熱場の量子論とその応用
２０２０年８月２４日(月)～２６日(水)フロケ系・非エルミート系における拡張されたNielsen-Ninomiya定理
別所 拓実
Takumi BESSHO京都大学 基礎物理学研究所（YITP） D2
T. Bessho, M. Sato, arXiv:2006.04204.
“Topological Duality in Floquet and Non-Hermitian Dynamical Anomalies:
Extended Nielsen-Ninomiya Theorem and Chiral Magnetic Effect”

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熱場の量子論とその応用
２０２０年８月２４日(月)～２６日(水)フロケ系・非エルミート系における拡張されたNielsen-Ninomiya定理
格子模型では、低エネルギーギャップレスモードがペアで生じる。

別所 拓実
Takumi BESSHO京都大学 基礎物理学研究所（YITP） D2
T. Bessho, M. Sato, arXiv:2006.04204.
“Topological Duality in Floquet and Non-Hermitian Dynamical Anomalies:
Extended Nielsen-Ninomiya Theorem and Chiral Magnetic Effect”

2Outline（前半） 導入: フロケ & 非エルミート 系
 導入: Nielsen-Ninomiya (NN) の定理
 フロケ系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理

12ページ

 非エルミート系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理
 非エルミート系でカイラル磁気(表皮)効果 非エルミート系の拡張NN定理の証明
 フロケ系の拡張NN定理の証明

17ページ

 具体例：フロケ系： カイラル対称クラス d=2次元

Topological duality

3Outline（後半） 導入: フロケ & 非エルミート 系
 導入: Nielsen-Ninomiya (NN) の定理
 フロケ系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理

12ページ

 非エルミート系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理 非エルミート系でカイラル磁気(表皮)効果 非エルミート系の拡張NN定理の証明
 フロケ系の拡張NN定理の証明

17ページ

 具体例：フロケ系： カイラル対称クラス d=2次元

Topological duality4導入: フロケ系
 時間周期駆動系

 実験的実現：・固体にレーザー光を当てる

T. Oka and H. Aoki, PRB (09).

・固体・冷却原子系の実験で周期的に磁場の向きを回転・量子ウォーク

 理論的手法：時間周期Tの有効ハミルトニアンを考える

T. Kitagawa, et al.,Nat. Comm. (12).

5導入: 非エルミート系
 非エルミート系は、散逸・流入のある開放量子系で実現される

 実験的実現：・量子開放系： Lindblad方程式から非エルミートハミルトニアン
cf.

⇔
粒子数が保存している場合だけを考えると無視できる・相互作用や不純物散乱のある固体電子系
準粒子の寿命→非エルミート性

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Nielsen-Ninomiya（NN）の定理
 Fermion doubling, Poincare-Hopf theorem とも𝐸 = 0ギャップレス点はgapless top# 𝜈 = +1と 𝜈 = −1が必ずペアで現れる.
⇔ gapless top# の総和がゼロ： σ 𝜈 = 0 .
 例1） 対称性なし d=1-1+1𝜕𝐸(𝑘)෍ 𝜈 = ෍ sgn=0𝜕𝑘 例2) 対称性なし d=3 (Weyl点)σ𝜈 = σ𝐶ℎ = 0

 一般の次元、AZ対称性クラスでNN定理が成り立つ+1-1

N. P. Armitage, E. J. Mele, and
A. Vishwanath, RMP (18).

7フロケ系でＮＮ定理を破る
 フロケ系：時間周期駆動系

 一周期𝑇の有効ハミルトニアンを考える。

 すると、としてNN定理を破るものが作れる。
𝜖𝐹

 例1） 対称性なし d=1

𝜕𝜖𝐹 (𝑘)෍ 𝜈 = ෍ sgn=1
𝜕𝑘𝜋/𝑇0−𝜋/𝑇−𝜋0𝜋 𝑘8

フロケ系でＮＮ定理を破る
 例2） 対称性なし d=3

S. Higashikawa, M. Nakagawa, and M. Ueda, PRL(19).

ワイル点一個だけ→ σ𝜈 = σ𝐶ℎ = 19

フロケ系の拡張NN定理
 一般に、以下の拡張NN定理が成り立つ。

TRS:
PHS:
CS:
• 𝑛F : フロケユニタリ演算子の top#.

