社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

一次元座標上に配置された 3 つの非対称ネットワークにおける同期現象の調査
塩本純†

上手洋子†

オットトーマス††西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770-0861 徳島県徳島市南常三島 2-1†† チューリッヒ応用科学大学
E-mail: †{shiomoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
あらまし 本研究では, 結合カオス回路における同期現象の調査を行う. カオス回路は一次元座標システム上に抵抗により結合される. 回路間の距離を変化させることによって, その距離に対応した結合強度になるよう設定する. そして,グループ内の回路間の距離を変化させた際の同期現象の調査を行う. また, コンピュータシミュレーションを用いて位相差の測定を行う. コンピュータシミュレーションより, システムが対称なシステムから非対称なシステムに変化した
際に, クラスタ間同期の崩壊を確認することができた. さらに, 3 つのネットワークトポロジーにおいて結果の比較を行った.
キーワード

同期現象, カオス回路, クラスタリング

Investigation of Synchronization Phenomena
in Three Asymmetrical Networks
Arranged in One-Dimensional Coordinate
Jun SHIOMOTO† , Yoko UWATE† , Thomas OTT†† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronics Engineering, Tokushima University†† Einsiedlerstrasse 31a, 8820 Waedenswil, Switzerland
E-mail: †{shiomoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
Abstract In this study, we investigate synchronization phenomena of coupled chaotic circuits. The chaotic circuits
are combined by resisters on one-dimensional coordinate system. We set the coupling strength that corresponds
to the distance by changing the distance between the circuits. We investigate synchronization phenomena when
the distance between the circuits in the group is changed. Also, we measure the phase diﬀerence using computer
simulations. From the computer simulations, we could make sure of the breakdown of inter-cluster synchronization
when the system is changed from the symmetrical system to the asymmetrical system. Additionally, we compare
the results of three network topologies.
Key words Synchronization, Chaotic Circuit, Clustering

1. ま え が き
同期現象は, 自然界で観測することのできる典型的な非線形現象のひとつである. 近年では, カオス回路を用いた同期現象についての多くの研究が行われている [1]∼ [5]. 本研究では, ネットワーク構造の違いが回路全体にどのような影響を及ぼしているのか, ということに焦点を当てている.
我々の研究グループでは, 一次元座標上に配置された結合カオス回路を対称なネットワークから非対称なネットワークに変化させた際の同期現象についての調査結果を報告している. 隣合ったカオス回路のみが結合されているラダーシステムのみが用いられており, カオス回路は抵抗により結合されている. カオス回路は常に 10 個用いており, 対称なネットワークと非対称なネットワークについて調査された. 中央の回路間の距離は固定されており, グループ内の回路間の距離を変化させた際の同期現象について調査を行う. その結果, システムが対称なネットワークから非対称なネットワークに変化した際に, クラスタ間同期の崩壊を確認することができた [6].

—1—

本研究では, 3 つのネットワークトポロジーを用いて研究を行っている. そのネットワークトポロジーとは, ラダーシステ用いることにより式 (2) は正規化され, 式 (3) のような式を得ることができる.

ム, ブリッジシステム, 完全結合システムの 3 つである. 完全結√合システムとは, カオス回路が他の全てのカオス回路と結合さi1 =れているシステムであり, ブリッジシステムとは, グループ内の√カオス回路のみが完全結合されているシステムである. 図 1 はrそれぞれのシステムモデルを表している. 我々は, 3 つのネットワークトポロジーでの位相状態の結果の比較を行っている.

(a) ラダーシステム.

√C
V x;
L1

L1 C
V y;
L2

i2 =√v = V z;

L C

L1= α; L= β; rd L21 = δ;2√dt = L1 Cτ ; “ · ” = dτ;CL1ẋ

=αx + zẏ=z − f (y)=−x − βy ż(b) 完全結合システム.

(3)

また, 式 (3) 中の f (y) は次の式 (4) のように記述することができる.

f (y) =(c) ブリッジシステム.

図1δ2(y+1
1− y−δδ)(4)

図 3 は, コンピュータシミュレーションを用いた場合 (図システムモデル.

3(a)) と回路実験を行った場合 (図 3(b)) のカオスアトラクタ

2. 回路モデルを表している. コンピュータシミュレーションを行った場合,

図 2 は, カオス回路モデルを表している. これは, 西尾・稲葉

各パラメータはそれぞれ α = 0.460, β = 3.0, δ = 470 に設定している. また, 回路実験を行った場合は, それぞれの素回路と呼ばれるカオス回路である [7]∼ [8].

