J. Inst. Electrostat. Jpn.

静電気学会誌，35, 3 (2011) 126-132

トナー表面電荷による静電付着力の解析
栗 林 夏 城＊,1
（2011 年 1 月 25 日受付；2011 年 3 月 31 日受理）

Analysis of Electrostatic Force Induced by Charge on Toner Surface
Natsuki KURIBAYASHI*,1(Received January 25, 2011; Accepted March 31, 2011)

Electrostatic force between two spherical positively charged toners is calculated by two methods, a multipole
expansion method and boundary element method (BEM). The calculation results show that interactive force between
two toners is attractive for small distance, if their surfaces are charged not uniformly but locally. This attractive force iscaused by the localized charge on one toner inducing polarization charge on the other toner located closely. Thissuggests that toners can cohere by this attractive force on photoconductor surface. Additionally, the calculation results
for the adhesive force between a charged toner and grounded plane can explain the corresponding experimental data.
1.

はじめに

Toner

電子写真の画像形成材料であるトナーは粒径数ミクロンの帯電した微粒子で，個々のトナー粒子は主に静電気力

Local
ChargeElectrostatic
Forceによって感光体上に現像される．そして感光体上で画像として顕在化する際にはそれらは凝集した状態で保持されている．このときのトナー粒子と感光体との間に働く付着力
や，同極性であるトナー粒子間に働く付着力（凝集力）については従来より多くの議論があった．その中には微粒子

Image Forceであるトナーと感光体表面間あるいはトナー粒子間の van

Photoconductor
Surfaceder Waals 力（分子間力）が支配的との考え方もあったが，図 1 感光体上に現像されたトナー

この場合には粒子間の間隙が数 nm 以下である必要がある．

Fig.1 Developed toner particles on PC surface.

電子写真の転写プロセスではトナーが強く圧縮されてそのような場合も考えられるが，現像プロセスにおいては考えにくい．

用いており，軸対称の電荷分布の場合しか扱えなかった．
本報告ではトナー粒子表面が任意の電荷分布を持つ場合

1)

既報 ではトナー粒子表面が一様ではなく局所的に帯電
2, 3)

している

にも対応できるよう境界要素法を用いて静電界を解析し静とすると，同極性の2つのトナー粒子間でも一電気力による付着メカニズムを示した．最初に軸対称電荷方のトナー表面上の局所電荷が，近接するもう一方のトナ分布の場合の解析結果の概要を示して，次に局所的な電荷ーの樹脂などの部分を誘電分極させ引力が働く可能性を示

分布の場合の解析結果を示す．なお，トナーは正帯電した

し，図1のようなトナー凝集が起こり得ることを示唆した．

球形の誘電体として扱っているが，負帯電としても静電界

すなわち，付着力（凝集力）は主に静電気力であると考えの向きが逆になるだけで付着力は同じである．

ることができる．しかし，その解析は多重極展開の方法を
2.
キーワード：トナー，付着力，表面電荷，多重極展開，
境界要素法* （株）リコー 研究開発本部 基盤技術研究センター（224-0035 神奈川県横浜市都筑区新栄町 16-1）
Research and Development Group, Ricoh Company, Ltd.,
16-1 Shinei-cho, Tsuzuki-ku, Yokohama-shi, Kanagawa
224-0035, Japan1
natsuki.nk.kuribayashi@nts.ricoh.co.jp

多重極展開の方法によるトナー（軸対称電荷分布）
間の静電気力の解析

軸対称の静電界は多重極展開の方法を用いてほぼ解析的に計算することができる．
2.1

多重極展開法による静電界の計算方法

まず，1 つの誘電体球について考える．球の半径を R，誘電率を ε，球外の誘電率を ε0（= 真空の誘電率）とする．
電荷は球面上にのみ存在して空間に電荷がないので，静電127(33)

