はじめにこのテキストは、慶應義塾湘南藤沢高等部の 5 年情報の授業で用いるものとして書かれたものである。
「情報」という言葉の響きからは、インターネットの情報検索や、プレゼンテー
ション技術など、情報の受信・発信の技能や、そのためのパソコンの基本的なソフト
ウェアの修得というイメージがつきまとう。確かに情報通信技術の発展は、情報社
会を発展させてきた原動力であり、またそれらを使う能力を修得することを無視するわけにはいかない。しかし、情報を受信し、そこから発信する間で、その情報を人間が処理し理解するという作業が必要となる。そのための技術は、単にコンピュータを使用した受信・発信の方法を理解しただけでは到底取得することはできない。
この授業では、情報を理解するという点に注目し、その処理方法について考えていくものとする。特に、扱う情報としては数値情報に重きをおき、その道具として数学を積極的に利用することにする。これは、数学の応用例の一つであり、「数学が何に役に立つのか」というよくある疑問の回答の一つであるとも考えている。
さらに、プログラミング言語の経験という観点から、GUI システムではない、対話環境を利用して実習を進めていくことにする。この実習で用いるソフトウェアは
フリーソフトウェアであるため、自宅での実習も可能である。プログラミング言語
は通常の言語と同じく、使わなければ絶対に上達はしない。プログラミングに興味のある者は、入手してみるとよいだろう。
なお、このテキストは 1998 年度の授業プリントを基礎とし、以後 4 年間使用した教材を大幅に改訂したものである。昨年の改訂の際に発生した誤りは、かなりの部分訂正してあるが、それでもなお多数の誤りが残っている可能性がある。疑問な点は遠慮なく指摘していただきたい。

2003 年 4 月 慶應義塾湘南藤沢高等部 数学科

3目次
第 1 章 R の基礎と一組のデータの処理

1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10
10

1.1.2 データ解析と R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R の初期設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 R の起動と終了 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
12
12

1.3

1.2.2 初期設定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R における式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1214. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

オブジェクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14
16

イントロダクション

1.1.1
1.2

1.3.1
1.4.1
1.4.2

計算機としての R

オブジェクトと付値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
オブジェクトのコピーと中身の交換 . . . . . . . . . . . . . .

1.5ベクトルとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

1.5.1 ベクトルと関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
データの図示とデータを表す数値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1
1.6.2

1.7

ヒストグラム . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
データの比較の基準となる値 . . . . . . . . . . . . . . . . .

データの代表値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
17
18
18
20
20
21

平均値の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
22

1.8

1.7.2 中央値の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
平均値・中央値の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
24

1.9

1.8.1 平均値・中央値の挙動の違い . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 ヒストグラムの対称性と平均値・中央値 . . . . . . . . . . .
データの散らばりと四分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25
26

データの散らばりとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
27

1.7.1

1.9.1
1.9.2

累積度数グラフと四分位数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 箱ひげ図とデータの散らばり方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.10.1 箱ひげ図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.1 四分位数の欠点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28
30
30

1.11.2 分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 分散の計算方法とベクトルの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30
32

1.12.1 ベクトルの計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12.2 式の組み立てと分散を求める関数 . . . . . . . . . . . . . . .

32
33

1.13 データの分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13.1 データの分布の形をつかむ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
34

1.14 論理数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.1 論理数とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14.2 論理数の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
36
36

1.15 ベクトルの要素抽出（その 1） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15.1 ベクトルの要素抽出の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
38

1.15.2 要素の変更 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16 ベクトルの要素抽出（その 2） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
40

1.16.1 等差数列を作る演算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.16.2 等差数列を用いた要素抽出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
40

1.16.3 層別 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

第 2 章 2 組以上のデータの処理と比較

2.1

標準偏差とデータの範囲 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1
2.1.2
2.2

2.4

管理図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

データの標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4445

データを比較する際の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46

2.2.2 データの標準化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
偏差値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 偏差値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47
48
48

2.3.2 標準化の作業・偏差値の求め方 . . . . . . . . . . . . . . . .
文字列・データの属性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
50

文字列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50

2.2.1
2.3

チェビシェフの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43
44

2.4.1
2.4.2

名札属性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

名札属性の用い方と R の関数 . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.5

名札属性と要素の指定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

2.5.1 名札属性を用いた要素抽出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52
52
54

2.4.3

2.6.1
2.6.2

データの次元と行列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
行列の作成方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54
55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
行列の要素指定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56

2.8

2.7.2 軸名札属性を用いた要素の抽出 . . . . . . . . . . . . . . . .
相関 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
58

2.9

2.8.1 散布図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 相関関係とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
相関係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58
58
60

ピアソンの積率相関係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
相関係数の求めかた . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60
61

2.10 相関係数の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 3 次元以上のデータの相関係数 . . . . . . . . . . . . . . . .

62
62

2.10.2 相関についての注意 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.7

行列の操作

2.7.1

2.9.1
2.9.2

第 3 章 簡単な回帰分析

3.1

回帰分析の初歩 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1
3.1.2

データの因果関係と変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6566

線型回帰 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66
66

3.2

3.1.3 最小二乗法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
回帰方程式の計算とリスト構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
68

回帰方程式の求めかた・リスト . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

外れ値とは

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
70

3.4

3.3.1 外れ値があるデータについて . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 個体の特定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
外れ値の除去 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70
71
72

外れ値の選択 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72
73

3.2.1

3.4.1
3.4.2
3.5

外れ値の除去と回帰分析のやりなおし. . . . . . . . . . . .

回帰方程式の解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1

回帰方程式の意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74
74

第 4 章 モデルとデータ

4.1

モデルとは？ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
よいモデルとは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78
78
78

4.1.3 回帰モデルの構築について . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
データの読み込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7980

これから扱うデータの説明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80
81

4.1.1
4.1.2
4.2

4.2.1
4.2.2
4.3

77

実体・モデルと残差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R への読み込み . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

データの整形（その 1） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
軸名札属性の付値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
82

4.3.2 データの補正の作業 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
データの整形（その 2） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 行・列単位の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82
84
84

4.5

4.4.2 地図データ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
回帰分析の実例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85
86

回帰分析の実行 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6

作業結果の記録 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86
88

4.3.1
4.4

4.5.1
4.6.1
4.6.2

作業履歴の保存 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
グラフィックスの印刷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88
88

4.7

4.6.3 他のソフトウェアへの貼り付け . . . . . . . . . . . . . . . .
重回帰分析と空間の散布図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 複数の説明変数がある回帰分析 . . . . . . . . . . . . . . . .

89
90
90

空間の散布図を描くために . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.8

重回帰分析の実行と回帰の評価 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90
92

4.7.2
4.8.1
4.8.2

重回帰分析の計算方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
回帰の評価と考察 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

付 録 A 関数電卓の使いかた

92
92

A.1 電卓の使いかた（その 1） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 キーの表記について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95
96
96

A.1.2 通常の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3 1 変数統計処理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96
96

A.2 電卓の使いかた（その 2） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.1 2 変数統計処理の基本 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98
98

付 録 B R について

101

B.1 R の入手方法と作業環境の移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B.1.1 インターネットからのソフトウェアの入手 . . . . . . . . . . 102
B.1.2 インストール方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
付 録 C 練習問題

105
C.1 練習問題その 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

C.2 練習問題その 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
C.3 練習問題その 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
C.4 練習問題その 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
C.5 練習問題その 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
C.6 練習問題その 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C.7 練習問題その 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9

第1章

R の基礎と一組のデータの
処理

1.1

イントロダクション

1.1.1

データ

PDF Version「データ」という言葉を辞書で調べてみよう。

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
データ
Fujisawa Senior and Junior High School
1. 判断や立論のもとになる資料。
「—of
を集める」
The Department
Mathematics
2. コンピューターの処理の対象となる事実。状態・条件などを表す数値・文字記号。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without（松村明編、大辞林、三省堂（
1988）） that the following conditions are
modification, are permitted
providedmet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theつまり「データ」は、資料、そして時には計算機上の資料を表している。この授
first lines of this file unmodified.
業における「データ」は、いずれのものも指すが、実際に扱うものは計算機上で用
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
いることのできる資料とする。
the above copyright notice, this list of conditions and the following
データの例としては、以下のものが考えられる。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
• テストの点数
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE• 身体測定の身長・体重
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE• アンケートの集計結果のうち、性別や趣味など
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
上の例をみると、「数値にできるか、できないか」という点で区別することができ
KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL,THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORる。すなわち、テストの点数、身長・体重などの値は数値化できる（またはされてANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, ORいる）。実際に扱うのはこれらの数値であろう。このように、数値化できるデータを
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
量的データという。これに対して、アンケートの項目は簡単には数値化できないも
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)のがある。このようなものを質的データという。ある種のものは、アンケートの項
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
目のように WHETHER
1、2、· · · と番号をふって数値化することも可能であるが、このような
IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
ものは四則計算などをすることには意味がないことが多い。
OUT OF「データ」といっても、必ずしも数値を扱うわけではない。また、数THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
このように、
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

値となったにしても、それらを画一的に扱うことは好ましくない。
2004/4/5—NOTE—

10

データ解析ワークブック（2003 年度版）

1.1.2

データ解析と R
現在は情報社会といわれるように、世の中には情報が氾濫しているといってもよ

PDF Version

い。このようなものの場合、個々のデータについて考えるより、データ全体を眺め、いろいろなことを読み取る、つまり、そのデータが何を語っているのかを探るほうが重要である。そのような手法の体系を、データ解析という。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
この授業では、データ解析を行うにあたっての道具として、R というものを用い

Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics
R は、データ解析のための言語と環境をそなえたシステムであり、米国
AT&T のることにする。

Bell 研究所で開発された、データ解析のための言語 S に似せて作ったものである。
の開発に携わった者の一部が、現在でもR の開発に携わっている。
実際、S Redistribution
and use in source (LaTeX source)and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
その特徴として、

modification, are permitted provided that the following conditions are• 対話的な作業が可能—trial and met:
error というものの繰り返しができる。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the• プログラミングが可能—決まりきった動作があるときに、関数定義をして作
first lines of this file unmodified.
業の効率化を図ることができる。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce• グラフィックスが扱える—視覚に訴える解析が可能。ただし、あくまで解析すthe above copyright notice,
this list of conditions and the following
disclaimer
inthedocumentation
and/or other materials provided with theるために便利であって、見ためが美しいわけではない。
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUというものがある。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
R には、データ解析の環境とともにプログラミング言語という側面を持ってい
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THEる。実際にプログラムを作成することまではしないが、この授業ではデータ解析以
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
外に、いろいろな式の組み立てなど、プログラミングを意識した実習も一部行うこA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLととする。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL,THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS
BE LIABLEFOR
なお、
R には実習用パソコンのように、Microsoft Windows上で動作するシステ
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
ムの他に、Apple MacOS DAMAGESや UNIX 系
OS（FreeBSD
Linuxなどのいわゆる「PC
CONSEQUENTIAL(INCLUDING,
BUTやNOT
LIMITEDTO,
Unix」を含む）上で動作するシステムもある。これらはインターネットから自由に
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
取得できる（むしろ配布を阻害してはならない）ので、興味のある者は取り寄せて
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
みるのもよい。詳しくは巻末を参照のこと。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
また、
R は現在も進化しているシステムであるため、そのバージョンは次々に上OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
がっていく。追いかけてもよいが、実習で使うレベルの内容は変化がないと思われ
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

るので、そんなに神経質にならなくともよい。
2004/4/5—NOTE—

11

1.2

R の初期設定

PDF Version

この実習では、テキストを見ながら実際に入力し（またはそれを観察し）、その出力結果を見て考えることが重要である。そのための準備作業を行う。

1.2.1

R の起動と終了
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
多目的教室Fujisawa
A の計算機にあるメニューのうち、右のSenior and Junior High School
ボタンが R を起動するためのものである。これを押す

The Department of Mathematicsと、R が起動する。以下、計算機への入力は以下のような書式を用いることにする。斜体の部分は入力であり、Redistribution
and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
は Enter
キーを押すことを意味する。

(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without >modification, are permitted provided that the following conditions are「>」は、R が入力を催促している状態であることを示す。これをプロンプトという。
met:
R を終了するには、が出ている状態でq()と入力し、リターンキーを押す。
1. Redistributions> of
source code (LaTeX
source)must retain the above
COMPUTER
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
disclaimer as the>q()
OPERATION
first lines of this file unmodified.
すると、右のようなウィンドウが開く。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
これは、現在の作業状態を保存するか、とconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
COMPUTEROPERATION

いうことを問うている。
R は、作業した結the above copyrightnotice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
果を残し、次に起動したときにそれを復元
distribution.

する機能がある。このため、作業を中断しImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THEてもあまり問題がない。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
ここでは基本的に「はい」を選択する。
「いいえ」では作業が全く残らないので、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE

時には大きなダメージになる。誤ってこの状態にしてしまった場合は、「キャンセ
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE
ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLル」を選択することによってR に戻ることができる。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
1.2.2 初期設定CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
今後の実習のために、を起動させて、次の作業をすること。
USE, DATA, ORRPROFITS;
OR BUSINESS INTERRUPTION)COMPUTER> local.setup(2003)
OPERATION 
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

12

データ解析ワークブック（2003 年度版）



◎なぜ R か諸君（特にコンピュータの知識がある者）の中には「なぜ R？」という疑問がおき

PDF Version

るかもしれない。また、この授業で使うシステムは、「対話型」という形式で、文字を入力してその結果を得るという、現在主流の GUI（Graphical User Interface、
グラフィックを多用した操作環境）ではないため、最初のうちは戸惑いが多いか
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
もしれない。R を選択した理由を以下にあげておこう。

Fujisawa Senior and Junior High School
1. 統計関係を扱うソフトウェアとしては、「本物」である
The Department of Mathematics
Microsoft Excel などの表計算ソフトウェアでも、似たようなことは確かにできる。しかし、その実装には無理が多い。本格的に使うシステムとして、
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
表計算ソフトウェアはなんとも中途半端なものなのである。もともと「表」(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions areを扱うのが得意なものであるが、データ解析には「表」以外のデータも扱
met:

うことがあるため、そのようなことを実現させるには無理があるのである。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the

2. 統計関係を扱うソフトウェアとしては、価格が極端に安い
first lines of this file unmodified.

2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
1 本あたりで
5 桁の金額がする。
the above copyrightnotice, this list6of桁の金額のものもざらにある。そのよ
conditions and the following
disclaimer
in the documentation and/or other materials provided with the
うなものをおいそれとは導入できないし、パソコンを所有する生徒が自宅
distribution.
で実習するのも難しいだろう。なんといっても、R は本体価格は 0 である。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
以前は本校でも、販売されているものを使っていたが、現在
R の出現とと
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
もにその環境に移行させている最中である。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
3. A言語環境としては、意外と初心者にやさしい
PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
「なぜ C や Java ではないのか？」との意見もよく聞かれるが、このよう
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
な言語は「プログラムをエディタで書き」「コンパイルという作業を行い」
ANY
DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL,EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT 「プログラム」を書か
LIMITED TO,「必要に応じて間違いを直す」ということを繰り返す。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
なければ絶対になにもできないのである。この授業は、「プログラム」の作
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
成はメインの内容ではない。しかし、その雰囲気を味わうことも目標の一
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT,STRICT LIABILITY, OR TORT
つであり、そのためには、「入力したものに対してすぐ反応が返ってくる」(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
対話型の言語のほうが都合がよい。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

世間一般に販売されている、統計関係のソフトウェアの値段は、少なくとも

もちろん、R よりよい環境も存在するかもしれないので、以上の条件を満たすよ
2004/4/5
うな R 以外の環境が存在するのならば、知らせていただきたい。

—NOTE—

13

1.3

R における式

PDF Version

基本的に、>で待っているときは「式」を入力する。式を入力すると何かしらの反応（それがエCopyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonanラーを示すものであっても）が返ってくる。

Fujisawa Senior and Junior High School
1.3.1 計算機としての RThe Department of Mathematics「計算機」と名乗っている以上、計算ができるのは当然と考えてもよいであろう。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutれる。 modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
たとえば、2 + 3 を計算したければ、
COMPUTER> 2+3 1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
OPERATION 
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the[1] 5
first lines of this file unmodified.
と入力する。先頭の[1] は次節以降で利用するため、今は無視してよい。
5 が結果
2. Redistributions
in compiled form (transformed to other DTDs,
converted
to
PDF,
PostScript,
RTF
and
other
formats)
must
reproduceである。空白は自由にいれてよいので、先の例では> 2+3 the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation
and/orother materials provided with the1 つの意味としてもよい。ただし、数の20 を 20というように、ひとかたまりでdistribution.
をなす文字の並びの途中に空白をいれることはできない。以下、見やすいように適Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
宜空白をいれることにする。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
計算は、普通の式と同じように入力すればよい。記号の優先順位は数学のものと
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE同じである。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
例
その意味 JUNIOR
記号 AND 例
その意味
KEIO記号GIJUKU SHONAN
FUJISAWASENIORHIGHSCHOOL,THE
DEPARTMENTOF
MATHEMATICSBE
LIABLE
加法 +
3 + 5
3+5
減法 - 7 - 2
7 −FOR2
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
乗法 *7DAMAGES* 8
7(INCLUDING,
×8
除法BUT
/ NOT
7 / 8LIMITED
7 ÷ TO,
8
CONSEQUENTIAL
3PROCUREMENTSUBSTITUTE
LOSS
負の符号 - OF-4
−4 GOODS
べきOR^ SERVICES;
-4^3
−4 OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
記号
例
その意味
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
かっこ() (3-(7-(4+8)/3))*2− {7 − (4OR
+ 8)÷ 3}] × 2
WHETHERIN CONTRACT, STRICT[3LIABILITY,TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
編集は、マウスは使えない。キーボードの操作になる。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH
 DAMAGE.
カーソルを右に 1 つ移動
カーソルを左に 1 つ移動
→
← 
↑
1
つ前に入力したものを表示↓
1 つ後に入力したものを表示
2004/4/5   
  
HOME
カーソルを行頭に移動
END カーソルを行末に移動

BackSpace
カーソル前にある文字を消去
Delete カーソル上にある文字を消去

R では、式を入力すれば、通常の四則計算の順序にほぼしたがって計算をしてく—NOTE—

14

データ解析ワークブック（2003 年度版）

開きかっこが閉じかっこより多い状態で改行すると、式が完成されていないとみなされ、プロンプトが+となって入力待ちとなる。たとえば 3 + 4 × (2 − 5) を計算し
COMPUTEROPERATION

ようとして
 > 3+4*(2-5+となった場合は、閉じかっこが1 つ足りないので、Copyright 1998–2003
Keio Gijuku Shonan+ )

PDF Version

Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematicsとすればよい。式の修復をあきらめて新たに入力しなおすときは ESC を押す。
 

問1

次の式を計算する R の式を入力せよ。
（1） (−3)3

COMPUTEROPERATION >Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
conditions are（2） 3 +modification,
20 ÷ 4 × 9 are permitted provided that the following>
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above3（3） (−2)÷ (2notice,+ 7 ×this2 −list4 ×of5)conditions and the following>
copyright
disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,（4） {(3 + 2) × (6 − 8) − 2 × (−1)} ÷ (−4)>
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
in 3the（5） 7 disclaimer
÷ {5 × 7 −× 2documentation+ 4 × (−5) −and/or
32 } other materials> provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND2SENIOR HIGH SCHOOL, THE
最後の式は、
5 × 7 − 3OF
× 2MATHEMATICS+ 4 × (−5) − 3“ASの結果が何であるか考えてみるとよい。
DEPARTMENT
IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
R で計算してみよ。
COMPUTERIMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR>OPERATION 
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
0 による除法や、
log10 (−1)など、成り立たない計算が発生した場合、S は Inf（無限SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
NaN（非数値）といった値を返す。これらは、たいてい希望しない値だろう。
大）や ANY
DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
0.5−0.4−0.1
なお、電子計算機の計算は、微妙な誤差を含むことがある。たとえば、
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
は数学では当然
0だが、これをRで計算させると
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)COMPUTER> 0.5-0.4-0.1
OPERATION 
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
[1] -2.775558e-17−17(INCLUDINGNEGLIGENCE
OR −2.775558
OTHERWISE)
ARISINGIN ANY WAY0 に非常にとなる。
-2.775558e-17
というのは
× 10
という意味で、
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
近い値だが、0 ではない。このような誤差をいつでも完全になくすことはできない。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

非常に大きな数、たとえば 26343200000000000 は 2.63432 × 1016 だが、これは2.63432e+16 と表現する。

2004/4/5—NOTE—

15

1.4

オブジェクトPDF Version

R ではオブジェクトというものが作業中重要な役割を果たす。いろいろな計算をしたものはすべてオブジェクトになるため、その扱いや作成方法について解説する。

1.4.1

オブジェクトと付値
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
R において、計算にかかわるものをすべてオブジェクト（
object）とよぶ。実際
Fujisawa Senior and Junior High Schoolに注目すべきオブジェクトの一つとして、値を保存するオブジェクトがある。式をThe Department of Mathematics

入力しても、そのままでは計算結果を表示して、計算機内部からは消えてしまう。
再利用する値は保存するとよい。値をオブジェクトに与えることを付値という。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
オブジェクトの名前には、英数字（大文字・小文字は区別する）とピリオドを使(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

うことができる。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
たとえば、オブジェクト x に 2 という値を付値するためには、つぎのどれかを行
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above

COMPUTEROPERATION

えばよい。
notice, this list of conditions and the following disclaimer as the > x <-copyright2
first lines of this file unmodified.

> 2 -> x 2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,<- とconverted-> は 2 to
文字で
1 つの記号である。
<- formats)などと空白をいれてはならない。
PDF, PostScript,
RTF and othermust reproduce
the above
notice, this list of conditions and the following
以後、付値は← とcopyright→ で書くことにする。この記号を使えば、次のように書き直さdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with theれる。
distribution.
> x ←Important:
2
THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU> 2 → xSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
付値の記号は最後に評価される（式の値を求めることを評価するという）。した
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE

がって、計算結果を付値するには、たとえば次のようにする。付値の場合は計算結IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORCOMPUTEROPERATION

A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
果は表示されない。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
 > x ← 4+(9-3)/6

SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
問 1 オブジェクト x に −3 を付値せよ。どうすれば見やすくできるか。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFCOMPUTER>OPERATION 
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
オブジェクトの値を見るには、オブジェクトの名前だけを入力する。また、オブジェ
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
クトの値は式の中で利用することもできる。
COMPUTEROUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED> y
OPERATION 
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

> 5-(8-(2/6-1)*3) → y> 3*(x+3)/4-1

2004/4/5—NOTE—

16

データ解析ワークブック（2003 年度版）

値が付値されていないオブジェクトは用いることはできない。一方、一旦付値され
COMPUTEROPERATION

たオブジェクトは、消さない限り残っている。次の例でそれを確認せよ。
 > zzz
Error: Object "zzz" not found> q()

PDF Version

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan（R を終了させ、改めて起動する）
> y

1.4.2

Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics

オブジェクトのコピーと中身の交換

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
 > y ← x(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted
provided that the following conditions areというのは、
x の中身を
y に付値するので、コピーになる。
met:
すでに付値されているオブジェクトに対して改めて付値を行うと、内容が上書き
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the followingxdisclaimer
as the
されて以前の内容は消える。したがって、オブジェクトと オブジェクト
y の内first lines of this file unmodified.
容を入れ替えるために、
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
COMPUTER> y ← xOPERATION 
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce> x ← ythe above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or
materials provided with theとしてもうまくいかない。これでは
x と y otherが等しくなってしまう。
distribution.
問 2 オブジェクト
x とTHIS
オブジェクトy の内容を入れ替えるために
Important:
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKUtmp
SHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIOR HIGH SCHOOL, THEはどうすればよいか。右の図を見て考えよ。
COMPUTER
DEPARTMENTOF
MATHEMATICS“ASIS” AND ANY EXPRESS OR
3>
1
OPERATIONIMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE>
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS x
FOR 2y
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL>KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR◎オブジェクトの消し方・作成したオブジェクトの一覧
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
作成したオブジェクトの一覧を見るには次のようにする。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
COMPUTERPROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
 > ls()OPERATION
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
誤って作成したオブジェクトを消すには次のようにすればよい。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,COMPUTER> rm(消したいオブジェクトの名前)
OPERATION  WHETHERIN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE)
ARISING IN ANY WAY
消したいオブジェクトが複数ある場合、, で区切って並べればよい。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
なお、消すことができるのは、自分で作成したオブジェクトだけである。また、
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTEROPERATION

一旦消してしまったものを復活させることはできないと考えおくとよい。（厳密2004/4/5には、R の終了時の質問に「いいえ」で答えておけば消えないが、こうするとこんどは R 起動後に作成したオブジェクトが消えてしまう）。
—NOTE—171.5ベクトルとはPDF Version

データ解析で用いるデータは、たいていはある程度たくさんの数の集まりであることが多い。このようなものを扱うときに、ベクトルは便利である。

1.5.1

ベクトルと関数
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
データの並びをベクトル（
vector）という。ここでは、60 人のあるテストの点数
Fujisawa Senior
andJunior High School

COMPUTEROPERATIONのデータを、オブジェクト s.point1 として用意しておいた。
The Department of Mathematics
 > s.point1[1] 63 53 65 57 56 57 53 58 58 52 68 55 55 64 64 68 60 55 58 57
and55
use57
in source[21] 56Redistribution
68 43 66 57
58 58(LaTeX
50 46source)
56 57and67 ‘compiled’
56 64 63forms
51 75 51
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without[41] 44 70 45 66 56 48 55 60 55 66 49 64 60 58 67 54 60 66 45 68
modification, are permitted provided that the following conditions are
ベクトルを表示させると、改行ごとに先頭に[n] という形の表示がある。n は自met:
n 番めの要素であることを表してい然数である。これは、先頭の要素がベクトルの1. Redistributions of source code (LaTeX source)must retain the above
copyright notice, this list of conditions
and the following disclaimer as theる。通常のデータは、要素の数が1 のベクトルとみなすことができる。なお、ベク
first lines of this file unmodified.

