Theory

Q3-1Japanese (Japan)

⽣体組織の物理（10 点）
データ: 標準⼤気圧, 𝑃0 = 1.013 × 105 Pa = 760 mmHg

Part A. ⾎液流の物理（4.5 点）
この課題では⾎管中の⾎液の流れについて２つの簡略化されたモデルを解析する。
⾎管は近似的には円筒形である。硬い円筒中の定常的で乱流がない⾮圧縮性液体の流れでは，円筒の両端の圧⼒差はΔ𝑃 =8ℓ𝜂𝑄,𝜋𝑟4(1)で与えられる。ここで，ℓ と 𝑟 はそれぞれ円筒の⻑さと半径であり，𝜂 は液体の粘性率，𝑄 は体積流量（円筒断⾯を単位時間あたりに通過する流体の体積）である。この表現を⽤いると，脈動する流れや⾎管の弾性や不規則な形状，⾎液が単純な流れではなく細胞と⾎しょうの混合である事実を考慮することなく，⾎管内の圧⼒差を正しい桁の⼤きさで与えることができる。さらに，この表現はオームの法則と同じ形式となってい8ℓ𝜂
る。体積流量は電流に，圧⼒差は電圧に，因⼦ 𝑅 = 𝜋𝑟4 は抵抗に相当する。
図１に⽰す対称的な細動脈（⼩さな動脈）ネットワークが⽣体組織の⽑細⾎管床（図右側）に⾎液を分配する例を考える。このネットワークでは，それぞれの⼆股で⾎管は同じ⼆つの⾎管に分かれる。しかし，次数の⾼い階層 (Level) の⾎管ほど細く短い。連続する階層 𝑖 と 𝑖 + 1 の間の半径と⻑さには，𝑟𝑖+1 = 𝑟𝑖 /21/3 とℓ𝑖+1 = ℓ𝑖 /21/3 の関係がある。

図１．細動脈ネットワーク

Theory

Q3-2
Japanese (Japan)

A.1

各階層 𝑖 の⼀本の⾎管中の体積流量 𝑄𝑖 を，全階層数 𝑁 ，粘性率 𝜂，最初の階層の⾎管の半径 𝑟0 と⻑さ ℓ0 ，階層 0 の細動脈の圧⼒ 𝑃0 と⽑細⾎管床の圧⼒ 𝑃cap との差 Δ𝑃 = 𝑃0 − 𝑃cap の関数として表せ。

1.3pt

A.2

階層 0 の細動脈の体積流量 𝑄0 の値を計算せよ。細動脈の半径は 6.0 × 10−5 m，⻑さは 2.0 × 10−3 m である。細動脈⼊り⼝の圧⼒は 55 mmHg である。⾎管ネットワークの階層数は 𝑁 =6 であり，30mmHg の圧⼒をもつ⽑細⾎管床につながっている。⾎液の粘性率は 𝜂 = 3.5 × 10−3 kg m−1 s−1 である。結果は，ml/h の単位で表すこと。

0.5pt

LCR 回路としての⾎管
硬い円筒⾎管の近似はいくつかの理由で不⼗分である。特に重要なのは，時間に依存する流れを取り⼊れることと，⼼臓による⾎液送り出しの周期的圧⼒変化による⾎管半径の変化を考慮することである。さらに，径の⼤きな⾎管では圧⼒変化は⾮常に⼤きいが，⼩さな⾎管では圧⼒振動の振幅は⾮常に⼩さくなり流れはほとんど時間に依存しないことが観察されている。
⼀本の弾⼒性のある⾎管中の圧⼒が増加すると，その半径が増加する。これにより，⾎管中により多くの⾎液を蓄え，圧⼒が低下したときに排出することができる。この理由により，⾎管の弾性的ふるまいは，我々の最初のモデルにコンデンサーを付け加えることでシミュレートできる。さらに，時間に依存した⾎液流量を考慮する場合は，⾎液の密度 𝜌 = 1.05 × 103 kg m−3 に⽐例した慣性を考えなくてはならない。この慣性は我々のモデルではインダクタンスとして記述される。図２は，このモデルによる⼀本の⾎管と等価な電気回路である。等価なコンデンサー容量とインダクタンスはそれぞれ
𝐶=3ℓ𝜋𝑟39ℓ𝜌と 𝐿=,2𝐸ℎ4𝜋𝑟2(2)で与えられる。ここで，ℎ は⾎管の壁の厚さ，𝐸 は動脈のヤング率（⾎管組織に圧⼒が加えられた時の⼤きさの変化の⽐率）である。ヤング率は圧⼒の単位をもち，動脈ではおおよそ 𝐸 = 0.06 MPa である。

図２．⼀本の⾎管と等価な電気回路
A.3

定常的な状態において，⾓振動数 𝜔 の流れの⾎管出⼝における圧⼒の振幅 𝑃out を， 2.0pt
⼊⼝の圧⼒振幅 𝑃in ，等価な抵抗 𝑅，インダクタンス 𝐿，容量 𝐶 の関数として求めよ。さらに，低振動数において，出⼝における圧⼒振幅が 𝑃in よりも⼩さくなる条件を，𝜂, 𝜌, 𝐸, ℎ, 𝑟, ℓ が満たす関係式として求めよ。

A.4

A.2 の⾎管ネットワーク中の細動脈が，A.3 の条件を階層によらず常に満たすような壁の厚さの最⼤値 ℎ を概算せよ。

0.7pt

Theory

Q3-3Japanese (Japan)

