車輪間の摩擦を考慮した ABS のゲインスケジューリング制御
2011SE131 小林大祐 2011SE231 佐藤昌弥
指導教員：陳幹
図 1 より，点 A にかかるトルクの合計を以下のようにはじめに1示す．

本研究では車輪間に生じる粘性摩擦とクーロン摩擦を省略することなくモデリング，制御器設計を行う．Anti-lockBraking System (ABS) の車速度の変動に対するロバスト性を保証し，スリップ率を 0.2 に安定させることを目的と

Fn L(sinφ − µ(λ)cosφ) = Mg + M1 + M10 + d1 ω1 (4)式 (4) より，垂直抗力 Fn は以下のように示すことができる．

する．車体角速度と車体角加速度をスケジューリングパラ

Fn =メータとする．パラメータ依存リアプノフ関数に基づくゲインスケジューリング (GS) 制御を行う．また，ロバスト

LQ 制御を用いて設計した固定ゲインと比較することにより GS 制御の有効性を検証する．

2

制御対象とモデリング2.1

モデリングと微分方程式の導出

Mg + M1 + M10 + d1 ω1L(sinφ − µ(λ)cosφ)(5)

式 (5) を式 (1)，(2) に代入して，上の車輪と下の車輪の角加速度をそれぞれ以下のように示す．

ω̇1 = (S(λ)a11 + a13 )ω1 + (S(λ)a12 + a14 )+ (S(λ)a15 + a16 )M1(6)ω̇2 = S(λ)a21 ω1 + a23 ω2 + (S(λ)a22 + a24 )+ S(λ)a25 M1

本研究で用いる ABS 実験機の簡略化したモデルを図 1に示す．上の車輪が自動車の車輪，下の車輪が路面を表している．上の車輪にかけるブレーキトルク M1 [Nm] を操作することでスリップ率 λ を目標値 0.2 に追従させる制

ただし，a11 から a16 と a21 から a25 は定数である．また，S(λ) を以下のように示すとする．

御側を設計する．上の車輪と下の車輪の角速度をそれぞれ

ω1 [rad/s]，ω2 [rad/s]，半径を r1 [m]，r2 [m]，慣性モーメ
ントを J1 [kgm2 ]，J2 [kgm2 ]，粘性摩擦係数を d1 [kgm2 /s]，d2 [kgm2 /s]，クーロン摩擦を M10 [Nm]，M20 [Nm] とする．また，上の車輪にかかる垂直抗力を Fn [N]，車輪間の摩擦係数を µ(λ)，バランスレバーにかかる重力・緩衝器
トルクを Mg [Nm]，車輪の接点とバランスレバーの回転軸の間の距離を L[m]，L と車輪の接点の法線との角度をφ[rad] とする．

(7)

S(λ) =µ(λ)
L(sinφ − µ(λ)cosφ)(8)

上の車輪の角速度は，式 (3) より以下のように示すことができる．

ω1 =r2 ω2(1 − λ)r1(9)式 (3) を時間微分することにより，次式が得られる．

λ̇ = −r1r1 ω1ω̇2
ω̇1 +r2 ω2r2 ω22(10)式 (10) に式 (6)，(7)，(9) を代入する．

1r1(− (S(λ)a12 + a14 ) + (S(λ)a22 + a24 )(1 − λ))ω2 r2r2+(−(S(λ)a11 +a13 )(1−λ)+ S(λ)(1−λ)2 a21 +a23 (1−λ))r1r11(− (S(λ)a15 + a16 ) + S(λ)(1 − λ)a25 )M1 (11)+ω2 r2λ̇ =式 (11) は非線形なので，テイラー展開を用いて平衡点(λ∗ , M1∗ ) 周りで線形近似する [1]．ただし，λ∗ と M1∗ はそれぞれスリップ率の目標値とスリップ率を目標値に維持するためのブレーキトルクである．また，b1 から b8 は定数

