前回の復習:
前回の復習 原子間結合のまとめ (強い結合強い結合):
強い結合
1. イオン結合(Ionic bond)
電気陰性度の大きく異なる原子同士が共有結合すると、電気陰性度の低い方が+イオン、高い方が−イオンとなりイオン間に働く静電引力で結合したように見える。これをイオン結合という。
2. 共有結合(Covalent bond)
結合の”方向性が強い方向性が強い”原子間結合である。原子間に形方向性が強い成された結合軌道によって互いの電子が共有される。多くの有機分子や半導体結晶は共有結合である。
3. 金属結合(Metallic bond)
結合の方向性が弱い原子間結合である。金属原子から出てきた電子は、金属結合の形成に寄与するが特定の原子の近傍に縛られず、自由に結晶内を動くことができる(自由電子)。

前回の復習:
前回の復習 原子間結合のまとめ (弱い結合弱い結合):
弱い結合

単純立方格子の空間充填率(AtomPacking Factor: APF):
単純立方格子の空間充填率

結晶構造(CrystalStructure):結晶構造
並進対称性がある物質、つまり原子や分子が周期的に配列した構造をしている物質を結晶という 。また、その1周期を単位格子または単位胞という。3次元空間を隙間なく埋めるためには単位格子は平行六面体でなければならない。

2r並進対称性: 結晶は、格子ベクトルの並進に対して不変rである。
crrrr
格子ベクトル : R  n1a  n2b  n3c ,r v rr (n1 , n2 , n3 : 整数, a , b , c : 基本並進ベクトル)rba

4. 水素結合(hydrogen bond)
主に極性のある有機分子内に生じる電気双極子によって発生した静電引力による結合である。結合力は弱い(ファンデルワールスよりは強い)。
5. ファンデルワールス結合(van der Waals interaction)
電気的に中性で、無極性のために電気双極子もない不活性ガスや有機分子間の結合である。平均的には無極性の分子でも、短い時間的には原子構造が揺らいでいて瞬間的な電気双極子が発生していて、その静電引力によって結合する。その強さは距離の6乗に反比例していて非常に弱い。

1r

前回の復習:
前回の復習
原子の占める体積,単位胞の体積
BCC: 68.0%, FCC: 74.0%,

 =SC: 52.4%,

3(余談) 準結晶(quasi-crystal) (2011年ノーベル化学賞)
結晶の特徴である並進対称性がない代りに、結晶では許されない5回回転対称性を持つ物質である。

2次頁の点対称操作の有無で単位格子を分類すると、32種類に分類できる。それが32の結晶点群である。さらに、 類似の対称操作を持つ結晶点群をまとめると、7つの晶系(7crystal systems)に分類することができる。
4

点対称操作:
点対称操作 (少なくとも1つの不動点を持つ対称操作)
シェーンフリース記号

国際記号(ヘルマン・モーガン記号)

後ろ

手前

Al-Cu-Fe準結晶の結晶構造
Ho-Mg-Zn準結晶
ペンローズ∙タイル5左手

右手

61のののの結 晶点群 のののの つの晶系 への分類

32

7

7つの晶系が持つ点対称操作の要素
つの晶系が持つ点対称操作の要素:
晶系が持つ点対称操作の要素①三斜晶(triclinic):
対称操作無しか、反転②単斜晶(monoclinic): b軸の2回回転軸③斜方晶(orthorhombic): 3つの軸の2回回転軸④六方晶(hexagonal):
6回回転軸か、6回回反軸⑤三方晶(trigonal):
対角線上の1つの3回回転軸⑥正方晶(tetragonal):4回回転軸⑦立方晶(cubic): 対角線上の4つの3回回転軸②③④⑤⑥⑦:78