トルの要素の数を、ベクトルの長さという。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
ベクトルの長さを知ろうとするとき、表示されたものをいちいち数えるのではな
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with theをしなければならないが、このようなものを
distribution.R では関数（function）という。関数
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKUは必ずその名前の後ろに ( )（かっこ）をつけなければならない。かっこの中のも
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THEのをその関数の引数（argument）といい、R に働きかけをするための材料となる。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
ベクトルの長さは、関数
length()でわかる。
IMPLIED WARRANTIES,INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTERIMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITY
AND FITNESS FOR>
length(s.point1)
OPERATION
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
式の中に関数があると、R は引数に与えられた材料を用いて処理を行い、結果をオ
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ブジェクトとして返す。これは、ちょうど数学の関数と同じ働きである。関数の結ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
果は式の中で再利用できるので、たとえばCOMPUTERPROCUREMENTOF> length(s.point1) - 1 SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
OPERATION
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,とすれば、s.point1
1 を引いたものが返ってくる。
WHETHERの長さからIN CONTRACT,STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE)
ARISING IN ANY WAY
数学らしい関数も紹介しておこう。
sqrt() という関数はかっこの中の平方根を求OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
めてそれを返す。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTER

く、計算機に数えさせたい。ここで、「ベクトルの長さを数えろ」と R に働きかけ

OPERATION

 > sqrt(5)2004/4/5—NOTE—

18

データ解析ワークブック（2003 年度版）

関数は本来何らかのオブジェクトを返すものなのだが、関数の中には R の動作そのものに働きかけるものもある。このように、計算以外の効果をその関数の副作用という。q() というのも関数で、これは「R を終了させる」という働きを持つものである。

PDF Version

ベクトルを作るときは、関数 c() を使う。並べたいものを () の中に並べればよ

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

COMPUTEROPERATION

い。すべて並べたものをベクトルオブジェクトとして返してくる。
 > x ← c(7, 5, sqrt(5))
Fujisawa Senior and Junior High School> x

COMPUTEROPERATION

The Department of Mathematics

c() はベクトルどうしをつなげるときにも用いる。
 > y ← Redistributionc(3, 1, 9) and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML,> x ← c(1,x,HTML,y, 4)PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
> x

met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
ここまでで出てきた関数をまとめておこう。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
q()
R を終了させる。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
length(x)ベクトルオブジェクト
x の長さを求める。
the above
copyright notice, this listof conditions and the following
disclaimerオブジェクト
in the documentation
and/or other materials provided with thesqrt(x)x の平方根を求める。
distribution.
c(...)
かっこの中の要素をすべて使ってベクトルを作る。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUls() SHONAN
作成したベクトルの一覧を表示する。
FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
rm(...)
かっこの中に並べたオブジェクトを消す。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE
ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL◎ 関数もオブジェクト！
？
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
実は、関数もオブジェクトである。だから、たとえばSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORCOMPUTER DIRECT,> ls
OPERATIONANY
INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,などとするとわけのわからないものが表示される。これは、この関数の挙動につPROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
いて定義しているものである（ただし、実体が見えやすいものとは限らない）。さUSE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
らに、R では自分で関数を作ることもでき、これがプログラミングにつながるの
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTである。ただし、ここではプログラミングについては触れない。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
R では、扱うものは実は何でもオブジェクトと呼ぶ。
「オブジェクト」が処理の
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN
IF ADVISED
主体であり、このような考え方を「オブジェクト指向」という。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

191.6

データの図示とデータを表す数値

PDF Version

データが与えられたとき、まず考えるべきことは、「どのような感じのデータなのか」をつかむことである。そのためには、「データの全体の様子を図からつかむ」ことと、「データをその様子がわかるいくつかの数値で代表させて表現する」ことを行

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
1.6.1 ヒストグラム Fujisawa Senior and Junior High School
The Departmentof Mathematics
データが与えられたとき、「ある範囲のデータがどのくらいあるだろうか」というう必要がある。R ではこの両方を行うことができる。

ことを確認するのは重要である。このとき、それを図示できるとよいだろう。R でRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
はグラフィックスを使ってそれを視覚的に確認することができる。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

一番確認しやすい図としてヒストグラム（
histgram）がある。これは、データを
modification, are permitted provided thatthe following
conditions aremet:
いくつかの範囲（これを階級という）に分け、その範囲にどのくらいのデータがあ1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
作ることができる。引数にはヒストグラムにするベクトルオブジェクトを与える。
first lines of this file unmodified.
COMPUTER> hist(s.point1)
OPERATION 
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
このようにすると、グラフィックスウィンドウが新たに開き、ヒストグラムが表
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following示される。範囲は勝手に決められるが、横の目盛りの値には注意すること。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
比較のために、s.point2 というデータも用意してあるが、そのまま表示するだ
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
けでは比較がしにくい。それぞれの画面で横の目盛りが自動的に変化してしまうた
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
めで、「目盛りを固定する」「これらを並べる」ことができれば比較がしやすい。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
ヒストグラムで、横軸の範囲を0 から 100BUTにしたいのならば、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING,NOT LIMITED TO, THE
COMPUTER> hist(s.point1,
xlim=c(0,100))
OPERATION IMPLIED WARRANTIESOF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULARPURPOSE 」という引数が横の目盛りを指定した部分である。
ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLとすればよい。
「xlim=c(0,100)KEIO
GIJUKUSHONANFUJISAWAJUNIOR AND SENIOR HIGH
もちろん、0 が下限、100 が上限である。なお、引数が複数あるときは、それらをSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR,（カンマ）で区切ること。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES(INCLUDING,
BUT NOTnLIMITEDTO,
次に、図を並べる方法だが、R では図を
1 画面に「縦に個」「横にm 個」格子PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF「横に 1 個」の図を並べるために状に並べることができる。たとえば、「縦に 2 個」
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
は、次のどちらかを行う。前者が図を横に並べていき、後者は図を縦に並べていく。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,> par(mfrow=c(2,1))
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY> par(mfcol=c(2,1))
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THEPOSSIBILITYOF SUCH DAMAGE.
問 1 もとに戻したければ「縦1 個」「横 1 個」にすればよい。その方法を
2 通り考えよ。

るか（これを度数という）を柱状のグラフにしたものである。hist() 関数でこれをCOMPUTEROPERATION >2004/4/5>—NOTE—

20

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問2
COMPUTEROPERATION

画面を「縦に 2 個」
「横に 1 個」図を並べる状態にしてから、s.point1 と s.point2のヒストグラムを並べて表示せよ。横軸の範囲は 0 から 100 とする。
 >

>
>

PDF Version10

このようにしてデータを眺めるときは、少なくともFrequency

15

20

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
1.6.2 データの比較の基準となる値
The Department of Mathematics

10
5
0

問3

Frequency

15

20

0

5

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are• データが広範囲にあるのか、狭い範囲にあるのか
met:
0
20
40
60
80
100
1. Redistributions of sources.point1
code (LaTeX
must retain the aboves.point1と source)s.point2ということに注目するとよい。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theという 2 つのデータでも、差があるはずである。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
以上の点について、この 2 つのデータから読み取れるこ
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduceとは何か。
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
0
20
40
60
80
100
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL,
THE
s.point2
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
データを眺める際に、ヒストグラムで与えられる上記の事柄を、客観的な数値と
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
2 つのデータの比較を、数値の比較という判定のしやして与えることができれば、A PARTICULAR PURPOSE
ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
すい方法で行うことができる。そこで、データの特性をKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR• データを代表する値· · · 代表値
ANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,• データの広がりを表す値· · · 散布度GOODS OR SERVICES; LOSS OF
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)という観点から、少数の数値で表現することを考えていくことにする。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
hist(x, xlim=c(a,b))
ベクトルオブジェクト x のヒストグラムを描く。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
xlim=c(m,n)
最大値を n と仮OUT
OF THE USEを同時に与えると、横軸の最小値を
OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IFm,ADVISEDOFTHE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
定して描いてくれる（指定しなければ勝手に決められる）。

• どこらへんのデータが集中しているか

par(mfrow=c(m,n)) par(mfcol=c(m,n))
一つの画面で図を縦 m 個、横 n
2004/4/5
個並べるようにする。前者は図を横に並べ、後者は図を縦に並べる。

—NOTE—

21

1.7

データの代表値

PDF Version

データを代表させる値として、よく知られているのは「平均値」だろう。ただ、その性質については考えたことがないかもしれない。ここでは、2 種類の代表値の定義を考える。

1.7.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
データの代表値として一番有名なものに、平均値がある。N 個のデータ x1 、x2 、The Department of Mathematics. . .、x があったとき、平均値の定義NN

1 x + x + ··· + x

1
2
NRedistribution anduse in source(LaTeX
source)and ‘compiled’
forms
x̄ =
xi =
N
(SGML, HTML, PDF,NPostScript,
RTF
and
so
forth)
withor
without
i=1
modification, are permitted provided that the following conditions areが平均値として一番使われるものである。
met: 「データを全体に平らにならしたときの1.
Redistributionsofsourcecode(LaTeX source) must retain the above
値」ということで、非常にわかりやすいものである。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
ベクトルオブジェクト s.point1 の平均値を求めてみよう。定義から、このデー
first lines of this file unmodified.
タをすべて加えることができなければならないが、そのためにベクトルの要素のす
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript,
RTF and other formats) must reproduce
べての値の和を求める関数
sum() という関数がある。
COMPUTER
theabove
copyright
notice,thislist of conditions and the following> sum(s.point1)
OPERATION 
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
また、ベクトルの要素の数はlength() で求まる。これを組み合わせれば平均値をImportant: THIS DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIOR HIGH SCHOOL, THE
求めることができる。
DEPARTMENT
MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR> sum(s.point1)/ OF
length(s.point1)
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
問 1 この方法で、オブジェクト s.point2 の平均値を求めよ。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHCOMPUTER>SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
OPERATION 
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTEGOODSOR SERVICES; LOSS OF
しかし、実際には平均値を求める関数
mean()
が用意されているため、こちらを用いUSE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)ること。専用の関数は注意深く作られているため、目的の用途を持つ関数がある限
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT,STRICT
LIABILITY, OR TORT
りそちらを使ったほうがよい。関数mean()
を用いてベクトル
s.point1, s.point2(INCLUDINGNEGLIGENCEOR
OTHERWISE)
ARISINGIN
ANY WAYの平均値を求めてみよ。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDCOMPUTER> mean(s.point1)
OPERATION
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

>

2004/4/5—NOTE—

22

データ解析ワークブック（2003 年度版）

1.7.2

中央値の定義平均値は「異常な値の影響を受けやすい」という特徴がある。よく「誰が平均点

PDF Version

をつりあげてるんだ！
？」という話が出ることがあるが、そのような例をあげよう。
問2

s.point2 に、100 点を取ってしまった者を加えた状態での平均値を求めよ。どのく
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
らい変化があるだろうか。
COMPUTER> s2 ← c(s.point2,
OPERATION 
Fujisawa 100)
Senior and Junior High School>

The Department of Mathematics
このような現象があるため、平均を「代表」とするのは場合によっては抵抗があRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms

る。対策として「異常な値を排除する」という方法があるが、たとえばテストの結(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
果で、高得点を取った者に「お前の点数は異常だから除いて考えるぞ」などという
met:

わけにもいかない。また、平均値はデータのすべての値を用いて計算するので、そ
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the aboveの値はデータに存在しない値を示すことがある。実際には存在しない値を「代表」
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
とするのも、場合によっては疑問であろう。

2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,

そこで、代表値の選び方として、別の方法を考えてみる。
「データの中心」を取りconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must
reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
出すというのは、代表値の選び方としては自然である。そこで、「データを小さい順
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with theに並び換え、その中央の値を取り出す」というのを「中心を取り出す」方法の一つ
distribution.

と考え、このようにして定めた代表値を中央値（メディアン、
median）という。偶Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIOGIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND
SENIOR HIGH SCHOOL, THE
数個のデータの場合、中央値は中央の2 つの値の平均で定義する。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS ORCOMPUTEROPERATION

中央値は median() という関数で計算できる。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE > median(s.point1)
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR

A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
問 3 s.point2と、s.point2に 100 点の者を加えたものの、それぞれの中央値を求め
SCHOOL,THE DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR
よ。違いはあるだろうか。
CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO,
COMPUTER>OPERATION PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,>
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
sum(x)
ベクトルオブジェクト
x のすべての要素の和を求める。
OF THE POSSIBILITYOF SUCH DAMAGE.

mean(x)median(x)ベクトルオブジェクト x の平均値を求める。
2004/4/5
ベクトルオブジェクト
x の中央値を求める。

—NOTE—

23

1.8

平均値・中央値の性質

PDF Version

平均値と中央値は求め方が違うため、その性質は違うと考えるのは自然である。
ここでは、それらの特徴についてさらに考察する。

1.8.1

平均値・中央値の挙動の違い
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
平均値は「データの重心である」という特徴がある。つまり、全体で見れば「データ
Fujisawa Senior and Junior High Schoolは平均値のあたりに集中している」のである。データをおもりをつり下げる位置と考The Department of Mathematics

えると、平均値はその支点である。このことを視覚的に表現するために、balance()
COMPUTEROPERATIONという関数を用意した。この関数で、平均値とデータの関係をながめてみよう。
 > balance(s.point1)
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
表示されている値が平均値であるが、このような値を取るデータはs.point1 にはmodification, are permitted provided that the following conditions are
存在しない。このように、データの重心（ある意味では中心に近い値）であるが、met:

現実の値ではないことに注意しなければならない。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the「重心」ということは、支点から遠いデータはそれだけ影響が大きい。つまり、釣first lines of this file unmodified.

り合いがとれている状態に異常値が加わると、それだけで釣り合いが崩れてしまう
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,のである。これを防ぐには、支点を動かさなければならない。もちろん、もともと
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the followingの支点から遠い異常値ほどその影響が大きい。平均値が異常値に敏感に反応するの

disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
一方、中央値はデータの個数での中央だから、中央値の上と下のデータの個数がSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
ほぼ等しい。この図の縦線の部分が中央値だが、この線を境に左右の点の数はほぼ
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
等しいはずである。異常値がつ加わっても、変化しないことが多く、変化するに
IMPLIED WARRANTIES,1 INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITY
AND FITNESS FOR
しても、順に並べたものの中で 1 つずれるだけだから、どんな異常値でも値の変動
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
は一定である。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
こうみると中央値はいいことづくめのように見えるが、平均値のほうが数学的な
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
扱いは簡単であり、また中央値は求めるときに並び換えの手間が発生する。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES;LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)







 AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,HOWEVERCAUSED
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
異常値で釣り合いが崩れる！
1 つぐらい平気！
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED






OF THE POSSIBILITY OF SUCHDAMAGE.

は、このような理由もある。













2004/4/5


—NOTE—24

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問1

COMPUTEROPERATION

s.point2 と、s.point2 に 100 点を取った者を加えたものについて、その様子を観察せよ。balance() 関数の引数として xlim=c(0,100) を加えると、幅を固定するので比較しやすい。
 > par(mfrow=c(2,1))
>

>

1.8.2

PDF Version

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics

ヒストグラムの対称性と平均値・中央値

ヒストグラムの形と平均値・中央値の差には関係がある。もし、ヒストグラムのRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
形が左右に対称ならば、中央値は当然対称軸のあたりにある。平均は、データの重modification, are permitted provided that the following conditions are

心であり、釣り合いがとれる部分はやはり対称軸のあたりである。
met:

1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
ところが、たとえば小さい値が多いようなデータの場合、次のようなことがおこる。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the• 中央値は、データの個数が多い小さい値に近づく
first lines of this file unmodified.

2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,• 平均値は、大きい値が釣り合いの上で大きく働くので、中央値よりも大きなconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
値になる

disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONANFUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE



平均値
 DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY
EXPRESS OR
WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITEDTO, THE IMPLIED IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
大きい値が多いデータの場合、中央値と平均値の関係はどうなると考えられるか。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
このように、代表値はそれぞれ特性があるため、どれがよいかは一概には言えない。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
balance(x,ベクトルオブジェクト
x IFのデータを用いて、
OUT OFxlim=c(m,n))†
THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVENADVISED
OF THE POSSIBILITYOF SUCHDAMAGE.
天秤状に図示する。
xlim=c(m,n)
を同時に与えると、横幅の最小値を

中央値

問2

m、最大値を n として描く。

2004/4/5※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準の R にはない。

—NOTE—

25

1.9

データの散らばりと四分位数

PDF Version

データを 1 つの値で代表させることは、データの集中している部分の情報を与えることになるが、全体的な様子はわからない。そのため、全体的な様子—データの散らばり—を与えるものを用意すると便利であろう。

1.9.1

COMPUTEROPERATION

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
もう一度、s.point1 と s.point2 のヒストグラムをながめてみよう。このとき、
The Department of Mathematics
次のことに注目して、比較した結果を以下の表に書き込んでみよ。

データの散らばりとは

 > par(mfrow=c(2,1))
Redistributionxlim=c(0,100))and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms> hist(s.point1,(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without> hist(s.point2, xlim=c(0,100))

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
s.point1
1. Redistributions of sourcecode (LaTeX source) must retains.point2
the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
山の頂上の位置
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
山の存在する幅
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
山の形
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
ヒストグラムを眺めるとわかるが、一つの山ではあるが、その形は異なる。この違SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
いは「データの散らばりかた」であり、そのような状態を表現する値があれば、そIMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THEの様子を知ることができる。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
散らばり具合を示すいちばん簡単な方法は、データの最大値と最小値（およびそA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIORの差）を使うことである。最小値・最大値はそれぞれ関数
min(),HIGH
max() で求める
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORことができる。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
COMPUTER> min(s.point1)
OPERATION CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)> max(s.point1)
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
しかし、これは異常値に影響されやすい。異常値はデータの端にあることが多い。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
そのような場合にも対応できる方法はないだろうか。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

26

データ解析ワークブック（2003 年度版）

累積度数グラフと四分位数
60

1.9.2

データの存在の状態を図示する方法として、右の図の50

PDF Version

ようなグラフがある。この図は横軸がデータの値、縦軸40がデータの相対的な位置を表している。一番上が最後のy

たときにどのあたりにあるかを表す。このような図を累30データを表し、縦方向の値が、データを小さい順に並べ
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
20

Fujisawa Senior and Junior High School
The Departmentof Mathematics
この図は cumcurve()という関数で描くことができる。
10

積度数グラフという。

 > cumcurve(s.point1)

0

COMPUTEROPERATION

45

問1

問2

50

55

60

65

70

75

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ formsx
特徴的な値に点線を加えておいたが、この図の点線は、左から順に、データを小(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
1 provided that the following conditions
1
modification, are permittedの値、真ん中の値、上からareの値を示している。
さい順に並べたときの下から
44met:
真ん中の値は中央値であり、残り 2 つは順に第 1（下側）四分位数、第 3（上側）1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
四分位数」とは何だろうか？）。なお、実線は平均値である。
四分位数という（「第 2this
copyright notice,list of conditions and the following
disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
第 1 四分位数と第3 四分位数の間には、データ全体に対してどのくらいの割合の2. Redistributions
in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
データが含まれているか？
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
この累積度数グラフにおいて、点を結んだ線分の傾きの大・小は、何を表すかを考
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
えてみよ。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
傾きが大きいと、それだけ四分位数の間の幅が狭くなる。つまり、それだけデータ
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFが集中しているということになる。逆に、傾きが小さいと、それだけ四分位数の間
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)の幅が広くなるから、その分集中する度合いは緩やかになる。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
min(x) max(x)ベクトルオブジェクト x の最小値・最大値を求める。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
cumcurve(x,ベクトルオブジェクト
x IFの累積度数グラフを
OUT OF xlim=c(m,n))†
THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVENADVISED
OF
THE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
描く。xlim=c(m,n) を同時に与えると、最小が m、最大が n となるよ

うに横軸を定める。

2004/4/5※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準の R にはない。

—NOTE—

27

1.10

箱ひげ図とデータの散らばり方

PDF Version

累積度数グラフと四分位数の値から、データの様子をある程度知ることができた。
すると、もう少し簡単な図でデータの様子を表現することはできないだろうか。

1.10.1

箱ひげ図

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
四分位数・中央値の間の幅が小さいということは、データが集中している。また、
Fujisawa Senior and Junior High School
四分位数・中央値の間の幅が大きいいうことは、それだけデータが広がって存在し
The Department of Mathematicsているということになる。
ということは、四分位数の位置だけを図示することにより、ある程度の判断ができ
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
るのではないだろうか。その位置だけを示した図を描けば、データの様子がわかる(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

ことになる。そのための図式として箱ひげ図（
box-and-whisker
modification, are permitted provided that thefollowing conditionsplotsare ）がある。
COMPUTEROPERATIONmet:
関数 boxplot() によって描くことができる。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above > boxplot(s.point1)
copyright notice, this list of conditions horizontal=TRUE
and the following disclaimer
as the
このままでは縦置きだが、次のようにという引数を与えればfirst lines of this file unmodified.
TRUE の意味は後述）
ylim
横置きにできる（
2. Redistributions
in compiled 。また、データの幅を示したいときは、
form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduceという引数をつければよい。
the above copyrightnotice, this list of
conditions and the following> boxplot(s.point1,
ylim=c(40,80),
horizontal=TRUE)
disclaimer
inthedocumentation
and/orothermaterials provided with the
ここで描かれる図は、次のような構造をしている。

distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONANFUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIES 中央値
OF MERCHANTABILITY
AND FITNESS FOR
最小値（外れ値除く）
最大値（外れ値除く）
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
第GIJUKU
1 （下側）四分位数
第 3 （上側）四分位数
KEIO
SHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIOR HIGH
外れ値（もしあれば）
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS 外れ値（もしあれば）
BE LIABLE FOR
ANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL,
EXEMPLARY,
OR
累積度数グラフ・箱ひげ図・ヒストグラムを並べて描いてみよう。これらの間の関CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,係を、ながめてもらいたい。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFCOMPUTER> par(mfrow=c(3,1))
OPERATION 
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERxlim=c(40,80))
CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,> hist(s.point1,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
> boxplot(s.point1, ylim=c(40,80), horizontal=TRUE)(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY> cumcurve(s.point1,
xlim=c(40,80))
OUT OF THE USE OF
THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
このように並べてみると、累積度数グラフの中央値・四分位数の値がそのまま箱OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

ひげ図の箱に対応していること、そして、箱の大きさとデータの集中のしかた、そ
2004/4/5

してそれがヒストグラムに対応していることがわかる。

—NOTE—

28

データ解析ワークブック（2003 年度版）

s.point2 で、同じような図を描いてみよ。表示範囲として、c(0,80) を与えるとよい。xlim と ylim の違い

Histgram of s.point1

PDF Version

10に気をつけること。
 >>Frequency

COMPUTEROPERATION

15

20

問1

5

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
さて、s.point1 と s.point2 の間には、データの散The Department of Mathematics
らばり方の違いがあるが、それを比較するにはどうすれ
0

>

40

50

60

70

80

70

80

s.point1ばよいだろうか。単純に累積度数グラフを並べても違いはわかる。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
 > par(mfrow=c(2,1))(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted
provided that the following conditions are> cumcurve(s.point1,
xlim=c(0,80))
met:> cumcurve(s.point2,
1. Redistributions ofxlim=c(0,80))
source code (LaTeX source) must retain the above
しかし、これを見れば、散らばり方は四分位数の値でcopyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
ある程度見当がつくので、箱ひげ図だけを並べれば比較
40

50

60

60

2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
箱ひげ図で比較する場合には、関数の引and the following
the above copyright notice,boxplot()
this list of conditions
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
数に、並べたいオブジェクトを書けばよい。引数を複数
distribution.
与えると、それに応じて箱ひげ図を並べてくれる。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU> par(mfrow=c(1,1))
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OFs.point2)
MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR> boxplot(s.point1,
IMPLIED WARRANTIES,BUT NOT LIMITED TO,
前回の例にならって、
s.point1INCLUDING,
について、そのままの場合と、100THE
点と 0 点の生
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
徒がいた場合の状態も観察してみよ。四分位数が異常な値に強いということが、こA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLの図でも観察できる。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
> boxplot(s.point1,c(s.point1,OF100,0))SCHOOL, THE DEPARTMENT
MATHEMATICS
BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
boxplot(...,
ylim=c(m,n))
引数として与えたベクトルオブジェクトの箱
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES;LOSS OF を同時
ylim=c(m,n)
ひげ図を描く。複数並べれば、その分だけ描く。
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)に与えると、最小が m、最大が n となるように軸を定める。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準のにはない。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING INRANYWAY
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
y

10

20

30

40

50

ができるということがわかるだろう。

0

COMPUTEROPERATION

40

50

60

70

80

x

2004/4/5—NOTE—

29

1.11

分散

PDF Version

四分位数は、それなりに散らばりの様子を示してくれるが、すべてのデータを用いて計算した値ではないため、まったく違う様子を持つデータで同じ値を示してしまうことがある。そのため、「すべてのデータの値を用いた散らばりを表す値」を定Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
1.11.1 四分位数の欠点
The Department of Mathematics
s.point3 というオブジェクトの平均・中央値・四分義することも重要である。

15
10
5

位数は、s.point1 とまったく等しい。箱ひげ図を描い

Frequency

20

Histogram of s.point1

0

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ formsても全く同じものが得られる。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without> boxplot(s.point1,
s.point3)
modification, are permitted provided that the following conditionsHistogram
are of s.point3
ところが、ヒストグラムを描くと全く様相が異なる。
met:> par(mfrow=c(2,1))
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
45

50

55

60

65

70

75

60

65

70

75

65

70

75

20

Frequency

40

0

5

10

> hist(s.point1)
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
> hist(s.point3)
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
cumcurve() 関数を用いればその理由がわかる。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce> cumcurve(s.point1)
the above copyright notice, this list of conditions and the following
45

50

55

50

40

y

30

> cumcurve(s.point3)
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
散らばりかたは全然違うが、四分位点の位置がたまたま
10

Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU一致していたので、それが検出できなかったのである。
0

SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL,
THE
45
50
55
60

一部の値だけで散らばりの様子を示したため起こったこ
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
x

50

IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THEとである。四分位数は、ちょうど平均に対する中央値の
y

0

10

30

IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLてのデータの情報を用い計算したものもあるほうがよい。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR455055
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY,
OR60 65 70
x
分散 CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
データ全体の値を使って散らばりの具合を示すために、
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,· · · xi − x̄
データのそれぞれの「平均からの距離」を考えることに
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, 偏差
OR TORTx4 − x̄(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANYx2WAY− x̄する。各データと平均との距離（正負を考える）を、そOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
x3 − x̄のデータの偏差（deviation）という。そして、それら
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. x1 − x̄

ようなものであり、散らばりの具合を平均のようにすべ

1.11.2の和を散らばり具合を示すものにできないかと考えるの
2004/4/5
はごく自然である。しかし、N 個の各データを
xi 、平



x1



x2 x̄

30



x3 x4

均を x̄ とすると、偏差は xi − x̄ であるが、この和を求めても意味がない。
—NOTE—

75

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問1

この理由を、(x1 − x̄) + · · · + (xN − x̄) を求めることにより示せ。

PDF Version
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Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics

符号を打ち消せばよいわけなので、偏差の絶対値の和でもよいのだが、絶対値は数学的な扱いがやっかいなので、絶対値のかわりに 2 乗した問2Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
N PostScript, RTF and so2 forth) with or without(SGML, HTML,
1 PDF,(x1 − x̄) + · · · + (xN − x̄)2s2 = are permitted(xi −providedx̄)2 = that the following conditions are
modification,
N − 1 i=1
N −1
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above*1を用いることが多い。これを、（標本）分散（（samplevarianceという。
copyright notice, this list of conditions and thefollowing）disclaimer
as）thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions
in compiled form (transformed
分散··· 小
分散 · · ·to
大other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.








Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED
BY KEIO GIJUKU
x1 x2
x3 x4
x1 x2
x3 x4
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
なぜ和を求めたあとで
N に関係する値（実際にはN LIMITED− 1）で割っているか、理由
IMPLIED WARRANTIES,INCLUDING, BUT NOTTO, THEIMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITYAND
FITNESS
FORを考えよ。実例「1, 3, 5」と「2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 4」で考えてみるとよい。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
また、2 乗したままだと単位がかわってしまう。たとえば、元のデータの単位がcm
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHERIN
CONTRACT,STRICT
LIABILITY,ORTORTであったとき、分散の計算の中に長さを 2 乗する作業が含まれているため、このと(INCLUDING NEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
2
2
cmUSE
である。単位をデータのものとそろえるため、分散きの分散の単位は
OUT OF THE
OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED s の平OF THE POSSIBILITY OF SUCHDAMAGE.
（sample） standard deviation）
方根 s も用いる。これを、（標本）標準偏差（という。

2004/4/5*1 N − 1 のかわりに N で割るものも存在します。これを母分散といいますが、標本分散と母分散の違いは難しいので、ここでは分散は標本分散に統一することにします。

—NOTE—

31

1.12

分散の計算方法とベクトルの計算

PDF Version

前節の結果を用いて、分散を計算してみる。その際、ベクトルに対する演算が便利なことがあるため、その方法についてもふれることにしよう。

1.12.1ベクトルの計算
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

Fujisawa Senior
and Junior 2High School 2N1 (x1 − x̄) + · · · + (xN − x̄)2s =The Department(xi − x̄)2 = of Mathematics
N − 1 i=1
N −1が標本分散の計算方法である。この計算を行うためには、
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
2. 各データから平均を引く
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
3. その結果のそれぞれを二乗する。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
4. その結果の和を求める。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
5. その和を「データの個数
− 1of
」で割る
first lines
this file unmodified.
2. Redistributions s.point1
in compiled の平均は
form (transformed
to other DTDs,
mean(s.point1)
だし、和を求めるという作業が必要となる。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduceのは sum()関数を用いればよい。
the関数を用い、データの個数はabove copyright notice, this list length()of conditions
and the following
disclaimer in the documentation and/or
other materials provided with the残りは「各データから平均を引く」「それぞれの値を二乗する」という作業であdistribution.
る。R においては、ベクトルのそれぞれの要素から、ある値を引くという作業に対Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU応する。そのようなことをするためには、単純に
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
COMPUTER>
A1 ←s.point1 - OFmean(s.point1)
OPERATION
DEPARTMENT
MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORとすればよい。ベクトルと通常の数との演算は、ベクトルの各要素とその数との演
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL算になる。通常のプログラミング言語では、繰り返しをする機能を用いて各要素のKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
計算が必要となるが、R ではその必要はない。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
問 1 次の作業を行う
R の式を完成させよ。
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF
SUBSTITUTEGOODS OR SERVICES; LOSS OF
A2 とする。
（1） 上の A1 を 2 乗したものをUSE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)>HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,> A2
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISED（2） その和を求め、ベクトルの長さから1 を引いたもので割る。これが分散となる。
OF
THE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
>

1. データの平均を求める> VA

2004/4/5—NOTE—

32

データ解析ワークブック（2003 年度版）

1.12.2式の組み立てと分散を求める関数
以上の操作は、計算のそれぞれの部分を分けて計算しているが、ほとんどの値はPDF Version

分散が求まった後では不要になる。「途中経過」を残さないような式を作ってみよう。A1 と A2 はCopyright 1998–2003
Keio Gijuku Shonan
A1 ← s.point1- mean(s.point1)
Fujisawa Senior and Junior High SchoolA2 ← A1 ^2The Department of Mathematicsというように作ったものだから、「A2 の部分に A1 の作成した式をそのまま書けば
COMPUTEROPERATION

よい。つまり、次のようになる。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
 > A2 ←(SGML,HTML,
PostScript, RTF and so forth) with or without(s.point1- PDF,
mean(s.point1))^2
modification, are permitted provided that the following conditions are

問2

met: と関数 mean()、length() のみを使っ
VA を求める式を同じように考え、s.point1
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
た式で答えよ。

copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theof this file unmodified.
A1 ← s.point1 first- linesmean(s.point1)

2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
A2 ← the( above copyright notice, this list of conditions and the following)^2
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU)VA ← SHONAN
sum( FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR/(length()-1)
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITYAND
FITNESSFORCOMPUTER>OPERATION 
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
実は、分散を求める関数
var() があるので、通常はこちらを利用すること。
ANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR sqrt()
CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,関数と組み合わせれば、標準偏差を求めることもできる。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, を用いて、DATA, OR PROFITS;
BUSINESS INTERRUPTION)
問 3 var()、sqrt()
s.point1ORの分散と、標準偏差をそれぞれ求めよ。
HOWEVERCAUSED
AND
ON
ANY
THEORY OF LIABILITY,COMPUTER>OPERATION WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED>OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5

var(x)

ベクトルオブジェクト x の標本分散を求める。

—NOTE—

33

1.13

データの分布PDF Version

いままでの知識を用いて、データのおおまかな形をつかむことをしてみよう。

1.13.1

データの分布の形をつかむ

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
データがどのように存在しているか、ということを表す言葉として「分布」という言葉がある。
「このデータの分布は広い」などというように、状況を表す言葉とと
Fujisawa
Senior and Junior High School
もに用いる。分布の状態を図示したもので、いちばんわかりやすいのはヒストグラ

The Department of Mathematics

ムである。分布の状態を、このヒストグラムの形で表現することも多い。
そこで、データの分布を、いままでの知識で調べることにしよう。特に、箱ひげ
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
図・ヒストグラムと、平均・標準偏差の関係を見ることにする。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

データを調べるときに、平均値や標準偏差といった代表値とともに、ヒストグラ
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
ムや箱ひげ図などで、データ全体を眺め、その分布の概略をつかむことが大切であ
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theで見当をつけるときは、次のようなことに注目するとよいことがある。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,• 山の形について
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
1 つのものについてである。このような形
以下に述べることは、すべて山がdisclaimer in the documentation and/or
other materials provided with the
distribution.
を単峰形という。山が 2 つ以上あるものについては適用できないことが多い。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE• すその広さについて
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
分散の大・小や、四分位数の幅で判断する。分散が大きいほど、四分位数の幅
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORが大きいほどすそ野が広い。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
• 山の対称性について
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
左右対称かどうかは、箱ひげ図である程度判断できる。中央値からの上下のANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
幅に、著しく差がある場合、非対称なことが多い。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)• 山の頂上と平均について
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
原則として、平均値の近くに山がある。左右非対称だと位置が多少ずれる。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
次に示した平均と標準偏差、および箱ひげ図は、
s.point1、s.point2、s.point4、
OF THE POSSIBILITY OF SUCHDAMAGE.

