Renshaw and Haberman モデルのパラメータ推定の安定性評価

⽯井太研究会
経済学部 4 年 29 組219070291

北原伸太郎

概要
本研究は死亡率推計で使われる Renshaw and Haberman(RH)モデルのパラメータ推定の安定性を、同じく死亡率推計で使われる Lee and Carter(LC)モデルのパラメータ推定と⽐較しながら評価することを⽬的としたものである。
本研究では⼆つの観点から安定性の評価を⾏った。⼀つ⽬は全国、東京、愛知、⿃取男⼥の死亡データそれぞれに対し、LC モデルと RH モデルの当てはめを実⾏し、そのパラメータをプロットしてグラフの形状を⽐較し、⼆つ⽬は、当てはめ対象とする年齢・年次範囲を変えた時のパラメータの変動をマンハッタン距離の測定によって評価した。
前者の結果、LC モデルと⽐べて RH モデルはパラメータの変動が⼤きいことがグラフの形状から⽰された。
また、後者の結果、年齢・年次範囲を変えた時、LC モデルよりも RH モデルの⽅が距離はかなり⼤きくなっていることがわかり、パラメータの変動の⼤きさが⽰された。
これらのことから RH モデルのパラメータ推定は LC モデルと⽐べて不安定だということがわかった。ただし、年次範囲を多くとったものの⽅が解釈がしやすい結果になる場合もあり、RH モデルが適合性が⾼い場合もあることも⽰唆された。

2⽬次
1. 研究背景、⽬的・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6
2. 先⾏研究・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6
3. データと⽅法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・7(1) データ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・7(2) ⽅法・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・7
4. 結果と考察・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・95. 結論・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・10
参考⽂献・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・113

図⽬次
1. 1975~2021 年の 0~99 歳全国男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・12
2. 1975~2021 年の 0~99 歳東京男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・12
3. 1975~2021 年の 0~99 歳愛知男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・13
4. 1975~2021 年の 0~99 歳⿃取男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・13
5. 1975~2021 年の 0~99 歳全国⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・14
6. 1975~2021 年の 0~99 歳東京⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・14
7. 1975~2021 年の 0~99 歳愛知⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・15
8. 1975~2021 年の 0~99 歳⿃取⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメー
タ推計結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・15
9. 1975~2021 年の全国男性死亡データを⽤いた年齢範囲を限定したモデルのパラメ
ータ推定結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・16
10. 1975~2021 年の東京男性死亡データを⽤いた年齢範囲を限定したモデルのパラメ
ータ推定結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・17
11. 0~99 歳の全国男性死亡データを⽤いた年次範囲を限定したモデルのパラメータ推定結果・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・18
12. 全国と愛知の男性死亡データを⽤いた残差のプロット・・・・・・・・・・・・194表⽬次
1. Currie(2016)が評価を⾏った死亡率推計の 8 つのモデル・・・・・・・・・・・20
2. 男性の 60〜99 歳と 65~99 歳の⼆種類の年齢範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・20
3. ⼥性の 60〜99 歳と 65~99 歳の⼆種類の年齢範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・21
4. 1950~2021 年と 1955~2021 年の⼆種類の年次範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・215

1. 研究背景・⽬的
本研究は、死亡率推計で使われる Renshaw and Haberman モデルのパラメータ推定の安定性を評価することを⽬的とする。
現在、死亡率推計モデルとして、Lee and Carter(1992)によって考案されたリレーショナルモデルが⽇本を含めた世界中で使われている。以下このモデルを LC モデルと呼ぶ。LC モデルは(1)の式で表される。左辺は年齢 x 歳、年次 t 年の対数死亡率である。
($)

右辺の𝛼! は死亡率の標準的な年齢パターン、𝜅" は各年次の死亡⽔準を表す死亡指数、
($)

($)

𝛽! は𝜅" の変化に応じた年齢別死亡率の変化率、𝜀!," は残差である。例えば、国⽴社会保障・⼈⼝問題研究所(2017)「⽇本の将来推計⼈⼝」でも将来⽣命表を作成する際に(1)を⽇本の死亡状況に適合させた修正 LC モデルを⽤いている。
($) ($)

log(𝑚!," ) = 𝛼! + 𝛽! 𝜅"+ 𝜀!,"(1)

