となる。
また、複素屈折率と誘電関数の間には、  ≡   +   =  ,14.8
  ≡    − K =   =  ,14.9
  ≡ 2   K  =   ⁄ = ⁄ ,14.10の関係がある。
1

前回の復習:誘電関数
前回の復習 誘電関数:
誘電関数

0減衰

透過


P

分散関係:
分散関係
: 振動数

真空中の光の分散関係


: 波数


(補足) 波動方程式から導出した誘電関数の結果ではσ≠0の時に虚数成分が現れて電磁波が熱となって減衰する。
一方、ドルーデ・モデルではω<ωPの時に誘電関数の実部が負となり全反射が起こる。
3磁性体の種類:
磁性体の種類物質は磁気的性質によって以下のように分類できる。
反磁性: 外部磁場と反対向きの非常に弱い磁化が発生する。ほとんどの非磁性物質は弱い反磁性を示す。
(a) 常磁性: 外部磁場と同じ向きの弱い磁化が発生する。
(b) 強磁性: 外部磁場が無くても自発磁化が存在している。いわゆる永久磁石。
(c) 反強磁性: 隣り合う電子スピンが互い違いに整列し、全体として磁化を持たない。
(d) フェリ磁性: 反強磁性だが隣り合うスピンの大きさが異なるため、全体として磁化を持つ。
5前回の復習:
前回の復習 ドルーデ・モデル(Drudeドルーデ・モデルModel)による誘電による誘電関数の微視的考察
振動数ωの外部電場Eをかけた時の誘電関数は、
  2
(14.14) ( )   0 1  P2 , 
 2 ne e 2  P : プラズマ振動数  0 meとなる。また、この時の分散関係は、r   ( ) 1k  2   P 2 , (14.15)
0ccとなる。これは、電磁波の周波数ωがω<ωPの場合は|k|が純虚数となり電磁波は物質を透過できない(全反射が起こる)が、ω>ωPの場合は電磁波は物質を透過できることを示している。



2

前回の復習:電磁波)の反射率
前回の復習 光(電磁波電磁波 の反射率(Reflectivity)の反射率
真空と物質の境界面で電磁波が垂直反射される場合の反2
射率Rは、
21  1  P /  2
R, (14.20)
21  1  P /  2となる。また、(ω<ωP)の時にはルートの部分が純虚数にな1, (   P )るので、Rは、
2
2R   1  1  P /  2, (   P )1.2221
 1  1   P / となる。

0.8R

前回の復習:
前回の復習 誘電関数(誘電率誘電関数 誘電率)
誘電率 (dielectric function)(非磁性の)金属導体中では、電磁波の分散関係は、r  ( ) k   2  i  N ( ), (14.11)
cc0 N ( )  n( )  i ( ) : 複素屈折率   ( )   r ( )  i i ( ) : 誘電関数 0.6

プラズマ
0.2振動数ωPEｔ

0.4z=0
Ei

00123

ω

456Er4

磁気モーメント(MagneticMoment): (電気磁気学参照)
磁気モーメント
磁荷は単独で取り出せず、常にN極とS極が対になっている
ので、電荷の電気双極子モーメント⃗に相当する磁気双極子モーメント⃗を使って表される(E-H対応)。ちなみに、磁気双極子モーメントのことを単に磁気モーメントともいう。
磁気: 仮想磁荷qm
電気: 電荷qrrrrrr  qm sベクトル sベクトル sd  qs
仮想磁荷−qm
電荷−q
真空中に置かれた半径rの円形の導線上を、上から見て反r
時計回りにループ電流 ⃗が流れているとすると、
r
その磁気モーメント⃗は下記の様に表せrる(付録1参照)。
⃗の向きは上向きである。
rr
 r rr   0 S   I , S  r 2 : 円の面積
電流 Ir






