Introduction à la relativité générale d’unpoint de vue mathématiqueJérémie SzeftelTable des matières
Chapitre 1. Introduction

5

Chapitre 2. Géométrie différentielle
2.1. Variétés
2.2. Champs de vecteurs et de tenseurs
2.3. Dérivée de Lie
2.4. Dérivée covariante
2.5. Exercices

7
7
11
20
23
25

Chapitre 3. Géométrie Lorentzienne
3.1. Métrique Lorentzienne
3.2. Transport parallèle et géodésiques
3.3. Coordonnées normales et coordonnées géodésiques polaires
3.4. Le tenseur de courbure
3.5. Isométries et champs de Killing3.6. Hypersurfaces
3.7. Métriques conformes
3.8. Intégration
3.9. Exercices

27
27
30
32
36
37
39
41
42
42

Chapitre 4. Relativité restreinte
4.1. Physique Newtonienne
4.2. La naissance de la relativité restreinte
4.3. Symétries de l’espace-temps de Minkowski
4.4. Les équations de l’électromagnétisme
4.5. Exercices

45
45
46
46
48
52

Chapitre 5. La relativité générale
5.1. L’espace-temps
5.2. Le principe d’équivalence
5.3. La formulation Lagrangienne
5.4. Les équations d’Einstein
5.5. Exemples de tenseurs d’énergie-impulsion
5.6. Problème

55
55
55
56
59
61
62

Chapitre 6. Exemples de solutions explicites

65

3

4

TABLE DES MATIèRES

6.1. Espace-temps de Minkowski
6.2. Solution de Schwarzschild
6.3. Solution de Kerr

65
67
70

Chapitre 7. Le problème de Cauchy en relativité générale
7.1. Les équations d’Einstein en coordonnées d’ondes
7.2. Les données de Cauchy
7.3. Les équations de contrainte
7.4. La formulation du problème de Cauchy
7.5. Exercices

75
75
79
80
83
84

Formulaire

87

Index

89

Bibliographie91

CHAPITRE 1

Introduction
Sur une période de 10 ans, allant de 1905 à 1915, Einstein va révolutionner la conception issue de la physique Newtonienne des notions de temps et de gravitation :(1) En 1905, Einstein introduit la relativité restreinte dans [3], en partant en particulier du postulat que le temps n’est pas absolu, mais relatif à l’observateur.
Cela lui permet de trouver un cadre parfaitement adapté à l’électromagnétisme,mais il lui reste encore à incorporer la gravitation dans sa théorie.
(2) Il faudra 10 ans à Einstein pour comprendre comment traiter la gravitation. En
1915, il énonce sa théorie de la relativité générale [4], dans laquelle la gravitationn’est plus traitée comme une force, mais comme induisant une déformation del’espace-temps, de sorte que nous ne vivons pas dans un espace-temps plat, mais
dans un espace-temps courbe, ce qui influe sur notre trajectoire.
Le cadre mathématique naturel de la relativité restreinte est l’espace-temps de Minkowski introduit par Minkowski en 1908 dans [7], et celui de la relativité générale est lagéométrie Lorentzienne, qui est une variante de la géométrie Riemannienne introduite par
Riemann en 1854 dans [9]. Le but de ce cours est :(1) De fournir les bases de géométrie Lorentzienne nécessaires à la compréhension ducours, afin que celui-ci soit auto-contenu.
(2) De formuler les équations de l’électromagnétisme dans le cadre de la relativité
restreinte.
(3) De dériver les équations d’Einstein à partir de l’action d’Einstein-Hilbert.
(4) De comprendre la géométrie des solutions fondamentales de Schwarzschild qui
correspond à un trou noir statique, et de Kerr, qui correspond à un trou noir enrotation.
(5) De formuler les équations d’Einstein sous la forme d’un problème d’évolution.
Enfin, pour un traitement plus approfondi de la partie portant sur la géométrie, je
recommande le livre de Petersen [8], même si il existe bien sur de nombreux autres ouvrages excellents sur le sujet. Et pour un traitement plus approfondi de la partie portant
sur le traitement mathématique des équations d’Einstein, je recommande les ouvrages de
Hawking et Ellis [5] et Wald [11].
5CHAPITRE 2

Géométrie différentielle
On souhaite étendre le calcul différentiel sur Rn à des ensembles plus généraux que
les espaces vectoriels. Pour ce faire, nous allons dans ce chapitre répondre aux questions
suivantes :(1) Où les objets que l’on souhaite dériver vivent-ils ? Ces objets vivent sur desvariétés différentielles, concept qui sera introduit dans la section 2.1.
(2) Quels objets dérive-t-on ? Il s’agit des tenseurs, qui seront définis dans la section
2.2.
(3) Comment généraliser la notion de dérivée aux variétés ? On apportera deuxréponses : la dérivation de Lie sera introduite dans la section 2.3, et la dérivéecovariante dans la section 2.4.
2.1. Variétés
La structure de variété différentielle a pour but de permettre d’étendre le calcul
différentiel sur Rn à des ensembles plus généraux que les espaces vectoriels.
2.1.1. Motivation : l’exemple de la sphère. On va motiver la définition de variétédifférentielle de la section 2.1.2 sur l’exemple simple de la sphère unité de R3 notée S2 etdéfinie par(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 tels que (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 1.
On voudrait trouver une définition permettant de répondre aux questions suivantes :(1) En quel sens S2 est de dimension 2 ?
(2) Comment définir la classe C r pour une fonction f : S2 → R ?
Pour cela, on introduit les ouverts Uj , j = 1, ..., 6 suivants (qui correspondent à six demi
sphères) :Uj = {x ∈ S2 / xj > 0} et Uj+3 = {x ∈ S2 / xj < 0}, j = 1, 2, 3.
On introduit également les applications φj : Uj → R2 , j = 1, ..., 6 suivantes
φ1 (x) = φ4 (x) = (x2 , x3 ), φ2 (x) = φ5 (x) = (x1 , x3 ), φ3 (x) = φ6 (x) = (x1 , x2 ).
On remarque que les Uj forment un recouvrement de S2
2

S =

6
[
j=1

7

Uj

(2.1)

8

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLEet que les φj sont des homéomorphismes de Uj sur BR2 (0, 1), où BR2 (0, 1) désigne la boule
ouverte de R2 de centre 0 et de rayon 1. Ceci permet de répondre à la question (1), puisqueS2 admet un recouvrement d’ouvert qui sont tous homéomorphes à un ouvert de R2 .
On considère maintenant la question (2). Soit f : S2 → R. L’idée est de se ramener àla situation que l’on connait, à savoir les fonctions de R2 dans R. On voudrait donc direr
que f est C r en x0 ∈ S2 si pour un j tel que x0 ∈ Uj , on a f ◦ φ−1
j qui est C au voisinage
de φj (x0 ). Il reste à vérifier sous quelles conditions cette définition ne dépend pas du choix
de Uj . On a−1
f ◦ φ−1= f ◦ φ−1j ◦ (φj ◦ φl ).
l

Par conséquent, pour que cette définition soit valable, il suffit que l’on ait
φj ◦ φ−1∈ C r là où cette fonction est définie.
l

(2.2)

On vérifie que (2.2) est vrai dans le cas j = 1, l = 2, les autres cas étant similaires. En
effet, on a
p
1
3
3
1 2
3 2
∀(x1 , x3 ) ∈ BR2 (0, 1) avec x1 > 0, φ1 ◦ φ−1
2 (x , x ) = ( 1 − (x ) − (x ) , x )qui est bien C ∞ sur BR2 (0, 1).
Dans la section suivante, on introduit la définition de variété différentielle en généralisantles propriétés (2.1) et (2.2).
2.1.2. Définition. On rappelle les notions suivantes de topologie.
Définition 2.1. Un espace topologique E est dit séparé si deux points distincts de E
admettent des voisinages disjoints.
Définition 2.2. Soit espace topologique E. Un recouvrement ∪i∈I Ui de E est dit
localement fini si tout point de E possède un voisinage ne rencontrant qu’un nombre finide Ui .
Définition 2.3. Soit E un espace topologique. On dit que E est un espace paracompact
si il est séparé et si tout recouvrement d’ouverts admet un sous recouvrement localementfini.
On peut maintenant définir la notion de variété différentielle.
Définition 2.4. Soit r un entier. On appelle variété différentielle de dimension n
et de classe C r un espace paracompact M muni d’un C r -atlas {Uα , φα }, c’est à dire une
famille de cartes locales (Uα , φα ), où les Uα sont des ouverts de M et les φα sont deshoméomorphismes de Uα vers un ouvert de Rn tel que(1) les Uα forment un recouvrement de M, c’est à dire M = ∪α Uα ,

2.1. VARIÉTÉS

9(2) si Uα ∩ Uβ est non vide, alors l’application
φα ◦ φ−1
β : φβ (Uα ∩ Uβ ) → φα (Uα ∩ Uβ )appelée fonction de transition est un C r difféomorphisme entre ouverts de Rn .
Notons que sur chaque Uα on a des coordonnées locales xi , i = 1, . . . , n définies parl’application φα : pour tout p ∈ Uα , les coordonnées de p sont données par les coordonnéesde φα (p) dans Rn , c’est à dire
(x1 , . . . , xn ) = (π1 (φα (p)), . . . , πn (φα (p)))
où πi désigne la projection sur la i-ième coordonnée. Notons également que la condition(2) stipule que si deux systèmes de coordonnées locaux ont une intersection non vide,alors les coordonnées dans un des voisinages sont des fonctions C r des coordonnées dansl’autre voisinage et vice versa.
On dit qu’un C r -atlas sur M est compatible avec un C r -atlas donné si leur union
forme un atlas sur M. L’union de tous les atlas compatibles avec un atlas donné sur M
est appelé atlas complet de M. Un atlas complet est donc l’ensemble de tous les systèmes
de coordonnées possibles recouvrant M.
Enfin, on définit la notion de sous variété différentielle.
Définition 2.5. Soient n ≤ m deux entiers. Soit M une variété C r de dimension m,
et soit N ⊂ M un sous ensemble de M. On dit que N est une sous variété de M dedimension n si on peut munir M d’un C r -atlas {Uα , φα } compatible tel que
φα (N ∩ Uα ) = (Rn × {0}) ∩ φα (Uα ).
2.1.3. Exemples.
Exemple 2.6. L’ensemble Rn est une variété de dimension n définie par l’atlas consistant d’une seule carte locale (U, φ) = (Rn , I) où I est l’identité sur Rn . L’atlas complet
correspondant contient toutes les cartes locales (U, φ) tel que U est un ouvert de Rn et
φ : U → Rn un difféomorphisme.
Remarque 2.7. Considérons une sous variété N de Rm de dimension n et de classe
C , et soit {Uα , φα } le C r -atlas compatible de Rm tel querφα (N ∩ Uα ) = (Rn × {0}) ∩ φα (Uα ).
Au vu de l’exemple précèdent, les Uα sont des ouverts pour la topologie usuelle de Rm , etles φα sont des C r difféomorphismes.
Exemple 2.8. Au vu de la discussion de la section 2.1.1, S2 est une variété de dimension 2. Nous avons utilisé six cartes locales pour recouvrir S2 (voir (2.1)). Notons qu’il

10

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

est impossible de recouvrir S2 avec un seul système de coordonnées. On peut généraliser
cet exemple à la sphère unité de Rn notée Sn−1 et définie par(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tels que (x1 )2 + · · · + (xn )2 = 1
qui forme une variété de dimension n − 1.
Exemple 2.9. Soient M et N deux variétés. On peut définir une structure naturellede variété sur le produit cartésien M × N . Si M est une variété de dimension m, et si
N est une variété de dimension n, alors, avec cette structure naturelle, M × N est une
variété de dimension m + n.
2.1.4. Applications entre variétés.
fβ ◦ f ◦ φ−1 est C r
f est C r si φDéfinition 2.10. Une application continue f : M → M
αdans toutes les cartes locales où cette application est définie.
Les atlas maximaux étant a priori très grand, il est préférable d’utiliser le critèresuivant
f est C r si et seulement si
Proposition 2.11. Une application continue f : M → M
pour tout p ∈ M, il existe des cartes Uα , Ueβ voisinages de p et f (p) respectivement, telfβ ◦ f ◦ φ−1 est C r là où cette application est définie.
que φαDémonstration. Cela découle immédiatement du fait que les fonctions de transitionre e−1
φα ◦ φ−1β et φα ◦ φβ entre cartes locales sont C .
f est C r et g : M
f → N est C r , alors g ◦ f est C r .
Proposition 2.12. Si f : M → M
Démonstration. Il suffit de remarquer que 
fβ −1 ◦ φfβ ◦ f ◦ φ−1
ψγ ◦ g ◦ f ◦ φ−1
=
ψ
◦
g
◦
φ
γ
α
α
et d’utiliser le fait que la composition de deux fonctions C r dans Rn est C r .

f sont difféomorphes si il existe f : M → MfDéfinition 2.13. On dit que M et M
−1
1
tel que f et f sont tous les deux C .
2.1.5. Immersions et submersions.
Définition 2.14. Soit U un ouvert de Rm , et soit f : U → Rn une application C r .
Alors, on dit que :• f est une immersion en x ∈ U si sa différentielle en x est injective.
• f est une submersion en x ∈ U si sa différentielle en x est surjective.
On dit que f est une submersion au dessus de y ∈ Rn si f est une submersion en tout
point de f −1 (y).
On rappelle le théorème du rang constant.

2.2. CHAMPS DE VECTEURS ET DE TENSEURS

11

Théorème 2.15 (Théorème du rang constant). Soit U un ouvert de Rm , et soit f :U → Rn une application C r . Soit 1 ≤ l ≤ min(m, n). Si le rang de dfx est égal à l pour
tout x dans U, alors pour tout x ∈ U, il existe un ouvert Ux de x, un ouvert Vf (x) def (x), et des des C r difféomorphismes φ : V → Ux et ψ : Vf (x) → W , où V et W sontrespectivement des ouverts de Rm et Rn , tel queψ ◦ f ◦ φ(x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xl , 0, . . . , 0).
En particulier, si :• f est une immersion en tout point de U, alors on a l = m et on peut prendre
l’identité pour φ :ψ ◦ f (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0).
• f est une submersion en tout point de U, on a l = n et on peut prendre l’identitépour ψ :f ◦ φ(x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xn ).
On en déduit immédiatement la proposition suivante.
Proposition 2.16. Soit U un ouvert de Rm , et soit f : U → Rn une application C r .
• Si f est injective et propre sur U, et si f est une immersion en tout point de U,
alors f (U) est une sous variété de Rn de dimension m.
• Soit y ∈ Rn . Si f −1 (y) 6= ∅ et si f est une submersion au dessus de y, alors f −1 (y)est une sous variété de Rm de dimension m − n.
Exemple 2.17. Soit f : Rn → R définie parf (x1 , . . . , xn ) = (x1 )2 + · · · + (xn )2 .
Alors, on vérifie immédiatement que f est une submersion au dessus de r pour tout r > 0.
En particulier, pour r = 1, on obtient une autre preuve du fait que la sphère Sn−1 est une
sous variété de dimension n − 1 de Rn .
2.2. Champs de vecteurs et de tenseurs
Un champ de tenseurs est équivalent à un tenseur défini en chaque point de la variété,
donc il faut d’abord définir un tenseur en un point, en commençant par le cas le plus
simple d’un vecteur en un point.
2.2.1. L’espace tangent. Soit M un variété C r de dimension n et soit p ∈ M. Soit
X(p) l’algèbre des fonctions de M dans R localement C r en p. Notons en particulier que
si f ∈ X(p) et g ∈ X(p), alors le produit f g est dans X(p).
Définition 2.18. Une dérivation D en un point p est une application
D : X(p) → R
satisfaisant les propriétés suivantes pour toutes fonctions f et g dans X(p)

12

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE(1) D(λf + µg) = λDf + µDg, ∀λ, µ ∈ R,
(2) D(f g) = g(p)Df + f (p)Dg.
Proposition 2.19. L’ensemble des dérivations en p forme un espace vectoriel dedimension n que l’on note Tp (M).
Démonstration. Le fait que Tp M est un espace vectoriel est clair. Soit xi un systèmede coordonnées locales centrées en p. On définit l’application∂: X(p) → R∂xi |ppar∂f = ∂xi (f ◦ φ−1α )|φα (p)∂xi |poù φα correspond à la carte locale définissant le système de coordonnées locales xi .
Notons que∂(xj ◦ φα ) = δiji∂x |pce qui implique immédiatement de que les ∂x∂ i sont linéairement indépendants.
∂
est clairement une dérivation par les propriétés usuelles des dérivées de fonctions∂xi |pnde R dans R. On veut maintenant montrer que l’ensemble
∂, i = 1, . . . , n∂xi |pengendre Tp M. Il suffit de montrer que si

D(xi ◦ φα ) = 0 pour tout i = 1, . . . , nalors on a D = 0. Donc soit un tel D, et soit f un élément arbitraire de X(p). On peut
supposer le système de coordonnées locales xi tel que p correspond à l’origine dans ces
coordonnées. A l’aide de la formule de Taylor reste intégrable, on peut réécrire la fonctionf ◦ φ−1
α commeif ◦ φ−1
α (x) = f (p) + gi (x)xoù les gi sont des fonctions C ∞ . On obtient alors par les propriétés de la dérivation
Df (p) = f (p)D1 + gi (0)D(xi ◦ φα ) + xi (0)D(gi ◦ φα ) = 0
pour tout f , et donc D = 0 ce qui conclut la preuve. Notons que l’on a utilisé D1 = 0.
En effet, on a par la propriété (2) de la dérivation D1 = D12 = D1 + D1 = 2D1.


2.2. CHAMPS DE VECTEURS ET DE TENSEURS

13

Remarque 2.20. On a utilisé ci-dessus la convention de sommation d’Einstein. Quandle même indice est répété  en haut  et  en bas , comme dans l’expression gi xi , il fautcomprendrenX
g i xi .
i=1

Notons ici que n est la dimension de M, et que dans l’expression∂∂xi |pil faut comprendre l’indice i comme étant en bas.
Définition 2.21. Tp M est appelé espace tangent à M en p, et ses éléments lesvecteurs tangents.
Exemple 2.22. L’espace tangent à Rn en chacun de ses points est Rn .
Exemple 2.23. L’espace tangent à la sphere Sn−1 en ω ∈ Sn−1 est l’hyperplan de Rn
orthogonal à ω.
Donnons une interprétation géométrique de la dérivation en p. Soit γ une courbe C r
passant par p, c’est à dire qu’il existe ε > 0 tel que
γ : (−ε, ε) → M, γ(0) = p.
Alors on peut définir une dérivation Dγ en p parDγ f = (f ◦ γ)0 (0).
Toutes les dérivations sont en fait de ce type. En effet, on a
Dγ f = (f ◦ γ)0 (0)0i= ∂xi (f ◦ φ−1α )|φα (γ(0)) (φα ◦ γ) (0)∂0f= (φα ◦ γ)i (0) i∂x |γ(0)donc en choisissant pour (a1 , . . . , an ) dans Rn la courbe
1nγ(t) = φ−1
α (ta , . . . , ta ),on obtientDγ f = ai∂f.
∂xi |γ(0)Comme les ∂x∂ i engendrent Tp M, ceci montre bien que Tp M est engendré par les dérivations
Dγ . En particulier, cela permet de réinterpréter Tp M comme l’ensemble des vecteurs tangents aux courbes tracées sur M et passant par p. On notera souvent ce vecteur tangent
par γ 0 ou γ̇.

