光とゼータ関数の特殊値(Photons and special values of zeta functions)東京理科大学理学部
若山 正人†
概要

162 年前に提出されたリーマン予想はいまだ未解決です．それは素数にわたる積で定まるリーマンのゼータ関数の虚数の零点に関する予想です．これは同時に，素数の究極的な分布を主張します．本講演では，光が生み出す力や光と物質の相互作用を考察するなかで現れるリーマンのゼータ関数の特殊値や，相互作用のエネルギー状態から定義されるディリクレ級数の特殊値に注目します．相互作用は情報の交換を生む源泉です．そこには一方で興味深い整数論的性質も見出されます．たとえば光と人工原子の相互作用をしっかりと捉えることは，現在の量子情報科学におけるもっとも重要な課題の一つです．これは量子コン
ピュータの実現にも欠かせません．本講演の目的は，こうした科学研究や技術の進展のなかで，数学的自然の探究のひとつであるゼータ関数をとおした素数などの研究が息づく一例をご紹介することです．

目次
1

はじめに

2

リーマンゼータの特殊値3量子化された調和振動子

4

光と物質の相互作用5

熱核・分配関数・ゼータ関数

6

非可換調和振動子

7

アペリ数とその類似数たち

8

離散経路積分と S∞ -軌道による熱核公式

9

QRM のスペクトルゼータ関数

1 はじめに市民講演会で目指したのは「光」と「ゼータ」の話でした．しかしその機会は，COVID-19 の前に脆くも消えてしまいました．いまもパンデミックの陰にありますが，本稿ではやはり光とゼータの話をしたいと思います．また，せっかくの誌面をいただいたこともあり，市民講演会
での心算を超えて数学的にすこし踏み込もうと考えました．タイトルの背後の意図として，ひとりの数学者のひとつの数学のやりかた，外からの刺激を受けて研究を進める，ときには真剣† 本稿に関連した研究の一部は科学研究費補助金 (C) JP20K03560 及び JST CREST JPMJCR14D6 の助成を受けています．

なアマチュア的発想による疑問で突き進む，内的動機により研究をする，それらと共にアナロ
ジーを考えたり一般化を行う（見通しをよくしたりより深いところまで理解したりすることや，ときには論文の一つでも書こうという際にも使います）様子をじかにみていただくのもよいかと思いました．（ただしそのせいで，市民講演会でお話しするつもりであった内容からずいぶん
膨れ上がってしまいました．）またここでは，たとえば整数論にとどまらず種々の数学に出会す
かと思います．なるべく正確にお伝えしたいと考えて，本文中（とくに五章以降）には多くの式を使いました．筆者自身の関心に多く偏りますがお付き合いくだされば幸いです．

1.1 量子コンピュータと光とゼータ
1.1.1 量子コンピュータと数学
タイトルにある光とゼータのつながりは量子コンピュータづくりから生まれます．量子コン
ピュータといえば，2011 年にアニーリング方式の量子コンピュータが，商用のハードウェアとしてカナダの D-Wave 社で作られました．それ以来，類似のアイデアに基づく多様なものが開発されて競い合って実用（巡回セールスマン問題など，種々の多様な場面に生まれる最適化問
題に対応するため）に供されています．ただし，本稿でお話しすることになるのは，ゲート型
量子コンピュータ構築に関係するものです．多くの方がよく耳にされるように，このような量子コンピュータの実現が与える社会的・産業上のインパクトは果てしなく大きいものです．たとえば，それが実現すると，現在もっとも使われている RSA 暗号（素因数分解の困難性に依拠した公開鍵暗号）があっさり破られてしまいます．（アニーリングタイプのものは，その成り立ちから，このような問題には対応できないことが知られています．）量子力学的な重ね合わせを利用することで，従来のコンピュータがビッグバン以来の宇宙の歴史ほどの時間をかけても解けなかったような因数分解を，量子コンピュータは数分，もしくは数秒で行うことができるというものです．この事実は 1994 年に MIT の計算機科学者 P. W. Shor により発見されました*1 ．Shor が利用した因数分解の方法は，数学的には以前からよく知られていたものでした．

Shor のアルゴリズムとは，古典ふるい法と同様に，問題を位数の発見に帰着するものです．x
を 1 から N − 1 までの N と互いに素なランダムな整数とするとき，xr ≡ 1 mod N となる最小な正整数 r を見つけることです．しかし，位数発見問題の解決には時間がかかります．スーパーコンピュータでさえも r を探すのに時間がかかりすぎてしまいます．そこで Shor は，剰
余が一定の周期で繰り返されるという性質を利用することにしました．つまり，Shor は，周期検出には離散フーリエ変換が使えることに着目したのです．離散フーリエ変換（量子フーリエ変換）により，一瞬にして r が発見できることを示したことが彼の因数分解アルゴリズムの核*1 P. W. Shor: Algorithms for quantum computation: discrete logarithms and factoring, in Proc. 35th

Ann. Symp. Found. Comp. Sci., Santa Fe, NM, Nov. (1994), 20-22.

心部分といえます．その発見は，現代のインターネット社会の基盤をひっくり返すようなインパクトと未来の産業への予見を人々に与えました．（量子計算やアルゴリズム・機械学習についての解説や研究動向については，最近出版された [Shi19] がなかなかの力作です．）これと同時に，量子コンピュータの実現をもってしても安全な暗号（耐量子暗号）の研究がなされています（歴史も知ることができる，わかりやすく優れた解説が [Tak19, N20] にあります）．事実，NIST（アメリカ国立標準技術研究所）による耐量子暗号の標準化に向かう活動も第３ラウンドに至り，2023 年にも仕様を固めるとのことです（ただし，これによって世界のスタンダードが一つに定まるわけではありません）．現在，主たる候補に残っているのは，格子暗号，多変数多項式暗号，符号暗号というものです．格子暗号は多次元のベクトル空間で最短距離を求める問
題を応用したものであり，多変数多項式暗号は多変数の連立 2 次方程式を解く難しさを利用したものです．また，符号暗号は符号理論，つまり，シンボルの集合 S, X があるとき，S （情報源アルファベット：たとえば私たちが日常的に使う言葉）に含まれるシンボルのあらゆる系列から，X（符号アルファベット）に含まれるシンボルの系列への写像として定義される符号（コード）を用いたものです．さらに予備候補として，楕円曲線の同種写像暗号なるものが選定されています．いずれの方式にも共通するのは，鍵長が数キロから数百キロバイトと，RSA の 2048
ビット（256 バイト）と比べ遥かに大きくなる点です．また，それらの安全性の研究は暗号の信頼に関わり必須ですが，これらの核心はすべて数学の研究です．

1.1.2 光とゼータ
さて，量子コンピュータによる光とゼータ関数の特殊値のつながりですが，ここでは次のように述べたいと思います．量子コンピュータ作りの基本となる量子ビット (qubit) 作りは，光と物質の相互作用を制御することから始まります．相互作用で維持される情報の確保と伝達のためです．したがってそのような相互作用を記述する物理モデル（のハミルトニアン）を考察する
必要が生まれます．その物理モデルの理解には，いわゆる系の分配関数を知ることが大切にな
ります．分配関数ですが，数学側からみるとその系から定義されるゼータ関数（ハミルトニアンの固有値から定まる Dirichlet 級数）を考えることと同等です．さらに特殊値の考察は，モーメントを考えることに対応しているわけです．
ゼータ関数を語る上で欠かせないレオンハルト・オイラーは，ゼータを定義する級数の発散領域に太陽を，収束領域に月を配していました．適当な表現がみつかりませんが，確信をもって関数等式を発見していたことを物語っているのかもしれません．あ図 1: オイラーの太陽と月：九州大学図書館所
蔵「オイラー全集：Opera Omnia」より

るいは，（リーマンの）ゼータ関数 ζ(s) の正の偶数点での値が，発散級数の値から分かるのだという事実を述べていたのだろうと思われます．数学的手法がおよそ未整備だった時代です．そんな頃の，オイラーに見る素数の分布への探索には深い感銘を受ける方も多いことでしょう (cf.

