Université Claude Bernard – Lyon 1
École Doctorale Sciences Économiques et de GestionThèsePrésentée pour l’obtention
du DIPLÔME DE DOCTORAT(Arrêté du 7 août 2006)
parRivo Randrianarivony

Prise en Comptedes Discontinuités de Cours Financiersen Assurance et Finance

Soutenue publiquement le 28 novembre 2008, devant le jury composé de :
M.
Pr.
Pr.
Pr.
Pr.
Pr.

Jean Berthon
Griselda Deelstra
François Quittard-Pinon
Philippe Raimbourg
Michael Rockinger
Patrick Rousseau

No d’ordre 229-2008

Fondation du Risque
Université Libre de Bruxelles
Université de Lyon 1
Université de Paris 1
Université de Lausanne, HEC
IAE Aix-En-Provence(Directeur)(Rapporteur)(Rapporteur)Année 2008

À Dada sy NenyÀ TinaRemerciements

Je tiens à remercier le Professeur François Quittard-Pinon pour avoir
accepté de diriger mes travaux. Je tiens particulièrement à exprimer ici masincère gratitude pour le soutien continu et la confiance qu’il m’a accordés
tout au long de cette thèse. Les conseils prodigués et les multiples discussions que nous avons eues ensemble ont été particulièrement enrichissants.
J’espère que la collaboration scientifique que nous avons eue portera encore
de nombreux fruits.
Tous mes remerciements s’adressent aux Professeurs Mickael Rockinger
et Patrick Rousseau pour avoir accepté d’être rapporteurs de cette thèse. Je
suis également très honoré que M. Jean Berthon, président de la Fondation
du Risque, les Professeurs Griselda Deelstra et Philippe Raimbourg aient
accepté de faire partie de mon jury.
À Olivier Le Courtois, je souhaite de tout cœur que notre longue amitié
donnera lieu à une activité scientifique encore plus fructueuse. Je lui adressemes remerciements pour les nombreux encouragements et conseils qu’il m’aofferts.

c%A -/W2

Je tiens ici à remercier tous les professeurs qui m’ont suivi tout au longde mes études, à Madagascar, aux États-Unis et ici en France. Leurs efforts,leur patience n’auront pas été vains.
Je ne pourrais terminer sans exprimer ma profonde reconnaissance à tous
ceux qui m’entourent, ici ou au loin. Par leur présence ou par leurs pensées,
ils ont toujours été là, me témoignant leur confiance et leur affection sanscesse. Misaotra betsaka.

Sommaire
Introduction générale

1

I Méthodologies d’évaluation d’options et quelques applications en finance7
1 Produits dérivés de type européen9

2 Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressementIIdes dirigeants

51

Assurance-vie et théorie de la ruine

93

3 Contrats d’assurance-vie

95

4 Retour sur la théorie de la ruine

137

Conclusion générale

167

Bibliographie

177

Table des matières

181v

Introduction Générale
Les modèles mathématiques constituent un pilier incontournable de la finance de marché contemporaine. Dans un monde complexe, c’est un moyen
privilégié d’appréhender le comportement des marchés. Pour les intervenants sur le marché, pouvoir représenter le cours des actifs financiers de lafaçon la plus proche possible de la réalité constitue un enjeu majeur. Lesdivers acteurs doivent aussi cependant concilier la recherche des représentations de cours les plus réalistes possibles avec d’autres exigences parfois
contradictoires. Parmi celles-ci, la facilité d’expression et la simplicité deleur manipulation figurent en bonne place. Pour les praticiens en salles demarché, il est vital d’avoir une mise en œuvre à la fois efficace et la plus
rapide possible. En effet, de la rapidité de la cotation d’un produit pour leclient peut dépendre la conclusion ou non d’une affaire.
La thèse de Bachelier (voir Bachelier (1900a) et Bachelier (1900b)) est
le premier travail reconnu de modélisation des fluctuations constatées surle marché. Bachelier a imaginé une représentation mathématique des cours
par un mouvement brownien, un usage novateur pour l’époque. Si cette première approche de la réalité des cours d’actifs financiers permettait de rendre
compte de leur caractère intrinsèquement aléatoire, par nature la représentation par un mouvement brownien induit aussi des cours négatifs, ce qui n’est
pas souhaitable. Il faudra attendre les années 60 et l’article de Samuelsonde 1965 pour remédier à ce problème. La solution a consisté à utiliser desexponentielles de mouvement brownien, encore appelées mouvements browniens géométriques. Passer par la fonction exponentielle garantit que les prix
obtenus soient positifs. Ce sont cette fois-ci les rendements (logarithmiques)
des actifs financiers qui sont représentés par des mouvements browniens. En
particulier, la loi des rendements des cours d’actifs qui en découle est une loi
gaussienne. Le mouvement brownien géométrique est devenu la pierre angu-

1Introduction Générale

laire de la finance moderne depuis les travaux de Black et Scholes (1973) etde Merton (1973). En effet, l’obtention de formules fermées dans l’évaluation de plusieurs types d’actifs contingents dans ce cadre gaussien est une
propriété importante. Cette propriété répond aux exigences de performanceet de rapidité mentionnées plus haut et a fait du modèle de Black, Scholes
et Merton un cadre de travail classique qui sert souvent de référence ou depremier modèle mis en œuvre pour l’évaluation de produits complexes.
Toutefois, dès les années soixante, des auteurs comme Mandelbrot (1963)
ou Fama (1965) ont proposé des représentations non-gaussiennes des rendements d’actifs. Plusieurs études empiriques comme celle de Cont (2001) (voiraussi celles rappelées par Jondeau, Poon et Rockinger (2007)) ont en effet
remis en cause l’hypothèse de normalité des rendements. Mandelbrot noteainsi que des phases de forte volatilité sont suivies de phases de faible volatilité, un phénomène connu sous le nom de regroupement de volatilité. Ce
phénomène peut par exemple être modélisé par des dynamiques à volatilité
stochastique. Il est aussi admis que la plupart des lois de rendement sont
leptokurtiques et exhibent des asymétries avec des queues épaisses étalées
sur la gauche. Cela signifie plus de rendements extrêmes, en particulier négatifs, que ne laisse prévoir une loi gaussienne. De telles lois de rendement
impliquent aussi que les trajectoires prises par les cours d’actifs financiersprésentent des discontinuités.
Les turbulences récentes sur les marchés financiers démontrent à plusieurs reprises ces ruptures sur les cours. Ainsi, le cours de l’assureur American International Group (AIG) a perdu 30 % au cours de clôture du vendredi 12 septembre 2008 et le Lundi Noir, le 15 septembre 2008, le jour où labanque d’investissement Lehman Brothers se mettait sous la protection duchapitre 11 de la loi américaine sur les faillites, l’assureur AIG perdait 60 %en réaction aux craintes du marché d’un risque de défaut, et encore 21 %et 45 % les 16 et 17 septembre 2008 pour terminer à 2.05 dollars alors quele 2 janvier 2008 dernier, le titre AIG clôturait encore à 56.30 dollars. Lessauts ne sont pas forcément négatifs comme le prouvent les rallyes généraux
constatés sur les places de marché à la clôture du vendredi 21 septembre.
En réaction au plan de sauvetage massif annoncé par la Maison Blanche cejour-là, il y a eu un rebond significatif des indices mondiaux et en particulier sur les places européennes, avec 9.27 % de gain à 4324.87 points pour2

le CAC 40, un gain historique depuis la création de cet indice, et 8.84 % à5311.30 points pour le FTSE 100.
Il est donc essentiel de pouvoir modéliser ces discontinuités et de tenir
compte de ces sauts dans un modèle plus proche de la réalité des marchés.
Plusieurs modèles alternatifs ont alors été proposés depuis les travaux deMandelbrot dans les années soixante et en continuant à la fin des annéesquatre-vingt-dix avec la modélisation des prix d’actifs financiers par des exponentielles de processus de Lévy. Dans un article fondateur, Carr, Geman,
Madan et Yor (2002) introduisent des processus purement discontinus, permettant de remplacer complètement la composante diffusive par des sauts defaible amplitude arrivant avec un taux infini. Aı̈t-Sahalia (2004) a proposé
une méthodologie pour séparer les composantes diffusive et à sauts d’unesemi-martingale. Pour un tour d’horizon de ces divers modèles, voir aussi
Cont et Tankov (2004a). Leur développement demeure jusqu’à maintenant
un domaine de recherche très actif.
Il est intéressant alors d’étudier les conséquences de la prise en compte deces discontinuités sur l’évaluation d’actifs contingents fondamentaux tels que
les options. Les produits dérivés sont plus difficiles à étudier et à analyser,
les couvertures plus délicates à construire dès que les dynamiques des rendements d’actifs sont plus complexes qu’une diffusion, la présence de sauts
rendant le marché incomplet. C’est l’étude de l’impact de ces sauts dans lesdomaines de la finance et de l’assurance qui constitue l’objet de cette thèse.
La première partie va nous permettre de mettre en place les méthodologies d’évaluation d’options utilisées tout au long de ce travail et de voir
l’impact de ces discontinuités de cours dans quelques applications en finance.
Le premier chapitre expose les méthodologies d’évaluation déployéespour l’évaluation de produits dérivés de type européen. Nous nous appuyons sur l’approche par transformée de Fourier généralisée développéepar Boyarchenko et Levendorskiı̌ (2000) pour les processus de Lévy réguliers de type exponentiel qui comprennent les processus KoBoL initiés par
Koponen (1995) et les processus CGMY développés par Carr et al. (2002).
Nous l’adaptons à la classe des processus diffusifs avec sauts parmi lesquels
le modèle de Merton (1976) et celui de Kou (2002). Les options vanille européennes sont déjà peu simples à évaluer dans le cas de ces deux modèlesmixtes diffusifs et sauts. Pour chacun de ceux-ci, la solution peut être exprimée sous la forme d’une série, une formule semi-fermée constituée d’une
3Introduction Générale

somme pondérée de termes. La solution peut être obtenue numériquement
en effectuant une résolution numérique de l’équation intégro-différentiellecorrespondante (cf. Cont et Voltchkova (2005)) ou en conduisant des simulations de Monte-Carlo. La transformée de Fourier généralisée permet deson côté d’avoir une approche unifiée de l’évaluation de produits optionnels
quoique nous n’ayons plus de formule semi-explicite et que nous devions recourir à une mise en œuvre numérique. Nous introduisons dans ce premierchapitre un modèle diffusif avec sauts étendant le modèle de Kou et pourlequel il n’y a plus aucune solution explicite ou semi-explicite proposée dansla littérature (cf. Quittard-Pinon et Randrianarivony (2008c)). Ce modèleest appelé modèle diffusif à sauts hyperexponentiels. Nous verrons dans ce
chapitre laquelle de ces approches est la plus à même de répondre aux exigences de performance des intervenants de marché (cf. Quittard-Pinon etRandrianarivony (2008d)). Nous discuterons aussi de l’évaluation des options puissance qui n’a de solution connue que dans le cadre classique deBlack, Scholes et Merton. Par ailleurs, ce premier chapitre présente aussi lecalibrage de ces modèles diffusifs et sauts sur des données de marché (cf.
Quittard-Pinon et Randrianarivony (2008b)).
Le deuxième chapitre porte sur l’étude de la prise en compte des sauts
sur le défaut sur fonds propres et la rémunération des dirigeants. Commedans les modèles structurels du défaut, il est important de pouvoir modéliser
et connaı̂tre le temps de passage par une barrière afin d’évaluer les produitsde défaut sur fonds propres. Une exposition des options exotiques et de façon générale, de la prise en compte des barrières et des temps de passage
est alors effectuée dans ce second chapitre. Si peu de formules fermées sontconnues, même dans le cadre classique de Black, Scholes et Merton pourl’évaluation des diverses options exotiques et le calcul des temps de passage
par une barrière, leur obtention est encore plus difficile dans le cadre desprocessus de Lévy exponentiels, en général et des processus diffusifs avec
sauts, en particulier. Le franchissement de la barrière peut en effet se fairesoit par l’intermédiaire de la composante diffusive, et continue, soit être dûà la survenue d’un saut. Dans ce cas, la taille du saut peut faire dépasser la
trajectoire du processus par rapport à la barrière de beaucoup. La distancedu point ainsi atteint à la barrière est appelée overshoot. Un aperçu de l’approche générale par les facteurs de Wiener-Hopf est alors exposé, outil qui
sera mis en évidence dans le dernier chapitre. Dans le cadre des modèles4diffusifs avec sauts hyperexponentiels, le calcul du temps de premier passage
se fait par une transformée de Laplace. Le calcul de l’overshoot pour le cas
du modèle diffusif à sauts hyperexponentiels est inspiré du raisonnement deKou et Wang (2003) pour le modèle à sauts exponentiels doubles. Une partie importante de la rémunération des dirigeants est basée sur un nouveau
type de stock option dont le critère de performance est mesuré par le comportement de la valeur de l’entreprise par rapport à un indice synthétique
proposé par Johnson et Tian (2000a). Ces stock options dites indexées sontune alternative aux stock options classiques avec prix d’exercice fixe. Ces
auteurs ont montré les meilleurs effets incitatifs de cette nouvelle sorte destock option dans Johnson et Tian (2000b) dans le cadre du modèle de Black,
Scholes et Merton. Avec ce critère de performance, l’évaluation de cette rémunération complémentaire se ramène au calcul d’une option d’échange. Le
deuxième chapitre montre alors le calcul, relativement technique, des optionsd’échange en présence de sauts. De nouveau, s’il y a une solution explicite
avec la formule de Margrabe (1978) dans le cadre diffusif de Black, Scholes etMerton, il ne semble pas qu’il y ait de solution connue, même semi-explicite,dans le cas des modèles diffusifs avec sauts. Cette proposition de solution est
l’une des contributions de cette thèse. L’impact des discontinuités du cours
de l’entreprise sur la rémunération de ses dirigeants est alors exploré.
Dans la deuxième partie de la thèse, assurance-vie et théorie de la ruine,
nous nous intéressons à l’impact des sauts dans le domaine de l’assurance.
Dans un premier temps, nous y verrons le comportement de certains contrats
d’assurance-vie. Dans un second temps, nous reviendrons sur la théorie dela ruine d’une compagnie d’assurance.
Le troisième chapitre, premier chapitre de la deuxième partie, pose laquestion de la conséquence sur la valeur des contrats d’assurance-vie desdiscontinuités de la valeur du portefeuille d’actifs auquel ces contrats sontadossés. Une nouvelle dimension dont nous tenons compte dans ce chapitre
est aussi le risque de mortalité inhérent à ce type de contrat. Ce risque particulier associé au souscripteur du contrat est supposé indépendant des risques
financiers. Cette hypothèse nous semble raisonnable dans une première approche. Deux modèles de mortalité sont alors utilisés pour représenter cerisque, le modèle de Gompertz et le modèle de Makeham. Deux produits
en particulier seront étudiés dans ce chapitre. Le premier est un contrat àgarantie flexible en cas de vie : le souscripteur investit un capital initial dans5Introduction Générale

un portefeuille d’actifs et s’il est en vie à l’échéance, la compagnie s’engageà lui verser soit la valeur à cet instant du portefeuille soit au minimum lavaleur d’un actif moins risqué qui sert de garantie. Le second produit est
une police d’assurance en cas de décès. Le contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès verse au bénéficiaire du contrat le maximum entre lavaleur du portefeuille investi au moment du décès du souscripteur et la valeur de l’apport initial rémunérée par la compagnie d’assurance à un taux
minimum garanti. Sur ce type de produit, la compagnie d’assurance prélève
directement des frais de mortalité et de gestion sur le portefeuille d’actifs.
Dans plusieurs travaux, il apparaı̂t que le taux des frais prélevés semblentsurévalué, notamment dans l’article de Milevsky et Posner (2001) qui utilise un modèle gaussien. Un nouvel élément de réponse est apporté dans ce
troisième chapitre avec la prise en compte simultanée du risque de taux d’intérêt, de la présence de sauts et du risque de mortalité (cf. Quittard-Pinonet Randrianarivony (2008a)).
Le dernier chapitre porte sur la théorie de la ruine des compagnies d’assurance. Le but est d’étudier la faillite et la survie de ces compagnies. Nous
nous intéressons à la dynamique des réserves de la compagnie. Ces réserves
correspondent à la différence entre les actifs de la compagnie et ses passifs.
La dynamique des réserves est représentée par le processus de surplus. Le fait
que les actifs soient placés sur les marchés financiers entraı̂ne nécessairement
que les chocs subis par ces actifs se répercutent sur le processus de surplus,
que les sauts provoqués soient à la hausse ou à la baisse. Nous proposons
alors l’utilisation de deux processus de Lévy, un processus diffusif et sautsd’un côté et un processus stable de l’autre. Les résultats obtenus offrent une
nouvelle perspective à la théorie de la ruine, en particulier en horizon degestion infini (voir aussi Le Courtois et Randrianarivony (2007)). Le renflouement en urgence de l’assureur américain AIG est un exemple édifiant
qui va dans le sens de ces résultats.
Cette thèse a donné lieu à des communications dans des congrès internationaux et des publications dans les revues suivantes : International Journalof Business, Banque et Marchés et Finance.

6Première partieMéthodologies d’évaluation
d’options et quelquesapplications en finance7Chapitre 1

Produits dérivés de typeeuropéen dans le cadre desmodèles diffusifs avec sauts
Introduction
Ce chapitre étudie la mise en œuvre de l’approche présentée par Boyarchenko et Levendorskiı̌ (2002b) dans le cadre général des modèles de Lévy
exponentiels sur la classe des modèles diffusifs avec sauts. Nous montronsque cette approche est très performante par rapport aux solutions semiexplicites obtenues auparavant par Merton (1976) et Kou (2002), en particulier relativement à cette dernière. La puissance de cette approche dite partransformée de Fourier généralisée est mise en évidence sur un modèle quiétend et généralise celui de Kou.
Dans un premier temps, nous rappelons le cadre général des modèles diffusifs avec sauts et en particulier les modèles originels de Merton et de Kou.
Nous proposons aussi dans cette section une extension de ce dernier modèle.
Nous détaillons alors dans la section 1.2 une approche générale pour évaluer
les options de type européen. Nous étudions ensuite l’exactitude de cetteapproche ainsi que sa performance par rapport aux solutions obtenues par
Merton et Kou avant de l’utiliser sur le modèle étendu que nous introduisons. Enfin, nous présentons dans la section 1.3 un calibrage de ces modèlessur des données de marché.

9

Produits dérivés de type européen

1.1

Cadre des modèles diffusifs avec sauts

Nous commençons par décrire le cadre général ainsi que les hypothèses
de marché sous lesquelles nous nous plaçons. Nous verrons ensuite le détailainsi que les solutions des modèles de Merton et de Kou.

1.1.1

Cadre général

1.1.1.1

Le marché

Nous posons les hypothèses classiques suivantes sur le fonctionnement dumarché. Le marché financier est supposé être parfait. En particulier, il est
supposé sans frictions. Les actifs peuvent être échangés en n’importe quellequantité, sans coûts de transaction ni imposition. Les ventes à découvert
sont autorisées et le coût de l’argent est le même tant pour le prêt que pourl’emprunt.
Le taux d’intérêt instantané est supposé constant et égal à r. Nous disposons aussi sur ce marché d’un actif sans risque B. Sa valeur à chaque instant
est égale à Bt = B0 exp(rt).
Nous notons S = {St , t ≥ 0} le processus de prix de l’actif sous-jacentconsidéré. Nous avons aussi une option européenne écrite sur cet actif surle marché et nous supposons que l’action ne distribue pas de dividendes
pendant la vie de l’option.
Notons (Ft )t≥0 la filtration naturelle générée par le processus S. Nous
dirons qu’une mesure de probabilité Q définie sur (Ω, (Ft )t≥0 ) est une mesuremartingale équivalente si :– Q est équivalente à la mesure historique P , c’est-à-dire que les évènements négligeables sont les mêmes sous les deux mesures ;– le processus de prix actualisé e−rt St est une martingale sous Q par
rapport à la filtration (Ft )t≥0 .
Une telle mesure martingale équivalente est aussi appelée mesure risqueneutre car le rendement sur le placement sans risque est le même que lerendement attendu (en espérance) de l’actif S. En effet, si nous investissons
dans l’actif risqué, à un moment donné T , la valeur de notre actif sera ST eten espérance, nous avons alors EQ (ST |F0 ) = S0 exp(rT ). Or, nous pouvons
garantir cette même valeur si nous achetons S0 /B0 parts de l’obligationsans risque. Nous verrons plus loin dans ce chapitre l’importance de ce type10

1.1 Modèles diffusifs avec sautsde mesure et en particulier sa fonction de mesure d’évaluation de produitsdérivés.
Nous allons maintenant nous pencher sur la dynamique générale d’unactif dans les modèles diffusifs avec sauts, avant de présenter les modèlesparticuliers de Merton et de Kou.
1.1.1.2

La dynamique générale du sous-jacent

Nous nous intéressons maintenant à la dynamique du cours de l’actif St
dans le cadre des modèles diffusifs avec sauts. Nous avons évoqué plus hautqu’au modèle diffusif initial de Black et Scholes (1973) et de Merton (1973)
est alors ajoutée une composante de sauts représentée par un processus dePoisson composé. Nous verrons plus loin que c’est la spécification de cettecomposante de sauts qui différencie les modèles de Merton (1976) et de Kou(2002).
Dans la lignée du modèle de Black, Scholes et Merton, la dynamique ducours peut être définie classiquement au travers d’une équation différentielle
stochastique du type suivant :
!
Nt
X
dSt
= µ dt + σ dWt + d(Yi − 1) ,St−
i=1où le dernier terme représente les sauts affectant la dynamique de l’actif
sous-jacent. Après résolution de cette équation différentielle stochastique, enappliquant le lemme d’Itō généralisé, nous pouvons représenter la dynamiquedu sous-jacent de façon synthétique comme
St = S0 exp (Xt ),où S0 est le prix à l’instant 0 de l’actif et
Xt = ωt + σWt +| {z }
partie diffusive

Nt
X

Ji .

(1.1)

i=1

| {z }sauts

W est un mouvement brownien standard avec W0 = 0. Les constantes ω et
σ > 0 sont respectivement la dérive et la volatilité de la partie diffusive de la
dynamique de cours. N est un processus de Poisson simple de paramètre λ.

11

Produits dérivés de type européen

Les variables aléatoires (Ji ) sont indépendantes et identiquement distribuées
et représentent la taille des sauts pouvant survenir. Nous noterons φJ (u) =E[eiuJ ] la fonction caractéristique de la loi de ces sauts.
Le processus de Poisson composé ainsi constitué correspond à la composante de sauts du modèle. Les processus W , N et la suite de variablesaléatoires (Ji ) sont supposés indépendants. Cette écriture synthétique fait
aussi appartenir les modèles diffusifs avec sauts à la grande famille des modèles de Lévy exponentiels.
Nous pouvons déduire directement de l’équation (1.1) la fonction caractéristique de la variable aléatoire Xt
σ2 2t iωu − u + λ (φJ (u) − 1)2
φXt (u) = e= e−tψ(u) ,et donc l’exposant caractéristique associé au processus de Lévy X s’écrit :ψ(u) = −iωu +σ2 2u − λ(φJ (u) − 1).
2

(1.2)

Nous allons maintenant passer en revue les modèles originaux de Merton
et de Kou.

1.1.2

Le modèle à sauts gaussiens de Merton

Dans son article, Merton (1976) commence par décrire formellement ladynamique de l’actif à partir de l’équation différentielle stochastique suivante :
dSt
=
St

(

(α − λκ) dt + σ dWt , s’il n’y a pas de saut de cours,(α − λκ) dt + σ dWt + (Y − 1), si un saut se produit,(1.3)

où pas plus d’un saut de prix ne se produit à aucun instant presque sûrement,ce qui traduit le fait que la composante de sauts est d’activité finie.
Un saut est représenté par la variable aléatoire Y qui fait passer le prix del’actif de St à Y St . Nous voyons que Y − 1 représente alors le pourcentage
de changement de prix lorsqu’un saut de Poisson se produit. L’espérance
mathématique de ce pourcentage est notée par κ = E(Y − 1). Dans cemodèle, α représente le rendement instantané espéré sur l’actif St . Le nombre
moyen d’événements de Poisson par unité de temps est λ.
12

1.1 Modèles diffusifs avec sauts

Comme mentionné auparavant, nous pouvons alors déduire de l’équationdifférentielle stochastique précédente la dynamique du sous-jacent
St = S0 exp



Y
Nt

σ2
α−
− λκ t + σWt
Yi
2
i=1

que nous pouvons réécrire comme
St = S0 exp



α−


Nt

X
σ2
− λκ t + σWt +
Ji ,
2

(1.4)

i=1

en posant Ji = ln (Yi ) et dont nous pouvons écrire la partie exponentielle
2

sous la même forme que l’équation (1.1) en posant ω = α − σ2 − λκ. Nous
reviendrons sur cette écriture plus loin. Pour le moment, intéressons-nousà l’établissement de la formule d’évaluation d’une option écrite sur un tel
sous-jacent par Merton.
Le prix F (S, t) d’une telle option obéit naturellement à une dynamiquesimilaire à celle écrite en (1.3) pour son sous-jacent. En effet, les évènements
qui impactent fortement sur le sous-jacent influent par la même occasion
sur le prix de l’option. Les évènements de Poisson sur ce dernier arrivent
ainsi à la même fréquence λ. Nous posons κF = E(YF − 1) l’espérance dela variation en pourcentage du saut de prix de l’option qui survient alors.
Comme le changement de prix de l’option survient quand l’évènement dePoisson sur son sous-jacent a lieu, comme le prix de celui-ci passe de S àS Y , la variable aléatoire YF s’écrit YF = F (S Y, t)/F (S, t).
Notons αF le rendement instantané espéré sur l’option et σF la volatilité
instantanée du rendement de l’option. L’application du lemme d’Itō nous
donne l’expression de ces deux dernières quantités :

αF =


σ2 2
S FSS + (α − λκ)SFS + Ft + λE [F (S Y, t) − F (S, t)] /F2

σF = σ S FS /F(1.5)

où les indices sur F indiquent les dérivées partielles sur cette fonction.
Nous pouvons maintenant construire une stratégie de portefeuille endétenant une part p1 du sous-jacent, une part p2 en option et une partp3 = 1 − p1 − p2 en actif sans risque B. La valeur P du portefeuille obéitalors au même type de dynamique (1.3) que le sous-jacent et l’option avec
13

Produits dérivés de type européenle même paramètre λ d’arrivée des sauts. Les autres paramètres de la dynamique de la valeur du portefeuille s’écrivent de la manière suivante :αP = p1 (α − r) + p2 (αF − r) + r(1.6)

σP = p1 σ + p2 σF(1.7)

YP − 1 = p1 (Y − 1) + p2 [F (S Y, t) − F (S, t)]/F (S, t).

(1.8)

Dans le modèle classique de Black et Scholes où il n’y a qu’une partie
diffusive avec λ = 0, le portefeuille peut être rendu complètement sans risqueen choisissant judicieusement les parts en sous-jacent p1 = p∗1 et en option
p2 = p∗2 telles que p∗1 σ+p∗2 σF = 0. Pour éviter toute opportunité d’arbitrage,
le rendement attendu sur ce portefeuille P ∗ doit être égal au taux sans risquer. À partir des écritures (1.6) et (1.7), il est alors aisé d’obtenir la relation
suivante :α−rαF − r
=
.
σ
σF

(1.9)

En combinant cette équation avec les relations (1.5) définissant les paramètres de la dynamique du prix de l’option, nous pouvons retrouver l’équation aux dérivées partielles de Black et Scholes, à savoir
σ2 2
S FSS + rS FS − rF + Ft = 0.
2(1.10)

Au contraire du modèle diffusif simple cependant, le risque dû aux sauts
ne peut plus être complètement couvert par la stratégie de portefeuille habituelle de Black et Scholes. Bien plus encore, aucune stratégie de portefeuillesimple ne peut plus être construite pour éliminer complètement ce risquerésiduel. Il reste encore une composante de sauts dans l’équation différentielle stochastique qui régit la dynamique du portefeuille de couverture P ∗de Black et Scholes.
Pour évaluer l’option, Merton remarque que la source des sauts peut être
attribuée habituellement à des informations spécifiques à l’entreprise ou àson secteur d’activité et dans ce cas, celles-ci ont un impact négligeable surle reste du marché. La composante de sauts représente alors un risque nonsystémique. Elle sera par conséquent non corrélée avec le marché.
En appliquant cette remarque au portefeuille de couverture de Blacket Scholes, le risque résiduel dû aux sauts de ce portefeuille représente un
risque diversifiable et le coefficient bêta de P ∗ est alors nul. En supposant
141.1 Modèles diffusifs avec sauts

que le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) de Sharpe (1964),
Lintner (1965) et Mossin (1966) s’applique au marché, le rendement espéréde ce portefeuille avec un bêta nul est alors égal au taux d’intérêt sansrisque r. L’équation (1.9) tient encore. Combinée avec les relations (1.5),
nous obtenons l’équation suivante :σ2 2
S FSS + (r − λκ)S FS − rF − Fτ + λE [F (S Y, τ ) − F (S, τ )] = 0, (1.11)
2où cette fois-ci, le prix de l’option est écrit en fonction du temps restantavant échéance τ . Dans le cas d’une option européenne de vente avec unprix d’exercice K par exemple, les conditions aux limites s’écrivent(

F (0, τ ) = 0,
F (S, 0) = (K − S)+ .

Merton a alors démontré que dans le cas général, la solution peut être exprimée sous la forme d’une série. Il explicite cette formule semi-explicite dans
un cas particulier où les variables aléatoires Yi sont supposées log-normales
et, par conséquent, les variables aléatoires Ji sont normales.
Nous allons présenter dans ce cas particulier une démonstration plus
directe en utilisant une mesure d’évaluation implicitement choisie par Merton avec les hypothèses précédentes. Ainsi, comme le risque dû aux sauts
est supposé intrinsèque à l’actif sous-jacent, il n’y a pas de prime de risquespécifique associée aux sauts. Par conséquent, la composante de sauts duprocessus garde les mêmes propriétés que sous la mesure historique sous lamesure risque-neutre Q. Par contre, la partie diffusive, et en particulier sadérive, est modifiée comme dans le modèle de Black et Scholes par le changement de mesure. Pour alléger la notation, nous garderons W pour désigner
un processus de Wiener sous la nouvelle mesure Q. Il nous reste alors à
choisir la dérive qui rend le prix actualisé e−rt St une martingale sous Q, ce
qui est le cas avec
ω=r−

σ2
− λκ,
2

(1.12)et la dynamique de l’actif sous-jacent sous Q s’écrit alors :St = S0 exp ωt + σWt +

Nt
X

!
Ji .

(1.13)

i=1

15

Produits dérivés de type européenNous reprenons ici les notations utilisées par Merton (1976) pour caractériser ces sauts gaussiens γ = ln (E(Y )) = ln (1 + κ)
V ar(J) = δ 2
E(J) = γ − 12 δ 2
Par ailleurs, notons g(ST ) = F (ST , T ) le payoff à l’échéance de notre
produit dérivé de type européen. Le prix de ce produit dérivé est alors donnéparF (St , t) = e−r(T −t) EQ [g(ST )|Ft ] = e−rτ EQ [g(ST )|St = S],où τ est le temps restant avant échéance et l’espérance est calculée sous lamesure d’évaluation Q. Par la suite, nous préciserons seulement la mesure
sous laquelle l’espérance est calculée quand il y a une possibilité de confusion.
Pour fixer les idées, nous prendrons une option européenne de vente deprix d’exercice K où nous nous retrouvons donc avec un payoff g(ST ) =(K − ST )+ . Nous avons donc ωτ +σWτ +PM J (S, τ ) = e−rτ E g Se

N
Pτ
i=1


Ji

 ,

où PM J (S, τ ) est le prix d’une option européenne de vente dans le modèlediffusif avec sauts de Merton.
Comme les propriétés de la composante de sauts du processus restent lesmêmes sous Q, nous avons en conditionnant par le nombre de sauts Nτ :"PM J (S, τ ) = e−rτXωτ +σWτ +Q(Nτ = n) E g Se

n
P

Ji

!

i=1

#
Nτ

n≥0
−rτ

=e

X e−λτ (λτ )nn≥0Or, nous savons que

n
P
i=1

n!

"

ωτ +σWτ +E g Se

n
P
i=1

Ji

!

#
Nτ .

Ji suit une loi normale d’espérance nγ − 21 nδ 2 etde variance nδ 2 . Nous avons alors
PM J (S, τ ) = e−rτX e−λτ (λτ )n
n≥0

16

n!

h 
i
1
2
E g Seωτ +nγ− 2 nδ +σn Wτ ,

1.1 Modèles diffusifs avec sauts
2où σn2 = σ 2 + nδτ .
En utilisant l’expression de la dérive (1.12) et en ajoutant et en retranchant 12 σn2 τ , nous avons ensuite :PM J (S, τ ) =X e−λτ (λτ )n
n!

n≥0

=

h 
i
1 2
e−rτ E g Se(r−λκ)τ +nγ− 2 σn τ +σn Wτ

X e−λτ (λτ )n
n≥0

n!

nγ

P (Se(−λκ+ τ )τ , K, τ, r, 0, σn2 )où P (S, K, τ, r, 0, σ 2 ) est la formule explicite du prix d’une option de vente
européenne dans le cas d’un sous-jacent sans sauts, ne distribuant pas dedividendes et de volatilité σ, de valeur S à l’instant t, autrement dit le prixclassique du modèle de Black et Scholes.
En utilisant la relation suivante
P (Semτ , K, τ, r, 0, σ 2 ) = emτ P (S, K, τ, r + m, 0, σ 2 ),nous obtenons
PM J (S, τ ) =X e−λτ e−λκτ (λτ )nn≥0n!

enγ P (S, K, τ, r − λκ +nγ, 0, σn2 ).
τEn posant λ0 = λ(1 + κ), nous retrouvons alors exactement la formule
semi-explicite de Merton, ici pour une option européenne de vente :PM J (S, τ ) =∞ −λ0 τXe
(λ0 τ )nn=0n!

P (S, K, τ, rn , 0, σn2 )(1.14)où P (S, K, τ, rn , 0, σn2 ) est le prix Black et Scholes d’une option de vente
2

nδ
2
2
européenne avec un taux rn = r − λκ + nγ
τ et une variance σn = σ + τ .

Nous pouvons interpréter cette série comme la somme de prix d’options
européennes classiques sachant que n sauts de Poisson sont survenus, pondérée par la probabilité qu’une variable aléatoire de Poisson prenne la valeurn.
Nous donnons dans le tableau 1.1 les prix d’options européennes de vente
obtenus selon la formule (1.14). Cette série converge rapidement et nous
pouvons déjà obtenir une bonne précision, avec une erreur absolue inférieureà 10−6 , en faisant une somme partielle sur 7 termes. Ici, les prix sont obtenus
17

Produits dérivés de type européenModèle à sauts gaussiens de Merton
Option européenne de vente
S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 0.5, E(J) = 0, V ar(J) = 0.25
Série C1

Série C2Prix d’exercice

Prix Merton

Prix d’exercice

Prix Merton

90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.003.3852810
3.9415482
4.6014032
5.3723119
6.2583155
7.2598293
8.3738029
9.5941848
10.9125934
12.3190876
13.8029344

97.00
97.60
98.20
98.80
99.41
100.02100.64101.26101.88102.51103.145.8008161
6.0704609
6.3521959
6.6461910
6.9525887
7.2715027
7.6030185
7.9471923
8.3040514
8.6735944
9.0557919

Table 1.1 – Évaluation d’une option européenne de vente dans le cadre dumodèle à sauts gaussiens de Merton sur les deux séries de contrats C1 et
C2 . Les prix donnés ici sont calculés selon la série de la formule (1.14) etarrondis au plus près à la septième décimale.
en tronquant la série dès que l’erreur relative passe en dessous de 10−16 .
Empiriquement, l’expérience nous montre que le calcul de 14 termes suffit
alors.
Le prix initial du sous-jacent est de S0 = 100 et le taux d’intérêt sansrisque est fixé à r = 0.05. Les paramètres du modèle sont donnés par σ =0.16, λ = 0.5, E(J) = 0, V ar(J) = 0.25. Les options ont un temps restantavant échéance de τ = 0.5 et forment deux séries de contrats C1 et C2 .
Les contrats C1 ont des prix d’exercice échelonnés de 90 à 110 par pas de2 alors que les contrats C2 varient eux d’un peu plus d’un demi point debase à chaque fois, précisément de 0.615 %. Nous verrons plus loin à quoi
correspond la série de contrats C2 .

1.1.3

Le modèle à sauts exponentiels doubles de Kou

De son côté, Kou (2002) est revenu sur l’évaluation d’options dans lecadre d’un modèle diffusif avec sauts en proposant une autre loi de probabilité pour les sauts. Dans ce modèle, le prix de l’actif est supposé vérifier18

1.1 Modèles diffusifs avec sautsl’équation différentielle stochastique suivante :
!
Nt
X
dSt
= µ dt + σ dWt + d(Yi − 1) .
St−
i=1

La dynamique de St s’écrit alors

Y
Nt
σ2
St = S0 exp (µ − )t + σWt
Yi2(1.15)

i=1

qui est similaire à la dynamique (1.4) suivie par St dans le modèle à sauts
gaussiens de Merton. De nouveau, en posant J = ln (Y ), nous pouvons
mettre la partie exponentielle sous la même forme que l’équation (1.1) en
2posant ω = µ − σ2 .
Cependant, à la différence du modèle de Merton, la loi des sauts J suit
cette fois-ci une loi exponentielle double asymétrique. Plus précisément,(d

J = ln (Y ) =η1 ,avec une probabilité p,−η2 ,avec une probabilité q(1.16)où p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1 et η1 et η2 sont des variables aléatoires exponentielles de moyenne 1/λ1 et 1/λ2 respectivement, avec λ1 > 0 et λ2 > 0.
La fonction caractéristique de cette loi de sauts s’écrit de la façon suivanteφJ (u) =

pλ1
qλ2
+
.
λ1 − iu λ2 + iu

(1.17)

Cette fonction caractéristique est bien définie à la condition que u soit dansla bande de régularité définie par la contrainte suivante sur sa partie imaginaire :−λ1 < =u < λ2 .

(1.18)

L’espérance de Y se déduit de (1.17) :E(Y ) = E(eJ ) = φJ (−i) =

pλ1
qλ2
+
.
λ1 − 1 λ2 + 1(1.19)Par la suite, nous vérifierons que λ1 > 1 pour garantir que l’espérance deY soit finie, E(Y ) = E(eJ ) < ∞, ce qui signifie en particulier qu’un saut deprix positif ne peut excéder 100 % en moyenne, ce qui reste une contrainte
raisonnable pour le modèle.
19

Produits dérivés de type européen

En se basant sur les travaux de Naik et Lee (1990) et en se servant de lathéorie des anticipations rationnelles, Kou construit à partir de la probabilité
historique une probabilité risque-neutre sous laquelle le prix actualisé dusous-jacent est une martingale. Nous référons aussi le lecteur à un article
récent de Le Courtois et Quittard-Pinon (2007) sur les liens entre les univers
historique et risque-neutre dans le cadre du modèle diffusif avec sauts deKou. Dans le cadre des transformées d’Esscher que ces auteurs utilisent, ils
prouvent que la dynamique sous la nouvelle mesure risque-neutre reste dansla même famille des modèles diffusifs avec sauts de Kou.
De la même manière que précédemment, le prix d’équilibre d’une option
européenne avec un payoff F (ST , T ) à l’échéance T s’écrit sous cette nouvellemesure commeF (St , t) = e−r(T −t) EQ [F (ST , T )|Ft ] ,∀t ∈ [0, T ].

Le prix d’équilibre d’une option européenne d’achat peut alors s’écrirede façon similaire à la formule d’évaluation d’une option européenne d’achatdans le cas sans sauts.
Si nous notons la probabilité :P (Xt ≥ a) = Υ(ω, σ, λ, p, λ1 , λ2 , a, t)(1.20)où Xt s’écrit comme dans l’équation (1.1) avec un processus de Poisson N
de paramètre λ et des sauts J vérifiant (1.16), Kou montre que le prix d’une
option européenne d’achat s’écrit dans ce modèleσ2− λκ, σ, λ0 , p0 , λ01 , λ02 , ln (K/S0 ), τ )2σ2− λκ, σ, λ, p, λ1 , λ2 , ln (K/S0 ), τ ) (1.21)− Ke−rτ Υ(r −2

PKJ (S0 , τ ) = S0 Υ(r +p1où κ = E(Y − 1), λ0 = λ(1 + κ), p0 = 1+κ
× λ1λ−1, λ01 = λ1 − 1 et λ02 = λ2 + 1.

