特集／曲がった時空のミステリー■ﾛ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

高次元時空とブラックホールの多様性

小玉英雄
本稿では，4次元以外の次元，特に高次元時空におけrh=2GM/c2以下まで縮むと，その天体は外部からるブラックホールの世界の一端を紹介する．高次元重力見えなくなる．すなわち，ブラックホールが生まれる理論としては，4次元の一般相対性理論,特にFinsteinというわけである． この半径は，後ほど登場する相対方程式と呼ばれる重力場の方程式論的ブラックホールのSchwarzschild半径と一致する．

Ric(9)‑;R,(9),+,'9=縄璽師

一般相対論的な高次元理論での話に入る前に，まずこ（1）をそのまま，高次元時空の計量9＝(9ル）に対する方程式と見なして得られる，最も単純な高次元重力理論を主に扱う． ここで,Ric(9)=(R似"）は9のRicci

曲率,Rs(9)はスカラ曲率,T=(r)｣")はエネルギー運動量テンソルである．

［､N…遷論に基つく考ゞ．

ブラックホールは一般相対性理論に特有の天体と思のNewton理論での議論を高次元に一般化してみよう．

Newtonの重力理論では重力場はスカラポテンシャル(T,t)で記述され,のはPoisson方程式△の==4汀G似により物質の質量密度〃より決定される． これを一般のD次元時空に拡張するのは簡単で,単に,Laplace作

用素△をD−1次元空間の作用素△､‑!＝Z告'a『に置き換えれば良い：△、−'･=CD".

（3）

われがちであるが，ブラックホールの概念自体はかな

右辺のCDは比例定数である．点質量〃=AI6D‑'(7､)り古く， 18世紀から19世紀にかけて天体力学や確率に対するこの方程式の解は，次のようにして求められ論の体系化に大きな貢献をしたPierreSimonLaplace

る． まず，球対称な真空解の(r)を求めると，(1749‑1827）に遡る．

よく知られているように，地上から物体を上に投げ上げると，初速が小さいと再び落ちてくるが,初速が脱出速度と呼ばれる限界速度を超えると，物体は無限遠に飛び去り戻ってこなくなる. Newton理論では，質量Mの天体の作る重力場中での粒子のエネルギー保存則

E=m"2̲gzz"=‑‑定27､（2）△｡‑,州=士碁(『･'窯)=。 (4)より，州=‑砦』:+A（5）を得る．積分定数Aはゼロとおいて良い．右辺第1項のもう一つの積分定数はMに比例するはずなのでGDMとおいた.GDはD次元時空でのNewton重に速さUooで到達するとす力定数にあたるものである.D>4のとき，半径Rると,E=tm'':｡≧0となるので,天体の半径『=Rの球体B(R)に対するGaussの法則を用いると,CDでの初速"0として,";≧2GM/Rが必要となる．すはGDを用いて次のように表される：

より，物体が無限遠γ＝なわち，天体の表面からの脱出速度は、/泥而7万で与えられる． Laplaceは大胆にも， この脱出速度を光にも適用したのである．すなわち，脱出速度が光の速度cを超えると，天体の表面は見えなくなると考えた． この条件は, c2<2GM/Rとなるので，半径が。"M=ん《鋤dD‑'7･41＝ん" ､−，週等=の‑3)M｡…‑．
→CD=(D‑3)AD‑2GD.

