京大スパルタン（受験準備編）

第０講

＝問題＝

京大物理攻略の鍵 O 初見問題の状況把握
次の文章を読んで，には適した式を，には適切な語句をそれぞれの光が光源を出たときの箱の速度を vA ，検出器に到達したときの箱の速度を vB と解答欄に記入せよ。問１〜問３については，指示にしたがって，解答をそれぞれの解すると，検出器が受け取る光の振動数 fB と fA の比は，ドップラー効果の公式より，答欄に記入せよ。

fB
=1+fA

1 に近い量は，微小量 e ， e1 ， e 2 ，…， e k に対して成り立つ近似式
1= 1 + e および (1 + e1 )(1 + e 2 )(1 + e k ) = 1 + e1 + e 2 +  e k
1- eを用いて，1 + ( 微小量 ) の形に表せ。以下では「重力」という言葉は「万有引力」と同じ意味である。また，地球の自転は無視する。
地球の密度は球対称であるとする。検出器 B は箱に固定されている。

(1)

図１のように，宇宙空間で図の上方に向かって，一定の加速度 a で引っ張られている箱を考える。箱に固定された点 A にある振動数 fA の光源から，上方に距離 h だ
け離れた点 B にある検出器に向けて光の信号を送る。ここでは，上下方向の運動のみを考え，ベクトルである量は上を正の向きとする。

あcとなる。（ vA ， vB を用いて表せ。）ここで， vA ， vB の大きさは光速（光の速さ）cvvに比べて十分小さいとし， A ， B を微小量として上記の近似式を用いた。（ここccでは，物体の速さは光速に比べて非常に小さいため，時間の遅れや物差しの縮みといった，いわゆる特殊相対論的な効果は無視してよい。）
光が光源を出てから検出器に到達するまでの時間を t とすると， vB - vA は a とt を用いていていと書ける。もし，箱の速度が常にゼロであれば，t は c と h を用うと書ける。箱が加速を受けている場合も，光が伝わる間，箱の速度がah c がみたされている場合は，常に光速に比べて十分小さいとき，すなわち，
cfaht=う としてよい。以上のことから， B = 1 - 2 となることがわかる。光のfAc
振動数を考える代わりに，光源から短い時間間隔 DtA をおいて出た 2 つのパルスが，検出器に到達するときにはどれだけの時間間隔（ DtB とする。）になっているかを考

加速度a
検出器

Bh光
光源
振動数fAA
図１

えることもできる。振動数 f の光を，単位時間に f 個のパルスが出るという状況にDt
え置き換えてみると明らかなように， B = 1 + () と書けることがわかる。
（h，D tAa，c を用いて表せ。）

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(2)

第０講

ところで，図１のような等加速度運動をしている箱の中にいる観測者から見ると，物体には通常の力の他に観測者の加速度運動からくる重力加速度かお力が働き，見かけのが生じる。（図の上向きを正として答えよ。）このようにして生じる見かけの重力と本物の重力が何ら変わりないというのが，アインシュタインの等価原理である。

問１

ここまでは A から B へ光を送ることを考えたが，逆に B から A へ光を送る
Dt
場合も B は上の近似の範囲で同じ値となる。その理由を簡潔に述べよ。
D tA

この結果は，重力がある場合は，場所によって時間の進み具合が違っていることを示している。すなわち，A において時間が DtA 経過する間に，B では DtB だけ時

たとえば，地球の中心からの距離が r である点における地球による重力加速度は，地球の外では，向きは＝問題＝きであり，大きさはくである。（r，地球の質量

M および重力定数 G を用いて表せ。）これは，場所によって向きも大きさも異なるが，任意の点のまわりで十分小さい領域を考えると，その中では重力加速度は一定とみなしてよい。その領域内での物理現象は，上のような等加速度運動をしている観測者が見るものと全く同じである。
そうすると，図２の点線内のように，重力加速度が下向きで大きさ b が一定とみなせる領域内で，高さが h だけ異なる 2 つの地点 A と B の間で光をやり取りするとDt
けき，A における時間間隔 DtA と B における時間間隔 DtB の間には B = 1 + (D tA) の関係があることがわかる。（ b ，h，c を用いて表せ。）