トナー表面電荷による静電付着力の解析（栗林夏城）
界は 3 次元 Laplace 方程式で表わされる．誘電体球の中心2.2を原点とした極座標系でさらに z 軸対称の場合は式(1)とな

次に，半径 R1，R2，誘電率 ε1，ε2 の 2 つの球の表面電荷

り，静電ポテンシャルφの一般解（級数解）は式(2)となる．

密度が σ1，σ2 のときの静電界を計算し，球面上で Maxwell

 
 
1   2  1r
 sin 0 
r 2 r  r  r 2 sin   




j 0



 (r ,  )    A( j ) r j 

B( j )  Pj (cos  )r j 1 (1)(2)

ここで，Pj (cosθ)は Legendre 多項式，A(j)，B(j) は展開係数である．原点（r = 0）と無限遠（r = ∞）で電位φが発散しないためには球内部での解は r j のみを含む項，球外部では 1/rj+1

のみを含む項となり，以下のように表される．

j in (r ,  )   A( j ) r Pj (cos  )
j 0



B( j )  (r , ) Pj (cos  )

out
j 1

j 0 r(r  R)(3)(r  R)(4)

球面上の軸対称に分布した電荷密度 σ(θ)は境界条件に組み込まれる．誘電体境界面の静電界の接続条件は次式であり，

  0 E out  n   E in  n   ( )
 E out  n  E in  n

(5)
(6)

これを使うと球面での境界条件は

out


  in   ( )
 0
r
r





out
in


(r  R)(7 )(r  R)(8)の応力を算出して 2 球の間の力を求める．
図 2 に示すような 2 つの誘電体球の作る球外の静電ポテ
ンシャルφout は次式のように表すことができる．

out  1 out ( r1 , 1 )  2 out ( r2 ,  2 )



j 0



B1 ( j )r1

Pj (cos 1 )  
j 1
j 0

多重極再展開法4 － 6) はこの変換公式 ( r1 , 1 )  ( r2 ,  2 ) を与えるもので次式となる．

 1
 r k 1 Pk (cos 1 )  1j1  ( j  k )!  r2  (1) k k 1 
  Pj (cos  2 )j!k!  S 
S
j 0


 1 P (cos  ) 2
 r2 k 1 kj

1  ( j  k )!   r1 
 j!k!  S  Pj (cos1 )S k 1 j  0


(15)

(16)

ここで，S は 2 球の中心間距離で，式(15)は r2 < S，式(16)は r1 < S の範囲で成立する．
そこで，球 1 内部の電位φ1-in，球 2 内部の電位φ2-in，球

(17)

j 0



(9)

2 in ( r2 ,  2 )   A2 ( j )r2 j Pj (cos  2 ) (r2  R2 )

(18)

j 0

z-axis(10)

R1

Sphere 1

1
1

1

r1

O1

(11)
0

(12)

Sphere 2

r2

S

R2

2
2

2

O2

(13)

上式から展開係数 A(j)，B(j)（j = 0,1,2,…）が直接求めら
れ，静ポテンシャルφin，φout が決定される．

(14)

ちらか一方の極座標系に統一しておくことが必要である．

を使って次式を得る．

j 1

j 1
  0 R j  2 B ( j )   j R A( j )
2 j 1 1 ( ) Pj (cos  )d (cos  )


2 1

 B( j )  R 2 j 1 A( j )( j  0,1, 2  )Pj (cos  2 )1in ( r1 , 1 )   A1 ( j )r1 j Pj (cos 1 ) (r1  R1 )ついて積分すると，Legendre 多項式の直交性( x  cos  )j 1

上式は2つの極座標系が混在した表式となっているため，
ど次に，上式の両辺に Pj (cosθ)を乗じて-1 < x = cos θ < 1 に2
1 Pm ( x) Pn ( x) dx  2n  1  mn

r2





1

B2 ( j )1 と球 2 の外部の電位φout（2 通り）は次式で与えられる．

となる．上式に式(3)(4)を代入すると次式を得る．

j 1
   0 j  2 B( j ) Pj (cos  )  j 0 R A( j ) j R j 1 Pj (cos  )   ( )


j 0


  B( j )  j 1 Pj (cos  )   A( j ) R j Pj (cos  ) j  0 R
j 0

多重極再展開法による静電界の計算方法

図 2 2 つの誘電体球と極座標系 O1 , O2
Fig.2 Spherical coordinate systems for O1 and O2 withtwo dielectric spheres.

