指数分布モデルにおける非劣性の統計解析法
2010SE101 加藤駿介

2010SE156 丹羽雄士

指導教員：白石高章µ ≤ µ0 のとき

証明

はじめに

1β(µ) = P (T0 ≥ χ22n (α))
 ∑n2Xi
 i=1≥ χ22n (α)
= P

 µ0

現在，統計学は非常に幅広い分野に活用されており，その中の一つの例として臨床試験を挙げることができる．臨床試験とは医学における介入研究のことである．これは物理・化学研究とは異なり，ヒトを対象として行われるため，

 ∑

n2Xi
 i=1

µ0 2= P≥χ2n (α) µµ

必要以上に被験者を増やしてはならないという倫理的要請がある（角間・服部 [1]）．そのため必要最小限の症例数 (試験の科学的目的を満たすための患者数) に基づいて試験を実施しなければならない．ここで必要となるものが統計的µ0µ0≥ 1より χ22n (α) ≥ χ22n (α)µµ ∑n2Xi
 i=1
よって与式 ≤ P ≥ χ22n (α) µ=α仮説なのである．
統計的仮説にはいくつかの種類があるが，本論ではその中でも非劣性の仮説に注目し，一般的な例に紹介されている正規分布モデルではなく，指数分布モデルの場合の統計2的解析方法について考察する．さらに指数分布における，非劣性の仮説検定のために必要な症例数を設定するためのプログラムを，C 言語によって作成した．それを用いて検定に必要な症例数の設定を行う．

指数分布モデル2定理 1 より，T0 ≥ χ22n (α) は H vs. K に対する水準 α の検定となる．

2.2

指数分布モデルにおける片側検定，非劣性の仮説検定に症例数の設定

片側検定 H : µ ≤ µ0vs

K : µ > µ0 の場合における症例数の設定を行う．

ついて述べる．

検出力関数 β(µ) は，2.1

指数分布β(µ) = P (T0 ≥ χ22n (α))
 ∑

n2Xi
 i=1=P≥ χ22n (α)
 µ0

指数分布について補題 1 として，知られている結果を述べる。
この証明は廣瀬・森下 [3] で与えられる．

 ∑

n2Xi

 i=1µ0 2=P≥χ2n (α)

 µµ

補題 1

X1 , X2 , …, Xn は互いに独率で同一の密度関数
fz (x) = (1/µ)e(−x/µ) I(0,∞) (x) をもつ指数分布 EX(1/µ)に従うとする．このとき，(T ≡2nµ()= 1 − FχX¯n ∼ χ22n=1−が成り立つ。ここで，χ22n は自由度 2n の χ2 分布である．
ただし、X¯n ≡ (1/n)
次に，H : µ ≤ µ0n∑

Xi とする．

i=1

K : µ > µ0 に対する検定統n∑計量は，白石 [3] より T0 = 2Xi /µ0 で与えられる．
vs.

χ22n (α) は自由度 2n の χ2 分布の上側 100α%点とする．β(µ) = P (T0 ≥ χ22n (α)) とおくと

∫ µµ0 χ22n (α)

fχ (t|2n)dt

ここで，fχ (t|2n) は自由度 2n のカイ二乗分布の密度関数である．
検出力がある値 β0 (通常 0.8 ∼ 0.9) 以上であるためには

1−∫ µµ0 χ22n (α)∫ µµ0 χ22n (α)
0µ ≤ µ0 ならば β(µ) ≤ α となる．

)0i=1

定理 1µ0 2
χ (α)|2nµ 2nfχ (t|2n)dt ≥ β00fχ (t|2n)dt ≤ 1 − β0 =(µ > µ0 )∫ χ22n (β0 )fχ (t|2n)dt0µ0 22µ χ2n (α) ≤ χ2n (β0 )となる必要がある．
まとめ

表 1 からわかるように，α = 0.05，β0 = 0.8，∆ = 1.2

仮説 H : µ ≤ µ0vs.
K : µ > µ0 に対する有意水準が α，検出力が β0 以上の検定で ∆ 以上の効果の比∆ ≤ µ/µ0 を検出するためには，少なくとも1 2
χ (α) ≤ χ22n (β0 )∆ 2n
χ22n (α)≤ ∆ の症例数が必要となる．
χ22n (β0 )と設定した場合の n の値は 183 である．

非劣性仮説検定3

前項を踏まえて，指数分布における非劣性の仮説検定について症例数の設定を行う．

3.1

症例数の設定指数分布の場合では許容できる効果の比 δ(> 0) を用い
ここで例として，α = 0.05，β0 = 0.8，∆ = 1.2 の場合たので，これを導入するとH : µ ≤ µ0 δ ，K : µ > µ0 δの n の値を求める．
以下に，上記の場合における，χ22n (α)/χ22n (β0 ) のグラ
フ，χ22n (α)/χ22n (β0 ) の値の表を示す．

1>δ>0(δ は既知)

