経済研究
Vol. 73, No. 3, July 2022

【調査】

実現ボラティリティ（Realized Volatility）＊― サーベイと日経 225 株価指数への応用 ―渡部敏明・中島上智
近年の計量ファイナンスの研究では，資産価格のボラティリティの推定量として，日中の高頻度データから計算される実現ボラティリティ（Realized Volatility ; RV）を用いることが多い．これまで RVを利用したボラティリティの予測モデルには様々な定式化が提案されてきた．先行研究の中で，予測精度が比較的優れていると論じられているモデルとしては，Heterogeneous Autoregressive（HAR）
モデルがあり，日次 RV の変動が過去の日次，週次，月次といった周期の異なる RV の関数として定式化されている．また，日次の資産価格収益率からボラティリティを未知の変数として推定するモデ
ルとして，GARCH モデルや Stochastic Volatility（SV）モデルがあるが，これらに RV を加えた，Realized GARCH（RGARCH）
モデルや Realized SV（RSV）
モデルによるボラティリティ予測も注目されている．本稿では，まず，RV を用いたモデルについて先行研究のサーベイを行う．次に，日経 225 株
価指数の日次リターンと日次 RV を用いて，先行研究で扱われている主要なモデルについて，ボラティ
リティの予測精度の比較を行う．予測期間を新型コロナウイルス感染症の拡大前後で分け，優れているモデルが時期によって異なるかどうかも検証する．分析の結果，コロナの発生直後を含む期間では，
HAR モデルや RGARCH モデルの拡張である REGARCH モデルの予測精度が比較的高く，それ以外の期間についてはコロナ前もコロナ継続期間も RSV モデルの予測精度が高いことが明らかになった．
JEL Classification Codes : C22, C53, C58, G17

1．序論

い自己相関はボラティリティ・クラスタリングと呼ばれる．そこで，ボラティリティは過去の資産価格のボラティリティは，資産価格変化値からある程度予測可能なので，より正確にボ率（リターン）の分散もしくは標準偏差を表し，

ラティリティを予測できる時系列モデルの開発

ファイナンスの研究でも実務でも重要な変数でが進められている．

ある．例えば，オプション価格の評価，Value-

古くは，ボラティリティの変動を定式化する

at-Risk（VaR）や期待ショートフォール（Expect-

時系列モデルを構築し，日次リターンを用いて

ed shortfall ; ES）の計算で，ボラティリティはそのモデルを推定することにより，ボラティ

重要な役割を果たす．しかし，ボラティリティ

リティを推定・予測していた．そうした時系の値は観測されないので，過去のリターンから列モデルには大きく分けて 2 種類ある．一つ推定する必要がある．また，ボラティリティもは，Engle（1982）の Augoregressive Condition-

リターン同様，確率的に変動するとの考えが主al Heteroskedasticity（ARCH）モ デ ル，Boller-

流になっており，時間を通じて変動するボラテ

slev（1986）の Generalized ARCH（GARCH）モ

ィリティをどのように推定・予測すべきかは，

デル，およびそれらを拡張したモデルで，本稿

計量ファイナンスの重要な課題である．市場がではそうしたモデルを総称して ARCH 型モデ

効率的であれば，リターンに自己相関はなく，

ルと呼ぶ．ARCH 型モデルは，パラメータの過去のリターンから将来のリターンを予測でき

値とボラティリティの初期値が与えられると，ないが，ボラティリティは，上昇
（低下）
すると

t 期のボラティリティが t−1 期に既知になる．

しばらくボラティリティが高い（低い）日が続く

そのため，誤差項の分布が与えられれば，尤度ことが知られており，このボラティリティの高を簡単に計算できるので，パラメータを最尤推実現ボラティリティ

255

定できる．そこで，さまざまな拡張が行われてャー・ノイズと呼ばれるノイズが含まれており，

きた．株式市場では株価が上がった日の翌日よ

そのため RV にはバイアスが生じ，RV の計算

り下がった日の翌日の方がボラティリティが上に用いる日中リターンの時間間隔を短くすれば昇する傾向があることが知られており，ARCH,するほど，バイアスが大きくなる．また，ボラ

GARCH モデルはボラティリティ・クラスタリ

ティリティの予測という目的のためには，RV

ングは捉えられるものの，そうしたボラティリ

を時系列データとしてフィットの良い時系列モ

ティ変動の非対称性は捉えられないので，ボラデルの開発が必要になる．こうした RV の性質

ティリティ変動の非対称性を捉えるため，Nel-

や問題点を背景として，RV に関する研究は

son（1991）の Exponential GARCH（EGARCH）

2000 年代と 2010 年代を中心に急速に拡大した．

モデル，Glosten et al.
（1993）の GJR-GARCH モ

RV は自己相関係数の減衰が遅く，長期記憶性

デル，Ding et al.
（1993）の Asymmetric Powerを持つ可能性があることがわかっており，そのGARCH（APGARCH）モデルなどが提案された．

ような時系列にふさわしいモデルの開発が進ん

これらのモデルについて詳しくは，渡部（2000,

できた．まず，長期記憶の時系列モデルとして，

2007）
を参照されたい．

古 く か ら 研 究 が 進 ん で い た，Autoregressive

も う 一 つ は，Stochastic Volatility（SV）モ デFractionally Integrated Moving Average（AR-ルである．SV モデルはボラティリティの変動

FIMA）モデルが RV に適していると主張するを表す式に確率変数である誤差項が加わるので，研究がみられた．その後，Corsi（2009）によっ

t 期のボラティリティが t−1 期に既知にならて 提 案 さ れ た Hetergeneous Autoregressive

ず，観測されない状態変数になる．このモデル（HAR）モデルが，RV に良好なフィットを示す

は非線形状態空間モデルなので，尤度の計算がことから，広く使われるようになった．HAR

難しいため，モデルの発展よりも推定法の開発

モデルは，日次 RV を過去の日次，週次，月次が行われてきた．現在よく用いられるのは，マといった 3 つの異なる周期の RV の関数としてルコフ連鎖モンテカルロ法（Markoc chain

表す．一見，アドホックな定式化であり，長期

Monte Carlo ; MCMC）を用いたベイズ推定であ記憶の時系列モデルではないが，様々な実証分る．SV モデルもボラティリティ変動の非対称

析でボラティリティの予測精度が高いことが示性を考慮したモデルに拡張されている．SV モ

されており，HAR モデルを基礎とした拡張がデルやその MCMC を用いたベイズ推定につい多く研究されてきた．HAR モデルも，ボラテて詳しくは，Watanabe and Omori（2004），渡ィリティ変動の非対称性を考慮したモデルに拡部（2000, 2005），Omori et al.
（2007）, Omori and

張されている．HAR モデルについて詳しくは，

Watanabe（2008）
を参照されたい．

渡部（2020）
を参照されたい．

その後，2000 年代頃から，資産価格の日中渡部（2007）において，こうした RV に関するの高頻度データが普及し始めたことを背景とし研究をサーベイしたが，その後もこの分野は発て，そうしたデータから計算される実現ボラテ展が著しい．主な発展は以下の 3 つである．

ィリティ（Realized Volatility ; RV）がボラティ（1）資産価格にジャンプがある場合，RV は連

リティの推定量として注目され始めた．ARCH

続的に変化するボラティリティだけでなく，ジ型モデルや SV モデルなどでは，ボラティリテ

ャンプも含むので，RV を連続成分（Continu-

ィを時系列モデルにおける未知の変数として推ous Component）とジャンプ成分（Jump Compo-

定しなければならないが，日次 RV は，単純なnent）に 分 割 す る 統 計 的 手 法 が Barndorff-

ものであれば，例えば，日中における 5 分ごと

Nielsen and Shephard（2004, 2006）, Corsi et al.

の資産価格のリターンの 2 乗を一日分合計すれ（2010）, Andersen et al.
（2012）らによって提案ばよいだけであるため，簡便であり取り扱いやされた．また，Andersen et al.
（2007）は，過去

すい．一方，資産価格にはマイクロストラクチの日次，週次，月次の連続成分とジャンプ成分

256

経

済

研

究

を別々に HAR モデルの説明変数とする HAR-

本稿では，こうした新たな発展も含めて，

CJ モデルを提案した．（2）GARCH モデルやRV の研究のサーベイを行う．また，日経 225

SV モデルに RV を組み込んだモデルが提案さ株価指数の日次リターンと日次 RV を用いて，れた．まず，Takahashi et al.
（2009）は，SV モ

HAR, HAR-CJ, EGARCH, REGARCH, SV, RSV

デルの中で推定される日次のボラティリティがモデルの推定と 1 期先のボラティリティの予測

その日の日中のリターンから計算された RV とを行い，Patton（2011）の方法により予測精度の整合的になるような仮定を置き，ボラティリテ

比較を行う．すべてのモデルで株式市場のボラィを推計することを提案した．すなわち，日次

ティリティ変動の非対称性を考慮した．HAR,のリターンの情報からボラティリティを推定す

REGARCH, RSV モデルでは，5 分ごとのリタ

る通常の SV モデルに，RV の情報も加えてボーンの 2 乗を足し合わせた RV を用いる．RE-

ラティリティの推定の精度を上げるという方法

GARCH, RSV モデルで RV のバイアスが除去である．このモデルは，その後，Realized SV

できるかどうかを分析するために，RK を用い（RSV）モデルとして，様々な拡張が行われていた推定と予測も行う．リターンの分布についてる．RSV モデルとその拡張については，高橋は，正規分布と t 分布を仮定する．また，予測他（2020）を参照されたい．同様に，ARCH 型

期間を新型コロナウイルス感染症の拡大前後でモデルに RV を組み合わせた Realized GARCH

分け，予測精度の高いモデルが時期によって異（RGARCH）モデル（Hansen et al.
（2012）, Wata-なるかどうかも検証する．分析の結果，コロナ

nabe（2012））, Realized EGARCH（REGARCH）の発生直後を含む期間では，HAR モデルやモデル（Hansen and Huang（2016））
も提案され，REGARCH モデルの予測精度が比較的高く，

これについても拡張が行われている．
（3）ボラ

それ以外の期間についてはコロナ前もコロナ継ティリティは真の値がわからないので，予測精続期間も RSV モデルの予測精度が高いことが度を比較するためには代理変数が必要である．

明らかになった．Takahashi et al.（2021）
でも同真のボラティリティの代理変数として，古くは様の分析を行っている．そこでは，日経 225 株

日次リターンの 2 乗が使われていたが（渡部

価指数だけでなく，DJIA, FTSE, STOXX とい（2000））, Andersen and Bollerslev（1998）やった海外の株価指数も分析しているが，コロナ

Hansen and Lunde（2006a）は，それでは予測精前の期間しか分析していない．また RV しか用

度の正確な比較ができないので，RV を使うこいておらず，HAR-CJ モデルも用いていない．

とを提案している．その後，Patton（2011）が，リターンの分布も正規分布しか用いていない．

代理変数が真のボラティリティの条件付き不偏本稿の構成は以下の通りである．続く第 2 節

推定量であれば，Mean Square Error（MSE）や

では，RV の定義と基本的な性質について説明

Quasi-likelihood（QLIKE）な ど の 損 失 関 数 は，する．第 3 節では，RV に関する主要なモデル

真のボラティリティを用いた場合と同じ順位にについて説明する．第 4 節では，日経 225 株価なることを理論的に示したため，近年ではこの指数のデータを用いた実証分析を行う．第 5 節

方法が用いられることが多い．その場合，高頻では結論を述べる．

度の日中リターンを使って計算した RV にはマイクロストラクチャー・ノイズによるバイアスがあるので，例えば，30 分間隔などの比較的時間間隔の長い日中リターンを用いて計算した
RV や Barndorff-Nielsen et al.
（2008, 2009）によって提案されたマイクロストラクチャー・ノイ
ズを考慮して計算する Realized Kernel（RK）などを代理変数として用いる．

2．Realized Volatility
資産価格の対数値 p ( s ) が以下の拡散過程に従っているとする．
dp ( s ) = μ ( s ) ds+σ ( s ) dW ( s ) .

