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特集／群と物理学■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
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群と相対性理論

小玉英雄

相対性理論は， 自然法則の記述において特別なする理論体系である． この理論では，光速不変性基準系が存在しないことを基本原理（相対性原理）が慣性系を決定する判定基準を与える．光速をcとする法則記述の体系である1)．現実の世界では，とすると，時空点(to,"0)を光源とする光波面の方程式は,4"0=cAt=c(t‑to),△錘＝錘一錘0

異なる基準系に関する物理量の値は観測により対応が付くため，相対性原理は， この対応付けを表す物理量の変換に対して， 自然法則が不変であることを要求することになり，法則の構造を強く規定する． この異なる基準系間での物理量の変換は，数学的には，物理量の空間における変換として表を用いて

As2:=△麺2‑c2At2=りαb△〃α△〃6=0と表される*'' 、 ここで，〃αbは，空間の次元をn,I"を、次の単位行列とするとき，定数行列,"'=(1 :）現され，その全体は群をなす．

一般相対性理論では,この変換群は時空多様体〃の微分同相変換の全体の作る無限次元群Diff(M)となり，法則の不変性は共変性と呼ばれる． これは，一般にこの変換により時空構造が見かけ上変化するためである． しかし，時空が対称性をもつと,Diff(M)の有限次元部分群Gに対して時空計量が不変となる． この群Gが十分大きいと，時空構造は強く規定され，その上での物理法則に豊かな構造が現れる．例えば，特殊相対性理論は， このGがPoincal､@群となる場合に相当する．本稿
では，このような高い対称性をもつ時空の構造，特に等長変換群と時空の無限境界の共形変換群の対で与えられる． mαが〃8に近づいた極限では，上の式は次の無限小バージョンに帰着する：

ds2三〃αbd"αd"I)=0.

（1）

光速不変性は，慣性系の間の座標変換がこの光波面の方程式を不変にすることを要求する（図1)．
この変換を一般に， 砥'α＝／α(雛）とおくと，無限小バージョンの光波面の方程式の不変性は

dS'2="｡I)A"cAjddrc(ね㎡=(22"(:r)ds2. (2)すなわち，〃αbAo(､A6㎡=E2JZ(;r)71(Yj

応について詳しく解説する．

（3）と表される． ここで,"(.r)はfαによI)決まる未U､光速不変性と共形K伽ベク 〃 □特殊相対性理論は，慣性系に限定された相対性原理と （慣性系での）光速の不変性を雄本原理と知の関数, A('cは行列関数*' ）以I､ p 「同の項に同じ記号･の上付き添え字と下付添え字が現れた場合は．その添え字について和を取る」というEin急t〔』inの和の規約を用いる．

20』

個の線形独立な解を与える．

ところが，次節で示すように， 泥≧2のとき， これは(4)の持ち得る

三三 奎謹線形独立な解の最大数と一致する．

したがって，

錘ダ

沌＞2のとき，すべての解を求めたことが保証される．

、
ザ1■b 一一一■■一一一一一

図1

光速を保つ変換．

ハ鰹｡:=旦拶

昨撫塁曜…I
1節で求めた無限小変換の全体は，閉じたLie代である． この条件を満たす変換の全体の作る群は一般にLie群Gとなる.Gは位相的に連結でなく，単位元（＝恒等変換）を含む連結成分をGoとすると,Goと適当な有限離散部分群rの半直積
G=GoxFと同型となる．
連結部分Goは次のようにして決定される． まず，恒等変換に近い変換（無限小変換） 6"α＝/α(")一範α＝§αを考えると， （3)はa､<>""" "‑*a.g" (4)となる（〈α＝〃αb<b). この方程式は(Minkowski数を成す．

したがって,Lie群の一般論に従うと，これらは連結Lie群Goの普遍被覆群を一意的に定義する．実際，ベクトル場凡,Mh6,S,Qαを
凡=4,Mhb="ba"一⑩aab,s="｡am,Q｡‑6‑;"2a｡ (5b)により定義すると，今求めた無限小変換はif｡IE ,"'M*+Ffr'｡Q"と表され，代数的に閉じた交換関係を与える：[MJ6,Mbdl=2〃αldM16‑2〃6[dMbl｡,時空の）共形Killing方程式と呼ばれる．
この方程式を直接一般的に解くことも可能であIMb6,FLI=2叩alc凡1'

