経済研究
Vol. 73, No. 2, Apr. 2022

【調査】

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築＊

阿部修人・稲倉典子＊＊
公開されている公式統計に基づき，日本の都道府県別物価指数を試算した．主要結果は下記の通りである．（1）帰属家賃を含む都道府県間物価指数は，全ての指数において大きな違いを示しており，物価の高い県と低い県の間には 20％ ポイント以上の差がある．（2）帰属家賃を除く場合，総務省による価格差指数同様，都道府県間の物価の違いは小さく，その差は 10％ ポイント以下程度となる．（3）
食料品に関しては，物価指数算式間の差は少ない．（4）非食料品の指数算式間の差は大きく，特に Jevons 指数および CUPI（CES Unified Price Index）と他の差が大きい．また，比較的同様の挙動を示す
Geary-Khamis や Fisher 指数，Gini や Abe-Rao 指数等の間でも 1％ から 3％ ポイント程度という無視できない違いが生じている．これらは，都道府県間の物価の違いを見る際，帰属家賃の影響が極めて大きいこと，また，それほどではないにしろ，指数算式間の違いも存在しており，分析・利用目的に応じた指数算式の選択が重要であることを示している．
JEL Classification Codes : C13, C83, E01, E31

1．導入のような作業により処理している．第 1 に，家計の支出総額（あるいは食料支出のようなカテゴリー単

スーパーマーケット等の小売店では多くの種類の位の支出総額）を計算する．第 2 に，そのカテゴリ

商品が販売されている．また外食をする際にも，高ーに対応する物価指数で割り，「実質」消費支出を級レストランからファミリーレストランまで多様で求める．最後に，実質消費支出をあたかも 1 つの商

あるし，各レストランの中でも多様な料理が提供さ品であるかのようにみなし，モデルを構築する．これている．日々取引されている商品の種類はまさにこで用いられる「実質」消費支出額が明確に議論さ無数に存在しており，いわゆるビッグデータ解析がれることは必ずしも多くないが，実質化することに特殊な研究分野ではなくなった今日では，研究用のより名目金額は 1 つの財の数量のように扱われていデータセットに数万種類を超える商品情報が含まれる．同様に，また，企業分析においても，金銭単位ることも珍しくない．一方，精緻なミクロ計量分析の売上高，あるいは総付加価値を物価指数で割るこが経済学の諸分野で広く用いられるようになった今とにより生産「数量」を得る，という作業が頻繁にでも，構造モデルで扱われる商品の種類は，現実の行われている．後述するように，物価指数が，支出商品種類に比較して非常に少ない．家計分析を例に関数の比として定義される生計費指数と一致してい

とると，食料品は外食とそれ以外に分ける程度の大れば，物価でデフレートして得られる「実質」消費カテゴリー単位の分析が多い．すなわち，無数の異額は効用関数の情報を含む．したがって，上記の慣なる商品が 1 つの財カテゴリーに集計されているの行は標準的な経済理論に即したものである．ヒック

である．

スやクライン達による分析を踏まえる必要なく，容どのような条件で，どのようにすれば，異なる多易に集計問題を処理できているのである．そこでは，様な商品を集計し，あたかも 1 つの商品のように扱

平均的な価格の動向を示すために作られている消費

うことができるのだろうか．集計問題と呼ばれるこ者物価指数が，極めて重要な役割を果たしている．

のトピックはマクロ経済学の黎明期である 20 世紀

一方，各種マクロ統計作成に関する第一人者であ中旬においては数多くの研究がなされ，特にジョるアラン・ヘストンは，国際間の物価統計に関する

ン・ヒックス，ウィリアム・ゴーマン，そしてローアンガス・ディートンとの共同論文の中で下記のよ

レンス・クライン達により精力的に分析された1）．

うに記している．

現在，財の集計問題に関し，多くの経済学者は下記「以降の分析において，私達は物価指数を生計費

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

161

指数ではなく，国民経済計算で行われる慣例に従っしまう．一方 GEKS はそのような恣意性がなく，て取り扱う．それだと明確な厚生分析が不可能にな

ずっと異なる手法を採用してきた Penn World Ta-る，という批判は当然あるであろう．その意見にはble でも GEKS が一部利用されるようになってきて同意する．しかし，私達は，どのようにして生計費いる．しかしながら，GEKS にも後述する様に多数

指数を作成したらよいのかわからないのだ（p. 6 inの問題があり，指数理論や経済理論に即した場合，Deaton and Heston 2010）」

決して望ましい指数と言うことはできない．GEKS

すなわち，各国の統計局が作成している各種物

はヘストンの言う，慣例に従う指数算式の一種であ価・価格指数は，ミクロ経済理論上の概念である生り，経済学的な根拠は薄く，GEKS による物価指数

計費指数に一致するとは限らず，特にヘストン達ので得られる実質消費は，経済学的に解釈することが関心事である地域間・国間の物価指数においては，

困難なものである．

生計費指数との乖離は深刻な問題になっているので地域間の物価比較における第 2 の困難は，異なるある．各国の統計局が物価指数，あるいは価格指数

地域では異なる商品が購入されていることが多いこを作成する時，経済理論に即した生計費指数を意識とにある．米文化圏と小麦文化圏，日本酒とワイン，していることは少ない．そして，生計費指数を経済など，食文化の違いにより主要な商品は異なるもの

理論に即して構築しようとしても，後述するようなになるだろう．日本国内に限定しても，東京と沖縄

様々な問題が生じている．経済理論に即した生計費

で全く同じ消費行動をとることは困難であろう．同指数の構築の試みは多数行われているものの，統計一の商品が存在しないとき，価格比較をする際には実務に耐えうる生計費指数のアルゴリズム構築は，様々な調整が必要になるが，異なる商品を同一商品

現在の指数分析のフロンティアであり，特に地域間とみなすための調整は，理論的にも実務的にも様々の生計費の比較は重要な問題となっている．

な問題をはらんでいる．

経済理論に即さなくとも，地域間の物価指数を作本稿の目的は 2 つある．第 1 は，近年進が著し成する際にはいくつもの困難がある．第 1 は，北海い地域間物価指数理論の発展に関して，古典的な指道と沖縄の物価の違いを調べる時に，第 3 の地域，

数理論も視野に入れつつ紹介することである．第 2

例えば東京を間に挟むことで矛盾が生じてはいけな

は，国際標準となっている GEKS を含め，各種地

いことである．具体的には，北海道の物価が沖縄の域間物価指数算式を用い，日本の都道府県間の物価2 倍であり，東京の物価が沖縄の 12 倍であれば，指数を構築することである．図 1 は，総務省統計局

北海道の物価は東京の 4 倍でなければならない．地が作成した 2015 年における日本の地域間物価指数

域間物価指数が一貫性を持つには，物価指数が推移を表している．全国平均を 1 としたとき，地域間の性を満たす必要があるが，推移性を満たす物価指数

価格差は非常に小さく，日本では都道府県間に価格はごく限られており，現実には（1）推移性をみたす

差はほとんどない，という結果になっている．価格

ように多地域（Multilateral）物価指数を導入する，指数の地域差がほとんど生じない 1 つの理由は，総か，（2）2 地点の物価の比較は，常に特定の第 3 の務省の地域間指数に帰属家賃が含まれていないこと

地域経由でのみ可能にする，という 2 つの選択肢かである．帰属家賃を含まない場合，消費支出に占めら選ばれている．国際標準は（1）であり，1931 年にる家賃の割合は，その地域の持ち家比率に大きく依発表されたコンラート・ジニの提案に即した，現在存することになる．しかし，借家のみ消費とみなし

GEKS（Gini-Eltetö-Köves-Szulc）法 と 呼 ば れ る 手 法

持ち家は消費とみなさない，という方針は，経済理が広く採用されている．一方，日本では（2）の手法

論上正当化することが困難であり，人々の生計費をで作成されている．日本の地域間価格差指数では，比較するためには，帰属家賃を含む方が適切である

各都道府県間の物価は，常に全国平均を経由してのと考えられる．そこで，本稿では，帰属家賃も含む

み比較する，ということになっている．この手法の日本の都道府県間物価指数を構築し，どの程度の価問題は，北海道と沖縄の比較をする際に，なぜ全国格差が生じているかを分析する．また，前述のよう

平均を経由せねばならないのか，その根拠がはっきに，日本の地域間物価指数の算式は国際標準と異なりしないことである．また，全国平均も幾何平均，るものなっている．本稿では，日本に固有の指数算

算術平均，各種加重平均など手法により値が異なり，式による物価指数が，国際標準算式によるものとど

それに伴い，地域間物価指数も異なるものになっての程度異なるものになるかを示す．

162

経

済

研

究

図 1．消費者物価地域差指数（2015 年）

出所） 総務省『小売物価統計調査（構造編）』「第 1 表 10 大費目別消費者物価地域差指数（全国平均=100）」より作成．
注） 図中の都市は，「持家の帰属家賃を除く総合」の指数が大きいものから順に並んでいる．

