前回の復習:
前回の復習 ブロッホの定理(Bloch'sブロッホの定理theorem)
結晶中のポテンシャルエネルギーVが格子定数aの周期関数の時、1次元の波動関数は、
  +  =     , ≡ 2 /,  : 任意の整数(12.1) を満たす。これは、以下で定義された関数Uが、  ≡      , (12.2) ( + ) = (), (12.3)を満たすことと同値である。
3次元立方格子では、ブロッホの定理は、
r rrr rr
 r  R  e ik R r , (12.4) R : 並進ベクトル r  2nx 2n y 2n z k   L , L , L , nx , n y , n z : 任意の整数 r  ikr rr rとなる。(12.4)式は、  r   e U r , (12.5)
U ( x, y, z )  U ( x  a, y, z )  U ( x, y  a, z )  U ( x, y , z  a ),と同値である。

前回の復習:
前回の復習 拡張ゾーンと還元ゾーンの(1次元の拡張ゾーンと還元ゾーンの 次元の)空格子
次元の 空格子r2 2近似のエネルギーバンド図:
近似のエネルギーバンド図
h kE
拡張ゾーン
2m 還元ゾーンEE
第3分枝 第2分枝

前回の復習:次元の)ほとんど自由な電子モデルのエネ
前回の復習 (1次元の次元の ほとんど自由な電子モデルのエネ
ルギーバンド構造:
ルギーバンド構造

前回の復習:
前回の復習 電気伝導とバンド構造:
電気伝導とバンド構造
電子が中途半端に詰まっているバンドを持っている物質は金属となり電流が流れる(a)。一方、電子が満杯か全く空のバンドしか無い物質は絶縁体となり電流が流れない(b)。絶縁体の中でもバンドギャップが小さいものは、少量の電流が流れるので半導体となる
(c)。



1

第3分枝

第2分枝

第1分枝

第1分枝
拡張ゾーン: (10.11)式の自 還元ゾーン: 第1ブリルアン
由電子のエネルギーバンド 域に集められたエネルギー
図
バンド図
243

ホール効果 (Hall Effect):
電場と磁場が両方存在する時の電子の運動方程式は、
rr r r m vrdvme
 e E  v  B  e , (13.1)dtとなる。右辺第1項が電場による力、第2項が磁場による力、第3項が散乱体によって電子が散乱される効果を表している。今、磁場はz方向に印加されているとすると、
r rv  B  (v x , v y , v z )  (0,0, Bz )  (v y Bz ,v x Bz ,0),なので、(13.1)式の運動方程式の各x,y,z成分は、
dv
mv
Ez , jz ,me x  eE x  v y Bz   e x , (13.2)
Ey , jyBzdt
dv y
me v yme eE y  vx Bz  , (13.3)
dt
dv
mv
Ex , jx
me z  eE z  e z , (13.4)dt

5となる。ここで、定常状態を考えると、電子の速度は一定なので、その時間微分は0となり、上の3式はそれぞれ、eeevx  E x  v y Bz , v y  E y  v x Bz , v z  Ez ,mememeとなる。この内、最初の2つの式を用いてvxについて解くと、v x   e me E x  e me E y  v x Bz Bz ,

1  eB m  v  e m E  eB E m ,2ze

xe

xzyee
Ex  cE y , c  eBz me vx  2me 1  c となる。同様に、同じ2つの式を用いて、 vyについて解くと、
v y  e me E y  e me E x  v y Bz Bz ,1  eB m  v  e m E  eB E m ,2zeyeye
E y  cEx ,vy  2
me 1  c zxe61となる。従って、電子密度をneとすると電流密度の各成分は、
ne e 2
E x  cE y , (13.5)
j x   ne ev x 2
me 1  c ne e 2E y  cE x , (13.6)
j y   ne ev y 2
me 1  c n e 2j z   ne ev z  e
E z , (13.7)
meとなる。
今x方向だけに外部電場Exを印加すると、(13.5),(13.6)式
Bzから電流 jxと jyが流れるはずである。
＋＋＋＋＋
しかし、y方向には導線を遮断して jyを流れないようにすると、y方向の両端に電荷が蓄積して、内部電場Ey'E'yが発生する。この時のEy'の大きEx , jx－－－－－
さは(13.6)式でjy=0とおくと、



7

ne e 2E y  cE x , E y  cE x , (13.7)
2
me 1  c となる。またこの時jxは、(13.5)式から、
ne e 2
Ex  cE y jx 2
me 1   c 
ne e 2
ne e 2
2


