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1

Hidden Charge

1.1

xQ と yQ を求める

Experimental Problems. Language: Japanese

まず、電荷の x, y 座標を求める。2通りの方法を示す。
1.1.1

方法 1

• 加速電圧が低すぎると、散乱角度が大きすぎてスクリーンに当たらない測定点が現れる場合がある。このときは、当たっている前後の xi の値の中間点が良い近似値となる。加速電圧を調整して、スクリーンに当たらない測定点が一点だけになるようにすると、その一点が xQ の最も良い近似値となる。

1.2

Q と zQ を求める

初めに電子を射出する位置を適当にとって固定する。例え Rutherford の式は以下の形に書ける。
ば、(xi , yi ) = (0, 0) とするのが良い。加速電圧を変化させkqQ
θて、スクリーンに当たる位置を何点か測定し、グラフにプtan =ロットする。それらの点を通る線を引いて、両側に伸ばす。
22Eb
電荷はこの直線上にある。
電子を射出する位置を変えて、同じことを行う。例えば、 一つの方法は、θ を適当に決めて固定し、E と b を変化さ
(xi , yi ) = (0, 10) とするのが良い。二つの直線の交点が電荷 せることである。もう一つの方法は、b を小さい値に固定し、E を変化させることである。どちらの方法にも良し悪しがのおおよその位置を示す。
ある。
さらに電子を射出する位置を変える。初めの二つの直線とRutherford 散乱についての図を以下に示す。
おおよそ垂直に交わる点を選ぶのが良い。例えば、(xi , yi ) =(0, −10) とするのが良い。3直線は一点で交わり、その点が電荷の座標 (xQ , yQ ) を示す。
b
訳注
上の方法は以下のような事実に基づいている。クーロン力
は中心力なので、散乱はある平面内で起こる。その平面は、
電子ビームが初め z 軸の方向を向いていることから、直線(x, y) = (xi , yi ) と点 (xQ , yQ , zQ ) を通る。この平面とスクリーンの交線が、上の方法で引いた直線に対応する。

δ

電子の軌道
θ

Q

d

b

zQ

また、直線を精度良く求めるためには、加速電圧として低いエネルギーのものと高いエネルギーのものを用いるこ
1.2.1 方法 1: θ を固定するとで、(xf , yf ) の幅を広くとることが重要である。さらに、
高エネルギーの極限では (xi , yi ) ≈ (xf , yf ) となることを利 スクリーンとの距離 d は以下の式で与えられる。
用すると、電荷の位置を推定しやすい。
d cos θ = zQ sin θ + b
1.1.2

方法 2

この式は、散乱の漸近線1 においてのみ厳密に成立する。そうで無い場合、d の測定値は上の値より大きくなる。
この方法は方法1に比べて精度が悪い。xi を適当にとってθ を固定、つまり bE を固定して、b を縦軸、d を横軸にして固定し、yi を変化させ、yf を測定する。ある yi において、グラフを書く。グラフの傾きは cos θ を表し、切片は zQ sin θ
yf が yi とほとんど同じになり、その前後の値において、yfを表す。スクリーンからの距離であることが示されているが yi から大きくずれるようになる。この yi ≈ yf となる値
限り、zQ の符号は重要ではない。そこから Rutherford のが yQ である。yi を固定して xi を変化させ、同じことを行式を用いて Q を求める。
う。ただし、この方法は、電荷の位置がスクリーンの境界のb として小さな値を選ぶと、電子の軌道が漸近線に近づく
外側にあるときはうまくいかないことに注意せよ！
ため、良い結果を得ることができる。
この方法を用いた場合、満点は与えられない。
訳注

方法 1A: δ に着目する

δ は直接測定できるので、この値に着目したほうが簡単だとこの方法を用いる場合、具体的には以下のように行うのが 思う人がいるかもしれない。この方法の問題点は、2本の漸良い。まず、xi を大きなステップで変化させて、b が小さく 近線の交点とスクリーンの距離は zQ ではなく、b/ tan(θ/2)
なる xi を大雑把に見積もる。yi についても同じことを行う。 だけ遠いことである。この補正を無視すると、δ = zQ tan θ
その次に、大雑把に見積もった値の周りで、xi を細かいス という式が得られ、zQ Q の値だけを求めることができる。
テップで変化させる。Rutherford の式から、b を変化させ補正を取り入れると、煩雑な式になる。
るとき、b = 0 付近で θ が急激に変化することを用いて、xQδ
の推定を行う。このとき、次の二つの場合が考えられる。
= zQ + b tan(θ/2)
tanθ• 電子が全てスクリーン上で検出される場合、θ の変化が最大になるものを見つける。θ の変化は xf や yf の変化の仕 この関係式を簡単にしようとしても、大抵は上の方法と等方から知ることができる。この点が xf = xQ の良い近似 価になり、z Q の値しか求められない。
Q値となる。
1 訳注: 無限遠から入射したの電子の軌道と、無限遠に散乱されていく電子の軌道を直線で外挿したもののこと。