日本の都道府県データを用いた主要結果は下記のーチの 3 種類である．その中で，確率的アプローチ

通りである．
（1）帰属家賃を含む都道府県間物価指は，主に下位品目（elementary）
レベル，すなわち，

数は，全ての指数算式において大きな違いを示して

食パンやキャベツ，など最も細かいレベルでの集計

おり，物価の高い県と低い県の間には 20％ ポインに用いられており4），商品カテゴリー間の集計で使ト以上の差がある．（2）帰属家賃を除く場合は，総われることはまれである5）．本稿ではカテゴリー間

務省による価格差指数同様，都道府県間の物価の違の集計に主に注目するため，確率的アプローチにはいは小さく，その差は 10％ ポイント以下程度とな

立ち入らず，主に公理的アプローチと経済学的アプ

る．（3）食料品に関しては，物価指数算式間の差はローチに限定することにする6）．

ほとんどない．
（4）非食料品に関しては指数算式間の差は大きく，特に Jevons 指数および CUPI
（CES

2. 1

公理的アプローチ

Unified Price Index）と他の差が大きい．また，比公理的（Axiomatic）アプローチはテストアプロー

較的同様の挙動を示す Geary-Khamis や Fisher 指チとも呼ばれる，アーヴィング・フィッシャーが数，Gini や Abe-Rao 指数等の間でも 1％ から 3％

1922 年に記した大著で提唱した指数理論であり，ポイント程度の違いが指数間で生じており，無視で現在においても指数理論の中心に位置している．物

きない値となっている．これらは，都道府県間の物

価指数を数量と価格の関数として定義し，その関数価の違いを見る際，帰属家賃の影響が極めて大きいが満たすべき公理，あるいは通過すべきテストを並こと，また，それほどではないにしろ，指数算式間

べ，より多くの公理を満たす指数を望ましい指数との違いも存在しており，分析・利用目的に応じた指みなすものである．通常，2 地点，s 地域と t 地域

数算式の選択が重要であることを示している．

の間の物価を示す関数として，物価指数 PI は下記

2．地域間物価指数の理論のように定義される．
PI ：R 
 → R , PI ( s, t ) = PI ( p, q, p , q ) ,物価指数に対しては各種の理論があり，その区分

ただし，p, q は k=s, t 地域における価格と数量ベ

けも研究者により様々である2）．20 世紀初頭にアー

クトルであり，N は商品の種類数である．数量とヴィング・フィッシャーが公理的アプローチを提唱

価格，特に価格は正値であることを想定されることする前の，18 世紀のウィリアム・フリートウッド

が多い．この関数が満たすべき公理として，フィッやニコラ・ドュト，19 世紀のエディエンヌ・ラス

シャー以降の公理的アプローチで特に重視されていパイレスやヘルマン・パーシェ達の指数をどう扱う

るのは，下記の基本公理と呼ばれるものである．

かにより区分け方が異ってくるが3），現在の指数研究において主に用いられている理論は，公理的アプ
ローチ，経済学的アプローチ，および確率的アプロ（A-1）弱恒等性
For all p, q, q∊R  , PI ( p, q, p, q ) = 1.

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築（A-2）単調性

163

つ物価指数に経済学的な根拠がない場合，物価指数

For all p, q, p, q∊R  ,をデフレーターとする「実質消費支出」に意味がな

if p' ≥ p, then PI ( p, q, p' , q ) ≥ PI ( p, q, p, q ) .

くなってしまう．推移性は，物価指数の多期間，多（A-3）位無差別性（Commensurability）

地点にわたる一貫性を保証するものであり，地域間For all p, q, p, q, ∊R  , λ= ( λ, λ, ⋯, λ ) ∊R 

物価指数においては特に重要なものである．物価指Define p' =

数に推移性がない場合，東京と沖縄の物価と，沖縄p
p p
,
, ⋯,
, q'
λ λ
λ

と北海道の物価の関係から東京と北海道の物価を得ることが出来なくなる．要素反転性と推移性のいず= ( λ q, λ q, ⋯, λ q ) , k = s, tthen, PI ( p', q', p' , q' ) = PI ( p, q, p, q ) .

れも指数として望ましい性質であるが，これらの公（A-4）1 次同次性7）

理に関し，下記の 2 つの定理が知られている．


定理 1（A-1），（T-1），（T-2）を全て同時に満た

For all p, q, p, q∊R , λ ∊R 

す PI ：R  →R  は存在しない．

PI ( p, q, λp, q ) = λPI ( p, q, p, q ) ,PI ( λp, q, p, q ) =定理 2（A-1）
（A-2）
，
（A-3）
，
（A-4）及び，（T-2）

1
PI ( p, q, p, q )λを同時に満たす指数は，

上記の各公理の意味に関しては，CPI マニュアPI ( p, q, p, q ) = ∏ル8）や Balk（2008）に詳細な説明があるが，（A-3）を



 
p
p



（1）

除き，その意味は明らかであろう．
（A-3）は，商品

where 0 < α, for i = 1, 2, ⋯, N ,の計測単位がなんであっても，指数の値には影響しand Σ  α = 1,ないことを意味している．これは，例えば牛乳の計のみである10）．

測単位をリットルからガロンにし，リットル当たり

コブダグラス型の物価指数（1）は数量情報が使わ単価からガロン当たり単価に変更しても，指数の値れておらず，実際に用いるには制約が強すぎる．こには影響しないとするものであり，異なる商品の価の 2 つの定理は公理的アプローチの限界として広く格を扱う物価指数を計算するうえで特に重要な性質

知られており，公理的アプローチから 1 つの指数をである．

理想的な算式として特定しようとするフィッシャー

上記の 4 公理をみたす指数は無数に存在し，よく使われるラスパイレス指数やフィッシャー指数も全のアプローチは事実上頓挫しているといえるだろう11）．

て満たしている．そこで，さらに下記の公理が，物ところで，定理 2 については若干の補足が必要で価指数にとり望ましい性質であると考えられてきある Gini（1931）は推移性を満たす指数算式をいくた9）．

つか提案している．その中の第 1 の算式は，指数算式の対象となる地域が全部で M であるとすると，下記のようになっている．

（T-1）要素反転性For all p, q, p, q∊R ,



∑ p



PI ( p, q, p, q ) ×PI ( q, p, q, p ) =∑ p q∑ p q.

（T-2）推移性

PI _G1 =




∑ p






1 
∑ q
M 
1 
∑ q
M 




.

この算式は，（A-1）から（A-4）までの全てと（TFor all p, q, p, q, p, q∊R ,2）を満たす．これは望ましいものであるが，CPI マ

PI ( p, q, p, q ) ×PI ( p, q, p, q )ニュアルや Balk
（2008）で指摘されているように，= PI ( p, q, p, q ) .

この指数には，豊かな国・地域の影響が大きくなってしまうという性質がある．そのため，下記の公理

要素反転性は，物価指数の価格と数量を入れ替え

が通常，地域間指数では重視される．

たもの，すなわち数量指数と物価指数を乗じると，総支出比になるというもので，物価指数をデフレー（T-3）地域の数量規模に対する不変性

ターとして支出総額を割って得られる実質消費に意

For all p, q, p, q∊R  , λ∊R 

味を与えるものである．もしもこの性質がなく，かPI ( p, q, p, λq ) = PI ( p, q, p, q ) .

164

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究

すなわち，比較対象地域（国）の数量規模に関して， 数で特に重要な推移性をみたす指数がほとんど存在
物価指数はゼロ次同次になっていなければならない． しない，という結果を紹介した．そこで，現在の地
この公理が満たされていないと，日本における東京

域間物価指数では，Bilateral ではなく，推計対象

都や，世界各国におけるアメリカ合衆国や中華人民の全地域の情報に依存する Multilateral 指数を用い

共和国のような，規模の大きな国の影響が大きくなることが標準となっている．具体的には，Multilat-ってしまう．そこで，ウエィトを算術平均ではなく，

eral 指数は下記のように定義される．
PI ( s, t ) ：R → R 


幾何平均，すなわち









∑ p ∏ q

PI _Gini =









∑ p ∏ q








PI ( s, t ) = PI ( p, p, ⋯, p , q, q, , ⋯, q ) .
（2）

前節で議論した Gini（1931）に準拠した（2）もまた，Multilateral 指数の一種である．地域間物価指数では，異なる地域間の物価が，他地域を経由する場合とすると，この算式は（A-1）から（A-4）までの全ても含め一貫性がなければならない．これまで提案さと（T-2）と（T-3）を同時に満たす12）．定理 2 が対象れてきた Multilateral 指数は，3 種類の方法でそのとしている関数は一貫性を確保してきた．今，経済には 4 地域，A,

PI ：R 
 → R , PI ( s, t ) = PI ( p, q, p , q )B, C, D があり，図 2-1 のように配置されているとであり，2 地点以外の他の地域の数量には依存してする．この経済において，2 地点間の物価を比較すいない．なので，この関数が（A-1）-（A-4）及び（T-る際には，図 2-2 のような組み合わせが存在しうる．

2）と（T-3）すべてを満たしても，定理 2 と矛盾する

A と C の比較をする際には，AC を直接比較する

わけではない．ここで，数量ベクトルを観察されたAC 線，B を経由する ABC，D を経由する ADC の数量とは無関係な，外生的な，ある参照数量ベクト3 種類である．そこで，2 地点間をつなぐ可能な全

ル q  とすると，これは Lowe 指数と呼ばれるものての経路を網羅し，それらの平均として 2 地点間のとなる．

物価を定義すれば，地域間物価指数は一貫性を確保
PI _Lowe =できるだろう．具体的には，まず，トルンクビスト

指数やフィッシャー指数等，Bilateral な指数算式∑ p q

∑ p q

こ の Lowe 指 数 は（A-1），（A-2），（A-4）及 び（T-2）と（T-3）をみたす．計測単位の変更に関しては，リットルからガロンへの変更は，参照数量ベクトルの単位も変更になるため，やはり Commensurable とを選択する．次に，2 地点 s, t の物価を下記の，多数の Bilateral 指数の単純幾何平均で定義する．
PI ( s, t ) _GEKS= ∏ PI ( p , q , p , q ) PI ( p , q , p , q )  .




















