目次目 次第1章

機械工学のための基礎数学 ............ 1

1・1

機械工学と数学 ............................................. 1

1･1･1「さぁ，機械工学を勉強しよう・・・えっ，数学？」 ......................... 1

1･1･2

機械と機械工学 ....................................... 2

1･1･3

機械工学－力学－数学 ........................... 2

1･1･4 機械工学と高校数学・基礎数学 の関連.......................................................................... 4
1・2「機械工学のための数学」に必要な
高校数学機械技術....................................... 6

2･2･7

ラプラスの展開定理 ............................. 35

2・3

確率統計 ...................................................... 37

第3章

基礎解析 ............................................ 43

3・1

多変数関数の微分 ...................................... 433･1･1多変数関数 ............................................. 43

3･1･2偏微分 .................................................... 44

3・2多変数関数の極大・極小 ........................... 51

3･2･1テイラー展開 ......................................... 52

1･2･1関数と方程式 ........................................... 6

3･2･2多変数関数の局所的性質 ..................... 53

1･2･2三角関数 ................................................... 73･2･3

接平面と法線ベクトル ......................... 56

1･2･3

指数関数・対数関数 ............................... 9

1･2･4複素数 ..................................................... 12

3･3･1

逐次積分 ................................................. 60

1･2･5部分分数展開 ......................................... 133･3･2

積分変数の変換 ..................................... 63

1･2･6

さぁ，大学で学ぶ基礎数学へ .............. 133・3多重積分 ...................................................... 603・4線積分 .......................................................... 66

第2章

機械工学のための大学数学入門 .... 153・5面積分 .......................................................... 702・1微分積分 ...................................................... 153・6関数の最適化 .............................................. 73

2･1･1接線・法線 ............................................. 153･6･1

ラグランジュの未定乗数法 ................. 74

2･1･2合成関数の微分法 ................................... 163･6･2

陰関数定理 ............................................. 76

2･1･3

対数微分法 ............................................. 163･6･3

最急降下法 ............................................. 782･1･4逆関数の微分 ......................................... 172･1･5

媒介変数表示の微分 ............................. 172･1･6テイラー展開 ......................................... 182･1･7部分積分法 ............................................. 192･1･8置換積分法 ............................................... 202･1･9有理関数の積分 ..................................... 202･1･10無理関数の積分 ................................... 212･1･11

広義積分 ............................................... 212･1･12

極座標 ................................................... 222･1･13数列・級数 ........................................... 222・23・7まとめ .......................................................... 80

第4章

３次元運動の数学 ........................... 81

4・1ベクトル ...................................................... 81

4･1･1

ベクトルとは ......................................... 81

4･1･2

ベクトルの基本演算 ............................. 82

4・2

実世界空間と内積 ...................................... 83

4･2･1ベクトルと座標系 ................................. 83

4･2･2

実世界空間における内積 ..................... 84

4･2･3

内積と仕事 ............................................. 88

線形代数 ...................................................... 24

2･2･1行列 ......................................................... 24

2･2･2

色々な行列 ............................................. 25

2･2･3行列の演算 ............................................. 26

2･2･4逆行列 ..................................................... 26

2･2･5行列式 ..................................................... 31

2･2･6行列式と基本変形 ................................. 33

4・3ベクトルの外積 ............................................ 88

4・4

ベクトル関数の微分と積分......................... 91

4・5ベクトル場の微積分 .................................... 94

4･5･1

スカラー場とベクトル場 ..................... 94

4･5･2

スカラー場・ベクトル場の微分 .......... 94

4･5･3

ベクトル場の微積分 ............................. 99i

ii

4･5･4

ベクトルの面積分・体積分 ................ 104

4･5･5発散定理 ............................................... 107

6･3･1変数分離形 ........................................... 164

4･5･6ストークスの定理 ............................... 108

6･3･2完全微分形 ........................................... 167

6･3･3

１階線形微分方程式 ........................... 169

4・6テンソルの初歩 ........................................ 110

6・36・4１階微分方程式 .......................................... 164

線形微分方程式 .......................................... 172

4･6･1

なぜテンソルか？ ............................... 110

4･6･2テンソルの定義 ..................................... 111

6･4･1

線形系と重ね合わせの原理 ............... 173

4･6･3テンソル解析 ....................................... 112

6･4･2

定数係数高階微分方程式 ................... 175

4･6･4テンソルの応用例 ............................... 114

6･4･3

定数係数連立線形常微分方程式 ....... 184

4・7まとめ ........................................................ 115

第5章

多変数の関係式と変換（線形代数）.............................................................. 117

5・1線形空間とベクトル ................................. 117

5･1･1線形空間 ............................................... 117

5･1･2

ベクトルと内積のノルム ................... 118

5･1･3線形空間の次元 ................................... 120

5･1･4線形空間の基底 ................................... 122

5･1･5ベクトル演算の計算 ........................... 124

5・26・5解のふるまい ............................................ 197

6･5･1

安定性 .................................................. 198

6･5･2

解の時間発展と相平面の解曲線 ....... 200

6・6振動と微分方程式 .................................... 207

6･6･1

調和振動 .............................................. 208

6･6･2

偏微分方程式へのいざない ............... 213

6・7まとめ ........................................................ 219

第7章

運動の周波数解析（フーリエ解析）.............................................................. 221

線形写像 .................................................... 126

5･2･1

ベクトルの変換 ................................... 126

7・1運動の解析 ................................................ 221

5･2･2

線形写像の表現 ................................... 126

7・2周期的な現象（フーリエ級数） ............. 221

5･2･3

行列 ...................................................... 128

7･2･1

フーリエ級数 ....................................... 223

5･2･4

行列のノルムとランク ....................... 128

7･2･2

フーリエ級数の性質 ........................... 226

5･2･5逆行列 ................................................... 130

5・3行列の標準形 .............................................. 137

7・3

非周期的な現象（フーリエ変換） ........... 227

7･3･1フーリエ変換 ....................................... 228

5･3･1動機 ...................................................... 137

7･3･2

フーリエ変換の基本性質 ................... 229

5･3･2

基底の変換 ........................................... 139

7･3･3

特殊関数のフーリエ変換 ................... 231

5･3･3行列の固有値 ....................................... 141

5･3･4

行列の標準化 ....................................... 143

7･3･4 フーリエ変換とフーリエ逆変換の計算..................................................................... 234

5・4まとめ ........................................................ 151
付録 ............................................................ 151

第6章

運動の時間展開（微分方程式） .. 153

6・1

微分方程式とは ........................................ 154

6･1･1

常微分方程式と偏微分方程式 ............ 154

6･1･2

微分方程式の解とは ........................... 156

6・27・4

不安定な現象（ラプラス変換） ............... 235

7･4･1

ラプラス変換のアイデア ................... 235

7･4･2

ラプラス変換の定義 ........................... 235

7･4･3

ラプラス変換の性質 ........................... 237

7･4･4 ラプラス変換とラプラス逆変換の計算..................................................................... 240
7･4･5
7・5

求積法 ........................................................ 156

ラプラス変換とフーリエ変換 ........... 241

フーリエ解析の動的システム解析への応用..................................................................... 242

6･2･1

一般解と特殊解 ................................... 157

7･5･1

機械システムのモデリング ............... 242

6･2･2

初期値問題と境界値問題 ................... 158

7･5･2

伝達関数の性質 ................................... 243

6･2･3

解の存在と一意性 ............................... 161

7・6

まとめ ........................................................ 248