39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008

Theoretical Problem No. 1

理論第１問

水力米つき機A. はじめに
米は，ほとんどのベトナム人にとって主食である。稲から白米とするためには，殻粒から殻を取り玄米とし（これを脱穀という），さらに，玄米の種皮を剥し白米とする（これを精米という）作業がある。ベトナムの北部にある山岳地帯
では，水流が豊富であることもあって，精米作業に水力米つき機を用いている。
この水力米つき機を図１に示し，その機能を図２に示した。
B. 米つき機の概要とその機能
１．概要
ベトナム式米つき機（図１）は次の２つの部分からなる。
臼（桶）：玄米を入れる木製の器
てこ：一方が太く，他方が細くなっている木材
この「てこ」は，柱につけた水平軸のまわりに回転する。杵（きね，打ち棒）
は，「てこ」の細いほうの端に垂直に付けられている。杵は，「てこ」が水平になっているときに臼の中の米をつくような長さにつくられている。
「てこ」の太いほうの端の内部は婉曲に削られており，水の溜まるバケツを形成している。このバケツの形状が，米つき機にとって本質的である。
２．機能
米つき機には２つの状態がある。
機能する状態：この状態では，臼は図２に示される作業サイクルを通して叩かれている。米打ち機の機能は，図２の過程(f)で杵が米を打つことである。何らかの理由で，杵が米に当たらないとき，米打ち機は機能していないと言う。
「てこ」が持ち上げられたままで機能しない状態：図２の作業サイクルの過程(c)では，傾斜角 α が増加すると，バケツの中の水の量は減少する。ある時間経過して，水の量が「てこ」の重さとちょうどつり合った瞬間の傾斜角を β とする。「てこ」が角 β になり，その角速度がゼロであると，「てこ」は永久にこの位置に保たれる。これは「てこ」が持ち上げられたまま静止した状態である。バケツに流れ込む水の流量 Φ がある値 Φ 2 を超えると，この機能しない状態は安定である。別の言い方をすれば，Φ 2 は米打ち機が作動する状態にならない最小の水の流量である。

1

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Theoretical Problem No. 1

図 1
水力米つき機2

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Theoretical Problem No. 1

水力米つき機の作業過程
a) はじめバケツの中には水はなく，杵は臼の上で静止している。水がバケツの中に少量流れ込むが，「てこ」はある時間までは水平を保っている。

a)b)α1b) バケツの中に水がある量溜まると，杵は持ち上がる。
「てこ」が傾くため，水はバケツの左端に流れて集まり，「てこ」は急速にさらに傾く。α = α1になると水は流出し始める。

c)

α=βd)

α2α0e)c) 角 α が増加すると，さらに流れ出る。角 α が α = β になると，水平軸のまわりの力のモーメント（トルク）はゼロになる。
d) 角 α は増え続け，バケツの水が流出し続け，バケツは空になる。

e) 角 α は慣性により増え続ける。バケツの形状から，水はバケツの中に落ちても直ちに流れ出る。角 α の慣性による運動は， α が最大値 α 0 に達するまで続く。
f) バケツの水がないので，「てこ」の重さにより，「てこ」は，はじめの水平な位置に戻る。杵は臼の中の米を打ち，新たなサイクルが始まる。

f)

図 2.

3

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Theoretical Problem No. 1

C. 問題
次のようなパラメータを用いて水力米つき機を考える（図 3）。
「てこ」の質量（杵を含むが，水は含まない）は， M = 30 kg とする。
「てこ」の重心を G とする。「てこ」は軸 T （図では点 T となっている）を中心として回転する。
軸 T のまわりの「てこ」の慣性モーメントは， I = 12 kg ⋅ m2 とする。
バケツに水があるときは，水の質量を m と書き，水の重心を N とする。
水平軸からの「てこ」の傾斜角を α とする。
米つき機とバケツに関する長さの計測値を図 3 に示す。
回転軸の摩擦と水のバケツへの落下による力は無視する。この問題では，水面は常に水平と近似する。

