1 物体の運動の表し方 →→→2 力とそのつり合い →5 運動量とその保存則 → 6 角運動量 →9 万有引力と惑星の運動 → 10 剛体の運動

2

3 質点の運動 →7 円運動 →

4 仕事とエネルギー

8 中心力場の中の質点の運動

力とそのつり合い

学習目標
・力とそのつり合いを理解する．
・重力の起源を理解する．
・束縛運動とは何かを説明できるようになる．
・摩擦力には静止摩擦力と動摩擦力があることを理解する．
物体を動かして運動させるためには，その物体に力を加えなければならない．
力学にとって，力は最も基本的で重要な物理量の 1 つであり，力と運動は切っても切り離せない関係にある．本章では力だけに注目し，力とそのつり合いの性質について述べる．

2.1

力

ここはポイント！

物体の運動状態を変えたり，物体そのものを変形させたりする原因となる作用のことを力という．ただし，本書では一貫して，物体の変形は考えないことにする．
力は大きさと向きをもつから，ベクトルで表せる．質点に 2 つの力 F1 とF2 が同時にはたらくとき，図 2.1 のように，F = F1 + F2(2.1)という 1 つの力がはたらくとしてよい．この F を合力といい，(1.19) で示した 2 つのベクトルの和の一例である．逆に，(2.1) に従って 1 つの力を2 つの力に分けることもできる．つまり，任意の力を便宜的に x, y, z 方向に分解して取り扱うことなどが可能なのである．

24

2．力とそのつり合い

力 の MKS 単 位 に は N (newton：ニュートン) が使われ，

F＝F1＋F2F2F22

1 [N] = 1 [kg・m／s ] (2.2)
である．ここで MKS 単位とは，長さの単位に m，質量の単位に kg，時間の単F1
図 2.1

位に s (秒) をとる，物理学の基本的な単2 つの力 F1 と F2 の合力

F = F1 + F2位系のことである．

2.1.1

重力
質量 m

物体にはたらく最も身近な力は重力であり，この力は，物体と地球全体との間の万有引力によ っ て 引 き 起 こ さ れ る．地 上 近 く で 質 量 m

重力 F（F ＝mg）

［kg］の物体にはたらく重力 F［N］は，図 2.2

地表のように鉛直下向きであり，その大きさ F はF = mg [N]

(2.3)
2

g = 9.81 [m／s ]

図 2.2

重力 F

(2.4)と表される．ここで，g は地表での重力加速度である．
ここはポイント！

重力加速度 g の値は，実際に物体を落下させることで測定できる．ガリレオの時代からよく知られているように，物体の落下運動は空気の抵抗が無視できる限り，その形状や質量によらず等加速度運動であり，その加速度の値が (2.4) で与えられるのである．落下運動の詳細は次章で議論しよう．
私たちの体重など，日常的に使われている物体の重さは，実は質量ではなくて重力の大きさのことである．実際，月の表面での重力加速度は地表の値の 1／6 ほどなので，月面では自分の体重を含めて地表よりずっと軽く感じるはずである．すなわち，質量はそれぞれの物体に固有の量であるが，物体の重さは地球の表面で測るか，ずっと上空か，あるいは月の表面かでその値は異なる．したがって，物体の重さの単位は，正確には kg 重を使うべきであ2.1 力25

り，地表で質量 1 kg の物体にはたらく重力の大きさは1 [kg 重] = 9.81 [N](2.5)となるのである．例えば，体重 60 kg の人にはたらく重力の大きさは 60 [kg 重]= 60 - 9.81 [N] 0 589 [N]ということになる．
問 題 1

2.1.2

体重 50 kg の人にはたらく重力は何 kg 重で，何 N か．

万有引力

2 つの物体の間には，それらが何であれ，常にそれらの質量に比例した引力がはたらく．そのために，この引力を特に万有引力という．質量 m1［kg］，m2［kg］の 2 つの物体が距離 r［m］だけ離れているときの万有引力の大きさ
F［N］は
F=G

m1m2r2

G = 6.67 - 10-11 [N・m2／kg2](2.6)(G：万有引力定数)(2.7)と表される．この場合の力は引力なので，はたらく力の様子は図 2.3 に示す通りである．
m2F−Fm1

図 2.3r2 つの物体の間にはたらく万有引力 F

例 題 1
地球を半径 RE = 6.37 - 106 [m]，質量 ME = 5.98 - 1024 [kg]の球と見なして，地表での重力加速度 g を求めよ．
解 地表にある質量 m の物体と地球全体との万有引力 F が，この物体にはたら

26

2．力とそのつり合いく重力 mg に他ならない．このとき，1.5.1 項で述べたように，地球の質量 ME はその中心 O に集中していると見なしてよい．したがって，物体と地球との万有引力の大きさ F はF=G�

g=M Em
GME=m= mg
RE2RE2GME
6.67 - 10-11 - 5.98 - 1024
(N・m2／kg2)kg=r 9.83= m／s2
m2RE2(6.37 - 106)2



