水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル
坂井

勝 1 · 取出伸夫 2

Hydraulic property models for water retention and unsaturated hydraulic conductivity
Masaru SAKAI1 and Nobuo TORIDE2

1. はじめに土の保水性を表す水分保持曲線と，土の透水性を表す
不飽和透水係数は，不飽和土中の水分移動特性を与える
重要な物性値である．特に，リチャーズ式を数値解析して不飽和土中の水分移動を予測するためには，適切な境界条件（斎藤ら, 2006）と初期条件を与えることに加え，水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性を適切な数式モデルで与える必要がある．この数式モデルは水分移動特性モデル (hydraulic property model) とよばれる．
体積含水率と土中水圧力の関係を表す水分保持曲線
は，これまで様々なモデルが提案されており（たとえば,

Brooks and Corey, 1964; van Genuchten, 1980; Campbell,
1987; Kosugi, 1994），通常，水分保持曲線の実測値に対してモデルを適合して用いられる．一方，測定が難しい
不飽和透水係数については，Mualem (1976) の間隙径分布モデルに代表される不飽和透水係数推定モデルを用いて，水分保持曲線から推定する方法が広く用いられている．特に水分保持曲線の数式モデルから不飽和透水係数の関数が得られる場合は，水分保持曲線−不飽和透水係
数連結モデル（以下，連結モデル）とよばれ，水分保持曲線と不飽和透水係数を共通のパラメータを用いた関数で表現できるため，非常に有用性が高い．
水分保持曲線と不飽和透水係数の連結モデルのパラメータを推定する方法として，水分移動特性と相関のある土性，粒度分布，乾燥密度，有機物含量などの基礎的な土の物性値とデータベースの情報からモデルのパラメー
タ値を推定するペドトランスファー関数 (pedo transfer

function) がある (Schaap et al., 1998)．また，近年，排水や蒸発などの非定常不飽和水分移動過程の土中水圧力や水分量の実測値に基づき，逆解析によってパラメータを推定する手法 (Eching and Hopmans, 1993; Šimůnek etal., 1998; 坂井 · 取出, 2007a, b）が注目されている．このも，適切な水分移動特性モデルを選択することが，精度の高い推定のための条件である．
一方，水分変化の大きい水分移動を対象に予測を行なう場合は，湿潤状態から比較的乾燥した状態までの幅広い水分領域に適合した水分移動特性モデルが必要である．しかし，水分保持曲線−不飽和透水係数連結モデルに対して，実測値の得やすい水分保持曲線に比べて不飽
和透水係数の検討が十分でない場合が多い．また，水分保持曲線をほぼ表現できるモデルであっても，飽和に近い領域や乾燥領域の水分量のわずかな違いが不飽和透水係数の大きな違いとなる場合がある．たとえば，坂井 ·取出 (2007b) は，砂質土からの蒸発過程に対して VG モ
デルを用いた計算では水分移動を再現できない理由を，
低水分領域における不飽和透水係数の過小評価であるとしている．そのため，不飽和透水係数の特性の視点から連結モデルの検討を行ない，適切なモデルを選択することが重要である．
そこで本解説では，Mualem の不飽和透水係数推定モデルによる代表的な連結モデルである Books and Corey(1964), van Genuchten (1980), Kosugi (1996) のモデルを取り上げた．そして，水分保持曲線，不飽和透水係数に対するそれぞれの寄与を表す間隙半径の確率密度関数を定義し，各モデルの特徴，モデルを適用する上での注意点について整理した．さらに，Mualem のモデルが原因で生じる水分飽和付近の大きな透水係数変化に対する修正 van Genuchten モデル (Vogel and Cislerova,
1988)，水分保持曲線の残留体積含水率を補正した Fayer
and Simmons (1995) のモデル，また異なる複数の保水と透水形態を van Genuchten モデルの重ね合わせで表現す
る Durner (1994) のモデルを示し，モデルの特徴とその適用について解説した．

2. Mualem の不飽和透水係数推定モデル

逆解析手法は，水分保持曲線と不飽和透水係数を同時に

体積含水率 θ と土中水圧力 h の関係である水分保持推定できる利点を持つ．しかし，いずれの方法において曲線は，吸引法や加圧板法などによって比較的容易に測定することができる．一方，不飽和透水係数は，水分1 Dept. of Environmental Sciences, Univ. of California Riverside,

900 University Avenue, Riverside, CA 92521, USA. Corresponding
author: 坂井勝, カリフォルニア大学リバーサイド校環境科学科
2 Graduate School of Bioresources, Mie University, 1577 KurimaMachiya, Tsu, Mie 514-8507, Japan
2009 年 1 月 20 日受稿 2009 年 2 月 20 日受理
土壌の物理性 111 号, 61–73 (2009)

フラックスの制御と測定が困難であり，正確な測定は難しい．そのため，間隙半径の分布，間隙の連結性，屈曲度などを考慮した間隙径分布モデルに基づき，水分保持曲線から不飽和透水係数を推定する方法が主流である(Burdine, 1953; Mualem, 1976)．現在，最も広く用いら

土壌の物理性

62

第 111 号

(2009)

Fig. 1 Brooks and Corey モデル（BC モデル），van Genuchten モデル（VG モデル），Kosugi モデルの水分移動特性: (a), (c), (e)水分保持曲線 θ (h); (b), (d), (f) 不飽和透水係数 K(h)．黒実線はローム質砂，灰色実線はシルト質土，黒点線はシルト質粘土．

れている不飽和透水係数推定モデルは，次式の Mualem(1976) のモデルである．

(1) 式の積分の解析解は閉形式 (closed-form) 解とよばれ，水分保持曲線と不飽和透水係数を共通のパラメー
タで表現できるため，広く用いられている．本報では，

K(h) = Ks Se

 S
0

e

1
dSe
h(Se )

 1

2
1
dSe
0 h(Se )Mualem (1976) の連結モデルで閉形式解が得られる代(1)

表的な水分移動特性モデルについて解説する．なお，

Mualem (1976) に関しては，小杉 (2007) に詳細が解説されている．

ここで，K は不飽和透水係数 (L T−1 )，Ks は飽和透水係
数 (L T−1 )，Se は有効飽和度 (−)，h は土中水圧力 (L)，

 は間隙結合係数 (−) である．(1) 式中の水分保持曲線
h(Se ) に対して，van Genuchten モデル (van Genuchten,1980) に代表される関数を代入すると，不飽和透水係数
が h または θ の関数として得られる．なお，(1) 式の括弧に含まれない Se は，Mualem モデルから導かれる透水係数に共通して現れる項である．

2.1 代表的連結モデル
不飽和透水係数の閉形式解を持つ連結モデルとしては，以下に示す Brooks and Corey モデル（以下，BC モデル），van Genuchten モデル（以下，VG モデル）
，Kosugi
モデルの 3 種類の水分移動特性モデルが代表的である．
なお，こうした Mualem の連結モデルは，Mualem の名前を併記して，たとえば Mualem-van Genuchten モデルとよばれることも多いが，本解説では，単に BC モデ

