A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSEM OHAND -O UAMAR H ERNANE
J EAN -L OUIS N ICOLAS
Localisation de zéros de familles de trinômes
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 6e série, tome 8, no 3
(1999), p. 471-490.
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Vol. VIII, n° 3, 1999
pp. 471-490

Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse

Localisation de zéros de familles de trinômes(*)(1)
MOHAND-OUAMAR HERNANE (2) ET JEAN-LOUIS NICOLAS(3)RÉSUMÉ. - Posons fn, a (z) =où a est un nombre réel,1 où(p cp = (1+-B/5)/2. Au moyen de trois méthodes différentes, nous donnons desestimations explicites de certaines racines de ces trois familles de trinômes.

Gn(z)

=

cpzn + 1 et Hn(z)

(SP -

=

where a is a realand Hn (z) =where cp = (1 + B/5)/2. We give explicit estimations of some roots of thesethree families of trinomials by three différent methods.
ABSTRACT. - Let us define fn, a (z) =number, Gn (z)=1. Introduction

Soit n un entier positif, et a un nombre réel. Posons=-

az + a

-

l.
.

(1)

La localisation des racines du trinôme fn, n+1 (z) est étudiée dans l’article[12] (cf. aussi [9], [11] et ~5~ ) où il est démontré que ce polynôme admet~> Reçu le 9 février 1999, accepté le 12 octobre 1999
(1) Recherche partiellement financée par le CNRS, Institut Girard Desargues, UPRESA 5028 et par la coopération franco-algérienne.
(2) Institut de Mathématiques, Université Houari Boumédienne, BP 32, El Alia, 16111Bab Ezzouar, Alger, Algérie.
e-mail: csai@tassili.cerist.dz(3) Institut Girard Desargues, Mathématiques, Bât. 101, Université Claude Bernard(Lyon 1), F-69622 Villeurbanne cedex, France.
e-mail: jlnicola@in2p3.fr- 471 -

z =1 comme racine double et également n - 1 racines simples notées

z1,z2,..., zn_ 1 et vérifiant=etn n-1 |2k| (2n)1/n

zk,(2k + 1)03C0 n+1,

2k03C0 n arg zk

1

2 ()

k

Dans l’article [4] (cf. aussi [10]), deux autres familles de trinômes sont considéréesGn (z)=Hn (z)=

03C6zn + 1

(3)

1

(4)

et

=

(~P -

le lien~~ est le nombre d’or.et Notons
est donc leavec la famille

précédente :Gnpolynôme réciproque deGn (z)
1 racines simples; deux
n
admet
+
dans
démontréIl
estGn[4] quefn~ ~1 et une racine supérieure à 1 notée xl,n; toutes
sont réelles positives, z
les autres sont à l’intérieur du disque unité. Enfin, il y a une racine dans

on a

=

=

chacun des secteurs

Notons que, lorsque n est pair, la racine située dans le secteur indexé parkn/2 est réelle négative; nous la désignerons par=

Des résultats semblables sont obtenus pour la famille de trinômes (4).
Il y a une seule racine réelle positive z
1, et une racine dans chacun des=secteurs

Lorsque n est impair, la racine située dans le secteur indexé par k n21 est
réelle négative; nous la désignerons par ~2,n, sans confusion possible avec laracine de Gn à cause de la parité de n.
=

Dans cet article, nous nous proposons d’apporter des précisions sur les
racines de ces trinômes, et ceci par trois méthodes.
La première méthode est celle des solutions approchées : il s’agit detrouver une solution approchée de l’équation, puis, à l’aide de théorèmes
classiques en analyse complexe (essentiellement la formule de Taylor et leprincipe du maximum), prouver qu’il existe un zéro qui en soit proche.
Cette méthode est utilisée dans [6], et elle a servi à démontrer le théorème
2 de [12]. Dans le paragraphe 2 ci-dessous, nous améliorons ce théorème

2 de [12], et dans le paragraphe 3, nous appliquons la méthode des solutions approchées au trinôme (1). Voici comment, sur la suggestion de
A. Schinzel, nous trouvons la solution approchée dans ce cas. On part duprincipe que les arguments des racines sont à peu près équidistribués, et queleurs modules sont voisins de 1 ; on fait dans (1) le changement de variablesz
En séparant partie réelle et partie imaginaire, on+
rk expobtient=

n+1

En ajoutant les carrés de (5) et (6), il vient

Dans le membre de droite de (7), on substitue ~~=0 et rk=

1. Cela donned’où l’on déduit la valeur de rk donnée par (24) ci-dessous. Ensuite, dans

(6), on substitue rk 1, on assimile sinà (n +
et cela fournit la valeur de=+àet sin( (n +donnée dans (25).

