お話：数値解析 第 2 回
漸近展開
長田直樹
【定数 C > 0, δ > 0 が存在し、0 < |x| < δ となる

はじめに1

任意の x に対し、数値計算において、数列の極限値を求めることに|f (x)| ≤ C|g(x)|帰着させる場合がしばしばある。その際に無限項を計算することはできないので、極限値を有限項の値となるとき】で代替するか、有限項の値から何らかの方法により(x → 0)極限値を推測する。後者の場合には、項数を増やし

f (x) = O(g(x)),ていく際の数列の挙動が分かると好都合である。数と表す。x → +0 の場合も同様である。

列の挙動を知るのに役立つ道具が漸近展開 (ぜんきO はランダウの O 記法という。文脈から明らかなときは、表現「x → ∞」、「x → 0」、「n → ∞」なんてんかい) である。
今回は漸近展開について話す。数値解析において漸近展開は、特殊関数の計算、定積分の誤差解析、収束の加速などで重要な役割を果たしている。

どは省略される。

|f (x)| が有界であることは、O 記法を用いると、
f (x) = O(1) と表される。
f (x) − g(x) = O(h(x)) のとき、ランダウの O 記法

2f (x) = g(x) + O(h(x))

漸近展開を記述するのに有用なランダウの O 記法と書く。

から説明する。特に断らないときは、変数 n, x はそれぞれ自然数、実数を表す。²-δ 論法的な定義を【】 例 1 マクローリン展開を有限項で打ち切るときに O内に書く。これは定理 1 の証明の中で用いる。
【】内 記法が使われる。
および定理の証明は飛ばして読んでも構わない。

1.

実関数 f (x), g(x) に対し、x → ∞ とした際

1= 1 − x + x2 + O(x3 ),1+x(x → 0)

1|f (x)/g(x)| が有界であるとき、
2. log(1 + x) = x − x2 + O(x3 ), (x → 0)2
【定数 C > 0, M > 0 が存在し、x > M となる任意
例 2 x → +0 のときの O 記法において、x を 1/x にの x に対し、置き換えると x → ∞ のときの O 記法が得られる。
|f (x)| ≤ C|g(x)|( )111
1
1= − 2 + 3 +O, (x → ∞)1.となるとき】
1+xx xxx4( )111
f (x) = O(g(x)), (x → ∞)2. log(1 + x) = log x + − 2 + O,x 2xx3(x → ∞)と表す。「f (x) は x → ∞ のとき、O(g(x)) のオーダーである」などと読む。n → ∞ の場合も同様に

証明 1. 例 1 の 1 において、x を 1/x に置き換え、両定義する。

辺を x で割ればよい。

|x|(6= 0) が十分小さいとき f (x)/g(x) が有界なら

2. log(1 + x) = log x + log(1 + 1/x) の右辺第 2 項ば、に例 1 の 2 を用いる。¤

1

例 3 アルゴリズムの計算量を表す場合に用いられる。 4

漸近列 {x−k }k=0,1,2,... に関する漸近展開を漸近べ

1. n 元連立一次方程式をガウスの消去法で解く際
3

漸近べき級数2の乗除算回数は n /3 + O(n ) である。

き級数という。関数 f (x) が漸近べき級数展開

2. n 個のデータを挿入法で整列する場合、平均の計算量 (比較の回数) は O(n2 ) である。

f (x) ∼ c0 +c2
c1+ 2 + ···xx(3)を持つための条件は、ν = 0, 1, 2, . . . に対しSν (x) = c0 +

漸近展開

3

関数列 {φk (x)}k=0,1,2,... が、k = 0, 1, 2, . . . に対し、

x→∞

f (x) を関数とし、{φk (x)}k=0,1,2,... を漸近列とする。数列 {ck } が存在して、ν = 0, 1, 2, . . . に対しck φk (x) + O(φν+1 (x)),と書ける。
ガンマ関数 Γ(x) =(x → ∞) (1)11log(2π) + (x + ) log x22∞
∑B2k−x +(5)2k(2k − 1)x2k−1

log Γ(x + 1) ∼が成立するとき、f (x) は漸近展開可能であるといい、∞∑ck φk (x),(x → ∞)∫ ∞ −t x−1e tdt に関するスター0