7つのつの晶系の単位格子
つの晶系の単位格子:
晶系の単位格子
α=β=γ=90ºa≠b≠ca≠b≠c
各々の点対称操作を持
α≠β≠γ③つように、辺の長さa,b,c,と角度α,β,γの値を制限す ①②ると、右図の様になる。
①三斜晶(triclinic)
a=b≠c,②単斜晶(monoclinic)
a=b≠c,α=β=90º,a=b=c,α=β=γ=90º③斜方晶(orthorhombic) γ=120º④ α=β=γ ≠90º ⑥
または、直方晶⑤④六方晶(hexagonal)⑤三方晶(trigonal)
または、菱面体晶(rhombohedral)⑦
a=b=c,⑥正方晶(tetragonal)
α=β=γ=90º⑦立方晶(cubic)

空間群(spacegroup):
空間群
点対称操作だけの組み合わ
せでは、単位格子の種類は結晶点群の32種類しかないが、「不動点」の縛りを取ると(付録1)に示した様な映進操作や螺旋操作も加わるので、結晶群の数が230種類に増える。これが230の空間群である。
参考文献 ・結晶としての固体(バーンズ固体物理学)、ISBN13: 978-4486010845
・International Tables forCrystallography, ISBN:978-1-4020-4969-9

ブラベー格子(Bravaislattice):
ブラベー格子7つの晶系で、底心・体心・面心の位置に新たな格子点を付け加えると対称性の良い別の格子となる場合がある。
単純格子
底心格子
体心格子
面心格子

各晶系で底心・体心・面心をそれぞれ試してみる。
a≠b≠c①三斜晶: 軸の取換えで、底心・体心・面心のα≠β≠γ全てを三斜晶の単純格子に変換できる。従って、①三斜晶は単純格子だけで、新しい格子はない。

9rr
新たな格子 ar  b 2 ,の位 ar  b  cr 2 ,点は無い。 置に1個加える。 の位置に1個加える。

r

arr  br  2 ,a  c  2 ,10②単斜晶: ab面底心は新しい格子になる。しかし、ac面底心は軸の取換えで単斜晶の単純格子変換にでき、体心と面心は単斜晶のab面底心に a≠b≠c変換できるので、新しい格子ではない。
面心⇔
ac面底心 体心⇔②ab面底心ab面底心 ab面底心⇔単純rb  cr  2 ,の位置にそれぞれ1個づつ合計3個加える。

122

③斜方晶： 底心・体心・面心の全てが、軸の取換えで互いに変換できない。従って、全て新しい格子になる。

α=β=γ=90º③④六方晶: 底心は斜方晶の単純格子へ、体心は単斜晶の底心格子へ、面心は斜方晶の体心格子へと変換できるが、6回回転軸が消えて六方晶では無くなるので、六方晶には単純格子しかない。

a=b≠c,α=β=90º,γ=120º④⑤三方晶: 底心は3回回転軸が消えてa=b=c,三方晶では無くなる。また、体心・面心は、 α=β=γ ≠90º
三方晶の単純格子に変換できる(体心・面 ⑤心から単純への変換の仕方は後述する)。
従って、三方晶には単純格子しかない。

ブラベー格子の一覧:
ブラベー格子の一覧
右図の14個の格子をブラベー格子という。
①三斜晶（triclinic）②単斜晶（monoclinic）③斜方晶（orthorhombic）④六方晶（hexagonal）⑤三方晶（trigonal）⑥正方晶（tetragonal）⑦立方晶（cubic）（P) 単純格子(B),(C) 底心格子
( I ) 体心格子、(F) 面心格子