なる．問題は，（A-3）の Commensurability の定義

すなわち，s 地と t 地の物価を k 地を経由して計では，このような参照ベクトルの単位変更がカバー算しているが，その k 地として，選択可能な全てされていないため，Lowe 指数は（A-3）を満たさなの地を網羅（s, t 両地も含む）し，その単純幾何平均

くなってしまうのである．これは，基本公理の 1 つをとっている．この指数は提案した 4 人の研究者のである（A-3）では Commensurability を十分に描写頭文字から GEKS
（Gini-Eltetö-Köves-Szulc）と呼ばできていないことを示している．すなわち，定理 2れている．GEKS には，下記のような特徴があるこをベースに，コブダグラス型のみを考える必要はなとが知られている．まず，通常の 2 地点間の物価指く，2 地点以外の情報を用いたり，参照ベクトルを

数 PI ( s, t ) が満たすべき性質として用いることで，推移性や位無差別性を確保することが可能になるのである．

（T-4）地域反転性
For all p, q, p, q∊R  ,2. 1. 1

Multilateral 指数

これまで紹介した指数算式は，最後に紹介した

PI ( p, q, p, q ) ×PI ( p, q, p, q ) = 1.
を考えよう．これは，s 地と t 地の物価をまず計算

Gini（1931）に準拠したものを除き，すべて 2 地点間

し，それに t 地から s 地まで逆に計算した物価を乗の情報のみに依存した，Bilateral 指数であった．

じると 1 になる，ということであり，（A-1）と（T-そして，定理 2 により，Bilateral だと，地域間指2）を満たしていれば，（T-4）は自動的に成立する13）．

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築
図．2-1

図．2-2

図．2-3

図．2-4

165

すると，下記の定理が知られている．

GEKS ではアメリカと日本の物価は 1 にならない．

定理 3（GEKS の最適性）

日本とアメリカの物価が同じになるためには，全てPI ( s, t ) が（A-1），（T-4）を満たすとする．

の国で物価が同じであるか，日本とアメリカで価格そのとき，下記の最小化問題と数量の両方が同じであるか，のいずれかの時であ

り，（A-1）に比べて非常に強い仮定が必要となる．

 

基本の物価指数が位無差別性を持っていれば，そのmin ∑ ∑ [ ln P−ln P ( s, t ) ] subject to P ∙ P = P∀s, t, k = 1, 2, ⋯, M

GEKS もまた位無差別性を有するが，単調性に関しては一般に GEKS は成立しない．また，2 地点間での解は下記で与えられる14）．
PI ( s, t ) _GEKS = ∏ [ P ( s, k ) ∙ P ( k, t ) ] 

常にラスパイレス指数がパーシェ指数を上回っていても，GEKS にすると，パーシェ指数がラスパイレ（3）

ス指数を上回ってしまうこともありうる．その点，この定理から，GEKS は，その基本となる Bilat-

Gini の指数を幾何平均に変更した（2）は，（A-1）を

eral な物価指数に最も近い推移性を有する物価指数

満たし，かつ推移性を満たすという点で GEKS よであることがわかる．基本の物価指数が何らかの望りも優れた性質を有している．GEKS の第 2 の問題

ましい性質を有していて，それが理想的な算式であは，後述する経済学的アプローチにおいて，正当化

るなら，その GEKS は，推移性という一貫性を確することができないことにある．GEKS のベースと保することを優先したうえで，基本の物価指数に最なるフィッシャー指数等は経済学的アプローチと整も近いものなのだから，地域間の物価指数として望合的であるが，その（3）式のような変換を行うと経ましいもの，と議論することもできるだろう．なお，

済理論と不整合となってしまうのである15）．

GEKS の基本となる指数が（T-1）を満たすならば，
その GEKS も（T-1），すなわち要素反転性を満たす．
そのため，要素反転性をみたす指数として知られる

2. 2

Geary-Kahmis 法

GEKS は（図 2-2）に対応していたが，地域間物価フィッシャー指数が GEKS の基として良く用いら指数に一貫性を持たせるもう 1 つの考えは，（図 2-

れており，Penn World Table や ICP における指数3）に基づくものである．ここでは，4 地点に加え，算式として用いられている．GEKS の問題点は，新たに，なんらかの中央となる地点を設け，全ての（A-1）等，重要な公理が成立しないことである．例

地域の物価指数は，その地点との相対値のみで定義

えば，基本となる物価指数が（A-1）を満たし，かつされることになる．無論，中央の地を新たに設定せア メ リ カ と 日 本 の 価 格 が 全 て 同 じ で あ っ て も，ず，特定の国，地域を中心国と位置づけることも可

166

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済

研

究

能である．日本の総務省による地域間価格差指数もるか，であり，ラスパイレス・パーシェギャップ等，

こ の 方 式 で 作 成 さ れ て い る16）．こ の シ ス テ ム で様々 な 指 標 が 考 案 さ れ て い る．Hill（1999）で は，Multilateral 指数を定義すると，A と C の間の物価OECD 諸国の MST が描かれているが，そこでは日は，AX-XC という経路でのみ計算されることにな

本は他の国とノルウェーを通じてのみ繫がっている．

り，AC という二地点を直接比較することは許され日本とアメリカの間には，ノルウェー，スイス，ドない．このような，仮想的な中心地域，あるいは経イツ，アイルランド，オーストラリア，カナダが存済全体を示す地域を設定し，そことの対比で物価を在している．アメリカと日本の間の物価は，これら計算する手法には長い歴史があり，購買力平価の計の国を介して計算することになる．はたして，これ算でかつて用いられていた Geary-Khamis（GK）法が説得的であるか否かは評価が分かれるところであもこの 1 つである17）．Geary-Khamis 法では，j 国

るが，MST の大きな問題点は，時期が異なるとの物価水準 ( PPP ) は，各商品の世界価格 ( P ) とMST の構造が変化し，時系列方向で地域間物価指いう仮想的な価格との関係で，下記の式を満たすよ

数が安定しないことにある．MST は理論的可能性

うに定義される．

として多くの注目を集めているが，現段階では実用



P =

∑ PPP p q





∑ q



, PPP =∑ P q∑ p q的なものとは言えない．
.

P と PPP は再帰的に定義されているので，計算
す る に は，上 記 の 式 を 反 復 さ せ，収 束 し た 先 を
PPP とすることになる．この式は常に収束することが知られており18），GEKS が一般に採用されるまMultilateral 指数のもう 1 つの形は，推移性を有するコブダグラス型の指数を活用することである．
Abe and Rao（2019）は下記のようなコブダグラス型関数をまず考える．
P = ∏ p 
for all s, t = 1, 2, ⋯, M
p

（4）

で，広く利用されていた19）．しかし，近年，GEKS

次に，Bilateral な物価指数として，各種望ましいに 比 べ て GK 法 は 各 種 問 題 が 指 摘 さ れ て お り，

性質を有する指数の，2 地域 s, t 間の各商品の幾何

Penn World Table を除き，現在ではあまり利用さ

平均におけるウェイトを ϕ>0 とすると，下記のれてない20）．

定理を導いている．
定理 4

2. 3

その他の Multilateral 指数

新たに仮想的な中心地域を設けずに，任意の 2 地
域間の物価がユニークに定まるように各地点をつなげることも可能である．（図 2-4）では，A と B をつなげるのは，A-D-C-B という連鎖を経由した経路のみであり，D と B もまた，D-C-B と，その繫が以下の最小化問題min
1   ∑ ∑ ∑ ( ϕ−ϕ )  s. t. ∑ ϕ = 1, （5）2   の解は，下記で与えられる．



ϕ =
ϕ = ∑ ∑ ( ϕ ) 

り方はユニークに定まる．従って，各地域間の物価

M

for all i.

