関孝和と大成算経東京女子大学 長田 直樹 (Naoki Osada)Tokyo Woman’s Christian University

はじめに

1

関孝和が『大成算経』編纂にあたりいかなる役割を果たしたかについては不明なことが多い。当事者の『大成算経』についての直接の言及があるのは、建部賢明『建部氏伝記』と建部賢弘『綴術算経』にすぎない。本研究では、『大成算経』、『建部氏伝記』、『綴術算経』と関孝和が建部賢弘著『研幾算法』『発微算法演段諺解』に寄せた跋文、および関孝和編とされるいくつかの写本を手がかりに、関孝和と『大成算経』の関係を調べることにする。
『綴術算経』には「關氏」「關子」「孝和」の記述が十四箇所ある。これらのうちの十一カ所は『大成算経』巻之十二と巻之十三に関連している。(詳細は付録に載せる。) 巻之十二と巻之十三には、関の導出と考えられる球の表面積と球の体積の公式が採録されている。そこで、球の表面積と体積について『立円率解』、『解見題之法』、『求積』、『大成算経』と『綴術算経』の記述を比較することにより、『大成算経』巻之十二と巻之十三の原著者を推定する。
さらに『求積』と『大成算経』巻之十三に現れるいくつかの字句を照合することにより、『求積』と巻之十三の関係を明らかにする。その結果、巻之十三の成立過程と『大成算経』における関孝
和の役割についても推測することが出来る。

2『大成算経』編纂における関孝和

2.1

建部賢明『建部氏伝記』『大成算経』の編纂について建部賢明『建部氏伝記』(1715) の自伝「建部隼之助賢明伝」に
凡倭漢ノ數學、其ノ書最モ多シトイヘトモ、未タ釋鎖ノ奥妙ヲ盡ササル事ヲ歎キ、三士 (関孝和、建部賢明、建部賢弘) 相議シテ、天和三 (1683) 年ノ夏ヨリ、賢弘其首領ト
成テ、各新ニ考ヘ得ル所ノ妙旨悉ク著シ、就テ古今ノ遺法ヲ盡テ、元禄ノ中年 (1690年代) ニ至テ編集ス。總十二巻、算法大成ト號シテ粗是ヲ書寫セシニ、事務ノ繁キ吏ト
成サレ、自ラ其微ヲ窮ル事ヲ得ス。
[8]とある。2.2 節で述べる関の跋文、2.3 節で述べる関の草稿の年紀などから、『大成算経』の編纂が開始されたのは天和三 (1683) 年夏と判断して間違えないであろう。

2.2『研幾算法』『発微算法演段諺解』に寄せた関孝和の跋文『大成算経』の編纂についての関の意図は、建部賢弘が刊行した『研幾算法』(1683) と『発微算法演段諺解』(1685) に寄せた関孝和の跋文から、窺い知ることができる。
閲之悉發揮一理貫通之玅㫖矣寔解難之標準也凡數至直之道也毫釐謬則差以千里焉頃年
耳爲邪説而惑世誣民之徒甚夥矣學者當詳察而巳『研幾算法』跋 [9]1表 1: 関孝和編の年紀のある数学の稿本
西暦

和暦

1680
1683

延宝八年

『立円率解』(七月龔書)天和三年『方陣之法・圓攅之法』(六月訂書)『拾遺諸約之法・翦管術解』(六月重訂) 『角法並演段図』(八月重訂)『解伏題之法』(九月重訂)

1685

貞享二年

『解隠題之法』(八月龔書) 『開方翻變之法』(十一月重訂) 『病題明致之法』(十一月重訂)『題術辯議之法』(十二月)

1686

数学の稿本

けみす

これを 閲 るに、ことごとく一理貫通の妙旨を発揮す。まことに難きを解くのこれ標準
ごうり

あやま

たがふ

なり。およそ数は至直の道なり。毫釐も 謬 るときには、 差 こと、千里をもってす。
しひ

おびただ

頃年邪説をなして世を惑はし、民を 誣るの徒、はなはだ 夥 し。学者、まさに詳察すべきのみ。
ナニノタメソヤ

コトコトク

筭學 ハ 何 爲 乎學 ブナリ
難題易題 盡 无 ノ
不 レ 明之術 ヲ也雖 二 説 クコト
理 ヲ 高尚 ナリト
解
下
レ
上
レ
一
ノ
クコト
レ

ナリ

術 ヲ 迂闊 ナル 者 ノハ 乃 シ 筭斈之異端 也
なに

ため

ことごと

『発微算法演段諺解』跋 [10]

あかさ

なき

算学は 何の 為ぞや。難題、易題、 尽 く 明 ざるということ 無術を学ぶなり。理を説
うかつ

すなは

くこと高尚なりといへども、術を解くこと迂濶なるのは、 乃 ち算学の異端なり。
関は、難易を問わずあらゆる問題に対し、理を明らかにし解術を与えることができる数学、一つの理が貫通している数学を纏めることを目的としていた、と考えられる。

2.3

関孝和編の稿本

関孝和編として年紀の入った数学の稿本は表 1 に示すように、『立円率解』を除き、天和三年夏
秋冬と貞享二年秋冬に訂書、重訂あるいは龔書している。貞享元 (1684) 年は検地の仕事で時間が取れなかったものと思われる。
天和三年と貞享二年の稿本は、『角法並演段図』を除き題名はすべて『○○○之法』である。これらは『算法大成』の草稿として書かれたのであろう。
下平和夫は「この『大成算経』を完成させるために、各自の論文を整理した、というのであるか
ら関孝和の多くに天和 3(1683) 年、貞享 2(1685) 年の年紀があるのは偶然ではなく、この『大成算経』の編集のための準備でなかったかと思える。すなわち『訂』とか『重訂』があるのもうなずける。
」[20] と述べている。下平のこの指摘は、関の著作と『大成算経』との関連についての、筆者の知る限り最初のものである。

2.4

関孝和は「考検熟考スル事能ハス」だったか

建部賢明は『建部氏伝記』において、2.1 節の引用部分に続き

2

孝和モ又老年ノ上、爾歳病患ニ遭ラレテ考検熟考スル事能ハス。是ニ於テ同十四 (1701)
年ノ冬ヨリ、賢明官吏ノ暇ニ躬ラ其思ヲ精スル事一十年、廣ク考ヘ詳ニ註シテ二十巻
ト作シ、更ニ大成算経ト號テ、手親ラ草書シ畢レリ。
[8]と書いている。「孝和モ又老年ノ上爾歳病患ニ遭ラレテ考検熟考スル事能ハス」について検討する。
真島秀行は「元禄十四年以降は御勘定頭差添筋となり、始めは勘定頭の補助的な仕事であったものが、後には勘定吟味役として代官の不正なども検挙する立場となり激務であったと考えられる (賢明は、病気のため数学を考えられなくなっていたと描写するが、最後は病気だったとしてもそれに至る過程では多忙であった、ということであろう)。」[17] との見解を述べている。
下平は「爾歳」を「その年」と解し、「関孝和が『その年は病気にかかり、数学を考えることが出来ない』ということをどう考えるか。あるいは 55 歳という年齢であるから、そう言ってもおかしくはない。関孝和の病気がそれほど長くなかったことは、『天文数学雑著付二十四気昼夜刻数』(1699) などを著していることを考えれば良いであろう。」[20] と『建部氏伝記』の記述を解釈している。
下平が言及している『二十四気昼夜刻数』の写本は、狩野文庫『数学雑著』[5] の冒頭に合綴されている。(『数学雑著』の書誌学的検討は小林龍彦 [14, pp.88-104] が行っている。) 『二十四気
かくとん

