線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 13 回（’15 年 1 月 23 日：Keywords · · · 対角化）
13-1. 直交行列・・・ 実正方行列 A が At A = E が成り立つ時、直交行列という．
13-2. ユニタリー行列・・・ A∗ A = E が成り立つ時、行列 A をユニタリー行列という．ここで、A∗ とは、At （複素共役転置）のことである．
・・ A∗ A = AA∗ が成り立つとき、A を正規行列という．このとき以下は同値である．
13-3. 正規行列・
1. A が正規行列である．
2. A はあるユニタリー行列によって対角化できる．
3. Cn は固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ．
4. 固有空間による直和分解 Cn = Wλ1 ⊕ · · · ⊕ Wλr に対して、i , j なら Wλi ⊥ Wλ j がである．
以下の対称行列、Hermite 行列、交代行列、歪 Hermite 行列は全て正規行列であり、ユニタリー行列（実行列の場合は直交行列）によって対角化される．
13-4. 対称行列・・・ At = A が成り立つとき、A を対称行列という．このとき以下は同値である．
1. A が対称行列である．
2. A はある直交行列によって対角化される.
3. 固有値は全て実数であり、Rn は A の固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ．
4. λ1 , · · · , λr を固有値全体とし、Wλi を λi に対する固有空間とすると、Rn = Wλ1 ⊕ · · · ⊕ Wλr であり、i , j ならば Wλi ⊥ Wλ j である．
13-5. Hermite 行列、歪 Hermite 行列、交代行列・・・A が正規行列とする．以下が成り立つ．
A が Hermite 行列 ⇔ A∗ = A ⇔ 固有値は全て実数
A が歪 Hermite 行列 ⇔ A∗ = −A ⇔ 固有値は全て純虚数．
A が実正規行列とする．以下が成り立つ．
A が対称行列 ⇔ A∗ = A ⇔ 固有値は全て実数
A が交代行列 ⇔ A∗ = −A ⇔ 固有値は全て純虚数．
13-6. eA の値・・・ eA を e x のテイラー展開を使って
eA = E + A +A2 A3++ ···2! 3!

として定義する．
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今日の課題.
1. 実対称行列を直交行列によって対角化すること．
2. e の行列乗について．
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A-13-1. [固有空間の直交性]
次の行列の固有空間を求め、それらが互いに直交していることを示せ．


1 2(1) 2 11 1 1(3) 1 1 1
1 1 1

 1 2i(2) −2i 1 

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B-13-1. [固有値と固有ベクトル]
次の行列を直交行列によって対角化せよ．


0 1 1(1) 1 0 1

1 1 0

 2 −1 −1(2) −1 2 −1−1 −1 22 3 0(3) 3 2 4


0 4 2

B-13-2. [固有値と固有ベクトル]
次の行列をユニタリー行列によって対角化せよ．


2 −i 1 (1)  i 2 −i
1 i 2

 2 i 0 (2) −i 3 −i
0 i 2

 0 i 1(3) −i 0 i 

1 −i 0B-13-3. [etA の値]
次の A において、etA を計算せよ．

2 0 (1) 0 −1 0 1(2) −1 01 2(3) 2 1
 1 1(4) −1 1

B-13-4.
]
 [行列の固有空間

a b
 (b , 0) とする．この行列の固有空間を求め、それらが直交していることをたし行列 b c
かめよ．
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C-13-1. [eA の可換性]
以下の問いに答えよ．以下、2 × 2 行列で答えて構わない．

(1) λ1 , · · · , λr を A の固有値とするとき、eA の固有値は eλ1 , · · · , eλr であることを示せ．
(2) eA · eB = eB · eA となるか？また、A, B にどのような条件があれば、可換となるか．

C-13-2. [対称行列の対角化]
次の行列を直交行列によって対角化せよ．

 1 1 −1 1 1 1 

−1 1 1C-13-3. [ばね]下のようなばねを外力が働かない空間で考える。

ABC(t = 0)(t)

x1 0a a + x2 2a 2a + x3
上のばねは時刻 t = 0 の場合（自然長）であり、t = 0 でこのおもり A, B, C にある速度を与えることによってばね全体が動き出す。この A, B, C の重量は等しく m とする。時刻 t では A, B, Cはそれぞれ x1 , x2 , x3 だけ遷移するとする。上の図はそれを表している。ばね定数はどちらもk として次の問題に答えよ。また単位は MKS 単位系として考えよ。
(1) 時刻 t において質点 A, B, C でのニュートンの運動方程式を遷移 x1 , x2 , x3 を用いて書き下せ。ただし、 xi の加速度を ẍi として表す。
   ẍ1  x1 k 2 (2) ここで  ẍ2  をある行列 A として −ω A  x2  として書きあらわせ。ここで、 = ω2 とする。
  mẍ3x3(3) この行列の固有値と固有空間を求めよ。
(4) この行列 A を対角化せよ。
(5) 今、初期条件において B においてのみ速度 v を与えたとき、このばねはどのように動くか、x1 , x2 , x3 を t の関数として表せ。ただし、xi の加速度 ẍi は t に関する 2 階微分であり、
d2 x微分方程式 2 = −ω2 x の解は cos ωt と sin ωt の一次結合で書けることを用いてよい。
dt———————————————————————————————————————————————
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