第17回全国物理コンテスト

物理チャレンジ2021

第１チャレンジ

実験課題レポートレポート表題加える力と物体の運動の関係

第１チャレンジ番号

氏名：

２１１７０２２： 西尾 朋人

学校名または学校のある卒業校名： 石川県立金沢泉丘高等学校

学年： 高等学校３年生（中等教育学校６年生、高等専門学校３年生）

実験をした
主な場所

： 学校・施設など（公的な場所）

共同実験者１

氏名

都道府県名 ： 石川県

補足（その他の場合）

第１チャレンジ番号

２１１７０２２

西尾朋人
共同実験者２：

氏名第１チャレンジ番号

実験課題に取り組んだ感想
普段は受動的に実験をしたり、物理の問題を解いたりしていたのですが、今回のチャレンジをきっかけに自分だけの実験をデザインする楽し方法を考え始めた時期
３月

さに気づき、以前にもまして物理が好きになりました。また、論文の書き方など、高校のｓｓｈの課題研究で培った力を活用できたのもとても良い体験でした。

実験を始めた時期
４月
実験に取り組んだ期間
約７０日間

加える力と物体の運動の関係
石川県立金沢泉丘高等学校３年

西尾 朋人

〖1〗要約
加える力と物体の運動の関係を調べるために、以下の 4 つの実験を行った。
実験 1 は斜面を下る小球についての実験で、物体に加わる力が変化しない時、物体は力の方向に等加速度運動をすることを確かめた。
実験 2a,2b は力学台車と滑車を使った実験で、加速度は力の大きさに比例し、物体質量に反比例することが分かった。
実験 3 は小球の自由落下の実験であり、以上により運動方程式 ma=f が成り立つことが示された。これを用いて実験 2a,2b の測定値の理論値とのずれについて,摩擦の果たす要因を考察した。
さらに、実験 1 において、運動方程式だけでは説明できなかった回転運動を説明するため、実験 4 で滑車とひもを使った実験を行った。これにより、角運動量 J と物体の慣性モーメント I、角速度 ω の間に J＝Iω の関係が成り立つことが示された。以上を用いて実験 1 における小球の回転、滑りに関する考察を行った。

▼概要
実験 1

斜面を下る小球力が一定の時、等加速度運動をする。
実験 2a

力学台車と滑車加速度は力の大きさに比例する。
実験 2b

力学台車と滑車加速度は物体質量に反比例する。
実験 3

自由落下

運動方程式 ma=f が成り立つ。
実験 4

滑車とタコ糸

J＝Iω が成り立つ。

〖2〗実験 1
目的：物体に加わる力が変わらない時、物体は力の方向に等加速度運動をすることを示す。変わらない力として重力を利用し([補足 1])、斜面を下る小球について、斜面の角度を変えることで、斜面に沿った向きに働く力の大きさを調整した。
実験手法：【使用した道具】
小球(質量 5.46g、直径 1.00cm、金属製)、ビースピ(株式会社ヤガミ
大きさ 50×50×60 ㎜、測定範囲０～999.9 ㎝/s)、アプリ「水平器」(©Tatsuki Sasaki)、
レール(金属製、全長 1.00m、幅 6.0 ㎜)、可変支持台【方法】① レールに、スタート地点から 10cm おきにビースピを取り付ける。この時、ビースピの中央をビースピの位置とする。
② レールの両端を可変支持台に乗せて一方の台の高さを上げ、レールの水平面からの角度を固定する。この時、アプリ「水平器」を利用する。
③ 小球をスタート地点から静かに離し、各地点での速度を計測する。
④ ③を 10 回繰り返す。
⑤ 各地点の速度から各地点における加速度を求める([補足 2])。
⑥ 以上の行程を、レールの角度 2.5°から、2.5°ごとに 30°まで変えながら行う。
[補足 1]
重力加速度 g の値について、web 版「重力値推定計算サービス」(国土地理院)を用いて、9.80m/s2 とした。なお、実験は本校舎 4 階で行ったが、地球半径に比べ高さが十分に小さいので、地上からの高さの影響は無視できるとして進める。
[補足 2]
加速度について、以下の式が成り立つ。

