2019年度仁科記念講演会@東大理学部,2019年12月6日

量子ビットの幾何学から重力へ

高柳匡

京都大学基礎物理学研究所

① はじめに物理学の研究において、最も基礎となる操作は
マクロなものを拡大してミクロな構造を調べること。
つまり顕微鏡（素粒子物理では加速器）を覗く！
では重力の物理学における`最高精度’の顕微鏡は ?
⇒ホログラフィー原理（ゲージ重力対応）！

ホログラフィー原理は実際の実験ではないが、重力理論の思考実験の顕微鏡としての役割を果たす。
⇒重力理論の時空を拡大すると何かが見えるか？？

重力理論特有の現象の中で最も重要なものとして、
ブラックホールがある(思考実験のターゲット)。
ブラックホールは重い星の重力崩壊などで形成されるが、極めて強い万有引力のために光すら抜けせず、ブラックホールの中は外から見えない！
一般相対論に従い時空が曲がる！

観測者

情報が隠れている！
ブラックホール(エントロピー)(質量m)ブラックホールのエントロピー (Bekenstein-Hawking公式)[1972-1976]kB ⋅ cS BH =⋅ Area(Horizon).
ABH⇒ブラックホールの熱力学
4G N ⋅ 
3

ABH=ブラックホールの面積 ⇒ 幾何学
GN=重力定数 ⇒ 重力ℏ＝プランク定数 ⇒ 量子力学
kB=ボルツマン定数 ⇒統計物理・量子情報

量子重力
の理論が
必要！

BHエントロピーは体積ではなく面積に比例する！
重力理論の自由度は面積に比例する！

重力理論の自由度∝面積

ホログラフィー原理[‘t Hooft 1993, Susskind 1994]

ホログラフィー原理
＝

重力理論

=

境界の量子多体系(物質)量子物質

ある時空の重力理論

BHエントロピー(∝面積) = 物質のエントロピー(∝体積)[超弦理論からのBHエントロピー導出：Strominger-Vafa 1996]

目次① はじめに② ゲージ重力対応とは？
③ 量子エンタングルメントとゲージ重力対応④ エンタングルメント・ウェッジ⑤ 量子ビットからの時空の創発⑥ おわりに

②ゲージ重力対応とは？
ホログラフィー原理で最もよく知られた例：

ゲージ重力対応(AdS/CFT対応)[Maldacena 1997]

AdS/CFT
D+1次元反ドジッター時空
Ｄ次元空間における(AdS空間)におけるゲージ理論(CFT)
重力理論 (超弦理論)
CFT=共形場理論=

一般相対論近似(量子臨界点の理論)=

強結合多自由度(ラージＮ)のゲージ理論

負の宇宙項を持つ
一般相対論

反ドジッター(AdS)時空の重力理論

ゲージ理論(CFT)

閉じた弦＝重力開いた弦= ゲージ理論[SU(N)ゲージ群]

境界

等価

z
2
dz
−
dt
+
dx
∑i=1 ids 2 = R 2 ⋅
z2
2

2

d

N枚のDブレイン(超弦の凝縮したもの)

ブラックブレインの熱力学

ゲージ理論の熱力学
等価ゲージ重力対応[Maldacena 1997]が発見されてから20年以上経過し、非常に多くの検証がなされており、疑いのない等価性として広く受け入れられている。
しかし、その証明自体は未だに存在せず、ゲージ重力対応の基礎的メカニズムは完全には解明されていない。
例えばドジッター宇宙やビックバン宇宙のように現実の宇宙に関係する量子重力を解明するには、ホログラ
フィー原理を一般化する必要があり、ゲージ重力対応の基礎的メカニズムの理解は不可欠である。

その後、ゲージ重力対応のエンタングルメント・エン
トロピーの公式[笠-高柳 2006]が見出され、ゲージ重力対応が量子情報理論と結びつく発端となった。
その後の世界中の研究者による様々な研究で、重力理論の時空 ＝ 量子エンタングルメントの集まり（英語で,“It from Qubit”と呼ばれたりもする)という新しい考え方が生まれてきた。
この話題と最近の発展を以下では紹介したい。

hep-th論文(超弦理論・場の理論）の最近1年間
被引用数ランキング
AdS/CFTの原著論文⇒[Maldacena 1997]

AdS/CFTの対応原理⇒[Witten 1998]
http://inspirehep.net/info/hep/stats/topc
ites/2018/eprints/to_hep-th_annual.html

AdS/CFTの対応原理⇒[Gubser-Klebanov-Polyakov 1998]

エンタングルメント・
エントロピー ⇒[笠-高柳 2006]

③ 量子エンタングルメントとゲージ重力対応(3-1) 量子エンタングルメント
量子エンタングルメント(量子もつれ)＝2体の量子相関
簡単な例：スピン二つの系 (2 Qubit)

A B(1)直積状態

Ψc = ↑

A⊗↓

B(2)ベル対(EPR状態)
1Ψ =↑ ⊗↓ ±↓ ⊗↑
B
A
B
2 A

(

エンタングルメントなし！

)

A B

+

A B

ベル対

あり！

エンタングルメント・エントロピー(EE)

エンタングルメントの度合＝ベル対の数＝ＥＥ
まず量子系を部分系ＡとＢに分割する: H tot = H A ⊗ H B

簡単な例：スピン鎖Ａの密度行列A.