リングの公式k=0

f (x) ∼(4)が成立することである。(4) は O 記法を用いると)(1f (x) = Sν (x) + Oxν+1を満たすとき、{φk (x)} を漸近列という。

f (x) =とおいたとき、

lim xν (f (x) − Sν (x)) = 0

φk+1 (x)lim=0x→∞ φk (x)ν∑c1c2cν+ 2 + ··· + νxxx(2)k=1k=0と書く。(2) を f (x) の {φk (x)} に関する漸近展開、 は発散級数である。([2] に詳しい説明がある。) 係数に現れるベルヌーイ数 B2k については次回に説明(2) の右辺を漸近級数という。
する。

漸近展開 (2) の係数はポアンカレ [5] は、公式 (5) が性質 (4) を満たすこ

c0ckf (x)= lim
x→∞ φ0 (x)=lim

1x→∞ φk (x)とに着目し、発散級数 (3) が (4) を満たすとき漸近f (x) −k−1∑

級数 (série asymptotique) と名付け、漸近級数を線

cj φj (x) ,型微分方程式の研究に用いた。典型例を 5 節で取り上げる。

j=0

当初は発散級数のみが漸近級数の対象であったが、

k = 1, 2, . . . ,今日では漸近べき級数の定義に発散の条件を付けなと一意的に定まる。漸近展開が一致しても関数が一いことが多い。

致するとは限らない。例 4 を見よ。
例 4 k = 0, 1, 2, . . . に対し、漸近列、漸近展開は n → ∞, x → +0 の場合も同様に定義される。

(f (x) − φ(x))/ψ(x) が漸近展開

lim xk e−x = 0∑∞

だから、e−x の漸近べき級数は持つとき、

f (x) ∼ φ(x) + ψ(x)(∞∑(6)x→∞

k=0 ck φk (x) を)

e−x ∼ 0 +ck φk (x)k=000++ ···,x x2(x → ∞)である。定数関数 f (x) = 0 も同じ漸近べき級数を持つので、漸近展開が一致しても関数として一致すると表す。とは限らない例を与えている。

2漸近展開の一意性より漸近べき級数の項別積分と項別微分については次の 2 つの定理が成り立つ。

c = c0 , d0 = d1 = 0, d2 = −c1 , d3 = −2c2 , . . .
以上より、証明が完成した。¤

定理 1 f (x) が連続で、漸近べき級数展開

f (x) ∼ c0 +c1c2+ 2 + ···xx

例 5 例 4 と同様の理由で f (x) = e−x sin(ex ) の漸近展開はを持つとき、∫ ∞(c1 )c2c3c4f (t) − c0 −dt ∼+ 2 + 3 ···tx2x3xx00+ 2 + · · · , (x → ∞)x xである。一方、f 0 (x) = −e−x sin(ex ) + cos(ex ) はx → ∞ のとき振動するため、漸近展開を持たない。
項別微分できない例になっている。
e−x sin(ex ) ∼ 0 +証明 条件より任意の ν ≥ 3 に対し、Cν , Mν > 0 が存在して、x ≥ Mν のとき¯c1cν−1 ¯¯ Cν¯− · · · − ν−1 ¯ ≤ ν¯f (x) − c0 −xxx

線型微分方程式の解 y とその導関数 y 0 が漸近べき級数展開を持つときは定理 2 より、項別微分し係数(7)比較によりべき級数解を求めることができる。5 節となる。f (x) − c0 − c1 /x は x → ∞ のとき O(1/x2 )なので [Mν , ∞) で積分可能である。x ≥ Mν をとり、を見よ。

