特集

一般相対性理論の数理（未発表 long version）
小 玉 英 雄 x 高エネルギー加速器研究機構・素粒子原子核研究所・理論センター hideo.kodama@kek.jpy
1. はじめに

3. なぜ，重力理論が幾何学と結びつくのか？

一般相対性理論は，重力を時空の曲がりとして捉え，基Einstein は，特殊相対性理論を重力を含む系に拡張する

礎方程式を Riemann 幾何学の言葉で書くなど．提案当初

上で，等価原理を基礎においた．等価原理は「任意の時空から，微分幾何学に深く根ざした理論であった．このため，点において適当な基準系（座標系）を選べばその点におい一般相対性理論の登場は，G. Ricci, T. Levi-Civita らがそて重力を微局所的1 に消去できる」ことを要求するが，このれまで築き上げきたテンソル解析という不変式論の一分野

重力が消去された微局所慣性系（無限個存在する）に限定

を一挙に数学の中心分野へと変化させるほどの影響を数学

すれば特殊相対性理論が成立することを要請しようというに与えた．以後も，一般相対性理論の研究は，豊かな数理わけである．すると自然な帰結として，「本質的」重力場が的成果を上げ続けており，現在でも，大域的微分幾何学を存在するとき，有限の広がりをもつ局所慣性系は存在せず，中心として，数学の発展の大きな原動力となっている．本

物理法則を一般的な座標系を用いて記述することが要求さ稿では，これらの一般相対性理論の数理的成果の中で特にれるが，この一般座標系では光速はもはや一定でなくなる．

特筆すべきものをいくつか選び，その概要を紹介し，さら

そこで，この場所や方向により異なる光速を記述する量がに今後の展望にも触れる．

必要となる．

なお，本稿では，正の固有値が p 個，負の固有値が q 個となる計量をもつ擬 Euclide 空間を E

p,q記号法では，4 次元 Minkowski 時空は Eと表記する．この
3,1

Einstein は そ の よ う な 量 と し て ，微 局 所 慣 性 系 のMinkowski 計量に着目した．特殊相対性理論において中心的と表される．まな役割を果たすこの計量は，Lorentz 変換で不変であるため，

た，特に断らない限り，自然単位系 c “ ℏ “ 1 を仮定する．

同一時空点 P での微局所慣性座標系 XPa pa “ 0, 1, 2, 3, 4q の

2. ゲージ原理との融合

取り方に依存しない．この計量 ds2 “ ηab dXPa dXPb を一般座標系で表すと，

一般相対性理論の影響で微分幾何学が数学の中心分野へ

ds2 “ gµν dxµ dxν ;と発展する上で重要な役割を果たしたのが，H. Weyl や E.

gµν pP q “ ηabCartan である．特に，彼らは，1917 年に Levi-Civita が導BXPa BXPb
pdxµ Bxν

(1)

入した平行移動（=接続）の概念に着目し，Riemann 幾何

により，各時空点での一般的な計量が定義される．その構成

学を接続の幾何学として発展させた．これは，無限小解析

法から，各時空点での光の伝搬方向 pdt, dxi q は ds2 “ 0 にに基礎をおく微分幾何学と対称性に基礎をおく F. Klein のより決まりるので，計量によって座標速度 dxi {dt “ vni が幾何学という，一見大きく異なる２つの幾何学を融合させ

時空点 P と伝搬方向 ni の関数として一意的に決定される．

るものであった．その申し子として Cartan により導入さ重力場が存在する場合の物理法則を，局所的な特殊相対性

れたホロノミ−群の概念は，その後，微分幾何学の大域的理論の貼り合わせとして捉える以上の考え方は，Riemann研究において中心的な役割を果たし，Calabi-Yau 多様体な幾何学を局所的な Euclide 幾何学の貼り合わせして捉える

どの特殊ホロノミ−群をもつ多様体と超弦理論・Ｍ理論のRiemann の思想を物理学に適用したもので，一般相対性理N “ 1 局所超対称性をもつコンパクト化の関連など，物理論が幾何学的色彩を帯びる最大の要因となっている．自由学でも重要な概念となっている．

粒子の時空軌跡が上で導入した時空計量に関する測地線とこの接続の概念は，最終的に C. Ehresmann の 1950 年

なるのも，その現れの一つである．

の論文によりファイバー束を用いて現代的な形で一般的にもちろん，本質的重力場が存在しない Minkowski 時空で定式化された．そのすぐ後，Einstein がなくなった 1954 年

も，一般の座標系では見かけ上非自明な計量が現れる．こには，有名な非可換ゲージ理論のアイデアが C.N. Yang とれは（一般に非一様な）加速運動による光速の変化を表す

R. Mills により発表されている．未発表ながら，W. Pauli

が，重力場をその源と結びつけるには，この様な運動学的や内山龍雄も同じ頃，類似のアイデアを得ていたようであ効果を取り除く方法が必要となる．その一つが，曲率テンソ

る．これら２つのアイデアは，その後密接に結びつき，指ルを用いることである．その基礎となる Riemann 曲率テン

数定理，アノーマリー理論，Donaldson 理論など豊かな数

ソルは，座標系に相対的な重力場の強さを表す Christoﬀel

学と物理の交流を生み出すこととなった．

記号Γµνλ “1 µαg pBν gλα ` Bλ gνα ´ Bα gνλ q
2(2)

1 無限小の領域で成り立つことを以下「微局所的」と呼ぶことにする．

解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

1

を用いて，未来µ
αRµ νλσ “ Bλ Γµσν ´ Bσ Γµλν ` Γµλα Γασν ´ Γσα Γλν

(3)

空間的
方向

光円錐

により定義される４階テンソルである．

4. 因果構造過去

すでに述べたように，Riemann 幾何学は Euclide 幾何学

図 1: 局所的な因果構造の局所化として誕生した．このため，計量は正定値のもののみを考える．これに対して，一般相対性理論で現れる計量

うな状況で因果的閉曲線が現れるのか，また因果律の破れは，Minkowski 計量と同じく，時間に対応する方向が負となた領域（タイムマシーン）を生成する方法はないかなどのる不定符号計量となっている．この違いは，時空の幾何学に問題を積極的に研究する分野もあるが2, 3, 4) 2 ，多くの研究

因果構造という Riemann 幾何学にはない構造をもたらす．

では，これらの因果律の破れが現れないこと（因果性条件）

この問題は，1965 年から 1970 年頃にかけて，R. Penrose,を前提として要請することが多い．

R.P. Geroch, E.H. Kronheimer, H.J. Seifert, B. Carter ら

最もよく用いられる条件は，Cauchy 面の存在である．正により詳しく研究された．その成果は，S.W. Hawking と確にはこの条件は次のように，定義される．まず，時空 M

G.F.R. Ellis による有名な教科書1) にまとめられている．

内の超曲面 Σ に対し，その点を通過するすべての延長不可能

もちろん，局所的な状況は Minkowski 時空と全く同じで，
2

な過去向き因果的曲線が Σ と交わるような点の全体 D` pΣq

条件 ds “ 0 により決まる各点 P の光円錐により，点 P のを未来の依存領域という．同様に，過去向きの代わりに未接ベクトル V は時間的 (V ¨ V ă 0)，空間的 (V ¨ V ą 0)，

来向きの曲線を考えることにより，過去の依存領域 D´ pΣq

光的 (V ¨ V “ 0) の３つに分類され，さらに時間的ベクトルが定義される．M “ DpΣq ” D` pΣq Y D´ pΣq となるとと光的ベクトルは，未来向きと過去向きに分類される．こき，Σ を M の Cauchy 面と呼ぶ．Cauchy 面の存在する時

れらの分類に対応して，時空の曲線は各点での接ベクトル

空は，R ˆ Σ と同相になり，因果的には非常に単純な構造の向きにより，時間的，光的，因果的（=時間的ないし光を持つ．以下，Cauchy 面の存在するとき，時空は大域的に的），空間的などと分類される．

双曲的 (globally hyperbolic) であると言うことにする．

しかし，大域的な観点からは，多様な新たな構造が現れる．その一つが，因果律の破れである．例えば，負の宇宙
定数 Λ “ ´npn ´ 1q{p2ℓ2 q をもつ Einstein 方程式の定常真空解である n ` 1 次元反 de Sitter 時空

5. 時空の端時空の大域的因果構造に関する研究の大きな成果は，「時空の端」に豊かな構造があることを発見したことである．もちろん，時空の「端点」なるものは実在しないが，集合論

adSn`1 :2

ds2 “ ´pr2 ` ℓ2 qdt2 `dr` r2 dΩ2n´1 (4)r2 ` ℓ2

的に仮想端点を定義することができる．
それを説明するために，いくつか記号を用意する．まず，
時空 M において，集合 S の点から未来向きの時間的曲線は，写像により到達できる点の全体を I ` pSq，因果的曲線により到
2

2 1{2

pT, Sq “ pr ` ℓ q

2i

pcos t, sin tq, X “ rΩ2pΩ¨Ω “ 1q により，計量 ds “ ´dT ´dS

2i

達できる点の全体を J ` pSq と表す．また，未来向きを過去`dX12 `¨ ¨ ¨`dXn2をもつ pn ` 2q 次元擬 Euclide 空間 E n,2 の中に，２次曲面

向きに変えた場合の集合を I ´ pSq，J ´ pSq と表す．これら
は，S の因果的（時間的）未来および因果的（時間的）過去の大域的バージョンである．特に，S が一点 p からなる

(5)

とき，J ` ppq ´ I ` ppq と J ´ ppq ´ I ´ ppq は，それぞれ，p のとして埋め込むことができる．この時空では X “ 一定とW “ I ´ pSq は，I ´ pW q Ă W と言う条件を満たす開集合

なる閉曲線が至るところ時間的となる．すなわち，未来向であるが，この条件を満たす開集合は過去集合と呼ばれる．

きに出た曲線が有限な時間で過去から元の時空点に戻って過去集合の中で，I ´ ppq は，2 つの異なる過去集合の和としくる．この様な曲線は時間的閉曲線と呼ばれるが，明らかて表すことができないという特徴をもつ．この特徴をもつΣ : ´T 2 ´ S 2 ` X12 ` ¨ ¨ ¨ ` Xn2 “ ´ℓ2i

未来の光円錐と過去の光円錐に相当する．

に因果律を破っている．この例は，普遍被覆空間を考える
ことにより因果律の破れをなくすることができるが，一般
相対性理論では，このような位相的処理では取り除けない
因果的閉曲線がしばしば現れる．この点に着目し，どのよ22 興味深い例としては，Thorne らの提案したブラックホール連星を用いたタイムマシーンがある5) ．この例では，ブラックホールが内部でワー
ムホールによりつながることにより，時間的閉曲線を生み出しているが，この構造を安定に保つには負のエネルギーを持った物質が必要となる．

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

+

i+
i+

I

t

r=

l

r=

-

Σ

-

i-

χ

D(Σ)

H (Σ)

-

i-

l

r=0

r=0
i0

η

㐣ཤ䛾↓㝈㐲

+
H (Σ)

+

r=0

I +

r=0

ᮍ᮶䛾↓㝈㐲

+図 3 定曲率時空の Penrose 図式．左から順に，Minkowski 時空，deSitter 時空，反 de Sitter 時空．

Sn

図 2: Minkowski 時空の無限遠と静的 Einstein 宇宙への埋め込み

C2: BM 上で，Ω “ 0 かつ dΩ ‰ 0.
集合を既約過去集合 (indecomposable past set) と呼ぶ．既約過去集合は，時空点を集合の因果的性質で特徴づけるものであるが，一般に，適当な時空 p を用いて W Ă I ´ ppq と表されないもの（終端既約過去集合）が存在する．このような既約過去集合に仮想的な「頂点」を付与して，それを時空の（未来の）端点と見なそうというのが基本的なアイデアである．一般に，すべての終端既約過去集合 W は，適
当な未来に延長不可能な時間的曲線 γ を用いて W “ I pγq´と表されることが示される1) . 同様に，未来集合，既約未来集合を用いると，時空の過去の端点が定義される．
例えば，4 次元 Minkowski 時空 M での端点を持たない
時間的直線 γ に対して，W “ I ´ pγq は常に時空全体と一致するので終端既約過去集合となり，時空の時間的未来の
端点 i` を定義する．また，原点を通過する未来に端点を持たない光的直線 γ に対して，W “ I ´ pγq は原点を通過す
る時刻と光線の方向で一意的に決まりるので，対応する未来の端点の全体 I ` は 3 次元面 R ˆ S 2 と同相になる．これらは全体として，未来の無限遠を定義する．同様に，既約未来集合より，時間的過去の端点 i´ ，過去の光的無限遠

