J. Jpn. Soc. Soil Phys.
土壌の物理性No. 132, p.13 ∼ 21 (2016)

表層地盤におけるフィンガー流の発生と物質輸送に関する数値実験齋藤雅彦 1 · 中川 啓 2

Numerical study on fingered flow and solute transport in unsaturated zone
Masahiko SAITO1 and Kei NAKAGAWA2

Abstract: It has been found that irregular infiltration isoften observed at the wetting front in soil under unsaturated conditions. This concept is known as fingered flow.
Macroscopic dispersion occurs in the solute transport process due to the heterogeneity of the flow field. In theconventional convective-dispersion analysis, macroscopic
dispersivity has been known to be an important parameter when reproducing this phenomenon. However, quantitative evaluation of the macroscopic dispersivity in thevadose zone is still problematic, because the dispersivity
depends on the infiltration conditions. In this study, the numerical simulations of infiltration and solute transport processes are performed in the artificial heterogeneous field of
hydraulic conductivity. The heterogeneous field are generated using the stochastic fractal model. Then, the quantitative evaluation of macroscopic dispersivity under fingered
flow conditions and its characteristics are discussed. The
results of this study show that the difference in averaged
permeability between upper and lower formations affects
the shape of the infiltration profile, or finger shape. The
macroscopic dispersivity of the media seems to depend on
this finger shape. Also, a large infiltration surplus inhibits
the generation of fingered flow.
Key Words : fingered flow, macroscopic dispersivity,
stochastic fractal model, numerical simulation

1. 序論

を均質として，地表面の境界条件にサインカーブをランダムに組み合わせた摂動によるフラックスを与える方
法，また Nieber et al（2000）は 2 層の均一媒体を対象として，上層中央部に小さな摂動を与えることによって

1 本のフィンガーが形成されるようなモデル化を試みている．一方，浸透場に不均一性を導入したモデルとしては，不飽和地盤内の空隙構造を不規則な管径 · 管長を持
つ管路のネットワークとしてモデル化する方法（坂本，1992），あるいは透水性 / 保水性にわずかなばらつきを与える方法（齋藤，2006; 齋藤 · 中平，2007）などが提案されているが，現時点では定量的な評価方法が十分確立しているとは言いがたく，実験例 · 解析例ともに，さらなる充実が必要であると考える．
一方，不均一な流れ場における物質輸送モデルとしては，2 領域モデルの適用も試みられている（Elliot et al.,

1998; Ellerbroek et al., 1998）．これは，流れ場を流動場（mobile）と非流動場（immobile）に分け，両者の濃度差による物質移動を考慮するものである．物理的なメカニ
ズムをより適切に反映することが可能であり，CXTFIT

2.0（Toride et al., 1995）や HYDRUS2D/3D（Šimůnek etal., 2006）にも実装され，広く利用されているが，同定すべきパラメータが多く，容易ではない．また，一般的に用いられている移流分散解析では，流れ場の不均一性に起因する巨視的分散を評価するため，巨視的分散長が用いられるが，とくに地表面から地下水面に至る表層の不飽和土壌への鉛直浸透時には，浸潤前線が不安定に不飽和帯を通過する物質輸送過程については，浸潤形態

なる現象，いわゆるフィンガー流が発生する場合があるに強く依存することは明らかであり，フィンガー流の生ことが知られている（宮﨑，2000）．従来の実験的研究

成に関する評価方法と同様，移流分散解析における巨視により，その発生形態については，土の粒径や粒度分布，的分散長の定量的な評価方法等についても様々な検討や初期含水率，浸潤強度などが関連することが明らかにさ

整理はなされてきているものの（取出，1997），未解明のれている（川本ら，1996）．また，フィンガー流の発生を部分が多い．

数値シミュレーションにより再現する試みもなされてい本研究では，地表面付近の不飽和帯における鉛直浸透

る．例えば，Ritsema and Dekker（1998）は，扱う媒体

過程ならびに物質輸送過程について，飽和 · 不飽和浸透

1 Graduate School of Engineering, Kobe University, 1-1, Rokkodaicho

Nada, Kobe 657-8501, Japan, Corresponding author:齋藤雅彦，神戸大学
大学院工学研究科市民工学専攻.
2 Graduate School of Fisheries and Environmental Sciences, Nagasaki
University.
2015 年 11 月 12 日受稿 2016 年 2 月 15 日受理

