クレーンの軌道追従制御
2010SE066 伊藤大智
指導教員：大石泰章

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表 1 物理パラメータ

はじめに
現在クレーンは， 建設や輸送，製造など社会の様々な場面で使用されている．人の手でなく機械を用いることによって， 作業効率の向上やコストの削減に繋がり，各企業の経済成長に大きく貢献している．
本研究では，クレーンのより柔軟で高機能な制御を目指して，トロリーの移動とスチールケーブルの巻き上げの 2つの自由度を同時に使い，ペイロードを目標軌道に追従させることを考える．スチールケーブルの振れが影響する水平方向の制御には最適サーボを使い，モデル化が困難な垂直方向の制御には一種の PID 制御を用いる．

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制御対象とモデリング

xt [m]
mt [kg]Kt[N・m/A]
It
[A]
x[m]
y[m]
mp [kg]
γ
[rad]
l[m]
g[m/s2 ]トロリーの位置
トロリーの質量トロリー移動用モータのトルク定数
トロリー移動用モータ
への入力電流ペイロードの水平位置
ペイロードの垂直位置
ペイロードの質量
スチールケーブルの振れ角
スチールケーブルの長さ
重力加速度0 ≤ xt ≤ 0.6
0.60.0436

0.86800.1 ≤ l ≤ 0.59.81

今 回 使 用 す る ク レ ー ン は ，QUANSER 社 の 3 DOF
Crane [1] であり，図 1 に示すようなハンマーヘッド型のクレーンである．

図 2 ペイロードの目標軌道
図 1 制御対象の概略図

るのでモデルに基づく最適サーボを使い，垂直位置の制御はモデル化が難しいので一種の PID 制御を使う．

地面に対して垂直なタワーの上部から地面と平行にジブが伸び, ジブに沿ってトロリーが移動するという構造をしている．ここで制御できるのは，タワーを中心としたジブの旋回角度，ジブ上でのトロリーの位置，トロリーから下がったスチールケーブルの長さの 3 つである．本研究ではジブを固定し，トロリーの位置とスチールケーブルの長さの 2 つの自由度のみを使う．

観測量は，トロリーの位置 xt [m]，スチールケーブルの振れ角 γ[rad]，スチールケーブルの長さ l[m] であり，制御量はペイロードの水平位置 x[m](x = xt − l sin γ) である．操作量はトロリー移動用モータへの入力電流 It [A] である．以下の仮定をおく．(1) クレーンとスチールケーブ
ルは剛体である．(2) ペイロードは質点である．(3) クー
ロン摩擦, 損失エネルギーはない．(4) γ は十分小さく，モデリングに用いる物理パラメータを表 1 に示す．
本研究における制御の目的は文献 [2] に従って，ペイロードを目標軌道

y = −lmax (1 − 0.5sin(πx/xtmax ))以下本章では，水平位置の制御の為にモデリングを行う．

(1)に沿って動かすことである．ただし，x はペイロードの水sin γ ≃ γ ， cos γ ≃ 1， γ̇ 2 ≃ 0 としてよい．また，簡˙ = 0，単化する為に，最適サーボの計算は l(t) = 0.5，l(t)¨l(t) = 0 として行う．
[]T
ここで，一般化座標 q(t) を q(t) = xt (t) γ(t)とおくと，ペイロードの振動系の数学モデルが得られる：

平位置，y は同じく垂直位置を表し，lmax = 0.5 はスチー

E(l)q̈ + F q̇ + G(l)q = HIt ．

ルケーブルの長さの初期値，xtmax = 0.6 はジブの長さを示す．図 2 に目標軌道を示す．
軌道追従を行うにあたって，ペイロードの水平位置 x をトロリーの入力電流で，ペイロードの垂直位置 y を巻き上げる力で別々に制御するのが単純かつ自然と考えられる[2]．水平位置の制御にはスチールケーブルの振れが影響す

ただし，[]
mp + mt −mp l(t)E=,−mp l(t) mp l2 (t)[]00G=，
0 mp gl(t)[]0 0F =，0 0
[ ]
Kt
H=．
0(2)

以上より，状態空間表現は次式のようになる：{˙ = Aξ(t) + Bu(t)，ξ(t)η(t) = Cξ(t)．

(3)