（6）

指数を（図 2-4）のように Bilateral な指数を連鎖さこの定理は，例えばトルンクビスト指数や Sato-

せていくことで定義すれば，A-B を直接比較する

Vartia 指数等，様々な視点で優れた指数と考えらことは許されないため，作られる地域間物価指数はれる幾何平均物価指数がもしもあるならば，そのウ内部で矛盾は発生しない．問題は，そのような地域

ェイトの単純平均を用いたコブダグラス型地域間物間の連鎖をどのようにして作るか，である．Hill

価指数は，オリジナルのウェイトからの距離が最小（1999）は，任意の 2 地域間の距離を何らかの方法でになる指数でもある，ということを示している．こ

定義し，経済全体で，その距離の和が最小になるよの指数の利点は，GEKS が満たさない（A-1）等を満うな経路，Minimum Spanning Tree
（MST）を用いたす点にある．また計算量も少なく，さらに，各地ることを提唱している．MST はネットワーク理論

域の様々なウェイトを用い加重平均に拡張すること

で主に用いられている概念であり，対象地域が多いも容易である．本稿の実証分析においては，この指と MST の計算負荷は大きくなるものの，近年のコ数も用いることにする．

ンピューターでは比較的容易に計算が可能である．
無論，問題は，2 地域間の距離をどのように定義す地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

167

は，2 地点間の厚生比を示しており，経済学上明確

3．経済学的アプローチな解釈が可能なのである．すなわち，生計費指数か経済理論を用いた物価指数は，1924 年にコニュら得られた実質支出が 1 を超えていれば，比較地のースがロシア語で記し，1939 年の Econometrica に

厚生は基準地の厚生よりも高いことになり，かつ，

英訳されたその論文に始まるとされる．経済学的ア

実質支出が大きいほど，厚生の水準も大きいことにプローチに基づく物価指数は（Cost of Living Index,

なる．実質消費支出額に明確な解釈を与える，とい

COLI）生計費指数と呼ばれるが，Konüs の真の生

う点が経済学的アプローチによる生計費指数の最大計費指数とも呼ばれる．

の利点であるとも言える．

支出関数は，価格ベクトルと効用水準を所与とし，生計費指数を物価指数と考える場合の第 1 の問題

一定の効用を得るために必要な最低の支出水準であは，生計費指数の計算には，効用関数，あるいは支る．効用関数を u ( q ) とし，t 地域における効用水

出関数の形状を正確に知ることが必要なことである．

準を u とすると，支出関数と支出総額の間には下だが，この問題は，Diewert（1976）による最良指数

記の関係がある．

（Superlative Index）によりほぼ解決されている．経E ( P, u ) = min ∑ p q：u ( q ) ≥ u  



済学的アプローチでは，観察される価格と数量が，

特定の（観察不能かつ時間や地域によって変わらない）効用最大化問題から導出されたものであると仮

定されている．すなわち，数量と価格は時間や地域= ∑ p q ( P, E ( P, u ) )ただし，u=u ( q ) は消費ベクトル q がもたらすに関わらず，同一の需要曲線上にあることになる．

効用水準，P は地域における価格ベクトル，q ( P,

この時，Diewert（1976）は，良く知られた指数算式

E ( P, u ) ) は需要関数である．ある数量ベクトル，であるフィッシャー指数，ウォルシュ指数，トルン

q  で評価された生計費指数はクビスト指数の 3 種類の指数算式は，任意の支出関PI ( P, P, q  ) =E ( P, u ( q  ) )E ( P, u ( q  ) )（7）

数の 2 階の近似となる支出関数に対応する生計費指数に一致することを示した．この定義はわかりにくで定義される．選好がホモセティックであれば，支いが，数量と価格が経済理論通りの動きをしていれ出関数は効用関数と単位費用関数の積となるので，

ば，フィッシャー指数やトルンクビスト指数は，局

上式から効用関数に関する部分がなくなり，所的には，経済理論が予測する生計費指数とほぼ一PI ( P, P, q  ) ==E ( P, 1 ) ×u ( q  )E ( P, 1 ) ×u ( q  )E ( P, 1 )E ( P, 1 )致するということになる．この性質のため，トルン
クビスト指数やフィッシャー指数は，最良指数，あるいは生計費指数と呼ばれることもある．
生計費指数を物価指数と考える第 2 の，そして最と，数量ベクトルを指定せずとも物価指数を定義す大の問題は，生計費指数の定義域は価格のみであり，ることが可能になる．この生計費指数で，2 地点の数量に依存していない点にある．生計費指数におい支出比をデフレートすると，て，数量は価格と効用水準，あるいは所得水準から∑ p q∑ p q

自動的に決定されており，数量や支出割合を観察す
PI ( P, P, q  )





=

る必要がない．また，生計費指数の定義（7）から明らかなように，この指数は，単調性，弱恒等性，1∑ p q∑ p qE ( P, 1 )×
E ( P, 1 )

次同次性，および推移性を満たす21）．しかしながら，
これらは全て，数量と価格が，生計費指数の背後にある選好関係に従い，厳密に需要関数上に存在する

E ( P, 1 )E ( P, u )×
E ( P, u ) E ( P, 1 )ことが前提である．最良指数として知られるトルンuuのは，この背後の仮定が成立していないことを示唆と，2 地点の効用水準の比となる．すなわち，支出生計費指数の背後の仮定，2 地点間で効用関数が同比を生計費指数でデフレートして得られる実質支出一である，という仮定は明らかに強すぎる．生計費==

クビスト指数が推移性はおろか単調性も満たさない
している22）．地域間の生計費指数に即して考えると，

168

経

済

指数の仮定に即し，北海道と沖縄が同じ選好を有し

研

究

くなる．

ていると仮定すると，北海道と沖縄の住民は，同一

Cardinal index の問題は，Hicks and Allen（1934）の価格・所得に直面したら，同じ支出パターンになのミクロ経済学の伝統である序数的効用理論から逸ることになる．しかしながら，両地域における気脱し，異なる効用関数の水準の比較を試みている点

候・食文化など，様々な違いにより，例え同一の価にある．異なる効用関数の水準を比較するためには，

格ベクトルに直面した同一の所得水準の家計であっ各効用関数をなんらかのルールで基準化する必要がても，2 地域における消費パターンは異なるものにあるが，その基準化の方法を観察された需要システなるだろう．冒頭で紹介したヘストンとディートン

ムから特定することは不可能である．Redding andもまた，世界各国における選好が異なることを踏ま

Weinstein（2020）は，CES 型効用関数に選好ショッ

え，選好が異なる際の生計費指数の計測が著しく困クを導入し，その選好ショックの単純幾何平均が常難であることを指摘しているのである．

にゼロになるという条件を加えることで，異なる効用関数の水準の比較を行っている．問題は，幾何平

3. 1

選好が異なる時の生計費指数

2 地点間で選好が異なる時，生計費指数を定義す均ではなく，算術平均のような他の平均算式を採用
すると指数の値が変化してしまうことである23）．

選好が時点や地域間でOrdinal index の場合はそのような問題は生じない

異なることを許容するということは，季節性や気候が，基準ベクトルをどう設定するか，という恣意性

ることは可能であろうか？

の違いによる人々の消費行動の違い，およびそれにが 残 る．本 稿 で は，Cardinal Index に お い て は

起因する生計費指数の違いをモデルで描写可能にな

Redding and Weinstein（2020）の CUPI に従い，Or-

り，生計費指数の対象範囲を著しく拡大するものでdinal Index においては，全地域の数量の単純幾何ある．

平均を基準数量ベクトルとし，実証分析の際に用いこれまで，2 種類の異質選好下の生計費指数が提案されている．s 地と t 地における効用関数をそれぞれ U, U とする．第 1 の生計費指数は，Cardinalindex であり，ることにする．具体的には，効用関数及び単位費用関数として下記を採用する．





 

U ( p, φ；σ ) = ∑ ( φ q ) E ( p , U  ( x  ) = U )E ( p, U ( x ) = U )C ( p, φ；σ ) =   


∑



p
φ




 

 ,



.

と す る も の で あ る．こ れ は，Redding and Wein-

ただし，σ は代替の弾力性であり，これは全地域

stein（2020）が提唱したものである．選好がホモセ

で 共 通 と す る．さ ら に，Redding and Weinstein

ティックの場合は（2020）に従い，下記の Normalization Condition をE ( p, U ( q ) = U )E ( p, 1 ) U=
E ( p, U ( q ) = U )E ( p, 1 ) U=

C  ( p )C  ( p )となり，生計費指数は単位費用関数の比となる．
Redding and Weinstein（2020）は効用関数が代替の課す24）．
∏ φ = 1.

