Commentary

回帰不連続デザインによる実証分析
直井道生
慶應義塾大学経済学部 准教授

1

2

はじめにRDDによる因果推論

本稿では，統計的因果推論の手法として幅広

RDD の最も基本的な設定は，ある観察可能く用いられるようになった回帰不連続デザインな変数Xが既知の閾値を超えたときに，対象と（Regression Discontinuity Design, 以下 RDD）

なるサンプルに対してなんらかの介入（トリーについて，実際の分析への応用を念頭に，その基D）がなされるような状況で，このこトメント，本的な考え方を解説する。RDD の歴史は古く，との効果を明らかにしようとするものである。

Thistlewaite and Campbell（1960）まで遡るこ

このような状況は，実際の制度においてもしばとができる。しかしながら，経済学の分野で長しばみられる。入学試験では，テストなどの得くこの手法が顧みられることはなく，ようやく点 (X) が一定の水準に達していれば，入学が許可

1990年代に入って広く実証分析に応用される(D=1) され，そうでなければ許可されない (D=0)。

ようになった 。その後，実証分析における因いま，この学校への入学という「介入」が，卒業果推論の重要性が認識されるにつれ，RDD をY）に後の所得水準という「成果」（アウトカム，利用した分析の事例は爆発的に増加している。

与える影響が知りたいとしよう。このとき，介実際，代表的な論文検索データベースである入の因果的な効果はどのように計測できるだ

Google Scholar で「“regression discontinuity

ろうか。

1）

15,000件を超える検索design” 」を検索すると，RDD では，閾値の前後におけるアウトカムの結果がヒットする（2018年5月）。

不連続な変化をみることで，介入の因果的な効以下では，第2節で RDD による因果推論のイ果を計測する。さきほどの例では，入学試験のメージを確認し，第3節では実際の分析および得点が合格点に達したところで介入（入学許可）モデルの特定化のチェックの方法について概観の状況が不連続的に変化する。いま，閾値の前する。ここでは，経済学分野における代表的な後で，介入以外の要因が連続的にしか変化しな統計分析用のパッケージである Stata を用いた

いのであれば，不連続なアウトカムの変化は介分析の実施についても補足する。第4節はまと入による因果的な効果を表している可能性がめである。なお，
RDD の理論的な詳細や分析上高い。言い換えれば，合格点をわずかに上回っの課題などについては，紙幅の都合で削らなくた受験者と，わずかに下回った受験者では，こてはならなかったトピックが多数ある。応用をの学校への入学を許可されるか否かは大きく念頭に置いた RDD の解説論文としては，例えば異なる一方，将来の所得に影響を与えるそれ以Imbens and Lemieux（2008），
Lee and Lemiuex

外の要因はほとんど（少なくとも不連続には）（2010）などを参照されたい 。

異ならないと考えられる。そのため，合格点の2）

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前後での不連続な所得水準の変化は，入学の効されることになる。したがって，実際に観察さ果とみなすことができる。

れる入学試験の得点 (X) と将来の所得水準 (Y) と図1は，この状況を模式的に示したものである。の関係は，図の実線 (Y=(1-D)Y0+DY1) になる。

ここで，グラフの横軸は入学試験の得点，縦軸はここで重要なのは，介入の状況が不連続に変将来の所得水準を表している。また，2本の曲Y1 とY0 の差が，精度よ化する閾値においては，線Y1およびY0は，それぞれ個人が介入を受けたく予測可能であるという点である。RDD は，ま（学校に入学した）場合の所得水準，および介入さにこのような制度上の特徴を利用して，閾値を受けなかった場合の所得水準を示している（潜における介入の因果的な効果 ( τ ) を識別して在的成果変数） 。いま，任意の入試得点の水準いる。

3）

でY1とY0の双方を観察できるのであれば，その2.1 RDD のメリットとデメリット

差 (Y1-Y0) がこの学校への入学が将来の所得水準に及ぼす因果的な効果であるといえる。しか図1からもわかるとおり，RDD によって因果しながら，個人が実際に経験するのは，介入をY0 およびY1 がX=cに効果を識別するためには，受けた状態か受けない状態のいずれか一方でおいて連続である必要がある（Hahn, Todd andあるため，実際に観察可能なのはY0もしくはY1。Lee（2008）は，対象者
Van der Klaauw, 2001）のいずれか一方に限られる。この入学試験のがXを完全にはコントロールできない場合，
上記