⑦立方晶: 底心は正方晶の単純格子 ⑦へ変換できるが3回回転軸が消えて立方晶ではなくなる。それ以外の格子が新しい格子になる。
以上をまとめると、

13

a=b=c,α=β=γ=90º14(補足:注意) 単純格子だけが“単位格子単位格子”で底心・体心・面単位格子心格子は単位格子ではない。これらは、軸の取換えで、単位格子に変換できる。しかし、単位格子に変換すると格子の対称性が分かり難くなるので、底心・体心・面心格子の方が好んで使われる。 (ちなみに、三方晶の体心・面心も下記の方法で、それぞれ三方晶の単純格子に変換できる)①②③⑥④⑥正方晶： ac面底心は単斜晶の単純格子に a=b≠c,変換できるが4回回転軸が消えて正方晶では無 α=β=γ=90ºくなる。また、ab面底心は正方晶の単純格子に ⑥変換でき、面心は正方晶の体心に変換できる。
従って、正方晶では単純格子と体心格子が新しい格子になる。
ab面底心⇔単純面心⇔体心

底心格子→単純格子

面心格子→単純格子

体心格子→単純格子⑤⑦1615(補足) 立方晶の面心格子と六方晶との類似性
六方最密格子(6回回反軸がある)

面心立方格子
両方とも最密充填格子である。
17典型的な結晶構造:
典型的な結晶構造NaCl構造、面心立方格子

ダイアモンド構造、面心立方格子、4族半導体

CsCl構造、単純立方格子

ZnS構造、
面心立方格子、化合物半導体
183各元素の結晶構造:
各元素の結晶構造

ぺロブスカイト構造、単純立方格子、強誘電体・高温超電導体

IV族半導体蛍石型構造、面心立方格子

ウルツ鉱型構造、
単純六方格子、
ZnO、GaN、2019(余談) 格子欠陥:
格子欠陥 現実にあるほとんどの結晶には、以下に示す様々な格子欠陥が入っている。
点欠陥: 不純物原子。原子空孔。格子間原子。
線欠陥: 刃状転位。らせん転位。
面欠陥: 積層欠陥。双晶。
半導体結晶内に格子欠陥があると電気的特性が変わってしまうので、電子回路には高純度でほとんど格子欠陥の無い半導体単結晶を使う。
刃状転位
らせん転位
積層欠陥

21

表面と裏面の例(六方晶の炭化シリコン、表面と裏面の例 六方晶の炭化シリコン、4H-SiC):
六方晶の炭化シリコン、結晶格子面:
結晶格子面
結晶を2つに切った時に露出する断面(格子面)Pが、h,k,lをそれぞれ整数として、結晶格子の(各軸の)基本並進ベクトル⃗, , ⃗,と⃗⁄ℎ , ⁄ , ⃗⁄ ,でそれぞれ交わったとすると、この結晶格子面を(hkl)とあらわす。これをミラー指数(Millerindices)という。
また、例えば格子面Pが⃗軸に平行cなために⃗軸と交わらない様な時は、a/h=∞と解釈して、h=0とする。
c/l
また、極性のある(表面と裏面で結晶面P構造が違う)結晶の場合には、裏b面を明示的にあらわすためにh,k,lb/kが負の値のこともある。その場合0a/hには、ℎの様に、数字の上にバーaをつけて"−h"を表す。
22立方晶の結晶格子面の例:
立方晶の結晶格子面の例
rc

Si面: SiC(0001)
シリコン原子rbra炭素原子
C面: SiC(0001)

23244

六方晶の場合の結晶格子面:
六方晶の場合の結晶格子面
六方晶の場合は、等価な結晶面がすぐわかるように、慣用的に4つの軸a1,a2,a3,cを用いて格子面(h,k,l,m)をあらわす。
(この時、h+k+l=0でなければならない。)( 2 110)(0 0 01)(2 1 1 1)等価な結晶面
ccca2a3a2a3a1ca2a125

逆格子ベクトルの性質1:
逆格子ベクトルの性質
rrr r
逆格子ベクトル G  hA  kB  lC は、結晶格子面(hkl)に垂直である。 rrrrb k  a h , c l  a h  の2つのベクトルは、格子(証明)面(hkl)内にあるので、その外積は(hkl)面に垂直となる。実際に、その外積を計算してみると、rr rrrrrr rrb k  a h  c l  a h   b  c kl  a hk   a  c hl  a h 2r r r r r r r rb c b a ac aac 2h r
rkl r hk r rhl
rc/l b  c kl  c  a  hl  a  b hkr
結晶面Prr rG,hA  kB  lC b2hkl
2hkl
b/krとなる。従って、 逆格子ベクトル G 0a/hは格子面(hkl)に垂直である。
a