また、このモデルから派⽣して様々な死亡率推計モデルが考案されてきた。その中の⼀つに Renshaw and Haberman(2006)によって考案されたモデルがある。これは LCモデルにコーホート効果を取り⼊れたモデルである。以下このモデルを RH モデルと呼
($)

($)

ぶ。RH モデルは(2)の式で表される。𝛼! , 𝛽! , 𝜅" , 𝜀!," のパラメータの意味は LC モデルと同じであるが、右辺にコーホート効果を表す𝛾"'! と年齢に応じたコーホート効果の(()

調整項である𝛽! がパラメータとして追加され、これらの積が加えられたモデルとなっている。
($) ($)

log(𝑚!," ) = 𝛼! + 𝛽! 𝜅"(()+ 𝛽! 𝛾"'! + 𝜀!,"(2)

しかし、この RH モデルは⽇本の死亡率データを⽤いて推定した時に、パラメータの推定値が安定しないとの問題があることから、その評価を⾏うのが本研究の⽬的である。
2. 先⾏研究
本節では LC・RH モデルについてこれまで⾏われてきた研究を概観し、本研究の位置付けについて述べる。
LC モデル(Lee and Carter 1992)は(1)で表され死亡率推計が可能なリレーショナルモデルである。その⻑所は、シンプルなモデルと統計的時系列⼿法を組み合わせたこと、過去のデータとトレンドに基づいていることとされている。Lee and Carter(1992)では、実際にアメリカの 1933~1987 年の男⼥のデータを使⽤してモデルへの当てはめが⾏われており、モデルから推計された死亡率の予測値と実績値の⽐較が⾏われている。その当てはめは概ね良好であるが、10 歳代と 20 歳代では他の年齢階級に⽐べて適合度が若⼲下がると述べられている。

6RH モデル(Renshaw and Haberman 2006)は、LC モデルにコーホート項を取り⼊れることで LC モデルでは拾いきれなかったコーホート効果による死亡要因を表そうとするモデルである。Renshaw and Haberman(2006)はイングランドとウェールズの1961~2003 年の男⼥のデータを使⽤してモデル推定を⾏っている。また、LC・RH モデルと、年齢効果とコーホート効果を取り⼊れたダミーモデルの 3 つのモデルに対して残差の分析が⾏われている。この結果、RH モデルの⽅が他の 2 つと⽐較して残差の偏りがないため 3 つの効果がうまく捉えられていることを⽰している。
そして、Curie(2016)は、1960~2009 年のアメリカ、イギリス、⽇本、オーストラリ
ア、スウェーデン、フランスの男性データを⽤いて表 1 にあるように LC・RH モデルを含めた 8 つのモデルを推定し、それぞれの適合度などの評価を⾏っている。この中では、RH モデルについてパラメータの収束が⾮常に遅かったり、そもそも収束しなかったりする事例が報告されており、それは Renshaw and Haberman(2006)で適合度が⾼いとされていたイギリスのデータでも発⽣することを⽰している。また、αやκの値の安定性が極端に低いことも⽰しており、APC モデルと呼ばれる別の死亡率推計モデルのαの値を初期値として使⽤し、さらに特に当てはまりが悪かったアメリカのデータを⽤いて再度モデルの推定を試みている。しかし、そのまま扱うとパラメータが不安定になることから、総合的には予測に使えるモデルではないと述べられている。
Villegas et al. (2018)は、StMoMo パッケージという R ⾔語のパッケージを開発し、簡単に死亡率推計モデルを R で導けるようにした。具体的な⽅法については次節のデータと⽅法にて述べる。また、残差の分析も⾏なっており、イングランドとウェールズの 1961~2011 年の 55~89 歳の男性の総死亡数とリスク対応延べ年数のデータを⽤いてLC・RH モデル両⽅のモデル推定を⾏い、それらの残差を縦軸に年齢、横軸に年次をとったプロットにして⽐較した。その結果、LC モデルには 45 度線上で誤差が⼤きい部分が観察され、その原因はコーホート効果を取り⼊れられていないからだと結論づけた。
3. データと⽅法(1)データ本研究では国⽴社会保障・⼈⼝問題研究所「⽇本版死亡データベース」の 1 歳×1 年の年齢別死亡数とリスク対応延べ年数の男⼥のデータを使⽤した。なお、このデータベースでは全国と 47 都道府県で合わせて 48 種類のデータが提供されているが、本研究で全国と東京都、愛知県、⿃取県のデータを使⽤した。これは、⽇本全国に加え⼤都市、県庁所在地が政令指定都市に指定されている⾃治体、その他の地⽅都市という観点である。また、全国は 1950~2021 年のデータを使⽤したが、都道府県は 1975~2021 年のデータを使⽤した。また、年齢に関しては 0~99 歳を⽤いた。
(2)⽅法

