Commentary

コウホート分析の古今

一般化線形混合モデルとしてのコウホートモデル
中村 隆
情報・システム研究機構 統計数理研究所 名誉教授

1

計数理研究所国民性調査委員会 , 1982）の第Ⅳコウホート分析

章§2.1「歳 ，世代 ，時勢 ——コホート分析」で ，西平は第6次調査までに典型的な変化をした

コウホート分析（cohort analysis）は ，継続調査項目の推移を図示して ，年齢･時勢･世代調査（反復横断調査）から得られる何らかの要因と国民性の変化の関係について論じてい調査項目の年齢区分×調査時点形式の集計表る。筆者の最初のベイズ型コウホートモデルのデータから ，年齢･時代･コウホート（世代）効論文（中村 , 1982）もこの頃である。

果を分離しようとする統計的方法である。32

効果がうまく分離できれば ，社会の変化の構造に関する知見が得られ ，将来の予測に資することができる（Ryder, 1965; Fienberg andコホートとコウホート

語源的には ，ローマ
コウホート（cohort）は ，時代の軍団の1単位のことであり ，転じて人口。
Mason, 1985; Glenn, 2005）
しかしながらコウホート分析には ，何らかの学，疫学 ，医学 ，政治学 ，社会学等の分野で ，人生付加条件を与えなければ3効果を分離できなのある契機（出生 ，就職 ，結婚など）を同時期にいという識別問題が存在し ，付加条件の与え経験した集団のことを指すようになった。何方とその評価を巡って長年にわたり議論が続も冠さなければ同時出生集団（birth cohort）けられてきた。近年の成書に ，Yang and Landを意味し，例えば団塊世代というときの世代と（2013），OʼBrien（2015），Fu（2018）がある。

ほぼ同義である。

コウホート分析の識別問題を筆者が知った

ところで cohort の音訳である。1980年当のは院生の頃に読んだ安田（1969）によって時は「コーホート」「コホート」が一般的であっであったが ，後に統計数理研究所に入ってコウた。成書や辞典における1966～2001年にかホート分析の方法の研究に携わるとは思ってけてのこれらの出現について福田（2002）がもいなかった。ちなみに ，安田（1969, pp.271-まとめている（重松（2002）も参照）。
「コホーBlalock（1967）が挙げたコウホート分273）に，ト」はないかなと考え，筆者は「コウホート」で析も含む4つの社会学的な識別問題が紹介さ出発することにした（中村 , 1982）。福田がまれている。

とめた表の期間内ではあるものの残念ながら筆者が統計数理研究所に入所したのは1979「コウホート」は載っていない（1998年の行に年，「日本人の国民性調査」の第6次全国調査「コゥホート」がある）。ちなみに2018年某日，（1978年）が実施されてから半年後である。集Google 検索すると，「コホート」約465,000件，計作業を手伝いながらコウホート分析に取り「コーホート」約62,900件，「コウホート」約3,390組むことになった。
『第4日本人の国民性』（統件と出る。

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Commentary3

パラメータたち標準コウホート表，，，をベクトルに配したものをそれぞれ ， ， ， とし，， ， ， に対応するデザイン行列をそれぞれ

継続調査から得られる年齢区分×調査時点， ， ， とすると ，モデル（2）は ，形式の集計表は，コウホート分析の観点から「コウホート表」と呼ばれる。年齢区分幅と調査と書くことができる。クロネッカ積と直和（付実施間隔が等しい場合（たとえば，5歳幅と5年録 B）を用いれば ，を単位行列として ，間隔）は特に「標準コウホート表」と言う。標準コウホート表の具体的な説明は本稿では省略する（たとえば ，中村（1982, 2018）にある）。と与えられる。ここで， には（A1）の拡張反標準以外の表は「一般コウホート表」と呼ば単位行列と（A2）のシフト行列を使っれ，年齢区分幅が調査実施間隔と一致しなかっている。デザイン行列のより具体的な表示はたり ，調査実施間隔が不規則だったり ，年齢区中村（2005）を ， の新しい表現は坂口･中村