（6）

42I

▲
【ｌだ定0
『､h

図1

2次元面でのNevtonポテンシヤルゥのイラス

領域11l l l /ト． ゆ<‑c2/2の領域からは光が脱出できない．
図2

領域I､

Schwarzschildブラックホールの未来のホライズン

ここで,A は単位72次元球面の面積である．
このポテンシャルを用いて上と同様の脱出速度の議と表される． この解は実はブラックホールを含む時空論をすれば，やはり, c2/2+'(r)<0となる領域かを表し,Mはブラックホールの質量にあたるパラメー

らは光が脱出できないことになる（図1) .すなわち，

タとなる．以下，無限遠が平坦となるノ1=0の場合を

D>4では,必ず球形のブラックホールが存在し，その考える． この場合には，実は，静的な正則真空ブラッ半径は7.,,=(2GDM)'/(D−3)で与えられることが示

クホール解は必ず球対称であること， したがって上のSchwarzschild‑Tangherlini解に限られることが示きれる(静的ブラックホールの剛性定理[W. Israel(1967)i唆される．すぐ後で，この結果は,高次元版のF)instein
理論でもそのまま成り立つことを示す．

<, ｡'(T)=GDMlOg?､+Aとなり，無限遠でもポテ

GLBunting,A.Masood‑ul‑Alam(1987)1).
M>0のとき,Schwarzschild‑Tangherlini解がブラックホールを表すことが次のようにして分かる． まンシャルが発散する． これは,Newton理論では3次ず， ノ(γ)＝0となる,､=7､,,=(2GDM)'/(D‑3)で元重力が適切に扱えないことを示唆する．後ほど，相は, 9tt=0,97.y.=ooとなるので，計量は特異とな対論でどうなるかを見るが，空間の次元が2と3以上での重力の振舞いの違いは，ブラックホールの多様性る． しかしこの特異性は，座標系の取り方が悪いために生じる見かけのものである．実際, tの代わりに新に大きな影響を及ぼす．

たな時間座標系Uを

ただし，以上の議論は,D≦3では使えない．特に,D=3では, Newtollポテンシャルは(5)ではなに二球対榊ブﾗﾂｸﾎｰ〃。

定曲率時空についで高い対称性を持つ定常時空は，空間的に等方，すなわち球対称な時空である．一般化されたBirkhoffの定理より,Einstein方程式の球対称な真空解は必ず静的，すなわち計量が時間に依存せず，‑'十,,｡=ﾉ糸（9）により導入すると，計量(7)はds2=2d7､dtノーf(7･)d"2+r29(s")(10)となり， 7､＝7､hでも有界で正則となる．

図2に示したように, (t,r)座標の7､>7､1,となる

かつ時間反転で不変となり， 4次元Schwarzschild解

領域 は, (U,7･)座標系の7･>7､hとなる領域と 対(1916）の一般次元版であるThngherlmi解(1963)をに対･応し， r→γh+0: 7.*→一○○より, t==+○○が(ひ,7．)座標系の直線7．＝ ］と一致する． したがって， （U,，､)座標系を用いると，元の時空の領域 を正則に7,<7､hとなる領域IIに拡張することができる．境4＝入(D‑1)(D‑2)/2≠0へ拡張した計量

鶴｡=‑爪,)"･擶十,輿9(sD‑2)iノ(r)=,‑=2型一入7･27･D−3（7）で与えられる． ここで, 9(S")は単位72次元球面の計量である． また,GDはEinstein方程式の係数代2を用いて
尻2GD=(D̲5)A5=Z
数理禾斗学NO.630.DECEMBER2015（8）

界の7'=7'hに対応する超曲面ノ '十は，図2に示したようにちょうど未来の光円錐に接しているので，表面積を一定値47『『；に保って「広がる」光波面の軌跡に対応する．特に，領域IIは元の領域 の未来に位侭し，領域IIの情報は決して領域Iに伝わらない． このため， この境界面ノfｸ＋は未来の事象地平線（ホライ43ズン)，領域IIは領域Iにとってのブラックホール領は，ブラックホールの外側にあたる領域Iと全く同じ域と呼ばれる．

構造の領域IVが生み出される. IとIVは空間的には

実はSchwarzschild‑'Ihngherlini時空は，別の座標系江==t−r＊を用いるとγ＝γhを超えて過去の領域ことはできない．

ーはやはり光

このように，高次元重力理論でも，光が脱出できな

この面は今度は未来向きの一方い領域としての球形のブラックホール解が常に存在し，IⅡに延長することができ，その境界、的な超曲面となるが，2次元球面で接しているが， 2つの領域を行き来する通行面となる． このため，"一は過去のホライズン，領域IIIはホワイトホール領域と呼ばれる．

