数理解析研究所講究録 1398 巻 2004 年 171-180

171

アーベル曲面の定義方程式と保型形式
軍司圭一 (Keiichi Gunji)

東京大学大学院数理科学研究科・博士課程 3 年
Graduate School of Mathematical Sciense, the University of Tokyo

Introduction

0$\mathrm{P}^{2}$の中の 3 次曲線$E$:

$X^{3}+\mathrm{Y}^{3}+Z^{3}=3\mu X\mathrm{Y}Z$を考える. これは $\mu\neq\infty,$ ,が存在して与える. 一方で, あると思うことができる. 実際,$1$$\omega,$$\omega^{2}(\omega=e^{2\pi\dot{\}/3})$$\tau\in \mathbb{H}_{1}$のときにレベル 3 構造をもつ楕円曲線をは の関数とかけるので,$E=\mathbb{C}/(\tau \mathbb{Z}+\mathbb{Z})$$\theta(\tau)=\sum_{l\in \mathbb{Z}^{2}}\exp\pi i((ae36^{\cdot})[l]\tau)$$\mu$$\tau$,$\chi(\tau)=\sum_{l\in \mathbb{Z}^{2}}\exp\pi i( (\begin{array}{ll}2 33 6\end{array})[l+ \frac{1}{3}(\begin{array}{l}01\end{array})])$と定義すれば ( $X$ [Y]さらに$M_{k}$$:=\mathrm{Y}tX\mathrm{Y}$とかく),$\mu=\theta/\chi$が成り立つ.

(\Gamma (3)) をレベル 3 の主合同部分群に関する重さ$k$の保型形式の生成する空間とするとき,$\oplus M_{k}(\Gamma(3))=\mathbb{C}[\theta,$ $\chi$となり, これより $X$ (3) をレベル 3 の modular curve とすれば, その関数体は $K(\Gamma(3))=$$\mathbb{C}(\mu)$となる. また, 関係式$\Delta(\tau)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{24}=3^{-3}$は正則かつ $\mu\neq 1,$
2 となる.
$\mu=1,\omega,\omega$から$\mathbb{H}_{1}$

上で

$\mu$

$\omega$,$\omega^{2}$

X3$(\theta^{3}-\chi^{3})$,$q=e^{2\pi i\tau}$であることが確かめられ,$\mathbb{H}_{1}/\Gamma(3)$の各 cusp で

112

ここでは上の有名な事実の, アーベル曲面への拡張を考えてみたい. そのための主要な問題は次の 2 つである.

(1) アーベル曲面の射影空間の中での定義方程式を書き下すこと.

(2) 係数を Siegel modular form としてとらえること.

記号$\Gamma^{g}=Sp(g, \mathbb{Z})$を整数係数の$g$

次 symplectic 群,$\mathbb{H}_{g}$上の関数 $f$ と $k\geq 0$ に対して,と表わすー ただし, $C,$ $D$ はそれぞれ, 左下, 右下のる. また,$\gamma\in\Gamma^{g}$

及ひ$\mathbb{H}_{g}$を$g$

次の Siegel 上半空間とす$f|_{k}(\tau)=\det(C\tau+D)^{-k}f(\langle\tau\rangle)$$g\cross g$行列であり 2$\gamma\langle\tau\rangle[]$(n) で のレベルが の主合同部分群,
次分数変換としての作用である.
上ので(n) に付随する重さが の正則保型形式の空間を表わす,$\Gamma^{g}$$n$$\Gamma^{\mathit{9}}$2 自然な一$M_{k}(\Gamma^{g}(n))$$k$$\Gamma^{g}$$\mathbb{H}_{g}$1アーベル多様体の定義方程式

上定義された 次元のアーベル多様体と
0にを $X$ 上の very ample な line bundle とする. $N=\dim H$ $(X, L)$ とおくとき,し,
よる $X$ の $\mathrm{P}^{N-1}=\mathrm{P}(H^{0}(X, L))$ への埋め込みの定義方程式は, 自然な射上で提起した問題の (1) から考える.