モデル特集63

解説：水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル

Table 1 VG モデル，BC モデル，Kosugi モデルのパラメータ．

van Genuchten modelθr (cm3 cm−3 )θs (cm3 cm−3 )α (cm−1 )n (−)

Ks (cm d−1 )Loamy Sand
Silt
Silty Clay
Sand

0.057
0.034
0.07
0.045

0.41
0.46
0.36
0.43

0.124
0.016
0.005
0.145

2.28
1.37
1.09
2.68

350.2
6
0.48
712.8

Brooks and Corey modelθr (cm3 cm−3 )θs (cm3 cm−3 )he (cm)λ (−)

Ks (cm d−1 )Loamy Sand
Silt
Silty Clay

0.057
0.034
0.07

0.41
0.46
0.36

-5.2
-38.7
-139.5

0.95
0.32
0.085

350.2
6
0.48

Kosugi modelθr (cm3 cm−3 )θs (cm3 cm−3 )h0 (cm)σ (−)

Ks (cm d−1 )Loamy Sand
Silt
Silty Clay

0.057
0.034
0.07

0.41
0.46
0.36

-12.5
-510.6-140538

0.95
2.48
4.49

350.2
6
0.48

ル，VG モデルと簡略化して表記する．Fig. 1 にローム与えるパラメータであり，大きな値ほど急な傾きとなり質砂，シルト質土，シルト質粘土に対して適合した BC， （ローム質砂で 0.95），小さな値ほど緩やかな傾きとなる

VG，Kosugi モデルの水分保持曲線 θ (h)，および不飽和（シルト質粘土で 0.085）．低土中水圧力領域では残留体

透水係数 K(h) を示す．ここで，ローム質砂，シルト質

積含水率 θr で一定となり，それ以上の乾燥は生じない

土，シルト質粘土は Carsel and Parrish (1988) が示したと仮定している．これは，同じく θr を用いる VG モデ

VG モデルのパラメータに基づくものであり，BC モデ
ルと Kosugi モデルについては，VG モデルの水分保持曲

ルや Kosugi モデルも同様である．乾燥領域の θr を最小線に対して非線形最小二乗法で適合してパラメータを定上げる．(3) 式の BC モデルの K は，空気侵入圧 he 以上

水分量として定義することで生じる問題は 3.2 節で取りめた (van Genuchten et al., 1991)．各モデルのパラメーの土中水圧力では水分量が θs で一定であるため，Ks で

タは Table 1 に示す．なお，間隙結合係数  は 0.5 で一一定であり，he 以下では両対数グラフ上で直線的に低下定とした（2.3 節参照）．

する．

2.1.1 Brooks and Corey モデル

BC モデルは，パラメータの数も少なく，最も単純な(2) 式の Brooks and Corey (1964) の水分保持曲線モデ関数で表される水分移動特性モデルである．また，それルの場合，不飽和透水係数の閉形式解は (3) 式で与えらぞれのパラメータの物理的な意味や関数型に与える効果

れる．

も明確である．しかし，空気侵入圧以上では水分保持曲

θ − θrSe ==θs − θr

  
λ
he h
1

線の傾きが 0 になり，θs に対応する h が定まらないた

h < heh ≥ he(2)

め，数値計算が不安定になる場合がある点は注意が必要
である．

2.1.2 van Genuchten モデル
K (Se ) = Ks Se+2+2/λ(3)

ここで，θ は体積含水率 (L3 L−3 )，θr は残留体積含水率 (L3 L−3 )，θs は飽和体積含水率 (L3 L−3 )，he は空気侵入圧 (L)，λ (> 0) は水分保持曲線の形状を与えるパラ
メータ (−) である．なお，指数関数で表現した Campbell(1987) の水分保持曲線モデルは，(2) 式の θr を 0 とした

van Genuchten (1980) が提案した連結モデルは，次式で与えられる．

Se =θ − θr= (1 + |α h|n )−mθs − θr

K (Se ) = Ks Se 1 − 1 − Se1/m

m 2

(4)

(5)

場合と等しい．

Fig. 1(a) に BC モデルの水分保持曲線，Fig. 1(b) に不飽和透水係数 K を示す．なお，水分保持曲線の縦軸は，Se ではなく θ とした．また，グラフの左端の h = −1
cm の位置にそれぞれの土の Ks をプロットした．(2) 式の BC モデルの水分保持曲線の大きな特徴は，空気侵入
圧をパラメータ he として与える点であり（ローム質砂
he = −5.2 cm，シルト質土 he = −38.7 cm，シルト質粘土 he = −139.5 cm），h > he に対して飽和体積含水率 θs

ここで，α (L−1 )，n (−)，m (= 1 − 1/n) は曲線の形状を与えるパラメータである．異なる土の水分保持曲線に適合するための自由度が高く，滑らかな曲線を与える VG
モデルは，最も広く用いられている水分移動特性モデルである．(4) 式の右辺の 1 を省くと h のべき乗関数となり，(2) 式の BC モデルと同様な関数型となる．そのため，h の絶対値の大きい低土中水圧力領域では，VG モ
デルは BC モデルとほぼ等しくなる．

で一定となる．そのため，明確な空気侵入圧を持つ粒径

Fig. 1(c) に VG モデルの水分保持曲線，Fig. 1(d) にが均一な砂質土の水分保持曲線に対し適合がよい．BC
モデルのパラメータ λ は水分保持曲線の傾きに影響を

不飽和透水係数 K を示す．(4) 式の VG モデルの水分保持曲線は，S 字型の滑らかな曲線で残留体積含水率 θr

土壌の物理性

64

第 111 号

(2009)に漸近する形状を示す．VG モデルのパラメータ n(> 1)
は，BC モデルのパラメータ λ と同様に水分保持曲線のK (Se ) = Ks Se



傾きに影響を与えるパラメータである．ローム質砂（黒実線）のように傾きの急な粗粒な土では n は大きくなり(n = 2.28)，シルト質粘土（黒点線）のように傾きが緩やかな細粒な土では n は小さくなる (n = 1.09)．また，パラメータ α (0 < α < 1, Table 1) は，その逆数（−1/α ，
砂質土 −6.9 cm，シルト質土 −62.5 cm，シルト質粘土−200 cm）が空気侵入圧に対応した値を示すため，粗粒な土ほど α は大きい．
小杉 (2007) は，VG モデルの形状を特徴付けける指標
としてパラメータ n，α の代わりに m (= 1 − 1/n) と変曲
点 ψ0 (= −m1−m /α ) の 2 つを挙げている．これは，パラメータ n の範囲が 1 < n < ∞ であるのに対し，m は

0 < m < 1 の範囲で変化し，m → 1 の無限大の急勾配か
ら m → 0 の勾配 0 の範囲で水分保持曲線の傾きを変えるため，m の大きさと曲線形状の関係が評価しやすいためである．また，パラメータ α の逆数値は必ずしも空気
侵入圧と一致しない．一方，水分保持曲線の変曲点である ψ0 は，S 字型を示す VG モデルの形状を特徴付け，さ



1
σ
ln (h/h0 )
√
+√
erfc
2
2σ
2

(7)