これら2つのホライズンは役割が全く異なるが，共その半径はNewton理論における脱出速度に基づく評価と一致する． もちろん，この半径の厳密な一致は偶然の結果と思われるが,重力の作用が普遍的であることが通する特徴を持っている．それは，いずれも光的な超ブラックホールが生まれる理由であるというLaplace

曲面で， しかも，その光的な接ベクトルがKillingベクの洞察は正しい． 4次元との違いは，高次元ほど重力トルに平行となっていることである．

が源からの距離と共に早く減衰する点でのみである．

このような超曲面はKillingホライズンと呼ばれる．今の場合， このKillingベクトルは，時間推進の無限小変換afと一致［， 次元購空の嬬殊性．

するが，一般にはこれは成り立たない．定常なブラッ

それでは， 3次元時空ではどうなるのであろうか？

クホール時空では，無限遠から見える領域(DOC)の計量(7)でD=3とおいてみると分かるように，解答境界としての事象地平線は必ずKillingホライズンとは， （宇宙項がゼロの）3次元真空解はすべて局所平坦，なることが示される．

すなわち局所的にMinkowski時空と等長になるとい以上の拡張された時空の全体的な状況を把握するには, Szekeres座標系と呼ばれる(U,V)をUｰか‑,1．"刺｡ ￨;￨=難h# (11)うものである．

この結果は，3次元時空では,Riemann曲率テンソルがRicci曲率で完全に決まってしまうことに起因する．真空ではEinstein方程式よりRicci曲率がゼロなので,Riemann曲率もゼロとなってしまうにより導入するとよい． ここで, kh=ノ'(rh)はブラックホールの表面重力と呼ばれる定数， ノ'(r)はのである．言い換えれば， 3次元では重力は長距離力

2khl･*=log(2khlr‑rhl)+ん(r)により定義される

この物質の作用を見るために，回転対称で静的な時rの関数で， 7．＞0で至るところ正則であることが示される． この座標系では,U<0,V>0に対応する

領域Iの計量は,UV<q2=7.h/(2kh)に正則に拡張される． この拡張は極大で， さらに，座標系(U,V)

ではなく，物質の存在するところのみに作用する．
空を考える：

ds2=̲e2.(p)dt2+e2g(p)dp2+p2d(P2.

(12)

この時空に対するEinstein方程式の(t,t)成分より，をU=atanU.V=ntanVにより定義すると， この極大解は，図3にPenrose図式で示したように, 6

Hamiltonian拘束条件2R=2HI2"が得られる． ここで,2Rはt=一定面のスカラ曲率で2R=(2<'//7)c 2E角形の有界領域: IUI, ￨vl , IU+vl<"/2に埋め込まれる． この図の示すように， この極大な解析的拡張でで与えられる．いま，物質が原点近傍β＜p0に集中しているとすると， この拘束条件を空間積分することにより,〃'=〃""瞳 "=2派(!‑｡）
K2･(13)

ここで,Of=fg‑5(pO)である．同じ結果は, (7)でD=3とおいても得られる．特に，物蘭が原点に置かれた質量Mの質点の場合には，時空は局所平旧なので， β＞0でeg=1/a=定数となるが，その値は1と異なる．
これは，空間が平面でなく，円錐になっていることを意味する．実際， β＝β/α･の＝αのと置くと，空間計
図3極大Schwarzschil〔lTanghGI･liniブラックホー

