平成 30 年度
学士学位論文

差分進化法を用いた
超伝導変圧器の機器定数推定

村岡樹（学籍番号：15232084）

九州工業大学

情報工学部

電子情報工学科

指導教員：小田部荘司

平成 31 年 2 月 18 日

教授

目次

第1章

序論 ................................................................................................................. 1

1.1

はじめに........................................................................................................................ 1

1.2

研究背景........................................................................................................................ 2

1.3

本稿における解析系統................................................................................................ 31.4

変圧器の簡易磁気飽和特性と回路方程式 ................................................................ 41.5

常微分方程式の計算手法............................................................................................ 7

1.6

差分進化法.................................................................................................................... 71.7

遺伝的アルゴリズム.................................................................................................. 10

1.8

先行研究...................................................................................................................... 11

1.9

本研究の目的.............................................................................................................. 12

第2章

推定手法 ....................................................................................................... 13

2.1

計算手法...................................................................................................................... 13

2.2

計算環境...................................................................................................................... 14

第3章

結果及び考察 ............................................................................................... 15

3.1

差分進化法と遺伝的アルゴリズムの比較 .............................................................. 15

3.2

差分進化法の制御パラメータ .................................................................................. 17

3.3

最適ルンゲ・クッタ法の時間刻み幅∆𝑡 .................................................................. 20

3.4

1 波形のみ計算........................................................................................................... 22

3.5

世代数とスケーリングファクター𝐹 ....................................................................... 23

3.6

世代数と交叉率𝐶𝑅..................................................................................................... 27

3.7

親ベクトルを常に最良の個体に固定した場合 ...................................................... 29

第4章

結論 ............................................................................................................... 31

参考文献 ................................................................................................................................. 32

謝辞 ......................................................................................................................................... 33

図目次
Fig. 1.1：超伝導転移温度最高記録の変位....................................................................... 2
Fig. 1.2：系統の解析モデル[1] .......................................................................................... 3
Fig. 1.3：単相超伝導変圧器に対する等価回路[1] .......................................................... 4
Fig. 1.4：𝑖-𝜙磁気特性 ......................................................................................................... 4
Fig. 1.5：𝑖-𝜙簡易磁気特性 ................................................................................................. 6
Fig. 1.6：𝜙-𝐿特性[1]............................................................................................................ 6
Fig. 1.7：DE の概略図[4].................................................................................................... 8
Fig. 1.8：DE の探索初期[4]................................................................................................ 9
Fig. 1.9：DE の探索中盤[4]................................................................................................ 9
Fig. 1.10：GA により求めた機器定数 ............................................................................ 11
Fig. 1.11：GA により求めた励磁投入電流波形 ............................................................ 12
Fig. 2.1：測定波形............................................................................................................. 13
Fig. 3.1：DE によって求めた励磁突入電流波形 .......................................................... 16
Fig. 3.2：DE と遺伝的アルゴリズムの評価関数の値の変化 ...................................... 16
Fig. 3.3：DE によって求めた機器定数 .......................................................................... 17
Fig. 3.4：スケーリングファクターF による評価関数の値の変化 ............................. 18
Fig. 3.5：交叉率𝐶𝑅による評価関数の変化.................................................................... 19
Fig. 3.6：𝐹、𝐶𝑅をそれぞれ変化させた場合の評価関数の変化 ................................. 19
Fig. 3.7：時間刻み幅の変化による評価関数の変化 ..................................................... 21
Fig. 3.8：時間刻み幅を変化させたときの波形 ............................................................. 21
Fig. 3.9：DE による計算を 1 波形のみ行った場合の励磁突入電流波形................... 22
Fig. 3.10：DE による計算を 1 波形のみ行った場合の励磁突入電流波形................. 23
Fig. 3.11：10000 世代まで計算を行った場合の評価関数の変化 ................................ 24
Fig. 3.12：𝐹 = 0.6から 4000 世代で𝐹 = 0.2に変化させたときの評価関数の変化 ... 25

Fig. 3.13：𝐹 = 0.6から 4000 世代で𝐹 = 1.0に変化させたときの評価関数の変化 ... 25
Fig. 3.14：𝐹 = 0.2から 4000 世代で𝐹 = 1.0に変化させたときの評価関数の変化 ... 26
Fig. 3.15：様々な𝐶𝑅を用いて計算を行った場合の評価関数の変化 .......................... 28
Fig. 3.16：𝐶𝑅 = 0.8から 5000 世代で𝐶𝑅 = 0.2に変化させた場合の評価関数の変化..................................................................................................................................... 28
Fig. 3.17：𝐹、𝐶𝑅をそれぞれ変化させた場合の評価関数の変化（DE/best/1/bin） . 30
Fig. 3.18：DE/best/1/bin で求めた機器定数 ................................................................... 30

表目次
Table 1.1：GA により得られた最も評価の良い機器定数............................................ 11
Table 2.1：解候補群の探索範囲 ...................................................................................... 14
Table 2.2：計算環境 .......................................................................................................... 14
Table. 3.1：DE による機器定数推定の結果 ................................................................... 15
Table 3.2：GA と DE の評価関数と処理時間の比較 .................................................... 15
Table 3.3：機器定数を固定し時間刻み幅Δ𝑡を変化させた場合の評価関数𝑑の変化 20