Fig. 1(e) に Kosugi モデルの水分保持曲線，Fig. 1(f)に不飽和透水係数を示す．(6) 式の Kosugi モデルの水分保持曲線は，VG モデルと同様に S 字型で滑らかに残留
体積含水率 θr に漸近する形状を示す．σ は水分保持曲線の傾きに影響を与えるパラメータであり，小さい値ほど傾きが急になり（ローム質砂で 0.95），大きい値ほど緩やかになる（シルト質粘土で 4.49）．また，h0 は有効
飽和度 Se が 0.5 となる土中水圧力であり，粗粒土ほど高土中水圧力に位置し（ローム質砂で −12.5 cm），細粒土
ほど低土中水圧力に位置する（シルト質粘土で −140538

cm）．Kosugi モデルは VG モデルとほぼ同様の形状を示
すが，残留体積含水率 θr への漸近は Kosugi モデルの方が早く，この特徴は σ が大きく傾きが緩やかな細粒土ほど顕著になる．

(7) 式の Kosugi モデルの不飽和透水係数 K は，K-h の両対数グラフにおいて上に凸型の形状を示し，低土中水
圧力ほど K の低下率が大きくなるのが特徴である．そのらに後述の (11) 式で示す比水分容量 (= d θ /dh) が最大ため，直線的な減少を示す BC モデルや VG モデルに比になるときの h として，不飽和水分移動に対する物理的べ，低土中水圧力領域の K は小さくなる．また，VG モ

な意味も持つ．

デルと同様に，水分保持曲線の傾きが急なローム質砂の(5) 式の VG モデルの K は，水分飽和から空気侵入圧ような粗粒土では，水分飽和近傍は Ks にほぼ近い値を付近までの緩やかな水分量低下に対応して緩やかに減少示す．一方，K の低下が緩やかなシルト質粘土では，高し，空気侵入圧より低土中水圧力領域では K-h の両対数

水分量の高土中水圧力領域でも緩やかな透水係数の変化

グラフにおいて直線的な低下を示す．水分保持曲線の傾が見られ，飽和近傍においても Ks よりも極端に小さなきが急なローム質砂においては，K は水分飽和近傍では値（Ks = 4.8 cm d−1 対し，h = −1 cm で K = 4.8 × 10−4

Ks にほぼ近い値を示し，h < −4 cm で急激に低下する．
一方，シルト質粘土では，全土中水圧力領域に対して緩やかに K が低下する．また，水分飽和近傍において Ks
からの大きな減少（Ks = 4.8 cm d−1 対し，h = −1 cm でK = 0.11 cm d−1 ）を示す．この飽和近傍における大きなK の低下については，3.1 節で取り上げる．
2.1.3 Kosugi モデル

cm d−1 ）を示す．この飽和近傍における Ks からの減少
は，VG モデルよりも大きい．
2.2 間隙径密度関数
連結モデルの比較や土性による違いを検討するとき，保水と透水の間隙径分布モデルに用いられる間隙半径の密度分布を用いると，それぞれの特徴をわかりやすく示
すことができる．しかし，毛管保水に基づく水分保持曲

BC モデルや VG モデルは，水分保持曲線の実測値への適合を考慮したモデルであるのに対し，Kosugi (1994,
1996) は，土中の間隙径分布に対数正規分布を仮定し，毛管保水に基づく水分保持曲線を提案した（Kosugi モ
デル）
．

  
ln h h01θ − θr√Se == efrcθs − θr 22σ

線と毛管内のポアズイユ流れに基づく不飽和透水係数では，間隙半径の与える効果がそれぞれ異なる．そのため，間隙半径の寄与を考慮した密度分布を保水と透水のそれぞれに対して定義する必要がある．

2.2.1 2 種類の密度関数の定義



水分保持曲線における間隙半径の密度分布は，半径 r(6)の間隙に保持される体積含水率の割合に基づいて定義する．有効飽和度 Se は，最小間隙径 rmin = 0 で 0，最大間

ここで，パラメータ α (> 0) は後述の (16) 式の間隙半隙径 rmax で 1 となることを考慮し，Se を r で微分した径の対数正規分布の幅を表す無次元パラメータ (−)，h0

関数を，水分保持曲線に対する半径 r の間隙の寄与を示

は有効飽和度 Se が 0.5 となるメジアン間隙径 rm （中央値）に対応する土中水圧力 (L)，erfc(x) は余誤差関数 (√ = 2 π x∞ exp(−u2 )du ) である．このとき，(1) 式に基づく Kosugi モデルの不飽和透水係数は次式で与えられる．

す確率密度関数 p1 (r) として定義する．

p1 (r) =

dSe
1 dθ
f (r)
=
=
dr
θs − θr dr
θs − θr(8)

ここで，Mualem (1976)，Kosugi (1994) と同様に f (r) =d θ dr とすると，半径が r ∼ r + dr の範囲における単位

モデル特集体積の土中の水分量 d θ は， f (r)dr で与えられるので，
 r0

する間隙半径 r の寄与は，水分保持曲線の場合とは異なる．(1) 式の導出過程で r と f (r) の積の関数で表現され半径 r 以下の間隙の水分量は次式で表される．

θ (r) =

る不飽和透水係数（Mualem, 1976; 小杉, 2007) を，比透f (r)dr + θr

(9)

水係数 Kr (−) に関して示すと次式となる．

⎡ r

また，間隙半径 r と土中水圧力 h の関係式は，毛管保水

Kr =のヤング−ラプラスの式で与えられる．

h=−

(10)

粒子の接触角 (≈ 0◦ )，ρw は水の密度 (= 998 kg m−3 )，g

は重力加速度 (= 9.8 m s−2 ) である．

f (r) に (10) 式を代入すると次の関係が導かれる．
d θ dhdh2γ= Cw (h)= Cw (h)dh drdr
ρw gr2分容量 (= d θ /dh) である．BC モデルの Cw (h) と p1 (r)は，(2) 式をそれぞれの関係式に代入すると得られる．

⎧
 λ +1⎪⎨ − λ (θs − θr ) heheh
Cw (h) =⎪⎩0

p1 (r) =(18)

ここで，括弧の 2 乗の項を P(r) とする．Se は間隙の配置と屈曲の影響を補正する項であり，(8)–(10) 式から r の関数として表される．ここで， Kr (0) = 0，Kr (rmax ) = 1
であることを考慮して，Kr を r で微分した関数 p2 (r) を，
半径 r の間隙の不飽和透水係数に対する寄与を示す分布関数として定義する．

p2 (r) =

dP
dSe
dKr
= Se
+ Se−1
P
dr
dr
dr

(19)

この p2 (r) は，p1 (r) と同様に 0 から rmax まで積分した値
は 1 であり，確率密度関数の性質を持つ．なお，Mualemの間隙径分布モデルは，単純な異なる間隙径の毛管束モ
デルではないため，ここで定義した 2 種類の間隙径密度
関数 p1 (r)， p2 (r) は，ある半径の間隙の本数の確率密度h < heではなく，あくまで保水性と透水性への寄与率を示す分

(12)