Si le prix de l’option semble s’écrire de façon concise, la queue de probabilité Υ s’écrit de fait comme une double somme infinie dont chaque termenécessite l’évaluation d’un élément de la suite des fonctions spéciales Hhn (x)décrites par Abramowitz et Stegun (1974, p. 691). Si nous avons ici aussi
une formule semi-explicite comme dans le cas du modèle à sauts gaussiens

201.1 Modèles diffusifs avec sauts

Modèle à sauts exponentiels doubles de Kou
Option européenne d’achat
S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 1, p = 0.4, λ1 = 10, λ2 = 5
Série C1

Série C2Prix d’exercice

Prix Kou

Prix d’exercice

Prix Kou

90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.0014.8118905
13.2764024
11.8139684
10.4346054
9.1473173
7.9594292
6.8760520
5.8997425
5.0303905
4.2653317
3.5996498

97.00
97.60
98.20
98.80
99.41
100.02100.64101.26101.88102.51103.149.7789477
9.3989071
9.0253635
8.6586420
8.2990574
7.9469119
7.6024934
7.2660732
6.9379047
6.6182210
6.3072339

Table 1.2 – Évaluation d’une option européenne d’achat dans le cadre dumodèle à sauts exponentiels doubles de Kou sur les deux séries de contrats C1
et C2 . Les prix donnés ici sont calculés suivant la formule (1.21) et arrondis
au plus près à la septième décimale.
de Merton, nous verrons que la présence de ces fonctions spéciales rend cetteformule très coûteuse en pratique.
Le tableau 1.2 donne les prix d’options européennes d’achat sur lesmêmes séries de contrats que précédemment. De nouveau, la convergencede la série double qui entre en jeu dans le calcul de la probabilité définie en(1.20) est très rapide. L’expérience montre que le calcul de 7 termes permetd’obtenir une erreur absolue inférieure à 10−6 . Avec 13 termes de cette série double, les tests que nous avons menés montrent que l’erreur relative nedépasse pas 10−16 . Ce sont les prix ainsi obtenus qui sont reportés dans letableau 1.2.
Le prix initial du sous-jacent est ici aussi fixé à S0 = 100 et le tauxd’intérêt sans risque est à r = 0.05. La volatilité de la partie diffusive reste
σ = 0.16, les sauts surviennent à un taux moyen de λ = 1 et suivent une loi
exponentielle double paramétrée par p = 0.4, λ1 = 10, λ2 = 5.
Les deux séries de contrats C1 et C2 ont les mêmes caractéristiques qu’auparavant, toujours avec le temps restant avant échéance de τ = 0.5. Le

21

Produits dérivés de type européencontrat de la série C1 dont le prix d’exercice est K = 98 correspond à un
exemple de Kou (2002) où le prix de l’option donné était de 9.14732, ce qui
est bien ce que nous obtenons ici, en arrondissant au plus près à la cinquièmedécimale.

1.1.4

Un nouveau modèle diffusif avec sauts

Nous proposons maintenant un nouveau modèle diffusif avec sauts quiétend le modèle de Kou.
Nous disons que la dynamique du sous-jacent sous une mesure risqueneutre d’évaluation Q s’écrit St = S0 exp (Xt ) où X est un processus mixte
brownien-Poisson composé comme décrit dans l’équation (1.1). Nous reviendrons plus loin sur le problème de l’obtention de cette mesure risque-neutred’évaluation dont nous avons eu un aperçu avec le modèle de Kou.
Soit alors une suite de variables aléatoires (ηi )i∈P ∪N de loi exponentielletelles que ηi ∼ E(λi ), où P et N sont deux ensembles d’indices disjoints etoù λi > 0 pour tout i. Donnons-nous aussi une suite de nombres positifsP
pi = 1.
(pi )i∈P ∪N telle quei∈P ∪NAu lieu de la loi exponentielle double suivie par les sauts dans le modèlede Kou, nous proposons une loi exponentielle multiple pour la loi des sauts
J :



ηk1 ,











η ,
kp
d
J=


−ηl1 ,










−η ,
ln

avec une probabilité pk1 ,..
.
avec une probabilité pkp ,(1.22)

avec une probabilité pl1 ,..
.
avec une probabilité pln ,où {k1 , . . . , kp } = P et {l1 , . . . , ln } = N . L’ensemble d’indices P (respectivement N ) regroupe les probabilités qu’a la variable aléatoire J de prendre
une valeur positive (respectivement négative).
Cette extension naturelle de la loi de sauts peut en fait aussi être vuecomme un cas particulier de lois dites phase-type décrites en détail par Asmussen (2000). Plus précisément ici, les sauts négatifs (respectivement positifs) suivent une loi hyperexponentielle Hn avec n (resp. Hp avec p) canauxparallèles.
22

1.2 Une approche générale pour l’évaluation

La fonction de densité associée aux sauts J s’écritfJ (x) =X

pi λi e−λi x 1{R+ } +i∈PXpi λi eλi x 1{R− }i∈Ntandis que la fonction caractéristique associée à J s’écrit :φJ (u) =

X
i∈P

pi

X
λi
λi
+
pi
,
λi − iu
λi + iu(1.23)i∈N

une fonction bien définie dans la bande de régularité définie par− min(λi ) < =u < min(λi ).
i∈P

i∈N

(1.24)

Nous voyons ici que le modèle de Kou n’est qu’un cas particulier dumodèle plus général que nous présentons ici, en prenant |P | = 1 et |Q| = 1.
De même que dans le modèle de Kou, nous nous assurons de la contrainte
sur l’espéranceE(Y ) = E(eJ ) = φJ (−i) =

X
i∈P

pi

X
λi
λi
+
pi
λi − 1λi + 1(1.25)i∈N

en vérifiant que pour tout i ∈ P, λi > 1 et donc qu’aucun saut de prix positif
ne puisse dépasser 100 % en moyenne.
Cette fois-ci, une solution semi-explicite est encore plus difficilement accessible que dans le cas du modèle de Kou. Nous allons plutôt exposer une
approche très générale d’évaluation numérique de produits dérivés de typeeuropéen dans la section suivante. Nous verrons alors que dans le cadre decette approche, l’évaluation d’une option dans ce modèle diffusif avec sauts
exponentiels multiples se révèle particulièrement simple et performante.

1.2

Une approche générale pour l’évaluation

Dans les modèles dynamiques simples en temps discret et avec un espacede probabilité sous-jacent fini, il est depuis longtemps établi que l’hypothèsed’absence d’opportunités d’arbitrage est équivalente à l’existence d’une mesure martingale équivalente. Un tel marché arbitré est alors dit complet si,
et seulement si, il existe une et une seule mesure martingale équivalente.
En théorie financière classique, le marché aussi est complet, l’unique mesure
23

Produits dérivés de type européenrisque-neutre sert alors naturellement de mesure d’évaluation de produitsdérivés.
De façon plus générale en temps continu, en définissant une classe étendue de stratégies d’arbitrage, Delbaen et Schachermayer (1994) prouvent
que la condition de non arbitrage est équivalente à l’existence d’une mesure martingale équivalente. En fait, si le processus de Lévy utilisé pour lesous-jacent n’est pas un processus purement gaussien, il y a en général une
infinité de mesures martingales équivalentes pour lesquelles la condition denon arbitrage est encore vérifiée. Le marché est alors incomplet et le prix desproduits dérivés vérifiant l’hypothèse d’absence d’opportunités d’arbitrage
ne peut plus être déterminé de façon unique. Le marché est aussi incomplet
dans le cas des modèles diffusifs avec sauts, les processus utilisés dans cesmodèles étant des cas particuliers de processus de Lévy.
Nous avons vu que pour procéder à l’évaluation des options européennes,
Merton et Kou ont chacun eu recours dans leur modèle à des argumentsd’équilibre de marché. Nous allons pour notre part nous replacer dans lecadre de la théorie de l’évaluation risque-neutre. Dans le cadre de cettethéorie, l’existence d’une mesure martingale équivalente permet de ramenerle calcul du prix d’une option écrite sur l’actif S à un calcul d’espérance dela valeur actualisée de son payoff par rapport à cette mesure.
Le choix de la mesure risque-neutre d’évaluation dans le cas des marchés
incomplets reste un problème ouvert même si plusieurs axes de recherche ont
déjà été exploré dans ce sens. Voir en particulier le tour d’horizon effectuédans Cont et Tankov (2004a) ou Le Courtois et Quittard-Pinon (2007). Nous
supposerons par la suite que la dynamique du sous-jacent suit un modèlediffusif avec sauts sous une mesure risque-neutre Q donnée. Si le sous-jacentsuit le même type de dynamique dans l’univers historique, cette hypothèserend bien entendu compte du choix implicite d’un changement de mesurede type conservatif, comme un changement de mesure par une transforméed’Esscher le permet par exemple.
Une fois cette hypothèse posée, nous devons nous assurer que la mesured’évaluation choisie constitue bien une mesure martingale équivalente.

1.2.1

Condition mesure martingale équivalente

Par définition de la mesure martingale équivalente Q, nous savons enparticulier que le processus de prix actualisé est une martingale sous cette241.2 Une approche générale pour l’évaluation

mesure. Ainsi, pour t > 0, il vient
S0 = EQ [e−rt St ]= EQ [e−rt S0 eXt ]S0 = S0 e−rt e−tψQ (−i)
De cette égalité peut être obtenue la condition suivante sur l’exposant
caractéristique du processus X sous la nouvelle mesure Q :r + ψQ (−i) = 0.

(1.26)

Cette condition que nous appellerons condition mesure martingale équivalente doit être vérifiée par tout modèle diffusif avec sauts sous une mesurerisque-neutre. Nous pouvons maintenant passer à l’évaluation d’actifs contingents proprement dite.

1.2.2

Évaluation de produits dérivés

Soit alors maintenant un actif contingent avec un payoff modélisé par gcomme F (ST , T ) = g(XT ), où F représente le prix du produit dérivé, iciavec un prix du sous-jacent égal à ST à l’échéance T .
L’approche que nous allons exposer se base sur l’utilisation des transformées de Fourier généralisées. Elle est dans la droite ligne de l’approche
proposée par Boyarchenko et Levendorskiı̌ (2002b) dans le cadre plus général des modèles avec des sous-jacents à processus de Lévy exponentiels.
Conceptuellement, l’utilisation des transformées de Fourier généralisées est
beaucoup plus satisfaisante que l’approche utilisée par Carr et Madan (1998)où ils doivent modifier de façon ad hoc le prix de l’option en fonction du prixd’exercice pour des raisons d’intégrabilité.
1.2.2.1

Transformée de Fourier généralisée du payoff

Supposons que g soit mesurable et qu’il existe δ tel que eδx g(x) soit une
fonction intégrable. Introduisons alors la transformée de Fourier de gZĝ(u) =

e−iux g(x) dx(1.27)

R25

Produits dérivés de type européenque nous pouvons étendre et définir sur la ligne =u = δ en une transforméede Fourier généralisée de g.
Typiquement, pour une option européenne d’achat (resp. de vente), lepayoff est déterminé parg(XT ) = (S0 eXT − K)+resp. g(XT ) = (K − S0 eXT )+ .
Calculons la transformée de Fourier de ce payoff dans le cas de l’optiond’achat :ĝ(u) =

R

e−iux g(x) dx

RR

e−iux (S0 ex − K)+ dx
h x(1−iu) i+∞
h −iux i+∞ĝ(u) = S0 e 1−iu
− K e−iu=Rln (K/S0 )ln (K/S0 ).

Cette intégrale est donc définie si, et seulement si,=u = δ < −1.

(1.28)

Finalement, nous obtenonsĝ(u) =

Ke−iu ln (K/S0 )(−iu)(−iu + 1)

(1.29)

En faisant un calcul similaire pour l’option européenne de vente, nous
obtenons exactement la même transformée de Fourier (1.29) pour son payoff.
La seule différence est la condition d’existence de l’intégrale, qui entraı̂ne lacontrainte suivante sur u=u = δ > 0.
1.2.2.2(1.30)

Formule générale d’évaluation

Par ailleurs, nous savons que le prix actualisé de cet actif contingent est
une Q-martingale. Ainsi, en prenant l’espérance sous Q, nous avonse−rt F (St , t) = E[e−rT g(XT )|Ft ].

26

1.2 Une approche générale pour l’évaluation

Si nous notons τ = T − t le temps restant avant échéance, nous avons
F (St , t) = e−rτ E[g(XT )|Ft ]= e−rτ E[g(XT − Xt + Xt )|Xt = x],
puisque le processus de Lévy X est un processus de Markov.
Ainsi,F (St , t) = e−rτ E[g(Xτ + x)]
comme X est un processus à accroissements indépendants et stationnaires.
La fonction g étant la transformée de Fourier inverse de ĝ, nous avons
F (St , t) =1 −rτ 
e E
2π


Z

eiu(Xτ +x) ĝ(u) du .

R+iδFinalement,
1
F (St , t) =2πZeiux e−rτ E[eiuXτ ]ĝ(u) du,

R+iδà condition que la fonction caractéristique E[eiuXτ ] existe.
Nous obtenons alors la formule générale d’évaluation suivante pour tous
les produits dérivés de type européen :F (S0 ex , t) =

Z

1
2π

eiux e−τ (r+ψ(u)) ĝ(u) du.

(1.31)

R+iδ

où x = ln(St /S0 ) et τ = T − t est le temps restant avant échéance.
Pour le cas particulier d’une option européenne, introduisons alors l’expression (1.29) dans cette formule générale :1
F (St , t) = K
2πZ

eixu−τ (r+ψ(u))du,(−iu)(−iu + 1)

(1.32)

R+iδ

où cette fois-ci x = ln(St /K) est le logarithme de la distance à la monnaie.
Avec la contrainte (1.28) sur la droite d’intégration : δ < −1, nous ob-

27

Produits dérivés de type européentenons l’évaluation d’une option européenne d’achat :eixu−τ (r+ψ(u))
duu(u + i)Z

K
C(St , t) = −2π(1.33)

R+iδ

tandis que la contrainte (1.30) avec δ > 0 donne l’évaluation de l’option
européenne de vente. Le théorème des résidus nous permet de relier ces
deux résultats.
Tout d’abord, le calcul des résidus de la fonction intégrande en ses deuxpôles donne– en u = −i, eix(−i)−τ (r+ψ(−i))−ix= − ei , en utilisant la condition mesuremartingale équivalente (1.26) ;ix(0)−τ (r+ψ(0))−rτ– en u = 0, e
=e .
i

i

Ensuite, un contour d’intégration est construit de la façon suivante :une partie Sc de la droite d’intégration correspondant à l’option européenne
d’achat est étendue en une courbe fermée en lui attachant un premier arc
circulaire à droite rejoignant un deuxième segment Sp parallèle à la droited’intégration précédente mais dans le sens inverse et enfin un troisième arc
circulaire qui rejoint le segment Sc , de nouveau parallèlement à l’axe desimaginaires. Les intégrales curvilignes sur les deux arcs circulaires tendentvers 0 quand les segments Sc et Sp tendent vers les deux droites d’intégration
qui nous intéressent.
Si le segment Sp du contour d’intégration est placé parallèlement à l’axe
des réels strictement entre les deux pôles à partir de la position correspondant à l’option d’achat, le théorème des résidus donne
C(St , t) = 2πi × Res(−i) −

K
2π

Z

eixu−τ (r+ψ(u))
duu(u + i)

R+iδ


 x
Z
K
e
K
= 2πi −−−2πi
2πC(St , t) = St −

K
2π

Z

R+iδ
ixu−τ (r+ψ(u))

u(u + i)
R+iδ

28

e

eixu−τ (r+ψ(u))
duu(u + i)du avec − 1 < δ < 0.

(1.34)

1.2 Une approche générale pour l’évaluation

Si le segment Sp du contour est placé au-delà du pôle 0, il vientZ

K
C(St , t) = 2πi × Res(−i) + 2πi × Res(0) −2π  −rτ 

Z
e
K
K
−
= St + 2πi −2πi
2πC(St , t) = St − Ke−rτ −

Z

K
2π

e

eixu−τ (r+ψ(u))
duu(u + i)R+iδ
ixu−τ (r+ψ(u))

eu(u + i)duR+iδ
ixu−τ (r+ψ(u))

u(u + i)du avec δ > 0,(1.35)

R+iδ

qui, incidemment, permet de retrouver la relation de parité entre les options
d’achat et les options de vente.
La disponibilité de ces formules d’évaluation alternatives de l’option européenne d’achat est particulièrement intéressante pour une meilleure précision des algorithmes numériques utilisés, comme le rappelle Lee (2004).
Nous allons maintenant chercher à calculer la partie intégrale de l’équation (1.32) qui s’écrit :1f (x, t) =2πZ

eixu−τ (r+ψ(u))du.
(−iu)(−iu + 1)

(1.36)

R+iδ

1.2.3

Implémentation numérique

Après la spécification de la fonction g et le calcul de sa transformée deFourier ĝ, comme nous venons de le voir avec l’équation (1.36), le changement
de variable u → u + iδ donne1f (x, t) =2πZeixu e−τ r−δxe−τ ψ(u+iδ)du.
(−iu + δ)(−iu + δ + 1)

R

Le regroupement des termes en x et en u permet alors de ramener laformule générale (1.31) à la forme suivante1f (x, t) = R(x, δ) ×
2π+∞Z
eixu Ψ(u, δ) du,(1.37)−∞e−τ ψ(u+iδ) .
où R(x, δ) = e−τ r−δx et Ψ(u, δ) = (−iu+δ)(−iu+δ+1)
Cette forme nous amène naturellement à choisir la méthode de calcul
29

Produits dérivés de type européennumérique par transformée de Fourier rapide (FFT) de Cooley et Tukey(1965), ce qui nous permet d’obtenir simultanément N résultats à partir deN points en un temps O (N log2 (N )) .
D’abord, nous calculons l’intégrale en appliquant la méthode des rectangles avec un pas d’intégration égal à η. Soit N un entier positif puissancede 2 et posons
uj = umin + η(j − 1) pour j = 1, . . . , N, avec umin = −Nη.
2L’équation (1.37) devient alorsNf (x, t) ≈ R(x, δ) ×

1 X ixujeΨ(uj , δ) η.
2π(1.38)

j=1

Pour mettre en place la transformée de Fourier rapide, nous découpons
le domaine des x avec un espacement régulier de taille λ :xk = xmin + λ(k − 1) pour k = 1, . . . , N,où xmin est choisi de manière à ce que tous les contrats à évaluer soient
couverts par les xk .
La transformée de Fourier rapide retourne alors N valeurs pour f (x, t) :Nf (xk , t) ≈ R(xk , δ)eiumin λ(k−1) ×

1 X iλη(j−1)(k−1) ixmin ujee
Ψ(uj , δ) η.
2π
j=1(1.39)
2π
La condition de réciprocité des paramètres λη = N imposée par latransformée de Fourier rapide nous oblige à faire un compromis entre le pas
d’intégration η et la variation entre deux contrats successifs λ. Nous avonspris N = 4096 et un pas d’intégration de η = 0.25, nous obtenons alors
une variation de 0.615 % entre deux contrats successifs. En pratique, pourles contrats qui tombent entre deux contrats successifs évalués en sortie dela transformée de Fourier rapide, nous procédons à une interpolation par
splines cubiques.

301.2 Une approche générale pour l’évaluation

1.2.4

Application

Dans cette section, nous allons revisiter les modèles de Merton et de Kou
avec cette implémentation puis nous l’utiliserons dans le cadre du modèle àsauts exponentiels multiples où nous n’avons plus de formules d’évaluation
semi-explicites comme dans les deux cas précédents.
1.2.4.1

Retour sur le modèle de Merton

Dans ce cas, les sauts sont gaussiens et la fonction caractéristique associéeà leur loi est alors
1

2

φJ (u) = eiE(J) u− 2 V ar(J) u .

(1.40)

À partir de l’équation (1.2), nous déduisons l’exposant caractéristique duprocessus de Lévy associé au modèle à sauts gaussiens de Merton sous Q
ψQ (u) = −iωu +V ar(J) 2σ2 2u − λ eiE(J) u− 2 u − 1 .
2(1.41)

La condition mesure martingale équivalente s’écrit alors
0 = r + ψQ (−i) = r − ω −V ar(J)σ2− λ eE(J)+ 2 − 1 ,2

ce qui implique que sous Q, la dérive ω doit vérifier
ω=r−



V ar(J)σ2− λ eE(J)+ 2 − 1 .
2

Le tableau 1.3 donne alors les erreurs constatées par rapport aux prix
reportés dans le tableau 1.1, en utilisant la transformée de Fourier rapide
pour calculer les prix d’options européennes de vente sur les deux séries decontrats C1 et C2 selon la formule (1.39).
1.2.4.2

Retour sur le modèle de Kou

Pour le modèle à sauts exponentiels doubles de Kou, nous déduisons deséquations (1.2) et (1.17) l’exposant caractéristique associé au modèle :σ2ψQ (u) = −iωu + u2 − λ
2




pλ1
qλ2
+
−1 .
λ1 − iu λ2 + iu

31

Produits dérivés de type européenModèle à sauts gaussiens de Merton
Option européenne de vente par FFT
S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 0.5, E(J) = 0, V ar(J) = 0.25
Série C1

Série C2Prix d’exercice

ErreurPrix d’exercice

Erreur

90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.00-1.91221e-009
3.91564e-009
2.42324e-008
3.40255e-008
5.62976e-009
6.51181e-008
7.03429e-008
3.7984e-008
1.39778e-008
5.6158e-009
4.63758e-009

97.00
97.60
98.20
98.80
99.41
100.02100.64101.26101.88102.51103.14-4.9738e-014-6.03961e-014-6.03961e-014-5.59552e-014-6.39488e-014-5.86198e-014-7.10543e-014-5.86198e-014-6.21725e-014-7.63833e-014-7.10543e-014

Table 1.3 – Erreur de l’évaluation effectuée par transformée de Fourier
rapide par rapport au prix obtenu selon la formule semi-explicite de Merton
sur les deux séries de contrats C1 et C2 .
Modèle à sauts exponentiels doubles de Kou
Option européenne d’achat par FFT
S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 1, p = 0.4, λ1 = 10, λ2 = 5
Série C1

Série C2Prix d’exercice

ErreurPrix d’exercice

Erreur

90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.00-1.51487e-008-1.60534e-008-1.16162e-008-3.77282e-009
2.01567e-009
3.05118e-008
4.61735e-008
3.27544e-008
1.53197e-008
7.85505e-009
9.24877e-009

97.00
97.60
98.20
98.80
99.41
100.02100.64101.26101.88102.51103.14

1.95399e-014-7.10543e-015
1.77636e-014
3.01981e-014
4.9738e-014
7.10543e-015
2.75335e-014
1.59872e-014
3.9968e-014
4.9738e-014
4.70735e-014

Table 1.4 – Erreur de l’évaluation effectuée par transformée de Fourier
rapide par rapport au prix obtenu selon la formule semi-explicite de Kou
sur les deux séries de contrats C1 et C2 .
32

1.2 Une approche générale pour l’évaluation

ModèleTemps pour 101 contrats

Temps moyen

FFT (N = 4096)

MertonKou' 0.73 s' 6 mn 40 s

' 0.007 s'4s' 0.015 s' 0.016 s

Table 1.5 – Comparaison des performances des deux approches dans lesmodèles de Merton et de Kou. Temps mesurés sur une machine équipée d’un
processeur Pentium R 4 référencé à 2.8 GHz et dotée de 1 Go de mémoire
vive.
où, pour rappel, p + q = 1, λ1 > 1 et λ2 > 0, sans oublier la condition (1.18)
sur la fonction caractéristique : −λ1 < =u < λ2 .
De nouveau, il nous faut tenir compte de la condition mesure martingaleéquivalente :σ2
0 = r + ψQ (−i) = r − ω −
−λ
2




pλ1
qλ2
+
−1 ,
λ1 − 1 λ2 + 1

ce qui donne la condition suivante sur ω :
σ2
ω=r−
−λ
2




pλ1
qλ2
+
−1 .
λ1 − 1 λ2 + 1

Nous donnons dans le tableau 1.4 les erreurs commises par rapport aux
prix obtenus par la formule semi-explicite reportés en tableau 1.2 en utilisant la formule (1.39) pour évaluer ces options d’achat. Ces options portent
toujours sur les mêmes séries de contrats C1 et C2 . Le contour d’intégration
choisi est R + iδ avec δ au milieu de −λ1 et de -1.
Les temps de calcul de ces deux approches ont alors été mesurés sur une
machine standard équipée d’un processeur Pentium R 4 référencé à 2.8 GHz
et dotée de 1 Go de mémoire vive. Les résultats sont reportés sur le tableau 1.5. La première colonne de ce tableau se rapporte au temps de calculnécessaire pour évaluer une centaine de contrats avec les formules semiexplicites de Merton et de Kou. La deuxième indique le temps moyen mis
pour calculer chaque contrat avec ces formules. Enfin, la troisième colonne
renseigne sur le temps mis pour calculer la transformée de Fourier rapide
sur 4096 points dans les deux modèles.

33

Produits dérivés de type européen1.2.4.3

Cas du modèle à sauts exponentiels multiples

Nous pouvons maintenant passer à la condition mesure martingale équivalente que notre processus doit vérifier sous Q. D’après les équations (1.2),(1.26) et (1.23), cette condition s’écrit
!
X
X
σ2
λi
λi
0=r−ω−
−λ
+
pi
−1 ,
pi
2
λi − 1λi + 1i∈Ni∈Pce qui entraı̂ne la condition suivante sur ω :
!
X
X
λi
λi
σ2
−λ
+
−1 .
ω=r−
pi
pi
2
λi − 1λi + 1i∈P

i∈N

Nous avons gardé les mêmes paramètres de la partie diffusive du processus X et pris les deux lois de sauts exponentiels multiples données dansle tableau 1.6 pour illustrer ce nouveau modèle. La première loi de sauts
présente un seul saut positif de probabilité 0.4. Dans la seconde loi, il n’ya plus aucun saut positif : toute sa probabilité a été reportée sur le sautnégatif de plus petit paramètre. Par expérience en effet, ce sont les variables
exponentielles de petit paramètre qui influent fortement sur les prix d’options. Nous pouvons expliquer théoriquement ce constat par le fait que lamoyenne de chaque variable aléatoire exponentielle modélisant un saut est
l’inverse de son paramètre 1 .
Loi de sauts

Sauts positifs

Sauts négatifs

L1
L2(0.4, 7)Aucun

(0.3, 5) − (0.2, 7) − (0.1, 9)(0.7, 5) − (0.2, 7) − (0.1, 9)

Table 1.6 – Exemples de loi de sauts exponentiels multiples. Chaque couple(p, λ) représente la probabilité p d’un saut dont la variable aléatoire exponentielle correspondante est de paramètre λ.
Parallèlement au prix des options européennes d’achat portant sur lasérie de contrats C1 , nous donnons aussi les volatilités implicites associéesdans le tableau 1.7. Le sous-jacent vaut toujours S0 = 100 à l’instant initial,
avec un taux sans risque r = 0.05 et un temps restant avec échéance τ = 0.5.
1. Pour une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre λ, la fonction de den−λxsité s’écrit
R fX (x) = λe 1 1{x≥0} . La moyenne est donnée par l’espérance mathématique
E[X] = R xfX (x) dx = λ .

34

1.2 Une approche générale pour l’évaluation

Ici encore, le temps de calcul pris par la transformée de Fourier rapide est
d’environ 0.015 s alors que la dynamique du sous-jacent est plus générale
par rapport au modèle de Kou, largement plus coûteux en temps dans sa
dérivation de prix originale.
Si les prix obtenus avec les sauts L2 sont au-dessus des prix donnés parles sauts L1 jusqu’au contrat de prix d’exercice 106, c’est le contraire qui se
manifeste après. Nous assistons au même phénomène du côté des volatilités
implicites. Remarquons que dans les deux cas, la volatilité implicite est plus
importante que la volatilité a priori du modèle diffusif classique. Elle présente une convexité très prononcée par rapport aux prix d’exercice dans lecas de la loi L1 et moins pour le cas de la loi L2 . En tous les cas, elle n’est pas
constante, ce qui rejoint qualitativement les observations empiriques faites
sur les données de marché mentionnées au début de cette étude.
Modèle à sauts exponentiels multiples
Option européenne d’achat
S0 = 100, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 1
Loi de sauts
K
90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.00

L1

L2

Prix

Volatilité

Prix

Volatilité

14.5478818
13.0393977
11.6145671
10.2828945
9.0521296
7.9276887
6.9122876
6.0058246
5.2055082
4.5061915
3.9008541

25.549 %25.041 %24.612 %24.262 %23.989 %23.790 %23.662 %23.601 %23.604 %23.667 %23.787 %15.3323568
13.8074665
12.3414812
10.9427522
9.6197015
8.3803040
7.2315400
6.1788850
5.2259009
4.3739751
3.6222355

29.291 %28.445 %27.631 %26.856 %26.123 %25.438 %24.801 %24.215 %23.677 %23.186 %22.739 %Table 1.7 – Évaluation d’options européennes d’achat portant sur la série
de contrats C1 et de leurs volatilités implicites dans le cadre du nouveau
modèle diffusif à sauts exponentiels multiples.

35

Produits dérivés de type européen

1.3

Analyse des résultats et calibrage

Nous allons analyser les résultats recueillis jusqu’ici et discuter l’intérêtde la méthode proposée.

1.3.1

Discussion

Nous voyons sur les tableaux 1.3 et 1.4 que les prix obtenus via la formule (1.39) avec une transformée de Fourier rapide sur N = 4096 points
sont d’une très grande exactitude tant dans le modèle de Merton que celui de Kou. Remarquons que même pour la série de contrats C1 dont lesprix sont obtenus par interpolation par splines cubiques, l’erreur maximale
constatée ne dépasse pas 10−7 . La série C2 correspond à des contrats dont lesprix sont directement obtenus en sortie de la transformée de Fourier rapide.
Nous voyons que l’erreur commise n’excède pas 10−13 dans ce cas.
Les prix d’équilibre obtenus par Merton et Kou sont bien retrouvés parl’évaluation risque-neutre du moment que nous faisons l’hypothèse que les
dynamiques sous la mesure d’évaluation sont bien des modèles diffusifs avec
sauts. Ce résultat rejoint les développements de Merton et de Kou où tous
les processus qui interviennent pour mener à bien les évaluations restent desprocessus mixtes brownien-Poisson.
Côté performances, nous voyons sur les deux premières colonnes du tableau 1.5 le coût énorme induit par les évaluations de fonctions spéciales
dans la formule semi-explicite de Kou par rapport à celle de Merton. Le
rapport de vitesse est de plus de 500 entre les deux formules semi-explicites.
Sur la troisième colonne, nous voyons que le calcul complet de la transformée de Fourier rapide sur 4096 points reste stable sous les 2 centièmes
de seconde, et cela, quel que soit le modèle considéré. En effet, une fois N
choisi, le coût du calcul reste pratiquement le même. Remarquons ici quele temps moyen pris par la formule semi-explicite de Merton est du mêmeordre que le temps du calcul de la transformée de Fourier rapide. A partirde quelques contrats, pratiquement une dizaine ou plus, l’approche que nous
exposons ici redevient largement plus performante en termes de temps decalcul. Même dans le cas hypothétique où nous nous contenterions d’évaluer
une seule option à la fois, cette approche reste un candidat de choix dans lecadre des modèles diffusifs avec sauts.
Elle est aussi plus souple. En effet, nous allons voir dans la section sui36

1.3 Analyse des résultats et calibragevante que plusieurs produits dérivés de type européen peuvent être évaluésde cette manière.

1.3.2

Options puissanceComme nous l’avons vu plus haut, plusieurs payoffs peuvent en effet êtremodélisés par F (ST , T ) = g(XT ). Ces payoffs correspondent à ce que nous
appelons produit dérivé de type européen en ce sens que ceux-ci dépendentuniquement de la valeur à l’échéance du sous-jacent. Cette souplesse surle choix du payoff nous permet d’évaluer simplement toute cette classe deproduits. Nous avons ainsi vu le cas des options européennes standard. Nous
allons voir ici l’exemple des options puissance dont le payoff s’écritg(XT ) = (STβ − K)+ = (S0β eβXT − K)+où β > 0. Typiquement, nous utiliserons une puissance β = 2. D’autres
payoffs de type européen, comme ceux revus par Lee (2004) dans le cadre del’approche de Carr et Madan (1998), peuvent aussi être simplement évaluésici.
Si une formule explicite peut être établie dans le cadre du modèle classique de Black et Scholes pour le prix d’une option puissance, il n’y a aucun
travail à notre connaissance qui donne le prix de ce type d’options dans lecadre des modèles diffusifs avec sauts. L’approche présentée ici va nous permettre d’avoir des résultats dans ce cadre. Nous l’illustrons avec le modèleà sauts gaussiens de Merton.
A partir de la définition du payoff g de l’option puissance, nous obtenons
sa transformée de Fourier comme suit :1ββKe−iu ln (K /S0 )ĝ(u) =,(−iu)(−iu + β)(1.42)

avec la condition sur u suivante :=u = δ < −β.

(1.43)

En introduisant cette expression dans la formule générale d’évaluation37

Produits dérivés de type européen(1.31) et en divisant par le prix d’exercice, nous obtenons iciZβf (x, t) =2πeiux−τ (r+ψ(u))du.
(−iu)(−iu + β)(1.44)

R+iδ

où cette fois-ci x =

1
β ln



Stβ
K


. Remarquer que nous retrouvons bien laformule (1.36) ainsi que la condition (1.28) associée aux options européennes
d’achat si nous mettons β = 1 dans les formules (1.43) et (1.44) précédentes.
Modèle à sauts gaussiens de Merton
Option puissance par FFT – β = 2S0 = 10, r = 0.05, σ = 0.16, τ = 0.5, λ = 0.5, E(J) = 0, V ar(J) = 0.25
Série C1Prix d’exercice
90.00
92.00
94.00
96.00
98.00
100.00102.00104.00106.00108.00110.00Série C2
Option22.3782440
21.0513986
19.8125347
18.6639843
17.6065229
16.6394217
15.7605730
14.9666623
14.2533792
13.6156481
13.0478528

Prix d’exercice
97.00
97.60
98.20
98.80
99.41
100.02100.64101.26101.88102.51103.14

Option18.1238786
17.8122812
17.5069226
17.2079084
16.9153274
16.6292598
16.3497720
16.0769224
15.8107540
15.5513016
15.2985847

Table 1.8 – Prix d’une option puissance dans le cadre du modèle à sauts
gaussiens de Merton portant sur les deux séries de contrats C1 et C2 . Lesprix soulignés sont ceux qui sont obtenus en sortie de la FFT. Tous sontarrondis au plus près à la septième décimale.
Les prix d’option que nous avons obtenus sont reportés dans le tableau 1.8. À l’instant initial, le sous-jacent vaut toujours S0 = 10, nous
gardons les autres paramètres inchangés. Soulignons qu’en nous servant desmêmes paramètres d’intégration qu’avant (η = 0.25, N = 4096), les prix
donnés par la transformée de Fourier rapide varient cette fois-ci de 1.23 %.
Nous pouvons avoir une variation semblable à ce que nous avons eu jusqu’ici en doublant le nombre de points N . Les prix soulignés sur la série decontrats C2 correspondent à ceux que nous obtenons directement en effec38

1.3 Analyse des résultats et calibrage

tuant une transformée de Fourier rapide. De nouveau, le temps de calcul decette transformée a seulement pris environ 0.015 s.
Nous voyons que le calcul d’un grand nombre d’options par maturité en
une fois est le point fort de l’approche préconisée ici. Nous allons capitaliser
sur cette caractéristique pour procéder au calibrage de ces modèles diffusifs
avec sauts aux données de marché dans la section suivante.

1.3.3

Calibrage de modèles

Le calibrage consiste à déterminer à partir des données de marché lesparamètres du modèle qui permettent le mieux de retrouver les prix dumarché, en particulier ceux d’options européennes liquides. Ce problème
est connu pour être un problème inverse mal posé. Cependant, plusieurs
solutions restent disponibles.
Une des méthodes les plus souvent utilisées dans ce cadre est la méthodedes moindres carrés. Elle consiste à résoudre le problème suivant : chercherθ∗ tel queθ∗ = arg minθNX(Ci − C θ (Ti , Ki ))2 ,(1.45)

i=1où θ représente les paramètres du modèle à calibrer, N le nombre de prixd’options sur lesquels nous calibrons, C θ (Ti , Ki ) le prix de l’option européenne de maturité Ti et de prix d’exercice Ki selon le modèle et Ci le prixde l’option correspondante relevé sur le marché.
Cela revient à minimiser une fonction objectif qui est l’erreur d’évaluation quadratique du modèle considéré sur l’échantillon de prix retenu. La
recherche est arrêtée quand le changement de valeur relatif de la fonction
objectif est en dessous d’un seuil de tolérance tol fixé préalablement.
Afin de tenir compte de la valeur intrinsèque de chaque option, une
pondération est ajoutée en fonction de la distance à la monnaie de chaqueproduit. Le système adopté va donner un plus grand poids aux options dansla monnaie et fortement amoindrir celles très en dedans ou en dehors de lamonnaie. Plus précisément, pour l’option d’achat de prix d’exercice Ki , lepoids ωi affecté à l’écart entre prix observé et prix théorique dans le problème(1.47) s’écrit :S0ωi = exp −a K−1i(1.46)où a ≥ 0. Le cas a = 0 revient au cas sans système de pondération où
39Produits dérivés de type européentous les écarts de prix auraient la même importance. Le choix a = 10 a étéadopté dans toute la suite. Le critère choisi conduit à retenir un vecteur deparamètres θ∗ défini parθ∗ = arg min
θNX

ωi (Ci − C θ (Ti , Ki ))2 .

(1.47)

i=1

Pour juger de la qualité des divers modèles diffusifs avec sauts, nous utilisons la méthode des moindres carrés simple qui fournit déjà une indicationprécieuse de la qualité des ajustements.
Les mesures d’erreur de modèle que nous choisissons seront la racine del’erreur quadratique moyenne pondérée définie par
v
uN
uX 
2
RWMSE = t
π C − C θ∗ (T , K )
i

i

i

i

(1.48)i=1
ωioù πi = P, et l’erreur absolue moyenne pondérée définie par
N
ωk

k=1

AWAE =NX∗

πi Ci − C θ (Ti , Ki ) .

(1.49)

i=1

Par ailleurs, les formules suivantes permettent de calculer la variation
quadratique totale propre à chaque processus calibré. Ainsi, si la variation
quadratique par unité de temps du processus uniquement diffusif se résumeà VBSM = σ 2 , pour le processus utilisé dans le modèle de Merton, elle s’écritVM er = σ 2 + λ E(J)2 + V ar(J) .
Pour le processus du modèle de Kou, la variation quadratique totale parunité de temps s’écritpq
VKou = σ + 2λ 2 + 2
λ1 λ2
2tandis que pour le processus à sauts exponentiels multiples, il vient :2

VM ult = σ + 2λ

X pi
i∈P

40

λ2i

+

X pi
i∈N

λ2i

!
.

1.3 Analyse des résultats et calibrage

Nous allons maintenant présenter les données de marché à partir desquelles nous allons procéder au calibrage.
1.3.3.1

Description des données

Nous utiliserons deux jeux de données dans cette section. Le premier est
celui utilisé par Andersen et Andreasen (2000) tandis que le second provientde Schoutens (2003). Les deux jeux de données portent sur l’indice S&P 500.
Les options écrites sur ce sous-jacent sont parmi les options européennes
les plus liquides. Les maturités concernées sont les 3 mois les plus proches
auxquelles s’ajoutent les trois échéances les plus proches tirées du cycle trimestriel calé sur le mois de mars. Le jour d’exercice éventuel de l’option dechacune de ces échéances est fixé au troisième vendredi du mois concernéou le jour ouvrable le plus proche précédent si ce vendredi est férié 2 . Les
opérations d’achat et de vente sur ces options peuvent être conduites jusqu’à
la veille du jour d’exercice.
Le premier jeu de données a été recueilli en avril 1999. Les prix d’exercice
sont exprimés en pourcentage de la valeur du sous-jacent. Les maturitésvarient de 0.08 à 10 ans. Le taux d’intérêt relevé est de 5.59 % tandis quel’indice a un taux de dividende continu de 1.14 %. Les prix des options
européennes d’achat sur l’indice recueillis sont exprimés à l’origine au travers
des volatilités bid et ask Black et Scholes implicites. Ils sont reportés dans letableau 1.9 cette fois-ci en prix effectifs en partant du milieu de fourchettede ces volatilités implicites. Ce sont ces prix qui constituent les données demarché sur lesquelles le calibrage portera. En tout, 163 prix d’options sontdisponibles dans ce jeu de données D1.
Le second jeu de données, recueilli dans le courant du mois d’avril 2002,
porte sur les mêmes produits financiers. Cette fois-ci, les maturités vont de
1 mois à 2 ans et demi. Dans les calibrages qui suivent, ces maturités sontrecalculées sur une base de 252 jours ouvrables par an. Le taux d’intérêt
relevé est alors de 1.9 % et le taux de dividende continu de l’indice est
estimé à 1.2 %. Le jour du relevé, l’indice était alors à 1124.47. Les 75 prixd’options ainsi obtenus sont reportés dans le tableau 1.10. Ils constituent lejeu de données D2.
2. Le lecteur intéressé pourra trouver une description exhaustive de ces produits sur lesite institutionnel du Chicago Board Options Exchange http://www.cboe.com.

41

42
0.35191.69133.36764.80777.888510.810716.151020.930325.359432.392540.4772

0.08930.83252.11183.23106.04008.853814.0825
18.8144
23.348130.6043
38.9940

120

115

0.08
0.25
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
3.00
4.00
5.00
7.00
10.00

τ

41.680544.711747.2475
51.3089
55.7473

57.6628
59.1337
61.4463
63.8536

70

50

τ

0.08
0.25
0.50
0.75
1.00
1.50
2.00
3.00
4.00
5.00
7.00
10.00

D1

16.8428
18.821220.6015
22.2439
25.051427.5768
32.0652
35.924439.223144.420450.24478590
10.6471
12.5554
14.8237
16.7998
18.610921.628624.321129.085433.1852
36.706442.254448.503195
6.26558.6422
11.1618
13.2721
15.2045
18.3908
21.2236
26.222830.538734.274440.1550
46.8054100
2.72435.28497.932210.0870
12.0630
15.361418.301423.4880
27.9930
31.921438.121745.1570

0.1441
0.6911
1.23733.28555.6867
10.5805
15.281119.6955
27.2118
36.15351300.16540.37571.60163.42637.7381
12.2559
16.5658
24.0844
33.4519140

0.06110.69771.93355.51599.722613.8727
21.3841
30.8919150

0.26771.02733.84657.6232
11.5469
19.0088
28.4583160

0.03290.51552.64205.91459.547316.861026.3064

170

Prix d’exercice (en pourcentage du sous-jacent)24.6174
26.073128.6358
30.983135.162238.7600
41.829046.647952.0323

80

Prix d’exercice (en pourcentage du sous-jacent)

0.23691.78344.5543
7.831314.9455
24.4095

180

105
0.65582.72235.2272
7.33799.240912.5620
15.5735
20.8932
25.5573
29.657836.154443.5573

0.78642.65785.249111.7224
21.0266200

110
0.0652
1.3271
3.12715.08986.806310.0529
13.059318.4390
23.221627.4669
34.2450
41.9979

Produits dérivés de type européenTable 1.9 – Jeu de données D1. Prix d’options européennes d’achat sur
l’indice S&P 500 en avril 1999 calculés à partir des volatilités implicites
relevées dans Andersen et Andreasen (2000).