14

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

2.2.2. Le fibré tangent. Soit M une variété C r de dimension n. On définit le fibré
tangent T M comme l’ensemble des vecteurs tangents à M, c’est à dire
[
TM =
Tp M.
p∈M

Notons par π l’application naturelle
π : T M → M,
qui à un vecteur tangent de Tp M associe le point p ∈ M. On définit alors l’atlas suivant
sur T Mfα = π −1 (Uα ),
U


i ∂
f
φα : β→ (φα (p), β 1 , . . . , β n ).
∂xi |p
Proposition 2.24. Le choix d’atlas ci-dessus fait de T M une variété C r−1 de dimension 2n telle que π est une application C r−1 .
Démonstration. On afα = ∪ π −1 (Uα ) = π −1 (∪ Uα ) = π −1 (M) = T M,
∪Udonc il suffit de montrer que les fonctions de transition sont C r−1 . Pour cela, on part deβ j ∂y∂ j dans le système de coordonnées (y 1 , · · · , y n ) associé à φβ qu’on exprime dans lesystème de coordonnées (x1 , · · · , xn ) associé à φα . On a pour toute fonction f C r de M
dans R

−1
−1
−1
∂(f
◦
φ
)
∂
(f
◦
φ
)
◦
(φ
◦
φ
)
∂
α
α
β
β
βj j f = βj
= βj
∂y
∂y j
∂y j
et on en déduit quefα ◦ φfβ −1 : φβ (Uα ∩ Uβ ) × Rn → φα (Uα ∩ Uβ ) × Rn ,φ
−1(y, h) → (φα ◦ φ−1
β (y), dy (φα ◦ φβ )h)qui est bien C r−1 .

Notons que pour tout p ∈ M fixé, φe restreint à Tp M est une application linéaire.
Définition 2.25. Un champ de vecteurs C r est une application C r X : M → T M
telle queπ◦X=Ioù I désigne l’application identité sur M.
Notons que dans une carte locale, les champs de vecteurs C r sur M sont tous de laforme∂
αi (p) i∂x |piroù les fonctions α sont C .

2.2. CHAMPS DE VECTEURS ET DE TENSEURS

15

Exemple 2.26. Un champ de vecteurs C r X sur Rn est une application C r X de Rn
dans lui-même.
Exemple 2.27. Un champ de vecteurs C r X sur Sn−1 est une application C r X deSdans Rn telle que en tout point ω ∈ Sn−1 , X(ω) est orthogonal à ω pour le produit
scalaire euclidien.
n−1

2.2.3. Le fibré cotangent.
Définition 2.28. Soit une variété M. Pour tout p ∈ M, on note Tp∗ M l’espacecotangent, c’est à dire l’espace dual de Tp M. Le fibré cotangent est alors défini par[
T ∗M =Tp∗ M.
p∈M

Rappelons que l’espace dual a la même dimension que l’espace de départ. Par conséquent,pour tout p ∈ M, l’espace cotangent Tp∗ M est un espace vectoriel de dimension n.
Définition 2.29. Une 1-forme est une application ω : M → T ∗ M telle queπ◦ω =Ioù I désigne l’application identité sur M, et où par abus de notation, on a encore notépar π l’application naturelle
π : T ∗ M → M,
qui à un élément de l’espace cotangent Tp∗ M associe le point p ∈ M.
Soit f : M → R une fonction C r . Alors, pour tout champ de vecteurs X sur M, ondéfinit X(f ) par∂
X(f )(p) = X i i f|p = X i (p)∂xi (f ◦ φ−1α )|φα (p) .
∂x
On voit sur la formule que X → X(f ) est une 1-forme. On note cette 1-forme df , qui est
donc définie pardf (X) = X(f )pour tout champ de vecteurs X. En particulier, si γ : (−ε, ε) → M est une courbe C r , ona∂f(f ◦ γ)0 (0) = (γ i )0 (0) i∂x |γ(0)= dfγ(0) (γ̇(0)).
On peut maintenant définir dxi où on a appliqué, avec un léger abus de notation, ladéfinition de df avec f = xi ◦ φα . Remarquons que l’on a


 ∂xi
∂
∂
i
i
−1
=
(x
◦
φ
)
◦
φ
=
dx
α
α
∂xj
∂xj
∂xj

16

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

et donc
dx

i



∂
∂xj



= δji .

On appelle dxi la base duale de ∂x∂ i .
Remarque 2.30. On définit l’atlas suivant sur T ∗ M
fα = π −1 (Uα ),
U
n
o
i
f
φα : βi dx|p → (φα (p), β1 , . . . , βn ).
Comme dans le cas du fibré tangent, le choix d’atlas ci-dessus fait de T ∗ M une variété
C r−1 de dimension 2n telle que π est une application C r−1 .
Remarque 2.31. Dans une carte locale, les 1-formes C r sur M sont toutes de laforme
αi (p)dxi|poù les fonctions αi sont C r .
Grâce à la définition de df , on peut énoncer la proposition suivante.
Proposition 2.32. Soit M une variété de dimension n. Soit f : M → R de classe
C r telle que dfp 6= 0 pour tout p ∈ M. Alors, les ensembles de niveau de f sont des sousvariétés de M de dimension n − 1.
Démonstration. Soit a ∈ R tel que f −1 (a) 6= ∅. Soit (Uα , φα ) une carte locale telleque f −1 (a) ∩ Uα 6= ∅. On considère f ◦ φ−1
α qui est une application de l’ouvert φα (Uα ) den
R dans R. On a pour tout i = 1, . . . , n et tout p ∈ Uα∂(f ◦ φ−1∂∂α )
(φα (p)) =f = dfp.
∂xi∂xi |p∂xi |pComme dfp 6= 0 par hypothèse, on en déduit que f ◦ φ−1
α est une submersion au dessus de−1 −1
a. Par la Proposition 2.16, (f ◦ φα ) (a) est donc une sous variété de dimension n − 1 de
Rn . Il existe par conséquent un atlas compatible {Vα,β , ψα,β } de Rn tel que−1n−1ψα,β ((f ◦ φ−1
× {0}) ∩ ψα,β (Vα,β ).
α ) (a) ∩ Vα,β ) = (RSoit
Wα,β = φ−1
α (Vα,β ), ϕα,β = ψα,β ◦ φα .
On vérifie alors que {Wα,β , ϕα,β } est un atlas compatible qui fait de f −1 (a) une sousvariété de M de dimension n − 1.


2.2. CHAMPS DE VECTEURS ET DE TENSEURS

17

2.2.4. Produits tensoriels d’espaces vectoriels. Afin de définir les fibrés tensoriels dans la section suivante, on introduit maintenant la notion de produit tensorield’espaces vectoriels.
Soient U et V deux espaces vectoriels. On définit le produit tensoriel U ⊗ V commel’espace vectoriel libre généré par les symboles u ⊗ v où u ∈ U et v ∈ V quotienté par lesous-espace généré paru ⊗ (αv + βev ) − αu ⊗ v − βu ⊗ veet(αu + βeu) ⊗ v − αu ⊗ v − βeu ⊗ v.
On obtient bien un espace vectoriel. Si U a pour dimension n et si (e1 , . . . , en ) en est une
base, et si V a pour dimension m et si (f1 , . . . , fm ) en est une base, alors U ⊗ V a pourdimension nm, et ei ⊗ fj forme une base. On au ⊗ v = ui ei ⊗ v j fj
= ui v j e i ⊗ fj ,et plus généralement, les vecteurs de U ⊗ V s’écrivent donc sous la forme
aij ei ⊗ fj .
La proposition suivante, dont la preuve est laissée au lecteur, rassemble quelque propriétés élémentaires du produit tensoriel.
Proposition 2.33. Le produit tensoriel vérifie les propriétés suivantes(1) U ⊗ V a la propriété universelle suivante. Si
B :U ×V →We◦hest une application bilinéaire, alors elle se factorise de manière unique en Boù h : U × V → U ⊗ V est défini parh(u, v) = u ⊗ v
e est linéaire.
et où B(2) (U ⊗ V ) ⊗ W = U ⊗ (V ⊗ W ). On écrira donc simplement U ⊗ V ⊗ W .
(3) U ⊗ V ' V ⊗ U .
(4) L(U, V ) ' U ∗ ⊗ V , où L(U, V ) désigne l’ensemble des applications linéaires deU dans V .
(5) (U ⊗ V )∗ ' U ∗ ⊗ V ∗ .

18

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

2.2.5. Les fibrés tensoriels.
Définition 2.34. Pour r et s entiers et pour p ∈ M, (Trs )p M est donné par(Trs )p M = Tp M ⊗ · · · ⊗ Tp M ⊗ Tp∗ M ⊗ · · · ⊗ Tp∗ M .
|
{z
} |
{z
}
r foiss foisOn définit alors le fibré Trs M des tenseurs r-fois contravariant et s-fois covariant par
Trs M =[

(Trs )p M.

p∈M

Une base naturelle pour (Trs )p M est donnée dans des coordonnées locales par∂∂⊗ · · · ⊗ ir ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs |p .
i
1
∂x
∂x
Définition 2.35. On appelle un champ de tenseurs r-fois contravariant et s-fois
covariant de classe C r la donnée en tout point p ∈ M d’un élément de (Trs )p M, de sorteque dans toute base naturelle les coordonnées des tenseurs soient des fonctions C r de M.
Afin de s’habituer aux notations tensorielles, on récapitule la définition précédente.
Un champ de tenseurs r-fois contravariant et s-fois covariant de classe C r T s’écrit dansdes coordonnées locales∂...ir ∂
T = Tji11...j⊗ · · · ⊗ ir ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs
s
i
1
∂x
∂x
i1 ...irroù les fonctions Tj1 ...js : Uα → R sont C , et où on a noté Uα l’ouvert de la carte locale.
Dans toute la suite, on désignera les champs de tenseurs r-fois contravariant et s-fois
covariant par le terme de champ de tenseurs de type (r, s).
Remarque 2.36. Un champ de vecteurs est un champ de tenseurs de type (1, 0), et
une 1-forme est un champ de tenseurs de type (0, 1).
Une opération importante sur les champs de tenseurs est la contraction par rapportà une paire d’indices où un des indices est covariant et l’autre est contravariant. Par
exemple, soit T un champ de tenseurs de type (r, s), on note C11 (T) le champ de tenseursde type (r − 1, s − 1) obtenu en contractant le premier indice covariant avec le premierindice contravariant. On obtient∂
ki2 ...ir ∂C11 (T) = Tkj⊗ · · · ⊗ ir ⊗ dxj2 ⊗ · · · ⊗ dxjs .
2 ...jsi2∂x∂xl
On définit de la même manière Ck (T) qui est le champ de tenseurs de type (r − 1, s − 1)
obtenu en contractant le l-ième indice contravariant avec le k-ième indice covariant. Onvérifie facilement que cette opération, à savoir la contraction par rapport à une paired’indice où un des indices est covariant et l’autre est contravariant, est indépendante duchoix de la base (ce qui ne serait pas le cas si on contractait deux indices covariants, ou
deux indices contravariants).

2.2. CHAMPS DE VECTEURS ET DE TENSEURS

19

Exemple 2.37. Soit T un tenseur de type (1, 1) donné dans un système de coordonnéesparT = aij∂⊗ dxj .
i∂x

Alors, on a
C11 (T) = aii
qui est la trace d’une matrice et est donc bien indépendant du choix de la base.
2.2.6. Le tiré en arrière et le poussé en avant. Soient M et M0 deux variétés.
Soit φ : M → M0 une application C r . Si f est une fonction scalaire sur M0 , on peutdéfinir une fonction scalaire φ∗ f sur M telle que :∀p ∈ M, φ∗ f (p) = f (φ(p)).
On dit que φ∗ f est le tiré en arrière (le pullback) de f .
Supposons maintenant que φ est bijective. On peut également définir le poussé enavant (push forward) φ∗ : Tp M → Tφ(p) M0 de la manière suivante :∀f ∈ C 1 (M0 , R), ∀X ∈ Tp M, φ∗ X(f )|φ(p) = X(φ∗ f )|p .
Remarque 2.38. Si γ : (−ε, ε) → M est une courbe C r , alors on aφ∗ γ̇ |φ(γ(0)) = (φ ◦ γ)0 (0).
Exemple 2.39. Soit φ : Rn → Rn un C 1 difféomorphisme. Alors, pour tout champ devecteurs X sur Rn , on a :φ∗ Xφ(p) = dp φ(Xp ).
En utilisant la définition de φ∗ , on peut étendre le tiré en arrière φ∗ aux tenseurs detype (0, 1) par dualité en posant∗∀η ∈ Tφ(p)M0 , ∀X ∈ Tp M, hφ∗ η, Xi|p = hη, φ∗ Xi|φ(p) .

Enfin, on peut étendre de manière naturelle le poussé en avant φ∗ aux tenseurs contravariants, et le tiré en arrière φ∗ aux tenseurs covariants. Si T est un tenseur de type (r, 0)
sur M, on définit φ∗ T de la manière suivante :∗∀η 1 , . . . , η r ∈ Tφ(p)M0 , φ∗ T(η 1 , . . . , η r )|φ(p) = T(φ∗ η 1 , . . . , φ∗ η r )|p .

De même, si T est un tenseur de type (0, s) sur M0 , on définit φ∗ T de la manière suivante :∀X1 , . . . , Xs ∈ Tp M, φ∗ T(X1 , . . . , Xs )|p = T(φ∗ X1 , . . . , φ∗ Xs )|φ(p) .

20

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

2.3. Dérivée de Lie
2.3.1. Flot d’un champ de vecteur. Le théorème de Cauchy-Lipschitz usuel dans
R concernant l’existence et l’unicité des équations différentielles ordinaires peut-êtreétendu aux variétés.
n

Proposition 2.40. Soit M une variété C r et soit X un champ de vecteurs C 1 sur unouvert U de M. Alors pour tout point p de U, il existe une unique courbe intégrale γ de
X maximale, c’est à dire que γ : (T− , T+ ) → U avec T− < 0 < T+ tel que
γ 0 (t) = Xγ(t) pour T− < t < T+ et γ(0) = p.
On peut obtenir comme dans le cas de Rn l’existence d’un groupe à un paramètre
d’isomorphismes.
Proposition 2.41. Pour tout p ∈ M, il existe un ouvert U contenant p, un intervalle
ouvert I contenant 0 et des difféomorphismes φt sur leur image
φt : U → M
tels que φt (q) est la courbe intégrale du champ de vecteurs X passant par q donnée par la
Proposition 2.40. De plus, φ : U × I → M est une application C 1 etφt ◦ φs = φt+s
sur U ∩ φ−s (U) pour tout t, s, t + s dans I. Notons que φ0 = Id et que φ−t = φ−1
pourt
tout t, −t dans I.
2.3.2. Crochet de Lie. Soient X et Y deux champs de vecteurs. On vérifie immédiatementque
X(Yf ) − Y(Xf ), f ∈ C ∞vérifie en tout point p ∈ M les propriétés d’une dérivation énoncée dans la définition 2.18.
On peut donc donner la définition suivante.
Définition 2.42. Soient X et Y deux champs de vecteurs. On désigne par [X, Y] lechamp de vecteurs correspondant à la dérivation suivante[X, Y]f = X(Yf ) − Y(Xf ), f ∈ C ∞ .
Ce champ de vecteurs est appelé crochet de Lie de X et Y.
La proposition suivante est une conséquence immédiate de la définition et la preuve
est laissée au lecteur.
Proposition 2.43. On a les propriétés suivantes(1) [Y, X] = −[X, Y](2) [X1 + X2 , Y] = [X1 , Y] + [X2 , Y](3) [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0 (identité de Jacobi)(4) [f X, gY] = f g[X, Y] + f (Xg)Y − g(Yf )X2.3. DÉRIVÉE DE LIE

21

La proposition ci-dessus nous permet d’obtenir une formule pour [X, Y] dans un
système de coordonnées locales. Si xi est un système de coordonnées locales, notons
d’abord que


∂
∂
= 0.
(2.3)
,
∂xi ∂xj
En utilisant en particulier l’identité (4) de la Proposition 2.43, et en posant
X = Xi∂∂, Y = Y i i,i∂x∂x

on obtient


j
j
∂
i ∂X
i ∂Y
−Y
.
[X, Y] = X
i
i
∂x
∂x
∂xj

(2.4)

On donne dans la proposition suivante une interprétation géométrique de la dérivéede Lie.
Proposition 2.44. Soient X et Y deux champs de vecteurs. Soit φt le groupe à unparamètre associé à X dans la Proposition 2.41. Alors, on a
[X, Y]|p = lim t−1 (Y|p − ((φt )∗ Y)p ).
t→0

Démonstration. On note ft = f ◦ φt . On a


d
d
ft
= dfφt φt= Xf.
dt |t=0dt
t=0
On en déduit le développement limité à l’ordre 2 suivant
ft = f + tXf + O(t2 ).
On obtient−1−1
t−1 (Yf (p) − Y(f ◦ φt )(φ−1t (p))) = t (Yf (p) − Yf (φt (p))) − YXf (p) + O(t).

Comme


d
d −1
−1
Yf (φt (p))t=0 = dYfφ−1
φ (p)= −XYf (p)t (p) dt t
dtt=0
on obtient finalementd
Yf (φ−1t (p))t=0 − YXf (p)dt= XYf (p) − YXf (p)= [X, Y]f (p)lim t−1 (Yf (p) − Y(f ◦ φt )(φ−1t (p))) = −t→0ce qui conclut la preuve de la proposition.

22

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

2.3.3. Dérivée de Lie. Soit X un champ de vecteurs. On peut maintenant définir ladérivée de Lie LX appliquée à un champ de tenseurs T. A un champ de tenseurs de type(r, s) T, on associe un champ de tenseurs de type (r, s) LX T selon les règles suivantes.
(1) LX f = Xf pour toute fonction scalaire f(2) LX Y = [X, Y] pour tout champ de vecteurs Y(3) LX (T1 + T2 ) = LX T1 + LX T2 pour tous champs de tenseurs de type (r, s) T1
et T2(4) LX (T1 ⊗ T2 ) = LX T1 ⊗ T2 + T1 ⊗ LX T2 pour tous champs de tenseurs T1 et
T2(5) LX (f T) = f LX T+(Xf )T pour tout champ de tenseurs T et pour toute fonction
scalaire f(6) LX Ckl (T) = Ckl (LX T) pour tout champ de tenseurs T, et pour toute contraction
Ckl
En particulier, soit un tenseur ω de type (0, 1). On a dans un système de coordonnéesω = ωi dxi .
Par (4), on a pour tout champ de vecteurs Y
LX (ω ⊗ Y) = LX ω ⊗ Y + ω ⊗ LX Y
et on en déduit par (1), (2) et (6)X(ωi Y i ) = Y i (LX ω)i + ωi [X, Y]i .
En choisissant
Y=

∂
∂xi

on en déduit(LX ω)i =

∂ωi j
∂X j
X
+
ω
j
∂xj
∂xi

où on a utilisé (2.4) pour calculer∂X j ∂∂X, i = − i.
∂x∂x ∂xjEn particulier, on a
∂X j
.
(2.5)
∂xi
On peut maintenant calculer LX T dans un système de coordonnées pour un champde tenseurs de type (r, s) T. On utilise (4), (2) et (2.5) pour calculer


∂
∂
1
s
LX T ⊗ 1 ⊗ . . . ⊗ r ⊗ dx ⊗ . . . ⊗ dx .
∂x∂xLX (dxj )i =

2.4. DÉRIVÉE COVARIANTE

23

On utilise ensuite (6) pour contracter tous les indices. On obtient ainsi les composantes
de LX T dans la base du système de coordonnéesr(LX T)ij11...i
...js

...ir
i1
∂Tji11...ja i2 ...ir ∂Xsi=
X − Tj1 ...js− tous les autres indices en haut
∂xi
∂xa
∂X a
r
+ tous les autres indices en bas.
+Tai1j...i
2 ...js∂xj1

Notons que la dérivée de Lie LX T|p d’un tenseur de type (r, s) dépend non seulement dela direction du champ de vecteurs X en p, mais aussi de la direction de X dans un voisinage
de p. Cette notion de dérivation semble donc trop limitée pour servir de généralisation
au concept de dérivée partielle dans Rn . On obtient une telle généralisation, la dérivéecovariante, en introduisant une structure supplémentaire sur la variété. C’est le but de lasection suivante.
2.4. Dérivée covariante
2.4.1. Dérivée covariante d’un champ de vecteurs. La structure supplémentaire
dont on a besoin est la notion de connexion sur une variété.
Définition 2.45. Soit M une variété C r . Une connexion D est une application
D : TM × TM → TM
satisfaisant aux propriétés suivantes(1) Df X+gY Z = f DX Z + gDY Z pour tous champs de vecteurs X, Y, Z et pour toutes
fonctions scalaires f et g.
(2) DX (αY + βZ) = αDX Y + βDX Z pour tous champs de vecteurs X, Y, Z et pour
tous α, β ∈ R.
(3) DX (f Y) = X(f )Y + f DX Y pour tous champs de vecteurs X, Y et pour toutefonction scalaire f .
On dit alors que DX Y|p est la dérivée covariante de Y dans la direction X en p.
Remarque 2.46. Par le point (1) de la définition 2.45, on remarque que DX Y|p nedépend pas des valeurs de X en des points différents de p.
Exemple 2.47. La connexion plate de Rn . Soit xi le système de coordonnées cartésiennes
de Rn . On définit pour tous champs de vecteurs X et Y
(DX Y)j = X i ∂i Y j .
On obtient ainsi une connexion sur Rn .
Soit D une connexion sur une variété M, et soit xi un système de coordonnées locales.
On décompose∂∂
X = Xi i , Y = Y i i .
∂x
∂x

24

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

On a alors par les propriétés (1) et (3) de la définition 2.45
DX Y = X i∂Y j ∂∂+ X iY j D ∂ i j .
i
j
∂x ∂x
∂x ∂x

On introduit la notation suivante
∂
k ∂
=
Γ
ij
∂x ∂xj
∂xk

D ∂i

(2.6)

et on obtient finalement la formule suivante
DX Y = X i∂Y j ∂
i j k ∂+
XY Γij k .
∂xi ∂xj∂x(2.7)

Remarque 2.48. On prendra garde au fait qu’une connection n’est pas un champ dee est bien un tenseur. De
tenseurs. Par contre, la différence entre deux connections D − Dkmême, les Γij ne sont pas les composantes d’un champ de tenseurs, mais la différence defk l’est.
deux tels symboles Γk − ΓijijDéfinition 2.49. On dit qu’une connexion est sans torsion si pour tous i, j, k on aΓijk = Γikj .
Dans toute la suite, on supposera toujours les connexions sans torsion. D’après (2.4)
et (2.7), on en déduit[X, Y] = DX Y − DY X.