2γ
ρw ghe2γr≥−
ρw gher<−α n (θs − θr ) mn (−h)n−1[1 + (−α h)n ]m+1

α n mn (−h)n−12γ
ρw gr2 [1 + (−α h)n ]m+1

布である．

2.2.2 各モデルの間隙径密度分布h ≥ he(13)

同様に VG モデルでは，

Cw (h) =

⎤2

K (r)
⎥
⎢

= Se ⎣  r0max⎦ = Se P (r)Ksr f (r) dr(11)

ここで，Cw (h) は水分保持曲線の微分で表現される比水⎧ λ +1
⎪
2γλ
he
⎪
⎪
⎨ −
2
ρw gr he h
p1 (r) =⎪⎪⎪0⎩r f (r) dr

02γ cos βρw gr

ここで，γ は水の表面張力 (= 0.0727 J m−2 )，β は水と土

f (r) =

65

解説：水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル

(14)

(15)

Fig. 2 に，前述の Fig. 1 に対応する水分保持曲線 θ (h)に対する間隙半径 r の寄与を表す確率密度関数 p1 (r)，不飽和透水係数 K(h) に対する r の寄与を表す確率密度関数 p2 (r) を示す．ここで，(19) 式の P(r) に含まれる積分は， f (r) の計算値を用いて台形則で数値的に行なった．
Kosugi モデルは，(8) 式で定義した確率密度関数 p1 (r)に (16) 式の対数正規分布を仮定して，水分保持曲線と不飽和透水係数を導出している．そこで，間隙半径 r の分布と水分移動特性の関係が明解である Kosugi モデル
から先に取り上げる．Fig. 2(e) に水分保持曲線に対する確率密度分布 p1 (r)，Fig. 2(f) に不飽和透水係数 K に対する確率密度分布 p2 (r) を示す．対数正規分布である
p1 (r) は，対数軸の r に対して左右対称な正規分布を示す．ここでは，ローム質砂，シルト質土，シルト質粘土

また，この確率密度関数 p1 (r) に対数正規分布を仮定しを比較するために，縦軸 p1 (r) にも対数軸を用いた．

たのが Kosugi モデルである．

Kosugi モデルの p1 (r) の形状は，対数正規分布のパラメータである σ (Table 1) と μ で決まり，σ と μ から求    2 
ln r rm
p1 (r) =exp −2σ 2
σ r 2π1√(16)

シルト質粘土のモード (mode)，メジアン (median)，平均

このとき，Cw (h) は次式で与えられる (Kosugi, 1994)．

    2 
ln h h0θs − θr√ exp −Cw (h) =2σ 2σ (−h) 2π

まる統計量で特徴付けられる．ローム質砂，シルト質土，(17)

一方，(1) 式の Mualem モデルの不飽和透水係数に対値 (mean)，分散 (variance)，標本変動係数 (coefﬁcient ofvariation，CV) を Table 2 に示す．なお，それぞれの統
計量と σ と μ の関係は表中に示した (Jury and Horton,
2006)．
細粒土であるほど大きな σ と小さなメジアン半径 rmを持つことから，モードは小さく，また分散は大きい．
特に，粘質土に対しては，σ は 4 を超えるため，極端に小66

土壌の物理性第 111 号

(2009)

Fig. 2 Brooks and Corey モデル（BC モデル），van Genuchten モデル（VG モデル），Kosugi モデルにおける半径 r の間隙の寄与に関する確率密度関数: (a), (c), (e) 保水性に対する寄与 p1 (r); (b), (d), (f) 透水性に対する寄与 p2 (r)．黒実線はローム質砂，灰色
実線はシルト質土，黒点線はシルト質粘土．

であるほど σ は小さくなるため，モードは大きく，また土ほど小さな間隙を中心に広範囲の間隙径が水分保持に寄与していること，粗粒土ほど大きな間隙のみが水分保分散は小さくなり，ピークの値は小さくなる．縦軸，横持に寄与していることを示している．そのため，細粒土

軸ともに対数軸で示しているため，小さい r の領域が強ほど傾きが緩やかな水分保持曲線を示し，粗粒土ほど傾調して表現されているが，土性に関わらず密度関数 p1 (r)

きが急な水分保持曲線を示す．なお，Fig. 2(e) は，水分さいモードに著しく大きなピーク値を持つ．逆に粗粒土で囲まれる面積は 1 である．正規分布では，モード，メ子の大きさ（およそ 1.5 × 10−8 cm）よりもはるかに小ジアン，平均値はすべて等しい値となるが，対数正規分

さい r = 10−20 cm の間隙も水分を保持することを示す

布では，モード < メジアン < 平均値の順の大きさになが，これは，すべての水分が (10) 式に基づき毛管保水さる．これは，対数正規分布が，通常の軸に対して平均値れるという仮定による結果である．

よりも小さい領域に偏りを持つ非対称な分布であること

Kosugi モデルの p2 (r) は，r の対数軸に対して山型のを示し，σ が大きい細粒土ほどこの非対称性が顕著にな形状となる．この p2 (r) を 0 から間隙半径 r まで積分しる． p1 (r) の分布は，細粒土ほど CV が極端に大きく，粗た値が，比透水係数 Kr である．それぞれの土のモード

粒土ほど CV が小さくなる．これらの統計量から，細粒は，ローム質砂で 0.03 cm，シルト質土で 0.01 cm，シル
ト質粘土で 0.06 cm となり，p1 (r) のモードに比べて大きモデル特集67

解説：水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル

Table 2 Kosugi モデルにおける間隙径分布 p1 (r) の統計量．

median (cm)mean (cm)variance (cm2 )CV (%)

exp(μ − σ 2 )2γ /ρw gh0

exp(μ + σ 2 /2)[exp(σ 2 )−1] exp(2μ + σ 2 )[exp(σ 2 ) −1]1/2

Loamy Sand

4.83 ×10−3

1.19 ×10−2

0.0187

5.11 ×10−4

121

Silt

6.21 ×10−7

2.91 ×10−4

0.006311.85 ×10−2

2163

Silty Clay

1.86 ×10−15

1.06 ×10−6

0.0252

3.62 ×105

2386218

mode (cm)な r に位置する．特に，シルト質粘土の p1 (r) のモード

径が最大間隙半径 rmax となり（ローム質砂 0.029 cm，シは 1.06 × 10−6 cm (Table 2) であり，細粒土ほどこの違い

ルト質土 0.0038 cm，シルト質粘土 0.0011 cm），r ≥ rmaxは大きい．これは，ポワズイユ流れの仮定から透水性がで p1 (r) = 0 となる．また，小さい r に対する p1 (r) は，間隙半径の 2 乗に比例することや，異なる半径の間隙のいずれの土も無限大に発散する．これは VG モデルと同配置や屈曲に対する Mualem モデルの仮定から，保水性様に p1 (r) の関数型の性質であり，(13) 式より d p1 /drの場合に比べ，大きな間隙の透水性への寄与が小さい間を求めると，λ > 1 では r → 0 で p1 (r) → 0 に収束し，隙に比べてはるかに大きくなるためである．一方，大きλ < 1 のときは r → 0 で p1 (r) → ∞ に発散することがわ

