2007 年 電子情報通信学会総合大会

AS-2-1

伝送線路を持つ Chua 回路のクロストークによる同期現象
Synchronization of Chua’s Circuits with Transmission Lines Linked by Cross Talk
中阿地有紀 1
Yuki Nakaaji

西尾芳文 2
Yoshifumi Nishio

徳島大学大学院 工学研究科 電気電子工学専攻 1
Department of Electrical and Electronic Engineering, Graduate School of Engineering,Tokushima University
徳島大学大学院 ソシオテクノサイエンス研究部 2
Institute of Technology and Science, Tokushima University1

はじめに
近年、カオス回路の結合系に見られる同期現象の研究が盛んであり、カオス通信やカオス暗号方式などカオス回路の工学的応用の重要な基礎研究として注目されている。本研究では、カオス回路の中でも有名な回路である Chua 回路 (図 1) を調査した。Chua 回路は１つのキャパシタと１つの線形抵抗と LC 共振器と Chua ダイオードと呼ばれる非線形抵抗から成る回路であり、非線形抵抗の式は次のよう表される。ここで、m0 、m1 と m2 は区分線形のそれぞれの傾きを表し、Bp1 と Bp2 はブレークポイントを表す。

互インダクタや相互キャパシタでそれぞれを結合した。
その回路図を図 3 と図 4 に示す。この回路モデルの正規i2R

R2+v20C 20i1RR1-+v10

C 10-iR = m2 v1 + 0.5(m0 − m1 )[|v1 + Bp1 | − |v1 − Bp1 |]図3+ 0.5(m1 − m2 )[|v1 + Bp2 | − |v1 − Bp2 |], (1)２つの伝送線路を持つ Chua 回路

i2R

R2L21i21iR

RL

i1R+v20

C 20-R1M2C22v22C23-i11i+v1C1-C2-

図4R

C 2n-

...

v2n
L 1ni1n+v12C12-

v13C13-...

+v1n

C 1n-

伝送線路を離散化した回路モデルx˙10x˙11Bp2-B p1vRm0m2m1

図2...

+

化された式は次のように表され、４次の Rune-Kutta 法
によりコンピューターシミュレーションをした結果は図5 と図 6 のようになる。これらの結果より、相互インダクタで結合した場合は逆相で同期し、相互キャパシタで結合した場合は同相で同期する事を確認した。

図 1 Chua
回路i-B p1-

MnCnv2-

Bp1-

C3v23

L 12+v11C11+i12+v10

C 10++i2nC2+v21
L11-

C21...

i22M1C1+L 2nL 22非線形抵抗の v − i 特性

これまでに、LC 共振器を伝送線路に置き換えた遅延時間を含む Chua 回路の研究がされているが [1]、本研
究では、伝送線路を含む Chua 回路を２つ並べた時に、その伝送線路でみられるクロストーク現象による２つの回路の同期現象について調査する。

2同方向に結合した場合
我々は伝送線路を適当な数で離散化して集中定数回路としてみなし、さらにクロストーク現象の影響として相S-25= x11 − x10 − f (x10 )= α11 (y11 − x11 + x10 )−β11 (y21 − x21 + x20 )x1k
˙= α1k (y1k − y1(k−1) ) − β1k (y2k − y2(k−1) )x˙20 = ζ(x21 − x20 − f (x20 ))x˙21 = α21 (y21 − ζ(x21 − x10 ))−β21 (y11 − x11 + x10 )x2k
˙= α2k (y2k − y2(k−1) ) − βjk (y1k − y1(k−1) )y˙jl = γjl (xj(l+1) − xjl ) + βl (x(j+1)(l+1) − xjl )(2)
ここで、xj(n+1) = 0。
f (xj0 ) = cj xj0 + 0.5(aj − bj )(|xj0 + 1| − |xj0 − 1|)+ 0.5(bj − cj )(|xj0 + dj | − |xj0 − dj |),(3)

2007 年 電子情報通信学会総合大会

AS-2-1(a) m = 10、β = 6.5

図 5 相互インダクタで結合した場合のシミュレーショ
ン結果 (γ=1.0、βl =4.0)(b) m = 5、β = 9

図 6 相互キャパシタで結合した場合のシミュレーショ
ン結果 (γ=1.0、βjk =0.092)

3(c) m = 1、β = 14

逆方向に結合した場合同様の手法で、２つの Chua 回路を逆方向から結合した場合を調査した。その回路図は図 7 と図 8 のようになる。また、クロストーク現象の影響として相互インダ+

R1

C 20v20-

C 10+v10-

図 7 ２つの伝送線路を持つ Chua 回路を逆方向に並べた回路図
i 2ni 2n-1i 2n-2i 23i 22i 21...
M1M2+v 2n+v 10-+i 11+v 11v 12--M3+v 2n-1-

i 12+v 2n-2v 14--

i 1n-2i 1n-1+v 1n-2...

v 1n-1--+v 22-++v 13+v 23-

i 13+Mm+v 21--+v 20-

i 1n+v 1n-

図 8 クロストーク現象を相互インダクタで表した回路
モデル
クタで結合した場合のシミュレーション結果を図 9 に示す。ここで、β は結合の強さを示しており、m は伝送線路部分の重なり具合を示している。つまり、m = 10 は伝送線路部分のすべての相互インダクタが結合されている事を意味し、m = 5 は伝送線路部分が半分だけ影響しあっている事を意味し、m = 1 は端の相互インダクタのみでつながっている事を意味する。これらの結果より、逆方向から結合しているにもかかわらず、２つの回路は逆相同期をする事を確認した。

4同期平面上の解同期平面上の解を探索するために、次のように新しく変数を定義する。

pjk= x1k − x2kqjk= y1k − y2k

この変数を用いることにより、回路方程式式は次のように得られる。

iR (v20)R2iR (v10)

図 9 相互インダクタで結合した場合のシミュレーショ
ン結果

(4)

S-26

pj0
˙pj1
˙pj2
˙pj3
˙..
.

C

= Cj0
pj1 − pj0 − f (pj0 )j1= αj1 (qj1 − pj1 + pj0 )= αj2 (qj2 − qj1 ) − βjk (q(j+1)(n−1) − q(j+1)n )= αj3 (qj3 − qj2 ) − βjk (q(j+1)(n−2) − q(j+1)(n−1) )

pjk
˙q˙jl

= αjk (qjk − qj(k−1) ) − βjk (q(j+1)1 − q(j+1)2 )= γjl (pj(l+1) − pjl )(5)
pjk = qjk = 0 は上の式を満たすので、同期平面状に解が存在する事が理論的に示された。また、rjk = x1k + x2k 、
sjk = yjk + yjk についても同様の議論が成り立つ事を確認しており、これは逆相同期平面状にも解が存在する事を示してしる。
5

おわりに本研究で、我々は無損失伝送線路を持つ２つの Chua回路について調べた。クロストーク現象の影響として相互インダクタや相互キャパシタでモデル化し、コンピュータシミュレーションをした結果、興味深い現象を確認できた。今後の課題として、同期平面上の解の安定性を調査する事により、今回確認した現象を裏づける事である。
参考文献[1] J. Kawata, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysisof Chua’s Circuit with Transmission Line,” IEEE
Transactions on Circuits and Systems I, vol. 44,
no. 6, pp. 556-558, 1997.