信学技報
IEICE Technical Report
NLP2019-62(2019-09)

一般社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
社団法人 電子情報通信学会
INFORMATIONAND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

位相反転波動もしくは位相波が伝搬している時のポアンカレ断面上での各発振器の電圧の挙動の解析
平野里佳†

山内 将行†

西尾芳文††† 広島工業大学 工学部 電子情報工学科 〒731–5193 広島県広島市佐伯区三宅 2–1–1†† 徳島大学 工学部 電気電子工学科 〒770–8506 徳島市南常三島町 2–1
E-mail: †ma19017@cc.it-hiroshima.ac.jp
あらまし

我々は梯子状や環状に結合された発振器の上で観測される波のような現象の解析を行ってきた。伝搬し続ける波動現象の一つに位相反転波動がある。この位相反転波動は，過渡状態でのみ見られる位相波と，短時間で判別することが難しい。また，伝搬している位相差が小さい位相波が入り乱れて存在している状態を観測することは，従来の方式では難しいと言える。本研究では，発振器を梯子状や環状に結合した系において，各発振器の電流が 0 であるポアンカレ断面の各発振器の電圧値の変化率として考えられる瞬時拡大率を定義し，さらに，疑似リアプノフ指数を定義する。また，瞬時拡大率と疑似リアプノフ指数を用いて，位相反転波動と位相波の観測と調査を行う。
キーワード

梯子状結合発振器, 環状結合発振器, 位相反転波動, 瞬時拡大率, 疑似リアプノフ指数

Analysis of Behavior of Voltage in Each Oscillator on Poincare Section in
Propagating Phase-Inversion Waves or Phase-Waves
Rika HIRANO† , Masayuki YAMAUCHI† , and Yoshifumi NISHIO††† Dept. of Elec. and Comp. Eng., Hiroshima Institute of Technology, 2–1–1 Miyake, Saeki–ku, Hiroshima
731–5193, JAPAN†† Dept. of Elec. and Elec. Eng., Tokushima University, 2–1 MinamiJyosanjima-cho, Tokushima 770-8506,
Japan
E-mail: †ma19017@cc.it-hiroshima.ac.jp
Abstract We have been analyzing phenomena like waves on the oscillators coupled by inductors as ladders, rings,and so on. Phase-inversion waves are one of wave-motion phenomena which are continuously propagating. In shorttime, the phase-inversion waves are hard to be distinguished from phase-waves which can be observed in transientstat. It is hard to be observed by our previous method that the many phase-waves, which are propagating a little
phase diﬀerences, welter. In this study, an instantaneous expanding rate is deﬁned as a change rate of value ofvoltage on Poincare section at each oscillator of when a current is zero in the each oscillator. Furthermore, we deﬁnea quasi Lyapunov exponent. The phase-inversion waves and the phase-waves are observed and investigeted by using
the instantaneous expanding rates and the quasi Lyapunov exponents.
Key words ladder shape coupled oscillators, ring shape coupled oscillators, wave-motion, instantaneous expanding
rate, quasi Lyapunov exponent

1. 序論などが考えられる。これらの同期現象は，自然現象を利用して自然界において，同期や共振現象はよくみられ，数多くの物質や生物等で実際に観測されている。例えば，東南アジアで見られる木にとまった蛍の一斉点滅 [1] や，鰯の大群が泳ぐ様，神経細胞の同期 [2] などがあり，実体のないものでは，噂や流行いる電子回路上でも観測される物であるため，電子回路上で観測される同期現象を解析することで自然界の理解が進むと考えられる。さらに工学的な利用を考えた時，その特性を深く理解していることは同期現象を利用する上で非常に重要であると言える。ゆえに，様々な分野において同期現象の研究は盛んに行- 139 -—1—
This article is a technical report without peer review, and its polished and/or extended version may be published elsewhere.
Copyright ©2019 by IEICE

Lc

Lc

ik

Lc

ik
LCik

vkf(vk)

CL

OSC0

OSC1LcLc

OSC4vkLCvkf (vk ) = −g1 vk + g3 vk3

f(vk)

OSCkO
SCO
SC

OSCk

OSCNO
SC

Lc

OSC3Lc(1)に示す。α は結合の強度，及び ε は非線形の強度を表す。これ

vkOSCOSC(g1 , g3 > 0).