流解析および移流分散解析と，不均一地盤モデル（齋藤· 川谷，2000; 2001）を用いた数値シミュレーションを行
い，フィンガー流発生時における巨視的分散長の定量的評価を試みるとともに，その性質について考察する．

土壌の物理性

14

第 132 号

(2016)と表される．ここに，ε は空隙の連続性に関わるパラ

2. 基礎方程式と不飽和浸透特性

メータであるが，一般に，ε = 1/2 が用いられることが多い．また，式（5）を ψc で微分して整理すると次式を2.1 飽和 · 不飽和浸透流解析の基礎方程式
飽和 · 不飽和浸透流の基礎式（赤井ら，1977）は以下

得る．

のように表される．

∂ψ(C + β Ss )= ∇ · [K · (∇ψ + ∇Z)]∂t(1)

= ϕ α mn (1 − Sr ) (αψc )は飽和度），Ss は比貯留率，K は透水係数テンソル，ψ は
圧力水頭，Z は位置水頭である．β は飽和領域（Sw = 1）
で β = 1, 不飽和領域（Sw ̸= 1）で β = 0 である．また，
透水係数テンソルは，比透水係数 kr および飽和透水係数

n −m−1(8){1 + (αψc ) }すなわち，パラメータとして α および n と，残留飽和度

Sr を与えれば不飽和浸透特性が得られる．
2.3 移流分散方程式
地下水流による水溶性物質の輸送過程の基礎式（移流
分散方程式）は，以下のように表される．

テンソル Ks により以下のように表すことができる．

θ(2)

境界条件は，圧力 ψ が既知の境界 Γ1 上で，ψ = ψ1

dSw
d ψc
n−1

ここに，C は比水分容量（= ϕ dSw /dy, ϕ は空隙率，SwK = kr · Ks

C = −ϕ∂c= ∇ · (θ D · ∇c) − q · ∇c∂t

(9)

ここで，c は濃度，θ は体積含水率（= ϕ Sw ），D は分散
係数テンソル，q はダルシー流速ベクトルである．また，

on Γ1

(3)

式（9）における D の成分 Di j は次式で与えられる（Bear,

1972）．
流束 q が既知の境界 Γ2 上で，q = q2 = −n · K · (∇ψ + ∇Z)

on Γ2

(4)

θ Di j = aT |q| δi j + (aL − aT )qi · q j+ θ Dm δi j
|q|

(10)

ここに，n は境界上に立てた単位外向法線ベクトルで

ここで，aL は流れ方向の分散長，aT は流れに垂直な方ある．

向の分散長，qi はダルシー流速ベクトル q の i 方向成分，

2.2 不飽和浸透特性

Dm は分子拡散係数，δi j はクロネッカーデルタテンソル

式（1）における比水分容量 C は圧力水頭 ψ（マトリッの成分である．

クポテンシャル）と飽和度 Sw （あるいは体積含水率 θ ）境界条件は，濃度 c が既知の境界 ΓA 上で，の関係（水分特性曲線）から求められ，式（2）における比透水係数 kr は飽和度の関数として近似的に表すことc = cA

on ΓA

(11)

ができる．これらの関係を表す関数モデルがいくつか提案されているが，ここでは以下の van Genuchten 式（vanGenuchten, 1980）を用いる．
Se =Sw − Sr= {1 + (αψc )n }−m
1 − Sr

濃度勾配 FB が既知の境界 ΓB 上で，F = FB = −n · (θ D · ∇c)

on ΓB

(12)