$X$を$\mathbb{C}$

$g$

$L$

$L$

$\varphi_{L}$\oplus SymlN 架:$(X, L)arrow\oplus H^{0}(X, L^{n})\infty$
$n=0$

$n=0$

の kernel で与えられる.

よって, 上の写像$\varphi_{L}$を調べることが定義方程式を考える上での問題となる.
を $X$ 上の ample line bundle とする. このとき $L=$は全射である. 特に $L$ は very ample になる.

Theorem 1.1 (Koizumi [Ko])$L_{0}^{k}$に対し,$k\geq 3$ で$\varphi_{L}$上の性質が成り立つとき,$L$$L_{0}$

を normally generated という.

Theorem 1.2 (Mumford [M2], Sekiguchi [S], Kempf[Ke])(1) $k\geq 4$ のとき,$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi_{L}$(2) $k=3$ のとき,$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi_{L}$(3) $k=2$ かつ
成される.

$L$

$L=L_{0}^{k}$

とおく,

は 2 次で生成される.

は 2 次および 3 次で生成される.

が normally generated であれば,$\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\varphi_{L}$は 2 次, 3 次およひ 4 次で生

173

今,

$X$

を principal polarization をもつアーベル多様体とし, それを与える line bundle

すれば, 上の定理より定義方程式は 2 次及ひ 3 次で与えられる.
一方次に示すとおり, この場合の 3 次の関係式は Birkenhake と Lange により既に決定さを$L_{0}$とする.

$L=L_{0}^{3}\text{と}$れている ([BL]). 明らかに 3 次の関係式を与えれば定義方程式は本質的に解ったことになるため, 以下, 彼らの定理を説明しよう.

$L=L$ (H, ) を $X=V/\Lambda$ 上の ample line bundle とする. ここで $V$ は 次元の ベ
クトル空間, A は rank $2g$ の lattioe である. 即ち $H$ は $V$ 上の正定値 Hermite 形式であっでを満たすもの,: $\Lambdaarrow \mathbb{C}_{1}^{\mathrm{x}}=\{z||z|=1\}$て $E={\rm Im} H$ に対して $E$ (A, )を満たす A 上の semi-character であって,は$\mathbb{C}$$g$$\alpha$$\Lambda$$\subset \mathbb{Z}$$\alpha$$\alpha(\lambda_{1}+\lambda_{2})=\exp(\pi iE(\lambda 1, \lambda_{2}))\alpha(\lambda_{1})\alpha(\lambda_{2})$$L$(H, ) は自明な line bundle$\alpha$$V\cross \mathbb{C}$を$\Lambda$の作用$\mathrm{A}\cross(V\cross \mathbb{C})\ni(\lambda, (v, x))\mapsto(v+\lambda, e_{\lambda}(v)x)$$e_{\lambda}(v)= \alpha(\lambda)\exp(\pi H(v, \lambda)+\frac{\Gamma}{2}\dot{\prime}$H,$(\lambda, \lambda))$で割ったものである.
$L$が ample であることから $E$ は A 上の非退化交代形式となり,$\mathrm{A}=\Lambda_{1}\oplus\Lambda 2$と tO-tally isotropic subspace の和に分解する. これに従い $V=V_{1}\oplus V_{2}$ , また $\Lambda(L)=\{v\in$とし, $K$ ( L) $:=\Lambda(L)/\Lambda=K(L)_{1}\oplus K$ ( L)2 分解すると Riemann-Roch$V|E$ (v, )$\Lambda$$\subset \mathbb{Z}\}$の定理から$\dim H^{0}(X, L)=\#\Lambda(L)_{1}=\#\Lambda(L)_{2}$が成り立つ.
\S 2,
このとき $H^{0}(X, L)$ の標準的な基底を以下のように作ることができる (cf. [$B$
Chapter 3]). $H$ を に制限したものを -linear に拡張した対称形式を とする. ますをとで与えられる semi-character$\alpha_{0}(\lambda)=\exp\pi iE($ \lambda 1,$\mathrm{L}\mathrm{B},$$\mathbb{C}$$V_{2}$$\lambda_{2})(\lambda=\lambda_{1}+\lambda_{2}\in\Lambda_{1}\oplus\Lambda_{2})$り, $L=L$ ( H,$\alpha_{0}$とおくと,$x\in K$$\theta_{x}^{L}(v)=\exp(\frac{\pi}{2}B$$\alpha_{0}$( L)1 に対して(v, ) $- \frac{\pi}{2}(H-B)(x+2v, x))$$v$$\mathrm{x}\sum_{\lambda\in \mathrm{A}_{1}}\exp(\pi(H-B)(x+v, \lambda)-\frac{\pi}{2}(H-B)(\lambda, \lambda))$( X, ) の基底をなす. 一般の ( H, ) は の平行移動による引き戻しでかけるので, 同様に標準基底が定義される.
を $X$ の 6 分
とか [すているときを考える.
によってがある line bundlex) に対して(点全体とし $4=X_{6}\cap K$ (L)1,
と定めれば
$L$