B

ρ A （Ｂにアクセスできない観測者）

を導入することでエンタングルメント・エントロピー SA が定義される:

S A = −Tr[ ρ Alogρ A ] ≈ ＡＢ間のベル対の数

量子エンタングルメントの概念図

場の量子論
物性物理 理論の自由度 (量子)重力
オーダーパラメーター
テンソルネットワーク

宇宙の幾何学
ブラックホール

量子エンタングルメント
量子計算
(複雑性)

量子情報

量子情報量

量子操作のリソース (エントロピー)(量子通信)

(3-2) エンタングルメント・エントロピー[笠-高柳 2006]のホログラフィー公式
ゲージ重力対応において、ゲージ理論(CFT)のエンタン
グルメント・エントロピーは次の公式で計算できる！

ΓAの面積
SA =
4GN
・𝚪𝚪𝐀𝐀 はＡを覆う曲面の中で最小の面積を持つ曲面(極小曲面) 。
・Aと 𝚪𝚪𝐀𝐀 はホモロジー同値。

A

𝚪𝚪𝐀𝐀

B

反ドジッター
境界のＣＦＴ = 時空の重力理論

補足
この公式はブラックホールのエントロピーの一般化と思える。(A=系全体でBHエントロピーと一致)

A

𝚪𝚪𝐀𝐀

BH

𝚪𝚪𝑩𝑩

𝚪𝚪
=BH表面
𝐀𝐀
A=全体
BH

B

時刻一定面を描いている

AdS BH = CFTの有限温度状態 ⇒混合状態：SA≠SB !

どのようにこの公式を見出したか？
Ａの観測者

𝚪𝚪𝐀𝐀

Ｂにアクセスできない観測者は
𝚪𝚪𝐀𝐀 にブラックホールがあるように見え、斜線の領域が隠される。
⇒そのBHのエントロピーがEE！

実際に、具体例で計算すると、場の理論の計算とうまく一致することが分かった。

後にLewkowyczとMaldacena(2013年)によりＡがアクセスできる ゲージ重力対応の原理から証明された。
のはこの白い部分⇒エンタングルメント・ウェッジと呼ばれる

＠米国,セコイア国立公園

(3-3)アインシュタイン方程式とエンタングルメント∆S A ≅ ∆H A エンタングルメント・エントロピーの第一法則
HA=-logρA: モジュラーハミルトニアン[Blanco-Casini-Hung-Myers 2013,
Prudenziati-沼澤-野崎-高柳 2013]

 22
 = O O3  ∆S (t, x,l)

∂
−
∂
−
∂
−
l
x
 l
A
2
l 


A

l

(t,x)

第一法則はアインシュタイン方程式の一次摂動と一致！
[Lashkari-McDermott-Raamsdonk 2013,…](3-4)強劣加法性の証明
量子情報の基本となる不等式の強劣加法性 [Lieb-Ruskai 73]
が幾何学的に証明できる！
A
B
C

A
=B
C

A

≥ B

A
B
C

A
=B
C

A
≥ B
C

C

C B A

⇒ S A∪ B + S B ∪ C ≥ S A∪ B ∪ C + S B[Headrick-高柳 2007]⇒ S A∪ B + S B ∪ C ≥ S A + S C「量子情報の不等式＝幾何学の三角不等式」となる！
部分領域数は任意⇒エントロピー円錐 [Bao-Nezami-大栗-Stoica-Sully-Walter 2015]

④エンタングルメント・ウェッジ(4-1)エンタングルメント・ウェッジ(EW)とは？
ゲージ理論(CFT)の領域Aに対応するAdS時空の領域は？
⇒エンタングルメント・ウェッジ MA と呼び、MA = AとΓAに囲まれる領域 で与えられる。

AMA

境界(CFT)

Γ極小曲面
A

AdS時空

ρ A in CFT⇔ ρ MA in AdS gravity
時空[Hamilton-Kabat-Lifschytz-Lowe 2006,
Czech-Karczmarek-Nogueira-Raamsdonk 2012,
Wall 2012, Headrick-Hubeny-LawrenceRangamani 2014, Jafferis-LewkowyczMaldacena-Suh 2015, Dong-Harlow-Wall
2016,… ]領域A∪Bのエンタングルメントウェッジと相転移(i)AとBが離れている(ii)AとBが近い

