Numéro d’ordre : 29-2010

Université Claude Bernard Lyon 1

Habilitation À Diriger des RecherchesSpécialité : mathématiques puresFrédéric JOUHET
Soutenue le 22 septembre 2010

Quelques propriétés arithmétiques etcombinatoires de fonctions spéciales

Après avis des rapporteurs :M. Masao ISHIKAWA

Professeur à l’Université de Tottori

M. Christian KRATTENTHALER

Professeur à l’Université de Vienne

M. Ole WARNAAR

Professeur à l’Université de Queensland

Devant le jury composé de :M. Philippe FLAJOLET

Directeur de recherche à l’INRIA

M. Masao ISHIKAWA

Professeur à l’Université de Tottori

M. Christian KRATTENTHALER

Professeur à l’Université de Vienne

M. Jeremy LOVEJOY

Chargé de Recherche au CNRS

M. Tanguy RIVOAL

Chargé de Recherche au CNRS

M. Jiang ZENG

Professeur à l’Université Lyon 1

ii

Remerciements
Je remercie de façon générale toutes les personnes ayant contribué, de près ou deloin, à mes travaux de recherches ainsi qu’à l’élaboration de ce texte.
J’ai rencontré Philippe Flajolet il y a quelques années à l’occasion d’un exposé
aux journées du GDR Informatique-Mathématiques à l’Institut Henri Poincaré, puis
lorsqu’il m’a invité au séminaire de l’INRIA Rocquencourt, dont je garde un souvenirtrès agréable. C’est un grand honneur pour moi qu’il ait accepté de faire partie dujury de cette habilitation.
Je connais Masao Ishikawa depuis un certain temps, pour avoir fait sa connaissancelors de différents Séminaires Lotharingien de Combinatoire ou lors de ses nombreuxséjours à l’Université Lyon 1. Les échanges et discussions professionnelles que nous
avons eus ont toujours été riches et fructueux. Je le remercie vivement d’avoir accepté
de rapporter cette habilitation et de participer à ce jury.
Christian Krattenthaler est sans doute l’un des mathématiciens dont j’ai le plus appris,
ses travaux furent depuis le début de ma carrière et sont encore une grande sourced’inspiration pour moi. Je lui exprime toute ma reconnaissance d’avoir été rapporteurde cette habilitation et je suis très heureux qu’il soit membre de ce jury.
Un grand merci à Jeremy Lovejoy, que j’ai eu le plaisir de rencontrer lors de la premièreconférence internationale à laquelle j’ai participé durant ma thèse, pour sa participation à ce jury.
Mes travaux récents sont en partie issus d’échanges avec Tanguy Rivoal, qui s’est
systématiquement rendu disponible pour répondre aux diverses questions que je pouvais avoir à lui poser. Je lui en suis très reconnaissant, ainsi que d’avoir accepté d’être
membre de ce jury.
Je tiens aussi à remercier Ole Warnaar, avec qui j’ai toujours eu plaisir à communiquer
car nos échanges furent toujours riches d’enseignements, et qui a accepté de rapporter
cette habilitation.
J’exprime bien entendu toute ma gratitude à Jiang Zeng, qui m’a permis de faire mes
premiers pas dans la recherche, et qui me fait le plaisir de participer à ce jury.
Je me dois de mentionner l’ambiance fort agréable dans laquelle j’ai pu travailler
au sein de l’Institut Camille Jordan. Toutes les conditions furent réunies pour que
je puisse préparer sereinement cette habilitation, à commencer par ma relation avec

mes collègues ou l’aide du personnel administratif. Je les remercie donc tous, et j’ai
une pensée spéciale pour ceux de mes collègues qui sont aussi devenus des amis. Je
tiens absolument à nommer particulièrement Boris et Elie, avec qui c’est une joie departager des moments, à l’intérieur comme à l’extérieur de l’institut.
Je remercie enfin ma famille et mes amis, qui par leur seule présence apaisanteet leur affection ont contribué à me mettre dans des conditions idéales pour réaliser
ce travail. J’embrasse tendrement Kerien ; le voir grandir est un bonheur de chaqueinstant.

Éclaire ce que tu aimes sans toucher à son ombre.
Christian Bobin, Éloge du rien.

Table des matières
Remerciements

iii

1 Introduction et notations
1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’algèbre des fonctions symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Partitions d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Fonctions symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Les q-séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Quelques explications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Séries hypergéométriques basiques . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Le lemme de Bailey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
2
2
3
6
6
7
9

2 Sommations de fonctions symétriques
2.1 Combinatoire et fonctions symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Fonctions de Schur et partitions planes . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Polynômes de Hall-Littlewood et q-séries . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sommations de type Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Forme finie d’une sommation de Kawanaka . . . . . . . . . . .
2.2.2 Une généralisation due à Warnaar . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Sommations de type Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Forme finie de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Quelques perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13
13
15
18
18
20
21
21
22

3 Séries bilatérales
3.1 La méthode de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Illustration sur un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Nouvelle preuve de la sommation 6 ψ6 de Bailey . . . . . . . . .
3.2 Formes semi-finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Une forme semi-finie de la sommation 6 ψ6 de Bailey . . . . . .
3.3 Formes finies de Rogers-Ramanujan . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Deux résultats très proches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Le lemme de Bailey revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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25
25
26
28
28
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30
30
31

viii

TABLE DES MATIÈRES
3.3.3 Quelques cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le lemme de Bailey bilatéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Lemme de Bailey décalé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Le cas bien équilibré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32
33
33
35
36

4 Applications arithmétiques et diophantiennes
4.1 Deux problèmes à priori disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Un problème de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Un problème d’intégralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Valeurs de q-zêta aux entiers positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Construction de formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Une amélioration tangible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Extension à d’autres fonctions L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Des q-analogues des séries de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Cas particulier d’un caractère modulo 4 . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Résultats diophantiens aux entiers pairs positifs . . . . . . . . .
4.3.4 Une conjecture des q-dénominateurs . . . . . . . . . . . . . . .

39
39
39
41
43
43
45
47
48
48
49
51
53

3.4

Chapitre 1

Introduction et notations
1.1

Préambule

Ce texte présente les travaux de recherche que j’ai effectués depuis ma thèse, c’est-àdire durant une période s’écoulant entre 2004 et 2009. De ce fait, les articles [61, 62, 63]
issus de ma thèse ne seront pas présentés. Quant à l’article [57], bien qu’il fasse partie
de la période mentionnée ci-dessus, il ne sera pas évoqué car il est un peu marginal
par rapport au reste de mes recherches.
Mon travail se situe à l’intersection de la combinatoire, des q-séries et de la théorie
des nombres. Plus précisément, je me suis intéressé à certains problèmes d’énumération
pour lesquels les fonctions symétriques s’avèrent être un outil approprié. J’expliquerai
comment l’étude de bases particulières de l’algèbre des fonctions symétriques m’a naturellement conduit vers le riche domaine des q-séries, qui m’ont elles-mêmes ensuite
permis de résoudre quelques problèmes arithmétiques.
La suite de cette introduction sera consacrée aux notations, définitions et propriétés classiques concernant à la fois les fonctions symétriques et les q-séries. Dans ledeuxième chapitre je décrirai mes travaux liés aux fonctions symétriques, ainsi que les
problèmes combinatoires sous-jacents. Le troisième chapitre est entièrement dédié aux
q-séries et aux résultats que j’ai obtenus dans ce domaine. Enfin, dans le quatrième
et dernier chapitre, j’évoquerai les problèmes arithmétiques et diophantiens que j’ai
résolus, et qui sont liés à des valeurs aux entiers positifs de fonctions L, comme par
exemple la fonction zêta de Riemann, aux q-séries, ainsi qu’au monde modulaire.
Nous regroupons ici sous la dénomination de fonctions spéciales les différentes fonctions évoquées ci-dessus que sont les fonctions symétriques, les q-séries, les fonctions
L et leurs q-analogues étudiés au chapitre 4.

2

introduction et notations

1.2

L’algèbre des fonctions symétriques

1.2.1

Partitions d’entiers

Une notion élémentaire qui fait l’objet de recherches foisonnantes en combinatoireet en théorie des nombres est celle de partition d’entiers. Pour un entier n ≥ 0 fixé,
une partition λ de n, que l’on note généralement λ = (λ1 , λ2 , . . . , λl ) ∈ Nl , est une
suite décroissante finie d’entiers naturels de somme n, c’est-à dire que l’on a :λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λl > 0et|λ| :=lX

λi = n .

i=1

Ici, l est la longueur de λ (parfois notée l(λ)), et pour i ∈ {1, . . . , l}, les entiers λisont les parts de λ. Il est parfois commode d’autoriser un certain nombre (fini ou
infini) de parts nulles, en notant λ = λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ 0. La longueur de λ est alorsl(λ) = |{i ≥ 1|λi > 0}|. On peut aussi écrire toute partition λ à l’aide de la multiplicité
de chaque part i, qui est notée traditionnellement mi = mi (λ) ≥ 0 et qui compte lenombre d’occurences de la part i dans λ. Ainsi toute partition d’entiers peut s’écrire
λ = 0m0 1m1 2m2 . . . .
Les partitions d’entiers apparaissent naturellement lorsque,comme le fit Euler, onQconsidère le développement formel du produit infini k≥1 (1 − q k )−1 . En effet, enutilisant l’écriture des partitions à l’aide des multiplicités, on obtient :
Y
k≥1

X
1
=
p(n)q n ,
k
1−q

(1.1)

n≥0

où p(n) est le nombre de partitions de l’entier n. Malgré la simplicité de cette fonctiongénératrice, la seule formule explicite connue pour p(n) est une expression complexe
sous forme de série convergente due à Rademacher en 1937, qui raffine fortement
l’expression asymptotique de Hardy-Ramanujan datant de 1918. Cependant, de nombreuses propriétés sont aujourd’hui connues sur les nombres p(n), dont certaines pourlesquelles on dispose d’une démonstration combinatoire (voir par exemple le livre d’Andrews [4], et le survol de Pak [93]). Euler a aussi établi la formule suivante, qui a lemême membre de gauche que (1.1) :
Y
k≥1

X
1
qn
=
·
(1 − q)(1 − q 2 ) · · · (1 − q n )1 − qk(1.2)

n≥0

Cette égalité se démontre combinatoirement, en observant que 1/(1−q)(1−q 2 ) · · · (1−q n ) est la fonction génératrice des partitions en parts plus petites ou égales à n, et que
donc q n /(1 − q)(1 − q 2 ) · · · (1 − q n ) est celle des partitions de plus grande part n. Les
identités (1.1) et (1.2), bien que très simples, établissent à elles seules un lien entre la
combinatoire des partitions d’entiers, les séries hypergéométriques basiques (appartenant au domaine des q-séries, qui seront définies avec précision au paragraphe 1.3) etle monde des formes modulaires : en effet, on peut reconnaı̂tre aux membres de gauche

3

1.2. l’algèbre des fonctions symétriquesde (1.1) et (1.2) l’inverse d’une des fonctions thetas de Jacobi, qui, multipliée par q 1/24 ,devient une forme modulaire en z de poids 1/2, lorsque l’on a posé q = e2iπz (voirpar exemple l’ouvrage introductif de Koblitz [68]). Cette connection entre partitions
d’entiers, q-séries et formes modulaires est cruciale dans le sens où elle a entre autres
permis d’expliquer et de prouver nombre d’identités découvertes par Ramanujan. Par
exemple, les congruences de Ramanujan :p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5),p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7),p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11),furent largement expliquées et généralisées via le monde modulaire (voir par exemple
les articles de Ono [91] et Lovejoy-Ono [79]).
Il est souvent pratique d’identifier la partition λ avec son diagramme de Ferrers,qui est le sous-ensemble {(i, j) | j ≥ 1, i ≤ λj } de N2 . Par exemple, les dessins suivants
donnent le diagramme de Ferrers de la partition λ = (10, 9, 8, 6, 1) de 34 et celui de sa
conjuguée λ0 = (5, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 1), obtenue en inversant les lignes et les colonnes
dans λ :λ0 =λ=Cette visualisation des partitions d’entiers à l’aide des diagrammes de Ferrers est
déterminante dans la définition combinatoire des fonctions de Schur qui sera donnée
au paragraphe suivant.

1.2.2

Fonctions symétriques

Les notations que j’ai choisi d’adopter sont celles du livre de Macdonald [82].
Soient n ∈ N et X = {x1 , . . . , xn } un ensemble de n variables. Soit Q[x1 , . . . , xn ]l’ensemble des polynômes de n variables à coefficients dans Q. Un polynôme P ∈Q[x1 , . . . , xn ] est symétrique s’il est invariant sous l’action du groupe des permutations
Sn , c’est-à-dire si∀σ ∈ Sn , P (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = P (x1 , . . . , xn ) =: P (X).

4

introduction et notations

On note Λn cet ensemble de polynômes, qui forme une algèbre pour les lois usuelles,
appelée l’algèbre des polynômes symétriques à n variables. La base la plus naturelle decette algèbre est donnée par les polynômes monomiaux, notée mλ (X), et indexée par lespartitions λ de longueur inférieure ou égale à n (voir [82] pour une définition précise).
On peut
L alors kétendre la définition de Λn à un nombre infini de variables, en posantΛ :=k≥0 Λ comme étant l’algèbre engendrée par les (mλ (X))λ sans restriction
sur la longueur de λ et où X est un ensemble infini de variables. L’ensemble Λ est
l’algèbre des fonctions symétriques, et ses éléments ne sont plus des polynômes, maisdes sommes infinies formelles de monomiales.
Définition 1.1 (Jacobi) Pour tout ensemble X = {x1 , . . . , xn } de n variables ettoute partition λ = (λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn ≥ 0) de longueur ≤ n, le polynôme de Schursλ (X) est défini par :


X
Y xi

sλ (X) :=w xλ1 1 · · · xλnn
xi − xj
i<j
w∈Sn


λj +n−jdet xi 1≤i,j≤n ,
(1.3)
=
n−j
det xi1≤i,j≤noù w(P )(x1 , . . . , xn ) := P (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) pour tout polynôme P ∈ Q[x1 , . . . , xn ] ettoute permutation σ ∈ Sn .
On montre directement par le biais de cette définition que sλ (X) ∈ Λn et que(sλ (X))l(λ)≤n est une Z-base de Λn (voir [82]). On peut étendre de manière formelle
cette définition à un ensemble infini de variables, pour obtenir cette fois une Z-base(sλ (X))λ de Λ, où X est infini, appelée base des fonctions de Schur. Notons qu’il est
possible de récrire cette définition sous une forme plus moderne en utilisant l’opérateur
πi (où i ≥ 1) de i-ème différence divisée isobare, qui agit sur toute fonction f desvariables de X de la façon suivante :πi f (X) :=xi f (X) − xi+1 f (. . . , xi+1 , xi , . . . )·xi − xi+1

Alors on a sλ (X) = πω (xλ1 1 · · · xλnn ), où πω est le symétriseur maximal s’écrivantπω := (π1 )(π2 π1 ) · · · (πn−1 . . . π1 ).
La propriété remarquable satisfaite par les polynômes de Schur est donnée par leurinterprétation combinatoire en termes de tableaux de Young semi-standards.
Définition 1.2 Soit λ une partition. Un tableau de Young semi-standard T de forme
λ est constitué du diagramme de Ferrers de λ que l’on a rempli à l’aide d’entiers
strictement positifs de façon croissante sur les lignes et strictement croissante sur lescolonnes. Le poids de T est défini par ω(T ) := (m1 (T ), m2 (T ), . . .), où mi (T ) est lamultiplicité de l’entier i dans T .

5

1.2. l’algèbre des fonctions symétriques

Par exemple, le tableau T suivant a pour forme λ = (10, 9, 8, 6, 1) et pour poids
ω(T ) = (5, 8, 7, 6, 8) :

T =

1

1

1

1

1

2

2

2

3

2

2

2

2

2

3

3

4

5

3

3

3

3

4

4

4

5

4

4

5

5

5

5

5

5
On a alors l’interprétation combinatoire suivante, qui peut se démontrer à l’aide del’identité de Jacobi-Trudi [82], et de la méthode des chemins non-intersectants due à
Gessel-Viennot [47] :X
X m (T )n (T )sλ (X) =X ω(T ) =x1 1 · · · xm
,
(1.4)
n
T

T

où les sommes portent sur tous les tableaux de Young semi-standards T de forme λ etremplis d’entiers pris dans {1, 2, . . . , n}.
Cette interprétation permet de choisir de manière équivalente (1.3) ou (1.4) commedéfinition des polynômes de Schur, suivant l’objectif que l’on s’est fixé. Par exemple,
comme signalé auparavant, (1.3) permet de prouver simplement la symétrie, alors que
ce n’est plus du tout évident à partir de (1.4). Notons enfin que malgré leur nom, lespolynômes de Schur ont bien été considérés en premier lieu sous la forme (1.3) par
Jacobi, mais c’est plus tard que Schur a mis en évidence leur lien fondamental avec
la théorie des représentations. Pour plus de détails sur les aspects combinatoires etalgébriques des polynômes de Schur, le lecteur est invité à consulter les livres de Fulton[44] et Stanley [118].
Il est possible de construire une Z-base de Λn (respectivement Λ) généralisant les
polynômes (respectivement fonctions) de Schur, en définissant les polynômes de HallLittlewood (respectivement fonctions de Hall-Littlewood ) de la manière suivante. Pour|q| < 1, λ partition et X un ensemble fini ou infini de variables ayant plus d’éléments
que l(λ), on pose comme dans [82] :


m
Y
X
Y
i
xi − qxj (1 − q)w xλ1 1 · · · xλnn,
Pλ (X, q) :=mi(1 − q) · · · (1 − q )xi − xj
i≥1

w∈Sn

i<j

où le facteur est ajouté pour assurer que le terme en xλ1 1 · · · xλnn dans Pλ (X, q) soit égalà 1, et où on rappelle que mi est la multiplicité de la part i dans λ.
Remarque 1.3 On a bien ici une généralisation des polynômes (et des fonctions) de
Schur, qui sont obtenus pour q = 0. L’analogue de la définition combinatoire (1.4)

6

introduction et notations

prend la forme
Pλ (X, q) =X

φT (q)X ω(T ) ,Toù la somme porte sur les tableaux T de forme λ, et le coefficient φT (q) dépend de lastructure du tableau T (voir [82]).
Dans la définition des polynômes de Hall-Littlewood, notre choix du nom du paramètre q n’est pas anodin (ce paramètre est noté t dans [82]), car comme nous leverrons au chapitre 2, les propriétés des polynômes de Hall-Littlewood permettront, enspécialisant les variables de X en fonction de q, d’obtenir des applications intéressantes
en termes de q-séries. Ces dernières font l’objet du paragraphe suivant.