$\{\theta_{x}^{L}\}_{x\in K(}$L)1 は

$L_{0}$$H^{0}$$L$$L$$Z_{6},$$\mathbb{C}$$\theta_{(y_{1},y_{2}),\rho}(v)=\sum_{a\in Z_{6}}\rho(a)\theta L_{1}^{6}-a(v)\theta \mathrm{s}_{2}^{2}$

と定める.

$L$

$X_{6}$$L=L_{0}^{3}$$\rho\in\hat{Z}_{6}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}$$\alpha$き石 (v)

74, Theorem 3.3]) を $X$ 上の ample line
Theorem L3 (Cubic theta relations,とかけているとする. このとき ” たちの 3 次の関係式は以下でbundle であって$L$$[\mathrm{B}\mathrm{L}$$\theta$$L=L_{0}^{3}$

尽$\text{く}$される.
$\theta$$=\theta$

但し$\rho\in\hat{Z}_{6}$

(y1,

(y

であり 2

$\acute{1}$$y_{2}$),$\rho(0)\sum_{b\in Z_{6}}\rho(b)\theta_{y_{1}+u_{\acute{2}}+y\mathrm{a}+2b}^{L},\theta_{t_{1}-y_{\acute{2}}+ys+2b}^{L}\theta_{-2\sqrt{1}+y\epsilon+2b}^{L}$,y’),p(0)$y_{1},$$\sum_{b\in Z_{6}}\rho$$y_{1}’\in K$(b)$\theta_{y}^{L}1+y2+y3+2b\theta^{L}y_{1}-$(L6)1,$y_{1}+y_{2}+y_{3},$$\{$$y_{1}’+y_{2}’+y_{3},$$y_{2},$$y_{2}’\in K$,$2+y3+2$ ’$\theta_{-2}^{L}y1+y3+2b.$( L2)1, $y_{3}\in K$ ( L3)1 は, $-2y1+y3,$$y_{1}’-y_{2}’+y_{3}$ ,-2$y_{1}-y_{2}+y_{3}$$y_{1}’+y_{3}$がすべて $K$ (L)1 に属するようなものを走る.

この定理により、 一般論としてはアーベル多様体の定義方程式の問題は解決されたよ
うに見える. しかし実際には, 上で与えられた関係式には自明なものや, 見かけは違うが同一のものが多数入っており, その中で意味のあるものを抜き出すのは決して簡単ではない.

2

Siegel 保型形式としての係数

次に (2) の問題を考えよう. $X$ 上の line bundle $L_{0}=L$ ( H, ) が principal polarization
であに対してを与えているとする. このとき上で与えられた分解,とする. すると
るから,の基底を $V$ の 上の基底とみなしてとかくことができ , その polarization $H$ は固定された基底に対して $H=({\rm Im}\tau)^{-1}$を の関数て与えられる. よってこの $H$ に対し, 上の定義方程式に現れる係数$\alpha_{0}$$\Lambda_{2}\otimes_{\mathrm{Z}}\mathbb{C}=V$$\Lambda=\Lambda_{1}\oplus\Lambda_{2}$$X=\mathbb{C}^{\mathit{9}}/(\tau \mathbb{Z}+\mathbb{Z})$$V=\mathbb{C}^{\mathit{9}}$$\mathbb{C}$$\Lambda_{2}$$\tau\in \mathbb{H}_{g}$$\theta(y_{1},y_{2}),\rho$$\tau$とみなすと以下のようになる.
$K(L^{6})_{1}=K(L_{0}^{18})_{1} \ni y_{1}=\frac{1}{18}\tau\eta$1,$K(L^{2})_{1}=K(L_{0}^{9})_{1} \ni y_{2}=\frac{1}{6}\tau\eta_{2}$,$Z_{6} \ni b=\frac{1}{6}\tau\beta$