（1）

ここで，s は時間，μ ( s ) はドリフト，σ ( s ) は実現ボラティリティ

257

瞬時的ボラティリティ，W ( s ) はウイナー過る．これが，非同期取引によるノイズである．

程である．ファイナンス理論では σ ( s ) を瞬時

こうしたマイクロストラクチャー・ノイズにつ的 ボ ラ テ ィ リ テ ィ と 呼 ぶ が，こ こ で は 以 下

いて詳しくは，Campbell et al.
（1997）の Chap-σ ( s ) を瞬時的ボラティリティと呼ぶ．オプシ

ter 3 を参照されたい．

ョン価格を導出するための Black and Scoles（1973）モデルでは μ ( s ) , σ ( s ) を時間を通じて

以下，約定価格や株価指数などの観測される価格の対数値 p ( s ) と（1）式に従う真の価格の一定と仮定するが，ここでは時間を通じて変化

対数値 p ( s ) の間に以下の関係が成り立つものすることを許容する．

とする．

こ の と き，t−1 を 第 t−1 日 の 最 終 時 点，t
を第 t 日の最終時点とすると，その間の第 t 日

p ( s ) = p ( s ) +η ( s ) , η ( s ) ~ WN ( 0, σ  ) .
（5）の真のボラティリティは次のように定義される．
IV  =∫ σ ( s ) ds.






（2）

ここで，η ( s ) がマイクロストラクチャー・ノ
イズを表し，簡単化のため，平均 0，分散 σ 

これは瞬時的ボラティリティ σ  ( s ) を t−1 時のホワイト・ノイズであり，任意の t 時点か

点から t 時点まで積分したものなので，積分ボら t 時点までの真の価格の変化率 p ( t ) − p ( t )ラティリティ（Integrated Volatility ; IV）と呼ばと無相関であると仮定する．この仮定の下で，れる．

t 時点から t 時点までの観測される価格の変化率 p ( t ) − p ( t ) の分散は以下のように表せ最も単純な第 t 日の RV は，t−1 時点から t
時 点 ま で の 日 中 リ タ ー ン { r, r, ⋯,r } を使って次のように計算される．

.
RV  = ∑ r


（3）

る．
Var ( p ( t ) − p ( t ) ) = Var ( p ( t ) − p ( t ) )+Var ( η ( t ) −η ( t ) )ここで，資産価格にノイズがなければ，n→∞=とすると，RV  は IV  に確率収束する．
plim RV  = IV .


（4）

∫ σ ( s ) ds+2σ . （6）









（6）
ここで，t と t の時間間隔を短くすると，
式右辺第 1 項の真の価格変化率の分散が小さく

そこで，n を大きくすればするほど（日中リタなるのに対して，第 2 項のマイクロストラクチ

ーンの時間間隔を短くすればするほど），RVャー・ノイズの変分の分散は 2σ  で一定である．

は IV のより精度の高い推定量になる．

そこで，マイクロストラクチャー・ノイズの変しかし，実際の資産価格には bid-ask bounce，

分の変動が相対的に大きくなり，観測される価

非同期取引などによるマイクロストラクチャ

格の変化率の 2 乗和として計算した RV のマイー・ノイズと呼ばれるノイズが加わる．市場のクロストラクチャー・ノイズによるバイアスが板には指値注文の売値（ask）と買値（bid）が並ん大きくなる．

でおり，そこに成り行きの買い注文が入ると最こうしたマイクロストラクチャー・ノイズにも安い売値（best ask）で，成り行きの売り注文

よる RV のバイアスを軽減する方法がいくつかが入ると最も高い買値（best bid）で約定する．

提案されている．Aït-Sahalia et al.
（2005）, Ban-

そこで，真の価格が変わらなくても，約定価格

di and Russell（2006, 2008）らはマイクロストラ

は売値で約定するか買値で約定するかで変動すクチャー・ノイズを考慮した RV の計算に用いる．これが bid-ask bounce によるノイズである日中リターンも最適な時間間隔の選択法，る．また，流動性の低い株式は高い株式より情Zhang et al.（2005）, Zhang（2006）ら は Two

報が反映するのが遅れるので，それらの株価を（multi）scale estimator と呼ばれる異なる時間

平均した株価指数の変化率には自己相関が生じ間隔の日中リターンを用いて計算した RV を組

258

経

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研

究

み合わせる方法，Barndorff-Nielsen et al.
（2008,

3．Realized Volatility に関するモデル

2009）はマイクロストラクチャー・ノイズによって生じる日中リターンの自己相関を考慮して

3. 1

HAR モデル

計 算 す る Realized Kernel（RK）, Podolskij andRV は自己相関係数の減衰が遅く，長期記憶

Vetter（2009）, Jacod et al.（2009）はプレアベレ

性を持つ可能性が指摘されている．詳しくは，

ージ法を提案している1）．Liu et al.
（2015）がそ

Andersen et al.
（2001a, b, 2003），渡部（2007）等

うした方法を用いても 5 分ごとのリターンの 2を参照されたい．そのため，長期記憶モデルで乗和として計算した単純な RV にボラティリテ

あ る Autoregressive Fractionally Integrated

ィのサンプル内でのフィットや予測精度で上回

Moving Average（ARFIMA）モデルが用いられらないとの結果を様々な資産について示していることが多かった．長期記憶性や ARFIMA モ

るが，本稿の実証分析では，5 分ごとのリター

デ ル に つ い て 詳 し く は，Beran（1994），矢 島

ン 2 乗和として計算した単純な RV に加え，（2003），田中（2006 第 7 章）等を参照されたい．

RK も用いる．

し か し，近 年 よ く 用 い ら れ る の は，Corsi

RV を計算する上でもう 1 つ問題になるのは， （2009）によって提案された Hetergeneous Au市場が閉まっていて取引がなく，高頻度の資産

toregressive（HAR）モデルである．このモデル

価格が得られない時間帯をどう扱うかである．

は以下のように日次 RV を過去の日次，週次，東京証券取引所の現物株式の取引は 9：30-11：

月次といった周期の異なる RV の関数として表

30 の前場と 12：30-15：00 の後場だけで，15：00

す2）．

から次の日の 9：30 まで（以下，夜間と呼ぶ）とlog RV  = α+β log RV +β log RV  : 

11：30 から 12：30 まで（昼休みと呼ぶ）は取引がない．後場の終了から次の日の後場の終了までの 24 時間のボラティリティを推定したい場合，
夜間と昼休みを無視して RV を計算すると，24時間のボラティリティを過小評価してしまう．
夜間のリターンの 2 乗と昼休みのリターンの 2+β ln RV  : +ν.

（8）

ここで，
RV  :  =1 ∑ RV ,5 

RV  :  =1 ∑ RV ,22   乗を加えると，それらは時間間隔が長いので，であり，それぞれ過去の週次，月次 RV を表

時間の離散化による RV の誤差が大きくなる．

す3）．HAR モデルは長期記憶モデルではない

そこで，Hansen and Lunde（2005a）は，以下のが，長期記憶過程をうまく近似できること，ボ

ように，まず夜間と昼休みを無視して RV を計

ラティリティの予測精度が高いこと，パラメー

算し，それに定数 c を掛けて 24 時間のボラテ

タを最小二乗法で簡単に推定できることからよィリティの推定値に調整する方法を提案した．

く用いられる．本稿では，日次ボラティリティの予測しか行わないが，週次や月次のボラティRV = cRV ,c=∑    ( y−y )∑    RV 

. （7）リティを予測したい時には，被説明変数を週次や月次の RV に置き換えるだけでよい．詳しく

ここで，RV  は夜間と昼休みを無視して計算しは，Andersen et al.（2007）や渡部（2020）を参照

た RV, y ( t=1, ⋯, T ) は 日 次 リ タ ー ン，y =されたい．なお，HAR モデルの拡張として，







y，RV は調整後の RV，c は調整

状態空間モデルを用いた HAR モデルも提案さパラメータである．これは，サンプル期間で日れ て い る（Asai et al.（2012）, Buccheria and次リターンの分散と RV の平均が等しくなるよCorsi（2021））.

( 1T ) ∑うに調整している．Hansen and Lunde（2005b）
は別の調整方法を提案している．

株式市場では価格が下がった日の翌日の方がボラティリティが上昇する傾向があることが知られている．
（8）式はこうしたボラティリティ

実現ボラティリティ

変動の非対称性を考慮していないので，本稿では，Bekaert and Hoerova（2014）に従い，以下の HAR モデルを用いる．

259

を考慮した以下のモデルを用いる．
log RV  = α+β log C +β log C  : +β log C  : +γ log ( 1+J  ) ,log RV  = α+β log RV +β log RV  : +γ ln ( 1+J  :  )+β log RV  : +δy+ν. （9）+γ ln ( 1+J  :  )
こ こ で，y=min { y, 0} で あ る．こ の モ デ+δy+ν.

ルでは，δ<0 であれば，価格が上がった日の翌日より下がった日の翌日の方がボラティリテ
ィがより上昇する．
RV の変動を表すモデルには ARFIMA モデ
ルや HAR モデルの他に Unobserved Components（UC）モデルがある．このモデルについて
は，Barndorff-Nielsen

and

（12）

ここで，
C  :  =

1 
1 
∑ C , C  :  =∑ C ,5 
22   

J  :  =

1 
1 
∑ J , J  :  =∑ J .
5 
22   

Shephard（2001,

2002）, Barndorff-Nielsen et al.
（2004）, Nagakura
and Watanabe（2015）
を参照されたい．

Barndorff-Nielsen and Shephard（2004, 2006）,
Andersen et al.（2012）, Corsi et al.
（2010）ら がRV を C と J に分割する方法を提案している．

3. 2

HAR-CJ モデル

本 稿 で は，Barndorff-Nielsen and Shephard

資産価格の対数値 p ( s ) が拡散過程（1）式で（2004, 2006）の 方 法 を 用 い る．Barndorff-

はなく，以下のジャンプ拡散過程に従っている

Nielsen and Shephard（2004, 2006）は，価 格 にとする．

ノイズが無い場合，以下の Bipower Variation

dp ( s ) = μ ( s ) ds+σ ( s ) dW ( s ) +κ ( s ) dN ( s ) .
（10）（BV）が連続成分に収束することを示している．
BV  = μn 
∑  r   r    .
n−1   

ここで，κ ( s ) はジャンプの大きさ，N ( s ) は
数え上げ測度（Counting Measure）
である．

（13）
ここで，μ= 2π ．

このとき，価格にノイズが無ければ，RV は

通常，この BV  をそのまま C  として用いる

IV ではなく，以下のように IV にジャンプをのではなく，RV −BV  を用いてジャンプの検加えたものに収束する．
plim RV  =

定 を 行 い，統 計 的 に 有 意 で あ れ ば J =RV −∫ σ ( s ) ds+ ∑ κ ( s ) ds.








