熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda (U. Tokyo)
熱場の量子論とその応用
August 24-26, 2020

Based on my on-going workIdea

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

2/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

3/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

4/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

5/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量
A

B(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N
同じ熱力学的状態

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

6/ 37

Idea

期待・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0

AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

7/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0

AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N・低エネルギー領域での重い粒子の効果: 有効理論における高次の演算子

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

8/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0

AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N・低エネルギー領域での重い粒子の効果: 有効理論における高次の演算子

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数)

9/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0

A

B(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N・低エネルギー領域での重い粒子の効果: 有効理論における高次の演算子

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数)

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数) ≥ 0

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

10/ 37

Idea
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0A

B

(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N

・低エネルギー領域での重い粒子の効果: 有効理論における高次の演算子

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数)

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数) ≥ 0
UVの理論から生成された高次の演算子の係数は任意の値を取れない

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

11/ 37

ポスターの内容
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

S(A) − S(B) ≥ 0

AB(軽い粒子) ⊗ (重い粒子)(軽い粒子) ⊗ (重い粒子なし)

E, V, NE, V, N・低エネルギー領域での重い粒子の効果: 有効理論における高次の演算子

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数)

S(A) − S(B) ∝ (高次の演算子の係数) ≥ 0
UVの理論から生成された高次の演算子の係数は任意の値を取れない
e.g. Single massless theory dimension-8 term, Euler-Heisenberg model, dimension-6 four-fermion theory
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

12/ 37

Contents
Introduction

Entropy constraint

Entropy constraint in effective field theory

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

13/ 37

Introduction
Higgs粒子の発見後、新しい素粒子はLHC実験で見つかってない

新粒子の質量は電弱対称性の破れのスケールより遥かに大きいかもしれない

新粒子はon-shell stateではなく、量子補正の効果として間接的に見えてくるかもEDM, Muon g-2, Flavor physics, …

有効場の理論は重い粒子の間接測定において重要な道具
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

14/ 37重い粒子の寄与
低エネルギーにおいて、重い粒子は積分され、有効場の理論で現象が記述できる

有効場の理論

重い粒子を含むUV理論
Energy scale

mh ~ 重い粒子の質量
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

15/ 37

Flow chart:
conventional case
重い粒子の寄与
Matching at LR scale: tree

one-loop

低エネルギーにおいて、重い粒子は積分され、有効場の理論に情報が移るµ = µLRµ = µµ=
LRµLR

==
FF
==
11µ = MWL++

F =1
有効場の理論WRH±

軽い粒子のみがon-shell状態ℒ=ℒ+d≤4µ = MW
FL= 1 eﬀ
F =1

F =1

F =2

FF= =2 1==

重い粒子を含むUV理論

F+H0

F F= =
2 2= SMEFT RGE+

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

+重い粒子++SMEFT RGEµ = µLRµ = MWL=SMEFT RGE
Energy scale+mh ~ 重い粒子の質量d>4
CiOi
∑
i

F =2FF==
2 2

SMEFT RG
F =2from LR to16/ 37

F

Contents
Introduction

Entropy constraint

Entropy constraint in effective field theory

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

17/ 37

Entropy
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

18/ 37

Entropy
・熱力学エントロピー : 系に含まれる自由度の数を特徴付ける量

HUV (軽い粒子) ⊗ (重い粒子)

H̃ = PHUVP (軽い粒子) ⊗(重い粒子なし)−βHUV−β̃H̃/ Z̃β̃Z̃β̃ = Tr[Pe−β̃H̃ρ=eZβ = Tr[e/Zβρ̃ = Pe−βHUV]]

E = Tr[ρHUV] = Tr[ρ̃H̃]・重い粒子のある世界の方がエントロピーが大きい :熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

S(ρ) ≥ S(ρ̃)
19/ 37

エントロピーが大きくなることの証明
・相対エントロピーの非負性:S(ρ̃ | | ρ) ≡ Tr[ρ̃ ln ρ̃] − Tr[ρ̃ ln ρ]= − β̃Tr[ρ̃H̃] + βTr[ρ̃HUV] − ln Z̃β̃ + ln Z= − β̃Tr[ρ̃H̃] + βTr[ρ̃H̃] − ln Z̃β̃ + ln Z= E(β − β̃) + ln Z − ln Z̃β̃ρ = e −βHUV /Z

