相対エントロピーと重力理論
宇賀神知紀(基研 白眉センター 京都)自己紹介
Tomonori Ugajin (宇賀神知紀)@YITP〜 Mar. 2014: IPMU
Sep. 2014〜Aug.2017: UCSB（KITP）
Sep. 2017〜Aug. 2019: OIST
Sep. 2019年〜Mar. 2020: Penn (It from qubit fellow )Research interestsのか？
弦理論:（主に量子重力的側面）
キーワード：AdS/CFT、Black holes（ホログラフィー原理）
手法：量子情報理論（にインスパイアされた何か)（アイランド公式 ,相対エントロピー）

AdS space二つの時空の創発現象
AdS/CFT

Island 公式
CFT(non gravitational)

Hawking 放射

創発

創発

AdS上の量子重力

Island region（BH interior）

時空の幾何学は、より基本的な要素から創発する概念？
量子相関が、この創発を理解する上で鍵になるかもしれない。

二つの時空の創発現象
AdS/CFT

Island 公式
CFT(non gravitational)

Hawking 放射

創発

創発

AdS上の量子重力

Island region（BH interior）

このトークでは、 （量子情報理論の中心的な概念の一つである）相対エントロピーを用いて AdS/CFT対応、特に重力のダイナミクスを調べる話について紹介します。

本講演では• 本講演は相対エントロピーについての私の研究を紹介します。
• 相対エントロピーとは何か?
• どのように計算するのか？
• どのような応用があるのか?

7

本講演では• 本講演は相対エントロピーについての最近の私の研究を紹介します。
• 相対エントロピーとは何か?

与えられた２つの密度行列間の距離を測る量• どのように計算するのか？
• どのような応用があるのか?

8

本講演では• 本講演は相対エントロピーについての最近の私の研究を紹介します。
• 相対エントロピーとは何か?

与えられた２つの密度行列間の距離を測る量• どのように計算するのか？

摂動論的、もしくは数値的に計算できます• どのような応用があるのか?

9

本講演では• 本講演は相対エントロピーについての最近の私の研究を紹介します。
• 相対エントロピーとは何か?

与えられた２つの密度行列間の距離を測る量• どのように計算するのか？

摂動論的、もしくは数値的に計算できます• どのような応用があるのか?
様々な応用: ホログラフィーにおける重力の創発機構
混合状態の量子エンタングルメントの定量化,
量子カオスにおけるスクランブリング, + should be a lot (let me know!)10相対エントロピーとは何か?

11

相対エントロピー

Space of DM• 2つの密度行列の間の 相対エントロピーは

• 正値性

•

が０になるのは２つの行列が等しい時のみ
相対エントロピーは密度行列間の距離を測っている. (非対称性->量子情報的意味)• 自由エネルギーの一般化
12様々な分野への応用:
REは自然な距離

量子ダイナミクスへの強い制限

Holography

ANEC

Explicit

Quantum info
Quantum Chaos

Computations

Relative
EntropyGeneralProperties(Monotonicity,Positivity)[Faulkner et al]

A theorem[Casini et al]
2nd law of BHTD

[Wall]

近年相対エントロピーの場の理論への様々な応用が見つかった。
主に２つの方向性がある。
13

様々な分野への応用:
REは自然な距離

量子ダイナミクスへの強い制限

Holography

ANEC

Explicit

Quantum info
Quantum Chaos

Computations

Relative
Entropy

GeneralProperties(Monotonicity,Positivity)[Faulkner et al]

A theorem[Casini et al]
2nd law of BHTD

[Wall]

近年相対エントロピーの場の理論への様々な応用が見つかった。
主に２つの方向性がある。
14

私のやってきたこと（１）：共計場理論における相対エントロピーの計算手法の開発
摂動論的手法： 1603.03057, 1611.02959, 1611.03163, 1812.01135
数値計算法：1705.07899, 1805. 01051 （物性研究者との共同研究）（２）：（１）で得られた結果の理論物理諸分野への応用
AdS/CFT対応： Einstein方程式の最初の非線形項のCFTからの導出 1705.01486
非平衡物理：量子カオス、特にスクランブリングの量子情報理論的理解 1805. 01051
量子情報理論： CFT真空の持つ、離れた領域間の量子エンタングルメントの定量化 1807.09448
物性論： トポロジカル相の区別可能性 [In progress]15