61

原子核の周りを回る電子がつくる(軌道原子核の周りを回る電子がつくる 軌道)磁気モーメント
軌道 磁気モーメント
磁気モーメント ⃗! :電子が原子核を中心として半径rの円上を速度vで回っているとする。この時、電子は1秒間にv/2πr回原子核の周りをまわるので、電流はI = −ev/2πrとなり、その磁気モーメントは、
rrrrr rr ev    0er  v   0eL
 r r
2 rl  0 S   I ,   0r  ,22mer
 r 2r rr r r r
L  me r  v  r  p : 角運動量, me : 電子の質量となる。電子は負の電荷を持っているので、磁気モーメントrlr⃗! と角運動量"は、互いに逆向きとなる。
rIr
第4回で学習した量子力学を思い出す−eと、角運動量演算子Lは運動量演算子Pr rr r r rrv
Lを使って、L  r  P  r  ih   ih y  z , z  x , x  y ,yx
z
y
x 
 z



7

 ( )  ( )  ( )  2 ( ) l (l  1)( ) ( ), sin 
sin     sin 2   2
 1   1 2  h2 
 sin ( ) ( )  sin 2   2  sin   
 h 2l (l  1)( ) ( ),2L ( ) ( )  h 2l (l  1)( ) ( ), (15.2)が得られる。従って、 主量子数n、 方位量子数l、磁気量子数mの電子軌道φn,l,mにいる電子の角運動量の大きさ "r22
は、 L 2
n ,l , m ( r )  L R ( r )( ) ( )  R ( r )L ( ) ( )r
 h 2l (l  1) R(r )( ) ( )  h 2l (l  1) n ,l ,m (r )r2rr
 L  n ,l ,m (r ), (15.3), L  h l (l  1) , (15.4)となり、方位量子数l だけに依存している。そのため、方位量子数は「軌道角運動量量子数」と呼ばれることもある。
9となる。そして、そのz成分は、− /"# − /ℏ+
!,& === −2 +, (15.7)
2+02+0 /ℏ2 ≡: ボーア磁子2+0となる。以下に方位量子数l=2の場合の磁気モーメントの例を図示する。
z(注意) z成分の最大値=2 1のことを「軌道磁気モーメントの大きさ」とする場合もある。

21m=0-1-2l (l  1)  6(l  2の場合)
11と書けるので、この2乗L 2 を計算して極座標に変換すると、
 1   1 2 , (15.1)
L 2  h 2  sin  2  sin   2  sin   となる(付録2参照)。一方、第4回で学習した水素原子の周りを回っている電子軌道の(4.13)、(4.14)式をm2を消す様に組み合わせると、

 1  ( )  m2  sin    l (l  1)  2 ( )  0, (4.13)   sin   sin   
 2 ( )2m()
0,(4.
14)

 2

1  
( )  1
 2 ( ) ( ) sin    l (l  1) sin     
 ( ) sin 2   2 
 0,8

また、角運動量のz成分Lzは、 (4.14)式と付録2より、) $%,!,& '⃗L# $%,!,& '⃗ = −ℏ= ℏ + $%,!,& '⃗)*≡ "# $%,!,& '⃗ ,"# = ℏ+, 15.5と求まる。一方、Lx, Lyは不確定性原理によりLzと同時には求めることが出来ない。
第4回で学習した様に、方位量子数lは自然数(l=0,1,2,…)なので角運動量の大きさも離散値しか取れない。同様に、磁気量子数mの取れる値の範囲もm=−l, −l +1,…,l−1, l なので、Lzも離散値しか取れない。
従って、φn,l,mの電子軌道にいる電子の軌道磁気モーメントの大きさ ⃗! は、 15.6− /" /" /ℏ 1 1 + 1⃗! ==== 2 1 1 + 1 ,2+02+02+010

電子のスピン磁気モーメント
電子のスピン磁気モーメント ⃗6 :電子は原子核の周りをまわりながら、自転もしている。この自転(スピン)は、方位量子数l=1/2の角運動量を持つ(詳細は省略、相対論的量子力学から導出される)。従って、電子スピンの磁気量子数mはm=1/2,−1/2となり、電子スピンの角運動量の大きさ 7⃗ と、そのz成分Szは、r
11  h 3
hS  h l l  1  h   1 , S z  hm   ,22 22となる。よって、電子スピンによる磁気モーメントの大きさ⃗6 とそのz成分は、 8 ≅ 2.0023: 8因子
8 / 7⃗
 /ℏ 3⃗6 =≅= 2 3, 15.82+02+0⃗6,±<⁄ = −8 /7# ⁄2+0 ≅ ∓ /ℏ⁄2+0 = ∓2 , 15.9となる。(注意: 軌道磁気モーメントと違ってg因子が付く。)