La deuxième méthode utilise le théorème des fonctions implicites analytiques. Dans [12], le théorème 4 donne pour |z1| et arg z1 (où zi est la racinede fn, n+1 définie par (2)) un développement limité suivant les puissances delin. H. Delange a observé que l’on pouvait, de façon à la fois plus élégante etplus précise, obtenir pour zi un développement en série entière par rapport
àen utilisant le théorème des fonctions
implicites. De plus, T. Fack
nous a signalé une version explicite du théorème des fonctions
implicites
utilisant le rectangle de sécurité de l’équation différentielle associée. Tout
ceci est développé dans le paragraphe 4. Dans [4], on donne pour le zéro réel
négatif x2, n de Hn ou Gn l’estimation

La méthode du théorème des fonctions implicites analytiques donne pour
~2, Tt (en distinguant les cas n impair et n pair) un développement en série

entière suivant les puissances defera l’objet du paragraphe 5.

et convergent pour n assez grand. Ceci

La troisième méthode donne un développement en série hypergéométrique des racines d’un trinôme. Elle sera exposée dans le paragraphe 6,
où la proposition 2 reprend la formulation de Belardinelli (cf. [1]) pour laracine de l’équation yN + xyp - 1 - 0 telle que y(0) = 1. La référence[1] nous a été communiquée par P. Barrucand. G. Belardinelli donne deuxdémonstrations de son résultat; l’une utilise la transformée de Mellin, tandis
que l’autre utilise le théorème d’inversion de Lagrange. Nous en donnerons,à l’aide de la formule d’inversion de Lagrange, une preuve courte qui nous aété fournie par J. Zeng. Dans l’article [4], on donne pour xl, n, le zéro positif
différent de 1 de Gn{z), l’estimation

Dans le théorème 5, nous améliorons nettement cette estimation en donnant
pour xl, n un développement en série hypergéométrique très rapidement

convergent.
Nous avons plaisir à remercier chaleureusement les mathématiciens qui
nous ont aidé dans l’élaboration de cet article et que nous avons cité ou que

précisant la nature de leur aide : P. Barrucand, H. Delange,
J.-P. Demailly, B. Salvy, A. Schinzel, T. Fack, J. Zeng, ainsi que K. Dilcher
et K.B. Stolarsky pour nous avoir communiqué leurs articles.
nous citerons en

2. Solutions approchées : z’~+1 - (n + 1 ) z -~- n=0

J.-L. Nicolas et A. Schinzel montrent dans [12] (cf. aussi [9]) que le104°. Dans ce qui
théorème 1 ci-dessous est vérifié pour la constante A
constante.
cettesuit, nous abaissons sensiblement=

THÉORÈME 1. - Il existe une constante absolue A > 1 (Avient )avec

A xk~nalors

14 conla propriété : pour tout n > 2A et pour tout entier k vérifiantA, si l’on pose-=

racine z~ satisfaisant à l’inégalité

DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1 (1). - Pour tout k vérifiant ~4 ~E [0,?r]; donc, en utilisant l’inégalité
1~ n + 1 - A, on avalable1, on apour
2 min(t,1 - t)=

2(n + 1)sin(4k + 1 4n + 203C0) 4n+2((4 (’ ) + ) > 4A + 1.

(11)

Comme A > 1, il en résulte que rk > 1 et puisque n > 2A

(12)

avec

Notons que la fonction t
R(t) est croissante pour t > 0. Grace à l’inégalité
entre les moyennes arithmétiques et géométriques, on obtient la majoration~

Mais on peut majorer p encore mieux. En utilisant l’inégalité t 2014 1 ~ t log t,valable pour tout t > 1, et (12), il vient:enposantet en notant que w (t) est une fonction décroissante en t pour t > 1.
.

