Note de synthèse
Mots clés : générateur de scénarios économiques (GSE), risques croissants, crise économique, inflation, modélisation ARIMA, algorithme de Box et Tiao, loi Pareto hybride,
optimisation de portefeuille.
Le futur n’est plus la projection du passé, mais la remise en cause de ce dernier. Ainsis’exprime Jean-Paul Delevoye dans l’Actuariel, n°6. Cette pensée introduit parfaitement laproblématique que nous avons tenté d’élucider au cours de notre étude consistant à créer
un générateur de scénarios économiques ; l’objectif final de nos travaux étant d’optimiserl’allocation d’actifs d’une SICAV créée pour s’adapter au contexte de risques croissants dudébut du XXIème siècle. Comment créer un générateur de scénarios économiques adapté àl’environnement économique actuel ? Dans la mesure où il n’est plus envisageable d’utiliser
les données passées comme seul moyen de calibration des équations régissant un générateurde scénarios économiques, quelle alternative peut-on proposer ? Notre solution consiste à
intégrer des sauts dont les paramètres sont déterminés à dire d’experts, en adaptant à
notre problématique la méthode d’analyse d’intervention proposée par Box et Tiao. L’outil proposé doit s’inscrire dans la politique de gestion de la SICAV pour laquelle il a été
créé car il vise à optimiser l’allocation d’actifs de ce fonds ; une difficulté consistait à proposer un équilibre entre les approches qualitative et quantitative utilisées pour gérer cette
SICAV, tout en garantissant une rentabilité performante.
Tout d’abord, nous rappellerons l’ensemble des élèments démontrant la nécessité de laconstruction d’un tel générateur de scénarios économiques.
Ensuite, nous décrirons les principales caractéristiques de l’outil créé en insistant sur leschoix réalisés et la démarche adoptée. Nous parlerons notamment des différentes modifications apportées à la structure initiale du modèle.
Enfin, nous nous intéresserons à la méthode choisie pour intégrer l’outil créé dans la stratégie de gestion de la SICAV et pour interpréter les projections, ainsi que les résultats
obtenus.

Les premières lignes du mémoire sont consacrées à la présentation de l’intérêt du sujet
centré autour de deux axes principaux :1

– l’évolution du contexte économique avec fortes incertitudes et chocs majeurs,– la modification du contexte prudentiel.
Nous illustrons le premier point en étudiant brièvement la situation politico-économiquemondiale qui montre qu’il existe de nombreux conflits de plusieurs ordres et dans de nombreuses parties du monde : des conflits militaires, par exemple en Syrie ou plus globalement
au Moyen Orient ; des conflits économiques provoqués notamment par l’émergence de pays
tels que la Chine ou le Brésil ; mais aussi, des conflits politiques. De plus, nous citons également une étude réalisée par François-Xavier Chevalier, montrant que d’un point de vueéconomique, nous constatons un bouleversement dans le cycle long de Kondratieff, ce
qui traduit un changement économique important. Pour résumer cette nouvelle situation
mondiale, Denis Kessler affirme que depuis le début du XXIème siècle, nous sommes entrés
dans un contexte de chocs majeurs et de fortes incertitudes. Dans ce contexte instable, larationalité des investisseurs est remise en cause et cela rend indispensable l’utilisation degénérateurs de scénarios économiques.
Le second point est illustré par le rappel de la nouvelle directive européenne pour les compagnies d’assurance, Solvabilité 2, qui impose la génération de scénarios économiques etqui prendra effet au premier janvier 2014.
Ainsi, les modèles traditionnels d’allocation d’actifs basés sur la reproduction du passé nenous semblent plus adaptés à ce nouveau contexte économique et à cette nouvelle exigence
prudentielle. En effet, un modèle autorégressif simple ne permet plus une allocation d’actifs efficace dans ce contexte très changeant. L’ensemble de ces éléments nous a convaincus
de la nécessité de considérer un modèle autorégressif, couplé à l’étude de l’intégration desauts dans les équations du modèle, afin de prendre en compte la nouvelle situation économique dans notre générateur de scénarios économiques. Nous décrivons les principales
caractéristiques de ce dernier ci-après.

La majeure partie de ce mémoire est consacrée à la description du modèle créé et à lajustification des choix réalisés. Nous avons choisi de construire un générateur de scénarioséconomiques en utilisant la structure en cascade proposée par David Wilkie en 1985. Le
choix de cette structure se justifie à plusieurs égards : il s’agit d’une structure simple,
complète et modifiable facilement. Par ailleurs, une étude réalisée sur ce modèle a prouvé
son efficacité. Dans la suite, nous présentons les ajustements successifs apportés au modèle
initial pour l’adapter à notre problématique.
En premier lieu, nous proposons d’utiliser des données mensuelles sur la période [2000 ;2011]. Ceci résulte du fait que l’on souhaite prendre en compte l’augmentation, perçue
depuis le début du XXIème siècle, de la probabilité d’observer des crises majeures. L’utilisation de données mensuelles permet de s’assurer que l’on possède assez de données ets’inscrit dans notre volonté d’optimiser l’allocation d’actifs d’un fonds. Par ailleurs, nous

2

présentons les résultats obtenus pour quatre pays particuliers : les États-Unis, la France,l’Allemagne et le Japon. Le GSE est toutefois applicable à d’autres pays, sous réserve dela qualité des données.
En deuxième lieu, nous avons étudié la pertinence d’utiliser le processus autorégressifd’ordre un, proposé par D. Wilkie, pour modéliser l’inflation, grandeur centrale du générateur construit. Nous proposons une étude de séries temporelles en choisissant le critèrede choix d’Akaiké et en considérant l’ensemble des processus SARIMA. Nous concluons
que le processus le plus adapté pour modéliser l’inflation est un SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12,
quel que soit le pays considéré. Nous retenons donc cette modélisation. Notons en outre
que nous avons choisi de considérer l’inflation en excluant l’évolution des prix du tabac etdes produits alimentaires, car ces deux grandeurs provoquent une instabilité trop importante dans l’évolution de l’inflation.
En troisième lieu, nous nous sommes intéressés à un point central du mémoire relatif auxméthodes d’intégration de sauts dans les équations du modèle. Nous avons testé successivement trois méthodes. Tout d’abord, nous avons essayé d’utiliser une loi uniforme couplée
à la modification des paramètres des résidus des équations : nous n’avons pas retenu cetteméthode car la modification des paramètres des résidus introduisait trop de subjectivité.
Ensuite, nous nous sommes intéressés aux lois de Poisson, adaptées à la modélisation d’évènements rares : cette étude ne nous a pas pleinement convaincus et nous a persuadés qu’il
fallait prévoir un processus de retour à l’équilibre après chaque saut. En effet, ordinairement, les crises durent le temps nécessaire à la correction des excès spéculatifs et on observe
un retour à l’équilibre après effacement de ces excès. Enfin, nous avons étudié l’analysed’intervention proposée par Box et Tiao : cette théorie permet de prendre en compte,lors de la modélisation SARIMA d’une série chronologique, des évènements extérieurs aumodèle. On apporte ainsi au modèle statistique une information supplémentaire de type
qualitatif qui est intégrée au modèle, de manière additive, à l’aide de variables binaires
exogènes. Les sauts ne figurant pas dans la struture intrinsèque des données, nous avons
testé différents modèles en probabilisant la fonction de sauts et en déterminant certains
paramètres à dire d’experts au lieu de les estimer. Nous avons finalement choisi de retenir
le modèle d’intervention ponctuelle à effet rémanant dit Temporary Change. Ce dernier
possède trois paramètres : la probabilité d’occurence d’un saut, son amplitude et la duréede retour à l’équilibre. C’est ici que nous intégrons la partie qualitative indispensable pours’adapter à la politique de gestion de la SICAV : les trois paramètres de la fonction desauts sont déterminés à dire d’experts.
En quatrième lieu, nous avons souhaité également modifier la méthode de simulation desrésidus des équations du modèle. En effet, traditionnellement, on observe que les résidus
sont modélisés par une loi normale, alors qu’en réalité les résidus ne vérifient pas les hypothèses de normalité. Nous avons fait ce constat sur nos données en combinant l’analyse3statistique basique et les tests. On a observé que les résidus étaient leptokurtiques et asymétriques. Ainsi, nous avons choisi d’utiliser une loi Pareto hybride pour modéliser lesrésidus : il s’agit d’une loi dont la partie centrale est une loi normale et dont les queues
de distribution sont modélisées par des lois de Pareto généralisées. Cette méthode permet
de prendre en compte les caractères leptokurtique et asymétrique des résidus. Nous lesmodélisons donc en estimant quatre paramètres : la moyenne, l’écart-type et les deux paramètres de queues.

Nous avons décrit ci-dessus les principaux changements réalisés. Nous allons maintenant nous intéresser à l’utilisation du générateur de scénarios pour répondre à l’objectif
de notre recherche, cité en introduction : optimiser l’allocation d’actifs d’une SICAV crééepour s’adapter au contexte de risques croissants du début du XXIème siècle. A ce titre, ce
fonds est composé exclusivement d’actions internationales spécifiques résistant bien aux
crises, des actions résilientes. Nous avons donc établi une démarche précise permettant
une allocation efficace.
La première étape consiste à sélectionner des secteurs particuliers et à définir l’ensemble
des actions dans lesquelles le gérant peut investir. Cette étape a été réalisée par le gérant
du fonds au moment de la création de la SICAV.
La seconde étape consiste à établir des projections sur les croissances futures du produit
intérieur brut (PIB) et des dettes de différents pays. L’idée retenue initialement était detrouver un modèle, relativement simple, permettant de projeter ces grandeurs macroéconomiques : le choix de la projection de l’évolution des dettes s’explique par le fait qu’on
observe un impact de plus en plus important de celles-ci sur la croissance des pays. Cependant, nous n’avons pas trouvé de modèles simples et satisfaisants, nous avons donc choisi
une autre voie : l’utilisation des indicateurs économiques avancés. Nous avons réalisé uneétude afin de tester la fiabilité des indicateurs avancés de l’OCDE (plus précisément lecomposite leading indicator - CLI), et dans une moindre mesure, la qualité de l’indicateurde l’Institut für Wirtschaftsforschung (IFO). Nous avons conclu qu’ils étaient très performants, notamment pour les États-Unis, comme en témoigne le tableau ci-dessous : lapremière colonne indique le nombre de périodes de ralentissements observés, les seconde
et troisième, le pourcentage de prédictions manquées (PM) et de prédictions non réalisées (PNR), la quatrième le pourcentage de bonnes prédictions (PB) et la cinquième lacorrélation entre le CLI et le PIB pour chaque pays.

4

Période [2000 ; 2005]

Période [2007 ; 2010]

Obs.

P.M.

P.N.R.

P.B.

Corr.

Obs

P.M.

P.N.R.

P.B.

Corr.

Allemagne

8

37

7

57

0,55

2

2

20

80

0,85

France

6

15

13

72

0,79

3

9

24

67

0,65

États-Unis

6

11

21

68

0,70

3

0

19

81

0,95

Japon

3

10

17

72

0,87

3

20

22

58

0,85

Table 1 – Tableau récapitulatif du pouvoir prédictif du CLI sur le PIB par pays
Un défaut qu’il faut considérer est le fait que ces indicateurs prévoient un nombre
trop élevé de retournements. De plus, les résultats obtenus pour l’Allemagne sont moinsconcluants, c’est pourquoi nous avons également considéré l’IFO. Malgré cela, nous retenons ces indicateurs avancés pour la sélection des pays dans lesquels nous souhaitons
investir plus particulièrement.
La troisième étape a pour objectif de sélectionner un nombre d’actions, environ quarante, par le biais d’une analyse macroéconomique. Cette partie est indispensable pourêtre en accord avec le principe de gestion de la SICAV. Elle représente une partie qualitative importante et permet de ne pas considérer, par exemple, les actions peu liquides.
La quatrième étape consiste à utiliser le GSE créé : nous calibrons l’ensemble des équations pour les quarante valeurs sélectionnées ainsi que pour quatre indices particuliers
servant à illustrer nos travaux : le CAC40 pour la France, le DAX30 pour l’Allemagne,
le SP500 pour les États-Unis et le NIKKEI pour le Japon. Nous obtenons plusieurs projections. Les graphiques ci-dessous représentent l’évolution attendue de l’inflation à un anpour les quatre pays considérés :Figure 1 – Projections de l’inflation à 1 an

5

A l’issue de cette étape, nous obtenons les projections de l’ensemble des actifs que nous
avons sélectionné. Notons que pour modéliser le prix des actions, nous projetons d’une partle rendement des dividendes, d’autre part, le montant des dividendes. L’évolution du prix
des actions se déduit aisément en divisant le second par le premier.
La cinquième étape de ce processus est le calcul d’une utilité pertinente à partir desprojections obtenues. En effet, il convient de choisir une formule d’utilité adaptée afind’optimiser de manière efficace l’allocation d’actifs. Nous avons retenu une combinaisonde la skewness et de la VaR à un an ou cinq ans avec un seuil de 5%. Ce choix traduit notre
volonté de ne pas utiliser le critère moyenne-variance qui n’est pas efficace en période decrise. Notons que le calcul de l’utilité des titres ne constitue pas le coeur du mémoire maisn’est qu’une application du modèle créé.
L’indice le plus performant avec la formule d’utilité choisie est l’indice français, ce qui
nous semble cohérent avec nos critères de choix : en effet, les pays qui résistent le mieux
aux crises sont ceux possédant des stabilisateurs automatiques performants. Cette donnée
est traduite dans les courbes par le coefficient d’asymétrie : dans le cas de la France, ce
coefficient est positif, ce qui augmente l’utilité du titre.

Nous pouvons déduire de cette étude que l’utilisation d’un processus à sauts pourprojeter la valeur d’actifs est indispensable dans le contexte à risques croissants de ce
début de XXIème siècle. Par ailleurs, l’application de processus de gestion par scénarios
nous paraît un bon compromis entre le tout quantitatif et le tout qualitatif. Enfin, précisonsque ce mémoire de recherche s’inscrit dans une volonté de prise en compte de chocs dans lesmodèles de gestion d’actifs. Plusieurs travaux supplémentaires pourraient venir compléterl’étude initiée : l’implémentation précise d’un modèle de taux en incluant un processus desauts à l’aide de martingales ; ou bien, l’étude de concepts mathématiques différents, parexemple les copules, pour simuler une corrélation plus précise entre les résidus ; ou encore,le rajout d’un processus pour l’immobilier performant. Ces sujets pourraient faire l’objet
de prochains mémoires.

6

Executive summary
Keywords : economic scenario generator (ESG), economic crisis, inflation, ARIMA,
Box and Tiao’s algorithm, hybrid Pareto distribution, portfolio optimization.

Future is not the projection of past anymore, but the calling into question of the latter 1 . That is what Jean-Paul Delevoye says in the French scientific revue, Actuariel, n°6.
This idea perfectly introduces the question that we tried to solve in this paper. This study
consists in creating an economic scenario generator (ESG) in order to optimize the strategic
asset allocation of an investment fund created to take into account the current increasing
economic risks of the beginning of the 21st century. How can an ESG appropriate to thecurrent economic context be created ? As it is no longer conceivable to use the past data
to calibrate the equations of an economic scénario generator, which other option can besuggested ? Our solution consists in integrating jumps which parameters are determined« according to experts », by adapting the Box and Tiao algorithm to our problem. The
tool created has to respect the management policy of the unit trust, which it was createdfor because its target is to optimize the asset allocation of this fund. One of the difficulties
was to suggest a balance between the qualitative and quantitative approaches used to
manage this unit trust, while assuring the fund’s performance.
Firstly, we will present the elements showing the necessity of the creation of such an economic scenario generator.
Secondly, we will describe the main characteristics of the tool created. We will insist on
the choices we made and on the approach we adopted. We will particularly talk about thedifferent modifications brought to the initial model structure.
Finally, we will bend on the chosen method in order to integrate the tool in the strategic
management approach of the unit trust and to interpret the projections as well as theresults of the studies.

The first lines of this paper focus on the interest of the subject dealt with. There are
two main axes :1. Le futur n’est plus la projection du passé, mais la remise en cause de ce dernier.

7

– the evolution of the economic context with strong uncertainty and major shocks,– the modification of the prudential context.
We illustrated the first point by briefly studying the world politico-economic situation
which shows that several different conflicts take place in many parts of the world such as :military ones, for example in Syria or more generally in the Middle East countries ; economic ones, particularly provoked by developing countries, such as China or Brazil ; andpolitical ones too. Besides, we also quoted a study realized by François-Xavier Chevaliershowing that from an economic point of view, we observe a modification in the Kondratieff’s long cycle, which reflects an important economic shift. To sum up this new world
situation, Denis Kessler says that since the beginning of the 21st century, we have entereda context of major shocks and strong uncertainty 2 . In this unstable context, the use of an
ESG is essential because it is during such a period that the investors’ rationality is called
into question.
The second point is illustrated by the reminder of the new European directive for insurance company, Solvency 2, which imposes the achievements of economic scenarios andwhich will take effect on the first of January 2014. In this way, traditional models, basedon the use of past, does not seem adapted to this new economic and prudential context
anymore. Indeed, a simple autoregressive model does not allow an efficient asset allocationin this shifting context. All this elements convinced us of the necessity to integrate jumps
in the ESG’s autoregressive equations. We are going to describe the main characteristicsof this ESG bellow.

The main part of this paper is dedicated to the description of the model created andto the choices we made. We decided to build an ESG using the cascade structure proposedby David Wilkie in 1985. We can justify this choice at several levels : it is a simple andcomplete structure which can be easily modified. Besides, a study realized on this model
showed its efficiency. Now, we present the successive adjustments we made to the initialmodel to adapt it to our problematics.
Firstly, we proposed to use monthly data, considering the period [2000 ; 2011]. We madethis choice because we wanted to take into account the increase of the probability of major
crisis seen since the beginning of the 21st century. The use of monthly data ensures that
we have enough data and reflects our will to optimize the asset allocation of a fund. Besides, we studied four particular countries : the United States, France, Germany, Japan.
Nevertheless, the ESG is applicable to other countries, subject to data qualities.
Secondly, we studied the adequacy of the use of a first order autoregressive model, proposed by D. Wilkie, to model the inflation, the central variable of the created ESG. We
proposed a study of temporal series, choosing the Akaike criterion and considering all
2. Dans un contexte de chocs majeurs et de fortes incertitudes

8the SARIMA processus. Our conclusion was that the most adapted processus to model
inflation is a SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12, whatever the country. Furthermore, it should benoticed that we chose to considerate inflation, excluding the evolution of tabacco and foodprices because these two quantities introduce an instability too important in the inflation’s
evolution.
Thirdly, we bent on one of the central points of this paper : the methods to introduce
jumps in the equations of the model. We successively tested three methods. First of all,
we tried to use the uniform distribution with a modification of residual parameters of theequations ; we did not keep this method because the modification of residuals introduced
too much subjectivity. Then, we studied the use of Poisson distribution, appropriated tothe modelling of rare events ; this study did not convince us and persuaded us to introduce a process of return to overall balance after each jump. Indeed, usually, crisis should
remain in place for as limited a period as necessary to erase the speculative excess and we
observed a return to overall balance after this period. Finally, we studied the Box et Tiao’s
algorithm : this theory allows to take into account extorior events, during the SARIMA
modelling of a chronological series. We thus added to the model a qualitative information
which is integrated in an additive way by the use of binary exogen variable. Since thejumps are not in the intrinsic structure of data, we tested different models, probalizing thejumps function and by estimating some parameters, according to experts, instead of the
traditionnal estimation. We chose the tempory change model which has three parameters :the probability of a jump, its amplitude et its duration return to overall balance. Here, we
integrated the essential qualitative part in order to be in accordance with the management
policy of the unit trust : the three parameters are determinated according to experts.
Fourthly, we tried to modify the traditional modelling of residuals. Indeed, usually, weobserve that residuals are modelled by using the standard normal distribution wherease
the residuals do not verify the required hypothesis. We made this observation on our databy combining the basic statistical analysis and the tests. We noticed that residuals wereleptokurtic and asymmetric, that is why we chose to use a hybrid Pareto distribution tomodel residuals : it consists in using normal distribution and generalized Pareto distribution to respectively model the central part and the tails of the distribution. This method
allowed us to take into account the leptokurtic and asymmetric characteistics of the residuals. Therefore, we modelled residuals by estimating four parameters : average, standard
deviation and the two parameters of tails.

We described above the main changes we made on the model. Now, we will focus
our attention on the use of ESG. As we said in the introduction, the aim of our study
was to optimize the asset allocation of a unit trust created to adapt itself to the context
of increasing risks observed since the beginning of the 21st century. As such, this fund9

is exclusively composed of specific international actions resisting well to the crises. We
established a precise approach allowing an efficient allocation.
The first step consists in selecting particular sectors and defining all the shares in which
the manager can invest. This step was realized by the manager of the unit trust.
The second step consists in establishing projections on the future growths of the grossdomestic product (GDP) and the debts of various countries. The initial idea was to find amodel, relatively simple, allowing to simulate these macroeconomic variables. The choiceof the projection of the evolution of the debts is explained by the fact that we observed
an increasing impact of these on the GDP of countries. However, we did not find a simple
and satisfactory model ; we thus chose another way : the use of the advanced economic
indicators. We realized a study to test the reliability of the leading indicators of the OECD
(more exactly leading indicator composite - CLI), and to a lesser extent, the quality of theindicator of the Institut für Wirtschaftsforschung(IFO). We concluded that they werevery efficient, particularly for the United States, as showed in the table below. The firstcolumn indicates the number of periods of observed slowing down, the second and third,
the percentage of missed predictions and unimplemented predictions (MP and UP), thefourth the percentage of good predictions (GP) and the fifth the correlation between the
CLI and the GDP for each country.
Period [2000 ; 2005]

Période [2007 ; 2010]

Obs.

M.P.

U.P.

G.P.

Corr.

Obs

M.P.

U.P.

G.P.

Corr.

Germany

8

37

7

57

0,55

2

2

20

80

0,85

France

6

15

13

72

0,79

3

9

24

67

0,65

The United States

6

11

21

68

0,70

3

0

19

81

0,95

Japan

3

10

17

72

0,87

3

20

22

58

0,85

Table 2 – Summary of the predictive power of the CLI on the GDP by country
A drawback that we need to take into account is the fact that these indicators plana number of reversals too high. Furthermore, the results obtained for Germany are lessconvincing, that is why we also considered the IFO. Nevertheless, we retained these leading
indicators for the selection of the countries in which we wish to invest.
The third step aims at selecting a number of shares, approximately forty, by using amacroeconomic analysis. This part is essential to be in agreement with the principle ofmanagement of the unit trust. It represents an important qualitative step and allows not
to consider, for instance, the non liquid shares.
The fourth step consists in using the created ESG. We calibrated all the equations forthe forty values selected as well as for the four particular indexes to illustrate our work :CAC40 for France, DAX30 for Germany, SP500 for the United States and NIKKEI for

10

Japan. We obtained several projections. The graphs below represent the evolution expectedfrom the inflation in one year for the four countries :Figure 2 – One year inflation projection

At the end of this step, we obtainED the projections of all the selected assets. Let us
note that to model the equity price evolution of stock’s price, we model, on the one handthe dividend yield and, on the other hand, the amount of dividends. We can easily deduct
the evolution of the equity price by dividing the second by the first.
The fifth step of this process is the calculation of a relevant utility from the obtained
projections. Indeed, it is necessary to choose a formula of utility adapted to optimize inan effective way the asset allocation. We retained a combination of skewness and VAR in
one year or five years with a threshold of 5%. We made this choice because we did notwant to use the criterion average-variance which is not effective in times of crisis. Let us
note that the calculation of the utility does not constitute the heart of the study but isonly an application of the created model.
The most performing index with the chosen utility formula is the French index. Thisconclusion seems to coincide with our criterion of choice : indeed, the countries which
resist best the crises are the ones possessing successful automatic stabilizers. This data istranslated in curves by the coefficient of asymmetry : in the case of France, this coefficientis positive, which increases the utility of the index.

We can deduct from this study that the use of a process with jumps to model thevalue of assets is essential in the context of the increasing risks of the beginning of the
21st century. Besides, the application of process of management by scenarios appears to us
as a good compromise between all quantitative and all qualitative. Finally, let us precisethat this paper lies within a will to take into account shocks in the asset management
model. Several other studies could complete this study, such as : a precise implementationof rates model including a jump process with the use of martingales ; or the study of11different mathematical concepts, such as the use of copula to simulate a more accurate
correlation between residuals ; or whether, the add of an efficient property process. All thisideas could be thoroughly investigated in future papers.

121RésuméMots clés : générateur de scénarios économiques, risques croissants, crise économique,inflation, modélisation ARIMA, algorithme de Box et Tiao, loi Pareto hybride, optimisation de portefeuille.

L’objectif de ce mémoire est de présenter un générateur de scénarios économiques
construit à l’aide de modéles mathématiques à sauts et permettant la prise en compte descénarios centraux lors des projections.
Cette étude possède deux visées principales : d’un point de vue actuariel, nous introduisons la notion de sauts dans les générateurs de scénarios économiques, notion peu utiliséeen actuariat mais pourtant indispensable du fait de l’augmentation sensible du risque decrises majeures ; d’un point de vue financier, nous présentons une méthode d’optimisationde portefeuille en adoptant une gestion dite par les risques.
Ce mémoire a été réalisé dans le cadre d’un stage de fin d’études pour une sociétéde gestion indépendante, Diamant Bleu Gestion. L’étude proposée vise à améliorer
l’optimisation d’un fonds spécialisé dans la recherche de valeurs résilientes et géré selon
une approche à la fois macroéconomique et de sélection de valeurs. Nous proposons demodéliser la croissance économique et la croissance des dettes en étudiant notamment les
indicateurs avancés de l’OCDE pour faciliter l’approche top down ; le calcul de l’utilité
des titres, suite aux projections réalisées par l’intermédiaire du générateur de scénarios,s’intègre dans l’approche bottom up.
Le générateur de scénarios est construit à partir d’une structure de base en cascade,celle du modèle de Wilkie (1985), à laquelle plusieurs modifications sont apportées : intégration de sauts avec l’algorithme de Box et Tiao ; modélisation de la loi des résidus
par une loi Pareto Hybride ; considération de données mensuelles et modification de la
modélisation de l’inflation.
Dans les cinq premières parties de ce mémoire, nous présentons les outils théoriques
permettant de construire le modèle. Les parties suivantes portent sur la calibration etl’application du modèle créé.

