2011年01月17日(月) 13:00-14：30 S2Y
平成22年度 工V系(社会環境工学科) 第13回 電磁気学Ⅰ
天野 浩
項目
アンペアの周回積分 ビオ・サバールの法則•定常電流の周りに生じる磁界及び磁束密度を求めるための、アンペアの周回積分及び オ サアの周回積分及びビオ・サバールの法則を学習します。
ルの法則を学習します。

アンペアの右ねじの法則
右ねじの進行方向に電流が流れると、その周りにねじの回転方向に磁界が生じる。

電流I

磁界H

磁界
磁界H

磁界H
電流I
電流I

電流の周りの磁界
1820.7.21
エルステッドルステッド (Hans Christian Oerested)

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%94%BB%E5%83%8F:%C3%98rsted.jpg
http://www.gijyutu.com/kyouzai/denki/eru.html

電流の周りの磁界
1820.9.18
1820
9 18 アンペア (Andre(A d MarieM i Ampere)A)
アンペアの法則
力
電流11m
1[m：メートル]間隔の平行な2本の電線に、どちらにも同じ大きさの電1[mメ トル]間隔の平行な2本の電線に どちらにも同じ大きさの電流が同じ方向に流れているとき、引き付け合う力が電線1[m]あたり、2×10-77[N：ニュートン]のときの電流が1[A：アンペア][N：ニュ トン]のときの電流が1[A：アンペア]⇒1[A]の電流が1[s：秒]に運ぶ電気量を1[C：クーロン]と呼ぶ。
SI単位系での[A]の定義

ローレンツ力でアンペアの実験を考える。
I1

I2

電荷q[C]
速度v[m/s]r

アンペアの法則より、電流Iアンペアの法則より
電流I1によっによて、r[m]離れた点に作る磁界は

I1[ A / m]2r
空気中ならば透磁率はほぼ0H

1[C]の電荷が速度1[m/s]で運動している時の電流が1[A]
電荷q[C] 速度 [m/s]ならば電荷q[C]、速度v[m/s]ならばI2=q×v
加わる力は 
0f  qv  B  I 2 I 1[ N ]2r

電流の周りの磁界
1820.10.30
1820
10 30 ビオとサバ
ビオとサバールル (Biot,(Biot Jean Baptiste+F.
Baptiste+F Savart)
ビオ・サバールの法則

Biot,Félix
é SSavart
Jean-Baptiste 1791-1841
１774
1862
１774-1862

 Ids  r
dH 
34r

http://www.f-denshi.com/000sokJwaJo//32denjk/090elc.html

http://aprender-mat.info/history/photos/Biot.jpeg

http://www.ulike.net/Felix̲SavartBart磁束密度Bの定義
速度vで運動する電荷qに対して、F=qv×Bの力(ローレンツ力)
速度運動する電荷対力力を与える磁気的な場を表す。
単位＝［Ｔ］(テスラ)＝［Wb/m２］［Ｗｂ］ウ［Ｗｂ］ウェーバー：磁束の単位
バ 磁束の単位
単磁荷は存在しない →   B  0
ガウスの定理 (  B)dV   B dS  0 (VS

Q13-1 Wb T A H(ヘンリー)それぞれの関係を求めなさい。

磁束密度の単位テスラTと磁束の単位Wbは

Wb[T ]  [ 2 ]m
B=H
また、の単位は、ヘンリーをつかうと
従ってWb  H A   H  A [T ]  [ 2 ]       2 m m m  m [Wb]  [ H  A]H 
 m 

電流が作る磁界の正確な公式化・・・ビオ・サバールの法則 
Ids  rdB   0[[TT]34r
I sin dB   0ds[T ]24r Ids  rdH [ A / m]34r