例では，合格点（この例では60点）を下回ったX=cの近傍におけの連続性の仮定が満たされ，受験生については入学しなかった場合の所得る介入の有無は，局所的な無作為割り当て（local水準 (Y0) のみが，合格点を上回った受験生につrandomization）とみなせることを示した。こいては入学した場合の所得水準 (Y1) のみが観察の結果は，RDD が典型的な無作為割り当て実験

7所得水準（成果変数，Y）
ᡤᚓỈ‽㸦ᡂᯝኚᩘ㸪Y㸧

65ܻ ൌ ͳ െ ‫ܻ ܦ‬଴ ൅ ‫ܻܦ‬ଵ

4ܻଵ

3߬2ܻ଴

1002060 ൌ ܿ4060
ධヨᚓⅬ㸦๭ᙜኚᩘ㸪X㸧
入試得点（割当変数，X）
図 1 RDD による因果推論のイメージ

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100

3.1 図による分析（Randomized Controlled Trial, RCT）と同等の内的妥当性を持つことを意味しており，
RDD の前節でみた通り，RDD による分析においては，大きな利点といえる（Lee and Lemieux, 2010）。

割当変数の閾値における成果変数の不連続的

また，あとで説明する通り，こうした仮定が満な変化を計測することが目的となる。このたたされるか否かをチェックするために，複数のめの第一ステップとしては，実際のデータを用統計的な手法が提案されている。

いて図1と対応するような作図を行い，割当変X=cの閾値一方で，RDD を用いた分析では，数と成果変数の関係性を視覚的に確認するこにおける因果的な効果のみが明らかになるため，とが重要である。これには，閾値の左右それぞ

この結果を異なる制度や母集団に適用するこ

れで割当変数の水準によってデータを分割し，とが難しいという問題も指摘される（外的妥当

分割された各区間における成果変数の平均を性）4）。具体的に，図1に示した入学試験の例でプロットする方法が採られることが多い。図2

は，合格点が60点である場合の入学の因果的なは，選挙における現職効果の検討を行った Lee効果は識別可能であるものの，合格点を大きく（2008）の分析データを用いた作図例である6）。

変化させた場合の因果効果（例えば合格点が80

図の横軸は割当変数（前回の選挙における対点であるような場合のY1 とY0 の差）は，追加的立候補との得票率の差），縦軸は成果変数（次のな分析上の仮定なしには識別できない。

選挙における得票率）であり，各プロットは区間ごとに計算された成果変数の平均値になっ2.2 Sharp RDD と Fuzzy RDDている7）。また，両者の関係性を把握しやすく

ここまでの説明では，介入の有無が閾値によっするために，しばしばデータにフィットする回て完全に決定される（閾値の前後で介入の確率帰曲線も追加される。図2からは，割当変数のが0から1に不連続に変化する）ことを前提に

閾値 (X=0) において成果変数が不連続的に変化議論を行ってきた。しかしながら，実際の制度しており，現職効果が存在することが分かる。

においては，介入の有無は個人の選択に一部がこのような単純な視覚化によって介入の効果ゆだねられているケースも多い。実際，入学試を確認することができるのも RDD の利点の一験の例でも，合格点に達した受験生のすべてがつである。

この学校に入学するとは限らず，介入（学校への入学）を受けるのは合格者の一部に限られる。

3.2 回帰分析

通常，前者は「シャープ（Sharp）」な RDD，後者

図2のようなグラフによる確認を踏まえて，
回は「ファジー（Fuzzy）」な RDD と呼ばれるが，帰モデルによって介入の因果的な効果を計測す

本稿では，シャープな RDD に限って議論を行う。

る方法を考える。閾値における成果変数の不連続な変化を計測するためには，割当変数の直3接的な影響を適切に取り除く必要がある。割RDDによる分析

当変数に関するモデルの特定化の誤りは，介入の因果効果の計測にバイアスをもたらす可能性がある。

RDD による分析の具体的な方法
この節では，を概観する。なお，以下では，標準的な用語法

いま，割当変数と成果変数の関係が図3のよYを成果変数，Dを介入変数，Xを割当変に従い，うに与えられるとしよう。ここで，図の実線は数と呼ぶことにする 。

両者の真の関係を表し，プロットされた点は観5）察されるデータである。このとき，分析者が割社会と調査

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得票率（t）.6.5.4.3-.20
前回選挙における対立候補との得票率の差（t-1）
各区間内のサンプルの得票率の平均.2多項式近似（2 次）