𝑑 2 𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑣=･ =･𝑣
𝑑𝑡 2 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥
よって、得られたデータからｘ－ｖグラフを描き、その近似曲線の傾きを求めることで、各変位における加速度を算出した。この手法では、時間を計測する必要がないため、ストップウォッチなどでの手動での時間計測による誤差をなくせると考えた。
結果：
いずれの角度においても、ｘ－ｖグラフは二次関数により近似できた。この近似曲線から[補足 2]の手法で加速度を算出すると、その値は変位によらずほぼ一定であることが分かった。下に一例を示す。(レール角度 20°の時のもの[グラフ 1]、[グラフ 2])[グラフ1]変位と速度の関係(レール角度20°)10.90.8

y = 0.245x2 + 0.0024x
R² = 0.9996

変位/m0.70.60.5
0.4
0.30.20.1
000.5

11.5

速度/mｓ-1

2[グラフ2]変位と加速度の関係(レール角度20°)

加速度/ｍｓ-２2.500
2.0001.500
1.0000.500
0.000
00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

変位/ｍ
考察 1：
小球はいずれの角度においても等加速度運動をした。ここで各角度の正弦と加速度の関係は[グラフ 3]のようになった。正弦の値を横軸にとったのは、小球に働く重力のレールに沿った成分の大きさは正弦に比例するからである([図 1])。しかしこのグラフか
らは、小球に働く力の大きさに小球の加速度が比例するとは言えないと考えた。なぜな
ら、小球は並進運動とともに、球の中心軸回りの回転運動もしているからである。この回転はレールと小球の間の摩擦力によって起きるが、この実験では小球の質量がかなり小さく、回転も速いため、回転運動の影響を無視することができないと考えた。回転に必要な力が、小球質量に比べて無視できないほど大きければ、摩擦力を無視した場合の小球の加速度の理論値に比べて、加速度の測定値が小さくなってしまっている可能性がある。(〖6〗で考察している。)[グラフ3]正弦と加速度の関係
3.5

加速度/ｍｓ⁻２3y = 6.18x
R² = 0.9975

2.521.5
10.5000.1

0.20.30.40.5

正弦
考察 2：N

先ほどのグラフを拡大すると、わずかながら初めに加速度の増加がみられるものの、その後はほぼ一定の値に落ち着いていることがわかる([グラフ 4])。空気抵抗の大

Mg sinθF
Mg cosθ

きさが十分に大きい時、加速度は次第に減少していくはずであるから、本実験におけθる小球の速度や断面積程度では、空気抵抗は無視できるほど小さいと考えられる。以降、空気抵抗は無視して実験を進める。

▲[図 1]小球(質量 M)に働く力[グラフ4]変位と加速度の関係 (レール角度20°)2.036

加速度/ｍｓ⁻２2.034
2.032
2.030
2.028
2.026
2.024
2.022
00.1

0.20.30.40.5変位/ｍ0.60.70.80.91〖3〗実験 2a,2b
目的：実験 1 では小球の質量が非常に小さかったために摩擦による回転運動を考慮せざるを得なかった。そこで、実験 2a,2b では、車輪径が小さく、車輪質量が車体質量に比べて無視できるほど小さい力学台車を使用した。実験 2a では物体に働く力と加速度の関係、また、実験 2b では質量と加速度の関係を調べた。
実験手法 2a：【使用した道具】
スマートカート(株式会社 島津理化、101-350ME-1240)、アプリ「SPARKvue」(©PASCOscientific)、重り、定滑車、タコ糸【方法】① 机の角に滑車を取り付け、机と平行にタコ糸を渡す。
② タコ糸の一端をスマートカートの力センサー部につなぎ、もう一方に重りをつなぐ。
③ スマートカートを机上で静かに離し、アプリ「SPARKvue」でタコ糸の張力と、加速度を測定し、平均値を算出する([補足 3])。
④ 以上を重りの重さを変えて繰り返す。
[補足 3]張力と加速度の平均値の算出法
について、アプリ「SPARKvue」で描いたグラフ上で範囲を指定して求めた。[図2]はその一例である。上が加速度、下が張力の大きさを表している。

