宇宙現象を用いた究極理論探査 (III)京大基研 小玉英雄
首都大東京集中講義
2017/11/15 - 16

講義計画
第1章 宇宙論の基礎
1.1 膨張する宇宙
1.2 熱いビッグバン宇宙1.3 加速する宇宙
1.4 4次元インフレーション宇宙モデルの概観

第2章 究極理論
2.1 究極理論の候補
2.2 超弦理論と超重力理論
2.3 D-Brane
第3章 インフレーションによる究極理論探査
3.1 問題点
3.2 加速膨張に対するNO-GO定理
3.3 超弦理論に基づくインフレーション
モデル

第4章 Axion Cosmophysicsによる究
極理論探査
4.1 What is axion?
4. 2 String Axions
4. 3 Direct Search
4. 4 Axion Cosmophysics
4. 5 重力波によるアクシオン探査4. 6 ガンマ線天文学によるアクシオ
ン探査

第3章 インフレーションによる究極理論探査3．１ 問題点

Motivation
 In the 4D supergravity framework, there are a plethora oftheories that realise dS vacua and inflation.
 In contrast, there are only a few examples of string
compactification that realise dS vacua.
– Why is it so difficult ?
– What are the essential ingredients to realise dS vacua?
– What are the uplifts of 4D supergravity theories realising dS vacua?
– What are the meaning of potential in the string uplift?
– Are the quantum effects the only way to evade this difficulty?

3.2 加速膨張に対するNO-GO定理

3．2 加速膨張に対するNO-GO定理

Classical No-Go Theorems

Strong Energy Condition
Raychaudhuri Equations [1955]

Strong Energy Condition=Timelike convergence condition
For any timelike vector V,

Implications
If the strong energy condition is satisfied;• gravity becomes attractive;• the cosmic expansion decelerates.

Gibbons’ No-Go Theorem

Gibbons GW (1984): Aspects of Supergravity Theories, Three lectures given at
GIFT Seminar on Theoretical Physics, San Feliu de Guixols, Spain, Jun 4-11, 1984.

ProofFrom the assumptions, we havefor any unit timelike vector V parallel to X. By integrating this equation
over Y, we obtain

If RVV ¸ 0 and W is regular and bounded everywhere, the right-hand sideof this equation is non-negative. Hence, we obtain

SEC for D=10/11 Supergravities
 M-theory (D=11)

 D=10 Type IIB Supergravity



D=10 Type I Supergravity D=10 Type IIA Supergravity

Maldacena-Nunez’s No-Go Theorem[Maldacena JM, Nunez G (2001): IJMPA16, 822.]

Note: A stronger result can be obtained for the massive IIA supergravity.

ProofIn the Einstein equations
𝑅𝑅𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑀𝑀 can be writtenHence, the contraction of the Einstein equations with 𝑔𝑔𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑋𝑋 gives
If 𝑋𝑋 is Mink or dS, massless form field strength 𝐹𝐹𝑝𝑝 should have the form
Then, from the condition 4
Hence,

3．2 加速膨張に対するNO-GO定理

Inclusion of branes
in 10D type II Sugra

No-Go Theorem for IIB with Branes[Dasgupta K et al (2014): JHEP 1407, 054]
[Giddings SB, Kachru S, Polchinski J (2002): PRD66, 106006]

Remark: The inclusion of curvature corrections, D-instantoncorrections, loop-corrections may lead to a de Sitter solution.

Proof
1.

From the Einstein equations, the scalar curvature of X4 can be written

2. The D-brane and O-plane actions readwhere Tp >0, TOp <0.

3.

Their EM tensors are given by

Hence, if 𝑝𝑝 ≤ 7, D-brane does not help to realise dS:
In contrast, if 𝑝𝑝 ≤ 7, O-planes have negative energy and may help torealise dS:
However, they cannot be smoothed out, so its back reaction produces
singularity.

 Tadpole condition
By integrating the field equation with the brane sourcefor n=5 over the internal space Y, we obtain the constraint

where

Hence, if the flux does not match the number of D3 branes, anappropriate number of O3 planes are required.