I ´ が定義される（図 2 左）．

6. 共形的無限遠
このような無限遠の構成法は，Minkowski 時空では比較的容易に実行できるが，より複雑な時空では実用的でない．
実は，より実用的な無限遠の構成法が，すでに 1964 年にPenrose により提案されていた6) ．Weyl 変換 gµν Ñ Ω2 gµνは，Ω が定数でなくても光円錐の構造を変えない．この点に着目し，時空全体 pM , gq を別の時空 pMˆ, ĝq の有界領域に共形写像 f : M Ñ Mˆ，すなわち

C1: ĝµν “ Ω2 f˚ gµν pΩ ą 0qを満たす写像で埋め込むことができれば，M の無限遠はその像 f pM q の Mˆ での境界 BM “ f pM q ´ f pM q として実体化されるというのが，基本的なアイデアである．ただし，無限遠であることを保証するために，次の条件を加える必
要がある：

解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

このようにして定義される無限遠は共形的無限遠と呼ばれる．
例えば，極座標表示での pn ` 1q 次元 Minkowski 計量

ds2 “ ´dt2 ` dr2 ` r2 dΩ2n´1 は，
t´r
η´χ
“ tan
,
2
2

t`r
η`χ
“ tan
2
2

(6)

と座標変換すると
22

ˆ : dsˆ “ ´dη 2 ` dχ2 ` sin2 χdΩ2 ,ds2 “ Ω´2 dsn´1` η´χ ˘` η`χ ˘
Ω “ cos 2 cos 2(7)2

ˆ はちょうど，静的 Einstein 宇宙と表される．ここで，dsnˆM – R ˆ S の計量と一致するので3 ，この変換により，Minkowski 時空全体が静的 Einstein 宇宙のコンパクト領域
χ ´ π ď η ď π ´ χ(χ ě 0) に埋め込まれ，その境界で Ω “ 0となる (図 2 の右）．ただし，dΩ ‰ 0 となるのは，χ ‰ 0, πの部分なので，角度座標も考慮すると，BM は，それぞれRˆS n´1 に同相な 2 つの連結成分からなる．これらは，ちょうど，終端既約因果集合により抽象的に定義した光的無限
遠 I ˘（図 2）に対応する．また，pη, χq “ p˘π, πq が時間
的無限遠点 i˘ を実現する．
この埋め込みでは，f pM q の境界として，pη, χq “ p0, πqに対応するもう余分な点 i0 が現れる．この点は，時空内部から（漸近的に）空間的曲線でしか到達できないので，上で定義した因果境界には含まれないので，空間的無限遠点と呼ばれる．ただし，この点は共形埋め込みでは dΩ “ 0となる特異点なので，その姿は埋め込みに依存する．
以上の共形埋め込みにおいて，角度座標が一定に対応する 2 次元部分を図示したものはしばしば Penrose 図式と呼ばれる．図 3 の左端の図が，Minkowski 時空の Penrose 図式である．もとの (n+1) 次元時空は，この 2 次元図を底空間として，その各点に場所に依存した半径の球面 S n´1 をファイバーとして付与したファイバー空間と見なされる．
定曲率時空である de Sitter 時空 dSn`1 や反 de Sitter 時
空 adSn`1 も，Minkowski 時空と局所的に共形なので，同
3 Einstein は，宇宙膨張を止めるために宇宙定数を導入し，この解を得た．4 次元時空の場合，Λ “ 4πGρ “ 一定の関係が成立する．

3

Singularity: r=0

I

+

B
H

I

+

+
r=

Σ

r=

DOC

+∞

+∞

r=

r=
white hole

2m

2m

r=

+∞

r=

+∞

Singularity: r=0

I −

I −

black holer

図 5: Schwarzschild ブラックホールの極大 Penrose 図式

図 4: 漸近的に平坦なブラックホール時空の 2 次元断面

伝わる領域 J ´ pI ` , Mˆq X J ` pI ´ , Mˆq は DOC(domainof outer communication) と呼ばれる．ブラックホールがじく静的 Einstein 宇宙の部分領域に共形的に埋め込むことができる．それにより得られる Penrose 図式が図 3 の右 2

重力崩壊で作られる場合には，外部に特異点がなければDOC“ J ´ pI ` , Mˆq となるが，解析的に極大に拡張されは 0 ď χ ă π{2た Schwarzschild 解の表す時空では，ホワイトホール領域が存在し M ´ J ` pI ´ , M¯q ‰ H となるので，DOC はに埋め込まれる．したがって，dSn`1 – R ˆ S n で，そのJ ´ pI ` , Mˆq の一部となる（図 5）．実際の天体の重力崩壊

境界は S n に同相な 2 つの空間的面 I ˘ からなる．一方，では，この図の橙色の部分が星の内部と対応し，その左側

adSn`1 – R ˆ Dn なので，その境界は R ˆ S n´1 に同相なの領域は存在しない．

つである．上の座標系を用いると，de Sitter 時空 dSn˚1 は
n`1|η| ă π{2 に，反 de Sitter 時空 adS

ブラックホールは，1965 年に銀河 1 個分の明るさをもつ

時間的面 I となる．

Penrose による共形的無限遠の定義の優れたところは，無点状天体 QSO が発見され，その活動源の最有力候補とし限遠の構造やその近傍の漸近構造の解析を具体的に行うこて宇宙における実在性が高まって以降，重力崩壊の終状態とが可能となったことである．例えば，上で定曲率時空のの問題と共に数理的な側面からも活発に研究されるように場合に見た宇宙定数の符号と無限遠の構造の対応は，実はなった．この研究で非常に重要な役割を果たしたのが，測一般的であることが示される．特に，宇宙定数が負の場合

地線束方程式，すなわち近傍の測地線間の相対運動を記述

は，物質（場）が十分局在している場合，無限遠は常に時する方程式である．

間的な超曲面（と 2 個の時間的無限遠点 i˘ ) となる．これ

空間的 2 次元面を通過する光的測地線の集まりが織りな

は，この時空に Cauchy 面が存在せず，未来の時間発展をす 3 次元の超曲面を N とする．基準となる測地線 γ を一決定するには，初期面での情報以外に，境界にあたる無限

つ選ぶとき，N の中で γ の近傍の 2 次元的測地線集合の

遠 I での境界条件が必要となることを意味している．この垂直断面積 A は，次の Raychaudhuri 方程式に従う：

構造は，近年盛んに研究されている adS/CFT 対応や類似

1dθ ` θ2 “ ´Rµν k µ k ν ´ 2σ 2 ` 2ω 2 .
dv2の双対性の議論の基礎となっている（詳細については，本
特集の大栗氏の解説参照）．

(8)

ここで，v はアフィンパラメータ，k µ “ dxµ {dv は各測地

この無限遠構造の一般的分類に基づいて，共形無限遠の線の接ベクトル，θ “ pdA{dvq{A “ ∇µ k µ は面積増大率，構造が，Minkowski 時空，de Sitter 時空，反 de Sitter 時

2σ 2 “ ∇pµ kνq ∇µ k ν ´ p1{2qθ2 と 2ω 2 “ ∇rµ kνs ∇µ k ν は，そ

空の無限遠と同一の構造を持つ時空は，それぞれ漸近的にれぞれ垂直断面の等積的な形状の変形率および回転率を表

平坦，漸近的に de Sitter 的, 漸近的に反 de Sitter 的です．特に，光的測地線束が同じ点を通過する場合や空間的あるという．

2 次元面に直交する場合には，N は光的超曲面で，ω “ 0となる．

7. ブラックホール

Raychaudhuri 方程式において，物理法則が関与するのはこの無限遠の定義を基礎として，ブラックホールが定義さRµν k µ k ν の項のみであり，この項が正なら，光線間の相対れる．まず，２つの光的無限遠をもつ漸近的に平坦な時空 M

距離は光波面の面積が減少する側に加速される．そこで，任では，天体から十分離れた観測者に情報が伝わる時空領域はJ ´ pI ` , Mˆq と一致するので，その外は観測者には見えない

意の光的ベクトルに対して Rµν k µ k ν ě 0 となるとき，光収時空領域となる．そこで，この領域のうち I から影響の及
ぶ部分 B “ pM ´ J ´ pI ` , M¯qq X J ` pI ´ , Mˆq をブラック
ホール領域，その境界 H ` “ J9´ pI ` , Mˆq X J ` pI ´ , Mˆq

ることとを意味する．Einstein 方程式が成り立つとき，この条件は Tµν k µ k ν ě 0 となり，エネルギー運動量テンソ

を未来の事象の地平線（以下ホライズン）と定義する (図(I “ 1, 2, 3) と同等となる．

´

4)．また，I
4`から観測可能でかつ I´

からの情報が束条件が成り立つという．これは重力が引力として作用すル Tνµ が固有値 r´ρ, P1 , P2 , P3 s を持つ時には ρ ` PI ě 0

Minkowski 時空では，閉じた空間的 2 次元面を垂直に通日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

過する光線束は外向きのものと内向きのものが存在し，対E n,1 での既約過去集合 W “ I ´ pOq は M に含まれる既約

応する面積増大率 θ は前者では正，後者では負となる．し過去集合でもあるが，O が M に含まれないので，W は M

かし，強い重力源を囲む 2 次元面ではいずれも負，すなわの終端既約過去集合となる．ただし，この集合は「有限なち外向きに「広がる」光波面の面積も減少することが起き長さ」の曲線 γ を用いて W “ I ´ pγq と表されるが，無限る．このような 2 次元面は捕捉面捕捉面 (trapped surface)

遠に対応する終端既約過去集合はこのような表示ができなと呼ばれる．

い．そこで，終端既約過去集合に対応する時空端点を，そブラックホールの境界であるホライズンは未来の無限遠

れが有限な長さの曲線で到達できるものとできないものにを基準として定義されるため，無限の未来までの情報に依

分類し，後者を未来の無限遠点，前者を未来の特異点と呼存する大域的な概念で，原理的には有限な時刻での観測でぶ．同様に，終端既約未来集合に対して，過去の無限遠点は決まらない．しかし，上の Raychaudhuri 方程式を用いと過去の特異点が定義される．もちろん，今の例は人為的

ると，この判定問題を緩和してくれる次の有名な定理が得

で，穴を埋めれば特異点は消滅する．このような時空の部られる :分切除による特異性を避けるため，特異点の議論では，通1)【定理 7.1】

漸近的に平坦で大域的に双曲的時空 M “DpΣq において，光的収束条件が成り立ち，DOC に特異点

常，極大な時空に拡張して考える．ただし，一般に，このような拡張は一意的ではない．

がないとすると，閉捕捉面はホライズンの中に含まれる．

圧力もエネルギー密度も非負の一様等方な膨張宇宙解やlSchwarzscild ブラックホール解など非自明な厳密解では，ある座標点で曲率が発散する．これらの特異性はその点で時捕捉面の概念は局所的なので，この定理は，ブラックホールの存在を局所的に判定する方法を提供する．

2 次元面 T に垂直な光的測地線束が収束的，すなわち空構造が破綻することを意味するので，その座標点は時空から排除される．すると，そこは今定義した意味での特異点となる．そこで，一般相対性理論誕生間もない頃から，時θ ă 0 となっているとき，Raychaudhuri 方程式より，含ま空特異点の発生は，対称性などの特殊性に起因するのか，それる測地線 γ が完備なら，有限な v で θ “ ´8 となるこれとも一般的なものなのかが問題となっていた．この問題とが示される．この点は，T の γ にそう共役点と呼ばれる．共役点は，γ の無限小近傍の測地線が一点に集まる点に，一般的な解答を与えたのが，1965 年から 1970 年にかけての Geroch, Penrose, Hawking らの研究である．

であるが，γ のこの点より先の部分は I ` pT q に含まれる

彼らの成果は Hawking-Ellis の教科書1) に 4 個の特異点定ことが示される．この事実が上の定理の証明の味噌となる

理としてまとめられているが，いずれも，「引力条件，因果性が，同様の論理でホライズンを織りなす光的測地線が常にJ9´ pI ` , M̂ q の境界にとどまり共役点を持てないことより，

条件（ないしそれに代わるもの），強重力条件の 3 つの条件

次のホライズンの面積増大則が示される1) :内容になっている．ここで，引力条件とは重力が引力として【定理 7.2 (ブラックホール面積増大則)】が成り立つと，時空が測地的に完備でない」ことを主張する

