2019 年第 49 回
天文・天体物理若手夏の学校

集録

重宇

謝辞

2019 年度天文・天体物理若手夏の学校は、基礎物理学研究所を始め、国立天文台、理論天文学宇宙物理学懇談会、宇宙線研究者会議、光学赤外線天文連絡会、野辺山宇宙電波からのご支援、また、
企業・個人 (プログラム集参照) からご寄付により成り立っております。事務局一同厚く御礼申し上げます。

重力・宇宙論分科会

indexa1

物部 武瑠

BlackHole まわりのアクシオン雲による重力波放射

a2

植田 郁海

クォーク・ハドロン相転移による背景重力波への影響

a3

福永 颯斗

アクシオンにおける共鳴不安定性a4

喜久永 智之介

Pulsar Timing Array による M87 からの低周波重力波の制限

a5

高橋 卓弥

インフレーション中の量子ゆらぎと原始ブラックホール

a6

間仁田 侑典宇宙の加速器の物理

a7

村上 広椰

Non Bunch-Davies 真空における単一スカラー場インフレーションモデルの観測量の推定

a8

三嶋 洋介

Blue gravitational waves from slow-roll inflation

a9

佐藤 靖

R + R2 モデルに対する高階微分項による補正

a10

新井 幸

漸減する宇宙項と間欠的加速膨張

a11

竹村 希心

cubic-order Horndeski 理論においてスケーリング解を持つ最も一般的なラグラ ンジアン

a12

小池 貴博

Infinite Derivative Gravity 理論におけるブラックホールの内部構造に対するス カラー場の影
響について

a13

池田 拓人

Gauss-Bonnet 作用における metric 形式と metric-aﬃne 形式の非等価性

a14

楠見 蛍

水面波メタマテリアルの実装とその宇宙論的応用について

a15

神原 亮介

Hawking-like radiation

a16

松本 怜

ブラックホールの無毛定理、地平面の安定性、および熱力学

a17

何 俊逸

発散方程式と静的ブラックホールの唯一性定理

a18

上田 和茂

回転 BH による真空崩壊の触媒作用

a19

杉山素直

すばる HSC の銀河サーベイデータを使った宇宙論パラメタ推定手法の開発

a20

栗田 智貴

宇宙の大規模構造とダークマターハローの形状の相関

a21

三浦 大志

ハッブル定数の不一致問題に対する cosmological backreaction による説明の問題点

a22

小粥 一寛

銀河形状を用いた初期三点相関の検証

a23

山本 菜々花CMB レンジングを用いた銀河団の質量推定

a24

迫田 康

21cm 線と CMB 弱重力レンズ効果の相互相関による中性水素存在量の推定

a25

古郡 国彦

Ultracompact minihalo の 21cm 線観測による初期パワースペクトルの制限

a26

口ノ町 瑛

21cm-LAE cross-correlation を用いた 21cm 線シグナルの検出可能性

b1

木太久 稜

F(R)gravity での Shuwarzshild-de Sitter black holes の anti-evaporation

b2

遠藤 洋太

Q-ballsb3

野村 皇太

スカラーダークマターとブラックホールヘア

b4

太田 渓介

Infinite Derivative Gravity 理論における特異点解消の構造について

b5

阿部 克哉

原始ブラックホールによる非等方的な Kinetic Sunyaev-Zeld’ovich 効果b6

田中 章一郎21cm 線-CMB Lensing 相互相関の検出可能性と宇宙論パラメータの制限

b7

近藤 寛人

HSC データを用いたフィラメント構造の弱重力レンズ効果測定

b8

岡野 創

ヘリカルな磁場生成モデルにおける重力波生成

indexc2

片桐 拓弥

Modeling scalar fields consistent with positive mass

c3

林 航大

軸対称時空における時間的閉曲線

c4

平野 進一

修正重力理論におけるスカラー波の遮蔽機構とその破れ

c5

大倉 靖央

逆散乱法によるアインシュタイン方程式の厳密解の構成

c6

渡慶次 孝気重力の熱力学的側面

c7

竹林 蒼真

ブラックホール内部の質量パラメータ・インフレーションと宇宙検閲官仮設

c8

村島 崇矩

球形ブラックホールが及ぼす質量インフレーション

c9

藤倉 浩平

A new derivation of string-string interactionsc10

富川 慶太郎スカラー型ゆらぎから誘起される重力波のゲージ依存性

c11

石川 純也

宇宙論における相転移由来の重力波

c12

佐藤 星雅

Reheating after the hybrid Higgs inflationc13

佐野 有里紗Time crystal とその初期宇宙への影響の可能性

c14

橋本 大輝

ダークマターの性質の制限:LSBG を用いたダークマター対消滅の探査

c15

羽柴 聡一朗

右巻きニュートリノの重力的生成によるバリオン数と暗黒物質の生成c16

Qiu Tian

Constraints on asteroid-mass primordial black holes (PBHs) as dark matter candidates

c17

簑口 睦美

ボイドの形状進化と潮汐場の系統的調査

c18

吉田 貴一

ガウス過程を用いた宇宙の大規模構造の復元

c19

時 聡志

すばる HSC を用いた弱重力レンズの観測による宇宙論

c20

石倉 来実

宇宙マイクロ波背景放射とザックス・ヴォルフェ効果

——–index

a1BlackHole まわりのアクシオン雲による重力波放射
立教大学大学院 理学研究科
物部 武瑠

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

BlackHole 周りの axion 雲による重力波放射
物部 武瑠 (立教大学大学院 理学研究科 物理学専攻 修士課程 1 年)

Abstract
弦理論や M 理論では次元のコンパクト化により、小さいが幅広いレンジの質量を持った axion 場の存在が提唱されている。[2] その axion を通して、多くの宇宙論的現象についての新しい見方が考えられている。
その中の一つとして、BlackHole まわりの axion 雲による重力波の放射を考えた [1] をレビューする。 回
転する BH では BH 近傍のポテンシャルにより、あるモードの波動が散乱され、振幅が増幅し回転エネル
ギーが取り出される現象が起こる。この現象を superradiance と呼ぶ。superradiance は繰り返しにより不安定になり superradiance instability を引き起こすが、それにより axion 雲はどんどん成長し1 、非線形相互作用が現れるようになる。superradiance instability の終状態 (bosenova) では重力波が放出される。[3][1] では bosenova の起こる前の状態での重力波の放出を解析していて、その計算結果として backreaction(ここでは axion 雲からの重力波の放出) はとても小さいことが確かめられた。これにより [3] で bosenova の間の重力波の放出 について計算する際に考慮した、bosenova の描写が適切であると確認できた。

1

Introduction2015 年に連星 BlackHole による重力波が観測されて以来、重力波を主題とした研究がより盛んに行われてきた。ひとえに重力波といっても連星系からのもの、BH 由来のもの、インフレーション由来のものなどさまざまである。近年の技術の進歩により、LIGOや Virgo などの検出器の精度が高まってきたこともあり、 以前観測されたものとは異なる由来の重力波の検出を目指して研究が進められてる。[1] で計算する axion 場をソースとする重力波は小さすぎて観測は困難であると考えられるが、[3] で考えた bosenova
による重力波は改良された LIGO や KAGRA なら観測が期待できるようである。
弦理論や M 理論では４次元以上の高次元は折りたたまれて存在していると考えられており、その余剰次元がもつ動的自由度を moduli と呼ぶ。moduli は４次元時空では場として振舞うが、その中の一つとして axion がある。質量 µ が 10−33 ∼ 10−10 eV ほどである axion 場（string axion）の存在が提唱されていて、本論文では µ ∼ 10−10 eV 程度の axion 場を考

axion は QCD での強い CP 問題を解決するために導入された。理論では作用に CP 対称性を破るような項を入れることができるが、実験ではその項はほぼゼロとなり CP 対称性は破れない。これを強い CP問題と呼ぶが、axion の導入により理論でもその項がゼロになることがわかるので、CP 対称性は破れない。他にも、その安定性からダークマターの候補などとして axion は考えられており、様々な宇宙論的事
象の説明が期待されている。4 (axiverse senario)[2],[4]
回 転 す る 太 陽 質 量 程 度 の BH の 周 辺 で はquasibound-state mode（準束縛状態）が現れる。その mode の振幅は BH の回転 energy を引き出す過程5 を通してエネルギーを獲得し、指数関数的に増大する。この指数関数的増大による不安定性を su-

perradiant instability と呼ぶ。instability により axion 雲はどんどん成長するが、この成長率は最大でもM ωI ∼ 10− 7 ほどであり、成長 (instability) の timescale は ∆t ∼ 107 M ∼ 1minute(M = M⊙ ) となる。
これはもちろん重力波検出器の観測周期よりも小さい。instability の進行に伴い、axion の非線形相互作

える。23
2 準束縛状態が起こるのが太陽質量ほどの回転 BH の周りであり、このコンプトン波長 1/µ は太陽質量ほどの BH 半径に相当するため
3 以下、c = G = ℏ = 1

4 axion は観測で見つかっていない。axion が絡むと考えられる宇宙での現象を見ることで、axion について新たに情報を得ることが期待される。
5 エルゴ領域でのエネルギー引き抜き過程。光子を投げ入れたものは penrose 過程と名前がついている。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校用6 が現れるようになり、その終状態として重力波が7

condition8放出される。（bosenova ）bosenova に至るためにはおおよそ axion 場が獲得するエネルギーが、BH の質
量の 0.16% ほどになることが必要である。[3] しかし
ここでは axion 場をソースとした重力波の放出もある
ため, 放出エネルギーが大きい場合には instability は

0 < ω < mΩHを満たすときに起こる。(ω ：波動の振動数、m：方
位量子数、ΩH ：BH の角速度)

Boyer-Lindquist 座標 (t, r, θ, ϕ) でのメトリックは∆ − a2 sin2 θ 2 4M ar sin2 θ
dt −
dtdϕ
Σ
Σ
領域に至らず、bosenova は起こりえない。9[ 2]
2(r + a2 )2 − ∆2 sin θΣ[1] では bosenova の起こる前の状態での重力波の放 +sin2 θdϕ2 + dr2 + Σdθ2
Σ∆
出エネルギーを計算し、axion 場からの重力波の放出がとても小さいことを示す。これが獲得エネルギーよ with
進行せず、bosenova を起こすのに必要なエネルギー

ds2 = −

りも小さければ、axion 場は成長を止めず、bosonovaΣ ≡ r2 + a2 cos θ, ∆ ≡ r2 + a2 − 2M r

へ至ることが確認できる。

と与えられる。BH 周りの場 Φ を

2

ωµ
ωµ
Φ = Re[Φ̂], Φ̂ = e−iωt Rlm(r)Slm(θ)eimϕ

Methods

BH からエネルギーを得た axion 雲（場）が成長 と 変 数 分 離 し 、massive Klein-Gordon equation（instability の進行）することで bosenova に至る。と ∇2 Φ − µ2 Φ = 0 を解くことで、動径方向成分 Rωµ (r)lm

いった描像を考えるが、superradiance は BH からのから振幅が増幅するモード (|Ain | < |Aout |)10 を取りエネルギー引き抜き過程となるので、axion 場のエネ

出すと superradiance condition が導出できる。

ルギー獲得率 dEa /dt が、instability の進行による重力波放射 dEGW /dt よりも小さいと、bosenova の起
こりうるところまで場が成長できない。bosenova が起こりうるためには

dEa
dEGW
>
dt
dt
を満たす必要があり、これを示す。

2.1

superradiance condition

2.2

superradiat instability

場に質量がある場合、準束縛状態11 で波動は su-

perradiance を繰り返す。この繰り返しにより振幅がωI > 0 のときΦ ∝ e−iωt = eωI t (ω = ωR + iωI )と指数暗数的増大をするので不安定になる。これを superradiant instability と呼ぶ。superradiance

kerrBH 近傍のポテンシャルにより、あるモードの condition によると R ≃ e−i(ω−mΩH )r∗ の時12 ω <波動が増幅され跳ね返される現象がある。これを su- mΩH が条件だったので、代入して計算すると R ≃perradiance と呼ぶ。superradiance は superradiancee−i(ωR −mΩH )r∗ +ωI r∗ と書けるので、instability の時= fa2 µ2 {1 −cos (Φ/fa )} (fa :axion decay 定数) となり、cos の項が非線形項。ただし、非線形相互作用が効いてこない instability が進行しているだけの領域（[1] で考える領域）ではポテンシャルは単にmassive Klein-Gordon のそれになる。(U ∼ 21 µ2 ϕ2 )7 この重力波が観測できれば axion に関してのなんらかの情報が得られることが期待される。
8 場が獲得したエネルギーで axion が生成され続け、その密度がどんどん大きくなっていく。そして、その密度が閾値を超えると場は重力波を放出し、基底状態に落ちる。
9 逆に（獲得エネルギー）>（放出する重力波のエネルギー）となっていれば、bosenova が起こりうる状態まで場が成長する。

には ωR < mΩH が満たされていることになる。13

6 axion 場 Φ のポテンシャル V は一般に V

10 ポテンシャルへ向かう波の振幅 < ポテンシャルから出る波の
振幅
11 mass の効果により、ポテンシャルはくぼみがあるような形
になる。
2

2

12 tortoise coordinate：r*は dr∗ = r +a dr で定義する。
∆
13 暗に ω > 0 を仮定している。axion の質量を µ とすればコR

ンプトン波長がそれの逆数に対応していることから µ ≈ ω がわかるので、これが positive であることはわかる

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3となることががわかっているので dEGW /dt は結局

gravitational radiation(out)

重力波の計算については、out-mode の homo-

(bh)

(out)

geneous 解として、摂動項 hµν をモード関数 uµν で

dEGW
dEGW
dEGW
dEGW
=
+
<
dt
dt
dt
dt

モード展開する。これはソースがゼロとして14 BH にと変形でき、dEGW /dt を axion 場のエネルギー獲(out)

落ちていく mode を境界条件で落としたものである。 得率と比較すれば良いことがわかる。
（superradiance を考えているので、ポテンシャルを

ここで out-mode とは、BH に落ちていくモード
超えて落ちていくものは無視する。）この uµν を使っ を境界条件で落としたもののことで homogeneous 解て重力波のエネルギー放出率を求める。
(Tµν = 0) を考えて

ĥµν =
2.3.1

Einstein 方程式の線形化

j̃)Cj̃ û(µν

@J +

j̃

1. メトリックは background と perturbation に分のようにモード展開できる。これより線形化した Ein-

stein 方程式は

ける

j̃)
=0
∆L û(µν(0)
gµν = gµν
+ hµν

となる。

2. ψµν を導入
1
ψµν = hµν − δµν hρρ2∇ν ψµν = 0
以上から Einstein 方程式 Gµν = 16πTµν は∆L ψµν = 16πTµνと線形化できる。15 (ここで ∆L φµν

重力波のエネルギー放出率

2.3.3

3. ゲージ固定= −∇2 φ −1. 真空での重力波のエネルギー放出率1617
∫
(out)
dEGW
1
=
g µρ g νσ ḣTµνT ḣTρσT dS
dt
32π r=rout
2. これの時間平均をとり、モード関数を用いて
⟨
⟩
(out)
dEGW
ω̃ 2 ∑=|Cj̃ |2 Jj̃
dt
64π
j̃

2Rµρ νσ φρσ )

∫
Jj̃ ≡

2.3.2

∑

out-mode solutionj̃)T T ∗(j̃)T T
g µρ g νσ û(µνûρσdS

3. 展開係数の Cj を求める。

いま示したい不等式(a) グリーンの定理、４次元時空のガウスの定
理などから
∫ (
)
j̃)T T ρ µνj̃)T Tnρ dΣû∗(∇ ĥ − ĥµν ∇ρ û∗(
µν
µν
∂D
∫
j̃)T T µν √= −16πû∗(T̂−gd4 x
µν

dEGW
dEa
<
dt
dt
の左辺に注目する。重力波の放射は動径方向を追う(bh)と、BH に落ちていくもの dEGW /dt と、光的無限
(out)

D

遠に飛んでいくもの dEGW /dt に分けることができる。そして superradiance condition ω < mΩH を考(b) モード関数とエネルギー運動量テンソルの
内積

えれば

∫

(bh)

dEGW
<0
dt
14 ソースは BH 近傍のみで、重力波が伝わっていくのはソースのない真空と考えられるため。
()
1 ρ
15 ∆ hL µν = 16π Tµν − 2 T ρ gµν と変形もできる。

⟨uµν , T µν ⟩ =√u∗µν T µν −gd4 x

D
16 r = rout ：ソースのない任意の位置 r

17 hT T ：TT ゲージ。真空なら TT ゲージを取るのは簡単でこTµν hT T = 0 を課したもの。
れは ∇µ hT）µν = 0, gµν2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校(c) (a) から⟨⟩ ∫j̃)T T−16π û(µν, T̂ µν =2. 動径方向漸近解{∗(j̃)T Tei(ω̃−m̃ΩH )r∗(ûµν∂r ĥµνω̃−iω̃r∗iω̃r∗
s Rℓ̃k̃ ∼r=routZin e r + Zout re2s+1µν∗(j̃)T T)dS−ĥ ∂r ûµν(r∗ → −∞)(r∗ → +∞)

3. モード関数(d) 展開係数は⟨(j̃)T Tûµν , T̂ µν

Cj̃ = 8πi()
ûµν (ℓ̃, m̃, ω̃, P ) = −nµ nν A − mµ mν B + n(µ mν) C

⟩

ω̃Jj̃

(

ω̃
ω̃
im̃ϕ−iω̃t+2 Rℓ̃m̃ (r)−2 Sℓ̃m̃ (θ)e

+P −nµ nν A∗ − m∗µ m∗ν B ∗ + n(µ m∗ν) C ∗4. 重力波放射率をモード関数と内積で表記⟨⟩2⟨⟩(j̃)T T
µν
(out)
û
,
T̂
∑
µν
dEGW
=π
dt
Jj̃

ω̃
ω̃
im̃ϕ−iω̃t+2 Rℓ̃m̃ (r) +2 Sℓ̃m̃ (θ)e

ここで A, B, C は時空の幾何学で決まる量j̃

よってあとは u(j)（と内積 < u, T >）がわかれ

以上から不等式を計算する。

ばよい。

3
モード関数を求める

2.4

Results&Conclusion
結果は発表時に紹介。ここでは省略する。

摂動方程式の解でモード関数を表す。Newman-

Penrose quantities18 ψ0 , ψ4 が満たす Teukolsky 方
程式

Acknowledgement])2
本講演に際して、多くの助言をいただいた片桐拓
r2 + a2∂ 2 ψ 4M ar ∂ 2 ψ22− a sin θ+2
弥さんに感謝いたします。
∆∂t∆ ∂t∂ϕ
[ 2
] 2
(
)
a
∂ ψ
1
−s ∂
s+1 dψ
+
−
−∆
∆
∆
∂r
dr
sin2 θ ∂ϕ2
(
)
[
]
1 ∂
∂ψ
a(r − M ) i cos θ ∂ψ
−
sin θ
− 2s
+
sin θ ∂θ∂θ∆
sin2 θ ∂ϕ [1] H. Yoshino & H. Kodama, PTEP 2014, 043E02[ (])
M r 2 − a2∂ψ(2014)−2s− r − ia cos θ∆∂t()[2] H. Kodama & H. Yoshino, Int. J. Mod. Phys.
+ s2 cot2 θ − s ψ = 0
Conf. Ser. 7, 84 (2012)
を解く。
[3] H. Yoshino & H. Kodama, Prog. Theor. Phys.
1. 変数分離 ψ = e−iω̃t eim̃ϕ s Rℓ̃ω̃m̃ (r)s Sℓ̃ω̃m̃ (θ)&動径
128, 153 (2012)[(

方向の式[4] H. Yoshino() [] & H. Kodama, Class. Quant. Grav.
d Rω̃K̃ 2 − 2is(r − M )K̃
s+1 s ℓ̃m̃−s d32, no.
∆+∆+ 4isω̃r− λ21, 214001 (2015)
dr
dr
∆

(
)
where K̃ = r2 + a2 ω̃ − am̃, λ =a ω̃ − 2am̃ω̃2

2

18 重力波の情報が入った値ω̃
s Rℓ̃m̃ = 0
s Aℓ̃m̃ +)——–index

a2
クォーク・ハドロン相転移による背景重
力波への影響名古屋大学大学院 理学研究科
植田 郁海

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

クォーク・ハドロン相転移による背景重力波への影響
植田 郁海 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙が誕生して間もない頃にクォーク・ハドロン相転移 (QCD 相転移) が起きたであろうことは広く受け入れられている。QCD 相転移とは、それまで自由粒子として存在していたクォークとグルーオンが、宇宙が冷えていくにつれて陽子などのハドロンを形成し始めることである。しかし、宇宙の進化の過程で相転移が起きたことを示す直接的な証拠は未だ得られておらず、その詳細も十分に理解されていない。QCD 相転移が起きたのは宇宙の晴れ上がり以前なので、重力波でのみ直接観測することができる。そのため、QCD 相転
移期間に生み出される重力波を観測することは宇宙の進化の過程で相転移が生じた証拠になるとともに、基礎物理学に対する理解を深める上で重要である。
格子 QCD を用いた相転移の非摂動的な解析により、QCD 相転移中では宇宙の状態方程式パラメータと音速が時間とともに変化することが明らかになっている。この時間変化は重力ポテンシャルの振る舞いを変化させる。その結果、重力ポテンシャルの空間的な揺らぎによって生み出される二次の重力波もその影響を受けるため、QCD 相転移が生じた痕跡を求めることができる。そこで、本研究では状態方程式パラメータの時間変化が二次の重力波のシグナルに与える影響を計算する。これにより将来的な観測に対する制限をつけるとともに、QCD 相転移に対する検証可能性を与えることが期待される。
以下ではクォーク・ハドロン相転移の痕跡が重力波のシグナルに現れることを示すとともに、SKA を用いた将来的な観測での検出可能性を議論する。

1

Introduction

ミュレーションでは連続的に滑らかに変化するクロ
スオーバー型の相転移であることが示唆されている2015 年に重力波検出器 LIGO(Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) によって初めて重力波が検出されたことで重力波天文学が幕を開けた。重力波には天体由来のものやインフレーショ
ン由来の密度揺らぎから放出されるものなどいくつか異なる種類がある。この中でもインフレーション
由来の密度揺らぎによって放出される重力波は現在直接観測されていない晴れ上がり以前の宇宙の姿を見る手段として期待されている。
晴れ上がり以前に起きた現象のひとつとして QCD
相転移というものが知られている。QCD 相転移とは宇宙が十分に高温な時に自由粒子として存在していたクォークが宇宙の冷却とともにグルーオンに束縛され、陽子や中性子などのハドロンを形成し始めることである。この相転移は QCD の理論的な特徴か
ら摂動的に扱うことができず、さらに実験的にも宇宙の状態を再現することが困難なため詳細が明らかになっていない。格子 QCD を用いた非摂動的なシ[1]。この結果を用いると宇宙の状態方程式パラメー
タと音速が時間変化するので重力ポテンシャルの振る舞いにも影響が出る [2, 3]。したがって、重力ポテ
ンシャルの空間的揺らぎによって生み出される二次の重力波もまた相転移の影響を受ける。故にインフレーション由来の密度揺らぎに起因する重力波の観測は晴れ上がり以前の宇宙の歴史を明らかにするだ
けでなく、地上では詳細を明らかにすることが困難
な QCD 相転移についても検証することができるた
め重要となる。
そこで本研究では格子 QCD による相転移の非摂動的なシミュレーションを行った先行研究の結果を利用し、その痕跡がインフレーション起源の二次の重力波のシグナルにどのように現れるかを数
値計算を行うことで調べ、その結果が SKA(Square

Kilometer Array) や LISA(Laser InterferometerSpace Antenna),DECIGO(Deci-hertz Interferome-2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ter Gravitational wave Observatory) などの将来的 ここで、重力ポテンシャル Φk (η) をインフレーショ
な観測器で検出可能であるかどうかを議論する。

ンによって生成された波数 k の初期揺らぎ ψk (0) とその時間発展である遷移関数 Φ(kη) に分けて書いた。

2Φk (η) ≡ Φ(kη)ψk (0),インフレーション由来の二次の(5)

また、ω や cs は状態方程式パラメータおよび音速

重力波
この章では線形摂動の組み合わせで書けるインフと呼ばれる量であり、圧力p と密度 ρ を用いて ω =
( )
∂p
p 2
と定義される。この重力波の発展方
ρ , cs =∂ρ

レーション由来の二次の重力波について具体的に紹程式を解くことで重力波の振幅 hk の一般解がグリー介する。

ン関数 gk (η; η̃) を用いて以下のように表すことがで

共形ニュートンゲージを用いると線形摂動の範囲
内では宇宙の線素が次のように書ける。
{
22ds = a (η) −(1 + 2Φ)dη 2
[
]
}
(1)
1
i
j
+ (1 − 2Ψ)δij + hij dx dx ,2∫
ここで η = dt/a(t) を満たす共形時間と呼ばれるもSきる。

hk (η) =1a(η)∫
dη̃gk (η; η̃) [a(η̃)S(k, η̃)] ,(6)

ただしグリーン関数は重力波の伝播を表し、以下の式を満たす。

()
a′′gk′′ + k 2 −gk = δ(η − η̃).
a(7)のであり、 a(η) はスケール因子と呼ばれる宇宙の大一方で、重力波のパワースペクトルは次の式によっきさを表す量である。また、Φ, Ψ はそれぞれ重力ポて定義される。

2π 2
δ(k + K)Ph (k, η). (8)k3
る。今回は非等方応力テンソルを無視できるものとして考え、Φ = Ψ が成り立つものと仮定する。アイ 式 (3),(4),(6),(8) を用いるとパワースペクトルの具体
ンシュタイン方程式に線素から得られる計量を代入 的な形を求めることができる。
∫ ∞ ∫ 1
し、テンソル型の揺らぎに注目すると重力波の発展 P (k, η) =dk̃dµP (|k−k̃|)P (k̃)F(k, k̃, µ; η),h0−1
方程式が得られる。
(9)h′′k + 2Hh′k + k 2 hk = S(k, η),(2) ただし∫ η
3 3
2 2
hk は重力波の振幅を表しており、′ は共形時間での微 F(k, k̃, µ; η) = (1 − µ ) k k̃dη̃1 dη̃2 a(η̃1 )
a2 (η) |k − k̃|3 0
分である。また、H は共形時間で表したハッブルパ
テンシャルと空間の揺らぎを表す一次の摂動項であラメータであり H(η) = a(t)H(t) で定義される。右辺の S はソース項と呼ばれ、重力波源を表す。
∫ ∞ ∫ 1
S(k, η) = 4dk̃dµk̃ 4 (1 − µ2 )0

ただし

f (k, k̃, η) =−1

⟨hk (η)hK (η)⟩ =× a(η̃2 )gk (η; η̃1 )gk (η; η̃2 )f (k, k̃, η̃1 )[]× f (k, k̃, η̃2 ) + f (k, k − k̃, η̃2 ) ,(10)
ここで、P (k) は初期パワースペクトルであり、初期

揺らぎの振幅 Aζ を用いて以下のように定義される。
× f (k, k̃, η)ψk−k̃ ψk̃ ,( )ns −1(3)
4k
P (k) = Aζ
,
(11)
9
k0

10 + 6ωΦ(k̃η)Φ(|k − k̃|η)3(1 + ω)4(1 + 3ω)ηΦ(k̃η)Φ′ (|k − k̃|η)+3(1 + ω)(1 + 3ω)2 2 ′+η Φ (k̃η)Φ′ (|k − k̃|η),3(1 + ω)(4)

ns はスペクトル指数と呼ばれる量であり、k0 はスペクトルを決める基準となる波数である。こうして得られるパワースペクトルを用いてエネルギー密度パラメータを次の式で求めることができる。
( )21kΩGW (k, η) =Ph (k, η).
12 H

(12)

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3

The Result of Latice QCD

相転移中の熱力学

0.08
QCD 相転移がどのように背景重力波のシグナルに 0.06
出てくるのかを調べるために、相転移によって宇宙 0.04の熱力学的状態がどのように変化するのかを調べる。 0.02
初期宇宙における粒子のエネルギー密度とエント 0.00
ロピー密度は相対論的速度をもつ粒子の有効自由度g * g*s
g*s

0

1

2

3

T
log MeV(45)と呼ばれる量を用いて次のように書くことができる。

π2g∗ (T )T 4 ,30
2π 2s(T ) =g∗s (T )T 3 .
45

図 1: 相転移中の２つの有効自由度の比。縦軸が２つ

ρ(T ) =

(13)

0.35

g∗ , g∗s はそれぞれエネルギーの有効自由度およびエントロピーの有効自由度と呼ばれ、相対論的な粒子の自由度を全粒子種で足し合わせたものである。

)4
( )4
7 ∑
Tb
Tf
+
gf
,
T
8
T
boson
fermion( )3( )3 (14)
∑
Tb
7 ∑
Tf
g∗s =
gb
gf
+
,
T
8
T
g∗ =

∑

(

gb

boson

の有効自由度の比であり、横軸が温度である。

fermion

ただし、T は宇宙の典型的な温度である。熱力学第一法則と式 (13) を用いると状態方程式パラメータ ωと音速 cs を有効自由度を用いて書き換えることがで

0.30
0.25

1/3

0.20100

cs2

101

102

103
T[MeV]

104105

図 2: 状態方程式パラメータと音速の変化。縦軸がω, c2s であり、横軸が温度である。青い破線は熱平衡状態の時の ω, c2s 。緑と黄色の線がそれぞれ非平衡な時の ω, c2s を表す。

きる。

4g∗s
− 1,
3g∗
′
4(4g∗s + T g∗s
)
− 1.
c2s =
3(4g∗ + T g∗′ )

4

ω=

(15)

Results
式 (12) の数値計算を行い、QCD 相転移を考慮した場合とそうでない場合の２つを比べたものが図 3

式 (14),(15) から初期宇宙が熱平衡状態にある場合はである。相転移の影響を考慮した方が重力波のシグg∗ = g∗s となり ω = c2s = 13 で一定となることがわ

ナルが大きくなることがわかる。これは情報の伝達かる。通常宇宙論では晴れ上がり以前の宇宙は熱平速度である音速の値が相転移中の方が小さくなるこ

衡状態であると仮定するため、ω と cs の値に変化はとで、インフレーション由来の密度揺らぎが高温高起きない。しかし、格子 QCD のシミュレーションに

密度領域に入った後に揺らぎの情報が相対論的粒子よる相転移の非摂動的な解析では図１のように相転の持つ圧力によって抑圧されるまでに時間を要する

移期間中に熱平衡状態ではなくなることが示唆されようになるためである。

ている。
この有効自由度の変化によって相転移中での ω, c2s相転移によってどれだけシグナルが増強されたのかを表したのが図 4 である。その変化は図 2 で示唆の振る舞いが平衡状態の時から図２で表されるようされている状態方程式パラメータ ω の変化に即してに変化する。

いることがわかる。したがって、重力波のシグナルに相転移の痕跡は乗っている。
図 5 は図 3 の数値計算結果を将来的な観測器である SKA や LISA, DECIGO の検出感度と一緒に図示2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
6 × 10 9

A = 10 2

QCD Phase Transition
Radiation

GWh 2

5 × 10 9
4 × 10 9

3 × 10 9

10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5f[Hz]

図 3: QCD 相転移による重力波への影響。縦軸はハッ

図 5: 重力波の検出可能性

ブルパラメータの不定性を取り除いた重力波のエネ
ルギー密度パラメータであり、横軸が周波数。初期
揺らぎの振幅は Aζ = 10−2 としている。

[%]
RD |
GW
RD
GW

Discussion & Future work
インフレーションによって予言されるスケール不

40

| QCD
GW

6

変な初期パワースペクトルは CMB の観測により大スケールの近傍宇宙でおよそ Aζ ∼ 10−9 であること

30がわかっているが、初期宇宙のような小スケールでは

20

観測的な問題から制限がほとんどついていない。このため、初期宇宙では大スケールで観測されている

10

初期パワースペクトルよりも大きな値を持つことが−2

許されており今回は Aζ = 10 を用いている。
010 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 今回用いた格子 QCD によるシミュレーション結f[Hz]果は現在考えられている相転移モデルの１つでしかない。実際には一次相転移モデルのものや、同じク

図 4: 相転移によるシグナルの増減。縦軸が増減の絶ロスオーバー型でも初期条件が違うものなどモデル対値であり、横軸は周波数。

は多数存在する。そこで、今後の課題としてはいく
つかの相転移モデルで重力波への影響を計算し、そしたものである。この結果、QCD 相転移の重力波へ

れぞれのモデルでシグナルが区別可能であるかを調の影響は SKA ならば観測される可能性があることがべていきたい。

わかった。

5Conclusion
本研究では格子 QCD によるシミュレーション結果

を用いて QCD 相転移中に変化する状態方程式パラ

Reference[1] S. Borsanyi et al., Nature 539, no. 7627, 69 (2016)[2] Byrnes, C. T., Hindmarsh, M., Young, S., et al. 2018,
JCAP, 2018, 041

メータや音速を計算し、その変化がインフレーショ [3] D. Baumann, P. J. Steinhardt, K. Takahashi
ン由来の二次の重力波のシグナルに与える影響を調and K. Ichiki, Phys. Rev. D 76, 084019 (2007)
べた。その結果、二次の重力波のシグナルに QCD 相転移の痕跡は残り、SKA による将来的な観測で検出される可能性があることがわかった。

doi:10.1103/PhysRevD.76.084019

——–index

a3
アクシオンにおける共鳴不安定性
名古屋大学大学院 理学研究科
福永 颯斗

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

アクシオンにおける共鳴不安定性
福永 颯斗 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論において共鳴不安定性は、主にインフレーションからホットビッグバン宇宙への遷移期間である再加熱期に考えられてきた [1]。再加熱期はインフレーションを担うスカラー場であるインフラトンの振動により、共鳴的に他の粒子が生成されると考えられている。一方で、ダークマターの候補の一つであるアクシオンを考えると、再加熱期以降の輻射優勢期にも共鳴不安定がおきることが示唆されている。共鳴不安定によって、一様な場から非一様な場へ効率よくエネルギーが輸送されることから、共鳴不安定は重力波の放出を生み出すための優れた機構とされている。しかし、背景の場が非調和振動をしている場合においては未だ詳しい解析がなされていない。そこで本集録では、まず背景の場が非調和振動をする場合におきる共鳴不安定である

Flapping resonance について述べ、背景の場の振動の形式に依存せずに共鳴不安定を特徴付けるパラメータを導入する。この新しいパラメータを用いて最も効率の良い共鳴不安定について述べる。

1

Introduction

る重力波は超弦理論から予言されるアクシオンを調べる新しい窓となる。

宇宙論において共鳴不安定性は再加熱期に考えられてきた。この期間ではインフラトン場のコヒーレ
ントな振動により、他の粒子がサブハッブルスケールに共鳴的に生成される。パラメータ共鳴の効率性や結果的に生じるスペクトルの形状はモデルパラメー
タに依存している。特に、背景のインフラトン場の振動が調和振動的に示される場合はパラメータ共鳴
は Mathieu 方程式で記述される。
近年では、アクシオン宇宙論の観点において輻射
優勢期や物質優勢期にもパラメータ共鳴が起きることが示唆されている [2]。アクシオンは典型的に長寿命であるスカラー場であり、振動している期間はダークマターの候補となる。ポテンシャルと初期条件に応じて、アクシオンは効率の良いパラメータ共鳴を引き起こすとされている。
再加熱期における研究から、パラメータ共鳴不安
定性は卓越した重力波放出を引き起こす。この過程
で一様な場は非一様な空間へと遷移する。また、一般的にアクシオンは自己相互作用を持つ。パラメー
タ共鳴は自己相互作用から引き起こされるので、輻
射優勢期や物質優勢期で振動するアクシオンも重力波放出の起源となりうる。超弦理論から予測されるアクシオンが持ちうる質量の幅は広いとされている。
このため様々な質量をもつアクシオンから放出され膨張宇宙において、典型的に宇宙膨張はパラメー
タ共鳴を非効率的にする。しかし、アクシオンの振動開始は遅れれば、宇宙膨張に阻害されることなく、効率よくパラメータ共鳴を引き起こす。この場合は背景のアクシオンの運動は調和振動から外れ、摂動の方程式は Mathieu 方程式では記述できなくなる。
その代わり、振動する関数を記述する Hill 方程式を考える必要がある。背景の振動が非調和振動的な結果として、共鳴不安定性は Mathieu 方程式で記述されるものとは異なる。特に [2] では、新しい種類の共鳴不安定性である flapping resonace について着目している。
本集録では、膨張宇宙におけるパラメータ共鳴不安定性を記述する、安定/不安定性図について述べる。

Mathieu 方程式における q パラメータを一般化し、新しいパラメータ q̃ を導入する。q̃ は異なる種類のパラメータ共鳴を分類でき、不安定バンドの幅と成長率を記述することを述べる。

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2

Diﬀerent types of paramet- る。宇宙膨張と、ポテンシャルの力が等しくなるときを振動開始と定義すると、
ric resonance
v
u

2.1

Equationsu ϕ̃m≃ t̃osc ≃ t
Hosc
Ṽϕ̃

本集録では、一般的なスカラー場 ϕ における共鳴不安定性を調べる。アクシオンにおける応用を考慮に入れた上で、スカラーポテンシャルを V (ϕ) =(mf )2 Ṽ (ϕ̃), ϕ̃ ≡ ϕf と表記する。ここで、m, f はそれぞれ ϕ がアクシオンの場合の質量と崩壊定数を意
味する。一般的にアクシオンのスカラーポテンシャ
ルは、Ṽ (ϕ̃) = 1 − cos ϕ̃ で表される。一方で diluteinstanton gas 近似が破れている場合には、|ϕ̃| ≥ 1 に
おいて cosine からずれると言われている。例えば、

pure natural モデルでは[]
1
1Ṽ (ϕ̃) =1−
2(1 + ϕ̃2 /c)c(4)
ϕ̃=ϕ̃iとなる。後で述べるが、振動開始が遅れると効率の良い共鳴不安定性を引き起こす。
次に、線形摂動 δ ϕ̃ ≡ δϕ/f ついて考える。この時、

δ ϕ̃ の運動方程式は
d2
H dδ ϕ̃k + 3δ ϕ̃k +
m dt̃
dt̃2

((

k
am

)

)2
+ Ṽϕ̃ϕ̃δ ϕ̃k = 0(5)となる。ここで δ ϕ̃k は δ ϕ̃ のフーリエモードであり、Ṽϕ̃ϕ̃ ≡ d2 Ṽ /dϕ̃2 である。ここで計量の摂動を無視しているが、我々の setup においては、重要な働きは(c > 0),

3/2(1) しないため無視している。ここで φk ≡ a δ ϕ̃k を導入すると、(5) 式から一階微分の項が消え、摩擦項ので与えられる。これは、|ϕ̃| > 1 で平坦な領域に接続している。

FLRW 宇宙において、スカラー場 (ϕ̃) における運
動方程式は

∂2
∂2
H
ϕ̃ + 3 ϕ̃ − x̃2 ϕ̃ + Ṽϕ̃ = 0,
2
m
a
∂ t̃

ない単振動の方程式になる。ここでこのときの周波
数を

(
ωk2 =

k
am

)2

3 Ḣ
9
+ Ṽϕ̃ϕ̃ −
−
2
2m
4

(

H
m

)2
(6)

と定義する。

(2)

で与えられる。ここで、無次元量 t̃ ≡ mt, x̃ = mx を用いた。また、H はハッブルパラメータであり、a はスケールファクター、Ṽϕ̃ ≡ dṼ /dϕ̃ である。簡単のため、スケールファクターは時間の冪乗 (a ∝ tp ) とすると、ハッブルパラメータは H/m = p/t̃ となる。
一様モードに対しては、場の方程式 (2) は、

d2
H dϕ̃ + 3ϕ̃ + Ṽϕ̃ = 0
2
m dt̃
dt̃

2.2

Resonance instability

背景の一様モードがポテンシャルの最低値付近で振動を開始すると、パラメータ共鳴が引き起こされる。これにより、一様モードのエネルギーは自己相互作用によって非一様モードに移送される。本節では、

flapping resonance を含めた複数の共鳴不安定性につ(3) いて述べる。特に、モード方程式が以下のような、
d2 φk (t)+ [Ak − 2qψ(t̃)]φk (t̃) = 0(7)となる。まず、二次ポテンシャル (Ṽ = ϕ̃2 /2) を考えdt̃2る。これは |ϕ̃| ≪ 1 における、我々の setup に合致 で記述される場合について考える。ここで φ(t̃) はする。この場合背景の場の時間発展は二つの段階に （準）周期関数である (i.e., 一周期に対しては ψ(t̃ +分けられる。ハッブルによる摩擦力がポテンシャルの力に優っている場合は ϕ はスローロールする (eg.,T ) ≃ ψ(t̃) を満たす)。同様に一周期内では Ak , q もほとんど定数である。φ が完全に周期関数であった場

インフラトン)。逆の場合は、後者が前者を上回り、 合には、上記の方程式は Hill 方程式と言われる。Hillϕ̃ は調和振動する。二次ポテンシャルの場合は振動方程式は ψ(t̃) が正弦関数であった場合には Mathieu

が始まるのは 3Hosc ≃ m のときである。

方程式となる。

一方で、Ṽ が |ϕ̃| ≥ 1 において、二次ポテンシャル
よりも緩やかな場合、Hosc /m は 1 よりも小さくな

d2 φ2k (t̃)+ [Ak − 2q cos 2t̃]φk (t̃) = 0
dt̃2

(8)

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2.2.1

Parametricresonacefor

Mathieu3

New parameter for classification

3.1

definition

equation
ポテンシャルの形と初期条件によって、異なる種類のパラメータ共鳴が起こる。まず、ポテンシャルの形が一般的な Hill 方程式における共鳴バンドの構造は、
λ 4
ϕ̃2
6
+ ϕ̃ + O(ϕ̃ )(9) Mathieu 方程式の共鳴バンドに比べると詳しく調べṼ (ϕ̃) =2
4
られていない。そこで Hill 方程式によって記述されで与えられる場合について考える。ただし、λ < 0
るパラメータ共鳴の種類を特徴付ける方法についてとし、二次ポテンシャルに対する補正は小さいもの述べる。
と仮定する。このとき、背景の一様モードの運動を
Mathieu 方程式における q パラメータが安定/不安ϕ̃(t̃) ≃ ϕ̃∗ cos t̃ と近似すると、Mathieu 方程式にお定図における共鳴バンドの幅や成長率を表していた
ける Ak , q はことと、q は (6) 式での振動項の振幅を表していたこ
(
)2
3 2
k
とから、新しいパラメータとして、
q = − λϕ̃∗ ,Ak =− 2q + 1 (10)4am√⟨(ωk2 − ⟨ωk2 ⟩)2 ⟩q=(≡ q̃)(11)となる。
2
ここで、Mathieu 方程式の基本的な性質についてを定義する。これを用いると、パラメータ共鳴は以述べる。Mathieu 方程式は不安定性を起こすバンド
下のように分類される。
として、Ak ≃ n2 , n = 1, 2, ... を持ち、バンドの幅
1. q̃ ≫ 1: Broad resonanceは (q/Ak )n である。それゆえ、q の値を大きくすると、共鳴不安定性は幅広い波数で起こる。このことから q ≫ 1 のときに起こる共鳴不安定性を broad

2. q̃ = O(1): Intermediate resonance⊃ Flapping resonanceresonace と呼び、q ≪ 1 のときに起こる共鳴不安定性を narrow resonance と呼ぶ。narrow resonance に

3. q̃ ≪ 1: Narrow resonance

おいて、主要な不安定性は n = 1 のバンドで起こる。
この時、成長率 µ̃(φk ∝ eµ̃t̃ ) は µ̃ = q/2 である。これが意味するのは、q の値が大きいとより早く指数
関数的成長を導くということである。

3.2

Stability/ instability chart described by the Hill’s equation

Hill 方程式の一般解が2.2.2

Flapping resonanceFlapping resonance は [2] において主張されているが、broad, narrow resonance とは定量的に異なる共鳴不安定性である。この不安定性は振動が変曲点を超えて運動する場合に起こる。この期間では Ṽϕ̃ϕ̃ の符号が変わるので、(6) 式も符号が変わり、断熱条件が大きく破れる。これは broad resonance が起きる
条件と似ているが、broad resonance の場合と異なり、結果として生じるスペクトルにピークが生じる。
この機構の詳細は [2] で議論されている。

φk (t̃) = P1 (t̃)eµk t̃ + P2 (t̃)e−µk t̃(12)で表されることを用いて、成長率を Floquet 解析を用いて計算する。ただし、Pi (t̃)(i = 1, 2) は周期関数である。図 1 は宇宙膨張を無視した場合において、

flapping resonance が起きる場合での、安定/不安定
図を表す。図 1 より Mathieu 方程式における安定/
不安定図と同様に、ある Ak に対して q̃ を大きくするとバンドの幅は広くなり、成長率も大きくなることがわかる。
一方で宇宙膨張を考慮した上で同様の解析を行う
際には、単に µk を見るのではなく、成長が宇宙膨張

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3.2.1

cosine potential

Introduction で述べたように、アクシオンの典型的なポテンシャルは cosine 型をしている。このときに一番効率の良いパラメータ共鳴である flapping reso-

nance が起きるかどうかについて述べる。共鳴不安定性が長く継続するためには振動開始が遅くなければならない (Hosc /m ≪ 1)。しかし、cosine ポテンシャルの場合は初期条件を調整しても、この値は ∼ O(0.01)にしかならない。このとき flapping resonance は 4 回の振動分しか起きず、十分な成長が見込めない。このことから cosine ポテンシャルにおいては長期間継図 1: ψ(t̃) = cos(t̃) の場合における、安定/不安定図。 続する flapping resonance は極端に初期条件を調整しない限り継続しないことが予言される。
ただし、宇宙膨張は無視している。
に比べて十分起こるかどうかを調べなければならな

4い。つまり、十分な成長が起こるためにはℜ[µk ]

m
≫1
H

(13)

を満たさなければならない。

Conclusion
一般的な Hill 方程式に対して Floquet 解析を行うと、成長率と共鳴バンドの幅は正確に計算可能なパ
ラメータ q̃ によって特徴付けられることがわかった。
また flappinf resonance は q̃ = O(1) で起こり、自己共鳴を考えると一番効率の良い共鳴不安定性であると言える。しかし、アクシオンの典型的なポテンシャ
ルである cosine 型の場合には flapping resonance は継続せず、purenatural モデルのような平坦な部分が存在する場合に flapping resonance は継続する。本
集録で述べていることは、共鳴不安定性に対する定
量的な理解をするために線形解析を行ったが、実際には非線形効果が効いてくると、ここまでの解析は適用できなくなる。しかし、線形摂動で生じるスペ
クトルは q̃ に依存していたため、後に続く非線形の

図 2: ψ(t̃) ̸= cos(t̃) の場合における、安定/不安定図。
宇宙膨張を考慮し、色は宇宙膨張に対する成長度合

ダイナミクスも q̃ に依存すると考えられる。これは後の研究とする。

いを記述している。

Mathieu 方程式の安定/不安定図とは異なるが、特徴としては似ており、q̃ が大きいほど、成長率は大きく、バンド幅は広くなっている。ここで narrow res-onane とも broad resonacne とも言えない q̃ ∼ O(1)に位置している共鳴不安定は flapping resonance であり、growth rate の大きさから見ても、一番効率の良い共鳴不安定性であることがわかる。

Reference[1] L. Kofan et al. Phys. Rev. D 56, 3258 (1997)[2] N. Kitajima et al. JCAP 1810, no. 10, 008(2018)[3] H. Fukunaga et al. JCAP 1906, no. 06, 055(2019)

——–index

a4
Pulsar Timing Array による M87 からの低周波重力波の制限
熊本大学大学院 自然科学教育部
喜久永 智之介2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Pulsar Timing Array による M87 からの低周波重力波の制限
喜久永 智之介 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
楕円銀河 M87 の中心にある超巨大ブラックホールは、連星を組んでいる可能性が示唆されている。この連星からは nHz ∼ µHz の 低周波重力波が放射されると考えられている。低周波重力波の検出法としては

Pulsar Timing Array があり、重力波の検出、あるいは強度へ制限をつけることによりブラックホール連星のモデルの妥当性を評価できる。本研究では、連星の軌道が楕円軌道であると仮定して、放射される重力波の強度を計算した。さらに、NANOGrav により公表された低周波重力波への制限との比較を行なうことにより、ブラックホール連星モデルのパラメータへの制限を与えた。特に、e = 0.95 においては a = 1pc でm2 > 0.6m1 となるような SMBH 連星が存在しないことがわかった。

1

Introductionの検出法として、Pulsar Timing Array (以下、PTA)がある。

2017 年の Event Horizon Telescope の観測により、パルサーとは、磁極からビーム状の電磁波を放射

楕円銀河 M87 の中心にある太陽の 6.6×109 倍の質量

しながら非常に安定した周期で自転する中性子星でをもつ超巨大ブラックホール (以下、SMBH) が撮像ある。このビームは地球の方向へ向いたときにのみされた (Akiyama K. et al. 2019)。この SMBH は地検出されるため、地球からはパルサーの自転周期と球から 18.4Mpc 離れており、近傍の活動銀河核 (以同じ周期のパルスが観測される。パルス周期の安定

下、AGN) としてよく研究されている。

性を利用して、パルスの到着時刻を精密に予測でき

Lena D. et al. (2014) では、この AGN と M87 のるが、地球とパルサーの間に重力波が存在すると、時銀河中心の位置に 1〜7 pc 程度の顕著な変位が生じ

空が歪むことでパルスの伝播経路が変化し、パルスていることが報告されている。ここでいう銀河中心とは、銀河バルジの中で最も明るい点のことを指す。

の到着時刻も変化する。PTA では、数年〜十数年に渡りパルス到着時刻の変化を観測することで、重力この変位を説明するモデルとして、Yonemaru N. et

波を検出する。この観測期間の逆数が重力波の観測

al. (2016) では主に以下の２つのモデルについて議論

可能周波数に対応している。今のところ低周波重力されている。１つ目は、AGN の SMBH が銀河中心波の検出に至ってはいないが、今後数年以内に検出付近に存在するもう一つの暗い SMBH と連星をなしできると期待されている。

ているモデルである。この場合、連星の重心が銀河中心に対応し、軌道半径が 1pc 以上となる必要がある。２つ目は、M87 の銀河中心付近に複数の BH が存在し、そのうちのひとつの BH と AGN の SMBH
が連星を組むモデルである。この場合には、いくつかの BH と SMBH の重心が銀河中心に対応するので、銀河中心が連星の軌道面内にある必要はなく、連星の軌道半径への制限はない。どちらのモデルでも、

SMBH の軌道運動に伴い nHz 以下の低周波重力波が放射される。この重力波の検出、あるいは強度への制限をかけることができれば、これらのモデルの妥当性を評価できると考えられる。この低周波重力波

現在世界で進行中の主な PTA のプロジェクトには北米の North American Nanohertz Observatory for

Gravitational waves (NANOGrav)、欧州の European Pulsar Timing Array (EPTA)、豪州の Parkes
Pulsar Timing Array (PPTA)、これら 3 つのプロ
ジェクトや他国のプロジェクトのデータを共有して解析を行う International Pulsar Timing Array (IPTA)がある。NANOGrav は、Green Bank Observatoryの Green Bank Telescope と Arecibo Observatory のArecibo Telescope を用いて、45 個のパルサーを 11年観測したデータを公開している (Arzoumanian Z.

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: 天球面上で平均した upper limits (Aggarwal

K. et al. 2018)
図 1: fgw = 8nHz における upper limits(Aggarwal
であると見積れる。

K. et al. 2018)

図 2 は、天球面上で平均した重力波の強度への信et al. 2018)。このデータに重力波が含まれている確 頼度 95 ％の upper limits である。観測期間を t とす
固たる証拠は得られなかったが、その代わりに、低 ると、PTA の低周波側 (f t ≪ 1) と高周波側 (f t ≫周波重力波の強度に対して 2 種類の upper limits を

1) の制限は次のように見積れることが知られている
かけている (Aggarwal K. et al. 2018)。本研究では、 (Moore C. J. et al. 2015)。
{

NANOGrav による低周波重力波への制限を用いて、M87 の銀河中心と AGN の変位を説明するモデルへ

hlim ∝の考察を行う。

f −2(f t ≪ 1)f(f t ≫ 1)(2)

図 2 の 11 年データセットの制限曲線を見ると、6nHz

2と 10nHz で傾きが変化している。このことと (1)、(2)

Methods

式を考慮すると、すべての周波数帯における重力波

モ デ ル の 妥 当 性 の 評 価 を 行 う た め に は 、 の強度への制限は
()−2
NANOGrav の 解 析 に よ り 得 ら れ た SMBH 連 星
fgw

−15

5.0
×
10

6nHz

からの重力波への制限と、BH 連星からの重力波強−15hlim =
5.0×
10
度を比較する必要がある。2.1 節では、NANOGrav
(
)



 5.0 × 10−15 fgw
10nHz
による重力波への制限の近似的な表現を与え、2.2(6nHz < fgw < 10nHz)(10nHz ≤ fgw )(3)

節では楕円軌道の BH 連星からの重力波強度の解析的表現を示す。

と近似できる。

2.1

2.2

Upper limits(fgw ≤ 6nHz)

Signal model

図 1 は、重力波の周波数 fgw が 8nHz のときの信SMBH 連星は楕円軌道を描くと考えられる。楕円

頼度 95 ％の upper limits である。M87 は赤経 12 時

軌道の BH 連星は高調波を含んだ重力波を放射する

30 分、赤緯+12 度程度に位置しているので、8nHz ことが知られており、n 次の高調波の係数は次式で与えられる (Moreno-Garrido C. et al. 1995)。
における重力波の強度への制限は、大雑把にhlim ≃ 5.0 × 10−15(1)2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

(

)
h̃×

2
n

[(
=h20 cos2 Θ
(
+

( )
h̃+

2
n

{
=h20

Sn
2

Cn
2

)2

)2
sin2 2Φ
]2

cos 2Φ

(4)[ 2
sin2 Θ
sin Θ
An
An
4
4

]}
1
2
+ (1 + cos Θ)Cn cos 2Φ
2
)2
(
(
π) 2
1 + cos2 Θh̃× Φ ++
2 cos Θ
4 n
(5)

ここで、

2m1 m2 2h0 =a(1 − e2 ) R
An =(1 − e2 )Jn (ne)()3/2
1 − e22 ′J (ne)Sn = −
e
n n
(
)
5/2
1 − e2+2nJn (ne)
e2
(
) (
)2
1 − e2 + 1 − e2
Jn (ne)Cn = −e2()2
1 − e2+2Jn′ (ne)e

図 3: 連星の重心を原点としたときの観測者と連星の位置関係。MC が重心を表す。(Moreno-Garrido C.

(6)

et al. 1995)

(7)

(8)

(9)

であり、+, × は重力波の２つの偏光モード、a は軌道長半径、e は離心率、m1 は AGN の SMBH の質量、m2 は伴星となる BH の質量、R = 18.4Mpc は M87までの距離、Θ は軌道傾斜角、Φ は連星の重心から地球へ向かう直線の軌道平面への射影と、重心と近日点を結ぶ線のなす角である (図 3 参照)。また、Jn はn 次の第 1 種 Bessel 関数である。a = 3pc, m2 = m1 ,
Θ = Φ = 0 のときの重力波を高調波成分ごとに計算したものが図 4 である。離心率の増加により、高次の高調波成分まで現れることが確認できる。Θ, Φ は
重力波の強度へ大きな影響は与えないため、以下では Θ = Φ = 0 であるとする。

図 4: a = 3pc, m2 = m1 , Θ = Φ = 0 における重力波強度の高調波成分を示す。
て高調波成分と (3) 式の比を取り、その最大値をマッピングしたものが図 5 である。値が正の領域は、高調波成分に (3) 式の制限を超えるものがあることを示している。しかし、NANOGrav の解析において低周波
重力波は見つかっていないため、このようなパラメータを持つ SMBH 連星は存在しないことがわかる。例
えば、e = 0.95 においては a = 1pc で m2 > 0.6m1

3

Resultsa, e, m2 を指定すると、図 4 のように重力波の高調波成分を計算できる。e を指定して各 (a, m2 ) に対しとなるような SMBH 連星は存在しない。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 5: 重力波の高調波成分と upper limits の比の最大値を示すカラーマップ。横軸の軌道長半径は、0.25pc ≤a ≤ 10pc の範囲の値をとる。log10 h/hlim の値が正となる領域のようなパラメータをもつ BH 連星は存在しない。

4Summery and future work
本研究では、M87 の AGN である SMBH が連星を組んでいる可能性に着目し、PTA の観測結果から BH
連星のモデルへ制限を与えた。楕円軌道の BH 連星から放射される重力波の強度を計算し、NANOGrav
による制限との比較をすることで、連星のパラメー
タへ制限を与えた。今回は NANOGrav による制限
を 3 つの領域に分けて近似的に計算したが、実際にReference
Aggarwal K. et al., 2018, preprint (arXiv:1812.11585)
Arzoumanian Z. et al., 2018a, ApJS, 235, 37
Moore C. J. et al., Class. Quantum Grav. 32,055004(2015).
Moreno-Garrido C., Buitrago J. and Mediavilla E.,
Mon. Not. R. Astron. Soc. 274, 115 (1995).

公開されているデータを用いることでより精密な評

Akiyama K., et al. 2019, Event Horizon Telescope CollaborationAstrophys. J., 875 (1) (2019),

価を行えると考えられる。また、PTA の観測は現在

Lena D., et al. 2014, ApJ, 795, 146

も続いている。今後の重力波の検出、もしくはより強い制限をつけた結果の公表により、M87 の BH 連星のモデルへ更なる評価が行えることが期待される。

Yonemaru N., et al. 2016, PASJ, 68, 106

——–index

a5
インフレーション中の量子ゆらぎと原始ブラックホール
京都大学大学院 理学研究科
高橋 卓弥

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

インフレーション中の量子ゆらぎと原始ブラックホール
高橋 卓弥 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーション中に作られたゆらぎが、ハッブルスケールに再び入るときに振幅が十分大きければ、その領域が直接重力崩壊して原始ブラックホール（PBH）が形成されると考えられている。そのため、PBH を調べることで、インフレーションの情報が得られると期待できる。
本発表では、まず PBH の存在量を評価するにあたって、背景のダイナミクスに対する量子ゆらぎの反作用が大きい場合でも使える、曲率ゆらぎの確率分布関数の計算法を構成する。このとき、摂動論を越えたアプ
ローチとしてストカスティック δN 形式という手法が必要となる。これを用いて、古典極限が適用できる指標を求め、また、量子ゆらぎによる拡散が支配的な時期が、PBH の観測から制限されることをみる。

1

は上からの制限がかかっている。

Introduction

通常、確率分布関数はガウシアンとして計算され、インフレーションとは、宇宙初期に急激な加速膨張が起きた時期であり、通常インフラトンと呼ばれるスカラー場によって引き起こされると考えられる。
この時のインフラトンの量子ゆらぎが、急激な膨張で引き伸ばされ、宇宙論的なスケールのゆらぎとな
り、CMB の非等方性や大規模構造の種になったとして、観測と非常によく合っている。引き伸ばされた
ゆらぎの波長が、輻射優勢期に再びハッブルスケー
ルに入るとき、そのゆらぎの振幅が十分大きければ、PBH の制限をインフラトンのポテンシャルへの制限へとつなげられる。しかし、PBH ができるような大きなゆらぎがある場合には、場のダイナミクスにおいて量子ゆらぎによる拡散が無視できなくなり、この近似の妥当性が不明である。そこで、量子ゆらぎの反作用も含めて扱える手法である、ストカスティッ
ク δN 形式を用いて確率分布関数を計算する方法を構成する。これを古典極限と統計的極限に用いて、得られる結果について議論する。

その領域が直接重力崩壊するというシナリオが考えられている。これが原始ブラックホール（PBH）である。これより PBH はインフレーションの情報をストカスティック δN 形式

2

持っており、PBH を調べることで、CMB や大規模構造の直接観測からは得られない情報を得ることがここでは、摂動論を越えたアプローチとして今回用いるストカスティック δN 形式について簡潔にまとできると期待できる。

PBH の存在量の評価は、PBH が形成されたときめる。

の宇宙のエネルギー密度に対する mass fraction, β によって記述される。これは Press-Schechter approach
を用いて

∫ ∞
P (ζ)dζβ(M ) = 2(1)ζcと見積もることができる。ここで、M は形成時のPBH の質量、ζ はハッブルスケールで粗視化された
曲率ゆらぎであり、ζc は PBH ができる閾値である。

P (ζ) は曲率ゆらぎの確率分布関数を表す。PBH は
現在観測されておらず、その観測的制限より、β に

2.1

δN 形式

δN 形式とは、長波長モードの曲率ゆらぎを評価す
る簡便な手法である。まず背景時空として一様等方な FLRW 時空を考える。

ds2 = −dt2 + a2 (t)δij dxi dxj .

(2)

これに対してゆらぎを含んだ時空を考える。ここで、長波長のゆらぎ（k ≪ aH ）に注目すると宇宙は局所

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
的に一様等方にみえると考える（separate universeている。この揺動項は ⟨ξ(N )⟩ = 0, ⟨ξ(N )ξ(N ′ )⟩ =assumption）。すると時空は

δ(N − N ′ ) を満たす、統計的な白色雑音である。

ds2 = −L2 (x)dt2 + a2 (t)e2ψ(x) δij dxi dxj

物理的には、UV モードの量子ゆらぎが時々刻々と(3)

ハッブルスケールを越えて、IR モードへと加わってと書ける。このとき、空間の世界線が共動、つまりいき、場のダイナミクスにランダム力として寄与すdxi /dt = 0 となるようにゲージを固定すると、4 元 る描像となっている。
速度 uµ を用いて局所ハッブルパラーメーターは H̃ =(1/3)∇µ uµ で与えられ、初期時刻 ti から時刻 t までの e-folding 数は∫ t
N=H̃Ldt = N0 + ψ(t, x) − ψ(ti , x)

2.3

ストカスティック δN 形式

ス ト カ ス ティック 形 式 よ り、IR モ ー ド の 場 は(4) Langevin 方程式に従って、与えられたポテンシャルtiに沿った確率過程として時間発展するとみなせる。

となる。ここで、N0 = ln(a(t)/a(ti )) は背景の e-

そこで、まず場の初期値 ϕ∗ を設定する。すると場がfolding 数である。よって、タイムスライスとして初 ϕend に到達するまでの e-folding 数 N は確率変数で期時刻では ψ(ti ) = 0 の flat slice、時刻 t では密度ゆ ある。したがって、e-folding 数のゆらぎは統計的にらぎがゼロの uniform density slice をとれば曲率ゆ

記述することができて、δN 形式と合わせることで、らぎが曲率ゆらぎが

ζ = N − N0 ≡ δN(5)

ζ = N − ⟨N ⟩(10)として、e-folding 数のゆらぎそのものとして扱える。 と表せる。

2.2

ストカスティック形式

3

ストカスティック形式は、量子ゆらぎを古典的な統計ゆらぎとして扱う手法である。まず、次のように
インフラトン場をハッブルスケールで粗視化し、IRモードと UV モードに分ける。

確率分布関数の計算
前章で導入した形式を応用して確率分布関数の計算をする。統計量は初期値に依存するが、以下ではϕ∗ を単に ϕ と書く。ここで次の事実を用いる。モーメント fn (ϕ) = ⟨N n ⟩ は微分方程式

ϕ(x) = ϕIR (x) + ϕUV (x) ,
(6)
v′ ′
n
′′
f
−
fn = −(11)n∫
2 fn−12
3v
vMpl
d k ik·xϕIR (t, x) =eϕk (t) (1 − θ(k − ϵaH)) ,
(2π)3
2
4
(7) を満たす [2]。ただし v ≡ V /24π Mpl であり、Mpl∫
3はプランク質量である。
d k ik·x
ϕUV (t, x) =eϕk (t)θ(k − ϵaH) . (8)3(2π)
確率分布関数とモーメントを関係づけるために、特⟨⟩
ここで、θ(x) は階段関数であり、ϵ は正の微小定数 性関数 χN (t, ϕ) ≡ eitN (ϕ) を導入する。ここで、tであり、IR モードの波長がハッブルスケールより十分大きいことを表す。いま、single field の slow roll
インフレーションを考えて、IR モードについての運動方程式を書き下すと

dϕIR
H
V′
+
=−
ξ(N )
dN
3H 2
2π

(9)

となる。これは古典的な Friedmann 方程式に揺動項

はダミーパラメーターである。これを Taylor 展開し∑∞て χN = n=0 (it)n fn (ϕ)/n! と表し、上の微分方程式に代入すると χN (t, ϕ) に関する微分方程式
(
)
∂2
v′ ∂
it
− 2
χN (t, ϕ) = 0+2∂ϕ2v ∂ϕ vMpl(12)が得られる。曲率ゆらぎの特性関数も同様に定義すにあたる ξ が加わった、Langevin 方程式の形になっ るとストカスティック δN 形式で得られた関係（10)2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
より、ζ = N − f1 であるから、χζ = e−if1 t χN となという形で得られる。よって NNLO で非ガウシアン

る。また、統計平均の定義より∫ ∞eitζ P (ζ, ϕ)dζχζ (t, ϕ) =の補正が得られることになる。

(13)

−∞

であるから、これを Fourier 変換して、曲率ゆらぎの確率分布関数がP (ζ, ϕ) =

1
2π

∫ ∞
−∞

e−it(ζ+f1 ) χN (t, ϕ)dt

以 上 よ り、こ の 古 典 極 限 で の 評 価 は |γ1NLO −γ1NNLO | ≪ γ1NLO であれば適用できる。ポテンシャ
ルの言葉で、これは |v 2 v ′′ /v ′2 | ≪ 1 のときに満たされる。つまり、|v 2 v ′′ /v ′2 | が古典的評価が適用できるかどうかの指標を与える。

(14)と表せる。したがって、微分方程式 (12) を解いて χNを得て、f1 = −i ∂χN /∂t|t=0 を計算し、上の表式に

4.2

統計的極限

代入することで、曲率ゆらぎの確率分布関数が得られる。

4Result以上より、曲率ゆらぎの確率分布関数の計算法が構成されたので、そこから得られる結果をまとめる。

4.1

古典極限

図 1: 量子ゆらぎによる拡散が支配的な時期を表した

まず、量子ゆらぎによる拡散が無視できる古典極

ポテンシャル [1]限を考える。この極限での leading order（LO）において、式 (12) で拡散項 ∂ 2 /∂ϕ2 を落とせばよい。
そうして χLO
N を得て、確率分布関数を計算すると

P LO (ζ, ϕ) = δ(ζ) となる。これは、ゆらぎの効果を全く入れなかったため妥当な結果である。
次に、next-to-leading order（NLO）として拡散項
2 LO
2を (1/χLO
N )∂ χN /∂ϕ に置き換えて解いた結果、特

性関数は

χNLO
(t, ϕ) = exp(itf1NLO − γ1NLO vt2 )N(15)となる。ここで

γ1NLO =

1
4
vMpl

∫ ϕ

v 4 (x)
dx ′3
v (x)
ϕend

(16)

である。特性関数がガウシアンとなったので、Fourier

図 2: PBH の存在量と µ の関係 [1]
続いて、反対側の極限である、量子ゆらぎによる

変換して得られる確率分布関数もガウシアンとなる。 拡散が支配的な極限を考える。これは場のダイナミ
さらに、next-to-next-to-leading order（NNLO） クスに古典的な寄与がない、つまり v ′ = 0 の時期をを考えると、拡散項を (1/χNLO)∂ 2 χNLO/∂ϕ2 に置N
N考えることになる（図 1）。この極限で確率分布関数

き換えて、を求め、式 (1) から PBH の存在量 β を計算した結果が図 2 のようになる。確率分布関数は、量子ゆらぎ
χNNLO(t, ϕ) = exp(−γ1NNLO vt2 − iγ2NNLO v 2 t3 )Nによる拡散が支配的な時期の幅 ∆ϕwell の 2 乗とポテ
(17)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ンシャルの高さ v0 の比：µ2 =∆ϕ2well2
v0 Mpl(18)がパラメーターとして現れる。図 2 の結果において、赤い領域の β は観測的に排除されているので、µ <0.47 と制限できる。
一方で、確率分布関数の計算の際に求めた χN から、⟨N ⟩ ∼ µ2 と見積もることができるので、µ の制限と合わせて、量子ゆらぎによる拡散が支配的な時期は ⟨N ⟩ < 1 と結論づけられる。

5Conclusion
ストカスティック δN 形式を用いることで、背景のダイナミクスに対する量子ゆらぎの反作用が大きい場合でも適用できる、曲率ゆらぎの確率分布関数の計算法を構成した。これを用いて計算した結果、古典極限では、確率分布関数が NLO でガウシアンに回復することを確認し、NNLO で非ガウシアンの補正が計算できることをみた。また、古典極限が適用できる指標として |v 2 v ′′ /v ′2 | を計算すればよいことがわかった。量子ゆらぎによる拡散が支配的な時期
は、PBH の観測的制限と比較することで、上限が 1

e-fold 程度であることがわかった。

Acknowledgement
本発表にあたり、議論して下さった京都大学天体核研究室、基礎物理学研究所宇宙グループの皆様、夏の学校の関係者の皆様に感謝いたします。

Reference[1] C.Pattison, V.Vennin, H.Assadullahi, & D.Wands,
JCAP 1710 (2017), 046[2]V.Vennin, & A.A.Starobinsky, Eur. Phys. J. C75(2015) 413

——–index

a6
宇宙の加速器の物理
京都大学大学院 理学研究科
間仁田 侑典2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙の加速器の物理間仁田侑典 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙初期にはインフレーションとよばれる, 宇宙の指数関数的膨張があったと考えられている. インフレー
ションは 1014 GeV を超える可能性がある, 地上では到底到達しえない超高エネルギーの物理現象である. そのため, インフレーション由来の初期揺らぎは我々の知らない超高エネルギーの物理の情報を含んでいるだ
ろう. 本記事では初期揺らぎの 3 点相関関数から, 高エネルギーの物理が抽出できる可能性があることを紹介する.

1

フレーションに拡張し, 第 5 章で 3 点相関関数を計算

Introduction
宇宙初期にはインフレーションと呼ばれる指数関数的な膨張が存在したと考えられている. インフレー

する. 第 4, 5 章は T. Noumi et al. (2013) のレビュー
である.

ション宇宙論では, 指数関数的膨張で生成した揺らぎ
は現在の宇宙の多種多様な構造物の種となったと考える.

2

低エネルギー有効場理論

インフレーションは非常に高エネルギーの現象でまず, 低エネルギー有効場の理論の一般論を紹介あり, モデルによっては 1014 GeV を超える可能性もする. 系に特徴的なエネルギー E0 に対し, 着目する考えられる. すなわち, インフレーションは近い将来に建設などんな地上加速器よりもエネルギーが高い.
インフレーション期には, 地上の加速器では捕られエネルギー E が十分小さいときの場 ϕ のふるまいを考える. E0 に対して少し小さな値のカットオフパラ
メーター Λ を導入し, 周波数の大小で, ϕ をないような非常にエネルギーの高い粒子が存在した

ϕ = ϕL + ϕ H ,可能性がある. そこで, 本公演ではインフレーション(1)

ϕH : ω > Λ,

由来の曲率揺らぎ, 特に 3 点相関関数から新粒子の情

ϕL : ω < Λ,

報っを取り足す方法を議論する.
インフレーションには様々なモデルが提案されているが, 新粒子探査を目的とする場合, 特定のポテン
シャルや運動項を用た議論は好ましくない. なぜなら, ポテンシャル依存の議論しかなければ, 新粒子の兆候を示すようなシグナルが現れた時に, それが新粒子由来なのか, ポテンシャルの形由来なのか区別できないからである. そこで, 具体的なポテンシャルによらずインフレーション理論を構築する方法であるイと分解する. 経路積分表示へ移行し, 高エネルギー側を積分して,∫∫
DϕL DϕH eiS(ϕL ,ϕH ) = DϕL eiSΛ (ϕL ) .

(2)

ここで, SΛ (ϕL , ϕH ) は,∫eiSΛ (ϕL ) := DϕH eiS(ϕL ,ϕH ) ,(3)

ンフレーションの有効場理論を導入する. そのためによりを定義された汎関数で低エネルギー有効作用に, まず第 2 章で低エネルギー有効場理論を紹介す

という.

次に,

低エネルギー有効作用はまた, ある対称性を仮定し,第３章で単一場インフレーションの低エネルギー有

それを満たす全てのオペレーター Oi の和によって,∫∑SΛ = dD x
gi Oi ,
(4)

るため J. Polchinski (1992) をレビューする.

効場理論の紹介として C. Cheung et al. (2008) をレビューする.

第 4 章では前章の理論を準単一場インi2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と表せる. ここで,gi は結合定数を表し, D は時空のえ因果的に結びついていない場所でもほぼ同時に終次元を表す.

了したと推測される. 因果律の問題を避けるために次元解析を用いて各項の大きさを見積もる. c =1, ℏ = 1 の単位系では Oi は E

δiは初めから各点にインフレーション終了までの時間の次元を持つ. そこを図る時計が備わっていることが必要である. すな

で, Oi の積分を, 着目する系のエネルギーの大きさ

わち, インフレーション理論では場が必要で, これをE を用いて,インフラトン場とよぶ. もっとも単純なインフラト∫

d3 xOi ∼ E δi −D ,ン場として実スカラー場 ϕ(x) を考える.

(5)と評価できる. この単位系では作用は無次元量なので, 各項の結合定数 gi は次元 E D−δi を持つ. そこで,無次元化された結合定数 λ を(6)により定義すると, 低エネルギー有効作用の Oi を含む項の大きさは,λiEΛるが, これは理論がが時間方向の一般座標変換に対する不変性を持たないことを意味する. これは自発的対称性の破れであり massless ボゾン (南部-Goldstonボゾン) の存在を示唆する.1

gi = Λ−δi ,(インフレーションが終了することから ϕ̇ ̸= 0 であ

前節で導入した低エネルギー有効作用の構成法に従い, 空間方向の一般座標変換に不変な作用を構築す
る. 破れずに残った対称性は空間方向の一般座標変換に対する不変性である. この時, ユニタリゲージと) δi

呼ばれる座標を導入すると見通しの良い議論を行う,(7)と見積もられる. これは, 低エネルギー極限 E → 0
において δi < D の項は成長し, δi > D の項は減少することを意味する. したがって, 低エネルギー側では質量次元が δi > D のオペレーターの寄与は小さくなる期待できる.
そこで, 見たい精度に応じて適当な質量次元のオペ
レーターのみを残し, より大きな質量次元のオペレー
ターを無視するという戦略をとることで, 低エネル

ことができる. ユニタリゲージとは, タイムスライス
を ϕ = const. 面で定める座標である. ユニタリゲー
ジの下で, 低エネルギー有効作用は, 以下の”材料”を縮約して得られるスカラー量により構成される.

1. 計量 gµν , g µν
2. Riemann 曲率テンソル Rµ νρσ とその共変微分
3. t とその微分 δµ0

ギーの物理を抽出することができる. まとめると, 低4. t = 一定面上の外的曲率 Kµν とその共変微分

エネルギー有効場の理論は, ある対称性をみたすオペ

外的曲率 Kµν は t の 2 階微分の情報の全てを含む.

レーターで, 適当な質量次元以下のもの全ての和によ

低エネルギー有効作用は,∫()√
S = d4 x −gF Rµνρσ , g µν , gµν , δµ0 , Kµν , ∇µ , t .

り構成された作用により議論される理論である.
低エネルギー有効場理論の 1 つの帰結として, 一般に質量の大きな粒子との結合は十分低エネルギー(8)では無視できることが知られており, 脱結合とよば

FRW 背景周りでの摂動論を考える. 摂動の次数毎に,れる.

質量次元の低いオペレーターを並べる. 摂動の 1 次までの低エネルギー有効作用は,

3

単一場インフレーション理論の低エネルギー有効場理論
低エネルギー有効場理論のインフレーションへの応用を紹介する. 観測より宇宙は大局的なスケールでほぼ一様等方であるため, インフレーションはたと∫ 4 √ [1 2d x −g 2 MPl R + c1 (t)g 00 + c2 (t)()+F (2) δg 00 , δKµν , δRµνρσ ; δµ0 , gµν , g µν , ∇µ , t ].
S=

(9)
1 Lorentz 対称性が破れているため, 南部-Goldstone の定理をそのまま適用することはできない. 再考の必要がある.

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
任意関数として導入した c1 (t), c2 (t) は背景の運動方を得る. これは, π の n 点相関関数に (−H)n を掛け

程式から,ると ζ の n 点相関関数を得ることを意味する.
2
c1 (t) = MPl
Ḣ,
(
)
2
c2 (t) = −MPl
3H 2 (t) + Ḣ(t) ,

(10)
(11)

4

準単一場インフレーションの低エネルギー有効理論と定まる.
これまでユニタリゲージで議論してきたが, 一般の座標に移るには時間方向の一般座標変換 t → t −π(t̃, x) を行うだけでよい.

インフラトンの他に Hubble パラメタ程度の質量を持つスカラー粒子が 1 つ存在する場合を考える. このモデルは準単一場インフレーションよばれる. 前章と同様にして準単一場インフレーションモデルのH(t) → H(t + π),
g 00 → (1 + π̇)2 g 00 + 2(1 + π̇)g 0i ∂i π + g ij ∂i π∂j π,(12)

低エネルギー有効作用を求める.
(3)

(2)

S = Sgrav + Sσ(2) + Smix + Sσ(3) + Smix + · · · .

(17)などにより,
∫
[
(2)
(3)
(3)
(2)
2
S = d4 xa3 MPl R − MPl(3H 2 (t + π) + Ḣ(t + π)) Sσ , Sσ , Smix , Smix はそれぞれ, σ の 2 次の項と 3次の項, σ と π の結合の 2 次の項と 3 次の項を表す.
2+ MPl
Ḣ(t + π)((1 + π̇)2 g 00 + 2(1 + π̇)∂i πg 0i· · · は摂動の 4 次以上の項を表す. 脱結合極限では,+ g ij ∂i π∂j π) + · · · ].

(13)

· · · は摂動の 2 次以上の項を表す. 結果として, πとグラビトンの結合項が現れる. leading 項は,2∼ MPl
Ḣ π̇δg 00 ,[∫4

Sgrav =d xa

M 2 Ḣ
− Pl2
cπ

3

2
− MPl
Ḣ

(14)

(

π̇

2

2
(∂i π)
− c2π
2

a

(

2
( −2
)
(∂i π)
cπ − 1 π̇ 3 − π̇a2))
+ · · · ],(18)であるが, 実は低エネルギーでは低エネルギーでは脱結合により無視できる. カノニカル化 (πc ∼1/2∼ MPl δg ) すると, この項はEmix ∼ ϵ

H 以上のエネルギーで無視できることがMPl Ḣ

π, δgc00
1/2

00∫
Sσ(2) =

わかる. ただし, ϵ = −Ḣ/H は通常のスローロール
パラメタである. このように脱結合極限を取ること

[

(

2

α3 − 3Hα4 − α̇4 2
d xa
σ̇
−
σ
a
ασ2
(
)
(
)
(∂i π∂i σ)+ ασ2 1 − c2σ π̇ σ̇ 2 − σ̇
· · · ],
a2
(19)
4

3

ασ2
2

2

(∂i σ)− c2σ2で, 作用は簡単になって,
[
)
]
(
∫
1 2
(∂i π)2
∫
2
[(
)
+
·
·
·
. (2)
S = d4 xa3 MPl
R − MPlḢ π̇ 2 −2
a2
Smix = d4 xa3 −2β1 + β̇3 π̇σ + (2β2 − β3 ) π̇ σ̇
(15)∂i π∂i σ− 3Ḣβ3 πσ + · · · ],+ β3
a2
π を導入する優位性は脱結合極限により計算が簡単(20)になるところにある.
一度 π を導入できれば後はどの座標で計算しても同じ結果を与えるので, 計算が簡単な座標へ変換する. 変換先の座標として曲率揺らぎ ζ = 0 となるものを選ぶと, 元の座標の曲率揺らぎ ζ と, 新たな座標[(∫
Sσ(3) =

d4 xa3)1
γ1 + Hγ2 + γ̇2 σ 33+ (γ3 − γ5 ) σ σ̇ 2 + (−γ4 + γ6 ) σ̇ 32の π の関係,ζ ≃ −Hπ,(16)+ γ5 σ2(∂i σ)(∂i σ)− γ6 σ̇], (21)a2
a2)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校∫(3)

Smix =

き出すと, sqeezed limit では,[
d4 xa3 −2γ 1 π̇σ 2 + 2γ 2 π̇σ σ̇lim

κ:=k3 /k1 =k3 /k2 →0{+ 2 (−γ 3 + γ 5 ) π̇ σ̇ 2 − 2γ 4 π̈σ σ̇
2(∂i σ)− 2γ 5 π̇+ 4γ 6 π̇ 2 σ − 4γ 7 π̇ 2 σ̇]. (22)a2
Mi , αi , βi , γi , γ̄i (i = 1, 2, 3, · · · ) は結合定数.

