（令和!年度前期日程）

物理
１２０ 分

注意事

項

１．試験開始の合図までこの冊子を開かないこと。
２．本問題は２１ページ，答案用紙は!ページである。
３．各答案用紙の上の枠内には，受験番号を記入し，下の枠内には，受験番号の下"桁の数字を忘れずに記入すること。
４．解答はすべて各答案用紙の所定欄に明瞭に記入すること。
５．各答案用紙の中で導出過程欄のある設問については，答に加えて導出過程を必ず記入すること。必要があれば，図を用いてもよい。
６．問題番号! 等のあとの（５０点）は１５０点満点中の配点である。

７．問題冊子および答案用紙の冊子は切りはなさないこと。
８．答案用紙に記入する受験番号の数字の字体は，下記の例にならい，明瞭に記入すること。

◇Ｍ２（０８０―１３）

! （５０点）
水平な床の面に座標軸 x，y をとり，その上で大きさが無視できる質量 m の$つの小球 A，B，C を，長さ L の#本の糸で B ― A ― C の順につないだものをすべらせる実験を行う。糸は伸び縮みせず，その質量は無視でき，床と小球の間に摩擦はないものとする。また，床は十分広く，運動の途中で小球が床の端に達することはない。

〔Ａ〕 小 球 A を 原 点 に，小 球 B と 小 球 C を y 軸 上 の y ＝ L と y ＝− L の 位 置に，それぞれ静止させる。時刻 t ＝!において，図"のように，小球 A にのみ x 軸の正の向きに速さ V０ を与えて運動を開始させた。その後の小球の運動を観察したところ，運動開始直後は小球 B と小球 C の速度は!であり，その後小球 B と小球 C は近づいていき，やがて x 軸上のある点で衝突した。運動の開始から衝突までの間，糸がたるむことはなく，小球 A から見ると，小球 B と小球 C は小球 A を中心とする円運動をした。以下の問に答えよ。

yB
LV0AxLC図"― １ ―◇Ｍ２（０８０―１５）

小球 B と小球 C が衝突する直前における，小球 B の速度の x 成分 V x を

V０ を用いて表せ。



小球 B と小球 C が衝突する直前における，小球 B の速度の y 成分 V y をV０ を用いて表せ。

運動開始直後における，小球 B につながれた糸の張力の大きさ T をV０，m，L を用いて表せ。

小球 B と小球 C が衝突する直前における，小球 B につながれた糸の張

力の大きさ T′を V０，m，L を用いて表せ。

― ２ ―◇Ｍ２（０８０―１６）

〔Ｂ〕 図#に示すように，小球 A を原点に，小球 B と小球 C をそれぞれ座標（− L cos θ，L sin θ ）と（− L cos θ，− L sin θ ）（!°≦ θ ＜９０°）の 点 に 配 置し，静止させる。時刻 t ≧!において，小球 A に x 軸の正の向きに一定の大きさ F の力を加える。以下のように，θ の値を変えて実験"と実験#を行い，小球 A，B，C の運動を記録した。いずれの場合にも糸がたるむことはなかった。

yBL
θFAθ

xLC
図#

実験"：θ ＝!°となるように，すなわち小球 B と小球 C が接するように，小球を配置し静止させる。そして t ≧!において小球 A に x 軸の正の向きに一定の大きさ F の力を加えたところ，小球 B と小球 Cは接したまま，$つの小球は x 軸の正の向きに同じ加速度で等加速度運動した。その加速度の大きさは a１ であった。

実験#：θ を あ る 値 θ（!
°＜ θ２ ＜９０°）に と り，t ≧!に お い て 小 球 A に２x 軸の正の向きに一定の大きさ F の力を加えたところ，小球 B と小球 C は時刻 t２ においてはじめて衝突した。衝突直前の小球 B と小球 C の速度ベクトルのなす角は６０°であった。