ここから上記の片側検定の仮説で µ0 を µ0 δ に置き換えた仮説であるとわかる．
よってサイズ α 検定は，

2n∑Xi /(µ0 δ) ≥ χ22n (α)のとき H を棄却し K を採i=1択する．
検出力関数 β(µ) は，

 ∑n2Xi
 i=1
2β(µ) = P  µ0 δ ≥ χ2n (α) ∑n2Xi i=1µ0 δ 2≥
χ2n (α)
=P
 µµ
図 1 α = 0.05，β0 = 0.8 の場合の χ22n (α)/χ22n (β0 ) のグ
ラフ(= 1 − Fχ

表 1 α = 0.05，β0 = 0.8 の場合の χ22n (α)/χ22n (β0 ) の値
α = 0.05

β0 = 0.8

χ22n (α)χ22n (β0 )=1−µ0 δ 2
χ (α)|2nµ 2n)∫ µµ0 δ χ22n (α)

fχ (t|2n)dt
0n = 100

233.994

183.003

1.2786110255.602

202.180

1.2642

120

277.138221.3941.2518130298.611240.6401.2409140320.028

259.9141.2313150

341.395

279.2141.2227160

362.718

298.537

1.2150170

383.999317.8811.2080180405.244337.245

1.2016

181407.366

339.1821.2010182

409.488341.1191.2004183411.610343.057

1.1998仮説 H : µ ≤ µ0 δ ，K : µ > µ0 δ に対する有意水準が α，

184

413.732

344.995

1.1992

検出力が β0 以上の検定で ∆ 以上の効果の比 ∆ ≤ µ/µ0

185415.853346.933

1.1987を検出するためには少なくともここで，fχ (t|2n) は自由度 2n のカイ二乗分布の密度関数である．
検出力がある値 β0 (0.8 ∼ 0.9) 以上であるためには

1−∫ µµ0 δ χ22n (α)

fχ (t|2n)dt ≥ β00∫ µµ0 δ χ22n (α)

fχ (t|2n)dt ≤ 1 − β0 =0∫ χ22n (β0 )fχ (t|2n)dt0µ0 δ 2χ (α) ≤ χ22n (β0 )µ 2nとなる必要がある．
まとめ

δ 2
χ (α) ≤ χ22n (β0 )∆ 2n
δχ22n (α)≤ ∆ の症例数が必要となる。
χ22n (β0 )ここで例として，α = 0.05，β0 = 0.8，δ = 0.8，∆ = 1.0の場合の n の値を求める．

C によるプログラム解説

4

指数分布における非劣性の仮説検定のために必要な症例数を出力するプログラムを，早川 [4] を参照し，C 言語によって作成した．以下のプログラムは，今回作成したプロ
グラムの main プログラムである．

以下に，上記の場合における，δχ22n (α)/χ22n (β0 ) のグラ
フ，δχ22n (α)/χ22n (β0 ) の値の表を示す．

double solution1,solution2;
input();/*自由度と有意水準 α，β を入力する関数*/
solution1=KAI1(ALPHA);/*χ22n (α) の値を置き換えた式*/
solution2=KAI2(BETA);/*χ22n (β) の値を置き換えた式*/
output1(NU,ALPHA,solution1);/*χ22n (α) の値を出力する関数*/
output2(NU,BETA,solution2);/*χ22n (β) の値を出力する関数*/
result(NU,delta,solution1,solution2);/*検定の結果を出力する関数*/return 0;
プログラムの流れは，

図 2

α = 0.05，β0 = 0.8，δ = 0.8 の 場 合 のδχ22n (α)/χ22n (β0 ) のグラフ
表 2

α = 0.05，β0 = 0.8，δ = 0.8 の 場 合 の

1. input 関数によって，自由度（NU），有意水準（ALPHA，BETA）を入力する．
2. 計算された χ22n (α)，χ22n (β) の値を，以後の関数に使用しやすくするため置き換える（solution1，solution2）．
3. output1 関数により，計算された χ22n (α) の値を出力

δχ22n (α)/χ22n (β0 ) の値する．

4. output2 関数により，計算された χ22n (β) の値を出力

α = 0.05

β0 = 0.8

χ22n (α)χ22n (β0 )δχ22n (α)χ22n (β0 )n = 80190.516144.783

1.31591.0527

5. result 関数により，検定の結果を出力する．

85

201.423

154.3191.3052

1.0442

ただし（）内はそれぞれ使用した変数名である．

90

212.304

163.868

1.29561.036595

223.160

173.430

1.28671.02944.1

100

233.994

183.003

1.27861.0229偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアル

105

244.808

192.586

1.2712

1.0169110255.602202.180

1.2642

1.0114115

266.378211.782

1.25781.0062

120

277.138221.3941.25181.0014121279.288

223.3171.25061.0005122281.437225.2401.2495

0.9996

123283.586

227.1641.2484

0.9987124285.734

229.088

1.24730.9978125287.882

231.013

1.24620.9969する．

実行結果

ファ，ベータの値，許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

244 0.05 0.8 1.0
誤差 0.000010 以下の自由度 244.000000 のカイ二乗分布の上側 5.000000 パーセント点は 281.437019
誤差 0.000010 以下の自由度 244.000000 のカイ二乗分布の上側 80.000000 パーセント点は 225.240364
ラージデルタの値が 1.25 となる場合の症例数は 122偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアルファ，ベータの値，許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

