Problem T1. Focus on sketches (13 点)
Part A. 弾道 (4.5 点)
i. (0.8 点) ボールを鉛直上向きに投げると，𝑥 = 0，𝑧 = 𝑣02 /2𝑔 の位置まで達することができる (エネルギー保存則による)。このことを不等式𝑧 ≤ 𝑧0 − 𝑘𝑥 2と比較すると，𝑧0 = 𝑣02 /2𝑔
次に，𝑧 → −∞の極限を考える。ボールの軌道は放物線で，この極限においては，水平方向の変位は (与えられた𝑧 に対して) 放物線の曲率に強く依存する。すなわち，放物線が平らになればなるほど，変位は大きくなる。放物線が最も平らになるのは，ボールが水平に投げられたときであるので，𝑥 = 𝑣0 𝑡 ，𝑧 = −𝑔𝑡 2 /2 ，すなわち軌跡の方程式が𝑧 = −𝑔𝑥 2 /2𝑣02となるときである。ここで 𝑧 ≤ 𝑧0 − 𝑘𝑥 2 から −𝑔𝑥 2 /2𝑣02 ≤ 𝑧0 − 𝑘𝑥 2 が必要なので，𝑘 ≤ 𝑔/2𝑣02である。𝑘 < 𝑔/2𝑣02 とすると 2 次関数で示される領域𝑧 ≤ 𝑧0 − 𝑘𝑥 2と軌跡𝑧 = −𝑔𝑥 2 /2𝑣02 の間に差があるということを示している。いま，軌跡𝑧 = −𝑔𝑥 2 /2𝑣02 はボールを最も遠く(𝑧 → −∞) に飛ばすのに最適な軌跡であるから，
𝑘 = 𝑔/2𝑣02ii. (1.2 点) まず，ボールの軌跡は可逆的で，エネルギー保存則により，この問題は次の問題に言いかえることができる。つまり，球状の建物の最高点からボールを投げたとき，ボールが屋根にぶつからずに地面に到達するのに必要な最小の速さはどれだけで，その軌跡はどのようになるか。このような軌跡は，屋根に接するように投射されるか，もしくは最高点における曲率半径が𝑅になるように水平に投射されるかのどちらかになるであろうことは自明である。どちらの場合でもなければ，投射角を保ったまま与える速さを少し小さくしても，ボールは屋根に当たることなく地面に到達することが可能になるからである。さらに，最高点で水平になるように打ち出したとすると，放物線の曲率は最高点で最大になるため，ボールの軌跡は最高点以外の点では建物と共有点をもたない。よって，初速を一定に保ちつつ，(水平からわずかに上に) 投射角をわずかに大きくすることが可能であり，その新しい軌跡は最高点で水平になっておらず，かつ屋根のどことも接していない。そこで，このような議論を続けることで初速を小さくすることができる。したがって，最適な軌跡は図に示した通り，屋根のどこかで接していなければならない。
iii. (2.5 点) 強引な方法としては，最適な軌跡が球状の建物と 2 点で共有点をもち，かつそのうちの 1 点で接する条件を書き下すことであろう。この方法だと 4 次方程式が現れるため，適当な時間制限がある中でこの解法を選ぶのは現実的ではない。
別の解法を考える。まず，建物の内部の領域はボールが建物の最高点から初速度𝑣0 で投げられたときに到達できる領域に含まれる必要がある。このとき，適切な投射角で初速𝑣0 のボールを投げると，ボールは建物を越えることができ，その投射角を変えると，建物の内部の1

いかなる場所にも衝突させることができる。また，最小の初速𝑣0 で投げられたボールが到達できる領域の境界線は建物に接することが必要である。もしその境界線が建物との交点をもたず，かつ接してもいなければ，𝑣0 より小さな速さで，途中で球状の建物に衝突させることなく，建物を越えることができてしまう。
したがって，最適な軌跡を描くボールが最高点でもつ初速を𝑣0 とすると，初速𝑣0 のボールが到達可能な領域と球状の建物は接する。対称性により，接点は 2 つ存在する (速さが小さければ 4 つの交点が存在し，速さが大きければ交点は存在しない)。原点を建物の最高点にとると，共有点の座標は次の 2 つの方程式から決定される。
𝑥 2 + 𝑧 2 + 2𝑧𝑅 = 0，𝑧 =𝑣02 𝑔𝑥 2−2𝑔 2𝑣02