LEMME 1.. - Avec les notations du théorème 1, on a

DÉMONSTRATION. - Le lemme 1 est démontré dans ~12~, p. 169.
LEMME 2. Avec les notations du théorème 1, on aoù R(A) et w(t) sont définis par (12) et (15) et

est une fonction décroissante de x pour x > 1.
.

est analyDÉMONSTRATION DU LEMME 2. - La fonction t H sinhtique et les coefficients dans son développement de Mac Laurin sont positifs.
Elle est donc croissante pour t 0, et cela entraîne la décroissance de y(x)pour x 1.

En utilisant le lemme 1, il vienten utilisant(14). On observe ensuite que ~~- ~ 1 + 2A (puisque n > 2A) etcela donne

Il reste à majorer

Par (14), (16) et (12), on a

Enfin, par (9),puisque n > 2A et que la fonction t -est décroissante pourt > 2 - 1. Le lemme 2 découle alors de (17), (18) et (19).
DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1 (ii). Supposons que f ne s’annule
pas dans le disque de centre xk et de rayon p ; on pourrait appliquer dansce disque le principe du maximum à la fonction 1 / f : il existerait z, avec

=p tel quef~~k~ ~ ~ ~f~z~ ~. Pour démontrer (ii), nous allons montrer

que pour tout z, tel que=p, on a(20)>

La formule de Taylor s’écrit :et par suite on a

Le lemme 1 permet d’écrire :par (11). De (21) et du lemme 2, on déduit alors

Mais le membre de droite de cette inégalité est une fonction croissante de A,
pour A > 1, car R est croissante, et y et w sont décroissantes, ainsi que lesfonctions 1 +etPour A
14, il vaut 0.1769 > 0, cela prouve(20) et achève la preuve du théorème 1.

2~=

Remarque. Les calculs numériques effectués pour n 200 montrentque (10) est vérifiée pour tout k tel que 0 x k x n. Le théorème 1 est donc
vraisemblablement exact pour tout k, 0 x k x n, mais nous n’avons pas
réussi à le prouver sans la restriction
A. Dans la définitionde p dans (9), le 3 est arbitraire (il doit cependant être supérieur à 2). En
l’augmentant, on pourrait abaisser la valeur de A dans le théorème 1. Pourles petites valeurs de k, le théorème 3 exposé dans le paragraphe 4 fournira
une meilleure approximation des racines.

3. Solutions approchées :az + a-

1 = 0

THÉORÈME 2. Soit a un nombre réel , a > 1. Pour n > 1, on définitl’équation trinômej(z)kPour 1n +=fn, a (z)=-az + a

-

1

=

(22)

0.

1, on pose,

avec

Soient trois nombres réels a, ~3, q, vérifiant 0a(l -+ 1303B2 +~3~y, cx > 0 et++

1003B32).

(26)

On suppose que

Alors, l ’équation (22) admet une racine dans le disque de centre xk et derayon p=a/(n --~ 1 ).

Dans (~6), on peut prendre par exemple a

Lorsque a,Ci ’Y
---

=

cp

-

1 +2 , ~==1 et n > 99,

0.7, ,Qon=

0.1, ~y=0.02.

peut prendre a

=

~, (

=

DÉMONSTRATION. - Montrons d’abord ce dernier point. Lorsque aet n > 99, on a

Il s’ensuit que

=

~p

ce

qui prouve (26).

Ensuite, nous suivrons le même plan que dans la démonstration duthéorème 1 : avant d’appliquer la formule de Taylor, il nous faut majorer
minorer
et majorer le terme de reste.
En appliquant à (24) l’inégalité (1 + t)~‘ 1 + At, valable pour t > 0 et
0 ~ 1 et l’inégalité sin t t valable pour t > 0, on obtient

Nous utiliserons aussi l’inégalité bien connue des probabilistes (cf. [7], p. 512)qui peut se démontrer en appliquant la formule de Taylor avec reste intégral :enposant w(t)=eit, on a

Il vient ensuite par (22), (23), (24) et (25)

En utilisant deux fois la majoration (29), on obtientet par (25) et (28), il suit

Après réduction des termes semblables, le membre de droite ci-dessus s’écrit

En tenant compte de l’hypothèse n
et 27r par 6.5, et l’on obtient

9, on majore 1 n+1 par 10 , 03C02 par 10

Compte tenu des hypothèses (27), on en déduit

Minorons maintenant la dérivée : on a, par (22), (23) et (24)et sous les hypothèses (27), on a