ル時空のPenroselXl式．
44

最はE11clid平面の標準計量d/)2+/72"2となるが，のの変域は'0.2汀)から {0.2{w7r)に変化する．すなわ
ち， 3次元時空では，物質の'生み出す重ﾉJは実は局所

dS2=(91(al))@bda:"d"b+(92(Z/))m冗吻､〃1 (16)−計量がこのように直和となっていると,Ricci曲率もRic(9)=Ric(9,)$Ric(92)(17)と直和になる． このため， 9，が4＝0の真空解でRic(92)=0なら, 9も真空解となる．特に, (M',91)がブラックホール解で（A姫,92)がEuclid空間のとき，それらの積で得られる解をブラックブレーン解という題を(Mi,9')の画llingホライズンとすると, Jf"="1×RmがブラックブレーンのKillingホライズンとなる．

図4

BTZブラックホールのホライズン．外の円筒は, (t,x,')座標系でのadS3時空の無限逮":x=7r/2. BTZブラックホールのDOC

ブラックブレーン解の中で最も簡単なものはブレーンが1次元(m=1)の場合で，ブラックストリングは，葉っぱ型のホライズンの両端と無限遠をつな(以下, BS) と呼ばれる．計量はぐ2つの膜(8=zt7r)を同一視して得られる．

ds2=9M)(z)d鋤挫 し＋〃的ではなく，むしろ時空全体に大きな影響を及ぼすのである．特に， ノ1=0のとき, 3次元では漸近的に平坦なブラックホール解は存在しない．となる．前節で述べたように,A=0のとき,3次元時空ではブラックホール解がない． このため，4次元時空にはBS解は存在せず,5次元以上の時空で初めて現れる．

例えば, 9bhとして4次元のSchwarzschild解を用い宇宙定数Aがゼロでないときも，やはり3次元真空解は局所的にdeSitter時空dS3(J1>0)ないし局所的に反deSitter時空adS3 (4<0)となる． しかし, adS3は，適当なチャートを取ると，計量が次のよ

うに半径R=J (/1=‑1/I2)のKillingホライズンをもつ形で表される：
dR2=‑(雲−1)"'+癖",̲』+剛乳（14）この解はBTZブラックホール解と呼ばれる･ adS3の計量は，その全体を覆う座標系(t,x,j) (0≦X<汀/2.0≦ゆく2汀）を用いて
ds2=（18）#:/!)(‑"+dx'+sin2x"2)
cos2(X/j)(‑dt2＋dX2＋sin2X2） ('5)（'5）と表されるが)BTZ解はその部分領域の境界を同一視により貼り付けて得られる（図4参照)．

｢4プﾗｯｸｽ＃ﾘﾝグとブﾗ,ｸブﾚｰゞ ．
これまで，球対称な時空に限って，4次元以外でのブラックホール解を見てきたが,球対称性の要請を外すと，4次元ブラックホールを高次元に拡張する自由度力赴曽し，ると5次元のSchwarzschildBSが,4次元回転ブラックホール解であるKerr解を用いると, Schwarzschild
BSを回転させたKerrBSが得られる．

ホライズン半径7､l､の(d+1)次元BS解にd次元の意味で球対称でy方向にcos(kI/)に比例した周期的な摂動を加えると （図5上)，その摂動は波

長入＝27『/たがホライズン半径程度のある臨界値

A*=c7､,! (cはdにより決まる 程度の定数）を超えたとき指数関数的に増大することが示される[R.

Gregory,R.Lafiamme(1993)1. この不安定性は発見者の名を取ってGregory‑Laaalnxne不安定（以下，GL不安定） と呼ばれている． この不安定性の発見は高次元ブラックホールの研究に様々な側面で大きな影響を与えた． まず，このGL不安定の行き着く先が問題となり，非一様なBS解が探索された．その結果，
図5に示したように，次第にホライズン半径が〃方向に大きく変動する非一様BS解の1径数族， さらにホライズンのくびれがちぎれて，球形のホライズンが周期的に並んだ寵入り(caged)ブラックホール* と呼ばれる解の族が発見されたIT.Wiseman(2003);工藤秀明,TWiseman(2004,2005)1.