   ≤ （11）BV ，有意でなければ J =0 とする．その上で，C =RV −J  とする．ジャンプの検定にはいく
つかの方法が提案されているが，本稿では，Barndorff-Nielsen and Shephard（2006）, Huang

ここで，右辺の第 1 項と第 2 項はそれぞれ連続

and Tauchen（2005）の検定を用いる．この検定成分（Continuous Component），ジャンプ成分では以下の統計量を用いる．

（Jump Component）と呼ばれ，以下，それらの推定値をそれぞれ C , J  と表す．
連続成分はジャンプ成分よりも持続性が高い

Z  =

 n ( RV −BV  ) RV .
 ( μ+2μ−5 ) Max ( 1, TQ  BV 
 )
（14）

ので，Andersen et al.（2007）は HAR モデルの説明変数を RV , RV  : , RV  :  ではなく，C , C  : , C  : , J , J  : , J  :  にした
HAR-CJ モデルを提案している．本稿では，株式市場におけるボラティリティ変動の非対称性

ここで，

260

経


TQ  = nμ済n ∑  r    r     n−4   

 r     ,（15）μ = 2 Γ (76) Γ (12).

研

究

リティの対数値，すなわち，exp ( h ) が日次ボ
ラティリティ，I  は t−1 日における情報集
合を表す．以下の実証分析で用いる日経 225 株
価指数の変化率（リターン）には有意な自己相関がなく，平均も有意に 0 から乖離しないので，TQ  は Tri-power Quarticity と呼ばれる積分 4

E ( y  I  ) =0 と す る．Nelson（1991）は，（18）次モーメント（Integrated Quarticity ; IQ）

式の代わりに，

IQ  =∫ σ ( s ) ds,






（16）

の推定量である．Z  はジャンプがないという帰無仮説の下で漸近的に標準正規分布に従う．
以下では，有意水準を 5％ として検定を行った．

h = ω+β ( h−ω ) +θϵ+γ [  ϵ −E (  ϵ  ) ] ,と 定 式 化 し て い る が，こ の 定 式 化 だ と，E (  ϵ  ) が ϵ の分布に依存するので，以下の REGARCH モデルに倣って，（18）式のよう

3. 3

EGARCH モデルと REGARCH モデルに定式化した．

近年では資産価格の高頻度データが利用可能

このモデルは ARCH モデルや GARCH モデとなったため，ボラティリティの推定に RV をルと比べていくつかの長所がある．GARCH モ

使うことが多くなったが，その前は，日次リタ

デルでは，ボラティリティ σ =exp ( h ) の変ーンを用いてボラティリティの変動を定式化す

動を以下のように定式化する．

る時系列モデルを推定することによりボラティ
リティの推定を行うのが主流であった．そうしσ  = ω+βσ +αe, ω > 0, β, α ≥ 0.

（19）

た時系列モデルは，大きく 2 つに分けられる．
一つは，Engle（1982）の Augoregressive Condi-

このモデルでは被説明変数を σ  としているの

tional Heteroskedasticity（ARCH）モデル，Bol-

で，それが必ず正になるよう，説明変数を正のlerslev（1986）の Generalized ARCH（GARCH）

値しか取らない変数とし，パラメータに非負制

モデル，およびそれらを拡張した ARCH 型モ約を課さなければならない．それに対して，

デルで，もう一つは Stochastic Volatility（SV）

EGARCH モ デ ル の（18）式 で は，h=log σ  をモデルである． Nelson（1991）によって提案さ

被説明変数とするので，パラメータに非負制約れた Exponential GARCH（EGARCH）モデルはが必要なく，負の値を取る変数も説明変数に加ARCH 型 モ デ ル の 一 つ で あ り，Hansen and

えられる．そのため，前日の基準化した誤差項

Huang（2016）は，RV のバイアスを考慮してこϵ を説明変数とすることにより，ボラティリの モ デ ル に RV を 加 え た Realized EGARCH

ティ変動の非対称性を考慮している．
（18）
式は，

（REGARCH）モデルを提案している．本節では，

θ<0 であれば，株式市場のボラティリティ変

EGARCH モデルと REGARCH モデルについ動の非対称性と整合的である．また，（19）
式のて説明する．

e
は σ ϵなので，ボラティリティのショ

本稿では，EGARCH モデルとして，以下の

ϵを説明変数とするので，β の値だけで計る

モデルを用いる．

ことができる．

y = E ( y  I  ) +e,e = exp ( h2) ϵ, ϵ ~ N (0, 1) ,ックの持続性は β+α で表されるが，（18）式は

（17）


−1) .
h = ω+β ( h−ω ) +θϵ+γ ( ϵ（18）
ここで，y は日次リターン，h は日次ボラティ

ARCH 型モデルの特徴は，t 期のボラティリ
ティの説明変数がすべて t−1 期に値のわかる変数だけで，t−1 期に値のわからない確率変数 が 含 ま れ て い な い こ と で あ る．そ こ で，
EGARCH モデルの場合，h=ω とし，パラメ

実現ボラティリティ

261

ータの値が与えられれば，t−1 期にt 期のボラを 用 い る の で，RV は 真 の ボ ラ テ ィ リ テ ィティリティ exp ( h ) の値が既知になる．そのexp ( h ) を過小評価する．そこで，RV のマイため，ϵ の分布が与えられれば，尤度を簡単に

クロストラクチャー・ノイズによるバイアスが計算できるので，最尤法によってパラメータを正で，夜間と昼休みを無視したことによる負の推定できる．本稿では，ϵ の分布に標準正規分

バイアスを上回らない限り，ξ<0 になる．

布を用いる．ϵ の分布は通常正規分布ではない

RV のバイアスを考慮して ARCH 型モデル

が，それを正規分布と仮定して尤度を計算し最を同様に拡張したモデルには，他にも Hansen

大化する方法を疑似最尤法と呼ぶ．本稿では疑et al.（2012）の Realized GARCH モ デ ル，

似最尤法を用いて EGARCH モデルのパラメー

Huang et al.（2016）の Realized HAR GARCH モ

タを推定し，Bollerslev and Wooldridge（1992）

デ ル，Chen and Watanabe（2019）の Realizedの 疑 似 最 尤 法 の 標 準 誤 差 を 計 算 し て い る．

Threshold GARCH モ デ ル な ど が あ る．Chen

ARCH 型モデルの疑似最尤推定と標準誤差の

et al.（2021）は，これらのモデルからベイズ推計算について詳しくは，渡部（2000）
を参照され定法によって 1 期先のボラティリティと VaR,

たい．また，ϵ の分布には，分散を 1 に基準化

ES の予測を行い，予測精度を比較している．

した t 分布も用いる．その他の ARCH 型モデルについては，渡部（2000, 2007）を参照された

3. 4

SV モデルと RSV モデル

い．ARCH 型モデルの中にもボラティリティ

RSV モデルを説明するために，まず，SV モの長期記憶性を考慮しているモデルがあり，そデルを導入する．標準的な SV モデルは次式でうしたモデルについては，Baillie et al.
（1996）,

表される．

Bollerslev and Mikkelsen（1996）, Tse（1998），竹内（野木森）・渡部（2008）
を参照されたい．
x=log ( RV  ) と す る と Hansen and Huang（2016）の 提 案 し た Realized EGARCH（REGARCH）モデルは（17）式と以下の式で表され
る．

y =  λ ϵ exp ( h2 ) ,（22）h = μ+ϕ ( h−μ ) +η,

（23）

 
ϵ

η

~ N ( 0, S ) , S =



1

ρσ

ρσ σ 

. （24）（22）式は，（17）式において，E ( y  I  ) =0 とし， λ を加えたものである．SV モデルにおh = ω+β ( h−ω ) +τ ϵ+τ ( ϵ−1) +γu,

（20）




x = ξ+φh+δ ϵ+δ ( ϵ −1)+u, u ~ N (0, σ  ) .

（21）

けるボラティリティも exp ( h ) であり，h はボラティリティの対数値である．この対数ボラ
ティリティは，（23）式で AR（1）過程に従うと仮定する．なお，その過程は定常であると仮定（20）式は真のボラティリティの変動を表しておし， ϕ  <1 とする．対数ボラリティリティのり，（21）式は RV と真のボラティリティの関係

初期値は定常分布に従っていると仮定し，h~を表している．φ は通常 1 から有意に乖離しな

N ( μ, σ  ( 1−ϕ  ) ) とする．（24）式で，誤差項いので，以下では，φ=1 と仮定した．そこで，である ( ϵ, η ) は，2 変量正規分布に従うと仮ξ=0 であれば，x は h の不偏推定量になる．

定している．その相関係数である ρ が負であHansen and Lunde（2006b）
はマイクロストラク

れば，y が正の場合よりも負の場合の方が翌日

チャー・ノイズによる RV のバイアスが正にもの対数ボラティリティ h が上昇しやすいと負にもなり得ることを示している．以下の実証

いう株式市場で観測されるボラティリティ変動

分析では，y を終値の対数階差として計算しての非対称性と整合的である．λ は観測方程式

いるので，真のボラティリティ exp ( h ) は 24（22）におけるリターンの分布を規定する変数で時間のボラティリティである．それに対して，あり，全ての t において λ=1 の場合は，標準RV  には夜間と昼休みを無視して計算した RV

正規分布となる．一方， ( ν−2 ) λ~χ  ( ν ) と

262

経

済

研

究

仮定すると， λ ϵ は分散を 1 に基準化した自（25）式と（26）式は，SV モデルの（22）式と（23）

由度 ν の t 分布に従う．本稿では，この t 分布式と同一である．RSV モデルでは，（27）式がと正規分布の両方のケースを推定する．

追加されており，x である RV の対数が SV モ

このモデルは，ARCH 型モデルと異なり，

デルにおける対数ボラティリティ（つまり，真ボラティリティの変動を表す（23）
式に確率変数のボラティリティ IV  の推定量）と整合的であη があるため，t−1 期にt 期のボラティリティ

るようにモデル化している．ξ は RV に含まれの値は未知である．そこで，h を観測されなるバイアスを補正するためのパラメータであり，い状態変数（潜在変数）とする非線形状態空間モ

ξ=0 の場合に，RV と SV のボラティリティのデルになるので，尤度を解析的に求めるのが難それぞれの対数値が平均的に一致するような定しい．そのため，最尤法に代わる推定法がいく

式 化 と な っ て い る．3. 3 節 で 説 明 し た RE-

つか提案されてきたが（渡部（2000）第 3. 2 節を

GARCH モデル同様，RV のマイクロストラク

参照されたい），近年ではベイズ推定を用いる

チャー・ノイズによるバイアスが正で，夜間とことが多い．頻度論統計学では，パラメータを

昼休みを無視したことによる負のバイアスを上定数，サンプルを確率変数と考えるのに対して，回らない限り，ξ<0 になる．（27）式の右辺のベイズ統計学では，パラメータを確率変数，サh を βh というように係数パラメータを追加す

ンプルを定数と考え，パラメータにデータを観るとより柔軟にバイアスを考慮するモデルとな測する前の事前分布を設定し，データを観測しるが，先行研究では β を 1 としても予測精度

た後の事後分布に更新することにより，パラメに大きな違いはないため，本稿では，β=1 とータの推定を行う．ベイズの定理によると事後している．この式の誤差項 u と他の誤差項の分布は事前分布と尤度の積に比例するので，相関は 0 と仮定する．