ただし，[]Tξ(t) = q(t)T q̇(t)T ，η(t) = x(t) = xt (t) − lγ(t),001 000 0 00 1
A= ，B =  Kt  ，−mp g


0

00
mt
mt
−mp g−mt g
Kt
00 0mt l(t) ]mt l(t)[C = 1 −l 0 0

図 3 ペイロードの水平位置の変化

である．

3

制御系設計

3.1

水平位置の制御

水平位置の制御には最適サーボを用いる．すなわち, 制御量を目標値に追従させる制御器を，最適レギュレータ理論に基づき，評価関数を最小化することによって設計する．
制御入力 u(t) は，状態変数 ξ(t) と水平位置の偏差の積分∫t())∫t(xref − x(t) dt を使って，Kξ(t) + G 0 xref − x(t) dtのように定める．ただし，xref はペイロードの水平位置の

図 4 ペイロードの垂直位置の変化0目標値である．

0 から 0.6m に向かって収束しているが，実機実験ではわ

ゲイン K と G は以下の評価関数を最小にするように定める [3]：)
[]
˜
ξ(t)
TTT
˜
+ ũ(t) Rũ(t) dt．
J=ξ(t)
ω̃(t) Qω̃(t)0(4)˜
ただし，Q，R は重み行列，ξ(t)： = ξ(t) − ξ∞ ，ω̃(t)： =∫∞ω(t)−ω∞ ，ũ(t)： = u(t)−u∞ ，ω(t) = 0 e(t)dt，e(t)： =xref (t) − x(t) である．u∞ は操作量 u(t) の定常値，ξ∞ はξ(t) の定常値，ω∞ は ω(t) の定常値である [3]．
∫ ∞(図 3 より，シミュレーションはペイロードの水平位置が[]ずかにオーバーシュートしてしまっている．また，シミュレーションよりも動きだしが遅く，これらは外乱や摩擦による影響だと考える．一方，水平位置に対応する垂直位置を (1) 式にしたがって計算したものが図 4 の目標軌道である．シミュレーションでは，ペイロードの垂直位置である実線はこれにほぼ追従しており，全体として (1) 式の目標軌道に追従していることが分かる．実機実験でも，図 4 に見るようにほぼ追従したが，シミュレーションほどうまく追従しなかった．また，水平位置がオーバーシュートしてしまった為最後 0m に収束しなかった．これらは，摩擦や3.2センサーによる遅れが原因ではないかと考える．

垂直位置の制御

垂直位置の制御には一種の PID 制御を用いる．これにより，目標値が一定なら定常偏差が生じない．ここでは目

4

おわりに
本研究では，ペイロードを目標軌道に追従させる制御を標値が変動するので偏差が生じないとは言えないが，変動行った．垂直位置は一種の PID 制御，水平位置は最適サーが緩やかならば偏差はある程度小さくなると期待できる． ボを用いた．今回の結果から，シミュレーション上でおお目標軌道 yref は，現在の水平位置 x を (1) 式に代入して得 よそ目標軌道通りに追従させることができた．しかし実機られるものとする．

実験では誤差があり，これは外乱や摩擦によるものと考えスチールケーブルの巻き上げモータへの電流 I はI = (kp + ki /s)(yref − y) − kd sy + I0

られる．今後の課題は，摩擦等の外乱を考慮した設計を行(5)と定めればよい．kp ,ki ,kd は PID 制御の比例, 積分, 微分定数であり，I0 は重力を相殺する力に相当する電流である．

3.3

シミュレーション・実機実験の結果

ペイロードの垂直位置と水平位置の同時制御のシミュ

˙ = 0， ¨l(t) = 0 を外して考えることでうこと，仮定 l(t)ある．

参考文献[1] 3 DOF Crane
http://www.pid-control.com/products/pdf/crane.pdf

レーションを，クレーンに付属のシミュレータを使用し[2] 岩崎徹也：『LMI と制御』．昭晃堂，1997．て行った．また，実機実験を行った．結果は以下の通りで[3] 川田昌克：『MATLAB/Simulink による現代制御入門』．
森北出版，2011．

ある．