第1章 序論
1.1

はじめに

1911 年オランダの物理学者オネンスが、水銀の電気抵抗が 4.2 K 以下で消失することを発見した。これが超伝導現象の初の発見である。1933 年にはドイツのマイスナーとオクセンフィルドが超伝導体に強い反磁性があることを明らかにした。これがいわゆるマイスナー効果である。1957 年、超伝導の仕組みを解明したのはアメリカの物理学者バーディーン、クーパー、シュリファーであった。その理論を 3 人の頭文字を取ってBCS 理論と呼ぶ。BCS 理論は超伝導を量子力学の現象として扱い量子現象のマイクロレベルでの出現という超伝導の本質を説明した。しかし、BCS 理論の枠内では臨界温度
は 40 K を超えないという予測も導き出された。臨界温度とは超伝導現象を示さなくな
る温度のことである。この後、約 30 年間臨界温度 40 K を超える超伝導体は発見されなかった。しかし 1986 年、ドイツの物理学者ベトノルツ、スイスの物理学者ミュラー
により銅による酸化物が臨界温度 30 K を示し、世界中で銅酸化物の超伝導体の研究が勧められた。その 3 か月後に臨界温度 92 K の Y 系銅酸化物の超伝導体が発見された。
さらに、YBa2 Cu3 Oy によって液体窒素(77 K )での超伝導実験が可能になった。1988 年には臨界温度 100 K を超える Bi-Sr-Ca-Cu-O 系の超伝導体が発見されている。
Fig. 1.1 からも分かるように超伝導体の臨界温度が液体窒素の沸点より高い温度で実現されたことなどから現在、主に線材としての応用が期待されている。超伝導体は電気抵抗が0 Ω という特徴があり、エネルギーの損失なく大電流を流すことが可能なためである。また、医療現場で使用されている MRI(Magnetic Resonance Imaging、磁気共鳴
画像)やリニアモーターカー、電力・エネルギー分野での運用が期待されている
SMES(Superconductive l Magnetic Energy Storage 、 超 伝 導 エ ネ ル ギ ー 貯 蔵 装 置 ) 、
SQUID(Superconductive l Magnetic Energy Storage、超伝導量子干渉装置)といった高感度センサーなど様々な分野での応用が期待されている。

-1-

Fig. 1.1：超伝導転移温度最高記録の変位

1.2

研究背景

現在の電力系統において使用している変圧器を電力系統へ投入する際励磁突入電流が発生し、他の電力系統の電力品質に影響を与えている。これらの影響には、渦電流などの発生によって伴う保護リレーの不要動作、瞬時電圧低下による制御装置の誤作動、照明などのちらつき、消灯などがる。これらの影響について把握、対策を検討するには任意の投入条件の励磁突入電流発生時の挙動を解析できることが必要となる。解析に必要な機器定数のうち、定格磁束密度や空心インダクタンスは励磁突入電流の大きさを左右するものでありながら、変圧器の設計に密にかかわる値であることから、系統運用や設備運用において解析を行う場合入手が困難となる場合が生じている。また、現在超伝導体変圧器は特に短絡電流等による巻線部分でのクエンチ時の送電停止が問題となっており実用化はまだ実現されていないが、将来的に実用化が期待されている。超伝導現象では先述したように電気抵抗が0 Ω になることから、変圧器の巻線に超伝導体を用いることによって巻線部分での損失が非常に小さくなり、エネルギー効率を向上させることができ、また、エネルギー損失が小さくなることで電気装荷が大きくなり、さらに鉄心の断面積を小さくすることによって小型化・軽量化が可能になるなどの利点があるである。将来超伝導変圧器が電力系統に導入される場合にも、常伝導変圧器と基本原理は同じであるため、解析に必要な機器定数が入手困難になる状況が生じると考えられる。
また一方で、電力系統の電力品質に与える影響の原因となっている変圧器の励磁突入
電流のみを測定できる場合がある。変圧器高圧側には計器用変流器が設置されており、その出力回路にクランプを使用することにより非接触で測定できるからである。この様-2-

な場合、逆に励磁突入電流から変圧器の機器定数推定と投入条件の値が推定できる。これまでの研究では電力系統で超伝導変圧器を運転する場合にも系統運用における解析検討が円滑に行えるよう最適ルンゲ・クッタ法と遺伝的アルゴリズム(Genetic Algorithm、GA)を組み合わせた推定方法を構成し、単相の Bi-2223 線材による超伝導変圧器の機器
定数推定が行われている。
そこで本稿では、上記で述べた最適ルンゲ・クッタ法と GA を組み合わせた推定方法とは別に、最適ルンゲ・クッタ法と差分進化法(Differential Evolution、DE)を組み合わせた推定方法で機器定数推定を試みた。その結果を比較・考察していく。

1.3

本稿における解析系統

本解析方法では Fig. 1.2 に示す単線結線図の系統を解析モデルとする。上位系統は 1
電源、1 回線の送電線で構成されている。解析対象の変圧器を高圧側から系統へ投入するとし、低圧側に接続した開閉器は常時解放されている。実際の設備では、変圧器の低圧側母線にコンデンサ、所内変圧器、避雷器などの機器が常時接続されている場合があるが、簡易に解析ができるように Fig. 1.2 のモデルに固定した。解析で求める電流は Fig.
1.2 の電流計での瞬時値とした。Fig. 1.2 の系統において対象とした単相の超伝導変圧器の等価回路を Fig. 1.3 に示す。対象の変圧器は励磁突入電流に対してクエンチしないことから、巻き線抵抗は 0 Ω とした。また、磁気特性は本来 Fig. 1.4 の様にヒステリシス
曲線を描くが、鉄心の抵抗成分は無視できるほど十分に大きいことから、損失成分は無視し、磁気飽和特性を反映したインダクタンスの部分だけを扱うようにした。Fig. 1.3 において計算に必要な系統、機器定数は以下のとおりである。
・𝑅B , 𝐿B ：上位系統のインピーダンス𝐿・𝐿c1 = 2c ：高圧側の漏れインダクタンス
・𝐿c ：変圧器の漏れインダクタンス
・𝐿L ：励磁飽和特性を反映した励磁インダクタンス

