翻訳

ユークリッド原論
中川

洋子

訳

Yoko NAKAGAWA

第

１

巻（注１）

定

義

１．点は、それの部分が何もないところのものだ。
２．線は幅のない長さだ。
３．また線の端は点だ。
４．また直線は、同じようにそれ自身の上の点に横たわっているところのものだ。
５．また面は、ただ長さと幅だけを持つところのものだ。
６．また面の端は線だ。
７．平面は、同じようにそれ自身の上の直線に横たわる。
８．また平面において、互いに交わっている直線にならない２直線の互いに関しての傾きが平面角だ。
９．また角を取り囲む線がまっすぐである場合に、角は直線角からなると言われる。
10．また直線が直線へ向かって立っていて、そこで接角を互いに等しくする場合に、等しい角のそれ
ぞれは直角である。そしてそれへ向かって上に立っている直線は垂直であると言われる。
11．直角より大きい角は鈍角である。
12．直角より小さい角は鋭角である。
13．境界とは、あるものの端だ。
14．一つあるいはいくつかの境界によって取り囲まれたものは図形である。
15．円とは一つの線によって取り囲まれた平らな形だ［それは円形と呼ばれる］，
それに向かって［円の周囲へ向かって］置かれている形の真ん中の一点からぶつかっている直線は互いに等しい。
16．またその点は、円の中心と呼ばれる。
17．また円の直径とは、円の中心を横切っているある直線で、円の円形によって、それぞれの部分へ
向かって保ちながらまた限りながら、円を二つに分割するところのものだ。
18．また半円形とは、直径とそれ自身の円形によって分割されたものとが取り囲む図形だ。
また半円形の中心は、円の中心と同じだ。
19．直線からなる図形は、まっすぐな線によって取り囲まれたものである。三本によってのものは三辺形、四本によってのものは四辺形、四本より多くの直線によって取り囲まれたものは多辺形。
20．また３辺形の中で等辺三角形であるとは、三つの等しい辺を持つものである。また二等辺三角形とは、二つの辺だけが等しくある。不等辺三角形とは、三つの等しくない辺を持つものだ。
21．更に、三角形のうちの直角三角形とは、一つの直角を持っている三角形である。また鈍角三角形
は、一つの鈍角を持っている。鋭角三角形は、三つの鋭角を持っている。
22．また四辺を持ったもののうち正方形とは、等辺でありそしてまた直角だ。長方形とは、それは直角で等辺ではない。またひし形とは、それは等辺であり直角ではない。また偏菱形は、向かい合った辺と角が互いに等しいものを持ち、それは正方形でもなく長方形でもない。これらではない四― 93 ―

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第14号

2008年３月

辺形は台形と呼ばれよう。
23．平行線とは、それらは同じ平面にあるもので、そして限りなく両方へ延びながら双方のどの部分に関しても互いに交わることはない。

公

準前提として要請されている。
１．すべての点からすべての点へ直線を引くこと。
２．有限の直線を連続して直線に延長すること。
３．任意の円の中心と半径によって円を描くこと。
４．すべての直角は互いに等しいこと。
５．もし二直線と交わっている一直線が、同じ側で２直角より小さい内角の和を作るならば、これらの二直線を限りなく延長させると、それらは２直角より小さい角のある側で交わること。

共

通

概

念 （公理）

１．同じものに等しいものは、互いに等しくある。
２．そしてもし等しいものに等しいものが加えられるなら、全体は等しくある。
３．そして等しいものから等しいものが取り去られるなら、残りは等しくある。
［４. そしにもし等しくないものに等しいものが加えられるなら、全体は等しくない。
５.

そして同じものの２倍は互いに等しくある。

６.

そして同じものの半分は互いに等しくある。］

７.

そして互いに重なるものは互いに等しくある。

８.

そして全体はそれの一部より大きい。

９.

そして二つの直線は図形を取り囲まない。

１
与えられた有限直線の上に等辺三角形が形成される。
与えられた有限直線をΑΒとしよう。
線分ΑΒの上に等辺三角形が形成されなければならない。
円の中心Αまた半径ΑΒによって円ΒΓΔが描かれているとし、そして更に円の中心Βまた半径ΒΑによって円ΑΓΕが描かれているとせよ。そして２つの円が互いに交わっている点Γから、２つの点Α、Βへ線分ΓΑ、ΓΒが結ばれたとせよ。
すると点Αは円ΓΔΒの中心であるから、ΑΓはΑΒに等しい。更に、点Βは円ΓΑΕの中心であるからΒΓはΒΑに等しい。またΓΑもΑΒに等しいと示される。そこ
でΓΑ、ΓΒのそれぞれはΑΒに等しい。また同じものに― 94 ―

ユークリッド原論

等しいものは互いに等しい。そしてその結果ΓΑはΓΒに等しい。そこで３線分ΓΑ、ΑΒ、ΒΓは互いに等しい。
ゆえに、三角形ΑΒΓは等辺三角形であり、与えられた有限直線ΑΒの上に構成された。
［そこで与えられた有限直線の上に等辺三角形が構成された］。これが作図すべきものであった。