IIA Sugra Action
String frame

whereNo-Go Theorem for IIA with Branes[Hertzberg MP, Kachru S, Taylor W, Tegmark M: jhep 12, 095(2007)"Inflationary constraints on type IIa string theory"]

Proof
モジュライ変数 ρ, τ を

おくと，Einstein frameにおいて，これらの運動項は

Fluxの量子化より，フラックスのポテンシャルへの寄与はまた，ブレーンの寄与はよって，ψをρ, τ以外のモジュライ変数として，

これより，

よって、ポテンシャルの極点では、V ·0.

No-Go定理を克服する可能性
 Geometrical/NG flux T: Habc→ f abc → Q abc → Rabc

 NS5ブレーン

3．2 加速膨張に対するNO-GO定理

Inclusion of α’ Corrections

10D HET Supergravity
 Field contents:– Boson:– Fermion: Majorana Weyl

 Action (O(𝛼𝛼 ′2 ))Anomaly Cancellation
Condition:

α’-Corrections in 10D HET Sugra
Theorem: 10D HET supergravity with the full 𝛼𝛼 ′ corrections does not allow
a compactification M=dS4£ Y6 or M=adS4£ Y6 under the following
conditions:
1.

Metric is regular and takes the warped form

2.

Fields are regular and invariant under the maximal symmetry of X

3. 𝛼𝛼 ′ -expansion is allowed.
4.

No string loop corrections.

5.

No non-perturbative corrections such as gaugino condensates.

Gautason FF, Junghans D, Zagermann M (2012): JHEP 1206, 029 [arXiv:1204.0807]“On Cosmological Constants from a’-Corrections”

Proof.
1. Neglecting the terms that vanish when the configuration isinvariant under the maximal symmetry group of X, theeffective action reads

where

2.

Variations wrt 𝜏𝜏 and 𝑎𝑎 give

From these, it follows

3.

When X is a constant curvature space

Hence, the above equation can be written

There exists no solution such that Λ = Λ0 + 𝛼𝛼 ′ Λ1 + ⋯ ≠ 0.

α’-Corrections & Gaugino Condensates
Theorem: 10D HET supergravity with the quadratic 𝛼𝛼 ′ correction and gaugino
condensates does not allow a compactification M=dS4£ Y6 or M=adS4£ Y6
under the following conditions:
1.

Metric:2.

Fields are invariant under the maximal symmetry of X

3.

Gaugino condensates

Quigley C (2015): arXiv: 1504.00652“Gaugino Condensation and the Cosmological Constant”

Proof
1. Under the ansatz of the theorem, the 10D action reduces to

2. Variation wrt 𝜑𝜑 gives

RHS of this equation can be set to O(𝛼𝛼 ′3 ) by requiring
Hence, by integrating over Y, we obtain3. Variation wrt 𝑔𝑔 gives

4. When X is a constant curvature spacetime

The two field equations reduce toHence, by eliminating V, we obtain

α'-corrections in IIB
Theorem:
For heterotic or type IIB with no RR fluxes, compactification todSn (n¸ 4) is not allowed even when all α'-corrections
including perturbative curvature corrections and world sheet
non-perturbative effects are allowed, if no stringy loop or nonperturbative correction is included.

Reference
Kutasov D, Maxfield T, Melnikov I, Sethi S (2015): arXiv:1504.00056.
“Constraining de Sitter Space in String Theory”

いかにしてNo-Go定理を克服するか D/Oブレーン、RR フラックス、非摂動効果、高次の 𝛼𝛼 ′ 補正 を含む II 型超重力理論
1.

KKLT シナリオ

i.
ii.
iii.
2.

IIB 理論の warped CY コンパクト化 with ISD flux(+compensating O3 -planes) ⇒No scale 4D N = 1 Sugra

Instanton (Euclidean D-brane)/D7 上での gaugino condensatesによる NP 効果 ⇒ Kaehler モジュライの安定化 adS4 .
反D3 ブレーンによる vacuum uplift ⇒ dS4

LVS (Large volume scenario)iii’. Kaehler uplifting: Kaehler ポテンシャルへの 𝛼𝛼 ′ 補正⇒ dSiv’. Monodromy inflation ( 低エネルギーでの N = 1 sugra の放棄 ) 超重力理論の枠組みの拡大– Non-geometric flux を用いたコンパクト化 [Blumenhagen et al 20152016]

 開多様体によるコンパクト化– 例： 4D SO(4,4)-gauged maximum sugra のdS-臨界点[Dall’AgataInverso] の M 理論へのuplift [Baron, Dall’Agata 2015] ストリングループ効果・非摂動効果