分幅が調査年によって変化したりする場合に（2019）を参照。

得られる。コウホートモデルの対象は標準表デー

3要因のデザイン行列はカテゴリカル変数にタに限らないが ，本稿では以下 ，標準コウホーついてのもので ，各行のどこかに1が立ち ，横ト表を想定する。

方向に足せば1だから ，さて ，標準表データについて特徴的なことは ，年齢区分数を ，調査時点数を とするとなっている。このため ，とき ，表に自然に現れるコウホート区分数がれぞれ適当なゼロ和制約を満たすよう基準化，はそしておく。たとえば ，となることである。また ，第 調査時点の第 年齢区分（，セルと呼ぶ）が第コウホート区分に対応し ，である（ここで ，であり ，効果パラメータの和である）。という関係（「出生年＝調査年－年齢」のイ5ンデックス版）があることである。この関係が正にコウホート分析における識別問題の源泉である。

4

さて ，適当な次元の（A3）のインデックスベ
クトル を各デザイン行列に右からかけると ，コウホートモデル

標準コウホート表におけるコウホート分析における識別問題

また ，セルの何らか集計項目の期待値をリンク関数で変換したを，コウホートモデルは次のように分解する。
であるから（最後のところで（A4）を使った），（B1）より ，ここで ， は総平均効果 ， ， ， はそれぞれ年齢 ，時代 ，コウホート効果である。

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して傾きとなるダガーの組を探したいということになる。
未知の真値に対して ，を考えれば ，その第 要素は ，と得られ ，結局 ，である。階差をとると ，となることがわかる。これと ，インデックス間の関係（1）によるとを ，プラスマイナスの対応も含めて見比べてほしい。
さらに，中心化したインデックスベクトル（A5）を代わりに用いると ，であり ，について平方和を考えると ，となることが示せる。
つづけて，下付ダガー（ ）の3効果のパラメータを導入し ，，となる。他の2効果についても同様の平方和であるが ，任意の について ，（6）より ，を考え ，3つの平方和の和（ の2次関数となる）と お く。

であれば，，を最小にすれば ，となる真値の組が得られだろうと期待できる。

3効果の平方和に対する重みを別々にし（ダとなり ，無数のダガーパラメータの組が（3）と同じ を与えることがわかる。逆に見れば，ある に対して無数のガーを省いて），への分解があることを示している。これが「コウホート分析における識別問題」である。

6

パラメータの漸進的変化の条件とするのが，「パラメータの漸進的変化の条件」

ダガーの組（7）をあらためて考えてみる。
たとえばベクトルの 個の要素は切片 0 ，傾き の直線上に並ぶから ，未知の真値の組（隣り合うパラメータの1次階差の重み付き2乗和を最小にする条件）と呼ぶものである。
重みの逆数である たちは ，パラメータ

たちの動きを制御するパラメータなので ，後に超に対して を動かすと ，ダガーの組は ，いわば A，P，C という名前の付いた3 つのパラメータと呼ばれることになる。

連動するシーソーの上に真値の組の値が乗っ“漸進的”という言葉でよく誤解されるが超ているが如くの動きを見せることになる。

パラメータの値を大きくとれば ，たちは大きとすれば3連のシーソーはどれもほとく動くことができる。パラメータの漸進的変んど垂直に立ってしまうわけで，そうではない化の条件は ，常に たちの動きを小さく制限す（動きが小さく節約的であろう）真値の組に対るような条件ではないことは断っておきたい。

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Commentary

階差パラメータたちをパラメータの推定は ，まず ，周辺尤度の最大化，とおき，，，たものをそれぞれを ベクトル に 配 しにより ， ， を決める。次に ，これらを所与と， ， とし ，まとめてした事後尤度関数最大化 ，とおく。また ，，および ，によりを 求 め る（maximum a posterioriとおけば ，パラメータの漸進的変化の条件（9）estimte, MAP 推定値）。効果パラメータの推定は，正規分布の密度関数を利用して ，値はゼロ和制約（5）を満たすよう（12）等により行う。
推定法の考え方は以上の通りであるが，実際と表すことができる。ここで ，は階差パラメータは を与えて ， を求め ，ラプラス近似によりの全要素数である。