２与えられた点に、与えられた線分に等しい線分を与えること。
与えられた点をΑとし、一方与えられた線分をΒΓとせよ。かくて点Αに与えられた線分ΒΓに等しい線分を与えなければならな
い。
点Αから点Βへ直線ΑΒが引かれるとし、そしてそれ自体の上に等辺三角形ΔΑΒが形成されるとせよ。そして線分ΔΑ、ΔΒから線分ΑΕ、ΒΖが延長している。そして円の中心Βと半径ΒΓによって円ΓΗΘが描かれる。更に円の中心Δと半径ΔΗによって円ΗΚΛが描かれるとせよ。
そこで点Βは円ΓΗΘの中心だから、ΒΓはΒΗに等しい。
更に、点Δは円ΚΛΗの中心だから、ΔΛはΔΗに等しく、それらに属するΔΑはΔΒに等しい。その結果残りのΑΛは残りのΒΗに等しい。またΒΓはΒΗに等しいと示されていた。その結果ΑΛ、ΒΓの両方はΒΗに等しい。また同じものに等しいものは互いに等しい。ゆえにΑΛもΒΓに等しい。
ゆえに、与えられた点Αに与えられた線分ΒΓに等しい線分ΑΛが置かれている。これが作図すべ
きものであった。

３
等しくない２直線が与えられているなら、
大きいほうから小さいほうに等しい線分を取り除くこと。
与えられた等しくない２線分をΑΒ、Γとし、それらのより大きいほうをΑΒとせよ。かくてより大きいΑΒからより小さいΓに等しい線分を取り除かねばならない。
点Αに線分Γに等しい線分ΑΔが置かれるとし、そして点Αを中心また半径ΑΔによって円ΔΕΓが描かれるとせよ。
そして点Αは円ΔΕΓの中心だから、ΑΕはΑΔに等しい。そしてΓもΑΔに等しい。その結果ΑΕ、ΓのどちらもΑΔに等しい。よってΑΕもΓに等しい。
ゆえに、等しくない２線分ΑΒ、Γが与えられるなら、より大きなΑΒから小さいΓに等しいΑΕは取り除かれる。これが作図すべきものであった。
― 95 ―

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2008年３月

４
もし２つの三角形の２辺がそれぞれ等しく、また等しい線分によって囲まれた角が等しいなら、底辺は底辺に等しく、三角形は三角形に等しいだろう。そして等しい辺に対している残りの角のそれぞれは残りの角のそれぞれに等しいだろう。
２つの三角形をΑΒΓ、ΔΕΖとし、２辺ΑΒ、ΑΓは２辺ΔΕ、
ΔΖに、すなわちΑΒはΔΕに一方ΑΓはΔΖに等しいとし、そして角ΒΑΓは角ΕΔΖ等しいとせよ。底辺ΒΓは底辺ΕΖに等しく、そして三角形ΑΒΓは三角形ΔΕΖに等しいだろう。また等しい辺に対している残りの角は残りの角に、すなわち角ΑΒΓは角ΔΕΖに、一方角ΑΓΒは角ΔΖΕに等しいと主張する。
何故なら、三角形ΑΒΓを三角形ΔΕΖに重ねるために点Αを点Δに置き、線分ΑΒを線分ΔΕにおく。するとΑΒがΔΕに等しいために、
点Βは点Εに重なる。ΑΒがΔΕに重なったので線分ΑΓも角ΒΑΓが角ΕΔΖに等しいことからΔΖに重なるだろう。その結果、点Γも点Ζに再びΑΓがΔΖに等しいことから重なるだろう。更にΒはΕに重なっていた。その結果、底辺ΒΓは底辺ΕΖに重なるだろう。何故ならもし
ΒがΕに重ならないなら、２線分は図形を囲むだろう。それは不可能である。その結果、底辺ΒΓはΕΖに重なり、そしてそれ自体に等しいだ
ろう。よって、三角形ΑΒΓ全体も三角形ΔΕΖ全体に重なりそしてそれ自体に等しいだろう。そして残りの角も残りの角に重なり、それらは等しいだろう、角ΑΒΓは角ΔΕΖに、一方角ΑΓΒは角ΔΖΕに。
ゆえに、もし２つの三角形が等しい２辺を持ち、等しい線分によって囲まれている角が等しくあるなら、底辺は底辺に等しく、三角形は三角形に等しくあるだろう。そして等しい辺に対している残りの角は残りの角に等しいだろう。これが証明すべきことであった。

５
二等辺三角形の底辺における角は互いに等しく、そして等しい辺を延ばせば、底辺の下の角も互いに等しくあるだろう。
二等辺三角形ΑΒΓは等しい辺ΑΒと辺ΑΓを持ち、そして直線
ΑΒ、ΑΓに加えて直線ΒΔ、ΓΕが延ばされているとせよ。角ΑΒΓは角ΑΓΒに等しくあり、一方角ΓΒΔは角ΒΓΕに等しいと主張する。
ΒΔの上に点Ζを取り、より大きいΑΕから小さいΑΖに等しいΑΗを取り去り、そして線分ΖΓ、ΗΒが結ばれたとせよ。
ΑΖはΑΗに、一方ΑΒはΑΓに等しいのだから、２線分ΖΑ、ΑΓのそれぞれは２線分ΗΑ、ΑΒのそれぞれに等しい。そして共通の角ΖΑΗを取り囲む。その結果、底辺ΖΓは底辺ΗΒに等しく、三角形ΑΖΓは三角形ΑΗΒに等しいだろう。そして残りの角はそれぞれ残りの角に、すなわち― 96 ―