定理 3 f (x) が x = 0 で C ∞ 級 (何回でも微分可能)(7) の左辺の絶対値の中を [x, ∞) で積分すると¯∫¯ ならばマクローリン展開ν−1¯ ∞(¯)∑∞ckc1∑¯¯f (k) (0) kdt −f (t) − c0 −¯
¯f(x)
=x(8)
k−1
¯ x
¯t
(k − 1)xk!
k=2

≤

k=0

Cν
(ν − 1)xν−1において、x を 1/x で置き換えた式( ) ∑∞1
f (k) (0)f=,xk!xkとなる。¤

(9)

k=0

定理 2 f (x) が連続微分可能で、f (x), f 0 (x) が漸近は漸近べき級数である。(8) の収束半径が R > 0 の0とき、(9) は |x| > 1/R で収束する。

べき級数展開を持てば、f (x) の漸近展開は f (x) の漸近展開を項別微分して得られる。

証明 (9) が (4) を満たすことより分かる。

0証明 f (x), f (x) の漸近べき級数展開を例 6 log(1 + x) のマクローリン展開から、つぎの漸c1c2f (x) ∼ c0 ++ 2 + ···x
xd1d2
f 0 (x) ∼ d0 ++ 2 + ···xx

近べき級数が得られる。
() ∑∞1(−1)k−1log 1 +∼,xxk(x → ∞)

k=1

右辺の級数は |x| > 1 で収束するので、∼(漸近展開)とする。f 0 (x) に定理 1 を適用すると、)∫ ∞(d1f 0 (t) − d0 −dt
G(x) =txd2d3d4∼+ 2 + 3 + ···x2x3xは等号 =(級数展開) で置き換えることができる。
複素関数の漸近べき級数

f (z) ∼∞Xck
k=0zk

は、領域 D = {z ∈ C | θ1 < arg z < θ2 } (このような領域を角領域という) においてとなる。G(x) は −(f 0 (x) − d0 − d1 /x) の原始関数だから

lim z ν (f (z) − Sν (z)) = 0, ν = 0, 1, 2, . . .

|z|→∞

G(x) = −f (x) + d0 x + d1 log x + cが成り立つときと定義する。ここで、と書ける。よって、

Sν (z) =νXck
k=0

d3d2− 2 − ···f (x) ∼ c + d0 x + d1 log x −x2xzkである。興味ある読者は [2, 3, 4] などを見よ。

35

微分方程式の漸近展開

5.1

解析解と漸近べき級数解部分積分を繰り返すことにより、[]∞ ∫ ∞ −t
∫ ∞ −te1 −tedt =− e−dtttt2xxx

微分方程式=
dy1−y =−dxxx → ∞ のとき y → 0

k=0(10)(11)Rν+2 (x)の一般解は( ∫ x −t)ex
y=e −dt + Ctaν+1∑(−1)k k! −xe + Rν+2 (x)xk+1ν = 0, 1, 2, . . .
∫ ∞(ν + 2)!e−t= (−1)ν+2dt
tν+3xx ≤ t < ∞ のとき 0 < e−t ≤ e−x だから∫ ∞(ν + 1)!e−xdt=|Rν+2 (x)| ≤ (ν + 2)!e−x
ν+3txν+2x(12)である。(12) は 2 つの定数 a, C を含んでいるが、aとなる。よって、¯∫¯ν∑である。条件 (11) より、a = ∞, C = 0 となるので、 ¯¯ ∞ e−t(−1)k k!e−x ¯¯ 2(ν + 1)!e−x
dt −¯¯≤(10)(11) の解は¯ x¯txk+1xν+2k=0∫ ∞ −t(16)ey = exdt(13) (16) の両辺に ex を掛けるとtx()∫ ∞ −tν∑e(−1)k k!
1xである。指数積分edt =+Ot
xk+1xν+2x∫ ∞ −tk=0
eEi(x) = −dt, (x < 0)となるので、−x t∞∑(−1)k k!
xy∼(17)を用いると、(13) の右辺は −e Ei(−x) と表せる。
xk+1k=0
次に、(10) が漸近べき級数解は (13) の漸近べき級数であり、(10) の漸近べき級数∞∑ck解である。
(14)y∼xkを変化させると C も変化するので、任意定数は 1 つk=0を持ち、y 0 は連続で漸近べき級数を持つと仮定して5.2数値解漸近べき級数解を求める。定理 2 より項別に微分でx > 0 を固定したとき、きるので、∞c1 ∑ (k − 1)ck−1 + ck
y − y ∼ −c0 −−xxk0lim(15)

