Control Moment Gyroscope に対する出力レギュレーションを用いた非線形制御
2011SE075 井奈波徹
指導教員：高見勲
一般化運動量 pi ，角度 qi (i = 1, 2, 3) より，角速度 q̇ は，1はじめに以下のようになる．

[Control Moment Gyroscope (以下，CMG) は，力学的拘束条件 (角運動量保存則) と劣駆動システム (入力の数より，制御する対象の状態の自由度の方が多い) という特

q̇ =

q̇1
q̇2
q̇3]

[=]
(3)

 (J −J sin2 (q ))p −J

D cos(q2 )p3
JD (J4 −J3 sin2 (q2 ))p221

=性をもつ非線形システムである．このようなシステムの多くは，平衡点における線形近似系が可制御でないため，線2.121IC +ID
p3 −cos(q2 )p1
J4 −J3 sin2 (q2 )形制御をそのまま適用することができない．そこで，本研
究では，非線形システムをハミルトンの正準方程式で表現

ω1ω2
ω3

ハミルトニアン

し，出力レギュレーション制御を適用することで，保存量(1) 式から運動方程式を導出した場合，角度などのシスをもつシステムの部分的な安定化を保証する．Ishikawa,

テムの座標だけでなく，座標の一階微分を含む拘束を受

Sakamoto et al. [1] では，システムの角速度制御に対して成果があげられている．本研究では，Gimbal3 の角度 q3を制御する状態として追加し，Gimbal2, Gimbal3 の角度q2 , q3 の角度制御を行う．

けるシステム (一階非ホロノミックシステム) となってし2数理モデルまう．この拘束受けるシステムの制御は複雑となることが知られている．これを避けるためにハミルトニアンを用いて，一般化運動量 pi を用いたシステムを表現する．
ハミルトニアン Hcmg を以下のように定義する．

Hcmg = pT q̇ − L(4)CMG には Rotor1 を回転させる Motor1 のトルク T1 (t)[]Tと Gimbal2 を傾ける Motor2 のトルク T2 (t) が存在する． Euler-Lagrange の運動方程式より，T = T1 T2 0
Rotor1 の角度，角速度を q1 (t), ω1 (t)，Gimbal2 の角度，角 とすると，∂L
速度を q2 (t), ω2 (t)，Gimbal3 の角度，角速度を q3 (t), ω3 (t)= ṗ − T(5)∂qと定義する．本研究は，Gimbal3 の角度制御を目的とすとなり，以上 (4)，(5) 式よりハミルトンの正準方程式は，る．CMG の Lagrangian L は，以下のようになる．
{∂Hcmgq̇ = ∂p(6)∂Hcmgṗ = − ∂q+T1L = {JB ω32 + (IC + ID )ω22 + (JC + JD )ω32 cos2 (q2 )(1)2となる．よって，状態方程式は以下のようになる．
+(KC + ID )ω32 sin2 (q2 ) + JD (ω12 + 2ω1 ω3 cos(q2 ))} p2  q̇20 0IC +IDp3 −cos(q2 )p1  q̇3  
0 0[ ]J4 −J3 sin2 (q2 )    T
1 0  1 , (7) ṗ1  = 0
+2T
ID , JD : Rotor1 の慣性モーメント [kg ・m ]ṗ20 1 2αṗ30 0
IC , JC , KC : Gimbal2 の慣性モーメント [kg ・m2 ]02
JB : Gimbal3 の慣性モーメント [kg ・m ](J5 p21 −J6 cos(q2 )p1 p3 +J6 p23 ) cos(q2 )−J5 p1 p3(J4 −J3 sin2 (q2 ))2(1) 式は，q3 を含まず，これは運動量保存の存在を表して α = sin(q2 )いることがわかる．また，一般化運動量 p1 , p2 , p3 は，以J1 = JC + JD − KC − ID , J2 = JB + JC + JD
下のようになる．
J3 = JC − KC − ID , J4 = JB + JC
J5 = J1 − J2 , J6 = J1 − JD
[ ]p1
∂L∂L
2.2 出力レギュレーション=p = p2 =∂q̇∂ωp3以下の非線形系を考える．
JD ω1 + JD ω3 cos(q2 )ẋ = f (x, w) + g(x, w)u, x(0) = x0
 (2)(IC + ID )ω2=(8)
v = h(x, w)(J2 − J1 sin2 (q2 ))ω3 + JD ω1 cos(q2 )ここで，x ∈ Rn は状態，u ∈ Rm は制御入力，v ∈ Rp