2ゼーマン効果(Zeemanゼーマン効果effect):
原子に外部磁場H(=B/μ0)をz方向に印加すると、外部磁場が電子の磁気モーメントと相互作用して、原子の電子軌道m μl,mのエネルギーが分裂する。これをゼーマン効果という。ゼーマン効果の相互作用エネルギーEは、
r r
E    B  z B
なので、エネルギー分裂幅の大きさは、m >,±?
軌道角運動量の場合 :@E  (m  1)  B B  m B B   B B,
スピンの場合 :E   B B  (   B ) B  2  B B ,となる。

(余談余談)
セシウム原子時計
余談 セシウム原子時計:
誤差が10−15(3000万年に1秒)程度の高精度の時計である。
セシウム(Cs)133の6s軌道の超微細構造(スピン・軌道相互作用によるエネルギー準位の分裂)が吸収する電磁波は正確に91億9263万1770Hzであることを利用している。
励起状態

基底状態

13

電子スピン共鳴(ElectronSpin Resonance: ESR)とと電子スピン共鳴
核磁気共鳴(NuclearMagnetic Resonance: NMR):
核磁気共鳴
物質に磁場をかけると、電子スピンや原子核スピンのエネルギー準位がゼーマン分裂を起こす。そのエネルギー分裂幅と等しいエネルギーの電磁波(ラーモア振動数の電磁波)を物質に入射すると電磁波の吸収が起こる。ESRやNMRを測定すると物質内の化学結合状態等を調べることができる。
 L   B B / h :ラーモア振動数( Larmor Frequency)

14(余談余談)核磁気共鳴画像法
余談 核磁気共鳴画像法(Magnetic Resonance Imaging:MRI): 生体内にある水素１Hからの核磁気共鳴の信号を3次元画像化して生体内部を観察する方法。
X線を使ったコンピ
ュータ断層撮影(Computed Tomography, CT)と同様に、広く医療用に用いられている。

15

キュリーの法則(Curie'slaw):
キュリーの法則
物質中の電子の軌道角運動量⃗! を無視して電子スピン⃗6だけを考える。物質に外部磁束密度Bを上向きに印加すると、ゼーマン効果により上向きのスピンを持つ電子のエネル
ギーはμBBだけ減り、下向きのものはμBBだけ増加する。単位体積中の上向きのスピンの電子数をN1、下向きのスピンの電子数をN2、全部をN=N1+N2とすると、ボルツマン因子(exp(−E/kBT): 第9回付録(9.1F)式参照)によって、
N1e  B B / k BT
N2e   B B / k BT  B B / k BT,  B B / k BT,  B B / k BTN eeN e
 e   B B / k BTとなる。磁化Mは、全ての電子の磁気モーメントのz成分を足し合わせれば良いので、(15.9)式を使うと<−A = < ⃗ < + ⃗ < = < −2 =26,B6,C

1716

A=

2DE 2

D 2
B E/ FE G − / FEG

DE 2
D 2 =B FEGFGE/+/ E

2 L
2 M
2 L
cosh 22 Msinh2 L, (15.10)
2 Mとなる。これは、ゼーマン分裂の大きさが小さい時(μBB<<kBT)には、
2 L
2 LA
2A = 2 tanh≅ 2, R≡ =,
2 M
2 M
L
2 M
(15.11)となり、(常磁性体の)磁化率χは、温度に反比例する。これをキュリーの法則という。(発見者はピエール・キュリーでキュリー夫人の夫)=

2 tanh183

キュリー・ワイスの法則の法則(Curie–Weisslaw):
キュリーの法則
強磁性体の場合には、外部磁場が無くても既に自発磁化Mが存在する。従って、外部磁束密度Bに、自発磁化による磁束密度λM (λは定数)が加わるので、(15.11)式は、S 222A≅L + SA ,1−A=L,
2 M
2 M
2 M
2S 22A
R= =T 1−=L
2 M
2 M
2 M − S 22S 2=, (15.12)
MU ≡: キュリー温度
2 M − MU
2と変更される。これをキュリー・ワイスの法則という。
上記の磁化率χは、T >Tcの時は常磁性体と同じ様に振る舞うが、T=Tcで∞に発散し、T ≤Tcの時は自発磁化が発生することを意味している。