Enfin, soit z

avec | z - xk|

Par le changement de variables t

et on peut écrire

=

p

=

+ 1 ), II vient+ u(z -

cette intégrale devientComme p=+ 1), on a, par (28)et compte tenu des hypothèses (27),Supposons que f ne s’annule pas dans le disque de centre Xk et de rayon
pourrait appliquer dans ce disque le principe du maximum à la fonction

p ; onPour démontrer
j = p tel que
1 / f : il existerait z, avec
le théorème 2, nous allons montrer que pour tout z, tel que |z - X k= p, onaJf (z) J >

(36)

~

La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit :L’inégalité (36) résultera donc dePar (33),

>

a(1 -

et (37) résulte de (32), (35) et (26).

4. Le théorème des fonctions implicites

On trouvera un énoncé du théorème des fonctions implicites analytiques
dans ~2J, 7.8. Nous présentons ci-dessous une version effective, communiquée
par T. Fack.

PROPOSITION 1. Soit F(x, y) une fonction de deux variables complexes, analytique dans un ouvert SZ C (C2 contenant le rectangle R=

f (x~ y) E
F(xo, yo)=0, que]r}. On suppose que.

â00FF (x, y) ~ 0 pour tout point (x, y) E R et que, deplus, le rectangle ~Z. est un rectangle de sécurité pour la fonction G(x, y)-=â~ (x, y)/ â00FF (x, y), c’est-à-dire,Alors, il existe une fonction ytelle que F(x, y (x) )=sy(x) définie dans le disque0 et y(xo) = yo Dans ce disque, cette fonction est=.

analytique et vérifie jy(x)-r.

DÉMONSTRATION. On sait que l’équation différentielle y’
G{x, y)admet une solution y {x) analytique dans le disques vérifiantr (cf. par exemple (3J, p. 124 qui traite le cas réel,y{xo) yo etmais, comme nous l’a confirmé J.-P. Demailly, le cas complexe se traiterait
de la même façon). La fonction de x, F(x, y(x) ) a pour dérivée(x, y{x) ) +0, elle est donc constante et vaut F{xo, yo ) 0. a
=

=

â~

y’ {x) â00FF {x, y (x) )==LEMME 3. L’équation complexe ez
1 + z admet la racine zo
0
et pour chaque valeur de l’entier k > 1, admet pour racine le nombre z~
2k03C0 + 03C0/2 et xk > 1 et son conjugué zk Ce sontxk + iyk avec 2k03C0
yk
les seules racines de cette équation. On a
=

=

=

.

z1 ~ 2.08 + 7.46i,

2.66 + 13.88i,

z3 .-: 3.02 + 20.22i.

DÉMONSTRATION. On pose z = x+iy. La seule racine réelle est z = 0,et si z est racine, z est aussi racine. On peut donc supposer y > 0. De plus,
la relatione~ (cos y + i sin y)=

1 + x + iy

montre que si z est racine, y n’est pas un multiple de ~- et x ~ -1. En
comparant les modules et les arguments, on obtientEn éliminant 2:, on obtient

H(y) := y cotg y - 1 - log y + log|sin y|La dérivée vaut=0.

Sur chaque intervalle ouvert(k + 1 ) ~r ~, la fonction H est continue etdécroissante. On a limy~o H(y)0 et il n’y a donc pas de racines dansl’intervalle ]0,
On suppose y > ~r. La relation (38) implique> y2 > ~2
et donc x > 1. Sur les intervalles ~2k~r - ~r/2,0, ce
2k~r~, cotg y=qui est impossible par (39). Enfin, on a
+ ~r/2)H(y)=+oo et0 et cela achève la preuve du lemme 3. o

THÉORÈME 3. Soit f (z) fn, n+1 (z) zn+1 - (n + 1)z + n, et soitb une racine complexe non nulle de l’équation et
1 + t. Il existe desmcoefficients complexes
1, 2, ..., tels que, pour n suffisamment grand,la série 1 + ~°,° 1
soit convergente de somme Sn, et Sn est racine
de l’équation j(z)0. On a
=

=

=

=

=

De plus, lorsque b 2.08... + i7.46 ..., les coefficients cm
module par 1.4 x 25m=

sont majorés en.