,

と書けば,
$\sum_{m,\mathrm{n}\in \mathrm{Z}^{g}}\exp\pi i(18\tau[m+\frac{1}{6}\beta-\frac{1}{18}\eta_{1}]+6\tau[n+\frac{1}{2}\beta-\frac{1}{6}\eta_{2}])$$\theta_{(y_{1\prime}y_{2}),\rho}(0)=\sum_{\beta\in(\mathrm{Z}/6\mathrm{Z})^{g}}\rho(\beta)$.

$g \rho(\beta)\sum_{N\in M_{g,2}(\mathrm{Z})}\exp\pi i\mathrm{b}( (\begin{array}{ll}18 00 6\end{array})[N+ \frac{1}{36}(\begin{array}{ll}6^{t}\beta -2^{t}\eta_{1}18^{t}\sqrt -6^{t}\eta_{2}\end{array})] \tau)$$= \sum_{\beta\in(\mathbb{Z}/6}$

z)

175

このとき二次形式の theta 関数の理論から (が威り立つことが分かる.

$[\mathrm{A}$, Chapter 1,2] 参照),

$g=2$ すなわちアーベル曲面の場合について考える.

$\theta(y_{1},y_{2}),\rho\in M_{1}(\Gamma^{\mathit{9}}(36))$

このとき $\dim H^{0}(X, L)=9$ であに埋め込まれる. 係数を modular form とみなしているため、 定義方程式のうち自明な式が現れるかどうかは, theta 関数の関数等式の問題として置き換えられてるから $X$ は$\mathrm{P}^{8}$いることを注意しておく.

主定理を述べるために記号を用意しておく. $K(L^{6})_{1}=$ (a, ), $b\in$ $\{0,1, \ldots, 17\}$ と等と $K$ ( L6)1 に埋め
かき, $K$ (L)1, $K(L^{2})_{1}=Z_{6},$ $K$ (L3)1 を $K(L)_{1}=\{$ ’(0,0), 0,6),の座標を込んで表すことにする. 上で与えた標準的な $H^{0}(X, L)$ の基底に対応して,
$b$

$a,$

$\ldots\}$${}^{t}($$\mathrm{P}^{8}$$X_{0,0},$ $X_{0,6},$ $X_{0,12},$ $X_{6,0},$ $X_{6,6},$ $X_{6,12},$ $X_{12,0},X_{12,6},$ $X_{12,12}$で表す$\Theta\{\begin{array}{ll}a bc d\end{array}\}( \tau):=\sum_{N\in M_{2}(\mathrm{Z})}\exp\pi i((\begin{array}{ll}18 00 6\end{array})[N+ \frac{1}{36}(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})] \tau)$と定め,$\rho\in\hat{Z}_{6}$, に対して$\theta$とおぐ”$(_{zw}^{xy})= \sum_{a,b\in \mathrm{Z}/6\mathrm{Z}}\rho(\begin{array}{l}3a3b\end{array})\Theta\{\begin{array}{ll}6a-2x 6b-2z-2y18a \mathrm{l}8b-2w\end{array}\}$さらに $W_{3}=$ {0,3, 6} とし,$9\cong(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{2}$を$\hat{Z}_{6}^{+}$$\rho\in\hat{Z}_{6}$の指標とする. さらに 4 つの指標$\rho_{1}(_{0}^{3})=1$,$p_{\mathit{2}}(_{3}^{0})=1$

,

$\{$

$\{$

$\rho_{1}(_{3}^{0})=\omega$.