ホライズン

作用することを保証する条件で，すでに説明した光的収束

上および外に特異点がなく，光的収束条件が成り立つなら，条件と任意の時間的ベクトル V に対して Rµν V µ V ν ě 0 を

ブラックホールの面積は決して減少しない．

l

この定理は，ブラックホール熱力学においてブラックホー
ル面積にエントリピーとしての解釈を与える根拠の一つとなっている．また，ホライズンを生成する光的測地線が終点を持たないことから，ブラックホールの位相変化についての次の有名な定理が容易に導かれる1) :【定理 7.3 (ブラックホール不分裂定理)】

ホライズン

上および DOC に特異点がないなら，ブラックホールは合体はできるが分裂はしない．

l

要求する時間的収束条件 (timelike convergence condition)の 2 種がある4 ．前者は後者より弱い条件である．特異点定理は Einstein 方程式を仮定しておらず，純粋に幾何学的定理であるが，Einstein 方程式を仮定すると，この条件は宇宙項を含めたエネルギー運動量テンソルに対する条件となる．例えば，エネルギー運動量テンソルが対角化可能な場
合，時間的収束条件は，エネルギー密度 ρ と圧力固有値 PIř
に対し ρ ` I PI ě 0 かつ ρ ` PI ě 0(@I) が成り立つことと同等である．ρ ě 0 で圧力が等方的な場合には，2 番目の不等式は 1 番目のものから導かれる．逆に，この条件が成り立たないと重力は斥力的になり，インフレーションなど

8. 特異点定理
もう一度，因果的集合による時空の端の議論に戻ると，の加速膨張を引き起こす．
次に，強重力条件は文字通り，重力場が十分強い領域が一般に，終端既約過去集合にはこれまで議論した無限遠とは異なるタイプのものが存在する．例えば，Minkowski 時
空 E n,1 から時空の原点 O を除いた時空 M “ E n,1 ´ tOu.
解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

4 ただし，一つの定理では，Ricci テンソルがゼロとなる領域がある場

合は，さらに Riemann テンソルの代数的構造が一般的であることを要求する

5

あることを表す条件であるが，大まかには捕捉面か過去向

adS において無限に広がった空間的超曲面 Σ を取り，そのき捕捉点 (past trapped point) の存在を要求する条件となっ依存領域を M “ DpΣq を考えると（図 3 右端の点線を境ている．ここで，点 P が過去向きの捕捉点であるとは，P界とする三角領域），明らかに Σ は M の Cauchy 面となから過去向き出た光の光波面の面積が有限な時間（正確にる．実は，この時空 M は測地的に完備でない．実際，Mはアフィンパラメータ）で至る所局所的に減少することをは adS において時間的に有界なので，測地線である原点を意味する．すなわち，P を頂点として過去向きに広がった

通る時間軸は有限な時間で M の外に出てしまう．しかし，

光円錐が有限な時間で再び縮み始めるという条件である．

この曲線と共に運動する観測者には何ら特異なことは起こ

最後に，測地的に完備 (geodesically complete) とは，すらない．

べての測地線がアフィンパラメータに関して無限に延長可

そこで，特異点の物理的効果について研究するために，能であることを意味する．したがって，例えば，未来向き

特異点定理の発表以降，特異点の分類についての研究が盛の時間的測地線に関して完備でない場合には，アフィンパんに行われた．その当時の成果は Ellis と Schimidt によるラメータの値が有限であるにもかかわらずそれ以上延ばせ

1977 年のレビュー9) および F.J. Tipler, C.J.S. Clarke, Ellis

ない未来向きの時間的測地線 γ が存在することを意味する．

による 1980 年のレビュー10) にまとめられている．

この場合，I ´ pγq は終端型既約過去集合となり，未来の特異点が存在することになる．

これらの研究の出発点となったのは，特異点の概念の厳密化である．これまで，因果的時空境界の「点」を，そこに

例えば，次の定理は，重力崩壊によりブラックホールがで到達する曲線の長さにより，無限遠点と特異点を区別した

きると，必ず特異点も生成されることを意味している．たが，この際に用いる曲線の長さの定義には，曲線が測地線だし，「特異点の場所」については何の情報も与えない．

でない場合には曖昧さがある．実際に，測地的に完備でも，【定理 8.1 (Penrose 1965)】

次の条件が成り立つと，時有限加速度をもつ曲線に関しては完備でない時空の例が構
成できる11) ．この問題を解決するため，B. G. Schmidt は

空は光的測地線に関して完備でない：(1) 光的収束条件．

一般化されたアフィンパラメータの概念を導入した12) ．ま(2) 非コンパクトな Cauchy 面の存在．

ず，v をパラメータとする曲線 γ に対して，それに沿って平行な擬正規直交基底 tEa u を取り，γ の接ベクトル V が(3) 閉捕捉面の存在．
l
また，次の定理から，もし宇宙初期でも物質のエネルギー
密度や圧力が非負だとすると，我々の宇宙には特異点が存在することが導かれる．ただし，この定理だけからは，それが未来にあるのか過去にあるのかは結論できない．
【定理 8.2 (Hawking, Penrose 1970)】

次の条件が成り立つと，時空は時間的ないし光的測地線に関して不完備：

V “ V a Ea と成分表示されるとき，この曲線の一般化さşv řれたアフィンパラメータを τ “ p a pV a q2 q1{2 dv により定義する．そのうえで，任意の曲線 γ がこのパラメータで計って常に無限に延長可能なとき，b-完備であると定義す
る．対応して，一般化されたアフィンパラメータが上に有界で延長不可能な曲線 γ が存在するとき，この曲線の仮想的な端点を特異点として定義する．このような特異点の全体は，b-境界と呼ばれる．この場合，２つの延長不可能な(1) 時間的収束条件と曲率テンソルに対する一般性条件．

曲線が同じ特異点を定義するのはどのような場合か判定す(2) 時間的閉曲線の非存在．

る基準が必要となるが，Schmidt は，時空 pM , gq の擬正規

(3) 過去向きの捕捉点，閉捕捉面，非時間的なコンパク

直交基底の全体が作る主束 OpM q を距離空間として完備化

ト閉部分多様体のいずれかが存在．

することにより，この基準を与えた．紙数の都合で詳細はl
これらの 定理 は，その後 ，収束条 件を測地線に沿う

Rµν V a V b の積分に対する条件に緩めるなどの拡張がなされた7, 8) ．

9. 特異点の分類

省略するが，直感的には 2 つの曲線が漸近的に近づくときには，対応する特異点は一致すると見なす．以下，同じ特異点を定義する曲線の同値類を rγs と表記する．
このように，特異点をそれに漸近する曲線 γ（の同値類）
により定義した上で，この曲線に沿って曲率がどのように振る舞うかで特異点の強度を分類する．まず，Riemann 曲率

特異点定理は，星の重力崩壊や宇宙初期など重力の強いテンソルから作られる適当なスカラ多項式の値が一定値に領域では不可避的に特異点が発生することを示唆するが，収束しない（非有界の）とき，rγs を C 0 級 (C 0´ 級）スカラ

それがどのような物理的効果を持つのかについては何の情型曲率特異点と呼ぶ．つぎに，γ にそって擬正規直交基底 E

報も与えない．例えば，一様等方宇宙模型での初期特異点

を平行移動させるとき，その基底に関する曲率テンソルのは物質のエネルギー密度や曲率の発散を伴うため，明らか成分の中に一定値に収束しない（有界でない）ものがあるなに有害な特異点である．これに対して，反 de Sitter 時空

ら，C 0 型（C 0´ 型）pp 曲率特異点という (pp=parallelly

6

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

propagating)．もちろん，スカラ型曲率特異点は pp 特異点であるが，逆は言えない．これは，時空計量が不定形量であることに起因する．スカラ型でない pp 特異点に対して満たす：

I ` Ă D` pΣq,

J ` pΣq X J ´ pI ` , M q Ă D` pΣq.

は，曲線 γ に沿って（必ずしも平行でない）うまい擬正規l

直交基底をとると，その基底に関する曲率テンソルのすべての成分が C 0 級 (C 0´ 級）となることが示される (Siklosの定理 [S. Silkos 1976, PhD thesis]). したがって，特異性
は擬正規直交基底が平行移動により無限の Lorentz ブース

2 つめのバージョンは 10 年後に発表された強い宇宙検閲仮説 (SCCH) で17) ，次の内容をもつ：【予想 10.2 (強い宇宙検閲仮説)】

物質が現実的な状態

トを受けることに起因する．非スカラ型の pp 曲率特異点

方程式に従うとき，なめらかな初期条件に対する Einsteinの例は，平面重力波解や非等方一様宇宙を表す解で知られ方程式の解の極大な拡張は，一般に大域的に双曲型時空とている9, 13) ．ただし，これらが一般的な摂動に対して不安なる．

l

定であることから，その発生は一般的でないと予想されてこれらの予想のその後はあまり明るいものではなかった．

いる．
最後に，曲率テンソルの pp 成分がすべて C 0 級（C 0´ 級）

まず，球対称系について WCCH が詳しく調べられ，特にであるにもかかわらず延長不可能な曲線に対応する特異点

圧力が無視できる天体の重力崩壊に対しては，ホライズン

を準正則特異点 (quasiregular singularity) と呼ぶ．円錐のに隠されない特異点である裸の特異点 (naked singularity)

表面から頂点を除いた 2 次元面は局所的に平坦であるが，円が中心に一般に生成されることが示された．また，有限な錐の頂点にあたる点は含まれないので，準正則特異点とな圧力を流体の持つ場合でも，必ずしも特異点は隠されない．

る．この点を追加すると微分可能な面でなくなるので，単

ただし，これらは球対称性という高い対称性に起因していなる空間の拡張で特異性は解消されない．しかし，この面をる可能性が否定できない．しかし，非球対称な系の研究は切り開くと特異性のない 2 次元平面に拡張される．実は，こ困難で，未だに明確な結論は得られていない18) ．細長い形の特徴は準正則特異点に共通するもので，準正則特異点 rγs状の無衝突ガス系の重力崩壊では，特異点が発生してもそに対しては，γ の適当な開近傍 U に時空を限定すると，γ がれを取り囲む捕捉面が存在しない例が数値計算により与え延長可能となる U の拡張が存在することが示される14) . 準

られたが19) ，この数値計算では特定の時間一定面の取り方

正則特異点をもつ時空の非自明な例としては，Taub-NUTをしているため，捕捉面の非存在がホライズンの非存在を時空がある．この時空は正の宇宙項をもつ Einstein 方程式

必ずしも意味せず20) ，WCCH の破れの明確な例とは言えの真空解で，空間が S 3 に同相な Up1q 対称性をもつ非等方ない．

膨張宇宙を表し，極大な解析的拡張では，曲率テンソルは

SCCH についても状況は微妙である．SCCH の破れは，一様有界であるが，光的測地線に関して完備でない1, 15) ．準

大域的に双曲的でない極大時空 M が存在することを意味す

正則特異点も曲率テンソルが特殊な代数構造を持っているるが，この様な時空では，その極大な大域的に双曲的領域をときに発生し，現実の宇宙で発生することはないと考えら

N “ DpΣq とおくと，N は M において境界 H “ BN

れているが厳密な証明はない．

をもつ．この境界は Cauchy ホライズンと呼ばれる．特に，H ` “ H X BD` pΣq は未来の Cauchy ホライズンと10. 宇宙検閲仮説

いう．解析的に極大に拡張された Reissner-Nordstrom 解やても，その影響が我々に届かなければ，現実的な問題を引きKerr 解など (13 節参照）多くの基本的なブラックホール解が Cauchy ホライズンをもつ．したがって，SCCH はこれら起こさない．この期待を表現したのが，Penrose の提唱したの解の Cauchy ホライズンが不安定であることを予想する．

宇宙検閲説である．この仮説には２つのバージョンがある．

この問題は様々な側面から研究され，有限エネルギーの一つは，1969 年に発表された弱い宇宙検閲仮説 (WCCH)

摂動により時空の局所質量が Cauchy ホライズンで発散す

で ，大まかな内容は，「物質が現実的な状態方程式に従うるという質量インフレーション21, 22) など Cauchy ホライズ

とき，なめらかな初期条件から Einstein 方程式の解としてンの不安定性を示唆する現象が見つかり，その後の数値計

決まる漸近的に平坦な時空の特異点は一般にブラックホー

算でも，Cauchy ホライズンの一部が空間的スカラ曲率特ルホライズンで隠される」というものである．数学的には

異点集合に変わることが指摘された．しかし，Cauchy ホラ

次のように表現される：イズンの一部は光的なまま残り，そこを通過しても物体が特異点が発生して，それが曲率の発散を伴っているとし

16)【予想 10.1 (弱い宇宙検閲仮説)】

初期条件 pΣ, qq から決まる漸近的に平坦な時空解 pM , gq は一般に次の条件を解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