(5)
ここに，cA は既知の濃度， FB は既知の濃度勾配である．

ここに，ψc は毛管圧（= −ψ ），Se は有効飽和度，Sr は式（9）を通常のガラーキン法により離散化すると，移残留飽和度，α ，n，m は形状パラメータであり，n，m は流項が卓越する場合に解が不安定になることが知られ無次元，α は圧力水頭の逆数の次元を持つ．また，n とている．この不安定性を抑制するため、本研究では特性m の関係は，次式を用いる．

曲線ガラーキン法（Zienkiewicz and Taylor, 2000）を用いた．

m = 1 − 1/n(6)

2.4 透水係数の空間分布モデル
本研究では，透水係数分布を決定するのに，パワースペ

また，Mualem（1976）に従うとすれば，比透水係数とこれは飽和透水係数 ks の対数変換値（Y = log10 (ks )）の有効飽和度の関係は，

{
(
)m }2
kr = Se ε 1 − 1 − Se 1/m

クトル密度関数が f −ζ 型となる空間モデルを使用した．
パワースペクトル密度関数が次式のように f −ζ 型とな(7)るものであり，実地盤における透水係数の空間分布特性を容易に模擬し得ることを確認している（齋藤 · 川谷，

2001）．

論文：表層地盤におけるフィンガー流の発生と物質輸送に関する数値実験

15

ここに，αd の単位は cm−1 ，ks の単位は cm s−1 であり，

ad −1 ≥ 1.0 （cm）とする．主吸水曲線の α （= αw ）はLuckner らの報告を参考に αw = 2αd とする（Luckner etal., 1989）．また，残留飽和度 Sr についても，一般的にks が大きい（粒径が大きい）ほど保水性が小さく，Sr も小さくなる傾向があることから，いくつかの実測例を参考に ks の関数として，便宜的に式（16）のように仮定する（谷中 · 石田, 1998; Carsel & Parrish, 1988）.

Sr = −0.15log10 ks − 0.2(16)

ここに，Sr は無次元であり，Sr ≥ 0.0 とする．媒体を構

Fig. 1 解析領域と境界条件.
Analysis domain and boundary conditions.

成する粒子のばらつきの大きさに対応するパラメータ nについては，ks との明瞭な相関関係を確認できなかった
ので，空間的に一定値とする．

3. 解析条件
3.1 解析領域および境界条件
Fig. 1 に，設定した解析領域と境界条件を示す．解析
領域は，幅 4 m × 高さ 2 m の断面 2 次元領域とし，上端面は地表面，下端面は地下水面である．浸透流解析におFig. 2 飽和透水係数分布（ks2 =0.2 cm s−1 ; Case0）．
Relationship between dielectric permittivity, ε , measured
Distribution of saturated hydraulic conductivity.

ける境界条件は，上端面は浸透量一定（q = r），下端面は大気圧（ψ = 0）
，両側面は不透水性境界（q = 0）とす
る．移流分散解析における境界条件は，上端面で濃度一定（c = 1）
，その他の境界では濃度勾配一定（FB = 0）とする．解析メッシュは，すべて正方形要素で構成し，要S (| f |) ∝ | f |−ζ(13)

ここに， f は空間周波数ベクトル，S (| f |) はパワースペ
クトル，ζ は空間的な相関性を表わすパラメータであり，素数は N = 8192（128 × 64），要素サイズは 3.125 cm ×

3.125 cm とする．
3.2 地盤物性値
飽和透水係数分布は，前述した透水係数の空間分布モ

2 次元モデルの場合，ζ ≒ 2 である．詳細については文
献（齋藤 · 川谷，2001）を参照されたい．またこのモデルを用いた場合，log10 (ks ) の分散 σk 2 と離散化した要素
数 N （= 空間解像度）の関係は以下の式で表される（齋藤ら，2011）デルを用いて生成する．ここで，要素ごとに与える飽和

σk 2 = λ log10 Nのときの σk は式（14）より σk = 0.048 となる．また，(14)つきの大きさを表す式（14）のパラメータ λ によってその統計的性質が決定される．ここでは，均一場に近い性
質（現実には完全な均一場は存在しない）を持つような空間分布を与えるため λ = 6.0 × 10−4 としているが，こフィンガー流は成層土への浸潤時に発生しやすいこともここに，λ は ks のばらつきの大きさを表すパラメータである．

