社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

非対称に結合されたカオスシステムにおけるパラメータ誤差と同期現象の関係について
細川康輝†

西尾芳文††† 四国大学経営情報学部 〒 771-1192 徳島県徳島市応神町古川†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島町 2–1
E-mail: †hosokawa@keiei.shikoku-u.ac.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp
あらましカオス同期現象では，誤差によって同期状態と非同期状態がランダムに遷移する現象が見られる．この現象と誤差の関係について，2 種類のカオス発生要素からなる完全結合系での調査を行い，一方のカオス発生要素の誤差を大きくした場合に，もう一方の同期割合が高くなる場合があることを確認している．本研究では，複数の系で見られたこの現象の共通点と差異について考察する．
キーワード

カオス，結合系，カオス回路，カオスマップ

Relationship Between Parameter Mismatches and Synchronization
Phenomena on Asymmetrically Coupled Chaotic Systems
Yasuteru HOSOKAWA† and Yoshifumi NISHIO††† Faculty of Management and Information Science, Shikoku University
Furukawa, Ohjin, Tokushima, 771–1192 Japan†† Faculty of Engineering, Tokushima University
2–1, Minami–Josanjima, Tokushima, 770–8506 Japan
E-mail: †hosokawa@keiei.shikoku-u.ac.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract A switching phenomenon between a synchronous state and a asynchronous state is observed in a coupledchaotic system including parameter mismatches. A relationship between the phenomenon and parameter mismatches
has investigated in the case of globally coupled systems which consist of two kinds of chaotic systems. As a result,
it is conﬁrmed that the synchronous rate of one kinds of the chaotic system is increased by increasing parametermismatches of the other. This phenomenon can be obteined in some systems whose elements are applied to somekinds of chaotic generators. In this study, common and diﬀerence points between systems are investigated.
Key words chaos, coupling system, chaotic circuit, chaotic map

1. は じ め に考えられている [3]- [5]．以上のことから大規模結合カオスシス
テムの研究は重要であると考えられる．

カオス現象が自然界において見られることが明らかとなり，一方，現実世界のネットワークには，2 つの要素から構成ささまざまな分野で研究が行われている．その中でも，カオス回れているものも多数存在する．たとえば，人間社会ネットワー

路の結合システムでは，カオス同期現象 [1] をはじめ，多様なクにおける男女，集積回路における半導体の P 型 N 型，多く現象が見られるため，工学的応用のみならず，自然現象，脳神の動物の雌雄の群れ，大気の高気圧，低気圧などが挙げられる．

経細胞の処理との関連を明らかにする目的で，精力的に研究さこれらの多くでは，2 種類の要素が互いに影響することで見られている．カオスの大規模結合系では，非常に簡単な差分法定れる現象も多々あると考えられる．そして，実世界では完全に式の組み合わせで，さまざまな興味深い現象が見られる金子の同じものはありえず，同一とみなされているものにも必ず差がCML・GCM [2] が知られており，それら現象と自然界の対応存在する．さらに，2 つの要素と大別できる系においても，各々についても多くの考察がなされている．さらにカオス回路を用のグループでの個体差はあり，系全体に影響を与えていると考いた結合系でも，興味深いさまざまな現象が確認され，応用もえられる．

—1—図2 神力回路

Fig. 2 Shinriki’s circuit.

Subsystem B (m + 1 <=k<= m + n):


ẋk



 ẏk

図 1 システムモデル

Fig. 1 System model.

以上の点から，2 種類のカオス発生要素の完全結合系に見られる同期現象と誤差の関係について調査を行い，以下のような現象を確認した [6]- [8]．カオス同期現象では，2 つの系の誤差によって，同期状態と非同期状態がランダムに切り替わる現象が見られ，誤差が大きいほど，非同期状態の割合が大きくなる．
この現象が 2 種類のカオス発生要素を用いた場合，誤差が大き

αβxk − αγf (xk − yk ),=δ{∑m+nxi +i=n+1n∑yj(2)j=1−(m + n)yk } + γf (xk − yk ) − zk ,żk=