すると，Redding and Weinstein（2020）の CUPI は
ln CUPI ( s, t ) =弾力性一定（CES）の 場 合 の 上 記 の 指 数 を CUPI−（CES Unified Price Index）と名づけ，その後の分析の基礎としている．
第 2 の生計費指数は Ordinal index であり，Balk（1989）
が提案したものである．
E  ( p , U  ( q  ) )E ( p, U ( q ) )とし，ある基準数量ベクトルでの効用水準を用いる
ものである．Balk（1989）は基準時の数量を用いることを提案しているが，その場合は推移性を満たさな

1 ∑ ( ln p−ln p )
N 
1 1 
∑ ( ln w−ln w ) ,1−σ N   と定義される25）．ただし，w は財 i の t 地における支出割合である．上記の生計費指数は，2 地点間の標準的な物価指数
For all p, q, p, q∊R  ,ln CUPI ( p, q, p, q )=1 ∑ ( ln p−ln p )N 

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

−

1 1 
∑ ( ln w−ln w ) ,1−σ N   

169

4．日本の都道府県データへの応用とみなすことも可能である．一般に生計費指数の定

4. 1

データ

義域は価格だけであり，数量は需要曲線上にあると4. 1. 1

総務省の「消費者物価地域差指数」

されるが，CUPI の場合は，任意の数量と価格の関

物価の地域差が小さい要因の 1 つとして，総務省

数として，すなわち公理的アプローチにおける物価の地域差指数では考慮されていない「持家の帰属家

指数とみなすことができる．これは，s 地において賃」の影響が考えられる．本稿では，持家の帰属家観察された数量と価格が全て需要曲線上にあるよう賃を算入した上で，前節で解説した様々な地域差指に選好パラメターを設定することが可能であり，か数の推計を試みる．はじめに，図 1 を公表データかつ，選好パラメターは地点により異なるため，全てら再現する方法について説明し，次に，持家の帰属の観察された価格と数量が（同一ではない）需要曲線

家賃の推計方法，最後に，（持家の帰属家賃を含む）

上にある，とみなして生計費指数を作成しているこ「総合」の地域差指数の推計結果を示す．

とを意味する．Abe and Rao（2020）は，この CUPI
が（A-2）
（A-3），，（A-4）及び（T-2）を満たすことを

4. 1. 2 『家計調査』の指数品目への分割統合

証明している．（A-1），すなわち弱恒等性は満たさ

図 3 は，地域差指数の公表値（図 1）と筆者らが推ないが，これは，2 地点間で選好が異なるとする仮

計した地域差指数を比較したものである．両者は完定から自然に生じるものであろう．CUPI の最大の全には一致していないものの，地域間の指数の大小問題は，代替の弾力性 σ が 1 の時に定義すること

関係はかなりの程度再現できているといえる．一方ができず，かつ，1 に近い値をとると不安定になる

で，なぜ両者は完全に一致しないのだろうか．これことである．集計対象が大分類のカテゴリー単位に

以降，公表値を完全に再現できない理由を交え，地なると代替の弾力性は 1 に近くなることが予想され域差指数を推計した手順を説明する．

る．したがって，CUPI は公理的にも経済学的にも本稿で使用する『家計調査』および『小売物価統

望ましい性質を有するが，Cardinal Utility を採用

計調査』はすべて，総務省のウェブサイトからダウしたことによる既存の経済理論との親和性，外生的ンロードできる公表データである．品目別，県庁所に課される Normalization Condition への依存性，

在都市別の 3 年分（2013 年〜2015 年）の月次データ

さらに代替の弾力性が 1 から大きく離れた値でなけを使用する．価格指数を計算するためには，2 つのればならない，という多くの欠点も有している．

調査を突合する必要があり，以下に品目レベルでのBalk の Ordinal COLI は，選好が CES 型の場合

突合方法について説明する．
2015 年基準の消費者物価指数（以下，CPI）は 585

は品目から成る26）．CPI は『家計調査』から得られる

COLI −Balk      
p
φ



p
φ



where q = Π






∑

=




∑
















 

× ∑ ( φ q ) 






× ∑ ( φ q )


 






 

支出データと，『小売物価統計調査』から得られる価格情報から作成されているが，2 つの調査の品目

 

数がちょうど 585 である，というわけではない．例
えば，2015 年の『家計調査』の品目数は 512 品目,であり27），CPI の品目数である 585 を大きく下回っ

で定義される．ここでは Reference ベクトルとして，ている．調査品目数のギャップは，総務省による

Gini 型と同様に各都道府県の数量の単純幾何平均「分割統合」という作業で埋められている．この点qとしている．この指数は CUPI よりも複雑であるが，について，パンを例に説明する（図 4）．パンの指数選好が異なる場合の生計費指数となっており，経済品目は「食パン」，「あんパン」，「カレーパン」の 3

学的に明確な解釈が可能であること，序数的効用につであり，『小売物価統計調査』ではこれら 3 つの依拠していることなど，多くの利点がある．一方，品目に対応する価格データが収集されている．一方，その公理的な特徴は CUPI ほどには知られておらず， 『家計調査』のパンに関する支出項目は「食パン」
今後の研究が期待されるものである．

と「他のパン」の 2 つのみである．上述した分割統
合とは，家計調査の支出データを指数品目へ按分することを指す．具体的には，図 4 の 110，510，
4

170

経

済

研

究

図 3．公表値と独自推計の比較（2015 年）

出所） 総務省による公表値は『小売物価統計調査（構造編）』「第 1 表 10 大費目別消費者物価地域差指数（全国平均=100）」より作成．
注） 図中の都市は，「持家の帰属家賃を除く総合（総務省による公表値）」の指数が大きいものから順に並んでいる．

図 4．分割統合の例：パン出所） 総務省「2015 年基準 消費者物価指数の解説 5 家計調査品目の指数品目への分割統合」をもとに作成．

図 5．地域別に異なる按分比率の例：上下水道料

10 が按分比率であり，「他のパン」の支出金額の 10た．これが公表値との乖離を生み出す 1 つ目の要因

分の 1 は「食パン」，10 分の 5 は「あんパン」，10である．

分の 4 は「カレーパン」に按分される．本稿では，総務省が公表している按分比率に基づき，家計調査の全品目について，指数品目への分割統合を行った28）．

4. 1. 3

価格データの調整

2 つ目の乖離要因は，総務省が持つ都市別・品目別の価格情報と，一般に利用可能である価格情報が

ただし，分割統合には以下のような問題があり，一致しない，という点があげられる．周知の通り，

公表値との乖離を生み出してしまう．それは，一部

CPI の価格情報は『小売物価統計調査』の調査デーの品目について地域別の按分比率が用いられており，

タを用いているが，容量や製品内容の変化を反映す

これらの情報は公表されていない，という点である．

るために，総務省はあらゆる品質調整を行っている．

例えば，図 5 は「上下水道料」の「水道料」と「下つまり，一般に利用可能な『小売物価統計調査』の水道料」への按分方法を示している．「市町村別に価格データは，品質調整「前」の情報であり，品目分割」とは，全都市一律ではない按分比率が用いらデータから独自に地域差指数を計算するためには，れていることを示しているが，具体的な按分比率に

価格データに対する何等かの品質調整が不可欠であ

ついては一般に公表されていない．そこで本稿では，

る29）．本稿では，価格のジャンプが観察される品目

未公表の按分比率については，等配分で按分を行っについて，以下のように価格データの調整を実施し

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

171

表 1．銘柄変更の遷移：トイレットペーパー
適用期間

基本銘柄

〜2017 年 12 月

1 パック

2 枚重ね 27.5 m 又は 2 枚重ね 30 m，12 ロール入り

2018 年 1 月〜2020 年 9 月
2020 年 10 月〜

単位

再生紙 100％，白，〔長さ〕55 m，60 m，
パルプ 100％，白，〔長さ〕50 m，60 m，
2 枚重ね 25 m 又は 2 枚重ね 30 m，12 ロール入り

1 パック

パルプ 100％，白，〔長さ〕50〜60

1000 m又は 2 枚重ね 25〜30 m，12 ロール入り

出所） 総務省『小売物価統計調査』「毎月の調査品目及び基本銘柄」より抜粋作成．

図 6．価格の推計箇所：トイレットペーパー

た．

によるものである（表 1）．つまり，容量以外の品質（A）調査銘柄の「容量変化」が公表されているケ

変化が生じているわけであるが，再生紙とパルプのース

品質変化を筆者らが推計することは困難である．そ総務省が公表している「これまでの調査品目及びこで，本稿では下記の方法で価格の調整を実施した．

基本銘柄の新旧対照表」30）において，「単位」の列にp を t 期の都市 j における（調整前の）トイレッ

容量変更が明記されている場合は，容量単価を計算

トペーパー価格，2015 年の 47 都市のトイレットペ

し，容量の変更による価格の変化分を調整した．

ーパーの単純平均価格を ( p ) と表す．ここで，（B）（A）
以外のケース

トイレットペーパーに関する月次の CPI（全国，

容量調整以外の価格の調整方法について，トイレ
ットペーパーを例に説明する．表 1 は，トイレット
ペーパーの基本銘柄の遷移をまとめたものである．
また，図 6 は東京都区部のトイレットペーパー価格を示している．図中の「調整係数による価格」については後述する．表 1 によれば，トイレットペーパ

2015 年基準）を利用し，t 期における 47 都市の単純平均価格を以下のように推計する．
CPI 全国

p = p× CPI 全国 .

 と（8）の比率を計
次に，各 t 期の単純平均価格 p
算し，ADJt（調整係数）と定義する．

ーは 2020 年 10 月から，価格の単位が 1 パックから

ADJt =

1000 メートルに変更になっている．この変更にともない，図 6 では 2020 年 10 月に価格が大きくジャンプしていることが読み取れる．なお，価格のジャ

（8）

p

p

.

（9）

最後に，p に調整係数を掛け合わせ，調整後の価格 p' とする．

ンプは 2018 年 1 月にも観察されており，これはp' = ADJt× p.