k=2は +∞ に発散するので、(17) の級数は発散する。となる。(10) と (15) の係数を比較するとeν (x) =c0 = 0, c1 = 1,
ck = −(k − 1)ck−1
k−1となるので、ck = (−1)

2(ν + 1)!
xν+2

とおくと、

k = 2, 3, . . . ,ν+2
eν+1 (x)=eν (x)x(k − 1)!, k = 1, 2, . . . が得(18)が成り立つので、eν (x) は x ≥ 1 を固定したとき、られる。そこで、

ν = bx−1c で減少から増加に転じるため、ν = bx−1c∞∑(−1)k k!
k=0k!

k→∞ xk+1の前後でxk+1が漸近べき級数になることを示す。

¯¯ ∫ν¯∞ −t∑(−1)k k! ¯¯e¯ xdt −¯¯e
¯t
xk+1 ¯x
k=04

3. ν の最適値は x により定まる。
ν表 1: Sν (15) の値と誤差Sν (15)誤差eν (15)010.06667
0.062222

0.00395−0.000498

0.008890.00119が多い。このときは、x → ∞ での漸近べき級

23

0.062815
0.0626962

9.45 × 10−5−2.40 × 10−50.000237
6.32 × 10−5近似などの近似式の利用を考える。

4. x が小さいときはよい近似値が得られないこと
数ではなく、マクローリン展開、あるいは最良

中略12130.062720391
0.062720178

1.12 × 10−7−1.01 × 10−7

4.27 × 10−7
3.98 × 10−714150.062720377
0.062720177

9.79 × 10−8−1.01 × 10−7

3.98 × 10−7
4.25 × 10−7

参考文献
[1] 青木貴史、「大きなパラメータ」は魔法の虫眼鏡、数学の楽しみ 24、pp.57–71、日本評論社、2001[2] 真島秀行、漸近解析入門、数学の楽しみ 24、
pp.16–35、日本評論社、2001は最小になると考えられる。(bxc は x を越えない最大の整数を表す。高校数学にでてくる [x] と同じで

[3] F.W.J.Olver, Asymptotics and special func-ある。)

tions, Academic Press, 1974x ≥ 1 にたいする (13) の近似値は、ν = bx − 1c[4] 大久保謙二郎、河野実彦、漸近展開、教育出版、をとり、Sν (x) =ν∑(−1)k k!
k=01976xk+1[5] H. Poincaré, Sur les intégrales irrégulières
des équations linéaires, Acta Mathematica,を計算すると誤差の絶対値は eν (x) = 2(ν +1)!/xν+2より小さくなる。x = 15 における解 −e15 Ei(−15) =8(1886), 295-344.

0.0627202791074092 の近似値を Sν (15) で求めた値と誤差、および誤差の上界 eν (15) は表 1 のようになる。誤差の絶対値は ν = 14 のとき、誤差の上界は(おさだなおき/東京女子大学)

ν = 13, 14 のとき最小である。
発散級数 (17) の最初の 15 項の部分和は (13) のx = 15 における近似値を有効桁数 5.8 桁与えている。

6

まとめ
漸近べき級数f (x) ∼∞
∑ckk=0xkが発散するとき、f (x) の近似値を部分和Sν (x) =ν∑ckk=0xkにより計算する場合の注意事項をまとめておく。

1. lim Sν (x) は存在しない。
ν→∞2. |f (x) − Sν (x)| は、ある ν に対し最小になり、それ以上によい近似値は得られない。

5