図 1: ABS 実験機の簡略図である．
上の車輪と下の車輪の回転運動方程式，スリップ率をそれぞれ以下のように示す．

λ̇ = (J1 ω̇1 = Fn r1 µ(λ) − d1 ω1 − M10 − M1(1)J2 ω̇2 = −Fn r2 µ(λ) − d2 ω2 − M20
r2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2(2)(3)

1 b1 S(λ∗ )2 + b2 S(λ∗ ) + b3()
ω2b7 S(λ∗ ) + b8
b4 S(λ∗ )2 + b5 S(λ∗ ) + b6+())(λ − λ∗ )b7 S(λ∗ ) + b81+(b7 S(λ∗ ) + b8 )(M1 − M1∗ )ω2(12)

2.2

状態方程式の導出

本研究では，スリップ率を目標値に追従させるためスリップ率の偏差の積分を状態変数に加える [2]．状態変数[∫]Tx(t) を x(t) =とし，入力 u(t)(λ − λ∗ )dt λ − λ∗∗を u(t) = M1 − M1 とするとき，式 (12) から状態方程式

0 b5 S(λ∗ ) + b6
0b1 S(λ∗ )Cδ = 000b4 S(λ∗ )00Ed ẋd (t) = An xd (t) + Bδ ωδ (t) + Bd u(t)Zδ (t) = Cδ xd (t) + Dδ ωδE ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)[][100E=
A=0 αω201β1 + β2 ω2][B=0α2ωδ = ∆Zδ (t)(13)][

新たな状態変数 x̃d (t) を x̃d (t) = xd (t)TẼd x̃˙ d (t) = Ãd x̃d (t) + B̃d u(t)[][ ]Ed 0BdẼd =B̃d =0 00[[]An11 An12An Bδ ∆Ãd == An21 An22Cδ
−ICδ1Cδ2β2 = b4 S(λ∗ )2 + b5 S(λ∗ ) + b6
ディスクリプタ方程式の導出

状態方程式 (13) の E 行列と B 行列には変動パラメー
タ S(λ∗ ) が含まれているので，ポリトープ表現でロバスト性を保証するために，ディスクリプタ表現を用いて変動パラメータを一つの行列にまとめる．ディスクリプタ変数]Txd (t) を xd (t) = x(t)Tλ̇]Tとすになる．

β1 = b1 S(λ∗ )2 + b2 S(λ∗ ) + b3[Zδ (t)Tるとき，線形分数変換を行なった状態方程式は以下のよう

α = b7 S(λ∗ ) + b8とするとき，ディスクリプ

3制御器設計3.1

行列ポリト−プ表現(16)Bδ1 ∆Bδ2 ∆−I]

下の車輪の角速度は常に変動している．本研究では，

タ方程式は以下のようになる．

Ed ẋd (t) = Ad xd (t) + Bd u(t) 1 0 0 00
0 1 0 00
Ed = Bd =  0 0 0 0
00 0 0 0101000100Ad = 0 β1 + β2 ω2 −αω2 α2 000−12.40b27 S(λ∗ )

このとき式 (14) と等価なシステムを次式で表す．

は以下のようになる．

2.3−(b7 S(λ∗ ) + b8 )000(14)

線形分数変換行列 Ad には，変動パラメータ S(λ∗ )2 が含まれている．

車速度 10[km/h] から 50[km/h] まで保証する．車速度V [m/s] とする．下の車輪の角速度 ω2 を用いて V はV = r2 ω2 と表せる．よって，保証する車速度の範囲は10[km/h] から 50[km/h] なので保証する角速度 ω2 の範
囲は 28[rad/s] から 140[rad/s] となる．同様に, 角加速度ω̇2 も変動している. 特別な訓練を受けていない人では、重力加速度の 5 倍の大きさ (5G) くらいが継続的にかかると気絶することもあるとされているので, 角加速度 0 から5G までを保証する. 行列ポリトープで表すと以下のようになる．

ポリトープ表現ができる形に変換するために線形分数変ω2 ∈ [ω2min ω2max ] = [28 140]