な r ほど存在確率は小さいため，このバランスから p2 (r)かる．

のピークが生じる．また， p2 (r) は p1 (r) と同様にシル

いずれの土に対しても乾燥領域に対応する小さい r の
p1 (r) は，BC モデル，VG モデル，Kosugi モデルの順にト質粘土のような細粒土ほど広範囲の r に分布する．そのため，小さな r にも p2 (r) が広がりを持つシルト質粘大きい．そのため，小さい間隙の寄与の大きさに反映し土では，K の低下は緩やかになり (Fig. 1(f))， p2 (r) がて，残留体積含水率 θr への漸近は BC モデルが最も緩

狭い範囲の r に限定されるローム質砂では K の低下はやかであり，続いて VG モデル，Kosugi モデルの順とな急になる．また，シルト質粘土の p2 (r) は，モードが大る．BC モデルの p2 (r) は， p1 (r) と同様に空気侵入圧にきな r に存在し，さらに幅広く小さな r から大きな r に対応する rmax 以上では p2 (r) = 0 となり，透水係数に影も分布を持つことから，粗大間隙の透水性に対する寄与

響を与えない．そのため，Kosugi モデルや VG モデルでは他の土性に比べて相対的に高い．シルト質粘土に対す生じた飽和近傍での K が大きく低下する問題は BC モデ

る Kosugi モデルにおいて，飽和近傍で大きな K の低下

ルでは生じない．

(Fig. 1(f)) が生じるのは，水分保持に対して無視できる存在量の r = 100 cm 以上の粗大間隙 (Fig. 2(e)) までもが，透水性には大きな影響を与えるためである．

2.3 間隙結合係数 間隙径分布モデルに含まれる間隙結合係数  は，土中間隙の屈曲による影響と間隙同士の連結確率を与える空

Fig. 2(c) に VG モデルの p1 (r)，Fig. 2(d) に p2 (r) を示す．ローム質砂の p1 (r) は小さい間隙半径に広がりを持つ山型となり，Kosugi モデルに比べて，保水性に影

適合度を与える値として  = 0.5 を提示している．その響する小さい間隙半径の存在確率が高くなる．一方，シため，多くの土を対象にした数値計算においても  = 0.5

ルト質土とシルト質粘土の p1 (r) は，小さい r に対して
無限大に発散する形状を示す．(15) 式より d p1 /dr を求めると，ローム質砂のような n > 2 を持つ傾きが急な水分保持曲線では r → 0 で p1 (r) → 0 に収束し，シルト質
土やシルト質粘土のような n < 2 を持つ傾きが緩やかな間的配置の相関を補正する係数である（Mualem, 1976;
小杉, 2007）．Mualem は 45 種類の土に対して最も良いが使われることが多い．しかし，Mualem 自身も  は負の値も取り得るとしており，また Schuh and Cline (1990),

Yates et al. (1992) も，土によって大きく異なることを示している．Schaap and Leij (2000) は，235 種類の土に対水分保持曲線では r → 0 で p1 (r) → ∞ に発散することがわかる．限りなく小さな間隙の存在確率が無限になる
ことは矛盾しているように感じられるが，(9) 式において r → 0 で θ → θr であるため，水分保持量に対しては物理的に問題ない．一方，VG モデルの p2 (r) は，r → 0
で p1 (r) → ∞ であるシルト質土やシルト質粘土についても，ピークを持つ山型の形状を示す．小さい r に対す
る VG モデルの p2 (r) は，Kosugi モデルに比べ大きくなり，これに基づき低土中水圧力の K も大きな値となる．
また，Kosugi モデルと同様に，シルト質粘土のように広範囲の r に p2 (r) が広がる場合，水分保持には寄与しな
い大きな r に対しても p2 (r) が分布するため，飽和近傍で大きな K の低下が生じる (Fig. 1(d))．

Fig. 2(a) に BC モデルの p1 (r)，Fig. 2(b) に p2 (r) を示
す．BC モデルでは，その空気侵入圧に対応した間隙半Fig. 3 VG モデルの砂質土における異なる間隙結合係数  に対する不飽和透水係数．

土壌の物理性

68

第 111 号

(2009)

Fig. 4 修正 VG モデルに −2cm の空気侵入値を与えたシルト質粘土の (a) 不飽和透水係数; (b) 透水性に対する確率密度関数
p2 (r)．点線は VG モデル．

して  = −1 が最も良く適合することを示している．

Fig. 3 は，Table 1 に示す VG モデルの砂質土において，異なる  の値に対する不飽和透水係数 K である．
 の値が大きいほど両対数軸上の K の傾きが大きくなり ( = 2)，K は小さい．逆に  が小さいほど傾きが小さくなり ( = −1)，K は大きい．しかし，n が大きく
(n = 2.68)，また極端に  が小さいとき ( = −4) のように，パラメータ値の組み合わせ次第で K が増加し得る点は注意が必要である．
また，(1) 式の Mualem モデルにおいて，飽和透水係数
Ks と  は，水分保持曲線と独立して与えるパラメータで3.1 修正 van Genuchten モデル
水分保持曲線の傾きが緩やかな粘質土に対して VG モ
デルを適用した場合，(4) 式の n は小さい．このとき，(5) 式で表される不飽和透水係数は，土中水圧力が 0 cmに近い水分飽和近傍で大きく低下する (Fig. 1(d))．Fig.
4(a) は，n = 1.09 であるシルト質粘土の不飽和透水係数
K と体積含水率 θ の関係である．このシルト質粘土の場
合，h = 0 cm，θs = 0.36 の飽和透水係数 Ks = 0.48 cm
d−1 が h = −2 cm，θ = 0.3599 において K = 0.058 cm
d−1 に低下する．しかし，実際の粘質土の場合，飽和近傍での土中水圧力変化による水分量変化は極めて小さいあり，それぞれの土が固有の値を持つ．そのため，何らため，不飽和透水係数の変化も小さい．そのため，このかの方法で実測，あるいは推定する必要がある．特に，飽和近傍の透水係数の大きな変化は，物理的に妥当では

マルチステップ法や蒸発法のような逆解析手法では，水ない．この不飽和透水係数の水分量に対する著しい非線

分保持曲線のパラメータ（VG モデルでは θr ，θs ，n，α ）形性は，乾燥した土への湛水浸潤などの数値計算を不安に加えて，Ks と  も推定の対象とするべきである（坂井定にし，収束を困難にする (Rassam et al., 2004)．

· 取出 2007b）．また，K の実測データがなく，第一近似として  = 0.5 を用いるときは，Fig. 3 に示すように，
の値によって K のオーダーが大きく変化することは認識

径 r の確率密度関数 p1 (r)，および透水性に対する間隙密する必要がある．

（一点鎖線）は，間隙半径 r = 0.01 cm において 0 に漸近Fig. 4(b) に，シルト質粘土の水分保持に対する間隙半度関数 p2 (r) を示す．水分保持に対する密度関数 p1 (r)しており，r > 0.01 cm の粗大間隙はわずかな水分しか3. 改良モデル

