Anti-lock Braking System の H∞ 制御
2011SE150 丸悠起
指導教員：陳幹式 (5) は非線形であるので，平衡点 (λ∗ , τ1∗ ) のまわりで線始めに1形近似する [1] と以下のようになる．

Anti-lock Braking System (ABS) は摩擦係数と横抗力が共に高い理想的なスリップ率 0.2 を保つことにより車輪

1 c1 s(µ) + c2()(λ − λ∗ )
ω2 c3 s(µ) + c41+(c5 s(µ) + c6 )(τ1 − τ1∗ )ω2µ(λ)
s(µ) =L(sin ϕ − µ(λ) cos ϕ)λ̇ =のロックを防ぎ，ブレーキ中の操舵性を確保する．制御対象は非線形であるため線形化して制御を行う。また，ディスクリプタ表現，線形分数変換を用いて変動パラメータを含む行列を行列ポリトープ表現で表す．そして，H∞ ノルムを満たす LMI で定式化し，系を安定にする制御器を設計する．

2

制御対象とモデリング

2.1

モデルの線形化と状態方程式の導出

(6)
(7)

ここで，c1 から c6 は定数である．

2.2

拡大系

本研究では出力を目標値に追従させるために制御ループ内に積分器を状態変数に入れた．拡大系の状態変数を本研究で用いる ABS 実験機の簡略図を図 1 に示す．上部車輪が自動車の車輪，下部車輪が道路を現している．上∫xe (t) = [ (λ − λ∗ )dtとする．

部車輪にかかるブレーキトルク τ1 を操作することでス
リップ率 λ を目標値 0.2 に追従させる制御系を設計する．
上部車輪，下部車輪の角速度を ω1 ，ω2 ，上部車輪，下部車輪の半径を r1 ，r2 ，車輪間の摩擦係数を µ(λ)，バランスレバーの回転軸から車輪間の接点までの距離を L，線分 L とλ − λ∗ ]T ，入力を u(t) = τ1 − τ1∗

Ee ẋe (t) = Ae xe (t) + Be u(t)(8)[][]0110Ae =, Ee =0 c1 s(µ) + c20 ω2 (c3 s(µ) + c4 )[]T
Bd = 0 c3 c5 s(µ)2 + (c3 c6 + c4 c5 )s(µ) + c4 c6

車輪間の接点の法線がなす角を ϕ，上部車輪にかかる垂直抗力を Fn とする．上部と下部の車輪の回転運動の運動方
程式とスリップ率を以下のように示す．

2.3

ディスクリプタ表現

ディスクリプタ変数を xd (t) = [xe (t)Tλ̇u(t)]T とすることで、ディスクリプタ表現を用いた状態方程式は式(9) となる．
Ed ẋd (t) = Ad xd (t) + Bd u(t)0 1
 0 0Ad = 0 C10 001C20010  0,E =C3  d  0−10(9)0100000000 0 0T

Bd = [ 0 0 0 1 ]C1 = c1 s(µ) + c2 , C2 = ω2 (c3 s(µ) + c4 )図 1 ABS 実験機の簡略図

J1 ω̇1 = Fn r1 µ(λ) − τ1J2 ω̇2 = −Fn r2 µ(λ)
r2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2
τg + τ1
Fn =L(sin ϕ − µ(λ) cos ϕ)

C3 = c3 c5 s(µ)2 + (c3 c6 + c4 c5 )s(µ) + c4 c6(1)(2)(3)(4)

式 (1)，(2)，(3)，(4) より，式 (5) を得る．

1r2r2 (1 − λ)r1λ̇ =(− 1 s(µ) −s(µ) +)τ1
ω2 J1 r2J2
J1 r2
1r 2 τgr2 (1 − λ)τg+(− 1 s(µ) −s(µ))(5)ω2 J1 r2J22.4

線形分数変換 (LFT)

s(µ)2 に対して LFT を行い，後に行列ポリトープ表現を使える形にする．行列 An を s(µ)2 を含まない項とする．
行列 Ad がAd = An + Bδ ∆Cδ(10)となるような Bδ ，Cδ ，∆ を定めることで，式 (9) と等価なシステム (11) を得る．