Fig. 1.2：系統の解析モデル[1]-3-Fig. 1.3：単相超伝導変圧器に対する等価回路[1]Fig. 1.4：𝑖-𝜙磁気特性

1.4

変圧器の簡易磁気飽和特性と回路方程式

Fig. 1.3 の等価回路における𝐿L は定格運転時の非飽和時には励磁インダクタンス𝐿m 、飽
和時には励磁インダクタンスとして考えられる巻き線だけの自己インダクタンス、すな𝑑𝛷

わち空心インダクタンス𝐿airを取る。その様子を Fig. 1.5 に示す。その値は各部分で 𝑑𝑡 となり、ほぼ一定と考えてよい。そこで最適ルンゲ・クッタ法では、各相の磁束𝜙の変化に対して階段状に励磁インダクタンス𝐿L が変化する簡易磁気飽和特性を用いた。この特性を Fig. 1.6 に示す。Fig. 1.6 から分かるように𝐿m 、𝐿airの値は非飽和時、飽和時のそれ
ぞれの時間帯において一定の値を取る。以上のことを踏まえ、回路方程式を式(1.1)から(1.3)で表す。

-4-

𝐿k

𝑑𝑖m
𝑑𝑡

+ 𝑅A 𝑖m = 𝑉(𝑡)V(𝑡) = 𝑉m sin (𝜔𝑡 +
𝑑𝑖m
𝑑𝑡

𝜋
180

𝜃0 )

= {𝑉(𝑡) − 𝑅A 𝑖m }/𝐿k

(1.1)
(1.2)
(1.3)

ここで、Fig. 1.3 の場合、回路の全抵抗𝑅A 、全インダクタンス𝐿K はそれぞれ𝑅A = 𝑅B 、
𝐿 +𝐿 +𝐿

c1
L
𝐿K = B 1000になる。𝐿L は磁気飽和特性を表す励磁インダクタンス、𝑉m は電源電圧の

波高値、𝜃0 は電圧投入位相である。また、ωについてはω = 2π𝑓e で与えられ、𝑓e は電源
電圧の周波数である。
磁束𝜙は式(1.1)を変形して式(1.4)から得られ、𝐿L については式(1.5)、(1.6)から求めることができる。

𝜙 = ∫ 𝑉(𝑡)𝑑𝑡 − 𝑅A ∫ 𝑖m 𝑑𝑡
𝐿L = {

𝐿m (|𝜙| ≤ 𝜙max )𝐿air (𝜙max > |𝜙|𝐵S
𝜙max = 𝜙n ( )
𝐵n

(1.4)
(1.5)
(1.6)

ここで𝜙max は飽和磁束値、𝐵n は変圧器の定格磁束密度、𝐵s は飽和磁束密度、𝜙n は定格磁束密度である。以上から、励磁突入電流𝑖m を求めることができる。

-5-

Fig. 1.5：𝑖-𝜙簡易磁気特性

Fig. 1.6：𝜙-𝐿特性[1]

-6-

1.5

常微分方程式の計算手法

本稿で励磁突入電流の計算に用いた常微分方程式の数値計算法は、1 段階法で陽的な解法であり、ルンゲ・クッタ法に比べ誤差が小さくなるよう、A. Ralston によって改良された最適ルンゲ・クッタ法である。この計算方法は時間の刻み幅Δ𝑡に対して係数が変化することから、𝛷-𝐿特性の階段状の変化に対応できる。 𝑖を時間𝑡の関数𝑖(𝑡)とし、𝑖の時間微分𝑑𝑖 ⁄𝑑𝑡を関数𝑓(𝑡, 𝑖)とおくと最適ルンゲ・クッタ法は式(1.7)で定式化される。
𝑘00 = 𝑓(𝑡n , 𝑖n ), 𝑘1 = 𝑖n + 𝛼10 𝑘00
𝑘11 = 𝑓(𝑡n + 𝜏1 , 𝑘1 ),𝑘2 = 𝑖n + 𝛼20 𝑘00 + 𝛼21 𝑘11

𝑘22 = 𝑓(𝑡n + 𝜏2 , 𝑘2 ),𝑘3 = 𝑖n + 𝛼30 𝑘00 + 𝛼31 𝑘11 + 𝛼32 𝑘22

𝑘33 = 𝑓(𝑡n + 𝜏3, 𝑘3 )𝑖n+1 = 𝑖(𝑡n + Δ𝑡) = 𝑖n + (𝑐0 𝑘00 + 𝑐1 𝑘11 + 𝑐2 𝑘22 + 𝑐3 𝑘33 )Δ𝑡

(1.7)

ここで、
𝜏1 = 0.4Δ𝑡,

𝜏2 = 0.45573725Δ𝑡,

𝜏3 = Δ𝑡𝛼10 = 0.4Δ𝑡
𝛼20 = 0.29697761Δ𝑡,

𝛼21 = 0.15875964Δ𝑡

𝛼30 = 0.21810040Δ𝑡,

𝛼31 = −3.05096561Δ𝑡

𝛼32 = 3.83286476Δ𝑡
𝑐0 = 0.17476028,

𝑐1 = −0.55148066

𝑐2 = 1.20553560,

𝑐3 = 0.17118478

上記の式(1.7)から励磁突入電流を求めることができる。

1.6

差分進化法

差分進化法(DE)とは、進化的アルゴリズムの一種であり、確率的な直接探索によって解集団を用いた多点探索を行うアルゴリズムである。差分進化法は非線形問題、微分不可能な問題などの現実的な実行時間では厳密な解を求めることが困難な問題に対して近似解を求めることが可能であり、様々な最適化問題に適応されている。また以下にア
ルゴリズムの流れを示す。
1.

