焼き戻しレフシェッツ・シンブル法のカイラル行列模型への適用[1] Fukuma-NM-Umeda, PRD100(2019)114510 [1906.04243],“Applying the tempered Lefschetz thimble method to the Hubbard model away from half filling”[2] Fukuma-NM-Umeda, 1912.13303,

2020.08.24 @熱場の量子論2020

松本信行 (京大理・D3)“Implementation of the HMC algorithm on the tempered Lefschetz thimble method”[3] Fukuma-NM-Umeda, in preparation[4] Fukuma-NM, work in progress

福間将文氏、梅田直弥氏(PwC)との共同研究

 焼き戻しレフシェッツ・シンブル法(TLT法)：符号問題の解決に向けた有力なアルゴリズム [Fukuma-Umeda 1703.00861]

要約

ハバード模型への適用、および正確な推定を行うセルフチェックのアルゴリズムについては [1] TLT法へのハイブリッド・モンテカルロ法(HMC法)の実装により、メトロポリス法より効率的なサンプリングが可能になる

注：レフシェッツ・シンブル法にHMC法を適用するのは我々が初めてではない。
シンブル直上でのHMC法：[Fujii-Honda-Kato-Kikukawa-Komatsu-Sano 1309.4371] , フローで生成した曲面への一般化の提案： [Alexandru (LATTICE 2019)]

 カイラル行列模型（有限密度QCDのトイ・モデル）および三角格子上の反強磁性イジング模型（フラストレート系）にこのアルゴリズムを適用した結果を示し、必要な計算コストについてコメントする[A] 焼き戻しレフシェッツ・シンブル法[B]

目的：経路積分で表された期待値の計算

要約の注でも述べた通り、レフシェッツ・シンブル法にHMC法を適用するのは我々が初めてではない。
我々の成果は (1)の零点の対処法の提案, (2)TLT法の並列焼き戻しと整合的な実装である。

:力学変数§ HMCのアルゴリズム
 概要:作用:演算子§ モンテカルロ法と符号問題
 (通常の)モンテカルロ法•上のハイブリッド・モンテカルロ法 (HMC法) [2]をガウシアンで生成：(ii) 離散化したハミルトン方程式を解く：(i)の場合を平衡分布に持つ確率過程を作り配位を生成：：上の正準構造を保った離散化（RATTLE） [Andersen (1983), Leimkuhler-Skeel (1994)]①:

に従って選んだ配位②:• 生成した配位を用いて期待値を評価：③:②

は拘束条件から決定： ④:

 再重み付け法と符号問題•のときは(iii) メトロポリス・テスト：得られたを確率分布とみなせないとが正準変換より詳細釣り合いの式が従う

 拘束条件④,⑤の解き方について• ポイント：演算子側に押し付ける重みに使うを確率でアクセプト
リジェクトされた場合は元の点を用いる (i.e.
)に従う を生成する 時間反転対称性(i)~(iii)を繰り返し、素朴な対処法：再重み付け法（reweighting）• アイデア：

①

⑤:

統計誤差

推定値

③

•

[cf. Fujii-Honda-Kato-Kikukawa-Komatsu-Sano 1309.4371]の関数形は未知だが、「接空間」はフローのヤコビ行列（および法空間）のフロー方程式• ④,⑤は次のように書き換えて解くことができる：④: 次の方程式における分母・分子をモンテカルロ法で評価では激しい振動関数微分の解を見つける：

これはニュートン法を用いて実行可能。

誤差を小さくする
i.e. 指数関数的：符号問題！

⑤:[2]§の零点の対処法§ 焼き戻しレフシェッツ・シンブル法
 レフシェッツ・シンブル法 [Witten 1001.2933, Cristoforetti et al. 1205.3996, Alexandru et al. 1512.08764] • HMCではハミルトン方程式を離散化して解くため• アイデア：積分面を複素空間へ連続変形して、積分の振動を抑える• 変数を複素化：を と同じ連結部分上に取れないことがある：
通常の場合

この図に関するクレジット:[Alexandru (LATTICE 2019)]