昼夜刻数』の序文に年紀「元祿己卯 (1699) 雨水日革墩藤子豹書」がある。 革 墩の原意は革製の太鼓の形をした腰掛けと思われるが、真意は不明である。藤原松三郎は子豹を関孝和の字 [23, p.131]とし、小林は藤子豹を関孝和の号 [14] としている。
広瀬秀雄は『二十四気昼夜刻数』について「こんな昼夜刻数の計算は、既に天和元年頃の孝和の著書『授時暦経立成』で完成しているので『気昼夜刻数』の年紀元禄十二年は単にそれを書写した年月を示すにすぎず、研究完成の年とは何の関係もないとすべきであろう。
」[15, p.207] 「数学的にも、暦学的にもほとんど意味のない」[15, p.211] と酷評している。しかしながら、元禄十二
年頃は暦学について間違った解釈が横行していたのでこれを執筆したのであろう。当時の暦学では、たとえば正徳三 (1713) 年出版の『和漢三才図会』[12] 第五巻にあるように、冬至の昼四十刻、夜六十刻が定説であったので、関は『二十四気昼夜刻数』で
余 竊 ニ 於江府

測 二 北極出地 ヲ
推 二 二至刻數 一 得 二 冬至晝三十九刻七十分竒夏至晝一
六十刻三十分弱
[5]
二

一

ヲ
一

ひそ

余江府に於て、窃かに北極出地を測る。二至刻数をおしはかり、冬至昼三十九刻七十分竒、夏至昼六十刻三十分弱を得る。
として、冬至の昼三十九刻七、夜六十刻三と改めた。
『二十四気昼夜刻数』に数学的新規性はないとしても、暦学的に十分意味はあったと思われる。
また、『四余算法』という暦学に関する写本が東北大学岡本文庫、東京大学旧南葵文庫にある。
岡本文庫のは『宿曜算法』と、旧南葵文庫のは『関氏雑著』[7] として『授時発明』『宿曜算法附』『算脱験符』と合綴されている。
『四余算法』の序文に「元祿歳次丁丑 (1697) 孟夏望後三日革墩關
孝和子豹謹書」[4] とある。本文では、元禄九 (1696) 年を例にとり計算されている。さらに、『四余算法』は榊原霞洲の写本『関氏雑著』に含まれるので、関が 1697 年に執筆したものと思われる。
佐藤賢一によると、関孝和は元禄十一 (1698) 年に甲府藩の書簡に署名している [19, p.212]。また、関は新井白石が記録した元禄十五 (1702) 年証文の発給者になっている [19, p.58]。これらのことから、この時期には職務をこなしていたことが推察される。
元禄中年『算法大成』編集後に、関は職務もこなしており、暦学的に意味のある書を少なくとも 2 編著している。したがって「考検熟考スル事能ハス」は、下平あるいは真島のような解釈をしない限り疑問が残る。

3

3

球の表面積

球の表面積は『解見題之法』、『大成算経』巻之十二、十三、『綴術算経』に現れる。著者名が明確なのは『綴術算経』の建部賢弘だけであるが、これに建部賢弘の方法と関の方法が紹介され、比較されている。

3.1

建部賢弘の方法『綴術算経』探求球面積術第八では、球の表面積を求める 2 つの方法を述べている。最初に建部自身の方法が述べられている。
直径一尺一厘 (10.01 寸) の球の体積と直径一尺の球の体積をとの差を、半径の差 (片厚) 五毛(0.005 寸) で割り片面積πS0 = 6(10.013 − 103 )= 314.473529344 強
0.005を得る。片面積は球の体積の 1 階差分商 (片実積) の 2 倍である。次に直径一尺一糸 (10.0001 寸) の体積との差を半径の差五怱 (0.00005 寸) で割り片面積 S1 = 314.162406962 強を得る。さらに直径
一尺一微 (10.000001 寸) との差を半径の差五繊 (0.0000005 寸) で割り片面積 S2 = 314.159296775
弱を得る。建部は記述していないが直径 10.00000001 寸との差を半径の差 0.000000005 寸で割り
片面積 S3 = 314.159265673 強を求め、エイトケン ∆2 法 (建部は「損約ノ術」と呼んでいる)S2 −(S1 − S2 )(S2 − S3 )= 314.159265359 弱 ; 102 π(S1 − S2 ) − (S2 − S3 )により、直径 D の球の表面積 πD2 を導いている。建部は「三件ノ片面積 (S0 , S1 , S2 ) ヲ視テ損約ノ術ニ依テ」と書いているが損約術を適用したのは S1 , S2 , S3 である。S0 , S1 , S2 に損約術を適用すると 314.1592653694 強となり、建部が与えている 314.159265359 弱にはならない。(森本 [18,p.92] が指摘している。) 建部は『綴術算経』執筆に当たっては、新規に計算を行わなかったものと思われる。
直径 D を固定しπ(D + h)3 − π6 D3
1
S(h) = 6= π(D2 + Dh + h2 )h32
とおく。(表面積 πD2 との誤差はおおよそ h に比例する。)

1
S(h2 ) = π(D2 + Dh2 + h4 ),3

1
S(h3 ) = π(D2 + Dh3 + h6 ),3

1
S(h4 ) = π(D2 + Dh4 + h8 )
3

これより、

(S(h2 ) − S(h3 ))(S(h3 ) − S(h4 ))(S(h2 ) − S(h3 )) − (S(h3 ) − S(h4 )){}2 h5 (1 − h)2 D 2 + h2 (1 + h)2 D + h5 (1 + h)2
π
3
9
1
{
}
= π(D2 + Dh3 + h6 ) −23πh2 (1 − h)2 D + h (1 + h)2
S(h3 ) −3

1= π(D2 + Dh3 + h6 )
3
}{
}
{
2
h5
h2
h4
h
2
2
2
4
6
3
(1 + h)1−(1 + h) +(1 + h) + O(h )− πh D + (1 + h) +
3
9D
3D
9D2
π
π 7
= πD2 + h6 −h + O(h8 )39D4建部は D = 10, h = 0.01 としているので理論的誤差は
π −1210= 1.05 × 10−12 弱3となる。建部の計算をコンピュータで追試すると、誤差は314.159265358980371 − 314.159265358979324 = 1.047 × 10−12となる。建部は誤差が 10−2 , 10−4 , 10−6 の 3 つの片面積から球の表面積を計算し誤差 10−12 の近似値を得ている。