バケツ

a =20cmTてこ

L = 74 cm

h= 12 cm

γ =300杵8 cm

NG
b=15cm臼

図 3. 米つき機の大きさとデザイン

1. 米つき機の構造
最初，バケツは空であり，「てこ」は水平な位置にある。そして，水がバケツに流れ込み，やがて，「てこ」は回転を始める。このときのバケツ中の水の量は m = 1.0kg である。
1.1. 「てこ」の重心 G から，「てこ」の回転軸 T までの距離を求めよ。バケツが空のとき，GT は水平だとわかっているとする。
1.2. 「てこ」と水平面との間の角が α1 となると，水がバケツから流れ出す。この角が α 2 となると，バケツが完全に空になる。 α1 と α 2 を求めよ。
1.3. μ (α ) を「てこ」の重さとバケツ中の水の重さによる（軸 T に関する）力のモーメント（トルク）とする。 α = β のとき， μ (α ) はゼロである。 β とこの4

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Theoretical Problem No. 1ときのバケツ中の水の質量 m1 を求めよ。
2. 機能する状態のパラメータ「てこ」が動単位時間に一定で小さい流量 Φ で，バケツに水が流れ込むとする。
いている間にバケツに流れ込む水の量は十分小さいので，作動水による全体の慣性モーメントの変化は無視する。
2.1. 一回のサイクル中の μ (α ) について，横軸を傾斜角 α ，縦軸をトルク μ とするグラフの概形を描け。また，傾斜角 α = α1, α = α2，および α = 0 での μ (α ) の数値を，それぞれ求めよ。
2.2. 問 2.1.のグラフを用いて， μ (α ) により発生する全エネルギー Wtotal と杵から米になされる仕事 Wpounding それぞれについて，グラフのどの部分に対応するか述べよ。
2.3. α に関する μ の同じグラフを用いて, α 0 と Wpounding の値を求めよ（バケツに流れ込む，または流れ出す水の運動エネルギーは無視する）。グラフの曲線は適切な折れ線で近似して，計算を簡略化してもよい。
3. 機能しない状態一定の流量 Φ でバケツに水が流れ込むとし，「てこ」が動いている最中に流れ込む水の量は無視できないとする。
3.1. バケツが水で常にあふれていると仮定する
3.1.1. α = β の近くで，横軸を傾斜角 α ，縦軸をトルク μ とするグラフの概形を描け。「てこ」が α = β の位置にあるときは，どのようなつりあいの状態にあるかを選べ。
3.1.2. α = β + Δα とするとき，Δα が小さいとして，トルク μ (α ) を Δα の一次の項まで求め，その係数は数値で表せ。
3.1.3. α = β + Δα （ Δα は小さい）の位置から初速度ゼロで動き出す「てこ」の動きについて，回転の運動方程式を書き下せ。その方程式から，その回転運動はよい精度で単振動であることを示せ。さらに，その周期 τ の値を計算せよ。

5

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Theoretical Problem No. 1

3.2. ある Φ において, 「てこ」が十分遅く動いているときに限ってバケツは常に水があふれている。そうすると，前問で求めた単振動の振幅には，Φ に依存する上限がある。
「てこ」が角度 1o の角振幅で単振動するときの最小の Φ の値 Φ1を kg/s の単位で求めよ。
3.3. Φ が十分大きいとすると， α 2 から α1 へ傾斜角が減少しながら自由運動しているときには，バケツから常に水があふれる。その結果，もし Φ が大きすぎると「てこ」は振動をし，米つき機は機能しない。「てこ」の動きを単振動と仮定して，米つき機が機能しない最小の流量 Φ 2 のおよその値を有効数字一桁で求めよ。

6

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Theoretical Problem No. 1

解答用紙

1.

3 pts
1.1. 「てこ」の重心から回転軸までの距離

1TG =

1.2.

α1 =0.5

α2 =1.3. 「てこ」にはたらく力のモーメント μ がなくなるとき，1.5

m1 =
β=7

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Theoretical Problem No. 1

2.

3.5 pts

2.1. 横軸 α に対する縦軸 μ のグラフ。α =α1，α =α2，α =0 に対する各 μ2の数値をわかりやすく記入すること。

2.2.

2.3.

μ － α 図において Wtotal はどのように表されるか。

0.35

μ － α 図において Wpounding はどのように表されるか。

0.35

α0 ≈

0.4

Wpounding ≈0.48

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Theoretical Problem No. 1

3.

