非ガウシアン状態の von Neumann エントロピーの一般公式
森崇人 , 磯暁 , 酒井勝太∗∗∗†††

総合研究大学院大学 素粒子原子核専攻, 高エネルギー加速器研究機構 KEK 理論センター

動機

エントロピーの状態によらない 2PI 定式化

量子状態の量子相関を測る量であるエンタングルメントエントロピー (EE)SA = − TrA ρA log ρA （こvon Neumann エントロピーは有限温度での熱的エントロピーに一致する。一般に状態の対角化は困こで ρA は縮約密度行列 TrB ρAB ）の計算は、様々な分野で必要とされている。

難であることが多いが、ガウシアン状態＝自由場に対してはシンプレクティック変換を通じて、調和• 2 体の純粋状態間のエンタングルメントの良い尺度の一つ（量子情報）振動子の形に帰着させて、統計力学でよく知られている二点関数で書かれた表式が得られる。
1
Sgaussian = s(ω) = (σ(ω) + 1) log(σ(ω) + 1) − σ(ω) log σ(ω), σ(ω) = βωe −1
しかし、相互作用を含む場合は、非ガウシアン状態になるため、CFT など対称性が強い場合を除き、• ホログラフィックな性質を持つための必要条件 (?) i.e. 笠-高柳公式 →ホログラフィック原理の実現の一つ （量子重力）• ブラックホール（＋輻射）のエントロピー [1]よく知られていない。状態のガウシアン近似（摂動論）で間接的にエントロピーを求めることはでき• 量子相転移の秩序変数（物性）る [2] が、上記のような関係式は 2-loop 以上では明確ではない。我々は 2-loop 以上で、状態の摂動展etc.

しかし、EE そのものが計算できる例は非常に限られている。ρA が厳密に対角化できれば計算できるが、通常対角化はできないことが多い。自由場の場合、波動関数および縮約密度行列のガウシアンの性質を使うことで von Neumann エントロピーの和として求めることができる。また、CFT ではレプリカ法を用いることにより、1+1 次元に限って解析的な表式が得られている。しかし、相互作用がある場合は非ガウシアン状態になり、ホログラフィーを通した重力側での計算によるスケーリングしか分かっていない。そこで、場の理論の範囲で、相互作用があるような非ガウシアン状態の EE を求めることができないか考えた。EE は縮約密度行列に対する von Neumann エントロピーであり、温度 β = 1開によらず、ガウシアン状態の表式とあらわに接続しているような表式を求めた。前節で求めた自由エネルギーから熱力学関係式 S = β 2∂β F より、2PI 定式化での有限温度 von Neumann エントロピーの一般表式
IZ
hidSd k∂∂dz
−1−1=s(z)log G(z, k) +G0(z, k) G(z, k) − β− 1 B2dd∂z∂βV(2π) R+ 2πiH dzP112πn, β n∈Z → iR 2πi σ(z) である。上記は任意の空間 d 次
但し、ωn ≡ β , Go(z, k) = ω 2 +k2+m2
nの modular ハミルトニアン KA ≡ − log ρA の熱的エントロピー

ωn→−iz

元 d = 0, 1, · · · で成り立つ。確かに自由場の時、第 1 項のみ残り、propagator の極の寄与からガウシア

SA = S(ρA) = Sthermal (β = 1, H = KA)ンの表式に帰着する。また、この表式は先の Baym らの結果 [3] を 1-loop で含む。dressed propagatorとみなせるため、まず本研究では相互作用がある場合も含む一般的な熱的エントロピーを考える。特に対する自己無撞着方程式である Dyson 方程式を解き、上記の式に代入すれば、状態を陽に扱うことに EE への応用のため、できるだけ状態によらない定式化を考えたい。後述するように、ガウシアンなくエントロピーが任意の次数で求めることができる。の場合の類推から、エントロピー表式を状態で直接書かずに、多点関数で書くことを考える。

Recent discussions and future outlook
今回の熱的エントロピーの一般論をどのように EE に適用できるだろうか。EE の導出には様々な方法

2 粒子既約有効作用定式化 (review)があるが、相互作用を含む場合や高次元の場合、一般論としてホログラフィー以外の解析は知られてグリーン関数で書かれた熱力学エントロピーを求めるには、熱力学関係式 S = β 2∂β F より、自由エネ
ルギー F = − β1 log Z 、もしくは連結グリーン関数の生成汎関数 iW [J, R] = log Z[J, R] のグリーン関数で書かれた表式を求めれば良い。但し、最後に source freeJ = R = 0 とする。J は場 φ に、R は φ2 に結合したソースである。連結バブルを B = log Z − log Z0 とする。
∂B(B: connected bubbles)=∂G01 −1−1= G0 GG−1−G0021=++ ···1PI1PI1PI2

