2023 年度物理学基礎１（時田）演習問題：抵抗をおよぼす媒質中での物体の運動

ver.20230628

気体や流体などの抵抗を及ぼす媒質中での物体の運動について考えよう．これはニュートン
がプリンキピアの第 II 編 Section 1 および 2 の中で扱った内容である．例によってニュートン
は幾何学的な方法を使ってこの問題を議論したが，ここではその結果をもちいて媒質中での質点の運動方程式を立て，それを解く．
媒質中での物体が受ける抵抗は（物体の形状にも依存し，かつ，乱流などの影響もあって）大変複雑であるが，物体の速さ (v(t) = |⃗v (t)|) が十分小さいときには，B > 0 を定数として −B⃗v (t)でよく近似されることが知られている．このような抵抗を粘性抵抗と呼ぶ．これは物体が単位時間あたり v に比例する量の媒質を引きずることによって媒質の運動量の変化が起こり，その反作用が物体に働くことによる（これは非常に荒い議論なので詳細は流体力学の教科書を参照のこと）．第７回授業の「演習問題：単振動の一般解と減衰振動」における減衰振動は，単振動する質点に粘性抵抗がはたらく場合である．
一方，物体の速さがある程度の大きさに達すると v の２乗に比例した大きさの抵抗を受ける．
これを慣性抵抗と呼ぶ．プリンキピアにおいては粘性抵抗や慣性抵抗といった言葉は使われていないが，ニュートンは「粘性をもたない媒質中で物体が受ける抵抗は，速さの２乗に比例する」と記述している．媒質の密度を ρ，速度の方向に直交する物体の断面積を S とすると，物体が媒質中でかきわける媒質の質量は，M = ρSv である．その質量分の媒質が速さ v で押しのけられるので，媒質が単位時間あたりに受ける運動量の変化は M v に比例すると考えられる．
その反作用として物体は単位時間あたり M v = ρSv 2 の運動量変化（力積）を受ける．つまり，物体が受ける力は v 2 に比例する．この力は，媒質の慣性質量 M にもとづくので，慣性抵抗と呼ばれる．これも非常に荒い議論なので，詳細に興味がある人は流体力学の授業を受けることをお勧めする．
現実の媒質の中での物体の運動を考える場合は，粘性抵抗と慣性抵抗の両方を考慮して議論する必要があるが，以下では，まず粘性抵抗のみがはたらく場合を考えよう．
１．粘性抵抗：速度に比例する抵抗がはたらく場合
ここでは，粘性の大きな水やグリセリンなどの媒質中を，質点が十分小さな速さ v(t) で運動する状況を考える．つまり，粘性抵抗 ≫ 慣性抵抗の場合，すなわち慣性抵抗の効果が無視できる場合を考える．簡単のため，y 軸の負の方向に重力（重力加速度を定数 g とする）がはたらく２次元平面 (x, y) 内での運動を考える．この場合，質点にはたらく粘性抵抗は，上で述べた通り，−B⃗v (t) である．
問１ 時刻 t における質量 m の質点の位置ベクトルを ⃗r(t) ≡ (x(t), y(t)) および速度ベクトルを⃗v (t) として，重力も考慮した運動方程式をベクトルの式で書け．
問２ b ≡ B/m として，成分ごとに運動方程式を書きかえて，x と y の微分方程式を導け．

x と y の微分方程式 (16),(17) 式はそれぞれ x もしくは y だけの微分方程式なので，それぞれ独立に解くことができる．まず x の微分方程式を解こう．
問３ x の微分方程式 (16) を vx (t) の微分方程式に書きかえよ．