(2.8)

2.4.2. Dérivée covariante d’un champ de tenseurs. Soit X un champ de vecteurs. On peut maintenant définir la dérivée covariante DX appliquée à un champ detenseurs T. A un champ de tenseurs de type (r, s) T, on associe un champ de tenseurs detype (r, s) DX T selon les règles suivantes(1) DX f = Xf pour toute fonction scalaire f(2) DX Y est donné pour tout champ de vecteurs Y par la définition 2.45
(3) DX (T1 + T2 ) = DX T1 + DX T2 pour tous champs de tenseurs de type (r, s) T1
et T2(4) DX (T1 ⊗ T2 ) = DX T1 ⊗ T2 + T1 ⊗ DX T2 pour tous champs de tenseurs T1 et
T2(5) Df X (gT) = f gDX T + f (Xg)T pour tout champ de tenseurs T et pour toutes
fonctions scalaires f et g(6) DX Ckl (T) = Ckl (DX T) pour tout champ de tenseurs T, et pour toute contractionCkl

2.5. EXERCICES

25

Comme pour la dérivée de Lie en section 2.3.3, on utilise (1), (2), (4) et (6) pourcalculer les composantes de D ∂ T dans un système de coordonnées. On obtient
∂xl



D∂ T
∂xl

i1 ...ir
j1 ...js=...ir∂Tji11...ji2 ...irs+ tous les autres indices en haut
+ Γilk1 Tjk1 ...js∂xlr
− tous les autres indices en bas.
−Γklj1 Tki1j...i
2 ...js

2.5. Exercices
Exercice 1. Montrer que le tore Tn = Rn /Zn est une variété compacte de dimension n.
Exercice 2. Le sous-ensemble de R3 défini par x2 + y 2 − z 2 = 0 est-il une sous-variété deR3 ?
Exercice 3. L’application de R dans R2 définie part → (t2 , t3 )est-elle une immersion ? Montrer que son image n’est pas une sous-variété de R2 .
Exercice 4. Montrer que l’application ] − ∞, 1[→ R2 définie par 2

t − 1 t(t2 − 1)
t→ 2,
t + 1 t2 + 1
est une immersion injective, mais que son image n’est pas une sous-variété de R2 . Dessiner
cette image.
Exercice 5. Montrer que le groupe SL(n, R) est une sous-variété de l’espace vectoriel desmatrices n × n. Quelle est sa dimension ?
Exercice 6. Montrer que le groupe orthogonal O(n) est une sous-variété de l’espace vectoriel des matrices n × n. Quelle est sa dimension ?
Exercice 7. Soient U un ouvert de Rn , a ∈ U et f : U → Rp . Si f est une submersion,
montrer que l’espace tangent à f −1 (f (a)) en a est le noyau de dfa . Si f est une immersion,
montrer que l’espace tangent à f (U ) en f (a) est l’image de dfa .
Exercice 8. On considère la sphère unité Sn−1 de Rn . Montrer que pour tout x ∈ Sn−1 ,Tx Sn−1 coincide avec x⊥ , et que le fibré tangent T Sn−1 est la sous-variété de Rn × Rn
T Sn−1 = {(x, y) ∈ Rn × Rn / |x|2 = 1 et x · y = 0}.

26

2. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

Exercice 9. On rappelle qu’un champ de tenseurs r-fois contravariant et s-fois covariant
de classe C r T s’écrit dans des coordonnées locales∂...ir ∂
T = Tji11...j
⊗
·
·
·
⊗
⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs .
s
i
∂x 1
∂xir
Exprimer les nouvelles composantes de T dans un autre système de coordonnées locales.
Montrer que C11 (T) est bien un tenseur de type (r − 1, s − 1).
Exercice 10. Soit U un ouvert de Rn et soit f : U → R une fonction C 2 . Soit p un pointde U où la différentielle dfp de f en p ne s’annule pas. Montrer qu’il n’existe pas de champde tenseurs défini sur U qui ait dans tout système de coordonnées (xi ) l’expression∂ 2f
dxi ⊗ dxj .
i
j
∂x ∂x
Exercice 11. Soit M et M0 deux variétés. Montrer qu’on a pour tous champs de vecteurs
X, Y sur M, et pour toute bijection C 2 φ : M → M0
φ∗ [X, Y] = [φ∗ X, φ∗ Y].
Exercice 12. Soit M une variété. Soit X un champ de vecteurs sur M tel que [X, Y] = 0
pour tout champ de vecteurs Y sur M. Montrer que X = 0.
Exercice 13. Déterminer les flots des champs de vecteurs définisa) sur R par Xx = xb) sur R par Xx = x2c) sur Rn par X = xi ∂x∂ i
Exercice 14. Soit M une variété, et N une sous-variété de M. Soit X et Y deux champs
de vecteurs sur M tangents à N (c’est à dire que pour tout p ∈ N , on a Xp , Yp ∈ Tp N ).
Montrer que [X, Y] est aussi tangent à N .
Exercice 15. Soit M une variété munie d’une dérivée covariante D. On définit la torsion
parT(X, Y ) = DX Y − DY X − [X, Y].
Montrer que T est un tenseur de type (1, 2).

CHAPITRE 3

Géométrie Lorentzienne
On peut munir Rn de la métrique euclidienne, et on obtient alors l’espace euclidien.
Dans ce chapitre, on va généraliser la géométrie euclidienne aux variétés. En particulier :(1) On introduit à la section 3.1 la notion de métrique sur une variété, qui généralise
la notion de métrique euclidienne.
(2) Le plus court chemin entre deux points en géométrie euclidienne est la droite.
Dans la section 3.2, on introduit le concept de géodésiques qui sont des courbes
généralisant les droites de l’espace euclidien.
(3) L’espace euclidien est plat, mais il s’agit d’une exception. En effet, les variétés(la sphère par exemple) sont en général courbes. On va introduire le tenseur decourbure qui permet de mesurer cela dans la section 3.4.
3.1. Métrique Lorentzienne
3.1.1. Définitions.
Définition 3.1. Une métrique g sur M est un champ de tenseurs de type (0, 2) tel
que pour tout p ∈ M, gp est une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur Tp M.
Citons ci-dessous les deux cas les plus étudiés, à savoir les métriques Riemanniennes
et les métriques Lorentziennes.
Définition 3.2. Si en tout point p ∈ M, gp est définie positive, on dit que (M, g)
est une variété Riemannienne.
Définition 3.3. Si en tout point p ∈ M, gp a pour signature(−1, +1, . . . , +1)| {z }
n−1 termes

on dit que (M, g) est une variété Lorentzienne.
Dans un système de coordonnées, on ag = gαβ dxα ⊗ dxβ
que l’on écrira dans la suite plus simplementg = gαβ dxα dxβ .
Citons maintenant les deux exemples principaux.
27

28

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

Exemple 3.4. L’espace euclidien (M, g) = (Rn , e), où e désigne la métrique Euclidienne, est une variété Riemannienne. Dans les coordonnées cartésienne de Rn , e est
donnée par
e = (dx1 )2 + . . . + (dxn )2 .
Exemple 3.5. L’espace de Minkowski (M, g) = (R1+n , m), où m désigne la métriquede Minkowski, est une variété Lorentzienne. Dans les coordonnées cartésienne de R1+n ,m est donnée parm = −(dt)2 + (dx1 )2 + . . . + (dxn )2 .
Définition 3.6. Soient (M, g) une variété Lorentzienne, p ∈ M et X ∈ Tp M. Alorson dit que X est(1) un vecteur de type espace si g(X, X) > 0,(2) un vecteur de type temps si g(X, X) < 0,(3) un vecteur nul (ou de type lumière) si g(X, X) = 0.
Exemple 3.7. Dans l’espace de Minkowski (R1+n , m), les vecteurs(t, x) ∈ R1+3
sont de type espace si|t| < kxk,
de type temps si|t| > kxk,
et nuls si|t| = kxk.
Définition 3.8. Soit (M, g) une variété Lorentzienne. Soient I un intervalle de R
et γ : I → M une courbe sur M. La courbe γ est dite• de type temps si g(γ̇(t), γ̇(t)) < 0 pour tout t ∈ I• de type espace si g(γ̇(t), γ̇(t)) > 0 pour tout t ∈ I• de type lumière si g(γ̇(t), γ̇(t)) = 0 pour tout t ∈ I
3.1.2.  Baisser  et  monter  les indices d’un tenseur. Comme la métriqueg est non dégénérée, on peut lui associer un champ de tenseurs de type (2, 0) avec lescomposantes gαβ définies par la relationgαβ gβγ = δ α γ .
Ainsi, gαβ et gαβ permettent de  monter  les indices covariants et de  descendre  lesindices contravariants. Plus précisément, si X α correspond aux composantes d’un champde vecteurs, on lui associe un tenseur de type (0, 1) par
Xα = gαβ X β .

3.1. MÉTRIQUE LORENTZIENNE

29

De même, si T est un tenseur de type (0, 2), on peut lui associer un tenseur de type (1, 1)parT α β = gαγ Tγβet un tenseur de type (2, 0) par
T αβ = gαγ gβµ Tγµ .
En général, on considère ces tenseurs covariant et contravariant associés comme lemême objet géométrique.
3.1.3. Longueur d’une courbe. On introduit la notion de longueur d’une courbe.
Définition 3.9. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Soit I un intervallede R et γ : I → M une courbe C 1 sur M telle que γ̇(t) 6= 0 pour tout t ∈ I. Soit [a, b] ⊂ I.
Alors la longeur de γ entre γ(a) et γ(b) est donnée par
Z bqL=|g|γ(t) (γ̇(t), γ̇(t))|dt.
aRemarque 3.10. Dans le cas de l’espace euclidien (Rn , e), on retrouve bien sur la
notion usuelle de la longueur d’une courbe C 1 dans Rn .
Remarque 3.11. En relativité, une particule se déplace sur une courbe γ(t) de genre
temps de (M, g). On définit le temps propre de cette particule entre deux événements
γ(t0 ) et γ(t1 ) comme la longueur de la courbe γ entre les deux valeurs t0 et t1 de t :Z t1 q−g|γ(t) (γ̇(t), γ̇(t))dt.
t03.1.4. Connexion de Levi-Civita. On a introduit indépendamment les notions deconnexion et de métrique. Il se trouve qu’il existe une connexion très naturelle associée à
une métrique g.
Proposition 3.12. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Il existe une
unique connexion sur M sans torsion et telle que
Dg = 0.
Démonstration. Soient X, Y, Z trois champs de vecteurs sur M. Supposons l’existence de cette connexion sans torsion telle que Dg = 0. On a alors
X(g(Y, Z)) = DX (g(Y, Z))= DX g(Y, Z) + g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z)= g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z)où on a utilisé Dg = 0 dans la dernière égalité. En additionnant l’expression analogue
pour Y(g(Z, X)), en soustrayant celle pour Z(g(X, Y)), et en utilisant (2.8) du fait que

30

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

la connexion D est supposée sans torsion, on obtient1g(Z, DX Y) =− Z(g(X, Y)) + Y(g(Z, X)) + X(g(Y, Z))2

+g(Z, [X, Y]) + g(Y, [Z, X]) − g(X, [Y, Z])(3.1)

ce qui montre bien l’unicité. Ensuite, il reste à montrer que D défini par la formule (3.1)
vérifie bien les propriétés (1), (2) et (3) de la définition 2.45 ce qui est laissé au lecteur. Grâce à la Proposition 3.12, on a la définition suivante.
Définition 3.13. On appelle connexion de Levi-Civita l’unique connexion sans torsion telle que Dg = 0.
Exemple 3.14. La connexion plate de Rn définie dans l’exemple 2.47 est la connexionde Levi-Civita associée à l’espace Euclidien (Rn , e).
En prenant pour X, Y et Z des vecteurs d’une base de coordonnées, les crochets deLie s’annulent d’après (2.3), et la formule (3.1) implique
1 il ∂gjl ∂gkl ∂gjki
Γjk = g
+
−
(3.2)
2
∂xk
∂xj
∂xl
où Γijk a été défini en (2.6).
Définition 3.15. On appelle Γijk les symboles de Christoffel de la connexion.
3.2. Transport parallèle et géodésiques
Soit I un intervalle de R avec 0 ∈ I, et γ une courbe
γ : I → M.
Soit X un champ de vecteurs. Calculons Dγ̇(t) X dans un système de coordonnées. On
décompose X∂
X = Xα α∂x
et on obtient pour Dγ̇(t) X∂∂+ X α (γ(t))Dγ̇(t) α
(3.3)
α
∂x
∂x
∂
∂
= (X α ◦ γ)0 (t) α + X α (γ(t))γ̇ β (t)Γµβα (γ(t)) µ .
∂x∂x(3.3) montre que Dγ̇ X ne dépend que des valeurs de X prises sur la courbe γ. En particulier, pour Y vecteur tangent de Tγ(0) M, on peut s’intéresser à l’équation suivanteDγ̇(t) Xγ(t) = 0,
(3.4)
Xγ(0)
= Y.
Dγ̇(t) Xγ(t) = Dγ̇(t) (X α )|γ(t)3.2. TRANSPORT PARALLÈLE ET GÉODÉSIQUES

D’après (3.3), dans un système de coordonnées, (3.4) est équivalent à(X α ◦ γ)0 (t) + (X µ ◦ γ)(t)γ̇ β (t)Γαβµ (γ(t)) = 0,
(X α ◦ γ)(0)= Y α.

31(3.5)

Notons que (3.5) est un système de n équations différentielles ordinaires dans Rn d’inconnues(X 1 ◦ γ, . . . , X n ◦ γ)
et que l’existence locale et l’unicité des X α est garantie par le théorème de CauchyLipschitz standard dans Rn . De plus, comme il s’agit d’un système linéaire d’équations
différentielles ordinaires, l’existence de X est garantie partout là où γ est définie, c’est àdire sur I. On peut donc donner la définition suivante.
Définition 3.16. Soit I un intervalle de R avec 0 ∈ I, et γ une courbe
γ : I → M.
Soit Y vecteur tangent de Tγ(0) M. Il existe un unique X tel que pour tout t ∈ I, Xγ(t) est
un vecteur tangent de Tγ(t) M, et tel que X satisfait le système (3.4) pour tout t ∈ I. On
dit que X est le transport parallèle de Y le long de γ.
Exemple 3.17. Dans (Rn , e), le transport parallèle de Y le long d’une courbe γ donne
une famille de vecteurs parallèles à Y ayant pour origine les différents points de la courbeγ.
On introduit maintenant les géodésiques. Soit p un point de M et Y un vecteur
tangent de Tp M, on cherche une courbe γ sur M solution de l’équation suivante Dγ̇ γ̇ = 0,γ(0) = p,(3.6)

γ̇(0) = Y.
(3.6) est équivalent dans un système de coordonnées à α γ̈ (t) + γ̇ µ (t)γ̇ β (t)Γαβµ (γ(t)) = 0,
γ(0)
= p,

γ̇(0)
= Y.

(3.7)

Notons que (3.5) est un système de n équations différentielles ordinaires dans Rnd’inconnues(γ 1 , . . . , γ n )et que l’existence locale et l’unicité des γ α est garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz
standard dans Rn . On peut donc donner la définition suivante.
Définition 3.18. Soient p un point de M et Y un vecteur tangent de Tp M. Il existe
un intervalle maximal I contenant 0 et une unique courbe γ : I → M telle que γ satisfait
le système (3.6). On dit que γ est une courbe géodésique.
Exemple 3.19. Dans (Rn , e), les géodésiques sont les droites de Rn .

32

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

Notons dans l’exemple 3.19 que les géodésiques de (Rn , e) correspondent au plus court
chemin entre deux points. Soit maintenant une variété (M, g) munie d’une métrique
Riemannienne. Rappelons que l’on a donné une définition de la longeur d’un arc de courbe
entre deux points (voir définition 3.9). Les géodésiques sont localement minimisantes, c’està dire qu’il existe pour chaque point un voisinage où les géodésiques reliant ce point aux
autres points du voisinage sont minimisantes (voir Proposition 3.27). Par contre, elles nesont en général pas globalement minimisantes.
Exemple 3.20. Sur la sphère unité S2 de R3 , les géodésiques sont les grands cercles.
Si deux points p et q sont aux antipodes, alors il existe une infinité de géodésiques passantpar p et q, qui ont toutes la même longueur. Si p et q ne sont pas au antipodes, alors ilexiste deux géodésiques passant par p et q, la petite portion et la grande portion du grandcercle passant par p et q. En particulier la géodésique correspondant à la grande portion
du grand cercle passant par p et q n’est pas minimisante.
3.3. Coordonnées normales et coordonnées géodésiques polaires
Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Soit p ∈ M. Pour tout v ∈ Tp M, il
existe une unique géodésique γv : Iv → M telle que
γv (0) = p, γ̇v (0) = v,où Iv désigne l’intervalle maximal de définition de γv . Pour λ > 0, l’unicité dans lethéorème de Cauchy-Lipschitz implique que tγv (t) = γλv
.
(3.8)
λ
Par conséquent, on att ∈ Iv si et seulement si ∈ Iλv .
λEn particulier, on en déduit l’existence d’un voisinage Up de 0 dans Tp M tel que pour
tout v ∈ Up , [0, 1] ⊂ Iv .
Définition 3.21. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Soit p ∈ M, etsoit Up un voisinage de 0 dans Tp M tel que pour tout v ∈ Up , [0, 1] ⊂ Iv . On définitl’application exponentielle expp : Up → M par
expp (v) = γv (1).
Définition 3.22. Soit M une variété, E un espace vectoriel, et ϕ une application C 1de E dans M. Alors, on définit la différentielle de ϕ de la manière suivanteddϕx (v) = ϕ(x + tv)|t=0 , x, v ∈ E.
dt
Pour x dans E, on vérifie que dϕx définit une application linéaire de E dans Tϕ(x) M.
Lemme 3.23. La différentielle de expp en 0 est l’identité.