[Kur18]).
1.1.3 参考/引用文献について
本稿を進める際にその折々に言及すべき論文等は，ときに直接的・テクニカルになりますので，その都度できるだけ本文の脚注とするようにしました．そのほか，一般的な事柄については書籍を中心にして（必要最小限程度を）文献表にまとめておくことにします．なお，本稿は通常の学術論文ではありませんので，必ずしも厳密な意味での引用をしていません．たとえば，重要な進歩をもたらした研究でも，本稿での説明に直接の必要がないため言及していないものが沢
山あります．

2 リーマンゼータの特殊値
調和級数，すなわち正整数の逆数の和が発散するということはよく知られています．しかし，

1+

1 1
1
1
+ +
+
+ ···
4 9 16 25の値がどうなるのか？という問い，1644 年にボローニャの数学者メンゴリ (Pietro Mengoli) に提起されたバーゼルの問題は，1735 年にオイラーの発見までは答えが分からないままでした．
（バーゼルはオイラーの生誕地であり，数学一族，ベルヌイ一家の活躍したところです．
）もちろ
2

んその答えはよく知られているように π6 です．円周率 π がここに現れたことは，当時，人々2を驚かせたようです．これらは ζ(1) = +∞, ζ(2) = π6 と書かれます．ここで ζ(s) はζ(s) =

∞
∑
1

∏

n
n=1

p=2,3,5,7,...（素数）=s11 − p−sで与えられるリーマンのゼータ関数です．この級数と無限積（オイラー積）をつないでいる等式
は，すべての整数が一意に素因数分解されるという事実を表しています．オイラーは，sin(πx)の無限乗積とテーラー展開の 2 次の項を比較することでバーゼルの問題を解決しました．オ
イラーはさらに，偶数点での特殊値 ζ(2n) はベルヌイ数を用いて表されることも示しました．
それによると ζ(2n) は n 次のベルヌイ数という有理数と π 2n の積で表されます．深い理解が進みました．一方で，奇数点での値についてはそれが無理数であるかどうかさえも分からず歴史が進みました．ζ(3) の値が深く分かるためには，1979 年のアペリ (Roger Apéry) による研究*2 まで待たねばなりませんでした．アペリは，その後アペリ数と呼ばれる不思議な数列を定義して，ζ(2) と ζ(3) の無理数性を同様の方法で示しました．しかし現在でも，一般の奇数点における無理数性は十分にわかっていません．じっさい，21 世紀になり，ようやくT. Rivoal らが*3 ，ζ(5), ζ(7), ζ(9), · · · の中に無理数が無数に存在するということを，さらには
ζ(5), ζ(7), ζ(9), · · · , ζ(21) の中に少なくとも一つ無理数が存在することを証明しました．その後，W. Zudilin により ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) の中に少なくとも一つ無理数が存在するということが示されました*4 ．現時点での最良の成果です．まだ偶数点での値のような理解には至っていません．

3 量子化された調和振動子
高校の物理で教わるように一端を固定したバネの運動を記述するのが調和振動子です．そして，粒子としての光（素粒子のひとつ）を記述するのが量子化された調和振動子です．
量子化された調和振動子のハミルトニアン H は，プランク定数 ℏ などの物理定数を省いて正規化して書くと

H=

1( 2
d2 )
x − 2
2
dx

となります．定義式に x2 とあるのは，関数に x2 をかけるという作用素です．H のスペクトル（固有値）は L2 (R) という実軸上の 2 乗可積分な関数がなすヒルベルト空間で考えます．対応
する固有ベクトルは L2 (R) で稠密な（導関数がすべて急激に減少する）急減少関数がなす空間（シュワルツ空間 S(R)）で捕まり，それらが L2 (R) の基底をなします．これらは表現論により比較的容易に確認できます．以下，概略を述べましょう．行列式が 1 である 2 行 2 列の実行列全体がなすリー群 SL2 (R) のリー環 sl2 （トレースが 0 の行列全体）の標準基底を

[
1
h=
0

]
0
,
−1

[
]
0 1
e =
,
0 0
+

[
0
e =
1
−

]
0
0

とします [HT92, HY03]．これらは以下の交換関係を満たしています．

[h, e+ ] = 2e+ ,[h, e− ] = −2e− ,[e+ , e− ] = h.

そこで sl2 の作用（S(R) 上の表現：Oscillator 表現といわれます）ϖ を次で定めます．

ϖ(h) = x

d
1
+ ,
dx 2

ϖ(e+ ) =

i 2
x ,
2

ϖ(e− ) =

i d2
.
2 dx2

*2 R. Apéry: Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque. 61 (1979), 11-13.
*3 K. Ball and T. Rivoal: Irrationalité d’une infinité de valeurs de la fonction zêta aux entiers impairs,

Invent. Math. 146 (2001), 193-207.
One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational, Russ. Math. Surv. 56 (2001),
774-776.

*4 W. Zudilin:

さらに，k ∈ sl2 を k = i(e− − e+ ) と定めると k はリー群 SL2 (R) の部分群 SO2 のリー環

so2 を生成します．また ϖ(k) は調和振動子のハミルトニアン H そのものです．いま，以下の二つの作用素を考えます．

d )1 (a= √ x+
,
dx
2

d )
1 (
a† = √ x −.
dx
2

これらが次の正準交換関係を確認することは容易です．

[a, a† ] = 1.
ただし，[X, Y ] = XY − Y X （X, Y の交換子）です．a† は生成演算子，a は消滅演算子とよ
x2ばれます．じっさい，v0 = e− 2 ∈ S(R) と定めると明らかに

av0 = 0と消滅させますし，vj = (a† )j v0 (j ∈ N) と定めると以下の二つの事実が分かります．

avj = jvj−1 ,√(vj , vℓ ) = j! π δj,ℓ .

前者を確かめるために，次の関係式をみておきましょう．

[a, (a† )j ] = j(a† )j−1 .
これは，[a, (a† )j+1 ] = [a, (a† )j ]a† + (a† )j [a, a† ] ですので数学的帰納法からわかります．したがって

avj = a(a† )j v0 = ([a, (a† )j ] + (a† )j a)v0 = j(a† )j−1 = jvj−1 .
後者は，a† が L2 -内積∫ ∞(f, g) =f (x)g(x)dx−∞に関して a の共役作用素 a∗ となることに注意します（S(R) のなかで部分積分を行なってみて
ください）
．実際，

(vj , vℓ ) = (a† vj−1 , vℓ ) = (vj−1 , avℓ ) = ℓ(vj−1 , vℓ )√ですから，av0 = 0 に注意すれば，やはり数学的帰納法で (vj , vℓ ) = ℓ!δj,ℓ (v0 , v0 ) = j! πδj,ℓ√がわかります．このことから，(j! π)−1/2 vj (j = 0, 1, 2, . . .) は L2 (R) の正規直交基底である
ことも証明できます．

d
さて，H のスペクトルを求めましょう．定義から x = √12 (a + a† ), dx= √12 (a − a† ) なので，ϖ(e± ) = 4i (a ± a† )2 . よって，H = ϖ(k) = 12 (aa† + a† a) に対して

11(aa† + a† a)vj = {avj+1 + a† (jvj−1 )}
2
2
(
1
1)
= ((j + 1) + j)vj = j +
vj .
2
2

Hvj =

{vj }j=0,1,2,... は基底をなしていますから，これで H のすべての固有値が得られたことになりx2

ます．なお，vj は j 次エルミート多項式 Hj (x) を用いて vj (x) = √1 j Hj (x)e− 2 で与えられ
2

ます．そこで，H のスペクトルゼータ関数 ζH (s) を考えます．定義によって

ζH (s) =

∞ (
∑

j+

j=0

=2

s

∞
∑

1 )−s
2

(2j + 1)−s=2

= 2 (ζ(s) − 2

∞
(∑
n=1

j=0
s

s

−s

n

−s

−

∞
∑

(2j)−s)j=1

ζ(s)) = (2 − 1)ζ(s).
s

つまり，調和振動子のスペクトルゼータ関数は本質的にリーマンゼータに一致するのでした．

4 光と物質の相互作用
光と物質の相互作用は多くの物理現象の基礎です．わたしたちの生活になじみ深い LED も半導体と光の相互作用を利用して光を発しています．
たとえば量子デバイスが実現する量子状態（物質）と光との相互作用の重要性は，ある量子状
態が，量子準位間のエネルギー差に等しいエネルギーの光を吸収したり放出したりすることによって，別の量子状態に遷移できることだと説明されます．共振器量子電磁力学によれば，光を量子状態制御に用いるのみならず，電磁場の量子化により光そのものを量子力学的に扱うことができます．つまり，物質と光との間での量子的情報交換を可能とします．さて，ここで紹介する量子ラビ模型は，そのような相互作用を記述するものです．それは，量子コンピュータの構築など量子情報科学への応用の原点となるものとして近年活発に研究がなされている量子光学における最も基本的な理論モデルとされています．

4.1 量子ラビ模型
ラビ模型は Isidor Isaac Rabi により光と物質の相互作用を記述するモデルとして 1936–37
年に定式化されたものです*5 ．それは光が量子化されていないという意味で準古典的モデル*5 I. I. Rabi: Space quantization in a gyrating magnetic field, Phys. Rev., 51 (1937), 652-654.