有限な変形しか受けない程度の弱い特異性しかもたないことが示された23) ．

7

11. 重力崩壊における臨界現象
これに対して，WCCH の研究を全く新たな方向に導いた
数学的研究がある．それは，D. Christodoulou により 1986年から 1999 年にかけて行われた球対称な Einstein-KG 系（重力場と質量ゼロの自由スカラ場から成る系）の厳密な数
24, 18)
学的研究である (その詳細については，
参照）．彼は有界変動なクラスの枠内で，真空に近い初期値は必ず正則な散乱解を与えることを示す一方で，漸近的に平坦で裸の特異点を持つ解および特異点がホライズンの発生点にある解の存在を示した．前者は，原点にある特異点を頂点とする
未来の光円錐が I ` に達するので裸の特異点をもつ．このとき，この光円錐は特異であるが，曲率は有界でその微分のみが発散するので特異性はマイルドで，時空の光円錐を超えた C 2´ 級での拡張が可能となる．この拡張を許すと，この解では WCC も SCC も破れる．後者の解は，微妙なケースであるが，限りなく曲率の大きな領域が観測可能であるという意味では，WCC が破れる．ただし，1999 年に
彼は，これらすべての特異解が少なくとも１次元的な初期値の摂動に対して不安定であることを示した．すなわち，小さな摂動を加えると，正則解か WCC が成り立つ解に変化するのである．これは数学的な意味で，WCCH を支持する結果となっている．
ただし，ここで新たな展開があった．それは，M.W. Chop-

tuik が行ったこの系の数値計算による研究である25) ．彼はWCCH の反例を作る目的で，光速でつぶれる物質殻によるブラックホールを考えた16) ．対応する時空は，この物質殻の軌跡である光的超曲面 N で不連続となり，N の過去
側は Minkowski 時空，N の未来は一般に重力波を含む曲
がった時空となる．この物質殻が十分小さな領域につぶれる様な初期配位を取ると，この N の直上に閉捕捉面 T が形成される．N の外は真空なので，もし，WCC が成り立つと閉捕捉面は必ずブラックホールホライズンに含まれ1) ，T の面積 A はブラックホール表面積以下となると期待される．ところが，ブラックホールの面積増大定理（次節参照）より，このブラックホール表面積は増大し，その最終値は全系の重力質量 M に対応する Schwarzschild ブラック
ホールの表面積 16πpGM q2 を超えない．したがって，
c
A
GM ě
(9)
16π
という不等式が成り立つことが期待される．この不等式はPenrose 不等式と呼ばれる．
その後，G.W. Gibbons は，この捕捉面を N を横切って Minkowski 時空側に動かした際の T を通過する光波面の面積増大率の変化量が，物質殻のもつ全エネルギーに比例することを用いると，Penrose 不等式が Minkowski 時空
内の空間的２次元面に関係する幾何学量のみで書かれた不
等式

1
8π

高精度でこの系の初期値問題を解き，スカラ場のある初期値配位に対して，その振幅を連続的に変えてゆくと，ある
臨界値以下では散乱解，臨界値を超えるとブラックホールcż
T

2θdA ě

A
4π(10)で換えられることに気づき，この不等式を等周不等式(isoperimetric ineqality) と名付けた27) ．ここで，θ は T を解となる場合を詳しく調べた．その結果，振幅が臨界値の通過して広がる光波面の面積増大率である．当初，Gibbons

ときの解は，Christodoulou が存在を示したホライズンのは，T が３次元 Euclide 空間に含まれる凸な２次元面とき

頂点が特異となる解に対応し，しかもその解が離散的相似にのみ，この不等式を証明した．この場合は，2θ は T の性を持つこと，さらに振幅の臨界値からのずれと形成され各点における平均曲率と一致し，この不等式を Minkowski

るブラックホールの質量の対応する臨界指数がスカラ場の不等式 (1903 年) に帰着することができたのである．しばら

初期配位の詳細によらないことを発見した．すなわち，一くこの問題に大きな進展はなかったが，Gibbons はついに

種の臨界現象が起きていたのである．この結果は，同時に，1997 年に，特別な仮定なしにこの不等式を証明し，さらに厳密な意味での特異点ではないが，対応する解が任意の与一般次元に拡張することに成功した28) . その理由は，N.S.

えられた大きさ以上の曲率をもつ初期値の全体が初期値空

Trudinger が，Minkowski 不等式を任意次元の Euclide 空間において開集合を作ることを意味し，物理的な基準から

間 E n 内の任意の閉超曲面 Σ に対する次の不等式に拡張すすると WCCH が成り立たないことを意味している．そのることに成功したことによる29) ：ż
1{pn´1q n´2
KdA ě pn ´ 1qΩn´1 A n´1 .

後，物質が異なる様々な系で類似の現象が確認された26) . 現
在では，この現象が起きる理由は，初期値空間の中で裸の特異点をもつ解に対応する初期値の全体が予次元１の部分空間となっているためと理解されている．

(11)

Σ

ここで，K は Σ の平均曲率，Ωn は n 次元単位球面 S n の面積で，等号は Σ “ S n´1 のときに成立．このように全く

12. Penrose 不等式
WCCH の研究が生み出したもう一つの興味深い数理的研究として，Penrose 不等式がある．Penrose は 1969 年に非自明な数学的不等式と対応することは，WCCH を支持する事実と見なす人が多い．

Penrose 不等式はその後，初期値問題における一般的不等式型予想に拡張された30) ．これらの一般形では，A は漸8

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

近的に平坦な初期面 pΣ, qq に含まれる最も外側の捕捉面 T

Σ+の面積，M は初期面での ADM 質量となる．特に，Σ のス
カラ曲率 RpΣq が非負で，Σ が全測地的，すなわち解が時間反転不変性をもち，Σ がその時間反転の不動面となる場

Σ−

合については，この不等式は Riemann-Penrose 不等式と呼ばれ詳しい研究がある．この場合，T は最も外側の極小曲面となる．P.S. Jang と R.M. Wald は．1977 年に逆平均曲率流 (inverse mean curvature flow) によるこの極小曲面の連続変形を用いた証明を発表した31) ．ここで，逆平均曲率流による変形とは，曲面 F をその法ベクトル方向に
平均曲率の逆数に比例する「速度」で変形させることを意味する．ポイントは，RpΣq ě 0 のとき，Hawking 質量とaş呼ばれる関数 mH pF q “ p1 ´ F K 2 {16πq ApF q{16π が，この変形に対して単調に増加し, しかも出発点の捕捉面 Taに対して mH pT q “ A{16π ，無限遠の球面に近づくとき

mH pF q Ñ GM となることである．したがって，逆平均曲率流によって T が無限遠球面に滑らかに変形できる場合には不等式が証明されることになる．
しかし，実際には，この変形は一般に特異性を持つ面を含むことが示される．この困難の克服には 20 年以上の歳月を要したが，ついに 2001 年に G. Huisken と T. Ilmanen
が不等式の厳密な証明に成功した32) ．基本的なアイデアは，連続な変形をあきらめ，飛びのある不連続な変形を許すよう一般化することにあった．さらに，同じ年に，H.L. Bray
により全く異なった証明が発表された．彼の方法は，極小曲面の面積を保って，初期値を共形的に Schwarzschild ブラックホールに対応するものに変形するというものであった．

P

図 6: 静的ブラックホール時空の共形的改変

静的ブラックホール

この様な状況の下，これらの解以外に正則で漸近的に平坦なブラックホール解がないことを示そうという研究が行われた．先鞭をつけたのは，W. Israelである．Einstein 方程式の球対称な真空解は静的であり，したがって Schwarschild 解に限るということを 1923 年にBirkhoﬀ が証明したが（Birkhoﬀ の定理)，Israel はこの
逆，すなわち，静的なら球対称であることを示そうとした．
ここで，静的とは定常で時間反転に対して不変である（したがって回転していない）ことを意味する．この剛性定理が示せれば直ちに，静的なブラックホールの一意が導かれる．これまでに得られた最も一般的な静的ブラックホール
に対する一意性定理は次のように表される33) :【定理 13.1 (静的ブラックホールの一意性定理)】

Einstein-Maxwell 系において，WCCH を満たす漸近的に平坦で静的なブラックホール解は，ホライズンが非縮退な
ら Reissner-Nordstrom 解に限られ，計量は質量 M と電荷?
q “ 4πQ を用いて次のように表される：

ds2 “ ´f prqdt2 `dr2`r2 dΩ22 ;f prq

f prq “ 1´

13. ブラックホールの一意性
最 も 単 純 な ブ ラック ホ ー ル 解 は よ く 知 ら れ て い る

Scharzschild 解で，Einstein 方程式の静的な球対称解であGM GQ2
` 2 .
r
r
(12)

また，縮退している場合は，Majumdar-Papapetrou 解の一つに一致する．

l

る．この解は一般相対性理論が発表された翌年の 1916 年に

ただし，非縮退とは，無限小等長変換 (Killing ベクト

発見され，同じ年には電荷を帯びた球対称ブラックホール解ル）のうちホライズン上で光的となるものを k とするとである Reissner-Nordstrom 解も発見されている．しかし，き，∇k k ‰ 0 となることを意味し，Reissner-Nordstrom 解

この解がブラックホールを表していることが理解されるよでは M 2 ą Q2 に対応する．逆に退化型ホライズンに対しうになったのは，G. LeMatre がホライズンの概念を導入しては ∇k k “ 0 となり，Killing ベクトルの生成する等長変た 1933 年である．回転するブラックホール解である Kerr

換のパラメータとホライズンの光的測地線のアフィンパラ

解が発見されたのはさらにその 30 年後の 1963 年である．

メータが比例する．静的真空解の場合，M 2 “ Q2 のとき退このように時間がかかったのは，やはり非線形偏微分方程式化型となるが，そのような解は無限個存在することが知ら系である Einstein 方程式を厳密に解くことが大変難しいこ34)
れている (Majumdar-Papapetrou 解）．

とに起因する．実際，1965 年には複素解析接続法により回転する電荷を持ったブラックホールを表す Kerr-Newmann

ξ を時間推進の Killing ベクトルとして gpξ, ξq “ ´N 2 とおくとき，静的な解を求める問題は，時間一定面に対応す解が発見されているが，その後，Einstein-Maxwell 系に対る 3 次元多様体 Σ の計量 q と関数 N に対する次の初期値

して，新たな正則真空ブラックホール解は発見されなかっ方程式に帰着される：

た．1973 年には有名な富松・佐藤解が発表され世界を驚かせたが，この解は裸の特異性を持っていた．

Rij pqq “ N ´1 Di Dj N,△q N “ 0.

(13)

ここで，Di は q に関する共変微分，Rij pqq はその Ricci テ
解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

9光的測地線をファイバーとするファイバー束 π : H ` Ñ Kと見なしたとき，ξ は K に等長変換を誘導する．底空間 Kはブラックホール表面と対応するので，それが球面と同相
ξ

k

η=ξ

η
l

と仮定すると，ξ の軌道は S 1（ないし一点）となることが示される．この各軌道の π による逆像は，光的測地線から成る円筒となり，ξ の軌道はこの円筒に沿った螺旋となる．こ

図 7: 回転するブラックホールホライズンと Killing ベクトル

ンソル，△q “ Di Di である．漸近的に平坦なら，ホライズ
ン BΣ で N “ 0，無限遠で N Ñ 1 となる．

Israel は，この方程式を N を動径座標とする Σ の極座標を用いて書き下すことにより，ブラックホール表面が連結
で，すべての N “ 一定面がなめらかな球面となる場合について，1967 年に剛性定理を示すことに成功した35) ．しかし，非縮退でブラックホールが複数ある解はないのか，球面以外の位相をもつブラックホールはないのかなどの問いに答えることはできなかった．これらの問いに予想外の方法で解答を与えたのは，G.L. Bunting, A.K.M. Masood-ul-

Alam, P.J. Ruback らで，約 20 年後であった36, 37, 38) ．証明の概要は次の通りである．まず，彼らは，時間一定面に対応する 3 次元 Riemann 多様体 pΣ, qq が，ラプス関数 Nを用いた Weyl 変換 q̂˘ “ Ωq˘ q, Ω˘ “ p1 ˘ N q2 {4 を施すと，そのスカラ曲率がゼロに保たれることに着目した．しかも，Σ̂` “ pΣ, q̂` q と Σ̂´ “ pΣ, q̂´ q は，N “ 0 となる境のことより，H ` 上に閉じた軌道をもつ空間的 Killing ベク
トル η “ Bϕ (ϕ は周期 2π の角度座標) で，ξ ` Ωh η（Ωh はブ
ラックホールの回転角速度と呼ばれる定数）が H ` の光的測地線に接するものが存在することが示される．この H `上の Killing ベクトルを解析的にホライズンの外に拡張する
ことにより，軸対称性が示される．したがって，Hawkingの剛性定理では，時空の解析性およびホライズンの部分多様体としての解析性の仮定が本質的である．しかし，解析性が成り立てば，場の方程式の詳細にはあまり依存しない．