ベクトル集団の作成指定された各次元の最小値と最大値の範囲で一様乱数によって𝑁個の初期個体𝑿𝐑𝒊の生成を行うことで、初期集団{𝑿R𝑖 , 𝑖 = 1, 2, ⋯ , N}を構成する。
-7-

2.

変異
各個体𝑿R𝑖 に対し、4 つの個体𝑿R0 , 𝑿R1 , 𝑹R2 , 𝑿R3 を重複しないようにランダムに選択する。新しいベクトル𝑼(mutant vector)を基本ベクトル𝑿R1 及び差分ベクトル
𝑿R2 − 𝑿R3 から以下のように生成する。

𝑼 = 𝑿R1 + 𝐹(𝑿R2 − 𝑿R3 )(1.8)

スケーリングファクター𝐹はユーザが値を設定する変数で[0,1]の区間で定義されるアルゴリズムの制御パラメータである。
3.

交叉
親ベクトル(parent vector)を𝑿R0 とし、ベクトル𝑼と𝑿R0 の各次元の要素を交叉率𝐶𝑅の確率で𝑼の要素から継承し、1 − 𝐶𝑅の確率で親𝑿R0 から継承することで子ベクトル(child vector)を生成する。

4.

選択子ベクトルが親ベクトル𝑿R0 より評価が良い推定された場合、親ベクトル𝑿R0 を子ベクトルに置換する。

5.

終了判定
終了条件を満たしていればアルゴリズは終了する。満たしていない場合、2. から 5.
を繰り返す。

Fig. 1.7：DE の概略図[4]DE の特徴としてランダムに選択した個体間の差分ベクトルを用いて新たな個体を生成する点が挙げられる。この様に差分ベクトルを用いることによって、初期探索では-8-

Fig. 1.8 のように差分ベクトルが大きく探索範囲も比較的広範囲である。また、探索が進んで行くにつれて解集団が解付近に集まっていき、さらに差分ベクトルが小さくなることによって解があると思われる付近を詳細に探索可能である(Fig. 1.9)。

Fig. 1.8：DE の探索初期[4]Fig. 1.9：DE の探索中盤[4]

-9-

1.7

遺伝的アルゴリズム

遺伝的アルゴリズム（GA）とは 1975 年にミシガン大学の Jhon Henry Holland によって提案された近似解を探索するメタヒューリスティックなアルゴリズムである。メタヒューリスティックとは、どのような問題に対しても汎用的に対応できるということである。GA はデータを遺伝子で表現し、その遺伝子群を１個体として扱う。この個体が生物の進化の過程を模したような選択、交叉、突然変異といった遺伝子操作を行い、解の探索を行う。また、以下にアルゴリズムを示す。
1.

初期解の生成
染色体𝑋𝐼（𝐼は個体番号）を構成する。まず𝑋𝐼 の初期個体（親）𝐽個（𝐼 = 1, 2, ⋯ , 𝐽 ; 𝐽
は 4 以上の偶数）をそれぞれ遺伝子情報の制約範囲内でランダムに生成する。

2.

交叉
個体数𝐽個に対し、𝐼の値が(1, 2), (3, 4), ⋯ , (𝐽 − 1, 𝐽)となる組をそれぞれ親とする。次に、染色体の一定の切断箇所において交叉を行い、新たな個体（子）を𝐽個生成する。

3.

突然変異
[0, 1]における一様乱数を𝑟として式(1.9)で算出できる乱数𝐶𝐼 (𝐼 = 𝐽 + 1, 𝐽 + 2, ⋯ , 2𝐽)を用いて、式(1.10)より遺伝子情報に突然変異をそれぞれ制約範囲内で生じさせる。
𝐶𝐼 = 1 − √ 1 − 𝑟
𝑥′ = 𝑥 { 1 +𝐶𝐼5(−1)100𝑟 }(1.9)(1.10)

ここで、𝑥は遺伝子情報、𝑥 ′ は突然変異後の遺伝子情報、100𝑟は 100 を超えない最
大の整数。
4.

各個体の適応度を計算得られた2𝐽個の個体それぞれに対して適応度を計算し、適応度の高い上位𝐽個を次世代へと引き継ぐ。

5.

指定された試行回数に達するまで 2 から 4 を繰り返す。その後終了。

- 10 -

1.8

先行研究

上記したように、これまでの研究では最適ルンゲ・クッタ法と GA を組み合わせて、機器定数推定が行われている。その結果を Table 1.1 に示す。この結果よりより励磁突
入電流波形を求めたところ、Fig. 1.11 のようになった。測定波形と推定波形は一致しているとは言い難く、特に電流の立ち上がり部分において大きな誤差が見受けられる。また、Fig. 1.10 から推定した機器定数の値の分散が大きいことも分かり、特に、𝐿m1 に注
目すると最小値が𝐿m1 = 4.03 × 104 mH、最大値が𝐿m1 = 7.16 × 104 mHと差が非常に大きく、この点に関しても十分に改善の余地があると考えられる。
。
Table 1.1：GA により得られた最も評価の良い機器定数

𝐿air [mH]𝜙res [%]𝐿c [mH]𝜃0 [degree]𝐿m [mH]𝐵c [T]

4.68 × 101−2.86 × 101

3.50 × 101

1.95 × 102

6.40 × 104

1.67

Fig. 1.10：GA により求めた機器定数- 11 -

Fig. 1.11：GA により求めた励磁投入電流波形

1.9

本研究の目的

これまでの研究では変圧器の励磁突入電流波形をもとに行う機器定数推定を最適ル
ンゲ・クッタ法と GA を用いることによって行われてきた。しかしながら、Fig. 1.11
からも分かるように大きな誤差が生じている部分があり、まだまだ改善の余地があると考えられる。
そこで本研究では、GA の代わりに DE を用いることによって変圧器の機器定数推定のさらなる精度の向上を図ることを目的とする。

