12-1-4.データのばらつき（分散、標準偏差、偏差値）

2. データリテラシー
2-1.データを読む
ご利用・改変等ご自由です．必要でしたらPPTファイルも差し上げます．ただし国のご支援で作成したものですので，もし講義等でご利用でしたら，利用実績を把握するために，右記までご一報ください (uchida@ait.kyushu-u.ac.jp) 2020.4 内田誠一@九州大学
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2

この項目で学ぶこと
 データの「ばらつき」
 3年10組の身長はみんな同じではない なぜ「ばらつき」を考える必要があるのか データの「ばらつき」の評価法
 分散や標準偏差 偏差値
 「平均からのずれ」を比較するときに便利九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

3

この項目を学ぶ意義
 「ばらつき」は重要
 平均などの代表値(→2-3-1)だけでは見えないデータの性質が見える ＝平均にだまされないようにする
 分散や標準偏差を使えば「ばらつき」が適切に評価できる
 「平均からのずれ」を用いて，ばらつきを評価する
 ただし，意味や単位の違うものの分散を比べるのは無意味 偏差値の計算法がわかる
 平均からのずれを標準偏差で割っただけ
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4

データの「ばらつき」とは何か？

ばらつき＝データの広がり具合＝データの変動具合
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5

データのばらつき：
体重データの場合
 ばらつき＝データの広がり具合＝データの変動具合

3年5組

3年10組

 3年10組のほうが体重が「ばらついて」いる！
 平均体重はどちらも同じぐらい(約50kg)
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6

データのばらつき：
データがペア（体重，身長）の場合
 散布図(2-1-2)でみてみる
190

190

180

180

170

170

160

160

150

150

140

140

130

130

120120110

110

100

100
30

4050

3年5組

60

70

30

40

50

60

70

3年10組

 3年10組の方が，身長も体重もばらつきが大きい…
 平均体重・平均身長はどちらも同じぐらい(約50kg, 155cm)
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7

令和元年度 学校保健統計調査
都道府県別 身長・体重の平均値及び標準偏差 (14歳)
男
区身 長 (㎝）

分

平均値
全国
秋
田
青森
神 奈 川
富山

ばらつき
具合※

区

6.72
6.37
6.22
6.58
6.72

平均値
全
国
秋
田
神 奈 川
石
川
福
井

⋮
徳
福
佐

島
岡
賀

標準偏差

156.5
157.2
157.2
157.2
157.1

5.32
5.36
5.53
5.41
5.20

156.1
156.1
156.1

5.24
5.17
5.24

155.6
155.6
155.5
155.1

5.43
5.27
5.58
5.40

⋮164.9
164.9
164.9

6.38
6.95
6.27

山
梨
和 歌 山
福
岡

⋮
鹿 児 島
宮崎広島
沖
縄

身 長 (㎝）

分

標準偏差

165.4
166.9
166.7
166.4
166.2

ばらつき
具合

女

⋮
164.5
164.4
164.2
164.2

6.59
6.73
6.99
6.37

愛広島
沖媛
島
根
縄

https://www.mext.go.jp/b_menu/toukei/chousa05/hoken/1268826.htm※標準偏差の意味については後述

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8

全国物価統計調査 平成9年全国物価統計調査
大規模店舗編ばらつき具合

 福岡県の牛肉価格だけ取り出してみた地域
福岡県 町村福岡県 福岡牛肉，国産品 福岡県 北九州
福岡県 筑豊福岡県 筑後福岡県 町村福岡県 福岡牛肉，輸入品 福岡県 北九州
福岡県 筑豊福岡県 筑後調査数 平均価格 標準偏差
21517.2
122.9
211
530.3
129.2
139
507.7
148.8
35514.9
18152488.3143.2
19145
1232742

