超流動がある場合の閉じ込め相とヒッグス相に対する新しい見方
IPMU 近藤 暖
共同研究者 日高義将(KEK)(arxiv:2210.11492)

予定・動機・高次対称性の準備
・高次対称性の具体例 物質場のない電磁気・高次対称性が創発する例１ 超流動・高次対称性が創発する例２ 超伝導・𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 の対称性を持った模型
・閉じ込め相とヒッグス相について

2

動機

3

区別がつかない

対称性と相の区別
並進対称性
熱水噴出孔

離散対称性

Ih相

六方晶 ℤ6Ic相

立方晶 ℤ4

水の相図

chapter10.pdf (osaka-cu.ac.jp)

より
4

QCDの相図
K. Fukushima and T.Hatsuda,
Rept.Prog.Phys.74,014001(2011)

大域的な対称性が２つの相で同じ→２つの相は連続でつながっていて区別がつかない
Schafer and Wilczek,PRL82,3956(1999)
Hatsuda,Tachibana,Yamamoto,Baym,PRL97 122001(2006)
Alford, Baym, Fukushima, Hatsuda, Tachibana,Phys. Rev. D 99, 036004 (2019)
Chatterjee, Nitta, Yasui Phys. Rev. D99, 034001 (2019)
Hirono, Tanizaki, PRL 122, 212001 (2019)（量子）相転移がある
Cherman, Sen, Yaffe, PRD 100, 034015 (2019)
Cherman et.all Phys.Rev.D 102 (2020) 10, 105021

閉じ込め相とヒッグス相の間はどうなっているのか??
境界は区別できるのか？

（あれば）どんな対称性で相を区別できるか？
5高次対称性の準備

6対称性があると（通常の）対称性について

𝜕𝜇 𝑗𝜇 = 0 保存則, Q = ∫ 𝑑𝑑 𝑥 𝑗 0 (𝑥) 電荷(生成子)𝑗=1𝜖𝜇𝜇1 …𝜇𝑑 𝑗𝜇 𝑑𝑥 𝜇1 ∧ 𝑑𝑥 𝜇2 ∧ ⋯ ∧ 𝑑𝑥 𝜇𝑑 とすると
𝑑!

保存則は 𝑑𝑗 = 0
時間=
S: 時間一定面
電荷（生成子）は保存則が成り立っていれば、積分する面を𝑆 → 𝑆 + 𝜕𝑉としてもストークスの定理より同じ。（トポロジカルな変形で不変。）=

対称性演算子 𝑈𝑔 = 𝑒 𝑖𝜃𝑄 に対する対称性変換の仕方は

荷電物体

表現行列

=

=

𝑅𝑔7

通常=

時間

高次1次𝑅𝑔

拡張可能性…余次元が増えても𝑑𝑗 = 0が保存則とみなせる

例えば2+1次元だと０次=2次生成子と荷電物体が絡むと表現行列が出てくる

対称性
演算子
=

荷電物体

𝑅𝑔8

高次対称性の具体例
高次対称性の出方をみる

9高次対称性の例

物質場のない電磁気
微分形式で書くと

𝜕𝜇 𝑓𝜇𝜈 = 0𝜖 𝜇𝜈𝜌𝜎 𝜕𝜈 𝑓𝜌𝜎 = 0𝑓𝑗𝐸 ≔∗ 2𝑒,

𝑓𝑗𝑀 ≔2𝜋𝑑∗𝑓 =0𝑑𝑓 = 0保存量として、対称性演算子

電気的対称性を定義する。
磁気的対称性
3+1次元時空で、空間の積分領域 𝑆が2次元なので、1次対称性電束・磁束の保存に対応する。

10高次対称性の例

物質場のない電磁気

電気的対称性

磁気的対称性

荷電物体は…

ウィルソンループ

トフーフトループ

お互いに巻き付くと結果を出力する
11

高次対称性が創発する例
低エネルギー有効理論で高次対称性が創発することがある
しばしば相転移がある

12高次対称性が創発する例１

超流動

大域的U(1)対称性を持った複素スカラー場の理論
作用
𝑆 = −∫ (𝑑𝜙 † ∧∗ 𝑑𝜙 +∗ 𝑚2 𝜙 2 +∗ 𝑔2 𝜙 4 )U(1)対称性 (0form) 𝜙 → 𝑒 𝑖𝜃 𝜙で 𝑆は不変