る。確実なことを知るためには、ヒストグラム等を描くとよいのだが、代表値だけ

問1

s.point5 の 4 つのデータに対するものである。対応をつけよ。
2004/4/5
なお、ヒストグラムは次のようにすれば描くことができる。
COMPUTER> par(mfrow=c(2,2))
OPERATION —NOTE—

34

データ解析ワークブック（2003 年度版）

> hist(s.point1, xlim=c(0,100))> hist(s.point2, xlim=c(0,100))

PDF Version> hist(s.point4, xlim=c(0,100))> hist(s.point5, xlim=c(0,100))80

15Frequency

15

Frequency

20

20

Copyright 1998–2003
Keio Gijuku(A)(B)(C) Shonan(D)
平均46.0333
39.5667
59.51667
58.1
Fujisawa Senior and Junior High School
標準偏差 14.230508 14.863636 3.191576 7.055951
The Department of Mathematics
10

60

0

0

5

5

10

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
以下の図のヒストグラムと箱ひげ図の対応をつけよ。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
20

40

60

80

100

0

20

40

60

80

100

80

100

60

80

100

60

80

100

s.point2

15

20

10
5

Frequency

10 15 20 25

0

0

0

5

Frequency

s.point1

40

0

0

20

40

60

80

100

0

20

60

1

2

3

4

1

2

3

4

s.point5

0

60

5

80

10 15 20 25

Frequency

105Frequency

0

20

40

60

80

100

0

20

40

20

10
5

Frequency

15

10 15 20 25

B

0

5

Frequency

A

40

0

0

問2

40

15

s.point4

0

20

40

60

C

80

100

0

20

40

D

2004/4/5—NOTE—

35

1.14

論理数

PDF Version

計算機で扱えるものの中で、一番簡単なものは「2 つの値のみを持つ値」である。
本来電気で動いている電子計算機であり、その状態は本質的には電気の ON・OFF
だけである。したがって、そのような状態を表すデータというのも、本質的である。

1.14.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
height は 120 人の身長のデータ（単位 cm）なのだが、このデータには男子と女
The Department of Mathematics
子のものが混ざっている。男子と女子で、身長の分布が異なることは明らかだから、論理数とはこのデータを男女のものに分離したい。実際、ヒストグラムを描けば、あまりよい
COMPUTEROPERATION

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
分布をしていないことがわかる。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
 > par(mfrow=c(1,1))
modification, are permitted provided that the following conditions are> hist(height)
met:height.maleというベクトルには、
1. Redistributionsof source codeheight(LaTeX のベクトルの各要素（身長）が男子のsource) must retain the above
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthe following disclaimer as the
ものかそうでないか（ここでは女子である）が格納されている。この中身は次のよ
first lines of this file unmodified.

COMPUTEROPERATION

うになっている。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
 > height.male
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
aboveFALSE
copyright
notice, TRUE
this listof conditions[1] TRUEtheTRUE
FALSE
FALSE
FALSE and· · · the following
disclaimer
in theは、数値とは異なるもので、
documentation and/or other materials
provided with the
この TRUEと FALSE「はい・いいえ」や「ほんと・うdistribution.
そ」「有・無」というような 2 つの状態を示す場合に使われる。これを論理数といImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUう。このデータでは、男子である場合に、女子である場合に
FALSE である。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR ANDTRUESENIOR
HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS”
AND
EXPRESSORTRUE
は TANY、FALSEは F というように
なお、入力するときは、便宜をはかるため、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE

入力できる。ただし、そのように入力しても、勝手に長い文字列に置き換えられる。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
1.14.2 論理数の演算
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUTTRUENOTがLIMITED
TO,が 0 となっ
論理数は通常の数ではないが、計算をするときには
1、FALSEPROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFている。したがって、
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)COMPUTER> x ← c(TRUE,
FALSE,TRUE,
TRUE,FALSE)OPERATIONHOWEVERCAUSEDAND
ON ANY
THEORY OF LIABILITY,> sum(x) WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDとすれば、これは次と同じである。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

> y ← c(1,0,1,1,0)> sum(y)2004/4/5—NOTE—

36

データ解析ワークブック（2003 年度版）

これを見ればわかるとおり、x の TRUE の数と y の 1 の数は一致する。1 を n 個加えれば n になるから、論理数ベクトルの中の TRUE の数を数えたければ、関数 sum()を用いればよいことがわかる。

PDF Version

問1
COMPUTEROPERATION

このデータに含まれる男子のデータの数を数えよ。
 >Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
女子のデータの数を数えるのは、総数がわかれば計算はできるが、それ以外の方
Departmentof Mathematicsと FALSEをひっくりかえす」という作業ができればよい。このと法として、「TRUE The

きには ! を使う。! は + や - などの演算をする記号の 1 つであり、論理数または
COMPUTEROPERATION

Redistribution and use in source (LaTeX
and ‘compiled’ forms
論理数ベクトルの頭につけると、そのT と F source)
をひっくりかえす。
(SGML,HTML,
PDF,
PostScript,
RTF
and
so
forth)
with or without
 > x ← c(TRUE, FALSE, TRUE, TRUE, FALSE)

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the> sum(!height.male)first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
論理数は、比較などの作業をすると発生する。通常の数だけでなく、ベクトルに
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and thefollowing
TRUE、正しくなければ対しても比較はでき、各要素との比較になる。正しければdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
FALSE である。
distribution.
COMPUTER> 3 < Important:
4
OPERATION 
THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR> s.point1 > 65
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
比較のときに用いる記号は次の通り。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIOFUJISAWA JUNIOR
HIGH
a < bGIJUKU
a はSHONANb より小さいa > b ANDa SENIOR
は b より大きい
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORa <=b a INDIRECT,は b 以下 INCIDENTAL, aSPECIAL,>= b aEXEMPLARY,
は b 以上 OR
ANY
DIRECT,CONSEQUENTIAL(INCLUDING,
TO,
a != b a は bDAMAGESと等しくないa ==BUT
b NOT
a はLIMITED
b と等しいPROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
Note: USE,
3 とDATA,-4 の比較をするときは、
3 <-4 と必ず
 の部分に空白を入れること。
OR PROFITS; OR BUSINESSINTERRUPTION)
3<-4 ではうまくいかない（なぜか？）。
HOWEVERCAUSED AND ON ANY THEORYOF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTNEGLIGENCEOR OTHERWISE)
IN ANY WAY
問 2 height(INCLUDINGの中で、「身長
175 cm 以上の者」「身長 160ARISING
cm 未満の者」の人数を数える
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDにはどうしたらよいか。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTER> !x

OPERATION >>2004/4/5>—NOTE—37

1.15

ベクトルの要素抽出（その 1）

PDF Version

あるベクトルから必要な要素を取り出すというのは、データを処理する上では基本的なことである。ここでは、まず基本的な操作について触れよう。

1.15.1ベクトルの要素抽出の方法
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
前節の height
から、男子だけのデータ、女子だけのデータを取り出してみれば
Fujisawa
Senior and Junior High School
きれいな形のヒストグラムが得られるかもしれない。このような場合、条件を満た

The Department of Mathematics

すベクトルの要素を取り出す（抽出する）ことが必要となる。
◎論理数を用いる方法
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

ベクトルの要素抽出の
1 つめの方法は、論理数を用いるものである。
modification, are permitted
provided that the following conditions are
COMPUTER> A ← c(1, 3, 5, 7)
OPERATION 
met:
1m 3m 57m

Redistributions
source code
(LaTeX source) must retain> x ← 1.c(TRUE,
TRUE,ofFALSE,
TRUE)
T theTabove F? T
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the ×> A[x]?
?
?
first lines of this file unmodified.
1
3
7
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,とした場合、[] の中の論理数ベクトルは、・2・formats)
4 番目がmust
TRUEreproduceである。このよう
converted
to PDF, PostScript, RTF and1other
the
above
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowingにした場合、A の TRUE に対応する要素のみが取り出される。これから、男子のデー
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
タのみを height.M に付値するには次のようにする。
distribution.
> height.M← height[height.male]
Important:
THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
問 1 女子のデータを
height.Fに付値せよ。 “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
DEPARTMENT
OF MATHEMATICSCOMPUTERIMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE>
OPERATION IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
問 2 height のデータの中から、身長cm 以上の者のデータを取り出し、
KEIO GIJUKU SHONAN180
FUJISAWAJUNIOR AND SENIOR HIGHheight.tall
SCHOOL,THE
DEPARTMENTOF
MATHEMATICS
BE LIABLE FORに付値せよ。
COMPUTERANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL,
EXEMPLARY,OR>OPERATION CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF◎数値で場所を指定する方法
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
12
34
つめの方法は、[] の中に数ベクトルの要素抽出のWHETHER IN 2CONTRACT,STRICT
LIABILITY, ORm
TORT
m 7
1
3
5
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
値のベクトルを与えるものである。
H
HH
OUT
OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDCOMPUTER>y←c(3,1)OPERATION
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
3 HHH
j1

> A[y]

2004/4/5—NOTE—

38

51

データ解析ワークブック（2003 年度版）とすると、A の要素のうち 3 番目と 1 番目の順に取り出される。取り出す要素が 1つの場合はベクトルにしなくてよい。これから、height から 6, 3, 11 番目のデー
COMPUTEROPERATION

タを取り出すには、次のようにする。
 > x ← c(6, 3, 11)> height[x]PDF Version

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
または、直接次のように書いてもよい。慣れたら次のように書いた方がよいだろう。
Fujisawa> height[c(6,3, 11)]Senior and Junior High School

The Department of Mathematics
問3

height から次に示す場所の要素を取り出す R の式を答えよ。出力結果は書かなくてよい。Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without（1） 4 番目、
9 番目、番目（この順に）modification,are2 permitted
provided that the following conditions are
COMPUTER>OPERATION 
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright（2） 25 番目 notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
>
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce（3） 最後the above copyright notice, this list of conditions and the following>
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
1.15.2 要素の変更
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL[ ] は要素を取り出すだけでなく、変更することもできる。たとえば、
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHCOMPUTER> x ←SCHOOL,c(1, 2,THE
3, 4,
5)
OPERATION 
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FORとして作ったベクトルの、
2 番目の要素を0 にするには次のようにする。
ANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR> x[2]CONSEQUENTIAL← 0
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,> x PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
問 4 次のようにして作ったベクトル y において、「y の要素のうち 5 以上のものをすべ(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYて 0 にする」方法を考えよ。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDCOMPUTER> y ← c(4, 7, 3,
-1,
8, 9)
OF2,
THE
POSSIBILITYOF SUCH DAMAGE.
OPERATION >

2004/4/5—NOTE—39

1.16

ベクトルの要素抽出（その 2）

PDF Version

ここでは、多少高度な要素抽出の方法について考える。特に、規則的に取り出したりする場合、「数列」を作って取り出すことも必要となる。

1.16.1等差数列を作る演算子
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
1 番目からFujisawa
20 番目という場合、
c(1,2,...,20)とすべて並べていくのはたいへ
Senior andJunior HighSchoolんだろう。R では、公差が 1 あるいは −1（初項と終項の大小関係で自動的に決まThe Department of Mathematicsる）である等差数列を発生する、: という記号が用意されている。「初項:終項」の形で与え、結果はベクトルになる。ベクトルの演算機能をうまく使えば、いろいろ
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
な数列を作ることができる。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

たとえば、初項がの等差数列の項を
10 まで作るときは、次のよう
modification, 3
areで、公差
permitted1 provided
that the following
conditions are
COMPUTEROPERATION

met:
にする。
 > 3:101. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above

copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
問 1 初項が 3、公差 2 の等差数列の項を 25 まで作るときはどうすればよいか。次の出
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
力を見て考えよ。
the above copyright notice, this list of conditions and the following
COMPUTER> 1:12disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
OPERATION [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 distribution.
9 10 11 12
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU>SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
1.16.2 等差数列を用いた要素抽出
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY,[]
ORの中に負の規則的な場所を指定するときは、: をうまくつかうとよい。また、
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
数を指定すると、その要素を除いた要素を返すので、
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR「一部だけ取り除く」というの
SERVICES; LOSS OFもできる。 USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON
ANY THEORYOF LIABILITY,COMPUTERCOMPUTER> 1:5> height[1:5]
OPERATION OPERATION WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISED> -(1:5)> height[-(1:5)]
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

> 5:1

2004/4/5—NOTE—

40> height[5:1]データ解析ワークブック（2003 年度版）

問2

COMPUTEROPERATION

height から次に示す場所の要素を取り出す R の式を答えよ。出力結果は書かなくてよい。

PDF Version（1） 23 番目から 35 番目
 >Copyright
1998–2003 Keio Gijuku Shonan（2） 「13 番目から
21 番目」を除いた残りすべて>
Fujisawa Senior and Junior High School
The
Departmentof Mathematics（3） 「8 番目から
11 番目」と「
19 番目から
31 番目」>
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms（4） 偶数番目の要素をすべて（ヒント：要素の数は全部で120
個）(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) withor without>
modification, are permitted provided that the following conditions are
met:

Redistributionsof source code (LaTeX source) must retain the above（5） 291.番目から33 番目を番号が減っていく順番で
copyright
notice,thislist of conditions and the following disclaimer as the>first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
問 3 height の要素を逆順に並べるにはどうしたらよいか。なるべく一般的に通用する
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
方法を考えよ（実際には、このような操作をする rev() という関数が用意されてdistribution.
いる）。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUCOMPUTER>SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
OPERATION 
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
1.16.3 層別 SCHOOL,
THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
これらの操作で、データの分別をすることができるようになる。そこで、男女別
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,に分けた先のデータで、もう一度ヒストグラムを描いてみよう。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFCOMPUTER
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)> par(mfrow=c(1,2))
OPERATION 
HOWEVER> hist(height.M) CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
> hist(height.F)(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
このように、特性が異なると考えられるものをいくつかのグループに分けること
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
により、それらの特性を正しく反映したものが得られることがある。このような操作を層別という。層別により構造が見えやすくなるため、データを調べるときは数
2004/4/5
値以外のことも注目するとよい。

—NOTE—

41

43

第2章

2 組以上のデータの処理と比較

2.1

標準偏差とデータの範囲

PDF Version

分散・標準偏差は、散らばりの度合の比較に用いているが、その値は具体的に何を指しているのだろうか。データの範囲と標準偏差について考える。

2.1.1

チェビシェフの定理
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
データの分散・標準偏差は、その式を見ればわかるとおり、平均からの散らばりがFujisawa Senior and Junior High School
大きければ大きい値を示す。平均からの散らばりが小さければ小さい値を示す。すThe Department of Mathematics

ると、次のようなことが考えられるだろう。
分散・標準偏差が小さいデータは、平均の近くにデータが集中しているはずだ。な
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
らば、分散・標準偏差が小さければ、平均値は大多数のデータに近い値になるか(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

ら、その意味でデータの代表となっているのではないか。
modification, are permitted provided that the following conditions are
この考察は正しいのだが、具体的にどのくらいの割合のデータの代表になっている
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
かはこれだけではわからない。しかし、標準偏差の値が得られれば、ある程度の評
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,◎チェビシェフの定理
to PDF,sPostScript,
RTF and otherx̄、標準偏差がのデータにおいて、|xi −formats)x̄|  ksmust（k reproduce> 1）の範囲に含平均がconverted
the above copyright notice, this list of conditions
andthefollowing
1
まれるデータの数の全体に対する割合は、
1 − materials
以上である。
disclaimer in the documentation and/or otherprovided with the
k2
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
Ex.
標準偏差が
5 のデータでは、平均の上下
10HIGHの範囲にあるデータの、全体にSHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIORSCHOOL, THE
1
3
DEPARTMENTkOF“AS IS” ANDOR= 0.75 となる。した= 2MATHEMATICSの場合にあたるから、
1 − ANY= EXPRESS
対する割合は、上で2
4 TO, THEIMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT 2LIMITED
0.75、つまり 75 % のデータが平均の上下 10 の範囲にある。
がって、少なくとも
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
同じ条件で、平均の上下
15 の範囲にあるデータの、全体に対する割合は、
k=3
A PARTICULAR PURPOSE
ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
1
8 FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHKEIO GIJUKUの場合であるから
1 − SHONAN
=
となる。
32
9
SCHOOL, THE DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
以下の図では、
1
目盛りは標準偏差の大きさである。この定理の意味を、以下のANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
NOT
LIMITED TO, 75 % 以
k=2 の範囲（全体の図でイメージとしてつかんでほしい。以下、だ円は
8
PROCUREMENTOF
SUBSTITUTEGOODSORSERVICES;LOSS OF
上のデータがある範囲）、長方形は k = 3 の範囲（全体の 以上のデータがある範USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
9囲）を表すことにする。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
8IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
全体の WHETHER
以上が存在
全体の 75 % 以上が存在
9(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY





   
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED平均
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

価ができる。その 1 例がチェビシェフ（Chebyshev）の定理である。

2004/4/5

チェビシェフの定理は、どんなデータにも当てはまる。そのため、精度としては非常に悪い。たいていは、もう少し多くのデータが平均近くにあることが多い。
—NOTE—

44

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.1.2

管理図
このような状況をグラフィックスを使って視覚的に確認してみよう。そのために

PDF Version

は、横軸に「データの番号」、縦軸に「データの値」を持つような図を描くとよい。
これを管理図という。管理図は、特に生産現場で品質の管理状況を見るときによく
COMPUTEROPERATION

使われる。管理図を描く関数として、
ctlchart()を用意しておいた。
Copyright 1998–2003
Keio Gijuku
Shonan > ctlchart(s.point1)
Fujisawa Senior and Junior High School
これで、縦方向を点数とした点をうってくれる。実線は平均、破線は平均から標準偏差の 1・2・3 倍の値だけ離れた位置を指す。
The Department of Mathematics

s.point1 と s.point2 を並べてみよう。ylim= を指定すると、縦軸の表示すべき範囲を指定することができる。ここでは ylim=c(0,100) としてみる。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
 > par(mfrow=c(1,2))(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without> ctlchart(s.point1,
ylim=c(0,100))
modification, are permitted
provided that the following conditions aremet:> ctlchart(s.point2, ylim=c(0,100))

100
80
60

data

40
20
0

20

40

data

60

80

100

1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the aboves.point1
s.point2
copyright notice,
this list of conditions and the following
disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDFITNESSFOR
0
10
20 WARRANTIES30405060 OF MERCHANTABILITY
0102030 AND
40
50
60
A PARTICULARPURPOSE ARE DISCLAIMED. Index
IN NO EVENT SHALL
Index
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
これら SCHOOL,
2 つの状態を、前ページの図で表すと、次のようになる。管理図は、この図
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, ORを縦にしたものだと思えばよい。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
s.point1
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERCAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
s.point2
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
ctlchart(x,ベクトルオブジェクトの管理図を描く。引
OUT OF ylim=c(m,n))†
THE USE OF THIS DOCUMENTATION,
EVENx IFADVISED
ylim=c(m,n)
を同時に与えると、最小が数としてOFTHE POSSIBILITYOF SUCH DAMAGE. m、最大が n となる
0

COMPUTEROPERATION

ように軸を定める。

2004/4/5※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準の R にはない。

—NOTE—

45

2.2

データの標準化

PDF Version

平均と分散が異なるデータどうしをそのまま比較することはできない。散らばり具合が異なるため、平均との差の価値が異なるからである。前節の管理図の、点線間の幅をそろえるようなことが必要である。

2.2.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
それぞれのテストにおいて、「平均点より 15 点高い点数を取った」ことにしよう。
The
Departmentof Mathematics
とりあえず、平均点を超えたことを喜ぶかもしれないが、一体この「15 点」の価値

データを比較する際の問題

はどのくらいだろうか。
Redistribution
and usein source (LaTeX source) and ‘compiled’ formss.point1と s.point2のそれぞれの場合において、平均点より15 点高い場所(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

を、前ページの図に黒い点で記入すると、だいたい次のあたりになる。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer as thes.point2
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
黒点は、
s.point1
においてはだ円の外側に。一方、
s.point2においてはだ円のconverted
to PDF,
PostScript, RTF and other formats)must reproduce
the
above
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing内側にある。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
だ円の外側にあるデータは、全体の何% 以下か？ また、そのような状態のとき
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUには、最悪でも上から何% の位置にいることがわかるか？
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
どちらのほうが評価が高いといえるか？
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
この違いは「標準偏差の大きさ」によるところが大きい。だ円の幅は標準偏差でOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

s.point1

問1

問2

決まるわけで、「標準偏差が大きい」ほどちらばりが大きいのだから、1 点の価値は薄くなってしまうのである。

2004/4/5—NOTE—

46

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.2.2

データの標準化
このような状況だと、単純なデータの比較というのはできない。たとえば、成績

PDF Version

評価を行いたいとき、テストは科目の違いやそのテストの難易度、さらには受験者によって結果が毎回異なるわけで、比較をする際には工夫が必要なのである。
問題は、この図のだ円や長方形の大きさが異なることなのだから、これらを比較
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
するときには、この大きさをそろえてしまえばよい。つまり、点数の関係をくずさFujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics
は、次のようなことを行えばよい。

ずに「平均」や「標準偏差」をそろえてしまえばよいわけである。イメージとしてs.point1

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth)withor without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain
the aboves.point2
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
ここでは、データの2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
• 平均を
0 に、
converted
to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following• 標準偏差をに documentation and/or other materials provided with thedisclaimer in1thedistribution.
することを考えてみよう。そのためには、次のような変換を施せばよい（
x̄ はデー
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
タの平均、s はデータの標本標準偏差）。このような作業をデータの標準化という。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICSx“ASi − x̄IS” AND ANY EXPRESS OR.
zi =IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING,
sBUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
この式は1 次式の変換であるから、平均（ある種の中心）を0 にした後にA PARTICULARPURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENTSHALL x 軸方向KEIO
GIJUKUSHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIOR
HIGHに伸縮させて基準をそろえている。ここでは、数学的な証明はせずに、図による直SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
感的な説明にとどめる。この感覚を身につけてもらいたい。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,x̄
x̄ − 2sx̄ − sx̄ + s+ 2s
PROCUREMENT OF SUBSTITUTEGOODS ORSERVICES;
LOSSx̄OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
平均を引く（平行移動）
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
OR TORT

s
−2s
−s
O
(INCLUDINGNEGLIGENCEOR OTHERWISE) 2sARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS標本標準偏差で割る（原点を中心に拡大・縮小）
DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
−2

−1

O

1



2004/4/5

2—NOTE—

47

2.3

偏差値

PDF Version

標準化すれば比較ができるとはいっても、小数点以下の値までをしっかり見なけ
ればならないため、実用上問題がある。そこで、テストの点に似せて表現したものが偏差値である。

2.3.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
データの標準化をすれば、理論的にはデータの比較は可能であるが、実用上は問The Department of Mathematics
題があることが多い。テストの結果が −1 だとか、点数の違いが小数点以下で現れ偏差値

ると、何かと使いにくいことが多い。
Redistribution
and use in10
source(LaTeXand ‘compiled’
forms
倍し、
さらにsource)
50 を加える。
つまり、
Ti = zi ×10+50
そこで、標準化したデータを(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutという Tmodification,i について注目する。
are permitted provided that the following conditions aremet:
10 となるデータとなる。この操作
この作業により、平均は 50 に、標準偏差は1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
1
2
−2
−1
O
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript,
and other formats) must reproduce
10 RTFをかける（原点を中心に拡大）
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer
in thedocumentation
and/orother materials
provided with the
10
20
−20
−10
O
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED
BY KEIO GIJUKU
50 を加える（平行移動）
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS“AS IS” ANDANY EXPRESS
OR
30
40
50
60
70
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
このように変換した値を偏差値と呼ぶ。世間で呼ばれる偏差値も、このようにし
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLて計算した値である。この値が試験の際に使われる理由は、いままでの説明でわかKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORるだろう。本質的に偏差値というのはデータを標準化したもので、毎回異なる状況
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, ORで行われる試験を比較するには便利だからである。世間で問題視されているのは、
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
その値の使われ方（この値で受験校を輪切りにして決める、など）であり、計算方
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
法とはまた違う次元の話である。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT,STRICT sLIABILITY,
OR TORT
先の式を組み合わせて、平均x̄、標本標準偏差のテストで、自分の点数がxi だっ(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYたときの、自分の偏差値を求める式を作れ。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

も、図で説明すると次のようになる。

問1

2004/4/5—NOTE—

48

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.3.2

標準化の作業・偏差値の求め方

s.point1 を標準化してみよう。まず、s.point1.c に、s.point1 の各データから平均を引いたものを付値する。
COMPUTER> s.point1.c ← s.point1 - mean(s.point1)
OPERATION 
s.point1.sd に、s.spoint の標準偏差を付値する。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan> s.point1.sd ← sqrt(var(s.point1))
s.point1.zに、s.point1.c
Fujisawa
Seniorの各データを、もとのデータの標準偏差で割った値
and Junior High School

PDF Versionを付値する。
Departmentof Mathematics> s.point1.z ←The
s.point1.c/ s.point1.sd
問2以上の作業を 1 行で書いてみよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
問 3 s.point1.t に、それぞれ s.point1 に対応する偏差値を付値せよ。
s.point1.z を
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
使えばよい。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
COMPUTER>OPERATION 
first lines of this file unmodified.
>
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
copyright notice, this listof conditions and the following s.point1 に
問 4 s.point1theの aboven 番目の要素は出席番号n の生徒の点数であるとする。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with theおける出席番号 1 の生徒の偏差値を求めよ。
distribution.
COMPUTER>OPERATION 
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE

DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITED
TO,
THE◎標準偏差と異常な値について
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
先にも述べたが、チェビシェフの定理は、データの数の評価としては非常に甘い。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
実際には、対称な分布を持つデータの場合、次のようなことが言えることが多い
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORのである。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
安定している状況において、平均から標準偏差の3 倍以上離れた値のデータがCONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT
NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
発生することはめったにない。
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
つまり、ctlchart() 関数で描いた図の、平均値から 3 つ離れた点線外にあるデー
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
タは、ほとんど存在しないことが多い。なお、
WHETHER IN CONTRACT, STRICT 「めったにない」を具体的な数値で
LIABILITY, OR TORT(INCLUDINGNEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN2 ANY
WAY
示すとなれば、「1 %未満」であることが多い。標準偏差の倍以上離れた値の
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
割合も「5 % 未満」であり、これも「めったいにない」と考えられることがある。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTEROPERATION >逆に考えれば、平均から標準偏差の 3 倍（または 2 倍）はなれたデータは、異常2004/4/5
な値として捨ててしまうなり、特別な現象として注目したりと、何らかの処置が必要な場合も多いのである。
—NOTE—

