受験番号 Examinee number
令和 5 年度 東京大学大学院工学系研究科 技術経営戦略学専攻 入学試験

専門試験（数理的及び論理的思考能力を見るための問題）
令和 4 年 8 月 29 日（月）13:00〜15:00
試験時間 120 分
2023 Entrance Examination, Department of Technology Management for Innovation,
Graduate School of Engineering, The University of Tokyo

Specialized Subjects (Problems designed to test mathematical and logicalability)
13:00 – 15:00, Monday, August 29, 2022
Answer Time: 120 minutes

配布物 Distributions
1.

本冊⼦（1 冊） This booklet (1 piece)2.

事前配布論⽂（2 篇）Pre-distributed paper (2 articles)3.

解答⽤紙冊⼦（1 冊） Answer sheet booklet (1 piece)4.

草稿⽤紙冊⼦（1 冊） Draft sheet booklet (1 piece)

注意事項 General instructions○

解答開始の合図があるまで，問題冊⼦を開かないこと。Do not open this booklet until the start of theexamination is announced.

○

上記配布物がすべて⼿元にあるか確認し，不⾜がある場合には申し出ること。Check that thedistributions above are on your desktop. Notify your proctor if any of them is missing.

○

落丁，乱丁，印刷不鮮明があった場合には申し出ること。Notify your proctor if there are missing,disordered or unclearly printed pages.

○

問題冊⼦（本冊⼦），解答⽤紙冊⼦および草稿⽤紙冊⼦の表紙に，受験番号を記⼊すること。また，解答⽤紙冊⼦の各ページの指定された箇所に受験番号を忘れず記⼊すること。Fill your examineenumber at the cover page of this booklet, Answer sheet booklet and Draft sheet booklet, respectively. Also, do
not forget to fill your examination number in the designated place at each page of Answer sheet booklet.

○

必要であれば，解答⽤紙の裏⾯を使って良い。You may use the reverse sides of answer sheets, if necessary.

○

各冊⼦のホチキス⽌めを外して使⽤しないこと。Do not remove the staples from each booklet.

○

⽇本語または英語で解答すること。Answers must be written in Japanese or English.

○

全ての配布物は持ち帰らないこと。Do not take any distributed items with you after the examination.

1

（空⽩ページ）2

（空⽩ページ）3

（空⽩ページ）4（空⽩ページ）5

第1問

Problem 1Ⅰ.

ある⽣物種の個体数の変化に関する以下の問いに答えよ。
1.

!"

時刻 𝑡 において，とある環境に存在する⽣物種の個体数を 𝑁(𝑡) とする。今その増加率 !#が，個体数 𝑁 そのものと⽐例定数 𝑟 で⽐例すると考えられるとき，個体数 𝑁(𝑡) を求めよ。ただし，𝑁(0) = 4 とし，また 𝑟 = 2 とせよ。
2.

上記のモデルに環境の制約を加える。具体的には 𝑟 が定数ではなく，以下の式(1)に従うと仮定する。その時，𝑁(𝑡) を求めよ。ただし，𝑁(0) = 2，また 𝑟$ = 20, 𝛽 = 2 とせよ。
𝑟 = 𝑟$ − 𝛽𝑁(𝑡)

3.

(1)

!"

!"

問 I.2 の仮定の下で，𝑁(𝑡) と !# の関係を表すグラフの概形を描け。そのうえで !# が最⼤となる個体数 𝑁 を求めよ。

Ⅰ.

Answer the following questions about the population of a certain species of creatures.
1.

The population of a certain species in a specific environment at time 𝑡 is denoted as 𝑁(𝑡). Find!"

𝑁(𝑡), when its growth ratio, !# , is directly proportional to 𝑁 and its proportionality constant is 𝑟.
Let 𝑁(0) = 4 and 𝑟 = 2.
2.

The environmental constraints are introduced to the model in Question I.1. Find 𝑁(𝑡), when 𝑟follows the following Equation (1). Let 𝑁(0) = 2, 𝑟$ = 20 and 𝛽 = 2.
𝑟 = 𝑟$ − 𝛽𝑁(𝑡)

3.