2.5 不飽和浸透特性の空間分布
水分特性曲線モデルとして van Genuchten の式を用いる場合，パラメータとして α ，n および残留飽和度 Sr を与える必要がある．ここでパラメータ α については，砂質土を用いた実験（谷中 · 石田，1998），およびガラス
ビーズを用いた室内試験結果（中川ら，2003）に基づき，飽和透水係数 ks と主脱水曲線の α （= αd ）の関係は比較的明瞭な相関を持つことが示唆されたため，両者の関係を式（15）のように仮定した（齋藤 · 川谷，2004）．

αd−1 = −37.35log10 ks − 16.22

透水係数は等方性とし，その幾何平均値 ksa およびばら(15)

知られているため（Glass et al., 1989），地表面から 0.375

m については，表層地盤としてより小さい飽和透水係数の平均値を与え，不飽和帯は 2 層構造とする．まず Fig.
2 に示すように表層と下層を一体として飽和透水係数分布を与え，これに対して上層部または下層部に一定値を乗ずることによって平均値を調整し，2 層地盤を生成した．
式（10）に用いられる分散長については，要素内分散のみを考える．一般に分散長の目安として流下距離の 0.1倍程度とされていることから（地盤工学会，2002），縦分
散長は要素サイズの 0.1 倍（aL = 3.125 × 10−3 m）とし，

土壌の物理性

16

第 132 号

(2016)

Table 1 解析ケース．
Conditions of analysis.

Case0
Case1-1 ∼ 7
Case2-1 ∼ 2
Case3-1 ∼ 2
Case4-1 ∼ 2

ks1 × 102 cm s−1

ks2 × 102 cm s−1

r mm hr0.2, 0.4, 0.8, 1.6, 3.2, 6.4, 12.8
0.2
0.8
0.8

20
20
2.0, 5.0
2.0, 5.0
20

10
10
10
10
20, 50)(1
z − v′ tc= erfc √
c0
2
2 D′t
( ′ )
(
)
1
vz
z + v′t+ exp
erfc √
2D′
2 D′ t(17)

ここに, D′ は巨視的分散係数（= a′L v′ ）、a′L は巨視的分

散長，v′ は z 方向の見かけの間隙流速である．解析ケースは，まず ks1 = ks2 （1 層地盤）とした場合を Case0 とし，ks1 ，ks2 ，r を変化させた．各ケースにおいて用いたパラメータを Table 1 に示す．また，飽和透水係数の平均値を変化させた際の水分特性曲線の一例を Fig. 3 に示す．ただし，水分特性曲線は式（13）および式（14）にFig. 3 水分特性曲線の例．
Examples of water retention curves.

横分散長は aT = 3.125 × 10−4 m とする．これらは，流より，各要素の飽和透水係数 ks に応じて空間的に変化させているため，各図に示した水分特性曲線は平均的なものである．

4. 解析結果と考察

下距離（= 2.0 m）と比較して十分小さく，物質輸送に関しては移流によるものが卓越する．また，分子拡散係数

4.1 流速ベクトル分布と濃度分布の特徴

は Dm = 1.0 × 10−9 m2 s−1（地盤工学会，2002）とする．

Fig. 4 にダルシー流速ベクトル分布の一例を示す．こその他，式（1）における空隙率は ϕ = 0.4，比貯留率は

こで，流速ベクトルの大きさは，下層部の飽和透水係数

Ss = 0，式（5）におけるパラメータ n については，同程
度の透水性を持つガラス球の実測例（中川ら，2003）を参考に，均一な粒径に相当する n = 8.0 とする．

ks2 で無次元化されている．ここで，図中の時刻 t は流れ
場がほぼ定常状態となった時刻（移流分散解析の開始時
刻）を t = 0 としている．また Fig. 5 は濃度分布の計算

