前回の復習:
前回の復習 電子物性とは何か?
電子物性とは何か
注意事項:
講義には毎回出席毎回出席すること。出席者は講義室入口にある毎回出席出欠調査のカードリーダーに学生証を当てること。
講義資料をMoodleと下記のWEBページに掲載するので、毎回講義前にその講義資料を使って予習をすること
講義資料を使って予習をすること。
講義資料を使って予習をすること。予習もせず、講義資料も持たずに、ただ講義室に座っているだ
けでは、講義内容は理解できない。
また、講義後にMoodleに復習のための課題を毎回出すので、その課題をやること課題をやること。これも成績に反映される。
成績に反映される。
課題をやること
http://www.tl.fukuoka-u.ac.jp/~suzuki/
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前回の復習:
前回の復習 周期律表 (periodic table): 原子の種類
アルカリ不活性元素
IV族半導体土類金属
縦の列は化学的性質が似ている。

ハロゲン元素アルカリ金属

物質の機械・熱・電気・磁気・光学的な様々な性質のことを物性という。世の中に存在する物質は様々な原子から構成されているが、物質の物性は構成原子の種類や結合の仕方等によって決まっている。特に、その物質を構成する原子の電子状態が物質の物性に大きく影響する。(原子核は、原子核は、あまり影響しない)
あまり影響しない
物質内の原子や原子間結合、原子の周りにいる電子の状態やエネルギー等は、電磁気学、熱統計力学、量子力学等を用いて記述することができる。それらの道具を用いて、物質の巨視的な性質(物性)を原子レベルの微視的な観点から考察し、そのメカニズムを明らかにしようとする学問分
野が電子物性である。
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前回の復習:
固体の種類
前回の復習 物質の分類:
物質の分類
物質形態
分子:
分子 いくつかの原子が固体 (低温): 例は氷、結合した物質、液体 (中温):
水、結晶:
結晶 多数の原子や分子
気体 (高温):水蒸気、が規則的に配列したプラズマ (さらに高温):
物質、電離した酸素と水素原子、 非晶質 (アモルファス): 原子や分子が不規則的にその他配列した物質、人工構造物:
人工構造物 量子ドット、液晶:
結晶と液体の中間
液晶
人工超格子、フォトニッククリ状態にある有機高分子
スタル等。の物質。

注意) Snは室温では金属だが13℃以下のα構造は半導体である。
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前回の復習:
前回の復習 物質の電気的性質:
物質の電気的性質 絶縁体・半導体・金属の違いは、原子レベルで見ると電子が原子核を離れて物質中を自由に移動できるかどうかである。また、物質内では、結晶全体に広がるエネルギーバンド構造が形成され、電子はそのエネルギーバンドの中に入っている。

光は粒子か波か?:(量子力学の始まり)
光は粒子か波か光の2重スリット実験
光の 重スリット実験:
重スリット実験 光の波動性
水面の波の干渉

物質の磁気的性質:
物質の磁気的性質 反磁性・常磁性・強磁性の違いは、原子核の周りをまわる電子の数や原子間の結合状態等で決まる。物質の磁気的性質は、物質中の電子の自転運動(スピン)と、原子核の周りをまわる軌道運動を起源としている。
物質の光学的性質:
物質の光学的性質 物質の光学的性質(屈折率や反射率等)は、主に物質の誘電関数ε(ω)(誘電率)の値で決まる。物質の色や透明度も、ほぼ誘電関数で決まっている。誘電関数は、電磁波(光)が外から入射した時に物質内部にある電子がどう応答するかを表わしている。
5光源
2重スリットスクリーン

光源a点から出て、2重スリットのb点、c点を通過した光がスクリーン上で互いに干渉して光の干渉縞(波紋)が現れる。
従って、光は"波動性波動性"を持つ。
波動性
61光は粒子か波か?:
光は粒子か波かコンプトン散乱の実験:

物質に光を照射すると、光があたかも粒子(光子)の様に振る舞い、物質内の電子が玉突き衝突で弾き出される。

電子は粒子か波か?:
電子は粒子か波か 電子の2重スリット実験:
光電効果:

