■第11回日本放射光学会奨励賞受賞報告
非線形共鳴近傍における位相空間中でのベータトロン振動の研究
宮島司(高エネルギー加速器研究機構

1. はじめに物質構造科学研究所）

入光源が多数設置されているということである。挿入光源

放射光源用の電子貯蔵リングでは，高輝度の放射光を安は非線形磁場を生じさせる要素にもなり，条件によっては定に発生させること，言い換えると，低エミッタンスビー共鳴の起源にもなりえる。さらに，近年多くの放射光源でムを安定に周回させることが重要な課題の一つである。

実用化されつつあるトップアップ運転においても，共鳴現ビームの安定性を乱す現象として，ベータトロン振動の共象が影響を及ぼす可能性がある。トップアップ運転では，鳴現象や，ビームの作る航跡場やイオン化された残留ガス

ビームラインのシャッターを開けた状態でビーム入射が行との相互作用によるビーム不安定性現象などがある。ビーわれるため，僅かなビーム損失も避けなければならない。

ム不安定性現象の多くは電磁場を介したビーム粒子間の相しかしながら，入射中はキッカー電磁石が励磁されるた互作用に基づくものであるのに対して，ベータトロン振動

め，条件によっては蓄積ビームの振動が励起される可能性の共鳴現象は，周回軌道を形成するためのポテンシャル中があり，共鳴に近い条件ではビーム損失が生じる可能性がでの単粒子の振動現象であり，電子貯蔵リング中でのビーある。このように放射光用の電子貯蔵リングでは，共鳴のムの運動としてより基本的なものである。特にビームの長起源となる非線形磁場成分を生じさせる要素が多数存在

時間安定性を特徴付ける力学口径の大きさに対して，ベーし，さらにトップアップ運転により常に振動が励起される

タトロン振動の共鳴現象は本質的な役割を果たしている。

状態にあるため，共鳴の性質を十分に理解することが安定電磁石によって構成された一般的な加速器中では，ビーな運転に対して重要となっている。

ムは横方向（水平，垂直方向）にベータトロン振動をしな

これまでに，ベータトロン振動の共鳴に関する研究は，がら進行していく。これは，PF や SPring-8 などの多くの正準摂動論に基づく解析的な方法，数値計算による方法と放射光源で用いられている円形加速器型の電子貯蔵リング

ともに，複数の加速器において実験的な手法を用いて行わや，線形加速器（ Linac ）を用いた自由電子レーザー用のれてきた。特に実験による研究では，あらゆる誤差を含ん線形加速器，エネルギー回収型線形加速器（ Energy Re-だ現実の加速器を対象とすることができ，結合共鳴や高次covery Linac）などのどの形式の加速器でも同じことであの共鳴など多くの共鳴でベータトロン振動の観測が行われる。しかしながら，円形加速器と線形加速器のベータトロ

た1)。しかしながら，これまでの実験による研究では，単ン振動では決定的に異なる点がある。それはベータトロン一の条件下でのみ共鳴を観測していたため，共鳴の起源を振動の共鳴現象があるかないかである。円形加速器では，推測することは困難であった。

ビームは閉じた軌道上を周回し続けるため，その運動は周そこで，本研究では，共鳴の起源を推測する方法を確立

期的なポテンシャル中での運動となる。このとき，リングし実証することを目的として，放射光用電子貯蔵リングで内に誤差磁場が僅かでも存在すると，条件によってはそのある2.5 GeV PF-ring において，実験的手法を用いて非線力を繰り返し受け続けることになり，振動振幅が増大する形共鳴現象についての研究を行った2,3) 。ベータトロン振共鳴現象が発生する可能性がある。このように，電子貯蔵動の共鳴現象の特徴的な状態は，位相空間中で顕著に現れリングでは，ベータトロン振動の共鳴現象はその構造からるため，実験的に位相空間情報を得るための実験装置とし避けられないものである。て，位相空間モニターシステムを開発した。さらに本研究

ベータトロン振動の共鳴現象は， A )振動の条件（リング 1 周あたりの振動位相の進み），B)共鳴の起源，というでは，非線形共鳴を引き起こす原因となる非線形磁場の起源を推定する方法を提案し，その有効性を検証した。

2 つの条件によって特徴付けられる。 A )の振動位相の進みは制御が容易であり，電子貯蔵リングの運転では共鳴を2. ベータトロン振動の共鳴現象避けた条件の下で運転される。一方， B )の共鳴の起源