でした．その後，E. T. Jaynes と F.W. Cummings により光も量子化され，量子ラビ模型(Quantum Rabi model: QRM) が定式化されました*6 ．そのハミルトニアンはHRabi = ωa† a + ∆σz + gσx (a† + a)ddです．ここで a = √12 (x + dx), a† = √12 (x − dx
) は角振動数 ω (= 1 とします) の調和振動子（ボゾンモード）に対する生成消滅演算子であり，

[
]
0 1
σx =
,
1 0

[
0
σy =
i

]
−i
,
0

[
1
σz =
0

0
−1

]

は 2 準位系に対するパウリ行列です．また g > 0 は 2 準位系とボゾンモード（光子）の間の結合強度，2∆ > 0 は 2 準位間のエネルギー差です．以下，一般性を失わずに以前のようにℏ = 1 とします．考えているヒルベルト空間は 2 次元のベクトルに値をもつ 2 乗可積分関数全体 L2 (R) ⊗ C2 です．
しかしながら，量子ラビ模型は積分可能系であるとは期待されず，最近になるまで，そのRWA（回転波近似）として定義された Jaynes-Cummings モデル()
1
HJC = ωa† a + ∆σz + g(σ + a + σ − a† )σ ± := (σx ± iσy )2が実験的にも十分に満足できる理論モデルだと考えられていました．実際，I を

1
I := a† a + (σz + 1)2と定義すると HJC と可換になります．このことから Jaynes-Cummings 模型の可積分性がわかります．固有状態も明示的に記述できます．
一方で実験技術も飛躍的に進みました（[HR08] を参照．[F08, Hir17] は数学者にもわかりやすいテキストです）．2012 年には S. Haroche と D. Winelandが個々の量子系の計測と操作を可能にした画期的な手法の開発 ，すなわち光子の研究により，ノーベ
ル物理学賞を受賞しました．記憶に留める読者も多いでしょう．たとえば，いわゆる強結合状態（ハミル
トニアンに現れるパラメータの大小関係）においては Jaynes-Cummings 模型では実験結果と理論の整図 2: 量子ラビ模型は，光と物質との最も簡単な相互作用を記述．図は，2 準位原子と量子化された単一光子との相互作用のイラスト：Cour-tesy of APS/Alan Stonebraker in E. Solano
Physics 4, 68 (2011).

合性が取れない状況が現れて*7 ，自然に QRM に向*6 E. T. Jaynes and F. W. Cummings:

Comparison of quantum and semiclassical radiation theories
with application to the beam maser, Proc. IEEE 51 (1963), 89-109.
*7 T. Niemczyk et al.: Beyond the Jaynes-Cummings model: circuit QED in the ultrastrong coupling
regime, Nature Physics 6 (2010), 772-776.

き合う状況が生まれたのでした．そのような折に，いわばブレークスルーとされる研究が得られました．Rabi による定式化の後 70 年余り不明であった解析的解の存在を記述して QRM の可積分性を示した D. Braak による仕事です*8 . Jaynes-Cummings 模型のように可換な作用素は存在しませんが，Braak は Z2 -対称性（パリティ）に深く着目したのでした．この結果がいかにインパクトのあるものであったかは，論文*8 発表直後の E. Solano による紹介*9 からもよく伝わってきます．最近の関連する進展状況については，Rabi の記念的論文の出版 80 周年を記念して出版された [BCBE16]（←巻頭論文）を参照してください．

4.2 量子ビット作り — 深強結合回路の設計
最近の研究*10 において，吉原らは，共振器量子電磁力学の手法を用いて，相互作用のエネル
ギーが原子の遷移エネルギーや光子自体のエネルギーをも超える 深強結合状態 と呼ばれる状態を実現することに成功しています．「超伝導人工原子と電磁場の相互作用」という布施らの物
理学会の解説記事*11 の序文より以下を一部引用させていただきます：
原子‒光子結合系は，超伝導磁束量子ビット人工原子，集中定数型 LC 共振器中のマイクロ波光子，両者を結合させるジョセフソン接合から成る．測定された結合系の遷移エ
ネルギースペクトルは複雑であったが，Rabi モデルと呼ばれる，2 準位原子と調和振動子の結合系を記述するモデルに基づいた理論計算とよく一致した．この結果，結合系の原子の遷移エネルギー，光子自体のエネルギー，相互作用のエネルギーが求まり，相互作用のエネルギーは原子の遷移エネルギーよりも一桁大きく，最大で光子自体のエネル
ギーの 130% 程度にも達することがわかった．Rabi モデルからは，「深強結合系においては基底状態を含むエネルギー固有状態がエンタングル状態（磁束量子ビットの永久電流状態とマイクロ波光子状態のエンタングル状態）である」ことが導かれる．我々の深強結合系の測定結果と Rabi モデルに基づいた理論計算との一致は，このようなエンタング
ル状態が実現されていることを強く示唆する．
ここで Rabi モデルとあるのは量子ラビ模型です．また，原子と光子の相互作用は，電気・磁気
双極子と電磁場との相互作用で表されています．またそこでは，QRM のハミルトニアン HRabi*8 D. Braak:On the Integrability of the Rabi Model, Phys. Rev. Lett. 107 (2011), 100401., Online
Supplement of “Integrability of the Rabi Model”, Phys. Rev. Lett. (2011).
*9 E. Solano:Viewpoint: The dialogue between quantum light and matter, Physics 4 (2011), 68-52.
*10 F. Yoshihara et al.: Superconducting qubit-oscillator circuit beyond the ultrastrong-coupling regime,
Nat. Phys. 13 (2017), 44., F. Yoshihara et al.: Inversion of Qubit Energy Levels in Qubit-Oscillator
Circuits in the Deep-Strong-Coupling Regime, Phys. Rev. Lett. 120 (2018), 183601.
*11 布施智子，吉原文樹，角柳孝輔，仙場浩一：超伝導人工原子と電磁場の相互作用〜強結合のその先へ〜,「最近の研究から」日本物理学会誌 73 (2018), 21-26.

に振動項 ϵσx （ℏϵ は磁束量子ビットの磁束バイアスエネルギー）を付け加えた非対称量子ラビ
模型 (Asymmetric QRM: AQRM) が重要な役割を果たしています．そのハミルトニアンは次で与えられます：ϵ
HAQRM:= HRabi + ϵσx .

実際にフィッティングしたところ，遷移エネルギーの磁束バイアス依存性と磁束バイアス 0 での選択則の 2 点において，よい一致が得られるというものです．すなわち，AQRM は実際に測定した結合回路を記述するモデルであると考えられるわけです．今後のさらなる研究の進展が期待されます．

5 熱核・分配関数・ゼータ関数
物理系の研究において熱核を知ることはたいへん重要です．実際，最も知りたいのは自己共役作用素 H を系のハミルトニアンとしたときのユニタリ作用素 exp(−itH) です．この作用素は exp(−βH) (β > 0) を解析接続して得ることができます（Wick 回転）．もちろん，このexp(−βH) 自体も重要です．それが統計力学において系の微視的状態を表現する統計集団の一つであるいわゆる正準集団に対する統計的作用素であり，k を Boltzmann 定数としたときに温度 T = β −1 /k における物理を支配するからです．Stone の定理により，時間発展を記述するユ
ニタリ作用素 exp(−itH) は，対象のヒルベルト空間の強連続な 1 径数半群を与えています．もし行列要素 ⟨u| exp(−itH)|v⟩ が計算できれば，時間依存する相関関数も計算できることになります．たとえば ⟨u(t)|u(0)⟩ = ⟨exp(−itH)u(0)|u(0)⟩ は実験室で直接に測定できるものです．

5.1 QRM の熱核
QRM の熱核を KQRM とします．KQRM は x, y ∈ R に対して
(5.1)
(5.2)

∂
KQRM (t, x, y) = −HQRM KQRM (t, x, y) (t > 0),∂tlim KQRM (t, x, y) = δx (y) ( = Dirac のデルタ関数)

t→0を満たします．また，スペクトル写像定理によりコンパクトな台を持つ微分可能な関数 ϕ(y) に対して次が成立します:

exp(−tHQRM )ϕ(x) =∫ ∞−∞KQRM (t, x, y)ϕ(y)dy.

さらに，QRM の分配関数 ZQRM (β) は Boltzmann 因子 exp(−βE(µ))（E(µ) は状態 µ のエネルギー）の跡として

ZQRM (β) := Tr[exp(−tHQRM )] =∑µ∈Ω

exp(−βE(µ))

と与えられます．ここで Ω は可能なすべての状態を表しています．しかし，物理学者の多くの関心がありながら，QRM の熱核の解析的な明示式は最近まで求められていませんでした．

5.2 (A)QRM のスペクトル
可積分性が Braak によって示され，さらに QRM のスペクトルは次のように分類されることが知られています*12 *13 *14 .

{}Spec(HRabi ) = （非退化）正則固有値{} {}⊔ Judd 型（例外型）固有値 ⊔ non-Judd 型（例外型）固有値
2±= {En± = x±n − g | G± (xn ) = 0 (n = 0, 1, 2, . . .)}
deg
⊔ {EN
= N − g 2 | ∃ N ∈ Z, 退化 } ⊔ {EN = N − g 2 | ∃ N ∈ Z, 非退化 }.

ところで，Braak が可積分性の証明に使ったのが以下で定義される超越関数 G-関数 G± (x)です：

G± (x) =∞∑[Kn (x) 1 ∓

n=0

]
∆
gn
x−n

ここで，係数 Kn (x) は次の漸化式で定まるものです：

K0 = 1,nKn (x) = fn−1 (x)Kn−1 (x) − Kn−2 (x),()
1∆2
fn (x) = 2g +
n−x+
.
2g
x−n

K1 = f0 (x),QRM の正則固有値はこの G-関数 G± (x) の零点として捉えられます．また，退化例外型固有deg

値（Judd 型）ENが存在する必要十分条件は，g, ∆ に関する条件 KN (N ) = 0 で与えられます．このことは，ちょうど G-関数の見かけ上の極を消す役割を果たしています．この事実は物理学者に広く信じられていましたが，証明はなく説明の記述にも誤りがありました．AQRM の場合を含め，この事実は定式化を微修正して確認することができました*14 .