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1.2.2

方法 2: b を小さな値に固定する

複数の直線の交点を用いて解いていて、各直線に測定点が二点だけあるとき、直線が2本だと0.4点、3本だと0.6点、4本だと0.7点、5本以上だと0.8点を与える。その後、測定点の広がりについて評価する。
xQ と yQ を求める: 方法 2
方法 2を用いている
0.4

2つめの方法では、tan の二倍角の公式を用いる。
tan 2α =2 tan α1 − tan2 α2α = θ とし、Rutherford の式と組み合わせるとtan θ =

part 1の合計

2γE
2γ E2 − 1

0.4

ただし γ = 2b/kqQ である。b が d と比べて小さいとき、 1.3.2 Part 2 (3点)tan θ ≈ d/zQ となる。これを組み合わせると、次の線形のxQ と yQ の正確さについて。
式が得られる。
γ 2
12E
xQ と yQ を求める: どちらの方法でも共通
=
E −
d
zQ
zQ γ
xQ が 5.3 → 5.5 cm の範囲 (1.0点); 5.2 → 5.6 1.0
cm (0.7点); 5.1 → 5.7 cm (0.4点); 5.0 → 5.8
2E/d を縦軸、E 2 を横軸にプロットすると傾きが γ/zQ 、切cm(0.1点)
片が 1/zQ γ の直線が得られる。この方法の難点は、電子ビyが −2.5 → −2.7 cm の 範 囲 (1.0点); 1.0
Qームの初期位置の誤差である。b が小さいほど、b に比べて−2.4
→ −2.8 cm (0.7点); −2.3 → −2.9 cm
初期位置の誤差が大きくなる。もし電子ビームの初期位置(0.4点);−2.2 → −3.0 cm (0.1点)に広がりがなかったとすると、この方法は b → 0 の極限で
x
と
y
0.5
Q
Q の値の両方が、真の値 (5.4, −2.6)
厳密な解を与える。
と比べて、答案に書いてある誤差の範囲内(0.5点); 片方は誤差の範囲内、もう片方は誤方法 2A: δ に着目する
差の2倍の範囲内 (0.3点); どちらも誤差の2倍の範囲内 (0.2点); 片方だけが誤差の2倍の範前と同様に、この方法は漸近線の交点とスクリーンの距離
囲内 (0.1点)
が b と θ の両方に依存する、という欠点がある。この誤差x
0.5
Q と yQ の誤差について、グラフまたは計を無視すると、2E/δ を縦軸、E 2 を横軸にプロットして求算の結果を反映している正しい記述がある
めることができる。b/ cos θ だけの誤差は d の表式から取り(0.5点); スクリーンの解像度 1mm またはビ
除かれているが b/ tan(θ/2) だけの誤差が zQ に加えられてームの解像度 1mm のみを考慮している (そいる。このとき、θ が小さいと精度が悪い。
れぞれに0.1点)
ただし、もし電子ビームの初期位置に広がりがなかった
part 2の合計
3.0とすると、b → 0 の極限で厳密な解を与える。
1.2.3

1.3.3

方法3: zQ Q の値だけを求める

tan(θ/2) = δ/2zQ という近似をすると、Rutherford の式は以下のように簡単になる。

Part 3 (1点)