49

2.4

文字列・データの属性

PDF Version

ベクトルを扱うとき、ある要素がどのような内容であるかを示すために、「名前」
をつけることができる。そのとき、名前を表すデータは「数値」でも「論理数」でもない。新しいデータの形が必要となる。また、それを扱う式の表現も必要となる。

2.4.1

COMPUTEROPERATION

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
名前などの文字情報を扱うために、S では「文字型」というデータの型が用意さ
The Department of Mathematics
れている。文字列は必ず「"」でくくって与える必要がある。

文字列

文字列もベクトルにすることができる。
 > s.subject
Redistribution
and use in source(LaTeX source)and ‘compiled’ forms← c("kokugo","seibutsu","rekishi")(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without> s.subject

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2.4.2 名札属性
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and オブジェクト
other formats) must reproduce
ベクトルを表示させたとき、各行の左端
データそのものthe above copyright notice, this list of conditions
and the followingに [1] という表示があって、何番目の要
名札属性
69 materials
72
45
disclaimer in the documentation and/or otherprovided with the鈴木, 田中,. . .
素かを示してくれるが、具体的に何を表す
37
distribution. 92 10
23 100 BY
27 KEIO GIJUKUImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED
かわかりにくい。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR ..HIGH SCHOOL,
THE
その他の属性···.
ところで、
s.name には、
30 人分の（架“AS IS” AND
DEPARTMENT
OF MATHEMATICSANY EXPRESS OR
空の）生徒の氏名が用意されている。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTERIMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR>
s.nameOPERATION
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
生徒の氏名を今まで用いてきたデータに付け加えて扱いやすいものにしてみよう。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHERIN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
このためには、「オブジェクトに補助的な情報を加える」という考え方が必要にな(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
attribute）という。ここでは「それぞれのる。R では、このような情報を属性（
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
要素の名前（名札）を付ける」属性（名札属性）を用いる。
2004/4/5—NOTE—

50

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.4.3

名札属性の用い方と R の関数
ベクトルを作ったばかりのとき、名札属性は「空」である。R では「空」の状態
を「NULL」で表現する。

PDF Version

あるオブジェクトの名札属性は、関数 names() で表現できる。s.koku の名札属
COMPUTEROPERATION

で表現できるが、空の状況を確認すると、次のようになる。
性は names(s.koku)
Copyright
1998–2003 Keio Gijuku Shonan
 > names(s.koku)

Fujisawa Senior and Junior High School
NULL
このオブジェクトに名札属性を与える。名札として用いるデータはs.name であThe Department of Mathematics
る。ただし、 s.koku は実習用に用意した読みだし専用のオブジェクトであり、書き換えることができない。一旦 s.koku2 に複写して、s.koku2 に対して作業をする。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms> s.koku2← s.koku(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
ここで、modification,
R の式の構成についてもう少し触れておこう。関数とは、に働きかけをare permitted provided that the following conditionsRaremet:
するものであるが、式中で記述する際には、普通の言葉に置き換えられるように理
1. Redistributions of source code (LaTeX
source) 関数の場合はmust retain the above
解していくことが重要である。たとえば、
names()
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the> names ( s.koku2 )first lines of this file unmodified.
s.koku2 のは？
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
だから、「names(s.koku2)」で「s.koku2
converted to PDF, PostScript,
RTF andの名札属性」を表現するのである。名札
other formats) must reproduceを用いる。
「s.koku2
属性を与える場合にも関数
the above copyright names()
notice, thislist of conditions
and の名札属性に
the following s.name を
disclaimer
inthedocumentation
and/orothermaterials
providedwith the
付値する」と考えるとよい。
distribution.
> names ( s.koku2 ) ←s.nameImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
名札属性 何の？
s.koku2 のに付値せよ 何を？
s.nameを
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE> s.koku2
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR> names(s.koku2)
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR NULLPROFITS;OR BUSINESS INTERRUPTION)
名札属性を消したければ、を名札属性に付値すればよい。
HOWEVERCAUSEDAND
ON> names ( s.koku2 ) ←NULLANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHERIN
CONTRACT,STRICT
LIABILITY, OR TORT
名札属性 何の？
s.koku2 のに付値せよ 何を？
空を
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY> s.koku2
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
名札属性

COMPUTEROPERATION

何の？

2004/4/5
なお、今後のことを考えてもう一度名札属性を付値しておく。
 > names(s.koku2) ← s.name—NOTE—

51

2.5

名札属性と要素の指定

PDF Version

名札属性を用いると、要素指定が「わかりやすく」なる場合がある。

2.5.1

名札属性を用いた要素抽出

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
名札属性がついたベクトルでは、名札を用いて要素指定を行うことができる。
COMPUTEROPERATION

s.koku2 の「aikawa さん」のデータを取り出したければ、
Fujisawa
Senior and Junior High School
 > s.koku2["aikawa"]

The Department of Mathematics「sakai さんとhayashi
Redistribution
andさん」のデータを取り出したければ、次のようにする。
use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms> s.koku2[c("sakai","hayashi")](SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
問 1 次の手順を行う R の式を答えよ。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions
in compiled form (transformed
to other DTDs,（1） s.bio2に s.bio をそのまま付値し、
s.bio2 の名札属性に
s.name を付値する。 converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
COMPUTER>OPERATION 
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the>
distribution.
（2） s.bio2
を用いて「
narita さんと baba
さんの生物の点数」を取り出す。
Important:
THIS DOCUMENTATIONIS PROVIDED
BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE>
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
名札属性がついたベクトルオブジェクトでも、これまでの要素の指定方法は使える。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
入力量は番号での指定のときより増えてしまうが、番号を捜し出す手間はなくなる。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
names(x)ベクトルオブジェクト
x の名札属性を表す。これに付値をすれば、
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
名札属性を変更できる。
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,◎ R の文法
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
今後作業が複雑になるので、式を作る規則を理解するのは重要なことになる。一OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
般に、コンピュータに与える指示の集まりを言語、その言語の規則を文法という。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

会話で使う「言語」「文法」と意味は似ているが、コンピュータは融通が効かない
2004/4/5

ため、文法から少しでも外れたものを解釈はしない。

—NOTE—

52

データ解析ワークブック（2003 年度版）



コンピュータ言語を扱うときは文法をきちんと身につけなければならないのである。この授業で使う R のことがらで重要なことは

PDF Version• 基本概念・文法はきちんとおさえる• R に何かを作業させたいときには関数を使うことを知る
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan• 関数の具体的な使い方は必要なときに調べられるようにする
Fujisawa Senior and Junior High School

The Department of Mathematicsことである。これは多くのコンピュータ言語にいえることなので、この習慣をつけておけばほかの言語を扱うことになってもあまり抵抗はないだろう。たとえば「R でのベクトルとは何か？」ということは知っていなければならないことであRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
る。また、関数の名前は調べればよいが、調べる際にはかっこの中に何を並べる
modification, are permitted provided that the following conditions are

かも同時に調べなければならない。たとえば、
met:

1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above• copyrightsqrt() は平方根を求める関数で、かっこの中には平方根を求めたい数を
notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
書く。

first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to
PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce• length()はベクトルの長さを求める関数で、かっこの中には長さを求めた
the above copyright notice, this list of conditions and the following
いベクトルオブジェクトを書く
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
• Important:q() は R を終了させる関数で、R に与える引数は他に必要ない（終わらせTHIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUるというのに一体他になにが必要なんだ！）ので、かっこの中には何も書
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
かない
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORということを調べる（またはまとめておく）必要がある。もちろん、length() 関
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
数を使うときに「ベクトルオブジェクトの長さとは何か？」ということは理解してKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
いる必要がある。さらに、その解釈の仕方も知っておくとよいだろう。たとえばCOMPUTERANY DIRECT,INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR> ctlchart( s.point1)
OPERATION CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO,
管理図描画
何の？
s.point1 のは？
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
>
a
←
3
+
sqrt ( 5 )USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
オブジェクト a に付値せよ 何を？ 3 に加えたもの 何を？ 平方根 何の？ 5 のを
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,ということから、「ベクトルオブジェクト
s.point1の管理図を描く作業だな」「a√ WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYに 3 +(INCLUDING
5 を計算したものを付値しているな」と読むわけである。付値とそれ以OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
外の違いも感じてもらいたい。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

このあたりの作業は、数学を理解していく過程と似ているところがあるので、着2004/4/5
実に作業をしていかないと、おいていかれてしまう。これはどんな言語を選んでも同じであるから、言語のせいにはしないこと。
—NOTE—

53

2.6

行列

PDF Version

いままでは、一列に並んだデータのみを扱ってきた。実際には、データはいくつかの数値の組であることが多い。そのような場合、どのように処理をすればよいだ
ろうか。ここでは、このようなデータが与えられたときの操作を解説する。

2.6.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
いろいろなデータの観測において、得られる値は 1 つであるとは限らない。たとThe Department of Mathematics
えば、テストの点数でも、複数回のテストをまとめて扱えば、それだけで数値はた

データの次元と行列

くさん出てくることになる。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
一番簡単なのは表にすることであろう。
氏名
英語 数学(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

右のようなデータがあったものとする。こmodification, are permitted provided that the following
conditions
are
やぎ
66
85
met:
の場合、生徒 1 人あたりに数値が 3 つ出

2004/4/5—NOTE—

54

85

65

86
68
87

1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
やまだ disclaimer
77
copyright notice, this list of conditions and the following
as58the
得られる値の個数を、そのデータの次元と..
..
first lines of this file unmodified.
.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,.
いう。この例の場合、このデータの「次元77reproduce
67
59
converted to PDF, PostScript, RTF and otherいまはしformats) must
は 3 である」「これは 3 次元のデータであthe above copyright notice, this list of conditions and the following
る」といういいかたをする。いままで扱ってきたベクトルのデータは、
次元のデー
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with 1
thedistribution.
タである。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
1 次元より大きい次元）のデータをR で扱うためには、行列（
多次元（
SHONANFUJISAWA JUNIOR AND SENIORHIGH SCHOOL, THE matrix）というものが必要となる。これは、簡単にいえば表そのものである。横長方向を行
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT LIMITED TO, THE（row）、縦長方向を列（
column）という。
「行」と「列」の決め方にはだいたい
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORの決まりがあり、通常、測定対象を行単位で並べ、各列はそれぞれの得られた値を
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH表す。たとえば、「生徒の英・数・国テストのデータ」ならば、測定対象は生徒であSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
り、各測定対象は 3 教科の科目の点数を持つため、各行は「各生徒のデータ」、列ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
は「各教科の点数」を示すことになる。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF「日本各所にある
10 か所の気象観測点（地名はすべてわかっているものとする）か
USE, DATA,OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
ら得られる気温・気圧のデータ」を行列にしたい。通常行と列にはそれぞれ何を対応
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
させればよいか、適当な例を作って答えよ。また、行と列の数はそれぞれいくつか。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

てくることになる。それぞれの測定対象で

問1

ばば

国語

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.6.2

行列の作成方法
行列の作成方法はいろいろあるが、ここでは 1 種類、行列の成分となるベクトル

COMPUTEROPERATIONPDF Versionを用意し、それを行列のマスに流し込んでいくという方法だけを紹介する。
 > a ← 1:20と用意したベクトル a を用いて、5 行 4 列の行列 m を作ってみる。このとき、「流Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa
and Junior High School
用いる関数はmatrix()Senior
だが、列単位で流し込むときには次のようにする。
1 2 3 4
 > m ←
matrix (a, 5 , 4 )The Departmentof Mathematics
1
し込む方向を列単位にするか行単位にするか」は問題である。

COMPUTEROPERATION

m に付値せよ 何を？ 行列にしたもの 何の？ もとのデータは a

> m

5 行

4 列

を

通
2
常
3
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
4
modification, are permitted provided that the following conditions are5
met:

1. Redistributions of source code (LaTeX source) mustretainabove
TRUE
は Ttheとしてもよい。
行単位で流し込むときには次のようにする。もちろん
copyright
list of conditions
disclaimer
as the> m.byrow←notice, thismatrix(a and,the
5 ,following
4 , byrow= TRUE)

first lines
this file aunmodified.
に付値せよ 何を？ 行列にしたもの
何の？of
もとのデータは
5 行
4 列
行単位で流し込む？
はいを
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,> m.byrow
byrow=TRUE
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following 1 2 3 4
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with
1 the
distribution.
2
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU3SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS
4 OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, 5
THE
IMPLIEDWARRANTIESOF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
問 2 上の例でbyrow=FALSEとするとどうなると考えられるか？
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
問 3 s.koku,PROCUREMENTs.bio, s.hist OF
はいずれも長さが30 のベクトルである。これから、各行がSUBSTITUTE GOODS
OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS;・OR
INTERRUPTION)
s.matrix3
それぞれの生徒、各列がそれぞれ国語
生物BUSINESS
・歴史の点数になっている行列
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,を作成せよ。まず
3 つのベクトルを結合する必要がある。
WHETHERIN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTCOMPUTER> a ←(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
OPERATION 
OUT OF←THE
USE OF THISEVEN IF ADVISED> s.matrix3
matrix(a,30, DOCUMENTATION,
3)
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
m.byrow

matrix(x, m, n, byrow=TRUE)
ベクトル x から m 行 n 列行列を作成する。
2004/4/5
byrow=TRUE をつけなければ列単位、つければ行単位に要素を流し込む。

—NOTE—

55

2.7

行列の操作

PDF Version

ベクトルと同じように、行列も特定の位置を指定したり、名札をつけたりすることができる。文法は似ているので、以前の知識を応用させるとよいだろう。

2.7.1

行列の要素指定Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

1 2 3 41 2 3 411ベクトルと同じように、行列の一部の要
Fujisawa Senior and Junior High School
2
2
素を取り出すことができる。前節の m のThe
Department
ofMathematics
33
3 行 2 列の位置の値を取り出すには、
COMPUTER> m
4
4
OPERATION 
Redistribution
and
use
in
source(LaTeX
source)and‘compiled’
forms
5
5
（値を右のますに書くとよい）(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without> m[3,2]
1 2 3 41 2 3 4modification, are permitted provided that the following conditions are
1
1
met:
2
2
複数の要素を指定したいときは、それぞれ
1. Redistributions of source code (LaTeX source)must retain the above
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
disclaimer
3
3as theの要素を示す部分をベクトルにすればよ
first lines of this file unmodified.
44い。取り出した結果が1 行または1 列に
2. Redistributions
in compiled
form (transformed to other DTDs,
5 formats) must reproduce5なるときは自動的にベクトルになる。
converted to PDF, PostScript, RTF and otherthe above copyright notice, this list of conditions and the following

問1

次のそれぞれの式は、どの位置を指すか。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the

 > m[c(2,4),1]

distribution.
1 2 3 41 2 3 4
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU11SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
2 AND ANY EXPRESS
2 OR
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS”> m[c(2,4),c(1,3)]
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT
NOT
LIMITEDTO,
3
3THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITYAND
FITNESS44 FOR> m[1:4,2:3]
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
5 AND SENIOR HIGH
5
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIORSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR「特定の行（または列）すべて」という場合、行番号・列番号指定を省略すればよい。
COMPUTERCONSEQUENTIAL
DAMAGES
BUT
1 2 (INCLUDING,
3 4
1 2 NOT
3 4LIMITED TO,
1 2 3 4
>m[1,]
OPERATION
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE
GOODS
1
1 OR SERVICES; LOSS
1 OF
USE, DATA, OR PROFITS;
OR BUSINESS
2
2 INTERRUPTION)2> m[,2] HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
33
WHETHER IN CONTRACT,STRICT LIABILITY,
OR TORT3
4
4 ARISING IN ANY4WAY(INCLUDING NEGLIGENCEOR OTHERWISE)> m[1:3,]
OUT OF THE USE OF
EVEN IF ADVISED
5 THIS DOCUMENTATION,
55
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTEROPERATION

Note:

m[1,] と m[,1] と m[1] は全く異なるものである。混同して用いると、思い
2004/4/5
もよらない結果が返されることがある。

—NOTE—

56

データ解析ワークブック（2003 年度版）

2.7.2

軸名札属性を用いた要素の抽出
行列にも名札属性のような属性を与えることができるが、行列は「行」と「列」を指PDF Version

定するため、ベクトルのような「個々の要素に名前を与える」のではない。そのため、名札属性とは別の属性、軸名札属性が用意されている。rownames(), colnames()
で、行列のそれぞれの行・列についている名札が、表現できる。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
COMPUTEROPERATION

s.name に 30 人の名前があるので、s.matrix3 の行に名札をつけよう。
SeniorJunior High School
 > rownamesFujisawa( s.matrix3) ← and s.name
行の名札

問2

何の？

The Department of Mathematics
s.matrix3 のに付値せよ 何を？

s.nameを同様にして、s.matrix3 の列に科目名の名札をつけよ。s.subject というオブジェ

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
クトがすでにあるはずである。
COMPUTER(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without>
OPERATION
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
s.matrix3 を表示させて、表示の変化を見てみよう。
COMPUTER
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above> s.matrix3
OPERATION 
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
使い方は名札属性と似ている。軸名札属性がある行列では、要素を抽出するのにImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
行番号・列番号を使うかわりに、名札そのものを指定してよい。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
s.matrix3 において、これから、「sakai」さんのデータ（行）を指定するときは、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTER> s.matrix3["sakai",]
OPERATION IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORとしてよい。複数の場合は、やはりベクトルにする。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR> s.matrix3[c("sakai", "tsukahara"),]CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,> s.matrix3[,"rekishi"]
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

rownames(x)colnames(x)2004/4/5
行列
x の行・列の名札を表す。付値も可能。

—NOTE—

57

2.8

相関

PDF Version

多次元のデータを扱うとき、それぞれの値どうしが何らかの関係を持つ場合がある。このような関係の調べ方を、一番簡単な 2 次元のデータをもとに、いろいろな場合で考えてみる。

2.8.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
2 次元のデータは、それぞれが 2 つの値の組であるから、最初の値を x 座標、後The Department of Mathematicsの値を y 座標とすれば、座標平面上の点をみることができる。そのようにして実際

散布図にデータを点として描いた図を、散布図（scattergram）という。散布図は、デー
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
タを眺める方法としては非常によく使われるので、とりあえずデータがあったら散(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

布図を描いてみるとよいだろう。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
R では、plot() 関数で散布図を描くことができる。引数として、ベクトルを
2
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
名や軸名札属性などから、適当につけられる。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions
in compiled form (transformed to other DTDs,
s.matrix3
は前節の行列ベクトルとする。次のような散布図を描いてみよう。
COMPUTER
to PDF,,PostScript,> plotconverted( s.point1
s.point2RTF) and other formats) must reproduce
OPERATION 
the
above
copyright
notice,thislist of conditions and the following
散布図描画 何の？
s.point1とs.point2 のは？
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the> plot (s.matrix3[,2:3])
distribution.
散布図描画 何の？ s.matrix3 の第 2 列（生物）と第 3 列（歴史）を使っては？
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED
BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
問 1 s.matrix3を用いて、国語と歴史の点数の散布図を描け。
軸・y 軸の順番は問わ
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANYxEXPRESS
ORない。2IMPLIED
通り考えてみよ。
WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTERIMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR>OPERATION 
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL>KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
2.8.2 相関関係とは
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
これらの散布図はそれぞれ特徴があり、
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
A. 一方が増えれば他方も直線的に増える傾向がある関係(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
B. 一方が増えれば他方は直線的に減る傾向がある関係
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

つ、あるいは 2 列の行列を 1 つ与える。なお、x 軸・y 軸の名札は、オブジェクト

C. 全く傾向に脈絡がない

2004/4/5という 3 種類がある。
—NOTE—

58

データ解析ワークブック（2003 年度版）

A, B, C のどれがどの散布図に対応するか。

PDF Version
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

A を「正の相関がある」、B を「負の相関がある」、C を「相関がない（無相関）Fujisawa Senior and Junior High 「強い」
School」という。また、相関関係は「傾向」を表すものなので、「弱い」でその状
況を表すことがある。ただし、統計・データ解析において、「相関する」というサ行
The Department of Mathematics
変格活用の動詞は通常用いない。
いろいろな状況の散布図の例を以下にあげる。その雰囲気をつかんでもらいたい。

−2

−2

−0.5

0

−1

0.0

0

1

0.5

0

1

y

y

y

1.0

y

2

2

2

1.5

3

2.0

4

3

2.5

4

6

3.0

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
正の相関が強いdisclaimer in the documentation and/or
弱いother materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE 無相関
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
強い
弱い
負の相関が
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE)
ARISING IN ANY WAY
plot(...)
散布図を描く。引数として、「2 つのベクトルオブジェクト」まOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDx
たは「2 列の行列オブジェクト」を与える。それぞれ最初のデータがOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

x

0.6

0.8

1.0

0.6

0.8

1.0

x

0

0

y

y

−5

−3

−2

y

−2

−2.0

−3

−4

−2.5

y

−1.5

−1

−1

−1.0

0

−0.5

5

0.0

x

−3.0

問2

0.0

0.2

0.4

0.6

x

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

0.0

0.2

0.4

0.6

x

0.8

1.0

0.0

0.2

0.4

x

軸、次のデータが y 軸になる。
2004/4/5—NOTE—

59

2.9

相関係数

PDF Version

散布図で相関関係が確認できても、客観的な相関の強さを表す数値がないと、比較のとき困る場合がある。ここでは、相関関係の強さを表す数値を定義する。

2.9.1

ピアソンの積率相関係数
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
相関関係の強さを表す数値を相関係数という。一番よく使われるピアソンの積率
Fujisawa Senior and Junior High School
相関係数をここでは定義として用いよう。

The Department of Mathematics

2 次元のデータ (xi , yi )(i = 1, 2, . . ., n) の、xi と yi の平均をそれぞれ x̄, ȳ とする。これを、データのある種の原点と考えることにする。右の図の * は、それぞれRedistribution and use in source
source) and ‘compiled’ forms
xi と y(LaTeXの点と考えるとよい。ここで、i の偏差積 (xi − x̄)(yi − ȳ) を考えると、次(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutのようになる。
modification, are permitted provided that the following conditions are
網掛け xi − x̄ yi − ȳ (ximet:− x̄)(yi − ȳ)
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
I copyrightあり notice,+ this list+of conditions and+ the following disclaimer as thefirst +
lines of this file−unmodified. ȳ
IIなし−
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
III
あり
−
−
+
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
IV
なし
+
−
− conditions and the following
the above copyright notice, this list of
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with thex̄distribution.
この表と左の図から、偏差積の符号と網掛けの有無は一致する。したがって、偏差Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
積をすべて加えれば、その点が網掛けありの側にあるか、網掛けなしの側にあるか
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
がだいたいわかるであろう。網掛けありは右上がり、網掛けなしは右下がりの傾向
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THEということがいえるので、この和が正ならば右上がりの傾向、負ならば右下がりのIMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
IN NO EVENT SHALL
傾向ということができる。また、和が0 に近いときは、網掛けありと網かけなしの
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
影響が打ち消しあって、直線傾向が見えにくいということになる。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR
n の影響もあるため、それを打ち消すた
実際には、このままではデータの個数
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
めに、
PROCUREMENT OF SUBSTITUTEn GOODS OR SERVICES; LOSS OF

1 OR
USE, DATA, ORsxy
PROFITS;
BUSINESS=(xi − x̄)(yINTERRUPTION)i − ȳ)n − ON
1 i=1
HOWEVER CAUSED AND
ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTと定義し、さらに、比較のためには、それぞれのデータの単位をそろえる必要があ(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
OUTOFsyTHEUSE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
るため、
sx と
をそれぞれの標本標準偏差とするとき、次のものを
2 つのデータ
OF
THE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
の相関係数と定義する。

II

I

III

IV

sxy

r=
2004/4/5s sx y

なお、sxy を共分散（covariance）という。r には次の性質がある。
—NOTE—

60

データ解析ワークブック（2003 年度版）

• −1  r  1。
• r の絶対値が 1 に近いほど、相関が強い。0 に近いほど無相関。特に、絶対値

PDF Version

が 1 ならば、完全な直線関係にある。

• r の符号が正ならば、正の相関、符号が負ならば、負の相関。

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics• （経験則ではあるが）r の絶対値が 0.7 以上のとき、相関関係があるといえる。

2.9.2

相関係数の求めかた

and useの相関係数を定義通りに求めてみよう。このとき、
in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
R で、Redistribution
s.koku と s.hist「そ(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
れぞれのベクトルの各要素ごとの計算」が必要になるが、ベクトル同士の演算は、modification, are permitted provided that the following conditions are「各要素ごとの計算」の計算になるため、この機能を用いれば相関係数は計算できる。
met:
問1

1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above

以下の手順で、相関係数を求めよ。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirstlines of this file unmodified.
（1） s.dev1 に、「s.kokuのそれぞれの要素から
s.koku の平均を引いたもの」を
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,

COMPUTEROPERATION

付値する。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce >the above copyright notice, this list of conditions and the following（2） s.dev2に、
s.histのそれぞれの要素から
s.histprovidedの平均を引いたもの」をdisclaimer
in「thedocumentation
and/or other materials
with thedistribution.
付値する。
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU>SHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIOR HIGH SCHOOL, THE 、それを
（3） s.dev1 と s.dev2 の積を求め（つまり各データの偏差積を計算し）
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR

s.dev.prodに付値する。
IMPLIEDWARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE>
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR（4） s.dev.prodの和を求めて、−1」で割ったものをs.covに付値する。
A PARTICULARPURPOSE「要素の数ARE DISCLAIMED.
IN NO EVENTSHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH>SCHOOL,THE DEPARTMENT
MATHEMATICS
BE LIABLE FOR（5） s.cov
を、s.kokuの標準偏差とOFs.histの標準偏差の積で割る。
ANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL,
EXEMPLARY,OR>CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
しかし、これを計算するために、関数が既に用意されている。引数として、
HOWEVER CAUSED ANDcor()
ON ANY
THEORY OF LIABILITY,
2 つのベクトルを与える。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTCOMPUTER(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY> cor(s.koku,s.hist)OPERATION 
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

> cor(s.koku, s.bio)
2004/4/5—NOTE—

612.10

相関係数の応用PDF Version

3 つ以上のデータに対して、相関を調べる方法は、完全なものはない。しかし、その代替になるものはある。その点についても多少考えておこう。また、相関係数の使い方の注意にも触れる。

2.10.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
一般に、3 次元以上のデータにおいて、それぞれがどのような相関を持っている
The Department of Mathematics
かを調べるのは難しい。簡単に考えるには、まずは、「それぞれの組ごとの相関係数

3 次元以上のデータの相関係数を調べる」方法をとることができる。例えば、ここに準備した s.matrix7 データ
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ formsには 7 教科（国語・数学・英語・社会・理科・体育・音楽）の点数があるが、この(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

データの場合は、「国語と数学」「国語と英語」
modification,
are permitted
provided that「国語と社会」などのすべての組合せ
the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
問 1 この例では、何通りの組み合わせがあるか。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer
in the documentation and/or other materials provided
the
散布図を眺めてみよう。それぞれのデータを取り出してplot()with
関数で散布図をdistribution.
1 つ DOCUMENTATION
1 つを表示していると大変なので、すべてを一気に表示させ描いてもよいが、
Important: THISIS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIORpairs()
HIGH SCHOOL,
THE
ることができる。これは対散布図というもので、関数を用いて作成する。
COMPUTER
DEPARTMENTOF
MATHEMATICS
“AS
IS”
AND
ANY
EXPRESSOR>
pairs(s.matrix7)
OPERATIONIMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITEDTO,
THE
格子状に散布図が並ぶが、左上から右下までの対角線上には科目名が並んでいる。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
これから、どの散布図がどの組み合わせになるかを読むことができる。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
相関係数も計算してみよう。行列という形になっている場合は、cor() 関数です
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
べての組み合わせを計算してくれる。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
COMPUTER> cor(s.matrix7)
OPERATION CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

を調べてみるのである。

出力は行列の形になる。それぞれの相関係数は、縦と横がぶつかるところの値を
2004/4/5
読めばよい。この行列は、相関係数行列と呼ばれる。

—NOTE—

62

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問2

次の問いに答えよ。
（1） この例で、国語と社会の相関係数はいくつか。

PDF Version（2） この行列は行と列の数が等しい。このような形の行列を、正方行列という。そして、相関係数行列では、行と列が等しい部分（これを対角成分という）が必ず 1になる（1 でないものも、1 にかなり近い値になっている）。この理由を考えよ。