AQRM の場合も例外型固有値 λ を λ = N − g 2 ± ϵ (N ∈ N) の形のものであると定義すれば同様の分類が与えられます．その上で，AQRM の固有値の退化の様子を示したものが下記の一連の図（図 3，4 は概念図）です．バイアス項 ϵ(̸= 0) があるにもかかわらず，驚くべきこと*12 M. Kuś: On the spectrum of a two-level system, J. Math. Phys., 26 (1985), 2792.
*13 A. J. Maciejewski, M. Przybylska and T. Stachowiak: Full spectrum of the Rabi model, Phys.

Lett.
A 378, (2014), 16.
*14 K. Kimoto, C. Reyes-Bustos and M. Wakayama: Determinant expressions of constraint polynomials
and the spectrum of the asymmetric quantum Rabi model, Int. Math. Res. Notices (Published online
2020 [87 pages]).

に ϵ が半整数のときに退化（縮退）している場合があることが数値的に発見されました*15 ．それをうけ，特別な場合に証明・一般に定式化され*16 ，一般の場合の証明が完成されました*14 ．
ϵ
ここでもまた，QRM と同様に定義される AQRM の G-関数から定まる KN(N ) = 0 という(g, ∆) の多項式（constraint 多項式）たちの構造を精密に調べることが重要となります．その
(N,ϵ)

ϵ
ため KN
(N ) =: PN(g, ∆) と記しましょう．
Δ

Δ=C

E
M +−g

Juddian
Non-Juddiang2N −  − g2λ(g)(b) (g, ∆)-平 面 に お け る 曲 線(M,ϵ)
PM ((2g)2 , ∆2 )= 0. 第 一 象 限ϵ′(a) HRabi の固有値曲線 λ(g), λ (g) と， の点 g, ∆ > 0 が Judd 解を与えていま
N, M ∈ Z≥0 に対する例外型固有値．
す．
λ0 (g)g

図 3: AQRM の例外型固有値．

E

E

N + ` −  − g2
N + `/2 − g 2

N +  − g2λ(g)λ0 (g)λ(g)g

λ0 (g)g(a) 0 < |ϵ − ℓ/2| < δ の場合．

(b) ϵ = ℓ/2 の場合．

図 4: 左図は N, ℓ ∈ Z≥0 に対する例外型固有値．丸印は Judd 解を，ダイヤモンド印は non-Judd 解を示しています．右図は ϵ = ℓ/2 の場合の退化状況です．Judd 型のみが生き残っている様子を示しています．

(N,0)

ところで Kuś が 3 項間漸化式で定まる PN(g, ∆) = 0 を用いて退化固有値の存在を発見*12 したのは 1985 年です．Braak が G-関数を定義して QRM の可積分性を示したのは４半(N,0)

世紀後の 2011 年です．つまり PN(g, ∆) = 0 が考察されたのはずっと以前です．これはJudd 型という多項式（固有ベクトル）解のみに着目したからできたことでした．このことは，*15 Z. M. Li and M. T. Batchelor: Algebraic equations for the exceptional eigenspectrum of the generalized

Rabi model, J. Phys. A: Math. Theor. 48 (2015), 454005, Addendum, 49 (2016), 369401.
*16 M. Wakayama: Symmetry of asymmetric quantum Rabi models, J. Phys. A: Math. Theor. 50 (2017),

174001.

(a) ϵ = 0.2.

(b) ϵ = 1.

(c) ϵ = 3/2.

(8,−ϵ)(5,ϵ)((2g)2 , ∆2 ) = 0 を示す．(c) は ϵ = 3/2 の場合に((2g)2 , ∆2 ) = 0 を，点線は曲線 P8
図 5: 実線は曲線 P5
両曲線が重なっていることを示しています: ここでは，5 + 3/2 = 8 − 3/2 であることに着目してください．

Lie 環 sl2 の表現論を用いて (A)QRM のスペクトル問題を再定式化すると，有限次元既約表現(N,ϵ)

を探すことと PN(g, ∆) = 0 とが同値になるという事実としても捉えることができます*16 ．

なお，QRM の場合には見た目にすぐにわかる Z2 -対称性があり，それが退化固有値の存在を強く示唆していますが，一般の AQRM については，退化固有値の存在が示されているのにもかかわらず，その対称性が見えません．この隠れた対称性については，現在，物理においてもホットな研究課題です*17 ．また，無限遠方での固有値の分布についても調べられています*18
が，より詳細で示唆深いスペクトルの分布についての Braak による予想*8 は未解決です．
ところで物理学者の研究（数値シミュレーションや実験）をみていると，与えられた一組の (g, ∆) について系を考え4

ることは少ないようです．固有値の退化（縮退）についても，(g, ∆) を動かせば，そのなかで必ず存在するという認識です．与えられた (g, ∆) に対して，縮退する固有値を見出す

2

0

ことは，数値計算からではできません．そこでいま
-2

{
(ϵ)
ΩN = (g, ∆) ∈ R2}(N,ϵ)
PN ((2g)2 , ∆2 ) = 0

-4

(ϵ)

とおきます．先にみたように，ΩN は卵形の代数曲線です．
(ϵ)

したがって，ΩN の（可算個の）和集合

∪

(ϵ)

ΩN

(

⊊ R2

)

-3

-2

-1

0

1

2

3

図 6: N = 1, 2, · · · , 12 に 対 す る(0)ΩN （C. Reyes-Bustos 氏提供）.

N ≥0*17 S. Ashhab: Attempt to find the hidden symmetry in the asymmetric quantum Rabi model, Phys. Rev.

A 101 (2020), 023808.
*18 A. Boutet de Monvel and L. Zielinski:

Oscillatory behavior of large eigenvalues in quantum Rabi
models, Int. Math. Res. Notices, (Published online 2019 [59 pages]).

は R2 の開集合ではありません．つまり，半整数 ϵ を固定する毎に，スペクトルが縮退しないϵHRabiが存在することがわかります．たとえば，∆ を有理数として g を (2g)2 = π（他の超越数ϵを選んでも同じです）とすれば HRabi
は決して縮退しません．東京工業大学の C. Reyes-Bustos(ϵ)

氏と筆者は，ΩN が R2 で稠密であろうと予想していますが，いまのところ証明はできていません．この予想が正しければ，ϵ が半整数のとき，任意の (g, ∆) に対して，その幾らでも近いϵところにハミルトニアン HRabiが縮退する固有値（Judd 型）をもつような (g ′ , ∆′ ) の組がとれることになります．

5.3 熱核とスペクトル
これまで見てきたように量子調和振動子や (A)QRM は，離散固有値のみをもちそれぞれの重複度は一様に有界です：(−∞ <)λ0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · ↑ ∞(下には有界).

固有値 λj に対応する固有ベクトルを（重複度も考慮して）vj (x) (j = 0, 1, 2, . . .) としておきます．これらは考えているヒルベルト空間の（正規直交）基底をなすように取っておきます．このときK(t, x, y) =∞∑e−tλj vj (x)vj (y)(t > 0)j=0とおくと，これはそれぞれの系の熱核を表示していることがわかります．
調和振動子の場合には，次の Mehler の公式 (cf. [HT92])∞∑
Hn (x)Hn (y)

2n n!

n=0

ρn = (1 − ρ2 )−1/2 e(2xyρ−(x +y )ρ )/(1−ρ )
2

2

2

2

(|ρ| < 1)をもちいれば，熱核はK(t, x, y) =1∞∑x2 +y 2e−t(j+ 2 )√ j Hj (x)Hj (y)e− 2
π 2 j!
j=0=√)( x2 + y 2
1
exp −coth t + xy cosech t
22π sinh tとなります．これが (5.1) を満たすことは級数の一様収束性から従います．また，(5.2) のほうも超関数の意味で
x +y∞∑
Hn (x)Hn (y)e− 2√ nρn = δ(x − y)
π
2
n!
n=0
2

が成立していることからわかります．

2(ρ → 1)

5.4 QRM のスペクトルゼータ
熱核 KQRM が求まると，スペクトルゼータ関数の解析接続は直接的な方法でなされます．実際，HQRM の複素冪は exp(−tHQRM ) の Mellin 変換として
−s
=
HQRM

1
Γ(s)

∫ ∞

ts−1 exp(−tHQRM )dt

0と表示されます．QRM は下に有界ですが負の固有値も持ち得るので*19 ハミルトニアンを定数だけシフトしたものを考えます：HQRM,τ := HQRM + τ . こうすると，Hurwitz 型のスペクト
ルゼータ関数 ζQRM (s; τ ) は，分配関数の Mellin 変換として次のように表示されます．

∫ ∞1
ts−1 Tr[e−tHQRM,τ ]dt
Γ(s) 0∫ ∞1=
ts−1 ZQRM (t)e−tτ dt.
Γ(s) 0−s
ζQRM (s; τ ) = Tr[HQRM,τ
]=

ところで，数論において重要な L-関数は保型形式の Mellin 変換で与えられます．これが表現論が数論において重要な役割を果たしている一つの基本的な理由です．たとえば，関数等式
は特別な群（e.g. Fuchs 群など SL2 (R) の離散部分群）の作用で不変であることから従うなど，
2

d
1
1
2
です．たとえば先にみたとおりですが，調和振動子 H := − dx
2 + x + 2 （簡単のために 2 だ

けシフトしたもの）を考えると，分配関数は Z(t) :=

∑∞

n=1 e

−tn

= et1−1 となります．スペク

トルゼータ関数はリーマンゼータ ζ(s) そのものです．実際，ガンマ関数の積分表示から a > 0のとき a−s = Γ(s)−1∫ ∞ s−1 −ta
t e dt なので a = n ∈ N とすれば ζ(s) は Z(t) の Mellin 変換0で表されます．一方，a = n2 (n ∈ N) として s を s/2 に置き換えれば，ζ(s) の Jacobi のテー
タ関数 θ(t) による Mellin 変換表示が得られます．後者は保型形式と L-関数の対応の典型例で
す．QRM のスペクトルゼータ関数に関数等式を期待することはできませんが，特殊値とは分配関数のモーメントであるとみなすこともできるので，特殊値の研究から分配関数の情報が得られることは期待しても良いと思われるわけです．

*19 S. Sugiyama:

52-98.

