第 10 回

重回帰モデル：統計的推測(2)（復習） H 0 ： β1 = −1 を H1 ： β1 < −1 に対して有意水準１％で検定しなさい。
log( price ) = 11 .08 − 0.954 log( nox ) − 0.134 log( dist ) + 0.255 rooms − 0.052 stratio(0.32) (0.117)(0.043)(0.019)(0.006)[2] 統計的有意性 vs. 経済的有意性
統計的有意性： 仮説検定で β = 0 が棄却される。
変数 x の係数 β̂
経済的有意性： x の 1 単位の変化は y を大きく変化させる。
（例）不良品の割合 scrap の決定要因（標本の大きさ n = 29）
log( scrap ) = 12 .46 − 0.029 hrsemp − 0.962 log( sales ) + 0.761 log( employ )(5.69)(0.023)(0.453)(0.407)

hrsemp：労働者一人当たり訓練時間，sales：売上高，employ：労働者の数検証する仮説：hrsemp の係数の「有意性」
統計的有意性：t 統計量 = − 0.029 ÷ 0.023 = −1.26⇒ 影響小

経済的有意性：訓練を 1 時間増やすと，不良品の割合は 2.9％下がる ⇒ 影響大（推定結果を検討するときの方針）
1) 統計的有意性を検討する。
2) ① 統計的に有意② 統計的に非有意⇒符号条件（理論，常識で判断）と経済的有意性を検討

a) 符号条件を満たす⇒ 経済的有意性を検討b) 符号条件を満たさない ⇒ それ以上検討しない1[3] 信頼区間
定理 4.2 より，t( n − k − 1 )の上側 2.5％の臨界値を c とすると，次の関係が得られる。
⎛⎞
βˆ j − β jP⎜− c ≤≤ c ⎟ = 0.95⎜
⎟se(βˆ j )⎝⎠⇒（t 統計量が区間 [−c, c ] に入る確率は 0.95）

P ( βˆ j − c × se(βˆ j ) ≤ β j ≤ βˆ j + c × se(βˆ j ) ) = 0.95

パラメータ β j の 95％信頼区間： βˆ j − c × se(βˆ j ) ≤ β j ≤ βˆ j + c × se(βˆ j )．．．．．．
（意味）信頼区間は確率的な区間で，100 回作れば 95 回 β j を含むと信頼できる。

（仮説検定との関係） H 0 : β j = a を両側検定するとき， T =βˆ j − aとしてse(βˆ )jT が有意水準 5％の棄却域に入らない。

⇔a が 95％信頼区間に入る。

⇔a が 95％信頼区間に入らない。

（ H 0 は有意水準 5％で棄却されない）

T が有意水準 5％の棄却域に入る。
（ H 0 は有意水準 5％で棄却される）（例）企業の売上 sales が企業の研究開発支出 rd に及ぼす影響（profmarg：利潤率）
log( rd ) = −4.38 + 1.084 log( sales ) + 0.0217 profm arg ,(0.47)(0.060)n = 32(0.0218)

log(sales)の係数 β1 の 95％信頼区間は，t(29)の臨界値 c = 2.045 より1.084 − 2.045 × 0.060 ≤ β1 ≤ 1.084 + 2.045 × 0.060 ⇒ 0.961 ≤ β1 ≤ 1.21

信頼区間は 1 を含む⇒ H 0 : β1 = 1 は H1 : β1 ≠ 1 に対して 5％で棄却されない。

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[4] 複数の係数に関する仮説検定（F 検定）
帰無仮説が複数の係数に関する仮説である場合，F 検定を利用する。
．．
（例）メジャーリーグ選手の年俸 salary を説明する要因の同時有意性
log( salary ) = β 0 + β1 years + β 2 games + β 3 bavg + β 4 hruns + β 5 rb + u ・・・ ⑤

years：在籍年数，games：出場試合数，bavg：通算打率，hruns：本塁打数，rb：打点
H 0 ： β 3 = 0 , β 4 = 0 , β 5 = 0 （ β 3 , β 4 , β 5 は同時に 0 になる）
H1 ： β 3 , β 4 , β 5 のうち，少なくとも一つは 0 ではない。

（注意点）
・ β 3 = 0 , β 4 = 0 , β 5 = 0 を個別に t 検定しても H 0 は検証できない。
・帰無仮説で仮定される関係を制約と呼ぶこともある。
係数に関する r 本の制約を同時に検証する場合，次の手順でおこなう。
1) 制約なしの推定をおこない，残差平方和 URSS をもとめる。
（＝ もとの回帰式）
2) 制約つきの推定をおこない，残差平方和 RRSS をもとめる。
（＝ 帰無仮説の関係をもとの回帰式に代入した回帰式）
3) 次の関係を利用して制約を検定する。

（r 本の制約を検定する F 統計量）

F=

RRSS − URSSr
URSSn − k −1=

RRSS − URSS n − k − 1～ F( r , n − k − 1)
URSSr（意味）制約が妥当であれば，制約をつけても残差平方和は有意に増えない。

3

（例）⑤式における β 3 , β 4 , β 5 の同時有意性の検定
メジャーリーグ選手 353 人分のデータを使って次の制約を検定する。
制約： β 3 = 0 , β 4 = 0 , β 5 = 0（制約の数：r = 3）

制約なしの推定：⑤式をそのまま推定して残差平方和 RSS を得る。
log( salary ) = 11 .19 + 0.0689 years + 0.0126 games(0.29)(0.0121)(0.0026)+ 0.00098 bavg + 0.0144 hruns + 0.0108 rb , RSS = 183.186(0.00110)(0.0161)(0.0072)

制約つきの推定：⑤式に β 3 = 0 , β 4 = 0 , β 5 = 0 を代入してから推定して，残差平方和 RSS を得る。
log( salary ) = 11 .22 + 0.0713 years + 0.0202 games ,(0.11)(0.0125)

RSS = 198.311(0.0013)

r = 3, n = 353, k = 5 と F 分布表より，有意水準 5％のときの棄却域を作る。
URSS = 183.186, RRSS = 198.311, r = 3, n = 353, k = 5 より，

F=(198.311 − 183.186 ) 353 − 5 − 1= 9.55
183.186
3⇒ F は棄却域に入る（結論）仮説 H 0 は有意水準 5％で棄却される。

※ β 3 , β 4 , β 5 は個別には有意ではないが，なぜグループでは有意になるか？
⇒ 選んだ説明変数のグループ間に多重共線関係がある。

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＜p.1の例＞
Jeffrey Wooldridge
Introductory Econometrics: A Modern Approach (3rd ed.)South-Western, Division of Thomson Learningのp.143のEXAMPLE 4.7を利用＜p.2の例＞Jeffrey Wooldridge
Introductory Econometrics: A Modern Approach (3rd ed.)South-Western, Division of Thomson Learningのp.146のEXAMPLE 4.8を利用＜p.3 の例＞
Jeffrey Wooldridge
Introductory Econometrics: A Modern Approach (3rd ed.)South-Western, Division of Thomson Learningのp.151-152 の本文を引用

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