音声の非線形現象について
2011SE283 渡部岳
指導教員：小藤俊幸

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はじ めに2 つの音 f1 ,f2 を同時に耳で聞くとき, それ意外の音が聞こえるときがある. しかしこの音は実際には存在しておらず, 人の耳にある内耳と呼ばれる部分によって起こっている非線形現象である. この実際には存在していない音のことを, 結合音 [1] という. 結合音とは,18 世紀の頃から知られていた. オームは、「f Hz の高さの音を聞くとき, 正弦成分 sin2πf t が存在する.」というオームの法則を主張した.
ヘルムホルツはオームの法則を拡張し, 結合音は内耳の蝸牛で行われていると考えた. 振幅の大きい 2 つ音を同時に耳で聞くとき, つまり,2 つの音の周波数を f1 ，f2 とすれば，周波数 n1 f1 ± n2 f2 ( n1 ，n2 は整数) の音が同時に感じられる. これが結合音なのである. 本研究は, この結合音を離散フーリエ変換を行い, 証明する.

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図 3 純音と周波数が上昇する断続音

スピーカーで音を再生する. ピッチが一定の純音と周波数の上昇音を同時に聞いたときに, ピッチの下降する断続音が聞こえた人がいないであろうか.

02.5結合音の具体例

57.510

図 4 結合音
図 4 に示すような周波数下降音が聞こえる. これが結合「周波数（ピッチ）が一定の純音」と「周波数が上昇する断続音」とを同時に鳴らすと,「ピッチが下降する断続音」 音と呼ばれるものであり, 人間の耳の中の内耳で発生している現象である. 2 つの音の周波数を f1 ，f2 とすれば，が聞こえる人がいることがある. [4]周波数 n1 f1 ± n2 f2 (n1 ，n2 は整数) の音が同時に感じられることは説明したが, 私たちの内耳も非線形なシステムなのである. このため, 例えば,f1 と f2 の音しか掲示していなくても,2f1 − f2 の音が聞こえることがある.
02.5

57.5

図 3 のように,f1 が一定でも,f2 が時間とともに上昇する

10場合,2f1 − f2 は時間とともに下降することになる. 図 4 に

図 1 周波数が一定の音示す, 結合音になるのである.

図 1 は単一周波数からなる持続時間 10 秒の純音を, 横軸を時間, 縦軸を周波数として表現したものである. この音はピッチ（音の高さの感覚）が一定の連続した音として聞3

なぜ結合音が聞こ え る のか
人の耳には「外耳」「中耳」「内耳」の 3 部分に分けられる. 音は空気の振動である. 外耳は音を鼓膜に伝える役目こえる.

を担う. 鼓膜に来た空気振動は中耳の 3 つの小骨を経由して内耳入り口の小さな膜を振動させる。内耳部分はうずまき官とも呼ばれ, かたつむりに似ている事があるから, 蝸牛と呼ばれる. 結合音はこの蝸牛で起こっている現象である.
02.557.510

つまり, 音は内耳に入力され, 蝸牛に出力している.[2]図 2 周波数が上昇する断続音
図 2 は周波数が上昇する断続音を表現したものである.
これを鳴らすと,2 秒間にわたってピッチの上昇する音が休止を挟んで 4 回繰り替えして聞こえる. では, 図 1 に示す純音と図 2 に示す周波数上昇音を同時に掲示したら, つまり図 3 のような音はどのように聞こえるのであろうか.

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図 5 内耳による周波数の変形

ピッチが一定の純音とピッチの上昇する断続音が同時に聞横軸を入力音の大きさ, 縦軸を出力音の大きさとして表こえることは間違いないのだが, それ以外にも音が聞こえ現する. 非線形の線が, 実際に聞こえているものである. 直てくることがある.

線と比べ, 大きさが小さい部分でより大きく膨れている. これは人が小さな音を聞き分けるための内耳の役割である.

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この非線形現象のために結合音が生まれるのである.

40-1

離散フ ーリ エ変換-200.01

0.02

0.03

0.04

0.05t

実際には存在していない結合音を表示するためには, 離
図 6 2 音の混合した周波数の波形

散フーリエ変換を行えばよい.[3]M を正の整数とし、W を 1 の M 乗根 W = eする. 複素数 f0 , f1 , …, fM −1 に対して,−i 2πMと210

Fk =M−1X-1fj W kj (k = 0, 1, …, M − 1)

(1)

-2
0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

tj=0

図 7 内耳により出力された混合周波数とおく. この式で定まる CM から CM への変換を離散フーリエ変換 (discreate Fourier transform) と呼ぶ.
《定理》 離散フーリエ変換の逆変換は

1 X
Fk W −kj (j = 0, 1, …, M − 1)MM −1

fj =(2)k=0

図 8 2 音の周波数で与えられる.

Fk を fj の離散フーリエ変換による像とする.T > 0 に対して,M −1
2πk
1 X
(3)
Fk e i T t
fT (t) =M
k=0

とおくと,fT (t) は周期 T の周期関数となり,

fT (Tj) = fj (j = 0, 1, …, M − 1)M

図 9 2 音の混合した周波数(4)が成り立つ. これに基づいて, FMk を, 周波数 Tk の成分の係数と考えればよい. しかし, 標本化定理から,(3) よりも,2X

2πk

Fk ei T t

(5)

k=− M
2 +1のような周期関数を考えて,k > M2 に対する Fk は, 周波数M −kの成分の係数と考えとほうが自然である.
T
次に具体的な周波数で考える.

5

おわり に
2 つの振幅の大きな音の周波数を f1 ，f2 とすれば, 周

波数 n1 f1 ± n2 f2 (n1 ，n2 は整数) の音が同時に感じられM

1fT (t) =M

6フ ーリ エ解析
T = 1 のときを考える.
0.5 sin(2πf1 t) + 0.5 sin(2πf2 t)(f1 = 150, f2 = 200)

ることは人間の内耳における非線形現象に原因があることが分かった. 視覚的にわかりやすくするために, 結合音を離散フーリエ変換を考察し, 証明することができた. 離散フーリエ変換によって, 同じ音を奏でている楽器の周波数成分における波の形の違いも考察することができる. 本研究により, 音に関する知識を深めるだけでなく, 人間の内耳における非線形現象, 離散フーリエ変換についての知識を身につけることができた.

参考文献

を考える. これは周波数が 150Hz と 200Hz の音を同時に[1] 蘆原郁 坂本真一：『音の科学と擬似科学ー音の不思議と怪しい話ー』．コロナ出版，東京，2012.

ならしたことを意味している.

[2] 日本音響学会：『聴覚モデル』．コロナ出版，東京，2011.

そして以下の図 6 が 2 音の混合した周波数の波形である. しかし, 内耳により非線形現象が起こっていることは説明した通りであるため, 実際の内耳による出力は図 7 のようである. しかし, 図 7 では混合音の発生箇所が読み取りにくい. よって, 離散フーリエ変換を行う. すると, 図 8 のように示される. 図 8 は 2 音の周波数が示されている. 混合音の離散フーリエ変換したものは図 9 である. 150Hz と200Hz の前後の 100Hz と 250Hz にも少なからず, 反応が現れていることが分かる. これが結合音なのである.

[3] 長谷川秀彦 櫻井鉄也 桧山澄子 周偉東 花田孝郎
北川高嗣：『新コンピューターサイエンス講座

数値計算法』．オーム出版，東京，1998.

[4] 岩宮眞一郎 田村正隆：『CD でわかる 音楽の科学』．
ナツメ出版，東京，2009.