レンズ収差を用いた群遅延分散補償法の研究
電子工学専攻

上久保貴史

1. 序論
パルス幅が 10 fs の超短パルス光とは全幅で 100 THz 以上の帯域を持ち、その周波数毎のフーリエ位相が時間的に揃っている光である。その超短パルス光には様々な利点があり、多くの分野で応用が期待されている。超短パルス光の特徴を挙げると、とても狭いパルス幅であるがゆえに 1 パルスあたりのエネルギーが数 pJ でも数 kW のような高いピーク強度を得ることができる。応用例だとレーザー加工に超短パルス光を用いることで低エネルギーかつ高ピーク強度であることから熱による損傷や変質が低減され精密に加工できる。また時間分解能が高いことも特徴である。フェムト秒パルスを用いることでフェムト秒の時間分解能を持ち、物質での高速な応答を測定することができる。
現在ではモード同期Ti : Al2O3(チタンサファイア)レーザーの発展によって超短パルス光を発生できる発振器が市場に出回っており、パルス幅サブ 10 fsの超短パルス光を得ることも容易になってきた。しかし、10 fsパルス光は波形の維持が困難であり、その原因は群遅延分散である。
パルス幅が数百 fs のパルスでは 3 次以上の群遅延分散はあまり影響しないが、パルス幅が 20 fs 程度の超短パルスではパルス波形に影響が無視できなくなるほど大きくなる。2 次の群遅延分散(SOD: Second order dispersion)だけを打ち消すようにパルス伸張器と圧縮器を配置することは比較的簡単だが、3 次の群遅延分散(TOD: Third order dispersion)や、より高次の群遅延分散を打ち消すのは難しく、特別な設計にする必要がある。残留する高次の群遅延分散(HOD : Higher Order Dispersion)を補償するには FROG や SPIDER によるフーリエ位相測定とパルス圧縮器へのフィードバックが必要になる。パルス圧縮器はプリズム対・回折格子対の組み合わせや空間位相変調器があり、圧縮原理はパルスを空間的にフーリエ分解し、各フーリエ成分の群遅延を調整するものである。
そこで、本研究では光誘起回折格子を用いてレンズ収差を空間周波数の変調として記録し、光パルスの群遅延分散を補償する方法を提案する。この方法は波面位相を調整することでパルス圧縮ができる点で前述のフーリエ分解するパルス圧縮器とは圧縮原理が大きく異なる。レンズ収差は Seidel の 5 収差として出射瞳平面での波面を 1 次：歪曲収差、2 次：非点収差・像面湾曲、3 次：コマ収差、4 次：球面収差に分解できる。フーリエ位相の歪みとレンズ収差のアナロジーから 2 次、3 次、4 次の群遅延分散は像面、コマ、球面収差を与えたビームで独立に制御できる。
補償対象となるのは中心波長 800 nm、パルス幅 10 fsのモード同期Ti : Al2O3レーザーである。レンズ収差を与えて形成される干渉縞の 2 次〜4 次の群遅延分散とレンズ収差量の関係、
回 折 帯 域 の 試 料 入 射 角 と レ ン ズ の F ナ ン バ ー 依 存 性 を 光 線 追 跡 ソ フ ト ZEMAX とMathematicaを用いて定量的に評価した。

2. レンズ収差と群遅延分散の関係
群遅延分散 (GDD : Group Delay Dispersion)φ (ω ) = φ (ω0 ) +2
34dφ (ω )(ω − ω0 ) + 1 d φ (ω2 ) (ω − ω0 )2 + 1 d φ (ω3 ) (ω − ω0 )3 + 1 d φ (ω4 ) (ω − ω0 )4 + ⋅ ⋅ ⋅dω
2! dω
3! dω
4! dω

