Theory

Q2-1
Japanese (Japan)

電⼦レンジの物理
本問では，電⼦レンジにおけるマイクロ波発⽣，および，それを利⽤した⾷品加熱について議論する．マイクロ波は「マグネトロン」と呼ばれる装置で発⽣させられる．Part A はマグネトロンの作動に関わる内容であり，Part B では⾷べ物のマイクロ波吸収を扱う．

Figure 1

Part A：マグネトロンの構造と動作 (6.6 points)
マグネトロンとは，マイクロ波をパルス（⽤途：レーダーなど）または連続波（⽤途：電⼦レンジなど）として発⽣させるための装置である．マグネトロンは⾃⼰増幅振動モードを持つ．マグネトロンに⼀定電圧（直流電圧）を印加することにより，このモードが素早く励起される．このようにして⽣成されたマイクロ波がマグネトロンの外に伝えられる．
電⼦レンジ中のマグネトロンで典型的なものは，銅製で円柱状の陰極（半径 𝑎）と，それを取り囲む陽極（半径 𝑏）から成る．後者は，⾁厚の円筒状の殻から円柱状の空洞をいくつか削り出した形状をしている．各空洞は「共振器」と呼ばれる．共振器の 1 つは，マイクロ波を電⼦レンジの外に伝えるアンテナと繋がっているが，以後このアンテナは無視する．内部の空洞は全て真空である．Figure1(a) に⽰されているような，8 つの共振器がある典型的なマグネトロンを考える．1 つの共振器の 3 次元構造が Figure1(b) に⽰されている．図中に⽰されているように，8 つの空洞の各々がコイル-コンデンサー（LC）共振回路として振る舞い，その動作周波数は 𝑓 = 2.45 GHz である．
静的で⼀様な磁場がマグネトロンの軸⽅向（Figure1(a) で紙⾯を奥から⼿前に貫く⽅向）にかけられている．
さらに，⼀定の電圧が陽極（正のポテンシャル）と陰極（負のポテンシャル）の間にかけられている．陰極から放出された電⼦は陽極に達して陽極を帯電させ，ある振動モードを励起する．この振動モードは，隣り合う 2 つの共振器を互いに逆符号に帯電させるようなモードである．空洞における共振によって，この振動が増幅される．

Theory

Q2-2Japanese (Japan)印加された⼀定電圧に由来する静電場に加え，上で説明された過程によって，前述の振動数 𝑓 = 2.45 GHz の交流電場が陰極と陽極の間の空間に発⽣させられる（Figure1(a) に交流電場による電気⼒線が⻘い線で⽰されている．静電場によるものは描かれていない）．定常状態において，陽極と陰極の間の交流電場の典型的な振幅は，その場所の静電場の 31 である．陰極と陽極の間の空間における電⼦の運動は，静電場と交流電場の双⽅の影響を受ける．その結果，陽極に達する電⼦は，静電場から得るエネルギーの約 80% を交流電場に受け渡してしまう．陰極から放出された電⼦のうちの⼀部は陰極に戻って，電⼦を追加で放出させ，交流電場をさらに増幅する．
それぞれの共振器は，Figure1(b) に⽰されているようにコンデンサーとコイルとみなせる．静電容量は共振器表⾯の平⾯状の部分から主に⽣じており，インダクタンスは円柱状の部分に由来する．共振器中の電流は，円柱形の空洞の表⾯に⾮常に近いところを流れており，この電流によって⽣じる磁束密度の⼤きさは理想的な無限⻑ソレノイドの場合の 0.6 倍であると仮定する．共振器の各部分の⻑さのパラメータは Figure 1(b) でFH与えられている．真空の誘電率と透磁率はそれぞれ 𝜀0 = 8.85 ⋅ 10−12 m，𝜇0 = 4𝜋 ⋅ 10−7 m，である．
A.1

上で与えられたデータを⽤いて，1 つの共振器の周波数 𝑓est を求めよ．（本問で得られる答えは，本来の値 𝑓 = 2.45 GHz と異なっていて差しつかえない．ただし，以降の問題では，本来の値の⽅を使⽤せよ．)

0.4pt

以下の 問題 A.2 は，マグネトロンそのものを扱っておらず，関連する物理の導⼊を⽬的としている．𝑦 軸負⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 𝐵0 𝑧 ̂ のもとで⾃由空間中を運⃗⃗⃗ ⃗⃗ = −𝐸0 𝑦 ̂ と 𝑧 軸正⽅向を向いた⼀様な磁束密度 𝐵
⽅向を向いた⼀様な電場 𝐸動する電⼦を考える (𝐸0 と 𝐵0 は正の値であり，𝑥,̂ 𝑦,̂ 𝑧 ̂ は右⼿系をなす単位ベクトルである)．電⼦のドリフト
速度 𝑢⃗⃗⃗⃗𝐷 とは，電⼦の平均の速度のことである．𝑚 と −𝑒 は電⼦の質量と電荷をそれぞれ表す．
A.2