3.3 超弦理論に基づくインフ
レーションモデル

3.3 超弦理論に基づくインフレーションモデル

4次元N=1超重力理論

4D N=1 Supergravity
 Chiral sector– Data:– Lagrangian:– Kaehler変換:
理論は、次の産み合わせのみに依存：
このため、次の変換で不変： Gauge sector– ゲージ群: 構造定数 𝑓𝑓𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶 → 𝐺𝐺 ⊂ Isomhol (𝑀𝑀, 𝑔𝑔)– ゲージ結合関数: 𝑓𝑓𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑧𝑧) (holomorphic)– Gauging Killing ポテンシャル 𝑃𝑃𝐴𝐴 𝑧𝑧, 𝑧𝑧 ∗ : 𝑘𝑘𝐴𝐴 をGのKillingベクトル基底とするとき，– Lagrangianη-Problem
 Inflaton Φ with the canonical 𝐾𝐾:

Assume that the other fields are stabilised, and that the dependenceof 𝑊𝑊 on Φ can be neglected:
Then,Resolution
 Kahler potential with a shift symmetry[Kawasaki M, Yamaguchi H, Yanagida TT (2000)]3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

IIB理論のフラックスコンパクト化

Compactification with no flux
D=11/10 sugra can be reduced to a theory for gravity coupled with dilaton.
AssumeThen
In the cosmological context, the second equation leads to Stabilization of no moduli
 N=1 or 2 4D SUSY
– Type II : 𝑌𝑌6 = Calabi-Yau ⇔ N=2 Susy
– Type I: 𝑌𝑌6 = Calabi-Yau ⇔ N=1 Susy
– M:

𝑌𝑌7 = G2 manifold ⇔ N=1 Susy

Flux compactification
Moduli for IIB Sugra

Shape moduli ⇒ 𝜏𝜏 , the complex structure 𝐽𝐽 of CY: ℎ2,1 + 1
Size moduli ⇒ Kahler moduli of CY: ℎ1,1
4D effective action (tree)[Gukov, Vafa, Witten 2000;Taylor, Vafa 2000;Giddings, Kachru, Polchinski 2002] Discrete set of vacua
For 𝜏𝜏 =const,

Hence, 𝑊𝑊 depends only on the cohomology classes of 3-form fluxes:

 Stabilisation of all shape moduli
This privides h2,1+1 constraints for the h2,1+1 complex moduli.
[Giddings, Kachru & Polchinski(2002)]

 No scale model

Because W is independent of 𝜌𝜌 and DW=dW + dK W , we have

The size L = e u of the extra-dimension is not stabilised.

CYに対する一般的なKaehlerモジュライの定義
 CYの位相基底–––

𝐷𝐷𝑗𝑗 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , ℎ1,1 ： 𝐻𝐻4 𝑌𝑌, ℝ の基底となるdivisors

𝐷𝐷𝑗𝑗∗ ： 𝐷𝐷𝑗𝑗 のHodge双対から得られる 𝐻𝐻2 𝑌𝑌, ℝ の基底

𝜎𝜎 𝑗𝑗 𝑗𝑗 = 1, ⋯ , ℎ1,1 : 𝐷𝐷𝑗𝑗∗ の双対となる𝐻𝐻2 𝑌𝑌, ℝ の基底 サイクル 𝜎𝜎 𝑗𝑗 の体積： 𝜔𝜔を 𝑌𝑌 のKaehler形式とするとき、
 𝑌𝑌の体積 V とdivisor 𝐷𝐷𝑗𝑗 の体積
 複素Kaelerモジュライフラックス ) ワープ
10D IIB超重力理論において、計量と場が次の条件を満たすとする：


計量



場

このとき、場の方程式は次の条件と同等となる：[Kodama H, Uzawa : jhep 0507, 061 (2005)]

Ex. adS5£ S5
 adS5 × 𝑆𝑆 5 は、𝐸𝐸 6 へのワープしたコンパクト化と見なせる：

超対称性：N=8

Ex. Conifold
Candelas P, de la Ossa XC 1990

代数多様体
は 𝑆𝑆 2 × 𝑆𝑆 3 上のコーンの構造をもつ．これにKaehler計量を入れた６次元空間である，Einstein空間 𝑇𝑇11 (≅ 𝑆𝑆 2 × 𝑆𝑆 3 ) 上のコーン空間へのコンパクト化．