Hawking の証明では，ブラックホールの位相が球面である
ことも仮定されいた．この仮定の正当化は，２０年後の 1994
年に P. Chrusciel と R. Wald によりなされたが40) ，その基礎となったのは次の位相検閲定理 (topological censorshop

theorem)41) である．
【定理 13.2 (位相検閲定理)】

漸近的に平坦で大域的に双曲的な時空において光的収束条件が満たされるとき，I ´と I ` をつなぐ任意の因果的曲線は，連続的に無限遠の標準近傍内の曲線に変形できる．

l

界のホライズン BΣ でなめらかにつながり，しかも無限遠でここで，無限遠の標準近傍とは，Minkowski 時空の無限Ω´ Ñ 0 となるので，Σ̂´ は 1 点コンパクト化により滑らか遠の近傍と同相な I ` Y I ´ の近傍を意味する．この定理な多様体に拡張される．したがって，Σ̂ “ Σ̂` Y Σ̂´ Y tP u

は，時空の普遍被覆における光的測地線束の振る舞いに帰は，スカラ曲率がゼロかつ ADM 質量がゼロの漸近平坦な着することにより容易に証明できるが，非常に強力である．

滑らかな 3 次元 Riemann 多様体となる (図 6）．ところが，実際，大域的に双曲的な時空における任意の閉曲線は，1正エネルギー定理（次節参照）より，このような多様体は点で切り離すことにより，適当な時間的フローに沿った初Euclide 空間に限られる．したがって，もとの pΣ, qq は E 3

期面への射影が一致する因果的開曲線に連続変形できるのに共形となる．これは，Bach テンソルと呼ばれる 3 階テン

で，この定理をブラックホール時空の DOC に適用すると，

ソルが恒等的にゼロであることを意味するが，Bach テンソ

ブラックホールの位相が球面に限られるということが示さ

ルを N を動径座標とする座標系で書いてみると，この条件れる：は空間が球対称であることを意味することが直ちに分かる． 【定理 13.3 (4 次元ブラックホールの位相定理)】

漸近的に平坦な時空の DOC が大域的に双曲的で，光的収束条回転するブラックホール

さて，Israel の定理が発表されて件が満たされるなら，DOC は単連結である．特に，4 次元

から 5 年後に，Hawking は定常で回転するブラックホール

時空においてブラックホールの各連結成分は 2 次元球面には軸対称であるという剛性定理を証明した39, 1) ．ここで，定同相である．

l

常とは，遠方で時間的となる Killing ベクトル ξ “ Bt が存在することを，また，軸対称とは至るところ空間的で S 1（なHawking の剛性定理により，定常で回転するブラックホー

いし一点）を軌道として持つ Killing ベクトル η “ Bϕ が存

ルは軸対称であることは言えるが，これはまだまだ弱い制

在することを意味する．この剛性定理でポイントとなること

限で，静的な場合のように，この対称性だけで解が一意的

は，回転するブラックホールでは，時間推進の Killing ベクに決まるわけではない．富松佐藤解のように，特異性を持つ

トル ξ がホライズン H

上で空間的となることである (図「ブラックホール解」は無限に存在するのである．ホライズ??）．このため，H ` をあるコンパクト面 K を底空間とし，ン上および外に特異点がないという正則性の要請（WCC)`のもとで解を絞り込む必要がある．この作業で重要な役割
10

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015ş
用いて ˚q TrpJ µ Jµ q と表される．これより，場の方程式を果たしたのが，Ernst 形式である．
一般に，4 次元時空が Killing ベクトル α “ Bu を持つとき，時空をこのベクトル場の軌道の集まり，すなわち 3 次
元 Riemann 多様体 pΣ, qq を底空間しファイバーが 1 次元のファイバー空間とみなすと，β を Σ 上の 1 形式として，４次元計量 g は g “ V pdu ` βq2 ` |V |´1 q と表される．また，
この時空での定常な電磁場の電磁テンソル F は，Σ 上の複?
素関数 Φ をもちいて， GF “ Re rV ´1 p1 ` i˚qpdΦ ^ ξqs と表されることが示される．これらを用いて，は ∇ ¨ J “ 0 となり，その 2 つの解 Xp1q , Xp2q に対して，´△q TrΨ “ TrpY : ¨ Y q;

1{2

´1{2

Y “ Xp2q pJp2q ´ Jp1q qXp1q(16)´1を得る．ここで，Ψ :“ Xp2q
Xp1q ´ I3 ．右辺は非負で，左辺の Σ での積分は境界条件よりゼロとなる．これより，直ちに 2 つの解は一致すること言える．
このように，Mazur 恒等式により，連結なホライズンをもつ Einstein-Maxwell 系の漸近的に平坦な正則ブラックホー

2

dE “ ´dV ` i ˚ q pV dβq ´ 2Φ̄dΦ(14)ル解の一意性が言えたが，ブラックホールが複数の連結成分をもつ可能性を明らかにするには，より詳しい境界値問とおくと，Einstein 方程式より右辺が閉形式であることが題の研究が必要であった．この問題に大きな進展をもたら示されるので，この式により Ernst ポテンシャル (と) 呼したのは，G. Weinstein である．彼は，いま説明した非線

ばれる複素関数 E が定義される42, 43) ．4 次元の Einstein 方形σ模型としての定式化が，調和写像と呼ばれる Riemann

程式と Maxwell 方程式は，3 次元多様体上の Σ 上の計量 q ，多様体間の写像の特殊な場合であることに着目し，その成

Ernst ポテンシャル E および複素電磁ポテンシャル Φ に対果を用いて多成分ブラックホール系に対する存在と一意性する作用積分ˆ˙ż|dΦ|2|dE ` 2Φ̄dΦ|2S“
˚ q Rpqq ´ 2
´
V
2V 2
Σ

の定理を確立し，一般に N ブラックホール解は各ブラック
ホールの質量，電荷，角運動量とブラックホール間の距離(15)を表す 4N ´ 1 個のパラメータで分類されることを示した
48, 33)より得られる変分方程式に帰着する．
時空が定常軸対称の時には，α として時間推進の Killing ベ
クトル Bt を取り u “ t とおくと，q “ e2k pdz 2 `dρ2 q`ρ2 dϕ2と表され，場の方程式は，k に対する常微分方程式と，2 次
元の pρ, zq 平面上の 2 つの場 E , Φ に対する非線形の楕円型方程式系となる．この 2 次元系への還元は B. Carter によってなされた44) ．彼はさらに，重力場のみの系では，境【定理 13.4 (回転するブラックホールの一意性定理)】

常ブラックホール解の DOC は，Weinstein 解のどれかと等長である．特に，ホライズンが連結なら，Kerr-Newman 解˙ˆ 2∆Σ2 2 Γ sin2 θ
dr
2
2
2
2
dt `
` dθ (17),ds “ ´pdϕ ´ Ωdtq ` Σ2
ΓΣ2∆

∆ “ r2 ´ 2mr ` a2 ` e2 ,

Σ2 “ r2 ` a2 cos2 θ,
ap2mr ´ e2 q
Γ “ pr2 ` a2 q2 ´ a2 ∆ sin2 θ, Ω “Γ

量 J のみであることを示した．D.C. Robinson はこの結果
を電磁場が存在する場合に拡張し，連続パラメーターの自し，これらの結果では，Kerr-Newman 解以外に別の解の族が存在する可能性を排除できない．重力のみの系に対しては，この問題は，非常に複雑な恒等式を用いることにより，Robinson により解決され，Kerr ブラックホールが唯一の解であることが証明された．しかし，この恒等式を電磁場が存在する場合に試行錯誤により拡張することは絶望的であった．何かより深い議論に基づく恒等式の導出が切望された46) ．

4次

元 Einstein-Maxwell 系において，漸近的に平坦で正則な定界条件のもつ連続パラメータの自由度は，質量 M ，角運動

由度は，M, J と電荷 Q のみであることを示した45) ．ただ

．

(18)

に限られる．ただし，m “ GM, a “ J{M, e2 “ GQ2 .

l

さらに，電気的に中性の N ブラックホールの場合には，Weinstein 解は，逆散乱法を用いて V.A. Belinskii と V.E.
Zhakarov により構成された 2N ソリトン解49) と一致することが, G.G. Varzugin により示されている50) ．ただし，N ě 2の多体ブラックホール解ではブラックホールが z 軸に沿って並ぶが，一般にブラックホール間の z 軸上にコーン型特異点が発生する．最近，正則な中性の 2 体ブラックホール
解が存在しないことが証明されたが51) ，一般の場合についこの希望を見事に叶えたのが，P.O. Mazur

47)

である．彼

ては正則なものが存在するかどうかはまだ不明である．

は，Ernst 形式での理論が，（3 次元重力と結合した）非線形σ 模型の構造をしていることに着目した．例えば，α を空間

Einstein-Maxwell 系を超えて これまで，たかだか電磁

回転の Killing ベクトル η に取ると，V ą 0 なので，作用積場しかない系を考えてきたが，現実の理論には様々な場が登分 (15) は SUp2, 1q 不変性をもし，pE , Φq は対称空間 M “場する．ブラックホール一意性定理の骨格ができて以降，こSUp2, 1q{SpUp2q ˆ Up1qq と同一視できる．実際，pE , Φq をれら電磁場以外の場が存在する場合の解についても研究がSUp2, 1q に含まれる正値エルミート行列 X に埋め込むと，なされてきたが，まだ十分な分類からはほど遠い状況にある

これらの場の作用積分は，行列値１形式 J “ X ´1 dX を解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

33)．これまでの結果の大きな特徴は，Einstein-Maxwell 系
11で成立した多くの定理が成り立たなくなることである．例えば，場として電磁場の代わりに非可換ゲージ場を考えると，球対称静的な解に限っても一意性は破れ，Schwarzschild 解以外に構造の異なる正則ブラックホール解とホライズンを持たないソリトン解が現れる52, 53, 54) ．これらは不安定であることが知られているが，非線形 σ 模型に高次相互作用を加えたスキルミオン場や非可換ゲージ場に 3 重項 Higgs 場

に対する正準発展方程式

1
Ĺ t qij “ ´2Kij ,
(22a)
N
1
1
Ĺ t Kij “ Rij pqq ´ 2Kil Kjl ` KKij ´ Di Dj N ´ Sij ,
N
N
(22b)
と，pqij , Kij q の初期条件についての拘束条件を加えたモデルでは，Schwarzschild 解以外の安定ブラック
ホール解が存在する．また，非可換ゲージ場を含む系では，

Rpqq ´ Kij K ij ` K 2 “ 16πGρ,(23a)

静的だが非球対称な解が存在することを示唆する事実もあ

Dj Kij ´ Di K “ ´8πGSi(23b)る. これら最近の結果については Heusler らのレビュー33)を参照してほしい．

と同等になる．ここで，Di は Σ 上の q に関する共変微分，

Rij pqq, Rpqq はその Ricci 曲率とスカラ曲率，K “ Kii ，Sij

14. 時空の安定性と正エネルギー定理

はエネルギー運動量テンソルの 1 次式，ρ “ Ttt と Si “ Tti

ニュートン理論では，重力のポテンシャルエネルギーはは物質のエネルギー密度と運動量密度である．また，Ĺ t は負で下限を持たない．このため，重力系は原理的には不安ベクトル Bt ´ β i Bi に沿った Lie 微分である．一般に，この定である．この状況は一般相対性理論でも変わらないので拘束条件を満たす十分滑らかな初期値 pΣ, qij , Kij , ρ, S i q があろうか？一般相対性理論では，このような重力不安定は，与えられると，それを初期値とする Einstein 方程式の解が時空構造の不安定を産み非常に危険であり，古くから重要（局所的には）一意的に存在する．
この拘束条件の漸近的に平坦な解 pqij , Kij q が与えらな問題となっていた．
この問題に解答を与えたのが，次の正エネルギー定理である55, 56, 57, 58, 59, 60) ．
【定理 14.1 (ADM エネルギーに関する正エネルギー定理)】pΣ, qij , Kij , ρ, S i q を 4 次元 Einstein 方程式に対する漸近的に平坦で完備な初期値とする．ただし，Σ は 3 次元閉ř多様体か Σ – R3 ´ B (B “ i Bi , Bi は球体）で BB はブれたとき，ある α ą 1{2 に対して，γij “ qij ´ δij “`˘
Opr´α q , B s γij “ O r´α´s´1 p1 ď s ď 4q, B s Kij “`˘O r´α´s´1 p0 ď s ď 3q が成り立つとき，全系の質量と運動量がンソルに対して支配的エネルギー条件が成り立てば，全系

ż
1
E“
lim
pBj qij ´ Bi qjj qni dΩ, (24a)16πG rÑ8 Sprq
ż1pKik ´ Kqik qnk dΩ (24b)lim
Pi “
8πG rÑ8 Sprqのエネルギー E と運動量 P “ pPi q は次の条件を満たす：

により曖昧さなく定義される61) ．ここで，Sprq は漸近的E ě |P |.