A ΓA B A
BM
M
M
ΓB 相転移A

B

MAB=MA∪MB
ＥＷは非連結

AB

ＥＷは連結

ΓAB

(4-2)量子誤り訂正符号との関係

C

A

ΣC
ΣA PP
ΣB B

AB

C
P ΣAB = Σc

ρ , ρB ,ρC かP点の情報は ρ AB から再現できるが、 Aらは再現できない！

量子誤り訂正符号の性質[Almheiri-Dong-Harlow 2014]

物理空間 = 全てのCFT状態= 量子重力∪符号空間 = 低エネルギーCFT状態 = 一般相対論
量子誤り訂正符号で保護されている

古典的な時空が創発

(4-3)エンタングルメント・ウェッジ断面積
ＥＷの断面積を次式で定義する:

Area(Σ AB )E W ( ρ AB ) =
4GN

A

Σ

B

AB
MAB 最小断面積

この量はゲージ理論の純粋化エンタングルメント(EoP)と呼ばれる量と等しいと予想される。 ↑E W ( ρ AB ) = E P ( ρ AB )純粋状態で表した場合の最小のエンタングルメント・エントロピー[梅本-高柳 2017, Nguyen-Devakul-Halbasch-Zaletel-Swingle 2017,
CFTによる検証：Caputa-宮地-梅本-高柳 2018, ODDエントロピー解釈: 玉岡 2018]

(4-4) CFTからのEWの直接導出 [梅本-楠亀-鈴木-高柳 2019]
エンタングルメント・ウェッジはCFTにも存在するのか？
⇒エンタングルメント・ウェッジの影をCFTで検出できる。

境界(CFT)
AdS時空
エンタングルメント
・ウェッジの影
エンタングルメント
・ウェッジそのもの

A

測地線に沿って射影

ΓA
時刻一定面

EWの影の検出方法の概略
領域Ａの観測者(𝜌𝜌𝐴𝐴 )は点Ｐを観測できるが、点Ｑは観測できない！
二点相関関数<O1O2>でAdS空間の点PやQをプローブすることができる。
そこで、𝜌𝜌𝐴𝐴 でＰやＱの位置の変化を検出できるか調べる！

境界(CFT)

𝑶𝑶𝟏𝟏

A

P

𝑶𝑶𝟐𝟐

𝑶𝑶𝟏𝟏

AdS時空

ΓA Q
𝑶𝑶𝟐𝟐

時刻一定面

量子情報の距離・計量

ρA が点Pの位置xを検出できる⇒ x≠x’の時に ρA(x)とρA(x’)を区別できる。
二つの状態ρとρ’が離れている度合いを測る量に
ブレス距離がある: 𝑫𝑫 (𝝆𝝆, 𝝆𝝆′) 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐Tr
𝝆𝝆𝝆𝝆′ 𝝆𝝆 .
𝑩𝑩

忠実度(Fidelity)

状態ρがパラメーターxに依存する場合( 𝜌𝜌(𝑥𝑥) )は、ブレス計量Ｇijを次のように定義できる。
2
2
𝑑𝑑𝑑𝑑 ≡ 𝐷𝐷𝐵𝐵 (𝜌𝜌(𝑥𝑥), 𝜌𝜌(𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑)) ≅ 𝐺𝐺𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑗𝑗

情報距離(忠実度)のプロット(二次元CFT)相互作用のないx1
x2 強結合のCFT(一般相対論と等価) 自由スカラー場CFT

x

x’
A
x’
の位置は固定

x
x’
A

忠実度

x2
x1

明瞭なEWの影!
(極小曲面と一致）

不明瞭なEWの影

ゲージ重力対応の予想通り,強結合CFTのみEWの影を持つ！

情報計量
ブレス計量を計算すると点PがEW内にある場合は、
𝒅𝒅𝒔𝒔𝟐𝟐𝑩𝑩 =

𝒉𝒉
𝟐𝟐
𝟐𝟐
(𝐝𝐝𝒙𝒙
+
𝒅𝒅𝒙𝒙
𝟏𝟏
𝟐𝟐 )
𝟐𝟐
(𝒙𝒙𝟐𝟐 )と、反ドジッター時空の時刻一定面の計量に比例することが分かる(hは演算子Ｏの共形次元)。
ゲージ重力対応𝝆𝝆𝑨𝑨 (𝒙𝒙)の演算子挿入位置𝒙𝒙
の情報計量

＝

重力理論の時空の時間一定面の計量

量子多体系の計算から曲がった空間の計量が創発する！

⑤量子ビットからの時空の創発
このエントロピー公式は、プランク面積あたり
1量子ビットのエンタングルメントの存在を意味する。

ΓA

A
B

ΓAの面積
SA =
4G
𝑙𝑙𝑃𝑃2N

プランク長

領域Ａのサイズや位置を自由に変えられるので、量子ビットは時空全体に満ちているのでは？

このように、重力理論の時空が、量子ビットの集合体と解釈できることが示唆される。
１量子ビットのエンタングルメント

ミクロな宇宙プランク
スケール

多数の量子ビット

マクロな宇宙これを実現する模型がテンソルネットワーク！
[Swingle 2009]