― ３ ―◇Ｍ２（０８０―１７）

図$は実験"と実験#における小球 A の x 座標の時間変化を!≦ t ≦ t２においてグラフにしたものである。ただし，グラフは概形である。

xx2x1
実験２

実験１
Ot2t

図$

これらの実験における小球の運動に関する，以下の問に答えよ。

実験"における小球 A の加速度の大きさ a１ を m と F を用いて表せ。



時刻 t２ における実験"の小球 A の速さを v とする。実験#の小球 B の衝突直前における速さ w を v を用いて表せ。



時刻 t２ における実験"と実験#の小球 A の x 座標をそれぞれ x１ およびx２x２ とする。比を求めよ。
x１― ４ ―

◇Ｍ２（０８０―１８）

実験"の!＜ t ＜ t２ における小球 A の加速度の大きさ a２ のグラフの概

形として最も適当なものを図#の!〜"のうちから選び，記号で答えよ。

a2a2

a1
Ot2

tt2tt2tOt2

tta2

Ot2

ttt2tOt2ta2

a1

a1t2

O

a1

a2a1ta2

a1t2t2a1a2

a1

Oa2a1a2OO

a2a1O

a1a1a2Oa2Ot2tOt2t

図#― ５ ―

◇Ｍ２（０８０―１９）（下 書 き用― ６ ―紙）◇Ｍ２（０８０―２０）（下 書 き用― ７ ―紙）◇Ｍ２（０８０―２１）

（下 書 き用― ８ ―紙）◇Ｍ２（０８０―２２）

! （５０点）〔Ａ〕 図"のように，真空中に#枚の薄い正方形の極板が水平に保たれて向かい合う平行板コンデンサーがある。極板の"辺の長さを a，#枚の極板の間隔を$d とする。また，図#はこの極板間に帯電していない誘電体の板を極板と平行に挿入したものである。誘電体は底面が"辺の長さ a の正方形，高さが d の直方体であり，誘電体と上下の極板との間隔を d とする。誘電体の比誘電率を ε（，真空の誘電率を ε０ とする。極板の間隔$d は ar ε r ＞"）に比べて十分小さく，極板端部や誘電体端部における電場の乱れは無視できるものとする。以下の問に答えよ。

aa3da3dad

図１

dd
図２

図"，図#のコンデンサーの電気容量をそれぞれ C e，C i とする。C e お
よび C i を，a，d，ε０，ε r のうち必要なものを用いて表せ。

図"および図#のコンデンサーの極板間に!でない電位差 V０ を与えると，図"の極板間，図#の上側極板と誘電体の間，および誘電体中には，それぞれ一様とみなすことのできる電場が生じる。それらの電場の強さをそれぞれ E A，E B，および E C とする。E A，E B，E C の大小関係を不等式＜＜の形で答えよ。
― ９ ―◇Ｍ２（０８０―２３）

〔Ｂ〕 図$のように，図"の水平に置かれた平行板コンデンサーの極板間に誘電体の板を挿入した。このコンデンサーの両極板にスイッチおよび起電力 V０の直流電源をつないだ。x 軸をこれらの極板のある"辺と平行にとり，両極板が!≦ x ≦ a に存在するように原点を定める。誘電体は底面が"辺の長さaの正方形，高さが d の直方体であり，帯電していない。誘電体の比誘!#，質量を m とする。鉛直上方から極板と誘電体の位置関電率を ε（r ε r ＞"）
係を見ると，図%のように，極板の各辺に対し，誘電体の%辺は４５°の角度をなしている。両極板が固定されているのに対し，誘電体は各極板を含む平面との間隔を d に保ちながら向きを変えることなく x 方向にのみなめらかに動くことができる。誘電体の位置をその左端の x 座標で表す。以下の問に答えよ。

極板(１辺 a の正方形)
誘電体
d3ddV0Odaxxa＋x

図３aa2

極板

誘電体

a2aa2a2O45°xaa＋xx

図４― １０ ―◇Ｍ２（０８０―２４）

なお，極板，スイッチ，導線の抵抗および電源の内部抵抗，回路の自己インダクタンス，電荷の移動に伴い放射される電磁波の影響，誘電体の分極の変化に伴う発熱は無視できるものとする。また，誘電体の移動に伴う極板上の電荷の再配置や誘電体の分極は十分速やかに起こるものとする。極板の間
隔&d は a に比べて十分小さく，極板端部や誘電体端部における電場の乱れは無視できるものとする。

次の文章の空欄!〜#に当てはまる数式を答えよ。
誘電体の位置 x が変化すると，極板の面積 S（ ただし S ＝ a２）のうち誘電体が挿入された部分の面積が変化する。これを xの関数として S（とi x）表す。その結果，コンデンサーの電気容量も xの関数として変化する。
を用
これを C（ x ）と表せば，問(a)で定義された C i と C e および S，S（i x）
いて次のように表される。

C（ x ）＝

S（i x）Ci ＋S!

