7図のように半径 R の表面が滑らかな球が水平な床に固定されている。時刻 t = 0で球の頂点から質量 m の質点を十分小さな速度 δv で滑らせ始めた。以下の問に答えよ。

! !
!

!
問 1. 質点の頂点からの角度を θ とする. 質点が球の表面を滑り落ちている間の運動方程式を θ を用いて記し、θ が十分小さい間のその運動方程式の解を求めよ。

以下の問いでは θ は十分小さいとは限らない。また、初速度 δv は十分小さく 0 とみなせるとする。

問 2. 質点が球の表面を滑り落ちている間の質点の速度の大きさをエネルギー保存則より求めよ。

問 3. θ が θc になったところで、質点は球の表面から離れ始めた。θc を求めよ。

問 4. 質点はその後、床に落ちた。球の中心から床に下ろした垂線の足を H とする。質点が床に落ちた位置の H からの距離 ℓ を求めよ。

8 ਅۭͷ༠ి཰Λ ε ͱͯ͠ҎԼͷ໰͍ʹ౴͑Αɻ
0

໰ 1. ൒‫ ܘ‬a ͓Αͼ b (a < b) ͷಉ৺‫ٿ‬໘ͷಋମ͔ΒͳΔ‫ܗٿ‬ͷίϯσϯαʔΛߟ͑Δɻ(1) ಺‫ ʹٿ‬qa ɺ֎‫ ʹٿ‬qb ͷిՙΛ༩͑ͨͱ͖ͷి৔Λ‫ٻ‬ΊΑɻ·ͨɺແ‫ݶ‬ԕΛ‫ج‬४఺ͱͨ͠ͱ͖ͷ੩ిϙςϯγϟϧΛ‫ٻ‬ΊΑɻ(2) ͜ͷίϯσϯαʔͷి‫ؾ‬༰ྔΛ‫ٻ‬ΊΑɻ
໰ 2. ࣭ྔ mɺిՙ q ͷՙిཻࢠ͕Ұ༷ͳ࣓৔ B = (0, 0, B) ͷத΁ɺt = 0 ʹॳ଎౓ (0, v0 , 0)Ͱೖࣹͨ͠ɻͦͷ‫ޙ‬ͷՙిཻࢠͷ଎౓ v(t) Λ‫ٻ‬ΊΑɻ
໰ 3. ి‫ؾ‬༰ྔ C ͷίϯσϯαʔͱ఍߅ Rɺ‫ ྗిى‬V ͷి‫ݯ‬ɺεΠονΛ௚ྻʹͭͳ͍ͩɻ

t = 0 ʹεΠονΛೖΕͨ‫ޙ‬ͷిྲྀ I(t) Λ‫ٻ‬ΊɺͦͷάϥϑΛࣔͤɻͨͩ͠ɺεΠονΛೖΕΔલʹίϯσϯαʔ͸์ి͞Ε͍ͯͨͱ͢Δɻ

9パウリ行列はσ = (σx , σy , σz ),

⎛⎞

⎜0 1⎟

σx = ⎝1 0⎛⎠ , σy = ⎝と 2 × 2 行列で定義される．以下の問に答えよ．

⎞i0⎛σz = ⎝⎠、⎜ 0 −i ⎟⎜10 −1

I. パウリ行列を用いて、スピン角運動量ベクトルを表す演算子は S =⎞0 ⎟⎠h̄σ で定義される．
2

1. S 2 = Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 を 2 × 2 行列で表せ．

2. 交換積 [Sz , Sx ]、[S 2 , Sx ] を 2 × 2 行列の計算から求めよ．

3. Sz の固有値および固有ベクトル（固有状態のベクトル表示）を全て求めよ．
4. Sx の固有値および固有ベクトルを全て求めよ．

5. ここまでの結果を用いて、S 2 、Sz および Sx について、不確定性原理に関しての議論をせよ．

II. スピン磁気モーメントを表す演算子を M = −µB σ とする．ここで µB はボーア磁子と呼ばれる定数である．このとき、磁場 H = (Hx , Hy , Hz ) 中のスピンのハミルトニアンはH = −M · H で表される．

これ以降、磁場の強さが H(> 0) で x 軸と角度 φ をなす向きを向いている場合 H = (H cos φ, H sin φ, 0)を考える．

6. ハミルトニアンを行列で表せ．

7. エネルギー準位をすべて求めよ．
8. 基底状態のベクトル表示を示せ．

9. 基底状態について、スピン角運動量ベクトルの期待値 ⟨S⟩ を求めよ．

10. 磁場の強さと向きによって基底状態がどのように決まるかについて議論せよ．

10 体積が V = L の立方体容器の中に、相互作用しない質量 m の気体分子が N 個含3まれている。この系は温度 T の熱浴に接しているとして、以下の問いに答えよ。プランク定数を h(= 2πh̄)、ボルツマン定数を kB とし、逆温度を β = 1/kB T とする。解答では、Tと β は混在していてもよいものとする。
問 1. まず、気体分子の数が N = 1 の場合を考える。気体分子の運動量を p = (px , py , pz )とする。量子力学によると、運動量の取りうる値は離散的となり、各成分が正の整数のベクトル n = (nx , ny , nz ) を用いて