テンソルネットワークは量子状態を幾何学的に記述する手法。
量子多体系の数値計算で、変分法のansatzとして提案。

テンソルネットワークの例
例1：MERA [Vidal 2005]⇒量子臨界点(CFT)の良い
変分法の波動関数

例2: HAPPY模型：[Patawski-吉田-Harlow-Preskill 2015]⇒量子誤り訂正符号を多数組み合わせた模型

量子ビットの幾何学構造 = 反ドジッター空間

テンソルネットワークの連続極限（場の理論）？
手法1:cMERA(MERAの連続極限) [Haegeman-Osborne-Verschelde-Verstraete 2011]
cMERAの応用例：質量を急にゼロに変化させた後の時間発展(量子クエンチ)を解析。エンタングルメントの密度を「時間t」と「波長z」の関数として求めた。

t

エンタングルメントの波＝“重力波”

時刻エンタングルメントの密度

z

AdSの境界波長

z=0[Mollabashi-野﨑-笠-高柳 2013]

テンソルネットワークを場の理論で扱う手法として次もある：

手法2:CFTの経路積分の効率化 [Caputa-Kundu-宮地-渡邊-高柳 2017]

MERA

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

効率化≈

初期の経路積分では高い波数の情報は必要ない！

＝

空間x

離散化の
格子間隔
を局所的に
反ドジッター時空変化させる！ の時刻一定面が創発＝

経路積分の方向同じ量子状態を表す経路積分の中で計算コストが最小なものを選ぶ！

経路積分の効率化を具体的にどうやるか？ [専門家向け]
離散化の格子間隔の局所的な変化を計量で表す：

ds = e22ω ( x , z )(dx + dz ).
2

2

CFTの性質より波動関数は次の性質を持つ：

Ψ 𝜙𝜙, 𝜔𝜔 = 𝑒𝑒

𝑁𝑁[𝜔𝜔]� Ψ[𝜙𝜙, 𝜔𝜔 = 0]Ｎ[ω]を最小とする計量が最も効率的な経路積分。
(Ｎ=「量子計算の複雑性」の一種[Cf. Susskind 2014-]）

2次元CFTでは、N[ω]はリュービル作用と等しい。

[

]

c
2
2ω
2
(
)
(
)
.
N 2 D [ω ] =
dxdz
∂
ω
+
∂
ω
+
e
x
z
∫
24π

励起状態に対する経路積分の効率化
経路積分

効率化

局所的励起
（エネルギー源）

離散化を細かくする必要がある⇒計量が大きくなる

エネルギー源(＝情報源)が背景の時空を曲げる⇒一般相対論の本質!

Mこの定式化から得られる対応関係
余次元１曲面 M Σ＝ ネットワーク(量子回路)
余次元２曲面Σ ＝ 量子状態

ΣMΣ

時空の幾何構造＝量子エンタングルメントの構造
重力ダイナミクス＝エンタングルメントの時間発展

⑥おわりに
本講演では、ブラックホール・エントロピーやゲージ重力対応から始まり、最近の話題である
量子情報と重力理論の深い関わり合いを紹介した。
重力理論は(最速の)量子コンピューター？
ゲージ重力対応 場の理論の計算
重力理論の計算‘宇宙’の解析‘物質’の解析＝

重力理論の時空は量子ビットの集合体？
ごく最近の話題:BH情報問題へのEWの応用[Pennington,
Almheiri et.al. 2019]しかし、現在のところ‘宇宙’が宇宙定数が負である
反ドジッター時空の場合しか扱えない。
より現実の宇宙ではむしろ宇宙定数は非負であると期待されることから、従来のゲージ重力対応を、
例えばドジッター宇宙やビックバン宇宙などへ大きく拡張することが求められる。
その際に「重力理論を量子ビットの幾何学とみなす」という本講演で紹介させて頂いた新しいアプローチが重要な鍵となると期待される。

我々の研究グループの紹介

京大基礎物理学研究所(基研)

当研究所開催の国際会議
It from Qubit School(今年6月)

基研素粒子論グループ(元気な大学院生を毎年募集)

高柳のグループの勉強会

ご清聴ありがとうございました！

量⼦重⼒の条件
⼤栗博司
Caltech & Kavli IPMU

仁科記念講演会 ２０１９年１２⽉６⽇

1/79

今⽇お話ししたいこと︓☆ 量⼦⼒学と⼀般相対性理論の統合は難題だと⾔われるが、何が問題なのか。
☆ 超弦理論は、なぜ重要なのか。
☆ ホログラフィー原理とは何か。
☆ 量⼦重⼒について何がわかっていて、何が分かっていないのか。
2/79

