粘性減衰モデルが弾塑性系の時刻歴応答解析に与える影響：典型的な履歴モデルに対する検討
藤川
1.

康記

s とした Ai 分布とベースシア係数 0.3 に基づいた層せん断力

はじめに建築構造物に生じる振動減衰は、応答速度に比例する粘性で、ほぼ層変形角 0.0075 rad で降伏するように各層の剛性を減衰として表現されることが多い。しかし、弾塑性時刻歴応定め、弾性剛性に対する 2 次剛性の比（剛性比）を 0.01 とし答解析で剛性が多数回急変する場合に、一般的な粘性減衰モ

た 2)。Flag 型と Slip 型の履歴は、初期弾性剛性と外側の骨格

1)。福富ら

曲線を Bilinear 型と同一にして、内側の骨格曲線の剛性比を2)は、主要な減衰モデルを整理し、Bilinear 型および Menegotto-

Flag 型で 0.01、Slip 型で 0.001、エネルギー吸収性能係数をPinto 型の履歴モデルを付与した多自由度の弾塑性応答へのFlag 型で 0.1、Slip 型で 0 とした。柴田・若林モデル 3)は、初影響を比較し検討した。本研究は、福富ら 2)が検討していな
い主要な履歴モデルを付与した場合に、減衰モデルの差異が期剛性と降伏変位、降伏耐力、2 次剛性比を Bilinear 型と同一に、圧縮座屈荷重を𝑅𝐶 /𝑅𝑦 = 0.715（内部パラメータを𝑅𝐸 /弾塑性応答に与える影響を比較し検討した。

𝑅𝑦 = 4、𝑅𝐸 はオイラー座屈荷重）とした。固有値解析に基づデルが減衰を過大評価する懸念が指摘されている

く 1 次固有周期は、1.14s であった。
2.

解析方法

入力地震動に 1995 年兵庫県南部地震の JMA 神戸記録の NS

表 1 に、福富ら 2)が整理した、主要な減衰モデルを示す。
ここで、{𝛷𝑖 }は 𝑖 次の固有ベクトル、𝜔𝑖 は 𝑖 次の固有振動数、𝑀𝑖 = {𝛷𝑖 }𝑇 [𝑚]{𝛷𝑖 }は 𝑖 次の広義質量、𝜁̅𝑖は 𝑖 次モードに対する成分を用い、数値積分に中央差分法を採用し、時間刻みを目標減衰比、𝑎𝑖 は𝜔𝑘 と𝜁̅𝑘 によって決まる係数である。上添字

衰モデル 1 から 4 では 1 次モード、モデル 5 から 8 と 10 では0.002 s とした。初期状態に対する減衰モデルの設定は、履歴モデルに関わらず同一であった。目標減衰比を 0.05 とし、減『*』は、弾塑性状態に応じて、その値を逐次更新することを

1 と 3 次モード、モデル 9、12 と 13 では全 5 モード、モデル意味する。表 1 の減衰モデルは、弾性領域では例外なく比例

11 では 1、2 と 3 次モードの減衰比を目標値に一致させた。

減衰であるが、塑性領域で非比例減衰となるモデルがある。
係数を逐次更新することで、モデル 4 と 7、13 は、弾塑性状態に関わらず常時等価減衰比𝜁𝑒𝑞 を保持する比例減衰である。

3.

モデル 13 は、系の弾塑性状態によらず等価減衰比を目標値にース構造について、減衰モデル 8 を採用した場合の、3 層の保持する唯一のモデルで、減衰比に振動依存性がない仮定に復元力・減衰力と層変形角の関係を示す。減衰モデル 8 は、対する正解と考えられる。

弾塑性状態において質量項の影響を抑え、結果として特に低解析結果
図 2 に、ロッキング構造、引張ブレース構造、片流れブレ履歴モデルとして、Bilinear 型、Flag 型、Slip 型、柴田・若次モードの等価減衰比を目標値以下に抑えることが知られて林モデルの 4 種類を用いた（図 1 参照）。福富ら 2)と同じ 5 自いる 2)。応答が大きかった半または一サイクル分だけを太線