2∝⟨ζk1 ζk2 ζk3 ⟩κ−3/2−ν k −6

forκ−3/2 k −6 sin [iν log κ + δν ]mσ < 32 H

formσ > 23 H(24)

ただし, mσ := (α3 − 3Hα4 − α̇4 /ασ2 )1/2 は σ の質量,

2
ḢMPl
,
2 − 2M 4ḢMPl2
α1c2σ :=,
α1 + α2δν は位相因子である. また ν は,

ασ := α1 + α2 .

と定義される定数である. (24) は 3 点相関関数のc2π :=

(
ν :=

9 m2σ
−
4 H2

)1/2
(25)

squeezed limit で κ 依存性に着目すると σ の質量が5読み取れることがわかる.

3 点相関関数
準単一場インフレーションの一般的な作用が得られた. ここで, 相互作用描像へ移行するためハミルト

6Conclusion

ニアンを計算する. π, σ の運動項と質量項に対応すインフレーションの低エネルギー有効場理論を考るハミルトニアンを自由場のハミルトニアン Hfree とえることで, 具体的な運動項やポテンシャルによらする. それ以外の項に対応するハミルトニアンを相ないインフレーション理論を構築した. インフレー

互作用ハミルトニアン Hint とする. 3 in-in 形式と呼ションの低エネルギー有効場の理論を準単一場イン

ばれる方法で 3 点相関関数を計算する.

フレーションモデルに適用して, 3 点相関関数の計算を行った. 特に 3 点相関関数の squeezed limit の運動⟨ζk1 ζk2 ζk3 ⟩

量依存性から σ の質量が読み取れることがわかった.

= −H 3 ⟨πk1 (t)πk2 (t)πk3 (t)⟩
[ ∫ t
]
3
′
′
= −H ⟨0| T̄exp i
dt Hint (t )これは, もしインフレーション中に新たな massive ス
カラー粒子が存在した場合, 3 点相関関数の解析から新粒子の質量を読み取れる可能性を示唆する.

−∞× πk1 (t)πk2 (t)πk3 (t)
[ ∫ t
]
′
′
× T̄exp −i
dt Hint (t ) |0⟩ .

(23)

−∞

Reference

真空 |0⟩ は Hfree により定まる真空とする. また, t は

J. Polchinski, arXive:hep-th/9210046.

horizon crossing time とする.

C. Cheung, A. L. Fitzpatrick, J.Kaplan, L. Senatore &C. Creminelli:JHEP 0803 (2008) 014.

3 点相関関数の squeezed limit を. Squeezed limitとは, κ := k3 /k1 = k3 /k2 = k3 /k を 0 にする極限である. ただし, k := k1 = k2 .
曲率揺らぎの 3 点相関関数から運動量依存性を引

2 正確には t の関数.
3 摂動論で計算するために β , γ , γ̄ ≪ 1 を仮定する.
i i i

T. Noumi, M. Yamaguchi & D. Yokoyama:JHEP 06(2013) 051.
S. Mukohyama, 日本物理学会誌 Vol. 67, No. 2, 2012.

.

——–index

a7
Non Bunch-Davies 真空における単一スカ
ラー場インフレーションモデ ルの観測
量の推定
名古屋大学大学院 理学研究科
村上 広椰

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Non Bunch-Davies 真空における単一スカラー場インフレーションモデ
ルの観測量の推定村上 広椰 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
インフレーション理論はビッグバン理論の抱える問題を解決するために生まれた理論であり、多様なモデルが存在する。その中でも最も単純なモデルとして、単一スカラー場インフレーションモデルがある。インフレーションモデルを特徴付ける観測量として、テンソル・スカラー比 r と非ガウス性パラメータ fNL に着目する。ここでテンソル・スカラー比とは、テンソル型の揺らぎ (初期重力波を生む時空の揺らぎ) とスカラー型の揺らぎ (曲率揺らぎと呼ばれる揺らぎで、密度揺らぎの起源となる) それぞれの二点相関関数の大きさの比に対応する量で、非ガウス性パラメータ fNL はインフレーション期につくられる初期揺らぎの三点相関の大きさを表す量である。このモデルでは r はスローロールパラメーター ϵ を用いて理論的に r = 16ϵ で表され、実際の CMB 観測では、その値は r < 0.07(⇒ ϵ < 0.07/16) に制限されている。また、fN L は無視できるほど小さな値となる。
上述のテンソル・スカラー比とスローロールパラメーターの関係や fNL の大きさを求める際には、曲がった時空において不定性を持つ真空について、Bunch-Davies 真空と呼ばれる小スケール極限で平坦時空の真空と一致するよう定義された真空を仮定しそれを初期状態とするが、今回は初期状態としてそこから励起された状態を考える. 本発表では参考文献 Brahma, & Hossain(2019) 及び Ashoorioon(2019) のレビューとして、初期状態の変更がテンソル・スカラー比や fNL に与える影響について議論する。さらに近年の Planckによる制限との比較を行い、string swampland conjecture と呼ばれる弦理論の予言との整合性についても
紹介する。

1

Introduction
インフレーション理論は宇宙初期における空間の急激な膨張を仮定してビッグバン宇宙論の不自然な点 (地平線問題、平坦性問題など) を説明する。この理論の仮定は空間の加速膨張のみであり、理論的自由度はとても大きいが、Planck 衛星の宇宙マイクロ波背景放射の観測などによりインフレーションモデ
ルに対してはある程度の制限が得られている。特に単純なモデルとして、単一のスカラー場が引き起こすインフレーションモデルに関してポテンシャルの形などについてどのようなモデルが観測と整合するのか広く議論されてきた。
観測と理論モデルが整合するかどうか調べるために用いることのできる観測量の例として、テンソル・
スカラー比 r が挙げられる。テンソル・スカラー比はテンソル型の揺らぎ (重力波に対応) のパワースペク

トル (揺らぎの二点相関をフーリエ空間で見たもの)とスカラー型の揺らぎ (密度揺らぎに対応) のパワースペクトルの比をとったものである。この r は、一般的な単一スカラー場モデルにおいてその理論値がr = 16ϵ となっている。ここで、ϵ はスカラー場のポ
テンシャルの勾配の大きさによって決まるパラメー
ターで、スローロール・パラメーターと呼ばれる。一方で Planck の観測によると r < 0.07 という制限があり、単一スカラー場モデルが有効であるためには

ϵ は十分に小さい量である必要がある。
しかし、近年議論されている swampland conjec-

ture と呼ばれる弦理論の予言によると、単一スカラー
場のポテンシャルの勾配はあまり小さくなることができず、少なくとも ϵ > 1/2 であるとされる。そのため仮に swampland conjecture が正しかった場合、理論値は r > 8 となり、単一スカラー場モデルは棄却されてしまう。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校本研究では、よく議論がなされている単一スカラー

Bunch-Davies 真空と呼ばれるもので、その係数は次場モデルの棄却を回避するために、インフレーショ のように与えられる (N. Birrel & P. Davies(1982))。
ンモデルそのものの変更はせず、前提に仮定されて

C+ = 1 , C− = 0,

いる条件、具体的にはスカラー型揺らぎの初期状態(3)を変えた場合にモデルが受ける影響について議論し、 インフレーションモデルについて物理量を計算する
テンソル・スカラー比が観測に合うような条件を考 際には一般にこの Bunch-Davies 真空が初期状態とえる。また、他の観測量への影響も調べるために、非して仮定されるが、本研究では C+ , C− を変えたもの

ガウス性 (三点相関の大きさ) の指標となる量 fNL に(Non Bunch-Davies, 励起されたエネルギー状態を初

ついても議論を行う。

期状態とすることに対応) について考える。

2

2.2

Methods
本章ではまず、場の運動方程式を解くことによって得られる揺らぎのモード関数の具体的な形を与え、初期状態の変更とは具体的にどのような操作であるかを紹介する。さらに、モード関数からどのようにパワースペクトル、および fNL が与えられるかを示す。

2.1

スカラー型揺らぎのパワースペクトルとテンソル・スカラー比

パワースペクトルとは、実空間での二点相関関数
をフーリエ空間上で見た量であり、スカラー型揺らぎに関して前節に導入したモード関数を用いると次のように書くことができる。

P (k) ≡ (2π)3 δ 3 (⃗k + k⃗′ )u(k, τ )u∗ (k ′ , τ )= (2π)3

揺らぎのモード関数と真空の定義

H2|C+ + C− |2 ,
4ϵk 3

(4)

⃗
単一スカラー場インフレーションモデルにおいて、 ここで、∗ は複素共軛を取ることを表し、また k ≡ |k|
スカラー型の揺らぎについてのモード関数は次のよ である。
|C+ + C− |2 ≡ γ とおき、Bunch-Davies の時のパ

うになることが示されている (Chen(2010))。

H(1 + ikτ )e−ikτu(k, τ ) = C+ √4ϵk
H+ C− √(1 − ikτ )eikτ ,4ϵk

ワースペクトルを PBD とおけば、Non Bunch-Daviesの時のパワースペクトル PN BD は次のように書ける。

PN BD = γPBD ,

(1)

(5)

これは γ の定義と式 (3) から明らかで、γ = 1 は初

ここで、H はハッブルパラメーターで、空間の膨期状態として Bunch-Davies 真空を考えている場合張を表すスケールファクター a(t) を用いて H =に一致する。

ȧ(t)/a(t) で定義される (ただし、˙ は時間変数 t によ

テンソル・スカラー比 r について、r はテンソルる微分)。また τ は共形時間と呼ばれる時間変数で、 型揺らぎのパワースペクトルとスカラー型揺らぎの∫τ ≡ 1/adt ∼ 1/aH + O(ϵ) である。
パワースペクトルの比である。r は初期状態としてモード関数の係数 C+ , C− は時間に依存しない複 Bunch-Davies 真空を仮定した一般の場合では次のよ
素定数で、モード関数の従う微分方程式の性質から、 うになることが知られている。
以下の関係を満たしている必要がある。

r = 16ϵ,|C+ | − |C− | = 1,
2

2

(6)

(2) 式 (5) から、スカラー型揺らぎに対して Non Bunch-

このようにモード関数には不定性があり、未定の係

Davies を仮定するとスカラー型揺らぎのパワースペ

数は観測者が手で与える必要がある。係数の与え方とクトルは γ 倍になるので、r は次の形に変更される

して一般的に用いられているのが、小スケール極限で平坦時空のモード関数と一致するように係数を選んだ

ことがわかる。

1
r = 16ϵ ,γ(7)2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3

スカラー型揺らぎの fNL

2.4

Planck の観測との比較

本研究では、観測量として二点相関に由来するテ

まず、テンソル・スカラー比について、swampland

ンソルスカラー比に加え、三点相関に由来する fNL

conjecture(ϵ > 1/2) と CMB 観測による r < 0.07 のに着目する。fNL は三点相関関数をフーリエ空間で制限が整合するような γ は具体的にどれほどの量で見た量であるバイスペクトルとパワースペクトルのあるかを式 (7) から見積もった。次に、その γ につい二乗の比として定義され、揺らぎの分布がガウス分て、式 (11)、式 (12) を用いて fN L の計算を行った。

布からどれだけずれているかを表す量となる。

なお、式 (12) の計算の際には、Planck の観測スケー

バイスペクトル B(k1 , k2 , k3 ) については、In-In

ルに合わせて k1 /k3 = 2500/10 として計算した。

formalisum と呼ばれる定式化 (Weinberg(2005)) を

なお、CMB 観測結果に関しては Planck Collab-用いると、2.1 節のモード関数を用いて計算することができ、これは k⃗1 + k⃗2 + k⃗3 = 0 を満たす時のみ値をoration et al.(2018), 及び Planck Collaboration etal.(2019) の値を用いた。

持つ。実際の観測との比較の際には、三点相関の計算を行うには計算コストがかかりすぎるため、一般に波数ベクトルに対し極限をとった場合について計算が行われる。本研究では、一般に用いられる条件について、

k1 = k2 = k3 (equilateral) と k2 ∼ k3 ≫ k1 (local) に3

Results3.1

テンソル・スカラー比との比較

Introduction でも述べたように、swampland con-

着目して計算を行った。
これらの計算の際には、テンプレートと呼ばれる観測と比較の際に良い近似となる fNL の表式が調べ

jecture が有効である場合 ϵ > 1/2 である。従って、
式 (7) からられており、equilateral、local についてそれぞれ次のようになる (Planck Collaboration et al.(2019))。
equil
fNL
=

5 B(k1 , k2 , k3 ),3 6A2 F (k1 , k2 .k3 ) k1 =k2 =k3

r>

]
1
+
cycl.
k3 k3
[ 1 2
]
2
1
+
+
5
perms
,
−
(k1 k2 k3 )2
k1 k22 k33(13)

これと CMB 観測による制限 r < 0.07 を合わせると、

(8)

[

8
,
γ

γ > 114 ∼ O(102 ),(14)という値であれば、r < 0.07 を満たすことができる。

F (k1 , k2 , k3 ) ≡ −

local
fNL
=

5
B(k , k , k )[ −31 −32 3]2
3 2A k1 k2 + cycl.

(9)

3.2

fNL との比較

CMB 観測による fNL への制限は次のようになっ, (10) ている。
k2 ∼k3 ≫k1

ここで、cycl. は k の添字 1 ∼ 3 を循環させた項を加えることを表し、perms は k の添字 1 ∼ 3 を置換した項を加えることを表す。また、A = (2π)3 γ 2 H 2 /4ϵである。
これらの式に B(k1 , k2 , k3 ) の具体形を代入すれば
最終的に、
equil
fNL
=

5
36

local
fNL
∼

となる。

(

16
27 − 2γ(11)

5(γ 2 − 1)ϵ k3
,
6γ 2
k1

(12)

(15)

local
fNL
= −0.9 ± 5.1 (68% CL),

(16)

以下では ϵ = 1/2 とする。比較のため Bunch-Davies
真空 (γ = 1) についての fNL を計算すると以下のようになった。

)
ϵ,

equil
fNL
= −26 ± 47 (68% CL),

equil
fNL
= −0.76,

(17)

local
fNL
= 1.87,(18)

Non Bunch-Davies について、3.1 節の結果を考慮して γ = 100 について fN L を計算すると次のようになった。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
conjecture と観測両方に整合する結果を得ることが
equil
fNL
= 1.87,(19) できた。加えて、この条件のもとで fNL について調

local
fNL
= 105,(20)

equil
べてみると、fNL
に関しては観測と整合する結果がlocal得られた。しかし、fNLに対しては観測による上限(15)∼(20) の比較を図示したものが次の図 1 と図 2 で を大きく超えた値となってしまい、今回設定した条ある。
件では swampland conjecture と観測が合うようにはできなかった。
今後考えられることとして、まず γ に波数依存性を持たせることが挙げられる。γ は時間依存性のない定
local
数で波数依存性を持っていても構わないので、fNL

へ大きく寄与するスケールでは Bunch-Davies 真空
localに近づくような γ(k) を選べば fNL
に対する矛盾を回避できる可能性がある。しかし、テンソル・スカ
ラー比に関して、初期揺らぎのパワースペクトルはほぼスケール不変であることが観測によって示され
equil
fNL
についての比較。BD,NBD はそれぞれ

図 1:ているため、r に関する swampland conjecture とのBunch-Davies、Non Bunch-Davies を表し、赤線の 矛盾の回避が難しいと考えられる。
equil
部分は観測で示された fNLの範囲を表す。
他の可能性としては、今回はスカラー型の揺らぎ
に対し Non Bunch-Davies を仮定していたが、テン
ソル型揺らぎに対して Non Bunch-Davies を仮定した場合も考えられる。この仮定に対しては先行研究がいくつかあり、例えば Ashoorioon(2019) においてテンソル型の真空の変更によりテンソルスカラー比、

fNL 両方に対し観測に整合する可能性が示唆されている。

Referencelocal
図 2: fNLについての比較。赤線の部分は観測で示
local
された fNLの範囲を表す。

Brahma, S., & Hossain, M. W. 2019, Journal of HighEnergy Physics, 2019, 6
Ashoorioon, A. 2019, Physics Letters B, 790, 568
Chen, X. 2010, Advances in Astronomy, 2010, 638979

4

Conclusion & Future work
本研究では単一スカラー場インフレーションモデ

ルについてのテンソル・スカラー比 r 及び fNL のの計算の際に、スカラー型揺らぎの初期状態として

N. Birrel & P. Davies Quantum fields in curved space ,Cambridge Univ. Press 1982.
Weinberg, S. 2005, prd, 72, 043514
Planck Collaboration, Aghanim, N., Akrami, Y., et al.
2018, arXiv e-prints, arXiv:1807.06209

Non Bunch-Davies を仮定することによる影響を調 Planck Collaboration, Akrami, Y., Arroja, F., et al.
2019, arXiv e-prints, arXiv:1905.05697
べ、swampland conjecuture との整合性について考察した。その結果、Bunch-Davies 真空からのずれ γ を

γ > O(102 ) とすることで、r については swampland——–index

a8Blue gravitational waves from slow-roll
inflation
立教大学大学院 理学研究科
三嶋 洋介

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Blue gravitational waves from slow-roll inflation
三嶋 洋介 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙マイクロ波背景放射の観測に整合的なスローロール・インフレーション模型を更に峻別するために、原
始重力波の観測が期待されている。これまで Horndeski 理論においてスローロール・インフレーション模型を考えると、原始重力波のスペクトル指数が負となることが主張されていた。しかし、原始重力波のスペク
トル指数が正になるスローロール・インフレーション模型が一例として発見された。本講演では、この一例を含む形で構成した、原始重力波のスペクトル指数が正となる包括的なスローロール・インフレーション模型を紹介する。

1

Introduction

模型を Gauss-Bonnet インフレーションと呼ぶ。こなる密度ゆらぎを生成できる有用なシナリオであり、の模型は以下の作用で実現される。
[
]
∫
√
Mpl 2
1
2
R − ξ(ϕ)RGB+ X − V (ϕ)
S = d4 x −g22

これまで様々な模型が考えられてきた。その中で宇こ こ で 、ス カ ラ ー 場 ϕ の 運 動 項 を X

宙マイクロ波背景放射の温度ゆらぎの観測と整合す− 21 g µν ∇µ ϕ∇ν ϕ

標準ビッグバン理論の初期条件に関する問題を解決するインフレーションは宇宙の大規模構造の種とる模型として、多くのスローロール・インフレーショ:=と し た 。こ の 作 用 に お い て 一様等方時空の下で場の運動方程式を求めると
(
)
1 2
1
3
2
˙
ϕ̇ + V + 12ξH
H =するためにはインフレーション起源の原始重力波を
3Mpl 2 2()}
探ることが不可欠である。
1 { 2¨ 2 − 4ξH˙
Ḣ = −ϕ̇ − 4ξH
2Ḣ − H 2
2
先行研究 [1] では、最も一般的な単一場のスカラー・
2Mpl()
テンソル理論内でスローロール・ インフレーションϕ̈ + 3H ϕ̇ + Vϕ + 12ξϕ H 2 Ḣ + H 2 = 0
模型を考えると、どの模型でも原始重力波のスペク
ン模型が提案されている。更に具体的に模型を同定

トル指数が負となることが指摘されていた。ところが、Gauss-Bonnet 項と呼ばれる曲率高次項との相互作用を持つスローロール・インフレーション模型でと求まる。ただし、添字の ϕ は d/dϕ を意味する。
以下ではスローロール・インフレーションを考える。スローロール条件としては、原始重力波のスペクトル指数が正となることが確認された [2]。最も一般的な単一場のスカラー・テ
ンソル理論は Gauss-Bonnet 項との相互作用を含む模型を記述できる [3] ため、一見すると 2 つの先行研
究の主張は矛盾する。そこで、両者の主張の矛盾を解消することを本研究の主題とする。

2

Gsuss-Bonnet inflation

2
Gauss-Bonnet 項 RGB:= R2 − 4Rµν Rµν +Rµνρσ Rµνρσ との相互作用を持つインフレーション

ϕ̇2 /2 ≪ V,ϕ̈ ≪ 3H ϕ̇,˙ ≪ 1, ξ¨ ≪ ξH
˙
4ξHを満たすとき、この系はアトラクターとなる解を持つことがわかる [4]。このとき、背景場の運動方程式は

1
V
3Mpl 2
)
1 ( 2
˙ 3
ϕ̇
+
4
ξH
Ḣ ≃ −
2Mpl 2H2 ≃3H ϕ̇ + Vϕ + 12ξϕ H 4 ≃ 0

(1)
(2)
(3)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。ここで式 (1-3) を用いると

3

1 H ϕ̇
(3H ϕ̇ + 12ξϕ H 4 )6Mpl 2 H 2
)
(
Vϕ Vϕ
4
=−
+
ξ
V
ϕ
6
V
3Mpl 4Ḣ ≃最も一般的な単一場スカラー・テンソル理論は、スカラー場 ϕ と運動項 X による 4 つの任意関数

となるので

Ḣ
Mpl 2 Vϕϵ≡− 2 ≃Q
H
2 V

General slow-roll dynamics
of potential driven inflation

(
)
Vϕ
4
Q≡
+
ξϕ V
V
3Mpl 4Gi (ϕ, X) (i = 2, 3, 4, 5) を決めることで具体的な模型を導くことができる。前節の Gauss-Bonnet イン
フレーション模型はG2 = X − V − 4f (4) (ϕ)X 2 (3 − ln X),とスローロール・パラメータ ϵ をポテンシャル V とG3 = −2f (3) (ϕ)X(7 − 3 ln X),

結合関数 ξ で表すことができる。膨張指数は

Mpl 2− 2f (2) (ϕ)X(2 − ln X),
2
G5 = 2f (1) (ϕ) ln X

N (ti ) ≡

∫ tf

Hdt ≃

ti

∫ ϕf
ϕi

H2
dϕ =
H ϕ̇

∫ ϕi
ϕe

1
Mpl 2 QG4 =dϕ

であり、具体的に V と ξ を決めれば求めることができる。
この模型において、一様等方時空からの摂動の下で原始重力波のパワースペクトル求めると、そのス
ペクトル指数はと 選 ぶ こ と で 導 か れ る [3]。こ こ で 、f (n) (ϕ)=

dndϕn f (ϕ) と記した。

先行研究 [1] では、運動項がポテンシャルよりも十分小さいというスローロール近似を一般性を保ったまま考えるために、任意関数 Gi を X のテイラー展開をした形で解析していた。しかし、上述のように Gauss-Bonnet インフレーション模型は任意関数

nT = −2ϵに ln X 項を含むことで実現される。そこで、任意関とスローロール・パラメータで表すことができる。こ数の展開をこで、ガウス・ボンネ項との結合関数 ξ(ϕ) とポテン

Gi (ϕ, X) = gi (ϕ) + hi (ϕ)X

シャル V が3Mpl 4 Vϕξϕ < −
4 V2
3Mpl 4 Vϕξϕ > −
4 V2+ {λi (ϕ) + ξi (ϕ)X} ln X + O(X 2 )for Vϕ > 0
for Vϕ < 0という条件を満たすとき、スペクトル指数が正となることが分かる。
一般に、スカラー場を加えた重力理論では、背景時空からの摂動を考えたときに不安定性を抱えてはならない。これはゴースト不安定性・勾配不安定性となるように新たに λi (ϕ), ξi (ϕ) を用いて解析することを考える。作用を考察すると、他の関数を再定義することにより理論を不変に保つことができるため、

g3 = 0 = g5 としても一般性を失わない。
このとき一様等方時空の下で背景場が従う拘束条件を求めると6g4 H 2 = −g2 + 6Hλ3 ϕ̇ + 6H 3 λ5 ϕ̇と呼ばれ、摂動が従うラグランジアンの係数の符号+ (2 − ln X)λ2 − 6H 2 λ4 ln X + O(ϕ̇ ln X)が正となる条件により取り除くことができる。そし(4)て、今回のようなスペクトル指数が正となるダイナとなる。拘束条件において特異な振る舞いをする項

ミクスを実現する条件は、ゴースト不安定性・勾配不を取り除くために、以下では λ2 = 0 = λ4 として考安定性を回避できていることも確認される。以上かえる。このとき、背景場の運動方程式はら、原始重力波のスペクトル指数が正となるスロー
ロール・インフレーション模型が存在することを確認できた。

4g4 Ḣ − 2g4ϕ H ϕ̇ + ϕ̇J ≈ 0(5)

3HJ ≈ g2ϕ + 12g4ϕ H 2(6)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。ただしとなることが分かる。
この下で原始重力波のパワースペクトルを計算す

J := 6Hλ3 + 2H 3 λ5

ると、スペクトル指数 nT はスローロール・パラメー+ ϕ̇ (h2 + ξ2 + ξ2 ln X)

タ ϵ := − HḢ2 , δ := gġ44H を用いて

+ 6HX (h3 + ξ3 + ξ3 ln X)+ 6H 2 ϕ̇ (h4 + 3ξ4 + ξ4 ln X)()
53+ 6H X h5 + ξ5 + ξ5 ln X
3であり、giϕ = dgi /dϕ とした。
一様等方時空からの摂動量である重力波 hij と曲
率ゆらぎ ζ の運動方程式を記述する作用は、それぞれ
[
∫
)2 ]
1
FT ( ⃗(2)
ST =dtd3 x a3 GT ḣ2ij − 2 ∇h
ij
8
a
[
∫
( )2 ]FS ⃗(2)SS = dtd3 x a3 GS ζ̇ 2 − 2 ∇ζanT ≈ −2ϵ − δとなることが分かった。

4

Conclusion
スローロール・パラメータは式 (4-6) に従うダイナ

ミクスにより決定される。またこのダイナミクスはゴースト不安定性・勾配不安定性を取り除く状況のもとで実現されなければならない。これらを考察することにより、原始重力波のスペクトル指数が正となる模型が実現される条件が得られる。この条件は、Gauss-Bonnet インフレーション模型の場合も含むこと表せる。ただしとが確認される。以上より、スローロール・インフ

F T ⊃ G4 , G 5

GT ⊃ G4 , G5

レーションにて原始重力波のスペクトル指数が正とFS ⊃ G3 , G4 , G5

GS ⊃ G2 , G3 , G4 , G5なる模型を包括的に取り扱う条件を求められた。

である。このとき、重力波と曲率ゆらぎのゴースト不安定性・勾配不安定性は FT , GT > 0 及び GS , FS > 0を要請することで取り除くことができる。
今回の任意関数の展開において FT , GT をスロー
ロールオーダーの最低次まで、GS , FS をスローロー
ルオーダーの 1 次まで計算すると

GT ≃ 2g4 ,
GS ≃

6ϕ̇X
[h3 + (2 + ln X)ξ3
H {
(
) }]
8
+H 2 h5 ++ ln X ξ5
3

λ3 ϕ̇
X
+ 2 [h2 + (1 + ln X)ξ2
H {H () }]13+6H 2 h4 ++ ln X ξ4
3

FS ≃ 4+

天文・天体物理若手夏の学校にご賛同いただき、ご支援くださった皆様に感謝致します。また、本研究のために日夜議論にお付き合いいただいた理論物理学研究室の皆様にも深く感謝致します。

FT ≃ 2g4

X[h2 + (3 + ln X)ξ2
H2]
+6H 2 {h4 + (5 + ln X)ξ4 }+Acknowledgement

4ϕ̇X[h3 + (1 + ln X)
H]ξ3 + H 2 {h5 + (2 + ln X)ξ5 }Reference[1] K. Kamada, T. Kobayashi, T. Takahashi, M. Yamaguchi and J. Yokoyama, Generalized Higgs inflation, Phys. Rev. D86 (2012) 023504 [1203.4059].
[2] S. Koh, B.-H. Lee and G. Tumurtushaa, Constraints on the reheating parameters after GaussBonnet inflation from primordial gravitational
waves, Phys. Rev. D98 (2018) 103511 [1807.04424].
[3] T. Kobayashi, M. Yamaguchi and J. Yokoyama,
Generalized G-inflation: Inflation with the mostgeneral second-order field equations, Prog. Theor.
Phys. 126 (2011) 511 [1105.5723].
[4] Zong-Kuan Guo and Dominik J. Schwarz Slowroll inflation with a Gauss-Bonnet correction Phys.
Rev. D 81, 123520 (2010)

——–index

a9
R + R2 モデルに対する高階微分項による 補正
立教大学大学院理学研究科
佐藤 靖

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

R + R2 モデルに対する高階微分項による 補正
佐藤 靖 (立教大学大学院理学研究科)

Abstract
宇宙の膨張を説明する標準ビッグバン理論は、平坦性問題 や地平線問題という宇宙の初期条件の微調整に関する問題を含んでいる。それらを解決するために、宇宙が初期に加速膨張をするインフレーションシナリ
オが提唱されている。インフレーションモデルには様々なものがあるが、その一つとして、R + R2 モデルがある。
一般相対論は量子化の困難から量子重力理論の低エネルギー有効理論であると考えられている。そのため初期宇宙のような高エネルギースケールでは一般相対論よりも高エネルギー領域でも適用される理論で記述されるはずである。シンプルな拡張として、一般相対論の作用にリッチスカラーの二乗を加えた R + R2 モデルが考えられた。[1]R + R2 モデルに対しても、よりエネルギーの次元が高い項が作用に加えられることが予想される。[2] では
高階微分項の一つである R□R を小さな補正として R + R2 モデルに加える。本講演では、[2] をレビューし、このモデルにおけるテンソル・スカラー比と曲率ゆらぎのスペクトル指数を求め、観測と整合的なインフレーションモデルとなるためには補正項の係数に制限がかかることを示す。

1

Introduction
一般相対論は量子重力理論の低エネルギー有効理論だと考えられている。それゆえ、一般相対論の作用である Einstein-Hilbert 作用にはリッチスカラー

結果に整合的で、現象論的に最も成功しているイン
フレーション理論である。作用は∫√
M2
d4 x −g(R + αR2 )
S= P
2

(1)

よりもエネルギーの次元が高い項を加え 、高エネルという形をとる。ここで MP は換算プランク質量でギー領域での理論を考察する。高次元の項が作用にある。α は [mass]−2 の次元を持つ係数である。作用加わる場合、その効果はプランクスケールを下回るをスカラー場 ϕ を用いて書き換えると∫√
M2
d4 x −g[ϕR − U (ϕ)]
S= P
2エネルギー領域では抑制される。そのため、そのような理論においては一般相対論は低エネルギー領域で(2)の良い近似の理論となり、宇宙論的にも実験のエネ
ルギースケール的にも整合的な結果が得られる。高エネルギー領域での物理理論を考えるため、以下の章では補正を加えた重力理論を考察する。

2

2

The R + R Model
作用にリッチスカラーの二乗 R2 に比例する項を加えたモデルを R + R2 モデルや Starobinsky モデルという。このモデルはインフレーションを起こすス
カラー場を必要とせずにインフレーションを起こすことが可能であり、宇宙マイクロ波背景放射の観測となる。ここで ϕ = 1+2αR である。Conformal 変換(√)
2 χḡµν = gµν exp(3)
3 MP
により、スカラー場 χ を用いて
]
[ 2
∫
√
1 ¯ 2
MP
R̄ − (∇χ)− V (χ)S = d4 x −ḡ
2
2
)2
2 (
M
− √2 χ
V (χ) = P 1 − e 6 MP
8α

(4)
(5)

と書き換えられる。
この変換により作用は単一スカラー場のインフレー
ションとみなすことが出来る。そこからスローロー

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校が得られ、この関係式を作用に代入すると、∫数、テンソル・スカラー比を求め、観測結果と比較
]
√ [
MP2
¯ 2 (1 + ke2φ ) − U (φ) ,S=
d4 x −ḡ R̄ − 6(∇)
すると非常によくフィットすることが知られている。
2
α はインフレーション期の曲率で非常に大きな値とγ
e−4φ 2φand U (φ) =(e − 1)2 (9)where k =2
2
なることから、インフレーション中は R の項が優勢
6α
4α
になる。
となり、単一のスカラー場で書き換えられる。
ル・パラメータを求め、曲率ゆらぎのスペクトル指

さらに変換

3

χ
φ= √
6(1 + γ/6α2 )MPR□R term
R + R2 モデルに対してよりエネルギーの次元が高い項を作用に加える場合、可能性としてリッチスカラーの微分を含む項がある。高階微分項を含む理論を考えても低エネルギー領域で見れば、一般相対論
が良い近似となり観測的に矛盾しない理論となる。
一方で、高次の項が加えられた理論はゴーストが現れる問題がある。一般に、高階微分項を作用に加えるとゴーストが現れてしまう。ゴーストを回避するためには工夫が必要で高次の項は小さな補正としで定義される場 χ を用いて書くと
[ 2
]
∫
MP
1 ¯ 2
4 √
R̄ − (∇χ) − V (φ(χ))
S = d x −ḡ22(11)となり、canonical な運動項を持つ単一場のインフレーションに書き換えることが出来る。ポテンシャ
ルはV (χ) = V (φ(χ)) =て扱う。そうすることでゴーストが現れるのが回避できる事が知られている [3]。今回は高階微分を含む

(10)

)2
MP2 (
1 − e−2φ(χ)
8α

(12)

という形をとる。以下にポテンシャルの図を示す。

項としてシンプルな R□R の項を加えて解析する。作
用は

S=

MP2
2

∫

√
d4 x −g[R + R2 + γR□R](6)である。ここで α と γ はそれぞれエネルギーの-2 乗と-4 乗の次元を持っている。この作用を標準的な取り扱いで解析すると２つのスカラー場でマッピング
されるが、このやり方だと一般にスローロール条件を満たさない。[4] そのため、[2] では高階微分項を小さな補正として加え、単一スカラー場で書き換える。スカラー場に R + R2 モデルでの R と ϕ の関係
式 ϕ = 1 + 2αR を用いて、
∫
√
M2
S= P
d4 x −g[R + R2 + γR□R]|R= ϕ−1 (7)2α2とする。こうすることで、単一スカラー場でマッピングされ、これにより γ の高次の項を無視する事ができる。

図 1: ポテンシャルの図 [2]図 1 ではいくつかの k の値ごとにポテンシャルをプロットしている。k が負の場合、インフレーションを起こせる場の値は大きくなる事が読み取れる。

また、γ が小さいと考えることからインフレーショγ
ン中は 2α□ という無次元の演算子が小さいとして線形で近似する。すると、ϕ は

ϕ=

1 2φ
γ
(e − 1) − 2 □e2φ
2α
2α

3.1

Slow-roll conditions

式 (11) は単一場インフレーションに変換されてい(8) るので、通常と同様の解析が出来て、スローロール・

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
める。それらはパラメータ ϵ, η はḢ
ϵ = − 2,
H

ϵ̇
χ̈
η =ϵ−
=−
2ϵH
H χ̇

(

v ′′
2 −3
V
( ′ )2V
r = 16ϵ = −8MP2V

ns = −6ϵ + 2η = MP2(13)である。以下にスローロール・パラメータ ϵ, η の図
を示す。

(

V′
V

)2 )
,

(14)
(15)

となる。これから、膨張指数 60 を満たす k の値の範囲は −0.0045 < k ≲ 0.30 と制限される。

ns と r をプロットすると図 4 のようになる。図か

図 2: スローロール・パラメータ ϵ[2]図 4: スペクトル指数とテンソル・スカラー比とプラ
ンク衛星による観測的制限 [2]ら分かるように、ns − r プロットは観測的制限にかからずに非常によくフィットすることが分かる。

4

Conclusions
R□R の項を小さな補正項として加えた。
今回の解析では一つのスカラー場でマッピングし、

図 3: スローロール・パラメータ η[2]図 3 から分かるように、k が負で、例えば k = −0.1の場合、場の値が 0.8 を超えるとスローロール条件が破れる。十分なインフレーションを確保するためには場の値が広い範囲でスローロール条件を満たす必要があるので、補正項の係数 γ については十分な
インフレーションを確保できる値に制限が付く事が分かる。
次にスペクトル指数とテンソル・スカラー比を求R□R の項が自由度を増やさずに解析できた。作用に高階微分を含む項を加えたときの観測的制限の解析法を見つけた。膨張指数が 60 以上を満たす k の範囲には制限があり、−0.0045 < k ≲ 0.30 となる。
スペクトル指数やテンソル・スカラー比は kN のオーダーでは変化しないことも得られた。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

refarence[1] A.A. Starobinsky, A New Type of Isotropic
Cosmological Models Without Singularity, Phys.
Lett. B 91 (1980)[2] Ana R. Romero Casrellanos et al.
JCAP12(2018)007[3] J.Z. Simon, Higher Derivative Lagrangians,
Nonlocality, Problems and Solutions, Phys. Rev.
D 41 (1990) 3720
[4] T. Wang, Note on Non-Gaussianities in
Two-ﬁeldInﬂation, Phys. Rev. D 82 (2010)
123515

——–index

a10
漸減する宇宙項と間欠的加速膨張
お茶の水女子大学大学院 人間文化創成
科学研究科
新井 幸

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校漸減する宇宙項と間欠的加速膨張
新井 幸 (お茶の水女子大学大学院 人間文化創成科学研究科)

Abstract
現在物質と宇宙定数のエネルギー密度はほぼ一致しているが、それがなぜ 今 なのか、は Why now?
問題と呼ばれる未解決問題である。さらに宇宙定数のエネルギー密度は観測によると ρΛ ∼ 10−47 GeV 4 であり、これは場の量子論による理論的な予測より 120 桁小さい [1]。これらの問題を解決すべく、ダークエネル
ギー (DE) とダークマター (DM) をボゾン場の異なる相とすると、宇宙初期の急激な加速膨張が自発的に起こり、それが終わる過程で真空のエネルギーを消費する、というメカニズムが提案されている。本来宇宙が加速膨張するためには強い負の圧力を持ったスカラー場が必要であるので、インフレーションなどを記述する場合は未知の古典スカラー場などを仮定していた。今回は未知の場としてボーズ・アインシュタイン凝縮
体 (BEC) が用いられる (BEC 宇宙論)[2]。本講演では、この BEC 宇宙論による初期宇宙のメカニズムと、これが未解決問題に対してどのような解決策を与えるか紹介する。さらにその結果を最新の Planck 衛星の結果と比較する。

1

解決したい未解決問題

起源は未だわかっておらず、宇宙項問題と呼ばれている。

宇宙は物質, 輻射, 宇宙定数といった複数の成分から構成されていると考えられており、それぞれ状態
方程式 P = wρ の係数 w = 0, 1/3, −1 に従う。異なる時間依存性を持つにもかかわらず、138 億年という歴史の中で物質と宇宙定数のエネルギー密度が現在ほぼ等しいということは”’Why now?’ 問題と呼ば2

ボーズアインシュタイン凝縮体による宇宙論モデルの提案
前述の 2 つの未解決問題の解決法としてボーズアイ

れ、宇宙論における未解決問題の一つである。

ンシュタイン凝縮体 (BEC) を用いた宇宙論が提案さ次に宇宙定数のエネルギー密度は観測によるハッブれている。宇宙はほぼダークエネルギー (DE) とダール定数の値 H0 = 70 ± 7kms−1 M pc−1 から計算する

クマター (DM) で構成されており、DE の起源を宇宙ことができる。

定数とすると DE と DM の現在の比は”Why now?’()2

問題でも取り上げたように ρΛ /ρM ∼ ρDE /ρDM ∼ 1
m4p ∼ 10−122 m4p ∼ 10−47 GeV 4 (1) となることが現在の理論的解析と観測から提示されている。この事実より DE と DM には相関があり、一方、宇宙定数のエネルギー密度の起源を真空のエ 統一して考えるのが自然である。そこで加速膨張を
ネルギー ρvac とする。ρvac を求めるには運動量 k, 質 起こすために現代宇宙論に標準的に取り入れられて√量 m の場の零点振動のエネルギー k 2 + m2 /2 を全 いるボゾン場を DE と DM の候補として考える。宇運動量空間について足し上げればよいので、宙初期で場は量子的であると考えられるので、本来∫ mpl 3 √ 2
量子物理で示されるような物質が時間が経つにつれ
m4pl
d k
k + m274
4
ρvac =∼∼
10
GeVて古典スカラー場としてふるまう相を見つけたい。最
(2π)3
2
16π
0
(2) も自然なケースはボーズアインシュタイン凝縮であ

ρΛ ∼

H0
mp

式 (1) と式 (2) のエネルギー密度の値を比較するとる。巨視的な数のボゾン粒子が 1 つの基底状態を共

100 桁以上異なっており、宇宙定数を真空のエネル
ギー起源であると考えると都合が悪い。宇宙定数の有することで古典的な波、つまり DE としてふるまう。一方励起した状態のボゾンガスは古典的なガス、

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
DM としてふるまうとみなす。この 2 相はボゾン粒
子同士の特別な相互作用を考える必要はなく、ボゾ
ンガスの温度 T がある臨界 Tcr を超えると必然的に相転移する。

kT < kTcr ≡2πℏ2 n1/3
2/3(ζ(3/2))(3)m

この条件を満たすにはボゾンガスは冷たくなければならない。ボゾンガスが冷たいダークマターだとす
ると T ∝ n3/2 に従い、常に (3) 式を満たすので現在の宇宙ではボゾンガス, つまりダークマターは常に存

図 1: エネルギー密度の時間変化

在していることになる。

4
3

BEC によるインフレーション
さらに初期宇宙でのメカニズムに適用させるため’Why now?’ 問題に、式 (4) を書き換える。ボゾンガスの質量は小さ

この BEC によるモデルを実際に宇宙論に適用する。一様な BEC の段階的な生成と、その後の崩壊は以下の式で書ける。
( )2
ȧ
8πG
H2 =
=
(ρg + ρϕ + ρl )a3c2

ρ̇g = −3Hρg − Γρgいので輻射と同様にふるまうとすると
( )2
ȧ
8πG
H2 =
=
(ρg + ρϕ + ρl )a3c2

ρ̇g = −4Hρg − Γρg(5)′ρ̇ϕ = −6H(ρϕ − V ) + Γρg − Γ ρϕ(4)′

ρ̇ϕ = −6H(ρϕ − V ) + Γρg − Γ ρϕρ̇l = −3Hρl + Γ′ ρϕρ̇l = −4Hρl + Γ′ ρϕ
ここで BEC のエネルギー密度 ρϕ = 12 ϕ2 + V , ポ
テンシャルエネルギー V = V0 + m2 ϕ2 + λ2 ϕ4 とす

第 1 式はフリードマン方程式である。ρg , ρϕ , ρl はそる。初期の真空エネルギー V0 は理論による真空エネ

れぞれボゾンガス, BEC, BEC が崩壊してできた構

ルギーの値である V0 ∼ m4pl とする。

造の密度である。第 2 式はボゾンガスのエネルギー

まず BEC のプロセスでインフレーションが自然に始密度の時間変化の式で Γ は BEC の凝縮率を表す。第まることを示す。ただし BEC のエネルギー密度 ρϕ
3 式は BEC のダイナミクスを記述するグロスピタエ を DE, ボゾンガスのエネルギー密度 ρg を DM のエ
フスキー方程式の相対論形に BEC の定常な凝縮 Γρg ネルギー密度として、後の議論を進める。インフレーを加えた式である。Γ′ は BEC の崩壊率を表す。第 4 ションの初期ではまだ BEC の凝縮が始まっていない
式は局所的なエネルギー密度 ρl の時間変化を表す式 ので、当然 BEC が崩壊した後の局所的な構造も形成である。

されていない。よって ρϕ , ρl と崩壊率 Γ′ は無視でき

これらの方程式を用いて数値的に密度の時間変化をる。つまり DE はまだ存在しておらず、DM(ボゾン

計算したのが図 1 である。凝縮率は Γ = 0.2601 を用

ガスを輻射とみなしているので輻射) で満たされていいた。それぞれ、ボゾンガス ρg：grey line, BECρϕ： るという状態である。さらにインフレーションを起
solid line, 局所的な構造 ρl ：dashed line
こすためには場の変化はゆっくりでなければならなで表している。

BEC は z=69, 54, 39, 26, 15 のときに段階的に崩壊を起こし、その度に少しずつ密度が小さくなっていき

z=0 の現在の宇宙で ρϕ はほぼ一定になり、ρphi ∼ ρg（つまり ρDE ∼ ρDM ）となることがわかる。

い。式 (5) を整理すると、

3H ϕ̇2 = Γρg(6)となる。ボゾンガスが輻射であるとみなしているの( )2で ρg (t) = ρgi tti 、さらに凝縮率を時間の関数と2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
して Γ(t) = Γ0 ρg (t) を代入するとインフレーションの始まりの場 ϕf ire が解けて、(
ϕf ire (t) = 2ti

3/2

Γ0 ρgi3µ)1/2 (( )1/2 )
ti
1−
(7)
t

インフレーションが始まった時刻を tiinf とすると、密度は初期の真空エネルギーと定義しているので、(
ρg (tiinf ) = ρgi

ti

)2

tiinf

= V0

(8)

この関係を用いると初期条件は

(

) (
(
)1/2 )
3/2 1/2
Γ0 ρgiV0
ϕf ire (tiinf ) = 2ti
1−
3µ
ρgi
)
(
)3/4
3/2 1/2 (Γ0 ρgiV0δ = ϕ̇f ire (tiinf ) = 2ti
3µ
ρgi
(9)

図 2: インフレーション中のスケールファクターの時
間変化

BEC による宇宙論を用いたインフレーションのメカ
ニズムは通常のスカラー場によるメカニズムとここまでは振る舞いが似ている。次に BEC 宇宙論に特徴的な stagflation について考えたい。インフレーショ
ンの終わりでは ρg , Γ.Γ′ は無視できるので、式 (5) を整理すると、

3
Ḣ = − µ2 ϕ̇2(13)
2
stagflation のときは加速膨張が停滞しているので次にインフレーションの間、ボゾンガスは BEC に消t = ts で H = 0 となり、式 (13) は H = 0, ρphi =Γ′ は 0, ρ̇ϕ = 0 となる。しかしこの stagflation の状況は永無視できる。すると BEC は以下の式のように進化 遠ではない。式 (13) を見ると右辺が BEC 場の運動する。
項となっている。時間が進むにつれて運動項が発展
V̇ = −3H ϕ̇2(10) するので有限の時間で stagflation は終わり、このと費されて ρϕ に比べて薄くなっているので ρg ,き運動方程式は

式 (9) の初期条件を用いて式 (10) を解くと(
ϕinf (t) =

3Hinf
−2λ

)1/2 (

1
tiinf − t +
2

(

3Hinf
−λδ 2

)1/3 )−1/2

3ϕ̈ = − √ µϕ̇2(14)(11) となる。これを H < 0, ϕ̇ > 0 を踏まえて解くと√
図 2 はスケールファクターの時間発展を表す。スケー
2
ϕimp = const −ln(t∗ − t)
(15)
ルファクターは時間が進むにつれてべき的に大きく3µなるが、t ≈ ts ≈ 34.8 で極値となり加速膨張が終わこの結果だと BEC 場は t = t∗ で発散してしまう。しることがわかる。この極値近傍の加速膨張が停滞する
かし実世界では ϕ → inf, ϕ̇ → ∞ となることはあり
ときを”stagflation” と呼び、ts を”stagflation point”
えない。stagflation が終わった後、ϕ̇ → ∞ となること呼ぶ。とでたくさんの粒子が生成し、宇宙が再加熱される
ts とは別にインフレーションが終わる時間を teinf
機構と t ≈ ts , ρϕ ≈ 0 で BEC を形作るモードの不安とすると、定性が大きくなることにより BEC が崩壊し、局所的な構造となる機構が考えられる。今回は宇宙項問題()2
1 3Hinf(12) に関連した後者に焦点を絞って解説する。この不安∆inf ≡ teinf − tiinf =2 −λδ 2定性から BEC が真空のエネルギーを消費することでするとこのインフレーションでの e-folding 数は N =Hinf ∆inf となる。

宇宙項が小さくなるメカニズムを次章で解説する。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

5

質量は小さいので無視するとして V = V0 − κ2 ϕ4 を

宇宙項問題

用いると、

stagflation の時代に戻って考える。現在の宇宙論
では観測されている密度揺らぎはインフレーション
中に初期宇宙の密度揺らぎが成長したとされているが、BEC 宇宙論では BEC が一様なためインフレー
ションの間では密度揺らぎが生成、成長しない。そこで stagflation point で揺らぎが生成、成長したと考√える。ρϕ = 0 より運動方程式 ϕ̇ = κϕ2 を解くと、

ϕstag = κ−1/2 (ts − t)−1()
2
Hi nf 2()
3 1 + 9µ16κN231nR = 1 − ()2 = 1 − N + O N 3
9µ2 H 2N 1 − 16κNinf
2
)
(
2
2
9µ2 Hinf
9µ2 Hinf
1
r=
=
+
O
(
)2
9µ2 H 2
κN 3
N4
κN 3 1 − 16κNinf2(19)(16) この式に具体的な値を代入して計算すると、
nR ≈ 0.95 f or N = 60となる。このときの不安定さのスケールは（不安定さのスケールについては講演で紹介する。）( )k∗= (16π)1/4 G1/4 κ−1/4 (ts − t)−3/2 (17)a stagr ≈ 4.2 × 1 −−12 f or N = 60

この時 µHinf = 10−4 , κ = 0.1 を用いた。一方 Planck
衛星における観測の値は [3]

これより不安定さのスケールは ts に近づきながら増nR = 0.9649 ± 0.0042

加していく。一方 t ≈ ts の範囲で宇宙膨張は止まっ

r < 0.065てしまう。すると BEC は急速に崩壊して密度 ρl の局所的な構造となる。式 (17) より t ≈ ts の範囲になる前に BEC が崩壊する時間は十分にある。

ts − t >a∝ (ts − t)3/2
k∗

(20)

(21)

WMAP では nR も範囲内に入ることが確認できていたが、最新の Planck では少しずれてしまうことがわ
かった。

(18)

BEC の全要素が局所的な構造に変化し、そのたびに真空のエネルギーを消費する。これは真空のエネル
ギーが残っている限り何度も繰り返され、よって真空のエネルギーすなわち宇宙項は 0 に近づく。

7

まとめ

BEC を用いた宇宙論で未解決問題へアプローチできることがわかったが、まだ定性的な話も多いのでパラメータなどもっと具体的に詰めていく必要がある。ここに書ききれなかったことも多いので詳細は講演を聞いていただきたい。

8

参考文献
現代宇宙論講義 (辻川信二 2013 )

図 3: 場と密度の時間変化

Reference
6

観測との比較
まず観測との比較でよく用いられるスペクトル指数nR = 1−6ε+2η とテンソルスカラー比 r = PT /PR =16ε を BEC 宇宙論の場合について計算する。ボゾン[1]Nima Arkani-Hamed, Lawrence J. Hall, Christopher Kolda, & Hitoshi Murayama 2000, Physical Review Letters vol.85, no.21[2]Takeshi Fukuyama, &Masahiro Morikawa 2009,
Physical Review D80, 063520[3]Planck Collaboration: N. Aghanim et al. 2018, Astronomy & Astrophysics manuscript no ms

——–index

a11
cubic-order Horndeski 理論においてス
ケーリング解を持つ最も一般的 なラグ
ランジアンについて
東京理科大学大学院 理学研究科 辻川研
究室
竹村 希心

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

cubic-order Horndeski 理論においてスケーリング解を持つ最も一般的なラグランジアンについて
竹村 希心 (東京理科大学大学院 理学研究科 辻川研究室)

Abstract
cubic-order Horndeski 理論は様々なスカラー・テンソル理論を内包しており、模型によっては一様等方な背景時空においてスケーリング解を持つ場合がある。このような解を持つ場合、密度パラメータがその初期値に依らずにスケーリング期に一定値まで成長するため、偶然性問題を緩和することが可能である。本稿は [1]のレビューとして、cubic-order Horndeski 理論においてスケーリング解を持つ最も一般的なラグランジアンを導出し、その物理系で固定点解析を行いスケーリング解と加速膨張解が存在することを示す。また具体的な暗黒エネルギー模型を考え、スカラー場と CDM とのカップリングがある場合に不安定性を回避出来る条
件を示し、宇宙論的なダイナミクスを議論することでモデルパラメータに制限をつける。

1

研究背景

数 G2 (ϕ, X) で記述される k-エッセンスでは、g2 を宇宙の後期加速膨張は様々な観測によって独立に示されている。それを説明する試みとして、動的なス

Y = Xeλϕ の任意関数として、G2 (ϕ, X) = Xg2 (Y )の形の場合にスケーリング解が存在することが知られている [3]。

カラー場を導入した数多くの理論が提唱されてきた。

cubic-order Horndeski 理論においては、先行研究

中でも運動方程式を 2 階微分に保つように構成されたによってスケーリング解を持つ一般的なラグランジ

最も一般的なスカラー・テンソル理論は、Horndeski

アンが示された [4]。しかし最近の研究で、同様の理理論という名前で知られている。近年、重力波の速度論においてそのラグランジアンに含まれないスケーが 10−15 程度の範囲で光速に近いことを示された為、 リング解が示された [5]。また文献 [6] でも同様に、[4]もし Horndeski 理論に対して重力波の速度が光速とのラグランジアンがより一般化可能であることを示

等価であるという条件を課すならば、そのラグランしている。本稿ではこのスケーリング解を含むようジアンは L = G2 (ϕ, X) − G3 (ϕ, X)□ϕ + G4 (ϕ)R(たに [4] を拡張した最も一般的なラグランジアンを導出

だし X = −∂µ ϕ∂ µ ϕ/2) という形に制限される。

し、固定点解析を行うことによって系の時間発展を重力理論にスカラー場を導入すると、スケーリン

議論する。更に具体的な模型を用い、理論の安定性

グ解と呼ばれる、スカラー場と物質のエネルギー密などからパラメータに対して制限を課し、そのダイ度の比が宇宙膨張史の中で一定となる解を持つ場合ナミクスについて議論する。

がある。このような解が存在する場合、初期値に依らず、スケーリング期に宇宙論的パラメータが一定の値を持つようになるため、現在の物質とスカラー

2

場のエネルギー密度が同オーダーとなる問題 (偶然性問題) を緩和することが可能である。
スカラー場のラグランジアンが Lϕ = X − V (ϕ)
で記述されるクインテッセンスにおいては、λ, V0 を定数として、ポテンシャルが V (ϕ) = V0 e

−λϕ

の形の

場合にスケーリング解が存在することが知られている [2]。また、スカラー場のラグランジアンが任意関

背景時空の方程式以下の cubic-order Horndeski 理論の作用を考える

:

∫
S=

√

d x −g4()
R+ L + Sm (ϕ, gµν ) ,2(1)

L = G2 (ϕ, X) − G3 (ϕ, X)□ϕ .
ここで g は計量 gµν の行列式、R はリッチスカラー、G2 と G3 は、ϕ と X = −∂µ ϕ∂ µ ϕ/2 に依存する任意2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校関数である。ただし、c = ℏ = Mpl = 1 の単位系をることから、G2 ∝ H 2 , G3,ϕ = Const でなければな用いている。また、エネルギー密度 ρm , 圧力 Pm でらない。すなわち、記述される物質場を、完全流体として扱う。
平坦な一様等方時空における計量

ds2 = −dt2 + a2 (t)δij dxi dxj ,のもとで、作用 (1) は次の運動方程式を与える :3H 2 = ρϕ + ρm ,2Ḣ = −ρϕ − Pϕ − ρm − Pm ,ρ̇m + 3H(1 + wm )ρm = Q(ϕ)ρm ϕ̇,ρ̇ϕ + 3H(1 + wϕ )ρϕ = −Q(ϕ)ρm ϕ̇,
ここで

(2)

(11)

Ġ3,ϕ = 0,(12)であり、Ġi = Gi,ϕ ϕ̇+Gi,X Ẋ であることを用いると、

1
G2,ϕ − G2 = 0,
(13)
λ
(3)
1
XG3,ϕX − G3,ϕϕ = 0,
(14)
(4)
λ
(5) という方程式を得る。ただし λ は以下のように定義される量である :(6)
Q(1 + weﬀ )
λ≡
.
(15)
Ωϕ (wm − wϕ )XG2,X −()
ρϕ = ϕ̇2 G2,X − G2 − ϕ̇2 G3,ϕ − 3H ϕ̇G3,X , (7)()
Pϕ = G2 − ϕ̇2 G3,ϕ + ϕ̈G3,X ,(8)であり、Q(ϕ) は物質場とスカラー場のカップリング
である。また、Gi,ϕ = ∂Gi /∂ϕ, Gi,X = ∂Gi /∂X という記法を用いている。

(3) 式より、密度パラメータ Ωi = ρi /3H 2 は次の式 (13), (14) の解はそれぞれG2 (ϕ, X) = Xg2 (Y ),(16)

G3 (ϕ, X) = g3 (Y ) + h3 (X),(17)

ここで g2 (Y ), g3 (Y ) は Y ≡ Xeλϕ の任意関数である。h3 (X) は ρϕ の中に H 2 Xh3,X という項の形で表れ、これが H 2 に比例するためには、

h3 (X) = c + d ln X = c + d(ln Y − λϕ),

関係に従う :

Ωϕ + Ωm = 1.

Ġ2Ḣ
= 2 2 = −3(1 + weﬀ ),
HG2
H

(18)

(9) という関係が成り立たなければならない。ただし c, d

また、(4) 式より

を定数である。よってラグランジアンはL = Xg2 (Y )−g3 (Y )□ϕ−(c+d ln Y −dλϕ)□ϕ, (19)3Ḣ
= − (1 + weﬀ ), weﬀ = wϕ Ωϕ + wm Ωm , (10)H22と な る が 、c□ϕ は 表 面 項 で 落 と す こ と が で き 、であり、weﬀ は実効的な状態方程式である。

d ln Y □ϕ は g3 (Y )□ϕ に吸収できる。また、dλϕ□ϕは表面項を除いて 2dλX と一致するので Xg2 (Y ) に吸収できる。

3

スケーリング解を持つラグランジアン

以上より、Q が定数のときの一般的なスケーリン
グラグランジアンは次のようになる :L = Xg2 (Y ) − g3 (Y )□ϕ.

スケーリング解は ρϕ /ρm が一定となる解であり、(20)状態方程式, 密度パラメータは定数となる。この場
合、(3) 式より ρϕ と ρm は H 2 に比例するため、ϕ̇ ∝

4

固定点解析

H/Q(ϕ) が成り立つ。文献 [1] では Q が ϕ の任意関数である場合にも導出を行っているが、本稿の議論
では、カップリング Q が定数である場合においてス
ケーリングラグランジアンを導出する。
スカラー場のエネルギー密度 ρϕ は (7) 式で与えられ、(3) 式で ρϕ /ρm が一定の場合 ρϕ は H 2 に比例す

スケーリング解において、次で定義される無次元量は定数である :

ϕ̇
,
x≡ √
6H

e−λϕ/2y≡ √,3HY ≡ Xeλϕ =

x2
.
y2
(21)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
エネルギー密度や状態方程式はこれらの量で表現す

Point 2 : 後期加速膨張期

ることができる。

二つ目に重要な固定点は,()
λ − 6Yc g3,Y(xc , yc ) = √, yc ,
6(G2,X − λYc g3,Y )ϵϕ ≡ ϕ̈/H ϕ̇, ϵh ≡ Ḣ/H 2 と定義すると、x と y は次の自律方程式に従う :x′ = x(ϵϕ − ϵh ),(√)
6′y = −yλx + ϵh .
2

(28)

(22)

であり、このときの密度パラメータ、状態方程式は√
6(23)Ωϕ = 1, weﬀ = −1 +
λxc ,
(29)
3
√
ここで、プライム記号は N = ln a での微分を表す。 となり、λxc < 6/3 で加速膨張をする。
この方程式系の固定点は x′ = y ′ = 0 から得られ、ここでは特に重要な 2 つの解を紹介する。

5

Point 1 : ϕ-matter-dominated-epoch

暗黒エネルギーのダイナミクス
ここでは具体的に模型を決め、暗黒エネルギーのダイナミクスを調べる。仮定として、スカラー場が一つ目に重要な固定点は,y = 0 のときである。こCDM のみとカップルしているとし、また (24) 式ののとき Y → ∞ によって発散量が生じるのを防ぐた

g2 , g3 について、Y −2 以下のオーダーは無視する。すめ、cn , dn を定数として g2 , g3 を

なわち、

g2 (Y ) = c0 +∑cn Y −n , g3,Y (Y ) =n>0∑

dn Y −n ,n≥1

L = X + c1 e−λϕ +

d2
□ϕ,
Y

(30)

を仮定する。

(24)

ラグランジアン (30) のもとで、作用の 2 次摂動かという逆冪で定義する必要がある。このとき、固定らゴースト、ラプラシアン不安定性が生じるのを防点としてぐ必要がある。ここで√ )4d2 y 2 (qs = 2 +3d2 y 2 − 6x ,4x(√(xc , yc ) =)6[Q − 3d1 (wm − 1)],0 ,3(s + 2d1 Q)(25)を得る。ただし s ≡ (wm − 1)(c0 − 2d1 λ) である。

c2s = [6x4 − 24d2 λx2 y 2√− 12d22 y 4 + 4 6d2 xy 2 (2 − ϵϕ )]/(3qs x4 ),

(31)

(32)

この点における密度パラメータ、状態方程式は、 という量に対し、ゴースト、ラプラシアン不安定性

wm = d1 = 0 のときΩϕ = weﬀ =を回避する条件はそれぞれ qs > 0, c2s > 0 である。

2Q2
,
3c0

(26)

である。Q = 0 のときが通常の物質優勢期に対応しており、(26) 式はカップリング Q によって物質優勢期が修正を受けることを示している。このような時期を ϕ-matter-dominated-epoch(ϕMDE) と言う。
また、(26) 式より ϕMDE は

ρm
3c0− 1 = Const,=
ρϕ
2Q2を満たすスケーリング解である。

図 1 に密度パラメータの時間発展を示す。ただしΩc , Ωb , Ωr はそれぞれ CDM、バリオン、輻射の密度
パラメータである。初め x の減少に伴い Ωϕ は減少
するが、z = 106 から z = 20 付近の ϕMDE までにΩϕ = 2Q2 /3 まで増加する。
図 2 は状態方程式の時間発展である。現在において wϕ と weﬀ の値は違うが、最終的に同じ値 weﬀ =wϕ = −0.901 に収束する。また、輻射優勢期では(27) yc = 0 周りで weﬀ を展開すると}] y 2[{√
1
weﬀ = + x2 + c1 x + 2d2
6 − (Q + λ)x3x4+ O(y ),
(33)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

101

10

100

Ωr

10-1
-2

qs

Ωc

10

1

2

cs

10-3

Ωb

10-4
10-5

0.1

10-6

Ωφ

-7

10

10-8
10-9

0.01
10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

10-1

100

z+1

は c1 = −1, d2 = 10

102

103

104

105

106

107

z+1

図 1: 密度パラメータの時間発展。モデルパラメータ−3101

図 3: qs と c2s の時間発展。モデルパラメータ、初期, Q = 0.04, λ = −0.5 であり、 条件は図 1 と同様。

初期条件は z = 3.18 × 107 において x = −10−3 , y =10−13 , Ωb = 1.5 × 10−5 , Ωr = 0.999895。

6

まとめ
今回の研究ではまず、[4] の拡張として cubic-order

1.2

wφ

0.8

Hrondeski 理論においてスケーリング解を持つ最も一般的なラグランジアンを導出した。また、Q が定

0.4

weff

数の場合に固定点解析を行い、後期加速膨張期の前0に ϕMDE という、物質優勢期がスカラー場の寄与に-0.4

よって修正を受ける時期が存在することを示した。そ-0.8

してスカラー場が CDM のみとカップルした場合に、具体的な模型を用いて不安定性が生じない条件を示

-1.2
10-1

100

101

102

103

104

105

106

107

し、モデルパラメータに対して制限をつけた。

z+1

図 2: 状態方程式 wϕ , weﬀ の時間発展。モデルパラ
メータ、初期条件は図 1 と同様。

Reference

であり、weﬀ ≃ 1/3 であるためには |c1 y /x | ≪2

2

1, |d2 y 2 /x2 | ≪ 1, x2 ≪ 1 が必要である。
図 3 は qs , c2s の時間発展である。ϕMDE から後期
加速膨張期に移る際に c2s が減少しているが、後期加速膨張期では

c2s = 1 −2(6 − λ )(10 − λ )d2 + O(d22 ),c1 λ3
2[2]P. G. Ferreira and M. Joyce, Phys. Rev. Lett. 79, 4740
(1997) [astro-ph/9707286]; Phys. Rev. D 58, 023503(1998) [astro-ph/9711102].
[3]F. Piazza and S. Tsujikawa, JCAP 0407, 004 (2004)[hep-th/0405054].

2

(34)

と展開でき、λ = −O(0.1) のとき c2s > 0 であるためには d2 /c1 λ3 ≲ 10−2 が必要である。

[1]N. Frusciante, R. Kase, N. J. Nunes and S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 98, no. 12, 123517 (2018)[arXiv:1810.07957 [gr-qc]].

[4]A. R. Gomes and L. Amendola, JCAP 1403, 041(2014) [arXiv:1306.3593 [astro-ph.CO]].
[5]I. S. Albuquerque, N. Frusciante, N. J. Nunes and
S. Tsujikawa, Phys. Rev. D 98, no. 6, 064038 (2018)[arXiv:1807.09800 [gr-qc]].
[6]I. S. Albuquerque, D. Bettoni, G. Domenech
and A. R. Gomes, JCAP 1806, 029 (2018)[arXiv:1803.06368[gr-qc]].

——–index

a12
IDG 理論におけるブラックホールの内部構造に対するスカラー場の影響について
東京学芸大学大学院 教育学研究科
小池 貴博

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

IDG 理論におけるブラックホールの内部構造に対するスカラー場の影響について
小池 貴博 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
一般相対性理論 (GR) におけるブラックホールの一般的な性質の 1 つは、その中心に時空特異点が存在することである。そこではブラックホールを構成する物質の密度や曲率が発散し、GR は予言力を失う。この特異点を回避するために、これまで多くの研究がなされてきたが、未だ解決には至っていない。これに対し、無限階の共変微分からなる微分演算子を導入することで、GR を修正した Infinite Derivative Gravity（IDG）
理論が盛んに研究されている。この理論の枠組みにおいて、Biswas らは 4 次元時空の静的球対称真空解をMinkowski バックグラウンドにおいて弱場近似を用いることで解を構築した [1]。この解は、物質として大きさを持たない質点源を仮定しているにもかかわらず、GR で予言される曲率特異点が回避される時空構造を持つ。そこで本発表では、一般に曲率をより激しく発散させるスカラー場を IDG 理論に導入し、この場
合においても特異点が回避されるかどうかについて議論する。

1

Introduction

質分布が原点において正則であるのに対し、スカラー場の分布が原点において発散してしまうものを仮定

天体物理学においてブラックホールは高い関心が示されている対象であるが、その内部がどうなっているかはよくわかっていない。観測から、ブラックしたためである。しかし、スカラー場の分布として妥当なものが何であるかについてはよくわかっていない。

ホールのホライゾン外部の領域は一般相対性理論によって良く記述されていることがわかっている。
ところが、ホライゾン内部は強い重力によって全質量が一点に集まっていると考えられるため、その点において物質の密度や曲率が無限大に発散し、一般相対性理論が破綻してしまう。特に、質量を持たないスカラー場が存在する時空では、ホライゾンに隠されていない特異点の存在が知られており、これをこれに対し、修正重力理論の 1 つであり、近年盛んに研究されている Infinite Derivative Gravity (IDG)
理論においても同様に静的球対称時空において、中心特異点を回避することが出来ることが示唆されている。この理論では、アインシュタイン-ヒルベルト
作用に無限階の共変微分からなる微分演算子を導入することで、宇宙論初期やニュートンポテンシャルによる特異点が回避される。

裸の特異点と呼ぶ。(3+1) 次元時空において裸の特異点を表す解は JNWW 解として知られている [2]。
この曲率特異点を回避するために、これまでに様々

本発表では、IDG 理論においてスカラー場を導入
し、この場合においても特異点が回避されるかどうかについて議論する。

なモデルが考えられている。このような特異点を持たないブラックホールを広くレギュラーブラックホールと呼ぶ。例えば、時空に非可換性を持たせたることにより、特異点が回避されるモデルが考えられている [3]。
上述の非可換性を考慮したレギュラーブラックホール時空に対して、スカラー場を導入した場合には原点で曲率が発散する解が得られてしまう。これは、物

2

Infinite Derivative Gravity
4 次元時空において、最も一般的な 2 次曲率の作

用は

∫

√ [
d4 x −g R + αc (RF 1 (□s )R]+Rµν F2 (□s )Rµν + Rµνρσ F3 (□s )Rµνρσ )

S=

1
16πG

(1)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校で与えられる。

ここで、Newton ポテンシャルが静的であることか∑∞

2
ここで、Fi (□s ) = n=0 fi,n □ns 、□s ≡ □/Ms 、□ =µ νgµν ∇ ∇ はダランベール演算子であり、G = M12 はp
万有引力定数、αs ∼ M12 は次元を持つカップリング定sら、トレースと (0 0) 成分はそれぞれ(a − 3c)□h + (4c − 2a + f )∂µ ∂ν hµν = 16πGρ (7)数である (Ms は理論のスケールを表すパラメータ)。
この作用の変分をとって得られる場の方程式は、複雑な非線形微分方程式となっているため、簡単に解く

a□h00 + c□h − c∂µ ∂ν hµν = −16πGρ
となり、(5) についてことが出来ない。そこで、以下では Minkouski バッ

2(a − 3c)[∇2 Φ − 4∇2 Ψ] = 16πGρ

クグラウンド周りでの弱場近似

2(c − a)∇2 Φ − 4c∇2 Ψ = −16πGρgµν = ηµν + hµν , |hµν | ≪ 1

(8)

(9)

(2) となる。

をとることで、線形な微分方程式へと簡単化して議論する。

ゴーストを回避するための条件として f (□) = 0(a(□) = c(□)) とする。その時 Newton ポテンシャ
ルは弱場近似の下で得られる場の方程式は、

4a(∇2 )∇2 Φ = 4a(∇2 )∇2 Ψ = 16πGρ = 16πGmδ 3 (⃗r)a(□)□hµν + b(□)∂σ (∂ν hσµ + ∂µ hσν )(10)+ c(□)(ηµν ∂ρ ∂σ hρσ + ∂µ ∂ν h) + ηµν d(□)□hとして簡単に解ける。ここで、超弦理論の文脈から+ f (□)□−1 ∂σ ∂λ ∂µ ∂ν hλσ = −16πGτµνa(□) = e

(3)

□
−M
2
s

とすることで、

Φ(r) = Ψ(r) = −となる。ここで、

(
)
Gm
rMs
erf
r
2

(11)

を得る。この時、メトリックポテンシャル (11) は原

a+b=0
c+d=0

点 r = 0 において正則であり、曲率不変量も有限値(4) をとる。

b+c+f =0

IDG 理論における特異点解消の構造についての詳という拘束条件が課されており、これらのパラメー

細な解説は、共同研究者の太田が発表する。

タは Fi (□s ) の線形結合で書かれる。

4

Einstein-Scalar Gravity

IDG 理論における singularity スカラー場は、最も単純な種類の「物質」の 1 つである。これまでにスカラー場は現象論的モデル、特free な解

3に重力理論において考慮されてきた。例えば宇宙論

物質場として、質点源

において、様々なタイプのスカラー場が暗黒エネル
ギーと暗黒物質をモデル化するために使われてきた。

τµν = ρδµ0 δν0 = mδ 3 (⃗r)δµ0 δν0(5)一般相対性理論においてスカラー場を考慮する

Einstein-Scalar Gravity では、ブラックホール解をを仮定する。また線素は、弱場近似の形で構成する試みもこれまでになされている。最も単純

ds = −(1 + 2Φ(r))dt + (1 − 2Ψ(r))(dr + r dΩ )
2

2

2

2

2

なスカラー場の分布を仮定すると、よく知られてい(6) る Janis-Newman-Winicour-Wyman 解 (JNWW 解)とし、2 つのメトリックポテンシャルを求める。

が得られる。しかし、この解はホライゾンを持たず、Bianchi 恒等式から、場の方程式 (3) のトレースと (0 裸の特異点と呼ばれる構造を持ち、ブラックホール0) 成分を解くだけでよい。
解ではない。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
線素を

4 次元時空における Einstein-Scalar Gravity における最も単純な作用は∫√S = d4 x −g(R − 2(∂ϕ)2 )ds2 = −(1 + 2Φ(r))dt2 + (1 − 2Ψ(r))(dr2 + r2 dΩ2 )
(20)

(12)

と仮定すると、運動方程式の (0 0) 成分とトレース成と表され、変分をとって得られる場の方程式は、∇2 ϕ = 0

分はそれぞれ∇2e− Ms [∇2 h00 − ∂i ∂j hij + ∇2 h] = −16πGτ00 (21)

(13)

∇
1
1
e− Ms [−2∇2 h + 2∂i ∂j hij ] = −16πGτ(22)Rµν − gµν R = 2(∂µ ϕ∂ν ϕ − gµν ∂ ρ ϕ∂ρ ϕ) (14)22であるから、2 つのメトリックポテンシャルについてである。
の 2 つの微分方程式を得る:
これを解いて得られる解は( b )γ( b )−γ( b )1−γ∇2e− Ms ∇2 Ψ = 4πGτ00(23)ds2 = − 1−
dt2 + 1−
dr2 + 1−r2 dΩ2
r
r
r
2
(15)
∇
(
)
e− Ms ∇2 Φ = 4πG(τ + 2τ00 )
(24)
q
b
(16)
ϕ = √ ln 1 −rb 4π
τ = −2(ϕ′ )2 、τ00 = (ϕ′ )2 であるから、これを解くと√()
である。ここで、b = 2 m2 + q 2 、γ = 2m
b である。
GmrMs
Φ(r) = −
erf
(25)
r
2
(
)
(
)
2
5 IDG 理論におけるスカラー場の Ψ(r) = − Gm erf rMs + q Ms F rMs (26)
r
2
2r
2

影響

である。

本研究では、IDG 理論に対し massless スカラー

ここで、

F(x) := e−x

場を導入し、それによる時空構造の影響について調

2

∫ x

2

et dt

(27)

0

べる。
作用は [4] を参考にし、JNWW 解のように最も単純なものを考え∫√ [1S=
d4 x −g R + αc (RF 1 (□s )R
16πG

は Dawson 関数である。

6

得られた解について得られた解 (20,25,26) は、r → ∞ とした時、等方+Rµν F2 (□s )Rµν + Rµνρσ F3 (□s )Rµνρσ ) (17)]座標系で記述した JNWW 解について弱場近似をとっ−2(∂ϕ)2たものに帰着することから、IR 領域において GR のとする。弱場近似の下で、線形化された場の方程式は、振る舞いと一致する望ましい解が得られたといえる。
ここで注目すべき点は、スカラー場の分布自体は□

e− Ms [□hµν + (ηµν ∂ρ ∂σ hρσ + ∂µ ∂ν h)−∂σ (∂ν hσµ + ∂µ hσν ) − ηµν □h] = −16πGτµν(18)で与えられる。
スカラー場のエネルギー運動量テンソルは

1τµν = 2(∂µ ϕ∂ν ϕ − gµν ∂ ρ ϕ∂ρ ϕ)2で定義される。

原点で発散するが、メトリックポテンシャル Φ 及び

Ψ は原点で正則となり、曲率不変量√
G2 Ms6 (10m2 − 6 πmq 2 Ms + πq 4 Ms2 )
K∼
(28)
6π
も原点で有限値をとることである。

(19)

1 節で取り上げたように、Nicolini のレギュラーブ
ラックホール時空においてスカラー場を考慮すると、物質分布はガウシアンとなり原点で正則となるが、ス2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
カラー場の分布が原点で発散するものを仮定していしかし、弱場近似の下で得られた解であるため、こたため、曲率不変量も発散してしまった。しかし、今の解が強重力領域を正しく記述しているかどうかに回得られた解は、スカラー場の分布として発散する

ついては、非線形な場の方程式を解いて厳密解を得ものを仮定しているにもかかわらず、曲率特異点がなければ議論することは出来ない。したがって、こ生じない解となっている。

の厳密解を得ることが今後の目標の 1 つである。
また、Nicolini のレギュラーブラックホール時空において、今回得たスカラー場の分布を用いて非線形方程式の解の構築を試みる。スカラー場がある時空において、スカラー場のポテンシャルを考慮した上でブラックホール解を構築できることが知られているので、中心に曲率特異点を持たないブラックホール時空と今回得られたようなホライゾンも曲率特異点も持たないコンパクトオブジェクト周りの時空の性質を比較する。

図 1: メトリックポテンシャル

Reference[1]Biswas et al. 2012, Phys. Rev. Lett. 108, 031101[2]Janis et al. 1968, Phys. Rev. Lett. 20, 878[3]Nicolini et al. 2006, Phys. Lett. B 632, 547-551[4]Buoninfante et al. 2018, Phys. Rev. D 98, 084009

図 2: 曲率不変量

7Conclusion & Future Work
我々は、IDG 理論において massless スカラー場を考慮し、その場合にも曲率特異点が回避されることを確認した。今回得られた解は、IR 領域における振る舞いが GR と一致し、UV 領域においては曲率が一定値となる時空構造を持つことがわかった。このことから、今回得られた解は、JNWW 解が示す裸の特異点に対して、ホライゾンに覆われず特異点のない内部構造を持つコンパクトオブジェクトを表していると言える。

——–index

a13
Gauss-Bonnet 作用における metric 形式と metric-aﬃne 形式の非等価性
立教大学大学院 理学研究科
池田 拓人

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Gauss-Bonnet 作用における
metric 形式と metric-aﬃne 形式の非等価性
池田 拓人 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
metric-aﬃne 形式で重力理論を修正したとき、それが metric 形式と等価になっているかを議論する。

1 Metric-aﬃne Einstein-Hilbert actionで定義して、計量で作用 (1.1) の変分をとると

2κ δS
1
0= √
= R(µν) − gµν R + κTµν
µν
δg
2
|g|

作用中の計量と接続のそれぞれを独立変数として導入する形式を metric-aﬃne 形式という。なお、通常の形式は metric 形式という。

(1.2)

が得られる。また、接続で作用 (1.1) の変分を取ると0 ≡δS(g, Γ)∫√ ()
用は metric 形式と等価であることを見る。
= dD x |g| δΓµν λ
1.1 変分原理
[
(
)
1 στ
σ
µν
g ∇λ gστ + T λσ
× ∇λ g +g µν − ∇ρ g ρν δλµ次のような metric-aﬃne 形式の作用を考える。
2
)
]
(
∫
√
1
1 στ
µ
σ
ρν µ
ρν
S[g, Γ, ψ] =g µν Rµν (Γ) |g|dD x + Smatter [g, ψ]g ∇ρ gστ + T ρσg δλ + g T ρλ
−
2κ
2
(1.1)
(1.3)
以下では、metic-aﬃne 形式の Einstein-Hilbert 作

なおここで、リーマンテンソルはとなる。

Rµνσλ (Γ) = ∂µ Γνσ λ − ∂ν Γµσ λ + Γµκ λ Γνσ κ − Γνκ λ Γµσ κ

これらの計量と接続のオイラーラグランジュ方程式 (1.2)-(1.3) は D > 2 の場合には簡単化できて、次で定義されている。以下では表記の簡便化のために、

Rµνσλ ≡ Rµνσλ (Γ) などとかくことにする。
作用 (1.1) の右辺第二項は matter 成分を表しているが、今回の設定では matter 成分は計量と場 ψ にのみ依存し、接続 (やリーマンテンソル) には依存しないものとする。

のようになる。

[(1.2) → R(µν) (Γ) = −κ Tµν −

1
gµν T
D−2

]

(1.3) → ∇λ gµν − T νλ σ gσµ1
1
T σ gµν −T σ gµλ = 0−
D − 1 σλD − 1 σνここで、前者はアインシュタイン方程式を表してまた、今後の便利のために、次のように定義される
捩率テンソル T µν ρ と、non-metricity テンソル Qµνρ

いて、後者は Palatini equation と呼ばれる代数方程式を表している。この式の一般解はを導入する。

T µν ≡ Γµν − ΓνµρρρQµνρ ≡ −∇µ gνρ
さて、ここでエネルギー運動量テンソルを

2 δS matterTµν ≡ √
|g| δg µνΓµν ρ = Γ̊µν ρ −1
T σ δρ
D − 1 σµ νで与えられる。なお、Γ̊µν ρ は Levi-Civita 接続を表している。
さらにこの式で T λσ σ = −(D − 1)Aµ とおくとΓµν ρ = Γ̄µν ρ ≡ Γ̊µν ρ + Aµ δνρ(1.4)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と簡明な形で書くことができる。*1

