トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生

トポロジー入門演習 (第 3 回)
担当：丹下 基生研究室 B715

10/15/2018

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。
(素朴な疑問) では、内部とは、その部分集合に包まれる最大の開集合のことではないか？

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。
(素朴な疑問) では、内部とは、その部分集合に包まれる最大の開集合のことではないか？
実際証明することができる。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。
(素朴な疑問) では、内部とは、その部分集合に包まれる最大の開集合のことではないか？
実際証明することができる。
どうすればよいか？

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。
(素朴な疑問) では、内部とは、その部分集合に包まれる最大の開集合のことではないか？
実際証明することができる。
どうすればよいか？
内点であること ⇐⇒ その点の周りに開近傍 N(x, ; ϵ) ⊂ A が取れること。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-1(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の内部 Ai は A に包まれる最大の開集合であることを示せ。
A ⊂ B・・・A は B に包まれる。
a ∈ A・・・a は A に含まれる。
(観察)[0, 1) の内部は、(0, 1) であった。
(素朴な疑問) では、内部とは、その部分集合に包まれる最大の開集合のことではないか？
実際証明することができる。
どうすればよいか？
内点であること ⇐⇒ その点の周りに開近傍 N(x, ; ϵ) ⊂ A が取れること。
その開近傍の点全体も A の元である。

(証明)トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生(1) Ai が開集合であることを示せ。(Ai )i = A であることを示せ。
(2) A ⊂ B ならば、Ai ⊂ B i を示せ。

(証明)トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生(1) Ai が開集合であることを示せ。(Ai )i = A であることを示せ。
(2) A ⊂ B ならば、Ai ⊂ B i を示せ。

(補足) a ∈ Ai に対して、N(a; ϵ) ⊂ A となる ϵ が存在するが、∪ N(a; ϵ)a∈Aiは Ai と一致することを示せ。(発展課題 3-1)

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。
(観察)[0, 1) の閉包は、[0, 1] であった。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。
(観察)[0, 1) の閉包は、[0, 1] であった。
(素朴な疑問) では、閉包とは、その部分集合を包む最小の閉集合のことではないか？

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。
(観察)[0, 1) の閉包は、[0, 1] であった。
(素朴な疑問) では、閉包とは、その部分集合を包む最小の閉集合のことではないか？
実際証明することができる。

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。
(観察)[0, 1) の閉包は、[0, 1] であった。
(素朴な疑問) では、閉包とは、その部分集合を包む最小の閉集合のことではないか？
実際証明することができる。
どうすればよいか？

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生問題 3-2(3) 距離空間 (X , d) において、A ⊂ X の閉包 A は A を包む最小の閉集合であることを示せ。
(観察)[0, 1) の閉包は、[0, 1] であった。
(素朴な疑問) では、閉包とは、その部分集合を包む最小の閉集合のことではないか？
実際証明することができる。
どうすればよいか？
触点であること ⇐⇒ その点の周りの任意の開近傍との共通部分が N(x; ϵ) ∩ A ̸= ∅ であること。

(証明)トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生(1) A が閉集合であることを示せ。A = A であることを示せ。
(2) A ⊂ B ならば、A ⊂ B を示せ。

(証明)トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生(1) A が閉集合であることを示せ。A = A であることを示せ。
(2) A ⊂ B ならば、A ⊂ B を示せ。

距離空間において一点は閉集合であることを示せ。(発展課題3-2)

トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生近傍

V が a ∈ X の近傍であるとは、a が V の内点であることである。
いいかえればV が a ∈ X の近傍であるとは、ある ϵ > 0 が存在して、N(a; ϵ) ⊂ V となることである。
例：N(x; ϵ) は x の近傍である。近傍は開集合だけとは限らず、N(x; ϵ) も近傍である。開集合となる近傍を開近傍といい、閉集合となる近傍を閉近傍という。
近傍の性質は、まとめの定理にあるものを参照せよ。

近傍の性質トポロジー入門演習 (第 3回)
担当：丹下基生(X , d) を距離空間とする。a ∈ X に対して近傍系 R(a) は以下の性質を満たす。
1a ∈ X ならば、X ∈ R(a) であり、U ∈ R(a) ならば、a ∈ U である。

2

U1 , U2 ∈ R(a) ならば、U1 ∩ U2 ∈ R(a) である。

3

U ∈ R(a) かつ U ⊂ V ⊂ X ならば、V ∈ R(a) である。

4

U ∈ R(a) に対しても、ある V ∈ R(a) を選んで、各点b ∈ V に対して、U ∈ R(b) となるようにできる。