(1 + qk )yk ,ここで，f (x) = x +くなるにも関わらず，非同期状態の割合が低下する現象である．
本研究では，この現象をいくつかの系について調査・比較=(|x − 1| − |x + 1|).
2である．xk は vk1 ， yk は vk2 ， zk は ik にそれぞれ対応する変数である．非線型関数 f (x) は，ダイオードの特性に対応すする．

る関数である．

2. システムモデル

2. 3 モ デ ル 2
本モデルでは，モデル 1 と同様に図 2 の回路を用いるが，節2. 1 システムモデル
図 1 に研究対象とした 2 種類のカオス発生要素の完全結合系

点 A のみで結合する．2 種類の要素としては，負性抵抗のパラのモデルを示す．すべてのカオス発生要素を相互に結合したもメータを異なる値にすることで実現した．本モデルの正規化しので，要素は大きく 2 種類に分けられる．さらに，同種類の要た回路方程式は以下の通りである．

素においても誤差を含ませ，その誤差が系全体に与える影響をSubsystem A (1 <=k<= m):調査する．本研究では，以下に示す複数のモデルについて調査を行った．

2. 2 モ デ ル 1
図 2 で示される神力回路 [9] は，3 次元自励振動回路で，負性抵抗の値の変化によって，周期倍分岐を経てカオスへ至る回路である．負性抵抗，キャパシタ 2 つ，インダクタ 1 つ，ダイオード 2 つで構成されている．結合する節点としては，図の節点 A，B2 つが考えられる．本モデルでは，節点 A，B のいずれかを結合点とすることで，2 種類の要素とした．本モデルの ẏk =żk =αβxk − αγf (xk − yk )∑+αδ{i=n+1xi +n∑j=1γf (xk − yk ) − zk ,żk =


ẋk =




Subsystem A (1 <= m):=k<m+n


ẏk =






αβxk − αγf (xk − yk )+αδ

{m+n∑}
xi − (m + n)xk,(3)i=1−zk + γf (xk − yk ),(1 + pk )yk ,Subsystem B (m + 1 <=k<= m + n):正規化した回路方程式は，以下の通りである．

ẋk =
ẋ = k
yj − (m + n)xk },
(1)


ẏk =

żk =εβxk − εγf (xk − yk )+εδ

{m+n∑}
xi − (m + n)xki=1,(4)

ζ {−zk + γf (xk − yk )} ,

η(1 + qk )yk ,(1 + pk )yk .
ここで，—2—ε ∑f (xn (j))
NN

xn+1 (i) = (1 − ε)f (xn (i)) +(7)j=1

ここで，n は，計算回数，i は要素の番号，f (x) はカオスマップの関数である．本モデルでは，ロジスティックマップ f (x) = 1−ax2を適用する．2 つの要素とするために，2 つのパラメータを用いる．すなわち，関数 f (x) は，以下の通りになる．

Subsystem A ( 1 <=k<= p):
図3 稲葉回路fA (xn (k)) = 1 − (1 + pk k)a1 xn (k)2

Fig. 3 Inaba’s circuit.

(8)

Subsystem B ( p + 1 <=k<
= p + q):f (x) = x +(|x − 1| − |x + 1|).
2fB (xn (k)) = 1 − {1 + qk (k − p)}a2 xn (k)2(9)である．xk は vk1 ， yk は vk2 ， zk は ik にそれぞれ対応する

ここで，n は計算回数，k は要素の番号，a1 ，a2 はロジスティッ変数である．非線型関数 f (x) は，ダイオードの特性に対応すクマップのパラメータ，p と q は，Subsystem A と Subsystemる関数である．

B の数，pk と qk は，Subsystem それぞれのパラメータ誤差

2. 4 モ デ ル 3

f (x) はカオスマップの関数である．

図 3 で示される稲葉回路 [10] は，神力回路と同じ 3 次元自励

2. 6 モ デ ル 5振動回路で，負性抵抗の値の変化によって周期倍分岐を経てカ本研究の調査対象である図 1 のシステムモデルとは異なるが，オスへ至る回路である．負性抵抗 1 つ，インダクタ 2 つ，キャモデル 1 の節点 B で結合された回路を van der Pol 発振器に置