3.5 pts
3.1. 3.1.1. α = β の近くにおける μ － α 図

0.5

α = β のとき，つりあいの状態は次のどれか
安定
不安定

0.2

どちらでもない（適切なものに○印を付けよ）

3.1.2. μ (α ) は Δa を用いてどう表されるか

0.4

3.1.3. 「てこ」の運動方程式
0.4振動の周期 τ =3.2. 「てこ」が角度１°の角振幅で単振動するときの Φ の最小値

1.5

Φ1 =

3.3. 水力米つき機が機能しない流量 Φ の最小値

0.5

Φ2 =9

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Theoretical Problem No. 1

理論第１問

【解答】

1.1 TG の長さの計算
バケツの中の水の体積はV = 1000 cm 3 = 10 −3 m 3 であり，バケツの底辺の長さは
d = L − h tan 60° = (0.74 − 0.12 tan 60°)m = 0.5322m である（与えられたデータは有効数字２桁であるので，最終的には有効数字２桁で答えるべきであるが，計算の過程ではより多くの桁を残しておく）。
RHSPNTK（解答１）水 F が少量であるので，水の重心 H が上図の PK の中点の真上にあると近似する。このとき， TH = a +d= 0.4661m である。モーメントのつり合
2

いにより，

TG =m
TH = 0.01554m ≈ 0.016 m
M（解答２）バケツの水の深さを c とする。bcd < V なので，c < 0.01253m である。
また，水の重心の T からの水平距離はバケツの底面の中心と T との水平距離より長く，水面の中心と T との水平距離より短くなるので，a+dd + c tan 60°< TH < a +である。よって， 0.4661m < TH < 0.4770m ，ゆえ
22に ， 0.01554m < TG < 0.01590m と な る 。 す な わ ち 有 効 数 字 ２ 桁 で はTG = 0.016 m である。

（解答３）バケツの水の深さ c は，以下の方程式から計算できる。

c(d 2 + 2 3V / b)1/ 2 − d0
V = bcd + b c tan 60 ⇒ c =23V , b, d の値を代入して， c = 0.01228m
下図のように水を三角柱と直方体に分割する。水全体の重心は三角柱の重1心と直方体の重心とを結んだ線を bcd : bc 2 tan 60° = 2d : 3c に内分する点2なので，c/ 3d/210

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Theoretical Problem No. 1TN = a +d3c ⎛ dc ⎞+⎜ +⎟ = 0.4714m となる。ゆえに，
23c + 2d ⎝ 23⎠
TG = 0.01571m ≈ 0.016 m

1.2 α1 , α 2 の値の計算「てこ」が α1 傾いていると，水面はバケツの縁をとおる。このとき水の体積は 10−3 m3 で あ る 。 PQ < d と す る と ， 下 図 よ り V = hb × PQ / 2 な の で ，PQ = 0.1111m である。これは，明らかに PQ < d をみたす( d = 0.5322 m )。
tan α1 =hh
より， α1 = 20.6°=
QS PQ + 3h

また，傾きが 30° のとき，バケツは空になる。すなわち， α 2 = 30°GhRTNIQPS

1.3 全トルク（力のモーメント）μが 0 となるときの「てこ」の傾きβとバケツ内の水量 m1 の計算

PQ = x (m) とおく。バケツ内の水量は，水の密度を ρ water = 103 kg/m3 として，
m1 = ρ waterxhb= 9x〔kg〕と書ける。μ = 0 のときバケツ内の水が及ぼすトルク
2と「てこ」の重さによるトルクはつり合う。バケツ内の水の断面は図中の△PQRである。水の重心 N は線分 RI を 2:1 に内分する点なので，３点 N,T,G は共線である。また， m1g × TN = Mg × TG であるので，m1 × TN = M × TG = 30 × 0.01571 = 0.4713(1)

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Theoretical Problem No. 1TN を x を用いて表すと，