ユークリッド原論

その下へ等しい辺を延ばしている角ΑΓΖは角ΑΒΗに、一方角ΑΖΓは角ΑΗΒに等しいだろう。そして線分全体ΑΖは線分全体ΑΗに等しいのだから、それに属するΑΒはΑΓに等しい。その結果、残りのΒΖは残りのΓΗに等しい。またΖΓもΗΒに等しいと示された。かくて２線分ΒΖ、
ΖΓはそれぞれ２線分ΓΗ、ΗΒに等しい。そして角ΒΖΓは角ΓΗΒに等しく、ΒΓはそれらの共通の底辺であるから、三角形ΒΖΓは三角形
ΓΗΒに等しいだろう。またその下に等しい辺が延びているところの残りの角は, 残りの角にそれぞれ等しいだろう。その結果、角ΖΒΓは角ΗΓΒに等しく、一方角ΒΓΖは角ΓΒΗに等しい。そこで全体の角ΑΒΗは全体の角ΑΓΖに等しいと示されたのだから、それらに属する角
ΓΒΗは角ΒΓΖに等しく、その結果残りの角ΑΒΓは残りの角ΑΓΒに等しい。そしてそれらは三角形ΑΒΓの底辺にある。そしてまた底辺の下にある角ΖΒΓは角ΗΓΒに等しいと示された。
ゆえに、二等辺三角形の底辺にある角は互いに等しくあり、そして等しい線分を延ばしたものの底辺の下の角は互いに等しい。これが証明すべきことであった。

６もし三角形の２つの角が互いに等しいなら、等しい角に対する辺も互いに等しいであろう。
三角形ΑΒΓは角ΑΓΒに等しい角ΑΒΓを持つとせよ。辺ΑΒも辺ΑΓに等しいと主張する。
何故なら、もしΑΒがΑΓに等しくないなら、それらの一方はより大きい。
ΑΒを大きいとし、大きいΑΒから小さいΑΓに等しいΔΒが取り去られ、そしてΔΓが結ばれたとせよ。
そこでΔΒはΑΓに等しく、またΒΓは共通だから、２辺ΔΒ、ΒΓは２
辺ΑΓ、ΓΒにそれぞれ等しい。そして角ΔΒΓは角ΑΓΒに等しい。よって底辺ΔΓは底辺ΑΒに等しく、そして三角形ΔΒΓは三角形ΑΓΒに等しくなるだろう、
小さいものが大きいものに。これは不合理である。その結果、
ΑΒはΑΓに等しくなくはない。すなわち等しい。
ゆえに、もし三角形の２つの角が互いに等しいなら、等しい角に対する辺も互いに等しいであろう。
これが証明すべきことであった。

７
同じ線分の上に、１点で交わる２線分にそれぞれ等しく、同じ側で異なる点で交わり、同じ端を持
つ２線分を構成することは出来ない。
もし出来るなら、同じ線分ΑΒの上に２線分ΑΓ、ΓΒと異なり、それぞれに等しい線分ΑΔ、ΔΒが引かれ、異なった点ΓとΔで同じ側で交わり、同じ端を持っている。その結果、ΓΑはΔΑに等しく同じ点Αを持っている。一方ΓΒはΔΒに等しく同じ点Βを持っている。そしてΓΔが結ばれたとせよ。
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2008年３月

そこでΑΓはΑΔに等しいのだから、角ΑΓΔも角ΑΔΓに等しい。ゆえに角ΑΔΓは角ΔΓΒより大きい。よって大いに角ΓΔΒは角ΔΓΒより大きい。再びΓΒはΔΒに等しいから、角ΓΔΒも
角ΔΓΒに等しい。またそれより大いに大きいことも示された。これは不可能である。
ゆえに、同じ線分の上に、１点で交わる２線分にそれぞれ等しく、同じ側で異なる点で交わり、同じ端を持つ２線分を構成することは出来ない。これが証明すべきことであった。

８
もし二つの三角形がそれぞれ等しい２辺を持ち、また底辺は底辺に等しいなら、等しい線分で取り囲まれた角は角に等しい。
二つの三角形をΑΒΓ、ΔΕΖとし２辺ΑΒ、ΑΓが２辺ΔΕ、
ΔΖにそれぞれ等しいとせよ、ΑΒはΔΕに一方ΑΓはΔΖに。
また底辺ΒΓは底辺ΕΖに等しいとせよ。角ΒΑΓも角ΕΔΖに等しいと主張する。
三角形ΑΒΓが三角形ΔΕΖに重ねられ、点Βは点Εに置かれるなら、ΒΓがΕΖに等しくあるのだから、線分ΒΓは線分ΕΖに、そして点Γは点Ζに重なるであろう。ΒΓがΕΖに重なるから、ΒΑ、ΓΑもΕΔ、ΔΖに重なるであろう。何故なら、もし底辺ΒΓが底辺ΕΖに重なり、辺ΒΑ、ΑΓが辺ΕΔ、ΔΖに重ならずΕΗ、ΗΖのようにずれるなら、同じ線分の上に１点において交わる２線分が与えられ、それらとそれぞれ等しく、同じ側に異なった点で交わり、同じ端を持つ他の２線分が構成されることになるだろう。これは構成されない。よって底辺ΒΓが底辺ΕΖに重ねられるなら、辺ΒΑ、ΑΓが辺ΕΔ、ΔΖに重ならないことはない。それゆえ重なるだろう。その結果角ΒΑΓも角ΕΔΖに重なり、等しいであろう。
ゆえに、もし２つの三角形がそれぞれ等しい２辺を持ち、また底辺は底辺に等しいなら、等しい辺に取り囲まれた角も角に等しいであろう。これが証明すべきことであった。