27

次回の予告:
次回の予告 格子振動とフォノンI格子振動とフォノン有限温度では、結晶内の原子は絶えず熱振動している。

26





a2( 1 1 2 0) a 3a1a1
右側の2つの格子面は、指数lが無いと、それぞれ ( 1 1 0),( 210)となり、等価な結晶面で a3あることがすぐにわからない。

逆格子ベクトル(Reciprocal
逆格子ベクトルLattice Vector):
結晶の基本並進ベクトル⃗, , ⃗,に対して、下記で定義される
⃗, , ⃗,を基本逆格子ベクトルという。X線の結晶構造解析や結晶のエネルギーバンド構造計算等でよく使われる。
r rr rr rrrrb cc aa bA  2, B  2, C  2,r r r
  a  b  c : 単位格子の体積 ,基本逆格子ベクトルの定義より、r rr rr r r rb c r
A  a  2 a  2 , B  b  C  c  2 ,r rr rb c r
A  b  2 b  0,r r r r r r r r r rA  c  B  a  B  c  C  a  C  b  0,が成り立つ。

逆格子ベクトルの性質2:逆格子ベクトルの性質r
結晶格子面(hkl)の格子面間隔dhklは、2 G である。ここで、格子面間隔とは、原点から格子面に下ろした垂線の足までの長さである。
r(証明) 逆格子ベクトル Gは、先程の性質1より、格子面(hkl)に垂直なので、格子面(hkl)に垂直な単位長さのベクト
rr rrr r r
ル e hklは、 er  G G  hA  kB  lC G , hklとなる。また、格子面間隔dhklは、原点から格子面(hkl)に向rかっている任意のベクトルと e hkl の内積を計算すれば求まるので、例えば原点から格子面(hkl)に向かっている任意のrベクトルとして a / h を選ぶと、
rr rrr ra / h   hA  kB  lC a  A 2d hkl  r  rr
GGGとなる。(証明終わり)

28(付録付録1)結晶の付録 結晶の(不動点の縛りがない結晶の 不動点の縛りがない)対称操作一覧
不動点の縛りがない 対称操作一覧1
対称操作一覧

振動数ギャップ(M1=M2で消滅)
ω+

ω-

29315

(付録付録2)立方付録 立方晶の場合の逆格子ベクトルと格子面間隔立方晶の場合の逆格子ベクトルと格子面間隔:晶の場合の逆格子ベクトルと格子面間隔立方晶の場合には、a=b=c、α=β=γ=90ºなので、基本並進ベクトル間の外積は、
rr r r rr r r r rr r r r ra  b  c  c  ac , b  c  a  a  aa , c  a  b  b  ab ,結晶の(不動点の縛りがない結晶の 不動点の縛りがない)対称操作一覧
不動点の縛りがない 対称操作一覧2対称操作一覧となる。また、単位格子の体積Ωは、
r r r r r
  a  b  c r ar  ara  a 3 ,なので、基本逆格子ベクトル
A, B, C は、
r rrrrA  2 b  c   2 aa a 3  2a a 2 ,rrrr r
B  2 c  a    2ab a 3  2b a 2 ,rr rrr
C  2r a  b   2ac a 3  2c a 2 ,となる。よって G は、
⑦32





a=b=c,α=β=γ=90º33r rrrr r 2 r
G  hA  kB  lC  2 ha  kb  lc
a2
2
222
 2 ha   kb  lc  h2  k 2  l 2 ,aaとなり、格子面間隔dhklは、2
ad hkl  r ,2Gh  k2  l2となる。

346