Theory

Q1-1Japanese (Japan)

LIGO-GW150914 (10 点)
2015 年 に 重 ⼒ 波 検 出 器 LIGO が 初 め て 地 球 に 到 達 し た 重 ⼒ 波 (Gravitational waves, GW) を 観 測 し た。
GW150914 と名付けられたこのイベントは，円に近い軌道を運動する 2 つのブラックホールで発⽣した重⼒波によるものである。この問題では，観測データの特性から系の物理パラメータを⾒積もる。

Part A: ニュートン⼒学による軌道 (3.0 点)
A.1

質量 𝑀1 , 𝑀2 の星がそれぞれ位置 𝑟1⃗ , 𝑟2⃗ の位置にあるとし，重⼼系で運動を記述する:
𝑀1 𝑟1⃗ + 𝑀2 𝑟2⃗ = 0 .

1.0pt

(1)

星は宇宙の他の天体から⼗分離れているとし，⾮相対論的速度で運動しているものとする。ニュートンの法則から，質量 𝑀1 の加速度ベクトルは以下のように書き表すことができる。
d2 𝑟1⃗𝑟⃗= −𝛼 𝑛1 ,d𝑡2𝑟1(2)

ここで 𝑟1 = |𝑟1⃗ |, 𝑟2 = |𝑟2⃗ | である。⾃然数 𝑛 を求めよ。また，𝛼 = 𝛼(𝐺, 𝑀1 , 𝑀2 ) の−2
具体的な表式を求めよ。𝐺 は万有引⼒定数 [𝐺 ≃ 6.67 × 10−11 Nm2 kg ]。
A.2

2 つの質量からなる系の全エネルギーは、円軌道に対して以下のように書き表される:
𝑀𝜇,𝐿(3)𝑀 ≡ 𝑀 1 + 𝑀2 ,(4)𝐸 = 𝐴(𝜇, Ω, 𝐿) − 𝐺

1.0pt

ここで𝜇≡

𝑀1 𝑀2,
𝑀1 + 𝑀2

は系の換算質量および全質量であり，Ω はそれぞれの質量の⾓速度，𝐿 は質量間の距離 ( 𝐿 = 𝑟1 + 𝑟2 ) である。𝐴(𝜇, Ω, 𝐿) の具体的な表式を求めよ。
A.3

式 (3) は 𝐸 = 𝛽𝐺 𝑀𝜇と簡単化できる。𝛽 を決定せよ。
𝐿

1.0pt

Part B: 相対論的エネルギー散逸の導⼊ (7.0 点)
1915 年にアインシュタインによって定式化された重⼒の正確な理論である相対性理論は，重⼒が光の速さで伝搬することを予⾔する。このときに重⼒相互作⽤の情報を運ぶのが重⼒波である。重⼒波は質量が加速されるときに常に放射され，質量系のエネルギーを減少させる。
宇宙の他の天体から⼗分離れた 2 つの点状の天体を考えよう。⼗分⼩さな速度に対して，1) 発せられる重⼒波の⾓振動数は軌道の⾓速度の 2 倍であり，2) 単位時間あたりに放射される重⼒波のエネルギー 𝒫 は，以下のアインシュタインによる四重極公式で決められる:𝒫=

d3 𝑄𝑖𝑗d3 𝑄𝑖𝑗𝐺 3 3)().
∑∑(5𝑐5 𝑖=1 𝑗=1d𝑡3d𝑡3(5)TheoryQ1-2Japanese (Japan)

ここで，𝑐 ≃ 3 × 108 m/s は光速である。2 質量系が 𝑥 − 𝑦 平⾯内を運動する時，𝑄𝑖𝑗 は次のように与えられる(𝑖, 𝑗 はそれぞれ⾏と列の成分を表す添字である):
22𝑀𝐴2(2𝑥2𝐴 − 𝑦𝐴),
3𝐴=1

𝑄11 = ∑2𝑀𝐴2(2𝑦𝐴− 𝑥2𝐴 ) ,3𝐴=1𝑀𝐴 22(𝑥𝐴 + 𝑦𝐴),
3𝐴=1

𝑄22 = ∑

𝑄33 = − ∑(6)2(7)𝑄12 = 𝑄21 = ∑ 𝑀𝐴 𝑥𝐴 𝑦𝐴 ,𝐴=1

そのほかの成分については，𝑄𝑖𝑗 = 0 である。ここで (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 ) は重⼼系における質量 A の位置である。
B.1

A.2 で記述した円軌道に対して，𝑄𝑖𝑗 の成分は時刻 𝑡 の関数として以下のように書き表すことができる:
𝑄𝑖𝑖 =𝜇𝐿2(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 cos 𝑘𝑡) ,2𝑖≠𝑗 𝜇𝐿2𝑄𝑖𝑗 =2𝑐𝑖𝑗 sin 𝑘𝑡 .