2

3

Abstract
Keywords : economic scenario generator, economic crisis, inflation, ARIMA, Box and
Tiao’s algorithm, hybrid Pareto distribution, portfolio optimization.

The purpose of this document is to demonstrate how to create an economic scenario
generator which allows the user to include probability of crisis thanks to process withjumps.
This paper has two main objectives : from an actuarial point of view, we will try to
introduce the notion of the inclusion of jumps with the use of Box and Tiao’s algorithm
in temporal series. This is not frequently applied in actuarial science but this is, from ourpoint of view, essential in the current economic and politic context. From a financial pointof view, the aim is to help the optimization of an equity portfolio with the inclusion ofprobability of crisis.
The economic scenario generator is created for an investment fund of an independent
management company, Diamant Bleu Gestion. The investment fund is an international
equity one with a non-common management method. Indeed, the fund manager uses a
double approach. The first one is a top down approach to focus its investments on few
sectors : to quantitatively justify this step, we model the evolution of growth and debt’s
growth by studying the leading indicators proposed by OECD. The second one is a bottom
up approach to do the stock picking : the calculus of the use of each equity of the portfoliowith the economic scenarios generator represent a great help to monitor the portfolio.
To create our model, we will make use of the Wilkie model and his cascade structure.
Then, we will do two significant changes : we will modify the equation of inflation and wewill change the residuals modeling by using a new probability distribution : the hybrid
Pareto distribution.
In the firts five parts, we will introduce the useful theoretical tools needed to understandthe model. We will attach a particular importance to two notions : the Box and Tiao
algorithm and the hybrid Pareto distribution.
In the other parts, we will show the calibration of the equations and the results of ourstudy and we will discuss about potential improvements.

4

5

Remerciements
Avant toute chose, je tiens à adresser des remerciements à plusieurs personnes ayant
rendu possible la réalisation de ce mémoire de fin d’études.
Je souhaite remercier, en premier lieu, Arnaud Clément-Grandcourt, gérant de la SICAV
pour laquelle le modèle présenté est construit et président du jury de l’institut des actuaires, pour m’avoir permis de travailler avec lui sur un sujet au coeur de l’actualité,
pour avoir répondu à mes questions durant tout mon stage en me donnant des conseils
avisés et pour m’avoir suivi de près durant les six mois passés à Diamant Bleu Gestion.
Mes remerciements s’adressent également à toute l’équipe de Diamant Bleu Gestion, notamment Christian Jimenez, Hugues Le Maire et Jonathan Jimenez, respectivement président, directeur général et gérant, pour m’avoir accueilli au sein de leur entreprise etm’avoir aidé à surmonter certaines difficultés.
J’exprime également toute ma gratitude à mes enseignants de l’Institut de Statistiques del’Université de Paris qui m’ont permis d’acquérir les bases nécessaires à l’élaboration dece mémoire : en particulier, Michel Delecroix, directeur de l’ISUP ; Olivier Lopez, mon tuteur de stage qui m’a permis d’effectuer de sensibles améliorations ; et Jacques Chevalier,professeur de mathématiques financières, qui m’a transmis son goût pour la finance.
Enfin, j’adresse mes remerciements mais également mes excuses aux personnes qui m’ont
soutenu durant mon cursus scolaire et qui ne figurent pas dans les personnes sus-citées.

67

Sommaire
1 Introduction

11

1.1

Pourquoi s’agit-il d’un sujet central ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Les critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

La gestion en période de crises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4

1.3.1

Quelques mots sur la gestion prudente . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2

Les indicateurs avancés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Objectifs du mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Le générateur de scénarios de Wilkie
2.1

2.2

La structure du modèle de Wilkie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2

Les équations régissant le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Avantages, inconvénients et autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1

Avantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2

Inconvénients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3

Autres modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Les séries temporelles : modèles ARMA, ARIMA et SARIMA
3.1

3.2

16

25

Processus autorégressif et à moyenne mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2

Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Processus non stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2

Modèle ARIMA

3.2.3

Modèle SARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3

Les tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4

La méthodologie de Box et Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Intégration de sauts dans une série temporelle

34

4.1

Le contexte politico-économique mondial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2

Intégration de sauts en utilisant des lois uniforme ou de poisson . . . . . . . 36

8

4.3

4.2.1

Modification des paramètres des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2

Utilisation de la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

L’algorithme de Box et Tiao (1975) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1

Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2

Les différents types de sauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Modélisation des résidus des équations
5.1

5.2

42

Loi de Pareto généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.1.1

Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.1.2

Fonction quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Loi de Pareto hybride . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1

Généralités et densité de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.2

Contraintes sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.3

Fonction de répartition et fonction quantile . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Modélisation de l’inflation

46

6.1

Présentation des données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2

Application de l’algorithme de Box et Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2.1

Stationnarisation et différenciations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2.2

Désaisonnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2.3

Paramètres optimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6.2.4

Validation de la modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.3

Inclusion de sauts dans l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.4

Lissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Modélisation de la croissance et de la croissance des dettes
7.1

55

Modélisation de la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.1.1

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.1.2

Choix du modèle et calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.1.3

Indicateurs de l’OCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7.2

Indicateur IFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3

Modélisation de la croissance des dettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.1

Notion de solde primaire stabilisant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3.2

Modèle retenu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Calibrage du modèle et simulations
8.1

8.2

66

Données et calibrage des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8.1.1

Données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.1.2

Calibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Méthodes de simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9

8.3

8.2.1

Générateurs de nombres aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8.2.2

Générations de lois de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Projections et comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.3.1

Projections obtenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.3.2

Comparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Optimisation d’un portefeuille
9.1

77

Les indicateurs de risque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.1.1

Variance, skewness et value at risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.1.2

Calcul de la value at risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2

Actions résilientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.3

Fonction d’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

9.4

Méthode d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.4.1

Processus global d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

9.4.2

Calcul de l’utilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.4.3

Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

A Description des tests utilisés

91

B Critère du maximum de vraisemblance96

C Modèle de taux : Vasicek en termes HJM

97

D Résultats sur les indicateurs avancés

103

E Coefficients retenus pour calibrer les résidus

105

F Le bootstrap non paramétrique par blocs

106

10

Chapitre 1

Introduction
1.1

Pourquoi s’agit-il d’un sujet central ?

Les générateurs de scénarios économiques (GSE) sont utilisés à la fois dans les institutions financières et dans les compagnies d’assurance.
Pour les compagnies d’assurance, la projection des actifs permet d’assurer un pilotage technique cohérent : une des caractéristiques spécifiques aux compagnies d’assuranceétant d’avoir des passifs à long terme, la projection des actifs est indispensable, notamment pour la gestion dite actif-passif. Par ailleurs, les nouvelles normes réglementaires enassurance, notamment « Solvabilité 2 », imposent la génération de scénarios économiques.
En effet, pour être en conformité avec cette directive, une compagnie d’assurance doit êtreen mesure de générer des scénarios lors du calcul des provisions techniques relatives aux
engagements d’assurance contenant des options et garanties financières ainsi que lors del’estimation du capital de solvabilité par le biais d’un modèle interne.
Pour les institutions financières, les générateurs de scénarios économiques sont également utilisés, notamment pour réaliser des processus d’optimisation de portefeuille. En
effet, ils permettent aux investisseurs et aux gérants d’une part, de prendre des décisions
basées sur le passé et sur l’avenir ; d’autre part, de prendre des décisions plus rationnelles.
Ainsi, plus l’environnement est instable, plus les générateurs de scénarios économiquessont utiles car c’est en période de crises que la rationalité des investisseurs est remise encause.
Dans la période de crises à répétition que nous traversons, il parait donc clair que laréalisation d’un générateur de scénarios économiques incluant des probabilités de crises
est un sujet d’actualité à la fois pour les compagnies d’assurance et pour les institutions
financières.

1.2

Les critiques

Par définition, un générateur de scénarios économiques, en tant que modèle, permet deproduire des représentations simplifiées d’une réalité dont la complexité et l’imprévisibilité

11sont inépuisables. A ce sujet, de nombreux auteurs et statisticiens ont exprimé des critiques
et des réserves, comme en témoignent les quelques citations suivantes :– Tous les modèles sont faux, certains sont utiles. (Georges Box)
– Un modèle simple est toujours faux ; un modèle complexe est inutilisable. (Paul
Valéry)– La statistique est l’art de préciser ce qu’on ignore. (Adolphe Thiers)
Ces citations traduisent le fait que les projections obtenues à l’issue de ce mémoire
ne seront pas la prévision de la réalité : on pourra conclure que les projections obtenues
seront proches des résultats réels, sous une certaine probabilité. La réticence de plusieurs
personnes à l’égard de l’utilisation de modèles est souvent dû au fait qu’ils sont assimilésà des boites noires. Pour éviter cette critique, nous nous efforcerons d’être le plus transparent possible tout au long de ce mémoire.
Par ailleurs, nous devons admettre que nous sommes contraints de considérer un cadred’étude qui n’est en fait pas la réalité et que pour modéliser le futur, on se repose en grandepartie sur le passé car il s’agit des seules informations que l’on possède. Actuellement, dansl’environnement à risques croissants de ce début de XXIème siècle, du fait notamment del’émergence de la Chine, il semble légitime de penser que le passé ne présage pas de l’avenir
ou du moins, qu’il est nécessaire d’utiliser des informations exogènes au cadre initial pourque les projections obtenues soient fiables.
Afin de répondre à ces différentes critiques, nous proposons dans ce mémoire de créer
un générateur de scénarios économiques relativement simple et permettant à l’utilisateurd’intégrer des probabilités de crises, déterminées à partir de données exogènes et conjoncturelles

1.3

La gestion en période de crises

En période de crises, différents types de gestion sont à proscrire. Nous souhaitons
tout d’abord rappeler quelques notions fondamentales de la gestion en période de crises.
Le deuxième paragraphe de cette partie sera consacré à l’introduction des indicateurs
avancés qui s’avèrent très utiles dans ce type d’environnement.

1.3.1

Quelques mots sur la gestion prudente

Ce mémoire étant consacré à la prise en compte de crises, il nous semble nécessaired’évoquer quelques principes fondamentaux de la gestion à adopter sans lesquels l’interprétation des projections réalisées serait trompeuse. En effet, comme le dit ArnaudClément-Grandcourt dans [2], anticiper une crise est vraiment très difficile et il est dangereux de s’illusionner sur le sujet. L’examen critique des crises, a posteriori, permet decomprendre certains comportements irrationnels de gérants et d’éviter certains écueils. En
temps de crise, trois méthodes de gestion sont envisageables :– Adopter une philosophie prudente dans les marchés baissiers basée sur la gestion desrisques et la diversification en valeurs résilientes (nous définirons cette notion dans12le dernier chapitre),– Privilégier les investissements dans les fonds gérés par des gérants qui ont été habiles
dans les cas précédents,– S’efforcer d’être dans les trois premiers déciles du troupeau des concurrents.
Un gérant prudent est un gérant qui limite le nombre et l’importance de ses erreurs
en prenant des risques mesurés après avoir bien pris en compte tous les paramètres et qui
ne surestime pas sa capacité de prévision et de compréhension des évènements. La gestion
benchmarkée, trop proche de la gestion indicielle, est donc à éviter par manque de valeur
ajoutée. C’est pour mieux évaluer les risques et pour faire mieux que le benchmark que
nous construisons le générateur de scénarios économiques.
Par ailleurs, il faut noter que la méthodologie prudentielle progresse du fait des crises :augmentation du nombre de scénarios, contrôle des risques ordinaires (due diligence, bestpractise), contrôle des risques qui sortent de l’ordinaire (stress scénarios), contrôle desrisques extrêmes (worst case scenarios). Cette méthodologie va continuer de se développer
du fait de la difficulté à maitriser la spéculation et les crises. Notre générateur de scénarioséconomiques s’inscrit dans cet environnement et vise à augmenter le nombre de prises dedécisions prudentes et rationnelles.
Dans ce contexte de crises, il est néanmoins nécessaire de garder à l’esprit qu’être prudent nécessite parfois d’être offensif comme le résume parfaitement cette citation : a good
offense is sometimes prudent. Les gérants contrariants de Boston et d’Edimbourg sonthardis mais néanmoins prudents.
Pour faciliter une prise de décision cohérente et rationnelle, le recours aux indicateurs
avancés peut être d’une grande efficacité.

1.3.2

Les indicateurs avancés

En introduction, nous souhaitons également évoquer l’utilisation d’indicateurs économiques dont l’évolution reflète avec un peu d’avance celle de l’économie réelle. En périodede crises, les indicateurs avancés permettent d’anticiper des retournements de conjoncture
et de modifier, par exemple, la composition de son portefeuille. Cependant, le nombre demois d’avance dépend de l’indicateur choisi et il est nécessaire de tester sa fiabilité en période de crises. Nous présenterons les indicateurs que nous proposons d’utiliser au chapitre
sept de ce mémoire, leur place dans la stratégie d’optimisation de portefeuille ainsi queleur fiabilité en période de crise.
Actuellement, les indicateurs les plus couramment utilisés sont l’indice des prix à laconsommation ou à la production, l’indice de production industrielle ainsi que la balance des paiements. Nous verrons que l’on retient les Composite Leading Indicator (CLI)
construits par l’OCDE, qui n’ont pas manqué de récession mais qui prévoient un nombre
de ralentissements trop important. Nous nous intéresserons également à l’IFO qui est untrès bon prédicteur de l’évolution de l’économie allemande.
13

1.4

Objectifs du mémoire

L’objectif de ce mémoire est de réaliser un générateur de scénarios économiques basé
sur le modèle de Wilkie, dans sa première version de 1985. Nous proposons une méthodepermettant la prise en compte de crises majeures telles qu’une baisse brutale de l’inflationou un choc pétrolier ou encore un choc alimentaire impliquant de l’inflation... Nous allons
remplacer un unique GSE par plusieurs GSE pondérés. Le but de cette démarche est dediminuer le nombre de scénarios totalement impossibles en considérant d’une part que desGSE spécialisés produisent des scénarios plus réalistes que des GSE généraux et d’autre
part qu’un seul GSE avec équipondération des scénarios conduit à une trop forte influence
du passé. Les GSE créés seront pondérés à l’aide d’indicateurs avancés.
Par ailleurs, notons qu’un modèle autorégressif à sauts permet d’élargir les possibilités d’anomalies et donc la gamme des scénarios. L’inclusion de sauts dans les équations,permettra la prise en considération de crises extraordinaires : c’est ici que se trouve lapart de l’originalité de ce mémoire. Cette notion a été introduite par Taleb dans [21] et
est devenue incontournable, dans le contexte actuel.
Les cinq types de crises que l’on souhaite modéliser sont les suivants :– Générer des crises extraordinaires et les crises induites ultérieurement parmi un catalogue de crises envisageables c’est-à-dire des cygnes noirs suivis de papillons noirs : cegenre de crise ne peut être prévue ; par contre les crises induites sont envisageables. Il
peut s’agir de crises économique, financière, bancaire, sociale, de crise inflationniste
en plusieurs épisodes (stop and go) ou encore de crise d’endettement.
– Générer des accidents inflationnistes ou plus généralement des chocs envisageables
c’est-à-dire des papillons noirs : choc alimentaire, monétaire, pétrolier avec des conséquences sociales...
– Générer des récessions ordinaires– Générer une période de réduction de dettes sans restructuration, sans défaut ni crise
sociale c’est-à-dire une déflation à la japonaise.
– Générer une période de réduction des dettes avec restructuration aléatoire, récessions, crises sociales et bancaires.
Afin de pondérer les GSE créés, nous avons étudié la possibilité d’utiliser différentes méthodes :– Attribution subjective d’une probabilité pour pouvoir utiliser les GSE, agrégation
bayésienne.
– Attribution de pondération en se référant à des indicateurs avancés de conjoncture,des indicateurs globaux de l’OCDE et de l’IFO, des indicateurs d’inflation et d’aversion au risque.
L’attribution de probabilités à chaque GSE est délicate c’est pourquoi elle ne constituera pas l’objet central du mémoire. En effet, cette étape possède intrinsèquement une
part de subjectivité. C’est la raison pour laquelle nous nous contenterons de présenter laconstruction du générateur de scénarios à sauts et que nous ne nous attarderons pas sur
14

l’attribution des probabilités.
Par ailleurs, l’optimisation d’un portefeuille est délicate et est soumise à l’appréciation
de l’utilisateur. En effet, le choix de la fonction d’utilité utilisée peut être discuté. Nous
verrons, dans le dernier chapitre, la fonction d’utilité retenue et la démarche mise en place.
Nous justifierons les choix réalisés. Toutefois, cela ne représente pas le coeur du mémoire.
Les quatre chapitres qui suivent visent à introduire les notions théoriques nécessaires à
la construction du GSE. Dans le chapitre suivant, nous présentons les équations régissantle générateur de Wilkie. Dans le chapitre trois, nous étudions les outils relatifs aux séries
temporelles. Les chapitres quatre et cinq s’intéressent respectivement à l’inclusion de sauts
dans une série temporelle et à la présentation d’une distribution originale, la loi de Pareto
hybride.
Les chapitres six, sept et huit seront consacrés à la construction de notre GSE : nous
présenterons le modèle retenu pour l’inflation, pour la croissance ainsi que le calibrage desdonnées et les simulations obtenues.
Enfin, le dernier chapitre est un exemple d’application du modèle créé : nous optimisons un portefeuille d’actions en mettant en place une démarche de recherche d’actions
résilientes.

15

Chapitre 2

Le générateur de scénarios deWilkieLes premières tentatives actuarielles de modélisation de scénarios économiques proviennent des travaux de David Wilkie, actuaire écossais. Il s’agit d’un modèle en cascadedans lequel l’inflation joue un rôle central : toutes les valeurs des autres variables dépendent de l’inflation. Dans la première version du modèle, datant de 1985, l’inflation est
modélisée par un processus autorégressif d’ordre un ; dans la seconde, celle de 1995, Wilkie
la modélise par un processus plus complexe, un modèle autorégressif et conditionnellement
hétéroscédastique (ARCH). Nous allons ici présenter le modèle dans sa version la plus ancienne.
Dans ce chapitre, nous allons dans un premier temps, rappeler les équations utilisées par
Wilkie. La littérature étant abondante à ce sujet, nous invitons le lecteur à se reporter àla bibliographie pour trouver des informations supplémentaires sur ce générateur notamment [1], [20] et [3].
Dans un second temps, nous allons présenter les avantages du modèle de Wilkie par rapport
aux autres ainsi que les différentes critiques à l’égard de ce modèle.

2.1

La structure du modèle de Wilkie

2.1.1

Généralités

En 1985, Wilkie publie [25] dans lequel il décrit un modèle intégré. Ce premier modèle
se singularise par une modélisation des prix des actions à partir des taux et des montantsde dividendes. Ce modèle inclut par ailleurs le taux d’inflation et les taux d’intérêt à longterme.
Le modèle de Wilkie repose sur cinq variables fondamentales :– Qt : L’indice des prix à la consommation– Dt : L’indice du montant des dividendes– Yt : L’indice du rendement des dividendes– Ct : Le taux d’intérêt à long terme– Bt : Le taux d’intérêt à court terme16Comme nous l’avons indiqué en introduction, ce modèle possède une structure en cascade dont la variable centrale est l’inflation. En effet, ce modèle part du constat que letaux d’inflation permet de retrouver l’ensemble de l’état du marché. Ainsi, les équations
qui accompagnent ce modèle permettent de retrouver les prix des actions, de l’immobilier... C’est la raison pour laquelle nous avons souhaité apporter une attention particulièreà l’équation de l’inflation afin de l’adapter à la période actuelle. En effet, le processus
autorégressif sur le taux d’inflation continu proposé par David Wilkie nous paraît peu
adapté à nos données. Nous développerons plus précisément ce point dans le chapitre six.
La figure 2.1 illustre la structure du modèle en cascade de Wilkie et le rôle fondamental
de l’inflation :Figure 2.1 – Modèle de Wilkie (1985)

2.1.2

Les équations régissant le modèle

Détaillons, variable par variable, les équations régissant le modèle de Wilkie dans sa
version de 1985.
Inflation
Le processus d’inflation est modélisé par un modèle autorégressif d’ordre un :It − Im = αI × (It−1 − Im ) + σI × I,t
Avec :– It = ln(Qt /Qt−1 ) : taux d’inflation continu– Im : inflation à long terme– αI : coefficient de retour à la moyenne– σI : écart type du bruit– I,t : bruit suivant une loi gaussienne centrée et réduite
17Les paramètres de cette équation sont estimés par maximum de vraisemblance conditionnelle. Cet estimateur correspond en réalité à l’estimateur des moindres carrés ordinaires. Le calibrage de cette équation ne pose donc pas de problème majeur.
Actions
Le processus des actions est modélisé en utilisant deux processus :– le processus de rendement des dividendes– le processus de montant des dividendes
On en déduit aisément le prix de l’action en divisant le second par le premier.
Processus de rendement des dividendes
Wilkie suppose que le rendement des dividendes suit le processus suivant :yt − ym = αY × It + βY × (yt−1 − ym ) + σY × Y,tAvec :– yt = ln(Yt ) où Yt est l’indice du rendement des dividendes– ym : logarithme du rendement des dividendes à long terme– It : taux d’inflation continu– αY : taux de corrélation entre inflation et rendement des dividendes– βY : taux de retour à la moyenne du rendement des dividendes– σY : écart type du bruit Y,t suivant une loi gaussienne centrée réduite.
Nous pourrons estimer les paramètres de cette équation en réalisant une régression sur
l’inflation continue et sur les valeurs retardées du processus.
Processus de montant des dividendes
Le modèle du montant des dividendes est le suivant :dt − dm = αD × It + βD × Mt + µD × σY × Y,t−1 + ξD × σD × D,t−1 + σD × D,tAvec :t– dt = ln( DDt−1) où Dt est l’indice du montant des dividendes– dm : taux de croissance de long terme du montant des dividendes– It : taux d’inflation continu– Mt : lissage exponentiel du taux d’inflation continu– αD : taux de corrélation entre inflation et montant des dividendes– βD , µD et ξD et : coefficients à estimer– σY et σD : écart type des bruits respectivement Y,t et D,t .
Obligations
Wilkie propose une modélisation pour les taux d’intérêt long terme et court terme. Des
taux long terme, on déduit aisément les taux court terme.

18Taux longs
Ct = αC × Mt + RCt
Avec :– Mt : lissage exponentiel du taux d’inflation continu– RCt = RCm × exp(NRC,t )– NRC,t = αRC × (RCt−1 − RCm ) + βRC × (RCt−2 − RCm ) + γRC × (RCt−3 − RCm ) +µRC × σY × Y,t + σRC × RC,t
Taux courts
Dans le modèle Wilkie, le lien de causalité entre les taux court terme et les taux longterme est exprimé par l’équation suivante :ln(Bt ) = ln(Ct ) + BNt
BNt − BNm = αB × (BDt−1 − BDm ) + µB × σRC × RC,t + σB × B,tAvec les mêmes notations que précédemment.
Dans la suite de notre mémoire, nous ne nous intéresserons pas aux deux processus
de taux. En effet, d’une part la modélisation proposée par Wilkie nous semble inadéquate
avec ce que nous souhaitons modéliser ; d’autre part, l’objectif final de ces travaux est
d’optimiser un portefeuille d’actions internationales. Si la modélisation des taux avait été
nécessaire, nous aurions privilégié l’utilisation du modèle Health-Jarrow-Morton (HJM),
ce modèle paressant plus adapté que celui de Wilkie dans la mesure où il permet de simulerl’ensemble de la courbe des taux, à toutes les dates. Par ailleurs, nous aurions privilégié ce
modèle car il reste relativement simple. Nous décrivons ce modèle en annexe, en proposanttrès brièvement une adaptation à la structure de Wilkie.
De la même façon, si la modélisation des actifs immobiliers avait été nécessaire, nous
aurions étudié la possibilité d’utiliser deux modèles :– un premier modèle autorégressif pour modéliser l’évolution des loyers ; en effet, on
remarque que les indices de loyer sont peu volatiles.
– un modèle plus complexe pour modéliser l’évolution de la valeur du capital : en effet,
on observe que les modèles simples et sans sauts donnent des résultats peu probants.

2.2

Avantages, inconvénients et autres modèles

Le modèle de Wilkie est un modèle économétrique, calibré à partir de données historiques, selon des méthodes de séries temporelles. Le choix des équations du modèle doit
répondre au double objectif de réalisme, qui nécessite une spécification en adéquation avec
les données historiques, et de simplicité, qui exige une spécification relativement simple
pour le temps de calcul et la lisibilité des résultats des simulations.

192.2.1

Avantages

Deux des avantages majeurs du modèle de Wilkie sont les suivants : d’une part, il s’agit
d’un modèle simple, car comme nous l’avons vu ci-dessus, les équations régissant le modèle
ne présentent aucune complexité mathématique ; et d’autre part, ce modèle est complet,
car il est possible de modéliser toute sorte d’actifs : actions, obligations ou immobiliers.
Par ailleurs, comme nous l’avons rappelé, il s’agit d’un modèle en cascade : selon nous, il
est clair que pendant les crises (ce qu’on souhaite prévenir), les modèles par corrélation
sont beaucoup plus instables (par exemple le modèle d’Ahlgrim).
De plus, ce modèle est caractérisé par une autre qualité : la possibilité de l’améliorer
facilement tout en conservant la même structure. C’est d’ailleurs ce qu’on propose de fairedans ce mémoire : nous gardons la structure de base du modèle mais nous proposons certaines améliorations.
En outre, une étude rétrospective a été réalisée sur ce modèle [26] afin de tester sa robustesse. Elle conclut que le modèle de Wilkie est plus performant dans sa première version(1985) que dans sa deuxième (1995). Pour cette raison, nous nous intéresserons au modèle
dans sa forme initiale.
Enfin, la littérature abondante sur ce modèle permet d’éviter certains écueils et permetà ce modèle d’évoluer.