パシタ 1 つ，ダイオード 1 つで構成されている．神力回路とはき換えたものが本モデルである．本モデルの正規化された回路

カオスアトラクタの形状が大きく異なっているため，比較対象

方程式は，以下の通りである．

としてこの回路を用いた．本モデルの正規化された回路方程式

Subsystem A(1 <=k<= m):は，以下の通りである．

Subsystem A (1 <=k<= m):ẋk = (1 + pk )zk ẏk = α {zk − f (yk )} ,żk =−xk − yk + βzk∑(5)

m+n+δ{

Subsystem B (m + 1 <=k<= m + n):ẋk = (1 + qk )zk
 ẏk = ζ {zk − f (yk )} ,żk =

η[−xk − yk + βθzk∑

+αδ{m+n∑}
xi − (m + n)xk,(10)i=10−zk + γf1 (xk − yk ),żk =(1 + pk )yk ,

ここで，

(6)

m+n+δ{0αβxk − αγf1 (xk − yk )ẏk =
zi − (m + n)zk , }i=1ẋk =

zi − (m + n)zk , }]0f1 (x) = x +(|x − 1| − |x + 1|)
.
2である．

i=1

ここで，γyk + 1 − |γyk − 1|.
f (yk ) =2である．xk は，ik1 ， yk は，ik2 ， zk は，vk にそれぞれ対応する変数である．非線型関数 f (x) は，ダイオードの特性に対応する関数である．

2. 5 モ デ ル 4
本モデルでは，カオス回路以外の結合要素としてロジスティッ

Subsystem B(m + 1 <= m + n):=k<ẋk

クマップを要素とし，モデル 2，3 と同様に 2 つの異なるパラメータを用いることで，2 種類の要素とした．
この系は，以下の式で表される金子によって提案された

GCM [2] をもとにモデルを導出する．

=

0εζf2 (xk ) − εzk+δε{m+n∑}xi − (m + n)xk,(11)

i=1żk=(1 + qk )ηxk ,ここで,0f2 (x) = x − |x + 1| + |x − 1|.

—3—

x1 − x2
x2 − x3
x3 − x4x4 − x5
図 4 モデル 1 のシミュレーション例

Fig. 4 One of the simulation results of Model 1.

である．xk は vk ， yk は vk ， zk は vk にそれぞれ対応する変図 5 モデル 1 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係．

Fig. 5 Relationship of the ratio of the synchronization time and数である．非線型関数 f1 (x) はダイオードの特性，非線型関数

small parameter mismatches in the case of Model 1. m =f2 (x) は非線形負性抵抗の特性に対応するものである．

2, n = 3, pk = 0.001(k − 1), α = 0.400, β = 0.500,
γ = 20.0 and δ = 0.070

3. シミュレーション

23. 1 シミュレーション設定

2

各モデルの要素の数は 5 とし，Subsystem A の数を 2，Sub-system B の数を 3 とした．図 4 は，モデル 1 のシミュレーションの一例である．この図は，例えば 1 列目の x1 − x2 のように−22 −222 つの要素間の差を表示したもので，振幅が 0 の場合は同期していることを表している．このように本研究で注目している同期状態と非同期状態がランダムに遷移する現象が見られる．さらに，この現象はパラメータ誤差の変化によって，同期・非同期の割合が変化する．このパラメータ誤差の変化と同期・非同期の割合を調査するため，同期を以下のように定義する．

|xk − xk−1 | < 0.01(12)−2−2(a) Subsystem A (k = 1)(b) Subsystem B (k = 3)

図 6 モデル 1 のアトラクタ．横軸 xk . 縦軸 zk ．

Fig. 6 Attractors of Model 1. Horizontal axes are xk and verticalaxes are zk .

加えて，Subsystem B の各要素に与えるパラメータ誤差 qk を変化させるため，以下のようなパラメータ誤差に関する変数 Qを設定する．

qk = Q(k − 1).

(13)すなわち，Q の増加は Subsystem B のパラメータ誤差の増加を意味する．
各モデルについて，パラメータ誤差 Q における同期割合を，シミュレーションにより求めた．同期割合は，計算 10000000回中に定義した同期を満たす回数の割合とした．各モデル毎のシミュレーション結果を以下に示す．

3. 2 モ デ ル 1
パラメータ誤差の変化による同期・非同期の割合をシミュレーションにより調査した結果が図 5 である．このとき，Q の

図 7 モデル 2 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係．

Fig. 7 Relationship of the ratio of the synchronization time andsmall parameter mismatches in the case of Model 2. m =2, n = 3, pk = 0.001(k − 1), α = 0.600, β = 0.500,
γ = 20.0, δ = 0.070, ε = 0.6, ζ = 1.5 and η = 0.5.