Spectral zeta functions for the quantum Rabi models, Nagoya Math. J. 229 (2018),

6 非可換調和振動子
非可換調和振動子 (Non-commutative harmonic oscillator: NCHO)*20 は以下のハミルトニアンで定義される常微分方程式系です（詳細については [P10]）：

Q :=

[
α

](
β

1
1 d2
−
+ x2
2
2 dx
2

)

[
+

1

](
)
d
1
−1
x
+
dx 2

(α, β ∈ R).

Q は α, β > 0, αβ > 1 のとき，ヒルベルト空間 L2 (R) ⊗ C2 上の自己共役作用素となり，正の離散スペクトル（のみ）0 < λ0 ≤ λ1 ≤ · · · ≤ λn ≤ · · · ↑ ∞を持ちます．重複度が高々 2 であることも（実際に 2 のときもあります）示されています．

√
α = β のときは，二つの調和振動子の組とユニタリ同値となり，{ α2 − 1(n + 12 ) | n ∈ Z≥0 }を重複度 2 の固有値として持ちます．一般に α ̸= β のときの NCHO のスペクトル解析は困難です．しかし，そのスペクトルゼータ関数を Dirichlet 級数

ζQ (s) =

∞
∑

λ−s
n

(ℜs > 1)n=0で定めると，種々興味深いことがわかります．たとえば，ζQ (s) は全複素平面に有理型関数として解析接続され s = 1 のみに（一位の）極をもち，ζ(s) と同様に負の偶数点で自明な零点を持ちます*21 ．さらに，ζQ (2), ζQ (3), ζQ (4) からは自然な形でアペリ数の類似物が現れ，ζQ (2) では保型性や楕円曲線との関係が示されるなど，なかなか豊かな性質を有することが分かります．

ζQ (4) の研究では，通常のモジュラー形式を超え，Eichiler 形式（保型積分）*22 をすこし拡張したもの*31 が現れ，その具体的な記述には，一般 Eisenstein 級数*23 の微分などが必要になることがわかります．これらは，志村が創始後*24 ，現在改めて進展している概正則保型形式の研究*25（の 1 変数の場合）などにも深く関係しています．アペリ数の類似については次章で述べることにします．
*20 A. Parmeggiani and M. Wakayama:

Oscillator representations and systems of ordinary diﬀerential
equations, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 98 (2001), 26-30.
*21 T. Ichinose and M. Wakayama: Zeta functions for the spectrum of the non-commutative harmonic
oscillators, Comm. Math. Phys. 258 (2005), 697-739.
*22 R. C. Gunning: The Eichler cohomology groups and automorphic forms, Trans. Amer. Math. Soc.
100 (1961), 44-62.
*23 B. C. Berndt: Generalized Eisenstein series and modified Dedekind sums, J. Reine Angew. Math.
272 (1974), 182-193.
*24 G. Shimura: On Eisenstein series, Duke Math. J. 50 (1982), 417-476.
*25 S. Horinaga: On the representations generated by Eisenstein series of weight n+3 , J. Number Theory.
2
201 (2019), 206-227.

6.1 非可換調和振動子と量子ラビ模型
6.1.1 Heun 微分方程式描像
NCHO は QRM と同様に偶奇のパリティー（Z2 -対称性）をもっています．そのスペクトル問題 Qφ = λφ ですが，NCHO が定義されてまもなく 4 つの確定特異点 w = 0, 1, αβ( > 1), ∞を持つ Heun 型 ODE [SL00] の，ある複素領域上の正則関数解の存在と本質的に同値であることが落合により示されました（奇関数の場合）*26 . 偶関数の場合も同様です*27 ．詳細は述べ得ませんが，どんな形の方程式であるか，以下にお見せしておきましょう．なお，ガウスの超幾何関数 (cf.[AAR99, Y97]) をご存知の方は，Heun の場合は確定特異点が一つ多い 2 階の常微分方程式だと思えば親しみが湧くでしょう．また，Heun の聞こえ方は日本語ではホインであり，硬貨 (Coin) のコインと同じような響きです．
たとえば，偶の固有関数に対応する微分方程式は次のように書かれます．

[ d2
dw

(1

+
2

2 −p

w

−1 − p
p+1
+ 2
+
w−1
w − αβ√ α+β
ただし p = p(λ, α, β) = 2ν−3
4 , ν =
2)αβ(αβ−1)− 1 (p + 12 )w − q + ]d+ 2
f (w) = 0.
dw w(w − 1)(w − αβ)λ です．また，q + はアクセサリパラメータとよばれ，やはり λ, α, β により明示的に与えられます．
さて，パラメータ (κ, ϵ, ν) ∈ R3>0 に対し，sl2 (R) の普遍包絡環 U(sl2 ) の 2 次の元 R を

R :=

{
}
2
[(sinh 2κ)(E − F ) − (cosh 2κ)H + ν] (H − ν) + (ϵν)2 ∈ U (sl2 )sinh 2κ

で定めます．証明のポイントは，α ̸= β, λ > 0 に対し，パラメータ (κ, ϵ, ν) ∈ R3>0 を√
cosh κ =αβ,αβ − 1

ϵ=

α−β
,
α+β

α+β
λ
ν= √
2 αβ(αβ − 1)と定めると oscillator 表現を通して NCHO が R から得られることです．QRM の場合にも，Lie 環を用いた同様の考察を行なって Heun ODE による同値な言い換えをおこなうことができます．ただし QRM の場合の Heun 描像は（二つの確定特異点と不確定特異点をひとつもつ）
いわゆる合流 Heun ODE とよばれるものとなります．

ϖ

La
ϖa

R

∈

NCHO o/ Heun ODE

U (sl2 )confluence
processConfluent Heun ODE ⇔ QRM
図 7: NCHO から QRM の合流 Heun 描像へ

6.1.2 Heun 描像による特異点の合流
R を定めるパラメータはより一般的なものに変更する必要がありますが，変形ラプラス変換∫ ∞y2(La u)(z) =u(yz)e− 2 y a−1 dy0と非ユニタリ主系列表現 (cf.[HY03]) とよばれる sl2 (R) の無限次元表現 ϖa を通して一般的なHeun ODE を得たのち合流操作を行うことで，QRM の合流 Heun 描像が得られます．じつはNCHO は，現実の物理系をモデル化したものではありません．しかしながら図 7 が示すように，パラメータ α, β の一般化と合流を通じて，（一般化した NCHO を）光と物質の相互作用を記述する QRM という物理モデルのいわば 被覆モデルだと見做すことができます．

7 アペリ数とその類似数たち
7.1 アペリ数
Apéry の ζ(2), ζ(3) の無理数性の証明は，ξ が次の条件を満たすならば無理数であるという
ディリクレの有名な無理数性判定法に基づいたものです：
ある固定された c, δ > 0 に対して

ξ−

p
c
< 1+δ
q
q

となる互いに素な整数 p, q が無限に存在する．

*26 H.

Ochiai: Non-commutative harmonic oscillators and Fuchsian ordinary diﬀerential operators,
Comm. Math. Phys. 217 (2001), 357-373.
*27 M. Wakayama: Equivalence between the eigenvalue problem of non-commutative harmonic oscillatorsand existence of holomorphic solutions of Heun diﬀerential equations, eigenstates degeneration andthe Rabi model, Int. Math. Res. Notices, 145 (2016), 759-794. 若山正人：量子ラビ模型の固有値問題 ∼光子と格子をつなぐ嚆矢 ∼, 数理科学 670, (2019) 56-66.

そこで ζ(2), ζ(3) の良い有理近似を得るために，次のような数列 A2 (n), A3 (n) (n = 0, 1, 2, · · · )を導入しました．

A2 (n) =)n ( )2 (
∑
n
n+k
k=0

k

k

,

A3 (n) =)2n ( )2 (
∑
n
n+k
k=0

k

k

.