速度ベクトル v µ 、パラメータ β などと書くこと

こうして、Palatini equation の一般解を得ることができた。なお、この接続を Palatini 接続と呼ぶ。

にし、この変換後の接続についての測地線方程式v µ ∇µ v ρ = 0 を書き下すと1.2 作用の不変性dv ρ+ Γ̄µν ρ v µ v ν = 0dβ

これらの Palatini 接続 (1.4) 同士は projective 変換と呼ばれる次のような変換で結びついている。

となる。この式は −kµ v µ ≡ f (β) とおいて、Levi-

Civita 接続を用いて書き直すと

Γµν σ → Γ̄µν σ = Γµν σ + kµ δνσdv ρ+ Γ̊µν ρ v µ v ν = f (β)v ρdβ

いま、簡単のために Levi-Civita 接続からの pro-jective 変換を考えると、変換後の接続についてのようになる。

Qλµν = 2Aλ gµν(1.5)

T µν σ = Aµ δνσ − Aν δµσ(1.6)

この表式はアフィンパラメータ以外を使用した際の測地線方程式に他ならないので、β をアフィンパ
ラメータ α に取り直すことでという関係式が成り立っている。このとき曲率の変duρ+ Γ̊µν ρ uµ uν = 0dα

換性はそれぞれR̄µνρλ = R̊µνρλ + Fµν δρλ(1.7)

R̄µν = R̊µν + Fµν(1.8)

R̄ = R̊
と書き表せる。なお、ここで、Fµν (A) = ∂µ Aν −∂ν Aµ としたほか、式中で上に丸がついている量はLevi-Civita 接続についての、バー付きの量は Palatini 接続についてのリーマンテンソルなどを表している。今後もこのような記法をとる。
これらの曲率の変換性を見ると、projective 変換の下で作用 (1.1) が不変なことがわかる。
ただし、(1.5), (1.6) から、リーマンテンソル (1.7)とリッチテンソル (1.8) は Levi-Civita 接続の時には満たされていた対称性が満たされなくなっていることには注意する。*2

1.3 測地線方程式の不変性
前節と同様に、Levi-Civita 接続からの projective
変換を考える。

と Levi-Civita 接続での測地線方程式に帰着させることができる。なお、ここでパラメータを取り直した際の速度ベクトルを uµ とした。

1.4 まとめ
こうして、Levi-Civita 接続と Palatini 接続とを比較すると、それぞれで書いた作用と測地線方程式は同じ表式であることがいえた。この意味で、metric
形式と metric-aﬃne 形式とは物理的に等価である。
つまり、metric-aﬃne 形式を修正重力として考えるなら、metric-aﬃne 形式の Einstein-Hilbert 作用
は、記述する物理を修正できていないことがわかる。

2 Metric-aﬃne Gauss-Bonnet theory
2.1 Metric-aﬃne Lovelock theory
ま ず 、metric-aﬃne 形 式 で は D 次 元 で k 次 のLovelock 作用 (Pure Lovelock) は次のように定義
される。

∫
S=

√
··· µk νkα 1 β1· · · Rµk νkαk βkdD x |g|δαµ11 βν11 ···αk βk Rµ1 ν1(2.1)*1 なお、ここで明らかに Aµ = 0 が Levi-Civita 接続に対応していて、この解が Levi-Civita 接続を拡張したような解になっていることがわかる*2 こ こ で 、リ ッ チ テ ン ソ ル の 対 称 成 分 だ け を 抜 き 出 す とR(µν) (Γ) = Rµν (g) となり、Levi-Civita 接続の場合の結果と一致する

なお、式中の完全反対称クロネッカーのデルタは次のように定義されている。
µk νk[µ1 ν1µk k
δαµ11 βν11 ······ αk βk = δ α1 δβ1 · · · δαk δβkν ]2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、metric-aﬃne 形式の Lovelock 作用を変分

2.2 Levi-Civita connection
Levi-Civita 接続では K̊ µν ρ = 0 が恒等的に成り立するときに便利な量

δS1Σµναβ = √|g| δRµναβつから、接続の方程式 (2.6) に Levi-Civita 接続を代(2.2)

を導入する。これは Lovelock 作用 (2.1) においては
次のような表式で与えられる。

入すると次のようになる。

˚ µ Σ̊µνα0 =∇βµνρ2 λ2 ··· ρk λk=k(k − 1)δαβγ
2 ϵ2 ··· γk ϵk
γ2 ϵ2
˚ µ R̊
×∇R̊ρ3 λ3 γ3 ϵ3 · · · R̊ρk λkγk ϵk
ρ2 λ2

Σµν αβ = gασ Σµνσβµνρ2 λ2 ··· ρk λk= kδαβγRρ2 λ2 γ2 ϵ2 · · · Rρk λkγk ϵk2 ϵ2 ··· γk ϵk

さて、この ΣS=

1
k√dD x |g|Rµναβ Σµναβ

一方、計量の方程式 (2.4) は(2.3)と簡明にかける。このとき、計量と接続に関してのオイラーラグランジュ方程式はそれぞれRµνρλ Σµν σλ + Rµνσλ Σµν ρλ1− gρσ Rµναβ Σµναβ = 0k1µνα∇µ Σ β − Qµλ λ Σµναβ
2
1
σ µνα
−T σµ Σ β − T µσ ν Σµσαβ = 02σ˚ [µ R̊
ルの第二ビアンキ恒等式 ∇νρ]λ = 0 から、自動的に成立している。

µναβ を用いると、(2.1) は∫

これは、Levi-Civita 接続におけるリーマンテンソR̊µνρλ Σ̊µν σλ + R̊µνσλ Σ̊µν ρλ1− gρσ R̊µναβ Σ̊µναβ = 0kと書き改められるが、これは metric 形式における重力場の方程式に他ならない。
こうして、metric-aﬃne Lovelock theory は Levi-(2.4)

Civita 接続を解として含むことがわかった。
2.3 Projective symmetry
次に、一般の Lovelock Σ テンソル (2.2) に対して、(2.5)となっている。
ここで接続を Levi-Civita 成分とそれ以外のテン
ソル成分とに分けて

Γµν ρ = Γ̊µν ρ + Kµν ρとかくことにし、Levi-Civita 接続における共変微分

˚ µ を用いると (2.5) は次のように簡単化できる。
∇
˚ µ Σµνα + Kµρ α Σµνρ − K ρ Σµναρ = 0 (2.6)∇ββµβ
さらに、これらの式から、接続の運動方程式 (2.6)の必要条件式

projective 変換に対する変換性を考えると
Σµν αβ →µνρ2 λ2 ··· ρk λk
Σ̄µν αβ =kδαβγϵ ··· γk ϵk[ 22]
× Rρ2 λ2 γ2 ϵ2 + Fρ2 λ2 g γ2 ϵ2

× ···
[
]
× Rρk λkγk ϵk + Fρk λk g γk ϵk=Σµν αβのように不変となる。
また、これと (1.7) とから、同様の計算により[]R̄µν αβ Σ̄µν αβ = Rµν αβ + Fµν (A)g αβ Σµν αβ= Rµν αβ Σµν αβが得られる。つまり、projective 変換のもとで作用(Kµρα + Kµαρ ) Σµνρβ + (Kµρβ + Kµβρ ) Σµνρα = 0(2.7)(2.3) は不変だから、元々の表式 (2.1) も不変となる。

が得られる。

(projective 変換でつながる) 接続の解は、物理的にEinstein-Hilbert 作 用 の 時 と 同 様 に 、こ れ ら の2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
等価であることが言えるから、Lovelock theory の運動方程式を満たすような接続のなす空間は、等価な接続のセットのクラス [Γ] で構成されていることがわかる。*3 ここで、異なるクラスに属する接続は、一般に違った物理を記述する。

2.4 Metric-aﬃne Gauss-Bonnet theory
以下では、Lovelock theory において、Einstein-

Hilbert の次の次数である k = 2 の時に、非自明な解([Γ̊] 以外のクラスに属する解) を探す。
D 次元で k = 2 の Lovelock theory は GaussBonnet theory と呼ばれ、そのラグランジアン密度は次で与えられる。*4(D)
LGB (g, Γ) =√さて、ここで Weyl 接続 (2.8) を接続方程式の必要
条件式 (2.7) に代入すると()()
0 ≡ K̃µρα + K̃µαρ Σ̃µνρβ + K̃µρβ + K̃µβρ Σ̃µνρα()= 2 (Bρ − Cρ ) Σ̃(α νρ β) − 2 B(α − C(α Σ̃µν β)µを得る。これは Bµ = Cµ の時にのみ満たされる。
この事実から、接続の運動方程式を満たすためには少なくとも Bµ = Cµ でなくてはならないことがわかる。さらに projective symmetry から Aµ は好きに選んでも物理的に等価であることがわかっている
ので、簡単のために Aµ = Bµ を満たすように選び、(2.8) を以下のように書き換える。このようにしてもWeyl 接続のうち、解として存在するクラスは全く失µνρλ|g|δαβγϵRµν αβ (Γ)Rρλ γϵ (Γ)

われていない。

このとき、Σ テンソル (2.2) は次のように表される。

Γ̃µν ρ = Γ̊µν ρ + Bµ δνρ + Bν δµρ − B ρ gµν (2.9)
このように書き換えた Weyl 接続 (2.9) を接続方程µνρλΣµν αβ = 2δαβγϵRρλ γϵ (Γ)

式 (2.6) に代入すれば、煩雑な計算により、D = 4 で次に、Weyl 接続と呼ばれる接続を考える。このWeyl 接続は任意のベクトル場 Aµ , Bµ , Cµ を用いてΓ̃µν ρ = Γ̊µν ρ + Aµ δνρ + Bν δµρ − C ρ gµν (2.8)のように表されている。

任意のベクトル場 Bµ に対して等号が成り立つことがいえる。
さて、metric-aﬃne 形式の Gauss-Bonnet theory
は Weyl 接続 (2.9) という、Levi-Civita 接続とは物理的に異なるクラスに属する接続を解に持ってこの Weyl 接続で書いたリーマンテンソルは次のようになっている。

いることがわかった。これは、metric-aﬃne 形式のLovelock theory は一般には metric 形式と等価ではないことを意味する。
R̃µνρλ =R̊µνρλ + Fµν (A)δρλ[][]
つまり、metric-aﬃne 形式は、Lovelock theory を˚ µ Bρ − Bµ Bρ δνλ − ∇˚ ν Bρ − Bν Bρ δµλ
+ ∇
[
]
[
] さらに修正できる重力理論として期待ができる。
˚ µ C λ − Cµ C λ gνρ + ∇˚ ν C λ − Cν C λ gµρ− ∇][− Bσ C σ δµλ gνρ − δνλ gµρ
Reference*3 つまり、同じクラスに属する接続は projective 変換で結ばれている*4 なお、metric 形式でするように、このラグランジアン密度を曲率テンソルを用いて書き下すとL=

1√ [ 2(1)(1)|g| R − Rµν R(1)νµ + 2Rµν R(2)νµ3!
(2)−Rµν R(2)νµ + Rµνρλ Rρλµν](1)となる。ここで、Rµν = Rµλνλ はリッチテンソルを、
(2)

(1)

Rµν = g ρλ Rµρλν はコリッチテンソルを、R = g µν Rµν
はリッチスカラーを表している。ただし、以下では Σ テン
ソルによる解析をするので、この表式は使わない[1] B. Janssen, A. Jiménez-Cano and J. A. Orejuela,
Phys. Lett. B 795, 42 (2019)[2] A. N. Bernal, B. Janssen, A. Jimenez-Cano,J. A. Orejuela, M. Sanchez and P. SanchezMoreno, Phys. Lett. B 768, 280 (2017)[3] M. Borunda, B. Janssen and M. Bastero-Gil,
JCAP 0811, 008 (2008)[4] A. Yale and T. Padmanabhan, Gen. Rel. Grav.
43, 1549 (2011)[5] T. Padmanabhan and D. Kothawala, Phys. Rept.
531, 115 (2013)

——–index

a14
水面波メタマテリアルの実装とその宇宙論的応用について
東京学芸大学大学院 教育学研究科
楠見 蛍2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

水面波メタマテリアルの実装とその宇宙論的応用について
楠見 蛍 (東京学芸大学大学院 教育学研究科)

Abstract
膨張している現在の宇宙から過去へさかのぼると、宇宙は曲率が発散する特異点から始まったことになる。
その特異点を回避するために、Hawking らは「虚時間」という数学的概念を導入した (Hartle et al. 1983)。
虚時間から実時間に変化するとき、時空構造は (4+0) 次元 Euclidean 空間から (3+1) 次元 Minkowski 時
空へと変化する。2010 年、Smolyaninov は比誘電率を正から負に変化させることが可能なメタマテリアルという人工媒体を用いて、その時間符号変化をモデル化できると考えた (Smolyaninov 2010)。その結果、虚時間から実時間に切り替わった瞬間、エントロピーが増大することが示唆された。メタマテリアルとは、自然界の性質にはない振る舞いを示す人工媒体である。はじめは負の屈折率を示すものとして実装された。そこから比誘電率や比透磁率を空間的に自在に設計できるものとして研究され、時間符号変化のモデル化に用いられた。そこで我々は、この時間符号変化の水面波によるモデル実験の実装を目指した。水面波に対して負の屈折率を示すメタマテリアルは、2018 年飯田によって理論的および数値的に示されている (Iida 2018)。
本研究ではそれを実装し、負の屈折率の現象を観察した。本発表では、その実験結果の報告と、時間符号変化をはじめとする水面波メタマテリアルの宇宙論への応用の可能性について議論する。

1

はじめに

が増大することが示唆された。しかし、この研究はまだ理論的な予想に留まっているため、実際にこのメタマテリアルとは自然界の物質にはない振る舞いを示す人工媒体の総称である。1999 年、Pendry ら

モデルの実験からどのような現象が観察されるのか確かめる必要がある。

は小さな金属の構造体を配列することで、比誘電率

そこで我々は、この時間符号変化の水面波によると比透磁率を操作し、有効的に負の屈折率を実現す

モデル実験の実装を目指した。先行研究では光によるメタマテリアルの存在を理論的に示した (Pendry

る実験を想定していたが、水の波で実験を行うこと
1999)。これを皮切りに現在盛んに研究されているが、 は比較的容易に可視化できるという利点がある。水その中でも宇宙論的応用の可能性が注目されている。 面波に対して負の屈折率を示すメタマテリアルは、膨張している現在の宇宙から過去へさかのぼると、 2018 年飯田によって理論的および数値的に示されて宇宙は密度と曲率が発散する特異点から始まったこいる (Iida 2018)。しかし、実装には至っていなかっとになる。その特異点を回避するために、Hawking

た。そこで、本研究ではそれを実装し、その結果、負らは「虚時間」という数学的概念を導入した (Hartleの屈折率を示す水面波の振る舞いを観測することがet al. 1983)。虚時間から実時間に変化するとき、時 できた。本発表では、その実験結果の報告と、時間
空構造は (4+0) 次元 Euclidean 空間から (3+1) 次 符号変化をはじめとする水面波メタマテリアルの宇元 Minkowski 時空へと変化するが、そこでどのような現象が起きるかは明らかにはなっていない。

宙論への応用の可能性について議論する。
本稿では、まず時間符号変化をメタマテリアルで2010 年、Smolyaninov らは比誘電率を正から負どのようにモデル化するかを述べたあと、負の屈折に変化させることが可能なメタマテリアルを用い率を示すメタマテリアルの理論を示し、実験の内容て、(3+0) 次元 Euclidean 空間から (2+1) 次元について記述する。

Minkowski 時空への低次元での時間符号変化をモデル化できると考えた (Smolyaninov 2010)。その結果、虚時間から実時間に切り替わった瞬間、エントロピー

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

時間符号変化計することができるようになった。

先行研究で考えられたメタマテリアルは、石英をHartle と Hawking は、宇宙のはじまりの曲率特 ベースとし、その中に間隔 a(= 10−8 m) でガリウム
異点を回避するために、数学的手法として虚時間を 製の薄い層を重ねた人工媒体である。本稿ではこの導入し、宇宙は実時間では有限な大きさから始まっ メタマテリアルを “Variable hyperbolic metamateたと仮定した。これは、Minkowski 時空の実時間を rial(VHM)”と呼ぶことにする。通過する光の波長よ
虚時間に置き換え (τ = it)、Euclidean 空間を考えりも十分小さい構成単位の構造体を VHM が持ってることに相当する。これを時間符号変化とよぶ。そいる場合、その構造体の集合は一つの媒質とみなせの結果、時空構造を表す計量はそれぞれ以下のようる。これを有効媒質理論といい、その中の Maxwell-になる。

Garnet 近似を用いると、有効的な比誘電率は以下の
ds2 = −dt2 + dx2 + dy 2 + dz 2 ,(1)

ds2 = dτ 2 + dx2 + dy 2 + dz 2 .

(2)

つまり Hawking らのアイディアでは、宇宙初期

ようになる。

ϵ1 (= ϵx = ϵy ) = nϵm + (1 − n)ϵd ,ϵm ϵdϵ2 (= ϵz ) =.
(1 − n)ϵm + nϵd

(4)
(5)

に、(+, +, +, +) の (4+0) 次元 Euclidean 空間から

ここで n はガリウムの体積充填率、ϵm はガリウムの(+, +, +, −) の (3+1) 次元 Minkowski 時空へ切り替 誘電率、ϵd は石英の誘電率である。式 (4) から、ガわったことで宇宙が生まれたことになる。この時間 リウムの固体から液体への相転移によって、ϵ1 のみ
符号変化をメタマテリアルでモデル化する。

が正から負の値に変わる。この誘電率の符号変化は、

VHM 中の波動方程式に影響を及ぼし、その波動方

3

時間符号変化のモデル化
そもそもメタマテリアルは光に対して負の屈折率を示す人工媒体として発明された。自然界の物質は正の屈折率しか持たない。それは、光の屈折率の定義は
比透磁率 µr と比誘電率 ϵr の積の根号で表されると考えられていたためである。しかし、1968 年 Veselagoは比透磁率と比誘電率の各々の根号の積であると捉えなおせば、負の屈折率を示す媒体が存在する可能性があると考えた。つまり、屈折率 n を√

程式を介して時間符号変化へと対応づけられる。

VHM 中の z 方向の電場 (ϕω,k ) は以下で表される。
kx2 + ky2
kz2
ω2
ϕ
=
ϕ
+
ϕω,k (ϵ1 > 0),
(6)
ω,k
ω,k
c2
ϵ1
ϵ2
kx2 + ky2
ω2
kz2
ϕ
+
ϕ
=
−
ϕω,k (ϵ1 < 0). (7)
ω,k
ω,k
c2
|ϵ1 |
ϵ2
これらの方程式は、波数空間での (3+1) 次元と (4+0)
次元の Klein-Gorden 方程式に対応する。Smolyani-

nov らは、VHM を用いると (3+0) 次元空間から(2+1) 次元時空の低次元時間符号変化のモデル化が√ √ϵr µ r = ϵr µ r ,(3) できると解釈した。これは、実験室系に流れる時間
自体は人為的に操作をすることが不可能なためであとすると、比透磁率と比誘電率が各々負であるとき、 る。
n=

純虚数同士の積になり負の値をとる。そして、1990

このモデル化によって、時間符号変化の際にはエ

年代後半に Pendry らは金属のリングを配列するこントロピーが増大することが示唆される。これは、メとで負の屈折率を示すような人工媒体を理論的に示

タマテリアルでモデル化した誘電率の符号の変化にし (Pendry 1999)、2000 年には Shelby らが実際に実よって、分散関係が変化し、状態密度が増えること

装し (Shelby 2000)、そのような人工媒体はメタマテから考えられた。確かに、式 (6) から ϵ1 > 0 の時はリアル（「メタ」は「超越」という意味を持つ）と名

波数分散関係が楕円型であり、式 (7) から ϵ1 < 0 の付けられた。それを皮切りに、メタマテリアルの研時は一葉双曲線型であり (図 1)、誘電率の符号変化

究は急速に発展していき、負の屈折率を示すものだ

によって VHM がもち得る状態密度は増大する（KM

けでなく、比誘電率や比透磁率を空間的に自在に設はカットオフ周波数）。したがって、メタマテリアル

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
流れる水の波では、水圧 P と全流量 U の波動方程式が立てられる。これらを比較すると、互いのパラメータの関係が類推される (図 2)。ここで、d(= 21 λ)は水面波が影響を受ける有効的な深さを表す。また、

g は重力加速度、ρ は水の密度、b は水路の幅であり、j は虚数単位を表す。これらの関係から、屈折率 nw

図 1: Dispersion relation of VHMのモデル化により、虚時間から実時間に切り替わったときにエントロピーが増大することが示唆された。

4

水面波メタマテリアル
メタマテリアルのモデル化によって時間符号変化

図 2: Correspondence between transimission line

metamaterial and small water channnel

に関して新たな知見は得られたが、実際に実験をしてみなければエントロピーが増大する、というのがどのような現象を引き起こすのかは分からない。しかし、光の実験は波の様子を観察するのが困難である。そこで、我々は水の波のメタマテリアルに注目を計算すると、以下のようになる。
√
2
kl √
nw =
tan
sinkl.
lω
2(8)

した。モデル化するにあたって、初めからこの時間

よって、nw は、kl が π+2mπ < kl < 2π+2mπ (m =符号変化を水の波でモデル化するのではなく、電磁

0, 1, 2 · · · ) を満たすときに負になることが示された。

メタマテリアルのときと同様に段階を踏んで、まずは負の屈折率を示すような水面波メタマテリアルの実装を目指した。負の屈折率を示す水面波のメタマ
テリアルは、2018 年飯田によって理論的・数値的に示されている (Iida 2018)。
すでに負の屈折率を実装していた「伝送線路メタ

水面波メタマテリアルの実験

5

前節の理論により水面波メタマテリアルのパラメータを決定し (図 3)、3D プリンターでメタマテリアルを作製した (図 4)。

マテリアル」のアナロジーによって、水面波メタマ
テリアルは構築される。伝送線路は、電力信号を伝送するための配線（同軸ケーブルなど）であり、伝送線路理論とは電気回路理論に距離や時間の概念を入れた理論のことである。通常の電気回路理論では，回路がごく短いので電圧や電流を定数として扱うが、伝送線路理論では回路に流れる電流や電圧の周波数

図 3:や、波長に対する回路の長さを考慮することで、そchannnel metamaterial

Set up of the parameter of small water

れらの波的性質が現れるようになる。伝送線路内の
電圧 V と電流 I の関係を表す式は電信方程式とよばこれを水槽の中に配置し、水面波メタマテリアル

れ、これは変形すると波動方程式になる。水路内を内の波を観察した。実験装置は図 3 に示す。負の屈折2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校を行った。波源装置の周期が機械で制御されており、水槽も横からの振動を受けないようにした。また、メ
タマテリアルはアルミ製にし、水の波があたっても振動しないようにした。詳細は省くが実験の結果、同様に理論的に考えられる特定の周期で、位相が反対
図 4: Small water channnel metamaterial

向きに移動する様子が見られた。
しかし、これを時間符号変化のモデル化に用いるには、いくつかの困難があると考える。一つ目は、ガリウムの相転移に対応するような屈折率が正から負に変化するような動的な変化をつけるのが難しいこと、二つ目は、VHM に関しては三次元空間のうち

図 5: Experiment instrument

xy 方向の誘電率を変化させていたが、このメタマテ
リアルでは 1 次元の効果しか考えられないことが挙げられる。これは、水路の特性によるものであり、2率が実現できていれば、位相速度が入射波の方向と次元空間中 (もしくは 3 次元空間中)1 次元方向のみ

は逆の向きに進む様子が観察されるはずである。波を負に変更することは困難である。よって、このメの観察をするために水槽の下にライトを設置し、水タマテリアルではないモデル化を考える必要がある。

槽の上面のスクリーンに波が投影されるようにした。

7
6

実験結果と考察

結論と今後の展望
水の波での時間符号変化のモデルを作るために、第実験の結果、特定の周波数 (4.4Hz) で特徴的な波一段階として負の屈折率を示すような水の波のメタの様子を観察することができた。しかし、波源装置

マテリアルの実装を試みた。簡易的な実験でも、より精密な実験でも負の屈折率の実現による水の波の振る舞いが観察できた。しかし、時間符号変化のモデル化のための応用が難しいことがわかった。時間
符号変化のモデルを作製するためには、均質化法を用いた負の屈折率の実現が適切であると考え、今後はその理論構築・シュミレーション・実装を目指す。

Reference
図 6: Experiment instrument

Hartle et al. Phys. Rev. D28 (1983) 2960.
Smolyaninov et al. Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 067402.

の限界により波の減衰が激しく、水槽の横からの振動の影響により、観測が不明瞭のときもあった。また、メタマテリアル自身が、軽さゆえに共振してしまうため、メタマテリアルの振動を防ぐ必要もある。
したがって、より精密な実験が必要であることが分かった。
そこで、2019 年 7 月中旬に大阪大学で精密に実験

Iida&Kashiwagi Journal of Fluid Mechanics 849 (2018)90.
Pendry et al. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 47(1999) 2075.
Shelby et al. Appl. Phys. Lett. 78 (2000) 489.

——–index

a15
Hawking-like radiation
大阪市立大学大学院 理学研究科
神原 亮介

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Hawking-like radiation
神原 亮介 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
一般相対性理論によれば光でさえもその内側から外部に出ることができないブラックホールという存在を予言する。その定義から、ブラックホールに粒子が吸収されることはあっても、そこから粒子が古典的に放出されることはない。しかし、曲がった時空上で場の量子論を考えると、無限遠の過去と未来における真空の定義が一般には異なるため、粒子生成が起きることが知られている。この考えに基づき、ブラックホール
からの熱的放射が存在することが 1974 年に Hawking によって見出され、のちに Hawking 輻射と呼ばれている。通常、蒸発しない事象の地平面の存在およびバックリアクションがないことを仮定することによってHawking 輻射は見出される。しかし、蒸発しないブラックホールは、実際の天文学的なブラックホールの形
成や進化を反映していない。したがって、今までの仮定を緩めることを考える。そうすると、事象の地平面
がまだ形成されていないブラックホールでも輻射が起こることがわかる。
今回のレビューでは、無限遠の過去と未来における null のアフィンパラメーターの間の関係が指数関数的で、適切な断熱条件が満たされている限り、Hawking 輻射に相当する粒子生成が起きることを検証し、時間依存する Bogoliubov 係数を計算する方法を文献 1 に基づいて考える。

1

Introduction

2

状況設定

Hawking は、ある時点で形成されたのち永遠に存漸近過去でミンコフスキーの構造を持つような漸在し続ける事象の地平面およびブラックホールから近的に平坦で球対称な時空を考える。この時空上に、のバックリアクションがないことを仮定することにI − 、I + においてそれぞれアフィンパラメーターとよって、ブラックホールから熱的輻射 (Hawking 輻

なるような null 座標 {U, u} を張る。これらのアフィ

射) を見出した。ただ、このようなブラックホールはンパラメーターは r = 0 を通る null 曲線を用いて、実際の天文学的なブラックホールの形成や進化を反以下のような関係で結ばれているものとする。

映していない。しかし、1987 年に Hajicek は見かけの地平面でも Hawking 輻射が起こることを示した。
その後、見かけの地平面や trapping horizon なしでも良いことが示されている。今回紹介する論文では、
過去および未来光的無限遠におけるアフィンパラメー
ターの指数関数的な関係に注目して、これらの結果
をより一般化することを考える。
無限遠の過去 (I − ) と未来 (I + ) における null のア
フィンパラメーターの間の関係が指数関数的で、適切な断熱条件が満たされている限り、Hawking 輻射に相当する粒子生成が起きることを検証し、時間依U = p(u),u = p−1 (U )(1)

これらを用いて以下の量を定義する。

κ(u) = −d2 U/du2
p̈(u)
=−
dU/du
ṗ(u)

(2)

この時、天体を通過する null 曲線 (入ってくるものは u∗ 、出ていくものは U∗ でラベル付けされているとする) を選ぶと、任意の U = p(u) を対応する κ(u)の関数として、∫ u
U = U∗ + C∗

存する Bogoliubov 係数を計算する。

u∗[ ∫ ū
]exp −κ(ũ)dũ dū

(3)

u∗

と表すことができる。ここで、C∗ は適当な定数。
ここで、κ(u) をκ(u) = κ (u∗ ) + δκ(u) = κ∗ + δκ(u)(4)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と展開しておくと、[ ∫ ū]∫ uexp −κ(ũ)dũ dū
u∗
∫ u

=
u∗

がどれだけ小さければ近似を行うのに妥当となるのかについて考える。
考えている領域で κ(u) はゆっくり変化しているとu∗][ ∫ ū
exp [−κ∗ (ū − u∗ )] exp −δκ(ũ)dũ dūu∗(5)と書くことができる。ここでは、右辺の２つ目の指仮定する。関数 κ(u) を用いて、D を以下のように定
義する。

[

(n)

|κ∗ |
1
D ≡ supn+1
n>0 (n + 1)! κ∗]1/(n+1), D < +∞

(9)数関数がほぼ１になるような状況をについて考えてこの時、テイラー展開、無限等比級数の和の公式等

いく。

を用いると

3

∫ u

指数関数近似δκ(ũ)dũ ≤u∗=という状況を仮定する。この仮定の下で、式 (5) は[ ∫ ū]∫ uexp −κ(ũ)dũ dū

{
=

u∗

1 − exp [−κ∗ (u − u∗ )]
κ∗

}

n+1

x
1−x

(10)

(6) ここで x ≡ Dκ∗ |u − u∗ | とした。今、u∗u∗

Dn+1 κn+1|u − u∗ |∗n=1
2

式 (5) の右辺の２つ目の指数関数がほぼ１になる
ような状況、すなわち∫ uδκ(ũ)dũ ≤ ϵ2 ≪ 1

+∞
∑

( )
+ O ϵ2
(7)

x2
≤ ϵ2
1−x

(11)

であれば、条件 6 を満たすはずである。ϵ ≪ 1 ということを考慮すると、簡単のためにより厳しい条件

x2 ≤となり、κ(u) を κ∗ に置き換えることができた。た

ϵ2
2

(12)

だし、条件 (6) は、時間間隔 (u − u∗ ) が十分短くなである限り、条件 6 は満たされ続けることが確かにければ成り立たないことに注意する必要がある。す

保証される。したがって、指数関数近似の条件 6 のなわち、条件 (6) の下で、u∗ に十分近い u に対して妥当な範囲は少なくとも

κ(u) を κ∗ に置き換えることができる。
これを用いると、式 (3) は∫ u
U = p(u) ≈ U∗ + C∗
exp [−κ∗ (ū − u∗ )] dū
u∗
} {
}
{
C∗ κ∗ u∗C∗−eexp (−κ∗ u)= U∗ +κ∗κ∗∗≡ UH− A∗ exp (−κ∗ u)(8)

この近似を指数関数近似と呼ぶことにする。ここで、|u − u∗ | ≤ √

ϵ
1
≪√
2Dκ∗
2Dκ∗

(13)

となることがわかる。
最も簡単な場合、すなわち D において n = 1 のみが効いてくる場合

2D2 =|κ̇∗ |
κ2∗(14)を考えると、指数関数近似は少なくとも以下の間隔∗
UHは U と u の関係が指数関数的である限り、地平面において保たれる。
が形成され得る場所の最も良い推定値となっている。

|κ̇∗ | (u − u∗ )2 ≤ ϵ2 ≪ 1

4指数関数近似の妥当性
指数関数近似の条件式 (6) は積分区間 (u − u∗ ) が十分小さければ常に成り立つ。ここでは、(u − u∗ )(15)

以下、この状況を仮定する。もう少し整理すると、シュバルツシルト半径を光が通り抜ける時間スケー
ルは蒸発の時間スケールよりも十分長くあってほし2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
い、すなわち κ∗ |u − u∗ | ≫ 1 であってほしいので、 この時、バーなしの消滅演算子をバー付きの真空に指数関数近似の妥当性に対する条件は当てるとai |0̄⟩ =

κ̇∗
≪ ϵ2
κ2∗
κ̇∗
∴ 2 ≪1κ∗∑∗βji|1̄j ⟩ ̸= 0

(24)

j

(16)

となる。この意味で指数関数近似の妥当性は断熱条
件を意味する。

となり、一般的には真空にならないことがわかる。このように粒子の”生成”には Bogoliubov 係数 βji が重要であることがわかる。
さて、実際の Bogoliubov 係数の計算に戻ろう。I −、I + 上で適切な規格化をされた massless スカラー場に対する漸近モード解はそれぞれ以下のようになる。

5

Bogoliubov 係数の計算

Yℓmexp(−iωU )ϕU (ω; t, ⃗x) = √4πωrYℓmϕu (ω; t, ⃗x) = √exp(−iωu)
4πωrBogoliubov 係数の計算に入る前に、Bogoliubov 係
数について復習しておこう。曲がった時空上で場の量子論を考える。massless スカラー場の方程式は以下である。

□x φ(x) = 0

(18)

i

この時、真空は以下のように定義できる。

ai |0⟩ = 0(∗)
β (ω, ω ′ ) = − ϕu (ω; t, ⃗x), ϕU (ω ′ ; t, ⃗x)(27)と書ける。ここで、スカラー積は∫(f, g) = −i d3 x{f ∂t g ∗ − g ∗ ∂t f }(28)である。これを用いて β(ω, ω ′ ) を計算していくと√
1ωβ (ω, ω ) =2π ω ′∫ +∞×
du {exp[−iωu] exp [−iω ′ p(u)]} (29)

(19)

′

一方、別の完全直交系のモード解 ūj (x) で展開すると]∑[
ϕ(x) =āj ūj (x) + ā†j ū∗j (x)
(20)
j

−∞

となる。ここで、被積分関数を指数関数近似を用い

この時、真空は以下のように定義できる。

āj |0⟩ = 0て展開すると、最終的に√
1ω∗
exp [−iω ′ UH]
β (u∗ ; ω, ω ′ ) ≈2π ω ′∫ +∞×
du exp [−iωu + iω ′ A∗ exp {−κ∗ u}] (30)(21)

これらのモード解は完全系なので、一方の解は適当な係数を用いて他方の解で表せる。
∑
ūj =(αji ui + βji u∗i )
i

ui =

(26)

Bogoliubov 係数はスカラー積を用いて、(17)

この方程式のモード解を ui (x) とすると]∑[
ϕ(x) =
ai ui (x) + a†i u∗i (x)

(25)

∑(

∗
αji
ūj − βji ū∗j)−∞が得られる。

(22)

6j

この変換は Bogoliubov 変換として知られている。これより、直交条件等を用いて計算すると
)
∑(
∗ †
ai =
αji āj + βjiājj

ガンマ関数による Bogoliubov
係数の評価
指数関数近似を用いて β(u∗ ; ω, ω ′ ) の近似式が式(23) (30) で得られたが、ここからさらに β(u∗ ; ω, ω ′ ) を計

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
算していきたい。z = exp(−κ∗ u) とおき、それからを満たすと仮定すると、時間に依存する Hawking 温度

実軸上の積分を虚軸上の積分に置き換えると

kB TH (u∗ ) =ℏκ (u∗ )
2π

(40)
1
ω 1
−iω/κ∗′β (u∗ ; ω, ω ) ≈(−iω A∗ )を持った Hawking 放射に相当する Planck スペクト
2π ω ′ κ∗∫ +∞ルが存在することを保証するのに十分であることが×dz̄ z̄ iω/κ∗−1 exp(−z̄) (31)
わかった。
0
√

′

ここで現れた積分はガンマ関数を用いて書き直すことができる。

β (u∗ ; ω, ω ′ ) ≈

1
2π

√

Reference
ω 1
ω ′ κ∗× (−iω ′ A∗ )1. Carlos Barcelo, Stefano Liberati, Sebastiano Sonego& Matt Visser (2011) arXiv:1011.5911 [gr-qc]−iω/κ∗

Γ(iω/κ∗ ) (32) 2. N.D.Birrell & P.C.W.Davies (1984) ”Quantum Fields
in Curved Space”, Cambridge University Press

したがって、ガンマ関数の性質|Γ(ix)|2 =π
x sinh(πx)(33)

を用いると、|β(u∗ ; ω, ω ′ )|2 は最終的に|β (u∗ ; ω, ω ′ ) |2 ≈11′2πκ∗ ω exp (2πω/κ∗ ) − 1

(34)

これは

κ(u∗ )
κ∗=
2π2πを持った Planck スペクトルである。
kB TH (u∗ ) =

7

(35)

Conclusion
I − から出発し、I + に到達する null 曲線を考える。

I − 上で U 、I + 上で u のアフィンパラメーターの間にU = p(u),u = p−1 (U )(36)という関係があるとする。κ(u) をκ(u) = −d2 U/du2
p̈(u)
=−
dU/du
ṗ(u)

と定義すると、一般性を失わず[ ∫ ū]∫ uexp −κ(ũ)dũ dū
U = U∗ + C ∗
u∗

(37)

(38)

u∗

と書ける。κ(u) が断熱条件
2|κ̇ (u∗ )| ≪ κ (u∗ )(39)

——–index

a16
ブラックホールの無毛定理、地平面の安定性、および熱力学
近畿大学大学院 総合理工学研究科
松本 怜

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホールの無毛定理、地平面の安定性、および熱力学松本 怜 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
No-hair 定理により一般相対論におけるブラックホールは、理論上は質量、角運動量、電荷以外の物理量を持ち得ないことが証明されている。しかし今後、現実宇宙のブラックホール観測を通して一般相対論が精密に検証されることを鑑みると、様々な重力理論における No-hair 定理を吟味しておくことが望まれる。例えば、重力を含む最も先進的な理論である弦理論では、単純な形式の No-hair 定理はもはや成り立たないことが分かっている。実際、低エネルギー弦理論での静的球対称荷電ブラックホールを表す解は質量、電荷に加えて、ディラトンの漸近値もその特徴付けに必要となる。一般相対論での非荷電静的ブラックホールを表す

Schwarzschild 解は、質量がプランク質量に比べて大きければ、その時空は特異点近傍を除いて弦理論の良い近似である。それは弦理論の古典的な運動方程式が、（Einstein 方程式）＋（プランクスケールの補正項）の形になっているからである。曲率がプランクスケールに比べて小さければ、全ての一般相対論での真空解
は弦理論の近似解として妥当である。曲率が大きい特異点近くでは弦理論の解は Einstein 方程式では近似できないが、巨大ブラックホールに関しては地平面とその外側では曲率が小さいので、その領域では近似解とすることができる。本発表では、弦理論におけるブラックホールについて、D. Garfinkle, G. T. Horowitz,

A. Strominger らの論文（1991）を紹介する。特に弦理論の有効理論においては、ディラトンの存在がブラッ
クホールの特徴を大きく変える事を見る。さらに内部地平面の安定性とブラックホールの熱力学についても
議論する。

1

Introduction

ラー場はブラックホールの内部地平面の安定性や熱力学的性質大きく変え得る。本発表では、弦理論に星が重力崩壊を起こして生まれるブラックホール
は、宇宙に存在する天体の中でも特に単純な物体であるといえる。元の星は非常に多くの情報を持っているにもかかわらず、そのほとんどは形成されたブラックホールには残らない。一般相対論における定常・軸対称で高々電磁場を含むブラックホールは、「質量、おけるブラックホールについて、D. Garfinkle, G. T.

Horowitz, A. Strominger らの論文（1991）を紹介する。特に弦理論の有効理論においては、ディラトンの存在がブラックホールの特徴を大きく変える事を見る。さらに内部地平面の安定性とブラックホールの熱力学についても議論する。

電荷、角運動量」の 3 つの物理量のみで完全に特徴づけられることが証明されている。これを無毛定理という。故にそのようなブラックホールは Kerr-Newman
解に限られる。これは、ブラックホール背景時空上の試験場としてスカラー場、ベクトル場を考えた場
合も同様に成り立つ (J. D. Bekenstein 1972)。

2

スカラー場、ベクトル場を持つ
一般相対論的ブラックホール
無毛定理は真空もしくは高々電磁場を含むようなマクロな系の物理を数個の物理量で記述すること

時空においては正しい。ではそれ以外の場がある場ができるという点で、ブラックホールは熱力学との合にはどうだろうか。スカラー場、ベクトル場につ類似性を持っているであろうことも想像できる。しいては、正則な地平面を持つ定常ブラックホールにかし他の重力理論、特に弦理論を考えると一般に無

対しては無毛定理が成り立つことが示された (J. D.

毛定理は成り立たず、スカラー場を持つブラックホー

Bekenstein 1972)。

ルが存在することが知られている。そのようなスカ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

3

弦理論的荷電ブラックホール

り立つだけでなく、その内部にも存在しなくなる。これにより物理学がブラックホール内部も含めた時空

一般相対論的ブラックホールについては無毛定理が成り立つことを見たが、今後一般相対論が精密に全体で予言能力を持つことができるので都合が良い結果である。

検証されることを考えると、様々な重力理論におけるブラックホールを吟味しておく必要がある。ここでは最も先進的な重力理論である弦理論を考える。

5

ブラックホールの熱力学

一般相対論での非荷電静的ブラックホールを表す
ブラックホールがたった数個の物理量で特徴づけ
Schwarzschild 解については、弦理論の古典的な運動
られるという無毛定理の主張は、平衡熱力学系の性
方程式が、（Einstein 方程式）＋（プランクスケール
質とよく似ている。荷電ブラックホールにおけるブの補正項）の形になっているため、質量がプランク質量に比べて大きければ特異点近傍を除いて弦理論の良い近似となっている。しかし弦理論では、電磁場がある場合はそれに結合するスカラー場（ディラ

ラックホール熱力学の第一法則は

dM =κ
dA + ΦdQ8πトン）が存在するため、一般相対論のブラックホールと書けて、熱力学第一法則との類似性を持つ。実際、とは異なる様々なブラックホールが存在し得る。弦κをもっブラックホールはある Hawking 温度 TH = 2π理論の低エネルギー有効理論として、ディラトンとて熱放射（Hawking 放射）をすることが知られている

電磁場が結合した作用∫]√ [S = d4 x −g −R + (∇ϕ)2 + e−2ϕ F 2(S. W. Hawking 1975)。ブラックホールは Hawking
放射よってその質量を減少させる。

Reissner-Nordström ブラックホールの Hawking 温度は√を考える。このようなブラックホールの解は導かれ
M 2 − Q2√
TH =ていて (D. Garfinkel et al. 1991)、そのブラックホー
2π(M + M 2 − Q2 )2ルはディラトンを持つ。つまり、そのようなブラッで表される。これは、M → Q で 0 となる。Reissnerクホールは質量、電荷、角運動量、の他に “スカラーNordström ブラックホールは M = Q で極大荷電ブ場” によっても特徴づけられる。弦理論的荷電ブラッラックホールとなり、M < Q では事象の地平面が無クホールを考えると無毛定理は成り立たなくなるこ
くなり裸の特異点が現れる。つまり Hawking 放射にとが分かる。
よって質量が減少し続けると、裸の特異点が露出する。しかし今、その Hawking 温度は M = Q で 0 に

4

内部地平面の安定性
荷電ブラックホールは一般に 2 つの地平面（外部地

平面、内部地平面）を持つが、弦理論のディラトンブラ

なるのでそのようなことは起こらない。これは、特異点は必ず事象の地平面に隠されるという「弱い宇宙検閲官仮説」を支持する結果である。
次に、弦理論を考えると Hawking 温度はックホールでは内部地平面が特異点になる。一般相対論的荷電ブラックホールである Reissner-Nordström
ブラックホールでは内部地平面は正則であったことを思い出すと、ディラトンの存在によって内部地平面が不安定になったと解釈できる。
内部の Cauchy 地平面が特異点となることで、Cauchy 地平面があってはならないという「強い宇宙検閲官仮説」が成り立ち、裸の特異点は事象の地
平面に隠されるという「弱い宇宙検閲官仮説」が成TH =1
8πM e−2ϕ0と変化する。これは極限値 Q2 = 2e−2ϕ0 M 2 より小さい値でも 0 にならないので、裸の特異点が現れるよ
うに思える。しかし、極大荷電解ではその Hawking
温度は不連続に 0 になる。以上から、弦理論的荷電ブラックホールにおいても裸の特異点が露出することはなく、弱い宇宙検閲官仮説は満たされる。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

6

Conclusion
以上では弦理論を考慮すると荷電ブラックホール（Reissner-Nordström ブラックホール）は変更を受
け、スカラー場（ディラトン）を持つブラックホールとなる。そのため無毛定理は成り立たなくなり、ブラックホールはスカラー場を持ちうることが分かった。また、ディラトンの存在はブラックホールの特徴を変え、そのために内部地平面は不安定（特異点）になること、物理学が予言能力を持ち続けるためにはそのほうが良いことを紹介した。最後に、無毛定理から示唆されるようにブラックホールは熱力学的特徴を持ち、Hawking 放射によってその質量を減少させることを説明した。Hawking 温度を考えること
で、弦理論的荷電ブラックホールにおいては熱放射によって特異点が露出することはなく、依然弱い宇宙検閲官仮説を支持する結果になることを説明した。

Acknowledgement
今回の発表の機会を与えてくださった夏の学校運営スタッフの皆様、御支援くださった方々に深く感謝いたします。また、本研究に関して指導および助力してくださった一般相対論・宇宙論研究室の皆様に、この場を借りてお礼申し上げます。

Reference
J. D. Bekenstein 1972, Phys. Rev. D 5, 1239
D. Garfinkle, G. T. Horowitz, & A. Strominger 1991,
Phys. Rev. D 43, 3140
S. W. Hawking 1975, Commum. Math. Phys. 43, 199

——–index

a17
ブラックホールの唯一性定理
立教大学大学院 理学研究科
何俊逸

2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍϒϥοΫϗʔϧͷ།ҰੑఆཧԿɹढ़ҳ (ཱ‫ڭ‬େֶେֶӃ ཧֶ‫ڀݚ‬Պ)

AbstractΞΠϯγϡλΠϯํఔࣜ͸ඇઢ‫ܗ‬ภඍ෼ํఔࣜͳͷͰɺͦΕͷղੳղΛ‫͔ͭݟ‬Δͷ͸ඇৗʹࠔ೉Ͱ͋Δɻ੩
తϒϥοΫϗʔϧͷ།ҰੑఆཧʹΑΓɺղͷ‫ܗ‬͸‫͞ݶ੍͘ڧ‬ΕΔɻ
ΧϨϯτ J i ͷൃࢄ͸ରশςϯιϧ Hij Ͱද͢͜ͱ͕Ͱ͖ͯɺHij ͸ۭؒͷ‫ٿ‬ରশ͔ΒͷͣΕΛද͢ྔͰ͋
ΔͷͰɺHij = 0 ͸ۭ͕ؒ‫ٿ‬ରশͰ͋Δ͜ͱΛҙຯ͢ΔɻΑΓɺΧϨϯτ J i ʹ͍ͭͯߟ͑Δͱɺ੩తϒϥοΫϗʔϧͷ།Ұੑ΋ূ໌Ͱ͖Δɻ

1

Introductionಋ‫ྔܭ‬ɺ֎త‫཰ۂ‬ɺฏ‫཰ۂۉ‬ɺShear ςϯιϧ͸ͦΕͧΕ࢛࣍‫ݩ‬੩తϒϥοΫϗʔϧͷ།Ұੑఆཧ͸ Israelͱ Robinson ʹΑͬͯূ໌͞Εͨɻ࢛࣍‫ͱݩ‬઴ۙతฏୱʹಛ༗ͷੑ࣭ʢΨ΢εϘϯωͷఆཧɺSmarr ͷੵ

hij
kij

෼ެࣜʣΛ༻͍ͯূ໌ͨ͠ͷͰɺಉ͡ख๏Ͱ͸Ұൠk࣍‫ݩ‬ɺ઴ۙత (൓) υɾδολʔۭ࣌ͷ৔߹ʹ͸֦ுͰ͖ͳ͍ɻRobinson ͷূ໌ʹ࢖ͬͨΧϨϯτ J i ͷൃࢄํఔࣜʹ͍ͭͯҰൠԽΛͯ͠ɺҰൠ࣍‫͚͓ʹݩ‬

hki Dk nj

=

ij

(2)
(3)

=

h kij

(4)

=

1
kij − khij2(5)Ͱ༩͑Δɻ‫ޙ‬Ζͷ‫ʹࢉܭ‬ඞཁͳެࣜ͸Δ།Ұੑͷূ໌ʹ΋Ԡ༻Ͱ͖Δ͔΋͠Εͳ͍ɻni Di ρ = ρk,

(2)

R=

2k
+ k 2 − kij k ijVρ(6)͜͜Ͱɺ(2) R ͸ hij ͷεΧϥʔ‫͋Ͱ཰ۂ‬ΔɻਅۭΞ੩తϒϥοΫϗʔϧͷ།Ұੑఆ2σij

gij − ni nj=ΠϯγϡλΠϯํఔࣜ͸⎧2i⎪⎨ D V = Di D V = 0
✓
✏
།Ұੑఆཧ
Rµν = 0 =⇒1⎪⎩(3) Rij = Di Dj V
V઴ۙతฏୱ͔ͭਅۭۭ࣌ʹ͓͚Δ੩తϒϥοΫཧϗʔϧͷղ͸‫ٿ‬ରশղʢSchwarzschild ղʣʹ‫ݶ‬

Δ
✒

2.1

(7)
(8)

ʹͳΔɻ‫཰ۂ‬ෆมྔ K = Rµνρσ Rµνρσ ͸
%
&
8
2
µνρσ
ij
2
2
✑
K = Rµνρσ R= 2 2 kij k + k + 2 (Dρ)
V ρ
ρ
(9)
͜͜ͰɺDi ͸ hij ͷ‫ڞ‬มඍ෼Ͱ͋Δɻ‫཰ۂ‬ෆมྔ K‫ز‬Կֶྔͷఆٛͷ༗‫ݶ‬ੑʹΑΓɺϗϥΠζϯ V = 0 Ͱͷ‫ڥ‬ք৚݅͸̐࣍‫ ۭ࣌ݩ‬M ʹ͍ͭͯߟ͑ΔɻM ͷ࣌ؒҰఆ໘ΛΣ ͱ͢Δɻ͜ͷ࣌ɺ੩తۭ࣌ Σ ʹ͓͚Δ‫ྔܭ‬͸
ds2 = −V 2 (x)dt2 + gij (x)dxi dxj

kij |V =0 = 0(1)

Ͱ༩͑ΔɻΣ Λ V Ͱ༿૚Խ͢Δೋ࣍‫ ݩ‬V Ұఆ໘ΛSV ͱ͢ΔɻSV ͷ๏ઢϕΫτϧ͸ ni = ρDi V Ͱ༩
͑Δɻͨͩ͠ɺρ = (Di V Di V )−1/2 Ͱ͋ΔɻSV ͷ༠Di ρ|V =0 = 0ແ‫ݶ‬ԕํͰͷ‫ڥ‬ք৚݅͸઴ۙతฏୱͱ͢Δɻ
(
'
M
2M
V ∼1−
gij ∼ 1 +
δij
r
r

k∼

2
r

ρ∼

r2
M

(10)

(11)
(12)

2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ·ͨɺ࠷େ࠷খ‫ݪ‬ཧʹΑΓɺΛಘΔɻΑΓɺൃࢄํఔࣜ = 0 ͕Θ͔Δɻ͕ͨͬͯ͠

0≤V <1(13)

͕ಘΒΕΔɻ

ΑΓɺ(2) R = V2kρ + k 2 − kij k ij = V2kρ + 12 k 2 > 0ɺ

Robinson ͷূ໌

2.2εΧϥʔ‫͕཰ۂ‬ਖ਼ఆ਺Ͱ͋Δ͜ͱ͕Θ͔ΔɻSV ໘͸Robinson ͷ࿦จͰ͸ൃࢄํఔࣜΛಋग़ͳ͠Ͱಋೖ
ͨ͠ɻ

=

͜͜Ͱɺ

%
&
Di ρ f R (V )Di − 2f1R (V ) 3 + 2 2 Di V
ρ
ρ
1 2 R
ρ f1 (V )V 4 Cijk C ijk
4))2)
3f1R (V ) )
Di ρ
4V
)
+
−
Di V )
(14)
)
)
2
2
ρ
ρ
1−V

f1R (V ) =f2R (V ) =

Di ρ
4V
−
Di V = 0
(20)
ρ
1−V2
'
(
(Dρ)2
8
ijk
ij
Lindblom ߃౳ࣜ Cijk C = V 4 ρ4 σij σ + 2ρ2
Cijk = 0,

c1 V 2 + c2
V (1 − V 2 )3
2c1
6(c1 V 2 + c2 )−+(15)
(1 − V 2 )3
(1 − V 2 )4ਖ਼‫Ͱۭؒ཰ۂ‬ɺ‫ٿ‬ରশͰ͋Δɻඍ෼ํఔࣜʹ͍ͭͯ
4M
ղ͘ͱɺρ(V ) = (1−V
2 )2 Ͱɺม਺ม‫͢׵‬Δͱ V =+1 − 2Mr (Schwarzschild ղ) ͕ಘΒΕΔɻ͕ͨͬ͠

ͯɺ✓̐࣍‫ݩ‬།Ұੑఆཧ઴ۙతฏୱ͔ͭਅۭͷ̐࣍‫͚͓ʹۭ࣌ݩ‬Δ੩త

✏ϒϥοΫϗʔϧͷղ͸‫ٿ‬ରশղʢSchwarzschildղʣͰ͋Δɻ
✒2.3✑

ൃࢄํఔࣜͷҰൠԽൃࢄํఔࣜ͸ Robinson ͷূ໌ʹඇৗʹॏཁͳ໾ׂΛՌ͍ͨͯ͠Δɻ͜Ε͔ΒɺൃࢄํఔࣜͷҰൠԽ%
c1 ,c2 ͸ఆ਺Ͱ͋Δɻࣜʢ14ʣ౳߸ͷӈଆͷූ߸͸ Λߟ͑Δɻ໨ඪͱͯ͠ΧϨϯτ J i ͷ Di J i = (ූ߸&f1R (V ) > 0 ͰܾΊΔͷͰɺ͜͜Ͱɺf1R (V ) > 0 ͱ͢Δͱɺc1 + c2 > 0ɺc2 > 0 ͕ಘΒΕΔɻࠨଆΛଯ ͕໌֬ͳ߲) ∩ (= 0 ͷۭ͕࣌࣌‫ٿ‬ରশ) Λຬͨ͢Αੵੵ෼͠ɺStoke ͷఆཧʹΑΓɺ

0≤−͏ͳ߲Λ‫͔ͭݟ‬Δɻ͜͜Ͱɺରশςϯιϧπ−3(c1 +c2 )−[−4πχc2 ρ−1
0 +(6c2 −2c1 )ρ0 AH ]2M
(16)͕ಘΒΕΔɻ͜͜Ͱɺ
*
AH =
dS,
B

1
χ=
4π

*

Hij ≡ Di Dj V −ʹ͍ͭͯߟ͑Δɻ଎౓৔
(2)

RdS

(17)

Hi ≡

B

͜͜Ͱɺχ ͸ Euler ඪ਺Ͱ͋Δɻc1 = 1, c2 = 0 ͱ

1
AH ≤ πρ20 χ
2

Hij Dj V = −ρ−2 Hi(18)͕ಘΒΕΔɻΑΓ χ ≥ 0, ਖ਼ͷ Euler ඪ਺͸ۭಎͷͳ͍‫ز‬Կֶ໘Λཁ‫͢ٻ‬ΔͷͰɺχ = 2 Ͱ͋Δɻ୅ೖ

͢ΔͱɺAH ≤ ρ20 π ͕ಘΒΕΔɻSmarr‘s ੵ෼ެࣜ1
ρ0 M = 4π
AH Λ࢖͏ͱɺ

AH = 16πM 2

Di ρ
4V
−
Di V
ρ
1−V2

(22)

ͱ༩͑ΔɻఆٛʹΑΓɺ

C1 = −1, C2 = 1 Λෆ౳ࣜʢ16ʣʹ୅ೖ͢Δͱ
π 3
AH ≥
ρ ,
4M 0

2V
6V
gij +
Di V Dj V
ρ2 (1 − V 2 )
1−V2
(21)

Hii = 0(23)͕੒Γཱͭɻରশςϯιϧ Hij Λ SV ໘্ͷ‫ز‬ԿֶྔͰॻ͖‫͑׵‬Δͱɹ
−1

Hij = ρσij −2ρ

−2

'
(
1
4V
n(i Dj) ρ+k−(hij −2ni nj )2ρρ(1 − V 2 )(24)͕ಘΒΕΔɻΧϨϯτ J i Λ(19)

J i = f1 (V )g1 (ρ)Di ρ + f2 (V )g2 (ρ)Di V(25)

2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍͱԾఆ͢ΔͱɺͦΕͷൃࢄ͸%'|Hij |2i
3
2
Di J = f1 (V )ρ g1 (ρ) − |Hij | +
3
ρ2
(&
′
ρg (ρ)+ 1+ Hi D i V S 1 + S2
g1 (ρ)

ͷͰɺ

4M
π
ρ0
(26)

ρg1 (ρ)V f1 (V ) 1 − V
1−V2
V

2

'

′

(

1
f (V )+ 1V
f1 (V )&′′
8ρg1 (ρ) 1 − V 2 f2 (V ) g2 (ρ)+12 ++
g1 (ρ)V
f1 (V ) g1 (ρ)
2
4V
V f1 (V )g2 (ρ)
S2 =
S1 +
×
(1 − V 2 )ρ2(1 − V 2 )2 ρ2
%
'
(&
′
′
(1 − V 2 )2 f2 (V ) 8ρg1 (ρ)
2ρg1 (ρ)−
3+
V 2 f1 (V )g2 (ρ)
g1 (ρ)S1 =

S1 ͱ S2 ͷූ߸Λ͸໌֬Ͱ͸ͳ͍ͷͰɺS1 = S2 =0 ͱ͓͘ɻ͜ͷ࣌ɺg2′ (ρ) ∝ g1 (ρ) ·ͨ͸ f2 (V ) ∝V
1−V 2 f1 (V ) ͕ಘΒΕΔɻg1 (ρ) ͱ g2 (ρ) ΛͦΕͧΕ
g1 (ρ) = −cρ−(c+1) g2 (ρ) = ρ−c ʹ͢Δͱɺ
f1 (V )
f2 (V )==

(1 − V 2 )1−2c[a + b(1 − v 2 )](27)V
2[a(2c − 1) + 2bc(1 − V 2 )](1 − V 2 )2c͕ಘΒΕΔɻఆ͔ٛΒ
)
)
%
&
)
)
)D[i V Hj]k − 1 H[i gj]k )= 1 |Hij |2 − 3 |Hi |2
)
) 2ρ2
2ρ2
2ρ2

AH
π
≤ χ
ρ20
2

(30)

τϙϩδʔ͸ χ = 2 ͷ͚࣌ͩऔΕΔɻc = 2 ͷ࣌ɺͰ͋ΔɻΑΓɺෆ౳ࣜ (29) ͸ৗʹ౳߸ʹอͭɻΑΓɺHij = 0 ͱۭ͕࣌‫ٿ‬ରশʹͳͬͯΔ͜ͱ͕Θ͔Δɻ͠
͕ͨͬͯɺҰൠԽͨ͠ൃࢄํఔࣜʹΑΓɺ̐࣍‫ݩ‬ͷ৔߹͸ରশςϯιϧ Hij = 0 Λࣔͤ͹ɺ௚ͪʹ།Ұੑ͕ূ໌Ͱ͖Δɻ

2.4

Hij

=

Hi

=

Hij Dj V = −ρ−2 Hi

kij |V =0 = 0(32)

ρ|V =0 = ρ0(33)઴ۙతฏୱ৚݅͸

m
rn−3
/
0
2m
gij ∼ 1 +δij(n − 3)rn−3
rn−2
ρ∼(n − 3)m
n−2
k∼
r
V ∼1−

(34)
(35)
(36)
(37)

Hij = 0 ͱ͢ΔͱɺHi = 0 Ͱ͋ΔͷͰɺ઴ۙతฏ
ୱ৚݅ͱ σij = 0 ΑΓɺ/ 1 − V 2 0n−2
=m
2
1
1
kij =
∂V hij =
khij
2ρ
n−2

[(n − 3)ρ]n−3(29)ҙͷ஋Λͱͬͯ΋ෆ౳ࣜ (29) ͕ৗʹ੒Γཱͭ͸ͣͳHii = 0Ұൠ࣍‫͚͓ʹݩ‬ΔϗϥΠζϯ‫ڥ‬ք৚݅͸ʹࣔͤΔɻҰൠԽͨ͠ൃࢄํఔࣜΛ̌ඇෛͱ͢Δͱɺ

͕ಘΒΕΔɻa, b, c ͕ͦΕͧΕͷ‫͞ڐ‬ΕΔྖҬ಺ͷ೚

2 V (DV )22(n − 1) V
gij +Di V Dj V2
n−3 1−Vn−3 1−V2
Di ρ 2(n − 2) V
−
Di V
(31)
ρ
n−3 1−V2

Di Dj V −

ఆٛʹΑΓ

(28)

f1 (V ) ≥ 0 c ≥ 12 Ͱ͋Δɻ͜ͷ࣌ɺa ≥ 0 a + b ≥.
.
0ɻStoke ͷఆཧʹΑΓɺ Σ Di J i dΣ = S ∞ Ji ni dS −.
J ni dS ≥ 0ɻ͕ͨͬͯ͠ɺ
B iߴ࣍‫ݩ‬ରশςϯιϧ Hij = 0(n − 1) ࣍‫ݩ‬ͷ৔߹ͷରশςϯιϧ Hij = 0 ͸c = 2 ͸ Robinson ͷൃࢄํఔࣜʹͳΔ͜ͱ͸؆୯−(1+c)
0 ≤ a[AH ρ0− π(4M )1−c ] + (a + b)c ×−(1+c)
ρ0[πχρ20 − 2AH ]≤͕ಘΒΕΔɻc = 1 ͷ࣌ɺχ ≥ 2 ͕ಘΒΕΔɺ‫ٿ‬ঢ়ΑΓɺҰൠԽͨ͠ൃࢄํఔࣜ͸

cf1 (V ) , 2
Di J i =|2ρ D[i V Hj]k − H[i gj]k |22ρc+(2c − 1)|Hi |2(1−c

AH = πρ20 ͕ಘΒΕΔɻ͜Ε͸ c = 1 ͷ৔߹ͱಉ͡

͜͜Ͱɺ

%

'

(38)
(39)

ΑΓ

hij = [(n − 3)mρ]2/(n−2) ĥij

(40)

2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ͜͜Ͱɺĥij ͸୯Ґ‫ٿ‬໘‫͋Ͱྔܭ‬Δɻ͕ͨͬͯ͠ɺҰൠ࣍‫ݩ‬ͷ Hij = 0 ͳΒɺۭ͕ؒ‫ٿ‬ରশͰ͋Δ͜ͱ͕Θ͔ΔɻΑΓɺҰൠ࣍‫ํࢄൃݩ‬ఔࣜ͸%) 2(n − 3)ci)2ρ D[i V Hj]k
Di J
=
f
(V
)
1
2ρc
&
)2
/
0
2
n−3
2
)
−
H[i hj]k + 2 c −
|Hi |
n−2
n−2

ͦͷ‫ޙ‬͸̐࣍‫ݩ‬ͷ৔߹ͱಉ͡΍ΓํͰ‫͢ࢉܭ‬Ε͹Ұൠ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δ།Ұੑͷূ໌͕Ͱ͖Δ͚Ͳɺ࠷‫ޙ‬ͷ෦෼ʹϠϚϕఆ਺ͱ͍͏਺ֶతʹະղܾͷ໰୊͕ग़͖ͯͯɺҰൠԽͨ͠ൃࢄํఔࣜ͸ৗʹ̌ʹͳΔ͜ͱ͕·ͩূ໌Ͱ͖͍ͯͳ͍ɻ
ɹ

3ConclusionҰൠԽͨ͠ൃࢄํఔࣜ͸‫ٿ‬ରশ͔ΒͷͣΕΛද͢ྔͰ͋Δɻ༧૝͸ Robinson ͱࣅ͍ͯΔ΍ΓํͰҰൠํఔࣜΛ࢖ͬͯҰൠ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δ੩తϒϥοΫϗʔϧͷ།ҰੑΛূ໌͢Δ͚ͲɺϠϚϕఆ਺ͷ໰୊͕ະղܾͳͷͰɺߴ࣍‫͚͓ʹݩ‬Δূ໌͸·ͩ‫׬‬੒͍ͯ͠ͳ͍ɻ

Reference[1] M. Nozawa, T. Shiromizu, K. Izumi, and S.
Yamada, Class. Quant. Grav. 35, 175009 (2018),
arXiv:1805.11385 [gr-qc].
[2]S.W.Hawking,Commun.Math.Phys.25,152(1972)[3]L.Smarr,Phys.Rev.Lett.30,71(1973)Erratum:[Phys.Rev.Lett.30,521(1973)]

——–index

a18
回転 BH による真空崩壊の触媒作用
広島大学大学院 理学研究科
上田 和茂

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

回転 BH による真空崩壊の触媒作用
上田 和茂 (広島大学大学院 理学研究科 M2)

Abstract
場の量子論における最も興味深い事実の一つに、我々の宇宙が偽真空状態にあるかも知れない、というものがある。真空崩壊は、宇宙論シナリオに関わる現象の中でも極めて劇的なものの一つである。Ruth Gregory
らは、初期宇宙に存在した小さい質量のブラックホール (PBH) による時空の非一様性により、BH 真空崩壊を誘起する触媒として作用し、真空の寿命を顕著に縮めることを示した。これに基づくと、観測宇宙の内部に真空崩壊を誘起するような PBH は 1 つも存在し得ない、という現象論的推察から理論への制限が得られる可能性がある。しかし、先行研究では BH の回転などの影響は考慮されていない。そこで講演者は、カナダの Perimeter Institute の大下翔誉氏らとの共同研究で、BH の回転効果が Hawking 放射と真空の触媒作用に及ぼす寄与について解析を進めている (1) 。本講演では、現代宇宙論を構成する上で重要となる理論について説明し、大下氏との共同研究から得られた知見に基づき真空崩壊について議論を行う。

1

Introduction

V ( ) metastableV ( )：ポテンシャル

stable<latexit sha1_base64="vpUVYt5vlWb43uIQJFpVnq7QVcM=">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</latexit><latexit sha1_base64="vpUVYt5vlWb43uIQJFpVnq7QVcM=">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</latexit>

相転移（偽真空崩壊）現代宇宙論におけるインフレーション理論の構築：偽真空状態：真真空状態には、曲がった時空の場の量子論が用いられている。
<latexit sha1_base64="hg7rYj+kQEMR9u3fWTmDAqh0p/M=">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</latexit>
sha1_base64="bs8QlLljyYde7WbNFuyzJJm+ZMk=">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</latexit>
sha1_base64="RkaMpgD4dnK9iyrJ5zRiDWGcVQ0=">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</latexit>
sha1_base64="Y3my2hmHkgqP9VmwvbCWFb3SdmE=">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</latexit>

曲がった時空の場の量子論では、重力の情報を背景
計量に含めることで重力の量子化の問題を避けているため、実験的な検証や観測との整合性を確かめる：量子場<latexit sha1_base64="0PkHqriuBTyZeSxCvt0MbtZAT4Y=">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</latexit>

量子トンネル効果<latexit sha1_base64="hg7rYj+kQEMR9u3fWTmDAqh0p/M=">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</latexit>
sha1_base64="bs8QlLljyYde7WbNFuyzJJm+ZMk=">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</latexit>
sha1_base64="RkaMpgD4dnK9iyrJ5zRiDWGcVQ0=">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</latexit>
sha1_base64="Y3my2hmHkgqP9VmwvbCWFb3SdmE=">AAACa3ichVHLSsNAFD2N7/po1Y2oi2KpuCo3bhRXoi5c9mFrQUWSOGpomoRkWqjFH3DpxoVuFETEz3DjD7joJ4i4quDGhbdpQFTUGyZz5sw9d87c0V3L9CVRM6J0dff09vUPRAeHhkdi8dGxou9UPUMUDMdyvJKu+cIybVGQprREyfWEVtEtsamXV9v7mzXh+aZjb8i6K3Yq2oFt7puGJpkqba8JS2qJ4m48SWkKIvETqCFIIoyME7/BNvbgwEAVFQjYkIwtaPD524IKgsvcDhrMeYzMYF/gGFHWVjlLcIbGbJn/B7zaClmb1+2afqA2+BSLh8fKBFL0SLfUoge6oyd6/7VWI6jR9lLnWe9ohbsbO5nIv/2rqvAscfip+tOzxD4WA68me3cDpn0Lo6OvHZ218ku5VGOWruiZ/V9Sk+75Bnbt1bjOitw5ovwA6vd2/wTF+bRKaTVLyeWV8Cn6MYUZzHG/F7CMdWRQCPp8inNcRF6UcWVSme6kKpFQM44voaQ+AI0zjH4=</latexit>

V：ポテンシャル差V<latexit sha1_base64="0PkHqriuBTyZeSxCvt0MbtZAT4Y=">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</latexit><latexit sha1_base64="kSRutyzIzMTsfGZ7+1SARuDSyIs=">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</latexit>

false<latexit sha1_base64="rIrfQt1pEMQ5MQ8859c67wkQjKA=">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</latexit>
sha1_base64="bs8QlLljyYde7WbNFuyzJJm+ZMk=">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</latexit>
sha1_base64="do+8Rn597WgPmdXBfzu4w2hzpk8=">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</latexit>
sha1_base64="XxP5oeUHo00fsYpeAg9bL1uSV+U=">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</latexit>

true

必要がある。逆に、インフレーション理論を検証するには、曲がった時空の場の量子論に現れる量子効果

図 1: 真空崩壊の概念図

を観測によって確かめる必要があると言える。そこ
で講演者は Unruh 効果や Hawking 放射などの場がっ とにより導出される。量子場の理論における真空は、た時空の場の量子論による予言について調べ、量子 ポテンシャル V (ϕ) が安定点となる基底状態として定エンタングルメントをはじめとする量子論的な特徴

義されるため、量子トンネリングで用いる力学変数が量子場の性質にどのように現れるかを調べた。こにスカラー場の自由度を用いて解析を行うと、量子の研究については去年 (2018 年) の夏の学校の重力・ 場の理論における真空崩壊を予言することが出来る。
近年の LHC における Higgs 粒子の観測による標宇宙論分科会の b 講演で発表したが、現在も進行中である。講演者は現在、宇宙論シナリオに関係する準理論のパラメータによると、Higgs 場の凝縮度が量子力学的な現象の一つとして、真空崩壊という量

現在の値よりも非常に大きい場合、エネルギーが現子場の相転移現象に着目している。これもまた量子在の電弱真空よりも下がることが予言され、電弱真論特有の性質から導出される現象で宇宙論に重要な

空は準安定状態である可能性が指摘されている。つものの一つであり、粒子の量子トンネル効果の理論

まり、現在の電弱真空は偽真空状態にあり、量子トを場の理論に応用して導出される現象である。

ンネル効果によって、より安定な真真空状態へ相転

量子トンネル効果は、シュレディンガー方程式を移する可能性がある。宇宙のどこか 1 点においてで解いてポテンシャル障壁を透過する波動関数を求め、 も真空崩壊が起きると、その 1 点から相転移の前後
ポテンシャル障壁を越えたところの波動関数から確 のポテンシャル差に相当するエネルギーが解放され率振幅を求めることで 0 でない期待値が得られるこるため、その点に近接する量子場も真空崩壊を起こ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
す。このような連鎖反応によって、宇宙空間に真空崩壊の面が生じる。これは、偽真空に満たされた空間の中に、あたかも真真空に満たされた球体が発生し、広がっていくように見える。そのため、このような崩壊面は真空泡と呼ばれており、光の速度で宇宙にかる。

qab nb = (gab − ϵna nb )nb = na − ϵ2 na = 0(2)

ここで、n 次元多様体における一般のベクトルは、超曲面上で、拡張していくと考えられている。標準理論から算出

Ṽ a := qba V b

される偽真空崩壊による真空の寿命は、現在の宇宙年齢である 13.8Gyr のオーダーを遥かに凌駕しているため、今のところ真空の相転移が標準理論の正当となる。ここで、性を脅かすことは無い。しかし Ruth Gregory らの

qab = qac g bc

計算によって、Planck 質量程度の原始ブラックホー
ル (以下 PBH と表記) の存在によって生じる時空の

(3)

(4)

を用いた。そうすると、この超曲面上のベクトルは、

非一様性は真空の寿命を顕著に縮めることが分かっ 確かに n 方向の成分を持たないことが分かる。
た。BH 連星からの重力波や、BH の影の直接観測がna Ṽ a = na qab Vb = 0

成功している現在、BH と真空崩壊の関係性は、宇宙論シナリオを考える上で重要な問題である。そのため、BH 周りでの真空崩壊に関する厳密な理論は不(5)D 次元多様体中の共変微分は、誘導計量が射影演算子であることから、可欠であるが、先行研究では BH の回転の影響が考

qca qbd ∆d Ṽ c =: Db Ṽ a

慮されていない。講演者は大下翔誉氏との共同研究(6)で、この問題について数値計算と近似、およびゲーとなる。そこで、誘導計量の共変微分を計算すると、

ジ変換によってアプローチしている。

Dc qab = qcd qae qbf ∆d qef

2= qcd qae qbf ∇d (ge f − ϵne nf ) = 0

Method前半では、BH 周りの Shell の運動を決めるのに必要な接続条件の導出に必要な数学的なツールを簡単(7)と、0 になることが分かる。これは、D 次元多様体
中の計量の共変微分の性質：に説明する。主に教科書 (2) の 5 章までの内容をレ∇c gab = 0

ヴューする形となるので、詳細な計算に興味がある(8)

方は教科書 (2) を参照されたい。後半では、回転 BHという性質に対応している。すると、以下の方程式の周りの真空泡の有効ポテンシャルを決める方法にが得られる。

ついて述べる。
計量が gµν で定義されている D 次元多様体の中に存在する曲面を考え、その曲面上の計量 (次元を一つ下げた計量) を考慮したいので、曲面に垂直な成分を落とすような射影演算子として誘導計量を定義する。

n を曲面に垂直なベクトルとすると、
−1gab na nb = ϵ =1∂i qjk −(D−1) Γlij qlk −(D−1) Γlik gjl = 0(9)

よって、(D − 1) 次元の接続は、

1(D−1) iΓjk = q il (∂j qlk + ∂k qlj − ∂l qjk )2(10)と求めることができる。この形は基本的に D 次元の(1) 接続と同じ形をしている。ここで外的曲率を、曲面の内側と外側における normal ベクトルの変化量が成り立つ。すると、以下の式により誘導計量を定義すれば、確かに射影演算子となっていることが分

Kab := qac qbd ∇c nd(11)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
で定義する。以上の式を変形していくと、以下のガ

かに M− = M+ = Λ− = 0 の極限では CDL インス

ウス方程式：

タントンの結果を再現しており、BH による時空の非

(D−1)

Rabcd

= qae qbf qcg qdh (D) Ref gh+ϵ(Kac Kbd − Kbc Kad ).

一様性が真空崩壊率に影響することが分かった。しかし多くの場合、BH は角運動量を持っており、回転(12) していると考えられる。そのため、真空泡の外側をSchwartzchild 時空、内側を Schwartzchild-AdS 時空と、コダッチ方程式：

でモデル化した理論は厳密には現実的ではないと考

qab nc(D) Rbc = Db Kab − Da K

(13) えられる。
そのため我々は、以下の Kerr 時空と Kerr-AdS 時が導出される。ここまで物理的な過程を用いていな
空の計量を用いて回転 BH 周りの時空を記述し、Shell
いため、これらの式は純粋に数学的な方程式であるのポテンシャル項を決めるため外的曲率の計算を行っが、(D) 次元と (D − 1) 次元の物理量を結びつける
た。Kerr 時空の計量は、ために重要な式である。
rs r 2 2 Σ 2
ds2 = − (1 −)c dt + dr + Σdθ2
1
8πG
Σ
∆
Rµν − Rgµν + λgµν = 4 Tµν
(14)
2
2
c
r
ra
s
+ (r2 + a2 +sin2 θ) sin2 θdϕ2
Σ
物理的な議論をするときには、Einstein 方程式を用
2rs ra sin2 θ
いなければならないが、ガウス・コダッチ方程式を
dtdϕ
(19)
−
Σ
組み合わせて導出されるアインシュタインテンソル
Gµν の部分にエネルギー運動量テンソル Tµν を代入 で表される。ここで、すると、外的曲率の接続の式が得られる。

1qµν S)[Kµν ]− = −κ2 (Sµν −D−2

Σ = r2 + a2 cos2 θ∆ = r2 − 2GM r + a2 ,(15)Sµν は曲面上のエネルギー運動量テンソルである。 である。一方、Kerr-AdS 時空の計量はこれが外的曲率の接続条件 (Israel の接続条件) である。ここで、[Kµν ]− を閉曲面の内側と外側の外的曲率の差：[Kµν ]− = Kµν+ − Kµν−

(16)

∆
a
ρ2
ρ2 2
(dt − sin2 θdϕ)2 + dr2 +
dθ
2
ρ
θ
∆
∆θ
r2 + a2∆θ sin2 θdϕ)2(20)(adt −+2ρΣ

ds2 = −

で表される。ここで、として定義した。

Ruth Gregory らは、重力場と物質場の系：
∫
∫
1
S=
R+
Lm (g, ϕ)(17)16πG M
Mの理論を、SdS 時空の計量 :ds2 = f (r)dτ 2 + f (r)−1 dr2 + r2 dΩ22

ρ2 = r2 + a2 cos2 θ∆ = (r2 + a2 )(1 + r2 l−2 ) − 2mr∆θ = 1 − a2 l−2 cos2 θ(18) である。この計量においてゲージ変換を行うと、と、Schwartzchild 計量を用いて記述した。ここで、

f (r) ≡ 1 − 2GM/r − r /l である。Ruth Gregory2

Σ = 1 − a2 l−2

2

± 2
±
2
ds2± = gtt
dt± + grr
dr±
+ r2 dΩ22(21)

らは、この計量を用いて CDL インスタントンに対応のように、計量を対角化することが可能である。こするものを算出することで、異なる真空解の境界面

こで、Shell の内側と外側を分かつ境界面を考える。

として定義される薄殻の運動方程式を求め、ポテン
シャル項を導出し崩壊率を求めた。その結果は、確aX±= (t± (τ ), r± (τ ), θ, ϕ)(22)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここでは、真空の不連続面の厚みを十分に薄いと考転効果は真空崩壊を強化する方向に働くと考えられ

え、薄殻近似 :る。しかし、質量の小さい PBH の Hawking 温度は大きく、その寿命は非常に短い。もし、この宇宙に

r+ = r− = R(τ )(23)

真空崩壊を引き起こすような PBH があったとしてを用いる。そして、イスラエルの接続条件を用いるも、その PBH が寿命を迎えるよりも前に真空崩壊をと、薄殻の運動方程式の有効ポテンシャルを求める

誘起され無ければ、PBH は本質的に真空崩壊の触媒ことが出来る。

とはなり得ない。そのため、Horizon の内側の観測的宇宙の範囲内で真空崩壊が起きる可能性は高くな
いと考えられる。

3

Results
本研究では、真空の触媒作用に BH の回転がどのような影響を及ぼすかを計算した。その結果、先行研究で行われていた Schwartzchild 座標を、Boyer-

5Conclusion
イスラエル接続条件によって、Kerr 時空で記述さLindquist 座標に置き換えて理論を構築すると、先行 れる時空の真空泡の kinetic ポテンシャルを導出でき
研究と類似の形で Shell の運動方程式を導出すること ることを示した。未発表の内容のため、今回は詳細が可能であることが分かった。Kerr 時空の解析結果を割愛した部分が多々あるが、BH の回転効果が真空によると、BH の回転効果は真空崩壊率に有意に影泡に影響することを示すことを示した。

響を与えることが分かった。

Reﬀerences
4

Discussion(1) N. Oshita, K. Ueda, M. Yamaguchi in prep.

(2) 白水 徹夜, SGC ライブラリ 90「アインシュタイ
く角運動量を放出しているため、回転パラメータを ン方程式」2012-05-25 JAN 4910054700527
考慮する必要性が疑問視されるかも知れない。しか (3) R. Gregory, Ian G. Moss, B. Withers, JHEP03
スケールの小さい PBH は、Hawking 放射で著しし考慮する場の種類 (スピン) によっては、Hawking(2014)081

放射によって蒸発する PBH は最終的に回転状態に帰(4) Brett E. Taylor, Chris M. Chambers, William A.