128(34)

静電気学会誌

B1 ( j )
r1

j 0





  B (k ) S
j 0

k 0

2



j 0



j 0

k 0

j 1
k

f ( x) 

0.8

(19)

Pj (cos  2 ) 

r

θ

0.4
f ( x) 

0.2

(20)

( x  1)124096

σmax=3.8×10-4 C/m2

0.0
-1.0

球面 1，球面 2 上での境界条件は式(7)(8)と同様となり，こ( x  1) 4
16

σmax=1.5×10-4 C/m2

0.6j(1) ( j  k )!  r2 
  Pj (cos  2 )k 1
j!k!  S   B (k ) S
1

r2

Diameter = 8μm Q/M = 20 μC/g
z-axisj

B2 ( j )(2011)

1.0

Pj (cos 1 ) j 1

1 ( j  k )!   r1  Pj (cos 1 )k 1j!k!  S 

out ( r2 ,  2 )  


第3号

f (x)



out ( r1 , 1 )  

第 35 巻

-0.5

0.0

0.5

1.0

x=cosθ

れに上式(17)-(20)を代入する．例えば，r1 = R1 における境図 3 トナー球面上の軸対称電荷分布

界条件への代入では r1 < S ゆえ，式(16)が成り立ち式(19)をFig. 3 Axisymmetric charge distribution on toner surface.

使うことができる．そして前項と同様の手続きを取り展開係数に関する関係式を得る．この際に，式(17)-(20)を N + 1
項で近似するとすれば，展開係数 A1(j)，B1(j)，A2(j)，B2(j)一致）する．計算時間は 1 秒以内である．
2.3

トナー間付着力の計算結果

2 つの球形トナーを考えて，R1 = R2 = 4 μm，ε1 = ε2 = 3（比Fz of Sphere 1 [nN]は最終的な付着力の計算値は N = 50 程度でほぼ収束（8 桁 ( x)   max ( x  1) 4 / 16③

れを解くことで静電ポテンシャルφ1-in ，φ2-in ，φout が決定される．N を増すほど精度が高まるが，以下の計算例でCoulomb force between two sphere center’s charges

5.0を未知数とする 4 (N + 1)個の連立１次方程式が得られ，そ ( x)   max ( x  1)12 / 4096

②

0.0
①

分（積分点 64）を使うことができる．Q/M = 20 μC/g とし③

z-axisSphere 2

-10.0
0.0

(cos θ)とすることで式(12)の被積分関数は x = cos θ のみで表わされて積分範囲は －1 < x < 1 になる．そこで Gauss 積

②

gap

-5.0

誘電率）
，トナー間隙である gap = S － (R1 + R2) = 0-10 μmの場合で計算した．トナー球面上の電荷密度は，σ(θ)＝σ①
Sphere 1

not charged

2.0

4.0
6.0
gap [μm]

8.0

10.0

図 4 2 つのトナー間の静電気力
Fig. 4 Electrostatic force of two toner particles.