- 12 -

第2章 推定手法
2.1

計算手法

本研究では、DE と最適ルンゲ・クッタ法を用いて変圧器の機器定数を求める。測定
波形を Fig. 2.1 に示す。今回は測定波形の𝑡 = 0.035 s までを計算対象とする。測定波形
は1.0 × 10−4 s ごとに測定しているので最適ルンゲ・クッタ法の時間の刻み幅を∆𝑡 =1.0 × 10−4 s とし、各時間において測定値と計算値の距離を計算し、その総和をサンプ
ル数で割ることによりそれぞれの誤差の平均値を出している。今回はこれを評価関数とし式(2.1)に示す。

𝑑=1∑|𝑖MEA − 𝑖SIM |
𝑁

(2.1)

ここで𝑖MEA は測定値、𝑖SIM は計算値、𝑁はサンプル数を表す。
今回推定する機器定数は、漏れインダクタンス𝐿c 、励磁インダクタンス𝐿m 、空心イン
ダクタンス𝐿air 、定格磁束密度𝐵n 、初期位相𝜃0 、残留磁束𝜙res である。これらの値を式(1.1)～(1.7)に代入し𝑡 = 0.035 s まで計算し、式(2.1)により評価し解を探索していく。また、Table 2.1 に今回の解候補群の探索範囲を示す。

Fig. 2.1：測定波形- 13 -

Table 2.1：解候補群の探索範囲

2.2

機器定数

探索範囲

漏れインダクタンス [mH]

0 < 𝐿c

励磁インダクタンス [mH]𝐿c < 𝐿m

空心インダクタンス [mH]

0 < 𝐿air < 10𝐿𝑐

定格磁束密度 [T]1.55 < 𝐵n < 1.7

初期位相 [degree]0 ≤ 𝜃0 < 360

残留磁束 [%]−85 ≤ 𝜙r ≤ 85

計算環境

Table 2.2 に計算環境を示す。
Table 2.2：計算環境

OS

Windows 10 Pro

プロセッサ

AMD Athlon(tm) Ⅱ X2 220 Processor

コア数

2

スレッド数

2

動作周期

2.8 GHz- 14 -

第3章 結果及び考察
3.1

差分進化法と遺伝的アルゴリズムの比較

今回は交叉率𝐶𝑅 = 0.9、スケーリングファクター𝐹 = 0.8、個体数 20、世代数 2000 として計算を行った。計算した波形を Fig. 3.1 に示す。Fig. 3.1 から分かるように GA では精度が優れなかった立ち上がりの部分が比較的改善されている。また、Table 3.2 から分かるように評価関数の値も𝑑 = 9.57と GA の半分ほどの値になっており、より良好な結果が得られている。処理時間も約 10 分の 1 になっている。さらに Fig. 3.2 から解の改善
速度の違いも見られる。DE の方が初期の評価関数の値が大きいにも関わらず、世代数
200 から 300 程度で GA より評価関数の値が小さくなっており、さらにその後も解が改善していっていることが分かる。一方で GA は評価関数の値は小さくなっているものの、DE と比べ非常にその速度が遅いことが分かる。すなわち解の改善速度が遅いと言える。GA は探索範囲が一定なのに対し、DE は探索初期では差分ベクトルが大きいた
め広範囲の解探索を行っているものの、それぞれの個体が解があると思われる付近に収束していき、個体が収束することによって差分ベクトルが小さくなり探索範囲が限定され、解があると思われる付近をさらに詳細に探索が可能である。DE は GA に比べ効率的な解探索が行うことができると言える。ゆえに、解の改善速度も速く評価関数の値も小さくなっている。さらに、それぞれの手法で求められた機器定数の Fig. 1.10、Fig. 3.3を比較すると収束度の違いがみられる。差分進化法は探索初期では比較的広範囲を探索しているが、世代が進むにつれて狭い範囲に個体が収束していき探索する特徴があるため、機器定数の分散が小さくなっていると考えられる。
Table. 3.1：DE による機器定数推定の結果

𝐿air [mH]
1.49 × 10

3𝜙res [%]
1−5.59 × 10

𝐿c [mH]𝜃0 [degree]𝐿m [mH]𝐵c [T]

1

2

4

1.69

3.22× 101.95 × 10

3.30 × 10

Table 3.2：GA と DE の評価関数と処理時間の比較
Evaluation function 𝑑Time [s]

GA

19.5

5.54

DE

9.57

0.515

- 15 -

Fig. 3.1：DE によって求めた励磁突入電流波形

Fig. 3.2：DE と遺伝的アルゴリズムの評価関数の値の変化- 16 -

Fig. 3.3：DE によって求めた機器定数3.2

差分進化法の制御パラメータ

DE を制御するパラメータにはスケーリングファクター𝐹と交叉率𝐶𝑅がある。ここではこれらのパラメータを変化させたとき、評価関数がどのように変位するのか調べる。
まず、スケーリングファクター𝐹の値を0.2から1.0まで0.2刻みで変化させた場合の評価関数の値の変位を見てみる。このとき交叉率𝐶𝑅は 0.9 である。Fig. 3.4 から𝐹 = 0.8のとき最も評価関数の値が小さい、すなわち最も良好であり、𝐹 = 0.2のとき最も評価関数の値が大きい、すなわち最も良好でない結果が得られている。DE において Fig. 1.8 にも示したように、探索初期では差分ベクトルが大きく、広範囲の探索を行うことが可能であるが、𝐹の値が小さすぎると差分ベクトルの大きさも小さくなってしまい、探索初期で十分な範囲の解探索ができていないと考えられる。また、十分な範囲を探索できていないことから局所解に陥りやすくもなっており、Fig. 3.4 でも見受けられるように𝐹 =0.2のとき他の𝐹の値のときと比べ、、明らかに評価関数の値が大きい解に収束していることが分かる。以上のことから、スケーリングファクター𝐹の値が小さすぎると、DE の特徴の一つである広大な範囲の初期探索が十分に行うことができず、結果的に DE 自体- 17 -

