第 8 回 2012.10.29

証明の書き方, ティーチェの拡張定理, 正規空間

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証明の書き方(i) 証明とは第 3 者が見て、理解できるものでなければなりません．
(ii) 数学の概念の定義は論理によってできています．論理だけで、論理の筋道作って下さい．
(iii) 証明に必要な道具を並べるだけではもちろん証明にはなりません。それをどう組み立てるかが重要です．
(iv) 証明でないほどでもないが論理的文章として分かりにくいのも良くありません．
(v) 証明が回りくどいと思ったら、議論の順番を変えたり、無駄を省くことで証明を推敲させ、最短の証明を目指しましょう．
仮定

論理 2

論理 3

論理 1
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結論

遠回りの論理例 17 ハウスドルフ X において収束する点列の極限は一意に決まる．すなわち、
xn ∈ X(n ∈ N), xn → x, xn → y in X(n → ∞) ⇒ x = y.
—————————————————————————————————————————[例 17-1] 収束の定義から、任意の U ∈ NbdX (x) に対してある n0 が存在して n ≥ n0 となる任意の n に対して xn ∈ U となる。任意の V ∈ NbdX (y) に対して m ≥ n1 となる任意の m に対して
xm ∈ V が成り立つ。n2 = max{n0 , n1 } とおくと、k ≥ n2 なる任意の k に対して、xk ∈ U かつ
xk ∈ V を満たす．今、X はハウスドルフだからx ̸= y に対してある開集合 U ′ , V ′ が存在して、x ∈ U ′ , y ∈ V ′ かつ U ′ ∩ V ′ = ∅ を満たす．U ′ = U かつ V ′ = V とすると、このとき n ≥ n2 に対して xn ∈ U かつ xn ∈ V より矛盾．故に x = y となり、収束点列の極限は一意に決まる．
—————————————————————————————————————————[例 12-2] x ̸= y を仮定する．X はハウスドルフなので 開集合 U, V が存在して、x ∈ U, y ∈ V かつ U ∩ V = ∅ となる．収束の性質からある n0 , n1 ∈ N が存在して、n ≥ n0 なる任意の n に対して xn ∈ U であり、m ≥ n1 なる任意の m に対して xm ∈ V となる．n2 = max{n0 , n1 } とおくと、k ≥ n2 なる xk は xk ∈ U かつ xk ∈ V を満たす．これは U ∩ V = ∅ に矛盾する．故に x = yとなり、収束点列の極限は一意に決まる．
—————————————————————————————————————————
2 つとも証明にはなっています．後者の方がよいといえる理由がいくつかあります．

1. 収束の性質を使うところと ハウスドルフの性質 を使う順番が逆になっています．そのせいで後者では使わない U ′ , V ′ なる記号を前者は導入しておりその分ややこしくなっています．それで収束の議論をもう一度しなければならない．
2. 前者の前半は収束の定義を準備しただけで証明の本論ではありません．しかし後者では最初から証明が始まっており、収束の性質は証明の議論として埋め込まれている．
3. 1 行以上節約されている．
証明する上で気を付けること(1) 未定義語は必ずなくす．どこにも定義のない記号を導入したときは説明 or 定義必要．
(2) 写像とは全ての元に対してただ 1 つの元を対応させなければならない．
(3) 任意の... を取り、後で条件を付けるのではなく、そのような条件をもつ... を任意にとる．
(4) 数学的帰納法は可算無限個のものに対して証明できるわけではない．任意の有限のものに対して証明できるだけ．

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ティーチェの拡張定理．

正規空間 (T4 かつ T1 ) の閉集合 A 上の関数 f : A → I(R) は全空間 X 上の連続関数 f˜ に拡張することができる．つまり、∀x ∈ A に対して f (x) = f˜(x) である．
さらに f が有界のとき inf f (x) = inf f˜(x) かつ sup f (x) = sup f˜(x) が成り立つ．
x∈Ax∈Xx∈Ax∈X

可算コンパクト・・・可算個の開被覆は有限個の部分被覆をもつ．
なので、明らかにコンパクトなら可算コンパクトが成り立つ．つまりコンパクトよりは弱い．
可算コンパクトであることは、「勝手な無限集合に対して ω-集積点を持つことと同値である」
集積点・・・集合 S に対して点 p がその任意の近傍に S の元が少なくとも 1 つ存在すること.
ω-集積点・・・集合 S に対して点 p がその任意の近傍に S の元が無限個存在すること.
擬コンパクト・・・任意の実数値連続関数は有界になる．
可算コンパクトなら擬コンパクトである.（証明易）定理 位相空間 X が正規なら擬コンパクト ⇔ 可算コンパクトである.
（証明）⇒ を示せばよい．可算コンパクトでないとするとある無限個の点列 S = {xn } が ω集積点を持たない．X が正規であることから S は離散閉集合となる。関数 f : S → R として
f (xn ) = n を選ぶと、f は連続．ティーチェの拡張定理から f は f˜ : X → R に拡張できる．f˜ は有界ではないので X は擬コンパクトではない．
（証終）例 18 正則空間の 2 つの積は正則空間ですが、正規空間の 2 つの積は正規空間にはなりません．
そういうわけで、正規空間の積で正規にならない空間は正則だが正規でない例となります．
S をゾルゲンフライ直線とすると、S は正規空間だが、S 2 = S × S は正規空間になりません．
なぜなら、S 2 ⊃ D = {(x, −x)|x ∈ S} をとると、D は閉集合で部分位相として離散空間になります．よって任意の関数 f : D → I は連続になります．もし S 2 が正規とするとこの f はティーチェの拡張定理より f˜ : S 2 → I に拡張できることになります．しかし、S 2 には稠密な部分集合として Q2 がありますから、S 2 上の連続関数はこの集合上できまれば全体で決まります．特2にそのような関数全体は高々#I Q 個．しかし上記のことから連続関数は #I R 個はあるのだか
2ら、#I R ≤ #I Q となりこれは矛盾．ゆえに S 2 は正規ではない．
(結論) ティーチェの拡張定理は正規空間であることを著しく反映した性質になっている．
可算パラコンパクト・・・任意の可算開被覆は局所有限な開細分を持つ.
完全正規なら可算パラコンパクト (Dowker)
正規空間なら可算パラコンパクトか？(Dowker の問題)(反例あり, by Rudin)
Dowker の問題は「正規空間と I との直積が正規か」と同値.
正規空間 X で X × I が正規とならないものを Dowker 空間という．
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大学数学の楽しみ方 5

多くの用語を勉強して仕入れるのではなく、たまには 1 つの用語に拘って、完全に分かるまで考えることも大切です．例えば Normal(正規空間) だけとっても一日飽きずに勉強できます．
（音楽でいえば、適当な音で一日中練習するより、心のこもった正確な音を一音鳴らすだけの方が上手くなります．
）

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