7を得る。これを目的関数（超パラメータ の関数）として最大化問題を解くこ

ベイズ型コウホート（BAPC）モデルとにより を推定する（同時に ， ， は得られていることになる。詳細については中村（2005）

前節で ，階差パラメータ
すことができ ，これをを参照）。

たちを導入した。
，と表比較すべきモデルとしては ，無効果の G モデについて解けば ，（C1）ル，単効果の A，P，C モデル ，2効果の AP，PC，
AC

付録 C の階差行列を用いると ，より ，モデル ，そして3効果の APC モデルの8モデルがひとまず考えられる。これらの比較には，赤池を得る。ここで ， はゼロ和制約（5）を満たのベイズ型情報量規準 ABIC（ベイズ型モデルのすように定める。他の階差パラメータについAIC）を用いる（Akaike, 1980）。ABIC は ，最大ても同様にすると ，コウホートモデル（3）は ，対数周辺尤度に基づき ，となる。ここで ，で定義される。ここで は周辺尤度関数のパラである。

メータ数であり ，と の要素数の合計である。

尤度関数を一般化線形モデル（generalizedABIC が小さいほどよいモデルである。

GLM）を想定して定める。分析
linear model，

8対象とするアウトカム に仮定する確率分布に基づく尤度関数をとする。ここで ，は先の階差パラメータ と 以外の 等から集計データと個票データ以上で説明してきたのは ，集計データであ成るものとする。

る年齢区分×調査時点形式のコウホート表デー

パラメ ー タ の 漸 進 的 変 化 の 条 件 で あ るタを前提としたコウホート分析モデルである。

（11）をパラメータ の事前密度とし ，尤度統計数理研究所に入所して，継続調査の個票関数との積を作れば ，事後密度に比例する ，データを扱うことはもちろんできたが，研究所，が得られ ，ベイズ型モデルの大型計算機は当時としては最新のものであっが構成できる。 は超パラメータ･ベクトルとても現在に比べれば非力であり ，コウホート分なる。

析の対象は集計データのことしか考えていな

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かった。その当時の文献もすべて集計データ

10 線形混合モデルとしてのコウホートモデル

を対象としていた。
年齢 ･ 時代 ･ 世代要因しか扱わないのであれば ，集計データと個票データに対する統計マルチレベル分析も含む線形混合モデル

モデルの尤度関数（の核）は同じになるから ，3（linear mixed model, LMM）は ，一般に ，効果の推定値は同じになる。ただし，集計デー
タに対するモデル（ロジットモデル）は母集団と書くことができる。 が固定効果 ， が変量割合の変化についてのものであり ，個票デー効果である。

タに対するモデル（ロジスティック回帰モデル）

HAPC モデル（と同等の集計データ版）とは個人の正反応確率のものであるという違い

BAPC モデルを ，線形混合モデルの枠組みで比は残る。

較すると ，9

階層的年齢･時代･世代（HAPC）
モデルは共通として ，HAPC モデルは ，やがて ，継続調査の個票データの蓄積と利ととったもの。一方の BAPC モデルは ，用環境の整備が進み ，計算機の能力も飛躍的に増大し ，統計モデルも発展して ，Yang andLand（2006）の登場をみる。個票データを対ととったものになる。変量効果を3効果のパ象としたマルチレベル分析モデルに基づく階層ラメータそのものにするか ，3効果の階差パラ的年齢･時代･世代（Hierarchical age-period-メータにするかが異なる。

cohort, HAPC）モデルである。

（13）の LMM の尤度関数（の核）を とすれば，マルチレベル分析の枠組みは ，個人が属する集団（コウホート分析の文脈では ，年齢 ，時点 ，コウホート）を階層と見なすという点で理解しやすい。HAPC モデルはこのような点で今日の標準的コウホート分析モデルの地位を得である。BAPC モデルの場合，ているともいえるが ，得られるコウホート効果であるからこの項はパラメータの漸進的変化の形状を見ると ，想定する以上にトレンドがフの条件そのものであり ，最尤法の罰則項としてラット（傾きが水平傾向）になることが指摘さ働いているとみることができる。