なぜ相対エントロピーが様々な応用を持つのか
相対エントロピーによって２つの密度行列がどのくらい似ているのか、あるいは異なっているのかがわかる。

16

なぜ相対エントロピーが様々な応用を持つのか
相対エントロピーによって２つの密度行列がどのくらい似ているのか、あるいは異なっているのかがわかる。

２つの密度行列の区別可能性を問う問題は、理論物理の諸分野に普遍的に表れる。
（例えば情報喪失問題はブラックホールの微視的状態がどれだけ区別できるのかに深く関係する。）

17

なぜ相対エントロピーが様々な応用を持つのか
相対エントロピーによって２つの密度行列がどのくらい似ているのか、あるいは異なっているのかがわかる。

２つの密度行列の区別可能性を問う問題は、理論物理の諸分野に普遍的に表れる。
（例えば情報喪失問題はブラックホールの微視的状態がどれだけ区別できるのかに深く関係する。）

従って相対エントロピーを用いる手法は、分野を問わない普遍的な方法論といえる。

18

物理学会誌(2021年7月号)

解説記事

どのように相対エントロピーを計算するのか?

20

相対エントロピーを計算する２つの手法
相対エントロピーを計算する手法は主に２つある。
1. レプリカ法:[Lashkari]

CFTの場合各項は2n点相関関数として書ける.
例１: the Ising CFT, 例2:チャーンサイモンズ理論

2. 摂動論的手法:

21セットアップ
・円筒上の CFT
・ 領域A

・励起状態
0!

・縮約された密度行列

22

Ising CFT における相対エントロピー• Ising CFT では相対エントロピーを解析的に計算できる.[Nakagawa, TU 1705.07899 ]２つのプライマリー状態:スピン演算子 )に対して (: エネルギー演算子,23Ising CFTにおける相対エントロピー
このCFTの解析的な結果は、対応するスピン鎖模型における 数値計算と良く一致する。 [Nakagawa, TU 1705.07899 ]24

一般の場合一般の場合に相対エントロピーを厳密に計算するのは難しい。

When θ<<1 (small subsystem sizelimit ), the behavior of relative
entropy is governed by the lightest
Primary operator O of the CFT

S(θ）

In the total system
limit,

When[Sarosi, TU]

Θ＝２πθ25相対エントロピーの摂動的計算法と、そのAdS/CFT対応への応用
Mainly based on the Work with G Sarosi
arXiv :1705.01486“Modular Hamiltonians of excited states, OPE blocks and emergent bulk fields”
See also
Faukner, Haehl, Hijano, Parrikar, Rabideau, Van Raamsdonk"Nonlinear Gravity from Entanglement in Conformal Field Theories"

AdS/CFT(ホログラフィー)とは何か?
AdSの境界におけるCFT

反 de Sitter 空間 (AdS)等価 !!
AdSにおける（量子）重力理論
27

笠高柳 公式

A

領域Aについてのエンタングルメント
エントロピー

バルクにおける極小曲面の面積28なぜAdS/CFT対応は興味深いのか• 未だに我々は量子重力理論の適切な定式化を知らない.
• AdS/CFTを通して, 我々はAdSにおける量子重力理論を、その境界におけるCFTから定義することができる。
非常に重要な問題：バルクの重力ダイナミクスは、どのようにCFTから創発するのだろうか

29

なぜAdS/CFT対応は興味深いのか• 未だに我々は量子重力理論の適切な定式化を知らない.
• AdS/CFTを通して, 我々はAdSにおける量子重力理論を、その境界におけるCFTから定義することができる。
非常に重要な問題：バルクの重力ダイナミクスは、どのようにCFTから創発するのだろうか

相対エントロピーを用いて、この問いにアプローチすることができる！
30

RE and Einstein eqs[1705.01486]
CFTside：DM excitation

CFT on the bdy＝Equivalent

Quantum gravity
in AdS

AdSside: metric excitation

Can read off bulk Einstein eqs from the CFT relative entropy• 非常に近い２つの状態の相対エントロピー.

展開の最初の項ははについて展開できる。

REの正値性から消えなければいけない。[Bhattacharya, Nozaki, Takayanagi, TU]

AdS周りで線形化されたEinstein 方程式[Lashkari Van Raamsdonk..] [ Takayanagi et al][ Faulkner Meyers et al…]

展開の２次の項はFisher 情報量と呼ばれる。

Einstein 方程式の最初の非線形項に対応
32

• 非常に近い２つの状態の相対エントロピー.