群遅延

2次のGDD

3次のGDD

4次のGDD

⎧⎛ 1
⎞ ⎫
⎛ 1
⎞W (ρ ,θ ) = DS Θ 3 cosθ ρ + ⎨⎜ − FC − AS cosθ ⎟Θ 2 ⎬ ρ 2 + (CM Θ cosθ ) ρ 3 + ⎜ − SA ⎟ ρ 424⎠ ⎭⎝⎠
⎩⎝

()

歪曲収差

像面湾曲

非点収差

コマ収差

球面収差

Seidelの5収差
φ(ω) : 位相シフト、ω0 : 中心角周波数
W(ρ, θ) : 出射瞳平面の波面を表す光路差、 ρ : レンズ中心からの距離 (見込み角)θ = Tan-1(y/x) (極座標)、Θ : レンズ入射角

図 1

フーリエ位相とレンズ収差のアナロジー

位相シフトのテーラー展開とレンズ収差の式を図 1 示す、以下位相シフトをフーリエ位相と定義する。ω0が中心角周波数でφ(ω0)がキャリアの位相(Carrier Phase)、d φ(ω0)/dωが群遅延(Group Delay)、以下はパルス波形を歪ませる項である 2 次、3 次、4 次の群遅延分散となっている。2 次、3 次、4 次の群遅延分散はSOD, TOD, FOD(Second, Third, Forth OrderDispersion)と言われ、以下この略称で話を進める。
レンズを透過した光線の波面が焦点を中心にした正円からズレている状態を収差がある、と言う。収差の形状はレンズ中心からの距離をρとすると図 1 に示すように、1 次が歪曲収差、2 次が非点収差と像面湾曲、3 次がコマ収差、4 次が球面収差である。波面に収差が与えられると焦点での像がボケる。ボケるとは像が広がることを意味するが、これが光パル
スの群遅延分散を与えられた波形の形状と同じ広がり方を示す。これはフーリエ位相の歪みとレンズ収差は時間歪みと空間歪みのアナロジーがあるためで、波面位相の歪みが空間周波数の変調となる焦点付近で超短パルスの瞬時波形とビームプロファイルが同じ形に歪むためである。要するにパルス波形の時間歪みをレンズ収差による空間歪みとして空間に作ることができるのである。
図 2 にレンズ収差と群遅延分散の関係を示した。回折格子(干渉縞)を誘起する光を Pumpと定義する。αは参照光のスクリーン入射角である。GD(Group Delay : 群遅延)は軸外れ、SOD は焦点位置ズレ、TOD はコマ収差、FOD は球面収差にそれぞれ対応する。この関係は焦点での像を超短パルスとして考えると簡単である。像に参照光が入射し干渉縞になることで超短パルスで言う「キャリア周波数(中心周波数)」が決まる。回折限界のビーム径が「パルス幅(周波数帯域)」に相当する。回折限界は Fλ(F : F ナンバー)で決まるので帯域は1/F に比例する。群遅延とは「時間的な遅れ」を意味する、よって干渉縞ができる位置が変われば時間遅れと同じになるので光軸からの軸外れが群遅延に相当する。SOD は波面が 2次の形状をしている所での像になるので、焦点位置をずらせば良い。つまり図 2 のレンズを左右に動かすことで Screen 上の干渉縞に SOD を与えることができる。TOD は波面が 3次の歪みを持つことに相当するのでコマ収差となる。コマ収差はレンズに斜入射すると生じる収差なのでレンズを回転させれば 3 次歪みを与えた像が作れる。FOD は波面が 4 次の歪みを持つことに相当するので球面収差となる。球面収差はレンズの近軸近似が成り立たなくなるほど曲率半径が小さいレンズで生じる収差である。よって、レンズの F ナンバーを小さくすることで 4 次歪みを与えた像が作れる。