× Ce

図'を参考に面積 S（を求めれば，i x）(&x%≦ a のとき*!
")
+%
$
$
*
２ ( a＝"S（（ a −&x%）i x）) % ＜&x%≦ a のとき+$$#$
（ a ＜&x%のとき）となる。したがって，C（ x ）は次式の形で与えられる。
(&x%≦ a のとき*!C１ − bx２)+%$$
２ ( aC（ x ）＝"C２ ＋ （b a −&x%）＜&x%≦ a のとき*)
+%
$
$
#C２
（ a ＜&x%のとき）― １１ ―◇Ｍ２（０８０―２５）

ただし，C１，C２ は，C i，C e を用いて

C１ ＝!

，C２ ＝"と表される。また，b は d，ε０，ε r を用いて次式で表される。

b＝

#最初，誘電体は位置 x ＝$にあり，スイッチは閉じられているとする。
その後，スイッチを開いてから誘電体の位置 x を動かすと，コンデンサーれに蓄えらえる静電エネルギーはx の関数として変化する。これを U（１ x）
aaと表すとき，U（を−≦x≦の範囲で，x，V０ および問で定１ x）%%義された C１，b を用いて表せ。



スイッチを閉じた状態で誘電体の位置 x を動かすと，コンデンサーに蓄えらえる静電エネルギーはx の関数として変化する。これを U（と表れ２ x）
aaすとき，U（を−≦x≦の範囲で，x，V０ および問で定義さ２ x）%%れた C１，b を用いて表せ。



スイッチを閉じた状態で考える。誘電体の位置 x を動かすと上側極板の電荷も x に応じて変化する。誘電体に外力を加えて位置 x ＝$から位置 xまでゆっくり動かす際に外力がする仕事 W（ x ）と電源が行う仕事との和が，コンデンサーの静電エネルギーの変化分に等しいことを用いて，a$≦ x ≦における W（ x ）を求めよ。答は x，V０ および問で定義され%た b を用いて表せ。ただし，起電力 V０ の電源が行う仕事は，電源の内部を負極から正極へ電荷 Q が移動するとき，QV０ で与えられる。

― １２ ―◇Ｍ２（０８０―２６）

a &から初スイッチを閉じた状態で，誘電体を位置 x ＝ x$０ !＜ x０ ≦%"'
速度!で放したところ，誘電体には x 方向の復元力が作用し，誘電体は振動した。問の W（ x ）が誘電体の位置エネルギーとみなすことができることを用いて，位置 x における復元力 F および振動の周期 T を求めよ。ただし，x 軸の正方向を力 F の正の向きとする。答は，F については x，V０
および問で定義された b を用いて表し，T については a，d，x０，m，V０，ε０，ε r のうち必要なものを用いて表せ。
３aから初速度!で放し#たところ，誘電体は位置 x が小さくなる向きに動き出した。位置 x ＝!と

スイッチを閉じた状態で，誘電体を位置 x ＝なったときの誘電体の 速 さ を v１ と す る。ε r ＝１０と し て，v１ を a，d，m，V０，ε０ のうち必要なものを用いて表せ。