3.3 解析手順と解析ケース

結果の一例であるが，これらは何れも地表面に一様に濃Fig. 1 に示した解析領域において，まず単独で浸透流

度 c = 1 で与えられた物質が下端の地下水面に到達する解析を実施し，定常状態における流速分布を求める．こ

直前の濃度分布である．ここで Case1-1 は表層部の平均のとき，初期条件として静水圧分布を与える．ただし，

透水係数が下層部の 0.01 倍，Case1-6 は同じく 0.32 倍，

下層部においては，ψ < −0.5 m において有効飽和度が安定性を確保するため，ψ ≥ −0.5 m とした．つぎに，Case1-7 は 0.64 倍としたものであるが，これらを比較す
ると Case1-1 より Case1-6 の方が明瞭なフィンガー流が生じ，さらに表層部の透水性を大きくした Case1-7 では
Case0 の分布に近づいていることがわかる．これらの結得られた定常状態の流速分布を用いて移流分散解析を行果より，明瞭なフィンガー流が形成されやすい表層部とう．この結果，濃度分布の時間変化が得られるが，ここ下層部の透水性の比率（ここでは 0.32 : 1）が存在する

で下端面における断面平均濃度の時間変化を求め，これことが示唆される．このような現象が生じる詳細なメカを以下の 1 次元移流分散方程式の理論解でフィッティ

ニズムについては，現時点では明らかではないが，Fig.

ングすることによって，表層部と下層部を一体とみなし

4 より，とくに表層部と下層部の境界付近における透水た場合の見かけの間隙流速 v′ と巨視的分散長 a′L を同定

性の相違から生じる水平方向の流れに明瞭な相違が見らする．

れることから，この点における上下層の透水性の相違が概ね 0 となることから，これ以上の間隙水圧の低下は実際には生じにくいと考えられること，および数値計算のフィンガー流の発生に関与していることが推察される．
また，Case2-1 は Case1-1 と比較して下層部の透水性を

論文：表層地盤におけるフィンガー流の発生と物質輸送に関する数値実験

Fig. 4 ダルシー流速ベクトル分布の計算結果の一例;（a） Case0,（b） Case1-1,（c） Case1-6,（d） Case1-7,（e） Case2-1.
Distribution of Darcy flux vector.

17

Fig. 5 濃度分布の計算結果の一例;（a） Case0,（b） Case1-1,（c） Case1-6,（d） Case1-7,（e） Case2-1．
Distributions of concentration.

土壌の物理性

18

第 132 号

(2016)

Fig. 6 理論解によるフィッティングの例;（a） Case0,（b） Case1-1．
Result of curve fitting.

0.1 倍としたものであるが，ここではフィンガー流は発
生せず，ほぼ一様に浸透している．これは，同じく下層部の透水性を 0.25 倍とした Case2-2，および上層部をCase2 の 4 倍とした Case3 も同様であり，下層部の透水性があまり大きくない場合にはフィンガー流は発生しにくいことがわかる．

4.2 見かけの間隙流速と巨視的分散長の同定結果
Fig. 6 は，下端面における断面平均濃度の時間変化の計算結果と，これを式（17）によってフィッティングした解を比較したものの一例である．他のケースにおいても概ね同様の再現性が得られている．このように 1 次元
Fig. 7 見かけの間隙流速の同定結果．
Results of identification of pore velocity.