𝑥 2 を消去すると，𝑧に関する 2 次方程式
𝑧 2 + 2 (𝑅 −𝑣02𝑣04)𝑧 + 2 = 0𝑔𝑔となる。接するとき，判別式が 0 になるので，224𝐷⁄ = (𝑅 − 𝑣0 ) − 𝑣0 = 0 ∴ 𝑣 2 = 𝑔𝑅
04𝑔
𝑔2
2
最後に，エネルギー保存則により，地面での速さの 2 乗は建物の頂点での速さの 2 乗に比べて4𝑔𝑅大きくなるので，
𝑣𝑚𝑖𝑛 = √𝑣02 + 4𝑔𝑅 = 3√𝑔𝑅
2Part B. 翼の周囲の空気の流れ (4 点)i.(0.8 点) 飛行機と共に動く座標系から見ると，2 つの流線の間を流れる空気の流量の体積(体積流量率) は流体の連続性から一定である。流量の体積は速さと断面積の積で与えられる。
2 次元平面においては断面積は流線の間の幅に比例し，その幅は図から読みとることができる。

いま無風状態であるので，飛行機の座標系では静止した空気の速さは𝑣0 である。図を測定す
ると，𝑎 = 10mm ，𝑏 = 13mm であり，𝑣0 𝑎 = 𝑢𝑏から𝑢 = 𝑣02𝑎𝑏となる。また，点 P におい

ては流線は水平で速度はすべて平行であるので，ベクトルの足し算はスカラーの足し算になる。すなわち，空気の対地速度は，
𝑎𝑣𝑃 = 𝑣0 − 𝑢 = 𝑣0 (1 − ) = 23m/s
𝑏1ii.(1.2 点) 動的圧力 𝜌𝑣 2は大気圧に比べて十分小さいが，この動的圧力によって断熱膨張と2断熱圧縮が引き起こされる。断熱膨張が起こる領域では気温は減少し，飽和蒸気圧は減少する。露点に達すると，水滴が現れる。この過程が起こるのは断熱膨張の影響が最も大きいとき，すなわち，大気の静力学的圧力が最小となるときである。またそのとき，Bernoulli の1法則𝑝 + 𝜌𝑣 2 = const. により結果的に，動的圧力は最大になる。そのような点は飛行機の座2標系において空気の速さが最大になる点であるから，流体の連続性により流線の間隔が最も狭い点である。したがって，点 Q は上図に示された点である。
iii.(2 点)
まず，与えられた水分をもった空気の露点を計算する(相対的な圧力変化は小さいので，露点の圧力依存は無視することができる)。水の蒸気圧は，𝑝𝑤 = 𝑝𝑠𝑎 𝑟 = 2.08kPa である。飽和
蒸気圧の相対的な変化は小さいため，温度による変化は線形変化として近似できるので，(1 − 𝑟)𝑝𝑠𝑎
𝑝𝑠𝑎 − 𝑝𝑤 𝑝𝑠𝑏 − 𝑝𝑠𝑎=⟹ 𝑇𝑎 − 𝑇 = (𝑇𝑏 − 𝑇𝑎 )𝑇𝑎 − 𝑇
𝑇𝑏 − 𝑇𝑎𝑝𝑠𝑏 − 𝑝𝑠𝑎
数値を代入すると，𝑇 ≈ 291.5K である。
次に，空気の速度と温度の関係を定めなければならない。そのためにエネルギー保存則を考える。すなわち，そのよく使われる形として Bernoulli の法則を用いる。この法則を考えることで，実際の現象を十分反映した近似のもとでのモデルをつくることができるが，厳密に考えれば空気が圧縮性をもつことによる膨張もしくは圧縮の影響を組み込まなければならない。1 モルでモル質量が𝜇 ，体積が𝑉 = 𝑅𝑇/𝑝の空気をいま考える。一連の過程は素早く進行し，空気塊は大きいので，空気塊どうしの熱のやりとりは無視できる。さらに，過程の速さは音速以下である。以上をまとめて考えると，この過程は断熱過程であると考えることができる。ここで流線にそって仮想的につくった管を考える。その一端での物理量を添え字1 で与え，もう一端を添え字 2 で与える。すると，1 モルの気体は管の一端から中に入り，1もう一端から外に出る。この気体の流入によって運動エネルギー 𝜇𝑣12が中に運ばれ，気体の21流出によって 𝜇𝑣22が外に出される。流入する気体は 𝑝1 𝑉1 = 𝑅𝑇1 の仕事をされ，流出する気2体は 𝑝2 𝑉2 = 𝑅𝑇2の仕事をする。気体のモル比熱を𝐶𝑉 = 𝜇𝑐𝑉 ，C𝑝 = 𝜇c𝑝 と定義すると，流入する気体は𝐶𝑉 𝑇1の熱エネルギーをもち，流出する気体は𝐶𝑉 𝑇2 の熱エネルギーをもっている。
したがって，エネルギー収支を考えると，11𝜇𝑣12 + 𝐶𝑉 𝑇1 + 𝑅𝑇1 = 𝜇𝑣22 + 𝐶𝑉 𝑇2 + 𝑅𝑇2,2より， 𝜇𝑣 2 + 𝐶𝑝 𝑇 = const. が導かれる。また，
212𝐶𝑝 = 𝐶𝑉 + 𝑅𝑣𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑎 = 𝑣𝑄 𝑐
これらの式より，∆