7

次に、本研究における分析⽅法について述べる。
最初に、LC・RH モデルのパラメータ推定⽅法について述べる。両モデルのパラメータは、特異値分解によって⾏われることが⼀般的であるが、本研究ではこれを Villegas
et al. (2018)による R の StMoMo パッケージにより実⾏した。Curie(2014)が指摘した
RH モデルの収束問題について、Villegas et al. (2018)は StMoMo パッケージにおいて、($)($)

LC モデルによるパラメータ推定をあらかじめ⾏い、LC モデルの𝛼! 、𝛽! 、𝜅" の値を初期値として RH モデルのパラメータを推定することにより解決している。
そして、この⽅法により全国、東京都、愛知県、⿃取県男⼥それぞれに対して LC・RH モデルの当てはめを実⾏し、そのパラメータをプロットしてグラフの形状を⽐較する。ここで全国については、都道府県と合わせるため 1975~2021 年のデータを使⽤した。
次にパラメータ推定の安定性について、当てはめ対象となるデータ範囲を様々に変えた時のパラメータの変動をマンハッタン距離の測定によって評価する。ここで、⼀般的な距離がユークリッド距離であるのに対し、マンハッタン距離とは座標上の 2 点
A(𝑎$ , 𝑎) , … 𝑎* ),B(𝑏$ , 𝑏) , … 𝑏* ) の間の距離 d をd=∑*+,$ |𝑏+ − 𝑎+ |(i=1,...,n、𝑛 ∈ ℕ)

で表したものである。
本研究では⼆つの観点からパラメータ推定の安定性の評価を⾏った、まず第⼀に、当てはめ対象とする年齢範囲を変えた時の安定性を評価した。具体的には、モデルの対象となる年齢範囲を 60〜99 歳と 65~99 歳の⼆種類としてモデルのパラメータ推定を⾏い、両者のパラメータの距離を算出する。ここで対象とするパラメータ
($)

($)

は LC モデルと RH モデルに共通する𝛼! 、𝛽! 、𝜅" とし、その距離を⽐較することに($)

より両モデルの安定性を評価する。なお、𝛼! と𝛽! に関しては 65~99 歳のパラメータで距離を算出する。また、この評価においては 1975~2021 年のデータを⽤いる。
次に第⼆として、当てはめ対象とする年次範囲を変えた時の安定性を評価した。具体的には、モデルの対象となる年次範囲を 1950~2021 年と 1955~2021 年の⼆種類としてモデルのパラメータ推定を⾏い、両者のパラメータの距離を算出する。ここでも対象と($)($)

するパラメータは LC モデルと RH モデルに共通する𝛼! 、𝛽! 、𝜅" とし、その距離を($)⽐較することにより両モデルの安定性を評価する。なお、𝜅" に関しては 1955~2021 年のパラメータで距離を算出する。また、この評価においては 0~99 歳のデータを⽤いる
他、1950~1974 年は全国データしかないため全国のみで⽐較する。
最後に、Villegas et al. (2018)と同様に残差のプロットを⽐較する。具体的には、全国と愛知の男性の死亡データを⽤いた LC・RH モデルの残差を縦軸に年齢、横軸に年次をとったグラフにプロットし、これらを⽐較する。

8

4. 結果と考察
まず第⼀に、全国、東京、愛知、⿃取の男⼥のデータを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推定結果について男性の結果を図 1~4 に、⼥性の結果を図 5~8 に⽰した。
LC モデルは全てのパラメータの概形が近いものになっていてパラメータの動きが安定していることがわかる。しかし、RH モデルはパラメータの概形が異なるものも多く、($)