(17)

∗ 2

ω̇2 ∈ [ω̇2min ω̇2max ] = [−492 0](18)換を行う．行列 Ad を S(λ ) を含まない行列 An で表す．
行列 Ad は，

Ad = An + Bδ ∆(I − Dδ ∆)−1 Cδ

式 (17) を用いて，行列 Ãd の端点行列をそれぞれ Ãdmin ，(15)となるように ∆，An ，Bδ ，Cδ ，Dδ を定める．ただし，パラメータ依存リアプノフ関数に基づく GS 制御の設計をするために，スケジューリングパラメータが ∆ にのみ存在するように変換する．式 (15) が成立するための ∆，An ，Bδ，Cδ ，Dδ を以下のように定める．
∗∗∗∆ = diag(ω2 S(λ ) S(λ ) S(λ ))
01000100An = 0 b2 S(λ∗ ) + b3 0 2b7 b8 S(λ∗ ) + b28 
000−1




0 0 0 10 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Dδ = Bδ = 0 0 0 0
1 1 0 0
0 0 0 00 0 0 0Ãdmax のように表す．
3.2

ロバスト LQ 制御

式 (16) に対して，LQ 制御を考慮した場合の一般化制御
対象を式 (19) で与える．z(t) を評価出力，Q を状態変数に対する重み，R を入力に対する重みとする．

{Ẽd x̃˙ d (t) = Ãd x̃d (t) + B̃d u(t) + B̃dw w(t)z(t) = C̃d x̃d (t) + D̃d u(t)
[ ][]
Bw
1 0
B̃dw = 0
Bw =0 10
[ ]
[ 1]
0
21
C̃d = [Wx 0 0] D̃d =Wx = Q
R20Q ∈ Rn×n ≻ 0, R ∈ Rm×m ≻ 0(19)ディスクリプタ形式の状態フィードバックゲインを K̃dである. 式 (33),(34) の左側から X̃d (θ)T := (Pd (θ)−1 )T ,とする．状態フィードバック形式のコントローラ u(t) =右側から X̃d (θ) := Pd (θ)−1 をかける．さらに,Ỹd (θ) =K̃d xd (t) を求めるため，式 (20) の評価関数 J の最小化を

K̃d (θ)X̃d (θ) として変数変換する.

考える．

He{Ãd (θ)X̃d (θ) + B̃d Ỹd (θ)} − Ẽd X̃˙ d (θ)∫ ∞J=TT(x̃d (t) Qx̃d (t) + u(t) Ru(t))dt(20)0

行列Ẽd の構造を考慮し, リアプノフ行列X̃d と変換行列Ỹdを式 (21), (22) と与える.

[X̃d =0X22
X320X23X33][(21)[0 0 ](22)

式 (20) を最小化するためにポリトープ表現を考慮した

LMI 条件を式 (23)-(28) で与える．
minimize : γ(23)subject to : X ≻ 0(24)[]He{Ãdmin X̃d + B̃d Yd } X̃dT C̃dT + ỸdT D̃dT
≺ 0 (25)
C̃d X̃d + D̃d Ỹd−I][He{Ãdmax X̃d + B̃d Yd } X̃dT C̃dT + ỸdT D̃dT
≺ 0 (26)
C̃d X̃d + D̃d Ỹd−I][W B̃dT≻0(27)B̃d X
trace(W ) ≺ γ2(28)式 (23)-(28) の各端点を解くことにより，ディスクリプタ形式の状態フィードバックゲイン K̃d は式 (29) で与えられる．

K̃d = Ỹd X̃d−1
3.3≤0(35)

式 (31),(35) に対しシュールの補題を用いる．

X
X21X31Ỹd = [ Y+ (C̃d X̃d (θ) + D̃d Ỹd (θ))T (C̃d X̃d (θ) + D̃d Ỹd (θ))

(29)

GS 制御

TB̃dw
−1Pd (θ)