▲[図 2]張力と加速度の平均値の算出法

結果：[グラフ5]力と加速度の関係
21.81.6

y = 3.84x - 0.35
R² = 0.9995

1.4

加速度/ｍｓ⁻２

1.2
10.8
0.60.40.20-0.2

00.10.2

0.30.40.5

0.6-0.4-0.6

力の大きさ/N考察：[グラフ 5]から、加速度はほぼ力の大きさに比例すると言える。近似直線の y 切片が負となったのは、摩擦力の影響だと考えられる(〖6〗で考察している。)。また、x 切片の値は摩擦力と力の大きさが等しくなっている値と考えられ、動いている机上の物体にこの大きさの力を加え続けると等速度運動をすると考えられる。
実験手法 2b：【使用した道具】実験 2a と同じ【方法】▲[図 3]働く力① 実験 2a ①～③まで同じ。
② スマートカートに載せる重りの重さを変えて繰り返す。乗せる重りの重さは 50g から 50g ごとに 1000g までの 20 種類。
③ 実験で求めた各張力の下での加速度を、1N の力での加速度に換算する。([補足 4])[補足 4]実験 2a で力の大きさと加速度が比例することが分かっているため。

結果：[グラフ6]質量の逆数と加速度の関係
3.5

加速度/ｍｓ⁻２3y = 0.860x - 0.080
R² = 0.9928

2.521.5
10.50-0.501234

質量の逆比/㎏-1
考察：
加速度はほぼ質量の逆比に比例することがわかる。しかし一方で、これも未だ摩擦力の影響を免れていない。台車質量が大きくなったことで、摩擦力の大きさも同様に大きくなっている可能性があるからだ(〖6〗で考察している。)。
〖4〗実験 3
目的：これまでで、加速度は力の大きさに比例し、物体質量に反比例することが分かった。つまり、kma=f が成り立つ(k は比例定数)。実験 3 では、小球の自由落下における加速度を求めることで、この比例定数 k を求める。
実験手法：【使用した道具】小球(同実験 1)、ビースピ(同実験 1)【方法】① ビースピを鉛直方向に 6.0cm ごとに 5 つ並べ、小球を静かに離してその中を自由落下させ、各位置での速度を計測する。
② 各ビースピ間での加速度を算出する([補足 5])。
③ 以上を 10 回繰り返し、加速度の平均値を算出する。
[補足 5]
自由落下で小球に働く力は主に重力と空気抵抗であるが、空気抵抗は実験 1・考察 2より、無視できるほど小さいとみなせる。この時、働く力の大きさは一定であるので、小球は等加速度運動をする。そこで、次式が成り立つ。

𝑉 2 − 𝑣 2 = 2𝑎𝑥

(𝑉と v はある 2 地点での速度、𝑎は加速度、𝑥は変位)
この式を用いて加速度を算出した。
結果：加速度の大きさの平均値は𝑎＝9.64 m/s2 であった。
考察：

kma=f と f＝mg により、k＝1.02 となり、これはほぼ運動方程式 ma=f が成り立つことを示している(+2.0%のずれ)。正確に k＝1.0 とはならなかった理由としては、やはりわずかながら空気抵抗の影響を受け、重力と逆向きの力が働いていたこと、また、ビースピ内部を小球がわずかに斜めに横切った可能性などが挙げられる。
これまでで導かれた運動方程式を使い、さらに考察をした。
ここで、実験 1 では、並進運動とともに無視できないほどの回転運動も起きているた
め、これを説明することを目的として、物体に働く力と角速度の関係を以下の実験により調べた。
〖5〗実験 4
目的：滑車と小球をタコ糸でつなぎ、小球の加速度を調べることで、物体に働く力と角速度の関係を調べる。
実験手法：【使用した道具】重り(同実験 2)、ビースピ(同実験 2)、定滑車、タコ糸【方法】① 定滑車にタコ糸を固定し、もう一方の端に小球をつなぐ。
② 一周分タコ糸を巻取り、垂直に設置したビースピの中を小球が通るように落とす。
③ ビースピの測定値から、小球が等加速度運動をすることを利用して、加速度を算出する。([補足 5])④ 以上を、様々な重さの重りについて行う。
仮定：物体に働く力と角速度の間に下の式が成り立つと仮定した。