超対称性： N=1

Ex. Klebanov-Strasser解
Klebanov IR, Strassler MJ 2000

変形コニフォールド

への N=1超対称性をもつコンパクト化。

ここで、また、𝑔𝑔1 ∼ 𝑔𝑔5 は

この解は 𝜏𝜏 → ∞で漸近的にconifold解に近づく:
また，至る所滑らかで，コーン型突起の頂点では

3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

KKLTシナリオ

KKLTシナリオの概要
Kachru S, Kallosh R, Linde A, Trivedi S 2003

 基本モデル

IIB型理論のno scale ISD CY フラックスコンパクト化) 複素モジュライ固定[Giddings SB, Kachru S, Polchinski J 2002]𝑏𝑏

ここで，𝑖𝑖 = 𝜌𝜌, 𝑎𝑎 , 𝜌𝜌 = 𝜎𝜎 + 𝑖𝑖 2 (𝜎𝜎 = 𝑒𝑒 4𝑢𝑢 ).

• Kaehlerモジュライの安定化

非摂動論効果（インスタントン/gaugino凝縮 )[Witten E 1996 ;Tripathy PK, Trivedi SP 2003; Gorlich L, Kachru S, Tripathy PK, Trivedi SP2004]) N=1 超対称なadS真空 Vacuum uplifting
反D3ブレインにより超対称性を破りMinkowski真空（ないしdS真空）を実現．
または，磁化D7ブレインの誘起する超ポテンシャルのD項により自発的にSUSYを破る．

非摂動論効果
摂動論の範囲では， Kaehler モジュライの超ポテンシャルはゼロであるが，非摂動論
的効果を考慮すると自明でないポテンシャルが生成される可能性がある．
 Kaehlerモジュライが１個の場合の例
IIB モデルの F 理論的記述において，１２次元の時空が８次元 CY 4 により４次元にコンパク
ト化される際に， CY 4 が算術種数１の divisor D を含む場合（ 𝜒𝜒 𝐷𝐷, 𝑂𝑂𝐷𝐷 = 1) ，超ポテン
シャルにサイズモジュラスに依存した項が加わる： (Witten E 1996)

このとき，対応するポテンシャル は， 𝜎𝜎 = 𝑒𝑒 4𝑢𝑢 = 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝜌𝜌 に関して最小点 𝜌𝜌𝑚𝑚 を持つようになる．この最小点は， 𝑉𝑉 𝜌𝜌𝑚𝑚 < 0 より 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑆𝑆 4 時空を与える ．また，この基底状態は N = 1 超対称性を保つ．

 ランドスケープ問題
ここで，真空はフラックスを特徴づける整数値の組 𝑀𝑀𝑗𝑗 , 𝑁𝑁𝑗𝑗 ごとに決まり，宇宙項の値が準連続となる無限個の超対称な真空の集合を与える．

注
Kaehlerモジュライが１個の場合には、ポテンシャル極小点は、最小点ではな
い！
𝜎𝜎 に対するポテンシャルは，複素構造
モジュライ 𝑧𝑧 が固定されたとすると，
𝑏𝑏 = Re(𝜌𝜌) について最小化して，𝐶𝐶𝐴𝐴

このポテンシャルは， =>𝐷𝐷
3𝑊𝑊
2.5865 … のとき、極大点と極小点をもつ。

Uplifting
Klebanov-Strassler解の突起先端部分の計量は、Fractional D3ブレーン(𝐻𝐻 ∧ 𝐹𝐹)のみが存在する場合，∫𝑆𝑆 3 𝐹𝐹3 = 4𝜋𝜋 2 𝑀𝑀 とおくと、

4

ここで、𝑎𝑎02 ≃ 𝜖𝜖 3 /(𝑔𝑔𝑠𝑠 𝑀𝑀), 𝑏𝑏02 ≃ 0.93266.