1.3

Les q-séries

1.3.1

Quelques explications

Les premières apparitions d’identités invoquant ce que l’on nomme aujourd’hui
les q-séries remontent à Euler, Cauchy et Gauss. Rappelons que le formalisme desséries hypergéométriques fut introduit dans le but de classifier les identités faisantintervenir des termes du type a(a + 1) · · · (a + n − 1) (les factoriels montants, définispour tout nombre complexe a et tout entier positif n, et souvent notés à l’aide dusymbole de Pocchammer (a)n ), c’est à dire des extensions de la factorielle d’un entier(consulter le livre d’Andrews-Askey-Roy [12] pour plus de précisions). Les séries hypergéométriques basiques, qui seront définies ci-dessous, sont des généralisations desséries hypergéométriques, où pour résumer les factoriels montants sont remplacés par(1−a)(1−aq) · · · (1−aq n−1 ). Même s’il n’existe pas de définition rigoureuse des q-séries,
ce terme regroupe communément toutes les séries hypergéométriques basiques, ainsi
que d’autres classes de fonctions comme les fonctions thêtas, qui furent introduites entoute généralité par Ramanujan sous la forme :f (a, b) :=+∞Xan(n+1)/2 bn(n−1)/2 pour |ab| < 1 .

n=−∞Cette définition permet, en spécialisant a et b en fonction de q, de recouvrir bon nombrede q-séries, certaines ayant des liens avec la théorie des partitions d’entiers, d’autres
avec la théorie des formes modulaires. Par exemple, le théorème pentagonal d’Euler :
+∞
X
n=−∞

(−1)n q n(3n−1)/2 =∞Y(1 − q n )

(1.5)

n=1

a pour membre de gauche le cas particulier f (−q, −q 2 ), et pour membre de droite
l’inverse de la série génératrice des partitions d’entiers (1.1). Notons au passage qu’enmultipliant (1.1) par (1.5), on obtient une formule récursive pour calculer le nombrede partitions d’un entier fixé.

1.3. les q-séries

1.3.2

7

Séries hypergéométriques basiques

Les notations adoptées ici sont celles du livre de Gasper-Rahman [46].
Dans toute la suite de ce texte, on fixe le nombre complexe q (appelé la base, etle choix de la lettre q provient du mot  quantique ) tel que |q| < 1 (cette condition
peut dans certains cas être enlevée, ce qui sera précisé en cas de nécessité, commepar exemple au chapitre 4). On peut alors déformer tout nombre entier n en posant[n]q := (1 − q n )/(1 − q), qui tend bien entendu vers n lorsque q tend vers 1. Il est alorsaisé de construire la q-déformation (ou q-analogue) de n!. C’est en partant de cetteconstatation que l’on définit pour tout complexe a le q-factoriel montant infini par :Y(1 − aq n ) ,(a; q)∞ :=n≥1

et plus généralement pour tout entier k ∈ Z, le q-factoriel montant (ou q-analogue dusymbole de Pocchammer ) :(a; q)∞(a; q)k :=·(aq k ; q)∞La base q peut être omise lorsqu’il n’y a pas de confusion (en notant (a)k pour (a; q)k ,etc), tout changement de base (par exemple q remplacé par une puissance de q) seraprécisé dans les paragraphes concernés. Pour alléger certaines écritures, notons pourk ∈ Z ∪ {∞} :(a1 , . . . , am )k := (a1 )k · · · (am )k .
Rappelons aussi le coefficient q-binomial :


 
n
(q)n
n
=
:=
,
k, n − k qk q(q)k (q)n−kqui, chacun peut s’en convaincre aisément, tend vers le coefficient binomial lorsqueq tend vers 1. Le raffinement prend plus de sens lorsque l’on remarque que ceci est
un polynôme en q, à coefficients entiers positifs, que l’on sait interpréter en termesde partitions d’entiers, ou de statistiques sur le groupe symétrique (voir par exemple[117, 120]). L’égalité suivante, qui est due à Cauchy, est appelée identité q-binomiale(pour une preuve, voir par exemple le livre d’Andrews [4], ou [46]) :X (a)k
k≥0

(q)k

zk =

(az)∞
,
(z)∞

(1.6)

pour |z| < 1. Outre le fait que (1.6) généralise bien la somme binomiale classique(obtenue en posant a = q −n , où n ∈ N, puis z → zq n et q → 1), son importance résidedans le fait qu’elle donne un premier exemple de sommation q-hypergéométrique.
Comme dans le cas classique (c’est-à dire q = 1), une identité du type (1.6) peut
prendre bien des formes, pouvant parfois sembler différentes les unes des autres. Ceci

8introduction et notations

argumente dans le sens de la nécessité de classifier ce genre d’égalités, en utilisant une
notation systématique. Bien qu’Euler, Gauss ou Cauchy découvrirent des théorèmes
importants dans ce contexte, Heine fut le premier à entamer une étude systématique,et c’est suite à cela que l’on définit aujourd’hui la notion de série hypergéométrique
basique r+1 φs , pour r ≥ −1 et s ≥ 0 entiers :


∞
s−r
X
(a0 , a1 , . . . , ar )k 
a0 , a1 , . . . , ark (k2)
;
q,
z
:=
φ
zk ,
(−1)
q
r+1 s
b1 , . . . , bs
(q, b1 , . . . , bs )kk=0

où les aj et les bj sont des nombres complexes. Pour une étude rigoureuse et précise
concernant la convergence de telles séries, le lecteur est invité à se référer à [46]. Rappelons simplement que le cas r = s revêt une importance particulière, car le terme
quadratique en q disparaissant, la convergence n’est à priori valable que pour |z| < 1.
a
Le membre de gauche de (1.6) s’écrit ainsi par exemple 1 φ0 ; q, z , et cette iden−
tité révèle un autre aspect du cas particulier r = s, à savoir le fait qu’il comportela quasi totalité des identités classiques de sommation et de transformation de séries
hypergéométriques basiques.
Rappelons que pour r = s, on dit que s+1 φs est :– bien équilibrée (en anglais, well-poised) si qa0 = a1 b1 = · · · = as bs– très bien équilibrée (en anglais, very-well-poised) si elle est bien équilibrée et de√plus a1 = q a0 = −a2 .
En guise d’illustration de ces définitions, écrivons la transformation de Watson(voir [46, Appendix (III.17)], [130]) entre une série hypergéométrique 8 φ7 très bienéquilibrée et une série 4 φ3 :√√
a2 q n+2
a, q a, −q a, b, c, d, e, q −n√
; q,
8 φ7 √a, − a, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq n+1
bcde(aq, aq/de)naq/bc, d, e, q −n=
; q, q . (1.7)
4 φ3aq/b, aq/c, deq −n /a,(aq/d, aq/e)n

Avant de poursuivre, précisons que dans le cadre des q-séries, le terme de transformation désigne habituellement une identité reliant deux sommes, alors qu’une sommation correspond à une égalité entre une somme et un produit.
Remarque 1.4 L’identité (1.7) est en fait une transformation entre deux sommes
finies, ce qui est dû à la présence du terme (q −n )k , valant par définition 0 dès quel’indice de sommation k dépasse strictement n.
L’importance de (1.7), ainsi qu’une méthode générale pour la prouver, seront expliquées au paragraphe suivant.

1.3. les q-séries

9

Pour clore le présent paragraphe, introduisons la notion de série hypergéométrique
basique bilatérale, qui fera l’objet d’une attention particulière au chapitre 3 :
r ψs



∞
s−r
X
k
(a1 , . . . , ar )k 
a1 , . . . , a r; q, z :=zk .
(−1)k q (2)b1 , . . . , bs
(b1 , . . . , bs )kk=−∞

Pour une étude précise de la convergence, le lecteur peut se référer à [46] ; notons
simplement que dans le cas particulier r = s, la série ci-dessus converge dès que|b1 · · · br /a1 · · · ar | < |z| < 1. Ces séries bilatérales permettent de relier les mondes
hypergéométrique et modulaire, lien dont Ramanujan fut sans conteste le précurseur.
Un exemple illustrant ses travaux dans ce cadre est donné par la sommation 1 ψ1 deRamanujan [46, Appendix (II.29)] :(q, b/a, az, q/az)∞a; q, z =,1 ψ1b(b, q/a, z, b/az)∞(1.8)

valide pour |b/a| < |z| < 1. Notons que le théorème pentagonal d’Euler (1.5), ainsi
que l’identité q-binomiale (1.6) sont des cas particuliers de (1.8). Cependant, la combinatoire de cette dernière n’a pu être expliquée à l’aide des partitions d’entiers, il afallu attendre l’introduction de la notion de surpartitions d’entiers par Corteel-Lovejoy
dans [40] pour en obtenir une interprétation combinatoire.
La sommation la plus générale (contenant le plus de paramètres) de séries hypergéométriques basiques bilatérales est donnée par la sommation 6 ψ6 de Bailey [46,Appendix (II.33)] :

√
√
qa2
q a, −q a, b, c, d, e
√
√
; q,
6 ψ6
a, − a, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e bcde(q, aq, q/a, aq/bc, aq/bd, aq/be, aq/cd, aq/ce, aq/de)∞=, (1.9)(q/b, q/c, q/d, q/e, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, a2 q/bcde)∞où |qa2 /bcde| < 1. Il est intéressant de mentionner que (1.9), bien que contenant plus deparamètres que la sommation 1 ψ1 de Ramanujan (1.8), n’en est pas une généralisation.
De nombreuses démonstrations de la sommation 6 ψ6 de Bailey ont été établies, commeen témoignent par exemple les articles de Bailey [19], Slater-Lakin [115], Andrews [2],Askey-Ismail [16], Askey [15] et Schlosser [107]. Au chapitre 3, nous décrirons deuxméthodes générales pour prouver ce genre d’identités bilatérales.

1.3.3

Le lemme de Bailey

Ce dernier paragraphe introductif est dédié à une technique fondamentale dedémonstration d’identités de q-séries, qui est basée sur un résultat élémentaire, lelemme de Bailey, introduit par ce dernier dans [20]. Quand Bailey écrivit cet article

10

introduction et notations

en 1949, son but était de prouver simplement des sommations classiques de q-séries,
comme en particulier les célèbres identités de Rogers-Ramanujan :
2
∞
X
qk

k=0

(q)k

∞ k2 +k
X
q
k=0

(q)k

=
=

1
(q, q 4 ; q 5 ),(1.10)∞

1(q 2 , q 3 ; q 5 )·(1.11)∞

La première démonstration de ces identités par Rogers en 1894 dans [105] est restéeméconnue jusqu’à ce que Ramanujan les redécouvre en 1917. C’est ensuite qu’elles
firent l’objet d’une attention toute particulière, devenant sans doute les identités
les plus connues en théorie des partitions d’entiers. Elles ont ainsi été prouvées etgénéralisées de nombreuses façons (voir par exemple les articles [8, 27, 29, 45, 93,
95, 124] et les références qui y sont citées). Notons que (1.10) et (1.11) établissent,à l’image de (1.5), un lien entre q-séries (membres de gauche) et formes modulaires(membres de droite).
La méthode de Bailey repose sur la notion de paire de Bailey, que l’on peut définircomme suit (voir par exemple le livre [12]). On dit que deux q-séries (αn (a, q), βn (a, q))forment une paire de Bailey relative à a et q lorsqu’elles sont reliées de la manièresuivante :nX
αr (a, q)βn (a, q) =∀n ∈ N.
(1.12)(q)n−r (aq)n+r
r=0

Le lemme de Bailey décrit alors comment, à partir d’une paire de Bailey, on peut enconstruire automatiquement une autre, contenant plus de paramètres.
Lemme 1.5 (Bailey) Si (αn (a, q), βn (a, q)) est une paire de Bailey relative à a et q,
alors il en est de même pour (αn0 (a, q), βn0 (a, q)), où
αn0 (a, q) :=et
βn0 (a, q) :=(ρ1 , ρ2 )n (aq/ρ1 ρ2 )nαn (a, q)(aq/ρ1 , aq/ρ2 )n

X (ρ1 , ρ2 )j (aq/ρ1 ρ2 )n−j (aq/ρ1 ρ2 )jj≥0(q)n−j (aq/ρ1 , aq/ρ2 )nβj (a, q) .

Notons que cette écriture du lemme de Bailey est en fait due à Andrews, qui s’est
aperçu le premier du caractère itératif de ce résultat (voir [9, 10]) : en effet, il est clairque si l’on trouve une paire de Bailey, alors ce lemme en donne une infinité, et chacunede ces paires de Bailey produit une identité via la relation (1.12). Depuis, le lemme de
Bailey a été très étudié et généralisé de nombreuses façons par entre autres AgarwalAndrews-Bressoud [1], Andrews-Berkovich [11], Bressoud-Ismail-Stanton [29], Paule[94], Sills [111] ou Warnaar [127] (voir aussi à ce propos le survol de Warnaar [123]). Une1.3. les q-séries

11

démonstration du lemme de Bailey consiste, comme dans [10, 12], à utiliser l’identitéq-Pfaff-Saalschütz [46, Appendix (II.12)], due à Jackson, et valide pour n ∈ N :
(c/a, c/b)na, b, q −n·
; q, q =3 φ2
1−nc, abq/c(c, c/ab)n(1.13)

Une question naturelle est bien entendu de trouver des paires de Bailey intéressantes,
c’est-à dire telles que αn et βn aient une forme simple. Rappelons dans ce sens la pairede Bailey unitaire (voir [12]) :αn = (−1)n q n(n−1)/2(a)n (1 − aq 2n ),(1 − a)(q)nβn = δn,0 ,(1.14)où δn,0 désigne le symbole de Kronecker. Pour prouver que (1.14) vérifie (1.12), on
peut soit utiliser une identité élémentaire due à Agarwal (voir [12]), soit inverser larelation (1.12) en utilisant par exemple une inversion de matrices de Krattenthaler[70]. Remarquons ensuite que deux itérations du lemme de Bailey à la paire (1.14)
fournit une paire de Bailey à cinq paramètres a, ρ1 , ρ2 , ρ3 et ρ4 . L’écriture de (1.12)
pour cette dernière correspond exactement à la transformation de Watson (1.7).
Il est temps de remarquer que (1.7) est une généralisation finie à six paramètres
des identités de Rogers-Ramanujan (1.10) et (1.11). En effet, il suffit de faire tendre b,c, d, e, et ensuite n vers l’infini dans (1.7), puis de s’apercevoir que le membre de droite
se factorise pour donner (1.10) (respectivement (1.11)) lorsque a = 1 (respectivementa = q), grâce au triple produit de Jacobi [46, Appendix (II.28)], que l’on peut écrire
sous la forme :Xn(−1)n z n q ( 2 ) = (q, z, q/z)∞ .
(1.15)n∈Z

En utilisant cette méthode, Slater [112, 113] a établi une liste de 130 identités de type
Rogers-Ramanujan, qui se prouvent toutes via le lemme de Bailey et différentes paires
de Bailey. Ceci illustre l’efficacité de cette approche pour prouver des identités de qséries, et il en sera donné une extension au chapitre 3.
En suivant le raisonnement d’Andrews, qui exploite tout le caractère itératif dulemme de Bailey en l’appliquant m + 1 fois à la paire de Bailey (1.14), on obtient lerésultat ci-dessous.
Théorème 1.6 (Andrews) Pour tous entiers m ≥ 0 et N ≥ 0, pour tous nombres

12

introduction et notations

complexes a, b1 , c1 , . . . , bm+1 , cm+1 , on a :NX
1 − aq 2k
k=0(a, b1 , c1 , . . . , bm+1 , cm+1 , q −N )k1 − a (q, aq/b1 , aq/c1 , . . . , aq/bm+1 , aq/cm+1 , aq N +1 )kk
am+1 q m+1+N×
b1 c1 · · · bm+1 cm+1
X
(aq, aq/bm+1 cm+1 )N
al1 +···+lm−1 q l1 +···+lm=(aq/bm+1 , aq/cm+1 )N(b2 c2 )l1 · · · (bm cm )lm−1
×0≤l1 ≤···≤lm ≤NmY(bi+1 , ci+1 )li(q −N )lm
(bm+1 cm+1 q −N /a)lm

i=1(aq/bi , aq/ci )li(aq/bi ci )li −li−1· (1.16)(q)li −li−1

Andrews a découvert et prouvé (1.16) dans [3], avant de la redémontrer dans [8] comme
une conséquence directe du lemme de Bailey (voir aussi [9]). La présence de nombreux
paramètres libres donne à cette égalité un degré de généralité très élevé dans le contexte
des séries hypergéométriques basiques très bien équilibrées. En effet, lorsque pour touti ∈ {1, . . . , m + 1}, aq/bi 6= q −N et aq/ci 6= q −N , le membre de gauche de (1.16) peuts’écrire :√√a, q a, −q a, b1 , c1 , . . . , bm+1 , cm+1 , q −N√
; q, z ,2m+6 φ2m+5 √a, − a, aq/b1 , aq/c1 , . . . , aq/bm+1 , aq/cm+1 , aq N +1
avec z = am+1 q m+1+N /b1 c1 · · · bm+1 cm+1 . Si l’un des facteurs bi ou ci , par exemple b1 ,s’écrit aq 1+N , alors la série hypergéométrique ci-dessus n’est plus une somme finie. En
effet, le facteur (q −N )k du numérateur, garantissant cette finitude, se simplifie avec ledénominateur (aq/b1 )k . Le membre de gauche de (1.16), qui est toujours une somme
finie, peut alors être vu comme limite d’une série hypergéométrique basique très bienéquilibrée : √
√a, q a, −q a, aq 1+N +δ , c1 , . . . , q −N−δ√√lim 2m+6 φ2m+5; q, zq.
a, − a, q −N −δ , aq/c1 , . . . , aq N +1
δ→0Remarque 1.7 Dans le cas m = 1, l’égalité (1.16) est exactement la transformation
finie de Watson (1.7), ce qui permet d’affirmer que (1.16) est une généralisation à
2m + 4 paramètres des identités de Rogers-Ramanujan.