𝑣2211𝑎222𝑐22= (𝑣𝑄2 − 𝑣𝑐𝑟𝑖𝑡) = 𝑣𝑐𝑟𝑖𝑡( 2 − 1) = 𝑐𝑃 ∆𝑇 ，ただし𝑐 は点 Q における3流線の間隔である。よって，
2𝑐𝑃 ∆𝑇𝑣𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝑐 √ 2≈ 27.6 m/s
𝑎 − 𝑐2(𝑐 ≈ 4.5mmであり∆𝑇 = 1.5Kであることを用いた) しかし現実には，凝縮に必要とされる速度はおそらくもう少し速い。なぜなら，過程の進行が速い凝縮においては，過飽和状態が十分に起こりうるからである。けれども，オーダーを評価するという観点から見れば，この値は十分に有効であろう。
Part C. 磁気ストロー (4.5 点)i.(0.8 点) 超伝導体の管の壁面の影響のために，磁力線は管を通りぬけることはできない。よって管の内部で磁束は一定である。管の内部の閉曲線においては，磁場の渦は存在しないので，磁力線は曲がらず，したがって磁場は一定であることが導かれる。ストローの磁力線はソレノイドコイルの磁力線に似ている。
ii.(1.2 点) 管が (実質的に) 微小な長さ∆𝑙 伸びたときの磁気エネルギーの変化を考える．管を通る磁束は保存される。なぜなら，磁束𝑑𝛷が変化するといかなるときにも 0 でない起電力る。したがって，磁束密度の大きさは𝐵 =𝛷𝜋𝑟 2𝑑𝑡が生じ，抵抗 0 に対して無限の電流が流れで，磁場のエネルギー密度は𝐵22𝜇0であるので，磁気エネルギーの変化は，
𝛥𝑊 =𝐵2𝛷2𝜋𝑟 2 𝛥𝑙 =𝛥𝑙2𝜇02𝜇0 𝜋𝑟 2

このエネルギーの増加は，張力によってなされた仕事に等しいため，𝛥𝑊 = 𝑇𝛥𝑙 であるので，
𝑇=𝛷22𝜇0 𝜋𝑟 2iii. (2.5 点) 1 つのストローが微小な変位を受けたときの磁気エネルギーの変化を考える。管の内部の磁場は磁束が保存されるため一定であるが，管の外部では磁場は変化する。ストロ⃗ の渦が存在しないこと (ストーの外部の磁場は次の条件によって決定される。すなわち，𝐵ローの外部には電流が存在しないため)，ストローの端にのみ磁束線の源は存在し他の場所には存在しないこと，ストローの端点はそれぞれ一定の磁束±𝛷 の源になっていることの 3 つである。これらによって定まる場の状況は 4 つの±𝑄の大きさをもった電荷によって決定される電場の状況とまったく同じ状況になる。電荷の間の距離が電荷の大きさよりもずっと大きくなると電荷は点電荷とみなせる (電荷の近傍にある電場はほぼ一定に保たれるので，全4電場によるエネルギーの変化の各々の寄与は無視できる)。したがってストローの端点に磁荷が置かれている状況を考えればよい。2 つの磁荷 (単磁荷) の間にはたらく力を計算するために，磁気的な量と電気的な量との間の対応関係を考える。
距離𝑎 離れた 2 つの電荷𝑄 について，はたらく力は𝐹 =もう 1 つの電荷がつくる電場によってエネルギー密度𝑤 =1𝑄24𝜋𝜀0 𝑎 21で，1 つの電荷の位置には𝑄232𝜋2 𝜀0 𝑎 4でエネルギーがたくわえられている。すなわち，𝐹 = 8𝜋𝑤𝑎2 である。この形式は力に関しての普遍的な表現で (2 つの同じ大きさで符号が逆向きの電荷による場の流線と流線が同じ場合に関して)，エネルギー密度だけに依存しており，場の性質にはよらない。よってこの形式を磁場に適用する。場の源 (電荷や磁荷) の仮想的な変位に対して場の全エネルギーの微分を計算することによって力を計算することができる。そして，2 つの場のエネルギー密度がそれぞれ 1 つの点で等しければ，任意の位置において等しく，同様に場の全エネルギーも等しい。またガウスの法則
により，一定の磁束𝛷の点源から距離𝑎における磁束密度は𝐵 =エネルギー密度は𝑤 =𝐵22𝜇0=1𝛷232𝜋2 𝜇0 𝑎 41 𝛷4𝜋 𝑎 2である。したがって，