3.2

関の方法『綴術算経』探求球面積術第八では、球の表面積について建部自身の方法を述べた後、
キウシン

キリ

トカリ

キウハンケイ

キリ

タカサ

ミ

キウセキ

キリ

ミ

スイハウ

亦 球 心ヲ 錐ノ 尖 ト見、球 半 徑ヲ 錐ノ 高 ト見、球 積ヲ 錐ノ積ト見テ、積ニ 錐 法三ヲ
シヨウ

スイカウ

スイメン

スナハチキウメン乘 シ 錐 高ヲ以テ除テ 錐 面ノ積ヲ得ルヲ 便 球 面ノ積トス。

[11]を紹介している。次の記述から関の方法であることが分かる。
リ クワイ

カタチ

ミ

ミチスチ

タツル

ケンエウ

コレ

コレサクル

關氏曰ク、萬法ヲ理 會 スルハ 形 ヲ見、道 條ヲ 立 ヲ以テ 原 要トス。 是ハ 此 探 事ヲ不
セ

ハシメ

シンシユツ

クワイ

アウ シ ナリ

スナハチノチ

タマ

カタチ

サツ

キヨク

爲シテ 首 ヨリ 眞 術 ヲ 會 スルノ 奥 旨 也ト。 乃 後ノ術 球ノ 形 ヲ 察シテ中心ヲ 極
スイケイ

ミ ナス

スナハチカタチ

ミ

ミチスチ

タツル

サク

タタチ

トシ 錐 形ニ見 造ハ 即 形 ヲ見、道 條ヲ 立 ルニシテ 探ル事無ク 直 ニ眞術ヲ理會スル
ハシメ

トウ

セ

也。故ニ 始 ノ術ヲ以テ下 等ナリト爲リ。

[11]

関の方法は、ほとんど同じものが関孝和編『解見題之法』折乗第四にある。
若干

解圖

半徑爲高

覓積

假如有立圓徑
問覓積置徑自乘之得數以圓周法乘之得覓積
解術視錐而半徑爲高中心
爲尖立圓積爲錐積三之以高除之得錐面之覓積卽立圓覓積也尖

たとへば、立円有り。径若干覓積を問ふ。
径を置きこれを自乗し得る数を円周法を以てこれに乗じ覓積を得る。
解術。錐を視、半径を高さとなし、中心を尖となし、立円積を錐積となし、これを三し、高さを以てこれを除し、錐面の覓積を得、すなわち立円覓積なり。
解術は、球 [立圓] の中心を頂点 [尖] とし、高さが半径 D/2 に等しい小錐体 [錐] に分割する。小錐体の体積の和が球の体積に一致し、底面積の和 S が半球の表面積 [覓積] になる。錐体の底面積を無限小にすると
π
1D
S = D332
6
2から S = πD が導かれる。
関が球を無限小の錐に分割するという無限小幾何学の考えを用いていることは、『大成算経』巻之十三において、円の面積を底辺が無限小の二等辺三角形 [圭] の和として求めていることから推
察できる。

5

解曰是角所極而自中心累圭者成此形故周擬圭闊半徑擬圭長求之
解曰く、これ角の極むる所、而して中心より圭を累ね、この形を成す。故に周を圭の闊 (底辺) に擬し、半径を圭の長 (高さ) に擬しこれを求む。
『大成算経』巻之十三の著者は明らかではないが、円径率を 355/113 としていることから書かれている数学は関のものと考えられる。
円の面積および球の表面積に関する関の方法は、ヨハネス・ケプラー (Johannes Kepler) が『ぶどう酒樽の新立体幾何学』Nova Stereometria Dolliorvm Vineriorvm (1615)[1] で与えたものと本質的に同じものである。ケプラーは球の表面積から球の体積を導き出したが、関は錐の体積が柱の体積の 1/3 となることおよび球の体積から球の表面積を導き出している。原亨吉 [13, p.140]、杉浦光生 [21] を見よ。

3.3

『大成算経』巻之十三『大成算経』巻之十三は
假如有全球徑一尺問冪積
一百一十三分
荅曰冪積三百一十四寸 寸之一十八
一三萬五千

術曰置徑 尺 自之以圓周率相乗得 五百寸
乃中心爲尖球徑爲

解曰界于半径視圓錐 錐徑球半徑爲高爲實以圓徑率除之得冪積

求半球積準錐積即球

三之準壔積以錐高 半徑 除之得圜面平積即爲半球冪積倍之得全球冪積
例えば全球有り、径一尺冪積を問ふ。
答えに曰く、冪積三百一十四寸 [一百一十三分寸之一十八]。術に曰く、径 [一尺] を置き、之を自し、圓周率を以て相乗 [三萬五千五百寸] を得實となし、円径率を以て之を除し、冪積を得る。
解曰、半径を界し圓錐と見 [乃ち中心を尖となし、球径を錐径となし、球半径を高となし] 半球積を求む。錐積に準じ之を三たびし、壔積に準じ錐高 [即ち球半径] を以て之を除き、円面平積を得る。即ち半球冪積となし、之を倍して全球冪積を得る。
となっている。
『綴術算経』の「後の術」および『解見題之法』と同系統の解法である。「後の術」では球を錐に分割するのに対し、巻之十三では半球を錐に分割し半球の表面積を 2 倍して球の表面積を得ている。また、「後の術」の「錐」が巻之十三では「圓錐」になっている。

3.4

何故建部の方法は「下等」とされたか
カタチ

ミ

ミチスチ

タ

建部賢弘が関孝和から言われた「 形 ヲ見、道 條ヲ立」ててないということを別の視点から見てみる。
3.1 節で述べたように建部が与えたのは πD2 に近づくことを数値的に示しただけで、値が πD2になることを導いた訳ではない。関は『題術辯議之法』において、目的結果は正しいが、その手けんじゅつ段が常道に反する方法 ( 権 術 ) について
權術第三
權術有四塞断踈碎是也 (中略) 碎者自遠至近數次而求所問故其術不完也

6

権術に四あり。塞断踈砕これなり。(中略) 砕は遠くより近くに至る、数次問ふ所を求む故その術不完なり。
[3]と書いている。(「權術」は朱子『大学章句序』にある「権謀術数」をからとったのかも知れない。)
建部の方法は「碎」(逐次近似法) に該当する権術と見なされた。
実は、建部が h, h/2, h/4 に累遍増約術 (リチャードソン補外) を「逐差ノ數」2−1 , 2−2 として適用していれば正確な値を与えることができた。

1s(D, h) = πD2 + πDh + πh231π2s(D, h/2) = πD + Dh + πh2212π1s(D, h/4) = πD2 + Dh + πh2
4
48
より

1
s1 (D, h) = 2s(D, h/2) − s(D, h) = πD2 − πh26s1 (D, h/2) = 2s(D, h/4) − s(D, h/2) = πD2 −

1
πh2
24

を作ると

1
s2 (D, h) = s1 (D, h/2) + (s1 (D, h/2) − s1 (D, h)) = πD23と真値が得られる。建部がこの方法を示していれば、関の評価は異なっていたかもしれない。
『大成算経』巻之十六『大成算経』巻之十六には碎索斷