また、自発磁化が発生する領域では、(15.10)式のBにλM(T)を代入して、
2 SA M
MU A M= 2 tanh,A M = 2 tanh
2 M
2 MA(M)MU A(M)= tanh, (15.13) tanh ∞ = 1, A(0) = 2
A(0)MA(0)となり、磁化の温度依存性が得られる。

1920(余談) いろいろな永久磁石

Niの磁化の磁化Mの磁化 対 温度T曲線
温度 曲線:
曲線

ネオジム磁石
(Nd2Fe14B)
現在世界最強の磁石
フェライト磁石(MFe2O4、Mは2価の陽イオン)
安価なセラミック磁石

実線は(15.13)
式の理論曲線
によるフィッティング。

21(付録1) 磁気モーメント:

アルニコ磁石(8–12% Al,15–26% Ni, 5–24% Co)
昔の主流の磁石

サマコバ磁石(Sm2Co17)
キュリー温度が高い
22(a)の円形電流の作る磁場は、
r 2  0 Ia 2 cos r Ia 2 sin Br (r )  3 , B (r )  0
 3 ,4r4
r(b)の電気双極子の作る電場は、
r 2qs  cos rqs   sin  ,Er ( r )  3 , E (r ) 4 0 r
4 0 r 3(c)の仮想的な磁気双極子モーメントの作る磁場は、
r 2qm s  cos r q s  sin Br (r )  3 , B (r )  m  3 ,4r4rなので、(a)と(c)の比較から、円形電流はμ0Iπa2に相当する磁気双極子モーメントを持つ(μ0は真空中の透磁率)。これは、円の面積をSとすれば、 μ0Iπa2=μ0SIとなる。

25







26

4

(付録2) L 2 の計算:(第4回参照))
cos * )
LW = ℏ sin *+)X tan X )$))= ℎ Zsin * [' cos X cos *+ ' cos X sin *)\)])− ' sin X _)^cos X cos L))+−' sin X sin *+ ' sin X cos *`sin X)\)])))+ ^ sin *−]= ℎ Z^ cos * sin *)\)])^))))− ^ cos * sin *+ ^ cos * ` = −ℏ ] − ^,)\)])^)]となるので、その2乗は、)
cos * )
LW = −ℏ sin *+)X tan X )*)2 sin * cos * )sin * cos * )= −ℏ asin *+−)X)*)Xtan Xsin X )*cos * )cos * )
cos * sin * )++−_,tan X )X tan X )*tan X )*となる。同様にして、)))sin * )Lb = −ℏ ^−\= ℏ − cos *+,)\)^)X tan X )*)))
L# = −ℏ \−]= −ℏ,)])\)*

Lb(付録付録3)水素原子の電子軌道の(弱磁場の付録水素原子の電子軌道の 弱磁場の)ゼーマン分裂
弱磁場の ゼーマン分裂の例:の例 (実際の原子での軌道分裂は、さらに複雑である)27)
2 sin * cos * )sin * cos * )−+)Xtan X)X)*sin X )*sin * )sin * )
sin * cos * )+++_,tan X )X tan X )*tan X )*)L# = −ℏ,)*となるので、
L = LW + Lb + L#)
1 )
1)
)
= −ℏ
+++)Xtan X )X tan X )*)*1 )
)
1 )
= −ℏ
sin X+,となる。
sin X )X)X
sin X )*= −ℏ acos *29

28

ゼーマン分裂(磁場有)スピン・軌道相互作用(磁場無し)

p軌道
軌道(L+S=1+1/2=3/2)
(l=1)
電子6個
電子 個
(L+S=1-1/2=1/2)

s軌道
軌道
(l=0)
電子2個
電子 個 (L+S=0+1/2=1/2)

m= ˗ (L+S)～～+(L+S)30

5