p=πh̄
πh̄
n=(nx , ny , nx )LLのようになる。

a. この系の分配関数 Z1 (T, V ) を求めよ。その際、正の整数 n に対して x = n/L とし、n についての和 L−1を用いよ。

"∞
n=1 を x についての積分 0 dx に置き換えてよいこと!∞

b. この系のエネルギーの期待値（内部エネルギー）を求めよ。
問 2. 一般の N 粒子系を考える。

a. N 個の気体分子は互いに区別できないことに留意し、系の分配関数 ZN (T, V ) を求めよ。

b. この系のエネルギーの期待値（内部エネルギー）を求めよ。
c. この系の圧力 p を求めよ。
d. この系のエントロピー S を求めよ。
BTe. 気体分子の数密度を ρ = N/V と書き、無次元量 A ≡ ρmk
2/3 h̄2 を定義する。d. で求めたエントロピーの表式によると、A が 1 より十分小さくなるような条件（低温、高密度）では、エントロピーが負の値となってしまう。これは何を意味するのか議論せよ。

11以下の固体の⽐熱に関する設問 a-c について、空欄（ア）−（サ）にあてはまる式、または語句を記せ。!は温度、"! はボルツマン定数、ℏ = ℎ(プランク定数)/2*、+は振動数である。
a.

デバイ温度,より⼗分⾼温では、1原⼦当たりの内部エネルギー.は、位置エネルギー"と/, 1, 2⽅向の運動エネルギーにエネルギーの等分配則によりそれぞれ# "! !ずつ蓄えられていることから、モル分⼦数を3とすると1モルの物質の⽐熱4$%& は、4$%& =(ア)と書け、この場合には物質の種類や温度に依存しない⼀定値となる。これは （イ）の法則である。,は格⼦波の速さを5、1モルの物質の体積を6とす"/(3ℏ5 6* # 3ると、, =8:76と書ける。よって、,は硬い物質ほど⾼く、, = 2230 Kのダイヤモンドの室温(298 K)における4$%& は、b.

(ア)の約1/4である。

低温では格⼦の微⼩振動を、互いに独⽴な調和振動⼦の集団として扱うことができ、エネルギー準位は量⼦化される。最も低い準位のエネルギー(1/2)ℏ+は（ウ） 振動のエネルギーであり、それより⾼いエネルギー側に、ℏ+の間隔で準位が存在する。
+の⼩さいエネルギー領域でのフォノンは（エ）モードで⾳速を5) 、波数"をとすると、+ = （オ） と書ける。⼀般的に3次元の固体において、低エネルギー領域でフォノンの状態密度B(+)は+# に⽐例して増える。つまり! ~0 Kの極低温から温度を上げていく場合には、⼀定の温度上昇幅当たりの新たに励起されるフォノンの数が温度上昇とともに増し、⽐熱が （カ） なる。
全ての（エ）

モードに対してB(+)が+# に⽐例して変化し、縦波、横波が同じ5) を持ち、上限の周波数までのB(+)の総数が全⾃由度33に⼀致とすると仮定したデバイ模型の⽐熱4&*+ は以下のように表される。
! ( .// / , G - H/
4&*+ = 93"! D E F(G - − 1)#,0

D/ =ℏ+E"! !

,! ≪ ,の極低温領域において、積分項は"1 * , に近似できるので、この領域での⽐熱は!のc.

（キ）乗に⽐例することがわかる。

物質の極低温における⽐熱では、フォノンの寄与が⼩さくなることから電⼦の寄与も無視できなくなる。有限温度下で電⼦状態の占有確率K(L)を与える（ク） −ディラックの分布関数は、Lをエネルギー、L2 を（ク） エネルギーとして、K(L) =1/MG (454!)/7"/ − 1Nと表される。! = 0 Kにおいて、L < L2 ではK(L) =（ケ）、L > L2 ではK(L) =（コ）であり、温度!(> 0 K)によってL2 近傍の±"! !のエネ
ルギーの電⼦のみのK(L)が変化しエネルギーを変えるとすると、これに対応する電⼦の⽐熱48& は!の（サ）乗に⽐例する。

12
質量 me 、運動量の大きさ p の陽電子 e+ が質量 me の静止した電子 e− と衝突し、質量 mµ±の µ+ µ− 対が作られた (e+ e− → µ+ µ− )。以下の問に答えよ。
必要ならば、mµ+ = mµ− = mµ > me を用いて良い。

問 1. 陽電子の全エネルギー E を p と me 等を用いて表せ。
問 2. 重心系での電子・陽電子のエネルギー E ′ と運動量の大きさ p′ は以下で与えられることを示せ。

E′ =!

me c2 (E + me c2 ),2c p′ =!

me c2 (E − me c2 )2

問 3. この反応が起こるためには、重心系で E ′ > mµ c2 が必要であることを説明せよ。
問 4. この反応が起こるために必要な最小の p を求めよ。

(1)