權術第四 約疎俗謂之權術有五焉碎者以一爲首逐一増損數毎次比量題數馴積而求之遂得定數者是也 目子算 索
者臨機而或仮設親法或即属顕数窺得初数而後依術視有余不足以其差損益而屡求之遂得
俗謂之的数者是也 攷帯従 此両術者自浅窮深自遠至近之法雖其所為漸遅求難得之数者莫過焉是以或得式乗数最高自難得開出者或弧円成截補之巧而難輒求者皆由此却速求得其数是故
諸術之本也
けんじゅつ

さい

はじめ

権術 に五あり。 砕は、一を以て 首 となし、逐一、数を増減し、毎次、題数を比量し、さく積を馴らして之を求め、遂に定数を得る者これなり。[俗に之を目の子算と謂う。] 索は、機に臨んで或いは仮に親法を設け、或いは即ち顕数に属し、初数を窺い得て後、しばしば術に依りて有余不足を視て、其の差を以て損益して 屡 之を求め、遂に的数を得る者これなり。[俗に之を攷帯従と謂う。] 此の両術は、浅きより深きを窮め、遠きより近きに至るの法にして、其の所為、漸く遅しと雖も、得難きの数を求むるは、過るなし。
是を以て或いは得式の乗数の最も高くして開出得難き者、或いは弧円截補の功にしてすみやか

輒 に求め難き者、皆之に依って却って速やかに其の数を求め得る。是故に、諸術の本と為すなり。
森本読み下し [24]
関は逐次近似を「碎」と名付け「不完也」としたが、巻之十六では「索 (手偏または木偏の索)」と呼び方を変え「諸術之本也」と正反対の評価を与えている。
藤原松三郎は「ここには「諸術の本也」と非常にこれを高く評價してゐることを見逃してはならぬ。」[23, p.434] と注意を喚起している。

7

球の体積

4

球の体積は『立円率解』、『解見題之法』、『括要算法』巻貞、『大成算経』巻之十二、十三、『綴術算経』に現れる。
『解見題之法』には術文だけが書いてあり「求立圓積法術載于別記」として「解術」は書いてない。『立円率解』、『括要算法』巻貞、『大成算経』巻之十二、『綴術算経』は同じ方法である。『大成算経』巻之十三はこれらとは全く異なる方法である。

4.1『立円率解』

関孝和は延宝八 (1680) 年に執筆した『立円率解』において球の体積を与えている。
直径 D = 10(寸) の球を赤道に平行な等間隔の平面で m(m は偶数) 分割する。各切片に対し上底と下底の直径の冪 (弦冪) の和の半分に厚さを掛けた値を截積とすると、截積の和は)())∑ D ( (i − 1)D ((i − 1)D
iD
iD
4
D−
+4
D−
,
2m
m
m
m
m

m/2

vm = 2(1)i=1となる。関は m = 50, 100, 200 の 3 通りを計算し

a = v50 = 666.4,

b = v100 = 666.6,

c = v200 = 666.65.

をあたえた。a, b, c をそれぞれ初積、中積、後積と名付けている。分割を無限大にしたときの値を約積という。約積は球の体積を π/4 で約した値になることから命名されたと考えられる。

vm =2D3 2D3−33m2

より、約積の値は lim vn = 2D3 /3 となる。
n→∞a, b, c を初積、中積、後積とするとき、関は約積を((b − a) − (c − b))b + (b − a)(c − b)(b − a) − (c − b)((b − a)(c − b)=b+(b − a) − (c − b))により求めている。a, b, c はa=

2D3 2D3
−
,
3
3m2

b=

2D3
D3
−
,
3
6m2

c=

2D3
D3
−
,
3
24m2

と表せる (m = 50, D = 10) ので

D3 D3
3
3
3
3
2m2 8m2 = 2D − D + D = 2D .
−
+
3
6m2
3
6m2 6m2
3
D3
D3−
2m2 8m2

2D3

D3となる。すなわちエイトケン ∆2 法は真値を与えている。球の切り口における正方形と円の面積比は 1 : π/4 であるので、球の体積 (定積) は約積に 14 π を乗じたものになる。そうして球の体積が1
36 πD となることを導いている。

8

4.2

『大成算経』巻之十二『大成算経』巻之十二は立円率第三の冒頭に定義が与えてある。
俗謂立圓者立起之圜也上下四旁皆圓而形如球 之玉 其圍曰周徑緯闊曰徑外包面者曰冪唯以積數難直得之故亦驗徑一之積為乘除率求之也
立円は立起の円なり。上下四旁皆円、しかして形球のごとし [俗にこれを玉と謂ふ]。その囲曰く周径、緯闊曰く径、外包面は曰く冪、唯もって積数直ちにこれを得難し。故にまた験径一之積乗除率を為しこれを求むなり。
続いて、『立円率解』とほぼ同様の方法で球の体積が与えられている。

4.3『大成算経』巻之十三『大成算経』巻之十三は立積問 17 に球の体積の問題「假如有立圓徑三尺問積」があり、「解曰」に説明がある。参考までに『求積』(岡本写 0003) の表現および読み下しを【】内に記す。問 17 に関する両者の異同は 6.1 節で述べる。

乃圓

錐高以弦 徑 準中錐徑并左右旁弦準旁錐徑仍圓徑自乘為中錐徑冪上下矢興圓徑相乘倍之為旁錐徑冪二数相併乘錐高又乗圓積法以錐法三約之得上二圓錐積倍之卽全
立圓積也形無相對故形極亦無之

徑
半
錐
旁

上矢
兩錐高

解日是立起六面之圓従【徑】半徑界上下而累圓臺則成此乃半
形也上下積各適【通】合于二圓錐故以上下矢 徑 準兩界弦即 中錐徑

ただち

解曰くこれ立起六面の円、半径に従ひ、上下を界として【 径 に半径上下を界として】、円台を累ぬれば、すなはちこの形をなすなり。上下の積は各々二円錐に適合す【上下の積は各々通じ二円錐に合す】。故に上下の矢 [すなはち半径] を以て両錐の高に準じ、
弦 [すなはち円径] を以て、中錐の径に準じ、左右の旁弦を併せ、旁錐の径に準ず。よって円径の自乘を中錐の径冪となし、上下の矢と円径を相乗、これを倍し旁錐の径冪となす。二数相併せ、錐高を乗じ、また円積法を乗じ、錐法三を以てこれを約し、上の二円錐の積を得、これを倍し、すなはち立円積なり。形相対無き故、形極またこれ無し。
半球の体積を球缺の体積の公式に当てはめて求めている。両錐とは中錐と旁錐で、半球を内接する円錐「中錐」とその外側「旁錐」(錐ではないが錐と見なしている) に分けている。中錐は円径を底面の直径、上矢 (すなわち半径) を高さとする円錐である。図の「旁錐半径」の部分は「旁弦」√である。(旁弦の長さは「旁錐半径」ではなく「旁錐径の 1/ 2」である。『求積』(岡本写 0003) で2は「旁錐徑半」となっているが、これも正しくない。) 径矢弦術より 旁弦 = 矢 × 円径 が成り立つ。旁錐は上矢 (すなわち半径) を高さ、旁弦羃の 2 倍を底面の径羃とする円錐と見なしている。
旁錐積 =