268.1
304.1
266.8
251.7
309.3

96.9
106
112.5
86.6
122.9

筑豊のスーパー，国産牛肉の価格の店ごとの「ばらつき」が他地域より大きい！
でも輸入牛肉については他地域より小さい..
不思議…

↓全データはこちらから入手可能
https://www.e-stat.go.jp/dbview?sid=0000100087↓最新の物価統計調査も手に入りますよhttp://www.stat.go.jp/data/kouri/doukou/index.html
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9「ばらつき」を考える理由
 代表値（平均・中央値・最頻値→2-1-2）に加えて，データの「ばらつき」を知りたいことは多い 例1: アンケート「この曲好きですか？ 1=大嫌い,2,3,4,5=大好き」• 「平均3で，ばらつき小」 → 大多数が3 →みんな普通→あまり売れなそう• 「平均3で，1から5までばらつく」→好みの別れる曲• ↑平均は同じでもばらつきが違えば，状況は全然違う 例2: あるダイエット食品で減った体重• 「平均ゼロ，ばらつき小」 →大多数がゼロ → 多くの人には効果なし• 「平均ゼロ，-10kgから+10kgまでばらつく」→非常に効果ある人もいるが，逆効果大の人もいる（効果に個人差がありすぎて危険）• 「平均 -5kg，ばらつき小」 → 大多数が -5kg → 多くの人に効果あり
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「ばらつき」を考える理由：
要するに「代表値だけではわからないことが多い」

10

 思い出そう：「平均」を悪用(→ 2-1-3)
平均1千万儲かるよ+100億円-100万円 ウソではないかもしれないが，ごく少数の人だけが莫大な利益を上げ，残り大多数は大損している可能性も儲けの「ばらつき」を確認すれば「悪用」がわかる！
全員が1千万円儲けているわけではない！
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11「ばらつき」の測り方：「最大ー最小」ではどうか？
 3年10組の「最大ー最小」 = 64.7 - 32.5 = 32.2

32.5

64.7

悪くなさそうだけど，実は「ばらつき」を適切に表現できないケースも九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

12「最大ー最小」が「ばらつき」を適切に表現できない例
 1年Q組の「最大ー最小」 = 64.7 - 32.5 = 32.2
 体重50kg以上は一人だけだが…
はずれ値
32.5
64.7
ばらつき同じ!?

 3年Z組の「最大ー最小」 = 64.7 - 32.5 = 32.2
 30人中28人が50kg付近=ほとんどばらついてないのに…

32.5

64.7

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「最大ー最小」ではなぜうまくいかないか，そして解決へのアイディア13 「最大ー最小」がうまく行かないのは，たった2つの値(最大値,最小値)だけで全データのばらつきを表そうとしているため
 それら2つが例外的な値であれば，問題が発生
 さらに悪いことに，最大値・最小値は「例外的」な値になりやすい

 そこで，全データを使って「ばらつき」を計算したい → 「各」データついて「ばらつき」の程度が計算できれば…
 → そこで「分散」登場！

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14

分散

「平均からのずれ」の平均

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15

分散の考え方 全データを使って「ばらつき」を計算したい そのために
1. 全𝑁個のデータの「平均」を，全データの「中心」と考える
2. 各データについて，平均との「ずれ具合」を求める
3. 全𝑁個分の「ずれ具合」の平均を求める
全データが平均的に「どれぐらい平均からずれているか」

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16「分散」による「ばらつき」の数値化
 各データの平均からの「ずれ」
Aのずれ

Cのずれ

Bのずれ
A

C

B

Dのずれ
D

平均
 分散＝これら全データ分の「ずれ」の平均
Aのずれ
Bのずれ
Cのずれ
Dのずれ

 「ずれ」の測り方については後ほど

これらの「ずれ」の平均=分散
全データが平均的に「どれぐらい平均からずれているか」
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「最大ー最小」でうまく行かなかったケースでも，分散ならば適切に「ばらつき」が求まる

17

 1年Q組 → 分散はそう大きくならない
平均
大きなずれは1つだけ

 3年Z組 → 分散はゼロに近い! → ばらつきは非常に小さい

平均

大きなずれは2つだけ

残りのずれは，ほぼゼロ

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分散における「ずれ」の測り方:
平均との差の「2乗」で測る
AB

C

D

12

710A

BC

D

18

平均= 1 + 2 + 7 + 10 Τ4 = 51−5 22−5AB

7−5 22C

差の2乗
10 − 5 2
D

分散= 1 − 5 2 + 2 − 5 2 + 7 − 5 2 + 10 − 5 2 Τ4= 16 + 9 + 4 + 25 Τ4 = 13.5

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19

分散を求めてみる
 平均はどちらも50kgぐらいだが…

3年5組

分散≒15.3

3年10組

分散≒62.0

 やはりばらつきの大きい3年10組のほうが分散大!
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20

練習 1, 1, 1, 1, 1 の分散は？

 1, 5, 4, 2, 8 の分散は?