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics（3） i 行 j 列と、j 行 i 列の部分の値は必ず等しい。この理由を考えよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
2.10.2 相関についての注意
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
相関は、基本的に「お互いが直線の関係にあるか」を調べることにある。したがっdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
て、直線の対応がつけられないものに関しては、直接利用することはできない。
COMPUTER
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU> x ← 1:15
OPERATION SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE> y ←DEPARTMENT(x-8)^2
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED> cor(x, y) WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL> plot(x,y) GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHKEIOSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT,INDIRECT,y INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR
この例では、x と y の間には
= (x − 8)2 という関係があるが、この式は放物線
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,（曲線）を表すため、直線関係という見方では判定はできない。しかも、偶然にも相PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE,
DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
関係数の値が0 になってしまうため、散布図を見なければその様子が観察できない
HOWEVERCAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,のである。計算だけでなくグラフィックスによる確認というのも、重要である。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
cor(...)
2 つのベクトルを与えれば、その間
OUT OF 相関係数（行列）を求める。
THE USE OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISEDOFTHE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
の相関係数を求め、行列を与えれば、各列の間の相関係数を計算した

相関係数行列を求める。

pairs(x)2004/4/5

行列オブジェクト x に対する対散布図を描く。

—NOTE—

63

65

第3章

簡単な回帰分析

3.1

回帰分析の初歩PDF Version「相関」では、2 つのデータの関係の度合いを測ることをした。では、2 つのデータの間に因果関係があり、「一方のデータ」から「他方のデータを推測する」ためには、どのようなことを考えればよいだろうか。

3.1.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
2 つのデータを扱うとき、具体的な値 x1 , x2 , . . ., や y1 , y2 , . . . を扱うかわりに、
The Department of Mathematics
それを代表する変数 X, Y などで表現することがある。特に、2 つのデータの間にデータの因果関係と変数因果関係があることが想像できるときは、「一方の変数 X を用いて他方の変数 Y を
Redistribution
and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’）する」作業はよく行われる。数式でいえば、
Y =forms
f (X) のような説明（explain(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without形で表し、具体的な値を代入すれば、この式が（それなりに）成り立つように
f (X)modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
を定めるわけである。このとき、説明する変数
X を説明変数、独立変数といい、説
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theregression analysis）といい、定まっ
そして、そのような分析方法を回帰分析（
first lines of this file unmodified.
in compiled
form (transformed
to other
DTDs,た方程式 Y2. =Redistributions
f (X) を回帰方程式（
regression
equation）という。以下、何も仮
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
定しないとき X は説明変数を、Y は被説明変数を表すものとする。
the above copyright notice, this list of conditions and the following
ただし、何が「原因」で何が「結果か」を判定するのは難しい。明らかでないもdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
のも多く、さまざまな知識・事実を元に、解析者が判断することも必要である。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
問 1 「製品の宣伝費用」と「製品の売上高」では、どちらが「原因」でどちらが「結果」か？
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
3.1.2 線型回帰CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
tokyo.atmと DATA,fukuoka.atm
は、ある日の東京の気圧と、その前日の福岡の気圧
USE,
OR PROFITS;
OR BUSINESS INTERRUPTION)
2 LIABILITY,HOWEVERCAUSEDANDON
ANY=THEORY
102 N/mOFと同じ）のデータである。
（単位ミリバール mb、ヘクトパスカル hPa
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
なお、海面気圧であり、高さの影響はないと考えてよい。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
実際に散布図を描いてみる。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDCOMPUTER
OF THEPOSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
> plot(fukuoka.atm,
tokyo.atm)
OPERATION 

明される変数 Y を被説明変数、従属変数という。

COMPUTEROPERATION

直線関係があるように見える。相関係数も計算する。
 > cor(fukuoka.atm, tokyo.atm)2004/4/5—NOTE—

66

データ解析ワークブック（2003 年度版）

ところで、天気は西から東へ変化するから、東京の気圧の値は前日の福岡の気圧の値を少なからず反映しているはずである。つまり、この 2 つのデータの間には、何らかの因果関係があると考えることができる。そこで、福岡の気圧を説明変数、東PDF Version

京の気圧を被説明変数として、回帰方程式を求めてみることを考える。
ここでは、直線関係が見えるので、一次式 Y = A + BX の形で表されるものを

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonanいう。回帰方程式が表す直線を回帰直線という。
Fujisawa Senior and Junior High School
当面の目標は、係数 A と B を求めることである。散布図の上にそれらしき直線
The Department of Mathematics
求めることにする。このように、回帰方程式が一次式で表される回帰を線型回帰とを適当に描こうと思えばできるが、それでは定める根拠としては弱い。この直線はどのように定めるとよいのであろうか。

3.1.3

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are(xi , yi )
最小二乗法
met:
実測値
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
εi as the直線copyrightY = A +notice,
BX が決まったとすれば、データの組
this list of conditions and the following disclaimer
Y = A + BX
first lines of this file unmodified. 理論値(xi , yi ) に対して、それぞれ
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs, yi
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
εi = yi − (A + Bxi )A +following
Bxi
the above copyright notice, this list of conditions and thedisclaimer in the documentation and/or other materials provided with theというものが決まる。これは、各 distribution.
xi に対して直線上の
xi
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
点（理論的な値、理論値）と、実際のデータ（実測値・SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
観測値）との差であり、残差（residual）という。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
A、BIMPLIEDを定めるにおいて、残差εi ができるだけ小さくなるようのにするは自然な
WARRANTIES, INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITY
AND FITNESS1FORつである。
ことだが、特にデータ全体の残差をなるべく小さくするのが方法の
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
そこで、
KEIO GIJUKU SHONAN
JUNIOR AND SENIOR HIGHn FUJISAWAn
2 LIABLE FORSCHOOL, THE DEPARTMENT
MATHEMATICS
BE
L=
ε2i = OF {yi − (A + Bxi )}ANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL,
SPECIAL,
EXEMPLARY,
OR
i=1
i=1
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,を最小にすることを考える。
（methodof least
PROCUREMENT OF このような方法を最小二乗法
SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES;LOSS
OF squares）
USE,
DATA,
OR
PROFITS;OR
BUSINESSINTERRUPTION)という。その具体的な方法は省略するが、結果は次のような A、B となる。なお、
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
x̄、ȳ をそれぞれ xi 、yi の平均とする。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYn
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED(xi − x̄)(yi − ȳ)
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

B = i=1 n,A = ȳ − B x̄.

(x 2004/4/5− x̄)2i

i=1—NOTE—67

3.2

回帰方程式の計算とリスト構造

PDF Version

前節では、線型回帰の理論を考えた。実際に R で計算をさせる場合は、これらの計算はすべて R がやってくれるため、その結果についての処理を知っていればよい。
ここでは、その処理のしかたと、そのときに必要なデータの構造についてふれる。

3.2.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
R で回帰方程式を求めるには、lsfit() 関数を用いる。これは、
The Departmentof Mathematics
lsfit(x, y)

回帰方程式の求めかた・リストという書式を持ち、x、y はそれぞれ説明変数・被説明変数に対応するデータを表す
Redistribution and use inYsource(LaTeX
source) and x‘compiled’forms X 、Y に= A+
BX でいえば、、y はそれぞれベクトルである。回帰方程式(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

あたるデータを表す。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
ところで、計算した結果は単なる Aや B の値だけではない。少なくとも関数
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
lsfit()
は、これ以外に「各観測対象における残差」を返してくる。これは係数の値
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theとは形も質も異なるデータであるが、これらをまとめて返すためには今までのデー
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
タ構造だけでは不十分である。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions
andの返すリスト
the following
lsfit()というデータ構造を用いる。リストとは、
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
簡単にいえば「いくつかのデータをとにかImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
1 つにしたもの」である。図示
くまとめて
残差 residual
SHONANFUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL,
THE
係数 coef
番目のデータの残差1
するときは、枝分かれした図で表すことが
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESSOR
A の値
2 番目のデータの残差
WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITEDTO, THE
多い。SIMPLIEDの関数が返してくるリストには、
B の値..
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR.
枝にそれぞれ名前がついているため、参照
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHするためにはその枝の名前を指定する必要がある。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
関数 lsfit() の返す値はリストであるが、具体的には少なくとも次のものを含む。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,• 係数（coef）· · · 回帰方程式の係数 A と B を表す、長さ 2 のベクトル、
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)• 残差（
residualCAUSED）· · · 各観測対象における残差のベクトル、長さは観測対象の
HOWEVERAND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
Y を表すデータのベクトルの長さ）と等しい
数（つまりWHETHERIN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
実際に回帰方程式とその直線を求めてみよう。
COMPUTER
OF←THE POSSIBILITYSUCH DAMAGE.
>ls.result.atm
lsfit ( OFfukuoka.atm, tokyo.atm )OPERATION

R では、このような場合リスト（list）

ls.result.atmに付値せよ 何を？ 回帰分析の結果 何の？ 説明変数は fukuoka.atm

被説明変数は tokyo.atm

を

2004/4/5で、回帰方程式を求めたことになる。
ls.result.atm の結果はリストであるが、ここから係数の値を取り出したい。リストの要素を取り出すためには「オブジェクトの—NOTE—

68

データ解析ワークブック（2003 年度版）
COMPUTEROPERATION

名前$枝の名前」というように指定する。係数は coef という名前の枝にあるから、
 > ls.result.atm$coef

PDF Versionで得られる。このベクトルには名札属性がついていて、どの要素が何を表すかわかるようになっている。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
問1

上の例では、定数A と定数B の値はそれぞれ何か。名札属性についている単語か
Fujisawa
Seniorand Junior High School
ら判断せよ（Intercept · · · 切片）。また、回帰方程式を答えよ。

The Department of Mathematics

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted provided that the following conditions are
問 2 ls.result.atm
内にある、それぞれのデータの残差を表すにはどうすればよいか？
met:
COMPUTER>OPERATION 
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
散布図が描かれているとき、引数に lsfit() 関数の返す値をそのまま与えると、散disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
布図の上に回帰方程式の表す直線を描くことができる。
distribution.
COMPUTER> abline(
ls.result.atm) PROVIDED BY KEIO GIJUKUImportant:
THIS
DOCUMENTATION IS
OPERATION 
FUJISAWAJUNIOR AND SENIORHIGH SCHOOL, THE
直線描画SHONAN
何の？ ls.result.atm（回帰分析の結果、つまり回帰直線を
は？
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
Note: この例でわかるとおり、R では「回帰方程式の計算」と「その直線の描画」は、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE関数の仕事としては分離している。通常の統計ソフトウェアでは、回帰分析は
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
これら両方を同時に行うのが普通であるが、R は途中結果である「回帰方程A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
式の計算結果」をわざと残すようになっている。慣れないうちは面倒だが、そKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHの分細かな作業ができるようになっているというのが特徴である。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
lsfit(x, y)
回帰分析をした結果を返す。x は説明変数を表すオブジェクト
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF（今回はベクトルだが、行列もあり得る）
y は被説明変数を表すベク
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS 、
INTERRUPTION)HOWEVERCAUSED
AND
ON
ANY
THEORYOF LIABILITY,
coef の枝にはトルオブジェクト。結果としてはリストとなっており、WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
回帰方程式の係数が、residual の枝にはそれぞれのデータとの残差が(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
ある。
OUT
OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF
THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
abline(...)
グラフィックス画面上に直線を引く。
... にはいろいろなものが入るが、lsfit() 関数の返した値を入れれば、その係数（
coef の2004/4/5枝）に従った直線を引く。

—NOTE—

69

3.3

外れ値とは

PDF Version

最小二乗法を使うことにより、どのようなデータでも回帰方程式を作ることができるが、直線とかけはなれているデータについても注目することは重要である。まず、そのようなデータを眺めてみよう。

3.3.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
全体的に直線関係に見えるデータの中に、ごく一部がそれに従っていない場合が
The Department of Mathematicsある。そのような「外れ値」が含まれているデータに関して回帰分析を行ってみる。

外れ値があるデータについて

問1

30 名の年齢 p.age と血圧 p.blood のデータがある。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms（1） この
2 つのデータの相関係数を求め、軸を年齢とする散布図を描け。
(SGML,
HTML, PDF, PostScript, RTFxand
so forth) with or without
COMPUTER>
modification, are permitted provided that the following conditions are
OPERATION 
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the（2） 「加齢によって血管壁も老化が進み（動脈硬化が起こり）、その結果血圧が上
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
昇する」と考えれば、年齢が説明変数、血圧が被説明変数とすることができる。こconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduceのとき、X を年齢、Y を被説明変数として回帰方程式を求め、回帰直線を散布図に
the above copyright notice, this list of conditions and the following
重ね描きせよ。
関数の返値は、
ls.result1に付値すること。
disclaimer lsfit()in the documentation
and/orother materials
provided with the>
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE>
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR>
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
散布図を見ると、左上と右下に、右上がりになっていSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORる集団とは明らかに離れている「外れ値」が存在するこANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,とがわかる。このようなものが発生してしまうのは、入PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
力ミスや測定ミス、何らかの異常な状態がたまたま発生
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
したなどの「例外」であることが多い。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
しかし、外れ値が何であるかを調べることは重要であ(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYる。その例外が新たな発見につながる場合があるからで
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDあり、外れ値をそのまま捨ててしまうのは、このような
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
110
80

90

100

p.blood

120

130

140

>

25

30

35

40

45

50

55

60

p.age

現象を逃してしまうことになる。たとえ外れ値をはずし
2004/4/5て再度回帰分析を行うとしても、何をはずすかがわからなければ作業ができない。

—NOTE—

70

データ解析ワークブック（2003 年度版）

3.3.2

個体の特定
外れ値の処理をするためには、まず「特定の点がどのデータに対応するか」が見つPDF Version

けられなければならない。R で散布図上の点について調べるためには、identify()関数を用いる。これは、x 軸・y 軸の他に、それぞれに対応する名前のデータをベ
COMPUTEROPERATION

クトルで与えればよい。例えば、次のように。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
 > sel ←identify ( p.age, p.blood, labels = p.name )selFujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematicsに付値せよ 何を？ 個体を特定した結果 何の？ x 座標は p.age y 座標は p.blood それぞれの個体の名前は p.name であるをこうすると、マウスカーソルが変形する。データを表す点の上で左または右ボタンを押せば、対応するデータがあればその名前を表示する。止めるには左右ボタンを同時に押す。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
Note:
グラフィックスウィンドウ内で、最後の「左右ボタン同時押し」をしないと、(SGML,
HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
R に制御が戻らず入力しても何も起こらない。これに気付かずにいつまでたっ
modification,
are permitted provided that the following conditions areても作業ができない状態にならないように。
met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above

identify() 関数は、実際に選んだデータが何番目の値であるかを、ベクトルの
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
形で返してくれるので、上のように適当なオブジェクトに付値しておけば、後で再
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
利用できる。
> sel converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce

the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
> p.name[sel]Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
問 2 ここで選んだ者のそれぞれの年齢を表示せよ。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORCOMPUTER
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL>OPERATION 
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
identify(x,labels=n)
グラフィックス画面上で、特定の個体を選択
USE,y,DATA,
OR PROFITS;
OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERCAUSEDANDON
ANY THEORYOFxLIABILITY,
xとyは座標と y 座標を与えするために操作できるようにする。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
るベクトルオブジェクト、はそれぞれに対応する文字列ベクトルオブ(INCLUDINGNEGLIGENCE OR nOTHERWISE)
ARISING IN ANY WAY
x, y,OFn の長さは一致していなければならない。
ジェクト。
OUT
OF THE USE
THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. R に伝え、選択しマウスボタンを「左右同時押し」すると選択終了を

R は操作を待つ。
たデータの番号を返す。選択終了が伝わるまで、
2004/4/5—NOTE—

71

3.4

外れ値の除去PDF Version

前節の方法を用いて、外れ値と思われるものを取り除く処理を行ってみよう。その際、どのように外れ値を決定するかについても考えた方がよい。

3.4.1

外れ値の選択Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
前節のデータp.blood Seniorと p.ageandについて、外れ値と思われるものを選んでみよ
Fujisawa
Junior High Schoolう。このとき、直感で選んでみるのも悪くはないのだが、回帰直線は一般に斜めでThe Department of Mathematicsあるから、目視では微妙な判定がしづらいことがある。基本的に、「理想的な値からあまりにもかけ離れている値」が外れ値だから、理論値と実測値の差、つまり「残Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
差」の大きさの散布図が描けるとより精密な判定ができる。縦軸が残差の大きさに(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

なるような散布図（管理図）と、その残差の標準偏差を同時に描く関数
modification, are permitted provided that the following conditions arectlchart()
met:
を以前用意してあったので、それを用いてみよう。残差は関数
lsfit() の返してく
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above

COMPUTEROPERATION

るリストの residual という名前の枝にある。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
 > ctlchart(ls.result1$residual,
ylim=c(-50,50))
first lines of this file unmodified.
ctlchart()
関数の ylim= in
引数は、データに応じて適当に指定すること。
2. Redistributions
compiled form (transformed to other DTDs,

y 方向に
0 から大きく離れているものを選べばよいのでわかりやすい。
これなら、
converted
to PDF,
PostScript, RTF and other formats) must reproduce

the above copyright notice, this list of conditions and the following
微妙な判定が必要な場合、このような方法も有効である。平均値から標準偏差の3
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the

倍以上離れたものを外す、というのが通常だが、状況に応じて判断は変化させる。
distribution.
Important: THISDOCUMENTATION IS PROVIDED
BY KEIO GIJUKUy 座標はデータの値である。
x 座標はそのデータの番号である。
管理図上の点は、
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
y 座標と解釈され、x座描くことができるのだが、一方しか与えなかったときは、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITEDTO, THEIMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITYAND
FITNESS
FOR
標はデータの番号 1、2、3、. . . というようにみなされる。identify() 関数でも同A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL様のため、この図では次のようにすればよい。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHCOMPUTER> sel SCHOOL,←
identify( ls.result1$residual,
OPERATION 
THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
sel に付値せよ 何を？ 個体を特定した結果 何の？
y 座標は ls.result1$residual
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR
labels BUT= p.name) TO,
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING,NOT LIMITEDPROCUREMENT OF SUBSTITUTEそれぞれの個体の名前は
GOODS OR p.name
SERVICES;LOSS OFである （x 座標はデータの番号）をUSE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
Note: なお、このような図は plot() 関数でも描くことができる（関数 ctlchart()
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
は内部で plot() を用いている）。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
identify(y, labels=n)
y と labels=nの部分しか指定しない場合、y座
OF THE POSSIBILITYOF SUCHDAMAGE.

管理図は見方をかえれば散布図である。本来、散布図は x 座標・y 座標がそろって標と対応する文字列だけを指定したことになり、x 座標はデータの番2004/4/5号となる。それ以外は以前と同じ。

—NOTE—

72

データ解析ワークブック（2003 年度版）

3.4.2

外れ値の除去と回帰分析のやりなおし
今回は外れ値を単純に削除して回帰分析をやりなおすことにする。このようにす

PDF Version

ることは多い。
問1

COMPUTEROPERATION

sel で選ばれた外れ値を除去し、再度回帰分析を行う。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan（1） p.age、p.blood の中から sel の示す場所の値を除去したものを、それぞれ

p.age.sel、Fujisawap.blood.sel
として付値せよ。
Seniorand Junior High School >The Department of Mathematics>（2） 外れ値を除去したデータについての相関係数を求めよ。
>
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted provided that the followingAconditionsare（3） 外れ値を除去したデータで、回帰分析を行い、係数と B の値を求めよ。さmet:lsfit()に付らに、散布図に回帰直線を重ね描きせよ。
1. Redistributions of source code (LaTeX
source)関数の返値はmust retain thels.result2
above
copyright notice,
this list of関数の引数
conditions andthe following
disclaimer as the
値すること。なお、
abline()lty=2
は、線種を指定するものである。
first lines of this file unmodified.
> plot(p.age, p.blood)
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,>
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce>
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU> abline(ls.result1,
lty=2)SHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENTOF
MATHEMATICS“AS IS” AND ANY EXPRESS OR> abline(ls.result2)
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY
AND FITNESS FOR
一般に、外れ値を除去したデータのほうが、「残差の分散」は小さい。分散を大きく
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLする要素を取り除いたのだから、当然である。これから、相関関数の値以外に、残KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
差の分散の大きさでも、ある程度回帰分析の評価を行うことができると考えてよい。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
問 2 ls.result1と ls.result2について、残差の分散を求め、上の事実を確認せよ。
CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
COMPUTERPROCUREMENTOF
SUBSTITUTEGOODS OR SERVICES; LOSS OF> var(ls.result1$residual)
OPERATION
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
> var(ls.result2$residual)(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

abline(..., lty=n)lty=n（n は数）を指定すると、実線以外の線を引く
2004/4/5

ことができる。多数の線を引くときに便利である。

—NOTE—73

3.5

回帰方程式の解釈

PDF Version

回帰方程式はただの数式であり、計算しただけで満足してはならない。ここから情報を読み取る作業は解析する者の仕事である。数式をどのように解釈すればよいかを考えてみよう。

3.5.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School線型回帰では、回帰方程式 Y = A + BX は一次関数だから、係数 B は「X が 1
The Department of Mathematics増加したときの Y の増加する量」である。

回帰方程式の意味

東京と福岡の気圧のデータの処理結果は ls.result.atm に格納されている。もRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
う一度係数を見てみよう。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
COMPUTER> ls.result.atm$coef
OPERATION 

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified. B にあたる量は、福岡の気
問 1 この結果からわかる回帰方程式を答えよ。さらに、係数2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
圧と東京の気圧の間の関係をどのように表しているか説明せよ。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
また、
Y = A + BX OFのような式が求まったということは、
X
DEPARTMENT
MATHEMATICS “AS IS” AND ANY「ある現象において、
EXPRESS OR
IMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITEDTO,
THEの値を定めるとそれに応じて Y の値を予想することができる」ということも意味し
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORている。つまり、原因に対しての結果の予想が（ある程度）できるということであA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
り、その値が理論値となるわけである。このとき、予測値を計算する場合、
lsfit()KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS
BE LIABLE FORの返すオブジェクトの値を直接使いたい。
coef の枝は、ベクトルであるから、これ
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
を使えば計算させることができる。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
たとえばA にあたる値を取り出すための、一つの方法は次の通りである。
COMPUTER
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)> ls.result.atm$coef[1]OPERATION 
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
問 2 もう一つの方法として、どうすればよいか。このベクトルには名札属性がついてい
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
ることを用いる。 OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTEROPERATION >2004/4/5—NOTE—

74

データ解析ワークブック（2003 年度版）

「福岡の気圧が 1010 mb であったときの、翌日の東京の気圧を予想したい」という
COMPUTEROPERATION

ときは、次のようにするのが方法の一つである。
 > ls.result.atm$coef[1] + ls.result.atm$coef[2] *回帰方程式の A の値

回帰方程式の B の値

1010

× 福岡の気圧 1010 mb

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
るために、次のようにオブジェクト
x を作成した。このときの、翌日の東京の気圧
Fujisawa Senior andJunior High Schoolの理論値を y に付値するためには、どうすればよいか。
The Department of Mathematics
 > x ← c(1011,1013,1017)

問3

COMPUTEROPERATIONPDF Version+

福岡の気圧が「1011 mb、1013 mb、1017 mb」のときの翌日の東京の気圧を予想す>
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
問 4 年齢と血圧のデータで、外れ値を除いたのち回帰分析を行った結果
ls.result2 を
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
用いて、以下の問いに答えよ。
first lines of this file unmodified.
（1） X を説明変数（年齢）を被説明変数（血圧）とする。回帰方程式を答えよ。
2. Redistributions 、
inYcompiled
form (transformed to other DTDs,
COMPUTERconverted
to
PDF,
PostScript,
RTF and other formats) must reproduce>
OPERATION
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIEDWARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE（2） 年齢が
1 つ上がると、血圧はどのくらい上がると考えられるか。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR（3） この回帰方程式を用いて、年齢が55 歳の人の血圧を予測せよ。
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO,
COMPUTER>OPERATION PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

> y

2004/4/5—NOTE—

75

77

第4章

モデルとデータ4.1

モデルとは？

PDF Version

今までの内容は、個々の統計の知識の解説であった。これからはこれらをまとめて「データ解析」の世界に入るわけだが、その前にデータ解析の目標を解説する。

4.1.1

実体・モデルと残差
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
いろいろな現象には、いろいろな性質を持っているが、必要な性質を取り出し、
Fujisawa Senior and Junior High School
使いやすい形にして模倣したものを、そのモデル（model）という。モデルのもと

The Department of Mathematicsになったものを、実体（real object）ということにしよう。例えば、現実の地形を「実体」とするならば、その場所の地図は「モデル」である。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
このモデルは、実体の本質をつかむ上で重要な役割を示す。モデルを見れば、実(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

体を直接見ることなく、その実体の特徴を知ることができる。地図を見れば、実際
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:に行ったことのない場所の構造がある程度理解できるのも、地図が実体であるその
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
しかし、モデルは必ずしも実体のすべてを表しているわけではなく、必ずこの間
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,には差がある。地図の上に建物も表示がしてあっても、建物の色が必ずしもわかる
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
わけではないし、材質がわかるわけでもない。このような差を、残差（residual）
the above copyright notice, this list of conditions and the followingという。この残差は、実体からモデルを作るときに捨てられてしまった情報である
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
が、この残差に何が含まれているかを理解していないと、モデルを使う意味がなくImportant: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
実体と何が違うのか—をなってしまう。つまり、モデルを使う上では、必ず残差
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH—SCHOOL,THE
意識している必要があるのである。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
よいモデルとはKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ある実体におけるモデルは、一つとは限らない。事実、同じ地形を表すのに複数
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, ORの地図が存在することはよくあることであろう。詳しければ、たしかに実体である
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
地形を忠実に再現しているわけで、残差が小さいモデルということができるが、こUSE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
れが優れたモデルであるとは言い切れない。情報量が多すぎる地図は、時として「見HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTにくい」という短所を持つことになる。必要な情報だけを載せた簡単な地図は、「誰(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYにでも理解しやすい」という長所を持つのである。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
このようなことを考えると、よいモデルというのは、以下のような点を満たすよ
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

土地の性質をある程度表しているからである。

4.1.2

うなものといえるであろう。
2004/4/5• 実体の重要な性質をなるべく忠実に再現する（正確に）—NOTE—

78

データ解析ワークブック（2003 年度版）

• 使いやすい（便利）• 美しい（美的）PDF Version• 安く作ることができる（安価）これらは相反する内容を含んでいるため、実際にはこれらをバランスよく実現させ
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
ることが重要である。何を重要視するかによってモデルは変わることもあり、時とFujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics

場合によって使い分けるということも必要となる。
問1「『プラモデル』と『本物の乗り物』」という例において、残差とは何か。また、「よいモデル」とはどういうものをいうだろうか。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2.
Redistributions
in compiled form
(transformed to other DTDs,
問 2 「モデル」と「実体」の例を一つ作れ。
「残差」が何であるかも答えること。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
4.1.3 回帰モデルの構築について
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
データ解析の目的の一つとして、
Y =CONSEQUENTIAL DAMAGES「よいモデルの構築」がある。回帰分析で、(INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
A + BXのような式を導くということを考えたが、このような式を求めるというの
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
は「ある特定の要素で、その他の要素を説明しよう」というモデルを構築する、とHOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
いう作業を行っていると考えてもよい。それぞれの要素は変数というもので代表さ(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
れ、モデルを表すためには数式が用いられる。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
回帰分析の手法で作られるモデルを「回帰モデル」という。
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE. 「原因」と「結果」を数式で表そうという考え方と思えばよい。
2004/4/5

また、実際の作業では、理論的なこと以外の作業（データの浄化など）を考えなければならない。そのような作業についても考えていくことにする。
—NOTE—

794.2

データの読み込み

PDF Version

R でのモデル構築の具体的な作業を、これから進めていくが、第一歩として、デー
タを R で使えるようにしなければならない。つまり、データの読み込みである。いままではあらかじめデータが用意されていたが、このようなデータは本来自らで探Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
4.2.1 これから扱うデータの説明
The Department of Mathematics
今回扱うデータは、全国 81 か所にある観測点の、位置と 1 月から 12 月までのして準備するものである。

平均気温のデータ*1 である。3 つのファイルにデータは分けてあり、内容は次の通Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
りである。いずれもテキストファイルである。

