曲線と曲面演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 10 回（’14 年 1 月 27 日：Keywords · · · ガウスの驚嘆の定理．ガウスの公式、ワインガルテンの公式から可積分条件へ）[ガウスの驚嘆の定理]・・・ガウス曲率 K は第 1 基本形式だけで計算できる．
[線織面]・・・直線の集まりとして記述される曲面のこと．一般に、ある点 α(t) を通り、ベクトル w(t) に平行な直線 Lt = {α(t) + uw(t)|u ∈ R} の族として{L(t)|t ∈ R}のように書くことができる．

[第 1 基本形式、第 2 基本形式]・
・・u = u1 , v = u2 とする．
I = g11 du21 + g12 du1 du2 + g21 du2 dv1 + g22 du2 dv2 = Edu21 + 2F du1 du2 + Gdu22
II = h11 du21 + h12 du1 du2 + h21 du2 du1 + h22 du22 = Ldu21 + 2M du1 du2 + N du22のように書くと、ガウスの公式は∑∂2S∂S=+ hij nΓkij∂ui ∂uj∂uk
2k=1となる．
ワインガルテンの公式は

nu1 = −{(h11 g 11 + h12 g 21 )S1 + (h11 g 12 + h12 g 22 )S2 }nu2 = −{(h21 g 11 + h22 g 21 )S1 + (h21 g 12 + h22 g 22 )S2 }とかける．ここでついているマイナスは先週説明した訂正にあたるものであり、教科書の W = −HG −1 のマイナスのことである．

[重要なのに]・・・教科書では P.159-P.173（可積分条件の節）は、飛ばしてもよいとかこの節は読まなくてもよいとか書いているが、実は、教科書の中で唯一”面白く”、”重要で”、”非自明（当り前ではない）”部分であり、飛ばして読んでも曲面論をとうてい学んだことにならない．将来幾何を専攻する人はじっくり読むことをオススメします．
（ちなみに筑波大で幾何といえば、ほぼ微分幾何を表すといってもよい．メッカともいえる．
（しかし generaltopology も強い...））というわけで、教科書をただ、漫然と読んでいても全くわからない（学生達はもっとわからない?）ので、ここでざっくりと説明する．

[可積分条件]・・・曲面があれば、微分をし、さらに式をまとめることでさまざまな曲率が得られる．つまり微分式変形

曲面 S(u, v) → 基本形式 I,II → さまざまな曲率 K, H, κ1 , κ2 , ....と繋がるが、のぞむ曲率（出力）のデータだけ入れて、そのデータをもつように曲面（入力）が”復活”できるか?という問題を考える．つまり、次のような逆操作曲面 S(u, v) ← 基本形式 I,II ← さまざまな曲率 K, H, κ1 , κ2 , ....
を辿って曲面を見つけることになるが、これは、数学の言葉で言えば微分方程式（微分と式変形などから得られたもの）を解く（つまり積分する）ことで、曲面を得ることができるか？という問題である．特に、左の (曲面) と (基本形式) を繋ぐ矢印の方が重要．このように出力から入力を予測する問題は 数学の問題として非常に、（かつ自然に）面白い問題である．今まで曲面論で微分ばかりしてきたなぁという人はここで積分して元をとりましょう．といっても実際積分計算をするわけではなく、可積分条件なのに、微分の式で書かれます．
曲面が復活するための条件を可積分条件という．行列 (gij ) の逆行列を (g ij ) とおく．つまり、(EFFG)−1=(g11g12g21g22)−1=(g 11g 12g 21g 22とする．また、f 1 = Su , f 2 = Sv とし、Φ = (f 1 , f 2 , n) とすることで、)

( ガウスの公式, ガウスの公式, ワインガルテンの公式 )をこの順番で使えば、

 1
Γ11
∂Φ

= Φ Γ211∂u1h11 1
Γ21∂Φ= Φ Γ221
∂u2
h21

Γ112
Γ212
h12
Γ122
Γ222
h22


−(h11 g 11 + h12 g 21 )−(h11 g 12 + h12 g 22 ) =: ΦA10
−(h21 g 11 + h22 g 21 )−(h21 g 12 + h22 g 22 ) =: ΦA20となる．hij , g ij , Γkij は基本形式、E, F, G, L, M, N などから求まる．
（この式は教科書の付録の定理 A.6.2 と A とΦ が逆になっているが、この式を全体で転置を取ったものを考えているからである．その理由は A を線形代数の表現行列として扱おうとしているためである．線形代数では表現行列は右から掛けていることに注意．
）Γkij の記号のことを クリストッフェルの記号 という．
∂Φ∂Φ
微分方程式
= ΦA1 ,= ΦA2 の解 Φ を解くことができるための必要十分条件は∂u1∂u2∂ 2 (ΦA1 )∂ 2 (ΦA2 )∂A1∂A2=⇔−+ A1 A2 − A2 A1 = 0
∂u2
∂u1
∂u2
∂u1(1)