Bの向きは、dsおよびｒに垂直方向

Q13－2 無限の直線状導体を流れる電流I[A]が、導体からr［m］だけ離れた点Pに作る磁界Hを求めなさい。
注意  注意！

 Ids  
ビオサバールの法則 dH 
[ A / m]34
積分で常に最初に気をつけるのは微小量Irds  sin     d  d r  dds ssin  ssin 2 Plds  Ids   sin   I sin ds  I sin 3  rdH   dH   2322444rsin 0I sin d 

4r 0I2r[ A / m]

アンペアの周回積分の法則

ISr

d

電流Iが流れている無限の直線状導体が、距離r［m］の点に作る磁界H［A/m］は、IH
[ A / m]2r
逆に考えると、半径r上の磁界の強さはすべて同じなので、  H  d  I

磁界を周回積分すると、その中を流れる電流に等しい。

電流密度jとの関係

   H  d   j  dS  I
電流が複数の場合

  H  d  I [ A]

鎖交
電流が積分路を何回通過するか→何回鎖交するか?
I H  d  II

 H  d 3  I

Q13－3 無限の直線状導体を流れる電流I[A]が、導体からr［m］だけ離れた点Pに作る磁界Hを求めなさい。

 H  d I2Ir H  d  H  rd  2rH I

P0H

lI2r

[ A / m]ds

Q13－4 下の図のように半径a[m]の円電流Iが、距離d[m]離れた中心軸上に作る磁界Hを求めなさい。
I Ids  r
[ A / m]dH 34radds
IarddH

A
I

Q13-5 左図のように3本の無限平行導線
A,B,CがAC=BC=a[m]、∠C=90°となるように配置されている。 電流I[A]が、図のように同方向に流れるとすると、各導線に単位長さ当たりに働く力を求めなさい。

aBCa
三つの導線の断面図

f  0 I1  I 2[N ]
2 r

Af 

 0 I1  I 2
[N ]
2 r

導線AとBに加わる力は同じ
BC

0 I 2
5 0 I 2 5f A  fB 
2
[ N / m]22a 22 2a
導線Cは

0 I 2
0 I 2fC 
 2
[ N / m]2a2aQ13-6 巻き数が単位長さ当たりn回のコイルに、電流Ｉ[A]が流れている時の磁界Hを求めなさい。
コイルの導線
アンペールの法則
アンルの法則筒断面図

 H  d I

Q13-6 巻き数が単位長さ当たりn回の無限コイルに、電流Ｉ[A]が流れている時の磁界Hを求めなさい。

H1
この図では、上下方向の磁界は零H2
Hout
１．コイル内部の積分路の場合積分路に鎖交する電流はないので、コイル内部の磁界は一定
２．コイル外部の積分路の場合

 H  d 0 H ＝H
12無限コイルの場合、外部に磁界は漏れない。 Hout=0
Q13-6 巻き数が単位長さ当たりn回の無限コイルに、電流Ｉ[A]が流れている時の磁界Hを求めなさい。

H1H2
上記のように、導線にまたがる積分路の場合

 H  d nI
H1  nI [ A / m ]コイル内部の磁界は nI[A/m]Q13-7 図のような合計巻数がNの環状ソレノイドのソレノイド内部の磁界を求めなさい。

問題12-3において、単位長さ当たりn回の場合 H=nIだったので、

HN I[ A / m]2r

磁束は[Wb] 磁束密度はB[T=Wb/m2] 磁界はH=B/[A/m]

Q13-8
Q138 図のように同一平面上に無限直線導線と長方形のコイルがあ図のように同 平面上に無限直線導線と長方形のコイルがある。長方形のコイルに鎖交する全磁束[Wb]を求めなさい。
dr

I [A]

d[m]

b[m]r

無限直線導体電流による長方形コイル
内磁界はI
H  1 [ A / m]2r
微分磁束は d   0a[m]

bI1
dr2r

鎖交する全磁束はd a   0dbI1bI
d adr   0 1 ln()[Wb]2r2d本日のまとめ• 8問中何問正解したか？
• アンペアの周回積分の法則をまとめなさい。
• ビオ・サバールの法則とアンペアの周回積分の法則の関係をまとめなさい。
めなさい