いま，この空間に反D3ブレーンを入れると，𝐹𝐹5 フラックスによる力により突起の先端 𝑟𝑟 = 0 に引かれそこに溜る．

Apex近傍での計量と場の値を反D3ブレーンの作用積分に代入し，adjointヒグススカラ Φ について極小化する
ことにより次のポテンシャルを得る(反D3ブレーン𝑝𝑝枚）：

これにワープ因子を考慮すると，𝜎𝜎 = 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜏𝜏 = 𝑔𝑔𝑠𝑠−1 ℎ として、

3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

KKLT型モデル：
ケーラーモジュライインフ
レーション

Racetrack Model
Kaehlerモジュライが１個 𝑇𝑇 = 𝑋𝑋 + 𝑖𝑖𝑖𝑖 で，超ポテンシャルに非摂動論効果に起因する２種類の項が現れる場合に，axion方向に沿ってsaddle pointインフレーションが起きる．
 モデル

 運動項とポテンシャル

このポテンシャルは，パラメータを適当に調整すると，２つの最小点（Mink/dS)と１つの鞍点をもつ．
 例：

このモデルでは， 𝑊𝑊0 ≪1, 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 ≪ 1と取ると，鞍点近傍でcos((𝑎𝑎 − 𝑏𝑏)𝑌𝑌)項により(Natural inflationタイプの）イン
フレーションが起きる．ただし，さらに初期値の微調整が必要．

Better Racetrack Model
Kaehlerモジュライが２個の場合に，それぞれの非摂動論効果の組み合わせ
により，やはりaxion方向にsaddle pointインフレーションが起きる．
 モデル： CY = ℂℙ4 1,1,1,6,9 へのコンパクト化
 ポテンシャル 例：

インフレーションスケールは小さい！！

3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

KKLT型モデル：
ブレーンインフレーション

ブレーンインフレーションのη問題
D3-反D3系のエネルギーは，𝑟𝑟 をブレーン間の距離として

1/2

ここで，𝜙𝜙 = 𝑇𝑇3 𝑟𝑟 はcannonically normalized field. 𝑚𝑚pl と𝑚𝑚pl,10 の関
82= 𝑚𝑚pl,10
𝐿𝐿6 ( L はCYのサイズ)となるので，η パラメータは係は𝑚𝑚plよって，

D3anti-D3

inflaton

KKLMMT[Kachru S, Kallosh R, Linde A, Maldacena J, McAllister L, Trivedi S 2003]
 ワープを考慮すると、D3-反D3相互作用ポテンシャルの距離rへの依存性は平坦になる (D3 at 𝑟𝑟, 𝐷𝐷3 at 𝑟𝑟0 )：(𝑟𝑟0 ≪ 𝑟𝑟 ≪ 𝑅𝑅)

 しかし、Kaehlerポテンシャルは、 𝜌𝜌 をサイズモジュライ，𝜙𝜙 をD3-反D3の距離パラメー
ターとして，– 超ポテンシャルが 𝜙𝜙に依存しないとすると， 𝜌𝜌の安定点 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌0 近傍で，
2𝑚𝑚𝜙𝜙
∼ 𝐻𝐻 2 となりインフレーションは起こらない．

2– 超ポテンシャルに 𝜙𝜙 依存性を持たせると，微調整により𝑚𝑚𝜙𝜙=
𝑂𝑂 10−2 𝐻𝐻 2 とでき，インフレーションが起きる．

D3-D7ブレーンインフレーション
Hsu JP, Kallosh R, Prokushkin S 2003

 ポテンシャル 超ポテンシャルは 𝜙𝜙に依存せず，

𝑠𝑠 = ℜ𝜙𝜙がインフラトンとなる． 𝑠𝑠は

D3-D7の距離を表す．

 他のhypermultipletとの相互作用
は，量子効果として 𝑠𝑠 にlog型ポテ
ンシャルを生成し，全体としては

hybrid型インフレーションが実現される．

KKLTシナリオの問題点
 Kaehlerモジュライが1自由度の場合，ポテンシャルの極小値は最小値でなく，𝜎𝜎 → 0で 𝑉𝑉 → −∞.