図 2 割当変数と成果変数の関係

Lee（2008, Figure 4a ）の筆者による再現

ᡂᯝኚᩘ (Y)成果変数(Y)‫ܣ‬߬‫ܤ‬๭ᙜኚᩘ
割当変数(X)(X)

図 3 関数形の特定化の誤りとバイアス

当変数と成果変数の間に（誤って）線形関係を

このような問題に対して，初期の RDD による仮定して分析すると（図の点線），このモデルに分析では，割当変数に関してできるだけフレキ基づく因果効果の推計結果（図の AB）は，真のシブルな関数形を特定化することで対処してき効果 ( τ ) を過大に推計してしまうことになる。

た。典型的には，閾値の左右それぞれで割当変社会と調査

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数の影響を適当な多項式でコントロールしたう

局所線形回帰モデルの推計に当たっては，分えで，閾値を超えたことを示すダミー変数を導析に用いるデータの範囲を示すh（バンド幅と入する方法が考えられる。

呼ばれる）をどのように選ぶかが問題となる。

𝐾𝐾𝑙𝑙

一般的なノンパラメトリック回帰でよく知られ𝐾𝐾𝑟𝑟（1）

𝑌𝑌𝑖𝑖 = 𝜏𝜏 ⋅ 𝐷𝐷𝑖𝑖 + ∑ 𝛽𝛽𝑘𝑘𝑙𝑙 ⋅ (1 − 𝐷𝐷𝑖𝑖 ) ⋅ (𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑐𝑐)𝑘𝑘 + ∑ 𝛽𝛽𝑗𝑗𝑟𝑟 ⋅ 𝐷𝐷𝑖𝑖 ⋅ (𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑐𝑐)𝑗𝑗 + 𝜀𝜀𝑖𝑖
𝑘𝑘=1
𝑗𝑗=1

hの選択にはトレードオフが存在する。
るように，hを小さく取るほど，いま，（2）および（3）式のDi はXi ≥ cであれば1 ，ここで，そうでなければ線形の特定化が，真の関係のよい近似になるた0を取るようなダミー変数である。
（1）式の右め，因果効果の推計におけるバイアスを小さく

辺第2項および第3項では，閾値の左側および右hを小さく取る抑えることができる。一方で，K次側における割当変数の影響を，それぞれK ，ほどサンプルサイズは減少するため，因果効果のの多項式によってコントロールしている。いま，推定値の分散は増加する。

lr

閾値ではこれらの項はゼロになる (Xi-c=0) ため，実際の分析においては，理論的な最適バンド第1項の係数τが閾値における成果変数の不連幅に基づく決定（plug-in method）や実際の続な変化をとらえることになる。

データを用いた交差検証（cross-validation）に

しかしながら，（1）式によるτの推定は，基づく決定などがしばしば用いられる。前者

閾値から遠く離れた観測値による影響を受けは，全ての変数の分布に依存する最適なバンドてしまうため，近年では局所線形回帰（local幅関数を導出したうえで，データから必要な要linear regression）と呼ばれる代替的な手法が素を推計するという方法である。後者は，平均用いられることが多い（Hahn, Todd and van

二乗誤差を最小化するような交差検証（cross-der Klaauw, 2001） 。最も基本的なモデルでは，validation）による方法である。

8）

割当変数の値が閾値の左右それぞれhに入るサ
3.3 モデルの特定化のチェック

ンプルのみを用いて，以下の (2) および (3) 式を最小化するような推計を行う 。

RDD によって意味のある介入の因果効果を2（2） （2） されている必要がある。例えば，割当変数が操9）測定するためには，いくつかの前提条件が満た
min𝛼𝛼𝑙𝑙 ,𝛽𝛽𝑙𝑙

min𝛼𝛼𝑟𝑟 ,𝛽𝛽𝑟𝑟∑(𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝛼𝛼𝑙𝑙 − 𝛽𝛽𝑙𝑙 (𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑐𝑐))∑(𝑌𝑌𝑖𝑖 − 𝛼𝛼𝑟𝑟 − 𝛽𝛽𝑟𝑟 (𝑋𝑋𝑖𝑖 − 𝑐𝑐))