の性能も劣化してしまっていると言える。

Fig. 3.4：スケーリングファクターF による評価関数の値の変化

次に交叉率𝐶𝑅の値を0.2から1.0まで0.2刻みで変化させたとの評価関数の変位を見ていく。このときスケーリングファクター𝐹は0.8である。Fig. 3.5 より𝐶𝑅 = 1.0のとき最も評価関数の値が小さくなり、𝐶𝑅 = 0.2のとき最も評価関数の値が大きくなっている。また、𝐶𝑅の値が大きいほど比較的に解の改善速度が速い。𝐶𝑅の値が大きいほど交叉が積極的に行われているためより広い探索範囲を有しているためだと考えられる。ゆえに、
𝐶𝑅 = 0.2のときは解の改善速度が遅く同じ世代数試行しても他の場合と比べ、評価関数の値が大きくなっていると考えられる。
次にスケーリングファクター𝐹と交叉率𝐶𝑅をそれぞれ変化させた場合について見ていく。Fig. 3.3、Fig. 3.4 において𝐹、𝐶𝑅の値が小さい方が評価関数の値が大きかった様に Fig. 3.6 でも同じような結果が得られている。この結果から今回の場合は𝐹 = 0.6、
𝐶𝑅 = 0.8または𝐶𝑅 = 1.0程度で計算を行うことが最も適していると言える。つまり、差分ベクトルはある程度大きさが必要であり、交叉は積極的に行われる方が良いと言える。

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Fig. 3.5：交叉率𝐶𝑅による評価関数の変化

Fig. 3.6：𝐹、𝐶𝑅をそれぞれ変化させた場合の評価関数の変化- 19 -

3.3

最適ルンゲ・クッタ法の時間刻み幅∆𝑡

ここでは最適ルンゲ・クッタ法の時間刻み幅∆𝑡を変化させ評価関数の変位を見てみる。
機器定数を DE で推定した機器定数で固定してΔ𝑡のみを変化させた場合の評価関数を計算した。その計算結果を Table 3.3 と Fig.3.7 に示す。評価関数が最も小さくなったのはΔ𝑡 = 1.0 × 10−4 s でありその付近で良好な結果を示している。しかし、Δ𝑡を5.0 ×
10−4 s と大きくした場合、急激に評価関数の値が大きくなっている。測定波形の測定
周期は1.0 × 10−4 s であり 350 点測定している。よって、Table. 3.3 においてはΔ𝑡が1.0 ×
10−4 s 以下の場合は 350 点すべての測定値において比較・評価が可能である。しかし、
Δ𝑡 = 5.0 × 10−4 s の場合は 175 点の測定値のみで比較・評価を行っているのでサンプ
ル数が不十分であり、さらにΔ𝑡の値が大きいことから最適ルンゲ・クッタ法の精度自体も劣化しているため評価関数の値も大きくなってしまったと考えられる。次にΔ𝑡 =2.0 × 10−5 s 以下の値で評価関数の値が大きくなっていることに着目する。Δ𝑡の値が小
さいほど精度の良い計算結果が得られると考えたが、精度が落ちていくことが分かった。
最適ルンゲ・クッタ法は常微分方程式の数値計算法の一種であり、ここではその性質が影響していると考えられる。式（1.7）に示したように、最適ルンゲ・クッタ法は初期値から時間刻み幅Δ𝑡[𝑠]ごとに計算結果を出している。さらに、Δ𝑡[𝑠]後の計算を行うたびに局所解が生じている。局所解とは、Δ𝑡[𝑠]後の計算を行うごとに生じる真の値との差である。また、局所解の総和を累積誤差という。例えばΔ𝑡 = 1.0 × 10−5 s の場合、この累積誤差が大きくなり評価関数も大きくなってしなったと考えられる。Δ𝑡 = 1.0 × 10−4 sの場合、測定波形は 0 s から0.035 s なので 1 波形に対して 350 回計算を行っている。
すなわち、局所誤差も 350 回生じている。一方で、Δ𝑡 = 1.0 × 10−5 s の場合は 1 波形に対して 3500 回もの計算を行っていることになるので、局所解も多数生じ累積誤差が大きくなってしまい、その結果評価関数の値も大きくなってしまったと考えられる。その様子が Fig. 3.9 からも分かる。したがって、今回の場合は∆𝑡 = 1.0 × 10−4 s に設定し計算を行った場合が最も精度の高い計算が可能である。
Table 3.3：機器定数を固定し時間刻み幅Δ𝑡を変化させた場合の評価関数𝑑の変化∆𝑡[𝑠]1.0 × 10−5

2.0 × 10−5

5.0 × 10−5

1.0 × 10−4

2.0 × 10−4

5.0 × 10−4

𝑑[A]

18.21

15.42

12.66

10.64

14.23

26.99

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Fig. 3.7：時間刻み幅の変化による評価関数の変化

Fig. 3.8：時間刻み幅を変化させたときの波形- 21 -

3.4

1 波形のみ計算

ここでは励磁突入電流の 1 波形のみ、𝑡 = 0.015 s までの計算を行った。Fig. 3.9 に計算した波形を示す。1 波形分の計算に関しては波形全体の計算を行った場合より𝑡 =0.015 s までのみ計算した場合の方が評価関数の値は良好なものであった。しかし、
𝑡 = 0.035 s までの評価関数を計算したところ、2 波形目で大きなずれが生じているため、𝑡 = 0.015 s までで機器定数の推定を行った場合の方が優れない値を示した。よって、波形全体を対象に機器定数を推定する方が適当である。