９与えられた直線角を２等分すること。
与えられた直線角を角ΒΑΓとせよ。これを２等分しなければならない。ΑΒの上に点Δが取られ、そしてΑΓからΑΔに等しいΑΕが取り去られ、ΔΕが結ばれ、ΔΕの上に等辺三角形
ΔΕΖが構成され、そしてΑΖが結ばれたとせよ。角ΒΑΓは線分ΑΖによって２等分されていると主張する。
つまりΑΔはΑΕに等しく、ΑΖは共通であるから、２辺ΔΑ、ΑΖは２辺ΕΑ、
ΑΖにそれぞれ等しい。そして底辺ΔΖは底辺ΕΖに等しい。ゆえに角ΔΑΖは
角ΕΑΖに等しい。
― 98 ―

ユークリッド原論

ゆえに、与えられた直線角ΒΑΓは線分ΑΖによって２等分されている。これが作図すべきものであった。

10与えられた線分を２等分すること。
与えられた線分をΑΒとせよ。このとき線分ΑΒを２等分しなけ
ればならない。その上に等辺三角形ΑΒΓが構成され、そして角ΑΓΒは線分ΓΔによって２等分されたとせよ。線分ΑΒは点Δにおいて２等分されていると、主張する。
何故ならΑΓはΓΒに等しくΓΔは共通だから、２辺ΑΓ、ΓΔはそ
れぞれ２辺ΒΓ、ΓΔに等しい。そして角ΑΓΔは角ΒΓΔに等しい。
それゆえ底辺ΑΔは底辺ΒΔに等しい。
ゆえに、与えられた線分ΑΒは点Δおいて２等分されている。これが作図すべきものであった。

11
与えられた直線に、その上の与えられた点から直角に直線を引くこと。
与えられた直線をΑΒとまたその上の与えられた点をΓとせよ。
点Γから線分ΑΒに直角に直線を引かなければならない。
ΑΓの上に任意の点Δがとられ、そしてΓΕはΓΔに等しくされ、ΔΕの上に等辺三角形ΖΔΕが構成され、そしてΖΓが結ばれたとせよ。与えられた直線ΑΒに、その上の与えられた点Γから直角に直線ΖΓが引かれていると、主張する。
何故ならΔΓはΓΕに等しく、ΓΖは共通だから２辺ΔΓ、ΓΖ
はそれぞれ２辺ΕΓ、ΓΖに等しい。そして底辺ΔΖは底辺ΖΕに等しい。それゆえ角ΔΓΖは角ΕΓΖに等しく接角 である。直線
が直線の上に立てられて、接角を互いに等しくするとき、等しい角の双方は直角である。よって角ΔΓΖ、ΖΓΕの双方とも直角である。
ゆえに、与えられた直線ΑΒに、その上の与えられた点Γから直角に直線ΓΖが引かれている。これが作図すべきものであった。

12与えられた無限の直線にその上にない与えられた点から垂直に直線を引くこと。
与えられた無限の直線をΑΒまたその上にない与えられた点をΓ― 99 ―

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第14号

2008年３月とせよ。与えられた無限の直線ΑΒに、その上にない与えられた点Γから垂直に直線を引くこと。
線分ΑΒのもう一方の側に点Δがとられ、そして中心Γ、また半径ΓΔの円ΕΖΗが描かれるとせよ。そして線分ΕΗはΘで２等分され、直線ΓΗ、ΓΘ、ΓΕが結ばれるとせよ。与えられた無限の直線ΑΒへ、その上にない与えられた点Γから垂直な直線
ΓΘが引かれると、主張する。
ΗΘはΘΕに等しくΘΓは共通だから、２辺ΗΘ、ΘΓは２辺ΕΘ、ΘΓにそれぞれ等しい。そして底辺ΓΗは底辺
ΓΕに等しい。その結果、角ΓΘΗは角ΕΘΓに等しく、また接角である。直線が直線に交わり接角が互いに等しくなる
場合、等しい角のそれぞれは直角である。そして上に立っている直線は、そこに立っている線分に対し垂直と言われる。
ゆえに、与えられた無限の直線ΑΒに、その上にない与えられた点Γから垂線ΓΘが引かれた。これが作図すべきもの
であった。

13
もし直線が他の直線に立っていて角を作るなら、２つの直角を作るかあるいは和が２直角に等しい
接角を作るだろう。
ある直線ΑΒが他の直線ΓΔに立っていて、角ΓΒΑと角ΑΒΔを作るとせよ。角ΓΒΑと角ΑΒΔは確かに双方とも直角である
か、あるいは和が２直角に等しいと、主張する。
そこでもし角ΓΒΑが角ΑΒΔに等しいなら、２角は直角である。またもしそうでないなら点Βから直線ΓΔに垂線ΒΕが引かれている。その結果、２角ΓΒΕ、ΕΒΔは直角である。そして角ΓΒΕは角ΓΒΑとΑΒΕの和に等しいのだから、共通の角ΕΒΔが加えられているとせよ。すると角ΓΒΕとΕΒΔの和は３つの角ΓΒΑ、ΑΒΕ、ΕΒΔの和に等しい。もう一度、角ΔΒΑは２角ΔΒΕ、ΕΒΑの和に等しいのだから、共通の角ΑΒΓが加えられとせよ。よって、角ΔΒΑとΑΒΓ
の和は３つの角ΔΒΕ、ΕΒΑ、ΑΒΓの和に等しい。また角ΓΒΕ、ΕΒΔの和は３つの角の和に等しいと示された。また同じものに等しい
ものは互いに等しい。その結果、角ΓΒΕ、ΕΒΔの和は角ΔΒΑ、ΑΒΓの和に等しい。よって角ΓΒΕ、ΕΒΔは２つの直角である。ゆえに角ΔΒΑ、ΑΒΓの和は２直角に等しい。
ゆえに、１つの直線が他の直線に立っていて角を作るなら、２つは直角であるかその和は２直角になるだろう。これが証明すべきことであった。