なので，
𝐹=

1 𝛷24𝜋𝜇0 𝑎22 つのストローに関しては，4 つの磁荷で置きかえることができる。すると，ストローの軸に平行な力は打ち消し合う (対角線上に位置した同符号の磁荷は反対方向に力を及ぼし合う)。ストローの軸に垂直にはたらく力は，2 つの異符号の磁荷による引力𝐹1 =角線上に位置した 2 つの磁荷による反発力𝐹2 =1𝛷214𝜋𝜇0 (√2𝑙)2 √2できる。以上より，総じてはたらく引力は，
𝐹 = 2(𝐹1 − 𝐹2 ) =54 − √2 𝛷 28𝜋𝜇0 𝑙 21𝛷24𝜋𝜇0 𝑙2と対の重ね合わせとして得ることが

Problem 2 ケルビンの点滴 (8点)Part A. 一本のパイプ (4点)
i. (1.2 点)

水滴の力の釣り合いを考える。
𝑟よりパイプ内の水圧の増加分∆𝑝による力𝜋∆𝑝 2 /4は無視できる。よって働くのは、水滴へ43の重力 𝑔 = 3 𝜋𝑟𝑚𝑎
𝜌𝑔と，水滴とパイプの端の間に働く表面張力である。表面張力は垂直に働き，𝜋と書ける。よって，𝜋4 3= 𝜋𝑟𝑚𝑎𝜌𝑔3∴

𝑟𝑚𝑎 = √4 𝑔3となる。
ii. (1.2 点)𝑟よりパイプによる水滴の静電容量の変化は無視でき，球として扱える。
このとき，水滴の電位 は，電荷𝑄を用いて次のように書けるから，
1 𝑄= 4𝜋𝜀 𝑟∴ 𝑄 = 4𝜋 0 𝑟0となる。
iii. (1.6 点)2112

表面張力による内向きの圧力 𝑟 と、電荷による外向きの圧力2 0 2 = 2 0 𝑟 2 がつり合うときの電位が 𝑚𝑎 である。電位が 𝑚𝑎 より大きくなったときに外向きの圧力が大きくなり不安定になる。
このとき、圧力のつり合いから
21= 0𝑟2𝑚𝑎2𝑚𝑎𝑟2= 2√𝑟0と書ける。
（別解）
圧力がつり合うとき，水滴の微小膨張にかかる仕事 𝑊が0になることを利用しても解ける。
エネルギー保存則より，
1 2𝑊 + 𝑊 = (4𝜋𝑟 2 ) +𝐶2
ここで水滴の電気容量𝐶 = 4𝜋 0 𝑟、電気的仕事 𝑊 == 4𝜋 0 2𝑟である。 𝑊 = 0を代入すると前述の値が出る。
・表面張力による圧力の導出
水滴内の圧力は，表面張力による内向きの圧力だけ，外側の圧力より大きい。
半径𝑟の球の半径が 𝑟だけ大きくなったとき，表面積の増加による表面張力のする負の仕事−4𝜋 ((𝑟 + 𝑟)2 − 𝑟 2 ) ≈ −8𝜋 𝑟 𝑟と，体積の増加による球内外の圧力差∆𝑝のする仕事4𝜋∆𝑝((𝑟 + 𝑟)3 − 𝑟 3 ) ≈ 4𝜋𝑟 2 ∆𝑝 𝑟3の和をゼロとして，−8𝜋 𝑟 𝑟 + 4𝜋𝑟 2 ∆𝑝 𝑟 = 02∴ ∆𝑝 = 𝑟となる。こうして，圧力差すなわち表面張力による圧力の大きさ∆𝑝 = 2 /𝑟を得る。