着する可能性が指摘されており (4) 、厳密な理論を得

Hiscock, PRD.58.044012(1998)

るにはやはり BH の回転による効果を議論する必要(5)Behnam Pourhassan,がある。Hawking 放射を考慮する上で重要な factor

Physics B Vol. 913 (2016), p834-851

Mir Faizal,

Nuclearとなるエントロピーは、

s=

d−4
2
+ a2 )r+ωd−2 (r+4Θ(24)

大変お忙しいスケジュールの合間を縫って、懇切である (5) 。ここで、

ωd−2 =

Acknowledgement

2π( d−12 )Γ( d−1
2 )丁寧に指導していただいた Perimeter Institute の大(25) 下翔誉氏に心から感謝申し上げます。

である。ここで現れる d は次元の数である。これから、回転パラメータはエントロピーを増大させる方向に作用することが分かる。また、真空崩壊の前後のエントロピー変化も増大する。これに基づいて計算すると、エントロピー変化の観点からは、BH の回

——–indexa19
すばる HSC の銀河サーベイデータを使った宇宙論パラメタ推定手法の開発
東京大学大学院 理学系研究科
杉山素直

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

すばる HSC の銀河データを使った宇宙論パラメタ推定手法の開発
杉山 素直 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
近傍宇宙の観測と初期宇宙の観測が予言する宇宙論パラメタの相違は、宇宙の標準模型である ΛCDM を超えた新しいモデル/物理を示唆する。宇宙の観測によってこのモデルを制限するために、近傍宇宙の統計精度のより高い宇宙論パラメタの制限が求められている。大規模構造を使った宇宙論パラメタの制限では、HSCで得た銀河の分布と重力レンズを組み合わせた解析、g-g レンズが効果的である。g-g レンズの解析では、大規模構造の摂動論に基づいたモデルの計算が標準的に行われているが、大規模構造の摂動論が小スケールで正しくないために、解析に使用できるデータが限られる問題がある。本研究では大規模構造の摂動論を効果的に用いるためにいくつかの観測量を使って宇宙論パラメタの推定を行い、宇宙論パラメタの統計精度の観点からこれらの観測量を比較する。

1

Intro:摂動論と重力レンズ

ペクトル) は ΛCDM モデルの証拠として強力な力を発揮している。ところが、銀河分布は銀河バイアス

宇宙の加速膨張の発見によって、冷たいダークマと呼ばれる、銀河分布と理論的に予言されるダークター (Cold Dark Matter) と宇宙定数 (Λ) の模型

マター分布の間の不定性を持っているため、銀河ク(ΛCDM) が宇宙の標準模型として確立した。この標 ラスタリングはそれ自身のみの統計量では、我々が準模型 ΛCDM は、様々な観測量（宇宙背景放射 (Cos- 知りたい宇宙論パラメタの精密測定を行うことがで

mic Microwave Background:CMB) や宇宙の大規模 きない。
構造 (Large Scale Structure:LSS)）を説明する成功
重力レンズ効果は、かつてはそれの発見自体が大している模型である。ところが、近年の観測の統計 きなゴールであったが、現在では宇宙論パラメタを量の向上に伴って、CMB で制限した ΛCDM のモデ制限するための強力な手法の一つになっている。重力ルパラメタ (S8 , h) と大規模構造の観測で制限した

レンズはバリオンのみならず、光の経路上の物質全モデルパラメタの間に統計的に有意な差 (tension とてが引き起こす効果であるため、銀河クラスタリン

呼ばれる) があることが明らかになっている (Hikage

グのような銀河バイアス不定性を持たない観測量でet al. 2019)。この発見は、宇宙の初期を支配する物 ある。したがって銀河クラスタリング統計量と、重力(CMB) と最近の宇宙 (LSS) は同じ ΛCDM で同時に レンズの自己相関であるコズミックシアー (Cosmic
説明できないことを示していて、例えばダイナミカ

Shear) や、銀河クラスタリングと重力レンズの相互ルなダークエネルギーや一般相対論の修正などを示相関である galaxy-galaxy lensing(g-g lensing) を組

唆する。したがって、CMB と LSS の各々で、ΛCDM

み合わせることで、銀河バイアス不定性を取り除いのモデルパラメタを精密に測定し、それらの相違をた宇宙論の推定を行うことが可能となる。

より詳しく調べることができると、現在の標準模型を超えた宇宙論の解明に繋がると期待されている。

すばる HSC 戦略枠サーベイ (Hyper-Suprime-Cam

Subaru Strategic Program:HSC SSP:HSC survey)

銀河の空間的な分布（銀河クラスタリング）は、宇は口径 8.2m すばる望遠鏡の超広視野主焦点カメラ

宙の初期条件（インフレーションなど）、加速膨張を

HSC を用いて、6 年 300 晩をかけて宇宙の広域サー起こすダークエネルギー、クラスタリングを起こす

ベイを行う。HSC サーベイはワイド、ディープ、ウ

ダークマター、クラスタリングを阻害するニュート

ルトラディープの 3 つのレイヤーからなり、この中リノ質量などの豊富な情報を含んでいる。特に銀河でもワイドは重力レンズ宇宙論を行うようにデザイ

分布同士の 2 点相関関数 (フーリエ空間ではパワース

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ンされていて 5 バンド、1400 平方度の天域を覆う計の統計誤差を調べることで、摂動論の有効性を検証画である。HSC サーベイのユニークな点はその深さする。

と画像の質の良さにあり、KiDS や DES と比較して、高い赤方偏移かつ低いシェイプノイズでの銀河の歪みの観測が可能である。
観測されたシグナル（=銀河クラスタリングシグ
ナル、g-g レンズシグナル）を、理論と比較して宇宙論パラメタを制限するためには、理論を正しく計算できること、もしくは正しい理論計算が行える範囲のシグナルしかデータとして使用しないことが必要である。さもなければ、推定された宇宙論パラメタ
はパラメタバイアスを受けてしまうことになる（推定した宇宙論パラメタが系統誤差の影響で真の宇宙論パラメタから系統的にずれてしまうということ）。
現行の銀河サーベイの解析では、大規模構造の摂動論に基づいてダークマターの相関を計算し、その上で銀河バイアスモデルを使って銀河クラスタリング
や g-g レンズの統計量を計算している。大規模構造の摂動論は小スケールで正しいパワースペクトルを計算できないため、摂動論が正しいスケール以下のデータをカットして、大スケールのみのデータで宇宙論パラメタの制限を行っている。ここで設定した
カットオフスケールが大きいほど、摂動論が有効であるため推定される宇宙論パラメタの系統誤差が小2

Methods
数値計算で作成された Mock カタログをデータとし、摂動論モデルで宇宙論パラメタがどの程度復元するか調べることで、摂動論の有効性を検証する。

Mock カタログは、N 体シミュレーションで計算された 1Gpc3 中のダークマター分布に、Halo Occupation

Distribution(HOD) モデルを使って銀河をばらまいて作成されている。一方我々が使うモデルは以下の2.2 で説明するように、パワースペクトルを決める
宇宙論パラメタ (ωc , ωb , ων , As , ns , w)(順に CDM, バ
リオン、ニュートリノ、スカラー揺らぎ振幅、スペ
クトル指数、ダークエネルギーの状態方程式であり
ダークエネルギー密度パラメタ Ωde = 1 − (ωc + ωb +ων )/h2 と関係がついている) と、銀河バイアスを特徴付ける nuisance パラメタ bi がある。今は 1 で説明した tension に注目するため、制限するパラメタは(Ωm , As , b1 , b2 ) に絞る。以下に続く 2 小節では使用する観測量とパワースペクトルの計算方法について記述する。

さくなるが、逆に使用できるデータは減ってしまう
ため推定される統計誤差が大きくなってしまう。したがって、宇宙論パラメタの精密測定を行うためには、大規模構造の摂動論が銀河サーベイデータの解析に有効であるような条件の下で、できる限り小ス
ケールにカットオフスケールを設定する（=できる限り多くのデータを使用する）ことが重要である。
カットオフスケールは、観測量に依存して決まっている。例えば重力レンズ現象は非局所的な現象であるため、摂動論が正しくないようなスケールのシグ
ナルが容易に大スケールまで影響を及ぼしてしまい、
結果としてカットオフスケールを比較的大スケールに設定しなければならないという事情がある。このことを解決するために、非局所的な重力レンズ観測量にフィルターをかけて小スケールへの依存性を小さくした観測量が、Baldauf et al. (2010) や共同研
究者の Youngsoo によって提案されている。そこで本研究では、各観測量を使った時の宇宙論パラメタ

2.1

Observables

もっとも一般的な、g-g レンズと銀河クラスタリン
グのシグナルは (∆Σ, wp ) であり、各々∆Σ(R) ≡ Σcrit ⟨γt ⟩∫ ∞√wp (R) ≡dΠξgg ( R2 + Π2 )

(1)
(2)

−∞

である、ここで ⟨γt ⟩ は tangential shear、Σcrit は crit-

ical surface density、ξgg は銀河の 3 次元実空間相関関数である。

Baldauf et al. (2010) が提案した Annular Diﬀerential Surface Density(ADSD) は、観測量 ∆Σ の非局所性からくる困難を解決するための観測量で

Υgm = ∆Σ(R) −R2∆Σ(R0 )
R02

(3)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と計算される。この観測量では R0 をカットオフス
ケールにとったことになる。

Youngsoo の提案した観測量は∫ RmaxΣ(R) =2d ln R′ ∆Σ(R′ )R+ ∆Σ(Rmax ) − ∆Σ(R) + Σ(Rmax )

(4)

論によって
∫
d3 q
A(k) =PL (q)PL (k − q)F2 (q, k − q) (10)
(2π)3
∫
d3 q
B(k) =
Plin (q) [PL (k − q) − PL (k)] (11)(2π)3と計算される。F2 は摂動論の積分カーネルで、非線形効果による異なるスケール間のカップリングを表す。

である。この観測量はまた PL は線形マターパワースペクトルである。線形∫ R

2dR′ R′ Σ(R′ ) − Σ(R)
R2 0
∫ ∞
√
Σ(R) =dΠξgm ( R2 + Π2 )∆Σ(R) =−∞

(5)

マターパワースペクトルは Nishimichi et al. (2018)
で開発された Dark Emulator を、非線形マターパ(6) ワースペクトルは銀河サーベイデータ解析で広く使用されている halofit (Takahashi et al. 2012) を使という関係を逆に解いたものである。逆に解くこと用する。

によって、Σ は ξgm が円柱積分（=円柱平均）されていない状態になることが確認でき、このことが非局所性の困難を解決している。

3

Results and Discussion
マルコフ連鎖モンテカルロ法 (MCMC) によってパ2.2

ラメタ推定を行った。

Theory

図 1 は 観 測 量 (∆Σ, wp ) を 使って 制 限 し た 宇

理論で対応する観測量を計算するためには、与えら

宙 論 パ ラ メ タ で あ る (銀 河 バ イ ア ス は 興 味 の なれたモデルパラメタの下でパワースペクトルを計算すいパラメタであるから積分して周辺化してある必要がある。銀河バイアスモデルでは銀河の den-る)。左から順に (∆Σ, wp ) のカットオフスケール

sity contrastδg は、ダークマターの density contrastδ

が (12, 8), (6, 4), (3, 2) と設定した場合で (単位はと以下のように関係づいている。

Mpc/h)、この観測量では (12, 8) のカットオフスケー

δ g = b1 δ +b2 2
δ ··· + ϵ2

ルが適切であることが確認できる。これは ∆Σ が非(7) 局所的な観測量であるために、比較的大スケールで· の部分には b2 , b3 などの高次の項があるが、それらの効果は小さいとして今は 2 次までの銀河バイアス
パラメタを使用する。また ϵ はダークマターと銀河の分布は非決定的な関係であることを表す項である。
こうすると、g-g レンズと銀河クラスタリングのパワースペクトルはも小スケールのシグナル (Ωde が小スケールのスケー
ル依存性を決めている) の影響を受けてしまうことが原因となっている。また小さいながらも ln 1010 As にもパラメタバイアスが起こる（As が小さく推定された）ことを確認した。考えられる主要な理由は、非線形パワースペクトルが As に対して ∝ A3s の依存性を持つため大きい As を禁じる方向に働いているこ

Pgm (k) ≡ ⟨δg δ⟩ = b1 PNL (k) + b2 A(k)(8) とである。
図 2 は観測量 (Σ, wp ) を使用して制限した宇宙論
b2
Pgg (k) ≡ ⟨δg δg ⟩ = b21 PNL (k) + 2b1 b2 A(k) + B(k)2
パラメタである。Σ が非局所的な観測量であること(9) を反映して ∆Σ で制限した場合と比較して Ω のパde

ここで PNL = ⟨δδ⟩ は非線形マターパワースペクトルであり、式 (8) と (9) の第 2,3 項は大規模構造の摂動

ラメタバイアスが小さい。ところが As のパラメタ
バイアスが大きくなっている。非線形パワースペク
トルの ∝ A3s 依存性がこの As のパラメタバイアス
を起こしうることを確認しているが、それ以外にも2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: 観測量 (∆Σ, wp ) を使って制限した宇宙論パラ

図 3: 観測量 (Υgm , Υgg ) を使って制限した宇宙論パ

メタ (Ωde , As )。赤線が正しい宇宙論パラメタ。

ラメタ (Ωde , As )。

∆ → Σ の変換時に系統的なバイアスをうむ可能性も らの変換に伴う系統誤差と、非線形パワースペクト
考えられ、今後の研究で定量的に詳しく調べていく。 ルの As 依存性に起因して、As に大きなパラメタバ
イアスをもたらすことが考えられている。今後の研究ではこの系統誤差がパラメタバイアスを説明するのに十分であるかどうかの定量的チェックと、それを踏まえて、パラメタバイアスを生じないような推定
パイプラインの作成を行っていく。

Reference
図 2: 観測量 (Σ, wp ) を使って制限した宇宙論パラメ
タ (Ωde , As )。
図 3 は観測量 (Υgm , Υgg ) を使用して制限した宇宙論パラメタである。もっともうまくいっていない観測量である。Σ の場合と同様に、非線形パワースペク
トルの効果で As のパラメタバイアスが生じているとTobias Baldauf, Robert E. Smith, Uro š Seljak,
and Rachel Mandelbaum. Algorithm for the direct reconstruction of the dark matter correlation
function from weak lensing and galaxy clustering. Phys. Rev. D, 81:063531, Mar 2010. doi:
10.1103/PhysRevD.81.063531.

考えられている。また、今回は、先行研究 (Baldauf

Chiaki Hikage et al. Cosmology from cosmic shear

et al. 2010) で使用されている ∆Σ → Υ の変換方法

power spectra with Subaru Hyper Suprime-Camにしたがったが、この方法には data と model の間で

first-year data.

共通の変換方法を使用していないため系統的な誤差(2):Publications of the Astronomical Society ofをうむ可能性がある。またカットオフ付近での S/NJapan, Volume 71, Issue 2, April 2019, 43, 2019.

が著しく落ちるため、Σ が復元できた Ωm を、Υ でdoi: 10.1093/pasj/psz010.

は復元できていないと考えられる。

Publ. Astron. Soc. Jap., 71

Takahiro Nishimichi et al. Dark Quest. I. Fast andAccurate Emulation of Halo Clustering Statistics

4

Conclusion
観測量 (∆Σ, wp ) では DES が報告したように、(12, 8)[Mpc/h] のスケールカットオフが必要である
ことが確認された。Σ では期待されたように Ωm を復元することができた。一方で、Σ,Υ では、∆Σ かand Its Application to Galaxy Clustering. 2018.
Ryuichi Takahashi,

Masanori Sato,

Takahiro

Nishimichi, Atsushi Taruya, and Masamune
Oguri. Revising the Halofit Model for the Nonlinear Matter Power Spectrum. Astrophys. J., 761:
152, 2012. doi: 10.1088/0004-637X/761/2/152.

——–index

a20
宇宙の大規模構造とダークマターハ
ローの形状の相関東京大学大学院 理学系研究科
栗田 智貴

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙の大規模構造とダークマターハローの形状の相関
栗田 智貴 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
宇宙構造形成の標準シナリオである冷たいダークマターモデル（CDM モデル）では、CDM が密集した自己重力系であるダークマターハローの中に銀河が形成される。銀河の形状やその周囲を包むハローの形状は、それらを構成する物質と大規模構造による宇宙広域の潮汐力場との重力相互作用の結果を反映すると考えられる。このような大規模構造と形状の相関は Intrinsic Alignment（IA）と呼ばれ、理論と観測の両面で研究が進展している。本研究では、N 体シミュレーションを用いて大規模構造（ダークマターの空間分布）とハローの形状の相関を測定し、ハロー質量依存性、赤方偏移依存性を系統的に調べた。特に、従来の 2 次
元実空間相関関数に基づく研究とは異なり、ハローの 3 次元空間分布を利用した 3 次元パワースペクトルの測定を行なったことで、摂動理論の高精度かつ容易な検証が可能となった。本研究において、大スケール（≳ 100Mpc/h）の相関が摂動論の予言と合致することを確かめ、さらにその相関は高質量のハローほど強く、宇宙の時間進化とともに減衰することを示した。これらの結果は、ハローの形状が構造形成初期の大規模構造の情報を多く含むことを示唆する。

1

Introductionの推定精度の向上や、IA 自身に含まれる宇宙論的な情報の抽出可能性に直結するという点で非常に重要

宇宙構造形成の標準シナリオである冷たいダーク
マターモデル (CDM モデル) では、CDM が密集した
自己重力系であるダークマターハローの中に銀河が形成される。銀河の形状やその周囲を包むハローの形状は、それらを構成する物質と大規模構造による宇宙広域の潮汐力場との重力相互作用の結果を反映すると考えられる。このような大規模構造と形状の相関は Intrinsic Alignment(IA) と呼ばれ、銀河サーベイを用いて宇宙論モデルを検証する上で重要な役割を担っており、現在理論と観測の両面で研究が進展している。
例えば IA は弱い重力レンズ効果の解析に対して深刻な系統誤差を引き起こす可能性がある (1)。弱い
重力レンズ効果の精密解析は、ダークマター分布の再構成や宇宙論パラメータの推定を可能にする強力な手法の一つとして現在確立しているが、高精度な結果を得るためには解析における系統誤差のコント
ロールは不可欠である。また IA を単なる系統誤差の要因としてではなく、シグナルとして考え、IA が含
む宇宙論的な情報を引き出す研究も近年進展している。このように IA の物理機構を詳細に理解することは、弱い重力レンズ効果を用いた宇宙論パラメータである。

IA の理論的な研究手法として、摂動論によって理論模型を構築する手法と宇宙論的 N 体シミュレーショ
ンを用いる手法の二つがある。摂動論は物理的な描像を理解しやすいという利点があるが、重力による非線形成長に起因して小スケール (短波長) 領域では破綻することが知られている。しかし現状では小ス
ケールにおける摂動論の適用限界は調べられていない。これは N 体シミュレーションの結果と比較して検証する必要がある。また N 体シミュレーションを用いて IA を調べる先行研究 (2) は、大規模構造による潮汐力場とハロー (銀河) の主軸の向き同士の相関のみを測定するものがほとんどである。しかし実際の観測において、特に弱い重力レンズへの系統誤差を評価する際に考慮すべき IA のシグナルは、大規模構造による潮汐力場とハロー (銀河) の形状 (歪みの大きさと向き) の相関である。このようなシグナルのハロー質量依存性や赤方偏移依存性、宇宙論パラ
メータ依存性について N 体シミュレーションを用いて系統的に調べた研究は未だない。以上の問題点を踏まえ、本研究では IA の性質を N 体シミュレーショ

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校を用いると、Eq. (5) はンを用いて詳細に調べることを目的とする。

γ(+,×) (k, z) = −C1 Ωm ρcri (1+zIA )f(+,×) (k̂)δ(k, zIA ),2(7)

Intrinsic Alignmentとなる。ρcri は現在の臨界密度であり、この章では潮汐力場に起因する IA モデル (1) を簡

f(+,×) (k̂) = (1 − µ2 )(cos 2ϕ, sin 2ϕ),

単にレビューする。このモデルでは、赤方偏移 z に(8)おいて銀河やハローの形状から構築できる歪みテンµ ≡ n̂ · k̂ = k̂3 、ϕ = tan−1 (k̂1 /k̂2 ) である。ここでソル場 γij (x, z) は、IA が刻まれる赤方偏移 zIA でのzIA が物質優勢期である（primordial alignment）と潮汐力場 sij (x, zIA ) に比例する、すなわち仮定し、Eq. (7) を線形スケールに限定すれば

γij (x; z) ∝ sij (x; zIA ),γ(+,×) (k, z) = −AI C1 ρcri(1)が成り立つことを仮定する。ここで()
12
sij (x; z) ≡ ∇i ∇j − δij ∇ Φ(x; z),3Ωmf(+,×) (k̂)δ(k, z),
D(z)
(9)

となる。D(z) は D(0) = 1 に規格化した線型成長因(2)子である。C1 ρcri = 0.0134 と固定して、今定義したAI を IA の振幅を示す無次元のパラメータとして今であり、Φ(x, z) は重力ポテンシャルである。我々が後用いる。歪み場は spin-2 の場であるから、座標に観測できるのは天球面上に射影された 2 次元の形状よらない量を定義するために E/B 分解をするとであるため、観測量は視線方向 n̂ に対する射影テン

γE = γ+ cos 2ϕ + γ× sin 2ϕ = −AI C1 ρcri

ソル Pij (n̂) ≡ δij − n̂i n̂j を用いて
proj
γij
(x; z) ∝ Pik (n̂)Pjl (n̂)skl (x; zIA ),(3) γB = −γ+ sin 2ϕ + γ× cos 2ϕ = 0.

となる。簡単のため天球面を平面近似（すなわち観Ωm(1 − µ2 )δ,
D
(10)
(11)

となる。したがって、形状の E モードは密度揺らぎ

測領域が曲率を無視できるほど十分狭いとする近似） そのものの（biased）トレーサーになっている。最proj
後に Eq. (10) を用れば、密度揺らぎと形状の相互パをし、視線方向を 3 軸に固定すれば、γij
は



γ+

γ×

0

ワースペクトルと形状の自己パワースペクトルは以




proj
γij
(x; z) = γ×

−γ+


0 .

0

0

0

下のようにかけることがわかる。

(4)のように表せる。それぞれの２成分はC1(∇2 − ∇22 )Φ(x; zIA ),
4πG 1
2C1
γ× (x; z) ≡ −∇1 ∇2 Φ(x; zIA ),4πG
γ+ (x; z) ≡ −Ωm(1 − µ2 )Pδlin (k, z),
D(z)
(12)
[
]2
Ωm
PEE (k, µ, z) = AI C1 ρcri(1 − µ2 ) Pδlin (k, z),
D(z)
(13)
PδE (k, µ, z) = −AI C1 ρcri(5)（µ に依存した形になっているため、実際は多重極展開∫ 1である。C1 は比例係数であり、ハローの場合、質量
dµ
(ℓ)
P
(k)
≡
(2ℓ
+
1)
Pℓ (µ)PXY ,(14)
XYや赤方偏移、宇宙論パラメータ等に依存する。銀河−1 2の場合、そのほかに光度などにも依存する。負符号で議論する。）
はハロー（銀河）の形状が潮汐力の短軸方向（ものを引き延ばす方向）に歪んだ時に C1 > 0 となるようにとっている。

3

フーリエ空間でのポアソン方程式

Φ(k, z) = −4πGΩm ρcri (1 + z)k−2

Simulation
使用したシミュレーションと注目したハロー質量、

δ(k, z),(6) 赤方偏移は下表のとおりである。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

粒子数(2048)3

realization

20

粒子質量

1.020 × 1010 M⊙ /h

ハロー質量1012−14 M⊙ /h
0 ∼ 1.5

赤方偏移

104

103

(0)

Planck 2015
L = 1Gpc/h

PδE , Pδδ

宇宙論

Boxsize

102

z=0
Pδδ
(0)

PδE (Mhalo = 1012−12.5M /h)4(0)

Estimate the shear field γ

PδE (Mhalo = 1012.5−13M /h)

101

(0)

PδE (Mhalo = 1013−13.5M /h)(0)PδE (Mhalo = 1013.5−14M /h)

歪みテンソル場 γ はハローの形状を用いて推定す10−2

ることができる。まずそれぞれのハローに対して慣

10−1
k

100

性モーメント∑∆xip ∆xjp
Iij ≡
mp
rp2
p

図 1: 相関のシグナルのハロー質量依存性。黒色は(15) matter power spectrum。それ以外は matter-shapepower spectra の monopole。

を定義する。ここで ∆xp はそれぞれのメンバー粒子
位置のハロー中心からのずれであり、中心から rp−2なるはずである。従って今回の結果は重いハローので重みをつけている。これは実際に観測された銀河方が、歪みの向きが潮汐の向きによく一致しているの輝度分布に近くなるようにしたものである。このからであると解釈できる。

時視線方向（今回は 3 軸）に対する楕円率は
(h)

ϵ+ =

2I12
I11 − I22 (h), ϵ× =
I11 + I22
I11 + I22

(16)

Mhalo (z = 0.0)1012 12.5 M /h
0.08

(17)

h

を構築する。この場をフーリエ変換、E/B 分解することで PδE , PEE を測定する。

P E /P

1 ∑ (h)(3)ϵ(+,×) δD (x − xh )
n̄h

0.06

0.04

0.02

0.00

5

1013 13.5 M /h
1012.5 13 M /hとなる。これを用いて全体の楕円率場

ϵ(+,×) (x) ≡1013.5 14 M /h

0.10

10 2

測定したパワースペクトルを図 1 に示す。黒色は（普通の）マターパワースペクトル、その他はマターとハロー形状の相互パワースペクトルである。マター
パワースペクトルより振幅が小さいのは、定義から

10 1

100

k

Results

図 2: matter-shape power spectra の monopole とmatter power spectrum の比。おおよそ黒色の点線
より左側が線型領域である。

−1 < γ < 1 であることが由来である。またハロー質

図 2 はマターパワースペクトルに対する比のプロッ量に関して重いハローほどシグナルが大きい結果とトである。線型領域で一定になることは Eq. (12) のなった。重いハローほど変形を受けにくいため（逆予言と合致する。

に軽いハローほどより歪な形をしているため）、重い
ハローほど歪み自体からくる相関の大きさは小さく

図 3 は IA の振幅 AI の測定値である。ハロー質量依存性は前述のとおりである。赤方偏移依存性につ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校するという点で大きなインパクトがある。また近年進展している、IA に含まれる宇宙論的な情報を引き30出す研究に対して有益な情報を与えると考えられる。
25

A(z, M )20

Reference
15

1013.5 14M /h

101013 13.5M /h
1012.5 13M /h

51012 12.5M /h
0

0.00

0.25

0.50

0.75
z

1.00

1.25

1.50

図 3: 振幅 AI のハロー質量、赤方偏移依存性。
いて、高赤方偏移（昔）ほど、その当時の潮汐力場との相関が強い結果となった。

6

Discussion
高赤方偏移にいるハローの方が相関が強い結果及

び、重いハローの方がより現在に近い時刻で形成される（ものが多い）ため、ハローの形状は形成時に最も周りの潮汐力場と相関することが読み取れることとを踏まえると、ハローの形状は構造形成初期の潮汐力場（重力場）の情報を多く含む可能性がある。
これに関連して、primordial non-gaussianity を含めたシミュレーションを実行し、シグナルの変化が従来の銀河（ハロー）分布を用いた大規模構造のパワース
ペクトルより sensitive かどうか調べる予定である。
また今回 IA シグナルのハロー質量と赤方偏移への依存性を調べたが、この以外への依存性として宇宙論パラメータ依存性を調べる予定である。さらに本研究では線型領域（大スケール）のみのシグナルに注目したが、高次の摂動の寄与を含めることで、準非線形領域まで拡張したモデルのパラメータ決定も行う予定である。
本研究の結果は、世界各地で現在遂行中・将来計
画されている弱い重力レンズ効果の測定プロジェク
トに対して、 解析の際に考慮する IA のテンプレー
トを与え、宇宙論パラメータ推定の精度向上に直結[1] Hirata, C. M. & Seljak, U., Phys. Rev. D, 70,063526[2] Johnston, H., et al., Astron. Astrophys., 624, A30

——–indexa21
ハッブル定数の不一致問題に対する
cosmological backreaction による 説明の問題点
京都大学大学院 理学研究科
三浦 大志

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ハッブル定数の不一致問題に対する cosmological backreaction による説明の問題点
三浦 大志 (京都大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の膨張率を記述する速度と距離の間の比例係数 H0 はハッブル定数と呼ばれ、宇宙論モデルを制限する重要なパラメータである。現在の標準的な宇宙論モデルであるΛ CDM モデルは様々な観測とほぼ矛盾がない。しかしながら Planck 衛星で観測された宇宙マイクロ波背景放射の非等方性と、標準光源の赤方偏移と光度距離を用いる直接観測で求められた 2 つのハッブル定数の値の間には 4σ 以上の不一致がある。この不一致は標準宇宙論モデルが不十分であることを示唆している可能性があり、重大な問題である。この問題に対して、小スケールでの宇宙の非一様性により背景時空の時間発展が変更される効果 (cosmologicalbackreaction) により直接観測によって測定されたハッブル定数が変更され、ハッブル定数の不一致問題が解決できる可能性があるという主張がある [1][2]。しかしながら、基本的に cosmological backreaction は計量に対する摂動の 2 次のオーダーで影響し、ホライズンより十分内側で Newtonian cosmology に一致する

Newtonian gauge ではその backreaction の効果は十分無視できるという主張もある [3]。したがって本講演
では、宇宙の非一様性を考慮し、直接観測で測定されるハッブル定数を光の測地線方程式を解く方法である

ray-tracing 法を用いて求め、cosmological backreaction がハッブル定数の不一致問題を説明できるかどうかを検証する。その際 Newtonian cosmology で物理量を計算した Newtonian gauge を用いる。その結果、

cosmological backreaction の直接観測で測定されるハッブル定数への影響は十分小さく、ハッブル定数の不一致問題を説明できるほどではないことを示す。また、ある重力崩壊領域に対する近似や平均化の手法を用い
ると、Newtonian cosmology を用いても、先行研究で示唆されるような cosmological backreaction のハッブル定数への誤った影響が得られてしまうことを示す。

1

Introduction

により直接観測によって測定されたハッブル定数が変更され、ハッブル定数の不一致問題が解決できる可宇宙の膨張率を記述する速度と距離の間の比例係
数 H0 はハッブル定数と呼ばれる。宇宙論モデルを制限する重要なパラメータであるこのハッブル定数の測定において現在問題がある。Planck 衛星で観測された宇宙マイクロ波背景放射の非等方性と、標準光源の赤方偏移と光度距離を用いる直接観測で求められた 2
つのハッブル定数の値の間には 4σ 以上の不一致があ能性があるという主張がある [1][2]。しかしながら、基本的に cosmological backreaction は計量に対する摂動の 2 次のオーダーで影響し、ホライズンより十分
内側で Newtonian cosmology に一致する Newtonian

gauge ではその backreaction の効果は十分無視できるという主張もある [3]。

る。この不一致は標準宇宙論モデルが不十分であることを示唆している可能性があり、重大な問題である。 2

ハッブ ル 定 数 の 直 接 観 測 に 対

例えば、宇宙の晴れ上がり以前の未知の放射成分があす る synchronous-comoving

ればこの不一致は解決される。この解決策の中に、小gauge

この問題に対しては様々な解決策が考えられている。

スケールでの宇宙の非一様性により背景時空の時間
発展が変更される効果 (cosmological backreaction)

先行研究 [1] では、直接観測で測定されるハッブル
定数を ray-tracing 法を用いて見積もっている。ダス2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ト宇宙をでは、ハッブル定数は)(2(1 + z)
1
,
H0 =
1− √
DL
1+z

(1)

と計算される。ただし、DL は光源の光度距離で、zは光源の赤方偏移である。よって、DL と z を求めと定義される。またその領域の体積 VD は
∫
VD ≡
Jd3 q

(4)

D

と定義する。
この平均化の方法であれば、先行研究 [2] で示唆さることにより、ハッブル定数を求めることができる。 れるような cosmological backreaction の大きな効果
これらは、光の測地線ベクトルを用いて計算するこ は得られないのではないかということを本講演では述べる。

とができる。
このハッブル定数を計算するときに、synchronous-

comoving gauge を用いると cosmological backreaction を誤って見積もってしまうことをこの講演ではReference示す。具体的には synchronous-comoving gauge では[1] K. Bolejko, Physical Review D97, 103529 (2018)

流体素片の世界線が交差してしまうと座標が破綻してしまう。そのため、何かこれを回避するような処方箋が必要である。先行研究 [1] では一つの方法として
流体素片が turnaround で流体素片の密度や局所膨張率、シアーなどを凍結させている。この処方箋を用いると、ray-tracing 法で cosmological backreactionの見積もりをしたときに誤った効果が得られることを本講演では示す。

3

平均化に対する synchronous-

comoving gauge
先行研究 [2] では synchronous-comoving gauge の２次摂動を用いて、cosmological backreaction を計算し、ハッブル定数の不一致問題を解決する可能性があるということを示している。しかしながら、この cosmological backreaction の見積もりには、平均化の手法を用いているが、その手法は適切ではないことを本講演では示す。

Buchert の方法では流体の任意のコンパクト部分
領域 D 上における Lagrange 座標 q と T の関数としてのスカラー場 Ψ の空間平均は∫
1⟨Ψ(T, q i )⟩D ≡Jd3 qΨ(T, q i )
VD D

(2)

と定義される。ここで dV ≡ Jd3 q は時間一定面の体積要素であり、J≡√
det(γij )(3)[2] K. Tomita, Progress of Theoretical and Experimental
Physics 2018, 021E01 (2018)[3] S. Green and R.Wald, Physical Review D83, 084020(2011)

——–index

a22
銀河形状を用いた初期三点相関の検証
名古屋大学大学院 理学研究科
小粥 一寛

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

銀河形状を用いた初期三点相関の検証
小粥 一寛 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙初期には急激な加速膨張 (インフレーション) があり, これはスカラー場であるインフラトンにより引き起こされたとされる. インフレーションモデルは数多く提唱されているが, その重要な予言として, インフラ
トンの量子的ゆらぎにより空間曲率のゆらぎが生じ構造形成のもととなる密度ゆらぎが生成されることが挙げられる. 一方で, 高エネルギー物理では, 自然界の四つの力を統一的に記述する超弦理論が提案されている.
超弦理論は特有の性質として 2 より大きなスピンをもつ粒子 (高スピン粒子) の存在を予言する. この高スピ
ン粒子とインフラトンが相互作用した場合には, 曲率ゆらぎの統計的性質に, 非ガウス性が生じ, その波長間の角度や粒子の質量に依存する固有の特徴が表れることが示されている. 以上のことから, 宇宙論的観測により, このような非ガウス性に迫ることで超弦理論の観測的な検証につながることが期待できる. ゆらぎの分布の非ガウス性は, 三点以上の高次相関によって特徴づけられる. 先行研究では, 銀河形状の観測を用いた初期三点相関の検出可能性が検証された. 早期に形成が始まり十分に時間が経過したと考えられる楕円銀河の形
状は, その周囲のダークマターハローの潮汐場と相関することから, 宇宙初期の曲率ゆらぎの情報が含まれるからである. このことから, 銀河形状の観測は角度依存する初期非ガウス性の検証に有用であることが示された. 本研究では, これを応用し高スピン粒子が生成する非ガウス性のうち, 初期三点相関が銀河形状に与える影響を調べ, その検出可能性を検証した. 銀河形状モーメントは，初期三点相関に表れるスピンと関係し，4次モーメントでは初期三点相関におけるスピン 4 粒子の痕跡を検出できる可能性があることがわかった．この発見は今後の初期非ガウス性の探査において重要な指針を与える.

1

導入

弦理論がある．この理論は高次スピン (s = 2, 4, · · · )をもつ有質量場の存在を予言しており，特に，場のインフレーション理論は標準ビッグバン宇宙論における諸問題を解決できると期待されている．この理

質量が m ∼ Hinf のとき，インフラトンと相互作用することで、非等方な曲率ゆらぎが生じることが示

論模型は多数提唱されているが共通することは，イされており，さらに，この非等方性は曲率ゆらぎのンフレーションを引き起こしたスカラー場であるイ

統計的性質から検証することができるといわれていンフラトンの量子ゆらぎは，急激な加速膨張によりる．一般に，曲率ゆらぎはほぼガウス分布に従い，二ゆらぎが引き伸ばされ，古典的ゆらぎに転じると考点相関の情報のみで理論と観測がよく表されることえられている．このようなゆらぎが放射や物質のゆが知られているが，理論からはわずかにガウス分布

らぎの起源となり，その後の時間進化により宇宙のから外れるという非ガウス性の予言もされている．

構造が形成される．すなわち，宇宙の構造を紐解くここの非ガウス性は，フーリエ空間における曲率ゆらとは初期宇宙に迫ることをも可能にさせる．さらに， ぎの高次相関で表される．インフラトンと高次スピ
このインフレーション期のエネルギースケールは宇宙ンをもつ有質量場との相互作用による非ガウス性がマイクロ波背景放射の観測から，Hinf ≲ 1014 [GeV](Arkani-Hamed & Maldacena 2015) では，より一般

であるとされており，地上実験では困難な高エネル

な高次相関の場合に示されているが，ここでは，そギーな物理を宇宙観測から検証できる可能性が秘めのひとつである三点相関のバイスペクトルに着目すられている．

ると，その大まなか特徴としては，スピン依存する

一方で、高エネルギー物理の観点からは，自然界の四つの基本的な力を統一できると期待されている超冪をもった (kS · kL )s の角度依存性、質量とスピン

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校に依存する冪をモード比 (kL /kS ) と振動 の 2 点が挙で表される．これは断熱条件を仮定し物質優勢期でげられる．このような特徴をもつ非ガウス性が，特は，曲率ゆらぎ ζ とポテンシャル ϕ が ζ ∼ ϕ の関にスピン 4 以上の場合において観測により検出でき係であることを用いた．Pϕ は ϕ のパワースペクト

れば，新粒子の観測的証拠になり，更には超弦理論

ル，Ps はルジャンドル多項式，νs は質量とスピンのの検証にもつがなることが期待される．

依存性をもつパラメータ，φs は位相である．ここで，このゆらぎの非等方性の制限に対する観測手法と∆2 = 0, ν2 = 0 の場合は先行研究と同じになる．

しては、宇宙マイクロ波背景放射や銀河サーベイ等があるが、ここでは銀河形状を用いた非等方性への制限に着目する。これは，Schmidt et al. (2015) に

2.2

銀河形状関数おいて，銀河形状を用いることでゆらぎに角度依存

銀河の形状を用いた観測を想定するため，はじめ性を含むバイスペクトルによる影響が調べられ，角に，銀河形状関数について議論する．以下，二次モー

度依存性の有無によって，楕円銀河の固有形状の相メントの場合を示すことにする．慣性モーメントテ

関に違いが見られることが示され，宇宙マイクロ波

ンソル Iij を用いて，銀河形状関数 gij を()
1
1
gij = k Iij − δij I kk ,3I k

背景放射と比べて小スケールにおける観測領域によってその非ガウス性の存在に制限ができることが示された．また，次世代大規模構造サーベイ (例えば、(2)

Large Synoptic Survey Telescope(LSST) や Euclid、 と定義する．これが局所的に物質の密度ゆらぎ δ(x)Wide-Field Infrared Survey Telescope(WFIRST) な と潮汐テンソル[]ど) の稼働が間近に迫り、銀河の形状の撮像によるサ
∂i ∂j
1
K
(x)
=
−
δ
δ(x) ,(3)ij
ij
ンプルが劇的に増えることで，より精密な宇宙論と∇2
3
しての応用に期待される．
を用いて，gij = G[δ, Kij ] の汎関数で表せるとき，バ
本講演では、はじめにスピン 2 をもつ有質量場とイアス係数 bi (i = 1, 2, · · · ) を用いて局所で展開すインフラトンの相互作用におけるバイスペクトルのると，影響が見られると考えられた Kogai et al. (2018) において課題となった点に加え，より高次スピン場により生じる非ガウス性の銀河形状を用いた場合について議論を行う．

2

準備

2.1

初期三点相関関数

gij (x) = bI1 Kij (x) + bI2 δ(x)Kij (x)
]
[
1
2
I
k
+ bt Kik K j − δij (Kkl ) (x) + O(δ 3 ) ,3(4)と展開できる．
次に、非ガウス性により銀河形状にどのような影響が見られるかを調べるために，密度ゆらぎと銀河

スピンをもつ有質量場とインフラトンが相互作

形状関数との相関 ⟨δ(x)gij (y)⟩ を考える．このとき用する場合に表れる初期ゆらぎの三点相関関数は， gij の第 2 項，第 3 項は対応するフーリエ空間におい
Squeezed-limit(k = k ≪ k ∼ k = k ) な場合， て実効的に ⟨δ(k1 )δ(k2 )δ(k3 )⟩ の三点相関が生じる．
L1

重力ポテンシャル ϕ を用いて

2

3

S

ところが，物質の密度ゆらぎ δ とポテンシャル ϕ にはポアソン方程式を通じて，)∆skL
Bϕ (kS , kL ) ∼As
Ps (kS · kL )2 k 2 T (k)D(z)kS
δ(z, k) =ϕ(k) ,(5)s=even3 Ωm0 H02
(
( )
)
kL
× cos νs ln+ φs Pϕ (kS )Pϕ (kL ) ,の関係があるため，ポテンシャルの三点相関とみなkS(1) すことができる．ここで T (k) は輸送関数，D(z) は∑(2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
成長因子 Ωm0 は現在の物質の密度パラメータ，H0 は

FlI は銀河固有形状のカーネルとして∫
ハッブル定数を表す．また、
dNI D(z) jl (x)1 (l + 2)!
dz
FlI (k) =2 (l − 2)!
dz D(0) x2⟨ϕ(k1 )ϕ(k2 )ϕ(k3 )⟩
[
( )∆2
k
= (2π)3 Bϕ (k1 , k2 , k3 )δD (k1 + k2 + k3 )(6)
× bI1 + 3bING A2
k∗
(
( )
)]
の関係から前節で述べた初期三点相関関数に応じて
k
M−1 (z, k) cos ν2 ln
+ Θ2
,
k∗
相関に違いが生まれる。このようにして、銀河形状(9)関数は相関をとることで初期ゆらぎの非等方性の痕跡を探ることが可能となる。より一般的には，銀河の数密度は〇次モーメントに対応し，更に三次，四次，…と拡張を行うこともできる．ここでは詳しく述べないが，バイスペクトルで現れた角度依存性におけるスピン (場のスピンに対応する) は，銀河の形状のモーメントと大まかに対応するし，実際に〇次モーメントである銀河の数密度は，局所的非ガウス
loc性を特徴づける fNL
によって非ガウス性の影響が表れる．(Dalal et al. 2007)

として得られる．ここで，dN/dz は銀河の赤方偏移
分布，χ は共動距離，k∗ は参照スケールである．この角度パワースペクトルを図 1 に示した．緑線は波数の角度依存性のみをもつ ∆2 = 0 に対応し，赤線がスピン 2 の有質量場との相互作用による非ガウス性を加えたものである．以前も言及を行ったが，大スケール (小さい l) に初期の非等方性の痕跡が見られる．一方で，∆2 = 3/2 の場合には，積分に含まれる k の冪の違いから，角度パワースペクトルにおいて大きな l，すなわち小スケール側に初期ゆらぎの非3

結果
実際の観測を想定した場合におけるシグナルの検等方性の痕跡が見られることがわかる．(図 2) ここ

10-7

証を行う．そのため，前節では三次元で定義を行っ
河形状の相関を検証する．これは射影テンソルを作ClEEたが，その形状関数を天球面上に射影することで銀10-8用させることで変換でき，射影した形状の相関の評
No NG
NG with ∆˜ 2 = ν2 = Θ2 = 0
NG with ∆˜ 2 = 3/2, ν2 = 3, Θ2 = 0

価は，球面調和関数で展開した係数の相関を計算す
る角度パワースペクトルを用いた．(詳細：(Kogai etal. 2018)) 結果として，初期三点相関関数が式 (1) の場合，銀河の歪みの角度パワースペクトルは，次のような形で得られた．
∫[]22 (l − 2)!
EE
k 2 dkPm (k) FlI (k) + FlG (k) .
Cl =π (l + 2)!
(7)
ここで Pm は物質のパワースペクトルで、FlG は弱い
重力レンズによる銀河の歪みのカーネルとして∫
1 (l + 2)! χmax dχ 3H02 Ωm0 (1 + z)D(z)FlG (k) =2 (l − 2)! 0
χ
k2
D(0)
∫ χmaxdNG (χ̃ − χ)× jl (x)dχ̃H(χ̃)
, (8)
dz
χ̃
χ

10-9

3 5

10

20 30 50 100 200l600

図 1: 銀河形状の角度パワースペクトル．青線は A2 =0 の場合，緑線は ∆2 = ν2 = Θ2 = 0 で bING A2 =100bI1 の場合，赤線は ∆2 = 3/2，
ν2 = 3 ，
Θ2 = 0で bING A2 = 8000bI1 の場合である．灰色は cosmic

variance を示す．(Kogai et al. 2018)までの議論では，線形解析を行っているが，スピン2 の有質量場との相互作用による非ガウス性は小ス
ケールで表れることから，非線形効果を考慮する必要があった．今回は非線形効果を非線形領域のパワー
スペクトルに対して自己相似性から k n に比例するとし，数値計算により n を求めることで非線形領域

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

100

103

10-1
10-2

101

10-3

10-1

10-5
10-6
10-7 3 5ν2 = 0, Θ 2 = 0
ν2 = 3, Θ 2 = 0
ν2 = 3, Θ 2 = π/2
ν2 = 6, Θ 2 = 0
ν2 = 6, Θ 2 = π/2

10

keq

kNL

k∗

Preliminary

I/PL (k)

∆ EE
l

10-4

H0

10-3
10-5

20 30 50 100 200

600lInt,∆ = 0, bNG A2 = 1
Int,∆ = 0, bNG A2 = 10
Int,linear,b1 = − 0.1
WL-tree
1loop
2loop

10-7

図 2: 銀河形状の角度パワースペクトルの非ガウス性

10-9 -4
10

10-3

EE
がない場合との比：∆EE= |ClEE −ClEEl,Gauss |/Cl ,Gauss ．

10-2

10-1

100

k [/Mpc]101

灰色は Cosmic variance を表す．(Kogai et al. 2018)
図 3: スケールによる各成分に対する相関 (∆2 = 0).
の振る舞いを調べられたもの (Pajer & Zaldarriaga

茶線は銀河の固有形状からくる線形成分，緑線は弱2013) を用いて評価を行った．その結果が図 3, 図 4 重力レンズ効果による成分，青線は非ガウス性成分，である．図 3 では，バイスペクトルにスケールによっ 赤・紫線は非線形効果．
て振幅が変わるスケール依存性がない場合 (∆2 = 0)を示しており，図 4 は ∆2 = 3/2 の場合を図示した．
スケール依存性がない場合には，大スケールで非ガ

103

H0

keq

kNL

k∗

101

ウス性の相関がどの成分よりも優位になる領域があられるが，∆2 = 3/2 でスケール依存性を入れると，
非ガウス性のパラメータにも依存するが，小スケー
ルで非ガウス性の影響が見られてたものが，非線形効果に埋もれてしまう可能性がわかった．

4

10-1
I/PL (k)り，この領域 (桃色・茶色) で非ガウス性の違いが見10-3Preliminary

10-5Int,∆ = 3/2,bNG A2 = 104
int,∆ = 3/2,bNG A2 = 105
Int,linear,b1 = − 0.1
WL-tree
1loop
2loop

10-7

結論と議論
スピン 2 をもつ有質量場が存在する場合には，小10-9 -4
10

10-3

10-2

10-1

k [/Mpc]

100

101

スケールに非等方性の特徴が表れることが示された
が，小スケールに特徴が見られるという点から非線形効果の考慮が必要である．これを考慮するとスピン 2 の有質量場との相互作用による非ガウス性よりも非線形効果の方が優位になる可能性が示唆された．
一方，高次モーメントでは各々のスケール依存性の違いから異なる振る舞いになることが期待される．

Reference
Arkani-Hamed,N.,
arXiv:1503.08043&

Maldacena,

J.

2015,

Schmidt, F., Chisari, N. E., & Dvorkin, C. 2015, JCAP
, 10, 032

図 4: スケールによる各成分に対する相関 (∆2 =3/2)．色は図 3 と同様．
Kogai, K., Matsubara, T., Nishizawa, A. J., & Urakawa,Y. 2018, arXiv:1804.06284
Yokoyama, S., & Soda, J. 2008, JCAP , 8, 005
Schmidt, F., & Jeong, D. 2012, Phys. Rev. D , 86,083527
N. Dalal, O. Dore, D. Huterer and A. Shirokov, 2007,
Phys. Rev. D 77, 123514
E. Pajer and M. Zaldarriaga, JCAP 1308, 037 (2013)

——–index

a23
CMB レンジングを用いた銀河団の質量推定
名古屋大学大学院 理学研究科
山本 菜々花2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

CMB レンジングを用いた銀河団の質量推定
山本 菜々花 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河団は宇宙の中で最も大きな質量を持つ天体であり、銀河団の質量と数の関係は、原始密度揺らぎや暗黒エネルギーの性質に強く依存する。そのため、観測によって多くの銀河団を発見し、その質量を正しく推定する事は、宇宙論モデルの制限において非常に重要である。近年すばる望遠鏡 Hyper Suprime-Cam (HSC)などの観測により z ≤ 1.1 程度の遠方銀河団が数多く見つかっており、銀河団を用いた精密宇宙論が期待される。また、質量の大部分を暗黒物質が占める銀河団に対し、弱重力レンズ効果を用いることで高精度の質
量推定が可能となる。特に、z ∼ 1, 100 の最終散乱面から放射される宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) を背景光とする弱重力レンズ効果 (CMB レンジング) を用いると、遠方宇宙における質量分布の情報を手に入れることが出来る。
本発表では、質量推定の前段階として、Planck の CMB コンバージェンスマップと Sloan Digital Sky

Survey (SDSS) の redMaPPer カタログ (the SDSS DR8 redMaPPer cluster catalog) 、 HSC の銀河団カタログ (CAMIRA S18A) を組み合わせて銀河団の周囲における CMB レンジングのスタッキング解析を行った結果を報告する。

1

Introduction

HSC などの観測により、z ≥ 0.6 の高赤方偏移銀河団が数多く見つかっている。

SDSS などの観測によって、宇宙は高密度領域や低密度領域から成る大規模構造を形成していることが分かっている。大規模構造は初期密度揺らぎが時間進化することで形成される。銀河団はその中で最も大きな質量を持つ天体である。従って、銀河団の数や質量の関係を調べることは、初期密度揺らぎや暗黒エネルギーの性質を評価し、宇宙論モデルに制限を与えるために非常に重要である。しかし、銀河団
質量の大部分は暗黒物質が占めており、光学観測から行われる質量推定は不定性が大きい。そこで、質量分布を直接測ることができる弱重力レンズ効果を用いることで、より正確な質量推定が可能になる。

Planck 衛星による宇宙マイクロ波背景放射 (CMB)の精密測定により、CMB 温度揺らぎの統計的性質がよく理解されるようになった。現在この性質を利用して、観測データをもとに様々な物理量が計算され

HSC の最新カタログ CAMIRA S18A には z ≤ 1.1までの高赤方偏移銀河団が含まれており、これらの高赤方偏移銀河団に対する CMB レンジングを用いた解析は今までに行われていない。この新たに発見された銀河団に対する解析を行うことが本研究の目的である。今回は、今後それらの高赤方偏移銀河団に対して解析を行うためのテスト計算として、異なる２種類のカタログ、SDSS の redMaPPer カタログ (Geach,

James E. & Peacock, John A. 2017) と HSC の最新カタログ CAMIRA S18A (Oguri, Masamune et al.

2017) と、Planck の CMB コンバージェンスマップ
を組み合わせて z ≤ 0.6 の銀河団に対するスタッキ
ング解析を行った結果を報告する。解析に用いた銀河団は redMaPPer 26, 111 個、CAMIRA 1, 751 個である。
本論文の構成は以下のようになっている。まず２章ている。本研究に用いた CMB の弱重力レンズ効果

で銀河団と宇宙論モデルとの関係を簡単に説明する。

(CMB レンジング) による温度揺らぎ (コンバージェ

次に３章で本研究に用いた解析手法を示す。最後にンス) もその一つである。また光学観測において、こ

結果と今後の研究課題について議論する。

れまで SDSS などの観測によって z ≤ 0.6 の近傍宇宙における銀河団が発見されてきた。さらに、近年

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

Cluster cosmology

いることで高赤方偏移銀河団による弱重力レンズ効果を検出することが出来る。

銀河団は宇宙大規模構造の中で最も大きな質量を持つ天体である。大規模構造は初期密度揺らぎが時間進化することで形成された構造であり、銀河団
は初期密度揺らぎや暗黒エネルギーなどの性質に強3.1

く依存する。従って、銀河団を調べることは宇宙論に制限をつけるために非常に重要である (Weinberg,David H. et al. 2013)。 銀河団の数と質量の関係は質量関数によって記述される。質量 M を持つ天体の数は、例えばプレス - シェヒター質量関数によると
式 (1) によって記述される。
√
(
)
dn
δc2
2 ρ̄0 dlnσ(M) δc=
exp − 2dM
π M2 dlnM σ(M)2σ (M)(1)

レンズポテンシャル
弱重力レンズ効果によって光路が曲げられた場

合、観測者は視線方向と異なる方向の CMB 温度を観測することになる。このとき、観測される CMB 温
度 T̃ (n̂) はレンズ効果を受けていない温度を用いてT (n̂ + α) と表せる。ここで α は弱重力レンズ効果
による光路の曲がり角である。曲がり角 α はレンズ
天体の質量 (M) に依存し、次のレンズポテンシャル
で評価される (Lewis, Antony & Challinor, Anthony

2006)。

を表す。ここで σ(M) は初期密度揺らぎに依存する

α = ∇ψ∫ χ∗
fK (χ∗ − χ)ψ(n̂, M) ≡ −2
dχ
Ψ(M)
f
K (χ∗ )fK (χ)
0

測される質量関数と比較することで宇宙モデルに制とレンズ天体との距離、質量 M のレンズ天体がつ限をつけることができる。しかし、現在観測や理論

くる重力ポテンシャルである。ただし χ は共同距離

から銀河団質量の大部分は目に見えない暗黒物質が、fK は物理距離を表す。また、レンズポテンシャル

占めていることが分かっている。つまり、光学観測

は式 (4) で表されるコンバージェンスに変換できる。

による質量推定では不定性が大きく質量を正しく推コンバージェンスはレンズ天体によって光路が曲げ定することは非常に困難である。そこで今回は次にられた時の増光の量を表す観測量である。本研究で示す弱重力レンズ効果を用いて質量を推定するためはコンバージェンス κ について銀河団周りで解析をの解析を行った。

行った。

ρ̄0 、σ(M)、δc はそれぞれ平均密度、密度揺らぎの分
散、重力収縮が起きる密度揺らぎの閾値 (δc = 1.69)

(2)
(3)

量であり、暗黒エネルギーの性質とも関係している。 ここで fK (χ∗ )、fK (χ)、fK (χ∗ − χ)、Ψ(M) はそれ従って、観測によって質量関数を求め、理論的に予 ぞれ光源までの距離、レンズ天体までの距離、光源∇2 ψ(n̂, M)(4)2
κ はレンズ天体の質量に依存するので、銀河団周りκ≡−3Methods
弱重力レンズ効果とは、背景光源からの光が前の κ の解析を通して銀河団の質量を推定することができる。

方の重い天体の近くを通過する際に光路が曲げられる現象である。特に今回用いた CMB レンジングは、z ∼ 1, 100 の最終散乱面からの放射を背景光として、銀河団によってその光路が曲げられる効果を観測する。弱重力レンズ効果を用いることで、暗黒物質を

3.2

レンズ再構築

ここでは観測された CMB の温度揺らぎからレン含む質量分布を直接的に観測することが可能になり、 ズポテンシャルの推定を行うレンズ再構築について
光学観測による質量推定に比べ、より精度の高い銀説明する。観測される CMB は大規模構造を通過す

河団の質量推定が可能になる。また、銀河・銀河間

る間に歪められるため、我々が歪められる前の CMBの弱重力レンズと異なり、背景光として CMB を用を観測することは不可能である。この場合、レンズ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
効果による歪みを評価することは出来ない。従って、 この方法をスタッキングと呼ぶ。また、統計的誤差√
CMB の統計的性質と観測からレンズポテンシャル はデータ数 N に対して 1/ N に比例して小さくなを推定する必要がある。これをレンズ再構築と呼ぶ。 る。従って、より多くの銀河団を用いてスタッキン
レンズ効果を受ける前の温度揺らぎは観測方向に

グ解析を行うことでシグナルの統計的誤差を抑える

依存せず等方的であると考えられている。この場合、 ことができる。
温度揺らぎのフーリエモード Θl は他のモード Θl−Lと相関を持たない。従って、CMB の温度場でアンサ
ンブル平均をとると式 (5) のようになる。

4< Θl Θl−L >CMB = ψl δl,l−L

Results(5)

SDSS の redMaPPer カタログ、HSC の CAMIRA
ここで δl,l−L はクロネッカーデルタである。一方、レ S18A カタログと、Planck 2018 のコンバージェンス
ンズ効果によって非等方的に歪められた揺らぎは異 マップを用いて、z ≤ 0.6 までの銀河団に対するスなるモードと相関を持つようになる (式 (6)) 。

< Θl Θl−L >CMB = ψl fl,L(L ̸= 0)

タッキング解析を行なった結果をそれぞれ図 1、図 2
に示す。

(6)

ここで fl,L は観測から求められる量である。しかし、我々は CMB の温度場を１つしか観測することが出

0.05

来ないため、アンサンブル平均をとることは不可能である。従って式 (6) における ψl の推定量を ψ̂l,L として、アンサンブル平均をとる代わりに ψ̂l,L に対して
適当な重み付けをして和をとることで、期待値 ψlをとるレンズポテンシャル ψ̂l が推定できる (Lewis,

Antony & Challinor, Anthony 2006)。
ψ̂l =

∑

wl,L ψl,L

0.04
0.03
0.02
0.01

(7)

0.00

L

0.01

3.3

2

4

6

[arcmin]810

図 1: SDSS redMaPPer カタログに対するコンバー

スタッキング解析

ジェンス

観測されるコンバージェンス (κobs (θ)) は銀河団以外の構造由来のノイズ (εnois ) を含む。

横軸はクラスター中心からの距離 [arcmin] を示し、

(8) 縦軸はコンバージェンスの値を示す。誤差はジャック
ナイフ法で推定した。HSC は SDSS に比べて性能がここで θ はクラスター中心からの距離を表し、ノイ 良く、より暗い低質量銀河団まで検出できる。従って
κobs (θ) = κsignal (θ) + εnois

ズ ε は適当な分散を持ったガウシアンノイズである

スタックして平均化されたコンバージェンスの値はとする。従って、観測で得られた複数のシグナルを小さくなったと考えられる。次に両解析の統計的誤重ねて平均化することでノイズを除去し、銀河団に差を比較する。SDSS redMaPPer カタログと HSC

よる純粋なシグナル κ̄signal を得ることが出来る。

CAMIRA S18A カタログで用いた銀河団の数はそκ̄obs (θ) = κ̄signal (θ)(9)

れぞれ Nred = 26, 111 個、Ncam = 1, 751 個、つま

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校団に対して同様に CMB レンズを用いた解析を行っていく。また、これによって統計量が増え、より精密な質量推定が可能になるため、その質量を用いて0.05

宇宙論モデルにより強い制限を与えることが出来る

0.04と期待される。これらを今後の研究課題とし、取り組んでいくこととする。

0.03
0.02

Acknowledgement

0.01

本発表にあたりご指導してくださった宇宙論研究

0.00

室のスタッフ、先輩方に感謝申し上げます。特に特任
0.01

2

4

6

[arcmin]

8

10

講師の西澤淳さん、特任助教の宮武広直さん、博士課程の箕田鉄兵さん、修士課程の吉田貴一さん、近藤寛人さんには、本当に多くの助言を頂きました。お図 2: HSC CAMIRA S18A カタログに対するコン

忙しい中議論に時間を割いて下さったことに、このバージェンス

場を借りて心より感謝申し上げます。

り√Nred /Ncam ∼ 3.8 である。一方、誤差は (σ) は

σred /σcam ∼ 1/3 である。これらの点で図 1 、図 2を比較すると、２種類の銀河団カタログに対してコ
ンバージェンスの値、誤差の大きさについて矛盾のない解析結果を得たと判断できる。

Reference
Geach, James E. & Peacock, John A. 2017, Nature Astronomy, 795-799
Oguri, Masamune et al. ,2017, Publications of the Astronomical Society of Japan,
Lewis, Antony & Challinor, Anthony, 2006

5

Conclusion and Future work Weinberg, David H. et al. , 2013,
本研究では、Planck 2018 の CMB コンバージェンスマップに対して SDSS redMaPPer (銀河団数26, 111 個) と HSC CAMIRA S18A (1, 751 個) の２種類の銀河団カタログを用いてスタッキング解析を行った。両カタログの z ≤ 0.6 までの銀河団に対して解析を行った結果、それぞれのデータの個数、検出可能質量で説明可能なシグナルを検出した。これは、本研究の解析手法を用いて、さらに高赤方偏移
銀河団についても同様のスタッキング解析が行えることを示唆している。
冒頭で述べたように、光学観測は年々発展し、HSC

CAMIRA S18A カタログには現在 z ≤ 1.1 までの高赤方偏移銀河団が含まれる。これらの高赤方偏移銀河団に対する重力レンズ効果を用いた解析は行われていない。今後は z ≥ 0.6 の新たに発見された銀河

——–index

a24
21cm 線と CMB 弱重力レンズ効果の相互相関による中性水素存在量の推定
名古屋大学大学院 理学研究科宇宙論研
究室
迫田 康暉

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

21cm 線と CMB 弱重力レンズ効果の相互相関による
中性水素存在量の推定
迫田 康暉 (名古屋大学大学院 理学研究科宇宙論研究室)

Abstract
宇宙の再電離は中性水素 (HI) の減少によって特徴付けられる。再電離がどう終わったかを理解するためにHI 存在量の推定が行われてきた。これまでは HI 存在量をライマン α 吸収線により測定してきたが、独立した手法として、Square Kilometre Array (SKA) を用いた 21cm 線観測が注目されている。しかし 21cm 線
シグナルは前景放射によって汚染されてしまう。この問題を解決するために、CMB 弱重力レンズ効果との相互相関を計測するという手法が考えられる。先行研究 (Tanaka et al. 2019) は観測されるシグナルを仮定
し、SKA 観測を用いたの推定精度のみを評価している。しかし相互相関によって正しく HI 存在量が求められるかはわかっていない。本研究では 21cm 線強度マッピングとコンバージェンスマップをシミュレーショ
ンにより作成し、これらの相互相関により HI 存在量の推定を行った。その結果、理論で予測される HI 存在
量を 95%信頼区間で正しく復元することに成功した。本発表では一連の研究過程と展望について紹介する。

1

イントロダクションの手法として、21cm 線のシグナルと相関する別の観測との相互相関を計測するという手法がある。

宇宙の晴れ上がり以降、多くのバリオンが宇宙空

本研究では宇宙の大規模構造によって宇宙マイクロ間に中性水素 (HI) の状態で存在するようになった。 波背景放射 (CMB) が曲げられる効果である、CMB
宇宙の時間発展に伴い、ダークマターの密度揺らぎ

弱重力レンズ効果との相互相関に着目する [Tanaka

が成長し、それが作る重力場に HI が落ち込むことに

et al. (2019)]。 CMB を強く曲げる領域は高密度より、初代天体が生成された。宇宙に星ができると、 領域であり、そこには HI が存在する。したがって星や銀河からの紫外線により、周囲に存在する HI は21cm 線のシグナルと CMB 弱重力レンズ効果は相関

電離されるようになる。この時期を宇宙の再電離とを持つことが期待される。また、21cm 線の前景放射いう。再電離の進行は HI の減少によって特徴付けらは CMB 弱重力レンズ効果と相関しないと考えられれ、宇宙の HI 存在量の推移を探査する試みがなさるため、相互相関により純粋な 21cm 線のシグナルをれてきた。クェーサーのスペクトルにおける、ライ

取り出すことが可能である。先行研究ではシグナル

マン α 吸収線の観測により z ≃ 6 で再電離が完了しを仮定し、SKA 観測における機器由来のノイズと大たことがわかっている。再電離後の HI 存在量の推移

気由来のノイズを想定して、HI 存在量の推定精度をもライマン α 吸収線の観測を用いて、制限がなされ予測している。本研究ではシグナルを仮定せず、シている。これらの観測を裏付けるため、従来の観測

ミュレーションを用いて模擬的に 21cm 線強度マッピとは独立した HI 存在量の測定の方法として 21cm 線

ングとコンバージェンスマップを作成し、これらの観測が注目されている。2020 年より運行が開始する

相互相関から HI 存在量の推定を試みる。そして、相大規模電波干渉計の Square Kilometre Array (SKA)

互相関によって正しく HI 存在量が決められるか評価

により、21cm 線の観測が行われる。これにより再電を行う。

離以降の電離史の解明が進むことが期待される。しかし HI による 21cm 線のシグナルは、それよりはる
かに大きな前景放射によって汚染されてしまうため、観測は非常に困難である。この問題を解決するため

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

基礎物理

2.1

21cm 線

2.2

CMB 弱重力レンズ効果
一般相対性理論により、光の軌道は重力により曲げられることが示される。CMB は我々に届くまで
HI の 1s 軌道は陽子と電子のスピンの向きによっ に、銀河団などの高密度領域やボイドと呼ばれる低密てエネルギー準位が分裂し、これを超微細構造とい 度領域を通るため、観測される CMB は元々の CMBう。分裂したエネルギー準位間の遷移が起こる際、エ に対し、増光や変形を受ける。この効果を CMB 弱
ネルギー差に対応する波長 21cm の電磁波が放出、吸重力レンズ効果という。増光はコンバージェンス、変収される。この電磁波のことを 21cm 線と呼ぶ。21cm

形はシアーと呼ばれる量によって記述される。今回

線シグナルの放出される地点の赤方偏移に応じて波着目するコンバージェンスは以下で表される。
∫ χCMBκ(n) =dχKδ(χn, z),
(5)

長λが

λ = 21(1 + z)[cm](1)0と赤方偏移して観測されるため、見る波長を選ぶことで、任意の距離の HI の分布を調べることができK(χ, z) =3Ωm02る。ここで、z は宇宙論的赤方偏移である。21cm 線

(

H0
c

)2

(χCMB − χ)χ(1 + z)
.
χCMB
(6)

の背景光として、宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) が存在するため、21cm 線は CMB の輝度温度の差としここで、χ = χ(z) は観測者からレンズ天体までの共て観測され、

動角径距離であり、δ は物質の密度揺らぎである。物()

dvp 1 + z
,
dr H
(
)
3 hc3 A10 n̄HI (z)Tγ
T (z) =
1−,
2
32π kν21 (1 + z)H(z)TSδTb (n, z) = T (z) × 1 + δHI −質のうち暗黒物質が 80%程度を占めるので、今回は(2) 簡単のため δ で代用する。
dm(3)となる。ただし、A10 はアインシュタインの A 係数と呼ばれ、21cm 線の自然放射の度合いを表す。n̄HIは物理座標における HI の平均数密度であり、δHI は

3

手法

3.1

相互相関

HI の密度揺らぎを表す。ν21 = 1420[MHz] は静止系

二つの密度揺らぎを統計的に評価する指標として

での 21cm 線の周波数を表す。H(z) はハッブルパラ

相互相関がある。3 次元の場 A(x), B(x) のフーリ

メータと呼ばれ、宇宙の膨張率を表す。vp は HI のエ空間における相互相関はクロスパワースペクトル

固有速度である。Tγ (z) = TCMB × (1 + z) は赤方偏

PAB (k) と呼ばれ、以下で定義される。

移 z における光子の輝度温度である。TS はスピン温度と呼ばれる量で、HI の超微細構造の 2 つのエネル⟨Ak1 Bk2 ⟩ = (2π)3 δD (k1 − k2 )PAB (k1 ).

(7)

ギー状態間の占有数の比から定義される温度である。 特に 21cm 線強度マップやコンバージェンスマップ

n は観測方向を表す単位ベクトルである。h はプラ

は各々、3 次元の密度揺らぎの分布を 2 次元球面上

ンク定数、k はボルツマン定数、c は光速である。今に射影したものである。3 次元の場の 2 次元球面上回着目している再電離期以降では、宇宙に存在するへの射影を Ã(n), B̃(n) で表し、以下で定義する。
ガスは X 線による加熱を強く受け、TS ≫ Tγ とな∫
Ã(n) = dχ FA (χ)A(χn),(8)
るため、式 (3) はスピン温度によらない結果となる。
2 2c
HI の平均数密度 n̄HI を宇宙の臨界密度 ρc = 3H
8πGで規格化した無次元量を HI 存在量と呼び、以下で定FA はカーネルと呼ばれる量である。2 次元球面上に射

影された場に対する統計量として角度クロスパワース
n̄HI mp c2
ペクトルというものがあり、これは Ã(n), B̃(n) の球
ΩHI ≡
.
(4)
ρc
mp は陽子の質量であり、G は万有引力定数である。

義する。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
面調和関数展開係数の積の統計平均として表される。 はボックスサイズ (150Mpc/h)3 の 3 次元の N 体シ

ClAB

ミュレーションから 2 次元のシェルの暗黒物質分布と∗= ⟨Ãlm B̃lm⟩,
(9)
コンバージェンスマップを作成している。z = 5.342()∫
l + 21dχ
≃FA (χ)FB (χ)PAB(. 10) から現在までの暗黒物質分布はシミュレーションのχ2χ
結果を用い、最終散乱面の赤方偏移 zCMB = 1100 か角度クロスパワースペクトルは角度スケール πl 離れ

ら z = 5.342 までの暗黒物質分布は線形理論から計た 2 点の間の相関の強さを表す。ただし、式 10 への算している。zCMB から現在まで暗黒物質の周りを通変形では l ≫ 1 という小角度近似を用いている。A

る光の屈折を計算することにより、コンバージェンと B にそれぞれ 21cm 線強度マップとコンバージェ スマップを作成している。
ンスマップを当てはめた時、これらの角度クロスパ

本研究では、N 体シミュレーションで得られた 2

ワースペクトルは以下で表される (Sarkar 2010)。
( )T (z)K(χ, z)bHI D+ (z)2
l
HI−κ
Cl
≃
P
. (11)
χ(z)2
χ次元の暗黒物質分布に対して、バイアスパラメータ

ここで、D+ (z) は線形成長因子と呼ばれ、揺らぎのた 21cm 線の強度マップとコンバージェンスマップ

1
時間発展を表す。物質優勢期において、D+ ∝ 1+zから角度クロスパワースペクトルを測定する。そしという時間発展をするため、赤方偏移 z における密を bHI = 2[Tanaka et al.

ΩHI = 5.2 × 10

−4(2019)]、HI 存在量をとして HI の分布を計算し、式 (2)を用いて 21cm 線の強度マップを作成する。得られて、式 (11) の理論モデルを用いて ΩHI を推定する。

度揺らぎは

δ(χn, z) =D+ δ(χn, z = 0),1
δ(χn).
=
1+z

(12)
(13)

4

結果と考察
この節では、得られた結果の紹介を行う。ClHI−κ のと書き表すことができる。P (k) は現在の物質分布に計算結果を図 1 に示す。丸印は今回シミュレーション

おける自己相関のパワースペクトルであり、より計算した ClHI−κ の隣接する l における相加平均であり、エラーバーは標準偏差を表す。実線は今回シ(14) ミュレーションに加えた真の ΩHI の値を式 (11) に代入した理論曲線である。ここで、式 (14) はスペクト
今回は簡単のため HI 分布の密度揺らぎと物質分布
ル指数を ns = 0.965、物質の存在量を Ωm0 = 0.316の密度揺らぎの間には線形バイアスの関係 δHI = bHI δとして線形理論によって求めた。図 1 より、実線はがあると仮定する。コンバージェンスのカーネルは全てのビンにおいてエラーバーの中に入っているこn に対して大きな広がりを持った形をしており、固とがわかる。得られたデータに対し、最尤法を用い
有速度はランダムだと考えられるため、固有速度にて HI 存在量を推定した結果を表 1 に示す。推定した由来する、21cm 線の輝度温度由来の異方性はキャン
誤差の範囲内に入力した HI 存在量は含まれているたセルされるはずである。したがって、この項は無視
め、相互相関によって HI 存在量が正しく復元できるできる。
ことがわかった。ただし、式 (11) を見ると、bHI ΩHIP (k) = ⟨δ̃0 (k)δ̃0∗ (k)⟩.