データの取得、変数を求めるための予備的な計算について。
zQ と Q を求める: どちらの方法でも共通
b と d が求められる測定データがある
0.1
kqQzQ
δ=
E
のデータが示されている
0.1
Eb
初期状態、終状態における x と y のデータ
0.2
δ を固定して（実現は困難だが！
）、E または b を固定し、残b を正しく計算しているデータ
0.1
った二つの変数を適当に組み合わせたものをプロットしてd または δ を正しく計算しているデータ
0.1
直線を得る。ここから zQ Q の値を求めることができる。
8以上の測定点がある (0.4点); 4以上の測定点 0.4
この方法は、方法2の縦軸の切片を無視しても得られる。
がある (0.3点)
ただし、切片は外挿して得られるので誤差の影響を受けや
part 3の合計
1.0
すく、符号が間違って求まることもある。その場合は、学生
注: E の単位は J でも eV でもよい; もし電圧が E の場所の解答はここで終わってしまっていたようである。
に記録されていても、減点はない。初期状態と終状態の両方における x と y の値が正しく記録されていない場合、上記
1.3 採点基準の0.2点は与えられない。初期状態における x または y の値を一定に保って測定している場合、その値を一度記録する
1.3.1 Part 1 (1点)だけでよいが、どの表に対応するか明記すること。“miss”の結果も記録されるべきだが、これは測定点の個数としてxQ と yQ の位置を求めることについて。
数えない。“miss” が記録されていなくても減点はない。
xQ と yQ を求める: 方法 1
3本以上直線が引かれている (0.5点)、直線 0.5が2本 (0.3点)、直線が1本 (0.1p)
1.3.4 Part 4 (2.5点)
各直線に4つ以上の測定点がある (0.3点); 各 0.3
解法を選択し、必要な式を導出して、グラフのプロットを
直線に3つ (0.2点); 各直線に2つ (0.1点)。初期することについて。このセクションでは zQ と Q の結果の位置を測定点の一つとして数えて良い。
正確さは問わない。それは part 5で評価する。
測 定 点 が 各 直 線 の ≈1/3 を 覆 っ て い る 0.2(0.2点); ≈1/5 を覆っている (0.1点)
part 1の合計

1.0

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zQ と Q を求める: 方法 1 または 1A
d (ま た は δ) と b の 間 の 関 係 の 正 し い 導
出 (1.0点); 計 算 ミ ス ま た は 図 の ミ ス が1つ(0.6点); そ の よ う な ミ ス が2つ (0.2点); そのようなミスはないが物理的なミスが1つ(0.4点); 方法 1A で補正項を無視している場
合は −0.5 点
bE が一定になるべきことに気付いている
b 対 d (または δ) のグラフ
グラフの傾きから cos θ を求めている。ここでは正確さは問わず、それを実行していることに点を与える。
切片から zQ を求めている。ここでは正確さは問わず、それを実行していることに点を与える。
part 4の合計
zQ と Q を求める: 方法 2 または 2A
E と d または δ の関係の正しい導出 (1.3点);
計算ミスまたは図のミスが1つ (1.0点); そのようなミスが2つ (0.4点); そのようなミスはないが物理的なミスが1つ (0.7点)
2E/d (または 2E/δ) 対 E 2 のグラフ
グラフの傾きと切片から γ (またはそれに対応するもの) が求められている。ここでは正確さは問わず、それを実行していることに点を与える。
グラフの傾きと切片から zQ (またはそれに対応するもの) が求められている。ここでは正確さは問わず、それを実行していることに点を与える。
part 4の合計
zQ Q の値だけを求める: 方法 3
E と d または δ の関係の正しい導出 (1.3点);
計算ミスまたは図のミスが1つ (1.0点); そのようなミスが2つ (0.4点); そのようなミスはないが物理的なミスが1つ (0.7点)
δ 対 1/E、または δ 対 1/b、または E 対 1/bのグラフ; ただし、残りの変数は一定に保っていること。
グラフの傾きから zQ Q (またはそれに対応するもの) を求めている。ここでは正確さは問わず、それを実行していることに点を与える。
part 4の合計

Experimental Problems. Language: Japanese

1.0

0.3
0.6
0.3
0.3

2.5

1.3

0.6
0.3

0.3

2.5

1.3

0.6
0.3

2.2

グラフは満点で0.6点であり、軸にラベルがないと各軸に対し −0.1 点、軸に目盛がないか、正しく目盛がふられてな
いと各軸に対し −0.1 点、プロット点が間違っていると各点に対し −0.1 点、フィット線が直線でないと −0.1 点である。
ただし、点数がマイナスになることはない。
線形方程式を代数的に解いていて、グラフを書いていな
い場合: 線形回帰をしたことが明記されている (0.2点); 相関係数またはそれに対応するものがあってフィット線の良さ/正確さが評価されている (0.2点); 直線フィット (二次関数や指数関数などではなく) されていることが明記されている (0.2点)
方法 3だけを試みている場合、この part では満点は与えられない。
複数の方法を試みている場合、最も点が高くなる方法についての点数のみが与えられる。

1.3.5

Part 5 (2.5点)

zQ と Q の結果の正確さの評価について。
zQ と Q を求める: 方法 1 または 2|zQ | が 11 → 12 cm の範囲 (1.0点); 10 → 13
cm (0.7点); 8 → 14 cm (0.4点); 6 → 20 cm(0.1点)Q が負|Q| が 70 → 100 pC の範囲 (0.9点); 50 → 150
pC (0.7点); 10 → 500 pC (0.4点); 1 → 1000 pC(0.1点)zQ と Q の値が、真の値 |zQ | = 11.5 cm 、|Q| =86 pC と比べて、書かれている誤差の範囲
内 (0.3点); 片方が誤差の2倍の範囲内 (0.2点);
誤差は書かれているが、どちらも誤差の範囲
外 (0.1点)
zQ と Q の誤差について、グラフまたは計算の結果を反映している正しい記述があり、偶然誤差と近似に伴う系統誤差の両方について記述している (0.2点); 偶然誤差または系統
誤差の片方だけ記述している (0.1点)
part 5の合計