Descartes 座標に関して半径 r の球面，ni はその単位法ベラックホール境界とする．このとき，エネルギー運動量テ(19)

クトル，dΩ は面積要素である．
さらに，等号が成り立つのは，初期値が Minkowski 時空に対応する場合のみである．

l

まず，この定理で用いられている記号の説明をする．一
般相対性理論では，初期値問題を取り扱うために，時空を時間一定面に対応する 3 次元多様体の時系列 Σt “ pΣ, qq と見なす p3 ` 1q 分解が用いられる：
2

2

2

i

時空に関する４ベクトルと見なされるので，定理の条件は，Minkowski 時空以外ではこの 4 ベクトルが未来向きの時間的ベクトルであること，特に E ą 0 であることを主張している．なお，この条件が満たされるとき，ADM 質量と呼ばれる質量 M “ pE 2 ´ P 2 q1{2 が定義され、非負となる．
もちろん，物質のエネルギーが負だとこのような結論が成

i

j

j

ds “ ´N dt ` qij pdx ` β qpdx ` β q(20)

ここで，N はラプス関数と呼ばれ，N dt が Σt と Σt`dt の各点での距離を表す．また，β i はシフトベクトルと呼ばれ，

β i dt が空間座標一定点の相対変位を表す．すなわち，N は
時間座標のの取り方を，β i は空間座標の取り方を記述する．
この分解の元で，Einstein 方程式は，qptq “ pqij pt, xqq とその共役運動量に対応する Σt の外部曲率

Kij “ p´Bt qij ` Di βj ` Dj βi q{p2N q12

このように定義された pE, Pi q は，無限遠での Minkowski

り立つことは期待できない．そこで，物質のエネルギー密
度 ρ と運動量密度 S i も pE, Pi q と同様の条件を満たすことを要請する．この条件は，エネルギー運動量テンソル Tµνで表すと，「任意の未来向きの因果的ベクトル V µ に対してTνµ V ν が過去向きの因果的ベクトルとなる」という要請となる．この条件は支配的エネルギー条件 (domian energy

condition) と呼ばれる．
正エネルギー定理の最初の証明は，R. Schoen と S.-T.

(21)

Yau により，大域解析学の手法を用いて行われた55, 56) ．彼
日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

らは，エネルギーが負の場合には Gauss 曲率の積分が正で平となる場合と同様の正エネルギー定理が成り立つ66) ．また，面の位相を持つ面 F が存在することを示した上で，それが最近では，軸対称な初期条件に対し，角運動量を考慮した開曲面に対する R. Finn および A. Huber による開 Riemann

精密化 (M ě |J|) も得られている67)面に対する Gauss-Bonnet の定理と矛盾することを示し，背1999 年には J. Lohkamp がスカラ曲率の変形に基づく証理法で E ě 0 および E “ 0 なら Minkowski 的とうことを

明を，2009 年には M. Peiris が山辺の定理と Thurston の示している．この主張は，上記の定理より少し弱いもので幾何学化定理を用いた証明を新たに発表している．一般に，ある．

M “ pE 2 ´ P 2 q1{2 より，Penrose 不等式は正エネルギー定理の改良・精密化と言える．

彼らに続いて，1981 年には E. Witten がスピノール 2
次式に対する恒等式を用いた全く新しい方法で正値性を示した57) ．本質は同じであるが，彼の方法は，J. Nester によ

15. 高次元への展開

り，見通しが良くかつ ADM エネルギーのみでなく光的無もともと，一般相対性理論は 4 次元世界の理論として作限遠上に境界をもつ空間的面に含まれるエネルギーを表すられたものであるが，数理的な観点からは，それを一般次

Bondi エネルギーに対しても適用できる形に改良された ．

元に拡張することは容易であり，古くから 4 次元に特有で彼らの方法は次の様なものである．まず，4 次元スピノーない問題については，一般の次元で研究が行われてきた．

ル ψ の 2 次式で表される次のような 2 階反対称テンソルを

また，Weyl 理論や Kaluza-Klein 理論のように，古くから，考える：

高次元時空理論のコンパクト化により 4 次元の統一理論を

58)

作ろうとする研究があったこともその背景にある．さらに，

E µν :“ 2ϵµναβ pψ̄γ5 γα ∇β ψ ´ ∇β ψ̄γ5 γα ψq.

(25)

2“ BΣ での積分は，対応する 2 形式の無限遠 2 次元球面 S8

Stokes の定理より
żż
1 µν
E dSµν “∇ν E µν t̂µ dΣ.
2BΣΣ

超弦理論の登場以降は，高次元に特有の現象や特性の研究も盛んになった．
本稿では，これまで特異点とブラックホールを中心に，一般相対性理論に関連した数理的研究成果を紹介してきたが，(26)

それらの多くは，次元によらずそのまま成立する．因果構
造，無限遠の構造，特異点定理，ブラックホールの一般的µここで，t̂ は Σ の未来向きの単位法ベクトル．ψ が無限性質，Penrose 不等式などがその例である5 . これに対して，µ
遠で定数スピノール ψ0 に漸近することを要請し，Vp0q“µµψ̄0 γ ψ0 とおくと，左辺は 16πGPµ Vp0q と表されることが，ブラックホールの分類や一意性の問題については，4 次元と 5 次元以上では全く状況が異なる．

pPµ q “ p´E, Pi q の定義より示される．一方，右辺を計算
球形のホライズンをもつ高次元ブラックホール

すると，t̂µ ∇ν E µν “ 2t̂µ Gµν V ν ,5 次元以

上でも，Schwarschild 解や Reissner-Nordstrom 解の高次元

modpDψq{(27)

版69, 70) に加えて，Kerr ブラックホールに対応する漸近的にが得られる．ここで，eµI (I “ 1, 2, 3) を Σ のベクトル場の正平坦な回転ブラックホール解70) が古くから知られおり，そ規直交基底，D{ :“ γ I ∇µI ∇µ である．また，V “ ψ̄γ µ ψ は常に未来向きの時間的ベクトルとなる．したがって，この式の右辺は非負となる．以上より，方程式 Dψ
{ “ 0 を満たし無限遠で定数に近づく 4 個の一次独立なスピノール（Witten
スピノール) が存在すれば，正エネルギー定理が示されたことになる．この存在は，O. Reula らにより証明されている62, 63, 64) . また，ブラックホールが存在する場合は，ホライズンからの寄与がゼロとなる境界条件を課すことができることが G.W. Gibbons らにより示されている65) ．

Witten の方法は単純な上に非常に強力である．例えば，共変微分に宇宙定数や電磁場に依存した変形を施すと，電荷を持つブラックホールが存在する場合の精密化 (M ě |Q|) や，
負の宇宙定数がある場合への拡張 (J04 ě 0, JAB pA, B “

0, ¨ ¨ ¨ , 4q は反 de Sitter 群 SOp3, 2q の生成元に対応）が得られる65) ．ポテンシャルエネルギーが下に非有界となるゲー
ジ化された拡張超重力理論でも漸近的に反 de Sitter 時空
解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）の宇宙項入りバージョンである漸近的 de Sitter および反 deSitter な拡張も 2004 年に発見されている71) ．これらの解はMyers-Perry 解および Gibbons-Lu-Page-Pope 解と呼ばれ，2n ` 1 次元ないし 2n ` 2 次元では質量以外に空間回転群のランクと同じ n 個の独立な回転パラメータをもち，ホライ
ズンの位相は球面に同相である．しかし，Kerr-Newman 解に対応する電荷を帯びた回転ブラックホールを表す厳密解
は，Einstein-Maxwell 理論を単純に高次元化した理論では得られていない．ただし，5 次元の超重力理論から得られる Einstein-Maxwell 型理論では，4 次元の理論には対応物のない Chern-Simons 項と呼ばれる新たな項 A ^ F ^ Fが Lagrangian に現れる．この項を持つ理論では，質量と 2つの角運動量以外に電荷をもつ回転解が具体的に構成されている72) ．この解は，極大局所超対称性をもつ 5 次元超重5 ただし，無限遠の構造に関しては，重力波など放射が存在する状況では，奇数次元時空の光的無限遠を Penrose による共形的枠組みで記述することはできないことが指摘されている68) ．

13

ンパクト化と見なして，5 次元に持ち上げ（この操作は酸化と呼ばれる）た上で解析接続することにより得られた漸近的に平坦で正則なブラックホール解であるが，そのホライ
ズンは 3 次元球面ではなく S 2 ˆ S 1 の位相を持っていた．4
次元ではこれと対応するトーラスの位相をもつホライズン
はすでに述べた位相検閲定理により禁止されるが，4 次元空間では S 2 ˆ S 1 の余空間は単連結なので，5 次元ブラック

図 8: ブラックサターン

リングは禁止されない．Emparan-Reall 解は S 1 方向の角運動量のみを持っていたが，2006 年には S 2 方向にも同時に回転するより一般的な解が得られた?) . その発見には，三島氏，井口氏，富沢氏ら多くの日本人研究者によるソリト
ン法の 5 次元への応用に関する研究が本質的な役割を果た
した?, ?, 82, 83) ．さらに，これらの研究は，ブラックサター
ン (図 8)84) や直交 2 リング解 (図??)85) など，複数のブラックリングとブラックホールの複合系を表す様々な解の発見につながった77) ．

図 9 bicyclindg ブラックリングの S 3 による断面と Cliford 分解の対応

これらのブラックリング解の発見は位相以外の点でも驚きをもたらした．それは，漸近的に平坦で正則定常ブラッ力理論が 10 次元超重力理論を 5 次元トーラスでコンパク

クホール解は質量，角運動量と保存電荷のみで決まるとい

ト化して得られることを利用して得られた．

う一意性定理が 5 次元では成り立たないという事実である．

一般に，10 次元超重力理論を p10 ´ Dq 次元トーラスでコ

まず，Pomeransky-Senkov 解は独立な 3 つのパラメータをンパクト化すると，双対変換不変性という大きな変換群をもつが，質量と 2 つの角運動量を与えてもそれらのパラメー対称性として持つ D 次元超重力理論が得られる．この変換

タとして 2 つの解が存在するパラメータ領域が存在する．こはブラックホール解の電荷を変化させるので，無電荷ない

れらのパラメータ領域では，同時に同じ質量と角運動量をし少ない電荷を持った解から電荷を持つ解や，非常に多くもつ Myers-Perry 解が存在する77) ．次に，ブラックサターの電荷をもつ解を構成することができる73, 74) ．この方法で，ン解では中心のブラックホールと外側のリングが反対向き

10 次元超重力理論のトーラスコンパクト化により得られるの角運動量をもち，全系の角運動量がゼロという解が許さ

次元 D “ 5 „ 9 の超重力理論に対して，最も一般的な電荷

れる84) ．これは，同じ質量と角運動量をもつ中性のブラッと回転をもつ漸近的に平坦なブラックホール解が構成されクホール解が連続無限個存在することを意味する．

ている75, 76, 77) ．また，4 次元の Kerr-Newman 解も Kerr 解

こられの真空ブラックリング解に加えて，2004 年には，から同様の方法（Harrison 変換) により導くこともできる

5 次元極小重力理論において超対称なブラックリング解が．この方法は，5 次元超重力理論において超対称をもつ構成され86) ，4 次元の Majumdar-Papapetrou 解のように，

ブラックホール解である BMPV 解を構成する際にも用いら

それらを複数重ね合わせた解が自由に作れることも示され

れ79) ，ブラックホールエントロピーの D ブレーンを持ちいた87) ．さらに，付加的なゲージ場を含む 5 次元超重力理論

た微視的説明の議論において重要な役割を果たすとともににおいて，上で述べた変換論を用いて，荷電を持つ回転ブ

adS/CFT 対応などの新たな分野形成へとつながった．

ラックリング解が構成されたが，この解は，遠方の場の振なお，4 次元の縮退 Reissner ブラックホール (M “ Q) とる舞いで決まる保存電荷以外に，双極電荷と呼ばれる新た

この 5 次元 BMPV 解以外に，正則で球形のホライズンをな非保存パラメータを含んでいた88) ．これは，新たなタイ持つ超対称ブラックホール解は知られていない77) ．

プの連続的パラメータを含む一意性の破れの例を与えた．

ブラックリングと一意性の破れ

Kaluza-Klein ブラックホールとブレーンワールドブラッ

15) 6

80, ?)