𝑚2 > 0の場合

𝑚2 < 0の場合
𝑚2 によって対称性が自発的に破れてない相/破れた相にわかれる13

𝑚2 < 0 破れている場合
静的な解は2𝜙 2 = 0, −𝑣=

𝑚2𝑔2

𝑚2− 2 として安定な解のまわりで𝑔

場を𝜙 =𝑣+ℎ 𝑒 𝑖𝜑と展開すると221 21𝑔
𝑆 = − න 𝑣 + 2𝑣ℎ + ℎ2 𝑑𝜑 ∧∗ 𝑑𝜑 + 𝑑ℎ ∧∗ 𝑑ℎ + 𝑚2 ∗ ℎ2 +∗ (4𝑣ℎ3 + ℎ4 )
224ℎは質量 2|𝑚2 |をもつ→低エネルギーで見えなくなる

低エネルギー有効理論は
𝑣2
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − ∫ 𝑑𝜑 ∧∗ 𝑑𝜑 + ⋯2

保存則は２つ𝑑 ∗ 𝑑𝜑 = 0…もともとあった𝑈(1) 0form 対称性
𝑑𝑑𝜑 = 0…創発した𝑈(1) 2form 対称性
14高次対称性が創発する例２超伝導（＝超流動＋電磁場）

𝑑𝑎 𝜙 = 𝑑 − 𝑖𝑞𝑎 𝜙 共変微分対称性は？
ゲージ変換での対称性
𝑎 → 𝑎 + 𝑑𝜆, 𝜙 → 𝑒 𝑖𝑞𝜆 𝜙
磁気的U(1) 1次対称性

電気的な対称性は？

𝑆 → 𝑆 + 𝜕𝑉では2𝜋𝑛∫ 𝑗 ∈ ℤなので𝜃 = 𝑞 (𝑛 = 0,1, … , 𝑞 − 1)だと𝑈𝑒𝐸𝑖𝜃 (𝑆)はトポロジカルになっている。

→ ℤ𝑞 -1次対称性151𝑆 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න(𝑑𝑎 𝜙 † ∧ 𝑑𝑎 𝜙 +∗ 𝑚2 𝜙 2 +∗ 𝑔2 𝜙 4 )2𝑒𝑚2 > 0の場合
𝑚2 < 0の場合（複素場は凝縮している）
低エネルギー有効理論は
低エネルギー有効理論は
211𝑣
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න 𝑑𝜑 − 𝑞𝑎 ∧∗ 𝑑𝜑 − 𝑞𝑎
2𝑒2𝑒2物質場がいなくなってℤ𝑞 (d-1)次対称性が創発している。
U(1)1次対称性として創発している。
・𝑑𝜑とかけているのでトポロジカル。
・ゲージ変換(𝜑 → 𝜑 + 𝑞𝜆)で不変
111∵ න𝑑𝜑 → න𝑑𝜑 + න𝑑𝜆 = න𝑑𝜑 + 2𝜋𝑛𝑞𝑞𝑞

ポイント：低エネルギー有効理論で高次対称性が創発することがある。
16

𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 の対称性を持った模型
高密度QCDのおもちゃの模型になっている。（状況が似ている）

K. Fukushima and T.Hatsuda,
Rept.Prog.Phys.74,014001(2011)

Cherman et.all
Phys.Rev.D 102 (2020) 10, 105021

17先行研究…超流動＋超伝導の模型(Cherman et.all Phys.Rev.D 102 (2020) 10, 105021)