これらはアペリ数とよばれ，それぞれ次のような漸化式を満たします．

n2 A2 (n) − (11n2 − 11n + 1)A2 (n − 1) − (n − 1)2 A2 (n − 2) = 0,
n3 A3 (n) − (34n3 − 51n2 + 27n − 5)A3 (n − 1) + (n − 1)3 A3 (n − 2) = 0.
Apéry の 証 明 を う け ，そ の 数 か 月 後 に F. Beukers が 積 分 を 使 っ た 美 し い 別 証 明 を 発
表 し ま し た ．そ の 証 明 は（ シ フ ト さ れ た ）ル ジ ャ ン ド ル 多 項 式 P̃n (x) = Pn (1 − 2x) =

∑n

k=0

(n)(n+k)kk(−x)k を含んだ積分が，ある整数 An , Bn に対して
∫ 1∫ 100− log(xy)An + ζ(3)BnP̃n (x)P̃n (y)dxdy =1 − xyl.c.m.[1, 2, ..., n]と 表 せ る こ と を 利 用 し ，同 じ く デ ィ リ ク レ の 無 理 数 性 判 定 法 を 利 用 し た も の で す*28 (cf.

[AAR99]).

7.2 NCHO のスペクトルゼータが生むアペリ数の類似
7.2.1 ζQ (s) の特殊値
1
とおくと最初の二つの特殊値はつNCHO を定めるパラメータが α ̸= β のとき，κ = √αβ−1

ぎのように書かれます*29 ．

(
ζQ (2) = 2(
ζQ (3) = 2

α+β

2

√
αβ(αβ − 1)
α+β

2

√
αβ(αβ − 1)

)2 (

(

3ζ(2) +
)3 (7ζ(3) +

(

α−β
α+β
α−β
α+β

)2

)
R2,1 (κ) ,)2)
R3,1 (κ) .

*28 F. Beukers: Irrationality of π 2 , periods of an elliptic curve and Γ1 (5), Diophantine approximations

and transcendental numbers (Luminy, 1982), 47-66, Progr. Math. 31, Birkhäuser, 1983. F. B.,
Irrationality proofs using modular forms, Soc. Math. France, Astérisque 21 (1987), 271-283.
*29 T. Ichinose and M. Wakayama: Special values of the spectral zeta function of the non-commutative
harmonic oscillator and confluent Heun equations, Kyushu J. Math. 59 (2005), 39-100.

ここで R2,1 (κ), R3,1 (κ) は以下の積分で与えられます．

∫

4 du1 du2√,222
(1 − u1 u2 ) + κ2 (1 − u41 )(1 − u42 )[0,1]2∫
8 du1 du2 du3√.
R3,1 (κ) = 32223(1 − u1 u2 u3 )2 + κ2 (1 − u41 )(1 − u42 u43 )[0,1]
R2,1 (κ) =ζQ (2) については，特別なパラメータのみに適用できる種々の超幾何関数の間の古典的公式，
ひとつは（ガウスの先生でもあった）Pfaﬀ の公式ほか，ガウスの超幾何関数 2 F1 = 2 F1 (a, b, c; x)に留まらず 3 F2 を含む Clausen の恒等式 [AAR99] までもが鮮やかなほどにピッタリとはまる
完全楕円積分による見事な表示です*30 ．一般に，k > 2 に対しても，次のように表されます*31 ．

(
ζQ (k) = 2

α+β

)k (

√
2 αβ(αβ − 1))
∑ ( α − β )2j(2k − 1)ζ(k) +Rk,j (κ) .
α+β0<2j≤k

ここで Rk,j (κ) は以下のような形で与えられますが，詳細の説明は省略します．形のみみていていただければ充分です．

∫∑

Rk,j (κ) =1≤i1 <i2 <···<i2j ≤k

2k du1 . . . duk√,
Wk (u; κ; i1 , . . . , i2j )[0,1]kk()∏(1 − u4r ).
Wk (u; κ; i1 , . . . , i2j ) = det ∆k (u) + κΞk (i1 , . . . , i2j )r=1

ただし，u ∈ (0, 1)k に対して det(∆k (u) + κΞk (i)) > 0，∆k (u) は k 次の正定値対称行列です．∆k (u) と Ξk (i) はともに明示的に表示できますが，Rk,1 (κ) 以外の表示の積分を一般の kに対して（その値を計算してみせるなど）うまく扱うことには成功していません．

7.2.2 アペリ類似数
数列 J2 (m) (m ≥ 0) を次で定義します．

R2,1 (κ) =

)
∞ (
∑
−1/2
m=0

m

J2 (m)κ2m .

初等的ですが，きわめて興味深い，しかし幾分長い積分の計算*29 により，J2 (m) が次の漸化式
をみたすことが確かめられます．

4m2 J2 (m) − (8m2 − 8m + 3)J2 (m − 1) + 4(m − 1)2 J2 (m − 2) = 0(m ≥ 2).

*30 H. Ochiai: A special value of the spectral zeta function of the non-commutative harmonic oscillators,

Ramanujan J. 15 (2008), 31-36. *36 直接的別証明．
Apéry-like numbers for non-commutative harmonic oscillators andautomorphic integrals, To appear in Ann. l’Inst. Henri Poincaré - D [54 pages], arXiv:1905.01775
2019.

*31 K. Kimoto and M. Wakayama:この漸化式は，その母関数 w2 (z) =

{

2 d

∑∞

m=0 J2 (m)zmを用いると次のように書かれます．

2d3z(1 − z)+ (1 − 3z)(1 − z) + z −
2
dz
dz
4

}
w2 (z) = 0.

上記の漸化式がアペリ数の漸化式に似ているのでアペリ類似数 (Apéry-like numbers) と名付けました．ただし，命名の理由はそれだけではありません．一部ですが以下にみるように，それらがもつ数論的性質の豊かさです．じっさい，Beukers が，ζ(3) の無理数性の証明に続き，高次の奇数値に対しても一般に証明しようと開拓した（それ自体は適わなかったようですが）美しい
数論・代数幾何的研究と同様の数学がそこに展開できるからです*32 ．たとえば，上記の wz (z)に関する微分方程式は，4-torsion をもつ楕円曲線族に関する Picard-Fuchs 方程式というものになっています（cf. [Kob84]）．さらに，w2 (z) が合同部分群 Γ0 (4) に関するモジュラー形式
であり，別の動機からなされた研究*33 にも顔を出すことが示されます．実際，各楕円曲線は，R2,1 (x) の積分表示の分母に現れる方程式から定まる曲線(1 − u2 v 2 )2 + x2 (1 − u4 )(1 − v 4 ) = 0と双有理同値であることが示されます．これは，Beukers が ζ(2) について見つけた 3-torsionをもつ楕円曲線族の話の類似です．なお，アペリ数の合同関係式ほか，モジュラー形式などの係数の数論については [O04] に興味深い内容が著されています．また，関連する書物として，[Z90] は独特の深さを感じる一冊です．ところで話はかわりますが，今年は 2021 年です．
コロナ禍で厳しい年の始まりとなりましたが，2021 は合同数です．どんな数が合同数であるかは未だ不明ですが，有名な Tunnell の定理に併せて，楕円関数の L-関数に関する Burch とSwinnerton-Dyer 予想が肯定的に解決されれば完全に理解できます．たくさんのわからないことがあることは楽しいことです．
高次の値（k > 3 のときには Rk,1 (κ) から定義される）に対するアペリ数の類似 Jk (m) も一部ですが同じように定義できます．ある意味で驚くべきことなのですが，Jk (m)（を先頭項とする）の漸化式の同次部分は ζQ (2) の場合と同じであり，非同次部分に Jk−2 (m − 1) が現れるという階層性をもっていることが証明されます．これは ζ(s) の場合には見られない特徴です．なお，ζ(3) についての同様の研究は（今度は楕円曲線ではなくて K3 曲面 [KonS14] が出番）やはり Beukers らによってなされています*34 が，それに対応する研究はまだできていません．それは，先に述べたように，j ≥ 2 の場合に積分 Rk,j (κ) の理解が充分に進んでいないからです．
*32 K.

Kimoto and M. Wakayama: Elliptic curves arising from the spectral zeta function for noncommutative harmonic oscillators and Γ0 (4)-modular forms, in Proc. Conf. L-functions” (eds.
L. Weng, M. Kaneko), 201-218, World Scientific, 2007.
*33 D. Zagier: Integral solutions of Apéry-like recurrence equations, Groups and symmetries, 349-366,
CRM Proc. Lecture Notes 47, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009.
*34 F. Beukers and C.A.M. Peters: A family of K3 surfaces and ζ(3), J. Reine Angew. Math. 351(1984), 42-54.