てトナー1 個の電荷量 Q（M はトナー質量，トナーの比重は 1.1）を決めて，電荷分布を次式のように設定した．

x  cos (21)  ( x)   max f ( x)412
 f ( x)  ( x  1) / 16 , ( x  1) / 4096


1
2
2
 Q  0  ( )R sin dd  2R  max 1 f ( x)dx (22)

かる．球 1 の北極に電荷が集中している場合（計算モデル②）でも小さいが引力が働いている．この理由は球 2 が誘電分極してこの分極電荷と球面 1 上の真電荷との間で引力が働くためで，当然のことながら ε2 = 1 とすると Fz = 0 となる．
計算モデル③は球 1，球 2 とも南極に電荷が集中してい分布関数 f (x) はトナー球の北極（正符号の場合）または南る場合であるが，(x－1)12/4096 分布の場合は gap < 0.4 μm

極（負符号の場合）の周辺に電荷が集中するように試行的で引力が働いている．図 4 には球面電荷を中心の点電荷にに与えたものである．f (x) と σmax を図 3 に示した．

集約したときの 2 点電荷間クーロン力（中心の点電荷近似）

2つの球の南極または北極に式(21)のように電荷を集中も示しているが，計算モデル③では gap が大きくなると電させたモデルで静電界を計算し，球面1上の Maxwell の応

荷分布の構造が見えなくなり 2 点電荷間のクーロン斥力に力を算出して球1に働く力 Fz を求めた．計算結果を図4に示漸近する．

した．2つの球の間には Fz < 0のときに引力，Fz > 0のとき

式(21)で与えた表面電荷分布は実際のトナーとは異なるには斥力が働くことになる．また，計算モデルも図4中に示と考えられるが，同極性トナーであっても表面の電荷分布

した．

によっては gap の小さいところで引力が働く場合があるこ

計算モデル①は球 1 の南極に電荷が集中していて球 2 は帯電していない場合であるが，引力が働いていることがわとがわかった．したがって，図 1 で示したようなトナーの凝集モデルが成り立つ可能性がある．

129(35)

トナー表面電荷による静電付着力の解析（栗林夏城）
3.

境界要素法によるトナー（任意電荷分布）間のにおけるポテンシャルの値である．式(27)は次のように書

静電気力の解析くことができる．

実際のトナーに近いと考えられる表面電荷分布を仮定して，静電的付着力を境界要素法により計算する．
3.1

j 1

境界要素法による静電界の計算方法

3 次元 Laplace 方程式は，Green の定理を用いて領域での体積積分をそれを囲む閉曲面（境界面）上の面積分に変換することにより，境界面上の境界積分方程式で表すことができる 7)．静電ポテンシャルを u (x,y,z) として次式となる．

ci u i N N
ci ui   H ij u j   Gij q j

(28)

j 1

1
1 r

 H ij   4  N j r 2 n dS
1
G  1N dS
 ij 4  j r

(29)
(30)

ソース点 i を i＝1～N（N：節点数）まで変えると，式(28)は N 個の方程式となりマトリックスの形で書くと，

1
1 r
1
1
u 2 dS 
q dS


S
S
4
4
r
r n

(23)


 r  r  ri
(24)

u
u
u
u

(25)
nx 
ny 
nz
 u  n 
 q
n
x
y



z

 r
x  xiy  yiz  zinx ny n z (26)
 r  n 

n
r
r
r



HU  GQ H ij  H ij (i  j ) H ii  ci  H ii

(31)
(32)
(33)

となる．
ベクトル U の成分は uj ，ベクトル Q の成分は qj ，マトリックス H ，G の成分は式(29) (30) (32) (33)で与えられ

ここで，r は境界上の積分変数，ri は境界上の定点でソーる．式(29) (30)は境界面を離散化した要素内での積分を計ス点と呼ばれる（図5(a)参照）．n は境界上の外向き法線単算することで求められる．ソース点が積分する境界要素に位ベクトルである．q は境界上でのポテンシャルの外向き

含まれるときは，r = 0 となり特異積分を数値計算する必要

法線方向微分で流束である．式(23)は境界上のポテンシャ

があるが，それには文献 8）の方法を用いた．

ル u と流束 q の関係を表わしたものである．また，ui はソ

3 次元 Laplace 方程式は境界条件として境界面におけるース点 ri におけるポテンシャルの値 u(ri) である．積分点

ポテンシャルまたはその勾配（流束）が与えられているのがソース点と一致するとき r = 0となり積分は特異となる

で，式(31)では境界上の節点 j において，ポテンシャル，流が，この特異積分は有限の値を持つ．その際に現れる係数束の一方が既知で他方が未知である．そこで，式(31)の Uを ci としている．