SV モデルのように尤度を解析的に求めるのがRSV モ デ ル も 最 尤 推 定 が 難 し い の で，難しいモデルの場合，ベイズの定理を使って解MCMC を用いてベイズ推定する．まず，Y =析的に事後分布を求めるのも難しい．そこで，{ ( y, x ) } , h= { h } , λ= { λ } , ω= ( ϕ, σ,マルコフ連鎖モンテカルロ法（Markov chainμ, ρ, ν, ξ, σ  ) と定義する．データ Y が得られMonte Carlo ; MCMC）を用いて事後分布からパたときの RSV モデルにおける同時事後確率密ラメータと 潜在変数をサンプリングし，得ら

度 関 数 π ( h, λ, ω  Y ) か ら の 確 率 標 本 は，れたサンプルに基づいてパラメータを推定する．

MCMC 法を用いたサンプリングによって得る

MCMC は 1 回前にサンプリングされた値に依ことができる．サンプリングの詳細については，

存させて次のサンプリングを行う方法の総称で本 稿 の 補 論，ま た は，Takahashi et al.
（2009,

ある（MCMC 法について詳しくは，中妻（2007,

2016, 2021）, Omori and Watanabe（2015），大2013），伊庭他（2005），和合（2005）等を参照さ

森・渡部（2013），高橋他（2020）を参照されたい．

れたい）．

Shirota et al.（2014）
は RSV モデルの
（26）
式を長

さて，SV モデルに RV を組み込んだ RSV
モデルは，次式で表される．


η

u

る．

y =  λ ϵ exp ( h2) ,（25）h = μ+ϕ ( h−μ ) +η,（26）x = ξ+h+u,

（27）

ϵ

~ N (0, Σ) , Σ =

期記憶モデルである ARFIMA モデルにしてい

1

ρσ

0

ρσ σ 

0

0

σ 

0



.

（28）

4．日経 225 株価指数を用いた実証分析
4. 1

データと予測方法

本節では，日経 225 株価指数を用いた実証分析を行う．データとしては，日次リターン（％）に つ い て，終 値 を P と し て 対 数 階 差 を y=
100 ( log P−log P ) と計算したものを用いる．

実現ボラティリティ

RV について，日中の 5 分ごとのリターンの 2乗和を計算した値を用いる．また，Barndorff-263

モデル比較には，1 日先のボラティリティの予測値を用いる．

Nielsen et al.
（2011）に従い，RK は日中の 1 分

HAR モデルでは，
（9）
（
，12）
式のパラメータにごとのリターンを用いて，漸近的に最適なバン

最小二乗推定値を代入することで E (log RV  

ド幅にした Non flat-top Parzen kernel 推定量I  ) を計算し，誤差項 ϵ の分布を正規分布と仮を 用 い て 計 算 し た．詳 し く は，Ubukata and

定し，残差分散 σ  を用いて，RV  の予測値

Watanabe（2014a）を参照されたい．ただし，こを以下のように計算した．

の RV と RK の計算には昼休みと夜間休みのリ
ターンを含めていない．
比 較 を 行 う モ デ ル は，HAR モ デ ル，1
E ( RV   I  ) = exp E ( log RV   I  ) + σ  .
2

EGARCH モデル，REGARCH モデル，SV モ（29）

デル，RSV モデルである．RV を用いているモ

これは夜間と昼休みを除いたボラティリティのデルについては，5 分ごとの日中リターンから予測値なので，第 2 節で説明した Hansen and計算された RV を使うモデルを「-RV」
，RK を

Lunde
（2005a）の方法で，終値から終値までの使 う モ デ ル を「-RK」と す る．例 え ば，HAR

24 時間のボラティリティの予測値に調整した．

モデルであれば，HAR-RV と HAR-RK の両方

REGARCH モデルと RSV モデルでは，この調を推定する．また，HAR モデルについては，

整は
（21），
（27）式のパラメータ ξ によって行わ5％ 有意水準で抽出された連続成分を用いたれるので，調整は必要ない．EGARCH モデル

HAR-C モデル，さらにジャンプ成分も追加しと REGARCH モデルでは，それぞれ（18）式，た HAR-CJ モデルも推定する．さらに，HAR（20）-（21）式のパラメータに疑似最尤推定値をモデル以外は，誤差項について正規分布と t 分

代入して h を計算し，exp ( h ) をボラティ

布をそれぞれ仮定したモデルを試す．t 分布を

リティの予測値とした．

仮定した場合には EGARCHt といったように「t」を付ける．

SV, RSV モデルは MCMC の各回のサンプルで，h  を 発 生 さ せ，exp ( h  ) の 事 後 平 均

モデルの推定については，HAR モデルは最をボラティリティの予測値とした．

小二乗法，EGARCH, REGARCH モデルは疑似

デ ー タ の 期 間 は，2013 年 11 月 14 日 か ら

最尤法による推定を行う．SV モデルと RSV

2021 年 9 月 30 日 ま で の 1,922 日 分 を 用 意 しモデルは，前述の MCMC 法を用いて推定する．

た．図 1 は，データの全期間の日経 225 株価指

その際，事前分布は，先行研究に倣って， ( ϕ+数の終値，日次リターン，RK, RV の時系列プ1 ) 2~B ( 20, 1.5) , σ ~IG (2.5, 0.025) , ( ρ+1) 

ロットである．RV, RK が最も高くなったのは，

2~B (1, 1) , μ~N (0, 1) , ν~G (16, 0.8) , ξ~2020 年 3 月 13 日であり，得体のしれない新型

N (0, 1) , σ ~IG (2.5, 0.025) と お く．た だ し，ウイルスに関するニュースがボラティリティをB, G, IG はそれぞれ，ベータ（Beta）分布，ガン

大きく押し上げたものと考えられる．なお，こマ（Gamma）分布，逆ガンマ（Inverse Gamma）の日の前後の数日間は金融市場でボラティリテ

分 布 で あ る．MCMC 法 は，稼 動 検 査 期 間ィの高い展開が続き，日中の取引で価格が大き（burn-in period）
として最初の 1,000 個を捨てた

く変化する状況がみられた．しかし，それ以降

後，10,000 個 の サ ン プ ル を 発 生 さ せ た．

は感染者数が増加しても株価指数は上昇傾向に

MCMC 法によって得られた標本自己相関関数

あり，RK, RV も低い日が続いている．

はいずれのパラメータについても十分に減衰し予測の計算については，まず，2013 年 11 月ていて定常分布への収束が早く，また標本経路

14 日から 2017 年 12 月 13 日までの期間（観測も状態空間を万遍なく十分に訪れていることが個数は 1,000 個）を用いてモデルを推定し，翌確認される．

日の 2017 年 12 月 14 日のボラティリティを予

264

経

済

研

究

図 1．日経 225 株価指数の日次データ

注）（1）指数，（2）リターン，（3）RV，（4）RK，（5）新型コロナウイルス禍の RV，（6）新型コロナウイル
ス禍の RK．期間について，（1）-（4）は 20131114 日から 2021930 日まで，（5）（6）は 202016
日から 2021930 日までである．

測する．次に，サンプル期間を 1 日後ろにずら較を行う．具体的には，第一回緊急事態宣言がして，2013 年 11 月 15 日から 2017 年 12 月 14

東京都などの 8 都道府県を除いた 39 県で解除日までの期間（観測個数は 1,000 個）を用いてモされた，2020 年 5 月 14 日から 2021 年 9 月 30

デルを推定し，2017 年 12 月 15 日のボラティ

日までの 339 個（「コロナ継続期間」と呼ぶ）でリティを予測する．これを繰り返し，2021 年 9ある．

月 30 日のボラティリティ予測が得られるまで，

表 1 は日次リターン，log ( RV ) , log ( RK ) のすなわち，922 日分の予測が得られるまで推定

要約統計量を，それぞれサンプル期間を（1）全を行う．このようにして，モデルのパラメータ

データ期間（20131114 日-2021930 日），（2）を毎回，新たに推定しながら，ボラティリティ

予測期間（20171214 日-2021930 日），（3）うの予測値を計算する．

ちコロナ前（20171214 日-202017 日），（4）モデル比較では，まず，922 日分の予測の精

うちコロナ発生直後・継続期間（202018 日-

度を確認する．次に，この予測期間を新型コロ

2021930 日），（5）うちコロナ継続期間（2020

ナウイルス感染症の拡大前と後の期間に分けて，

514 日-2021930 日）に分けて示している．すモデル比較を行う．具体的には，世界保健機構

べてのサンプル期間において，日次リターンの（WHO）が中国武漢での肺炎患者について新型

平均は有意に 0 から乖離しない．LB（10）は 1

ウイルスの可能性が否定できないと発表した

次から 10 次までの自己相関係数がすべて 0 で2020 年 1 月 8 日より前までの 500 個（以下，あるという帰無仮説を検定するための Ljung「コロナ前」と呼ぶ）と，この日以降の 422 個

and Box（1978）統計量で，Diebold（1988）
に従い，（「コロナ発生直後・継続期間」と呼ぶ）につい

分散不均一性を調整している．この統計量によて，それぞれのモデル比較を行う．後者の期間

ると，すべてのサンプル期間で，日次リターンについては，前述の通り，コロナ発生直後のボでは有意水準 10％ でも帰無仮説は棄却されな

ラティリティが高い時期と，その後のボラティ

い．そこで，（17）式の E ( y  I  ) は 0 とする．

リティが低い時期がみられるため，このボラテ

リターンの標準偏差や RV, RK の平均はコロナ

ィリティが低い時期のみについても，モデル比

後（コロナの拡大開始時期を含む）の方がコロナ

実現ボラティリティ

265

表 1．日経 225 株価指数の日次データの要約統計量
期間

観測数

平均

標準偏差

最大値

最小値

歪度

尖度

LB
（10）

0.037

1.284

7.731

−8.253−0.164

7.956

6.591

リターン
（1）全データ期間

1922（0.029）（2）予測期間

922

0.028

（0.056） （0.112）
1.251

7.731

−6.274（0.041）（3）うちコロナ前

500（4）うちコロナ発生直後

422

・継続期間
（5）うちコロナ継続期間

0.007（0.047）

1.057

3.810

−5.140

0.053

1.447

7.731

−6.274

0.110

7.683

8.957

（0.081） （0.161）（0.071）339−0.151−0.733
6.209（0.110） （0.219）
0.100

7.248

6.367
8.076

（0.119） （0.238）
1.141

4.767

−4.067（0.062）−0.0894.266

16.085（0.133） （0.266）

log (RV)（1）全データ期間

1922（2）予測期間

922（3）うちコロナ前

500（4）うちコロナ発生直後
・継続期間（5）うちコロナ継続期間

422
339

log (RK)（1）全データ期間

1922（2）予測期間

922（3）うちコロナ前

500（4）うちコロナ発生直後
・継続期間（5）うちコロナ継続期間

422
339

−0.997（0.021）−1.030（0.029）−1.228（0.035）−0.796（0.046）−0.976（0.037）

0.914

3.562

−3.894

0.888

3.562

−3.894

0.789

1.958

−3.894

0.940

3.562

−3.025

0.683

1.917

−3.025−0.990（0.021）

0.900

3.380

−3.923−1.033（0.028）−1.225（0.034）−0.806（0.045）−0.982（0.035）

0.859

3.380

−3.923

0.756

1.891

−3.923

0.918

3.380

−3.067

0.638

1.882

−2.782

0.761

4.304

（0.056）0.935（0.081）0.471（0.110）1.167（0.119）0.384（0.133）（0.112）5.269（0.161）
3.945（0.219）5.361（0.238）3.708（0.266）

