アンチロックブレーキングシステムのスライディングモード制御
2011SE276 筒井俊行
指導教員：大石泰章

マッチング条件

3

はじめに

1

スライディングモード制御において，マッチング条件を近年，自動車の安全性が注目されており，とりわけ普及満たすシステムは，モデル化誤差や外乱の効果から完全にしている安全装置がアンチロックブレーキングシステム独立になる [3]．本研究では，ノミナルシステムを安定化（以下，ABS）である．悪路での制動や急制動時，ブレーするために線形状態フィードバック入力 ũc = −F x を加キ調整によりタイヤと路面間のスリップ率を適切に制御すえるものとし，これに追加の制御入力 ũ を加えたものが制る．その結果，制動距離が短くなり制動時のハンドル操作御入力 u である．さらに行列 A0 ，B0 をそれぞれ 2 つに分も可能になる．路面状況が刻々と変化する中で動作するた

けて A0 = A + ∆A，B0 = B + ∆B と書く．ただし，A，めに，ABS の制御にはロバスト性が求められる．

∆A，B ，∆B は[][]0 00 1，∆A = 0 α1
 A= 0 α] ω2[ ] 2[00 B = 1 ，∆B = β−ω2ω2

本研究では，INTECO 社の The Laboratory Anti-lockBraking System(図 1)[1] を考察対象とする．文献 [2] では，状態方程式の A 行列と B 行列の中に変動パラメータである ω2 が含まれているため制御が難しいとし，ロバス
ト制御を使ってこれに対処した．一方，スライディングであり，∆A と ∆B は ω2 の影響を受ける変動部分である．

モード制御はマッチング条件が満たされるならばモデル化得られるシステム

誤差や外乱による効果から完全に独立にすることができる

ẋ = (A + ∆A) x + (B + ∆B) (ũc + ũ)(1)[3]．このような利点から本研究ではスライディングモード制御を適用し，変動パラメータ ω2 の影響を消して制御すがスライディングモード制御によって変動パラメータにることを考える．

D ∈ R1×1 が存在し，∆A = BC ，∆B = BD

対して完全に独立となる条件は，ある行列 C ∈ R1×2 ，(2)と書けることである．これをマッチング条件と呼ぶ．今の場合，C ，D を以下のようにすればこの条件が満たされる
ことがわかる：[]β − ω2．
ω2
このとき，式 (1) に式 (2) と ũc = −F x を代入すると以下
C=0

α1
ω2，D =のようになる：ẋ = (A − BF ) x + B ũ + B (Cx + Du) ．

図 1 The Laboratory Anti-lock Braking System

これを次のように書く：

ẋ = Ac x + B (ũ + h (x，u)) ．

モデル化

2(3)

ただし，Ac ，h (x，u) は以下の通りである：
本研究では，文献 [2] のモデルを使用する．この実験機

Ac = A − BF ，
h (x，u) = Cx + Du，α1β − ω2=(λ − λ∗ ) +u．
ω2
ω2は上下 2 つの車輪から構成され，上部車輪は自動車の車輪を，下部車輪は路面を表す．上部車輪の半径 r1 と角速度

ω1 の積 r1 ω1 は車輪の速度を表し，下部車輪の半径 r2 と角速度 ω2 の積 r2 ω2 は車体の速度を表す．したがって
r2 ω2 − r1 ω1λ=r2 ω2はスリップ率を表し，これを目標値 λ∗ = 0.2 に制御する

(4)

制御器設計

4

スライディングモード制御の制御入力は，線形制御入力である等価制御入力と非線形制御入力の和，すなわちことが目的である．制御対象の状態方程式は以下のように

ũ = ũeq + ũnl である．以下，それぞれの設計法を順に説表すことができる [2]：明する．

ddt

[ ∫∗

(λ − λ ) dt
λ − λ∗]=[001α1ω2 + α2][x+0βω2]

u． 4.1

等価制御入力以下これを ẋ = A0 x + B0 u と略記する．ただし，α1 ，α2 ，x と同じ次元を持つ零ベクトルでない横ベクトルを適当

β は実験機の物理パラメータから定まるある定数である．に選んで S と書く．状態 x が Sx = 0 を満たす時，システムはスライディングモードにあると言う．また，σ = Sxを切換関数と呼ぶ．状態 x が一定時間スライディングモー