(1)

Using the same assumption of Question I.2, plot the graph representing the relationship between 𝑁!"!"

and !# . Also, obtain 𝑁 that gives the maximum value of !# .

6

Ⅱ.

直交座標系 𝑥𝑦𝑧 において式(2)で表される平⾯と式(3)で表される曲⾯で囲まれた領域に関する以下の問いに答えよ。
𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦(2)𝑧 = 𝑥% + 𝑦%(3)1. 平⾯と曲⾯の交線を 𝑥𝑦 平⾯に正射影してえられる曲線を求めよ。
2. 問 II.1 の結果を⽤いてその領域の体積を求めよ。
II.

Answer the following questions concerning the region bounded by the plane given by Equation (2) and thecurved surface given by Equation (3) in the orthogonal Cartesian coordinate system 𝑥𝑦𝑧.
𝑧 = 2𝑥 + 4𝑦(2)𝑧 = 𝑥% + 𝑦%(3)

1. Find the orthogonal projection on the 𝑥𝑦 plane of the curve of intersection of the plane and curved
surface.
2. Obtain the volume of the region, using the result of Question II.1.

（裏⾯へ続く）7

III.

区間 𝐼 において関数 𝑓(𝑥)（𝑥 ∈ 𝐼）が無限回微分可能で，かつ任意の 𝑛 階の導関数 𝑓 (')(𝑥) が区間 𝐼 において連続であるとする。このとき，任意の点 𝑎（𝑎 ∈ 𝐼）について，以下のテイラーの式が成り⽴つ。
)

𝑓(𝑥) = 8'*$𝑓 (') (𝑎)(𝑥 − 𝑎)'𝑛!

(4)

このとき，以下の問いに答えよ。
1. 𝑎 = 0 とする。このとき，式(4)を⽤いて sin 𝑥 を 𝑥 に関するべき級数の形で表せ。
2. 問 III.1 の結果を⽤いて sin 2° の近似値を有効数字 4 桁で求めなさい．ただし，𝜋 = 3.14159とせよ。
3. 𝑎 = 0 とする。このとき，問 III.1 の結果を⽤いて+,-. +を 𝑥 に関する 4 次までのべき級数の形で近似せよ。
III.

Suppose that a function 𝑓(𝑥) ( 𝑥 ∈ 𝐼 ) is infinitely differentiable in the interval 𝐼 and that any 𝑛 thderivative 𝑓 (') (𝑥) is continuous in the interval 𝐼. In this case, for any point 𝑎 (𝑎 ∈ 𝐼), the following
Taylor's formula holds.
)

𝑓(𝑥) = 8'*$𝑓 (') (𝑎)(𝑥 − 𝑎)'𝑛!

(4)

Based on this, answer the following questions.
1.

Let 𝑎 = 0. Express sin 𝑥 in the form of a power series related to 𝑥 using Equation (4).

2.

Find an approximate value of sin 2° with 4 significant digits using the result of Question III.1.
Assume 𝜋 = 3.14159.

3.

+Let 𝑎 = 0. Approximate ,-. + in the form of a power series up to the fourth order related to 𝑥 using
the result of Question III.1.

8IV.

ある材料を調達するとき，試作品を 5 つ作成して材料の強度が要求性能を満たしているかどうか統計的に検定する問題を考える。このとき，以下の問いに答えよ。
1.

材料の要求性能を「500 N/mm2 以上」とする。5 つの試作品について得られた強度は，試作品 A が 500 N/mm2，試作品 B, C, D, E はすべて 600 N/mm2 であったと報告を受けた。このとき，この材料が上記の要求性能を満たしているかどうかについて，95%信頼区間の⽚側 t検定により検定せよ。なお，⺟平均を 𝜇，標本平均を xE，標本数を 𝑛，不偏標準偏差を 𝑠とすると，⺟平均と標本平均の差異に関する値
t=xE − 𝜇𝑠⁄√𝑛(5)はスチューデントの t 分布に従うものとし，⾃由度 4 で⽚側 5%の t 値は 2.132 であることを利⽤せよ。
2.