0.823

4.446

（0.056）1.042（0.081）0.570（0.110）1.249（0.119）0.425（0.133）（0.112）5.593（0.161）
4.166（0.219）5.622（0.238）3.784（0.266）2769.302
916.443716.843
419.452
233.357

2814.112934.414842.229412.977
256.894

注） 期間は，（1）20131114 日から 2021930 日まで，
（2）20171214 日から 2021930 日まで，
（3）20171214 日から202017 日まで，
（4）202018 日から 2021930 日まで，（5）2020514 日から 2021930 日まで．括弧内は標準誤差．
LB（10）は 1 次から 10 次までの自己相関係数がすべて 0 であるという帰無仮説を検定するための Ljung and Box（1978）（1988）
に従い，分散不均一性を調整した．RV, RK は夜間と昼休みを無視して計算したものである．
統計量で，Diebold

266

経

済

研

究

図 2．log（RV），と log（RK）の自己相関係数注） 期間は，20131114 日から 2021930 日まで．

図 3．RV の連続成分（実線）とジャンプ成分（点線）

注） Barndorff-Nielsen and Shephard（2004, 2006）の方法によって分割した．ジャンプ成分は有意水
準 5％ で有意なものだけ抽出し，RV からジャンプ成分を引いたものを連続成分とした．期間は，20131114 日から 2021930 日まで．

前よりも大きくなっている．
図 2 は log ( RV ) と log (RK) の自己相関係数

ラフである．ジャンプ成分は有意水準 5％ で有意なものだけ抽出し，RV からジャンプ成分をを示している．横軸はラグ次数であり，どちら引いたものを連続成分とした．C と J の分割にもラグ次数が増えても減衰が遅く，長期記憶性

Andersen et al.（2012）の方法も用いたが，C とを持つ可能性が示唆される．図 3 は第 3. 2 節でJ の値は Barndorff-Nielsen and Shephard（2004,

説 明 し た Barndorff-Nielsen and Shephard

2006）の方法によって分割した場合とほとんど（2004, 2006）の方法によって分割した RV の連

変 わ ら な か っ た の で，以 下 の 分 析 で は続成分とジャンプ成分を時系列プロットしたグ

Barndorff-Nielsen and Shephard（2004, 2006）の

実現ボラティリティ267

表 2．HAR モデルのパラメータの推定結果：最小二乗推定値
α

β

β

β

0.363

0.239

0.225

γ

γ

γ

δ


R

HAR-RV モデル
前期 −0.320−0.1660.606（0.035） （0.042） （0.060） （0.042）
後期 −0.363
0.216
0.455
0.135

（0.034）−0.202

0.586（0.038） （0.042） （0.061） （0.042）（0.032）

HAR-RK モデル
前期 −0.305
0.405
0.210
0.213
（0.035） （0.044） （0.061） （0.041）
後期 −0.317

0.257

0.440

0.129

（0.037） （0.042） （0.061） （0.042）−0.154（0.037）0.613−0.171

0.619（0.032）

HARCJ-RV モデル
前期 −0.361
0.356
0.218
0.198
0.186
0.586
0.629
−0.164（0.058） （0.041） （0.058） （0.045） （0.212） （0.450） （0.631） （0.034）
後期 −0.375
0.217
0.461
0.087
0.019
−0.1331.027−0.206（0.083） （0.042） （0.065） （0.058） （0.152） （0.363） （1.101） （0.030）
HARC-RV モデル
前期 −0.265
0.360
0.235
0.228
（0.037） （0.041） （0.061） （0.044）
後期 −0.304
0.217
0.461
0.125
（0.039） （0.042） （0.063） （0.043）−0.173（0.034）−0.207（0.031）

0.604
0.587

0.601
0.588

  は自由度修正済み決定係数．期間は，前期が 20131114 日注） 括弧内は Newey and West（1987）の標準誤差．R
から 20171213 日まで，後期が 2017822 日から 2021930 日まで．

方法によって分割した C と J だけを用いていは有意水準 1％ で統計的に有意な負の値になっる．

ており，株式市場で観測される価格が下がった日の翌日の方がボラティリティがより上昇する

4. 2

各モデルの推定結果という現象と整合的である．RV を連続成分 C

予測精度の検証を行う前に，各モデルのパラとジャンプ成分 J に分割したため，HAR-CJ モ

メータの推定結果を確認する．データの期間のデルでは RV を用いた推定だけ行った．前期も後半には，新型コロナウイルス感染症の拡大時

後期も連続成分 C の係数は日次，週次，月次期が含まれており，期間の前半と後半でモデル

すべてで有意水準 1％ で統計的に有意な正の値のパラメータに変化が生じている可能性がある．

になっているが，ジャンプ成分 J の係数はすべ

そこで，データ期間の最初の 1,000 個（「前期」て有意水準 10％ でも有意でない．そこで，説と呼ぶ）と最後の 1,000 個（「後期」）について，

明変数からジャンプ成分を削除した HAR-C モ

それぞれモデルを推計し，パラメータの推計値

デルも RV を用いた推定だけ行った．そこでもを表 2-4 にまとめた．

前期，後期とも連続成分 C の係数は日次，週

表 2 は，最小二乗法による 4 つの HAR モデ

次，月次すべてで有意水準 1％ で統計的に有意ル の パ ラ メ ー タ の 推 定 値，Newey and Westな正の値になっている．また，HAR-CJ モデル，

（1987）の標準誤差，自由度修正済み決定係数を

HAR-C モデルでも，前期，後期ともにボラテ示している．RV, RK のどちらを用いた場合でィリティ変動の非対称性を表す δ の推定値はも，また前期，後期ともに，HAR モデルの過有意水準 1％ で統計的に有意な負の値になって去 の 日 次，週 次，月 次 RV の 係 数 で あ るいる．自由度修正済み決定係数は前期，後期とβ, β, β の推定値はすべて有意水準 1％ で統もすべてのモデルで 0.6 前後と高い値を示して計的に有意な正の値になっている．また，ボラいる．

ティリティ変動の非対称性を表す δ の推定値

表 3 は疑似最尤法によって推定された

268

経

済

研

究

表 3．EGARCH モデルと REGACH モデルのパラメータの推定結果：疑似最尤推定値
ω

β

θ

γ

ν

0.949

−0.158

0.056

対数尤度

EGARCH モデル
前期

0.354

−1553.17（0.139） （0.018） （0.031） （0.015）
後期

0.208

0.894

−0.1750.081−1490.21（0.107） （0.059） （0.046） （0.029）
EGARCHt モデル
前期

0.443

0.947

−0.193

0.053

4.793

−1518.02（0.167） （0.023） （0.037） （0.018） （0.781）
後期

0.251

0.869

−0.213

0.100

5.346

−1464.08（0.118） （0.065） （0.051） （0.031） （0.825）

ωβ

REGARCH-RV モデル
前期
0.363
0.940
（0.162） （0.017）
後期
0.134
0.928
（0.136） （0.015）

τ

τ

γ

−0.1380.051
0.300（0.017） （0.014） （0.042）−0.1220.070
0.296（0.015） （0.008） （0.027）

ξδ−1.208（0.066）−1.186（0.055）

δ

σ 

ν

−0.1460.103
0.259（0.017） （0.013）−0.1510.116
0.246（0.016） （0.009） （0.015）

対数尤度−2283.26−2197.81

REGARCHt-RV モデル
前期
0.358
0.935
−0.1440.052
0.321−1.215−0.1470.102
0.258
5.419 −2245.14（0.164） （0.016） （0.017） （0.016） （0.040） （0.071） （0.017） （0.014） （0.018） （1.035）
後期
0.132
0.935
−0.1160.073
0.298−1.190−0.1520.115
0.246
5.797 −2172.02（0.154） （0.014） （0.015） （0.008） （0.026） （0.057） （0.016） （0.009） （0.015） （0.926）
REGARCH-RK モデル
前期
0.351
0.932
（0.157） （0.019）
後期
0.117
0.934
（0.142） （0.013）−0.1380.053
0.329（0.018） （0.017） （0.048）−0.1150.066
0.325（0.014） （0.007） （0.029）−1.192（0.067）−1.182（0.055）REGARCHt-RK モデル
前期
0.340
0.927
−0.1440.055
0.355−1.195（0.158） （0.018） （0.018） （0.018） （0.046） （0.071）
後期
0.106
0.941
−0.1090.068
0.324−1.183（0.165） （0.012） （0.014） （0.008） （0.028） （0.057）−0.1440.103
0.249（0.018） （0.014） （0.017）−0.1470.108
0.209（0.016） （0.009） （0.014）−0.145

0.101

0.249

−2265.72−2111.38

5.459−2226.21（0.018） （0.015） （0.017） （1.053）−0.1480.107
0.208
5.929 −2086.63（0.016） （0.009） （0.014） （0.954）

注） 括弧内は Bollerslev and Wooldridge（1992）の疑似最尤推定量の標準誤差．期間は，前期が 20131114 日から 20171213 日まで，後期が 2017822 日から 2021930 日まで．

EGARCH モデルと REGARCH モデルのパラ

帰無仮説を ϵ の分布が標準正規分布，対立仮メータの推定値と疑似最尤推定量の標準誤差を説を分散を 1 に基準化した t 分布として，表 3示している．ボラティリティの持続性を表す βに示されている対数尤度を用いて尤度比検定をが先行研究と比べて若干低いものの，すべての行うと，すべてのモデルで帰無仮説は棄却されモデルでボラティリティ・クラスタリングを示る．

している．EGARCH モデルの θ と REGARCH

表 4 は，ベイズ推定法によって推定されたモデルの τ はいずれも有意水準 1％ で有意な

SV モデルと RSV モデルの事後平均と事後標負の値を示しており，株式市場におけるボラテ

準偏差を示している．ϕ はボラティリティの持ィリティ変動の非対称性と整合的である．RE-

続性を捉えるパラメータであり，推定値は 0.9

GARCH モデルにおいて RV のバイアスを表す

程度と，やはり先行研究と比べて若干低いもの

ξ はすべて有意水準 1％ で有意な負の値になっの，ボラティリティが持続的であることがわかており，これは第 3.3 節で予想した通りである．

る．ρ はボラティリティ変動の非対称性を捉え実現ボラティリティ269

表 4．パラメータの推定結果（3）：事後平均
ϕ

σ

ρ

μ

0.909

0.421

−0.6090.213（0.026）（0.078）（0.074）（0.142）ξσνSV モデル
前期［0.37 ; 164.8］ ［0.52 ; 267.4］ ［0.80 ; 120.2］ ［0.43 ; 9.9］
後期

0.890

0.437

−0.5580.067（0.026）（0.067）（0.071）（0.131）［0.32 ; 97.0］ ［0.30 ; 198.4］ ［0.47 ; 97.2］ ［0.86 ; 12.7］
SVt モデル
前期

0.937

0.319

−0.699（0.018）（0.050）（0.066）［0.24 ; 87.5］ ［0.22 ; 138.9］ ［0.10 ; 51.8］
後期

0.273

16.194（0.141）［0.52 ; 8.2］

（4.565）［0.79 ; 175.9］

0.913

0.362

−0.6080.114

19.036（0.021）（0.055）（0.070）（0.130）（4.731）［0.10 ; 85.9］ ［0.15 ; 148.6］ ［0.13 ; 68.1］ ［0.08 ; 13.5］［0.95 ; 137.8］