Chapitre 2

Sommations de fonctions
symétriques
2.1

Combinatoire et fonctions symétriques

2.1.1

Fonctions de Schur et partitions planes

L’interprétation combinatoire des fonctions de Schur en termes de tableaux semistandards (1.4) permet, via la correspondance de Robinson-Schensted-Knuth (voir par
exemple [44, 118], ainsi que [82]), de montrer combinatoirement les sommations suivantes :X

sλ (X) =λXλsλ (X)sλ (Y ) =nY

1
1 − xi

i=1
n Y
m
Y

i=1 j=1Y
1≤i<j≤n1,
1 − xi xj

1,
1 − x i yj

(2.1)

(2.2)

où n et m sont des entiers positifs ou nuls, X = {x1 , . . . , xn } et Y = {y1 , . . . , ym }sont des ensembles indépendants de variables, et les sommes portent sur toutes lespartitions d’entiers. L’identité (2.1) (respectivement (2.2)) est dite de type Littlewood(respectivement type Cauchy), du fait de la forme des produits aux membres de droite.
De telles égalités établissent un lien entre les fonctions symétriques et les problèmes
d’énumération de partitions planes, qui furent introduites par MacMahon au début
du vingtième siècle [83]. Celles-ci sont des généralisations en trois dimensions desdiagrammes de Ferrers représentant les partitions d’entiers.
Définition 2.1 Une partition plane π est un ensemble fini de points de N3 tels que((r, s, t) ∈ π et 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ t) ⇒ (i, j, k) ∈ π.

14sommations de fonctions symétriques

La représentation graphique des partitions planes est donnée par un empilement decubes, et le poids d’une partition plane π est le nombre de cubes, noté |π|. Stanleya montré dans [116] (voir aussi [82]) comment utiliser les fonctions de Schur dans la
théorie des partitions planes. En effet, dans le plan, on peut représenter une partition
plane π par un diagramme de Ferrers λ (la forme de π) où chaque cellule est munie
d’un entier représentant le nombre de cubes correspondants dans l’axe vertical, c’està-dire qu’on a un tableau Tλ constitué d’un diagramme de Ferrers rempli d’entiersde manière décroissante (mais pas nécessairement strictement) sur les lignes et les colonnes.
Par exemple, les dessins suivants représentent une partition plane π de poids 14, deforme λ = (3, 2, 1), et le tableau Tλ correspondant :





 
 
 

π=








Tλ =



4

2

3

2

2

1





Il est alors clair que l’interprétation combinatoire des fonctions de Schur (1.4)
permet d’affirmer que la fonction génératrice (de la variable q, suivant le poids) despartitions planes en colonnes strictes (restriction due à la définition des tableaux semistandards), et de forme λ (telle que l(λ) ≤ n) est égale à sλ (q n , q n−1 , . . . , q). Commel’explique Macdonald dans [82], il n’est alors pas difficile d’en déduire la fonctiongénératrice des partitions planes, trouvée par MacMahon [83] :X
Y
1
q |π| =·
(1 − q n )nπn≥1

Les partitions planes et les problèmes d’énumération les concernant ont trouvé unregain d’intérêt suite à la découverte de leur lien avec un autre objet combinatoire,mais issu de la mécanique statistique : les matrices à signes alternants. Celles-ci furentdéfinies par Mills-Robbins-Rumsey [86] de la façon suivante.
Définition 2.2 Pour n ∈ N, une matrice à signe alternant de taille n, est une matricecarrée n × n constituée uniquement de 0, 1 et -1, ces deux derniers alternant suivant
chaque ligne et chaque colonne, et telle que la somme des valeurs de chaque ligne etchaque colonne vaille 1.
Zeilberger, dans [132], a prouvé la conjecture des matrices à signes alternants de taillen, stipulant que leur nombre est :
n−1
Y
k=0

(3k + 1)!
,(n + k)!

15

2.1. combinatoire et fonctions symétriqueset Kuperberg en a donné une démonstration simplifiée dans [75] en utilisant le modèlede glace à six sommets. La chose la plus frappante dans ce résultat est le fait que
ce nombre compte aussi les partitions planes descendantes d’ordre n introduites par
Andrews [5, 6, 7] dans le but de démontrer la forme faible de la conjecture de Macdonald comptant le nombre de partitions planes cycliquement symétriques dans uneboı̂te n × n × n [6]. Cette conjecture, qui donne la fonction génératrice de ces objets,
fut ensuite démontrée par Mills-Robbins-Rumsey [85] dans toute sa généralité. On saitdonc aujourd’hui qu’il y a autant de partitions planes descendantes d’ordre n que dematrices à signes alternants de taille n, mais on ne connait pas de bijection reliant ces
deux familles d’objets.
Tout cela justifie l’intérêt porté au calcul de fonctions génératrices de classes departitions planes. En utilisant l’interprétation des fonctions de Schur par les tableauxde Young, on montre (voir par exemple [28]) que la fonction génératrice des partitions
planes symétriques (c’est-à dire vérifiant (r, s, t) ∈ π ⇔ (s, r, t) ∈ π) incluses dans laboite n × n × m est :X
G(q) =sλ (q 2n−1 , q 2n−3 , . . . , q) .
λ⊆(mn )

Il est alors nécessaire d’évaluer ce type de sommes de fonctions de Schur, qui sont desraffinements (finis) des sommations (infinies) données par (2.1) ou (2.2). MacMahon[83] a conjecturé l’identité suivante, prouvée ensuite par Andrews [5] et Macdonaldindépendamment [82] en utilisant les polynômes de Hall-Littlewood et les formules deWeyl, puis plus récemment par Bressoud [26] par récurrence :G(q) =n YmY
1 − q 1+2i+k−2
i=1 k=1

1 − q 2i+k−2YmY
1 − q 2+2(i+j+k−2)

1≤i<j≤n k=1

1 − q 2(i+j+k−2)·

D’autres démonstrations et raffinements de cette ex-conjecture de MacMahon peuvent
aussi être trouvées dans les articles plus récents de Fischer [42] ou Krattenthaler [69].

2.1.2

Polynômes de Hall-Littlewood et q-séries

Macdonald a donné une méthode pour, à partir de (2.1), en déduire une forme
finie [82]. Cette méthode n’utilise pas la combinatoire des fonctions de Schur, maisleur définition (1.3). La conséquence de cette remarque est que l’on peut, comme lefait Macdonald, trouver une forme finie de (2.1) pour les polynômes de Hall-Littlewood
directement, en partant de :XλPλ (X, q) =

n
Y
i=1

1
1 − xiY1≤i<j≤n1 − qxi xj,
1 − xi xj(2.3)

qui se prouve par récurrence sur n et à l’aide des formules de Pieri. Dans ce qui suit,une partition d’entiers sera dite paire si toutes ses parts le sont. Stembridge, dans

16sommations de fonctions symétriques[119], a exploité la méthode de Macdonald pour établir une forme finie de :X
λ pairePλ (X, q) =nY

Y 1 − qxi xj
1,
1 − x2i 1≤i<j≤n 1 − xi xj
i=1

(2.4)

qui se déduit deP(2.3) et des formules
Pde Pieri (voir [82]). Ces formes finies sont desexpressions de λ⊆(mn ) Pλ (X, q) et λ paire ⊆(mn ) Pλ (X, q) sous forme de sommes deproduits, qui se réduisent à (2.3) et (2.4) lorsque m tend vers l’infini. Outre des applications en termes de fonctions génératrices de partitions planes, la conséquence étonnantequ’en a donné Stembridge dans [119] est que lorsque les variables sont spécialisées en
X = {z, zq, . . . , zq n−1 } (appelée spécialisation principale), on obtient les identités deRogers-Ramanujan (1.10) et (1.11), ainsi qu’une liste de formules du même type. Dansle paragraphe suivant, cette méthode sera illustrée à travers un autre exemple de sommation de polynômes de Hall-Littlewood du à Kawanaka [67].
Dans [14], Andrews-Schilling-Warnaar établissent une généralisation du lemme de
Bailey, appelée A2 -lemme de Bailey, qui est un premier pas vers une extension au
niveau de l’algèbre de Lie An−1 . Ces auteurs en déduisent une liste d’identités correspondant aux caractères de l’algèbre W3 (l’algèbre Wn étant une généralisation au
niveau An−1 de l’algèbre de Virasoro). En toute généralité, les caractères de l’algèbre
Wn peuvent être exprimés sous forme de produits via l’identité de Macdonald de typeAn−1 [81]. Dans le cas particulier n = 3, une conséquence est donnée dans [14] parl’obtention des trois A2 -identités de Rogers-Ramanujan, dont la plus simple s’écrit :∞Xn1 , n2 =0

22
q n1 −n1 n2 +n2 2n1
1
=
·
3
4
(q)n1
n2 q
(q, q, q , q , q 6 , q 6 ; q 7 )∞(2.5)

Dans ce contexte, les identités de Rogers-Ramanujan (1.10) et (1.11) correspondentà A1 , et le lemme de Bailey classique pourrait être renommé A1 -lemme de Bailey.
Warnaar, dans [129], a établi la sommation de polynômes de Hall-Littlewood suivante :
X
λ, µ

0

0

q n(λ)+n(µ)−(λ |µ ) Pλ (X, q)Pµ (Y, q) =Yi≥1

Y 1 − xi yj
1,(1 − xi )(1 − yi )1 − xi yj /q

(2.6)

i,j≥1

P
P
où X et Y sont infinis, n(λ) := i≥1 (i − 1)λi et (λ|µ) := i≥1 λi µi . Dans ce mêmearticle, Warnaar déduit (2.5) de (2.6), ce qui semble indiquer que la théorie des polynômes de Hall-Littlewood pourrait être un bon point de vue pour construire une
An−1 -généralisation des formules de Rogers-Ramanujan.
Comme signalé dans [129], il semble difficile d’obtenir une version finie de (2.6) par172.1. combinatoire et fonctions symétriquesla méthode de Macdonald, même si Warnaar y parvient dans le cas A1 , sous la forme :X

q n(λ) Pλ (X, q) =λ⊆(kn )

|I|q k( 2 )

X

Y

xki

i∈I

I⊆[n]

×

1

Y

1

Y

Y

1−|I|
1 − xj q |I|
1 − x−1
i q
i∈I
j ∈I
/
i∈I, j ∈I/xi − qxj, (2.7)xi − xjoù k et n sont des entiers positifs, [n] := {1, . . . , n}, X = {x1 , . . . , xn } et |I| est le
cardinal de l’ensemble I. Il est en fait possible de généraliser (2.7) en donnant une
forme finie de l’identité suivante due à Macdonald [82] :
X

q

n(λ)

(a; q

−1

)l(λ) Pλ (X, q) =nY
1 − axi
i=1

λ1 − xi,(2.8)

qui en suivant Kaneko dans [64], peut être considéré comme un théorème q-binomial
pour les polynômes de Hall-Littlewood.
Remarque 2.3 Le membre de droite de (2.8) ne dépend pas du paramètre q, et sachant que Pλ (X, 0) = sλ (X), il est tentant de faire tendre q vers 0 dans cette égalité,en prenant
P soin0 de vérifier l’interversion de la limite et de la somme. Comme on an(λ) = i≥1 λ2i , le membre de gauche est nul dès que la partition λ n’est ni vide, ni
une équerre, c’est-à dire de la forme λ = (r, 1, . . . , 1), avec r entier positif. Ainsi, on
obtient la fonction génératrice des fonctions de Schur en forme d’équerres :X

1 + (1 − a)(−a)l(λ)−1 sλ (X) =nY
1 − axi
i=1

λ équerre

1 − xi·

Voici donc la forme finie de (2.8) que nous avons obtenue dans un travail non
publié.
Théorème 2.4 Soit n un entier positif et un ensemble X = {x1 , . . . , xn } de n variables. Alors pour tout nombre complexe a et tout entier positif k, on a :X

q n(λ) (a; q −1 )l(λ) (a; q −1 )n−mk Pλ (X, q) =λ⊆(kn )X|I|
q k( 2 ) (a; q −1 )|I| (a; q −1 )n−|I|

×

xki

i∈I

I⊆[n]

Y 1 − ax−1 q 1−n Y 1 − axjYxi − qxji,−1 1−|I||I|xi − xj
1 − xj q
1 − xi qi∈I
j ∈I/i∈I, j ∈I
/
Y

(2.9)

où [n] := {1, . . . , n} et |I| est le cardinal de l’ensemble I.
Considérons la spécialisation principale xi = zq i−1 dans (2.9), et remarquons quedans ce cas :Y xi − qxj
6= 0 ⇔ ∃r ∈ {0, . . . , n} | I = {x1 , . . . , xr } .
xi − xji∈I, j ∈I/

18sommations de fonctions symétriques

Remplaçons alors λ par λ0 au membre de gauche, alors la propriété classique [82] 
|λ| n(λ0 ) n
Pλ0 (X, q) = z q,(2.10)
λ q
où

n

λ q := (q)n /(q)n−λ1 (q)λ1 −λ2 · · · , fournit la conséquence suivante.

Corollaire 2.5 Pour n et k entiers positifs, on a :0Xz |λ| q 2n(λ ) (a; q −1 )λ1 (a; q −1 )n−λk

 
n
X
r
n
=
(−1)r z (k+1)r q (2k+3)(2)λ q
r=0λ⊆(nk )

(q n−r+1 )r (azq r )n−r (a, aq 1−n /z; q −1 )r (a; q −1 )n−r·× (1 − zq 2r−1 )(q)r (zq r−1 )n+1

(2.11)

Lorsque n tend vers l’infini, l’identité (2.11) se réduit au résultat de Stembridge [119,Theorem 3.4 (b)] avec b = 0. Si on fait ensuite tendre k vers l’infini, sous la condition|z| < 1, alors le résultat est :X0z |λ| q 2n(λ ) Q

λ(a; q −1 )λ1
(az)∞
=
,
(z)∞
i≥1 (q)λi −λi+1

dont le membre de droite est identique à celui du théorème q-binomial (1.6), et qui en
extrayant le coefficient en z r (avec r ≥ 0 entier) des deux côtés via (1.6) conduit à :
X
|λ|=r

0

q 2n(λ ) Q(a)r(a; q −1 )λ1=·(q)ri≥1 (q)λi −λi+1

En conclusion de ce paragraphe, il serait intéressant de trouver un lemme de Bailey pour les polynômes de Hall-Littlewood, qui permettrait d’une part d’étendre lessommations finies du type (2.9), et d’autre part de construire des identités de RogersRamanujan pour l’algèbre de Lie An−1 , généralisant ainsi (2.5).

2.2

Sommations de type Littlewood

2.2.1

Forme finie d’une sommation de Kawanaka

Nous avons vu au paragraphe précédent les deux exemples (2.3) et (2.4) de sommations de type Littlewood, dont les versions finies de Macdonald et Stembridge ont
des applications intéressantes en termes de q-séries et de partitions planes. Dans [67],Kawanaka prouve l’identité suivante, qui est elle aussi de type Littlewood :X Y
Y 1 + qxi Y 1 − q 2 xi xj (−q)mi  Pλ (X, q 2 ) =,(2.12)
1 − xi1 − xi xj
λ

i≥1

i≥1

i<j

19

2.2. sommations de type littlewoodoù X est un ensemble (fini ou infini) de variables xi . Kawanaka montre dans [66, 67]
que cette identité possède une interprétation en terme de théorie des représentations
du groupe linéaire sur les corps finis. Plus précisemment, (2.12) code le fait que l’espacesymétrique GLn (Fp2 )/GLn (Fp ) (où GLn (Fp ) est le groupe linéaire sur le corps fini àp éléments) est sans multiplicité. Nous avons montré dans [54] que cette identité est
en fait une conséquence directe d’une des formules de Pieri et de la sommation (2.3)
de Macdonald. Notons que dans [67], Kawanaka conjecture une extension de (2.12)
aux polynômes de Macdonald, qui sont des polynômes symétriques à deux paramètresgénéralisant les polynômes de Hall-Littlewood [82]. Cette conjecture a été prouvéerécemment par Langer-Schlosser-Warnaar dans [77] à l’aide d’identités de séries hypergéométriques elliptiques (voir par exemple [46]), qui sont des généralisations desséries hypergéométriques basiques.
Nous avons trouvé dans [54] la forme finie suivante de (2.12).
Théorème 2.6 Soit n un entier positif et X = {x1 , . . . , xn } un ensemble de n variables. Alors pour tout entier positif k, on a :
X

k−1
Y

λ⊆(kn )

i=1!

(−q)miPλ (X, q 2 )

=

X

Y

k(1−ξi )/2
xiξ∈{±1}n i

Y 1 + qxξi Y 1 − q 2 xξi i xξjjii

1 − xξi i i<j 1 − xξi i xξjj

, (2.13)où la somme porte sur toutes les suites ξ = {ξ1 , . . . , ξn } telles que pour tous les entiersi, on ait ξi ∈ {−1; 1}.
Remarque 2.7 Dans le cas des fonctions de Schur donné par q = 0, le membre dedroite de (2.13) peut s’écrire comme un quotient de deux déterminants, ce qui redonne
la forme finie de (2.1) trouvée par Macdonald [82], et utile pour exprimer la fonctiongénératrice des partitions planes symétriques contenues dans la boı̂te n × n × k.
Comme dans le cas du Théorème 2.4, il est possible, en utilisant une version adaptéede la spécialisation principale (en fait xi = zq 2i−2 , pour i ∈ {1, . . . , n}), de déduire la
formule générale de q-séries suivante.
Corollaire 2.8 Pour n et k entiers positifs, on a :X|λ| n2 (λ)

z q  k−1Yn(−q)λi −λi+1
λ q2
i=1

λ⊆(nk )

=

n
X
r=0

où n2 (λ) :=P

2i λi .

r kr (k+1)r2(−1) z q n(−z)2n+1(1 − zq 2r ) , (2.14)
r q2 (z 2 q 2r ; q 2 )n+1

20

sommations de fonctions symétriques

Dans [54], nous prouvons douze identités de type Rogers-Ramanujan en nous inspirant fortement de (2.14). Il est aussi expliqué que toutes ces identités sont en faitdes cas particuliers de la forme générale d’Andrews (1.16), elle-même conséquence
du lemme de Bailey. Il se trouve d’ailleurs que toutes les formules de type RogersRamanujan obtenues jusqu’a présent par la technique de sommations finies (de type
Littlewood) de polynômes de Hall-Littlewood sont des conséquences de (1.16). Cette
remarque, cumulée à celle qui clôt le paragraphe 2.1, pousse à chercher un lemme de
Bailey pour les polynômes de Hall-Littlewood.