E



E

E x , (13.8)
xcx2
me
me 1  c となる。よって、ホール係数RHを、
E y cE x mec  1 eB RH ,  c  z 
j x Bz ne e 2E x Bz me ne e 2 Bz ne e me (13.9)と定義すると、RHを実験的に測定することで、電子密度neを求めることができる。また、半導体の場合には、キャリアが正孔か電子かでホール係数の正負が変わるので、p型半導体かn型半導体かを判別することができる。
jy  0 8

また、電気伝導度σ、

jx, (13.10)
Exを使うと、キャリアの移動度μは、
 E y j x E yj  RH x , (13.11)
ne e
Exj x Bz E x E x Bzとなりμも実験的に測定することができる。これらの現象をホール効果という。(半導体工学参照)(応用例)
ホール素子(磁気センサー)

9

ホール素子の応用例: 架線電流計(クランプメータ)

10(余談) 量子ホール効果 (Quantum Hall effect)
1985年(整数量子ホール効果)
1998年(分数量子ホール効果)
ノーベル物理学賞

ブラシレスモータ

11

半導体のヘテロ界面等の2次元自由電子系でホール伝導度σHが、半導体の種類に依らずにe2/ħの整数倍に量子化される。これを量子ホール効果という。
1j B 1
je2
H 
 x z
 x  s ,RH B z
E y Bz E yh123s : 整数 122

マックスウェルの方程式(Maxwell's
マックスウェルの方程式equations):
1. クーロンの法則:
クーロンの法則
真空の3次元空間の原点に置かれた電荷Qが位置⃗につくる電場は、クーロンの法則の逆2乗則から、
rrr rr
Q er
Q rE r  , r  r ,  0 : 真空中の誘電率
4 0 r 2 4 0 r 3となる。ここで、右下図の様に原点を中心とした半径rの球面を閉曲面Sとしてその曲面上で電場を(ベクトル場の)面積r r rQ r r
分すると、r
S E r  ds  S 4 0 r 3 r  ds ,rとなる。今回の場合は位置ベクトル⃗と微小電荷Q
面積ベクトル ⃗は互いに平行なので、ベクトルの内積をスカラー(絶対値)の掛け算にして良い。よって、
r r r
Qr
Qr
S E r  ds S 4 0 r 3 r ds  S 4 0r 2 ds ,となる。さらに、閉曲面S上では、原点にある電荷Qからの距離rがどこでも一定なので、rを含む部分も積分の外に出して良い。よって、r r rrr
QQ
S E r  ds  S 4 0 r 2 ds  4 0 r 2 S ds ,となる。右辺の最後の積分は極座標を使って具体的に計算
すると、
2r
2222
S ds  r 0 sin   d 0 d  r  cos 0  0  4r ,と単なる球の表面積になるので、結局、r r r
QQ2
S E r  ds  4 0 r 2 4r   0 ,となる。一方、ここで球の半径rを無限小に飛ばす(r→0)と、原点にある電荷Qは球内の電荷密度ρを球内の体積Vで(スカラー場の)体積積分したものと等しいので、

13rr r r Q r Erdsdv, (13.12)
S0V0となる。また、(13.12)式の左辺にガウスの発散定理(付録2参照)を適用して、閉曲面S上の面積分を球内の体積Vの体積積分に変換すると、(∇: ナブラ、第4回参照)
r r rr r r
S E r  ds  V   E r dv,となるので、上式と(13.12)式より、
rr r r r 
V   E r dv  V  0 dv,r r r r r rr
 0  E r     Dr    r , (13.13)
rr
D   0 E : 電束密度となる。この(13.13)式がクーロンの法則の微分形式である。

142. 磁荷に対するクーロンの法則 (磁気単極子
磁気単極子(monopole)
磁気単極子は存在しない):は存在しない電荷は、プラス電荷とマイナス電荷を別々に分けることができるが、磁荷は必ずN極とS極が対になっており、N極だけやS極だけを分けて取り出すことは出来ない。従って、磁荷密度ρmは常に0となる。 (注意: 磁気双極子は0ではない。)
従って、(13.13)式のクーロンの法則の微分形式で電場
を磁場"に置き換えると、誘電率εは透磁率μに、電荷密度ρは磁荷密度ρmになるので、#$ ∇ ⋅ " ⃗ = &' ⃗ ,∇ ⋅  ⃗ = 0, (13.14)
 = #$ ": 磁束密度となり、磁荷に対するクーロンの法則の微分形式が得られる。