Fig. 3.9：DE による計算を 1 波形のみ行った場合の励磁突入電流波形(𝑡 = 0.015 s まで)- 22 -

Fig. 3.10：DE による計算を 1 波形のみ行った場合の励磁突入電流波形(𝑡 = 0.035 s まで)

3.5

世代数とスケーリングファクター𝐹

ここまでは世代数を 2000 に固定して計算してきたが、ここでは世代数を 10000 まで上げて計算を行う。その結果を Fig. 3.11 に示す。このとき交叉率とスケーリングファク
ターはそれぞれ𝐶𝑅 = 0.8、𝐹 = 0.6である。評価関数の値は、3000 世代を超えたあたりから減少しなくなっている。つまり解が改善されなくなっているのである。その解決策としてスケーリングファクター𝐹をある世代数で小さい値に変化させることを考えた。
DE では探索初期は差分ベクトルが大きいため広範囲の探索をしており、探索終盤は解が収束していき差分ベクトルが小さくなるため解があると思われる狭い範囲の探索を行っている。
この探索終盤で𝐹の値を小さくすることによって差分ベクトルも小さくし、さらに詳細な探索が可能になるのではないかと考えたからである。今回は𝐹 = 0.6と設定し、解の改善が見られなくなった 4000 世代から𝐹 = 0.2に変化させ計算を行った。その結果を Fig. 3.12 に示す。𝐹の値を 4000 世代で小さくすることによって解の改善を図ったが、評価関数の値は減少しなかった。その原因は式（1.8）から推測できる。探索終盤では解が収束しているため式（1.8）の𝑿R2 − 𝑿R3 の部分が非常に小さい値になっている。𝐹の値を小さくすることにより差分ベクトルを小さくして解の改善を図ったが、𝑿R2 − 𝑿R3 が十分に小さくなっているため、逆に差分ベクトルが小さく- 23 -

なりすぎて解の進化が滞ってしまったためだと考えられる。
次に、4000 世代から𝐹 = 1.0にして計算を行う。𝐹の値を小さくすると差分ベクトルが小さくなりすぎて進化が行われなかったためである。その結果を Fig.
3.13 に示す。さらに、𝐹 = 0.2から F=1.0 に変化させた場合も計算した。その結果を Fig. 3.14 に示す。Fig. 3.13 では評価関数の値に改善は見られなかったが、Fig. 3.14 では評価関数が小さくなっていることが分かる。探索序盤では、広範囲の探索ができておらず、局所解に陥って評価関数も大きくなっているが、4000 世代からは𝐹 = 1.0になったため解が急速に改善されていき、評価関数お値も最も小さい結果が得られた。

Fig. 3.11：10000 世代まで計算を行った場合の評価関数の変化- 24 -

Fig. 3.12：𝐹 = 0.6から 4000 世代で𝐹 = 0.2に変化させたときの評価関数の変化

Fig. 3.13：𝐹 = 0.6から 4000 世代で𝐹 = 1.0に変化させたときの評価関数の変化- 25 -

Fig. 3.14：𝐹 = 0.2から 4000 世代で𝐹 = 1.0に変化させたときの評価関数の変化- 26 -

3.6

世代数と交叉率𝐶𝑅

Fig. 3.5 では𝐶𝑅の値が小さい場合比較的評価関数値が大きくなっているが、世代数をに大きくすると評価関数値は十分に小さくなると考えた。そこで、世代数を 10000 まで上げて𝐹 = 0.8とし𝐶𝑅の値を変えて計算を行う。その結果を Fig. 3.15 に示す。𝐶𝑅 = 0.8のとき最も評価関数値が小さくなったが、すべての場合において評価関数値は 9 – 10 の範囲まで改善されている。2000 世代までの計算では𝐶𝑅の値によって評価関数値に大きな差が生じていたが、10000 世代まで計算を行うことによってその差は比較的小さくなっており、さらに𝐶𝑅 = 0.2の場合が 3 番目に良好な結果となっている。𝐶𝑅は大きいほど解の改善速度が速いが 5000 世代までに、解の改善があまり見られなくなった。また、
𝐶𝑅は交叉する確率であるため小さい場合でも確実に交叉が行われており、解の改善速
度は遅いものの、着実に評価関数値は減少していき 10000 世代も計算を行うと𝐶𝑅の値
がいかなる場合であっても、おおよそ同じ値に収束していったと考えられる。しかし、小さい世代数で良好な結果を得る、効率の良い計算を行うならば、𝐶𝑅は大きく設定した方が良いと言える。
また、𝐶𝑅 = 0.8のとき 5000 世代までに評価関数が減少しなくなっているためスケー
リングファクターの場合と同様に 5000 世代から𝐶𝑅を小さくすることによって解があると思われる付近を詳細に探索し、解を改善できないかと考えた。そこで、5000 世代から
𝐶𝑅 = 0.8から𝐶𝑅 = 0.2と変化させ計算を行った。その結果を Fig. 3.16 に示す。しかし評価関数値は減少しなかった。スケーリングファクターの場合と同様で、探索終盤では解が収束しているため式（1.8）の𝑿R2 − 𝑿R3 の部分が非常に小さい値になっている。

そのため、差分ベクトルが小さくなりすぎてしまい解の改善が見られなくなったと考えられる。

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Fig. 3.15：様々な𝐶𝑅を用いて計算を行った場合の評価関数の変化