問 IV.1 と同様に材料の要求性能を「500 N/mm2 以上」とする。今度は，5 つの試作品について得られた強度が，試作品 A が 500 N/mm2，試作品 B, C, D, E は 600 N/mm2 以上であったと報告を受けた。このとき，要求性能は必ず満たされているといえるかどうか，理由とともに述べよ。なお，要求性能が満たされるかは問 IV.1 と同様に 95%信頼区間の⽚側 t 検定によって判断するものとする。

IV.

Consider a problem on the statistical test in procuring a material whether its strength should meet the required
performance or not by creating its five prototypes. Answer the following questions.
1.

Let the required performance of the material be “500 N/mm2 or more”. It is reported that among fiveprototypes, the strength of prototype A was 500 N/mm2, and the strengths of prototypes B, C, D, andE were all 600 N/mm2. Test by a one-tailed t-test for a 95% confidence interval whether the material
meets the required performance or not. Notably, let 𝜇 be the population average, xE be the sample
average, 𝑛 be the number of samples, and 𝑠 be the unbiased standard deviation, then assume that avalue on the difference between the population and sample averages is expressed as
t=xE − 𝜇𝑠⁄√𝑛(5)and follows the Student’s t-distribution, and assume that the t-value is 2.132 for 5% on one-tailed with
4 degrees of freedom.
2.

Similar to Question IV.1, let the required performance of the material be “500 N/mm2 or more”. This
time it is reported that among five prototypes, the strength of prototype A was 500 N/mm2, and thestrengths of prototypes B, C, D, and E were all 600 N/mm2 or more. State with a reason whether thematerial always meets the required performance or not. Note that whether the material meets therequired performance can be judged by a one-tailed t-test for a 95% confidence interval as withQuestion IV.1.
（裏⾯へ続く）9

第2問

Problem 2
事前に送付した論⽂（H. R. Varian, “Big Data: New Tricks for Econometrics”, Journal of Economic Perspectives,Vol. 28, No. 2, pp. 3-28, Spring 2014）に関して，以下の問題に答えよ。
Answer the following questions regarding the paper sent to you beforehand (H. R. Varian, “Big Data: New Tricks
for Econometrics”, Journal of Economic Perspectives, Vol. 28, No. 2, pp. 3-28, Spring 2014).

I.

ボストンの mortgage lending のデータ分析結果について，本論⽂では⼈種の変数の重要度がそれほど⾼くないと指摘している。そのように，データ分析において，重要な変数であるかどうかを判断するための１つの⽅法として，論⽂中でどのように主張されているか。該当する 1 ⽂を抜き出せ。

I.

Regarding the result of data analysis on mortgage lending in Boston, the paper points out that the variable ofrace is less important. Like that, as the way of judging whether a variable is important or not in data analysis,
what does the author claim in the paper? Pick up one sentence from the paper corresponding to that.

II.

本論⽂では，タイタニック号の⽣存者のデータを使った分析結果が紹介されている。同じデータを使って，以下の確率を求めよ。ただし，論⽂ p.9 の Table 2 で⽰されたデータ以外に乗客者はいないものとする。
1.

タイタニック乗客者リストの中から無作為に 1 ⼈取り出したとき，⽣存者であった。それが 1 等客室 (Class 1) か２等客室 (Class 2) の乗客のいずれかである確率を求めよ。

2.

タイタニック乗客者のリストから無作為に 2 ⼈取り出したとき，少なくとも 1 ⼈は⽣存者であった。取り出した 2 ⼈が共に 3 等客室（Class 3）の乗客である確率を求めよ。

II.

The paper introduces the results analyzed with the Titanic survivor’s data. Calculate the following
probabilities using the same data. Assume that there is no passenger other than the data presented in Table 2
on p.9 in the paper.
1.