以下は，J2 (m) と J3 (m) についての２項係数を用いた表示です．

J2 (n) = 3ζ(2)

n
∑

(
(−1)k

k=0

J3 (n) = −

1
2

n
∑

(

(−1)k

k=0

− 12
k

− 12
k

)2 ( )n,k)2 ( ) ∑( 1 )2 ( )( 1 )−2
n
∑
n
n
1
−2
k −2
+
28ζ(3)
(−1)
.
1 3
k
j
k
k
(j
+
)
2
0≤j<k
k=0

次節では，いくつかの合同式を紹介します．高次のアペリ類似数に対しても同様な合同関係式の成立が示されます．そのほか一部には予想にとどまっている合同関係式もあります*31 ．

7.2.3 アペリ類似数の合同式
合同式を述べるためにアペリ類似数の正規化を考えます．大切なことは，この正規化によりそれらが一斉に有理数化できることです．

J˜2 (n) = J2 (0)−1 J2 (n),J˜3 (n) = J3 (n) − J3 (0)J˜2 (n).
これら正規化したアペリ類似数もそれぞれ同じ漸化式を満たします．以下，最初のいくつかを列挙しておきます．

3 41 147 8649 32307 487889 1856307 454689481
J˜2 (n) : 1, , ,
,
,
,
,
,
4 64 256 16384 65536 1048576 4194304 1073741824
65 13247 704707 660278641 357852111131 309349386395887
J˜3 (n) : 0, 1, ,
,
,
,
,
.
48 8640 430080 387072000 204374016000 173581664256000
7.2.4 アペリ数と類似の合同関係式
以下では p は奇素数とします：このとき，任意の自然数 m, r に対して
アペリ数*35 :A2,3 (mpr − 1) ≡ A2,3 (mpr−1 − 1)(mod p3r ).

アペリ類似数*36 :J˜2 (mpr ) ≡ J˜2 (mpr−1 ) (mod pr ),J˜3 (pr )p3r ≡ J˜3 (pr−1 )p3(r−1) (mod pr ).

*35 F. Beukers: Some Congruences for the Apéry Numbers, J. Number Theo. 21 (1985), 141–155.
*36 K. Kimoto and M. Wakayama: Apéry-like numbers arising from special values of spectral zeta func-

tions for non-commutative harmonic oscillators, Kyushu J. Math. 60 (2006), 383-404.

しかしながら，一般的にはより高い合同性，たとえばJ˜2 (mpr ) ≡ J˜2 (mpr−1 ) (mod pr+1 )は正しくありません．

7.2.5 異型の合同関係式
s = 2 のときのアペリ類似数を再掲すると
J˜2 (n) =n∑k=0( 1 )2 ( )n2−2= 2 J2 (n) ∈ Q.
(−1)
k
k
π
k

以下も p を奇素数とします．次の合同式は Long-Osburn-Swisher により証明されました*37 .
p−1
∑
k=0

( (−1))p−12˜
2
J2 (k) ≡ (−1)=
p(mod p3 ).

これは次の Rodrigues-Villegas 型の合同関係式*38 にたいへん似ていることがわかります．
p−1
∑
k=0

ただし

(a )
p

−4k

2

( )2 ( )2k−4≡(mod p2 ).
k
pは平方剰余記号（ルジャンドル記号）であり，a が（p で割り切れず）p を法として平方剰余のときは 1，平方非剰余のときは −1 です（a が p で割り切れるときは 0 とします）．
t
さらに次のような示唆的な合同関係式が予想*39 され証明も得られました*40 ．Bn を et −1
=

∑∞

Bn n
n=0 n! t で定まる n 次のベルヌイ数とするとき
p−1
∑

p−1
J˜2 (k)2 ≡ (−1) 2 (1 − 7p3 Bp−3 ) (mod p4 )k=0というものです．

*37 L. Long, R. Osburn and H. Swisher: On a conjecture of Kimoto and Wakayama, Proc. Amer. Math.

Soc. 144 (2016), 4319-4327.
*38 E. Mortenson: A supercongruence conjecture of Rodriguez-Villegas for a certain truncated hypergeo-

metric function, J. Number Theory 99 (2003), 139-147.
*39 Z-W. Sun: Supercongruences involving dual sequences, Finite Fields Appl. 46 (2017), 1-99.
*40 J-C. Liu:

A generalized supercongruence of Kimoto and Wakayama, J. Math. Anal. Appl. 467(2018), 15-25.

8 離散経路積分と S∞ -軌道による熱核公式
本章の目的は QRM の熱核公式とその導出です*41 *42 .
先に見た通り，QRM は量子デバイスの開発の理論的根拠の一部をあたえるものです．ここでは，熱核の導出における (Lie-)Trotter(-Kato) を計算する直接的方法について述べます．与
えられた系の熱核の表示には，これまでもファイマン経路積分 (cf. [Sch81]) を用いた表示が深い洞察を与えてきました．また，確率論的な議論によって数学的に厳密な Feynman-Kac 経路
積分公式による表示も得られています*43 . しかしながら，いわゆる解析的な明示公式としての
熱核は得られていませんでした．5 章の冒頭に述べましたが，熱核が分かると，系の時間発展も分かることになります．したがって，熱核は系のもつ情報をすべてもっているという意味で，スペクトルを知ることにも増して重要になります．
ところで，Trotter(-Kato) の計算を計算し切る過程において，量子誤り訂正符号の構築と同じ方法論が展開されている事実が分かってきました．キーになる用語のみを記しておくと，それ，有限体 F2 (= Z2 )は，離散フーリエ変換（アーベル群 ZN
2 (N = 0, 1, 2, . . .) 上のフーリエ変換）
上のシンプレクティック群のメタプレクティック表現やグラフ状態といわれる量子誤り訂正符号の構築で議論されるスタビライザー状態の記述などです (cf. [Hay14])．また，熱核の明示式には，ユニバーサル情報処理 [Hay14] に現れる Schur-Weyl 双対性（[Hor17]）の漸近理論に関係するような構造があるかにも見えます．しかしながら QRM は，むしろ量子デバイス作りに必要な理論モデルです．つまり，量子コンピュータの実現の鍵となるソフト側の議論と同じ数学が QRM の理解に使われていることに面白さがあります．
さて，経路積分に代わるものはどのようなものでしょうか？ここまで来るとお解りかもしれません．それは Young 図形上の離散経路積分（和）と考えられるものです．じっさい，可算代表元となる経路上の和が現れて計算が進むことになります（0 と 1 が幾度も現れる折れ線の路です）．下記の図 9 にみるように，高々横一列の箱の集まりですが，QRM の 2 準位原子の数をN 個にした Dicke モデルを考えると N 段の箱からなる Young 図形が現れることが分かります．洗練された言葉遣いをもちいれば，無限対称群 S∞ の表現論 (cf. [Hor17]) のほんの一部が顔をだすという具合です（S∞ は n 次対称群の族 {Sn }n=0,1,2,,.. の帰納極限）．ここでは熱核公式の導出の道筋とその群論的解釈を行います．

*41 C. Reyes-Bustos and M. Wakayama: The heat kernel for the quantum Rabi model, arXiv:1906.09597(2020) [49 pages]*42 C. Reyes-Bustos: The heat kernel of the asymmetric quantum Rabi model, arXiv:2012.13595 (2021)*43[14pages].
M. Hirokawa and F. Hiroshima: Absence of energy level crossing for the ground state energy of the
Rabi model, Comm. Stoch. Anal. 8 (2014), 551-560.

8.1 Trotter-Kato の積公式
Trotter-Kato の積公式*44 とは，下から有界な作用素 A, B に対しての次のような公式です．
e−t(A+B) = lim (e−tA/N e−tB/N )N .
N →∞A, B が行列であると思って眺めてください．行列 A, B は一般には交換可能ではありませんから，e−t(A+B) = e−tA e−tB とはなりません．実は，お釣りが現れて（t の 2 次以上の項），それが不思議なことでもありますが，A と B から次々とできる交換子で表せることが Campbell-

Housdorﬀ の公式として知られています (e.g. [HT92])．ここでは，b = a + gσx , b† = a† + gσx（Bogoliubov 変換）とおきます．[b† , b] = 12 となり行列型をしているもののいわば正準交換関係となることがポイントです．さらに，

HQRM = (a† + gσx )(a + gσx ) + ∆σz − g 2= b† b − g 2 + ∆σz .
したがって A = b† b − g 2 , B = ∆σz とすると A, B は交換可能ではありませんが，e−tHQRM の計算に Trotter-Kato 積公式が使える設定ができます．このあとの計算は多少大掛りですが，図8 のように進めることができます．
Bogoliubov 変換によりハミルトニアンを分割

ZN
2 (N = 1, 2, 3, . . .) 上の Fourier 変換

Trotter-Kato の積公式の適用 ⇒ スカラー指標と動径関数（対称関数）に関する検討

部分と非可換部分に分割（Z∞2 -構造の出現）
組合せ論＋グラフ理論的定式化による計算
スカラー部分は多変数 Gauss 型積分を実行
リーマン和
リーマン和

のような無限和表示式（無限回入れ替わる符号が制御困難）

逐次積分の無限和による熱核公式(a) ZN
2 上の Fourier 変換まで

(b) ZN
2 上の Fourier 変換以降
図 8: 熱核公式の導出*44 筆者は，とんでもなく愉快な時間のなか，充実した共同研究*21 *29 などを通して一瀬孝氏から多くを学びました.