2.2.2

Inconvénients

Les critiques relatives au modèle de Wilkie portent essentiellement sur la spécification
et la qualité de l’adéquation du modèle. Nous nous limiterons à rappeler les principaux
problèmes liés à l’utilisation du modèle de Wilkie, le lecteur pouvant trouver un détail
précis des inconvénients dans [3].
Plusieurs actuaires anglais ont fortement critiqué le modèle : citons notamment Kitts(1990), Huber (1995) et Geoghegan et al. (1992). Les critiques portent principalement surdeux éléments :La spécification du modèle et la dépendance aux paramètres initiaux
Huber (1995) souligne la surparamétrisation du modèle de Wilkie qui implique une forte
dépendance des résultats aux paramètres de calibrage initiaux. Les processus comportant
un retour à la moyenne et le choix de la moyenne conditionnent les résultats futurs et les
projections. Ainsi, les choix de spécifications doivent être faits avec prudence.
Les biais liés à l’estimation
Kitts (1990) montre que la série d’inflation, initialement utilisée par Wilkie, n’est pas
stationnaire. De ce fait, il critique le choix de modéliser la série d’inflation par un processus
autorégressif d’ordre un.
Geoghegan et al. (1992) montrent que les résidus du modèle ne respectent pas les
hypothèses de normalité, d’indépendance et de variance constante. La distribution des20

résidus est asymétrique et leptokurtique et les résidus présentent des périodes de forte
volatilité, alternant avec des périodes de faible volatilité.
Enfin, Huber(1995) montre que le modèle de Wilkie est biaisé par quelques donnéesaberrantes correspondant à des années de forts chocs inflationnistes en Grande Bretagne(1920, 1940 et 1974). Si ces années sont exclues de la régression, le coefficient de corrélation
entre rendement des dividendes et inflation n’est plus significatif.
Des critiques théoriques du modèle sont également prononcées. En effet, le modèlede Wilkie est avant tout empirique et deux hypothèses centrales, au XXème siècle, de lathéorie économique ne sont pas respectées : l’efficience des marchés financiers et l’absenced’opportunité d’arbitrage. Cependant, il s’avère que ces deux critiques sont remises encause en période de crises et que la plupart des modèles de gestion d’actifs ne respectent
pas ces deux principes.
Les améliorations que l’on va apporter au GSE consiste à répondre aux différentes
critiques pour améliorer le modèle initial. Nous sommes conscients que d’autres modèlesétaient envisageables mais nous avons choisi le modèle de Wilkie qui constitue selon nous,
un bon arbitrage entre complexité statistique et rapidité de simulation. Rappelons en
outre que la complexité des extensions statistiques améliore l’adéquation au passé sansnécessairement améliorer la qualité de la prévision.
Par ailleurs, dans la mesure où nous souhaitons réaliser des projections sur un an ou
cinq ans, l’utilisation de ce modèles est tout à fait justifiable. Avant de présenter les outils
théoriques utilisés dans ce mémoire, nous présentons, dans le paragraphe suivant, les autres
modèles que l’on aurait pu choisir.

2.2.3

Autres modèles

Certains actuaires proposent des modèles alternatifs intégrant les dernières avancéesdes méthodes de séries temporelles. Pour cette partie, nous vous invitons à consulter lemémoire de Charles Keita [12] qui a réalisé une comparaison des modèles qui existentactuellement. Avec son autorisation, nous nous sommes inspirés du tableau de synthèse
présent dans son mémoire. Les tableaux suivants récapitulent les modèles existant, leursavantages et leurs inconvénients :

21

22

ALM, en cascade

Modèle de Kauf-deModèle de l’AAA

Jarrow-Yildirim

Modèlemer adaptéd’équi-

Modèle Black etlité stochastiqueetstochastiquevolatilité

Scholes à volati-

libre à 3 facteurs

Table 2.1 – Comparaison des modèles (1/3)

tion

corrélation

Modèlelittératuredétermi-taux

adaptés pour lestion et processus

Modélisation ac-

abondanteniste,

duprocheRobuste, modèle

taux nominaux

Pas de modélisa-

va-

modèlelesliens

taux à 2 facteurs

riables,

entre

Simplicité,

beaucoup de pa-

tions possibles

browniensd’inflation,complexe,

stochastiqueaucune cohérence

très

lité

modèle à volati-Pas

autres actifs

modélisation descorrélés, pas detrois

taux, calibrage demodélisation desParamètres figés,

tion

modélisation ac-

Paramètres figés,

ramètresmodèle inflation,

Paramètres figés,

Inconvénients

riables, améliora-

Liens entre les va-

Avantages

moins

HJM

Black et Scholes

tion

tion

HJM

Déduit de l’infla-

Modèle - action

Déduit de l’infla-

Modèle - Taux

entre taux réels etTaux de change

court-terme

Déduit des tauxAR(1)Modèle - inflation

ALM et lien par

ALM, en cascade

ALM, en cascade

Modèle de Wilkie

man, Klett, Gad-

Type de modèle

Modèle23

Modèle VAR

Koelherrio, Benhamou etModèle de Mercu-

SOA-CAS

multi-varié

ALM et Modèle

Modèle de marché

dèle de marché

inflation et mo-

Modèle spécifiquelaModèledeType de modèle

ModèleARMA

compteNonprisdeux facteursenHull et White à

Modèle - Taux

ARMA

compteNonrégimespris

en

Log normale à 2Modèle - action

Table 2.2 – Comparaison des modèles (2/3)

ARMA

modèle LMM

Analogie avec leUlhenbeck

Ornstein-

Modèle - inflation

les

cohé-

paramètres figés

lisation

touteslaàramètresmodélisation

outils propres auxséries temporellesgaussienne

paramètres,

rence, neutralité,

Beaucoup

immobilier

figés,

pa-desation action etmodéli-neutre,probabilitédepas

déterministelarisqueSimplicité, cohé-

gré

sur

terme,

gré, étude sousdonnées

Calibragebuste, éloigné duro-courbedéformations
inflation,

de

les

Autorisenon-gaussienne

actionlede taux, modé-longterministel’inflation, modèle

survaut à du dé-équi-actions, Ornstein-

avec

de

pour les taux et

actif,

rence

Pas

Ulhenbeckchaqueadaptés

spé-

Inconvénientscohérence assuréeà

cifiques

Processus

Avantages

24Modèle STAR

Modèle SETAR

Modèle TAR

Table 2.3 – Comparaison des modèles (3/3)

ARMATransitions lisses,séries temporelles

ARMA

ment de régime

ARMA

outils propres aux

multi-

réalisteéconomiquement

varié à change-

Modèlede transition

temporelles,

ries

de

probabilitésde transitiondesculté d’estimation

paramètres, diffi-

Beaucoup

probabilitésdespropres aux sé-deparamètres, diffi-

Beaucoupculté d’estimation

pour

Distribution non
les actifs, outils

ARMA

ment de régime

ARMA

normalemulti-

quement réaliste

porelles, économi-

varié à change-

Modèlerégimetifs, outils propres
aux séries tem-de changement dedeparamètres, para-

Beaucoupmale pour les ac-

Traduit des sauts

mètres figés, pas

ARMAde transition

propres aux séries
temporelles

desabondante, outils

probabilités

culté d’estimation

temps, littératuredeparamètres, diffi-

Beaucoup

Inconvénients

rélations dans le

Evolution des cor-

Avantages

bution non nor-

ARMA

ARMA

Modèle - action

ment de régime

ARMA

ARMA

Modèle - Tauxde marché, distri-

ARMA

ARMA

Modèle - inflation

varié à change-

Modèlemulti-

ALM et Modèle

Modèle VECM

multi-variéType de modèle

ModèleChapitre 3

Les séries temporelles : modèles
ARMA, ARIMA et SARIMA
Ce chapitre a pour objectif d’introduire les notions qui vont être ultérieurement utilisées. Pour construire un générateur de scénarios, le recours aux séries temporelles est
indispensable. En effet, nous disposons de séries de nombres qu’il convient d’analyser afinde définir la modélisation la plus adaptée à notre utilisation. Ainsi, la modélisation retenue
pour mettre au point des prévisions sera différente de celle utilisée si l’on souhaite modéliser seulement. Par ailleurs, le principe de parcimonie, visant à éviter un surparamétrage
du modèle retenu, doit être adopté.
Dans une première partie, nous rappellerons la définition d’un processus autorégressif età moyenne mobile ainsi que les méthodes existantes pour estimer les paramètres d’un tel
modèle.
Dans une seconde partie, nous introduirons la notion de processus sur les séries non stationnaires. Nous invitons le lecteur à consulter attentivement cette partie car nous avons
utilisé ces méthodes pour modéliser l’inflation, comme nous le verrons dans le chapitre six.
Dans une troisième partie, nous présenterons les tests utilisés lors de nos travaux pour vérifier la pertinence de notre modélisation. Lors de la modélisation d’une série temporelle, denombreux tests sont indispensables pour vérifier la qualité de la modélisation : ainsi nous
présenterons successivement les tests de stationnarité, d’indépendance et de normalité.
Dans une quatrième partie, nous évoquerons la méthodologie de Box et Jenkins, très efficace pour choisir, en fonction d’un critère de choix, le modèle le plus adapté pour modéliser
une série temporelle.

3.1

Processus autorégressif et à moyenne mobile

3.1.1

Définitions

Nous rappelons ici brièvement les définitions de différents processus temporels : unprocessus autorégressif, un processus à moyenne mobile et enfin un processus autorégressifet à moyenne mobile, que l’on abrège avec le sigle ARMA. Nous introduisons des notations
que l’on utilisera dans la suite du mémoire. Ces processus jouent un très grand rôle dans lamodélisation statistique des séries temporelles. Ils ont été popularisés par Box and Jenkins(1976) qui ont développé une démarche claire permettant de déterminer les paramètres
25

d’un processus. Ils permettent une représentation relativement parcimonieuse des séries
temporelles stationnaires. Avant de présenter globalement un processus ARMA, arrêtonsnous sur ses deux composantes en définissant les processus autorégressifs (AR) puis lesprocessus à moyenne mobile (MA).
Processus autorégressif Ces processus jouent un rôle important dans les applications
car ils peuvent être extrapolés linéairement à partir de p valeurs précédentes, à un bruitblanc près. Mathématiquement, cela se traduit par une expression de la forme suivante :
Xt =

p
X

ai Xt−i + t

i=1

En utilisant l’opérateur retard B, ce processus s’écrit de la manière suivante :A(B)Xt = toù A est le polynôme de degré p possédant les coefficients ai définis ci-dessus.
Processus moyenne mobile Il s’agit des processus vérifiant l’équation suivante :
Xt =

q
X

bi t−i = Θ(B)ti=1

où Θ est un polynôme de degré q dont les coefficients sont les bi . Dans un tel modèle, on
suppose que l’influence des chocs passés se manifeste au travers d’une fonction linéaire.
L’appellation de ce modèle, moyenne mobile d’ordre q, est due à Xt , moyenne mobile
appliquée aux variables aléatoires t . Le terme « moyenne » doit être pris dans un senstrès large dans la mesure où la somme des coefficients n’est pas nécessairement égale à un.
Processus ARMA

Supposons que X est un processus stationnaire au second ordre etcentré. Le lecteur consultera le paragraphe sur les séries stationnaires pour trouver une
définition précise de ces notions. Un processus ARMA(p,q) s’écrit de la manière suivante :pX

ai Xt−i =

i=1

q
X

bi t−i i.e

i=1

A(B)Xt = Θ(B)t
Afin de déterminer les degrés optimaux des polynômes A et B, Box et Jenkins ont
proposé une méthodologie. Nous la décrivons dans la dernière partie de ce chapitre.

3.1.2

Estimation

En général, pour estimer les paramètres d’un modèle, il est naturel de chercher àcalculer l’estimateur du maximum de vraisemblance. Cette dernière est toutefois difficile
à calculer. Si on suppose que le bruit blanc est gaussien, il s’agit en effet de calculer :Lξ,σ2 =1

1
exp(− x0 Rn−1 x)2(2π) (detRn )
n
2

1
2

26

où ξ = (a1 , a2 , ..., ap , b1 , ..., bq ) est le vecteur des paramètres, Rn est la matrice deToeplitz à l’ordre n et x = (x1 , ..., xn ) sont les valeurs observées de la série ; n est donc lenombre d’observations, qui peut être très grand. Il s’agit de calculer les valeurs de ξ et σ 2
qui rendent la quantité ci-dessus maximale. Cette opération est délicate eu égard au calcul
de l’inverse de la matrice de Toeplitz.
Plusieurs méthodes numériques, notamment de type récursif, ont été développées pourmener à bien le calcul de l’estimateur et ont donné lieu à une abondante littérature en lien
avec les séries chronologiques. Par ailleurs, la plupart des logiciels statistiques possèdent,
déjà programmé, ce genre de calcul, c’est pourquoi nous ne les décrirons pas ici.
Pour un processus autorégressif, on montre que la méthode de Yule-Walker est la plus
performante. Notons qu’il est également possible d’utiliser la méthode des moindres carrésconditionnels.

3.2

Processus non stationnaires

Comme nous l’avons indiqué dans le paragraphe précédent, la modélisation par un
ARMA nécessite que la série à modéliser soit stationnaire. Nous présentons ci-dessous
deux modèles pour les séries non stationnaires.

3.2.1

Définitions

Tout d’abord, rappelons les définitions de la stationnarité au sens fort et au sens faible.
Stationnarité au sens fort
Une série temporelle, à valeurs réelles et en temps discret (Xt )t∈N est dite stationnaire
au sens fort si pour toute fonction f mesurable, on a :∀(t, k, n) ∈ N3 , f (Xt , ..., Xt+n ) et f (Xt+k , ..., Xt+k+n ) ont même loi.
Stationnarité au sens faible (ou au second ordre)
Soit un processus temporel à valeurs réelles et en temps discret (Xt )t∈N . Il est dit
stationnaire au sens faible (ou de second ordre) s’il vérifie les trois propriétés suivantes :






E[Xt ] = µ < ∞∀t ∈ NE[Xt2 ]∀t ∈ N

Cov[Xk , Xk+t ] = Cov[X0 , Xt ]<∞∀(t, k) ∈ N2

Nous allons présenter à présent deux modélisations pour les processus non stationnaires.

3.2.2

Modèle ARIMA

Le terme ARIMA est un terme anglais signifiant AutoRegressive Integrated Moving
Average. Un processus X est un processus ARIMA(p,d,q), s’il existe un entier naturel d27tel que le processus Yt = (1 − B)d Xt est un ARMA(p,q). Autrement dit, il existe deux
polynômes A(z) et C(z) de degré respectif p et q et un bruit tels que :(1 − B)d A(B)Xt = C(B)t
En réalité l’opérateur ∆ = (1 − B) permet de stationnariser la série en éliminant les tendances. Le paramètre d est défini en réalisant des tests de stationnarité. En général, il estégal à un ou deux.
Cependant, certaines séries ne sont pas modélisables de façon parcimonieuse avec untel processus : il s’agit des séries possédant une saisonnalité. En effet, il est possible decapter l’autocorrélation saisonnière, en considérant un ARIMA avec des ordres élevés (del’ordre de douze par exemple pour une saisonnalité annuelle si l’on considère des données
mensuelles), mais cela nécessite l’estimation de toutes les autocorrélations intermédiaires
qui ne sont parfois pas significatives. Ainsi, la modélisation obtenue est très biaisée etsouffrira vraisemblablement d’un problème de surparamétrisation.
De ce fait, généralement, le recours à une structure plus générale, incluant stationnarité,
tendance et saisonnalité, est requis : il s’agit des modèles SARIMA. Le paragraphe suivant
présente ces modèles permettant de capter la saisonnalité tout en restant fidèle au principede parcimonie.

3.2.3

Modèle SARIMA

Le terme SARIMA est un terme signifiant Seasonnal AutoRegressive Integrated Moving
Average. On suppose que la série satisfait l’équation :(1 − B)d (1 − B s )D A(B)φ(B s )Xt = C(B)Θ(B s )tOù p, P, d, s, D, q, Q sont des entiers naturels inconnus. Les polynômes A(z), φ(z), C(z)et Θ(z) sont à coefficients inconnus.
Chaque terme à une signification précise :– d : différence. Ce coefficient est le même que celui de l’ARIMA, il correspond au
nombre de différenciations nécessaires pour que la série à modéliser devienne stationnaire.
– s : saison. Permet de capter la saisonnalité du processus.
– D : différence saisonnière.
– A(z) et φ(z) correspondent à la partie autorégressive du processus respectivement
pour la partie non saisonnière et saisonnière.
– C(z) et Θ(z) correspondent à la partie moyenne mobile du processus respectivement
pour la partie non saisonnière et saisonnière.
La modélisation d’une série temporelle par un tel processus s’avère parfois judicieux.
Nous verrons dans le chapitre six que pour modéliser l’inflation, nous avons considéré unprocessus de cette forme.

28À présent, nous présentons les tests dont nous nous sommes servis pour calibrer leséquations.

3.3

Les tests

Tests de stationnarité
Comme nous l’avons évoqué ci-dessus, un des points fondamentaux concernant les séries
temporelles est de savoir si celles-ci sont stationnaires ou non. Si elles ne le sont pas, lesséries ne sont pas modélisables par un processus ARMA, sauf si elles sont stationnarisées
en amont de la modélisation.
Ainsi, avant toute modélisation, il convient de tester la stationnarité de la série. Différents
tests sont à notre disposition, nous allons évoquer brièvement les tests utilisés. Une description plus précise est réalisée en annexe.
Tout d’abord, il existe une catégorie de tests appelée les tests de racine unitaire. Ils permettent de déceler la présence d’une racine supérieure ou égale à l’unité dans le polynôme
caractéristique du processus. Il s’agit des tests de Dickey-Fuller et de Dickey-Fuller augmenté.
Par ailleurs, le test de Philipps Perrond peut être également utilisé : en effet, Phillips et
Perrond proposent une correction au test de Dickey-Fuller simple afin de régler le problèmede l’autocorrélation et de l’hétéroscédasticité des erreurs.
Enfin, nous avons également utilisé le test de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin(KPSS). Contrairement aux tests précédents, l’hypothèse nulle de ce test est celle de lastationnarité.
Tests d’indépendance
Après avoir choisi un type de modélisation, il convient de s’assurer que les résidus
obtenus sont indépendants. A cette fin, il existe plusieurs tests : Ceux généralement utiliséssont les tests du type portemanteau, mais il existe également le test de Breusch-Godfrey
qui s’avère efficace pour notre problématique. Ce test étant peu connu, nous en proposons
une description plus précise.
- Les tests de type portemanteau
Afin de tester l’indépendance des résidus issus d’une modélisation, les tests du portemanteau sont couramment utilisés : il s’agit des tests de Ljung-Box et de Box-Pierce. Ces
tests visent à évaluer la corrélation entre les résidus et se fondent sur les estimateurs classiques de la corrélation et de la variance.
Une remarque nous semble cependant nécessaire. En effet, nous lisons dans la littérature
que les tests de type portemanteau testent l’indépendance des résidus. Ceci n’est pas tout
à fait exact : en effet, ils ne testent pas l’indépendance au sens strict du terme de la série
mais celle de non corrélation jusqu’à un certain décalage dans le temps. Un autre test peu
connu mais très puissant pour tester la blancheur des résidus est le test de Breusch-Godfrey
que nous présentons au paragraphe suivant.
- Le test de Breusch-Godfrey
Le test de Breusch-Godfrey, connu aussi sous le nom de test ML (pour multiplicateur29

de Lagrange) permet d’éviter certains écueils des tests de type portemanteau ou du testde Durbin Watson sur l’autocorrélation. Les statisticiens Breusch et Godfrey ont proposé
un test général en ce sens qu’il prend en compte :– des régresseurs non stochastiques tels que les valeurs décalées de la variable indépendante– des systèmes autorégressifs d’ordre plus élevé tels que AR(1), AR(2), etc.
– des moyennes simples, des moyennes mobiles ou encore des termes d’erreur sous
forme de bruit blanc.
Nous ne rentrerons pas dans les détails mathématiques très précis mais nous tenons à
expliquer les principes généraux de ce test.
Supposons que le terme d’erreur suive un processus autorégressif du pème ordre, défini
comme suit :ut = ρ1 ut−1 + ρ2 ut−2 + ... + ρp ut−p + toù t est un terme d’erreur de type bruit blanc. L’hypothèse qu’il faut tester est la suivante :H : ρ0 = ρ1 = ... = ρp = 0
Cette expression indique qu’il n’y a pas d’autocorrélation de quelque ordre que ce soit. Le
test de Breusch-Godfrey comprend les étapes suivantes :– Obtenir les valeurs estimées de ubt– Régresser ubt sur les Xt d’origine.
– Calculer le R2 à partir de la dernière régression.
Si la taille de l’échantillon est grande, Breusch et Godfrey ont montré que (n − p)R2 suitune loi du khi deux à p degrés de liberté. Si (n − p) × R2 est supérieur à la valeur critiquedu Khi deux pour le niveau de signification choisi, nous rejetons l’hypothèse nulle, ce
qui signifie qu’au moins un paramètre est statistiquement et significativement différent dezéro.
Ce test étant plus adapté à notre problème, nous le privilégierons dans la suite de notre
exposé.
Tests de normalité
La normalité est un point important de ce mémoire. En effet, nous avons besoin detester la normalité des résidus des équations du modèle. Ces tests peuvent également êtreutiles pour étudier la loi que suivent nos observations simulées.
Afin de tester la normalité d’une série de nombres, il existe plusieurs tests que nous présentons en annexe. Notons que l’hypothèse H0 sera systématiquement l’adéquation de notreéchantillon à une loi normale.

3.4

La méthodologie de Box et Jenkins

La méthodologie de Box et Jenkins donne une méthode robuste permettant de déterminer la modélisation la plus adaptée à la série que l’on souhaite modéliser. Dans cettesection, nous nous contenterons de présenter l’aspect théorique de la méthodologie. Nousavons appliqué cette méthode pour déterminer la modélisation la plus adaptée de l’infla-

30

tion car la modélisation proposée par Wilkie était inadaptée à nos données. Pour prendre
connaissance des résultats obtenus et de la démarche suivie afin de proposer une modélisation de l’inflation par un processus SARIMA, le lecteur se reportera au chapitre six qui
concerne la calibration du modèle.
Avant de présenter le principe de la méthodologie de Box et Jenkins, il nous semble
nécessaire de rappeler six principes fondamentaux à retenir lors d’une modélisation :– Si le nombre de retards considérés est trop faible, le modèle obtenu aura un biais despécification.
– Si le nombre de retards considérés est trop élevé, le modèle n’aura pas été estimé defaçon aussi efficace que possible.
– Un modèle simple est toujours préférable à un modèle plus compliqué : on appliquera
donc le principe dit de parcimonie ou principe du rasoir d’Ockham.
– Dans les modèles AR(p) ou MA(q), il est préférable d’avoir un polynôme continu.
Par exemple, si p=4, on inclut tous les retards de un à quatre sans exception.
– Dans la plupart des cas, il est nécessaire de fixer un retard maximal raisonnable. En
effet, si par le calcul, on trouve des paramètres trop élevés, par exemple p = 12, q= 14, le modèle obtenu sera surparamétré.
– Dans tous les cas, le modèle final retenu devra avoir des résidus bruits blancs. Toutefois, il se pourrait que les coefficients estimés ne soient pas toujours significatifs
aux seuils habituels. L’idée fondamentale ici est de trouver les paramètres optimaux
et non pas d’estimer des coefficients significatifs.
Stationnarisation et désaisonnalisation de la série
Une première étape consiste à appliquer les tests de stationnarité évoqués à la partie
précédente. Dans le cas où la série n’est pas stationnaire, il est possible de la différencier.
La plupart du temps, pour obtenir une série stationnaire il suffit de différencier à l’ordre
un ou à l’ordre deux.
Ensuite, il convient de désaisonnaliser la série différenciée. Pour cela, Box et Jenkins proposent de tracer la fonction d’autocorrélation (ACF) et la fonction d’autocorrélation partielle (PACF) de la série stationnarisée. La présence éventuelle d’un ou plusieurs pics
significatifs nous permet de déterminer s’il faut considérer un paramètre saisonnier.
Détermination des retards maximaux
Par ailleurs, l’ACF et la PACF nous permettent de déterminer le nombre de retard
maximaux respectivement de la partie moyenne mobile et de la partie autorégressive.
Pour cela, il suffit d’appliquer la règle suivante sur la série stationnaire et désaisonnalisée :– Le nombre de retard maximal de la partie moyenne mobile est le dernier pic significatif de l’ACF.
– Le nombre de retard maximal de la partie autorégressive est le dernier pic significatifde la PACF.
Détermination des paramètres optimaux
L’étape suivante consiste à sélectionner un critère de choix afin de déterminer les paramètres optimaux. Pour cela, nous avons le choix entre différents critères : le critère du31

maximum de vraisemblance, le critère d’Akaiké, le critère de Schwarz, ou encore les critèresde Rissanen ou Hannan et Quinn.
- Le critère du maximum de vraisemblance
La méthode du rapport de vraisemblance est bien connue. Il s’agit de formuler une séried’hypothèses à tester. Le lecteur trouvera une description plus détaillée de ce critère enannexe.
- Les critères bayésiens de Schwarz et d’Akaiké
Nous avons retenu ces critères dans notre mémoire, c’est la raison pour laquelle nous
souhaitons les expliquer davantage.
L’approche adoptée est différente de celle du critère précédent. Le principe de base deces critères est que si l’on compare simplement le maximum de vraisemblance atteint parchaque modèle, alors il est logique que les modèles ayant le plus de paramètres soient lesmieux adaptés aux données. En effet, un modèle qui contient beaucoup de paramètres aura
nécessairement un très bon ajustement à l’intérieur de l’échantillon (faible variance des résidus notamment) mais pourrait être moins performant au niveau prévisionnel. D’ailleurs, il
a souvent été constaté qu’un modèle contenant beaucoup de paramètres était par construction plus enclin à expliquer tous les phénomènes observés durant la période étudiée mêmesi ces mêmes phénomènes étaient le plus souvent très spécifiques et peu susceptibles de se
reproduire dans le futur. On appelle parfois ce phénomène l’« illusion d’un R2 élevé » ou
de surajustement.
Une remarque qui découle de ce qu’on a dit ci-dessus est que si un modèle est un cas
particulier d’un autre modèle comme c’est le cas pour les modèles AR par exemple, alors
le modèle avec le plus de paramètres aura indéniablement un maximum de vraisemblanceplus élevé ; et ce, même si le « vrai modèle » est celui qui a le moins de paramètres.
Les critères d’Akaike et de Schwarz permettent de pénaliser les modèles en fonction dunombre de paramètres. Ils permettent de choisir les paramètres optimaux en réalisant uncompromis entre le fit (qui mesure l’adéquation aux données et qui s’améliore en ajoutant
des paramètres) et la parcimonie (qui donne plus de poids aux modèles avec moins defacteurs).
Akaike et Schwarz ont montré que lorsque la taille de l’échantillon tend vers l’infini, minimiser les critères suivants permet de trouver les paramètres appropriés :Akaike(h) = ln(σh2 ) +Schwarz(h) = ln(σh2 ) +2hTh × ln(T )TOù T est le nombre d’observations, σh est l’écart type des résidus et h est le nombre deparamètres testés.
Le premier terme correspond à l’ajustement du modèle tandis que le deuxième est une
pénalité qui dépend du nombre de paramètres inclus. Ainsi quand on ajoute un paramètre,deux effets interviennent :– La variance estimée diminue (premier terme),32

– La pénalité augmente au rythme 2/T pour Akaike et lnT/T > 2/T pour Schwarz
qui est plus pénalisant.
L’impact total dépendra de l’importance relative des deux termes.
Nous ne présentons pas les autres critères envisageables dans la mesure où nous ne lesavons pas utilisés dans notre mémoire.
Tests sur les résidus
Après avoir choisi un des critères proposés ci-dessus (nous rappelons que la liste n’est pas
exhaustive) et avoir déterminé les paramètres optimaux en fonction du critère de choix,
il convient enfin de vérifier que les résidus sont des bruits blancs. Pour cela, nous avons
proposé des tests dans la partie précédente.
Dans le cadre de notre modélisation, il est intéressant de tester si les résidus sont normaux
ou pas. A priori, il n’y a pas de raison qu’ils le soient.
Ainsi, nous avons présenté dans ce chapitre les fondements des séries temporelles enintroduisant des notations que nous utiliserons par la suite. Nous avons décrit une méthode de détermination des paramètres que nous appliquerons afin de déterminer une
modélisation de l’équation de l’inflation, base du générateur de scénarios que l’on souhaiteréaliser.