「再生紙 100％」から「パルプ 100％」への銘柄変更

上記の方法で推計された価格が図 6 の「調整係数

（10）

172

経

済

表 2．調整係数を用い，一部の価格を推計した品目
code

品目名

研

究

2 月は「前月分」のデータが存在しないため，（C3）のケースに該当する31）．

2041

ワイン
（国産品）

以上の方法で，都市別・品目別価格がバランス・

2042

ワイン
（輸入品）

パネルになるように価格データの欠損部分を補間し

3104

給湯機

た32）．なお，価格データを整備する際に用いた出所

3176

水道工事費

は表 3 の通りである．品目数の合計は 578 であるが，

4032

電気掃除機

10 の品目については，都市別の価格ではなく『小

4271

布団カバー

売物価統計調査』の「全国共通価格」を用いている．

4302

皿

4362

マット

4413

トイレットペーパー

4501

家事代行料

6061

はり薬

6091

漢方薬

9111

ボールペン

9156

ゲームソフト

9682

口紅 B

9751

腕時計

さらに，76 品目については CPI の「全国」を利用
し て い る．表 4 は，（C-1），（C-2），（C-3）の 方 法 でデータを推計した件数を示す．
以上をまとめると，図 3 における公表値と独自推計が乖離する原因の 2 つ目は，本稿で使用する価格
データが総務省の保有する価格情報と完全に一致しない点である．加えて，総務省の地域差価格指数は
全国平均価格が基準であるが，本稿では 47 都市の平均価格が基準である点も乖離の一因と考えられ
る33）．
4. 1. 4による価格」である．同方法で価格の調整を行った
品目は表 2 の通りである．
（C）価格データ自体が存在しないケース

持家の帰属家賃の推計

次に，本稿における「持家の帰属家賃」の推計方法を説明する．
総務省の地域差指数では「持家の帰属家賃」は対（C-1）支出に季節性のある品目，あるいは，出回象外であるが，CPI では「持家の帰属家賃」を含む

り月が限定される品目については，価格調査自体が「総合」指数が公表されている．図 8 は CPI におけ実施されていない．これらのケースについては，前る 47 都市の「持家の帰属家賃」のウェイト（1 万分

月の価格で欠損月を補間した．

比）を示す34）．最大値は東京都区部の 1854，最小値（C-2）調査銘柄の新設・廃止等が原因で，ある年は福岡の 1029 であり，地域間でかなりのばらつきについて 12 カ月すべての価格が存在しない場合は，があることが観察される．なお，「持家の帰属家賃」

都市別・品目別に 2015 年の（12 カ月）単純平均価格の全国におけるウェイトは 1499 である．

を算出し，CPI（2015 年基準，都市別・中分類）を掛

本稿では，図 8 のウェイト（都市 i のウェイトをけ合わせ，欠損月を補間した．なお，使用しているw とする．）から，以下の方法で都市別の「持家のCPI は品目レベルのものではなく，上位の中分類指帰属家賃」の金額を推計する．

数である点に注意されたい．これは，都市別には品x：持家の帰属家賃（年間）

目別の CPI が公表されていないためである．

S：消費支出合計額（年間，2015 年 1 月〜12 月（C-3）（C-2）に該当しないケース，すなわち，年のの家計調査から計算）

途中から価格調査が開始されている品目については，w =（C-2）と同様の方法で価格データを補間した．

xw
, x =
S .
S+x
1−w

（11）

図 7 は，上記の（C-1）から（C-3）の補間結果につ（11）の第 2 式を 12 で割り，1 か月あたりの「持いて，「かつお」の例を示している．かつおは，1

家の帰属家賃」とする．図 9 が推計結果である．最年のうち，11 月から 2 月までは価格が調査されて大値は東京の 71,511 円，最小値は那覇の 29,849 円

いない（上述した（C-1）のケースに該当する）
．さら

である．

に，2017 年以降は，「かつお」が調査品目から外れ，
1 年を通して価格データがまったく存在しない（（C2）のケースに該当する）．最後に，2013 年の 1 月，

4. 2

推計結果

現在，国際的に広く利用されている地域間物価指地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

173

図 7．価格データの補間推計の例

注） 図中の（C-1），（C-2），（C-3）
は以下の方法で価格情報を補間．
（C-1）小売物価が欠損でない前期の値で補間．
（C-2）ある年について，12 カ月すべての価格が欠損であるケース（調査品目の新設・廃止等が原因）
2015 年の都市別・品目別の平均価格と CPI（都市別・中分類）から推計した値で補間．
（C-3）（C-2）に該当しない欠損のケース．
から推計．
（C-2）と同じく，2015 年の都市別・品目別の平均価格と CPI（都市別・中分類）

表 3．価格データの出所
No.
1
2
3

調査名
小売物価統計調査
消費者物価指数
（CPI）

対象地域

品目数

県庁所在都市（47 都市）

502（うち，2015 年以降は全国統一価格）
全国

（10）
76

品目数の合計表 4．バランス・パネルにした場合のデータの補間状況
year

小売物価

C-1

C-2

C-3

Total

2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020

290,953
290,900
307,484
307,466
307,153
307,148
307,107305,374

12,861
17,247
17,562
17,64817,462
17,435
17,512
18,161

17,58017,568
660
660
1,200
1,200
1,200
1,788

4,598
277
286
218
177
209
173
669

325,992
325,992
325,992
325,992
325,992
325,992
325,992
325,992

Total％

2,423,585
92.8

135,888
5.2

41,856
1.6

6,607
0.3

2,607,936
100.0

注 1） 表中の（C-1）〜（C-3）は以下の方法で価格情報を補間．
（C-1）小売物価が欠損でない前期の値で補間．
（C-2）ある年について，12 カ月すべての価格が欠損であるケース（調査
品目の新設・廃止等が原因）．
2015 年の都市別・品目別の平均価格と CPI（都市別・中分類）から推計した値で補間．
（C-3）（C-2）以外の欠損のケース．
（C-2）と同じく，2015 年の都市別・品目別の平均価格と CPI（都市
別・中分類）から推計．
注 2） 578（品目）×47（都市）×12（か月）=325,992．

578

174

経

済

研

究

図 8．「持家の帰属家賃」のウェイト（県庁所在都市，万分比）

出所） 総務省『消費者物価指数（2015 年基準）』．
注）「総合」のウェイト（10,000）から「持家の帰属家賃を除く総合」のウェイトを引いて算出．

図 9．持家の帰属家賃（1 か月あたり）の推計値

データ出所） 総務省『消費者物価指数（2015 年基準）』および，総務省『家計調査』より推計．

数の算式は GEKS-フィッシャーであり，その指数したものである．まず上段の食料支出に関しては，算式を用いた都道府県間物価指数は図 10 にまとめ

各指数算式間での差はほとんどなく，また都道府県

られている．なお，指数の値は東京が 1 になるよう間の差も小さな範囲に収まっている．最大値の横浜基準化している．食料品の都道府県間価格差は少なと最小値の奈良の間の差は 10％ ポイント程度であく，食料以外の差は大きい．その結果，総合値ではる．一方，非食料品支出になると指数算式間の差は東京と他の地域の間で最大で 20％ ポイントという大きくなり，特にジェボンズ指数，すなわち単純幾

大きな相違が生じている．しかしながら，その差の何平均指数は他の指数と際立って異なる値となって大部分は持ち家の帰属家賃で生じており，持ち家のいる．他の指数も，ラスパイレスとパーシェの間の帰属家賃を除いた場合，東京と他の県の差は，最大ギャップは最大で 10％ ポイント程あり，無視できでも 10％ ポイント弱と，ほぼ半減する．

ない大きさである．一方，フイッシャー指数とその図 11-1 は主要指数，すなわちラパイレス，パー

GEKS の間の差は小さく，最大でも 1％ ポイント程シェ，フィッシャー，ジェボンズ，及び GEKS の度の差にとどまっている．都道府県間の差は非常にフイッシヤー指数の 47 都道府県別の指数を表して大きく，最大の東京に比べて最小の山口は 26％ ポ

いる．なお，GEKS 以外の指数は全て東京を基準とイントも低い値となっている．下段はこれらの集計

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

175

図 10．推計対象別・指数の比較（GEKS-Fisher，2015 年）

出所） 総務省『家計調査』，総務省『小売物価統計調査』より独自推計．

となる総合の結果を示しており，非食料品ほどではど生じないが，非食料に関しては指数算式間でも，ないにしろ，指数算式の差，および都道府県間の差

地域間でも大きな相違が生じていた．その違いの大が無視できないものであることを伺うことが出来る．

部分は帰属家賃の影響によるが，指数算式間の違い

図 11-2 は，主要算式以外の指数算式の結果をまも無視できないものがあり，地域間物価指数を用いとめたものである35）．図 11-1 とおよそ同様の結果て分析を行う場合，現行の公式統計と今回作成したとなっており，食料品に関しては指数算式間の差は指数では，その結果は異なってくるだろう．現行のほとんど生じないが，非食料品に関しては，CUPI