以上より，状態変数を x̃, z̃ とする拡大偏差システムは，以はレギュレート出力を表す．及び，目標や外乱を表す信号下のようになる．

{w ∈ R は，以下で定式化される外部システム (exosystem)qから生成されるとする．

[(9)ẇ = s(w), w(0) = w0x̃˙ e (t) = Ae x̃e (t) + Be ũ(t)(17)v(t) = Ve x̃e (t)][ ]OB, Be =, Ve = [ −Vx O ]
OO

P:
Ae =

上記モデルの線形近似系を，以下のように示す．

A−Vx

実験において，極 (Acl := Ae +Be Ke の固有値) を原点かẋ = Ax + Bu + P w
ẇ = Swv = Vx x + Vw w

ら離れた位置に配置すると，Gimbal3 が大きく振動する．

(10)

そこで，LMI に基づく制御系設計を行い，最適レギュレータ問題の評価関数 J˜ を導入する．重み行列 Qe ≥ 0, Re > 0

仮定１ (Neutral Stability) 外部システム (9) の平衡点を定義し，その評価関数 J˜ を最小化するようなコント

w = 0 は Lyapunov 安定であり，w = 0 の開近傍 W ⊂ Rが存在し，W の各点は Poisson 安定である．さらに，S =∂s∂w (0, 0) の固有値は，すべて虚軸上にある．
()

ローラを設計する．Acl := Ae + Be Ke の固有値 λ を中心qである．

(−3, 0)，半径 3 の円領域に配置するという拘束条件の下で，評価関数を最小化するようなコントローラのゲイン kを設計し，以下の LMI 条件を得る．また，Qe = QT
h Qh を√√満足する正方行列であり，Qh = diag{ q1 , · · · , qn } で定理１ 以上の仮定が成り立つとする．このとき，出力レある．

π : W → Rn , c : W → Rm で π(0) = 0, c(0) = 0 と以[仮定２ (Linear Stability) 組∂f∂x (0, 0) , g(0, 0)

は可安定]
Ae X + Be F> 0,X][]∗Z ∗∗ > 0,> 0 (18)
I X
Re

ギュレーション問題の可解となるための必要十分条件は， [ q He[A X + B F ] + (r2 − q 2 )X
ceecc
原点近傍の w ∈ W で定義された十分滑らかな関数 (写像)∗下のレギュレータ方程式を満たすものが存在することである．

∂πs(w) = f (π(w)) + g(π(w))c(w)∂w
0 = h(π(w), w)

4−He[Ae X + Be F ] ∗Qh X
IRe FO

シミュレーション設計した制御則を用いてシミュレーション · 実験より理(11)

論の有用性を検証する．初期値を以下のように設定し，シ本研究では，制御量 v を以下のように選び，平衡点 x∗

ミュレーション · 実験結果を図 1，2 に示す．以下の，図1，2 より，Gimbal2,3 の角度は目標値に追従していることで線形近似を行い線形係数行列を導出する．

[v = q2q3 − π2x∗ = [ q2∗q3∗

p∗1]Tp2−p3 + cos(q2 )p1 (12)IC +IDTTp∗2 ] = [ 0 π2 0 0 ]
(13)

がわかる.

[x(0) = 0 0]T00, w(0) = 0.

各線形係数行列は，以下のように定義される．

∂f∂f(0, 0), P =(0, 0), B = g(0, 0),∂x∂w∂s∂h∂h
S=(0), Vx =(0, 0), Vw =(0, 0). (14)
∂w
∂x
∂w

A=3

図 1 Gimbal2 angle

制御系設計
本研究では，出力レギュレーションの枠組みを用いて，サーボシステムを構成し，駆動源のない Gimbal3 の角度q3 の目標値追従制御を行う．
(10) の拡大系を以下のように示す．
[ ] [][ ] [ ]ẋ
A P OxBẇ = O S Ow + O u (15)ż
Vx Vw OzO∫ TTx = [ q2 q3 p1 p2 ] , w = p3 , z =v dτ
0

偏差 x̃, z̃, ũ を以下のように定義する．

[x̃e =]
[] []
x̃(t)
x(t)
x:=− ∞ , ũ := u(t) − u∞(16)z̃(t)
z(t)
z∞

5

図 2 Gimbal3 angle

おわりに
本研究の成果として，Hamilton の正準方程式より，Gim-bal3 を制御する状態として追加した CMG の状態方程式を導出した．設計した制御則を用いてシミュレーション ·実験より理論の有用性を検証した．

参考文献[1] K.Ishikawa, N.Sakamoto and D.Shiraki: Design ofpartial optimal control for a nonlinear system andapplication to the attitude control of a control moment gyro; SICE Annual Conference, 2013, pp.18651871.