4-4 時系列データ解析

東京大学 数理・情報教育研究センター
2020年5月11日

東京大学 数理・情報教育研究センター

4-4. 時系列データの解析
東京大学 数理・情報教育研究センター
北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA

概要•

本節では，まず時系列とは何か，時系列データ解析の⽬的は何かなど時系列データ解析の概略について学びます．

•

次に，時系列データがもつトレンド，周期性，季節性，ノイズについてその意味を学ぶとともに、移動平均，階差などによる情報抽出の⽅法とスペクトや相関関数による特徴可視化を学びます．

•

さらに，時系列モデルを⽤いた予測の⽅法と変数変換についても簡単に説明します．

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2

本教材の目次
１．時系列とは，時系列解析の⽬的

4

２．時系列から情報を取り出す

10

2.1 トレンド・移動平均112.2 ノイズ・階差・季節階差

14

3．時系列の周期

183.1 スペクトル

203.2 相関関数

254．季節調整

33

5．時系列の将来を予測する：ARモデル

37 （発展）

6．時系列の前処理：対数変換

44 （発展）

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3

時系列とは⾝の回りの様々なデータ•
•
•
•
•

気温，気圧
株価，為替レート
GDP, 消費者物価指数
⾎圧，脈拍，脳波
地震の波動

yn

株
価n

時刻などは時間とともに変動しています．
このように時間とともに変動している現象の記録が時系列です．以下
では時系列データを y1 , , y N と表します．
• 時系列を図⽰するとき横軸は時刻 n，縦軸は時系列の値 yn です．
• N はデータ数（時系列の⻑さともいいます）• データの測定間隔（Δt ）は，年，⽉，⽇，時間，秒，1/100秒などデータによって様々です．
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北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA4いろいろな時系列の例
船の方向角測度

船の方向角速度
航行中の船舶の目的針路からの偏差の変化量.
船舶のオートパイロットは方向角をなるべく小さくすることを目的としています．
東京海洋大学 大津浩平教授提供
N=1000, T=1秒

横揺れ

縦揺れ

船の横揺れ

船の横揺れ

舵角

方向角

船舶の左右方向の揺れ．
乗り心地にも影響します．
10秒程度のゆっくりした変動が見られます．
N=1000, T=1秒
最高気温

太陽黒点数

月次卸売り高

月次卸売り高東京大学 数理・情報教育研究センター

東京の1日の最高気温を観測したもの．
１年周期と短期的変動の合成のように見えます．
気象庁公表データ
N=500, T=1日あるハードウェアの毎月の卸売り高．
増加傾向と1年の周期的変動が見えます．
平均の増大とともに変動幅も段々大きくなっています．
合衆国BSL公表データ
N=155, T=1月4-4. 時系列データの解析
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5いろいろな時系列の例（２）
日経225

地震波

日経225
日経225平均株価．
ゆっくり上下する傾向変動成分とその周りの短期的変動の合成のように見えます．短期的変動の大きさは場所によって異なっています．
N=1440, T=1日

地震波
平均の変化は見られないが変動の幅はP波とS波の到着によって2か所で増大し，その後だんだん小さくなっています．
北海道大学 高波鐡夫氏提供
N=2600, T=0.02秒

太陽黒点数

降雨日数

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太陽黒点数
Wolfer太陽黒点数データと呼ばれるデータ．11年程度の周期が見られますが，波形は上下非対称で前後も非対称．変動が小さな時は周期が長くなる傾向がみられます．
N=231, T=1年
降雨日数
東京で2年間の1月1日～12月31日に雨が降った日数．
0, 1, 2の離散値データとなることが特徴．季節によって降雨日数の変化が見られます．
気象庁公表データ．
N=365, T=1日

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多変量時系列
互いに関連する複数の時系列が同時に記録されたものを多変量時系列と呼びます．多変量時系列は例えば次のような状況で得られます．
・国のGDP, 消費者物価指数などの経済指標を同時に測定した場合
・特定の観測点で気圧，気温，⾵速，⾬量などを同時観測した場合
・いくつかの異なる観測点で地震の波形を同時記録した場合
多変量時系列は通常同時に観測された時系列を縦に並べてベクトルとして考えます．
気圧
気温
yn  

時刻 n の時系列をm 個縦にならべたもの．

⾬量
上から j 番⽬の成分を yn( j ) と表します. m が具体的にわかっている
場合には m 変量時系列と呼ぶこともあります．
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多変量時系列：船舶データの例
横揺れ