153. アンペールの法則:
アンペールの法則
右下図の様に原点を通った導線に定電流+⃗を流すと、導線からの距離rに反比例した渦磁場"が導線の周りに発生する。これを数式で表すと、
r rr rI rrr
H (r ) , (r : 導線からの距離, r  r )22 rとなる。ここで、この導線を中心とした半径rの円を閉曲線Cとおき、渦磁場"をこの閉曲線Cに沿って線積分すると、r r r
 H ( r )  dl ,Cとなるが、右図から分かる様に、磁場"と微小線ベクトル*⃗は互いに平行なので、ベクトルの内積をスカラー(絶対値)の掛け算にして良い。よって、

rr"

1716r rrrr r rr rI r
C H (r )  dl  C H (r )  dl C 2 r 2  dl , (13.15)となる。また、位置ベクトル⃗と電流ベクトル+⃗は互いに垂直なので、それらの外積の絶対値は、
r r r rr
 rr
I  r  I r sin  I r  Ir , I  I2となり、(13.15)式は、
r rrrrr r r
I r
IrIC H (r )  dl  C 2 r 2  dl  C 2 r 2  dl  C 2 r  dl ,となる。さらに、閉曲線C上では、導線からの距離rがどこでも一定なので、rを含む部分を積分の外に出して良い。よっrrr r r
IIて、
C H (r )  dl  C 2 r  dl  2 r C dl ,となる。上式右辺の最後の積分は円座標を使って具体的に計算すると、



183

r

2

rr rr rrrrr rr r

 dl   rd  r   2r ,   H (r )  ds   j (r )  ds ,   H (r )  j (r ), (13.17)と単なる円の円周の長さになるので、結局、
rr r rII
C H (r )  dl  2 r C dl  2 r 2 r  I ,となる。また、ここで円の半径rを無限小に飛ばす(r→0)と、原点を通った導線に流れている定電流Iは閉曲線Cの内面Sで電流密度 ,⃗ を面積分したものと等しいので、
r r rr r r
C H (r )  dl  I  S j (r )  ds , (13.16)となる。一方、(13.16)式の左辺にストークスの定理(付録1参照)を適用して、閉曲線Cに沿ったベクトル場の線積分を、閉曲線Cの内面S上のベクトル場の面積分に変換すると、
r r rr r r r
 H (r )  dl     H (r )  ds ,となる。この(13.17)式がアンペールの法則の微分形式であるが、実際には(13.17)式は電荷保存則と矛盾するため、変位電流による修正が必要となり(付録3参照)、アンペールの法則は、
rr r r dD(rr ) r r
  H (r )  j (r ), (13.18)
dtと修正される。

CC2
00

S

SSとなるので、上式と(13.16)式より、
194. ファラデー(電磁誘導ファラデー 電磁誘導)の法則
電磁誘導 の法則:の法則 コイル内の磁束密度を変化させると、下図のようにコイルに渦電場が生じる。コイルの断面を面積Sとして、その縁を閉曲線Cとすると、電磁r r
誘導の法則は、 r r rdB ( r ) r
C E (r )  dl   S dt  ds ,と書ける。上式の左辺にストークスの定理を適用して閉曲線Cに沿ったベクトル場の線積分を、面積S上のベクトル場の面積分に変換すると、

21

マックスウェルの方程式と他の重要な方程式のまとめ:
重マックスウェルの方程式と他の重要な方程式のまとめ (重要: 要丸暗記)
要丸暗記∇ ⋅ - ⃗ = & ⃗ , ∇ ⋅  ⃗ = 0,0- ⃗
0 ⃗∇ × " ⃗ −= ,⃗ ⃗ , ∇ ×  ⃗ += 0,0101- ⃗ = 2$  ⃗ + 3 = 2 ⃗ , ⃗ = #$ " ⃗ + #$ 4 = #" ⃗ ,0& ⃗,⃗ ⃗ = 5 ⃗ ,+ ∇ ⋅ ,⃗ ⃗ = 0,01
オームの法則電荷保存則 ⃗ : 電場, - ⃗ : 電束密度, " ⃗ : 磁場,  ⃗ : 磁束密度,& ⃗ : 電荷密度, ,⃗ ⃗ : 電流密度, 3: 電気分極, 4: 磁化,
2$ : 真空の誘電率, #$ : 真空の透磁率,2: 物質の誘電率, #: 物質の透磁率, 5: 電気伝導率,2320r rr r rr r r rdB( r ) r
C E (r )  dl  rS  E (r )  ds  S dt  ds ,rr r rdB ( r )  E (r )  ,r dtrr r r dB ( r )  E (r )  0, (13.19)
dtとなり、ファラデーの法則の微分形式が得られる。