これは実測値 g r 9.81 [m／s2] に近い．

F−FmRE

O ME

図 2.4 物体と地球の間の万有引力としての重力 F

問 題 2

地球を半径 RE = 6.37 - 106 [m]の球と見なして，地表での重力加速度 g = 9.81［m／s2］より，地球の質量 ME を求めよ．
問 題 3月を半径 Rm = 1.74 - 106 [m]，質量 Mm = 7.35 - 1022 [kg]として，月面での重力加速度 gm を求めよ．また，地上での重力加速度 g との比 gm／g は大体いくらか．なるべく単純な分数で表せ．

2.1.3

バネの復元力図 2.5 のように，質量 m の物体が水平で滑らかな床の上にあって，バネ定数 / のバネでつながれており，バネは x 軸方向に伸び縮みするとしよう．バ
ネが伸び縮みしないで自然な状態にあるときの物体の位置をつり合いの位置といい，その状態でのバネの長さをバネの自然長という．ここでは図に示したように，そのつり合いの位置を x 軸の原点 O とする．

2.2 力のつり合い

日常的によく経験するよう

バネ定数 k27
復元力 F

質量 mに，バネを引っ張ると引っ張

図 2.5される．すなわち，バネは物xxOり返されるし，押すと押し戻バネの復元力体の変位を元に戻すような力を作用する．これをバネの復元力という．
いま，図 2.5 のように，バネにつながれた物体をつり合いの位置から x だ
けずらすと，この物体にはバネから(2.8)

F = ,/xという力がはたらく．負号は，物体のつり合いの位置からの変位 (ずれ) xが正のときには力が負の向きに，逆に x が負のときには力が正の向きにはたらくという，復元力の性質を表している．また，係数 / はバネの強さあるいは硬さを表す量である．(2.8) のように，復元力が変位に比例することを，その発見者にちなんでフックの法則という．

2.2

力のつり合い

図 2.6 のように，1 つの物体 (質点) にいく

F1F2つかの力がはたらいていても，その物体が静止しているとき，それらの力は互いにつりF3合っているという．このとき，物体は力学的な平衡状態にある，という言い方もする．
1 つの質点に n 個の力 F1 , F2 , …, Fn がはF5F4たらいて，それらの力がつり合っているときは，その質点に力がはたらいていない場合と区別がつかず，その合力 F はゼロである．すなわち，

図 2.6 力のつり合い：
F = F1 + F2 + … + F55= 6 Fi = 0
i=1

28

2．力とそのつり合い

nF = F1 + F2 + … + Fn = 6 Fi = 0(2.9)

i=1ということになる．ここで太字の 0 は各成分がゼロのゼロベクトルであり，0 = (0, 0, 0)(2.10)である．
満員電車の中では，周囲から押されて痛い思いをしながらも動けない場合がよくある．このとき，自分の身体を物体と見なすと，確かに (2.9) のようにその合力はゼロであろう．この状態は，周囲からどんな力も一切受けないで動かない場合と感覚的には大いに異なるが，この感覚的な違いは力学の立場では皮相的であって，本質的ではない．周囲から押されて動けない場合には，私たちの身体の表面が変形し，そのために痛みを感じる．ところが，本章のはじめにも述べたように，ここでは物体の変形を無視して議論している．
そのために，私たちの身体を質点と見なした場合には痛みの入る余地はなく，合力がゼロで動けない場合と力がはたらかないで動かない場合を区別しないのである．

2.3

束 縛 力

水平面や斜面上で球を転がす場合のように，物垂直抗力 N

体 (質点) が曲線や曲面上に束縛されて運動する場合がよくある．このような運動を束縛運動という．物体が水平な机の面上を自由に動いている場
合でも，その机の端に来るとそこから落下運動をするはずである．すなわち，束縛運動になるためには，それを維持するために余分に力がはたらかなければならない．これを束縛力という．
簡単な例として，図 2.7 のように水平な床の上

重力 mg
図 2.7 水平な床の上に束縛された物体

2.3 束縛力29に静止した質量 m の物体を考えてみよう．この物体には鉛直下向きに重力mg がはたらくが，物体そのものは静止しているので，この物体にはたらく力はつり合っているはずである．したがって，この物体には重力をちょうど打ち消すように，鉛直上向きに大きさ mg の力がはたらいていなければならない．この力を垂直抗力といい，その大きさ N は
N = N = mg(2.11)

である．
例 題 2
傾斜角 q の滑らかな斜面があり，その上で質量 m の質点が斜面に沿う力 F で支えられて静止している．このときの力 F と斜面の垂直抗力
N を求めよ．
解 質点には重力 mg がはたらく．これは図 2.8 のように斜面に平行な成分：mg sin q

垂直な成分：

mg cos qに分けることができる．したがって，力のつり合いからF = mg sin q
N = mg cos qとなる．
NF
mg sinθmg cosθθmg
図 2.8