$\rho_{2}(_{0}^{3})=\omega$で$\rho^{2}\equiv 1$$\ldots,$$\rho_{3}(_{3}^{3})=1$.

なるもの, すなわち$\rho_{4}\in\hat{Z}_{6}^{+}$$\rho_{1},$:$\rho_{4}(_{6}^{3})=1$

,

$\{$

$\rho_{3}(_{3}^{0})=\omega$

.

mod

を

,

$\{$

$W_{3}^{2}$$\rho_{4}(_{0}^{3})=\omega$

.

で定める.

Theorem 2.1 (主定理 1) $X$ のの式で与えられる.

$\mathbb{P}$への埋め込みの定義方程式のうも 3 次の部分は以下

178$0000)(X_{0,0}X_{6,0}X_{12,0}+X_{0}$$\sum_{(a,b)\in K(L)_{1}}X_{a,b}^{3}=3\frac{\theta^{1}(}{\theta^{1}}$,6X6,6X12,6$+$

X0,’2X6,12X12,12)$=3 \frac{\theta^{1}(000)0}{\theta^{1}(\begin{array}{l}0006\end{array})}(X_{0,0}X_{0,6}X_{0,12}+X_{6,0}X_{6,6}X_{6,12}+X_{12,0}X_{12,6}X_{12,12})$$=3 \frac{\theta^{1}(\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{o})}{\theta^{1}(006)6}(X0,0X6,6X12,12+X_{0,6}X_{6,12}X_{12,0}+$

X0,12X12,6X6,0)$(_{00}^{00})(X_{0,0}X_{6,12}X_{12,6}+X_{6,6}X_{0,12}X_{12,0}+X_{12,12}X_{0,6}X_{6,0})$$=3 \frac{\theta^{1}}{\theta^{1}}$$X_{0,0}^{3}+X_{6,0}^{3}+X_{12,0}^{3}-X_{0,6}^{3}-X_{6,6}^{3}-X_{12,6}^{3}=3(X_{0,0}X_{6,0}X_{12,0}-X_{0,6}X_{6,6}X_{12,6})x_{0,0}^{3}+X_{6,0}^{3}+X_{12,0}^{3}-X_{0,12}^{3}-X_{6,12}^{3}-X_{12,12}^{3}= \frac{\frac{\theta^{\rho_{1}}}{\theta^{\rho 1}}\theta^{\rho\iota}()(^{00}\mathrm{o}\mathrm{o}_{00})(^{06}\mathrm{o}\mathrm{o}_{00})}{\frac{\theta^{\rho 2}3}{\theta^{\beta 2}}\theta^{\rho_{1}}(_{00}^{06}),(_{06}^{00})(_{\mathrm{o}0}^{00})}(X_{0,0}X_{6,0}X_{12,0}-X_{0,12}X_{6,12}X_{12,12})X_{0,0}^{3}+X_{0,6}^{3}+X_{0,12}^{3}-X_{6,0}^{3}-X_{6,6}^{3}-X_{6_{1}12}^{3}=3(X_{0,0}X_{0,6}X_{0,12}-x_{\epsilon,0}x_{6,6}x_{6,12})$$X_{0,0}^{3}+X_{0,6}^{3}+X_{0,12}^{3}-X_{12,0}^{3}-X_{12,6}^{3}-X_{12,12}^{3}=3 \frac{\theta^{\rho 2}(_{00}^{00})}{\theta^{\rho 2}(_{06}^{00})}(X_{0,0}X_{0,6}X_{0,12}-X_{12,0}X_{12,6}X_{12,12})$$X_{0,0}^{3}+X_{6,6}^{3}+$X123,12-X03,6-XR,12-X1 ,$0^{=3\frac{\theta^{\rho \mathrm{a}}(_{00}^{00})}{\theta^{\rho\epsilon}(_{06}^{06})}(X_{0,0}X_{6,6}X_{12,12}-X_{0,6}X_{6,12}X_{12,0})}$$2$$X_{0,0}^{3}+X_{6,6}^{3}+X_{12,12}^{3}-X_{0,12}^{3}-X_{6,0}^{3}-X_{12,6}^{3}=3 \frac{\theta^{\rho \mathrm{s}}(_{00}^{00})}{\theta^{\rho s}(_{06}^{06})}(X_{0,0}X_{6,6}X_{12,12}-X_{0,12}X_{6,0}X_{12,6})$$x_{0,0}^{3}+x_{6,12}^{3}$\dagger $X_{12,6}^{3}-X_{6,0}^{3}-X_{12,12}^{3}-$$X_{0,0}^{3}+X_{6,12}^{3}+X_{12,6}^{3}-X_{12,0}^{3}-$X03,6$=3 \frac{\theta^{\rho_{4}}(_{00}^{00})}{\theta^{\beta 4}(_{012}^{06})}$( $X_{0,0}X_{6,12}X_{12,6}-$ X6,0X12,12X0,6)

