一般社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
社団法人 電子情報通信学会
INFORMATIONAND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
IEICE Technical Report
NLP2019-50(2019-09)

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

複雑カオス回路ネットワークにおけるエッジの位置と同期
藤井喬平†

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{fujii,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では、20 個のカオス回路を結合することで制作されたネットワークを用いて同期現象を調査した。

ネットワークの中で一つの注目する結合を選び、それ以外の一つのみを選択して結合を弱める。この時に注目した結合においてどのような同期の変化が起こるかを調べる。
キーワードカオス回路、複雑ネットワーク、同期現象

Position of Edges and Synchronization in Complex Chaotic Circuit Networks.
Kyohei FUJII† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{fujii,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract
In this study, we investigate synchronization phenomena in complex networks using chaotic circuit. The proposedchaotic circuits network has Scale-free and diﬀerence coupling strength by number of links. We investigate eﬀect oflinks at other links. In this study, we observed that coupling strength is not eﬀected at other link’s synchronization.
Key words Chaotic circuit, Complex networks, Synchronization.

1. ま え が き

2. 回路モデル

同期現象は我々の日常の至るところで観察されている。例

本研究で使用するカオス回路モデルを図 1 に示す。この回路として、カエルの合唱や、ホタルの明滅、心臓の拍動などがあは神力・森回路と呼ばれるカオス回路であり、負性抵抗、インる。特に発振器の同期現象は非常に興味深く、複雑ネットワーダクタ、2 つのキャパシタ、6 つのダイオードにより構成されクは様々な分野で注目を集めている [1] [2]。ネットワークを特ている [5]。この回路方程式を式 (1) に示す。

徴づける要素は次数分布や平均パス長、クラスタリング係数などがある。また、カオス回路を用いた複雑ネットワークも研究されているが、結合強度やハブに対して着目した研究は少な
い [3] [4]。
本研究では、結合カオス回路の複雑ネットワークにおける同期現象の調査を行った。実社会において形成される複雑ネットワークにおいては、その中に多くのノードと接続するハブが自然発生する場合が多い。今回作成したモデルにおいては、ハブが 3 つ存在する。ノードの数は 20 あり、ハブとその他のノードでは所有するリンクの数が大きく離れるように設計した。また、いくつかのノードは密集しないように作られており、ハブ

図 1: カオス発生回路.

から見た時に複数の回路をまたいだ間接的結合を持っているように設計されている。ネットワーク内における一つの結合のみを開放、または弱めた時に他の結合における同期はどのように変化するのかを調べた。

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This article is a technical report without peer review, and its polished and/or extended version may be published elsewhere.
Copyright ©2019 by IEICEdi1L= V2n ,dt

dV1n= gV1n − idn ,C1(1)dt


dV2n

C2= idn − in .
dt


二対のダイオードによる非線形抵抗の特性を式 (2) に示す。



Gd(V1n − V2n − V ) (V1n − V2n > V ),






idn =0, (|V1n − V2n | < V ),





Gd(V1n − V2n + V ), (V1n − V2n < −V ).



(2)
図 2: 複雑ネットワーク.

以下に、変数変換およびパラメータを記載する。

√

C2

V xn , V1n = V yn , V2n = V zn
in =L√t=LC2 τ, α =C2,C1√√√LL1L
 β=Gd, γ =g, δ =.
C2C2R

このネットワークモデルの正規化方程式は式 (6) のように表すことができる。

dx= zn ,dτ dy(3)∑= αγyn − αf (yn − zn ) − αδdτ dz = f (y − z ) − x .
nnn

 dτ

C2

以下の式 (4) は前述のパラメータを用いて正規化したもので(yn − yk ),(6)k∈Snある。
式 (6) において、n は結合回路数を表し、δ は回路間の結合強dx= zn ,dτ
 dy度を示す。またパラメータ α = 0.500, β = 20.000 , γ = 0.500と設定する。

= αγyn − αf (yn − zn ),dτ

dz

= f (yn − zn ) − xn .
 dτ

本研究において、ノード間の結合強度 δ はノードが結合して(4)いる他のノードの数の差によって定める。この値は以下の式によって導かれる。この式内で、u は結合に繋がっている二つの回路が繋がっているノード数の差である。それぞれが持つ回路の差が 0 の時に値が算出できないといった自体にならないよう

この式における、 f (yn − zn ) を以下に示す。

f (yn − zn ) =にするため、回路数の差には 1 を足している。

 β(yn − zn − 1) (yn − zn > 1),
0, (|yn − zn | < 1), β(yn − zn + 1), (yn − zn < −1).