れている（Bell and Jones, 2014）。また ，階層

さらに ，対数尤度関数は ，概念に捕らわれ ，年齢 ，時点 ，コウホートという3つの階層に個人が属するとは考えにくい（どれか2つを指定すればもう1つが決まってしまう）ので ，年齢は個人の属性とし ，階層とはしないことが通常行われる（このこともコウホーとまとめることができる。これを見ると，識別ト効果のトレンドの水平傾向をもたらす）。

問題を引き起こしているランク落ちしたデザ
イン行列 の下に単位行列 が補われていることにより ，HAPC，BAPC モデルとも ，少なくとも“識別不足”は解消していることがわかる。

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11 パラメータの直線成分と曲線成分（8）の 未 知 の 真 値 パラメ ー タの要素であり ，HAPC モデルに比べて ，コウホート効果の変化のトレンドを直線成分と呼ぶの直線成分を選択的に押さえる圧力はかなり小さいことがわかる。

で表す。具体的には中心化インことにし ，両者の推定値の違いを ，坂口･中村（2019）

デックベクトルに対して仮想的に単回帰分析を得て ，は ，男性大学卒の割合（日本人の国民性調査）は残差にあについて例示している。HAPC モデルの結果

たり ，，で与えられ ， の要素

では ，コウホート効果のトレンド（直線成分）はの変化が直線成分と曲線成分水平傾向にあり，年齢効果と時代効果が立ち上を行い ，傾き係数，とする。曲線成分の和に分解できることになる。

がっていた。一方の BAPC モデルの結果では ，（8）のダガーパラメータに代入すると ，コウホート効果が立ち上がり ，年齢効果は見られず ，時代効果にわずかな上昇トレンドがあるという結果になっている。となる。時代効果 ，コウホート効果についても同様に考えて ，13 おわりにが得られる。

コウホート分析における識別問題の克服は ，12 HAPCモデルの問題点簡明のために問題の源泉である3効果のパラメータの線形成分の不定性の制御が鍵である。BAPC モデル（中村 , 1982）は ，その制御を ，節約原理を実現する（単位行列）ととると ，パラメータの漸進的変化の条件（1次階差制約）であり ，HAPC モデルの場合 ，を取り入れることにより実現している。

BAPC モデルは ，一般化線形モデル GLM に赤池流経験ベイズモデリングを行ったものと解釈されるが ，個票データを対象とする HAPC モデルとなる。日本人の国民性調査を念頭において，，，とすると ，（Yang and Land, 2006）の登場により ，一般化線（A6）より ，形混合モデル（generalized linear mixed model,GLMM）として比較できることとになった。
で あ り，BAPC モデルでは ，すでに年齢×時代の交互が相対的にかなり大きくなるので ，作用効果を扱っており（中村 , 2005），性別×を小さくする圧力がかかり ，年齢 ，性別×時代 ，性別×コウホートによる交として ，コウホート効果の直線成互作用効果を扱うモデルの開発も進めている。

分を不定部分も含めて小さくする推定値が得

個票データへの適用を考えれば ，性別･年齢･られることになる。HAPC モデルがコウホート時代･コウホート要因以外の諸要因を取り入効果のトレンドを水平傾向にするとの指摘がれたモデルによる分析も可能である。年齢･あったが ，その機序を説明している。

