微積分 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 12 回（’15 年 1 月 15 日：Keywords · · · 一様収束な関数列）
定義および定理.

12-1. 級数の収束.・・・sn =n∑ak とおくとき、sn が極限 n → ∞ において収束するとき、級数は収束n=1するといい、その値を∞∑an とかく．

n=1∞∑12-2. 等比級数.・・・
arn−1 は |r| < 1 のとき収束し、値はn=112-3. 級数の判定.・・・（ライプニッツの判定法）∞∑an が交代級数（つまり、任意の n に対してn=1an an+1 < 0 が成り立つ）であり、 lim an = 0 であるとき、n→∞（コーシーの判定法）が存在するとき、∞∑∞∑aとなる．
1−r∞∑

an は収束する．

n=1√
an は正項級数であり、（有限この n を除いて） n an ≤ r < 1 を満たす

rn=1

an は収束する．

n=1∞
∑an+1
an は正項級数であり、（有限この n を除いて）（ダランベールの判定法）≤ r < 1 であると
an
n=1∞
∑
an は収束する．
き、
n=1（絶対収束）任意の n に対して |an | ≤ bn かつ∞∑∞∑bn が収束すれば、 an も収束する．

n=1n=112-4. 一様収束.・・・関数列 fn (x) が B ⊂ R で一様収束するとは、任意の ϵ > 0 に対して、ある N が存在して n > N なる任意の n に対して、任意の x ∈ B に対して | f (x) − fn (x)| < ϵ が成り立つ．
・・ fn が区間 I で連続な関数であり、 fn が I において f に一様収束するとする．
12-5. 関数列の極限.・
このとき、 f は I で連続である．
12-6. 微分と極限の順序交換.・・・ fn (x) が区間 I 上で C 1 級関数とし、 fn′ (x) が I 上一様収束するとし、
d fn (x)dある点 x0 ∈ I で、 fn (x0 ) である点に収束しているとする．このとき、 lim=
lim fn (x) がn→∞dxdx n→∞成り立つ．つまり、微分と極限が交換ができる．
12-7. 積分と極限の順序交換.・・・ fn (x) が区間 I 上で連続関数とし、 fn (x) が I 上一様収束していると∫ x∫ xする．このとき、 lim
fn (t)dt =lim fn (t)dt が成り立つ．つまり、極限と積分の交換ができn→∞る．

aa n→∞∞∑・・ fn (x) は連続関数からなる関数項級数とする．
fn (x) が区間 I 上で f で一様12-8. 項別微積分.・n=1収束するなら f も I 上連続である．I において fn (x) が C 1 級関数列であり、収束し、さらに、ある x0 ∈ I があって、∞∑n=1

fn (x0 ) が収束するなら∞∞∑d ∑d fn (x)別微分fn (x) =が成り立つ．
dx n=1
dxn=1∞∑n=1∞∑fn′ (x) が、I 上一様n=1fn (x) は I で一様収束し、項∞∞ ∫ x∑∑fn (x) が連続関数列であり、fn (x) が I で一様収束するなら、
fn (x)dx は I 上一様収束し、I 上で∞ ∫ x∑
n=1n=1∫ x∑∞
fn (t)dt =fn (t)dt が成り立つ．

aan=1an=1・・区間 I で定義された関数項級数 fn (x) に対して | fn (x)| ≤ Mn が成り立ち、12-9. 優級数法.・が成り立つとする．このとき、

∞
∑∞
∑

Mnn=1

fn (x) は一様収束する．

n=1∞∑12-10. べき級数.・・・
an zn の形の級数をべき級数という．このべき級数に対してn=1√n1= lim sup |an |Rn→∞として計算される量をこのべき級数の収束半径とよぶ．この R は |z| < R なる任意の複素数 z に対して級数が（絶対）収束する．特にこのとき、関数項級数は一様収束する．収束半径内においては項別微積分ができ、できた級数も同じ収束半径をもつ．
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今日の課題.
1. 級数の収束発散を判定すること．
2. 一様収束することを判定すること．
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例題-12-1. [級数の収束]
次の球数が収束するかどうか判定せよ．

(1)

∞
∑
1
n=1

(3)

(5)

(7)

n=1∞
∑

1
n2 + nn=1∞∑−n(log n)

(4)

∞
∑
1
n=1

(6)

n2n!

)n 2∞ (∑
n−1nn=1n=1∞
∑
an∞
∑
n2

n=1

(9)

(2)

n∞
∑
1n!

(a > 0)∞∑1√n!
n=1(8)

n=1(10)

n!

∞
∑
1
√nn!
n=1

例題-12-2. [一様収束]
つぎの関数列は [0, 1] で一様収束するか？

(1) nxe−nx(2) n2 xn (1 − x)n(3) nx(1 − x)n

例題-12-3. [級数の一様収束]
次の関数項級数は区間 I = [0, 1] 上で一様収束するか？

(1)

∞
∑∞
∑

1n=1

n=1n2 + x 2∞∑∞∑
(1 − x)−nxxe(−1)n(3)n + sin(2πx)
n=2(2)(4)

nn=1xn例題-12-4. [関数項級数]
次の級数の区間 [0, 1] における一様収束性を判定せよ．

(1)

∞
∑

1n=1n=1x 2 + n2∞∑∞∑(1 − x)∞∑xe−nx(−1)n(3)n + sin(2πx)
n=1(5)∞∑(2)(4)nn=1xn(1 − x2 )xnn=1

例題-12-5. [収束半径]
次のべき級数の収束半径を求めよ．
∞∑zn(1)
n log nn=2(2)∞∑√(log n) n zn

n=2———————————————————————————————————————————————

宿題-12-1. [数列の収束]
次の級数は収束するか？

∞∑(log n) − 1(log(n + 1))2n=1

宿題-12-2. [積の数列の極限]
Sn =n∑
j=1a j とおくとき、数列 |S n | が有界であり、実数列 bn は単調減少で、bn → 0 であるな∞∑ら、an bn が収束することを示せ．
n=1

宿題-12-3. [一様収束]
下の式の左辺が一様収束することを示し、等式を証明せよ．
∞∑
n=1

n2 x n =x(1 + x)(|x| < 1)(1 − x)3———————————————————————————————————————————————
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