{
δ=1.0
1.0 + u(7)(5)
表 1: 結合強度の値

3. システムモデル

ノード数の差

7654

結合強度

0.125

0.14280.16660.2000

ノード数の差3210

結合強度0.2500

0.3333

0.500

1.000

本研究で用いられるネットワークを図 2 に示す。このネットワークは、スケールフリー性を有しており、複数の回路をまたいで繋がっている間接的な結合を持つように設計されている。

本研究の同期の定義は回路間の電圧差によって定める。方程式 (7) で同期を定義する。

このネットワーク内には、全体の三割を超える数他のノード|yj − yi | < 0.03と結合しているノードがある。これをハブと呼ぶ。ハブとなったノード以外の物は、1 から 3 までの数結合するように設計した。

(i, j = 1, 2, · · ·, 10)(8)

本研究では、同期が発生した回数の割合を計測回数全体から計算する。百分率で表すこの値を以降は同期率と呼ぶ。計測回数は 100 万回である。

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4. シミュレーション結果
図 3 は、ハブに繋がっている全ての結合に関して計測を行ったものである。全ての結合強度の値に等しく倍率を掛け、その時の同期率を計測する。倍率は、0 から 3.0 までを 0.1 毎に設定する。

図 5: ノード数の差が 6 の結合における同期率.

図 5 においては、同期率の最低値が 27%、最高値が 72%となっている。この結果からもまた、結合強度は同一であっても同期率が違う場合があることが分かる。これを、複数の回路を
図 3: 全ての結合に倍率を掛けた時のハブが持つ結合におけるまたいで形成される間接的な結合が原因であると推定した。次に、この原因を CC18-CC19 に着目して調べる。

同期率.

図 6 は、CC1-CC6, CC6-CC12 , CC5-CC9 , CC11-CC20,

CC10-CC19 と CC4-CC5 に対して 0 から 1.0 までの倍率を掛
図 3 において結合強度に掛けられた倍率が 3.0 の時、全ての同期率は違う値であることを示している。次にこれを、結合強度が同じものという条件で分ける。

けたときの同期率を表したものである。また、ここからの実験においては値を明確にするために、全ての結合強度に 3.0 の倍率を掛けた上で行っている。

図 4 は、ノード数の差が 5 になっている結合における同期率の変化を示したものである。同様に、図 5 においてはノード数の差が 6 になる結合における同期率の変化を表している。

図 6: 特定の結合を弱めた際の同期率の変化.

図 6 では一部の結合強度に対して低い倍率を掛けた時に、大きく同期率が変化していることを示している。これらの結合は

図 4: ノード数の差が 5 の結合における同期率.

CC18-CC19 に対して間接的に結合しているために、このよう
図 4 においては、同期率の最低値が 45%、最高値が 91%となっている。この結果から、結合強度は同一であっても同期率が違う場合があることが分かる。

な結果が得られたと考えられる。
倍率を 0 か 0.1 に設定した時に大きな変化が見られたので、調べる際にはこの二つの値で調べる。次に、我々は CC18-CC19をどの結合が変化させるか調べた。CC18-CC19 は、変化があった時を除いて 80%に近い同期率を表しているので、70%を下回る時に変化が生じているものと判断した。

- 79 -—3—

ら影響を受けた数は少ない。これらの結果から、結合強度の強さや元々の同期率の高さは他の結合に対する影響とは直接的な関係は無いものと判断される。
これらの結果から、遠くに位置する結合へと影響を及ぼす原因には結合強度や同期率は大きく関係しているわけではないことがわかった。

5. ま と め
本研究では、複雑ネットワーク内における結合各々がネットワーク全体に及ぼしている影響を計測した。はじめに、ネットワーク内で同じ結合強度であるものの同期率が異なっている場合があることを調べた。この結果から、ネットワーク内におけ