全データに+2(データ全体が平行移動したということ)

 3, 7, 6, 4, 10の分散は？

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参考：なぜ二乗で「ずれ」を測るのか？(1/2)
「平均との差」ではだめか？

21

 「平均との差」をそのまま平均すると，必ずゼロになる

1−5差
7−510 − 52−5A

B

C

D

1 − 5 + 2 − 5 + 7 − 5 + 10 − 5 Τ4= −4 − 3 + 2 + 5 Τ4=0

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22

参考：なぜ二乗で「ずれ」を測るのか？ (2/2)
ならば，「差の絶対値」では？
1−5

絶対値の差

7−510 − 52−5ACB

1 − 5 + 2 − 5 + 7 − 5 + 10 − 5D

Τ4 = 4 + 3 + 2 + 5 Τ4 = 3.5

 別にこれでもOK（「平均偏差」という名前がついている）
 ただ「平均が移動しても変わらない」ので，やや解釈がむずかしい
1−62−6A

B

7−610 − 6C

1−3

どちらも3.5
D

7−310 − 32−3ABCD

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23

分散に関する注意

分散は便利な「ばらつき」の指標ですが，その見かたには注意も必要

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分散に関する注意：
身長と体重の分散は比べられるか？(1/4)

24 3年10組の身長と体重（49.5，143.0） （63.8，176.6） （56.4，163.1） （64.7，177.7） （44.9，152.5） （40.1，141.6）（46.6，149.7） （50.8，155.6） （52.1，157.9） （56.3，173.9） （41.8，132.3） （55.6，179.0）（56.9，158.7） （40.6，144.9） （57.4，176.9） （54.8，170.2） （53.2，159.0） （59.4，177.5）（47.8，141.7） （43.4，133.8） （37.5，130.3） （44.4，147.2） （49.7，152.5） （44.2，162.0）（51.2，160.5） （52.6，157.3） （32.5，127.5） （37.0，133.0） （46.9，147.7） （50.4，157.3）

体重の分散≒62.0

身長の分散≒237.7

確かに
数字そのものは大きいけど…

よって，身長の分散のほうが大きい!
...と言って大丈夫？
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分散に関する注意：
身長と体重の分散は比べられるか？(2/4)

25

 体重をkgではなくg（グラム）で表してみる（49.5，143.0） （63.8，176.6） （56.4，163.1） （64.7，177.7） （44.9，152.5） （40.1，141.6）（46.6，149.7） （50.8，155.6） （52.1，157.9） （56.3，173.9） （41.8，132.3） （55.6，179.0）(kg,cm) （56.9，158.7） （40.6，144.9） （57.4，176.9） （54.8，170.2） （53.2，159.0） （59.4，177.5）（47.8，141.7） （43.4，133.8） （37.5，130.3） （44.4，147.2） （49.7，152.5） （44.2，162.0）（51.2，160.5） （52.6，157.3） （32.5，127.5） （37.0，133.0） （46.9，147.7） （50.4，157.3）（49500，143.0） （63800，176.6） （56400，163.1） （64700，177.7） （44900，152.5） （40100，141.6）（46600，149.7） （50800，155.6） （52100，157.9） （56300，173.9） （41800，132.3） （55600，179.0）（40600，144.9） （57400，176.9）身長の分散≒237.7（54800，170.2） （53200，159.0） （59400，177.5）(g,cm) （56900，158.7）
体重の分散≒62.0（47800，141.7） （43400，133.8） （37500，130.3） （44400，147.2） （49700，152.5） （44200，162.0）（51200，160.5） （52600，157.3） （32500，127.5） （37000，133.0） （46900，147.7） （50400，157.3）「単位が変わっただけで体重そのものは変わってない」点に注意
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分散に関する注意：
身長と体重の分散は比べられるか？(3/4)

26

 3年10組の身長と体重（49500，143.0） （63800，176.6） （56400，163.1） （64700，177.7） （44900，152.5） （40100，141.6）（46600，149.7） （50800，155.6） （52100，157.9） （56300，173.9） （41800，132.3） （55600，179.0）（56900，158.7） （40600，144.9） （57400，176.9） （54800，170.2） （53200，159.0） （59400，177.5）（47800，141.7） （43400，133.8） （37500，130.3） （44400，147.2） （49700，152.5） （44200，162.0）（51200，160.5） （52600，157.3） （32500，127.5） （37000，133.0） （46900，147.7） （50400，157.3）

