線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 9 回（’13 年 12 月 11 日：Keywords · · · 固有値、固有空間、固有ベクトル）[固有値]・・・A を正方行列とする．0-ベクトルでない v ∈ Cn に対して、Av = λv を満たす複素数 λ が存在するとき λ を固有値という．
[固有多項式]・・・行列 A に対して ΦA (t) = det(tE − A) なる多項式．
[固有空間]・・・λ を行列 A の固有値とする．このとき、λ に付随する固有空間を Vλ = {x ∈ Cn |Ax = λx} とする．
[固有ベクトル]・・・固有値 λ に対して、Av = λv を満たすベクトル v で 0-ベクトルではないもの．
[線形写像の固有値、固有多項式、固有空間]・・・F : V → V を線形写像とする．F(v) = λv となる λ を F の固有値という．F の表現行列を A と置くとき、F の固有多項式を ΦF (t) = ΦA (t) として定義する．λ を固有値とすると、
Vλ = {v|F(v) = λv} を固有空間である．

A-9-1. [固有多項式]
次の行列の固有多項式を求めよ．

1 −1 −3(1) A = 0 0 −2

0 0 2

−1 0 2 (2) A =  3 2 −3

0 0 1
 1 0 2 (4) A = −1 1 −2

0 0 0
1 −1 −3(5) A = 0 0 −2

0 −1 2 0 0 1(3) A = −2 −1 2
−1 0 2A-9-2. [固有ベクトル]
A-9-1 の行列の固有ベクトルを求めよ．
A-9-3. [固有空間の基底]
A-9-1 の行列の固有空間の基底を求めよ．

A-9-4. [固有空間の基底]
V = C[x]2 として、F : V → V を F( f (x)) = x f (2 − x) − (x − 2) f (x) とするとき、F の固有値と固有空間を求めよ．
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B-9-1. [線形写像の固有多項式][中]ベクトル空間 V 上の線形写像 F : V → V の表現行列を A とする．このとき、A の固有多項式は表現行列の取り方に因らないことを示せ．

B-9-2. [線形写像の固有多項式][易]F の固有値は F の固有多項式の根であることを示せ．つまり、F(v) = λv かつ v , 0 ならば、ΦF (λ) = 0 であることを示せ．

B-9-3. [微分写像がなす固有ベクトル．][易]V = C[x]2 とする．このとき、∂ : C[x]2 → C[x]2 を多項式を微分写像であるとする．このとき、∂ の固有値、固有ベクトルを求めよ．

B-9-4. [線形写像の固有値、固有ベクトル][易]次の行列の固有値、固有ベクトル、固有空間の基底を求めよ．
 1 1 1 0 

−1 −1 −3 −1A =  1 1 3 1 

0 0 0 1

B-9-5. [重解を持つ固有ベクトル][中]固有多項式が (t − a)n であるが、固有空間が 1 次元であるような行列 A の例を求めよ．

B-9-6. [回転のなす固有ベクトル][易]R2 上において、原点を中心として θ 回転する操作は線形写像である．この線形写像の固有値と固有ベクトルを求めよ．

B-9-7. [固有値でなければ...][易]λ が行列の固有値でないとする．このとき、Vλ = {v|Av = λv} は何か？

B-9-8. [固有多項式の関係式][難]正則な行列 A に対して、以下の関係式が成り立つことを示せ．
(2)
t +1n
ΦA (t)ΦA−1 (t) = t · ΦA+A−1t

B-9-9. [A−1 の固有多項式][中]行列 A が |A| = 1 を満たすとする．A の固有多項式が ΦA (t) = tn −a1 tn−1 +a2 tn−2 −· · ·+(−1)n−1 an−1 t+(−1)n であるとき、

ΦA−1 (t) = tn − an−1 tn−1 + an−2 tn−2 − · · · + (−1)n−1 a1 t + (−1)nが成り立つことを示せ．
2B-9-10.
[R 上の内積][易]1 0
A = 0 1 とする．R2 上の内積 ⟨·, ·⟩ を、⟨v, w⟩ = (Av, Aw) として定義する．ここで、(·, ·) は
1 1

⟨e,e
⟩
⟨e,e⟩

1
112 を求めよ．
R3 上の標準内積とする．このとき、標準基底 e1 , e2 に関して、
⟨e , e ⟩ ⟨e , e ⟩2122———————————————————————————————————————————————

C-9-1. [固有空間]
正方行列 A の固有値の 1 つを λ とするとき、Vλ を固有空間とする．このとき、Vλ はベクトル空間（C-5-3 を見よ）であるが、特に dim(Vλ ) ≥ 1 であることを示せ．

C-9-2. [固有ベクトル]次の行列の固有値と固有空間の基底を求めよ．
3 −4 0
A = 2 −3 0
2 −4 1

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第 7 回の略解(C-7-1) 25 = ||v + w||2 = ||v||2 + ||w||2 + 2(v, w) = 4 + 9 + 2(v, w) より、(v, w) = 6 である．(C-7-2) このベクトルの     1
1
1
 1  1 1  1  1   ′  1  
順番でシュミットの直交化をすると、e1 = √ 1, v2 = v2 − (v2 , e1 )e1 = 0 − 1 = −1、e2 = √ −1、  2  2  2  
6  10022
      
1 1
1
−1
−1    1   1  1  ′v3 = v3 − (v3 , e1 )e1 − (v3 , e2 )e2 = 1 − 1 − −1 =  1 、e3 = √  1  となる．(C-7-3) (1) v1 , v2 ∈ W ⊥ とする    3   3  3  01211と、任意の w ∈ W に対して、(v1 + v2 , w) = (v1 , w) + (v2 , w) = 0 + 0 = 0 であるから、v1 + v2 ∈ W ⊥ であることがわかる．(2) (B-7-4) のような内積を V に入れたときに、x − 1 に直交する空間の基底を求める．ax2 + bx + c ∈ V とすると、[]1∫ 1∫ 1b−a 3b−ab−a(ax2 + bx + c)(x − 1)dx = 2((b − a)x2 − c)dx = 2x − cx = 2(− c) = 0 とすると、c =である．
333−100{} {} ⟨⟩b−a1111 2 11
つまり、W ⊥ = ax2 + bx +|a, b ∈ R = a(x2 − ) + b(x + )|a, b ∈ R = x2 − , x +x − と x + は明ら
3333333(){}
111122かに一次独立である． ∵ a(x − ) + b(x + ) = 0 ⇒ a = b = 0 ゆえに、基底は x − , x +3333