3.3. COORDONNÉES NORMALES ET COORDONNÉES GÉODÉSIQUES POLAIRES

33

Démonstration. Soit v ∈ Up . D’après (3.8), on a tv ∈ Up pour tout 0 ≤ t ≤ 1, etexpp (tv) = γtv (1)= γv (t)et doncdexpp (tv)|t=0 = γ̇v (0)dt= v,
ce qui conclut la preuve du lemme.

Le Lemme 3.23 implique, grâce au théorème d’inversion local, que expp est un difféomorphisme d’un voisinage de 0 dans un voisinage de p. En particulier, tout système decoordonnées sur un voisinage de l’origine de Tp M induit un système de coordonnées sur
un voisinage de p via exp−1
p . On peut maintenant définir les coordonnées normales et lescoordonnées géodésiques polaires.
Définition 3.24. Les coordonnées normales dans un voisinage de p ∈ M sont obtenues via exp−1
p à partir des coordonnées cartésiennes sur Tp M. Pour une variété Riemannienne, les coordonnées géodésiques polaires dans un voisinage de p ∈ M sont obtenues
via exp−1
p à partir des coordonnées polaires sur Tp M.
On établit quelques propriétés remarquables de ces systèmes de coordonnées.
Lemme 3.25. Dans un système de coordonnées normales centrées en p, on aΓαβµ | = 0.
p1nDémonstration. Notons (x (t), . . . , x (t)) les coodonnées normales de expp (tv). On
a donc par définition des coordonnées normales(x1 (t), . . . , xn (t)) = (tv 1 , . . . , tv n ).

(3.9)

Par ailleurs, au vu de (3.8), on aexpp (tv) = γtv (1)= γv (t),de telle sorte que (x1 (t), . . . , xn (t)) sont les coodonnées de γv (t). On déduit alors de (3.9)
et (3.7)Γαβµ |
γ̇vβ (t)γ̇vµ (t) = 0γv (t)

pout tout 0 ≤ t ≤ 1. En t = 0, on obtientΓαβµ | vβ vµ = 0ppour tout α = 1, . . . , n et pour tout v dans un voisinage de 0. On en déduit
Γαβµ | = 0pce qui conclut la preuve.

34

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

Lemme 3.26. Dans un système de coordonnées géodésique polaires (r, ω) centrées enp, on a




∂ ∂
∂ ∂
g
,
= 1, g,= 0.
∂r ∂r∂r ∂ω jDans ces coordonnées, on peut donc écrire la métrique sous la formeg = dr2 + gαβ dω α dω β .
Démonstration. On av = rω
où ω vérifieg(ω, ω) = 1.
On en déduit que
expp (v) = γrω (1)= γω (r)et donc∂= γ̇ω (r).
∂r

Comme
Dγ̇ω g(γ̇ω , γ̇ω ) = 2g(γ̇ω , Dγ̇ω γ̇ω ) = 0
car γω est une géodésique, et commeg(γ̇ω (0), γ̇ω (0)) = g(ω, ω) = 1
on en déduitg(γ̇ω , γ̇ω ) = 1
et donc


∂ ∂
g
,
=1
∂r ∂r
ce qui donne la première assertion du lemme.
Concernant la deuxième assertion, on a, en utilisant (3.10)






∂ ∂
∂ ∂
∂
∂
D∂g
,
= g D∂,+g,D ∂∂r∂r ∂r ∂ω j∂r ∂ω j∂r ∂ω j
∂r




∂
∂
∂
= g Dγ̇ω γ̇ω , j + g, D ∂j
∂ω ∂r
∂ω
∂r


1
∂ ∂
=
D ∂j g
,
2 ∂ω
∂r ∂r
= 0
où on a utilisé en particulier le fait que γω est une géodésique et


∂ ∂
,
= 0.
∂r ∂ω j(3.10)

3.3. COORDONNÉES NORMALES ET COORDONNÉES GÉODÉSIQUES POLAIRES

35

On en déduit que



∂ ∂
g
,
∂r ∂ω jest constant le long de γω (r). Or cette quantité est nulle à r = 0, et on en déduit donc


∂ ∂
,
= 0.
g
∂r ∂ω jCeci conclut la preuve du lemme.

On conclut cette section en montrant que les géodésiques minimisent localement ladistance entre deux points sur une variété Riemannienne.
Proposition 3.27. Soit (M, g) une variété Riemannienne. Soit p ∈ M. Il existe unvoisinage Up de p tel que pour q ∈ Up , la géodésique radiale reliant p à q minimise lalongueur.
Démonstration. On prend pour Up l’ouvert des coordonnées géodésiques polaires
centrées en p. Dans ces coordonnées, on a r(p) = 0, et q correspond à (r(q), ω(q)). On
considère une courbe C 1 reliant p à q, ce qui revient à se donner en coordonnées géodésiquespolaires des fonction C 1 (r(t), ω(t)), telles que en particulier r(t) varie entre 0 et r(q). Au
vu de la définition 3.9 de la longueur d’une courbe C 1 et du Lemme 3.26, on a
s 
Z
2
dr
dω α dω β
L =
+ gαβ
dt
dt
dt dt
s 
Z
2
dr
≥
dt
dt
Z
dr
≥
dt
dt
= r(q),
avec égalité si et seulement si
gαβ
et doncdω α dω β
dr= 0 et
≥ 0,
dt dt
dt

dω α
= 0.
dt
Après éventuelle reparamétrisation, on obtient bien que le minimum de la longueur est
atteint par la géodésique radiale reliant p à q puisque celle-ci vérifie dans le système decoordonnées géodésiques polaires
dr
dω α
= 1,
= 0.
dt
dt
Ceci conclut la preuve du lemme.
36

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

3.4. Le tenseur de courbure
3.4.1. Definition. Si on considère une courbe γ fermée passant par un point p, et quel’on transporte parallèlement le long de γ un vecteur tangent X de Tp M on ne reviendra
généralement pas à X. Cette situation est différente du cas de Rn et est due au fait que lesdérivées covariantes ne commutent pas en général. Pour mesurer cette non commutation,
on introduit le tenseur de courbure.
Définition 3.28. Soient M une variété, et X, Y, Z des champs de vecteurs. On
définit
R(X, Y)Z = DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y] Z.
(3.11)
Proposition 3.29. R défini par (3.11) est un champ de tenseurs de type (1, 3).
La preuve résulte d’un simple calcul et est laissée au lecteur. On appelle R le tenseur
de courbure de Riemann, ou simplement tenseur de courbure.
Exemple 3.30. Soit (Rn , e) l’espace euclidien et soit la connexion de Levi-Civita associée. Alors, le tenseur de courbure correspondant est identiquement nul.
Exemple 3.31. Soit (R1+n , m) l’espace-temps de Minkowski et soit la connexion deLevi-Civita associée. Alors, le tenseur de courbure correspondant est identiquement nul.
Dans un système de coordonnées, on décompose


∂
∂
∂
∂
R
, µ
= Rα βγµ α
γ
β
∂x ∂x
∂x
∂x
où Rα βγµ est donné parRα βγµ =∂Γα µβ ∂Γα γβ−+ Γα γν Γν µβ − Γα µν Γν γβ .
∂xγ∂xµ(3.12)

3.4.2. Symmétries du tenseur de courbure. Pour étudier les symétries de R, il
est plus simple de considérer R comme un champ de tenseurs de type (0, 4). C’est à direque l’on considère
Rαβγµ = gαν Rν βγµ .
On peut vérifier que le tenseur de courbure satisfait les symétries suivantes.
Proposition 3.32.
Rαβγµ = −Rαβµγ ,Rαβγµ = −Rβαγµ ,Rαβγµ = Rγµαβ ,et
Rαβγµ + Rαµβγ + Rαγµβ = 0

3.5. ISOMÉTRIES ET CHAMPS DE KILLING

37

où la dernière égalité est appelée première identité de Bianchi. On a également la deuxième
identité de BianchiDν Rαβγµ + Dβ Rναγµ + Dα Rβνγµ = 0.
Remarque 3.33. On peut montrer que ces symétries impliquent que le tenseur decourbure a, pour une variété M de dimension n,
n2 (n2 − 1)12composantes indépendantes. En particulier, R a :• 1 composante indépendantes en dimension 2,• 6 composantes indépendantes en dimension 3,• 20 composantes indépendantes en dimension 4.
3.4.3. Le tenseur de Ricci et la courbure scalaire. En contractant le tenseur
de courbure par rapport au premier et au troisième indice, on obtient un 2-tenseur appelétenseur de Ricci et défini dans un système de coordonnées par
Ricβµ = Rα βαµ .
Remarque 3.34. Les symétries de R impliquent que Ric est un tenseur symétrique.
Remarque 3.35. On aurait pu prendre la trace par rapport à d’autres paires d’indicesdans R pour définir Ric, mais ceci ne permet pas d’obtenir d’autres tenseurs. En effet,
les symétries de R impliquent que suivant les paires considérées, on obtient soit 0, soit
±Ric.
En contractant le tenseur de Ricci, on obtient un scalaire appelé la courbure scalaire,
et donné par
Rscal = gαβ Ricαβ .
3.5. Isométries et champs de KillingDéfinition 3.36. Un difféomorphisme φ : U ⊂ M → M est une isométrie si enchaque point p, on aφ∗ g = g.
Définition 3.37. Un champ de vecteurs qui génère un groupe à un paramètre d’isométries
est appelé champ de Killing.
Proposition 3.38. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Un champ devecteurs K est un champ de Killing si et seulement si on a
LK g = 0.
Démonstration. Soit φt le groupe à 1 paramètre généré par K. Soient X, Y deuxchamps de vecteurs sur M. On a(φt )∗ g(X, Y)|p = g((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p) .

38

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

Rappelons que on a montré dans la Proposition 2.44d[(φt )∗ X]t=0 = −LK X.
dt
On a doncid hg((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p)= K(g(X, Y)) − g(LK X, Y) − g(X, LK Y).
dt
t=0
On obtient donc par les propriétés de la dérivation de Lie :id hg((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p)= LK g(X, Y).
dt
t=0
Supposons que φt est une isométrie pour tout t. Alors, on ag((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p) = g(X, Y)|pet doncid hg((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p)
= 0.
dt
t=0
On en déduit que
LK g(X, Y) = 0
pour tous champs de vecteurs X et Y sur M, et donc
LK g = 0.
Réciproquement, supposons que K vérifie
LK g = 0.
Alors, le calcul précédent et le fait que (φt+t0 )∗ = (φt )∗ (φt0 )∗ montrent que l’on a pour
tout tid hg((φt )∗ X, (φt )∗ Y)|φt (p) = 0.
dt
Donc(φt )∗ g(X, Y)|p = (φ0 )∗ g(X, Y)|p = g(X, Y)|p ,ce qui montre bien que φt est une isométrie pour tout t.

Définition 3.39. Soit X un champ de vecteurs. On note (X) π le tenseur de déformationde X défini par la formule suivante(X)παβ = Dα Xβ + Dβ Xα .

Proposition 3.40. Soit X un champ de vecteurs, alors on a(X)

π = LX g.

3.6. HYPERSURFACES

39

Démonstration. Soient Y, Z champs de vecteurs. On a
X(g(Y, Z)) ====LX (g(Y, Z))
LX g(Y, Z) + g(LX Y, Z) + g(Y, LX Z)
LX g(Y, Z) + g([X, Y], Z) + g(Y, [X, Z])
LX g(Y, Z) + g(DX Y − DY X, Z) + g(Y, DX Z − DZ X).

D’autre part, on a
X(g(Y, Z)) = DX (g(Y, Z))= DX g(Y, Z) + g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z)= g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z).
On en déduit
LX g(Y, Z) = g(DX Y, Z) + g(Y, DX Z) − g(DX Y − DY X, Z) − g(Y, DX Z − DZ X)= g(DY X, Z) + g(Y, DZ X)= Yα Zβ (Dα Xβ + Dβ Xα )= Yα Zβ (X) παβ
ce qui conclut la preuve.

On en déduit le corollaire suivant.
Corollaire 3.41. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Un champ de vecteurs K est un champ de Killing si et seulement si on a(K)

π = 0.

Remarque 3.42. Le fait qu’un espace-temps possède un champ de Killing est une
situation exceptionnelle. En effet, (K) π = 0 correspond à un système de n(n+1)
équations2à n inconnues.
3.6. HypersurfacesDéfinition 3.43. Soit (M, g) une variété de dimension n. Soit H ⊂ M tel que H
est une sous variété de M de dimension n − 1. On dit alors que H est une hypersurfacede M.
La Proposition 2.32 fournit un exemple important d’hypersurface.
Exemple 3.44. Soit (M, g) une variété de dimension n. Soit f : M → R de classe
C r telle que dfp 6= 0 pour tout p ∈ M. Alors, les ensembles de niveau de f sont deshypersurfaces de M.

40

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

On peut considérer la métrique g induite par g sur H, c’est à dire pour tout p ∈ H,
et tous vecteurs X, Y de Tp H, alors p ∈ M et X, Y ∈ Tp M, donc on peut définir
gp (X, Y) = gp (X, Y).
On peut alors associer à g une dérivée covariante appelée la dérivée covariante induite,ainsi qu’un tenseur de courbure induit.
Pour tout p ∈ H, Tp H a pour dimension n − 1, et est donc un hyperplan de Tp M. Il
existe donc N qui est un vecteur de Tp M normal à Tp H au sens où pour tout X ∈ Tp H,
on ag(X, N) = 0.
Sous certaines hypothèses sur H, on peut choisir N en tout point p ∈ H tel que N soit unchamp de vecteurs non nul en tout p ∈ H. Dans ce cas, des arguments simples d’algèbrelinéaire permettent de montrer que(1) Si g(N, N) > 0 sur H, alors g est une métrique Lorentzienne sur H. On dit alorsque H est une hypersurface de genre temps.
(2) Si g(N, N) < 0 sur H, alors g est une métrique Riemannienne sur H. On dit
alors que H est une hypersurface de genre espace.
(3) Si g(N, N) = 0 sur H, alors g est dégénérée sur H. On dit alors que H est une
hypersurface nulle (ou de genre lumière).
Exemple 3.45. On considère l’espace de Minkowski (R1+n , m) (voir exemple 3.5).
Soit a ∈ R. Alors{t = a}est une hypersurface de genre espace,{x1 = a}est une hypersurface de genre temps, et{t + x1 = a}est une hypersurface nulle.
Dans le cas où H est une hypersurface de genre temps, on peut normaliser le champde vecteurs N de sorte queg(N, N) = 1.
Dans le cas où H est une hypersurface de genre espace, on peut normaliser le champ devecteurs N de sorte queg(N, N) = −1.
Enfin, on introduit la seconde forme fondamentale θ de H. On dit qu’un champ devecteurs X sur M est tangent à H si pour tout p ∈ H, Xp est un vecteur de Tp H.

3.7. MÉTRIQUES CONFORMES

41

La seconde forme fondamentale θ est donnée pour tout p ∈ H et pour tous champs devecteurs X, Y sur M tangents à H par
θ(X, Y)p = −g(DX N, Y)p .
La seconde forme fondamentale est donc un 2-tenseur sur H.
Lemme 3.46. La seconde forme fondamentale est un 2-tenseur symétrique.
Démonstration. Soient X et Y des champs de vecteurs sur M tangents à H. En
particulier, on a pour tout p ∈ H :g(X, N) = g(Y, N) = 0.
Alors, on aθ(X, Y) − θ(Y, X) =====−g(DX N, Y) + g(DY N, X)
g(N, DX Y) − g(N, DY X)
g(N, DX Y − DY X)
g(N, [X, Y])0où on a utilisé le fait que [X, Y]p ∈ Tp H pour tout p ∈ H puisque X et Y sont des champs
de vecteurs tangents à H.
3.7. Métriques conformes
e sur M sont dites conformes si il existe une
Définition 3.47. Deux métriques g et gfonction scalaire ΩΩ:M→R
telle que Ω(p) 6= 0 pour tout p ∈ M, ete.
g = Ω2 ge appartiennent à la même classe conforme.
On dit alors que g et ge sont dans la même classe conforme, alors les angles mesurés par g ou ge
Si g et gsont les mêmes. En particulier, pour un vecteur tangent X en un point p ∈ M, on arespectivement :e(X, X) < 0, = 0, > 0.
g(X, X) < 0, = 0, > 0 ⇐⇒ ge définissent les mêmes hypersurfaces de genre temps, de genre
Par conséquent, g et g
espace et de genre lumière.

42

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

3.8. Intégration
Soit (M, g) une variété de dimension n munie d’une métrique. Dans un système decoordonnées, on définit det g comme le déterminant de la matrice n × n (gαβ ). On a lelemme suivant :Lemme 3.48. Soient U un ouvert de coordonnées, et x1 , . . . , xn les coordonnées correspondantes. Soit f : M → R une fonction scalaire. AlorsZ p
f | det g|dx1 · · · dxn
U

est invariant par changement de coordonnées.
Démonstration. On a




∂
∂
∂
∂
∂xα ∂xβg,g,=.
∂xα0 ∂xβ 0∂xα0 ∂xβ 0∂xα ∂xβ
On en déduit queqq∂xα| det(gα0 β 0 )| =| det(gαβ )|∂xα0
et le terme∂xα∂xα0
est compensé par la formule du changement de variables.

Via une partition de l’unité ψα adaptée à un recouvrement de M par des ouverts Uαde coordonnées, on définit l’intégrale de f sur M parZXZpψα f | det g|dx1 · · · dxn .
f dM =αUαCette définition est indépendante du recouvrement Uα de M et de la partition de l’unitéψα par le lemme précédent.
3.9. Exercices
Exercice 1. Soient g et g0 deux métriques conformes sur une variété M donnée, c’est àdire telles que g0 = e2f g pour une fonction f C ∞ sur M. Montrer que la connexion deLevi-Civita D0 de g0 s’exprime en terme de la connexion de Levi-Civita D de g sous laforme :
D0X Y = DX Y + X(f )Y + Y(f )X − g(X, Y)grad(f ),où grad(f ) désigne le gradiant de f , c’est à dire l’unique champ de vecteurs tel queg(grad(f ), X) = X(f )pour tout champ de vecteurs X.

3.9. EXERCICES

43

Exercice 2. Soit M une surface de R3 (c’est à dire une sous-variété de R3 de dimension2) munie de la métrique induite par la métrique euclidienne. On note D la connexion
plate sur R3 et ∇ la connexion induite sur M.
a) Soit p ∈ M et soient X et Y deux champs de vecteurs de R3 tangents à M. Montrer
que DX Yp − ∇X Yp est colinéaire à la normale N à M en p.
b) Soit γ(s) une courbe sur M paramétrée par la longueur d’arc. Montrer que γ est
une géodésique si et seulement si γ̈ est dirigée selon la normale.
c) Conclure que les géodésiques sur la sphère sont les grands cercles.
Exercice 3. On s’intéresse au demi-plan complexe supérieure
P = {z / z = x + iy ∈ C, y > 0}muni de la métrique riemannienneg=1((dx)2 + (dy)2 ).
y2a) Montrer que toute géodésique de P est soit une droite verticale, soit un demi-cercle
centré sur l’axe réel.
b) Etant données deux géodésiques γ1 et γ2 de P , issues du même point et ayant unvecteur vitesse de norme 1, donner un équivalent delim d(γ1 (t), γ2 (t))

t→∞où d désigne la distance pour la métrique g. Comparer avec le cas euclidien.
Exercice 4. Soit (M, g) une variété munie d’une métrique. Soit γ une géodésique. Supposons qu’il existe un champ de Killing K. Montrer que g(γ̇, K) est constant le long deγ.
Exercice 5. Soit (M, g) une variété Riemannienne, et soit H ⊂ M une hypersurface
munie de la métrique induite. Soit k la seconde forme fondamentale correspondante. On
note R le tenseur de courbure de M, et R le tenseur de courbure sur H.
a) Montrer le théorème de Gauss
Rijlm = Rijlm − kmj kli + klj kmi .
Ecrire la relation correspondante pour le tenseur de Ricci et la courbure scalaire.
b) Supposons maintenant que (M, g) est Rn muni de la métrique euclidienne, et H
une hypersurface de Rn munie de la métrique induite. En déduire le calcul de R,
Ric et Rscal en fonction de la seconde forme fondamentale.
c) Calculer la seconde forme fondamentale de la sphère. En déduire le tenseur decourbure, de Ricci et la courbure scalaire de la sphère.