1.3 Analyse des résultats et calibrage

Temps restant avant échéance

D2

K
975
995
1025
1050
1075
1090
1100
1110
1120
1125
1130
1135
1140
1150
1160
1170
1175
1200
1225
1250
1275
1300
1325
1350
1400
1450
1500

1
0.1

8
50

53
0.2

97

84.50
64.30
43.10
35.60
22.90
20.20

13.30

39.50
33.50
30.70
28.00
25.60
23.20
19.10
15.30
12.10
10.90

50

8

1
0.6

9
61
7
9
0.

0
73
3
3
1.

161.60144.80120.10100.7082.50

173.30157.00133.10114.8097.60

146.50

65.50

81.20

51.00
45.50
58.90
38.10

27.70
19.60
13.20

1
84
9
6
1.

3
06
2
4
2.

182.10143.00171.4096.20

111.30140.40

66.90

81.70

97.00

53.90

68.30

83.30

42.50
33.00
24.90
18.30
13.20

56.60
46.10
36.90
29.30
22.50
17.20
12.80

112.80

99.80
60.90
49.80
41.20

66.90

27.10

49.50

17.10
10.10

35.70
25.20
17.00
12.20

Table 1.10 – Jeu de données D2. Prix d’options européennes d’achat sur
l’indice S&P 500 en avril 2002 avec une valeur de l’indice à 1124.47. Source :Schoutens (2003).
1.3.3.2

Résultats

Dans un premier temps, un calibrage du modèle diffusif classique deBlack, Scholes et Merton a été effectué sur ces deux jeux de données. La
table 1.11 donne la volatilité calibrée et précise l’erreur de modèle ainsi
faite. La dernière colonne donne la valeur de la variation quadratique parunité de temps trouvée. Les nombres de cette table restent inchangés quela tolérance sur le changement de valeur relatif de la fonction objectif soit

43

Produits dérivés de type européen

D1
D2

σ

RWMSE

AWAE

VBSM

0.27780.15271.10486.2746

1.67106.65460.07710.0233

Table 1.11 – Calibrage du modèle diffusif de Black, Scholes et Merton.
σ

λ

E(J)

p
V ar(J)

RWMSE

AWAE

VM er

D1

0.19240.19240.19190.07260.07260.0740-0.9397-0.9397-0.92640.4922
0.49220.49680.27450.27450.27470.38700.38700.38660.1187

SE
4096
2048

D2

0.11530.11530.11440.02400.02410.0300-9.0373-9.2382-2.2833

0.04530.04780.99991.94291.94291.9776

1.84881.8486
1.88862.0701

SE
4096
2048

Table 1.12 – Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Merton.
de 10−5 ou de 10−7 . Ce premier calibrage reste aussi insensible à la valeur
initiale du paramètre à calibrer.
Il est à remarquer que dans le cas du jeu de données D1, tant la racine del’erreur quadratique moyenne pondérée que l’erreur absolue moyenne pondérée sont assez faibles déjà dans le cadre de Black, Scholes et Merton. Par
contre, l’erreur de modèle mesurée selon ces deux mêmes critères demeureimportante pour le jeu de données D2.
Un second calibrage est alors effectué, cette fois-ci, sur le modèle avec
sauts de Merton. Il est effectué de trois manières différentes sur chaque jeu
de données. Une première fois, la formule semi-explicite (SE) est utiliséepour l’évaluation de prix d’options et une tolérance de 10−7 est admisepour le changement relatif de valeur de la fonction objectif. Une secondefois, l’évaluation est effectuée au moyen d’une transformée de Fourier rapide
avec N = 4096 et la même tolérance. Et enfin, une troisième fois avec uneévaluation par transformée de Fourier rapide avec N = 2048 et une tolérance
plus large de 10−5 .
Pour ces six calibrages, les paramètres de départ sont à chaque fois lespmêmes, à savoir θ0 = (σ, λ, E(J), V ar(J))0 = (0.17, 0.089, −0.9, 0.3). Le
tableau 1.12 récapitule les résultats de calibrage obtenus pour le modèle avec
sauts de Merton.
Sur les deux jeux de données, l’erreur de modèle suivant nos deux mesures
ne change pas comme attendu, que les prix selon le modèle soient calculés parl’intermédiaire de la formule semi-explicite ou par la transformée de Fourier
rapide. En effet, d’après les résultats précédents, l’erreur relative commise44

1.3 Analyse des résultats et calibrageen utilisant la transformée de Fourier rapide avec N = 4096 est en dessousde la tolérance admise pour le changement de valeur relatif de la fonction
objectif de 10−7 . La variation quadratique totale par unité de temps est denouveau calculée à partir des paramètres de modèle ainsi calibrés. Elle estreportée dans l’avant-dernière colonne de la table 1.12.
Dans l’optique du calibrage des modèles plus exigeants en temps de calcul
qui vont suivre, un calibrage avec une transformée de Fourier rapide à N =2048 a aussi été mis en œuvre et testé. Une tolérance de 10−5 est alorssuffisante dans ce cas. Nous remarquons que les erreurs de modèle trouvéesaprès calibrage sont très proches.
Les paramètres calibrés à partir du jeu de données D1 sont proches deceux donnés par Andersen et Andreasen (2000) à savoir σ = 0.1765, λ =p0.089, E(J) = −0.8898, V ar(J) = 0.4505. Malgré des erreurs de modèlesensiblement égales, les paramètres calibrés varient sensiblement. En particulier, en faisant varier les paramètres de départ du calibrage, le paramètrep
V ar(J) a été trouvé très faible à plusieurs reprises.
Si les deux paramètres σ et λ sont facilement retrouvés après calibrageet restent sensiblement les mêmes, les paramètres caractérisant les sauts,p
E(J) et V ar(J), sont plus difficilement accessibles. Il se trouve en faitque pour σ et λ fixés, la fonction objectif présente une vallée très plate qui
fait que plusieurs paramètres de sauts peuvent convenir pour une tolérance
donnée et sans que l’erreur de modèle soit changée de façon significative.
He, Kennedy, Coleman, Forsyth, Li et Vetzal (2006) font aussi état de cephénomène dans un article récent. Ces auteurs précisent par ailleurs que
si inversement, les paramètres de sauts sont connus, la fonction objectif
a un minimum bien défini qui fait du problème de calibrage un problèmebien posé, un phénomène que nous retrouvons bien ici avec la stabilité desparamètres σ et λ après calibrage.
Un premier résultat intéressant apparaı̂t ici. Nous avons un bien meilleur
ajustement du modèle aux prix de marché en prenant le modèle diffusif avec
sauts de Merton en lieu et place du modèle diffusif classique de Black, Scholes
et Merton. En effet, les erreurs de modèle ont significativement diminué
sur chaque jeu de données avec une mention particulière pour le jeu dedonnées D2 où la racine de l’erreur quadratique moyenne pondérée est passéede 6.2746 à 1.9429. La variation quadratique totale obtenue, VM er , sur lejeu de données D2 est cependant trop élevée par rapport à celle obtenue
45

Produits dérivés de type européen

σ

λ

p

λ1

λ2

RWMSE

AWAE

VKou

D1

0.18360.18340.27800.28030.45280.453193.9136
79.1197

1.7624
1.77130.25670.25670.35440.35480.1317

4096
2048

D2

0.1096
0.10930.15120.14940.69650.692621.1745
19.31200.61310.61331.74371.74401.70871.71810.25664096
2048

Table 1.13 – Calibrage du modèle diffusif avec sauts de Kou.
dans le cadre diffusif simple (VBSM ). Nous pensons que ce fait est dû à laparticularité du deuxième jeu de données. Par ailleurs, le gain est moins fort
sur le jeu de données D1 puisque l’ajustement au modèle diffusif de Black,
Scholes et Merton est déjà assez bon.
Le calibrage suivant porte sur le modèle avec sauts de Kou. Les paramètres de départ sont ici fixés à θ0 = (σ, λ, p, λ1 , λ2 )0 = (0.15, 0.4, 0.3, 14, 3).
De nouveau, la transformée de Fourier rapide a été utilisée dans un premier
temps avec N = 2048 avec une tolérance de 10−7 sur le calibrage, puis dans
un second temps avec N = 4096 et une tolérance de 10−7 . L’évaluation descontrats a été affinée pour plus de précision et de stabilité en calculant directement les options d’achat pour les contrats près de la monnaie et ceux
en dehors de la monnaie selon la formule (1.33) tandis que pour les contrats
dans la monnaie, la formule (1.35) a été utilisée. Les contrats dans la monnaie
ont été définis comme ceux dont le prix d’exercice est strictement inférieurà 0.9 fois la valeur du sous-jacent.
Le temps pris par le calibrage peut alors varier d’environ une minute àplus de 5 mn. Le temps prohibitif de la formule semi-explicite de Kou même
sur la version tronquée à 7 termes évoquée plus haut l’exclut de ce test decalibrage.
L’avant-dernière colonne de la table 1.13 rapporte de nouveau la variation quadratique totale dans le modèle de Kou. La table 1.13 montre qu’il ya une amélioration de l’ajustement avec le modèle diffusif avec sauts de Koucomparativement à celui proposé par Merton. Ce résultat est particulièrement visible avec la diminution de la mesure RWMSE sur le jeu de données
D2. D’ailleurs, la variation quadratique totale par unité de temps, VKou ,revient ici à un niveau raisonnable.
Dans les deux cas, la loi des sauts présente une forte asymétrie avec
λ1 > λ2 . Les sauts à la hausse sont donc en moyenne de plus faible amplitude
que les sauts à la baisse. Les sauts positifs ont aussi une probabilité de46

1.3 Analyse des résultats et calibrage

σ

λ

P

N

RWMSE

AWAE

VM ultD1

0.11473.4705(3.10−7 , 99.7338)(0.0176, 0.9807)(0.9824, 14.2135)

0.20990.29310.1739D2

0.11220.1689(0.6992, 20.4543)(0.1787, 0.2000)(0.1221, 49.9998)

1.97091.9212

1.5223

Table 1.14 – Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples
avec un seul saut positif.
survenue moindre que les sauts négatifs dans le cas du jeu de données D1 etinversement pour le jeu de données D2.
La dernière série de calibrages va porter sur le modèle diffusif à sauts
multiples introduit précédemment. L’évaluation par transformée de Fourier
rapide se fait ici encore avec N = 4096 et le calibrage admet une tolérance
de 10−7 . En pratique, il peut être souhaitable de rester avec N = 2048 dansle calcul de la transformée de Fourier rapide et rester à une tolérance de10−5 pour les raisons de coût en temps de calcul précédemment évoquéessans perdre significativement en précision comme les tables 1.12 et 1.13 lemontrent.
Les paramètres de départ adoptés ici sont
θ0 = (σ, λ, (pp , λp ), (pn , λn ))0 = (0.15, 0.4, (0.1, 10), [(0.2, 3) − (0.7, 17)]),
avec |P | = 1 et |N | = 2, et donc 7 paramètres à calibrer en tout, avec laPcontrainte sur les probabilités i∈P ∪N pi = 1.
Les résultats du calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples sont reportés dans la table 1.14. Le constat ici est que si nous pouvons
encore améliorer l’ajustement pour le jeu de données D1, nous ne gagnons
plus rien sur le jeu de données D2. La variation quadratique totale VM ult
dans le cas du jeu de données D2 tend à confirmer ce résultat : elle est denouveau trop élevée.
Examinons attentivement le calibrage effectué sur le jeu de données D1.
La valeur de la probabilité de survenue du seul saut positif nous amène àconsidérer un modèle où cette probabilité est nulle. Nous procédons à un
nouveau calibrage sur le jeu D1 en n’autorisant pas les sauts positifs. Lesparamètres de départ choisis sont
θ = (σ, λ, (pn , λn )) = (0.15, 0.5, [(0.3, 3) − (0.2, 17) − (0.5, 40)]),47

Produits dérivés de type européen

D1

σ

λ

N

RWMSE

AWAE

VM ult

0.0961

6.5382(0.0124, 1.1975)(0.9000, 19.0130)(0.0876, 30.0000)

0.20890.28800.1561

Table 1.15 – Calibrage du modèle diffusif à sauts exponentiels multiples
sans aucun saut positif sur le jeu de données D1.
avec |P | = 0 et |N | = 3.
Les résultats précédents sont confirmés par le tableau 1.15. Les sauts
négatifs implicites dans les prix relevés dans le jeu de données D1 se répartissent comme suit : les sauts négatifs de taille moyenne ont une probabilitéélevée de survenir tandis que les sauts négatifs de grande amplitude ont une
probabilité plus faible.
Remarquons ici l’évolution de la volatilité pour le jeu de données D1
entre le calibrage dans le modèle de Kou et ceux dans les modèles à sauts
multiples. Si la partie diffusive était à un niveau de volatilité σ = 0.1836
dans le modèle de Kou, elle est descendue à σ = 0.1147 dans le modèle àsauts multiples avec un seul saut positif et jusqu’à σ = 0.0961 dans le modèlesans aucun saut positif. Il se trouve que cette diminution de la volatilité est
compensée par une plus grande agitation apportée par la composante desauts comme en attestent les variations quadratiques totales obtenues pourchacun de ces trois modèles qui restent proches.

Conclusion
Le but poursuivi dans ce chapitre était de démontrer la puissance d’uneméthode générale d’évaluation de produits dérivés de type européen sur uneclasse de modèles de sous-jacents dits diffusifs avec sauts. En particulier, unnouveau modèle diffusif à sauts exponentiels multiples, extension du modèlede Kou, a été introduit en se basant sur la clarté et la puissance d’expression de cette méthode. La forme de la solution d’évaluation obtenue a alors
naturellement conduit à une mise en œuvre d’un algorithme numérique basé
sur la transformée de Fourier rapide. Les prix obtenus par ce biais ont alorsété confrontés aux prix donnés par des formules semi-explicites dans le cas
des modèles diffusifs avec sauts de Merton et de Kou. Les résultats obtenus montrent clairement les avantages de cette approche par transformée deFourier généralisée couplée avec la transformée de Fourier rapide. Elle offre48

1.3 Analyse des résultats et calibragede bonnes garanties d’exactitude tout en étant extrêmement performante en
termes de temps de calcul. La puissance de cette approche est encore illustrée par l’exemple de l’option puissance dont aucune formule d’évaluationn’est connue, sauf dans le cadre classique de Black, Scholes et Merton.
L’approche par transformée de Fourier généralisée est encore mise àcontribution pour mener à bien plusieurs calibrages de ces modèles diffusifs
avec sauts sur des données de marché. Sur les jeux de données disponibles,
il apparaı̂t que ces modèles offrent déjà un bon ajustement au marché. Plusieurs faits empiriques ont aussi pu être mis en évidence. Les lois de sauts
dans les modèles de Kou et de Kou étendu sont ainsi asymétriques. En
particulier, dans le modèle de Kou, si les sauts négatifs surviennent plus
rarement que les sauts positifs, les premiers sont de plus grande amplitude.
Par ailleurs, avec le modèle de Kou étendu avec uniquement des sauts négatifs, ceux de taille moyenne apparaissent avec une probabilité plus élevéede survenir que ceux de grande amplitude.
Après avoir consacré ce chapitre à l’évaluation de produits dérivés detype européen, nous verrons dans les chapitres suivants d’autres champs derecherche où ces modèles diffusifs avec sauts restent pertinents.

49

Chapitre 2

Options exotiques, défaut sur
fonds propres etintéressement des dirigeants
IntroductionÀ côté des produits dérivés de type européen figurent les options exotiques dont en particulier les options qui dépendent de la trajectoire suivie
par le cours (encore appelées options path-dependent) comme les options àbarrière. De façon plus générale, l’étude de la traversée d’un seuil, d’unebarrière par la trajectoire d’un processus est particulièrement intéressantepuisqu’elle permet de résoudre plusieurs autres thèmes de la finance commeles problèmes du défaut ou de la ruine d’une compagnie. Un deuxième typed’options nous intéresse dans ce chapitre : les options d’échange entre deux
actifs financiers. Elles vont aussi nous permettre d’étudier l’impact des discontinuités de cours d’une compagnie sur la rémunération complémentairede ses dirigeants.
Dans un premier temps, une brève revue des caractéristiques des options
exotiques ainsi que les diverses approches utilisées pour les évaluer est effectuée. Ensuite, nous verrons de plus près la prise en compte d’une barrière à
travers les options de défaut sur fonds propres dans une deuxième section.
Une large section est ensuite dévolue à l’évaluation des options d’échange
en présence de sauts ainsi qu’à l’étude de l’influence de ces derniers sur larémunération par stock options des dirigeants.
51

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

2.1

Perspectives

Si peu de formules fermées sont connues, même dans le cadre du modèleinitial de Black, Scholes et Merton pour l’évaluation des diverses options
exotiques, leur obtention est encore plus difficile dans le cadre des modèlesde Lévy exponentiels, en général et des modèles diffusifs avec sauts, en particulier.

2.1.1

Caractéristiques de quelques produits

Parmi les options exotiques, les options à barrière ont reçu une attention
particulière. Cette famille d’options a un payoff qui dépend du fait que lesous-jacent S soit passé par une barrière B spécifiée par avance ou pas. Dansle cas des modèles généraux de Lévy, le prix peut sauter par dessus la barrièreau lieu de l’atteindre uniquement comme dans le modèle diffusif classique.
Il se peut alors que le temps de premier passage τB = inf{t > 0|St ≥ B}
survienne strictement avant le temps de sortie TB = inf{t > 0|St > B}.
En effet, l’actif sous-jacent peut atteindre la barrière et redescendre tout desuite sans la traverser. Dans toute la suite, nous nous limiterons au cas où
TB = τB et nous parlerons uniquement alors du temps de premier passage τB .
Il se trouve que ces deux temps aléatoires sont égaux presque sûrement pour
tous les processus de Lévy qui vérifient certaines conditions (voir Kesten(1969)). Ces dernières sont valables en particulier pour les modèles diffusifs
avec sauts dont la composante gaussienne est non nulle (voir aussi Bertoin(1996) et Satō (1999)).
Huit différents types d’options à barrière peuvent exister selon que l’option soit une option d’achat ou de vente, que la barrière soit activante (enanglais, in) ou désactivante (out) et selon que le sous-jacent atteigne la barrière en montant (up) ou en descendant (down). L’acheteur d’une option
down-and-out call (DOC) perd ainsi son droit d’exercice si le sous-jacentdescend sous la barrière B avant la maturité du produit. Son payoff à maturité T s’écrit (ST − K)+ 1{τB >T } et son prix à l’instant initial est notéDOC(S0 , K, B) où K est le prix d’exercice. L’option down-and-in call (DIC)
peut seulement être exercée si la barrière a été atteinte avant maturité. Son
payoff s’écrit (ST − K)+ 1{τB >T } . Il s’en déduit la relation suivante qui relie522.1 Perspectives

les options à barrière activante et désactivante :DOC(S0 , K, B) + DIC(S0 , K, B) = C(S0 , K)

(2.1)

où C(S0 , K) est une option d’achat européenne standard. De la même façon,la somme d’une option up-and-in call (UIC) et d’une option up-and-out call(UOC) donnent une option européenne. Il est à noter que ces relations nedépendent pas du modèle du sous-jacent comme la relation de parité entre
les options européennes d’achat et de vente et permettent de ramener l’étude
de cette classe d’options à un seul type d’option.
Les options dites lookback forment une autre famille d’options exotiques
fortement dépendantes de toute la trajectoire suivie par le sous-jacent. Une
option d’achat lookback à prix d’exercice variable donne à son détenteur ledroit d’acheter le sous-jacent à maturité au prix minimum où il a pu descendre depuis l’instant initial. Il est à noter que pour des raisons pratiques,tant pour le options à barrière que pour les options lookback , les évènements déclenchants sont souvent constatés à des dates discrètes par contrat(fixings). Des techniques de correction de continuité ont alors aussi été introduites pour relier les prix obtenus à l’aide de modèles en temps continu
à leur version en temps discret et réciproquement (voir à ce sujet Broadie,
Glasserman et Kou (1997) et Broadie, Glasserman et Kou (1999)).

2.1.2

Méthode d’évaluation

Une approche générale d’évaluation repose sur l’utilisation de la factorisation de Wiener-Hopf. Cette factorisation permet en effet d’obtenir lestransformées de Fourier du supremum et de l’infimum d’un processus deLévy X. Si η est une variable exponentielle indépendante de paramètre q > 0
et en notant Mt = sup Xs le supremum du processus X et mt = inf Xs
0≤s≤t

0≤s≤t

son infimum, la factorisation de Wiener-Hopf s’écritE ezXη = E ezMη E (ezmη ) = ψ + (q, z)ψ − (q, z)où ψ + et ψ − sont appelés les facteurs de Wiener-Hopf et définis par+ψ (q, z) = E e

zMη



+∞
Z

=q
e−qt E ezMt dt

(2.2)

0

53

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantset−ψ (q, z) = E ez(Xη −Mη )

= E (e

zmη

+∞
Z
)=q
e−qt E (ezmt ) dt.

(2.3)

0

Les lois de plusieurs fonctionnelles de processus de Lévy peuvent alors être
obtenues (voir Satō (1999)), ce qui permet en particulier d’obtenir les prixd’options à barrière comme une transformée inverse multidimensionnelle defonctions faisant intervenir ces facteurs de Wiener-Hopf.
Ainsi, par exemple, en conjonction avec des outils d’analyse tirés dela théorie des opérateurs pseudo-différentiels, Boyarchenko et Levendorskiı̌
(2002a) ont obtenu des formules complexes pour l’évaluation des options àbarrière. Des résultats similaires et plus généraux ont aussi été obtenus par
Nguyen-Ngoc (2003) et Nguyen-Ngoc et Yor (2003) en calculant la transformée de Fourier du prix modifié de l’option.
Le problème de cette approche probabiliste générale demeure à l’heure
actuelle le fait que le calcul explicite des facteurs de Wiener-Hopf reste difficile pour plusieurs modèles de la littérature. Même dans les cas où lesfacteurs de Wiener-Hopf sont connus (processus gaussiens, spectralement
positifs, etc ...), cette approche est trop coûteuse en temps de calcul puisqu’il faut inverser des intégrales de dimension 2 ou 3.

2.1.3

Cas des modèles diffusifs avec sauts exponentiels

Pour le cas particulier des modèles diffusifs avec sauts exponentiels, enparticulier le modèle de Kou avec une composante de sauts à loi exponentielle
double, plusieurs résultats explicites ont pu être obtenus.

2.2

Prise en compte d’une barrière2.2.1

Approximation des processus de Lévy

Un intérêt essentiel des processus diffusifs avec sauts est le fait que tout
processus de Lévy puisse être approché aussi précisément que l’on veut parceux-ci.
Nous verrons ici un exemple d’approximation sur des processus de Lévy àsauts purs, en l’occurrence les processus dits CGMY/KoBoL (voir Carr et al.

54

2.2 Prise en compte d’une barrière(2002), Koponen (1995), Boyarchenko et Levendorskiı̌ (1999) et Boyarchenko
et Levendorskiı̌ (2000)) qui ont une densité de Lévy du type suivant :uCGM Y (x) =exp(−G|x|) C |x|1+Y∀x < 0,
exp(−M |x|)C
|x|1+Y∀x > 0,(2.4)

où Y < 2. Nous nous restreindrons comme Carr et al. (2002) aux processus
de Lévy à sauts purs à activité infinie et variation finie, c’est-à-dire ceux
pour lesquels le paramètre Y est dans l’intervalle [0, 1[.
La classe de processus diffusifs avec sauts qui sera utilisée est la classedes processus diffusifs avec sauts exponentiels multiples.
2.2.1.1

Approximation de la composante de sauts

La composante de sauts sera approchée par un processus phase-type detype hyperexponentiel, que nous appelons aussi processus à sauts exponentiels multiples. Ces processus sont à activité finie λ = Π(R) et leur mesurede Lévy Π s’écrit Π(dx) = u(x) dx avec la densité de Lévyu(x) = λX

pi λi e

−λi x

1R+ +

i∈P

X

0
p0j λ0j eλj x 1R−

!
.

(2.5)

j∈N

La méthode d’approximation mise en œuvre ici est basée sur l’approximation des densités de Lévy proposée par Asmussen, Madan et Pistorius(2005). Ainsi, pour la composante de sauts positifs, il viendrait
1

x

'
1+Y

X

ci e−yi x ,

(2.6)

i∈P

où les coefficients ci sont déterminés par une procédure de moindres carrés
non linéaires.
Avec l’exemple de Y = 0.5, |P | = 7 et yi ∈ {0.5, 2, 5, 10, 20, 40, 100},
nous obtenons les résultats rapportés dans le tableau 2.1 avec x allant de
0.25 à 5, avec un pas de 0.025. Nous obtenons les coefficients ci avec une
erreur résiduelle R2 = 0.017564, raisonnablement basse.
Cette solution peut aussi servir pour la composante de sauts négatifs en
prenant P = N et les mêmes paramètres yi . Le processus CGMY peut alors
55

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsyiCoefficient ci

0.5
2.0
5.0
10.0
20.0
40.0
100.0

0.827017
3.103806
11.097780
19.358322
90.908747
173.125085
1.000000

Table 2.1 – Approximation CGMY avec Y = 0.5.
être approché par l’intermédiaire de sa densité de Lévy (2.4) en posant(

λi = M + yi et λ pi λi = Cci , ∀i ∈ P
λ0j = G + yj

et λ p0j λ0j = Ccj , ∀j ∈ N(2.7)

pour la densité de Lévy (2.5) du processus à sauts exponentiels multiples.
L’activité de ce processus est donnée par la formule
λ=

X Cci
i∈P

λi

+

X Ccj
j∈N

λ0j

.

Comme cette activité est finie et que le processus CGMY est à activité
infinie, on peut adjoindre à ce processus à sauts hyperexponentiel une partie
diffusive qui va approcher les sauts de petite taille.
2.2.1.2

Approximation des sauts de petite tailleSeuls les sauts de grande amplitude du processus CGMY ont été prisen compte par le processus hyperexponentiel précédent. Pour tenir comptede l’activité infinie inhérente aux processus CGMY considérés et améliorer
l’approximation, les sauts de petite taille peuvent être approchés par une
diffusion.
Suivant Asmussen et Rosinski (2001), l’approximation est effectuée sur
la densité ũ(x) = uCGM Y (x) − u(x) 1|x|< qui prend en compte tous lessauts dont la taille est inférieure en valeur absolue à .
Il est alors nécessaire de calculerZ2
σ () =|x|<

56

x2 ũ(x)dx.

2.2 Prise en compte d’une barrièrePour ce faire, nous avons besoin de calculer la quantité suivante :
Z 
C

x2

0

C
e−M x
dx = 2−Y Γ(2 − Y )Γ(M , 2 − Y )
x1+Y
M

R∞
où Γ(a) = e−t ta−1 dt est la fonction gamma et Γ(x, a) =x

1 Re−t ta−1 dtΓ(a) 00
est la fonction gamma incomplète. Cette quantité correspond à la partie
CGMY de la fonction ũ.
Nous devons maintenant calculer les intégrales provenant de la partie
hyperexponentielle de la fonction ũ. Ainsi, pour la composante de sauts
positifs, nous avons pour i ∈ P :Z piΓ(3)Γ(λi , 3)λ2i

pi λi x2 e−λi x dx =0et pour la composante de sauts négatifs, il vient pour j ∈ N :
Z 0
−

0

p0j λ0j x2 eλj x dx =

p0j
λ0 2j

Γ(3)Γ(λ0j , 3).

Par la suite, le seuil  sera choisi de façon à minimiser l’erreur relative
entre le prix d’options européennes obtenus dans le cadre du modèle CGMY
et dans le modèle diffusif avec sauts hyperexponentiels comme calculés dans
Randrianarivony (2006).
Pour illustration, en prenant C = 1.1681, G = 3.5762, M = 11.4591, un
prix initial du sous-jacent à S0 = 100 et une plage de prix d’exercice K
allant de 90 à 110 avec un pas de 2, il vient  = 0.03676.

2.2.2

Temps de passage

La détermination des temps de premier passage joue un rôle important
tant en assurance, pour les probabilités de ruine et de survie, qu’en finance,
pour les options exotiques où un passage du processus sous-jacent par une
barrière intervient, ce qui nous intéresse particulièrement ici.
2.2.2.1

Temps de premier passage

Soit τb = inf{t ≥ 0|Xt ≥ b} le temps de premier passage du processus
diffusif avec sauts hyperexponentiel X par une barrière b > 0. La distribution
phase-type pour les sauts positifs de ce processus décrite à l’équation (2.5)
57

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsa |P | + 1 = n + 1 états avec une matrice génératrice

−λ1
0

−λ2
 0
T (+) = 



0






..

.
0 
0 −λn

et des probabilités d’état initial égales à pi pour les états i = 1, . . . , n et un
vecteur de taux d’absorption dans l’état final t = (λ1 , λ2 , . . . , λn ).
À partir de l’équation (2.5) et de la formule de Lévy-Khintchine, l’exposant caractéristique du modèle diffusif avec sauts hyperexponentiels s’obtient :ψ(s) = ln (E(esx ))



 X 

2
0
X
σ
λi
λi
= γs + s2 + λ 
pi
−1 +
p0i
− 1 .
02λi − sλi + s
i∈P

(2.8)

j∈N

Les racines de l’équation ψ(s) = a avec une partie réelle positive vont
permettre de calculer la transformée de Laplace de τb au point a : E (e−aτb ) .
Or l’exposant caractéristique peut être vu comme une fonction rationnelle ψ(s) = p(s)q(s) oùq(s) =

Y(λi − s)i∈PY

(λ0j + s)

(2.9)

j∈N

qui est de degré |P | + |N | = n + m etp(s) = γsq(s) +X λi q(s)X λ0j q(s)σ2 2s q(s) − λq(s) + λ
pi
+λ
p0j 0
, (2.10)2λi − sλj + si∈Pj∈Nqui est généralement de degré |P | + |N | + 2 = n + m + 2 étant donné quel’approximation des sauts de petite taille entraı̂nera la présence d’une partie
diffusive et donc une volatilité σ > 0.
Pour résoudre l’équation ψ(s) = a, il suffit de trouver les racines dupolynômep(s)−a q(s) = γsq(s)+X λi q(s)X λ0j q(s)σ2 2s q(s)−(λ+a)q(s)+λ
pi
+λ
p0j 0
.
2
λi − sλj + s
i∈P

58

j∈N

2.2 Prise en compte d’une barrière

Ce polynôme a exactement n + m + 2 racines distinctes en application duthéorème des valeurs intermédiaires.
En utilisant un résultat de Asmussen et al. (2005), la transformée de
Laplace précédente s’écrit alorsX n+1
E e−aτb =Ak e−ρk b(2.11)

k=1où ρk sont les racines positives de l’équation polynomiale précédente et

Y
ρk
1−
λi
i∈P
Ak = n+1 
.
Y
ρk
1−
ρl
l=1
l6=k

En particulier, l’équation suivante permet de retrouver la probabilité dutemps de premier passage grâce à l’inversion de cette transformée de LaplaceZ∞1e−at P (τb < t) dt = E e−aτb .
a(2.12)

02.2.2.2

Prise en compte de l’overshootNous pouvons prendre en compte l’overshoot, définie comme la valeur
du processus en excès en cas de saut à la barrière, par l’intermédiaire del’espérance suivante :E e−aτb 1{Xτ −b>y} .
bNotons G le générateur infinitésimal du processus diffusif avec sauts hyperexponentiels. Pour toute fonction f deux fois continûment dérivable, nousavons

σ 2 00Gf (x) =f (x) + γf 0 (x) +2Z[f (x + t) − f (x)] u(t) dt

où u est la densité de Lévy de la composante de sauts définie à l’équation(2.5).
En adaptant le cheminement que Kou et Wang (2003) ont suivi pour les

59

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

processus diffusifs à sauts exponentiels doubles, si nous prenons
f (x) = E e−aτb 1{Xτ −b>y} ,bf va satisfaire l’équation −a f (x) + Gf (x) = 0 pour tout x < b, f (x) = 0
si x ∈ [b, b + y[ et f (x) = 1 si x > b + y. Ce résultat peut être vu comme
une extension du théorème de Feynman-Kac standard à un processus diffusif
avec sauts.
Il est proposé ici une solution explicite de la forme
1,x > b + y,0,b < x ≤ b + y,
f (x) =n+1P
Bk e−ρk (b−x) , x ≤ b,
(2.13)

k=1

où il reste à déterminer les n + 1 constantes Bk .
Avec l’hypothèse x < b et y > 0, la partie intégrale du générateur infinitésimal s’écrit
Z
f (x + t) u(t) dt = λ Z0 n+1X

Bk e−ρk (b−x−t)+

Bk e−ρk (b−x−t)

Z∞
+ 0 +
b−x+y


= λ

n+1
X

+

k=1

+

X
i∈P

D’où il vient60X

pi λi e−λi t

dt

i∈P

!
X

pi λi e−λi t



dt 

i∈P

Bk e−ρk (b−x)

k=1
n+1
X

dt

!

k=1

0

!

j∈N

−∞ k=1b−x n+1ZX0p0j λ0j eλj tX

Bk e−ρk (b−x)

p0i λ0i0λ + ρkj∈N i
X

X pi λi
1 − e(ρk −λi )(b−x)λi − ρki∈P#pi e−λi (b−x+y)2.2 Prise en compte d’une barrièreZf (x + t) u(t) dt

n+1
X
X
= λ
Bk e−ρk (b−x)

n+1X
X pi λip0i λ0i−ρk (b−x)+Bekλ0 + ρkλi − ρ k
j∈N i
i∈P
k=1
k=1
#
n+1
X
X
X
p
λ
i i
−
+
pi e−λi (b−x) e−λi y(2.14)
Bke−λi (b−x)λi − ρk
k=1

i∈P

i∈P

Le calcul des dérivées première et seconde donne


b<x
 0,
0
n+1
f (x) =P
Bk ρk e−ρk (b−x) , x ≤ b,

k=1

et



b<x
 0,
00
n+1
f (x) =P

Bk ρ2k e−ρk (b−x) , x ≤ b.

k=1

Avec l’écriture de la partie intégrale donnée par (2.14), l’équation complète peut être reconstituée− a f (x) + Gf (x)Z
σ 2 000= −(a + λ)f (x) + f (x) + γf (x) + f (x + t)u(t) dt
2
R


!
n+1
2
X pi λi
X p0 λ0X
σi i+− 1 − a=Bk e−ρk (b−x)  ρ2k + γρk + λ2λi − ρk
λ0i + ρk
i∈P
j∈N
k=1
"n+1
#
X
X
λi
−λ
pi e−λi (b−x)
Bk− e−λi y .
λi − ρki∈P

k=1

Comme ψ(ρk ) − a = 0 pour tout k, cette équation se résume au dernierterme. Avec la continuité de f en x = b, il vient finalement le système linéaire
suivant

 n+1
P


Bk = 0,

k=1

n+1
P λi

−λi y , ∀i ∈ P,λi −ρk Bk = e(2.15)

k=1

ou de façon équivalente l’équation matricielle en B = (B1 , . . . , Bn+1 )T :61

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

M B = L avec L = (e−λ1 y , . . . , e−λn y , 0)T et

λ1
λ1 −ρ1λ2λ2 −ρ1





..
M =
.

 λn
 λn −ρ1
1

2.2.3

λ1
λ1 −ρ2λ2
λ2 −ρ2...

λnλn −ρ2

...

1

...

...

λ1
λ1 −ρn+1λ2
λ2 −ρn+1







..
.
.


λn
λn −ρn+1 1Défaut sur fonds propres

Au milieu des années 2000, de nouveaux produits dérivés hybrides entre
les instruments sur fonds propres et les dérivés de crédit ont été introduits
sur le marché de gré à gré. Ces produits sont très proches des swaps dedéfaut (Credit Default Swaps ou CDS) dans le mécanisme et la terminologie
utilisée. Appelés swaps de défaut sur fonds propres (Equity Default Swaps
ou EDS), ils permettent le transfert d’un risque de diminution importantede la valeur de ceux-ci. Cette diminution importante de valeur constitue
le défaut sur fonds propres. Il signale aussi un potentiel défaut futur surles lignes de crédit et obligataires de la société concernée. En tout état decause, l’évènement qui déclenche la protection dans le cas des EDS est plus
facilement et plus objectivement observable sur le marché que l’évènement
de crédit qui sert de référence aux CDS.
2.2.3.1

Évaluation d’un Equity Default Swap

La structure de ces deux produits est par ailleurs très proche avec une
jambe payeuse pour l’acheteur de la protection et une jambe receveuse pourle vendeur de la protection. La jambe receveuse se résume à un paiement
unique, conditionnellement à la survenue de l’évènement de défaut sur fonds
propres. Il correspond au temps de premier passage des fonds propres àmoins d’un certain pourcentage D, typiquement D = 30%, de leur valeurà l’initiation du contrat. De façon similaire aux CDS, le vendeur de l’EDS
s’engage alors à payer M (1 − R) où M est le montant notionnel sur lequelporte la protection et R est le taux de récupération défini par avance dans lestermes du contrat. Cette terminologie vient directement des CDS où l’acheteur de la protection peut récupérer une certaine partie des fonds investis
après la survenue de l’évènement de défaut.

62

2.2 Prise en compte d’une barrière

En contrepartie de cette protection, l’acheteur de l’EDS effectue des paiements périodiques d’un coupon défini par le taux de swap ρEDS , jusqu’à lasurvenue de l’évènement de défaut ou que le contrat arrive à maturité. Typiquement, les coupons de la jambe payeuse sont payés semi-annuellement.
À la date du défaut τ , le coupon couru est déduit du paiement effectué parle vendeur. Formellement, le temps de premier passage est défini de la façonsuivante
τ = inf{t ≥ 0; St ≤ D × S0 }où St est la valeur de l’action observée sur le marché à l’instant t. La figure 2.1
donne le diagramme de flux associé à ce produit. Les flux en pointillé représentent les coupons qui ne sont plus à payer suite au défaut constaté sur les
fonds propres. Il est à noter qu’il n’y a pas d’échange de flux à l’initiation
du contrat.

d0

d1

d2

dp−1

dp

τ

t

T

M (1 − R)
Figure 2.1 – Diagramme de flux d’un EDS
Notons par N le nombre de jours restant jusqu’à la maturité T de l’EDS.
Avec la convention de ∆ = 360 jours pour un an, nous avons ainsi N = ∆×Tet pour le nombre de jours passés depuis la conception du contrat n = ∆ × t,où t est le temps courant compté en années. Soit δn la fonction indicatricede la survenue du défaut sur fonds propres avant le jour n. Elle est définiepar δn = 1{τ ≤n/∆} .
Le paiement effectué sur la jambe receveuse le jour n peut s’écrire comme"
Rn = δn − δn−1M (1 − R) − M ρEDS

n − dp(n)∆#,où p(n) indique la dernière date de paiement de coupon juste avant le journ. Le dernier terme tient compte du coupon couru jusqu’à la survenue dudéfaut en τ .
Il y a en tout P coupons sur la jambe payeuse jusqu’à maturité et ils
sont effectués aux dates dp avec 1 ≤ p ≤ P . En notant d0 l’instant initial, le63

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantspe paiement s’écrit
Pp = M ρEDS

(dp − dp−1 )(1 − δdp ).
∆A l’initiation du contrat, sa valeur est nulle. La relation suivante peutalors être obtenue :hdp in
EQ Rn e−r ∆ − Pp e−r ∆ = 0,où r est le taux d’intérêt, supposé constant sur la période considérée.
 
En notant q̂(n) = EQ δn la probabilité du temps de premier passage
qui peut être calculée grâce à l’équation (2.12), le taux de swap ρEDS que
le vendeur de la protection doit exiger peut alors être calculé à partir de laformule suivante :(1 − R)ρEDS =N Pnq̂(n) − q̂(n − 1) e−r ∆

n=1

N 
P 
 n−dp(n) −r n (dp −dp−1 ) −r dpPPq̂(n) − q̂(n − 1)
1 − q̂(dp )
e ∆ +
e ∆
∆
∆

p=1

n=1

(2.16)
2.2.3.2Évaluation d’une Equity Default Option

L’option de défaut sur fonds propres (appelée Equity Default Option ou
EDO dans toute la suite) est un produit dérivé qui permet à son acheteurde se protéger contre une baisse brutale du sous-jacent à l’instar d’une EDS
mais sur un horizon beaucoup plus court, typiquement un an. Cette option
pourrait ainsi servir d’instrument de couverture au vendeur d’une EDS sur lamaturité résiduelle de cette dernière. Cette fois-ci, contre le paiement d’une
prime PEDO unique à l’initiation du contrat, l’acheteur de la protection reçoità maturité M (1 − R) où M est le montant notionnel du contrat et R le tauxde récupération préalablement convenu entre les deux parties. La figure 2.2
récapitule le diagramme de flux de l’EDO.
La prime PEDO peut être calculée comme suit :
PEDO = EQ e−rT M (1 − R)1{τ ≤T } = e−rT M (1 − R) Q(τ ≤ T ),(2.17)où, de nouveau, cette dernière probabilité peut être calculée en inversant latransformée de Laplace obtenue à l’équation (2.12).
64

2.3 Options d’échange

τ

0

T

t

M (1 − R)
Figure 2.2 – Diagramme de flux d’une EDO

2.3

Options d’échange

Dans cette section, nous allons porter notre attention sur les optionsd’échange, étudiées par Margrabe (1978) dans le cadre de deux sous-jacentslog-normaux. L’option d’échange donne le droit à son détenteur d’échangerà l’échéance un actif contre un autre. Soient S 1 et S 2 les processus de prixde ces deux actifs. Le payoff à l’échéance T de l’option de Margrabe s’écrit
CT (ST1 , ST2 ) = (ST2 − ST1 )+ .