― 100 ―

ユークリッド原論

14
任意の直線とその上の１点において、その直線の同じ側にない２直線が接角の和を２直角に等しく
するならば、これらの２直線はたがいに一直線をなすであろう。
任意の直線ΑΒとその上の１点Βにおいて２直線ΒΓとΒΔが同じ側になく、接角ΑΒΓとΑΒΔの和を２直角に等しくするとせよ。ΒΔはΓΒと一直線をなすと、主張する。
何故ならΒΔがΒΓと一直線をなさないなら、ΒΕがΓΒと一直線をなすとせよ。
そこで直線ΑΒは直線ΓΒΕの上に立っているのだから、角ΑΒΓとΑΒΕの和は２直角に等しい。また角ΑΒΓとΑΒΔの和も２直角に等しい。そこで角ΓΒΑとΑΒΕの和は角ΓΒΑとΑΒΔの和に等しい。双方から角ΓΒΑが取り去られたとせよ。そこで残りの角ΑΒΕは残りの角ΑΒΔに等しい、すなわち小さいものがより大きい
ものに等しい。これは不可能である。ゆえにΒΕはΓΒと一直線をなさない。同様に、ΒΔ以外のいかなる他の直線もそうならないと証明しうる。よってΓΒはΒΔと一直線をなす。
ゆえに、任意の直線とその上の一点において、その直線の同じ側にない２直線が接角の和を２直角に等しくするならば、これら２直線は互いに一直線をなすだろう。これが証明すべきことであった。

15
２直線が互いに交わるならば、それらは互いに等しい対頂角を作る。
すなわち２直線ΑΒ、ΓΔが互いに点Εで交わるとせよ。角ΑΕΓは角ΔΕΒに等しく、一方角ΓΕΒは角ΑΕΔに等しいと、主張する。
直線ΑΕは角ΓΕΑと角ΑΕΔを作りながら直線ΓΔの上に立っているのだから、２つの角ΓΕΑとΑΕΔの和は、２直角に等しい。
又、直線ΔΕは直線ΑΒの上に立っていて角ΑΕΔとΔΕΒを作っているのだから、角ΑΕΔとΔΕΒの和は２直角に等しい。また角ΓΕΑとΑΕΔの和も２直角に等しいと示された。そこで角ΓΕΑ
とΑΕΔの和は、角ΑΕΔとΔΕΒの和に等しい。共通の角ΑΕΔは取り去られるとせよ。そこで残りの角ΓΕΑは残りの角ΒΕΔに等しい。また同様に、角ΓΕΒと角ΔΕΑが等しいと示されるだろう。
ゆえに、２直線が互いに交わるならば、互いに等しい対頂角を作る。これが証明すべきことであった。

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第14号

2008年３月

16
すべての三角形において辺の一つを延長すると、外角は内対角のいずれより大きい。
三角形をΑΒΓとし、そしてその一辺ΒΓをΔまで延長させよ。
外角ΑΓΔは内対角ΓΒΑ、ΒΑΓのいずれより大きいと、主張する。
ΑΓがΕで２等分され、そして結ばれたΒΕは一直線をなしΖまで延長され、そしてΕΖはΒΕに等しくされ、ΖΓは結ばれ、ΑΓはΗまで延長されたとせよ。
そこでΑΕはΕΓに等しく、またΒΕはΕΖに等しいのだから、２辺
ΑΕ、ΕΒは２辺ΓΕ、ΕΖにそれぞれ等しい。そして角ΑΕΒは角ΖΕΓの対頂角なので等しい。ゆえに底辺ΑΒは底辺ΖΓに等しく、三角形ΑΒΕは三角形ΖΕΓに等しく、残りの角もそれぞれ残りの角に等しい。すなわち等しい辺に対する角はそれぞれ等しい。そこで角ΒΑΕ
は角ΕΓΖに等しい。また角ΕΓΔは角ΕΓΖより大きい。よって角ΑΓΔは角ΒΑΕより大きい。
同様にΒΓが２等分されるとき角ΒΓΗ、すなわち角ΑΓΔは角ΑΒΓより大きいことも示される。
ゆえに、すべての三角形の辺の一つが延長されるとき、外角は内対角のいずれより大きい。これが証明すべきことであった。

17
すべての三角形において、どの２角をとってもその和は2直角より小さい。
ΑΒΓを三角形とせよ。三角形ΑΒΓのどの２角をとってもその和は２直角より小さいと、主張する。
ΒΓがΔまで延長されたとせよ。すると角ΑΓΔは三角形ΑΒΓ
の外角だから、内対角ΑΒΓより大きい。角ΑΓΒが共通に加えられたとせよ。すると、角ΑΓΔとΑΓΒの和は角ΑΒΓとΒΓΑの和より大きい。しかし角ΑΓΔとΑΓΒの和は２直角に等しい。ゆえに、角ΑΒΓとΒΓΑの和は２直角より小さい。また同様に、角ΒΑΓとΑΓΒの和も２直角より小さいと示されるだろう。そして更に角ΓΑΒとΑΒΓの和も小さいと。
ゆえに、すべての三角形のどの２角をとってもその和は２直角より小さい。これが証明すべきこと
であった。