図 7: CC18-CC19 を変化させた結合る複数の回路をまたいだ間接的結合が原因ではないかと推測した。それを確認するため、ネットワーク内で一つの結合に着目

図 7 より、いくつかの結合が開放されるか極端に弱くなった

し、それ以外の結合を一つのみ選んで低い倍率を掛ける。これ

時、他の結合における同期が弱くなることが分かる。しかし、により、着目した結合の同期率に対して他の結合がどのようにそれは先に提示した間接的結合によるものであるとは断定でき影響を及ぼしているかを調べた。今回の結果では、間接的結合ない。また、規則性も発見できなかった。とは違う原因で同期率の減少が起こっている可能性があると考これを調査するため、他の結合に注目した実験における結果えられた。次に、他の結合に対しても同様の実験を行い、結果と比較して考える。なお、他の結合に着目し、それ以外の結合を比較することで原因を調べた。この結果においては、結合強強度を変えた時に、0 と 0.1 のみでは変化が判りづらいものが度や同期率は他の結合に対して影響を及ぼす原因の一部であり、あった。よって、ここからは特定の一つの結合に対して着目し、他に要因があることがわかった。

それ以外の結合強度に倍率を加える時には 0 から 0.5 までの倍

この実験においては、複雑ネットワークの形状のみが調べら率を、0.1 ずつ変化させて計測を行う。特定の一つに倍率を掛けれていない項目となっている。今後の研究においては、同数のていない時に計測した同期率より 10%を下回っている場合、同ノードで形成された、別の形をしているネットワークについて期を変化させたものとみなす。逆に、ある結合が低い倍率の際調査を行いたい。に同期率が高くなる場合も見られた。これも含めて計測する。
表 2 は、全ての結果をまとめたものである。倍率が低い時に、同期率も下がる場合は丸印（○）を、同期率が高くなる時は三角印（△）をつけている。横軸は注目した結合で、縦軸には倍率を掛けて値を変更した結合を記してある。左から一番目、上から九番目の枠では、「CC6-CC12 の結合強度を変更した時、CC1-CC6 の同期率が変化したかどうか」を判定している。表
記のないものは著しい変化が見られはしなかったものである。
表 2 から判断できることとして、まず CC18-CC19 に着目した時と同じように、ある一つの結合に着目した時にそれとはおおきく離れた結合が影響を及ぼしていたり、また逆にある結合を変化させた時に大きく離れて位置している結合に影響を及ぼしていることがわかった。ここから、この現象は複雑ネットワーク内で普遍的に起こる現象であることがわかる。
次に、ある結合の結合強度と、その結合が同期率を変化させた結合の数は比例しないことがわかった。CC1-CC6 を変更し

文

献[1] M. Uchida, S. Shirayama, “Analysis of Network Structureand Model Estimation for SNS” 情報処理学会論文誌, Vol. 47,
No. 9, Sep. 2006.
[2] H. Kori, N. Masuda, “Synchronization of Coupled Oscillators on Complex Networks” 日本ロボット学会誌, Vol.26,
No.1, pp.6〜9, 2008.
[3] K. Ago, Y. Uwate, Y. Nishio, “Investigation of Synchronization in Coupled Chaotic Circuit Network with LocalBridge”, IEEE Workshop on Nonlinear Networks December
12-13, 2014.
[4] K. Oi, Y. Uwate, Y. Nishio,“Influence of Regional Change inSynchronization of Complex Networks in Coupled Parametrically Excited Oscillators", IEEE Workshop on Nonlinear
Circuit Networks. December 9-10, 2016.
[5] K. Ago, Y. Uwate and Y. Nishio,“Synchronization of Coupled Chaotic Circuits with Parameter Dispersion in SmallWorld Network", Proceedings of International Symposiumon Nonlinear Theory and its Applications,pp. 431-434, Dec.
2015.

た場合と CC12-CC19 を変更した場合を比べると、元々の結合強度は低いにも関わらず CC12-CC19 を変化させた時のほうが多くの結合に変化が見られた。また、これは変化の起こりやすさにも関連している。それぞれを変化させた結合の数も、もともと同期の弱い CC12-CC19 の方が数が多い。だが、それとは逆の場合も存在する。CC4-CC18 は結合強度が CC12-CC19と同一のものであるが、CC4-CC18 の結合強度を変化させた時の、他の結合に影響を及ぼした数と、CC4-CC18 が他の結合か- 80 -—4—

表 2 : 倍率を掛けた結合と変化した結合の対応表- 81 -—5—