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問４ vx の微分方程式を解いて，初期条件 vx (0) = vx0（定数）のもとでの vx (t) の一般解を求めよ．一般解が微分方程式を満たすことを代入して検算すること．
問５ t → ∞ での vx (t) の値，すなわち質点の終端速度の x 成分の値を求めよ．
問６ 問４で得られた vx に関する式を x(t) の微分方程式に書きかえて，初期条件 x(0) = x0（定数）のもとでの一般解を求めよ．一般解が微分方程式を満たすことを代入して検算する
こと．
次に y の微分方程式 (17) を解く．
問７ 問２で得られた y の微分方程式 (17) を vy (t) の微分方程式に書き換えよ．
問８ ṽy ≡ vy + g/b と変数変換して，問７で得られた微分方程式を ṽy の微分方程式に書き換
えよ．それを解いて vy の式に戻して，さらに問６と同様に積分して，初期条件 y(0) =y0 , vy (0) = vy0 （定数）のもとでの y(t) の一般解を求めよ．
問９ t → ∞ での質点の終端速度の y 成分の値を求め，t → ∞ で軌道 y(t) は (t, y) 平面上のどのような直線に漸近していくか（近づいていくか）を答えよ．
問１０ g = 1, b = 1, vx0 = 1, vy0 = 1, x0 = 1, y0 = 1 として，t の関数としての，x(t), y(t), vx (t), vy (t)のグラフを Wolfram Alpha に描かせてみよ．問９で求めた漸近直線も y(t) のグラフに一緒に描いて，y(t) が漸近していく様子を確認せよ．(x, y) 平面上での軌道も描かせてみよ．
問１１ m = 1, g = 1, b = 1, vx0 = 1, vy0 = 1, x0 = 1, y0 = 1 として，時刻 t = 0 と t = 6 のときの質点の力学的エネルギー（運動エネルギー＋位置エネルギー）の差を計算し，質点の力学的エネルギーが保存していないことを示せ．エネルギー積分しなくてよい．また，vx (6) = 0 としてよい．力学的エネルギーの差はどこへ行ったのか？
２．慣性抵抗：速度の２乗に比例する抵抗がはたらく場合
粘性抵抗 −B⃗v (t) は ⃗v (t) に比例するので，運動方程式は線形の常微分方程式だった．慣性抵
抗は ⃗v (t) の２乗に比例するため運動方程式は非線形の常微分方程式

md2⃗r(t)⃗v (t)= −γ|⃗v (t)|2− mg⃗ey2dt|⃗v (t)|(1)になる．この場合，質点の速度のx, y 成分をそれぞれ vx = ẋ, vy = ẏ ，質点の速さを v(t) ≡√ 22|⃗v (t)| = vx + vy とすると，慣性抵抗の x, y 成分は√√
vx2 + vy2 vx = −γ ẋ(t)2 + ẏ(t)2 ẋ(t)√√Ry (t) = −γv(t)vy (t) = −γ vx2 + vy2 vy = −γ ẋ(t)2 + ẏ(t)2 ẏ(t)Rx (t) = −γv(t)vx (t) = −γ(2)(3)となり，運動方程式の x（y ）成分に ẏ(t)（ẋ(t)）が入ってきてしまい，x, y 成分を独立として解くことができない．そこで，ここでは簡単のため１次元に問題を限って，y 軸負の方向の落下運動を考えることにする．１次元の場合には慣性抵抗を含む運動方程式を解くことができる．
問１２ γ = mc(c > 0 は定数) として，運動方程式に相当する y(t) の微分方程式を書き，速度vy (t) = ẏ(t) の微分方程式に書き換えよ．

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問１３ 終端速度を v∞ とすると，vy = v∞ のときに微分方程式の右辺がゼロになって速度が変化しなくなるはずなので，微分方程式は
2v̇y = −c(v∞− vy2 )(4)と書き換えることができる．終端速度を c, g をもちいて表せ．ただし，ここではあらゆる
2
時刻で v∞> vy2 とする．
問１４ 微分方程式を，

1v̇ = −c2 − v2 yv∞y(5)と変形すると，変数分離形（左辺は vy の関数，右辺は t の関数）になっていることがわ
かる．両辺を t で積分すると，∫∫
1dvy
dt = −c dt(6)2 − v 2 dtv∞y∫1⇒dvy = −ct + C1 (積分定数)(7)2v∞ − vy2とすることができる．左辺は vy を t とは独立な積分変数とみなして積分してよい．ここで，(())
d v∞ − vy
d1v∞ − vy
1
1−log=−(8)v∞ −vydvy
2v∞
v∞ + vy
2v∞ v +v dvy v∞ + vy∞y

1 −(v∞ + vy ) − (v∞ − vy )1=−v∞ −vy
2v∞ v +v
(v∞ + vy )2(9)1= 2v∞ − vy2(10)∞yであることを使って，(7) 式左辺を積分して，初期条件 vy (0) = 0 をもちいて vy (t) の一般解を求めよ．さらに，c = g = 1 として，WolframAlpha に vy (t) のグラフを描かせてみよ．
問１５ 問１４で得られた vy (t) の式を t で積分すれば軌道 y(t) が求まる．

