拡張したメルビンモデル
上のDブレイン筑波大学

2002年6月7日(金曜日)

東京大学本郷 D1 高柳 博充
H.T. and Tadashi Takayanagi
JHEP 05(2002)012 ,hep-th/0204234

1. Motivation(摂動論的)弦理論:
重力はGµν Metric
Closed string

Bµν B場Cf.) Open stringφ

DilatonAµゲージ場で表され、ある background G0 µν , B0 µν , φ0の周りの摂動論として記述される
Gµν = G0 µν + g µν , Bµν = B0 µν + bµν , φ = φ0 + ϕ

Background の時空

String (摂動)

曲がった空間上の弦理論はある程度研究されてきた
例) Calabi-Yau 多様体上の弦理論

しかし、曲がった時空上の弦理論はあまり調べられていない⇓

時間方向も含む

これを調べることで曲がった時空特有の弦理論的な性質がわかると期待できる
例) ブラックホール , 時空の特異点
Cf.) Orbifold の特異点は弦理論的には解消されている
弦理論的には特異点ではない

そこで、RussoとTseytlinによって構成されたある曲がった時空上の弦理論を調べる⇓
その際にD-braneは有用な道具となるD-brane:Open stringの端が付く板状のソリトン

D-braneがなぜ有用か？
D-brane probeの方法: [Douglas, et al.]D-brane 上のopen string理論はそれがある場所の時空に依存する ゲージ理論
点Pでのmetric等

D-brane

時空対応

P

D-brane上のゲージ理論
ゲージ理論を調べる事で時空がわかる(ゲージ理論の方が調べやすい)曲がった時空を調べるために必要な、⇒ 動かせる (‘‘bulk’’) D-brane を調べる

Contents
1. Motivation
2. Exactly Solvable Model
3. Bulk D-brane
4. 自由場表示の方法5. 自由場表示でのD-brane
6. Conclusion

2. Exactly Solvable Model[Russo and Tseytlin]

半径R

時間方向 t と空間3方向 y, ρ , ϕ が曲がっているモデル(残りの方向は平坦)2
ρ
時間方向も曲×ds2 = −dt2 + dy2 +dρ2 +がっている
1+αβρ2[dϕ+(q++β)dy − (q−+β)dt][dϕ+(q+ −α)dy − (q−+α)dt] ,B yϕ =α+β2

ρ2α−βρ2, Btϕ =,222 1 + αβ ρ1 + αβ ρα − βα+βα2 + β 2 ρ2,Bty = q+ +q− +222 2
 1 + αβ ρ12(φ −φ0 )=e
時間方向も B 場
1 + αβ ρ 2αβ > 0αβ < 0B

B

( ρ ,ϕ )( ρ ,ϕ )ρ0 = 1−αβ注) ϕ → ϕ + λ t で q− を自由に変えられるため、 q− は補助パラメータ⇒ 実質的なパラメータは ( R, α , β , q ) の4つ+

特に α ≠ β の場合、z 時間方向も曲がっている
z B場の時間方向も含む
Cf.) メルビンモデルは α = β , q− = −β , q+ = q
メルビンモデルを時間方向も曲げて⇒ 拡張したものとも見なせる(α ≠ β の場合の)特徴：
1) 名前の通り、厳密に解ける(後述)
2) 多くの弦理論モデルを含む。特にNappi-Witten 型モデルを含む
重力の平面波解 (PP-wave)

3) αβ > 0 と αβ < 0 で振る舞いが異なる特に αβ < 0 の場合に、 ρ 0 = 1 −αβ に特異点を持つ ∵ ρ 0 で dilaton 等が発散

αβ > 0e2(φ −φ0 )( ρ ,ϕ )e 2(φ −φ0 )αβ < 0( ρ ,ϕ )

ρ0 = 1−αβ(特異点)ρ0( ρ ,ϕ )e 2φ > 0(通常の領域)
e 2φ < 0(考えてはいけない領域?)

3. Bulk D-brane
Dp-braneの低エネルギー有効作用はDirac-Born-Infeld (DBI) action:
S = ∫ dx p +1

e −φ4π α ′23/ 2

Tr − det(G + B + F )p +1dx∫Dp-braneが広がっている方向Fµν

ゲージ場 Aµ のfield strength

で、これが最小となる場所に存在できるe −φz D0-brane (点)の場合は S = ∫ dt 2 3/ 24π α ′⇓φ が定数でないため、自由に動かせないe −φ例) αβ > 0 の場合

ρ = 0 にのみ存在できる⇓ρ = 0 から動かせない!!

0ρBulk D-braneは次元の高いもの
Dilatonの効果をG,Bと適当なgauge flux Fで打ち消して、作用を定数にする
probeとして使いたいので

α ≠ β の時、次元が低い bulk D-braneとして
yN個のD0y
Gauge flux F(ρ ,ϕ )

ρk枚のD2D2-D0 bound state

Gauge flux FN回(ρ ,ϕ )

ρk回
Spiral D1-braneの2種類があることを見つけた
k,Nは互いに素で、 ( R, α , β , q+ , Fµν ) で決まる

時間方向も曲がっている場合の特徴:

Electric gauge flux (電場) Fty , Ftϕ を加える
ことで、常にbulk D-braneにできるCf.) メルビンの場合は ( R, β , q+ ) がある条件を満たした場合のみ、前の2つは動かせる(α = β )∵)k∼ ( β − α ) Fty ,tϕ +ND-brane as a probe:
これらのD-braneを用いて時空の弦理論的性質を調べたい⇓
D-brane上のopen stringのスペクトルを調べるD1-brane上のopen string Hamiltonianはn2
ρ2 2 (α − β)(α + β) n πm ˆ
Ho = −α′E +α′ 2 2 + 2 sin πα′E +πα′ +  + N
R N π α′  2N N
2R2kβ −α  q+ + 2  R ≡ qR = N , n ∈ , m = 0,, N −1