光の粒子性

電子が弾き出される際に、光子はエネルギーEがħω、運動量pがħkの粒子の様に振る舞う。
従って、光は"波動性波動性"だけ波動性ではなく"粒子性粒子性"も合わせ粒子性持つ。
7

電子銃から電子を1粒づつ飛ばすと、スクリーン上で電子を1粒づつ検出できるので、電子は"粒子"である。しかし、多数の電子を積算してみるとスクリーン上に電子の干渉縞(波紋)が現れるので、電子は"波"でもある。
結論:でもある。これを結論 電子と光子は"粒子
電子と光子は 粒子"でもあり粒子 でもあり"波でもあり 波"でもある。これを新たに"量子新たに 量子"と名付ける。
量子 と名付ける。
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ド・ブロイの物質波(deド・ブロイの物質波
Broglie wave):
電子と光子だけでなく、全ての物質は"粒子性"と"波動性"を合わせ持つ。この物質の"波動性"のことをド・ブロイの物
質波という。
今、自由空間を速度vで動いている質量mの物質を考えてみよう。この物質の運動量pとエネルギ－Eは、
mv 2 p 2p  mv (2.1), E (2.2),22mとなる。この時、この物質を(ド・ブロイの)物質波とみなすと、その波長λは、
hh , (2.3) ( h : プランク定数)p2mEとなる。また、この物質波の周波数 f は、群速度vg (=2 f λ:  次頁の補足参照)を使うと、  = 2 = 2ℎ = 2ℎ = ℎ , (2.4) となる。

(補足補足)
補足 通常、波長λ、周波数 f の波の位相速度vpは、vp = λf であるが、ド・ブロイの物質波の場合は、粒子の速度に相当する波の群速度vg(下図赤)は、位相速度(緑)の2倍になっている。(注意: 下の動画では2倍になっていない!)

波数kと振動数
波数 と振動数ωと振動数 :波長λと周波数 f の代りに、波数kと振動数ωと換算プランク定数ħを下記の様に定義する。
2ℎ≡2.5 ,
 ≡ 2 2.6 ,ℏ≡2.7 ,
2
この時(2.3)、(2.4)式は、ℎ
 = = ℏ 2.8 ,= ℎ = ℏ 2.9 ,と書ける。

透過型電子顕微鏡(TransmissionElectron Microscopy):
透過型電子顕微鏡
電子の波動性を使って、物質内の原子を拡大して見る装置

9(補足) 上記の様に物質波の波長λと周波数 f 、光子の運動量pとエネルギーEを定義すると多くの実験結果を矛盾なく説明できるが、なぜそうなるかという根本的な理由は分からない。そういうものだと受け入れるしかない。
11光子の運動量pとエネルギー
光子の運動量 とエネルギーEとエネルギー :光子の場合は質量m=0なので、物質の場合の様に運動量pとエネルギ－E を定義できない。しかし、波長λと周波数 f は分かっているので、(2.3)、(2.4)式を逆に使って光子の運動量 pとエネルギー E を求めることができる。つまり、波長λの光の運動量pは、
hp  , ( 2.3の変形 )となり、周波数 f の光のエネルギーEは、E  hf , (2.4の変形) となる。

10金の単結晶(111)シリコンウェハーの表面

0.23 nm122

透過型電子顕微鏡装置:
透過型電子顕微鏡装置

例題2.1 透過型電子顕微鏡の一般的な加速電圧である
V=200 [kV]で加速された電子の速度vと波長λを求めよ。
(解答) 電子のエネルギーEは、
E  e  V  1.60 10 19  2 105  3.20 10 14 [ J ],(e  1.60 1019 [C ] : 電子の電荷)となる。よって、(2.2)式より電子の運動量 pは、

13

また、(2.3)式より電子の波長λは、
h 6.63  10 34
  2.75  10 12 [m]  2.75 [ pm],
p 2.41 10  22となる。

p  2me E  2  9.1110 31  3.20 10 14
 2.4110  22 [kg  m / s],(me  9.1110 31[ kg ] : 電子の質量)となる。従って、(2.1)式より電子の速度vは、
p 2.41 10 22v