X’,12-X63, 6$. \sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{2a,6+2b}^{2}X_{2a,12+2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{40}^{00})}{\theta^{\rho}(_{40}^{06})}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}X_{12+2a,6+2b}X_{2a,12+2b})$$\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,2b}^{2}X_{12+2a,2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{00}^{40})}{\theta^{\rho}(_{06}^{40})}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}X_{6+2a,12+2b}X_{12+2a,2b})$$\sum_{a,b\in W_{S}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{2a,6+2b}^{2}X_{2a,2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{20}^{00})}{\theta^{\rho}(_{20}^{06})}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}X_{12+2a,6+2b}X_{2a,2b})$177

a, $2b$ X$2a,2b= \frac{\theta^{\rho}(_{00}^{20})}{\theta^{\rho}(_{06}^{20})}(\sum_{a,b\inW_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}X_{6+2a,12+2b}X_{2a,2b})$$\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})XS+2$$\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}^{2}X_{12+2a,12+2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{40}^{40})}{\theta^{\rho}(_{46}^{40})}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,12+2b}X_{6+2a,2b}X_{12+2a,12+2b})$$\sum$$a,b\in W_{3}$$\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,12+2b}X_{6+2a,2b}X_{12+2a,2b})$$\sum$$\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}^{2}X_{12+2a,2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{20}^{40})}{\theta^{\rho}(26)40}($

$a$

, EW3
$b$

$\sum_{a,b\in W\mathrm{s}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}^{2}X_{2a,12+2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{40}^{20})}{\theta^{\rho(_{40}^{26})}}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{12+2a,6+2b}X_{2a,6+2b}X_{2a,12+2b})$$\sum_{a,b\in W_{8}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,6+2b}^{2}X_{2a,2b}=\frac{\theta^{\rho}(_{20}^{20})}{\theta^{\rho}(_{20}^{26})}(\sum_{a,b\in W_{3}}\rho(\begin{array}{l}ab\end{array})X_{6+2a,12+2b}X_{6+2a,6+2b}X_{2a,2b})$

但し最後の 8 つの式については,$\dim \mathrm{S}\mathrm{y}\mathrm{m}3H^{0}(X, L)=165$

は$\rho$$\hat{Z}_{6}^{+}$の元すべてを走る.

かつ $\dim H^{0}$ ( X,

$L^{3}$) $=81$ から独立な式の数は 84 個であることに注意する.
次に最初の 4 つの式に注目する. そこに出てくる係数を簡単に$\ominus_{1}=\theta^{1}(_{00}^{00}),$とかくことにする.
一方で$\Theta_{2}=\theta$$\mathrm{t}_{5}\in.M_{1}$$\mathrm{t}_{1},$$\ldots,$’ $(_{00}^{06}),$$\Theta_{3}=\theta^{1}(_{06}^{00}),$$\Theta_{5}=\theta^{1}(_{012}^{06})$(r2(3)) をi$( (\begin{array}{ll}2 33 6\end{array})[N+\frac{1}{9}T_{j}]\tau)$$\mathrm{t}_{j}(\tau)=\sum_{N\in M_{2}(\mathrm{Z})}\exp\pi$$T_{1}=(\begin{array}{ll}0 00 0\end{array}),$$\ominus_{4}=\theta^{1}(_{06}^{06}),$$T_{2}=(\begin{array}{ll}0 01 0\end{array}):$で定める. [G1] (r によりこれは$M_{1}$$T_{3}=(\begin{array}{ll}0 00 1\end{array}),$,$(1\leq j\leq 5)$$T_{4}=(\begin{array}{ll}0 01 1\end{array}),$$T_{5}=(\begin{array}{l}001-1\end{array})$(\Gamma 2(3)) の基底を与えることが示される.