2.2.2

Une généralisation due à Warnaar

Étant données les quelques formules de sommation de polynômes de Hall-Littlewood
vues jusqu’à présent (qui sont en fait celles de Macdonald (2.3), (2.4) et (2.8), celle deWarnaar (2.6) et celle de Kawanaka (2.12)), il est légitime de se poser la question d’une
structure parmi celles-ci. Comme expliqué dans le cas des fonctions de Schur au début
du paragraphe 2.1.1, on peut distinguer suivant la forme des produits au membre dedroite deux types de sommations : le type Littlewood, et le type Cauchy. Parmi lessommations ci-dessus, les deux premières de Macdonald et celle de Kawanaka sont detype Littlewood, alors que la troisième de Macdonald et celle de Warnaar sont de type
Cauchy.
Dans [128], Warnaar a en fait prouvé une généralisation de (2.3), (2.4), (2.12), qui
couvre aussi quatre autres identités de type Littlewood (dont une n’avait d’ailleursencore jamais été découverte auparavant). Pour énoncer ce  rappelons quePrésultat,
i m , où z est unez
les polynômes de Rogers-Szëgo sont définis par Hm (z; q) := mi=0i qvariable complexe et m est un entier positif
ou
nul.
Cette
définitionpeutêtre étendue àQtoute partition λ en posant hλ (z; q) := i Hmi (z; q). Enfin, on note λe (respectivement
λo ) la partition formée des parts paires (respectivement impaires) de λ.
Théorème 2.9 (Warnaar) Pour X un ensemble fini ou infini de variables xi , on al’identité formelle :X
λal(λo ) hλe (ab; q)hλo (b/a; q)Pλ (X, q) =Y (1 + axi )(1 + bxi ) Y 1 − qxi xji≥1(1 − xi )(1 + xi )i<j1 − xi xj· (2.15)

Dans [128], Warnaar pose la question de l’existence d’une forme finie de (2.15), mais il
ne parvient à en trouver une que dans un cas particulier, laissant ouverte la questiongénérale. Ce cas particulier est cependant une extension de notre forme finie (2.13),
et la spécialisation principale conduit bien sûr à une généralisation de (2.14). Notons
pour finir que Warnaar reformule dans le dernier paragraphe de [128] l’identité (2.15)
en utilisant le formalisme des λ-anneaux (notations pléthystiques), lui-même utilisépar Lascoux dans [78] dans le cadre des sommations de fonctions de Schur.

21

2.3. sommations de type cauchy

2.3

Sommations de type Cauchy

2.3.1

Forme finie de la formule de Cauchy

Le paragraphe précédent a permis de voir qu’il existe de nombreuses formules desommations de polynômes de Hall-Littlewood, que les formules de type Littlewood sontcontenues dans le résultat de Warnaar (2.15) et que l’on ne sait que pour certaines
d’entre elles en donner une forme finie. Seul le résultat (2.9) (et donc son cas particulier(2.7)) exprime une forme finie pour une sommation de type Cauchy. Il est donc naturel
de poser la question d’une forme finie pour l’extension suivante de (2.2), qui est la
formule de Cauchy pour les polynômes de Hall-Littlewood [82] :Xbλ (q)Pλ (X, q)Pλ (Y, q) =n YmY
1 − qxi yj
i=1 j=1λ

1 − xi yj=: Φ(X, Y ) ,(2.16)où X = {x1 , . . . , xnQ} et Y = {y1 , . . . , ym } sont des ensembles indépendants de variables et bλ (q) := i≥1 (q)mi . Notons au passage que l’on obtient le cas particulier
a = 0 de la formule q-binomiale pour les polynômes de Hall-Littlewood (2.8) en posant
Y = {1, q, q 2 , . . .}, avec m infini. Ceci confirme bien que cette dernière et son extension
finie (2.9) sont de type Cauchy.
Pour tout ensemble de variables A, on note 1/A l’ensemble des inverses des éléments
de A et p(A) le produit des éléments de A. Nous avons démontré le résultat suivant,qui n’a pas encore été publié, car il fait partie d’un travail en cours [53] sur lequel nous
reviendrons au prochain paragraphe.
Théorème 2.10 Soient n et m deux entiers tels que 0 < n ≤ m, et deux ensemblesindépendants de variables X = {x1 , . . . , xn } et Y = {y1 , . . . , ym }. Alors pour tout
entier positif k, on a :XXbλ,k (q)Pλ (X, q)Pλ (Y, q) =p(A)k p(B)kλ⊆(kn )A⊆X, B⊆Y|A|=|B|× Φ(X \ A, Y \ B) Φ(1/A, 1/B) Φ(1/A, X \ A) Φ(1/B, Y \ B) , (2.17)
Qoù bλ,k (q) := k−1
i=1 (q)mi .
Comme aux paragraphes 2.1 et 2.2, la spécialisation principale des polynômesde Hall-Littlewood (2.10), appliquée à (2.17) en posant X = {z, zq, . . . , zq n−1 } et
Y = {z, zq, . . . , zq m−1 }, fournit la conséquence suivante.
Corollaire 2.11 Pour des entiers n ≤ m et k ≥ 1, on a :   Xn m2|λ| 2n(λ0 )z qbλ0 ,k (q)λ q λ qλ⊆(nk )    2 n+r
Xm (z q)n−r (z 2 q −1 )r
2kr r+(2k+2)(r2) n=z q(1 − z 2 q 2r−1 ) ·r q r q(z 2 q r−1 )n+1
r≥0

22

sommations de fonctions symétriques

Lorsque n et m tendent vers l’infini et z = q 1/2 , ceci donne :2Xl(λ)≤k2

q λ1 +···+λk
1Q·=(q)λk i≥1 (q)λi −λi+1(q)∞(2.18)

Remarquons que cette dernière égalité, lorsque k = 1, est une identité due à Euler :X q n2
(q)2n
n≥0

=

1
,
(q)∞

que l’on peut comparer à (1.2) vue dans l’introduction. Ainsi, (2.18) est une extension
de cette dernière, ayant la propriété étonnante que le membre de droite ne dépend pas
de k. L’explication de ce phénomène réside dans le fait que l’on peut prouver combinatoirement (2.18), en utilisant la décomposition des partitions d’entiers en k carrésde Durfee successifs, ces derniers étant définis par exemple dans [4].
Revenons pour finir sur le Corollaire 2.11 et en particulier la condition n ≤ m. On
peut en fait s’en débarasser en fixant n et en remplaçant q −m par une variable, disonsa, car l’égalité obtenue entre les deux fractions rationnelles en a est valide pour toutes
les valeurs a = q −m , avec m ≥ n, donc pour tout a.

2.3.2

Quelques perspectives

Deux perspectives d’applications du résultat précédent sont en préparation dans[53]. La première concerne les surpartitions planes, des objets introduits et étudiésrécemment par Corteel-Savelief-Vuletić (voir [41, 122]). Les surpartitions planes sontdes partitions planes écrites comme des tableaux standards, pour lesquels certaines
occurrences des entiers peuvent être soulignées. Le résultat suivant, dû à Vuletić [122],
est prouvé combinatoirement dans [41], et a pour cas particulier q = 0 (respectivementq = −1) la fonction génératrice des partitions (respectivement surpartitions) planes.
Notons qu’ici, q ne joue pas le même rôle que dans le reste de ce texte.
Théorème 2.12 (Vuletić) Soit P (r, c) l’ensemble des surpartitions planes ayant au
plus r lignes et c colonnes. Alors :Xπ∈P (r,c)Aπ (q)t

|π|

=

r Y
c
Y
1 − qti+j−1
i=1 j=1

1 − ti+j−1·(2.19)

La formule de Cauchy pour les polynômes de Hall-Littlewood (2.16) est l’un desingrédients de la preuve dans [41]. Nous comptons ainsi raffiner l’énumération (2.19)
en utilisant la forme finie (2.17).
La deuxième application dans [53] concerne l’énumération des partitions planes àl’aide de termes constants, via le cas q = 0 de (2.17) correspondant aux fonctions de23

2.3. sommations de type cauchy

Q
Q
Schur. Posons f (X) := i (1 + 1/xi )i−1 i<j (1 − xi /xj ), et définissons CTx commeétant le terme constant en les variables xi dans toute série de Laurent des variablesde X. Dans [51, 52], en étudiant diverses conjectures de Mills-Robbins-Rumsey [87]concernant des classes de partitions planes, Ishikawa a entre autres prouvé que l’on a :
i+j
CTx CTy f (X)f (Y )sλ (X)sλ (Y ) =det,
0≤i,j≤n−1
2j − i
λ


X
i+j+1
sλ (X)sµ (Y ) =det,
CTx CTy f (X)f (Y )0≤i,j≤n−1
2j − iµ\λ bhX
X i + j ,sλ (X)sµ (Y ) =det CTx CTy f (X)f (Y )0≤i,j≤n−1kX

(2.20)(2.21)(2.22)k≥2j−iλ\µ bvoù la somme dans (2.21) (respectivement (2.22)) porte sur les paires de partitions λ, µtelles que µ\λ (respectivement λ\µ) soit une bande horizontale (respectivement bande
verticale), c’est-à dire que λ ⊆ µ (respectivement µ ⊆ λ) et il y a au plus une case parcolonne (respectivement par ligne) dans le diagramme de Ferrers de µ (respectivementλ) auquel on a enlevé celui de λ (respectivement µ). On peut évaluer les déterminants
intervenant dans (2.20), (2.21) et (2.22) à l’aide d’un résultat de [88], ce qui permetde reconnaı̂tre que (2.20) compte le nombre de matrices à signes alternants de taille n
autocomplémentaires cycliquement symétriques, (2.21) le nombre de matrices à signes
alternants de taille n verticalement symétriques et (2.22) le nombre de matrices àsignes alternants de taille 2n + 1 invariantes par demi-tour.
Okada a interprété dans [92] ces nombres (ainsi que beaucoup d’autres énumérant
diverses classes de symétrie de matrices à signes alternants) comme des caractères degroupes classiques, excepté concernant (2.22) pour lequel il n’a émis qu’une conjecture,ensuite prouvée par Razumov et Stroganov dans [98]. La plupart de ces classes desymétrie pour les matrices à signes alternants ont été énumérées par Kuperberg dans[76], via le modèle de glace à six sommets. En nous inspirant des calculs de Zeilberger
dans [131], nous montrons dans [53] le résultat suivant.
Théorème 2.13 On a :X i + j + 1,
CTx CTy f (X)f (Y )sλ (X)sµ (Y ) =det 
0≤i,j≤n−1kλ\ν bhX(2.23)k≥2j−iµ\ν bvoù la somme porte sur les partitions λ, µ et ν telles que λ\ν soit une bande horizontale,
et µ \ ν soit une bande verticale.

24

sommations de fonctions symétriques

Comme signalé par Krattenthaler, ce déterminant, ainsi que celui de (2.22), sont en
fait des cas particuliers deX i + j + xdet 
0≤i,j≤n−1kk≥2j−i

= 2x

n−1
Y

n−2
Y

i=1

i=0

(2x + 3i)i!(x + i + 1)!(2x + 3i + 2)!(x + 3i + 2)!
, (2.24)(2i + 1)!(x + 2i + 1)!(2x + 2i + 2)!(x + 2i + 2)!

où x est un entier positif ou nul. Le calcul de (2.24) se fait à l’aide de manipulations
sur les lignes du déterminant au membre de gauche, puis en utilisant le cas particuliern → n − 1, x → x + 1 et y = 1 de [71, Theorem 40]. Pour x = 1, on retrouve ainsi notredéterminant de (2.23) (et pour x = 0 celui de (2.22)), ce qui permet de reconnaı̂treque (2.23) compte le nombre de matrices à signes alternants de taille 2n invariantes
par demi-tour.
En utilisant (2.17) dans le cas q = 0 et les règles de Pieri pour les fonctions de
Schur, on peut évaluer des raffinements finis des sommes du même type qu’au membrede gauche de (2.23). Ainsi, ce qui nous intéresse est de déterminer les objets comptés
par les termes constants suivants :X
CTx CTy f (X)f (Y )sλ (X)sλ (Y ),(2.25)
λ⊆(kn )CTx CTy f (X)f (Y )X

v |µ\λ| sλ (X)sµ (Y ) ,(2.26)

u|λ\µ| sλ (X)sµ (Y ) ,(2.27)µ\λ bhλ⊆(kn )CTx CTy f (X)f (Y )X
λ\µ bvλ⊆(kn )CTx CTy f (X)f (Y )X

u|λ\ν| v |µ\ν| sλ (X)sµ (Y ) .

(2.28)

λ\ν bv, µ\ν bhν⊆(kn )

Pour clore ce chapitre, notons simplement que pour k ≥ n (et u = v = 1), les termes
constants (2.25)–(2.28) sont égaux à (2.20)–(2.23) respectivement.

Chapitre 3Séries bilatérales
Ce chapitre est exclusivement consacré à l’étude des séries hypergéométriques basiques. Plus particulièrement, nous verrons deux méthodes permettant d’obtenir, à
partir d’identités classiques de séries hypergéométriques basiques, des preuves simples
d’identités bilatérales. Nous donnerons ensuite quelques résultats généralisant les formules de Rogers-Ramanujan (1.10) et (1.11), et pouvant entre autres s’obtenir enrevisitant le lemme de Bailey vu au paragraphe 1.3.3. Enfin, nous terminerons parl’étude d’une version bilatérale du lemme de Bailey et de certaines de ses extensions.

3.1

La méthode de Cauchy

Dans ce paragraphe, nous rappelons une méthode élémentaire permettant de prouver des identités bilatérales de q-séries, et dont la portée fut récemment remarquée par
Schlosser dans [108]. Nous avons prolongé cette idée dans [60] afin de donner unedémonstration élémentaire de la formule de sommation 6 ψ6 de Bailey (1.9).

3.1.1

Illustration sur un exemple

Dans [108], Schlosser a présenté une nouvelle démonstration de la sommation bilatérale 1 ψ1 de Ramanujan (1.8). Cette preuve utilise une méthode standard due àCauchy dans [37], où celui-ci démontre le triple produit de Jacobi (1.15). Notons que(1.15) est un cas particulier de (1.8), qui n’était bien entendu pas encore connue àl’époque de Cauchy. Cette même méthode, que nous appellerons dorénavant méthodede Cauchy, a par ailleurs été exploitée par Bailey [19, 21] et Slater [114].
Afin d’illustrer cette technique, rappelons la démonstration de (1.8) de Schlosser,qui a pour point de départ l’identité q-Pfaff-Saalschütz (1.13), pouvant s’écrire sous laforme :nX(a, b, q −n )k(c/a, c/b)n
qk =
·
1−n
(q, c, abq/c)k(c, c/ab)n
k=0

26

séries bilatérales

Remplaçons d’abord n par 2n, puis décalons de n l’indice de sommation k, afin que lanouvelle somme aille de −n à n :
2n

n

k=0

k=−n

(c/a, c/b)2n X (a, b, q −2n )k q k(a, b, q −2n )n q n X (aq n , bq n , q −n )k q k==·(c, c/ab)2n(q, c, abq 1−2n /c)k(q, c, abq 1−2n /c)n(q 1+n , cq n , abq 1−n /c)kEnsuite, remplaçons a par aq −n et c par cq −n , afin d’obtenir après quelques simplifications :nX(a, bq n , q −n )k(c/a)2n (q, q, c/b, bq/c)n·qk =(q 1+n , c, abq 1−n /c)k(q)2n (c, q/a, b, c/ab)nk=−nMaintenant, on peut faire tendre n vers +∞, en supposant |c/ab| < 1 et |b| < 1, pourpouvoir faire appel au théorème de Tannery [30] d’interversion de la limite et de lasomme. Ceci donne :∞X(a)k  c k(q, c/a, c/b, bq/c)∞=,(c)k ab(c, q/a, b, c/ab)∞k=−∞où |c/a| < |c/ab| < 1. Finalement, en remplaçant b par c/az et ensuite c par b, on
obtient la sommation de Ramanujan (1.8).
Remarque 3.1 Cauchy [37] avait en fait appliqué cette méthode à un cas spécialde (1.13) (après tout, (1.13) ne lui était pas connue), qui est en fait la forme finiea = q −n de l’identité q-binomiale (1.6), et qui peut s’obtenir à partir de (1.13) en
substituant b 7→ c/z, puis c 7→ b, puis en faisant a → ∞ et b → 0. Le résultat qu’obtint
ainsi Cauchy est (1.15). Notons enfin que cette dernière identité se déduit de (1.8) en
remplaçant d’abord z par z/a, puis en faisant a → ∞ et b → 0.

3.1.2

Nouvelle preuve de la sommation 6 ψ6 de Bailey

Dans [108], Schlosser conjecture en fait que toute sommation bilatérale peut s’obtenir en partant d’une identité finie choisie de manière appropriée, et en utilisant laméthode de Cauchy, ceci sans faire appel au prolongement analytique. La questionde savoir s’il est possible d’appliquer cette stratégie pour prouver la sommation 6 ψ6de Bailey (1.9) est cependant restée en suspens dans [108]. Bien que la conjecturegénérale de Schlosser reste ouverte à ce jour, nous avons montré dans [60] commentl’on peut répondre par l’affirmative au cas de la sommation 6 ψ6 de Bailey. Rappelons
que de nombreuses preuves de celle-ci existent, en particulier celles de Bailey [19],Slater-Lakin [115], Andrews [2], Askey-Ismail [16], Askey [15], ou Schlosser [107].
Pour prouver la sommation 6 ψ6 de Bailey (1.9) par la méthode de Cauchy, il fautclairement partir d’une identité finie connue, ayant suffisamment de paramètres. Si

3.1. la méthode de cauchy

27

l’on considère la sommation de Jackson [46, Appendix (II.22)] :√√a, q a, −q a, b, c, d, a2 q n+1 /bcd, q −n√
; q, q8 φ7 √a, − a, aq/b, aq/c, aq/d, bcdq −n /a, aq n+1(aq, aq/bc, aq/bd, aq/cd)n, (3.1)=(aq/b, aq/c, aq/d, aq/bcd)non s’aperçoit qu’il manque au moins un paramètre pour notre objectif. L’étape suivanteconsiste donc à appliquer la méthode de Cauchy aux deux membres de la transformation de Watson (1.7) vue dans l’introduction. En fait, cette idée a déjà été considéréepar Bailey [21], qui obtint par ce procédé et un argument de symétrie une transformation pour une série 2 ψ2 (voir aussi [46, Ex. 5.11]).
Le prochain outil que nous avons à disposition dans la hiérarchie des identitésde séries hypergéométriques basiques très bien équilibrées est la transformation de
Bailey [18], que l’on peut écrire [46, Appendix (III.28)] :

10 φ9 √

√√a, q a, −q a, b, c, d, e, f, λaq n+1 /ef, q −n√
; q, qa, − a, aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, ef q −n /λ, aq n+1(aq, aq/ef, λq/e, λq/f )n=(aq/e, aq/f, λq/ef, λq)n√√

n+1 /ef, q −n
λ,
−q
λ,
λb/a,
λc/a,
λd/a,
e,
f,
λaq
λ,
q
√
; q, q , (3.2)
× 10 φ9 √λ, − λ, aq/b, aq/c, aq/d, λq/e, λq/f, ef q −n /a, λq n+1

où λ = qa2 /bcd. Une preuve standard de (3.2) consiste à appliquer deux fois (3.1),
en intervertissant les sommations (voir [46]). La sommation de Jackson (3.1), quant àelle, se démontre de diverses façons, comme dans [46] ou [114]. Remarquons au passage
que lorsque b, c ou d → ∞, (3.2) se réduit à la transformation de Watson (1.7). En
spécialisant de nouveau, on retrouve la sommation 8 φ7 de Jackson (3.1), que l’on peutd’ailleurs déduire directement de (3.2) en posant b = aq/c (ainsi λ = a/d).
Dans [60], nous partons de (3.2), et nous apppliquons de manière appropriée laméthode de Cauchy, ce qui nous conduit à la transformation suivante.