TOD

Pump
FOD
SOD

GD

図 2αReferenceScreen

レンズ収差と群遅延分散の関係

以上から、群遅延を含めた 2 次〜4 次の群遅延分散はレンズ収差によって独立に制御できるのである。

3. レンズ収差量と群遅延分散量の定量的評価
今までは原理の話だったが、ここでは具体的なレンズ収差量と群遅延分散量の関係を述べる。回折格子を誘起する光の波長は Nd : YAG レーザーの第 2 高調波 532 nm とする。ブ
ラッグ条件から導出した式の試算で、焦点距離 f : 100 mm 、F ナンバー : 10、参照光入射角α : 16 deg、信号光読み出し角β : 19.96 deg の場合中心波長 800 nm、パルス幅 10 fs(周波数帯域全幅 100 THz)のレーザーを回折させられることがわかった。以下の計算値は全てこの条件に従い、波長ごとの位相シフトを特性マトリクス法で求め図 1 に示したフーリエ位相の形式に直し、2 次〜4 次の群遅延分散量を評価したものである。なお、Coma Coefficient、Spherical Coefficient について計算しているが、それぞれコマ収差係数、球面収差係数の意
味である。ZEMAX を用いた解析で係数を計算した結果、COMA、SPHE として

COMA = −28300 / f 2 Θ
SPHE = 1.443 × 1011 / f 4となった。これは平凸レンズの場合で、f はレンズの焦点距離(単位 mm)、Θはレンズの回転角(単位 deg)である。COMA の適用範囲は-25 ~ 25 deg で、凸平レンズの場合、それぞれの係数は 6.5 分の 1 と小さくなる。

Position

α600

BK7 35 mm-1405 fs220001000

Third OrderDispersion (fs3)Second Order
Dispersion (fs2)

30000-1000-2000-3000

400± 10 fs 32000-200-400-600-20-1001020-20-1001020Position (mm)Position (mm)± 200 fs 4

2次の群遅延分散は波面の曲率に比例する。

6000

Forth Order
Dispersion (fs4)

4000
20000-2000-4000-6000-20-1001020Position (mm)

図 32 次の群遅延分散のレンズ位置依存性

図 3 はレンズ位置を-20~20 mmに変えたときの群遅延分散量を示している。2 次、3 次、4 次の群遅延分散量はそれぞれ左上、右上、左下の順である。2 次は比例し、3 次、4 次はノイズレベルでしか変わらなかった。よって 2 次の群遅延分散はレンズ位置(波面の曲率)で制御できることがわかった。なお、Position 10 mmで-1405 fs2となるが、これはBK7 35 mmのSOD : 1407 fs2に相当するSOD量となっている。
COMAα4000

100Third Order
Dispersion (fs3)Second Order
Dispersion (fs2)200± 25 fs 20-100-200

2000

0-2000-4000-30-20-100102030-30-20-100102030

COMA Coefficient

COMA Coefficient

Forth Order
Dispersion (fs4)6000

3次の群遅延分散はコマ収差に比例する。

0 ~ 3000 fs 4

4000

2000

0-30-20-100102030

COMA Coefficient

図 43 次の群遅延分散のコマ収差依存性

図 4 はコマ収差量を-30 ~ 30 に変えたときの群遅延分散量を示している。コマ収差量はレンズの回転角と同じと考えて良い。その結果 3 次は比例し、2 次、4 次はノイズレベルでしか変わらなかった。よって 3 次の群遅延分散はコマ収差で制御できることがわかった。
SPHE

α1000

100

Third Order
Dispersion (fs3)Second Order
Dispersion (fs2)200± 10 fs 20-100-200-60000-30000030000500± 120 fs 30-500-1000-60000

60000

Spherical Coefficient-3000003000060000

Spherical Coefficient

Forth Order
Dispersion (fs4)

40000

20000

4次の群遅延分散は球面収差に比例する。

0-20000-40000-60000-3000003000060000

Spherical Coefficient

図 54 次の群遅延分散の球面収差依存性

図 5 は球面収差量を-60000 ~ 60000 変えたときの群遅延分散量を示している。球面収差量はレンズの F ナンバーと同じと考えて良い。その結果 4 次は比例し、2 次、3 次はノイズレベルでしか変わらなかった。よって 4 次の群遅延分散は球面収差で制御できることがわかった。
以上によりレンズ収差による群遅延分散の独立制御は計算上可能であることがわかった。