増加によって Subsystem B の同期割合は減少しているもののSubsystem A の同期割合が増加している．図 6 は，Q = 0.001
におけるモデル 1 の要素のアトラクタである．パラメータによってダブルスクロール型のアトラクタも見られる回路であるが，そのようなパラメータでは現象は確認できず，図 6 のようなアトラクタとなるパラメータにおいて現象が確認できた．

3. 3 モ デ ル 2と同様に Q の増加によって Subsystem B の同期割合は減少しているものの Subsystem A の同期割合が増加している．図 8は，モデル 2 の要素のアトラクタである．このように，ダブルスクロール型のアトラクタが見られる．Subsystem A，B でパラメータを異なる値にしているため，多少アトラクタの形状が異なっている．

パラメータ誤差の変化による同期・非同期の割合をシミュレーションにより調査した結果が図 7 である．このとき，モデル 1—4—

2−2422 −22−444 −44−2−2−4−4(a) Subsystem A (k = 1)(b) Subsystem B (k = 3)(a) Subsystem A (k = 1)(b) Subsystem B (k = 3)

図 8 モデル 2 のアトラクタ．横軸 xk . 縦軸 zk ．

Fig. 8 Attractors of Model 2. Horizontal axes are xk and vertical

図 10モデル 3 のアトラクタ．横軸 xk . 縦軸 zk ．

Fig. 10 Attractors of Model 3. Horizontal axes are xk and verti-axes are zk .

cal axes are zk .
1−11 −1

図 9 モデル 3 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係．

1−1−1(a) Subsystem A (k = 1)(b) Subsystem B (k = 3)

図 11Fig. 9 Relationship of the ratio of the synchronization time and1

モデル 4 のアトラクタ．横軸 xn (i). 縦軸 xn+1 (i)．

Fig. 11 Attractors of Model 4. Horizontal axes are xn (i) andvertical axes are xn+1 (i).

small parameter mismatches in the case of Model 3. m =2, n = 3, pk = 0.001(k − 1), α = 6.00, β = 0.400,
γ = 100.0, δ = 0.060, ε = 1.4, ζ = 7, η = 0.5, andθ = 1.2.

3. 4 モ デ ル 3
パラメータ誤差の変化による同期・非同期の割合をシミュレーションにより調査した結果が図 9 である．Q の増加によって Subsystem B の同期割合は減少しているものの Subsystem

A の同期割合が増加している．図 10 は，モデル 3 の要素のア

図 12

モデル 4 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係．

トラクタである．このように， モデル 1，2 と異なるアトラク

Fig. 12 Relationship of the ratio of the synchronization time

タが見られる．これは，モデル 1，2 に用いられた神力回路がand small parameter mismatches in the case of Model 4.

原点ではない 2 つの平衡点をもつため，原点以外を中心とする

p = 2, q = 3, pk = 0.050(k − 1), a1 = 1.70, a2 = 1.98

アトラクタがみられ，本モデルで用いられる稲葉回路が平衡点

and ε = 0.40.

を原点にもつためである．しかしながら，1 つの平衡点を中心とするアトラクタである点ではモデル 1 と同様である．

が異なる．連続時間，離散時間との差あるが，パラメータの違

3. 5 モ デ ル 4

いで 2 種類の Subsystem を形成している点では，モデル 2，3

本モデルは，離散時間モデルであるので，同期を以下のようと同様であるといえる．に定義した．

3. 6 モ デ ル 5

本モデルは，図 1 のシステムモデルとは異なるが，このモデ(|xn−1 (i)−xn−1 (i+1)| < 0.05)∩(|xn (i)−xn (i+1)| < 0.05)(14) ルの調査によって，Subsystem B の発するカオスと現象との関図 12 は，モデル 4 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係を表している．この場合においても，Q の増加によってSubsystem A の同期割合の増加が見られる．図 11 は，横軸xn (i)，縦軸 xn+1 (i) としたマップを表している．パラメータの値が異なっているため，Subsystem A と Subsystem B の形状連について考察できる．
パラメータ誤差の変化による同期・非同期の割合をシミュレーションにより調査した結果が図 13 である．このように Qの増加によって Subsystem A の同期割合が増加する結果を得られたものの，Q の値は非常に大きい．また，この結果を得る—5—