1.0
0.1
0.9
0.3

0.2

2.5

zQ Q の値だけを求める: どの方法でも共通
Q が負0.1|zQ Q| が 9.7 → 10.1 pCm の 範 囲 (0.9点); 0.9
9.5 → 10.3 pCm (0.7点); 9 → 11 pCm (0.4点);
5 → 20 pCm (0.1点)
zQ Q が真の値 |zQ Q| = 9.9 pCm と比べて、書 0.3
かれている誤差の範囲内 (0.3点); 誤差の2倍の範囲内 (0.2点); 誤差が書かれているが、誤差の2倍の範囲内にない (0.1点)
zQ Q の誤差について、グラフまたは計算の結 0.2
果を反映している正しい記述があり、偶然誤差と近似に伴う系統誤差の両方について記述している (0.2点); 偶然誤差または系統誤差の片方だけ記述している (0.1点)
part 5の合計

1.5

誤差の要因は (1) ビーム幅 0.5mm、(2) スクリーンの解像
度 1mm、(3) tan の近似、(4) スクリーンにぶつかる時には漸近線と一致するという近似、(5) 漸近線の交点の近似である。初めの2つが偶然誤差、最後の3つが系統誤差である。
zQ , Q と zQ Q を計算している場合、それぞれについて評価される (それぞれにつき1.0点) が、上記の二つのうち点数が高い方のみ与えられる。

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2Black box

(さらに精度を上げるために、F30 と F−30 を測定して、その差から求めてもよい。)
正解: 0.857 kg.
２つのばねにはたらく張力をそれぞれ F1 、F2 とする。箱の上面の高さを y1 とし、２つのおもりの高さをそれぞれ y2 、
m1 を求める
y3 とする (簡単のため、おもりには高さが無いとする)。a1 、 2a F = m a + m g + F または等価な運動方 0.5
1 1
11
a2 、a3 を箱、および２つのおもりの加速度とする。そうす
程式 ( F1 が正しく k1 (y1 − y2 ) で代入されてると、それぞれの物体の運動方程式は次の通りである (摩擦
いなくても0.5点)
力は無視している):∆F
2b m1 = ∆a
0.5
に気づく。
1
2
m1 a1 = F − F1 − m1 g
2c ∆a1 ≥ 10 m/s を使っている。
0.22d

m2 a2 = F1 − F2 − m2 g

m1 が 0.857 ± 0.002 kg の範囲内
m1 が 0.857 ± 0.010 kg の範囲内
m1 が 0.857 ± 0.050 kg の範囲内

m3 a3 = F2 − m3 g

0.8
0.6
0.3

小計:
2.0
ばねは非線形なので、一般に F1 ̸= k1 (y1 − y2 ) と F2 ̸=
Note:2cから、繰り返し測定をせずに自由落下(a=−g)
k2 (y2 − y3 ) である。しかし、平衡点近くのわずかな変位に
1
∆F2
∆F1
を使った場合には0点。数回の測定によって全体的に良い
対しては k1 = ∆(y1 −y2 ) と k2 = ∆(y2 −y3 ) が成り立つ。
精度で測定されている場合には ∆a1 ≥ 10 m/s2 であれば満
点とする。

2.1

和 m1 + m2 + m3 を求める

系が静止して平衡状態になっていれば、箱を吊り下げている力は系全体にはたらく重力 F0 = (m1 + m2 + m3 )g に等しい (同じ結果は、上の運動方程式に a1 = a2 = a3 = 0 を代入
しても得られる)。
F0 を測定するには、箱を静止させた状態 (a1 = 0) で F の値を求める。その力の値が一定であることから、系は初期状態ですでに平衡状態になっていることがわかる。
初期状態の測定を10回繰り返して、その平均値をとると
F0 ≈ 14.774 N を得るので、
m1 + m2 + m3 =F014.774 N=≈ 1.506 kg.
g
9.81 N/kg

正解: 1.506 kg.
1a
1b
1c

和 m1 + m2 + m3 を求める∑
a1 = 0 のときに F = g mi と気づく
F0 の測定 (14.77 ± 0.10 N)
方針が立たずに測定だけでは０点∑
1.51 ± 0.01 kg の範囲で mi を求めている