ビームがリングを 1 周する間に何回振動するかを表す

は，電磁石の製作誤差や設置誤差による誤差磁場や，6 極量は，ベータトロンチューンと呼ばれ，ベータトロン振電磁石等の非線形磁場成分に起因するものであり，その起動を特徴付ける重要な量である。チューンの選び方によっ源を見極めるのが難しく，また制御も容易ではない。さらては，多くの振動現象で見られるような共鳴現象が，ベーに，放射光用の電子貯蔵リングでは，衝突型加速器や重粒タトロン振動においても発生する。チューンが整数のとき

子シンクロトロンとは大きく異なる特徴がある。それは挿に生じる整数共鳴は，ビームがちょうどリングを 1 周し放射光 March 2007 Vol.20 No.2 ● 137(C) 2007 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

た後に，1 周前と同じ振動位相をもって元の場所に戻ってくるということが原因となる。このような条件下では，リングのある点にごく僅かでも誤差磁場が存在すると，ビームは 1 周毎に同じ振動位相でその力を繰り返し受け続けることになり，振動振幅は増大し続ける。そして，ついには振幅が真空チェンバーの内壁よりも大きくなり，内壁に衝突してしまうことになる。通常の運転では，このような共鳴を避けるために，チューンが整数から離れるようにビームの収束系を調整する。このような整数共鳴の他に，リングに存在する磁場の非線形成分によって，さらに高次の共鳴が生じる可能性がある。このような共鳴の条件は，チューンを ny とすると，1 次元 n 次共鳴の場合には nny＝l（l＝1, 2, 3,…）となる。
非線形共鳴近傍では，ごく僅かな非線形磁場でも，振動振幅の増大を引き起こし，力学口径の縮小やビーム損失を生じさせる原因となりえる。特に，放射光用の電子貯蔵リングでは，色収差補正用の強力な 6 極電磁石や挿入光源の誤差磁場など，非線形磁場を生じさせる要素が多数存在するため，これらの影響を定量的に評価することは，そのFig. 1

Phase space motion for a third-order resonance in anormalized phase space. The phase space pattern wascalculated using the nonlinear resonance Hamiltonian (1),where, the detuning parameter is D＝(ny0－Nl/n)/(G0, n, lJ n0 /2－1), the tune-spread parameter is V＝ayy/(2G0, n, lJ n0 /2－2) and J0 is the initial action variable3).

補正に向けて非常に有効である。共鳴を定量的に評価するために，本研究では，線形なベータトロン振動を記述するハミルトニアンに，共鳴の起源となる磁場のポテンシャル御し，それに対する共鳴パラメタの応答を測定する方法をを導入し，対象とする次数の摂動項のみを残すというモデ提案した2)。この方法を用いることで，共鳴パラメタをよルを導入した。このモデルを用いると n 次の共鳴（nny＝l ）り正確に決定することが可能となり，またその応答から共を記述するハミルトニアンは，鳴の起源を推測することも可能となる。実験では非線形磁H n ＝ ny J y ＋

1
ayy J 2y＋J ny /2G0, n, l cos (nqy－lu＋jy),
2場として 8 極磁場を変化させた。8 極磁場をパラメタとし(1)た理由は， 1 )色収差などに影響を与えることなく振幅依存チューンシフト量を変えることができ， 2 ) 4 次共鳴のとなる。ここで（ Jy, qy）はベータトロン振動の作用変数強さも制御することができるからである。特に我々の方法と角変数で，それぞれ振幅と位相を表す。u はビームの進を検証するには，予め起源のわかった共鳴で実験を行う必行方向の位置を表すパラメタ（時間に対応するパラメタ），要があり，垂直 4 次共鳴近傍で 8 極磁場を制御することjy は初期位相である。このモデルでは，ベータトロン振は本質的に重要なことであった。さらに，他の共鳴に対し動の共鳴現象は a)振幅依存チューンシフト ayy，b )共鳴のても，8 極磁場の強さを変えることは，共鳴パラメタの一強さ G0, n, l，という 2 つのパラメタ（共鳴パラメタ）によつである ayy を変えることに対応するため，位相空間中でって特徴付けられる。共鳴状態では，ベータトロン振動のの軌跡の変化を観測するには有効な方法である。このよう位相空間（位置運動量空間）において，共鳴パラメタのな理由から，我々は実験において 8 極磁場の強さに対す値に応じてセパラトリクス構造や島状構造などの共鳴に特る共鳴パラメタの応答を測定することとした。