体重の分散≒62000000

身長の分散≒237.7

単位を変えただけで，体重の分散のほうが非常に大きくなった!?
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分散に関する注意：
身長と体重の分散は比べられるか？(4/4)

27

 何が問題だったのか？
 「同じ数字」であっても，身長・体重のように意味が違うものやkg・gのように単位が違うものは，直接比べても意味がない 「10gと10cmは同じ10」や「10kgと10gは同じ10」と言ってる感じ 平均についても，「体重の平均値50」と「身長の平均値155」を比べて「身長のほうが大きい！」と言っても意味がない 同様に，体重の分散と身長の分散を比べても意味がない 3年5組と10組の体重の分散を同じkg単位で比べるのはOK
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分散に限らず，「性質が違うものを数字の上で比べる」トリックには要注意 (1/2)

28 似た者親子の場合2000万円も出して家が買えるんだから，10万円の自転車ぐらい買ってよ～!

100m競争で1位になれるんだから，数学のテストで1位になりなさい!

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分散に限らず，「性質が違うものを数字の上で比べる」トリックには要注意 (2/2)

29

 全く同じ「テストの点数」ですら…
僕は平均点より30点もよかった!

僕なんか平均点より50点もよかった!

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30

標準偏差

分散をわかりやすくしたもので，やっぱり「ばらつき」

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31

標準偏差＝分散の平方根
例 分散が100なら，標準偏差は10 分散が2なら，標準偏差は 2
 分散が0なら，標準偏差も0 なので，標準偏差を二乗したら分散 標準偏差が10なら，分散は100 標準偏差が 2なら，分散は2

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32

標準偏差は何のためにある？
 分散が大き（小さ）ければ標準偏差も大きい（小さい） よって，分散と同じように，全データの「ばらつき」を表す値
 標準偏差は分散よりもわかりやすい 分散を求める際，二乗して「ずれ」を求めていた• 体重のデータや平均には50kgのように単位kgがつく• しかし分散を求めるときには二乗したので，62.0kg 2 のような妙な単位に

 標準偏差は，その平方根なので，より「ずれ」をシンプルに表す• 単位は再びkgに戻る （ 62.0kg 2 → 62.0kg ）• なので，50kg ± 62.0kgのような感じで，ばらつきの範囲を使う際にも使える!
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参考：データの分布(ヒストグラム→2.1.2のようなもの)が正規分布の場合，標準偏差が大活躍(1/3)

33

性質1.平均がピーク(平均付近の値が出やすい)
2.平均を中心に左右対称
3.平均から離れるほど急激に出にくく
4.自然界の現象でよく出てくる 正規分布って?
データの出やすさ(頻度のようなもの※)

データの値
平均

※正確には「確率密度」と呼ばれる九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

参考：データの分布(ヒストグラム→2.1.2のようなもの)が正規分布の場合，標準偏差が大活躍(2/3)
平均 ± 2×標準偏差3495.4%がこの中にデータの出やすさ(頻度のようなもの※)

平均±標準偏差68.3%がこの中にデータの値
平均
下位2.3%

上位2.3%=(100-95.4)/2

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参考：データの分布(ヒストグラム→2.1.2のようなもの)が正規分布の場合，標準偏差が大活躍(3/3)

35

 もしテストの点数が正規分布だったとして，
 平均点=50点
 標準偏差=10点 (すなわち分散が100)とすると，
 75点取っていたら，平均+2×標準偏差=70点より上なので，上位2.3%に入っている!
 85点だと，平均+3×標準偏差=80点より上なので，もっと上位!

2.3%

2.3%

この辺の話は，データ群AとBに差があるかどうかをチェックする時に使われる「統計的検定」でも大活躍
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再掲：全国物価統計調査
平成9年全国物価統計調査 大規模店舗編
 福岡県の牛肉価格だけ取り出してみた地域
福岡県 町村福岡県 福岡牛肉，国産品 福岡県 北九州
福岡県 筑豊福岡県 筑後福岡県 町村福岡県 福岡牛肉，輸入品 福岡県 北九州
福岡県 筑豊福岡県 筑後36

ここで出てます

調査数 平均価格 標準偏差
21517.2
122.9
211
530.3
129.2
139
507.7
148.8
35
514.9
181
52
488.3
143.2
19145
123
27
42