展開の最初の項ははについて展開できる。

REの正値性から消えなければいけない。

AdS周りで線形化されたEinstein 方程式[Lashkari Van Raamsdonk..] [ Takayanagi et al][ Faulkner Meyers et al…]

展開の２次の項はFisher 情報量と呼ばれる。

Einstein 方程式の最初の非線形項に対応
33

相対エントロピーを計算する２つの手法
相対エントロピーを計算する手法は主に２つある。
1. レプリカ法:[Lashkari]

CFTの場合各項は2n点相関関数として書ける.
例１: the Ising CFT, 例2:チャーンサイモンズ理論

2. 摂動論的手法:

34

相対エントロピーの摂動展開• 相対エントロピーの計算では、モジュラーハミルトニアン計算が鍵になる、一般の励起状態では、は非常に非局所的。

しかし、真空の密度行列についてはは局所的な表現を持つ（= Rindler ハミルトニアン）。 従って摂動展開の便利な出発点になる。

Vacuum modular Hamiltonian
When the subsystem A is a ball shaped region, the modular Hamiltonianof vacuum has a local expression,
A

This generates the boost symmetry of the causal diamond of A.

Conformally mapped to Rindler Hamiltonian of Half space.

Sketch of the argument• Step 1: Write• Step2: Expand(the entanglement Hamiltonian of) w/

By using the integral expression of log :• Step3: Combine them to get37

CFT results• In the small subsystem size limit, the reduced density matrixof an excited stateis getting closed to the vacuum RDM.

Therefore we can write it as a perturbation
perturbative scheme, and apply the(The generalization is straight forward.)
38

Step1: The expression of
In our case of interest, it turned out thatcan decomposed into
contributions of primary operators in the CFT.

OPE block

1pt function:
The OPE block
descendants of it.

of a primaryis summing up allStep2: Expanding the log• We can the modular Hamiltonian by using the formula,

The result isThe parameter s is the Rinder time in the causal diamond.

Expanding the log• The explicit expression of the kernel is• Some special cases:

CFT results• Using the general formula, we derived the (formal) perturbative
expression of the excited state mH. The leading term isand for entanglement entropy,

Where F is the 4pt conformal block of the primaryホログラフィックな書き換え[Sarosi, TU,1705. 01486]
さらにこのFisher 情報量についてのCFTの結果を、重力理論側の場を用いて書き換えた。

: RT surface in the bulk43

Fisher 情報量=正準エネルギー

Holographic Studies:[Nozaki Numasawa Prudenziatti Takayanagi][Lin marcori Ooguri Stoica][van Raamsdonk, Lashkari]

は CFT側のプライマリー演算子に対応する重力理論側の場はこの場のストレステンソル.
情報量=正準エネルギーの証明

44

Fisher 情報量=正準エネルギー

HKLLThe excitation turns on non trivial CFT 1pt functions

Back reaction

Bulk profile

This formula captures the first non trivial back reaction effect in the bulk spacetime.
45

相対エントロピーとアインシュタイン方程式
真空において、極小曲面とAで囲まれた領域は、トポロジカルブラックホールの 外部領域と同一視できる。

ホライズンが双曲空間=
このBH時間は、境界においてモジュラーフローを生成する。

領域Aの真空のEEはこのBHのエントロピーと同じ励起によるエントロピーの変化を、 Wald の方法で解析できる。 46

Wald formalism
重力理論の作用をとすると、その変分はPresymplectic 形式 （変分の境界項）

ベクトル場 ! に対する ネーターカレント

は配位 " が 運動方程式を満たすとき保存するが、一般には運動方程式に比例する。： 閉形式からのズレ
47

BH エントロピーとネーター電荷

BH エントロピー： 電荷のホライズン上での積分

48

BH エントロピーとネーター電荷境界における状態の励起は、トポロジカルBHの励起に対応

この励起に伴うBHエントロピー（EE） と質量(モジュラーハミルトニアン)の変化は49

BH エントロピーとネーター電荷
これらの式を #" について展開し、CFT側のREの結果と比較すると、一次の項

CFTの結果二次の項

CFTの結果アインシュタイン方程式の摂動展開が出てくる。
50

Cubic order term of RE• Similarly we can evaluate the cubic order term of the EE

In the small subsystem size limit we can evaluate the integral,

This again agree with the holographic calculation[Casini, Galante Myers], in the presence ofthe bulk cubic interaction.

結論• CFTにおける相対エントロピーを摂動論的に計算する手法を開発した.
さらにFisher情報量部分をホログラフィックに書き換えた。この結果を笠高柳公式と組み合わせるとEinstein方程式の最初の非線形項が導出できる。

52

ご清聴ありがとうございました。

53