作用・・・2+1次元の設定
1𝑆 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න 𝑑𝜙0† ∧∗ 𝑑𝜙0 +∗ 𝑚02 𝜙0 2 +∗ 𝜆0 𝜙0 4 − 𝜖 න∗ 𝜙+ 𝜙− 𝜙0 + ℎ. 𝑐2𝑒− න 𝑑𝑎 𝜙+† ∧ 𝑑𝑎 𝜙+ + 𝑑𝑎 𝜙−† ∧ 𝑑𝑎 𝜙− + 𝑚𝑐2 𝜙+ 2 + 𝜙− 2 + 𝜆𝑐 𝜙+ 4 + 𝜙− 4
𝜙0バリオンに相当

𝜙+𝜙−

U(1)電荷 (gauge)0

1-1

U(1)電荷(global)

2-1-1

対称性はU(1) (gauge) 𝑎 → 𝑎 + 𝑑𝜆, 𝜙± → 𝑒 ±𝑖𝜆 𝜙±U(1) (global) 𝜙0 → 𝑒 𝑖2𝜓 𝜙0 , 𝜙± → 𝑒 −𝑖𝜓 𝜙±クォークに相当

18

作用
1𝑆 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න 𝑑𝜙0† ∧∗ 𝑑𝜙0 +∗ 𝑚02 𝜙0 2 +∗ 𝜆0 𝜙0 4 − 𝜖 න∗ 𝜙+ 𝜙− 𝜙0 + ℎ. 𝑐2𝑒− න 𝑑𝑎 𝜙+† ∧ 𝑑𝑎 𝜙+ + 𝑑𝑎 𝜙−† ∧ 𝑑𝑎 𝜙− + 𝑚𝑐2 𝜙+ 2 + 𝜙− 2 + 𝜆𝑐 𝜙+ 4 + 𝜙− 4

作用自体は超伝導と超流動の組み合わせ。

K. Fukushima and T.Hatsuda,
Rept.Prog.Phys.74,014001(2011)

Cherman et.all
Phys.Rev.D 102 (2020) 10, 105021

低エネルギー有効理論で −𝑚02 ≫ 𝑒 4 のところをみる。
→ 𝑚𝑐2 /𝑒 4 によって２つの可能性がある。大域的対称性の破れ方はどちらの可能性も同じ。
19

予想として、渦の解を仮定する。

Φℎ(𝑟)𝜙± = 𝑣𝑐 𝑓± 𝑟 𝑒, 𝜙0 = 𝑣0 𝑓0 𝑟 𝑒 , 𝑎𝜃 𝑟 =2𝜋𝑟
（巻き付き数１の最低限の状況で）ホロノミーを考える
𝑖𝜈± 𝜃𝑖𝑘𝜃

エネルギーを最小化するとヒッグス相𝑂Ω = −1※よりQCDに近い模型だとexp2𝑖𝜋3

閉じ込め相
𝑂Ω = 1※よりQCDに近い模型でも1どこかで飛ぶから相転移があるだろう20

本研究−𝑚𝑐2 ≫ 𝑒 4 の場合(ヒッグス相)𝑚𝑐2 ≫ 𝑒 4 の場合(閉じ込め相)低エネルギー有効理論で、𝜙± は凝縮する。 低エネルギー有効理論で、𝜙± はいなくなる。
電気的に中性な超流動の渦と電気的に中性な超流動の渦がいる。
磁束が貫いている渦がいる。
有効作用
1𝑣02
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න𝑑𝜋0 ∧∗ 𝑑𝜋0
有効作用
2𝑒221𝑣𝑐
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න 𝑑𝑎 𝜋+† ∧∗ 𝑑𝑎 𝜋+ + 𝑑𝑎 𝜋−† ∧∗ 𝑑𝑎 𝜋−2𝑒221

−𝑚𝑐2 ≫ 𝑒 4 の場合(ヒッグス相)
有効作用1
𝑆𝑒𝑓𝑓 = − 2 න𝑓 ∧∗ 𝑓 − න 𝑑𝑎 𝜋+† ∧∗ 𝑑𝑎 𝜋+ + 𝑑𝑎 𝜋−† ∧∗ 𝑑𝑎 𝜋−2𝑒2種類のトポロジカルな演算子が考えられる。
1. exp𝑑𝜋+ +𝑑𝜋−𝑖𝜃+ ∫2𝜋