(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
• J:Y
=RY
=localY=2003Y=obstemp.txt·· ·81 か所の観測点の、1 月から 12 月の平
met:
個の数字（
均気温。各行がそれぞれの観測点であり、それぞれ
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must 12
retainthe above1 月〜12 月
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
disclaimer
as theの平均気温に対応する）がある。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
• J:Y
=RY
=localY=2003Y=obsgeo.txt· · ·81 か所の観測点の経度（東経）・緯度（北converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
緯）・高度（メートル）。
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
• J:Y
=RY
=localY=2003Y=obsname.txt·· ·81 か所の観測点の名前。
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
いずれも、同じ行が同じ観測点に対応しているようになってはいるが、自分が入力
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
していないデータについては中身を確認するように習慣をつけること。中身を確認
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
もせずに、いきなり内容を信用するのは危険である。何らかのミスで、規則性が崩
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLれているかもしれないからである。また、今回はテキストデータであるから関係はKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
ないが、スプレッドシートのデータファイルなどを扱う場合はウィルスなどに感染
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORしている恐れもあるから、そのようなチェックも怠ってはならない。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
まず、スプレッドシートソフトウェアで読み込んでみるとよいだろう。ソフトウェ
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
ア起動後、[USE,
ファイル(F)]-[(O)] で、このファイルを読み込めるようにすれば簡
DATA,
OR 開く
PROFITS;OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
単に読めるはずである。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
一方、このデータはテキストファイルである。R に読み込むファイルは必ずテキ(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
ストファイルでなければならない。また、エディタで読むとわかるが、「空白」で数OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOFTHE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
値を区切ってある形式であり、CSV ファイルではない。
2004/4/5*1 国立天文台編、理科年表 平成 8 年、丸善株式会社—NOTE—

80

データ解析ワークブック（2003 年度版）

4.2.2

R への読み込み
R でテキストファイルのデータを読むには、scan() 関数を用いる。この関数はファイル名を指定すると、そのファイルの内容をベクトルとして読み込む。ファイPDF Version

ル名の指定の際には、Y= は / に置き換える。もちろん、その結果を付値しないと使い物にはならないだろう。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
COMPUTEROPERATION

たとえば、平均気温のデータを読み込みには、Senior (andJunior High School
 > tmp ← Fujisawa
scan"J:/R/local/2003/obstemp.txt")
tmp

The Department of Mathematicsに付値せよ 何を？ ファイルから読み込んだ結果 何の？

とする。

ファイル J:Y=RY=localY=2003Y=obstemp.txt

を

ただし、scan() 関数で読み込んだ結果はベクトルになるから、このままではま
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
単位で読むため、行列に流し込む方向は「行方向」である。したがって、行列にしmodification, are permitted provided that the following conditions are
たものを obs.temp に付値するには met:
COMPUTER
1. Redistributionsofsource code
must retain
the above> obs.temp←
matrix( (LaTeX
tmp, source)
81, 12,byrow=
TRUE )OPERATION
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
obs.tempに付値せよ 何を？ 行列にしたもの 何を？ もとのデータは tmp 81 行 12 列 行方向で流し込む？
はいを
first lines of this file unmodified.
in compiled form (transformed
other DTDs,
問 1 obs.temp 2.
を Redistributions
1 行で作る式を答えよ。さらに、
obs.geotoも同様に作成せよ。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
COMPUTER>OPERATION 
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the>
distribution.
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
obs.name は文字列ベクトルである。ファイルの中身も文字列である。このときは、
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE「文字列であること」を指定しなければ誤動作する。scan() 関数に引数として ""DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS ORを指定すればよい。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTER> obs.name( "J:/R/local/2003/obsname.txt",
IMPLIED←WARRANTIESscan
OF MERCHANTABILITY
AND FITNESS FOROPERATION 
A PARTICULARPURPOSEARE DISCLAIMED.
IN NO
SHALL
obs.nameに付値せよ 何を？
ファイルから読み込んだ結果
何の？
ファイル
J:Y
=RY
=EVENT
localY=2003Y=obsname.txt
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR"" AND) SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OFファイルの中身は文字列である
MATHEMATICS BE
LIABLE FORを
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT ファイル
OF SUBSTITUTEGOODSOR SERVICES; LOSS OF
scan(filename)filename（文字列）から数値データを読み込み、
DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
RUSE,のベクトルとしたものを返す。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
scan(filename,"")IN CONTRACT,
ファイル filename（文字列）から文字列データを読
WHETHERSTRICT LIABILITY,
OR TORT(INCLUDINGNEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYのベクトルとしたものを返す。
み込み、R
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

ずいだろう。各行が観測点になるように行列にしなければならない。ファイルは行

2004/4/5—NOTE—

81

4.3

データの整形（その 1）

PDF Version

読み込んだデータは、必ずしも解析に適していない場合もある。このようなデータを整形して、解析の準備をすることも重要である。

4.3.1

軸名札属性の付値
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
これから扱うデータが具体的に何かを、軸名札属性として表現することは悪くな
Fujisawa Senior and Junior High Schoolい。たとえば、ある行の観測点がなんであるかを意識しながら作業をするのは大きな意味がある。

The Department of Mathematics

obs.temp は月ごとの平均気温がある行列オブジェクトである。観測点は obs.name
Redistribution and use in source (LaTeX
source) and ‘compiled’ forms
として名前が用意されている。一方、「月」の名前は、略称があらかじめ
R 側で(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutmonth.abb
として用意されているので、これを用いるとよいだろう。
modification,
are permitted provided that the following conditions aremet:
obs.temp の行に「観測点名」、列に月の略称を付値する。
COMPUTER
1. Redistributionsof source
source) must retain the above> rownames( obs.temp) ←code (LaTeX
obs.name
OPERATION 

copyright
notice,this list に付値せよ
of conditions
and the following disclaimer as the
何の？
obs.temp
何を？ obs.name（観測点名） を
first lines of this file unmodified.
> colnames( obs.tempin) compiled←
month.abb
2. Redistributions
form(transformed to other DTDs,
列の名札
何の？
obs.tempに付値せよ 何を？ month.abb（月の略称） をconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
問 1 obs.geoの行に観測点名、列に「
longitude,heightwith」、付くように軸
disclaimer
in the documentation
and/or otherlatitude,materials provided
the
名札属性を付値せよ。なお、a を使うと便利である。
distribution.
COMPUTER
THIS DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU> a ←Important:c("longitude","latitude", "height")
OPERATION SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE>
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR>
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
4.3.2 データの補正の作業
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
今回扱うデータのうち、経度・緯度は角度である。しかし、入力の手間を省くた
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSSOF は 138.42
めに、小数点以下は分の値をそのまま入力してある。たとえば、
138◦ 42
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)としてある。
1◦ = 60 CAUSEDであるから、本当は
138.7としなければ正しいデータにはな
HOWEVERAND ON ANY
THEORYOF LIABILITY,らない。 WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
このように、得られたデータは必ずしも使用する際に適切な値でない場合もある。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
その際は、何らかの作業をともなうものであるが、ではベクトルの計算により、一OF THE POSSIBILITY OF SUCH SDAMAGE.
行の名札

気に作業をさせることができる。今回は、次のような関数が役立つだろう。
2004/4/5—NOTE—

82

データ解析ワークブック（2003 年度版）

floor(x)ベクトル x のそれぞれの要素を、x 以下の最大の整数にして返す。
ceiling(x)ベクトル x のそれぞれの要素を、x 以上の最小の整数にして返す。

trunc(x)PDF Version

ベクトル x のそれぞれの要素を、0 に近くなるように切り捨てて返す。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

Fujisawa Senior and Junior High School
Departmentof Mathematics、天井関数は
x で表される。
は、床関数は xTheそれぞれ、「床関数」「天井関数」「打ちきり関数」と呼ばれるものである。数学で

問2
COMPUTEROPERATION

次の式で、floor()、ceiling()、trunc() の違いを理解せよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms

 > floor(1.5)(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
3

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:> floor(-1.5)
2
1. Redistributions of source code (LaTeX
source) must retain the above
1.5 and the following disclaimer as the
copyright notice, this list of conditions
first lines of this1 file unmodified.
> ceiling(1.5)
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
0> ceiling(-1.5)
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the−1
distribution.
> trunc(1.5)−1.5 IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUImportant: THIS DOCUMENTATIONSHONAN FUJISAWA JUNIOR −2
AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENTOF
MATHEMATICS“AS IS” AND ANY EXPRESS OR> trunc(-1.5)
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE−3
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
問 3 以上の関数を用いて、角度の補正を行え。実際の作業は、以下の図をみて考えるこ
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORと。なお、行列の要素抽出をうまく使うと、行列の一部を変更することができる。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,: GOODSPROCUREMENT OF SUBSTITUTE
OR SERVICES; LOSS OF
138 PP
整数部分 

P
USE, DATA,OR 
PROFITS;OR BUSINESS P
INTERRUPTION)
P 加算-138.7138.42H
H
HOWEVER CAUSED
AND
ON
ANY
THEORYOF
LIABILITY,
補正
小数部分 Hj 0.42- 0.7
WHETHER IN CONTRACT,STRICT LIABILITY,
OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYCOMPUTEROUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED>OPERATION 
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

>>

2004/4/5>—NOTE—

83

4.4

データの整形（その 2）

PDF Version

もう少しデータを整形しておこう。さらに、地理データであるから、特殊なグラ
フィックス—地図—を用いて場所を確認する。このようにして、イメージを作っていく作業も重要である。

4.4.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
現在、各観測点には 12 個の気温のデータがある。12 か月を個別に持つのも不便
The Department of Mathematicsであるから、各観測点の 1 年間の平均気温について考えることにしよう。

行・列単位の計算

本来ならば、各月の長さは微妙に異なるから、その分を考えて「平均」を考えな
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
ければならないのだが、ここでは計算を簡略化するために単純に平均をとることに(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

する。この際、「obs.tempの各行のデータの平均を求める」作業が必要となるが、modification,
are permitted
provided that the following conditions aremet:
行単位（または列単位）の作業を一気に行う関数も、次のように用意されている。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theapply(X, MARGIN, FUN,...)
行列 X の行・列単位をベクトルとみなして、
first lines of this file unmodified.
MARGINは処理の向きで、
1 ならば行単位、2な
一括して演算を行う。
2. Redistributions in compiled form
(transformed to other
DTDs,
converted
to
PDF,
PostScript,
RTF
and
other
formats)
must
reproduce
らば列単位をベクトルとみなして関数 FUN の第 1 引数に渡す。関数
the above copyright notice, this list of conditions and the following
FUN の第2 documentation
引数以降は、...
の部分に書けばよい。
disclaimer
in theand/orother materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
これは、スプレッドシートソフトウェアで、和を求めたり平均値を求めたりする作
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
業に対応する。R では、このような作業も関数を用いるのである。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
たとえば、
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORCOMPUTER> a ←A matrix(1:20,
5, 4) ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLOPERATION PARTICULAR PURPOSE
FUJISAWA> applyKEIO( GIJUKUa, SHONAN
2,
sum JUNIOR)AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS
BE LIABLE FOR
行列の一括演算 何の？ 用いる行列は a 列単位で それぞれの列に対して関数 sum() を適用
は？
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,とすれば、行列オブジェクト
a の各列をベクトルと見な
PROCUREMENT OF SUBSTITUTEGOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE,
DATA,
OR
PROFITS;OR BUSINESS INTERRUPTION)
して和を計算してくれる。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
TORT
問 1 obs.temp の各行のデータの平均を求め、結果を
temp.av ORに付値せよ。
(INCLUDINGNEGLIGENCEOR
OTHERWISE)
ARISINGIN
ANY WAYCOMPUTER>OPERATION 
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

84

データ解析ワークブック（2003 年度版）

4.4.2

地図データ
「日本の観測地点」であるから、場所を確認してみよう。このような付加情報を

PDF Version

眺めておくのも悪くはない。本来、グラフィックスはいろいろなグラフを出すことが多いのだが、地図を描画するものも用意しておいた。
問2

Copyright
Keio Gijuku Shonan
地図を描くとき、
x 軸、y1998–2003
軸はそれぞれ何の値を用いるべきか？
Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics

COMPUTEROPERATION >日本地図を描く関数は jpn() である。
and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
jpn Redistribution()(SGML, HTML,は？ PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted provided that the following conditions areでそれらしい日本地図が描けるが、このままでは次のような問題がある。
met:
1. Redistributions of plot()source code
(LaTeX source) must retain the above• 観測点が描けない（関数を用いると一旦画面が消されてしまうため）
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the• 本来の位置にない沖縄県は、ここでは使わないほうがよい。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
jpn()
okinawa=FALSEを与えれば、
沖縄県は描かないことにしよう。
converted to PDF, PostScript,
RTF 関数の引数でand other formats)must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
沖縄県は描かない。
COMPUTER
disclaimer
in the documentation> jpn( okinawa= FALSE ) and/or other materials provided with the
OPERATION 
distribution.
日本地図描画 何の？
沖縄県は描くか？
いいえ
は？
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED
BY KEIOGIJUKU
次に、すでにあるグラフィックスに点を使うには、points()関数を用いる。文法
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE関数と同じ。まず、観測点を先に描くことにする。これは、普通の散布は plot()
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
図と同じようにすればよい。実際に、散布図に日本地図を重ねた状態になっている。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
COMPUTERIMPLIEDWARRANTIES OF> points( obs.geo[,1:2]) MERCHANTABILITY AND FITNESS FOROPERATION 
A PARTICULARPURPOSEARE
DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
点を追加描画
何の？
obs.geo[,1:2]を使っては？
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
問 3 identify()関数を用いて、いくつかの点の地名を調べよ。ただし、あまり地図が
SCHOOL,THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY
DIRECT,
INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
大きくないので、観測点の土地名をたくさん出すと見にくくなるかもしれない。
COMPUTERCONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,>
OPERATION PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSEDAND ON ANY THEORY OF LIABILITY, x 座標は経jpn(okinawa=FALSE)†
グラフィックス画面に日本地図を描く。
WHETHERIN
CONTRACT,STRICT LIABILITY,
OR TORT度、y 座標は緯度を表す。okinawa=FALSE
をつけなければ沖縄県を別(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYの場所に描く。
OUT
OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF
THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
points(...)
グラフィックス画面に点を追加する。書式はplot() 関数と
日本地図描画 与える情報はない

同じ。

2004/4/5※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準の R にはない。

—NOTE—

85

4.5

回帰分析の実例

PDF Version

前節までで、分析の準備はととのった。まず、「緯度」が「平均気温」に影響を与えている（北海道は沖縄より寒い！）と考えるのは自然なので、その考え方が正しいことを確認してみよう。

4.5.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
まず、緯度と平均気温との関係を調べてみる。緯度を説明変数 X 、平均気温を被The Department of Mathematics
説明変数 Y として、回帰分析を行ってみる。

回帰分析の実行

問1

緯度を横軸、平均気温を縦軸となるように散布図を描画せよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
問 2 目的の回帰分析を行う。lsfit() 関数の結果は ls.result.g1 に付値せよ。さら1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the aboveに、回帰直線を描き、回帰方程式を定めよ。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
COMPUTER>OPERATION 
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,>
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce>
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
回帰方程式：SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
計算はこれでできたが、本当にこの計算は問題ないだろうか。散布図をよく見る
IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY
AND FITNESS FORと、直線から明らかに離れている点—外れ値—も少し見受けられる。残差をもとに、A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
外れ値を選んでみよう。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
問 3 ls.result.g1$residualと ctlchart()
を用いて、残差の大きさがy 軸になるよANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
うな散布図を描け。
COMPUTERPROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF>
OPERATION 
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)>HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
問 4 残差が著しく大きいものを選び出し、それをoutlierに付値させよ。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE)
ARISINGIN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDCOMPUTER>OPERATION
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
COMPUTEROPERATION

 >

>
>

2004/4/5—NOTE—

86

データ解析ワークブック（2003 年度版）

outlier として選び出したものを外して、回帰分析をやり直してみる。問 1、
問 2 の入力をもう一度行って、散布図を描き ls.result.g1 を用いて最初に求めた回帰直線を描く。このとき、plot() 関数の引数として xlab="latitude" とPDF Version

ylab="temperature" を加えれば、見栄えがよくなるだろう。
さらに、この図に問 4 で選び出した地点の結果を書き加えるのだが、それには次Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

COMPUTEROPERATIONのようにすればよい。
 >text Fujisawa(
obs.geo[outlier,2],
Senior and Junior High School
文字列を追加描画 何の？ x 座標は obs.geo[outlier,2]（outlier で指定した点の緯度）

The Departmentof Mathematics
temp.av[outlier],y 座標は temp.av[outlier]（outlier で指定した点の平均気温）

labels =obs.name[outlier],

pos = 4 )Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
点の名前はで指定した点の名前） 名前の配置は 右は？
(SGML, HTML,
PDF,obs.name[outlier]
PostScript,（outlier
RTF andso forth) with or without
この式がきちんと読めるようであれば、
Rの文法は心配ないだろう。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
問 5 問 4 で選び出した地点のデータをとり除く。
outlier で指定した地点を除いた、緯1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the aboveに、平均気温のデータをに付値せよ。
度のデータを
copyrightlati
notice,this list of conditions and temp
the following
disclaimer as the
COMPUTER
first lines of this file unmodified.
>
OPERATION 
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,>
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
問 6 lati とtemp を用いて回帰分析をやり直す。
lsfit()
関数の結果は
ls.result.g2
disclaimer
in the documentation and/or othermaterials
provided withthedistribution.
に付値し、回帰直線を記入せよ。さらに、回帰方程式を求めよ。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
今度の直線は破線にする。
abline()関数の引数にlty=2を加えるとよい。
SHONAN FUJISAWA JUNIORANDSENIOR HIGHSCHOOL,THE
COMPUTER>OPERATION
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE>
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR>
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
回帰方程式：CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
CAUSEDAND ONグラフィックス画面上に、文字列を追加す
ANY THEORY OF LIABILITY,
text(x, HOWEVERy, labels=n,
pos=m)
WHETHERIN
CONTRACT,STRICT
LIABILITY, OR TORT n はそれぞる。x, y は x 座標と y 座標を表すベクトルオブジェクト、(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
x, y, nIFの長さは一致してれに対応する文字列ベクトルオブジェクト。
OUT
OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN
ADVISED
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
いなければならない。

文字列を書く場所は pos=m で指定する。m は数値で、1 〜 4 でそれぞ2004/4/5

れその点の下・左・上・右に書く。

—NOTE—

87

4.6

作業結果の記録

PDF Version

解析結果をレポートなどにして提出する場合、R の出力を別の形式で保存できるようにすることが必要となる。印刷・ファイルに保存・他のソフトウェアへの貼り付けなど、R 以外の作業についてふれる。

4.6.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
操作したものは、基本的にウィンドウ内に残っていて、スクロールバーを移動さ
The Department of Mathematics
せることによって、前のものを見ることができる。さらに、その内容を保存すると作業履歴の保存きは、[File]-[Save to File] でよい。テキストファイルで保存されるので、他のソフ
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
トウェアで読み込むときには気をつけること。

(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
4.6.2 グラフィックスの印刷
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
前節の結果がグラフィックス画面に得られた。これを単独で印刷することは可能
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,である。ただし、その際には必ず作業者のログイン名をグラフィックス上に貼り付け
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
ること。後で手書きで名前を付け加えても、正式な物であるとはみなさない。これthe above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with theは、印刷した者が誰か、という責任所在を明らかにするものであり、確かにレポー
distribution.
ト作成者が印刷したものだという証拠にもなる。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
グラフに名前を貼り付けるには、
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
COMPUTER>
stamp()OPERATION
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS ORとする。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND[File]-[Print]
FITNESS FOR
メニューを次に、グラフィックスが表示されているウィンドウの、A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
選ぶ。Windowsの標準的な印刷ダイアログが表示されるので、必ずプリンタ名を確
KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL,THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
認して「OK」を押すこと。これでプリンタに印刷指令が送られる。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
印刷指令が送られても、すぐには印刷されない。プリンタは共有して使っていて、
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
多数の印刷指令が送られてきた場合には「列」になって待っている。プリンタの処
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
理に時間がかかる場合、列がなかなか短くならないので、印刷されなかったの錯覚
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,する場合が多いのだが、一旦列に並んだ印刷指令は、よほどのことがない限り勝手WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORTには消えない。自分が出した印刷指令は、以下ので確認できる。時間がかか(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE)URL
ARISINGIN ANY WAY
OUT
OF
THE
USE
OF
THIS
DOCUMENTATION,
EVENIF ADVISED
るようであれば、web ブラウザでチェックしてみること。なお、この画面から列にOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

並んだ印刷指令を取り消すこともできる。

2004/4/5

http://www2.sfc-js.keio.ac.jp/printer/—NOTE—

88

データ解析ワークブック（2003 年度版）

4.6.3

他のソフトウェアへの貼り付け
グラフィックスは、他のソフトウェアへも「貼り付け」

PDF Version

られる。グラフィックスが印刷されているウィンドウ内でマウスの右ボタンを押すと、右のようなポップアップ
メニューがあらわれる。ここで、Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

Fujisawa
Senior and Junior High School• Microsoft
Word に貼り付けるなど、通常の使い方ならば、「Copy as metafile」（メタファイル形式でコピー）を
The Department of Mathematics• Web に貼り付けるなど画像として扱いたいならば「Copy as bitmap」（ビッRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
トマップ形式でコピー）を(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
選択する。図がクリップボードに保存される。
met:
例として、
Microsoft ofWordに貼り付けてみよう。
Copy
as themetafile
1. Redistributions
sourcecode (LaTeX source) 「mustretainabove」で、メタ
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
disclaimer
as theファイル形式でクリップボードに保存してから、Microsoft Word を起動し、[編集
first lines of this file unmodified.
(E)]-[貼り付け(P)]（またはinCtrl+V）をしてみよう。図として貼り付けられる。そ2. Redistributions
compiled
form (transformed to other DTDs,のままだと使いづらいだろうから、大きさを変化させたり、「図の書式設定」の「レconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must
reproducetheabove
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
イアウト」で調整するなどしてもらいたい。
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
ビットマップ形式で貼り付けも可能だが、メタファイル形式と比べて図の品質がdistribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU下がったり、貼り付けた先のファイルが大きくなったりとあまりいいことはない。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
stamp()†IMPLIED図にログイン名と作業した日時を加える。
WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENTSHALL※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準のR にはない。
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

89

4.7

重回帰分析と空間の散布図

PDF Version

前節では余計なデータを取り除いたが、取り除いたデータが何かを考えれば、何が問題かは予想はつくだろう。この場合、高度のデータも用いた分析を行えば、よりよい結果が得られることが期待できる。このとき、「説明変数」が 2 つ以上になる。

4.7.1

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
回帰分析において、説明変数は複数あってもよく、説明変数が 1 つの場合を単回
The Department of Mathematics
帰（simple regression）、2 つ以上の場合を重回帰（multiple regression）と複数の説明変数がある回帰分析いう。重回帰分析では、たとえばデータから

4.7.2

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript,
with or without
Y = A + BRTF
+ Bso2 Xforth)
1 X1and2
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:などという形の式の係数 A, B1 , B2 を求めることになる。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
ここでは、説明変数は緯度を X1 、高度を X2 、被説明変数 Y を平均気温 Y とし
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theて、上のような式を作ってみることにする。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions2 inつのとき、一つ一つのデータはcompiled form (transformed to other
DTDs,
ところで、説明変数が3 つの値の組になるた
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
め、データの表す点は空間内の点と認識できる。空間では、
軸・y 軸のほかに z
the above copyright notice, this list of conditions and thexfollowing
軸が現れる。さらに、上の式で表された式は空間内の平面を表す。これらを表す図
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
を描いてみよう。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
空間の散布図を描くために
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
コンピュータの画面は平面であるから、空間の様子を描くときは、平面に投影しA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIOR HIGH
R でも擬似的にそのように見せる関数が用意されてそれらしく見せることになる。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORているが、そのままでは使うことができない。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
コンピュータ言語では、ある一定の機能を集めたもの（関数）の集団をライブラ
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF）ということがある。これらの中には、標準で（つまり何もしなくてリ（library
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
も）使えるものと、ある手続きをして初めて使えるようになるものがある。いちいHOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
ち手続きしなければ使えないというのは不便のように思えるかもしれないが、その(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
ような関数はたいてい用途が限られている。そういうものをいつでも使えるように
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
するとコンピュータの資源（メモリなど）が無駄になってしまう。そのため、必要
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

なときだけ使えるようにしているのである。もちろん、（気の利いたソフトウェアな
2004/4/5らば）用途によって、あらかじめいつでも使えるような手続きを踏むようにすることもできる。
—NOTE—

90

データ解析ワークブック（2003 年度版）

ここでは、「空間の散布図を描く」ライブラリを「追加する」という作業が必要に
COMPUTEROPERATIONなる。
 > library ( scatterplot3d )PDF Version

ライブラリの追加 何の？ 空間の散布図を描くライブラリは？

この作業で、scatterplot3d() という関数が追加される。しかし、この関数の使い方は多少難しいため、Microsoft Windows のようなグラフィカルユーザインタ

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa
Senior and Junior High Schoolう（Microsoft
Windows に限らない）さまざまなウィンドウシステムで使うことのを提供する機能群）を使うことにする。
できるツールキット（
TheGUI
Departmentof Mathematics
フェース（GUI）で操作するライブラリも追加しておこう。ここでは、Tcl/Tk とい

COMPUTEROPERATION

 > library (

tcltk

)

ライブラリの追加 何の？ Tcl/Tk GUI ツールキットを使うライブラリは？

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms
ここでは、次のような関数を用意しておいた。以上の関数を内部で使っている。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,eazyplot3d(x,are permitted provided
the following
conditions arey, z,that
ang=40,main="")met:
ang は見る角度
x, y, z はそれぞれ等しい長さのベクトルで、座標のデータである。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright
notice,
this
list
of
conditions
andthefollowing
disclaimer
as theを決める値である。main は、この図にタイトルをつけるときに与える。
first
lines
of
this
file
unmodified.
COMPUTER> eazyplot3d ( obs.geo[,2], obs.geo[,3], temp.av )OPERATION 
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
空間の散布図描画
何の？
x 座標は緯度y 座標は高度z 座標は平均気温を
は？
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
この関数を用いると、グラフィックスウィンドウの他に図を操作するウィンドウ
the above copyright notice, this list of conditions and the followingが現れる。左右に動くスライダを動かせば、見る角度が変わる。また、
Draw plane
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
のチェックをはずすと、平面を描かない。この平面は回帰方程式で表せる平面で、Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
内部で計算している。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
この関数は、空間の散布図を「疑似的に」表示する。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND 「擬似的に」というのは、軸ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THEの一つは必ず横方向で、もう一つの軸が必ず縦方向になるからである（きちんと平IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
面に投影すると、絶対にこうはならない！）。残りの軸が軸をどれだけの角度にA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
IN NO xEVENTSHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
するか指定することにより、見え方が変わっているのである。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
library(x)ライブラリ
x を追加する。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
eazyplot3d(x,y, z,OFang,main)† GOODS
x, y, zOR
座標がx, y, zLOSSで与えられる空PROCUREMENTSUBSTITUTESERVICES;
OF
USE,
DATA,
OR
PROFITS;OR
BUSINESSINTERRUPTION)間の散布図を描画する。ang は見る角度を決める値である。main は、
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
この図にタイトルをつけるときに与える。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY※ † がついている関数は、実習のために用意したもので、標準のにはない。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IFR ADVISEDOFTHE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
Note: ライブラリ scatterplot3d や、Tcl/Tk GUI ツールキットは、R の標準装備ではない（ライブラリ tcltk は標準装備）ため、別に導入する必要がある。
2004/4/5
自宅で R の操作をしている者はその点について気をつけること。不明な点は
授業担当者に確認するとよい。

—NOTE—

914.8

重回帰分析の実行と回帰の評価

PDF Version

前節の散布図で平面の様子を観察することはできるが、具体的な式を求めるときは、改めて計算しなおさなければならない。また、いままで行ってきた計算を振り返り、どれがよいモデルかを結論付ける必要もある。

4.8.1

COMPUTEROPERATION

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
平面の方程式を実際に求めるときは、やはり関数 lsfit() を用いる。第 1 引数
The Department of Mathematicsに行列（各列がそれぞれの説明変数に対応する）を与え、あとは同じである。

重回帰分析の計算方法

今回は、lsfit() 関数の結果は ls.result.g3 に付値する。
Redistribution←and use insource (LaTeX
source) and ‘compiled’forms)
 > ls.result.g3
lsfit( obs.geo[,2:3],
temp.av(SGML, HTML,PDF, PostScript, RTF説明変数は緯度・高度の順
and so forth) withor without をに付値せよ 何を？ 回帰分析の結果 何の？
被説明変数は平均気温
modification,arepermitted
providedthatthefollowingconditionsarelsfit() 関数が返す結果は単回帰の場合と同様である。ls.result.g3$coef
や
met:
ls.result.g3$residualは同じように使うことができる。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
問 1 ls.result.g3 を調べ、求めた回帰方程式を書け。X1 を緯度、X2 を高度として用
first lines of this file unmodified.
いるとよい。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
COMPUTER>OPERATION 
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
回帰方程式：
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
問 2 残差がどのようになったか、
ls.result.g3$residual
ctlchart()
identify()
IMPLIED WARRANTIES,INCLUDING, BUT NOT、LIMITED
TO, や
THE
IMPLIEDWARRANTIESOFMERCHANTABILITYAND
FITNESSFORを用いていくつか調べてみよ。
COMPUTER
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL>OPERATION 
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH>SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
なお、
Y = A + B1 X 1 +B2 X2 で与えられた式は、次のことを示している。
CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,• XPROCUREMENTだけが1増加したとき（X2 は固定）にはは B1 増加する。
OF SUBSTITUTEGOODS OR YSERVICES;LOSS OF1
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)• X2 だけが1 増加したとき（
Y OF
は LIABILITY,
B2 増加する。
1 は固定）には
HOWEVERCAUSED ANDXONANY THEORYWHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
4.8.2 回帰の評価と考察
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
ls.result.g3