1 − e2cv∞ t
1(+ e2cv∞ t)
1 + e2cv∞ t−2e2cv∞ t= v∞+
1 + e2cv∞ t 1 + e2cv∞ t( )1 2cv∞ e2cv∞ t= v∞ −c 1 + e2cv∞ t

vy (t) = v∞(11)(12)(13)と書き直せること，およびddt((log

1 + e2cv∞ t2))
=2cv∞ e2cv∞ t
1 + e2cv∞ t(14)をもちいて，初期条件 y(0) = h のもとでの y(t) の一般解を求めよ．解はどのような直線に漸近するか．c = g = h = 1 として WolframAlpha に両者のグラフを描かせてみよ．

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[答]以下紛れがないときは時間 t の関数であることを明示する (t) を省略する．
問１ ⃗ey = (0, 1) を y 方向の基本ベクトルとして，

md2⃗r(t)= −B⃗v (t) − mg⃗ey
dt2(15)

問２ 速度の x, y 成分をそれぞれ vx , vy として，ẍ = −bvx = −bẋÿ = −bvy − g = −bẏ − g(16)(17)v̇x = −bvx(18)問３問４ vx の微分方程式の解は明らかに指数関数である（vx (t) を t で微分すると（左辺），vx (t) 自身が出てくるから（右辺））．ゆえに積分定数を C1 として，解はvx (t) = C1 e−bt(19)となるが，初期条件を入れると積分定数が C1 = vx0 と定まり，vx (t) の一般解はvx (t) = vx0 e−bt(20)となる．
問５ 解 (20) の右辺は t → ∞ で明らかにゼロである．つまり終端速度の x 成分はゼロである．
問６ x(t) についての微分方程式はẋ(t) = vx0 e−bt(21)である．この両辺を t で積分すると∫∫

e−bt dt(22)vx0 −bte + C2b(23)ẋdt = vx0⇒ x(t) = −となる（両辺の積分定数は右辺の C2 にまとめた）．初期条件を入れると，x0 = −vx0 /b + C2となるので，C2 = x0 + vx0 /b となり，結局質点の軌道の x 成分がx(t) = x0 +vx0
(1 − e−bt )b(24)と求まる．
問７gv̇y = −bvy − g = −b(vy + )b4(25)

問８ dvy /dt = (d/dt)(ṽy − g/b) = dṽy /dt だから，ṽy (t) の微分方程式はdṽy (t)= −bṽydt(26)となる．これは (18) 式と同じ形をしているので，解も同様に

ṽy (t) = ṽy0 e−bt(27)となる（ṽy0 は変換された初期速度の y 成分）．これを vy (t) に戻せば，vy (t) +gg= (vy0 + )e−btbb(28)となる．(28) 式の両辺を t で積分すると，

gg
1y(t) + t = (vy0 + )(− )e−bt + C3bbb(29)となる（両辺の積分定数は右辺の C3 にまとめた）．初期条件 y(0) = y0 を入れると，

1gy0 = − (vy0 + ) + C3bb(30)1g
C3 = y0 + (vy0 + )bb(31)となるので，積分定数 C3 が，と定まり，結局質点の軌道の y 成分が，1ggy(t) = y0 − t + (vy0 + )(1 − e−bt )bbb(32)と求まる．
問９ (28) 式右辺は t → ∞ でゼロとなるから，質点の終端速度の y 成分の値は vy (∞) = −g/bである．t → ∞ で (32) 式はy(t) = At + B(33)と書くことができるが（A = −g/b, B = y0 + (vy0 + g/b)/b），これは (t, y) 平面上で軌道y(t) が漸近する直線の方程式である．
問１０
図１は Plot[Exp[-t],{t,0,10},{y,0,1}] と入力したときの vx (t) のグラフ．
図２は Plot[1+(1-Exp[-t]),{t,0,10},{y,0,2}] としたときの x(t) のグラフ
図３は Plot[2*Exp[-t]-1,{t,0,10},{y,-1.1,1.1}] としたときの vy (t) のグラフ
図４は Plot[{1-t+2*(1-Exp[-t]),-t+3},{t,0,6},{y,-4,4}] としたときの y(t) と漸近直線 y(t) = −t + 3 のグラフ
図５は ParametricPlot[{1+(1-Exp[-t]),1-t+2*(1-Exp[-t])},{t,0,6}] として描いた (x, y) 平面上での軌道．
図３，図４，図５からある程度時間がたつと質点は等速直線運動（一定速度での落下）に移行することがわかる．