特に𝛽! 、𝛾"'! は単調増加するパターンもあれば、単調減少するパターンもあるなどデータによってパラメータの挙動が異なり、不安定になっている。
また、R を⽤いてモデルの推定を⾏った際、愛知男性のデータを除く 7 つのデータでRH モデルは収束しなかったが LC モデルは収束した。この点からも RH モデルは安定したモデルだとは⾔い難い。
次に第⼆として、両者のパラメータの距離を⽤いた⽐較を⾏う。まず、年齢範囲を変えた際の距離について、男性の結果を表 2、⼥性の結果を表 3 にまとめた。そして、図9、10 に全国と東京の男性の 60~99 歳と 65~99 歳の死亡データを⽤いた LC・RH モデルの推計結果を⽰した。
表 2、3 の距離を⾒ると、𝛼! は死亡率の標準的な年齢パターンを表すパラメータであり、年齢範囲を変えたデータを⽤いて分析しても⼤きく変化することはないはずであるが、表 2、3 を⾒ると RH モデルの⽅が年齢範囲を変えただけで、⼤きくパラメータの動き⽅が変わっていることがわかる。
($)

𝜅" はよりその傾向が顕著で、年齢範囲を 5 歳分変えただけで同じモデルでもパラメータの動きが⼤きく変化してしまうことがわかる。つまり、当てはめるデータの年齢範囲が少し変わると死亡率に影響を与える年次効果の内訳が⼤きく異なってしまうということを⽰している。
($)

その⼀⽅、𝛽! は、LC・RH モデルの距離が他の 2 つに⽐べるとあまり変わらず距離だけで⾒ると安定しているが、先ほど述べたようにグラフの概形がデータによって⼤きく異なるので安定したパラメータの挙動とは述べ難い。
また、図 9、10 を⾒るとグラフの概形は年齢範囲を変えても⼤きく変わっていないこ($)とがわかるが、図 10(c)と(d)の𝜅" のように縦軸のスケールが⼤きく変化しているパラメータもある。
次に、年次範囲を動かした際の距離について全国のデータを⽤いて⽐較を⾏う。その結果を表 4 に⽰した。また、図 11 に全国の 1950~2021 年と 1955~2021 年の死亡デー
タを⽤いた LC・RH モデルの推計結果を⽰した。
($)

表 4 を⾒ると年齢範囲を変えた時と同様に𝛼! と𝜅" は距離の変化が顕著である⼀⽅、

($)

($)

𝛽! の距離は⼤きくは変わっていない。特に男性の⽅が𝛼! と𝜅" の距離は⼤きいことがわかる。
また、図 11(a)と図 11(c)を⽐較した時グラフの概形にあまり違いはないことがわか

9

(()

る。しかし、図 11(c)と図 11(d)を⽐較した時𝛽! 以外概形が変わっており、パラメータの安定性が低いことがわかる。
最後に Villegas et al. (2018)の研究にあるように残差の分析を⾏なった。その結果を
図 12 で⽰した。
図 12(a)の残差は左下から右上にかけて 45 度線上にはっきりと線が⼊っている。それに対して図 12(b)は(a)と⽐較すると右上がりの線がぼやけており、誤差はやや⼩さくなったと考えられるが、無くなったとまでは⾔えない。つまり、RH モデルがコーホート効果を取り⼊れているとしても、死亡率に影響を与える要素が完全には説明しきれていないことを⽰している。
図 12(c)の残差は(a)ほどではないが同様に右上がりの線が⼊っていて、相関関係があることがわかる。それに対して図 12(d)はその線がぼやけており、誤差が⼩さくなったことが⽰されている。したがって、愛知の男性の死亡データを使⽤した場合は全国男性の死亡データと⽐べると RH モデルでコーホート効果をよりよく説明することができていると⾔える。
このことから RH モデルは場合によってはコーホート効果を反映して死亡率を説明できる適切なモデルになるが、どこの死亡データに対しても良い結果を導くわけではな
く、パラメータを増やした分複雑になる可能性があることがわかる。
また、図１(b)と図 11(c)を⽐較した際、20 年分死亡データが多い図 11(c)の⽅は明らかに解釈しやすいものになっている。例えば、𝛼! は死亡率の標準的な年齢パターンを表しており、本来ならば LC モデルのような概形になって RH モデルでもその形はあまり変化しないはずである。しかし、図１(b)で⽰された RH モデルは𝛼! のパラメータの動きが右上がりになって図１(a)と⽐較すると概形が⼤きく変化している⼀⽅、図 11(c)の概形は図１(a)に近づいており、解釈がしやすいものになっている。したがって、全国の死亡データのようにデータの年次が増えるほど RH モデルも解釈がしやすい安定したモデルになる可能性がある。
5. 結論
本研究では、Renshaw and Haberman モデルのパラメータ推定の安定性を評価することを⽬的として研究を⾏っていた。
先⾏研究では RH モデルも適合度が⾼い安定したモデルとして紹介している論⽂がある⼀⽅、不安定な結果が出ている論⽂もあり、本研究では⽇本のデータを⽤いて LCモデルとの⽐較を⾏いながら RH モデルのパラメータ推定をした。その結果、図 1~5 が⽰すグラフの概形からパラメータの安定性は LC に⽐べると低いことが⽰された。また
表 1~3 から年齢・年次範囲を変化させたとしても LC モデルに⽐べると RH モデルの⽅がパラメータの変動が⼤きいことが⽰されるため、同様にパラメータの安定性は低いという結論になる。