6・電荷による圧力の導出(a) エネルギー保存則の観点から体積が微小量∆𝑉だけ大きくなったとき，導体球では表面電場の大きさを (= 𝑟 )として、
2112∆𝑉 = 0 2 ∆𝑉
022 𝑟の分の電場のエネルギーが失われる。
この減少分は，体積が∆𝑉増加したとき外向きの電場のした仕事と考えられる。したがって，電場による圧力を∆𝑝 として，
21
∆𝑝 ∆ = 0 2 ∆2 𝑟21∆𝑝 = 0 22 𝑟となる。
(b) 導体の性質から
いま，表面電荷が電荷密度 で存在していたとする。表面近くで，面積 の領域にかかる力は
̅ と書ける。ここで， ̅ は表面電荷が作ったものではなく， の外部からの電場とする。
𝐹=∆𝑝 = = ̅ は電荷による圧力と考えられる。
この̅の大きさは導体内部に電場が存在しないことから導ける。まず，表面電荷は導体の内外に合計∆ = 𝜀 の電場を生じる(ガウスの法則より)。内側にはその半分だけが生じ，外部電場と0打ち消しあって，1− ∆ =021̅= ∆2となる。
また，

𝑄 = 4𝜋𝑟 2と𝑄 = 4𝜋 0 𝑟を比較すると，=が分かる。こうして，電場による圧力𝐹∆𝑝 = =1̅= ∆20𝑟=

1220=210 22 𝑟を導くことができる。
Part B. 二本のパイプ (4点)i.
(1.2 点)1コンデンサーがもつ電圧は、両方の円筒電極にかかり，それぞれの円筒電極には |21|=|2|の電圧がかかる(Uはコンデンサーの電圧である)。ここでは円筒電極の電圧の正負が示されていないが，一方が正ならもう一方は負である。水滴は，接地しているので電位0である。
ここで，円筒電極は効果的に点滴を覆い，外部の環境の影響をなくす。つまり，両水滴には絶対1値|2 |の電圧がかかっていると見なせる。
これをpart.A ii.の結果に代入して
𝑄0 = 4𝜋 0とわかる。

1𝑟
2𝐶= 2𝜋 0𝐶𝑟

ii. (1.5 点)

ボウルは交差して繋がれていて、落ちる水滴とそれを受けるボウルにたまる電荷は符号が同じである。つまりこの装置は点滴が落ちるほど，その電位差を拡大していく。
7微小時間 𝑡当たりの，電荷の変化量は= 𝑄0
このとき== 2𝜋 0 𝑟 𝑎𝑥
𝐶𝑡𝑡は 𝑡間に落ちた水滴の数である。

この式は指数関数の微分とみると簡単に解ける。 (0) ==0𝑡=0 の初期条件の元で解くと，2𝜋 0 𝑟 𝑎𝑥
𝜋 0 3 6=√𝐶𝐶𝜌𝑔3𝑑となる。(𝑟𝑚𝑎 = √4 𝑔を用いた。)
iii. (1.3 点)

水滴が水面にたどり着いたとき，ゼロ以上の運動エネルギーをもっている。つまり，電圧が限界値のとき，水面との重力の位置エネルギーの差 𝑔𝐻と電気的位置エネルギーの差𝑄∆ が，(1)𝑔𝐻 = 𝑄∆となるときである。
1

水滴は接地しているので電位 0 である。電位差∆ は円筒電極のポテンシャル2 と下のボウ1ルがもつ電位− 2 の差によって，∆ =12max 𝑟となり，Part.A i.より𝑟𝑚𝑎 = √4 𝑔 ,− (−1)=2と書ける。
ここで、Part.B i. より𝑄 = 2𝜋 03𝑑から，これらを(1)式に代入して，==√𝑔𝐻
2𝜋 0𝑔𝐻2𝜋 0 𝑟max

8𝑟max6=√𝐻3𝑔 2𝜌 26 30𝑔=𝜋となる

Problem T3 原子星の誕生
i. (0.8点)