移流分散方程式の理論解は，断面平均濃度の時間変化によく適合し，見かけの間隙流速 v′ と下端面（特定の深度）における巨視的分散長 a′L を精度良く推定することができる．また，Fig. 7 はすべてのケースにおける見かけの間隙流速 v′ の同定結果を示したものである．まず，Case1-1 から Case1-7 は表層部の透水性のみが異なるが，表層部の透水性が大きくなるほど v′ も大きくなっている．ただし，Case1-1 ∼ Case1-3 については大きな差は見られない．これは，浸透流については地表面に一定の浸透強度 r を与え，かつ r < ks1 なので常に不飽和浸透状態であり，巨視的に評価するとすべてのケースで定常状態では表層部でも下層部でも飽和透水係数とは無関係にダルシー流速は r に等しくなる．また間隙流速はダル
シー流速を体積含水率 θ で除して得られるが，ここでは間隙率を空間的に一定としているため，間隙流速は飽和度のみに依存する．ここで表層部の透水性が小さい場合
は，式（15）によって透水性に応じて与えられているパラメータ α によって保水性が大きくなるため，表層部は飽和状態に近くなる．Fig. 8 は，Case1-4 および Case1-7の飽和度分布であるが，Case1-4 においては，表層部の飽和度が大きく，Case1-1 ∼ Case1-3 についてはさらに飽和状態に近づくため，この部分の間隙流速には大きな差が生じない．このため，表層部と下層部を一体としてFig. 8 飽和度分布;（a） Case1-4,（b） Case1-7．
Distribution of Saturation.

評価した場合には，間隙流速は概ね同じとなる．また，

Case1-7 では，表層部の透水性が大きいため飽和度が低論文：表層地盤におけるフィンガー流の発生と物質輸送に関する数値実験

19

それに応じて v′ も大きくなっている．

Fig. 9 は，巨視的分散長 a′L の同定結果を示したものである．Case1-1 から Case1-6 では表層部の透水性が大きくなるほど a′L も大きくなっており，Case1-6 では約
0.3 m となっている．一方 Case1-7 では一転して Case0に近い値になっている．このように，明瞭なフィンガー流が発生する場合には，これに伴って a′L も大きく評価されており，巨視的分散長とフィンガー流の形状は密接に関係していることがわかる．Fig. 10 は，Case0 およびFig. 9 巨視的分散長の同定結果．
Results of identification of macroscopic dispersivity.

Case1 について，表層部の飽和透水係数 ks1 と巨視的分散長の関係を示したものであるが，ks1 が 0.002 ∼ 0.064（cm s−1 ） の範囲では，a′L は ks1 の対数値に対して概ね
直線的に増加するが，それ以上では低下している．これは，Fig. 5 に示した濃度分布の形状の違いと整合するものである．

Case2 および Case3 においては，流れ場が均一場に近いため，すべて 0.02 m に満たず，巨視的分散は小さい．
Fig. 11 は，見かけの飽和度 Swa と巨視的分散長 a′L の関係を示す．ここで Swa は以下のように算定している．

Swa =

r
ϕ v′

(18)

これより，見かけの飽和度が 0.2 付近にピーク値が存在し，0.3 より大きくなると a′L は大きく低下すること，また，0.4 以上では巨視的分散長は極めて小さくなることがわかる．
Fig. 10 ks1 と a′L の関係．
Relationship between ks1 and a′L

さらに浸透強度 r を変化させた Case4 では，r が大きくなるほど a′L は小さくなっている．Fig. 12 は，浸透強度 r 以外の条件が等しい Case1-3 と Case4-1，4-2 について，r と a′L の関係を示したものである．これは，Fig. 13に示すように浸透強度が小さいほど明瞭なフィンガー流が発生し，これに伴って巨視的分散長が大きく評価されていることがわかる．逆に，飽和度，浸透強度があがると，断面方向の局所的な著しい不飽和浸透特性の変動を和らげる効果があると考えられる．

5. 結論
本研究では，地表面付近の不飽和帯における鉛直浸透過程ならびに物質輸送過程について，地盤物性値の空間分布モデルを用いた数値シミュレーションにより，2 層
地盤の透水性および浸透強度の影響等について定量的なFig. 11 Skwa と a′L の関係．
Relationship between Swa and a′L .