有な軌跡が観測される。この様子を見るために，共鳴パラメタの変化によってベータトロン振動の軌跡がどのように

3. 位相空間モニターシステムの開発

変化するかについての例を Fig. 1 に示す3)。Fig. 1 では，簡位相空間中でのベータトロン振動を観測するために，単のために(1 )式のハミルトニアンを無次元化して表現しビームに初期振幅を与えるための高速キッカー電磁石と，ており，共鳴パラメタを（ D, V ）としている。Fig. 1 からビームの位置と傾き（運動量）を測定するための位相空間わかるように，共鳴パラメタが変化するとともに，島状構モニターシステムを開発した4)。位相空間モニターでは，造の位置が変化していく。このように，2 つの共鳴パラメリングの直線部に設置された 2 箇所のビーム位置検出用

タは，共鳴近傍のベータトロン振動を特徴付ける重要なパ電極からの信号を，1 ターン毎にメモリに蓄積していくこラメタとなっている。とが可能となっている。位相空間モニターシステムの概念

本研究では，このような特徴的な軌跡が現れる位相空間

図を Fig. 2 に示す。ビームの重心振動が起きていない状態中でのベータトロン振動を観測することによって，共鳴パを初期状態として，ビームが来た瞬間に高速キッカー電磁ラメタの測定を行った。さらに，非線形磁場を積極的に制石を 1 度だけ励磁し，ビームに重心振動を起こした後，

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Fig. 2

Schematic view of the phase space monitor system.

振動の変化を 2 箇所の電極を用いて測定している。実際の実験では，2 箇所の電極として，その間に電磁石がないドリフトスペースに設置されているものを選んだ。このたを求めることができ， y-y ′め， 2 箇所のデータの差から y ′位相空間での軌跡を構成することができる。得られた位相空間の軌跡を，(1)式のモデルハミルトニアンにフィッティングすることによって，我々は共鳴パラメタを決定しFig. 3

Plot of measured vertical positions at each revolution after avertical kick near the fourth-order resonance at K3＝－254.45 m－3, 208.23 m－3 and 390.89 m－ 3. Phase space plots( y-py) are also displayed2).

た。この一連の測定を， 8 極磁場の強さを変えながら行い，共鳴パラメタの 8 極磁場に対する応答を測定した。
る共鳴パラメタの応答を測定する方法が有効であり，さら4. 垂直 4 次，3 次共鳴での実験
我々は，垂直 4 次共鳴（4ny＝17）と垂直 3 次共鳴（3nyにその振る舞いから共鳴の起源を推測することが可能であることを示すことができる。

＝13）に対して実験を行った。予め起源がわかっている 44 次共鳴での代表的な測定結果を Fig. 3 に示す。 8 極磁次共鳴での実験は，我々が提案した共鳴パラメタを決定す場が強くなるに従い，振動が減衰する状態から，島状構造る方法を検証することを目的としている。これに対して垂を形成する状態に移行することがわかる。これらの測定結直 3 次共鳴は，理想的な状態では起源のない弱い共鳴と果から求めた ayy および G0, 4, 17 をそれぞれ Fig. 4, Fig. 5 に予測される。3 次共鳴の実験は，現実の誤差が存在する状示す。共鳴パラメタは予想通り 8 極磁場に対して線形な況下において，このような弱い共鳴がどのようになるかを応答を示していることがわかる。 ayy および G0, 4, 17 の K3観測し，起源を推定することを目的としている。

依存性を，それぞれ ayy＝a0＋a1K3, G0, 4, 17＝0＋1K3 と表8 極磁場によるポテンシャルが存在する場合のベータト

した場合，実験から得られた係数は a1＝ 0.0035 m3mm－1,ロン振動に対して，正準摂動法を適用すると，共鳴パラメ

1＝ 3.54 × 10－5 m3mm－1 と なった。また，係数 a1 は，

タは 8 極磁場の強さ K3 に対して，( 2 ) 式 を 用 い て 数 値 計 算 が 可 能 で あ り ， a1 ＝ 0.0032 m3mm－1 と計算された。二つの係数を比較すると，実験から

41
ayy＝K3 ∑ b2y, i
16p
i＝ 1G0, 4, leij ＝y(2)41K3 ∑ b2y, i e i[4x －(4n －l)u]
96pi＝1yy

得られた係数は数値計算から得られた係数とほぼ一致していることがわかる。これらの結果をまとめると，1)垂直 4(3)次共鳴の共鳴パラメタはともに 8 極磁場に対して線形な応答を示す， 2 )実験から得られた係数は理論から予想さのような線形な関係になると予想される2) 。ここで， by, iれる結果とほぼ一致する，ということである。すなわち，は 8 極電磁石中でのベータトロン関数を表す。共鳴パラ

実験結果は垂直 4 次共鳴の起源は 8 極磁場であることをメタの一つである ayy は( 2 )式を用いて数値的に計算可能示している。このように，垂直 4 次共鳴に対する実験にであるが，一方の G0, 4, 17 はビーム光学系の条件に非常によって，本方法が共鳴の起源を推測するのに有効であるこ敏感であるため，数値計算から誤差を含んだ現実のリングとを示すことができた。