Tr[ρ̃HUV] = Tr[ρ̃Pl HUVPl] = Tr[ρ̃H̃]E = Tr[ρ̃H̃]= S(ρ) − S(ρ̃)S(ρ) = Eβ + ln Z, S(ρ̃) = Eβ̃ + ln Z̃β̃≥0

ΔS = S(ρ) − S(ρ̃) ≥ 0

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020ρ̃ = Pe −β̃H̃ / Z̃β̃,20/ 37分配関数に成り立つ不等式・正のエントロピーシフト:

ΔS = S(ρ) − S(ρ̃)= E(β − β̃) + ln Z − ln Z̃β̃S(ρ) = Eβ + ln Z, S(ρ̃) = Eβ̃ + ln Z̃β̃= E(β − β̃) + ln Z − ln Z̃β + (β − β̃)∂ ln Z̃β̃∂ ln Z̃β̃∂β̃= ln Z − ln Z̃βE=−≥0ln Z − ln Z̃β ≥ 0

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020∂β̃ln Z̃β̃ = ln Z̃β − (β − β̃)∂ ln Z̃β̃∂β̃: Thermodynamic relation

21/ 37

場の理論における理解の準備HUV = Hl + Hh + Hl+h・系のハミルトニアン :Hl =Hh =∞∑ ∫Nl,Ml=0 |q|<ΛUVdq′1⋯dq′Nldq1⋯dqMl × al†(q′1)⋯al†(q′Nl)al(qMl)⋯al(q1)CNl l Ml(q′1, ⋯, q′Nl, q1, ⋯, qMl)∞

∑ ∫|p|<ΛNh,Mh=1

Hl+h =UV∞∑Nl,Nh,Ml,Mh=1

dp′1⋯dp′Nhdp1⋯dpMh × ah†(p′1)⋯ah†(p′Nh)ah(pMh)⋯ah(p1)CNhh Mh(p′1, ⋯, p′Nh, p1, ⋯, pMh)∫|q|,|p|<Λ

dp′1⋯dp′Nhdq′1⋯dq′Nldp1⋯dpMhdq1⋯dqMl

UV× ah†(p′1)⋯ah†(p′Nh)al†(q′1)⋯al†(q′Nl)ah(pMh)⋯ah(p1)al(qMl)⋯al(q1)CNhh Mh(p′1, ⋯, p′Nh, p1, ⋯, pMh)・射影演算子 :P = 1̂Pl<ΛUV ⊗ | 0⟩⟨0 | h・密度演算子 :e −β HUV
ρ=ZUV

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

mh = ΛUV → ∞H̃ = PHUVP = Hl
Pe−β HlZ̃β=Pe−β H̃

Z̃β22/ 37

場の理論における正のエントロピーシフトの理解
・分配関数 : ZUV = Tr[e] = d[ϕl]d[ϕh]e∫−β HUV= d[ηl]e∫≃e≃e−IUV[ϕl,ϕh]−Ieﬀ[ηl;ϕl0,ϕh0]−ΔI[ϕl0,ϕh0]−ΔI[ϕl0,ϕh0]∫d[ηl]eZ̃β

古典解まわりで展開

Ieﬀ[ηl; ϕl0, ϕh0] = IUV[ϕl0 + ηl, ϕh0]+ ΔI[ϕl0 + ηl, ϕh0]
繰り込み可能項

ln ZUV − ln Z̃β ≥ 0
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

= d[ηl]d[ηh]e∫−IUV[ϕl0+ηl,ϕh0+ηh]−IUV[ϕl0+ηl,ϕh0]

高次演算子 ∼ 𝒪(ℏ)ΔI[ϕl0 + ηl, ϕh0] ≃ ΔI[ϕl0, ϕh0](1-loop level)ηl ∼ℏlim ZUV = Z̃β = Tr[Pe −βH̃ ], lim ΔI = 0mh→∞mh→∞00
ΔI[ϕl , ϕh ] ≤ 023/ 37

Contents
Introduction

Entropy constraint

Entropy constraint in effective field theory

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

24/ 37

Entropy boundの応用例 (1)e.g.