18
すべての三角形において大きい辺は大きい角に対する。
ΑΒΓを辺ΑΓが辺ΑΒより大きい三角形とせよ。角ΑΒΓも角― 102 ―

ユークリッド原論ΒΓΑより大きいと、主張する。
ΑΓがΑΒより大きいのだから、ΑΒに等しいΑΔをとり、ΒΔが結ばれたとせよ。
角ΑΔΒは三角形ΒΓΔの外角であるから、内対角ΔΓΒより大きい。辺ΑΒが辺ΑΔに等しいのだから、角ΑΔΒは角ΑΒΔに等しい。よって、角ΑΒΔは角ΑΓΒより大きい。ゆえに、大いに角ΑΒΓは角ΑΓΒより大きい。
ゆえに、すべての三角形において大きい辺は大きい角に対する。
これが証明すべきことであった。

19
すべての三角形において大きい角には大きい辺が対する。
ΑΒΓを角ΑΒΓが角ΒΓΑより大きい三角形とせよ。辺ΑΓは
辺ΑΒより大きいと、主張する。
もしそうでないなら、確かにΑΓはΑΒに等しいかあるいは小さい。ところでΑΓはΑΒに等しくない。何故なら、そうであったなら角ΑΒΓも角ΑΓΒに等しかっただろう。ところがそうではない。よってΑΓはΑΒに等しくない。
またΑΓはΑΒより小さくもない。何故なら、そうならば角ΑΒΓも角ΑΓΒ
より小さかったろう。ところがそうではない。ゆえにΑΓはΑΒより小さくはない。また等しくないことも示されている。よってΑΓはΑΒより大きい。
ゆえに、すべての三角形において、大きい角には大きい辺が対する。これが証明すべきことであった。

20
すべての三角形においてどの２辺をとっても、その和は残りの１辺より大きい。
ΑΒΓを三角形とせよ。三角形ΑΒΓのどの２辺をとってもその和は残りの１辺より、すなわちΒΑとΑΓの和はΒΓより、またΑΒとΒΓの和はΑΓより、そしてΒΓとΓΑの和はΑΒより大
きいと、主張する。
ΒΑが点Δまで延ばされ、ΑΔがΓΑに等しくされ、そしてΔΓが結ばれたとせよ。
そこでΔΑはΑΓに等しいのだから、
角ΑΔΓも角ΑΓΔに等しい。
よって角ΒΓΔは角ΑΔΓより大きい。そして、三角形ΔΓΒは角
ΒΔΓより大きい角ΒΓΔを持っている三角形だから、大きい角には大きい辺が対している、すなわちΔΒはΒΓより大きい。またΔΑは
ΑΓに等しい。よってΒΑとΑΓの和はΒΓより大きい。ΑΒとΒΓ― 103 ―

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第14号

2008年３月の和はΓΑより大きく、またΒΓとΓΑの和はΑΒより大きいと、同様に示しうる。
ゆえに、すべての三角形においてどの２辺をとっても、それらの和は残りの１辺より大きい。これが証明すべきことであった。

21
もし三角形の一辺の上に、その両端から内部で交わる２線分が構成されるならば、構成された２線分の和は三角形の残りの２辺の和より小さいが、より大きい角を取り囲むであろう。
三角形ΑΒΓの一辺ΒΓの上に両端ΒとΓから三角形の内部で交わる２線分ΒΔとΔΓが構成されたとせよ。三角形の残りの２辺
ΒΑ、ΑΓの和よりΒΔとΔΓの和は小さく、角ΒΑΓより大きい角ΒΔΓを取り囲むと、主張する。
ΒΔがΕまで延長されたとせよ。すべての三角形において、２辺の和は残りの１辺より大きいのだから、三角形
ΑΒΕの２辺ΑΒとΑΕの和は、ΒΕより大きい。共通のΕΓが加えられたとせよ。するとΒΑとΑΓの和はΒΕとΕΓの和より大きい。また三角形ΓΕΔの２辺ΓΕとΕΔの和はΓΔより大きいのだから、共通のΔΒが加えられたとせよ。するとΓΕとΕΒの和はΓΔとΔΒの和より大きい。ところでΒΕとΕΓの和よりΒΑとΑΓの和は大きいと示されていた。よって、ΒΑとΑΓの和はなおさらΒΔとΔΓの和より大きい。
またすべての三角形において外角は内対角より大きいから、三角形ΓΔΕの外角ΒΔΓは角ΓΕΔより大きい。また同じ理由で、三角形ΑΒΕの外角ΓΕΒは角ΒΑΓより大きい。ところで角ΓΕΒ
より角ΒΔΓは大きいと先に示されている。よってより多く角ΒΔΓは角ΒΑΓより大きい。
ゆえに、もし三角形の一辺の上に、その両端から内部で交わる２線分が構成されるならば、構成された２線分の和は三角形の残りの２辺の和より小さいが、より大きい角を取り囲む。これが証明すべきことであった。