𝑖𝑖:𝑐𝑐−ℎ<𝑋𝑋𝑖𝑖 <𝑐𝑐

𝑖𝑖:𝑐𝑐≤𝑋𝑋𝑖𝑖 <𝑐𝑐+ℎ

作可能である場合，閾値の前後で異質なサンプ
2

RDD による分（3） （3） ルを比較している可能性が高く，析は誤った結果を導く可能性がある。
ここでは，ここで，（2）式は閾値の左側，（3）式は右側RDD におけるモデル特定化のチェックについて，のデータを用いた局所線形回帰モデルとなっ代表的なものを取り上げる。ている。これは，割当変数の値が閾値に近い（1）共変量や疑似成果変数を用いたチェック(c-h<X<c+h) サンプルのみを用いて，閾値の左右

前述の通り，RDD が前提とする理想的な状況それぞれで通常の線形回帰モデルを推計してい下では，閾値の近傍において介入が無作為に割ることに他ならない。

り当てられているとみなせる。この場合，介入いま，閾値に十分近いサンプルのみを用いるを受けたグループとそうでないグループは，よのであれば，線形回帰は（潜在的には非線形なく似た特性を持つことが期待される。
そのため，関係となりうる）真の関係のよい近似になる 。

多くの実証分析では，観察可能な共変量を利用（2）および（3）式から，介入の因果的効果は，し，閾値の前後での平均値の比較や，3.1および（4）3.2節で議論した方法をこれらの共変量に対し

10）𝜏𝜏̂ = 𝛼𝛼̂𝑟𝑟 − 𝛼𝛼̂𝑙𝑙 として求められる11）。
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96Commentaryて適用することで，局所的な無作為割り当ての選択に関する感度分析が実施されることが多い。

仮定をチェックしている。これと関連して，成また，図3で示した通り，割当変数と成果変数の果変数に影響を与えうる（割当変数以外の）共間に非線形な関係がある場合には，特定化の誤変量を追加的な説明変数として加え，因果効果りに伴うバイアスが懸念されるため，バンド幅の推計結果に違いが生じるかを確認するといの選択と合わせて割当変数の特定化のチェッうものもある。理想的な状況では，他の共変量ク（例えば，2次，3次の項を考慮するなど）も併の追加は結果に大きな影響を与えないことがせて行うことが望ましい。

予想される。
また，介入によって直接の影響は受けないと4考えられる疑似成果変数（pseudo outcome）を用いたチェックもしばしば行われる。具体まとめ

的には，介入に先立って決定している変数など

本稿では，近年応用が進んでいる回帰不連続が疑似成果変数として用いられる。閾値におデザインによる実証分析の基本的な考え方とそいてこれらの変数が不連続に変化する場合，割の応用法について概観した。本稿で扱うこと

当変数の操作に伴う自己選択の問題や，興味ののできなかった代表的な論点としては，例えばある介入以外に何らかの構造的な変化が生じ次のようなものがある13）。ている可能性などが疑われる。

第一に，多くの実際の制度では，介入の割り（2）割当変数の分布によるチェック

当ては必ずしも割当変数のみによっては決ま

前述の方法は，疑似実験的な枠組みに基づくらず，ファジーな RDD の枠組みが必要となる場他の手法（差分の差分法やマッチング法など）合がある。ファジーな RDD に基づく分析も，基でも広く用いられるものであるが，より RDD に本的な考え方はシャープな RDD と同様である

特有の手法として，割当変数の分布に着目したが，推計される因果効果は閾値を超えることでものがある。これは，割当変数の分布が閾値の介入の有無を変化させるようなサンプルに対し前後で不連続に変化していないかを確認するてのもの（intention to treat）である点に注意ものである。いま，割当変数の分布が閾値の前が必要となる。

後で不連続である場合，割当変数が意図的に操第二に，介入の有無を決定する割当変数が複作されている可能性が強く疑われる。分析に数存在するケースが考えられる。具体例とし当たっては，単純なヒストグラムによる視覚的ては，入学試験の合否が複数の科目の試験の結な確認のほか，McCrary（2008）の密度検定な果によって決まるケースがそれにあたる。
いま，どが用いられる 。

