§7開基 (可算公理，位相の大小、可分)問題 7-1 [開基]
R 上の通常の距離位相において，任意の開区間 (a, b) がその開基になることを示せ。
問題 7-2 [開基]
位相空間 (X, T) の幾つかの開集合からなる集合族 β が (X, T) の開基となるためには，任意の開集合 Gに対して βG ⊂ β が存在して、G = ∪B∈βG B となることが必要十分条件であることを示せ．
問題 7-3 [開基]n 次元ユークリッド空間 Rn において，有理点（座標が全て有理数となる点）の 1/m 近傍の全体

β = {U ((r1 , · · · , rn ); 1/m)|ri ∈ Q, i = 1, · · · , n, m ∈ N}
は Rn の開基であることを示せ．
問題 7-4 [準開基]
実数直線 R において，部分集合の族

L = {(a, ∞), (−∞, b)|a, b ∈ Q}
は R を生成することを示せ。
問題 7-5 [準開基]
ゾルゲンフライ直線 S において，部分集合の族

L = {[a, ∞), (−∞, b)|a, b ∈ Q}
は S を生成することを示せ．
問題 7-6 [ゾルゲンフライ直線への連続写像]
距離空間 R からゾルゲンフライ直線への連続写像は定値写像であることを示せ．
問題 7-7 [生成される位相]
X = {1, 2, 3, 4}, T = {{1, 2}, {2, 3}, 4} とする．T によって生成される集合 X の位相を求めよ．
問題 7-8 [ゾルゲンフライ直線]
下限位相（右半開区間位相）をゾルゲンフライ直線という．ゾルゲンフライ直線に近傍系を導入し、その集合族が近傍系であることを示せ．

問題 7-9 [上限位相と距離位相]以下の問題それぞれにこたえよ．

(1) ゾルゲンフライ直線において，(a, b) が開集合であることを示せ．
(2) 通常の距離位相 (R, Od ) において，(a, b] が開集合にならないことを示せ．

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問題 7-10 [上限位相と下限位相]
実数上の上限位相と下限位相は同相であることを示せ．
問題 7-11 [生成される位相]
X = Z, L = {{[3n − 1, ∞) ∩ X|n ∈ Z}, {(−∞, 2n] ∩ X|n ∈ Z}} とする．L によって生成される X 上の位相は離散位相か？
問題 7-12 [ゾルゲンフライ直線]
ゾルゲンフライ直線は離散直線よりは小さいことを示せ．
問題 7-13 [位相の大きさ]
ある位相空間上の連続関数 f : X → Y がある．X, Y の位相をそれぞれ大きくするか，小さくするかどちらの場合において f の連続性が保たれるか？

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問題 7-14 [開基]
β を集合 X の部分集合の族とする．β がある位相空間の開基となるための必要十分条件は，(1) X は β に属する集合の和となる．
(2) β に属する任意の 2 つの集合の共通部分は，β に属する集合の和となる．
を満たすことであることを示せ．
問題 7-15 [連続写像]
位相空間 (X, OX ), (Y, OY ) に対して写像 f : X → Y は次の条件と同値であることを示せ．

(1) f は連続写像である．
(2) A ⊂ X に対し，f (Ā) ⊂ f (A)．
(3) Y の一つの開基 β に関する各開集合 W に対し，f −1 (W ) は X の開集合である．
問題 7-16 [ゾルゲンフライ直線]
上限位相より大きく、下限位相より大きい位相は離散位相だけであることを示せ．
問題 7-17 [離散空間上の連続関数]
離散空間 (X, O) 上の任意の関数 X → R は連続であることを示せ．また，逆に任意の関数 X → R が連続なら，(X, O) は離散空間であることを示せ．
問題 7-18 [距離空間より強い位相空間]
距離空間より大きい位相は距離空間であるか？
問題 7-19 [閉集合の和集合の連続性]
f : X → X ′ を位相空間 (X, O) と (X ′ , O′ ) の間の写像とし，A, B を位相空間 (X, O) 上の閉集合とし，
X = A ∪ B とする．fA : A → X ′ と fB : B → X ′ を制限写像とする．このとき，以下を示せ．

f : (X, O) → (X ′ , O′ ) が連続 ⇔ fA : (A, OA ) → (X ′ , O′ ) と fB : (B, OB ) → (X ′ , O′ ) が両方連続
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問題 7-20 [R 上の開基]
R 上に存在する位相において，{(a, b)|a, b ∈ R} ∪ Q を開基とする位相は離散位相か？
問題 7-21 [R 上の開基]
Ai (i = 1, ..., n) は位相空間 X の閉集合で，X = ∪i (Ai ) とする．

G は X の開集合 ⇔ G ∩ Ai が部分空間 Ai の開集合 (1 ≤ i ≤ n)を証明せよ．
問題 7-22 [閉集合のための条件]
X を位相空間，A ⊂ X とするとき，Ā − A が閉集合となるためには，A = G ∩ F となる開集合 G と閉集合 F が存在することが必要十分であることを証明せよ．

問題 7-23 [連続にする像上の最大の位相]
位相空間 (X, T ) から集合 Y への写像 f : X → Y が与えられたとき，次のように定義された Tf は Y 上の位相となる．このとき，Tf は f を連続にする Y の位相のうちで最も細かいものである．

Tf := {V ⊂ Y |f −1 (V ) ∈ T }問題 7-24 [p-進距離]問題 2-14 の距離によって定義された位相は Z 上の通常の距離位相と同値でないことを示せ．またこの位相は Uα (n) = {n + λpα |λ ∈ Z} を開基としてできる Z 上の位相空間と同じであることを示せ．
問題 7-25 [稠密部分集合上で一致する関数]
f, g を位相空間 X 上の値が実数となる連続関数，D を X において稠密な集合とする．D の各点において f (x) = g(x) が成り立つならば，X のすべての点に対して f (x) = g(x) が成り立つことを示せ．

問題 7-26 [ゾルゲンフライ直線]
R 上の上限位相と下限位相は普通の R 上の距離位相より大きいことを示せ．
問題 7-27 [離散位相の距離化]
離散位相は常に距離化可能であり，密着位相は一般に距離化可能でないことを示せ．

問題 7-28 [可算公理，可分]
第 2 可算公理を満足する位相空間は，第 1 可算公理を満足し，可分な位相空間であることを示せ．

問題 7-29 [可算公理，可分](Rn , Odn ) は可分な位相空間であることを示せ．
問題 7-30 [可算公理，可分]
ゾルゲンフライ直線 S は第 1 可算かつ可分であるが第 2 可算ではないことを示せ．

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問題 7-31 [問 17.6,17.5]
距離空間では可分であることと第２可算であることは同値であることをしめせ．

問題 7-32 [普遍空間]
第 2 可算公理を満たす任意の距離空間 (X, d) は [0, 1]N の部分距離空間となることを示せ．

問題 7-33 [有限補集合位相]
無限集合上の有限補集合位相を考える．

(1) 可算無限集合上の有限補集合位相は，第 1 可算であることを示せ．
(2) 非可算無限集合上の有限補集合位相は，第 1 可算ではないことを示せ．
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