RSV-RV モデル
前期
0.913
0.327
−0.336（0.016）（0.024）（0.059）［0.14 ; 25.1］ ［0.10 ; 51.8］ ［0.24 ; 26.9］
後期
0.920
0.296
−0.319（0.015）（0.023）（0.058）［0.91 ; 15.5］ ［0.40 ; 34.3］ ［0.68 ; 19.2］

0.155（0.126）［0.95 ; 7.2］
0.032
（0.127）［0.95 ; 7.0］

−1.0240.430（0.053）（0.020）［0.65 ; 27.7］ ［0.15 ; 36.7］−1.0220.432（0.055）（0.017）［0.83 ; 32.5］ ［0.71 ; 19.5］

RSVt-RV モデル
前期
0.918
0.314
−0.355（0.016）（0.025）（0.062）［0.55 ; 26.9］ ［0.43 ; 53.6］ ［0.64 ; 35.7］

0.174（0.130）［0.19 ; 6.0］

−1.0350.437
21.154（0.060）（0.020）（4.450）［0.99 ; 27.7］ ［0.83 ; 34.5］ ［0.73 ; 105.3］−1.0430.437
20.258（0.059）（0.017）（4.650）［0.29 ; 29.9］ ［0.48 ; 7.7］ ［0.29 ; 59.6］

後期

0.925
（0.014）［0.06 ; 7.7］

0.286
（0.021）［0.15 ; 17.4］−0.328（0.059）［0.89 ; 8.7］

0.057
（0.133）［0.33 ; 6.9］

RSV-RK モデル
前期
0.907
0.339
−0.3000.132−0.9920.411（0.017）（0.026）（0.056）（0.126）（0.056）（0.021）［0.20 ; 19.4］ ［0.63 ; 42.8］ ［0.73 ; 22.8］ ［0.25 ; 13.1］ ［0.20 ; 47.2］ ［0.93 ; 25.5］
後期
0.927
0.278
−0.3050.045−1.0400.394（0.014）（0.020）（0.058）（0.130）（0.056）（0.016）［0.30 ; 14.6］ ［0.22 ; 37.6］ ［0.09 ; 16.9］ ［0.55 ; 6.5］ ［0.45 ; 31.2］ ［0.70 ; 17.9］
RSVt-RK モデル
前期
0.912
0.328
−0.3190.167−1.0240.418
21.376（0.016）（0.024）（0.060）（0.131）（0.060）（0.020）（4.825）［0.99 ; 13.7］ ［0.75 ; 31.6］ ［0.87 ; 19.6］ ［0.28 ; 10.6］ ［0.24 ; 41.0］ ［0.45 ; 20.7］ ［0.11 ; 52.5］
後期
0.931
0.271
−0.3100.063−1.0550.398
20.335（0.013）（0.019）（0.058）（0.134）（0.059）（0.015）（4.390）［0.92 ; 7.2］

［0.95 ; 19.3］ ［0.43 ; 14.2］［0.16 ; 3.0］

［0.33 ; 18.5］ ［0.63 ; 12.1］ ［0.42 ; 59.1］

注） 丸括弧内は事後標準偏差．角括弧内は左から Geweke（1992）の CD 統計量の p 値，非効率性因子．期間は，前期が 20131114 日から 20171213 日まで，後期が 2017822 日から 2021930 日まで．

270

経

済

るパラメータであり，推定値はどのモデルでも

研

究

4. 3

予測精度の結果負となっていることから，日経 225 株価指数の予測の精度を評価するためには，1 日先の真ボラティリティと前日のリターンには負の相関のボラティリティが必要となるが，観測できなが存在することが示唆される．ξ は RV の観測い値であるため，代理変数として，30 分おき

方程式の定数項であり，REGARCH モデルとの日中リターンの 2 乗和で計算した RV を用い同様負となっている．サンプルの前期と後期でる．ま た，頑 健 性 の チ ェ ッ ク と し て，

パラメータの推定値を比べると，ほとんど変わ

Barndorff-Nielsen et al.
（2011）の Realized Ker-

らないことがわかる．RSV モデルでは，σ と μnel（RK）も用いる．ただし，これらの系列には，が多少，前期と後期で異なった値となっている

昼休みや夜間休みのリターンが含まれていないが，それ以外のパラメータはほぼ同じ水準となため，1 日のボラティリティを過小評価するこっている．なお，RSV モデルは SV モデルにとになる．そこで，第 2 節で説明した Hansen

比べて，パラメータの推定の際に RV の情報がand Lunde（2005a）の方法を用いて，休憩時間

追加されているため，共通のパラメータの事後の影響を補正する．

標準偏差が小さくなっている．t 分布モデルのボラティリティの予測精度の評価基準として，自由度 ν の事後平均は，15 から 20 程度の大き

平均二乗誤差（Mean Square Error ; MSE）と疑さとなっており，SVt モデルの方が RSVt モデ

似尤度（Quasi-likelihood ; QLIKE）の 2 つを用い

ルよりもやや小さめとなっている．

る．Patton（2011）は，代理変数が真のボラティ

表 4 には，MCMC 法によって発生させた事

リティの条件付き不偏推定量であれば，これら

後密度分布からのパラメータのサンプルについ2 つの評価基準は真のボラティリティを用いたて，サンプルの分布が事後分布に収束している

場合と同じ順位になることを理論的に示していかどうかを検定する，Geweke（1992）の収束診
る．第 t+1 日の真のボラティリティを σ ，断（Convergence Diagnostic, CD）統計量の p 値

第 t 日までのデータを用いて計算した第 t+1を示している．具体的には，10,000 回のサンプ


日のボラティリティの予測値を σ   とおく．

リングのうち，最初の 1,000 個のサンプルと後2 つの評価基準である損失関数は次式で表され半の 5,000 個のサンプルの平均が等しいというる．

帰無仮説を検定し，その p 値を計算している．
結果をみると，どのパラメータについても，
0.05 を超えており，5％ 有意水準でサンプル系
列の最初と後半の平均が等しいという帰無仮説

MSE =QLIKE =1 ∑ ( σ   −σ  ) ,
N 






σ 
1 

∑ log σ 
.
 +

N 
σ   は棄却されない．すなわち，サンプルは事後密

ただし，ここで t=1, ⋯, N は予測を行う期間

度分布に収束していると判断してよい．また，である．なお，これらの式からわかる通り，異表では，非効率性因子（inefficicy factor）も示し

常値があった場合，MSE はそれに影響されやている（例えば，大森・渡部（2013）
を参照）．非すい一方，QLIKE の方が比較的，安定してい効率性因子は無相関の標本から計算する標本平るといえる．

均と同じ分散を得るために何倍のサンプル数が各 モ デ ル か ら 得 ら れ た 予 測 値 に つ い て，必要であるかを表す効率性の尺度である．SV

MSE と QLIKE の結果をまとめたのが表 5 でモデルの一部のパラメータを除いて，非効率性ある．なお，HAR-CJ モデルについては，前述

因子は 100 を下回っており，比較的，効率的なの通りジャンプ成分が有意でなかったため，予サンプリングが行われていると考えることがで

測 精 度 の 比 較 か ら 除 外 し て い る．ま た，

きる．

EGARCH, SV, RSV モデルについて，正規分布のモデルより t 分布のモデルの方が全体的に予測精度が良い結果となったため，ここでは t 分

実現ボラティリティ

布の結果のみを報告している．まず，全期間を表 5．予測精度のモデル比較
評価基準
代理変数

MSE

271

QLIKE

みると，MSE については，RV（30 分）の場合，

RV（30 分）RKRV（30 分）RK

EGARCHt
SVt

17.2882
17.42688.91158.9323

1.1079*1.0936

1.1584*1.1489*HAR-RV

16.4735

6.70641.03451.0796

HAR-RK モデルが，RK の場合，REGARCHt-

HAR-RK

15.5650

6.20981.03191.0796

HAR-C

16.83886.89731.0322

1.0798RK モデルが最も優れていることがわかる．

REGARCHt-RV

15.09136.35131.04091.0791

この結果を期間別に仔細にみると，コロナ前

REGARCHt-RK

14.7369

6.18541.0363

1.0772

RSVt-RV
RSVt-RK15.6916
15.3874

6.68146.46411.03491.0323

1.0774
1.0776の 期 間 に つ い て は，ど の 場 合 も RSVt-RK モ（2）コロナ前
EGARCHt
SVt
HAR-RVHAR-RK
HAR-C
REGARCHt-RVREGARCHt-RK
RSVt-RV
RSVt-RK

2.1175
1.94742.03442.01012.03892.02981.98981.92171.90181.20351.0456
1.1544
1.1275
1.15411.08381.04960.97850.97140.8800*0.8500*0.82470.82100.82340.83260.82720.81610.81030.9095*0.8837*0.8514*0.84830.85020.8567*0.85190.84430.8399（3）コロナ発生直後・継続期間
EGARCHt
35.262918.0442SVt
35.7674
18.2768
HAR-RV33.5814
13.2846
HAR-RK
31.6253
12.2314
HAR-C
34.374213.7020REGARCHt-RV
30.5671
12.5925
REGARCHt-RK
29.8401
12.2705
RSVt-RV
32.0066
13.4383
RSVt-RK31.3657
12.97211.3778*1.3823*1.28311.28171.27971.2878*1.28401.2942
1.29531.4533*
1.4631*1.35011.35371.35191.34261.34401.35351.3592（4）コロナ継続期間
EGARCHt
1.7606SVt
1.5343
HAR-RV
1.4380HAR-RK
1.4405
HAR-C
1.45961.68681.46501.29761.3013
1.3124

1.1554*
1.1494*1.07991.07591.07941.2500*1.2591*1.16191.16381.1673REGARCHt-RVREGARCHt-RK
RSVt-RV
RSVt-RK

1.37301.34241.28481.29111.0825
1.07801.08111.07981.1553
1.15691.1627
1.1680（1）全期間1.54361.50741.45111.4530注） 真のボラティリティの代理変数として，RV（30 分間隔の日中
リターンにより算出）と RK を使用．予測期間については，（1）全期間は 20171214 日から 2021930 日まで（1,000 日間），
（2）コロナ前は 20171214 日から 202017 日まで（500 日間），（3）コロナ発生直後・継続期間は 202018 日から 2021930
日まで（422 日間），（4）コロナ継続期間は 2020514 日から．* は 10％ 有意水準で MCS に含2021930 日まで（339 日間）
まれないモデル．

REGARCHt-RK モデルが，RK の場合，HARRK モデルが最も優れていることがわかる．一方，QLIKE については，RV（30 分）の場合，デルが最も優れていることがわかる．また，
コ ロ ナ 発 生 直 後・継 続 期 間 に つ い て は，
REGARCHt-RK モ デ ル，HAR-RK モ デ ル，
HAR-C モデルが最も優れたモデルとして挙げられる．一方，コロナ継続期間についてみると，
HAR モデル，REGARCH モデル，RSVt モデ
ルと様々なモデルが最も優れたモデルとなっている．これらの結果から，コロナ発生直後のボ
ラティリティが非常に高い時期を含む期間では，
REGARCHt モデルや HAR モデルが最も優れたモデルとなった．一方，こうした時期を除くと，コロナ前でもコロナ継続期間でも，一貫して RSVt モデルが最も優れたモデルになることがわかった．この背景としては，RSVt モデル
は REGARCHt モデルや HAR モデルに比べて潜在変数が多く，自由度の高いモデルとなっており，通常の時期については予測精度が高いが，ボラティリティが非常に高い時期には潜在変数
が 多 い た め に 予 測 値 が 振 れ や す く，REGARCHt モデルや HAR モデルの方が予測精度がやや高まる傾向にあるのではないかと考えられる．
さて，こうした MSE と QLIKE のモデル間の差が統計的に意味のあるものかどうか，2 種類の検定方法を用いて，検証する．1 つ目は，Hansen et al.
（2011）によって提案された，モデ
ル信頼集合（Model Confidence Set ; MSC）である．MCS を用いると，真のモデルを仮定する
ことなく，他のモデルより予測精度が優れているモデルの集合を特定することができる．検証の対象となっているモデルの集合を M  とする．
その中から 2 つのモデル i と j を取り出し，各時点の損失関数のモデル間の差を d  とおく．