0.5
0.3
0.2

小計:
1.0
∑
Note:
mi の値が正しくても、満点を取るためには F0 の測定値が必要。測定値が無い場合には 0.7 点のみ。1c から、F0g が質量の和であることを暗に使っていれば0.2点。

2.2

m1 を求める

上述の運動方程式の第１式から F = m1 a1 + m1 g + F1 を得る。上のばねの力 F1 は２つのおもりの位置にのみ依存する(そして、その力はすべての実験で最初の値は同じ) ので、箱をつるす力 F は、実験開始直後には加速度だけに依存する。
従って、加速を与えることによって最初に力がどのぐら
い変化するか測定することで m1 を求めることができる。最も高い精度を得るために、最大の加速度 (30 m/s2 ) をかける。３回の測定の平均値は F30 ≈ 40.487 N となるので

m1 =(40.487 − 14.774) N
F30 − F0=
≈ 0.857 kg.
a
30 m/s2

よって m2 + m3 = 0.649 kg.

2.3

k1 を求める

2.3.1

方法 1: 箱を素早く動かしたときの力の変化

箱を素早く加速し減速する（摩擦をさけるために）。箱の高さを素早く変えた直後には、下のおもりの位置はほとんど静止していると仮定できる。
(形式的には、∆y1 = a21 t2 ならば、m2 a2 = k1 ∆y1 −k1 ∆y2 −k1 2
t · a1 となる。こ∆F2 ≤ k1 ∆y1 であり、それゆえ a2 ≤ 2m2
k1 2の前提は 2m2 t ≪ 1 なら成り立つ。)
それゆえ、箱を加速度 a1 で時間 t の間加速し、その後、加速度 −a1 で時間 t だけ減速すると、∆F ≈ k1 ∆y1 = k1 a1 t2となる。
最高の精度を得るために、a1 = 30 m/s2 と a1 = −30 m/s2の２種類の実験行う。さらに最短の時間間隔 t = 0.01 s を使う。それぞれの実験を５回繰り返す。測定結果を平均して、
時刻 2t = 0.02 s での力 Fu ≈ 14.890 N と Fd ≈ 14.652 N を得る。よって、
k1 ≈Fu − Fd(14.890 − 14.652) N=2 ≈ 39.7 N/m
2
2a1 t
2 · 30 m/s2 · (0.01 s)

正解: 39.2 N/m.
3.1a
3.1b
3.1c
3.1d
3.1e
3.1f
3.1g

2.3.2

k1 を求める方法 1
測定法の方針t が小さい場合、∆y1 ≫ ∆y2 に気づく。
k1 に対する正しい表式
最低で3 回の測定

0.5
0.5
0.5
0.1

∆a1 ≥ 30 m/s22t ≤ 0.08 s
k1 が 39.2 ± 1.0 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 4 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 8 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 15 N/m の範囲内

0.2
0.2
1.0
0.7
0.4
0.2

小計:

3.0

方法 2: 箱を加速しているときの力の変化

箱を一定の加速度 a1 で加速すると、方法１と同様に短時間
t ならば ∆F ≈ k12a1 t2 となる。しかし、この方法は方法１に

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比べて精度が悪い。なぜなら、a1 が大きい場合には摩擦を無視できないし、a1 が小さな場合には ∆F の測定分解能が3.3a
追いつかない。
3.3b
例えば、a1 = 30 m/s2 、t = 0.02 s として、５回の測定を3.3c平均する Ft=0 ≈ 40.482 N、Ft=0.02 ≈ 40.792 N となるので、
k1 ≈

2∆F
2 · (40.792 − 40.482) N=≈ 51.7 N/m
2
a1 t2
30 m/s2 · (0.02 s)

k1 を求める。方法3
測定法の方針y1 − y2 を正しく求めている
k1 を求められる正しい表式
Total:

0.5
0.5
0.5
1.5

Note: この方法はあまり精度が良くないので、満点でも1.5点とする。距離 y1 − y2 を求めたとしても、それをどう使うのか方針が立っていない場合には0点とする。

