ルービックキューブ 6 面完成法の数理的考察
2011SE067 飯塚 省太
指導教員：佐々木克巳

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回転させる操作を単位操作という．これらの単位操作は，はじめに回転させる面と同じ記号で表す．すなわち，単位操作はルービックキューブはハンガリーの建築学者, エルノー・ U，D，F，B，L，R の 6 つである．
ルービックによって考案され世界中で知られている知名度
また，キューブの前面を反時計回りに 90°回転させる操の高いパズルである（[4]）．このパズルの解法は数多く存

作を F−1 とする．B−1 なども同様である．

在する．本研究は，それらの解法の中でも比較的理解しやさらに，単位操作 F に続いて単位操作 R を行う操作をFR とする．FU，F−1 UB なども同様である．

すい [3] で紹介されている方法をとりあげて，その正当性を示す．その方法は 7 つの step(step1〜step7) から成るが，本研究ではそのうちの step4〜step7 を対象とする．

定義 2.4(キューブの置きかえ)

水平に置かれたキューブ

卒業論文では，step4〜step7 の 4 つの step の正当性ををもちあげ，単位操作をせずに全体を回転させてもとの水示したが，本稿ではそのうちの step7 の正当性だけを示す． 平な面におく操作を「置きかえ」という．本稿では，U 面
以下の 2 節では，本稿で用いる用語を説明する．3 節で と D 面の 1 面体の色が不変の置きかえだけを対象とする．
は，step7 とその正当性について説明する．

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用いる用語
この節では，本稿で用いる用語を説明する．

Step7 とその正当性
この節では，step7，すなわち，次の条件 6 を満たす形から, 完成形を作る手順とその正当性を示す．
定義 2.1(面の名称)

ルービックキューブを水平な面においたとき，その前面を F 面，左面を L 面，後面を B 面，右面を R 面，上面を U 面，下面を D 面と呼ぶ．

条件 6: 下から 2 段の 17 ブロックと U 面に現れる 4 つの 3 面体が完成し，さらに U 面の色が揃っている．
まず，step7 を示す．そのために，step7 の基本手順 (基本手順 7) とキューブの 2 面体配置を定義する．step7 は，定義 2.2(ブロック)ルービックキューブは 26 の立方体

基本手順 7 とキューブの置きかえによって定義される．

でできており，この各立方体をブロックという．ブロックの各面をブロック面といい，1 つの面が現れるブロックを1 面体という．同様に，2 つの面が現れるブロックを 2 面体といい，3 つの面が現れるブロックを 3 面体という (図 1参照)．

定義 7.1(基本手順 7)
2R UFB操作−1

R2 F−1 B U R2を基本手順 7 という (R2 は RR の略である)．
定義 7.2(キューブの 2 面体配置)

キューブが条件 6 を満たすとする．このとき，キューブの 2 面体配置をL 面に現れる 2 面体 a，B 面に現れる 2 面体 b，R 面に現れる 2 面体 c，F 面に現れる 2 面体 d，を用いて (a, b, c, d) と表す．
定義 7.3(Step7)

図 1 ブロックの種類 ([1])

Step7 は，次の 2 つからなる．
step7-1．U 面に現れる 4 つの 2 面体がどれも完成の位置にないとき，基本手順 7 を 1 回行う．
step7-2．U 面に現れる 2 面体のうち少なくとも 1 つが完成の位置にあるとき，完成の位置にある 2 面体が L 面にくるよう，キューブを置きかえ，基本手順 7 を完成形が得られるまで繰り返す．

以後，混乱のないときはルービックキューブのことを単にキューブと呼ぶ．
定義 2.3(単位操作)

次に，上の手順の正当性，すなわち次の定理を証明する．
キューブの各面を時計回りに 90°定理 7.4(Step7 の正当性)

条件 6 を満たすキューブが解けるのであれば，そのキューブに step7 を行うと，有限る．c = 1 と {a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4} より b ̸= 1 であり，回で終了し，完成形を得る．より具体的には，以下が成り(∗1), (∗2) より b ̸= 2，b ̸= 3 だから b = 4．よって d = 3．

立つ．

まとめると，(1)step7-1 により，条件 6 を保存したまま U 面の 4 つの 2面体のうち少なくとも 1 つが完成の位置にくる．
(2)step7-2 は，基本手順 7 を高々 2 回繰り返すことで終了(a, b, c, d) = (2, 4, 1, 3)である．

