Control Moment Gyroscope のスライディングモードサーボ制御
2011SE003 相羽祐生
指導教員：高見勲

1ID , JD : Rotor1 の慣性モーメント [kg ・m2 ]はじめにIC , JC , KC : Gimbal2 の慣性モーメント [kg ・m2 ]Control Moment Gyroscope(以下, CMG) は, 大型の宇宙機の姿勢制御装置として研究が行われており, また 実際に CMG は複数個を協調動作させて用いられる. 本研究では, 基礎研究の段階として, 単一の CMG に対するアプローチを行う. 本研究の制御目的として, スライディング

次に, 一般化座標 q = [q1 q2 q4 ]T に対応する共役運動量 p

モード制御理論に基づいたサーボ制御則を適用することにと角速度 q̇ は, それぞれ式 (3), (4) のように得られる.

より, 駆動源を持たない Gimbal4 の角度追従制御を行う.
また, Hamilton 系を用いて CMG のシステムを表現し,部分安定化問題の枠組みを用いて制御系設計を行い, [1] 設計したコントローラの有用性を, シミュレーション, 実験を行うことにより検証する.

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モデリング及び状態方程式の導出

KB : Gimbal3 の慣性モーメント [kg ・m2 ]KA : Gimbal4 の慣性モーメント [kg ・m2 ]J1 = JC + JD − KC − ID , J2 = KA + KB + JC + JD

[ ][]JD (ω1 + ω4 sin q2 )p1
∂L
(IC + ID )ω2
p2 ==(3)∂ q̇p4(J2 − J1 cos2 q2 )ω4 + JD ω1 sin q2

sin q2 JD p4 +p1 J1 cos2 q2 −p1 J2[ ] [ ]JD ((J1 cos2 q2 )−J2 +JD −JD cos2 q2 )q̇1
ω1p2 (4)q̇2 = ω2 = (IC +ID )q̇4
ω4−p4 +p1 sin q2
J1 cos2 q2 −J2 +JD −JD cos2 q2

図 1 は CMG の概略図である. CMG には Rotor1 を回転させる Motor1 のトルク T1 (t) と Gimbal2 を傾ける

また, Hamiltonian は H = pT q̇ − L であり, 正準方程式

Motor2 のトルク T2 (t) が存在する. Rotor1 の角度と角速度を q1 (t), ω1 (t) Gimbal2 の角度と角速度を q2 (t), ω2 (t)Gimbal4 の角度と角速度を q4 (t), ω4 (t) と定義する. CMGの運動方程式を導出する為, Lagrangian L を求めると,は次のように得られる.

q̇ =

∂H,
∂pṗ = −∂H+T∂q(5)得られた正準方程式 (5) を用いてシステムを表現すると,
式 (6) が得られる.

b3b1c1b2c3d3c2

p2
 
(IC +ID )
q̇20−p4 +p1 sin q2
22
q̇4   J1 cos q2 −J2 +JD −JD cos q2  0
    + 1ṗ1  = 0
 0ṗ  2
f5


ṗ400

Gimbal3q3 ω 3d1

Rotor1d2

T1q1 ω 1a1a2q2 ω2a3

Gimbal4q4 ω 4n1T2

Gimbal2n3

00 [ ]
 T0 1T1 20n2(6)図 1 Schematic model of CMG

f51f52()
f51 = − sin q2 (J4 − KC )p24 + J3 p21 +()J3 + J4 − KC + (KC − J4 ) cos2 q2 p1 p4()2
f52 = cos2 q2 (KC − J4 ) − J2 + JD
J3 = KA + KB + KC + KD
J4 = −JC + KB + KC + KD
f5 = cos q2

L={}
1JD ω12 + (IC + ID )ω22 + (J2 − J1 cos2 q2 )ω42 (1)2+JD ω1 ω4 sin q2となり, Euler − Lagrange の運動方程式は以下の式で与ここで, p˙4 = 0 より, p4 は保存量となり, 何らかの一定のえられる.