44

3. GÉOMÉTRIE LORENTZIENNE

Exercice 6. On s’interesse au demi-plan complexe
P = {z ∈ C / z = x + iy, y > 0}muni de la métrique dite hyperbolique1
g = 2 ((dx)2 + (dy)2 ).
y.
a) Montrer que la symétrie s(z) = −z̄ est une isométrie de g.
b) Montrer que les transformations homographiques z → h(z) où
az + bh(z) =
cz + davec ad − bc = 1 sont des isométries de g.
c) A-t-on ainsi une description complète des isométries de g ? On commencera parmontrer que la distance géodésique entre deux points de P est donnée par la formule
suivante|z1 − z2 |2
dg (z1 , z2 ) = argcosh 1 +.
2y1 y2

CHAPITRE 4

Relativité restreinte
4.1. Physique Newtonienne
Les hypothèses de base de la physique Newtonienne sont que(1) Il y a une notion de temps absolu.
(2) La vitesse de la lumière est finie et dépend de l’observateur.
(3) Un observateur peut voyager arbitrairement vite (et en particulier, plus vite quela vitesse de la lumière).
Des hypothèses ci-dessus, on peut immédiatement en déduire l’existence d’une coordonnée de type temps t ∈ R telle que tous les événements à t constant ont lieu dansl’espace Euclidien à 3 dimension. En particulier, l’univers, ou espace-temps, est équivalentà R4 et admet un système de coordonnées universel (t, x1 , x2 , x3 ).
En particulier, soit un événement p, c’est à dire p ∈ R4 , dont on note la coordonnéede temps tp . Alors on peut décomposer l’espace-temps en trois régions :• Le futur de p : l’ensemble de tous les événements pour lesquels t > tp .
• Le présent de p : l’ensemble de tous les événements pour lesquels t = tp .
• Le passé de p : l’ensemble de tous les événements pour lesquels t < tp .
Le théorie Newtonienne est très précise dans sa description d’objets voyageant à despetites vitesses en l’absence d’un champ de gravitation fort. Mais, lorsque les vitesses
deviennent comparables à celle de la lumière, des contradictions surgissent. En effet, laphysique Newtonienne est compatible avec l’invariance de Galilée qui décrit la relation
entre deux observateurs en translation uniforme l’un par rapport à l’autre. En particulier,le principe d’addition des vitesses implique qu’un observateur P voyageant à la vitesse 5cpar rapport à O et se déplaçant vers un faisceau lumineux (qui voyage à la vitesse c par
rapport à O) devrait observer une vitesse c + 5c . Ceci n’est dans la pratique jamais observé, et la vitesse de la lumière est toujours donnée par c dans n’importe quel référentiel.
C’est d’ailleurs ce que prédisent les équations de Maxwell (c’est à dire les équations del’électromagnétisme) énoncées en 1865, et qui comportent une constante universelle (quidonc ne dépend pas de l’observateur) correspondant à la vitesse de la lumière dans le vide.
45

46

4. RELATIVITÉ RESTREINTE

C’est pour résoudre cette contradiction entre la théorie de Newton et les équations
de l’électromagnétisme que Einstein, dans [3], va introduire la théorie de la relativité
restreinte.
4.2. La naissance de la relativité restreinte
En 1905, Einstein donne des relations algébriques décrivant le mouvement uniformed’observateurs de telle sorte que les équations de Maxwell ont la même forme quelquesoit le référentiel de l’observateur. Pour atteindre ce but, Einstein émet les hypothèses(révolutionnaires !) suivantes :(1) Il n’y a pas de notion de temps absolu. Le temps est relatif à l’observateur.
(2) Aucun observateur, ou aucune particule, ne peut voyager plus vite que la lumière.
La constante c doit être considérée comme une loi physique et ne dépend donc
pas de l’observateur qui la mesure.
Ces hypothèses changent immédiatement la perception Newtonienne de l’univers, ou
espace-temps. En particulier, soit un événement p, c’est à dire p ∈ R4 . Alors :• Le futur de p est le cône de lumière dirigé vers le futur d’origine p.
• Le passé de p est le cône de lumière dirigé vers le passé d’origine p.
En 1908, Minkowski, dans [7], montre que les lois algébriques d’Einstein peuvent être
réinterprétées de manière purement géométrique en introduisant sur R4 la métrique deMinkowski.
4.3. Symétries de l’espace-temps de Minkowski
On considère l’espace de Minkowski (R1+3 , m). On a les isométries suivantes(1) Les translations : x → x + a pour a ∈ R1+3 .
(2) Les transformations de Lorentz : x → Ax où A est une matrice 4 × 4 qui satisfaitm(Ax, Ay) = m(x, y)pour tous x, y dans R1+3 .
Remarque 4.1. Le groupe généré par ces isométries est appelé le groupe de Poincaré.
Exemple 4.2. Pour toute matrice 3 × 3 orthogonale A1 , la matrice


1 0
0 A1
est une transformation de Lorentz.

4.3. SYMÉTRIES DE L’ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI

Exemple 4.3. Pour tout t ∈ R, la matrice
cosh(t) sinh(t) sinh(t) cosh(t)


0
0
0
0

0
0
1
0

47


0
0 

0 
1

est une transformation de Lorentz appelée rotation hyperbolique.
Comme on l’a vu dans la section 3.5, ces isométries correspondent à des champs deKilling :(1) Le générateur de la translation dans la direction xα , α = 0, 1, 2, 3 est donné par
∂
Tα =
.
∂xα
(2) Le générateur de la transformation de Lorentz dans le plan (xα , xβ ) est donnépar∂∂Lαβ = xα β − xβ α .
∂x
∂x
1+3
On obtient ainsi 10 champs de Killing sur (R , m). Il se trouve que c’est le nombre
maximum de champs de Killing possibles pour une variété Lorentzienne de dimension 4,comme on peut le déduire de la proposition suivante.
Proposition 4.4. Sur une variété (M, g) connexe de dimension n, il y a au plus
n(n + 1)
2
champs de Killing indépendants.
Démonstration. Soit K un champ de Killing. Alors on aDα Kβ + Dβ Kα = 0ce qui implique
Dγ Dα Kβ + Dγ Dβ Kα = 0.
En commutant les dérivées, on fait intervenir la courbureDα Dγ Kβ + Dβ Dγ Kα = Rµβγα K µ + Rµαγβ K µ .
En utilisant le fait que K est un champ de Killing, on en déduit
Dα Dβ Kγ + Dβ Dα Kγ = −Rµβγα K µ − Rµαγβ K µ .
En commutant une nouvelle fois, on obtient2Dα Dβ Kγ = −Rµβγα K µ − Rµαγβ K µ + Rµγβα K µ .
Les symétries de R impliquent alorsDα Dβ Kγ = Rµαβγ K µ .

(4.1)

48

4. RELATIVITÉ RESTREINTE

On définit le 2-tenseur
Lαβ = Dα Kβ .
D’après (4.1), on aDα Lβγ = Rµαβγ K µ .
Comme K est un champ de Killing, on voit que L est antisymétrique.

(4.2)

Soient p et q deux points de M connectés par une courbe λ sur M. D’après la définitionde L et (4.2), on aDλ̇(t) Kα = Lλ̇(t)α ,(4.3)
Dλ̇(t) Lαβ = Rµλ̇(t)αβ K µ .
Donc (K|γ(t) , L|γ(t) ) vérifie un système den(n − 1)n(n + 1)=2
2équations différentielles ordinaires, où on a utilisé le fait que L est antisymétrique. En particulier, K|q est entièrement déterminé par la condition initiale en p du système d’équations
différentielles ordinaires (4.3), c’est à dire par la donnée desn+n(n + 1)
2
valeurs de K et L en p.

4.4. Les équations de l’électromagnétisme
On s’intéresse à la formulation de l’électromagnétisme dans le cadre de la relativité
restreinte. Ceci est instructif car les équations de Maxwell comportent un certain nombre
de similitudes avec les équations d’Einstein.
On se place dans l’espace de Minkowski de dimension 4 (R1+3 , m). On rappelle queles équations de Maxwell s’écriventdiv (B)
= 0,


 ∂B
+ rot(E)
= 0,
∂t
div
(E)
= ρ,


 ∂E
− ∂t + rot(B) = J,où E est le champ électrique, B le champ magnétique, J le courant et ρ la densité decharge. On introduit le 2-tenseur antisymétrique F que l’on définit à partir de E et B dela manière suivante


0
E1
E2
E3
 −E1
0
−B3 B2 .
(Fαβ ) =  −E2 B30
−B1 
−E3 −B2 B1
04.4. LES ÉQUATIONS DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME

49

Un calcul montre alors que les équations de Maxwell se réécrivent de la manière suivanteDα Fβγ + Dγ Fαβ + Dβ Fγα = 0,Dα Fαβ= jβ ,où on a posé j = (ρ, J). En particulier, le cas des équations de Maxwell dans le vide, c’està dire j = 0, correspond àDα Fβγ + Dγ Fαβ + Dβ Fγα = 0,
(4.4)
Dα Fαβ= 0.
Dans la suite, on considère (4.4).
4.4.1. La formulation Lagrangienne de l’électromagnétisme. On considèremaintenant l’ensemble Ω des 2-tenseurs antisymétriques H de (R1+3 , m) vérifiant
Dα Hβγ + Dγ Hαβ + Dβ Hγα = 0.
On introduit le Lagrangien LEM sur Ω. Soit H ∈ Ω, alors on définitZ
1
LEM (H) =H αβ Hαβ dtdx.
4 R1+3On suppose maintenant que F est un point critique du Lagrangien LEM . Alors on aimmédiatementZd1
H αβ Fαβ dtdx
(4.5)
0 = LEM (F + tH)|t=0 =dt
2 R1+3pour tout H dans Ω.
On remarque que si ω est un tenseur de type (0, 1), alorsDα ωβ − Dβ ωα ∈ Ω.
En effet, Hαβ = Dα ωβ − Dβ ωα vérifie bienDα Hβγ + Dγ Hαβ + Dβ Hγα = 0
puisque le tenseur de courbure de la métrique de Minkowski est nul (en fait, c’est aussi
vrai pour une métrique générale grâce à la première identité de Bianchi). On peut donc
choisir Hαβ = Dα ωβ − Dβ ωα dans (4.5), et on obtientZ
Dα ω β Fαβ dtdx = 0
R1+3

ce qui après intégration par parties impliqueZω β Dα Fαβ dtdx = 0
R1+3

pour tout tenseur ω de type (0, 1). En choisissantω0 = 0, ωj = Dα Fαj puis ω0 = Dα Fα0 , ωi = 0,

50

4. RELATIVITÉ RESTREINTE

on en déduit
Dα Fαβ = 0.
Comme F appartient à Ω, on a donc obtenu les équations de Maxwell dans le vide (4.4)
comme point critique d’un Lagrangien.
4.4.2. Le tenseur d’énergie-impulsion.
Définition 4.5. Soit F un 2-tenseur antisymétrique solution des équations de Maxwell dans le vide (4.4). On définit le tenseur d’énergie-impulsion par1
Tαβ = Fαγ Fβ γ − mαβ F µν Fµν .
4
Proposition 4.6. Le tenseur d’énergie-impulsion a les propriétés suivantes :(1) Tαβ est un 2-tenseur symétrique.
(2) Dα Tαβ = 0.
(3) T00 = 12 (|E|2 + |B|2 ).
Démonstration. La propriété (1) est claire. Concernant la propriété (2), on a enutilisant les équations de Maxwell dans le vide et l’antisymétrie de F :1
Dα Tαβ = Dα Fαγ Fβ γ + Fαγ Dα Fβ γ − mαβ F µν Dα Fµν
21= Fαγ Dα Fβ γ − F µν Dβ Fµν
2


1
µν
= F
Dµ Fβν − Dβ Fµν
21 µνF (Dµ Fβν − Dν Fβµ − Dβ Fµν )=21= − F µν (Dµ Fνβ + Dν Fβµ + Dβ Fµν )2= 0.
Enfin, en ce qui concerne la troisième propriété, on a1
T00 = F0γ F0 γ + F µν Fµν
4
1
2= |E| + (|B|2 − |E|2 )2
1(|E|2 + |B|2 ),=2
ce qui conclut la preuve de la proposition.

4.4. LES ÉQUATIONS DE L’ÉLECTROMAGNÉTISME

51

4.4.3. Lois de conservation. On va utiliser les champs de Killing de Minkowski
pour exhiber des quantités conservées pour l’équation de Maxwell.
Proposition 4.7. Soit K un champ de Killing de l’espace de Minkowski (R1+3 , m),alors le tenseur de type (0, 1) Tαβ K β est à divergence nulle
Dα (Tαβ K β ) = 0.
Démonstration. En effet, on a
Dα (Tαβ K β ) = Dα Tαβ K β + Tαβ Dα K β
1=Tαβ (Dα K β + Dβ K α )21=Tαβ (K) π αβ2
= 0où on a utilisé les propriétés (1) et (2) de la Proposition 4.6 et le fait que K est un champde Killing.

Soit K un champ de Killing de l’espace de Minkowski (R1+3 , m). Par la propositionprécédente, on a
Dα (Tαβ K β ) = 0.
En intégrant cette relation sur la région de R1+3 définie par {0 < x0 < t}, on obtient laloi de conservation suivanteZ
Z
β
T0β K β dx,(4.6)
T0β K dx ={x0 =t}{x0 =0}où on a utilisé le fait que ∂x∂ 0 est la normale unitaire à {x0 = t} pour tout t ∈ R.
Considérons maintenant les différents champs de Killing de Minkowski obtenus dansla section 4.3 :(1) La translation en temps correspond à K = ∂x∂ 0 qui donne la conservation del’énergie
ZZ1
T00 dx =(|E|2 + |B|2 )dx.
200{x =t}{x =t}(2) Les translations spatiales correspondent à K = ∂x∂ i qui donne la conservation dumoment linéaire.
(3) Les rotations spatiales correspondent à K = xi ∂x∂ j − xj ∂x∂ i qui donne la conservation du moment angulaire.

52

4. RELATIVITÉ RESTREINTE

4.5. Exercices
Exercice 1. Soit


0
E1
E2
E3
 −E1
0
−B3 B2 .
(Fαβ ) =  −E2 B30
−B1 
−E3 −B2 B10
On rappelle que les équations de Maxwell dans le vide correspondent àDα Fβγ + Dγ Fαβ + Dβ Fγα = 0,Dα Fαβ= 0,où D désigne ici la connexion de Levi-Civita de l’espace-temps de Minkowski (R1+3 , m).
a) A partir de la formulation précédente, retrouver les équations de Maxwell dans levide sous leur forme standarddiv (B)
= 0,


 ∂B
+ rot(E)
= 0,
∂t
div
(E)
= 0,


 ∂E
− ∂t + rot(B) = 0.
b) Soit A une 1-forme. Montrer que
Gαβ = Dα Aβ − Dβ Aαvérifie l’équation
Dα Gβγ + Dγ Gαβ + Dβ Gγα = 0.
c) On admettra qu’il existe une 1-forme A telle que
Fαβ = Dα Aβ − Dβ Aα .
En déduire une équation satisfaite par A.
d) Montrer que la relation entre A et F est encore vraie si l’on remplace A par A + df
pour toute fonction C ∞ f de R1+3 dans R.
e) On choisit désormais la jauge de Lorentz pour A
Dα Aα = 0.
Que devient l’équation pour A trouvée en c) ?
Exercice 2. Un difféomorphisme φ : U ⊂ M → M est une isométrie conforme si il existe
une fonction Λ telle que en chaque point p, on a Λ 6= 0 et
φ∗ g = Λ2 g.
Un champ de vecteurs qui génère un groupe à un paramètre d’isométries conformes est
appelé champ de Killing conforme.
a) Montrer qu’un champ de vecteurs K est un champ de Killing conforme si et seulement si LK g est proportionnel à g.

4.5. EXERCICES

53b) En déduire qu’un champ de vecteurs K est un champ de Killing conforme si etseulement si (K) π est proportionnel à g.
Exercice 3. On se place sur (R1+n , m). Soit K un champ de Killing conforme. Il existe
donc Ω telle que(K)παβ = Ωmαβ .
a) Montrer que l’on a1
Dα Dβ Kγ = (Dα Ω mβγ + Dβ Ω mαγ − Dγ Ω mαβ ).
2b) En déduire que K vérifie
Kα= − n−1Dα Ω,
2Dα Kα =n+1Ω.
2c) En déduire que Ω vérifieΩ = 0.
d) En déduire que Ω vérifie(n − 1)Dα Dβ Ω = 0.
e) SoientS = xµ ∂µ et Tµ = 2xµ xρ ∂ρ − (xρ xρ )∂µ .
Montrer que S et Tµ sont des champs de Killing conforme.
f) Pour n ≥ 2, déduire des questions d) et e) qu’il existe des constantes c et dµ tellesque
K − cS − dµ Tµsoit un champ de Killing. Déduire du cours tous les champs de Killing conforme de(R1+n , m) pour n ≥ 2.