由度系に、全層 Bilinear 型を付与したラーメン構造、一層のみで示し、その途中の特定の時刻点を、数字で示す。白丸は、Flag 型で他層 Bilinear 型のロッキング構造、全層 Slip 型の引抽出開始点と抽出終了点、黒丸は、降伏や座屈、除荷など、張ブレース構造、全層柴田・若林モデルの片流れブレース構剛性が急変する時刻点である。弾性領域から塑性領域に移行造を構成した。ラーメン構造は、設計用一次固有周期を 0.63
表1

粘性減衰モデルの種類
減衰行列

No.
1 [𝑐] = 𝑎0 [𝑚]2 [𝑐] = 𝑎1 [𝑘]3 [𝑐] = 𝑎1 [𝑘 ∗ ]4 [𝑐] = 𝑎1 ∗ [𝑘 ∗ ]5 [𝑐] = 𝑎0 [𝑚] + 𝑎1 [𝑘]6 [𝑐] = 𝑎0 [𝑚] + 𝑎1 [𝑘 ∗ ]7 [𝑐] = 𝑎0 ∗ [𝑚] + 𝑎1 ∗ [𝑘 ∗ ]8 [𝑐] = 𝑎0 [𝑚][𝑘]−1 [𝑘 ∗ ] + 𝑎1 [𝑘 ∗ ]−1𝑖
9 [𝑐] = [𝑚] ∑𝑁−1
𝑖=0 𝑎𝑖 ([𝑚] [𝑘])10 [𝑐] = 𝑎−1 [𝑚][𝑘]−1 [𝑚] + 𝑎0 [𝑚]
11 [𝑐] = 𝑎−1 [𝑚][𝑘]−1 [𝑚] + 𝑎0 [𝑚] + 𝑎1 [𝑘 ∗ ]𝑇̅
12 [𝑐] = [𝑚](∑𝑁𝑖=1(2𝜁𝑖 𝜔𝑖 ⁄𝑀𝑖 ) {𝛷𝑖 }{𝛷𝑖 } )[𝑚]∗∗𝑁∗̅
13 [𝑐] = [𝑚](∑𝑖=1(2𝜁𝑖 𝜔𝑖 ⁄𝑀𝑖 ) {𝛷𝑖 }{𝛷𝑖 ∗ }𝑇 )[𝑚]Stage A
特性
比例非比例比例𝜁𝑒𝑞 保持非比例比例𝜁𝑒𝑞 保持
非比例
非比例
非比例
非比例
非比例
𝜁𝑒𝑞 保持Stage B(a)Stage DStage DStage DStage C(b)(c)

図 1 履歴モデル：(a) Flag 型;(b) Slip 型; (c) 柴田・若林モデル

Influence of Viscous Damping Model on Time-History Response Analysis of Elastic-Plastic Systems:
In Combination with Typical Hysteretic Models
FUJIKAWA Yasunori

した瞬間、減衰力が急減する挙動が、どの構造にも現れた。3

̅ が目標値 0.05 を大ブレース構造では、大半の減衰モデルの𝜁𝑒𝑞層目の減衰力が、その層だけでなく、上下層の弾塑性状態にきく超えた。

依存した。例えば、引張ブレース構造では、復元力が零の②モデル 13 以外に、いずれも常時比例減衰のモデル 3、7 と̅ を 0.05 近くに保持した。レイリー減衰
8 が、4 種の構造で𝜁𝑒𝑞から③、剛性が零の④から⑤の間でも、減衰力が一時的に零性が負になった③から④の間で、減衰力が復元力と逆方向にに連なるモデル 1 から 7 に注目すると、更新されないモデル
̅ が 0.05 を大きく超えだが、弾塑性状態に応1、2、5 では、𝜁𝑒𝑞作用することを確認した。

̅ が 0.05 近くに保持さじて更新されるモデル 3、4、7 では、𝜁𝑒𝑞でない時間があった。片流れブレース構造では、座屈後、剛れた。1 次モードに対する減衰比のみを保持するモデル 3 と 4考察

4.