下する．このため，間隙流速が大きく評価されたものと考えられる．同様の理由で Case2 および Case3 は，ともに下層部の透水性が小さいため，全体的に飽和度も大きくなり，間隙流速も低く評価されている．Case4 については，r を大きくしているため，ダルシー流速も大きく，考察を試みた．以下に得られた結論を示す．

1）表層部とその下部の地盤の平均的な透水性が異なり，かつ下部の透水性が大きく，保水性が小さい
場合には，とくにフィンガー流が形成されやすい
透水性の比率が存在する可能性がある．

2）フィンガー流の形状は，巨視的分散長に概ね定量的に反映される．

3）不飽和帯を一体として評価した場合，見かけの飽

土壌の物理性

20

第 132 号

(2016)

ると考える．

謝辞
本研究は JSPS 科研費（25420504）の助成を受けたものである．ここに記して謝意を表す．

引用文献
赤井浩一, 大西有三, 西垣 誠 (1977): 有限要素法による飽和–不飽和浸透流の解析. 土木学会論文集, 264: 87–96.

Fig. 12 r と a′L の関係．
Relationship between r and a′L .

Bear, J. (1972): Dynamics of fluid in porous media. Elsevier, New
York.
Carsel, R.E. and Parrish, R.S. (1988): Developing joint probability distribution of soil water characteristics. Water Resources
Research, 24: 755–769.
Ellerbroek, D.A., Durnford, D.S. and Loftis, J.C. (1998): Modeling pesticide transport in an irrigated field with variable water application and hydraulic conductivity. Journal of Environmental Quality, 27: 495–504.
Elliot, J.A., Cessna, A.J., Best, K.B., Nicholaichuk, W. and Tollefson, L.C. (1998): Leaching and preferential flow of clopyralid
under irrigation: field observations and simulation modeling.
Journal of Environmental Quality, 27: 124–131.
Glass, R.J., Steenhuis, T.S. and Parlange, J.Y. (1989): Wetting
front instability: 2. Experimental determination of relationships between system parameters and two-dimensional unstable flow field behavior in initially dry porous media. Water
Resources Research, 25: 1195–1207.
地盤工学会 (2002): 土壌 · 地下水汚染の調査 · 予測 · 対策. 社団
法人地盤工学会, 104–107.
川本 健, 宮﨑 毅, 中野政詩 (1996): フィンガー流の形態による塩分溶脱効果の相違. 農業土木学会論文集, 186: 89–96.

Luckner, L., van Genuchten, M.Th. and Nielsen, D.R. (1989): A
Fig. 13 濃度分布の計算結果;（a） Case1-3,（b） Case4-2．
Distributions of concentration.

和度が 0.2 付近に巨視的分散長のピーク値が存在
し，0.3 より大きくなると大きく低下すること，まconsistent set of parametric models for the subsurface. Water
Resources Research, 25: 2187–2193.
Mualem, Y. (1976): A new model for predicting the hydraulicconductivity of unsaturated porous media. Water Resources
Research, 12: 513–522.

た，0.4 以上では顕著なフィンガー流は形成され

宮﨑 毅 (2000): 環境地水学, pp. 36–37. 東京大学出版会.

ず，巨視的分散長は極めて小さくなる．

中川 啓, 岩田将英, 筑紫二郎, 籾井和朗 (2003): 不飽和–不均一

4）地表面からの浸透強度が大きくなると，飽和度が上昇し，飽和浸透流に近くなるため，フィンガー流は発生しにくくなる．
これらの結果は前提条件としていくつかの仮定に基づいた上での検討であるが，全体的な傾向は従来の知見と矛盾するものではなく，また，数値シミュレーションにより，不飽和浸透に関わる様々な要因と物質輸送の関係について，より定量的な議論が可能であることを示した．
今後はここでは考慮していない要因（例えば対象領域の大きさ，不均一性の強さ等）についての検討，また模型実験や実地盤における実測例を充実させていく必要があ

多孔媒体における物質輸送特性について: 水工学論文集. 47:

337–342.
Nieber, J.L., Bauters, T.W.J., Steenhuis, T. S. and Parlange, J.Y.
(2000): Numerical simulation of experimental gravity-driven
unstable flow in water repellent sand. Journal of Hydrology,
231–232, 295–307.
Ritsema, C.J. and Dekker, L.W. (1998): Modeling and field of finger formation and finger recurrence in a water repellent sandy
soil. Water Resources Research, 34(4): 555–567.
齋藤雅彦, 川谷 健 (2000): 透水係数の空間分布に関する理論的考察. 土木学会論文集, 645(III–50): 103–114.