(2.18)

Comme le montrent Harrison et Pliska (1981), le marché étant supposésans frictions et sans opportunité d’arbitrage implique l’existence d’une mesure risque-neutre sous laquelle la valeur de l’option s’écrit comme l’espérance actualisée au taux sans risque r du payoff à l’échéance. La valeur del’option de Margrabe s’écrit ainsi
Ct (St1 , St2 ) = EQ [e−rτ (ST2 − ST1 )+ |Ft ],(2.19)où Q est la mesure risque-neutre d’évaluation, τ = T − t est le temps restant avant échéance et Ft représente l’information disponible à l’instant t.
Dans toute la suite, les calculs sont menés pour l’instant t = 0 et les calculs
d’espérance se font sous la mesure Q sauf mention du contraire. Il est àrappeler que sorti du cadre gaussien de Black, Scholes et Merton, la mesurerisque-neutre d’évaluation n’est plus unique. Nous supposerons que la mesure d’évaluation est donnée, après calibrage sur les données de marché par
exemple (voir à ce sujet Cont et Tankov (2004b)).

2.3.1

Les deux actifs ont des sauts de taille constanteDans un premier temps, considérons que les deux actifs suivent chacun
un processus diffusif avec des sauts de taille constante.

65

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

L’actif S 1 vérifie sous la mesure risque-neutre Q l’équation différentielle
stochastiquedSt1= (r − λκ1 ) dt + σ1 dWt + (Y1 − 1) dNt
St1−où N est un processus de Poisson d’intensité λ et par ailleurs indépendant
du mouvement brownien standard W . La taille des sauts est ici supposéeconstante et égale à Y1 = eJ1 > 0 et κ1 = Y1 − 1.
L’actif S 2 vérifie l’équation différentielle stochastique suivante :dSt2= (r − λκ2 ) dt + σ2 dWt0 + (Y2 − 1) dNt ,St2−avec une taille de sauts constante égale à Y2 = eJ2 > 0, κ2 = Y2 − 1 et Nindépendant de W 0 , un mouvement brownien standard qui est corrélé avec
W par d<W, W 0>t = ρdt.
La décorrélation de ces mouvements browniens donne le système d’équations différentielles stochastiques suivant :dSt1= (r − λκ1 ) dt + σ1 dWt + (Y1 − 1) dNt
St1−
p
dSt2
=
(r
−
λκ
)
dt
+
ρσ
dW
+
σ
1 − ρ2 dZt + (Y2 − 1) dNt ,
2
2
t
2
St2−

(2.20)(2.21)où cette fois-ci, d<W, Z>t = 0.
2.3.1.1

Calculs préliminaires

Le lemme d’Itō pour l’inverse de l’actif S 1 s’écrit : σ 2 (S 1 )2
1 
= − 1 2 (r − λκ1 )St1 dt + σ1 St1 dWt + 1 1 t 3 dt
(S )
(St )
 t

1
1
+
− 1 dNt(partie sauts)
1
St
St−
 1

 σ2
St− − St11 
1
= − 1 (r − λκ1 )dt + σ1 dWt + 1 dt +
dNt
St
St
St1− St1
 

1
1 2
σ1
∆St1
d
=
σ
−
r
+
λκ
dt
−
dW
−
dNt ,
(2.22)
t
1
St1
St1 1
St1
St1− St1


d

66

1
St1



2.3 Options d’échangeoù ∆St1 = St1 − St1− est le saut qui survient à l’instant t.
Par ailleurs, la règle de différentiation d’Itō permet de calculer :

d

St2
St1



 1 
h 1
i
1
= St2− d 1 + 1 dSt2 + d 1 , St2
St
St
St

avec la covariation qui s’écrit :


1
S2
∆S 1
2
d 1 , St = −ρ σ1 σ2 t1 dt − 1 t 1 ∆St2 dNt
St
St
St− StD’où nous pouvons déduire l’équation différentielle stochastique vérifiéepar S 2 /S 1 :


 1 
h 1
i
St1−
d St2 /St1
12
2
2
= 2 St− d 1 + 1 dSt + d 1 , St
St2− /St1−
St−
St
St
St
 1  dS 2 S 1 h 1
i−= St1− d 1 + 2t + t2 d 1 , St2
St
St−
St− St∆S 1= σ12 − r + λκ1 dt − σ1 dWt − 1t dNt
St
p

∆S 2
+ r − λκ2 dt + ρσ2 dWt + σ2 1 − ρ2 dZt + 2 t dNtSt−− ρσ1 σ2 dt −∆St1 ∆St2dNt
St1 St2− 
d St2 /St1
2
=
σ
+
λ(κ
−
κ
)
−
ρσ
σ
1
2
1 2 dt1
St2− /St1−
Yp2+ (ρσ2 − σ1 )dWt + σ2 1 − ρ2 dZt +− 1 dNt .
Y1(2.23)

En appliquant le lemme d’Itō, la dynamique de S 2 /S 1 vient :√
S02 λ(κ1 −κ2 )+ 21 (σ12 −σ22 ) t+(ρσ2 −σ1 ) Wt +σ2 1−ρ2 Zt +ln YY2 ×Nt
St2
1
=
e
St1
S01
2.3.1.2(2.24)

Évaluation de l’option d’échange

L’équation (2.19) s’écrit à l’instant t = 0 :C0 (S01 , S02 ) = EQ [e−rτ (ST2 − ST1 )+ ]hihi
= EQ e−rτ ST2 1{S 2 >S 1 } − EQ e−rτ ST1 1{S 2 >S 1 }
T

T

T

T

67

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

et par un changement de numéraire que nous allons préciser :hihi= S02 EQS2 1{S 2 >S 1 } − S01 EQS1 1{S 2 >S 1 }
T
T
T
T


1
2
2
2
1
1
2
1
C0 (S0 , S0 ) = S0 QS 2 ST > ST − S0 QS 1 ST > ST ,(2.25)où les probabilités QS 1 et QS 2 sont définies par rapport à la mesure risqueneutre de la manière suivante :ST1 −rT
dQS 1
e
=
dQ FT
S01

(2.26a)ST2 −rT
dQS 2
e
=
dQ FT
S02

(2.26b)Pour déterminer ces densités de Radon-Nikodym, nous avons besoin desdynamiques de S 1 et de S 2 . Une application directe du lemme d’Itō à l’équation (2.20) donne la dynamique de S 1 qui apparaı̂t alors comme l’exponentielle d’un processus de Lévy :1 2
St1 = S01 e(r−λκ1 − 2 σ1 ) t+σ1 Wt +J1 ×Nt ,(2.27)

tandis que la dynamique de S 2 s’écrit :1

2

St2 = S02 e(r−λκ2 − 2 σ2 ) t+ρσ2 Wt +σ2√

1−ρ2 Zt +J2 ×Nt.

(2.28)où, pour rappel, Y1 = eJ1 et Y2 = eJ2 .
Il vient alors des équations (2.26a) et (2.27) que
1 2
dQS 1
= e(−λκ1 − 2 σ1 ) T +σ1 WT +J1 ×NT
F
dQ T
1

2

= e− 2 σ1 T +σ1 WT × eJ1 ×NT −λκ1 T
dQS 1
= L1T
dQ FT
où L1 est le processus solution de l’équation différentielle stochastique suivante :dL1t= σ1 dWt + (Y1 − 1) dÑt ,L1t−

L10 = 1

avec Ñ le processus de Poisson N compensé.
D’après le théorème de Girsanov, Wt0 = Wt − σ1 t, Zt0 = Zt sont des682.3 Options d’échange

mouvements browniens standards indépendants et Nt0 = Ñt − λ(Y1 − 1)t est
un processus de Poisson compensé sous la mesure QS 1 associée au numéraire
S 1 . De fait, il s’en déduit que N est un processus de Poisson avec intensitéλY1 sous QS 1 .
Sous la mesure QS 1 , la dynamique de S 2 /S 1 s’écrit ainsi :


 √
St2
S02 λ(Y1 −Y2 )+ 12 (σ12 −σ22 ) t+(ρσ2 −σ1 ) Wt0 +σ1 t +σ2 1−ρ2 Zt0 +ln YY2 ×Nt
1
= 1e
St1
S0


√
S02 λ(Y1 −Y2 )− 21 (σ12 +σ22 )+ρσ1 σ2 t+(ρσ2 −σ1 ) Wt0 +σ2 1−ρ2 Zt0 +ln YY2 ×Nt
1
= 1e
S0
et en posant σ̃ =p
σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 :St2S02 λ(Y1 −Y2 )− 21 σ̃2 t + σ̃ W̃t +ln YY2 ×Nt
1
= 1e
St1
S0

(2.29)où W̃ est un mouvement brownien standard sous QS 1 .
La probabilité figurant dans le deuxième terme de l’équation (2.25) peutalors être calculée :
QS 1 ST2 > ST1
 2

S= QS 1 ST1 > 1
T



Y
λ(Y1 −Y2 )− 12 σ̃ 2 T + σ̃ W˜T +ln Y2 ×NT
S02
1= QS 1 S 1 e>10puis, en conditionnant par le nombre de sauts survenus jusqu’à l’échéance :=X

QS 1(NT = n)QS 1

n≥0

=

X

Y
λ(Y1 −Y2 )− 21 σ̃ 2 T +σ̃ W˜T +n ln Y2
S02
1
e
1
S0








>1


 1
 

S
QS 1(NT = n)QS 1 σ̃ W̃t > ln S02 − λ(Y1 − Y2 ) − 12 σ̃ 2 T −n ln YY120n≥0

Finalement, en posant  2
 S,dn = σ̃√1 T ln S01 + λ(Y1 − Y2 )T − 21 σ̃ 2 T + n ln YY21

(2.30)

0nous avons
QS 1 ST2 > ST1
69

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

=

X



√
n
1T )
e−λY1 T (λYn!
QS 1 W˜T > − T dn

n≥0

=

X

n

1T )
e−λY1 T (λYn!
N(dn )(2.31)n≥0où N est la fonction de répartition d’une loi gaussienne centrée réduite.
Par ailleurs, les équations (2.26b) et (2.28) montrent que√dQS 2(−λκ2 − 21 σ22 ) T +ρσ2 WT +σ2 1−ρ2 ZT +J2 ×NT
=
e
dQ FT
√
1 2
2
= e− 2 σ2 T +ρσ2 WT +σ2 1−ρ ZT × eJ2 ×NT −λκ2 T
dQS 2
= L2T
dQ FT
où L2 est la solution de l’équation différentielle stochastique suivante :
p
dL2t
=
ρσ
dW
+
σ
1 − ρ2 dZt + (Y2 − 1) dÑt ,
2
t
2
L2t−

L20 = 1

avec Ñ le processus de Poisson N compensé.
Cette fois-ci, le théorème de Girsanov stipule que Wt0 = Wt − ρσ2 t, Zt0 =p
Zt − σ2 1 − ρ2 t sont des mouvements browniens standards indépendants et
Nt0 = Ñt − λ(Y2 − 1)t est un processus de Poisson compensé sous la mesure
QS 2 associée au numéraire S 2 . En particulier, N est un processus de Poissond’intensité λY2 sous QS 2 .
La dynamique de S 2 /S 1 s’écrit alors sous la mesure QS 2 :



St2
S02 λ(Y1 −Y2 )+ 1 (σ12 −σ22 ) t+(ρσ2 −σ1 ) Wt0 +ρσ2 t +σ2 √1−ρ2 Zt0 +σ2 √1−ρ2 t
2
= 1e
St1
S0

Y
ln Y2 ×Nt
1
×e


√
S02 λ(Y1 −Y2 )+ 12 (σ12 +σ22 )−ρσ1 σ2 t+(ρσ2 −σ1 ) Wt0 +σ2 1−ρ2 Zt0 +ln YY2 ×Nt
1
= 1e
S0
et toujours avec σ̃ =p
σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 :St2S02 λ(Y1 −Y2 )+ 12 σ̃2 t + σ̃ W̃t +ln YY2 ×Nt
1
= 1e
St1
S0
où W̃ est, cette fois-ci, un mouvement brownien standard sous QS 2 .

70(2.32)

2.3 Options d’échange

La probabilité sous QS 2 de l’équation (2.25) s’écrit alors :
QS 2 ST2 > ST1
 2

S= QS 2 ST1 > 1

T


Y
λ(Y1 −Y2 )+ 21 σ̃ 2 T + σ̃ W˜T +ln Y2 ×NT
S02
1>1= QS 2 S 1 e(2.33)

0

puis, de nouveau en conditionnant par le nombre de sauts NT survenus :
=

X


 

Y
λ(Y1 −Y2 )+ 21 σ̃ 2 T +σ̃ W˜T +n ln Y2
S2
1 >1
QS 2(NT = n)QS 2 S01 e
0

n≥0


 1
 
X

S
=
QS 2(NT = n)QS 2 σ̃ W̃t > ln S02 − λ(Y1 − Y2 ) + 12 σ̃ 2 T −n ln YY21
n≥0

=

X
n≥0

=

X

0

√
√ 
n
2T )
QS 2 W˜T > − T (dn + σ̃ T )e−λY2 T (λYn!


√
n
2T )
N(dn + σ̃ T )e−λY2 T (λYn!

(2.34)

n≥0

Dans le cas de sous-jacents représentés avec des processus diffusifs avec
des sauts de taille constante, nous avons alors, grâce aux équations (2.25),(2.31) et (2.34), la formule semi-explicite suivante pour une option de Margrabe :C0 (S01 , S02 ) = S02

X

√
n
2T )
e−λY2 T (λYn!
N(dn + σ̃ T )

n≥0

− S01

X

n

1T )
e−λY1 T (λYn!
N(dn ), (2.35)n≥0où, pour rappel,  2
 Sdn = σ̃√1 T ln S01 + λ(Y1 − Y2 )T − 21 σ̃ 2 T + n ln YY21.
0

2.3.1.3

Résultats numériques et discussion

Dans le cas où la taille de sauts des deux sous-jacents est la même,
c’est-à-dire Y1 = Y2 > 0, la formule précédente (2.35) se ramène à la formuled’évaluation d’une option de Margrabe dans le cas Black, Scholes et Merton :√C0 (S01 , S02 ) = S02 N(dBS + σ̃ T ) − S01 N(dBS ),(2.36)
71

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsoù  2S
dBS = σ̃√1 T ln S01 − 21 σ̃ 2 T .
0Nous retrouvons aussi cette formule d’évaluation (2.36) dans le cas où leprocessus de Poisson a une intensité λ = 0. Il est à remarquer que le tauxd’intérêt r n’intervient ni dans cette formule ni dans la formule (2.35) tenant
en compte les sauts de taille constante puisque dans ce produit dérivé, c’est
la performance relative des deux actifs qui importe.
Dans ce qui suit, les paramètres suivants ont été utilisé pour les deux
actifs considérés. Le prix initial des deux sous-jacents est respectivement de
S01 = 100 et de S02 = 110. Leur partie diffusive a été fixée à σ12 = 0.22 et
σ22 = 0.18. Le temps restant avant échéance de l’option est de τ = 1.
Les figures 2.3 et 2.4 montrent la sensibilité du prix de l’option d’échange
en fonction du coefficient de corrélation ρ. L’intensité du processus de Poisson gouvernant les sauts est λ = 1. La taille des sauts de l’actif à échanger
S 1 est fixée à Y1 = 1.25. Les prix d’option calculés sur la figure 2.3 correspondent à une taille des sauts de l’actif S 2 inférieure à celle des sauts de S 1
tandis que la figure 2.4 présente les prix calculé pour une taille des sauts de
S 2 supérieure à celle des sauts de S 1 .
Le trait continu représente le prix de cette option d’échange dans le cadre
uniquement diffusif de Black, Scholes et Merton. Ces figures montrent quela non prise en compte des sauts sous-évalue le prix de cette option dansle cadre de Black, Scholes et Merton et cela d’autant plus que les tailles desauts diffèrent.

2.3.2

Un mouvement brownien contre un processus diffusif
avec sauts

Dans cette section, nous considérons que sous la mesure risque-neutre Q,
l’actif S 1 suive un processus diffusif classique de Black, Scholes et Merton,
avec un taux de dividende continu δ1
dSt1= (r − δ1 ) dt + σ1 dWt
St172

2.3 Options d’échange

Sensibilité du prix de l’option au coefficient de corrélation ρ
50
BSM
Y2/Y1= 0.6

Payoff final : (S2T − S1T)+ −− T= 1.00 an(s)45

Y2/Y1= 0.7
Y2/Y1= 0.8

40
35
30
25
20
15
10
−1

−0.5

0

0.5

1

S10= 100.00, S20= 110.00, σ21= 0.22, σ22= 0.18 −− λ= 1.00, Y1= 1.25

Figure 2.3 – Sensibilité d’une option de Margrabe au coefficient de corrélation ρ – Rapport des tailles de sauts Y2 /Y1 < 1.
Sensibilité du prix de l’option au coefficient de corrélation ρ
50
BSM
Y2/Y1= 1.3

Payoff final : (S2T − S1T)+ −− T= 1.00 an(s)45

Y2/Y1= 1.4
Y2/Y1= 1.5

40
35
30
25
20
15
10
−1

−0.5

0

0.5

1

S10= 100.00, S20= 110.00, σ21= 0.22, σ22= 0.18 −− λ= 1.00, Y1= 1.25

Figure 2.4 – Sensibilité d’une option de Margrabe au coefficient de corrélation ρ – Rapport des tailles de sauts Y2 /Y1 > 1.
73

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsoù W est un mouvement brownien standard sous Q et que l’actif S 2 suive
un processus diffusif avec sauts et délivre un dividende continu de taux δ2 :p
dSt2
= (r − δ2 − λκ2 ) dt + ρσ2 dWt + σ2 1 − ρ2 dZt + (Y2 − 1) dNt ,2St−où Z est un autre mouvement brownien standard tel que d<W, Z>t = 0 et N
est un processus de Poisson d’intensité λ indépendant des deux précédents
mouvements browniens. Cette fois, la taille des sauts Y2 est une variablealéatoire indépendante de ces processus avec κ2 = E(Y2 − 1).
2.3.2.1

Calculs préliminaires

L’inverse de l’actif S 1 s’écrit à l’aide du lemme d’Itō : 
 σ 2 (S 1 )2
1
1 
1
1
d
=
−
(r
−
δ
)S
dt
+
σ
S
dW
+ 1 1 t 3 dt
1
1
t
t
t
1
1
2
St
(St )
(St )


2
1
σ
= − 1 (r − δ1 )dt + σ1 dWt + 11 dt
St
St
 

1
1
σ1
d
= 1 σ12 − (r − δ1 ) dt − 1 dWt .
1
St
St
St

(2.37)

La covariation entre S11 et St2 s’écrit :
t



1
S2
2
d 1 , St = −ρ σ1 σ2 t1 dt.
St
St
L’équation différentielle stochastique vérifiée par S 2 /S 1 s’en déduit :


 1 
i
h 1
St1−
d St2 /St1
12
2
2
= 2 St− d 1 + 1 dSt + d 1 , St
St2− /St1−
St−
St
St
St
 1  dS 2 S 1 h 1
i−= St1− d 1 + 2t + t2 d 1 , St2
St
St−
St− St= σ12 − (r − δ1 )) dt − σ1 dWtp∆S 2+ r − δ2 − λκ2 dt + ρσ2 dWt + σ2 1 − ρ2 dZt + 2 t dNtSt−
1

d St2 /St
St2− /St1−

74− ρ σ1 σ2 dt= (δ1 − δ2 ) + σ12 − λκ2 − ρσ1 σ2 dt

2.3 Options d’échange+ (ρσ2 − σ1 )dWt + σ2p
1 − ρ2 dZt + Y2 − 1 dNt .

(2.38)Le lemme d’Itō permet alors de retrouver la dynamique de S 2 /S 1 sous
Q:


N
√
Pt
St2
S02 (δ1 −δ2 )+ 21 (σ12 −σ22 )−λκ2 t+(ρσ2 −σ1 ) Wt +σ2 1−ρ2 Zt +i=1 ln (Y2 )i
= 1e
.
St1
S0
(2.39)
La dynamique de S 1 s’écrit par ailleurs comme12

St1 = S01 e(r−δ1 − 2 σ1 ) t+σ1 Wt ,(2.40)

tandis que celle de S 2 s’écrit :(r−δ2 − 12 σ22 −λκ2 ) t+ρσ2 Wt +σ222
St = S0 e√

1−ρ2 Zt +N
Ptln (Y2 )i

i=1


.

(2.41)

Pour tenir compte des dividendes, le changement de probabilité (2.26a)associé au numéraire S 1 devient ici :ST1 −(r−δ1 )T
dQS 1
=
e
dQ FT
S01
ce qui donne :
1 2
dQS 1
= e− 2 σ1 T +σ1 WT = L1T ,F
dQ T

où L1 est solution de l’équation différentielle stochastiquedL1t= σ1 dWt .
L1t−
D’après le théorème de Girsanov, seul le processus W change sous lanouvelle mesure QS 1 tel que Wt0 = Wt − σ1 t est un mouvement brownien
standard sous QS 1 . La dynamique de S 2 /S 1 s’écrit alors sous la mesureassociée au numéraire S 1 :


N
√
Pt
St2
S02 (δ1 −δ2 )+ 21 (σ12 −σ22 )−λκ2 t+(ρσ2 −σ1 ) (Wt0 +σ1 t)+σ2 1−ρ2 Zt +i=1 ln (Y2 )i
= 1e
St1
S0

75

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants



N
√
Pt
S02 (δ1 −δ2 )+ρσ1 σ2 − 21 (σ12 +σ22 )−λκ2 t+(ρσ2 −σ1 ) Wt0 +σ2 1−ρ2 Zt +i=1 ln (Y2 )i= 1e
S0
et en posant σ̃ =p
σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 :



N
Pt
St2
S02 (δ1 −δ2 )−λκ2 − 21 σ̃2 t+σ̃ W̃t +i=1 ln (Y2 )i
= 1e
St1
S0

(2.42)où W̃ est un mouvement brownien standard sous QS 1 .
Le changement de numéraire (2.26b) associé à S 2 s’écrit en tenant compte
des dividendes :ST2 −(r−δ2 )T
dQS 2
=
e
dQ FT
S02
(− 21 σ22 −λκ2 ) T +ρσ2 WT +σ2=e− 21 σ22 T +ρσ2 WT +σ2

=e

√

√

1−ρ2 ZT +1−ρ2 ZTNTPln (Y2 )i



i=1
N
T
P

ei=1



ln (Y2 )i −λκ2 T√
dQS 2− 21 σ22 T +ρσ2 WT +σ2 1−ρ2 ZT RT
=
e
e ,
dQ FT
où RT est l’exposant de l’exponentielle de droite.
Cette fois-ci, le calcul de l’exposant de Laplace de la partie exponentielle de la dynamique (2.39) sous QS 2 va nous permettre de retrouver ses
caractéristiques sous cette nouvelle mesure.
Ainsi, en notant l’exposant de cette partie exponentielle parp
Lt = (δ1 − δ2 ) + 12 (σ12 − σ22 ) − λκ2 t + (ρσ2 − σ1 ) Wt + σ2 1 − ρ2 Zt
+

Nt
X


ln (Y2 )i ,i=1

lequel peut se réécrirepLt = (δ1 − δ2 ) + 12 (σ12 − σ22 ) t + (ρσ2 − σ1 ) Wt + σ2 1 − ρ2 Zt + Rt ,il vient :h dQ 2iS
sLt
EQS2 esLt = EQ
e
dQ Ft
76

2.3 Options d’échange

√
h 1 2
i
2
= EQ e− 2 σ2 t+ρσ2 Wt +σ2 1−ρ Zt eRt esLt
√
h
i
1 2
1
2
2
2
= EQ es(δ1 −δ2 )t+ 2 s(σ1 −σ2 )t− 2 σ2 t+[(s+1)ρσ2 −sσ1 ]Wt +(s+1)σ2 1−ρ Zt× EQ e(s+1)Rt



1
1
2
2
2
2
2
= et (δ1 −δ2 )s+ 2 (σ1 +σ2 −2ρσ1 σ2 )s+ 2 (σ1 +σ2 −2ρσ1 σ2 )s EQ e(s+1)Rt sLt t (δ1 −δ2 )s+ 21 σ̃ 2 s+ 21 σ̃ 2 s2 tψR (s+1)
e,(2.43)EQS2 e=eoù, pour rappel, σ̃ =p
σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 et ψR (s) est l’exposant de Laplacesous Q de la composante de sauts.
2.3.2.2

Approche probabilisteÀ l’instant t = 0, l’équation (2.19) se ramène à :C0 (S01 , S02 ) = EQ [e−rτ (ST2 − ST1 )+ ].
Les changements de numéraire qui précèdent permettent de trouver laformule d’évaluation suivante, à comparer avec la formule (2.25) qui ne tientpas compte des dividendes :
C0 (S01 , S02 ) = S02 e−δ2 τ QS 2 ST2 > ST1 − S01 e−δ1 τ QS 1 ST2 > ST1 .

(2.44)

Sauts gaussiens
Dans le cas où la taille des sauts J2 = ln(Y2 ) suit une loi gaussienne demoyenne µJ et de variance σJ2 , l’exposant de Laplace de la composante desauts Rt s’écrit


1 2 2
ψR (s) = −λκ2 s + λ eµJ s+ 2 σJ s − 1 ,12où, pour rappel, κ2 = E(Y2 − 1) = eµJ + 2 σJ − 1 = eγ − 1.
Cela nous permet de trouver les caractéristiques de la dynamique desauts sous QS 2 . En effet,


1 2
2
ψR (s + 1) = −λκ2 (s + 1) + λ eµJ (s+1)+ 2 σJ (s+1) − 1



1 2 2
2
1 2
= −λκ2 (s + 1) + λ e µJ +σJ s+ 2 σJ s eµJ + 2 σJ − 1



1 2 2
2
= −λκ2 (s + 1) + λ e µJ +σJ s+ 2 σJ s (1 + κ2 ) − 1
77

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants



1 2 2
ψR (s + 1) = −λκ2 s + λ̂ eµ̂J s+ 2 σ̂J s − 1 ,(2.45)où λ̂ = λ(1 + κ2 ) est l’intensité du processus de Poisson N sous la nouvellemesure, la taille des sauts suivant toujours une loi gaussienne avec la mêmevariance σ̂J2 = σJ2 mais de moyenne µ̂J = µJ + σJ2 .
Le premier terme de la formule d’évaluation de l’option d’échange s’écrit :S02 e−δ2 τ QS 2 (ST2 > ST1 ) = S02 e−δ2 τ QS 2
= S02 e−δ2 τ QS 2

 S2



0 LT
e >1
S01


 1 
S
LT > ln S02 .
0

Or, il est facile d’établir avec les équations (2.43) et (2.45) que sous lamesure QS 2 ,
NT
X

Jˆi
LT = (δ1 − δ2 ) − λκ2 + 12 σ̃ 2 T + σ̃ W̃T +i=1où σ̃ =p
σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 , W̃ est un mouvement brownien standard sous

QS 2 , N est un processus de Poisson d’intensité λ̂ = λ(1 + κ2 ) et la taille dessauts Jˆi suit une loi gaussienne de moyenne µ̂J et de variance σ 2 .
JAinsi, il vient :
h
NT
 1
i
X
S
QS 2 (ST2 > ST1 ) = QS 2 (δ1 − δ2 ) − λκ2 + 12 σ̃ 2 T + σ̃ W̃T +Jˆi > ln S02
=

X

h

QS 2(NT = n)QS 2i
T + σ̃ W̃T +

0

 1
S
ˆ
Ji > ln S02
0

i=1

n≥0

Et puisque(δ1 − δ2 ) − λκ2 + 12 σ̃ 2

i=1
n
X

n
P
Jˆi suit une loi gaussienne d’espérance nµ̂J et de variance
i=1

totale nσJ2 :QS 2 (ST2 > ST1 )
h
i
 1
X
S0
−λ̂T λ̂n
1 2=
en! QS 2 (δ1 − δ2 ) − λκ2 + 2 σ̃ T + nµ̂J + σ̃n W̃T > ln S 2
n≥0

78

0

2.3 Options d’échange
σ2où σ̃n2 = σ̃ 2 + n TJne−λ̂T λ̂n! QS 2
=
n≥0

X

 
.

S01
n
1 2
1 2
T (µJ + 2 σJ )+(δ1 −δ2 )−λκ2 + 2 σ̃n T + σ̃n W̃T > ln S02



En posant   
 
S02
nγ
1√
1 2
˜
dn = σ̃ T ln S 1 + T + (δ1 − δ2 ) − λκ2 + 2 σ̃n Tn(2.46)

0où, pour rappel, γ = µJ + 12 σJ2 , le terme de gauche de la formule d’évaluations’écrit
S02 e−δ2 τ QS 2 (ST2 > ST1 ) = S02 e−δ2 τXne−λ̂T λ̂n! N(d˜n )(2.47)n≥0où N est la fonction de répartition d’une loi gaussienne centrée réduite.
Pour le deuxième terme, l’équation (2.42) nous donne directement les
caractéristiques de LT sous la mesure QS 1 . En effet,
NT
X


Ji
LT = (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2 T + σ̃ W̃t +i=1où σ̃ =p

σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 , W̃ est un mouvement brownien standard sous

QS 1 , N est un processus de Poisson d’intensité λ et la taille des sauts Ji suitune loi gaussienne de moyenne µJ et de variance σJ2 .
Il en découle que :hQS 1 (ST2 > ST1 ) = QS 1=X

(δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2i

T + σ̃ W̃T +hi
QS 1(NT = n)QS 1 (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2 T + σ̃ W̃T + 1
S
Ji > ln S02

i=1
n
X

0

 1
S
Ji > ln S02
0

i=1

n≥0

Comme

NT
X

n
P

Ji suit une loi gaussienne de moyenne nµJ et de variancei=1

nσJ2 :QS 1 (ST2 > ST1 )
h
i
 1
X
S0
−λT λn1 2=
e
n! QS 1 (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 2 σ̃ T + nµJ + σ̃n W̃T > ln S 2
n≥0

0

79

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsne−λT λn! QS 1
=
n≥0

X

n
1 2
1 2
T (µJ + 2 σJ )+(δ1 −δ2 )−λκ2 + 2 σ̃n



 1
S
T + σ̃n W̃T > ln S02 .
0

Le terme de droite de la formule d’évaluation devient alors :S01 e−δ1 τ QS 1 (ST2 > ST1 ) = S01 e−δ1 τX√ne−λT λn! N(d˜n − σ̃n T ).

(2.48)n≥0

En regroupant les équations (2.47) et (2.48), nous obtenons finalement :C0 (S01 , S02 ) = S02 e−δ2 τXne−λ̂T λ̂n! N(d˜n ) − S01 e−δ1 τ

n≥0

=

X

X

√ 
n
e−λT λn! N d˜n − σ̃n T

n≥0


√ 
2 −δ2 τ˜n )−S 1 e−δ1 τ eλκ2 T e−nγ N d˜n − σ̃n T
S
e
N(
d
0
0
n!

−λ̂T λ̂nen≥0C0 (S01 , S02 ) =Xne−λ̂T λ̂n! C(S02 , S01 , T, δ1 − λκ2 +n≥0nγ, δ2 , σ̃n2 ),T(2.49)où C(S, K, τ, r, δ, σ 2 ) est le prix Black et Scholes d’une option européenne
d’achat sur un sous-jacent de valeur S, distribuant des dividendes avec untaux δ et de volatilité σ, avec un prix d’exercice K et un temps restant avantéchéance τ .
Dans le cas où les deux sous-jacents ne distribuent pas de dividendes
sur la durée de vie de l’option, il est à remarquer avec l’équation (2.49)
que le prix de l’option d’échange d’un sous-jacent brownien contre un sousjacent diffusif avec sauts gaussiens est égal au prix d’une option européenne
d’achat dans le modèle de Merton avec la valeur du sous-jacent brownien S01
comme prix d’exercice, et en prenant un taux d’intérêt nul et une volatilitépσ̃ = σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 (cf. équation (1.14) au chapitre 1).
Sauts exponentiels doubles
La taille des sauts J2 = ln(Y2 ) suit ici une loi exponentielle double etl’exposant de Laplace de la composante de sauts s’écrit
 pλ

qλ2
1
ψR (s) = −λκ2 s + λ+−1 ,λ1 − s λ2 + s
1
2où pour rappel, κ2 = E(Y2 −1) = λpλ+ λqλ−1, λ1 > 1, λ2 > 0, p > 0, q > 0
1 −1
2 +1

et p + q = 1.
Nous avons alors les caractéristiques de la composante de sauts sous QS 2
grâce à l’expression de ψR (s + 1).

80

2.3 Options d’échange

En effet,
ψR (s + 1)


pλ1
qλ2
= −λκ2 (s + 1) + λ+−1
λ1 − s − 1 λ2 + s + 1
 pλ
λ1 − 1λ2 + 1qλ2
1= −λκ2 s + λ+− (1 + κ2 )λ1 − 1 (λ1 − 1) − s λ2 + 1 (λ2 + 1) + s p̂λ̂
q̂ λ̂21+−1 ,(2.50)= −λκ2 s + λ̂
λ̂1 − s λ̂2 + s
1où λ̂ = λ(1 + κ2 ), λ̂1 = λ1 − 1, λ̂2 = λ2 + 1, p̂ = (1+κ2pλ)(λ1 −1) et q̂ = 1 − p̂.

Donc sous la nouvelle mesure QS 2 , avec les équations (2.43) et (2.50),
L est de nouveau un processus diffusif avec sauts exponentiels doubles. Or,comme nous l’avons rappelé avec l’équation (1.20) au chapitre précédent,
les deux probabilités entrant en jeu dans la formule d’évaluation de l’optiond’échange peuvent être calculées par la fonction Υ donnée par Kou (2002).
Ainsi,P (Xt ≥ a) = Υ(γ 0 , σ, λ, p, λ1 , λ2 , a, t)
si sous la probabilité P , Xt = γ 0 t + σWt +NtPJi où la taille des sauts J suit

i=1

une loi exponentielle double.
À partir de l’équation (2.44), il vient
C0 (S01 , S02 ) = S02 e−δ2 τ QS 2 ST2 > ST1 − S01 e−δ1 τ QS 1 ST2 > ST1
 2
 2


S
S
= S02 e−δ2 τ QS 2 S01 eLT > 1 − S01 e−δ1 τ QS 1 S01 eLT > 10
 0 1 
 1 SS
2 −δ2 τ1 −δ1 τ0
= S0 eQS 2 LT > ln S 2− S0 eQS 1 LT > ln S02
00

et en terme de fonctions Υ : 1 
S1 2ˆˆ(δ1 − δ2 ) + 2 σ̃ − λκ2 , σ̃, λ̂, p̂, λ1 , λ2 , ln S02 , T0 1 
S− S01 e−δ1 τ Υ (δ1 − δ2 ) − 21 σ̃ 2 − λκ2 , σ̃, λ, p, λ1 , λ2 , ln S02 , T . (2.51)

C0 (S01 , S02 ) = S02 e−δ2 τ Υ

0

La figure 2.5 compare le prix d’une option d’échange dans le cadre classique de Black et Scholes (trait continu) à celui d’une option d’échange d’unsous-jacent log-normal contre un sous-jacent dont la dynamique suit le mo-81

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeantsdèle de Kou. Les mêmes paramètres que précédemment ont été conservé, misà part l’ajout d’une composante de sauts caractérisés par une probabilité desauts positifs p = 0.3, λ1 = 10 et λ2 = 5.
Sensibilité du prix de l’option au coefficient de corrélation ρ
45

40

35

30

T

T

Payoff final : (S2 − S1 )+ −− T= 1.00 an(s)BSM vs BSM
BSM vs Kou

25

20

15

10
−1

−0.5

0

0.5

1

S10= 100.00, S20= 110.00, σ21= 0.22, σ22= 0.18 −− λ= 1.00, p= 0.30, λ1=10.00, λ2=5.00

Figure 2.5 – Option d’échange d’un mouvement brownien contre un processus diffusif avec sauts exponentiels doubles
En rapprochant l’équation (2.51) de la formule (1.21) du chapitre 1,
nous pouvons conclure que le prix de l’option d’échange d’un sous-jacent
brownien contre un actif suivant un processus diffusif avec sauts de Kou est
égal au prix d’une option européenne d’achat dans le modèle de Kou avec
la valeur du premier sous-jacent S01 comme prix d’exercice, en prenant un
ptaux d’intérêt nul et une volatilité σ̃ = σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 pour la partie
diffusive.
Les observations effectuées dans les deux cas que nous venons d’étudier
nous incitent à suivre l’approche par transformée de Fourier rapide qui va
nous permettre comme dans le chapitre précédent d’améliorer le temps decalcul de ces formules d’évaluation.

82

2.3 Options d’échange

2.3.2.3

Approche par transformée de Fourier généralisée

En prenant la mesure QS 1 comme nouvelle mesure d’évaluation, le changement de numéraire nous donne alors :C0 (S01 , S02 ) = EQ [e−rτ (ST2 − ST1 )+ ]h 1iS= EQS1 S 10 e−δ1 τ (ST2 − ST1 )+
T

+ 
ST2
1
2
1 −δ1 τC0 (S0 , S0 ) = S0 e
EQS1
.
−1
S1

(2.52)

T

La partie sous l’espérance est un payoff de type européen, ce qui nous
permet de réutiliser la machinerie mise en place dans le chapitre 1. En
particulier, nous avons ici le même payoff d’une option européenne d’achat
S2g(XT ) = (S0 eXT − K)+ avec S0 = S01 , XT = LT et K = 1.
0

D’après les calculs menés auparavant, la transformée de Fourier généralisée de g(x) s’écrit12e−iu ln (S0 /S0 )Ke−iu ln (K/S0 )=,ĝ(u) =(−iu)(−iu + 1)(−iu)(−iu + 1)
avec la condition =u = δ < −1.
Il vient
C0 (S01 , S02 ) = S01 e−δ1 τ

Z

1
2π

EQS1 [eiuXT ] ĝ(u) du.