272

経

済

研

究

M  の部分集合 M  について ( M ⊂M  ) ，次式

いるため，本稿でも QLIKE についてのみ GWの帰無仮説を検定する．

検定を行う．

H ：E [ d  ] = 0,∀i, j∊M , i > j.
（30）

全期間とコロナ前後の期間で，MCS の検定を行った結果が表 5 に記載されている．10％の 有 意 水 準 で，MCS に 含 ま れ な い モ デ ル に

この帰無仮説が棄却された場合，予測力が有意「*」を付けている．MSE を基準にすると，どに低いモデルを集合 M  から除外する．次々とのモデルも MCS に含まれており，有意な違い

この帰無仮説による検定を行い，M  に含まれがないことがわかる．一方，QLIKE を基準にる全ての ( i, j ) について帰無仮説が棄却されな

すると，SV モデルは，どの推計期間でも，どくなるまで行う．式（30）に対する検定統計量は，ちらの真のボラティリティの代理変数でも，ブートストラップ法を用いて計算される（詳し

MCS に含まれない．また，EGARCH モデルもくは，Hansen et al.
（2011）を参照されたい）．

全 期 間 や コ ロ ナ 発 生 直 後・継 続 期 間 な ど で

本稿の計算では，R のパッケージ MCS を用い

MCS に含まれない．この 2 つのモデルは RVて計算した．

を用いていないモデルであり，それ以外のモデ検定方法の 2 つ目は，Giacomini and White

ルは RV を用いている．つまり，RV を用いた

（2006）の方法（以下，GW 検定と呼ぶ）である．

方が予測精度は統計的に有意に優れていること候補となっているモデルの全ての 2 つずつの組がわかった．

み合わせについて，MSC の計算と同様に各時

また，この結果は表 6 に示された GW 検定

点の損失関数のモデル間の差 d  を考える．

の結果からもわかる．ここでは，推定期間がデGW 検定には 2 種類あり，無条件（uncondition-

ータ全期間の結果のみを示す．ボラティリティal）検定と条件付き（conditional）
検定がある．

の代理変数を RV, RK とした場合の両方とも，まず，無条件 GW 検定については，MSC とEGARCHt モデルと SVt モデルは他のモデル同様に上記の帰無仮説 H を検定する．Giaco-

よりも QLIKE が高めに出る傾向にあり，そのmini and White（2006）に倣って，検定統計量の差は 5％ 有意水準で統計的に有意といえる．

算出には Newey-West の HAC（Heteroscedas-

表 5 の MSE と QLIKE の値から，以下のこ

ticity and Auto-correlation Consistent）推定量と が わ か る．（1）RV や RK を 使 わ な いを用いる．次に，条件付き GW 検定について

EGARCH, SV モデルは，RV もしくは RK を使う HAR, HAR-C, REGARCH, RSV と比べて，は，帰無仮説を次式に替える．
H ：E [ d   I  ] = 0.

（31）

統計的に有意にボラティリティの予測精度が低
い．
（2）統計的に有意ではないが，コロナの発

ここで，I  は t 時点までの情報を表しており，

生 直 後 を 含 む 期 間 で は HAR モ デ ル や RE-

t までの情報から予測された t+1 時点の損失

GARCH モデルの予測精度が比較的高く，それ関数の差について，期待値が 0 であるかどうか以外の期間についてはコロナ前もコロナ継続期を検定する．Takahashi et al.
（2021）に倣って，間も RSV モデルの予測精度が高い．
（3）統計q= ( 1, d  ) ' とおき，次式の帰無仮説を検定す的に有意ではないが，ほとんどの場合で HAR,る．

REGARCH, RSV モデルでは RV よりも RK を
H ：E [ q d  ] = 0.

（32）

検定統計量の計算について詳しくは，Takahashi et al.
（2021）を参照されたい．なお，Patton
and Sheppard（2009）は，MSE よ り も QLIKEの方が GW 検定の検出力が高いことを示して用いた方が予測精度が高い．
（4）RV の連続成
分 を 用 い た HAR-C モ デ ル は，RV を 用 い た
HAR モデルの予測精度を上回らない．

実現ボラティリティ273

表 6．QLIKE における GW 検定の結果（全予測期間）．
1．代理変数が RV（30）の場合（1）（1）
EGARCHt

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

1.00**

0.93**

0.94**

0.93**

0.91**

0.92**

0.94**

0.92**

0.95**

0.96**

0.95**

0.91**

0.92**

0.94**

0.93**

0.86

0.97

0.06

0.25

0.48

0.65

0.36

0.01

0.07

0.00

0.48

0.05

0.17
0.94*

0.26
0.87

0.53
0.85

0.83

0.82

（2）
SVt

−1.45

（3）
HAR-RV−4.07**−3.37**（4）
HAR-RK−4.11**−3.50**

−0.94

（5）
HAR-C
（6）
REGARCHt-RV−4.04**−3.89**−3.39**−3.11**

−1.11
0.99

0.10
1.39

1.30

（7）
REGARCHt-RK−4.00**−3.30**

0.25

0.73

0.58

−1.93*（8）
RSVt-RV−3.98**−3.71**

0.05

0.47

0.36

−0.92

−0.21

（9）
RSVt-RK−3.87**−3.64**

−0.26

0.06

0.01

−1.08

−0.57

−0.68

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

0.99

0.92**
0.92**

0.93**
0.94**
0.56

0.93**
0.92**
0.14
0.05

0.88**
0.92**
0.47
0.50
0.56

0.90**
0.92**
0.73
0.72
0.80
1.00

0.93**
0.93**
0.99
0.89
0.90
0.98

0.95**
0.95**
0.86
0.98
1.00
0.95

0.00

0.39
0.25

0.75

2．代理変数が RK の場合（1）（1）
EGARCHt（2）
SVt（3）
HAR-RV（4）
HAR-RK
（5）
HAR-C
（6）
REGARCHt-RV（7）
REGARCHt-RK−1.10−4.20**−3.99**−3.98**−4.61**−4.55**−3.99**−3.84**−3.80**−4.17**−4.22**

−0.00
0.09
−0.09
−0.50

0.08
−0.07
−0.40

−0.10
−0.44

（8）RSVt-RV（9）RSVt-RK−4.52**−4.18**−4.46**−4.17**

−0.54
−0.45

−0.41
−0.54

−0.44
−0.48

−0.69
−0.35
−0.19

0.05
0.07

0.05

注） 左下の三角行列の値は，無条件 GW 検定の検定統計量（t 値）．値が正の場合，行のモデルの損失関数が列のモデルのそれよりも大きいことを示す．右上の三角行列の値は，条件付き GW 検定における予測損失関数の差（行のモデルから列のモデルの損失を差し引いたもの）が正となる割合．**，* はそれぞれ 1％，5％ の水準で統計的に有意．

5．結論（1）本稿ではリターンの分布に正規分布と t 分布を仮定した．これらは左右対称な分布であ

本稿では，まず，Realized Volatility（RV）にり，非対称な分布も含めて包括的にモデル比関する先行研究のサーベイを行った．次に，日較を行うことは重要である．非対称分布につ経 225 株価指数の RV を用いて，RV を用いた

いては，Aas and Haff
（2006）を参照されたい．

主要なボラティリティモデルについて，それぞ中 島・大 森（2011）, Nakajima and Omori

れ推定を行ったうえで，ボラティリティの予測（2012）, Takahashi et al.（2016）は SV モデル

精度についてモデル比較を行った．分析の特徴

や RSV モデルにおいて一般化双曲型非対称として，できるだけ多くのモデルについて実際

t 分布，Abanto-Valle et al.
（2015）は SV モデの日本のデータを用いて比較した．また，予測ルにおいて Azzalini and Capitano（2003）の非期間を新型コロナウイルス感染症の拡大前後で

対 称 t 分 布，Watanabe（2012）は RGARCH

分け，優れているモデルが時期によって異なる

モデルにおいて Fernández and Steel（1998）

かどうかも検証した．分析の結果，コロナの発の非対称 t 分布を用いている．こうしたリタ

生 直 後 を 含 む 期 間 で は，HAR モ デ ル や RE-ーンの分布は，VaR や ES などに応用する場

GARCH モデルの予測精度が比較的高く，それ合，特に重要である．

以外の期間についてはコロナ前もコロナ継続期（2）本稿では 1 日先のボラティリティの予測だ

間も RSV モデルの予測精度が高いことが明らけを行ったが，週次，月次など将来の多期間かになった．

のボラティリティの予測の比較も重要である．

本稿には以下のようにさらなる拡張の余地がある．

多期間のボラティリティを予測する場合，
EGARCH モデルや REGARCH モデルでも

274

経

済

研

究

シミュレーションが必要になるのに対して，

Hoerova（2014）, Ubukata

HAR モデルでは被説明変数を多期間のボラ（2014b）を参照されたい．実測度の下でのボティリティにするだけで良い．詳しくは，渡ラティリティは本稿で説明したモデルで予測部（2020）を参照されたい．

する必要があるので，分散プレミアムの予測（3）本稿では Realized Measure（RM）に 5 分ごandWatanabe

力の比較も興味深い．

とのリターンを使って計算した RV と RK を

（7）株価のボラティリティに関する別の論点と用 い た が，そ の 他 の RM を 用 い た 場 合 やして，先行研究では日本銀行が行っている

REGACH モデルや RSV モデルで異なる複ETF 買い入れが株価市場のリスクプレミア

数の RM を同時に用いた場合との比較は興ムを押し下げる効果があるという結果が提示

味 深 い．こ れ に つ い て は，Hansen and

されている
（安達他
（2021）
を参照されたい）．

Huang（2016）や石原（2015）
を参照されたい．

本稿の分析の枠組みを用いてこうした ETF（4）本 稿 で は EGARCH モ デ ル と REGARCH

買い入れの効果を分析することも有用であるモデルでボラティリティの予測を行う際にパラメータを疑似最尤推定値として予測を行っと考えられる．
これらは今後の課題としたい．

たが，MCMC によってパラメータとボラテ（一橋大学経済研究所
・一橋大学経済研究所）

ィリティの予測値を同時に事後分布からサン
プリングした場合，予測精度が高まるかどうか も 興 味 深 い．EGARCH モ デ ル や REGARCH モデルの MCMC を用いたベイズ推
定 に つ い て は，三 井・渡 部（2003）, Asai（2006）, Chen et al.
（2021）
を参照されたい．
（5）オプション価格は原資産価格のボラティリ
ティに依存するので，オプション価格への応用も重要である．オプション価格を用いた比較については，Bandi et al.
（2008）
や Ubukataand Watanabe（2014a）
を参照されたい．
（6）ボラティリティにはオプション価格から計補論．SV モデル，RSV モデルの事後分布からのサンプリング法
本稿では，SV モデルと RSV モデルをベイズ推定の枠組みで MCMC 法により推定した．この補論
では，これらのモデルについて事後分布からのサン
プリング法を説明する．基本的に RSV モデルの事
後分布からのサンプリング方法について説明し，
SV モデルはその特殊ケースとして考える．
ω の事前分布を π ( ω ) とおく．RSV モデルのパ