航⾏中の船の揺れや舵⾓を同時に記録すると多変量時系列が得られます．
縦揺れ

船の多変量データ

舵角

方向角
回転数

⽅向⾓速度

多変量データから船の運動特性や舵⾓に対する船体の応答などがわかるだけでなく，⾃動操舵システム（オートパイロット）の設計を⾏うこともできます．

横揺れ

縦揺れ

舵⾓秒
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時系列解析の目的
時系列解析では次のような問題を考えます．
１．可視化（時系列の特徴を捉える）
・データのプロット・周期性をみる
・時間的な相関をみる

２．情報抽出（時系列から情報を取り出す）
・トレンド
・季節成分・ノイズ

３．予測（時系列の将来を予測する）
・⾃⼰回帰モデル

４．意思決定，制御＊モデルカリキュラムでは１と２だけを取り上げていますが本教材では３までをカバーしています．
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時系列から情報を取り出す
どんな情報に注⽬するかによって分析⽅法が違います
時系列の傾向を⾒たい

短期的な動きを⾒たい

⼩さな変動を無視してトレンドを推定する【⽅法】・移動平均・季節調整
トレンドを除去する
トレンドを除去して，トレンド【⽅法】・階差周りの動きを抽出する【⽅法】・階差東京大学 数理・情報教育研究センター

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10

トレンド
時系列の⻑期的傾向をトレンドと呼びます.

yn株価

トレンド

時刻n• トレンドは経済動向の分析などに使われます．
• トレンドの推定⽅法はいろいろあります．⽬的や推定⽅法によって，トレンドの滑らかさは変わります．本教材では・移動平均・季節調整を紹介します．
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11移動平均以下の式で平滑化してゆっくりした傾向変動を取り出すための⽅法です．

Tn  2k11  ynk    yn    ynk yn

移動平均Tn• 移動平均は ynと前後 k 個（合計2k+1個）のデータの平均です• K = 2k+1は項数と呼ばれます• ⾳声や画像の信号処理，⾦融のテクニカル分析などで利⽤されます※ 移動平均を計算すると変動が⼩さくなります．（直線にノイズが加わっているデータの場合には）変動の分散が1/K に減少します．
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12移動平均の計算例
5項移動平均1020SMA(x, 5)200010maxtemp

30304040

この気温データの移動平均を計算します

0100200300

4005004005000100010040400500

200300400500Time
29項移動平均001020SMA(x, 29)30302010SMA(x, 17)30040Time
17項移動平均2000100200300TimeTime• 項数 K を増やすと段々滑らかになります．項数 Kの選び⽅が重要ですが，客観的に決めるのは難しいです．
• モデルを使うともっと綺麗なトレンドが得られ，滑らかさも⾃動的に決めることができます．
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ノイズ
⼀⽅，時系列のうち取り出したい情報以外の不要な情報はノイズと呼ばれます．
トレンド

時系列＋短期的変動

時系列を２つの成分に分解するとき，何を「取り出したい情報」
何を「ノイズ」とするかは，解析の⽬的によって変わります．
• 時系列の⻑期的傾向を⾒たいとき
トレンドが必要な情報，短期的変動はノイズ．
• 直近の動きを⾒たいとき
短期的変動が必要な情報，トレンドはノイズ．
* 時系列解析では重要なノイズとして⽩⾊雑⾳があります．（後述）東京大学 数理・情報教育研究センター

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14

階差
階差は時系列からゆっくりした変動を除去する簡単な⽅法です．
階差とは  y n  y n  y n 1 という操作，すなわち１時点前の値との差を計算することです．

• 差分とも呼ばれます• 階差によって直線的な動きは除去できます（⾮定常な時系列は階差によって定常化できることが多い）
yn  a  bn
11

yn  yn  yn1  b01• 階差を2回適⽤すると2次曲線が除去できます（2階階差）
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15

25000
0

階差

15000

nikkei22535000

例：日経225平均株価データの階差

500

⽇
1000

1500

Time⽇

• 階差によってトレンドが除去され，短期的変動が浮き彫りになります• 変動（ボラティリティ）が⼤きなところがわかります東京大学 数理・情報教育研究センター

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季節階差
時系列に季節成分がある場合，周期 p の階差をとる季節階差によって季節変動をある程度除去できます．

 p yn  yn  yn  p

季節階差（差分）

p は季節の⻑さで，⽉次データの場合 p=12です．
yn

 p y n 季節階差

卸売り⾼データの対数

⽉⽉

季節階差によって，n=40と100付近の落ち込みが明確になります．
※ 経済時系列の場合は，階差と季節階差の代わりに，前期⽐と前年⽐を使うことがあります．
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17