弦の励起モードのnumber operatorだとわかった。

⇒ sin E といったあまり見ない形
2µν′HαGpµ pν + Nˆ との=場の理論的な形 o対応は?
確かに N=1,k=0 として Low energy limit
pt = Eをとると、

1|α − β |α′,py =nR1|α + β |α′ (α − β)2 2 2 (α + β)2 2 2
(α2 − β2) 2
H0 =−α′1−ρ  E +α′
ρ Epy +α′1+ρ  py +424⇓(α − β )2 2(α 2 − β 2 ) 2(α + β )2 2tyyy
G = −1 +ρ, G =ρ , G = 1+
ρ444tt

⇒ 今回のモデルのmetricと一致する。
つまり、低エネルギー極限では時空は弦理論的補正を受けていない22
ρsin
E の形なの
しかし、厳密にはで、高エネルギーでは時空が弦理論的な補正を受けている

4. 自由場表示の方法
この弦理論モデルは厳密に解ける⇒ D-braneの解析にこの性質を用いた(時間+空間1次元の2次元面)弦理論の作用はworld sheet上の場の理論の作用として現される。今回のモデルでは
2
ρ2S1 =dσ[ − ∂t ∂t + ∂y ∂y + ∂ρ ∂ρ +×2∫πα ′
1 + αβ ρ1(∂ϕ + (q+ + β )∂y − (q− + β )∂t )(∂ϕ + (q+ − α )∂y − (q− + α )∂t )]だが、これはϕ 方向のT-dualと場の再定義
Uu ≡ y −t  T u  U ≡ u +αϕ ≡ Y +T  T U        v
ytv
Vv
YTVVβϕ≡+⇒⇒≡+≡−⇒⇒      
 ϕ  ϕ  
′′′′qYqT
ϕϕϕϕ≡+−+−       で自由場のclosed stringの作用となる
S3 =

1

πα ′

2iϕ′′−iϕ′′dσ[∂U∂
V+∂X
∂X],
X≡ρe,X≡ρe∫T-duality :同じ系を異なる場の定義で見る双対性
T-dual⇔Dirichlet 境界条件

Neumann 境界条件

Super 化 (N=1super space formalism) :以上の話はbosonic stringの場合だが、super stringの場合もX → X ≡ X + iθψ L + iθψ R +X → X ≡ X + iθψ L + iθψ R +Y → Y ≡ Y + iθη L + iθη R +T → T ≡ T + iθζ L + iθζ R +∂ → Dϑ ≡ ∂ θ + θ ∂ ,∂ → Dθ ≡ ∂ θ + θ ∂とsuper fieldに置き換えるだけなので、bosonicの場合とほとんど同じである

曲がった時空,フラックスの効果は X 方向のtwisted boundary conditionとして現れるX(τ,σ +2π) =e2πγi X(τ,σ), ψLR, (τ,σ +2π) =e2πγi ψLR, (τ,σ)


γ =  q+ +β −α α+β n β −α  ˆ  β −α   α + β  ˆ′αα′ E +  q− +wRq+−+ +J +J2 
22  
22  
R  ただしであるw

winding numbernR

Kaluza-Klein momentumĴ

X方向の角運動量
同一視
2π

σ =0X
角度 γY02π R

5. 自由場表示でのD-brane
自由場表示(T,Y,X)でD-braneを調べた
境界条件として、

Neumann 境界条件 (N)Dirichlet 境界条件 (D)がある
次元が低いD-braneが知りたいので、

D0-brane (T,Y,X)=(N,D,D)
Y方向のT-dual

D1-brane (T,Y,X)=(N,N,D)の2種類を調べた

Boundary state formalism:
Open stringの1-loop amplitudeを考える= B
Open stringの端

Closed stringの始(終)状態

D-braneはclosed stringの始(終)状態とも見なせる
Boundary state B と呼ばれている
自由場表示でboundary state formalismを用いることで、動かせるD-braneを調べた

自由場表示のbulk D-brane:
N個のD0Y N個のD1Y

Y方向にT-dual⇔ρρ( ρ , ϕ ′′)( ρ , ϕ ′′)Bulk D0-brane

Bulk D1-brane

ただし、これらのD-braneが存在するためには、 ( R, α , β , q+ ) がある条件を満たす必要がある。

⇓

元の座標では電場を加えることで常にbulk D-braneが作れた。この電場に相当するものは何か？

Boosted D0-brane:
時間方向も曲がっている場合 (α ≠ β ) はY方向に適当な速度vでLorentz boostを取る事で常にbulk D0-braneが存在する

⇓

boost
N個のD0Y電場に相当するものはLorentz boost !!

ρ( ρ , ϕ ′′)元の座標のD-braneとの対応:
boost
N個のD0

自由場表示

Y

電場
Y N個のD1

Y方向にT-dual⇔

boost
電場
N個のD0ρρ( ρ , ϕ ′′)( ρ , ϕ ′′)

対応

対応

yy

元の座標
Gauge flux F(ρ ,ϕ )

ρk枚のD2D2-D0 bound state

Gauge flux FN回(ρ ,ϕ )

ρk回Spiral D1-brane6. Conclusion
拡張メルビンモデルの特徴
z 時間方向も曲がっている
z 時空に特異点がある場合がある
z Nappi-Witten 等多くのモデルを含む
z 時空の座標変換で厳密に解ける

動かせる (bulk) D-braneとして、適当な電場が入ったProbeとして使う

D2-D0 bound state (円柱状)
Spiral D1-brane (円柱に巻きついたもの)の2種類があることがわかった