チェック

対処が必要な場合

復路

往路連続変形

積分面を連続変形：

からわかる

with

：変形のパラメーター（"フロー時間"）

ここで、フローは(反正則な)グラディエントフロー：• フロー方程式• 対処法：運動量反転

この置き換えをしても時間反転対称性は保たれる

ハバード模型• フローの性質の場合にはメトロポリス法と比較して全体の計算コストが約30%になる

大自由度では、さらなる効率化が期待できる(i)

chain rule

等号成立は臨界点上のみ

[C] カイラル行列模型への適用 [3]§ カイラル行列模型 簡単のため1フレーバー• 有限密度QCD分配関数の非対角部分の行列
ガウシアンのランダム行列

では

(ii)

9509324(時空の足を含む)を、 Jackson-Verbaarschot
Stephanov 9604003
Halasz et al. 9804290
で置き換えた模型：：レフシェッツ・シンブル

以下では
このとき、e.g.

,は上の整関数とする。

コーシーの定理

有限温度効果(• カイラル凝縮

十分大きな に対して 上で積分すれば符号問題は解消されることが期待
実の測度• 期待値の書き換え実の重み)はへの補正項として取り入れているでは、においてでも有限温度・有限密度QCDと同様のカイラル相転移を持つ§ TLT法の適用
 カイラル凝縮の計算結果 [3]演算子側に押し付ける位相因子

8-10スレッド並列化(OpenMP)
計算時間：各 について≲2日程度

複素ランジュバン法(CL法): [Parisi(1983), Klauder(1983)]
CL法の本模型への適用については: [cf. Bloch et al.(2018)],

チューニングせず#( ) = 2-28
最大フロー時間 = 0.01-0.05:厳密値:フローあり・焼き戻しあり(TLT法):複素ランジュバン法

8-10スレッド並列化(OpenMP)
行列積でGPU(シミュレーション全体で3倍の加速)計算時間：各 について≲1週間程度:厳密値:フローあり・焼き戻しあり(TLT法):複素ランジュバン法: 厳密値: フローあり・焼き戻しなし: フローなし

チューニングせず#( ) = 24-40
最大フロー時間 = 0.04-0.06: 厳密値: フローあり・焼き戻しなし: フローなし

 レフシェッツ・シンブル法の問題点（エルゴード性の問題）の零点があると (e.g. フェルミオン行列式)、•
大で•であり、はの零点で隔てられた複数の連結部分に分離全体で積分しないと正しい値にはならないが、確率過程でのポテンシャル障壁を越えることは困難
誤った評価につながるため、（このままでは） を任意に大きくすることはできない

自由度と行列サイズの関係[3]
計算コストについて
• TLT法の計算コスト=(各 での計算に必要なコスト)x(の計算のため• アイデア： 方向にも確率過程を補助的に行うことで、エルゴード性の問題が起きていない を経由して隣の連結部分へ遷移できるようにする(1986), Geyer (1991),
による並列焼き戻し(parallel tempering) 並列焼き戻し: Swendensen-Wang
Hukushima-Nemoto (1996)

複数の• 各を用意し:上での遷移の後、隣のと配位の交換を提案：

6 (72)

8 (128)10 (200)

最大フロー時間(0)0.03

0.06(0.11)の数(1)

632(147)

ヤコビアンの因子は交換前後の点で体積要素が異なるために必要

TLT法は符号問題とエルゴード性の問題を同時に解決できる

ハバード模型への適用、および正確な推定を行うためのセルフチェックのアルゴリズムについては [1]間隔を狭める フロー時間を増やす

上記予想より数字が大きいように思われるが、その理由として現在、以下の可能性を考えている：•が小さいことによる特異な振る舞い
特に、シンブル数の増大によってがばらつくことによる影響• 臨界点周りにある異方性• 小さい におけるフローの振る舞い[D] フラストレート系への適用 [4] 三角格子上の反強磁性イジング模型：三角格子の隣接行列（周期境界条件）

ボソン変数を導入してTLT法を適用

 磁化 [4]3x3格子• 提案を次の確率でアクセプト：の数(preliminary)

4 (32)(符号問題なし)、を実現する:で平衡分布

ガウシアンを用いた予想

焼き戻しで十分な採択率(0.23~0.5)を得るために必要な

 焼き戻しレフシェッツ・シンブル法(TLT法) [Fukuma-Umeda 1703.00861]の数)

計算時間：
各について数時間~1日程度:厳密値:フローあり・焼き戻しあり(TLT法): フローあり・焼き戻しなし

予想されている相図
e.g. [Kinzel-Schick (1981)]: フローなし

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