2. exp𝑑𝜋+ −𝑑𝜋−𝑖𝜃− ∫2𝜋ゲージ変換で不変な演算子
𝜃− ∈ ℤ であればゲージ変換で不変な演算子

特に𝜃− が奇数で、∫ 𝑑𝜋+ − 𝑑𝜋− = 2 2𝑘 + 1 𝜋, 𝑘 ∈ ℤ だと−1の値をとる。
（ペアで相殺できない磁束が刺さっている状況）
低エネルギー有効理論で創発した高次対称性がヒッグス相を特徴づけている。
22

Maurer-Cartan formを使って高次対称性を構成する
𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙
𝐺=→𝐻=1∴ 𝐺/𝐻 =ℤ2ℤ2𝑖𝜋𝑖𝜋𝜉𝑐 , 𝜉𝑄 = 𝑒 𝑐 , 𝑒 𝑄 ∈ 𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑄 をとってくる。
これらは、 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑈 1 𝑔𝑎𝑢𝑔𝑒 × 𝑈 1 𝑔𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 × ℤ2 として
𝜉𝑐 , 𝜉𝑄 → 𝛼𝜉𝑐 , 𝛾 −1 𝛽𝜉𝑄 𝛾 −1 と変換する。
exp 𝑖 ‫ 𝑐𝜋𝑑 ׯ‬は† 2
このℤ2 右変換で不変なものは、例えば𝜉𝑐 𝜉𝑄 , 𝜉𝑄
これらのMaurer-Cartan formは非自明な値-1を返すことがある

𝑖 𝜉𝑐 𝑑 𝜉𝑐 † = 𝑑𝜋𝑐22 †𝑖(𝜉𝑄 )𝑑 𝜉𝑄 = 2𝑑𝜋𝑄

ヒッグス相で創発している
トポロジカルでゲージ変換で不変な演算子

exp 𝑖𝜃‫ ׯ‬2𝑑𝜋𝑄 はexp 2𝑖𝜋𝜃 返す

23閉じ込め相とヒッグス相について24低エネルギー有効理論で創発した
高次対称性で特徴づけられるのでは？

K. Fukushima and T.Hatsuda,
Rept.Prog.Phys.74,014001(2011)

Color Flavor Locked 相(CFL相)ではdiquark 𝑞𝑞 𝑐,𝑓 が特徴づける
𝑆𝑈 3 𝑐 × 𝑆𝑈 3 𝑓 × 𝑈 1 𝑄
𝑆𝑈 3 𝐶+𝑓 × ℤ6,𝑄
𝐺=
→𝐻=
ℤ3,𝐶+𝑄 × ℤ3,𝑓+𝑄ℤ3,𝐶+𝑄 × ℤ3,𝑓+𝑄
𝜉𝑐 , 𝜉𝑑 ∈ 𝑆𝑈 3 × 𝑈 1 𝑑 をとってくる。

𝑆𝑈 3 𝐶−𝑓 × 𝑈 1 𝑄 𝑆𝑈 3 𝐶−𝑓 × 𝑈 1 𝑑𝐺/𝐻 ≃=ℤ6
ℤ3𝑡𝑟 𝑃 exp ‫ † 𝑐𝜉 𝑑 𝑐𝜉 ׯ‬はトポロジカルかつゲージ変換で不変な演算子
𝜉𝑐 𝑑𝜉𝑐†exp

2𝑖𝜋 を生成する
3Y.Hirono and Y.Tanizaki Phys.Rev.Lett 122 212001 (2019)25

まとめ閉じ込め相とヒッグス相の間はどうなっているのか??
境界は区別できるのか？

K. Fukushima and T.Hatsuda,
Rept.Prog.Phys.74,014001(2011)

閉じ込め相とヒッグス相は超流動になっている。（高次対称性が創発する）
ヒッグス相は超伝導にもなっている。（さらに高次対称性が創発する）
２つの相で創発する対称性が異なる。
創発した高次対称性が異なることは相転移を示唆する（要検証）26