論文：表層地盤におけるフィンガー流の発生と物質輸送に関する数値実験21

齋藤雅彦, 川谷 健 (2001): 透水係数の空間分布モデルの適用性

HYDRUS software package for simulating the two- and three-に関する一考察, 土木学会論文集, 694(III–57): 245–258.

dimensional movement of water, heat, and multiple solutes in

齋藤雅彦, 川谷 健 (2004): 地盤の不均質を考慮した降雨浸透 · 浸variably-saturated media. Technical Manual. Version 1.0. p.

出過程の気液 2 相流数値シミュレーション. 水工学論文集,

48: 319–324.

213.
van Genuchten, M.T. (1980): A closed-form equation for predict-

齋藤雅彦 (2006): 飽和 · 不飽和浸透流解析による不均一地盤
内のフィンガリング現象に関する研究. 水工学論文集, 50:

ing the hydraulic conductivity of unsaturated soils. Soil Science Society America Journal, 44: 892–898.
谷中仁志, 石田哲朗 (1998): 砂質土における比透水係数曲線

217–222.
齋藤雅彦, 中平 隆 (2007): 数値シミュレーションによる多層地
盤内および湛水浸潤時のフィンガリング現象に関する研究.
応用力学論文集, 10: 847–854.

(θ –kr ) の検討. 第 33 回地盤工学研究発表会, 1817–1818.
Zienkiewicz, O.C. and Taylor, R.L. (2000): The finite element
method, Vol.3 (5th ed.), pp. 13–63. Butterworth-Heinemann.

齋藤雅彦, 西村由紀子, 中川 啓 (2011): 自己相似型不均一地盤モ

Toride, N., Leij, F.J. and van Genuchten, M.Th. (1995): The

デルを用いた巨視的分散長の定量的評価に関する研究. 地下CXTFIT code for estimating transport parameters from lab-

水学会誌, 53(4): 343–355．

oratory or field tracer experiments. Version 2.0. p. 121, U.S.

坂本 康 (1992): 不飽和層中の水みち流れのフラクタル次元と水
みち侵入モデルによるシミュレーション. 水工学論文集, 36:

Salinity Laboratory, Agricultural Research Services, U.S. Department of Agriculture, Riverside, CA.
取出伸夫 (1997): 不均一な土中水の流れを伴う圃場中の溶質移

447–452.
Šimůnek, J., van Genuchten, M.Th. and Šejna, M. (2006): The

要動. 水文 · 水資源学会誌, 10(5): 485–497.

旨不飽和土壌への鉛直浸透時には，浸潤前線が不安定になる現象，いわゆるフィンガー流が発生する場合があることが知られているが，現時点では定量的な評価方法が十分確立しているとは言いがたい．一方，土壌中の物質輸送時には，流れ場の不均一性に起因する巨視的分散が生じる．一般的に用いられている移流分散解析では，これを評価するために巨視的分散長が用いられるが，とくに地表面から地下水面に至る表層の不飽和帯を通過する物質輸送過程については，浸潤形態に強く依存することは明らかであり，フィンガー流の生成に関する評価方法と同様，移流分散解析における巨視的分散長の定量的な評
価方法等，未解明の部分が多い．本研究では，地表面付近の不飽和帯における鉛直浸透過程ならびに物
質輸送過程について，不均一地盤モデルを用いた数値シミュレーションを行い，フィンガー流発生時における巨視的分散長の定量的評価を試みるとともに，その性質について考察した．その結果，表層部とその下部の地盤の平均的な透水性の違いによってフィンガー流の形状が異なること，フィンガー流の形
状は巨視的分散長に概ね定量的に反映されること，および地表面からの浸透強度が大きくなると，フィンガー流は発生しにくくなることを確認した．
キーワード：フィンガー流，巨視的分散長，確率的フラクタルモデル，数値シミュレーション