ベクトル，Q ベクトルの成分の中で未知数のみを取り出し

領域 V を囲む境界面 S（閉曲面）を4辺形8節点要素（2次要素）でメッシュ分割して離散化すると（図5(b)参照），
境界面上の積分は境界要素Δ上の積分の和として表わされ，連立 1 次方程式が得られる．

Ax  b(34)

未知ベクトル x の成分は uj または qj である．

式(23)は次式(27)となる．
ci u i て，マトリックスを組み替えることで，次のような N 個の
 1 r  1
11
  N j u j  2dS   N j q j  dS (27)






4   j4   j r 
 r n 

ここで，uj , qj は節点 j ( j = 1～N：節点数）におけるポテン

H マトリックスの対角成分（= 式(33)）は未知の係数 ciを含んでいるが，これは以下のような方法で間接的に求めることができる．

シャル，流束である．要素内部では u , q を形状関数（内挿

領域内および境界上で一様なポテンシャル u0 は Laplace

関数）Nj を用いて表している．ui はソース点である節点 i

方程式の解である（一様ポテンシャル条件）．そのとき流束nBoundary S
riElement Δ

n

r

r

ri

r

N
 

 c i   H ij u 0  0


j 1



(35 )

が得られる．したがって，式(32)(33)より H マトリックス

Domain V(a) Domain and Boundaryq = 0 となるので，式(28)に uj = u0，qj = 0 を代入すると，の対角成分を(b) Finite Element MeshN H ii  ci  H ii    H ij

(36)

j i

図5 領域 V とそれを囲む境界面 S
Fig. 5 Boundary S surrounding Domain V.

として求めることができる．
次に図 6 のように 2 つの異なる誘電率 ε1 ，ε2 の領域 V1 ，

130(36)

静電気学会誌
n1

第 35 巻第3号
5.0∞
Fz of Sphere 1 [nN]

ε1

ε2

n2

Domain V2

 ( x)   max ( x  1)12 / 4096③

Boundary S1Domain V1(2011)

②

0.0
①

-5.0

Multipole Expansion Method■▲● Boundary Element Method

Boundary S2

図 6 2 つの領域 V1 , V2 とそれらを囲む境界面 S1 , S2

-10.0
0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

gap [μm]

Fig. 6 Boundary S1, S2 surrounding Domain V1 , V2.
図 8 2 つのトナー間の静電気力（軸対称電荷分布）384 elements

1536 elements

Fig. 8 Electrostatic force of two toner particles.
図 4 中の計算モデルに対して，図 7 の(a) mesh A を用いまた，た境界要素法による計算結果を図 8 に■▲●で示す．
多重極展開の方法による計算値も実線で示してあり，計算モデル③の場合で，およそ 5%以内で一致している．

(a) mesh A(b) mesh B

図 7 トナー球面のメッシュ分割図
Fig. 7 Finite element mesh on the spherical toner surface.
V2 を結合する境界面 S2 上（結合境界）ではポテンシャル

以上の結果から境界要素法による静電界計算およびトナ
ー間付着力計算が十分な精度で行えることが確かめられた．
本計算では結果として，2 つのトナー間隙（gap）が要素長の 1/10 以上であれば計算精度が保たれた．

uj ,流束 qj ともに未知数となるが，一方の領域と他方の領域

3.2.2のそれぞれで境界積分方程式が得られるので，未知数の数

トナー表面が局所的に帯電している場合では，トナー1と方程式の数は一致する．したがって結合境界上のポテン

個分の電荷量を複数の帯電箇所に振り分ける．Q/M は 15

シャル，流束の両方を未知数として含んだ連立 1 次方程式

μC/g とした．具体的には，トナー球面上が均等に帯電してを作ることができる．この際，S2 上では静電界の接続条件いるとして，球面に内接する正多面体を考えてその頂点周（式(5)(6)）を考慮する．なお，図 6 の n1 と n2 は領域 V1