るが， ここでは ≧2として，少し違ったアプ[s,Fhl=一尾,ローチで完全解を求める．そのため， まず， 〈が凪,Fil=0,砥αの2次以下の多項式であるとして,解を求める．

．=｡｡十入｡" 十:｡. 唇〃(5a)IMh',,Qcl=277cI@Qbl,{s,Q@1=Q@,{s,Mubl=0,{Q@,Q61=0,{FIm,Qbl=〃α6S+Mmb.

（6）

このLie代数に対応する連結Lie群はSOo("+を(4)に代入すると，定数係数人｡＆とびabcに対1,2）と局所同型となる． ここで,So(p,q)は，非する分離した同次線形方程式

正値計量

ム" 手入 ｡=命》lcc71(nl,,。""+".｡ﾆｰ念･ 伽,'を得る．第1式の一般解は，容易に求まり，
入α6=d7ﾉab+uﾉα67(人ﾉαb==‑(人ﾉ比となる． また, oddc=lcとおくと，第2式の一般解は･"'"‑*(!'':十棚‑I｡"b[」で与えられる． これらは全体で， （ ＋2)("＋3)/2
数理科学NO.6()1. J[TLY2{)134"=(:3噸）をもつ空間Ep･9の特殊直交変換の全体が作る群

SO(p,9):={VESL(p+9,R) ITW,,,qV=Ij,,,}、
である. SOo(p･9)はその単位元を含む連結成分で, SO("9)=SOo(p､9) >qZ2 (p9≠0)である． I"､(ノに相J1する計最テンソルを7ﾉABと書：〈と, SO(p､9)のLie代数の交換関係は、 条件(ﾉ)＋9)(！)＋9−l)/2個の基底ハノAR=一ﾊﾉBA(A、B=1. ･ ･ ･ .1)+q)を用いて21

IMAB,MCDI=2w7AIDMcIB‑2りBIDMblA（7）の無限小変換と対応する(6A･6=(AJ｡b)． ここで，A=(A｡b)は(3)でJJ=0とおいた条件式を満と表きれる．

実際,E"+1'2の計量を座標の1次変換により

ds2=りABd"Ad"B=りa6dzad"b+2d"+d勿一と変換し，交換関係(7)においてハムー=S,

範ﾉα=Aab"b+cc

JM+a=凡,M̲α=Q@たす定数行列である．明らかに, Caの全体は並進群R4を成し, 1次変換Aの全体はLorentz群

O(",1)となる．変換群全体は， これらの半直積

O(",1)>qR4と同型となり,Poincarさ群ないし非同次Lorentz群と呼ばれる．
一方，無限小変換Sは明らかに，すべての座標とおくと，交換関係(6)が得られることが容易にを一定倍にスケールする変換⑯'＠＝入勿α確かめられる．

を生成する．物理法則がこの変換で不変とすると，（入＞0）

ただし， これは抽象群SOo("+1,2)のすべて自然法則は質量などの特別のスケールを基本定数の元に対し，光速不変性の要請を満たす変換が実として持つことができなくなくなる． このため，際に存在することを意味するわけではない． これ

特殊相対性理論では， この変換を慣性系の変換にを見るために, Lie代数の元に対応する無限小変含めず,Poincar6群を基本的な変換群とする．

換どαが与えられると，それに対応する1径数変換群のsがどαの軌道を求めることにより定まることを用いる．すなわち，常微分方程式

空2且＝と｡("(s)),"(0)="0dsの解を用いて，のs("0)="(s)により，変換のg :"0−〃(s)を定義すると，パラメータsの任意の値に対して解が存在する場合には，のsはsを加法的パラメータとする1次元群となり， 自然にLie代数に対応するLie変換群の部分群と見なすことができる （文献l)の§8.2参照) :の0=id,のs!｡｡s2=のs,＋s2．