式 (2) を用いて正規化された回路方程式を式 (3)–(5) のようOSCN

Lc

OSC0OSCLCf(vk)

Lc

る電流を ik とする。非線形負性抵抗は式 (1) のように表す。

ik

vkf(vk)とし，それぞれの発振器の電圧を vk ，各インダクタ L に流れ

Lc

Lc

Lc

OS
C

らの正規化された回路方程式を，4 次のルンゲ・クッタ法を用

ikOSCf(vk)

Lいて解析を行う。ルンゲ・クッタ法で計算を行う際のステップ
幅は 0.001 とする。

√
Cg1
g1
ik =xk , vk =yk , t = LCτ,
3Lg3
3g3

LL
g2, ε = g1
α=, δ= 1 .
Lc
C
3g3

C

OSC1

OSC2

図1回路モデル.

(2)<Left edge oscillator of the ladder (k=1)>

Fig. 1 Circuit model.

x˙k = yk

われつつある。

y˙k = −xk + α(xk+1 − xk ) + ε(yk −我々は，以前の研究で梯子状や環状に発振器を結合した電子(3)1 3y )
3 k

回路上において，同期現象を観測し，新たな現象の発見を行い，<Middle oscillators (1 < k < N − 1) of the ladder and oscil-

それらの現象の解析を行ってきた。その 1 つとして，隣接したlators of the ring>

発振器間の位相状態を同相同期から逆相同期，もしくは逆相同x˙k = yk

期から同相同期へ切り替える現象であり，言い換えれば，概ね◦y˙k = −xk + α(xk+1 − 2xk + xk−1 ) + ε(yk −180 の位相差を伝搬する現象とも言える波動現象がある。この波動現象は，個々の発振器の発振波形が，概ね正弦波のような綺麗な波形である場合においても観測することができ，また，x˙k = ykる。この現象を位相反転波と名づけ，解析を行ってきた。これ

y˙k = −xk + α(xk−1 − xk ) + ε(yk −ら位相反転波が組み合わさった現象が一般的にみられ，これらみ観測ができ，位相反転波動に成長するか，結果消えてしまう

動と位相波の現象の違いについて解析してきた。しかし，位相存在している状態，及び位相波が存在している状態において，ポアンカレ断面上での解の挙動について，瞬時拡大率と擬似リアプノフ指数を定義し調査を行う。

3. 1 ポアンカレ断面

い位相差を伝搬する位相波が複雑に組み合わさって見られる現本研究では，各発振器の電流が 0 の時のポアンカレ断面上の電圧の変化率が拡大するか収束するかを表せる瞬時拡大率を定(5)各発振器で個別にポアンカレ断面を設定し，位相反転波動が反転波動と位相波の短時間での判別は難しい。また非常に小さ象は観測することそのものが難しいと言える。

1 3y )
3 k

3. 位相反転波動と位相波について位相反転波動 [3] と呼んでいる。また，過渡状態での相波 [4] と呼んでいる。従来の解析手法を用いて，位相反転波(4)<Right edge oscillator of the Ladder (k=N)>

カオス発振回路を結合した系においても，観測することができような位相差が伝搬する現象を梯子状の系において発見し，位1 3yk )
3各発振器で xk = 0 の時のポアンカレ断面を設定し，ポアンカレ断面上の yk を求める。ポアンカレ断面を l 回目に交差する計算結果を ypk (l) とし，その時間を τ pk (l) とする。また，(l + 1) 回目のシミュレーション結果を ypk (l + 1) と表し，時義し，また，シミュレーションを基本とした解析を行うため，間を τ p(l + 1) とする。しかし，数値シミュレーションである数値計算の結果から一部の状態の変動の安定性を考えられるとため，xk = 0 になることはほぼないと言える。実際，計算のス思われる擬似リアプノフ指数を提案する。これらの手法を用いて，位相反転波動と位相波について調査解析を行い，また，位相反転波の本数と疑似リアプノフ指数の関係についても調査を行う。