― １３ ―◇Ｍ２（０８０―２７）

（下 書 き用― １４ ―紙）◇Ｍ２（０８０―２８）（下 書 き用― １５ ―紙）◇Ｍ２（０８０―２９）（下 書 き用― １６ ―紙）◇Ｍ２（０８０―３０）

! （５０点）
図のように，シリンダー，ピストン，筒形容器からなる装置を考える。十分に長いシリンダー（断面積 S ）と長さ L の筒形容器（断面積 S ）は，水平な床の上に固定されており，コックのついた管でつながっている。シリンダーには水平方向になめらかに動くピストンがあり，シリンダー内の気体と大気を仕切ることができる。シリンダー底面からピストンの内面までの距離 x を用いて，ピストンの位置を表す。また，シリンダーの中にはヒーターがあり，シリンダー内の気体を加熱することができる。筒形容器には温度調節器があり，気体との間で熱を自由にやりとりすることにより容器内の気体の温度を制御することができる。シリン
ダー，ピストン，筒形容器，コックのついた管は熱を通さない物質でできており，コックのついた管，ヒーターならびに温度調節器の体積と熱容量は無視できる。大気の圧力（大気圧）は P０ で一定である。以下の問に答えよ。ただし，気体定数を R とする。

シリンダー(断面積 S )大気圧 P 0ヒーター

ピストン

x

筒形容器(断面積 S )
コック

温度調節器
L床

最初，ピストンの位置は x ＝!で，コックが閉じられており，筒形容器には単原子分子理想気体が閉じ込められていた。コックを開いたところ，筒形容器内の気体が管を通ってシリンダー内に膨張した。しばらくすると，装置内の気体の状態が一様となり，ピストンは位置 x ＝ L で静止した。このときの装置内の気体の温度を T０ とする。ここで，コックを閉じた。コックを閉じた後の装置内の気体の状態を，状態 A とよぶ。

― １７ ―◇Ｍ２（０８０―３１）

次に，ピストンの位置を x ＝ L に固定するようピストンに外力を加えたまま，シリンダー内の気体をヒーターでゆっくり加熱したところ，その気体の圧力は３２P０ となり，ここで加熱をやめた。このときの装置内の気体の状態を，状態B とよぶ。

状態 B におけるシリンダー内の気体の温度を求めよ。答のみ記せ。

 状態 A から状態 B への過程において，ヒーターがシリンダー内の気体に加えた熱量を求めよ。答のみ記せ。

続いて，ピストンに加える外力を徐々に弱めながら，シリンダー内の気体の圧力が大気圧と等しくなるまで，シリンダー内の気体を断熱的に膨張させた。この状態を，状態 C とよぶ。状態 B から状態 C への過程において，シリンダー内の気体は PV γ ＝ 一定の関係式を満たす。ここで P，V はそれぞれ，シリンダー内"の気体の圧力，体積であり，γ ＝である。
!
状態 C におけるピストンの位置 x の値を求めよ。



状態 B から状態 C への過程において，シリンダー内の気体が外部にした仕事を求めよ。

次に，ピストンが動かないように固定し，さらにコックを開いてしばらくすると，装置内の気体の状態が一様になった。この状態を，状態 D とよぶ。状態 Cから状態 D への過程において，装置内の気体と外部の間で熱のやりとりはなく，また気体は外部に仕事をしないため，装置内の気体の内部エネルギーは変化しない。

状態 D における装置内の気体の温度，圧力を求めよ。

― １８ ―◇Ｍ２（０８０―３２）

状態 C から状態 D への過程において，筒形容器からシリンダーへ移動した

気体のモル数を求めよ。

その後，ピストンの固定をはずし，さらにコックを開いたまま温度調節器を用いて装置内の気体から熱をゆっくり吸収し，装置内の気体の温度を T０ にしたと
ころ，ピストンの位置が x ＝ L に戻った。ここで，コックを閉じた。このことにより，装置内の気体の状態は元の状態 A に戻った。

状態 D から元の状態 A に戻る過程において，温度調節器が装置内の気体か

ら吸収した熱量を求めよ。



この装置内の気体の状態が，状態 A から状態 B，C，D を経て状態 A に戻る過程を熱機関のサイクルと考えることができる。この熱機関の効率（熱効率）を求めよ。

― １９ ―◇Ｍ２（０８０―３３）

（下 書 き用― ２０ ―紙）◇Ｍ２（０８０―３４）

（下 書 き用― ２１ ―紙）

◇Ｍ２（０８０―３５）