 𝑓% , ⋯ , 𝑓&= {𝑃 ∈ ℙ∗ 𝑉 |𝑓% 𝑃 = ⋯ = 𝑓& 𝑃 = 0}
𝑓1 𝑣 = 0を満たす𝑣の集合

を射影空間のザリスキー閉集合とする※11ページの具体例と同様に、𝑣の元を𝜆倍して (𝜆𝑥1, … , 𝜆𝑥𝑛)を考えれば𝑣と原点を通る直線上の点 λ𝑣 が 𝑓(λ𝑣)＝0 を満たすことがわかる。これをまとめて𝑓 P = 0と書く。
ただし n は V の次元2021/3/2

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𝑓2 𝑣 = 0を満たす𝑣の集合13射影代数的多様体
射影空間のザリスキー閉集合Xは２つのザリスキー閉集合Y, Zが存在して 𝑋 ≠ 𝑌, 𝑍 かつ 𝑋 = 𝑌 ∪ 𝑍 となると
き可約という可約ではないとき既約であるという射影空間の既約なザリスキー閉集合
を射影的代数多様体という（今後代数多様体という）2021/3/2

数学カフェ可約の例）
𝑞 = (𝑥 " + 𝑥𝑦 + 𝑦 " ) 𝑥 " + 2𝑥𝑦 + 𝑦 " としてXは𝑞 𝑣 = 0を通る直線の全体とする
q1 = 𝑥 " + 𝑥𝑦 + 𝑦 "q2 = 𝑥 " + 2𝑥𝑦 + 𝑦 "としてYを𝑞1 𝑣 = 0を通る直線の全体
Zを𝑞1 𝑣 = 0を通る直線の全体とすれば、𝑋 ≠ 𝑌, 𝑍かつ𝑋 = 𝑌 ∪ 𝑍
既約の例）
𝑞が更に次数の低い同次多項式の積に分解できない
同じ同次多項式𝑞でも、係数の体Kをℝとするかℂとするかで因数分解の可否や零点を持つかが変わる（次回具体例を扱います）
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射影空間の有理関数
射影空間X=ℙ∗ (𝑉)において、同じ次数k次の同次式𝑓1, 𝑓2の比
𝑓 = 𝑓1/𝑓2 をX上の有理関数と呼ぶ
ここで𝑓1, 𝑓2は共通する既約因子（係数をKとする多項式の積に分解したときの因子）を含まないと仮定したとき、超曲面 𝑋 𝑓? , 𝑋(𝑓2) をそれぞれ𝑓の零点集合、極集合という
また、𝑋 𝑓%, 𝑓" 上では𝑓は 0 ÷ 0 の形になるので、これを𝑓の不確定特異点集合と呼ぶ
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射影空間の有理写像
同次座標系 𝑥' , … , 𝑥*ℙ,を持つ射影空間X＝ ℙ* から同次座標系 𝑦* , … , 𝑦+𝑓1を持つ𝑓2

射影空間Y＝ ℙ( への有理写像𝑓とは⋮𝑓𝑚

同じk次のm+1個の同次式 𝑓' , ⋯ , 𝑓𝑚 によって𝑓: 𝑥' : … : 𝑥* ↦ 𝑦' : ⋯ : 𝑦(= 𝑓' (𝑥0, ⋯ , 𝑥𝑛): ⋯ : 𝑓)(𝑥0, ⋯ , 𝑥𝑛)という形に表される写像。ここで 𝑓' , ⋯ , 𝑓𝑚は共通する既約因子を持たないとする
2021/3/2ℙ+𝑥* , … , 𝑥,𝑦* , … , 𝑦+𝑥' : … : 𝑥* ↦ 𝑦' : ⋯ : 𝑦(= 𝑓' (𝑥0, ⋯ , 𝑥𝑛): ⋯ : 𝑓)(𝑥0, ⋯ , 𝑥𝑛)ℙ, の点が入る

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射影空間の有理関数・有理写像の例ℙ- ℝy𝑓1: 𝑥 " + 2𝑥𝑦 + 𝑦 "1[𝑥 " + 2𝑥𝑦 + 𝑦 " : 𝑥 " − 𝑦 " ] ∈ ℙ- ℝ

𝑓2: 𝑥 " − 𝑦 "x42021/3/2x3x2x1 x

𝑓3: 𝑥 " + 𝑦 "数学カフェ[𝑥 " + 2𝑥𝑦 + 𝑦 " : 𝑥 " − 𝑦 " : 𝑥 " − 𝑦 " ] ∈ ℙ" ℝ17次回は3月6日17時から19時
具体例の計算を通じて、これまでに取り上げた概念に親しみ射影空間を考えるモチベーションを考えます
お申し込みページ
https://33-prep-3.peatix.com/

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参考文献
• 射影空間の幾何学（川又）• 線型代数学（佐武）• 複素幾何（小林）• 微分形式の幾何学（森田）• 多様体の基礎（松本）• 詳解演習線形代数（水田）2021/3/2

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