4. まとめと今後の課題本研究では，2 種類のカオス発生要素の完全結合系に見られる同期現象と誤差の関係について調査を行った．結果として，複数の系において一方の Subsystem の誤差を増加した場合に，他方の同期割合が増加することを確認し，この現象が，誤差を含む Subsystem がカオス状態で，かつ同期，非同期を遷移する場合に，2 つ Subsystem が互いに同期し得ないのであれば見られる現象だと推測できることを示した．
今後の課題としては，今回得た定性的特徴や推測を理論的に
図 13

モデル 5 におけるパラメータ誤差と同期割合の関係．

Fig. 13 Relationship of the ratio of the synchronization timeand small parameter mismatches in the case of Model
5. m = 2,

pk = 0.001(k − 1),

n = 3,

α = 0.400,

β = 0.620, γ = 20.0, δ = 0.080, ε = 0.1, ζ = 0.3,
η = 0.2.
2−222 −22−2−2(a) Subsystem A (k = 1)(b) Subsystem B (k = 3)

図 14

モデル 5 のアトラクタ．横軸 xk . 縦軸 zk ．

Fig. 14 Attractors of Model 5. Horizontal axes are xk and vertical axes are zk .

ことは非常に困難で，多くのパラメータの範囲ではこのような結果を得ることはできなかった．図 14 は， Q = 0.1 でのアトラクタである．図 14(a) は，図 6(a) と非常に似たアトラクタであり，カオス状態であることも分かる．図 14(b) は，カオスアトラクタが見られているが，このパラメータにおいて van der

Pol 発振器単体では正弦波発振が見られるので，カオス回路の影響によるものだと考えられる．また，Q の増加とともに振幅自体が大きく減少していくことも確認できた．このため，図 13説明することが挙げられる．
文

献[1] L. M. Pecora and T. L. Carrol, “Synchronization in ChaoticSystems,” Physical Review Letters, vol. 64, pp. 821–824,
1990.
[2] K. Kaneko, “Clustering, Coding, Switching, HierarchicalOrdering, and Control in a Network of Chaotic Elements,”
Physica D, vol. 41, pp. 137–172, 1990.
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J82-A, No. 3, pp.375–385, 1999.
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Proc. ISCAS’02, vol. 3, pp. 57–60, 2002.
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Synchronous Rate and Small Variations on an Asymmetrical Coupled Chaotic System,” Proc. NOLTA’05, pp. 166–169, 2005.
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Coupled System Using Chaotic Circuits and van der Pol
Oscillators,” Proc. of NCSP’06, pp. 54–57, 2006.
[8] Y. Hosokawa and Y. Nishio, “Synchronization Phenomena
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Circuits or Maps,” Proc. of NDES’07, pp. 30–33, 2007.
[9] M. Shinriki, M. Yamamoto and S. Mori, “Multimode Oscillations in a Modiﬁed van der Pol Oscillator Containing a
Positive Nonlinear Conductance,” Proc. IEEE, vol. 69, pp.
394–395, 1981.
[10] N. Inaba, T. Saito and S. Mori, “Chaotic Phenomena in a
Circuit with a Negative Resistance and an Ideal Switch ofDiodes,” IEICE Trans. fundamentals, vol. E-70, no. 8, pp.
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で得られた結果は，Subsystem B の振幅の減少が大きく影響していると考えられる．

3. 7 考察以上の結果から，以下のような定性的共通点があげられる．2
つの Subsystem は互いに同期せず，Subsystem B の同期割合が下がれば，Subsystem A の同期割合が増す．さらに，モデル

1 から 4 において，各要素が周期解やトーラスの場合では，見られない現象であったことから，誤差を含む Subsystem がカオス状態で，かつ同期，非同期を遷移する場合に，2 つ Subsystemが互いに同期し得ないのであれば見られる現象だと考えられる．
また，アトラクタの形状，平衡点の数が異なっていても見られる現象であると考えられる．

—6—