量⼦⼒学と⼀般相対性理論の統合は何が問題なのか
3/79

アインシュタインの重⼒理論︓

宇宙項

ニュートン定数

有限個の項

は、くりこみ可能でないので、
量⼦効果が計算できないと⾔われることがある。

これは正確ではない。
4/79

核物理学のパイオンの理論︓

も、くりこみ可能でないが、エネルギーや運動量が F［〜184 MeV ］よりも⼩さい現象
については、量⼦効果も⼊れて計算が可能。
5/79

核物理学のパイオンの理論︓

観測可能量を、エネルギーや運動量でべき展開した各次数の項は、有限個のパラメータのくりこみで計算できる。
6/79

Kenneth G. Wilson (1936 ‐ 2013)

7/79

ウィルソン (Kenneth Wilson) 流の考え⽅︓
パイオンの理論は QCD の低エネルギー近似。

QCD の経路積分をするときに、低エネルギーの⾃由度であるパイオン場だけは積分しない。

⇒ 有効理論
くりこみ可能でなくても、量⼦効果も含めた予⾔ができて、実験的にも検証されている。

8/79

アインシュタインの重⼒理論も有効理論︓
パイオン理論と同じで、エネルギーや運動量がカットオフ（より基本的な理論が必要になる閾値）より⼩さければ、信頼できる予⾔ができる。
例えば︓☆ ブラックホールのホーキング輻射☆ インフレーション宇宙の量⼦効果のCMBのゆらぎへの影響☆ ニュートン・ポテンシャルへの補正

相対論効果

量⼦効果

9/79

ウィルソン流のくりこみ理論は、重⼒理論に使えるのか︖
10/79

Gravity is Different
物理学的世界には階層構造があり、短距離世界＝⾼エネルギー世界の探究が、⾃然界の基本法則が明らかになってきた。

この階層構造は、量⼦重⼒の完成で完結する。
ブラックホールでは ⾼エネルギー ＝ ⻑距離。
11/79

Gravity is Different
この階層構造は、量⼦重⼒の完成で完結する。
ブラックホールでは ⾼エネルギー ＝ ⻑距離。
スケールによる⾃由度の分離が働かない。
低エネルギー有効理論が、⾼エネルギーで整合性のある理論に昇華できるとは限らない。
12/79

Gravity is Different
低エネルギー有効理論が、⾼エネルギーで整合性のある理論に昇華できるとは限らない。

スワンプランド
13/79

ブラックホールの謎とホログラフィー原理
14/79

Stephen Hawking(1942 ‐ 2018)

15/79

ホーキング輻射

ブラックホールの中ブラックホールの外
事象の地平線

16/79

ホーキング輻射

ブラックホールの中ブラックホールの外
事象の地平線

17/79

エントロピーは⽰量変数。
表⾯積に⽐例するのはなぜか。

ホログラフィー原理
量⼦重⼒理論の基本的な⾃由度は、
時空間の領域を包む表⾯に定義できる。

ホログラフィー原理は、超弦理論において実現している。
18/79

超弦理論においてホログラフィー原理がどのように実現されているのかを説明するために、ちょっと準備をします。

19/79

超弦理論においてホログラフィー原理がどのように実現されているのかを説明するために、ちょっと準備をします。

D‐Branes
Joseph Polchinski(1954 ‐ 2018)