 Kaehlerモジュライが2自由度以上の場合，ポテンシャルが安定な最小点を持つ可能性はあるが，最小点の存在はフラックスや非摂動論効果のパラメータに敏感に依存し，最小点の存在はモデルやパラメーターごとに個別に確認が必要．
 ポテンシャルが極小となる内部空間サイズは一般的にストリングスケー
ルとなり，古典論が適用可能な十分大きいサイズを実現するには，フラックスを微調整して， 𝑊𝑊 0 < 10−4 にしないといけない．

3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

Large Volume シナリオ

LVS
 基本モデル
IIB型理論のno scale ISD CY フラックスコンパクト化において，Kaehlerポテンシャルに対する (𝛼𝛼’)3 補正を考慮 複素モジュライ固定 CYの位相についての制限： ℎ2,1 > ℎ1,1 > 1 (𝛼𝛼’)3 補正＋非摂動論効果（インスタントン/gaugino凝縮)⇒ Kaehlerモジュライの安定化

CYの体積 Υ が大きい極限で，ポテンシャル 𝑉𝑉 は負からゼロに近づき，Kaehlerモジュライ 𝜌𝜌𝑗𝑗 = 𝑏𝑏𝑗𝑗 + 𝑖𝑖 𝜏𝜏𝑗𝑗 の1つ 𝑗𝑗 = 𝑠𝑠 以外は 𝜏𝜏𝑗𝑗 ∼ Υ 2/3 に従って増大，𝜏𝜏𝑠𝑠 ∼ log Υ となる
方向でポテンシャルが最小点をもつ．
⇒ 超対称性の破れたadS真空 反D3ブレイン/magnetized D7ブレーンによりMinkowski真空（ないしdS真空）を実現．

Kaehlerポテンシャルに対する (𝛼𝛼’)3 補正

II型超弦理論の低エネルギー極限の 𝛼𝛼′ 展開の最初の補正は (𝛼𝛼’)3で現れる:

ここで，𝑆𝑆𝑏𝑏,0 と 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶 は通常の作用積分, 𝑆𝑆𝑙𝑙,0 最低次のブレーン作用積分：リーディングの補正は一般に次の形をもつ（完全には決定されていない）：

これらのうち，10次元で 𝑅𝑅 4 に比例する項が4次元有効理論においてKaehlerポテシャルに (𝛼𝛼’)3 の補正を生み出し，その具体的な形は次の式で与えられると予想されている：．
ここで，

KKLTとの比較
Kaehlerモジュライが体積モジュライ 𝜌𝜌 のみの場合，より， Υ ≫ 𝜉𝜉でとなる．ここで，
よって，CYに対しが満たされれば、Υ が大きい極限および小さい極限の両方で，最後の補正項が支配的となる．これは，KKLTモデルが妥当でないことを意味する．

例：ℂP 4 [1,1,1,6,9] の複素超曲面

 １８次の射影代数多様体ℂP 4 [1,1,1,6,9] の複素超曲面 𝑌𝑌:
モジュライの数は，

このCY族の中で Γ = ℤ6 × ℤ18 不変性を持つものに限定すると，複素構造モ
ジュライは 𝜑𝜑 と 𝜓𝜓 の2個になる：
体積はと書けるので， ポテンシャル
すべての複素モジュライが固定されているとして，超ポテンシャルは

よって，ポテンシャルは Vの大きい極限 𝜏𝜏2 ≫ 𝜏𝜏1 ∼ 1 で

 最小点

例えば、

質量スペクトル LVSでは、様々なモジュライの質量が、CYの体積 𝑉𝑉 の異なる
べき依存性のために、階層的構造をもつ：ℂP 4 [1,1,1,6,9] 型の例

LVSにおけるKaehlerモジュライインフレーション 概要– Kaehlerモジュライが3個以上存在するLVSでは，小体積サイクルに対す
るKaehlerモジュライのアクシオンが分数ベキのStarobinskyタイプのポテ
ンシャル const − 𝑐𝑐 exp(−𝑘𝑘𝜙𝜙 4/3 )をもつ．
– 分数ベキのため，インフレーションタイプはsmall field型となる （𝜖𝜖 ∼10−12 )．

 仮定

– IIB型SSTのLarge volume fluxed CY コンパクト化– CYは，ℎ2,1 > ℎ1,1 ≥ 3を満たす．

– Kaehlerモジュライのsmall cycle moduliの一つ 𝑇𝑇𝑠𝑠 が他のモジュライとdecouple: 帰結– 𝜏𝜏𝑠𝑠 𝑇𝑇 = 𝑐𝑐 + 𝑖𝑖𝜏𝜏 がStarobinsky型ポテンシャルを生み出し，スローロ
ルインフレーションを起こす．
– 観測的予言 モデル複素構造モジュライとディラトンは安定化しているとして，Kaehlerモジュ
ライ 𝑇𝑇𝑗𝑗 = 𝜏𝜏𝑗𝑗 + 𝑖𝑖 𝑐𝑐𝑗𝑗 のみを考える：