When one person was randomly selected from the Titanic passenger list, the person was a survivor.
Calculate the probability that the selected person was either a Class 1 or Class 2 passenger.

2.

When two persons were randomly selected from the Titanic passenger list, at least one of the two wasa survivor. Calculate the probability that the two selected persons were Class 3 passengers.
10III.

論⽂中で議論されている「因果関係」について，次の問いに答えよ。
1.

p.21〜p.24 に出てくる「the counterfactual」とはどのような意味か。(50 字程度)

2.

本論⽂では control experiments よりも BSTS のような機械学習のアプローチの優位性を主張している。その理由について，論⽂中で説明されている内容を要約せよ。(300 字程度)III.

Answer the following questions related to “causality” discussed in the paper.
1.

Explain the meaning of “the counterfactual”, which appears on pages 21-24. (Approximately 25words)

2.

The paper insists that a machine leaning approach like BSTS has advantages over control experiments.
Summarize the reason explained in the paper. (Approximately 150 words)（裏⾯へ続く）11

第3問

Problem 3
事前に送付した論⽂（G. O. Mohler, M. B. Short, P. J. Brantingham, F. P. Schoenberg, and G. E. Tita, “SelfExciting Point Process Modeling of Crime”, Journal of the American Statistical Association, Vol. 106, Issue 493,
pp. 100-108, March 2011）に関して，以下の問題に答えよ。
Answer the following questions regarding the paper sent to you beforehand (G. O. Mohler, M. B. Short, P. J.
Brantingham, F. P. Schoenberg, and G. E. Tita, “Self-Exciting Point Process Modeling of Crime”, Journal of theAmerican Statistical Association, Vol. 106, Issue 493, pp. 100-108, March 2011).

I.

論⽂では，地震と犯罪の発⽣パターンの類似性に基づき，地震予測に使われるモデル（self-excitingpoint process）を犯罪発⽣の予測に適⽤している。
1.

地震と犯罪の発⽣パターンにどのような類似性があるかについて，論⽂中の例を使いながら述べよ。
（200 字程度）

2.

問 I.1 で述べた類似性から self-exciting point process モデルが適⽤可能と考えられる他の例を，理由と共に 1 つ挙げよ。
（100 字程度）

I.

Based on the similarity between the occurrence pattern of earthquakes and crimes, this paper applies themodel used for earthquake prediction (self-exciting point process) to crime prediction.
1.

Describe the similarity between the earthquake and crime patterns using the example(s) in the paper.
(Approximately 100 words)

2.

Based on the similarity described in Question I.1, give another example where the self-exciting point
process model is applicable, together with its reason. (Approximately 50 words)

12

II.

本論⽂で提案されている犯罪発⽣のモデルに関して，次の問いに答えよ。
1.

本論⽂では，ノンパラメトリックな⽅法を使って式(10)（論⽂中 p.102）の g を推定している。ノンパラメトリックな⽅法を利⽤した理由を要約せよ。
（100 字程度）

2.

図６（論⽂中 p.105）の内容をふまえ，実社会でこの犯罪発⽣のモデルを利⽤できる具体的な応⽤例を１つ挙げ，その利点を含めて述べよ。
（200 字程度）

3.

本論⽂で⽰されている犯罪発⽣モデルのようなデータに基づくモデルを活⽤する際に，モデルの正確さ以外に実務者が考慮すべき点を述べよ。
（300 字程度）

II.

Answer the following questions regarding the proposed model of the occurrence of crime.
1.

In this paper, the authors estimate g in Equation (10) (p.102 of the paper) using a nonparametricmethod. Summarize the reason why they use a nonparametric method. (Approximately 50 words)

2.

Based on the results shown in Figure 6 (p.105 of the paper), describe one concrete application example
that the crime occurrence model can be used in the real world with its benefit(s). (Approximately 100words)

3.

Toward utilizing data-driven models such as the crime occurrence model presented in this paper,describe the point(s) that practitioners should consider other than the accuracy of the model.
(Approximately 150 words)

13

（空⽩ページ）14

（空⽩ページ）15