高次元ブラックホールの研究において最も衝撃的であったのは，2001 年における 5

クホール

次元におけるブラックリング解の発見である ．この解は，コンパクト化により得られるとすると，余剰次元のサイズ

磁場中で加速運動する磁化ブラックホール対を表す 4 次元

L は，その振動が励起されるのを防ぐため，現在の実験で

DGKT 解81) を 5 次元真空解の S 1 による Kaluza-Klein コ

到達できるエネルギーに相当する長さより十分小さい必要?)

4 次元理論が高次元の統一理論から余剰次元のがある．しかし，依然として，L が重力の量子性が重要と
6 歴史的には，Kerr-Newman 解は Kerr 解の複素解析接続により得られた78, ?) ．

14

なる Planck スケールより十分大きい可能性はあり，その場

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

と同じ過程が繰り返され，結果的に自己相似的な構造に有限時間で移行するという驚くべきものであった95) (図 11）．
もう一つのタイプの Kaluza-Klein ブラックホールは，直積では書けないものである．最もよく知られている例は，5次元の KK ブラックホールである．まず，4 次元 Euclide 空間において半径 r 一定の球面球面 S 3 prq を S 2 を基底としてS 1 ファイバーするファイバー束と見なす（Hopf-fibring)．このとき，Euclide 計量は極座標 pr, θ, ϕ, ψq を用いて，ds2 “

図 10: ブラックストリングの Gregory-Laflamme 不安定

dr2 ` r2 ω 2 ` r2 dΩ22 と表される．ここで ω は S 3 上の不変
1 形式 ω “ dψ ` cos θdϕ である．当然，r Ñ 8 で S 1 の
長さは r に比例して無限に増大する．しかし，gψψ (ω 2 の係数）を r Ñ 8 で微小な値に近づく関数 hprq2 で置き換えると，新たな空間は無限遠では 4 次元空間を 3 次元 Euclide
空間にねじれた S 1 でコンパクト化した構造をもつ．この改変を 5 次元の漸近的に平坦なブラックホールに施すことができれば，ホライズン近傍のみが 5 次元的で，ホライズ
ンから十分離れると 4 次元的となる Kaluza-Klein ブラック

図 11: Gregory-Laflamme 不安定の末路ホールが得られることになる．この様な解は，4 次元から見合，高エネルギー現象において時空の高次元性が見えるこると磁場を伴ったブラックホール解となる．Kaluza-Kleinとになる．この可能性が素粒子理論での階層性問題を解決

ブラックホールの研究は古く，1980 年代に始まっているがする方法として取り上げられて以降?, 89) ，低エネルギーでは

96, 97)，2000 年代になり研究が活発になり，5 次元 Einstein-

4 次元ブラックホールに見える高次元ブラックホール，いわMaxwell 理論や超重力理論での電荷をもつ（多重）回転ブ

ゆる Kaluza-Klein ブラックホールの研究が盛んになった．

ラックホール解が発見されているが，まだ組織的な研究は

Kaluza-Klein ブラックホールには 2 つの種類がある．一成されていない．

つは，単に 4 次元ブラックホール時空と平坦な余剰次元 Rn高次元理論から 4 次元理論を得る処方として，Kaluza-の直積となるブラックブレーン解で，ホライズンは S ˆ RnKlein 型コンパクト化以外に，ブレーンワールド模型があという位相をもつ．その代表格が n “ 1 のブラックストリ

る．この模型では，我々の住む 4 次元時空を 5 次元時空のング解であるが，その研究は実に豊かな発展を生み出した．

境界と見なすことにより，5 次元の世界の法則と 4 次元のその契機となったのは，R. Gregory と R. Laflamme によ

世界の法則を結びつける．よく知られているものとしては，る Schwarzschild ブラックストリング解の研究である．彼

5 次元として adS 型時空を用いる RS 模型89, 98) , 5 次元と女らは，4 次元時空の観点からは球対称で余剰次元方向にして Minkowski 時空を用いる DGP 模型99) , M 理論のヘテ

波長 λ で周期的に変動する摂動に対するこの解の安定性を

ロ型コンパクト化に背景をもつ Horava-Witten 模型100) が調べ (図 10），λ{M (M はブラックホールの質量）がある

ある．このブレーンワールド模型でのブラックホールは，5臨界値を超えると不安定となること，類似の不安定が一般次元時空でのホライズンが 4 次元ブレーン上に境界を持ち，のブラックブレーンでも起きることを発見した (Gregory-

ブレーンの変形も同時に解かないといけないため，具体的

Laflamme 不安定)90) ．不安定性が存在すると直ちに問題な解を求めることは大変難しく，未だに 4 次元球対称解ブになるのが，その行き先である．一つの可能性は，もっと安ラックホール解に相当する非回転解さえ解析的には求まっ

定な別の解がありそれに近づくこと91) ，もう一つは，特異ていない．また，数値的に解を探す試みも精力的に行われ性をもつ末路である．前者の可能性は，非一様ブラックス

たが，解の存在について研究者の間で合意ができていない

2

トリング解や R ˆ S に収まる 5 次元の球形ブラックホー
4

1

101, 102, 103)．

ル解の発見につながったが，ブラックホール熱力学の観点や位相的な障害から，これらが終状態である可能性は否定

高次元ブラックホールの不安定性

もう一つ最近の高次元された92, 93, 94) ．そこで，後者の可能性を調べるため，高精ブラックホール研究がもたらした驚くべき発見は，多様な度の数値シミュレーションが行われた．結果は，まず不安

ブラックホールの不安定性である．4 次元ブラックホールに定性により S 2 ˆ R の位相をもつホライズンがくびれ，球ついては，Schwarzschild ブラックホール104) ，Kerr ブラッ

形のホライズンが細いひもでつながった状態に移行するが，クホール105) 共に摂動的に安定であることが古くから知ら

さらに時間がたつとこのひもにさらにくびれが生じ，最初れていた．また，高次元でも，球対称ブラックホールにつ解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

15

いては著者らにより安定性が示されている106) ．

4) Krasnikov, S.: Singularity free WEC respecting

これに対し，回転するブラックホールについては，球形のホライズンをもつブラックホールでも状況が異なる．そtime machine, Class. Quantum Grav. 15, 997(1997).

の原因の一つは，4 次元と異なり，6 次元以上では 2 次元面

5) Morris, M., Thorne, K. and Yurtsever, U.: Worm-

内での回転する単純回転 MP 解の回転角運動量に上限がな

holes, time machines, and the weak energy condi-

い点である．Emparan と Myers は，こられのブラックホー

tion, Phys. Rev. Lett. 61, 1446–1449 (1988).

ルが高速回転でブラックブレーンと類似の構造を持つことから，Gregory-Laflamme タイプの不安定性が起きることを予想していた107) ．O.J.C. Dias らは，不安定性がちょうど発生するパラメータ値では，解の分岐が起きるため，定常的な摂動解が存在することに着目し，Emparan と Myersの予言が正しいことを示すと共に，不安定性が起きる臨界
角運動量値と不安定性のパターンを具体的に求めることに成功した108) ．ただし，彼らの解析は，手法の制限から，回転方向に軸対称な摂動に限られていた．これに対して，吉野氏と柴田氏は，この制限を一挙に取り除き，完全な相対論的数値シミュレーションによりこの問題を研究した

109)

．

その結果，彼らは，Dias らの求めた臨界角運動量より小さな角運動量でバーモード不安定が起きることを見いだした．

6) Penrose, R.: Conformal treatment of infinity, in DeWitt, C. and DeWitt, B. eds., Relativity, Groups
and Topology, 1963 Les Houches Lectures, 565–586,
New York (1964), Gordon and Breach.
7) Tipler, F.: Energy conditions and spacetime singularities, Phys. Rev. D 17, 2521–2528 (1978).
8) Borde, A.: Geodesic focusing, energy conditions
and singularities, Class. Quantum Grav. 4, 343–356(1987).
9) Ellis, G. and Schmidt, B.: Singular space-times,
Gen. Rel. Grav. 8, 915–954 (1977).

これは，現実的には，Emparan-Myers 型の不安定性は起き

10) Tipler, F., Clarke, C. and Ellis, G.: Singularities

ないことを意味する．さらに，彼らは，不安定性の進化をand Horizons — A Review Article, in Held, A. ed.,

追い，最初は成長するものの振幅がある程度大きくなると，General Relativity and Gravitation, vol.2, 97–206,

非線形性が重要となる前に，重力波放出により不安定性に

Plenum Press (1980).

よって生じた変形が減衰し，最終的に臨界運動量より小さな角運動量のブックホールに落ち着くことを見いだした．こ11) Geroch, R.: What is a singularity in general relativity?, Ann. Phys. 48, 526–540 (1968).

の結果は，不安定性は別の解の系列か特異な終状態に移行

12) Schmidt, B.: A new definition of singular points

することを意味すると信じていた多くの研究者に衝撃を与in general relativity, Gen. Rel. Grav. 1, 269–280

えた．

(1971).
13) Clarke, C.: The Analysis of Space-Time Singulari-

16. 終わりに以上見てきたように，一般相対性理論は，特異点とブラッ
クホールというテーマに限っても，この 100 年間，非常にties (Cambridge Univ. Press, 1993).
14) Clarke, C.:

Local extensions in singular space-

豊かな数理的成果をもたらしてきた．もちろん，4 次元のtimes, Comm. Math. Phys. 32, 205–214 (1973).

枠内でもまだまだ未解明の問題も多いが，超弦理論の研究

15) 佐藤文隆, 小玉英雄：一般相対性理論 (岩波書店, 2000).

を背景にして近年急速に進展した高次元ブラックホールの

16) Penrose, R.: Gravitational collapse:the role of gen-

研究は，高次元には 4 次元とは比べものにならないほど豊eral relativity, Riv. Nuovo Cimento 1, 252–276

かな世界が広がっていることを示しつつある．我々は，6 次(1969).

元以上でどのような形状のブラックホールが存在するのかさえ全く知らないのである．

1) Hawking, S. and Ellis, G.: The Large Scale Structure of Space-time (Cambridge Univ. Press, 1973).
2) Tipler, F.: Singularities and causal violation, Ann.
Phys. 108, 1–36 (1977).
3) Hawking, S.:

Chronology protection conjecture,

Phys. Rev. D 46, 603–611 (1992).

17) Penrose, R.: Singularities and time asymmetry, in
Hawking, S. and Israel, W. eds., General Relativity: An Einstein Centenary Survey, 531–638, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1979).
18) Wald, R. M.: Gravitational Collapse and Cosmic
Censorship, gr-qc/9710068 (1997).
19) Shapiro, S. L. and Teukolsky, S. A.: Formation of
naked singularities: The violation of cosmic censorship, Phys. Rev. Lett. 66, 994–997 (1991).

16

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 201520) Wald, R. M. and Iyer, V.: Trapped surfaces in
the Schwarzschild geometry and cosmic censorship,
Phys. Rev. D 44, R3719–R3772 (1991).
21) Poisson, E. and Israel, W.: Internal structure of
black holes, Phys. Rev. D 41, 1796–1809 (1990).

static vacuum space-time, Gen. Rel. Grav. 19, 147(1987).
37) Ruback, P.: A uniqueness theorem for wormholes
in quantum gravity, Class. Quantum Grav. Lett. 6,
21–24 (1989).

22) Ori, A.: Inner structure of a charged black hoole:38) Alam., Masood-ul A.: Uniqueness proof of static

an exact mass-inflation solution, Phys. Rev. Lett.

charged black holes revisited, Class. Quantum

67, 789–792 (1991).

Grav. 9, L53–L55 (1992).

23) Burko, L.: Survival of the black hole’s Cauchy horizon under non-compact perturbations, Phys. Rev.
D 66, 024046 (2002).
24) Christodoulou, D.: On the global initial value problem and the issue of singularities, Class. Quantum
Grav. 16, A23–35 (1999).