π 2
1π
(2(旁弦)2 ) × 矢 = 矢 × 円径
346

旁錐積のここまでは任意の球缺について成り立っている。半球の場合は、矢は立円の半径である
ので、
(
)
1π
π
π
2
3
3
球積 = 2(中錐積 + 旁錐積) = 2
円径 × 半径 + 円径
= 円径
34
24
6

9

関孝和は証明はつけてないが「球缺の旁錐積は上矢を高さ、旁弦羃の 2 倍を底面の径羃とする円錐π2の体積に一致する」ことを使って、立円積法 π/6 を導いたと考えられる。円錐の体積 円径 高さ12を仮定すれば、「球缺の旁錐積は上矢を高さ、旁弦羃の 2 倍を底面の径羃とする円錐の体積に一致
π3する」ことと、球の体積が 円径 となることは、数学的に同値である。加藤平左エ門は「旁錐積
6
は球の体積と無関係には求められない。それゆえ求積に示したこれらの術はけっきょく循環論たるを免れ得ない」[16, p.210] と書いている。

4.4『綴術算経』探砕抹數第九

建部は球の体積について『綴術算経』探砕抹數第九において
キウセキ

ヒトシ

サイヘン

タイ

カタチ

ナ

カサ子

球 積ヲ砕-抹スル者ハ球徑ヲ 等 ク 細 片シテ毎片圓 臺ノ 形 ト造シ片-厚ヲ 累 テ弧-矢ト
スナハチ

シヨヨウ

スナハチ

シテ毎片弧-弦ヲ求テ 便 毎片上下臺徑ニ 取 用シ片-厚ヲ 便 臺高トシ圓臺ノ積ヲ求ル
コト

但臺積ヲ求ル者圓率ヲ用

ソノ

術ニ依テ片片ノ積ヲ求メ片-数ノ 如ク臺積ヲ累併テ截積トス ル事ヲ省テ方積ニ通用ス 又 其
チク

ソノ

サクリ

モト

片-数 逐倍シテ件-件ノ截積ヲ求メ 其數ヲ 探 テ増約ノ數ヲ 索メ術ノ如クシテ眞積ノ極ウル

コレスナハチ

サカフ

ナキ

トトコホ

ナシ

イヘトモサラフカ

数ヲ 得ナリ 是 卽 求積ノ理ニ 忤 事 無ユヘ極數ヲ得ルニ 滞 ル事 無ト 雖 更ニ又 玄
ソノ

リ

アタ

ニ

カスナヲ

アタラ

ク探ルニ 其臺積ヲ求ル術理ニ 中ルニ似テ 數 猶不 中 也故ニ毎片ノ上-徑冪ト下-徑冪トエ

相併セ高ヲ乘シ折半シテ通片積トシ片-數ノ如ク累子併テ通截-積得又片數ヲ逐倍スル
モトモスクナキ

イヘトモタタチ件-件ノ截積ヲ求テ増約ノ術ニ依テ求ルトキハ片数 最 少 ヲ以テ求ムト 雖 徑 ニ眞
ソノ

アラ

コレ

ツイ

積ノ極数ヲ得ルナリ蓋 其片-積ヲ求ルコト臺積ヲ求ル術ニ 非ス 是球積ヲ砕-抹スルニ 於
イツ キ シユツ

スナハチ

シタカ

テ 一 奇 術 ニシテ 卽 球積砕抹ノ質ニ 順 フ者ナリ

[11]と記している。ここに記された方法は、『立円率解』、『括要算法』巻貞、『大成算経』巻之十二で述べられた関の方法 (1) である。
モトモスクナキ

イヘトモタタチ関の方法は「片数 最 少 ヲ以テ求ムト 雖 徑 ニ眞積ノ極数ヲ得ルナリ」すなわち、v2 , v4 , v8に増約術を適用しても真値を与えることを指摘している。
円台の体積で近似し π で割ると、(1) は()
m∑
πD (i − 1)D2 (i − 1)2 D2 D2 √iD2 iD22v̄m =−+ 2 (mi − m − (i + 1) ) +
− 2
3m
m
m2
m
m
m
i=1

となる。v̄50 = 166.403964, v̄100 = 166.595126, v̄200 = 166.647325 に増約術を適用すると 166.666936となる。真値 D/6 = 166.666667 とは 6 桁しか一致しない。
「毎片ノ上徑冪ト下徑冪ト相併セ高ヲ乘シ折半シテ」で体積を求め、増約術を適用すると真値をイツ キ シユツ

スナハチ

シタカ

与えるが、円台の体積では真値を与えないので、建部は「一 奇 術 ニシテ 卽 球積砕抹ノ質ニ 順フ者ナリ」と絶賛している。
なお、村松茂清は『算俎』において球の体積を、v̄100 を用いて求めている。

5『大成算経』巻之十二の原著者

5.1

円周率

球の体積 πD3 /6 を計算するために用いる円周率を見てみる。関は『立円率解』では円周率 [圓徑率] を 355/113 としている。
『括要算法』巻貞「求立円積術」でも円周率を 355/113 としている。

10

『大成算経』巻十二「立円率第三」では 5419351/1725033、『大成算経』巻之十三平積の問 15,16,17、
立積の問 17 で 355/113 としている

5.2

載『綴術算経』には探圓數第十一に「其求ル截周冪ヲ術及ヒ所求ノ之數載于圓率ニ故今畧ス之」、「其増約ノ諸數載于圓率故今畧此」、「其零約ノ諸率ノ數載于圓率故今畧此」とある。探弧數第十二には「委ク弧率ニ載ス之」とある。
「圓率」は『大成算経』巻之十二の「圓率第一」、「弧率」は「弧率第二」と考えられている。

5.3

例題

圓術、弧術、立圓術、球缺術は、それぞれいくつかの問題の解法を与えている。問題の形式が同じである『解見題之法』と比較する。
若
若
若
圓術では、
「假如有圓徑 干 問周」、
「假如有圓周 干 問徑」、「假如有圓徑 干 問積」、「假如有圓周
若
問積」の四題が載せられている。
干
若干

若干

一方、
『解見題之法』は第四例「假如有平圓周
徑問積」の一題だけである。『解見題之法』で第四例を扱ったのは、問題の解き方よりも円の面積は底辺が円周、高さが半径の三角形の面積に等しいことを言うために置いたと考えられる。
若
若
若
若
若
弧術では、
「假如有弧圓徑 干 矢 干 問弦」、「假如有弧矢 干 弦 干 問圓徑」、
「假如有弧圓徑 干 弦
若
若
若
若
若
若
若
問矢」
、
「假如有弧矢 干 弦 干 問離徑」、
「假如有弧弦 干 離徑 干 問徑」、「假如有弧矢 干 圓徑 干
干
若
若
若
若
問旁斜弦」、「假如有弧矢 干 圓徑 干 問背」、「假如有弧矢 干 弦 干 問背」の八例が取り上げられている。
若
若『解見題之法』ではいずれとも異なる「假如有弧矢 干 弦 干 問積」のみが取り上げられている。
若