𝐽＝𝐼𝜔

…(*)

(J は角運動量、I は物体の慣性モーメント、ω は角速度)
また、角運動量の定義と運動方程式、滑車の角速度と小球の速度の関係から、以下の3 式が成り立つ。

𝑑𝐽＝𝑅𝑇𝑑𝑡𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝑇
𝑎=𝑅𝑑𝜔𝑑𝑡

これらを解くと、

𝑚𝑔𝑅 2
𝑎=𝑚𝑅 2 + 𝐼
また、滑車の慣性モーメントについて、滑車を一様な円盤と見なすと、

M1
𝐼＝ 𝑀𝑅 22すると𝑎=2𝑚𝑔2𝑚 + 𝑀

R ωTaTとなると予想できる。各文字は[図 4]参照。

𝑚𝑔
結果：▲[図 4]働く力

近似直線は原点を通る比例のグラフとなり、その傾きはほぼ重力加速度の値に一致した(-2.86%のずれ)。

[グラフ7]質量と重りの加速度の関係
87

加速度/ｍｓ⁻２654y = 9.52x
R² = 0.9997

32100.30

0.40

0.50

0.602𝑚/(2𝑚+𝑀)の値

0.700.80考察：
仮説が成り立ったことから、角運動量 J と物体の慣性モーメント I、角速度

ω の間に(*)の関係が成り立つことが示された。わずかに加速度が理論値を下回った理由としては、タコ糸と滑車の間の摩擦、滑車とその軸の間の摩擦、空気抵抗などが考えられる。
〖6〗以上を踏まえての考察〈実験 1 について〉
実験 4 と同様に、角運動量の定義と運動方程式、小球の角速度と小球の重心速度の関係について立式する。ここで、レールと小球の接地点について、[図6]のように、摩擦力の作用線の、回転軸からの距離(回転軸と接地点の距離)が小球半径 R の 4/5 になっている事を考慮する。

aN
ω
3.0 ㎜

Mg sinθF4.0 ㎜Mg cosθ

R=5.0 ㎜
レール

θ
6.0 ㎜

▲[図 5]小球(質量 M)に働く力▲[図 6]レールと小球の接地点

𝐼･𝑑𝜔 4＝ 𝑅･ 𝐹𝑑𝑡
5𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 − 𝐹
𝑎=4 𝑑𝜔
𝑅･5𝑑𝑡

これを解くと、

𝑎=813𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃

…(式 1)

ここで実験 1 の[グラフ 3]と比較する。

[グラフ8]加速度と正弦の関係

測定値と理論値

加速度/ｍｓ⁻２3.532.521.5

測定値

1

理論値0.5000.1

0.20.30.40.50.6

正弦グラフより、ほとんど一致することがわかる。よって、運動方程式と(*)はおおよそ成立することがわかる。なお、グラフ右端を見ると、測定値がやや理論値を上回っているが、これはわずかながら小球の滑りが始まったためと考えられる。これについて詳しく考える。
上の[グラフ 8]を正弦の値が 1、つまりレールの角度が 90°の垂直状態まで拡張すると、その加速度は、自由落下における加速度と等しく 9.80m/s2 となっているはずである。しかし、(式 1)に従うと、6.03m/s2 と大幅に小さくなっている。これは(式 1)が、小球の滑りが起きないことを前提としているからである。そこで、実験 1 のレールと小球間の静止摩擦係数を求め、小球の滑りの条件について考察した。
[補足実験］
目的：レールと小球間の静止摩擦係数を求める。
実験手法：【使用した道具】
小球 2 個(同実験 1)、アプリ「水平器」(同実験 1)、レール(同実験 1)、可変支持台(同実験 1)、テープ【方法】① 2 個の小球をテープで固定する([補足 6])。
② 可変支持台の上にレールを置き、その上に➀を置いて、ゆっくりとレール角度を大きくする。
③ 小球が滑り出したところの角度を計測する。
④ 以上を 20 回繰り返す。