√
√
qa2
q a, −q a, c, d, e, f√
; q,
6 ψ6 √a, − a, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f
cdef
(aq, q/a, aq/ef, aq/cd, λq/e, λq/f, aq/λc, aq/λd)∞=(aq/e, aq/f, q/c, q/d, λq, q/λ, λq/ef, b)∞
√
 √

qa2
q λ,
−q λ, λc/a, λd/a, e, f√√
× 6 ψ6; q,, (3.3)λ, − λ, aq/c, aq/d, λq/e, λq/f
cdef
où λ = qa2 /bcd et |qa2 /cdef | < 1. Dans cette identité, le membre de droite comporte
un paramètre de plus (b) que celui de gauche. A l’exception du cas trivial où b = aq/cd

28

séries bilatérales(et donc λ = a), cette identité ne semble pas avoir été exploitée dans la littérature.
Une première façon de déduire la sommation bilatérale de Bailey (1.9) de (3.3)
serait de spécialiser directement le paramètre supplémentaire b, de sorte que la somme
6 ψ6 au membre de droite se réduise à une série 6 φ5 , que l’on somme en utilisant lecas n → ∞ de (3.1). Cependant, cette idée manque de charme, dans le sens où denombreuses preuves de (1.9) invoquent déjà la version infinie de (3.1), comme dans
[2, 16, 107, 115]. La clé pour éviter d’utiliser (3.1) est d’itérer notre transformation(3.3), c’est-à-dire d’appliquer cette même transformation à la somme 6 ψ6 du membrede droite de (3.3), en remplaçant les paramètres a, c, d et e par λ, λc/a, e et λd/arespectivement. Alors un nouveau paramètre additionnel, que l’on peut par exemple
appeler b0 , apparaı̂t au membre de droite. En spécialisant b et b0 de manière appropriée,
on obtient directement la sommation de Bailey (1.9).

3.2

Formes semi-finies

Dans la continuité du paragraphe précédent, nous expliquons ici une autre façonde procéder pour prouver des identités bilatérales à partir de sommations classiques.
Cette autre méthode a été introduite récemment par Chen-Fu dans [38]. Ces derniers
ont posé la question d’une preuve directe de la sommation 6 ψ6 de Bailey (1.9) via leurapproche. Nous avons répondu à cette question dans [55].

3.2.1

La méthodeRappelons que la méthode de Cauchy expliquée au paragraphe précédent consisteà procéder à un décalage d’indice dans une somme finie unilatérale, que l’on peutschématiser comme suit :n2nXXa(k + n) ,(3.4)
a(k) =
k=0

k=−npuis à faire n → +∞ lorsque c’est possible après quelques manipulations et simplifications. Dans [38], Chen et Fu ont introduit la notion de formes semi-finies, quel’on obtient par un procédé comparable, mais en partant de sommations infinies unilatérales. On peut alors déduire des identités pour des séries bilatérales par passage àla limite. Le procédé peut se résumer ainsi :XXa(k) =a(k + n) ,
(3.5)
k≥0

k≥−n

puis n → +∞ lorsque c’est possible après quelques manipulations et simplifications.
Le membre de droite de (3.4) (respectivement (3.5)) peut être nommé forme finie(respectivement semi-finie) d’une série bilatérale. Chen et Fu ont trouvé dans [38] desformes semi-finies de la sommation 1 ψ1 de Ramanujan (1.8), d’une sommation 2 ψ2 dueà Bailey [46, Ex. 5.20(i)] et de la sommation 6 ψ6 de Bailey (1.9).

3.2. formes semi-finies

29

A la fin de [38], les auteurs mentionnent le problème de trouver une démonstrationde (1.9) en utilisant une forme semi-finie (ou même finie) qui donnerait directement
le résultat lorsque n tend vers +∞. En effet, le passage à la limite dans leur forme
semi-finie de (1.9) ne conduit au résultat qu’après utilisation de la sommation 1 ψ1 deRamanujan. Nous donnons une réponse positive à ce problème dans [55] ; le paragraphesuivant donne un aperçu de la méthode.

3.2.2

Une forme semi-finie de la sommation 6 ψ6 de Bailey

Notre idée dans [55] est de prendre pour point de départ la version infinie, due àBailey [46, Appendix (II.25)], de la sommation 8 φ7 de Jackson (3.1). En appliquantquelques décalages, simplifications et changements de variables, on en déduit la forme
semi-finie suivante de (1.9).
Proposition 3.2 Pour tout entier n ≥ 0, on a :√√X(aq −n , q a, −q a, bq n , c, d, e, f )k√√qk
(q 1+n , a, − a, aq 1−n /b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f )kk≥−n(aq, c, d, e, f, bq 1+2n /a, bq 1+n /c, bq 1+n /d, bq 1+n /e, bq 1+n /f )∞(aq/b, aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, bcq n /a, bdq n /a, beq n /a, bf q n /a, b2 q 1+2n /a)∞bn+1 (q, q/a)n×a (b, b/a)n
 2 2n

√
√
1+n
1+n
b q /a, bq/ a, −bq/ a, b, bcq n /a, bdq n /a, beq n /a, bf q n /a√√× 8 φ7; q, qbq n / a, −bq n / a, bq 1+2n /a, bq 1+n /c, bq 1+n /d, bq 1+n /e, bq 1+n /f(aq, aq/cd, aq/ce, aq/cf, aq/de, aq/df, aq/ef, bq n /a)∞+(aq/c, aq/d, aq/e, aq/f, bcq n /a, bdq n /a, beq n /a, bf q n /a)∞(q, q/a)n, (3.6)
×(b, q/c, q/d, q/e, q/f )n=où b = qa2 /cdef .
Outre la méthode de Chen-Fu, les ingrédients nécessaires pour obtenir cette identité
sont des manipulations élémentaires de q-analogues des symboles de Pocchammer,
comme :
(xq −2n )∞2= (−1)n xn q −(n +n)/2 (q/x)n (x)∞ .
−2n
(xq
)n
Pour justifier le fait que (3.6) répond bien à la question de Chen et Fu, faisons tendre
n → +∞, en supposant |qa2 /cdef | < 1 (donc |b| < 1), et en échangeant limite etsomme via le théorème de Tannery [30]. Comme le premier terme au membre dedroite de (3.6) tend vers 0, ceci donne immédiatement la sommation 6 ψ6 de Bailey(1.9), avec b remplacé par f .
Avant de terminer ce paragraphe, notons que dans [55], nous appliquons ce mêmeprocédé en partant du cas limite n → +∞ de la transformation de Bailey (3.2) utilisée30séries bilatérales

au paragraphe précédent. Nous obtenons donc une forme semi-finie de ce cas limite,qui a elle-même pour conséquence la transformation (3.3). De plus, nous montronscomment obtenir une forme semi-finie de la transformation infinie à quatre termes
due à Bailey [46, Appendix (III.39)], qui a quant à elle pour conséquence une formule de transformation mélant deux séries bilatérales 8 ψ8 , et deux séries 8 φ7 . Cettetransformation compliquée est en fait une conséquence de diverses manipulations deséries hypergéométriques basiques, et surtout d’une identité de fonctions thetas [46,Ex. 5.22].

3.3

Formes finies de Rogers-Ramanujan

Dans l’article [49], nous nous intéressons à des formes finies des identités de RogersRamanujan (1.10) et (1.11). Les paragraphes qui suivent expliquent comment on peut
obtenir de telles formes finies à partir du lemme de Bailey, en pointant d’autre part lefait qu’il est parfois nécessaire d’employer une version un peu plus compliquée de cedernier, que l’on nomme réseau de Bailey, et qui est dû à Agarwal-Andrews-Bressoud
dans [1].

3.3.1Deux résultats très proches

L’idée de déterminer des formes finies des identités de Rogers-Ramanujan est guidéepar le fait d’en donner une démonstration automatique par ordinateur. L’utilisationdu lemme de Bailey pour prouver la transformation de Watson (1.7) les généralisanten est une illustration, et Paule a par exemple utilisé un cas particulier de (1.7) commepoint de départ pour prouver par ordinateur l’identité de Rogers-Ramanujan (1.10)
dans [95]. Notons aussi que des formes finies de (1.10) et (1.11) ont été données par
Warnaar dans [124]. Le premier résultat que nous obtenons dans [49] est le suivant.
Théorème 3.3 Soit n > 0 un entier. Si l’un au moins des paramètres a, b et c est dela forme q n , alors on a :∞X(q/a, q/b, q/c, q/d, q/e)k(abcdeq −3 )k(a, b, c, d, e)k

k=−∞

∞

(q, ab/q, bc/q, ac/q)∞ X (q/a, q/b, q/c, de/q)k k=
q , (3.7)(a, b, c, abc/q 2 )∞(q, q 3 /abc, d, e)k
k=0

et
∞
X
(q/a, q/b, q/c, q/d, q/e)k(abcdeq −1 )k(aq, bq, cq, dq, eq)k

k=−∞

∞

=

(q, ab, bc, ac)∞ X (q/a, q/b, q/c, de)k k
q n. (3.8)(aq, bq, cq, abc/q)∞(q, q 2 /abc, dq, eq)k
k=0

31

3.3. formes finies de rogers-ramanujan

On a bien ici des formes finies des identités de Rogers-Ramanujan, car la condition
sur l’un des paramètres a, b et c impose la finitude, et ces dernières sont obtenues si
les autres paramètres tendent tous vers l’infini, en utilisant le triple produit de Jacobi(1.15).
D’autre part, nous prouvons dans [49] les nouvelles identités suivantes, que nous
avons originellement devinées par des expérimentations informatiques, et qui sont aussi
des formes finies des identités de Rogers-Ramanujan.
Théorème 3.4 Soit n > 0 un entier. Si l’un au moins des paramètres a, b et c est dela forme q n , alors on a :∞X(q/a, q/b, q/c, q/d, q/e)k(abcdeq −3 )k(a, b, c, d/q, e/q)k

k=−∞

∞

=

(q, ab/q, bc/q, ac/q)∞ X (q/a, q/b, q/c, de/q 2 )k k
q , (3.9)(a, b, c, abc/q 2 )∞(q, q 3 /abc, d, e)k
k=0

et
∞
X
(q/a, q/b, q/c, q/d, q/e)k(abcdeq −4 )k(a, b, c, d/q, e/q)k

k=−∞

∞

=

(q, ab/q, bc/q, ac/q)∞ X (q/a, q/b, q/c, de/q 2 )k 2kq . (3.10)(a, b, c, abc/q 2 )∞(q, q 3 /abc, d, e)kk=0

La première chose frappante est la similarité entre ces deux identités et les deuxprécédentes. Pourtant, comme nous l’expliquons dans [49], (3.7) et (3.8) sont en faitdes conséquences directes de la transformation de Watson (1.7) (et donc du lemme de
Bailey). En revanche, (3.9) et (3.10) sont bien plus compliquées à démontrer. Dans leparagraphe suivant, nous verrons comment nous avons prouvé ces dernières dans [49]par une approche généralisant le lemme de Bailey. Nous avons aussi dans ce même article donné une autre démonstration de (3.9) et (3.10), qui utilise l’algorithme q-Gosper(voir par exemple [96]).

3.3.2

Le lemme de Bailey revisité

L’observation cruciale, qui est originellement due à Paule [94], est que l’on peut
rendre symétrique, via un décalage d’indice, la somme dans la définition d’une pairede Bailey (1.12), dans les cas a = 1 et a = q. Nous avons formulé ceci dans [49], ce
qui permet de donner une preuve plus directe de (3.7) et (3.8). L’idée se traduit par lefait que la paire de Bailey unitaire (1.14), lorsque a = 1, peut s’écrire α0 = β0 = 1 etn−nαn = (−1)n (q ( 2 ) + q ( 2 ) ),βn = 0,n ≥ 1.

32

séries bilatérales

Cette même paire de Bailey unitaire s’écrit pour a = q :n−n−1αn = (−1)n (q ( 2 ) + q ( 2 ) ),βn = δn,0 .

Dans [49], nous donnons deux démonstrations de (3.9), dont l’une en utilisant uneversion modifiée du lemme de Bailey, qui s’appelle le réseau de Bailey (ou Bailey
lattice), et qui est due à Agarwal-Andrews-Bressoud dans [1] (voir aussi l’article deSchilling-Warnaar [106], et le survol de Warnaar [123]). Rappelons que le lemme de
Bailey classique permet de prouver les identités de Rogers-Ramanujan, et celles-ci ont
une extension célèbre, les identités d’Andrews-Gordon. Le lemme de Bailey s’avérant
infructueux, ces dernières sont prouvées via le réseau de Bailey, qui peut s’énoncer
comme suit.
Théorème 3.5 (réseau de Bailey) Si (αn , βn ) est une paire de Bailey relative à a
et q, alors (αn0 , βn0 ) est une paire de Bailey relative à aq −1 et q, où α00 = 1,(ρ1 , ρ2 )n
αn
αn−1
0
n
2n−2
αn = (1 − a)(a/ρ1 ρ2 )− aq,
(a/ρ1 , a/ρ2 )n 1 − aq 2n
1 − aq 2n−2
et pour n ≥ 0
βn0 =X (ρ1 , ρ2 )r (a/ρ1 ρ2 )n−r (a/ρ1 ρ2 )rr≥0(q)n−r (a/ρ1 )n (a/ρ2 )nβr .

On reprend la paire de Bailey unitaire (1.14) avec a = q, et on lui applique le lemmede Bailey classique pour obtenir une nouvelle paire de Bailey (αn0 , βn0 ), pour a = q.
On applique alors le théorème précédent pour obtenir une troisième paire de Bailey(αn00 , βn00 ), mais pour a = 1 cette fois. En écrivant la relation stipulant que (αn00 , βn00 ) est
une paire de Bailey pour a = 1, on obtient après quelques manipulations notre formule(3.9) avec a remplacé par q 1+n , d = q 2 /ρ1 , e = q 2 /ρ2 , b = q/ρ3 et c = q/ρ4 . La formule(3.10), quant à elle, est une conséquence de (3.8) et (3.9).
Pour terminer, nous expliquons dans [49] comment obtenir d’autres identités du
type (3.7)–(3.10), mais qui peuvent être vues comme conséquences de celles-ci, en
utilisant un résultat proche du Théorème 3.5 dû à Schilling-Warnaar dans [106].

3.3.3

Quelques cas particuliers

Dans [49], de nombreux corollaires aux formules (3.7)–(3.10) sont donnés, parmi
lesquels les identités étonnantes suivantes :
n

2

∞

2

1 X
qk
1 X
qk
=
,
(q)∞
(q)k (q)n−k(q)n(q)k (q)n+k
k=0

1
(q)∞

n
X
k=0

k=0

2
∞
1 X
q k +k=,(q)k (q)n−k(q)n(q)k (q)n+k+1
2
q k +k

k=0

33

3.4. le lemme de bailey bilatéralou encore après de nombreuses manipulations, puis un passage à la limite q → 1 :


 X

 
n
n 
X
2n 4
2n
3n − k
2n
n
(−1)k
=
,
(3.11)
n+k
n
n−k
n+k
k
k=−n

k=0

et
n
X
k=−n

k

(−1)



2n
n+k

5

 X



n 
2n
3n − k2n + k
2n 2
=
.
n
n−k
k
n+k

(3.12)

k=0


P
2n m
De (3.11) et (3.12), on peut clairement déduire que nk=−n (−1)k n+kest divisible2n
par n pour m = 4, 5. Ce résultat arithmétique sera expliqué et généralisé à toutes
les valeurs entières de m au chapitre 4.

3.4

Le lemme de Bailey bilatéral

Le paragraphe précédent exprime l’idée qu’il est parfois possible d’utiliser une
structure de symétrie via le lemme de Bailey pour déduire des identités bilatérales.
Ceci conduit naturellement à étudier directement l’existence d’une version bilatérale
du lemme de Bailey. Une telle version apparaı̂t dans l’article [24] de Berkovich-McCoySchilling, dans un contexte de physique théorique. Dans [56], nous définissons la notion
de paire de Bailey décalée et plus généralement celle de paire de Bailey décalée bienéquilibrée, et nous en donnons quelques applications intéressantes en termes de q-séries.