WB̃dw][=WB̃dw

TB̃dw
X̃d (θ)]≻0(36)

He{Ãd (θ)X̃d (θ) + B̃d Ỹd (θ)} − Ẽd X̃˙ d (θ)
C̃d X̃d (θ) + D̃d Ỹd (θ)]
X̃d (θ)T C̃dT + Ỹd (θ)T D̃dT ≺ 0−I(37)

行列Ẽd の構造を考慮し, リアプノフ行列X̃d (θ) と変換行列Ỹd (θ) を式 (38), (39) と与える.
[]X(θ)
00X̃d (θ) = X21 (θ) X22 (θ) X23 (θ)
X31 (θ) X32 (θ) X33 (θ)][Ỹd (θ) = Ỹ (θ) 0 0(38)(39)Ãd (θ) はスケジューリングパラメータに対してアフィンであり, Ãd (θ) から求められるリアプノフ行列X̃d (θ) と変換行列Ỹd (θ) もアフィンであるとすると, 式 (40)-(43) という制約を与えることで以下のパラメータボックス頂点

Θp (p = 1, ..., 4) で端点行列として表すことができる.
Θ1 = (θ1 , θ2 )Θ2 = (θ1 , θ2 )Θ3 = (θ1 , θ2 )Θ4 = (θ1 , θ2 )X(θ) = X0 + θ1 X1(40)X̃d (θ) = X̃d0 + θ1 X̃d1(41)パラメータ依存リアプノフ関数を扱うためにω̇2 を含むス

Y (θ) = Y0 + θ1 Y1(42)ケジューリングパラメータω2 , ω̇2 の上下界を頂点とするパỸd (θ) = Ỹd0 + θ1 Ỹd1(43)

ラメータボックスを式 (30) で与える．

式 (41) より式 (44) が導出される．

Θ = {θ = [θ1 , θ2 ]T : θi ∈ {θi , θi }}θ1 = ω2 , θ2 = ω̇2 , (i = 1, 2)

X(θ̇) − X0Ẽd X̃˙ d (θ) = 00(30)式 (16) に対して一般化制御対象を式 (19) で与える．ディスクリプタ形式の状態フィードバックゲインを K̃d (θ) とする．状態フィードバック形式のコントローラ u(t) =K̃d (θ)x(t) を求めるため，式 (20) の評価関数 ∥Gzw ∥22 の最小化を考える．評価関数 ∥Gzw ∥22 を最小化するための条
件は

0 00 0
0 0(44)

このとき Sd (θ) = diag(X(θ̇) − X0 0 0) とする．
式 (37) には Ãd (θ)X̃d (θ) が含まれている．Ãd (θ)X̃d (θ) には，変動パラメータ ω2 の二乗項が存在し，マルチアフィンとならない．式 (45) の制約を与えることにより式 (37)は LMI で解くことができる．

Tw(0)T B̃dw
Pd (θ)B̃dw w(0) < W

(31)

2(32)

trace(W ) < γであり, システムが漸近安定となる条件はÃd2 (θ)T Pd (θ) + Ẽd Ṗd (θ) + Pd (θ)T Ãd2 (θ)+ C̃2T C̃2 ≤ 0 (33)Ẽd Pd (θ) = (Ẽd Pd (θ))T ≥ 0(34)X11,1 (θ)
X21,1 (θ)
X (θ)
 31,1
X41,1 (θ)
X̃d1 (θ) = 0X61,1 (θ)
X (θ)
71,1X81,1 (θ)

X12,1 (θ)
X22,1 (θ)
X32,1 (θ)
X42,1 (θ)
0
X62,1 (θ)
X72,1 (θ)
X82,1 (θ)

00
X33,1 (θ)
X43,1 (θ)
0
X63,1 (θ)
X73,1 (θ)
X83,1 (θ)

...
...
...
...
...
...
...
...