である．前半の同値条件（矢印の左側）は解析の結果です、後半の同値条件（矢印の右側）Ai の式は単なる式変形です．(1) を整理していくと、教科書の定理 3.7.5 の 2 種類の方程式（ガウスの方程式、コダッチ・マイナルディの方程式）が以下のように出てくる．
ガウス
ガウス



コダッチ・マイナルディ
コダッチ・マイナルディ

ガウス
ガウス

コダッチ・マイナルディ コダッチ・マイナルディ

g 12 = g 21

[逆問題]・・・上ように、出力をから入力を推定する問題を通常、逆問題といわれる．
[滑らかな境界付きガウスボンネの定理]・
・・閉曲面とは限らない曲面（境界がついた曲面）のガウスボンネの定理
は以下のようになる．ガウス曲率を積分しただけではオイラー数は得られない．境界の測地的曲率の積分の補正∫∫項がつく．

∫
Kdµ +

S

κg ds = 2πχ(S)∂S

ここで、κg (s) は測地的曲率である．
[有限個角のある境界付きガウスボンネの定理]・・・有限個の角をもつ境界をもつ曲面のガウス積分と測地的曲率の積分だけでは補正項は埋まらない．角の成す外角に当たる補正項がつく．

∫∫

∫
Kdµ +

S

κg ds +
∂Sm∑θk = 2πχ(S)k=1

ここで、θk は境界の角の外角．

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例題-10-1. [コダッチ・マイナルディの方程式]∂A1 ∂A2−+ A1 A2 − A2 A1 = 0 の (3, 1)-成∂u2
∂u1
分からコダッチ・マイナルディの方程式が導かれることを示せ．
A1 , A2 を上記に定めた行列とする．このとき

例題-10-2. [測地的曲率]
グラフ曲面 z = x2 + xy + y 2 上で x = 1 で定義される曲面の測地的曲率を求めよ．

例題-10-3. [可積分条件の式変形]
上の同値条件 (1) を示せ．
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次の問題のうち２題を選んで解答せよ．

問題-10-1. [線織面][40pt]
線織面はパラメータ (u, t) ∈ R2 に対して以下のようにかける．

S(u, t) = a(t) + uw(t)ここで、a(t), w(t) は空間上のあるベクトルであり、w(t) の長さを 1 としてよい．以下の問題に答えよ．

(1) この線織面の表示が正則曲面であるための必要十分条件を求めよ．
(2) 線織面のガウス曲率 K は至る所 K ≤ 0 であることを示せ．
(3) K が 0 であるとき、どのような形の曲面が得られるか？(2) の式の形から可能な限り求めよ．

問題-10-2. [境界付き曲面のガウスボ (ン) ネの定理][40pt]
r, R を −R ≤ r ≤ R を満たす実数とする．球面の一部 S を
S = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ r}
とおく．以下の問題に答えよ．

(1) S の各点でのガウス曲率を求めよ．
(2) 境界の曲面 C = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = R2 , z = r} の測地的曲率を求めよ．
(3) 境界付きガウスボネの定理が成り立つことを示せ．

問題-10-3. [ポワンカレ計量とガウスの驚嘆の定理][40pt]
第 1 基本形式があれば、それがどのように埋め込まれているか（S(u, v) の具体的な式が分からなくても）ガウス曲率は計算できる．この定理は、その事実を発見したガウス自身が驚いたことで知られている．以下の問題に答えよ．ポワンカレ計量のガウス曲率 K が至る
ところ −1 であることを示せ．ただし、ポワンカレ計量は以下で与えられる第 1 基本形式
であり、パラメータづけが違うだけで本質的に同じものである．好きな方を用いてよい．
dx2 + dy 2
I1 =({(x, y) ∈ R2 |y > 0}）もしくは、
y2du2 + dv 2
I2 = 4({(u, v) ∈ R2 |u2 + v 2 < 1})(1 − u2 − v 2 )2問題-10-4. [自由な微分幾何的考察][40pt]
曲線もしくは曲面において自分で好きな題材を選び、授業内容を踏まえた微分幾何的な考察を加え、自由に議論せよ．
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