これは正解より ∼30% 程度大きい。なぜなら、t = 0.02 s
で箱にはたらく摩擦力はおよそ 0.08 N となるからである。
もっと良いパラメータは、a1 = 5 m/s2 、t = 0.02 s であろ 目見当による k1 の見積もり m2 と m3 の間が剛体としてう。５回の測定の平均をとると Ft=0 ≈ 19.058 N、Ft=0.02 ≈ 結合していると仮定し、ゆっくりした固有振動数を測定した場合、そのアイディアと定式化に対して 0.5+0.5点を与え19.100 N なので、る (ただし、測定が実際に行われ、固有振動の妥当な周期を
2∆F
2 · (19.100 − 19.058) N
1
求め、そこから k1 または m2k+mを求めた場合に限る)。単≈ 42.0 N/m
k1 ≈
=
3
2
√
2
a1 t2
5 m/s · (0.02 s)
3に T = 2π m2k+mを書いただけでは 0点。
1
この場合には摩擦力はずっと小さい (およそ 0.002 N)。
k1 を求める方法 2
3.2a 測定法の方針
0.5
3.2b t が小さい場合、∆y1 ≫ ∆y2 に気づく。
0.5
3.2c k1 に対する正しい表式
0.53.2d 最低 3 回の測定
0.1
3.2e
3.2f
3.1g

2 m/s2 ≤ a1 ≤ 10 m/s2
t ≤ 0.08 s
k1 が 39.2 ± 1.0 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 4 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 8 N/m の範囲内
k1 が 39 ± 15 N/m の範囲内

0.2
0.2
1.0
0.7
0.4
0.2

2.4

m2 , m3 k2 を求める

2.4.1

方法 1: 固有振動の振動数を求める

この方法は非常に精度が高いが、２つのパラメータを求めるための計算が結構大変になる。また、これによって、一方のパラメータが他の方法で求まっているなら、この方法で他方のパラメータを求めることができる。
最初に、箱を静止している状態で、系が固有振動しているときの振動数を求める。平衡点から変位 x2 = ∆y2 と
x3 = ∆y3 は小さいとすると、
m2 ẍ2 = −k1 x2 − k2 (x2 − x3 )小計:
3.0
Note: 根拠の無い正解、あるいは物理的に無意味な方法で正解を得ても 0 点とする。

m3 ẍ3 = k2 (x2 − x3 )x2 = A cos(ωt) と x3 = B cos(ωt) として上式を解くことができる。ここで A と B は定数である。
2.3.3 方法 3: 平衡状態での y1 − y2 を見積もって F1 ≈(あるいは複素数表示を用いてもよい: x̃2 = Aeiωt と x̃3 =k1 (y1 − y2 ) を利用
Beiωt 。)
F1
このばねは非線形であるが、k1 ≈ y1 −y2 の関係から k1 の値
ẍ2 = −ω 2 A cos(ωt) と ẍ3 = −ω 2 B cos(ωt) となるので、を見積もることができる。この関係は、ばねが完全に線形−m2 ω 2 A cos(ωt) = −k1 A cos(ωt) − k2 (A − B) cos(ωt)
であるなら正しい。
平衡状態では−m ω 2 B cos(ωt) = k (A − B) cos(ωt)
3

F1 = F0 − m1 g ≈ 14.774 N − 0.857 · 9.81 N ≈ 6.367 N
箱を下向きに素早く加速し、箱がおもり２に衝突するま
での時間 t を測定すると、∆y1 = a21 t2 から y1 − y2 の初期値を見積もることができる。
いろいろな数値を入れてみると、|a1 | ≥ 26.7 m/s2 の場
合には t ≤ 0.13 s であり、|a1 | ≤ 26.6 m/s2 の場合にはt ≥ 0.13 s とあることがわかる。
よって
y1 − y2 ≈また
k1 ≈26.7 m/s22· (0.13 s) ≈ 0.226 m
2

6.367 NF1=
≈ 28.2 N/my1 − y20.226 m

この方法は、ばねの非線形性のために、また、y1 − y2 の値を過大評価しているために (実際の値は 0.179 m)、k1 の値を過小評価してしまう.

2

時間依存性は削除され、−m2 ω 2 A = −k1 A − k2 A + k2 B
−m3 ω 2 B = k2 A − k2 B
k2 A
第２式より B = k2 −m
2 , それを第１式に代入すると
3ω−m2 ω 2 A = −k1 A − k2 A +k22A
k2 − m3 ω 2

予想通り、A は削除することができ (これは、固有振動の振動数は振動の振幅に依存しないため)、−m2 ω 2 (k2 − m3 ω 2 ) + (k1 + k2 )(k2 − m3 ω 2 ) − k22 = 0m2 m3 ω 4 − k2 m2 ω 2 − (k1 + k2 )m3 ω 2 + k1 k2 = 0)(
k1 + k2
k1 k2
k2
+
ω2 +
=0
ω4 −
m3
m2
m2 m3

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この４次方程式の解は、固有振動の角振動数である。その解 ω1 と ω2 がわかったとすると Vieta の公式（根と係数の関係）からk1 + k2
k2
+
= c1
m3
m2