 2.65  108 [ m / s ]  0.88  (光速),me 9.11 10 31となり、光速の88%まで加速される。
14量子力学(QuantumMechanics)の基礎の基礎:
量子力学の基礎• 原子や電子や光子は、"波動"でもあり"粒子"でもある"量子"である。その存在は空間的に広がっており、波動関数Ψ であらわされる。波動関数の(絶対値の)2乗が粒子の存在確率となる。

一般的な結晶の格子定数は数百[pm]程度なので、可視光(λ=400~800[nm])の光学顕微鏡では、波長が長すぎて結晶格子内の原子は観察できない。しかし、電子波を使った電子顕微鏡ならば、波長が格子定数より充分短いので結晶格子内の原子が観察できる。

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シュレーディンガー方程式(Schrödingerequation):
シュレーディンガー方程式
ポテンシャルエネルギー(重力における位置エネルギーの様なもの)がV(x, t)である1次元空間(x方向)にいる質量mの粒子のシュレーディンガー方程式は、時間をtとすると、ℏ   , ,−+ " ,  , = #ℏ
, 2.102 , : 粒子の波動関数と書ける。
(補足補足)
補足 ちなみに、古典力学での波動方程式では、(2.10)式の右辺の時間微分の項も2階微分になっている。
ここで、もしV(x,t)が時間に依存しないならば、波動関数
Ψ(x,t)を空間成分φ(x)と時間成分τ(t)の積に変数分離することができて、シュレーディンガー方程式は、
17• 量子の波動関数ΨとエネルギーEは、シュレーディンガー方程式と呼ばれる偏微分方程式を解くことで求められる。
しかし、シュレーディンガー方程式の一般解を導くことは難しい。簡単な問題以外は近似もしくは数値計算を用いて解かなければならない。
• 物質内の全ての電子の波動関数ΨとエネルギーEが求まれば、電子の動き(電子状態)や物質の様々な物性がわかる。
16−ℏ  ' +"  '  = '  ,22.11)*= '  ( +ℏ ,と変形できる(付録1参照)。(2.11)式を定常状態のシュレーディンガー方程式という。また、定数Eは粒子のエネルギーEと等しいので、(2.11)式を解けばエネルギーEも求まる。
物質内のポテンシャルエネルギーV(x)を(2.11)式に代入して、物質内の全電子の波動関数Ψ を求めれば、物質の様々な物性が計算できるが、一般には複雑で解けない 。
一方、粒子の運動量pは、波動関数(の空間成分)φ(x)に関する下記の偏微分方程式を解くことで得られる。
ℏ ' ℏ = '  ,2.12P≡
P'  =# # (2.12)式のP を運動量演算子という。
183

(補足) Ψ(x,t)ではなくて、波動関数の空間成分φ(x)のことを、単に波動関数ということもある。

)*

例題2.2 最も簡単な例である、自由空間内(V(x)=0)の1個の電子の波動関数を、(2.11)式を解いて求めよ。
(解答) シュレーディンガー方程式(2.11)を解くと、
 ' 2ℏ  ' = '  ,=−'  ,−ℏ2 ' 2'  ,= ±#ℏ.).)+)*/1ℏℏ , = '  ( +ℏ = -(+ 0(となる。また、 (2.8)、(2.9)式を使うと、 Ψは、+3)*/1

1+3 , = -( ℏ ℏ + 0( ℏ= -( + 4/15* + 0( 1+ 4/25* ,1+.) )*ℏ /2 ℏ,)*/2ℏとなる。

.)'  = -( + ℏ / + 0( 1+ ℏ / ,-, 0: 複素定数となり、波動関数の空間成分φ(x)が求まる。従って、Ψは、19(例題の補足例題の補足)
例題の補足 例題の波動関数の第1項目は、xの正の方向に向かう波、第2項目は負の方向に向かう波をあらわしている。実際に、(aを実数と仮定して)第1項目の実数成分を取ると、Re aei  kx t   a coskx  t   a cos 2 x   f  t ,