178

Theorem 2.2(主定理 2)$(1\leq i\leq 5)$$t_{i}=\Theta_{i}$特に$\Theta_{5}$$\Theta_{1},$$\ldots,$,はレベノレ 3 の modular form である.

たちで張られる空間が,たちで張られる空間 ( $=M_{1}$ (r2(3))) と空間として, すなわち -module として同型であることから従う.
これは$\Gamma^{2}$$\Theta_{i}$$t_{\dot{\alpha}}$の表現
口$\Gamma^{2}$

その他の係数については何も言及しなかった. しかしその後, 他の係数についても保型性が成り立っていることが分かったので, それを説明する.
講演の際は,

その前に, 定義方程式の係数は, すべて$\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})/\theta^{\rho}(_{2z6v}^{2x6u})$の形をして$\mathrm{A}\mathrm{a}$ることに注意しておく.

Theorem 2.3 (主定理 3) 任意の(r2(3), ), すなわちて,$\theta^{\rho}(_{2z6}^{2x6}\mathrm{u})$$\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})\in M_{1}$に対して, ある$\Gamma^{2}(3)$上の指標$\chi$が存在し$\chi$$\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})|1)=\chi())\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})$$\forall\gamma\in\Gamma^{2}(3)$を満たし, さらに $x,$ $y,$ のみに依存して上 trivial であってはを満たす決まる. 特に, 主定理 1 におけるすべての係数は, r2(3)-不変な有理関数である.
$\chi^{3}\equiv 1$$\Gamma^{2}(9)$$\chi$$\rho$

以下に証明の方針を記す
ます$\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})\in M_{1}$(\Gamma 2(36)) であることは, すでに注意したので, 定理を調べるためには, 有限群 $\Gamma^{2}(3)/\Gamma^{2}(36)$ の構造を知る必要がある.

Lemma 2.4$\Gamma^{2}(9)/\Gamma^{2}(36)$は$(\begin{array}{ll}1_{2} 9S0 1_{2}\end{array})$,$(\begin{array}{ll}1_{2} 09S 1_{2}\end{array})$,$S=tS\in M_{2}(\mathbb{Z})$で生成される.
これは力]$\theta$$\Gamma^{2}$$(\begin{array}{ll}1_{2} S0 1_{2}\end{array}),$$(\begin{array}{ll}1_{2} 0S 1_{2}\end{array})$で生成されること及び, 同型$\Gamma^{2}(9)/\Gamma^{2}(36)=\Gamma^{2}(9)/\Gamma^{2}(4)\cap\Gamma^{2}(9)\cong\Gamma^{2}(9)\Gamma^{2}(4)/\Gamma^{2}(4)=\Gamma^{2}/\Gamma^{2}(4)$から明らか.

178

Lemma 25$\Gamma^{2}(3)/\Gamma^{2}(9)$は$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{10}$と同型なアーベル群であって$j$$\mu(U_{j})=(\begin{array}{ll}U_{j} 00 {}^{t}U_{j}^{-1}\end{array}),$$(1 \mathrm{S}j\leq 3)$

その生成元は$(1\leq i\leq 3)$$\delta(S_{i})=(\begin{array}{ll}1_{2} 03S_{i} 1_{2}\end{array}),$$\gamma(S_{i})=(\begin{array}{ll}1_{2} 3S_{i}0 1_{2}\end{array})$$\tau$,$1_{2}$,$(\begin{array}{ll}1_{2} 03S_{1} 1_{2}\end{array})\{$$\nu=(\begin{array}{ll}\mathrm{l}_{2} S_{1}0 1_{2}\end{array})$

