質量変化に対する３自由度ヘリコプタのロバスト LQ 制御
2011SE226 三林 明央
指導教員：高見 勲

1はじめに

本研究では, 非線形性の強いダイナミクスを持つ３自由度ヘリコプタを用いる, 対象を線形化する際に誤差が生じる, この誤差をポリトープ型のコントローラを設計することによって, ロバスト安定性を保証し, 制御対象の重心移動といった特性変動に対してもロバスト性を保証する. その上で制御中に発生する特定の特性変動に起因する外乱に対しても, 制御対象のロバスト性を保証する.

2

制御対象とモデリング

e1 = (L2w + L2b )Mw + (L2b + L2a )(Mf + Mb )e2 = La Lh (Mf − Mb )e3 = Lb Lh (Mf − Mb )e4 = L2h (Mf + Mb )e5 = L2w Mw + (L2h + L2a )(Mf + Mb )00 0 0 0 1 0 00 
 00 00 00 00 10 0100 ,B = 0A=
a1 0 0 0 0 0
b1 b1 0 0 0 0 0 0b2 −b20 a2 0 0 0 000[]
100000
C= 0 0 1 0 0 0, L = [0 0 0 l1l2

T0]

a1 = gLb Mw + gLb√
Mf + gLb Mb
a2 = √−(u0f + u0b ) L2a + L2b Kf
b1 = L2a + L2b Kf
b2 = Kf Lh
l1 = −g(Lw Mw + La Mf + La Mb )l2 = −g(Lh Mf − Lh Mb )3

図 1 3 DOF Helicopter

ディスクリプタ方程式の導出

E, A 行列に変動パラメータが入っている. これによりシステムを状態空間表現で表した時, 変動パラメータが有理関数の形で現れる. これをディスクリプタ表現を用いることで変動パラメータを１つの係数行列にまとめる. ディスクリプタ変数を用いた状態変数 xd を導入する.
xd (t) = [x(t)重力加速度を g, フロントモータの質量を Mf バック
モータの質量を Mb カウンタウェイトの質量を Mw , 支点から機体中心までの距離を La , 支点からカウンタウェイ
ト中心までの距離を Lh , 支点からカウンタウェイト中心までの距離を Lw 支点から支柱棒までの距離を Lb ロータの推進力定数を Kf とする. 本研究で用いる 3 自由度ヘリコプタ実験機概略を図 1 に示す. 実験機には推進力としてロータが 2 つ付いており, 適切な電圧を与えることで回転し, 揚力を得ることができる. 図に示されたとおりトラベ
リング角を λ , エレベーション角を ϵ, ピッチ角を ρ, とする. 前後のロータにそれぞれ最適な入力電圧を与えることで,ϵ[rad],λ[rad], を目標値に追従させる制御系を設計する.
Lagrange の 運 動 方 程 式 を 用 い て ３ 自 由 度 ヘ リ コ プ
タ の 非 線 形 運 動 方 程 式 導 出 す る. 状 態 変 数 を x(t) =[ϵ, ρ, λ, ϵ̇, ρ̇, λ̇]として フロントモータへの入力をuf , バックモータへの入力を ub として,u(t) を u(t) =[uf , ub ]T とする. 導出した運動方程式を平衡点で線形化す
ると以下の状態空間表現が得られる. 本研究では実験機に対して L 項を打ち消すような最適な信号を予め入れておき, そこからの偏差の入力信号を用いて物体の振る舞いを制御する.

{E ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + L
y(t) = Cx(t)u(t) = kx(t)
1 0 0 0 0 00 0 0 0
00 10 1 0 0 0E=
0 0 0 e1 e2 e3 0 0 0 e2 e4 00 0 0 e3 0 e5

ϵ̈(t)

ρ̈(t)

λ̈(t)]T

これを用いた, ディスクリプタ方程式はEd ẋd (t) = Ad xd x(t) + Bd u(t)(3.0.0)
Ed = diag {1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0}
0 0 0 1 0 0000 000010000 
0 0 0 0 0 1000 
0 0 0 0 0 0100 010 
Ad = 
 00 00 00 00 00 00001 
a1 0 0 0 0 0 −e1 −e2 −e3 0 0 0 0 0 0 −e4 −e500 a2 0 0 0 0 −e60−e7][3,2Bd = OBと表現することができる.

4拡大系の導出

本研究では λ と ϵ を目標値に追従させるために, これらの変数に積分器を付加する. 観測出力 y(t) と目標値r(t) の偏差をe(t) とし, 偏差 e(t) を 区間 [0, t] で積分∫した値をe(t)dtとする. 拡大系の状態変数を x̃d (t) =∫∫[ eϵ (t)dt, eλ (t)dt, xd (t)]T とすると拡大系は以下のようになる.