算されるインプライドボラティリティがあり，ラメータ ω と対数ボラティリティ h の同時事後分

近年では Black and Scholes（1973）モデルを

布は，次式で表される．

仮定せず，ボラティリティの変動を許容する
ジャンプ拡散過程（10）式の下で計算されるモ
デルフリー・インプライドボラティリティが用いられる．これは危険中立測度の下でのボ
ラティリティであり，そこから過去のリター
ンから予測される実測度の下でのボラティリ
ティを引いたものは分散リスクプレミアムと呼ばれ，将来のリターンや景気の予測に役立
つ変数として注目を集めている．モデルフリー・インプライドボラティリティについては
Jiang and Tian（2005），杉原（2010），分散リ
スクプレミアムとその予測力については Bollerslev et al.
（2009, 2014）, Bekaert and



y
1
exp −
 
    λ e
2λ e π ( ω, h, λ  Y ) ∝ π ( ω ) ∏( 1−ϕ ) h
 1−ϕ
exp −
×
σ
2σ 







1
σ  1−ρ −ϕh−y ) 
(h
exp −

2σ ( 1−ρ  )



 

×∏







×∏



( ( ν−2 ) 2 )
Γ ( ν2 )



exp −


×∏



ν−2
2λ











λ  ( x−ξ−h ) 
1
exp −
,
σ
2σ 



実現ボラティリティ275

=h−μ, y=ρσy e  λ である．
ただし，h行う．この変換により，w の定義域は R'= { −∞<A1．ϕ のサンプリング関数（34）のモード（またはモードの近似値）
を数値的

に求め，その値を ϑ とおき，また，上の変数変換w<∞；i=1, 2 } となる．次に条件付事後確率密度

ϕ の事前分布を π ( ϕ ) とおく．ϕ の条件付事後分

Q ) を用いて，候補点 w  を発生させる．ただし，

布 π ( ϕ  ∙ ) は，次式のように書ける．

π ( ϕ  ∙ ) ∝ π ( ϕ )  1−ϕ  exp −( 1−ϕ ) h2σ −ϕh−y ) 
(h
−∑


2σ ( 1−ρ  )



 



∝ π ( ϕ )  1−ϕ  exp −
ただし，
μ =

∑

 


を施した値を w
 と す る．提 案 分 布 と し て N ( w,w = w
 +Q
Q = −( ϕ−μ )
2σ 







∂ log π (w ∙ )
.
∂w∂w'

ww



,

（33）

この候補点 w を次の確率で受容する．
min−y ) h(hσ  ( 1−ρ  ), σ  =
,

s
s



∂ log π (w ∙ )
,
∂w

ww





π ( ϑ   ∙ ) f ( w  w, Q )  J ( ϑ ) ,1 .
π ( ϑ  ∙ ) f ( w   w, Q )  J ( ϑ  ) ただし，f ( x  m, Ω ) は平均ベクトル m，分散共分散行列 Ω の二変量正規分布の密度関数を点 x で+∑    h である．この条件付事
および，s=ρ h

評価したものであり，J ( ∙ ) は上の変数変換のヤコ後分布はシンプルな分布の密度関数の形をしていな

ビアンを表す．ϑ  は w  を逆変換した点である．

 

いため，直接サンプリングすることはできないが，
Metropolis Hasting（MH）アルゴリズムを用いて次のようにサンプリングを行うことができる．まず，（33）
式の一部が正規分布の密度関数の核の形をしていることに注目して，提案分布を TN ( −1, 1 ) ( μ,σ  ) と お い て 候 補 点 ϕ  を 発 生 さ せ る．た だ し，TN ( a, b ) ( μ, σ  ) は平均 μ，分散 σ  の定義域 ( a, b )A3．μ のサンプリング
μ の事前分布を N ( μ, v ) とおく．μ の条件付事
後分布は次式で表される．

π ( μ  ∙ ) ∝ exp −−μ ) −ϕ ( h−μ ) −y } { (h2σ  ( 1−ρ  )に限定された切断正規分布を表す．現在の点 ϕ か

 

−∑



らこの候補点 ϕ を次の確率で受容する．
min





π ( ϕ )  1−ϕ,1 .
π ( ϕ )  1−ϕ 






∝ exp −

棄却した場合には，現在の点に留まる．

ただし，σ  =

A2． ( σ , ρ ) のサンプリング
σ と ρ の同時条件付事後分布を考える．ϑ= ( σ, ρ ) '( μ−μ )  ( 1−ϕ  ) h
−


2v
2σ




μ = σ 

( μ−μ
)
2σ 





.

( 1−ρ  ) ( 1−ϕ  ) + ( T −1 ) ( 1−ϕ ) 1+v
σ  ( 1−ρ  )








,

μ
+
v
 



条件付事後分布は次式で表される．

(1−ρ  ) (1−ϕ  ) h+ (1−ϕ ) ∑    ( h−ϕh−y ).
σ  (1−ρ  ) 

この条件付事後確率密度関数は正規分布の密度関数と定義して，事前分布を π ( ϑ ) と設定すると，ϑ のπ ( ϑ  ∙ ) ∝ π ( ϑ ) ×σ  ( 1−ρ  )  exp   ( h−ϕh−y ) ( 1−ϕ  ) h−−∑. （34）2σ2σ ( 1−ρ  )

の核の形をしているので，サンプリングは，μ  ∙ ~N (μ , σ  ) となる．

この条件付事後確率密度関数からも確率標本を直接サンプリングすることはできないため，MH アルゴ

A4．h のサンプリング

リズムを用いる．パラメータ ( σ, ρ ) には制約 R=

対数ボラティリティ ( h, ⋯, h ) を効率的にサン{ ϑ：σ>0,  ρ  <1 } がある．このまま提案分布を考プリングするために，multi-move sampler と呼ばえてもよいが，ここでは ϑ から w≡ ( w, w ) ', w=れるサンプリング法を用いる．h の条件付事後分布

log σ, w=log ( 1+ρ ) −log ( 1−ρ ) へ の 変 数 変 換 を

π ( h  ω, Y ) から，一度に h を直接サンプリングす

276

経

済

ることは難しい．そこで， ( h, ⋯, h ) をいくつか

研

究

これを，t=1, ⋯, T に対して行う．

のブロックに分けて，1 つのブロック内の潜在変数のサンプリングを，他のブロックの h を条件付けた上で行うという考え方である．

A6．ν のサンプリング

t=0, ⋯, T に 対 し て α=h−μ，お よ び y=y
exp ( −μ2 )  λ と定義し， { α }


 

を潜在変数とす

る次の状態空間モデルを考える．

ν の事前分布を π ( ν ) とおく．ν の条件付事後分
布 π ( ν  ∙ ) は，次式のように書ける．
( ( ν−2 ) 2 )  λ
Γ ( ν2 )π (ν ∙ ) ∝ π (ν) ∏y = ε exp ( α2 ) , t = 1, ⋯, T ,（35）x = ξ+μ+α+u, t = 1, ⋯, T ,（36）α = ϕα+η, t = 0, ⋯, T −1.

（37）



exp −



ν−2
.
2λ

ν についても MH アルゴリズムを用いてサンプリン( α, ⋯, α ) 全体を K +1 個のブロックに分割し，グする．具体的には，ステップ A2 と同様に正規分

任意のブロックを ( α, ⋯, α ) と表す．ただし，布による条件付事後分布の近似を用いて，候補点を

i=1, ⋯, K +1, k=0, k=n で あ る．ブ ロ ッ ク のサンプリングする．

分割方法は，例えば，Shephard and Pitt（1997）が提案している stochastic knots という方法があり，
i=1, ⋯, K に対して k=int [ n ( i+U )  ( K +2 ) ] とA7．ξ のサンプリング

定める．ただし，U は区間 [ 0, 1 ] で定義される一様分布からの乱数を表し，int [ ∙ ] は整数部分を表

ξ の事前分布を，ξ~N ( ξ, z ) とおく．ξ の条件
付事後分布は ξ  ∙ ~N ( ξ , z ) となり，ξ と z
 はそす関数である．MCMC 法のアルゴリズムにおいて，

れぞれ次式で表される．

ブロックの節目である ( k, ⋯, k ) を毎回ランダムに決めることにより，サンプリングの効率性を高め =z

ることができる．

T1+z σ , ξ = z








∑    ( x−h )
ξ
.
+
σ 
z

任意のブロック ( α, ⋯, α ) の条件付同時事
後分布を導出し，サンプリングを行う．具体的な方法は，Takahashi et al.（2016）を参照されたい．

A8．σ u のサンプリングσ  の 事 前 分 布 を，σ ~IG ( n2, V2 ) と お く．
ただし，IG は逆ガンマ（Inverse Gamma）分布である．σ  の 条 件 付 事 後 分 布 は σ   ∙ ~IG ( n 2, V 2 )となり，nと
V はそれぞれ次式で表される．

A5．λ のサンプリング
λ の条件付事後分布 π ( λ  ∙ ) は，次式のように
n = n+T , 
V = V+ ∑ ( x−ξ−h ) .

書ける．







π ( λ  ∙ ) ∝ λ   exp −ただし，

f ( λ ) =

ν−2
×f ( λ ) ,2λ
A9．SV モデルの事後分布からのサンプリング−ϕh−y ) 
y
(h
exp −
exp −


2λ e
2σ ( 1−ρ  )



 







( t = 1, ⋯, T −1 のとき )

y
exp −
2λ e ( t = T のとき ) ,以上の A1 から A8 までのステップが RSV モデ
ルの事後分布からのサンプリングとなる．SV モデルについては，A1 から A6 までのステップがサン
プリングの方法となる．ただし，A4 については，
式（36）を除いて，multi-move sampler を構築する．

λ も MH アルゴリズムを用いてサンプリングを行う．
まず，提案分布を λ~IG ( ( ν+1 ) 2, ( ν−2 ) 2 ) として候補点を発生させ，現在の点 λ から次の候補
点 λ を次の確率で受容する．



f ( λ ),1 .
minf ( λ )注＊ 本 研 究 は JSPS 科 研 費 JP19H00588，
JP20H00073 と一橋大学社会科学高等研究院から助成を受けている．一橋大学経済研究所定例研究会参加者

実現ボラティリティ
および討論者の石原庸博氏から多くの貴重なコメントを頂いた．ここに記して感謝の意を表したい．
1） そ の 他 の 方 法 に，Xiu（2010），Kunitomo andSato（2013）らの疑似尤度に基づく方法がある．
2） 本稿では用いないが，RV の対数を取らない以下の定式化も用いられる．
RV  = α+β RV +β RV  : +β RV  : +v, RV  = α+β  RV  +β  RV  : +β  RV  :  +v.
これらの定式化については，Andersen et al.
（2007）,
Corsi et al.
（2008）を参照されたい．
3） 週次，月次 RV を以下のように定義している論
文もある．
1 
log RV  :  = ∑ log RV ,
5 
1 
log RV  :  =∑ log RV .
22   
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