という形で入っているため、バイアスパラメータと3.2

シミュレーション

21cm 線強度マップとコンバージェンスマップをシ
ミュレーションデータから模擬的に再現するためには暗黒物質分布と HI ガスの分布が必要となる。今回
は Takahashi et al. (2017) によるレイトレイシング
シミュレーションを用いた。N 体シミュレーション

HI 存在量は完全に縮退してしまうため、今回の手法
で ΩHI を単独で決めることはできないことに注意しておく。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

表 1: HI 存在量推定結果と理論値の比較
入力値 [10−4 ]
推定値 [10−4 ]

ΩHI

5

5.2

6.0+1.3−1.3 (95%CL)

結論
再電離終了後の HI 存在量の新しい推定手法として、21cm 線強度マッピングがある。しかし強い前景
放射が 21cm 線シグナルを汚染してしまう。この問題を解決するために 21cm 線強度マッピングと CMB

図 1: ClHI−κ の計算結果と理論曲線の比較。丸印はシ

弱重力レンズ効果の相互相関を計測する手法がある。 ミュレーションより得た C HI−κ の計算結果であり、l

本研究では 21cm 線強度マップと CMB 弱重力レン

実線はシミュレーションに加えた ΩHI を式 (11) に代ズのコンバージェンスマップをシミュレーションに入した時の理論曲線である。

より作成し、これらの相互相関を測定した。計算結果を理論モデルと比較することで HI 存在量を推定した。その結果推定した HI 存在量はシミュレーションに加えた HI 存在量と整合した。つまり、相互相関に
より HI 存在量を推定することは可能であると考えら

Acknowledgement
研究、発表練習を支えてくださった名古屋大学宇宙論研究室のみなさまには感謝申し上げます。

れる。

Reference6

展望
今回は暗黒物質と HI の密度揺らぎのずれをを表す

HI バイアスを線形バイアスと仮定したという非常に簡単なモデルを用いて HI 存在量の推定を試みた。しかし、実際には小スケールでは星形成や銀河形成過程などにより線形バイアスがからずれるという結果
がシミュレーションを用いた先行研究により示唆されている。実際の宇宙に対し、相互相関の手法が HI
存在量推定に有効か判断するためには、より現実の宇宙に近い HI 分布の作成と、より複雑なモデリングが必要となるだろう。
イントロダクションで話したように、相互相関の手法には前景放射の影響を取り除けるという利点があると考えられているが、実際に前景が推定にどれほど影響するか検証する必要がある。将来研究では、試験的に前景をシグナルに加えて CMB 弱重力レンズ効果との相互相関により、HI 存在量を正しく復元するかを確かめる。

Guha Sarkar T., 2010, JCAP, 2010, 002
Tanaka S., Yoshiura S., Kubota K., TakahashiK., Nishizawa A. J., Sugiyama N., 2019, arXiv,
arXiv:1904.10363
Takahashi R., Hamana T., Shirasaki M., Namikawa T.,
Nishimichi T., Osato K., Shiroyama K., 2017, ApJ,
850, 24

——–index

a25
21-cm 線を用いた小スケールの初期パ
ワースペクトルへの制御
名古屋大学大学院 理学研究科 宇宙論研究室
古郡国彦

2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

21-cm ઢΛ༻͍ͨখεέʔϧͷॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧ΁ͷ੍‫ݶ‬‫ࠃ ܊ݹ‬඙ (໊‫ݹ‬԰େֶେֶӃ ཧֶ‫ڀݚ‬ՊɹӉ஦࿦‫)ࣨڀݚ‬AbstractϏοάόϯཧ࿦ͷӉ஦ॳ‫ؔ͢ʹظ‬Δॾ໰୊ͷղܾࡦͱͯ͠Π ϯϑϨʔγϣϯཧ࿦͕͋ΔɻΠϯϑϨʔγϣϯϞσϧ͸ແ਺ʹଘࡏ͢ΔͨΊɺͦͷϞσϧΛ੍‫͢ݶ‬Δඞཁ͕͋Δɻͦͷํ๏ͷ Ұͭʹॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧʹ
ΑΔ੍‫͕͋ݶ‬Δɻॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧͷ੍‫ݶ‬͸Ӊ஦ϚΠΫϩ೾എ‫ࣹ์ܠ‬ͷ‫؍‬ଌͳͲ͔ΒಘΒ Ε͖͕ͯͨɺখ
εέʔϧଆ (೾਺ k ≥ 1Mpcʵ 1 ) ͸ෆఆੑ͕େ͖͍ɻۙ೥஫໨͞Ε͍ͯΔ ultracompact minihalo (UCMH)

ͱ͍͏ఱମΛ༻͍Δ͜ͱͰখεέʔϧଆʹ੍‫ݶ‬Λ՝ͤΔՄೳ ੑ͕͋Δ (Ricotti et al. 2009)ɻUCMH ͸ɺ੺ํภҠ z = 1000 ʹ‫ܗ‬੒͞ΕΔߴີ౓ఱମͰ͋Γɺີ౓༳Β͗ͷେ͖͕͞ 10−3 ≤ δ ≤ 0.3 Λ ຬͨ࣌͢ʹߏ଄‫ܗ‬੒͞Ε͏Δɻߴ੺ํภҠʹ͓͍ͯ‫ܗ‬੒͞ΕΔ UCMH ͸ɺۭؒతʹίϯύΫτͰ͋Γɺॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧͷ୹೾௕ଆͷ೾਺ൣғʹ੍‫ݶ‬Λ͚ͭΔ͜ͱ͕‫ظ‬଴͞ΕΔɻຊ‫Ͱڀݚ‬͸ɺ21-cm ઢΛ༻͍ͯ UCMH ͷଘࡏྔʹ੍‫ݶ‬Λ՝͠ɺখεέʔϧଆͷॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧʹ੍‫ݶ‬Λ͚ͭΔ͜ͱΛ໨తͱ͢Δɻ21-cm ઢͱ͸ɺதੑਫૉͷ௒ඍࡉߏ଄༝དྷͷి࣓೾Ͱ͋Δɻ2020 ೥୅લ൒ʹ‫؍‬ଌΛ։࢝͢Δ Square Kilometre Array(SKA)ʹΑͬͯ z = 30 ఔ౓·Ͱͷ‫؍‬ଌ͕‫ظ‬଴͞ΕΔ‫ࠐݟ‬ΈͰ͋ΔɻӉ஦࠶ి཭ΑΓे෼ҎલͰ͋Δ͔Βɺ UCMH
΋தੑਫૉΨεΛ࣋ͭͱߟ͑ΒΕΔɻͦͷͨΊ UCMH ಺෦ͷதੑਫૉʹ༝དྷ͢Δ 21cm ઢ͕‫؍‬ଌͰ͖Δͱ‫ظ‬଴͞Ε ΔɻຊߨԋͰ͸ɺUCMH ͷதੑਫૉີ౓෼෍͓ΑͼԹ౓෼෍ΛϞσϧԽ͢Δ͜ͱͰɺ‫ݸ‬ผͷ UCMH
ͷ 21-cm ઢγάφϧ෼෍ Λಋग़͢Δख๏Λ঺հ͢Δɻ(Komatsu & U.Selijak 2001) ͦͯ͠ɺSKA ͷ‫౓ײ‬Λߟྀ͢Δ͜ͱʹΑΓɺUCMH ͷଘࡏྔʹ੍‫ݶ‬Λ༩͑ΔՄೳੑʹ͍ͭ ͯٞ࿦͢Δɻ·ͨɺͦͷ݁Ռ͔Βɺk ≥ 1Mpcʵ 1 ͷখεέʔϧ ଆͷॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧͷ੍‫͍ͯͭʹݶ‬ٞ࿦͢Δɻ

1

Introduction

et al. 2018)ɻ ͔͠͠ɺγ ઢʹΑΔ੍‫ݶ‬͸ɺμʔΫϚ
λʔରফ໓Λߟ͍͑ͯΔͨΊɺμʔΫϚλʔͷੑ࣭ʹ‫ࡏݱ‬ɺΠϯϑϨʔγϣϯϞσϧΛ୅ද͢ΔӉ஦ॳ‫ظ‬ͷ෺ཧ‫ͯؔ͠ʹߏػ‬ɺະ஌ͳྖҬ͕ଟ͘ଘࡏ͢
Δɻͦͷ෺ཧ‫͔ߏػ‬Β༧‫͞ݴ‬ΕΔॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧ͸‫؍‬ଌʹ͓͍ͯɺk ≥ 10Mpc−1 ͷখεέʔϧͰ͸ෆఆੑ͕େ͖͍ (Bringmann et al. 2012)ɻͦ
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UCMH ͷଘࡏྔΛԾఆ͠ɺഎ‫ ܠ‬21cm ઢ‫౓ڧ‬Λ‫ݟ‬͕‫͞ࢉܭ‬ΕΔ (Furlanetto, & Loeb 2002)ɻ͕ͨͬ͠

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dR
0

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(4)

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Methods/Instruments
and Observations

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dαTb,ave = 0=2
Tb (α)αdα,2πrvir
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2.2
2.1

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(7)

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(1)

(6)

(2)

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(8)
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dR,
8πν 2
Ts (l)
−Rmax
(3)

2.3

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2
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(10)

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2ͱϊΠζʹΑΔً౓Թ౓ͷ෼ࢄ ⟨Tb,N
OISE ⟩ ͕͋Δ͕ɺ2
2
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$(2 .
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03

͢ɻ·ͨ͜ͷਤΛඳ͘ࡍɺࣜ (11) Λ༻͍ͯɺॳ‫ظ‬෺

(11)

m

Results
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2019 ೥౓ ୈ 49 ճ ఱจɾఱମ෺ཧएखՆͷֶߍ

Reference
Delos et al. 2018,PHYSICAL REVIEW D 98
Iliev et al. 2002 , Astrophys.J. 572 123
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S. Weinberg. 2008 , Oxford University Press.
E. Komatsu & U. Seljak 2001, MNRAS, 327, 1353

ਤ 2: UCMH 1 ‫ͨ͋ݸ‬Γͷ Tb,ave ͱ MU CM H ͷؔ܎

Moore, B., Quinn, T., Governato, F., et al. 1999, MNRAS,310,1147.
Furlanetto, S. R., & Loeb, A. 2002, APJ, 579, 1

ਤ 3: ϐʔΫ೾਺ ks ͱॳ‫཰ۂظ‬ύϫʔεϖΫτϧ A0ͷؔ܎4

Conclusion
UCMH ͷ 21cm ઢ‫؍‬ଌʹΑΔॳ‫ظ‬ύϫʔεϖΫτϧͷ੍‫ݶ‬ͷՄೳੑʹ͍ͭͯٞ࿦ͨ͠ɻ‫ࡏݱ‬ͷ γ ઢͷ੍‫͍͓ͯʹݶ‬ɺ10Mpc−1 ≤ k ≤ 104 Mpc−1 ͷൣғͰ

͸ɺA0 ≤ 3 × 10−7 ΑΓ‫͚͔͕ݶ੍͍ڧ‬ΒΕ͓ͯΓɺզʑͷ༩͑Δ੍‫ݶ‬ΑΓ΋‫( ͍ڧ‬Delos et al. 2018)ɻ͠

͔͠ɺγ ઢʹΑΔ੍‫ʹݶ‬͸ɺWIMP ʹΑΔରফ໓ΛԾఆ͍ͯ͠ΔͨΊɺDM ͷੑ࣭ʹେ͖͘ґଘ͢Δͷʹର͠ɺզʑͷϞσϧ͸ DM ͷੑ࣭ʹґଘ͠ͳ͍ϞσϧͰ͋ΔͨΊɺΑΓීวతͳ༧‫͋Ͱݴ‬Δ͜ͱ͕‫ݴ‬
͑Δɻ

——–index

a26
21cm-LAE cross-correlation を用いた
21cm 線シグナルの検出可能性
熊本大学大学院 自然科学教育部
口ノ町 瑛

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

21cm-LAE cross-correlation を用いた 21cm 線シグナルの検出可能性
口ノ町 瑛 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
誕生して間もない宇宙は、高温高密度のプラズマ状態で存在していた。やがて宇宙膨張による温度の低下
によって陽子と電子が再結合し、中性水素が生成される。その後、初代星や初代銀河の形成に伴って、宇宙に存在するほとんどの中性水素が電離される。この時期を宇宙再電離期と呼ぶ。
しかし宇宙再電離期について、電離開始時期を始め、電離源や電離プロセスはまだ観測的には未解明である。この宇宙再電離期を捉えるには、当時の宇宙を満たしていた中性水素が放射する電磁波である 21cm 線の観測が有効である。しかし、宇宙再電離期の 21cm 線は非常に微弱であるのに加え、21cm 線の観測は銀河系シンクロトロン放射や系外電波などの強烈な前景放射によって妨げられている。そのため、前景放射の影響を軽減、回避することが求められる。そこで本研究では、21cm 線の放射強度と銀河分布の相互相関に着目した。21cm-LAE 相互相関を計算し、21cm 線シグナルの感度を見積もり、検出可能性を示した。

1

Introduction
暗 黒 時 代 の 中 性 水 素 は 、初 期 の 恒 星 や 銀 河が放射する紫外線光子や X 線光子によって電離された。この時代は宇宙再電離期と呼ばれる。宇
宙再電離期を調査するためには中性水素から放射される 21cm 線の観測が有効であるとされてい形成される。一方で、電離バブルの外側の領域では中性水素が電離されずに残る。そのため、21cm 線
シグナルと銀河分布の間には負の相関があると期待される。この研究では、21cm シグナルと Lymanα emitter(LAE) の相互相関に注目する。LAE とは

121.6nm の波長の電磁波を強く放射する高赤方偏移銀河のことである。これは、すばる望遠鏡、ケックる 。現 在 、Murchison Wideﬁeld Array(MWA) や

望遠鏡、ハッブル宇宙望遠鏡によって検出されていLOw Frequency ARray(LOFAR) な ど の 望 遠 鏡 がる。

21cm 線の観測を行なっている。これらの望遠鏡の感度は、宇宙再電離期の中性水素分布のイメージを得るためには十分でないが、熱雑音だけを考慮する
ならば、中性水素分布の統計的性質を調査するには十分である。

21cm 線シグナルに対して銀河系シンクロトロン
や系外シンクロトロンなどの前景放射は強力である。21cm 線シグナルは一般的に数 mK であるが、前景放射は 4 桁以上大きい。そのため、前景放射に埋もれた 21cm 線シグナルを同定することは極めて困難である。そこで、前景放射の影響を低減するために 21cm 線シグナルと銀河分布の相互相関に焦点を当てる。前景放射は統計的に銀河分布に依存しないために、前景放射と銀河分布は相関を持たないと考えれらる。
もし、銀河が電離光子の主な放射源ならば、銀河の周りの中性水素が最初に電離され、電離バブルが先行研究では相互相関シグナルの検出能が調査 さ れ た 。こ の 研 究 の シ ミュレ ー ション は 星 形
成 率 、赤 方 偏 移 に お け る 中 性 水 素 率 と 宇 宙 マ イ
ク ロ 波 背 景 放 射 の 光 学 的 厚 み で 構 成 さ れ る 。最初 に 、相 互 相 関 の 基 本 的 な 特 徴 を 確 認 し 、相 互
相 関 の 赤 方 偏 移 に よ る 変 化 を 調 査 す る 。そ して 、MWA ま た は Square Kilometre Array(SKA)
で 、深 く 狭 い 観 測 の Ultra-deep survey ま た は
広 く 浅 い 観 測 の Deep survey に よ る 21cm 観 測と、LAE の正確な赤方偏移を得ることができる

Prime Focus Spectrograph(PFS) の 追 観 測 を 用 い
た 場 合 、ま た は 用 い な い 場 合 の す ば る 望 遠 鏡 のHyper Suprime-Cam(HSC) による LAE 観測との協力によるクロスパワースペクトルの検出能を示す。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

21cm-LAE cross correlation

3

Simulation data

赤方偏移された 21cm 線は、CMB を背景電波源

3.1

Reionization modelとした相対的な輝度温度 δTb で観測される。

この研究の再電離シミュレーションは、初めにTs − Tγ−τν0δTb =(1 − e)(1) 高い解像度を伴う宇宙論的輻射流体力学 (radia1+ztion hydrodynamics ; RHD) シミュレーションから)()1 (1 + z 0.15 2 Ωb h2
mK の電離源のサブグリッドモデルと IGM の clump≈ 27xHI (1 + δnl )10 Ωm h2
0.023
ing factor を組み立て、輻射輸送の計算に対するモ(2)
デルを使用する。そして銀河の電離光子生成率が基Ωm は 物 質 の 密 度 パ ラ メ ー タ、Ωb は バ リ オ ン 準のモデル (mid model) と、mid model から 1.5 倍大の 密 度 パ ラ メ ー タ、h は ハッブ ル 定 数 で 単 位 は きい early model と、1.5 倍小さい late model でクロ
100 km s−1 Mpc−1 である。この研究では宇宙再電離 スパワースペクトルの比較を行う。
期の後期を考えるため、Ts ≫ TCMB とする。

21cm-LAE クロスパワースペクトルを定義するた
めに、δTb の空間的なゆらぎを定義する。

δ21 (x, z) ≡δTb (x, z) − δTb (z)δTb (z)3.2

Galaxy(LAE) model

擬似的な LAE のサンプルは 2 つのステップによっ(3) て得られる。まず、それぞれの銀河の Ly-α光度を決定する。次に、与えられた方向に沿った Ly-αの光δTb (z) は δTb の空間平均である。同じように銀河 学的厚みによって IGM を通した Ly-αの遷移率を得(LAE) の数密度ゆらぎも定義する。
る。それぞれの銀河の電離構造は RHD シミュレー
δgal (x, z) ≡ngal (x, z) − n̄gal (z)n̄gal (z)ションで計算されるため、RHD シミュレーションの(4) 結果から銀河の Ly-α光度を推定することができる。

ここで ngal (x, z) は LAE の数密度で、n̄gal (z) はngal (x, z) の空間平均である。δ21 と δgal はどちらも無次元量である。δ̃21 (k) と δ̃gal (k) を δ21 (x) と δgal (x)のフーリエ変換と定義すると、クロスパワースペク
トル P21,gal (k) は、⟨⟩3δ̃21 (k1 )δ̃gal (k2 ) ≡ (2π) δD (k1 + k2 )P21,gal (k1 )(5)で与えられる。ここで、δD (k) はディラックのデルタ関数である。無次元クロスパワースペクトルは、
3∆221,gal (k) =kP21,gal (k)2π 2で定義される。

Method
MWA と SKA による 21cm 線の観測と、Subaru

HSC と PFS の経過観測による LAE 観測の組み合わせを考える。最初に、()2
P (k, µ) = 1 + βµ2 P (k)(8)とする赤方偏移空間の歪曲を考慮したパワースペク
トルに変換する。ここで µ は k と視線の間の角度のcosine である。β = Ω0.6
m (z)/b と b は bias factor であ2(6) る。bias factor は bgal (k) = Pgal (k)/PDM (k) によって与えられる。PDM (k) はダークマターのパワースペ

クトルである。ここではこれを Pdensity (k) ≈ PDM (k)で与えられる。相互相関関数 ξ21,gal (r) は、

ξ21,gal (r) ≡ ⟨δ21 (x)δgal (x + r)⟩4(7)と仮定して計算する。Pdensity (k) はガス密度のパワー
スペクトルである。
系統誤差なしでは、21cm 輝度温度のパワースペク
トルの誤差は2Tsys
D2 ∆DδP21 (k, µ) = P21 (k, µ) +Btint n(k⊥ )

(

λ2
Ae

)2
(9)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
によって与えられ、Tsys はシステム温度で、Tsys ∼()2.3
280 1+z
K と推定される。B は観測バンドパス、
7.5

tint は 21cm 線の観測時間である。D は 21cm 線の観測体積までの共動距離で、共動的な観測幅 ∆D は
( B ) ( 1+z ) 12 ( Ωm h2 )− 12∆D = 1.7 0.1MHZ
によって与
10
0.15
えられる。n(k⊥ ) は波数ベクトルの観測される垂直)1(
成分 k⊥ = 1 − µ2 2 k における基線の数密度で、r−2 で連続的に減少すると仮定する。Ae はそれぞれのアンテナタイルの有効面積で、λ は観測された21cm 線の波長である。最初と 2 番目の項はそれぞれ
sample variance と熱雑音を表す。
同様に、銀河観測の誤差は()
2 2
δPgal (k, µ) = Pgal (k, µ) + n−1
gal exp k∥ σr(10)によって与えられ、ngal は銀河観測における平均数密度である。その逆数はショットノイズであるとされ、k∥ は波数の平行成分 k∥ = µk である。σr = cσz /H(z)であり、σz は銀河観測における赤方偏移誤差である。
ここでは、最初の項は sample variance で第 2 項が
図 1: mid model の z = 6.6 における MWA または

ショットノイズと赤方偏移誤差の積である。

21cm 観測と銀河観測の誤差を伴うと、クロスパ

SKA の Deep survey のクロスパワースペクトル。上図は PFS あり、下図は PFS なしである。

ワースペクトルの誤差は[ 2]2
2 δP21,gal(k, µ) = P21,gal(k, µ)+δP21 (k, µ)δPgal (k, µ)z = 6.6 における MWA の Deep survey の全 SN(11) 比は、Ultra-deep survey に比べて PFS ありもなしもによって与えられる。第 1 項はクロスパワースペク わずかに良い。したがって、もし観測領域が平均よ

トルの sample variance を表し、第 2 項は δP21 (k, µ)

りも大きな相互相関振幅を持つなら、シグナルを検と δPgal (k, µ) の積である。

出可能である。SKA-low では、感度が改善され、とそして、それぞれの k のビンにおける SN 比の合計ても大きな SN 比が期待される。z = 7.3 におけるシである全 SN 比グナルは、PFS なしではごくわずかであるが、PFS

(

S
N

)2
=
total

N
bin (
∑
i

∆k
ϵki

)(

S
N

)2

を用いた場合は検出できる。したがって、SKA を用(12) いて宇宙再電離期の後期における相互相関の進化をiを計算する。Nbin はビンの数、∆k はビンの大きさである。

研究できる。
図 1 と 2 を用いて 3 つの再電離モデルの感度を比較すると、検出可能性は強く再電離モデルに依存することがわかる。early model では、PFS が利用可能

5

Results
21cm-LAE クロスパワースペクトルは大スケール

で負の値、小スケールで正の値をとる。正相関は、であっても、MWA でシグナルを検出するのは非常に困難である。一方、late model では、MWA は小ス
ケールで PFS なしでもシグナルを検出できる。
図 3 は観測の広さと深さに対する late model のLAE 周りの電離領域と電離バブル内の低密度な領域 MWA-Deep survey と SKA-Deep survey の全 SN 比の間の相関によって引き起こされると考えられる。 の等高線を示す。観測領域を固定すると、より深い2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 2: z = 6.6 における PFS を用いた MWA またはSKA の Deep survey のクロスパワースペクトル。上
図は early model、下図は late model である。
LAE の観測を行なっても SN 比があまり改善されな
いことがわかる。したがって、広く浅い LAE 観測は

図 3: late model における z = 6.6 で PFS を用いた

ある観測時間で大きな SN 比を導く。

MWA と SKA の Deep survey の SN 比の等高線。

6Conclusion

能性が強く再電離モデルに依存することがわかった。

HSC Deep ﬁeld survey と MWA を想定した観測では、この研究では、21cm 線シグナルの前景放射の影響

もし再電離が比較的にゆっくり続く (late model) なを取り除くために 21cm-LAE 相互相関シグナルの検らば、大スケールでシグナルを検出できるが、一方出可能性を調査した。LAE が電離光子の主な源ならで SKA はすべてのモデルでシグナルを検出するのば 21cm 線放射は LAE の集団と負の相関をもつとに十分な感度をもつ。

予想される。21cm-LAE クロスパワースペクトルは大スケールで負、小スケールで正の値になる。そして、MWA と SKA による 21cm 線の観測と、HSC に

Reference

よる LAE 観測の組み合わせを PFS による追観測を

Kubota K., et al.(2017),MNRAS,479,2754

仮定して感度を計算し、シグナルと比べた。z = 6.6
において、SN 比は Ultra-Deep survey と比較して常に Deep survey の方が良いが、 z = 7.3 を探査できるのは Ultra-Deep survey だけである。また、検出可——–indexb1
F (R) gravity での Shuwarzshild-de Sitter
black holes の Anti-evaporation
名古屋大学大学院 理学研究科
木太久 稜

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

F (R)gravity での Schwarzshild-de Sitter black holes のAnti-evaporation
木太久 稜 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホールの anti-evaporation とはそのブラックホールの (apparnt) ホライズンの半径が座標時間の経過とともに増加する現象である。この現象はよく知られるブラックホールの蒸発とは正反対のものである。
本講演で、2 つのホライズンの半径がほぼ等しい Schwarzshild-de Sitter black hole(Nariai Black hole) は

F (R)gravity で anti-evaporation が古典的に起こることを紹介する。これは時空にある形の摂動を加え、その初期の振舞いを見ることによって示される。最後に F (R) に具体的な形を入れそのモデルで anti-evaporationが生じるか議論する。

1となる。ここで F ′ (R) は F (R) を R で微分して得ら

Introduction
Anti-evaporation は R.Bousso & S.Hawking に

よって初めて発見された。彼らは s 波と one-loop 近似を使って Nariai 時空に量子補正をした (Bousso &Hawking 1998)。そのあと得られた時空にある形のれる関数である。F (R) = R とすれば確かに Einstein
方程式になっている。この F (R) の形によっては現在の加速する宇宙、また宇宙初期のインフレーショ
ンを表すことができる。以下自然単位系 (c = ℏ = 1)
で考える。

摂動をかけ初期のホライズンの振る舞いを見ると初期条件によっては evaporation つまりホライズンの大きさが減少する、しかし一方で anti-evaporation、 3
つまりホライズンの大きさが増加することが見られた。今回これが F (R) gravity では古典的に生じるじNariai spacetime
まず、真空中の場の方程式 (Tmatter µν =0) を考え,

R = const が一定の場合を考える。そうすると、式ることを紹介する。

(2) は

2

1
gµν F (R) − Rµν F ′ (R) = 02となる。この式の両辺に g µν をかけると

F (R) gravity
F(R) gravity は Einstein Hilbert action
∫
√
R
8πG
dx4 −g(κ = 4 )2κc

2F (R) − RF ′ (R) = 0

また場の運動方程式は物質場も入れて

1gµν F (R) − Rµν F ′ (R) − gµν □F ′ (R)2κ+∇µ ∇ν F ′ (R) = − Tmatter µν2(4)が得られる。この式を成立させる R が存在するとしの R を R の関数 F (R) で置き換えて得られる理論である。よって、その作用は∫√ F (R)dx4 −g
2κ

(3)

(1)

その解を R0 とする。そうすると次の計量が場の方
程式 (2) の解であることが確かめられる。

ds2 = −f (r)dt2 + f −1 (r)dr2 + r2 dΩ2
R0 2 2M G
f (r) ≡ (1 −
r −
)
12
r

(5)

dΩ2 = dθ2 + sin2 θdϕ2 である。R0 > 0, M G > 0の時、この計量を Schwarzshild-de Sitter spacetime(2) という。また、この計量は宇宙項を含んだ真空中の2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
Einstein 方程式の解にもなっている。

となる。この時空が Nariai space time である。χ′ のここでこのブラックホールのホライズンの振舞につ定義域は [0, π] である。ここで更にいて考察する。ホライズン位置は f (r) = 0 となる r

sin χ′ =0である。f (r) = (r − r3 R
12 − 2M G)/r より分子が 0になるところを求めればよいが、その分子を g(r) とすると g(r) の極値は r± = ± √2R となる。この g(r)(10)という座標変換をすると0は 3 次関数で、3 次の符号が負、g(0) = −2M G ＜ 0ds2 =より g(r) が ｒ > 0 で 0 になるには g(r+ ) ≥ 0 である必要がある。また g(r+ ) > 0 のときホライズンが1
cosh χ

11(−dτ 2 + dχ2 ) + 2 dΩ2(Λ cosh χ)2Λ(11)となる。座標変数 χ の定義域は [−∞, ∞] である。

2 つあり g(r+ ) = 0 のときホライズンが 1 つになる。
g(r+ ) = 3√4R − 2M G よりホライズンが 2 つある時0は g(r+ ) = 3√4R − 2M G > 0 ⇔ 0 < M G < 3√2R
004である。この 2 つのホライズンを r が小さいほうからブラックホールホライズン、コスモロジカルホライ
ズンという。この 2 つのホライズンの間にある物体をPerturbation
上で得られた Nariai spacetime に摂動をかけることを考える。まず以下のような計量を考える。

考えると、この物体はコスモロジカルホライズンを

ds2 = e2ρ(χ,τ ) (−dτ 2 + dχ2 ) + e−2ψ(χ,τ ) dΩ2 (12)超えることはできない。また、ブラックホールホライ
ズンの内側に入ってしまうとそのホライズンの外側

ρ = − ln(Λ cosh χ), ψ = ln Λ のとき Nariai spaceには抜け出せない。また、g(r+ ) = 3√4R − 2M G = 00のときを考えると M G = 3√2R となる。よって g(r)0time(11) を表す。そこで ρ, ψ を以下のように置くとρ = − ln(Λ cosh χ) + δρ, ψ = ln Λ + δψにおいて R0 を固定したまま M G を変えることは関(13)

数を上下に平行移動させていることと同じであるか

Nariai spacetime に摂動をかけた時空が得られる。こら M G → 3√2R − 0 で g(r) = 0 を満たす正の 2 つのとき、曲率の変化分は以下のように表される。

0の r は一致する。つまり 2 つのホライズンはこの極限で一致する。以下√Λ≡= 4Λ2 (δψ − δρ)δR+ Λ2 cosh2 χ(2δ ρ̈ − 2δρ′′ − 4δ ψ̈ + 4δψ ′′ ) (14)R04とする。このとき 2 つのホライズンが一致する条件はここで、ρ′ , ρ̇ はそれぞれ χ, τ についての微分である。

ψ についても同様である。そして場の運動方程式 (2)1− 0 ⇔ 3M GΛ → 1 − 0(6) から次の摂動の式が得られる。
3Λ
となる。今から 2 つのホライズンの大きさがほぼ等
F (4Λ2 )−F ′ (4Λ2 ) + 2Λ2 F ′′ (4Λ2 )
δR
−
δρ
2
しい場合を考える。これは 0 < ϵ ≪ 1 として
2Λ2 cosh χΛ2 cosh2 χ
MG →−F ′ (4Λ2 )(−δ ρ̈ + 2δ ψ̈ + δρ′′ + 2 tanh χδψ ′ )(3M GΛ)2 = 1 − 3ϵ2+ tanh χF ′′ (4Λ2 )δR′ + F ′′ (4Λ2 )δR′′と書ける。このとき 2 つのホライズンの間の領域を= 0 (15)張る次のような座標変換

τ
ϵΛ
1
ϵ2
r =
(1 − ϵ cos χ′ − )Λ
6をすると ϵ の 0 次 でt =1
1
sin2 χ′ 22dτ + 2 dχ′ + 2 dΩ2ds = −
Λ2
Λ
Λ
2

(7)
(8)

−

′

′′

F (4Λ )−F (4Λ ) + 2Λ F (4Λ )δR + 2δρ
2Λ2 cosh2 χΛ cosh2 χ−F ′ (4Λ2 )(δ ρ̈ + 2δψ ′′ − δρ′′ + 2 tanh χδψ ′ )
2

2

2

2

+ tanh χF ′′ (4Λ2 )δR′ + F ′′ (4Λ2 )δ R̈
= 0 (16)(9)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
tanh χ(−2δ ψ̇F ′ (Λ2 ) + F ′′ (4Λ2 )δ Ṙ)5

horizon tracking+(−2δ ψ̇ ′ F ′ (Λ2 ) + F ′′ (4Λ2 )δ Ṙ′ )apparent ホライズンがどこに位置しているかを考= 0 (17) える。今、計量の形は−F ′ (4Λ2 ) + 2Λ2 F ′′ (4Λ2 )F (4Λ2 )−δR−δψ
ds2 = e2ρ(χ,τ ) (−dτ 2 + dχ2 ) + e−2ψ(χ,τ ) dΩ2 (25)2Λ2
Λ2
− cosh2 χF ′ (4Λ2 )(−δ ψ̈ + ψ ′′ )である。このとき動径方向に進む光の変位は ds2 = 0− cosh2 χF ′′ (4Λ2 )(−δ R̈ + δR′′ )となるように進むので= 0 (18)dτ = ±dχ, dθ = dϕ = 0

式 (17) を解くと

−2δψF ′ (4Λ2 )+F ′′ (4Λ2 )δR =Cτ (τ )+Cχ (χ) (19)cosh χ

が得られる。ここで、Cτ (τ ), Cχ (χ) はそれぞれ τ, χ

(26)となる。よってこの光の測地線の接ベクトルは

kα = (dτdτ
, ± , 0, 0) = (e−2ρ , ±e−2ρ , 0, 0)
dλ dλ

(27)

の任意関数である。F ′′ (4Λ2 ) ̸= 0 とし式 (19) を使っ である。以下、+ の方を outgoing,− を ingoing と呼て式 (18) の δR0 を消去するとぶ。またここで測地線はアフィンパラメーター λ で

1(2(2α − 1)F ′ (4Λ2 )δψ
α cosh2 χ()
Cτ (τ )+(α − 1)+ Cχ (χ) )cosh χ
()
Cτ (τ )′
2+□ 3F (4Λ )δψ ++ Cχ (χ)
cosh χ
=0
2

パラメトライズされているとした。このときこれら
光の膨張 θ は

∂ψ ∂ψ
±
∂τ
∂χ

)
(28)

となる。前に与えた δψ を代入すると

(20)

2

∂
∂
となる。ここで □ = − ∂τ
2 + ∂χ2 で

2Λ2 F ′′ (4Λ2 )F (4Λ)F ′′ (4Λ2 )α≡=2F ′ (4Λ2 )F ′ (4Λ2 )(θ = ∇α k α = −2

θ = −2δψ (ω tanh ωτ ± β tanh χ)(29)となる。よって、apparent ホライズン上では θ = 0(21) なので式 (24) よりである。中辺から右辺には式 (4) を使った。また式(20) を導出する際も式 (4) を使った。さてこの解の中に anti-evaporation を起こす解があることを示す。
そのために Cτ (τ ) = Cχ (χ) = 0 とする。そして δψ
の形を δψ = ψ0 cosh ωτ coshβ χ とする。このとき式cosh ωτ = cosh χ(30)が成立する。これは apparent ホライズンの必要条件を与える。この位置が正しく apparent ホライズンを与えているかどうかは得られた位置 χ の前後で式(29) の符号を見なければならない。χ が大きい、ま(20) は F ′ (4Λ2 ) ̸= 0 としてたは小さいほうのどちらかで θ のどちらともで負に
(
)
2
2
2
2
δψ 4 − − 3β(β − 1) + 3 cosh χ(−ω + β ) = 0 なっていればよい。
α
よって apparent ホライズンが存在するときのホラ(22)
イズンの半径はよって、δψ ̸= 0 でこの式が任意の χ で成り立つための必要十分条件は2−ω 2 + β 2 = 0, 4 − − 3β(β − 1) = 0
α
すなわち
(
)
√
1
19α − 8
ω = ±β, β =
1±
2
3α

(23)

e−δψh
e−ψ0 cosh
=
Λ
Λ

β+1

βτ

(31)

となる。摂動は τ > 0 のときにかけたとすると ap-

parent ホライズンが存在するためには ψ0 > 0 、こ(24) のとき β < − 1 のとき anti-evaporation が生じる.。
また ψ0 > 0 で β > −1 の場合 evaporation が起きる
8となる。β は α < 0 or α ≥ 19 のとき実数となる。 (表参照)。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

7

表 1: θ の値:ψ0 > 0, β = ωConclusion

χ

…

−ωτ

…

ωτ

…

今回 Nariai spacetime ある形の摂動を加えるとoutgoihg

+

0

−

−

−

F (R) の形によっては anti-evaporation が起きるこ

ingoihg

−

−

−

0

+

とを示した。最後に具体的なモデルについて α が実であるための条件をみた。

表 2: θ の値:ψ0 > 0, β = −ω

χ

…

−ωτ

…

ωτ

…

outgoihg

−

−

−

0

+

ingoihg

+

0

−

−

−

Acknowledgement
本講演にあたり一緒に議論してくれた研究室の皆様に深く感謝いたします。

表 3: θ の値:ψ0 < 0, β = ω

χ

…

−ωτ

…

ωτ

…

outgoihg

−

0

+

+

+

Reference

ingoihg

+

+

+

0

−

R. Bousso and S.W. Hawking, (Anti)evaporation of
Schwarzschild-de Sitter black holes, Phys. Rev. D

表 4: θ の値:ψ0 < 0, β = −ω

χ

…

−ωτ

…

ωτ

…

outgoihg

+

+

+

0

−

ingoihg

−

0

+

+

+

6

57, 2436 (1998)
S. Nojiri and S.D. Odintsov, Anti evaporation of
Schwarzschild-de Sitter black holes in f(R)gravity,
Classical Quantum Gravity 30, 125003 (2013)

Application
次のようなモデルを考える。

F (R)
R
=
+ f0 M 4−2n Rn
2κ
2κ

(32)

ここで f0 は無次元定数で M は質量の次元を持ったパラーターである。もし、(n − 2)f0 > 0 ならば式 (4)
より

{
}− 1
R0 = 4Λ2 = 2(n − 2)f0 κM 4−2n n−1(33)である。ここで R0 ̸= 0 とした。このとき式 (21) のα は以下のようになる。
α=

n
4

(34)

19n − 3212n(35)となる。よって β は

1
β= ±
2

√

となり β < −1 となるとき − を採用しなければならずまたそのとき n = −1, −2, −3 である。このとき

anti-evaporation が生じる。

——–index

b2
Q-balls
大阪市立大学大学院 理学研究科
遠藤 洋太

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Q-balls
遠藤 洋太 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
波が局在するような解を soliton 解と呼ぶ。その中で non-topological soliton と呼ばれる soliton 解が存在する。ある特定のポテンシャルをしたスカラー場は重力の効果なしに non-topological soliton 解をなすことが分かっている。これが Q-ball である。
先行研究 [S.Coleman (1985)] では、Q-ball の存在性や安定性について議論されており、特定の条件を満たす
ようなポテンシャルで抽象的に議論を進めている。また、この Q-ball の励起状態についても言及している。
本発表では先行研究 [S.Coleman (1985)] のレビューに加え、実際に具体的なポテンシャルを仮定して、Q-ball
解を数値的に導出し、その結果についての安定性を考える。

1

Introduction

1.1

set up1.2

Q-ball 解チャージ Q = const の下でエネルギー E が最小にフラットな時空である特定のポテンシャルを持った実スカラー場 2 つの Lagrangian density ：なるスカラー場を探す。計算の都合上 ϕ1 、ϕ2 を 2 次元ベクトルとして考える：
(

ϕ1
ϕ2

)

⃗=
1
1
ϕ
L = − (∂µ ϕ1 )2 − (∂µ ϕ2 )2 − U (ϕ)(1)
22となる系を考える。ただし、ϕ2 = ϕ21 + ϕ22 である。 このとき energy と charge は[]∫
この Lagrangian は SO(2) 変換：
1 ⃗˙ ⃗˙ 1 ⃗3⃗
E = d x ϕ · ϕ + ∇ϕ · ∇ϕ + U
22
ϕ1 → ϕ1 cos α − ϕ2 sin α
( ∫
)
∫
(2)
˙
˙ ⃗
3 ⃗
3
⃗
⃗
Q = i d xϕ(σ2 ϕ) → d x(ϕ × ϕ)3
ϕ2 → ϕ1 sin α + ϕ2 cos αに対して不変であり、それに対応する保存カレント
が存在して

(5)
(6)

ただし、σ2 は Pauli 行列 1 、Q の表式のカッコ内の⃗ の形式的な下付き添え字 3 はスカラー場ベクトル ϕ(3) 3 成分である。ここで新たな量を定義する：∫⃗·ϕ⃗I = d3 xϕと求めることができる。さらにこの量から conserved∫
charge が∫⃗ · (σ2 ϕ)⃗=
d3 x(σ2 ϕ)
Q = d3 xj0
(4)
( ∫
)
⃗2
→ d3 x|ϕ|と定義できる。
jµ = ϕ1 ∂µ ϕ2 − ϕ2 ∂µ ϕ1

ここで、ポテンシャルに制限を付けていく。

• ϕ = 0 で真の真空である：U (ϕ) = 0[ ]• mass term を持つ：µ2 = U ′′ (0) = 2U
ϕ2

ϕ=0

•

[

U
2U
ϕ2 が ϕ ̸= 0 で最小値を持つ：min ϕ2

]

0
≡ 2U
< µ2
ϕ2
0

このような条件のポテンシャルの下で Q-ball がで
きる。

(7)

Q
(8)
I
この ω は内部空間に対する慣性モーメントのアナロ
ジーで考えられる角運動量に相当するものである 2 。
ω=

(

)
0 −i
i
0
2 Q、I について最後のカッコつきの式はそれぞれ角運動量と慣性モーメントのようなものであることが見やすいように変形しただけである1σ

2 =2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで位置の正の任意関数 ϕ(x) に対して、無限遠

さらに、Schwarz の不等式 3 から∫でゼロになって、球対称に再構築した関数 ϕR (r)(球2⃗˙ 2 ϕ)⃗
d3 xϕ(σ
∫
∫
2
2
⃗
⃗˙
≤ d3 x ϕ
d3 x ϕ∫⃗˙ · ϕ⃗˙= I d3 xϕQ2 =対称単調減少関数) を以下に従うように定義する：

(9)

(16)
µL は Lebesgue measure である。ここまでやってき⃗˙ の下限を記
これは ϕ、Q を固定した時の E の中の ϕ述している。また Schwarz の不等式の等号が成り立つ必要十分条件は⃗˙ = −iωσ2 ϕ⃗
ϕµL {x|ϕR (x) ≥ ε} = µL {x|ϕ(x) ≥ ε} for any ε > 0(10)

た内容の ϕ を ϕR で置きなおしても、U の積分と Iは変わらない。また球的再構築理論から∫∫
32d x(∇ϕ(x)) ≥ d3 x(∇ϕR (r))2(17)

であることは言えて、この等号が成り立つのは ϕ =ϕR のときである。つまり、ϕ を球対称単調減少関数⃗である。(10) 式を満たすように ϕ を選ぶと、エネル として選ぶと energy を常に最小値にすることがで⃗ の汎関数として書くこと きる。
ギーはパラメータ Q と場 ϕができる：
以上の結果から 2 つのスカラー場は
[
]
∫
2
1 ⃗
⃗+U + Q
ϕ1 = ϕ(r) cos ωt
EQ = d3 x ∇ϕ
· ∇ϕ
(11)
(18)
2
2I
ϕ2 = ϕ(r) sin ωt
内部空間の角度変数として ϕ、θ を定義し、ベクトルと置くことができる。ここで ϕ(r) は動径方向に単調⃗をϕ()
減少関数である。このとき、スカラー場
ϕ に対するϕ cos θ⃗=ϕ
(12)方程式（EOM) は
ϕ sin θで、定義しなおす (ϕ ≥ 0）と、エネルギーの θ とそ

d2 ϕ
2 dϕ ∂ Û
=−
−
dr2
r dr
∂ϕ

の微分項に関する依存性は
]
[
∫
1 2
2
3
EQ = d x ϕ (∇θ) + · · ·
2

(19)

1 2 2
(13) と変形される。ただし、Û = 2 ω ϕ − U (ϕ) である。
これは r を時間、ϕ を位置とみたとき、摩擦を受けと書き出せる。ϕ 固定したときの EQ を常に最小に ながらポテンシャル Û 中を動く質点に等しい。

なるようにすると ∇θ = 0 が必要となる。この時、一般性を失わずに θ を任意の定数に選べるので、θ = 0⃗ は、として考えると、ϕ
(
⃗=
ϕ

ϕ

)

(
⃗˙ =
ϕ

0

0
ωϕ

)

∫

dXx† (X)y(X) ≤を満たす。等号が成り立つのはx(X) ∝ y(X) の場合のみである。
3任 意 の 複 素 ベ ク ト ル 場 に 対 し て 、dXx2 (X)∫ ∫dXy 2 (X)

Û =

1 2
(ω − 1)ϕ2 + λϕ4 − κϕ62(20)

ただし、λ = 0.0046、κ = 0.000012、ω = 0.70 とす(15) る。このときポテンシャル Û の概形は fig.1 となる。

が導出される。
∫

Q-ball の数値解

数値的に Q-ball となる解を探してみる。対応する(14) ポテンシャル：と書き直せる。, また (10) 式からその時間微分について22019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 1: potential Û の概形
図 3: Q-ϕ(0) 相関
このポテンシャル中で ϕ(0) = 14.38 を初期条件とすると Q-ball 解が得られる (fig.2)。

[M.Gleiser & R.Watkins (1989)] の手法を用いる
ために摂動を導入：
(
)
(
) (
ϕ1
ϕ1
cos ωt→+ϕ2
ϕ2
sin ωt− sin ωt)(cos ωt

δϕ

)

δϕ
(21)

この摂動に対する 1 次までの運動方程式は)(∂U δϕ 1 ∂ 2 U
2
2
2
2
+
δϕ = 0∂0 δϕ−ω δϕ+ ∂r + ∂r δϕ+
r∂ϕ 2ϕ 2 ∂ϕ2(22)
ここでこの摂動が振動数 Ω で振動していた (δϕ ∝図 2: Q-ball 解の一例
これは Q-ball 解の一例であり、振動数 ω を変えることでそれに対応した Q-ball 解が得られる。

3e−iΩt ) とすると時間微分項が Ω2 にとなり、Ω2 の固有値問題になる。この Ω2 の値が Q-ball の安定性を決定する。Ω2 < 0 の場合、摂動が発散してしまうので、不安定となる。実際にこの系に対してその Ω2 の値を求めるとその値は fig.4 となる。

安定性
重力込みの massive scalar 場での安定性の確認の手法 [M.Gleiser & R.Watkins (1989)] を用いて解析する。Gleiser ら [M.Gleiser & R.Watkins (1989)] の解析によると、振動する摂動に対してそのゼロモードはチャージ Q が多少の摂動で変わらない点、つまdQ= 0 となる点に存在するとしている。今回り、 dϕ(0)dQの系も dϕ(0)= 0 となる点まわりを見ると Q-ball の

安定性がわかると期待していた。
実際に今回の系について Q と ϕ(0) の相関を見ると fig.3 のようになる。

図 4: Ω2 と ϕ(0) の相関

Q-ball となるすべてのスカラー場の初期条件において Ω2 > 0 が成り立ったのでこの解は安定といえるだろう。
以上のことより安定な Q-ball 解が作れた。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

4

Future work
重力がカップルしたような系でスカラー場のふるまいを見ることで、超大質量ブラックホールやダー
クマターのモデルに拡張できると期待している。

Reference
S.Coleman,”Q-BALLS”,Nucl.Phys.B262 (1985) 263283
M.Colpi,S.Shapiro,and I.Wasserman, Boson Stars:
Gravitational Equilibria of Self-Interacting Scalar
Fields , Phys.Rev.Lett. 57, 2485(1986)
M.Gleiser
andR.Watkins,
GRAVITATIONAL STABILITY OF SCALAR MATTER ,Nucl.Phys.B319(1989)733-746
H.Ishihara and T.Ogawa,
Homogeneous balls
in a spontaneously broken U(1) gauge theory ,Phys.Rev.D99,056019 (2019)

——–index

b3
スカラーダークマターとブラックホー
ルヘア
神戸大学大学院 理学研究科
野村 皇太2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

スカラーダークマターとブラックホールヘア
野村 皇太 (神戸大学大学院 理学研究科)

Abstract
ブラックホールのまわりに存在する非自明なスカラー場の配位を「ブラックホールのスカラーヘア」と呼ぶ。

Hui et al.(2019) は、時間振動するスカラーダークマターがブラックホールを取り巻いていることによってス
カラーヘアが生じる状況を考え、ダークマターの質量に応じてスカラーヘアの様相がどのように変わるかを調べた。ダークマターの質量が大きい極限では、スカラー場はブラックホールからの距離の −3/4 乗に比例
して減衰する。質量の小さい極限では、スカラー場はブラックホールのまわりで振幅がほぼ一定となる振る舞いを持つ。中程度の質量の領域では、ブラックホールの外側でスカラー場の「定常波」が生じる。スカラー場の質量とスカラーヘアの関係性が明らかになったため、実際に存在するスカラーヘアの分布を観測から知ることができれば、スカラーダークマターの質量の推定に役立つ可能性がある。本発表では、特殊関数を利用することでスカラーヘアの質量依存性を解析的に導出した Hui et al.(2019) の方法と結果をレビューする。

1

Introductionℏ = 1 とする単位系を一貫して用いる。

漸近的平坦な静的ブラックホールはそのまわりにス
カラー場を持たない、という主張は「ブラックホー
ルの無毛定理」の一種として知られる (Bekenstein1972)。しかし、ブラックホールから十分に離れた領域でも時間的に発展するようなスカラー場が存在するとして、その定理の仮定を破るならば、非自明なスカラー場の存在が許される。実際、Schwarzschild
時空での Klein–Gordon 方程式は、時間に関して線

2

Methods
一般相対論における Einstein 方程式の静的球対称

真空解は Schwarzschild 解(rs ) 2 (rs )−1 2
ds2 = − 1 −drdt + 1 −rr+ r2 dθ2 + r2 sin2 θ dϕ2(1)形に発展するという境界条件の下で非自明な解を持であり、重力源物体の質量が十分に大きいとき、

つ (Jacobson 1999)。このスカラー場解は宇宙論的

Schwarzschild ブラックホールを記述する。ここで、な時間スケールで発展する背景スカラー場と解釈で

rs = 2GMBH は Schwarzschild 半径である（MBH はきる。ブラックホール時空上で存在し得るこのようブラックホールの質量、G は重力定数）。

なスカラー場解は、ブラックホールが持つ「スカラーSchwarzschild ブラックホールにおいて特徴的な距
ヘア（毛）」と呼ばれる。近年注目されているのは、 離のスケールとして、二つの量を導入する。一つは宇宙に広く存在するダークマターが時間依存性を持

上述の Schwarzschild 半径つスカラー場からなり、ブラックホールがこのスカ
ラーダークマターをまとっているとするモデルである。スカラーダークマターの候補としては、仮説上の粒子アクシオンがあり、これは 10−22 –10−3 eV の質量を持ち、時間的に振動しているとされる。本研究の目的は、ダークマターによって Schwarzschild ブラッ
クホールのまわりにスカラーヘアが生じる状況を考え、そのスカラーヘアの分布を調べることである。
なお、本発表では光速 c = 1、換算 Planck 定数

rs = 2.95 km

(

MBH
M⊙

)
(2)

である（M⊙ は太陽質量）。もう一つ、vtypical をブ
ラックホールの周囲の物質の典型的な速度分散とし
2て、距離 ri を rs /ri ≡ vtypicalで定義する。典型的な

vtypical で規格化すると、()2rs
vtypical−6= 10
ri
300 km/s(3)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校である。rs < r < ri の範囲においては、幾何学はを満たす関数 HeunC(α, β, γ, δ, η, z) である。

Schwarzschild 解で十分に記述される。すなわち、ス
カラー場による背景時空への反作用は無視できると3する。
本発表では、Schwarzschild 時空における質量 m のスカラー場 ϕ を考え、特に球対称なスカラー場の配位に注目する。このためには、Schwarzschild 計量を背景とする Klein–Gordon 方程式を球面調和関数で展開したのち、l = 0 のモードの方程式
[
(
) (
)2
1
1
−∂t2 − m2 1 −
+ 1−
∂r2
r
r
(
)(
) ]
2
1
1
+
1−
1−
∂r ϕ = 0r
r
2r

Results
今回は、スカラー場の質量 m を四つの領域に分け、それぞれの領域で合流型 Heun 関数を近似すること
により、スカラー場の配位を求めた。結果は表 1 の通りである。

IV
III(4)を考えればよい。ここでは rs = 1 とする単位系を用
動数は ω = m であるとし、時間依存性は ϕ ∝ e−imtIで表されるとする。
性質から決まる。ブラックホールの内側から事象のの波動解になるということが境界条件として課される。このとき、(4) の解は合流型 Heun 関数を用いて

ϕ(t, r) = Ce

−imt(r − 1)ϕ ∝ r−3/4 e−imt r−i2m rrs

rs
ri

√
≲ mrs ≲ rrsi( )2
mrs ≲ rrsi√

ϕ ∝ r−3/4 e−imt( √)× cos 2m rrs − 3π
4
(
imr 2
ϕ ∝ e−imt 1 + r s)− 12 m2 rrs
(
)
imr 2
ϕ ∝ e−imt 1 + r s

表 1: 質量に応じたスカラー場 ϕ(t, r) の振る舞い

地平線を超えて外向きに流れ出る物質は存在しない。
このことから、r → 1(= rs ) のとき ϕ が純粋な内向き

スカラー場の振る舞い

mrs ≳ 1√rs
ri ≲ mrs ≲ 1
( )2

II

いて表記を簡略化している。また、スカラー場の振方程式に課される境界条件は、ブラックホールの質量

また、もとの Klein–Gordon 方程式 (4) を数値的に解き、スカラー場の振幅 |ϕ| を求めると、図 1 のようになる。解析的に得た表 1 の結果と、図 1 の振る舞いは一致している。

−im× HeunC(0, −2im, 0, −m2 , m2 , 1 − r) (5)4Discussionと書ける（C は定数）。スカラー場の質量 m の値によって、この解の振る舞いは異なる。本研究の特色

Schwarzschild 計量は静的である（時間に依存しなは、様々な m の領域で合流型 Heun 関数を適切に近い）ため、この時空におけるエネルギー保存則は簡似することにより、スカラー場の振る舞いを解析的単な形をとり、に導出することにある。
なお、合流型 Heun 関数とは、次の微分方程式
)
(
1+γ
1+β
+
HeunC′ (z)HeunC′′ (z) + α +
z
z−1
1
+
[(α(2 + β + γ) + 2δ)z + β(1 + γ)
2z(z − 1)−α(1 + β) + 2η + γ] HeunC(z) = 0(6)∂t (r2 T t t ) + ∂r (r2 T r t ) = 0と書ける。この式を用い、まずスカラー場のエネル
ギー流束について考察する。複素スカラー場のエネ
ルギー運動量テンソルは、(T tt =

1−と境界条件

β(1 + γ) − α(1 + β) + 2η + γ
HeunC (0) =2(1 + β)(7))−2|∂t ϕ|2 + |∂r ϕ|2
1
1−
r

)−1
(9)

T rt = −∂t ϕ∂r ϕ∗ − ∂t ϕ∗ ∂r ϕ

(10)

+m
′

1
r
(

|ϕ|2

2

HeunC(0) = 1(8)2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
4
10000
10

エネルギーは 4πr2 ρv と書ける。この量が距離に依ら

3
1000
10

ないことから、ρ の r 依存性が ρ ∝ r−3/2 と決まる。
スカラー場のエネルギー密度は ρ ∼ m2 ϕ2 で記述さ101002れるため、ϕ ∝ r−3/4 となる。なお、mrs ≳ 1 とい

10101

う範囲は、

1001

rs /ri ∼ 10−6

0.1
10-1

MBH ∼ 10M⊙

-2
100.01-3
100.001

00

50

100
100

150

200
200

250

300
300

350

400
400

(12)

の設定の下で m ≳ 10−11 eV に相当する。
√
rs /ri ≲ mrs ≲ 1 の領域は、(12) の下で質量 10−14 –10−11 eV に当たる。この領域では、大ま図 1: スカラー場の振幅 |ϕ| の振る舞い。赤線は

m = rs−1 （表 1 における IV に対応） 、緑線はかには振幅が r−3/4 に比例して減衰すると同時に、( √)cos 2m rrs − 3π/4 が掛け合わされた振る舞いとm = 0.2rs−1（表 1 の III）、青線は m = 0.02rs−1（表 1 なり（表 1 参照）、ブラックホールのまわりにスカの II あるいは III）である。|ϕ| の値は r+rs log(r/rs − ラー場の「節」が生じる（図 1 参照）。この「節」の1) = 400 のとき 1 をとるように規格化している。 位置は時間に依存しないため、スカラー場が「定常（r + rs log(r/rs − 1) は計算の際に有用な座標で、事象の地平線では −∞ をとり、ブラックホールの十分波」をなすことになる。
√(rs /ri )2 ≲ mrs ≲ rs /ri の領域（(12) の下で質外側では r に漸近する。）

量 10−23 –10−14 eV）と mrs ≲ (rs /ri )2 の領域（(12)の成分を持つ。今回は、スカラー場の時間依存性がの下で質量 ≲ 10−23 eV）は、スカラー場の質量が小さく、波動性が現れる領域である。これらの領域で
ϕ ∝ e−imt であると仮定しているため、これらの成 は、スカラー場はブラックホールの外側でほぼ一定
分は時間に依らない。このことと (8) から、の振幅で振動する。表 1 より、領域 II では r−1 に比−1(11) 例する項と r に比例する項が、領域 I では r に比例する項が主要な補正項として付く。ただし、これとなる。T r t はブラックホールからの距離が一定のらの補正項にはスカラー場の質量 m が掛かっている
球面を通過するエネルギー流束を表す量であるから、ため、全体に与える寄与は小さい。
(11) より、エネルギー流束は距離に依らないことが∂r (r2 T r t ) = 0

わかる。ここでは複素スカラー場について考えたが、実スカラー場の場合でも、時間平均した量を考えれ

5Conclusion

ば、エネルギー流束は距離に依らない。
以下では、Sec. 3 で示した結果について、質量の大きい順からスカラー場の振る舞いを議論する。
質量の大きい mrs ≳ 1 の領域では、スカラー場 ϕの振幅は距離 r の −3/4 乗に比例して減衰する。この境界でスカラー場が振動しているという条件を課すことにより、ブラックホールはスカラーヘアを持ち得る。本研究では、スカラーダークマターの質量の値によってスカラーヘアが変容する様が解析的な振る舞いは次のように説明される。質量が大きい極手法を通して明らかになった。質量の大きい極限で限では、場の粒子性が強く現れると期待される。粒は、スカラー場は距離の −3/4 乗に比例する。これ子が遠方からブラックホールに落下する際には、エは粒子性を強く反映する結果である。質量の小さい

ネルギー保存から v ∝ 1/r1/2 で速度を得る。一方、 極限では、スカラー場の振動の振幅はほぼ一定とな
前述の通り、スカラー場のエネルギー流束は距離に るが、それに加えて距離に依存する小さな補正項が依らない。粒子の場合には、エネルギー密度を ρ と付く。この補正項の関数形を求められることは、解すると、半径 r の球面を単位時間あたりに通過する

析的な手法を採る利点と言える。両極限の間の領域

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
では、スカラー場は外側に向かって減衰すると同時に、場の値が常にゼロとなる「節」の部分をなす。振る舞いとしては、最も興味深い質量の領域かもしれない。以上のように、スカラー場の質量とスカラーヘアの分布の関係性が明らかになった。実際にスカラーヘアがブラックホールに存在し、その分布の様相が観測から判明したならば、ダークマターの質量についての情報が得られる可能性がある。
今回はスカラー場による背景時空への反作用を無視し、ブラックホールの質量は常に一定であるとした。ダークマターが与える時空への影響や、ブラックホールへのエネルギーの流入による背景時空の変化などを正確に評価することは今後の課題である。また、ダークマターとしてスカラー場ではなくベクトル場を考えたり、Schwarzschild ではない他のブラックホール解（特に Kerr 解）のヘアの形を調べたりすることなどが、本研究の拡張可能性として挙げられる。

Reference
L. Hui, D. Kabat, X. Li, L. Santoni & S. Wong 2019,arXiv:1904.12803 [gr-qc]
J. D. Bekenstein 1972, Phys. Rev. D5 1239–1246
T. Jacobson 1999, Phys. Rev. Lett. 83 2699–2702

——–index

b4
Infinite Derivative Gravity 理論における特異点解消の構造について
東京学芸大学大学院 教育学研究科
太田渓介

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Infinite Derivative Gravity 理論における特異点解消の構造について
太田渓介 東京学芸大学大学院 教育学研究科

Abstract
Infinite Derivative Gravity(IDG) 理論は、T.Biswas、E.Gerwick、T.Koivisto、A.Mazumdar（BGKM）によって提唱された修正重力理論の一つである。この理論では、Einstein-Hilbert 作用にリーマンテンソルの無限階の微分を補正項として導入することで、ゴーストフリーで曲率特異点が解消された解が得られる。本発表では、

IDG の基礎と特異点解消 の機構についてレビューする。また、一般にスカラー場入りの解はより激しく発散することが知られている。そこで、我々はフリースカラー場入りの弱場解を構成し、特異点が回避されることを示した。

1 Introduction

この解はくり込み可能性を保持したまま古典的な特異点を解消し、かつゴーストフリーな理論となる。

重力場を記述する最も有力な理論は一般相対性理論である。これは、重力波をはじめとして、主に IR
領域での観測によってその有効性が確認されている。
一方で、Einstein-Hilbert 作用から導かれるブラック
ホールの真空解などは、様々な物理量が発散する特異点を必ず持つことが知られている。この発散は、量子重力理論の完成によって解決されることが期待さ

本発表では、まず IDG 理論の定式化について紹介
し、静的球対称解が古典的な特異点を回避していることを確認する。次に、特異点回避の物理的機構について議論する。最後に、点電荷をソースとする解と、我々が新たに得たフリースカラー場入りの解を紹介し、IDG の有効性を議論する。

れるが、未完成である。そこで、ボトムアップのア
プローチとして、量子重力理論からインスパイアさ

2 Linearized static solution

れた「もっともらしい」補正を作用に行うことで有効的に量子重力の効果を取り入れる試みがなされている。つまり、作用に補正項を加えることによって原点近傍で特異点を解消し、十分遠方では一般相対性理論の結果と一致させるのである。
その一例として、fourth order 重力理論がある。これは、補正項として 2 次の曲率量を加えた理論の一

IDG は曲率を 2 次まで含む理論である。この最も一般的な形は、微分演算子 O を用いて、∫S=である曲率特異点は解消されない、また Weyl ゴー
ストが生じてしまうなどの問題点があった。一方、6次以上の曲率を考えた理論では、古典的な特異点が解消されることが知られているが、ゴーストが生じる問題は解消されない。これに対して、IDG 理論は超弦理論からインスパイアされて、補正として無限階の微分演算子を導入する理論である。この理論は

BGKM によって 2012 年に初めて定式化され (Biswas
et al. 2012)、静的球対称時空の弱場解が得られた。

(1)と表される。ここに Bianchi 恒等式や Minkowski 時
空での微分の可換性を適用することで、∫般論である。この理論ではくりこみが可能となり、量子的な特異点が除去される。しかし、古典的な発散]√ M p2 [µ ν λ σR + Rµ1 ν1 λ1 σ1 Oµ 1ν 1λ 1σ 1 Rµ2 ν2 λ2 σ2
d 4 x −g
2
2
2
2
2

S=

√ M p2[R + RF1 (□s )R
d 4 x −g2

+ Rµν F2 (□s )Rµν+ Rµνλ σ F3 (□s )R

(2)
µνλ σ

]

を得る。ここで、Fi は任意の微分演算子である。また、M p2 = 1/G、□s = □/Ms2 で、Ms は理論の有効な範囲を表すパラメータである。この作用の変分をとることで完全な場の方程式が得られる (Biswas et al.

2013)。しかし、複雑すぎて解くことができないため、Minkowski 時空周りの摂動
gµν = η µν + hµν , |hµν | ≪ 1(3)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校を考えると、場の方程式は
)
(
,α ,β
a(□s )□hµν + b(□s )hα (µ ,ν ,)α + c(□s ) ηµν hαβ + h,µ ,ν

(4)

,α ,β
,µ ,ν = −16π Gτµν+d(□s )ηµν □h + f (□s )□−1 hαβ

ここで、τµν はエネルギー運動量テンソルである。さらに、Fi の線形結合により得られる a から f の微分演算子には拘束条件として、

図 1: ポテンシャルとクレッチマン不変量の距離依存性（オレンジ：一般相対論、紫：IDG、G = 1,m =5,Ms = 0.1 とした)

a + b = 0,
(5) をとる。また、クレッチマン不変量は原点近傍で有5G2 Ms6 m2
限の値、K 2 ∼をとる。したがって、物質分
3πc + d = 0,b+c+ f = 0

布は原点で発散するにもかかわらず、古典的な特異が課される。ansatz として、点が解消されることが分かった。

1. デルタ関数型ソース

さて、今考えている解は弱場近似をとったものである。通常、原点付近では重力場が無視できないほど強τµν = mδ (3) (⃗r)δµ0 δν0(6)くなるため、弱場近似は有効ではない。しかし、IDG理論では重力ポテンシャルが原点近傍で有限の値に収2. 弱場近似計量

まる。よって、この有限の値 A が 1 より十分小さけれ(7) ば、この理論は原点近傍でも有効だと考えることがで√

ds2 = −(1 + 2Φ(r))dt 2 + (1 − 2Ψ(r))dx2

M2

きる。つまり、m ≪ MsπG ∼ Mps が要請される。このこ

3. ゴーストフリーとから、この解を形成している星の質量の上限を推測(8) することができる。そのために、Ms の値を見積もろう。卓上実験によって確かめられているニュートン重を置くことによって、方程式 (4) は簡単になって、 力が有効な範囲は r ∼ 5.6 × 10−5 m↔ Ms > 0.004eV
f =0 ↔ a=c( )( )a ∇2s ∇2 Ψ = a ∇2s ∇2 Φ = 4π Gmδ (3) (⃗r)(9)

である。よって、質量の上限は mupper ∼ 1023 kg となる。これは月や地球の質量と同じオーダーである。

ここで、Φ = Ψ となり、解くべき方程式は一つになった。さらに、超弦理論の文脈から a(□s ) = e−□/Ms を2仮定する。これによって、ゴーストフリーな理論と3 Regularized source

なるが、ここでは詳しくは触れない。すると、この

ここでは、特異点が解消される仕組みを考える。
方程式は簡単に解けて、球対称静的な解が得られる。 IDG でよく用いる場の方程式は
)
(
2
Gm
rMs
−∇
Ψ(r) = Φ(r) = −
erf
(10)
(12)
e Ms2 ∇2 Φ(r) = δ (3) (⃗r)
r
2
次に、古典的特異点が解消されていることを確かである。関数 f (x) の微分を f ′ と表すとすると、左辺めていく。まず、ポテンシャルのふるまいを見ていは大まかに Φ′′ − Φ′′′′ + Φ′′′′′′ · · · と展開できる。r → 0

こう。r → ∞ では、erf(r) → 1 となるので、IR 領域

でのふるまいを考えると、左辺は r の偶数ベキの係では確かに一般相対性理論の結果を回復する。一方

数を取り出して和をとったことになる。このようなで、r → 0 では erf(r) → √2π r となりポテンシャルは有限の値を無限に足し上げることによって原点で発

有限の値、

GmMs
= const. = −AΦ(r) ∼ − √π

散するデルタ関数のふるまいを表す。また、もう一つの解釈として、無限階の微分演算子によって重力(11)場からみた物質分布がガウシアンになるとも言える。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
実際、

M2∇ Φ(r) = e
2

∇2
Ms2

δ

(3)

ルの大小は IDG 理論に課される制約 m ≪ Mps より、√
π 3 − r2 Ms2(⃗r) =e 4
8(13)

rSch < rIDG であることが分かる。よって、r < rSch の範囲であってもポテンシャルは 1 より十分小さいたとなる。ただし、6 次以上の曲率を含む理論でも有効

め、ブラックホールにはならないことが推測される。

的な物質分布がなめされて、曲率特異点が解消され

ここで、IDG と似たモチベーションである Nicolini

ることが分かっている。無限階微分の場合の解釈はの研究について紹介しておこう (Nicolini et al. 2006)。

ここで与えたが、有限の高階微分による特異点回避

Nicolini は物質分布をガウシアンに変更して、非線形の解釈に対しては、さらなる検討が必要だろう。

なアインシュタイン方程式を解き、正規化されたブ

では、物質分布がガウシアン型になることは物理

ラックホール解を得た。一方、IDG 理論では無限階的にどのような意味を持つのか考えてみよう。ポテ

微分の効果によって、線形近似の範囲で物質分布が正規化される。一見、Nicolini の理論と IDG 理論がンシャルの勾配をとって重力を計算すると、[
F(r) = − grad Ψ(r) = −Gm

−r2

Ms e
erf (rMs /2)
√
−
r2
πr

]

等価であるように思える。しかし、Nicolini は場の方

(14) 程式の厳密解を得たという点が大きく異なっている。

となる。r → 0 の極限をとると、F → 0 となる。よって、原点近傍では重力がゼロになる。つまり、原点近傍で時空は平坦になっていることが期待される。このことを確かめるために、Weyl テンソルを計算すると、原点近傍で全成分が 0 に近づくことが分かる。
よって、時空構造は原点近傍で局所的に平坦であると考えられる。実際に、(7)、(11) において、座標変√
1−2A
換 τ = 1+2A t を行うと、原点近傍での計量は、

この違いは、Nicolini が非可換幾何学からインスパイアされたため、ダランベルシャンの変分を考えていな
いことに起因する。これにより場の方程式は簡単になり、厳密解が得られる。しかし、厳密には BGKMのようにダランベルシャンの変分も考える必要があり、その意味で Nicolini のモデルは不完全であると考えられる。実際、Nicolini の解では特定の値の角度
方向の圧力が存在することが要請されたり、ガウシ
アン型の物質分布が存在することの物理的説明がな(15) されたりしないなどの指摘がある。Nicolini の解は非線形方程式が解けることや、解と物質分布とに 1 対となる。一般相対性理論では物質同士が近づけば近づ 1 対応があるという利点はあるものの、IDG 理論の
ds = (1 + 2A)(−d τ + dx )222

くほど、重力は無限に大きくなっていく。いずれは時方がより現実の物理を反映しているといえるだろう。

空上の 1 点に集まって特異点を形成し、Schwarzschildブラックホールとなる。一方、IDG 理論では原点付
近は重力は非常に弱くなるため、物質は十分に集ま4 Various solution

ることができない。そのため、ガウシアン型の物質分布になると考えられる。結果として、星の重力崩壊によってブラックホールが形成されないことが考る。そのため、原点で発散するような物質分布を持
つ他の解に対しても、特異点がなめされると期待さえられる。
実際に、IDG 理論で課される質量に対する条件 m ≪

M p2
Ms

IDG 理論は重力項のみに補正項を加える理論であから、球対称弱場解がブラックホール解になっていないことが確かめられる。まず、一般相対性理論の Schwarzschild 解の event horizon は rSch = 2 Mm2 にp形成される。これをニュートンポテンシャルと比較す
ると、r < rSch においては |Φ| > 1 となる。よって、ブラックホールの horizon 内部ではポテンシャルが十分大きくなることが推測される。一方で、IDG 理論はr < rs = M2s の範囲で効いてくる。この二つのスケーれる。ここでは、電磁気的な点電荷をソースとする
解 (Buoninfante et al. 2018) とフリースカラー場入りの解を簡単に紹介する。特に、フリースカラー場入りの解は今回我々が初めて導いた解である。
まず、電磁気的な点電荷をソースとする解は、(4)においてエネルギー運動量テンソルを
(
)
1
1
ρσ
ρσ
τµν =
ηρν Fµσ F − ηµν Fρσ F
4π
4

(16)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校として場の方程式を解くと、弱場近似の解として
(

)

(

)

GM
Ms r
GQ2 Ms
Ms r
erf
+
F
r
2
2r
2
(
)
(
)
2
GM
Ms r
GQ Ms
Ms r
Ψ(r) = −
erf
+
F
r
2
4r
2
Q
F10 (r) = E(r) = 2
r

手法では、特異点を回避するスカラー場入りの解は得られなかった。IDG 理論では、フリースカラー場を

Φ(r) = −物質項としても見ることができるため、点電荷ソー(17) スの場合と同じように特異点が回避される。この解についての詳しい解析については、共同研究者の小池が詳しく発表する。以上より、IDG 理論では特異を得る。ここで、F(x) は Dawson 関数であり、r → 0 でF(r) ∼ 1/2r、r → ∞ で F(r) ∼ r を示す。よって、r →∞ としたときの解は、等方座標系でとった Reissner-

点をもつ物質分布に対して、かなり広い範囲で重力場の特異点を回避することができる。これは IDG 理論の利点の一つを示している。

Nordström 解の弱場近似解に一致するので妥当である。また、物質項には変更を加えていないので、電場は原点近傍で発散する。しかし、ポテンシャルや曲

5 Conclusion & Future works

率不変量は、r → 0 において有限の値に収束し、特異修正重力理論の一つである IDG 理論をレビューし点が解消される。ここで、無限階の微分を導入した

た。線形化した場の方程式を解いて、静的球対称な∫解を得た。その結果得られた解は、ポテンシャルや
1µFµν F (□σ 2 )F µν + Aµ Qδ0 δ (3) (⃗r) (18)
クレッチマン不変量は原点近傍で有限の値に収束し、4π
ソースがデルタ関数であるにもかかわらず特異点をから得られる静電場解は次のようになる。
回避する。物理的には IDG 理論では重力が原点近傍
( r )
Q
F
E(r) =(19) で 0 になり、時空は局所的に平坦となる。これによっ
4π r σ2σて、物質は十分に集まることができず、現実的な物
この電場のふるまいは IDG で得られるメトリックの 質分布はガウス関数型になると期待される。その帰

S=

d4x −

形と酷似している。よって、物質項に無限回の微分結として、得られた解がブラックホール解になってを導入することと、IDG で特異点のない解が得られいないことが示唆される。また、ソースとして原点たことは関連があると考えられる。しかし、厳密なで発散するプロファイルをもつ点電荷やフリースカ対応関係はなく、現在解析中である。

ラー場を考え、その解も特異点を解消することが分

次に、今回我々が構成した、球対称解を ansatz としておいたスカラー場 ϕ (r) 入りの解を示す。作用にフリーなスカラー場を導入して∫

S = SIDG +[]√ M p2
1
d 4 x −g− ∂µ ϕ ∂ µ ϕ
22とする重力場において特異点を解消させることができるといえる。
しかし、今回得られた解は弱場近似解である。よっ(20)て、理論のふるまいを理解するためには非線形方程式を厳密に解く必要があると考える。すでに１＋１得られる方程式を解くと、
(
)
Ms r
GM
Φ(r) = −
erf
r
2
)
)
(
(
q2 Ms
GM
Ms r
Ms r
+
Ψ(r) = −
erf
F
r
2
2r
2
2q
ϕ (r) = −r

かった。以上より、IDG 理論は様々な物質をソース

次元時空で拡張した方程式がいくつか得られており、これらが比較的簡単になることが分かっている。この方程式の厳密解を得ることが今後の目標である。

(21)

Referenceとなる。ここでも、r → ∞ としたときの解をみると、 Biswas et al., Phys. Rev. Lett. 108 (2012) 031101.
等方座標系でとった JNWW 解の弱場近似解に一致するので妥当である。また、スカラー場も原点に特異点

Biswas et al., Class. Quantum Gravity 31 (2013) 015022.

をもつ。しかし、ポテンシャルや曲率不変量は、r → 0

Nicolini et al., Phys. Lett. B 632 (2006) 547-551.

において有限の値をとる。先行研究では、Nicolini のBuoninfante et al. Phys. Rev. D 98 (2018) 084009.

——–indexb5
初代星による非等方的な Sunyaev-Zel
dovich 効果
名古屋大学大学院 理学研究科
阿部 克哉

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

初代星による非等方的な Sunyaev-Zel’dovich 効果
阿部 克哉 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
初代星は赤方偏移 z = 20 程度の初期の宇宙で形成される天体である。この天体は、宇宙の中性元素に対する電離・加熱源になるという点、星形成の過程で作った重元素を超新星爆発により宇宙空間に放出するという点、さらには銀河中心に存在する超大質量ブラックホール形成の種になりうるという点から、宇宙の構造形
成と熱史に対して非常に重要な役割を担っていると考えられており、長年着目されている。本研究では、上記の特徴の１点目に着目する。初代星は、誕生後およそ 106 年 の寿命を経て超新星爆発し、超新星残骸を周囲のガスに放出する。その超新星残骸が球状に膨張しながら周囲のガスをかき集め衝撃波を作り、シンクロ
トロン放射や熱制動放射が放出される。これらの放射により初代星周辺のガスは電離・加熱され、Thermal

Sunyaev-Zel’dovich 効果 (TSZ 効果) と Kinetic Sunyaev-Zel’dovich 効果 (KSZ 効果) を引き起こす。本研
究ではまず、初代星周辺のガスの電離・温度構造を明らかにするため、輻射輸送方程式を数値的に解いた。
そして、初代星由来の TSZ 効果と KSZ 効果から生じる宇宙マイクロ波背景放射の温度に関する角度パワースペクトルの理論的シグナルを計算した。この結果、得られたスペクトルの形がシルクスケールよりも小さなスケールにて平坦になるため、小スケールにて支配的な寄与をもたらす可能性が明らかになった。このシグナルを South Pole Telescope の観測結果と比較することにより、初代星の観測可能性について議論する。

1

Introduction
現在までの様々な観測や実験によって、宇宙誕生からおよそ 38 万年後に宇宙の晴れ上がりを迎えて以降、宇宙の暗黒時代が始まることがわかっている。
宇宙の暗黒時代とは、明るく輝く天体が存在せず文字通り宇宙が暗黒に満ちている時代である。その時代に終始符を打ったと考えられているのが初代星と呼ばれる天体である。初代星は赤方偏移 z = 20 − 30程の初期の宇宙で形成された天体で、その後の宇宙の構造形成や熱史に関わる非常に大きな 3 つの役割を持っている。１つ目は、当時の中性であった元素をイオン化、加熱する光子を放射することである。
これにより、暗黒時代に中性であったガスが電離・加熱され、宇宙の再電離期が始まる。２つ目は、当時の宇宙にはほとんど存在していなかった重元素を初代星の形成過程段階で作ることができ、さらにそれらの作られた重元素を初代星の超新星爆発によって銀河間ガスに放出することができる。これらの放出された重元素はその後の星形成、銀河形成等のさまざまな天体の形成に非常に大きな影響を与える。
３つ目は、超大質量ブラックホールの種になりうることである。銀河中心には、106 − 101 0M⊙ まで及ぶ超大質量ブラックホールが存在していると考えられているが、その形成過程は現段階では様々なモデルがあり決着がついていない。その中でも有力な候補になっているのが、初代星から超大質量ブラック
ホールを形成するモデルである。このような重要な役割をはじめ、近年高赤方偏移の宇宙観測が進んでいることからも初代星は宇宙論において盛んに研究が行われている。本研究では、上記１点目に着目する。初代星がおよそ 106 年 程度の寿命を迎えると、超新星爆発を起こし、自身の質量のおよそ 0.1% 程度のエネルギーを放出する。これらの放出された超新星残骸は、ガス中を高速で膨張し、強い衝撃波を生じさせる。衝撃波によって圧縮・加熱されたガスは外側に広がっていくとともにシンクロ
トロン放射や熱制動放射を放出する。これらの放射により、初代星周辺のガスは電離・加熱され、それゆえ Thermal Sunyaev-Zel’dovich 効果 (TSZ 効果)と Kinetic Sunyaev-Zel’dovich 効果 (KSZ 効果) を引き起こす。本研究では、初代星によるこれら２つの効果を計算し、さらに生じる宇宙マイクロ波背景

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
放射 (CMB) の温度ゆらぎの角度パワースペクトルを理論的に求める。また、求めたシグナルと South

Pole Telescope (SPT) の観測結果 (Henning, et al.
(2018)) と比べることで、初代星の観測可能に関して議論する。
以下の計算では

ΛCDM

宇宙論モデルを 採 用 し 、次 の 宇 宙 論 パ ラ メ ー タ を 用 いた(Planck

Collaboration,

et

al.

(2018))。

(Ωm , Ωb , h, ns , σ8 )=(0.32, 0.049, 0.67, 0.97, 0.81)。

(
Vsn (t) = 490[km/s]

t

)−3/5

104 yr
)]1/5 (2)Esn ( nsn )−1
×1044 J
106 m−3)−6/5(t6
Tsn (t) = 3.34 × 10 [K]
104 yr[()]2/5 (3)Esn ( nsn )−1
×1044 J
106 m−3[(

さらに、ガス比熱比 γ を用いて衝撃波面の前後の密度に関する関係（Rankine-Hugoniot 関係）

2

Methodsρsn =この章ではまず、初代星周辺のガスの電離・加熱に関わる物理と輻射輸送シミュレーション、そして初代星周辺のガスの電離・温度構造から生じる TSZ・

KSZ 効果の見積もり方を説明する。さらに後半では、(4)と超新星残骸がかき集めた物質の質量保存則により、衝撃波面を含むシェルの厚みは∆Rsn (t) =そこから生じる CMB 温度揺らぎの角度パワースペ
クトルの理論的な見積もり方を説明する。

γ+1
ρouterγ−1

γ−1
Rsn (t)3(γ + 1)(5)であることがわかる。本研究では、初代星の周りのガスは水素原子ガスのみで構成されていることを仮2.1定するとため、γ = 5/3 である。

初代星由来の放射

次にこの衝撃波シェルから放出される熱制動放射と本研究では全ての初代星の質量 Mfs は 100M⊙ でシンクロトロン放射の強度に関して説明する。

あるとし、その初代星が超新星爆発する際、Esn =熱制動放射1046 J のエネルギーに相当する超新星残骸を放出するとする。超新星爆発が起きた後は 3 つの段階が存

熱制動放射とは、自由電子がイオン化原子のクーロン

在する (坂下&池内 (1996))。(1) 超新星爆発により放力によって加速されることによって生じる放射である。

出された超新星残骸がまず球状に等速で膨張し、周本研究における熱制動放射のパワー [W/Hz /m3 ] は以囲の物質をかき集めていく。この段階は自由膨張段

下の式で与えられる (Rybicki&Lightman (1986))。

階と呼ばれる。(2) かき集めた物質の質量が超新星残25 πe6
骸の質量より大きくなると、Sedov 段階と呼ばれる Pbrems (ν) = 3m c3e
断熱過程に入る。(3) その後、放射により超新星残骸(2π
3kB me

) 12

−1

−hν

Tsn 2 ne np e kB Tsn g f f ,(6)の内部エネルギーが失われていくと次第に膨張は止まり、超新星残骸は周囲の銀河間物質と混ざり合っ ここで、me は電子の質量、c は光速、e は電子の電て一体になってしまう。本研究では、(2) の Sedov 段 荷の大きさ、kB はボルツマン定数、ν は周波数、そ階に着目する。超新星残骸がつくる衝撃波面に関しては、Sedov 段階において解析解が存在する。

(
Rsn (t) = 12.5 [pc]

t

)2/5

104 yr)]1/5[(
Esn ( nsn )−1
×1044 J
106 m−3(1)

して g f f はガウンと因子と呼ばれる量子補正因子であり、およそ g f f ∼ 1 である。
シンクロトロン放射
まず仮定として、超新星爆発により放出されたエネ
ルギー Esn のうち、fB の割合で磁場エネルギー EBに、frel の割合で相対論的電子のエネルギー Erel に変換されるとする。さらに、磁場が一様に分布して2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
いることを仮定すると、磁場の強さは以下を解くこを説明する。本研究においては以下の２つの式を解とによって得ることができる。

くことで、１次元の輻射輸送計算を行った。

fB Esn =1
Vsn B 2
2

(7)

ここで Vsn = 4πRsn (t)2 ∆Rsn (t) である。
観測から、超新星残骸中の相対論的電子のエネルギー分布はローレンツ因子 γL におけるべき pe が pe = 2

dxe
(12)
= kHI,γ − αB nH x2e ,dt()µmp kB Tgas dρdTgas= (γ − 1)+Γ−Λ ,dtkB ρµmp dt(13)のべき乗分布であることが示唆されている。よって

ここで xe , αB , nH , Tgas , µ, mp , ρ はそれぞれ電離率、相対論的電子の数密度 ne は以下の通りである。
∫ γL,maxne =dγCe γL−pe .
(8)再結合率 (Peebles (1993))、水素の数密度、ガス温

γL,min

度、平均分子量、陽子の質量、ガス質量密度であり、

kHI,γ (R) は以下の式 (14) で表される、初代星由来のあり、γL,max は電子の加速の time scale とシンクロ

放射光度 Lfs による電離率である。
∫(1 − xe (R)) ∞ Lν,fskHI,γ (R) =σHI,ν e−τν (R) dν
4πR2
hν
νL

トロン放射冷却の time scale のつりあうための値で(14)

ここで、γL,min は中性水素のイオン化エネルギーに相当するシンクロトロン放射を放出するための値である。これらは以下の式でそれぞれ与えられる。
ここで R, νL , σHI,ν , Lν,fs , τν はそれぞれ初代星からの√距離、Lyman limit 周波数、電離光子の吸収断面積、
2 × 13.6eV me c
(9)
γL,min =,Lfs の周波数ごとの光度、周波数ごとの中性水素ガス
0.87ℏ
eB
√(
)−1 (
) による光学的厚みである。
B
Vsn
6γL,max ≈ 1.2 × 10
. また、本研究ではガス質量密度として1 Gauss
3 × 106 m/s{(10)相対論的電子の数分布が上記のべき乗分布で与えらρgas =

ρh ,R(t) < rvir

ρIGM , R(t) > rvir

(15)

れる場合のシンクロトロン放射のパワーは以下の通を設定した。ここで、ρh はハローガス質量密度でハりである (Rybicki&Lightman (1986))。
ロー内の密度揺らぎは δh = 177 とした。また、ρIGM√
は銀河間ガスの質量密度、そして rvir はハローのビ
3
Psync (ν) ≈αCe (ℏωB )リアル半径である。
2π
(
) (
)(
)−( pe2−1 )さらに式 (13) の Γ は加熱率である。加熱過程とし
pe
19
pe
1
ν
×Γ
+
Γ
−
,
て中性水素が光電離されることによる加熱のみを考
4
12
4
12
3ωB
(11) 慮した。
∫ ∞Lν,pbhここで、α は超微細構造定数、wB はシンクロトロン Γ = nHI (R)(hν − hνL )σHI,ν e−τHI,ν (R) dν
2
4πR
hν
eB
7 B −1νL
周波数、ωB = me c = 1.67 × 10 1G s である。ま(16)
2た、ν は、ν ≈ 0.435γL
eB/me c によりローレンツ因子と関係づいている。よって、式 (9),(10) に対応す

また式 (13) の Λ は冷却率であり、本研究では再結る範囲が存在する。

合放射冷却、衝突電離冷却、水素原子冷却、コンプトン冷却の 4 つを考慮し、冷却の time scale の関係

2.2

輻射輸送シミュレーション

次に Sec.2.1 で述べた放射による、初代星周辺のガ
スの電離・加熱に関する輻射輸送シミュレーションから熱制動放射とシンクロトロン放射冷却は無視した (Fukugita&Kawasaki (1994))。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2.3

CMB 温度揺らぎの非等方性

Section. 2.1,2.2 によって得られた結果を用いて、初代星由来の TSZ 効果と KSZ 効果により生じる CMB
温度揺らぎの角度パワースペクトルを計算する。TSZ
効果による角度パワースペクトルの表式は以下の通りである。

∫ zinid2 V
2nfs |yl (z)|
(17)
dzdΩ
zi
(
)
∫ zinid2 VlTSZ(2fs)
2
2
Cl= g (x)dz
Pn2fs |yl (z)|
dzdΩ
d(z)
zi
(18)
TSZ(1fs)Cl= g 2 (x)dz

図 1: CMB 温度揺らぎの角度パワースペクトル

ここで (1f s) は初代星１つが作る加熱電離領域内の相関、(2f s) は初代星間の相関、x は x ≡ hν/kB Te 、 4
そして g(x) は以下で定義される関数である。また、

zini = 20,zi = 10 とし、ハローの分布は一般的な宇宙の物質分布に従うとした。
)(
xxg(x) ≡−4 .
1 − ex tanh(x /2)

Conclusion
本研究では、初代星の超新星爆発由来の放射による周囲のガスの電離・加熱がもたらす影響を見積もり、CMB 温度揺らぎの角度パワースペクトルを計算(19) した。その結果、シルクスケールより小さいスケールにおいてスペクトルの形が平坦になることがわかっ

また、yl は以下に定義される Comptpn y-paramter

た。これは、SPT の観測結果にマッチしているゆえと呼ばれる物理量をフーリエ変換した値である。
∫
cσTy≡dt nH xe kB Tgas .
(20)
m e c2

初代星の存在の証明につながるかもしれない。

また、初代星の数密度 nfs は”ハロー１つに対し、初Acknowledgement

代星が中心に１つ存在する”という仮定から、Press

共同研究者の名古屋大学在籍の田代寛之氏をはじSchechter 理論を用いて見積もることができる。
めとし、同大学の長谷川賢二氏、田中俊行氏には本∫ zini
研究に関する多くの知識と計算チェックをしていた
d2 V
1 2
KSZ(1fs)2dz
nfs |xel (z)| (21) だいた。改めて感謝申し上げます。
Cl= vrms
3
dzdΩ
zi
(
)
∫ zini1 2
d2 VlKSZ(2fs)Cl= vrms
dz
P
3
dzdΩ
d(z)
zi
(22) Reference2

× n2fs |xel (z)|

ここで vrms は光子とハローの相対速度の二乗平均平方根、xel は xe プロファイルをフーリエ変換した値である。

Fukugita, M., & Kawasaki, M. 1994, mnras, 269, 563
Peebles, P. J. E.1993, Princeton University Press
坂下志郎 &池内了 1996, 培風館

Rybicki, George B. &Lightman, Alan P. 1986, HaruardSmithsonian Center for Astrophysics

3

Results

Planck Collaboration et al. 2018, J. A. Rubiño-Martı́n

結果は Fig. 1 の通りである。赤線が本研究のセッ J. W. Henning, et al. 2018, ApJ, 852, 97
トアップにおける KSZ 効果によるシグナル、青点線
は TSZ 効果によるシグナル、黒実戦は Primordial な
シグナル、黒点は SPT による観測結果である。

——–index

b6
21cm 線-CMB Lensing 相互相関の検出可能性と宇宙論パラメータの制限
熊本大学大学院 自然科学教育部
田中 章一郎2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

21cm 線-CMB Lensing 相互相関の検出可能性と宇宙論パラメータの制限
田中 章一郎 (熊本大学大学院 自然科学教育部)

Abstract
中性水素 (HI ) 強度マッピングは、宇宙全体の中性水素の割合を表す宇宙論パラメータ ΩHI の赤方偏移進化を測定することができる。この宇宙論パラメータ ΩHI は再電離後における構造形成を理解する上で重要なパラメータである。ΩHI についての制限は、Square Kilometre Array(SKA) を用いた HI 観測により改善することができる。しかし、HI 観測は、銀河系内外からの非常に強力な前景放射によって妨げられ、未だ宇宙論的スケールでの観測には至っていない。また、ΩHI の制限を行う研究は多くなされてきたが、誤差が大きい
ことに加えて各赤方偏移ごとの制限にばらつきがみられる。そこで本研究では、前景放射の影響を減らすことができる相互相関という手法を用いた 21cm 線-CMB Lensing 相互相関の検出可能性を示した。これに加えて、Fisher 解析を用いて ΩHI の制限の精度向上を行なった。

1 Introduction
近年の宇宙論的観測の目覚ましい進歩により、宇宙論パラメータは非常に高い精度で制限されている。
さらなる精度の向上には、宇宙論的スケールに渡って正確なダークマター分布の測定が求められる。
再電離期後 (z<6) では、Intergalactic medium(IGM)
における水素のほとんどは電離されてしまうが、ごく一部は高密度領域 (主に銀河内部) に残る (Zwaan

et al. 1997, 2005; Briggs 1990) したがって、中性水
素 (HI ) からの 21cm 線はダークマター分布をトレースすることができる。そのため、21cm 線の観測はSquare Kilometre Array(SKA) のような将来の電波観測のキーサイエンスとなっている (Santos et al.