Part B. 腫瘍（しゅよう）の成⻑（5.5 点）腫瘍の成⻑は⾮常に複雑であり，そこでは細胞増殖や⾃然選択などの⽣物学的機構と物理が絡み合っている。
この問題では，腫瘍の成⻑を簡略化したモデルを考え，硬い腫瘍で⼀般的に⾒られる圧⼒の増加を記述する。
正常細胞が作る⽣体組織が⾮伸張性の膜で囲まれた場合を考える。このとき⽣体組織は，図３のように常に半径 𝑅 の球形に保たれている。

図３．簡略化した腫瘍
初めは⽣体組織に余分な圧⼒はかかっていないものとする。つまり，すべての位置の圧⼒は⼤気圧に等しい。
時刻 𝑡 = 0 から腫瘍が球の中⼼で成⻑を始める。成⻑するにつれて，⽣体組織の中の圧⼒は⾼まる。⼆つの⽣体組織（正常 N と腫瘍 T）は圧縮可能であり，それぞれの密度 𝜌N と 𝜌T は以下のように圧⼒に対して線形に増加する。
𝜌N = 𝜌0 (1 +𝑝),𝐾N

𝜌T = 𝜌0 (1 +𝑝),𝐾T(3)ここで，𝜌0 は初めの⽣体組織の密度であり，𝑝 は⼤気圧との圧⼒差，𝐾N , 𝐾T はそれぞれ正常組織と腫瘍の圧縮弾性率（体積弾性率）である。⼀般に，腫瘍の⽅が硬く，⾼い体積弾性率をもつ。
B.1

腫瘍が成⻑しても，正常細胞の質量は変化しない。腫瘍の体積と⽣体組織全体の体積の⽐ 𝑣 = 𝑉T /𝑉 を，腫瘍の質量 (𝑀T ) と正常細胞の質量 (𝑀N ) の⽐ 𝜇 = 𝑀T /𝑀N と体積弾性率の⽐ 𝜅 = 𝐾N /𝐾T の関数として表せ。

1.0pt

癌の治療では，化学療法や放射線療法とともに温熱療法もしばしば⽤いられる。温熱療法では，癌細胞を死滅させるために，癌細胞だけの温度を⼈間の正常体温 37 o C よりも⾼い 43 o C にする。最近，腫瘍細胞に結び付く特別なたんぱく質に包まれたカーボンナノチューブが開発された。⽣体組織を近⾚外線で照射するとナノチューブが周囲の⽣体組織より多くの近⾚外線を吸収するため，ナノチューブが結び付いた腫瘍細胞だけを加熱できる。
腫瘍と正常な細胞，および，それらを取り囲む⽣体組織が⼀定の熱伝導率 𝑘 をもつとする。つまり，この問題の配置では，半径 𝑟 の球⾯を通過する単位時間および単位⾯積あたりのエネルギーは，温度の 𝑟 についての微分を 𝑘 倍したものに等しい。ナノチューブは腫瘍中に均⼀に分配されているとし，単位体積かつ単位時間あたり 𝒫 の熱エネルギーが加えられているとする。腫瘍から⼗分に遠い位置の温度は，通常の体温に等しいと仮定せよ。

Theory

Q3-4Japanese (Japan)B.2

定常的な状態における腫瘍の中⼼の温度を，𝒫, 𝑘，⼈体の体温，および腫瘍の半径𝑅T の関数として求めよ。

B.3

半径 5.0 cm の腫瘍の中のすべての部分の腫瘍細胞の温度を 43.0 o C 以上にするた 0.5pt
めに必要な，単位体積かつ単位時間あたりのエネルギーの最⼩値 𝒫min を求めよ。
⽣体組織の熱伝導率は 𝑘 = 0.60 W K−1 m−1 である。

1.7pt

問題 A.1 に⽰した樹枝状構造の⾎管ネットワークにより腫瘍に⾎液が流れているとする。腫瘍の成⻑により圧⼒ 𝑝 が増加し，最も細い⾎管の圧⼒ 𝑃cap よりも⼤きくなるとき，⾎管の半径は微少量 𝛿𝑟 だけ⼩さくなる。
もし圧⼒が臨界値 𝑝c に到達すると最も細い⾎管は破壊され，腫瘍への⾎液の流出という危険な状況となる。
臨界値 𝑝c のときの半径減少は 𝛿𝑟c であり，圧⼒と⾎管半径の変化は以下の現象論的な関係式で表される:
𝑝𝑝𝛿𝑟𝛿𝑟− 1 = ( c − 1) (2 −)
.
𝑃cap
𝑃cap
𝛿𝑟c 𝛿𝑟c(4)腫瘍による圧⼒の増⼤で最も細い⾎管（𝑁 − 1 の階層）の半径が変わる場合を考える。
B.4

線形の範囲（𝑝 − 𝑃cap が⾮常に⼩さい）を考える。最も細い⾎管における流量の相𝑁−1 を，腫瘍の体積⽐率 𝑣 = 𝑉 /𝑉 ，および 𝐾 , 𝑁 , 𝑝 , 𝛿𝑟 , 𝑟
対的低下率 𝛿𝑄T𝑁cc 𝑁−1 , 𝑃cap
𝑄𝑁−1の関数として表せ。

2.3pt