10しかし、その⼀⽅で図 11(c)のようにデータの年次が増えればパラメータの安定性が⾼まって将来的に解釈しやすいモデルになる可能性があるため、RH モデルが適合する場合もあると考えられる。
これらから、RH モデルはコーホート効果を取り⼊れているため死亡要因をより正確に説明できるモデルになり得る⼀⽅、データ数が少なかったり、そもそもコーホート効果が⼩さいデータの場合は、逆にパラメータが多いだけで解釈の難しいモデルになるということが⽰唆される。
最後に残された課題について述べておきたい。本研究では、全国、東京、愛知、⿃取の死亡データを扱って LC・RH モデルを推定したが、分析の対象としていない地域では異なる結果が得られる可能性もある。また、RH モデルのパラメータが安定する地域と不安定な地域の差については社会学的視点等を取り⼊れて考察することも必要である。それらについては今後の課題としたい。

参考⽂献
国⽴社会保障・⼈⼝問題研究所(2017)「⽇本の将来推計⼈⼝」.
https://www.ipss.go.jp/pp-zenkoku/j/zenkoku2017/pp29_gaiyou.pdf (2022 年 12 ⽉25 ⽇最終アクセス)
国⽴社会保障・⼈⼝問題研究所(2021)「⽇本版死亡データベース」.
https://www.ipss.go.jp/p-toukei/JMD/index.asp (2022 年 12 ⽉ 27 ⽇最終アクセス)
Currie,I.D.(2016)”On Fitting Generalized Linear and Non-linear Models of Mortality”,

Scandinavian Actuarial Journal, Vol.2016,No.4,pp.356‒383.
Lee,R.D. and Carter,L.R.(1992)” Modeling and Forecasting U. S. Mortality”, Journal of

the American Statistical Association, Vol.87,No.419,pp. 659-671.
Renshaw,A.E and Haberman,S.(2006)“A Cohort-based Extension to the Lee-Carter
Model for Mortality Reduction Factors”,Insurance: Mathematics andEconomics,Vol.38,No.3 pp.556-570.
Villegas,A.M., Millossovich,P. and Kaishev,V.K.(2018)”StMoMo: An R Package for
Stochastic Mortality Modeling”, Journal of Statistical Software,Vol.84,No.3,pp.1-38.