(ii)a = 3 のとき：(i) と同様に考えて，し，終了したときは完成形を得る．

(a, b, c, d) = (3, 4, 2, 1)

定理 7.4 を示すには，次の 3 つの補助定理が必要である．

である．

(iii)a = 4 のとき：(i) と同様に考えて，(a, b, c, d) = (4, 1, 2, 3)

補助定理 7.5(基本手順 7 の性質)である．

(1) 基本手順 7 は条件 6 を保存する．
(2) 基本手順 7 により，キューブの 2 面体配置は(i),(ii),(iii) より，(a, b, c, d) = (2, 4, 1, 3)，(3, 4, 2, 1)，(4, 1, 2, 3)(a, b, c, d) から (a, d, b, c)である．ここで，に変わる．

(証明．実際に基本手順 7 を行えば確認できる．
補助定理 7.6ば，置換)(3，4，2，11，2，3，4)(4，1，2，31，2，3，4)

条件 6 を満たすキューブが解けるのであれが偶置換か奇置換かを実際に計算すると，どれも奇置換と)わかる．これは補助定理 7.6 に矛盾する．よって (1) が成(a，b，c，d1，2，3，4り立つ．

は偶置換である．ただし，(1, 2, 3, 4) はそのキューブの置き方における完成形の 2 面体配置，(a, b, c, d) は，そのキューブの 2 面体配置 ({a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4}) である．
証明．[2] の第 2 基本定理から導くことができる．
補助定理 7.7

2，4，1，3
1，2，3，4{a, b, c} = {1, 2, 3} のとき，次の 2 条件は(2) キューブを置きかえて，条件 6 を保存しながら完成の位置にある 2 面体が L 面にくるようにできることは明らかである．置きかえ後の形のキューブの完成形の 2 面体配置を (1, 2, 3, 4) とおく．するとそのときの 2 面体配置は(1, a, b, c)(ただし {a, b, c} = {1, 2, 3}) とおける．ここで補助定理 7.7 と同様の計算と補助定理 7.6 を用いると，同値である．
()(1，a，b，c)=(1，4，2，3)，(1，3，4，2)，(1，2，3，4)，b，c，4(1) 1a，が偶置換である．
2，3，4とわかる．補助定理 7.5(2) より，これらは基本手順 7 を(2)(a, b, c) ∈｛ (3, 1, 2)，(2, 3, 1)，(1, 2, 3)｝
高々 2 回繰り返すことにより，次のように完成形の配置に
証 明 ．{a, b, c} = {1, 2, 3} よ り ，(a, b, c) は ，(1, 2, 3)，なる．
(1, 3, 2)，(2, 1, 3)，(2, 3, 1)，(3, 1, 2)，(3, 2, 1) のいずれか(1，4，2，3)である．この 6 つに対して，実際に偶置換か奇置換かを判↓ Step7 の基本手順定する計算を行うことで，この補助定理を得る．
(1，3，4，2)↓ Step7 の基本手順
定理 7.4 の証明．
(1，2，3，4)(1) 完成形の配置を (1, 2, 3, 4) とおく．キューブの 2 面体
補助定理 7.5(1) から，上の手順も条件 6 を保存する．よっ
配置は (a, b, c, d)(ただし，{a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4}) とおて，(2) が示された．
ける．4 つの 2 面体がどれも完成の位置にないという仮定

参考文献

より，

a ̸= 1，b ̸= 2，c ̸= 3，d ̸= 4(∗1)

である．基本手順 7 は条件 6 を保存する (補助定理 7.5(1))
ので，a = 1 または d = 2 または b = 3 または c = 4 を示せばよい．そうでない，すなわち，a ̸= 1，d ̸= 2，b ̸= 3，c ̸= 4(∗2)

を仮定する．(∗1) より，a ̸= 1 である．a の値で場合分けを行う．

(i)a = 2 のとき：{a, b, c, d} = {1, 2, 3, 4} より c ̸= 2 であり，(∗1), (∗2) より c ̸= 3，c ̸= 4 であるため c = 1 であ

[1] 島内 剛一：「ルービックキューブと数学パズル (数学ひろば)」，日本評論社，東京，2008[2] 川辺 治之：「群論の味わい -群置換で解き明かすルービックキューブと 15 パズル-」，共立出版，東京，2010[3]「ルービックキューブ 6 面攻略」，
http://www.synapse.ne.jp/˜ telepathy/rubiks/index.htm[4]「ルービックキューブ (ウィキペディア)」，http://ja.wikipedia.org/wiki/