R+iδ

L’espérance figurant sous l’intégrale s’écrit
EQS1 [eiuXT ] = EQS1 [eiuLT ] = e−T ψ(u)où ψ(u) est l’exposant caractéristique sous la mesure QS 1 du processus L.
Il en ressort que
C0 (S01 , S02 ) = S01 e−δ1 τ

1
2π

Z

e−T ψ(u) ĝ(u) du

R+iδ

= S01 e−δ1 τ

1
2π

Z

1

−T ψ(u)e2e−iu ln(S0 /S0 )du(−iu)(−iu + 1)

R+iδ

83

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

C0 (S01 , S02 ) = S01 e−δ1 τ

Z

1
2π

eiux

e−T ψ(u)du,(−iu)(−iu + 1)

(2.53)

R+iδ

où x = ln(S02 /S01 ).
Le changement de variable u → u + iδ permet d’obtenir
1
C0 (S01 , S02 ) = S01 e−δ1 τ e−δx

2π

+∞
Z
eiux

e−T ψ(u+iδ)du.
(−iu + δ)(−iu + δ + 1)−∞

Elle se ramène à la forme suivante qui se prête naturellement à une implémentation numérique par transformée de Fourier rapide :C0 (S01 , S02 ) = S01 e−δ1 τ R(x, δ) ×

1
2π

+∞
Z
eixu Ψ(u, δ) du−∞e−T ψ(u+iδ) .
où R(x, δ) = e−δx et Ψ(u, δ) = (−iu+δ)(−iu+δ+1)
Il reste alors à spécifier l’exposant caractéristique ψ(u) selon les caractéristiques de LT . Or, d’après l’équation (2.42), sous la mesure QS 1 ,NtX
Lt = (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2 t + σ̃ W̃t +(J2 )ii=1

où σ̃ =p

σ12 + σ22 − 2ρσ1 σ2 et W̃ est un mouvement brownien standard sous

QS 1 .
Voici selon le cas l’expression de cet exposant caractéristique :– si la taille des sauts suit une loi gaussienne,


1 2 2

ψ(u) = −i (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2 u + 12 σ̃ 2 u2 − λ eiµJ u− 2 σJ u − 1 ;– si la taille des sauts suit une loi exponentielle double,



2
1
ψ(u) = −i (δ1 − δ2 ) − λκ2 − 12 σ̃ 2 u + 12 σ̃ 2 u2 − λ λ1pλ−iu+ λ2qλ+iu−1 ;– si la taille des sauts suit une loi exponentielle multiple,!
ψ(u) = −i (δ1 −δ2 )−λκ2 − 12 σ̃ 2 u+ 12 σ̃ 2 u2 −λ


84

X pλ

X pλ

i∈P

i∈N

i i

λi −iu +λi +iu −1 .
i i

2.3 Options d’échange

2.3.3

Rémunération par stock options indexées

Un problème important pour une entreprise est la rémunération adéquate
de ses cadres dirigeants et, en particulier, de leur performance. Un moyengénéralement utilisé par les entreprises est l’octroi d’une partie en options,appelées communément stock options, dans leur rémunération. À part les
options européennes à la monnaie classiques, Johnson et Tian (2000b) ont
exploré plusieurs stock options moins traditionnelles ainsi que les effets incitatifs qu’elles permettent d’obtenir.
Dans cette section, nous verrons plus particulièrement les stock optionsindexées sur une valeur de référence introduites par Johnson et Tian (2000a).
Par rapport aux stock options traditionnelles, celles-ci permettent de distinguer plus précisément la performance du cadre dirigeant de celle de la valeurde référence qui peut être calculée à partir d’un indice de marché ou d’un
indice spécifique au secteur d’activité de l’entreprise.
2.3.3.1

Dynamiques suivies

Contrairement à Johnson et Tian (2000a), nous utiliserons un processus diffusif avec sauts pour modéliser la valeur de marché de l’entreprise.
En effet, il nous semble plus raisonnable de prendre en compte dans le modèle l’asymétrie d’information entre l’actionnaire et son mandataire. Leséventuelles contre-performances soudaines de ce dernier seront en particulier reflétées par la composante des sauts incorporée dans le modèle. De
nouveau, comme dans la section précédente, nous supposons que la mesurerisque-neutre d’évaluation Q a été choisie.
L’indice de référence est supposé suivre la dynamique suivante dans l’univers risque-neutredIt= (r − δI ) dt + σI dWt
Itoù W est un mouvement brownien standard, δI est son taux de dividendecontinu et σI sa volatilité instantanée.
La valeur de marché de l’entreprise S, supposée délivrer un dividendecontinu δS , obéit à l’équation différentielle stochastique suivantepdSt= (r − δS − λκ) dt + ρσS dWt + σS 1 − ρ2 dZt + (Y − 1) dNt , (2.54)
St−où Z est un mouvement brownien standard indépendant de W , ρ le coeffi85

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

cient de corrélation entre le rendement des deux actifs et σS est la volatilité
instantanée du rendement de l’actif S. N est un processus de Poisson d’intensité λ indépendant des deux précédents mouvements browniens. La taille dessauts est modélisée par la variable aléatoire Y indépendante des précédents
processus et d’espérance κ = E(Y − 1).
Suivant Johnson et Tian (2000a), nous utiliserons un indice de référence
synthétique H par rapport à la valeur duquel la performance des dirigeantssera jugée. Il est construit à partir de l’indice de référence I comme suit :Ht = S0

 β
It
I0

eηt ,

(2.55)où β = ρ σσSI , qui est similaire à la définition du β utilisée dans le cadre
du modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) de Sharpe (1964),
Lintner (1965) et Mossin (1966), etη = (r − δS ) − β(r − δI ) + 12 ρσS σI (1 − β).

(2.56)Le lemme d’Itō permet d’obtenir à partir de la définition (2.55) la dynamique de la valeur de référence dans l’univers risque-neutre :dHt= (r − δS ) dt + ρσS dWt .
Ht(2.57)

Remarquons ici que nonobstant l’influence des sauts, le rendement espéré
sur la valeur de référence est la même que celui la valeur de l’entreprise.
2.3.3.2Évaluation des stock options indexées

La stock option indexée peut alors être vue comme une option d’échange :si les résultats de l’entreprise sont suffisants, le dirigeant exercera son option
et recevra la différence entre la valeur de l’entreprise et la valeur de référenceà l’échéance.
Formellement, la valeur à l’échéance T de la stock option indexée s’écritST − HT+.

Cette option s’évalue au moment de leur octroi comme les options d’échange
dont nous avons vu l’évaluation dans la section précédente. Nous allons faireusage des formules (2.52) et (2.53) obtenues avec l’approche par transformée86

2.3 Options d’échange

de Fourier généralisée qui y est exposée. En particulier, la valeur de référence
H se substituera à l’actif S 1 tandis que le processus de prix S remplacera
dans ces formules le processus S 2 . Par ailleurs, l’exposant caractéristique quiintervient dans l’équation (2.53) s’écritψ(u) = −i −λκ − 21 σ̃ 2 u + 12 σ̃ 2 u2 − λ




pλ1
qλ2
+
−1
λ1 − iu λ2 + iuavec
σ̃ 2 = σS2 (1 − ρ2 ).

(2.58)

Ni le niveau réel des taux d’intérêt ni le taux de dividende servi par lafirme n’entrent plus en ligne de compte dans l’évaluation de la stock option indexée. Nous voyons ici que la valeur de référence synthétique H est
construite de telle manière à enlever tout impact des facteurs communs surla rétribution finale obtenue par les dirigeants grâce aux stock options indexées.
2.3.3.3

Analyse des résultats

La stock option indexée octroyée peut être exercée au bout de 10 ans.
Sauf mention du contraire, la valeur initiale de la firme vaudra S = 100. Le
cas du modèle de Black, Scholes et Merton avec les paramètres utilisés par
Johnson et Tian (2000a) va nous servir de point de comparaison, à savoir
une volatilité pour le rendement de la firme égale à σ = 0.20. Par ailleurs,la volatilité de l’indice de référence I est égale à σI = 0.15. La corrélation
entre l’indice et la valeur de l’entreprise est fixée à ρ = 0.75 sauf mention
du contraire. Ce choix de corrélation correspond à un choix du coefficient
β = 1. Les taux de dividende sur la firme et l’indice sont supposés égaux àδS = δI = 0.02.
Dans le cas de la représentation du rendement de la valeur de la firme
par un processus diffusif à sauts exponentiels doubles de Kou, la probabilité d’un saut vers le haut a été fixée à p = 0.3. Ce choix met l’accent sur
une probabilité plus élevée de constater des contre-performances pour l’entreprise. Les paramètres des deux variables aléatoires de loi exponentielle
représentant respectivement les sauts vers le haut et vers le bas sont respectivement de λ1 = 10 et λ2 = 5. La valeur de la volatilité de la partie diffusive
du processus de prix de la firme a été à chaque fois choisie de manière à ce

87

Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

Table 2.2 – Volatilité σ de la partie diffusive en fonction de l’intensité λ duprocessus de Poisson de la composante de sauts. La variation quadratique
totale est constante et égale à celle du cas Black, Scholes et Merton.
Modèle Taux λ Volatilité σBSM

00.2000

Kou

0.2
0.3
0.4
0.5
0.6

0.16610.14630.12330.09490.0529que la variation quadratique totale du processus soit égale à la variation(σ 2 ) du cas Black, Scholes et Merton. Le tableau 2.2 donne les valeurs dela volatilité utilisées en fonction du taux d’arrivée des sauts λ. Ainsi avec
l’augmentation de la variation quadratique de la composante de sauts dueà la montée du taux d’arrivée des sauts vient mécaniquement la diminution
de la volatilité contribuant à la variation quadratique due à la composantediffusive du processus de Kou.
Nous montrons à la figure 2.6 la valeur de la stock option indexée enfonction de la corrélation entre l’indice de référence et la valeur de l’entreprise. Nous mettons aussi en exergue l’impact du choix de modèle pourla valeur de l’entreprise et, en particulier, l’influence du taux d’arrivée dessauts dans le cas du modèle diffusif et sauts. Il est à noter par ailleurs que lacorrélation ρ intervient dans l’évaluation de la stock option indexée au travers de la quantité σ̃ définie à l’équation (2.58). La valeur de la stock option
indexée est symétrique par rapport à la valeur maximale de la stock option
indexée, valeur maximale obtenue quand la valeur de l’entreprise et l’indice
ne sont pas corrélés. Les dirigeants ont ainsi une forte incitation à diminuer
la corrélation en valeur absolue vers zéro. Rapprocher la corrélation de zérotraduit une augmentation de la performance spécifique à l’entreprise, ce qui
entraı̂ne une augmentation de la valeur de la stock option indexée. Comme lerappellent Johnson et Tian (2000a), une stock option indexée devrait inciter
le dirigeant à choisir le projet qui a la plus petite corrélation avec le rendement de l’indice de référence si deux projets d’investissement par ailleurs
identiques se présentaient à lui. Nous voyons ici que ce constat fait dans le88

2.3 Options d’échange

Sensibilité à la corrélation
22

Valeur de la stock option indexée

20
18
16
14

BSM
λ=0.2
λ=0.3
λ=0.4
λ=0.5
λ=0.6

12
10
8
6

0

0.1

0.2

0.3

0.4
0.5
0.6
Corrélation ρ

0.7

0.8

0.9

Figure 2.6 – Valeur de la stock option indexée en fonction de la corrélation
ρ entre la valeur de la firme et l’indice de référence. Comparaison du cas
Black, Scholes et Merton et du cas Kou pour le rendement de la firme eten faisant varier l’intensité λ du processus de Poisson de la composante desauts.
cadre du modèle de Black, Scholes et Merton pour la valeur de l’entreprise
tient encore quand nous y ajoutons une composante de sauts.
Un autre phénomène qui apparaı̂t cependant sur la figure 2.6 est la présence de deux motifs distincts : les valeurs de la stock option indexée en
présence de sauts sont inférieures à la valeur obtenue dans le cas diffusif
uniquement pour une corrélation inférieure à 0.5 et réciproquement. Plusl’intensité du processus de Poisson qui intervient dans la composante desauts augmente et plus ce phénomène se renforce. Si les valeurs de la stock
option indexée restent proches pour une corrélation inférieure à 0.5, sa valeur descend très fortement par rapport aux valeurs obtenues en présencede sauts au fur et à mesure de l’augmentation de la corrélation. La présence
des sauts tend à maintenir la valeur de la stock option indexée en dépit
de la corrélation. Pour un taux d’arrivée de sauts λ = 0.6, la valeur de la
stock option indexée a perdu peu de valeur même avec une corrélation qui
s’approche de l’unité.
La figure 2.7 montre deux panneaux avec sur le panneau du haut lavaleur de la stock option indexée en fonction de la valeur initiale de la firme89Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement des dirigeants

Valeur de la stock option indexée
100
BSM
Kou

Valeur

80
60
40
20
0
40

60

80

100
120
140
160
180
ρ=0.75, β=1.00
Sensibilité à un changement de la valeur de l’entreprise

200

0.8

Delta

0.6
0.4
0.2
0
40

BSM
Kou
60

80

100
120
140
Valeur de l’entreprise

160

180

200

Figure 2.7 – Sensibilité de la stock option indexée à un changement de lavaleur de la firme. Comparaison du cas Black, Scholes et Merton (BSM) et
du cas Kou avec une intensité du processus de Poisson λ = 0.5. La valeur dudelta dans le cas Kou est ajustée de manière à tenir compte de la différence
entre les valeurs des stock options indexées dans les deux cas.
tout en maintenant la valeur initiale de la référence synthétique à H0 = 100,
selon le modèle diffusif classique ou le modèle mixte de Kou. La corrélationa été fixée à ρ = 0.75 et les variations quadratiques totales des deux modèlesrestent égales. Le panneau du bas compare la sensibilité au changement dela valeur de l’entreprise, notée ∆, dans les deux modèles. Dans le cas dumodèle diffusif, cette sensibilité est obtenue classiquement avec une formule
fermée similaire à la grecque delta des options européennes traditionnelles(voir par exemple Johnson et Tian (2000a)) tandis qu’elle a été obtenue
numériquement pour le cas du modèle de Kou sur un changement de lavaleur de la firme de 10 points de base. La courbe affichée dans le cas dumodèle de Kou a été ajustée de manière à tenir compte de la différence desvaleurs de la stock option indexée dans les deux cas. Le delta de la stock
option indexée mesure l’accroissement de la richesse du dirigeant quand lavaleur de l’entreprise augmente. Nous voyons que si la valeur de la stock
option indexée est plus forte dans le cadre du modèle de Kou, le delta del’option est par contre moins élevé. Si nous considérons le cas diffusif simple

90

2.3 Options d’échangecomme l’information disponible aux actionnaires, l’effet incitatif perçu par
le dirigeant peut se révéler plus faible.

Conclusion
Ce chapitre nous a permis de voir les conséquences des discontinuitésdans les trajectoires de sauts sur l’évaluation des options exotiques, en particulier l’impact sur les produits financiers de défauts sur fonds propres.
Nous avons aussi pu étudier en détails l’influence de la prise en compte
des sauts sur la valeur des options d’échange. À notre connaissance, il n’ya aucun résultat dans ce sens dans la littérature. Ces résultats sur les options d’échange trouvent alors une application privilégiée dans le cadre duproblème de l’intéressement des dirigeants par des stock options indexées.
Par ailleurs, les options d’échange étudiées dans ce chapitre vont nous
fournir une autre application dans le cadre des produis d’assurance-vie analysés dans le prochain chapitre.

91

Deuxième partie

Assurance-vie et théorie dela ruine

93Chapitre 3Évaluation de contrats
d’assurance-vie
Introduction
Parmi les contrats d’assurance-vie proposés par les compagnies d’assurance figurent les contrats dits à annuités variables. Ils sont connus sousdiverses appellations comme variable annuities aux États-Unis, segregatedfunds au Canada, unit-linked contracts au Royaume-Uni et contrats en unitéde compte avec garantie en France. Ils sont particulièrement demandés aux
États-Unis et au Royaume-Uni pour leur fiscalité privilégiée. Ces contrats
se trouvent de plus en plus à la frontière entre les produits d’investissement
financier purs et les contrats d’assurance classiques. Ces polices d’assurancevie présentent une composante actuarielle et une composante financière. La
première est reliée à l’aléa sur la durée de vie de l’assuré tandis que la seconde est souvent liée à l’investissement des fonds recueillis sur les marchésfinanciers. Ces contrats offrent généralement une protection du capital investi et une participation à la performance du marché. Ils répondent aux
besoins des investisseurs d’obtenir une protection en cas de marché baissieret une participation aux bénéfices en cas de marché haussier. Une caractéristique importante est aussi qu’ils sont exempts de droits de succession.
La conception de la partie financière peut être très complexe et rend ces
contrats similaires à certains produits structurés vendus par les banques.
Diverses polices d’assurance comportant ces caractéristiques sont proposées
aux investisseurs (voir par exemple Hardy (2003) ou Milevsky (2006)).
95

Contrats d’assurance-vie

Les contrats d’assurance-vie peuvent être classés en assurance en cas devie et en assurance en cas de décès. Une assurance en cas de vie permetà l’assuré de recevoir une certaine somme (capital ou rente) s’il est encore
en vie à l’échéance du contrat. Nous verrons un exemple de ce type deproduit avec l’évaluation d’un contrat avec une garantie flexible en cas devie (PEFG 1 ) plus loin dans ce chapitre. Une assurance en cas de décèsgarantit le versement d’un capital ou d’une rente au bénéficiaire à la mortde l’assuré. En ce sens, ce type d’assurance constitue une prévoyance décès.
Un contrat particulier sera étudié ici, le contrat à bénéfice minimum garanti
en cas de décès (GMDB 2 ) émis par les compagnies d’assurance. Il fait partie
de la classe des variable annuities aux États-Unis et y représente un marché
de plusieurs milliards de dollars. Une large part de ce chapitre sera consacréeà l’étude du juste prix de la garantie incorporée dans ce contrat.
En ce qui concerne la modélisation des cours dans le domaine del’assurance-vie, Hardy (2003) a proposé l’utilisation des modèles à changement de régime introduits par Hamilton (1989), en particulier le modèle àchangement de régime log-normal. Plusieurs auteurs remettent en cause l’hypothèse gaussienne pour le rendement des actifs financiers. Ballotta (2005) aété parmi les premiers auteurs à analyser l’impact des sauts dans l’évaluationde contrats d’assurance-vie participatifs en utilisant un processus diffusif àsauts gaussiens tandis que Kassberger, Kiesel et Liebmann (2007) ont utilisédes processus NIG et de Meixner. Dans ce chapitre, nous considérerons unprocessus diffusif à sauts à loi exponentielle double, un processus de Kou.
Les apports de ce chapitre sont de plusieurs ordres. En assurance en
cas de vie, les contrats PEFG (Pure Endowment with a Flexible Guarantee) sont évalués en tenant compte des sauts. Cette évaluation s’effectue
essentiellement par l’évaluation d’une option d’échange, ce qui nous permetd’utiliser les résultats obtenus dans le chapitre précédent. En assurance en
cas de décès, d’un point de vue théorique, nous proposons un cadre générald’évaluation où les sauts et les taux d’intérêts stochastiques sont pris encompte simultanément. Celui-ci prolonge et étend en cela le cadre originelutilisé par Milevsky et Posner (2001). D’un point de vue empirique, uneréponse est donnée à la question de l’écart entre le juste prix des contrats
1. L’acronyme fait référence au nom anglophone du contrat : Pure Endowment with a
Flexible Guarantee.
2. De la terminologie anglaise : Guaranteed Minimum Death Benefit.

963.1 Risque de mortalité

GMDB (Guaranteed Minimum Death Benefit) et les frais liés au risque demortalité pratiqués par l’industrie.
Ce chapitre est organisé de la façon suivante. La prochaine section introduit la notation ainsi que les modèles utilisés pour tenir compte du risque demortalité. Une deuxième section présente l’étude et l’évaluation du contratà garantie flexible, une police d’assurance en cas de vie. Une troisième section est consacrée à l’étude du contrat à bénéfice minimum garanti en casde décès et du juste niveau des frais prélevés par l’assureur.

3.1

Risque de mortalité

Nous présentons dans cette section les modèles de mortalité qui vont
nous permettre de tenir compte de l’aléa assuré.

3.1.1

Notation

La notation actuarielle traditionnelle est utilisée. La durée de vie résiduelle d’un souscripteur d’âge x est modélisée par la variable aléatoire Tx .
La probabilité de décès avant un temps t ≥ 0 pour un individu d’âge x
est P (Tx ≤ t) = 1 − (t px ), t px représentant classiquement la probabilité desurvie jusqu’à l’âge x + Tx . Si nous notons λ la force de la mortalité, nous
avons

 Z t

P (Tx ≤ t) = 1 − exp −λ(x + s)ds .

(3.1)

0

Comme il est d’usage, nous noterons Fx (t) et fx (t) respectivement lafonction de répartition et de densité de la variable aléatoire Tx . Pour rappel,
ces deux fonctions sont liées par la relation suivanteλ(x + t) =fx (t),
1 − Fx (t)(3.2)

voir par exemple Gerber (1997) ou Bowers, Gerber, Hickman, Jones et Nesbitt (1997).

3.1.2

Modèles de mortalitéUn modèle de mortalité simple de loi exponentielle peut s’obtenir avec
une force de mortalité constante λ(x) = λ. Ainsi, en utilisant l’équation (3.1),
il vient aisément Fx (t) = P (Tx ≤ t) = 1 − e−λt et fx (t) = λe−λt . Toutefois,
97

Contrats d’assurance-vie

nous pouvons remarquer que la probabilité de décès demeure alors constante
tout au long de la vie. Ce modèle est par conséquent trop rigide et ne permet
pas de tenir compte de l’âge de l’assuré à la souscription. Il est évident que lerisque de mortalité d’une personne qui approche la soixantaine est différentde celui d’une autre qui a vingt ans. Si la simplicité de ce modèle de mortalité
permet d’avoir des solutions simples (voir Milevsky et Posner (2001)), nous
allons plutôt nous diriger vers une famille de modèles de mortalité plus
flexibles.
Deux modèles de mortalité seront essentiellement utilisés dans le restede ce chapitre, à savoir le modèle de Gompertz et celui de Makeham. Dansle cas du modèle de mortalité de Gompertz, la force de mortalité à l’âge x
est modélisée parλ(x) = B.C x ,(3.3)

avec les constantes B > 0 et C > 1. Une écriture alternative est
λ(x) =

x − m
1
exp
,
b
b

où m > 0 est le mode de la loi de Gompertz et b > 0 est un paramètre dedispersion. Ces deux notations sont reliées par l’équation suivante :1 m
B = e− bb

1

et C = e− b .

Avec les équations (3.1) et (3.2), nous obtenons la densitétt

fx (t) = λ(x)ebλ(x) e b e−bλ(x)e b
et la fonction de répartition de la durée de vie résiduelle à l’âge xt

Fx (t) = 1 − e−bλ(x) e b −1

.

Pour simplifier la notation, la référence à l’âge x pour la durée de vie
future sera généralement omise et nous écrirons simplement T si aucune
confusion n’est possible. Nous supposons qu’il y a indépendance stochastiqueentre les risques financiers et le risque de mortalité.

983.1 Risque de mortalité

Table 3.1 – Paramètres de la loi de Gompertz – Milevsky et Posner (2001)
FemmesHommesÂge (en années)

m

b

m

b

30
40
50
60
65

88.8379
88.8599
88.872588.8261
88.8403

9.213
9.160
9.136
9.211
9.183

84.440984.472984.4535
84.269384.1811

9.888
9.831
9.922
10.17910.282

Table 3.2 – Paramètres des modèles de mortalité de Gompertz (G) et de
Makeham (M) pour les États-Unis (US), la Suède (S) et le Japon (J) –Melnikov et Romaniuk (2006)

3.1.3

A

B

C

GU S
MU S

9.566 ×10−4

6.148 ×10−5
5.162 ×10−5

1.09159
1.09369GSMS

4.393 ×10−4

1.694 ×10−5
1.571 ×10−5

1.10960
1.11053

GJ
MJ

5.139 ×10−4

2.032 ×10−5
1.869 ×10−5

1.107811.10883

Paramètres empiriques et probabilité de survie

Dans ce chapitre, nous ferons usage de paramètres de modèle de mortalité
ajustés à des tables de mortalité réelles. Les paramètres du premier modèle
de Gompertz utilisé sont ceux obtenus par Milevsky et Posner (2001) à partir
de l’ajustement à la table de mortalité américaine par groupe de 1994. Ils
sont reportés au tableau 3.1 avec une ventilation selon l’âge et le sexe.
De leur côté, Melnikov et Romaniuk (2006) ont estimé les paramètres
des modèles de mortalité de Gompertz et de Makeham à partir des tables
de mortalité allant de 1959 à 1999 compilées au sein de l’ « Human Mortality Database 3 ». Les paramètres obtenus sont reportés dans le tableau 3.2.
Comme nous pouvons le constater sur ce tableau, aucune distinction selon
le sexe n’est plus effectuée. Par ailleurs, les paramètres de ces deux modèles
ont été successivement ajustés pour trois pays différents : les États-Unis, laSuède et le Japon.
3. Base de données accessible au site Internet http ://www.mortality.org

99

Contrats d’assurance-vie

Probabilité de survie −− 40 ans −− Gompertz
1
Femme
Homme

0.9

Probabilité de survie tpx

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
40

50

60

70
80
Âge (ans)

90

100

110

Figure 3.1 – Probabilité de survie d’une femme et d’un homme de 40 ans
suivant le modèle de mortalité de Gompertz ajusté par Milevsky et Posner(2001).
La figure 3.1 montre la probabilité de survie d’une femme de 40 ans
comparée à un homme du même âge jusqu’à l’âge de 110 ans. Elle reflètebien la différence d’espérance de vie entre un homme et une femme avec
la probabilité de survie d’une femme qui reste bien supérieure à celle d’unhomme, y compris à un âge avancé. La probabilité de survie d’une femmefléchit aussi beaucoup plus tard.
Les probabilités de survie prévues par les modèles de mortalité de Gompertz et de Makeham sont montrées à la figure 3.2. Elles ont été calculéesjusqu’à l’âge de 75 ans pour un individu de 40 ans. La probabilité de survie
obtenue avec le modèle de Gompertz est un peu plus grande que celle donnée par le modèle de mortalité de Makeham. Il est à noter cependant que la
différence entre les deux probabilités de survie est assez faible.
La figure 3.3 montre la probabilité de survie selon le pays dans le modèlede mortalité de Makeham pour un individu âgé de 40 ans. Les habitants dela Suède ont la plus grande probabilité de survie, suivis de près par ceux duJapon. Les probabilités de survie prévues par ce modèle de mortalité sontbeaucoup plus élevées en Suède et au Japon qu’aux États-Unis.

100

3.1 Risque de mortalité

Probabilité de survie −− 40 ans −− États−Unis1
Gompertz
Makeham

0.95

Probabilité de survie tpx

0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65

40

45

50

55
60
Âge (ans)

65

70

75

Figure 3.2 – Probabilité de survie d’un individu de 40 ans suivant les modèles de mortalité de Gompertz et de Makeham ajustés par Melnikov etRomaniuk (2006).

Probabilité de survie −− 40 ans −− Makeham
1
États−Unis
Suède
Japon

0.95

Probabilité de survie tpx

0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65

40

45

50

55
60
Âge (ans)

65

70

75

Figure 3.3 – Probabilité de survie selon le pays d’un individu de 40 ans suivant le modèle de mortalité de Makeham ajusté par Melnikov et Romaniuk(2006).

101

Contrats d’assurance-vie

3.2

Assurance en cas de vie : cas du contrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG)

Le contrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG) verse un capital àl’échéance de la police d’assurance si l’assuré est toujours en vie. Contrairement au contrat à garantie fixe, où l’assureur verse une somme fixe prédéterminée à l’avance, le contrat PEFG verse le maximum entre la valeur àl’échéance des actifs investis et la valeur à l’échéance d’un actif de référence,qui est supposé moins risqué que le portefeuille d’actifs auquel est adossée lapolice d’assurance. Cet actif qui sert de garantie flexible peut par exemple
être un indice représentatif du marché. La modélisation adoptée dans cettesection se fait en temps continu avec une structure par termes des taux d’intérêt plate. La sous-section suivante commence par l’écriture du paiement àl’échéance du contrat et précise le modèle retenu pour les actifs dans lesquels
sont investis l’apport initial de l’assuré et celui retenu pour l’actif servant
de garantie minimale. Ensuite, la sous-section 3.2.2 expose comment l’évaluation du contrat PEFG est effectuée. Une troisième sous-section illustre
numériquement le résultat obtenu.

3.2.1

Modélisation du contrat et des actifs sous-jacents

Notons S 2 le processus de prix du portefeuille d’actifs dans lequel l’apport initial de l’assuré, de montant S02 , est investi. Le taux d’intérêt sansrisque instantané est représenté par la constante r. Soit S 1 le processus deprix de l’actif risqué qui sert de garantie. Généralement, la valeur de la garantie flexible au moment de la signature de la police d’assurance ne sera pas lamême que celle du portefeuille d’actifs placé sur une unité de compte. Dansce cas, la valeur de l’actif de garantie à l’instant initial est ramenée à parité
avec la valeur du portefeuille d’actifs en la multipliant par une constante.
Ainsi, nous pouvons considérer que S01 = S02 .
Le marché n’est pas nécessairement complet, cependant nous considérons
qu’une mesure risque-neutre a été choisie. Pratiquement, celle-ci peut être
obtenue du marché, comme le montre par exemple Björk (2004). L’univers
risque-neutre ainsi obtenu est donné par le quadruplet (Ω, A, Ft,t≥0 , Q), où
(Ω, A, Q) est un espace de probabilité doté de la probabilité risque-neutre Q
et (Ft , t ≥ 0) une filtration représentant l’information accumulée au cours
du temps.
1023.2 Contrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG)

L’actif S 1 est supposé obéir à l’équation différentielle stochastique :dSt1= (r − δ1 ) dt + σ1 dWt
St1où W est un mouvement brownien standard sous Q et δ1 est son taux dedividende continu.
Le processus de prix S 2 obéit dans l’univers risque-neutre à l’équation
suivante :p
dSt2= (r − δ2 − λκ2 ) dt + ρσ2 dWt + σ2 1 − ρ2 dZt + (Y2 − 1) dNt ,2St−où Z est un autre mouvement brownien standard tel que d<W, Z>t = 0 et N
est un processus de Poisson d’intensité λ indépendant des deux mouvements
browniens précédents. La constante ρ représente la corrélation instantanéeentre les rendements des deux actifs. Le taux de dividende continu est notéδ2 et la taille des sauts Y2 est une variable aléatoire indépendante de ces
processus avec κ2 = E(Y2 − 1).
Notons Θ le temps restant avant l’échéance du contrat. Ainsi, un assuréd’âge x à la souscription sera âgé de x + Θ à la date d’échéance de la police d’assurance. Le paiement obtenu par le souscripteur à l’échéance s’écritalors :

 2
 
1
2
1
1 +
max{SΘ, SΘ
}1{Tx >Θ} = SΘ
+ SΘ
− SΘ
1{Tx >Θ} .

(3.4)

Ce paiement se décompose en une position longue sur l’actif de garantie et
une option d’échange entre les actifs en jeu, paiement que reçoit le souscripteur s’il est en vie à l’échéance du contrat.

3.2.2

Évaluation du contrat PEFG

L’apparition du payoff d’une option d’échange dans l’équation (3.4) permet la mise en œuvre immédiate des résultats que nous avons établis dansle chapitre précédent. Par ailleurs, l’hypothèse d’indépendance du risque demortalité des risques financiers permet de calculer séparément l’impact dela mortalité et l’option d’échange concernée. La valeur à la souscription du103

Contrats d’assurance-vie

contrat PEFG s’écrit :


 2
 
1 +
SΘ − SΘ
1{T >Θ}P EF G = EQ e



 2
 
−rΘ
1
1 +
.
SΘ + SΘ − SΘP EF G = Θ px EQ e
−rΘ



1
SΘ
+



Comme la valeur actualisée de l’actif S 1 est une martingale sous Q, lapartie gauche de cette expression vaut :hi1
EQ e−(r−δ1 )Θ SΘ
= S01 .

(3.5)

La partie droite se calcule comme l’option d’échange du chapitre précédent. Nous utilisons en particulier l’approche par transformée de Fouriergénéralisée exposée à la section 2.3.2.3. Finalement, la valeur du contrat
PEFG s’écrit
P EF G = Θ px S01 e−δ1 Θ + C0 (S01 , S02 ) ,(3.6)

où C0 (S01 , S02 ) est la valeur de l’option d’échange entre les deux actifs au
moment de la souscription du contrat, comme définie par les formules (2.52)
et (2.53).

3.2.3

Analyse des résultats

Le contrat PEFG considéré est supposé échoir lorsque l’assuré atteint
l’âge de 75 ans. Comme nous avons déjà pu le constater avec les optionsd’échange, le niveau réel du taux d’intérêt n’impacte pas la valeur de ce
contrat. Le modèle de mortalité retenu pour l’étude numérique de cette soussection est celui de Makeham, avec les paramètres estimés sur les donnéesaméricaines tels que figurant dans le tableau 3.2.
Nous précisons maintenant les divers paramètres du portefeuille d’actifs investi et de l’actif de garantie avant de procéder à l’analyse des résultats obtenus. Leur valeur au moment de la souscription est normalisée à
S01 = S02 = 1. L’actif de garantie, représenté par le processus de prix S 1
est supposé délivrer un dividende continu de δ1 = 0.01. Sa volatilité vaut
σ1 = 0.20. Le rendement du portefeuille d’actifs est supposé suivre la dynamique d’un processus de Kou avec un taux d’arrivée des sauts λ = 0.5. Lessauts sont modélisés par des variables aléatoires J = ln(Y ) indépendantes
1043.2 Contrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG)

et identiquement distribuées de loi exponentielle double dont la fonction dedensité s’écritfJ (y) = pλ1 e−λ1 y 1y>0 + qλ2 eλ2 y 1y≤0
avec p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1, λ1 > 0 et λ2 > 0. La probabilité d’un sautvers le haut est fixée à p = 0.4 tandis que les paramètres des deux lois
exponentielles sont fixés à λ1 = 10 et λ2 = 5.
Nous avions auparavant mentionné que l’actif de garantie était supposéêtre moins risqué que le portefeuille d’actifs investi. Pour un processus diffusion et sauts, le risque n’est pas uniquement représenté par la volatilité de lapartie diffusive. Un risque spécifique aux sauts s’y ajoute et peut être mesuré
par la variation quadratique de sa composante de sauts. Nous fixons alors lavolatilité σ2 de la partie diffusive du processus de prix S 2 de manière à ceque sa variation quadratique totale soit de 1.5 fois la variation quadratiquedu processus de prix S 1 afin de modéliser le caractère moins risqué de l’actif
de garantie.
La figure 3.4 montre la sensibilité à la corrélation ρ entre le rendement
des deux actifs de la valeur du contrat PEFG. Nous constatons que plus lacorrélation est élevée, plus la valeur du contrat d’assurance est faible. En
effet, si le portefeuille d’actifs investi dans l’unité de compte et l’actif deréférence sont corrélés, une perte sur le portefeuille pourra difficilement être
compensée par un gain sur la garantie flexible comme cette dernière aura
vraisemblablement aussi subi une perte, ce qui réduit d’autant la valeur dela garantie proposée dans le contrat.
Par ailleurs, nous voyons aussi que de façon globale, plus la souscription
a lieu tard, plus la valeur du contrat PEFG augmente. Ainsi, pour un assuréâgé de 65 ou 70 ans à la souscription de la police, la valeur du contrat est
supérieure à celle qu’il a pour un assuré de 50 ou 55 ans. Ce phénomène est
confirmé sur la figure 3.5 où la corrélation a été fixée à ρ = 0.25. La valeur
du contrat PEFG augmente en fonction de l’âge. Le tableau 3.3 précise lesvaleurs du contrat PEFG obtenues suivant l’âge à la souscription, ainsi quela valeur de la probabilité de survie à 75 ans et la valeur de l’option d’échange
incorporée dans la police.

105

Contrats d’assurance-vie

Sensibilité à la corrélation −− Makeham −− États−Unis
1.05
50 ans55 ans60 ans65 ans70 ans1

Valeur du contrat PEFG

0.95
0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65

−0.5

0
Corrélation ρ

0.5

Figure 3.4 – Valeur du contrat PEFG en fonction de la corrélation ρ entre
le portefeuille investi et l’actif servant de garantie.

Influence de l’âge de l’assuré à la souscription −− Makeham −− États−Unis1
0.95

Valeur du contrat PEFG

0.9
0.85
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
40

45

50

55
Âge (ans)

60

65

70

Figure 3.5 – Influence de l’âge sur la valeur du contrat PEFG. La corrélation
ρ entre le portefeuille investi et l’actif servant de garantie est fixée à ρ = 0.25.

106

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Table 3.3 – Influence de l’âge de l’assuré sur la valeur du contrat PEFG.
Corrélation fixée à ρ = 0.25.

3.3

Âge
(ans)

Probabilité de survie(à 75 ans)

35
40
45
50
55
60
65
70

0.60580.61330.62350.63800.65970.69330.74730.8381

Optiond’échange

Contrat
PEFG

0.91270.9592
1.00571.05101.09331.1295
1.15401.15240.55290.58830.62700.6706
0.72130.78310.86230.9658Assurance en cas de décès : cas du contratà bénéfice minimum garanti en cas de décès(GMDB)

Le contrat GMDB garantit le versement d’une somme spécifique à lamort de l’assuré. Il est associé à une unité de compte qui sert de support àl’investissement. La garantie peut prendre diverses formes. Une forme courante est représentée par le maximum de la valeur de l’unité de compte et dela valeur de la somme initialement investie capitalisée à un taux minimum
garanti par contrat. La garantie est alors déclenchée par le décès de l’assuré
et sera payée aux bénéficiaires. Les compagnies d’assurance peuvent aussi
proposer des garanties plafonnées ou des polices avec des clauses à effet cliquet qui permettent de verrouiller les gains successifs éventuels. Les rachatsde contrats et les sorties anticipées sont possibles mais ils sont lourdementpénalisés, soit par la compagnie d’assurance avec des frais de sortie pouvant
aller jusqu’à 7 % pendant les 5 ou 8 premières années de la police (voir
Milevsky et Posner (2001)), soit par la perte des avantages fiscaux rattachés au contrat. Le versement initial est effectué auprès de la compagnied’assurance qui l’investit sur les marchés financiers à travers des fonds communs. La garantie contractée, payée seulement au décès, n’est pas offerte
mais payée par l’assuré par des frais prélevés sur les actifs placés sur l’unitéde compte. En pratique, ces prélèvements sont effectués sur une base périodique. Dans cette section, la modélisation se fait en temps continu et ces

107

Contrats d’assurance-vie

paiements contractuels sont effectués instantanément. Ils seront considérés
ici comme des dividendes perçus de façon continue. Ces frais sont déterminésde façon endogène et sont liés par construction au bénéfice minimum garanti
en cas de décès. Ils correspondent aux frais liés au risque de mortalité.
Dans Milevsky et Posner (2001) et dans des travaux récents sur les produits structurés (voir par exemple Benet, Giannetti et Pissaris (2005) ou
Wilkens et Stoimenov (2007)), il est apparu que les frais prélevés semblentsurélevés. Ce chapitre revient sur cette question importante : quel devraitêtre le juste prix des contrats GMDB. Cette question est examinée ici dans
un cadre d’évaluation plus général que celui utilisé par Milevsky et Posner(2001). Cette évaluation se fait habituellement dans le cadre de Black et
Scholes : la valeur de l’unité de compte est supposée suivre un mouvement
brownien géométrique et la structure par termes des taux d’intérêts est supposée constante. Cette dernière hypothèse, qui peut être acceptable pourdes options à court terme, ne peut plus se justifier lorsque les contrats ont
des échéances éloignées comme c’est le cas pour les produits d’assurancevie. Nous utiliserons un modèle à un facteur de type Vasicek (1977) pourmodéliser le taux d’intérêt, supposé stochastique.
Le contrat GMDB a une option incorporée qui peut être considéréecomme une sorte d’option européenne avec un prix d’exercice croissant et
une date d’échéance stochastique. Une partie technique de ce chapitre est
consacrée à l’évaluation de cette option incorporée. Elle est effectuée en trois
temps.
Dans un premier temps, conditionnellement au temps de décès du souscripteur de la police, l’option est évaluée dans le contexte du processus deKou avec des taux d’intérêts stochastiques, sous l’hypothèse que les actifs investis dans l’unité de compte sont corrélés aux taux d’intérêts. C’est
un problème non trivial dont aucune solution n’a été donnée jusqu’ici ànotre connaissance. La solution proposée ici utilise une adaptation de l’approche par transformée de Fourier généralisée de Boyarchenko et Levendorskiı̌ (2002b) et que nous avons aussi mise en œuvre dans les chapitresprécédents dans un contexte différent, voir aussi Quittard-Pinon et Randrianarivony (2008c) et Quittard-Pinon et Randrianarivony (2008d).
Une fois cette évaluation menée, la deuxième étape consiste à effectuer
une quadrature en se servant de la densité de la loi de mortalité choisie. Trois
lois de mortalité seront considérées ici, à savoir une loi exponentielle, une loi
1083.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

de Makeham paramétrique et une loi de Gompertz. La solution est préciseet rapide bien qu’elle ne se traduise pas par une formule fermée. Le modèlemis en œuvre permet de prendre en compte simultanément les risques demarché, de sauts et de taux d’intérêts.
C’est lors de la troisième étape que s’effectue finalement le calcul dujuste prix des contrats GMDB. Cela s’obtient en disant que la valeur totale du contrat GMDB au temps présent et la valeur attendue actualiséedes paiements cumulés par l’assuré doivent être égales. De cette façon, les(justes) prix cherchés sont endogènes. La méthodologie proposée est aisée à
implémenter et fera l’objet de plusieurs exemples illustratifs.

3.3.1

Cadre général et principales notations

Dans cette sous-section, les principales définitions et notations sontd’abord données de façon formelle. Le cadre général de l’analyse est ensuitemis en place. Dans une première sous-sous-section, les risques financiers et lerisque lié à la mortalité sont considérés. Dans la sous-sous-section suivante,
le contrat GMDB étudié est défini formellement. Une troisième sous-soussection donne les équations principales du chapitre avec un rappel de lasolution de Milevsky et Posner’s (2001) dans la dernière sous-sous-section.
3.3.1.1

Risques financiers

Les risques financiers sont liés au risque de marché d’un côté, commel’unité de compte a été investie dans un portefeuille d’actifs financiers ou liéeà un indice et au risque de taux de l’autre côté. Notons par r le processus
stochastique modélisant le taux d’intérêt sans risque instantané. La valeur
du placement monétaire est
Rt

Rt = e 0 rs ds ,(3.7)

alors que le facteur d’actualisation s’écritRtδt = e− 0 rs ds .

(3.8)

109

Contrats d’assurance-vie

La valeur de l’unité de compte de l’assuré est modélisée par un processus
stochastique S. Dans ce modèle, les frais imputés au risque de mortalité
(M&E 4 ) sont traduits par les coûts déduits du compte `.
3.3.1.2

Flux du contrat

La compagnie d’assurance s’engage à payer au décès du souscripteur lasomme contractuelle max{S0 egT , ST } où g est un taux garanti. S0 est la
valeur de l’apport initial et ST est la valeur de l’unité de compte au moment
T du décès. Généralement, une date d’échéance x + Θ est aussi stipulée parcontrat avec une garantie qui se déclenche uniquement au moment du décèsde l’assuré. Ainsi, si l’assuré est encore en vie après Θ années, il recevra
simplement la valeur de l’unité de compte à ce moment.
Pour le moment, gardons la première formulation et écrivons le paiement
obtenu au moment du décès :+max{S0 egT , ST } = ST + S0 egT − ST .