辺に一定の面電荷密度 σ で帯電領域（円で切り取られる球を囲む 2 つの境界上のある位置での外向き法線ベクトルを面の一部とする）を与える．σ の大きさは，トナー球面が表示している．

2= 15 μC/g，一様帯電している場合の値，0.22 × 10-4 C/m（Q/M

局所的な電荷分布の場合の計算結果

トナー表面上の電荷が作る静電界を計算する場合，図 6

径 8 μm に相当）より大きく，原子レベルで平滑な表面のの境界面 S2 をトナー表面，S1 を無限境界として，ε1 = ε0

摩擦帯電で得られる実験結果 9)，およそ 10-2 C/m2 より小さ

（真空の誘電率），ε2 をトナーの誘電率（比誘電率 = 3）とい．本研究では試みに σ = 10-3 ，または 10-4 C/m2 とした．

して計算する．なお，トナー表面上の電荷分布は離散化し

図 9 はトナー球面上に面電荷密度 σ = 10-4 C/m2 で局所電た節点上に任意に与えることができる．
3.2

トナー間付着力の計算結果

荷を 4-20 カ所（正 4, 6, 8, 12, 20 面体頂点周辺）与えた場合を表わしている．
全帯電面積はトナー表面積の 22%になる．

2 つの球形トナー間の静電的付着力の計算を行った．付

このようなトナー2 つが近づくとき，互いの局所電荷が対着力は多重極展開のときと同様にトナー球面上の Maxwell

向しているときは斥力となるので，局所電荷と電荷のないの応力を算出することで求める．また，トナー球面のメッ部分（樹脂）が対向するようにどちらかのトナーが回転しシュ分割（離散化）は図 7 に示すような 2 種類を用いた．

て斥力を緩和すると考えられる．そしてその際に局所電荷

直径 8 μm の球面では，要素長は mesh A の場合で 0.78 μm，と対向する樹脂の部分は誘電分極して引力が生じる．そこ

mesh B の場合で 0.39 μm となる．

で，このような電荷配置の 2 つのトナー間の静電気力を計

3.2.1

多重極展開の方法による計算結果との比較算した．

まず，式(21)で表わされる軸対称の表面電荷分布の場合

図 10(a)は面電荷密度 σ = 10-3 C/m2 の 4 カ所の局所電荷をで，多重極展開の方法による計算結果と比較して計算精度持つ上下 2 つのトナーについて，それぞれの電荷配置を示の検証を行った．

したもので，図 10(b)は 6 カ所の場合である．どちらも上側131(37)

トナー表面電荷による静電付着力の解析（栗林夏城）

4 charged areas

6 charged areas

4.0

8 charged areas

6 charged patch

12 charged areas

20 charged areas

σ=10-4 C/m2

Fz of Sphere 1 [nN]

2.0
0.0

4 charged patch-2.0
σ=10-3 C/m2

-4.0

σ=10-4 C/m2

-6.0
0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

gap [μm]

図 11 2 つのトナー間の静電気力（4, 6 カ所帯電）
Fig. 11

total charged area : 22 %charged patch).

図 9 トナー球面上の電荷分布モデル
Fig. 9

Electrostatic force of two toner particles (4, 6

4.0

Charge distribution model on the spherical toner

8，12，20 charged patch

z-axisσ=10-3 C/m2

gap

Sphere 1gap

Sphere 2

Fz of Sphere 1 [nN]surface.