2xxx
TN = L + a − ( h 3 + ) = 0.94 − 0.08 3 − = 0.8014 −32
33(1)式に代入すると，

m1 × TN = 9x (0.8014 − x / 3) = −3x 2 + 7.213x(2)よって， x の方程式

−3 x 2 + 7.213x = 0.4714(3)を得る。
(3)の解は， x = 2.337 と x = 0.06723 であるが， x は 0.5322 より小さいので，x = x0 = 0.06723 である。したがって，
m1 = 9x 0 = 0.6051 kg ≈ 0.61kg

また， tan β =h= 0.4362 より， β = 23.57° ≈ 23.6°
x+h 3

2.1 １サイクルでの μ (α ) （ μ (t ) と α (t ) の関係）のグラフ
はじめ，バケツが空のとき， α = 0 であり， μ は負で，その大きさは，最大値

Mg × TG = 30 × 9.81 × 0.01571 = 4.624 N ⋅ mをとる。トルクの符号は，水平軸のまわりの反時計回りの向きを正とする。
バケツに水が流れ込むにつれて， μ が正となり「てこ」が持ち上がるまで，水が及ぼす正のトルクによりμが増加する。仮定により，このときからバケツ内の水量は一定である。
「てこ」が傾くことにより，水の重心は回転軸から離れ，μの増加を引き起こす。そして，μは水がバケツの縁からこぼれはじめる瞬間に最大値をとる。
このとき， α = α1 = 20.60 である。
簡単な計算により，

SI = SP + PQ / 2 = 0.12 × 1.732 + 0.1111/ 2 = 0.2634 m
2TN = 0.20 + 0.74 − SI = 0.7644 m
3μmax = (1.0 × TN − 30 × TG)g cos 20.6°= (1.0 × 0.7644 − 30 × 0.01571) × 9.81 × cos 20.6° = 2.691 N ⋅ m≈ 2.7 N ⋅ m

12

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Theoretical Problem No. 1

バケツがこれより傾くと，バケツ内の水量は減少し，ついには α = β , μ = 0となる。そして，慣性のためにαは増加し，μは減少し続ける。
α = α 2 = 30° のとき，バケツは空になり，

μ = −30 × g × TG × cos 30° = − 4.0 N ⋅ m
慣性のために α は α 0 に達するまで増加し，

μ = −Mg ⋅ TGcosα 0 = −4.62cosα 0 N ⋅ mとなり，その後，急速に α = 0 へと減少する。 α = 0 のとき，μ ≈ − 4.6 N ⋅ m以上をもとに， μ (t ) と α (t ) とのグラフ μ (α ) を描くと，下図を得る。

μ2.7N.m

OA23.60
20.60 B

αE300-4.6cosα0 N.m

α0D-4.0N.m

C-4.6N.m F2.2 トルク μ (α ) の及ぼす微小な仕事は dw = μ (α )dα と表せる。１サイクルで「て∫こ」が μ (α ) により得るエネルギーは， w = μ (α )dα ，すなわち， μ (α ) のグラフが囲む面積である。よって， Wtotal はグラフ μ (α ) における曲線(OABCDFO)の囲む面積に等しい。
「てこ」が臼に与える仕事は，てこが α = α 0 の状態から水平になる，すなわ

1339th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008

Theoretical Problem No. 1

ち α = 0 となるまでに得るエネルギーに等しい。よって，Wpounding はグラフ μ (α )における(OEDFO)の面積であり，その大きさは，はじめ「てこ」がもっていた位置エネルギー gM × TG × sin α 0 = 4.6sinα 0 (J) に等しい。

2.3

点 D で「てこ」のもつ運動エネルギーが 0 であることを考慮することで，α 0の大きさを計算できる。すなわち，図形(OABO) = 図形 (BEDCB)OABO を三角形に，BEDCB を台形に近似することにより，23.6 × 2.7 × (1/ 2) = 4.0 × [(α 0 − 23.6) + (α 0 − 30)] × (1/ 2)
これより， α 0 = 34.7° を得る。よって，

Wpounding = 領域(OEDFO) = − ∫034.76

Mg ×TG × cos α dα= 4.62 × sin 34.7 0 = 2.63 ≈ 2.6 J
3.1.1 バケツから常に水があふれている。 μ (α ) のグ
ラフは α = β の近傍では単調減少である。グラフによると，α = β は安定な平衡点であるとわかる。
αが増加すると，αを減少させる負のトルクが働き，αが減少すると，αを増加させる正のトルクが働く。