(3.9)

Cette écriture fait apparaı̂tre le contrat comme une position longue sur lesactifs détenus sur l’unité de compte à laquelle s’ajoute une option de vente.
Deux remarques sont de mise ici : premièrement, le souscripteur obtient lamême somme que s’il avait investi directement sur les marchés financiers, si
nous ne tenons pas compte des frais, mais en plus il a l’assurance de gagnerplus ou encore de limiter ses pertes, le cas échéant, grâce à l’option de vente
incorporée dans le contrat. Deuxièmement, comme le moment T du décès
est une variable aléatoire, l’option incorporée n’est pas une simple option
vanille mais une option dont la date d’exercice est elle-même aléatoire. De
la même manière que Milevsky et Posner, nous appelons la partie optionnelleprésente dans (3.9) le payoff de l’option GMDB. En termes moins formels,cette équation peut se réécrire comme
Paiement au décès = Valeur du compte + payoff de l’option GMDB.
Dans ce contrat, le souscripteur paie cette garantie par prélèvements.
Les frais payés sont imputés au risque de mortalité M&E (« Mortality And
Expense fees »). Ils sont supposés être déduits de façon continue du comptede l’assuré au taux contractuel `. Plus précisément, nous considérons que
4. Mortality and Expense (M&E) risk charge dans la terminologie anglophone.

1103.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

dans l’intervalle (t, t + dt), la compagnie d’assurance est rémunérée instantanément de `St dt. Nous notons par F les frais accumulés et actualisés à lasignature du contrat. Ainsi, Fτ représente les frais actualisés et accumulésjusqu’à l’instant τ qui peut constituer un temps d’arrêt pour le processus deprix S de l’unité de compte.
Le contrat peut aussi être conçu de façon à avoir un plafond sur letaux garanti g. Cette clause de plafonnement se traduit généralement par laspécification d’un capital maximal M par la compagnie d’assurances, avec
M ≥ S0 . Dans ce cas, le payoff devient [min[M, S0 egT ] − ST ]+ . Comme Milevsky et Posner (2001) l’ont noté, ce nouveau payoff peut encore être réécritde la manière suivante :(S egT − S )+0T(M − S )+T

3.3.1.3si

T ≤ ln[M/S0 ]/gsi

T > ln[M/S0 ]/g.

Équations principales

Nous nous intéressons essentiellement dans ce chapitre à la juste valeurdes frais M&E, incluant les coûts imputés au risque de mortalité . Pour ce
faire, nous considérons que leur juste valeur est la valeur qui, selon la théorie
de l’arbitrage, est donnée par l’espérance du payoff actualisé du contrat
sous une mesure martingale équivalente à la mesure historique. De nouveau,
nous n’avons pas nécessairement un marché complet ici. Comme dans lasection précédente, une mesure risque-neutre, notée Q, est supposée choisie,
donnant naissance à l’univers (Ω, A, Ft,t≥0 , Q). Dans cet univers, le justeprix de l’option incorporée dans le contrat GMDB s’écritG(`) = EQ δT (S0 egT − ST )+ ,et conditionnellement à la durée de vie du souscripteur, nous avonsh iG(`) = EQ EQ δT (S0 egT − ST )+ |T = t .

(3.10)

Par ailleurs, si FT représente la valeur actualisée de tous les frais prélevésjusqu’à l’instant T , la juste valeur de la partie M&E correspondant au risquede mortalité s’écrit
M E(`) = EQ [FT ]111

Contrats d’assurance-vie

ce qui donne conditionnellementM E(`) = EQ EQ [FT |T = t] .

(3.11)

Comme la protection est seulement déclenchée en cas de décès du souscripteur, le taux d’équilibre de prélèvement des frais M&E est la solution en`, si elle existe, de l’équation suivanteG(`) = M E(`).

(3.12)

C’est l’équation essentielle de ce chapitre. Avant de la résoudre, nous avons
besoin de définir la dynamique du portefeuille d’actifs investi dans l’unitéde compte et d’expliciter les hypothèses retenues pour le processus de prix
S et, bien entendu, la mortalité.
3.3.1.4

La solution de Milevsky et Posner

La solution proposée par Milevsky et Posner (2001) a été obtenue en
effectuant les choix d’hypothèses suivants. Dans leur article, ces auteurs
supposent que ` est constant, que le processus de prix S suit un mouvement
brownien géométrique avec une volatilité σ et la loi de mortalité suit une loi
exponentielle ou est de type Gompertz. Le prix de l’option GMDB, qu’ils
ont baptisé option Titanic en référence au destin tragique du paquebot dumême nom, est alors donné parZ ΘG(`) =
fx (t)EQ δT (S0 egT − ST )+ |T = t dt,(3.13)

0où nous pouvons reconnaı̂tre dans l’espérance conditionnelle imbriquée leprix d’une option européenne de vente standard de Black et Scholes avec unprix d’exercice K = S0 egt .
Sous l’hypothèse d’une durée de vie future exponentielle, ils ont alorsobtenu un prix sous une forme explicite. Bien que ce type de modèle ne soit
pas réaliste, il a l’avantage de permettre l’obtention de formules simples et en
outre, il peut servir de point de référence. Ils ont aussi par ailleurs obtenu une
formule semi-fermée pour la valeur actualisée des frais M&E. Pour la loi demortalité de type Gompertz paramétrique, des méthodes numériques restent112

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

nécessaires. Dans tous les cas, la valeur d’équilibre de ` peut seulements’obtenir par un algorithme de recherche de racine.

3.3.2

Cadre d’évaluation général

Nous nous inspirons de l’approche de Milevsky et Posner (2001). Le cadred’évaluation est très général :1. il prend en compte des taux d’intérêt stochastiques. Un modèle de tauxd’intérêt à un facteur avec une structure de volatilité exponentielle sera
utilisé ;2. le processus de prix de l’actif sous-jacent incorpore des sauts ;3. l’impact du modèle de mortalité choisi sur le coût juste de l’option
GMDB incorporée est pris en compte.
L’obligation zéro-coupon sans risque est supposé suivre l’équation différentielle stochastique suivante dans l’univers risque-neutredP (t, T )= rt dt + σP (t, T ) dWt ,P (t, T )(3.14)où P (t, T ) est le prix à l’instant t d’une obligation zéro-coupon d’échéance
T > t, rt est le taux sans risque instantané, σP (t, T ) décrit la structure devolatilité et W est un mouvement brownien standard.
Pour prendre en compte la dépendance entre les actifs investis dansl’unité de compte et les taux d’intérêt, nous suggérons l’introduction d’une
corrélation entre la partie diffusive du processus de prix de ces actifs et cellede la dynamique de l’obligation zéro-coupon. Le processus de prix S est
supposé obéir à l’équation différentielle stochastique suivante sous la mesured’évaluation équivalente Q choisie :pdSt= rt − ` dt + ρσ dWt + σ 1 − ρ2 dZt + (Y − 1) dÑt .
St−(3.15)De nouveau, rt représente le taux d’intérêt instantané, ` le coût proportionnel
fixe correspondant au risque d’assurance, σ est la volatilité des actifs investis,ρ modélise la corrélation entre ces derniers et les taux d’intérêt, W et Z sontdeux mouvements browniens standards indépendants et la dernière partie
prend en compte les sauts impactant le processus de prix. Ñ est un processus
de Poisson compensé d’intensité λ. La variable aléatoire Y , indépendante des113

Contrats d’assurance-vie

précédents processus stochastiques, modélise le changement de prix après un
saut. La taille de saut est définie par la variable aléatoire J = ln(Y ).
p
Notons ici que le processus M défini par dMt = ρσ dWt +σ 1 − ρ2 dZt +(Y − 1) dÑt – donc la partie qui ne comprend pas la dérive dans (3.15) – est
une martingale dans l’univers risque-neutre considéré.
3.3.2.1

Évaluation de la garantie

En notant Nt le processus de Poisson d’intensité λ et en appliquant lelemme d’Itō, la dynamique du processus de prix S s’écrit
Rt

St = S0 e

1 2
0 rs ds−(`+ 2 σ +λκ) t+ρσ Wt +σ√1−ρ2 Zt +N
Ptln (Y )i



i=1

,

(3.16)où κ = E(Y − 1). Par ailleurs, le prix de l’obligation zéro-coupon obéit aux
deux équations suivantes :
Rt

1

Rt

2

Rt

P (t, T ) = P (0, T ) e 0 σP (s,T ) dWs − 2 0 σP (s,T ) ds+ 0 rs ds
P (t, T ) =(3.17a)P (0, T ) R t [σP (s,T )−σP (s,t)]dWs + 1 R t [σ2 (s,t)−σ2 (s,T )]ds
P
2 0 P
e0
.
P (0, t)(3.17b)En divisant l’équation (3.16) par l’équation (3.17a), il vient
Z t



S0
St
1 2
1
=
exp − ` + 2 σ + λκ t + 2
σP2 (s, T ) ds
P (t, T )P (0, T )
0
Nt
Z t
X
p


ln (Y )i .
× exp
ρσ − σP (s, T ) dWs + σ 1 − ρ2 Zt +0i=1

La substitution de (3.17b) dans ce résultat donne

S0e
St = P (0,t)


N
√
R 2
R
Pt
1
−(`+ 2 σ 2 +λκ) t+ 12 0t σP(s,t)ds+ 0t [ρσ−σP (s,t)]dWs +σ 1−ρ2 Zt + ln (Y )ii=1.

Introduisons alors la mesure T -forward QT définie par :dQTδt P (t, T )
,
=
F
t
dQ
P (0, T )(3.18)où δt est le facteur d’actualisation défini à l’équation (3.8). D’après l’équation(3.17a), cette densité de Radon-Nikodym peut encore s’écrire de la façon114

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

suivante

R
Rt
1 t 2
dQT
0 σP (s,T ) dWs − 2 0 σP (s,T ) ds .
=
e
dQ Ft

Le théorème de Girsanov dit alors que le processus stochastique W T , défini
Rt
par WtT = Wt − 0 σP (s, T ) ds, est un mouvement brownien sous la mesure
QT . Cela permet d’obtenir la dynamique du processus de prix sous la mesure
T -forward :
St =

S0
eXt
P (0, t)(3.19)où X est le processus défini par
Xt = −(` + 12 σ 2 +λκ)t +
Z t
+

Z t
0



σP (s, T ) ρσ − σP (s, t) + 21 σP2 (s, t) ds

Nt
X
p


ρσ − σP (s, t) dWsT + σ 1 − ρ2 Zt +ln (Y )i .

0

i=1

(3.20)
Remarquer que nous n’avons plus un modèle avec une exponentielle de processus de Lévy pour le sous-jacent comme X n’est plus un processus de Lévyà cause de la nature stochastique des taux d’intérêt.
Continuons par le calcul de l’espérance imbriquée dans l’équation (3.10).
Conditionnellement à une durée de vie résiduelle T donnée et passant sousla mesure T -forward, l’espérance imbriquée IT devientIT = EQ δT (S0 egT − ST )+ = P (0, T )EQT (K − ST )+ .
Nous pouvons reconnaı̂tre le payoff d’une option de vente vanille avec unprix d’exercice de K = S0 egT . Cette dernière espérance peut être réécrite àpartir de l’équation (3.19) comme
EQT [(K − ST )+ ] = EQT

h

XT
S0
K − P (0,T
)e

+ i

.

Pour simplifier la notation, la fonctionnelle du payoff sera notée h, icih(x) = K −

+
S0
ex .
P (0, T )(3.21)La question est maintenant comment calculer EQT [h(XT )].
La réponse commence par la définition de la fonction φT comme l’expo-

115

Contrats d’assurance-vie

sant de la fonction caractéristique de XT
EQT eiuXT = eφT (u) ,d’où nous pouvons déduire la fonction de densité de la variable aléatoire
XT :fXT (x) =12πZ

e−iux+φT (u) du.

(3.22)

Introduisons aussi la transformée de Fourier de la fonctionnelle du payoffZĥ(u) =

e−iux h(x) dx(3.23)

qui peut être étendue en une transformée de Fourier généralisée définie surla ligne =u = ∆ parallèle à l’axe des nombres réels dans le plan complexe,
du moment que e∆x h(x) soit intégrable. En utilisant (3.21), le calcul de ĥpeut alors s’effectuer comme suit :
Z

+

S0
ex dx
e−iux K −P (0, T )"#
KP (0,T )h e(1−iu)x iln KP (0,T )S0
KP (0, T ) h e−iux iln
S0S0ĥ(u) =−
P (0, T )S0−iu −∞
1 − iu −∞ĥ(u) =

sous la condition de convergence ∆ = =u > 0. Finalement, il vient
KP (0,T )−iu lnS0eĥ(u) = K.
(−iu)(−iu + 1)

(3.24)

Pour en revenir à l’espérance précédente :Z
EQT [h(XT )] =h(x)fXT (x) dxZZ1=h(x) e−iux+φT (u) du dx
2π

Z Z
1
−iux
EQT [h(XT )] =eh(x)dx eφT (u) du
2π

par définition,d’après (3.22),

par changement de l’ordre d’intégration. Nous obtenons alors d’après (3.23)
1
EQT [h(XT )] =
2π

116

Z

ĥ(u)eφT (u) du(3.25)

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

où la dernière intégrale est calculée sur la ligne (∆) = R + i∆ du plancomplexe.
En substituant (3.24) dans (3.25), il vient
KP (0,T )−iu lnS0eeφT (u) du(−iu)(−iu
+
1)
(∆)
Z
1
e−iu ln(P (0,T ))+φT (u)=Keiu ln(m)du
2π (∆)(−iu)(−iu + 1)

1
EQT [h(XT )] = K
2πZoù m = SK0 est la distance à la monnaie,
EQT [h(XT )] = K

1
2π

Z

eiuv ζ(u) du(∆)

où v est le logarithme de la distance à la monnaie et ζ(u) est la partie
fractionnelle de l’intégrande. Finalement, nous avons
EQT [h(XT )] = Ke−∆v ×

1
2π

Z

eiuv ζ(u + i∆) du(3.26)(R)

après le changement de variable u → u + i∆.

Le terme de droite de (3.26) est la transformée de Fourier inverse deζ(u + i∆). Ce constat autorise la mise en œuvre immédiate d’un algorithme
numérique très efficace, à savoir la transformée de Fourier rapide.
Il reste à calculer la fonction φT (u). Il se trouve qu’elle peut être calculée de façon explicite. En effet, soit φJ (u) la fonction caractéristiquedes variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de sautJi = ln (Y )i . L’équation (3.20) donne
EQT eiuXT = eφT (u)
Z T

 
= exp −iu`T + iu
− 12 σ 2 + ρσσP (s, T ) − 21 σP2 (s, T ) ds
0
Z T

 
× exp − 12 u2 ρ2 σ 2 − 2ρσσP (s, T ) + σP2 (s, T ) + σ 2 (1 − ρ2 ) ds
  0× exp T λ(φJ (u) − 1) − λκ .
117

Contrats d’assurance-vie

En définissant
Σ2T =

Z T


σ 2 − 2ρσσP (s, T ) + σP2 (s, T ) ds

(3.27)

0et en remarquant queκ = EQT [Y − 1] = EQT [eJ − 1] = φJ (−i) − 1,l’exposant caractéristique φT peut s’écrire de manière explicite comme :2u2 2
φT (u) = −iu`T − iu
2 ΣT − 2 ΣT + λT φJ (u) − φJ (−i) .
3.3.2.2(3.28)

Valeur actualisée des frais d’assurance

Par définition, Ft s’écrit
dFt = δt ` St dt.
Nous obtenons alorsd(δt St ) = −rt δt St dt + δt dSt= −rt δt St dt + δt (rt − `)St dt + δt St− dMt= −dFt + δt St− dMt ,ce qui nous permet de déduire
Z T

Z T
dFt = S0 − δT ST +FT =0δt St− dMt .
0Sans aucune perte de généralité, nous supposerons à partir de maintenantque S0 = 1.
Enfin, comme le dernier terme de l’expression de FT est une intégrale
par rapport à une martingale dont l’espérance mathématique est nulle, nous
retrouvons un résultat de Milevsky et Posner (2001) sur la valeur au temps
présent des frais d’assurance M&E :M E(`) = EQ [FT ] = 1 − EQ [δT ST ].

118(3.29)

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

En nous basant sur les équations (3.8) et (3.16), il vient :
√
T
P

1
−`T − 2 σ 2 T +ρσ WT +σ 1−ρ2 ZT +ln (Y )i −λκTNM E(`) = 1 − EQ eh i
= 1 − EQ EQ e−`T |T = t] ,

i=1

en conditionnant par rapport à la durée de vie T ,Z ∞M E(`) = 1 −e−`t fx (t)dt(3.30)

0où fx est la densité de probabilité de la variable aléatoire T . Une caractéristique très intéressante est que seul intervient le modèle de mortalité
choisi dans le calcul de la valeur actuelle des frais d’assurance, comme nous
pouvons le constater en formule (3.30).
Si nous tenons compte du temps Θ restant avant l’échéance ducontrat,nous pouvons déduire pour la valeur au temps présent des frais
M&E :
i
h
M E(`) = 1 − EQ e−` min(T,Θ)
hi= 1 − EQ e−`T 1{T <Θ} + e−`Θ 1{T ≥Θ}
Z Θ
M E(`) = 1 −e−`t fx (t)dt − 1 − Fx (Θ) e−`Θ .

(3.31)

0L’intégrale figurant dans l’équation (3.31) peut maintenant être calculéeZ Θe−`T fx (t)dt = λ(x)ebλ(x)

0

Z Θ

t

t

e−`T e b e−bλ(x)e b dt0

= λ(x)ebλ(x)Z e Θbu−`b e−bλ(x)u du1

après le changement de variable t → b ln(u), puis
Z Θ
0e−`T fx (t)dt = ebλ(x) e(x−m)`Z bλ(x)e Θb

e−y y −`b dy

bλ(x)

119

Contrats d’assurance-vie
yaprès le changement de variable u → bλ(x). Finalement, nous avons :

Z Θ




Θ
e−`T fx (t)dt = ebλ(x) e(x−m)` Γ 1 − `b, bλ(x) − Γ 1 − `b, bλ(x)e b0où Γ(a, x) =R∞ −t a−1
e t dt est la fonction gamma incomplète supérieure et laxpremière variable a doit être strictement positive. Cette condition entraı̂ne
une limite supérieure sur les valeurs possibles du coût fixe prélevé ` :
1
`< .
b

(3.32)

Finalement, la valeur actuelle des frais d’assurance M&E cumulés dansle cas d’un modèle de mortalité de type Gompertz s’écritihΘM E(`) = 1 − ebλ(x) e(x−m)` Γ 1 − `b, bλ(x) − Γ 1 − `b, bλ(x)e b(3.33)
Θb− ebλ(x) 1−e e−`Θ .
Le modèle de mortalité de Makeham rajoute une composante indépendante de l’âge à la force de mortalité de Gompertz (3.3) comme suit :λ(x) = A + B.C x ,(3.34)où B > 0, C > 1 et A ≥ −B.
Dans le cas du modèle de mortalité de Makeham, la présence de laconstante A ne permet pas l’obtention de formules explicites comme dansle cas précédent. Par conséquent, une quadrature numérique est nécessairepour calculer les frais M&E.

3.3.3

Étude numérique

Cette section est consacrée à l’analyse de l’impact de la présence dessauts, de l’introduction des taux d’intérêt stochastiques et de la mortalité.
Les deux premières sous-sections donnent une analyse numérique de l’effet
des sauts et des taux d’intérêt stochastique pris à part. La dernière soussection examine l’effet combiné des trois facteurs de risque. Dans toute lasection, les modèles de mortalité utilisés ont été ajustés à partir de données
réelles.

1203.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

3.3.3.1

Impact des sauts

Dans cette sous-section, seul l’impact des sauts sur la dynamique duportefeuille d’actifs investis dans l’unité de compte est pris en compte. Ainsi,
la structure par terme des taux d’intérêt est plate. L’échéance du contrat
d’assurance est fixé à l’âge de 75 ans. Le modèle de mortalité choisi est celui
de Gompertz. Les paramètres du modèle de Gompertz utilisés dans cettesous-section et la suivante sont ceux obtenus par Milevsky et Posner (2001)
et figurant au tableau 3.1.
Pour apprécier l’impact des sauts sur la juste valeur des frais d’assurance
M&E, nous verrons tour à tour le cas sans aucun saut, le modèle origineldéveloppé par Milevsky et Posner (2001) donc et deux modèles diffusifs etsauts. La volatilité dans le cas sans sauts est fixée à 20 %. Dans le cas dupremier modèle diffusif et sauts, à savoir le modèle de Merton, donné ici par
souci de comparaison, les sauts sont modélisés par des variables aléatoires
gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées de moyenne µJ etd’écart-type σJ . Nous prendrons µJ = 0 et σJ = 0.25.
Dans le cas du modèle diffusif et sauts de Kou, les sauts J = ln(Y ) sontde nouveau indépendants et identiquement distribués. Cette fois-ci, leur loi
suit une exponentielle doublefJ (y) = pλ1 e−λ1 y 1y>0 + qλ2 eλ2 y 1y≤0(3.35)

avec p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1, λ1 > 0 et λ2 > 0. Les paramètres suivants
serviront de paramètres de référence pour le modèle de Kou : p = 0.4,
λ1 = 10 et λ2 = 5.
La figure 3.6 montre la sensibilité du coût annuel ` de la garantie –mesuré en points de base (bp) – du risque d’assurance au taux d’arrivée dessauts. La partie diffusive est caractérisée par une volatilité de 20 % et lesparamètres de la composante de sauts sont les paramètres de référence dumodèle de Kou précisés précédemment. À titre d’illustration, le cas considéréconcerne une femme âgée de 50 ans à la date de la souscription. Le capital
maximal que le bénéficiaire du contrat peut obtenir est plafonné à 200 % dela somme initialement investie par l’assurée.
Il apparaı̂t que le coût du risque d’assurance croı̂t avec le taux d’arrivée
des sauts. Cette propriété vient du caractère optionnel incorporé dans le

121

Contrats d’assurance-vie

Sensibilité au taux d’arrivée des sauts (Femme, 50 ans) −− modèle de Kou
19Coût du risque d’assurance (bp)

18
17
16
15
14
13
12
11
10

0

0.1

0.2

0.3
0.4
Intensité de Poisson λ

0.5

0.6

0.7

Figure 3.6 – Sensibilité au taux d’arrivée des sauts – r = 6%, taux minimum
garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalité de Gompertz.
contrat GMDB : il y a une sensibilité positive à un accroissement général dela variation totale du processus sous-jacent.
Continuons d’explorer l’impact des sauts sur la juste valeur des frais
prélevés en contrepartie du risque d’assurance. En retenant les paramètresde référence de la composante de sauts du modèle de Kou, nous gardons
cette fois-ci la variation quadratique totale constante et égale à 1.5 fois lavariation du cas sans sauts. En conséquence, la partie diffusive du modèlede Kou est fixée de manière à garder la variation quadratique totale duprocessus stochastique constante.
De façon contrastée, la figure 3.7 montre alors que le coût du risqued’assurance décroı̂t avec le taux d’arrivée des sauts. La variation quadratique gagnée par la composante des sauts se trouve en fait compensée par ladécroissance de la variation enregistrée sur la partie diffusive. Ainsi, la décroissance du coût du risque d’assurance peut s’expliquer par un effet plus
prononcé du tassement de la variation de la partie diffusive.
À partir de maintenant, l’intensité du processus de Poisson sera arbitrairement fixé à λ = 0.5 dans les deux modèles diffusifs et sauts. Par ailleurs,la partie diffusive sera dans les deux cas telle que la variation quadratique122

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Sensibilité au taux d’arrivée des sauts (Femme, 50 ans) −− modèle de Kou
15Coût du risque d’assurance (bp)

14.5

14

13.5

13

12.5

12

0

0.1

0.2

0.3
0.4
Intensité de Poisson λ

0.5

0.6

0.7

Figure 3.7 – Sensibilité au taux d’arrivée des sauts – r = 6%, taux minimum
garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalité de Gompertz – Lavariation quadratique totale est gardée constante.
totale du processus restera égale à 1.5 fois la variation quadratique dans lecas sans sauts, sauf indication explicite du contraire.
Les tableaux suivants montrent le pourcentage total des frais d’assurance
M&E cumulés par rapport à la somme investie dans les trois modèles, sanssauts et diffusifs avec sauts, pour la souscription d’une femme (voir le tableau
3.4) et d’un homme (voir le tableau 3.5) à divers âges lors de la souscription.
Nous pouvons constater que le coût du risque d’assurance est sensiblement le même dans les deux modèles diffusifs et sauts, leur variation quadratique totale étant la même.
3.3.3.2

Impact des taux d’intérêt stochastiques

Dans toute la suite, nous nous concentrons sur le cas du modèle diffusif
et sauts de Kou. Cette sous-section porte plus particulièrement sur l’étude
de l’impact de taux d’intérêts stochastiques.
La courbe initiale des rendements à l’échéance y(0, t) est supposée obéirà l’équation paramétrique suivante y(0, t) = α − βe−γt où α, β et γ sontdes constantes positives. La structure par terme des taux d’intérêt plateprécédente avec un taux constant fixé à r = 0.06 sera aussi utilisée à titre
123

Contrats d’assurance-vie

Table 3.4 – Impact des sauts – Cas d’une femme – r = 6%, taux minimum
garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalité de Gompertz. Pourchaque modèle de sous-jacent, la colonne de gauche affiche l’importance relative des frais M&E cumulés via le ratio M E(`)/S0 . La colonne de droite
affiche la juste valeur des frais annuels ` du risque d’assurance en points debase (bp).
Souscription
(ans)
30
40
50
60
65

Cas sans sauts
(%)
(bp)

Modèle de Merton
(%)
(bp)

Modèle de Kou
(%)
(bp)

0.76
1.47
2.52
2.99
2.10

1.24
2.18
3.41
3.75
2.61

1.16
2.04
3.21
3.55
2.47

1.77
4.45
10.85
21.58
22.56

2.89
6.61
14.72
27.24
28.12

2.70
6.19
13.86
25.74
26.59

Table 3.5 – Impact des sauts – Cas d’un homme – r = 6%, taux minimum
garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalité de Gompertz. Pourchaque modèle de sous-jacent, la colonne de gauche affiche l’importance relative des frais M&E cumulés via le ratio M E(`)/S0 . La colonne de droite
affiche la juste valeur des frais annuels ` du risque d’assurance en points debase (bp).
Souscription
(ans)
30
40
50
60
65

Cas sans sauts
(%)
(bp)

Modèle de Merton
(%)
(bp)

Modèle de Kou
(%)
(bp)

1.34
2.52
4.23
4.90
3.48

2.15
3.68
5.68
6.14
4.32

2.01
3.46
5.35
5.81
4.08

3.25
7.97
19.22
37.59
39.33

5.21
11.73
26.01
47.50
49.05

4.86
10.99
24.46
44.82
46.31

de comparaison. Le rendement à l’échéance est alors supposé converger versr pour les maturités longues. La courbe initiale des rendements utilisée est
la suivante :y(0, t) = 0.0595 − 0.0195 exp(−0.2933 t).

(3.36)

Comme annoncé précédemment, la structure de volatilité des taux d’intérêt est supposée être de forme exponentielle. Techniquement, nous pouvonsl’écrire comme suit :σP (s, T ) = σaP 1 − e−a(T −s) ,124(3.37)

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

0.06
0.058

Rendement à l’échéance

0.056

Structure plate
Courbe initiale des rendements

0.054
0.052
0.05
0.048
0.046
0.044
0.042
0.04
0

5

10

15

20

25

30

35

t

Figure 3.8 – Courbe initiale des rendements à l’échéance.
où a > 0. Dans toute la suite, nous prendrons σP = 0.033333, a = 1 et lacorrélation entre le zéro-coupon et les actifs investis dans l’unité de compte
sera fixée à ρ = 0.35.
La quantité Σ2T peut alors être complètement spécifiée à partir de cetteexpression de la structure de volatilité. En effet, Σ2T peut être calculée enintroduisant (3.37) dans (3.27). D’un côté, nous avons :
Z T
0



σP (s, T ) ds = σaP T − a1 1 − e−aTet de l’autre :
Z T
0




σ2
1
σP2 (s, T ) ds = aP2 T − a2 1 − e−aT + 2a
1 − e−2aT .

Enfin, en combinant ces deux résultats intermédiaires, il vient
Σ2T =

σ2 
2ρσσP
− 32 aP3 +
a2


σ2
P
σ 2 + aP2 − 2ρσσT+a2 −aT σ2 −2aT
2σPP
− 2ρσσe− 2aP3 e.
a3a2(3.38)Les résultats rapportés dans les tableaux 3.6 et 3.7 montrent que la nature stochastique des taux d’intérêt a un impact énorme sur le juste prixdu risque d’assurance que ce soit en fonction de l’âge à la souscription ou
du sexe de l’assuré. Le tableau 3.7 montre que le prélèvement lié au risque125

Contrats d’assurance-vie

Table 3.6 – Impact des taux d’intérêt stochastiques – Cas d’une femme –r = 6%, taux minimum garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalité de Gompertz. Dans chaque cas, la colonne de gauche affiche l’importance
relative des frais M&E cumulés via le ratio M E(`)/S0 . La colonne de droite
affiche le juste coût annuel ` du risque d’assurance.
Souscription Kou (structure plate) Kou (taux stochastiques)
(ans)
(%)
(bp) (%)
(bp)
30
40
50
60
65

1.16
2.04
3.21
3.55
2.47

2.70
6.19
13.86
25.74
26.59

5.30
6.84
8.04
6.77
4.11

12.63
21.29
35.63
49.93
44.61

d’assurance peut être aussi élevé que 88.65 bp dans le cas d’un souscripteur de sexe masculin âgé de 60 ans au moment de la souscription dans unenvironnement à taux d’intérêt stochastiques.
Ainsi, l’effet dû aux taux d’intérêt stochastiques est significativement
plus prononcé que l’effet des sauts. En effet, plus la maturité est longue,
plus les sauts tendent à se lisser, ce qui amoindrit leur impact. De manièrealternative, la nature stochastique des taux d’intérêt se fait profondément
ressentir pour la durée typique des contrats d’assurance étudiés dans ce
chapitre.
Dans ces deux tableaux, le coût annuel lié au risque d’assurance décroı̂tsi la souscription a lieu après 60 ans. Cette décroissance après un certain âgeà la souscription sera de nouveau vérifiée dans les figures données dans lasection suivante. L’approche de l’échéance contractuelle, fixée à 75 ans pourrappel, explique ce phénomène.
3.3.3.3

Impact combiné des facteurs de risqueL’impact du modèle de mortalité utilisé est combiné aux facteurs derisque étudiés précédemment dans cette sous-section. Les paramètres desmodèles de mortalité de Gompertz et de Makeham estimés par Melnikov
et Romaniuk (2006) que nous pouvons retrouver dans le tableau 3.2 sontutilisés à partir d’ici.
Dans toutes les figures de cette sous-section, la courbe en cercles correspond au modèle sans sauts et un taux d’intérêt constant. La courbe en croix

1263.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Table 3.7 – Impact des taux d’intérêt stochastiques – Cas d’un homme – r =6%, taux minimum garanti g = 5%, plafond de 200%. Modèle de mortalitéde Gompertz. Dans chaque cas, la colonne de gauche affiche l’importance
relative des frais M&E cumulés via le ratio M E(`)/S0 . La colonne de droite
affiche le juste coût annuel ` du risque d’assurance.
Souscription Kou (structure plate) Kou (taux stochastiques)
(ans)
(%)
(bp)
(%)
(bp)
30
40
50
60
65

2.01
3.46
5.35
5.81
4.08

4.86
10.99
24.46
44.82
46.31

8.87
11.38
13.38
11.14
6.82

22.27
37.81
64.07
88.65
78.55

Table 3.8 – Impact combiné sur la juste valeur des frais annuels ` du risqued’assurance – États-Unis – g = 5%, plafond de 200%.
Gompertz
MakehamÂge Sans sauts Kou (plate) Kou (stoch.) Kou (stoch.)
30
40
50
60
65

4.79
11.16
24.88
44.45
45.20

6.99
15.15
31.50
52.97
53.18

30.23
50.86
82.50
105.27
90.41

32.20
52.34
83.03
104.7789.78

Table 3.9 – Impact combiné sur la juste valeur des frais annuels ` du risqued’assurance – Suède – g = 5%, plafond de 200%.
Gompertz
MakehamÂge Sans sauts Kou (plate) Kou (stoch.) Kou (stoch.)
30
40
50
60
65

3.27
8.22
19.85
38.22
39.87

4.92
11.35
25.29
45.58
46.96

22.83
39.42
66.73
90.53
79.83

23.94
40.41
67.42
90.72
79.85

127

Contrats d’assurance-vie

Table 3.10 – Impact combiné sur la juste valeur des frais annuels ` du risqued’assurance – Japon – g = 5%, plafond de 200%.
Gompertz
MakehamÂge Sans sauts Kou (plate) Kou (stoch.) Kou (stoch.)
30
40
50
60
65

3.58
8.94
21.45
41.04
42.71

5.36
12.32
27.31
48.94
50.30

24.77
42.77
72.34
97.56
85.68

26.04
43.91
73.08
97.70
85.63

Impact combiné −− États−Unis
120
Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)Coût du risque d’assurance (bp)

100

80

60

40

20

0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.9 – Juste coût ` lié au risque d’assurance – États-Unisvoit l’introduction de sauts double exponentiels de Kou mais la structure parterme des taux d’intérêt reste toujours plate. La courbe composés de carrés montre l’effet combiné des sauts et des taux d’intérêt stochastiques par
rapport au modèle sans sauts. Ces trois premières courbes sont construites
avec un modèle de mortalité de Gompertz. La quatrième courbe, en étoiles,
prend en compte sauts et taux d’intérêt stochastiques, mais cette fois-ci lemodèle de mortalité est celui de Makeham.
La figure 3.9 affiche le coût ` du risque d’assurance en fonction de l’âge àla souscription du contrat aux États-Unis. Le coût lié au risque d’assurancecroı̂t pour tous les modèles considérés de 30 ans à la souscription jusqu’à lasoixantaine environ. Le coût décroı̂t fortement après la soixantaine comme1283.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Impact combiné −− Suède
100
Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)Coût du risque d’assurance (bp)

90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.10 – Juste coût ` lié au risque d’assurance – SuèdeImpact combiné −− Japon
100Coût du risque d’assurance (bp)9080Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)

70
60
50
40
30
20
10
0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.11 – Juste coût ` lié au risque d’assurance – Japon

129

Contrats d’assurance-vie

Impact combiné −− États−Unis18
16

Option GMDB (%)

14
12

Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)

10
8
6
4
2
0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.12 – Impact combiné sur la juste valeur de l’option GMDB –États-Unisl’échéance du contrat, fixée à 75 ans, approche. Le même phénomène peutêtre constaté pour le cas de la Suède (figure 3.10) et du Japon (figure 3.11).
Les deux courbes les plus basses dans toutes ces figures correspondent defaçon saisissante à une structure par terme des taux d’intérêt plate. L’impact
dû aux sauts est moins prononcé que celui dû aux taux d’intérêt stochastiques comme le montrent les deux courbes les plus élevées qui correspondent
toutes deux à un environnement avec des taux d’intérêt stochastiques. La
bande étroite dans laquelle sont localisées ces deux courbes hautes montre
que le changement de modèle de mortalité a un effet très amoindri par rapport à celui de la prise en compte de taux d’intérêt stochastiques.
Les valeurs de l’option GMDB correspondant aux justes coûts annuels
du risque d’assurance ci-dessus ont été calculées et reportées dans la figure
3.12 pour les États-Unis, la figure 3.14 pour la Suède et la figure 3.16 pour leJapon. Bien entendu, d’après l’équation principale donnée en (3.12), chaquevaleur de l’option GMDB ainsi calculée correspond aux frais cumulés M&E
prélevés au taux ` par la compagnie d’assurance durant toute la vie de lapolice.
Les valeurs de l’option GMDB croissent de nouveau dans tous les modèles jusqu’à un certain âge et redescendent vers zéro au fur et à mesure

1303.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Option GMDB −− Gompertz (stoch) −− États−Unis

Option GMDB (%)

20

15

10

5

0
100
50
Coût du risque d’assurance (bp)

30
0

40

50

60

70

80

Âge (ans)

Figure 3.13 – Valeur de l’option GMDB en fonction du coût du risqued’assurance et de l’âge à la souscription – Impact combiné – États-Unisque l’âge de la souscription approche de l’âge contractuel d’expiration ducontrat. Dans le cas sans sauts, ce dernier phénomène peut s’expliquer techniquement par la borne supérieure de l’intégrale figurant dans l’équation(3.13) qui est le temps Θ avant la fin du contrat et qui tend alors lui-mêmevers zéro. De façon plus générale, la garantie octroyée par la police d’assurance a de moins en moins de valeur à mesure que l’âge de la souscription
approche la date de terminaison du contrat. En effet, l’investisseur potentiel
n’a aucune incitation à acheter le contrat GMDB s’il est quasiment certain
qu’il ne pourra vraisemblablement pas en bénéficier dans le court laps detemps avant la fin du contrat. Bien plus, si l’horizon d’investissement est
court, l’incertitude concernant les perspectives économiques est très faible
et le souscripteur potentiel pourrait éventuellement mieux tirer profit de lasituation en investissant directement dans une obligation d’État.
La figure 3.13 pour les États-Unis, la figure 3.15 pour la Suède et la figure
3.17 pour le Japon présentent les valeurs de l’option GMDB en fonction del’âge à la souscription et en fonction du niveau du coût du risque d’assurance.
Ces figures tiennent compte de l’impact des sauts du modèle de Kou et destaux d’intérêt stochastiques avec un modèle de mortalité de Gompertz. Le
phénomène de tassement vers zéro est de nouveau observé lorsque les âges

131Contrats d’assurance-vie

Impact combiné −− Suède

Option GMDB (%)

15

10

Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)

5

0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.14 – Impact combiné sur la juste valeur de l’option GMDB – Suèdeà la souscription sont élevés. Pour des souscripteurs jeunes, la valeur del’option GMDB augmente naturellement avec le niveau du prélèvement lié
au risque d’assurance.
Cette sous-sous-section est la plus complète car y ont été pris en compte
les sauts et les taux d’intérêt stochastiques ainsi que l’impact de deux modèles de mortalité, qui a pu être étudié à travers leur estimation sur les trois
pays développés mentionnés auparavant. Comme nous pouvons le constater
sur les tableaux 3.8, 3.9, et 3.10 ainsi que sur les figures 3.9, 3.10 et 3.11,
le comportement du juste coût du risque d’assurance en fonction de l’âge àla souscription est globalement du même type quel que soit le modèle considéré. Les faits suivants peuvent cependant être soulignés. Premièrement, lessauts seuls ne changent pas de beaucoup le juste taux de prélèvement alors
que la prise en compte de taux d’intérêt stochastiques remonte le juste coût
du risque d’assurance de façon substantielle. Deuxièmement, le changement
du modèle de mortalité utilisé n’a pas eu d’impact significatif. Enfin, mentionnons la présence d’une certaine hiérarchie entre les trois pays étudiés.
Dans l’ordre, le juste coût en Suède est le plus bas, suivi du Japon et desÉtats-Unis. C’est un phénomène qui peut s’expliquer par les estimations
de paramètres de modèle de mortalité reportés dans le tableau 3.2, en par-132

3.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Option GMDB −− Gompertz (stoch) −− Suède

Option GMDB (%)

15

10

5

0
100
50
Coût du risque d’assurance (bp)

30
0

40

50

60
Âge (ans)

70

80

Figure 3.15 – Valeur de l’option GMDB en fonction du coût du risqued’assurance et de l’âge à la souscription – Impact combiné – SuèdeImpact combiné −− Japon

Option GMDB (%)

15

Sans sauts (plate)Kou (plate)Kou, Gompertz (stoch.)Kou, Makeham (stoch.)

10

5

0
30

35

40

45

50
55
Âge (ans)

60

65

70

75

Figure 3.16 – Impact combiné sur la juste valeur de l’option GMDB –
Japon

133

Contrats d’assurance-vie

Option GMDB −− Gompertz (stoch) −− Japon
16
14

Option GMDB (%)

12
10
8
6
4
2
0
100
50
Coût du risque d’assurance (bp)

30
0

40

60
50
Âge (ans)

70

80

Figure 3.17 – Valeur de l’option GMDB en fonction du coût du risqued’assurance et de l’âge à la souscription – Impact combiné – Japon
ticulier le paramètre B. Il peut aussi être relié aux baisses des indices demortalité mentionnées par Melnikov et Romaniuk (2006).

1343.3 Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB)

Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons considéré deux polices d’assurance-vie, lecontrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG) et le contrat à bénéficeminimum garanti en cas de décès (GMDB). Le contrat PEFG verse au souscripteur à l’échéance de la police, s’il est toujours en vie, le maximum entre
la valeur à cet instant du portefeuille d’actifs investi et la valeur au mêmemoment d’un actif moins risqué qui sert de garantie. La valeur de ce contrata alors été obtenue en faisant intervenir la probabilité de survie de l’assuréà l’échéance et la valeur d’une option d’échange entre le portefeuille d’actifs
et la garantie flexible.
Le contrat GMDB offre au bénéficiaire, en cas de décès de l’assuré, lemaximum entre la valeur du capital initial capitalisée à un taux minimum
garanti jusqu’au décès et la valeur à ce moment des investissements de lasomme versée effectués sur le marché financier au travers d’une unité decompte. D’un point de vue financier, l’évaluation de ce contrat est effectuée
par une analyse d’actifs contingents. Jusqu’ici, le juste prix de ce contrat
a été obtenu dans le cadre de Black et Scholes comme dans Milevsky etPosner (2001) ou dans le cadre d’un modèle log-normal à changement derégime comme dans Hardy (2003).
Le cadre de Black et Scholes a alors été étendu dans ce chapitre en un
cadre plus général qui permet de prendre en compte taux d’intérêt stochastiques et sauts. De façon spécifique, la valeur de marché des actifs investis
via l’unité de compte est supposé suivre un processus de Lévy géométrique.
Nous faisons plus particulièrement usage de la sous-classe des processus diffusifs et sauts. Par ailleurs, la mortalité est modélisée par une loi de type
Gompertz ou Makeham. Une méthodologie d’évaluation complète est alorsdéveloppée et illustrée par une étude numérique basée sur l’algorithme detransformée de Fourier rapide. Incidemment, ce chapitre propose une façond’évaluer des options dans une économie non gaussienne et avec des tauxstochastiques. De nouveaux résultats sont alors obtenus sur le juste prix
associé au risque d’assurance des contrats GMDB.
Pour la maturité type de ces contrats, nous avons trouvé que l’introduction de sauts tout en gardant la variation quadratique totale constantedans une économie avec une structure des taux d’intérêt par terme plate nechange pas beaucoup ce juste coût. Par ailleurs, l’introduction de taux d’in-135

Contrats d’assurance-vie

térêt stochastiques augmente substantiellement ce juste coût. Un résultat
important qui en découle est que, en contraste avec l’article de Milevsky etPosner (2001), le juste prix du risque d’assurance obtenus sont significativement plus élevés. Cependant ce juste prix demeure encore moins élevé que
les frais demandés par les compagnies d’assurance même si l’écart peut être
faible, en particulier pour des assurés dont l’âge au moment de la souscription est aux alentours de la soixantaine.