20/79

超弦理論においてホログラフィー原理がどのように実現されているのかを説明するために、ちょっと準備をします。

21/79

超弦理論においてホログラフィー原理がどのように実現されているのかを説明するために、ちょっと準備をします。

22/79

開いた弦の端点が部分空間にあるということは、部分空間が閉じた弦を放出・吸収するということ。

23/79

重⼒⼦も閉じた弦の状態。部分空間が閉じた弦を放出・吸収できるということは、そこに質量などが分布しているということ。

24/79

ブレーンには質量が集中しているので、重⼒が強ければブラックホールになる。

25/79

ブレーンには質量が集中しているので、重⼒が強ければブラックホールになる。

開いた弦を量⼦化して、ヒルベルト空間を構成すれば、ブラックホールの量⼦状態数を数えることができる。
この計算が厳密にできる場合には、が再現されている。

26/79

ブラックホールの事象の地平線の物理現象は、対応するブレーンの開いた弦の量⼦論で理解できる。

⇒ 開いた弦の量⼦論には、重⼒の⾃由度は含まれない。
⇒ 重⼒現象が、重⼒を含まない理論、
しかも、地平線に局在した理論で記述できる。
27/79

の

対応︓

反ドジッター時空間の重⼒理論は、

その無限遠の境界に置かれた共形場の理論と等価である。

ブラックホールがホーキング輻射で蒸発していく様⼦も、共形場の理論
では、ユニタリーな時間発展となる（情報問題の原理的解決）。

28/79

対応は、
⾮摂動的効果も含め辻褄の合う量⼦重⼒の完結した理論模型。

物性物理やハドロン物理への応⽤も重要であるが、今回は議論しない。
ホログラフィー原理が⽰唆する、量⼦重⼒への新しい知⾒を解説する。
29/79

30/79量⼦もつれ

31/79

量⼦もつれエンタングルメント・エントロピー︓量⼦もつれの定量化

32/79

量⼦もつれエンタングルメント・エントロピー︓量⼦もつれの定量化からどれだけの EPR ペアを取り出せるかのめやす︓

33/79

AdS/CFT 対応︓
反ドジッター時空間の重⼒理論は、その無限遠の境界に置かれた共形場の理論と等価である。

34/79

AdS/CFT 対応︓
反ドジッター時空間の重⼒理論は、その無限遠の境界に置かれた共形場の理論と等価である。

のヒルベルト空間は、_A空間の部分領域 A の上のヒルベルト空間と、

A_
残りの空間 A の上のヒルベルト空間の直積に分解される。

35/79

AdS/CFT 対応︓
反ドジッター時空間の重⼒理論は、その無限遠の境界に置かれた共形場の理論と等価である。

のヒルベルト空間は、_A空間の部分領域 A の上のヒルベルト空間と、

A_
残りの空間 A の上のヒルベルト空間の直積に分解される。

富⽥-⽵崎理論の呪⽂を唱えれば⼤丈夫

36/79

のヒルベルト空間は、_A空間の部分領域 A の上のヒルベルト空間と、

A_
残りの空間 A の上のヒルベルト空間の直積に分解される。

37/79

エンタングルメント・エントロピー の 笠-⾼柳公式

A

撮影︓早野⿓五38/79

量⼦もつれによる時空間の再構成
場の量⼦論の有限温度の状態は、量⼦もつれ状態とみなせる。

T

F

D

︓

温度 T が⾼いほど、量⼦もつれは⼤きい。

39/79

量⼦もつれによる時空間の再構成
場の量⼦論の有限温度の状態は、量⼦もつれ状態とみなせる。
の重⼒理論では、有限温度の状態はブラックホールと解釈される。

有限温度ののエンタングルメントの強さ（すなわち EPR ペアの数）は、

ブラックホールのEinstein‐Rosen 橋（ワームホール）の太さに⽐例する。
40/79

量⼦もつれによる時空間の再構成
有限温度ののエンタングルメントの強さ（すなわち EPR ペアの数）は、

ブラックホールのEinstein‐Rosen 橋（ワームホール）の太さに⽐例する。

ER = EPR ?
41/79

量⼦もつれによる時空間の再構成
部分領域 A と 笠-⾼柳の極⼩局⾯ RT 囲まれた斜線の領域を考える。
斜線の部分に局在したの量⼦重⼒の作⽤素は、RT部分領域 A に局在したAの作⽤素に対応する。

Hamilton, Kabat, Lifschytz, Lowe: hep‐th/0606141
Papadodimas, Raju: 1310.6335
Headrick, Hubeny, Lawrence, Rangamani: 1408.6300
Almheiri, Dong, Harlow: 1411.7041, Dong, Harlow, Wall: 1601.05416
42/79

斜線の部分に局在した AdS の量⼦重⼒の作⽤素は、部分領域 A に局在した CFT の作⽤素に対応する。

RT
A⇒ 再構成のパラドックス

異なる部分空間に局在した CFT の

AdS の局所作⽤素は、CFT の作⽤素が、AdS の同じ局所作⽤素にすべての局所作⽤素と可換である︓

対応する︓作⽤素の⼀意性︖

ワイトマンの公理と⽭盾︖
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量⼦誤り訂正符号との関係

Almheiri, Dong, Harlow: 1411.7041
Harlow: 1607.03901の量⼦重⼒の局所的な励起状態は、において特別なタイプの量⼦もつれを持つ状態に対応する。
の異なる部分空間が「量⼦秘密鍵」を共有しており、その量⼦もつれは「量⼦誤り訂正符号」と同じタイプ。
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スワンプランド問題
超弦理論のように整合性のある
量⼦重⼒理論の低エネルギー有効理論はどのように特徴づけられるか。
Vafa, hep-th/0509212
Vafa + Ooguri, hep-th/0605264

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対称性への制限
対称性は物理学にとって重要な概念である。
⾃然界の基本法則を発⾒し、それを定式化するのに使われる。
基本法則から、さまざまな現象を説明するのにつかわれる。
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物理法則の対称性には２種類ある
ゲージ対称性︓
物理的状態は不変。
理論を表現するときの冗⻑性の反映。
通貨の単位の変化は、価値の表現の冗⻑性の反映。
（『超弦理論⼊⾨』（ブルーバックス）より）