3.4.1

Lemme de Bailey décalé

Dans la définition des paires de Bailey (1.12), la condition r ≤ n dans la somme
au membre de droite est naturelle, dans le sens où 1/(q)n−r = 0 pour n − r < 0.
Cependant, le fait que cette même somme commence à r = 0 ne peut être omise, ce
qui signifie que la définition des paires de Bailey serait différente si cette somme allaitde −∞ à n. Comme il est remarqué dans [24], on peut définir pour tout n ∈ Z la notion
de paire de Bailey bilatérale (αn (a, q), βn (a, q)) relative à a et q par la relation :Xαr (a, q)βn (a, q) =∀n ∈ Z.
(3.13)(q)n−r (aq)n+rr≤n

Il est bien entendu toujours possible de trouver des paires de Bailey bilatérales pour
tout a, mais ce qui semble plus délicat est d’exprimer βn (a, q) sous une forme close (sanssommation), afin d’en déduire des résultats intéressants. Ceci devient possible lorsquel’on se restreint aux valeurs a = q m , m ∈ N, la raison étant que la somme au membrede droite de (3.13) va dans ce cas de −m − n à n, et est en particulier finie. Appelons
une telle paire de Bailey bilatérale (αn (q m , q), βn (q m , q)) paire de Bailey décalée, etremarquons que toute paire de Bailey décalée correspond en fait à une paire de Bailey
classique, et réciproquement. Cependant, l’intérêt de cette notion apparaı̂t clairement
lorsque l’on veut obtenir des applications intéressantes, car elle évite des distinctionspénibles de parité de m. Dans [24], le lemme de Bailey est généralisé comme suit.

34

séries bilatérales

Théorème 3.6 (lemme de Bailey bilatéral) Si (αn (a, q), βn (a, q)) est une pairede Bailey bilatérale relative à a et q, alors c’est aussi le cas de la paire (αn0 (a, q), βn0 (a, q)),où(ρ1 , ρ2 )n (aq/ρ1 ρ2 )nαn0 (a, q) =αn (a, q)(aq/ρ1 , aq/ρ2 )net
βn0 (a, q) =X (ρ1 , ρ2 )j (aq/ρ1 ρ2 )n−j (aq/ρ1 ρ2 )jj≤n(q)n−j (aq/ρ1 , aq/ρ2 )nβj (a, q) ,sous certaines conditions de convergence sur les suites αn (a, q) et βn (a, q) rendant
toutes les séries infinies absolumment convergentes.
Remarque 3.7 Pour prouver le lemme de Bailey classique en utilisant l’identité qPfaff-Saalschütz (1.13), le passage clé est une interversion de sommes qui se fait sansproblème de convergence car ces sommes sont finies. Ce n’est plus le cas dans cetteversion bilatérale, d’où les conditions de convergence absolue permettant d’intervertir
les sommes de la même façon. Ces conditions de convergence ne sont plus nécessaires
dans le cas a = q m , m ∈ N, correspondant aux paires de Bailey décalées.
Dans [56], nous exhibons comme conséquence de la version finie de l’identité qbinomiale (1.6) la paire de Bailey décalée suivante, qui est en fait déjà apparue dansl’article [14] mentionné au paragraphe 2.1.2, les auteurs généralisant cette paire au
cadre de l’algèbre de Lie A2 :


n
m+n
m
n
m
n (n
)
(
)
.
(3.14)
αn (q , q) = (−1) q 2 et βn (q , q) = (q)m (−1) q 2
m + 2n q
Remarque 3.8 Les cas particuliers m = 0 et m = 1 correspondent à la paire de
Bailey unitaire (1.14) pour a = 1 et q. Ces deux valeurs du paramètre a sont danstoutes les utilisations classiques du lemme de Bailey les deux seules pour lesquelles letriple produit de Jacobi (1.15) s’applique afin de déduire des identités de type RogersRamanujan. La clé de notre cadre décalé réside dans le fait que (1.15) peut s’utiliser
pour tout a = q m , m ∈ N, regroupant ainsi entre autres les cas a = 1 et a = q.
En appliquant k fois certains cas particuliers du Théorème 3.6 à la paire de Bailey
décalée (3.14), nous montrons dans [56] plusieurs résultats, dont le suivant est un
exemple.
Théorème 3.9 Pour tous k ∈ N∗ et m ∈ N, on a :X−bm/2c≤nk ≤nk−1 ≤···≤n1

2
2
q n1 +···+nk +m(n1 +···+nk )m + nknk ( n2k )(−1) q(q)n1 −n2 . . . (q)nk−1 −nk
m + 2nk q=(q 2k+1 , q k(m+1) , q k(1−m)+1 ; q 2k+1 )∞· (3.15)(q)∞35

3.4. le lemme de bailey bilatéral

L’identité (3.15) est ce que l’on nomme en général une m-version des identités deAndrews-Gordon, cette dernière étant obtenue en posant m = 0 et m = 1. Cependant, nous n’obtenons pas de m-versions des identités de Andrews-Gordon complètes(voir par exemple [4] et [29]). Le cas particulier k = 1 de (3.15) est un célèbre analogue polynomial du théorème pentagonal d’Euler (1.5), généralisé par Guo-Zeng dans[50], et généralisé dans [125] par Warnaar à une sommation cubique pour les séries
hypergéométriques elliptiques. Le cas particulier k = 2 prend quant à lui la forme
suivante : X k2 +(m−2j)kXq(q 5 , q 2m+2 , q 3−2m ; q 5 )∞j 5( 2j )−(2m−3)j m − j(−1) q, (3.16)
=
j
(q)k
(q)∞
q
j≥0

k≥0

qui est une m-version des identités de Rogers-Ramanujan découverte par GarrettIsmail-Stanton dans [45], via la théorie des polynômes orthogonaux et le calcul intégral.
Nous avons découvert dans [56] l’analogue de (3.16) pour les identités de GöllnitzGordon. Par ailleurs, les auteurs de [45] prouvent aussi l’égalité :X q n2 +nm
n≥0

(q)n

m
1 X h m i 2k(k−m) 5 3+4k−2m 2−4k+2m 5=
q(q , q,q; q )∞ ,(q)∞
k q(3.17)

k=0

qui est une célèbre m-version des identités de Rogers-Ramanujan, inverse de (3.16).
Au vu de (3.16) et (3.17), il est possible d’inverser (3.15) via l’inversion classiquede Bailey (voir par exemple [12]). Ceci donne le résultat suivant, qui est donc une
k-généralisation de (3.17).
Théorème 3.10 Pour tous entiers k ∈ N∗ et m ∈ N, on a :X0≤nk−1 ≤···≤n1


2
2
m 
X
q n1 +···+nk−1 +m(n1 +···+nk−1 )mq kj(j−m)=(q)n1 −n2 . . . (q)nk−2 −nk−1 (q)nk−1
j q
j=0

×

(q 2k+1 , q k(m−2j+1) , q k(1−m+2j)+1 ; q 2k+1 )∞· (3.18)(q)∞

Berkovich-Paule prouvent par une méthode différente dans [23] ce que l’on peut
nommer m-version négative (c’est-à dire que m est un entier négatif) des identitéscomplètes de Andrews-Gordon. Warnaar a aussi obtenu d’autres identités du mêmetype dans [126], en utilisant un autre point de vue que le notre, mais lié au lemme de
Bailey. Il serait intéressant de déduire tous ces résultats de notre approche, ce qui impliquerait vraisemblablement de construire une version bilatérale du réseau de Bailey
mentionné au paragraphe 3.3.2.

3.4.2

Changement de baseDans [29], Bressoud-Ismail-Stanton prouvent un grand nombre de sommations detype Rogers-Ramanujan, via un nouvel outil, appelé changement de base dans les36séries bilatérales

paires de Bailey. Nous avons remarqué dans [56] que beaucoup d’outils et de résultats
de [29] ont une version bilatérale, comme par exemple le théorème suivant qui est la
version bilatérale de [29, Theorem 2.1].
Théorème 3.11 Si (αn (a, q), βn (a, q)) est une paire de Bailey bilatérale relative à a
et q, alors c’est aussi le cas de la paire (αn0 (a, q), βn0 (a, q)), où
αn0 (a, q) =et
βn0 (a, q) =(−b)n −n −( n )b q 2 αn (a2 , q 2 )(−aq/b)nX (−aq)2k (b2 ; q 2 )k (q −k /b, bq k+1 )n−k(b, −aq/b)nk≤n(q 2 ; q 2 )kb−k q −( 2 ) βk (a2 , q 2 ) ,n−kpourvu que les séries concernées soient absolumment convergentes.
A partir de ce résultat, du lemme de Bailey bilatéral et de la paire de Bailey décalée(3.14), on en déduit dans [56] une m-version des identités de Bressoud, qui sont lesanalogues pairs des identités de Andrews-Gordon (voir par exemple [29]). Il est aussi
possible d’inverser la m-version que nous obtenons, ce qui donne le résultat suivant.
Théorème 3.12 Pour tous k ∈ N∗ et m ∈ N, on a :2

2

q n1 +···+nk−1 +m(n1 +···+nk−1 )+nk−1(q)n1 −n2 . . . (q)nk−2 −nk−1 (q 2 ; q 2 )nk−10≤nk−1 ≤···≤n1

m 
X
m
q (k−1)j(j−m) (q 2k , q (k−1)(m−2j+1) , q (k−1)(1−m+2j)+2 ; q 2k )∞
=
·
j q2
(−q)m
(q)∞
X

j=0

3.4.3

Le cas bien équilibré

Il existe une extension célèbre du lemme de Bailey, qui est appelée lemme de Bailey
bien équilibré découvert par Andrews dans [10], puis exploité par Andrews-Berkovichdans [11]. Nous en donnons dans [56] une version bilatérale, en définissant, pour toutn ∈ Z, la notion de paire de Bailey bilatérale bien équilibrée (αn (a, α), βn (a, α)) relative à a et α par la relation :βn (a, α) =X (α/a)n−r (α)n+rr≤n(q)n−r (aq)n+r

αr (a, α)∀n ∈ Z.

(3.19)

La version bilatérale des travaux de [11] peut s’énoncer comme suit.
Théorème 3.13 (lemme de Bailey bilatéral bien équilibré) Si l’on suppose que(αn (a, α), βn (a, α)) est une paire de Bailey bilatérale bien équilibrée relative à a et α,alors c’est aussi le cas de (αn0 (a, α), βn0 (a, α)) et (eαn (a, α), βen (a, α)), où
αn0 (a, α) =(ρ1 , ρ2 )n(α/c)n αn (a, c) ,(aq/ρ1 , aq/ρ2 )n37

3.4. le lemme de bailey bilatéral

βn0 (a, α) =(ρ1 , ρ2 )j(αρ1 /a, αρ2 /a)n X(aq/ρ1 , aq/ρ2 )n(αρ1 /a, αρ2 /a)jj≤n×

1 − cq 2j (α/c)n−j (α)n+j(α/c)j βj (a, c) ,1 − c (q)n−j (qc)n+j

avec c = αρ1 ρ2 /aq, etαen (a, α) =βen (a, α) =(qa2 /α)2n 2(α /qa2 )n αn (a, qa2 /α) ,(α)2nX (α2 /qa2 )n−jj≤n(q)n−j(α2 /qa2 )j βj (a, qa2 /α) ,sous certaines conditions de convergence sur les suites αn et βn , rendant absolumment
convergentes les séries infinies apparaissant.
Notons que si α = 0, alors la première instance de ce résultat donne le Théorème 3.6.
Comme dans le paragraphe 3.4.1, on évitera souvent tout problème de convergenceen posant a = q m , m ∈ N, et les paires de Bailey bilatérales bien équilibrées seront
appelées paires de Bailey décalées bien équilibrées. Notons au passage que Schlosser(communication privée) a prouvé un lemme de Bailey bilatéral beaucoup plus généralbasé sur une inversion de matrices, mais d’une autre nature que ce théorème. D’autrepart, certains lemmes de Bailey bien équilibrés prouvés par Mc Laughlin-Zimmer dans[84] ou Warnaar dans [127] devraient avoir des versions bilatérales qu’il pourrait êtreintéressant d’explorer.
Dans [56], nous expliquons comment la relation (3.19) peut s’inverser, ce qui fournit une paire de Bailey unitaire bilatérale bien équilibrée. Ceci permet, après deuxitérations de la première instance du Théorème 3.16, de prouver une transformationgénéralisant à la fois la sommation 1 ψ1 de Ramanujan (1.8), la sommation 6 ψ6 de Bailey (1.9) et la transformation (3.3) entre deux 6 ψ6 rencontrée au paragraphe 3.1.2.
D’autre part, en utilisant la sommation q-Pfaff-Saalschütz (1.13), nous avons trouvé
la version bien équilibrée de la paire de Bailey décalée (3.14), ce qui est exprimé dansle résultat suivant.
Proposition 3.14 Pour m ∈ N, (αn (q m , α), βn (q m , α)) est une paire de Bailey décaléebien équilibrée relative à a = q m et α, où
αn (q m , α) =et(q m /α)n(αq −m )n(αq −m )n(q)m (q/α)m−n (α2 q −2m )m+2n m + n
βn (q , α) =(q m /α)n .
(q/α, αq −m )m (αq 1−m )m+n m + 2n qm38séries bilatérales

Remarque 3.15 Lorsque α → 0 cette paire de Bailey décalée bien équilibrée devient
exactement (3.14).
En appliquant la première, puis la deuxième instance du Théorème 3.13 à notre pairede Bailey décalée bien équilibrée, nous obtenons la généralisation suivante de l’identité
[45, (6.3)] de Garrett-Ismail-Stanton.
Théorème 3.16 Pour tout entier positif ou nul m et tous nombres réels β, γ, ρ telsque |q/β 2 | < 1, on a :(β)m X (1/γ, ρ, γq 1+m /βρ)n (βq m )2n(q/β)n(q/β)m(γ, q 1+m /ρ, βρ/γ)n (q 1+m /β)2n
n∈Z

bm/2c

(q, q/β 2 )∞ X 3 s (q/γ, γq/βρ, ρq −m )s 1 − γq m−2s=
(β /q)(q/β, q/β)∞(q, q/ρ, βρq −m /γ)s
1−γ
s=0


(β, γ 2 )m−2s (q)m−s
β/γ, βq m−2s , ρβq −s , γq 1+m−s /ρ
2. (3.20)
×
φ
;
q,
q/β
4 3
γq 1+m−2s , βρq −s /γ, q 1+m−s /ρ
(q, γq)m−2s (γq)m−s
Pour terminer, mentionnons que les relations d’orthogonalité et les formules deconnection pour les polynômes orthogonaux q-Hermite et plus généralement les polynômes orthogonaux q-ultrasphériques sont au cœur des preuves de [45]. Rappelons
que les polynômes q-ultrasphériques ont la représentation explicite suivante :Cn (cos θ; β|q) =nX(β)k (β)n−k
k=0(q)k (q)n−ke−i(n−2k)θ .

(3.21)

On peut alors voir que (3.21) est équivalent à l’assertion stipulant que la paire suivante
est une paire de Bailey décalée bien équilibrée :αn (q m , βq m ) = e2inθ et βn (q m , βq m ) = e−imθ(q)m
C2n+m (cos θ; β|q) .
(β)mUne application de la première instance du Théorème 3.13 avec ρ2 → +∞, ρ1 → 0 etc = βρ1 ρ2 /q < ∞ donne immédiatement la formule de connection pour Cn :bn/2c

Cn (cos θ; c|q) =X (c/β)k (c)n−kk=0(q)k (qβ)n−kβk

1 − βq n−2k
Cn−2k (cos θ; β|q).
1−βUne question naturelle qui se pose est de savoir si notre méthode appliquée à d’autres
lemmes de Bailey (classiques, bien équilibrés ou elliptiques de [127]) pourrait prouver ou éclaircir certaines propriétés pour des familles plus générales de polynômes
orthogonaux.

Chapitre 4

Applications arithmétiques etdiophantiennes
Dans ce chapitre, nous verrons quelques applications arithmétiques des q-séries,
en particulier de la formule d’Andrews (1.16) et donc du lemme de Bailey. L’utilisation que nous en faisons dans le contexte ci-dessous provient du fait que cette formule
possède de nombreux paramètres, ce qui permet de transformer beaucoup de q-séries
ayant la propriété d’être des séries hypergéométriques basiques très bien équilibrées.
Cette observation établit le lien entre les problèmes que nous allons voir, qui semblent
pourtant à priori sans point commun. Nous verrons ainsi que deux problèmes de divisibilité et d’intégralité de coefficients de polynômes peuvent être résolus par l’outil desq-séries [48]. D’autre part, des propriétés arithmétiques et diophantiennes de valeursaux entiers de certains q-analogues de fonctions L (comme en particulier la fonctionzêta de Riemann) peuvent être établies grâce à ce même outil [58, 59].

4.1

Deux problèmes à priori disjoints

Dans l’article [48], nous résolvons deux problèmes semblant à priori disjoints. J’explique dans les deux paragraphes suivants l’origine de ces problèmes, et nous constaterons qu’ils peuvent se résoudre à l’aide du même outil de séries hypergéométriques
basiques : la formule d’Andrews (1.16) vue au paragraphe 1.3.3 de l’introduction.

4.1.1

Un problème de divisibilité

En 1998, Calkin [35] a prouvé à l’aide des valuations p-adiques que pour toutepaire d’entiers strictement positifs m et n, −1 X


n
2n
2n m
k
(−1)
(4.1)
n
n+k
k=−n

est un nombre entier. Pour m = 1, 2 et 3, en utilisant les formules binomiales, de
Kummer et de Dixon (voir [12]), il est aisé de voir que (4.1) est égal à 0, 1 et 3nn

40

applications arithmétiques et diophantiennes

respectivement. Lorsque m est supérieur ou égal à 4, les choses se compliquent dans lesens où de Bruijn [31] a démontré par des méthodes asymptotiques que (4.1) n’admet
pas de forme close. Cependant, comme signalé au paragraphe 3.3.3 du chapitre 3,
les formes finies des identités de Rogers-Ramanujan que nous avons obtenues dans[49] conduisent après nombre de spécialisations à (3.11) et (3.12), qui démontrent lerésultat de Calkin dans les cas m = 4 et 5. Cette connection fut une surprise, etnous avons cherché à comprendre le lien entre le résultat de Calkin et le contexte desq-séries. Ceci se résume dans les résultats suivants issus de [48], qui généralisent lerésultat de Calkin et prouvent par la même occasion le fait que les entiers en question
sont positifs.
Théorème 4.1 Pour m ≥ 3 et toute famille d’entiers positifs n1 , . . . , nm , on a :

n1
m 
X
Y
ni + ni+1
k (m−1)k2 +(k2)(−1) qni + k q
i=1

k=−n1



 X m−2Y

n1 + nm
=
n1
q

λ

q

λ2i

i=1




 
ni+1 + ni+2λi−1,λi q ni+1 − λi q

(4.2)

où nm+1 = λ0 = n1 et la somme porte sur toutes les suites λ = (λ1 , . . . , λm−2 ) d’entiers
positifs ou nuls tels que λ0 ≥ λ1 ≥ · · · ≥ λm−2 .
En posant q = 1 dans (4.2), on obtient une généralisation directe du résultat deCalkin (4.1).
Corollaire 4.2 Pour m ≥ 3 et toute suite d’entiers strictement positifs n1 , . . . , nm ,on a :
 



n1
m 
m−2 
X
Y
ni + ni+1
n1 + nm X Y λi−1
ni+1 + ni+2k(−1)=
, (4.3)ni + kn1
λi
ni+1 − λi
k=−n1

i=1

λ

i=1

où nm+1 = λ0 = n1 et la somme porte sur toutes les suites λ = (λ1 , . . . , λm−2 ) d’entiers
positifs tels que λ0 ≥ λ1 ≥ · · · ≥ λm−2 .
Remarque 4.3 Pour m = 1et m = 2, il est aisé de voir que le membre de gauche2de (4.3) est égal à 0 et n1n+nrespectivement. Le résultat de Calkin provient de (4.3)
1
en posant ni = n pour i = 1, . . . , m.
Calkin [35] avaitPen fait lui-même
un q-analogue partiel de (4.1) en considérantndonnémnkjk
la somme alternée k=0 (−1) q k . Dans cette direction, nous avons donc aussi
prouvé le résultat d’intégralité suivant.
Théorème 4.4 Pour toute famille d’entiers strictement positifs n1 , . . . , nm , nm+1 =n1 , la somme alternée



n1
m 
k Y ni + ni+12
n1 + nm −1 X
S(n1 , . . . , nm ; j, q) :=(−1)k q jk +(2)n1ni + k q
q
k=−n1

i=1

est un polynôme en q avec des coefficients entiers positifs pour 0 ≤ j ≤ m − 1.