00




X38,1 (θ)

X48,1 (θ)0
X68,1 (θ)X78,1 (θ)X88,1 (θ)(45)

式 (37) をポリトープ表現を考慮したLMIに拡張することからスリップ率は大きく変動している．また，実験結果はで, ロバスト性を保証するLMI条件は以下のようになる．

シミュレーションより停止時間が早い．

minimize : γ(46)subject to : X(Θp ) ≻ 0(47)[He{Ãd (Θp )X̃d (Θp ) + B̃d Yd (Θp )} − Sd (Θp )C̃d X̃d (Θp ) + D̃d Ỹd (Θp )]X̃d (Θp )T C̃dT + Ỹd (Θp )T D̃dT ≺ 0 (48)
−I[]
TWB̃d
≻0(49)
B̃d X(Θp )trace(W ) ≺ γ2(50)(p = 1, 2, 3, 4)(a) スリップ率(b) 車速度，車輪速度

図 3: GS 制御における実験結果とシミュレーション結果

4.3

ロバスト LQ 制御と GS 制御の実験結果の比較

このLMI条件式を解くことで,GSコントローラK̃d (θ) を導

ロバスト LQ 制御とパラメータ依存リアプノフ関数に出することができる.また, パラメータ依存リアプノフ関数

基づく GS 制御の実験結果の比較を行う．スリップ率と車に基づくGSコントローラは式 (51) で与えられる.

速度，車体速度の実験結果をそれぞれ図 4a と図 4b に示

K̃d (θ) = [Ỹ (θ)X̃(θ)−1 0 0](51)

す．図 4a より GS 制御の方が良い応答であることが確認できる．

シミュレーションと実験

4

シミュレーションを行う際に用いた重み行列 Q，R を以下に示す．車速度の初期速度は 50[km/h] とする．

[1Q=04.1]
0， R = 0.0550

ロバスト LQ 制御におけるシミュレーションと実験(a) スリップ率

スリップ率と車速度，車体速度の実験結果およびシミュ

図 4: ロバスト LQ 制御と GS 制御の実験結果の比較

レーション結果をそれぞれ図 2a と図 2b に示す．シミュ
レーションにおいて，スリップ率は目標値 0.2 に追従して(b) 車速度，車輪速度5おわりにいる．実験結果において，スリップ率は振動的だが目標値

本研究では，車輪間に生じる粘性摩擦およびクーロン摩0.2 に追従している．1.4[s] からスリップ率は大きく変動擦を考慮したモデリング，ロバスト LQ 制御とパラメーしている．また，実験結果はシミュレーションより停止時タ依存リアプノフ関数に基づく GS 制御の設計を行い，シ間が早い．

ミュレーションおよび実験による検証を行った．また，ロ
バスト LQ 制御と GS 制御の実験結果を比較することにより，GS 制御の有効性を確認した．しかし，両者ともシミュレーションと実験結果は停止時間が異なり，スリップ率は低速域で大きく変動してしまう．これは，システム同定の精度が低いことが原因であると考えられる．今後の課題として，低速域でのスリップ率の振動を抑えること，システム同定の改善を行うことが挙げられる．

(a) スリップ率(b) 車速度，車輪速度

図 2: ロバスト LQ 制御における実験結果とシミュレー
ション結果

4.2

GS 制御におけるシミュレーションと実験

スリップ率と車速度，車体速度の実験結果およびシミュレーション結果をそれぞれ図 3a と図 3b に示す．シミュ
レーションにおいて，スリップ率は目標値 0.2 に追従している．実験結果において，はじめはオーバーシュートが見られるがスリップ率は 0.2 に安定している．しかし，1.4[s]参考文献[1] Tor A. Johansen, Idar Petersen, Jens Kalkkuhl andJens Ldemann: Gain-scheduled wheel slip control
in automotive brake systems. IEEE Trasaction on
Control System Technology, 2003
[2] Idar Petersen, Tor A. Johansen, Jens Kalkkuhl andJens Ludemann: Wheel slip control in ABS brakes
using gain scheduled constrained LQR. EuropeanControl Conference, 2001