斜面上の静止物体

30

2．力とそのつり合い

2.4

摩 擦 力

居間にあるカップボードなど，重い家具を動かそうとしても少々の力ではびくともしないことがよくある．力のつり合いの立場からは，加えた力と同じ大きさで逆向きの力が，その家具にはたらいていなければならない．これは，よく知られているように，加えた力に抗して床からはたらく摩擦力に他ならない．ところが，頑張って強い力を加えて，その家具が一旦動き始めると，その後は意外に簡単に動き続けることもよく経験することである．すなわち，物体が静止しているときと動いているときとでは，床からはたらく摩擦力は違うのである．

2.4.1

静止摩擦力
N

水平な粗い床の上に置かれた物体を考えよう．すなわち，この物体は床の上に束縛されており，その運動は束縛運動の一種でFTある．この物体に水平方向に力 T を加えても，T が小さいと物体は動かない．これは図 2.9 のように，床が力 T に抗して (力mg
図 2.9T と逆向きに)，摩擦力 F を物体に作用す物体にはたらく摩擦力 Fるからである．このとき，力のつり合いから F = T であり，加える力 T に応じて F も変化することに注意しよう．
力 T をさらに増すと，床からの摩擦力 F では物体を静止させ続けることができず，やがて物体は動き始める．このとき，ぎりぎりまで動きに抵抗した最大の摩擦力を最大摩擦力という．経験的には，最大摩擦力 Fm は垂直抗力 N に比例することが知られており，Fm = mNと表される．ここで，m は静止摩擦係数とよばれる．

(2.12)

2.4 摩擦力

31

動摩擦力

2.4.2

物体を粗い床の上で引きずると，動いている状態で床から摩擦力 F' を受ける．これは物体が静止しているときに受ける静止摩擦力 F と異なり，動摩擦力という．この動摩擦力も経験的には垂直抗力 N に比例することが知られており，(2.13)

F' = m'Nと表される．ここで，m' は動摩擦係数とよばれ，動いているときの摩擦力は静止摩擦力より弱い (F' ? F) ので，一般に m > m' である．
例 題 3
静止摩擦係数 m の粗い斜面 (傾斜角 q) において q を変えるとき，物体 (質量 m) が静止し続けるための q の条件を求めよ．
解 斜面上の物体にはたらく力は，図 2.10 に示すように，



重力 mg

(鉛直下向き)摩擦力 F(斜面に沿って上向き)

垂直抗力 N(斜面に対して垂直上向き)である．
静止の条件 (力のつり合い) は，図より
F = mg sin q(斜面に平行な重力成分)

N = mg cos q(斜面に垂直な重力成分)

物体が斜面を滑らないためには，摩擦力 F = mg sin q が最大摩擦力 Fm より小さくなければならない：F C Fm = mN�

mg sin q C mmg cos q

NFmg sinθ
mg cosθθmg

図 2.10 斜面上で静止している
物体の力のつり合い32

2．力とそのつり合い�sin q= tan q C mcos q

これが求める q の条件である．
なお，ここで tan a = m とおくと，角度 a を摩擦角という．すると，静止条件はtan q C tan a�qCa(a = tan-1m)

すなわち，傾斜角 q が摩擦角 a を超えない限り，物体は静止したままである．
問 題 4

傾斜角 q，動摩擦係数 m' の斜面上で，質量 m [kg] の物体をゆっくりと動かし続けるのに必要な力 F [N] を求めよ．ただし，重力加速度を g [m／s2]とする．

Fθ

問 題 5

図のように半径 R のパイプが水平な床に置いてあり，その中に質量m の物体 A がはじめパイプの中心 O の直下に置かれているとする．パイプの内面は静止摩擦係数 m の粗い面であるとする．このパイプを水平な床の上でゆっくりと角度 q だけ回転しても，物体 A は静止したままであった．このとき，物体にはたらく摩擦力 F および垂直抗力 N を求めよ．さらにパイプを回転したとして，この物体は水平な床からどれだけの高さで動き始めるか．ただし，物体の大きさ，パイプの肉厚は無視する．

Oθ
A

2.5 まとめとポイントチェック

2.533

まとめとポイントチェック

本章では，力とそのつり合いの条件を議論した．また，身近な力として物体にはたらく重力があり，それがその物体と地球全体との万有引力によることも学んだ．他の身近な力の例としては，バネの復元力もある．さらに，物体が面などに束縛された束縛運動があり，そのために垂直抗力や摩擦力があることも示した．

ポイントチェック

□力のつり合いの条件がわかった．

□重力がなぜ生じるかが理解できた．

□

バネの復元力とフックの法則が理解できた．

□

束縛運動の�束縛�の意味が理解できた．

□

垂直抗力とは何かがわかった．

□

摩擦力がなぜ生じるかが理解できた．

□静止摩擦力と動摩擦力の区別がわかった．