41

4.1. deux problèmes à priori disjoints

En posant n1 = · · · = nm = n, on obtient un q-analogue complet du résultat de Calkin.
Corollaire 4.5 Pour toute paire d’entiers strictement positifs m, n, et pour 0 ≤ j ≤m − 1, −1 X


n
k
2
2n
2n m
(−1)k q jk +(2)
n+k q
n q
k=−n

est un polynôme en q à coefficients entiers positifs.
Nous avons donné dans [48] une liste de corollaires et de résultats similaires aux
théorèmes précédents, sur lesquels je ne reviendrai pas ici. En revanche, les méthodesde démonstration s’inscrivent complètement dans le cadre de ce texte. Nous avonsprouvé le Théorème 4.1 via une relation de récurrence pour S(n1 , . . . , nm ; j, q), qui
permet aussi de démontrer le Théorème 4.4. Cependant, nous avons aussi expliquécomment (4.2) est une conséquence de la formule d’Andrews (1.16).
Pour conclure ce paragraphe, mentionnons le fait que les propriétés de divisibilité
évoquées précédemment nous ont conduits à énoncer un certain nombre de conjectures,
que nous ne sommes pas parvenus à démontrer par nos méthodes. Voici l’une d’entre
elles en guise d’exemple.
Conjecture 4.6 Pour toute paire d’entiers strictement positifs m et n, le plus granddiviseur commun aux entiers
)
( n


X
2n r
k
(−1)
, r = m, m + 1, . . .
n+k
k=−n

 
2n
est égal à
.
n

4.1.2

Un problème d’intégralitéLes entiers suivants sont invoqués dans la célèbre preuve d’Apéry [17] de l’irrationalité de ζ(3), et sont souvent appelés nombres d’Apéry :
n  2 
X
n
n+k 2
an =
.
k
k
k=0

Schmidt, dans [109], en utilisant la transformée de Legendre sur laquelle je reviendrai
un peu plus loin, a prouvé l’expression suivante des nombres d’Apéry :an = k  n  
X
n n+k X k 3
k=0

k

k

j=0

j

.

(4.4)

Ce genre d’identité intrigante éveille fréquemment la curiosité des combinatoristes, et
il se trouve que Strehl, dans [120], en a donné six démonstrations différentes, dont une

42applications arithmétiques et diophantiennes

purement combinatoire, une autre qui recourt à l’hypergéométrie et une troisième via
une vérification automatique par ordinateur. Cependant, malgré tous ces points devue, Strehl n’est pas parvenu à résoudre le problème suivant soulevé par Schmidt.
Problème 4.7 (Schmidt [109]) Soit n un entier positif ou nul. Pour tout entier(r)r ≥ 2, définissions une suite de nombres {ck }k∈N , indépendants du paramètre n, parla relationn  r 
n  
Xnn + k r X n n + k (r)
=
ck .
k
k
k
k
k=0

k=0

(r)

Est-il alors vrai que les nombres ck sont des entiers ?
Une réponse positive à cette question a été donnée récemment par Zudilin dans [134],(r)
via la transformée de Legendre (qui met en évidence l’existence des nombres ck ) et
un cas particulier de la spécialisation q = 1 dans la formule d’Andrews (1.16). Ceciétablit un lien plutôt surprenant entre le problème évoqué au paragraphe précédent
et les suites d’Apéry. La méthode de Zudilin permet en effet aussi de retrouver le cas
particulier r = 2 correspondant à an , et d’autre part le cas r = 3, pour lequel Strehl[120] n’avait qu’une preuve automatique par ordinateur (donc non constructive) del’égalité :k  2  2 
X
k
2j
2j
(3)
ck =
.
j
j
k−j
j=0

A la fin de l’article [134], Zudilin soulève la question d’énoncer et prouver un qanalogue du Problème 4.7. Nous avons répondu à cette question dans [48], en utilisantla q-transformée de Legendre et sans surprise l’identité d’Andrews (1.16). Rappelons
que la q-transformée de Legendre est l’inversion suivante (le cas q = 1 étant la transformée de Legendre évoquée ci-dessus) :
an =

n
X
k=0





n
2k+1
X
n−k
n+k
2n
n−k 1 − q()
2bk ⇐⇒ bn =
(−1)
q
ak ,
n−k q
1 − q n+k+1 n − k q

(4.5)

k=0

qui est en fait un cas particulier du q-analogue dû à Carlitz de la formule d’inversion de
Gould-Hsu [36] (voir aussi l’inversion de matrices très générale de Krattenthaler dans[70]). En utilisant (4.5) et (1.16), nous avons démontré dans [48] le résultat suivantrépondant à la question de Zudilin.
Théorème 4.8 Soit n un entier positif ou nul. Pour tout entier r ≥ 2, définissions(r)
une suite de fractions rationelles {ck (q)}k∈N , indépendantes du paramètre n, par larelation : r 

  

n
n
X
n n + k r X (n−k)+(1−r)(k) n n + k (r)r(n−k+(1−r)(n
)
)
2
2
2
2
q
=
q
c (q) . (4.6)
k q
k q
k q
k q k
k=0

k=0

(r)

Alors ck (q) ∈ N[q], pour tout entier k ∈ {0, . . . , n}.

4.2. valeurs de q-zêta aux entiers positifs

43(r)

Le q-transformée de Legendre (4.5) permet de prouver l’existence des fractions ck (q),et d’en donner une expression. Cette expression ne met en revanche absolument pas enlumière le fait que ces fractions sont des polynômes. C’est en compliquant leur écriture
via une utilisation appropriée de (1.16) que l’on obtient le résultat souhaité, et même
un résultat d’intégralité bien plus général.
Pour finir sur ce thème, mentionnons simplement le cas r = 2, pour lequel notredémonstration de (4.6) fournit l’expression suivante :c(2)n (q) =n    2
X
2j
n
j=0

n

q

j q

n−j

q 2( 2 ) .

(4.7)
(2)

Ces coefficients sont donc des q-analogues des nombres d’Apéry an = cn (1). Commel’explique Strehl dans [120], lorsque q = 1 on peut déduire (4.4) de (4.7) de façonélémentaire. En revanche, notre q-analogue (4.7) ne conduit pas à un q-analogue naturel de (4.4).

4.2

Valeurs de q-zêta aux entiers positifs

4.2.1

Un peu d’histoire

L’étude de l’irrationalité des valeurs de la fonction zêta de Riemann ζ aux entiers
impairs positifs est un problème classique en théorie des nombres. Il est en effet connu
que l’expression des valeurs de ζ aux entiers pairs positifs
ζ(2m) = (−1)m−1 22m−1 B2m

π 2m
(2m)!

permet d’affirmer, via la transcendance de π due à Lindemann, que chacun de ces
nombres est transcendant (ici m ∈ N∗ et les nombres rationnels Bm sont les nombresde Bernoulli). En revanche, concernant l’étude aux entiers impairs positifs, même sila transcendance est conjecturée, le seul résultat significatif fut pendant longtemps
le théorème d’Apéry [17] affirmant que ζ(3) est irrationnel. Plus récemment, Rivoal[99, 100], et Ball-Rivoal [22] ont eu l’idée de considérer les valeurs de ζ aux entiers
impairs positifs dans leur ensemble plutôt qu’individuellement, ce qui leur permit deprouver qu’il existe parmi les nombres ζ(2m + 1), m ∈ N∗ , une infinité de nombres
irrationnels, en donnant la minoration pour A entier pair suffisamment grand :dimQ (Q + Qζ(3) + · · · + Qζ(A − 1)) ≥log A(1 + o(1)).
1 + log 2

La méthode employée a conduit à des versions quantitatives [22, 72, 99, 101], jusqu’à
l’article récent de Zudilin [135] dans lequel il est prouvé qu’au moins l’un des nombres
ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) est irrationnel. Le lecteur intéressé pourra aussi consulter le survol de Fischler [43] sur ce sujet, ainsi que l’article [39] de Conrad-Flajolet, où une

44

applications arithmétiques et diophantiennes

investigation des propriétés d’une famille de fractions continues, dont ζ(3) fait partie,
est entreprise.
Dans [58], nous nous intéressons au q-analogue normalisé de la fonction ζ considéré
d’abord dans [65] et [133], puis plus récemment encore dans [73], et que l’on peut écrirepour s ∈ N∗ et q un nombre complexe tel que |q| < 1 de la façon suivante :ζq (s) =

X

qk

k≥1

X

ds−1 =

d|k

X

k s−1

k≥1

qk
·
1 − qkLe terme de q-analogue est justifié ici par la relation valide pour s ∈ N∗ \ {1} (voir leparagraphe 4.3.1 pour une démonstration) :lim (1 − q)s ζq (s) = (s − 1)!ζ(s) ,q→1Poù bien entendu ζ(s) = k≥1 k1s est l’expression pour Re(s) > 1 de la fonction zêta deRiemann. L’un des intérêts de ce q-analogue de ζ réside dans le fait que les valeurs de ζq
aux entiers pairs positifs sont reliées aux formes modulaires et aux séries d’Eisenstein
E2m (q), m ∈ N∗ , (voir [68, 110]) via la relation :E2m (q) = 1 −4m
ζq (2m) .
B2m

Concernant la transcendance des valeurs de ζq aux entiers pairs positifs, le résultat
définitif est conséquence de la structure de l’espace des formes modulaires sur SL2 (Z)[110] et d’un théorème d’indépendance algébrique sur les séries d’Eisenstein E2 (q),E4 (q) et E6 (q) dû à Nesterenko [90]. En effet, on peut déduire de cela que pourm ∈ N∗ et q algébrique (en particulier 1/q ∈ Z \ {−1; 1}), les nombres ζq (2m) sonttous transcendants.
Ceci conduit naturellement à se pencher sur le cas des valeurs de ζq aux entiers
impairs positifs. Remarquons tout d’abord que malgré l’analogie manifeste entre lesrésultats de transcendance des valeurs de ζ et ζq (1/q ∈ Z \ {−1; 1}) aux entiers pairs
positifs, il n’est aujourd’hui possible d’affirmer l’irrationalité de ζq (3) pour aucune
valeur de q. En fait, seule l’irrationalité de ζq (1) est connue [25] pour diverses valeurs de
q. D’autre part, on sait depuis [97] que 1, ζq (1) et ζq (2) sont linéairement indépendants
sur Q pour 1/q ∈ N\{0, 1}. Dans cette direction, le résultat principal de KrattenthalerRivoal-Zudilin dans [73] affirme que pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1} et A entier pair :dimQ (Q + Qζq (3) + · · · + Qζq (A − 1)) ≥ f (A) ,oùf (A) = max f (r; A)r∈N
1≤r≤A/2

avec f (r; A) :=4rA + A − 4r2

·
24
+
2
A + 8r22π(4.8)

4.2. valeurs de q-zêta aux entiers positifs

45

Cette minoration donne des informations asymptotiques (et donc prouve que pour1/q ∈ Z\{−1; 1}, il y a une infinité de nombres irrationnels parmi les nombres ζq (2m+
1), m ∈ N) via l’équivalent√πf (A) ∼ √A lorsque A → +∞ ,2 π 2 + 12
mais aussi quantitatives. En effet, il suffit de choisir une valeur de A ≥ 4 la plus petite
possible et donnant une dimension supérieure ou égale à 2 (l’idéal serait A = 4, ce qui
montrerait l’irrationalité de ζq (3)). Cependant, il s’avère dans [73] que la valeur minimale exploitable est A = 12, ce qui fournit le résultat suivant : pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1},
au moins l’un des nombres ζq (3), ζq (5), ζq (7), ζq (9), ζq (11) est irrationnel.
Nous verrons dans les deux paragraphes suivants comment retrouver le résultat(4.8), puis comment le raffiner de manière tangible en démontrant une conjecture desq-dénominateurs via la formule d’Andrews (1.16).

4.2.2

Construction de formes linéaires

Dans [58], nous retrouvons le résultat (4.8) par la même méthode que celle de [73],mais en utilisant des séries hypergéométriques basiques très bien équilibrées, différentes
des séries de [73]. L’idée de la démonstration repose sur la proposition suivante, qui
est un cas particulier du critère d’indépendance linéaire de Nesterenko [89].
Proposition 4.9 (Nesterenko) Soient un entier N ≥ 2 et des réels v1 , . . . , vN . Supposons qu’il existe N suites d’entiers (pj,n )n≥0 et des réels α1 et α2 avec α2 > 0 telsque :1i) lim 2 log |p1,n v1 + · · · + pN,n vN | = −α1 ,n→+∞ n1ii) pour tout j ∈ {1, . . . , N }, on a lim sup 2 log |pj,n | ≤ α2 .
nn→+∞Alors la dimension du Q-espace vectoriel engendré par v1 , . . . , vN vérifie :α1dimQ (Qv1 + · · · + QvN ) ≥ 1 +·α2Remarque 4.10 Si en plus des hypothèses de ce critère on connait un facteur com1
mun δn aux pj,n , et si lim 2 log |δn | existe et vaut δ (< α2 ), alors en considérant
n→+∞ nles nouvelles suites d’entiers (pj,n /δn )n≥0 , on obtient :
α1 + δ
α1dimQ (Qv1 + · · · + QvN ) ≥ 1 +≥1+
si α1 > 0 .
α2 − δ
α2Afin d’exploiter le critère de Nesterenko dans notre contexte, l’idée principale consisteà analyser la série hypergéométrique basique suivante :S̃n (q) := (q)nA−2r

Xk≥1(1 − q 2k+n )(q k−rn , q k+n+1 )rn k(A−2r)n/2+kA/2−kq,(q k )A
n+1

46

applications arithmétiques et diophantiennesoù |q| =6 1, A est un entier pair et r ∈ N∗ est tel que A > 2r.
Remarque 4.11 On peut aussi écrire cette série sous la forme suivante :S̃n (q) = q (rn+1)((A−2r)n/2+A/2−1) (1 − q n+2rn+2 )(q)A−2rn(q, q n+rn+2 )rn(q rn+1 )A
n+1



√
√
a, q a, −q a, q rn+1 , . . . , q rn+1
(A−2r)n/2+A/2−1√ (r+1)n+2,
× A+4 φA+3 √;q,qa, − a, q, . . . , q (r+1)n+2
avec a = q (2r+1)n+2 , ce qui montre que S̃n (q) est une série hypergéométrique basiquetrès bien équilibrée.
La première étape est une réécriture de S̃n (q), sous forme d’une combinaison linéaire
en les ζq (2m + 1), m ∈ N∗ , ce qui est rendu possible par la structure et les symétries
de cette série :A−1XS̃n (q) = P̂0,n (q) +P̂j,n (q)ζq (j) .
j=3
j impairIci, on a |q| < 1, A est pair et les P̂j,n (q) font intervenir les nombres de Stirlingde première espèce sans signe (voir [117]), et sont à priori dans Q(q), c’est-à dire desfractions rationnelles en q (donc aussi en 1/q), à coefficients dans Q. Dans un deuxièmetemps, on cherche un dénominateur commun Dn (q) à ces fractions rationnelles en 1/q,vérifiant : 
1Dn (q)P̂j,n (q) ∈ Z∀j ∈ {0, 3, 5, . . . , A − 1} .
q
Un tel dénominateur prend ici la forme :2

Dn (q) = (A − 1)! q bαn +βn+γc dn (1/q)A ,où dn (q) est le plus petit multiple commun des polynômes q − 1, . . . , q n − 1 et α =−A/8−r2 /2. Les outils utilisés pour exprimer ce dénominateur sont la formule de Leibniz de dérivation d’un produit de fonctions et la formule de dérivation de Faà di Bruno,
associées à des regroupements de termes adéquats. Lorsque 1/q ∈ Z\{−1; 1}, pour appliquer la Proposition 4.9 à la combinaison linéaire à coefficients entiers Dn (q)× S̃n (q),il ne reste qu’à déterminer l’asymptotique (lorsque n → +∞) de S̃n (q), P̂j,n (q) et
Dn (q). Ceci peut se faire grâce d’une part au fait que la série S̃n (q) est construite pourque ses premiers termes soient nuls, et d’autre part aux outils classiques de théorie
analytique des nombres et à la formule de Cauchy. Notons au passage que l’estimation
asymptotique de dn (q), essentielle pour l’asymptotique du dénominateur Dn (q), a étéétablie dans [32] et [121] via l’inversion de Möbius.
Tout ceci nous permet dans [58], pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1}, d’appliquer la Proposition 4.9 à la combinaison linéaire à coefficients entiers :Dn (q) × S̃n (q) = Dn (q)P̂0,n (q) +

A−1
X
j=3
j impairDn (q)P̂j,n (q) ζq (j) ,4.2. valeurs de q-zêta aux entiers positifs
avec les valeurs
α1 = −et47

A 3A Ar 3r2
+ 2 −
+
8
π
2
2


α2 =

A
3A
+ r2 + 2
4π
log |1/q|log |1/q| .