実軸xを固定した場合の時間変化を固定した場合の時間変化+at

3π/2ππ/20-π/2–a+aλx20となり、xの正の方向に向かう波が三角関数として得られる(電気回路IIの指数関数形式のフェーザー表示と同じ理屈)。
また、第1項目と第2項目の運動量pを、(2.12)式を使ってそれぞれ計算してみると、.)ℏ ' ℏ 
第1項目:=-( + ℏ / = 2 '  ,# # ,= 2.)ℏ ' ℏ 1+ ℏ /第2項目:=0(=− 2 '  ,# # =− 2 ,となり、第1項目が正の運動量を、第2項目が負の運動量を持っていることがわかる。また、これらは古典力学の結果(E=p2/2m)とも一致している。
22–a21(今週の課題のヒント)
仮に、電子の波動関数に、下記の長さLの周期的境界条件を付けると、' +6 ='  ,例題2.2の電子の波動関数φ(x)には、-( +4 /27 + 0( 1+4 /27 = -( +4/ + 0( 1+4/ ,-( +4/ ( +47 − 1 + 0( 1+4 /27 1 − ( +47 = 0,-( +4/ − 0( 1+4 /27 ( +47 − 1 = 0,の制限が付く。これが、任意のxについて成り立っていないといけないので、.)
2
1 = ( +47 = ( + ℏ 7 ,6 = 28,
8: 整数ℏとなる。
この時、電子のエネルギーEにどんな制限が付くか？
⇒今週の課題23

次回の予告:
次回の予告 トンネル効果:
粒子がエネルギーのポテンシャル障壁を越えて向こう側にすり抜けてしまうという、量子力学特有の効果である。
まず、1次元ポテンシャル障壁V0での電子波の透過と反射の計算を行い、その後有限幅のポテンシャル障壁によるトンネル効果の透過率を導出する。

ae ikxbe -ikx

qe -αxae ikxce ikxbe -ikxL244

(付録1) 1次元の時間に依存しないポテンシャルエネル
ギーV(x) 内にいる質量mの粒子のシュレーディンガー方程
式は、時間をtとすると、ℏ   , ,−+ "   , = #ℏ
, 2.102 , : 粒子の波動関数となる。
まず、この偏微分方程式の波動関数Ψ(x,t)を空間成分φ(x)と時間成分τ(t)の積に変数分離してみる。すると、シュレーディンガー方程式は、ℏ  '  9'  9−+"  '  9= #ℏ,2 , ≡ '  9

 ' 
9+"  '  9= #ℏ' ,
ℏ#ℏ 9
 ' −+"  =,2 '  9と変形できる。ここで、上式の右辺と左辺を定数E: エネル
ギーと等しいとすれば、シュレーディンガー方程式は、#ℏ 9ℏ
 ' −+"  =≡ ,2 '  99#ℏ
= 9 ,2.10
ℏ  ' −+"  '  = '  ,2.11
2と2つの微分方程式に分離できる。このうち、(2.10)式の方を解くと、−ℏ 9226)*9
9= 9 ,= 9 ,
9= ( +ℏ ,#ℏとなり、波動関数の時間成分τ(t)が求まる。
また(2.11)式の方を定常状態のシュレーディンガー方程式という。これを解いて、φ(x)を求めると波動関数が#ℏ

)*

 ,

= '  ( +ℏと求まる。

2827(付録2) 例題2.2で、xの正の方向に向かう波だけを考えると、a=1,b=0となり、波動関数φと電子の存在確率|φ|2は、'  = (+.)
ℏ /,.).)' ≡ '  ∗ '  = ( 1+ ℏ / · ( + ℏ / = 1,となる。これは、電子は位置xに依らず全空間に等確率で広がっていることを示している。
また、自由粒子(V(x)=0)の場合は、電子は空間的に閉じ込められていないので、電子のエネルギーEに制限はなく、どんな正の値でもとれる(連続値になる)。
(付録2の補足) 規格化条件: 一般に波動関数は全空間での存在確率が1となるように、2  ( x) dx    ( x)  ( x)dx  1,と規格化する。ただし、自由粒子の場合は無限遠(x=±∞)で存在確率が0にならないので、例外的に規格化できない。
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