33

Chapitre 4

Intégration de sauts dans une série
temporelle
L’originalité de ce mémoire est le fait de considérer le contexte économique actuel etainsi de prévoir la possibilité de prendre en compte des crises liées à des évènements denature exogène. Le début du XXIème siècle ayant vu croître considérablement les risques decrises ainsi que leur probabilité d’occurrence, il nous semble inenvisageable de construire
des modèles sans pouvoir les prendre en compte.
Ce chapitre vise à présenter les différentes méthodes testées pour intégrer des crises dans legénérateur de scénarios économiques et à justifier le choix de l’utilisation de l’une d’entre
elles.
Après avoir fait un bref retour sur la situation politico-économique mondiale depuis ledébut du XXIème siècle afin de justifier l’intégration d’un processus de prise en compte
des crises dans le générateur, nous présenterons les différentes méthodes d’intégration desauts dans un processus de séries temporelles et expliquerons leurs avantages et leursinconvénients.

4.1

Le contexte politico-économique mondial

Il est incontestable d’affirmer que le contexte politico-économique mondial est actuellement bouleversé. En effet, depuis les années 2000, de nombreuses crises, de plusieurs types(financières, politiques...), ont perturbé les systèmes financiers et politiques. Notons que
les crises se sont succédé, depuis le début du XXIème siècle, à une fréquence élevée et inédite.
Plusieurs crises financières ont perturbé les marchés financiers. En premier lieu, trois
bulles spéculatives ont éclaté : celle des valeurs technologiques en 2000 à la suite au développement d’internet et, en 2007, les bulles de l’immobilier et du crédit venues desÉtats-Unis. En second lieu, la crise des dettes souveraines et la crise européenne ont perturbé les marchés financiers à partir de 2010.
La stabilité mondiale a été affectée également par plusieurs conflits militaires persistants ou débutants : le conflit israélo-palestinien, les guerres en Afghanistan et en Irak, lesémeutes du printemps arabe en 2010, les révoltes au Sénégal ainsi qu’en Syrie.

34

Participent également à cette instabilité, les mouvements de révolte en Russie et lasituation économique de la Chine. En effet, la part importante et croissante du budget
chinois consacrée à la défense est un facteur à prendre en compte : la Chine prévoit une
augmentation annuelle de son budget de 19% jusqu’en 2015 afin d’atteindre un budget
total de 240 milliards de dollars soit quatre fois plus que le budget de la défense du Japon
qui est le deuxième en Asie. Cet élément tend à prouver que la situation asiatique n’est
pas pacifique.
Enfin, les crises multiples peuvent éclater en raison du déséquilibre économique existant entre les pays émergents, notamment la Chine, et les pays développés. Il n’y a aucune
raison pour que le PIB par habitant de la Chine soit inférieur à celui du Japon, ce qui
implique une multiplication par quatre du PIB chinois dans les prochaines années. En
effet, le PIB par habitant en Chine est de 20% alors qu’il est de l’ordre de 85% au Japon.
Sous la pression de la concurrence asiatique et de quelques autres pays, l’Europe va nécessairement perdre des parts de marché au profit de la Chine et continuer son processus
de désindustrialisation. Des crises d’adaptation seront obligatoires et c’est pourquoi desscénarios multiples et variés sont à prévoir. Olivier Blanchard, conseiller de Christine Lagarde au fonds monétaire international, a même récemment évoqué la possibilité de grandedépression.
Pour conclure, citons un dernier argument économique corroborant le fait que descrises sont à prévoir et qu’il est donc nécessaire d’inclure des sauts dans le générateur.
L’émergence de la Chine a créé une modification de l’évolution de l’économie mondiale.
En effet, la puissance démographique de la Chine créé un déséquilibre qui perturbe lesthéories économiques. Ainsi, par exemple, en temps normal, l’économie suit un cycle longd’environ cinquante six ans, dit cycle de Kondratieff. Or, ce cycle long est actuellement
perturbé. Pour appuyer ce propos, rappelons à l’appui de l’ouvrage de François-Xavier
Chevalier [6], les cinq saisons d’un cycle long :– Le printemps : boom inflationniste, le cycle des quantités est haussier.
– L’été : il s’agit d’un régime de croisière dans lequel l’économie se porte bien.
– La stagflation : croissance en baisse et hyperinflation.
– L’été indien : période de prospérité factice idéale pour la création d’une bullespéculative. L’inflation est en baisse, de même que les taux ; la croissance est morose.
De ce fait, les marchés financiers sont puissants. A la fin de cet été indien, un krach
est provoqué par un endettement devenu trop important.
– La dépression : suite à l’explosion d’une bulle, les prix des actifs diminuent et lesbanques ont des problèmes de solvabilité.
D’après l’étude de François-Xavier Chevalier, nous devrions être au début d’un cycle
long, dans la période Été mais ce n’est pas le cas. En effet, la croissance diminue alorsqu’on devrait observer une hausse...
Ainsi, comment ne pas introduire dans notre GSE la possibilité d’intégrer des scénariosde crises dans un tel contexte instable ? Nous développons dans les paragraphes suivants,

35

les méthodes étudiées pour introduire des sauts dans les équations.

4.2

Intégration de sauts en utilisant des lois uniforme ou depoissonLa littérature concernant l’introduction de sauts dans une série temporelle n’est pas
très abondante. En effet, ces techniques n’ont pas encore été trop étudiées, notamment
pour les séries financières. Ainsi, dans un premier temps, nous avons testé des lois simples
comme les lois de Poisson.

4.2.1

Modification des paramètres des résidus

Une méthode permettant d’introduire des sauts dans une série temporelle consisteà modifier les paramètres des résidus après avoir simulé une loi uniforme. La méthodeconsiste à simuler une loi uniforme [0 ;100] et à modifier les paramètres des résidus en
fonction de la valeur simulée. Si la valeur simulée est inférieure à la probabilité que l’on
souhaite donner au scénario (par exemple si la valeur simulée est inférieure à 5), on modifie
les paramètres des résidus.
Cette méthode a été proposée dans [19] et appliquée à un processus autorégressif d’ordre
un. Dans ce cas, les résidus ne sont constitués que d’une variable aléatoire, gaussienne par
hypothèse. Nous avons appliqué cette méthode à notre modèle mais elle nous semble peu
précise pour deux raisons :– la partie moyenne mobile des processus auxquels nous souhaitons intégrer des crises
ne sont pas aussi simples que celle d’un processus autorégressif d’ordre un. En effet,
par exemple, nous verrons ultérieurement que nous ne retiendrons pas un processus AR(1) pour modéliser l’inflation. Ainsi, la méthode consistant à modifier lesparamètres de la partie moyenne mobile semble inappropriée.
– cette méthode, même dans le cas d’une modélisation par un processus autorégressif d’ordre un, nous semble inadéquate. En effet, un éventuel choc se traduit, dansla méthode proposée, par une modification de l’espérance et de la variance de lavariable aléatoire gaussienne. Ainsi, les résidus obtenus peuvent perdre leur caractère « bruits blancs ». Par ailleurs, comment modifier la variance de manière efficace ?
Pour ces deux raisons, nous n’avons pas retenu cette méthode.

4.2.2

Utilisation de la loi de Poisson

Naturellement, l’utilisation d’un processus de Poisson, appelé également processus desévènements rares, parait adapté à la modélisation de crises, évènement rare par hypothèse.
Les applications relatives au processus de Poisson ont longtemps été limitées aux événements tels que les files d’attente ou les arrivées de bateaux dans un port. L’étude deLadislaus Bortkiewicz concernant les accidents dus aux coups de pied de cheval dans lesarmées est un exemple célèbre d’application de ce processus.
Cependant, depuis une trentaine d’années, son champ d’application s’est considérablementélargi, ce qui nous amène à penser qu’il est possible de l’adapter dans notre cas. En effet,

36cette loi est maintenant utilisée dans beaucoup de domaines : les télécommunications, lecontrôle de qualité statistique, la description de certains phénomènes liés à la désintégration radioactive, la biologie, la météorologie... Par ailleurs, elle est parfois utilisée en
finances, pour modéliser la probabilité de défaut d’un crédit.
De ce fait, nous avons étudié la possibilité d’ajouter un processus de Poisson simple
dans l’équation de l’inflation afin de modéliser une crise.
Un souci majeur que l’on a rapidement rencontré est que la prise en compte de ce sauttranslate l’ensemble de la courbe et ne prévoit pas de retour à l’équilibre. Ainsi, une baissede l’inflation, par exemple, n’est jamais véritablement compensée, ce qui ne correspondpas à ce qu’il se passe réellement. En effet, ordinairement, les crises durent, le temps nécessaire à la correction des excès spéculatifs et on observe un retour à l’équilibre après
effacement de ces excès. Le temps d’effacement est plus ou moins long en fonction de lacrise subie. Par ailleurs, si l’on insére des sauts à l’intérieur du processus, cela impliqueque les valeurs prédites par le processus temporel choisi prennent en compte les éventuels
sauts. La prise en compte de ces sauts, issus de scénarios non présents dans les données,
rend la modélisation biaisée.
En conclusion, si l’intégration d’un processus de Poisson simple dans notre cas est
envisageable, nous avons cherché à l’affiner pour pouvoir prendre en compte le retour àl’équilibre. Ceci fait l’objet de la prochaine partie.

4.3

L’algorithme de Box et Tiao (1975)

L’algorithme de Box et Tiao permet de prendre en compte des perturbations survenant
sur des séries chronologiques. Lors de la modélisation d’une série, l’analyse d’intervention
de Box et Tiao prend en compte les interventions extérieures et fournit une mesure del’impact de celles-ci sur la série, comme Ferrara et Guegan le décrivent dans [15] à l’appuide données de la RATP.
Dans notre cas, la date des perturbations, l’ampleur de la modification et le temps deretour à l’équilibre ne sont pas connus. Cependant, cette méthode peut être utilisée en
attribuant une probabilité à ces deux quantités. C’est ce que nous proposons dans la suite.
Box et Tiao (1975) sont à l’origine de la théorie dite de l’analyse d’intervention qui
permet de prendre en compte différentes interventions extérieures au modèle lors de la
modélisation d’une série chronologique. L’apport de l’analyse d’intervention à une modélisation de série de type SARIMA se situe principalement au niveau de l’information
disponible à l’utilisateur pour modéliser cette série. En effet, l’approche de Box et Jenkins
présentée au chapitre précédent utilise simplement l’information quantitative contenue
dans les données alors que l’analyse d’intervention permet d’ajouter de manière additive
une information de type qualitatif.
Le but de cette partie est de mettre en évidence l’intérêt de la théorie de l’analysed’intervention pour la simulation de sauts dans une série temporelle. Nous présentons une

37

utilisation de l’analyse d’intervention différente de celle proposée initialement par Box etTiao. Nous précisons les différents types de processus que l’on peut envisager, nous les illustrons à partir de simulations, puis nous appliquons cette méthodologie aux données réelles.
Pour avoir plus de détails sur l’analyse d’intervention, le lecteur pourra consulter différents travaux réalisés pour compléter les travaux de Box et Tiao, notamment [22].

4.3.1

Le modèle

La théorie de l’analyse d’intervention développée par Box et Tiao permet de prendre encompte, lors de la modélisation SARIMA d’une série chronologique, des évènements extérieurs au modèle. On apporte ainsi au modèle statistique une information supplémentairede type qualitatif qui est intégrée, de manière additive, au modèle à l’aide de variablesbinaires exogènes. On pourra ainsi intégrer des scénarios de crises dans notre générateurde scénarios économiques.
Dans un premier temps, nous faisons une présentation théorique du modèle d’intervention de Box et Tiao. Nous présenterons au paragraphe suivant des cas particuliers que l’on
a testé afin de choisir le modèle à retenir pour nos simulations. Le modèle d’intervention
proposé par Box et Tiao se présente sous la forme suivante :Xt = C +s(B) × B b
ξt + SARIM At
δ(B)Avec :– Xt : série à modéliser,– s et δ sont des polynômes dont le degré est à déterminer,– B : opérateur retard présenté au chapitre précédent,– C est une constante à déterminer.
La fonction déterministe δ −1 (B)s(B)B b ξt représente l’effet de l’intervention qui vients’ajouter de manière additive au modèle SARIMA. Elle est appelée fonction d’intervention.
Dans l’équation ci-dessus, la suite de variables aléatoires (ξt )t>0 représente l’effet d’uneintervention extérieure à la date t’, mise sous la forme d’une variable déterministe qui
prend pour valeur un ou zéro suivant la présence ou l’absence de l’intervention. Cette
variable est, en général, modélisée par deux classes de fonctions :– une fonction en forme de saut, c’est-à-dire :(t0 )ξt = S t= 0 si t < t’(t0 )ξt = St = 1 si t

6 t’

– une fonction en forme d’impulsion, c’est-à-dire :(t0 )ξt = P t= 0 si t 6= t’(t0 )ξt = Pt = 1 si t

= t’
(t0 )

On remarque toutefois que grâce à l’égalité suivante : (1−B)St
passer d’un saut à une impulsion.
38

(t0 )

= Pt

, on peut toujours

Plus généralement, la série chronologique peut être perturbée par k interventions denature différente. Avec les notations précédentes, le modèle d’intervention s’écrit alors :Xt = C +kX
sj (B) × B bj (Tj )j=1

δj (B)

ξt+ SARIM At

Une hypothèse fondamentale lors de l’utilisation de l’analyse d’intervention est quela structure du modèle soit la même avant et après l’intervention. Ainsi, afin d’estimer
les paramètres du modèle, il faut fixer deux sous-ensembles de données correspondant àl’évolution du processus avant et après la date d’intervention qui est fixée de manière
déterministe.
Dans notre cadre, ceci n’est pas nécessaire car le saut sera simulé aléatoirement etn’est pas présent dans la structure intrinsèque des données servant à calibrer l’équation.
Ce problème d’estimation ne se pose donc pas. Cependant, cette remarque indique que leprocessus à sauts sera traité indépendamment du SARIMA.
En ce qui concerne la forme de la fonction d’intervention, il n’existe pas de méthodeprécise permettant de la déterminer. Néanmoins, il existe différents types de fonctions
permettant de s’adapter à la forme graphique que l’on souhaite modéliser, suite à l’effet
de l’intervention extérieure. Dans le paragraphe suivant, nous allons nous intéresser à
quelques types de fonctions d’intervention classiques et justifier le choix de l’une d’entre
elles.

4.3.2

Les différents types de sauts

Comme nous l’avons évoqué dans le paragraphe précédent, le choix d’une fonctiond’intervention est assez subjectif car il dépend de la forme graphique et des propriétés
géométriques que l’on souhaite modéliser. Dans ce paragraphe, nous allons présenter trois
types de modèles d’intervention différents en utilisant une fonction d’impulsion commevariable exogène binaire.
Modèle avec intervention ponctuelle
Supposons, d’une part, que l’on observe une trajectoire qui est la réalisation d’un
processus SARIMA. Supposons, d’autre part, qu’à une date t = t’ l’évolution de cettetrajectoire soit perturbée par un choc extérieur que l’on a schématisé par le graphique
ci-dessous.

Figure 4.1 – Représentation locale de l’intervention ponctuelle39

Le modèle d’intervention s’écrit alors sous la forme suivante :(t0 )Xt = C + s0 × Pt

+ SARIM At

Le paramètre s0 représente l’impact de l’intervention extérieure sur la série. Son estimation permet de donner une mesure de cet impact. Dans notre cas, la valeur de ω0 sera
déterminée, de manière exogène, dans nos scénarios.
Dans la littérature anglo-saxonne, ce modèle est dit de type Additive Outlier.
Modèle avec intervention à effet rémanent
Nous pouvons également supposer que l’intervention au temps t = t’ vient perturberl’évolution de la série avec un effet qui décroît progressivement dans le temps, de façon
exponentielle. Cette intervention est schématisée par le graphique ci-dessous :Figure 4.2 – Représentation locale de l’intervention à effet rémanent

Le modèle d’intervention s’écrit alors sous la forme suivante :Xt = C +s0(t0 )× Pt + SARIM At
1 − λBLe paramètre λ est un paramètre strictement compris entre zéro et un qui mesure la vitesse de décroissance de l’effet de l’intervention : s’il est proche de zéro, cela signifie que
l’impact est quasiment ponctuel (on se ramène alors au cas précédent) et s’il est prochede un, cela signifie que l’impact se prolonge dans le temps.
Dans la littérature anglo-saxonne, ce modèle est dit de type Temporary Change ou Transient Change.
Modèle avec intervention à effet rémanent et changement de niveau
Enfin, il est possible de supposer que l’intervention vienne perturber l’évolution dela série avec un effet rémanent suivi d’un changement de niveau. Cette intervention est
schématisée par le graphique ci-dessous.

40

Figure 4.3 – Représentation locale de l’intervention à effet rémanent et changement deniveauLe modèle d’intervention s’écrit alors sous la forme suivante.
Xt = C + (

s0
s1
(t0 )
+
) × Pt + SARIM At
1 − λB 1 − B

Le paramètre s1 représente la différence de niveau consécutive au choc : il sera donc positif
si le niveau observé après le choc est supérieur au niveau observé avant le choc et, négatifsinon. La somme de s0 et s1 représente l’impact de l’intervention extérieure sur la série. Demême que précédemment, λ mesure la vitesse de décroissance de l’effet de l’intervention.
Dans la littérature anglo-saxonne, ce modèle est dit de type Level Shift.
Toutes les méthodes présentées ci-dessus ont été testées pour intégrer des sauts dansl’équation de l’inflation. Nous verrons, dans le chapitre consacré à la modélisation del’inflation, la méthode retenue et les raisons pour lesquelles ladite méthode a été retenue.
Par ailleurs, nous avons appliqué la méthode choisie à toutes les équations du modèle.

41

Chapitre 5

Modélisation des résidus deséquations
Nous avons signalé, dans le chapitre consacré à la présentation du modèle de Wilkie,
qu’un inconvénient majeur de ce modèle, est le caractère non normal des résidus deséquations. En effet, comme nous le montrerons dans les prochains chapitres, les tests denormalité sont tous rejetés. Une approximation réalisée couramment est de considérer toutde même les résidus comme normaux afin de pouvoir obtenir des projections facilement.
Dans ce mémoire, nous avons souhaité présenter une approche différente afin de ne pas
réaliser cette approximation courante. Nous avons alors cherché des lois, modélisables
relativement facilement et permettant de mieux s’adapter aux résidus de nos équations.
Après plusieurs tentatives vaines, nous avons décidé de modéliser les résidus par une loi
de Pareto hybride, introduite récemment dans [8]. Ce chapitre vise à présenter brièvement
cette loi.

5.1

Loi de Pareto généralisée

5.1.1

Généralités

Tout d’abord, il est nécessaire de présenter la loi de Pareto généralisée qui est nécessaire à notre modélisation. Cette loi a été introduite notamment pour l’étude des valeursextrêmes par Pickands (1975). Sa fonction de répartition et sa densité sont données, dansl’ordre, par les expressions suivantes :F (x) =

f (x) =


1 − (1 + ξ × x/β)−1/ξ

si ξ 6= 0, 1 − exp(−x/β)si ξ = 0,si ξ 6= 0,

β −1 (1 + ξ × x/β)−1/ξ−1 β −1 exp(x/β)

si ξ = 0,où β ≥ 0, x ≥ 0 quand ξ ≥ 0 et 0 ≤ x ≤ −β/ξ quand ξ ≤ 0.

42

Le paramètre ξ est le paramètre de forme. Il s’agit du paramètre définissant l’épaisseurde la queue. Le paramètre β est un paramètre d’échelle.
Il est possible d’ajuster une loi de Pareto à un ensemble de données en appliquant desméthodes classiques telles que la méthode des moments ou celle du maximum de vraisemblance. D’autres méthodes plus spécifiques existent comme le recours à l’estimateurde Zhang. Dans notre mémoire, nous avons appliqué la méthode du maximum de vraisemblance. Le lecteur trouvera des informations plus précises sur différentes méthodesd’ajustement en consultant le mémoire sus-cité.

5.1.2

Fonction quantile

Nous rappelons ci-dessous l’expression de la fonction quantile de la loi de Pareto généralisée nécessaire notamment pour simuler cette loi par la méthode d’inversion.

F

−1

(x) =





β
−ξ − 1)ξ ((1 − x)
 −βln(1 − x)5.2

Loi de Pareto hybride

5.2.1

Généralités et densité de probabilité

si ξ 6= 0,
si ξ = 0,

Carreau et Bengio ont proposé d’utiliser une loi gaussienne en remplaçant une desqueues par une loi de Pareto généralisée. Dans son mémoire, William Gehin propose demodéliser les deux queues de la distribution par deux lois de Pareto et le centre par une
loi gaussienne. Schématiquement, la densité est représentée comme suit :Figure 5.1 – Densité de probabilité d’une loi de Pareto Hybride

Ainsi, en notant :43

– n la fonction densité de la loi normale de moyenne µ et d’écart-type σ.
– gg et gd les fonctions de densité des lois de Pareto généralisées respectivement àgauche et à droite.
La fonction de densité de la loi Pareto hybride est donc définie par :f (x) =











gg (x)/γ

si x ≤ αg ,n(x)/γsi αg ≤ x ≤ αd ,gd (x)/γ

si x ≤ αd .

où γ est un coefficient de normalisation assurant que f est bien une densité. Il est défini
par l’équation suivante :γ = 2 + N(

αd − µαg − µ) − N()σσ

où N est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

5.2.2

Contraintes sur les paramètres

Des restrictions sont nécessaires afin d’assurer la continuité et la dérivabilité de ladensité. Nous nous contentons ici de rappeler les résultats :

 αg
 βg

avec zg == µ−σ×σ(1+ξ )= √ gq

W (zg )W (zg )

(1+ξg )2
2π , et où W est la fonction de Lambert.

Symétriquement, on a :

 αd
 βd

= µ+σ×σ(1+ξd )= √p

W (zd )

W (zd )

2d)avec zd = (1+ξ
2π .

Ainsi, pour ajuster une loi de Pareto hybride, il faut estimer quatre paramètres : lamoyenne µ, l’écart-type σ, et les deux paramètres de forme ξg et ξd des lois de Pareto
généralisées. Nous noterons ainsi la loi de Pareto hybride par H(µ, σ, ξg , ξd ).

5.2.3

Fonction de répartition et fonction quantile

La fonction de répartition et la fonction quantile de la loi de Pareto hybride sontégalement utiles. Pour les simulations, nous avons utilisé la fonction inverse de la fonctionde répartition donnée par l’expression suivante :44

F −1 (x) =















G−1
g (γx)

si x ≤ αg ,µ + σN −1 (γx + N ( αdσ−µ ) − 1)

si

α −µ

αd −µ
g
G−1
d (γx + N ( σ ) − N ( σ ))

1+N (
1
γ ≤x≤

si x ≥αg −µ
α −µ)−N ( dσ )
σ

γ

,

α −µ
α −µ
1+N ( gσ )−N ( dσ )γ

avec
Fg−1 (x) =αg + ξg ((1 − x−ξg ))β

si ξg 6= 0,αg + βg ln(x)si ξg = 0,

etFd−1 (x) =αd + βξdd ((1 − x)−ξd − 1) αd − βd ln(1 − x)si ξd 6= 0,
si ξd = 0,

Dans toutes les équations de notre générateur de scénarios, nous modéliserons les résidus par une loi de Pareto généralisée en estimant les paramètres par la méthode dumaximum de vraisemblance.
Notons que la modélisation par une loi de Pareto hybride est efficace principalement en
période de crises. En effet, dans ces périodes, la loi normale conduit à une sous-estimation
des valeurs extrêmes. Notre générateur de scénarios étant construit pour s’adapter au
mieux aux crises, la modélisation des résidus par cette loi nous a semblé importante mêmesi elle augmente le nombre de paramètres de notre générateur.