2015)。
遠方銀河からの 21cm 線は非常に弱く、未だに直接観測にはいたっていない。加えて、銀河からの全景放射は非常に強く、21cm 線の観測を妨げている。
そのために、前景放射の除去は解決すべき重要な課題となっている。除去の他に、21cm 線と他の宇宙論
探査との相互相関により前景放射の影響を回避することが期待されている。実際に、Chang et al. (2010)
では Green Bank Telescope からの 21cm 線強度マッ
プと DEEP2 optical galaxy redshift survey を用いて測定された z<1 における 10,000 の銀河分布との相互相

関パワースペクトルを測定した。これにより正相関が得られ、4σ での 21cm 線の検出を示した。

HI 質量密度の量を表す ΩHI は再電離後における銀河の特性や進化を理解するために重要なパラメータである。高赤方偏移におけるクェーサーのスペク
トルは damped Lyman-α によって吸収される。その吸収によって HI の量について推定することができる。また、クェーサーは広範囲に測定されることから、ΩHI は様々な赤方偏移で制限される。その上、21cm 線と銀河の相互相関によって低赤方偏移(z<3.5) においても制限されている (Padmanabhan etal. 2015)。しかし、この制限は他の一般的な宇宙論
パラメータに比べてあまり良くない。
本 研 究 で 用 い る cosmic

microwave

back-

ground(CMB)Lensing の 観 測 量 で あ る convergence
field と 21cm 線の相互相関は先行研究 Sarkar (2010)
により初めて提唱された。CMB 光子は大規模構造の重力ポテンシャルによって偏向され、二次的な CMB
非等方性として現れる。この CMB Lensing は z<3での構造に影響を受けやすく、そのために再電離期
後の 21cm 線と良く相関する。また、Sarkar (2010)は 21cm-CMB Lensing cross-power spectrum(CPS) による 21cm 線の検出は期待できることを示した。しかし、前景放射の除去後におけるエラーに大きく寄与する熱雑音については考慮されていなかった。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
そこで、本研究では現在計画中の大型電波干渉計

21cm 線の観測量である輝度温度は次のように表SKA による観測を想定し、Planck により観測され される。
(
)[
]
Tγ
1 + z ∂v(z, n̂rHI )
T(ν,
n̂)
=
T̄[1+δ
(z,
n̂r
)]
1
−
1−
,
HI
HI
性を示した。これに加えて、Fisher 解析を行い宇宙
TS
H(z)
∂r
(6)
における中性水素の量を表す ΩHI の制限の予測を行
TとTはそれぞれ、
CMB
温度、スピン温度を表す。
なった。
γSた convergence field マップを用いて CPS の検出可能

平均輝度温度と平均中性水素率はそれぞれ以下のよ
うに書かれる。

)()(
2 21cm-CMB Lensing cross corre70Ωb0 h22,T̄(z) = 4.0mK(1+z) x̄HI (z)0.02
H0 [km/s/Mpc]
lation(convergence field(κ) により定量化される CMB Lens-

x̄HI = 50ΩHI h

ing は視線方向の積分として表される。

2

)
0.02
,
Ωb h2

(7)
(8)

( ) 2 ∫ xLSS
3H0Ωm0dx F(x)δ(x n̂, z),2c0

次に、convergence field と同様に球面調和展開を(1) 行う。
∫
d3k∗
HI
SK (xLSS − x)SK (x)D+ (x)δ(k, z)Jl (kr)Ylm(k̂), (9)alm
= 4πT̄(z)(−i)lF(x) =,(2)(2π)3SK (xLSS )a(x)()Ωm0 は物質密度パラメータを表し、 H0 はハッブル
d2
Jl (x) ≡ b − f 2 jl (x).
(10)
dxパラメータ、zLSS は最終散乱面の赤方偏移、a(z) はス

κ(n̂) =

ケールファクター、x は共同角径距離、δ は現在の密

この時、constant HI bias モデルを想定している (δHI =度ゆらぎ、 D+ は成長因子を表す。convergence fieldbδ)。式. (5)、 式. (9) を用い、リンバー近似を行うこは最終散乱面から現在までの密度ゆらぎの積分としとにより 21cm 線-CMB Lensing CPS が計算される。
( )lF(x(zHI ))π
HI−κP
A(zHI )b 2
, (11)Cl≈
2rHI
x (zHI )
( )2
H0
3
Ωm0
T̄(z)D+ (z),(12)
A(z) =πcて計算される。
ここで Sarkar (2010) に従い、21cm-CMB Lensing

cross power spectrum(CPS) の導出を簡単に表す。始めに、球面調和展開を用いて convergence field を展開する。

κ(n̂) =∞∑κalm
Ylm (n̂),

(3)

l,m

rHI は赤方偏移 zHI での共同距離を表す。P(k) は現在のダークマター線形パワースペクトルを表し、CAMB

κ は立体
Ylm (n̂) は球面調和関数である。展開係数 alm(Lewis et al. 2000; Lewis, & Challinor 2011) を用いてるとCMB Lensing auto-power spectrum は次のように与え

角 ω(n̂) における積分により次のように与えられる。 計算した。
また、のちのエラー計算のために、CMB Lensing
∫
κ
∗
alm =
dω(n̂) κ(n̂)Ylm (n̂),(4) auto-power spectrum と 21cm 線 auto-power spectrum
を書き表す。
ω(n̂) は立体角である。さらに、レーリー展開を用い
式. (5) と flat sky approximation を用いることで、κ= 6πΩm0
alm

(

H0
c

)2

∫
(−i)l

d3k
(2π)3

∫ xLSS

られる。

dx
0

(5)

∗
×F(x)δ(k) jl (kr)Ylm(k̂)

δ(k) は δ(r) をフーリエ変換したものであり、 jl (x) は球ベッセル関数を表す。

Clκ ≈( )4 ∫)(
9 2 H0F 2 (x(z))
l
dx 2
.
Ωm0
P
4
c
x(z)
x (z)

(13)

また、式. (9) と flat sky approximation により (Dattaet al. 2007) 21cm 線 auto-power spectrum は次のよう2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校に求められる。

ClHI (zHI ) =T̄ 2 2 2x̄ D
2 HI +
πrHI

表 1: チャンネル数 Nc 、各赤方偏移でのバンド幅、観∫ ∞dk ∥ [b + f µ ] P(k), (14) 測可能な multipole の範囲。IF は interferometer、SDは single dish を表す。
√
222redshiftB
Nc
波数ベクトル k は、大きさ k = k + l /r である。
2 2

0

∥

HI

k ∥ は視線方向の波数である。

3 Error formulaz = 0.5

710MHz71.0

z = 1.5

237MHz23.7

z = 2.5

118MHz11.8

21cm 線-CMB Lensing CPS の検出可能性を予測す

SKA-MID (IF)SKA-MID (SD)るために、CPS のエラーを導入する。CPS のエラー

599≤ l ≤2000

8≤ l ≤598

は (Sarkar 2010) によって与えられる。

359≤ l ≤2000

8≤ l ≤358

257≤ l ≤2000

8≤ l ≤256(∆ClHI−κ )2 =(Clκ + Nlκ )(ClHI + NlHI ) + (ClHI−κ )2, (15)√(2l + 1) Nc fsky ∆l∆l は multipole l のバンドを表し、 fsky は天球面における観測領域の割合である。 Nc は 21cm 線観測のおける Fisher 行列は次のように計算される (Tegmark

et al. 1997; Coe 2009)。
⟨⟩
りも小さい。
1 ∂ 2 ln L
Fi j =,(17)
本研究では、instrumental noise について SKA2 ∂pi ∂p j
p=pfidPlanck 観測を想定する。次世代の電波望遠鏡である
]2
[
lmax
∑
ClHI−κ (p) − ClHI−κ (pfid )SKA は 2020 年代に建設が計画されており、SKA-midln L(p) =,によって低赤方偏移 (z<3) での 21cm 線を観測するこ∆ClHI−κ (pfid )(18)
l=lminとが予定されている。南アフリカに建設予定である
2
p = (ΩHI, Ωc h , ns, H0 )SKA-mid は 190 のアンテナからなり、single dish モー
ドと interferometer モードとして稼働する予定である。 pfid は fiducial パラメータである。パラメータのエチャンネル数である。式. (15) の第二項は常に初項よPlanck 観測のエラーについては (Planck Collaboration

ラーは covariance 行列を用いることで評価される。

VI 2018) を基に算出し、SKA 観測のエラーについて covariance 行列は Fisher 行列の逆行列に対応する。
√
は (Bull et al. 2015) を基に計算し、instrumental noise(19)
σ(pi ) = [F −1 ]ii .
を評価した。
推定される累積 Signal to Noise ratio は( ) 2 ∑ ( HI−κ ) 2
ClS≡N∆ClHI−κl(16)√∑(2l + 1) Nc fsky (ClHI−κ )2=.
(Clκ + Nlκ )(ClHI + NlHI ) + (ClHI−κ )2lとなる。

本研究では、ΩHI を除く他の宇宙論パラメータはPlanck2018 により厳しく制限されていることから、これらを prior として用いることで ΩHI のよりよい制限を得ることができる。

5 Conclusion & Discussion
Fig. 1 は、SKA-mid(SD) を想定した個々の multipole

4 Fisher analysis

モードと multipole について累積した Signal to Noiseratio(S/N) を表す。累積 S/N は、z=0.5 と 1.5 で 10 に

ΩHI と他の宇宙論パラメータの将来の制限を推定す 達し、z=2.5 では 5 に達するだけである。これらはるために Fisher 解析を行った。パラメータ pi 、p j に l = 200 で飽和する。SKA-mid(IF) は累積 S/N にそれ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
よそ 10% の誤差で制限できることがわかった。そし100てこの結果は z = 0.5, 1.5, 2.5 でのこれまでの制限と同等またはよりよい結果となった。

S/N

10

Reference

1

Ando, R., Nishizawa, A. J., Hasegawa, K., Shimizu, I., &Nagamine, K. 2019, MNRAS, 484, 5389

0.1

Bharadwaj, S., & Ali, S. S. 2004, MNRAS, 352, 142.

S/N(z=0.5)
S/N(z=1.5)
S/N(z=2.5)

0.01

50

100

l

150

200

250

図 1: 細い線は個々の multipole モードでの S/N、太Bull et al.2015, ApJ 803, 21 (2015) Author A. N., 2013, Journalof Improbable Astronomy, 1, 1
Chang,T.-C.,Pen,U.-L., Bandura, K., & Peterson, J. B.
2010,Nature, 466, 463, [arXiv:1007.3709]

線は累積 S/N を表す。

Coe, D. 2009, arXiv e-prints , arXiv:0906.4123.

1.5

expected(2019)
Lah(2007)
Khandai(2011)
Rao(2006)

1.4
1.3

Datta, K. K., Choudhury, T. R., & Bharadwaj, S. 2007, MNRAS, 378, 119.

1.2

ΩHI [10-3]

Briggs, F. H. 1990, AJ, 100, 999.

Furlanetto, S. R., Oh, S. P., & Briggs, F. H. 2006, Phys. Rep.,
433, 181.

1.1
1

Khandai, N., Sethi, S. K., Di Matteo, T., et al. 2011, MNRAS,
415, 2580.

0.9
0.8

Lah, P., Chengalur, J. N., Briggs, F. H., et al. 2007, MNRAS,
376, 1357.

0.7
0.6
0.5
0.4

Lewis, A., Challinor, A., & Lasenby, A. 2000, Apj, 538, 473.
0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

redshift(z)図 2: これまでの研究の ΩHI 制限の結果と本研究の結果との比較。ΩHI の現在の制限は Lah et al. (2007);

Lewis, A., & Challinor, A. 2011, CAMB: Code for
Anisotropies in the Microwave Background, ascl:1102.026.
Padmanabhan, H., Choudhury, T. R., & Refregier, A. 2015,
MNRAS, 447, 3745.

Khandai et al. (2011); Rao et al. (2006) から得られて Planck Collaboration, Aghanim, N., Akrami, Y., et al. 2018,arXiv e-prints , arXiv:1807.06209.
いる。今回の予測のために、HI bias が分かっていることを想定して、ΩHI に対する 1D-Fisher 解析の結果をプロットしている。
ほど寄与しない。Interferometer モードでは S/N∼0.4となるだけである。この結果が示すように、21cm 線-

CMB Lensing CPS の検出は SKA-mid(SD)-Planck 観
測のみで達しうる。

Fig. 2 は、現在の ΩHI の制限と本研究から予想される制限との比較を表す。HI bias については他の観測から判明していることを想定しており、今回の結果は目安ではあるが 1σ において見込まれる制限である。21cm 線-CMB Lensing CPS からの制限はおおRao, S. M., Turnshek, D. A., & Nestor, D. B. 2006, Apj, 636,
610.
Santos, M., Bull, P., Alonso, D., et al. 2015, Advancing Astrophysics with the Square Kilometre Array (AASKA14),
19.
Sarkar, T. G. 2010, Journal of Cosmology and Astro-Particle
Physics, Issue 02, 002.
Tegmark, M., Taylor, A. N., & Heavens, A. F. 1997, Apj, 480,
22.
Zwaan, M. A., Briggs, F. H., Sprayberry, D., et al. 1997, Apj,
490, 173.
Zwaan, M. A., Meyer, M. J., Staveley-Smith, L., et al. 2005,
MNRAS, 359, L30.

——–index

b7
HSC データを用いたフィラメント構造の弱重力レンズ効果測定
名古屋大学大学院 理学研究科
近藤 寛人

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

HSC データを用いたフィラメント構造の弱重力レンズ効果測定近藤 寛人 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
SDSS を始めとする大規模銀河探査から、我々の宇宙が密な領域と疎な領域が折り重なった泡状構造をなしていることが観測されている。そのうち密な領域は、球状のハローとその間をつなぐ線状のフィラメント構造から構成される。これらの密な領域は、弱重力レンズ効果を用いることでダークマターを含めた質量分布を測定することが可能である。特にハローの弱重力レンズ効果解析は、盛んに行われており、宇宙論パラメー
タに対する制限にも用いられている。しかしフィラメント構造における弱重力レンズ効果は、十分に研究されていない。
本研究では、Sloan Digital Sky Sur-vey (SDSS) III/Baryon Oscillation Spectroscopic Survey (BOSS)CMASS の銀河間に存在するフィラメント構造 (z ∼ 0.55) に対してすばる望遠鏡 Hyper Suprime-Cam(HSC) first-year galaxy shape catalogue を用いて弱重力レンズ効果解析を行い、フィラメント構造からの
弱重力レンズ信号を 3.9σ の優位性で検出した。また ΛCDM モデルに基づいたシミュレーションにおいても同様の解析を行い、比較することによりフィラメント構造が ΛCDM モデルの示唆する大規模構造と一致していることを確認した。本稿ではそれらの解析手法と結果について報告する。

1

導入

メント構造を測定している。
私たちは、より高赤方偏移の銀河である SDSS-BOSS

現在最も支持されている宇宙論モデルとして、宇の隣接するペアの間に存在するフィラメント構造

宙膨張を促進する宇宙項 Λ と冷たいダークマターを含む ΛCDM モデルがある。ΛCDM モデルに基づい(z≤0.7) を Subaru Hyper Supreme-Cam (HSC) の初年度データを用いて測定する。また HSC コラボ

た N 体シミュレーションでは、ダークマターの構造

レーションにて、ΛCDM モデルを仮定した N 体シとして球状のハローとその間をつなぐ線状のフィラ

ミュレーションに基づいて作成された擬似銀河カタ

メント構造が形成される。実際の観測では、ダークログにおいても同様の測定を行い、現実のダークマ

マターは光を放射しないためダークマターの構造を

ターフィラメント構造が ΛCDM モデルの予言と一致

直接観測することはできず、内部で形成された銀河

していることを確認する。

の空間分布を通して観測されてきた。

本稿の構成は、以下のようになっている。第 2 章でしかし、相対論的効果を考えると、ダークマター構は、解析に使用したカタログについて簡潔に述べる。

造の背後に存在する銀河の形状は、重力場による光第 3 章では、弱重力レンズ効果の測定について述べの経路の歪みから若干の変化が生じる。これを弱重る。第 4 章において測定結果を示し、第 5 章でそれ

力レンズ効果と呼び、膨大な数の銀河像を平均する

らをまとめる。

ことで、微小な銀河像の変化を取り出し、ダークマ
ター構造を直接的に測定することが可能になる。ハ
ロー内のダークマター分布は、弱重力レンズ効果に2

データ

よって広く研究されているが、ハローと比較して質量が小さく、弱重力レンズ効果の小さいフィラメント
構造においては、まだ十分に研究されていない。先行研究として、SDSS LRG 間のフィラメント構造の
弱重力レンズ効果の測定 [1] があり、z ≤0.5 のフィラ

この章では、SDSS-III/BOSS CMASS 銀河カタロ
グからのフィラメント構造を挟んだ銀河ペアカタロ
グ作成、背景銀河として用いた HSC の銀河形状カタ
ログ、シミュレーションから作成された擬似銀河形

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校状カタログについて説明を行う。

1.0

lens filaments
source galaxies

Normalised Number

0.8

CMASS 銀河ペアカタログ

2.1

0.6

フィラメント構造は、大質量ハローの間をつなぐよ

0.4

うにして存在することが予測される。そのため大質量ハローに存在するであろう SDSS-III/BOSS CMASS

0.2

銀河カタログ [2] から隣接する銀河ペアを選択し、フィラメントの解析でスタックする銀河ペアカタログを

0.0
0.00

作成する。

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

Redshift z

1.50

1.75

2.00

はじめに HSC 初年度データと重複する領域を取り出し、赤方偏移 0.43 < z < 7.0 のカットを行う。 図 1: フィラメントと背景銀河の赤方偏移分布。そまたペアの条件として、視線方向の間隔が |∆χ| <
−1

6 h

−1

Mpc かつ、投影距離が 6 h

−1

14 h

Mpc < R <れぞれ最大のビンで規格化してあり、弱重力レンズ
効果解析に十分な背景銀河が確保されていることをMpc であることを用いる。これらの条件は、 示す。

銀河ペアが異なるハロー内に存在するとともに、フィラメントの弱重力レンズ効果測定が行える範囲であ3

弱重力レンズ効果測定

3.1

弱重力レンズ効果

ることを保証する。
結果として、HSC 初年度データ領域で 69,447 個の銀河ペアを作成し、その赤方偏移分布を図 1 に示す。

弱重力レンズ効果は、遠方銀河から発せられた光の軌跡が手前にある物質のつくる重力場によってわ

2.2

HSC 銀河形状カタログ

本研究で用いる HSC 銀河形状カタログ [3] は、HSC

ずかに歪められる効果である。背景銀河像の微小な歪みの測定から、手前にある暗黒物質を含めた物質分布を再構築することが可能である。弱重力レンズの第一回データリリースによるものであり、全部で効果は、背景銀河が持つ形状と比較して非常に微小6 個の観測領域からなる。136.9 deg2 の観測領域を な効果であるため、個々の銀河像においては測定で持ち、銀河の個数密度は 21.8 arcmin−2 である。ま きないが、個々の銀河固有の楕円率がランダ ムな方
た赤方偏移分布のピークが z ∼ 0.7 に存在する。

向を向いていると仮定すると、複数の銀河の形状を平均することで、弱重力レンズ信号を測定すること

2.3

擬似銀河カタログ

本研究では、フィラメント構造からの弱重力レン
ズ信号の理論予測及び共分散を得るために Shirasakiができる。
弱重力レンズ効果において、銀河の形状変化の測定量であるシアー γt は、背景銀河の楕円率 et,i を用いて式 (1) のように表される。

∑

et al. [4] で作成された模擬銀河カタログを用いる。
このカタログでは、ΛCDM モデルに基づいたダーク
マター N 体シミュレーションを行い、レイトレーシ
ングすることで弱重力レンズ効果を含めた銀河形状が作成されている。

γt =i wi et,i∑
2R(1 + m̂) i wi

(1)

ここで wi は各背景銀河に対するウェイト、応答係数

R、補正バイアス m̂ を用いる。
またフィラメントまでの距離 DA (zl ) 、背景銀河までの距離 DA (zs ) 、フィラメントと背景銀河の距
離 DA (zl , zs ) を用いて表される臨界面密度 Σcr をシ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
アー γ にかけることで、質量面密度 ∆Σ を得る。

Σ−1cr (zl , zs ) =4πG DA (zl ) DA (zl , zs )c2
DA (zs )

(2)

4

結果

4.1

フィラメント信号

図 3 に CMASS 銀河ペアをスタックし、エスティ

3.2

エスティメーター

メーターを用いて、フィラメントからの弱重力レン
ズ信号を測定した結果を示す。測定の結果 3.9σ の優

本研究では、ハローの間をつなぐフィラメント構位性でフィラメント構造を検出している。また理論

造を解析するため弱重力レンズ信号にハローの影響

曲線は、模擬銀河カタログを用いて今回の測定領域が生じる。フィラメントに比べてハローは大質量でを 108 リアライゼーション分測定した結果を平均しあるため及ぼす弱重力レンズ効果が大きく、その寄て求めている。観測の信号と理論曲線が不一致なよ

与を取り除くことが必要である。そこで Clampitt J.,

うに見えるが、今回の測定に用いたエスティメーター
et al.[1] にて示された図 2 のようなエスティメーター の各ビンは強く相関しているため、自由度 5 のカイを ∆Σ に対して用いることにより、ハローの球対称 二乗検定において χ2 = 8.1 であり、p 値は 0.15 であ成分を含まない弱重力レンズ信号を取り出す。またる。これはフィラメント構造において観測からの測

エスティメーターにおける 1 つのビンは緑矢印で示定と ΛCDM モデルによるシミュレーションからの示された領域を平均したものである。

唆が相反せず、フィラメント構造は、ΛCDM モデルを支持している。

data
theory0.1[M h/pc2]

0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.60.00.1

0.2

y/Rpair

0.3

0.4

0.5

図 3: フィラメント構造の弱重力レンズ信号。実線が図 2: フィラメント信号測定のためのエスティメー

観測、破線がシミュレーションによる理論予測を示ター。両端の黒丸が CMASS 銀河を含むハローを表す。フィラメントと並行または垂直な要素を取り出し、その間をつなぐようにフィラメント構造が存在しており、負の値は垂直な成分が大きいことを示す。

する。球対称な天体の生み出すシアーは、180 度対称性を持つため、図 2 における p1〜p4 のように各ハローに対して 90 度となる点のペアを 2 組平均化する
ことで打ち消すことができる。また以降の各ビンはフィラメントに沿う矢印のフィラメントからの距離で定義する。

4.2

2D マップ全ての銀河ペアをスタックしたシアーマップを図4 に示す。球形のハロー由来のシアーの間にフィラメント構造による鉛直方向のシアーの存在が見られる。
またハローから十分離れた位置でもハローペア取り2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
巻くようなシアーが存在しており、ペアとして取り出したハローと異なる他のハローが影響しているこ

6

1.5 shear = 0.001

7

1.0

8

0.5

9

0.0

10

0.5

11

log( + 3e 4)

y/Rpairとが考えられる。

1.0
1.51.5

1.0

0.5

0.0
x/Rpair

0.5

1.0

1.5

図 5: 銀河ペアスタック後のコンバージェンスマップ。
図 4: 銀河ペアスタック後のシアーマップ。
シアーは物質密度を示すコンバージェンスに変換可能である [5]。ここではシアーの畳み込みから作成したコンバジェンスマップを図 5 に示す。コンバー
ジェンスマップでは、フィラメント構造がハローの半径と同程度まで見られる。これは実際のフィラメ

Reference[1]Clampitt J., et al., 2016, MNRAS, 457.2391[2]Alam S., et al., 2015, ApJS, 219, 12[3]Mandelbaum R., et al., 2018a, PASJ, 70, S25[4]Shirasaki M., et al., 2017, MNRAS, 470, 3476

ント構造が糸のように細くまとまった構造ではなく、 [5]Miyazaki S., et al., 2015, Astrophys. J., 807, 22
幅を持った広がりのある構造であることを示唆して
いる。

5

要約
本研究では、HSC の銀河形状カタログを用いてSDSS-III/BOSS CMASS の銀河ペア間に存在するフィラメント構造を解析し、3.9σ の優位性でフィラメント構造を検出した。ΛCDM モデルに基づいたシ
ミュレーションと観測からの測定を比較では、フィラメント構造が ΛCDM モデルを支持することを確認した。またフィラメント構造は、幅を持った広がりのある構造である。

——–indexb8
ヘリカルな磁場生成モデルにおける重力波生成早稲田大学大学院岡野 創

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ヘリカルな磁場生成モデルにおける重力波生成
岡野 創 (早稲田大学大学院)

Abstract
我々の宇宙には、中性子星や銀河をはじめとした、磁場をもつ 物体が多数存在する。磁場の強さは磁場の相関長 (スケール)が 小さいほど大きくなり、中性子星では 1012 G を超え、銀河団 では 103 G であるなど多岐にわたる。そして、2010 年の

TeV Blazar の観測から Void の宇宙にも磁場が存在し、100Mpc あ たりに 101 6 G を超える磁場があることがわかった。
これは種 磁場とよばれ、この磁場がプラズマの運動などで銀河の磁場程 度まで増幅されたと言われている。種磁場の起源
は初期宇宙、 特にインフレーションにあると考えられ、2010 年の観測後、 様々な磁場生成モデルが考えられてきた。ところが 2014 年に インフレーションのみで観測を満たす磁場は生成できないこと が証明され、以降はインフレーションだけでなく、再加熱も利 用した磁場生成が議論されるようになった。また、観測結果と シミュレーションとの比較から、宇宙磁場はヘリカルであるこ とが示唆されている。そこで私は、初期宇宙磁場の生成機構と してインフレーション期から再加熱期にかけてヘリカルな磁場 を生成するモデルに着目する。このモデルでは、宇宙磁場の観測下限 1Mpc あたりで > 10−16を上回る磁場の生成が可能で あり、同時に作られた電場は再加熱時に十分弱められる。ここでは、宇宙初期に増幅された電磁場から作られる重力波のパワースペクトルを計算し、重力波干渉計による直接観測の可能性を検討する。

1

Introduction

されてきた。そこでインフレーションだけでなく、インフレーション以降にも磁場生成を起こすというモデルが考案

2010 年のガンマ線望遠鏡による観測により、我々の宇宙され始めた。また、近年では宇宙磁場がヘリシティをもっには銀河や天体のない 空の 領域にも磁場 (10-16G) が大ていることが示唆されるようになったため、磁場生成モデ

スケール (1Mpc) に存在することが示唆された。大スケー

ルはパリティ対称性を破り、生成される磁場がヘリカルにルの揺らぎの生成はインフレーションによって生成できるが、電磁場はスケール対称性をもっており、一様等方的な時空膨張では揺らぎの増幅ができない。そのため、なんらかの方法で電磁場のスケール対称性を破ってやる必要がある。しかし、素粒子標準模型の枠組みではそのような結合は存在しない。そこで、インフレーション中において素粒子標準模型を超えた枠組み (BSM) で電磁場生成が行われたと考えられる。(ビッグバン以降は電磁場のラグランジアン
としては標準模型が正しいと考えられるので、新たに導入された BSM 結合はインフレーションが終わればなくならなければならない。)BSM 結合を導入し、磁場生成について言及したものとして電磁場の運動項とスカラー場を結合させたモデルがある。この結合は現象論的にスケールファク
タのパワーロウで表されるとすると電磁場のスケール対称性を破る。結果、大スケールかつ観測下限を超える磁場生成が可能だと考えられたが、以下の理由をもって棄却された。上記の観測下限を満たすような磁場をインフレーショ
ンで生成すると同時に、より強力な電場も生成されてしまい、電磁場のエネルギー密度が非常に大きくなってしまう。
このモデルにおいて電磁場は揺らぎとして扱われ、インフラトンのダイナミクスに影響を与えないという近似の下で生成している。従って、電磁場のエネルギー密度がインフラトンのエネルギー密度と比べて無視できなくなればそれは矛盾である。一方で電磁場が時空のダイナミクスに影響を与えないという条件を満たそうすると十分な磁場生成を行えない。観測下限を超えるという制限と、バックグラウ
ンドへのバックリアクションがないという条件が相反しているというのはこのモデルに限らず様々なモデルで問題視なると考えられる。ヘリカルな磁場が作られれば、インフレーション後の再加熱時に逆カスケードを用いて小スケー
ル磁場のエネルギーを大スケール磁場に受け渡すことができる。するとバックリアクションを無視できる近似を成立させつつ大スケールの強磁場を生成できることが示された。

(2). このモデルでは電磁場運動項との BSM 結合がインフ
レーション終了と共に定数 (=1) になること, 再加熱が瞬間的に行われるなどの仮定が置かれている。これらの仮定に対して、(3) ではインフレーション期だけでなくインフラト
ン振動期でも BSM 結合がスケールファクタのパワーロウ
で表され、再加熱時のの電磁場の振る舞いについても言及した。インフレーション後のインフラトン振動期において荷電粒子との相互作用をモデル化することで電場だけを拡散させることで電磁場の振動を止め、磁場生成を自然に停止させている。
この集録の構成としては、2 章で (3) のモデル、及び生成されるヘリカルな磁場、電場についての説明を与え、3 章で電場から生成される重力波について言及し、輻射優勢期におけるパワースペクトルを確認する。4 章では結論及び今後の展望について言及する。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

2

helical magnetogenesis model

考える作用は以下で与えられる.
[
∫
2
Mpl
√
1
1
3
S = dηd x −gηR − (∂µ ϕ)2 − V (ϕ) − (∂µ χ)2
2
2
2
(
)]
1
ϵµναβ
−U (χ) − I 2 (χ) Fµν F µν − γ √ Fµν Fαβ
4
2 −g
(2.1)

B/Hinf 4
1014
109
104
10-1
10-6
0.1

このうちバックグラウンドで効いてくるのは
[
]
∫
2
Mpl
√
1
3
2
S = dηd x −gηR − (∂µ ϕ) − V (ϕ)
2
2

(2.2)

のみである. このうち, 平坦なドジッター膨張を時空の解として、その周りでの摂動として spectator 場と電磁場を考え

108

105

100

|kηi |

Fig 2: a = 104 ai の時の磁場のパワースペクトルB/Hinf 4ている.Spectator 場の運動は解かないが, 電磁場の運動項と1014の結合は次のように与えられているものとする.
( )−nai(a < ai )( as )−na(η)I(η) =(ai < a < as )


as




1
(as < a)

109
104
10-1
(2.3)

10-6
|kηi |

109

105

10

ここで



−

1
∝ a−1
aH
inf
η=

 2 ∝ a1/2
aH

Fig 3: a = 108 ai の時の磁場のパワースペクトル(a < ae )(2.4)(ae < a < ar )

B /Hinf 41017である。この仮定の元で, 電磁場揺らぎの運動方程式を書き
107

下すと

(∂η2 + k 2 )(Ii ABD± ) = 0 (a < ai ))k n(n − 1)∂η2 + k 2 ± 2ξ −(IAinf± ) = 0 (ai < a < ae )ηη2)(k 2n(2n + 1)
(IAosc∂η2 + k 2 ∓ 4ξ −± ) = 0 (ae < a < as )ηη2((∂η2 + k 2 )Af±in = 0 (as < a)

10-3

1

1000

106

109

1012

|kηi |

Fig 4: a = ae の時の磁場のパワースペクトル(2.5)
B /Hinf 4

ここから各時刻における磁場のパワースペクトルを書くと,

B/Hinf 4

1040
1020

1014

1

109
104

1

1000

106

109

1012

|kηi |

10-1
Fig 5: a = 103 ai の時の磁場のパワースペクトル

10-6
0.1

10

1000

105

|kηi |

Fig 1: a = 10ai の時の磁場のパワースペクトル2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校のようにして計算できる. ここから大スケールからの寄与

B /Hinf 410を計算してパワースペクトルを求めると,

50

1030



1010

10-5

10-10

1

1000

106

109

1012

10-15

|kηi |

Fig 6: a = 106 ai の時の磁場のパワースペクトル

10-25

またこの時の電場のパワースペクトルはすべて磁場より大きくなり,

10-35
0.1

E /Hinf 4

105

100

108

1011

|kηi |

1050
1030

Fig 8: 正の偏光からの重力波パワースペクトル

1010
10-10



1

1000

106

109

1012

|kηi |
10-9

Fig 7: oscillation 中の電場のスペクトル

10-12

である。

10-15
10-18

電場からの重力波

310-21

図を見ると電場のパワースペクトルの方が大きいので、重力波が出るとしたら電場からである。そのうち、大スケー

0.01

1

100

104

ルからの寄与と、小スケールからの寄与が考えられる。電場をソースとした重力波の運動方程式は
[
]
∫
2
(
)
Mpl
1 2
3 √
µν
µν
S = dηd x −g
R − I (η) Fµν F − γFµν F̃
24

Fig 9: 負の偏光からの重力波パワースペクトル
これを見るとたしかに重力波はヘリカルになっている。

(3.1) 小スケール側においては horizon 直下になっているので superhorizon 近似も subhorizon 近似も使えない。よってうまの 2 次摂動を考えて、′′

い fitting function を考える必要がある.

′

(λ)
(λ)
h̃k (η) + 2Hh̃k (η) + k 2 h̃k (η)∫
2I 2 (η)
d3 q ′(λ)=
A (η, q)A′j (η, k − q)eij (−k)
2
2
Mpl a
(2π)3 i(λ)

のように与えられる. ここからスペクトルは
⟨
⟩
(λ)
(λ)
h̃k (η)h̃k′ (η)

(3.2)

4

今後の発展
ヘリカルな電磁場生成モデルからは確かにヘリカルな重力波が得られた. 現段階では小スケール側からの寄与を計算しきれていないので、良い fitting 関数を用意してスペクト
1
ルを計算する必要がある。また、それが重力波干渉計の観′=4 δ(k + k )2Mpl
測に引っ掛けられるかを考察しなければならない。
∫
2
2 ′
∑∫
I (η )dη ′ 2 ′ Gk (η, η ′ )A′α (η ′ , −p)A′β (η ′ , k + p)
d3 p
×a (η )
α,βReference
(
)2 (
)2
\
× 1 − αλp̂ · k̂
1 + βλ(k+ p) · k̂
Andrii Neronov, & Ievgen Vovk 2010, Science,2010,328,73(3.3)|kηi |

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
Chiara Caprini,& Lorenzo Sorbo
Tomohiro Fujita, & Ruth Durrer 2019, arXiv:astroph.CO/1904.11428
Tomohiro Fujita, Ruth Durrer, ”Scale-invariant Helical Magnetic Fields from Inflation”[arXiv:astroph.CO/1904.11428]

——–index

c2
Modeling scalar fields consistent withpositive mass
片桐 拓弥
立教大学大学院 理学研究科

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Modeling scalar fields consistent with positive mass
片桐 拓弥 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
現在の宇宙の加速膨張を説明する試みのひとつとして、一般相対論を拡張した修正重力理論が多く提案されている。時空の全エネルギーの下限の存在を保証する正エネルギー定理の成立の可否は、修正重力理論の構築に向けて一定の指導原理となりうるだろう。また、それらの理論における重力場の方程式の解の唯一性 (多様性) を調べることは、理論における宇宙モデルに強い制限を与える点で重要である。本講演では、修正重力理論のひとつであるスカラー・テンソル理論の特別なクラスにおいて正エネルギー定理が成立する条件を調べた (M. Nozawa and T. Shiromizu, 2014) をレビューしたのち、その結果を応用してスカラー場が定常な場合において至るところに時間的な Killing ベクトルが存在する時空は Minkowski 時空に限られることを示す。

1

Introduction

うるだろう。
正エネルギー定理は、「至るところで時間的な系の全エネルギーに対する下限の存在は、系の安定性を保証する最も基本的な要請である。下限が存在しない場合、エネルギーは際限なく負の値を取ることが可能となる。これは、系の不安定性を意味する。
一般相対論では等価原理により重力場のエネルギーを局所的に定義できない。しかし、時空が漸近的に平坦な場合については全エネルギーの定義が可能でKilling ベクトルが存在する真空 Einstein 方程式の解は、Minkowski 時空に限られる」と主張する

Lichnerowicz 定理の証明に応用できる。さらに、「真空 Einstein 方程式の静的ブラックホール解は、

Schwarzchild 解に限られる」ことを示す静的ブラッ
クホールの唯一性定理の証明も可能にする。これらの定理は、宇宙における解を強く制限する点で非常ある。このときに定義されるエネルギーを Arnowitt-に重要である。

Deser-Misner(ADM) エネルギーと呼ぶ。正エネル
ギー定理 (R. Schon et al, 1981))(E. Witten, 1981)

する修正重力理論が満たすべき条件を議論したによると、物質場の局所的なエネルギーが非負であ

本講演では、はじめに正エネルギー定理が成立(M. Nozawa and T. Shiromizu, 2014) をレビューするならば ADM エネルギーは非負であり、Minkowski

る。ただし、ここでいう修正重力理論とはある種の時空に限って 0 となる。したがって、正エネルギー

スカラー・テンソル理論とする。次に、この結論を応定理は時空の全エネルギーの下限の存在を保証するものであり、一般相対論を含む重力理論の安定性を示すひとつの指針となる。
近年、宇宙の後期加速膨張を説明する試みのひとつとして、一般相対論を拡張した修正重力理論が盛用して、重力場の方程式の解のうち、至るところで時間的な Killing ベクトルが存在する時空は Minkowski
時空に限られることを示す。本講演で与える結論はスカラー場が存在する場合でも Lichnerowicz 定理が成立可能であることを示す。

んに議論されている。広く拡張された理論の制限は観測事実との整合性から行われる場合が多く、超重力理論を始めとした基礎理論との整合性については理解に乏しい。また、正エネルギー定理は、多くの

2

正エネルギー定理

超重力理論においてその成立が証明されている。以正エネルギー定理の証明には、多脚場形式に基づ上の観点から、正エネルギー定理の成立の可否は修く Riemann-Cartan 時空を用いる (E. Witten, 1981)。

正重力理論の構築にあたって一定の指導原理となり

すなわち、局所慣性系において Dirac spinor が存在2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
し、これによって捻率は 0 ではない値を取る。この形式で表される重力理論は一般座標変換と局所 Lorentz
変換に対して不変であり、超重力理論で用いられるを得る。ここで、V µ = iϵγ µ ϵ であり、場の強さ()
Fµν = 2 ∇[µ Aν] + A[µ Aν](8)と、Aµ = γ 0 Aµ † γ 0 、F µν = γ 0 Fµν † γ 0 である。

幾何学である。

(7) 式右辺の 0 成分が非負であることを示すこと

多脚場 eα̂µ を、次を満たすように定義する:
β̂gµν = eα̂µ eν ηα̂β̂

(1)

ここで、µ, ν, · · · = 0, 1 . . . d は (d + 1) 次元時空の計で、ADM エネルギーが非負であることを証明できる。ここで、Dirac spinor ϵ に対して、次のゲージ条
件 (Witten 方程式)

量の添字を表し、ハットのついた添字は時空の接空

γ î Dî ϵ = 0間である Minkowski 時空の計量の添字を表す。次に、(9)を課す。ここで、î, ĵ · · · = 1, 2 . . . d である。(9) 式をDirac spinor ϵ に対する全共変微分
Dµ ϵ = (∇µ + Aµ )ϵ(2)を定義する。ここで、∇µ は Levi-Cività の共変微分満たす ϵ の存在は、漸近的 Minkowski/Anti-de Sitter
時空において証明されている (T. Parker et al, 1982)。

(9) 式を用いると、(7) 式右辺の第一項の 0 成分はを表し、Aµ はスピン接続を表す。また、ガンマ行列

2iDρ ϵγ 0νρ Dν ϵ = 2g ij (Di ϵ)† (Dj ϵ) ≥ 0

γ µ は次の Cliﬀord 代数{γ µ , γ ν } = 2g µν

(3)

(10)

となり、非負であることがわかる。次に、(7) 式右辺の第四項、第五項は符号を操作できない項であるため、これらが消えるようにに従う。
次に、Nester テンソル (J. A. Nester, 1982)()
N µν := −i ϵγ µνρ Dρ ϵ − Dρ ϵγ µνρ ϵを定義する。ここで、γµνρAν γ µνρ = γ µνρ Aν
(4)とする。このとき、(7) 式は[µ ν ρ]= γ γ γ である。また、† 0∇ν N µν = 2iDρ ϵγ µνρ Dν ϵ − Gµ ν V ν + S µ†ϵ = iϵ γ は Dirac 共役であり、ϵ は ϵ の Hermitian†

共役を表す。また、Dρ ϵ = i (Dρ ϵ) γ 0 である。(4) 式(12)と書ける。ここで、を用いることで、ADM エネルギーと運動量の和 Pは(11)

S µ := −iϵγ µνρ Fνρ ϵ

∫

(13)

(5) である。
Aµ = 0 とすることで、一般相対論の場合に帰着と書ける。ここで、S∞ は空間的無限遠における (d−1) する。このとき、D = ∇ 、S µ = 0 となる。また、µµ
次元超曲面を表す。次に、Gauss の定理を用いるこ 物質場が dominant energy condition を満たすとき、N µν dSµν

P =

S∞

とで

∫
N
S∞

Einstein 方程式を通して (12) 式右辺の第二項は非負

∫
µν

∇µ N

dSµν = 2

µν

nν dΣ

(6)

であることが示される。このように、一般相対論においては、正エネルギー定理が成立していることがΣを得る。ここで、Σ は任意の d 次元空間的超曲面を

わかる。

µ

表し、n は Σ の未来向き単位法線ベクトルを表す。

(6) 式右辺の被積分関数を具体的に計算することで、∇ν N µν =2iDρ ϵγ µνρ Dν ϵ − Gµ ν V ν)i (− ϵ F νρ γ µνρ + γ µνρ Fνρ ϵ
2()− iϵ Aν γ µνρ − γ µνρ Aν Dρ ϵ()
+ iDρ ϵ Aν γ µνρ − γ µνρ Aν ϵ

3

スカラー・テンソル理論における
正エネルギー定理(7)

次のスカラー・テンソル理論を考える：∫√
1S=
d4 x −g [R + 2K(ϕ, X) + 2Lmatter ] (14)22019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで、ϕ は実スカラー場であり、X := − 12 ∇µ ϕ∇µ ϕである。さらに、Lmatter は物質場の Lagrangian を表す。(14) 式より、重力場の方程式(ϕ)(matter)Gµν = Tµν
+ Tµν
(ϕ)
Tµν
= KX ∇µ ϕ∇ν ϕ + Kgµνを得る。KXX = 0 より、

K(ϕ, X) = X−U (ϕ) , U (ϕ) = 8Wϕ 2 −12W 2 (25)を得る。これはカノニカルなスカラー場に対応する。
(15) また、XK 2 + 8W 2 = 0 より、X > 0 のとき
X
ϕ

(16)

と、スカラー場の運動方程式

K = const. , W = const.

(26)を得る。この結果は、負の宇宙項を持つ場合に対応(17) するので膨張宇宙解は存在しない。また、X < 0 のとき、√を得る。ここで、KX = ∂X K 、Kϕ = ∂ϕ K である。
K = 4 2Wϕ (−X)1/2 + 12W 2(27)∇µ (KX ∇µ ϕ) + Kϕ = 0

次に、スピン接続とスカラー場の関係を

Aµ = W(ϕ)γµ

2を得る。ここで、ϕ = ϕ(t) の場合は X = 21 (∂t ϕ) > 0(18) となるため、ϕ が一様等方である解は除外される。
次に、Minkowski 時空のときに ADM エネルギーと仮定する。これにより、(12) 式は∇ν N µν =2iDρ ϵγ µνρ Dν ϵ − T µ (matter)Vνν+ iδλγ µ δλ + ∆V µと書ける。ここで、
[
]
1 √
4Wϕ
µ
δλ = √K X γ ∇µ −
ϵ
KX
2

8Wϕ 2
∆ = XKX − K −+ 12W 2KX

は 0 となることを示す。(19) 式より Di ϵ = 0, δλ =0, T µ (matter)= 0 のとき、ADM エネルギーは 0 となν(19) る。このとき、[∂i + Ai , ∂j + Aj ] ϵ =1Rijµν γ µν ϵ
4(28)より、Rijµν = 0 である。さらに、時間一定面の変形(20) により

Rαβµν = 0(29)(21) が成り立つ。したがって、ADM エネルギーを 0 にすであり、δλ = i(δλ)† γ 0 、Wϕ = ∂ϕ W である。 こ
こで、KX ≥ 0 としたが、スカラー場に null energy

condition を課したことに対応する。
(19) 式右辺第一項の 0 成分は (10) 式より非負でる時空は Minkowski 時空であることが示された。以上により、(11) 式と (18) 式を満足する (14) 式の重力理論において、正エネルギー定理が成立する条件
として (23) 式が得られた。

あり、第二項の 0 成分は物質場に dominant energy

condition を課せば非負である。また、第三項の 0 成分はiδλγ 0 δλ =(δλ)† δλ
≥0

(22)

(23)

は、正エネルギーが成立するための条件である。

(23) 式より、次のふたつの条件
KXX = 0 , XKX 2 + 8Wϕ 2 = 0

至るところに時間的な Killing ベクトル ξ µ が存在する漸近的に平坦な時空の場合、ADM エネルギー

できない項であるため、0 とする。すなわち、

8Wϕ 2+ 12W 2 = 0
KX

一般化された Lichnerowicz 定理となり、非負である。第四項の 0 成分は符号を操作

XKX − K −4

M は次のように書ける:∫M =−∇µ ξ ν dSµν
∂Σ
∫
= −2
Rµν ξ µ ξ ν dΣ

(30)

Σ

ここで、右辺一行目から二行目の式変形には Gaussの定理を用いた。また、空間的的超曲面 Σ は ξ µ に(24)

直交するように選んだ。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
クホールが存在する場合に (6) 式で現れるイベント(30) 式右辺の被積分関数は、(15) 式より
Rµν ξ µ ξ ν =KX (∂t ϕ)2
2+(−XKX + K) gµν ξ µ ξ ν1−d

ホライズン上での表面積分は非負であることが条件(31)として加わるからである。これらの議論を経て、修正重力理論における静的ブラックホール解の唯一性について調べることが可能となる。

となる。ここで、物質場は存在しないものとした。(31)式右辺第二項は、スピン構造を持たない理論 (W = 0)に対する正エネルギー定理の成立条件 (23) 式より 0となる。このとき、スカラー場が定常である場合には右辺第一項も 0 となるため、ADM エネルギーは0 となる。さらに、正エネルギー定理より ADM エネルギーが 0 である時空は Minkowski 時空に限られる。したがって、(14) 式で表される理論のうちスピン構造を持たず、正エネルギー定理が成立するクラAcknowledgement
第 49 回天文・天体物理若手夏の学校の運営にご賛同頂き、ご支援下さった機関及び個人の方々に感謝いたします。また、議論や研究指導、研究生活における様々な場面でお世話になっている方々に感謝申し上げます。

スについては次の定理が成立する。
一般化された Lichnerowicz 定理:
スカラー場が定常かつ物質場が存在しない場合、至るところに時間的な Killing ベクトルが存在する時空は Minkowski 時空に限る。

Reference
M. Nozawa and T. Shiromizu, Phys. Rev. D 89, no. 2,023011 (2014)
R. Schon and S. T. Yau, Commun. Math. Phys. 79, 231(1981).
E. Witten, Commun. Math. Phys. 80, 381 (1981).

5

Conclusion
本講演では、正エネルギー定理が成立するために (14) 式で表されるスカラー・テンソル理論の満たす条件について調べた (M. Nozawa and T. Shi-romizu, 2014) をレビューしたのち、至るところに時間的な Killing ベクトルが存在する時空は Minkowski
時空に限られる場合があることを示した。ただし、考えた理論は (11) 式と (18) 式を満足するクラスであり結論は限定的である。したがって、必ずしも (23)式を満たさない理論が排除されるべきとは言えない。
また、(14) 式の理論は Horndeski 理論の特別なクラスである。修正重力理論の精査という観点からすれば、Horndeski 理論への議論の拡張は重要な意味をもつ。
今回はブラックホールを含まない場合を考えたが、一般相対論においてはブラックホールを含む場合の正エネルギー定理の成立も証明されている。修正重力理論においてブラックホールを含む正エネルギー定理の成立の可否を調べることで、理論が満たすべき条件はより強くなると考える。なぜなら、ブラッJ. A. Nester, Phys. Lett. A 83, 241 (1981).
T. Parker and C. H. Taubes, Commun. Math. Phys. 84,
223 (1982).

——–indexc3
軸対称時空における時間的閉曲線
京都大学 基礎物理学研究所
林 航大

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

軸対称時空における時間的閉曲線
林 航大 (京都大学 基礎物理学研究所)

Abstract
一般相対性理論は重力を時空連続体の歪みとして説明するものである。この一般相対性理論の興味深い示唆
として、時間的閉曲線の存在がある [1-3] 。時間的閉曲線とは時間的な曲線でありながら全く同一の時空点( 時間、空間 ともに全く同一の点 ) に戻ってくるものである。この時間的閉曲線の存在は、一般相対性理論の枠組みにおいて、過去の世界への時間旅行が禁止されていないことを意味している。本発表ではまず、文献 [1] に従って、回転する無限に長い円柱形状のダストによって形成される円柱対称時空において時間的閉曲線が存在することを確認する。また文献 [2] に従って、有限の長さの質量を持たない回転する棒にによって形成される軸対称時空においても同様に時間的閉曲線の存在を確認する。

1

Introduction

含む二つの時空の性質について調べた。

アインシュタイン方程式によって記述される時空のなかには時間的閉曲線を含むものが多数存在している。時間的閉曲線とは時間的な曲線でありながら全く同一の時空点 ( 時間、空間 ともに全く同一の点2

無限に長い回転する円柱形状のダスト) に戻ってくるものである。この時間的閉曲線の存在

無限に長い回転する円柱形状のダストによって形は、一般相対性理論の枠組みにおいて、過去の世界成される円柱対称時空について、その性質を見ていへの時間旅行が禁止されていないことを意味していく [1]。この解は van Stockum によって求められたもる。しかしながら、時間的閉曲線の存在は、一般的のである [5]。

には現実的でないと考えられている。これは、時間

次のような計量を考える。

的閉曲線を含む時空の多くが非物理的な性質を持っていることや、現実の宇宙を記述するものでないと考えられていることによるものである。具体例としては、Gödel 解が挙げられる [4]。この解は、膨張し

ds2 =H(dz 2 + dr2 ) + Ldϕ2 + 2M dϕdt − F dt2(−∞ < z < ∞, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < t < ∞)(2.1)

ていない回転している宇宙を表すものであり、負の

ただし、ϕ = 0 と ϕ = 2π は同一視する。また、

宇宙項を含むアインシュタイン方程式の厳密解であH, L, M, F は r のみに依る関数であり、具体的な形る。また、回転しているブラックホールを記述するを以下に述べる。

Kerr 解やそれに電荷を加えた Kerr-Newmann 解に ・内部解 (0 ≤ r ≤ R)
も時間的閉曲線が存在することが知られている。こ
回転する円柱形状のダストによって形成される計
れらは現実的なブラックホールを表す解として知ら量。ダストの密度と４元速度は次で与えられる。
れている。しかしながら、これらの解において時間
的閉曲線が存在するのは事象の地平面の内側に限られており、我々が過去の世界へ時間旅行することは不可能であると考えられている。
果たして、時間的閉曲線を含む時空は現実的に存2 2

8πρ = 4a2 ea r ,ui = δti(2.2)

ただし、a は任意の正の定数である。計量の具体的な形は在し得ないのだろうか。この疑問に対する答えを得

H = e−a r ,るための足がかりとして、今回私は時間的閉曲線を

M = ar2 ,2 2

L = r2 (1 − a2 r2 ),
F =1

(2.3)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
・外部解 (R ≥ r)

これより、a2 R2 < 1 のとき時空の全領域で特異点

円柱形状のダストの周りの真空領域に形成されの存在は認められない。しかし、a2 R2 > 1 のときる計量。正の定数 a によって三通りの計量があr → ∞ で k は発散する。これは円柱形状のダスト以り得る。

外の重力源が r → ∞ に存在することを示唆している。

・Case I (aR < 1/2)

最後に時間的閉曲線の存在を確認する。時間的閉

H = e−a r (R/r)2a R ,1
L = rR sinh(3ϵ + θ)csch(2ϵ)sech(ϵ),
2M = r sinh(ϵ + θ)csch(2ϵ),
2 2

2

2

曲線が存在するのは外部解の Case III の L が負になる領域である。(内部解や外部解の Case I、Case II
では L は常に正である。) なぜなら、

xϕ = ϕF = rR−1 sinh(ϵ − θ)csch(ϵ)()θ = (1 − 4a2 R2 )1/2 log(r/R),
tanh(ϵ) = (1 − 4a2 R2 )1/2

(2.8)

xi = constant (i ̸= ϕ)を満たす曲線を考えると、その曲線は閉曲線となっ(2.4) ていて、かつ ds2 = Ldϕ2 < 0 なので時間的な曲線となっているからである。

・Case II (aR = 1/2)

H = e−1/4 (R/r)1/2 ,1
L = rR[3 + log(r/R)],
4
1
M = r[1 + log(r/R)],2
F = rR−1 [1 − log(r/R)]

この時空は条件を満たせば特異点を含まず、ダス
トによって形成されるという意味では比較的現実的である。しかしながら問題となるのは、無限の長さを(2.5) 持つという点である。明らかに無限の長さを持つ円柱形状のダストを用意することは不可能である。ただし、無限に長い物質は、長いが有限の長さを持つ物質とその性質を共有するとも期待される。有限の・Case III (aR > 1/2)
−a2 r 2長さを持つ回転する円柱形状のダストが形成する重2a2 R2

H=e
(R/r)
,
1
L = rR sin(3ϵ + θ) csc(2ϵ) sec(ϵ),
2M = r sin(ϵ + θ) csc(2ϵ),

力場について、その性質を調べることは必要である

F = rR−1 sin(ϵ − θ) csc(ϵ)()θ = (4a2 R2 − 1)1/2 log(r/R),

3tan(ϵ) = (4a2 R2 − 1)1/2だろう。

有限の長さの質量を持たない回
転する棒

有限の長さの質量を持たない回転する棒によって(2.6) 形成される軸対称時空について、その性質を見ていここで示した計量は、ダストの共動座標系で表した

く [2]。次のような計量を考える。

ものであるが、各点で局所平坦座標系に移ることで

ds2 =f −1 (eν (dz 2 + dr2 ) + r2 dϕ2 ) − f (dt − wdϕ)2ダストが角速度 a で回転していることが確認される。
時空における特異点の存在について確認する。各領域における Kretschmann scalar を計算すると次の

2

2+ 2f wdϕdt − f dt2(−∞ < z < ∞, r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −∞ < t < ∞)(3.1)

ような r 依存性が求められる。

k =Rαβγδ Rαβγδ
{ 2a2 r2e(−2 + a2 r2 ) (0 ≤ r ≤ R)∝
2 2
rn(a R −1) (R ≥ r) (n = 4 or 6)=f −1 (eν (dz 2 + dr2 ) + r2 (1 − r−2f w )dϕ2 )ただし、ϕ = 0 と ϕ = 2π は同一視する。また、f, w, ν

(2.7)

は r と z に依る関数である。ここで、Papapetrou に2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
よって得られた真空解を考える [6]。この真空解は次ンと同様に、の関係式を満たすものである。

xϕ = ϕf −1 = α cosh(ξ,z ) + β sinh(ξ,r )w = (α2 − β 2 )1/2 rξ,rを満たす曲線を考えると、これは閉曲線となってい
2 −1−2 2 2(3.2) る。加えて、gϕϕ = r f (1 − r f w ) < 0 が満たされるとき、つまり (1 − r−2 f 2 w2 ) < 0 が満たされ

ν,z = rξ,zz ξ,zr1
ν,r = r[(ξ,zr )2 − (ξ,zz )2 ]2ξ,zz + ξ,rr + r−1 ξr = 0

るとき ds2 < 0 となり、この曲線は時間的閉曲線となる。z = 0 に注目すると、時間的閉曲線が存在す

ここで、α と β は任意の定数で、ξ は z と r の関数る領域は、である α、β と ξ を具体的に、

α = 1,

1r 2 < b22

β=0R1 + z − bξ = 2a log
R2 + z + b

R1 = [(z − b)2 + r2 ]1/2

 R2 = [(z + b)2 + r2 ]1/2
a, b : constant(3.5)

xi = constant (i ̸= ϕ)

[(

64a2
1+ 2
b

]

)1/2
−1

(3.6)

であることがわかる。






ここで注目した時空がもつ漸近平坦であるという(3.3) 性質は、現実的な時空が持つべき性質の一つと言える。しかし、重力源が質量を持たないという点と太さがないという点は非物理的であると考えられる。
重力源に有限の質量をもたせ、有限の太さをもたせと与えると、計量に含まれる関数 f 、w と ν は次のた場合に時空の性質がどのような変更を受けるのか、ような形になる。
[ (
)]
1
1
−1
f = cosh 2a
−
,
R1
R2
)
(
z−b z+b−,w = −2a
R1
R2
[ (
)
]
(3.4)
1
1
R 2 − b222
ν = −a r+ 4 + 2
+ C,
4
R1
R2
b R1 R2()
2
2 1/2
R = [z + r ]具体的には時間的閉曲線が存在し続けるのか、調べ

C : constant
定数 C を C = a2 /b2 と選ぶとこの時空は r = 0, −b <z < b に線状の円錐特異点が生じる。これは、r =0, −b < z < b に線状の重力源があると捉えることができる。また、この重力源から十分に離れると時空は漸近平坦となり、特に r → ∞ では時空は質量ゼ
ロ、角運動量 4ab で回転している粒子によって作られる時空に漸近する。以上を以てしてここで示した
計量は、有限の長さを持つ回転する質量ゼロの棒によって作られる時空を表していると解釈できることがわかった。
最後に時間的閉曲線の存在を確認する。前のセクショることは有益だろう。

4

Conclusion
今回、無限に長い回転する円柱形状のダストによって形成される円柱対称時空と、有限の長さの質量を持たない回転する棒によって形成される軸対称時空にに注目した。この二つの時空のいずれにも時間的閉曲線が存在しうることを確認した。しかしながら、二つの時空のいずれも非現実的な性質を持つことも確認された。
ここで疑問なのが、これらの時空においてその非現実的な性質を取り除いた際に、時間的閉曲線の存在は保たれるのかということである。これは即ち、現実世界において、過去の世界への時間旅行は可能なのかという問いにつながる。
今回注目した二つの時空を現実的なものに変更したモデルとして、有限の長さと直径を持つ円柱形状の物質を回転させたものが考えられる。このモデルについて考察することが、過去の世界への時間旅行の可能性を明らかにする次の一歩となると期待される。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reference[1] W.B. Bonnor, 1980, J. Phys. A: Math. Gen. 13,
2121[2] W.B. Bonnor, 2002, Class. Quantum Grav. 19,
5951[3] S.V. Bolokhov et al., 2019, Gravit. Cosmol. 25: 122[4] K. Gödel, 1949, Rev. Mod. Phys. 21 447[5] W.J. van Stockum, 1937, Proc. R. Soc. Edin. 57
135[6] A. Papapetrou, 1953, Ann. Phys., Lpz 12 309

——–index

c4
修正重力理論におけるスカラー波の遮蔽機構とその破れ
平野 進一
立教大学大学院 理学研究科

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

修正重力理論におけるスカラー波の遮蔽機構とその破れ
平野 進一 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract1998 年の加速膨張の発見以来、その起源としての修正重力理論の研究が盛んに行われている。宇宙論的大スケールにおいて、重力理論の拡張から加速膨張の起源を説明し、太陽系のような小スケールではその拡張効果は遮蔽され、一般相対論の予言を再現する。近年、重力波の観測技術の進歩から、ブラックホールや中性子星のような強重力場での重力理論の検証が可能になりつつある。本ポスターでは、修正重力理論におけるパルサーバイナリーでの重力波生成を考える。特に、重力理論拡張の効果によって生じる新たな偏極モードとして生じるスカラー波が伝搬せずに遮蔽されるのか、また、遮蔽されずに破れを生じるのはどのような状況かを議論する。

1

Introduction

放射に比べて十分に無視できることが確かめられた。
スカラーテンソル理論の最近の理論発展として、縮1998 年の加速膨張の発見以来、その起源としての「修正重力理論」の研究が盛んに行われている。宇宙論的大スケールにおいて、重力理論の拡張から加速
膨張の起源を説明し、太陽系のような小スケールではその拡張効果は遮蔽され (遮蔽機構と呼ばれる)、
一般相対論の予言を再現する。一般相対論からの拡張は、Lovelock theorem (1971) を破ることになる。
典型的には、計量テンソルに新たな自由度を加える

退高階微分理論がある [3,4]。このような理論は、背景時空としては遮蔽機構を備えているものの、cubic

Galileon [5] の持つ物質との結合ではなく、スカラー場の微分を介した微分結合をもたらす。ゆえに、deRham+[1, 2] とは異なる結果を与える可能性が考えられる。本ポスターでは、de Rham+[1, 2] をレビューしたのち、物質との微分結合によるスカラー波への影響を議論する。

ことによってそれが達成される。もっとも広く使われている例として、スカラー場を加える、スカラー
テンソル理論がある。宇宙論的大スケールにおいて、 2
スカラー場がゆっくり転がることで加速膨張を説明

Backgroundする。質点をソースとした重力場を考えると、そのCubic Galileon [5] を考える。静的球対称時空周り

非線形相互作用によってスカラー場の伝搬が遮蔽さの弱重力場の従う作用は、gµν = ηµν + hµν /Mpl のれ、ニュートン重力の逆二乗即が再現される。

ようにおき、与えられた作用展開することで求める

一方で近年、重力波の観測技術の進歩から、ブラッ ことができる:クホールや中性子星のような強重力天体の合体から生じる重力波を観測することで、重力理論の検証が可能になりつつある。スカラーテンソル理論のようにスカラー自由度を持つ理論では、重力波の伝搬に加えスカ

)
(
1 µν
3
∂2π
2
Lcub = − h (Eh)µν − (∂π) 1 +
4
4
3Λ3
1
1
(1)
+
hµν T µν +
πT.
2Mpl
2Mpl

ラー自由度の伝搬、スカラー波、が生じることが一般

π はスカラー場。ここで hµν に関する項は、Eisteinにあって良い。この問題に対し、de Rham+ [1, 2] は、 Hilbert 作用からきているもので、Λ は現在の加速膨遮蔽機構を持つようなモデルとして cubic Galileonを採用し、バイナリーから生じるスカラー波の生成を計算した。この解析の結果、スカラー波のパワーに対して抑制因子が余分に掛かり、重力波の四重極張に関連したスケール H0 と、Λ = (Mpl H02 )1/3 のように関連ずいたスケールである。この作用を変分することで、その変数における運動方程式を得ること

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校ができる。スカラー場の運動方程式は、
(
)
∂2π
T
3 2
− ∂ π 1+
=
2
3Λ3
2Mpl

(2)

と な る 。質 量 M の ポ イ ン ト ソ ー ス T̄νµ−M δ(x)δ0µ δν0 、π==π(r) を 考 え る と 、次 の 解を得ることができる:∂r π= E(r),
Mpl
3[√

32 ( r )3

3Λ
⋆
r
1+
4
9 r
(
)1/3
1
M
rv =
.
Λ 16MplE(r) =

らの摂動 ϕ として、
{[
(
)]
1
2
2E
(2)
′
Lϕ =
1+
E
+
ϕ̇2
2
3Λ3
r
(
)
4 E
− 1+
(∂r ϕ)2
3Λ3 r
}
[
(
)]
2
2E
2
′
− 1+
(∇Ω ϕ)
E +
3Λ3
r

+√

]
−1 ,

1
ϕ δT.
6Mpl

(7)

となる。
スカラー波の power を計算し、重力波成分との大(3) 小関係を比較してみる。Landau-Lifshitz の教科書で有名な擬エネルギー運動量テンソルを定義する手法≪ rv に お い て 、 ∂r π/Mpl ≈で計算することも可能であるが、微分演算子に該当
3/2
GM/r2 (r/rv )のように振る舞い、rv よりも十分する項が通常の波動方程式の場合と異なるため、有内側ではスカラー場の寄与が抑制されることを表し
効作用を使用した解析を行うと都合が良い [6]。レゾている。結果、r ≪ rv の領域では、計量テンソルかナンスとして生じる中間状態の粒子を解析する際とら来る寄与のみになるため、ニュートンの逆二乗則
同様に、δT によってソースされるスカラー波 ϕ の有が実現する。
効作用 Seﬀ を求め、スカラー波への崩壊率を導出す
こ の 解 は 、rる。この崩壊率に各スカラー波のエネルギーを掛け

3スカラー波の伝搬
Hulse-Taylar binary のような天体からのスカラー波の放射を考えたい。１章で考えた静的な back-ground からの摂動を考え、binary が運動することでスカラー波が伝搬する様子を見ていく。ケプラー運動を仮定すると、ソース項として以下のエネルギー・
運動量テンソルを考えられる:Tνµ = T̄νµ + δTνµ ,T̄νµ = −M δ(x)δ0µ δν0 ,∑δTνµ ≈Mi (ri (t)w)2 δ(x − xi (t))δ0µ δν0
i=1,2+ invalid comp. to radiations

合わせることで power が計算できる。つまり、∫
id4 xd4 y δT (x)GF (x, y)δT (y)
Seﬀ =
2
12Mpl
∫ ∞
2Im Seﬀ= decay rate =:dwf (w),
TP
0
∫ ∞
P =
dw wf (w).
0

ここで、TP は binary の周期、GF (x, y) はスカラー(4) 波の運動方程式のグリーン関数である。グリーン関数を求め f (w) の具体形が求まれば、power を計算す(5)
ることができる。次のモーメントを定義する:∫ TP1
dt d3 x ul (r)Ylm (Ω)e−imΩP t δT.
Mlmn =
TP 0
(6)
(8)

M1 , M2 はそれぞれの星の質量であり、M は系の全質量である。ケプラー運動の速度は、角度方向への速度が優勢である状況を想定した。この δT によってソースされる スカラー波の作用は、background か

ここで、ΩP は binary の振動数、ul Ylm e−iwt はソー
スなしのスカラー波の運動方程式の完全系である。これを用いると、f (w) は

f (w) =∞π ∑∑|Mlmn |2 δ(w − nΩP )
2
3Mpl
n=0
l,m

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。これから、power はP =である。差をとると、∞
π ∑∑nΩP |Mlmn |2
2
3Mpl
n=0

Pmono /PPM ≈ (ΩP rv )−3/2 ≈ v −3/2

l,m

(

r̄
rv

)3/2
(13)

v は系の平均回転速度である。つまり、有限の v に( )3/2r
でスカかれる。r ≪ rv における ul を適切に求め代入する 対して、重力波の四重極に比べて、 rv
ことで、power が計算される。このモード関数の計 ラー波の放射は抑制される。同様に、四重極放射もと計算される。モーメント Mlmn は、ul によって書算には、background の解である E(r) を用いるので、 求めてみると、重力波の四重力放射との比として、( )3/2遮蔽機構の影響がスカラー波の power にも反映され
r̄
−1
−3/2
−2
P
/P
≈
(Ω
r̄)
(Ω
r
)
≈
v
quad
PM
P
P v
うる。r = 0 において正則条件を課した r ≪ rv におrv
けるモード関数は、
(14)
(
)
√
( )1/4−8r
3ul (r) ≈ ūJνwr ,(9) を得る。この抑制因子はおおよそ、10 ほどのオーrv
2
ダーのズレをもたらし、スカラー波放射の power が{重力波に比べ、十分に抑制されていることが伺える 。
(2l + 1)/4 (l > 0)ν=
このようにスカラー波が抑制されるモデルのうち、重−1/4(l = 0)
力波の伝搬速度や重力定数が一般相対論のものと異となる。ū は、グリーン関数の規格化条件から決定なるものが、修正重力理論ではありえる [7, 8]。そのされる。
ような理論では、重力波の四重極放射により、binaryの回転周期のズレが一般相対論のものと異なる。そ4

こから、いわゆる DHOST 理論において、 DHOST

Radiation power理論固有のパラメータに関して強い制限が得られてMonopole (l = 0) からみていく。これは、重力波いる。

の質量保存、運動量保存とは別に、スカラー波と物質との結合があるために、等価原理が破れて生じる。

5u0 (r) を式 (9) から求めておけば、
M00n =

5β(wr̄)2µ(1 − e2 )23
1/4
TP4(wrv )
∫ TP
e−inΩP t
×dt(1 + e cos ΩP t)20

Preliminary の結果であるため、web 上に公開はしません。ポスター講演にお越しください。

(10)となる。β は O(1) の定数、r̄ は軌道長半径、e は離心率、µ は換算質量である。このとき power は、Hulse-4(ΩP r̄)4 µ2 2Ω(ΩP rv )3/2 Mpl P

Acknowledgement
夏の学校開催に向けて、出資してくださった方々・
機関に、この場を持って感謝の意を示たい所存です。

Taylar binary の離心率を代入すれば、
Pmono ≈

Disformal coupling case

本当にありがとうございます。来年度もどうかよろし(11) くお願いいたします。著者は、JSPS 科研費 17J04865の助成を受けています。

となる。一方で、重力波の四重極公式 (Peter-Matheu

formula) は、
PPM ≈ (ΩP r̄)4

µ2 2
Ω
Mpl P

Reference(12)[1]C. de Rham, A. J. Tolley and D. H. Wesley, “Vainshtein Mechanism in Binary Pulsars,” Phys. Rev. D
87 (2013) no.4, 044025 [arXiv:1208.0580 [gr-qc]].

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校[2]C. de Rham, A. Matas and A. J. Tolley, “Galileon
Radiation from Binary Systems,” Phys. Rev. D 87
(2013) no.6, 064024 [arXiv:1212.5212 [hep-th]].
[3]D. Langlois and K. Noui, “Degenerate higher derivative theories beyond Horndeski: evading the Ostrogradski instability,” JCAP 1602 (2016) no.02, 034[arXiv:1510.06930 [gr-qc]].
[4]M. Crisostomi, K. Koyama and G. Tasinato, “Extended Scalar-Tensor Theories of Gravity,” JCAP
1604 (2016) no.04, 044 [arXiv:1602.03119 [hep-th]].
[5]N. Chow and J. Khoury, “Galileon Cosmology,” Phys.
Rev. D 80 (2009) 024037 [arXiv:0905.1325 [hep-th]].
[6]W. D. Goldberger and I. Z. Rothstein, “An Eﬀective
field theory of gravity for extended objects,” Phys.
Rev. D 73 (2006) 104029 [hep-th/0409156].
[7]J. Beltran Jimenez, F. Piazza and H. Velten, “Evading the Vainshtein Mechanism with Anomalous Gravitational Wave Speed: Constraints on Modified Gravity from Binary Pulsars,” Phys. Rev. Lett. 116 (2016)
no.6, 061101 [arXiv:1507.05047 [gr-qc]].
[8]A. Dima and F. Vernizzi, “Vainshtein Screening in
Scalar-Tensor Theories before and after GW170817:
Constraints on Theories beyond Horndeski,” Phys.
Rev. D 97 (2018) no.10, 101302 [arXiv:1712.04731[gr-qc]].

——–indexc5
逆散乱法を用いた Einstein 方程式の厳密解の構成
大阪市立大学大学院 理学研究科
大倉 靖央

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

逆散乱法を用いた Einstein 方程式の厳密解の構成
大倉 靖央 (大阪市立大学大学院 理学研究科)

Abstract
次のような計量()−ds2 = f −dt2 + dz 2 + gab dxa dxb( 0 1 2 3)x , x , x , x = (t, x, y, z), (a, b = 1, 2)を考える (ここで f, gab は t, z のみに依存する)。この計量は比較的にシンプルであるにもかかわらず重力理論において広く適用されており、今までに非自明な解が数多く得られている。したがってこの計量に対するEinstein 方程式を積分する手法があれば厳密解がシステマティックに求まり、われわれの重力理論のさまざ
まな側面の理解を大きく進めることができる。そこで Belinskii と Zakharov は文献 [1] において逆散乱法を用いた、このメトリックに対する Einstein 方程式の新たな解を構成する手法を示した。この手法は Einstein
方程式をの既知の特解が少なくとも１つあったとき、その特解から新しい非自明な解を得るというものである。これにより未だに知られていない Einstein 方程式の厳密解の発見が期待され、もしそれが実現すれば物理的に非常に大きな意味をもつ。本講演はこの文献 [1] のレビュー講演でありこの手法を導出から説明する。
さらにそれを用いて最もシンプルな場合のソリトン解と 2-ソリトン解の構成を行う。

1

Introduction

また特解として Kasner 解を選び 1-ソリトン解と 2-ソリトン解の場合について具体的な解の構成を行った。

以下のようなタイプのメトリック()−ds2 = f −dt2 + dz 2 + gab dxa dxb(f, gab は t, z のみに依存) にはシュバルツシルト解やカー解などが含まれる。これに対するアインシュタ2

問題設定
光円錐座標 (ζ, η) = (z + t/2, z − t/2) を用いると解くべき方程式はイン方程式の新たな厳密解をシステマティックに構成する方法を得ることができれば我々の重力理論に対する理解を深めることができる。そこで文献 [1] の著
者 Belinskii と Zakharov は逆散乱法を用いてそれを実現させた。逆散乱法とは非線形方程式の解を散乱の線形方程式を用いて得る方法である。その手法は次のとおりである。まず Einstein 方程式を、ある複素スペクトルパラメータ λ の線形微分演算子の過剰決定系の両立条件という形で表す。そしてその方程式系を解くことでもとの Einstein 方程式の解を得る。
本論文では厳密解としてソリトン解を構成した。ソリトンとは以下の２つを満たすものとして定義する。

• 空間的に孤立した波 (孤立波) で、形を変えずに伝播する。

• 互いの衝突にたいして安定である。

∂η Ã − ∂ζ B̃ = 0



˜

∂ζ2 (ln α)12∂ζ (ln f ) =
+
Tr Ã
˜
∂ζ (ln α) 4α̃ (∂ζ α̃)˜∂η2 (ln α)

1


∂
(ln
f
)
=
Tr B̃
+
 η
˜
4α̃
(∂
η α̃)
∂η (ln α)
def g = α̃2 Ã = −α̃ (∂ζ g ) g −1 B̃ = +α̃ (∂η g ) g −1となる。また [∂ζ , ∂η ]g = 0 より

∂η Ã+∂ζ B̃+α̃−1 [Ã, B̃]−(∂η α̃) α̃−1 Ã−(∂ζ α̃) α̃−1 B̃ = 0が得られる。今、Einstein 方程式を解くという問
題は Ã, B̃ についての式を解くという問題に置き換わった。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

3て σ(λ → ∞) = I を導入する。このような条件のも逆散乱法とで σ がソリトン解となるのは以下のように λ 平面Ã, B̃ を解くために逆散乱法を用いる。まず以下の において有限個の極を持っている場合であることがような２本の線形方程式を考える。
知られている。
A)n ( D1 ψ(λ, ζ, η) =∑ψ(λ, ζ, η)
Rk
R̄k
λ−α
σ(λ) = I ++B
λ − µkλ − µ̄k D2 ψ(λ, ζ, η) =k=1
ψ(λ, ζ, η)
λ+αここで条件からこ こ で A(ζ, η), B(ζ, η) は 任 意 の 2×2 実 行 列 、

ψ(λ, ζ, η) は任意の 2×2 行列である。また λ 複素パg = σ(λ → 0)g ps

ラメータである。また D1 , D2 , α は以下のように定であることがわかる。したがって σ を具体的に決定

義される。





2(∂ζ α)λλ−α ∂λ2(∂η α)λD2 = ∂η + λ+α ∂λD1 = ∂ζ −

することで g の知られている特解から新たな g を決

定できることがわかる。

∂ζ ∂η α = 0
2 − D2 ⃝1 を
定義より [D1 , D2 ] = 0 であるので D1 ⃝

計算すると


 ∂ζ A − ∂η B = 0∂η A + ∂ζ B + α−1 [A, B]− (∂η α) α−1 A − (∂ζ α) α−1 B = 0

4

Kasner 解
今回は g の特解として Kasner 解を選ぶ。Kasner

解は以下のように定義される。

ds2 = −dt2 +

3
∑

[
]2
t2pj dxj

j=1という条件が得られる。問題設定を見ると Ã, B̃ は



3
3
∑
∑

p2j = 1
pj = 1,

この条件を満たしている。したがって以降は Ã =A, B̃ = B とする。λ = 0 のとき線形方程式から()
A = −α ∂ζ ψ(0, ζ, η) ψ −1 (0, ζ, η)()
B = +α ∂η ψ(0, ζ, η) ψ −1 (0, ζ, η)

ここでは ((p1 , p2 , p3 ) = (0, 1, 0) を選ぶとすると Kas-

ner 解は(という関係が得られる。よって問題設定と比較すると

g ps =g (ζ, η) = ψ(0, ζ, η)となる。したがってこの方程式を満たす ψ から g が求められる。ここでこの方程式の特解 ψps が存在す

j=1

j=1

1 0
0 α2

)
, fps = 1

ここで α = t = ζ − η とする。これは ∂ζ ∂η α = 0 を満たしている。これを用いて解を構成する。

るとする。この特解に関連する量を下付き添字 ps で表す。特解 ψ に 2×2 行列関数 σ(λ, ζ, η) : を掛けてそれを線型方程式に代入すると以下の σ についての方程式が得られる。
 D1 σ =1(Aσ − σAps )λ−α1 D2 σ =(Bσ − σB ps )λ+α

ここで σ に適切な条件を設定する。それは g が実対称行列になるような条件である。また境界条件とし

5

1-ソリトン解
1-ソリトン解は σ の極が λ 平面の実軸上に 1 つのみ存在する場合である。したがって σ は次のような
形になる。

σ=I +

2R
λ−µ

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ここで µ, R は実である。この σ から得られる新た

8

今後の課題

な解は以下のようになる。

−ds2 =

C1 t1/2 cosh (−r/2 + C2 ) (−dt2 + dz
1/2[z 2 − t2 ]1+
dx2
cosh (−r/2 + C2 )cosh (r − C2 ) 2 2+
t dy
cosh (−r/2 + C2 )2 sinh(r/2)−
tdxdy
cosh (−r/2 + C2 ))2

[ 2( 2)]1/2z2zz
er = 2 2 − 1 − 2 2
−
1
t
t
t2
しかしこの解は z > t という条件を満たさなければならないのであまり物理的ではない。

この解が本当にソリトンの条件を満たしているかはまだ確かめていないのでその確認を今後行わなけ
ればならない。また今回は 2-ソリトン解の場合までを考えたが、それ以上の解 (n-ソリトン解) については考察していない。これについては今回レビューした論文の著者の次の論文に詳しく述べられているので確認をしなければならない。そして今回は特解として Kasner 解のみを考えたが、他の特解を選ぶとどのような解が得られるか考察したい。

9

参考文献

[1]V. A. Belinski and V. E. Zakharov, Sov. Phys.
JETP 48 (1978) 985

62-ソリトン解2-ソリトン解は σ の極が λ 平面上に 2 つあり、互

いに複素共役がある場合である。したがって σ は次のような形になる。

σ=I +

R̄
R
+
λ − µ λ − µ̄

ここで µ, R は複素である。この σ から得られる新たな解は任意定数を適当に選び座標変換を行うと次のようになる。

()
2m1 r
4a1 m1 r sin2 θ−ds2 = 1 −dτ 2 +dτ dϕΣΣΣ− dr2 − Σdθ2∆()
2a21 m1 r sin2 θ22− r + a1 +sin2 θdϕ2Σ()Σ = r2 + a21 cos2 θ, ∆ = r2 − 2m1 r + a21
これは Kerr 解である。

7

まとめ
逆散乱法を用いることで Einstein 方程式の既知の特解から新たな厳密解が得られることを確かめられた。

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c6
Spacetime Thermodynamics: to the
Entropic Gravity
東京大学大学院 理学系研究科
渡慶次 孝気2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Spacetime Thermodynamics: to the Entropic Gravity
渡慶次 孝気 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
時空は熱力学的な側面を持つ．すなわち，event horizon 上で評価された Einstein 方程式は熱力学第一法
則を生み出し，逆に熱力学的な考察から Einstein 方程式を導出することもできる．作用汎関数を計量に関して変分する伝統とは異なったこの導出法に加えて，時空のエントロピーが停留値を取ることを要請してもや
はり Einstein 方程式が生まれる．変分変数に計量を用いないこの第三の導出法の存在は，計量がもはや基本的な力学変数でないことを示唆している．この示唆に基づいた重力理論をエントロピック重力理論と呼ぶ．
関連して，ホログラフィック原理すなわち，時空の情報 = エントロピーが面積に比例する事実にも触れる．

1

力理論」であり，もはや重力場 gµν の量子化を必要

Introductionとしないことは注目に値する．
本発表は，時空の熱力学的な扱いに関する review
であり，所謂ブラックホール熱力学と呼ばれるトピッ
クスを扱う．
近年，時空を熱力学的な考察から扱う試みが注目を浴びている．Friedmann 方程式から出る連続の式と同様に，ブラックホールの地平線上で評価された

Einstein 方程式も熱力学第一法則を生み出す．対応
するエントロピーは地平線の表面積に比例しており，

以上，(1) 熱力学的な視点から一般相対論にア
プローチすること，(2) そこから示唆される重力のエントロピックな性質と，(3) 関連して，一般相対論が内在するホログラフィックな構造を，主に T.Padmanabhan(2010), T.Jacobson (1995),

D.Moustos (2017), E.Verlinde (2011) に基づいてreview していく．

これは超弦理論において着想が生まれた「ホログラフィック原理」のひとつの例となっている．そもそも，重力場を記述する通常の作用汎関数 (Einstein–

本節では，まずブラックホールの event horizon 上

Hilbert 作用)
1
SEH =
16πG

時空の持つ熱力学側面

2∫

1dx LEH =
16πG
4

∫
dx

4√

で評価された Einstein 方程式が熱力学第一法則の−g R様相を呈していることを見る．この議論から，エン(1) トロピーについて有名な面積則が出る．次に逆のア自体にホログラフィック的な構造が内在している． プローチを行なう．すなわち，熱力学的な考察から
作用 (1) から Einstein 方程式が出ることはよく知 Einstein 方程式を導出する．
られているが，熱力学的な考察は二種類の新たな導出法を与える．一つは直上で述べたことの逆であり，地平線を横切る熱流が準静的であることと，エント
ロピーがホログラフィック原理で与えられることを仮定して Einstein 方程式が導出される．もう一つの方法では，エントロピーを時空の「歪み」について
停留することを要請すると，Einstein 方程式が導出される．この事実は，計量の力学変数としての資格

2.1

Einstein 方程式 → 熱力学第一法則

次の計量で記述される時空を考える：

ds2 = −f (r)(c dt)2 +

dr2
g(r)

+ r2 (dθ2 + sin2 θ dϕ2 ) .