公式統計は，帰属家賃を除いている以外にも，指数がジェボンズ指数と同様に，他の指数と大きく異な算式が国際標準と異なるものになっており，デフレ

る結果となっている．CUPI は生計費指数として明ーターとして用いた場合，得られる「実質」消費支

確な経済学的根拠を有する指数であるが，そこで採出，あるいは「実質」所得・賃金に経済学的な解釈用されている Normalization Condition の影響によを与えることが困難である．また経済厚生の尺度とり，弾力性が大きい場合はジェボンズ指数とよく似して地域間物価指数を用いる場合，帰属家賃の影響た結果となってしまうのである．他の指数算式間でを除くことは経済学的には正当化しにくい．今回，は，Abe-Rao 指数が比較的高く，Gini 指数が比較

帰属家賃を含み，かつ，多数の指数，具体的には経的低い値となっている．そして Balk および Geary-済理論との整合性を重視した CUPI および Balk 指Khamis がそれらの間にあるが，それらの大小関係

数，国際標準に準拠したフィッシャー型の GEKS，

は絶対的なものではなく，県によっては大小が逆転

広く応用分析で用いられる Sato-Vartia 指数に準拠

し て い る．代 表 的 な 地 域 間 指 数 で あ る Geary-

した Abe-Rao 指数，GEKS の問題点である Weak

Khamis と GEKS-フィッシャーの間には平均してIdentity の欠如を解決する Gini 指数，かつての国

0.84％ ポイント，最大で 1.3％ ポイント程度の差が際 標 準 で，そ の 理 論 的 特 性 が 広 く 知 ら れ て い る

生じており，決して無視できない大きさの相違であGeary-Khamis 指数等，多様な指数を計算した．多る．

様な指数の中で，全てにおいて優れている指数は存
5．結語

本考察では，近年急速に進展しつつある地域間物
価指数の理論に関して展望すると共に，日本の都道

在せず，それぞれ利点と欠点を有している．それら多数の指数の中から，分析目的に最も適した指数を選択することで，分析の精度を向上させることが可能になると筆者は考えている．

府県別データを用い，それら指数算式の違い，およ今回の分析においては，総務省が公表しているデび現行の公式統計では含まれていない帰属家賃の影ータに基づいて指数を計算している．残念ながら，響も加味した推計を行った．その結果，食料に関し

公開情報のみからでは公式統計と完全に一致する指ては指数算式間でも地域間でも物価の相違はほとん

数を作ることはできず，非公表の様々な情報が残さ

176

経

済

研

究

図 11-1．地域差指数（2015 年，上段：食料，中段：食料以外，下段：全品目）

出所） 総務省『家計調査』，総務省『小売物価統計調査』より独自推計．
注） 持家の帰属家賃を含む．

れている．今回計算した指数の値，特に地域間格差

では公式統計以外の情報も利用可能になっており，の中には，非公表の地域間の商品の品質差が含まれそれらの情報をいかした分析は今後の課題としたい．

ている可能性は否定できない．また，地域別の価格

より根源的な課題としては，本稿では地域間でのデータは，Point of Sales データや生鮮市場のデー

人間の移動はないものと想定しているが，国内旅行

タ，さらには Web Scraping によるものなど，現在

は地域間の人の移動を前提としており，例えば広島

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築

177

図 11-2．地域差指数（2015 年，上段：食料，中段：食料以外，下段：全品目）

出所） 総務省『家計調査』，総務省『小売物価統計調査』より独自推計．
注 1） 持家の帰属家賃を含む．
注 2） Gini は，（2）
式による．

県在住の人が東京を旅行した場合のデフレーターは

市区町村単位で生計費指数が異なることもありうる．

何を採用するべきかに関しては，多くの論点がある

地域間移動の考慮も含め，より多様な人間の行動をだろう．そもそも，分析単位として都道府県が適切許容した地域間物価指数の構築は，今後の課題としであるのか否かも検証すべきものであり，より狭い，

たい．

178

経

済

（＊＊一橋大学経済研究所
・四国大学経営情報学部）

注＊ 本論文に対し，清水千弘・作間逸雄両氏から多くの貴重なコメントを頂いた．また，経済研究所定例研
究会においてもいくつかの示唆を頂いた．本研究遂行に あ た り，阿 部 は 科 学 研 究 費 補 助 金（19H01467，
20H00082），稲倉は科学研究費・研究活動スタート支援（19K23223）の補助を受けた．ここに感謝したい．
1） 集計理論の歴史的展開に関しては，その分野を牽引してきたクラインとゴーマンによる論文，Klein（1993），Gorman（1996）が参考になる．
2） Selvanathan and Rao（1994）と Balk（2008）は（1）
初 期（原 子 的：Atomistic），（2）公 理（テ ス ト）的，（3）
経済学的，そして（4）確率的，と 4 種類としている．
2004 年発行の CPI マニュアルでは，（1）公理（テスト）
的，（2）経済学的，そして（3）確率的，の 3 種類である．
3） フリートウッドの指数に関しては Afriat（1977），
ドュト以降の指数の歴史に関しては Balk（2008）が詳しい．
4） 購買力平価の計測において，世界銀行による確率的アプローチの活用方法に関しては World Bank
（2013）を参照せよ．
5） 確率的アプローチと明記していなくとも，回帰分析をベースに物価指数を求める Hamilton（2001）や
Handbury and Weinstein（2015）も確率的アプローチによる指数作成と言えるだろう．
6） 確率的アプローチはイシドロ・エッジワーズが20 世紀初頭にかけて精力的に分析していたが，その後50 年以上忘れられていた．20 世紀末に，確率的アプ
ローチの再興の立役者となった二人の著者による本，
Selvanathan and Rao（1994）は，このアプローチに関するわかりやすい入門書となっている．
7） 単調性と 1 次同次性から，下記の物価指数は s
地を基準とし t 地の価格が比較的高いか低いか示すものであることがわかるだろう．
8） CPI マニュアルは国際労働機構や国際通貨基金，
世界銀行等多くの国際機関が共同で製作している物価指数構築に関する，各国の統計作成者を対象としたマニュアルであり，最新版は理論編と実務編に分かれ，実務編は 2020 年に発行されている．ここでは，その前に出版された 2004 年版を参考にしている．
9） 公理的アプローチは Fisher（1922）以降，急速に発展した．特に Frisch（1936）による展望論文は，以下の 2 つの公理における問題点を明らかにし，多くの研究がなされた．公理的アプローチの金字塔は Eichhorn and Voeller（1976）であり，それ以降の指数理論の進展に多大な影響を与えている．
10） Funke, et al.（1979）と Balk（2008）に定理 2 の証
明，および，Eichhorn and Voeller（1976）に定理 1 をさらに一般化させたものの証明が載っている．
11） Fisher（1922）は，推移性の代わりに時点反転性（国反転性）という公理を導入し，いわゆるフィッシャー指数が理想算式であると論じているが，推移性を研

究

みたさなくてよい理由についてほとんど論じておらず，Samuelson and Swamy（1974）により強く批判されている．
12） この指数は，Fixed Basket と呼ばれる指数の中で，（T-2）と（T-3）を満たす唯一の指数であることが Abe and Rao（2022）で示されている．
13） これは Fisher（1922）における時点反転性と同じ公理である．
14） この定理の証明は Rao and Banerjee（1986）に掲載されている．
15） GEKS の 経 済 理 論 と の 不 整 合 性 に 関 し て はNeary（2004）を参照せよ．
16） 各都道府県の物価を全国平均価格からの乖離でとらえる際，全国平均価格の定義が問題となる．この点に関しては宇南山（2002）と美添（2002）が独自の算式を提案している．
17） 倉林義正，作間逸雄両氏の GK 法に関する一連の研究はこの分野で広く引用されており，その成果
は Kurabayashi and Sakuma（1990）にまとまっている．
さらに，作間・市岡・牧野（2015），（2016）は GK 法を用いた日本の都道府県間物価指数を計算している．
18） 詳細は Rao（1971），および Rao and Banerjee（1986）を参照されたい．
19） なお，上記のシステムは自由度が 1 であるため，実際に反復計算をする際には，例えばある地域のPPP を常に 1 にする，などの基準化が必要である．
20） GK 法の最大の問題点は（T-3）が満たされないことである．他の GK 法の問題点に関しては Ackland
et al.（2013）を参照されたい．また，Penn World Tableに お け る GK 法 の 活 用 に 関 し て は Feenstra et al.
（2015）が詳細に解説している．
21） 効用関数は各商品の計測単位に依存して定義されることが多い．そのため，商品の計測単位が変更された場合，効用関数もまたそれに合わせて変化させるというプロセスを導入しないと，位無差別性は一般に確保されない．
22） トルンクビスト指数，及び代替の弾力性が一定（CES）の時の効用関数に対応した生計費指数である
Sato-Vartia 指数が単調性を満たさないことに関しては，
Reinsdorf and Dorfman（1999）を参照せよ．
23） Abe and Rao（2020）は，こ の 基 準 化 条 件 のCharacterization を行い，基準化条件をユニークに決定する公理を導いている．
24） Redding and Weinstein（2020）で は，taste parameter の幾何平均を定数とし，1 に限定していないが，定数である限り CUPI の値は同じとなる．
25） 詳細は Redding and Weinstein（2020）を参照せよ．
26） 585 品目のうち 4 品目（とうが，ポーク缶詰，
ゆで沖縄そば，沖縄そば（外食））は沖縄でのみ調査されている．また，地域差指数には含まれていないが，「持家の帰属家賃」も 585 品目に含まれている．
27） 小計等を除く品目数．なお，「他の麵類」「他の鮮魚」等，特定の品目に割り振られていない項目も512 品目に含まれる．
28） 按分比率の情報は，総務省「2015 年基準 消費者物価指数の解説 5 家計調査品目の指数品目への分割