時系列の周期時系列が⼀定の間隔で同じような変動を繰り返す成分を持つとき，周期的変動と呼びます．

sn  sn  p

周期的変動

p

周期p

•

経済時系列では1年周期の変動は季節変動と呼ばれます．

•

現実の時系列では，sn=sn1 が厳密に成り⽴つ完全な周期変動は少なく周期的変動パターンは徐々に変化します．

•完全な周期関数の推定は簡単ですが，少しずつ変化する周期的成分の推定は少し⾯倒です．

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18

時系列の特徴を可視化する方法
時系列の特徴を可視化する⽅法は２つあります スペクトル
時系列を周期関数に分解して，その⼤きさを⾒る 相関関数離れた時点の時系列との相関を⾒る

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19

スペクトル
光をプリズムで沢⼭の⾊に分解できるように，時系列はサイン・コサインの和に分解できます．その強さを表⽰するとどの周期が強いかが分ります

プリズム

同じようにランダムな波形も周期関数の和で表現できます。
 スペクトルアナライザや⾳声のグラフィック・イコライザが例です

スペクトルアナライザ

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20周期関数の場合• サイン・コサインのようなひとつの周期関数で表現できる
場合にはスペクトルは1点に集中します．
p( f )

y n  sin (2  f1 n )nff1• ２つの周期関数の和の場合はスペクトルは２つになります．
p( f )

y n  sin(2  f1 n )  0.8 sin (4  f1 n )nf1

f2f( f 2  2 f1 )

縦棒の⾼さは振幅の2乗に⽐例します．
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白色雑音• 周期関数を同じ割合で⾜していったらどうなるでしょうか？
p( f )• あらゆる周期の波が同じ割合で含まれているので，スペクトルは⼀定値になります．
• このようなあらゆる周期の波が均等に含まれる時系列は⽩⾊雑⾳と呼ばれ理想的なノイズと考えられています．

fp( f )

wn

⽩⾊雑⾳の例（無限に集めると）nf※ ⽩⾊光はいろいろな波⻑の光が同じ割合で混ざったものです．
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22

現実の時系列の場合• 現実の時系列は周期関数と⽩⾊雑⾳の中間で，多数の波が異なった割合で含まれています．
• したがって，たくさんの縦棒が異なった⾼さで並びます．
f1の周期成分が強い

log p ( f )船の横揺れ秒f1

f＊縦軸は対数⽬盛の場合が多いので注意しましょう

ここでスペクトルと呼んでいるのは厳密にいうとピリオドグラムですが，ここでは厳密な使い分けはしないことにします．
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23

実際の時系列のスペクトルの推定例
約7秒周期

log p ( f )

年周期

11年周期

船の方向角

最高気温

太陽黒点数

17~18日周期
3.5日周期

周波数 fff

12か月周期，6か月周期

12か月周期

約10Hz

log p ( f )

0.0

0.1

0.2

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f0.3

0.40.5

地震波

卸売り高

食品産業従事者数

0.0

0.1

0.2

f0.3

0.4

0.5

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f24

自己相関
時系列のある時刻と k だけ離れた時刻との相関をみると相関の観点から時間差時系列の特徴を捉えることができますkynとynｰk の相関係数をR(k)と書きます．
R ( k )  Cor( yn , yn  k )•nnkR(k) は k だけ離れた地点との相関の⼤きさを表します．

• ynとynkに正の相関があるとき R(k) > 0• ynとynkに負の相関があるとき R(k) < 0
無相関

正の相関

-8y(n-2)-8-5-6-6-4-40-2-2y(n-4)

ynky(n-2)

00

52

2

44

10

66負の相関-8-6-4yn-2y(n)東京大学 数理・情報教育研究センター

024

6-8-6-4-20yn

246-50y(n)4-4. 時系列データの解析
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510y(n)25自己相関関数R(k)R ( k )  Cor( yn , yn  k )kR(k) を時間差 k の関数とみなしたものが⾃⼰相関関数です•

時間差 k はラグと呼ばれます•

周期的変動があるとその周期で R(k) も上下します•

通常，R(k) は k が正または 0 の時しか図⽰しないのは偶関数で R(k) = R(k) が常になりたつからです東京大学 数理・情報教育研究センター

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26自己相関関数の例
船の方向角

最初の半周期だけは相関が強いが，それより先は⽬⽴った相関は⾒られません．

太陽黒点数

⾃⼰相関関数がいつまでも振動していて,周期性が強いことがわかります．

最高気温

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⾮常にゆっくり減衰
するのは年周期のせいです．このまま分析するのは良くないことがわかります．
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27