立圓術では四例取り上げられているが、『解見題之法』では「假如有立圓徑 干 問積」、「假如有若立圓徑 干 問覓積」の二例である。
若

若

球缺術でも四例取り上げられているが、『解見題之法』では「假如有立闕矢 干 弦 干 問積」
、
「假
若

若

如有立闕矢 干 弦 干 問頂覓積」の二例である。

5.4

巻之十二の原著者

巻之十二の構成は、
圓率第一、一丁〜十二丁
圓術、十三丁弧率第二、十四丁〜三十二丁
弧術、三十三丁〜三十五丁表
立圓率第三、三十五丁裏〜四十丁
立圓術、四十一丁球缺率第四、四十二丁表〜四十二丁裏
球缺術、四十二丁裏〜四十三丁

11

となっている。
『大成算経』巻之十二の円周率が 5419351/1725033 であること、建部賢弘が『綴術算経』で『大成算経』巻之十二の円率第一、弧率第二に載せたと書いていることから『大成算経』巻之十二の円率第一、弧率第二の原著者は建部賢弘である。立円率第三の算法と約積は関の草稿『立円率解』と大きな違いはないが、乗除率は円周率を 5419351/1725033 としている。したがって、『大成算経』
巻之十二立円率第三は、関の原稿を基に建部賢弘が手を加えたものと考えられる。球缺第四の起術で述べられている算法は『求積』問 20 と同じである。『求積』を参考に建部が書き下ろしたものであろう。
圓術、弧術、立圓術、球缺術は、それぞれいくつかの問題の解法を与えている。『解見題之法』と例題の形式は同じであるが、例題の種類は増えている。また、『解見題之法』の「平圓」「立圓闕」が巻之十二では「圓」「球缺」となっている。
建部賢弘は『括要算法』巻貞の原書を基に、円率と弧率を全面的に書き換え、立円率には若干手を加え、球缺を『求積』に沿って書き下ろしたものが『大成算経』巻之十二の原書と考えられる。

『求積』と『大成算経』巻之十三

6『求積』と題し「關孝和編」とする写本がある。藤原松三郎は、『大成算経』巻之十三について「巻 13 は求積と題され、關孝和の求積と全く同一である。
」[23] とのみ記し、関の求積がそのまま『大成算経』巻之十三に取り入れられたように書いている。『関孝和全集』は、『求積』を関の著作として収録している。
近年、「七部書中の『求積』は、『大成算経』の一部をそのまま抜粋したものである。
」[14, p.37]という逆の見方もある。

6.1

用字用語による比較『大成算経』巻之十三と『求積』の写本で異なる表現のうち 7 カ所を比較してみる。俗字、略字、異体字は区別しない。取り上げる写本は表 2 の通りである。東北大学は「東北大学和算資料
データベース」、京都大学は「京都大学数学教室貴重書ライブラリ」、九州大学桑木文庫は「九州大学中央図書館桑木文庫和書」を表す。
上記写本の前書きにおいて最初に異なるのは 64 字目で、「形」と「術」に二分される。文は「而
俗謂之能施通變之形 坪積

つぼつもり也」である。割注の「 坪 積 」は立体の体積を求めることである。[23, p.95]

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写本

而能施通變之形

求積前篇, 求積 (岡本写 0003), 求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書),
藤原集書, 狩野 20820

而能施通變之術

求積 (榊原), 求積 (桑木 685), 後伝 48, 狩野 31453, 京大 151, 京大 152,
岡本写 0041, 桑木 648「しかして能く通変の形 [俗にいう坪積] を施すなり」と「しかして能く通変の術 [俗にいう坪積]を施すなり」のいずれでも意味は通りそうである。なお、建部賢弘『研幾算法』序に「於彼問編訂通變精微之術」(かの問いにおいて通変精微の術を編訂して) との用例がある。
前書きからもう一カ所取り上げる。(1 行 20 字で)6 行目が「以」と「故」に二分される。

12

表 2: 比較する写本
略称

所蔵館請求番号等

書写

備考

求積
求積 (榊原)東京大学総合図書館 T20:69

榊原霞洲

編者名なし

求積前篇

宮城県図書館関算前伝 83

安永九 (1780) 年

關孝和編撰

求積 (岡本写 0003)

東北大学岡本写 0003

板野玄璋
文化八 (1811) 年

關孝和編

求積 (岡本写 0010)

東北大学岡本写 0010

求積 (林集書)

東北大学林集書 0741

求積 (桑木 685)

九州大学桑木文庫 685

編者名なし
編者名なし

大成算経巻十三後伝 48

宮城県図書館関算後伝 48

安永九 (1780) 年

狩野 31453

東北大学狩野 7.31453.20

平千里
寛政二 (1790) 年

京大 151

京都大学 wasan151

會門生四人
嘉永四 (1851) 年

京大 152

京都大学 wasan152

岡本写 0041

東北大学岡本写 0041

藤原集書

東北大学藤原集書 450

図の省略多し狩野 20820

東北大学狩野 7.20820.20

図の省略多し桑木 648

九州大学桑木文庫

狩野氏圖書記表示

写本

是以分平立之二篇

求積前篇, 求積 (岡本写 0003), 求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書),
藤原集書, 狩野 20820

是故分平立之二篇

求積 (榊原), 求積 (桑木 685), 後伝 48, 狩野 31453, 京大 151,
京大 152, 岡本写 0041, 桑木 648

狩野 31453 の写本『求積』の前文と平積では「是以」は 4 例用いられ、「故以」は 20 例用いられているが、「是故」はこの箇所以外にはない。したがって、『求積』の著者は「是以分平立之二篇」と書いたと思われる。
平積の冒頭の文が異なる。
平積者平衍之状也

求積 (榊原), 求積前篇 (関算前伝 83), 求積 (岡本写 0003)
京大 152, 岡本写 0041, 狩野 31453, 桑木 648

平積者平術之状也

関算後伝 48, 京大 151, 求積 (桑木 685),

平積者平行之状也

求積 (桑木 678), 藤原集書, 狩野 20820

平積者平之状也

求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書)

立積の冒頭は狩野 20820、藤原集書で「立責者立起之状也」となっていることを除き、すべての写本で「立積者立起之状也」と平積の冒頭と対句になっている。「平衍」は平たく広がったこと、「立起」は高く持ち上がったことであるので、平積の冒頭は「平衍」であろう。「平術」
「平行」は

13

字形が似ている「平衍」の誤写と判断できる。求積 (榊原) が「平衍」なので、『大成算経』巻十三の原書は「平衍」であったと考えられる。
最近藤井康生 [22] により、数学の誤りがそのまま写本の際に引き継がれたケースが指適された。
立積問 4「假如有方錐下方一尺五寸高二尺問積 答曰積一百五十寸」である。正しい答えは一千五百寸であり、後伝 48(関算四伝書) 以外はすべて誤っている。
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写本

一百五十寸

求積前篇, 求積 (岡本写 0003), 求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書),
求積 (桑木 685), 求積 (榊原), 狩野 31453, 京大 151, 京大 152,
藤原集書, 狩野 20820, 岡本写 0041, 桑木 648