22
与えられた３線分に等しい３線分から三角形を構成すること。ただし、どの２線分をとってもそれらの和は残りの線分より大きくなければならない［すべての三角形において、どの２辺をとってもそれらの和は残りの辺より大きくあるために］。
与えられた３線分をΑ、Β、Γとし、それらのうちのどの２線分をとってもそれらの和は残りの線分より大きいとせよ。すなわちΑとΒの和はΓより、ΑとΓの和は
Βより、そしてΒとΓの和はΑより大きいと。かくてΑ、Β、Γに等しい線分から三角形が構成されなければならない。
Δにおいて限られたΕの方に無限である任意の直線ΔΕが定められ、ΔΖをΑに、ΖΗをΒに、ま― 104 ―

ユークリッド原論

たΗΘをΓに等しいとせよ。そして中心Ζ、半径ΖΔによって円ΔΗΛが描かれたとせよ。更に中心Η、半径ΗΘによって円ΚΛΘが描かれ、ΚΖとΚΗが結ばれたとせよ。Α、Β、Γに等しい３線分から三角形ΚΖΗを構成すると、主張する。

点Ζは三角形ΔΚΛの中心だから、ΖΔはΖΚに等しい。ところでΖΔはΑに等しい。よってΚΖはΑに等しい。更に点Ηは円ΛΚΘの中心だから、ΗΘはΗΚに等しい。ところでΗΘはΓに等しい。
よってΚΗはΓに等しい。またΖΗはΒに等しい。ゆえに３線分ΚΖ、ΖΗ、ΗΚは３線分Α、Β、Γに等しい。
ゆえに、与えられた３線分Α、Β、Γに等しい３線分ΚΖ、ΖΗ、ΗΚから三角形ΚΖΗが構成されている。これが作図すべきものであった。

23
与えられた直線上に、その上の点において与えられた直線角に等しい直線角を構成すること。
与えられた直線をΑΒ、その上の点をΑ、また与えられた直線角をΔΓΕとせよ。このとき与えられた直線ΑΒ上にその上の点Α
において与えられた直線角ΔΓΕに等しい直線角を構成しなければならない。
ΓΔ、ΓΕのそれぞれの上に点Δ、Εがあり、そしてΔΕが結ばれたとせよ。そして３線分ΓΔ、ΔΕ、ΓΕに等しい３線分から三角形ΑΖΗが構成され、その結果ΓΔはΑΖにまたΓΕはΑΗに、さらにΔΕはΖΗに等しいとせよ。
そこで２辺ΔΓとΓΕは２辺ΖΑ、ΑΗにそれぞれ等しく、そして底辺ΔΕは底辺ΖΗに等しいのだから、角ΔΓΕは角ΖΑΗに等しい。
ゆえに、与えられた直線ΑΒ上にその上の点Αにおいて、与えられた直線角ΔΓΕに等しい直線角ΖΑΗが構成された。これが作図すべきものであった。

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2008年３月

24
もし２つの三角形において２辺が２辺にそれぞれ等しく、等しい線分によって取り囲まれる角の一方が他方より大きいなら、底辺も底辺より大きいだろう。
２つの三角形をΑΒΓ、ΔΕΖとし、２辺ΑΒ、ΑΓが２辺ΔΕ、
ΔΖにそれぞれ等しい、すなわちΑΒはΔΕにそしてΑΓはΔΖに等しいとし、Αにおける角がΔにおける角より大きいとせよ。
底辺ΒΓは底辺ΕΖより大きいと、主張する。
角ΒΑΓは角ΕΔΖより大きいのだから、線分ΔΕ上にその上の点Δにおいて角ΒΑΓに等しい角ΕΔΗが構成され、そしてΔΗがΑΓかΔΖのどちらかに等しくされ、ΕΗ、ΖΗが結ばれたとせよ。
そこでΑΒはΔΕに、またΑΓはΔΗに等しいのだから、２辺
ΒΑ、ΑΓは２辺ΕΔ、ΔΗにそれぞれ等しい。そして角ΒΑΓは
角ΕΔΗに等しい。ゆえに底辺ΒΓは底辺ΕΗに等しい。更にΔΖはΔΗに等しいのだから、角ΔΗΖも角ΔΖΗに等しい。よって角ΔΖΗは角ΕΗΖより大きい。ゆえにおおいに角ΕΖΗは角ΕΗΖより大きい。そして、角ΕΗΖより大きい角ΕΖΗを持つ三角形
ΕΖΗは、大きい辺が大きい角に対しているのだから、辺ΕΗはΕΖより大きい。またΕΗはΒΓに等しい。よって、ΒΓはΕΖより大きい。
ゆえに、もし２つの三角形がそれぞれ等しい２辺を持ち、等しい線分によって取り囲まれる角の一方が他方より大きいなら、底辺も底辺より大きいだろう。これが証明すべきことであった。

25
もし２つの三角形がそれぞれ等しい２辺を持ち、底辺の一方が他方の底辺より大きいなら、等しい線分に取り囲まれる角の一方は他方より大きいだろう。
ΑΒΓ、ΔΕΖを２辺ΑΒ、ΑΓが２辺ΔΕ、ΔΖにそれぞれ等しい２つの三角形とし、底辺ΒΓは底辺ΕΖより大きいとせよ。
角ΒΑΓは角ΕΔΖより大きいと、主張する。
もしそうでないなら、それに等しいかあるいは小さいかである。ところで角ΒΑΓは角ΕΔΖに等しくない。なぜなら辺ΒΓは辺ΕΖに等しくなるだろう。ところがそうではない。ゆえに、角ΒΑΓは角
ΕΔΖに等しくない。また角ΒΑΓは角ΕΔΖより小さくもない。なぜなら底辺ΒΓも底辺ΕΖより小さくなるだろう。ところがそうではない。ゆえに角ΒΑΓは角ΕΔΖより小さくはない。また等しくないと示されていた。よって角ΒΑΓは角ΕΔΖより大きい。
ゆえに、もし２つの三角形がそれぞれ等しい２辺を持ち、底辺が底辺より大きいなら、等しい線分に取り囲まれる角も一方が他方より大きいだろう。これが証明されるべきことであった。
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ユークリッド原論