子の値を L1 = 500[mH], L2 = 200[mH], C = 0.0153[µF ],rd = 1.46[M Ω] に設定している.

zCC

図 2 西尾・稲葉カオス回路.

x

このカオス回路は, キャパシタ, インダクタ, 負性抵抗, 二つのダイオードで構成された非線形抵抗により構成されている.

(a) コンピュータシミュレー

この非線形抵抗の I − V 特性は式 (1) で示され, パラメータ rd

ション.

はダイオードのオフ抵抗に対応している.

vd (i2 ) =rd
2(i2 +VV− i2 −rdrd

図 3 カオスアトラクタ.

).

(1)

る場合, 回路方程式は式 (6)∼ 式 (8) のように表せる.
パラメータ γ{i,j} は回路間の結合強度を表している. また, パ方程式により表すことができる.

di2L2
dt
 C dvdt

ラダーシステムでは, カオス回路は隣合っている回路のみが結合されている. 隣合っているカオス回路のみが結合されていまた, 回路のダイナミクスは次のような三次の区分線系常微分di1
L1dt
(b) 回路実験.

ラメータ γ{i,j} は回路間の距離にも対応しており, 次の式 (5)で記述することができる.

=v + ri1=v − vd (i2 )=−i1 − i2

γ{i,j} =(2)式 (2) 中の各変数を, 以下のような変数変換及びパラメータを

g.
(di,j )2(5)パラメータ di,j は, i 番目と j 番目の回路間のユークリッド距離を表している. また, パラメータ g は結合強度を決定するための結合係数であり, 定数である. 本研究では, パラメータ g の値を g = 1.0 × 10−3 に設定している.

—2—

CC1 :

 ẋ1=

αx1 + z1ẏ1=z1 − f (y1 )ż1=−x1 − βy1 − γ{1,2} (z1 − z2 )ẋn

=αxn + znẏn=zn − f (yn )

żn




=−xn − βyn − γ{n,n−1} (zn − zn−1 )



(6)

図 4 ネットワーク構造.

CCn :

(7)
図 5 対称なネットワーク構造.

−γ{n,n+1} (zn − zn+1 )ネットワーク構造である. この対称なネットワーク構造から非CCN :

ẋN


=

αxN + zNẏN

=zN − f (yN )żN

=−xN − βyN対称なネットワーク構造まで変化させる. ここで, 回路間の距離を変えることにより結合強度が変化する.

(8)

左側のグループ内の回路間の距離を d1 と定義する. 同様に, 右側のグループ内の回路間の距離を d2 と定義する. そして, 中央−γ{N,N −1} (zN − zN −1 )の回路間の距離を dcenter と定義する. 今回のシミュレーショ

完全結合システムでは, 回路方程式は式 (9) のようになる.

ンでは, dcenter の値と d2 の値を固定し, d1 の値のみを変化させる. d1 の値を徐々に小さくしていき, d1 の値を 0.3 から 0.1

ẋi

=αxi + ziẏi=zi − f (yi )żi

=−xi − βyi −まで変化させる. この時の非対称なネットワーク構造を図 6 に∑Nγ(z − zj )j=1 {i,j} i(9)示す.

(i, j = 1, 2, · · ·, N )ブリッジシステムでは, 回路方程式は式 (10) のようになる. この式は回路数が 10 個の場合の式である.


 ẋi

 ẏ

=

αxi + zii

=zi − f (yi )

żi




=−xi − βyi − Γ

図 6 非対称なネットワーク構造.

(10)コンピュータシミュレーションを用いて回路間の位相差を測定する. そして, 対称なネットワーク構造から非対称なネット(i = 1, 2, · · ·, N )ワーク構造に変化した際に位相差がどのように変化するか測定

CC1∼4 :する.

∑5Γ = γ{n,k} (5 · zn −zk )(n = 1, 2, 3, 4)

k=1

CC5 :
Γ = γ{5,k} (6 · z5 −6∑

4. シミュレーション結果
図 7 ∼ 図 9 にそれぞれのシステムでのシミュレーション結果
を示す.

zk )

k=1

システムの対称性により, CC6 ∼ CC10 についての式は省略する.

