第３問：大型ハドロン衝突型加速器 解答/採点基準(10points)
Part A. LHC 加速器 (6points)
A.1 (0.7 pt) 加速後の陽子の速度𝑣 の正確な表式を、加速電圧𝑉 および物理定数を用いて求めよ。
解答 A1:[0.7pt]エネルギー保存則より

0.5pt
全エネルギーが間違っている,またはかかれていない場合-0.3pt静止質量エネルギーがかかれていない場合-0.2pt速度の値は上式を解いて0.2pt
陽子の静止質量エネルギーがかかれていない場合:[0.5pt]0.3pt
速度の値は上式を解いて0.2pt
相対論を用いなかった古典的な値:[0.2pt]0.2pt

1A2 (0.8pt) 質量の小さい粒子が高エネルギーに加速された場合、その粒子の速度 vの光速との相対的なずれ Δ = (c − v )/c は非常に小さい。電子について、1 次近似での Δ の表式を、加速電圧V と物理定数を用いて求めよ。また、60.0 GeV のエネルギーでの Δ の値を計算せよ。

解答 A2:[0.8pt](前問より)速度は0.1pt
相対的なずれ Δ は0.1pt
よって0.4pt
以上より相対的なずれの値は
𝛥 = 3.63 × 10−11
相対論を用いなかった古典的な解法には点を与えない。

20.2pt0.0pt

A3 (1.0pt) 陽子ビームを円軌道に保つために必要な一様な磁束密度 B を、陽子のエネルギー𝐸、リングの周長𝐿、基礎物理定数と数字のみで表せ。近似による効果が有効数字の最後の桁に比べて小さければ、適宜近似を用いてよい。陽子のエネルギーが𝐸 = 7.00 TeV の場合に、磁束密度𝐵 を計算せよ。陽子同士の相互作用は無視してよい。

解答 A3:[1.0pt]

力のつりあいより0.3pt

間違っていた場合、途中までの式に部分点を(最大 0.2pt まで)与えることができる。
例えばローレンツ力の式があっていた場合
  m p v 2があっていた場合
r0.1pt0.1pt

エネルギーは

これより0.3pt
また、より、 B は0.2pt

3以上より、 B の値は
B =5.50 T

もし B の有効数字を２桁以下または４桁以上としていた場合

0.2pt-0.1pt近似計算をしなかった場合以下の式が正しいが、この式には最大0.5 点しか与えない。

0.5pt
計算におけるミスはそれぞれ 0.1 点減点する。
相対論を用いなかった古典的な解法では値が全く異なるので上限を0.3pt とする。

-0.1pt[0.3pt]

0.1pt
0.1pt
B =0.0901 T

もし B の有効数字を２桁以下または４桁以上としていた場合

40.1pt-0.1ptA4 (1.0pt) 次元解析を用いることで、放射パワー𝑃𝑟𝑎𝑑 の表式を求めよ。

解答 A4:[1.0pt]0.2pt

これらの次元は次の通りである。
aqc
1

すべての次元が正しい場合(３つの次元が正しい場合)(２つの次元が正しい場合)

0.3pt(0.2pt)(0.1pt)次元に N と C を用いて[𝜀0 ] = C 2 (Nm2 )−1とした場合

0.1pt
これを用いて0.2pt(2 つの等式が正しい場合)(0.1pt)α=2,β=2,γ=-3,δ=-10.1pt

以上より5次元に N と A を用いて [𝜀0 ] = A2 s 2 (Nm2 )−1 とした場合

0.1pt
これを用いて

0.2pt(2 つの等式が正しい場合 )(0.1pt)α=2,β=2,γ=-3,δ=-10.1pt

以上より次元に kg と A を用いて[𝜀0 ] = A2 s 4 (kg・m3 )−1とした場合
ms0.1pt

これを用いて0.2pt(2 つの等式が正しい場合)(0.1pt)α=2,β=2,γ=-3,δ=-1

0.1pt

以上より

よって放射パワーは0.1pt

これらとは異なる単位を用いた解法も可能であり、それで解いても良い。答えを出せなかったものの電荷の単位が消えることからβ=-2δ であることに気付いた場合 0.2pt を与える。

60.2ptA5 (1.0pt) LHC を回るすべての陽子について、放射パワーの合計 Ptot を計算せよ。陽子 1 つのエネルギーは𝐸 = 7.00 TeV とする（表 1）。適切な近似を用いてもよい。

解答 A5:[1.0pt]放射パワーの式は0.1pt
エネルギーの式は0.2pt
加速度の式は0.2pt
これより放射パワーは0.3pt
以上より放射パワーの合計は0.2pt

ビームが２つあるため２倍する必要があったが、それを忘れた場合は-0.1pt とする。
表１から読みとれる 2808 や1.15 × 1011 を忘れた場合も-0.1pt とする。

7-0.1pt-0.1ptA6 (1.5pt) 陽子がこの電場を通過するのにかかる時間 T を決定せよ。

解答

A6:

[1.5pt]ニュートンの第２法則より
0.2pt

0.3pt
エネルギー保存則より
0.2pt
よって、以上より
0.2pt

0.2pt

0.3pt
T=218ns0.1pt

別解ニュートンの第２法則より[1.5pt]

0.2pt

0.3pt
A1 で求めた速度の式またはエネルギー保存則より

0.2pt

8これより γ が次のように変形できるので
0.2pt

0.2pt

0.3pt
T=218ns
別解:時間を積分する方法
エネルギーは距離 x に比例して大きくなるので0.1pt[1.5pt]