値を持つステップ外乱信号と見なせるが, [1] 本研究では[]∂Ld ∂L−= Ti (i = 1, 2, 4)
dt ∂ q̇i∂qi(2)

Gimbal4 が初期状態において静止している場合を考える
為, p4 = 0 として扱い, またモデル設計では p4 の影響を無視する形で扱う. よって, システムを表す状態方程式は,状態変数を x(t) = [q2 q4 p1 p2 ]T として, 式 (7) のように得られる.

p2
0(IC +ID )−p4 +p1 sin q2
0ẋ =  J1 cos2 q2 −J2 +JD −JD cos2 q2  x + 可到達条件

3.4

求めた制御入力が切換超平面上に到達し, 拘束されるか

00
u1 0
0 1を確認する. σ → 0 を実現する為, σ に対するリアプノ(7)フ関数の候補を (13) のように選び, (13) の時間微分と式

本研究では角度追従制御を行う為, 式 (7) の拡大サーボ(12) を用いて計算すると, (14) の関係が得られ, σ のダイナミクスが漸近安定となり, 切換超平面上に拘束されることが確認される.
σT σ(13)
V =2



0
f53

スライディングモードサーボ系の設計

3.1

拡大系系を考える. 式 (7) を平衡点 xe = ( π2 , 0, 0, 0) において線形近似して導かれる係数行列と, 目標値 r と 出力との差の積分値 z を用いた拡大系サーボ系を構成すると式 (8) のようになる. また, 式 (8) の各係数行列を (9) のようにおく.

∫ t00A=00[1C=000000101JD −J20000[AAe =−C000]0, r = [ π200 , B = 0
10(SBe ≻ 0, K ≻ 0) (14)シミュレーション及び実験結果との比較

4設計した制御系を用いて, MATLAB によるシミュレー比較を行う. 目標値及び初期値は次のように設定した.

(8)
00
01r = [q2rπ T3]][ ][ ]OBO, Be =, Qe =OOr

(9)

切換超平面の設計x̂ = [xz]T として, 切換関数を式 (10) のように定義する.
σ(x̂) = S x̂(10)

式 (10) の挙動はシステムの伝達関数 S(sI − Ae )−1

Tq4r ] = [ π2π T3 ] , x0 = [0000]

T(15)Gimbal2, Gimbal4 それぞれの応答結果は, シミュレーションより実験の方が応答が速いが, Gimbal2 の角度 q2 ,Gimbal4 の角度 q4 それぞれが目標値にほぼ偏差なく追従している為, 本研究の制御目的は達成されたと言える.

gimbal4 angle [rad]3.2

1IC +ID

σ2≺0∥ σ ∥ +δションを行い, CMG の実験機に対し実験を行った結果とz=(r − Cx(τ ))dτ[ ] [0][ ] [ ][ ]ẋ
A O xBO=+u+ż
−C O zOrV̇ = −(SBe )Kgimbal2 angle [rad]2simulation
experimentreference

100
1.5

12341
simulation
experimentreference

0.500

Be の123time

4[s]図 2 Comparison of simulations and experiments

零点に支配される. 安定かつ過渡特性の良いスライディン
グモードを実現する為に, 次の任意の Q > 0 に対する

Riccati 方程式 (11) により得られる正定対称解 P を用いて S を求める.[2] ただし, ϵ ≥ 0 は Aϵ = A + ϵI のように設定することで, システムの零点に安定余裕を与える為の正の設計パラメータである.
{P Aϵ + ATϵ P − P Be BeT P + Q = 0(11)S = BeT P
3.3

最終スライディングモードコントローラの設計

最終スライディングモード制御入力は, 線形制御入力項ul と非線形制御入力項 unl から構成され, 式 (12) と表せる. ただし, K は非線形入力 unl の大きさを調節するパラメータであり, δ > 0 は非線形入力 unl の切換によって起こるチャタリングの低減を目的とした平滑化を行う為の正のパラメータである.

u = ul + unl(= −(SBe )−1 (SAe x + SQe ) + K)σ(12)∥ σ ∥ +δ5

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終わりに駆動源のない Gimbal4 を目標角度に追従させる課題に対し, [1] の手法を用いて, CMG のシステムを可制御の形で表現し, スライディングモード制御理論に基づいた追従コントローラを提案して, 設計したコントローラの有用性をシミュレーション, 実験により検証した.

参考文献[1] K. Ishikawa and N. Sakamoto and D. Shiraki: Design of partial optimal control for a nonlinear system
and application to the attitude control of a control
moment gyro. SICE Annual Conference , 1865/1871(2013).
[2] Y. F. Chen and T. Mita: Adaptive Robust Sliding Mode Control. T. IEE Japan, Vol. 113-C, No.3,
203/210 (1993).

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