26
もし２つの三角形において２角が２角にそれぞれ等しく、そして1辺が1辺に、すなわち等しい２角にはさまれる１辺あるいは等しい角の1つに対する辺が等しいなら、残りの２辺も残りの2辺にそして残りの角も残りの角に等しいだろう。
ΑΒΓ、ΔΕΖを２つの三角形とし、２角ΑΒΓ、ΒΓΑが２角
ΔΕΖ、ΕΖΔにそれぞれ等しいとせよ、角ΑΒΓが角ΔΕΖに、
一方角ΒΓΑが角ΕΖΔに。
そして1辺が1辺に、まず等しい角にはさまれる辺、すなわちΒΓがΕΖに等しいとせよ。残りの２辺も残りの2辺に、すなわち
ΑΒはΔΕにまたΑΓはΔΖに、そして残りの角は残りの角に、すなわち角ΒΑΓは角ΕΔΖに等しいと、主張する。
もしΑΒがΔΕに等しくないなら、それらの一方は大きい。
ΑΒを大きいとし、そしてΒΗがΔΕに等しくされ、ΗΓが結ばれたとせよ。
そこでΒΗはΔΕに、またΒΓはΕΖに等しいのだから、２辺
ΒΗ、ΒΓは２辺ΔΕ、ΕΖにそれぞれ等しい。そして角ΗΒΓ
も角ΔΕΖに等しい。ゆえに底辺ΗΓは底辺ΔΕに等しい。そして三角形ΗΒΓは三角形ΔΕΖに等しく、等しい辺が対するところの残りの角は残りの角に等しい。ゆえに、角ΗΓΒは角ΔΖΕに等しい。ところで角ΔΖΕは角ΒΓΑに等しいと仮定されている。よって角ΒΓΗは角ΒΓΑに等
しい、すなわち小さいものが大きいものに。これは不可能である。ゆえにΑΒはΔΕに等しくなくはない。つまり等しい。またΒΓはΕΖに等しい。かくて２辺ΑΒ、ΒΓはそれぞれ２辺ΔΕ、ΕΖに等しい。そして角ΑΒΓは角ΔΕΖに等しい。ゆえに底辺ΑΓは底辺ΔΖに等しく、残りの角ΒΑΓは残りの角ΕΔΖに等しい。
次に、等しい角に対する辺、たとえばΑΒがΔΕに等しいとせよ。残りの辺は残りの辺に、すなわちΑΓはΔΕに、またΒΓはΕΖに等しく、更に残りの角ΒΑΓは残りの角ΕΔΖに等しいと、主張する。
もしΒΓがΕΖに等しくないなら、それらの一方は大きい。ΒΓが大きいとし、ΒΘがΕΖに等し
くされ、そしてΑΘが結ばれたとせよ。ΒΘはΕΖにΑΒはΔΕに等しいのだから、２辺ΑΒ、ΒΘは２辺ΔΕ、ΕΖにそれぞれ等しい。そして等しい角を取り囲む。よって底辺ΑΘは底辺ΔΖに等しく、三角形ΑΒΘは三角形ΔΕΖに等しい。そして残りの角は残りの角に等しいだろう。それらは等しい辺に対するところのものである。ゆえに、角ΒΘΑは角ΕΖΔに等しい。ところで角ΕΖΔは角ΒΓΑに等しい。かくて三角形ΑΘΓの外角ΒΘΑは内対角ΒΓΑに等しい。これは不可能である。
よってΒΓはΕΖに等しくなくはない。ゆえに等しい。またΑΒはΔΕに等しい。かくて、２辺ΑΒ、
ΒΓは２辺ΔΕ、ΕΖにそれぞれ等しい。そして等しい角を取り囲む。よって、底辺ΑΓは底辺ΔΖに等しく、三角形ΑΒΓは三角形ΔΕΖに等しく、残りの角ΒΑΓは残りの角ΕΔΖに等しい。
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2008年３月

ゆえに、もし２つの三角形がそれぞれ等しい２角を持ち、１辺が１辺に等しいなら、すなわち等し
い２角にはさまれる辺かあるいは等しい角に対する辺が等しいなら、残りの２辺も残りの２辺に等しいだろうし、残りの角も残りの角に等しいだろう。これが証明すべきことであった。
注
１，ギリシャ語の原論には、「第」及び「巻」に相当する語は用いられておらず、ただ「１」とあるのみだが従来の訳本に習い「第１巻」とした。
参考文献
１，中村

幸四郎、寺坂英孝、伊藤俊太郎、池田美恵「ユークリッド原論」（共立出版

１９７１年）

２，中沢

貞治 「いろいろな幾何」（共立出版

１９６７年）

３，齋藤憲「ユークリッド『原論』の成立」 （東京大学出版会

１９９７年）（数学― 108 ―

結び目理論）