Fig. 3.16：𝐶𝑅 = 0.8から 5000 世代で𝐶𝑅 = 0.2に変化させた場合の評価関数の変化- 28 -

3.7

親ベクトルを常に最良の個体に固定した場合

DE にはいくつか種類があり、今回は DE/rand/1/bin という DE を使って計算していた。
これは、親ベクトルを無作為に選択し差分ベクトルは 1 つ、一定確率で交叉を行うものである。また一方で、DE/best/1/bin は親を常に最も評価の高い個体に設定し計算を行う
DE である。DE/best/1/bin を用いることによって評価関数の値を小さくすることを試みた。𝐶𝑅と𝐹をそれぞれ変化させた場合の評価関数の変化を調べてみた。その結果を Fig.
3.15 に示す。
評価関数の値が最も小さくなったのは、𝐹 = 0.8、
𝐶𝑅 = 0.4のときであった。
このとき評価関数の値は𝑑 = 11.350である。DE/rand/1/bin より精度を高くすることはできなかった。また、DE/rand/1/bin の場合は全体的に𝐶𝑅の値が大きい方が比較的評価関数の値が小さくなっていたが、DE/best/1/bin の場合は逆の特性を示している。1.7 節にも表記したように、子ベクトルは交叉率𝐶𝑅の確率で新しいベクトル𝑈から要素を継承し、
1 − 𝐶𝑅の確率で親ベクトルから要素を継承する。今回、親ベクトルは最良個体に設定しているため、親の要素をより多く継承した方がより良い子ベクトルが得られるため𝐶𝑅の値が小さい方が比較的に良い結果が得られたと考える。また、パラメータをグラフにした図を Fig. 3.16 に示す。Fig. 3.3 と比較すると違いは歴然で分散が非常に大きくなっている。評価関数の値も最良の個体は𝑑 = 11.350と比較的良いが、2 番目に良い個体でも 評 価 関 数 の 値 が 𝑑 = 64.38 と 非 常 に 大 き な 値 に な っ て い る 。 DE/best/1/bin がDE/rand/1/bin に精度が劣ってしまったのは分散が大きくなってしまったためだと考えられる。DE は探索初期では広範囲を探索し探索終盤で解があると思われる付近を詳細に探索することができるが、解が収束していないため探索終盤の詳細な探索が行えず、精度が劣化したと考えられる。

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Fig. 3.17：𝐹、𝐶𝑅をそれぞれ変化させた場合の評価関数の変化（DE/best/1/bin）

Fig. 3.18：DE/best/1/bin で求めた機器定数- 30 -

第4章 結論
今回の目的である GA の代わりに DE を用いることによって、超伝導変圧器の機器定
数推定の精度の向上は達成できたと言える。しかし、励磁突入電流波形の測定値と計算値を比較するとまだ誤差があるので、改善するためには簡易磁気特性を使用しているな
ど簡易的な計算を行っているので、さらに詳しい式が必要となると考える。
GA と DE の間で精度が大幅に変わったことは探索方法に大きな違いがあるからだと考えられる。GA は常に一定の探索範囲をランダムに探索しているが、DE は差分ベク
トルを用いており探索初期では広範囲を、探索終盤では解があると思われる付近に各個体が収束していき、さらにその付近を詳細に探索することができるため、効率が比較的に良く、評価関数、分散度、解の改善速度において GA を上回ることができたと考える。
さらに、
1 世代の計算を行う際に DE では計算に用いる個体数が 4 つであることに対し、
GA では全個体と生成した子のすべてを計算する必要があるため、処理時間も大幅にかかってしまう。今回の場合は実行時間の差が5 s 程であったが世代数が大きくなったり、計算が複雑になったときには、処理時間の差がさらに大きくなる。
GA より DE の方が優れた結果が得られたが、DE の交叉率、スケーリングファクターの設定が大切である。適切なパラメータを設定しないと、DE の性能が十分に発揮されない。Fig. 3.6 からも分かるように、パラメータによって評価関数に大きな違いが生じており、特にスケーリングファクター𝐹を適切に設定しなければ局所解に陥ってしまい
DE の性能に大きく劣化してしまう。

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参考文献[1] 徳永 義孝「励磁突入電流波形に遺伝的アルゴリズムを適用した超伝導変圧器の機器定数推定」 低温工学 53 巻 1 号 2018 年 17 から 22 ページ[2] 徳永 義孝「巻線形状の設計手順を用いて推定した機器定数による二巻線電力用変圧器の励磁突入電流解析」 2008 The Institute of Electrical Engineers of Japan
[3] 南潤「遺伝的アルゴリズムを用いた超伝導パラメータ推定方法の検討」 九州工業大学
情報工学府情報システム専攻論文（2010）[4] 田口拓人「差分進化法を用いた磁束クリープ・フローモデルのパラメータ推定」 九州
工業大学情報工学部電子情報工学科卒業論文（2017）[5] T. Matsushita, T. Fujiyoshi, K. Toko and K. Yamafuji, Appl. Phys. Lett. 56 (1990) 2039.
[6] E. S. Otabe, M. Kiuchi, “Critical Currents in Superconductors”, Fuzambo International (2005)
pp71, 89.
[7] T. Matsushita: Physica C 217 (1993)461.
[8] 未踏科学技術協会 超伝導科学技術研究会編著 「これ 1 冊でわかる超伝導実用技術」
日刊工業新聞社(2013)[9] 超伝導技術の現状と将来展望 Business ＆ Economic Review 1996 年 09 月号- 32 -

謝辞
私の指導教官である九州工業大学院情報工学研究院電子情報工学研究系エレクトロニクス分野 小田部荘司教授に深くお礼申し上げます。学業の指導はもちろんのことな
がら、私生活の面で 1 人の大人、社会人として必要になるスキルや知識を教えていただ
いたことに感謝します。
また、岡山県立大学情報工学部の徳永義孝准教授にも深くお礼申し上げます。私の研究の助けになる実験データや資料をいただいたことを感謝します。
最後に、小田部研究室メンバーには公私ともに助言をいただくなど大変世話になりました。改めてここに感謝の意を表します。

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