テップ幅を h とすると，xk (τ ) > 0 であるなら，xk (τ + h) < 0となると考えられる。そこで，より正確性を増すために線形近似を行い，ポアンカレ断面上の点 ypk (l) を式 (6) を用いて求める。xk (τ ) > 0 とし，xk (τ + h) < 0 と仮定する。また，ypk (l)になる時間を τ p(l) を式 (7) で求める。

2. 回路モデル
本研究では，N 個の van der Pol 発振器をインダクタで梯子

ypk (l) = yk (l) + sign ·状，又は環状に結合し，系を構築する。これらの回路モデルを，
図 1 に示す。それぞれの発振器を OSCk (0 ≦ k ≦ N の整数)とし，各発振器内のインダクタンスを L，キャパシタンスを Cとする。また，各発振器を結合しているインダクタンスを Lc

xk (l) · |yk (l + 1) − yk (l)|.
xk (l) − xk (l + 1)

{If yk (l + 1) ≥ yk (l), sign = 1.

(6)

If yk (l + 1) < yk (l),sign = −1.}

- 140 -—2—

τ pk (l) = τk (l) +xk (l) · (τk (l + 1) − τk (l)).
xk (l) − xk (l + 1)を表し，16100τ までの瞬時拡大率を示す。図 2(c) に，IER50(7)について，0τ から 4000τ までの瞬時拡大率を示す。瞬時拡大3. 2 瞬時拡大率率の変動は，この場合，概ね ±0.02 程度変動することが解る。

位相反転波動，位相波が存在する時，ypk (l) と ypk (l + 1) のまた，瞬時拡大率は正に 3 度のピークが明確に現れ，負に 2 度距離がどのように変動するか観測を行い，諸現象の違いを調査ピークが現れることが解る。

する。そのため，ypk (l) と ypk (l + 1) の間の距離の変動から瞬< 擬似リアプノフ指数 >図 2(d) に，OSC50 の擬似リアプノフ指数 QLE50 を示す。最時拡大率 (Instantaneous-expanding rate: IER) を式 (8) のよ

終的に約-12.71 に収束することが解る。

うに定義する。

ypk (l + 1) − ypk (l).
IER(l) =ypk (l)3. 4. 2 位 相 波< 従来の方式における全体像 >(8)

図 3(a) に 0τ から 161000τ までの全体像を表示する。図がよって，完全に同相同期，もしくは逆相同期であるとき，IERは 0 となる。

圧縮されている為でもあるが，位相波が上から 1 本発生させられ伝搬しているが，それをこの図から観測することは困難であ3. 3 疑似リアプノフ指数ると言える。

次に解の挙動より，解自体が収束に向かっているか，発散方< 瞬時拡大率 >向に向かっているか，また，どの程度収束に向かうかなど，式

図 3(b)-(c) に図 2(b)-(c) と同様に，瞬時拡大率の結果を示(9) のように擬似リアプノフ指数 (Quasi Lyapunov exponent:

す。図 3(b) において，図 3(a) では観測が非常に困難な小さなQLE) を定義し，考察を行う。

波が多数発生し，伝搬してきた位相波に影響を与えていること

QLE =m1   ypk (l + 1) − ypk (l) ln .
m l=1
τ pk (l + 1) − τ pk (l) が明らかに解る。また，伝搬速度自体も，他の位相波からの影響で変動することが解る。さらに，位相波が発生と消滅を繰り(9)返している様子が見られる。図 3(c) より，瞬時拡大率の変動ゆえに，完全に同相同期，もしくは逆相同期であるとき QLEは，この場合，概ね ±0.0001 程度変動することが解る。すなわ
ち，位相反転波動の場合より非常に小さいことが解る。また，

は-∞ となる。

3. 4 位相反転波動と位相波の瞬時拡大率

正に 3 度のピークが見られるが，非常に変動が小さく，実質 1梯子状の回路において，位相反転波動，及び位相波が存在しつのピークのみが大きいことが解る。ている時の，瞬時拡大率について調査解析を行う。位相反転波< 擬似リアプノフ指数 >図 3(d) に，OSC50 の擬似リアプノフ指数 QLE50 を示す。最動と位相波の観測条件を，以下のように設定する。