T  一定p  r 3∴pV  一定， V  r 3p(r1 ) 23  8p(r0 )ii. (1.5点) 星が収縮する間にはガスの圧力の影響は無視できるため，ガスは自由落下を行う。
重力についてのガウスの法則と対称性より，星と中心が一致する球上のすべての点での重力は，その球の内側のガスの全質量が中心に集められた場合の重力に等しい。さらに，題意より，半径が r0 から 0.95r0 まで収縮している間，星の表面での重力は一定とみなされる。
つまり，星の表層のガスの加速度はほぼ一定とみなされ，ガスの粒子は初速度ゼロで等加速度運動をする。よって，t2(r0  r2 )，ggGMr02∴t

2r02 (r0  r2 )
Gm0.1r03Gm

iii. (2.5点) 星の表層のガスが受ける重力は，星の全質量が中心に集められたときの質点によるものとみなせる。そのためケプラーの第１法則を適用することができ，星の表層のガスは星の中心を焦点とし楕円軌道の半分を動く。この場合，軌道はつぶれた楕円となり，焦点はその両端となる。この楕円軌道の長半径は r0 / 2 である。ケプラーの第３法則より，
この運動の周期は，同じ質点の周りを半径 r0 / 2 の円軌道で回る場合と等しい。求める時間

tr  0 は周期の半分である。ガス粒子の円運動の式より，求める時間は，2 2  r0Gm
2 2tr 0  2 (r0 / 2)tr  0  r038Gm(別解) ただし，以下の積分計算を試験時間内に実行することは難しい。
エネルギー保存則より， E  Gm
とおいて，r0r 2 GmE2r

変数分離を行って積分形にすると，tdr 2E  2Gm /r9ここで， 2E  2Gm /r   ， 2 E  v とおくと， r  r0  0 のとき，   0   より，
tr  0d
0 ( 2  v 2 )24Gmとなり，不定積分

dxx

1 x1

 (x  a )  2a (x  a )  2a tan a
22 22223を用いて，

r038Gmtr  0  を得る。

miv. (1.7点) 理想気体の状態方程式より， n pV  nRT0∴を用いて，

p

mRT0V

重力が星にする仕事は，

W   pdV  mRT04 3
r3 dV34 3
r0 V3

3mRT0

rln 0r3

温度は一定なので，内部エネルギーも一定である。熱力学第１法則 U  Q  W より，放出した熱量は上で求めたW である。
v. (1点) 半径が r 3 より小さい場合の収縮は断熱変化なので，

pV  一定∴T V1

rT V  1  一定，

3 3

⇒r T  T0  3 r 3  3

vi. (2点) 収縮により，重力による位置エネルギーが熱へと変化する。 r3  r4 であるから，収縮による重力の位置エネルギーの変化，すなわち，ガスが重力によってなされた仕事は(訳注1)，

1 1
Gm 2   r4
 r4 r3 W  Gm 2 
(正確には係数 3/ 5 が付く)

前問の結果より， r3  r4  T4  T0 がわかるので，ガスの内部エネルギーの変化は，

U  cvm

(T4  T0 ) 

さらに前問を用いて，

10R m

 1 T4 m

RT4r T4  T0  3 
 r4 3  3

また，この変化は断熱なので， U  W  0 である。よって，

r Gm 2 m
 RT0  3 r4
 r4 13  3

 RT r  3  4r4  r3  0 3 
 mG 3  3

 RT r  4  3T4  T0  0 3  mG ゆえに，(別解)重力による圧力 r4Gm /r42 （訳注2）と，ガスの圧力 p4  ( /  )RT4 のつり合いを用いても上と全く同じ結果を得ることができる。
（訳注 1）
全質量 M のガス粒子２が，半径 R の球状に一様に密度   M /(4 /3)R 3 で分布するとき，その重力の位置エネルギーを求める。

4
半径 r～r  dr （ 0  r  R ）の球殻部分は，半径 r の球内の質量 m    r 3 から重力3を受けるから，その位置エネルギーは，

 Gm 2dU      4r dr
 r と表されるから，全位置エネルギーは，U  dU  G 2


3GM 2R1 4   r  3 r  4r dr320(4 /3) 2r 4dr   3 GM
3 2 0(4 /3)R R

25 R（訳注 2）
位置エネルギー U の半径 R の球状ガスの表面に作用する圧力を p とすると，ガスが仕事をすると，その分，位置エネルギーは減少するから，

p  4R 2dR  dU
ここで， U  ∴

p

1 dU
4R 2 dR

3 GM 24を代入し， M    R 3 を用いて，
5 R
3p  GMGM 5RR11を得る。

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