単純に合計点によって合否が決まるのであれば，（3）回帰モデルの特定化に関するチェック

これを割当変数として考えればよいが，科目ご

12）

上記の RDD による分析の前提となる仮定にとに合格最低点が設定されているようなケーついてのチェックに加え，実際の分析に当たっスでは，これまでの議論を単純に適用することては，一般的な回帰モデルの特定化に関するはできない。

チェックも必要となる。例えば，局所線形回帰第三に，RDD が対象とするような閾値によっモデルの推計に当たっては，前節で紹介した手て介入が決定される状況で，いくつかの関連す法のいずれかを用いてバンド幅を決定することる手法が提案されている。回帰ねじれデザインとなるが，実際の分析では，複数の異なるバンド（RKD：Regression Kink Design）と呼ばれる手幅に基づく結果を報告することで，バンド幅の法は，閾値の前後で（連続変数としての）介入社会と調査

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の程度が不連続に変化する状況で用いられる。ている。

例えば，所得税などの税制では，ある（所得水準

本稿で見てきた通り，RDD は割当変数の閾値の）閾値を境に，適用される税率が不連続に変によって介入が決定されるような特定の設定化する。RKD では，こうした制度上の特徴を利の下で，因果効果を計測するための有力なツー用して，介入の因果効果の識別を行う。また，ルとなっている。上記でみたような拡張まで

集積分析（bunching analysis）では，割当変数含めると，RDD とそれに関連する手法がカバーが操作可能であるような状況下で，その分布がする範囲はかなり広く，今後より一層の応用研

閾値の前後で不連続に変化することを利用し究が進むことが期待される。て，介入の因果効果を識別することが検討され

注

1）統計学や心理学などの分野における RDD の利Cook（2008）
用とその歴史的な経緯については，による解説を参照されたい。

式を用いた（1）式に基づく推計のパフォーマンスが悪いことを指摘している。

9）（2）および（3）式では，単純化のために閾値の左右 h に入るサンプルを全て同じ重み付けで推計に。
用いるケースを想定している（rectangular kernel）
より一般には，閾値からの距離に応じて重みづけを変えることも可能であるが，通常こうした選択は結果に大きな影響を与えないことが期待される（Imbens and Lemieux, 2008）。

2）日本語による RDD の入門的な解説としては，
安藤（2015）なども参考になる。
3）ここでの説明は，経済学分野における標準的Rubin Causalな統計的因果推論の枠組みである，Model（RCM）の考え方に基づいている。RCMに関するより一般的な解説については，例えばDiNardo and Lee（2011）などを参照されたい。

10）ただし，後述する通り，実際の分析においては(Xi-c) に関するより高次の項を説明変数に追加し4）より正確には，RDD によって識別される因果効果は，閾値によって介入の有無が左右される可能性がある個人の因果効果の重み付き平均として解。
釈できる（Lee and Lemieux, 2010）

た分析を行い，結果の頑健性をチェックすることが望ましい。また，（2）および（3）式の推計に当たっては，割当変数以外の成果変数に影響を与える共変量を説明変数に追加することも可能である。こうした追加的な説明変数は，推計精度の向上に役立つ可能性がある一方，モデルの特定化が正しいのであれば，推計される因果効果には大きな影響を与えないことが期待される。

5）割当変数は assignment variable の日本語訳であscore，forcing
るが，その他にも文献によって index，running variable などと呼ばれることがあvariable，る。

6）デ ー タセ ッ ト は，http://economics.mit.edu/faculty/angrist/data1/mhe から入手可能である。
Stata の rdplot コマンドをなお，作図に当たっては，用いた。以降で用いる Stata のプログラム（ado ファ
https://sites.google.com/site/イル ）に つ い て は，rdpackages/ から導入が可能である。

11）Stata を用いた局所線形回帰モデルによる推計は，rdrobust コマンドによって実行可能である。これは，（2）および（3）式で示した基本的なモデルに加え，7）こうした作図を行う場合には，区間の幅（bin）

12）後者については，rddensity コマンドによってStata でも実行することができる。

を事前に設定する必要があるが，そのための統計的な方法および実際上の選択方法については Leeand Lemieux（2010）などを参考のこと。

13）個別の論点に関する詳細については，例えばChoi and Lee（2017）などを参考にされたい。

8）Gelman and Imbens（2018）は，特に高次の多項社会と調査異なるカーネル関数を用いた推計や，バンド幅の決定にかかわる複数の手法の適用などにも対応している。

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文献

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