Ẽd x̃˙ d (t) = Ãd x̃d (t) + B̃d u(t)[][]IO2,9O2,2 −CdẼd = O2,2Ã
=dEdO9,2 Ad
9,2[]OB̃d = B2,2 , Cd = [C O3,2 ]d(4.0.0)

を図 5 に示した.

LQ 最適制御50∫ ∞J=(x̃d (t)T Q̃d x̃d (t) + u(t)T Ru(t))dt

elevation[deg]システムに対して, 評価関数 J を以下のように定義し, この最小化を行う.

(5.0.1)0u(t) = Kd x̃d (t) , Y = Kd X とする時, 以下の LMI をみ
たす X,Y が存在すれば, このシステムは安定であるといえ−1る. 求める状態フィードバックゲインは K1 = Y1 X11で導出される.
][0 , Y = [Y 0]
11X= X
1X21 X22
1THe[Ãd X + B̃d Y ] X T Q̃d2YT1≺0
Q̃d2 X−IOY
O−R−1[]W
Itrace(W ) ≺ γ
I X11 ≻ 0X11 ≻ 0 (P = X −1 , J ≺ γ)

6

コントローラ設計

6.1

ポリトープ型コントローラ

シミュレーションと実験結果

ここで,Mfmax , Mbmin の時,,elevation 角度を 0[deg] から 15[deg] へ追従させたものを図 2 に,Mfmax , Mbmin の時,elevation 角度を 0[deg] から-10[deg] へ追従させたものを図 3 に,Mfmax , Mbmin の時 elevation 角度を 15[deg] に保ちながら traveling 角度を 0[deg] から 120[deg] へ変動させたものを図 4 に,elevation 角度を 15[deg] に保ちながら,Mfmax , Mbmin , から Mfmin , Mbmin , へ変動させたもの

51015time[sec]20

elevation[deg]2015reference
10simulation
experiment

500

51015time[sec]20

図 3 elevation 角度を 0[deg] から 15[deg] へ追従
traveling[deg]

140
120
100

reference

80

simulation

60

experiment40
200010203040time[sec]

図 4 travering 角度を 0[deg] から 120[deg] へ追従
18elevation[deg](6.0.13), (6.0.14), (6.0.15) よりポリトープ集合を用いてシステム行列 Ãd の端点を次のように設定する
Ãd1 = Ãd (Mfmin , Mbmin , u0fmin + u0bmin )Ãd2 = Ãd (Mfmax , Mbmin , u0fmin + u0bmin )Ãd3 = Ãd (Mfmin , Mbmax , u0fmin + u0bmin )Ãd4 = Ãd (Mfmax , Mbmax , u0fmin + u0bmin )Ãd5 = Ãd (Mfmin , Mbmin , u0fmax + u0bmax )Ãd6 = Ãd (Mfmax , Mbmin , u0fmax + u0bmax )Ãd7 = Ãd (Mfmin , Mbmax , u0fmax + u0bmax )Ãd8 = Ãd (Mfmax , Mbmax , u0fmax + u0bmax )本研究のコントローラはポリトープ型なので, 各端点にお7experiment

図 2 elevation 角度を 0[deg] から-10[deg] へ追従

u0f + u0b ∈ [u0fmin + u0bmin , u0fmax + u0bmax ]= [13.0, 34.0](6.1.0)Mf ∈ [Mfmin , Mfmax ] = [0.68, 0.73](6.1.1)
Mb ∈ [Mbmin , Mbmax ] = [0.68, 0.73](6.1.2)Q = diag {20 0.2 10 0.1 1.5 1.8 0.1 10 0 0 0 0}
R = diag {0.05 0.05}

simulation−10−150

ヘリコプタの機体におもりを載せた時, 特性変動が起こる, また, 機体をホバリングさせるための入力電圧がelevation 角度によって変動するが, これを変動パラメータとして捉え, これを定数値として取り扱う
このような誤差や特性変動分に対してもロバスト安定性を保証する.
入力 u0f + u0b , フロントモータの質量 Mf , バックモータの質量 Mb の各変動範囲は以下のようになる.

いて安定ならば端点で囲まれた範囲においてシステムの安定性が保証できる. 重み行列は試行錯誤の結果次のようになった.

reference−5reference
17experiment
simulation

1615140510time[sec]1520

図 5 錘の投下

8おわりに

本研究では, 平衡点による線形近似によって, ヘリコプタのモデルを作成した. 線形誤差と特性変動をポリトープ表
現し, ディスクリプタ表現を用いたロバスト LQ の制御器を LMI 定式化することによってフィードバックゲインを設計した. ポリトープでシステムの安定性が保証された内部で, 制御中に特性変動が生じた場合でも, 安定性を保証できることが確認できた.

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参考文献

[1] 池田雅夫: Descriptor 形式に基づくシステム理論 ,(1985), 計測と制御 vol.7,p597 ￣ 604