様々なブラックホールもどき力覗れる．最も単純な拡張

これらの解のホライズン面積を比べてみると，周期は,耐次元時空の真空解(M1 ．9,)と、次元Riemann空間（A蝿.92）の直穣(M.9)=(M1×ハ蝿.9]$92)*l) この解の一周期分を切1)出し両端をIIil視すると． 〃万向がS1となるので．ブラックホールがあたかもぐag(' ("にである：

数理矛斗学NO630､DECEMBER2015

閉じ込められたように見えるのでこの名がついた．
45

一一︑言︑国４２０２４ ４２０２４︑言︑侭、

一t=200-220M

10︑言︑閨

窪へゞ

53020-t=220-226M

O
図6

一ー２０２４３２0

一t=0‑200M／一ヘ

1015Z/M

BSの GL不安定（文献2)を改変）

自蒔︻発生により完全な移行は果たせないというものである．

この結果は，高次元ブラックホールの世界の豊かさと1‑10１１１︾一１１１0

複雑さを示す良い例となっている．

1X/L

図5非一様BSおよび範入りブラックホールのホラ

イズン形状（下図は文献1）を改変)．

E5回転するブﾗ,ｸﾎｰﾙとブﾗ,ｸﾘﾝグｺ
球対称からのずれ力観れるもう一つの状況は，ブラックホールの回転である．角運動量の保存則から予想されるように， 4次元では回転する天体が重力崩壊を起こすと，回転するブラックホールが作られ，その定常終を一定にするとき．龍入りブラックホールの面積が最状態はKerr解で与えられることが知られている．実大となることが分かった．ブラックホール熱力学の考は， 4次元では，真空回転定常ブラックホール解は必え方に従うと，ホライズン面積はエントロピーと解釈ず軸対称であることが一般に示される（回転ブラックされるので,GL不安定性によりBSは最大エントロホールの剛性定理(SW.Hawkillg(1972)])

ピーの徳入りブラックホールへと移行すると期待され

宇宙項A=0のとき，連結なホライズンをもち漸近る．

的に平坦で正則という条件を課すと，真空回転定常ブ

ところが， この移行を起こすためには，ブラックさらに，ホールホライズンがちぎれるという位相変化を起こさ

ラックホール解はKerl､解に限られ，質逓と角運動量ないといけないが， これはブラックホールの不分岐定で分類されることが示される（回転ブラックホールの理[SW.Hawking,GFR.Ellis(1973)1により禁止

一意性定理IB.Carter(1972);P.OMazur(1982)]).
このKerr解のホライズンは扁平で軸対･称ではあるされている．

このパラドクスに決着をつけたのは, LuisLehnerとRansPretoriusである2) .彼らは,GL不安定の成が球対称ではない. Schwarzschild解と同様に，この回転ブラックホール解にも高次元の対応物が知られて長を数値シミュレーションにより直接計算し，次のよおり，宇宙項がゼロの場合はMyers‑Perry(MP)うな驚くべき結果を得た（図6)

解（1986）と呼ばれる．

ホライズンは，まず，非一様BSのくびれが小さくなると共に伸びて細いチューブ状のホライズンに移行．

SchwarzschildブラックホールやKerrブラックホー

さらにその細いBS

ルは摂動的に安定であることが示されているIcVにGL不安定が生じ， さらに細いチューブ状ホライズ

Vishweshwara(1970):BWhiting(1989)] . また，ンでつながったブラックホールへ移行． このプロセス

Tangherliniブラックホールも安定であるIｲi橋明浩、を無限に繰り返し，鎧終的に様々なサイズのブラック

小玉英雄(2003)1． これに対して，高次尤IIII転ブラッホールが無限に細い長短のチューブ状ホライズンでつながったフラクタル的榊造に収束この最終術造のIIII