一千五百寸

後伝 48

四伝書を除き最後まで訂正されなかったこの例は、四伝書の『大成算経』を際立たせている。また、和算家が写本する際、内容を考えずそのまま写本する、あるいは原本が誤っていると思っても訂正せずにそのまま写本するというのが当時の写本の作法だったのかもしれない。関孝和の『揚輝算法』のように、訂正しながら写本を行うのは訂写というのであろう。
ただち

次に 4.3 節で考察した、球の体積の解曰くの 2 カ所を見る。一行目「徑半徑界上下」( 径 に半径
上下を界として) 「從半徑界上下」(半径に従ひ上下を界として) が異なる。文脈から「徑」が正しいように思われる。「從」は字形の似ている「徑」の誤写であろう。
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写本

徑半徑界上下求積前篇, 求積 (岡本写 0003), 求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書),
求積 (桑木 685), 藤原集書, 狩野 20820

從半徑界上下求積 (榊原), 後伝 48, 狩野 31453, 京大 151,
京大 152, 岡本写 0041, 桑木 648

もう一カ所は「上下積各通合于二円錐」(上下の積は各々通じ二円錐に合す) と「上下積各適合于
二円錐」(上下の積は各々かなひ二円錐に合す/上下の積は各々二円錐に適合す) が異なる。半球を二つの円錐を併せたものと考えているので、「上下積各通合于二円錐」が正しいように思われる。
「適」は字形の似ている「通」の誤写であろう。
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写本

上下積各通合求積前篇, 求積 (岡本写 0003), 求積 (岡本写 0010), 求積 (林集書),
求積 (桑木 685), 藤原集書, 狩野 20820

上下積各適合求積 (榊原), 後伝 48, 狩野 31453, 京大 151,
京大 152, 岡本写 0041, 桑木 648

最後に 3.3 節で見た球の表面積の結びの文「得全球冪積」を見てみる。文脈からは「得全球冪積」が正しい。
「全徑冪積」は意味が通らないので、同音の「全形冪積」に変化したと思われる。
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写本

得全球冪積

求積 (岡本写 0003), 求積前篇, 求積 (岡本写 0010), 求積 (桑木 685),
求積 (林集書), 狩野 20820, 藤原集書

得全徑冪積求積 (榊原)得全形冪積

京大 151, 岡本写 0041, 関算後伝, 京大 152, 狩野 31453, 桑木 648

14表 3: 基本用語の比較
現代『解見題之法』『大成算経』巻之十二『求積』、『大成算経』巻之十三『綴術算経』

円

平圓

圓

圓

圓

球 / 球体

立圓

立圓

立圓

球

球面

立圓

立圓

全球

球 / 球面

表面積

覓積

羃積

羃積

面積 / 積6.2『大成算経』巻之十三の成立過程

球の表面積は建部賢弘が関の方法として述べたことが『求積』に記載されていること、『求積』の円周率が 355/113 であることより、書かれている数学は関孝和のものと考えられる。
『大成算経』巻之十二と『大成算経』巻之十三 (および『求積』) の用語法は共通である巻十二の円率第一の冒頭の文「圓者謂角之所極者也」は巻之十三 (『求積』) の平積 15 問の「解曰是角所
俗謂極」と対応している。立円率第三の冒頭の文「立圓者立起之圜也上下四旁皆圓而形如球 之玉 」で始まるが巻之十三 (『求積』) の立積 17 問の「解日是立起六面之圓」と対応している。
『解見題之法』、『大成算経』巻之十二、『大成算経』巻之十三 (『求積』)、『綴術算経』における
円と球に関連する基本用語の比較を表 3 に示す。
3 節と 4 節で見たように、『求積』および『大成算経』巻之十三の数学は関孝和のものである。
『求積』および『大成算経』巻之十三の用語法は表 3 から分かるように、『解見題之法』 と『綴術算経』の中間に位置する。6.1 節での比較から、『求積』は『大成算経』の抜粋ではなく、『大成算経』巻之十三の草稿である。榊原霞洲が写本した『求積』は『求積』の最終版かそれにきわめて近いものであろう。
覔羃『求積』(岡本写 0003) の立積 33 問は「假如有全球徑一尺問覔積 同 」となっている。「覓」(「覔」は「覓」の俗字) から「羃」の移行期に執筆された『求積』を底本としているのかも知れない。
関孝和が『解見題之法』に「其餘 (中略) 皆載于其術於別記」と書いてある。別記したものが『求積』の原著で、建部賢弘が『求積』の原著に手を加え、『求積』が出来上がったと考えられる。
おそらく、『求積』は『算法大成』編集の頃 (1695 以前) に出来上がっており、「關孝和編」として写本が作られていたのではないかと考える。とすると、『求積』はほとんで手を加えられないま
ま『大成算経』巻之十三になった。僅かな変更点のほとんどは、字形の似た文字の誤写である。

7

大成算経の写本の系統(榊原写本を除く) 『求積』の写本の中に、求積 (桑木 685) のように、『大成算経』巻之十三と共通するものがある。これは、『求積』と『大成算経』巻之十三を校合して写本を作成したことが考えられる。このようなケースに、『関孝和全集』がある。『求積』の解題に「本書の底本は主として大成算経本によることにして、後の二者 (穴沢長秀旧蔵本と大成算経のこと— 引用者) との相違は漏れなく書き出すことにした。」[15, p.220] とある。
『大成算経』の写本は表 4 のように 3 系統に分けられる。
系統 2 の『大成算経』巻之十三は『求積』の写本群と共通点が多い。狩野 20820 と藤原集書は極めて共通しているが、問 33 の「圓面平積」を狩野 20820 は「円面平責」としているが藤原集書
は「円面半責」となっている。
「半」は字体の似ている「平」の誤写と考えられる。したがって、
藤原集書は狩野 20820 の写本と考えられる。
15

表 4: 『大成算経』写本の系統
系統

写本

1
2
3

求積 (榊原)藤原集書, 狩野 20820
後伝 48, 狩野 31453, 京大 151, 京大 152, 岡本写 0041, 桑木 648

十三巻だけでなく全巻を見ると、榊原霞洲写本は、内題に大成算経がなく、総目録、首篇がない。前集、中集、後集などの分類もないので、底本は大成算経と名付ける以前のものである。藤原集書、狩野 20820 には、内題に大成算経はあるが、総目録がなく算数論から始まるので、原本は『大成算経』完成直前のものと考えられる

8

関孝和と『大成算経』
表題の関孝和と『大成算経』については、以下のことが考えられる。

1. 球の表面積のように関が「下等」と認定した算法は、『大成算経』に取り入れてない。
2. 『綴術算経』で「始關氏」として対比のあるもの、「孝和ニ亜リ」「賢明其ノ術ノ煩シキヲ厭テ本術ヲ探リ設ケタリ」と記載があるものは、関が肯定的評価を与えた算法である。これらの算法は『大成算経』に取り入れている。
3. 『大成算経』は巻により編集方針がかなり異なり、完成時期も相当の隔たりがある。
4. 建部賢弘は『括要算法』巻貞の原書を基に、円率と弧率を全面的に書き換え、立円率には若干手を加え、球缺を『求積』に沿って書き下ろしたものが『大成算経』巻之十二の原書である。「元禄ノ中年」までに出来上がっていた。
5. 関孝和が『解見題之法』に「皆載于其術於別記」と別記したものが『求積』の原著で、建部賢弘が『求積』の原著に手を加え、『求積』が出来上がった。「元禄ノ中年」までに『求積』として出来上がっており、関孝和編として写本も作られている。『求積』はほぼそのまま『大成算経』巻之十三となった。
6. 巻之十六では関が好ましくない解法としていた逐次近似法を「諸術の本と為すなり。」と高く評価している。これは関の数学観ではなく建部賢弘の数学観である。