45

Chapitre 6

Modélisation de l’inflation
Ce chapitre est consacré à la modélisation de l’inflation. Après avoir présenté les données utilisées, nous allons appliquer l’algorithme de Box et Jenkins afin de définir la modélisation la plus adaptée. Puis, nous déterminerons une méthode d’intégration de sauts
à l’aide de l’algorithme de Box et Tiao.

6.1

Présentation des donnéesDans une première démarche, nous avons considéré l’inflation sur une grande période,incluant les chocs pétroliers, les guerres mondiales... Nous nous sommes rapidement rendu
compte que modéliser une telle série par un AR(1) n’était pas adapté à ce qu’on souhaitait
modéliser et qu’aucune interprétation ne serait alors possible. Nous avons réalisé uneétude permettant de stationnariser les séries et d’identifier le nombre de retards optimalpour pouvoir modéliser la série. Cependant, à l’issue de ce travail, nous avons décidé deconsidérer d’une part une autre période et, d’autre part, une autre série de données.
En effet, nous avons choisi de considérer la core inflation qui est l’inflation sans les prixdu pétrole et des produits alimentaires. Nous avons fait ce choix car la période choisie, dedix ans, pour calibrer les équations, implique qu’il faut considérer des séries relativement
stables si l’on souhaite les calibrer de manière fiable. Or, durant les dix dernières années, lesprix des produits alimentaires et le prix du pétrole fluctuent énormément, ce qui, si on lesavait considérés, rendrait la série difficilement modélisable, qui plus est par un processus
autorégressif d’ordre un.

6.2

Application de l’algorithme de Box et Jenkins

Afin de prendre en compte le plus de types de séries chronologiques possible, nous
avons considéré les processus SARIMA présentés au chapitre deux. Nous avons appliquél’algorithme de Box et Jenkins afin de déterminer les paramètres optimaux et la valeurdes coefficients pour chaque pays.

6.2.1

Stationnarisation et différenciations

Dans un premier temps, nous réalisons des tests de stationnarité sur la série des tauxd’inflation bruts. Le tableau ci-dessous donne les p-values des tests pour quatre pays :46

TestsDickey-Fuller

Phillips-Perron

KPSS

France0,2924

0,6641< 0,01

États-Unis

0,46730,4179< 0,01Japon

0,49550,3596< 0,01

Allemagne

0,4595

0,073110,01607

Table 6.1 – Série brute - test de stationnarité
Ainsi, il est clair que les séries des taux d’inflation non différenciées ne sont pas stationnaires.
Rappelons ici que les deux premiers tests sont des tests de racine unitaire servant à tester
la non stationnarité de la série tandis que le troisième teste la stationnarité de la série
autour d’une tendance. Ainsi, on pourra conclure que la série étudiée est stationnaire si
les p-values des deux premiers tests sont inférieures à 0.05 et si celle du troisième est
supérieure à 0.05.
Pour nous convaincre définitivement de la non-stationnarité des séries, nous avons tracé
la fonction d’autocorrélation (ACF) des séries. En effet, rappelons qu’une série stationnaire fluctue autour d’une valeur moyenne et que sa fonction d’autocorrélation décline
rapidement vers 0. En pratique, si une série présente des autocorrélations positives pour
un grand nombre de décalages, alors elle nécessite d’être différenciée. Nous constatons surles graphiques suivants que c’est le cas ici :Figure 6.1 – ACF des séries brutes

47

Nous avons donc cherché à rendre les séries stationnaires en les différenciant à l’ordre
un. Après différenciation, nous obtenons les résultats ci-dessous :Tests

Dickey-Fuller

Phillips-Perron

KPSS

France< 0,01< 0,01> 0,1

États-Unis< 0,01< 0,01

> 0,1

Japon

< 0,01< 0,01> 0,1

Allemagne< 0,01< 0,01> 0,1

Table 6.2 – Série différenciée - test de stationnarité
Nous constatons que les tests valident l’hypothèse de la stationnarité des séries différenciées.
La série différenciée à l’ordre un peut donc être considérée comme stationnaire.
Remarque : Pourquoi ne pas choisir de différencier une nouvelle fois ? Cela permettrait-il
d’avoir une série plus stationnaire que la précédente ?
Afin de répondre à ces interrogations, il convient de signaler que la différenciation d’unesérie tend à introduire des autocorrélations négatives. Si l’autocorrélation de décalage unest égale à zéro ou est négative, la série n’a pas besoin d’être différenciée. Par ailleurs, si
l’autocorrélation de décalage un est inférieure à -0.5, cela signifie que la série est surdifférenciée.
L’ordre optimal de différenciation est souvent celui pour lequel l’écart-type est minimal.
Un accroissement de l’écart-type doit donc être considéré comme un symptôme de surdifférenciation.
Comme nous le verrons dans la suite, les séries ne sont pas surdifférenciées dans notrecas et il n’est pas nécessaire de les différencier une deuxième fois car cela augmente l’écart
type de la série.

6.2.2

Désaisonnalisation

Afin de déterminer les paramètres optimaux du SARIMA, nous avons tracé la fonctiond’autocorrélation partielle (PACF) et l’ACF des séries. Ci-dessous, nous avons représenté
le corrélogramme ainsi que le corrélogramme partiel de la France et des États-Unis. Ceux
de l’Allemagne et du Japon sont relativement similaires à ces derniers.

48

Figure 6.2 – ACF et PACF des séries différenciées à l’ordre un

Les ACF et PACF laissent apparaître une saisonnalité de période douze (pic significatif
pour les ordres douze).
Pour confirmer cela, il est intéressant de tracer le spectrogramme de Fourier afin de vérifier que la fréquence correspondant à un évènement annuel (ou biannuel) se démarque desautres. Par ailleurs, nous pouvons également tracer l’ACF et la PACF des séries saisonnièrement différenciées pour constater qu’il existe bien une saisonnalité de période douze.
Nous ne représentons pas ces courbes ici mais elles confirment la présence d’une saisonnalité annuelle.
Notons que d’un point de vue macroéconomique, il est clair que l’indice d’inflation est
sensible à la saisonnalité. En effet, les prix subissent des pressions différentes suivant lesmois. En décembre par exemple, les fêtes de Noël ont un effet cyclique sur les prix qui estdifférent de celui d’octobre.
Nous considérons donc une saisonnalité de douze mois dans la suite de notre étude.

6.2.3

Paramètres optimaux

Afin que le modèle ne soit pas surparamétré, nous avons étudié la possibilité d’utiliser
des modèles du type SARIMA(1,1,1)(1,0,1)12, SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12...
Pour choisir le modèle le plus adapté parmi tous ces modèles, nous avons décidé d’utiliser
le critère bayésien d’Akaiké (AIC).
Le tableau ci-dessous donne les valeurs du critère AIC calculées pour le jeu de données dela France :49

CritèresAIC

SARIMA(1,1,1)(1,0,0)12-1437

SARIMA(1,1,1)(1,0,1)12-1440

SARIMA(1,1,1)(1,1,0)12-1239

SARIMA(1,1,1)(1,1,1)12.

-1272

SARIMA(1,1,1)(0,0,0)12-1421

SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12-1441

SARIMA(1,1,1)(0,1,0)12-1186

SARIMA(1,1,1)(0,1,1)12-1262

Table 6.3 – Valeurs du critère AIC - France
Finalement, le tableau suivant donne l’ordre des SARIMA les plus adaptés pour notre
modélisation au sens du critère AIC pour chaque pays :CritèresParamètres du SARIMA

FranceSARIMA(1,1,1)(0,0,1)12

États-Unis

SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12Japon

SARIMA(1,1,1)(1,0,0)12

Allemagne

SARIMA(1,1,1)(1,0,1)12

Table 6.4 – Modélisation optimale selon le critère AIC
Nous constatons que les paramètres optimaux sont identiques pour la France et les
États-Unis mais qu’ils diffèrent pour le Japon et l’Allemagne. Cependant, la comparaisondes critères AIC nous a conduit à utiliser le SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12 pour tous les pays.
En effet, concernant le Japon et l’Allemagne, la valeur du critère est quasiment identiquepour le SARIMA optimal et pour le SARIMA similaire à celui des Etats Unis et de laFrance, comme le montre les tableaux suivants :Allemagne

AIC

SARIMA(1,1,1)(1,0,1)12-1333

SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12-1331

Table 6.5 – Valeurs du critère AIC - Allemagne

Japon

AIC

SARIMA(1,1,1)(1,0,0)12-1413

SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12-1411

Table 6.6 – Valeurs du critère AIC - Japon
Ainsi, nous modéliserons l’inflation par un modèle SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12 pour tous
les pays.
50

6.2.4

Validation de la modélisation

Afin de valider l’utilisation de cette modélisation, il convient de s’assurer que les résidus
obtenus sont des bruits blancs. Pour cela, nous pouvons avoir recours à des tests classiques
tels que les tests de Ljung-Box et de Box-Pierce. Comme nous l’avons précisé dans lechapitre deux, nous avons choisi d’utiliser le test de Breusch-Godfrey. Nous signalons toutde même que les tests de Ljung-Box et de Box Pierce sont également vérifiés. Voici lesrésultats trouvés :TestBreusch-Godfrey

France0,6082

États-Unis

0,5128Japon

0,5542

Allemagne

0,4789

Table 6.7 – Valeurs de la statistique de Breusch-Godfrey
Par ailleurs, il est intéressant de confirmer ces tests en traçant l’ACF et la PACF desrésidus qui ne doivent pas avoir de pic significatif. Nous présentons ci-dessous les résultats
obtenus pour la France, ceux des autres pays étant similaires.

Figure 6.3 – ACF et PACF des résidus

Les p-values des tests étant supérieures à 0.05 et l’ACF et la PACF ne présentant pas
de pic très significatif, on peut en conclure que les résidus sont bien des bruits blancs.
L’hypothèse d’indépendance des bruits blancs étant validée, nous confirmons la modélisation de l’inflation par un processus SARIMA(1,1,1)(0,0,1)12.
Par ailleurs, nous tenons à signaler que cette modélisation qui offre une estimation plus
juste que la modélisation proposée par Wilkie (1985) comporte seulement 3 paramètres
i.e. un paramètre de plus que pour l’AR(1). Nous n’avons donc pas de problème de surparamétrisation.
Enfin, nous avons également testé la normalité des résidus afin de savoir si la modélisationde ces derniers par une loi de Pareto hybride était justifiée. Nous avons appliqué différentes
méthodes : la méthode « statistique » et les tests. Nous donnons ci-dessous les valeurs desskewness, kurtosis et p-values relatives au test de Jarque-Bera.

51

TestsSkewness

Kurtosis

Jarque-Bera

France-0,4406

0,73830,0142

États-Unis-1,356

8,144< 2,2.10-16

Japon-0,4953

4,182< 2,2.10-16

Allemagne

0,56582,966

1,499.10-14

Table 6.8 – Résultats des tests sur les résidus
Les p-values concernant le test de Jarque-Bera sont inférieures à 0.05. Par ailleurs, lesskewness et les kurtosis sont respectivement significativement différents de 0 et 3. Nous en
déduisons que l’hypothèse de normalité des résidus est rejetée.
Notons qu’il existe différentes méthodes pour remédier à ce problème. Une des méthodes consisterait à modéliser la volatilité et à ne plus la considérer constante : il s’agit
d’un processus GARCH. C’est ce que propose Wilkie dans sa version de 1995. Des études
ont prouvé que l’utilisation de cette méthode a été moins efficace que la modélisation initiale.
Comme nous l’avons précisé plus haut, nous avons choisi de modéliser les résidus parune loi de Pareto hybride dont les paramètres ont été estimés par maximum de vraisemblance. Ce choix se justifie tout à fait en analysant les résultats du tableau ci-dessous.
Les kurtosis des distributions des résidus sont tous supérieurs à zéro. Précisions que nous
indiquons dans le tableau la valeur du kurtosis normalisé, c’est-à-dire que le kurtosis d’une
distribution normale serait égale à zéro. Cela traduit le caractère leptokurtique de la distribution des résidus, en particulier pour les résidus relatifs aux données américaines. Par
ailleurs, les coefficients d’asymétrie des distibutions des résidus sont différents de zéro : cela
montre que les distribution ne sont pas symétriques. Ces deux caractéristiques peuventêtre pris en compte en utilisant une modélisation par une loi Pareto hybride : en modifiant
les queues de distribution, il est possible d’adapter plus précisément un modèle adéquat.
Nous présentons en annexe le calibrage retenu pour les quatre pays présentés ci-dessus.
Notons que si d’un point de vue théorique cette modélisation est plus précise, d’unpoint de vue pratique, les résultats obtenus ne sont pas significativement différents dansla mesure où les résidus ont des variances faibles et des moyennes nulles. Les figures 8.3
et 8.4 illustrent cette remarque.

6.3

Inclusion de sauts dans l’équation

Afin d’inclure des sauts dans l’équation de l’inflation, nous avons testé les différentes
méthodes évoquées au chapitre trois. Nous avons rapidement rejeté l’hypothèse de modéliser des sauts en utilisant une loi de Poisson car cela n’était pas adapté à notre souhait.
En effet, à l’instar de la méthode additive outliers, ce type d’intervention n’est pas adaptéà notre étude car si, comme on l’a indiqué précédemment, on observe après les crises unretour à l’équilibre, ce retour n’est pas immédiat. La durée de retour à l’équilibre doit être52

adaptée au type de crises que l’on rencontre ou que l’on simule. Le graphique ci-dessous
représente une trajectoire obtenue en utilisant ce type d’intervention. Les hypothèses utilisées sont les suivantes : saut de -2% avec une probabilité de 5%. Il illustre le fait que
l’impact d’une baisse de l’inflation est immédiatement effacé si on utilise ce type d’intervention.

Figure 6.4 – Représentation locale de l’intervention ponctuelle

Nous avons ensuite testé la méthode d’intervention ponctuelle avec effet rémanent proposé par Box et Tiao : ce modèle semble parfaitement en accord avec ce qu’on souhaite
modéliser i.e. des chocs dont l’effet n’est pas immédiatement résorbé. Par ailleurs, il nous
semble intéressant de pouvoir, par l’intermédiaire du paramètre λ, modéliser un impact
plus ou moins long du choc. Cependant, un problème majeur de cette méthode peut résider dans l’estimation des trois paramètres de sauts : amplitude, probabilité d’occurence
et paramètre de résorption. Dans notre cas, ce problème ne se pose pas : en effet, c’est parl’intermédiaire de ces trois paramètres intégrés dans le modèle par le biais d’une interface
que le gérant du fonds peut intégrer son analyse macroéconomique. Les valeurs des coefficients sont donc déterminés « à dire d’experts ».
Comme nous l’avons vu, il est possible d’affiner encore le modèle d’intervention en
considérant une intervention ponctuelle avec effet rémanent et changement de niveau.
Nous n’avons pas retenu ce modèle pour ne pas surparamétrer le modèle et nous avons
considéré qu’estimer une différence de niveau, « à dire d’experts » introduisait trop de
subjectivité.
En conclusion, après avoir testé les différentes méthodes évoquées ci-dessus, nous avonschoisi d’utiliser l’algorithme de Box et Tiao avec la considération d’une fonction d’intervention avec effet rémanent sans changement de niveau et dont l’estimation des paramètres
est réalisée « à dire d’experts ».
Nous modéliserons de ce fait l’inflation par le processus suivant :
It =

k
X

s0
(T )
Pt j + SARIM At
1
−
λB
j=1

53

6.4

Lissage

Certaines équations du générateur de Wilkie nécessitent le lissage de la courbe del’inflation. Wilkie propose un lissage exponentiel. Nous avons étudié l’éventualité d’utiliser
le lissage de Winters qui a l’avantage de pouvoir prendre en compte la saisonnalité de lasérie lissée mais n’avons pas retenu cette méthode car son apport était limité.
Nous avons décidé de conserver le lissage exponentiel proposé par Wilkie.

54Chapitre 7

Modélisation de la croissance et dela croissance des dettes
La construction de scénarios de croissance mondiale a été remise en cause par la mauvaise qualité des prévisions effectuées, notamment dans les années 1960 et 1970. En effet,
dans la plupart des cas, un rattrapage général des niveaux de vie des pays industrialisés
les plus riches était prévu, y compris par les pays en développement, en trois ou quatre
décennies. Ces prévisions ont été particulièrement inexactes, une grande partie du monderestant jusqu’à présent exclue de ce phénomène de rattrapage. En dépit de ces échecs
passés, des hypothèses de croissance par pays restent tout de même indispensables.
La construction de scénarios de croissance mondiale à plus ou moins long terme reste donc
nécessaire, malgré l’incertitude inhérente à cet exercice. En outre, les notions de croissanceet particulièrement de croissance des dettes sont devenues particulièrement indispensables
depuis le début du XXIème siècle. Le lecteur pourra constater le rôle fondamental quejouent les prévisions de conjoncture dans la sélection des actions servant à optimiser leportefeuille.
Dans ce mémoire, nous ne proposons pas de modélisation très précise de la croissance :en effet, des modèles complexes existent, par exemple le modèle de Solow, mais leur utilisation nécessite un temps d’étude important. Le lecteur intéressé pourra consulter [14],consacrée à la modélisation de la croissance du PIB par un modèle de Mankiw, Romer etWeil (1992) ou encore [5].
Nous réaliserons ici une étude moins complexe et adopterons une démarche en deux étapes
pour prendre des décisions relatives à la valeur de la croissance : d’une part, nous réaliserons des projections à l’aide d’un modèle relativement simple que nous allons présenter ;d’autre part, entrera dans notre processus, la prise en compte des indicateurs avancés del’OCDE.
Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous aborderons le problème de la modélisation
de l’endettement d’un pays, qui est devenue un facteur fondamental ces dernières années :nous présenterons notamment la notion de solde primaire stabilisant la dette.

55

7.1

Modélisation de la croissance

7.1.1

Définitions

Tout d’abord, il est important de préciser que nous souhaitons modéliser la croissance
du produit intérieur brut (PIB) de chaque pays et non pas la croissance de la production
de chaque pays. Cette dernière mesure a été abandonnée par l’OCDE au mois d’Avril 2012.
En effet, en France par exemple, le secteur industriel ne représente plus qu’environ 9% dela croissance du PIB alors qu’auparavant, elle représentait environ 30% de la croissance,
ce qui explique qu’on la modélisait. Cette chute résulte des diminutions des marges desproduits industriels : un grand nombre d’entreprises françaises produit à perte en France
et réalise ses bénéfices dans des pays émergents tels que la Chine, l’Inde, le Brésil ou la
Roumanie.
Par ailleurs, pour modéliser la croissance des entreprises, on considérera de manière
approximative qu’il s’agit de la croissance du pays dans lequel elle a son activité. Pourles entreprises mondiales, on affinera le processus en essayant d’étudier chaque entreprise
individuellement. Ceci a pour objectif de ne pas surparamétrer le modèle. On étudiera lacorrélation sur le passé entre la croissance de chaque entreprise et la croissance du pays
pour définir si la modélisation est cohérente ou non.
Enfin, avant d’aborder la modélisation de la croissance à proprement parler, nous
souhaitons faire une remarque concernant le lien entre la croissance économique et lacroissance des dettes d’un Etat d’une part et, d’une entreprise d’autre part :– quand une société est en croissance, elle s’endette.
– quand un pays est en croissance, il se désendette, excepté en période de guerre oùla situation est inversée.
Après avoir présenté quelques généralités sur la croissance, nous présentons le modèle
que nous avons retenu.

7.1.2

Choix du modèle et calibrage

A long terme, une approximation classique consiste à considérer qu’il existe un lien
entre le taux d’intérêt nominal, le taux d’inflation et le taux d’intérêt réel. Plus précisément, on a la relation suivante :Taux d’intérêt Nominal = Taux d’Inflation + Taux d’intérêt Réel
Par ailleurs, il existe également un lien, à long terme, entre le taux d’intérêt réel et letaux de croissance réel de l’économie : en effet, ils sont généralement considérés comme
identiques. Ainsi,
Taux d’intérêt réel à long terme = Taux de croissance réel à long terme

56

Ces deux remarques préliminaires montrent que le taux de croissance est fonction de lavaleur des taux longs et du taux d’inflation. Toutefois, à l’appui de l’article [16], qui
présente une étude sur le lien entre l’évolution de la croissance et celle des taux réels àlong terme, aux États-Unis, nous avons constaté que ce lien n’était pas toujours observé.
En effet, le graphique ci-dessous présente l’évolution des taux réels et de la croissanceobservée depuis 1960. Les séries utilisées sont les suivantes :– taux longs : taux des obligations d’Etat, 10 ans, émis par le Trésor américain,– inflation : indice des prix à la consommation (IPC) en glissement annuel et en fréquence trimestrielle,– croissance : évolution du produit intérieur brut (PIB) en glissement annuel et en
fréquence trimestrielle.
La série des taux réels est obtenue en retranchant l’inflation des taux longs.

Figure 7.1 – Evolution de la croissance américaine

De plus, sur la période [2000 ; 2011] que l’on considère, voici l’évolution constatée :57

Figure 7.2 – Evolution de la croissance américaine

Par ailleurs, nous avons effectué quelques calculs de corrélation sur la période [2000 ;2011] afin d’étudier le lien entre les taux longs, l’inflation et la croissance du PIB.
Voici les résultats obtenus :Corrélation avec Taux Long

0,4237

Corrélation avec inflation

0,5750Corrélation avec Taux Réels-0,2914

Croissance moyenne

1,81%Taux réels moyens

1,62%

Table 7.1 – Statistiques Taux réels et croissance
Globalement, nous observons que la baisse des taux réels anticipe la baisse de la croissance dans plusieurs cas. L’étude citée en début de paragraphe précise que la corrélation
entre la croissance et les taux réels 10 ans depuis 1963 est de 0.24 et conclut qu’il n’existe
pas de relation stable sur longue période entre les taux réels et la croissance de l’économie
américaine.
Du reste, à l’appui des calculs réalisés sur la période à laquelle on s’intéresse, il nous
semble délicat d’utiliser l’approximation de l’égalité des taux réels et de la croissance, lesstatistiques montrant que cette modélisation n’est pas appropriée.
Par ailleurs, rappelons que dans le GSE que l’on construit, nous simulons l’évolution dela core inflation et non de l’inflation totale. Ainsi, la série obtenue en retranchant la core
inflation des taux long terme n’est pas celle des taux réels. Le coefficient de corrélation
entre cette série et la série de la croissance est toutefois de 0.40.

58Une méthode étudiée pour anticiper l’évolution future de la croissance consiste à considérer les taux longs comme un indicateur avancé de la croissance. Cependant, même si l’on
constate qu’effectivement, globalement, les taux longs anticipent l’évolution de la croissance, le délai entre les deux évolutions n’est pas constant ce qui rend nos prévisions peu
fiables. Dans la prochaine partie, nous présenterons un indicateur avancé de l’OCDE (leComposite Leading Indicator (CLI)) qui est performant.
Malgré ces remarques, nous souhaitons tout de même utiliser le fait que les évolutions
des taux d’inflation et des taux nominaux sont corrélées avec l’évolution de la croissance.
Ainsi, nous avons étudié différentes méthodes pour modéliser une relation du type :Croissance = f(inflation, taux longs)
Une première idée était d’utiliser des modèles à correction d’erreurs. Or, pour utiliser
ce type de modèle et ainsi pouvoir appliquer le théorème d’Engel et Granger, il fauts’assurer que les séries étudiées sont cointégrées. Or, l’étude de la série de la croissancenous a montré qu’elle était stationnaire alors que les séries de l’inflation et des taux longs
sont intégrées à l’ordre un. En effet, voici les p-values obtenues pour les séries brutes desÉtats-Unis :Dickey-Fuller

Philipps-Perrond

KPSS

Croissance

0,01420,0401> 0,1

Inflation

0,4694

0,6141< 0,01

Taux réels

0,23360,37090,0150

Table 7.2 – P-values des tests de stationnarité
Lorsque l’on différencie une fois les deux séries non stationnaires, on obtient des séries
stationnaires. Ainsi, après cette constatation, nous avons conclu que ce type de modélisation n’était pas adapté à notre étude.
Dans ces conditions, il reste une méthode simple envisageable pour modéliser la croissance : il s’agit de la régression linéaire multiple. Nous choisissons donc de réaliser une
régression pour modéliser la croissance sur ces deux variables que l’on peut modéliser à
l’aide du générateur de Wilkie. L’équation régissant l’évolution de la croissance est donc
du type :Gt = k + αG ∗ It + βG ∗ Ct + tOù, (Gt )tinN représente la série de la croissance, en glissement annuel.
Voici la valeur des coefficients calculés pour les États-Unis ainsi que les résultats destests de significativité :59

ValeurStandard error

P-values test student

Constante

0,00040,0002927

0,1033

Inflation-0,12

0,05885

0,0366

Taux longs

0,21

0,04037

5,78.10-7

Table 7.3 – Coefficients et tests
Notons que les coefficients obtenus sont significatifs (à 5%) sauf la constante. En effet,
les p-values obtenues en réalisant le test de Student sont inférieures à 0.05. Néanmoins,
si nous choisissons de retirer la constante de la modélisation, cela fait diminuer l’adjusted
R2. Pour cette raison, nous avons décidé de la conserver.
Nous nous contentons de présenter les résultats obtenus pour les États-Unis. La mêmedémarche a été appliquée pour les autres pays.
Le R2 global obtenu est de 19%, ce qui n’est pas très élevé. Nous retenons tout de mêmecette modélisation bien qu’ayant conscience qu’il s’agit d’une approche relativement élémentaire.
Pour remédier au problème du R2, nous proposons d’étudier les indicateurs avancés del’OCDE pour affiner ces prévisions. Le paragraphe suivant est consacré à l’étude des indicateurs de l’OCDE pouvant nous permettre de prendre des décisions rationnelles etfiables.

