時間依存Bose-Einstein凝縮系に対する⾮平衡Thermo Field Dynamics
における4x4⾏列形式[Physica A 591, 126732 (2022)] からの発展

中村祐介
⻑野県松本県ヶ丘⾼等学校
早稲⽥⼤学凝縮系物質科学研究所

共同研究者：⼤⼭京尋、⼭中由也（早⼤基幹理⼯）時間依存Bose-Einstein凝縮系に対する⾮平衡Thermo Field Dynamics
における4x4⾏列形式
時間依存Bose-Einstein凝縮系
・冷却Bose気体系を想定
・⾃発的対称性が破れ、凝縮体が存在する系
⾮⼀様な捕捉トラップ

時間依存する凝縮体𝜁

⾮平衡な⾮凝縮気体2時間依存Bose-Einstein凝縮系に対する⾮平衡Thermo Field Dynamics
における4x4⾏列形式
⾮平衡TFD[H.Umezawa, Advanced Field Theory - Micro, Macro, and Thermal Physics, AIP (1993)]

・⾮平衡系を記述する場の量⼦論
・演算⼦の数を2倍にすることで、熱的な混合状態を純粋状態で記述する
超演算⼦

混合状態期待値 ⇨ 純粋状態期待値

熱的真空のブラ・ケットは対称ではない！

特にとする

Liouville⽅程式 ⇨ Schrödinger⽅程式

TFDのハミルトニアン3時間依存Bose-Einstein凝縮系に対する⾮平衡Thermo Field Dynamics
における4x4⾏列形式
4x4⾏列形式
倍化された場の演算⼦

熱的真空の⽣成消滅演算⼦
4x4⾏列のBogoliubov変換

・粒⼦描像を定義し、摂動計算を⾏いたい
・従来は2x2変換を2回⾏っていた・4x4変換の⼀般形は？
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[YN, YY, Ann. Phys., 331, 51 (2013)]

レビュー：凝縮体なしの⾮平衡TFD
ハミルトニアンの𝝍演算⼦について2次の部分を対⾓化

1. 完全系を⽤意
2. 場を展開倍加して、TFDへ
3. 熱的Bogoliubov変換（2x2）で𝜉演算⼦を導⼊

4. ⾮摂動ハミルトニアン

⾮平衡の分布関数(これを求めたい)5

レビュー：凝縮体なしの⾮平衡TFD倍加して、TFDへ (再掲)3. 熱的Bogoliubov変換（2x2）で𝜉演算⼦を導⼊

4. ⾮摂動ハミルトニアン

⾮平衡の分布関数(これを求めたい)

輸送⽅程式の導出
5. 摂動計算をして、⾃⼰エネルギーを求める
6. on-shell⾃⼰エネルギーを定義し、繰り込み条件を課す

6

レビュー：定常な凝縮体ありの絶対零度
⾮凝縮気体を表す𝝋を導⼊

ハミルトニアンの𝝋演算⼦について2次の部分を⾮摂動部に⾮エルミートな⾏列の固有値問題（Bogoliubov-de Gennes⽅程式）
⾏列の対称性Tの右固有ベクトルと左固有ベクトルで作る完全系で場を展開

本講演では無視7ここから本題！

4x4⾏列形式に向けて
n 場の演算⼦𝜑と熱的真空の⽣成消滅演算⼦𝜉を結ぶ変換の⼀般形は？
n 今までは2回の2x2の変換を⾏っていた。 [YN, YY, Ann. Phys., 326, 1070 (2011)]

n 2段階に分けなくてはいけない理由はない。𝑏ℓ は不要
n ⼀般には 2x2の直積に潰せない4x4⾏列となるはずn TFDの⾮摂動ハミルトニアンの構造はどうあるべき？
n naiveなではない
n ⾮チルダと⾮チルダの交差項を含んでも良いはず8𝝍から𝝃の変換

4x4⾏列変換 naiveには4x4⾏列は実関数32個分のパラメータ
TFDからの要請

・チルダ共役則（チルダと⾮チルダを⼊れ替えると複素共役が付く)
・熱的状態条件（熱的ブラは恒等演算⼦）

交換関係の両⽴

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4x4⾏列変換
連⽴⽅程式を解く

次の性質を満たす𝑊があれば良い今回得られた4x4⾏列変換の⼀般形

熱的な期待値

完全系による展開

⽐較：従来の2つの2x2変換完全系による展開

熱的な期待値10Wの作り⽅

その1次の性質を満たす𝑊を作るには？

その1：【固有値問題】以下の性質を持つ⾏列の固有値ベクトルを使う

⾏列の対称性：

この𝑾でハミルトニアンが対⾓化されるように𝑻を選べるか？
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Wの作り⽅その2