晩年の関孝和と建部賢弘の関係であるが、1697 年執筆の『四余算法』を榊原霞洲が写本したということは、『四余算法』(の写本) が建部賢弘の手元にあったと考えられ、1697 年以降も建部賢弘
は関孝和とつながりがあったと推察される。
本稿では、『解見題之法』を関孝和の著作という前提で述べたが、この問題については 2012 年 8月の数理研の研究集会で述べる予定である。

16

謝辞
草稿の段階で 2.2 節について森本先生から、2.4 節について小川先生、真島先生からコメントをいただきました。これらのコメントにより、改善することができました。また、上野先生からは数理研での発表スライドのコピーを提供していただき、原稿執筆に役立てることができました。四人の先生に感謝申し上げます。

参考文献
一次資料
大成算経、求積、円法は本文中に示す。
[1] J. Kepler, Nova Stereometria Dolliorvm Vineriorvm, 1615
http://posner.library.cmu.edu/Posner/books/[2] 関孝和、立円率解、東北大学附属図書館、狩野 7.20634.1[3] 関孝和、題術辯議之法、東北大学附属図書館、岡本写 0026
[4] 関孝和、四余算法、東北大学附属図書館、岡本写 0008
[5] 関孝和、数学雑著、東北大学附属図書館、狩野 7.20978.1[6] 関孝和、括要算法、京都大学、wasan002[7] 関孝和、関氏雑著、東京大学総合図書館、T30-97[8] 建部賢明、建部氏伝記抄録、東北大学、岡本写 1002
[9] 建部賢弘、研幾算法、岡本刊 048[10] 建部賢弘、発微算法演段諺解、林集書 0073
[11] 建部賢弘、綴術算経、国立公文書館内閣文庫、194-0214[12] 寺島良安、和漢三才図会、九州大学デジタルアーカイブ
http://record.museum.kyushu-u.ac.jp/wakan/wakan-ten/index.html
二次資料[13] 伊東俊太郎・原亨吉・村田全、数学史、数学講座 18、筑摩書房、1975[14] 上野健爾・小川束・小林龍彦・佐藤賢一、関孝和論序説、岩波書店、2008[15] 平山諦・下平和夫・広瀬秀雄、関孝和全集、大阪教育図書、1974.
[16] 加藤平左エ門、算聖関孝和の業績、槇書店、1972[17] 真島秀行、関新助孝和の履歴について、数学史研究 (通巻 204 号)、日本数学史学会，2010 年
3 月、36-45[18] 小川束・佐藤健一・竹之内脩・森本光生、建部賢弘の数学、共立出版、2008[19] 佐藤賢一、近世日本数学史 — 関孝和の実像を求めて、東京大学出版会、200517

[20] 下平和夫、科学史入門：関孝和と建部賢弘、科学史研究 II, 30 (1991), 147-153[21] 杉浦光夫、円理 — 和算の解析学について —、比較文化研究、Vol.20(1982), 1-20
[22] 藤井康生、メーリングリスト (hom_nagoya@googlegroups.com)、2012 年 7 月 10 日
[23] 藤原松三郎 (日本学士院)、明治前日本数学史第二巻、岩波書店、2008[24] 森本光生、大成算経巻之十六後集題術弁 (読み下し文)、2011 年 12 月 11 日

付録：
『綴術算経』における関孝和への言及『綴術算経』[11] における関孝和への言及と『大成算経』の関連する巻数を表 5 に示す。『綴術算経』からの抜粋に当たっては句読点を追加し、ルビと訓点は省略した。一部の旧字、異体字は常用漢字に置き換えた。

18

表 5: 『綴術算経』における関孝和への言及『綴術算経』『大成算経』

1

關氏孝和ハ吾師タリ。曾テ立元ノ法ニ拠テ更ニ眞假ヲ設テ解
伏題ノ法術ヲ立爲セリ。是亦神ナリト謂へシ。

十四件目

巻十七

2

亦關氏方垜ノ総術ヲ立爲セリ。其ノ自乘垜ノ術、四角垜ニ相
合ス。

二十件目

巻五

3
4

筭脱ノ術ハ兄賢明ガ探會スル所ナリ。賢明カ生知孝和ニ亜リ。 二十七件目

巻七

關氏曰、萬法ヲ理會スルハ形ヲ見、道條ヲ立ヲ以テ原要トス。 三十件目
是ハ此探ル事ヲ不爲シテ首ヨリ眞術ヲ會スルノ奥旨也ト。

巻十三

5,6,7

熟意フニ關氏ガ生知ナルヿ世ニ冠タリ。然モ常ニ謂ラク、圓
積ノ類甚難シ、不可得者ト。嗚呼、是安行ニ住セル故乎。吾ハ言フ、圓積ノ類ト雖力ヲ用テ必ズ得ル者ト。卽チ是苦行ニ止マルユヘナリ。其ノ關氏カ不可得ト謂ハ安行ニ住シテ安行
ナルユヘ探ル事無シテ直ニ得ヲ意トスルニ依ル。(中略) 吾生
得ノ本質孝和ニ比スレハ減ルヿ十ニシテ一ナルヿヲ。

三十一件目

巻十三
巻十六

8
9

始關氏角面冪ヲ開平方ニシテ各角面ヲ求テ截周ヲ用ユ。

三十七件目

巻十二

始關氏増約ノ術ヲ以テ定周ヲ求ルヿヲ理會シテ一遍ニシテ止
ム。

三十八件目

巻十二

10

始關氏零約ノ術ヲ用ルニ徑一周三ヲ累加シテ各徑周ノ率トシ、 四十件目
毎ニ徑率ヲ以テ周率ヲ除シ、得ル所ノ數定周ヨリ少キニ到ル
トキハ、徑一周四ヲ加逐一ニ是ヲ求ム。賢明其ノ術ノ煩キヲ
厭テ本術ヲ探リ設タリ。

巻十二

11,12

嘗關氏圓ヲ砕抹シテ定周ヲ求メ、零約ノ術ヲ以テ徑周ノ率ヲ造レリ。爾シヨリ後二十餘年ヲ歴テ隋志ヲ観ルニ、周數率數咸邂逅ニ符合スル者有リ。咨祖子也、關子也。邦ヲ異ニシ、時ヲ殊ニスト雖眞理ニ會スルヿ相同シ、可謂妙ナリト。

四十一件目

巻十二

13
14

故ニ徃歳關氏弧率ヲ造改ヿ再次、吾亦重テ造改ヿ一次。

四十二件目

巻十二

卽是關氏立ル所四乘求背ノ術ニ自符合ス。

四十七件目

巻十二

19