 ポテンシャルを固定して、𝜏𝜏𝑗𝑗 の安定点を求めると、Upliftポテンシャルを加えて、

 インフレーション𝜏𝜏𝑛𝑛 のみが安定化していない初期条件を考えると，
𝜏𝜏𝑛𝑛 の運動項を正規化するとこれより，𝑐𝑐𝜙𝜙 4/3 ∼ 𝜏𝜏𝑛𝑛 ≫ 1 のとき，

LVSの問題点
 Small field & low scale infation
 Gravitino mass problem– KKLTでは，一般に 𝐻𝐻 ≲ 𝑚𝑚3/2 となるため，low scale SUSY breaking
𝑚𝑚3/2 ∼1TeVを仮定すると，インフレーションスケールが非常に低くなる．
この問題は，KKLTの場合，racetrack型モデルでのfine tuningにより(KLモデル[Kallosh, Linde 2004, 2007])可能.
3/2– LVSでは，この制限はさらに強くなり，𝐻𝐻 ≲ 𝑚𝑚3/2となるので、
𝑚𝑚3/2 ∼1TeVだと，𝐻𝐻 ≲ 10keV となる．この問題は、inflation pt型small
field インフレーションとrun away型再加熱（前加熱）を組み合わせた特殊なモデルでは回避できる[Conlon JP et al 2008]．

 Runaway problem
flux CY コンパクト化では， Υ → ∞ でポテンシャルが必ずゼロとなる3.3 超弦理論に基づくインフレーショ
ンモデル

モノドロミーインフレーション

概要
 String理論において，super-Planck excursionを自然な形で可能にし，
large field inflationを実現する強力なアイデア．周期性をもつモジュライ
変数が，ブレーンやフラックスとの相互作用によりmonodromy的非周期性を獲得するというフレームワーク．

IIA理論におけるdS真空
IIA理論では，IIB理論と異なり，量子効果を用いない純粋の古典的なフラック
スコンパクト化ですべてのモジュライが安定化される例が存在する．
– Toroidal orbifold 𝑇𝑇 6 /Γ では、基底状態はすべてadS.

– Massive IIAを (Nil/Γ )2 のorientifoldにコンパクト化すると安定なdS真空が存在が構成可能[Silverstein E 2008]．
 モジュライ: 𝑔𝑔 ∝ 𝑒𝑒 𝜙𝜙 Υ1/4 , 𝑒𝑒 6𝜎𝜎 ∝ Υ , Nil/Γ の周期 𝐿𝐿1 , 𝐿𝐿2 .

 ポテンシャル: 𝑅𝑅 𝑌𝑌 → 𝑉𝑉𝑅𝑅 , 𝑂𝑂𝑂, 𝐻𝐻3 , 𝐹𝐹0 → 𝑉𝑉𝑂𝑂𝑂𝑂𝑚𝑚0 , 𝐹𝐹6 →𝑉𝑉𝐹𝐹6 , KK5 brane → 𝑉𝑉𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾Nil 多様体
 Nil群: 巾零型3次元リー群 ≈ ℝ3

– 群演算： 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑎𝑎, 𝑦𝑦 + 𝑏𝑏, 𝑧𝑧 + 𝑐𝑐 + 𝑎𝑎𝑎𝑎
– 行列への埋め込み： Nil→ M(3, ℝ)– 交換子： 𝑔𝑔1 , 𝑔𝑔2 = 𝑔𝑔1 𝑔𝑔2 𝑔𝑔1−1 𝑔𝑔2−1

– Lie代数：– 不変基底： 𝐿𝐿𝜉𝜉𝑖𝑖 𝜒𝜒 𝑗𝑗 ≡ 𝜉𝜉𝑖𝑖 , 𝜒𝜒 𝑗𝑗 = 0 (𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1,2,3)– 不変計量 コンパクト化： 𝑇𝑇 3 𝑛𝑛 = Nil/Γ(𝑛𝑛)– Topology
𝐻𝐻1 𝑇𝑇 3 𝑛𝑛 , ℤ ≅ ℤ ⊕ ℤ ⊕ ℤ𝑛𝑛 , 𝐻𝐻1 𝑇𝑇 3 𝑛𝑛 , ℝ ≅ ℝ ⊕ ℝ