この方法で, I(IQaに対応する変換を求めると，""=̲Ji̲=韮12−一¥I2";､"｡I+]□ 3.R…"多様棒の極大対称催 □一般相対性理論では，重力は時空計量

dS2=9I",(")d〃脾｡〃〃

で記述され，基準系の変更により消去できない重力場が存在するとき，時空は非自明な構造をもつ．
そのような非自明な時空がどのような対称性を持つかはしばしば重要な物理的意味をもつ．例えば，時空計量を保つ変換（等長変換）が存在すると，対応するエネルギーや運動量の保存則が得られる2)． また， スケール不変な方程式に従うゼロ質量場に対しては，高々局所的なスケールの変更を除いて計量が保たれる変換の*9=E2"(")9（8）となる． この変換は, s(≠0)をどのようにとってが存在すれば，同じく保存則が得られる． この変も，分母がゼロとなり特異となる和が存在することが容易に確かめられる．すなわち，時空全体換は，等長変換を特殊な場合として含み，共形変換で定義された変換にはならない． したがって，異なる壌準型を結びつける変換と見なすことはでき空の共形変換にあたる・一般のD次元Riemalmない．

は，共形Killing方程式

この変換を除いた残りの無限小変換は，時空全体で定義されたil則な変換群を与える． まず,R,とM"I)は，明らかにPoincar6変換
22と呼ばれる．前節で扱った変換は,Minkowski時多様体でも，共形変換群の単位元を含む連結成分▽"f"+班"=加!""==wM''の解である無限小共形変換（共形Killingベクトル場）6勿似＝を似により生成される．
次元Dが3以上のとき，共形Killing方程式は□常微分方程式に帰着することができる．実際，

Fルソー▽I産し1，似＝▽似とおくと，任意の曲線Cにそって次の方程式が成り立つ：

極大対称雲．

□等長変換に関して， この許される最大の対称性をもつ空間は極大対称空間と呼ばれ，物理学でも非常に重要な役割を果たす．上の議論で凡〃は局所的な回転(Lorentz変換）を生成するので，それが最大数のD(D‑1)/2となるという要請は，空▽"を〃＝拠脾(4ﾉ+uしFI,脾，間が各点で等方であることを意味する． また，残▽"凡"＝一R脾"入｡u入く。−2ul"""1,りD個のKillingベクトルは空間の次元と同じ数▽uuノー秘"(人ﾉ似，(D,""‑‑(2"蝶減‑fggi)"‐(…"‑壺可悩腱▽､侭)〈。
−2uし賂FI,)｡･
ここで， 秘は曲線Cの接ベクトルである． 曲線

cを麺似(s) とパラメータ表示すると，左辺のu"=d"似/ds方向の共変微分は▽"《"=筈‑聯鯵"ハのように書けるので，上記の方程式系は, f"(s)=5匹("(s)),凡"(s)=F)4"("(s)),"(s)=(AJ("(s)),"J"(s)=uj＃,("(s))に対する閉じた常微分方程式系と見なすことができる． したがって，適当な点Oを原点として固定し，そこでのこれらの量の値を与えると,Oを始点とし勝手な点Pを終点とする曲線に沿ってこの常微分方程式を解くことにより,Pでの値が決まることになる．ただし,OとPを結ぶ曲線は無限にあり，異なる曲線で求まったPの値が異なる場合には， この初期値に対するの並進の自由度に対応する．

したがって，極大対称空間は一様等方空間となる． このことを用いると，極大対称空間はEuclid空間ED,球面SD,双曲空間HDに限られることが容易に示される．
Euclid空間の等長変換群は，明らかにEuclid群IO(D)=O(D) ,<RDである． また球面SDの等長変換群は,O(D+1)となる． これはSDをEuclid空間ED+1に6ABXAXB=R2と埋め込むことができることより分かる．最後に，双曲空間HDは,D+1次元Minkowski時空ED,1にりABXAXB=̲R2(XO>0)と埋め込むことができる3) （図2)．

(10)これはLorentz変換で不変であるので,等長変換群はO+(D,1)={AEO(D,1)IAoo>0}となる．
これら3種の空間は大域的性質が大きく異なるが，すべて共形的に平坦である．実際， これらの空間の計量は,D="+1として，極座標表示でds2=R2(dx2+/(x)2dQ:)=R2ﾉ,2(7.)(d,.2+r2dQ:)