時代･コウホート要因を扱うときには ，どのよと な っ て い る。 一 般 にうな場合でも1次階差制約とモデル選択が必須

一方 ，BAPC モデルの場合 ，社会と調査

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である。

である。

最後に ，社会の変化の構造に迫るコウホート分（付録 B ）行列の積み上げ──直和とクロネッカ積

析は ，継続調査データの存在が前提である。継行列の直和は ，続調査の益々の発展を願う。
（付録 A ）記法

次元ベクトルの集合を列の集合を，大きさの行すべての要素が のベクトルをで，行列（ゼロズ行列）をで表す。また，すべての要素が のベクトルをす。単位行列はで表す。

反単位行列をで表す。

である。 がすべて同一のときは（で表として），とクロネッカ積を用いても書ける。

である。右側にゼロズ行列を補った拡張反単位行列をがあるとと定義される。行列き，行列の大きさが整合していれば ，とする。

クロネッカ積は左側の行列の要素に右側のと書く。

行列を埋め込んで大きな行列を作る操作と考えてよい。行列の大きさが整合していれば ，である。
ベキ零行列であるシフト行列を，である。
以下 ，行列の大きさを同一とし ，これら 個を縦方向に積み上げた行列は ，とする。
である。 を右からかけると列が右にシフトし，左からかけると行が上にシフトする。と行列の直和とクロネッカ積を使って書ける。
がすべて同一のときは（として），インデックスベクトルを ，で表す。のとき，と書く。

である。のである。と書く。

ときは，つぎに ，行列である。
中心化したインデックスベクトルを ，
で表す。

，

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に対しては ，Commentaryとなる。
また ，行列，である。
階差行列を右からかけると ，縦積の一般逆行列（の1つ）は ，みのブロック行列の表記からは一目瞭然ではあるが ，Bで与えられる。

であるから ，一般逆行列の条件を確かに満たしている。と が各ブロックに潜り込む。

連 立1次 方 程 式の 一 般 解 は，のとき ， と同じ次元の任意のベク（付録 C ）階差ベクトル ･階差行列

ベクトル

トル に対して ，まる。の階差（隣，と求，ととれば ，り合う要素の差）を生成する行列（階差行列）は，より ，Cである。
で与えられ ，得られる階差ベクトルは ，

文献

1982『
統計数理研究所国民性調査委員会，，第 4
日本人の国民性』出光書店 .

Akaike, H., 1980, Likelihood and the Bayes
procedure , Bayesian Statistics (Eds. Bernardo,J.M., et al.), 143-166. Valencia: UniversityPress.

Glenn, N.D., 2005, Cohort Analysis, 2nd ed. Sage.
1982「
中村 隆，，ベイズ型コウホート・モデル
標準コウホート表への適用」『 統計数理研究所彙
報』29(2)：77-97.

Bell, A. and Jones, K., 2014, Another futile
quest ? A simulation study of Yang and Land shierarchical age-period-cohort model ,Demographic Research, 30(11): 333-360.

2005「
中村 隆，，コウホート分析における交互作用：103-132.
効果モデル再考」『 統計数理』53（1）Blalock, H. M. Jr., 1967, Status inconsistency,social mobility, status integration and structuraleffects , American Sociological Review, 32(5):790-801.

2018「中村 隆，，反復横断調査とコウホート分析」,『社会言語科学の源流を追う』（横山詔一他編）
ひつじ書房 .

Fienberg, S. E. and Mason, W. M. (Eds.), 1985,O Brien, R.M., 2015, Age-Period-Cohort Models:Approaches and Analyses with Aggregated Data,CRC Press.

Fu, W., 2018, A Practical Guide to Age-Period-Ryder, N.B., 1965, The cohort as a concept in thestudy of social change , American SociologicalReview, 30(6): 843-861.

福田勝洋 , 2002,「コップの中の嵐『cohort 』の訳語」, 49(8)：802-803.
『日本公衆衛生学雑誌』

2019「
坂口尚文，中村 隆，，混合効果モデルとして

Cohort Analysis in Social Research: Beyond theIdentiﬁcation Problem, Springer-Verlag.
Cohort Analysis: The Identification Problem andBeyond, CRC Press.

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みたコウホート分析モデル」『理論と方法』33（掲.
載予定）

2002「
重松 逸造 ，， コップの中の嵐『cohort 』の訳, 49（10）『日本公衆衛生学雑誌』：語 を読んで」
1128.

──── , 2013, Age-Period-Cohort Analysis: New
Models, Methods, and Empirical Applications .

CRC Press.

Yang, Y. and Land, K. C., 2006, A mixed models
approach to the age-period-cohort analysis

社会と調査of repeated cross-section surveys, with anapplication to data on trends in verbal testscores , Sociological Methodology, 36(1): 75-97.

1969，
安田 三郎，『社会統計学』丸善 .

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