保持していない．ただし， p1 (r) を対数正規分布で与え数連結モデルは，水分保持曲線から不飽和透水係数が推る Kosugi モデルの場合と同様に，VG モデルにおいても
r → ∞ で p1 (r) → 0 の性質を持ち，極端に大きい r の存在確率は 0 ではない．

定可能であるため，広く用いられている．しかし，粘質

一方で，透水性に対する密度関数 p2 (r)（黒点線）は，

Mualem モデルに基づく水分保持曲線−不飽和透水係

土の水分飽和近傍で生じる大きな透水係数変化の問題点

間隙半径 r > 0.1 cm の粗大間隙も透水に寄与することが知られている．また，ここまで示した 3 種類の水分保を示している．このように，空間的にはわずかの存在量

持曲線モデルは，水分量が単調に減少し，残留体積含水である粗大間隙が透水性に対して大きな影響を与えるの

率 θr に漸近する関数である．そのため，体積含水率が 0

は，(18) 式の Mualem モデルの性質により，大きな間隙に近づく乾燥領域を含む水分領域への適合や，水分保持半径の寄与が相対的に大きくなるためである．シルト質

曲線が階段状になる団粒構造の発達した土への適合には粘土のように水分保持曲線の傾きが緩やかな場合（VG問題がある．こうした問題の多くは 3 種類の連結モデル

モデルでは小さい n 値の場合），砂質土に比べて相対的に共通する問題であるため，ここでは主に VG モデルにに粗大間隙の存在確率が高いために， p2 (r) の分布は広ついて，問題点とその修正モデルについて述べる．

範囲の間隙半径に広がり，粗大間隙が飽和近傍の透水性モデル特集

解説：水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル

69に大きく寄与する．そのため，Fig. 4(a) に示した飽和近積含水率 θr を最小水分量として定義する．しかし，実際

傍の著しい透水係数の低下が生じる．同様の問題は，同の乾燥領域の水分保持特性は，θr よりさらに低下して絶じく末広がりな p2 (r) の形状を持つ Fig. 2(f) の Kosugi

乾状態で 0 となる．また，有効飽和度 Se の関数である

モデルにも見られる．なお，空気侵入圧以上では飽和体(1) 式から導いた透水係数は，θr 以下の水分量は透水に積含水率で一定な BC モデルでは，この問題は生じない

関与しない不動水と見なす．すなわち，θr 以下の水分量(Fig. 2(b))．

の透水を無視する．しかし，実際には乾燥領域であってこの飽和近傍の透水係数の急減の問題は，BC モデ

も，水蒸気移動以外にも土中水圧力勾配により液状水移

ルのように最大の間隙径を設定する，すなわち空気侵動が生じるため，θr を定義することは低水分領域の不飽入圧を設けることで回避することができる．Vogel and

和透水係数を過小評価する（坂井 · 取出, 2007a）．そのた

Cislerova (1988) は，空気侵入圧を持つ修正 VG モデル

め，この仮想的な漸近値である θr は，水分保持曲線の形を提案している．

状を決めるパラメータであるが，さらに透水係数も変化θ=

θr + (θm − θr ) (1 + |α h|n )−mh < heθsh ≥ he2
Ks Se F (θ ) F (θs )h < heKsh ≥ he
K (Se ) =

θ − θrF (θ ) = 1 −θm − θr

させるパラメータである（小杉, 2007）．

(20)

(21)

1/m m(22)

ここで，he は空気侵入圧 (L)，θm は仮想的な飽和体積含

水率 (L3 L−3 ) であり，(20) 式上段の式において θ = θs を
与える h が he となる．HYDRUS (Šimůnek et al., 2008)
では特に，仮想的な空気侵入圧を −2cm とするオプションがある (Rassan et al., 2004)．Fig. 4(a) に −2 cm の空気侵入圧を持つ修正 VG モデルの不飽和透水係数 K を示
し，Fig. 4(b) に p2 (r) を示す．このとき，間隙半径 r は

he = −2 cm に対応する 0.074 cm で最大となり，それより大きな r は存在しないため，飽和体積含水率 (θs = 0.36)
近傍における K の低下は解消される．仮想的な −2 cmの空気侵入圧を与えることで −2 cm までの水分量は
θs となるが，この変化はわずかであり (θm = 0.3602，
θs = 0.36)，水分保持曲線の形状にはほとんど影響を与えない．ただし，Fig. 4(a) に示すように，空気侵入圧を設定した修正 VG モデルの K は，VG モデルに比べて全水分領域において 1 オーダー近く大きな値となる点は注意が必要である．
修正 VG モデルでは，飽和近傍の K の極端な非線形性が回避されるため，飽和領域を含む水分移動の数値計
算を安定して行なうことができる．しかし，K を大きく変化させる仮想的な空気侵入圧 he を決定する物理的根
拠を与えることは難しい．現状では，修正 VG モデルを粘質土の K の実測値に適合する場合や，逆解析法で修正
VG モデルのパラメータを推定する場合は，he を −2 cm程度で固定し，飽和透水係数 Ks や間隙結合係数  を推定することが妥当であると考えられる．

3.2 Fayer and Simmons モデル
多くの水分保持曲線は，体積含水率 θ がある一定の最小値に漸近する形状を示す．そのため，ここまでに示した BC モデル，VG モデル，Kosugi モデルでは，残留体

Fig. 5 砂質土に対する FS モデルの (a) 水分保持曲線; (b) 不飽
和透水係数（黒実線）; (c) 透水性に対する確率密度分布 p2 (r)．
点線は (24) 式右辺第 1 項，一点鎖線は第 2 項，灰色実線は VG
モデル．

土壌の物理性70

第 111 号

(2009)

Fayer and Simmons (1995) は，高水分領域の間隙保水正するために提案されたモデルであり，ここで導かれたに対して，低水分領域の土粒子表面の吸着保水を考慮し，

FS モデルの不飽和透水係数は，Mualem モデルに基づく

炉乾燥に対応する土中水圧力 h = −107 cm で θ = 0 となため，実際に低水分領域の膜流の効果を反映してはいな

るように VG モデルと BC モデルの θr を修正したモデい．しかし，Mualem モデルによる不飽和透水係数が，ルを提案した．VG モデルを修正したモデルは次式で表2 種類の異なる透水形態を反映した Tuller and Or (2001)のモデルと同様の形状を示す点は興味深い．坂井 · 取出(2007b) は，砂質土の水分蒸発過程に対して FS モデル
を適用して逆解析を行ない，間隙結合係数  を含めた推定を行なうことで，VG モデルに比べて低水分領域のされる（以下，FS モデル）．



θ
θa
θa
(1 + |α h|n )−m + χ (h)Se == 1− χ (h)
(23)
θs
θs
θs

不飽和透水係数の推定を大きく向上できることを示している．また，乾燥した砂質土への水蒸気凝縮過程に対す

ここで，θa は水分保持曲線の形状を与えるパラメータる数値解析からも，FS モデルの有用性が示されている(L3 L−3 ) であり，χ (h) = 1 − ln(−h)/ ln(−hm ) である．
hm は 105 ∼ 110 ◦ C で相対湿度 50 % の乾燥炉に対応
する土中水圧力として −107 cm を与える (Rossi and(Sakai et al., 2009)．