22

電磁波(光の波動方程式:電磁波 光)の波動方程式の波動方程式
磁場" ⃗ もしくは磁束密度 ⃗ が時間変化すると、ファラデーの電磁誘導の法則によって、渦電場 ⃗ を生じる。一方、電場 ⃗ が時間変化すると、アンペールの法則の変位電流を通して渦磁場" ⃗ を生じる。従って、下図の様に交流電場と交流磁場が互いに互いを励起しながら空間中を伝搬することができる。これが、電磁波(光)である。

244

物質内を伝搬する電磁波を考えてみよう。アンペールの法則(13.18)式に透磁率μを掛けて変形すると、
rrr r D rr rrD H 
 j (13.18),   H   j ,t r
tr rrD B   j , (13.20)
tとなる。また、電磁誘導の法則(13.19)式の回転をとると、
rr rr r Br r r   B
 E 
 0 (13.19),     E 
 0,ttとなる。これに先程の(13.20)式とオームの法則を代入する
rr r r   Drと、    E   
 j   0,t  trrr r r
2E
E    E   2  
 0, (13.21)
ttとなる。





 



259 ⃗ :波の振幅、 : :波の速度
1 0 7 9 ⃗
6 7 9 ⃗ = 7,
: 01 7777000
1 0 7 9 ⃗++9⃗=,0 7 0; 7 0< 7: 7 01 7(補足) 力学の波動方程式(13.21)式に、スカラー場とベクトル場の公式(付録4)を適用r r r r r rr r r
すると、     E     E     E , 公式rrr r r
2E
E    E   2  
 0,tt rrr r r r r
2E
E   E   2 E   2  
 0,ttとなる。ここで左辺第1項にクーロンの法則(13.13)式を使うと、上式は、
rrr  r2 r
2E
E
   E   2  
 0, (13.22)
t
tとなり、物質内の電磁波(光)の波動方程式が得られる。特に、真空中では、第1項と第4項がなくなるので、
07
1 07
6 7  = #$ 2$ 7 = 7 7 ,13.2301
8 01となる。(8 = #$ 2$ は真空中の光速)      26(補足補足)様々
補足 様々な物質のホール係数
様々な物質のホール係数:な物質のホール係数3027(付録付録1)
ストークスの定理:
付録
ストークスの定理
ある閉曲線Cに沿ったベクトル場の線積分を、その閉曲線Cに囲まれた内面S上のベクトル場の面積分に変換する定r理である。今、ベクトル場 A において、右下図の様なxy平面内の微小閉曲線Ci' を考えて、この閉曲線Ci'に沿ったベクトル場の線積分を近似的に計算してみよう。すると、r R r r r S r r r Pr r rr r r
Qr r
Ci Ar  dl  P Ar  dl  Q Ar  dl  R Ar  dl  S Ar   dlQRSPrrrr  Ax r dx   Ay r dy   Ax r dx   Ay r dyPQR Ax ( x, y ,0)x  Ay ( x  x, y,0) y
 Ax ( x, y  y,0) x  Ay ( x, y,0) y  Ax ( x, y,0)  Ax ( x, y  y,0)x Ay ( x  x, y,0)  Ay ( x, y,0)ySSR

 Ax ( x, y  y,0)  Ax ( x, y ,0) xyy Ay ( x  x, y,0)  Ay ( x, y,0)  Ay Ax xy,xy  xy  xrとなる。この右辺の括弧内の式は、ちょうどベクトル場 A の回転のz成分と等しくなっている。また、ΔxΔyは微小閉曲線rsi のCi'に囲まれた微小面積Δsiなので、微小面積ベクトルr長さと等しい。さらに、今回は siはz方向を向いているので、そのz成分とも等しい。従って、r r r  Ay A r r
Ci Ar  dl   x  yx xy  rot Ar  z成分 xyr rr r rr rot Ar  z成分 si z成分  rot Ar   si ,となる。
rr r