振動の周期を測るときには、（ばねの非線形性を避けるために）小さな振幅で振動させる必要がある。それによって

k1 k2= c2 ,
m2 m3

同様に、大きな値の方の振動数を求めるには、箱を振動させるか箱に短いパルスを与えて、力の振動の様子を調べる。

T1 =(34.70 − 20.27) s≈ 1.11 s.
13

ここで c1 = ω12 + ω22 and c2 = ω12 ω22 。
そうすると

m2
m3
m3
c1
+
+
=
k1
k2
k1
c2

1.8

c1
m2 + m3
m3
=
−
k2
c2
k1

1.7

k1
c1
m2 + m3=−
m 2 c2
c2
k1
m2 =

y (m)

1.6

k12
c1 k1 − c2 (m2 + m3 )1.4

この式から m2 を求めることができる。そうすれば、簡単に m3 と k2 も求められる。
固有振動の振動数を測定するには、箱をいくつかの異なる振動数で振動させ、その後、振動させるのを止め、その後、力が時間とともにどう変化するのか測定する。試行錯
誤を繰り返して、２つの振動の周期を求めることができる
T1 ≈ 1 s and T2 ≈ 0.4 s.

1.3
1.2
5

10

0

5

10

t (s)

15

20

25

15

20

25

18
Force (N)

1.8

0

20

小さい方の振動数を求めるには、箱に持続時間 1 s の加速度のパルスを与える。.

16
14
12

1.7

10

1.6
y (m)

m2
m3

1.5

m2
m3

1.5

t (s)

1.4
1.3

T2 =

1.2
0

5

10

15

20
25
t (s)

30

35

40

(20.00 − 9.94) s≈ 0.373 s.
27と求められる。
よって

(
ω12 =

17

(
ω22 =

16

2π
T1
2π
T1

)2
)2

≈ 32.04 Hz2≈ 283.8 Hz2Force (N)c1 と c2 を計算すると m2 を求めることができる:
15

c1 = ω12 + ω22 ≈ 315.8 Hz2

14

c2 = ω12 ω22 ≈ 9093 Hz4
m2 =

13
0

5

10

15

20
25
t (s)

30

35

40

k12
≈ 0.238 kg
c1 k1 − c2 (m2 + m3 )m3 = 0.649 kg − 0.238 kg = 0.411 kg
c2 m2 m3
k2 =≈ 22.4 N/m
k1
正解: m2 = 0.236 kg, m3 = 0.413 kg, k2 = 22.6 N/m.

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2.4.2

方法 2: 短いパルス

方法 1 と同様に、k1 の値を求めるには、時間 t の間に加速度 a1 で箱を加速し、その後、時間 t の間に加速度 −a1 で箱を減速する。このとき、時間 t が十分短いなら、箱が動いている間には y2 はあまり変化しないと考えられるので∆F1 = ∆F ≈ k1 ∆y1 .

4a
4b
4c

また、パルスを与えた後、おもり２が動き始めても、短時
間なら y3 はほとんど変化しないと考えられる。
よって、おもり２が動き出す前には m2 a2 = ∆F1 − ∆F2 ≈∆F1 となり、おもり３が動き出す前には m2 a2 ≈ k1 ∆y1 −k1 ∆y2 − k2 ∆y2 = k1 ∆y1 − (k1 + k2 )∆y2 となる。

4d

したがって、t が十分短い場合、t の直後には:
F − F0 = ∆F1 ≈ m2 a2 = m2

d 2 y2m2 d2 F1m2 d2 F
=−
=−
.
2
2
dt
k1 dt
k1 dt2

この方法は方法１に比べれば精度が落ちる。なぜなら、多くの近似をしているし、摩擦力を無視しているし、F の測定分解能が良くないためである。この方法で精度を上げる
ためには最初に m2 の値を見積もり、次に箱を加速している最中の ∆y2 を見積もるといいだろう。
理論的には、さらに精度が落ちるが k2 の値も求めるこ2とができる。 ddtF2 = 0 のとき、a2 = 0 となり、それから
k1 ∆y1 ≈ (k1 + k2 )∆y2 となる。