DÉMONSTRATION. - Dans l’équationde variables z=

exp(xy) et n==0, faisons les changements

On obtient:qui peut se mettre sous la forme

ou encoreF(x, y)La fonction

on a

=

0 avecy) est analytique dans ~2. On a F(o, b)=

0 et commeAvec les notations de la proposition 1, il existe donc un rectangle(x, y) ne s’annule pas. Lab, si, r) dans lequel la dérivée partielle
fonction G(x, y)(x, y) est majorée en module dans ?Z1 par,(x, y)setenposantmin(sl, r/1Vl ), le rectangle 7Z R(o, b, s, r)disons, M
sécuritéde
est un rectangle
pour la fonction G. On peut donc appliquer lailexiste une série entière
et1
proposition ci-dessus,

â00FF

=

-

â~

/ â00FF==de rayon de convergence R > s et telle que F(x, y(x))

z(x)

=

exp(xy(x)) est analytique pours=

0. La fonction

elle peut donc s’écrire

et comme x = lin, Sn = z(l/n) est bien racine de f (z) = 0.

Montrons que le rectangle ?Z ?Z(0, b, s
1/25, r = 3/5) est de sécurité
pour la fonction G, autrement dit montrons que dans ce rectangle, on ay) ~ M 20. Observons d’abord que, pour t E C, ~t~ to, on a===

Il s’ensuit que, pour (x, y) E R, on a

Nous devons ensuite minorer

et il s’ensuit queet par (46), on a

~ â00FF donné par (41). Il vientFinalement, de (45) et de (48) on ay)1

5.24/0.4

13.02

r/s

=

15.

Le point (x, y(x)) appartient à ce rectangle de sécurité R, et l’on a donc,
pour |x| 0.04,|b| + r 8.35. Par (43),1.4, et=par le théorème des résidus, on a

Le calcul des coefficients cm a été fait à l’aide de MAPLE jusqu’à m
La méthode employée est la suivante : on écrit

avec des coefficients indéterminés.

=15.

On calcule

avec les coefficients indéterminéset on identifie pour évaluer
puis
les dm . On calcule enfin lespar (43). Cette méthode permet de démontrer

par récurrence que cm est un polynôme en b de degré m où b se met en facteur. Un algorithme de calcul plus rapide utilisant la méthode de Newtona été

programmé par B. Salvy et a permis d’atteindre m

32. La majodonnée dans (49) n’est sans doute pas très bonne. Le calcul
numérique approché des cm jusquà m 100 laissent penser que le rayonde convergence est voisin de 1 /2. Lorsque l’on remplace la racine b par laracine z~ de l’équation e~
1 + z (cf. lemme 3), le rayon de convergence est
deproche=ration de

=

=

k+1.

.

5. Les zéros négatifs de Gn et Hn

Soit n impair. K. Dilcher a prouvé dans [4] que le polynôme

Hn(z)

=

’Pzn+1 - (SP - l)zn - 1

(50)

où cp
( 1 + ~) /2 est le nombre d’or, avait un zéro réel négatifallons montrer

Nous

=

THÉORÈME 4. - Il existe des coefficients réels ci c2, ... ,l’on ait, pour n impair assez grand,...

tels queet les coefficients cm vérifient

DÉMONSTRATION. - Nous allons utiliser le théorème des fonctions im-

plicites analytiques démontré dans le paragraphe 4. On fait d’abord dans(50) le changement de variables z -w. Comme n est impair, l’équation
Hn (z) 0 devient==

Ensuite, on pose, comme au paragraphe 4, n

On a F(0, b)==

1/x et w=

On obtient0,â00FF (0, b)e-b

On peut donc appliquer la proposition 1, etvérifie
il existe des coefficients dm tels que la série y(x)b+et donc===F(x, y(x) )=0.