での値を予測するのは難しい。しかしながら，(3)式から次に，理想的な条件下では共鳴の起源のない垂直 3 次わかるように，G0, 4, 17 が K3 に対して線形な応答を示すこ

共鳴に対して，本方法を適用して実験を行った。実験前のとは変わらない。従って，実験でも共鳴パラメタの線形な予測では 3 次共鳴は非常に弱いと考えられていたが，実振る舞いが得られれば，我々の提案する非線形磁場に対す

験では予測とは異なり明確な共鳴が観測された2)。また共放射光 March 2007 Vol.20 No.2 ● 139

ン振動を観測した。
本研究で提案した位相空間パターンの非線形磁場依存性を測定する方法によって，共鳴パラメタをより正確に決定することができ，また共鳴の起源を推測可能であることを示すことができた。さらに，本方法を適用することによって，挿入光源のギャップ変更に伴う非線形磁場の影響も評価可能であり，今後，その補正を行うことも可能になると考えられる。
謝辞
Fig. 4

Dependence of the detuning parameter ayy on octupole ˆeldstrength K3 for measuring fourth-order resonance2). The
detuning parameter is calculated from the data of the betatron tune and Jy. The solid line was computed using a leastsquares method based on the supposition that ayy is a linear
function of K3.

本研究は，高エネルギー加速器研究機構物質構造科学研究所放射光源研究系電子軌道グループの小林幸則助教授との共同で行いました。心より感謝いたします。また，同グループの原田健太郎助手，長橋進也氏には，研究についてはもちろんのこと，それ以外にも多くの面でサポートしていただきました。また本研究を進めることを推奨してくださいました放射光源研究系の主幹である春日俊夫教授に感謝いたします。首都大学東京大学院理工学研究科の宮原恒g教授，岡部豊教授，住吉孝行教授，そして兵庫県立大学
高度産業科学技術研究所（ NewSUBARU ）の安東愛之輔
教授には，本研究に対する貴重な助言をいただきました。
最後に，放射光源研究系のスタッフ，そして PF-ring のオペレータである三菱電機システムサービスの方の支援なし
では本研究を行うことはできませんでした。心よりお礼申し上げます。

Fig. 5

Dependence of the resonance strength G0, 4, 17 on theoctupole ˆeld strength K3 for measuring fourth-orderresonance2). The solid line was computed using a leastsquares method based on the supposition that G0, 4, 17 is alinear function of K3.

鳴パラメタの応答では， ayy は 8 極磁場に対して線形な応答を示したが， G0, 3, 13 は 4 次的な振る舞いを示すという参考文献
S. Y. Lee et al.: Phys. Rev. Lett. 67, 3768 (1991).
T. Miyajima and Y. Kobayashi: Japanese Journal of Applied
Physics. 44 No. 4A, 2006 (2005).
3) T. Miyajima and Y. Kobayashi: Journal of Particle Accelerator Society of Japan, 1 No. 2 98 (2004).
4) Y. Kobayashi, T. Mitsuhashi, A. Ueda and T. Kasuga: Proc.
Fifth European Particle Accelerator Conf., Sitges, Spain, 1996,1668.
pp. 1666

1)2)

結果が得られた。この 8 極磁場に対する複雑な応答を詳細に検討した結果，8 極電磁石中での COD と 6 極磁場の回転が垂直 3 次共鳴の起源となることを示すことができた。

5. まとめ
我々は，ベータトロン振動の非線形共鳴現象に注目して，放射光用電子貯蔵リングである2.5 GeV PF-ring において，実験的手法を用いて非線形共鳴現象についての研究を行った。特に実験によって，現実のあらゆる誤差を含んだ加速器中での共鳴の起源を推測する方法を確立することを目的として，共鳴パラメタをより正確に決定する方法を提案した。共鳴現象の特徴的な状態は位相空間中で顕著に現れるため，位相空間モニターシステムを開発し，これを用いて垂直 4 次共鳴，垂直 3 次共鳴近傍でのベータトロ

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● 著者紹介 ●宮島司
高エネルギー加速器研究機構物質構造科学研究所放射光源研究系助手
E-mail: tsukasa.miyajima＠kek.jp
専門加速器物理，非線形ビーム物理，加速器用電磁石システムの開発［略歴］
1999 年東京都立大学大学院理学研究科
修士課程修了， 1999 年高エネルギー加速器研究機構文部科学技官， 2004 年高エネルギー加速器研究機構技師補，2005 年東京都立大学大学院理学研究科
博士（理学），2006年より現職。