5

本研究では，式（3）の Ac を安定にするために，状態ド内に留まる時，σ̇ = S ẋ = 0，(5)である．式 (5) に式 (3) を代入すると，スライディングモード内では等価的に次の入力が加わっているのと同等でシミュレーションと実機実験フィードバックゲイン F を最適レギュレータを用いて設計する．その重み行列 Q，R と切換関数を表す行列 S を以下のように設定した：[Q=ある：ũeq = − (SB)−1

SAc x − h (x，u) ．

(6)

これを等価制御入力という．式 (6）を式 (3) の ũ に代入す
ると次のようになる：(−1ẋ = I − B (SB)

5000 300]，R = 0.1，S = [ 0.1050.051 ] ．

その結果導かれる線形状態フィードバックゲイン F と P1
は以下のようになる：

F = [ 22.3607 55.1716 ] ，P1 = 6.4463．

)

S Ac x．

これらの値を用いて Simulink 上でシミュレーションをしたがって，h (x，u) は式から消え変動パラメータ ω2 の行った後に実機実験を行った．時速 50km/h からブレー影響はなくなる．

キをかけた場合のシミュレーションを行うために変動パラ
メータ ω1（上部車輪の角速度），ω2（下部車輪の角速度）の4.2

非線形制御入力

初期値は時速 50km/h にあたる角速度 139rad/s とする．

スライディングモード制御では，切換関数上に拘束するための入力である非線形制御入力 ũnl が必要である．ここではチャタリングを防止するために，次のような平滑な入また，ブレーキングトルクとデューティー比の関係，摩擦係数とスリップ率の関係を実験によって求めた．これに基づいて，摩擦係数は 0.2 とし，関係式{力を導入する：

σ．
|σ| + 0.05
ただし，文献 [3, p. 115–p. 116] の式 (4.3)，(4.17) に従β−ω2∗1い，K は h (x，u) = αω2 (λ − λ ) + ω2 u の絶対値よりũnl = −Kも大きくなるようにえらぶ．今の場合，物理的に妥当な

M1 =102.4432ud − 20.7643 (0.2 ≤ ud < 0.3)
，22.444ud + 2.5595(0.3 ≤ ud ≤ 0.7)が成り立つものとして，シミュレーションと実機実験を行った．
図 2 はシミュレーションと実機実験の結果である．いずれもスリップ率 0.2 に追従させることができている．

∗範囲を取って |λ − λ | ≤ 0.8，|u| ≤ 0.7 と考え，さらにω2 ≥ 2.806（これは車体速度が 1km/h 以上であることを意味する）とすると，|h (x，u) | ≤ 35.373 を得る．これにより K = 36 として設計する．
4.3

切換関数 σ = Sx の設計

切換関数 σ を設計するために，以下のリアプノフ不等式

図 2 スリップ率の変化を考える：

ATc P + P Ac ≺ 0．

6

この不等式を満たす任意の行列 P を用いて S を以下のように定めることができる [3, p. 115-p. 116]：

ここで，S =[S1S = BT P ．
[]
P1S2 ，P =P2

下のようになる：[ S1[S2 ] = [ 0 1 ]P2P3P1P2P2P3[ATc

P1S1S1S2][+P1
S1S1S2

本研究では，スライディングモード制御を用いて変動パラメータ ω2 の影響を消し，スリップ率を目標値に制御することを目的とし制御器設計を行った．シミュレーション]を行った後に，得られたコントローラを実験機に実装したとすると以]= [ P2 P3 ] ．
[]
P 1 S1
すなわち，P =となり，S1 ，S2 を用いた以S1 S2下のリアプノフ不等式を考える：

おわりに]Ac ≺ 0．

このリアプノフ不等式を満たす P1 が存在しさえすればよ
いので，切換関数は比較的自由に設計できることがわかる．

ところ高い追従性を示すことが出来たが，速度が遅くなる後半部分で振動している．今後の課題は，後半の振動を無くすことである．

参考文献[1] INTECO: The Laboratory Anti-lock Braking System User’s Manual．
[2] 大石直人・遠山智孝：アンチロックブレーキングシス
テムのロバスト制御，南山大学情報理工学部卒業論
文，2014.

[3] 野波健蔵，田宏奇：『スライディングモード制御—非線形ロバスト制御の設計理論』．コロナ社，1994.