On pose G(x, y)R(o, b,2/11,
G(x, y). On as =et, pourle rectangle 7Z_ - âx (x,esty)/de â00FF(x, y). Montrons quedifférentielle
sécurité

r =

s et

1/3)

pour l’équation

y’

=

=

b( r,

et, par (53),

1:24

s

ce qui assure que R est bien un rectangle deOn vérifie que
sécurité. Dans R, on a ~y(x)~ Ibl + r, et ~z~
5/4,
et l’on conclut comme en (49).a=

Les calculs numériques devergence voisin de 1 (on aet dm laissent prévoir un rayon de con= 1.08...
pour m = 125 et les entiers~

voisins). L’algorithme de calcul de Cm et dm permet, comme dans le paragraphe 4, de montrer que Cm et dm sont des polynômes en b de degré m à
coefficients dans Q(~/5).
La valeur de b a été obtenue comme la racine réelle de e-b~/5. Sil’on prend pour b une racine complexe, b
on obtiendra le+développement en série d’une autre racine de Hn(z).
== - I°~

Soit maintenant n pair. K. Dilcher a aussi prouvé dans [4] que le polynômea une racine réelle

ables z=négative également notée x2,n. Le changement de varil’équation-w conduit à

qui est, au signe près, la conjuguée de (51), obtenue en remplaçant J5dans (51) . Le même calcul que précédemment fournit alors ledéveloppement en sérieoù

est obtenu en remplaçant dans c~ le radical ~se prouver par

l’algorithme de calcul despar -, ce qui peut.

6. Une série hypergéométrique

On désignera parle coefficient de xk dans la série entière y(x).
En vue de démontrer la proposition 2, nous commençons par deux lemmes.
LEMME 4 (Formule d’inversion de Lagrange, cf. ~8~, 1.9). Soit U(x)série entière avec U(o) ~ 0. Posons W(x)x/U(x). Soit f(x) une
série entière ; alors la relation W(f(x)) x équivaut à f(x)xU(f(x)) etl’on a pour n, k ~ N
une

=

=

En particulier, pour k=

1 on a=LEMME 5 (cf. le lemme 2 de [14~).- Soit une série entièreet V(x) une série entière vérifiant V(x)
1 +
alors
et Vn(t)sit E lI8 et n > 1;
Un(t)
=

=

=

et f(x)xV(x). Il vientded’inversion
formulelaLagrange(lemmeD’aprèsDÉMONSTRATION. Posons W(x)alors W(xV(x))

=

x.

=

Soit

=

=

4), on a poursoit

Comme Un (t) et Vn (t) sont tous deux des polynômes en t de degré n, ceciétablit l’égalité pour tout nombre réel t. o
PROPOSITION 2. ,Soit N et P deux nombres réels positifs, et ~c un
N - P. Le rayon de convergence de la série
nombre réel. On pose Q=

entièrevaut

0° 1. De plus, pour ~x~l’équation
vérifieyl (x)

avec la convention

y(x)

=

=

R, on a=(yl(x))~‘ etDÉMONSTRATION. - La proposition 2 se trouve dans ~1~ . Notons quedans [13], 7.32, le cas N = 1 et P = 2 est traité comme exemple. La
démonstration ci-dessous est due à J. Zeng.
et l’onP > 0, l’équation (61) devient y(1 +la formule du binôme avec un rayon de convergence égalà 1. Lorsque 7V ~ P, la valeur de R s’obtient par la formule classique

Lorsque N=

retrouve pour y=de Hadamard 1/.R
formule de Stirling.

=

limsupque l’on évalue à l’aide de laD’après le théorème des fonctions implicites analytiques, il existe unesérie entière y(x) solution de (61) avec y(0)1. On pose U(x)et V(x)vérifie V(x)
Comme
(1 =

=

=

le lemme 5 impliquecequi prouve (59) .
.

THÉORÈME 5. Soit x1, n la racine positive et différente de 1 du trinôme
Gn défini par (3). On a le développement en série, convergent pour n > 1

DÉMONSTRATION. L’équation Gn (z~=En effectuant les changements de variables z

0 s’écrit aussi=

et y = 1 / Y, on obtient

On applique à l’équation (63) la proposition 2, avec N = 1, P = n -E- 1,-1 et x
-1 ~cp2’~’~ 1, et la formule (59) donne le développement
annoncé pour zi, n en remarquant que z
et que

Il

=

=

=

Par (60), le rayon de convergence vérifie

L’étude de la fonction t ~--~
t > 3/2, ce qui entraîne, parona, par (64), Ri = 1/4 >e(t + 1) montre qu’elle est positive pour(64), -~-pr

1/cp3

=

Rn pour n > 2 et pour n 1,
0.236..., ce qui achève la preuve du=théorème 5.

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