ポリトープ表現を用いた Anti-lock Brake System のロバスト制御
2011SE282 鵜飼涼平
指導教員：高見 勲

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表 1 ABS 実験機の物理パラメータ

はじめに上の車輪の半径
下の車輪の半径上の車輪の慣性モーメント
下の車輪の慣性モーメント
垂直効力
バランスレバーのトルク
バランスレバーの回転軸と上下の車輪の接点の距離
上下の車輪の接点の法線と線分 L がなす角上の車輪の角速度
下の車輪の角速度
ブレーキトルク
車輪間の摩擦係数
スリップ率
デューティー比デューティー比の傾き

ABS とは Anti-lock Brake System の略称で急ブレーキをかけた時にタイヤがロック (回転が止まる) するのを防ぐシステムである. スリップ率が約 0.2 のとき制動距離を短くでき, 車両の安定性が向上できることが知られている.
ABS には不確定要素として
1. 車体速度が一定ではなく常に変化している.
2. タイヤと道路の摩擦係数が雪道, 乾いたアスファルト
では違う.
3. 同じ入力でのブレーキトルクの不確かさ.
があげられる. 本研究ではこれらの不確定性に対して ABSのロバスト性を保証する制御系を構築し, スリップ率を目標値に安定化させる制御器設計の手法を示す. シュミレー
ションと実験を行い, 理論の検証を行う. また, 信頼性の高いシミュレーションを行うために ABS 実験機の車輪間の摩擦係数について摩擦同定を行う.

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制御対象
この制御対象の簡略図を図 1 に示す.

r1 = 0.0995[m]r2 = 0.099[m]J1 = 7.53 ∗ 10−3[kgm2 ]J2 = 25.60 ∗ 10−3[kgm2 ]Fn = 58.214[m]τb = 19.62[Nm]

L = 0.255[m]θ = 57.5 ∗ π/180[rad]ω1[rad/s]

ω2[rad/s]

τ1[Nm]

µ[−]

λ[−]

ud[−]

a1[−]

S(µ) を次のように定める.
S(µ) =µL(sinθ − µcosθ)(5)

S(µ) には変動パラメータである µ が含まれているのでS(µ) を変動パラメータとして扱う.
ブレーキトルク τ1 とデューテイー比 ud は次の関係がある.
τ1 = a1 ud(6)

a = 1/a1 とすると次のようになる.
aτ1 = ud

図 1 ABS 実験機の簡略図
制御対象は inteco 社の 1/4 モデルである ABS を用いる. 上の車輪が車のタイヤ, 下の車輪が路面を表している.
上の車輪にブレーキ, 下の車輪にモータがついており, 指定した回転速度まで回転しモータが止まり, ブレーキをかけるようになっている.

3モデリング式 (1)(2)(3)(4)(5)(7) よりスリップ率の微分の式は次のようになる.
λ̇ = f (λ, ω2 ) + g(λ, ω2 )τ1(1)(2)(3)

垂直効力 Fn は次のようになる.
Fn =τb + τ1L(sinθ − µcosθ)(4)(8)

式 (8) は非線形である. なので平衡点 (λ∗ , τ1∗ ) 近傍でテイラー展開をして線形近似する [1].

この制御対象のモデリングを行う際に使用する物理パラメータは表１に示す. 上と下の車輪の回転運動方程式とスリップ率は次のように表される.
J1 ω̇1 = Fn r1 µ − τ1J2 ω̇2 = −Fn r2 µr2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2(7)

λ̇ =

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1 C1 S(µ) + C2(()(λ − λ∗ )
ω2 C3 S(µ) + C4+a(C5 S(µ) + C6 )(τ1 − τ1∗ ))(9)

状態空間表現出力を目標値に追従させるため状態変数にスリップ率の偏差の積分を入れる. 状態変数を x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T =∫∗∗ T[ (λ − λ )dt (λ − λ )] , 入力を u(t) = τ1 − τ1∗ とする. 状態空間方程式は次のようになる.
ẋ(t) = E −1 Ax(t) + E −1 Bu(t)(10)

[0E −1 A = 05]