366 0.05 0.8 1.0
誤差 0.000010 以下の自由度 366.000000 のカイ二乗分布表 2 からわかるように，α = 0.05，β0 = 0.8，δ = 0.8，の上側 5.000000 パーセント点は 411.610023∆ = 1.0 と設定した場合の n の値は 122 である．
誤差 0.000010 以下の自由度 366.000000 のカイ二乗分布

の上側 80.000000 パーセント点は 343.056953
ラージデルタの値が 1.20 となる場合の症例数は 183

YN：有意水準 β での χ2 分布の上側 100β% 点
ALPHA，BETA：有意水準
delta：許容できる効果の比偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアルファ，ベータの値，許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

402 0.05 0.8 1.0
誤差 0.000010 以下の自由度 402.000000 のカイ二乗分布の上側 5.000000 パーセント点は 449.748695
誤差 0.000010 以下の自由度 402.000000 のカイ二乗分布の上側 80.000000 パーセント点は 377.962334
ラージデルタの値が 1.19 となる場合の症例数は 201

1. KAI1 関 数 は 有 意 水 準 α に お け る χ2 分 布 の 上 側100α% 点を求める関数である．最初の for 文で χ2分布の上側確率を計算し，その値を用いて 2 つ目のfor 文で上側 100α% 点を求める．
2. KAI2 関 数 は 有 意 水 準 β に お け る χ2 分 布 の 上 側100β% 点を求める関数である．最初の for 文で χ2分布の上側確率を計算し，その値を用いて 2 つ目のfor 文で上側 100β% 点を求める．

偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアル

3. main 関数では各関数の呼び出しを行う．

ファ，ベータの値，4. NORMP 関数では正規分布の上側確率を求める．

許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

5. ppow1，ppow2 関数では上側確率を求める際に使用す

72 0.05 0.8 0.8
誤差 0.000010 以下の自由度 72.000000 のカイ二乗分布の上側 5.000000 パーセント点は 92.808266
誤差 0.000010 以下の自由度 72.000000 のカイ二乗分布の上側 80.000000 パーセント点は 61.755836
ラージデルタの値が 1.20 となる場合の症例数は 36偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアルファ，ベータの値，許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

118 0.05 0.8 0.8
誤差 0.000010 以下の自由度 118.000000 のカイ二乗分布の上側 5.000000 パーセント点は 144.353676
誤差 0.000010 以下の自由度 118.000000 のカイ二乗分布の上側 80.000000 パーセント点は 104.915047
ラージデルタの値が 1.10 となる場合の症例数は 59る積の計算を行う．

6. CHI2PA 関数では有意水準 α での上側確率を求める．
7. CHI2PB 関数では有意水準 β での上側確率を求める．
8. input 関数では自由度，有意水準，許容できる効果の比の入力を行う．

9. output1 関数，output2 関数では計算した上側 100α%点，上側 100β% 点を出力する．
10. result 関数では検定で得られた結果を出力する．

5

おわりに非劣性の仮説検定で，指数分布モデルの場合に必要とされる症例数の設定について検定を行い，導くことができた．
指数分布モデルの理論が文献 [2]，[3] に論じられている．
この 2 つの論文も参考としている．

C 言語によってプログラムを作成し，それを用いて正偶数となる自由度と 0 より大きく 1.0 より小さなアルしい症例数の設定が行えた．また実際にプログラムを作

ファ，ベータの値，成したことで，今まで研究してきたことへの理解がより深許容できる効果の比スモールデルタを入力してください

まった．

244 0.05 0.8 0.8
誤差 0.000010 以下の自由度 244.000000 のカイ二乗分布の上側 5.000000 パーセント点は 281.437019
誤差 0.000010 以下の自由度 244.000000 のカイ二乗分布の上側 80.000000 パーセント点は 225.240364
ラージデルタの値が 1.00 となる場合の症例数は 122

参考文献[1] 角間辰之・服部聡:『臨床試験のデザインと解析』．
近代科学社，東京，2012．
[2] 白石高章:『多群指数モデルにおける平均パラメータの多重比較法』．
計量生物学 Vol.34，No.1，1-20，2013．

4.2

プログラム詳細[3] 廣瀬由幸・森下史章:『多群指数モデルにおける平均相違の多重比較法』．

第 4 節のはじめに main プログラムとその概要を説明したが，ここでは引数と各関数の詳細説明をする．なお，全体のプログラムは卒業論文に掲載されている．

2012 年度南山大学情報理工学部情報システム数理学科卒業論文[4] 早川由宏『Mathematica と C 言語による統計プログ

引数ラミングの基礎』．

NU：自由度 2n
XN：有意水準 α での χ2 分布の上側 100α% 点

学科卒業論文．

2012 年度南山大学情報理工学部情報システム数理