(2)が剥奪される可能性を示唆している．このような視

この時空が event horizon を r = a に持つとすると点に基づいて重力を扱う理論が「エントロピック重g(a) = 0 であるが，これが座標の取り方に依存した2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
Tµν ξ ν を horizon と aﬃne パラメータ λ について積

見せかけの特異性に過ぎないことから

f ′ (a) = g ′ (a)(3)

が要求される．Event horizon 上で定義される温度
は，(3) 式の関係があるので√ℏc f ′ (a)g ′ (a)ℏcg ′ (a)kB T ==
4π
4π

分することによって∫∫
δQ =dS µ Jµ = −κdAdλ λTµν k µ k ν
H

(9)

H

と書ける．ここで dA は horizon の面積素，k µ は

ξ µ = −κλk µ で定義されるベクトルである．以上が(4) Clausius 関係式の左辺である (図 1)．

で与えられる．これは，線素 (2) 式を r = a 近傍で展開したとき，時間方向に conical な特異性が生じない要請より得られる．
さて，以上のセットアップだけを用いて Einstein方程式を event horizon 近傍 r ∈ [a, a + da] で評価
すると，恒等式
(
(
)
)
4πa2
4 3
c4
T d kB
da
=
P
d
πa
−
4Gℏ/c32G
3(5)を得る．これは熱力学第一法則：T dS − dE = P dVに他ならない．対応するエントロピーは

S=

A
A
= kB
;
4
4Gℏ/c3A = 4πa2(6)図 1: Clausius 関係式の左辺を与える際のセットアッと読み取られる．Boltzmann の原理：S = kB log W

プ．図で χa と記されているベクトルは本文での ξ µを思い出せば，系のミクロな自由度がすべて表面にに対応する．T.Jacobson (1995) より引用．

分布していることが推察される (面積則)．
一方，Clausius 関係式の右辺は次のように与えら

2.2

熱力学第一法則 → Einstein 方程式

れる．測地線束の膨張率 θ はθ≡

この導出法では，horizon のエントロピーが表面積に比例するという，いわゆるホログラフィック原理を仮定する：

S = αA .

(7)

定数 α は最後に，Bekenstein–Hawking エントロピーとの一貫性を損なわないように決定する．さらに，すべての局所 Rindler horizon において熱平衡が実現

1 d
(dA)
dA dλ

で定義されるが，これを積分することによって∫
dA =dAdλ θ
(10)
Hを得る．さらに，θ の aﬃne parameter に関する発展は，Raychaudhuri 方程式dθ= −Rµν k µ k νdλ

されていることを想定し，horizon を横切る熱流は温度及びエントロピーと次の Clausius 関係式で結ばれで 規 定 さ れ る ．こ れ を 積 分 す る こ と でているとする：θ=(8) −λRµν k k を得る．これと (10) 式を (7) 式に代入すれば∫∫
今，horizon を通過する熱流はすべて物質場 Tµν がdS = αdAdλ θ = −αdAdλ λRµν k µ k ν担うとすると，その Killing ベクトルへの射影 Jµ =
δQ = T dS .

µ ν

H

H

(11)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

エントロピック重力理論を得る．(7)，(10)，(11) 式より
(
)
∫
ℏα
κ
dAdλ λ Tµν −Rµν k µ k ν = 0
2πkB
H

4

を得るので，f を適当な関数としてるようにミクロな自由度が動き，その結果として力引き続き，エントロピーに着目した重力理論を考える．統計力学では，系のエントロピーを最大化す

ℏα
Tµν −
Rµν = f gµν
2πkBが創発される現象がよく見られる．これを手掛かりが要求される．両辺に ∇ を作用させて縮約 Bianchiに歪みが規定されることを仮定する：∫√
S = − d4 x −g (4Pµν ρσ ∇ρ ξ µ ∇σ ξ ν − Tµν ξ µ ξ ν ) .

にして，今，時空のエントロピーが最大化するようµ

恒等式 ∇ Rµν = (1/2)∇ν R を用いれば f が決まµり，その際の積分定数 Λ を導入すると，結果

(18)

1
2πkB
Rµν − Rgµν + Λgµν =
Tµν
2
ℏα

µ

(12) ここで ξ は時空の歪み (displacement) を表すベクトルである．エントロピー S をこの歪み ξ µ についが出る．Einstein 方程式との一致を得るには α =て変分すると，Einstein 方程式
kB /4Gℏ と 取 れ ば よ い が ，こ れ は Bekenstein–
1
Hawking エントロピーの比例定数と consistent でRµν − Rgµν + Λgµν = 8πGTµν
(19)
2
ある．
が得られる．ここでも，宇宙項が積分定数として自然に現れる．変分変数が gµν でなく ξ µ であった以3

LEH が持つホログラフィック構造 上の結果から，次のことが示唆される．すなわち，計
前節では Einstein 方程式と時空に内在する熱力学的な性質の関係を議論したが，その際に出てきたホ
ログラフィック構造と同様の構造が，重力場を記述
する Einstein–Hilbert 作用に含まれていることを見る．(1) 式を再掲すると∫
1
dx4 LEH ,
SEH =
16πG

量 gµν はもはや基本的な力学変数ではなく，重力は時空のエントロピーが最大化した結果として現れた
創発的な (emergent) 力である．
簡単な例として，Newton 重力をこの観点から導出する．今，図 2 の状況を考える．質点 m は重力源 M から力を受けるが，落下しないように外力が√−g R . (13) 加えられているとする．このとき，質点 m は温度
ℏ|a|
(20)
kB T =
この Langrangian 密度 LEH は，バルク項 LB と表2πc
面項 LS に分解できる：の熱浴に浸かっていることを認識する．他方，重力LEH =(14) 源 M の相対論的なエネルギーは，ホログラフィック
原理と合わせてLEH = LB + LS .
ここに

E = M c2 =

N
kB T
2

(21)
−gg (Γ µρ Γ νλ − Γ µν Γ ρλ ) , (15)√で与えられるとする．二番目の等号で，重力源 M のLS = ∂λ [ −g(g µν Γλ µν − g µλ Γν µν )](16)
ミクロな自由度がすべて表面に分布していることをである．そして，これらはホログラフィック関係式と 仮定した．この自由度 N は，ホログラフィック原理
LB

=

√

µν

λ

ρ

λ

ρ

呼ばれる以下の関係式によって結びついている：
[
]
√
δLB
−gLS = −∂λ gµν.
(17)δ(∂λ gµν )すなわち，表面の Lagrangian のみからバルクの La-を採用すると

c3
A
(22)
Gℏ
と与えるのが妥当である．以上 (20)−(22) 式を組みN=

合わせれば，質点 m が受ける力として

grangian，ひいては系全体の作用汎関数を知ることができるのである．

F ≡ ma = −G

Mm
r2

(23)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校の関係を得る．以上の考察は，我々に次の示唆を与えうであろうか? 重力を基本的な力とみなすのであれてくれる．すなわち，熱浴 T によってエントロピッ ば，これも基礎物理定数の枠組みに入れるのが妥当
クな力が生じ，我々はこの力を重力と認識している． である．しかし，重力を創発的な力とみなすエント
ロピック重力の立場では，G にはもはや基礎物理定数の資格がなく，むしろ e と同様に結合定数の枠組
みに入れるべきであろう．実際，G を結合定数と見た 1-loop 近似から Newton 理論が再現される事実はこの洞察を裏付ける．
重力がどのような力であるかは，遠い将来に観測によって明らかにされるであろう．しかし量子化された重力を扱う理論が完成していない現段階では，量子化を必要としないエントロピック的な立場からも
図 2: Entropic 力としての Newton 重力．

重力の性質を浮き彫りにしていくことは重要であると思われる．本 review 発表が，時空に関する新たな知見の誕生に少しでも貢献することができれば幸いである．

5Conclusion
まず第 2 節の前半では時空の熱力学的な側面を見るとともに，その過程でエントロピーが horizon のAcknowledgement
度重なる議論に忍耐強く付き合ってくださったの表面積に比例する事実を見た．これはホログラフィッ みならず，ポスター作成の段階でいくつもの有益な
ク原理の一例である．後半では逆に，熱力学的な考 助言をくださった横山教授，鎌田助教，同期のみな察から Einstein 方程式を導出した．続く第 3 節でさんに感謝します．また，このような発表の場を設

は，ホログラフィック原理に関連して，重力場を記述

けてくださった夏の学校スタッフのみなさん，及びする Einstein–Hilbert 作用にホログラフィック的な各種支援をいただいたみなさまに感謝します．本発構造が内在していることを見た．

表に興味を持っていただき，議論を深めてくださる

第 4 節ではエントロピーに注目しつつも視点を変えて，時空の振る舞いがそのエントロピー最大化の方々が現れることを予想しますが，そのような方々についても合わせて感謝します．

要請から決まる立場を採った．これは熱力学・統計力
学的視点から Einstein 方程式を導出する第二の方法を与えた．ここではもはや，gµν は基本的な力学変

Reference

数の資格を剥奪されることが示唆された．簡単な計

T.Padmanabhan 2010 Thermodynamical aspects ofgravity: new insights, Rep. Prog. Phys. 73, 046901

算で可能な例として，Newton 重力をホログラフィッ
ク原理の下で再現した．

6

所感
以下に述べるのは個人的な所感であり，review の内容ではないことに注意いただきたい．エントロピーに関する面積則を示す (6) 式を見ると，そこには kB , ℏ, cという基礎物理定数がすべて含まれている．G はど

T.Jacobson 1995 Thermodynamics of Spacetime: The
Einstein Equation of State, arXiv:gr-qc/9504004
D.Moustos 2017 Gravity as a thermodynamic phenomenon, arXiv:gr-qc/1701.08967
E.Verlinde 2011 On the origin of gravity and the laws of
Newton, JHEP, 04, 029

——–index

c7
ブラックホール内部の質量パラメータ・
インフレーションと宇宙検閲官仮説
近畿大学大学院 総合理工学研究科
竹林 蒼真

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ブラックホール内部の質量パラメータ・インフレーションと宇宙検閲官仮説
竹林 蒼真 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
古典的な一般相対論における最も根本的な未開決問題の一つは、ブラックホール（BH）と密接な関係がある「宇宙検閲官仮説」である。これについて最初の重要な考察は、Poisson と Israel(1989 年）によるもの
で、BH 内部のが、「質量パラメータのインフレーション」と呼ばれる現象により不安定になることが示された (Pisson & Israel (1989))。BH 時空で光の放射を考えると、無限遠に飛んでいく光と BH に落ち込んでいく光がある。BH に落ちていく方の光は、コーシー・ホライズンでそのエネルギー密度が無限大に青方偏移する。しかし、この効果は BH の外部にいる観測者からは外部ホライズンにより因果的に切り離されているので、BH 外部のエネルギー密度は有限なままになる。今発表では、Kerr-Newman 解と似た構造をもつ

Reissner-Nordstrom 解の質量パラメータ・インフレーションについて、Poisson-Israel （1990 年）の研究を紹介し、宇宙検閲官仮説についての最新の研究 (Luna (2014)) も紹介する。

ホライズン

3

Strong Cosmic Censorship
一方、無毛定理によると、重力崩壊でできる BH は

1Introduction
アインシュタインの一般相対性理論の未解決問題

質量、角運動量、電荷の 3 つのパラメータで記述できる Kerr-Newman BH に限られる。Kerr-Newmanの 1 つ、強い宇宙検閲官仮説 (Strong Cosmic Cen-

BH は一般に Event Horizon(以下 EH) の他に内部のホライズン (Cauchy Horizon) を持つと言われていsorship) を Kerr-Newman 時空で保つ為にはいくつる。しかし、Cauchy Horizon(以下 CH) は、そこをかの摂動を考える必要がある。その一つに質量パラ越えると物理学の初期値問題が解けなくなる境界なメータのインフレーション (Mass Inflation) と呼ばので、現実の宇宙に存在しないという主張が強い宇れる現象がある。

宙検閲官仮説 (Strong Cosmic Censorship) である。

2

4

Weak Cosmic Censorship
一般相対性理論によると、重力崩壊の終点は BH であると言われていて、時空特異点は BH の外部のホライズン (Event Horizon) に隠されているという主張を弱い宇宙検閲官仮説 (Weak Cosmic Censorship)という。つまり、遠方の観測者から見えるような裸の特異点は存在しないという主張である。

Reissner-Nordstrom
solution
一般相対性理論の無毛定理によると、重力崩壊でできるブラックホールは Kerr-NewmanBH に限られるが、Kerr-Newman 解は解析が難しいので構造が似ている Reissner-Nordstrom 解を考える。

ds2 = −f0 dt2 + f −1 dr2 + dΩ2
e2
2m0
+ 2
f0 = 1 −rr(1)

ここで、は質量パラメータ m を m = m0（定数）としているが、BH 時空での光的粒子の放射を考える

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と、質量パラメータは時間や距離の関数になる。そ次にアインシュタイン方程式から導ける場の方程式

こで新しく Eddington-Finkelstein 座標というものを□m = −(4π)2 r3 T ab Tab

以下のように定義すると、∗
u = −t
∫ +r
dr
r∗ =
f

,

(8)

と、クルスカル座標 (U, V ) を用いると、質量パラメー

v = t + r∗(2) タ m(U, V ) は∫ ∫m(U, V ) =BH に落ち込んでいく光的粒子の質量パラメータ min
は v の関数で書け、計量も以下のように書き直せる。

ds2 = dv(2dr − fin dv) + r2 dΩ2
2min (v) e2
fin = 1 −
+ 2
r
r

(3)

Lin (V ′ )Lout (U ′ ) ′ ′dU dV (9)re2σ′+min (V ) + mout (U ) − m0と書ける。ここで、CH の近傍で Lin (V ) を積分すると∫Lin (V )dV ∼ v −p eκ0 v(10)

これを (ingoing の)Vaidya solution という。同様に、

r と u を用いた (outgoing の)Vaidya solution は以下 となる。(p ≥ 12、κ0 は定数)
よって、Lout ̸= 0 の条件の下で質量パラメータは CHのように書ける。
の近傍で Mass Inflation を起こすことが分かった。
ds2 = du(2dr − fout du) + r2 dΩ2(4)2mout (u) e2
fout = 1 −
+ 2
r
r

7

5

R. Luna 達の数値解析 (2019)

R.Luna 達は正の宇宙項を導入したアインシュタイ

Cauchy Horizon

ン方程式より、CH 付近での Mass Inflation の数値解
(3) 式より fin = 0 となるとき、r はホライズンと析を行った。(Luna (2014))呼ばれる。
作用は以下で書ける。
√∫
2√r± = min (v) ± min (v) − e2(5)
S = d4 x −g(R − 2Λ − F 2 − 2ϕ,α ϕ,α − 2µ2 ϕ2 )このとき、符号が正の r+ は Event Horizon(EH)、符号が負の r− は Cauchy Horison(CH) と呼ばれる。(5)初期データとして M0 = 1、Λ = 0.06 を与えて数式を見れば、min (v) → ∞ で r− → 0 となることがわかる。つまり、Mass Inflation が起きると CH は特異点 (r = 0) に落ち込むということがわかった。

6

Mass Inflation
エネルギー・運動量テンソル Tab を以下のように決め、(ρin はエネルギー密度)

Tab = ρin la lb ,la = −∂a v(6)

Tha charged Vaidya solution((3) 式) を用いると、
図 1: R. Luna et al, Phys. Rev. D 99, 064014 (2019)dmin
min (v) の変化量は以下のように書ける。
から引用
dv
dmin (v)= 4πr2 ρin ≡ Lin (v)dv(7) 値計算を行ったのが図 1 である。図 1 の左は Q =2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
0.9000(= 0.890Qmax )、µ = 0、右は Q = 1.0068(=
0.966Qmax )、µ = 0 のもとで計算を行っている。縦軸の質量パラメータ M と、横軸の左 Eddington-

Finkelstein 型の null coordinatesv̇ は以下で定義さ
れる。

(
)
r
Q2
Λ 2
−2σ
r,u r,v
M=
1 + 2 − r + 2e
2
r
3
)
(
Q2
2M
Λ
+ 2 − r2 dv̇ = r,v dv
1−
r
r
3

(11)
(12)

左図では Mass Inflation が起きているが、右図ではMass Inflation は起きていない。右図は BH が持つことのできる電荷 (Qmax ) に近い大きさの電荷を持った BH(Near extremal BH) である。つまり、Near

extremal BH は S.C.C の反例となっている。

8

今後の展望
今回紹介した研究は極端に理想化された Reissner

Nordstrom 時空に、宇宙項や光的粒子の流入という摂動を加えたものであった。現在までに様々な条件での数値解析が研究されてきたがどれも Strong Cosmic

Censorship を示すようなものにはなっていない。一般相対論を信じるものとして、さらなる摂動を考えた研究に挑戦してみたい。

Reference
R. Luna et al, Phys. Rev. D 99, 064014 (2019)
E.Poisson &W.Israel, Phys. Rev. D5,1990 (1989)

——–index

c8
球形ブラックホールが及ぼす質量イン
フレーション
近畿大学大学院 総合理工学研究科
村島 崇矩

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

球形ブラックホールが及ぼす質量インフレーション
村島 崇矩 (近畿大学大学院 総合理工学研究科)

Abstract
一般相対論では、定常ブラックホールは一般に質量、電荷、角運動量という３つの特徴しか持たないことが理論的に証明されている。質量のみをもつシュヴァルツシルト・ブラックホールは単純であるが、電荷や角運動量をもつカー・ニューマン・ブラックホールは一般にイベント・ホライズン内部にコーシー・ホライズンと呼ばれる２つ目のホライズンを持つことが分かっている。 「強い宇宙検閲仮説」はこのコーシーホライズ
ンを否定するものである。コーシーホライズンの不安定性は「強い宇宙検閲仮説」の支持となる。本編では、コーシーホライズンの不安定性を引き起こす質量インフレーション現象を指摘した Poisson と Israel(1989)の先駆的研究を紹介する。

(1) に次のような光的座標系を導入する。
∫∫
1
1
本編では荷電球対称ブラックホールを表す Rissneru = −t +dr , v = t +
dr,
f0
f0
Nordstrom 解を考える。Rissner-Nordstrom ブラック
ホールは一般に 2 つのホライズンをもつ。1 つは外部
U = −eκ0 u , V = −eκ0 v ,のイベントホライズンでもう 1 つは内部にあるコー)(´0f
シーホライズンである。コーシーホライズン近傍での
κ0 = −
2
質量インフレーション現象をみるためにエネルギー

1

Introduction

運動量テンソルを動径方向に対して内向き働くベク
トルと外向きに働くベクトルにわけて解析を行っていく。Rissner-Nordstrom 計量にブラックホール外部か

(4)

(5)

とおくと (1) の計量は以下のように書き換えることができ、Rissner-Nordstrom 時空の大域的な構造を見ることが出来る。

ら入射する光的流体を考えることで質量インフレー
ションを表す式を導出する。最後に回転を伴う Kerrds2 =ブラックホールのコーシーホライズン近傍で質量イf0
U V dU dV.
2κ20

(6)

質量インフレーションを確認するには、エネルギー

ンフレーションが起こるのかを考察する。

運動量テンソルを動径方向に内向きの光的ベクトル2

質量インフレーションを表す式

Tab = ρin la lb + ρout na nb .

の導出
Rissner-Nordstrom 計量は以下のように与えられ
る。
ds2
f0
dΩ2

= −f0 dt2 + f0−1 dr2 + r2 dΩ2 ,
2m0
e2
= 1−
+ 2,
r
r
2
2
= (dθ + sin θdϕ2 ).

na と外向きの光的ベクトル la を用いて

(1)
(2)
(3)

(7)

(ρ = エネルギー密度）と分けて考える必要がある。
計量を以下のように書き換えよう。

ds2 =

f0
U V dU dV2κ20= −2e2σ dU dV.

(8)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
質量パラメーターは m(U, V )、(7)(8) 式を使って計となる。ϵ は任意の無次元定数である。質量インフ算すると次式で与えられる。
∫ U∫ Vm(U, V ) =(re2σ )−1 Lin Lout dU dV,(9)レーションは (13) より指数関数的な膨張をすること[
Lin (V ) =[Lout (U ) =

U1

dv
dV
du
dU

V1
]2

]2

がわかる。この結果は Kerr ブラックホールのコー
シーホライズンにも適用することができる。Kerr ブ
ラックホールは質量と角運動量 J の物理量によってdmin (v),dv

J
記述されている。J はカーパラメータ a = mに従う

ため、質量インフレーションが起こるとコーシーホ

dmout (u).
duライズン近傍での時空構造は質量インフレーションが起こる場合の Rissner-Nordstrom ブラックホールとなる。特に Lin (V ) の積分は先行研究 [1] により、 のコーシーホライズン近傍の時空構造とほぼ同等の
次のように振る舞うことがわかる。
∫ V
Lin (V )dV 〜v −p eκ0 v .

振る舞いを示す。

(10)

V1

p は重力波の場合は p = 12 となる。コーシーホライ

3結論

ズン V = 0(v → ∞) の近傍で (9) の被積分関数に

コーシーホライズン近傍で質量インフレーション含まれる re2σ が有解 (v → ∞ で re2σ ̸= ∞) であれが起こることにより、コーシーホライズンの不安定ば、質量パラメーター m(U, V ) は (10) に従って発散性を示すことができた。また Rissner-Nordstrom ブする。つまり質量インフレーションを起こすことがラックホールから導いたこの結果は、同じコーシー

分かる。

ホライズンを持つとされている Kerr ブラックホール
におけるコーシーホライズンの不安定性を示すこともできる。したがって、質量インフレーションという結果はコーシーホライズンの不安定性から強い宇
宙検閲官仮説を支持していると言える。

Reference[1]E.Poisson,&W.Israel,Phys.Rew.D41, (1989)1990

図 1: 質量インフレーションを起こす時空の共形図

実際 (9) はコーシーホライズン近傍で∫ V

Lin (V )dV 〜(κ0 v)−p eκ0 v ,

(11)

r02
.
κ20

(12)

V1

re2σ ≈と近似できるので、積分するとm(U, V ) = m0 ϵ2 Γ(U ) (κ0 v)−12 eκ0 v ,∫ U−1Lout(U ′ ) dU ′ .
Γ(U ) = κ0 m0
U1

(13)

——–index

c9
A new derivation of string-stringinteractions
東京工業大学理学院物理学系物理学
コース
藤倉 浩平

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

A new derivation of string-string interactions
藤倉 浩平 (東京工業大学理学院物理学系物理学コース)

Abstract
初期宇宙で、対称性が自発的に敗れると位相欠陥が生成され る。特に、高エネルギー領域がひも状のときは宇宙ひもと呼ば れている。宇宙ひもは巨材なエネルギーを持つので、そのエネルギー密度 (数密度) の時間発
展を説明することは素粒子論的 な観点からも非常に興味深い。宇宙ひもの数密度の時間発展は宇宙ひも同士の相互作用に強く依存している。この研究では、 宇宙ひもの相互作用を説明する新たな手法について触れる。

1

Introduction
素粒子理論・物性理論において自発的対称性の破れは非常に大きな貢献をしてきた。興味深いことに初期宇宙で自発的対称性の破れが起きると、その破れの群のパターンによって、位相欠陥を生成することが知られている。 [1] ここでは、数ある位相欠陥のうち宇宙ひもに着目する。宇宙ひものテンション（単位長さあたりのエネルギー）は対称性の破れのスケールと同どうなるであろうか。Ref. [2] では、local string でゲージ結合定数がスカラー 4 点結合に比べて大きい
時、二つの宇宙ひもの間には引力が働くことが示され、引力が働くような状況が存在することが分かった。その上、二つの宇宙ひもが衝突する際、（宇宙ひもの衝突角度や、衝突速度などの種々のパラメータに依存するが、）二つの宇宙ひもは離れず、束縛状態を生成されることが数値的に検証された。 このとき、宇宙ひものエネルギー密度の時間発展はスケー

じ order であると見積もられている。この宇宙ひものリング則に従うかどうかは非自明であり、ストリン

テンションは Cosmic Microwave Background(CMB)

グネットワークのダイナミクスは斥力の場合と異なの観測や、宇宙ひものループから放出される重力波の検出により、強い制限がかかっている。つまり、素る結果になると予測される。その場合、新しい制限
を素粒子論の模型に課すことができると期待される。

粒子論由来の具体的な模型が宇宙論的な観測により検証できることを示している。
相転移後に宇宙ひもが生成されると、宇宙ひもは
蜘蛛の巣状のネットワーク（ストリングネットワー
ク）を形成する。ストリングネットワークのダイナ
ミクスは、宇宙ひもの間の相互作用に強く依存する

これまで述べてきたように、ストリングネットワー
クのダイナミクスを知る第一ステップは二つの宇宙
ひも間の相互作用の形を正しく解析することである。
本研究では、宇宙ひもの間に働く相互作用の導出方法を説明し、その後に、新しい導出方法について簡単に触れた上で、それらの応用を考える。

ことが知られている。具体的に、二つの宇宙ひもが衝突する状況を考えよう。二つの宇宙ひもが存在する平面内で topological charge conservation を考えると、二つの宇宙ひもは互いのペアを交換する”組み換え”が起きる。（同様に、自分自身と交差し、ループを供給する現象も起きる。）二つの宇宙ひもの間に斥力が働く場合は、組み換えが起こった後、二つの宇宙ひもは離れ、また衝突するという過程を繰り返す。このとき、宇宙ひものエネルギー密度の時間発
展は scaling 則に従うことが示され、ある程度ストリ
ングネットワークのダイナミクスが判明している。
一方で、二つの宇宙ひもの間に引力が働く場合は

2

string solution
具体例として、以下の Abelian-Higgs 模型の La-

grangian:1
L = − F µν Fµν − |Dµ ϕ|2 − V (ϕ),
4
)2
λ( 2
|ϕ| − η 2 .
V (ϕ) =
4(1)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
で記述される宇宙ひも (local string) について着目す<latexit sha1_base64="LhwA/KlZEfgrU7k85XpmYkN9fZI=">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</latexit>る。[3] この Lagrangian の運動方程式は
(
)
)
λ( 2
□−
|ϕ| − η 2 ϕ = 0,2E2 = E2 (1 , · · ·)E1 = E1 (<latexit sha1_base64="I2Y4VMDPikrSFs2b4qUj00RekaM=">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</latexit>

Eint (r, ✓)<latexit sha1_base64="T0SIrUOSGwYxJTWzwFQQVxb3e74=">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</latexit>

r1

(2)

r2

<latexit sha1_base64="bMccJCI8jh9SxnlHLwIXOnYu0DI=">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</latexit><latexit sha1_base64="SqwfbbJLbOzOfJjysM36ghjHBmg=">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</latexit>✓2✓1<latexit sha1_base64="J5cNXu/qfkuSHLrGQzK+/obWD84=">AAACa3ichVHLSsNAFD2Nr1pf1W5EXYil4qrcFEFxVXTjslWrBVtKEkcNpklIpoVa/AGXblzUjYKI+Blu/AEXfoKIKwU3LrxNA6Ki3jCZM2fuuXPmju5api+JHiJKV3dPb1+0PzYwODQ8Eh8d2/SdmmeIguFYjlfUNV9Ypi0K0pSWKLqe0Kq6Jbb0g5X2/lZdeL7p2Buy4YpyVduzzV3T0CRTxZLcF1KrZCrxJKUpiOmfQA1BEmHknPgVStiBAwM1VCFgQzK2oMHnbxsqCC5zZTSZ8xiZwb7AEWKsrXGW4AyN2QP+7/FqO2RtXrdr+oHa4FMsHh4rp5Gie7qmF7qjG3qk919rNYMabS8NnvWOVriVkePx9bd/VVWeJfY/VX96ltjFYuDVZO9uwLRvYXT09cPTl/WltVRzli7oif2f0wPd8g3s+qtxmRdrLcT4AdTv7f4JNjNpldJqfj6ZXQ6fIopJzGCO+72ALFaRQyHo8wlaOIs8KwllQpnqpCqRUJPAl1BSHx3UjMk=</latexit><latexit sha1_base64="egCGSE/7duHzgq1TLonpnMJcyAY=">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</latexit>∂ν F νµ + ej µ + 2e2 |ϕ|2 Aµ = 0,

2 , · · ·)d(3)<latexit sha1_base64="/07SGsRsdqRu+GUmh89vvwgi1Hk=">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</latexit><latexitとなる。この微分方程式の境界条件は

ϕ = η, Dµ ϕ = 0, r → ∞,(4)
図 1: セットアップの説明である。宇宙ひもを記述する解に興味があるため、winding number が n(:自然数) の軸対象性を課した 説明しよう。簡単のため、以下では二つの宇宙ひも
ansatzが平行であると近似し、winding number が 1 で同()
n
ϕ = (η − f (r)) einθ , Aθ (r) = Q(r) +. (5) じ向きを向いている状況を考え、単位長さあたりの
er
エネルギーを評価する。Ref. [2] では、全系の fieldを仮定する。f (r) 及び Q(r) に対する運動方程式は、 configuration(Φ, A) が各々の宇宙ひもの configura十分遠方で Q(r) 及び f (r) の非線形項が無視できる

tion の重ね合わせで記述されるという superpositionという近似の下で
( 2
))
( 2
1 ∂
n
∂
2
+
−
+
m
Q(r) = 0,
e
∂r2
r ∂r
r2
( 2
)
1 ∂
∂
2
+
−
m
η f (r) = 0,
∂r2
r ∂r

ansatz:Φ = ϕ1 ϕ2 /η, Aµ = Aµ1 + A2µ ,(6)(7) の下で、単位長さのエネルギー Eint は以下のように評価されることを示した。

となる。ここで、me と mη はそれぞれ、真空周りのEint ≃ 2πη 2 (K0 (me d) − K0 (mη d)) .

ゲージ場、スカラー場の質量である。これらを満たす解は以下で与えられる。

Q(r) = ke K1 (me r), f (r) = kS K0 (mη r)

(10)

(11)

ゲージ場と Higgs 場の質量は Higgs mechanism に(8)よって獲得しているので、ゲージ結合定数がスカラー

self-coupling よりも大きい時は、ゲージ場の質量がここで K0 (x), K1 (x) ははそれぞれ 0, 1th order の変スカラー場の質量よりも重くなる。したがって、こ形ベッセル関数を表し、x が十分大きいところではのとき、Eq. (11) から距離 d で微分すると、負の値以下の漸近形となり、引力となることが理解できる。

√
K0,1 (x) ∼

[
( )]
π −x
1
e
1+O
, x ≫ 1.
2xx(9)で近似的に表すことができる。物理的に Eq. (8) はゲージ場、スカラー場の配位の典型的な長さはそれぞれのド・ブロイ波長程度であることを示している。

4

新しい手法による結果とその応用について
前節で紹介した二本の宇宙ひもの間の力を求める手法では、superposition ansatz を仮定して導出した。

3

string-string interaction

本研究では、superposition ansatz を仮定せずに、場の理論の手法を用いて相互作用を導出する手法を考二本の（距離 d で離れた静止している）宇宙ひも案する。主な idea は次のとおりである。宇宙ひもをが与えられた (図 1 参照) とき、両者の間に働く力は太さのない完全な線に近似し、スカラー場とゲージ

斥力なのか、引力なのかを決定する手法を具体的に粒子の塊として扱い、場の理論の手法を用いて、２2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
本の宇宙ひもの間のポテンシャルを非相対論的極限を取ることで導出する。この idea のもとで計算を進めると、tree level では、前節の結果をきちんと導くことができることを確かめた。
この手法を用いると、superposition ansatz の正当性を確認する必要がなく、local string 以外への拡張は自明になるため、非常に幅広い範囲に適用できる。
多くの粒子論的な模型では U(1) 対称性が自発的に破れるため、様々な応用が期待される。

Reference
T. W. B Kibble 1976, J. Phys. A9 (1976) 1387.
L. M. A. Bettencourt and R. J. Rivers (1995), Phys.
Rev. D51 (1995) 1842 [hep-ph/9405222.]
H. B. Nielsen and P. Olesen, Vortex Line Models for
Dual Strings, Nucl. Phys. B61 (1973) 45.

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c10
スカラー型ゆらぎから誘起される重力波のゲージ依存性
立教大学大学院 理学研究科
富川 慶太郎2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

スカラー型ゆらぎから誘起される重力波のゲージ依存性
富川 慶太郎 (立教大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙論的摂動論を 2 次まで考慮するとスカラー型ゆらぎから 2 次の重力波が誘起される。2 次重力波は 1 次とは異なりゲージ依存性がある。しかし、2 次重力波は主に Newtonian gauge でのみ計算されており他の

gauge ではあまり計算されていなかった。本発表では状態方程式 p = wρ の完全流体で占められている宇宙において、スカラー型ゆらぎから誘起される重力波を comoving gauge と Uniform curvature gauge で計算
し、2 次重力波のゲージ依存性を定量的に評価する。

1

はじめに初期宇宙を記述するモデルとして、宇宙が初期に加速膨張するというインフレーションモデルが有力

2

方法
2 次重力波の運動方程式を求めるため、以下の作用と計量∫である。インフレーションモデルでは現在の宇宙の構造は量子ゆらぎによって与えられる。この時のゆ

S=

[ 2
]
√
MPl
d4 x −g
R + P (X)2

(1)

らぎのテンソル型成分が原始背景重力波となり、現在の宇宙にも満ち溢れていると考えられている。原
始背景重力波を観測できれば、初期のテンソル型ゆ()()
ds2 = −N 2 dt2 + gij dxi + N i dt dxj + N j dt
(2)

らぎに関する情報が得られ、インフレーションモデ
ルに制限を加えることができる。また、原始背景重を考える。ここで X := −(1/2)(∂ϕ)2 である。後に力波とは別にゆらぎのスカラー型成分から摂動の 2

様々なゲージにおける運動方程式を導きたいのでゲー

次のオーダーで誘起される 2 次重力波がある (1)(2)。 ジは空間的には固定するが時間的には固定しない。そ2 時重力波はスカラー型ゆらぎの情報を含むので、観 のため測することでスカラー型ゆらぎのスペクトルに制限を加えることができる。特に、2 次重力波はこれまで
制限が緩かった小スケール領域に新たな制限を加えることができる (5)。しかしながら、2 時重力波は 1
次とは異なりゲージ依存性を持っている。にも関わらずこれまでの 2 次重力波に関する研究はほぼ全て
単一のゲージ (Newtonian gauge) でのみ議論されてきた。(4) で初めてゲージ依存性が議論され、2 次重

N = 1 + δN,

Ni = ∂i χ,( )gij = a2 e2ζ eh ij ,ϕ = ϕ(t) + δϕ(3)とする。ここでスカラー場の運動項の関数を

P = cX (1+w)/2w(4)と選ぶ。(4) のように選ぶと状態方程式 p = wρ を満

力波のエネルギー密度スペクトルのゲージ依存性はたす完全流体と等価になることが知られている (3)。

顕著であるという結果が得られているが、数値的にこのもとで摂動の 3 次のオーダーまで展開して hij

解いているので根本的な原因は判明していない。そで変分することにより 2 次重力波の運動方程式

こで、我々は 2 次重力波のエネルギー密度スペクト
ルを解析的に求め、ゲージ依存性の原因を明らかにする目的で研究を進めた。

ḧij + 3H ḣij −1 2
1∂ hij = 2 Λij kl Skl
a2
a

(5)

を得る。Λij kl はトランスバース-トレースレス射影テンソルであり、Skl にはスカラー型ゆらぎの 2 次の項が含まれている。同様にしてスカラー型摂動で変2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
分することによりスカラー型ゆらぎの拘束条件と運(時間)×(空間) 成分のスカラー型ゆらぎ χ の存在に動方程式を導くことができる。このスカラー型ゆらあるとわかった。

ぎの運動方程式を解くことによって各スカラー型ゆ放射優勢期の場合は Comoving gauge の場合とらぎの時間発展を得ることができる。運動方程式 (5)Newtonian/Uniform Curvature gauge の場合で違いはグリーン関数を用いて解くことができ 2 次重力波が大きくなることが判明した。Newtonian/Uniformの時間発展が得られる。2 次重力波の時間発展が得

Curvature gauge では時間的に一定となるが、Comov-

られれば、2 乗して平均をとることにより 2 次重力波

ing gauge では時間の 2 乗で増幅する項が存在する。

のエネルギー密度スペクトルを求めることができ、 放射優勢期の場合に Newtonian/Uniform Curvature[)2 ]2 gauge の時間発展が一致する理由については考察を(∫ ∞ ∫ 1+v
1
k4 v2
1 + v 2 − u2
進めている最中である。
dv
du
1−
3H2 0
4 u2
2v
|1−v|

P(ku)P(kv)I 2 (u, v, η)(6)1
I(u, v, η) =
a(η)

∫ η

謝辞
夏の学校を運営してくださった事務局の皆様、支

′

′

′

′

dη a (η ) Gk (η, η ) F (u, v, η )援いただいた皆様に感謝いたします。

0

(7)
π
(kη)1/2 (kη)1/2
2[Yν−1 (kη)Jν (kη) − Jν−1 (kη)Yν (kη)]

Reference

Gk (η, η) :=ν :=3(1 − w)
2(1 + 3w)

(8)

(9)

と表される。ここで P(k) はスカラー型ゆらぎのパ
ワースペクトル、F (u, v, η) はソース項 Skl をスカ
ラー型ゆらぎの遷移関数で表したものである。ゲージによる違いはスカラー型ゆらぎの時間発展とソース項 F (u, v, η) の関数系に現れる。以上の作業を
時間座標まで固定した Newtonian gauge,Comoving

gauge,Uniform curvature gauge の三つのゲージについて解析的に行いゲージ依存性の大きさと評価と原因の解明を試みた。

3

結果
まず、物質優勢期の場合は時間発展の振る舞いがNewtonian gauge の場合と Comoving/Uniform Curvature gauge の場合で大きく異なることが判明した。
Newtonian gauge の場合は時間的に一定となるが、Comoving/Uniform Curvature gauge の場合は時間の 4 乗で増幅する項が存在する。この原因は計量の[1] Kishore N. Ananda, Chris Clarkson, and David
Wands, Cosmological gravitational wave backgroundfrom primordial density perturbations, Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation and Cosmology 75 (2007), no. 12, 1–9.
[2] Daniel Baumann, Paul Steinhardt, Keitaro Takahashi, and Kiyotomo Ichiki, Gravitational wave
spectrum induced by primordial scalar perturbations,Physical Review D - Particles, Fields, Gravitation
and Cosmology 76 (2007), no. 8, 1–13.
[3] Lotfi Boubekeur, Paolo Creminelli, Jorge Nor ẽ a,
and Filippo Vernizzi, Action approach to cosmological perturbations: The second-order metric in matter dominance, Journal of Cosmology and Astroparticle Physics 2008 (2008), no. 8.
[4] Jai-chan Hwang, Donghui Jeong, and Hyerim Noh,
Gauge Dependence of Gravitational Waves Generated from Scalar Perturbations, The AstrophysicalJournal 842 (2017), no. 1, 46.
[5] Keisuke Inomata and Tomohiro Nakama, Gravitational waves induced by scalar perturbations asprobes of the small-scale primordial spectrum, Phys.
Rev. D99 (2019), no. 4, 043511.

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c11
宇宙論における相転移由来の重力波
東京工業大学理学院 宇宙論グループ
石川 純也

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙論における相転移由来の重力波
石川 純也 (東京工業大学理学院 宇宙論グループ)

Abstract
ビッグバン理論では、宇宙は高温で熱平衡にあったとされる。そのような環境では粒子が高いエネルギーをもつために、ゼロ温度で自発的に破れる対称性が、高温で回復することが知られている。宇宙が膨張するにつれて温度が下がり、高温では対称性が成立していたものの、低温になり対称性が破れる。このような対称性の相転移のダイナミクス次第では重力波が生成され得ることを説明する。

1

導入

次に、有限温度での Feynman rules を見る。
グリーン関数を熱平均で定義する。

ビッグバン理論では、高温で熱平衡にあった宇宙が膨張した結果、現在の宇宙が実現したと考えら

G(x′ , x) =れている。特に、標準模型のエネルギースケールよ=りも高温であった場合を考えると、標準模型を超えた物理の寄与があったことになる。
現在までの観測から直接的に確かめられているののの、その具体的な指針は定まっていない。
そのため、初期宇宙において標準模型を超えた物理が寄与した観測量があれば、新しい理論を探索す
る指針になる。このことから、初期宇宙での素粒子論を考えることは素粒子論と宇宙論、双方の発展に不可欠であるといえる。

G+ θ(t′ − t) + G− θ(t′ − t)(4)時間の複素並進に対して、熱平均で定義したグリーン関数が周期性を持っていることが示される。

G+ (t − iβ, ⃗x) = G− (t, ⃗x)

は、宇宙背景放射が関わるスケールまでで、標準模型を超えた理論は存在を示唆する観測証拠はあるも⟨ϕ(x′ )ϕ(x)⟩ θ(t′ − t) + ⟨ϕ(x)ϕ(x′ )⟩ θ(t − t′ )(5)

フェルミオンに対しては、反周期条件が成立している。これらより、熱場のフーリエモードはエネル
ギー成分が離散化されていることがわかる。
以上より、熱場の Feynman rules は、ゼロ温度のFeynman rules において、運動量積分をフーリエ級数に置き換えたものが対応していることわかる。
具体例として、単一スカラー場の質量補正を見る。
ラグランジアンは次の通り。

2

有限温度の場の理論

L=

場の理論で計算される諸量に温度依存性を含ませるには、ゼロ温度での真空期待値をカノニカルアµ2 2 λ 41∂µ ϕ∂ µ ϕ −
ϕ + ϕ
2
2
4!

(6)

対応するダイアグラムは図 1 に示したとおりである。

ンサンブルを用いた熱平均に置き換えればよい。
ハミルトニアン H を持ち、逆温度 β で熱平衡にある系は、密度演算子 ρ で記述される。

ρ = exp{−Φ} exp{−βH}(1)Φ = log T r exp{−βH}(2)

任意の演算子 O の熱平均 ⟨O⟩ は、次のように書かれる。

⟨O⟩ = T r(Oρ)(3)

図 1: 単一スカラーでの質量補正のダイアグラム

熱場の Feynman rules でこのダイアグラムを評価すると、温度依存するパートの結果が得られる。

δmT ∼ λT 2

(7)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
したがって、高温では T 2 が µ2 に打ち勝って対称性が回復する。

な理論模型が存在する。今後の展望としては、標準模型を超えた理論について相転移や重力波を見ていこうと考えている。

3

宇宙論における相転移
ゼロ温度では自発的対称性の破れを引き起こす

ポテンシャルにおいては、高温で対称性の回復を起こす。
初期宇宙では、はじめは高温で対称性が回復しているものの、宇宙膨張で温度が下がり対称性の破れが引き起こされる。つまり、ある臨界温度で対称性が保たれている相から対称性が破れている相への相転移が起きる。
相転移の臨界温度付近での振る舞いは、考えている模型に強く依存する。ポテンシャルの概形が、模型に含まれる粒子構成や結合定数の大きさによって決められるからである。
ポテンシャルに極小値が二つ存在する場合には、1次相転移が起きることが知られている。このとき、原点からポテンシャルの安定点への遷移はトンネル効
果によって実現される。宇宙空間のある 1 点で安定
点への遷移が起きたとき、2 つの相を区切る泡が形成される。相転移の進行は泡が膨張することで実現され、膨張した泡同士が衝突して相転移が終わる。

4

重力波の生成重力波の自由度は、膨張宇宙を記述する FRW 計

量 (Friedmann-Robertson-Walker metric) の摂動に含まれる。
エネルギー運動量テンソルの等方成分は宇宙膨張に寄与し、非等方成分は重力波のソースとなる。

1 次相転移は泡の膨張で進行する。非等方的な物
質の分布は、泡の衝突、もしくは膨張過程の粗密によって実現され、これらが重力波のソースとなる。

5

今後の展望
加速器実験で確かめられている標準模型のエネ

ルギースケールは 1TeV である。これを超えるエネ
ルギー領域では、超対称性理論をはじめとした様々

Reference
M.Quiros [hep-ph/9901312]
C.Grojean and G.Servant
Phys.Rev.D75:043507(2007) [hep-ph/0607107]

——–index

c12
Reheating after the hybrid Higgs inflation
早稲田大学大学院 先進理工学研究科
佐藤 星雅

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Reheating after the hybrid Higgs inflation
佐藤 星雅 (早稲田大学大学院 先進理工学研究科)

Abstract
素粒子標準模型内の粒子のみで記述される Inflation モデルは Higgs inflation のみである。このモデルあ宇
宙背景放射の観測結果から重力との非最小結合が必要である。非最小結合には質量項タイプと運動項タイプの結合があり、これら 2 つが同時に存在するモデルが Hybrid Higgs inflation である。一般に運動項タイプの結合は inflation 後の加熱期に Higgs 場の音速の 2 乗が負になる問題がある。しかし、運動項タイプのみ
が量子重力の効果として現れないのは不自然である。本研究ではこのモデルの再加熱期を解析する。まず初めに、質量項タイプによってこの不安定性が回避可能か議論しその条件を求める。次に、粒子生成の解析も行い、Higgs 場から W boson を経て放射優勢となるときの宇宙の温度を評価した。

1

Introduction
Inflation 理論は宇宙背景放射 (CMB) の観測結果

2

Hybrid Higgs inflation
Hybrid Higgs inflation(S.Sato,& K.Maeda

を説明しうる点から広く受け入れられ、盛んに研究が(2018)) の作用は以下のように与えられる。
[ 2∫
行われている。CMB の一様性から inflation は scalar
MP − ξh2
4 √
S
=
d
x
−g
R
場によって引き起こされたと考えられる。現在、存2]()
在が確認された素粒子は素粒子標準模型のみであり、Gµν ∂µ h∂ν h
µν
−
V
(h)
,
(1)
−
g
−
scalar 場は Higgs 場のみである。しかし単純に Higgs
M2
2
場をインフラトンと仮定すると CMB の観測結果とここで h は Higgs field を、 V は そのポテンシャル
矛盾する点がある。そこで考えられたのが重力とのをそれぞれ表す。
非最小結合である。曲がった時空上で scalar 場を量λ子化すると非最小結合が自然に導入されることから、V (h) = h4 .
(2)4
量子重力の寄与として高エネルギーでの存在が期待されている。これまで様々な形の結合が提唱されて宇宙のを記述する計量として平坦な Friedmann-

きたが、scalar 場の微分を含む運動項タイプと含ま

Lemaı̂tre-Robertson-Walker 計量ない質量項タイプに大別できる。これまでの研究で

ds2 = −dt2 + a(t)2 dxi dxi ,はこれらのタイプのどちらから優勢な場合のみ解析がほとんどであった。一方で Hybrid Higgs inflation
は 2 つのタイプが同程度の割合で寄与する場合も解析され、CMB との一致も確認されている (S.Sato, &K.Maeda (2018))。そこで本研究ではこのモデルの再加熱期での振る舞いを解析する。運動項タイプの結合によって引き起こされる不安定性が質量項タイプによって回避可能か議論し、再加熱期の粒子生成の解析、放射優勢になる際の宇宙の温度を求める。

(3)を採用する。a は scale factor である。これを作用(1) に代入すると、
∫
(
)
√ [
S = d4 x −g −3H 2 MP2 − ξh2
(

3H 2
+ 1+
M2

)

]
ḣ2
+ 6ξHhḣ − V (h) ,2(4)となる。H ≡ aȧ は Hubble parameter である。ここで dot は t 微分を表す。これを変分することで基礎2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
方程式が以下のように得られる。
(
)
(
)
3H 2
3H 2 + 2Ḣ
1+ḧ + 3H 1 +
ḣ
M2
M2
(
)
dV
+ 6ξ Ḣ + 2H 2 h += 0, (5)
dh

(

(
) 2
)
3H 2
ḣ
2
2
2
3H + 2Ḣ Mp − ξh + 1 −
− 4ξ
2
M
2
1 d
−V (h) − 2 (H ḣ2 ) − 2ξhḧ − 4ξhḣH = 0.
M dt
(6)
)(

H2 =

1
2
3(MP − ξh2 )

[(

)
2

1+

9H
M2

ḣ2
2

]
+6ξhḣH + V (h) .

ここで摂動をN =1 + α,

N i = ∂i β
(
)
1
2
2ζ
γij =a (t)eδij + hij + hik hkj .
2

(9)
(10)

とする。α, β, ζ は scalar 型摂動であり、hij は tensor
型摂動である。hij は hii = hij,j = 0 を満たす。また√
hij を上記のように展開することで −g から摂動は得られない。解析は comoving gauge を用いるので、Higgs 場の摂動は考慮する必要がない。これらから作用 (1) の摂動の 2 次を取り出した作用は
[
]
∫
3
FS
(2)
2
3
3a
2
SS = dtdx MP
GS ζ̇ − 2 (ζ,i )
2
a

(11)

(7) となる。ここで GS と FS は)(基礎方程式を解くことで観測量が得られる (図 1)。
ḣ2h2
GS =3 1 − ξ 2 −MP
2M 2 MP2()(
Planck TT+lowP
0.15
9H 2 ḣ2ḣ2h2TT+lowP+BKP
2
Co
nv
+
−3H
+
+
1
−
ξ
e
+lensing+ext
Co
x
nc
MP2
M 2 MP2
2MP2
av
e
1
P
0.10
(
)2
)
2
h2
ḣ2
1
−
ξ
−
2
2
6Hξhḣ
MP
2M 2 MP
+
(
)2
0.05
2
2
2
MP
h
3ḣ
hḣ
H
−
ξ
H
−
H
−
ξ
2
2
2
2
M
2M M
M
3
r0.002

N

0.00

図 1:

4

0.95

0.96

P

c

0.97

ns

0.98

0.99

1.00



CMB のスペクトラム指数観測の制限は

FS =

(
−

3

(
)2
h2
ḣ2
a 1 − ξM
2 − 2M 2 M 2

1 d 
P

a dt H − ξ h22 H −Planck2018(Planck Collaboration (2018)) を用いた。

P

MP

P

3ḣ2
hḣ
2 H − ξ M2
2M 2 MPPḣ2h2
1−ξ 2 +
MP
2M 2 MP2

P



(12)




)

(13)

である。音速の 2 乗はGradient instability

Hybrid Higgs inflation の再加熱期の解析は困難にである。その原因は gradient instability と呼ばれる
音速の 2 乗が負になることで生じる不安定性である。
一時的にでも音速の 2 乗が負になると、その時間ス
ケールに応じた波数の摂動が指数関数的に膨張し、摂動論が破綻してしまい、解析不可能となる。

Hybrid Higgs inflation の摂動を解析する。ADM
formalism より、()()
ds2 = −N 2 dt2 + γij dxi + N i dt dxj + N j dt ,
(8)

c2s =

FS
GS

(14)

で与えられる。再加熱期に GS が負になることで不安定性が引き起こされる。しかしこの解析は数値的に行うのは困難であるため、ḣ = 0 と h = 0 の 2 点
で GS ≤ 0 となる条件を求める。ḣ = 0 の時 GS =FS = 0 となることが容易に得られるので h = 0 の
FS のみに着目する。
πM =

ḣ
M MP

(15)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校として FS |h=0 を書き下すと

(
)
(
)
2 2
4
2
8
12 1 − 23 πM− 8πM
1 − 32 πM
− 3πM
(
)
(
)
FS =
3 2
3 2
3 4
4 1 − 2 πM 1 − 2 πM + 2 πM
(
)(
)
2
2
4
2
1 − 21 πM
1 − 32 πM− 32 πM
6ξπM
(
)(
)
+
(16)
2
2 + 3 π4
1 − 32 πM
1 − 32 πM
2 Mとなる。ここで H の 2 乗は必ず正なので式 (7) で

h = 0 の場合から√|πM | ≤

23(17)と得られる。ここで ke ,y は以下のように定義した。
((
) (
)
λh2e
3H 2
2
2
2
ke ≡
6ξ − 1 +
a
2H
+
Ḣ
2
M2
)−1
12H 2 2
2
−
H
+
λh
(19)
e
M2

y ≃mη
(20)
(
)
((
)
−1
3H 2
3H 2
m2 ≡ 1 +
6ξ
−
1
+
a2
M2
M2
)
(
) 12H 22
2
2
× 2H + Ḣ −H + λhe(21)M2が得られる。これにより (16) の分母は正なので、分η は conformal time である。式 (18) の解は楕円関数
子にのみ着目する。FS が正となる条件は図 2 となる。 で記述され運動項タイプのみがある場合は図の左上の領域で不安定となる。運動項タイプが支配的な場合でも質量項タイプがあれば h = 0 で安定化できることがわかる。具体的には −1.1 ≲ ξ ≲ −0.13 という制限が得られた。一方で、質量項タイプが支配的な場合では数()
値的に最初に h = 0 で ḣ ∼ O 10−7 となる。このことから運動項タイプの大きさは M > 10−4 MP という制限が得られる。

h̃ = Cn (mη, ke )(22)となる。ke は楕円関数のパラメータで、ke = 0 で cosに ke = 1 で cosh−1 となる。Hybrid Higgs inflation√
では 0 ≤ ke ≤ 1/ 2 の値をとる。ke = 0 は質量項結√合が支配的な場合、ke = 1/ 2 は運動項結合が支配的な場合に実現される。
次に W boson の粒子生成を考える。W boson の2/4h2 で与えられる。Fourier 変換
質量は m2W = gW

した W boson, Wk , の運動方程式は[ 2]2d2 W̃kkgW
2+ 2 +Cn (mη, ke ) W̃k = 0dη 2
a4
W̃k = aWk

(23)
(24)

となる。ここで式 (22) を用いた。この式を h = 0 の周りで近似していく。i 回目に h = 0 となる時刻を ηi
図 2: FS の符号と πM , ξ の関係。赤い部分がFS < 0√とし、∆ηi ≡ η − ηi とする。∆ηi で Cn(mη, ke ) を展

33−3
を、縦
6

開すると、ḣ = 0 となり再び ḣ = 0 となる間では ∆ηiの不安定な部分。横の点線は πM =√の点線は ξ ≃ −0.13,−1.1 をそれぞれ表す。

の 1 次で十分であることが計算から求まる。従って

W boson の運動方程式は[]
τ2d2 W̃k
2
+ κ +
Wk =0
dτ 2
4
4 Reheatingk2
a2 2 =:κ2
再加熱期の解析を行う。まず、運動方程式 (5) を
K
2
2 2 2
h
gW (1 + ke ) m =:K 4h̃ = a he として変数変換をする。ここで he は Inflation 終了時の Higgs 場の大きさである。これより)
d2 h̃ (
+ 1 − 2ke2 h̃ + 2ke2 h̃3 ≃ 0,2
dyK∆ηj =:τj

(25)
(26)
(27)
(28)

(18) となる。この方程式の解は放物柱函数で与えられて2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
いる。従って量子化された Wk はを表す。この方程式を解くと、相対論粒子は速やかに行われ 1 回の振動で放射優位になることが分かる。

j∗W̃kj (τj ) =âjk ujk (τj ) + âj†k uk (τj )

(29)

( π )
e− 2 κ
ujk (τj ) = √ D−iκ2 − 12 ei 4 τj
K

(30)

π

2

と表される (H.Aoki & S.Iso (2015))。â は W bosonの消滅演算子でる。この背景時空のときの uk は単位

この時の温度は、inflation 終了期のインフラトンの()
エネルギーから O 1015 GeV となる。

5

Conclusion and Discussion

波動関数を表す。ḣ = 0 のとき (τj = K T4 のとき,T

本研究では Hybrid Higgs inflation の再加熱機構

は coformal time での周期) に真空を再定義していの解析を行った。Gµν ∂µ h∂ν h/M 2 のような運動項タく。お互いの真空の関係は Bogoliubov 変換から得らイプの結合は再加熱期に音速の 2 乗が負になることれる。
(

で生じる不安定性のため解析が不可能になる。そこâj+1
kâj+1†
k

)

(
=

α∗

−β ∗

−β

α

)(

âjk

)

âj†
k

) (
)
(
T
T
∗
α = −C11+ 2iu∗k K
u′k −K
4
4
(
) (
)
T
T
β = C12 − 2iuk K
u′k −K
4
4
] [
]
[
κ2
3
κ2
1
2Γ 4 − i 2 Γ 4 + i 2
C11 = 1 −A[κ2 ]
] [
]
[
κ2
3
κ2
1
−
i
Γ
−
i
2Γ
2
4
2
4
2
C12 = 21−iκ2A[κ ]で最初に ξRh2 によってこの不安定性が回避できる(31) か議論し、回避可能な条件を図 2 にまとめた。次にW boson の粒子生成を解析した。まず初めに再加熱期の Higgs 場の運動を楕円関数で記述した。これを(32) 用いて W boson の運動方程式をポテンシャルの底周りで展開した。振動の端になるたびに時間を取り直(33)すことで 1/2 振動ごとに W boson の真空を定義し、その間の関係を Bogoliubov 変換で表した。また、真(34) 空の再定義によって粒子が生成されるので、その生成量を評価した。その後 W boson から軽いフェルミ(35) オンへの崩壊や対消滅を考え、放射優勢期となるときの宇宙の温度を求めた。この結果は ξ の結合のみ

[

] [
]
1
κ2
3
κ2
2
A[κ ] = iΓ
+i
Γ
−i
4
2
4
2
[
]
[
]
2
1
κ
3
κ2
+Γ
−i
Γ
+i
4
2
4
2

しかない先行研究で得られている結果と異なる。先行研究では比較的緩やかに再加熱が主張されており
本研究とは違う (F.Bezrukov et al. (2009))。この点(36) に関しては解析手法の相違についてなど今後更なる議論が必要である。
ここで Γ はガンマ関数を表す。|β| が 1/2 振動の運動量空間での粒子生成数となる。W boson は非相対論的な場として生成されるのでこの段階では再加熱が達成されない。そこで W boson から相対論的粒子となる軽いフェルミオンへのエネルギー伝達を考える。
伝達としては崩壊と対消滅を考える。この現象を記述するのは近似された Boltzmann 方程式であり、以Acknowledgement
共同研究者として議論をして下さった早稲田大学の前田恵一教授に感謝申し上げます。また、天文天
体物理若手夏の学校にご賛同頂き、ご支援下さった方々に深く感謝致します。

下のように得られる。
(
)
(
( 2
)
d a3 n
A
K T
3
K
= a3
+
B
−
Γ
n
dt
aT π 2
2a
)
−σn2
(37)

Referenceである。ここで A, B は数値的に求まり A = 0.0283,

F.Bezrukov, D.Gorbunov & M.Shaposhnikov, JCAP2009 06 (2009) 029.

B = 0.110 となる。Γ は崩壊率を、σ は散乱断面積

S.Sato, & K.Maeda, 2018, Phys.Rev.D 97(2018)083512
N.Aghanim et al, 2018, arXiv:1807.06209 [astro-ph.CO]
H.Aoki & S.Iso, 2015,PTEP 2015.11 (2015): 113E02.

——–index

c13Time crystal とその初期宇宙への影響の可能性
東京学芸大学大学院
佐野 有里紗2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Time crystal とその初期宇宙への影響の可能性
佐野 有里紗 (東京学芸大学大学院)

Abstract
我々の住んでいる宇宙観測から膨張していることがわかっている。このことから、過去にさかのぼると宇宙
初期は非常に小さかったといえる。つまり、その時代の宇宙を考えるためには、量子重力理論を用いる必要があると考えられる。近年の研究では、この量子重力理論から初期宇宙の有効次元は現在より低かったと示唆されている。さらに、先行研究から宇宙初期は時空が離散的だったと考えられた (Calcagni 2017)。また、

Time crystal とは、時間並進対称性を自発に破った物質 (Sacha & Jakub 2018)、つまり時間が離散的になっている物質である。これはすでに実験的に実現されていて、与えられた外力に対して２倍などの周期で振動することがわかっている。本発表では、量子重力理論から示唆される時間の離散性と time crystal との関連に着目し、その宇宙論的応用を紹介していく。

1

Introduction
宇宙初期は非常に小さく、かつ重力が非常に強いると考えることもできる。したがって、今回はこのtime crystal に着目し、その宇宙論的応用 (Feng etal. 2018) について紹介していく。

ため、 量子論と重力理論の両方を取り入れなければならない。その理論を量子重力理論と呼ぶ。その理論において、次元は動的かつスケール依存性がある
ことが示唆されている。それにより、小スケールや高エネルギー状態での実質的な次元が落ちると考えられている (Carlip 2017)。これは、不確定性関係を実空間に適用させたような空間座標それぞれに従属関係があることから自由度が落ちることに起因していると考えられる。このことから、初期宇宙では有効次元が低かったと考えられる。
その次元変化については、いくつかのモデルがあ2Time crystal
Time crystal とは、2012 年に Wilczek らが提唱した時間周期的な自己組織化構造のことである(Shapere & Wilczek 2012)。そもそも、 crystal(space crystal) とは、塩や carbon nanotube (図 1)のような、空間内に規則的な構造を構築しているものである。つまり、空間のある方向において周期的な構造パターンを繰り返す物質のことである。

る。例えば、スケール変化に伴って次元変化をする

multifractional 時空を記述する multifractional theory というものである (Calcagni 2017)。この理論では、時空が離散的であったと仮定し、これによって時空の次元変化について説明している。これより、宇宙初期は時空が離散的であったということもできる。
空間の離散性についてはいくつかのモデルが考えられているが、時間の離散性については、あまり多くは議論されていない。
また、時間並進対称性を自発に破った物質が考えられ、それを time crystal と呼ぶ (Sacha & Jakub

図 1: carbon nanotube の結晶構造
また、この物質は空間並進対称性を自発的に破っているといえる。
これを時間に応用したもの、つまり時間並進対称性を自発的に破る物質が time crystal である。Wilczekが構想した time crystal は、平衡状態かつ最低エネル
2018)。これは、時間が離散的になっている物質であ ギー状態にある物質が、時間的周期性を表すことがで2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
この Floquet 状態の多体周期駆動系は時間においきる物質であるというものであった。しかしこれは、系へのエネルギー入力なしに周期的な振動を繰り返て自発的に自己組織化し、周期 T よりも長い周期でしていることを表しており、エネルギー保存則に反し変化する。つまり、駆動力の周期に対し、物質の固有ている。実際にこの平衡状態にある time crystal は振動の周期がそれより長くなるのだ。これは discrete

実現不可能だと発表された (Watanabe & Oshikawa

time crystal (DTC) と呼ばれ、実際に実験室で生成に2015)。

成功している。さらにその実験では、駆動力の周期を

その後、Yao により非平衡状態における time crys-

変えても、物質の周期は変わらないこともわかった。

tal の生成が提案された (Yao 2017)。Wilczek の time
crystal は連続的な時間並進対称性を自発的に破るとしていたが、Yao は離散的な時間並進対称性を自発

2.1

Observation of DTC

的に破ることに着目した。時間依存性のない系にお初めて DTC の生成に成功したのは、2016 年である

いては、連続的な時間並進対称性があるのに対し、時(Zhang 2017)。実験概要は、トラップされた 171 Yb+

間依存性のある系においては、その対称性は破られイオン 10 個をリング状に並べ、これらの平衡状態をる。さらに、 Haniltonian が時間周期性崩すために 1 つ目のレーザーで磁場を形成させる。

H(t + T ) = H(t)(1)

次に、1 つのイオンのスピンを 2 つ目のレーザーパ
ルスで反転させる。すると、粒子の相互作用によりを持つなら、Floquet 状態と呼ばれる固有状態が存

スピン連鎖を起こすことで、与えた周期の 2 倍でス在する。これは、 Floquet の定理と呼ばれ、Bloch

ピン反転を繰り返す系を観測できたというものであの定理を時間に応用したものである。これについてる。実際に、それぞれのスピンにおける磁化の時間

もう少し詳しく説明していく。固有値方程式)(∂|n(t)⟩ = ϵn |n(t)⟩H(t) − iℏ∂t

発展の Fourier spectra は Floquet 振動数 ( T1 ) の半分の所で 1 つのピークを表す (図 2)。このことは、最(2) 初の生成状態 | ↓↓ · · · ↓⟩x が、2 つの Floquet 状態の重ね合わせ |±⟩ = √12 (| ↓↓ · · · ↓⟩x ± | ↑↑ · · · ↑⟩x )より、Schrödinger 方程式の解を|ψ(t)⟩ =∑とみなすことができることで、周期 2T で時間発展

Cn (t)|n(t)⟩(3)

Cn (0)e− ℏ ϵn t |n(t)⟩(4)

n

していくこと、つまり元の離散時間並進対称性の自発的破れを示している。

とすると、|ψ(t)⟩ =∑inを得る。ここで、ϵn は固有値である。時間依存性を課し、固有値に縮退がないとすると、|n(t + T )⟩ = eiαn T |n(t)⟩(5)

図 2: discrete time crystal (Zhang 2017)

である (αn : 定数) ので、時間周期性をもつ Hmilto-

nian に対する Schrödinger 方程式の解は、∑
ϵn|ψ(t)⟩ =Cn (0)e−i( ℏ −αn )t |ñ(t)⟩(6)

3Cosmological time crystalnとなる。ただし、|n(t)⟩ = eiαn t |ñ(t)⟩ とすると、|ñ(t)⟩は時間周期性をもつので、この解は Floquet 状態の解となっている。

Time crystal を宇宙論に応用したものはいくつか考
えられている。例えば、宇宙そのものを time crystal
として扱うことで、cyclic universe を再現するモデル

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校である。その中でも、string theory が基となっている

ekpyrotic universe は特に考えられているモデルであとなる。
ab
今 回 は 、エ ネ ル ギ ー 運 動 量 テ ン ソ ル Tm=る。これは、Planck2015 の結果から一番単純なモデ

diag(ρm , pm , pm , pm ) の完全流体と結合した Einstein

ルとしても考えられている (Ijjas et al. 2016)。ただ

重力と Riemann cubic を考えていく。eﬀective La-

し、このモデルは null-energy condition (NEC) に反

grangian はしている。そこで、今回は Riemann cubic invariant

2 ȧ6
L = −6aȧ2 + λ 3 − V
5 aを用いて Einstein 重力を拡張し、time crystal を取(12)

り入れていくモデルを紹介する (Feng et al. 2018)。 であるので、Einstein 方程式は

3.1

3ȧ2
ȧ6
−
λ
= ρm
6
a2
a)
(
ȧ6
2ȧ4 ä2ä ȧ2+ 2 +λ
− 5
= −pm
6
a
a
a
a

Riemann cubic invariant

Riemann cubic invariant は、一般的に以下の 8 項をもつ形で表す。
(√
L(3) = −g e1 R3 + e2 RRµν Rµν + e3 Rνµ Rρν Rµρを得る。ここで、簡単のために、エネルギー密度 ρm はscale factor a(t) の関数とする。今回は ρm = V2a(a)3′と仮定し、状態方程式 p = wρ(w = − aV
3V ) から、+ e4 Rµν Rρσ Rµρνσ + e5 RRµνρσ Rµνρσ′)µν ρσ αβ+ e6 Rµν Rµαβγ Rναβγ + e7 RρσRαβ RµνV
pm = − 6a2 となることを用いた。また、負の運動エネ

ルギー項を評価するために、Hamiltonian constraintȧ6
H = −6aȧ2 + 2λ 3 + V = 0a(7)de Sitter または anti-de Sitter 時空において、これらは線形 massive scalar と spin-2 mode を生成す

λ > 0 のとき、Hamiltonian の重力パートȧ6
H0 = −6aȧ2 + 2λ 3
a

とで、

(15)

0
は最低値を決められる。 ∂H∂ ȧ より (15) の最小値は12e2 + 9e3 + 5e4 + 48e5 + 16e6 + 24e7 − 3e8 = 0

1
4a3
ȧ = ±λ− 4 a のとき H0min = − √λ(8)を得られる。今回は、FLRW metric

(9)
2

(14)

を課す。

る。ここで、 ghost-like spin-2 mode を分離するこ

ds2 = −dt2 + a(t)2 (dx21 + dx22 + dx23 )

(13)

(16)

となる。この最小値 H0min での Hamiltonian con-straint から3を用いる。eﬀective Lagrangian において、ä と ä4a3Ṽ (a) ≡ V (a) − √ = 0
λを無視することで、(17)を課す。ここで、解がない場合 (e.g. V = −3a3 , 負

216e1 + 60e2 + 18e3 + 16e4 + 48e5 + 14e6の宇宙定数) は、H0min にはならない。また、a = a0

+ 12e7 + 3e8 = 0

で解をもつ場合は、a0 に達するが ȧ ̸= 0 であるので

36e1 + 12e2 + 5e3 + 3e4 + 12e5

そこに止まることはできない。

+ 4e6 + 4e7 = 0 (10)z = ȧ2 とすると、(14) の解は正であり、それはが得られる。これらの条件より、eﬀective LagrangianṼ ≤ 0 のときのみである。まず、ビエタの解を用

は

いて

2 ȧ6
L(3) = λ 3
5 a
λ = 2(36e1 + 6e2 + e4 + 4e5 )2a2
1ȧ = √ cos
3
λ
2

(11)

(

[

]
)
a30 V (a)arccos 3− kπa V (a0 )k = ±1(18)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校という 2 つの正の解を得る (3 つ目は負の解なので、無視する)。これは a = a0 近傍で、
√
(
)
a20
2
2
ȧ = √
1+k(1 + w(a0 ))(a − a0 ) + · · ·
a0
λ
(19)
となる。NEC(w ≥ −1) を満たす物質は、a ≥ a0 であり、a = a0 で最小となる。それに加え、a = a0 で 図 3: A cyclic universe due to the time-crystal mech− 14ȧ±a0 の 2 つの真空を同時に持っている。そ anism (Feng et al. 2018)
0 = ±λして、それらはエネルギー縮退された状態であり、どちらかを選ぶと自動的に方向が定まるので、時間反真空が 2 つ同時に存在する。そして、片方が自発的転対称を破っているといえる。言い換えると、1 つに選ばれ、その点で bounce する。さらに、ある特の真空からもう 1 つの真空への tunneling において、 別な potential を仮定すると、 古典的には周期的に

ȧ2 は連続値のままだが、ȧ は速度のようなものなの

bounce する cyclic universe を再現する。あくまでで、負から正へ瞬間的に変わる。このことから、曲も、time crystal は時間並進対称性を破る物質である率 ä は δ 関数特異点をもつ。

ので、このモデルはそのような物質があったときのa = a0 が t = 0 で起こるとすると、小さい t で a(t) 宇宙の振る舞いを表しているにすぎない。したがっを解くことができる。bouncing するためには、て、今後は時空自体が離散的な時に宇宙にどのような影響を与えるのか考えていく。

ρext = 0
pext = 4kλ− 4

1

√
√
1
2λ− 4 (1 + w(a0 )) |t|δ(t)(20)

Referenceとなる。

a = A > a0 のとき、V = 0 ならば、a(t) は a = A K. Sacha & J. Zakrzewski, Rept. Prog. Phys.81 (2018)からなめらかに縮んでいき、a = a0 で bounce すno.1, 016401.

る。これが、cyclic universe を表している。例えば、 A. Shapere & F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 109 (2012)

V = 2Λ0 a3 + 6α2 a とする。ここで、Λ0 = − 3ℓ は負160402.