268.1
304.1
266.8
251.7
309.3

96.9
106112.5
86.6
122.9

もし筑豊地方のスーパーの牛肉価格が正規分布しているなら，68.3%のスーパーが514.9±181円で国産牛を売ってます↓全データはこちらから入手可能
https://www.e-stat.go.jp/dbview?sid=0000100087↓最新の物価統計調査も手に入りますよhttp://www.stat.go.jp/data/kouri/doukou/index.html
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37

偏差値

状況が違っても，どれぐらいずれているかを比べたい

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38

A君は○○模試で80点，B君が△△模試で80点，どちらも自分がどれぐらいスゴイのか知りたい A君の受けた○○模試の平均点=60点

 B君の受けた△△模試の平均点=70点

 そうすると平均より20点上だった，A君のほうがスゴそう でも，もし，△△模試のほぼ全員が70点ぐらいだったら，その状況で80点とったB君のほうがすごくない？

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39

点数の分布を見てみると…
 A君の受けた○○模試

平均 B君の受けた△△模試

平均 確かに，B君のほうがスゴイかも…
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40

ではどうやって二人のすごさを比較するか？
 平均との差だけではダメっぽい そこで，「ばらつき」具合を使う！
 ○○模試のように，「ばらつき」が大きい→ 平均との差を小さめに評価＝平均と結構違っても「あまり違わない」
 △△模試のように，「ばらつき」が小さい→ 平均との差を大きめに評価＝平均と少しでも違えば「すごく違う」
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実際にはどうする？
「平均からのずれ」を標準偏差で割ればOK

41

平均からのずれ

データの値 － 平均
標準偏差

ばらつき具合 ○○模試の標準偏差=20 (ばらつき大) △△模試の標準偏差=5 (ばらつき小) A君の値 = (80-60)/20 ＝1 B君の値 = (80-70)/5＝2 → B君のほうが，より平均から離れている!
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42

偏差値

偏差値=10×

データの値 － 平均
標準偏差+ 50

 ○○模試の標準偏差=20 (ばらつき大) △△模試の標準偏差=5 (ばらつき小) A君の値 = 10×(80-60)/20 + 50 = 60

B君のほうが偏差値高い

 B君の値 = 10×(80-70)/5 + 50 = 70
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43

偏差値の性質

偏差値=10×

データの値 － 平均
標準偏差+ 50

 平均点と同じなら偏差値50
 標準偏差が小さい(ばらつきが小さい)ほど，データの少しの変化が大きく影響する

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44

まとめ
 代表値だけでなく，「ばらつき」は重要

 分散や標準偏差の計算法
 分散＝「平均からのずれ」の平均 標準偏差＝√分散
 「平均からのずれ」を「標準偏差」で割ることで，ばらつきの異なるデータ間でも，平均からのずれ具合を適切に評価できる
 これが偏差値

九州大学 数理・データサイエンス教育研究センター

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付録：本資料で用いた体重-身長データ(※乱数で生成したものであり，実データではありません)

3年5組

49.28898

151.4737

52.33736

158.1474

50.9156

151.2327

52.12094

3年10組

49.51165

143.0219

46.58579

149.7477

56.86254

158.6564

153.9946

47.8431141.72844.55929

138.3027

51.22793

160.46245.32656

144.7388

63.77215

176.5847

54.36184

165.2948

50.84549

155.5656

52.35728

149.9001

40.55279

144.9083

47.41078

156.3905

43.40138133.794450.7175

154.937

52.62262

157.3297

53.49103

163.8364

56.38814

163.1046

47.38458

143.5537

52.07485

157.8855.41912

168.53157.41918

176.9334

50.41957

153.0828

37.4549130.2867

52.01225

166.9758

32.45199

127.535

51.7823147.8139

64.73897

177.6759

47.55464

155.2434

56.33934

173.9304

52.33595

161.5521

54.79376

170.1935

48.24293147.7574

44.42531

147.22760.58072

177.0258

36.97103132.9765

50.10005

165.2525

44.85306

152.4797

45.08798

141.6259

41.75252132.259

47.67298

149.5468

53.18034

159.0043

49.7364

163.772

49.7005

152.4852

59.14007

175.9572

46.94904

147.6628

57.26009

172.9919

40.10991

141.6258

49.98545

158.8914

55.61957

178.99353.87983

159.9219

59.41709

177.4966

52.00903

161.7652

44.20566

162.0014

46.52984

145.6229

50.44417

157.259

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