終的に約-13.23 に収束することが解る。

（ 1 ） 発振器数を 200 とし，梯子状に結合する。
（ 2 ） 非線形の強さ ε を 0.3 とし，発振器間の結合の強さ α

3. 4. 3 位相反転波の本数と疑似リアプノフ指数の関係を 0.05 と設定する。

位相反転波動が通過するたびに，瞬時拡大率は大きくなり，（ 3 ） 全ての発振器の初期値を同じ値とした後，位相反転波再び小さくなる。すなわち，位相反転波動が，一定時間内に何動は 180 度，位相波は 40 度の位相差を 1 つ目の発振器 (OSC1 )本存在しているかによって，本研究で定義した擬似リアプノフに与え，波を発生させる。

指数は変動すると考えられる。そこで，200 個の発振器を環状

3. 4. 1 位相反転波動に結合した回路において，存在する位相反転波動の数を変えて< 従来の方式における全体像 >擬似リアプノフ指数がどのように変動するか確認する。観測条

図 2(a) に 0τ から 16100τ までの従来の表示方式による全体件として，以下のように設定する。
（ 1 ） 発振器数を 200 個とし，環状に結合する。

像を表示する。図は，横に細長い箱を縦に 199 個重ねて表示しており，それぞれの箱の縦軸は隣接した発振器の電圧の合計値（ 2 ） 非線形の強さ ε を 0.3 とし，発振器間の結合の強さ αを示し，横軸は時間を示す。一番上の箱から，OSC0 と OSC1を 0.05 とする。の電圧の合計値を示し，続いて，OSC1 と OSC2 の電圧の合計（ 3 ） 2 本の位相反転波を 1 組として，1，2，3，4，5，6，値を示し，一番下の箱が OSC198 と OSC199 の電圧の合計値を7，8，9，10，20，30，40 組の位相反転波動が存在する場合の示す。すなわち，各箱はそれぞれ隣接した発振器間の位相状態擬似リアプノフ指数を求める。

を示しており，黒くなるほど同相同期状態に近い状態を示し，（ 4 ） 805000τ まで計算を行い，805000τ の時の擬似リアプ

白くなるほど逆相同期状態に近い状態を示す。

ノフ指数を，その位相反転波の本数における擬似リアプノフ指図 2(a) から，位相反転波動が上端から発生し，一定の速度で下端まで伝搬した後反射し，また上端まで同じ速度で伝搬して数とする。

<1 組の位相反転波動が伝搬する場合 >図 2(a)(b)，(d) と同様の図を，図 4(a)-(c) に示す。図 4(a)-(b)いる様子が見られる。

< 瞬時拡大率 >では，1 組の位相反転波動が環状の系の上を伝搬しているため，

図 2(b)-(c) に瞬時拡大率の結果を示す。縦軸は瞬時拡大率を示し，横軸は時間を示す。図 2(b) は上端から順に IER0 ∼ IER199

下まで伝搬した位相反転波動が上から現れ，常に一方向に伝搬していることが解る。

- 141 -—3—

y0+y1y0+y1(a)(a)

y198+y1990τ
IER0y198+y19916100τ

0τ161000τ0τ
1.5E-4161000τ(b)

Instantaneous Expanding Rate(b)

Instantaneous Expanding Rate

IER0

IER19916100τ

(c)

4000τ

-18-190τ(d)Time0-1.5E-40τ
-12-13

Quasi-Lyapunov Exponent0τ-12-13

Instantaneous Expanding Rate0-0.03(d)