39) Hawking, S.:

Black holes in general relativity,

Comm. Math. Phys. 25, 152–166 (1972).
40) Chruściel, P. T. and Wald, R. M.: On the topology
of stationary black holes, Class. Quantum Grav. 11,
L147–152 (1994).
41) Friedman, J., Schleich, K. and Witt, D.: Topolog-25) Choptuik, M.: Phys. Rev. Lett. 70, 9 (1993).

ical censorshiop, Phys. Rev. Lett. 71, 1486–1489

26) Gundlach, C. and Martı́n-Garicı́a, J.: Critical phenomena in gravitational collapse, Living Rev. Rela-(1993).

tivity 10, 5 (2007).
27) Gibbons, G.:

in Willmore, T. and Hitchin, N.

eds., Global Riemmanian Geometry, Ellis Horwood,
Chichester (1984).
28) Gibbons, G.: Collapsing Shells and the Isoperimetric Inequality for Black Holes, Class. Quantum
Grav. 14, 2905 (1997).
29) Trudinger, N.: Ann. Inst. Henri Poincaré 11, 41142) Ernst, F. J.: New formalism of the axially symmetric gravitational field problem, Phys. Rev. 167,
1175 (1968).
43) Ernst, F. J.: New formalism of the axially symmetric gravitational field problem II, Phys. Rev. 168,
1415 (1968).
44) Carter, B.: An axisymmetric black hole has only
two degrees of freedom, Phys. Rev. Lett. 26, 331–
333 (1971).
45) Robinson, D.: Classification of back holes with

(1994).
30) Bray, H. L. and Chruściel, H. L.: The Penrose Inequality, gr-qc/0312047 (2003).
31) Jang, P. and Wald, R.: The positive energy conjecture and the cosmic censor hypothesis, J. Math.
Phys. 18, 41 (1977).

electromagnetic fields, Phys. Rev. D 10, 458–460(1974).
46) Carter, B.: The general theory of the mechanical, electromagnetic and thermodynamic propertiesof black holes, in S.W.Hawking,and Israel, W.

eds., General Relativity: An Einstein centenary sur32) Huisken, G. and Ilmanen, T.: The inverse mean curvature ow and the Riemannian Penrose inequality,

vey, 294–369, Cambridge Univ. Press, Cambridge(1979).

J. Diﬀ. Geom. 59, 353 (2001).
47) Mazur, P. O.: Proof of uniqueness of the Kerr33) Chruściel, P., Costa, J. and Heusler, M.: Stationary
black holes: uniqueness and beyond, Living Reviews
15, 7 (2012).
34) Heusler, M.:

Newman black hole solution, J. Phys. A 15, 3173–
3180 (1982).
48) Weinstein, G.: N-Black Hole Stationary and Axi-

Black Hole Uniqueness Theorems(Cambridge Univ. Press, 1996).
35) Israel, W.: Event horizon in static vacuum spacetimes, Phys. Rev. 164, 1776–1779 (1967).

ally Symmetric Solutions of the Einstein-Maxwell
Equations, Comm. Partial Diﬀ. Eq. 21, 1389–1430(1996).
49) Belinsky, V. and Zakharov, V.: Integration of the36) Bunting, G. and Alam, Masood-ul A.: Nonexistence

Einstein Equations by the Inverse Scattering Prob-of multiple black holes in asymptotically Euclidean

lem Technique and the Calculation of the Exact

解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

17

Soliton Solutions, Sov. Phys.—JETP 48, 985–994(1978).
50) Varzugin, G.: Equilibrium configuration of black
holes and the inverse scattering method, Theor.
Math. Phys. 111, 667 (1997).
51) Neugebauer, G. and Hennig, J.: Stationary twoblack-hole configurations: A non-existence proof, J.
Geom. Phys. 62, 613–630 (2012).
52) Volkov, M. and Gal’tsov, D.: Non-Abelian EinsteinYang-Mills Black Holes, Sov. Phys. JETP Lett. 50,
346 (1989).

64) Parker, T. and Taubes, C.: On Witten s proof ofthe positive energy theorem, Comm. Math. Phys.
84, 223–238 (1982).
65) Gibbons, G., Hawking, S., Horowitz, G. andPerry, M.: Positive Mass Theorems for Black Holes,
Comm. Math. Phys. 88, 295 (1983).
66) Gibbons, G., Hull, C. and Warner, N.: THE STABILITY OF GAUGED SUPERGRAVITY, Nucl.
Phys. B 218, 173–190 (1983).
67) Dain, S.: Geometric inequalities for axially symmet-

53) Bartnik, R. and McKinnon, J.: Particlelike solu-

ric black holes, Class. Quantum Grav. 29, 073001(2012).

tions of the Einstein-Yang-Mills equations, Phys.
Rev. Lett. 61, 141–144 (1988).

68) Hollands, S. and Ishibashi, A.: Asymptotic flatness
at null infinity in higher dimensional gravity, hep-54) Volkov, M. S. and Gal’tsov, D. V.: Gravitating Non-

th0311178 (2003).

Abelian Solitons and Black Holes with Yang-Mills69) Tangherlini, F. R.: Nuovo Cimento 27, 636 (1963).

Fields, Phys. Reports 319, 1–83 (1999).

70) Myers, R. and Perry, M.: Black holes in higher di-55) Schoen, R. and Yau, S.-T.: On the proof of the positive mass conjecture in general relativity, Comm.
Math. Phys. 65, 45–76 (1979).

mensional space-times, Ann. Phys. 172, 304–347(1986).
71) Gibbons, G., Lu, H., Page, D. and Pope, C.: Ro-

56) Schoen, R. and Yau, S.-T.: Proof of the positive

tating Black Holes in Higher Dimensions with amass theorem. II., Comm. Math. Phys. 79, 231–260

Cosmological Constant, Phys. Rev. Lett. 93, 171102(1981).

(2004).

57) Witten, E.: A new proof of the positive energy the-72) Cvetič, M. and Youm, D.: General Rotating Fiveorem, Comm. Math. Phys. 80, 381–402 (1981).

Dimensional Black Holes of Toroidally Compacti-58) Nester, J.: A New gravitational energy expression

fied Heterotic String, Nucl. Phys. B 476, 118–132

with a simple positivity proof, Phys. Lett. A 83, 241(1981).
59) Ashtekar, A. and Horowitz, : Energy-momentum of
isolated systems cannot be null, Phys. Lett. A 89,
181–184 (1982).
60) Beig, R. and Chruściel, P.: Killing vectors in asymp-73) Sen, A.: Black Hole Solutions in Heterotic String
Theory on a Torus, Nucl. Phys. B 440, 421–440(1995).
74) Cvetic, M. and Hull, C.: Black holes and U-duality,
Nucl. Phys. B 480, 296 (1996).

totically flat space?times: I. asymptotically transla-

75) Llatas, P.: Black hole solutions in heterotic string

tional Killing vectors and the rigid positive energy

theory on a torus, Phys. Lett. B 397, 63 (1997).

theorem, J. Math. Phys. 37, 1939 (1996).
61) O’Murchadha, N.: How large can a star be ?, Phys.
Rev. Lett. 57, 2466 (1986).
62) Reula, O.: Existence theorem for solutions of Witten s equation and nonnegativity of total mass, J.
Math. Phys. 23, 810–814 (1982).
63) Reula, O. and Tod, K.: Positivity of the Bondi energy, J. Math. Phys. 25, 1004–1008 (1984).

18(1996).

76) Cvetic, M. and Youm, D.: Near BPS saturated
rotating electrically charged black holes as stringstates, Nucl. Phys. B 477, 449 (1996).
77) Emparan, R. and Reall, H.: Black Holes in Higher
Dimensions, Living Rev. Rel 11, 6 (2008).
78) Newman, E., Couch, E., Chinnapared, K., A., F.,
Prakash, A. and Torrence, R.: Metric of a rotating
charged mass, J. Math. Phys. 6, 918 (1965).

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015

79) Breckenridge, J., Myers, R., Peet, A. and Vafa, C.:
D-branes and spinning black holes, Phys. Lett. B
391, 93–98 (1997).
80) Maldacena, J.: The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity, Adv. Theor.
Math. Phys. 2, 231–252 (1998).

94) Obers, N.:

Black Holes in Higher-Dimensional

Gravity, Lect. Notes Phys. 769, 211 (2009).
95) Lehner, L. and Pretorius, F.: Black Strings, Low
Viscosity Fluids, and Violation of Cosmic Censorship, Phys. Rev. Lett. 105, 101102 (2010).
96) Dobiasch, P. and Maison, D.: Stationary, spheri-81) Dowker, F., Gauntlett, J. P., Giddings, S. B. andcally symmetric solutions of Jordan’s unified theory

Horowitz, G. T.: On pair creation of extremal blackof gravity and electromagnetism, Gen. Rel. Grav.

holes and Kaluza-Klein monoples, Phys. Rev. D 59,

14, 231 (1982).

2662 (1994).
82) Iguchi, H. and Mishima, T.: Solitonic generation of
five-dimensional black ring solution, Phys. Rev. D
73, 121501 (2006).
83) Tomizawa, S., Iguchi, H. and Mishima, T.: Relationship between solitonic solutions of fivedimensional Einstein equations, Phys. Rev. D 74,
104004 (2006).
84) Elvang, H. and Figueras, P.: Black Saturn, JHEP
05, 050 (2007).
85) Izumi, K.: Orthogonal black di-ring solution., Prog.
Theor. Phys. 119, 757–774 (2008).
86) Elvang, H., Emparan, R., Mateos, M. and Reall, H.:
A supersymmetric black ring, Phys. Rev. Lett. 93,
211302 (2004).
87) Gauntlett, J. and Gutowski, J.: General ConcentricBlack Rings, Phys. Rev. D 71, 024033 (2005).
88) Elvang, H., Emparan, R., Mateos, D. and Reall, H.:
Supersymmetric black rings and three-charge supertubes, Phys. Rev. D024033 (2004).

97) Gibbons, G. and Wiltshire, D.: Black Holes in
Kaluza-Klein Theory, Ann. Phys. 167, 201–223(1986).
98) Randall, L. and Sundrum, R.: Large mass hierarchy
from a small extra dimension, Phys. Rev. Lett. 83,
3370–3 (1999).
99) Dvali, G., Gabadadze, G. and Porrati, M.: 4D gravity on a brane in 5D Minkowski space, Phys. Lett.
B 485, 208–14 (2000).
100) Horava, P. and Witten, E.: Eleven-dimensional supergravity on a manifold with boundry, Nucl. Phys.
B 475, 94 (1996).
101) Yoshino, H.: On the existence of a static black holeon a brane, JHEP 0901, 068 (2009).
102) Figueras, P.: Braneworld Black Holes, Springer
Proc. Math. Stat. 60, 37–53 (2014).
103) Abdolrahimi, S., et al.: Spectral methods in generalrelativity and large Randall-Sundrum II black holes,
JCAP 1306, 039 (2013).
104) Vishveshwara,

C.:

Generalization

of

the

89) Randall, L. and Sundrum, R.: Out of this world

Schwarzschild surface to arbitrary static sta-supersymmetry breaking, Nucl. Phys. B 557, 79

tionary metrics, J. Math. Phys. 9, 1319–1322(1999).

(1968).

90) Gregory, R. and Laflamme, R.: Black Strings andp-Branes are Unstable, Phys. Rev. Lett. 70, 2837–

105) Whiting, B.: Mode stability of the Kerr black hole,
J. Math. Phys. 30, 1301–1305 (1989).

2840 (1993).
106) Kodama, H.: Perturbations and Stability of Higher91) Horowitz, G. T. and Maeda, K.: Fate of the black
string instability, Phys. Rev. Lett. 87, 131301:1–4

Dimensonal Black Holes, Lect. Notes Phys, 769,
427–70 (2007).

(2001).
107) Emparan, R. and Myers, R. C.: Instability of Ultra92) Kol, B.: The Phase Transition between Caged Black

Spinning Black Holes, JHEP 0309, 025 (2003).

Holes and Black Strings - A Review, Phys. Rep. C
422, 119–65 (2006).
93) Harmark, T., Niarchos, V. and Obers, N.: Instabilities of black strings and branes, Class. Quant.
Grav. 24, R1–90 (2007).
解説

一般相対性理論の数理（未発表 long version）

108) Dias, O., Figueras, P., Monteiro, R., Santos, J. andEmparan, R.: Instability and new phases of higherdimensional rotating black holes, Phys. Rev. D 80,
111701R (2009).

19109) Shibata, M. and Yoshino, H.: Bar-mode instability of rapidly spinning black hole in higher dimensions: Numerical simulation in general relativity,
Phys. Rev. D 81, 104035 (2010).
著者紹介
顔写真
小玉英雄氏：専門は重力理論，宇宙論．特に，近年は宇宙現象による究極理論探査を中心テーマとして研究を行っている．

(2020 年 9 月 15 日原稿受付)
Mathematical aspects of general relativity
Hideo Kodama

abstract:20

日本物理学会誌 Vol. 70, No. 1, 2015