でも、更新されないレイリー減衰モデル 5、剛性のみ更新され

図 3 に、ラーメン構造とロッキング構造、引張ブレース構るレイリー減衰モデル 6 より格段に良好な結果を得た。
（注造について、減衰エネルギーの 75%が消費された時間にわた̅ と、減衰消費エネルギー𝐸𝐷 の関って平均した等価減衰比 𝜁𝑒𝑞̅係を示す。𝜁𝑒𝑞 と𝐸𝐷 には、減衰モデル 4 を例外として強い相関意：福富ら 2)は、高次モードの寄与率が高い構造では、モデルがみられ、減衰モデル 4 も含めた相関係数がラーメン構造で0.69、ロッキング構造で 0.49、引張ブレース構造で 0.70 と算定された。剛性比が小さくなる領域の占める割合が高い引張(c)Damping Force [kN]

Restoring Force [kN]④⑤

剛性が負に転じた時刻点があり、その時刻点で固有振動数が(b)(a)③ ②⑥虚数となるために、係数 𝑎𝑖 の逐次更新を必要とするモデル 4、̅ も算定不可能になるためである。有望7、13 の減衰力も、𝜁𝑒𝑞なモデル 4、7、13 を、剛性が負に転じる場合に対して拡張す⑥ることが、今後の課題に挙げられる。

③⑤

図 3 には、片流れブレース構造の解析結果を示していない。

①②①高くするだけでは不十分であることが示された。剛性の寄与張ブレース構造に対して、モデル 3、7、8 に遥かに劣った。

④②ように剛性が多数回増減する構造では、減衰モデルの次数をよって、モデル 11 はモデル 10 より幾分か良好だが、特に引③③次数 i を自由度数 5 に一致させた Caughey モデル 9 とモー̅ が 0.05 を大きく超えた。この例のド減衰モデル 12 でも、𝜁𝑒𝑞率が低い項で構成されるモデル 10 と、モデル 10 を改良した̅ が 0.05 を大きく超えた。修正項 𝑎1 [𝑘 ∗ ] にモデル 11 でも、𝜁𝑒𝑞④①3 と 4 が減衰力を過大評価することを示している。
）①1) 剛性が多数回急変する構造において、目標減衰比を保持す②④る減衰モデルは、3、7 と 8 である。しかし、モデル 3 は(d)高次モードへの対応に限界があり、モデル 7 は計算負荷が大きい。

①⑤②⑥④⑤④③③①2) 負剛性領域を持つ片流れブレース構造の解析において、モ

SDR [rad]: Damping Energy [kNm]

復元力(左)と減衰力(右)の履歴：(a,b) ロッキング構造;(c,d) 引張ブレース構造; (e,f) 片流れブレース構造

3 45,9,10,1221) Charney, F. A.: Unintended consequences of modeling damping instructures. J. Struct. Eng., Vol.134, pp.581–592 ,20082) 福富将ら: 粘性減衰モデルが弾塑性系の時刻歴応答解析に与える影響（その1）：減衰モデルの比較, 日本建築学会構造系論文集 第85巻 第778号, 1555-1563, 2020.123) 柴田道生,若林實: 鉄骨筋違の履歴特性の定式化－その2 応答解析への適用－, 日本建築学会論文報告集 第320号, 29-35, 1982.10

3787
13 1,6,1180.05

0.05

24

2

3

7 1,6,118 13(a)図35,10,9,12

参考文献

6.
(f)

4

デル 4、7、13 を適用することが、今後の課題である。

②⑥(e)

図2

まとめ5.

11
6

5,9,1210113(b)

0.05: Damping ratio average over time window̅ と𝐸𝐷 の関係：(a) ラーメン構造; (b) ロッキング構造; (c) 引張ブレース構造
各減衰モデルの𝜁𝑒𝑞(c)