クホールはしばしば不安定性を示す．

元時空でのIm転ブラックホールは,Dが奇数のとき率は非有界．すなわち，非・様BSはより安定な繩入

/v=(D‑1)/2個,Dが偶数のときⅣ=(D‑2)/2

りブラソクホールに限ﾚﾉなく近づくものの，特異点の個の独立な角運動量パラメータをもつが．特に、 6次元

46

般に, D次ホライズ ノブラックホール
ホライズン

S2×Sl、面積AlI

一一一→角運動
図86次元以上の回転ブラックホールの不安定性と相図（文献3）を改変)．

図75次元プラツクリング解次元と同様に回転ブラックホールの角運動量パラメー
以上のMPブラックホールでⅣ個の角運動量パラメー

タに上限があり，超高速回転の状況が実現されないたタのうち1個のみが非ゼロとなる場合には，その大きめである． これに対して，角運動量に上限がなくなる

さに上限がなくなり，超高速回転が可能となる． この6次元以上では，ブラックブレーンのGL不安定から超高速回転ブラックホールは，ブラックブレーンに類予想されるように，角運動量がある臨界値に達すると，似する構造をもち，摂動に対してGL不安定と同種のくぴれ型の変形をした新たな解の族がMPブラック不安定性を示すIEmparanR:MyersRC(2003)131

ホールから分岐し， さらこの新たな族は特異解を介しでは，この不安定性の行き着く先はどのような状態であろうか？その一つの可能性が，ブラックリングてプラックリング解の族につながっていることが数値的に示されつつある'I). この分岐は，飛び飛びの角運(BR)と呼ばれるホライズンがS"×S1の位相を持っ動量で生じ， より大きな角運動量で分岐する族ほどよたう,ラックホール解である（図7)． このブラックリンり複合的なブラックリング族へとつながることが予想

グ解は，最初，デイラトンと呼ばれるスカラ場と電磁されている（図8)．

場を含むEinstein理論において，加速運動する磁気にモノポールブラックホールを記述する4次元解が，適．終わり 二．

当な解析接続と再解釈により5次元真空解と見なせる

以上見てきたように,最も単純な高次元版のEinstein

ことを用いて，ある意味偶然の産物として,Roberto理論に限っても，高次元の時空構造は非常に豊かで，多EmparanとHarveyReallにより2001年に発見された． この5次元解は，ホライズンがS2×S'の位相を様なブラックホールもどきが生息している．ただ， こもつが，本来2個ある独立な角運動量のうち, 81方ばかりで，特に6次元以上の時空での全貌を明らかに向に対応する成分のみがゼロでないブラックリングをするには新たな研究手法が必要とされている．若い世表していた．その後,Belinsky‑Zakharov法と呼ばれ代の研究者の挑戦に期待したい．の高次元ブラックホール世界の探査はまだ緒に就いた

るEinstein方程式の解の変換論を用いてブラックリ参考文献

ング解を生成する方法が日本人を中心とした研究者により開発され， 2006年には2つの独立な角運動量を1)Kudoh,H.andWiseman,T. :PﾉLZﾉs.Relﾉ.Z,"Z.94,

2)

Lehner,L.andPretorius,F. : P/W/sReT).Lett.105.
101102(2010)
Emparan,R.andFigllcras,P. : J"EP1011.022（2010)．

161102(2005).

持つ漸近的に平坦で正則なブラックリング解がA.A.

PomeranskyとR､A.Senkovにより発見された． また，ブラックサターンと呼ばれるブラックホールの周りをブラックリングが回る解や，複数のブラックリングの共存する解が次々と発見された．

5次ﾌ亡時空では，これらのブラックリング族と回転ブラックホールが不安定性により結びつくのかどうかは

3)4) Emparan,R.Figueras,P.andMartinez.M:
JHEP1412.072(2014).
（こだま．ひでお，高エネルギー加速器研究機撒）

まだはっきりしていない． これは． 5次元時空では． 4
数理科学N063().DECEMBER2()1547