※AZ対称性クラスに依らない。

• 𝜈𝑗0 : ゼロエネルギーギャップレス点 ｊ の top#.
• 𝜈𝑗𝜋 : πエネルギーギャップレス点 ｊ の top#.
具体例）

10

非エルミート系でＮＮ定理を破る
 例1) 対称性なし d=1の right-going mode に +𝑖𝛾 を加えて enhanceleft-going mode に −𝑖𝛾 を加えて reduce+1+𝑖𝛾 具体的には

 すると-1で時間がたった時、right-going mode だけが生き残る。
 非自明なpoint-gapped top #をもつ。

−𝑖𝛾
𝛾 = 1/2※Point gap・・・
E=0のエネルギーギャップ

11

（非エルミート系のギャップの定義）
 エルミート系では 𝐸 ∈ ℝ𝐸

 非エルミート系：

𝐸 = 0 gap• エネルギーが複素数値を取る：• エルミート系よりもギャップの取り方が複雑になる。

Im𝐸

Im𝐸

Re𝐸

𝐸=0
point gap

Im𝐸

Re𝐸

Re𝐸 = 0real line gap

Re𝐸

Im𝐸 = 0imaginary line gap

Z. Gong, Y. Ashida, K. Kawabata, K. Takasan, S. Higashikawa, and M. Ueda, PRX (18).
K. Kawabata, K. Shiozaki, M. Ueda and M. Sato, PRX (19).

12非エルミート系でＮＮ定理を破る
 例) class AIII (カイラル対称クラス) d=2+−

 model−+ gapless top# は

 Point-gapped top#はJ. Y. Lee, J. Ahn, H. Zhou, and A. Vishwanath, PRL(19).

13非エルミート系の拡張NN定理
 一般に、AZ†対称クラスのpoint-gapped Hamiltonianに対して以下が成り立つ。

• 𝑛P :Point gapped top#.
•

TRS+:
PHS+:
CS:
※AZ†対称性クラスに依らない。

𝜈𝑗R :実エネルギーギャップレス点 ｊ の top#.

具体例）
++𝑖𝛾

−−−𝑖𝛾+

14

カイラル磁気(表皮)効果
 3次元 point-gap model

エルミート項Spin selective loss

 磁場𝐵𝑧 を加えるとWeｙｌ点が+𝑧-goingƸmodeになる。

cf.

15

カイラル磁気(表皮)効果

Spin momentum locking: 𝑿𝑐 ∝ 𝑡𝑺+𝑧Ƹ 方向の pumping→+𝑧Ƹ 端にskin effect

16

まとめ
 フロケ系の拡張NN定理を得た。

 非エルミート系の拡張NN定理を得た。

 カイラル磁気(表皮)効果

磁場の方向にpumping

17後半
18

Outline（前半） 導入: フロケ & 非エルミート 系
 導入: Nielsen-Ninomiya (NN) の定理
 フロケ系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理

12ページ

 非エルミート系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理
 非エルミート系でカイラル磁気(表皮)効果 非エルミート系の拡張NN定理の証明
 フロケ系の拡張NN定理の証明

17ページ

 具体例：フロケ系： カイラル対称クラス d=2次元

Topological duality

19

Outline（後半） 導入: フロケ & 非エルミート 系
 導入: Nielsen-Ninomiya (NN) の定理
 フロケ系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理

12ページ

 非エルミート系でＮＮ定理を破る & 拡張NN定理
 非エルミート系でカイラル磁気(表皮)効果 非エルミート系の拡張NN定理の証明
 フロケ系の拡張NN定理の証明

17ページ

 具体例：フロケ系： カイラル対称クラス d=2次元

Topological duality

20非エルミート系の拡張NN定理の証明
 一般に、AZ†対称クラスのpoint-gapped Hamiltonianに対して以下が成り立つ。

TRS+:
PHS+:
CS:

• 𝑛P : point-gapped top#.

• 𝜈𝑗R : 実エネルギーギャップレス点 ｊ の top#.
証明）まず、一つ目の等号を示す
 point-gapped top# 𝑛※AZ†対称性クラスに依らない。

+P はpoint gapを閉じない限り不変。

も point gapを閉じない限り不変。

−−+𝑛𝑃 = 1 の任意のモデル
point gapを閉じない連続変形

𝑛𝑃 = 1 のあるモデル⇒21

非エルミート系の拡張NN定理の証明
 一般に、AZ†対称クラスのpoint-gapped Hamiltonianに対して以下が成り立つ。

TRS+:
PHS+:
CS:

• 𝑛P : point-gapped top#.

• 𝜈𝑗R : 実エネルギーギャップレス点 ｊ の top#.
証明）まず、一つ目の等号を示す
 point-gapped top# 𝑛※AZ†対称性クラスに依らない。

+P はpoint gapを閉じない限り不変。

も point gapを閉じない限り不変。

−−+

𝑛𝑃 = 1 の任意のモデル ⇒point gapを閉じない連続変形

𝑛𝑃 = 1 のあるモデル⇒※𝑛P > 1のときにはモデルをcopyすればよい。

22

非エルミート系の拡張NN定理の証明
 AZ対称性を満たすエルミート Dirac Hamiltonianを考える

 すると、以下のハミルトニアンはAZ†対称性を満たす。
J. Y. Lee, J. Ahn, H. Zhou,
and A. Vishwanath, PRL(19).