11

(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 1 1975~2021 年の 0~99 歳全国男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 2 1975~2021 年の 0~99 歳東京男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果

12

(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 3 1975~2021 年の 0~99 歳愛知男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 4 1975~2021 年の 0~99 歳⿃取男性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果

13

(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 5 1975~2021 年の 0~99 歳全国⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定図 6 1975~2021 年の 0~99 歳東京⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果

14

(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 7 1975~2021 年の 0~99 歳愛知⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメ
ータ推計結果(a)LC モデル(b)RH モデル

出典：筆者算定
図 8 1975~2021 年の 0~99 歳⿃取⼥性死亡データを⽤いた LC・RH モデルのパラメータ推計結果

15

(a)LC モデル(60~99 歳)(b) LC モデル(65~99 歳)(c) RH モデル(60~99 歳)(d) RH モデル(65~99 歳)

出典：筆者算定
図９ 1975~2021 年の全国男性死亡データを⽤いた年齢範囲を限定したモデルのパラメータ推定結果

16

(a)LC モデル(60~99 歳)(b) LC モデル(65~99 歳)(c) RH モデル(60~99 歳)(d) RH モデル(65~99 歳)

出典：筆者算定
図 10 1975~2021 年の東京男性死亡データを⽤いた年齢範囲を限定したモデルのパラメータ推定結果

17

(a)LC モデル(1950~2021 年)(b) LC モデル(1955~2021 年)(c) RH モデル(1950~2021 年)(d) RH モデル(1955~2021 年)

出典：筆者算定
図 11 0~99 歳の全国男性死亡データを⽤いた年次範囲を限定したモデルのパラメータ
推定結果

18

(a)全国 LC モデルの残差(b)全国 RH モデルの残差(c)愛知 LC モデルの残差(d)愛知 RH モデルの残差

出典：筆者算定
図 12 全国と愛知の男性死亡データを⽤いた残差のプロット19表 1 Currie(2016)が評価を⾏った死亡率推計の 8 つのモデル
モデル名

構造式
($) ($)

Lee‒Carter(LC)𝛼! + 𝛽! 𝜅"($) ($)

Renshaw‒Haberman(RH)

𝛼! + 𝛽! 𝜅"

Age-period-cohort(APC)

𝛼! + 𝜅"($)

2-d Pspline(()+ 𝛽! 𝛾"'!
+ 𝛾"'!
./? 𝜃+,- 𝐵+,- (𝑥, 𝑡)
+,-

($)

Cairns‒Blake‒Dowd(CBD)𝜅"($)

CBD models with cohort effects

𝜅"($)

Quadratic CBD models with cohort effects

𝜅"

())

+ 𝜅" (𝑥 − 𝑥̄ )())+ 𝜅" (𝑥 − 𝑥̄ ) + 𝛾"'!

())

(0)
+ 𝜅" (𝑥 − 𝑥̄ ) + 𝜅" [(𝑥 − 𝑥̄ )) − 𝜎!) ]+ 𝛾"'!
($)

CBD models with age modulated cohort

𝜅"

())

+ 𝜅" (𝑥 − 𝑥̄ ) + 𝛾"'! (𝛿 − 𝑥)effects
出典：Currie (2016)
表 2 男性の 60〜99 歳と 65~99 歳の⼆種類の年齢範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離(a) 𝛼! の距離

全国

東京

愛知

⿃取

LC

0.010

0.016

0.015

0.012

RH

30.06924.56127.70320.207($)(b) 𝛽! の距離

全国

東京

愛知

⿃取

LC

0.135

0.131

0.139

0.123

RH

0.118

0.102

0.107

0.141

($)

(c) 𝜅" の距離全国

東京

愛知

⿃取

LC

43.62238.59546.36037.773RH

1031.269

1205.311

1216.605

420.556

出典：筆者算定20表 3 ⼥性の 60〜99 歳と 65~99 歳の⼆種類の年齢範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離(a)𝛼! の距離

全国

東京

愛知

⿃取

LC

0.001

0.001

0.003

0.004

RH

92.85639.75521.35848.426($)(b) 𝛽! の距離

全国

東京

愛知

⿃取

LC

0.114

0.113

0.122

0.115

RH

0.151

0.104

0.059

0.124

($)

(𝑐)𝜅" の距離全国

東京

愛知

⿃取

LC

58.86856.17063.88659.791

RH

5329.044

457.955

1429.934

1829.878

出典：筆者算定
表 4 1950~2021 年と 1955~2021 年の⼆種類の年次範囲から推定したパラメータをもとに算出した距離
(a)男性

αβκ

LC

6.071

0.061

461.191

RH

230.2250.958

9769.307

(b)⼥性

αβκ

LC

7.155

0.091

616.968

RH

45.6390.634

1710.570

出典：筆者算定21