地域間物価指数の理論と都道府県別物価指数の構築統合」で公表されている．
URL: https: //www. stat. go. jp/data/cpi/2015/kaisetsu/
index.html
29） 東京都区部を除き，品目レベルでの CPI は公表されていないため，総務省が各都市，各品目にどのような品質調整を実施しているのか，完全に把握することは非常に困難である．
30） 総務省ウェブサイト「小売物価統計調査（動向編）調査結果」
URL: https: //www. stat. go. jp/data/kouri/doukou/3.
html31） 2013 年の 1 月に前月の情報が存在しないのは，
本稿で整備したデータの起点が 2013 年 1 月であることが原因である．
32） 本稿ではバランスパネルデータになるようにデータを加工したが，そもそも取引されている財が地域や時点により異なる場合，その情報を反映して物価指数を構築するべき，と考えることも可能である．財の種類が異なる場合の物価指数は Feenstra（1994）が有名であるが，この手法は効用関数に強い仮定を導入する必要があり，かつ需要要因により財がなくなるケースを分析できない．これは現在の指数理論の中心課題の 1 つである．
33） 地域差指数は，2013 年前後で基準価格が異なる．2013 年までは，51 都市平均が基準価格であったが，2014 年以降は全国平均が基準価格になっている．
なお，『家計調査』で公表されている 47 都道府県庁所
在地の世帯数ウェイトの合計は，全国の 10000 に対し，3251 である（2015 年 1 月調査）．
34） 都市別の「持家の帰属家賃」に関するウェイ
トは公表されていない．ただし，都市別の指数の「総合」から「持家の帰属家賃を除く総合」を引いたものが「持家の帰属家賃」のウェイトとなる．この計算方法については，総務省統計局のご担当者からご教授いただいた．
35） なお，σ は Feenstra（1994）の方法で推計した．
その結果，全品目：σ=4.057189，食料：σ=3.584906，
食料以外：σ=4.26849 であった．
参 考 文 献作 間 逸 雄・市 岡 修・牧 野 好 洋（2015）「PPP 計 測 のCGE 接 近（1）」，Economic Bulletin of Senshu University，Vol. 49，No. 3，pp. 1-17．
作 間 逸 雄・市 岡 修・牧 野 好 洋（2016）「PPP 計 測 のCGE 接 近（2）」，Economic Bulletin of Senshu University，Vol. 50，No. 3，pp. 1-23．
宇南山卓（2002）「消費者物価のクロスセクション比較について ― 全国物価統計調査の指数算式についての ノ ー ト ― 」『経 済 研 究』第 53 巻 第 4 号，pp.
337-347．
美添泰人（2002）「全国物価統計調査の算式について― 宇南山論文へのコメント ― 」『経済研究』第53 巻第 4 号，pp. 348-350．
Abe, N. and D. S. P. Rao（2019）“Multilateral Sato―
Vartia Index for International Comparisons of Prices
and Real Expenditures,” Economics Letters, Volume
183, 108535.

179

Abe, N. and D. S. P. Rao（2020）“Generalized Logarithmic Index Numbers with Demand Shocks―Bridging
the Gap between Theory and Practice,” RCESR
Discussion Paper Series DP20-1.
Abe, N. and D. S. P Rao（2022）“Towards a simplified
approach to international price comparisons : A casefor the Multilateral Walsh Index,” RCESR Discussion Paper Series DP22-1.
Ackland, R., S. Dowrick, and B. Freyens（2013）“Measuring Global Poverty : Why PPP Methods
Matter,” The Review of Economics and Statistics,
Vol. 95, No. 3, pp. 813-824, July.
Afriat, S. N.（1977）The Price Index, Cambridge
University Press.
Balk, B.（1989）“Changing Consumer Preferences andthe Cost-of-Living Index : Theory and Nonparametric
Expressions,” Journal of Economics, ErZeitschrift
fur National Ekonomie, Vol. 50, No. 2, pp. 157-169.
Balk, B.（2008）Price and Quantity Index Numbers,
Models for Measuring Aggregate Change and Difference, Cambridge University Press.
Deaton, A., and Heston, A.（2010）“Understanding
PPPs and PPP-based National Accounts,” American
Economic Journal : Macroeconomics, Vol. 2, No. 4, pp.
1-35.
Diewert, W. E.（1976）“Exact and Superlative Index
Numbers,” Journal of Econometrics, Vol. 4, Issue 2,
pp. 115-145.
Eichhorn, W. and J. Voeller（1976）Lecture Notes in
Economics and Mathematical Systems, SpringerVerlag.
Feenstra, R.（1994）“New Product Varieties and the
Measurement of International Prices,” American
Economic Review, Vol. 84, No. 1, pp. 157-177.
Feenstra, R., Inklaar, R., and Timmer, M.（2015）“The
Next Generation of the Penn World Table,” American Economic Review, Vol. 105, No. 10, pp. 3150-3182.
Fisher, I.（1922）The Making of Index Numbers,
Hougton Mifflin Compnay.
Frisch, R.（1936）“Annual Survey of General Economic Theory : The Problem of Index Numbers,”
Econometrica, Vol. 4, No. 1（Jan. 1936）, pp. 1-38.
Funke, H., G. Hacker and J. Voeller（1979）“Fisherʼs
Circular Test Reconsidered,” Swiss Journal of
Economics and Statistics, Vol. 115, IV, pp. 677-688.
Gini, C.（1931）“On the Circular Test of the Index
Number,” Metron, Vol. 4, No. 2, pp. 3-24．
Gorman, M. W.（1996）“Klein Aggregates and Conventional Index Numbers,” in C. Blackorby and A. F.
Shorrocks（eds）Separability and Aggregation : The
Collected Works of W. M. Gorman, Volume I,
Clarendon Press.
Hamilton, B. W.（2001）“Using Engelʼs Law to Estimate CPI Bias,” The American Economic Review,Vol. 91, No. 3, pp. 619-630.
Handbury, J. and D. E. Weinstein（2015）“Goods
Prices and Availability in Cities,” Review of Econom-

180

経

済

ic Studies, Oxford University Press, Vol. 82, No. 1, pp.
258-296.
Hicks, J. R. and R. G. D. Allen（1934）“A Reconsideration of the Theory of Value, Part 1,” Economica, Vol.
1, No. 1, pp. 52-76.
Hill, R.（1999）“International Comparisons Using
Spanning Trees,” in Alan Heston and Robert E.
Lipsey ed. International and Interarea Comparisonsof Income, Output, and Prices, University of Chicago
Press, pp. 109-120.
International Labour Organization （ILO）, Eurostat,
IMF, OECD, World Bank, and the UN.（2004）
Consumer Price Index manual : Theory and practice,ed. Peter Hill. Geneva : International Labour Organization.
Klein, L. R.（1993）“What is macroeconomics ?” in H.
Barkai, S. Fischer, & N. Livatan（Eds.）, Monetary
Theory and Thought（pp. 35-51）. London : Macmillan.
Konüs, A. A.（1924）English Translation “The Problem of the True Index of the Cost of Living,”
Econometrica, Vol. 7, No. 1，（Jan. 1939）, pp. 10-29.
Kurabayashi, Y., and I. Sakumra（1990）Studies inInternational Comparisons of Real Product andPrices, Tokyo : Kinokuniya.
Neary, J.（2004）“Rationalizing the Penn World Table :True Multilateral Indices for International Comparisons of Real Income,” The American Economic

研究

Review, Vol. 94, No. 5, pp. 1411-1428.
Rao, D. S. P（1971）“On the Existence and Uniquenessof a New Class of Index Numbers,” The Indian
Journal of Statistics, Series B, Vol. 33, No. 3  4, pp.
341-354.
Rao, D. S. P. and K. S. Banerjee（1986）“A MultilateralIndex Number System Based on the Factorial
Approach,” Statistical Papers, Vol. 27, No. 1, pp. 297313.
Redding, S. J. and D. E. Weinstein（2020）“Measuring
Aggregate Price Indices with Taste Shocks : Theory
and Evidence for CES Preferences,” The Quarterly
Journal of Economics, Vol. 135, Issue 1, pp. 503-560.
Reinsdorf, M. B., and A. H. Dorfman（1999）“The SatoVartia Index and the Monotonicity Axiom,” Journalof Econometrics, Vol. 90, Issue 1, pp. 45-61.
Samuelson, P. A. and S. Swamy（1974）“Invariant
Economic Index Numbers and Canonical Duality :Survey and Synthesis,” American Economic Review,Vol. 64, No. 4, pp. 566-593.
Selvanathan, E. A., and D. S. P. Rao（1994）Index
Numbers, a Stochastic Approach, The Macmillan
Press.
World Bank（2013）Measuring the Real Size of theWorld Economy : The Framework, Methodology,
and Results of the International Comparison Program―ICP, World Bank, Washington DC.