4e

4f

m2 , m3 , k2 を求める。方法は問わず
正しい方法
m2 , m3 , k2 を求められる正しい方程式
m2 と m3 だけを求められる正しい方程式
必要な測定
方針は立っていないが自由振動の振動数（周期）を求めている場合
T1 が 1.11 ± 0.02 s の範囲内
T1 が 1.11 ± 0.10 s の範囲内
T2 が 0.373 ± 0.005 s の範囲内
T2 が 0.373 ± 0.050 s の範囲内
k2 が 22.6 ± 0.5 N/m の範囲内
k2 が 22.6 ± 1.0 N/m の範囲内
k2 が 23 ± 3 N/m の範囲内
k2 が 23 ± 6 N/m の範囲内
m2 が 0.236 ± 0.010 kg の範囲内、またはm3 が 0.413 ± 0.010 kg の範囲内
m2 が 0.236 ± 0.020 kg の範囲内、またはm3 が 0.413 ± 0.020 kg の範囲内
m2 が 0.236 ± 0.050 kg の範囲内、またはm3 が 0.413 ± 0.050 kg の範囲内
4e で得点している場合、m2 から m3 を正しく計算しているか、その逆を計算している
Total:

0.5
0.5
0.3
1.0
0.3
0.1
0.3
0.1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.9
0.6
0.3
0.1
4.0

Note: おもり２とおもり３に対する運動方程式を書いただけでは 0 点。ω に対する正しい４次方程式を導いたら 0.5
できるだけ精度を上げるため、a1 = 30 m/s とする。t を点（4a）。4b では、k1 、m2 + m3 、ω1 、ω2 を既知のパラメ
できるだけ短くしたいが、F の測定分解能があまり良くなータとして、その４次方程式から k2 , m2 , あるいは m3 に対いことを考えると、t = 0.05 s とするのがよい。２階微分をする正しい表式を求めたら得点を与える。ω 2 に対する正しとるため高精度が必要なので、10回の測定の平均値をとる。
い 方程式を導いた場合には部分点を与える (少し間違った
その結果を下表に示す。
表式の場合には0.4点、行列式を書いた場合には0.2 点)。そdF
Time (s) F (N )dt (N/s)
れらの式を解いて T1 と T2 を求めた場合には0.3点、解けな
0.10
12.572
かった場合には0.1点を与える。ω に対する４次方程式を立
0.1112.781
20.9
てられた場合には0.1点を与える。T1 と T2 の値を同じ誤差
0.12
13.01323.2で求められている場合にはそれぞれ0.5点と0.2点を与える。
0.13
13.26825.5
正しい答えが出ていても、その導出が無かったり、物理的
0.14
13.533
26.5におかしな方法で得ている場合には 0 点とする。
0.15
13.81127.8
0.16
14.07826.7
0.17
14.35127.3
2.4.3 方法 3: 平衡状態で y2 −y3 を見積もって F2 ≈ k2 (y2 −k2
0.18
14.59924.8y3 ) を使って m
を求める
3
2

これから t = 0.11 s のときに ddtF2 ≈ 230 N/s2 。よって、
2m2 ≈ −(F − F0 )k1
d2 F
dt2

=−

(12.781 − 14.774) N · 39.7 N/m.
230 N/s2m2 ≈ 0.344 kg.
また、F = 13.811 N のときに t ≈ 0.15 s で ddtF2 = 0。よっ2て ∆y1 = a1 t2 = −30 m/s2 · (0.05 s) = −0.075 m。
2

F = 13.811 N では、(13.811 − 14.774) N∆(y1 − y2 ) ≈≈ −0.024 m,
39.7 N/mとなり、∆y2 ≈ 0.051 m を得る。
k1 ∆y1 ≈ (k1 + k2 )∆y2 なので、(
k2 ≈ k1

∆y1
−1
∆y2

)

≈ 18.4 N/m

k1 を求めるための方法 3 を使って y1 − y2 を求め、同様に箱を素早く上向きに加速することによって y3 − (y1 − a) を求めることができる（ここで a = 0.6 m）。この方法では、おもりには高さが無いということを使う。
再び、いいろいろな数値を入れて実験すると、衝突する
時間は a1 = 25.6 m/s2 では t = 0.13 s となる。よって
y3 − (y1 − a) ≈a1 2
t ≈ 0.216 m
2y2 − y3 = a − (y1 − y2 ) − (y3 − y1 + a)y2 − y3 ≈ 0.6 m − 0.226 m − 0.216 m ≈ 0.158 m
k2
g≈≈ 62.1 N/(kg m)
m3
y2 − y3
k2= 54.7 N/(kg m) で実際の値は y2 − y3 = 0.208 m と m
3ある。

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Experimental Problems. Language: Japanese

k2 /m3 を求める
4.1a
4.1b
4.1c
4.1d

方針
0.5
y3 − y1 + a を正しく求めている
0.5
k2 /m3 を求める正しい表式
0.2
k2 /m3 が 55 ± 10 N/(kg m) の範囲内
0.3
Total:
1.5
Note: 方針を立てずに距離 y3 − y1 + a を求めただけでは 0点。