解は存在しないことになる． したがって,D≧3のとき， （9）の1次独立な解の数は，一点Oでの初期値の自由度D+D(D−1)/2+1+D=(D+1)(D+2)/2以下となる．同様にして9 (Aノ=0に相当するKilling方程式の解，すなわち無限小等長変換の独立な解の最大数は,D≧1に対し，D+D(D‑1)/2=D(D+1)/2となる．
図2ED･1に埋め込まれたH1） と(ISI)
数理科学NO.601､JIILY2013

23

’と表される． ここで, dQ:は知次元単位球面S"

ここで，慧眼な読者は，球面SDの共形変換群の計量, d"/r=dx//(x)で, /(x)=x(ED),O(D+1,1)がなぜ1次元高い双曲空間HD+1のsin(X)(SD),sinh(X)(HD)である． これより，明等長変換群と一致しているのか不思議に思うに違らかに，いずれの空間の計量9に対しても，適当いない．実はこれには理由がある．ポイントとなな写像のが存在しての*9=e2J79(ED)が成り立るのは，双曲空間HD+1の無限遠が球面SDとつ． このため，共形Killingベクトルの作るLie代同一視できることにある．

数は一致する． 1節の議論はEuclid空間でもそのまま成り立つので，このLie代数はSO(D+1,1)のLie代数と同型となる．

□5定箇率空悶の共形変換群と漸近対称性□
1節で扱ったMinkowski時空と同様,so(D+双曲空間HD+1の同次座標系XAをX｡=sinh(X.(Q))Q｡(q=1,…,D+1),

Xo=cosh(X.(Q))と表すと,QQ(Q2=1)を無限遠球SDの座標系と見なすことができる． ここで,.(Q)はQのなめらかな関数である．明らかに，を定数にとっ1,1）のうちEuclid空間では等長変換とスケールても， この無限遠球の計量は一意的には定まらず変換のみが大域的に正則な変換群として実現され定数倍の自由度が残る． また， のが一般の関数のる．双曲空間HDの場合は, (10)のようにED,1とき,X=一定面の計量は単位球面と共形的となに埋め込むと （簡単のためR=1とする),超曲面としてのHDに接するED'1のベクトル場る． このため,HD+1の等長変換は一般に無限遠を似:6XA=IA̲E(I.X)XA"HD(A=0,…,D)(11)(E=‑1)が等長でない無限小共形変換の基底を与える("J=‑El ･X). これらは，定数ベクトル
IAが時間的なときは大域的に正則な変換を生成するが，空間的なときは生成された変換は特異点を球の共形変換を誘導する．実は今の場合， この対応がHD+1の等長変換群とSDの共形変換群の同型対応を与える．実際， の＝ となる標準的な対応では,o(D+1,1)の部分群o(D+1)はそのまま,SDの等長変換群と対応する． さらに，ブーストに当たる無限小変換

Mb@=X血的−XO4((I=1,…,D+1) (12)もつ．

は,ED+1に埋め込まれた無限遠球面(QQ)におこれに対して，球面SDの場合には状況が異なる． この場合には， （'1）においてE=1とおいたベクトル場が非等長的な無限小共形変換の基底を与える． これらの無限小変換は常に正則な大域的変換を生成する． これを確かめるには，例えば

いて，無限小変換I｡MOa戸Iα一(I･Q)Q｡（13）を誘導することが確かめられる． これは，ちょうどSDの非等長的共形Killingベクトルと対応する．

IAがED+Ⅱにおける球面の北極向きの単位ベクトル(IA)=(0. ･ ･ ･ ,0,c)の場合を調べればよい．
他の場合は回転によりこの場合に帰着される． このIAに対するベクトル場(11)は，球面kで北極と南極を結ぶ大円に沿っており，北極からの天頂角を9とすると， 対･応する軌道の方程式は単に(i8/ds=‑csin9となる． この解は8のみの変換
tan(8/2)=e‑《stan(80/2)となり，任意のs>0で大域的にI眼則となる．