7.1.3

Indicateurs de l’OCDE

Les indicateurs conjoncturels avancés sont des séries chronologiques descriptives donnant des informations anticipées qui servent d’outils d’analyse et de prévision macroéconomique. Ils peuvent être de plusieurs types : des indicateurs avancés de conjonctureéconomique, de retournement de la conjoncture, de crise de change, de crise monétaire,
etc. Ces indicateurs avancés peuvent donc nous être utiles pour prévoir l’évolution futurede la croissance d’un pays et anticiper un éventuel retournement.
Le principe d’un indicateur avancé est simple : étant donné le retard enregistré dans lamise à disposition des principales statistiques économiques (série de référence), on essaie
d’identifier un ensemble de variables (appelées indicateurs avancés) disponibles plus rapidement et qui évoluent préalablement à la série de références. Dans notre cas, nous avons
considéré successivement deux séries de références : le produit intérieur brut (PIB) et l’indice des prix à la consommation (IPI). Notons que la considération de l’une ou l’autre deces séries est équivalente pour prévoir les crises ou les récessions.
Cependant, l’utilisation des indicateurs avancés est confrontée à deux types de risques :le risque de faux signaux et le risque de signaux manquants. Une analyse précise des indicateurs avancés est donc indispensable afin de tester leur fiabilité et leur prévision.
Le National Bureau of Economic Research (NBER) des États-Unis a défini cinq critèrespour évaluer le comportement des indicateurs :– Rôle de mesure : il doit exister un lien économique clair entre l’indicateur et la série
de référence.
– Qualité de la mesure.
60

– Homogénéité des avances : l’horizon de la prévision doit être suffisamment stable
pour donner des signaux crédibles.
– Possibilité d’identification rapide des retournements cycliques : cette propriété est
relative au risque de signaux manquants qui découleraient d’un délai de détection
trop long.
– Rapidité et fréquence de la communication des statistiques : la rapidité dans la fourniture de l’information est essentielle pour la pertinence de l’indicateur.
Une étude précise sur notre période de référence [2000 ; 2011] montre que pour prévoir
les retournements de la croissance des pays étudiés de façon fiable, le Composite Leading
Indicator (CLI) est le plus performant, notamment pour les États-Unis. En effet, avec l’aided’étudiants de l’ENSAE, nous avons comparé le pouvoir prédictif de quatre indicateurs
sur cette période et voici les résultats obtenus (nous présentons ci-dessous les résultats
obtenus pour les États-Unis) :Indicateurs et ac-

Nombre de mois

Ralentissements

Ralentissements

Prédictions réali-tivité économiqueoptimal de prévi-

non prédits

prédits mais non

sées

sions

réalisés

CLI

5

0

17

82

SP500

6

23

27

50

ECRI

6

21

24

55

Conference board

7

16

17

67

Table 7.4 – Indicateurs avancés - pouvoir prédictif sur le PIB
Cette étude nous a permis de conclure que le CLI était l’indicateur le plus performant
actuellement pour prévoir les retournements de conjoncture. Cependant, il convient derester vigilant car cet indicateur a tendance à prévoir trop de retournements. L’étude dela mise en place de stop loss en cas de signe de retournement peut être envisagée afin dese protéger contre une éventuelle baisse.
Par ailleurs, une étude plus précise du CLI, sur une période plus large, nous a permis dedéfinir le nombre de mois d’anticipation du CLI, pour différents pays. Elle nous a permis
de conclure que le CLI n’était pas performant pour les pays émergents et qu’il possède une
certaine robustesse pour d’autres pays, notamment la France et l’Allemagne. Le tableau
ci-dessous récapitule les résultats pour les quatre pays que l’on étudie plus précisément,
en considérant l’IPI comme série de référence :Pays/Période

Sans crise

Période 74-81

Période 02-05

Période 07-08

France7 mois

6 mois

5 mois7 moisÉtats-Unis

6 mois

6 mois

5 mois4,5 mois

Allemagne

5 mois

4 mois

5 mois3,5 moisJapon

4 mois

5 mois2 mois< 1 mois

Table 7.5 – Période d’anticipation du CLI sur l’IPI

61

Nous proposons en annexe quelques résultats plus détaillés relatifs à cette étude. Nousn’avons pas souhaité les indiquer dans le corps du mémoire car cette étude possède un
caractère actuariel limité.

7.2

Indicateur IFO

En plus de l’étude précédente, nous avons étudié l’indice calculé mensuellement parl’Institut für Wirtschaftsforschung (IFO) qui permet de suivre la confiance de 7000 entrepreneurs allemands vis à vis de leur économie nationale. De part l’importance de l’économie allemande dans la zone euro, la valeur de l’IFO, publiée le dernier mercredi de chaquemois par l’institut de conjoncture, peut influencer grandement le niveau de l’euro sur lemarché des changes et donc l’évolution du marché. Le nombre de mois d’anticipation decet indice est de six mois ; par ailleurs, l’IFO possède la particularité de n’avoir manqué
aucune récession de l’économie allemande depuis 1993. Ainsi, nous nous intéresserons à
son évolution pour réaliser nos scénarios.
Pour conclure, nous proposons la table de décision suivante pour prendre des décisions
relatives à la croissance :Indicateurs/Scénarios

Projections GSE

Interprétation Indicateurs

Conclusion

Scénario 1

Croissance

Positif

CroissanceScénario 2

Croissance

Retournement

Zone de perturbation

Scénario 3

Décroissance

Positif

Zone de perturbation

Scénario 4

Décroissance

Retournement

Décroissance

Table 7.6 – Table de décisions

7.3

Modélisation de la croissance des dettes

7.3.1

Notion de solde primaire stabilisantAfin d’étudier la croissance des dettes des pays, introduisons la notion de solde primairestabilisant la dette. Cette notion est primordiale dans l’évolution de la dette. N’ayant
pas trouvé de démonstration claire de l’expression du solde primaire stabilisant la detted’un pays, nous avons souhaité proposer notre propre démonstration. Définissons dans unpremier temps différentes variables :– Bt : dette à la date t en euros– Dt : dette à la date t en pourcentage du PIB– St : solde sur la période [t-1 ;t] en euros– Pt : solde sur la période [t-1 ;t] en euros hors charge de la dette appelé Solde primaire– pt : solde primaire sur la période [t-1 ;t] en pourcentage du PIB– p∗t : solde primaire stabilisant sur la période [t-1 ;t] en pourcentage du PIB– it : taux d’intérêt apparent moyen de la dette– ct : taux de croissance du PIB62

La dette vérifie l’équation d’accumulation suivante :Bt+1 = Bt − St+1
Cette équation peut s’écrire en fonction du solde primaire de la façon suivante :Bt+1 = Bt × (1 + it ) − Pt+1
En écrivant cette équation en pourcentage du PIB, cela donne :Bt+1
Bt × (1 + it ) − Pt+1=
P IBt+1
P IBt+1
Dt+1 =

1 + itBt
×− pt+1
P IBt 1 + ct

Dt+1 = Dt × (1 +it − ct) − pt+1
1 + ctAinsi, on obtient la variation de la dette sur une année, en fonction de la dette en t-1, dusolde primaire, du taux de croissance du PIB et du taux d’intérêt apparent moyen de ladette :
Dt+1 − Dt = (it − ct) × Dt − pt+1
1 + ctLe solde primaire stabilisant est le solde à partir duquel la dette en t est supérieure àla dette en t+1 i.e. il vérifie Dt+1 − Dt = 0. Soit :p∗t+1 = (it − ct) × Dt1 + ctSi le solde primaire de l’année (Recettes-dépenses hors service de la dette) est supérieur
au solde primaire stabilisant, la dette diminue. Par ailleurs, plus l’intérêt payé sur la detteest faible et plus la croissance est forte, plus le solde primaire stabilisant est petit et donc
plus il est possible que le solde primaire effectif de l’année soit supérieur au solde primairestabilisant.

7.3.2

Modèle retenu

A partir de cette notion, nous allons maintenant proposer une méthode pour modéliser l’évolution de la dette d’un pays. Celle-ci dépend, comme nous l’avons vu dans lapartie précédente, des déficits successifs constatés chaque année. Ces déficits dépendentde la politique mise en place, ce qui rend les prévisions relativement complexes. Ainsi,
afin de modéliser l’évolution de la dette, nous allons devoir faire plusieurs scénarios. Noussouhaitons réaliser des projections sur un an et cinq ans. Rappelons le déficit annuel, la
dette ainsi que la croissance des quatre pays étudiés durant les dernières années, en % du
PIB :

63

Pays

FranceÉtats-Unis

Allemagne

Japon

2003

-4,1%

-5,0%

-4,0%

-7,9%

2004

-3,6%

-4,4%

-3,8%

-6,2%

2005

-3,0%

-3,3%

-3,3%

-6,7%

2006

-2,3%

-2,2%

-1,6%

-1,6%

2007

-2,7%

-2,9%

-0,3%

-2,4%

2008

-3,3%

-6,3%

-0,1%

-2,2%

2009

-7,5%

-11,3%

-3,0%

-8,7%

2010

-7,0%

-10,6%

-3,3%

-8,1%

Table 7.7 – Déficit annuel
Pays

FranceÉtats-Unis

Allemagne

Japon

2003

63,3%

60,2%

65,4%

158,0%

2004

65,2%

61,2%

68,8%

165,5%

2005

66,8%

61,4%

71,2%

175,3%

2006

64,1%

60,8%

69,3%

172,1%

2007

64,2%

62,0%

65,3%

167,0%

2008

68,2%

71,0%

69,3%

174,1%

2009

79%

84,3%

76,4%

194,1%

2010

82,3%

93,6%

87,0%

199,7%

Table 7.8 – Dette annuelle
Pays

FranceÉtats-Unis

Allemagne

Japon

2003

0,9%

2,5%

-0,2%

1,4%

2004

2,5%

3,6%

1,2%

2,7%

2005

1,8%

3,1%

0,8%

1,9%

2006

2,5%

2,7%

3,4%

2,0%

2007

2,3%

1,9%

2,7%

2,4%

2008

-0,1%

0,0%

1,0%

-1,2%

2009

-2,7%

-2,7%

-4,7%

-6,3%

2010

1,5%

2,9%

3,6%

3,9%

Table 7.9 – Croissance annuelle
Afin de modéliser l’évolution de la dette d’un pays, nous sommes contraints de faire desscénarios sur l’évolution du déficit (primaire ou non). Voici quelques exemples de scénarios
que l’on peut envisager :– stabilisation du déficit– déficit réduit en 5 ans à 3% du PIB– déficit réduit en 5 ans à 0– augmentation du déficit de 10%64

Notons que ces scénarios dépendent de la politique mise en place et qu’ils doivent êtreactualisés afin que la modélisation obtenue soit cohérente.
Une fois que les scénarios ont été choisis, nous proposons de les pondérer afin d’en déduirel’évolution de la dette : pour cela, nous comparons l’évolution ce déficit par rapport àla valeur du solde primaire stabilisant la dette en prenant comme hypothèse que le tauxd’intérêt apparent de la dette est stable. Cette dernière hypothèse est acceptable dans lamesure où les projections sont réalisées sur un horizon moyen terme.
La méthode décrite ci-dessus nous permet d’obtenir une modélisation de la croissancedes dettes pour chaque pays étudié. Néanmoins, nous sommes conscients que la modélisation présentée n’est pas idéale et qu’il conviendrait de l’affiner pour obtenir des modélisations plus pertinentes et moins déterministes : en effet, le recours a des scénarios surl’évolution du déficit introduit nécessairement une part de déterminisme dans le processus. Cette modélisation ayant un impact limité dans l’application que nous proposons audernier chapitre, nous avons préféré conserver un modèle simple.
En conclusion, nous avons décidé d’accorder plus d’importance aux indicateurs del’OCDE et de l’IFO que ce que nous avions prévu initialement. La performance de ces
indicateurs étant prouvée, nous leur accorderons une place privilégiée dans le processus
d’optimisation.

65

Chapitre 8

Calibrage du modèle etsimulations
Ce chapitre est consacré aux calibrages des équations relatives au générateur de Wilkie
présentées au chapitre trois. Nous ne revenons pas ici sur le calibrage de l’équation del’inflation car nous avons consacré un chapitre entier à cette grandeur centrale.
Dans une première partie, nous allons présenter les données utilisées ainsi que la valeur decertains paramètres. Par souci de concision, nous ne donnerons pas la valeur de l’estimation
de tous les paramètres.
La seconde partie sera consacrée aux simulations. Nous rappelons différentes méthodes
permettant de simuler une loi de probabilité, en particulier une loi gaussienne. Par ailleurs,
nous revenons rapidement sur les générateurs de nombres aléatoires.
La troisième partie sera consacrée aux résultats des simulations. Nous commenterons etanalyserons les projections obtenues.

8.1

Données et calibrage des équations

8.1.1

DonnéesCette partie est très importante car il est impossible d’obtenir des projections fiables etinterprétables si les données initiales ne sont pas pertinentes. De ce fait, nous avons attaché
une importance particulière au choix les données d’une part, en déterminant une période
précise, un pas ainsi qu’un nombre de pays à considérer et, d’autre part, en retraitant lesdonnées obtenues.
Choix de la période
Tout d’abord, il est important de définir une période commune à toutes les donnéesainsi qu’un pas. Nous avons choisi de considérer les données mensuelles sur la période[2000 ; 2011]. Cette période nous semblait appropriée pour prendre en compte les changements de contexte politico-économique que l’on a évoqués au chapitre quatre. Par ailleurs,
ayant défini cette période, il nous semblait opportun de considérer des données mensuelles :en effet, des données annuelles ou trimestrielles nous donneraient une profondeur d’historique trop faible pour que notre modélisation soit fiable.

66

Afin d’obtenir l’ensemble des données nécessaires à la modélisation, nous avons utilisé
Bloomberg.
Remarque 1 : Pourquoi ne considère-t-on pas les données des années 1930 tant le rapprochement avec les années 2000 a été fait ?
Nous avons décidé de ne pas prendre en compte les données des années trente, eu égard
au traitement très politique de cette crise. En effet, le président de la réserve fédérale
des États-Unis a pris des décisions discutables a posteriori qui ont engendré trois crises
bancaires. Par ailleurs, il est difficile d’obtenir l’ensemble des données nécessaires de cetteépoque.
Remarque 2 : Pourquoi n’a-t-on pas non plus considérer les données des années 1990 ?
Nous avons choisi de ne pas le faire car la période actuelle nous semble réellement différente de celle d’il y a vingt ans, période durant laquelle la moitié des caisses d’épargne adisparu.
Choix des pays
Nous avons choisi de calibrer des équations pour six pays, avec des caractéristiques
différentes :– Les États-Unis : ce pays est à l’origine du départ de la majorité des cycles économiques. Il est donc intéressant de modéliser l’évolution des variables de ce pays.
Par ailleurs, dans l’application que nous avons réalisée, nous considérons quarante
valeurs américaines afin d’optimiser un portefeuille.
– La France et l’Allemagne : il s’agit des deux pays moteurs de la zone euro, à l’instantoù ces lignes sont écrites, ils traduisent bien l’évolution future de la zone euro.
– Le Japon : pays atypique caractérisé par une récession chronique depuis la crise de
1989. Réalisant un générateur de scénarios économiques basé en partie sur l’étude
macroéconomique de la croissance des dettes, il est indispensable de modéliser l’évolution de ce pays.
– L’Italie et l’Espagne : Ces deux pays souffrent d’une dette publique colossale. Ils ont
choisi deux manières différentes pour endiguer la crise de la dette. Il nous semble
important de les étudier.
Notons toutefois que le générateur économique créé peut s’adapter à tous les pays. Il
convient seulement de s’assurer de la bonne qualité des données afin d’obtenir des estimations fiables.
Retraitement des données
Comme nous l’avons indiqué dans la partie concernant la description du générateurde scénarios de Wilkie, il est parfois nécessaire de retraiter les données afin de rendre lesséries modélisables par des séries temporelles ; plus précisément, il faut utiliser des transformations rendant les séries stationnaires.

67

Voici les séries que l’on a considérées pour l’ensemble des données :Série brute

Séries modifiéesCore Inflation : CPII(t)Rendement des dividendes Y(t)ln(Y(t))Montant des dividendes D(t)ln(D(t)/D(t-1))

Taux long : B(t)ln(B(t))Taux court : C(t)ln(C(t)/C(t-1))

Table 8.1 – Données considérées
Nous avons réalisé des tests de stationnarité à l’aide des tests de Dickey-Fuller, dePhilipps-Perrond et de KPSS. Nous avons constaté que les séries modifiées vérifiaient bienles tests de stationnarité.

8.1.2

Calibrage

Les séries étant modifiées, nous pouvons calibrer les équations. Pour réaliser cetteétape, nous avons utilisé le logiciel R qui s’avère un outil puissant et rapide pour ce genre
de calculs. Nous avons procédé au calibrage de chacune des équations, pour chacun dessix pays. Par ailleurs, dans le chapitre suivant, nous avons calibré les équations de l’inflation, du rendement des actions et du montant des dividendes pour plusieurs actions.
Voici, par exemple, les coefficients que l’on a déterminés pour ces trois premières équations correspondant au jeu de données des États-Unis. L’ensemble des coefficients utiliséspour calibrer les lois Pareto hybrides est présenté en annexe. Pour plus de lisibilité, nous
rappelons les équations utilisées :It = SARIM At
yt − ym = αY × It + βY × (yt−1 − ym ) + σY × Y,tdt − dm = αD × It + βD × M (t) + µD × Y,t−1 + ξD × σD × D,t−1 + σD × D,tNous notons les paramètres du SARIMA relatif à l’inflation de la façon suivante :– AR : coefficient relatif à la partie autorégressive,– MA : coefficient relatif à la partie moyenne mobile non saisonnière,– SMA : coefficient relatif à la partie moyenne mobile saisonnière.
Coefficients

AR

MA

SMA

Ecart type

Valeurs-0,070

-0,13

-0,85

0.0013

Table 8.2 – Paramètres - Inflation
Coefficients

ym

αY

βY

σY

Valeurs

-0,63

-0,28

0,81

0,052

Table 8.3 – Paramètres - Rendement des dividendes
68Coefficients

dm

αD

βD

µD

ξD

σD

Valeurs

0,0034-0.023-0,024-0,0100,015

0,0039

Table 8.4 – Paramètres - Montant des dividendes
Nous tenons à préciser deux points importants concernant les estimations présentées
dans les tableaux ci-dessus :– Les coefficients autres que ceux estimés ci-dessus, comme les coefficients de la « partie
sauts » des équations, sont déterminés de manière déterministe, à dire d’experts, enfonction de la probabilité de crises que l’on souhaite modéliser.
– L’ensemble des coefficients présentés ci-dessus ne sont pas significatifs. En effet, nous
avons réalisé des tests de student pour tester la significativité de chaque coefficient
et il ressort que certains ne le sont pas. Par exemple, pour l’équation du montant desdividendes, la constante dm n’est pas significative dans le cas des États-Unis. Cependant, dans la mesure où l’adjusted R2 ne diminuait pas, nous avons préféré conserver
l’ensemble des paramètres afin de garder la structure du modèle de Wilkie. De plus,
rappelons le sixième principe évoqué au chapitre trois : l’idée fondamentale ici est
de trouver les paramètres optimaux et non pas d’estimer des coefficients significatifs.
Par ailleurs, comme nous l’avons signalé dans la partie relative à la modélisation desrésidus, nous avons utilisé la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer lesparamètres de queue des lois de Pareto hybrides.

8.2

Méthodes de simulations

Les équations étant calibrées, il convient à présent d’effectuer les simulations. Pourcela, il est nécessaire de générer des nombres aléatoires, quelle que soit la méthode desimulation choisie.
Dans un premier paragraphe, nous rappelons les points importants concernant la génération de nombres aléatoires. Pour cela, nous conseillons au lecteur soucieux d’avoir plus dedétails à ce sujet de consulter [13] . Nous nous contentons de souligner les points qui nous
semblent importants.
Dans un second paragraphe, nous présentons la méthode choisie pour simuler les résidus.
Enfin, nous présentons quelques trajectoires obtenues lors de la simulation du jeu de données des États-Unis.

8.2.1

Générateurs de nombres aléatoires

Tout d’abord, rappelons que la génération de nombres aléatoires uniformes est très importante pour construire un générateur de scenarios économiques car c’est elle qui apportel’aléa dans l’algorithme. Il faut donc attacher une importance particulière à cette sourced’aléa. Le modèle perdra tout son intérêt si la source d’aléa devient cyclique par exemple.
Par ailleurs, rappelons qu’en informatique, l’aléatoire n’existe pas et que nous avons justela possibilité de générer des séries qui ressemblent à l’aléa.

69

Il existe plusieurs types de générateurs regroupés en deux classes :– les générateurs congruentiels linéaires ou multiplicatifs,– les générateurs quasi aléatoires dont la construction est basée sur des suites à discrépance faible telles que les suites de Van Der Corput, Halton, Fauré et Sobol oul’algorithme de Tore.
La discrépance d’une suite traduit le fait que celle-ci est bien répartie sur son ensemblede définition : plus la discrépance est faible, plus la répartition de la suite sur son ensemblede définition est bonne. Des études ont montré que la discrépance des suites à discrépancefaible est meilleure que celle des suites pseudo-aléatoires.
Le générateur Random d’Excel est un générateur congruentiel. Il a été prouvé quecelui-ci est moins efficace que le générateur obtenu avec les suites de Fauré ou de TORE.
Pour tester le caractère aléatoire des séries simulées, il existe plusieurs tests notamment les tests de Diehard ou les tests du National Bureau of Standards. Rotz et al ont
démontré dans [24] que le générateur d’Excel réussit les tests cités ci-dessus. Ils ont notéque pour voir apparaître une répétition, il faut une série de 1013 tirages. Par ailleurs, ils
donnent une méthode pour améliorer le processus Random d’Excel consistant à utiliser lafonction Randomize avant chaque appel de la fonction Random.
Cette étude réalisée par Rotz et al nous incite à utiliser la fonction Random d’Excel,
malgré les constatations présentées dans le mémoire de J. Kouassi.

8.2.2

Générations de lois de probabilité

Disposant de nombres aléatoires, il convient à présent de modéliser des réalisations delois de probabilité. Pour notre mémoire, nous avons besoin de modéliser des lois normales
et des lois de Pareto généralisées. Pour simuler une loi normale, il existe de nombreusesméthodes. Citons les méthodes les plus connues :– méthode d’inversion de la fonction de répartition avec l’algorithme de De Moro ou
la méthode d’inversion d’Acklam.
– méthode du rejet.
– méthode de simulation par transformation de variables uniformes, notamment laméthode de Box-Muller.
Le lecteur trouvera une description précise de ces méthodes dans le mémoire de J. Kouassi [13].
Pour simplifier nos programmes, nous avons choisi d’utiliser la méthode d’inversion
de la fonction de répartition. Dans le chapitre consacré à la loi de Pareto hybride, nous
avons présenté une expression de la fonction de répartition inverse de la loi de Pareto
hybride ainsi que de la loi de Pareto généralisée. Par ailleurs, nous utiliserons directement
la fonction d’Excel Loi normale inverse pour simuler des réalisations de la loi normale.
Nous avons tout de même cherché à coder cette fonction directement sur VBA ce qui
accélère l’algorithme. Le lecteur intéressé trouvera le code en annexe.
70

8.3

Projections et comparaisons

8.3.1

Projections obtenues

Par souci de concision, nous ne présentons pas l’ensemble des courbes obtenues. Cela
aurait un intérêt limité. Toutefois, pour illustrer nos travaux, nous souhaitons tout demême présenter quelques trajectoires. Ainsi, nous représentons une trajectoire possible
concernant l’inflation et l’indice de référence pour la France, les États-Unis, le Japon etl’Allemagne dans le cas du générateur sans saut et dans le cas du générateur avec un
saut sous certaines probabilités. Nous représentons ici des projections à cinq ans pour legénérateur sans saut et à un an pour le générateur avec saut.

71

Figure 8.1 – Exemple de projections obtenues avec le GSE sans saut

Les trajectoires présentées ci-dessus ont été obtenues à l’aide du GSE sans saut. En réalisant la moyenne de 3000 trajectoires, nous obtenons une projection relativement stable.
Les trajectoires obtenues ci-dessus sont envisageables. Cependant, nous ne pouvons pas
faire plus de commentaires car il s’agit de quelques trajectoires parmi plusieurs milliers.

72

Figure 8.2 – Exemple de projections obtenues avec le GSE avec sauts

Les trajectoires présentées ci-dessus ont été obtenues à l’aide du GSE avec saut. Nousavons utilisé les hypothèses suivantes :– pour l’inflation : une chute de 1% avec une probabilité de 5% et un retour en 3 ans ;– pour les indices : une chute de 20% avec une probabilité de 5% et retour en 1 an.
Nous observons que l’inflation allemande, par exemple, devient négative dans la projection présentée et que le DAX reste à un niveau stable. Cependant, de même que pour les
73

projections précédentes, nous ne pouvons pas faire plus de commentaires car il s’agit dequelques trajectoires parmi plusieurs milliers.
Par ailleurs, il est intéressant de présenter les résultats de l’évolution de l’inflation obtenus en faisant la moyenne de 1000 simulations. Nous représentons ici l’évolution attendueà un an.

Figure 8.3 – Projections à 1 an

A partir de 1000 simulations, nous obtenons un résultat stable.
Les résultats présentés ci-dessus suggèrent que l’inflation dans la zone euro, après avoir
remonté légèrement, va diminuer de nouveau en fin d’année. En effet, on observe qu’enFrance, l’indice des prix à la consommation progresse de +1,5% sur une année glissante(décembre 2011 - décembre 2012) ; en Allemagne, il progresse de +1,0%. Dans la crise
déflationniste dans laquelle l’Europe est entrée, résultant des politiques d’austérité mises
en place, ces projections semblent réalistes. Le fait que l’inflation allemande augmente
moins que l’inflation française est un résultat cohérent dans la mesure où les politiques
allemandes prônent une politique d’austérité beaucoup plus exigeante que celle souhaitéepar la France.
Aux États-Unis, l’inflation continuera à progresser d’après nos projections. La politiquede relance des États-Unis, avec notamment les « quantitative easings » (QE) avait pourbut de maintenir l’activité du pays et a permis de maintenir l’inflation à un niveau assezélevé. La projection nous semble réaliste.
Enfin, d’après nos projections, le Japon restera, à horizon un an, dans la crise déflationniste
initiée depuis les années 1990.