1c24ℒ = − (∂ϕ) + 4 (∂ϕ)
2M

Euclidean path integral :: Massless scalar with shift symmetry

1c424Ieﬀ[ϕ] = d x (∂ϕ) − 4 (∂ϕ)[2]∫Mc
44ΔI[ϕcl] = − 4 d x [(∂ϕcl) ] ≤ 0M ∫c≥0: Entropy constraint

analyticity & unitarity of forward amplitudeから得られる制限と一致[Adams, Arkani-Hamed, Dubovsky, Nicolas, Rattazzi ’06]
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

25/ 37

Entropy boundの応用 (2)
e.g.

aiμ2
ℒ = ψ̄(iγμ∂ − m)ψ + 2 (ψ̄Γiψ) : Dimension-six four-fermion theoryMμμΓ1 = 1; Γ2 = γ ; Γ3 = iγ5; Γ4 = γ γ5; Γ5 = σμνai42(ψ̄Γψ)
Euclidean path integral : Ieﬀ[ψ] = d x ψ̄(−iγμ∂ + m)ψ −i[]∫M2ai24ΔI[ψcl] = − 2 d x [ψ̄clΓiψcl] ≤ 0M ∫ai ≥ 0: Entropy constraintanalyticity & unitarity of S matrixから得られる制限と一致[Adams, Jenkins, O’Connell ’08]
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

26/ 37

Entropy boundの応用 (3)e.g.

221eeμνμρνμρνℒ = − FμνF + α2∂F∂
F+α∂F□∂Fμνρ
4μν
ρ
45!π 2mh26!π 2mh444eeμν 2μν−6+γ4,1(FF)+γ(FF̃)+𝒪(m):Euler-Heisenberg
Lagrangianμν
4,2μνh6!π 2mh46!π 2mh444ee1eeμν 2μν 24μνμρνμρν −γ(FF)−γ(FF̃)Ieﬀ[A] = d x FμνF − α2
∂F
∂
F−α∂
F□
∂
F
4,1μν
4,2μνμνρ
4μν
ρ
]
6!π 2mh46!π 2mh4[4∫5!π 2m 26!π 2m 422hh2244eeeeμρνμρνμν 2μν 2ΔIeﬀ[A] = − d 4 x α2
∂F∂F+α∂F□∂
F+γ(FF)+γ(FF̃)
≥0μν
ρ4μν
ρ
4,1μν4,2μν[ 5!π 2mh2]∫
6!π 2mh4
6!π 2mh4
6!π 2mh4

γ4,1 ≥ 0, γ4,2 ≥ 0

Acl,μ = ϵ1,μw1 + ϵ2,μw2, ∂μw1 = lμ, ∂μw2 = kμanalyticity & unitarity of forward amplitudeから得られる制限と一致[Remmen, Rodd ’19]
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

27/ 37

UV theoryの例
e.g. Euler-Heisenberg Lagrangian generated by heavy particles

1μνIUV[A, ϕ] = d x FμνF + ℒ[4]∫21m
22 2μμνμℒ = (Dμϕ) + m ϕ , ψ̄(iγμD − m)ψ, G Gμν +U Uμ42444eeμν 2μν 2Quantum correction at one-loop level : ΔI[A] = − d 4 x γ4,1(FF)+γ(FF̃)
≤0μν
4,2μν
∫
6!π 2m 4[ 6!π 2m 4]

7 4 1 4 261 4γ4,1 =Q , Q ,Q ,32
232

1 4 7 4 243 4
γ4,2 =Q , Q ,Q
32832

: Scalar, Fermion, Vector[Heisenberg, Euler ’36] [Quevillon, Smith, Touati ’19]

Entropy boundと一致
熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

28/ 37

Summary
低エネルギー領域において、重い粒子の効果は有効場の理論の高次演算子で記述される.
相対エントロピーの非負性から、重い粒子の効果でエントロピーが増加することを示した.
エントロピー不等式によって、UV理論から生成された有効理論の高次の演算子は任意の数を取れないことをしめした.

熱力学エントロピーによる有効場の理論への制限
Daiki Ueda: 熱場の量子論とその応用, August 24-26, 2020

29/ 37