136

Chapitre 4

Retour sur la théorie de laruine
Introduction
La théorie classique du risque depuis les travaux de Lundberg (1903)
modélise les réserves d’une compagnie d’assurance par une dérive et un processus de Poisson composé. Plusieurs extensions à ce modèle ont depuis été
proposées dans la littérature. Ces extensions font en général appel à desprocessus de la classe des processus de Lévy. Les travaux de Dufresne etGerber (1991), de Furrer et Schmidli (1994) et de Furrer (1998) introduisentdes perturbations de ces réserves par un mouvement brownien, une diffusion
ou un processus de Lévy stable négatif. Une autre approche proposée dansla littérature est une modélisation directe des réserves par divers processus
de Lévy. Ainsi, les travaux de Dufresne, Gerber et Shiu (1991) et de Dickson et Waters (1993) qui donnent les probabilités de ruine avec des réservesmodélisées par un processus Gamma ou ceux de Klüppelberg, Kyprianou etMaller (2004) fournissant les formules asymptotiques de probabilité de ruineà l’infini avec des processus de Lévy généraux. Par contraste, ce chapitres’attachera à obtenir les probabilités de ruine en temps fini.
Dans la lignée des chapitres précédents, le calcul de ces probabilités deruine se fera dans un premier temps avec les processus de Kou, de la classedes processus diffusifs et sauts, où la partie sauts est un processus de Poisson composée avec une loi exponentielle double. Dans un second temps, leprocessus de surplus est modélisé par un processus de Lévy stable. Dans
137

Retour sur la théorie de la ruine

ce modèle, le processus de surplus est impacté tant par des sauts négatifs
que par des sauts positifs. La ruine survient lorsque ce processus atteint unniveau donné. Le calcul de la probabilité de ruine en temps fini se fait ainsià partir du temps de premier passage, ou de façon équivalente, à partir del’infimum du processus de Lévy stable. Pour y parvenir, ce chapitre présente
une version étendue du cadre proposé par Rogers (2000), qui permettait
le calcul de la probabilité du premier temps de passage de processus spectralement négatifs. Une application en finance a été proposée par ailleurspar Hilberink et Rogers (2002). Contrairement à ces travaux, nous avons enmême temps ici des sauts positifs et négatifs pour le processus de surplus :il est raisonnable en effet de supposer que dans le monde réel, les réserves
puissent être affectées tant par des sauts vers le haut que des sauts vers lebas. Le fait de modéliser le processus de surplus par un processus à sautsqui puisse incorporer des sauts tant positifs que négatifs vient du fait que lesurplus, étant la différence entre les actifs et les passifs, est nécessairement
impacté par les chocs subis par les actifs investis sur les marchés financiers.
Dans le cadre étendu proposé ici, le processus de surplus ne comporte
plus de partie dérive. Ceci, ajouté au fait que les processus de Lévy stableconsidérés ici oscillent à l’infini, donne une perspective nouvelle sur la théorie
de la ruine. En particulier, la probabilité de survie à l’infini devient nulle. En
effet, nous soutenons que dans le monde réel, toute compagnie sera en situation de détresse sur un intervalle de temps suffisamment long. Cependant,
sur un intervalle de temps fini, les probabilités de survie sont non nulles etpeuvent même être très élevées : l’étude de ces probabilités constitue l’objet
principal de ce chapitre.
Dans la première section, le cadre de travail est introduit, en particulier
les définitions et les caractéristiques des processus utilisés sont données. Une
deuxième section expose la théorie et les moyens utilisés pour calculer desprobabilités de ruine en temps fini et infini avec des processus de Kou etdes processus de Lévy stables. Cette section se termine avec la mise enœuvre et l’implémentation de ces modèles. Une troisième section discuteles résultats numériques obtenus : d’abord, l’ajustement sur des données
empiriques justifie l’intérêt de l’utilisation de ces deux classes de processus,
ensuite, quelques faits stylisés du modèle stable sont avancés.

138

4.1 Processus de Lévy

4.1

Processus de Lévy

Nous commençons par donner la caractérisation des processus qui vont
servir à modéliser le surplus de la compagnie d’assurance considérée. Dans
tout ce chapitre, le surplus initial sera noté par u et le processus de surplus
est modélisé par u + X où X est un processus de Lévy tel que X0 = 0.
Comme annoncé dans l’introduction, nous considérerons les cas où X est un
processus diffusif à sauts doubles exponentiels et où X est un processus deLévy stable.

4.1.1

Processus à sauts doubles exponentiels

Nous décrivons brièvement ici une classe de processus diffusifs à sauts
utilisée abondamment dans la littérature en finance. Appelés processus deKou, après l’article fondateur de Kou (2002), ces processus consistent en un
mouvement brownien arithmétique auquel s’ajoute un processus de Poissoncomposé dont les sauts suivent une loi double exponentielle. Leur dynamiques’écrit ainsi :Xt = a t + σzt +

Nt
X

Yk ,

(4.1)

k=1

où z est un mouvement brownien standard, N est un processus de Poisson d’intensité constante λ et où les (Yk ) sont des variables aléatoires i.i.d
supposées suivre une loi exponentielle double de densité :fY (y) = p λ1 e−λ1 y 1{y≥0} + (1 − p) λ2 eλ2 y 1{y<0}où λ1 et λ2 sont strictement positifs et p ∈ [0, 1] est la probabilité de sauts
positifs.
Noter que l’exposant de Laplace du processus de Kou est donné par :


1 2 2
λ1
λ2
G(x) = ax + σ x + λ p+ (1 − p)−1 .
2
λ1 − xλ2 + x

4.1.2

(4.2)

Processus stables

Les processus stables que nous considérons font partie des processus deLévy. Leurs incréments, stationnaires et indépendants par définition, suivent
une loi stable. Bien entendu, leurs lois marginales sont aussi stables.

139

Retour sur la théorie de la ruine

Pour tout processus de Lévy X, la connaissance de la loi de X1 suffit àdécrire entièrement le processus. La fonction caractéristique de X1 s’écrit :παααE eiuX1 = eiµu−σ |u| [1−iβ(u) tan( 2 )]avec α 6= 1 et en définissant
si u > 0 1
(u) =
0
si u = 0−1 si u < 0
Les lois de Xt et de Xt − Xs s’en déduisent aisément. Nous considérerons
une paramétrisation de cette classe de processus où µ = 0 et où la volatilité
est normalisée de telle manière qu’en définissant πα −1/2
c = 1 + β 2 tan2
2

(4.3)

l’expression de l’exposant de Fourier, définie uniquement sur la ligne imaginaire dans le plan complexe, se ramène à πα 
Ψ(iu) = −c|u|α 1 − iβ (u) tan
2∀u ∈ R.

Ce choix correspond à la normalisation proposée par Doney (1987), où
α et β sont les principaux paramètres qui décrivent le processus et qui ont
besoin d’être calibrés. Le paramètre α sera pris différent de 1. Pour 0 < α <1, le choix du paramètre β pourra être effectué ans l’intervalle ] − 1, 1[. Pour
1 < α < 2, β sera pris dans l’intervalle [−1, 1]. Cette paramétrisation plus
restrictive est nécessaire pour les développements qui vont suivre. Elle reste
cependant suffisamment riche pour décrire une large gamme de formes deloi.
Si nous comparons ces processus de Lévy stables avec les processus deKou, ces derniers incorporent une dérive et une composante continue (lemouvement brownien) en plus de la composante purement à sauts présentedans la classe de processus stables que nous venons de décrire. Cependant, lesprocessus de Kou ont une activité de sauts finie, contrairement aux processus
de Lévy stables. Cela constitue un avantage clair pour les processus de Lévy
stables. En effet, Carr et al. (2002) ont déjà relevé la pertinence des processus
de Lévy à activité infinie pour modéliser des dynamiques.
140

4.2 Probabilités de ruine et de survie

4.2

Probabilités de ruine et de survie

Dans cette section, nous développons les formules de calcul des probabilités de survie et de ruine en temps fini. Nous montrons en particulier
comment ces formules s’obtiennent par l’intermédiaire de transformées deLaplace simples ou doubles. Nous discutons aussi de la probabilité de ruineà l’infini dans le cas des processus stables et de Kou, du fait qu’elle soit égaleà un ou non. Enfin, la mise en œuvre des formules ainsi obtenues conclura
la section.

4.2.1

Factorisation de Wiener-Hopf

En guise de préliminaires, nous introduisons les outils mathématiquesnécessaires à notre étude, à savoir les facteurs de Wiener-Hopf des classes deprocessus considérés. Dans un premier temps, d’importants résultats sur les
trajectoires de processus de Lévy généraux, en particulier sur leurs fonctionnelles, sont rappelés. Pour un traitement détaillé, voir Satō (1999), Bertoin(1996) ou Bingham (1975). Dans un second temps, les facteurs de WienerHopf de quelques processus sont donnés, dont ceux utilisés par ailleurs dansce chapitre.
4.2.1.1

Fonctionnelles de processus de Lévy et factorisation

Soit X = {Xt | t ≥ 0} un processus de Lévy avec une valeur initiale
nulle. Rappelons les définitions des diverses fonctionnelles de X suivantes :St = sup Xs

(4.4)

0≤s≤t

le supremum courant,
It = inf Xs(4.5)

Rx = inf{t > 0 | Xt < x}

(4.6)

0≤s≤t

l’infimum courant.
Par ailleurs, soit

le premier temps de passage sous le niveau x,
Λt = inf{s ∈ [0, t] | Xs ∨ Xs− = St }

(4.7)
141

Retour sur la théorie de la ruine

le premier temps de passage au supremum etΓx = x − XRx(4.8)

le dépassement absolu sous x ou overshoot.
Comme il a été mentionné auparavant, la loi de l’infimum I s’avère particulièrement utile. Le franchissement du niveau de ruine correspond en effet
au passage de l’infimum du processus en dessous de ce niveau. La factorisation probabiliste de Wiener-Hopf permettra d’obtenir cette loi.
L’idée sous-jacente à la factorisation de Wiener-Hopf est de décomposer
une trajectoire en deux parties indépendantes (X + , X − ). Une première idéepourrait être de prendre à tout instant t, X + = St le supremum courant,
et prendre pour l’autre partie du processus la différence : X − = Xt − St .
Il est clair cependant que ces deux variables aléatoires ne sont pas indépendantes. Il se trouve que cette décomposition peut être effectuée en prenantle supremum à un temps aléatoire indépendant (du processus stochastique)et exponentiel.
La factorisation de Wiener-Hopf correspond par conséquent à la décomposition (X + = Sη , X − = Xη − Sη ) où η est une variable aléatoire exponentielle indépendante de paramètre q > 0. Il est à noter que la loi de Xη − Sη
est la même que celle de Iη . S − X est le processus réfléchi au supremum :c’est un processus de Markov fort comme le montre Bertoin (1996).
Rappelons ici la définition des facteurs de Wiener-Hopf ψ + et ψ − , introduits par ailleurs au chapitre 2 avec les équations (2.2) et (2.3) :+zSηψ (q, z) = E e



+∞
Z

e−qt E ezSt dt
=q
0

et
−



ψ (q, z) = E ez(Xη −Sη )



zIη

=E e



+∞
Z

=q
e−qt E ezIt dt.
0Grâce à la propriété d’indépendance de X + et de X − , la factorisationde Wiener-Hopf s’écrit : E ezXη = E ezSη E ez(Xη −Sη ) = ψ + (q, z)ψ − (q, z).

142

4.2 Probabilités de ruine et de survie

Si l’exposant de Laplace de X est noté par Ψ(z) avec

E ezXt = etΨ(z)qui existe au moins sur la ligne imaginaire, l’expression de la factorisationde Wiener-Hopf s’écrit alorsq= ψ + (q, z)ψ − (q, z).
q − Ψ(z)(4.9)

En effet, pour le membre de gauche, il vient :
zXη

E e



+∞
Z

=q
e−qt E ezXt dt
0+∞Z

e−qt etΨ(z) dt=q0
E ezXη =q.
q − Ψ(z)Remarquons que le facteur ψ + est défini dans le demi-plan complexe gauche
alors que ψ − est défini dans le demi-plan droit.
Les formules générales suivantes sont les conséquences directes de lafactorisation de Wiener-Hopf. Elles permettent, au moins théoriquement,
d’obtenir les lois des diverses fonctionnelles de processus de Lévy rappeléesen début de cette section. Ces formules suivent le développement effectué
par Satō (1999), avec les termes φ± qui correspondent à la factorisation deqq−Ψ(iz) . Ainsi, il vient :
+∞
Z


q
e−qt E eiz1 St +iz2 (Xt −St )−z3 Λt dt
0
+∞
R

+

−

= φ (q + z3 , z1 )φ (q, z2 ) e 0

t−1 e−qt (e−tz3 −1)P (Xt >0)dt.

Pour le premier temps de passage et le dépassement du niveau x (ici143

Retour sur la théorie de la ruinedéfini pour un franchissement vers le haut d’un niveaux x positif) :
+∞
Z


q
e−qx E e−λRx −vΓx dx =

q
q−v



φ+ (λ, iq)1− +.
φ (λ, iv)

0

Voyons comment peuvent être obtenus les facteurs de Wiener-Hopf. Lesrésultats standard pour les obtenir sont les formules de Spitzer :ψ + (q, z) = e

−

et
−

−

ψ (q, z) = e+∞
R

t−1 e−qt dt+∞R(1−e−zx )P (Xt ∈dx)

0

+∞
R
0

(4.10)

0R0

t−1 e−qt dt(1−e−zx )P (Xt ∈dx)−∞

(4.11)

Nous constatons que les facteurs de Wiener-Hopf sont en général difficilesà obtenir explicitement. La section suivante donnera les facteurs de WienerHopf de quelques processus.
4.2.1.2

Facteurs de Wiener-Hopf de divers processus

Cas de base Dans le cas des mouvements browniens et avec la convention
utilisée par Satō (1999), les facteurs de Wiener-Hopf s’écrivent simplement :√φ+BM (q, z) = √et2q2q − iz√φ−
BM (q, z) = √2q.
2q + iz

La marche aléatoire de Bernouilli constitue un autre exemple où les facteurs de Wiener-Hopf ont une expression simple. Cependant, à part ces deux
cas, les processus de Lévy à spectre unilatéral (uniquement positifs ou uniquement négatifs), les processus de Lévy stables et les processus de Kou ainsi
que les processus phase-type sont les seuls autres exemples où les facteursde Wiener-Hopf sont aisément manipulables.
Processus à spectre unilatéral Prenons l’exemple des processus à
spectre négatif (SN) parmi les processus à spectre unilatéral. Ce sont desprocessus de Lévy qui présentent uniquement des sauts vers le bas. Leur

144

4.2 Probabilités de ruine et de survie

exposant de Laplace s’écrit :Ψ(z) =

σ2z2+ bz +
2Z 0(ezx − 1 − zx1{|x|≤1} ) ν(dx)−∞où σ > 0, b ∈ R, ν est une mesure sur ]−∞, 0[ avec ν(]−∞, ]) < +∞ ∀ < 0,R0
et −1 x2 ν(dx) < +∞.
Ces processus ont une variation infinie. Une composante brownienne σpermet un comportement diffusif et une dérive b, qui peut être négative ou
positive, apparaı̂t également. Finalement, les bornes de l’intégrale montrentclairement que les sauts surviennent seulement vers le bas avec un tauxd’arrivée ν. Les processus à spectre positif forment les autres processus à
spectre unilatéral sont définis de la même manière mais cette fois-ci avec dessauts uniquement vers le haut.
Comparativement aux formules générales (4.10) et (4.11), les facteurs deWiener-Hopf des processus à spectre négatif sont assez simples. En effet, ils
s’écrivent :β ∗ (q)β ∗ (q) − z(4.12)β ∗ (q) − zqq − Ψ(z) β ∗ (q)(4.13)+(q, z) =
ψSN

et
−
ψSN
(q, z) =où β ∗ (q) est la solution de l’équation Ψ(β) = q.
Processus doubles exponentiels Dans le cas de cette classe de processus, des expressions analytiques des facteurs de Wiener-Hopf sont de nouveau
disponibles. En effet, comme Boyarchenko (2004) l’a remarqué, l’exposantde Laplace G défini à l’équation (4.2) peut être exprimé comme une fonction
rationnelle, et de même pour q −G(z). Si β1,q et β2,q sont les racines positives
de l’équation G(z) = q, et −β3,q et −β4,q les racines négatives, les facteursde Wiener-Hopf s’écrivent :+ψKJ(q, z) =β1,qβ2,q λ1 − z
β1,q − z β2,q − z λ1

(4.14)−
ψKJ(q, z) =β3,qβ4,q λ2 + z.
β3,q + z β4,q + z λ2

(4.15)

et145

Retour sur la théorie de la ruine

Il est à noter que des résultats semblables peuvent être obtenus pour les
processus phase-type que nous avons vu dans les deux premiers chapitres.
Processus stables Nous allons voir en particulier ici la solution proposéepar Doney (1987) de la factorisation de Wiener-Hopf d’une sous-classe desprocessus de Lévy stables.
En effet, soit l’expression de l’exposant de Fourier de la loi stable suivante : πα 
Ψ(iu) = −c|u|α 1 − iβ(u) tan
2∀u ∈ Roù la normalisation de Doney est réutilisée, à savoir : πα −1/2.
c = 1 + β 2 tan22

(4.16)

Pour simplifier les calculs, Doney a utilisé q = 1 pour résoudre (4.9) :1−+(1, z)(1, z)ψSL= ψSL
1 − Ψ(z)où cette équation est valide sur la ligne imaginaire. Les solutions définies−+, sont les facteurs de Wiener-Hopf dans le cas deset ψSLsur cette ligne, ψSL

processus stables et peuvent être étendues analytiquement respectivement
sur les demi-plans complexes gauche et droit.
Des représentations très générales ont été obtenues pour ces facteurs dansles années 50 mais elles sont encore loin d’être explicites. Pour le facteur+ψSLpar exemple, il a été démontré que c’est l’extension sur le demi-plancomplexe gauche deexp −sin (πρ)π+∞Zlog(1 + (λx)α )x2 + 2x cos (πρ) + 1


dx

0

où l’intégrale à l’intérieur de l’exponentielle est appelée intégrale de Darling(voir Darling (1956)) et où ρ est défini par
ρ = P (X1 > 0) = πα 
11+
tan−1 β tan
.
2 πα
2

Doney (1987) a obtenu des expressions plus simples des facteurs deWiener-Hopf pour une sous-classe des processus de Lévy stables dont les

146

4.2 Probabilités de ruine et de survie

paramètres sont denses dans l’ensemble de toutes les valeurs possibles de αet β. Cette sous-classe est définie par
ρ+k =

l
α

où k et l sont des entiers, et où ρ est défini tel que précédemment.
Il a montré que ces facteurs de Wiener-Hopf s’écrivent :k−1Q(−1)l (−z)α + eiα(k−1−2r)π+ψSL(1, z) = E ezSλ1 = r=0
l−1
Q(−1)k+1 z + ei(l−1−2r)π/α

(4.17)


r=0

et :
l−1
Q

(−1)k+1 z + ei(l−1−2r)π/α
−(1, z) = E ezIλ1 = r=0k
ψSLQ


(4.18)(−1)l z α + eiα(k−2r)πr=0où λ1 fait référence à une variable aléatoire exponentielle indépendante deparamètre 1.
Nous verrons par la suite comment calculer les probabilités de ruine entemps fini à partir de ces facteurs de Wiener-Hopf, en particulier à partir de−(1, z) donnée par la formule (4.18).
l’écriture de ψSL

4.2.2

Ruine et survie

Nous allons nous attacher dans cette section à obtenir une formule générale des probabilités de ruine et de survie en horizon fini. Nous montronscomment les calculer au moyen d’une simple ou d’une double transformée de
Laplace inverse dans le cadre des processus de Kou et stables dans un second
temps. Nous discuterons ensuite de la valeur de la probabilité de ruine dans
un horizon de gestion infini. Enfin, la mise en œuvre numérique des formulesainsi obtenues est détaillée.

147

Retour sur la théorie de la ruine

4.2.2.1

Formules générales

Nous partons ici du facteur de Wiener-Hopf qui donne accès à la loi duprocessus de l’infimum. Ainsi, d’après la section précédente, nous avons+∞Zψ (q, z) = q
e−qt E ezIt dt.
−

0

Le point crucial est que ce facteur de Wiener-Hopf peut être reformuléde la façon suivante :+∞ZZ0ψ − (q, z) = qe−qt
zezx P (It > x)dx dt.
0−∞

Un changement de variable (u = − x) donne alors :
+∞
+∞
Z
Z
ψ − (q, z) = qz
e−qt
e−zu P (It > −u)du dt.
00Nous avons par conséquent écrit le facteur de Wiener-Hopf ψ − comme
une transformée de Laplace double. Par la suite, les notations L, L ⊗ L, L−1
et L−1 ⊗L−1 se réfèrent respectivement à une transformée de Laplace simple,
double, inverse et double inverse respectivement. Avec cette convention, nous
pouvons écrire :ψ − (q, z) = q z Lq ⊗ Lz [P (It > −u)].

(4.19)

Cette équation relie la probabilité que l’infimum de X – donc que leprocessus X lui-même – reste au-dessus d’un niveau donné (ici, −u) sur
un horizon donné t. Étant donné que X a été défini comme un processus
de Lévy démarrant à zéro et que le processus de risque est u + X, u faitréférence à la réserve initiale de la compagnie.
Notons alors par R(u, t) et S(u, t) les probabilités de ruine et de survie pour un horizon fini t et une réserve initiale u. Nous supposons que laruine survient quand le processus de risque u + X franchit le niveau 0. La
probabilité de survie en temps fini peut s’écrire de la façon suivante :S(u, t) = P (It + u > 0)148

4.2 Probabilités de ruine et de survie

et la probabilité de ruine en temps fini comme :R(u, t) = P (It + u ≤ 0).
La probabilité de survie en temps fini se déduit de l’équation (4.19) :−1
S(u, t) = P (It + u > 0) = L−1
q ⊗ Lzψ − (q, z)qz


(4.20)

et il vient alors :−1
R(u, t) = 1 − S(u, t) = 1 − L−1
q ⊗ Lzψ − (q, z).
qz(4.21)

Nous allons maintenant détailler le calcul pratique de ces probabilitésdans le cadre des processus doubles exponentiels, dans un premier temps etdans le cadre des processus de Lévy stables, ensuite.
4.2.2.2

Ruine et processus doubles exponentiels

Nous voyons d’abord les probabilités de ruine en temps fini avant dedonner les résultats en horizon infini.
Ruine en horizon fini Nous pouvons utiliser directement les formulesgénérales (4.20) et (4.21) puisque le facteur de Wiener-Hopf ψ − qui intervient
dans ces deux formules peut être obtenu facilement par l’équation (4.15).
Si cette approche générale nécessite une transformée de Laplace inverse
double, une méthode plus aisée, accessible dans le cas présent, se base surla transformée de Laplace inverse simple de la transformée de Laplace dutemps d’atteinte d’un processus diffusif à sauts exponentiels doubles. Si nous
notons le premier temps de passage du processus diffusif à sauts commeτb = inf{t ≥ 0; Xt ≤ b}où b < 0, il est possible d’exprimer la probabilité de ruine en fonction de latransformée de Laplace de ce temps de passage :Z∞

e−αt P (τb ≤ t) dt =1
E[e−ατb ].
α(4.22)

0149

Retour sur la théorie de la ruine

Par ailleurs, Kou et Wang (2003) donnent la formule suivante :E[e−ατb ] =β4,α − λ2λ2 − β3,αβ4,αβ3,αebβ3,α +ebβ4,α , (4.23)
λ2
β4,α − β3,αλ2
β4,α − β3,αoù −β3,α et −β4,α sont les seules racines négatives 1 de l’équation
G(x) = α(4.24)

avec α dans l’intervalle ouvert (0, +∞).
Il reste alors à calculer une transformée de Laplace inverse simple del’équation (4.22) en s’aidant de la formule (4.23).
Ruine en horizon infini Nous détaillons maintenant comment obtenirla probabilité de ruine du processus à sauts exponentiels doubles de Kou sur
un horizon de temps infini.
L’équation (4.22) donne la transformée de Laplace de la probabilité deruine. L’application du théorème de la valeur finale entraı̂ne la relation suivante
P (τb < ∞) = lim E[e−ατb ].
α→0(4.25)

Définissons le critère de ruine en horizon infini pour un processus à sauts
1. Les arguments suivants montrent qu’il y a effectivement deux uniques racines négatives à l’équation (4.24) avec α strictement positif.
Premièrement, l’exposant de Laplace G présente deux points de discontinuité en x =−λ2 et x = λ1 . Nous pouvons alors étudier G sur les trois intervalles disjoints Ig =(−∞, −λ2 ), Im = (−λ2 , λ1 ), Id = (λ1 , ∞). Les limites aux bornes de ces intervalles sontaisées à calculer.
Sur l’intervalle de gauche Ig , nous obtenons les limites suivantes : G(−∞) = +∞ etG(−λ−2 ) = −∞. La continuité de l’exposant de Laplace sur cet intervalle nous garantit,
grâce au théorème des valeurs intermédiaires, l’existence d’un nombre −β4,α ∈ Ig quivérifie (4.24).
Sur l’intervalle du milieu Im , notons la présence de 0 qui annule G. Par ailleurs, nous−
avons les limites G(−λ+2 ) = +∞ et G(λ1 ) = +∞. De nouveau, une application directe
du théorème des valeurs intermédiaires nous prouve l’existence d’une racine −β3,α dansle sous-intervalle (−λ2 , 0) et d’une autre racine, notée β1,α dans le sous-intervalle (0, λ1 )pour l’équation (4.24) étant donné que G est une fonction continue sur chacun de ces deuxsous-intervalles.
Finalement, sur l’intervalle de droite Id se trouve une autre racine de l’équation (4.24)
notée β2,α étant donné que G(λ+1 ) = −∞ et que G(+∞) = +∞.
Étant donné que G(x) = α peut être exprimée comme une équation polynomiale dedegré 4, toutes les racines de l’équation (4.24) sont les quatre racines que nous venonsd’exhiber. En particulier, nous pouvons conclure que cette équation possède uniquement
deux racines négatives.

150

4.2 Probabilités de ruine et de survie

exponentiels doubles par0δ = G (0) = a + λ

p
1−p
−
λ1
λ2


.

(4.26)

Nous avons besoin dans un premier temps de calculer les racines négatives de l’équation G(x) = 0 avant de pouvoir passer à la limite dans laformule (4.23). Il se trouve que si δ < 0, la seule racine de cette équation
dans l’intervalle (−λ2 , 0] est zéro 2 . Si δ ≥ 0, à part la racine nulle, appelons−β3∗ l’autre racine 2 dans l’intervalle (−λ2 , 0]. En passant à la limite, quandα → 0, il vient :(−β3,α →

0si δ < 0−β3∗si δ ≥ 0

et − β4,α → −β4∗ ,(4.27)où nous notons par −β4∗ l’unique racine de l’exposant de Laplace G dansl’intervalle (−∞, −λ2 ). Ainsi, la probabilité de ruine en horizon infini varie
selon la valeur du critère δ. Nous avons
P (τb < ∞) = 1, si δ < 0(4.28)

et par ailleurs,
P (τb < ∞) =λ2 − β3∗ β4∗β ∗ − λ2 β3∗∗∗
ebβ3 + 4
ebβ4 < 1, si δ ≥ 0.
∗∗
λ2 β4 − β3
λ2 β4∗ − β3∗(4.29)

En conclusion, la nature de la ruine en horizon infini dans le cadre desprocessus de Lévy à sauts exponentiels doubles dépend du critère δ. Si lecritère δ est positif ou nul, nous retrouvons la situation standard en théorie dela ruine où la ruine n’est pas certaine, même de façon asymptotique. Quand δ
est strictement négatif, la ruine est cependant certaine sur un horizon infini.
2. Nous établissons ici les limites obtenues en (4.27). Nous avons besoin des racines
négatives de l’équation G(x) = 0. Avec les mêmes arguments que précédemment, il y a
une racine unique notée −β4∗ dans l’intervalle ouvert Ig = (−∞, −λ2 ). Avec la définition
du critère δ donnée par (4.26), la deuxième racine négative de l’exposant de Laplace G
peut être aisément située. En effet, si δ < 0, il y a une seule racine de G(x) = 0 dansle sous-intervalle (−λ2 , 0] et c’est le nombre zéro. Si δ ≥ 0, les deux racines situées dansce sous-intervalle sont 0 et −β3∗ . En passant à la limite, quand α tend vers 0, la racinenégative −β3,α tend alors vers −β3∗ .

151

Retour sur la théorie de la ruine

4.2.2.3

Ruine et processus stables

De la même manière que pour les processus doubles exponentiels, nous
voyons d’abord le calcul des probabilités de survie et de ruine en temps finipour les processus de Lévy stables avant de donner les résultats en horizon
infini.
Ruine en horizon fini Cette fois-ci, nous n’avons plus d’expression aiséede la transformée de Laplace du temps d’atteinte. Il nous faut alors recourir à l’approche générale exposée en début de section. Pour ce faire, nous−
avons besoin d’une forme explicite du facteur de Wiener-Hopf ψSL(q, z) pourpouvoir calculer les formules (4.20) et (4.21).
Or, nous avons vu l’expression (4.18) donnée par Doney (1987) de−ψSL(1, z) qui s’écritl−1Q(−1)k+1 z + ei(l−1−2r)π/α−ψSL(1, z) = E ezIλ1 = r=0kQ
(4.30)(−1)l z α + eiα(k−2r)πr=0où, pour rappel, k et l sont des entiers, solutions de
ρ+k =

l
α

(4.31)

et avec la définition de ρ suivante :ρ = P (X1 > 0) = πα 
11+
tan−1 β tan
.
2 πα
2

(4.32)−−(1, z) :La relation suivante 3 permet d’obtenir ψSL(q, z) à partir de ψSL



1
−
−
ψSL
(q, z) = ψSL
1, zq − α .

(4.33)

3. La relation (4.33) s’obtient aisément par le changement de variable s = qt dans−ψSL(q, z) =+∞Z
qe−qt E ezIt dt.
0

Cela donne−ψSL(q, z) =+∞Z
e−s E ezIs/q ds.
01524.2 Probabilités de ruine et de survie

La démarche pour obtenir les probabilités de ruine et de survie en temps
fini avec des processus stables est alors la suivante. Choisir ou calibrer α et β.
Trouver les entiers k et l solutions de l’équation (4.31). Effectuer une transformée de Laplace inverse double comme dans les formules générales (4.20) et−(4.21) sur le facteur de Wiener-Hopf ψSL
obtenu à partir des formules (4.33)

et (4.30).
Cette démarche s’applique sur une caractérisation des processus par Doney avec un paramètre de dispersion unique et normalisé. Ainsi, les processus
dont nous pouvons calculer les probabilités de ruine et de survie par cettedémarche sont définis uniquement par le couple de paramètres (α, β). Nous
allons maintenant étendre cette démarche pour tenir compte de processus
de Lévy stables avec un paramètre de dispersion quelconque, et donc caractérisés par un triplet de paramètres (α, β, σ).
Si nous notons ψσ− un facteur de Wiener-Hopf d’un processus de Lévy
stable avec un paramètre de dispersion σ quelconque, il est facile de vérifier
la relation suivante ψσ− (q, z) = ψ − (q, σz). Ainsi, par exemple, une formule
comme (4.20) peut être étendue simplement :−1
Sσ (u, t) = L−1
q ⊗ Lz−(q, σz)ψSLqzoù Sσ est la probabilité de survie d’un processus de Lévy stable caractérisépar le triplet (α, β, σ). Une formule similaire peut être obtenue pour la probabilité de ruine. De nouveau, il nous suffit d’effectuer une transformée de
Laplace inverse double.
Ruine en horizon infini Le comportement à long terme des processus deLévy généraux peut être classifié grâce à la trichotomie de Rogozin, voir par
exemple Bingham (1975). Ces processus peuvent « dériver » vers plus l’infini( lim (Xt ) = +∞), ils peuvent « dériver » vers moins l’infini ( lim (Xt ) =
t→+∞

t→+∞

−∞) ou encore osciller (de telle sorte que lim sup(Xt ) = +∞ et lim inf (Xt ) =
t→+∞

t→+∞

−∞).
La propriété de changement d’échelle entraı̂ne alors−ψSL(q, z) =

+∞


Z
−1
α
e−s E ezq Is ds,
0

ce qui est exactement la relation (4.33).

153

Retour sur la théorie de la ruine

Il peut être prouvé (voir par exemple le chapitre 48 de Satō (1999)) que
généralement les processus de Lévy stables sont des processus qui oscillent,sauf dans des rares cas comme par exemple quand β = 1 et 0 < α < 1 qui définissent des processus stables subordinateurs. Une conséquence immédiate
est que les processus stables étudiés dans ce chapitre entraı̂nent nécessairement la ruine. Nous retrouvons ici la situation des processus exponentiels
doubles de Kou quand le critère δ est strictement négatif, où la ruine est
aussi certaine.
Il faut cependant noter que cette ruine peut seulement survenir à un horizon de temps très long, des milliers d’années plus tard par exemple. Nous
expliquerons un plus loin pourquoi nous soutenons qu’une ruine certaine
en horizon infini est convaincante et constitue une caractéristique styliséedésirable en théorie de la ruine et aussi pourquoi l’alternative généralement
adoptée dans la littérature depuis Cramér (1930) et Lundberg (1903) de processus dérivant vers plus l’infini, de compagnies devenant infiniment riches
sur le long terme n’est pas réaliste.

4.3

Étude numérique

Nous voyons d’abord quelques points importants de l’implémentationnumérique avant de passer aux résultats obtenus proprement dits.

4.3.1

Implémentation

Nous commençons par préciser comment obtenir la spécification des processus de Lévy stables en fonction du couple d’entiers (k, l) avant de présenter tour à tour la mise en œuvre des transformées de Laplace inverses tantsimples que doubles utilisées ici pour calculer les probabilités de survie et deruine.
4.3.1.1

Obtention des paramètres k et lDans un premier temps, l’estimation des paramètres α et β caractérisant le processus de Lévy stable peut être effectuée comme préconisé parPaulson, Holcomb et Leitch (1975). Une fois le couple (α, β) obtenu, il resteencore à obtenir le couple d’entiers (k, l) correspondant et qui vérifie lacontrainte (4.31) de Doney.

154

4.3 Étude numérique

Bien que l’équation (4.31) soit simple, sa résolution n’est pas si aisée.
Nous recourons à l’algorithme suivant qui consiste pour un α donné à obtenir
divers β et les couples (k, l) correspondants. Plus précisément, étant donné
α, l’algorithme consiste à :– choisir un couple candidat (k, l) ∈ {1, . . . , 100}2 ;– calculer le paramètre ρ à partir de (4.31) ;– vérifier que πα ρ − 21 se trouve dans l’intervalle − π2 , π2 . Si ce n’est
pas le cas, écarter ce couple (k, l) ;– calculer β à partir de l’équation (4.32) . Si le paramètre β est dansl’intervalle [−1, 1], retenir β et le couple (k, l). Si ce n’est pas le cas,les écarter ;– recommencer avec un autre couple (k, l).
Pour des raisons de performance, les paramètres β et les couples (k, l)ainsi retenus sont calculés une fois pour toutes et tabulés. Plusieurs tablessont ainsi construites pour diverses valeurs de α espacées de 10−2 . Chaquetable (correspondant à un α donné) est remplie avec des valeurs très rapprochées de α (en effet, il n’est pas possible d’obtenir un très grand nombrede points β pour une valeur précise de α donnée), ainsi que les paramètres
β et les couples (k, l) correspondants. Les valeurs autour de α sont choisies
de telle manière que les paramètres β ne soient pas éloignés de plus de 10−2
entre eux. La table est ensuite triée pour une recherche de valeurs efficacelors des accès ultérieurs. Le tableau 4.1 montre en exemple quelques entréesde la table construite pour α = 1.40.
α

β

k

l

1.40301.39601.40231.40341.4045-0.7501-0.5006
0.00010.49970.7001

15
23
43
26
31

22
33
61
37
44

Table 4.1 – Quelques couples (k, l) correspondant à α = 1.40
En pratique donc, les couples (k, l) correspondant aux paramètres α et
β du processus de Lévy stable voulu sont tirés des tables pré-calculées grâceà l’algorithme décrit auparavant.
Dans les illustrations numériques à venir, nous utiliserons les deux ensembles de paramètres donnés dans le tableau 4.2.
155

Retour sur la théorie de la ruine

Cas

A

B

α
β
k
l

1.79610.79983481.8008- 0.79986
25
46

Table 4.2 – Deux ensembles de paramètres de processus stables
4.3.1.2

Transformée de Laplace inverse simple

Dans le cas des probabilités de ruine en horizon fini avec des processus exponentiels doubles, nous avons vu qu’on pouvait se ramener au calcul
d’une transformée de Laplace inverse simple. L’algorithme de Gaver-Stehfest
a alors été utilisé pour le calcul de ce type de transformée inverse. Une référence intéressante sur ce sujet est l’article d’Usabel (1999). Nous examinons
rapidement ici une approximation simple de cette transformée inverse.
Soit F la transformée de Laplace de la fonction f :+∞Z
F (s) = L[f ](s) =e−st f (t)dt.
0

Une approximation de la transformée de Laplace inverse est alors donnéeparf (t) ≈nX(−1)n−k k n
k=1

où

k! (n − k)!
k

αk+B (t)

X
ln(2)
(2k)!
αk (t) =(−1)j Ckj F
t k! (k − 1)!
j=0



ln(2)
(k + j)t.

Le nombre entier B est un nombre arbitraire, pris égal à 2 ou 3 généralement. n est théoriquement un nombre assez grand, en pratique, il suffitde prendre n égal à 7 ou 8 pour atteindre un degré de précision raisonnable(il n’est ni utile ni raisonnable d’avoir une précision de 10 chiffres pour une
probabilité de ruine).
L’avantage de cet algorithme est une mise en œuvre très rapide. Il donneen plus de bonnes approximations si, comme c’est le cas ici, nous pouvonsnous contenter d’un nombre raisonnable de chiffres significatifs. Cependant,156

4.3 Étude numérique

cet algorithme ne peut pas être étendu au cas des transformées de Laplace
inverses doubles pour lesquelles un autre algorithme est utilisé.
4.3.1.3

Transformée de Laplace inverse double

Nous avons vu que de façon générale, le calcul des probabilités de survie
et de ruine se basent sur les formules (4.20) et (4.21) qui nécessitent une
transformée de Laplace inverse double.
Nous allons utiliser pour ces transformées de Laplace inverses doubles laméthode numérique d’Abate et Whitt (1995). Pour simplifier l’exposé, nous
l’explicitons dans le cas d’une transformée de Laplace inverse simple. L’extension de cet algorithme aux transformées de Laplace inverses doubles nepose pas de problème particulier contrairement à celui de Gaver-Stehfest. Si
F désigne toujours la transformée de Laplace d’une fonction f , une formule
standard, appelée intégrale de Bromwich, permet de calculer sa transforméeinverse :f (t) = L

−1

1
[F ](t) =2iπx0Z+i∞

F (z)etz dz.

x0 −i∞

Cette formule exprime la transformée de Laplace inverse f comme l’intégralede F le long de la droite imaginaire [x0 − i ∞, x0 + i ∞]. L’abscisse réelle x0
est choisie de telle sorte que toutes les singularités de F sont à gauche de ladroite d’intégration.
La méthode d’Abate et Whitt permet de calculer l’intégrale de Bromwich et ainsi, d’obtenir la fonction inverse f . Le point de départ est une
discrétisation de l’intégrale par la méthode des trapèzes. Cependant, cetteprocédure est très lente si nous voulons obtenir un degré de précision raisonnable, quatre chiffres significatifs par exemple. Pour améliorer la vitessede calcul, la discrétisation effectuée par Abate et Whitt est faite de façon à
avoir une série quasi-alternée. La transformation d’Euler, une méthode standard pour accélérer la convergence de séries alternées, permet finalement un
calcul rapide de la fonction inverse f .
Les formules (4.20) et (4.21), qui s’expriment en termes de transforméesde Laplace inverses doubles, sont calculées en utilisant cette procédure.