1

1 C1 S(µ)+C2()
ω2 C3 S(µ)+C4, E −1 B =[]0ディスクリプタ表現Ed ẋ(t) = Ad x(t) + Bu(t)0
1 0 0 01 0 0 , A = 0
Ed = 0d0 0 0 000 0 0 000

Bd = [0010b1001b2000b30Lsinθ
J2 ω̇2r2r2Lsinθ
J2 ω̇2 r2 + r1 + J1 ω̇1 − τb(19)

上の式を用いて車輪間の摩擦係数を調べた. データを５回とり, 平均二条誤差を用いて推定を行った. 図 2 はスリップ率 λ と車輪間の摩擦係数 µ の関係の近似式である.

(11)1]T

線形分数変換 (LFT)

変動パラメータを一つの行列にまとめることができたが, 行列 Ad には S(µ) の重積がある. このままではポリトープ表現をするのが容易ではない. そのため線形分数変換を行う. 行列 Ad を S(µ) の重積を含む An と含まない行列 Bδ (I − ∆Dδ )−1 ∆Cδ とし, 新たなディスクリプタ変数を x˜d = [xd (t) zδ (t)]T とすると次のようになる.
−1Ad = An + Bδ (I − ∆Dδ ) ∆Cδ(12)E˜d x̃˙ d (t) = Ãd x̃d (t) + B˜d u(t)(13)[]
E0dẼd = 0 0 , ∆ = diag(S(µ), S(µ), S(µ), S(µ))[]Bδ ∆TnÃd = ACD ∆ − I , B̃d = [Bδ 0]
δ7システム同定µ=行列 A, B には不確かさ ω2 , S(µ), a があり, このままではポリトープ表現をするのが容易ではない. そこでディスクリプタ表現を用いて不確かさを一つの行列にまとめる.
ディスクリプタ変数を xd (t) = [x(t) λ̇ u(t)]T とする. ディスクリプタ方程式は次のようになる.

691a(C5 S(µ) + C6 )ω2δ

図 2 摩擦係数の近似関数µ = 95.1224λ5 − 184.9703λ4 + 130.9788λ3− 42.0451λ2 + 6.1276λ − 0.0057(20)

よってスリップ率が 0.2 の時の摩擦係数は約 0.32 とわかる.

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シミュレーション, 実験求めたコントローラを用いてシミュレーションと実験を行った. 図 3 はシミュレーションと実験結果である.

行列ポリトープ表現

本研究では車速度, 摩擦係数, デューティー比の傾きに対して, ロバスト性を保証する.ω2 , S(µ), a について行列ポリトープ表現で表す.
S(µ) ∈ [S(µ)min , S(µ)max ] = [0.4966, 5.8746]
ω2 ∈ [ω2min , ω2max ] = [28.0584, 140.2918]
a ∈ [amin , amax ] = [24/25.86, 24/19.59]

8(14)
(15)
(16)LMI 定式化

本研究では u(t) = Kx(t) をシステムの状態フィードバックコントローラとして用いる.Q を状態変数に対する重み,R を入力に対する重みとする. 次式で表される評価関数J を∫ ∞J=(x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t))dt(17)0と定義し, 評価関数 J を最小化を行う。LMI 条件は次のようになる.
minimize : γ
subject to : E˜d X̃d = (E˜d X̃d )T ≧ 0]
[He{A˜di X̃d + B˜d Y˜d } (C˜d X̃d + D̃d Y˜d )T < 0−I
C˜d X̃d + D̃d Y˜d[]WI2I X11 > 0, T race(W ) < γ(18)図 3 スリップ率

11終わりに

本研究では変動パラメータ ω2 , µ, a をポリトープで表現しロバスト性を保障した. シミュレーションと実験結果はおおよそ一致しているといえる. しかし低速時は一致しているとはいえない。今後の課題はブレーキトルクの傾きのポリトープ表現について考え直すことや, 慣性モーメントなどのシステム同定をしていくことである.

参考文献[1] Idar Petersen,Tor A.Johansen,Jens Kalkkuhl andJensLudemann, Wheel Slip Control in ABS Brakes
UsingGain Scheduled Constrained LQR , Proc. EuropeanContr. Conf., Porto, pp.606-611.