□ ・辰deSitterR控の漸近対称性 □極大対称空間と同様に，極大対称時空も3つのタイプ,Minkowski時空En･',deSitter時空

dSD,反deSitter時空adSDに限られる． これらは，→様等方なので定曲率時空となり， 入を定数として， 曲率テンソルが""1,入け=M9I'入りi,〃−9/'(79!,入）24ii

と表される.Minkowski時空は入=0,deSitterる．Rinstein方程式を用いると， 入は宇宙定数Aと次の関係にある：/,=(D‑'JD‑2))"
2
deSitter時空はED,1に，反deSitter時空はED‑1'2に2次超曲面として等長的に埋め込むこ〃〃グ

一一ー、、、〃ABXAXB=E22(=1/入).

′、

図3(14)

dSDに対してE=1, adSDに対してE=‑1で、〆、とができる3） （図2)*2) ：、つ叩Ⅱ×〃ＪｊｊＪｊｊｌｌｌｌＯ１１１１１１１１１１︑時空は入＞0，反deSitter時空は入<0に当た〃、、一一一〆〃〃

adgD+1の無限遠境界．

大域的変換群としては実現されない．

ある． これより，等長変換群がそれぞれ,O(D,1)
およびO(D‑1,2)となることが分かる． また，の（形式）共形変換群と一致することから予想さ計量が局所的にれるように,HDの場合に起きた等長変換群と

ds2=22{̲d72+f(T)2do21

しかし,adSD+1の等長変換群O(D,2)がdSD

無限遠境界の共形変換群の対応は，反deSitter〃と表されるので, deSitter時空も反deSitter時空も局所的に共形的に平坦である． ここで, do2時空に拡張される．実際,ED'2の計量の符号を{‑1,1,…,1,‑11と取り，X｡=2sinhXQ@

は単位双曲空間HD‑1の計量， ノは，/(γ)＝｜誕鴬へ(q=0, .. ･ ,D),

XD+'=2coshXとおくと，〃αbQQQ6=1となるので,X=一定面はdSDと共形となり,X→COでこの面は無限遠

したがって，無限小共形変換の作るLie代数はすべに遠ざかる（図3)． したがって, adSD+'の無限ての定曲率時空で一致し， 1節で求めたSO(D,2)

遠はdSDと共形となる． さらに，計量の符号がのLie代数と同型となる．ただし, dSDおよび変わる点を除いて， 5節の(12)式から（13)式を

adSDを上記のようにEp'9に埋め込むと，非等導く議論がそのまま成り立つ．
このように，反deSitter時空の等長変換群がそ長的共形Killingベクトルは(11)式と同じ表式で与えられ，その軌道から定義される変換は，XA

X#+IA{fsinl,(ks)+LfQ(cosh(Aws)‑1)}
cosh(As)+ELfusinh(ks)の無限遠境界と共形同型な1次元低ぃ定曲率時空の共形変換群と1対1に対応することは,D+1次元反dGSitter時空での重力理論とD次元時空での共形不変な場の量子論が対応するというadS/CFT予想 )の根拠の一つとなっている．と表される． ここで, k=､/E戸である． これより，定数ベクトルIAが光的ないし時間的ならこしたがって，群SO(D,2)はどの定曲率時空でも*2）

正確には， このようにED‑1･2に埋め込まれた超曲面はS1×RD‑1 という位相櫛造をもち, S】閃子に対応する閉曲線が時IIII的となる． この1月果律の破れは，超曲面の僻通披覆を考えることで解消される．通常, a(ISDとしてはこの披概空間詞§D=RDを考えることが多い．
数理科学NO.601. .IIILY2013

１．１１
１２３の変換は特異点をもち，大域的な変換とならない．

参考文献

小]五英雄： 「相対性理論」 （培風館, 1997).
小E英雄：数理科学502，2733（2005)．

小 lﾐ英雄，佐藤文降： 「 ・股相対'ド￨理論」 （満波III: l,li,2000) ．

4）

Malda(､(､na. J.: Adt'.TﾉI. )7,.M(I"1"Phys.2. 231
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こだま ・ひでお､ !Wj工了､ルキーリll速器(iH究機櫛，25