CHAPITRE 5

La relativité générale
Avec sa théorie de la relativité restreinte, Einstein a obtenu un cadre compatible avec
l’électromagnétisme. Reste alors le problème de la prise en compte de la gravitation.
Einstein mettra dix ans, entre 1905 et 1915, pour énoncer sa théorie de la relativitégénérale [4], où la gravité n’est pas vue comme une force, mais comme induisant unedéformation de l’espace-temps.
5.1. L’espace-temps
Pour prendre en compte la gravitation, Einstein va remplacer l’espace-temps de Minkowski (R1+3 , m) par une variété Lorentzienne (M, g) de dimension 4, que l’on appellera
dans toute la suite de ce cours l’espace-temps.
Deux espaces-temps (M, g) et (M0 , g0 ) seront considérés équivalents si ils sont isométriques,c’est à dire si il existe un difféomorphisme
φ : M → M0 avec φ∗ g0 = g.
En conséquence, lorsque l’on parle d’un espace-temps (M, g), on considère en fait la classed’équivalence de (M, g), c’est à dire l’ensemble des (M0 , g0 ) isométriques à (M, g). En
pratique, on considérera en général un unique représentant de cette classe d’équivalence,mais le fait que (M, g) est défini seulement à équivalence près sera utile dans certaines
situations, notamment pour l’étude du problème de Cauchy au Chapitre 7.
5.2. Le principe d’équivalence
Le principe d’équivalence, est un postulat introduit par Einstein pour expliquer l’effet
du champ gravitationnel sur un corps en chute libre et sur un photon :• Un corps en chute libre dans un champ gravitationnel se déplace selon une géodésiquede type temps de (M, g).
• Un photon dans un champ gravitationnel se déplace selon une géodésique de typelumière de (M, g).
En d’autres termes, Einstein, contrairement à la physique Newtonienne, ne voit pas
la gravité comme un champ de force , mais comme une déformation de l’espace-temps.
Si notre trajectoire est déviée sous l’effet de la gravitation, c’est parce que nous suivons
une géodésique de l’espace-temps et que cette géodésique est courbe sous l’effet de lagravité. Notons en outre qu’une géodésique est entièrement déterminée par sa position et55

56

5. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

sa vitesse initiale, de sorte que si on connait la position et la vitesse initiale d’un corps enchute libre, on peut en déduire sa trajectoire pour tout temps.
5.3. La formulation Lagrangienne
On sait maintenant que l’espace-temps dans lequel nous vivons est une variété Lorentzienne (M, g) de dimension 4, et que l’influence de la gravité se traduit par la courbure
de l’espace-temps. Il reste à déterminer l’espace-temps, c’est à dire à dériver une équation
qui doit être satisfaite par celui-ci.
Pour chercher cette équation, on va utiliser le principe de moindre action, selon lequella solution d’un système physique doit minimiser un Lagrangien. En écrivant que cettesolution est un point critique du Lagrangien, on obtient alors l’équation d’Euler-Lagrange
correspondante. Remarquons que l’on a procédé de même pour dériver les équations deMaxwell dans la section 4.4.1.
On considère le Lagrangien sous la forme suivanteL[ψ, g] = LG [g] + LM [ψ, g]
avec

ZLG [g] =LG [g]pZ| det g|dx, LM [ψ, g] =MLM [ψ, g]p| det g|dx,

Moù les inconnues sont la métrique g et le champ de matière ψ (qui est un champ de tenseursdépendant de la matière présente dans l’espace-temps), où LG (qui ne dépend que deg) correspond à l’action du champ gravitationnel, et où LM correspond à l’action de lamatière présente dans l’espace-temps (M, g). LM dépend donc du type de matière présent,
et on donnera quelques exemples dans la section 5.5. En ce qui concerne LG , par analogie
avec la physique Newtonienne, on cherche une quantité scalaire dépendant d’au plus deuxdérivées de la métrique g, et telle que l’équation d’Euler-Lagrange correspondante dépended’au plus deux dérivées de g. Le bon candidat se révèle être la courbure scalaire :LG = Rscal.
On obtient finalement l’action d’Einstein-HilbertZpL[ψ, g] =(Rscal + LM [ψ, g]) | det g|dx.
M

L’équation d’Euler-Lagrange est l’équation vérifiée par les points critiques de L et correspond aux deux équations suivantes
δg LG + δg LM = 0,δψ LM = 0,

(5.1)
(5.2)

où δg et δψ désignent respectivement la variation première par rapport à g et ψ. L’équation(5.2) correspond à l’équation du mouvement pour le champ de matière ψ, et l’équation

5.3. LA FORMULATION LAGRANGIENNE

57(5.1) correspond à l’équation d’Einstein, que l’on va expliciter ci-dessous.
Soit h un 2-tenseur symétrique sur M et à support compact. On a alors g + th qui
est une métrique Lorentzienne sur M pour t assez petit. Pour une fonction scalaire F
dépendant de g, la variation δg F de F par rapport à h est donnée par :dF (g + th)|t=0 .
dt
On va d’abord calculer la variation de LG .
δg F (h) =Proposition 5.1. Soit h un 2-tenseur symétrique sur M et à support compact. Alors,on aZpδg LG (h) = −Gαβ hαβ | det g|dx
Moù le 2-tenseur G est donné par1
Gαβ = Ricαβ − gαβ Rscal,
2
et est appelé tenseur d’Einstein.
Démonstration. On aZ
Zp
Rscal | det g|dx =LG =M

gαβ Ricαβp| det g|dx

M

ce qui impliquepp
δg LG (h) =δg (gαβ )(h)Ricαβ | det g| + gαβ δg (Ricαβ )(h) | det g|Mpαβ+g Ricαβ δg ( | det g|)(h) dx.
Z

(5.3)

On va calculer les 3 termes du membre de droite en commençant par le premier. On a(g + th)αβ = gαβ + thαβ .
On prends l’inverse (au sens des matrices). On obtient pour t petit(g + th)αβ = gαβ − tgαµ gβν hµν + O(t2 )et doncδg (gαβ )(h) = −gαµ gβν hµν = −hαβ .
De même, en prenant le déterminant (au sens des matrices). On obtient(5.4)

det(g + th) = det(g) + t det(g)gµν hµν + O(t2 )et doncp
1p
δg ( | det g|)(h) =| det g|gµν hµν .
2

(5.5)

58

5. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

En réinjectant dans (5.3), cela donne

Z 
p
1
Ricµν − gµν Rscal hµν | det g|dx
δg LG (h) = −2ZMpgαβ δg (Ricαβ )(h) | det g|dx.
+

(5.6)

M

On calcule maintenant δg (Ricαβ )(h). En contractant dans la formule pour le tenseur
de courbure (3.12), on a
Ricαβ =

∂Γγ αβ ∂Γγ γα
−
+ Γ2
γ
β
∂x
∂x

(5.7)

où on ne précise par les coefficients des termes quadratiques en Γ car ils vont disparaitre
dans les calculs. On en déduit
δg (Ricαβ )(h) =∂δg (Γγ αβ )(h) ∂δg (Γγ γα )(h)−+ Γδg (Γ)(h).
∂xγ∂xβδg (Ricαβ )(h) est un tenseur. En particulier, on peut évaluer l’expression précédente en
un point où on a pris les coordonnées normales centrées en ce point, de telle sorte que lessymboles de Christoffel Γ sont nuls en ce point d’après le Lemme 3.25. On obtient donc∂δg (Γγ αβ )(h) ∂δg (Γγ γα )(h)
−
∂xγ
∂xβ
γ
= Dγ δg (Γ αβ )(h) − Dβ δg (Γγ γα )(h).

δg (Ricαβ )(h) =Rappelons maintenant que δg (Γαβγ ) est la différence (infinitésimale) de symboles de Christoffel, et est donc un tenseur (voir remarque 2.48). En particulier, l’égalité est une égalité
entre deux tenseurs. Elle est donc vrai indépendamment du système de coordonnées choisies, et on a donc obtenu
δg (Ricαβ )(h) = Dγ δg (Γγ αβ )(h) − Dβ δg (Γγ γα )(h).

(5.8)

Tous les termes du membre de droite sont des dérivées, et on obtient donc après intégration
par partieZpgαβ δg (Ricαβ )(h) | det g|dx = 0.
M

En reinjectant dans (5.6), on obtient finalement

Z 
p
1
δg LG (h) = −Ricµν − gµν Rscal hµν | det g|dx
2M
ce qui conclut la preuve de la proposition.

5.4. LES ÉQUATIONS D’EINSTEIN

59

On calcule également la variation de LM . On a, en supposant que LM dépend de g àtravers les coefficients gµν :
Z
Z
p
p
∂LM
µν
δg LM (h) =
δ
(g
)(h)
|
det
g|dx
+
L
δ
(
| det g|)(h)dx
g
M
g
µν
M g
M

Z 
p
∂LM
1
µν
= −
g
L
h
| det g|dx
(5.9)
−
µν M
gµν
2
M
où on a utilisé dans la dernière égalité les identités (5.4) et (5.5). On introduit maintenantle tenseur d’énergie-impulsion.
Définition 5.2. Le 2-tenseur symétrique


∂LM
1
Tµν = −− gµν LMgµν2est appelé tenseur d’énergie-impulsion.
On peut donc réécrire (5.9) comme suit :ZpTµν hµν | det g|dx
δg LM (h) =M

ce qui au vu de la Proposition 5.1 impliqueZp(Gµν − Tµν )hµν | det g|dx.
δg LG (h) + δg LM (h) = −M

L’équation (5.1) peut donc s’écrireZp(Gµν − Tµν )hµν | det g|dx = 0
Mpour tout 2-tenseur h symétrique sur M et à support compact. Comme Gµν − Tµν est
un 2-tenseur symétrique, on en déduit immédiatement l’équation suivanteGµν = Tµν
qui est la célèbre équation d’Einstein.
5.4. Les équations d’Einstein
On a obtenu dans la section précédente les équations d’Einstein par le principe demoindre action, c’est à dire comme l’équation d’Euler-Lagrange de l’action d’EinsteinHilbert. Ces équations ont la forme suivante :Gαβ = Tαβoù G est le tenseur d’Einstein
1Gαβ = Ricαβ − gαβ Rscal
2(5.10)

60

5. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

et où T est le tenseur d’énergie-impulsion, qui correspond au contenu en énergie et impulsion induit par la présence de champs de matière dans l’espace-temps. Les équations
d’Einstein traduisent donc l’influence des champs de matière (à travers leur distributiond’énergie-impulsion) sur la courbure de l’espace-temps.
Notons que (5.10) induit une identité vérifiée par le 2-tenseur symétrique T. En effet,
on rappelle la seconde identité de Bianchi :Dν Rα βγµ + Dµ Rα βνγ + Dγ Rα βµν = 0.
En contractant par rapport à ν et α, on obtientDα Rαβγµ + Dµ Ricβγ − Dγ Ricβµ = 0.
En contractant de nouveau, cette fois par rapport à β et µ, on obtient finalement
2Dα Ricαγ − Dγ Rscal = 0
ce qui implique
Dα Gαβ = 0.
Au vu de (5.10), on obtient l’identité suivante vérifiée par T :Dα Tαβ = 0.

(5.11)

Remarque 5.3. On appelle (5.11) une loi de conservation locale. En effet, dans lecas particulier où l’espace-temps possède un champ (voir des champs) de Killing K, on
peut contracter T avec K pour former Tαβ K β qui est alors à divergence nulle et induit
une quantité conservée par intégration sur une région de M bien choisie. On renvoie àla section 4.4.3 où ceci est expliqué dans le cas particulier des équations de Maxwell sur
l’espace-temps de Minkowski.
Enfin, on écrit le cas particulier des équations d’Einstein dans le vide qui correspondent
au choix de T suivant
Tαβ = 0.
Les équations d’Einstein (5.10) dans le vide s’écrivent donc
1
Ricαβ = gαβ Rscal.
2
En contractant, et en remarquant que l’on a pour une variété Lorentzienne de dimension
4
gαβ gαβ = 4,
on obtient
Rscal = 0,ce qui implique que les équations d’Einstein dans le vide s’écrivent finalement
Ricαβ = 0.

(5.12)

5.5. EXEMPLES DE TENSEURS D’ÉNERGIE-IMPULSION

61

Exemple 5.4. L’espace-temps de Minkowski (R1+3 , m) est solution des équations
d’Einstein dans le vide.
Remarque 5.5. On rappelle (voir la remarque 3.33) que le tenseur de courbure en
dimension 4 a 20 composantes indépendantes. Le tenseur de Ricci étant un 2-tenseur
symétrique a lui, en dimension 4, 10 composantes indépendantes. Les équations d’Einstein(5.10), et en particulier celles dans le vide (5.12), ont donc 10 degrés de liberté.
5.5. Exemples de tenseurs d’énergie-impulsion
On donne dans cette section deux exemples de tenseurs d’énergie-impulsion. On rappelle que si ψ est un champ de matière, et si LM [ψ, g] est la contribution correspondanteà l’action d’Einstein-Hilbert, alors l’équation du mouvement est donnée par (5.2) :δψ L M = 0où δψ désigne la variation première par rapport à ψ. De plus, le tenseur d’énergie-impulsion
est donné parZp
δg LM (h) =Tµν hµν | det g|dx.
M

5.5.1. Le cas d’un champ scalaire. On considère le Lagrangien suivantZp
LKG [u, g] = −(gαβ ∂α u∂β u + m2 u2 ) | det g|dx,
Moù u : M → R est une fonction scalaire, et où m ≥ 0 est une constante donnée. L’équation
du mouvement est donnée parδu LKG = 0
c’est à dire−gαβ Dα Dβ u + m2 u = 0.
De plus, en utilisant (5.4) et (5.5), on obtient que la variation de LKG par rapport à g
est donnée par

Z 
p
1
µν
2 2
δg LKG (h) =∂α u∂β u − gαβ (g ∂µ u∂ν u + m u ) hαβ | det g|dx
2M
ce qui implique que le tenseur d’énergie-impulsion associé est donné par1
Tαβ = ∂α u∂β u − gαβ (gµν ∂µ u∂ν u + m2 u2 ).
2Finalement, les équations d’Einstein couplées à un champ scalaire sont données par(1
1Ricαβ − gαβ Rscal = ∂α u∂β u − gαβ (gµν ∂µ u∂ν u + m2 u2 ),(5.13)
22−gαβ Dα Dβ u + m2 u = 0.

62

5. LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE

5.5.2. L’électromagnétisme. On considère le Lagrangien suivantZp1
LEM [F, g] = −F αβ Fαβ | det g|dx,
2 M
où F est un 2-tenseur antisymétrique sur (M, g) vérifiant
Dα Fβγ + Dγ Fαβ + Dβ Fγα = 0.
L’équation du mouvement est donnée par
δF LEM = 0
c’est à direZ

H αβ Fαβp| det g|dx = 0

Mpour tout 2-tenseur antisymétrique H vérifiant
Dα Hβγ + Dγ Hαβ + Dβ Hγα = 0.
Comme dans la section 4.4.1, on en déduit
Dα Fαβ = 0.
De plus, en utilisant (5.4) et (5.5), on obtient que la variation de LEM par rapport à g
est donnée par

Z 
p
1
1
µ
µν
δg LEM (h) =2Fαµ Fβ − gαβ F Fµν hαβ | det g|dx
2 M
2ce qui implique que le tenseur d’énergie-impulsion associé est donné par1
Tαβ = Fαµ Fβ µ − gαβ F µν Fµν .
4Finalement, les équations d’Einstein couplées aux équations de l’électromagnétisme sontdonnées par11 Ricαβ − gαβ Rscal= Fαµ Fβ µ − gαβ F µν Fµν ,24(5.14)Dα Fβγ + Dγ Fαβ + Dβ Fγα = 0,

 α
D Fαβ
= 0.
5.6. Problème
Soit (M, g) solution des équations d’Einstein. On suppose que
gαβ = mαβ + γαβ
où γ est petit, et on cherche à linéariser les équations d’Einstein autour de la métrique deMinkowski.

5.6. PROBLÈME

63a) Montrer que le linéarisé du tenseur de Ricci est donné par1
11
δRicαβ = − ∂ µ ∂µ γαβ + ∂ µ (∂α γβµ + ∂β γαµ ) − ∂α ∂β γ222αβoù on a posé γ = m γαβ .
b) En déduire le linéarisé du tenseur d’Einstein.
c) Vérifier que le linéarisé du tenseur d’Einstein est invariant par la transformation
γαβ → γαβ + ∂α ξβ + ∂β ξαpour tout champ de vecteurs ξ.
d) On introduit
1γ αβ = γαβ − γmαβ .
2Réécrire les équations d’Einstein linéarisées en fonction de γ αβ .
e) Vérifier que le linéarisé du tenseur d’Einstein est invariant par la transformation
γ αβ → γ αβ + ∂α ξβ + ∂β ξα − ∂ µ ξµ mαβpour tout champ de vecteurs ξ.
f) Montrer que l’on peut choisir ξ tel que∂ β γ αβ = 0.
g) Comment s’écrivent les équations d’Einstein linéarisées dans cette jauge ?

CHAPITRE 6

Exemples de solutions explicites
On va présenter dans cette section trois exemples célèbres d’espaces-temps qui sont dessolutions explicites des équations d’Einstein dans le vide (5.12). On va reparler d’abord del’espace-temps de Minkowski afin d’introduire la notion de diagramme de Carter-Penrose.
Puis on introduira la solution de Schwarzschild [10], et on terminera par la solution de
Kerr [6].
6.1. Espace-temps de Minkowski
6.1.1. Description. L’espace-temps de Minkowski (R1+3 , m) est la solution la plus
simple de l’équation d’Einstein dans un espace-temps vide. On rappelle que cet espacetemps est le cadre de la relativité restreinte. Dans les coordonnées cartésiennes (x0 , x1 , x2 , x3 )de R4 , on ag = −(dx0 )2 + (dx1 )2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 .
(6.1)
On peut aussi se placer en coordonnées sphériques (t, r, θ, φ), telles que
x0 = t, x1 = r sin θ cos φ, x2 = r sin θ sin φ, x3 = r cos θ.
Dans ces coordonnées, la métrique s’écrit :g = −dt2 + dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ).
Remarque 6.1. La métrique de Minkowski en coordonnées sphériques comporte une
singularité en r = 0 et sin θ = 0. Il ne s’agit pas d’une vraie singularité, mais d’une singularité de coordonnées. Pour obtenir des coordonnées régulières, il suffit de se restreindreà
0 < r < +∞, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π.
On a alors besoin de deux tels systèmes de coordonnées pour couvrir tout l’espace-temps
de Minkowski.
6.1.2. Représentation de Carter-Penrose. On va maintenant donner une représentation
de l’espace-temps de Minkowski qui permet de mieux comprendre le comportement desgéodésiques nulles à l’infini. Pour cela, on se place en coordonnées sphériques et on effectuele changement de coordonnées suivant :v = t + r, w = t − r.
65

66

6. EXEMPLES DE SOLUTIONS EXPLICITES

Pour ce système de coordonnées, on a :1
g = −dvdw + (v − w)2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 ).
4
Remarque 6.2. On appelle v et w des coordonnées nulles respectivement avancées
et retardées. L’absence de termes dv 2 et dw2 dans l’expression de la métrique dans ces
coordonnées vient du fait que les hypersurfaces {w = w0 } et {v = v0 } pour w0 , v0 ∈ R
sont nulles.
Les coordonnées v et w varient dans R entier. En posant tan p = v, tan q = w, on
obtient des coordonnées p, q variant dans ] − π2 , π2 [ (avec p ≥ q) et telles que :


1
1 2
2
2
2
g=
−dpdq + sin (p − q)(dθ + sin θ dφ ) .
cos2 p cos2 q
4
On peut réécrire cette expression sous une forme plus standard en posant :t0 = p + q , r0 = p − q,où
−π < t0 + r0 < π et − π < t0 − r0 < π, r0 ≥ 0.
Alors :g=1
4 cos2 ( 21 (t0 + r0 )) cos2 ( 12 (t0 − r0 ))ḡ,où la métrique conforme ḡ est donnée parḡ = −(dt0 )2 + (dr0 )2 + sin2 r0 (dθ2 + sin2 dφ2 ).