Ed ẋd (t) = An xd (t) + Bδ wδ + Bd u(t)Z = Cδ xd (t) δwδ = ∆Zδ (t)(11)

新たなディスクリプタ変数を x˜d (t) = [xd (t)TZδ ]T と与えることで LFT を行ったディスクリプタ方程式は式 (12)4求めたコントローラを用いてシミュレーションと実験をとなる．

行った．We ，Wx ，Wu をそれぞれ以下のように定め、速Ẽd x̃˙ d = Ãd x̃d (t) + B̃d u(t)[Ãd =

シミュレーションと実験

AnCδ

Bδ ∆−I3

制御器設計

3.1

H∞ 制御][，Ẽd =Ed000](12)[，B̃d =Bd0

度の範囲 V を 10≤V≤50 でシミュレーションを行った．

]

We = 7, Wx = diag ( 50 ) , Wu = 1

目標値 r(t) から評価出力 z(t) の閉ループの伝達関数のH∞ ノルム (||G(s)||∞ ) を γ∞ 未満にすることを考える[2]．本研究では次のシステムを考える．
{Ẽd x̃˙ d (t) = Ãd x̃d (t) + B̃d u(t) + Br r(t)z(t) = C̃d x̃d (t) + D̃d u(t)(13)
図 2 スリップ率

We ，Wx ，Wu をそれぞれ偏差の積分, 状態, 入力に対する重みとすると，C̃d ，D̃d は次式となる．
0[] 0 We0 0
0 Wx 0 ，D̃d =  0 C̃d =00 00 Wu
コントローラは u(t) = K x̃d (t) = Y X̃d−1 x̃d (t) とする．

3.2

ポリトープ表現本研究では，車速の変動範囲 V が 10≤V≤50 の時に対し

図 3 車体，車輪速度てロバスト安定性を保証する．ここで，V=r2 ω2 である．
また，路面状況が変化した場合においてもロバスト安定性を保証する．摩擦係数の変動範囲は 0.1 ≤ s(µ) ≤ 0.7 であ

スリップ率の立ち上がりは早いが大きい．その後も目標値る．これらを考慮し，ω2 と s(µ) の最大値と最小値を示す． 0.2 近傍だが振動している．さらに，ポリトープで保証した範囲内でスリップ率の発散が始まっていることと，停止ω2 ∈ [ω2min ，ω2max ] = [28.0584，140.2918]
するまでの時間にシミュレーションと誤差が生じているこs(µ) ∈ [s(µ)min ，s(µ)max ] = [0.4624，5.1190]

行列 Ãd の変動範囲の端点行列を Ãd1 ，Ãd2 ，Ãd3 ，Ãd4 とする．

3.3LMI 定式化

3.1，3.2 より，以下の LMI 条件を満たす X̃d ，Y ，γ∞ が存在すればシステムは安定となり，||G(s)||∞ < γ∞ を保証するフィードバックゲイン K が導出される．
He[Ãdi X̃d + B̃d Y ]BrX̃dT C̃dT + Y T D̃dT2
<0
BrT−γ∞I
0C̃d X̃d + D̃d Y
0−Ii = 1, 2, 3, 4[]
X1100
X̃d = X21 X22 X23 ，X11 > 0X31 X32 X33ともわかる．

5終わりに
H∞ 制御理論を用いた ABS の制御と，そのシステムを用いた実験による検証を行った．シミュレーションと実験結果で停止するまでの時間に多少の誤差が生じた．また，ポリトープの保証範囲内でスリップ率の発散も見られた．
これらの結果から，数学モデル・制御器の見直しや，より高度なシステム同定を行うことで改善できると考えられる．

参考文献[1] Idar Petersen，Tor A.Johansen，Jens Kalkkuhl andJens Ludemann， Wheel Slip Control in ABS Brakes
Using Gain Scheduled Constrained LQR ，Proc．
Europian Contr．Conf..，Porto，pp．606-611．
[2] 細江繁幸，荒木光彦，

制御系設計-H∞ 制御とその応用 ，システム制御情報学会，1994