4. 10 fs パルスの群遅延分散補償の設計
Ti : Al2O3800 nm, 10 fs
Nd : YAGf -100
532 nm, 5 nsf 400

λ/2f 500

TeflonSampleDRhodamine 6Gt : 30 µm
Λ0 : 2.06 µm
f 100f 10015 deg

P18.8 deg

図 610 fs パルス用群遅延分散補償系配置図S

図 6 に実験図を示す。緑線 : 532 nm

図 8 が波長ごとの回折効率を規格化した(Nd : YAG), 赤線 : 800 nm (Ti : Al2O3), 青スペクトルである。700 〜 890 nm まで波線 : 回折光である。焦点距離-100 mmと長分散のないほとんどフラットな回折効率400 mmのレンズでNd : YAGレーザーのビが得られた。これから 10 fs パルスの帯域をーム径を 10 mmまで広げる。焦点距離 100カバーする回折帯域があることがわかる。

mmのレンズでFナンバー10 を満たす。レン

5. 結論

ズを透過するビームはα : 15 degで入射す

本研究ではレンズ収差を用いた群遅延分る参照光と干渉させた。パワーの違いは半散補償法の提案と、10 fsパルス用に設計を波長板と偏光子でパワー調整を行った。

行ない、SOD, TOD, FODがそれぞれレンズ

1.2

λP : 532 nm
f : 100 mm
BW : 100µm
E : 6.5 mJ
IP : 39 MW/cm2
Shots : 6000(10 min)Fundamental

Intensity (arb.)

1.00.80.6のレンズを用いればSOD : -3000 ~ 3000 fs2,30000 fs4まで 10 fsパルスの群遅延分散補

0.2

償が可能なことがわかった。

0600

700

8009001000

Rhodamine6G を書き込み材料とした実Wavelength (nm)

図 7した。参照光の入射角 16 deg, Fナンバー10
TOD : -15000 ~ 15000 fs3, FOD : -30000 ~Diffracted Beam

0.4

収差で独立に制御できることを計算で確認

験で回折帯域 190 nm のチャープ回折格子回折光と基本波のスペクトルを作成した。ビームの横分散がないことか
図 7 が基本波パルスと回折光のスペクトルの比較である。チャープ回折格子の書きら超短パルスの GDD 補償に適したシステ
ムであることがわかった。

込み条件は波長 532 nm, パルス幅 5 ns, エ問題点としては回折効率が 30 µm の薄膜

ネ ル ギ ー 6.5 mJ, 書 き 込 み 強 度 39の場合 0.03 %程度であることがあげられる。

2MW/cm で行った。 基本波パルスは中心波

回折効率は Nd : YAG レーザーの不安定さ

長 800 nm, パルス幅 10 fsである。回折光が影響している可能性がある。 本研究で用のスペクトルは基本波パルスのスペクトル

いた Nd : YAG レーザーはフリーランで発とほとんど変わらず、10 fsの帯域を持って振させるタイプのものであり、この状態でいることがわかった。

はパルス毎の縦、横モードが違う。またパ

Fundamental
Normalized Diffraction

1.01.2ルス形状もなめらかな強度変化ではなく、1.0ピコ秒パルス列が重なった形をしているの

0.8

0.8

0.60.6∆λ : 190 nm

0.40.40.20.200680

740

800860

Wavelength (nm)図 8規格化した回折帯域

Intensity (arb.)

Diffraction / Laser Intensity

1.2

で、時間と空間がミリ単位で合っていないと高コントラストな干渉縞が得られず、回折効率は落ちてしまうのである。
今後はフーリエ位相変化量を観測し、レ920

ンズ収差を用いた群遅延分散補償法の完成を目指したい。