Nimmo, 1994)．パラメータ θa は，h = −1 cm に対して
(23) 式の右辺第 2 項が示す体積含水率であり，低土中
メータである．Fig. 5(a) は，Carsel and Parrish (1988) がr の関係である．FS モデルにおいては，θr = 0 として(19) 式を計算した．r > 0.005 cm の大きな間隙の透水性への寄与は VG モデルと FS モデルの間に差は見られな
い．しかし，FS モデルの小さな間隙は，VG モデルに比示す砂質土に対する VG モデルの水分保持曲線 (Table

べてその存在確率が高いため，小さな間隙の寄与が支配

1)，およびパラメータ θs ，α ，n を固定し，h > −100 cm
程度で VG モデルと一致するように θa を決めた Fayer
モデルの水分保持曲線である (θs = 0.43，θa = 0.059，
α = 0.145，n = 2.68)．VG モデルが低土中水圧力領域において θr = 0.045 で一定となるのに対し，FS モデルのθ は，h の対数軸に対して h = −60 cm 程度から直線的的になる低土中水圧力領域で，透水係数の低下が緩やかに減少する形状となる．

曲線のみを比較した場合，VG モデルと FS モデルの間に水圧力における水分保持曲線の傾きに影響を与えるパラまた，(23) 式は，2 種類の吸着形態の成分に分離してFig. 5(c) は，(19) 式から導かれる FS モデルと VG モ
デルの透水性に対する間隙径密度関数 p2 (r) と間隙半径になる．
乾燥領域では，液状水移動に加え水蒸気移動も生じる
が，極端に乾燥した領域以外での液状水移動は水蒸気移動に比べて小さくはなく，不飽和透水係数の正しい推定は依然として重要である (Sakai et al., 2008)．水分保持
大きな体積含水率の違いはないが，透水係数では大きな差が生じる．たとえば，h = −1000 cm における水分量の表現できる（坂井 · 取出 2007b）．

差は 0.01 程度だが，透水係数では 105 倍もの差として現Se =θ
= (1 + |α h|n )−mθsθa+ 1 − (1 + |α h|n )−m χ (h)θsれる．高水分領域のみを対象とした数値計算では VG モ
デルを用いることに問題ないが，水分変化が h = −1000(24)cm 程度の低水分領域を含む広範囲である場合は，低水
分領域の水分保持曲線への適合も検討して水分移動特性
モデルを選択する必要がある．特に，比較的高土中水圧

ここで右辺第 1 項は θr = 0 とした VG モデルの間隙保力で θr に近づく砂質土に対して，FS モデルは適したモ

水の成分を表し（Fig. 5(a)，点線），高土中水圧力領域でデルである．

支配的であり，h = −100 cm 程度で 0 となる．また，右3.3 Durner モデル

辺第 2 項は表面吸着保水の成分を表し（Fig. 5(a)，一点ここまで示した水分移動特性モデルは，水分保持曲線

鎖線），低土中水圧力領域で支配的となり，対数軸上でのが単調に減少し，一部の条件で密度関数 p1 (r) が無限大

直線的な減少を表現する．

に発散する場合も含めて，水分保持曲線およびに透水係

Fayer and Simmons (1995) は ，(23) 式 を (1) 式 の
Mualem モデルに代入して積分し，閉形式の不飽和透水係数を示している（解は原著論文を参照）．Fig. 5(b)に FS モデルの不飽和透水係数を示す．不飽和透水係数は，K − h の両対数軸上で直線的に減少する VG モデル
に対し，h = −100 cm 程度で傾きが変化し緩やかになる
形状となる．Tuller and Or (2001) は，高水分領域の間隙流による透水に対して，θr に近い低水分領域では膜流による透水が卓越するため，不飽和透水係数–土中水圧力の両対数グラフ上の傾き (log10 K/ log10 h ) が異なることを示している．FS モデルは，残留体積含水率 θr を補数における間隙径密度関数 p1 (r) と p2 (r) が単一なピーク値を持つ山型モデルである（unimodal モデル）
．一方，
マクロポアや団粒構造が発達している土においては，異なる複数の間隙構造が存在し，BC モデル、VG モデル，

Kosugi モデルなどの山型モデルでは表現できない．たとえば，団粒構造が発達した土では，団粒があたかも大きな一つの土粒子の様に振る舞い，団粒間間隙にも高土中
水圧力で水分が保持される．そのため，大きな団粒間間隙と小さな団粒内間隙に大別される 2 つの異なる領域に水分が保持され，2 段階，あるいは多段階の階段状の水分保持曲線を示すことが知られている（徳本ら, 2005）．

モデル特集

解説：水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデル71

θr = 0.001，α1 = 0.041，n1 = 2.44，α2 = 0.0001，n2 =1.47，w2 = 0.59)．第 1 項の VG モデルは，空気侵入圧
h = −25 cm 程度 (≈ 1/α ) と比較的大きな n1 値による急な勾配を持つ団粒間の大きな間隙における間隙保水を表し， h = −200 cm 程度までにすべての水分が排水する．
一方，第 2 項は団粒内保水を表し， h = −104 cm 程度(≈ 1/α ) から排水が始まり，また比較的小さな n2 値による緩やかな勾配を持つ保水曲線を与える．そして，これらを重ね合わせることで，2 段の階段状の水分保持曲線を表現する．

Priesack and Durner (2006) は ，(25) 式 を (1) 式 の
Mualem モデルに代入し，次式の閉形式解を導いた．
K (Se ) = Ks (w1 Se1 + w2 Se2 )
"#2
1/m m1
1/m m2
w1 α1 1− 1−Se1 1+w2 α2 1− 1−Se2 2×(w1 α1 + w2 α2 )2(26)
Fig. 6(b) は，Fig. 6(a) の水分保持曲線に対して Ks = 200cm d−1 ， = 0.5 としたときの不飽和透水係数 K である．
また，Fig. 6(c) は，他のモデルと同様に (19) 式の透水性に対する間隙径密度関数 p2 (r) と間隙半径 r の関係を示す．不飽和透水係数は水分保持曲線に対応して階段状を示し，また，p2 (r) は r = 0.008 cm と r = 2 × 10−5 cm 付
近において 2 つのピークを持つ．これは，高土中水圧力
領域 (h > −200 cm) では団粒間の大きな間隙が支配的に透水性に影響を与え，低土中水圧力領域 (h ≤ −200 cm)
では団粒内の小さな間隙が支配的であることを反映している．
対象とする団粒土の水分移動が比較的湿潤な範囲に限られるとき，高水分領域のみに適合した VG モデル

Fig. 6 Durner モデルの (a) 水分保持曲線; (b) 不飽和透水係数;(c) 透水性に対する確率密度分布 p2 (r)．点線は (25) 式右辺第1 項，一点鎖線は第 2 項，灰色実線は VG モデル．