以下の２つの場合のそれぞれについて 𝑢⃗⃗⃗⃗𝐷 を求めよ．さらに，0 < 𝑡 < 4𝜋𝑚の間に電𝑒𝐵0⼦が動く（実験室系における）軌道も解答⽤紙に描け．
1. 𝑡 = 0 での電⼦の速度が 𝑢(0)⃗⃗⃗⃗= (3𝐸0 /𝐵0 )𝑥̂ である場合．
2. 𝑡 = 0 での電⼦の速度が 𝑢(0)⃗⃗⃗⃗= −(3𝐸0 /𝐵0 )𝑥.̂ である場合．

1.5pt

再びマグネトロンについての議論に戻る．陰極と陽極の間の距離は 15 mm である．先に述べた交流電場へのエネルギー損失のために，各電⼦の最⼤の運動エネルギーが 𝐾max = 800 eV を超えないことを仮定する．⼀定磁束密度の強さは 𝐵0 = 0.3 T とする．電⼦の質量と電荷はそれぞれ 𝑚 = 9.1 ⋅ 10−31 kg ，−𝑒 = −1.6 ⋅ 10−19 Cとする．
A.3

電⼦のこのような軌道運動が円形とみなせるような慣性系で⾒たとき，この円形軌道の半径 𝑟 がとりうる値の最⼤値を数値的に⾒積もれ．

0.4pt

TheoryQ2-3Japanese (Japan)

Figure 2
A.4

Figure 2 は，陽極と陰極の間の交流電場による電気⼒線をある特定の時刻において 1.2pt描いたものである（静電場によるものは描かれていない）．この時刻において，A，B，C，D，E の位置にいるそれぞれの電⼦は，陽極⽅向にドリフトするか，陰極⽅向にドリフトするか，動径⽅向と完全に垂直な⽅向にドリフトするか．解答⽤紙の表の対応する箇所にチェックマークを書いて答えよ．

Figure 3
Figure 3 は，陽極と陰極の間の交流電場の電気⼒線をある特定の時刻において描いたものである（静電場によるものは描かれていない）．この時刻において，6 個の電⼦の位置が A，B，C，D，E，F で⽰されている．全ての電⼦は陰極から等距離にある．

TheoryQ2-4
Japanese (Japan)

A.5

Figure 3 に⽰された状況を考える．電⼦のペア AB，BC，CA，DE，EF，DF のそれ 1.2pt
ぞれについて，2 つの電⼦の位置ベクトル（陰極の中⼼ O が基準）がなす⾓度は，ドリフトによって増加するか，減少するか，決められないか．解答⽤紙の表の対応する箇所にチェックマークを書いて答えよ．

Figure 4
問題 A.5 で⾒出された電⼦たちの動きのパターンは，陰極と陽極の間の空間にある電⼦たちを⾞輪のスポークのような形状へと集中させる機構として働く．そのようなスポークの 1 つが，Figure 4 に⽰されている（Sと書かれた部分）．
A.6

同じ時刻における他のスポークたちを解答⽤紙に描け．スポークたちが回転していく⽅向を⽮印で⽰し，その回転の平均の⾓速度も計算せよ．

0.8pt

陰極と陽極の間のちょうど中間の位置における全電場の値が，陰極と陽極を結ぶ動径⽅向に沿った静電場の平均値に等しいものと近似する．また，その領域ではスポークが近似的に動径⽅向を向いているとする．陰
極と陽極の半径（それぞれ 𝑎，𝑏）は Figure 4 に⽰されている．
A.7

ここまでに説明されたやり⽅でマグネトロンを動作させるために印加する必要の 1.1pt
ある⼀定電圧の近似的な表式を求めよ．（求まる表式は，マグネトロンを動作させるために必要な最低限の電圧の近似値であり，現実的に最適な値はもう少し⾼い．）

Part B：マイクロ波と⽔分⼦の相互作⽤ (3.4 points)
この Part では，（マグネトロンのアンテナから電⼦レンジの調理室へと放出される）マイクロ波の料理への応⽤を扱う．すなわち⽔などの，エネルギーの散逸を⽣じる誘電性の物質を温めるために使⽤することを考える．純粋な⽔，または，薄い⾷塩⽔（スープ）が対象である．

Theory

Q2-5Japanese (Japan)

電気双極⼦は，同じ⼤きさで逆符号の 2 つの電荷 𝑞 と −𝑞 が短い距離離れて配置されたものである．電気双極⼦ベクトルとは，負の電荷から正の電荷に向かう⽅向に⼤きさ 𝑝 = 𝑞𝑑 を持つベクトルである．
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸(𝑡)𝑥̂ がかけ
⼤きさが 𝑝0 = |𝑝(𝑡)|⃗で⼀定のモーメント 𝑝(𝑡)⃗ を持つ 1 つの双極⼦に，時間変化する電場 𝐸(𝑡)られている．双極⼦と電場のなす⾓度を 𝜃(𝑡) とする.
B.1

電場が双極⼦に与える⼒のモーメント 𝜏 (𝑡) の⼤きさの表式，および，電場から双極⼦に単位時間あたりに与えられるエネルギー（仕事率）の表式を，𝑝0 , 𝐸(𝑡), 𝜃(𝑡)とそれらの微分を⽤いて書け．