Figure 1. Representation de Carter-Penrose de l’espace-temps de Minkowski

6.2. SOLUTION DE SCHWARZSCHILD

67

On peut représenter la structure conforme à l’infini en traçant un diagramme dans leplan (t0 , r0 ) (voir la figure 1). Chaque point de ce diagramme représente donc une sphère S2 ,et les géodésiques nulles radiales correspondent aux lignes droites d’angle ±π/4. La structure à l’infini de n’importe quel espace-temps à symétrie sphérique peut être représentépar un tel diagramme, appelé diagramme de Carter-Penrose. Sur ces diagrammes, l’infini
est représenté par une ligne simple, l’origine des coordonnées polaire par une ligne en
pointillé, et une vraie singularité (par opposition à une singularité de coordonnées) par
une ligne double.
Sur ce diagramme, le point i0 représente le point asymptotique des géodésiques degenre espace : toutes les géodésiques de genre espace aboutissent au point i0 . De même,les points i+ et i− représentent respectivement les points asymptotiques des géodésiquesde genre temps orientées vers le futur, et orientées vers le passé. Les hypersurfaces I + et
I − représentent les hypersurfaces asymptotiques des géodésiques de genre lumière : toutegéodésique de genre lumière orientée vers le futur (resp. vers le passé) aboutit en I + (resp.
I − ).
6.2. Solution de Schwarzschild
6.2.1. Solution et extension maximale. La solution de Schwarzschild, introduite
dans [10], constitue un modèle simple de trou noir sans rotation. Il s’agit d’une solution
des équations d’Einstein dans le vide à l’extérieur d’un corps massif à symétrie sphérique.
On peut exprimer la métrique dans un système de coordonnées (t, r, θ, φ) :



−1
2m
2m
2
g =− 1−
dt + 1 −dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ),
(6.2)
r
r
où m > 0 représente la masse du corps. Il s’agit d’une solution à symétrie sphérique. On∂
est un champ de Killing qui est parallèle à son gradient. On appelle un tel
note que ∂tespace-temps un espace-temps statique.
On remarque que cette métrique diverge dans deux régions de l’espace-temps :(1) en r = 0,(2) en r = 2m.
On peut montrer que la singularité en r = 0 est une vrai singularité, c’est à dire qu’elle
existe quel que soit le système de coordonnées choisi. En effet, un calcul montre que
48m2
,r>0
r6
où K est une fonction scalaire appelée invariant de Kretschmann. Comme K est indépendant
du système de coordonnées choisi, on voit que le tenseur de courbure R diverge en r = 0
dans tout système de coordonnées.
K = Rαβµν Rαβµν =68

6. EXEMPLES DE SOLUTIONS EXPLICITES

Par contre, la singularité en r = 2m (cette valeur est appelée rayon de Schwarzschild )est une singularité de coordonnées, c’est à dire qu’il existe un plongement isométrique decette variété dans une variété d’espace-temps plus large, sans singularité en ces points.
Pour voir cela, on se place dans un système de coordonnées (t, r, θ, φ) :



−1
2m
2m
2
g =− 1−
dt + 1 −dr2 + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ).
r
r
On pose à présent :Z

dr= r + 2m log |r − 2m|.
1 − 2mr
On définit les coordonnées lumière avancées et retardées :∗r =v = t + r∗ , w = t − r ∗ .
On peut exprimer la métrique en fonction des coordonnées (v, r, θ, φ), ce qui donne pourg la forme suivante, dite d’Eddington-Finkelstein :2mdv 2 + 2dvdr + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ).
g =− 1−r
Cette métrique est définie pour tout v et pour r ∈]0, +∞[. Cela permet de définir unespace-temps plus large (M0 , g0 ), sur lequel on a des coordonnées (r, v, θ, φ) qui varient
dans ces intervalles. La solution de Schwarzschild est isométrique à la région de (M0 , g0 )pour laquelle r > 2m. On a donc trouvé une extension de la métrique de Schwarzschild,appelée extension de Finkelstein avancée. En procédant de la même manière avec lacoordonnée w, on peut trouver une autre extension de la solution de Schwarzschild, appeléeextension de Finkelstein retardée :2mg =− 1−dw2 − 2dwdr + r2 (dθ2 + sin2 θdφ2 ).
r
On va maintenant voir que ces deux extensions sont des sous-extensions d’une mêmeextension maximale de la solution de Schwarzschild, en un sens qui sera précisé plus loin.
Dans les coordonnées (v, w, θ, φ), la métrique prend la forme suivante :2m
dvdw + r2 (dθ2 + sin2 θ dφ2 ),g =− 1−roù r est déterminé par l’équation :1(v − w) = r + 2m log(r − 2m).
2
Si on définit
 w 
 v 
v 0 = exp
, w0 = − exp −,4m
4m

6.2. SOLUTION DE SCHWARZSCHILD

69

on peut procéder de la même façon que pour l’espace-temps de Minkowski et prendre :11x0 = (v 0 − w0 ), t0 = (v 0 + w0 ).
2
2
Alors :
g = F 2 (t0 , x0 )(−(dt0 )2 + (dx0 )2 ) + r2 (t0 , x0 )(dθ2 + sin2 θdφ2 ).
où r est déterminé implicitement par la relation :
 r 
0 2
0 2
,
(t ) − (x ) = −(r − 2m) exp
2m
et F est donné par : r  16m2
F 2 = exp −.
2mr
Sur la variété M∗ définie par les coordonnées (t0 , x0 , θ, φ) pour (t0 )2 − (x0 )2 < 2m, lesfonctions r et F sont positives et analytiques. Si on définit sur cette variété la métrique parla formule précédente, en fonction des coordonnées (t0 , r0 , θ, φ), alors la région définie parx0 > |t0 | (région I figure 2), est isométrique à la région de la solution de Schwarzschild pourlaquelle r > 2m. La région pour laquelle x0 > −t0 (régions I et II figure 2) est isométriqueà l’extension de Finkelstein avancée, tandis que la région pour laquelle x0 > t0 (régions I
et II’ figure 2) est isométrique à la solution de Finkelstein retardée. Finalement, la région
pour laquelle x0 < −|t0 | (région I’ figure 2) est isométrique à la solution de Schwarzschildextérieure (pour laquelle r > 2m).

Figure 2. Représentation de l’espace-temps de Schwarzschild dans les coordonnées (t0 , x0 )

70

6. EXEMPLES DE SOLUTIONS EXPLICITES

Sur la figure 2, les géodésiques de genre lumière restant dans les plans θ = cte, φ = ctesont les droites d’équation t0 = ±x0 + c. On voit facilement que si une géodésique de genre
lumière part d’un point de la région II, elle ne peut pas s’en échapper. La région II piègedonc la lumière, et pour cette raison, est appelé trou noir .
On appelle cette extension (M∗ , g∗ ), l’extension de Kruskal. On peut montrer que
c’est l’unique extension de la solution de Schwarzschild qui soit analytique et localement
inextensible, c’est-à-dire qu’il n’existe pas d’ouvert U ⊂ M∗ non relativement compact,
tel que (U, g∗ |U ) admette une extension dans laquelle U serait relativement compacte.
6.2.2. Representation de Carter-Penrose. On peut déterminer la représentationde Carter-Penrose de l’extension de Kruskal en définissant de nouvelles coordonnées delumière avancées et retardées par :v 00 = arctan(v 0 (2m)−1/2 ) et w00 = arctan(w0 (2m)−1/2 ),avec :ππππππ< v 00 + w00 < et − < v 00 < , − < w00 < .
2
2
2
2
2
2
De même que pour la solution de Minkowski, on peut établir le diagramme de CarterPenrose, en prenant comme coordonnée horizontale v − w et comme coordonnée verticalev + w. On retrouve les régions I, II, II’ et I’ du diagramme précédent. La encore, lespoints i0 représentent les points asymptotiques des géodésiques de genre espace et lespoints i+ (resp. i− ) ceux des géodésiques de genre temps dirigées vers le futur (resp.
vers le passé) des régions I et I’. Les particules tombées dans la région II ne peuvent
s’en échapper et terminent en temps propre fini dans la singularité future, de même queles particules se trouvant dans la région II’ proviennent nécessairement de la singularité
passée et s’échappent de II’ en temps propre fini. La région II’ ayant le comportement
inverse de la région II (c’est à dire du trou noir), elle est appelée trou blanc.
−

6.3. Solution de Kerr
La solution de Kerr, introduite dans [6], fournit un modèle de trou noir en rotation,
c’est à dire doté d’un moment cinétique interne. Sa métrique s’écrit, dans les coordonnéesde Boyer-Lindquist (r, θ, φ, t) :
 2

dr
2mr
2
2
g=ρ
+ dθ + (r2 + a2 ) sin2 θdφ2 − dt2 + 2 (a sin2 θdφ − dt)2 ,
(6.3)
∆
ρ
où :
ρ2 (r, θ) = r2 + a2 cos2 θ et ∆(r) = r2 − 2mr + a2 .
Ici, m représente la masse et ma le moment cinétique du corps massif, mesurés à l’infini.
∂
Il s’agit d’une solution à symétrie axiale. On note que ∂test un champs de Killing. On
appelle un tel espace-temps un espace-temps stationnaire.

6.3. SOLUTION DE KERR

71

Figure 3. Représentation de Carter-Penrose de l’espace-temps de Schwarzschild
Remarque 6.3. L’importance de cette famille de solutions vient en particulier dufait qu’il est conjecturé (et prouvé sous certaines hypothèses) que les seuls trous noirs
stationnaires solutions des équations d’Einstein dans le vide sont précisément les membresde la famille de Kerr.
Remarque 6.4. Quand a = 0, on retrouve la solution de Schwarzschild.
On peut supposer a 6= 0 puisque a = 0 correspond à Schwarzschild qui a déjà été
traité dans la section précédente. On considère de plus la restriction suivante sur aa2 ≤ m2
qui correspond au cas pertinent du point de vue de la physique. Dans ce cas :(1) La métrique a une singularité là où ∆(r) s’annule, c’est à dire enr+ = m + (m2 − a2 )1/2 et r− = m − (m2 − a2 )1/2
où
0 < r− < r+ si 0 < a2 < m2
et
0 < r− = r+ si a2 = m2 .
(2) Par ailleurs, la métrique aussi une singularité lorsque ρ(r, θ) s’annule, c’est à direen
 π(r, θ) = 0,.
2
La situation est analogue à Schwarzschild au sens où :72

6. EXEMPLES DE SOLUTIONS EXPLICITES(1) La singularité en (r, θ) = 0, π2 est une vraie singularité, ce qui se prouve denouveau en montrant la divergence de l’invariant de Kretschmann.
(2) Les singularités en r = r− et r = r+ sont des singularités de coordonnées.
Pour voir que les singularités en r = r− et r = r+ sont des singularités de coordonnées,
on introduit les coordonnées de Kerr (r, θ, φ+ , u+ ), où :du+ = dt + (r2 + a2 )∆−1 dr, dφ+ = dφ + a∆−1 dr.
La métrique prend alors la forme :
g = ρ2 dθ2 − 2a sin2 θdrdφ+ + 2drdu+ + ρ−2 (r2 + a2 )2 − ∆a2 sin2 θ sin2 θdφ2+−4aρ−2 mr sin2 θdφ+ du+ − (1 − 2mrρ−2 )du2+ .
Cette métrique est analytique en r = r+ et r = r−. On peut aussi étendre la métrique à
la variété définie par les coordonnées (r, θ, φ− , u− ), où :du− = dt − (r2 + a2 )∆−1 dr, dφ− = dφ − a∆−1 dr.
L’extension analytique maximale est construite en combinant ces extensions, et en remarquant que l’on peut prolonger r aux valeurs négatives malgré la vraie singularité en(r, θ) = 0, π2 . En recollant un nombre infini des ces extensions, on obtient l’extension
maximale dont la figure 4 représente le diagramme de Carter-Penrose.
Les régions I sont celles pour lesquelles r > r+ , les régions II sont celles pour lesquellesr ∈]r− , r+ [, et les régions III sont celles pour lesquelles −∞ < r < r− . Dans le cas où
a2 = m2 , il n’y a pas de région II car r+ = r− , et les régions I et III se recollent donc
directement, comme on peut le voir sur le schéma (ii) de la figure 4.

6.3. SOLUTION DE KERR

Figure 4. Représentation de Carter-Penrose de l’espace-temps de Kerr,dans les cas où 0 < a2 < m2 (a gauche) et a2 = m2 (a droite)

73

CHAPITRE 7

Le problème de Cauchy en relativité générale
Dans ce dernier chapitre, on montre que les équations d’Einstein correspondent à
un problème d’évolution pour un système d’équations aux dérivées partielles de nature
hyperbolique. L’exemple le plus élémentaire d’un tel problème est l’équation des ondes, eton commence par montrer que pour un système de coordonnées bien choisi, les équations
d’Einstein se réécrivent sous la forme d’un système d’équations d’ondes non linéaires.
Pour simplifier l’exposition, on se limitera dans ce chapitre aux équations d’Einstein dansle vide (5.12).

7.1. Les équations d’Einstein en coordonnées d’ondes
Rappelons que l’espace-temps (M, g) solution des équations d’Einstein est défini àinvariance par difféomorphisme près (voir section 5.1). (M, g) correspond donc en fait àune classe d’équivalence d’espace-temps, et on a par conséquent la liberté du choix dureprésentant dans cette classe, ce qui correspond à avoir la liberté du choix du systèmede coordonnées. Pour motiver le fait que les équations d’Einstein correspondent à unproblème d’évolution, on va considérer dans cette section un système de coordonnées
appelées coordonnées d’ondes. Commençons par définir le d’Alembertien.
Définition 7.1. Soit f une fonction scalaire sur M. On définit le d’Alembertien def par
g f = Dα Dα f.
Exemple 7.2. Dans le cas de l’espace-temps de Minkowski (R1+3 , m), le d’Alembertien
est donné par
m f = −

∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
+
.
∂t2
(∂x1 )2 (∂x2 )2 (∂x3 )2

On utilise généralement la notation  pour ce d’Alembertien.
Lemme 7.3. Dans un système de coordonnées xα , α = 0, 1, 2, 3, g est donné parp
1
g f = p∂β (gβα | det g|∂α f ).
| det g|75

76

7. LE PROBLÈME DE CAUCHY EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Démonstration. Soit U l’ouvert de coordonnées correspondant, et soit h une fonction scalaire sur M à support compact dans U. On aZZg f hdM =g f hdM
(7.1)
U
M
Z
=
Dα Dα f hdMZMZα=Dα X dM −Dα f Dα hdM,MMoù on a défini le champ de vecteurs X par
Xα = hDα f.
Notons que Dα X α est la divergence du champ de vecteurs X. On a donc par le Théorèmede GaussZ
Dα Xα dM = 0.

MAu vu de (7.1), on en déduit
ZZ

Dα f Dα hdM,

g f hdM = −
U

(7.2)

M

pour tout h à support compact dans U.
Par ailleurs, en utilisant l’expression de la forme volume dans un système de coordonnées (voir section 3.8), on a
Z
Z
p
p
p
1
1
βα
p
p
∂β (g
| det g|∂α f )hdM =∂β (gβα | det g|∂α f )h | det g|dx
| det g|| det g|UUZp=∂β (gβα | det g|∂α f )hdx
UZp
= − gβα | det g|∂α f ∂β hdxZUp= − gβα ∂α f ∂β h | det g|dx
ZU
= − Dα f Dα hdMZU= −Dα f Dα hdM.
M

Au vu de (7.2), on en déduit donc que!
Zp1
g f − p∂β (gβα | det g|∂α f ) hdM = 0| det g|U

7.1. LES ÉQUATIONS D’EINSTEIN EN COORDONNÉES D’ONDES

pour tout h à support compact dans U et doncp1
g f = p∂β (gβα | det g|∂α f )| det g|en tout point de l’ouvert de coordonnées U, ce qui conclut la preuve du lemme.

77

Définition 7.4. Un système de coordonnées d’ondes sur (M, g) est la donnée de 4
fonctions scalaires x0 , x1 , x2 , x3 sur un ouvert U de M vérifiant
g xα = 0, α = 0, . . . , 3.
Remarque 7.5. Les coordonnées d’ondes sont le pendant Lorentzien des coordonnéesharmoniques en géométrie Riemannienne. Ces dernières sont définies sur une variétéRiemannienne (M, g) de dimension n par les conditions∆g xj = 0, j = 1, . . . , noù ∆g est l’opérateur de Laplace-Beltrami :∆g f = Dj Dj f.
Lemme 7.6. Soit gαβ les coefficients de la métrique g dans les coordonnées d’ondes.
Alors on a1gβµ ∂β gµα = gµν ∂α gµν , α = 0, . . . , 3.
2Démonstration. On a
g xα = 0, α = 0, . . . , 3.
En utilisant le Lemme 7.3, on en déduitp∂β (gβα | det g|) = 0, α = 0, . . . , 3.
On a donc

1∂β gβα + gβα gµν ∂β gµν = 0, α = 0, . . . , 3.
2

Or on a∂β gβα = −gαν gβµ ∂β gµν .
Par conséquent, on obtient1
gαν gβµ ∂β gµν = gβα gµν ∂β gµν , α = 0, . . . , 32ce qui conclut la preuve du lemme après multiplication de l’égalité par gγα .



On va maintenant exprimer le tenseur de Ricci dans les coordonnées d’ondes.
Proposition 7.7. Le tenseur de Ricci s’écrit dans les coordonnées d’ondes
1 γµ ∂ 2 gαβ
Ricαβ = − g+ F (g)(∂g)2
γ
µ
2
∂x ∂x
où F (g) est une fonction des coefficients de g, et (∂g)2 une expression quadratique en lesdérivées premières des coefficients de g.

78

7. LE PROBLÈME DE CAUCHY EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Démonstration. On rappelle (5.7) qui donne la forme du tenseur de Ricci dans un
système de coordonnées arbitraire∂Γγ αβ ∂Γγ γα
Ricαβ =
−
+ Γ2
γ
β
∂x
∂x
2
où Γ désigne des termes quadratiques en Γ. En développant les coefficients de Christoffel
des deux premier termes à l’aide de la formule (3.2), on obtient après quelques calculs
1 γµ ∂ 2 gαβ
1 γµ ∂ 2 gµβ∂ 2 gγα∂ 2 gγµRicαβ = − g+ g+ µ β − α β + F (g)(∂g)2 (7.3)
γ
µ
γ
α
2
∂x ∂x
2
∂x ∂x
∂x ∂x
∂x ∂x
où F (g) est une fonction des coefficients de g, et (∂g)2 une expression quadratique en lesdérivées premières des coefficients de g.
On se place maintenant dans un système de coordonnées d’ondes. En injectant leLemme 7.6 dans (7.3), on obtient1∂ 2 gαβ
Ricαβ = − gγµ γ µ + F (g)(∂g)22∂x ∂x
ce qui conclut la preuve de la proposition.



En utilisant la Proposition 7.7, on voit que les équations d’Einstein dans le vide (5.12)
s’écrivent dans les coordonnées d’ondes∂ 2 gαβgγµ γ µ = F (g)(∂g)2∂x ∂xoù F (g) est une fonction des coefficients de g, et (∂g)2 une expression quadratique en lesdérivées premières des coefficients de g. En utilisant la définition du d’Alembertien, on
obtient finalement
g gαβ = F (g)(∂g)2 .
On a donc la proposition suivante.
Proposition 7.8. Dans les coordonnées d’ondes, les équations d’Einstein sont équivalentes
au système d’équations d’ondes non linéaires suivant en les coefficients de la métriqueg gαβ = Nαβ (g, ∂g), α, β = 0, . . . , 3(7.4)

où la nonlinearité Nαβ est quadratique par rapport à ∂g.
Remarque 7.9. Comme M est une variété de dimension 4 et que gαβ est symétrique
en α, β, (7.4) est donc un système de 10 équations d’ondes nonlinéaires indépendantes.
On note que ces équations sont nonlinéaires même par rapport aux dérivées d’ordre le plusélevé, c’est à dire les dérivées d’ordres 2 en g du terme g gαβ .
Remarque 7.10. Dans les coordonnées d’ondes, on obtient le système d’équations
d’ondes (7.4), ce qui illustre le caractère hyperbolique des équations d’Einstein. On noteque les équations d’Einstein ne sont pas d’un type particulier dans un système de coordonnées général. En particulier, elles peuvent être mises sous la forme d’un système7.2. LES DONNÉES DE CAUCHY

79

couplé hyperbolique-elliptique pour d’autres choix de systèmes de coordonnées (ou plus
généralement pour d’autres choix de jauge).
7.2. Les données de Cauchy
On a vu dans la section précédente que les équations d’Einstein prennent la forme d’unsystème d’équations d’ondes non linéaires. Ceci suggère d’introduire le problème modèlede l’équation d’onde usuelle, c’est à dire dans l’espace de Minkowski (R1+3 , m). On au = 0, u : R1+3 → R(7.5)

où  est le d’Alembertien usuel sur R1+3 (voir exemple 7.2). On rappelle que pour résoudre(7.5), il faut se donner des conditions initiales, appelées données de Cauchy, par exemple
en t = 0. Le problème de Cauchy correspondant est alors3= 0, (t, x) ∈ R+
 u
∗ ×R ,u|= u0 , x ∈ R 3 ,(7.6)
 ∂ t=0
3
u
=
u
,
x
∈
R
,
t |t=01
où u0 , u1 : R3 → R sont les données de Cauchy pour l’équation des ondes (7.5).
Dans le cas des équations d’Einstein dans les coordonnées d’ondes (7.4), on s’attend
donc au vu du problème modèle (7.6) à devoir prescrire les données de Cauchy suivantes(gαβ )|x0 =0 , (∂x0 gαβ )|x0 =0(7.7)
où on a pris pour fonction temps la coordonnée x0 .
On cherche désormais une formulation des données de Cauchy inspirée par (7.7), maisne nécessitant pas de référence à un système de coordonnées particulier. On veut d’abordgénéraliser le choix de {t = 0} dans (7.6) comme hypersurface où on prescrit les donnéesde Cauchy. On rappelle (voir exemple 3.45) que {t = 0} est une hypersurface de type espace de l’espace-temps de Minkowski. On va donc en général considérer une hypersurface
Σ de type espace de M. On note que Σ est une variété de dimension 3. La généralisation
naturelle (gαβ )|x0 =0 est de se donner une métrique g sur Σ telle que g est la métriqueinduite par g sur Σ. On rappelle (voir section 3.6) que la métrique induite par g sur Σ
est Riemannienne puisque Σ est une hypersurface de type espace.
On a donc pour l’instant pour les données de Cauchy une hypersurface de type espaceΣ et la donnée d’une métrique Riemannienne g sur Σ correspondant à la métrique induite
par g sur Σ. Il reste à généraliser (∂x0 gαβ )|x0 =0 . On note T le champ de vecteurs tel que en
tout point p ∈ Σ, T est la normale unitaire à Σ orientée vers le futur. La généralisation
naturelle de (∂x0 gαβ )|x0 =0 est de se donner la dérivée de g dans la direction T restreinte àΣ. Il ne peut s’agir de la dérivée covariante, puisque Dg = 0. On utilise donc la dérivée80