On trouve donc
dimQ (Q + Qζq (3) + Qζq (5) + · · · + Qζq (A − 1)) ≥ 1 +α1
4rA + A − 4r2

= 24
,
α2
+ 2 A + 8r2
π2

redémontrant ainsi la minoration (4.8).

4.2.3

Une amélioration tangible

Nous démontrons dans [58] le raffinement suivant du résultat de KrattenthalerRivoal-Zudilin.
Théorème 4.12 Pour 1/q ∈ Z\{−1; 1} et tout entier pair A ≥ 4, on a la minoration :dimQ (Q + Qζq (3) + · · · + Qζq (A − 1)) ≥ g(A) ,oùg(A) = max g(r; A)r∈N
1≤r≤A/2

avec g(r; A) :=(4.9)

4rA + A − 4r2,24+ 2 A − π242 + 8r2
π2√
πA lorsque A → +∞.
g(A) vérifiant g(A) ∼ √2 π 2 + 12
On remarque ainsi qu’asymptotiquement, g se comporte comme f via l’égalité
g(A)
f (A)
π
√ = lim √ = √
·
2
A→+∞
A→+∞
2 π + 12A
A
lim

Cependant, pour toute valeur fixée de A, ce premier théorème améliore la minorationde [73] puisque g(A) > f (A) (car g(r; A) > f (r; A)). L’amélioration la plus probanteconséquente au Théorème 4.12 est donnée par la version quantitative suivante.
Théorème 4.13 Pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1}, au moins l’un des nombres ζq (3), ζq (5),ζq (7), ζq (9) est irrationnel.
La démonstration du Théorème 4.12 passe par une amélioration du dénominateur
commun Dn (q) donné au paragraphe précédent : nous formulons, puis démontrons, uneconjecture des q-dénominateurs qui fournit un nouveau dénominateur commun D̃n (q)divisant Dn (q). La minoration (4.15) du Théorème 4.12 est obtenue via l’estimation
asymptotique de δn := Dn (q)/D̃n (q) (voir la Remarque 4.10 qui suit la Propriété 4.9).

48

applications arithmétiques et diophantiennes

Remarque 4.14 Pour démontrer directement le Théorème 4.13, le critère de Nestenrenko n’est pas nécessaire. Il suffit en effet d’obtenir une estimation asymptotique de lacombinaison linéaire à coefficients entiers D̃n (q) × S̃n (q), 1/q ∈ Z \ {−1; 1}, en ζq (3),ζq (5), ζq (7) et ζq (9) (avec les choix A = 10 et r = 2). Il n’est donc pas nécessaire deborner la hauteur des coefficients de la combinaison linéaire, ceci n’est utile que pourl’indépendance linéaire.
Le Théorème 4.12 est une conséquence du résultat suivant, qui est l’expression de notre
conjecture des q-dénominateurs, montrant qu’en fait on peut gagner une puissance dedn (1/q) dans le dénominateur commun aux P̂j,n (q). Il suffit de prouver que cela est
vrai pour P̂0,n (q), car les dénominateurs des autres P̂j,n (q) (j ≥ 1) divisent tous celuide P̂0,n (q).
Théorème 4.15 Soient A entier pair et r ∈ N∗ tel que A − 2r > 0. Soit α = −A/8 −r2 /2 ; il existe β et γ réels ne dépendant que de A et r tels que : 
12
q bαn +βn+γc dn (1/q)A−1 P̂0,n (q) ∈ Z.
q
La démonstration de ce résultat passe, quant à elle par l’utilisation déjà mentionnéede la formule d’Andrews (1.16), et des décompositions en briques permettant de fairede l’arithmétique des polynômes cyclotomiques, et d’utiliser la formule de Leibniz dedérivation d’un produit de fonctions.

4.3

Extension à d’autres fonctions L

4.3.1

Des q-analogues des séries de Dirichlet

Rappelons qu’un caractère de Dirichlet χ est une application multiplicative de Ndans {−1; 1} (voir [68]), et que la série de Dirichlet associée au caractère χ est définiepar :X χ(n)Lχ (s) =,(4.10)nsn≥1

qui est une série convergente pour Re(s) > 1. La fonction zêta de Riemann correspondalors au caractère trivial χ ≡ 1. Notons que nous nous intéressons ici uniquement
aux valeurs de telles séries aux entiers positifs, les valeurs de leurs prolongements
analytiques aux entiers négatifs étant étudiées par exemple par Lovejoy-Ono dans [80],à l’aide d’identités de q-séries. Dans l’idée de généraliser la définition des q-analogues
des valeurs de la fonction zêta aux entiers positifs mentionnés au paragraphe précédent,
posons pour |q| < 1 et Re(s) > 1 :X X
Lχ (s, q) :=qk
ds−1 χ(k/d) .
(4.11)
k≥1

d|kAfin d’examiner les propriétés des valeurs aux entiers s de telles fonctions, on peut, ens’inspirant de [65, 73], prouver la propriété suivante, qui justifie notre construction.

4.3. extension à d’autres fonctions l49

Proposition 4.16 Soient s ≥ 1 un entier et |q| < 1 un nombre complexe. Alors ona:lim (1 − q)s Lχ (s, q) = (s − 1)!Lχ (s) .
q→1

Démonstration. Rappelons la définition des nombres de Stirling de deuxième espèce(voir [117]), qui sont les entiers notés S(s, j) (où s et j sont des entiers tels que
1 ≤ j ≤ s) vérifiant :
xs =

s
X

(−1)s−j S(s, j)x(x + 1) · · · (x + j − 1) .

j=1

En partant de la définition (4.11), et en remplaçant k par md puis d par k, on peutécrire pour s ≥ 2 :Lχ (s, q) =XX

q mk k s−1 χ(m)k≥1 m≥1=X(k + 1)s−1

q m(k+1) χ(m)

m≥1

k≥0

=

X

XX

q m(k+1) χ(m)j=1

k≥0 m≥1

=

s−1
X

s−1
X



k+j
(−1)s−1−j S(s − 1, j)j!
j(−1)s−1−j S(s − 1, j)j!

j=1

X

χ(m)

m≥1

qm
·
(1 − q m )j+1

(4.12)

Mais dans cette dernière expression, il est clair qu’à j fixé, si on multiplie la somme surm par (1 − q)j+1 et on fait tendre q vers 1, alors on obtient Lχ (j + 1, q). Ceci montre
que si on multiplie (4.12) par (1 − q)s , on obtient le résultat souhaité pour s ≥ 2. Dansle cas où s = 1, le résultat est évident dans la mesure où on peut écrire :Lχ (1, q) =XX

q mk χ(m) =k≥1 m≥1

4.3.2

X
m≥1

qm
χ(m) .
1 − qmCas particulier d’un caractère modulo 4

Dans ce paragraphe, nous nous intéressons au caractère de Dirichlet χ modulo 4,
défini par χ(2m + 1) = (−1)m et χ(2m) = 0. La série de Dirichlet correspondante est
alors notée β et parfois appelée fonction beta de Dirichlet, définie pour Re(s) ≥ 1 par :
∞
X
(−1)k
β(s) =·(2k + 1)sk=0

50

applications arithmétiques et diophantiennes

Euler a prouvé que :β(2m + 1) =(−1)m E2m 2m+1π,
22m+2 (2m)!

où m est un entier positif ou nul
Pet les nombres rationnels E2m sont les nombres
d’Euler, définis par 1/ cosh(z) = k≥0 Ek z k /k!. Ainsi, comme pour les valeurs de lafonction zêta de Riemann aux entiers pairs positifs, on peut affirmer via le théorème de
Lindemann que pour m ∈ N, β(2m + 1) est un nombre transcendant. Pourtant, rien desimilaire ne peut être affirmé aux entiers pairs positifs ; les meilleurs résultats connusà ce jour dans cette direction étant dûs à Rivoal-Zudilin dans [103] : au moins l’undes nombres β(2), β(4), . . . , β(12) est irrationnel, et il existe une infinité de nombres
irrationnels parmi β(2), β(4), . . . .
Le q-analogue correspondant à (4.11) est noté ici βq et s’écrit pour tout s ∈ N∗ :βq (s) =XXχ(k/d)ds−1 q k =Xk≥1

k≥1 d|k

k s−1

qk
·
1 + q 2k

(4.13)

Comme pour les valeurs aux entiers pairs positifs dans le cas du caractère trivialχ ≡ 1 correspondant à ζq , notre définition (4.13) est liée aux formes modulaires lorsques est un entier impair positif. Pour s = 1, on a en effet :βq (1) =XX(−1)m q (2m+1)k =k≥1 m≥0

X
m≥0

(−1)m

q 2m+1·
1 − q 2m+1

(4.14)

Ceci montre que βq (1) = (πq − 1)/4, où πq est un q-analogue de π. La série πq a étéconsidérée dans [33, 34], où un majorant de son exposant d’irrationalité a été donné.
On a en fait aussi (voir [33]) :βq (1) =

X
k≥1

qk

X
d|k

χ(k/d) =θ2 (q) − 1,
4P2où θ(q) := n∈Z q n est la fonction thêta classique (que l’on retrouve en spécialisantles fonctions thêtas de Ramanujan définies dans l’introduction). Ceci montre que sil’on pose q = e2iπz , alors βq (1) est, à une constante rationnelle près, le développement
en série de Fourier d’une forme modulaire de poids 1 sur Γ1 (4) (voir [68]). De plus,
comme il est remarqué dans [33], le théorème d’indépendance algébrique de Nesterenko
dans [90] implique que θ(q), et donc βq (1), est un nombre transcendant lorsque q est
algébrique tel que 0 < |q| < 1.
Concernant les autres valeurs aux entiers impairs positifs, on voit que pour s ≥ 1 et
q = e2iπz , βq (2s + 1) est aussi le développement en série de Fourier, avec des coefficients algébriques, d’une forme modulaire de poids 2s + 1 sur Γ1 (4). Plus précisément,

4.3. extension à d’autres fonctions l51

considérons la série d’Eisenstein de niveau 4 [68] :
X
1
(1,0)
G2s+1 (z) :=·(m1 z + m2 )2s+1
2(m1 ,m2 )∈Z(m1 ,m2 )≡(1,0) mod 4

Alors on a le développement :(1,0)

G2s+1 (z) =i  π 2s+1 X X
χ(k/d)d2s q k/4 .
(2s)! 2k≥1 d|kAinsi
βq (2s + 1) = i(−1)s+1

E2s
(1,0)
G
(4z) ,2β(2s + 1) 2s+1

(1,0)

et il n’est pas difficile de voir que z 7→ G2s+1 (4z) est une forme modulaire de poids 2s+1
sur Γ1 (4). Nous expliquons dans [59] comment appliquer le théorème d’indépendancealgébrique de Nesterenko (le résultat de [90] déjà mentionné au paragraphe 4.2.1) à desformes modulaires sur des sous-groupes de congruences (comme par exemple Γ1 (4)),
pour montrer la proposition suivante.
Proposition 4.17 Pour s ∈ N et q un nombre algébrique tel que 0 < |q| < 1, lenombre βq (2s + 1) est transcendant.
Il est intéressant de faire l’analogie entre cette propriété et la transcendance des valeursde la fonction β de Dirichlet aux entiers impairs positifs, ainsi qu’à celle des valeursde la fonction ζq aux entiers pairs positifs.

4.3.3

Résultats diophantiens aux entiers pairs positifs

On considère maintenant les valeurs aux entiers pairs positifs, en commençant parle cas s = 2. Ce cas particulier
a son importance, puisque β(2) est la constante deP
Catalan, définie par G := k≥0 (−1)k /(2k + 1)2 = β(2). Comme nous l’avons déjà vu,
il existe de nombreuses similarités entre les comportements diophantiens des valeursde la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs positifs et celles de la fonction beta
de Dirichlet aux entiers impairs positifs. Pourtant, aucune analogie avec le célèbrerésultat d’Apéry ζ(3) ∈/ Q dans [17] n’a encore été établi aujourd’hui pour G. En
effet, les formes linéaires construites par Rivoal-Zudilin dans [103] ne montrent pas
l’irrationalité de G. De plus, même la conjecture des dénominateurs formulée dans[103] ne donne pas la nature arithmétique de G. Signalons que cette conjecture desdénominateurs a été prouvée dans [102] via les approximants de Padé, puis de façonsimplifiée par des formules de transformations de séries hypergéométriques dans [74].
Même si ce n’est pas complètement évident à première vue, on peut écrire à l’aidede (4.12) :X
q 2k+1
βq (2) =(−1)k,(1 − q 2k+1 )2
k≥0

52

applications arithmétiques et diophantiennes

ce qui exprime que βq (2) est le même q-analogue de G que celui proposé à la fin de[34]. Plutôt que de considérer les valeurs aux entiers pairs positifs individuellement,
qui ne semblent pas directement reliées aux séries d’Eisenstein, on montre dans [59] lerésultat suivant.
Théorème 4.18 Pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1} et tout entier impair A ≥ 3, on a la minoration :dimQ (Q + Qβq (2) + · · · + Qβq (A − 1)) ≥ h(A) ,(4.15)où
h(A) = max h(r; A)r∈N
1≤r<A/2et h(r; A) :=4rA + A − 4r2·48+ 2 A + 8r2 − π162 + 16r
3
π2

√
π
De plus h(A) vérifie h(A) ∼ √A lorsque A → +∞ .
22 π + 24
L’estimation asymptotique ci-dessus donne immédiatement le corollaire suivant.
Corollaire 4.19 Pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1}, il y a une infinité de nombres irrationnels
parmi βq (2), βq (4), βq (6),. . ..
D’autre part, l’estimation h(3; 21) ≥ 1, 02... fournit la version quantitative suivante.
Corollaire 4.20 Pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1}, au moins l’un des nombres βq (2), βq (4),βq (6),. . . , βq (20) est irrationnel.
Notre méthode de démonstration du Théorème 4.18 dans [59] fait de nouveau
appel à un cas particulier du critère d’indépendance linéaire de Nesterenko [89], un
peu différent de celui utilisé au paragraphe 4.2.2 pour ζq . On considère ici aussi unesérie hypergéométrique basique très bien équilibrée, qui a cette fois la forme suivante :Sn (q) := (q)A−2rnX(−1)k+1 q (k−1/2)((A−2r)n/2+A/2−1) × (1 − q 2k+n−1 )k≥1(q k−rn , q k+n )rn,(q k−1/2 )An+1où A est un entier et r ∈ N∗ est tel que A − 2r > 0. On écrit dans un premier temps
Sn (q 2 ) comme une combinaison linéaire en les βq (2m), m ∈ N∗ :Sn (q 2 ) = P0,n (q 2 ) +A−1
X

Pj,n (q 2 )βq (j) ,j=2
j pairoù |q| < 1, A et n sont des entiers positifs impairs et Pj,n (q 2 ) est une fraction rationelleen la variable q (donc 1/q) à coefficients dans Q. Dans un deuxième temps, on cherche
un dénominateur commun, que nous appellerons aussi Dn (q), à ces fractions en lavariable 1/q, vérifiant : 
12pour tout j ∈ {0, 2, 4, . . . , A − 1} .
Dn (q)Pj,n (q ) ∈ Z
q

4.3. extension à d’autres fonctions l

53

Le dénominateur Dn (q) est ici plus compliqué que dans le cas des valeurs de ζq
aux entiers impairs, ce qui implique quelques difficultés arithmétiques et asymptotiques
supplémentaires. On parvient cependant à prouver dans [59] que pour 0 < |q| < 1, ona:1

1log |Sn (q)| = − r(A − 2r) log |1/q| ,2
1
1
lim sup 2 log |Pj,n (q)| ≤(A + 4r2 ) log |1/q| ,8n→+∞ nn impair


A
4r
1
12
8
2
log |Dn (q)| =lim+ r + 2 (A − 1) ++ 2 log |1/q| ,n→+∞ n2
4
π
3
π
lim

n→+∞ n2ce qui nous permet d’utiliser le critère de Nesterenko, puis de prouver (4.15).
√√
L’estimationh(A) ∼ π A/2 π 2 + 24 pour A →√+∞, est√√ obtenue en choisissantr = u A et en trouvant la valeur maximale de h(u A; A)/ A en la variable u.

4.3.4

Une conjecture des q-dénominateurs

Pour conclure, nous énonçons dans [59] une conjecture des q-dénominateurs, baséesur des expérimentations informatiques, et sur le cas de ζq que nous avons considérédans [58]. Cette conjecture peut s’exprimer comme suit, en reprenant les notations duparagraphe précédent, et en ajoutant la définition :ϕn (x) := φ2 (x)n φ4 (x)bn/2c · · · φ2n (x),où pour Q
tout entier positif t, φt (x) est le t-ième polynôme cyclotomique, défini parφt (x) := k∧t=1, k≤t (x − e2ikπ/t ).
Conjecture 4.21 Soient n et A deux entiers positifs, et soit r ∈ N∗ tel que A−2r > 0.
Pour α = −A/4 − r2 , il existe des nombres réels β et γ ne dépendant que de A et r
tels que si l’on pose :2D̃n (q) := (A − 1)! q bαn +βn+γc ϕn (1/q)2r d2n (1/q)A−1 ,alors on a : 1D̃n (q)Pj,n (q ) ∈ Z∀j ∈ {0, 2, 4, . . . , A − 1} .
q
2

Cette conjecture devrait certainement se prouver en utilisant des formules de transformations de séries hypergéométriques basiques, comme dans [58]. Cependant, démontrer
ceci impliquerait que pour 1/q ∈ Z \ {−1; 1} et tout entier impair A ≥ 3 :dimQ (Q + Qβq (2) + · · · + Qβq (A − 1)) ≥ h̃(A) ,54

applications arithmétiques et diophantiennesoùh̃(A) = max h̃(r; A)r∈N
1≤r<A/2et h̃(r; A) :=4rA + A − 4r2·48+ 2 A + 8r2 − π482 + 16r3
π2

Malheureusement, au contraire du cas de ζq , ceci ne donne pas de raffinement de laversion quantitative dans le Corollaire 4.20. En effet, bien que h̃(A) > h(A) pour tout
A, on a 1 > h̃(19) ' 0.988 > h(19) ' 0.973 et h̃(21) ' 1.042 > h(21) ' 1.028 > 1.

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