その2：【TDCS】完全性を時間発展させる⽅法[H.Matsumoto et al., PTP 105, 573 (2001)][Y.Nakamura et al., Ann.Phys. 326, 1070 (2011)]「その1」で作った完全系を初期条件にして、次の微分⽅程式で時間発展ü この⽅法は、演算⼦の時間依存性を全て完全系に押し付ける形式になっている。展開後の演算⼦は時間に依存しなくなる。
イメージ

Wに押し付ける

ü 凝縮体が時間依存する場合、⾮摂動ハミルトニアンに時間依存するc数が現れる(予定)なので、⽅法2が有効
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⾮摂動ハミルトニアンの⼀般形% 𝒖とは限らない変換が時間依存する場合の注意：相互作⽤描像の時間発展演算⼦は𝑯

⾮摂動ハミルトニアン

4x4⾏列変換

解析計算のための事情

・⾮摂動ハミルトニアンは演算⼦について2次以下とする

TFDからの要請

・チルダ共役則の保存（あるいはLiouville⽅程式の構造）
・熱的状態条件の保存
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“対⾓化”の要請とカウンター項
⾮摂動ハミルトニアン※引数と積分記号を省略している

⾃由度はエルミートな2変数関数7つ分＋実の1変数関数2つ分𝝃演算⼦の時間発展演算⼦（“対⾓化”する対象）
時間依存する変換に伴い“対⾓化”の要請が出現

平衡系なら
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時間発展⽅程式の導出の要請から決まる⽅程式
秩序変数の時間発展： Gross-Pitaevskii⽅程式
完全系の時間発展 ： 時間依存BdG⽅程式
̇𝜂, 𝛾を消し、𝑁を導⼊する式：熱的カウンター項

残ったパラメータ

1変数のパラメータ
場の分割条件決定！

：⾮凝縮気体に対する系の情報：⾮凝縮気体の粒⼦分布

エルミート関数7つ：凝縮体に対する系の情報

実数関数2つ2変数のパラメータ
⾃⼰エネルギーに対するon-shell繰り込み条件で決めたい15

on-shellと繰り込み条件
伝搬関数とDyson⽅程式

Feynman図法が使える

全て4x4の⾏列

全伝搬関数

⾮摂動伝搬関数⾃⼰エネルギーの定義（Dyson⽅程式）[Y.Nakamura et al., Ann.Phys. 311, 51 (2013)][Y.Kuwahara et al., Int.J.Mod.Phys.B 32, 1850111 (2018)]

on-shell⾃⼰エネルギー
未来の情報を参照しないよう⼯夫
した相対時間に関するFourier変換

on-shell⾃⼰エネルギーに対する繰り込み条件

対称性によりエルミート関数7つ分の要請⇨ 全パラメータが過不⾜なく決まる！
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[Ann. Phys., 331, 51 (2013)][Physica A 591, 126732 (2022)]「2つの2x2変換」と「4x4変換」の⽐較「4x4⾏列変換」の整合性は⾮常に⾼い。
しかし「2つの2x2⾏列変換」が全⾯的に違っていたとは考えられない。
熱的な期待値

完全系による展開

4x4変換

2つの2x2変換

両者は 𝜿 = 𝟎 で⼀致する

・ 2つの2x2変換に出てくる𝑇

4x4の完全系を作るときに使う𝑇・ 4x4変換では𝑇は顕には出現しない17

まとめ 時間依存BEC系に対する⾮平衡TFDにおける4x4⾏列変換を⽤いた定式化をおこなった
 系の詳細に依らない議論。対称性や最低限の要請で構築 ⾮摂動ハミルトニアンのパラメータは2＋7個あり、場の分割条件とon-shell⾃⼰エネルギーに対する繰り込み条件で過不⾜なく決定できる。
 従来の2x2⾏列変換にはなかったパラメータ𝜿が出現
 励起の寿命みたいな意味に対応
 熱平衡への緩和時間に⼤きく影響を与えるはず

今後の課題
 従来の⽅法（あるいは𝜅の有無）との定量的な⽐較
 具体的な模型での数値計算が必要
 パラメータの物理的な意味
 ゼロ固有値の扱い
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