Durner (1994) は，複数の VG モデルを足し合わせること
で，階段状の水分保持曲線モデルを提案した（multimodal
モデル）．ここでは特に，団粒内外の 2 種類の保水形態を想定し，2 つの VG モデルを結合した Durner モデル（あるいは bimodal モデル）を示す．
Se =θ − θrθs − θr(25)
n1 −m1= w1 (1 + |α1 h| )n2 −m2+ w2 (1 + |α2 h| )を用いることは，一見妥当に思われる．Fig. 6(a) には，
Durner モデルの 1 段目の水分保持領域のみに VG モデ
ルを適合した結果を併記した (θs = 0.744，θr = 0.435，
α = 0.041，n = 2.44)．団粒内保水に対応する 2 段目の水分量を θr として与えると，VG モデルは h = −1000 cm程度までの高土中水圧力領域の水分保持曲線にはよく適合する．しかし，Fig. 6(b) の不飽和透水数は h = −40
cm 以下で Durner モデルよりも小さくなり，団粒間間隙の排水した h = −200 cm 以下では，さらに Durner モデ
ルとの差が拡大する．Fig. 6(c) の透水性に対する間隙径密度関数 p2 (r) を見ると，団粒内間隙に対応する小さな半径の間隙が，VG モデルの方が極端に少ない．3.2 節で示した様に，VG モデルは，砂質土の θr に近い領域において過小な不飽和透水係数を与え，団粒土の場合には，団粒内を不動水とみなすため，団粒間保水が支配的な範

ここで，αi (L−1 )，ni (−)，mi (= 1 − 1/ni ) は曲線の形状を与えるパラメータ，下添え字 1，2 はそれぞれの相を

囲における不飽和透水係数を著しく過小に与える．
このように，高水分領域の水分保持曲線の適合のみが指し，w は重み係数で w1 + w2 = 1 である．

よくても，連結モデルの与える不飽和透水係数がその水

Fig. 6(a) に Durner モデルによる水分保持曲線の例を(25) 式の右辺第 1 項と第 2 項と共に示す (θs = 0.744，

に対する FS モデルと同様に，不飽和透水係数を正しく分領域で適切であるとは限らない．前述 3.2 節の砂質土

土壌の物理性72

第 111 号

(2009)

推定するためには，低水分領域を含む広水分範囲の水分

ルは，絶乾状態で体積含水率が 0 となるように VG モデ

保持曲線を正確に測定し，それに良く適合する水分保持

ルの残留体積含水率 θr を修正することで，低水分領域で曲線のモデルを選択する必要がある．パラメータが多いの透水係数の低下を緩やかにすることを実現している．

Durner モデルは，それぞれのパラメータの決定が難しい

そのため FS モデルは，高土中水圧力で水分が低下して問題は残るが，様々な形状の水分保持曲線に対して柔軟θr に近づく粗粒土に対して適したモデルである．2 段のに適合できる優れたモデルである．そのため，Durner モ

階段状の水分保持曲線を示す団粒土に対しては，Durner

デルは，前述の VG モデルや FS モデルなども包括するモデルを解説した．Durner モデルでは，できる限り広水モデルと位置づけることもできる．

分範囲の水分保持曲線の測定値に適合し，保水性に関す

4. おわりに
数値計算を用いて土中の水分移動を正しく予測するたるパラメータを決定する必要がある．また，水分保持曲線に対して良い適合が得られると，団粒内外の透水性を反映し，不飽和透水係数の推定精度も向上することがでめには，対象となる土性，水分領域に適した水分保持曲

きる．

線と不飽和透水係数を与える水分移動特性モデルの選択

Mualem の不飽和透水係数推定モデルから導かれる代表

Carsel and Parrish (1988) は，USDA（アメリカ農務省）の区分法による各種の土性について，VG モデルのパラ
メータ (θr ，θs ，α ，n，Ks ) の平均値をまとめている．これ

的なの水分保持曲線−不飽和透水係数連結モデルについらの既に用意されているパラメータは，たとえば数値計て解説を行なった．

算で異なる土性による違いを試算する上で非常に便利でが必要不可欠である．本解説では，間隙径分布に基づく

BC モデルは，空気侵入圧をパラメータで与えるモデある．また，Rosetta Lite (Schaap et al., 1998) のように，

ルであるため，明確な空気侵入圧を示す粒径が均一な土

土壌データベースに基づいて VG モデルのパラメータをの水分保持曲線に対して適合がよい．ただし，飽和領域推定するペドトランスファー関数による方法もある．しで水分保持曲線の傾きが 0 であるため，数値計算が不安かし，これらはアメリカ国内の土壌データベースに基づ定になり得ることは注意する必要がある．VG モデルといた平均的なものであり，必ずしも我が国の土に対応す

Kosugi モデルの水分保持曲線は，ともに S 字型で滑らかな形状を示し，多くの土に対して適合がよい．VG モデ
ルと Kosugi モデルの違いは，主に低土中水圧力領域に見られ，Kosugi モデルに比べ VG モデルの方が残留体積
含水率 θr への漸近が緩やかであり，その領域の不飽和透るものではないことは注意が必要である．さらに，マルチステップ法や蒸発法のような逆解析法や，ペドトラン
スファー関数による推定においても，対象とする土に応じて適切な水分移動特性モデルを選択することが重要である．

水係数は大きくなる．

引用文献

それぞれの連結モデルの特性を比較検討するため，水分保持曲線と不飽和透水係数に対する間隙半径 r の寄与

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粒土は，大きな間隙のみが水分保持に寄与するのに対し

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て，細粒土では，小さな間隙を中心に広範囲の間隙径が水分保持に寄与している．透水性の確率密度関数 p2 (r)は，透水性が r の 2 乗に比例するポワズイユ流れの性質と異なる半径の間隙の配置や屈曲に対する Mualem モデ
ルの仮定から，保水性に比べ大きな r の寄与がはるかに大きいことを反映した分布となる．一方，大きな r ほど存在確率は小さいため，この両者のバランスから p2 (r)には，比較的大きな r 値にピークが生じる．

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tention functions for all matric suctions. Water Resour. Res.,の大きな低下が生じる．修正 VG モデルは，最大間隙半

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径を設定し，仮想的な空気侵入圧を設けることでこの問Jury, W.A. and Horton, R. (2006): 土壌物理学−土中の水 · 熱 ·題を解決しているため，細粒土に対して適したモデルで

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ある．一方，残留体積含水率 θr に漸近するモデルでは，

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旨

水分保持曲線と不飽和透水係数の水分移動特性モデルについて，Mualem の水分保持曲線−不飽和透水係数連結モデルによる代表的なモデルを解説した．まず，Brooks and Corey モデル，van Genuchten モ
デル，Kosugi モデルを取り上げ，水分保持曲線，不飽和透水係数に対する間隙半径の寄与を表す 2 種類の確率密度関数を定義し，各モデルの特徴，モデルを適用する上での注意点について整理した．さらに，
水分飽和近傍の不飽和透水係数を修正した修正 van Genuchten モデル，残留体積含水率を補正して低水分領域の不飽和透水係数を改良した Fayer and Simmons モデル，団粒土の階段状の水分保持曲線を表現した Durner モデルについて示し，各モデルの特徴や適用範囲について解説した．

キーワード：水分保持曲線，不飽和透水係数，間隙径密度関数，数値計算