2.0
0.0

8 charged patch-2.0
σ=10-3 C/m2

-4.0

σ=10-4 C/m2

-6.0
0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

gap [μm]

図 12 2 つのトナー間の静電気力（8, 12, 20 カ所帯電）
Fig. 12 Electrostatic force of two toner particles (8, 12, 20
charged patch).
お，図 10(b)に示した計算モデルでは帯電部の面積が要素に(a) 4 charged areas(b) 6 charged areas

図 10 近接する 2 つのトナーの電荷配置
Fig. 10 Configuration of charge patch on two spherical
toner surfaces close to each other.

比べて十分に大きくないので，
図 7(b)の mesh B を用いた．
図 11 では，σ = 10-3 C/m2 で 4，6 個の局所電荷のとき，それぞれ gap < 0.4 , 0.2 μm で引力になっている．この場合，
2 つのトナーは外部静電界（トナーを現像するためのバイ
アス電界など）によって gap < 0.4 , 0.2 μm まで近づけば引トナー（球 1）の最下点に 1 つの局所電荷が配置されて力となり，その後は凝集したまま感光体上に保持され得るおり（正多面体の 1 つの頂点），下側トナーの最上点にことがわかる．一方，σ = 10-4 C/m2 の場合は斥力しか働かは電荷のないトナー樹脂の部分が位置し，上側トナーのず，gap→ 0 でも引力にならないと予想される．図 12 は σ =局所電荷と対向している（正多面体の正多角形中心に対

10-3 C/m2 で 8 個の局所電荷を持つ場合と σ = 10-4 C/m2 で 8，向）．このような電荷配置のとき最も引力が働き易い．

12，20 個の場合の付着力の計算結果を示したものであるが，その他の場合も同様な電荷配置として 0.05 < gap < 5 μm

いずれも gap > 0.05 μm の範囲では引力にはなっていない．

の範囲で計算した．計算時間は mesh A の場合で 1 分，

以上の結果から，トナーの電荷量が同じでも表面上の電mesh B の場合は 60 分程度（CPU：Intel Xeon W5590

荷分布の違いにより gap の小さいところで引力になる場合

QuadCore 3.33 GHz × 2）であった．

と斥力しか働かない場合があり，面電荷がより局在して集

-3

-4

2

面電荷密度 σ = 10 ，10 C/m で 4，6 個の局所電荷の場中している場合に引力になり易いことがわかる．

合のトナー間に働く力の計算結果を図 11 に示す．球 1（上3.3

側トナー）に働くｚ方向の力 Fz を示しており，正ならば 2

トナーと接地平面との付着力は遠心分離機を用いた方法

つのトナー間に斥力が働いており負ならば引力となる．ななどで計測されており 10)，その結果は平均値で 10-100 nN

トナーと接地平面間の付着力の計算結果

132(38)

静電気学会誌(2011)

静電界を計算する必要がある．トナーの比誘電率を 1 とす

-10れば静電気力は点電荷間の Coulomb 力の重ね合わせとして
4, 6, 8, 12 charged patch

簡単に計算できるので，面電荷密度を与える場合とどの程-20度の差異になるか 4 個の局所電荷の場合で計算し比較した．

6 charged patch-30

トナーと接地平面との gap > 20 nm では σ = 10-3, 10-4 C/m2

σ=10-3 C/m2

-40の場合，それぞれおよそ 10%，8%以下の差異であった．し

σ=10-4 C/m2

たがって，本計算例では連続的な面電荷密度の扱いが可能

4 charged patch

-50

第3号

続的な電荷分布ではなく，離散的な点電荷 e の分布として20 charged patch0

Fz of Sphere 1 [nN]

第 35 巻

0

50

100

150

200

である．

gap between toner and plane [nm]図 13 トナーと接地平面間の静電気力

4.

Fig. 13 Electrostatic force of toner to grounded plane.