[補足 6]小球の回転を防ぐためである。
結果：滑りの起こり始めの角度の平均値は 18.6°であった。
考察：
この角度はいわゆる摩擦角であり、この角度における正接の値がレールと小球間の静止摩擦係数 μ に一致する。

𝜇＝𝑡𝑎𝑛18.6° ≈ 0.336

これを踏まえ再び実験 1 の考察に戻る。滑りが起こり始める角度𝜃について、(式 1)と運動方程式、最大摩擦力の性質より、

𝐹＝𝑚𝑔 − 𝑚𝑎＝5𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃
13𝐹＝μN＝μm𝑔cosθ
この 2 式の値が等しいから、

𝑡𝑎𝑛𝜃＝5μ ≈ 0.87313𝜃 ≈ 41.1°𝑠𝑖𝑛𝜃 ≈ 0.657

これが小球の滑り始める条件である。よって、実験 1 の測定範囲(2.5°≦θ≦30°)では滑りは起こっていないと考えられる。測定値のグラフ右端がわずかに理論値を上回っているのは、誤差的に滑りが起き始めたことが一因と考えられる。
〈実験 2a について〉
水平方向に運動方程式を用いると、[図 7]から、

𝑚𝑎 = 𝐹 − 𝑓𝑎=1𝑚𝐹−𝑓𝑚…(式 2)…(式 3)これと実験 2a[グラフ 5]の近似式を比較する。

a𝑚は台車質量で 0.276 ㎏。𝑓については、F がN

20.154N の時、𝑎が 0.245 m/s というデータを代入すると、(式 3)は下のように表せる。

𝑓𝑎 = 3.62 × 𝐹 − 0.326mgFF

これは、実験 2a[グラフ 5]の近似式にほぼ一a致するといえる(傾きのずれ +6.0%、y 切片のずれ +1.0%)。以上より、実験 2a[グラフ 5]で近似直線が原点を通らないのは摩擦力によるためであると、運動方程式を用いて説明できる。

▲[図 7]働く力〈実験 2b について〉(式 2)を利用し、各データについて摩擦力の大きさ算出しグラフ化する。

[グラフ9]質量と摩擦力の大きさの関係
0.2500y = 0.132x
R² = 0.930

摩擦力/N0.2000
0.15000.10000.05000.000000.20.4

0.60.8

11.2

1.4

質量/㎏

𝑓 ≈ 0.132 × 𝑚…(式 4)

また、実験 2b では F＝1N に換算して加速度を求めているため、(式 3)は以下のように表せる。

𝑎=(式 4)を代入すると、

1 𝑓−𝑚 𝑚𝑎 ≈ 0.868 ×1𝑚

これは実験 2b[グラフ 5]の近似式にほぼ一致する(傾きのずれ +0.1%)。以上により、実験 2b における摩擦力の影響が運動方程式により説明できた。

〖7〗結論・運動方程式 ma=f が成り立つ。
・角運動量 J と物体の慣性モーメント I、角速度 ω の間に J＝Iω が成り立つ。

〖8〗参考資料[1]国土地理院.“重力値推定計算サービス”.
https://www.gsi.go.jp/buturisokuchi/grageo_index.html,(参照 2021-4-28).
[2]Casio.“三角関数高精度計算”.
https://keisan.casio.jp/exec/system/1260261251,(参照 2021-5-2).
[3]MIKI PULLEY.“慣性モーメントの計算式・公式一覧”.
https://www.mikipulley.co.jp/JP/Services/Tech_data/tech24.html,(参照 2021-6-2).
〖9〗謝辞
石川県立金沢泉丘高等学校の、前田学先生には、研究の進め方や枠組みについて有益な助言をいただきました。心より感謝申し上げます。