グローバル対称性︓
対称性の作⽤を起こす作⽤素がある。
物理的状態に⾮⾃明に作⽤する。
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物理法則の対称性には２種類ある
ゲージ対称性︓
物理的状態は不変。
理論を表現するときの冗⻑性の反映。
通貨の単位の変化は、価値の表現の冗⻑性の反映。
（『超弦理論⼊⾨』（ブルーバックス）より）異なるゲージ対称性を持つ異なるラグランジアンが同⼀の物理系を記述することがある。
デュアリティ（双対性）
ゲージ対称性は⼀意的に決まるものではない。
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物理法則の対称性には２種類ある
グローバル対称性︓
対称性の作⽤を起こす作⽤素がある。
物理的状態に⾮⾃明に作⽤する。
グローバル対称性は、物理系の記述法によらず⼀意的に定義できる。

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物理法則の対称性には２種類ある
グローバル対称性︓
対称性の作⽤を起こす作⽤素がある。
物理的状態に⾮⾃明に作⽤する。
グローバル対称性は、物理系の記述法によらず⼀意的に定義できる。
しかし、整合性のある量⼦重⼒理論はBanks, Dixon (1988); ... ;Banks, Seiberg: 1011.5120; ...

グローバルな対称性を持てないとの予想があった。
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量⼦重⼒理論はグローバル対称性を持たない
これまでの議論︓
グローバル対称性Gがあるとしよう。
電荷を持つ粒⼦を⼗分たくさん集めれば、任意の規約表現のブラックホールができる。
このブラックホールをホーキング蒸発させる。
ホーキング放射はグローバル対称性の電荷を運ばない。
⇒ グローバル対称性の表現は保たれる。
ついには、ブラックホールのエントロピーから期待されるヒルベルト空間の次元が、対称性の規約表現の次元より⼩さくなる。
⇒ ⽭盾

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量⼦重⼒理論はグローバル対称性を持たない
Harlowと私は、この主張をAdS/CFT対応によって精密に定式化し、ホログラフィー原理と量⼦誤り訂正符号の関係を使って、離散対称性と連続対称性の両⽅について証明を与えた。
また、ゲージ対称性がある時には、対称性の任意の規約表現にしたがう物理状態があるという完全性定理を証明した。
さらに、技術的な仮定の下で、ゲージ対称性がコンパクトである
ことを証明した。
arXiv:1810.05337 (5 page summary, Phys. Rev. Lett. )arXiv:1810.05338 (175 page complete proof)
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⼀般化されたネーター定理
対称性 G の任意の元の部分空間

この部分空間と、コーシー⾯（初期条件を与える空間）

に対し、ユニタリー作⽤素が定義できる︓

が、さらに⼩さな部分空間の排他的和集合のときには、上記のユニタリー作⽤素も分解できる︓

この定理は離散対称性についても成り⽴つ（連続対称性の場合には、通常のネーター定理の帰結）

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量⼦重⼒理論はグローバル対称性を持たない
AdSの中の重⼒理論がグローバル対称性 G を持つと、G の忠実な表現にしたがう局所作⽤素が存在する。

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量⼦重⼒理論はグローバル対称性を持たない
AdSの中の重⼒理論がグローバル対称性 G を持つと、G の忠実な表現にしたがう局所作⽤素が存在する。
しかし、ユニタリー作⽤素x

は、AdSの中に置かれた局所作⽤素と

⽭盾
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コメント
量⼦重⼒理論はグローバル対称性を持たない。
対称性は破れるか、ゲージ化されている。
対称性がどのように破れるか / ゲージ化されるかはわからない。

ゲージ対称性の任意の有限次元ユニタリー表現は物理的状態の中に実現される。
このような表現を担う粒⼦の質量はわからない。

もっと定量的な予⾔はできないか︖

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ここまでは、理論的に証明できることをお話ししましてきました。
これから、危険な予想の領域に⼊ります。

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スワンプランド条件のランドスケープ
役にたたない役にたつグローバル対称性定理
弱い重⼒予想

完全性定理

厳密

距離予想

⾮超対称 AdS 予想

BSM への予⾔

ドジッター予想

推測
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スワンプランド条件のランドスケープ
役にたたない役にたつグローバル対称性定理
弱い重⼒予想

完全性定理

厳密

距離予想

⾮超対称 AdS 予想

BSM への予⾔

ドジッター予想

推測
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弱い重⼒予想

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グローバル対称性定理は、グローバル対称性が破れるか、ゲージ化されていることを⽰す。
しかし、対称性がどのように破れるか / ゲージ化されるかはわからない。
完全性定理は、ゲージ対称性の任意の有限次元ユニタリー表現が物理的状態の中に実現されることを保証する。
しかし、このような表現を担う粒⼦の質量はわからない。