IER199483000τ

Quasi Lyapunov Exponent(c)Instantaneous Expanding Rate0τ
0.03-18-190τ40000τ

Time483000τ

図 2 位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ ), (b) 瞬時拡

図 3 位相波 (a) 全体の位相状態 (0τ to 161000τ ), (b) 瞬時拡大率大率 (0τ to 16100τ ), (c) OSC50 の瞬時拡大率 (0τ to 4000τ ,(0τ to 161000τ ), (c) OSC50 の瞬時拡大率 (0τ to 40000τ , (d)(d) QLE50 の疑似リアプノフ指数 (0τ to 483000τ ).
Fig. 2 Phase-inversion waves. (a) phase states (0τ to 16100τ ), (b)QLE50 の疑似リアプノフ指数 (0τ to 483000τ ).
Fig. 3 Phase waves. (a) phase states (0τ to 161000τ ), (b) whole ofwhole of IERs(0τ to 16100τ ), (c) behavior of IER50 (0τIERs(0τ to 161000τ ), (c) behavior of IER50 (0τ to 40000τ ,to 4000τ , (d) QLE50 (0τ to 483000τ ).

(d) QLE50 (0τ to 483000τ ).

図 4(c) に疑似リアプノフ指数 QLE50 の変動を示す。図の動を示す。位相反転波動が通るたび，疑似リアプノフ指数が揺縦軸に疑似リヤプノフ指数を示し，横軸は時間を示す。位相反れるが，最終的に約-6.57 辺りに漸近する様子が見られ，1 組の転波動が通るたび，疑似リアプノフ指数が揺れるが，最終的に位相反転波動が伝搬する場合よりも，大きい値になることが解

約-13.32 辺りに漸近する様子が見られる。

る。また，収束時間も非常に早いことが解る。

<40 組の位相反転波動が伝搬する場合 >< 位相反転波動の組数と疑似リアプノフ指数の関係 >図 4 と同様の図を，図 5 に示す。図 5(a)-(b) 共に，解り辛い

図 6 に位相反転波動の本数と疑似リアプノフ指数の変動につが，40 組の位相反転波動が環状の系の上を伝搬している様を表いてまとめたものを示す。縦軸は OSC50 疑似リアプノフ指数している。

を示し，横軸は位相反転波動の組数を示している。約-13.32 か

図 5(c) に図 4(c) と同様の疑似リアプノフ指数 QLE50 の変ら，約-6 に増加していく様子が見られる。

- 142 -—4—

y0+y1y0+y1(a)(a)

y198+y199

y198+y199

Quasi Lyapunov Exponent

00τ

IER19916100τ

(c)-12-14-16-180τ

Time0τ16100τ

0τ16100τ

Instantaneous Expanding Rate

IER0(b)

IER199(c)16100τ

Quasi Lyapunov Exponent

(b)

0τ

Instantaneous Expanding Rate

IER00-6-8-180τ805000τ

図 4 1 組の位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ ), (b)

図5Time805000τ

40 組の位相反転波動 (a) 全体の位相状態 (0τ to 16100τ ), (b)瞬時拡大率 (0τ to 16100τ ), (c) QLE50 の疑似リアプノフ指数

瞬時拡大率 (0τ to 16100τ ), (c) QLE50 の疑似リアプノフ指数(0τ to 805000τ ).
Fig. 4 A coupled of phase-inversion waves. (a) phase states (0τ to(0τ to 805000τ ).
Fig. 5 Forty coupled of phase-inversion waves. (a) phase states

16100τ ), (b) whole of IERs(0τ to 16100τ ), (c) QLE50 (0τ(0τ to 16100τ ), (b) whole of IERs(0τ to 16100τ ), (c)to 805000τ ).

QLE50 (0τ to 805000τ ).

4. 結

Number of coupled of PIWs論-5

相反転波動と位相波動の現象の違いについて調査解析を行った。
新たな解析手法である，瞬時拡大率を用いることで，位相反転波動と位相なみの現象の違いの確認ができた。また、今までに観測が難しかった小さな位相波の観測も可能となり，位相波同士の衝突による振るまいの観測が可能となったと言える。さらに，疑似リアプノフ指数と位相反転波動の組数の関係についても調査を行い，位相反転波動の組が増えるごとに約-6 辺りまで上がることが明らかになった。
文

Quasi Lyapunov Exponent

本研究では，瞬時拡大率と疑似リアプノフ指数を定義し，位0510152025303540-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15

図 6 PIW の組数と QLE50 の関係

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—5—