の宇宙定数であり、a = A = αℓ で V = 0 となる。 S. Carlip，Quantum Grav. 34 (2017) 193001.
( )λ = 0 において、 exact solution a = A sin ℓt が存 G. Calcagni, JHEP 1703 (2017) 138.
在する (図 3 点線)。また、λ ̸= 0 においては、図 3
実線のような振る舞いをし、√
1
3αℓλ 40 < a0 = √√ <A
2ℓ2 + 3 λ(21)

で bounce する cyclic universe を再現している。

H. Watanabe & M. Oshikawa Phys. Rev. Lett. 114(2015) 251603.
N.Y. Yao et al. Phys. Rev. Lett. 118 (2017) 030401.
J. Zhang et al. Nature 543 (2017) 217-220.
A. Ijjas et al. Class.Quant.Grav. 33 (2016) no.4, 044001.
X.-H. Feng et al. arXiv:1807.01720 [hep-th]

4Conclusion
今回は、量子重力理論から示唆されている時空の離散性から、時間並進対称性を自発的に破る time

crystal に着目して、宇宙論との関連性を紹介した。
Riemann cubic を考えると、エネルギー縮退された

——–index

c14
ダークマターの性質の制限:LSBG を用いたダークマター対消滅の探査
名古屋大学大学院 理学研究科
橋本大輝

2017 年度 第 47 回 天文・天体物理若手夏の学校

ダークマターの性質の制限：LSBG を用いたダークマター対消滅の探査
橋本 大輝 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙のごく初期に熱的に生成されたダークマター（代表例は Weakly Interacting Massive Particle）
は、その当時標準モデルの粒子と熱平衡状態にあったと考えられる。この時、ダークマターが対消滅して標準モデルの粒子が生成されるような反応過程が存在することが期待される。それに伴い、ガンマ線が生成されることが予測されており、このガンマ線放射を探査することがダークマターの性質の解明に繋がる。これまでの研究では、銀河系中心方向や銀河系近傍の矮小銀河をターゲッ
トにして対消滅ガンマ線シグナルの研究が行われており、ダークマター対消滅に関連する性質（とりわけ対消滅断面積）が制限されてきた。本研究では、Low Surface Brightness Galaxy (LSBG)に着目し、同様の研究を行う。LSBG を扱う利点は、通常の銀河（銀河系規模 ）に比べダークマ
ターにより支配された系であること、天体由来のガンマ線が比較的少ないと期待されることが挙げられる。本研究では、Subaru Hyper Suprime-Cam の観測データから構築された LSBG カタ
ログに収録されている 8 個の LSBG を用いている。この 8 個の LSBG について、ダークマター
対消滅ガンマ線のフラックスをモデリングし、ガンマ線観測と比較することで、10 GeV の質量のダークマターについて対消滅断面積に ∼ 10−23 [cm3 /s] の制限を与えた。この制限は現在銀河系近傍の矮小銀河によって与えられている制限よりも 103 倍程度弱い制限となるが、将来観測では LSBG の観測数が爆発的に大きくなることが期待され、矮小銀河などの他の天体を用いた制限よりも強い制限を与えることができる。

導入

接影響を及ぼすため、DM を WIMP と仮定することで ⟨σv⟩ を見積もることができ、⟨σv⟩ ∼近年の天文学の発達により、宇宙のエネルギー 3 × 10−26 [cm3 /s] となっている [4]。
密度の ∼ 25%程度をダークマター (DM) が担
WIMP の対消滅過程において、最終的にガンっていることが判明してきた [1]。同時にその正 マ線が放出されることが期待でき、観測される体の解明に向けた研究が宇宙物理学、素粒子物 宇宙ガンマ線を解析することで対消滅由来のガ
理学の両面で盛んに行われてきたが、未だにそ ンマ線シグナルを探査することができる。DMの正体は不明である。これまでの研究により、 由来のガンマ線放射源として、宇宙の高密度領
ダークマターの候補として、Weakly Interacting 域である銀河や銀河団等がこのようなシグナル
Massive Particle (WIMP) が理論的に最もモチ を探査するターゲットとなる。近年の研究では、ベートされた有力な候補として探査されている ターゲットとして銀河系中心や近傍矮小銀河の[2]。WIMP は初期宇宙において熱的に生成され ほか、近傍銀河団あるいは銀河群を用いた研究
たと考えられている。このとき、WIMP は標準 が行われてきた [5, 6, 7]。
模型の粒子と熱平衡状態にあり、従って WIMP
本研究では、DM 対消滅シグナルを探査するが対消滅し標準模型の粒子が生成されるような 上で将来有望なターゲットとして、Low Surface
反応過程が存在する [3]。それらの対消滅過程に Brightness Galaxy (LSBG) を提案し、その将来対する反応断面積 ⟨σv⟩ は WIMP の存在量に直12017 年度 第 47 回 天文・天体物理若手夏の学校
性を探索する。LSBG は近年の観測技術の向上 点源放射モデル及び等方放射モデルを観測されにより、銀河系近傍において爆発的に見つかる たガンマ線フラックスに最適化する。それぞれようになってきた天体である。銀河系等の通常の の放射モデルについては Fermi LAT の公式ホー銀河よりも超新星残骸やパルサー等の天体に由 ムページで公開されているテンプレートを基に来するガンマ線放射が少なく、矮小銀河よりも 1 している。その後観測データからこれらモデル
桁程度質量が大きいため、DM の対消滅シグナ フラックスを差し引き、背景ガンマ線マップをルを探査する上で好条件を満たしている天体と 得る。
言える。本研究では、Subaru Hyper SuprimeCam (HSC) の観測データを下に [8] により作成
ダークマター対消滅によるガンされた LSBG カタログ (HSC LSBG カタログ) 3を用いる。また、ガンマ線データは Fermi Large
マ線放射モデル
Area Telescope (LAT)
ここでは DM 対消滅によって生じるガンマ線
本稿は以下で構成される。まず第 2 章で HSC
フラックスの理論モデルを扱う。LSBG 中の DM
LSBG カタログと Fermi LAT のデータを説明す
対消滅によるガンマ線フラックス Φγ はる。第 3 章で DM 対消滅由来のガンマ線放射モ
デルを導出し、第 4 章で解析方法の具体とそのdΦγ⟨σv⟩ ∑
dNi
=
J
×
Bri ′
(1)
2
結果を述べる。最後に第 5 章で結論をまとめる。 dEγ
8πmχ
dEγ ′
i
Eγ =(1+z)Eγ
なお、本研究の詳細は [9] を参照のこと。
と
表
さ
れ
る（
単
位
は
2
[photon count/cm /s/MeV]）。ここで ⟨σv⟩ は
2 データ
DM の対消滅断面積と相対速度の統計平均、
Eγ , Eγ′ はそれぞれ観測される、あるいは放出
本章では、HSC LSBG カタログと Fermi LATされるガンマ線のエネルギー、mχ はダークマの観測データについて簡単にまとめる。
ターの質量、Bri は全対消滅過程における i 番
まず HSC LSBG カタログについて述べる。こ目の対消滅過程の割合、z は LSBG の赤方偏のカタログは、HSC の初回データ更新 (S16A、∼移を表す。また、dN/dEγ は対消滅によって生200 [deg2 ]) を元に [8] により作成された。収録天じるガンマ線のエネルギースペクトル、J は J
体は約 800 天体で平均表面輝度 µmean は µmean >ファクターと呼ばれるハローの質量や物質分布24.3 [mag/arcsec2 ] である。これらの天体中で分により決定される量である。以下で述べるよう
光同定や Ia 型超新星の観測等によって赤方偏移に、この J ファクターにはターゲット天体の天が測定されている天体は 8 天体のみである。本
文学的な性質が全て含まれている。一方で式研究における解析では、天体の赤方偏移が不可(1)中の dN/dEγ 等の J 以外の因子は素粒子物欠であるため、本研究ではこれら 8 天体のみを理学的なパラメータである。
用いる。
まず J ファクターについて扱う。J ファクター
宇宙ガンマ線の観測データは、Fermi LAT にはハロー中の DM の密度分布の 2 乗を天球上による 500 [MeV] < E < 500 [GeV] の約 8 年間の射影した量であり、観測データを使用する。本研究では、それぞれ∫∫′の LSBG を中心とする 10◦ × 10◦ の領域を扱う。 J = [1 + b (MdsdΩ′ ρ2DM (s′ , Ω′ )shhalo )]
sΩ
本研究の解析では背景ガンマ線マップを用いる。
(2)
このマップは以下の手順によって観測データかと表される量である。s は視線方向ベクトル、Ω
ら作成される。まず、銀河系前景放射モデルとは天球上でのハローの広がりを表す立体角、ρDM

2017 年度 第 47 回 天文・天体物理若手夏の学校
はハローのダークマターの密度分布、Mhalo はハロー質量である。また、bsh はブーストファク
ターと呼ばれるハロー内部における質量分布の内部構造による影響を表した量である。bsh に関する研究は数多く行われているが、近年の研究 [10] より本研究では bsh = 1 とした。本研究ではダークマターの密度場 ρDM として標準的
ρs
な NFW 分布 ρDM =2 を仮定
rc/rvir ((rc/rvir )+1)

ID
171
285
456
464
575
613
729
750

log10 (M∗ )
9.3
7.6
9.1
9.1
7.4
9.3
9.3
7.6

log10 (Mhalo )
11.1
10.4
11.1
11.0
10.3
10.7
10.7
10.4

log10 (J)
14.4
15.7
14.8
14.8
15.5
14.6
14.8
15.4

する。ρvir はビリアル半径、c は中心集中度である。また、ハロー中心から rvir までの距離にある物質の質量が Mhalo に等しいとすると、ρs = 表 1: LSBG の質量 (単位は [M⊙ ]) と J ファク]−1[
ター (単位は [GeV2 /cm3 ])。左から順に LSBG
Mhalo
c
log(1
+
c)
−
であり、これは球対
3
1+c
4πrs
の ID、星質量、ハロー質量、J ファクターであ称崩壊モデルの下で、球対称密度揺らぎパラメー
3 = Mhalo と表せる。ここで る。それぞれのパラメータは統計誤差を評価しタ ∆ を用いて rvir
4π∆ρc,z3
た上でその中央値を表示している。
ρc,z は赤方偏移 z での宇宙の臨界密度で、ρc,z ∼1.9 × 10−29 × (1 + z)h2 [g/cm3 ] である。本研究ない。また、ガンマ線のエネルギースペクトルでは、∆ = 200 として計算する。これらを用い
dNγ /dEγ については、DarkSUSY[11] を用いて計ることで、算されたパラメータを用いている。本研究では、∫
Mbb̄ チャンネルのみを考慮する。
halo∆ρc,z c3 ×dV ρ2DM =
9
V
)−2 (
)
(
1
c
1−
(3)
log(1 + c) −4 結果
1+c
(1 + c)3を得る。ここで Fermi-LAT の PSF（分解能）は
全エネルギー領域で PSF ≳ 0.1◦ である。一方
で LSBG の視直径 θs は、θs ∼ rs /d から θs ≲0.01◦ 程度と見積もられる。したがって、LSBG
は Fermi-LAT に点源として観測される。これをJ ファクターの計算に反映すると、式 (2) は式 (3)を用いて、∫J ≈ [1 + bsh (Mhalo )]dV ρ2DM (x)/d2A (4)

図 1 に 8 個の LSBG を用いた DM 対消滅断面積の上限値を示す。この制限は従来近傍矮小銀河等から得られている制限よりも 103 程度弱
い制限であるが、図 2 に示したように、将来観測によって少なくとも 103 程度強くなることが期待される。この将来予測では、本研究で用いた LSBG の J ファクターが LSBG の典型的な J
ファクターであると仮定したが、今後 LSST 等
でより深い等級まで探査できるようになった場
V合、より近傍の LSBG が見つかる可能性が大きを表される。ここで dA は角度距離である。本研
いと期待され、それによって図 2 に示した制限
究で用いる LSBG の J ファクターを星質量、ハよりも厳しい制限が与えられると期待される。
ロー質量と共に表 3 に示す。中心集中度の誤差は 1σ で ∆ log10 c = 0.1 のガウス分布のガウス分布を仮定する。Mhalo の誤差を考慮すると、J Reference
ファクターの 1σ の統計誤差は 70% である。ただし、赤方偏移の誤差は他のパラメータの誤差 [1] Planck Collaboration et al. arXiv e-prints,
art. arXiv:1807.06209, Jul 2018.
に対して十分に小さいので、本解析では考慮し2017 年度 第 47 回 天文・天体物理若手夏の学校
individual
joint analysis
other models
9̄⟨ containment

10−19

10−22

⟨σv⟩ [cm3⟩s]⟨σv⟩ [cm3⟨s]

10−20This WorkHSC S16⟩ full
HSC com lete
LSST

10−21

10−23

10−21

10−24

10−22

10−25

10−23
101

102
DM mass [GeV]

103

bb̄

10−26

101

102

DM mass [GeV]103

図 1: 8 個の LSBG を用いた bb̄ 過程における対 図 2: 将来観測による対消滅断面積の 95%信
消滅断面積の 95%信頼度による上限値。実線は 頼度における上限値の予測。実線は本研究によ8 個の LSBG を組み合わせた解析による上限値 る上限値で、“HSC S16A full” は現在 HSC のであり、灰色の点線は個々の LSBG における上 S16A データを元に作成された LSBG カタログ限値である。緑色の帯は各天体の J ファクターの を完全に解析に導入できた場合の予測上限値で統計誤差を 95%でカバーする範囲である。また、 ある。また、“HSC complete”、“LSST” はそれ“other models” とラベルされた点線は異なった ぞれ HSC、LSST の観測範囲における LSBG の銀河系前景放射モデルを用いた場合の実線に対 密度を現在の LSBG カタログが持つ天体密度
応し、前景放射モデルの系統誤差を表す。
と同程度であると仮定した際の予測上限値である。これらはそれぞれ、独立な LSBG が約 600[2] L. Roszkowski, E. M. Sessolo, S. Tro- 個、約 9000 個であるとした場合に対応する。まjanowski.
Reports on Progress in た、黒垂線は現在の DM 存在量を説明するため
Physics, 81(6):066201, Jun 2018. doi: に WIMP に要求される対消滅断面積（⟨σv⟩ =10.1088/1361-6633/aab913.
3 × 10−26 [cm3 /s]）である。

[3] G. Jungman, M. Kamionkowski, K. Griest. Phys. Rep., 267:195–373, Mar 1996.
doi: 10.1016/0370-1573(95)00058-5.

[8] J. P. Greco et al. ApJ, 857:104, April 2018.
doi: 10.3847/1538-4357/aab842.

[9] D. Hashimoto et al. arXiv e-prints, art.
[4] G. Steigman, B. Dasgupta, J. F. Beacom.
arXiv:1906.06701, Jun 2019.
Phys. Rev. D, 86(2):023506, Jul 2012. doi:
10.1103/PhysRevD.86.023506.
[10] N. Hiroshima, S. Ando, T. Ishiyama.
Phys. Rev. D, 97(12):123002, June 2018.
[5] M. Ackermann et al. ApJ, 840(1):43, May
doi: 10.1103/PhysRevD.97.123002.
2017. doi: 10.3847/1538-4357/aa6cab.
[6] K. K. Boddy et al. Phys. Rev. D, 97(9):095031, May 2018. doi: 10.1103/PhysRevD.97.095031.
[7] M. Lisanti et al. Phys. Rev. Lett., 120:
101101, Mar 2018. doi: 10.1103/PhysRevLett.120.101101.

[11] T. Bringmann et al. Journal of Cosmology and Astro-Particle Physics, 2018(7):033, Jul 2018. doi: 10.1088/14757516/2018/07/033.

——–index

c15
右巻きニュートリノの重力的生成によるバリオン数と暗黒物質の生成
東京大学大学院 理学系研究科
羽柴 聡一朗2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

右巻きニュートリノの重力的生成によるバリオン数と暗黒物質の生成
羽柴 聡一朗 (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
バリオン数と暗黒物質の生成は現代の宇宙論に残された大きな課題の一つである。いずれも素粒子理論の標準模型の範疇では説明することができず、標準模型を超えた模型の存在を示唆している。可能性の一つとして、右巻きニュートリノを導入することでこれらの問題を解決し得ることが知られている。しかし、現実の宇宙に於いてバリオン数と暗黒物質の生成を説明するには、素粒子理論の模型という「中身」についての議論だけではなく、宇宙の時空構造という「入れ物」についても目を向けねばならない。そこで我々は、3 世
代の右巻きニュートリノをクインテッセンシャル・インフレーション模型と組み合わせることで、バリオン数と暗黒物質の生成のみならず、暗黒エネルギーをも包括する模型を構築した。この発表では、クインテッ
センシャル・インフレーションがどう暗黒エネルギーを実現するか、右巻きニュートリノがどのように生成するか、生成した右巻きニュートリノがどのようにバリオン数と暗黒物質を生成するか、既存の観測結果によって理論のパラメータにどのような制限が掛かるかについて触れる。

1

Introduction

2

Quintessential Inflation

地平線問題、平坦性問題といった宇宙の時空構造

QI は、初期宇宙のインフレーションと、現在の宇宙についての根本的な問題は、インフレーション理論の加速膨張を同じスカラー場（インフラトン場）によによって簡潔に説明されている。その一方、バリオ って説明しようという理論である (Peebles & Vilenkin
ン非対称、暗黒物質、暗黒エネルギーといった宇宙の1999)。ポテンシャルエネルギー V (φ) を有した一様
構成物についての問題は未だに未解決のままである。 等方なインフラトン場 φ が宇宙全体に満ちている状
どれか一つを個別に説明する理論は幾つか知られて態を考えてみる。この時、φ のエネルギー密度 ρ といるが、現実の宇宙では当然のことながらこれら全圧力 p はそれぞれてが包括的に解決されていなければならない。そこ
で我々はクインテッセンシャル・インフレーション（Quintessenstial Inflation、以下 QI）1 に 3 世代の右巻きニュートリノを導入することで、これらの問題を包括的に解決する模型を構築した。
この集録では、第 2 章で QI の仕組みについて、第3 章で QI 後に於ける粒子生成について、第 4 章で各世代の右巻きニュートリノの働き、及び各種パラメータへの制限について触れる。より詳細な内容については Hashiba & Yokoyama (2019b) を参照され
たい。

ρ=

1 2
φ̇ + V (φ),
2

p=

1 2
φ̇ − V (φ)2(1)となるので、φ̇2 ≪ V (φ) という条件（スローロール
条件）2 が満たされれば p ≈ −ρ となって加速膨張が実現することが分かる。ここで、図 1 のように台地→ 急坂 → 平地というような形のポテンシャルを考えてみよう。（台地と平地も僅かに傾いている。）φが台地上に居る時はスローロール・インフレーショ
ンが実現し、急坂に差し掛かるとスローロール条件
が破れて φ の運動エネルギーが優勢となってインフレーションが終了する。このような運動エネルギー
優勢の状態をカイネーション（kination）と呼ぶ。φは平地に達した後も転がり続けるが、ハッブルパラ

1 ”quintessence”とは「第五の元素」という意味であり、暗黒エネルギーを説明するスカラー場を指す。この単語はアリストテ
レスの四元素論に由来しており、「世界に満ちる、人智を超えた天界の物質」という意味合いがある。

メータ H による摩擦力 3H φ̇ で減速していくため、
2 正確にはスローロール変数によって書かれるが、ここでは細かいことは気にしない。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校は Ψ のディラック随伴、Ψ̄ ≡ a3/2 ψ である。式 (2)𝑉 𝜑の Ψ̄ についての変分を取ると、FLRW 計量でのディ

スローロール・インフレーション

ラック方程式$𝜑̇ ≪ 𝑉 𝜑(−iγ µ ∂µ + am) Ψ = 0

インフレーション終了

𝜑̇ $ ≳ 𝑉 𝜑(3)を得る。式 (3) はスピノルモード関数 uA,B (k, η) を用いてモード展開すると
(
) (
uA
am
i∂η
=
uB
k

宇宙膨張の再加速$𝜑̇ ≪ 𝑉 𝜑𝜑図 1: QI に於けるポテンシャルのイメージ。
スケール因子 a に対して φ̇2 は a−6 で、輻射と物質のエネルギーはそれぞれ a−4 と a−3 で減少するのに対し、V (φ) はそれより遥かに遅い (ln a)−β (β > 0)

−am

uA

)
(4)

uB

となり、ここから更にユニタリー変換によって混合項を分離すると
(
) (
ũA
ωeﬀ
i∂η
=
ũB
0
(

+

でしか減らない。長い時を経て輻射と物質が十分に薄まると V (φ) が再び宇宙を支配し、宇宙膨張の再

)(

0
−ωeﬀ
0

ũA

)

ũB
)(
amHk
2
2ωeff

− amHk
2ω 2

0

ũA

)

ũB

eff

(5)

加速が始まるのである。
ここで、ωeﬀ ≡

3

)(

k

√

k 2 + a2 m2 である。膨張則の変化（右辺第 2 項）によって ũA と ũB が混合し、元々ũA

Gravitational Particle Pro- 成分しか無かった真空状態から次第にずれてくることが分かる。我々は断熱真空
duction(

第 2 章で触れた通り、QI では一般的にインフラ

ũA

トン場のポテンシャルに極小点が存在しないため、

ũB

インフラトン場がインフレーション後にコヒーレン
トな振動をして崩壊していくという再加熱過程のモデル (Dolgov & Linde 1982) は用いることができない。その為、ここでは重力的粒子生成（Gravitational

Particle Production）と呼ばれる機構を用いることにする。これは、宇宙の膨張則が変化するのに伴って真空状態（基底状態）の定義が変わることによって粒子が生成するという機構である (Parker 1969)。
但し、この機構は粒子が共形対称性を破っている必要があり、質量項か、スカラー曲率 R との非共形結合を有していなければならない。

FLRW 計量の下で、質量 m を有するディラック場

(

=

1
0

)

e−i

∫

ωeff dt(6)を初期状態として、QI の導くスケール因子の下で運動方程式 (5) を数値的に解くことで、重力的に生成するフェルミオンの量を計算した。QI 後の重力的粒子生成の効率を決めるのは、粒子の質量 m、インフレーション時のハッブルパラメータ Hinf 、それにインフレーションからカイネーションへと遷移するのに要する時間 ∆t の 3 つであることが Hashiba &Yokoyama (2019a) に於いて分かっていた為、この 3
つに焦点を当てて計算した。その結果、重力的に生成したフェルミオンは k ∼ m なる運動量にピークを持ち、そのエネルギー密度を与える近似式として2
ρ ≃ 2 × 10−3 e−4m∆t m2 Hinf

ψ のラグランジアンはLΨ = iΨ̄γ µ ∂µ Ψ − amΨ̄Ψ

)

(7)

−1
(2) を得た（図 2）。殆どのモデルに於いて ∆t ≈ Hinf
でと書かれる。ここで、γ µ はガンマ行列、Ψ ≡ Ψ† γ 0−1
ある為、これ以降は ∆t = Hinfとする。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校も効率的に生成する為、M3 ∼ Hinf なる N3 が最も10-3大量に生成し、それ故に再加熱過程で生じるエネル

ρ/Hinf 4

10-4

ギーの大半を担うことになる。式 (7), (9) より、再加
熱温度 TRH は以下のようになる。

10-5

(∑

α |h̃3α |10−12

TRH ≃6 × 10

7

10-6

(
0.1

0.5

1

5

×

10

m/Hinf

M3
1013 GeV2)−1/4
e−3M3 ∆t

)5/4 (

Hinf
1013 GeV

)3/4
GeV
(11)

図 2: 重力的に生成するフェルミオンのエネルギー密度。赤点は数値計算の結果、緑線はその近似曲線を−1表す。このグラフに於いては ∆t = 0.3Hinfである。

4

ここで、Hinf ≃ 1013 GeV とした。

N3 に対する制限としては、原始重力波の抑制がある。重力子もまた共形対称性を破っている粒子である為重力的に生成するが、これは CMB スペクトル

Right-handed Neutrinos

やビッグバン原子核合成に影響を及ぼす。これを防ぐ

質量 Mi を持った 3 世代の右巻きニュートリノ

Ni (i = 1, 2, 3) のラグランジアンとして、次のよには重力子のエネルギー密度が十分薄まるまで待ってから N3 が輻射へと崩壊する必要があり、うなものを考える。

∑

LN = Mi N̄ic Ni + hiα Ni Lα ϕ†(8)

ここで、Lα , ϕ, hiα はそれぞれ左巻きレプトンの二重|h̃3α |2 < 8.5 × 10−11

(12)

α

なる制限を N3 の湯川結合に課すことになる。

項、ヒッグス二重項、湯川結合を表す。この時、Ni
は

Γi =

1 ∑
|h̃iα |2 Mi
4π α

4.2

N2 for Baryogenesis(9)
次に、中間の質量を持つ N2 についてである。Ni 間なる崩壊率で標準模型の素粒子へと崩壊していき、 に干渉が存在すると 1 ループ補正から正味のレプト
ン数が生じ、そこからスファレロンの効果によってバ
シーソー機構によって

リオン数が生成されることが知られている (Fukugita
0.05 eV (α = 3)
∑ ( )2 v 2& Yanagida 1986)。計算の詳細は紙面の都合上省く
h̃iα= mνα ∼
0.01 eV (α = 2)2Mii
が、現在観測されているバリオン数 nB /s = (8.65 ±(10) 0.06) × 10−11 を実現するには、h̃iα , Mi の間になる形で左巻きニュートリノの質量 mνα を与える。
ここで、h̃iα はニュートリノの質量行列を対角化する

MNS 行列 Uiα によってユニタリー変換された湯川結

Im

[(∑

h̃3α h̃∗2α)2 ]∼ 10−16

α

M3
M2

(13)

合 h̃ ≡ hU ∗ であり、v ≈ 246 GeV はヒッグス場のなる関係が成り立っていなければならないことが分

現在の真空期待値である。なお、これ以降は M1 ≪かった。h̃3α には式 (12) なる上限が課されている為、M2 ≪ M3 なる階層性を持った質量を考える。

4.1

N3 for Reheating

まず、最も重い N3 の働きについてである。式 (7)から分かる通り、m ≃ Hinf (= ∆t−1 ) なる粒子が最h̃22 or h̃23 ≳ 10−3√

M3 /M2(14)という条件が式 (13) から得られた。これを式 (10) と合わせると M2 ≳ 1011 GeV なる制限が得られる。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

4.3

フェルミオンの波動関数のゼロモードだと考えると、

N1 for Dark Matter

最後に、最も軽い N1 についてである。式 (9) より、

N1 が安定した暗黒物質となるには M1 が非常に小さい値を取っている必要がある。Perez et al. (2017) よると M1 ≃ 10 keV なる質量に対する制限が最も緩く、∑|h̃1α | < 10
2

−26

(15)

バルクを通っている間に質量や湯川結合といったパラメータが指数的に薄まることになる。その為、5 次
元時空に於ける種々のパラメータの差が、我々の 4 次
元ブレーン上では指数的に増幅されて見えるのである。具体的には、Kusenko et al. (2010) で採用されている設定を用いると、表 1 のようにファインチュー
ニングを緩和できる。（l は 2 枚のブレーン間の距離αとなる。これは式 (10) による制限よりも遥かに強い。 を表す。）より根源的な 5 次元の理論としては、標準模型と同等かそれ以下のチューニングに収められる
しかし、式 (7) から分かる通り、質量の小さい N
1はそのままでは殆ど生成せず、現在の暗黒物質の存のである。

在量を説明できない。そこで、我々は N1 に対して

表 1: ブレーンワールドによるチューニングの緩和
4D ブレーンでの値 5D バルクでの値「非共形結合」 Rµ ψ̄ψ を導入した。ここで、µ は質量次元 1 を持つ定数である。この項はインフレーショ

M3 ∼ 1013 GeV

m3 ∼ 2.3l−12/µ なる有効質量として働き、重力的に生ン中 12Hinf
5/µ2 にま成する N1 の数密度が n ≃ 1.1 × 10−1 Hinf

M1 ∼ 10 keV

m1 ∼ 24l−1h̃3α < 3 × 10

λ3α < 3 × 10−4で増幅されることが数値計算によって確かめられた。

h̃1α < 10−13

λ1α < 10−2−6

これより、現在観測されている暗黒物質の存在量を実現するには µ ∼ 1015 GeV であれば良いことが分かった。µ は何らかのカットオフスケールと考えられる為、Hinf 以上プランクスケール以下であることは非常に自然である。

Acknowledgement
指導してくださった横山順一教授、ご意見ご指摘をくださった研究室の方々に深く感謝いたします。また、発表者はフォトンサイエンス・リーディング大5Discussion
以上より、M1 ∼ 10 keV, M2 ∼ 1011 GeV, M3 ∼1013 GeV なる質量と、式 (12), (14), (15) で表される制限を満たすような湯川結合を有する 3 世代の右巻きニュートリノ Ni を QI に導入すれば、バリオン
非対称、暗黒物質、暗黒エネルギーを包括的に説明できることが示された。
しかし、M1 と M3 の間に存在する 18 桁もの質量学院（ALPS）からの支援を受けています。

Reference
Dolgov, A. D. & Linde, A. D. 1982, Phys. Lett. 116B,
329.
Fukugita, M. & Yanagida, T. 1986, Phys. Lett. B 174,
45.
Hashiba, S. & Yokoyama, J. 2019, JCAP 1901, 028.

格差や、h̃1α に対する制限 (15) などは不自然なファ Hashiba, S. & Yokoyama, J. 2019, arXiv:1905.12423
インチューニングのように見える。このような質量や湯川結合に対する階層性を自然に実現する機構としては、RS ブレーンワールド (Randall & Sundrum[hep-ph].

Kusenko, A., Takahashi, F & Yanagida, T. 2010, Phys.
Lett. B 693, 144.
Parker, L. 1969, Phys. Rev. 183, 1057.

1999) が知られている。これは、我々の宇宙が 5 次元のバルク（bulk）に浮かぶ 4 次元のブレーン（brane） Peebles, P. J. E. & Vilenkin, A. 1999, Phys. Rev. D 59,であると考える理論である。重力子を除く標準模型の063505.

粒子は我々の住むブレーンに固定されているが、Ni

Perez, K. et al. 2017, Phys. Rev. D 95 no.12, 123002.

は我々とは違うブレーンから染み出してきた 5 次元

Randall, L. & Sundrum, R. 1999, Phys. Rev. Lett. 83,
3370.

——–index

c16
Constraints on asteroid-mass primordial
black holes (PBHs) as dark mattercandidates
東京大学大学院 理学系研究科
Qiu Tian2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

Constraints on asteroid-mass primordial black holes (PBHs) as
dark matter candidates
Qiu Tian (東京大学大学院 理学系研究科)

Abstract
Primordial Black Holes (PBHs) have received increasing attention recently, including claims that blackhole binaries for LIGO gravitational wave might be originated from PBHs. PBHs are a viable candidateof cold dark matter that does not require to introduce any new elementary particles beyond the Standard
Model (SM). So far, various observations have been used to put constraints on the abundance of PBHs
over a wide range of the mass scales. Here I would like to review constraints on PBHs of asteroid-massscales in the range 3.5 × 10− 17 < MPBH /M⊙ < 4 × 10− 12 following the recent paper by MonteroCamacho et al. We focused on three phenomena: (1) optical microlensing, considering the ﬁnite source
size and diﬀractive eﬀects, they discuss the scaling relations between the event rate, mPBH and the event
duration. (2) Dynamical capture of PBHs in stars, a capture rate based on the phase space arguments
has been derived. The disruption of stars by captured PBHs is supposed to be happened, in which
process we can constrain the asteroid-mass PBHs. (3) Destruction of white dwarfs by PBHs. When the
PBHs pass through the white dwarfs but do not get captured, they can ignites carbon fusion on the
WDs. In summary, the window is still open in the sense that all dark matter is made up by such tiny
PBHs.

1

Introduction
In current ΛCDM model, almost 26% of the to-tal energy density is made of dark matter (DM) in
the Universe. The evidence of DM existence has
been observed directly via the gravitational lensing: the strong lensing by massive galaxy clusters,
the weak lensing of galaxies by galaxies and largescale structure and the CMB lensing. There areseveral advantages regarding PBHs as a candidateof DM. First, PBHs do not invoke any new elementary particles. Second is that PBHs’ properties canGenerally those constraints are plotted in the(mPBH , fPBH ) plane, where fPBH = ΩPBH /ΩDM is
the fraction of the dark matter in PBHs.
Besides, there is also an asteroid-mass window
for PBH as dark matter, where the mass is too
small for current optical microlensing surveys (≤4 × 10−12 M⊙ ) but too large for constraints from
Hawking radiation (≥ 5 × 10−17 M⊙ ). Here they
will revisit the constraints in PBHs mass and correct or strengthen them such as femtolensing andpicolensing of GRBs; microlensing of stars in M31;
the dynamical capture of PBHs by stars including

be simply determined by theirs mass mPBH and spin

neutron stars and white dwalfs; and WD survivala⋆,PBH . There is no need to add any other param-

from the passing PBHs’ ignition of carbon fusion.

eters to interact with the visible matter. Third isthat the PBHs can be bounded at both high-mass

Gamma ray bursts (GRBs) donate a great toasteroid-mass constraints since of their cosmologicaland low-mass ends.
distance (hence large lensing probability) and short
There are several constraints of PBHs on variwavelength of electromagnetic radiation (hence theous mass range from stellar-mass PBHs to 0.01M⊙ .
Einstein radius can exceed the Fresnel radius even

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
for low-mass lenses).

However, it is not clear

here, and show some computed event rate in Figure

whether fPBH = 1 would be excluded for any value 1. RS = 0 for point sources in the left column.
of mPBH . So there is no range excluded of mPBH
from GRBs.

They also consider the diﬀractive eﬀects towards
M31 (right column in Figure 1). The diﬀraction

Here we concentrate on the non-GRB constraints limits severely limits the ability for the M31 toon the asteroid-mass PBH window.

probe the low masses.
And neglecting the details here, we get last approximation rate from Eq.1.

2

Optical microlensing
Optical microlensing is the principal tool to con-strain dark compact objects in the planetary to stellar mass range. The early searches such as EROS
observations has ruled out the possibility that PBHs
make up all of the dark matter for those mass range
from 7 × 10−8 to 15 M⊙ and MACHO observations
has ruled out the 0.3-30 M⊙ window.
There are challenges constraining the lower
masses since the ﬁnite sizes of the source stars become important and the event durations becomeΓ≈8ρDM (DOL,max )m4PBH RS4 DOS
15m5PBH,crit
σ 2 t3min(2)Then (1) the rate is steeply falling with more stringent duration cuts, Γ ∝ t−3
min . (2)The rate is steeply
4rising with PBH mass, Γ ∝ PPBH
. (3) the rate is

steeply falling with source radius, Γ ∝ RS−6 . And(4) the rate scales with (Amin −1)−5 for small Amin(due to mPBH,crit scaling, which is not shown here).
The curves in Figure 1 are consistent with the expectation.

very short even if the source is pointlike. There are
two approaches, one is to accept the ﬁnite source
size eﬀects and try to get a high precision photometry, which has been done by Kepler ruling out themass range from 2 × 10−9 to 10−7 M⊙ . The otheris to use high-cadence observations of sources thatare much farther away such as those in M31.
The HSC observations of M31 has constrained the
PBHs mass upper bounds down to 4 × 10−12 M⊙ ,with the reach of the search at low mPBH set by theﬁnite source size eﬀects and diﬀraction eﬀects.
The microlensing event rate per star assuming all
dark matter is in black holes of mass mPBH isdΓ =2ρDM (DOL )v⊥ P (v⊥ |DOL )dDOL dbdv⊥ (1)mPBH

where v⊥ is the transverse velocity of the lensrelative to the observer-source line, DOL is theobserver-lens distance and P (v⊥ |DOL ) is the conditional probability distribution for the transverse Figure 1: (Montero et al. 2019) Comparisons of difvelocity. b is the impact parameter and they con- ferent microlensing event rates. The color: magenta
sider the maximum of b is zero if an event would notfor 10−9 M⊙ , blue for 10−10 , red for 10−11 , orange

be detected. I cut out the details of the calculationfor 10−12 , purple for 10−13 .

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According to the rates in Figure 1, a search for of stars by PBHs is 3-4 orders of magnitude less7 hours will not be sensitive to such low masses.

than supernovae, which means the expected obser-

They conclude that M31 microlensing technique isvational signature has beyond our model.

unlikely to probe to ≪ 10

−12

M⊙ .

4
3

White dwarf survival

Dynamical capture of PBHs
They treat the problem of PBHs transit throughin starsa carbon/oxygen white dwarf and consider the posAnother potential constraints comes from stars

capturing a PBH by dynamical friction which may
destroy the star. The star may be eaten by accretion onto the black hole, or possibly feedback fromsuch accretion might disrupt it. Though they argue that survival of stars does not constrain PBHs,
some stellar destruction events should occur. They
estimate their rate and argue that modeling themis a promising method to constrain asteroid-mass
PBHs.
The problem of PBH capture is a multi-step process. First the PBH passes through the star, loses
energy by dynamical friction, and then is captured
onto a long elliptical orbit. The PBH continues losing energy and lowering its apoastron. Finally the
PBH settles to the star’s center. I skip the mathematical detail of such a process and also the postcapture dynamics here.
There are two constraints on PBHs arising from
capture in stars: (1) constraint arising from stellar survival which means that observation of a star
implies that it has not captured a PBH or the captured PBH has not eat the star; (2) constraint arising from the directly observable signatures of a star
being eaten by a captured PBH.
Considering ﬁrst situation, the numerical estimate shows that there is only a tiny fraction of stars
would have captured a PBH, even if PBHs make up
all of the dark matter. They conclude that the survival of stars over a cosmological timescale does not
rule out any mass range of PBHs as a componentof dark matter.
The second one also implies that the destruction

sibility of ignition the carbon by the passage of a
PBH and the ignition provoking a runaway explosion. There are two ways to constrain PBHs. One
constrains the abundance of PBHs by observationof WD in a certain mass range. The other looks
for the rate of Type Ia supernova since the passage
of PBH could explode WD with masses lower thanthe Chandrasekhar mass. But the second one is notclear, we only talk about the ﬁrst constraint.
I also skip the mathematical derivation of the velocity and density proﬁles and then the minimum
PBH mass for ignition at each situation, ﬁnallythe rate of collisions assuming the PBH will passthrough the WD, reach a minimum radius and thenleave the star.
In Figure 2, it shows the minimum required PBH
mass for runaway explosion produced by dynamical friction from the passage of a PBH through a
WD of a given total mass. The mass shell m(r)where we attempt ignition is considered to get thesmallest minimum PBH mass. And they show alower curve with label ”no KH” which stands for
ignoring the Kelvin-Helmholtz instability while theupper one requiring the burning time shorter thanthe KH instability time.
In Figure 3, they show the range of parameter space where ignition can occur. For each WD
range, they consider both requiring and not requiring τburn < τKH . And for T ≥ 1.4 × 1010 K, carbon
dissociation occurs, in which we can not determine
if the ignition occurs.
To constrain the fraction of PBHs, they calculate

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
M PBH.

Figure 2: (Montero et al. 2019) The minimum PBH
mass needed to achieve runaway for speciﬁc WD
total mass. The green line shows the model without
considering convection losses by KH instabilities

Figure 4: (Montero et al. 2019) The relationshipbetween rate and the PBH mass to cause ignition

5

Conclusion
After revisiting the constraints on asteroid-mass

Figure 3: (Montero et al. 2019) The parameter PBHs as a dark matter candidate, none of the mechanisms examined can currently exclude PBHs as
space where the ignition occurs.
dark matter candidates for the mass range fromthe rate of collisions between a WD and a PBH,
ρDM ˜l2
Γ = 2.65fP BH
mPBH vgal

3.5 × 10−17 M⊙ to 4 × 10−12 M⊙ . However, there remain signiﬁcant astrophysical uncertainties in their(3) calculation. It still requires further studies to constrain the asteroid-mass window.
where they use parameter to the Galactic disk:
vgal = 225km/s and ρDM c2 = 0.4GeV/cm3 , and ˜l isthe maximum speciﬁc angular momentum leading

Reference

to ignition. And in Figure ??, they show the rate
results for each mass range of WD. In all cases, theyMontero-Camacho P, et al. 2019, arXiv:1906.05950

found that even the massive WDs can survive for Niikura H, et al. 2019 PRD, 2019, 99(8): 083503.
longer than a Hubble time. The WD constraint
in Milky Way does not exclude fPBH = 1 at any Graham P W, et al. PRD, 2019, 92: 063007

——–index

c17
ボイドの形状進化と潮汐場の系統的調査
名古屋大学大学院 理学研究科
簑口 睦美

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ボイドの形状進化と潮汐場の系統的調査
簑口 睦美 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
銀河団などの高密度な構造で囲まれた低密度領域であるボイドは、重力理論や宇宙論のプローブとして重要であり、これまでにも観測的検証への応用が多くなされている。しかし、そのほとんどは大域的な一様等方性の仮定や、Icke (1984) による、ボイドが球状に成長するという報告に基づく、極めて一般的な解析を行ったものが多く、個々のボイドの物理量を決定する要因に関しては未だ統一的な理解が得られていない状況にある。
超銀河団スケールの構造であるボイドは、電磁相互作用や、超新星爆発のフィードバックなどの局所的な現象による効果を比較的受けにくいと考えられる。このため、これらの効果を無視すれば、ボイドの物理量を決定する要因としては、重力的成長が主であると考えられる。そこで本研究では、潮汐場に対するボイドの応答性を調べるため、N 体シミュレーションを用いて重力場とボイド形状の発展傾向との相関を測定した。
その結果、微小なスケールの密度揺らぎによって瞬間的にボイドの楕円率に潮汐場の情報を持たない大きな分散が生じ、楕円率分布の統計的有意性を下げている可能性が示唆された。

1

Introduction

状態とみなされるため、理論の制限力や観測事実の解釈等に多大な影響を及ぼすと考えられる。このた

現在、我々の宇宙は星や銀河など、豊かな構造に満ちている。1980 年代に、銀河団を超えるスケールの構造である宇宙の大規模構造が発見され、銀河をはじめとする高密度領域だけでなく、銀河の少ないボイド領域にも目が向けられるようになった。特に、ボイドはダークエネルギーが問題となる超銀河団ス
ケールの構造であると同時に、重力以外に相互作用をするような成分（e.g. 電磁気相互作用をするバリオン）による効果が、長距離力である重力の効果よ
りも比較的小さいと考えられる。このため、ボイド
は銀河と比べて純粋に重力的に形成された構造であると考えられ、近年のダークエネルギーやダークマ
ター問題に観測的な示唆を与えることが期待される。
実際、これまでにもボイドを用いた宇宙論パラメー
タへの制限や重力理論の検証が進められている。

め、個々のボイドの物理量やその進化傾向、それらを決定する要因の調査は重要な意味を持つ。
本研究では、個々のボイドの発展傾向を重力的観点から説明することを目的とし、以下の手順で解析を行う。まず、ボイドが潮汐力によって歪められると仮定すると、時間が経つにつれて潮汐力の方向にボイドの長軸が向き、その方向にボイドが伸びることが期待される。これを確かめるために、ボイドと同じ体積を持つ球上で動径方向重力勾配を計算し、その四重極成分を最大化する方向とボイドの長軸がなす角の進化傾向を調べる。この角度は、我々の仮定が正しければ、時間進化に伴って小さくなるはずである。また、ボイドの潮汐力への応答を定量的に見積もるために、潮汐力の大きさとボイドの形状進化の間の相関を調べる。

一方、このようなボイドを用いた応用的研究の多く
では、密度場の大域的な一様等方性の仮定や、Icke(1984) による、ボイドが球状に成長するという報告に基づく、極めて一般的な解析を行っている。このような解析では、例えば重力以外の異なる要因で決定されているボイド同士を同等に扱っている可能性があり、これは一方にとってはノイズが入っている

2

Methods

N-body Simulation
本研究では、以下のセットアップによる N 体シミュ
レーションを行った。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

表 1: シミュレーションセットアップN
L (Mpc/h) Ωm0 Ωb0 ΩΛ0
h

5123

500

0.31

0

0.69

0.70

z = 20 までの粒子分布は 2 次 Lagrange 摂動を用いて生成し、N 体計算は赤方偏移 z = 20 から行った。

Void identificationz = 0 付近の各スナップショットに関して、各々独立に、ボイド同定ツールキット VIDE（Sutter et al.

(2014)）を用いてボイドを検出した。本研究で用いる VIDE は ZOBOV（Neyrinck (2008)）によるアル

図 1: Voronoi セルに分割されたシミュレーション領域のゴリズムを用いて、以下のようにボイドを同定して一部（改 Neyrinck (2008)）。手順 2 によるグループが色の違いで表されている。

いる。

1. 粒子の二等分面によって、シミュレーションボッ

1. 粒子 ID を用い、低赤方偏移側（未来）のボイド

クスを Voronoi セル（以下単にセル）に分割す

を A、高赤方偏移側（過去）のボイドを B としる。このとき、各セルは粒子をただ一つ含み、セて、どれだけ粒子を受け渡したかを表す U P =ルの体積の逆数を粒子数密度と捉える。

NA∩B /NA とどれだけ粒子を受けとったかを表す DP = NA∩B /NB をすべてのボイドのペアに

2. Watershed Algorithm と呼ばれる手法により、対して計算する。ただし、Ni はボイド i のメン

セルを小領域（zone）にグループ分けする。こバー粒子数であり、Ni∩j はボイド i とボイド jの手法は、任意のセルに対し、その隣接するセが共有する粒子数である。

ルの中で最も密度の低いものを選んで行き、最終的に行き着いたセル（極小値をとるようなセ

2. これら U P と DP を同時に最大化するようなペアのみを「追跡可能」なボイドとして抽出する。

ル）によってグループ分けするものである。

3. 小領域のうち、それらを隔てる領域の密度（表これによって、注目する赤方偏移区間中で合体分裂層のセルの体積）が低い順に、順次小領域を統を経たとしても、その中で”主流”（粒子数が最も多合（グルーピング）していく。VIDE のデフォル

く受け継がれる）となるようなボイドを一対一対応

トの設定では、平均密度の 0.2 倍に達するまでで抽出することになる。

この統合操作を行った後、自分を含むようなよ

なお、合体分裂をしているかの指標として、結果どのり大きいグループが存在しないようなものをボ程度の粒子が受け渡されたかを示す粒子保持率 P R =√U P DP を計算する。この値が大きいボイドは合イドとしている。

Void tracking
本研究では、個々のボイドの時間発展を見る。そのために、各スナップショット中のボイドが同じボイドであるかどうかを判定する必要がある。これは、ボイドの統合や分裂、生成や消滅などを考えると、必
ずしも自明な問題ではないが、ここでは以下のルールに従ってボイドを同定した。

体分裂をほとんど行っていないと捉えることができる。

Definitions
ボイドの特徴を表す物理量の定義は先行研究によって様々あり、適当な定義に関して未だ十分な合意が得られていないが、本研究では VIDE で算出されるものを中心に、主に以下の量を用いる。

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校• 有効半径子交換によってボイド長軸の方向が背景潮汐場の情

ボイドの体積（シミュレーションでは、ボイド報を失うことを示唆する結果である。
次いで、有効潮汐力とボイドの楕円率進化の相関を構成する volonoi セルの体積の合計）V を用
3

いて、4πR /3 = V を満たす R を有効半径とを調べた。もしボイドが周囲の潮汐場によって歪めする。

られるならば、有効潮汐力とボイドの楕円率増加量との間に正の相関が認められるはずである。ただし、• 軸の方向各ボイドのメンバー粒子に対し、重心からの距離に関して最小二乗法を適用することで、ボイドを 3 軸不等楕円体でフィッティングし、その楕円体の各軸の方向をボイドの軸方向とみなす。

• 楕円率

ボイドが球に近く、進化の過程で長軸方向が大きく変わるような場合にはその限りではないため、長軸方向が 45 度以上変わるようなボイドは除いた（なお、このようなボイドの数は全体の 5%程度であり、これらを含めても結果は大きく変わらなかった）。
図 2 は 1Gyr あたりの楕円率の増加量と有効潮汐力のボイドを 3 軸不等楕円体でフィッティングした

相関を、最低粒子保持率の関数としてプロットした

時の軸長 a1 > a2 > a3 を用いて、
√
a2 a3
e≡1−
a1

ものである。この図を見ると、粒子交換をあまり行
わないボイドのみの場合、わずかながら期待どおり(1) 重力場とボイドの応答に正の相関が見られるが、粒子交換するボイドを含めていくと相関が消失するこで定める。定義により楕円率は 0 から 1 の値をとる。

楕円率の増加量と有効潮汐力の関係について、より

また、潮汐場の定義及び計算は以下のように行う。
半径 r の球上における重力場の動径方向成分に対し、Legendre 展開を行う。
2l + 1Fn(l) (r) = −2とがわかる。

∫ 1∂Φ(r, θ̂)Pl (µ) dµ,∂r−1

詳しく見ていくと、図 3 に示すように粒子交換によって楕円率が大きく増減している事が明らかになった。
特に有効潮汐力が小さい場合に、粒子流入するとボイドが歪み、粒子流出した場合にはボイドが丸くな(2) るという傾向が顕著である。いくつかのボイドを実際に見てみると、図 4 のように粒子が入ってくると

ここで、 n は Legendre 展開の極の方向であり、µ =その方向にボイドの境界が伸び、粒子がちぎれて出θ̂ · n である。ここにおいて、四重極成分を最大化す て行くとボイドがその方向に縮む傾向が確かに見らる方向を潮汐場の方向と呼ぶことにし、この方向と れる。
ボイドの長軸方向のなす角をここでは単に alignment

これらの結果から、ボイドスケール以下の揺らぎがと呼ぶ。また、その時の潮汐力の大きさに、潮汐場

ホワイトノイズのように作用して楕円率分布の統計の方向とボイド長軸の内積をかけたものを有効潮汐的有意性を下げている可能性があるが、ミュレーショ

力と呼ぶことにする。

ン解像度や密度場のスムージングスケールに依存する可能性もあるため、さらなる検証が必要である。

3

Results & Discussions
まず、ボイドが潮汐力によって歪められる場合、

4

Summaryalignment は時間進化に伴い減少することが期待さ

本研究では、ボイドの物理量及び進化傾向を決定れるが、すべての追跡可能なボイドに関してこれをする主要因を解明する目的で、特にその候補の一つ

調べると、平均的にむしろ増加していた。しかし、 である重力場に着目し、N 体シミュレーションを用い
P R ≥ 0.75 の、あまり粒子交換をしていないボイド てボイドの進化傾向の調査および解釈を試みた。そに絞ると、減少していることがわかった。これは、粒の結果、粒子交換をほとんど行わないボイドに限定2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 4: 粒子交換しているボイドの例。z 軸方向が潮汐力の方向であるが、ボイドはそちらの方向に伸びるのではなく、粒子がくっついた方向に伸び、粒子がちぎれた方向に縮んでいる。

図 2: 1Gyr あたりの楕円率の増加量と有効潮汐力の相関。
円率増加量の間にあった相関も消失した。粒子保有率
横軸は粒子保持率の下限。影の部分は 95%信頼区間。粒子交換をあまり行わないボイドのみの場合、わずかながら期 を指標としたより詳細な調査により、特に有効潮汐
待どおり重力場とボイドの応答に正の相関が見られるが、 力が小さな場合において、ボイドより小スケールの粒子交換するボイドを含めていくと相関が消失する。
密度揺らぎが瞬間的にボイドの楕円率に潮汐場の情報を持たない大きな分散を生じさせ、楕円率分布の統計的有意性を下げている可能性が示唆された。これがシミュレーション特有のものか、物理的な現象として捉え、モデル化することが可能であるか、今後検証していきたい。

Acknowledgement
貴重な研究費から本夏の学校への旅費を補助していただきました、名古屋大学 教授 杉山直様、日頃ご図 3: 1Gyr あたりの楕円率の増加量に対する有効潮汐力の数分布。等高線は対数スケールでのボイド数分布、色はボイドが進化の前後で受けとった粒子の割合から受け渡した粒子の割合を引いたものであり、この値が大きいと周囲からの粒子流入（合体）、小さいと周囲への粒子流出（分裂）が起こっていることを示す。

した場合には、ボイドの長軸方向は背景潮汐場の四指導・議論していただいています同大学 講師 西澤淳
様、教授 竹内努様、また、第 49 回天文天体若手夏の学校の企画運営いただいた方々へ、厚く御礼申し上げます。

Reference

重極成分の方向に揃って行く傾向が見られ、さらに、 J. Icke. MNRAS., Vol. 206, pp. 1-3, 1984.
有効潮汐力とボイドの楕円率増加量の間に正の相関が認められた。この結果は、潮汐力によってボイドがゆがめられるという描像を支持する。
一方で、進化を追うことができるボイド全てを含めた解析ではボイドの長軸と潮汐場の四重極成分の方向は平均的に離れて行き、有効潮汐力とボイドの楕

Platen E., van de Weygaert R., Jones B. J. T., Vol. 387,
p.128, MNRAS, 2008.
Sutter P. M., Elahi P., Falck B., Onions J., Hamaus N.,
KnebeA., Srisawat C., Schneider A., Vol. 445, p.1235,
MNRAS, 2014.
P. M. Sutter et al. A&C, Vol. 9, p. 1, 2014.
M. C. Neyrinck. MNRAS., Vol. 386, pp. 2101-2109,
2008.

——–index

c18
ガウス過程を用いた宇宙の大規模構造の復元
名古屋大学大学院 理学研究科
吉田 貴一

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

ガウス過程を用いた宇宙の大規模構造の復元
吉田 貴一 (名古屋大学大学院 理学研究科)

Abstract
宇宙の進化を記述する現代宇宙論は現在観測されている現象をよく説明することができている。我々が予測する理論と観測は「パワースペクトル」という統計量を用いて検証を行う。しかし、我々は宇宙を一つしか観測することができないためそこから生じる誤差 (コズミックバリアンス) を避けることができず、統計量を扱う限りこの誤差が宇宙論の不定性を決めてしまう。そこで本研究では、統計量に頼らず密度ゆらぎの時間
発展を直接調べることでコズミックバリアンスを超える新たな精密宇宙論を開拓することに着目した。
我々が実際の観測から得られるものは光円錐上の情報のみである。つまり、我々が遠方宇宙を観測するとそれだけ「過去」のゆらぎを観測することになる。一方で、何らかの方法で遠方宇宙の「現在」のゆらぎを予測することができれば、観測量と比較することでゆらぎの時間発展を知ることができる。異なる時刻のゆら
ぎは線形成長因子 D を介して結びつき、D を知ることで宇宙論のモデルに制限を与えることが可能になる。
本発表では回帰モデルの予測方法の一つである「ガウス過程」を用いてゆらぎの再構築を行い、暗黒物質の密度パラメータに与えた制限について報告をするとともに、その問題点についても議論する。

1

Introduction
現在、観測機器や技術の発展などにより「精密宇宙論」という学問は急速に前進した。例えば、宇宙
マイクロ波背景放射 (CMB) の観測は、我々のビッグバン理論を支持する重要な証拠にもなった。また、 P lanck 衛星による CMB の温度の非等方性やSloan Digital Sky Survey (SDSS) による大規模構造の観測などにより宇宙論における未定パラメータなどが非常に高い精度で分かってきた。従来、我々が予言する理論との比較は「パワースペクトル」という分散を用いた評価が行われてきた。図 1 は P lanck(2015) による CMB 温度ゆらぎの角度パワースペク
トルの観測結果である。l は角度のスケールを示し、l が小さいほど大きなスケールの情報を示している。
図 1 より、大きなスケールにおいて観測の誤差が大きいことが見てとれる。これは我々が宇宙を一つしか観測できないことから生じる原始的な誤差 (コズミックバリアンス) であり、この誤差はパワースペク
トルなどの統計量を扱う限り避けることはできない。
そこで、本研究ではパワースペクトルを用いることなく宇宙論を決める新たな方法の開発を目指す。その方法としてダークマターの密度ゆらぎ δ(x, t) の時
間発展を用いることができる。我々は光を用いて観図 1: CMB 温度ゆらぎの観測測を行うため、我々が得ることのできる情報は光円
錐上 δ(x = c(t0 − t), t) に限られる。つまり、遠方宇
宙を観測すればするほど、それだけ過去の宇宙を観ることになる。一方で、何らかの方法で現在の時刻の密度ゆらぎ δ(x, t0 ) を予測することができれば、密度ゆらぎの線形成長率 D(t) = δ(x, t)/δ(x, t0 ) を調べることができる。
本発表では機械学習の分野で使われる「ガウス過程」を用いることで線形成長因子 D を推定した。ガウス過程は関数形を仮定することなしに回帰を行う

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
ことができるノンパラメトリック回帰モデルの一種

データと方法3である。
構成は以下のようになっている。まず、第２章では

ここでは、シミュレーションデータと、異なる時

ガウス過程の基礎について解説を行う。第３章では刻の密度ゆらぎの再構築の方法について議論する。

問題設定と方法について述べる。第４章でその結果を議論し、第５章でアルゴリズムの問題点について
言及する。

3.1

シミュレーションデータ

一次元の宇宙をモデルとして考える。次の図はとある視線方向の密度ゆらぎのシミュレーションデー

2

ガウス過程

タである。

今、座標 xN = [x1 , x2 , .....xN ] に対する観測デー
タ δN = [δ1 (x1 ), δ2 (x2 ), .....δN (xN )] があるとする。
ガウス過程とは、観測データ δN の同時分布 P (δN )が以下の式に従うことである。

P (δN ) = N [δN |0, K(xN , x′N )](1)

ここで、N [δN |m, σ 2 ] は平均 m、分散 σ 2 のガウス分布を示す。共分散行列 K(xN , x′N ) の各成分はカーネ
ル関数という量で定義され、今回は次の式で与えれるガウスカーネルを用いた。

図 2: 視線方向の密度ゆらぎの様子
2(xi − xj ))2θ12(2) ここで、青線は現在の時刻の密度ゆらぎ δtrue (x, t0 )を示す。一方で、赤線は我々が観測することのできる
式 (1) より、ガウス過程は座標 x のみの関数である 光円錐上のゆらぎ δobs (x, t) である。観測量 δobs (x, t)k(xi , xj ) = θ0 exp(

ことがわかる。これは座標の値が近ければ近いほどは次の式に従い生成した。

観測データの値も近いことを仮定しており、そのス
ケールなどはカーネル関数のパラメータ θ0 , θ1 で決める。
さて、次に新たな座標 xN +1 を用意した時、これに対応するデータ δN +1 (xN +1 ) の値を予測する。まず、(1) の定義から、δN +1 = (δN , δN +1 ) の同時分布は以下のように書ける。

P (δN +1 ) = N [δN +1 |0, K(xN +1 , x′N +1 )](3)iδobs (x, ti ) = δtrue (x, t0 )Dtrue(Ωm0 = 0.3, ti )

(5)

i
Dtrue
は線形成長因子であり、連続関数であるが簡単のため時間に応じて 16 分割した。問題設定は、我々が δobs のみを知っていると思った時、どのようにして δtrue および Dtrue を知るかである。

3.2

ゆらぎの復元方法(1) を事前分布として用いることで、δN を得た時に簡単のため、上の観測データのはじめの 3 つのビ
δN +1 を得る条件付き確率 P (δN +1 |δN , xN , xN +1 ) が ンを用いて復元の方法を述べる。次の図で我々の観次の式により計算できるため、観測したデータから次 測データは赤線の δ
である。
obs

の点 δN +1 を確率分布として予測することができる。

P (δN +1 |δN , xN , xN +1 ) =P (δN +1 )P (δN )

(4)2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

図 3: 復元の様子• まず、3 つ目の線形成長因子の値 D3 を任意に決め、ビンの中の観測量 δobs を 1/D3 倍して復元

図 4: 線形成長因子の推定する (青線)。

• 次に、1 つ目のデータと 3 つ目の復元したデータを使い、ガウス過程で 2 つ目のゆらぎを予測する (緑線、これを δpred (D3 ) と呼びその分散を

σ 2 とする)

予言した線形成長因子を用いて物質の密度パラメータΩm0 を推定すると Ωm0 = 0.2992 ± 0.0013 となった。
P lanck (2015) の結果 (TT,TE,EE+lowP+lensing)によると、密度パラメータの値は Ωm0 = 0.3121 ±0.0087 であるためより精度よく予測ができた。

• 観測した 2 つ目のデータを 1/D2 倍して次の値が最小になる D2 を見つける。
2

χ (D2 , D3 ) =δobs
D2 − δpred (D3 )
σ2

5
(6)

• 以上の過程を様々な D3 に対して行い、最も χ2が小さくなる時の D2 , D3 を採用する。

問題点
今回のシミュレーションでは、小スケールのゆらぎの成分を消した非常に滑らかなものに離散的な線形成長因子を作用させることで観測データを作った。
しかし、実際に観測するゆらぎは小スケールも含ん

このプロセスを D4 , D5 , ... と続けて行っていくことだランダム性の強いゆらぎであり、線形成長因子はで、密度ゆらぎを復元し、線形成長因子の値を推定

離散的なものではなく時間に関する連続関数である。

した。

実際、線形成長因子を連続関数として扱った時にはガウス過程による予測はうまくできなかった。また、
今回は完全な線形理論のみを用いて議論を行ったが4

結果
次の図は上記で説明したプロセスを使って線形成

長因子の値を推定した結果である。ただし、横軸と実際の宇宙を考える際には非線形成長も考慮に入れる必要がある。このように、現実の宇宙に適応するにはまだ克服すべき課題は多く残っている。

縦軸はそれぞれスケール因子と線形成長因子を表す。
横軸のスケール因子は値が 1 に近いほど現在であり、0 に近いほど過去を表す。また、赤線はシミュレー

6

結論

ションデータを生成する際に用いた答えの線形成長

今回の研究では、従来解析に用いられているパワー

因子 Dtrue であり、黒点はガウス過程を用いて予測スペクトルによる評価が抱える問題点に着目した。そした線形成長因子の値である。

の問題とは、パワースペクトルにはコズミックバリ
アンスという避けられない誤差があるため宇宙論パ
ラメータの不定性が決まってしまうというものであ2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校る。
そこで新しい宇宙論の解析手法として密度ゆらぎの時間発展を直接調べることで線形成長因子の推定を試みた。その方法としてノンパラメトリック回帰モ
デルの一つであるガウス過程を用いることで遠方宇宙の異なる時刻のゆらぎを予言することを考えた。
その結果、誤差の範囲内で正しく答えの線形成長因子の値を推定することができた。一方で、現実の宇宙にこのアルゴリズムを適応するにはまだ課題が残っており、改良が必要である。今後の計画として

N 体シミュレーションなどで非線形効果の影響などを調べていくことを考えている。

——–indexc19
すばる HSC を用いた弱重力レンズ観測による宇宙論東京大学 カブリ数物連携宇宙研究機構
時 聡志

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

すばる HSC を用いた弱重力レンズ観測による宇宙論
時 聡志 (東京大学 カブリ数物連携宇宙研究機構 M1)

Abstract
本発表は文献 [1] のレビューである。[1] では cosmic shear power spectrum のすばる HSC を用いた tomog-

raphy による観測結果の解析から、ΛCDM モデルにおいて宇宙論パラメータ Ωm と σ8 の値の制限として( m )α+0.086S8 = σ8 Ω0.3
= 0.800+0.029−0.028 (α = 0.45)、Ωm = 0.162−0.044 という強い結果を得ている。さらに nonzeroのニュートリノ質量、wCDM モデル、すなわち ΛCDM を超える宇宙論モデルの場合についても考察している。

1

イントロダクション
遠方銀河から発せられた光の経路は、途中の宇宙

2

Cosmic Shear

2.1

Cosmic Shearの大規模構造の重力により曲げられ、結果としてその銀河像に歪み効果を引き起こす (cosmic shear と呼ばれる)。多数の銀河像を統計解析することで、このcosmic shear 効果を引き出すことができる。cosmic

点源からの光が重力ポテンシャル ϕ(x, t) によって曲げられる時、見かけの位置 (角度ベクトル)θ 、lensingがない場合の本来の位置 β は次のレンズ方程式

shear は物質密度パラメータ Ωm と密度揺らぎの振幅を特徴づける σ8 に強く依存し、cosmic shear を観

β = θ − α(θ)(1)

測することでこれらの宇宙論パラメータに対する制で結ばれ、ここで Φ は projected gravitational po-

限を与えることができる。また、重力レンズ効果を

tential と呼ばれ、∇θ Φ(θ)c2∫ DS2
Φ(θ) =dDL
DS 0用いることで、自ら光を発さないダークマターの分α=布を調べることもできる。
今回レビューする文献 [1] では、すばる HSC(Hyper

Supreme-Cam) による cosmic shear の観測結果の解

ϕ(DL θi , DL ; t = t0 − DL /c)

析から、ΛCDM モデルにおける σ8 及び Ωm の値に対して強い制限を与えている。個々の銀河では、固有の形状の歪みの方が weak lensing による歪みより

(2)

DSL
DL

(3)

と書かれる。β と θ の間のヤコビ行列は lensing がなも大きいため、cosmic shear の測定には大量の銀河を観測して統計を取る必要があり、すばる HSC の広天域銀河サーベイが威力を発揮する。また、[1] では

weak lensing による銀河の形状の歪みを複数の redshift bin に分けて観測する手法である tomographyを用いている。redshift は時間のパラメータとなる
図 1: 重力レンズ

ので、tomography は物質分布の時間発展を追うこともできる観測手法である。本発表では (1) における

cosmic shear の観測手法とその解析手法を概観する。

い場合には単位行列になるが、lensing がある場合にそこからのずれを表す量として、distortion tensorΨij
を∂βi= δij − Ψij
∂θj

(4)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校と定める。この時 distortion tensor は()
κ + γ1γ2
Ψij =γ2
κ − γ1性は宇宙論モデルにも依る。実際の観測領域は有限
なので、
K
XY
⟨Xℓ Yℓ∗′ ⟩ = Ωsky δℓ−ℓ
′ Cℓ

(5)

と書くことができ、κ を convergence、γ1,2 を cosmic(9)によってパワースペクトラムが計算される。Ωsky は観測領域の面積である。

shear という。物理的には convergence は像の拡大率を表し、shear は像の楕円的な歪みを表す量である。
観測的には、Shear は銀河の ellipticity と呼ばれる量

3

Method3.1

すばる HSC の優位性から求めることができる。

図 3: KiDS-450,DES Y1,HSC Y1 の比較
すばる HSC とは 8.2m のすばる望遠鏡に取り付け

図 2: convergence と shear の物理的意味られた wide-ﬁeld imaging camera であり、他の観測と比べて銀河の有効密度が圧倒的に、より大きな zの領域まで観測できることが特徴である。また、画

2.2

Cosmic Shear Power Spectrum

像の質も非常に良いため、光学系による点源の広がcosmic shear から E モード、B モードと呼ばれる りを表す PSF も小さいという利点がある。
座標に依らない二つのモード

Ẽ(l) = −γ̃1 (l) cos(2ϕl ) − γ̃2 (l) sin(2ϕl ) = κ̃(l) (6)B̃(l) = γ̃1 (l) sin(2ϕl ) − γ̃2 (l) cos(2ϕl ) = 0

(7)

3.2

Pseudo-Cl Method

実際の shear の観測では、真の shear と観測される shear との間にが定まる。ここに書いたように B モードは理想的には 0 になる。したがって観測が信頼できるかどうかの指標として用いられる。これらのパワースペクト
ル Cl は二点相関関数から

γ (obs) (θ) = W (θ)γ (true) (θ)(10)の関係がある。ここで W は window function で、各ピクセルのウエイトを与え、観測領域の外または明(8) るい星が存在する領域では 0 である。この windowfunction がかかっているために Forurier 変換するとのように定まる。ここでは Tomography を想定して convolution が生じ、観測されるパワースペクトラム2⟨E i (l)E j (l′ )⟩ = (2π)2 δD(l + l′ )ClEE,ij

z の bin を考えた。i, j は bin のラベルである。BB は真のパワースペクトラムの異なるモードが couple
モード、EB モードについても同様である。BB モー したものになる。これを考慮すると l の bin b のパド、EB モードは理想的には 0 になるべき量である。 ワースペクトルはConvergenceκ についても同様にパワースペクトラムClκκ が定まる。[1] においてこれらのパワースペクト
ラムは種々の宇宙論パラメータに依存しており、パワースペクトラムは観測量なのでここから宇宙論パラメータを制限することができる。さらにこの依存(true)
−1
Cb
= Mbb
′

|ℓ|∈ℓ′b

∑

(
)
(obs)
Pb ′ ℓ C ℓ− ⟨Nℓ ⟩MC (11)ℓと書くことができる。M は Ωsky と W の Fourier 変2l
換 W̃ に依存する行列で、Pbl = 4πである。⟨Nℓ ⟩MC2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
はノイズスペクトラムで、[1] では 10000 回のモンベイズ推定によって宇宙論パラメータの従う確率分

テカルロシミュレーションで推定している。図 4 に布を求めた結果が図 5、図 6 である。ここから、宇( Ω )αm=
0.3

shear スペクトラムの３つのモードの観測結果を示 宙論パラメータの制限として S8 = σ8
す。期待通り、EB モード、BB モードはおおよそ 0+0.0860.800+0.029−0.028 (α = 0.45)、Ωm = 0.162−0.044 を得てになっていることが見て取れる。

いる。

図 5: Ωm と σ8 の制限
図 4: [1] における Tomography によるパワースペク
トラムの観測結果

3.3

Mock Shear Catalog と Blinding

前述の解析手法の妥当性を確認するために、[1] では銀河の位置は変えずに ellipticity のみを人口的に変えた擬似 shear カタログを用意し、それらの解析から
図 6: Ωm と S8 の制限

その擬似カタログに対応する宇宙論パラメータが再現されることを確認している。さらに本解析においてもこの擬似カタログを用いたブラインド解析と呼ベイズ推定におけるパラメータには、宇宙論パラ

ばれる手法を採用している。すなわち、真のデータ

メータだけでなく様々な系統誤差のパラメータも含に加えて擬似カタログ二つを用意しそれぞれのデー

まれている。具体的には大気や光学系による点源の広タを別のチームが解析するが、各チームは自分の解がりを表す PSF、銀河の redsift distribution、近接析するデータがどのデータなのか解析の最後まで知する銀河の形状の相関である intrinsic alignment、密らされないようにする。これによって先行研究の結度揺らぎに対するバリオン物理の影響（例えば AGN

果と比較するなどして生じうる conﬁrmation bias のや超新星などが密度揺らぎに影響することが知られ発生を避けることができると期待される。

ている）、 z, l の bin の取り方、最後にニュートリ
ノ質量である。（図 5、6 の計算ではニュートリノは

massless としいる。）

4Results

4.1

ΛCDM における結果

Tomographic power spectra の デ ー タ か ら 、

4.2

Beyond ΛCDM

現実にはニュートリノは小さな質量を持つので、そMCMC 法 (Markov Chain Monte Carlo) を用いた の影響も考慮するためニュートリノ質量もパラメー

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校
タとして動かした時の結果が図 7 である。図 7 ではているため、w の時間変化や修正重力などの何らか

Planck の観測結果と比較している。[1] での shear だ の ΛCDM を超えた効果の影響である可能性があり、このずれが有意なものかどうか今後の観測に期待される。

Reference
C.Hikage et al. (2019), Pub. Ast. Soc. Japan 71, 43[arXiv: 1809.09148]

図 7: ニュートリノ質量がある時の Planck との比較
けの解析からはニュートリノ質量に対する良い制限
は得られていない。さらに、ダークエネルギーの状態方程式パラメータ w をパラメータとして動かした時の結果が図 8 である。この時、S8 の制限は悪くな

図 8: ニュートリノ質量がある時の Planck との比較
り、w についても良い制限は得られていない。図 8
では Planck による観測結果も同時に示されているが、HSC、Planck 共に w < −1 を支持していると言える。

5Discussion
図 5,6,7 から分かるように HSC と Planck の観測には若干のずれがある。σ8 は Planck よりやや大き
く、S8 と Ωm はやや大きい。これは解析において考慮していない何らかの系統誤差の影響である可能性もあるが、[1] では ΛCDM モデルを仮定して解析し——–index

c20
宇宙マイクロ波背景放射とザックス・
ヴォルフェ効果
新潟大学大学院 自然科学研究科
石倉 来実

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

宇宙マイクロ波背景放射とザックス・ヴォルフェ効果
石倉 来実 (新潟大学大学院 自然科学研究科)

Abstract
宇宙マイクロ波背景放射 (CMB) とは、全天でほぼ等方的に観測される電磁波である。ビッグバン理論によると、宇宙初期は高温・高密度の電離状態にあり、宇宙膨張とともにその温度は低下する。温度が 3000K 程
度まで下がると、宇宙は急速に中性化 (再結合) し、この時に物質との熱平衡から切り離された光子が現在、CMB として観測されている。近年、精密な観測により CMB の非等方性の存在が明らかになった。本発表
では、わずかな密度ゆらぎがある場合に生じる CMB の温度ゆらぎ (ザックス・ヴォルフェ効果) について考察する。そして、ゆらぎの波長が再結合期の宇宙の地平線スケールよりも大きい場合には、重力ポテンシャ
ル差による効果が重要であることを示す。

1

Introduction

は重力項と重力に起因する速度項からなることを示し、さらに再結合期の地平線よりも大きなスケール

1965 年、ペンジャスとウィルソンによって初めて
CMB が発見された。その後、1989 年に打ち上げらでは重力項が、小さなスケールでは速度項が、それぞれ優勢であることを示す。

れた人工衛星 COBE によって、CMB のスペクトルの精密な測定が行われ、そのスペクトルが非常に高い精度で絶対温度 2.7K のプランク分布と一致していることが分かった。1992 年には COBE を用いた

CMB の非等方性の観測により、初めて温度ゆらぎが発見された。特に、再結合期の地平線スケールよりも大きな角度での非等方性は、宇宙誕生直後の姿を我々に教えてくれる宇宙の化石であり、このスケー
ルのゆらぎとしてザックス・ヴォルフェ効果がある。
温度ゆらぎの定量的な解析では、パワースペクトルと呼ばれる統計量が広く用いられている。図 1 は温度ゆらぎの観測結果と理論曲線を示しているが、多重極モーメントが l < 10 のところ、すなわち大きな
角度のところがザックス・ヴォルフェ効果を表している。

図 1: CMB 温度ゆらぎのパワースペクトル。実線は、観測をもっとも良く再現する理論曲線 (Bobin et al2016)

本発表では、CMB を質量を持たない光子の集団とみなし、その分布関数を無衝突ボルツマン方程式に基づき考察する。はじめに、一様等方宇宙における厳2

無衝突ボルツマン方程式

2.1

光線的測地線密解の導出手順を復習し、併せて分布関数の温度の正確な意味を確認する。次に、密度ゆらぎに起因す
る計量ゆらぎが温度ゆらぎに影響する様子を紹介す

重力以外の影響を受けない電磁波は、光線的測地る。具体的には、曲率定数が 0、かつダスト優勢の宇線 xa (λ) に沿って伝わる。このとき、光線条件と測宙における計量ゆらぎの式を用いて、光子の分布関地線方程式はそれぞれ次のようになる。

数を求める。温度ゆらぎ (ザックス・ヴォルフェ効果)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校※以下、a, b = 0 ∼ 3 とする。

と き 、無 衝 突 ボ ル ツ マ ン 方 程 式 の 特 解 は f

dxa (λ)(λ : アフィンパラメータ) として
dλ
3
1 ∑
L=
gab ẋa ẋb = 0 : 光線条件
(1)
2
a,b=0
(
)
d
∂L
∂L
=
: 測地線方程式(2)dλ ∂ ẋa
∂xa
ẋa =

2.2

2

2

F (a ẋ, a ẏ, a ż) となる。光線条件より、C > 0 を適当な定数として σ = C ṫa(t) であれば dσ/dλ = 0 が満たされるので、CMB を表す特解として f = F (σ) =(eσ − 1)−1 を選ぶ。
ここで、波の位相関数 S が定義できるとき、観測者の固有時 τ での世界線を xa (τ ) として、振動数をν=−

光子の位相空間と分布関数

光子の 4 元運動量は、解析力学の一般化運動量の∑3b定義より pa = ∂∂L
b=0 gab ẋ とかける。光線条
ẋa =

3
∑
dxa (τ ) ∂SdS=−dτdτ ∂xaa=0∑∂Sdxb (λ)
=
gab
a
∂x
dλ
3

を位相空間から除外すると、光子の物理的な位相空

(7)

b=0

とかける。これより、光子の振動数は、次元空間になる。
時刻 t において，位相体積要素（位相空間上の微小ν=−な体積）dr dp = dx1 dx2 dx3 dp1 dp2 dp3 に含まれる光

3
∑
a,b=0

∑
dxa (τ ) dxb (λ)
gab ua ẋb
gab
=−
dτ
dλ
3

a,b=0

子数を δN = f (r, p, t) dr dp と表すとき、f (r, p, t)
を光子の分布関数という。

(6)で定義する。電磁波に対する幾何光学近似では

件 (L = 0) より p0 を従属変数とみなせるので、p0 , x0
間は (r, p) = (x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ) を座標とする 6

=

2

(8)
となる。ua は観測者の 4 元速度である。一様等方時空内の共同観測者に対する振動数は、ua =2.3

dxa (τ )/dτ = (c, 0, 0, 0) より、ν = c2 ṫ となる。

無衝突ボルツマン方程式

T (a) = a0 T0 /a(t) , C = hc2 /kB T0 a0 として σ を ν
無衝突ボルツマン方程式は、で書き換えると、分布関数は
)
3 (
i
∑
(
(
)
)−1
dt ∂f
dx ∂f
dpi ∂fdf (r, p, t)
hν
=
+
+
=0
i
f = exp
−1
(9)
dλ
dλ ∂t
dλ ∂x
dλ ∂pi
i=1
kB T (a)(3)となる。また、dδN = 0 がとなる。これは、光線軌道上において dt
(
)
a0
T
(a)
=
T
=
1
+
z(t)
T0
0
成り立つ (何も起きない) 場合の輸送方程式である。
a(t)もし L を除く自明でない保存量 σ が見つかれば、とかけ、1 + z(t) = a0 /a(t) は赤方偏移因子である。
F (σ) を任意関数として, f = F (σ) は特解となる。
このとき、分布関数 f を特徴づけるパラメータ T0 は、
df
dσ dF (σ)==0(4) 熱力学的な温度の意味を持たない。
dλ
dλ dσ

3

一様等方宇宙における CMB

4

空間的に平坦な一様等方宇宙における計量は、

ds2 = −c2 dt2 + a(t)2 (dx2 + dy 2 + dz 2 )ダスト優勢宇宙でのゆらぎ
密度揺らぎの存在により一様等方からゆらいでいる時空上での計量は、ニュートン・ゲージの下で(5)で与えられ、a(t) はスケール因子、(x0 , x1 , x2 , x3 ) =(ct, x, y, z) である。また、曲率は 0 とする。この

ds2 = − e2ψN (r) c2 dt2+ e−2ψN (r) a(t)2 (dx2 + dy 2 + dz 2 )

(10)
(11)

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校となる。曲率は 0 とし、添字 N はニュートン・ゲー

CN a(t)e2ψN (r) c2 ṫ となる。

ジを表している。ここで、非相対論的な物質のエネ

ここで、物質に対して静止する観測者を設定し、

)
(
−n
a

(
ẋ
)
=
(c
ṫ,
ẋ,
ẏ,
ż)
≈
c
ṫ
1,

a(t)


∑3
2
※ n · n = i=1 (ni ) = 1（n：観測する向き）

(
)


(ua ) = ce−ψN (r) , vN i (r,t)a(t)

ルギー運動量テンソルの形はT ab = ε

ua ub
c c

(12)

となる。速度場を
3
∑
a,b=0

a b

gab u u =

3
∑

(17)
u ua = −c
a

2

(13)

a=0

として ua を観測者の 4 元速度とすると、観測される振動数はとして規格化し、i, j = 1 ∼ 3 として Tab の各成分を次のように表す。
()

T00 = ρ(t)c2 1 + ∆(r, t)()
T0i = −ρ(t)c 1 + ∆(r, t) a(t)vi (r, t)

(
)


T = ρ(t) 1 + ∆(r, t) a(t)2 v (r, t)v (r, t)
ij
i
j

3
∑

ν=−

gab ua ẋb

(18)

a,b=0

(
)
n · vN (r, t)≈ eψN (r) c2 ṫ 1 +
c

(19)

とかける。

(14) これより σ を ν で書き換える。ここで、(16) 式より
τ (r) = τ とし、パラメータ τ ですべての r に共通の
ここで、密度ゆらぎ ∆、速度ゆらぎ vi 、計量ゆらぎ『同時刻』を指定すると、
ψ を一次の微小量とすると、アインシュタイン方程)−1(n · vN (r, t)式の線形解は以下のようになる。
ψN (r)(20)
σN = CN νa(t)e
1+
c

2
(
)−1

ρ(t) = (6πGt2 )−1 , a(t) = At 3 （A > 0 は積分定数）
1n · vN (r, τ )
3 ψN (r)
=
C
νa(τ
)e
1
+
(21)

N

∂ψN (r)c= 0（ニュートン・ポテンシャルはψN (r)c2 ）
 ∂t


2
c2 ∇2 ψN (r)3c2
23 ∝ a(t)∆N (r, t) = 4πGρ(t)a(t)2 = 2A2 ∇ ψN (r) t
現在の値を添字 0、再結合時の値を添字 rec でそれ

(
)

2

c
t

ぞれ表し、観測者の位置を r=0 とすると、以下のよvN (r, t) = vN i (r, t) = − a(t) ∇ψN (r)


(
)

∑

うな関係式が得られる。
3i j
vN (r, t) · vN (r, t) =i,j=1 gij u u
N

(15)

(
σN = CN ν0 a0 exp)()
n · vN (0, τ0 ) −11
ψN (0)
1+3c

ニュートン・ゲージにおいて、ダストと共に遅い速度で運動する観測者の固有時は、座標速度の二乗を(= CN νrec arec exp

0 で近似すると τ ≈ eψN (r) t となる。ここで、r は観

1ψN (r)
3)(n · vN (r, τrec )
1+
c

(22)
)−1
(23)

2

測者の位置である。a(t) = At 3 より、位置 r での座
標時間 t(r) と固有時間 τ (r) について、次の公式が得られる。

a(t(r)) = a(τ (r))e5− 23 ψN (r)(16)

ザックス・ヴォルフェ効果
ニュートン・ゲージを用いると、測地線方程式より CN > 0 を適当な定数として、保存量は σN =こ こ で 、CMB の 温 度 ゆ ら ぎ を T0 (n)/Trec=

ν0 /νrec で定義すると、{
1
1 + (ψN (r) − ψN (0))
3}n− · (vN (r, τrec ) − vN (0, τ0 )) (24)
c
(
)
arec
∆T0 (n)
≡
1+
(25)
a0
T0

T0 (n)
arec
≈
Trec
a0

2019 年度 第 49 回 天文・天体物理若手夏の学校

7(25) 式で ∆TT00(n) を定義することにより、∆T0 (n)1= + (ψN (r) − ψN (0))
T03n
− · (vN (r, τrec ) − vN (0, τ0 ))c+0Conclusion
無衝突ボルツマン方程式に基づいて光子の分布関数を求め、そこからザックス・ヴォルフェ効果が重力項と重力に起因する速度項からなることが分かっ(26)た。また、波長が再結合期の地平線よりも長くなる
ような大角度スケールでは重力項が優勢となること

1 項目はポテンシャルの差の効果、2 項目は速度差の が示された。
効果である。3 項目はポテンシャルの時間変動の効果であるが、このモデルでは 0 となる。この温度ゆらぎがザックス・ヴォルフェ効果である。

Acknowledgement
本発表のために指導してくださったスタッフや研6

究室の方々に心から感謝いたします。また夏の学校

Discussion

をご支援くださった皆様に感謝申し上げます。

(26) 式の重力項と速度項について、再結合期での値の比較を以下行う。vN の式 ((15) 式) より、

vN
ct∇ψN
=
ψN c
aψN

Reference(27) J.Bobin, F.Sureau, and J.-L. Starck, ApJ. 591(2013), 50である。今、位置
x において波長 Lx のゆらぎ ψN =( )ax
ΨN sin Lx を考えると、三角関数をオーダー 1 の量とみなして

a
∇ψN
∼
ψN
∂x
Lx

(28)

2

となる。a(t) = At 3 ((15) 式) より、宇宙の地平線ス()−1
ケールは LH = c a1 da= 32 ct となるので、
dt

∴

vN
ct∇ψN
ct
LH
=
∼
∼
ψN c
aψN
LX
LX

(29)

とかける。これより、波長が再結合期の地平線よりも長いような大角度スケール (1 角度以上) のゆらぎ
では、重力項が優勢になることが分かる。ゆらぎの波長が再結合期の地平線と同程度になると重力項と速度項が同じオーダーになるが、この場合一般にザックス・ヴォルフェ効果よりも輻射流体の音波効果の方が優勢になる。このように、ゆらぎの波長が再結合期の地平線よりも短くなるとザックス・ヴォルフェ
効果以外のゆらぎの効果が大きくなるので、ザック
ス・ヴォルフェ効果が重要になるのは大角度スケー
ルにおいてである。