8.2 熱核公式の無限対称群の軌道積分による解釈
QRM の熱核の明示的公式（各項が逐次積分で与えられる一様収束級数表示）の明示式は控え
ますが，その形は，調和振動子の寄与と考えられる初等的な部分（5.3 節の Mehler の公式）を省略して書くと次のようになります．

KQRM (t, x, y) =∑()
t, µλ を変数とする双曲線関数
exp
dµλ .
(x, y の 1 次式)(S∞ .[1,1,··· ,1])/Sλ

∫
(t∆)

2λ

λ≥0

∞
λ
ここで [1, 1, · · · , 1] := (1, 1, · · · , 1, 0, 0, · · · ) ∈ Z∞
2 は，(1, 1, · · · , 1) ∈ Z2 の Z2 （自然な準同

|

{z

|

}

{z

λ

}

λ

型埋め込み増大族 {ZN2 }N =0,1,2,.. の帰納極限）における像です．この無限対称群の軌道上の積分はとりも直さず λ-単体上の積分として書かれるものです．ここでの方針は，２準位原子を複数個にした Dicke 模型にも適用でき，さらには光子の数も増やした Spin-Boson モデルにも原理的には通用します．
1

01

2

3

4

5

6

7

8

9

1

≡

(mod S∞ )
01

2

3

4

5

6

7

8

9

∞
図 9: 上図の Z92 (⊂ Z∞．
2 ) に台のある経路は，S∞ の作用によって下図の経路に同値（Z2 における S∞ -軌道 O6 ）上記のような形の表示式は，Spin-Boson 模型にも関係して近藤効果の研究にも見られます．
近藤効果とは磁性を持った極微量な不純物（普通磁性のある鉄原子など）がある金属では，温度を下げていくとある温度以下で電気抵抗が上昇に転じる現象としてよく知られているものです[KonJ14]．じっさい，磁性不純物の磁気モーメントと伝導電子の磁気モーメントの交換相互作用を表すハミルトニアンの熱核の特別な行列要素（相関関数）の表示式*45 などがそれにあたります．導出には確率論的公式（Feynman-Kac 公式）をベースにして，念入りに書き下していく方法が採られています．得られた公式からは，系の振る舞いを知る上で重要な摂動計算（数値計算）などが行われています．

*45 P. W. Anderson, G. Yuval and D. R. Hamann: Exact Results in the Kondo Problem. II. Scaling The-

ory, Qualitatively Correct Solution, and Some New Results on One-Dimensional Classical Statistical
Models, Phys. Rev. B 1, (1970), 4464.

9 QRM のスペクトルゼータ関数
QRM の G-関数の QRM のスペクトル行列式による表示を最後に本稿を閉じます．
QRM の Hurwitz 型のスペクトルゼータ関数∑
ζRabi (s, z) :=(z − λ)−s(ℜs > 1, z ∈ C\Spec(HRabi ))λ∈Spec(HRabi )は ℜs > 1 で正則関数を定めることが分かります．（下記に述べる Weyl 則からも合点がいくことでしょう．
）ところで，G± (z) は Braak によって構成された QRM の正則スペクトルを零点に持つ関数であるので，以下に述べるゼータ正規化積（スペクトル行列式）*46 との比は，例外型固有値の寄与部分のみです．（固定されたパラメータ g, ∆ に対して，例外型固有値は高々有限個であることが予想されています．このことも物理学者には広く信じられており，種々の数
値計算はそれをサポートしています．）逆にいえばこのことは，正規化積が存在することを示唆し，したがって ζRabi (s, z) の原点 s = 0 の近傍までの解析接続は可能であると考えられていましたが，最近になり，杉山*19 によって ζRabi (s, z) が有理型関数として全平面に解析接続できる
ことが示されました. したがってそれは s = 1 でのみ単純極をもつような有理型関数です．この事実はさらに，QRM の熱核とプロパゲータの延長線上に得られたリーマンゼータと同様 (cf.

[Tit51]) に，複素平面において原点を囲む小円をまわり +∞ に向かい戻る contour 積分表示からも導かれます*47 ．QRM の場合にその形を示しておきましょう：

ζRabi (s, z) = −Γ(1 − s)2πi

∫ (0+)∞(−w)s−1 e−zw ZQRM (w)dw.

ここで ZQRM (w) は 5.1 節で述べた QRM の分配関数です．同様のことは AQRM のスペクト
ルゼータ関数に対しても示されます．この表示から二つの事実がすぐに分かります．一つ目は

s = 1 における極の留数が 2 であること．もうひとつは ζRabi (s, z) が原点で正則であることです．前者からは固有値の個数に関する Weyl 則が従います: T > 0 に対して，T より小さい

HRabi の固有値の個数を NRabi (T ) と書くと
NRabi (T ) ∼ 2T
また後者の事実からは，ゼータ正規化積ϵdet(τ − HRabi
) :=

∏
⨿
ϵ
λ∈Spec(HRabi)(T → ∞).
()
dϵ(τ − λ) = exp − ζHRabi(0, τ )
ds

*46 J. R. Quine, S. H. Heydari and R.Y. Song: Zeta regularized products, Trans. Amer. Math. Soc. 338(1993) 213-231.
*47 C. Reyes-Bustos and M. Wakayama: The heat kernel for the quantum Rabi model II: Propagators andspectral determinants, J. Phys. A: Math. Theor. (2021) (in printing) [30 pages], arXiv:2008.05354.

が定義できます．そこで Gϵ (x; g, ∆) を QRM と全く同様に定義される AQRM に対する G-関数*14 として，さらに関数 Gϵ (x; g, ∆) を

Gϵ (x; g, ∆) := Gϵ (x; g, ∆)Γ(ϵ − x)−1 Γ(−ϵ − x)−1と定めると以下が成り立ちます．

G-関数とスペクトル行列式：全平面で消えない整関数 cϵ (τ ; g, ∆) が存在して次が成立します．
ϵdet(τ − g 2 − HRabi) = cϵ (τ ; g, ∆) Gϵ (τ ; g, ∆).

量子可積分性に関してもゼータは情報をもっているのかもしれません．QRM をはじめとする
量子相互模型のゼータ関数の特殊値と光の研究はまだ始まったばかりです．

謝辞
琉球大学の木本一史氏には，本記事を丁寧に読んでいただいたほか，数々の有益なコメントをいただきました．この場をお借りして改めて感謝の意を留めておきたく思います．

参考文献[AAR99] G. E. Andrews, R. Askey and R. Roy: Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge Univ. Press, 1999.
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[F08]

古澤明: 量子光学と量子情報科学，数理工学社, 2005.

[HR08]

S. Haroche and J. M. Raimond: Exploring the Quantum - Atoms, Cavities andPhotons, Oxford Univ. Press, 2008.

[Hay14]

林正人：量子情報への表現論的アプローチ，共立出版，2014.

[HY03]

平井武, 山下博：表現論入門セミナー - 具体例から最先端にむかって，遊星社，2003.

[Hir17]

廣川真男：数物系に向けたフーリエ解析とヒルベルト空間論 - 量子力学への誘い, SGC
ライブラリ 135, サイエンス社 2017.

[Hor17]

洞彰人: 対称群の表現とヤング図形集団の解析学 - 漸近的表現論への序説，(数学の杜4) 数学書房, 2017.
[HT92]

R. Howe and E. C. Tan: Non-Abelian Harmonic Analysis - Applications ofSL(2, R). Springer, 1992.

[Kob84]N. コブリッツ: 楕円曲線と保型形式：上田 勝・浜畑 芳紀（訳）, シュプリンガー・
ジャパン, 2006.

[KonJ14] 近藤淳：金属電子論 - 磁性合金を中心にして，物理学選書 16（復刊）, 裳華房，2014．
[KonS14] 金銅誠之：K3 曲面， 共立講座数学の輝き，共立出版，2015．
[Kur18]

黒川信重：オイラーとリーマンのゼータ関数，シリーズ ゼータの現在, 日本評論社，

2018．
[N20]

縫田光司：耐量子計算機暗号，森北出版，2020.

[O04]

K. Ono: The Web of Modularity: Arithmetic of the Coeﬃcients of Modular
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[P10]

A. Parmeggiani: Spectral Theory of Non-commutative Harmonic Oscillators:
An Introduction. Lecture Notes in Math. 1992, Springer, 2010.

[Shi19]嶋田義皓：量子コンピューティング - 基本アルゴリズムから量子機械学習まで, 情報処
理学会出版委員会（監修）, 2020.

[Sch81]L. S. シュルマン: ファインマン経路積分：高塚和夫（訳），講談社サイエンティフィ
ク，1995.

[SL00]S. Y. Slavyanov and W. Lay: A Unified Theory Based on Singularities, Oxford
Math. Monographs, 2000.

[Tak19]高木剛：暗号と量子コンピュータ 耐量子計算機暗号入門，オーム社，2019.

[Tit51]E. C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta-function, Oxford Univ.
Press 1951.

[Y97]

吉田正章：私説 超幾何関数 -対称領域による点配置空間の一意化 (共立講座 21 世紀の数学) , 共立出版，1997．

[Z90]

D. B. 咲枝: 数論入門 - ゼータ関数と 2 次体 : 片山孝次（訳），岩波書店, 1990．