5

Figure 1: vx (t) のグラフ

Figure 2: x(t) のグラフ

Figure 4: y(t) と漸近直線のグラフ

Figure 3: vy (t) のグラフ

Figure 5: (x, y) 平面上での軌道6

問１１ 時刻 t = 6 と t = 0 での力学的エネルギーの差 ∆E は，質点の速さを v(t)，位置エネル
ギーの基準点を y = 0 として，各時刻における質点の運動エネルギー，位置エネルギーは
1
11 ( gg −b×6 )222mv(6) ≃ mvy (6) = m − + (vy0 + )e(34)222bb
1= (−1 + 2e−6 )2 ≃ 0.5(35)2g
1gmgy(6) = mg(y0 − × 6 + (vy0 + )(1 − e−b×6 ))(36)bbb= 1 − 6 + 2(1 − e−6 ) ≃ −3.0(37)111mv(0)2 = m(vx (0)2 + vy (0)2 ) = × 2 = 1(38)222mgy(0) = 1(39)だから，∆E ≃ 0.5 + (−3.0) − (1 + 1) = −4.5(40)となり，質点の力学的エネルギーは 4.5 失われており，力学的エネルギーが保存していないことがわかる．質点が失った力学的エネルギーの大部分はまさつ熱（媒質分子の運動エネルギーの増加）に変わった．残りは媒質分子の位置エネルギーを増加させたり，質点と媒質の衝突により電磁波が発生した場合にはそのエネルギーにも変わった．
問１２ (1) 式において，⃗v (t)/|⃗v (t)| の y 成分は sgn(vy )（vy の符号，vy > 0 なら sgn(vy ) = 1,
vy < 0 なら sgn(vy ) = −1）となるが，落下の場合のみを考えて（投げ上げは考えない）sgn(vy ) = −1 として，ÿ(t) = −g + c(ẏ(t))2v̇y = −g + cvy2(41)(42)

問１３g(43)v̇y = −g + cvy2 = −c( − vy2 )c√2なので，向きも考慮して v∞ = − g/c(< 0) である．運動方程式を解く
より，g/c = v∞
ことなく，その形だけから終端速度が求まることに注意．
問１４ (10) 式より (7) 式左辺の積分が実行できて，−v∞ − vy1log
= −ct + C1
2v∞
v∞ + vy(44)となる．これに初期条件 vy (0) = 0 を入れると，C1 = 0 となる．vy について解くとv∞ − vy= 2cv∞ t
v∞ + vy
v∞ − vy= e2cv∞ t
v∞ + vy
v∞ − vy = (v∞ + vy )e2cv∞ tvy (1 + e2cv∞ t ) = v∞ (1 − e2cv∞ t )1 − e2cv∞ t
vy = v∞
1 + e2cv∞ tlog⇒⇒⇒⇒

7(45)(46)(47)(48)(49)

となる．明らかに初期条件を満たし，t → ∞ で vy → v∞ である．
図６は Plot[-(1-Exp[-2t])/(1+Exp[-2t]),{t,0,4}] としたときの vy (t) のグラフ．
問１５ (14) 式をもちいて (13) 式の右辺を積分して，初期条件を入れて積分定数を決定すると，

y(t) = v∞ t −11 + e2cv∞ tlog+hc2(50)となる．明らかに初期条件を満たす．t → ∞ では直線 y = v∞ t + logc 2 + h に漸近する．
図７は Plot[{-t-Log[(1+Exp[-2*t])/2]+1, -t+Log[2]+1},{t,0,4}] としたときの y(t)と漸近直線 y = −t + log(2) + 1 のグラフ．
図６，図７から，ある程度時間がたつと質点は等速直線運動（一定速度での落下）に移行することがわかる．

なお，このノートには，間違い，事実誤認，不正確な表現，タイポが含まれている可能性がある．それらを指摘してくれた人にはボーナス点を与えるので，積極的に「バグ取り」に協力してください．

Figure 7: y(t) と漸近直線のグラフ

Figure 6: vy (t) のグラフ

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