回帰の評価は、残差の分散の大小（もちろん小さいほうがよい）の他に、単回帰
2004/4/5ならば相関係数（この場合は気温と緯度の相関係数）でも行うことができる。一つの方法だけでなく、さまざまな方法を試みて、総合的に判断するとよい。
—NOTE—

92

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問3

以下の表をうめよ。小数点以下第 3 位を四捨五入する。
相関係数の絶対値

ls.result.g1
ls.result.g2

PDF Version

残差の分散

Copyright 1998–2003
Keio Gijuku Shonan
×
Fujisawa Senior and Junior High School
以上の作業で、一通りの解析が終わったわけだが、単純に計算して終わりにしてThe Department of Mathematics
ls.result.g3はならない。ここから何が読み取れるか、現実との比較などをする。
まず、以上の操作で得られた回帰方程式をもう一度書いてみる。
X1 を緯度、X2
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms

を高度、(SGML,
Y を平均気温としてみるとよい。この式を作成したことで、「緯度・高度かHTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditionsare
ら平均気温を導く回帰モデル」を作成したことになる。つまり、「緯度・高度からそmet:の場所の平均気温はこうなるだろう」という理想の型を作り出せたことになる。
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
ls.result.g1
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
（緯度と平均気温）
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
ls.result.g2
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following（緯度と平均気温、外れ値除去後）
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with thels.result.g3
distribution.
（緯度・高度と平均気温）
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH 「回帰の評価」を行って適SCHOOL, THE
もちろん、これらの式は、そのままでは意味をなさず、
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
切なものを採用することになるだろう。さらに、式のそれぞれの意味を解釈する必IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
要もある。
「緯度が
1 度上がると気温はどうなるか」「高度が100 m FOR
上がると気温IMPLIEDWARRANTIESOF MERCHANTABILITY
AND FITNESSA PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
はどうなるか」ということは読み取れるはずであり、場合によっては既存の知識とKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
照らし合わせる作業も必要になるだろう。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
また、回帰直線・平面と、実際の点の位置関係にも注目するとよい。回帰方程式
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
はあくまで「モデル」であり、実際には何らかの偏りがグラフィックス上から読み
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
取れ、そこから新たな発見があるかもしれないのである。または、新たに考慮すべ
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
き要素を発見し、それを説明変数に加えることも有効かもしれないのである。ただHOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
OR TORTし、説明変数の数をやみくもに増やすのは得策ではない。
「説明すべき材料」が多く(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
なれば、事柄を正確に表せるのは当たり前のことなのである（しかも、重複する情OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF
報を与えすぎるのは有害な場合もある！）。 SUCH DAMAGE.

lsfit(x,y)

2004/4/5

x が行列の場合、重回帰分析を行う。

—NOTE—

93

95

付 録A

関数電卓の使いかた

A.1

電卓の使いかた（その 1）

PDF Version

関数電卓（いわゆる「慶応電卓」）での 1 変数統計処理のやりかたについて扱う。

A.1.1

キーの表記について

Copyright
1998–2003 Keio Gijuku Shonan
関数電卓のキーは、
1 つのキーに複数の機能が割り当てられている。ただ単にキーを押した場合は、たいていキーの表面に印刷されている機能が働く。
Fujisawa Senior and Junior High School SHIFT などのキーを押してから別のキーを押すことにより、別の機能を働かせることができる。

The Departmentof Mathematics
ここでは、このようなとき SHIFT 1/x[x!] のように記述することにする。




A.1.2

A.1.3

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
通常の計算
modification,
are permittedprovided that the following conditions aremet:
電源 ON は ON 、電源 OFF は SHIFTAC[OFF]である。計算を始めるときは、AC  must retain the above 
1. Redistributionsof source code
(LaTeX
source)を押して現在入力されているものを消しておくとよい。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
この電卓では、
 R と同じように式をそのまま入力すれば計算ができる。負の符号
2. Redistributions
in compiled form (transformed to other=DTDs,
12−と区別している。最終結果を得るためにはは (-) 、引き算は  convertedtoPDF, PostScript,
を押す。5.2 × 10
    RTF
  formats) and other must  reproduce−20
や 5.6 × 10という数は
the above
copyright
this1list2ofやconditionsand(-)
the2following
5 notice,. 2 EXP
5 . 6 EXP
0 でよい。直前の計
disclaimer
inthedocumentation
and/orothermaterials
providedwith the
算の値を使いたいときは、 ANS を用いる。
 distribution.
   
と同じような編集ができる。また、
DOCUMENTATION IS PROVIDED
BYは行末にあるときは最後
KEIO GIJUKU Important:  で R THISDELSHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIORHIGHSCHOOL,THEの 1 文字を、そうでないときはカーソル上の文字を消す。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
1 変数統計処理
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL,THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
MODE
キーで電卓の状態をいろいろ変更できる。ここでは、統計処理をする状態

ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, ORにしてみよう。 MODE を 2 回押し、「SD REG BASE」と表示されている状態にし DAMAGESBUT NOT LIMITED TO,
 CONSEQUENTIAL
 (INCLUDING,
を押す。もとに戻すときは
MODE
1
でよい。
たら 1 PROCUREMENTOF SUBSTITUTEGOODSOR SERVICES; LOSS OF    
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
統計処理を始めるときは SHIFT MODE[CLR] 1 = で以前のデータを消去する。
 AND
 ON ANY THEORY    OF LIABILITY,HOWEVER CAUSEDWHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY,
OR TORT
データを入力するには、数値を入力してからM+[DT]を押す。必要な数だけデー
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY
WAY
を複数回押
タを入力すればよい。同じ値を複数まとめて入力するならば、
OUT
OF
THE
USE
OF
THIS
DOCUMENTATION,EVENIFADVISEDM+[DT]
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
すか、 SHIFT ,[;] で区切って度数を入力する。後者の場合、度数が記録される。

 
  


で入力したものが見れる。x 2004/4/5○=というのは、○番目のデータの値、Freq ○  
=というのは、○番目のデータの値の度数（通常は 1、SHIFT,[;]で重複回数を指定—NOTE—

96

データ解析ワークブック（2003 年度版）


したときだけその値）である。以後の説明では、 SHIFT ,[;] は使わない。
 
データの修正は、その値が表示されているときに、正しい値を入力して = を押す。
 
度数も修正できるため、表示されているのが x ○=か Freq ○=を気をつけること。


PDF Version

誤ってデータを書き換えてしまわないよう、普通の計算をするときは AC を押してか 
ら式を入力することを忘れないように。
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan

データの消去は、x ○=か Freq ○=が表示されているときに SHIFT M+[CL] である。


Fujisawa Senior and Junior High School
消去したデータ以降の番号が一つずつ繰り上がる。


55、54、51The、55、Department
53、53、54、52 というデータを入力するには、of Mathematics
MODEMODE1 
で統計処理の状態にし、 SHIFT MODE[CLR] 1 = で以前のデータを消去してから、  
  
  
    55
M+[DT]
5
4
M+[DT]
5
1
M+[DT]
Redistribution
and
use
in
source(LaTeXand ‘compiled’forms  M+[DT]
        5source)5 M+[DT] 5 3 M+[DT](SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without5 4 M+[DT]5 2 M+[DT]と押す。
Ex.

Ex.

modification, are permitted provided that the following conditions are

51 のデータを削除するには、これが3 番目のデータだから、x3=または
met:


1.
Redistributionsofsourcecode(LaTeX
source)Freq3=が表示されている状態で SHIFTM+[CL]。 must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the

平均などの値を使いたいときは、次の通り。
 first lines of this file unmodified.
2. Redistributions
incompiled1[x̄]
form (transformed
to other DTDs,
SHIFT
2[S-VAR] and other平均
 PostScript,
converted to PDF,
RTF
formats) must reproduce
SHIFT2[S-VAR]] 標本標準偏差the above copyrightof conditions
and the following
3[xσnotice, this listn−1
disclaimer in theSHIFT
documentation
and/orother materials
provided with the1[S-SUM]
3[n]
データの数


 

distribution.

Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
これらはすべて計算の途中の値として使うことができる。値を求めるときは
= を押SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
すこと。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR

次のデータの平均・標本標準偏差を求めてみよう。平均は57.725IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED
TO,、標本標準偏差
THE
IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
は 8.2803· · · になる。

問1

A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
45 SHONAN
76 69 FUJISAWA
60 69 58
60 AND
44 43
51 HIGH
KEIO GIJUKUJUNIORSENIORSCHOOL, THE
BE LIABLEFOR
69 DEPARTMENT
58 59 56 OF
55 MATHEMATICS
57 57 56 58
57
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
50 65
45 72 (INCLUDING,
65 61 61BUT
56 NOT
52 LIMITED62
CONSEQUENTIAL
DAMAGESTO,PROCUREMENTSERVICES;
61 OF
49 SUBSTITUTE
50 65 53 GOODS
62 55OR70
40 58 LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERCAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
次のデータの平均・標本標準偏差を求めよ。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING 33
NEGLIGENCEOR OTHERWISE)
39 35 44
61 51 32 ARISING
51 48 IN33ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
50 49 50 46 41 57 32 39 44 41
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

41
57
46

30
38
49

41
42
44

35 43 52372004/4/5
39 37
36 44 37

43
47
44

42
38
44

29 52
36 28
54 32

—NOTE—97A.2

電卓の使いかた（その 2）

PDF Version

関数電卓（いわゆる「慶応電卓」）で相関・回帰の計算をする方法を述べる。

A.2.1

2 変数統計処理の基本

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
2 つのデータを同時に処理したり、相関係数を求めたりすることができる。ここでは、それぞれのデータを
X と Yandとしておく。
SeniorJunior High School Fujisawa
 
MODE
MODE
2
1
で、基本的な 2 変数統計処理の状態にできる。


The
  Department
 of Mathematics
 
1 変数統計処理の時と同様、SHIFTMODE[CLR]1 = で以前のデータを消してから処理をはじめること。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutに対応するデータを入力し、Y に対応するデータ
modification, are permitted
provided that the following conditionsare, で区切って、それから続けて

met:を入力し、 M+[DT] で入力する。データの修正方法は 1 変数のときと同様である。
 of source code (LaTeX source) must retain the above
1. Redistributions
y ○=という形のものもあることに注意せよ。
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirstlines1005)of this file unmodified.
Ex.
データの組 (4, 1003)、(8, 、(12,
 1010)、(16, 1011)、(20, 1014)、(24, 1017)
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,を入力することを考える。まず、 SHIFT MODE[CLR] 1 = で以前のデータを消去し
 RTF and other formats)  must reproduce
converted to PDF, PostScript,てから、次の操作をする。
the
above
copyright
notice,
this
list
of
conditions              and the following
 
disclaimer
in the documentation
and/orother materials
providedwith the
4
,
1
0
0
3
M+[DT]
8,
1
0
0
5
M+[DT]
12,
1
0
1
           distribution.
           0 M+[DT]
  
1
6
,
1
0
1
1
M+[DT]
2
0
,
1
0
1
4
M+[DT]
2
4,
1
0
1
Important:
THIS
DOCUMENTATIONISPROVIDEDBY
KEIO
GIJUKU                    7 M+[DT]
SHONAN FUJISAWA
JUNIORAND SENIOR HIGH SCHOOL,
THE
Ex.
上の作業の後、(24, 1017)の値の組を消す場合、これは
 6 番目のデータだか
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
ら、x6=, y6=, Freq6=のいずれかを表示させた状態で SHIFT M+[CL] を押す。
 TO, THE
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOTLIMITED
それぞれのデータの組の平均などを求めたり、相関係数・回帰式の係数を使いた
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED.
IN NO
EVENT SHALLY = A + BXの形である。
いときは次の通り。なお、回帰方程式は
KEIO
GIJUKUSHONANFUJISAWAJUNIORANDSENIORHIGHSCHOOL,THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
SHIFT
2[S-VAR]1[x̄]Xに対応するデータの平均 ANY DIRECT, INDIRECT,INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
Y (INCLUDING,に対応するデータの平均
CONSEQUENTIAL
BUT NOT LIMITED TO,
SHIFT
2[S-VAR] 1[ȳ]DAMAGESPROCUREMENTOF
SUBSTITUTEGOODSORSERVICES; LOSS OF
SHIFT
2[S-VAR]3[xσ]Xに対応するデータの標本標準偏差n−1 USE, DATA,  ORPROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
SHIFT2[S-VAR]] Y に対応するデータの標本標準偏差 CAUSED3[yσHOWEVER
 n−1 AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT,STRICT LIABILITY, OR TORT
入力した値の回帰方程式の係数
A
SHIFT2[S-VAR]  1[A]
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY  2[B]
入力した値の回帰方程式の係数 B
SHIFT
2[S-VAR]  OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOUTOF THE USE
入力した値の相関係数r
THE
OF SUCH DAMAGE.
SHIFT2[S-VAR]OF 
3[r]POSSIBILITY


今回は、2 組のデータであるから、2 つの値を入力しなければならない。先に X   SHIFT
2[S-VAR]X に代入し、そのときの Y の値   2[ŷ] 直前の値を
2004/4/5
SHIFT2[S-VAR]   1[x̂] 直前の値を Y に代入し、そのときの X の値
—NOTE—

98

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問1

上のデータ（(24, 1017) を消したもの）の相関係数、回帰方程式を求めよ。

PDF Version上の例で求めた回帰方程式で、値の予測をしてみよう。
  
X = 11 のときのYの値を予想するには、
1998–2003 Keio
Gijuku1 1 SHIFT Shonan Copyright  
2[S-VAR]



2[ŷ]
と押す。答えは 1007.9。
 Fujisawa    High
Senior and Junior
SchoolY = 1010 のときの X の値を予想するには 1 0 1     The
Department of Mathematics
0
SHIFT
2[S-VAR]    1[x̂]と押す。答えは 14。
問2

上の例で求めた回帰方程式で、X = 18 のときの Y の値、Y = 1000 のときの X のRedistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms

値を求めよ。
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

問3

modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
以下のデータについて、散布図を描き、相関係数
・回帰方程式を求めよ。また、X = 25
first lines of this file unmodified.
Redistributions
compiledXform(transformed to other DTDs,のときの Y2. の値、
Y = 13 inのときのの値を求めよ。
must
reproducex convertedyx to PDF,
y PostScript,
x
y RTF
x and
y otherx formats)
y
x
y
x
y
the above copyright notice, this list of conditions and the following
32 disclaimer
928in the11documentation
42 4
34 8other12materials
20 provided
17 17 with14the 19
and/ordistribution.
25 13 21 14 19 16 14 16 21 15 19 13 26 25
27 Important:
12 13 THIS
18 DOCUMENTATION
35 5
40 IS
6 PROVIDED
12 18 BY27KEIO
11 GIJUKU
44 3
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
28 DEPARTMENT
10 17 19OF 40
4
23 13
11 AND
20 ANY
24EXPRESS12 11OR 20
MATHEMATICS“AS IS”
IMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITEDTO, THE
37 7
19 17
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

99

101

付 録B

R についてB.1

R の入手方法と作業環境の移動

PDF Version

R は GPL のフリーソフトウェアである。自宅で実習をしたい者は手にいれるとよい。また、（予定だが）CD-ROM の貸与も行う。なお、World Wide Web（web）の情報は刻々と変化している。以下の記述は 2003 年 4 月 6 日現在のものであり、Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
B.1.1 インターネットからのソフトウェアの入手
The Department of Mathematics
この実習で必要なものは、次の 3 つである。
印刷物となったときには変化しているかもしれない。

• R Redistribution
本体and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without• Tcl/Tk
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:• 実習用データ
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theWorld Wide Web
このうち、実習用データ以外はインターネットから入手できる。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions inRcompiled
form (transformed to other DTDs,
が一番わかりやすいだろう。
は http://www.r-project.org/
からたどれるリン
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce

ク先から入手できる。
2003 年
4 月this6 日現在の最新版は
1.6.2
the above copyrightnotice,list of conditions andthe であり、
following rw1062.exeというファイルにすべてが入っている。かなり巨大なファイルなので、電話回線でdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
入手するつもりの者は覚悟すること。

Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU

scatterplot3d()は標準のライブラリではないので、追加する必要がある。上でSHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “ASIS” AND ANY EXPRESS OR
scatterplot3d.zipを入手してほしい。
あげたところから、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
Tcl/Tkは http://www.activestate.com/ から ActiveTcl という名前で提供さ
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORである。
というれている。最新版は
A PARTICULAR8.4.2.0
PURPOSEARE ActiveTcl8.4.2.0-win32-ix86.exe
DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
ファイルにすべてが入っている。これも巨大なファイルなので、使用の際には注意
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
インストール方法
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT CD-R に焼い
以上のソフトウェアは、実習用データとともにあらかじめ入手して(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYてあるので、必要がある者は CD-R の貸与をうけるとよい。簡単なインストール方OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDWindows 版のみである。
法を以下にあげる。ただし、
OF THE POSSIBILITYOF SUCH DAMAGE.

すること。

B.1.2

まず、作業の前に適当なフォルダを開き、[ツール (T)]-[フォルダ オプション (O)]2004/4/5の中の「表示」タブを選択し、「登録されているファイルの拡張子は表示しない」のチェックをはずす。これにより「.doc」だの「.xls」だのファイル名のよけいな部—NOTE—

102

データ解析ワークブック（2003 年度版）

分も出てきてしまうが、この部分を隠していることによりウィルスにだまされやす
くなるのも事実なので、この際慣れておくとよい。

PDF Version

1. rw1062.exe を実行し、R をインストールする。インストール先などを勝手に変更はしないこと。

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
る。これも、インストール先などを勝手に変更しないこと。
The
Department of Mathematics
3. rwork03.exe
が実習用データのインストーラである。実行して、出力される
2. ActiveTcl8.4.2.0-win32-ix86.exe を実行し、Tcl/Tk をインストールす

メッセージに従えばデータがインストールされる。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms

4. デスクトップ上にR のショートカットができるので、それをダブルクリックし(SGML, HTML, PDF,
PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted provided
that
the following
are
て実行し、
[Packages]-[Install
packagefromlocal zip conditions
file...] を選択する。ファmet:scatterplot3d.zip
イル選択の状態になるので、
1. Redistributions of source code
(LaTeX source) mustを選択する。
retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the

なお、実習用データのインストーラは、Documents フォルダのなかに rwork
first lines of this fileMy
unmodified.
2. Redistributions in compiledRform(transformed to other DTDs,というフォルダを作成する。そこに関係のデータがすべて格納されている。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce

ドライブのというファイルであり、これを持学校での個人のデータは
the above copyright Inotice,
this list.Rdata
of conditions
and the following
ち帰り、
rwork フォルダにコピーをすれば作業の続きができる。逆の動作で自宅のdisclaimer
in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
.Rdata ファイルが破損するとデー
作業を学校に持っていくこともできる。ただし、Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU

タが消えてしまうため、取り扱いには注意すること。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE

DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
2004/4/5—NOTE—

103

105

付 録C

練習問題

C.1
問1

練習問題その 1

PDF Version

次の式を計算する R の式を答えよ。また、計算した結果が普通の数ならばその値を、普通の数でない場合はその理由を答えよ。

（1） 6 − 35Copyright÷7×9
1998–2003 Keio Gijuku Shonan（2） (−2)2 − 3 × 5

Fujisawa Senior and Junior High School（3） 6 ÷ {9 − (3 + 2) × 5 + (−4)2 }
Department（4） 2 × {3 ÷ 2The+ (6 −
9) × (−1)3 } of Mathematics
次の図 1・図 2 について、あとの問いに答えよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
0
20 40 60 to
80 PDF,100
020 40 60
80 100converted
PostScript,
RTF
and other formats) must reproduceA
the above
copyright notice, Bthis list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
23
4
A0 PARTICULARARE
IN 1NO EVENT
SHALL
20 40 60 80 100 PURPOSE
0
20 40
60 DISCLAIMED.
80 100KEIO CGIJUKU SHONAN FUJISAWA
JUNIOR AND SENIOR HIGHDSCHOOL, THE
OF MATHEMATICS BE LIABLE
図DEPARTMENT1
図 2 FORANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR（1） 図 1・図 2 はそれぞれ何といったか。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,（2） 図PROCUREMENT
1・図 2 は 4 つのオブジェクト、a2、a3、SERVICES;
a4 に関してのものである。
a1
OF SUBSTITUTEa1GOODSORLOSS OF
USE,
DATA,
OR
PROFITS;OR
BUSINESSINTERRUPTION)〜a4 の平均値・標本標準偏差の値は次の表の通りである。
HOWEVER CAUSED a1
AND ON ANY
OF LIABILITY,
a2 THEORYa3
a4
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
平均値
60.61
59.29
29.97 IN51.41667(INCLUDINGNEGLIGENCEOR OTHERWISE)
ARISINGANY WAY
OUT 標本標準偏差OF THE USE OF9.01166
THIS DOCUMENTATION,EVEN IF8.25092
ADVISED2.886034 3.131640
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
90

25

80

20
15

50
40

15

30

10

20

0

0

5

5

Frequency

15
10Frequency

20

20

25

60

0

0

5

5

70

10

Frequency

15
10Frequency

20

30

25

問2

図 1・図 2 を作成する操作（ただし図のタイトルなどは意図的に消去してある部
2004/4/5

分がある）は、次の通りである。空欄に入るものを答えよ。

—NOTE—

106

データ解析ワークブック（2003 年度版）

【図 1 の作成方法 なお横軸の範囲は 0 〜 100 である】
COMPUTEROPERATION

 > par(mfrow=c(2,2))> hist(> hist(PDF, Version
)
ア

,

イ

オ

)

オ

Copyright
1998–2003
Keio
GijukuShonan> hist(ウ,オ)
Senior>Fujisawa
hist(エ,and Junior
オ)High School
The Department of Mathematics【図 2 の作成方法】
COMPUTEROPERATION

問3

問4

 > par(mfrow=c(1,1))

Redistribution
and useカin source
andforms )> boxplot(, (LaTeX
キ source),
ク ‘compiled’,ケ(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
次の各問に答えよ。
met:
1. Redistributions
source code (LaTeX source) must retain the above
R ofの式を作成せよ。
（1） 次の手順を表す
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thea. ベクトル A の各要素から、A の中央値を引いたものを A1 に付値する。
first lines of this file unmodified.
2. Redistributions
in compiled
form (transformed
to other DTDs,b. ベクトル
A1 の各要素を0.7 倍したものを
A2 に付値する。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyrightnotice, this listA3ofに付値する。
conditions and the followingc. A2 の各要素に30 を加えたものをdisclaimer in the documentation and/or other materials provided with thed. 以上の操作を A3 と A だけを用いて1 行で表記する。
distribution.
Important:
THIS
DOCUMENTATIONISPROVIDED
KEIO GIJUKU（2） 前問で、A の要素が 29、49、85、63、53のとき、BY
A3 の各要素の値を答えよ。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
9
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS“AS IS” ANDy ANY
OR+ 32 である。
温度表記で「摂氏x 度」を「華氏y 度」に直す式は= xEXPRESS
5
IMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITEDTO,
THE（1） 「摂氏」で表記しても「華氏」で表記しても同じ値になる温度を求めよ。
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR（2） ベクトル
B の各要素は「華氏」の気温のデータである。これを「摂氏」に直し
A PARTICULARPURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLGIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND1 SENIOR
HIGH
たものを KEIO
B1 に付値したい。どのようにすればよいか、行で答えよ。
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR（3） ベクトル B の各要素が 0.5, 95, 41, −22 のとき、前問の操作で得られるベクト
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
ル B1 の各要素の値を求めよ。
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE
GOODS
— 解答
— OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA,OR BUSINESS
問 1 （1）6-35/7*9,−39 OR（2PROFITS;）(-2)^2-3*5,−11 （3）INTERRUPTION)
6/(9-(3+2)*5+(-4)^2), 0 で割っ
CAUSED AND ON ANYている（4）HOWEVER
sqrt(2*(3/2+(6-9)*(-1)^3)),
3 THEORY OF LIABILITY,
IN CONTRACT,STRICT LIABILITY,
OR イ
TORT
問 2 （1）図WHETHER
1· · · ヒストグラム, 図 2· · · 箱ひげ図（2）ア a3,
a2, ウ a4, エ a1, オ(INCLUDINGNEGLIGENCEOTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
xlim=c(0,100),
カ a4,
キ a3, ク a1,OR
ケ a2
THE
OF THIS DOCUMENTATION,ADVISED
問 3 （OUT
1） a.OF A1← USE
A-median(A)b. A2 ← A1*0.7 EVENc. A3IF←
A2+30 d. A3 ←OF
THE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
(A-median(A))*0.7+30 （2） 13.2, 27.2, 52.4, 37, 30
95
問 4 （1） −40 度（x = x + 32 を解く） （2） B1 ← (B-32)*5/9 （x = (y − 32) で
2004/4/559ある） （3） −17.5, 35, 5, −30—NOTE—

107

C.2
問1

練習問題その 2

PDF Version

次のようなオブジェクト d がある。

i
xi xi − x̄ (xi − x̄)2
 > d
1 16
[1] 16 23
14 29 29 23
31 23
Copyright
1998–2003
Keio Gijuku
Shonan2 23[9] 29 33 28 29 20 45 39 37
Fujisawa Senior and Junior High3 School
14[17] 33 22 29 28
4 29
The Departmentof
次の操作において、
ア、イ Mathematics、
5 29
ウに出力される値を、小数第 36 ‘compiled’
23
Redistribution and use in source (LaTeX source) andforms
位を四捨五入して求めよ。計算は R を用
(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth)
7 with31 or without
いず、電卓などを使うこと。計算の際は、
modification, are permitted provided that the following conditions are
8 23
met:
右の表を用いるとよい。
9 retain
29 the above
COMPUTER
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must> length(d)OPERATION 
copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer
as the10 33[1]ア
first lines of this file unmodified.
11 28> mean(d)2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats)must reproduce
12 29
[1]
イ above copyright notice, this list of conditions and the following
the
13 20
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the> sqrt(var(d))
14 45
distribution.
[1] Important:ウ
THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED
15 BY39KEIO GIJUKUCOMPUTEROPERATIONSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE

平均値
x̄ =
16ANY37EXPRESS OR
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS “AS IS” AND
IMPLIEDWARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT17LIMITED
33 TO, THE
標本分散
S2 =
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
18 22
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
標本標準偏差 S =
19 29

問2

KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS
20 BE
28LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT合計
LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
以下の問いに簡潔に答えよ。
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)（1） 量的データと質的データの違いを述べよ。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
（2） 代表値とはなにか。平均値と中央値の求め方・性質の違いは何か。
(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY（3） 散布度とは何か。分散と四分位数の求め方・性質の違いは何か。
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED[] でくくられた数値が表示として現れることがよ（4） R を用いていると、行頭にOF THE POSSIBILITYOF SUCH DAMAGE.