時間間隔DtB

B
重力加速度bh

地球

時間間隔DtAA

図２

拡大図間が経過するのである。これを，「A における時間 DtA と B における時間 DtB が対応している」ということにしよう。今の場合は， D tB > D tA なので，時間の流れは Bにおけるほうが，A におけるより速い。

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(3)

第０講

上の結果を，2 つの地点における重力ポテンシャルを使って表そう。質量 m の粒子が他の物体から重力を受けているとき，その位置エネルギーは m に比例するので

問２

これらの N 個の式の辺々をかけ合わせ，とを示せ。

D tB=1+ (D tA

さ＝問題＝) が成り立つこ

mf と表せる。 f を粒子が置かれている点における重力ポテンシャルとよぶ。
図２の場合は，A，B における重力ポテンシャルをそれぞれ fA ， fB とすると， bDt
こ と書ける。結局， B は fA ， fB ，c を用いて，，h を用いて， fB - fA =D tA
fB - fA
D tB=1+ (さ) と表される。実はこの式は，が 1 に比べて十分小さ
D tA
c2
ければ，重力加速度が空間的に一定でなくても成り立つ。
それを見るための具体例として，図３のように地表上の点 A と，その L だけ上空の点 B を考える。地球の半径を R とし，線分 AB を N 等分する点を A 1 ，…，A N - 1 とする。（便宜上，A 0 = A ，A N = B とする。）各点 A i における重力ポテンシャ
ルを fi とする。N が十分大きければ，各区間 A i A i+ 1 では重力加速度は一定としてよいから， A i における時間 Dti と A i+ 1 における時間 Dti+ 1 が対応しているとすると，
D ti + 1
fi + 1 - fi
=1+をみたす。
D tic2
AN = BfN = fB

DtN = DtB

AN-1

fN-1

DtN-1

AN-2

fN-2

DtN-2

A2

f2

Dt2

A1

f1

Dt1

A0 = Af0 = fA

Dt0 = DtA

LR
質量M

図３

次に，さを地表における重力加速度の大きさ g と R，L，c で表すことを考える。地球の外側にあり地球の中心から距離 r だけ離れた点に，質量 m の粒子を置いたときの重力の位置エネルギーは，無限遠を基準にとると，m，r，M，G を用いGMて しで与えられる。よって，その点における重力ポテンシャルは， でrGMある。一方，地表における重力加速度の大きさ g は 2 と書けるから，fA ，fB は g，R，R
2R
L を用いて， fA =と表せる。これらを さ に代入すす ， fB = - g
R+ L
Dt
せると，結局， B = 1 + () であることがわかる。（g，R，L，c を用いて表せ。）
D tA

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第０講

この結果は，人工衛星の中の時計と地表の時計の進み方の違いを与えるために重(4)要であり，GPS（全地球測位システム）等で実際に使われている。図４のように，地球の重力により，高度 L の円軌道上を一定の速さ v で動いている人工衛星 C を考える。図３と同様に，A，B は地表の点およびその L だけ上空の点である。今の場合，
C は B に対してかなりの速さで動いているため，時計の遅れといわれる特殊相対論的な効果も考慮する必要がある。
特 殊 相 対 論 に よ る と，B に お け る 時 間 DtB と C に お け る 時 間 DtC の 間 にDt
v2は， C = 1 - 2 という近似式が成り立つ。B における重力加速度の大きさは
2c
D tB
gª R R+ L º と書けるから，v も g，R，L を用いて表せることに注意すると，これは，
2D tC=1+ (D tB2そ) と書ける。（g，R，L，c を用いて表せ。）

B
DtC

DtB

人工衛星C
速さv
LA

DtA

R
質量M

図４

問３

人工衛星の中の時計と地表の時計の進み方の比は

＝問題＝

D tC
である。以上のことか
D tA

D tC
を g，R，L，c を 用 い て 表 せ。 ま た， g = 9.8 m/ s 2 ， R = 6.0 ¥ 10 6 m ，D tA
Dt
Dt
Dt
L = 3.0 ¥ 10 7 m ，c = 3.0 ¥ 10 8 m/ s としたときの B ， C ， C を 1 + ( 微小量 )D tA D tB
D tAの形で求めよ。

ら，