 Ar  dl  CiPQ31325次に、右下図の様に微小閉曲線C'iに沿った線積分の和として、ある閉曲線Cに沿った線積分を考えてみると、隣り合った長方形で共有される辺に沿った線積分は互いに相殺されるので、結局外周に沿った線積分だけが生き残り、閉曲線Cに沿った線積分と一致することになる。従って、r r rr r rr r r
C Ar  dl  i Ci Ar  dl  i rot Ar  sir r r  rot Ar   ds , (6.1)
Sとなる。Sは閉曲線Cに囲まれた曲面である。この(6.1)式をストークスの定理という。
ちなみに、ストークスの定理は曲面Sの取り方に依らずに成り立つ(付録1参照)。
33r r r  A Ay A r rS  Ar  ds   xx  y  zz xyz  divAr  xyz,dsrの向きは閉曲面の内部から外部に向かう方向となる。ここで、 ΔxΔyΔzは微小閉曲面Si'に囲まれた微小体積Δviと等しいので、上式は、r r rr rr r
 Ar  ds  divAr  xyz  divAr vi ,

S







(付録付録2)ガウスの発散定理:
S'i
付録
ガウスの発散定理
ある閉曲面S上のベクトル場の面積AA分を、その閉曲面で囲まれた体積Vのスカラー場の体積積分に変換する
r定理である。今、ベクトル場 A において、右図の様な微小閉曲面Si'上で面積分を計算すると、r r r
 Ar  ds  前面  背面  右面  左面  上面  下面積分S Ax x  x, y, z yz  Ax x, y, z  yz  Ay x, y  y, z xz  Ay x, y, z  xz  Az x, y, z  z xy  Az x, y, z  xy  A x  x, y, z   Ax x, y, z  Ay  x, y  y, z   Ay  x, y, z  xx
yAz x, y, z  z   Az x, y, z  xyzz34

 Ar  ds    Ar   ds   divAr vr r
  divAr dv, (6.2)
r r

Sr rriSir rriiVとなる。Vは閉曲面S内の体積である。これをガウスの発散定理という。となる。
次に、右図の様に微小閉曲面S'i上の面積分の和として、ある閉曲面S上の面積分を考えてみると、隣り合った微小閉曲面で共有される面上の面積分は互いに相殺されるので、結局外表面上の面積分だけが生き残り、閉曲面S上の面積分と一致することになる。従って、35(付録付録3)変位電流
付録 変位電流:
変位電流 (アンペールの法則の修正)
アンペールの法則の微分形式の両辺の発散をとると、恒等式から、∇ ⋅ ,⃗(⃗) = ∇ ⋅ ∇ × "(⃗) = 0,となる。しかし、これは電荷電荷保存則
電荷保存則=&(⃗)∇ ⋅ ,⃗(⃗) = −,=1に反している。従って、電荷保存則も満たすように、アンペールの法則を修正しなければならない。そこで、電荷保存則を先ほどのクーロンの法則を使って変形すると=&(⃗)= ∇ ⋅ -(⃗)=-(⃗)∇ ⋅ ,⃗(⃗) = −=−= −∇ ⋅,=1=1=1=-(⃗)∇ ⋅ ,⃗(⃗) += 0,=13736となるので、アンペールの法則の,⃗(⃗) を=-(⃗),⃗(⃗) +=1で置き換えると、=-(⃗)=-(⃗)∇ × "(⃗) = ,⃗(⃗) +, ∇ × "(⃗) −= ,⃗(⃗),=1=1となり、電荷保存則と矛盾しない、修正されたアンペールの法則の微分形式が得られる。また、=-(⃗)⁄=1のことを変位電流という。
(アンペールの法則は定常電流で成立する法則なので、そうでない場合には変位電流=-(⃗)⁄=1が必要となる。)
386(付録付録4)付録∇ × ∇ × ?⃗(⃗) = ∇0?@ (⃗) 0?A (⃗) 0? (⃗) 0?@ (⃗) 0?A (⃗) 0? (⃗)×−,−,−0;0<0<000;7777770 ?A 0 ? 0 ? 0 ?@0 ?@ 0 ?A
=B−−+,−
00; 0; 70< 700<0;0<0< 7777770 ?A 0 ?
0 ? 0 ?@ 0 ?@ 0 7 ?A−+,−−+
C70
00;
00< 0 70; 7 0;0<0 0? 0?A 0?@0 0? 0?A 0?@=B++,++,0 0
0;0<0; 0
0;
0<07
07
07
0 0? 0?A 0?@++E−++0 7 0; 7 0< 70;
0<0< 0? , ?A , ?@ = ∇ ∇ ⋅ ?⃗ − ∇ ⋅ ∇ ?⃗,397