線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 12 回（’14 年 1 月 15 日：Keywords · · · 実対称行列の対角化、上三角化）[対称行列の対角化]・・・対称行列は直交行列によって対角化できる．
[エルミート行列の対角化]・
・・エルミート行列はユニタリー行列によって対角化できる．
[上三角化]・・・任意の正方行列 A に対してある正則行列 P があって、P−1 AP は上三角行列となること．
[随伴変換]・・・計量ベクトル空間 (V, (·, ·))、(W, (·, ·)) とする． f ∗ : W → V が線形写像 f : V → W の随伴変換であるとは、任意の v, w ∈ V において ( f (v), w) = (v, f (w)) た成り立つ写像とする．
[対称（エルミート）変換]・・・実（複素）線形写像 f : V → V に対して、 f ∗ = f が成り立つとき対称（エルミート）変換という．

[直交変換]・・・実 (複素) 線形写像 f : V → V に対して、 f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f = 1V が成り立つとき f を直交（ユニタリー）変換という．
[ユニタリー変換]・・・ f ◦ f ∗ = 1V となる線形写像．ここで、1V は V 上の恒等写像．
[岩澤分解]・・・シュミットの直交化を応用することで、任意の正則行列 A はあるユニタリー行列 P と上三角行列 B を用いて A = PB とかける．

A-12-1. [対称行列の対角化]
次の対称行列を直交行列によって対角化せよ．

1 1(1) 
1 1
1 3(2) 
3 1
1 6(3) 6 61 1 1(4) 1 1 1
1 1 1

 1 −1 0 (5) −1 0 −1
0 −1 1 1 −1 1 (6) −1 3 −1
1 −1 1

A-12-2. [上三角化]
次の行列を直交行列によって上三角化せよ．


1 −4(1) 1 −3−1 1 1 (2)  4 1 −2


0 2 1

———————————————————————————————————————————————

B-12-1. [直交行列による対角化][易]次の実行列
 1 2 −1

 2 −2 2 
−1 2 1を直交行列によって対角化せよ．

B-12-2. [直交行列][易]A, B が直交行列であれば、AB も直交行列であることを示せ．

B-12-3. [ユニタリー行列の固有値][中]ユニタリー行列の固有値は全て長さが 1 の複素数であることを示せ．

B-12-4. [直交行列の固有値][中]実直交行列のある固有値に対する固有ベクトルが実ベクトルであるとするとその固有値は ±1であることを示せ．

B-12-5. [直交行列によって対角化できるための条件][易]
実係数の正方行列 A が直交行列によって対角化できるための必要十分条件は A が対称行列であることを示せ．

B-12-6. [計量を保つ写像][中]実計量ベクトル空間 V において、全ての v, w ∈ V に対して、線形写像 f : V → V が ( f (v), f (w)) =(v, w) であることと、全ての v ∈ V に対して ( f (v), f (v)) = (v, v) が成り立つことは同値である
ことを示せ．

B-12-7. [計量を保つ写像][中]線形写像 f : V → V が計量を保つ写像であれば同型写像であることを示せ．

B-12-8. [直交行列][中]A が直交行列であることと、標準計量ベクトル空間の間の写像 LA : Rn → Rn が計量を保つつまり、(Av, Aw) = (v, w) を示せ．写像であることは同値であることを示せ．

B-12-9. [直交変換][中]{v1 , · · · , vn } が正規直交基底であるとする．このとき f : V → V が直交変換であることと、{ f (v1 ), · · · , f (vn )} が正規直交基底であることは同値であることを示せ．

B-12-10. [直交行列による上三角化][易]次の行列を直交行列を用いて上三角化せよ．

 1 1 (1) −1 −3 1 0 0 (2)  2 3 4 

−2 −2 −3

B-12-11. [ユニタリー行列による対角化][中]次のエルミート行列をユニタリー行列によって対角化せよ．


 1 i (1) −i 3

 2

1+2i

(2) 
1 − 2i6 ———————————————————————————————————————————————

C-12-1. [2 × 2 直交行列]
cos θ − sin θcos θ sin θ  もしくは A = 
2 × 2 の直交行列 A はある実数 θ を用いて、A = sin θ cos θ sin θ − cos θが成り立つことを示せ．
θ
前者は θ 回転、後者は傾き の直線に関する線対称移動を表す．
2(Hint:A = (a1 a2 ) を適当に文字でおくことでその関係式を求め、a1 , a2 を R2 上に図示して考えよ．)

C-12-2. [直交行列による対角化]√ 

 20 − 2

行列 A を  0
10  とおく．このとき、以下の問題に答えよ．
 √− 2 03

(1) A の固有値を求めよ．
(2) 固有空間の基底を求めよ．
(3) 直交行列によって対角化せよ．


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第 10 回の略解

(C-10-1) (1) 対称行列であるので対角化可能．(2) 固有多項式 ΦA (t) = (t−1)(t2 −2) であり、固有値は相異なる
3 つなので対

0−21 
3 2

=v
∈
R|v
=0角化可能．(3) 固有多項式は ΦA (t)) = (t−1) t であり、{0, 1} である．ここで、固有空間は V1 = 02−1

0 2 −1    ⟨ −1 ⟩⟨ 1 0 ⟩−1 −2 1     
 03  1  である．つまり、dim(R3 ) = 3 = 2 + 1 = dim(V1 ) +0 , 1 であり、V0 = v
=0=v
∈
R|

1−1
    






02 −2102
dim(V0 ) であり、A は対角化可能．(C-10-2) (1) 固有多項式は ΦA (t) = (t−2)(t−1)(t+1) であり、固有値は2, ±1 である．(2)
0 2 −1
3 −1
=v∈R|v=0固有値は相異なるので対角化可能であり、P AP が対角行列となる行列を求める．V2 = 030

0 −2 1

 
 
 


−3 2 −1
−1 2 −1⟨ −1 ⟩⟨ −1 ⟩⟨ 1 ⟩









 
 
 = −1 ゆえに、P =v ∈ R3 |  0=  0  , V−1 = v ∈ R3 |  00 , V1 = 00  v = 0
20  v = 0   

10 −2 −2
10 −2 002 0 0 
1 −1 −1

0 0 −1 とおくと、P−1 AP = 0 1 0  となる．


0 0 −10 11