白色雑音
Ck

時間的に相関がない時系列（ Rk  0, k  0 ）を⽩⾊雑⾳（ホワイトノイズ）と呼びます.
スペクトルのところでも出てきました．
••

k
⽩⾊雑⾳の⾃⼰共分散関数

理想的なノイズと考えられます
時系列モデルは残差が⽩⾊雑⾳になるように構成します．
1
n

時系列が⽩⾊雑⾳の場合，データ数がn のとき⾃⼰相関関数の推定誤差分散は1/n（標準偏差は1/ n ）となります．

0

この性質は時系列が⽩⾊雑⾳かどうかを判断するときに使えます．

n 100 1000 10000
10.1 0.03 0.01n
データ数 n と推定誤差の関係

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北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA28階差による相関関数の変化
時系列自己相関関数

ラグ k

階差

12期階差自己相関関数

自己相関関数ラグ k• 階差をとると，⾃⼰相関関数は著しく変化します．
• 階差によって時系列の性質が変わるからです．
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ラグ k29相互相関
１変量の時系列と同様に，多変量時系列の場合にはi番⽬の時系列
yn(i)と時間が k だけ離れた j 番⽬の時系列 ynk(j) の相関係数

Rk (i, j )  Cor( yn (i ), yn  k ( j ))を考えます．これを相互相関と呼びます．

yn (i )ynk ( j)nk東京大学 数理・情報教育研究センター

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相互相関関数m 変量時系列の場合 mxm ⾏列 Rk が定義できます．

 Rk (1,1)  Rk (1, m)  Rk   
Rk (m,1)  Rk (m, m)•Rk を時間差 k の関数とみなしたものが相互相関関数です．

•

Rk の対⾓成分 Rk(i,i) はi 番⽬の時系列 yn(i ) の⾃⼰相関関数です．

•Rk の(i , j)成分 Rk(i,j) は yn(i ) とk時刻前の ynk( j ) の相関の⼤きさを表します．ただし，相互相関は因果関係を⽰している訳ではないことに注意してください．

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相互共分散関数（船舶データ）
操舵により変動を抑えているので減衰が早い．

方向角速度

横揺れ

縦揺れ

自己相関関数相互相関関数
舵角

横軸：ラグ(秒）
縦軸：相関

方向角速度
横揺れは舵⾓の過去との相関が⾼い8秒程度の振動が⻑く続く．

横揺れ

縦揺れ
舵⾓や縦揺れは⽅向⾓速度の過去との相関が⾼い

舵角
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季節調整とは

02448

7296120144月n（⽉次の）経済データには，しばしば上昇や下降のトレンドと毎⽉同じような傾向を持つ季節成分が含まれています．
したがって，原データを⾒ただけでは景気の動向や販売量の増減などを的確に判断することが困難なことがあります．
季節調整とは何らかの原因で特定の周期で繰り返す成分を除去して本質的な現象を抽出することです．
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33

季節調整の方法
季節調整では観測データ yn をトレンド，季節成分，不規則成分（ノイズ）の3成分に分解しますy n  tn  sn  wntn
snwn

トレンド成分
季節成分
不規則成分（ノイズ）

季節成分を分離することにより，単なるトレンド推定よりトレンドの微妙な変化を捉えることができるようになります．
この⽅法は⽉次の経済時系列だけでなく，他の周期を持つデータなどへも適⽤できます．
気象データ（24時間），環境データ（24時間，1週間）
営業データ（1週間），4半期経済データ（４期）
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卸売り高データの季節調整例
卸売り⾼データ

トレンド

季節成分

ノイズ

データをトレンドと季節成分とノイズに分解すると時系列の傾向がはっきり⾒えてきます．
国などから公表される「季節調整済みデータ」は観測データから季節成分を除去したものです．
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以上でモデルカリキュラムのスキルセットをカバーしています．以下の（発展）はスキルセットにない内容を含みます．

5．時系列の将来を予測する：ARモデル
6．時系列の前処理：対数変換

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時系列の将来を予測する
時系列の過去の値を使うと簡単に予測できます
観測値
予測誤差
過去の値（m個）

n-m

予測値

n-1

n  vny n |n 1n

時刻 n1 までの情報を使って求めた yn の予測値を yn|n1 と表し，実際の観測値との差を予測誤差と呼びます．
どんな予測式を使うかが重要で，それによって予測の精度が変わってきます．