7. LE PROBLÈME DE CAUCHY EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE

de Lie, et on prescrit
L T g |Σ .
On note ej , j = 1, 2, 3 une base de T Σ. On rappelle que l’on a par la Proposition 3.40
LT gij = Di Tj + Dj Ti .
On introduit la seconde forme fondamentale k de l’hypersurface Σ de M. On rappelle(voir section 3.6) que k est donnée parkij = −Di Tj .
De plus, d’après le Lemme 3.46, k est un 2-tenseur symétrique. On en déduit que
LT gij = −2kij .
Finalement, les données de Cauchy pour les équations d’Einstein dans le vide (5.12)
sont les triplets (Σ, g, k) tels que(1) Σ est une variété de dimension 3,(2) g est une métrique Riemannienne sur Σ,(3) k est un 2-tenseur symétrique sur Σ.
De plus, soit (M, g) l’espace-temps solution des équations d’Einstein dans le vide (5.12)
et correspondant aux données de Cauchy (Σ, g, k), alors(1) Σ est une hypersurface de type espace de M,(2) g est la métrique induite par g sur Σ,(3) k est la seconde forme fondamentale de l’hypersurface Σ de M.
Remarque 7.11. Au vu de la discussion informelle ayant mené à (7.7), il semble
qu’il faille imposer 10 conditions sur g, ainsi que 10 conditions sur sa dérivée premièreen temps. Or la formulation du problème de Cauchy que l’on vient de donner porte surla métrique induite sur Σ et la seconde forme fondamentale, c’est à dire dans les deux
cas sur 6 conditions. On note qu’il est normal de ne prescrire à l’instant initial que 6
des 10 degrés de liberté des équations d’Einstein. En effet, les 4 derniers degrés de liberté
correspondent à l’invariance par difféomorphisme de la solution, et sont donc fixés par lechoix du système de coordonnées (ou par le choix de jauge).
7.3. Les équations de contrainte
On vient de décrire dans la section précédente les données de Cauchy pour les équations
d’Einstein dans le vide (5.12). On souhaite maintenant formuler le problème de Cauchy
correspondant. Pour cela, on va d’abord montrer que les données de Cauchy doivent
satisfaire des conditions de compatibilité appelées équations de contrainte. On commence
par dériver les équations de Gauss et de Codazzi.

7.3. LES ÉQUATIONS DE CONTRAINTE

81

Proposition 7.12. Soit Σ une hypersurface de M de genre espace. Soit g la métriqueinduite par g sur Σ, T la normale unitaire à Σ orientée vers le futur, k la seconde forme
fondamentale, ∇ la dérivée covariante induite, et R le tenseur de courbure induit. Alorson a l’équation de Gauss
Rijlm = Rijlm + kmj kli − klj kmi(7.8)

Ri0jl = −∇j kil + ∇l kij .

(7.9)

et l’équation de CodazziDémonstration. (7.8) et (7.9) sont des égalités entre tenseurs et il suffit de lesdémontrer dans une base ei , i = 1, 2, 3 de T Σ bien choisie. Pour simplifier les calculs, on
prend une base orthonormée de T Σ. On note au vu de la définition de T et k, et du fait
que ei , i = 1, 2, 3 est une base orthonormée de T Σ que l’on aDi T = −kij ej(7.10)
Di ej = ∇i ej − kij T.
On commence par l’équation de Gauss. On a
Rijlm = g(Dl Dm ej , ei ) − g(Dm Dl ej , ei ) − g(DDl em −Dm el ej , ei )= Dl (g(Dm ej , ei )) − g(Dm ej , Dl ei ) − Dm (g(Dl ej , ei )) + g(Dl ej , Dm ei )−g(D∇l em −∇m el ej , ei )= ∇l (g(∇m ej , ei )) − g(∇m ej − kmj T, ∇l ei − kli T) − ∇m (g(∇l ej , ei ))+g(∇l ej − klj T, ∇m ei − kmi T) − g(∇∇l em −∇m el ej , ei )= g(∇l ∇m ej , ei ) − g(∇m ∇l ej , ei ) − g(∇∇l em −∇m el ej , ei ) + kmj kli − klj kmi= Rijlm + kmj kli − klj kmi ,où on a utilisé (7.10), le fait que T est la normale unitaire à Σ et le fait que k est
symétrique. Ceci conclut la preuve de l’équation de Gauss.
On considère maintenant l’équation de Codazzi. On a
Ri0jl = g(Dj Dl T, ei ) − g(Dl Dj T, ei ) − g(DDj el −Dl ej T, ei )= Dj (g(Dl T, ei )) − g(Dl T, Dj ei ) − Dl (g(Dj T, ei )) + g(Dj T, Dl ei )−g(D∇j el −∇l ej T, ei )= −∇j (kli ) − g(−klm em , ∇j ei − kij T) + ∇l (kij ) + g(−kjm em , ∇l ei − kil T)+kmi (∇j el − ∇l ej )m= −∇j kli + ∇l kijoù on a utilisé (7.10), le fait que T est la normale unitaire à Σ et la définition de k. Ceci
conclut la preuve de l’équation de Codazzi, et donc de la proposition.

On va maintenant utiliser la Proposition 7.12 pour calculer G00 et G0i .

82

7. LE PROBLÈME DE CAUCHY EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE

Proposition 7.13. On a
2G00 = Rscal + (Trg k)2 − |k|2 ,et
G0i = −∇l kil + ∇i Trg k,où Rscal désigne la courbure scalaire de R, et où on a défini
Trg k = k i i et |k|2 = k ij kij .
Démonstration. On commence par G00 . On a
Ric00 ====

Rα 0α0−R0000 + Ri 0i0
Ri 0i0−Rici i + Rij ij= −Ric00 − Rscal + Rij ijoù on a utilisé les symétries de R. Grace à l’équation de Gauss (7.8), on en déduit
2G00 = 2Ric00 + Rscal= Rij ij
= gil gjm Rlmij= g il g jm (Rijlm + kmj kli − klj kmi )= Rscal + (Trg k)2 − |k|2
ce qui est bien l’identité recherchée.
On calcule maintenant G0i . On a
G0i = Ric0i= Rα 0αi= −R000i + Rj 0ji= Rj 0jioù on a utilisé les symétries de R. Grace à l’équation de Codazzi (7.9), on en déduit
G0i = gjl Rl0ji= g jl (−∇j kil + ∇i klj )= −∇l kil + ∇i Trg kce qui est bien l’identité recherchée. Ceci conclut la preuve de la proposition.
On peut maintenant définir les équations de contrainte.

7.4. LA FORMULATION DU PROBLÈME DE CAUCHY

83

Définition 7.14. Soit un triplet (Σ, g, k) où Σ est une variété de dimension 3, g est
une métrique Riemannienne sur Σ et k est un 2-tenseur symétrique sur Σ. On appelleéquations de contrainte le système d’équations suivantes sur ΣRscal + (Trg k)2 − |k|2 = 0,
(7.11)∇l kil − ∇i Trg k= 0,où Rscal désigne la courbure scalaire de R, et où on a défini
Trg k = k i i et |k|2 = k ij kij .
Remarque 7.15. On suppose que (M, g) satisfait les équations d’Einstein dans levide (5.12). Alors on note, au vu de la Proposition 7.13, qu’une condition nécessaire pourqu’un triplet (Σ, g, k) corresponde aux données de Cauchy associées à (M, g) est que (g, k)satisfasse les équations de contrainte (7.11) sur Σ.
Remarque 7.16. Notons que les équations de contrainte (7.11) forment un systèmede quatre équations nonlinéaires avec pour inconnues g et k. Comme g et k ont chacun
6 composantes indépendantes, il s’agit donc d’un système sous déterminé, qui admet apriori une large classe de solutions.
Exemple 7.17. Les données de Cauchy correspondant à l’espace-temps de Minkowski(R1+3 , m) sont données par (R3 , δ, 0) où δ est la métrique Euclidienne sur R3 . On noteque(g, k) = (δ, 0)vérifie bien les équations de contrainte (7.11).
7.4. La formulation du problème de Cauchy
Finalement, terminons ce chapitre par l’énoncé du problème de Cauchy pour leséquations d’Einstein dans le vide (5.12).
Soit (Σ, g, k) donné tel que :(1) Σ est une variété de dimension 3,(2) g est une métrique Riemannienne sur Σ,(3) k est un 2-tenseur symétrique sur Σ,(4) (g, k) satisfait les équations de contrainte (7.11) sur Σ (cette condition est nécessaire
au vu de la remarque 7.15).
Alors, le problème de Cauchy pour les équations d’Einstein dans le vide consiste àchercher un espace-temps (M, g) tel que :(1) (M, g) est solution de (5.12) :Ricαβ = 0, α, β = 0, . . . , 3,(2) Σ est une hypersurface de type espace de M,

84

7. LE PROBLÈME DE CAUCHY EN RELATIVITÉ GÉNÉRALE(3) g est la métrique induite par g sur Σ,(4) k est la seconde forme fondamentale de l’hypersurface Σ de M.
Remarque 7.18. On peut montrer que si on a
Ricij = 0, i, j = 1, 2, 3,
et si les équations de contraintes (7.11) sont satisfaites sur Σ, alors les équations decontraintes sont satisfaites sur M, ce qui implique d’après la Proposition 7.13 que :Ric0α = 0, α = 0, . . . , 3
sur M. En particulier, la partie des équations d’Einstein dans le vide correspondant au
problème d’évolution est
Ricij = 0, i, j = 1, 2, 3.
Il y a donc seulement 6 équations d’évolution, ce qui est cohérent avec le fait que lesdonnées de Cauchy g et k ne comportent que 6 degrés de liberté chacune (voir aussi laremarque 7.11).
Grâce à la formulation du problème de Cauchy pour les équations d’Einstein établiedans ce chapitre, nous sommes maintenant arrivés aux portes de l’étude du problèmed’évolution en relativité générale. La prochaine étape naturelle consisterait à– établir l’existence et l’unicité locale des solutions, voir les travaux de ChoquetBruhat [1],– établir l’existence de solutions maximales, voir les travaux de Choquet-Bruhat et
Geroch [2].
Ces travaux fournissent un cadre permettant la formulation de nombreux problèmes fascinants au coeur de la recherche actuelle en relativité mathématique. On peut citer à titre
d’exemple la formation des trous noirs, la stabilité des trous noirs et le comportement
asymptotique en temps grand des solutions. Nous renvoyons par exemple à [5] et [11]pour une présentation de certains de ces problèmes.
7.5. Exercices
Exercice 1. Soit (M, g) une solution des équations d’Einstein dans le vide. Soit xα un
système de coordonnées, et soit H α défini dans ce système de coordonnées par
H α = gλβ Γαλβ .
a) Montrer que pour toute fonction scalaire f : M → R, on a :g f = gαβ ∂α ∂β f − H ρ ∂ρ f.
En déduire que H α = 0 si et seulement si g xα = 0.

7.5. EXERCICES

85b) Montrer que
11
Ricµν = − gαρ ∂α ∂ρ gµν + (gµρ ∂ν H ρ + gνρ ∂µ H ρ ) + Pµν (g)(∂g, ∂g)22où Pµν (g)(∂g, ∂g) est une expression quadratique en les dérivées de gαβ .
c) Montrer que l’on peut toujours choisir un système de coordonnées tel que à t = 0
on ait H α = 0.
d) On considère maintenant que (M, g) satisfait
1− gαρ ∂α ∂ρ gµν + Pµν (g)(∂g, ∂g) = 0.
2
Montrer que les équations de contraintes impliquent que ∂t H α = 0 à t = 0.
e) Montrer que Dα Gαβ = 0 induit un système de type ondes sur H.
f) Conclure.
Exercice 2. Soit (M, g) une solution des équations d’Einstein dans le vide. Soit t une
fonction temps et soit g et k respectivement la métrique et la seconde forme fondamentale
des hypersurfaces de niveau de t.
a) Montrer qu’il existe un système de coordonnées (t, x1 , x2 , x3 ) tel que la métrique g
prend la forme
g = −n2 (dt)2 + gij dxi dxj ,où n est une fonction.
b) Trouver un système d’équations vérifiées par ∂t gij et ∂t kij faisant intervenir enparticulier n et le tenseur de courbure induit R.
c) Supposons que g ij kij = 0. Trouvez une équation satisfaite par n.

Formulaire• Expression d’un champ de tenseurs de type (r, s) dans des coordonnées locales :
∂
∂
⊗
·
·
·
⊗
⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs
i
∂x 1
∂xir
• Expression des composantes de LX T dans des coordonnées locales, où X est un
champ de vecteurs et T un champ de tenseurs de type (r, s) :...ir
T = Tji11...j
s

...ir
i1
∂Tji11...ja i2 ...ir ∂X
s
i
X
−
T
− tous les autres indices en haut
j1 ...js
∂xi
∂xa
∂X a
r
+Tai1j...i+ tous les autres indices en bas.
...j
s
2
∂xj1
• Expression des composantes de la dérivée covariante D ∂ T d’un champ de tenseurs∂xl
de type (r, s) dans des coordonnées locales :...ir
i1 ...ir∂Tji11...ji2 ...irs+ tous les autres indices en hautD∂ T=
+ Γilk1 Tjk1 ...j
s
∂xl
∂xl
j1 ...jsr− tous les autres indices en bas.
−Γklj1 Tki1j...i
2 ...jsr(LX T)ij11...i...js =• Expression de la métrique g dans des coordonnées locales :g = gαβ dxα dxβ• Symboles de Christoffel de la connexion de Levi-Civita associée à g :
1 il ∂gjl ∂gkl ∂gjki
Γjk = g
+
−
2
∂xk
∂xj
∂xl
• Equation des géodésiques dans un système de coordonnées :γ̈ α (t) + γ̇ µ (t)γ̇ β (t)Γαβµ = 0• Le tenseur de courbure R est défini pour tous champs de vecteurs X, Y, Z par :R(X, Y)Z = DX DY Z − DY DX Z − D[X,Y] Z.
Dans un système de coordonnées, on a


∂
∂
∂
∂
R
, µ
= Rα βγµ α
γ
β
∂x ∂x
∂x
∂x
87

88

FORMULAIRE

où Rα βγµ est donné par∂Γα µβ ∂Γα γβ
Rα βγµ =−+ Γα γν Γν µβ − Γα µν Γν γβ∂xγ∂xµ• Le tenseur de Ricci est défini par :Ricβµ = Rα βαµ .
Dans un système de coordonnées, on a∂Γα µβ ∂Γα αβ
Ricβµ =−+ Γα αν Γν µβ − Γα µν Γν αβ
α
µ
∂x
∂x
• Courbure scalaire
Rscal = gαβ Ricαβ .
• Tenseur d’Einstein
1Gαβ = Ricαβ − gαβ Rscal
2• Equations d’EinsteinGµν = Tµν
• Le d’Alembertien est défini par :g f = Dα Dα .
Dans un système de coordonnées, on a pour une fonction scalaire fp1∂β (gβα | det g|∂α f )g f = p| det g|Index1-forme, 15équation du mouvement, 56
équations d’Einstein, 59
équations d’Einstein dans le vide, 60
équations de contrainte, 82
équations de l’électromagnétisme, 48
équations de Maxwell, 48
espace tangent, 13
espace-temps stationnaire, 70
espace-temps statique, 67
extension de Kruskal, 68

action d’Einstein-Hilbert, 56
application exponentielle, 32
atlas, 8base duale, 16
champ de Killing, 37
champ de tenseurs, 18
champ de vecteurs, 14champ scalaire, 61classe conforme, 41
connexion, 23
connexion de Levi-Civita, 29
connexion sans torsion, 24
contraction, 18
coordonnées d’Eddington-Finkelstein, 68
coordonnées d’ondes, 75
coordonnées de Boyer-Lindquist, 70
coordonnées géodésiques polaires, 33
coordonnées harmoniques, 77
coordonnées normales, 33
courbe de type espace, 28
courbe de type lumière, 28
courbe de type temps, 28
courbure scalaire, 37
crochet de Lie, 20

fibré cotangent, 15
fibré tangent, 14
forme volume, 42géodésique, 31
groupe à un paramètre, 20
groupe de Poincaré, 46
hypersurface, 39
hypersurface de genre espace, 40
hypersurface de genre lumière, 40
hypersurface de genre temps, 40
hypersurface nulle, 40
identité de Bianchi, 37
immersion, 10
invariant de Kretschmann, 67
isométrie, 37

d’Alembertien, 75
dérivée covariante, 23dérivée de Lie, 22dérivation, 11
diagramme de Carter-Penrose, 67
données de Cauchy, 79

Laplace-Beltrami, 77
localement fini, 8
loi de conservation locale, 60
lois de conservation, 51
longueur d’une courbe, 29

équation de Codazzi, 81équation de Gauss, 81métrique, 27métrique conforme, 4189

90métrique de Minkowski, 28métrique Euclidienne, 28métrique induite, 40métrique Lorentzienne, 27métrique Riemannienne, 27
paracompact, 8poussé en avant, 19
principe d’équivalence, 55
problème de Cauchy, 75
produit tensoriel, 17
rotation hyperbolique, 47séparé, 8seconde forme fondamentale, 40
singularité de coordonnées, 68
solution de Kerr, 70
solution de Schwarzschild, 67
submersion, 10
symboles de Christoffel, 30
temps propre, 29tenseur d’énergie-impulsion, 59
tenseur de courbure, 36
tenseur de déformation, 38
tenseur de Ricci, 37
tiré en arrière, 19transformations de Lorentz, 46transport parallèle, 31
trou blanc, 70
trou noir, 70
variété, 8variété Riemannienne, 27
variété Lorentzienne, 27
vecteur de type espace, 28
vecteur de type lumière, 28
vecteur de type temps, 28
vecteur nul, 28

INDEX

Bibliographie[1] Y. C. Bruhat, Théorème d’existence pour certains systèmes d’équations aux dérivées partielles nonlinéaires., Acta Math. 88, 1952, 141–225.
[2] Y. C. Bruhat, R. Geroch, Global Aspects of the Cauchy Problem in General Relativity. Comm.
Math. Phys. 14, 1969, 329–335.
[3] A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik und Chemie 17, 1905, 891–
921.
[4] A. Einstein, Der Feldgleichungen des Gravitation, Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Sitzber., 1915, 844–
847.
[5] S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time Cambridge University Press,
1973.
[6] R. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as en exemple of algebraically special metrics. Phys.
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[7] H. Minkowski, “Raum und Zeit”, Physikalische Zeitschrift, 10. Jahrgang, 1909, 104–115.
[8] P. Petersen, Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, 1998.
[9] B. Riemann, Bernhard, Über die Hypothesen, welche der Geometrie zugrunde liegen, Habilitationsschrift, 1854, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen,
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[10] K. Schwarzschild, Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie.
Sitzungen. d. Preuss. Akad, d. Wissenschaften 1, 1916, 189–196.
[11] R. Wald, General Relativity The University of Chicago Press, 1984.

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