μβα3.1.2 α = β + Δα （ Δα は微小）のときのトルクμの計算「てこ」がαだけ傾いているときバケツ内の水量は m = (1/ 2) ρ bh PQ であり，1 ⎞⎛ 1−である。α が β から α = β + Δα まで増加すると
0 ⎟⎝ tan α tan 30 ⎠また，PQ = h ⎜き，バケツ内の水量の増加は，
Δm =11∂PQρbh 2
ρbh 2≈−ρbhΔPQ = ρbhΔα = −ΔαΔα22∂α2 sin 2 α2 sin 2 βである。
傾き α = β + Δα のとき，「てこ」に作用するトルクは， Δm によるトルクに等

1439th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008Theoretical Problem No. 1

しい。よって，μ = Δm × g × TN × cos( β + Δα ) ≈ Δm × g × TN × cos β

TN の大きさは「てこ」の傾きがβのときの平衡の条件より計算できる。すなわち，
TN = M × TG/m1 = 30 × 0.01571/ 0.605 = 0.779 m∴μ = −47.2ΔαN ⋅ m ≈ − 47 Δα N ⋅ m

3.1.3 「てこ」の回転運動方程式は，

Id 2α= μ （ただし μ = −47.2Δα N ⋅ m ， α = β + Δα ）dt 2

I は「てこ」とバケツ内の水の軸 T まわりの慣性モーメントの和である。バケツ内の水量はαに依存するので， I は一定でない。しかし， Δα が微小のとき，バケツ内の水量も水の形も変化しないとみなせ，I は近似的に一定である。
バケツ内の水は質量 0.605kg の質点とみなせる。よって，簡単な計算により，
I = 12 + 0.605 × 0.779 2 = 12.37kgm 2 ≈ 12.4kgm 2d 2 (Δα )= −47.2Δαdt 2
これは単振動の方程式であり，その周期は，∴12.4

τ = 2π12.4= 3.22s ≈ 3.2s
47.2

3.2 バケツから常に水があふれているときの α = β 付近での単振動「てこ」は α = β を中心に振幅 Δα 0 の単振動をしているとする。 t = 0 のとき
Δα = 0 であるとする。このとき水があふれている。 dt の間に傾きは dα 変化する。この問題で調べるべきなのは dα < 0 ，すなわち，「てこ」がαの減少する向きへ運動する場合であり，このとき，バケツをあふれさせる以上の水を供給する必要がある。
「てこ」の運動は Δα = −Δα 0 sin
d (Δα ) = dα = − Δα 02πτcos

2πτ2πτt と表される。よって，t dtである。
バケツから水があふれるためには，この間にバケツに流れ込む水量は少なくとも

dm = −bh 2 ρΔα 0πbh 2 ρ⎛ 2π ⎞
α=dcos⎜ t ⎟ dt22
τ sin β2 sin β⎝ τ ⎠dm は t = 0 のとき最大となり，dm 0 =である。

πbh 2 ρΔα 0dt
τ sin 2 β

バケツに流れ込む水量と流量 Φ は関係式をみたす。ゆえに，

1539th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 2008

Theoretical Problem No. 1

Φ=πbh 2 ρΔα 0
τ sin 2 β単振動をするためにはバケツから水があふれる必要があるので，「てこ」が振幅 1° ，すなわち Δα 0 = 2π/360 rad の単振動をするためには，

πbh 2 ρ ⋅ 2π
Φ1 == 0.2309 kg/s ≈ 0.23 kg/s
360τ sin 2 βとして， Φ ≥ Φ1 をみたす必要がある。

3.3 Φ 2 の計算
傾きが α1 = 20.6 ° まで減少しても，バケツから水があふれ続けていると，この と き バ ケ ツ 内 の 水 量 は 1kg に 達 し ，「 て こ 」 の 単 振 動 の 振 幅 は23.6 ° − 20.6 ° = 3 ° となる。流量は 3Φ1 を超えなければならない。よって，

Φ 2 = 3 × 0.23 kg/s = 0.69 kg/s ≈ 0.7 kg/s
これは米つき機が機能しない最小の流量にほかならない。

16