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様々な予測式
 ナイーブ予測

予測値

yn|n 1  yn 1

予測誤差

前期と同じ値にするもの

観測値

ランダムウォーク型

予測値

yn|n 1  a1 yn 1

 回帰型予測前期の値に適当な係数を掛けたもの

予測誤差

マルコフ型
 ⾃⼰回帰型

観測値

yn|n 1  a1 yn 1    am yn  m

過去の値の重み付き平均

予測値

いろいろな状況に対応した予測が予測誤差できますが，次数 m や係数 a1, … ,amをどうやって決めるかが問題です．
そのために以下ではARモデルを考えます．
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過去の値（m個）

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観測値

38

自己回帰モデル
ARモデル（⾃⼰回帰モデル）は時系列の現在の値を過去の値で表現します．

yn  a1 yn1    am ynm  vn
時刻 n の値

過去の影響ノイズ• ノイズvn は予測誤差と呼ばれ，平均 0, 分散   の正規分布に従うと仮定します• 時系列の過去の値だけを使って予測できます• 予測値は yn|n 1  a1 yn 1    am yn m ，予測誤差分散は  • ⻑期予測も簡単です（ただし，その誤差評価は少し⾯倒）

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自己回帰モデルによる予測の例
4Canadian Lynx data

32
1020

40

60

80

100

前半70個のデータを使って後半47個の時系列を予測した場合• 最初の10点位は精度よく予測できています• しかし，その後の予測はあまり良い結果が得られていません

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4-4. 時系列データの解析
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北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA40

モデルの次数によって予測の良さは変わる
43m 1y n  a1 y n 1    am y n  m  vn

21020406080

1004m5321020406080• ⾼い次数ほど予測精度が良いとは限りません

1004m  1032102040

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6080

100

左図のようにモデルの次数 mを変えると予測結果が全く異なります．

• 適切な係数推定と次数選択が重要です• 次数を選ぶ評価基準としてAIC, BICなどがあります

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例：

長期予測

Blsallfoodデータm 1

誤差幅に多くの実測値が入っていて間違いではないが，よい予測とはいえない．

m5最初の半周期程度の予測は適当だが，それより先はm=1と大差ない．

m  1036か月にわたってよい予測ができている．

m  15さらに波形の特徴までよく再現できている．

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ARモデルの同定（推定と次数選択）
 パラメータ推定
m 次のARモデルには⾃⼰回帰係数 a1, … , am と予測誤差分散 2 のm+1個の未知数（パラメータ）があります．
• ⾃⼰回帰係数は予測誤差分散の期待値を最⼩化するYuleWalker法によって推定できます．
• その他, 最⼩⼆乗法, Burg法, 最尤法, ベイズ法などがあります．
 次数選択• 予測誤差の意味で最適な次数を選択するには情報量規準

AIC m  N (log2ˆ 2 1)  2( m  1)を最⼩にする m を探します．ただし，ˆ 2 は予測誤差分散の推定値です．
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時系列の前処理
前処理

時系列モデリング・分析• 複雑な時系列でも適切な前処理で分析が簡単になることがあります• 以下のような前処理がよく利⽤されます• 変数変換
• 階差（差分），季節階差• 前期⽐・前年⽐• 移動平均• ⽋測値・異常値処理＊ ここでは変数変換だけを取り上げます．階差，季節階差，移動平均は説明済みです．
＊ 4-７

データハンドリングの時系列版です．

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北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA44対数変換
複雑な時系列でも変数変換で分析が簡単になることがあります.
例：⾦額，個数，⾬量など正値をとるデータの場合・分布が対象でない
・平均がよい代表値でない・値が⼤きくなると変動も増えるなどの問題があります。こんな時は対数変換y  log x が有効ですy  log x変換
逆変換xey

こんな分布が正規分布に！

もとの変数に戻せます

こちらの分析結果を

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時系列の対数変換
経済時系列では，値が増加すると変動幅も⼤きくなるものが多い！

対数変換してみると・・・

xn  log y n
変換したデータxn• 変動幅がほぼ⼀定になる• トレンドが直線的になる
分析が楽になる東京大学 数理・情報教育研究センター

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北川源四郎 2020 CC BY-NC-SA46対数変換，階差，季節階差の影響まとめ
トレンドと季節変動が消えてn=40と100付近の落ち込みが顕著になりました
季節階差

対数

階差トレンドは消えましたがp=12の周期的変動は残っています東京大学 数理・情報教育研究センター

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