いない。例えば、レプリカ法ではレプリカ多様体に境界条件を導入するために、ツイスト演算子を考えるが、高次元では非局所演算子になるため、よく分かっていない。また、ツイスト演算子との相関関数も CFT の性質を利用している。
我々は一般座標変換を通して、EE を部分系の熱的エントロピーに帰着できないか検討している。よく知られた例としては自由場における Unruh 効果がある。簡単のため、時空が 2 次元の場合を考える。

(T, X) で張られる Minkowski 時空は


T

X

= ρ sinh κt= ρ cosh κtという変換で、(t, ρ) で張られる右 Rindler ウェッジ WR に移される。同様に左 Rindler ウェッジ WL への変換も考えると、それぞれは Minkowski 時空の部分系を成している。T = 0 で原点から右 (A) と左ここで、(Ā) に部分系を分けた時の EE は、Minkowski 時空での基底状態が Rindler 時空 A, Ā における基底状態に対して、thermofield double で書けることや、虚時間方向のコニカル特異点がなくなる条件から、上の一般座標変換の元で WR もしくは WL の β = κ/(2π) の熱的エントロピーとして与えられることが⇔ B̃ =∞X
1n=1n

Tr[(G0 · (1PI))n] =∞X
1n=1n



∂B2
∂B2
= − Tr log 1 − 2G0
Tr G0 · 2n∂G∂G

∂(1PI)kl
∂
∂B2
∂B2
∂
= Gkl
2Gkl
=2− B2Cij = Gkl
∂G0ij
∂G0ij
∂Gkl
∂G0ij∂Gkl

∂B2∂B2∂1∂B
1=B̃ − Gkl⇒⇒ B = B̃ − Gkl+ B2+ B2∂G0ij ∂G0ij 2∂Gkl2∂Gkl

わかる。

B2は 2PI バブル

今後、より一般の部分形で相互作用も入れて、今の議論を拡張したい。時空を半分に切った場合は、さらに Dyson 方程式より、G が自己無撞着に決定される：

上記と同じ議論が自由場に対してできるが、相互作用が入ると一般にあらわに波動関数の解析解を求∂B2−1−1
G = G0 − 2∂Gめることは困難である。また、一般の部分形では、このような一般座標変換があるのか不明である。
零質量自由場の場合は共形対称性から、共形変換で全系を円筒に写像することで、CFT の EE 公式と以上より、B が求まる。

 1 1
B = − Tr log G0G−1 − Tr G−1G − 1 + B2022
これに自由場の寄与 log Z0 = − 12 Tr log G−10 (+counterterm) を加えて、ソースなしの 2PI 有効作用が以の一致が確認されている。[4] しかし、質量が入ると共形対称性は破れるため、あくまで一般座標変換の元で、熱的エントロピーの議論と同様、波動関数を直接扱わずに、熱的エントロピーとみなす方法が必要となる。一般に modular ハミルトニアンが非局所なので、温度も Rindler ウェッジの時のよ下のように導かれる。

うに一様でない可能性もある。

連結グリーン関数の生成汎関数（自由エネルギー/温度）のだろうか。これは因果律より、部分系の domain of dependence を考えれば良いことが分かる。[5]11
G − 1 + B2−βF = log Z = − Tr log G−1(+counterterm) − Tr G−1022

一般の部分系に対しては、どのような座標変換を考えれば EE が部分系の熱的エントロピーとみなせる
上記の例では、Rindler wedgeWR, WL がそれぞれ A, Ā の domain of dependence D(A), D(Ā) になっている。しかし、一般には部分系 A の D(A) への一般座標変換は非自明である。

References[1] A. Almheiri, T. Hartman, J. Maldacena, E. Shaghoulian, A. Tajdini. The entropy of Hawking radiation. 6 2020.
[2] Y. Chen, R. Kunjwal, H. Moradi, Y. K. Yazdi, M. Zilhão. Towards spacetime entanglement entropy for interacting theories, 2020.
[3] B. Vanderheyden, G. Baym. Self-consistent approximations in relativistic plasmas: Quasiparticle analysis of the thermodynamic properties. Journal of Statistical Physics, 93(3/4):843–861, Nov 1998.
[4] C. Holzhey, F. Larsen, F. Wilczek. Geometric and renormalized entropy in conformal field theory. Nuclear Physics B, 424(3):443 – 467, 1994.
[5] H. Casini, M. Huerta, R. C. Myers. Towards a derivation of holographic entanglement entropy. JHEP, 05:036, 2011.

熱場の量子論とその応用 2020