 𝑛P =1∵) 以下のdoubled Hamiltonian が top# = 1 だから。

R σIm𝐸 >0 𝜈𝑗 = 1𝑗∵) 𝐻(𝒌)はTRIMでのみReE=0。TRIMのうち 𝒌 = 𝟎 だけが ImE>0。
𝒌 = 𝟎 付近では

23

非エルミート系の拡張NN定理の証明
 一般に、AZ†対称クラスのpoint-gapped Hamiltonianに対して以下のが成り立つ。

TRS+:
PHS+:
CS:

• 𝑛P : point-gapped top#.

• 𝜈𝑗R :実エネルギーギャップレス点 ｊ の top#.

※AZ†対称性クラスに依らない。

証明）次に、二つ目の等号を示す
 非エルミートハミルトニアンを連続変形してエルミート化する：

Im𝐸

Im𝐸Re𝐸 エルミート系ではNN定理が成り立つので 元の非エルミートハミルトニアンでもRe𝐸が成立。
が成立。

24

非エルミート系の拡張NN定理の証明
 一般に、AZ†対称クラスのpoint-gapped Hamiltonianに対して以下のが成り立つ。

TRS+:
PHS+:
CS:

• 𝑛P : point-gapped top#.

• 𝜈𝑗R :実エネルギーギャップレス点 ｊ の top#.

※AZ†対称性クラスに依らない。

証明）次に、二つ目の等号を示す
 非エルミートハミルトニアンを連続変形してエルミート化する：

証明終了
Im𝐸

Im𝐸

Re𝐸

 エルミート系ではNN定理が成り立つので
 元の非エルミートハミルトニアンでもRe𝐸が成立。
が成立。

25

フロケ系の拡張NN定理の証明
 一般に、以下の拡張NN定理が成り立つ。

TRS:
PHS:
CS:
• 𝑛F : フロケユニタリ演算子の top#.

※AZ対称性クラスに依らない。

• 𝜈𝑗0 : ゼロエネルギーギャップレス点 ｊ の top#.
• 𝜈𝑗𝜋 : πエネルギーギャップレス点 ｊ の top#.

 証明の方針）

フロケ系と非エルミート系のtopological dualityを利用して非エルミート系の拡張NN定理を書き換える。

26

フロケ系と非エルミート系の対応関係
具体例

27

フロケ系と非エルミート系の対応関係
エネルギーギャップの対応関係のスペクトル

Re𝐸 = 0, Im𝐸 > 0のスペクトル𝜖𝐹 = 𝜋/𝑇

𝜖𝐹 = 0

Re𝐸 = 0, Im𝐸 < 028

フロケ系と非エルミート系の対応関係
対称性クラスの対応関係
フロケ系のAZ対称クラス
 TRS：
 PHS：
 CS：

非エルミート系のAZ†対称クラス
 TRS†：
 PHS†：

 CS：とすると一致

29

フロケ系の拡張NN定理の証明
 Point-gapped Hamiltonian 𝐻 = 𝑖𝑈𝐹 に対して以下が成立。

Ex) class A d=1 top#
Near 𝜖F = 030

フロケ系の拡張NN定理の証明
 Point-gapped Hamiltonianと見なせる 𝐻 = 𝑖𝑈𝐹 に対して以下が成立。

Near 𝜖F = 𝜋/𝑇

31

フロケ系の拡張NN定理の証明
Dirac Hamiltonianのgapless top#について
 例)

 一般に

32

Extended NN Thm for Floquet system

 まとめると、

33

Extended NN Thm for Floquet system

証明終了 まとめると、

34具体例：フロケ系 カイラル対称クラス d=2
 モデル

 カイラル対称性

 エネルギースペクトル
S. Higashikawa, M. Nakagawa, and M. Ueda,
PRL(19).

が成り立つことをチェックする。

35

具体例：フロケ系 カイラル対称クラス d=2 したがって、よりは Hermitian かつgapped.となる。

36

具体例：フロケ系 カイラル対称クラス d=2

 摂動を加える：𝑚 = 3/237

まとめ フロケ系・非エルミート系の拡張NN定理を得た。

 カイラル磁気(表皮)効果

磁場の方向にpumping

 フロケ系・非エルミート系のtopological duality

38