くある。この表示の意味を述べよ。

2004/4/5（5） R の計算結果の表示において、1.2425e+35、5.2315e-12 とはそれぞれどういう意味か、述べよ。
—NOTE—

108

データ解析ワークブック（2003 年度版）

（6） R におけるベクトルの長さとは何か、述べよ。
（7） 論理数のベクトルで、TRUE の数を数えるための方法を説明せよ。作業の方法だけでなく、そのようにしてできる理由も説明すること。

PDF Version（8） 2 組のデータ「0, 4, 8」と「2, 2, 2, 2, 4, 6, 6, 6, 6」において、それぞれ(x1 − x̄)2 + · · · + (xN − x̄)2（分散の定義の分子の式）の値を計算し、これから分散
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonanの定義の式で「データの個数」に関係する値で割っている理由を説明せよ。
— 解答—
Fujisawa Senior andJuniorHigh School
The Department of Mathematics

問1
データの個数は 20 個だから、アは 20。平均ixi xi − x̄ (xi − x̄)2
値は (16 + 23 + · · · + 28) ÷ 20 = 28 だから、
1
16
−12
144
イは 28。
223−525
Redistribution
and
use
in
source(LaTeX
source)and‘compiled’forms
右の表の結果から、標本分散は 1070
√ ÷ (20 −3 with14 or−14(SGML,HTML,
PDF, PostScript,
RTF
without 196
標本標準偏差は56.31579· · · and= so forth)1) = 56.31579· · ·、
4
29conditions
1 are
1provided that the following
だから、ウは are
7.50permitted。
7.504 · · · modification,
5
29
1
1
met:
（問 2 は略）
623−5 above 25
1. Redistributions of source code (LaTeX source) mustretain the
copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer
731
3 as the 9
first lines of this file unmodified.
8
23
−5
25
2. Redistributions in compiled form (transformed
other DTDs,
9 to 291
1converted to PDF, PostScript, RTF and other formats)must reproduce
10 33
5
25
the above copyright notice, this list of conditions
the following
11and28
00disclaimer in the documentation and/or other materials
12 provided
29
1with the 1
distribution.
13 20
−8
64
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDEDGIJUKU 289
※注意
14 BY
45KEIO17SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
15 SCHOOL,
39
11 THE 121
ここにあげた問題はあくまで一つの例であDEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND
ANY
EXPRESS
OR 81
16 37
9
り、たとえ記述問題であってもいろいろ問
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT
LIMITED
TO,
THE
17 33
5
25
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
うべき題材はあります。また、問い方もい
18 22
−6
36
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL
19
29
1
1
ろいろ変化させることができます。自分のKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
20 28
0
0
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
実力のチェックのために用いてください。
合計
1070
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
この練習問題にないような問題がテストに
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
出ても不思議ではありません。そのあたり
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
は勘違いしないように。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

2004/4/5—NOTE—

109

C.3

練習問題その 3

PDF Version

数値を求める問題は、すべて小数点以下第 3 位を四捨五入すること。
問1
COMPUTEROPERATION

s.phys1 はあるクラス（40 人）の物理の 1 学期試験の結果である。

 > s.phys1Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan[1] 81 70 50 57 76 57 73 52 66 74 72 57 66 58 68 58 99 64 61 69
Fujisawa Senior and Junior High School[21] 60 53 57 60 62 63 71 50 48 78 65 58 70 63 46 73 80 56 64 79

The Department（1） 次の操作において、
ア、 of Mathematics
イ、ウ
COMPUTEROPERATIONに出力される

値を、小数第 3 位を四捨五入して求めよ。計算は R を用いず、電卓などを使うこと。
 > length(s.phys1)
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or withoutア
modification, are permitted provided that the following conditions are> mean(s.phys1)met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above[1]イ
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the> sqrt(var(s.phys1)) first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,[1]ウconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce（2） 「z.phys1に、物理の
1 学期の点数を標準化したものを付値する」
the above
copyright notice,
this list of conditions and the following 「t.phys1
disclaimer
in the documentation
and/or other materials provided with theに、z.phys1
を用いて物理の1 学期の個々の偏差値を付値する」以上の作業を表す
distribution.
R の式を答えよ。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU（3） s.phys2には、物理の学期の試験結果が、には、物理の
3 学期の
SHONANFUJISAWA 2JUNIORAND SENIOR s.phys3
HIGH SCHOOL,THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
試験結果が、すでに付値されている。次の出力を見て、さらに偏差値を計算して、
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
出席番号 1、2、3 の生徒の点数が、1 年間でどのように変化したかを述べよ。
IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORCOMPUTER> mean(s.phys2)
OPERATION 
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL[1] 59.4KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR> sqrt(var(s.phys2))
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR[1] 7.13
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF> s.phys2[1:3][1] 55 63 USE,
52 DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,> mean(s.phys3)
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY[1] 71.9
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED> sqrt(var(s.phys3))
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

[1][1] 14.5> s.phys3[1:3][1] 75 80 60

2004/4/5—NOTE—

110データ解析ワークブック（2003 年度版）

問2

5 行 5 列の行列オブジェクト mat がある。◯の位置を表す式を答えよ。
1

2

3

◯

◯

1

1

2

3

4

5

PDF Version
2
2

◯

◯

◯

◯

◯

（ ）

◯ ◯ 1998–2003 Keio Gijuku
3
Copyright
Shonan◯ ◯4Fujisawa Senior and Junior5High
School◯ ◯ ◯ ◯of Mathematics
1
2The3 Department
4
5
1
2
3
4

3
4
5
1

問3

5
1

2

（1）

4

◯

◯

1

◯

◯

◯

5

◯

◯

and
2 Redistribution◯◯ use◯in source (LaTeX source)
2 and ‘compiled’ forms（3）（4）(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF
and so forth) with or without
3 ◯
◯ ◯
3
◯ ◯
◯
modification, are permitted provided that the following conditions are
4 ◯
◯ ◯
4
◯
◯
◯
met:
1.
Redistributionsofsourcecode(LaTeX
source)must
retain
the
above
5 ◯
◯ ◯
5
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
5 行 5 列の行列オブジェクト mat において、以下の式で表される場所を示せ。
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
2） PostScript,
mat[,3:5]RTF and（3）mat[c(2,5),c(1,3)]（1） mat[2,]converted to（
PDF,
other
formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE
IN NO EVENT SHALL—DISCLAIMED.
解答 —KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
文法を問うものは、以下に挙げるもの以外の解も存在する可能性がある。
THE64.6
DEPARTMENT
OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
問 1. （SCHOOL,
1）ア 40、イ、ウ 10.71
ANY
DIRECT,
INDIRECT,
INCIDENTAL,
EXEMPLARY,（2）z.phys1 ← (s.phys1 - mean(s.phys1)) /SPECIAL,
sqrt(var(s.phys1))、 OR
CONSEQUENTIAL
DAMAGES(INCLUDING,
BUT
NOT
LIMITEDTO,
t.phys1 ← z.phys1 * 10 + 50
PROCUREMENTOF SUBSTITUTE
OR SERVICES;
LOSS（3）偏差値は、
1 学期は 65.32,
55.04, 36.36、2GOODS
学期は 43.83、55.05、39.62、3OF
学期は 52.14、DATA, OR PROFITS;
OR1BUSINESSINTERRUPTION)
55.59、41.79USE,となるはずである。
「出席番号の生徒は、大きく変化しながら成績降下」「出
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,「出席番号 3 の生徒は、
席番号 2 の生徒は、良く言えば現状保持、悪く言えば伸びていない」
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
良くはないが着実な進歩が見られる」みたいなことが言えればよいであろう。
NEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
問 2 （1(INCLUDING）mat[2:4,2:3]（2）mat[c(1,5),]
OUT OF THE、USE
OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISED（3）mat[,c(1,3,4)]mat[,-c(2,5)]（4）mat[c(1,3,4),c(2,3,5)]
OF
THE
POSSIBILITYOF
SUCH
DAMAGE.
問 3
（1）

1
2
3
4
5

1

2

3

4

5

◯

◯

◯

◯

◯

（2）

1
2
3
4
5

1

2

2004/4/5

3
◯
◯
◯
◯
◯

4
◯
◯
◯
◯
◯

5
◯
◯
◯
◯
◯

（3）

1
2
3
4
5

1

2

3

◯

◯

◯

◯

4

5

—NOTE—

111

C.4
問1

練習問題その 4

PDF Version

exe.kokugo、exe.sugaku、exe.rika、exe.shakai というベクトルオブジェクト
は、生徒 16 人のテストの（架空の）点数データである。
（1） このデータを、「生徒の点数は行単位で格納され、Copyright
1998–2003 Keio Gijuku1 列目が国語、Shonan 2 列目が数学、3 列目が理科、4 列目が社会となる」行列オブジェクト exe.score に付値した

Fujisawa Senior and Junior High School
The Departmentof Mathematics（2） 文字列ベクトルオブジェクト
exe.subjectに、「kokugo、sugaku、rika、い。どのようにすればよいか。

shakai」の順で文字列が並ぶように付値せよ。
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’forms にある。
exe.name（3） 生徒の名前のデータが次のようにベクトルオブジェクト
COMPUTER(SGML,HTML,
PDF,
PostScript,
RTF
and
so
forth)
withor
without>
exe.name
OPERATION
modification, are permitted provided that the following conditions are[1] "Iida""Abe""Yasuda""Yaguchi""Ishikawa"met:.
.
. 1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyrightの軸名札属性を、
notice, this list of exe.nameconditions 、
andthe following disclaimer
as theexe.subjectを用いてつけよ。
exe.scorefirst lines of this file unmodified.
Goto」「Fujimoto「
Matsuura」という者がいることはわかって（4） 生徒の中に「
2. Redistributions
in compiled」
form(transformed
to other DTDs,
converted
to
PDF,
PostScript,
RTF
and
other
formats) must
reproduceの全体を見ることなく、いるが、何番目かはわからない。exe.name や exe.scorethe above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the（5） 次のような出力結果が得られた。
distribution.
COMPUTER> cor(exe.score)
OPERATION 
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONANFUJISAWAJUNIOR AND SENIORSCHOOL, THE
kokugosugakurika HIGHshakai
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
kokugoIMPLIED
1.0000000
0.9496047-0.85440590
0.16818495
WARRANTIES,INCLUDING,
BUT NOT
LIMITED TO, THE
WARRANTIESOF MERCHANTABILITY
AND FITNESS FOR
sugakuIMPLIED
0.9496047
1.0000000-0.77039305 0.13612781
PARTICULAR -0.7703931
PURPOSE ARE1.00000000
DISCLAIMED.0.06278093
IN NO EVENT SHALL
rika A -0.8544059
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
shakaiSCHOOL,
0.1681850
0.1361278 0.06278093
1.00000000
THE DEPARTMENT
OF MATHEMATICS
BE LIABLE FOR
この行列は、（A）n 行m 列の値とm 行 n 列の値が等しく、（B） nOR行 n 列の値
ANY DIRECT,INDIRECT,
INCIDENTAL,
SPECIAL, EXEMPLARY,CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
が 1 である。
（A）、（B）の理由を簡潔に述べよ。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
つのグラフと、以下の（a）〜（c）の cor(exe.score) の要素との対（6） 次の 3USE,
DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)
応をつけよ。
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,CONTRACT,（a）2 行WHETHER
3列
（IN
b）
1 行 2 列 STRICT（c）3LIABILITY,
行 4 列 OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
80
40

（C）

20

55

（B）

45

50

55

60

65

70

75

2004/4/5
45

50—NOTE—

112

55

−20

30

45

0

50

（A）

40

60

50

60

65

60

70

彼らの理科のテストの点数のみを取り出すには、どのように入力すればよいか。

60

65

70

30

40

50

60

データ解析ワークブック（2003 年度版）

問2

以下の文章は、相関係数についての説明の文章である。空らんにはいる言葉を答えよ。

相関係数は、2 つのデータの間にどのくらい直線関係があるかを判断するための

PDF Version

一つの材料となる値である。

II I
Fujisawa
Senior4 and Junior High School
III IVI
IV

その求め方の基本的なアイデアは、次の通りである。

1 つの値の組(xi , yi ) を点とみると、データは右の図
Copyright
1998–2003 Keio Gijuku ȳShonanのようなグラフになる。ここで、2 つのデータの平均(x̄, ȳ) を境に からまでの つの領域にわけ、あThe
Departmentof Mathematics
る 1 点の配置を考えると、x̄• この点が I の領域にあれば、(xi − x̄)(yi − ȳ) の符号は あ 、Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
are permitted provided
that
the −
followingconditionsare• この点が III の領域にあれば、
(xi −
x̄)(y
ȳ) の符号はう、imet:
1. Redistributionsof source code (LaTeX
source)must retain the above• この点がIV の領域にあれば、(xi − x̄)(yi − ȳ) の符号は え 、copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as theとなる。全体の影響を見たい時は、これらの値をすべて加えればよいが、その和first lines of this file unmodified.
が お ならば点はI と III inに多く存在することになり、右上がりの傾向、すなわ
2. Redistributions
compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
ち か の相関が見られることになる。和が き ならば点は II と IV に多く存在す
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or othermaterials provided with the
く の相関が見られることになる。和
ることになり、右下がりの傾向、すなわち
distribution.
が 0 に近ければ、それぞれの領域にバランスよく散らばってることになり、相関
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUということになる。
は けSHONAN
FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR— 解答 — BUT NOT LIMITED TO,
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING,
文法を問うものは、以下に挙げるもの以外の解も存在する可能性がある。
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
問 1（1）exe.score← OR
matrix(c(exe.kokugo,exe.sugaku,
exe.rika,
USE, DATA,PROFITS; OR BUSINESSINTERRUPTION)
exe.shakai),16,4)
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,（2）exe.subject← c("kokugo","sugaku","rika","shakai")
WHETHERIN CONTRACT,STRICT
LIABILITY,
OR TORT（3）rownames(exe.score)←exe.name、(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY
colnames(exe.score)← exe.subject、
OUT OF THE USE
OF THIS DOCUMENTATION,EVEN IF ADVISED（4）exe.score[c("Goto","rika"]OF THE"Fujimoto",
POSSIBILITY"Matsuura"),
OF SUCH DAMAGE.
（5）（A）データが入れ替わっただけだから（B）同じデータの相関係数だから（6）a–B、b–A、c–C
2004/4/5
問 2
あ：正、い：負、う：正、え：負、お：正、か：正、き：負、く：負、け：ない• この点が II の領域にあれば、(xi − x̄)(yi − ȳ) の符号は い 、—NOTE—

113

C.5

練習問題その 5

PDF Version

数値を求める問題は、すべて小数点以下第 3 位を四捨五入すること。
問1

ad.cost と sales は、それぞれある企業のある年度における宣伝広告費（単位 億円）と売上高（単位十億円）の（架空の）データである。また、
company.name は、
Copyright
1998–2003 Keio Gijuku Shonan

それぞれの企業の名前である。データは次の通りであった。
Fujisawa Senior and Junior High School
COMPUTER> ad.cost
OPERATION[1] 33 16 33 23
32 Department
33 28 27 31 42of21Mathematics
29 37 15 22 44 32 35 32 17The> sales[1] 8540 78 and62 use70in source
40 63
63 source)
80 99
72 87
Redistribution(LaTeXand 54‘compiled’forms36 50(SGML,[16] 101
67 HTML,73 83PDF,
38PostScript, RTF and so forth) with or without
modification,
areHpermitted
provided that the following conditionsare（1） 以下の（A）〜（）の操作の解説を読み、あてはまる
R への入力を答えよ。
met:
軸（横軸）が宣伝広告費、
y 軸（縦軸）が売上高となり、点がそれぞれの（A） 1.x Redistributionsof source code (LaTeX source) must retain the above
企業を表す図を表示する。
copyright
notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
（B） マウスで、それぞれの点をクリックしたときにそれぞれの企業名がでるよ
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
うにする。
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
above copyright notice, this list of conditions and the following（C） （theC）で指定したものの、実際の宣伝広告費の値を出力する。
disclaimer
in the documentation and/or other materials provided with the（D） 宣伝広告費と売上高の相関係数を求める。
distribution.
（E）Important:「宣伝を打てばそれだけ売上は伸びることが期待できる」という考えのもTHIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIORYANDSCHOOL, THE= ASENIOR+ BX HIGHの形）を行う。
と、回帰分析（回帰方程式は
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR（F） 回帰分析の結果の定数項 A と 1 次の係数 B の値を読みとる。
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
回帰方程式のあらわす直線をグラフィックス上に加える。
（G）IMPLIEDWARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FORCOMPUTERAAPARTICULARPURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL>（）
OPERATION 
KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
> sel SCHOOL,←（B） DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FORTHE
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR>（C）
CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENTOF
SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF[1] 33 33
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)>（D）
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
[1] 0.8695709(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAYOUT OF ←THE USE
OF> ls.result1（E）THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDOF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

>（F）

Intercept

X

2004/4/5—NOTE—

114

データ解析ワークブック（2003 年度版）

5.569833 2.112721>（G）

PDF Version（2） （A）で描いた図を何というか。

（3） （B）で選んだ点の個数はいくつと考えられるか。
（4） （E）で、説明変数と被説明変数は何であると考えられるか。

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
図を描き、どの企業かを調べてみた。以下の操作にあてはまるものを答えよ。
 > sel ←（H） Department(ls.result1$ of（Mathematics
I）
)
The

（5） 宣伝広告費の割に売り上げがよくない企業が一つありそうである。残差の管理

COMPUTEROPERATION> sel[1] 6 Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms（6） よく調べてみると、この年この企業は不祥事を起こし、売り上げが伸び悩んだ(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions are
ようである。そこで、この企業のデータを外して再度回帰分析を試みてみる。次のmet:

操作で、このデータを外したオブジェクト
ad.cost.sel
sales.sel
を作成せよ。
1. Redistributions of source code (LaTeX
source) must、
retainthe above
COMPUTER> ad.cost.sel← this（listJ）of conditions and the following disclaimer as the
OPERATION
copyright notice,first lines of this file unmodified.

> sales.sel←（K）
2. Redistributions
in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF,
PostScript,
RTF and other formats) must reproduce（7） ad.cost.sel,
sales.sel
を用いて回帰分析をやりなおした。このとき回帰方
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
関係数 r を求めよ。
distribution.
Important:
THIS
DOCUMENTATIONIS PROVIDED BY KEIO GIJUKU
以下、この回帰方程式について答えよ。単位に気をつけること。
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE（8） 宣伝広告費が 30 億円の企業の売上高はいくらになると考えられるか。
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
億円の売上の企業がかけた宣伝広告費はいくらになると考えられるか。
（9） 480
IMPLIEDWARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND —
ON解答
ANY—
THEORY OF LIABILITY,
文法を問うものは、以下に挙げるもの以外の解も存在する可能性がある。
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT）（A）plot(ad.cost,sales)
問 1 （1(INCLUDINGNEGLIGENCEOR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY（B）identify(ad.cost,labels= company.name)（Cad.cost[sel]OUT OF THE USEsales,
OF THISDOCUMENTATION,
EVENIF）ADVISED（D）cor(ad.cost, sales)（E）lsfit(ad.cost,（F）ls.result1$coef
OF THE POSSIBILITYOF SUCHsales)
DAMAGE.
（G）abline(ls.result1) （2）散布図 （3）2 つ （4）説明変数は「宣伝広告費」、被説（H）identify（I）residual （6）（J）ad.cost[-sel] （K）
明変数は「売上高」 （5）2004/4/5
sales[-sel] （7）A = 4.00、B = 2.23、r = 0.96 （8）（A）709 億 4000 万円 （B）19
億 7200 万円

程式 Y = A + BX の定数項 A と 1 次の係数 B はそれぞれ何になるか。また、相—NOTE—

115

C.6
問1

練習問題その 6

PDF Version

以下の文章は、回帰分析についてと、その R 上での方法についての説明の文章である。空らんにはいる言葉を答えよ。

二つのデータの間に何らかの因果関係がある場合、
Y = f (X)のような式であらわ
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku
Shonanすことができる。このとき、X にあたるものを

あ変数、Y にあたるもFujisawa Senior and Junior HighSchoolい変数という。特に f (X) が一次式の場合（つまり Y = A + BXのをThe
Department of Mathematicsの形になっているとき）、線型回帰という。

(xi , yi )さて、回帰方程式を求めるには、適当

う値
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ formsに線を引いて定めるのではなく、実際のεi(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) withor without
Y =areA + BX
データ（
う
値）
y
と直線上の
え 値 conditionsimodification, are permitted
provided that the following
met:
yi
値（
え
値）A + Bx との差
1. Redistributions of source icode (LaTeX source) must retain the above
A + Bxi
εi = copyrightyi − (A +Bxi )thisができるだけ小さ
notice,list of conditions and the following disclaimer
as thefirst lines of this file unmodified.
くなるように A と B を定めるようにす
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,εi を to PDF,
お PostScript,
という。
る。この
xi reproduce
converted
RTF and other formats) must
1 点だけ考えるのならば、この直線がthe above copyright notice, this list of conditions and the following
in the documentation
and/or other materials provided with the(xi , yidisclaimer) を通るようにA と B を定めればよいのだが、それでは他の点における
distribution.
おが大きくなってしまう可能性があるので意味がない。そこで、デーImportant:
THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
おが小さくなることを考える。全体を考えるときはすべて足
タ全体の
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUTしてしまうのが一番簡単であるが、特におNOT LIMITEDの平方和TO, THE
IMPLIED WARRANTIESOFMERCHANTABILITYAND
FITNESS FORNNA PARTICULAR PURPOSE
2 ARE DISCLAIMED. IN NO
2 EVENT SHALLεi ={yi − (A + Bxi )}KEIO GIJUKU SHONAN
FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
i=1i=1
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
が一番小さくなるように
A と INCIDENTAL,
B を定める、SPECIAL,
か EXEMPLARY,を用いることが多い。
ANY DIRECT, INDIRECT,OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
Rでか
によって A と B の値を求める関数の名前はきであPROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OFる。この関数はA と OR
B の値を計算してくれるが、A と B の値が確定するとUSE, DATA,PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERCAUSED
AND
ON
ANY
THEORYOF
LIABILITY,
おを計算することができる。
それに応じてすべてのデータに関しての
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
き
関数はこれも計算して返してくれるが、この値は「
AとB の値」と(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANYWAYOUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF
は質が異なるため、行列やベクトルとしてまとめられない。
R ADVISED
ではこのような質
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

の異なるデータをまとめる形として、

2004/4/5—NOTE—

116

くというデータ形式がある。

データ解析ワークブック（2003 年度版）

— 解答 —
問 1 あ：説明、い：被説明、う：実測値（観測値）、え：理論値、お：残差、か：最小二乗法、き：lsfit、く：リスト

PDF Version
Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as thefirst lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,
converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
the above copyright notice, this list of conditions and the following
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the
distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKUSHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDINGNEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY※注意
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED
ここにあげた問題はあくまで一つの例であり、たとえ記述問題であってもいろいろ
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

問うべき題材はあります。他にも問うべき内容があるかもしれませんし、たとえこ
2004/4/5

こにあげた内容でも、問い方もいろいろ変化させることができます。自分の実力のチェックのために用いてください。
—NOTE—

117

C.7
問1

練習問題その 7

PDF Version

ある会社の 20 か所の営業店舗とセールスマンの人数・広告費・売り上げの関係について調べたい。以下のようなファイルが用意されている。

• salesdata.txt·
・広告費（十万円）
・売
Copyright· · 各行に「セールスマンの人数（人）
1998–2003 Keio Gijuku Shonan
り上げ（値の解説は後述）」があるデータ

Fujisawa Senior and Junior High School
The Department of Mathematics（1） salesdata に、salesdata.txt から読み込んだデータを 20 行 3 列のデータ• salespos.txt· · · 各行に営業店舗の地名がある文字列データとなるように付値せよ。
Redistribution
use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms（2） salesdataの 3 and
列目は「売り上げ」のデータであるが、これは次のような構(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without

造をしている。
modification, are permitted provided that the following conditions aremet:
この営業店舗では A・B という 2 つの製品を売っていて、A は 1 つ 150 万円、B
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the
たら、A が 2 つ、B が 7first
つ売れたということを表している。
lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs, salesdata
以上のことを用いて、それぞれの店舗の実際の売り上げ金額（百万円）がconverted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduceの 3 列目になるようにするにはどうすればよいか。
the above copyright notice, this list of conditions and the following（3） salesposに、から読み込んだ文字列をベクトルとして付値
disclaimer inthesalespos.txt
documentation and/or
other materials provided with the
distribution.
せよ。
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU（4） salesdata、列の名札に「SHONANの軸名札属性として、行の名札に「地名」
FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL,
THE salesman」
OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
sales」を付値せよ。
「ad」「DEPARTMENTIMPLIEDWARRANTIES,INCLUDING, BUT 「広告費」
NOT LIMITEDTO, THE（5） これらの営業店舗の「セールスマンの人数」「売り上げ」の平均を一IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
気に求めるには、どうすればよいか。
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH
（6） 「広告費をかけることにより売り上げが伸びる」と考えて、単回帰モデルの構
SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
築を行う。
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR• 広告費と売り上げの相関係数を求め、
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF• 説明変数・被説明変数が何かを考えて散布図を描き、USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)HOWEVERCAUSED AND
ON ANYに付値する）
THEORY OF、LIABILITY,• 回帰分析を行い（結果はls.result1
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT(INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY• 回帰直線を散布図に加え、
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED• 回帰方程式を求める
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

は 1 つ 60 万円である（消費税は考えない）。ここの値がたとえば 2.07 となってい方法をあらわせ。
2004/4/5（7） ctlchart() 関数を用いて、「残差の管理図」を描き、外れ値と思われる番号
を outlier に付値する作業は、どのようにすればよいか。
—NOTE—

118

データ解析ワークブック（2003 年度版）

（8） 前問の outlier で示されるデータを削除して（削除したあとの「広告費」「売り上げ」データを、それぞれ ad.sel と sales.sel に付値する）もう一度上記の回
帰分析を行うにはどうすればよいか。回帰分析の結果は ls.result2 に付値するものとする。

PDF Version（9） 「セールスの人材投資も売り上げに影響する」と考え、「セールスマンの人数」

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan
回帰分析の結果は
ls.result3に付値するものとする。
Fujisawa
Seniorand Junior High School「セールスマンを 12 人」「広告費を 82 万円」という投資（10） この結果を用いて、The Departmentof Mathematics

を X1 、「広告費」を X2 としたときの回帰方程式を求めるにはどうすればよいか。

を行う営業店舗を新たに作ると、そこの売り上げ（万円）を予測する計算をする式を答えよ。

Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms— 解答 —(SGML, HTML, PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without
問 1 （1） salesdata ← matrix(scan("salesdata.txt"), 20, 3, byrow=TRUE)
modification, are permitted provided that the following conditions are（2） a ← floor(salesdata[,3]), b ← salesdata[,3] - a,met:salesdata[,3] ← (a*150 + b*100*60)/100
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above（3） salespos ← scan("salespos.txt","")
copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer as the（4） rownames(salesdata) ← salespos, a ← c("salesman", "ad", "sales")first lines of this file unmodified.
（5）apply(salesdata, 2, mean)
colnames(salesdata) ← a
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs,（6）cor(salesdata[,2], salesdata[,3]), plot(salesdata[,2], salesdata[,3]),converted to PDF, PostScript, RTF and other formats) must reproduce
ls.result1 ← lsfit(salesdata[,2], salesdata[,3]), abline(ls.result1),
the above copyright notice, this list of conditions and the following
ls.result1$coef を調べる
disclaimer in the documentation and/or other materials provided with the（7）ctlchart(ls.result1$residual),
distribution.
outlier ← identify(ls.result1$residual, labels=salespos)
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU（8）ad.sel ← salesdata[-outlier,2], sales.sel ← salesdata[-outlier,3],
SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THEcor(ad.sel, sales.sel), plot(ad.sel, sales.sel), ls.result2 ← lsfit(ad.sel,
DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR
sales.sel), abline(ls.result2), ls.result2$coef を調べる
IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, THE（9）ls.result3 ← lsfit(salesdata[,1:2], salesdata[,3])
IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR（10）(ls.result3$coef[1] + ls.result3$coef[2]*12 + ls.result3$coef[3]*8.2)*100
A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALLKEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR
ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR
CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO,
PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF
USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION)※なお、このデータは
HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN
CONTRACT,STRICT
LIABILITY, OR TORT
J:Y
=RY
=localY=2003Y=salesdata.txt(INCLUDING NEGLIGENCEOR
OTHERWISE)
ARISING IN ANY WAY
J:Y=RY=localY=2003Y=salespos.txt
OUT OF THE USE OF THIS DOCUMENTATION, EVEN IF ADVISEDとして実際に用意してあります。ためしてみる場合は、ファイル名を上記のものに
OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.

してやってみてください。なお、R 上では、ファイル名の Y=は/にかえます。
2004/4/5

また、自宅で再現してみる場合は、実習用データにこのデータがありますので、
特に変更なくできるはずです。
—NOTE—

119

データ解析ワークブック（2003 年度版）
執筆・編集 慶應義塾湘南藤沢中等部・高等部 数学科 ／ 今橋 貞二

Copyright 1998–2003 Keio Gijuku Shonan Fujisawa Senior and Junior High School, The
Department of Mathematics. All rights reserverd.
Redistribution and use in source (LaTeX source) and ‘compiled’ forms (SGML, HTML,PDF, PostScript, RTF and so forth) with or without modification, are permitted provided
that the following conditions are met:
1. Redistributions of source code (LaTeX source) must retain the above copyright notice,
this list of conditions and the following disclaimer as the first lines of this file unmodified.
2. Redistributions in compiled form (transformed to other DTDs, converted to PDF,
PostScript, RTF and other formats) must reproduce the above copyright notice, this listof conditions and the following disclaimer in the documentation and/or other materials
provided with the distribution.
Important: THIS DOCUMENTATION IS PROVIDED BY KEIO GIJUKU SHONAN
FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGH SCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS “AS IS” AND ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING,
BUT NOT LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO
EVENT SHALL KEIO GIJUKU SHONAN FUJISAWA JUNIOR AND SENIOR HIGHSCHOOL, THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS BE LIABLE FOR ANY DIRECT, INDIRECT, INCIDENTAL, SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL
DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE, DATA, OR PROFITS; OR BUSINESSINTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY THEORY OF LIABILITY,
WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE OF THISDOCUMENTATION, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.