0.5pt⽔分⼦は極性分⼦であるから，電気双極⼦とみなすことができる．液体の⽔では分⼦間に強い⽔素結合が働⃗⃗⃗ ⃗⃗(𝑡) ，すなわいているため，各⽔分⼦を独⽴した双極⼦と扱うことはできない．それよりも，分極ベクトル 𝑃⃗⃗⃗ ⃗⃗(𝑡)
ち双極⼦モーメント密度（⽔分⼦集団における双極⼦モーメントの体積平均），を⽤いる⽅がよい．分極 𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ に平⾏であり，交流電場の振幅に⽐例する振幅で振動するが，は（マイクロ波の）交流電場の局所的な値 𝐸(𝑡)その位相は 𝛿 遅れている．
⃗⃗⃗ ⃗⃗(𝑡) = 𝛽𝜀0 𝐸0 sin(𝜔𝑡 − 𝛿)𝑥̂ を⽣じ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸0 sin(𝜔𝑡)𝑥̂ で与えられ，分極 𝑃
⽔中のある場所における交流電場は 𝐸(𝑡)る．ここで，𝜔 = 2𝜋𝑓 であり，無次元量 𝛽 は⽔の物性値である．
B.2

単位体積あたりの⽔によって単位時間あたりに吸収されるエネルギーの時間平均⟨𝐻(𝑡)⟩ を求めよ．
ただし，時間に依存する周期関数 𝑓(𝑡) の周期 𝑇 についての時間平均は以下の式で定義される．

0.5pt

𝑡0 +𝑇1∫ 𝑓(𝑡) d𝑡.
⟨𝑓(𝑡)⟩ =𝑇(1)𝑡0

さて今度は，電磁波の⽔中における伝播を考える．（ある振動数における）⽔の⽐誘電率は 𝜀𝑟 であり，対応√する⽔の屈折率は 𝑛 = 𝜀𝑟 である．単位時間あたりの電場のエネルギー密度は 12 𝜀𝑟 𝜀0 𝐸 2 で与えられる．エネ
ルギー密度を時間平均したものは，電場と磁場について等しい．
B.3

電磁波のエネルギー流束密度の時間平均（単位時間あたりに単位⾯積あたりを通 1.1pt過するエネルギーの平均）を 𝐼(𝑧) で表すことにする．𝑧 は⽔への侵⼊の深さであり，電磁波は 𝑧 ⽅向に伝播するものとする．エネルギー流速密度 𝐼(𝑧) の 𝑧 依存性の表式を求めよ．⽔⾯におけるエネルギー流速密度 𝐼(0) が結果に現れていて良い．

位相の遅れ 𝛿 は⽔分⼦同⼠の相互作⽤の結果である．𝛿 は無次元の誘電損失係数 𝜀ℓ と⽐誘電率 𝜀𝑟 に tan 𝛿 =𝜀ℓ /𝜀𝑟 の形で依存する（𝜀ℓ と 𝜀𝑟 は電磁波の⾓周波数 𝜔 と温度に依存している）．𝛿 が⼗分に⼩さければ，深さ𝑧 における電場の値は次の式で与えられる：⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑡) = 𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 𝑒− 12 𝑛𝑘0 𝑧 tan 𝛿 sin (𝑛𝑘0 𝑧 − 𝜔𝑡)𝐸(𝑧,(2)

ここで 𝑘0 = 𝜔/𝑐 であり，𝑐 = 3.0 ⋅ 108 𝑚𝑠 は真空中の光速である．
B.4

近似 tan 𝛿 ≈ sin 𝛿 を利⽤し，問題 B.2 で定義された係数 𝛽 を他のパラメータを⽤いて表せ．

0.6pt

TheoryQ2-6Japanese (Japan)

Figure 5. ⽮印は，温度を 0∘ C から 100∘ C にあげていったときに，曲線がどのように変化していくか（各曲線がどの温度に対応しているか）を⽰している．
Figure 5 は，𝜀ℓ （⻘い線）と 𝜀𝑟 （⾚い線）を，純粋な⽔（実線）と薄い⾷塩⽔（破線）の両⽅について，波⻑または振動数の関数としていくつかの異なる温度について描いたものである．⾓周波数 𝜔 = 2𝜋 ⋅ 2.45 ⋅ 109 s−1
は太い垂直な線で⽰されている．以下では，この⾓周波数のマイクロ波のみを考える．
B.5以下の問題に取り組む際には Figure 5 を⽤いよ．
1. 20∘ C の⽔について，エネルギー流速密度の値が 𝑧 = 0 における値の半分になる⻑さである侵⼊⻑ 𝑧1/2 の表式を求めよ．
2. マイクロ波の⽔への侵⼊⻑は，⽔の温度を増加させたときに増加するか，減少するか，変化しないか．解答⽤紙の表の対応する箇所にチェックマークを書いて答えよ．
3. マイクロ波のスープ（薄い⾷塩⽔）への侵⼊⻑は，スープの温度を増加させたときに増加するか，減少するか，変化しないか．解答⽤紙の表の対応する箇所にチェックマークを書いて答えよ．

0.7pt