多重極展開の方法と境界要素法を用いて，表面上に局所まとめ的に帯電した 2 つの球形トナー間に働く静電気力を解析し程度で 2-3 桁の分布がある．これを確かめるため，Q/M = 15

た．その結果，同極性トナー間でも電荷分布によっては間μC/g として図 9 と図 10 で示した電荷分布の場合について隙の小さいところで誘電分極により引力が働くことがわか

付着力を計算した．トナーと接地平面間の付着力は，鏡像った．また，トナーと接地平面との付着力の解析結果は実を考えることで 2 つのトナー間付着力と同等になる．すな

測値を説明できた．以上から，トナー表面の電荷が局所的

わち，接地平面を鏡像面として球 2（下側トナー）上の電に分布しているために静電的な付着力が生じることが確認

荷を鏡像面に対して球 1（上側トナー）上の電荷と対称のできた．トナーはキャリア粒子との混合撹拌により摩擦帯位置に配置して，球 1 には正電荷，球 2 には負電荷を与え電するため，表面の電荷分布のバラツキが大きいと考えらて静電界計算を行う．このときの 2 つのトナー球の間隙はれる．今後，実際のトナー表面の電荷分布計測結果をもとトナーと接地平面との間隙（gap）の 2 倍に相当する．実際に様々な表面電荷分布に対してトナー間の静電的付着力をのトナー表面の凹凸を考慮してトナーと接地平面との間隙調べる必要がある．

（gap）は 20-200 nm まで変化させた．計算結果を図 13 に
示す．

参考文献
-3

2

σ = 10 C/m で 4, 6 個の局所電荷の場合，gap = 20 nm で1)の付着力はおよそ 40 nN であり，実測値と同じオーダーに栗林夏城，門永雅史：Imaging Conference Japan 2009 論
文集, p.79, 日本画像学会 (2009)

なっている．一方，σ = 10-4 C/m2 で 20 個の場合は 2 nN と2)

D. A. Hays: J. Adhesion, 51 (1995) 41

なり 1/20 程度の大きさである．

3)

飯村治雄：Ricoh Technical Report, No.26 (2000) 34

4)

M. Washizu and T.B. Jones: IEEE Trans. Ind. Appl., 32

トナーはキャリア粒子との混合撹拌により摩擦帯電する(1996) 233

ため，表面の局所的な面電荷密度，帯電面積ともばらつきを持つ．その結果として実際にトナー1 個の帯電量自体が5)

中島耀二，松山 達：静電気学会誌，25 (2001) 215

ばらついている．また，表面凹凸により gap も 20-100 nm

6)

B. Techaumnat and T. Takuma: IEEE Trans. DEI, 10 (2003)
623

程度に変化し得る．
局所電荷を点電荷 Qp（σ × 帯電部面積）と近似すれば，それによる付着力はほぼ Qp2 /(27)

2× gap) に比例すると考えられるので，Qp，gap がともに 5 倍のバラツキがあるとす田中正隆，松本敏郎，中村正行：計算力学と CAE シリーズ 2 境界要素法，培風舘 (1991)

8)

M. Koizumi and M. Utamura : Boundary Elements VIII

れば，付着力は 625 倍の差を生じることになる．
すなわち，Proc. of 8th Int. Conf., eds M.Tanaka and C.A.Brebbia,

付着力の実測で得られる 2-3 桁の分布を説明し得る．

p.665, Springer Verlag, New York (1986)

以上では局所的な帯電部分に連続的な面電荷密度 σ を与9)R.G. Horn and D.T. Smith : Science, 256 (1992) 362

えて静電気力を計算してきたが，トナー表面は 1 価のイオ

10) 福地 裕，野口健一，竹内 学，保志信義，小島亮二：ン，または 1 個の電子が離散的に分布していると考えられJapan Hardcopy 97 論文集，p.81，日本画像学会 (1997)

-3

-4

2

る．そこで，σ = 10 , 10 C/m を電気素量 e の 1 個が占める面積として換算するとそれぞれ 1 個/(12.6 nm)2，
1 個/(40.0nm)2 に相当する．したがって gap がさらに小さい場合は連