0.2pt
0.2pt

0.2pt
 を e V  xd m p c 2と定義して0.2pt

0.2pt
0.1pt
90.2pt
また、

以上より、

0.1pt
0.1pt

T=218ns

別解:移動距離に着目する方法[1.5pt]
0.2pt

0.4pt
0.3pt
ここで s(t)のとりうる解は、s(t)が s (t )  i 2  t 2  k  l （ i , k , l は適当な定数）のように予想される。また、条件 s(0)=0, s (0)  v (0)  0 より

0.1pt

0.2pt

以上より、

T=218ns

相対論を用いない古典的な解法には最大で 0.4pt を与える。

0.2pt
0.1pt
[0.4pt]より加速度 a は0.1pt

0.1pt
以上より T は

T=194ns
100.1pt
0.1pt

Part B. 粒子の識別 (4points)
B1 (0.8pt) 粒子の質量𝑚 を、運動量𝑝、飛行距離𝑙、飛行時間𝑡 を用いて表せ。ただし、粒子は素電荷𝑒 を持ち、光速𝑐 に近い速さを持つとする。また、飛跡は直線状で、2 つの飛行時間検出器の面を垂直に通過するとする(図 2 を見ること)。

解答 B1:[0.8pt]速度は次のように表せる。
0.1pt
相対論的な運動量の表式は0.2pt
以上より0.2pt
よって質量は0.3pt
別解[0.8pt]

飛行距離を用いて t は次のように表せる。
0.1pt
相対論的な運動量の表式はよって速度は、0.2pt
11以上より t は0.2pt
よって質量は0.3pt

相対論を用いなかった場合:[0.0pt]

飛行時間は t  l / v で表されるので、速度はよって、となるが、この解法には点を与えない。

120.0pt

B2 (0.7pt) 運動量がともに 1.00 GeV/c の荷電𝜋 中間子と荷電 K 中間子を十分良く識別するために最低限必要となる飛行時間検出器の長さ𝑙 を計算せよ。十分良い識別のためには、飛行時間の差が検出器の時間分解能の 3 倍以上であることが必要である。飛行時間検出器の典型的な時間分解能は 150 ps (1 ps = 10−12s) である。

解答 B2:
苛電 π 中間子と荷電 K 中間子の飛行時間の差は[0.7pt]0.1pt

また、この飛行時間の差は次のようにも表せるので
0.2pt

0.2pt

0.1pt
0.1pt
(ただし、有効数字を２桁以下または４桁以上にした場合は 0.1pt 減点する。)-0.1pt相対論を用いなかった場合の解法:[0.3pt]

荷電 π 中間子と荷電 K 中間子の飛行時間の差は0.1pt
よって長さは0.1pt

0.1pt(ただし、有効数字を２桁以下または４桁以上にした場合は 0.1pt 減点する。)
13-0.1ptB3 (1.7pt) 粒子の質量を、磁束密度𝐵、飛行時間検出器の円筒の半径𝑅、物理定数、測定量（飛跡の半径𝑟 と飛行時間𝑡）を用いて表せ。

解答 B3:[1.7pt]粒子はビームラインと垂直に飛行するので飛行距離は円弧の長さから与えられる。
磁場と同じ方向の運動量を持たないことから、ローレンツ力は粒子の持つ運動量に比例し、B1 で求めた質量に関する式を使うことが出来る。
粒子の飛行距離は、半径を用いて0.5pt
l  R とした場合は 0.4pt 減点する

-0.4pt以上の過程において部分点を最大 0.4pt 与える。
ローレンツ力は0.4pt以上の過程において部分点を最大 0.3pt 与える。
このとき磁場と同じ方向の運動量はゼロであることから𝑝 = 𝑝𝑇 となる。

0.1pt

運動量は0.1pt
よって、質量は0.6pt
以上の過程において部分点を最大 0.5pt 与える。

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相対論を用いなかった場合の解答:[0.9pt]粒子の飛行距離は円弧の長さなので、0.5pt
l  R とした場合は 0.4pt 減点する

-0.4pt以上の過程において部分点を最大 0.4pt 与える。
よって、質量は0.4pt以上の過程において部分点を最大 0.3 点与える。

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B4 (0.8pt) これらの粒子の質量を計算することによって、粒子の種類をそれぞれ同定せよ。

解答

B4:

[0.8pt]以上より、粒子 A と C は陽子であり、粒子 B は荷電 π 中間子、粒子D は荷電 K 中間子である。
それぞれの粒子について質量を正しく与え、正しく同定出来ていた場合 各 0.2pt
正しく質量を出せていたが、同定を 1 つまたは 2 つの粒子で間違えていた場合-0.1pt正しく質量を出せていたが、同定を 3 つまたは 4 つの粒子で間違えていた場合-0.2pt
質量は間違えていたが運動量は合っていた場合
各 0.1pt
運動量を間違えたが、飛行距離は合っていたものが 3 つまたは 4 つあった場合
0.2pt
運動量を間違えたが、飛行距離は合っていたものが 1 つまたは 2 つあった場合
0.1pt

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相対論を用いなかった場合:
m  pt / l となり、粒子を同定することは不可能である。

[0.4pt]質量または運動量を正しく求められていた場合
各 0.1pt
運動量を間違えたが、飛行距離は合っていたものが 3 つまたは 4 つあった場合
0.2pt
運動量を間違えたが、飛行距離は合っていたものが 1 つまたは 2 つあった場合
0.1pt

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