157

Retour sur la théorie de la ruine

4.3.2

Résultats

Nous allons maintenant analyser les résultats numériques obtenus dansle cadre des modèles à sauts exponentiels doubles et stable. Nous commençons par justifier la pertinence de ces deux modèles à partir de données
empiriques. Ensuite, nous verrons plus particulièrement quelques faits stylisés typiques qui peuvent être obtenus avec le modèle stable. Nous étudierons
en particulier l’impact de l’asymétrie, de l’épaisseur de queue ainsi que celuide la dispersion sur les probabilités de survie dans le cadre des processus deLévy stables.
4.3.2.1

Pertinence empirique

Le but ici est de calibrer les deux types de modèles à des données réelles.
Nous utilisons pour cela des probabilités de ruine tirées d’un rapport de
Moody’s Investors Service (2007). Ces données sont reportées au tableau 4.3,
il contient les probabilités cumulées de défaut, et donc les probabilités deruine, de compagnies américaines dans le secteur financier (sous-secteur bancaire exclu). Ce secteur de l’économie comprend les compagnies d’assurances.
L’horizon considéré est de dix ans. À cause de la très faible amplitude desprobabilités de défaut relevées, les quantités affichées dans le tableau 4.3
sont de fait les probabilités de ruine empiriques R observées multipliées par100.
Année

1

2

3

4

5

100 * R

0.506

0.965

1.425

1.864

2.256

Année

6

7

8

9

10

100 * R

2.613

2.946

3.274

3.581

3.893

Table 4.3 – Probabilités de défaut cumulées empiriques
La figure 4.1 montre le calibrage des probabilités de ruine données par
Moody’s par le modèle de Lévy stable. Nous pouvons immédiatement noter
que les probabilités de ruine obtenues à partir du modèle de Lévy stableajustent les probabilités empiriques avec un bon degré de précision. Ainsi,
les probabilités de survie et de ruine obtenues avec le modèle de Lévy stablesont réalistes sur des horizons de temps finis. Par conséquent, il est possiblede construire un modèle qui implique des probabilités de survie nulles avec158

4.3 Étude numérique

0.04
0.035
0.03

P(τ < t)

0.025
0.02
0.015
0.01

EmpiriqueThéorique

0.005
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

Figure 4.1 – Probabilités de ruine processus stables vs. empiriquesdes horizons de temps infinis et qui peuvent être utilisés cependant avec unbon degré de précision pour fournir des probabilités de survie et de ruine en
horizon fini.
Les paramètres du processus de Lévy stable calibrés sur les données de
Moody’s sont les suivants : α = 1.10011, β = −0.978134 et σ = 0.12. Nous
pouvons déduire de ces paramètres que les processus de risque qui peuventêtre utilisés pour la prévision de la faillite des compagnies d’assurance américaines présentent des queues épaisses et une forte asymétrie négative. Cela
implique un processus de risque caractérisé par la survenue de sauts positifs
de faible amplitude et de très forts sauts négatifs.
La figure 4.2 présente le calibrage des probabilités de ruine données
par Moody’s par le modèle de Lévy exponentiel double. Les conclusions
rejoignent celles faites sur le modèle stable, à savoir la qualité de l’ajustement et la pertinence empirique de ce type de modèle. Toutefois, uneautre remarque s’impose. En effet, les paramètres ajustés sont les suivants :µ = 0.03034, σ = 0.01829, λ = 0.89885, p = 0.05428, λ1 = 7.50043 et
λ2 = 1.65523. À partir de ces paramètres, nous pouvons calculer le critère δ
d’après la formule (4.26) : il vaut ici δ = −0.47672. Or, d’après ce que nous
avons vu à la sous-section 4.2.2.2, il se trouve qu’un δ strictement négatif
correspond à un processus de Lévy exponentiel double qui a une probabilité
159

Retour sur la théorie de la ruine

0.04
0.035
0.03

P(τ < t)

0.025
0.02
0.015
0.01

EmpiriqueThéorique

0.005
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

Figure 4.2 – Probabilités de ruine processus de Kou vs. empiriquesde survie ultime nulle. De même que dans le cas du modèle de Lévy stable,
nous voyons de nouveau ici que notre ajustement sur des données empiriques, tirées d’une base de données de compagnies américaines, confirmequ’il est raisonnable de supposer des probabilités de survie ultimes nulles etcependant cette hypothèse n’est pas contradictoire avec des probabilités desurvie et de ruine en horizon fini qui sont en ligne avec la réalité.
Par ailleurs, les paramètres ajustés obtenus pour le processus de Kou
confèrent à ce dernier les mêmes qualités que celles observées avec les paramètres obtenus pour le processus de Lévy stable. Un fort λ1 combiné à unpetit p et un faible λ2 définissent un processus avec une importante proportion de grands sauts négatifs et peu de sauts positifs.
4.3.2.2

Prédictions du modèle stable

Nous menons ici une étude qualitative de la force prédictive de la classede modèles basés sur le processus de Lévy stable.
Impact du paramètre d’asymétrie β

Ce paragraphe s’attache à mon-trer l’impact du paramètre d’asymétrie β sur les probabilités de survie.
Avant cela, nous rappelons brièvement comment densités stables et trajectoires de processus de Lévy stables dépendent de β.
160

4.3 Étude numérique

0.35
0.3

β = − 0.8
β = 0.8

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−3

−2

−1

0

1

2

3

Figure 4.3 – Densités stables (α ≈ 1.8)
Les densités de deux variables aléatoires stables avec les paramètres définis au tableau 4.2 sont dessinées sur la figure 4.3. Ainsi, dans les deux
cas, la paramètre d’épaisseur de queue est le même, il vaut α ≈ 1.8, et lescoefficients d’asymétrie sont importants avec β ≈ ± 0.8. Nous observons
sur cette figure qu’un β positif est associé à une bosse située du côté desabscisses négatives, avec une queue épaisse qui tient compte des évènements
extrêmes positifs. Le phénomène inverse est constaté pour un β négatif.
La figure 4.4 illustre les trajectoires de processus de Lévy stables quandleurs accroissements ont les densités montrées à la figure 4.3. Quand β est
positif, le processus est caractérisé par la survenue de grands sauts positifs etde nombreux petits sauts négatifs. De nouveau, nous constatons le contraire
quand β est négatif, à savoir l’arrivée de grands sauts négatifs associée àplusieurs petits sauts positifs.
Notons que puisqu’il n’y a pas de formule explicite pour les densités dela figure 4.3, elles ont été obtenues en effectuant une transformée de Fourier
rapide sur la fonction caractéristique de chaque variable aléatoire stable. Les
accroissements le long des trajectoires de la figure 4.4 ont été simulés eux ensuivant la méthodologie préconisée par Samorodnitsky et Taqqu (1994).
Comparons maintenant les probabilités de survie associées à deux processus stables de même paramètre α mais avec différents paramètres d’asymé161

Retour sur la théorie de la ruine

600
β= − 0.8

400
200
0
−200

β= 0.8
−400
−600
−800
0

2000

4000

6000

8000

10000

Figure 4.4 – Trajectoires de processus de Lévy stables
trie β. De nouveau, nous utilisons les deux ensembles de paramètres donnésdans le tableau 4.2 et étiquetés cas A et B. Un graphe des probabilités desurvie en horizon fini, ici jusqu’à un horizon de 20 ans, est affiché figure 4.5.
Noter que les probabilités obtenues ont été calculées avec un paramètre deréserve initiale u égal à 0.8.
Nous constatons deux périodes distinctes sur la figure 4.5. Durant lapremière période, couvrant approximativement les douze premières années,la probabilité de survie du cas A est supérieure à celle du cas B. Durant
la deuxième période, la probabilité de survie est plus élevée dans le cas B
que dans le cas A. Analysons période par période l’impact du paramètred’asymétrie β sur la probabilité de survie.
Sur la première période, avec un horizon assez proche donc, la seulemanière pour un processus de traverser une barrière basse relativement éloignée est l’arrivée d’un grand saut négatif. C’est la raison pour laquelle leprocessus avec un paramètre β négatif (cas B), et donc avec de grands sauts
négatifs potentiels, est celui avec une plus petite probabilité de survie surcette première période.
Pour la seconde période, les probabilités de survie dans le cas B (β ≈−0.8) sont plus élevées que dans celles du cas A. Or nous avons vu par
exemple sur la figure 4.4 qu’un β négatif correspond à un mouvement ascen162

4.3 Étude numérique1
α = 1.8, β = 0.8
α = 1.5, β = −0.8

0.95

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7
0

5

10
Period15

20

Figure 4.5 – Probabilités de survie dans les cas A et B du tableau 4.2
dant perturbé par quelques grands sauts négatifs. Clairement, ce processus
est moins susceptible d’entraı̂ner la ruine sur un horizon plus long que leprocessus du cas A (β ≈ 0.8) qui a un mouvement descendant dû aux nombreux petits sauts négatifs. Ceci explique pourquoi sur le moyen-long terme,les probabilités de survie du cas B (β ≈ −0.8) sont plus élevées que lesprobabilités de survie correspondantes dans le cas A (β ≈ 0.8).
Impact du paramètre d’épaisseur de queue α

Voyons maintenantl’impact du paramètre α sur les probabilités de survie. D’un point de vue
statistique, le paramètre α est relié au kurtosis. D’un point de vue dynamique, α souligne l’importance des grands sauts, des évènements extrêmes.
La figure 4.6 donne alors les probabilités de survie en fonction de α pourles deux valeurs du paramètre β données dans le tableau 4.2. Les autres
paramètres restent les mêmes alors que l’horizon considéré est de un an.
Nous observons que quand α croı̂t, c’est-à-dire quand l’épaisseur de queue
diminue, la probabilité de survie augmente. Cette observation est cohérente
avec l’intuition que nous avons : ceteris paribus, une quantité plus élevée degrands sauts, donc un plus grand risque induit par les sauts, a un impact
négatif sur la probabilité de survie de la firme.

163

Retour sur la théorie de la ruine

1.002
1
0.998
0.996
0.994
β = 0.8
β = −0.8

0.992
0.99
0.988
1.6

1.65

1.7

1.75

1.8
α

1.85

1.9

1.95

2

Figure 4.6 – Probabilités de survie dans les cas A et B en fonction de α
Impact du paramètre de dispersion σ

Cette fois-ci, le paramètre α est

gardé constant à 1.8, et nous faisons varier le paramètre σ. De nouveau, tous
les autres paramètres sont laissés inchangés. La figure 4.7 montre que plus leparamètre σ est élevé plus la probabilité de survie est basse. Le paramètre σ
représente aussi le degré de dispersion du processus stable. Il donne le niveau
d’agitation totale du processus. Par conséquent, il est logique ceteris paribus
qu’une augmentation du paramètre σ réduise la solvabilité de la firme.
Naturellement, si nous considérons le cas α = 2, le paramètre σ devientle paramètre d’écart-type habituel d’un processus Gaussien et se prête à
une interprétation simple (pour rappel, le deuxième moment d’un processus
stable de paramètre α < 2 n’existe pas).
Impact du niveau initial des réserves u

Enfin, analysons la figure 4.8

où l’impact du niveau initial des réserves u sur la probabilité de survie est
étudié. Nous constatons une caractéristique naturelle : une augmentation dela réserve initiale entraı̂ne l’augmentation de la probabilité de survie de lacompagnie d’assurances.
Nous avons donc pu voir que le modèle basé sur des processus de Lévy
stables présente des caractéristiques stylisées cohérentes avec les faits empiriques et l’intuition. Comme la sous-section précédente le montre, tant les

1644.3 Étude numérique

1

0.98

0.96

α = 1.8, β = 0.8
α = 1.8, β = −0.8

0.94

0.92

0.9

0.88
0

0.05

0.1

0.15

σ

0.2

0.25

0.3

0.35

Figure 4.7 – Probabilités de survie dans les cas A et B en fonction de σ

1

0.995

α = 1.8, β = 0.8
α = 1.8, β = −0.8

0.99

0.985
0.5

0.6

0.7
0.8
Initial reserve

0.9

1

Figure 4.8 – Probabilités de survie dans les cas A et B en fonction de laréserve initiale u165

Retour sur la théorie de la ruine

modèles basés sur les processus de Lévy exponentiels doubles que sur les
processus de Lévy stables peuvent être utilisés avec un très grand degré deréalisme et permettent tous les deux de retrouver les probabilités de survieà horizon fini empiriques, comme celles observées par Moody’s.

Conclusion
Des avancées récentes dans les théories financière et actuarielle ont vu
l’utilisation de processus de Lévy généraux pour la modélisation de divers
sous-jacents tels les actions, les actifs des compagnies, les taux d’intérêts,
les réserves, etc. Dans le cadre spécifique de la théorie de la ruine, ce chapitre s’est attaché à montrer comment les probabilités de survie et de ruine
peuvent être calculées, tant en horizon fini qu’en horizon infini, quand leprocessus de risque de la compagnie est modélisé soit par un processus deKou soit par un processus de Lévy stable.
Les probabilités en horizon fini ont été obtenues en effectuant des transformées de Laplace inverses simples ou doubles et montrent un degré deprécision raisonnable avec des temps de calculs quasi-instantanés. Après calibrage de ces modèles sur des données empiriques, des probabilités de survie
en horizon infini sont prédites. Ce résultat asymptotique n’est pas contradictoire avec une gestion réaliste de la compagnie d’assurances et surtout
n’empêche nullement l’obtention de probabilités en horizon fini tout à faitréalistes comme cette étude empirique l’illustre.

166

Conclusion Générale
Cette thèse nous a permis de constater, sur plusieurs aspects, la convergence entre finance et assurance. Parmi les soucis majeurs des dirigeants descompagnies d’assurance figurent l’évaluation en juste valeur des contrats
qu’ils proposent et le risque global de ruine de leur compagnie. Nous pouvons retrouver ce concept de fair value ou de juste valeur mis en œuvre tantdans les métiers de l’assurance que de la finance. La mise en place successive des normes comptables IFRS au cours des années 2000 pour toutes lesentreprises faisant appel public à l’épargne renforce la prépondérance de ce
concept de la juste valeur. Par rapport aux normes comptables traditionnelles où les actifs sont par exemple inscrits à leur coût d’acquisition et où
l’on ne revient sur cet enregistrement qu’au moment de la cession, la méthode de la juste valeur impose un mark to market, une réévaluation desbilans en fonction des prix de marché. Pour toutes les entreprises qui ont
des participations financières importantes, comme les banques et les compagnies d’assurance, les dépréciations d’actifs successives peuvent rajouterde l’incertitude sur la santé financière d’un établissement et entraı̂ner desconséquences rapidement néfastes, comme le prouve la crise majeure que lesecteur financier est en train de subir. Si l’évaluation en juste valeur peutdans ce cas être source de forte volatilité, le prix de marché reste néanmoinsun élément essentiel pour les agents économiques extérieurs afin d’avoir unevue synthétique de l’état financier et des perspectives futures de chaquecompagnie.
La première partie de cette thèse nous a permis d’abord d’explorer l’effetde ces ruptures et sauts sur l’évaluation de produits dérivés de type européen.
Cela nous a donné l’occasion de mettre en place une approche d’évaluationqui permet d’exprimer dans un cadre unifié la juste valeur de ce type deproduits. Nous avons alors démontré que prendre en compte divers types

167

Conclusion généralede sauts était aisé dans ce cadre en introduisant un nouveau modèle. L’introduction de produits aux paiements à l’échéance variés ne présente pas
non plus de difficulté dans ce cadre. La mise en œuvre pratique de cetteapproche a permis de constater qu’elle était très performante. Nous avons
alors retrouvé les smiles de volatilité observés sur le marché grâce à la priseen compte des sauts. Le premier chapitre se termine avec le calibrage des options sur les données de marché. Nous avons alors constaté que les modèlesdiffusifs et sauts s’ajustent mieux aux données empiriques que le modèlediffusif classique.
Le deuxième chapitre nous a amené dans un premier temps à considérerl’impact de la présence de discontinuités sur le franchissement d’une barrière, nécessaire pour pouvoir évaluer certaines options exotiques comme lesoptions à barrière. Nous nous sommes alors intéressés à l’évaluation d’uncontrat protégeant contre le « défaut » sur fonds propres d’une entreprise,le défaut sur fonds propre étant plus facile à observer sur les marchés que
les évènements de crédit constituant l’évènement de défaut classique. Nousavons discuté de la forte volatilité induite par l’évaluation en juste valeur
entraı̂née par l’application des normes IFRS. Si le défaut sur fonds propres
est caractérisé par une chute d’un certain pourcentage de la valeur du cours
de l’entreprise considérée par rapport à sa valeur à la signature du contrat, il
est naturel de se poser la question d’un déclenchement prématuré de la protection pour son vendeur en cas de crise systémique. L’étude de la couvertured’une telle position nous paraı̂t une piste de recherche intéressante.
Dans un second temps, nous nous sommes intéressés dans ce deuxièmechapitre aux options d’échange et à leur application dans le cadre de larémunération complémentaire des dirigeants. Des résultats nouveaux ontété obtenus pour l’évaluation des options d’échange entre deux actifs, enparticulier l’échange d’un actif de type diffusif classique contre un actif detype diffusif et sauts. Notre prochaine étape sera l’évaluation d’une optiond’échange entre deux actifs de type diffusif et sauts. Par ailleurs, dans uncontexte où les parachutes dorés négociés par certains dirigeants sont mal
acceptés par la société, la question de la rémunération complémentaire desdirigeants doit concilier des effets incitatifs suffisants avec les intérêts desmandataires. La rémunération par stock option indexée nous paraı̂t être undébut de réponse allant dans ce sens. Si une nouvelle réglementation venaità être adoptée, par exemple avec l’institution de plafond sur le bonus total
168perçu, il serait intéressant d’étudier l’impact de ce type de contraintes surla rémunération complémentaire.
La deuxième partie porte sur l’effet de ces discontinuités dans le domaine de l’assurance, en particulier. Le troisième chapitre est consacré àl’étude de contrats proposés par les compagnies d’assurance-vie, en particulier un contrat à garantie flexible en cas de vie et un contrat à bénéficeminimum garanti en cas de vie. Nous y avons réutilisé des techniques développées dans la première partie. Nous avons par exemple pu reconnaı̂tre
le flux correspondant à une option d’échange dans le contrat d’assurance àgarantie flexible en cas de vie. Dans le cas du contrat en cas de décès, nous
avons en particulier montré que la prise en compte simultanée des sauts et dela nature stochastique des taux d’intérêt augmente significativement le justetaux de frais d’assurance à prélever. Ce résultat nous semble être un débutde réponse au constat sur le taux élevé des frais pratiqués par les compagnies d’assurance relevé par plusieurs auteurs. Plusieurs pistes de réflexion
peuvent être poursuivies à partir de ce travail. Parmi celles-ci figurent l’évaluation de nouveaux produits d’assurance-vie comme les contrats à montant
de retraite garanti tout au long de la vie dans ce cadre général où présence
de discontinuités, risque de taux et risque de mortalité sont pris en compte
simultanément ainsi que leur couverture.
Le quatrième chapitre est consacré au risque de ruine d’une compagnied’assurance. L’approche actuarielle classique veut que les processus de risqueutilisés augmentent indéfiniment quand les horizons de temps considéréstendent vers l’infini. Cela exclut ainsi quasiment toute faillite ultérieure de lacompagnie d’assurance du moment qu’elle ait survécu durant ses premièresannées d’opération. Nous pensons que cette hypothèse est trop restrictive
et, en tout cas, discutable. Nous nous en affranchissons dans ce quatrièmechapitre et montrons sur des données empiriques que les probabilités de ruine
en horizon fini prédites par les deux modèles qui y sont utilisés sont tout àfait comparables. Nous comptons valider plus en avant les modèles proposésdans ces travaux avec les nouvelles données empiriques qui proviennent desévènements récents.
La frontière entre les mondes de la finance et de l’assurance s’estompe.
Par les produits proposés d’abord : les banquiers ont depuis quelques années
proposé des polices d’assurance-vie, notamment dans le cadre de leur métierde gestion de patrimoine. Avec le concept de bancassurance, ils ont étendu
169

Conclusion générale

leur offre commerciale avec d’autres produits d’assurance classique, en assurance dommages (habitation, automobile, etc.), et même en assurance santé.
De leur côté, les compagnies d’assurance ont commencé à se diversifier pourproposer des services bancaires (tenue de compte, crédits, etc.). En outre,
les produits qu’elles proposent ont de plus en plus une importante composante financière. Sur le plan théorique, au niveau des outils de modélisation
utilisés, ensuite : si les processus tenant en compte les sauts ont été depuis
les débuts prépondérants en assurance, nous avons vu que la finance ne peut
plus faire l’impasse dessus. Nous avons montré ici que tenir compte des ruptures et des discontinuités de trajectoires de cours peut être fait tout en
mettant à profit la performance des méthodologies d’évaluation proposéesdans ce travail. Réciproquement, nous pensons que les compagnies d’assurance ne peuvent plus se contenter dans leur gestion de la seule approche
actuarielle. Vu le montant considérable des actifs sous leur responsabilité,les assureurs sont conduits à utiliser au mieux les approches de la financemoderne.
La législation a commencé à prendre acte de la convergence des pratiques
du monde bancaire et de l’assurance, notamment en France avec la loi deSécurité Financière de 2003 qui met par exemple les contrats d’assurancevie sous la supervision directe de l’Autorité des marchés financiers et aux
États-Unis avec la loi Gramm-Leach-Bliley Act de 1999 qui, renversant les
dispositions de la loi Glass-Steagall Act de 1933, autorise un établissement
financier à proposer tous les services financiers allant de la banque à l’assurance en passant par l’émission de titres. Actuellement, les deux activités,bancaire et d’assurance, restent soumises à des règles prudentielles distinctes.
La suite logique serait la création d’une autorité de tutelle unique.
À notre sens, la recherche d’un cadre de modélisation unifié aux deuxmétiers doit cependant être menée préalablement. Ce cadre unifié doit couvrir les produits qui relèvent des deux secteurs simultanément. Il doit aussi
permettre l’étude du risque de ruine des établissements qui proposent une
palette complète de services financiers et font appel aux marchés financiers
pour gérer leurs actifs. Nous pensons que les approches et les outils techniques proposés dans cette thèse peuvent trouver leur utilité dans un telcontexte.

170Bibliographie
Abate, J. et Whitt, W. (1995), ‘Numerical Inversion of Laplace Tranformsof Probability Distributions’, ORSA Journal of Computing 7, 36–43.
Abramowitz, M. et Stegun, I. A., eds (1974), Handbook of Mathematical
Functions – with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover
Publications, New York. xiv+1046pp.
Andersen, L. et Andreasen, J. (2000), ‘Jump-Diffusion Processes : Volatility
Smile Fitting and Numerical Methods for Option Pricing’, Review ofDerivatives Research 4, 231–262.
Asmussen, S. (2000), Ruin Probabilities, Vol. 2 of Advanced Series of Statistical Science & Applied Probability, World Scientific.
Asmussen, S., Madan, D. B. et Pistorius, M. (2005), Pricing Equity Default
Swaps under the CGMY Lévy Model. Working paper.
Asmussen, S. et Rosinski, J. (2001), ‘Approximation of small jumps of Lévy
processes with a view towards simulation’, Journal of Applied Probability 38(2), 482–493.
Aı̈t-Sahalia, Y. (2004), ‘Disentangling Diffusion from Jumps’, Journal of
Financial Economics 74(3), 487–528.
Bachelier, L. J.-B. A. (1900a), Théorie de la Spéculation, Thèse d’État,
Faculté des Sciences de Paris.
Bachelier, L. J.-B. A. (1900b), ‘Théorie de la Spéculation’, Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure 3(17), 21–86. Available at NUMDAM : http://www.numdam.org.
Ballotta, L. (2005), ‘A Lévy Process-Based Framework for the Fair Valuationof Participating Life Insurance Contracts’, Insurance : Mathematics andEconomics 37(2), 173–196.

171

Bibliographie

Benet, B. A., Giannetti, A. et Pissaris, S. (2005), ‘Gains from Structured
Product Markets : the Case of Reverse-Exchangeable securities (RES)’,
Journal of Banking and Finance 30(1), 111–132.
Bertoin, J. (1996), Lévy Processes, Vol. 121 of Cambridge Tracts in Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge.
Bingham, N. H. (1975), ‘Fluctuation Theory in Continuous Time’, Advancesin Applied Probability 7, 705–766.
Björk, T. (2004), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford Finance
Series, 2 edn, Oxford University Press.
Black, F. et Scholes, M. (1973), ‘The Pricing of Options and Corporate
Liabilities’, Journal of Political Economy 81, 637–659.
Bowers, N. L., Gerber, H. U., Hickman, J. C., Jones, D. A. et Nesbitt, C. J.
(1997), Actuarial Mathematics, 2 edn, The Society of Actuaries. 753pp.
Boyarchenko, S. (2004), ‘Irreversible Decisions and Record Setting News
Principles’, American Economic Review 94(3), 557–568.
Boyarchenko, S. et Levendorskiı̌, S. (1999), ‘Generalizations of the BlackScholes equation for truncated Lévy processes’, Working paper .
Boyarchenko, S. et Levendorskiı̌, S. (2000), ‘Option pricing for truncatedLévy processes’, International Journal for Theory and Applications in
Finance 3(3), 549–552.
Boyarchenko, S. et Levendorskiı̌, S. (2002a), ‘Barrier options and touch-andout options under regular Lévy processes of exponential type’, Annalsof Applied Probability 12(4), 1261–1298.
Boyarchenko, S. et Levendorskiı̌, S. (2002b), Non-Gaussian Merton-BlackScholes Theory, Vol. 9 of Advanced Series on Statistical Science andApplied Probability, World Scientific, London. xxi+398pp.
Broadie, M., Glasserman, P. et Kou, S. G. (1997), ‘A continuity correction
for discrete barrier options’, Mathematical Finance 7, 325–349.
Broadie, M., Glasserman, P. et Kou, S. G. (1999), ‘Connecting discrete andcontinuous path-dependent options’, Finance and Stochastics 3, 55–82.
Carr, P., Geman, H., Madan, D. B. et Yor, M. (2002), ‘The Fine Structureof Asset Returns : an Empirical Investigation’, Journal of Business75(2), 305–332.
172

Bibliographie

Carr, P. et Madan, D. B. (1998), ‘Option Valuation using the Fast Fouriertransform’, Journal of Computational Finance 2, 61–73.
Cont, R. (2001), ‘Empirical Properties of Asset Returns : Stylized Facts andStatistical Issues’, Quantitative Finance 1, 223–236.
Cont, R. et Tankov, P. (2004a), Financial Modelling with Jump Processes,
2 edn, Chapman & Hall/CRC Press, London.
Cont, R. et Tankov, P. (2004b), ‘Non-Parametric Calibration of JumpDiffusion Option Pricing Models’, Journal of Computational Finance7(3), 1–49.
Cont, R. et Voltchkova, E. (2005), ‘A Finite Difference Scheme for Option
Pricing in Jump Diffusion and Exponential Lévy Models’, SIAM Journal on Numerical Analysis 43(4), 1596–1626.
Cooley, J. W. et Tukey, J. W. (1965), ‘An Algorithm for the Machine
Calculation of Complex Fourier Series’, Mathematics of Computation
19(90), 297–301.
Cramér, H. (1930), On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee
Volume, Stockholm.
Darling, D. A. (1956), ‘The Maximum of Sums of Stable Random Variables’,Transactions of the American Mathematical Society 83, 164–169.
Delbaen, F. et Schachermayer, W. (1994), ‘A General Version of the Fundamental Theorem of Asset Pricing’, Mathematische Annalen 300, 463–
520.
Dickson, D. C. M. et Waters, H. R. (1993), ‘Gamma Processes and Finite
Time Survival Probabilities’, Astin Bulletin 23(2), 259–272.
Doney, R. A. (1987), ‘On Wiener-Hopf Factorisation and the Distribution of Extrema for Certain Stable Processes’, Annals of Probability
15(4), 1352–1362.
Dufresne, F. et Gerber, H. U. (1991), ‘Risk Theory for the Compound Poisson Process that is Perturbed by Diffusion’, Insurance : Mathematics
and Economics 10, 51–59.
Dufresne, F., Gerber, H. U. et Shiu, E. S. W. (1991), ‘Risk Theory with theGamma Process’, Astin Bulletin 21(2), 177–192.
Fama, E. (1965), ‘The Behaviour of Stock Market Prices’, Journal of Business 38(1), 34–105.
173

Bibliographie

Furrer, H. (1998), ‘Risk Processes Perturbed by α-stable Lévy Motion’, Scandinavian Actuarial Journal 1, 59–74.
Furrer, H. et Schmidli, H. (1994), ‘Exponential Inequalities for Ruin Probabilities of Risk Processes Perturbed by Diffusion’, Insurance : Mathematics and Economics 15, 23–36.
Gerber, H. U. (1997), Life Insurance Mathematics, 3 edn, Springer Verlag,
Berlin. 217pp.
Hamilton, J. D. (1989), ‘A New Approach to the Economic Analysis of
Nonstationary Time Series and the Business Cycle’, Econometrica
57(2), 357–84.
Hardy, M. (2003), Investment Guarantees : Modeling and Risk Management
for Equity-Linked Life Insurance, John Wiley.
Harrison, M. et Pliska, S. (1981), ‘Martingales and Stochastic Integrals in
the Theory of Continuous Trading’, Stochastic Processes and their Applications 11, 215–260.
He, C., Kennedy, J., Coleman, T., Forsyth, P., Li, Y. et Vetzal, K. (2006),‘Calibration and Hedging under Jump Diffusion’, Review of Derivatives
Research 9(1), 1–35.
Hilberink, B. et Rogers, L. C. G. (2002), ‘Optimal Capital Structure andEndogenous Default’, Finance and Stochastics 6, 237–263.
Johnson, S. A. et Tian, Y. S. (2000a), ‘Indexed executive stock options’,
Journal of Financial Economics 57, 35–64.
Johnson, S. A. et Tian, Y. S. (2000b), ‘The value and incentive effects of
nontraditional executive stock option plans’, Journal of Financial Economics 57, 3–34.
Jondeau, E., Poon, S.-H. et Rockinger, M. (2007), Financial Modeling Under Non-Gaussian Distributions, Springer Finance, Springer Verlag.
xviii+542pp.
Kassberger, S., Kiesel, R. et Liebmann, T. (2007), Fair Valuation of Insurance Contracts under Lévy Process Specifications. To appear in
Insurance : Mathematics and Economics.
Kesten, H. (1969), Hitting probabilities of single points for processes withstationary independent increments, Vol. 93, Memoirs of the American
Mathematical Society, Providence, Rhode Island.
174

Bibliographie

Klüppelberg, C., Kyprianou, A. E. et Maller, R. A. (2004), ‘Ruin Probabilities and Overshoots for General Lévy Insurance Risk Processes’, Annalsof Applied Probability 14(4), 1766–1801.
Koponen, I. (1995), ‘Analytic Approach to the Problem of Convergence ofTruncated Lévy Flights towards the Gaussian Stochastic Process’, Physical Review E52, 1197–1199.
Kou, S. G. (2002), ‘A Jump-Diffusion Model for Option Pricing’, Management Science 48, 1086–1101.
Kou, S. G. et Wang, H. (2003), ‘First Passage Times of a Jump Diffusion
Process’, Advances in Applied Probability 35(9), 504–531.
Le Courtois, O. et Quittard-Pinon, F. (2007), ‘Risk-Neutral and Actual
Default Probabilities with an Endogenous Bankruptcy Jump-Diffusion
Model’, Asia-Pacific Financial Markets 13, 11–39.
Le Courtois, O. et Randrianarivony, R. (2007), Ruin Theory with Stable
and Double Exponential Lévy Processes, in ‘IME 2007 Conference Proceedings’, IME Athens, Greece, International Congress On Insurance :Mathematics and Economics XI.
Lee, R. W. (2004), ‘Option Pricing by Transform Methods : Extension, Unification, and Error Control’, Journal of Computational Finance 7(3), 51–
86.
Lintner, J. V. (1965), ‘The Valuation of Risk Assets and the Selection of
Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets’, Review of
Economics and Statistics 47, 13–37.
Lundberg, F. (1903), I Approximerad Framställning av Sannolikehetsfunktionen. II Återförsäkering av Kollektivrisker, Almqvist & Wiksell, Uppsala.
Mandelbrot, B. (1963), ‘The Variation of Certain Speculative Prices’, Journal of Business 35, 394–419.
Margrabe, W. (1978), ‘The Value of an Option to Exchange One Asset for
Another’, Journal of Finance 33(1), 177–86.
Melnikov, A. et Romaniuk, Y. (2006), ‘Evaluating the Performance ofGompertz, Makeham and Lee-Carter Mortality Models for RiskManagement with Unit-Linked Contracts’, Insurance : Mathematics
and Economics 39, 310–329.
175

Bibliographie

Merton, R. C. (1973), ‘Theory of Rational Option Pricing’, Bell Journal of
Economics and Management Science 4, 141–183.
Merton, R. C. (1976), ‘Option Pricing When Underlying Stock Returns are
Discontinuous’, Journal of Financial Economics 3, 125–144.
Milevsky, M. A. (2006), The Calculus of Retirement Income, Cambridge
University Press, Cambridge.
Milevsky, M. A. et Posner, S. E. (2001), ‘The Titanic Option : Valuationof the Guaranteed Minimum Death Benefit in Variable Annuities andMutual Funds’, The Journal of Risk and Insurance 68(1), 91–126.
Moody’s Investors Service (2007), Corporate Default and Recovery Rates,
1920-2006, Special Comment.
Mossin, J. (1966), ‘Equilibrium in a Capital Asset Market’, Econometrica
34(4), 768–783.
Naik, V. et Lee, M. (1990), ‘General Equilibrium Pricing of Options on
the Market Portfolio with Discontinuous Returns’, Review of Financial
Studies 3(4), 493–521.
Nguyen-Ngoc, L. (2003), Exotic options in general Lévy models, Prépublication 850, Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université
Paris 6.
Nguyen-Ngoc, L. et Yor, M. (2003), Lookback and barrier options under general Lévy processes, in Y. Ait-Sahalia et L.-P. Hansen, eds, ‘Handbookof Financial Econometrics’, Amsterdam, North-Holland. Forthcoming.
Paulson, A., Holcomb, E. et Leitch, R. (1975), ‘The Estimation of the Parameters of the Stable Laws’, Biometrika 62(1), 163–170.
Quittard-Pinon, F. et Randrianarivony, R. (2008a), Impacts of Jumps andStochastic Interest Rates on the Fair Costs of GMDB Contracts, in‘IME 2008 Conference Proceedings’, IME Dalian, China, International
Congress On Insurance : Mathematics and Economics XII.
Quittard-Pinon, F. et Randrianarivony, R. A. (2008b), ‘Calibrage d’options
pour trois modèles mixtes diffusions et sauts’, Finance 29(2), 103–130.
Quittard-Pinon, F. et Randrianarivony, R. A. (2008c), ‘How to Price Efficiently European Options in Some Geometric Lévy Processes Models ?’,International Journal of Business 13(4), 301–314.

176

Bibliographie

Quittard-Pinon, F. et Randrianarivony, R. A. (2008d), ‘Valuing Options in
Jump Diffusion Models Using Generalized Fourier Analysis’, Banque etMarchés 97, 6–15.
Randrianarivony, R. (2006), Implémentation et extension de l’approchede Kou pour l’évaluation d’options, in ‘AFFI 2006 Conference Proceedings’, Association Française de Finance, International Meeting of
AFFI.
Rogers, L. C. G. (2000), ‘Evaluating First-Passage Probabilities for Spectrally One-Sided Lévy Processes’, Journal of Applied Probability
37, 1173–1180.
Samorodnitsky, G. et Taqqu, M. S. (1994), Stable Non-Gaussian Random
Processes, Chapman and Hall.
Samuelson, P. A. (1965), ‘Rational Theory of Warrant Pricing’, Industrial
Management Review 6, 13–31.
Satō, K.-I. (1999), Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions,Vol. 68 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge
University Press, Cambridge.
Schoutens, W. (2003), Lévy Processes in Finance : Pricing Financial Derivatives, Wiley, New York.
Sharpe, W. F. (1964), ‘Capital Asset Prices : A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk’, Journal of Finance 19, 425–442.
Usabel, M. (1999), ‘Calculating Multivariate Ruin Probabilities via GaverStehfest Inversion Technique’, Insurance : Mathematics and Economics
25(2), 133–142.
Vasicek, O. A. (1977), ‘An equilibrium characterization of the term structure’, Journal of Financial Economics 5(2), 177–188.
Wilkens, S. et Stoimenov, P. A. (2007), ‘The Pricing of Leverage Products :An Empirical Investigation of the German Market for ’Long’ and ’Short’
Stock Index Certificates’, Journal of Banking and Finance 31(3), 737–
750.

177

Table des matières
Introduction générale

1

I Méthodologies d’évaluation d’options et quelques applications en finance7
1 Produits dérivés de type européen
1.1

1.2

1.3

9

Modèles diffusifs avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.1

Cadre général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.2

Le modèle à sauts gaussiens de Merton . . . . . . . . .

12

1.1.3

Le modèle à sauts exponentiels doubles de Kou . . . .

18

1.1.4

Un nouveau modèle diffusif avec sauts . . . . . . . . .

22

Une approche générale pour l’évaluation . . . . . . . . . . . .

23

1.2.1

Condition mesure martingale équivalente . . . . . . .

24

1.2.2

Évaluation de produits dérivés . . . . . . . . . . . . .

25

1.2.3

Implémentation numérique . . . . . . . . . . . . . . .

29

1.2.4

Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Analyse des résultats et calibrage . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.3.1

Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

1.3.2

Options puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

1.3.3

Calibrage de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2 Options exotiques, défaut sur fonds propres et intéressement
des dirigeants

51

2.1

Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.1.1

Caractéristiques de quelques produits . . . . . . . . .

52

2.1.2

Méthode d’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.1.3

Cas des modèles diffusifs avec sauts exponentiels . . .

54
179

Table des matières

2.2

2.3

Prise en compte d’une barrière . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

2.2.1

Approximation des processus de Lévy . . . . . . . . .

54

2.2.2

Temps de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

2.2.3

Défaut sur fonds propres . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Options d’échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3.1

Les deux actifs ont des sauts de taille constante . . . .

65

2.3.2

Un mouvement brownien contre un processus diffusif

2.3.3

II

avec sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72Rémunération par stock options indexées . . . . . . .

85

Assurance-vie et théorie de la ruine

3 Contrats d’assurance-vie
3.1

3.2

3.3

4.2

4.3

180

95

Risque de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.1

Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.2

Modèles de mortalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

3.1.3

Paramètres empiriques et probabilité de survie . . . .

99

Contrat à garantie flexible en cas de vie (PEFG) . . . . . . . 102
3.2.1

Modélisation du contrat et des actifs sous-jacents . . . 102

3.2.2

Évaluation du contrat PEFG . . . . . . . . . . . . . . 103

3.2.3

Analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Contrat à bénéfice minimum garanti en cas de décès (GMDB) 107
3.3.1

Cadre général et principales notations . . . . . . . . . 109

3.3.2

Cadre d’évaluation général . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3.3

Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

4 Retour sur la théorie de la ruine
4.1

93

137

Processus de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.1.1

Processus à sauts doubles exponentiels . . . . . . . . . 139

4.1.2

Processus stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Probabilités de ruine et de survie . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.1

Factorisation de Wiener-Hopf . . . . . . . . . . . . . . 141

4.2.2

Ruine et survie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Étude numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.1

Implémentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.3.2

Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Table des matières

Conclusion générale

167

Bibliographie

177

Table des matières

181

181

Ce document a été préparé à l’aide de l’éditeur de texte GNU Emacs et dusystème de composition typographique LATEX 2ε .

Résumé
Cette thèse met en lumière l’impact des discontinuités de cours financiers dans lesdomaines de l’assurance et de la finance. Une première partie se concentre sur l’évaluation de divers produits dérivés quand le sous-jacent présente des ruptures ou dessauts. Il y est démontré la puissance de l’approche par transformée de Fourier généralisée, tant au niveau conceptuel que numérique. Cet outil permet alors d’explorer
de nouveaux produits, comme les options d’échange, en présence de discontinuités.
Enfin, une protection contre une baisse soudaine des fonds propres d’une compagnie,émise sur le marché, ou encore l’impact de ces discontinuités sur l’intéressement desdirigeants sont étudiés. Une seconde partie analyse les conséquences de ces sauts
sur des contrats d’assurance-vie, à garantie flexible en cas de vie et à minimum
garanti en cas de décès. Elle s’intéresse aussi à la ruine des compagnies d’assurance
quand les réserves de celles-ci présentent diverses ruptures.
Mots-Clés : Options d’échange, Défaut sur fonds propres, Intéressement desdirigeants, Contrats d’assurance-vie, Garantie minimum, Ruine, Discontinuités,
Sauts, Ruptures, Transformée de Fourier.

Taking into Account Asset Price Discontinuities in Financeand Insurance
Abstract
The purpose of this thesis is to shed light on the impact of asset price discontinuities
in the fields of insurance and finance. The first part focuses on the pricing ofdiverse derivatives when the underlying incurs structural breaks and jumps. The
expressive power as well as the numerical performance of the generalized Fouriertransform approach is shown. The tool thus obtained allows to price other productsin the presence of discontinuities, for example swap options. Protection against
sudden price drops, via so-called equity default swaps and the impact of those
discontinuities on managers incentives are also studied. A second part analyzes
jump impacts, among other factors, on life insurance contratcs, in particular pureendowments with flexible guarantee and contracts whose guarantee is only paid
upon death. Insurance companies ruin is also considered when reserves face various
breaks.
Keywords: Margrabe options, Equity default, Managers incentives, Life insurance contracts, Minimum guarantee, Ruin, Discontinuities, Jumps, Structural
breaks, Fourier transforms.