弱い重⼒予想は、これを定量化する。
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弱い重⼒予想
アインシュタインの重⼒理論、マックスウェル場（⼀般に⻑距離ゲージ場）と有限な数の物質場によって記述される
低エネルギー理論は、整合性のある量⼦重⼒理論に昇華されるとすると、以下の不等式を満たす質量 m と電荷 Q を担う粒⼦を含まなければならない。
︓ニュートン定数
Arkani‐Hamed, Motl, Nicolis, Vafa: hep‐th/0601001
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予想の根拠︓（１）ブラックホールを使った議論（２）これまで超弦理論から導かれたすべての
低エネルギー有効理論で成り⽴っている。
（３）宇宙検閲官仮説との関係

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不等式から等号を削除したらどうなるかを考えた︓

Vafa + H.O.: 1610.1533

これを仮定すると、AdS 時空間は超対称性を保たないと不安定になることが導かれた。
実際、これまで超弦理論から構成された
⾮超対称 AdS で安定性が証明されているものはない。
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例︓AdS5 x CP3 in M Theory:

Martin, Reall: 0810.2707

我々の予想から不安定性が期待できる。
Witten が発⾒したカルツァ－クライン・インスタントンの⾼次元化によって不安定性が証明できた。
Spodyneiko + H.O.: 1703.03105

内部空間の中の２次元球⾯が収縮し、内側は空っぽ。
この「空っぽ」が光の速さで膨張し、AdSを有限時間で⾷い尽くす。
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素粒⼦の標準模型を超える理論についての仮定の下で、⾮超対称 AdS の不安定性から、ニュートリノはディラック型で、質量に制限がつくことが導かれる。
Vafa + H.O.: 1610.1533

４（ニュートリノの質量） ＜ （ダークエネルギーの密度）
Ibanez, Martin‐Lozano, Valenzuela: 1706.05392,1707.05811;
Hamada, Shiu: 1707.06326;
Gonzalo, Herraez, Ibanez: 1803.08455

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スワンプランド条件のランドスケープ
役にたたない役にたつグローバル対称性定理
弱い重⼒予想

完全性定理

厳密

距離予想

⾮超対称 AdS 予想

BSM への予⾔

ドジッター予想

推測
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距離予想

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我々が証明したグローバル対称性定理は、⾃発的に破れた対称性にも当てはまる。
初期宇宙のインフレーション模型にしばしば登場するスカラー場のシフト対称性は破れることが導かれる。
では、シフト対称性はどのように破れるのか。

距離予想は、これを定量化する。
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距離予想
超弦理論はパラメータのない理論であり、すべてのパラメータは何らかのスカラー場の期待値である。
距離予想は、こうしたスカラー場の値の空間（モジュライ空間）の幾何学的性質に関する予想である。
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距離予想
１．モジュライ空間のある点から、いくらでも遠い点がある。
２．モジュライ空間の点 X から d(X, Y) > T >> M_p だけ離れた

点 Y には、質量 M_p exp( ‐ a T/M_p ) の新しい粒⼦が現れる。
３．こうした新しい粒⼦のため、点 X での低エネルギー
有効理論は、点 Y には使えない。
４．モジュライ空間の閉包は単連結である。
Vafa + HO: hep‐th/0605264
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距離予想
１．これまで超弦理論から導かれたすべての
低エネルギー有効理論で成り⽴っている。
２．弱い重⼒予想との関係。
３．重⼒効果を消す（ニュートン定数をゼロにする）と成り⽴たない。
４．初期宇宙のインフレーション模型に制限を与える。

Vafa + HO: hep‐th/0605264
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ドジッター予想
距離予想をBoussoのエントロピー不等式と組み合わせると、スカラー場のポテンシャル V に関し、もしくはが、漸近的に成り⽴つことが導かれる。
Obied, Spodyneiko, Vafa + H. O.: 1806.08362
Palti, Shiu, Vafa + H. O. :74/79

距離予想やドジッター予想は、初期宇宙のインフレーション模型とは⽭盾しないが、模型に制限を与える。
距離予想

Scalisi, Valenzuela: 1812.07558

ドジッター予想

Chiang, Leedom, Murayama: 1811.01987
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ISAS/JAXA は、宇宙背景マイクロ波放射の偏光を測定し、インフレーション模型を検証することを⽬標とするLiteBIRD 衛星の８年後の打ち上げを決定した。

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超弦理論の定量的予⾔能⼒を⾼めて、８年後にLiteBIRD 衛星からのデータと対峙したい。

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スワンプランド条件のランドスケープ
役にたたない役にたつグローバル対称性定理
弱い重⼒予想

完全性定理

厳密

距離予想

⾮超対称 AdS 予想

BSM への予⾔

ドジッター予想

推測78/79

Gravity is Different
低エネルギー有効理論が、⾼エネルギーで整合性のある理論に昇華できるとは限らない。
プランクスケールは彼⽅にあるが、理論の整合性から低エネルギーへの思いがけない
予⾔が導けるかもしれない。
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