74

8.3.2Comparaisons

Il est également intéressant de faire différentes comparaisons suite au choix que l’on afait tout au long de notre étude. Dans un premier temps, nous allons comparer le pouvoir
prédictif de l’équation de l’inflation. Ensuite, nous évaluerons les différences constatées enmodélisant les résidus par une loi de Pareto hybride ou pas une loi normale.
Pouvoir prédictif
Différents critères peuvent être utilisés pour estimer le pouvoir prédictif d’un modèle.
Nous présentons ici les résultats obtenus pour trois critères classiques :– la somme des carrés des résidus (SCR)– l’erreur quadratique moyenne (MSE)– la racine du carré moyen des erreurs (RMSE).
Nous avons comparé les résultats obtenus en utilisant le processus autorégressif d’ordre
un proposé par Wilkie (1985) et notre modélisation SARIMA. Pour cette comparaison,
nous avons conservé la modélisation des résidus par une loi normale afin de pouvoir évaluer
uniquement l’impact du changement du processus.
Voici les résultats obtenus pour la France et les États-Unis :
```
```
`

```Modélisation AR(1)
```
```
`

SARIMA

SCR

2,80450,00032MSE

0,02062,26.10-4

RMSE

0,1436

0,015

Indicateurs

Table 8.5 – Pouvoir prédictif - Inflation France
```
```
`

Indicateurs```Modélisation AR(1)
```
```
`

SARIMASCR

1,33

0,00024MSE

0,0094

1,67.10-6

RMSE

0,097

0,0013

Table 8.6 – Pouvoir prédictif - Inflation US
Les deux tableaux précédents montrent que le pouvoir prédictif du modèle retenu est
supérieur à celui du modèle proposé par Wilkie, ce qui confirme que notre modélisation est
plus appropriée. En effet, tous les indicateurs calculés pour notre modèle sont inférieurs
à ceux du modèle initial ce qui traduit un pouvoir prédictif supérieur. Par exemple, lacomparaison des Roots Mean Square Error (RMSE) obtenues pour le jeu de données de laFrance est cent fois supérieur avec la modélisation que l’on a retenue. Nous pouvons fairela même remarque pour les États-Unis.

75

De plus, nous pouvons noter que les projections obtenues ne sont pas très différentes decelles obtenues avec le générateur de Wilkie et qu’elles suivent la même tendance (Nous neles représentons pas ici). Cela nous permet d’affirmer que notre objectif initial est respecté :en effet, en améliorant certains aspects du modèle, nous sommes tout de même parvenus
à conserver sa structure.
Pareto hybride vs Loi normale
Il est également intéressant de comparer les résultats obtenus en simulant les résidus
par des lois Pareto hybrides et par des lois gaussiennes. Nous constatons que les résultats
ne sont pas très différents, ce qui confirme que notre modélisation des résidus en utilisantla loi Pareto hybride n’est pas aberrante. De surcroît, ce choix possède l’avantage d’être
modifiable facilement en ajustant les paramètres de queue. Pour illustrer notre propos,
voici l’évolution de l’inflation lorsque l’on suppose que les résidus sont simulés avec une
loi gaussienne :Figure 8.4 – Projections à 1 an avec la loi normale

En comparant ces courbes avec celles de la figure 8.3, nous observons que les évolutions
sont semblables. Notons que nous faisons la même remarque concernant les projections relatives aux indices, c’est la raison pour laquelle nous ne les avons pas présentées ici.
En conclusion de cette partie, nous pouvons considérer que les changements apportésau GSE initial sont pertinents dans la mesure où les projections obtenues sont réalistes,
comme en témoignent les projections de l’inflation à un an ou les résultats de l’application
proposée au chapitre suivant. Par ailleurs, notons que le GSE obtenu est robuste : en effet,
en faisant la moyenne de 1000 simulations, nous obtenons des projections stables.
76

Chapitre 9

Optimisation d’un portefeuille
Ce chapitre vise à exploiter le générateur de scénarios économiques créé et à l’appliquer
pour optimiser un portefeuille d’actions internationales. Nous présentons ici une méthodepour calculer l’utilité d’un portefeuille afin d’améliorer son rendement. Notons que laméthode appliquée n’est pas classique. En effet, elle consiste à choisir les actions résistantle mieux aux crises : on désignera par l’expression actions résilientes ce type d’actions.
Pour cela, nous projetons tous les titres en intégrant des probabilités de crises majeures.
Après avoir rappelé la définition ainsi que les méthodes de calcul de la value at risk (VaR),
nous présenterons précisément la démarche de gestion flexible par les risques mise en placepour optimiser le portefeuille du fonds.

9.1

Les indicateurs de risque

9.1.1

Variance, skewness et value at risk

Traditionnellement, on distingue trois indicateurs de risque : la variance, le skewness
et la value at risk. Nous avons choisi de ne pas retenir la variance car nous considérons que
cet indicateur n’est pas pertinent, qui plus est en période de crise. En effet, la variance nefait pas de distinction entre les variations négatives et positives. Par ailleurs, cet indicateurpossède beaucoup de bruit dans les périodes de crises, ce qui rend son estimation délicate.
Nous privilégierons donc une combinaison de la VaR et du skewness ; nous critiquerons
toutefois cette approche qui a tendance à favoriser les pays à forts stabilisateurs automatiques.
Un coefficient positif du skewness traduira le fait que les rendements sont étalés vers ladroite ; un coefficient négatif, qu’ils sont étalés vers la gauche.
Par ailleurs, nous avons choisi de considérer la VaR plutôt que ces dérivés par souci desimplicité. En effet, il est plus facile d’expliquer à des investisseurs potentiels, non statisticiens, le principe de la VaR plutôt que celui des dérivés de la VaR comme la TVaR.
Notons toutefois que l’utilisation de la VaR introduit déjà le concept de perte maximale,ce qui nous permet d’introduire, au paragraphe 9.2, le principe des actions résilientes.

9.1.2

Calcul de la value at risk

Le calcul du skewness ne pose pas de problème. Celui de la VaR est plus délicat. En
effet, il existe plusieurs méthodes pour la calculer : la méthode delta normale, l’approxi77

mation delta gamma, la méthode du bootstrap paramétrique ou encore celle du bootstrap
non paramétrique. Toutes les méthodes sont décrites de manière précise dans [11] qui traite
de l’utilité de la VaR et de son calcul.
Après avoir testé l’ensemble de ces méthodes qui donnent des résultats similaires, nous
avons choisi la méthode du bootstrap non paramétrique. Ce choix résulte notamment dufait que l’on simule les résidus par une loi Pareto hybride et non plus une loi normale. Un
point est fait en annexe sur cette méthode.
Par ailleurs, nous souhaitons rappeler la définition de la value at risk qui est parfois méconnue. Une définition littéraire est la suivante : la value at risk représente la perte potentielle
maximale d’un investisseur sur la valeur d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs financiers
compte tenu d’un horizon de détention et d’un intervalle de confiance.
Mathématiquement, cela se traduit de la façon suivante :P(X ≤ V aR) = p
Où, dans notre cas, X représente la distribution des rendements et p une probabilité à
attribuer de manière déterministe. Classiquement, p est souvent égal à 5% ou 10%.

9.2

Actions résilientes

Rappelons que le fonds pour lequel l’outil a été créé est un fonds d’actions internationales ayant pour caractéristique principale de bien résister aux crises. Pour cela, il doitêtre constitué d’actions baissant peu en période de crise : c’est ce qu’on appelle les actions
résilientes. De fait, le processus d’optimisation mis en place visera à tester la résistancedes actions à différents types de chocs.
Actuellement, le gérant du fonds tente d’identifier les actions résilientes en faisant
une analyse macroéconomique du marché et en calculant certains indicateurs. Le modèle
proposé dans ce mémoire a pour objectif de compléter l’analyse macroéconomique déjà
réalisée et n’a pas vocation à se substituer à cette dernière. En effet, la recherche d’actions
résilientes nécessite une double approche, comme nous l’avons indiqué en introduction :une approche top down suivie d’une approche bottom up.

9.3

Fonction d’utilité

A partir des deux indicateurs présentés, nous souhaitons calculer l’utilité de chaquetitre afin de maximiser l’utilité du portefeuille. L’expression de la fonction d’utilité retenues’écrit de la manière suivante :U = Espérance + a × Skewness + b × Value-at-risk
Les valeurs de a et b sont déterminées en considérant deux éléments : le backtesting etla valeur des indicateurs avancés de l’OCDE. Ces coefficients peuvent être modifiés en
fonction de la période dans laquelle nous sommes. De plus, nous avons considéré les règles
suivantes :78

– a > 0 : en effet, si le skewness est négatif, cela traduit le fait que les rendements sontétalés à gauche de la moyenne. Ainsi, il nous semble légitime que cela fasse diminuer
l’utilité. A l’inverse, un skewness positif doit faire augmenter l’utilité du titre.
– b < 0 : la VaR correspond à la perte maximale sous une certaine probabilité. Ainsi,
plus elle est faible, plus cela traduit le caractère résilient de l’action et donc plus cela
augmente l’utilité. Les VaR calculées étant négatives, il faut donc que le coefficientb soit également négatif.
Remarque : Comment déterminer de manière efficace les valeurs de a et b ? Quelles sontles valeurs retenues ?
Pour les calculs réalisés dans ce mémoire, nous avons retenu les valeurs suivantes : a =1/2 et b = -1/2. Nous sommes conscients que ces valeurs peuvent être remises en cause.
Cependant, il s’agit de celles utilisées par le gérant pour gérer la SICAV. Elles ont été
estimées par backtesting et sont cohérentes avec les contraintes que l’on a exposées. Uneméthode de détermination de ces valeurs est délicate à mettre en place. Néanmoins, nous
pouvons modifier les paramètres en suivant les principes suivants : si l’économie s’améliore,
plus précisément, si les indicateurs avancés indiquent un retournement de l’économie, nous
diminuerons la valeur du coefficient de la VaR et augmenterons la valeur du coefficientd’asymétrie. Nous ferons l’inverse si l’économie se détériore. Cependant, nous n’avons pas
fait de recherche plus précise à ce sujet, qui n’est pas le coeur de notre mémoire. Nousavons cependant effectué quelques tests pour tester la robustesse des paramètres.
Notons également qu’il est possible d’utiliser une fonction d’utilité totalement différente decelle que l’on a présentée ci-dessus. Cela ne remet pas en cause la méthode d’optimisation
que l’on va exposer.

9.4

Méthode d’optimisation

Les parties suivantes visent à présenter la méthode d’optimisation mise en place. Dans
un premier temps, nous présentons la méthode générale. Ensuite, nous abordons plus particulièrement le calcul de l’utilité du portefeuille. Enfin, nous présentons certains résultats
obtenus.

9.4.1

Processus global d’optimisation

Le générateur de scénarios présenté est intégré dans une étape particulière du processus
d’optimisation. En effet, d’autres étapes sont nécessaires pour mener à bien la gestion duportefeuille. Nous présentons ci-dessous les étapes que l’on a suivies. Notons que les étapes
une et deux sont réalisées en grande partie par le gérant du fonds.
Etape 1 : Choisir un univers d’investissement
Dans un premier temps, il convient de limiter de façon claire l’univers d’investissement.
Le fonds pour lequel l’outil est construit est focalisé sur les secteurs liés aux domaines
suivants : l’énergie, les matières premières rares et/ou précieuses, les matières premières
alimentaires, la santé, l’eau, la lutte contre le réchauffement climatique et la constructiond’infrastructures.
79Etape 2 : Sélection de valeursDans un second temps, il faut sélectionner une certaine quantité de valeurs en fonction
de différents critères qualitatifs : connaissance des entreprises, expérience ou secteur connu.
A ce stade, nous sélectionnons 40 à 50 valeurs. Afin d’apporter une partie quantitative àcette étape, nous proposons le recours aux indicateurs avancés et aux modélisations de lacroissance du PIB et de la croissance des dettes présentés au chapitre sept. En fonction
des projections obtenues, nous privilégions les domaines cycliques, défensifs ou offensifs.
Etape 3 : Projections des valeurs sélectionnées
A l’aide du générateur de scénarios, nous pouvons projeter les titres sélectionnés dansl’étape précédente.
Etape 4 : Calcul de l’utilité
Nous proposons le détail de cette étape dans le paragraphe suivant. Nous calculons l’utilité de chaque titre, puis, en fonction des valeurs trouvées, nous optimisons le portefeuilleen maximisant son utilité.

9.4.2

Calcul de l’utilité

Comme nous l’avons indiqué dans l’introduction de ce mémoire, à partir du principe
du générateur intégrant des possibilités de sauts, nous avons construit une démarche derecherche d’actions résilientes. Ainsi, nous soumettons chaque action du portefeuille àcinq différents types de crises. Les probabilités à affecter à chaque scénario dépendent dela conjoncture et sont données par le gérant du fond. Les cinq différents types de crises
sont les suivants :– crises extraordinaires– accidents inflationnistes– récessions ordinaires– période de réduction des dettes sans restructuration– période de réduction des dettes avec restructuration
Notons que l’utilisateur de l’outil créé a la possibilité de rajouter ou de supprimer
certains types de crises, en fonction de la conjoncture.
Pour plus de clarté, le schéma ci-dessous illustre la méthode générale mise en placeconcernant le calcul de l’utilité :80

Figure 9.1 – Processus d’optimisation

La partie suivante est consacrée aux résultats obtenus.

9.4.3

Résultats

Dans la continuité de ce qu’on a fait tout au long de ce mémoire, nous avons choisi deprésenter les résultats obtenus pour les quatre indices : États-Unis, France, Allemagne et
Japon.
Les cinq générateurs de scénarios sont pondérés avec des valeurs qui varient en fonction
de la conjoncture. Ainsi, les valeurs utilisées pour les calculs présentés dans ce mémoire
seront vraisemblablement différentes de celles utilisées dans trois ou six mois. Elles proviennent des hypothèses réalisées dans la société pour gérer le fonds pour lequel l’outil a
été construit. Précisons que l’objectif de ce mémoire n’est pas d’étudier la pertinence despondérations présentées.
Les deux tableaux ci-dessous donnent les hypothèses que l’on a utilisées pour les calculs
réalisés :81

Pondération

Choc inflation

Choc actions

Crises extraordinaires

10%

-1%

-40%

Accidents inflationnistes

15%

2%

-20%

Récessions ordinaires

45%

0%

-20%

Période de réduction des dettes sans restructuration

20%

0%

-10%

Période de réduction des dettes avec restructuration

10%

0%

-10%

Table 9.1 – Hypothèses sur les scénarios - Zone euro et États-UnisPondération

Choc inflation

Choc actions

Crises extraordinaires

10%

0%

-40%

Accidents inflationnistes

5%

3%

-20%

Récessions ordinaires

45%

0%

-20%

Période de réduction des dettes sans restructuration

20%

0%

-10%

Période de réduction des dettes avec restructuration

20%

0%

-10%

Table 9.2 – Hypothèses sur les scénarios - Japon
A partir de ces hypothèses, nous avons calculé l’utilité de chaque indice. Pour illustrer
ces calculs, nous donnons ci-dessous le détail des résultats obtenus pour la France etl’Allemagne.
Value at risk

Skewness

MoyenneUtilité

Scénario 1

-0,13

0,61

-0,0680,30

Scénario 2-0,0600,72-0,0420,35

Scénario 3

-0,15

0,44

-0,11

0,19

Scénario 4-0,0490,40-0,0290,19

Scénario 5-0,059-0,041-0,018-0,0092

TOTAL

-0,11

0,44

-0,0690,20

Table 9.3 – Résultats France
Value at risk

Skewness

MoyenneUtilité

Scénario 1

-0,14

0,06

-0,07

0,03

Scénario 2

-0,07

0,40

-0,05

0,19

Scénario 3

-0,18

0,07

-0,11

0,02

Scénario 4

-0,05

-0,01

-0,03

-0,01

Scénario 5

-0,04

-0,67

-0,02

-0,33

TOTAL

-0,12

0,03

-0,07

0,0029

Table 9.4 – Résultats Allemagne
Nous observons que les résultats obtenus sont cohérents.
82

En effet, les valeurs des VaR évoluent suivant les mêmes ordres de grandeurs pour laFrance et l’Allemagne, de même que les moyennes.
Par contre, nous observons que le skewness relatif à l’indice de la France est supérieur
quel que soit le scénario considéré. Cela traduit le fait que, selon le modèle, la distribution
du titre français est plus étalée vers la droite que celle du titre allemand. Ainsi, avec
la fonction d’utilité choisie, il est légitime d’obtenir une utilité supérieure pour l’indicefrançais. Cela traduit le fait que selon le modèle, l’indice français est plus résilient quel’indice allemand.
Le tableau suivant propose le résultat de l’utilité obtenue pour les quatre pays étudiés :PaysUtilitéFrance20 %États-Unis7,9 %Allemagne

0,29 %

Japon

-14 %

Table 9.5 – Utilité des indicesCes résultats suggèrent le fait que l’indice de la France est le plus résilient.
De prime abord, ce résultat peut paraitre étonnant : en effet, actuellement, l’Allemagne
semble plus à même d’affronter les crises que la France, en témoigne le niveau très bas del’obligation d’État allemand qui donne même parfois un rendement réel négatif ! Cependant, il est possible d’expliquer ce résultat qui tend à remettre en cause l’utilisation duskewness dans le calcul de l’utilité. En effet, la France, à l’inverse des trois pays présentés
ci-dessus, possède des piliers stabilisateurs : le système de sécurité sociale français est trèsprotecteur et cela peut s’avérer utile en période de crise, notamment pour éviter les crisessociales. Ainsi, l’optimisation d’un portefeuille à l’aide du skewness favorise les pays à forts
stabilisateurs automatiques. Afin de tester la cohérence de ce résultat, nous avons réaliséle calcul d’utilité des indices sur des périodes antérieures. Ce calcul a confirmé que l’indicefrançais avait un skewness plus élevé que les autres indices étudiés.
Par ailleurs, afin de tester l’influence des paramètres de la fonction d’utilité, nous avons
testé la sensibilité des résultats à des modifications de ces paramètres. Voici les résultats
trouvés pour la France et l’Allemagne :Coefficients (a,b)

Utilité France

Utilité Allemagne(0,3 ; -0,7)

14 %

2,0 %

(0,4 ; -0,6)

17 %

1,1 %

(0,5 ; -0,5)

20 %0,29 %(0,6 ; -0,4)

24 %-0,71 %

(0,7 ; -0,3)

27 %-1,62 %

Table 9.6 – Tests - fonction d’utilité

83

Nous observons que quels que soient les paramètres choisis, l’utilité obtenue pour l’indice français est supérieure à celle obtenue pour l’indice allemand. Or, ce qui nous intéresse
ici n’est pas l’écart entre la valeur de l’utilité des indices mais la relation d’ordre. La fonction d’utilité semble donc robuste.
Toutefois, nous avons conscience que la conclusion de cette étude dépend de la fonctiond’utilité choisie et qu’elle peut être remise en cause. Par exemple, en utilisant le kurtosis,
autre indicateur caractéristique d’une distribution, nous privilégierons les États-Unis, puisl’Allemagne et enfin la France. Par ailleurs, en considérant la variance, nous obtenons desrésultats différents : en effet, nous privilégierons dans ce cas, l’Allemagne, puis la France
et enfin les États-Unis.
Avant de conclure, nous tenons donc à rappeler que le but de ce mémoire n’était pas
l’interprétation des résultats ou encore la détermination d’une fonction d’utilité complexe,mais simplement la réalisation de l’outil permettant d’obtenir les projections.

84

Conclusion et perspectives
Le but de ce mémoire était de présenter un modèle de générateur de scénarios économiques adapté à l’environnement à risques croissants de ce début du XXIème siècle. Ce
modèle était destiné à l’optimisation d’un portefeuille d’actions et à la détection d’actions
résilientes ; la nécessité de la recherche de telles actions se justifiant par le contexte politicoéconomique mondial.
Afin de mener à bien ce projet, nous avons suivi les étapes mentionnées ci-dessous :– Application de l’algorithme de Box et Jenkins pour la modélisation de l’inflation
ainsi que pour la réalisation de tests sur les autres équations du modèle.
– Application et comparaison de différentes méthodes d’inclusion de sauts dans une série temporelle : adaptation de l’analyse d’intervention de Box et Tiao en probalisantcertains paramètres et en déterminant « à dire d’experts » les autres.
– Modélisation des résidus des équations par la loi Pareto hybride.
– Etude précise des indicateurs avancés de l’OCDE et de l’IFO afin d’anticiper l’évolution de la conjoncture.
– Projections en utilisant le GSE de Wilkie modifié.
– Calcul de l’utilité de plusieurs titres.
Les résultats obtenus sont satisfaisants. En effet, l’application du modèle donne desrésultats cohérents et plus pertinents que les résultats obtenus avec le générateur de Wilkie non modifié. Cela s’explique notamment par le fait que le générateur de Wilkie était
adapté pour un horizon long terme.
Une nouveauté que l’on a présentée est la modification de la loi des résidus des équations. Cette dernière nous semblait indispensable dans la mesure où les tests de gaussianitéétaient tous rejetés. En outre, pour le générateur créé, il est important de pouvoir modifierl’épaisseur des queues de distribution, même si cela augmente le nombre de paramètres à
prendre en compte.
Par ailleurs, nous avons rencontré différents types de difficultés qui nous ont contraints
de modifier notre projet initial. Par exemple, les modélisations de la croissance du PIB etde la croissance des dettes n’ont pas été aussi pertinentes qu’escompté et le recours aux indicateurs avancés a finalement été privilégié. Le fait que l’horizon de projection soit de unan (ou cinq ans) est une des causes des problèmes rencontrés ; le fait que l’aspect politiquesoit très présent, dans l’évolution des dettes notamment, en est une autre. L’étude réalisée

85

sur les indicateurs a prouvé leur efficacité en période de crise. Selon nous, leur utilisation
est plus appropriée que toute tentative de modélisation, qui plus est sur un horizon court
ou moyen terme.
Enfin, dans le but de poursuivre cette étude, visant à optimiser un portefeuille, ilpourrait être envisageable d’étudier d’autres concepts mathématiques, notamment les copules. En effet, l’approche présentée dans ce mémoire consiste à optimiser un portefeuilled’actions et n’est pas adaptée à un portefeuille diversifié contenant de l’immobilier, desobligations et d’autres actifs. Pour de tels portefeuilles, il pourrait être envisageable degarder la structure du modèle de Wilkie ainsi que les modifications que l’on a apportéeset de modéliser une interdépendance entre les résidus en utilisant la copule de Clayton.
L’utilisation de cette copule se justifie par le fait qu’elle permette la modélisation d’unedépendance dyssimétrique. Par ailleurs, comme nous l’avons évoqué, il serait intéressantd’étudier un modèle de taux différent de celui proposé par Wilkie, en essayant par exemple
d’adapter le modèle HJM. Ces tentatives de modélisation pourront faire l’objet d’une future recherche ou d’un prochain mémoire.

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noirs - méthodes qualitatives. Hermes, 2009.
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Non-First Order Serial Correlation Alternatives, vol. 55. MIT Press, 1973.
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[8] Gehin, W. Modélisation des queues de distribution des rendements des actifs financiers. application à la mesure et à la gestion du risque de marché , 2012.
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[12] Keita, C. Génération de scenarii stochastiques économiques en vue d’une étude
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[13] Kouassi, J. Utilisation de générateurs quasi-aléatoires dans la valorisation des stockoptions avec conditions de performance, 2011.
[14] Kousnetzoff, N. Croissance économique mondiale : un scenario de reference àl’horizon 2030, 2001.
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87

[19] Nicolas Huchet, A. M. e. J. R. Générateur de scenarii économiques et applications, 2011.
[20] Planchet, Thérond, K. Scénérios économiques en assurance. Economica, 2009.
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detection in time series, vol. 5. Handbook of statistics, 1985.
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[25] Wilkie, D. A stochastic investment model for actuarial use. 1985.
[26] Wilkie, Cairns, K. S. Revisiting the wilkie investment model, 2008.

88

LexiqueDéfinitions

Approche bottom up :méthode consistant à sélectionner des titres sans attacher trop

d’importance à l’examen d’un secteur industriel ou à l’étude de la conjoncture économiqued’ensemble d’une société.
Approche top down :méthode utilisée par plusieurs gérants consistant à penser quela conjoncture économique générale ainsi que la vigueur d’un secteur industriel donné ont
un impact considérable sur le rendement des titres et qu’il est nécessaire de réaliser une
recherche à ces deux niveaux d’analyse afin de choisir des valeurs pour son portefeuille.
Backtesting :procédure qui consiste à tester un modèle ou une méthode en l’appliquantaux données historiques.
Core inflation :inflation dont plusieurs éléments extrêmement fluctuants comme lesmatières premières agricoles ou énergétiques ont été retirés.