-S1

012

で与えられる. ただし,
$S_{1}=(\begin{array}{ll}1 00 0\end{array}),$$U_{1}=(\begin{array}{ll}1 30 1\end{array}),$$S_{2}=(\begin{array}{ll}0 11 0\end{array}),$$U_{2}=(\begin{array}{ll}1 03 1\end{array}),$$S_{3}=(\begin{array}{ll}0 00 1\end{array}),$$U_{3}=\{$

4 3
-3 -2

od9 であるから,$(1_{2}+3X)(1_{2}+3\mathrm{Y})\equiv 1_{2}+3(X+\mathrm{Y})\mathrm{m}$$\Gamma^{2}(3)/\Gamma^{2}$(9) がアーベル群になることはすぐに分かる. また上で与えた元はすべて位数が 3 であるから, 後はこれらの元が独立になることを見れぱよい. 詳しくは [G2] 参照.
の生成元になっLemma 2.4 で与えた生戒元が,への作用を計算すれていることが分かる. よってこれら 10 個の元に対してのぱよいが, それは二次形式の theta 関数の変換公式から, 直接計算することができる. 詳
口細は [G2].
これら二つの補題から,$\Gamma^{2}(3)/\Gamma^{2}(36)$$\theta^{\rho}(_{2z6w}^{2x6y})$Remark指標$\chi$

は以下の条件から定まるものである.
$\omega^{x^{2}}$$\chi(\gamma(S_{\dot{*}}))=\{$ $\omega^{2xz}$$\omega^{z^{2}}$$\chi(\mu(U_{j}))=\{$

ただし$\alpha,$$\beta$$i=1$ ;

$i=2$ ;$\omega^{\alpha^{2}}$$\chi(\delta(S_{\dot{l}}))=\{$$i=3$ ;$\omega^{\beta^{2}}$$\omega^{2\beta z}$$j=1$ ;$\omega^{2\alpha x}$$j=2$ ;$\omega^{2\alpha(x+z)+\beta(x+z)}$$j=3$ ;は$\rho(\begin{array}{l}3a3b\end{array})=\exp\frac{2\pi i}{3}(\alpha a+\beta b$で定まる数である.

$\omega^{2\alpha\beta}$$i=1$ ;

$i=2$ ;
$i=3$ ;$\chi(\nu)=\omega^{(\alpha-x)^{2}}$

160

参考文献
[A]

A. N. Andrianov, “Quadratic forms and Hecke operators”, Glundl. math. Wiss.
286, Springer-Verlag, 1987

[BL]

Ch. Birkenhake, H. Lange, “Cubic theta relations”,
407(1990), 167-177.

[G1]

K. Gunji, “On the graded ring of Siegel modular forms of degree 2 and level 3” ,to appear.

[G2]

K. Gunji “On the defining equations of abelian surfaces and modular forms”,
preprint.

[Ke]

G. Kempf, “Projective coordinate rings of abelian varieties” in: Algebraic Analysis, Geometry and Number Theory. Edited by J. Igusa. 225-236 The John Hopkins
Press (1989)[K1]

H. Klingen, “Introductory lectures on Siegel modular forms”, Cambridge Std. in
Adv. Math. 20, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990

[Ko]

S. Koizumi, “Theta relations and projective normality of abelian varieties”, Am.
J. Math., 98(1976) 865-889.

[LB]

H. Lange, Ch. Birkenhake, “Complex Abelian Varieties”, Glundl. Math. Wiss.,
302, Springer-Verlag, 1992.

[M1]

D. Mumford “On the equations defining abelian varieties ”, Invent. Math.,
1(1967) 287-354.

[M2]

D. Mumford “Varieties defined by quadratic equations” Questions on Algebraic
Varieties (C.I.M.E., III Ciclo, Varenna, 1969) Edizioni Cremonese, Rome(1970)$\mathrm{j}$. reine. angew. Math.,$\mathrm{I}$29-100.
[S]

T. Sekiguchi “On the cubics defining abelian varieties”: J. Math. Soc. Japan,
30(1978), NO.4701-721.