3. シミュレーション方法
我々は一次元座標上に配置された 3 種類のネットワークトポロジーを用いてコンピュータシミュレーションを行う. また, コンピュータシミュレーションにおいて 10 個のカオス回路を用いる. そして, 対称になるように 2 つのグループに分割し, １つのグループにカオス回路が 5 個になるよう設定する.

図 7 シミュレーション結果 (ラダーシステム).

左側のグループと右側のグループでは回路間の距離は 0.3, 中央の回路間の距離は 0.5 に設定する. 対称な場合のネットワーク構造を図 5 に示す. 5 番目と 6 番目の回路間を軸に左右対称な—3—

図 10 の結果より, ラダーシステムでは位相差が徐々に大きくなっていき, d1 = 0.19 あたりで中央の回路間が非同期になっていることが分かる. ブリッジシステムでは, ラダーシステムと同様に徐々に位相差が大きくなっていき, d1 = 0.22 あたりで中央の回路間が非同期になっている. ブリッジシステムの結合数がラダーシステムの結合数より多いにも関わらず, ブリッジシステムの方がラダーシステムよりも早く非同期になった. ブリッジシステムではグループ内の回路のみが完全結合されている. グループ内の回路が完全結合されていることにより, シス
図8

シミュレーション結果 (ブリッジシステム).

テムの対称性が崩れた際にグループ内での結合が強くなり, ラダーシステムよりも早く中央の回路間が非同期になったと考えられる. 完全結合システムでは, 結合数が多いため中央の回路間は非同期にならなかった.
これらの結果より, 同期の強さはシステムにおける結合の数には依存しないということが確認できた.

5. ま と め
本研究では, 結合カオス回路ネットワークにおける同期現象の調査を行った. また, 対称なネットワーク構造と非対称なネットワーク構造での位相差の調査も行った. さらに, 3 つのシステ
図9

シミュレーション結果 (完全結合システム).

ムにおける結果の比較をし, 考察した. コンピュータシミュレーションより, それぞれのシステムにおいて, 似たような現象を確それぞれのシステムにおいて, 位相差の変化に同じような傾向が見られた. d1 の値を徐々に小さくしていくと, 左側のグ認することができた. さらに, 3 つのシステムを比較することにより, 興味深い結果を確認することができた.

ループの位相差は小さくなっていき同期が強くなった. 中央の今後の課題として, 回路実験でも同じ結果を確認し, 本研究で回路間はシステムの対称性が崩れることによって位相差が大き確認することができた現象についてさらに細かく考察していきくなり同期が弱くなった. ラダーシステムとブリッジシステムたいと考えている.

では中央の回路間は非同期になったが, 完全結合システムでは回路間の結合数が多いため, 位相差が大きくなるが非同期にはならなかった. 右側のグループでは, 位相差が徐々に大きくなり, 中央の回路間が非同期になったあたりで位相差は小さくなっていき同期に近づいた. 完全結合システムでは, 中央の回路間が非同期にならなかったためか, 右側のグループも位相差は小さくならなかった. また, それぞれのシステムにおいて, d1 = 0.5で発散し, それ以下の値の結果をとることができなかった.
次に示す図 10 はそれぞれのシステムを比較したグラフである. このグラフは中央の回路間の位相差のみの比較のグラフである.

図 10 結果の比較 (中央の回路間).

謝辞
本研究の一部は, JSPS 科研費 26540127 の助成を受けたものである．
文

献[1] N.F. Rullckov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchronized Chaotic Oscillations,” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.
[2] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,pp. 869-875, 1997.
[3] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Analysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.
Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.
[4] G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,”
Physica A: vol. 305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[5] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.
[6] J. Shiomoto, Y. Uwate, T. Ott and Y. Nishio, “Breakdown of Inter-Cluster Synchronization of Coupled ChaoticCircuits Arranged in One-Dimensional Coordinate,” Proc.
NOLTA’14, pp.640-643, Sep. 2014.
[7] R. Stoop, P. Benner and Y. Uwate, “Real-World Existenceand Origins of the Spiral Organization of Shrimp-Shaped
Domains,” Phys. Rev. Lett., 105, 074102, Aug. 2010.
[8] C. Bonatto and J. A. C. Gallas, “Periodicity Hub andNested Spirals in the Phase Diagram of a Simple ResistiveCircuit,” Phys. Rev. Lett., 101, 054101, Aug. 2008.

—4—