Discrépance d’une suite : critère caractérisant la répartition des valeurs d’une suite
sur son ensemble de définition.
Indicateurs de risque : mesure qui tente de résumer, par un nombre unique, le risquelié à l’incertitude sur la valeur future d’une variable aléatoire.
Loi de Pareto généralisée :loi de probabilité introduite par la théorie des valeursextrêmes pour modéliser l’excédent d’une variable aléatoire par rapport à un seuil suffisamment élevé.
Loi de Pareto hybride : loi de probabilité consistant en une loi gaussienne dont lesdeux queues ont été tronquées et remplacées par des lois de Pareto généralisées.
Skewness :coefficient de dissymétrie, correspond à une mesure de l’asymétrie de ladistribution d’une variable aléatoire réelle.
Kurtosis :coefficient d’aplatissement, correspond à une mesure de l’aplatissement dela distribution d’une variable aléatoire réelle.

89

Stabilisateur automatique : mécanisme structurel qui fait de la dépense publique unsoutien de la conjoncture durant les périodes de ralentissement de l’activité économique etun frein en période d’accélération : les impôts tendent spontanément à diminuer en mêmetemps que l’activité, tandis que les prestations sociales tendent spontanément à augmenter(indemnisation du chômage notamment), l’évolution étant inverse en cas d’emballement.
Valeur résiliente : titre financier ayant comme caractéristique principale d’être performant en période de crises.

Acronymes
ACF et PACF :Fonction d’autocorrélation et Fonction d’autocorrélation partielle.

AIC :Akaike Information Criterion.

CLI :Composite Leading Indicator.

ECRI :

Economic Cycle Research Institute.

IFO :Institut für Wirtschaftsforschung.

IPI :Indice des Prix à la Consommation.

NBER :

National Bureau of Economic Research.

OCDE :

Organisation de coopération et de développement économique.

PIB :Produit Intérieur Brut.

SARIMA :Autoregressive integrated moving average.

SICAV : Société d’Investissement à Capital Variable.
VaR : Value at risk.

90

Annexe A

Description des tests utilisés
Tests de stationnarité
1. Les tests de racine unitaire- Le test de Dickey-Fuller
Nous présentons ci-dessous le principe du test de Dickey-Fuller à l’ordre un. Le test
permet de déceler la présence d’une racine supérieure ou égale à l’unité dans le polynôme
caractéristique du processus lorsque celui-ci s’écrit sous une des formes suivantes :– Xt = a1 × Xt−1 + t
– Xt = c + a1 × Xt−1 + t
– Xt = c + b × ta1 × Xt−1 + t
Nous testons :– H0 : a 1 = 1– H1 : a 1 < 1
En pratique, il suffit de soustraire Xt−1 aux deux membres des équations précédentes puis
d’estimer les coefficients par les moindres carrés et enfin de tester la nullité du coefficienta1 − 1 par le test de Student classique. Nous ne détaillons pas plus, le lecteur intéressé
trouvera une littérature abondante sur internet et dans les ouvrages spécialisés.
- Le test de Dickey-Fuller augmenté
C’est le même type de test sauf que la condition laisse place au cas plus général où leprocessus peut être un AR(p-1). Le test vérifie la présence d’une racine unitaire dans lepolynôme caractéristique. Nous considérons donc que si la p-value est inférieure à 5%, nous
rejetons l’hypothèse nulle au profit de l’hypothèse alternative qui énonce que la racine est
strictement inférieure à l’unité et donc que la série est stationnaire.
- Le test de Philipps Perrond
Phillips et Perrond (1988) proposent une correction non paramétrique au test de DickeyFuller simple afin de régler le problème de l’autocorrélation et de l’hétéroscédasticité deserreurs. Afin d’éliminer les paramètres de nuisance, associés à l’existence de corrélations
dans la composante stochastique du processus générateur de données, qui perturbent lesrésultats des tests de racine unitaire de Dickey-Fuller, Phillips et Perron suggèrent dejoindre à la statistique de Student du coefficient autorégressif, un facteur de correction,91

fondé sur des estimateurs convergents des paramètres de nuisance, qui élimine cette dépendance asymptotique. Il se déroule en deux étapes :– estimation par les moindres carrés ordinaires des trois modèles de base des tests de
Dickey-Fuller et calcul des statistiques associées– estimation d’un facteur correctif établi à partir de la structure des covariances deserreurs des modèles précédemment estimée de telle sorte que les transformations
réalisées conduisent à des distributions identiques à celles de Dickey-Fuller standard.

2. Le test de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin (KPSS)
Contrairement aux trois tests ci-dessus, l’hypothèse nulle de ce test est celle de la stationnarité (autour d’une constante ou d’une tendance déterministe linéaire). La statistiquedu test utilisée correspond à la statistique du test du score lorsque les bruits sont indépendants, identiquement distribués et suivent une loi normale. Cependant, cette statistiqueest corrigée de façon à tenir compte de l’autocorrélation des résidus dans le cas général.

92

Tests d’indépendance- Les tests de type portemanteau
Afin de tester l’indépendance des résidus issus d’une modélisation, les tests du portemanteau sont couramment utilisés : il s’agit des tests de Ljung-Box et de Box-Pierce.
Ces tests visent à évaluer la corrélation entre les résidus et se fondent sur les estimateurs
classiques de la corrélation et de la variance.
Nous rappelons ci-dessous l’expression de l’estimateur de la corrélation :1 Pn−hi=1 i i+hn−h
β (h) =1 Pn
2i=1 in

Si les résidus sont indépendants, cette valeur est égale à 0. Les expressions des statistiques de Ljung-Box et de Box-Pierce sont les suivantes, avec k<E[n/4] :QBP = n ×kX

β2 (i)i=1

QLB = n × (n + 2) ×kX
β 2 (i)n−i
i=1

Ces deux statistiques suivent une loi du Khi deux à k degrés de liberté. Si les statistiquessont « trop grandes », le test sera rejeté car cela traduit une certaine corrélation entre lesrésidus.

- Le test de Breusch-Godfrey
Le test de Breusch-Godfrey, connu aussi sous le nom de test ML (pour multiplicateurde Lagrange) permet d’éviter certains écueils des tests de type portemanteau ou du testde Durbin Watson sur l’autocorrélation. Nous l’avons présenté dans le corps du mémoire,
p30 et p52.

93

Tests de normalité
Nous exposons ci-dessous le principe de différents tests de normalité. L’hypothèse H0
est systématiquement l’adéquation de notre échantillon à une loi normale.

- L’étude statistique
Avant de faire des tests statistiques plus ou moins complexes, une étude statistiquedes données est intéressante. En effet, elle permet de discerner des points extrêmes àéventuellement retirer ou permet d’anticiper les résultats : ainsi, il est intéressant de tracer
l’histogramme des fréquences ainsi que les box-plot de chaque jeu de données.
- Le test de Shapiro-Wilk
Ce test est très puissant pour les petits effectifs (n ≤ 50). La statistique du test est
définie par :PE[ n2 ]W =i=1

ai × (x(n−i+1) − x(i) )Pn
2
i=1 (xi − x̄)où x(i) est la série des données triées, E[ n2 ] la partie entière de n2 , et les ai sont lescoefficients du test de SHAPIRO-WILK, qui sont fournis dans des tables spécifiques.
Nos séries comportant généralement plus de 50 données, nous n’avons pas utilisé ce test.

- Le test de Jarque-BeraCe test est fondé sur les coefficients du skewness et du kurtosis. Il permet d’évaluer
les écarts simultanés de ces coefficients avec ceux de la loi normale. Ce test se révèle très
intéressant lorsque les effectifs testés sont élevés, ce qui est notre cas. La statistique de ce
test est définie par l’expression ci-dessous, qui suit une loi du Khi deux à deux degrés deliberté :JB =n 2 K2(S +)6
4

avec S et K, les skewness et Kurtosis de PEARSON, donnés par :1 Pn(xi − x̄)3n
S = P i=13n12
i=1 (xi − x̄)n1 Pn(xi − x̄)4 }net K = 1 Pi=1n
( n i=1 (xi − x̄)2 )2- Le test de d’Anderson-DarlingLe test d’ANDERSON DARLING est une variante du test d’adéquation entre leséchantillons de KOLMOGOROV SMIRNOV. Il se focalise néanmoins plus sur les queues
de distribution que ce dernier.
La statistique de ce test est définie par la relation suivante :n1X
A = −n −(2i − 1)[ln(Fi + ln(1 − Fn−i+1 )]
n i=1

94

Où F(i) est la fréquence théorique de la loi de répartition normale centrée et réduite associée à la valeur standardisée de z(i) =x(i) −x̄
et n est la taille de l’échantillon.
s

Les valeurs critiques définissant la région de rejet ne dépendent pas de la taille de l’échantillon et sont répertoriées dans le tableau suivant :
α

1%

5%

10%

Acritique

1.035

0.752

0.631

Table A.1 – Tableau de certaines valeurs critiques du test d’ANDERSON-DARLING- Le test de Lilliefors
Le test de LILLIEFORS est lui aussi une variante du test de KOLMOGOROV SMIRNOV. Ce test est dit sensible à l’inadéquation de la distribution empirique avec la loi
théorique au niveau du centre de la distribution (là où les écarts n’ont que peu d’effets),
mais il est moins efficace lorsque l’inadéquation se situe au niveau des queues de distribution. Sa statistique est :D = maxi=1,....n (Fi +i−1 i, − Fi )n navec les mêmes notations que ci-dessus.
On peut approcher les valeurs critiques théoriques Dcritique) pour les grands effectifs (plusgrand que 30) par les formules suivantes :
α

1%

5%

10%

Dcritique

1.031
√
n

0.886
√
n

0.805
√
n

Table A.2 – Tableau d’approximation de certaines valeurs critiques du test de LILLIEFORS

95

Annexe B

Critère du maximum devraisemblance
Voici un exemple d’utilisation du critère du maximum de vraisemblance pour un processus AR(p). Dans ce cas, on peut construire le test suivant :H0 = 4
H1 = 6
Pour réaliser ce test, on estime alors le modèle AR contraint sous H0 et le modèle AR
non contraint sous H1 p = 6. Ceci revient à tester si les coefficients de Xt−5 et Xt−6 sontconjointement égaux à zéro ou non.
La statistique LR définie ci-dessous suit une loi du Khi deux :22
LR = T [lnσc2 − lnσN
C ] ∼ χ (q)où– q est le nombre de restrictions imposées (dans l’exemple ci-dessus 2)– T est le nombre d’observations– σc et σN C sont les écarts types calculés respectivement sous H0 et H1 .
Si on ne peut pas rejeter H0, les coefficients de Xt−5 etXt−6 ne sont pas statistiquement
différents de zéro et le modèle AR(4) est préférable au modèle AR(6) sur la base duprincipe de parcimonie. On poursuit l’analyse en examinant H0 : p = 2 H1 : p = 4 et ainside suite jusqu’à ce H0 soit rejetée.

96

Annexe C

Modèle de taux : Vasicek entermes HJM
Dans le chapitre deux de ce mémoire, nous avons présenté le modèle de taux utilisé
par Wilkie qui consiste à modéliser les taux instantanés à l’aide d’une série chronologiqueen incorporant des corrélations avec l’inflation et le taux de dividendes. Bien que n’ayant
pas utilisé de modèle de taux dans l’application de notre mémoire - rappelons que notre
objectif final est d’optimiser l’allocation d’un portefeuille d’actions uniquement - il nous asemblé indispensable de s’intéresser au modèle de taux qui est un élément indispensabled’un GSE, en particulier pour les compagnies d’assurance pour lesquelles les obligations
sont un composant majeur de l’actif. C’est pourquoi nous présentons cette annexe.
Le modèle de taux proposé par Wilkie ne nous semble pas adapté car il ne permet pas
de construire une courbe des taux futurs. Ainsi, nous avons étudié différents modèles répondant à l’objectif de simplicité et permettant de construire une courbe des taux. Nousavons conclu que l’utilisation du modèle Vasicek en termes Health-Jarrow-Morton (HJM)
était à privilégier. En effet, d’une part, ce modèle permet de prendre en compte la courbe
des taux initiale comme paramètre, ce qui s’avère indispensable : c’est pour cette raison
que les modèles factoriels usuels (Vasicek et Cox Ingersoll et Ross) ne peuvent être utilisés
et qu’il est préférable de se tourner vers les modèles de déformation de la courbe des taux,comme le modèle HJM ; d’autre part, ce modèle est simple et a déjà été étudié : réalisé
en 1990, ce modèle est très utilisé et fournit des formules fermées permettant d’obtenir ladynamique des prix des zéro-coupon.
Dans un premier paragraphe, nous allons présenté le modèle dans sa version initiale.
Dans un second paragraphe, nous présenterons le modèle de taux adapté à la structure dumodèle de Wilkie.
Dans un troisième paragraphe, nous présenterons brièvement une méthode d’introductionde sauts dans le modèle.

Le modèle Vasicek en termes HJM
Ce paragraphe a pour objectif de présenter l’aspect théorique du modèle HJM.

97

Notations
Tout d’abord, introduisons les notations utilisées dans la suite pour décrire le modèle.
P(0,T) : prix zéro-coupon

Il s’agit du prix actuel d’une obligation ne versant pas decoupon et ayant une maturité T.
F(i,t,T) : prix zéro-coupon forward Il correspond au prix, à horizon t, d’une obligation zéro-coupon de maturité t+T, calculé à la date i (i<t<T). On a la relation suivante :F (i, t, T ) = P i (t, T )Tous les calculs présentés dans la suite seront réalisés à la date i=0. Nous posons poursimplifier les écritures P 0 (t, T ) = P (t, T ).
R(t,T) : taux d’intérêt zéro-coupon

Il correspond au taux relatif à une obligation

zéro-coupon, nous avons la relation suivante :R(t, T ) = −Le taux d’intérêt instantanélnP (t, T )T −t

Il est applicable à un intervalle de temps infinitésimal

et se définit par la relation suivante :R(t, t + ∆t) = −f(t,T) : taux forward instantanélnP (t, t + ∆t)
avec ∆t ≥ 0∆tIl s’agit du taux taux d’intérêt instantané applicableà une date future et donné par la relation suivante :f (t, T ) =Le taux Swap∂lnP (t, T )∂TUn swap standard est l’échange de flux entre deux institutions bancaires.

C’est l’échange d’un flux à taux variable contre un flux à taux fixe. A l’émission du Swap,
nous évaluons l’évolution du taux variable, le taux fixe est ainsi fixer de sorte que la somme
des flux entrant soit égale à celle des flux sortant. Le taux ainsi appliqué s’appelle le tauxSwap.

Le cadre Health-Jarrow-Morton
Le modèle HJM est un cadre de travail permettant de modéliser à terme les tauxd’intérêt. Il a pour avantage de chercher à s’ajuster à la structure des taux d’intérêt.
De manière générale, il définit un modèle multifactoriel, c’est-à-dire utilisant plusieurs
sources d’incertitudes (plusieurs mouvements browniens). L’équation différentielle suivie
par la dynamique des taux à terme est la suivante :df (t, T ) = µ(t, T )dt +

n
X
i=1

98

σi (t, T )dWi (t)avec σi (t, T ) = σi (t)exp−λi (T −t) où λi est une constante et σi (t) est une fonction déterministe du temps.
Par la suite, nous allons uniquement nous intéresser au modèle à un facteur, ayant pourparamètre le processus de volatilité σ(t, T ).

Description du modèle de Vasicek à un facteur en termes HJM
Ce modèle permet d’évaluer la courbe des taux courts, en supposant qu’ils suivent unprocessus de retour à la moyenne. Comme indiqué dans le paragraphe précédent, l’équation différentielle stochastique suivie par les taux forwards instantanés sous HJM est la
suivante :df (t, T ) = µ(t, T )dt + σ(t, T )dWt
Avec :– σ(t, T ) = σe−(α(T −t))– α est une constante positive– Wt décrit un mouvement brownien géométriqueDans le cadre HJM, en faisant l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage et sousla probabilité risque neutre, il existe une relation simple entre le processus de dérive etl’expression de σ(t, T ), donnée par l’équation ci-dessous :Z Tσ(t, s)ds =µ(t, T ) = σ(t, T )t

σ 2 (−α(T −t))(e
− e−2α(T −t) )αPar conséquent, l’équation stochastique du taux forward instantané est la suivante :df (t, T ) =σ 2 −α(T −t)(e− e−2α(T −t) )dt + σe−α(T −t) dWtα

Par intégration, nous obtenons l’équation suivante :σ2σ2
f (t, T ) = f (0, T ) − 2 (1 − e−α(T −t) )2 + 2 (1 − e−αT )2 + σ
2α
2α

Z t

e−α(T −s) dWs

0

Nous en déduisons donc le processus des taux courts :r(t) = f (t, t) = f (0, t) +σ2
(1 − e−αt )2 + σ
2α2

Z t

e−α(T −s) dWs

0

Ce processus de simulation admet comme paramètre d’entrée, la courbe des taux forward
instantanés f(0,T). Par exemple, dans le cadre de la directive solvabilité 2, la courbe destaux swap interbancaires est fixée. A partir de ces taux swap, il est nécessaire de déduire
les taux zéro-coupon afin de calculer les taux forward instantanés. Le paragraphe suivant
vise à décrire la méthodologie à appliquer.

Mise en place de l’algorithme
Passage des taux Swap aux taux zéro-coupon
La courbe des taux initiale devant être considérée est une courbe des taux swap. La
99

première étape consiste à calculer les taux zéro-coupon correspondants.
A l’émission, la valeur d’un swap est nulle. Par conséquent, la valeur des flux futurs
actualisés au taux zéro-coupon est égale à celle actualisée au taux swap. Ces derniers
peuvent donc être définis comme étant un ensemble de taux actuariels au pair.
Considérons qu’une obligation d’échéance n ans, payant un coupon de C% et ayant untaux actuariel à n ans de C%, côte 100. Cela se traduit par :
n−1
X

C
1+C
+
=1
i
(1 + C)(1 + C)ni=1

L’actualisation des coupons faite par les taux zéro-coupon ne modifie pas le prix de l’obligation, nous avons donc également :
n−1
X

1+C
C
=1
+
i
(1
+
τ
)
(1
+ τzcn )nzci
i=1Où τzci : taux zéro-coupon de maturité i.
En faisant varier n et en procédant de proche en proche, nous obtenons une formule
récursive sur les taux zéro-coupon :τzcn =

1 + Cn1 − Cn i=1 (1 + τzci )Pn−1

Où Cn est le taux Swap à n ans .
Calcul des taux forward instantanés
Le paramètre d’entrée du modèle est la courbe initiale des taux forward instantanés, nous
devons donc les calculer à partir des taux zéro-coupons. Nous utilisons l’égalité suivantepour calculer les taux forward instantanés initiaux :Z T

P (0, T ) = exp(−

f (0, s)ds)0Où,– P(0,T) : prix d’un zéro-coupon d’échéance T.
– f(0,s) : taux forward instantané débutant en date s pour une période infinitésimale.
On en déduit que :ln(P (0, T + h)) − ln(P (0, T ) = −Z T +hf (0, s)ds
TEn supposant que h est assez faible, nous obtenons l’expression suivante :f (0, T ) =1((T + h)Rzc (0, T + h) − T Rzc (0, T ))hDiscrétisation et simulation
Le modèle utilisé pour simuler la courbe des taux courts est décrit en temps continu.
Dans la pratique, il convient de le discrétiser. Nous pouvons exprimer le processus des100

taux courts sous la forme suivante :r(t+δ)−e−αδ r(t) = f (0, t+δ)−e−αδ f (0, t)+

σ2 2(K (t+δ)−e−αδ K 2 (t))+σe−αδ
2

Z t+δ

e−α(t−s) dWst

Le calcul de l’intégrale stochastique donne :
Z t+δ

s

e−α(t−s) dWs =te2αδ − 12Nous obtenons finalement :r(t + δ) − e−αδ r(t) = f (0, t + δ) − e−αδ f (0, t) +q
σ2 2
(K (t + δ) − e−αδ K 2 (t)) + L(δ)
2

Avec :−αt– K(t) = 1−eα2

– L(t) = σ2 (1 − e−2αt )– α et σ sont deux constantes positives–  suit une loi normale centrée réduite

Modèle HJM adapté au modèle de Wilkie
Comme nous l’avons signifié dans l’introduction de ce mémoire, l’ensemble des modifications apportées au modèle de Wilkie ne doit pas altérer la structure initiale du modèle.
Ainsi, afin de respecter cela, il convient d’intégrer un paramètre relatif à l’inflation et unautre relatif à l’équation du rendement des dividendes. La méthode d’intégration de ces
paramètres n’a pas été étudiée précisément et nous nous limitons à présenter le concept
global. Il conviendrait d’affiner le lien entre l’inflation et le taux forward afin de déterminer
une manière pertinente d’intégration de cette relation dans les équations. Ceci n’étant pas
utile pour notre application, nous n’avons pas développé ce point.

Intégration de sauts dans le modèle de tauxNotre GSE étant créé pour s’adapter au crise, il convient de permettre à l’utilisateurd’intégrer des probabilités de crises pour l’équation des taux. Contrairement aux autreséquations du modèle pour lesquelles nous avons adapté l’algorithme de Box et Tiao, nous
conseillons d’utiliser pour les taux, un autre modèle. En effet, il nous semble opportunde créer une chaîne de Markov permettant de simuler le changement de rating du pays,
secteur ou entreprise étudié.
Nous considérons donc une chaîne de Markov à 10 états qui correspondent aux rating
attribués par les agences de notation : AAA, AA, A, BBB, BB, B, CCC, CC, C et D. En
cas de différence entre les trois agences de notation les plus importantes, il est préférable
de considérer une moyenne des ratings. Il est également envisageable de choisir une agence
de notation de référence.
Les probabilités de transition sont déterminées à dire d’experts, indépendamment pourchaque pays, secteur ou entreprise que l’on souhaite étudier. Il convient d’associer à chaquetransition, un saut dont l’amplitude est à déterminer. Pour cela, il serait intéressant de101

réaliser une étude précise de l’historique des sauts constatés suite aux changements denotation. Notons que le principe suivant est à considérer : une diminution de rating se
traduira par une augmentation de la valeur du taux ; une diminution sera observée dansle sens contraire.

Dans cette annexe, nous avons souhaité présenter un modèle de taux, adapté au modèlede Wilkie et incluant la prise en compte de scénarios de crises. Nous avons proposé unmodèle relativement simple et permettant d’intégrer l’analyse macroéconomique du gérant.

102Annexe D

Résultats sur les indicateurs
avancés
Une étude des indicateurs avancés a été réalisée afin de comparer leur performancepour prévoir l’évolution de l’économie des pays. Nous en avons étudié quatre :– le Composite Leading Indicator (CLI)– le SP 500– l’ECRI (Conseil économique Research Institute)– le Conference Board
Comme nous l’avons montré dans le chapitre 7, l’indicateur avancé le plus performant est
le CLI. Cependant, il est à utiliser avec précaution car il a tendance à prévoir trop deretournements. Nous présentons ici, quelques résultats plus détaillés.
L’étude de la performance de ces indicateurs pour prédire les ralentissements de l’économie
américaine depuis les années 2000 donne les résultats suivants :Nombre de mois

Ralentissements

Ralentissements

Prédictions réali-optimal de prévi-

non prédits (%)

préditssées (%)

sion

non

réalisés (%)

CLI

5

0

17

82

SP500

6

23

27

50

ECRI

6

21

24

55

Conference Board

7

16

17

76

Table D.1 – Comparaison du pouvoir prédictif de quatre indicateurs depuis 2000
L’étude de la performance de ces indicateurs pour prédire les ralentissements de l’économie américaine durant la période de crise [2007 ; 2010] donne les résultats suivants :103

Nombre de mois

Ralentissements

Ralentissements

Prédictions réali-optimal de prévi-

non prédits (%)

préditssées (%)

sion

non

réalisés (%)

CLI

2

0

9

91

SP500

9

44

0

56

ECRI

9

44

0

59

Conference Board

9

15

0

85

Table D.2 – Comparaison du pouvoir prédictif de quatre indicateurs sur la période[2007 ;2010]104Annexe E

Coefficients retenus pour calibrer
les résidus
Nous avons simulé tous les résidus de notre modèle par des lois Pareto hybride. Nousavons estimé les coefficients en utilisant le logiciel R. Nous donnons ci-dessous les paramètres retenus :Résidus

MoyenneEcart-typeξgξdFrance - inflation

0.00030.00049-0.101-0.278

France - Dividend Yield-0.0130.025-0.182

0.070

France - Montand Dividendes-0.0077

0.0039

0.911

1.109

US - inflation

0.00010.00040.023-0.1722

US - Dividend Yield-0.0067

0.0169-0.316-0.062US - Montand Dividendes

0.00260.00400.21

0.16

Allemagne - inflation

0.00020.0006-0.143-0.028

Allemagne - Dividend Yield-0.0140.028-0.2560.043

Allemagne - Montand Dividendes

0.001

0.00330.51

0.20

Japon - inflation-1,325e-05

0.00040.131

0.0028Japon - Dividend Yield-0.0050.00014-0.294-0.093

Japon - Montand Dividendes-0.004

0.003

0.312

0.644

Table E.1 – Tableau des coefficients relatifs aux résidus des équations

105

Annexe F

Le bootstrap non paramétriquepar blocs
Cette méthode est décrite de manière très claire dans [9] (pages 100-101). Nous présentons ici une synthèse de cette méthode.
Le principe de la méthode du bootstrap non paramétrique est de tirer et de concaténer desblocs de points consécutifs tirés à partir de positions choisies aléatoirement dans la série
des rendements considérée. La méthode du bootstrap non paramétrique par blocs repose
sur ce même principe, mais au lieu de tirer un point puis un autre, on considère des blocs
de tailles aléatoires. Par exemple, on commence avec un bloc de taille un et puis on rajoute
itérativement le point avec probabilité 1 - p. La méthode par blocs possède l’avantage depouvoir rendre compte d’éventuels phénomènes de mémoire présent dans la série étudiée.
En effet, en choisissant un bloc de plusieurs valeurs successives, cette méthode ne détruit
pas un éventuel lien entre deux valeurs successives.
Pour calculer les VaR de notre mémoire (voir p77 et suivantes), nous avons choisi des blocs
de deux points : ceci correspond à l’existence d’une mémoire longue faible dans les rentabilités des séries considérées, ce qui est une propriété connue des rentabilités des séries
financières.
Voici le code VBA que nous avons utilisé :Sub BootstrapNonPara()
Dim i, j, mean As Integer
Dim alpha As Single
For j = 1 To 1000
For i = 1 To 50
Randomizealpha=Int((27-1)*Rnd()+1)
Cells(2*i-1,j) = Excel.WorksheetFunction.VLookup(alpha, Range("B1 :D100"),3)+mean
Cells(2*i,j) = Excel.WorksheetFunction.VLookup(alpha+1, Range("B1 :D100"),3)+mean
Next iNext jEnd Sub
Table F.1 – Code VBA - Bootstrap non paramètrique106