𝑡𝑡3

𝑡𝑡2

𝑡𝑡1

𝑡𝑡3

𝑡𝑡2 + 𝑛𝑛𝑡𝑡3

Monodromy Inflation
String理論において，super-Planck excursionを自然な形で可能にし，large
field inflationを実現する強力なアイデア．周期性をもつモジュライ変数が，ブレーンやフラックスとの相互作用によりmonodromy的非周期性を獲得するというフレームワーク．
 最初に提案されたモデル[Silverstein E, Westphal, A 2008]では、IIA理論のNilxNilコンパクト化に巻き付いたD4ブレーンを利用。
 有効ポテンシャルが様々な分数巾 𝑉𝑉 ∝ 𝜙𝜙 𝛼𝛼 をもつchaotic型large fieldmodelを構成： 𝛼𝛼 = 2/3, 2/5, …

 その後、双対的対応により、IIB理論のCYコンパクト化＋D5/NS5ブレーンに基づくB/C-アクシオンインフレーションモデルに発展。より多様な巾指数を実現: 𝛼𝛼 = 1,2, ⋯IIA Monodromy Inflation
 IIA理論のNilxNil orientifoldコンパクト化– 𝑌𝑌6 = (𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 × 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁)/Γ 𝑀𝑀 × Γ 𝑀𝑀 ≅ 𝑇𝑇 3 𝑀𝑀 × 𝑇𝑇 3 𝑀𝑀
� ∋ 𝑋𝑋, 𝑋𝑋� → (𝑋𝑋,� 𝑋𝑋)
– Orientifolding: ℴ = Ω𝑃𝑃 −1 𝐹𝐹𝐿𝐿 ℛ, ℛ: 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 × 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁

 D4ブレーン– (𝑡𝑡2 , 0)方向(𝑦𝑦方向）の𝑆𝑆1 に巻き付き、(𝑡𝑡1 , 0)方向(𝑥𝑥方向）に運動する
D4ブレーンを考える。
– このブレーンの内部空間方向の長さ 𝐿𝐿 ℓ𝑠𝑠 は ポテンシャル

運動項の正規化 整合性条件
𝐹𝐹6 = ℓ5𝑠𝑠 𝐾𝐾 とおくとき、– 十分なインフレーションが起きる条件 ⇒ 𝛽𝛽

– スカラ曲率ゆらぎの振幅 ⇒ 𝐾𝐾 ≲ 2.3 × 106

𝑀𝑀 1/2< 2.7 × 10−5
𝐾𝐾

⇒ 𝛽𝛽𝑀𝑀1/2 ≲0.04 : 内部空間に大きな非等方性が必要！

 Kallosh-Linde問題

 素粒子現象論
IIA理論のNil2 フラックスコンパクトにおいて、現実的な低エネルギー素粒子模型が得られるかどうか不明（少なくとも、超対称性はストリングスケール
で破れる）。

IIB Axion Monodromy Influm
 IIBアクシオン– NS-axion: 𝐵𝐵2 = ∑𝐼𝐼 𝑏𝑏𝐼𝐼 𝜔𝜔𝐼𝐼 ⇒ 𝑏𝑏𝐼𝐼 𝐼𝐼 = 1, ⋯ , ℎ1,1
– R-axion:

𝑝𝑝

(𝑝𝑝)

𝐶𝐶𝑝𝑝 = ∑ 𝑐𝑐𝛼𝛼 𝜔𝜔𝑝𝑝𝛼𝛼 ⇒ 𝑐𝑐𝛼𝛼

 ブレインーアクシオン相互作用
DBI作用積分より

𝛼𝛼 = 1, ⋯ , 𝑏𝑏𝑝𝑝 アクシオンインフレーションの可能性– NSアクシオン
Kaehlerポテンシャルは

この 𝐾𝐾の 𝑏𝑏 依存性のため、B-axionには 𝜂𝜂 問題が起こりインフラトンとなれない。
– Rアクシオン
C-axionとNS5 ブレーンの結合の場合、 𝜂𝜂問題は起こらず、インフラト
ンとなることが可能。ただし、Euclidian D1ブレーンとの相互作用は危険で、抑制が必要。

Backup Slides¿

References for No-Go Theorems
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