1.0pt

(8)

𝑘 を Ω を使って書き表わせ。さらに，定数 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖𝑗 の数値を決めよ。
B.2

この系に対して，単位時間あたりに放射される重⼒波のエネルギー 𝒫 を計算し， 1.0pt
次のように書き表されることを⽰せ:𝐺𝒫 = 𝜉 5 𝜇2 𝐿 4 Ω 6 .
𝑐(9)また，𝜉 を数値として求めよ。[もし 𝜉 を得ることができなかったら，以下の問で
𝜉 = 6.4 を⽤いよ。]
B.3

重⼒波の放出がない時，2 つの質点は⼀定の円軌道を永遠にまわりつづける。しかし，重⼒波の放出により，系のエネルギーが失われ，円軌道の半径は徐々に⼩さくなる。⾓速度の時間変化の割合 dΩは以下の式で与えられることを⽰せ。
d𝑡3(dΩΩ11) = (3𝜉)3 15 (𝐺𝑀c )5 ,d𝑡𝑐(10)

ここで 𝑀c はチャープ質量と呼ばれる。𝑀c を 𝑀 と 𝜇 で書き表わせ。この質量が，軌道が⼩さくなっていく時の⾓速度の増加を決める。[「チャープ」は、⼩さな⿃が発する (振動数があがる) ⾼⾳の鳴き声に由来する。]

1.0pt

Theory

Q1-3Japanese (Japan)

B.4

ここまでで与えられた情報を使って，軌道の⾓速度 Ω と重⼒波の振動数 (単位時間あたりの波の振動回数)𝑓GW の関係式を求めよ。また，任意のなめらかな関数 𝐹 (𝑡)と定数 𝑎 ≠ 1 に対して，
d𝐹 (𝑡)= 𝜒𝐹 (𝑡)𝑎d𝑡

𝐹 (𝑡)1−𝑎 = 𝜒(1 − 𝑎)(𝑡 − 𝑡0 ) ,⇒2.0pt(11)が成り⽴つ。ここで 𝜒 は定数，𝑡0 は積分定数である。この公式を⽤いて，(10) より重⼒波の振動数が−8/3𝑓GW= 8𝜋8/3 𝜉 (𝐺𝑀𝑐 (2/3)+𝑝)(𝑡0 − 𝑡)2−𝑝𝑐3(12)となることを⽰し，定数 𝑝 を決定せよ。
GW150914 は 2015 年 9 ⽉ 14 ⽇に，L 字型に配置された⻑さ 4km の 2 つのアームからなる LIGO 検出器で記録された。2 つのアームの⻑さの⽐は図 1 のように変化した。検出器のアームは通過する重⼒波に対して線形で応答し，その応答パターンは波のような形になる。この波は，円に近い軌道上を動く 2 つのブラックホールによって⽣成された。重⼒放射によるエネルギー損失によって，軌道は縮み，2 つのブラックホールはついには衝突する。衝突点はだいたい図 1 の点 D の右側の信号ピークの位置に対応している。

図 1. LIGO 検出器 H1 における 2 つのアームの⻑さ⽐の変化。⽔平軸は時刻，点 A, B, C, D はそれ
ぞれ 𝑡 = 0.00, 0.009, 0.034, 0.040 [秒] の時刻に対応する。
B.5

図から，以下の 2 つの時刻における 𝑓GW (𝑡) を数値的に⾒積もれ。
𝑡AB =𝑡 B + 𝑡A2および𝑡CD =𝑡D + 𝑡 C
.
2

1.0pt
(13)

さらに，(厳密には違うが) 式 (12) が衝突前に常に成⽴していると仮定し，2 つの質点は同じ質量を持つとして，系のチャープ質量 𝑀𝑐 と全質量が太陽質量𝑀⊙ ≃ 2 × 1030 kg の何倍になるか，それぞれの数値を求めよ。
B.6

2 つの質量間の最⼩距離を、時刻 𝑡CD でのデータを⽤いて数値的に⾒積もれ。次に， 1.0pt
それぞれの天体の⼤きさの上限 𝑅max を⾒積もれ。太陽半径 𝑅⊙ ≃ 7 × 105 km と⽐較するために，𝑅⊙ /𝑅max を数値的に求めよ。さらに，同じ時刻に軌道上を動く天体の速さ 𝑣col を数値的に⾒積もり，光の速さと⽐較のため 𝑣col /𝑐 を数値的に求めよ。

2 つの天体はとても速く動いており，天体はとてもコンパクトであることを⽰せ!