   論法
17 世紀、ニュートンやライプニッツによって微積分学が確立されました。しかし、当時はかなり厳しく批判されることも多くありました。それは、微積分学の根本をなす概念が明確でないためです。例えば、微分係数はlimh0f ( x  h)  f ( x )hで表されますが、これはあたかも 0 で割っているように見えます。もちろんゼロ割りは定義されませんが、微分係数ではこの禁忌を犯しているかのように見えます。これを当時は説明することができませんでした。ただ、正しい答えが出るため、その後も微積分学は利用されてきました。
19 世紀になると、数学の厳密化の流れの中で、微積分学も厳密に構成されることになります。ここで問題となるのは微分係数のように 0 0 の形になるものをどのように解釈するかということです。    論法では、極限を定義することで厳密な議論ができる様にしました。

   論法は

lim f ( x)      0 ，   0 s.t. 0  x  a    f ( x)    xaという文で極限を定義します。これから「  」の後ろの部分を説明しようと思います。
まず、先頭の「   0 」は  が正の実数であることを表します。そして、これより後ろの部分はすべての正の実数 について述べることとなります。
次に、「   0 」は正の実数  が存在することを表します。また、この場合は、まえに「   0 」があるため、すべての正の実数  それぞれに対して、ある正の実数  が存在することを表します。すなわち、  によって  が定まります（一意に定まるわけではありません）。
「 s.t. 」は「such that」の略で、「  」の補足説明の役割を果たします。
「 s.t. ~ 」の形で「～を満たすような…が存在する」という意味になります。
従って、「  」の後ろは、「すべての正の実数  それぞれに対して 0  x  a    f ( x)     を満たすような正の実数  が存在する」という意味になります。
では、「 0  x  a    f ( x)     」はどのような意味を持つのでしょうか。もちろん、この命題の主張は「正の数 x  a が  より小さいならば f (x)   は  より小さくなる」です。これを先の文にあてはめれば、「すべての正の実数  それぞれに対して、正の数 x  a が  より小さいならば f (x)   は  より小さくなるような、正の実数  が存在する」ということになります。しかしこれでは少しわかりにくくなっています。実は、今まで、「すべての正の実数  」という言い方をしてきましたが、この  はとても小さい実数を想定しています[1]。つまり、    論法は「どんな小さい正の実数  に対しても、正の数 x  a が  より小さければ f (x)   が  より小さくなるような正の実数  が存在する」ということを表しているのです。
ちなみに、    論法は「 0  x  a   」の部分でわざわざ「 0  」をつけてゼロ割りに代表される、様々な不都合が起こらないようにしています。

註) [1]    0 のとき、ある正の実数  が 0  x  a    f ( x)     0 を満たすなら、 0  x  a    f ( x)     となるから、大きい実数については考えなくともよい。

イプシロン・デルタ論法による極限の定義
ε − δ 論法（数列の場合には ε − N 論法）と呼ばれる概念により，厳密な数列の極限の定義を述べる．
定義（数列の極限）(1)

数列{an}∞

n=1と実数 α が『任意の ε > 0 に対して，ある自然数Nが存在して，n ≧ Nをみたす
任 意 の 自 然 数 n に つ い て an − α < ε をみたす』とき，数列{an}∞n=1の極限値は α であるといい
an→α (n → ∞ )で表す．
このとき，数列{an}∞n=1は α に収束するという．
(2)数列{an}∞
n=1がどのような実数 α にも収束しないとき発散するという．さらに『任意のK > 0 に対して，ある自然数Nが存在して，n ≧ Nを み た す 任 意 の 自 然 数 n に つ い て an > Kをみたす』とき，数列{an}∞n=1は ∞ に発散するといいan → ∞（ n→∞）で表す．また『任意のK < 0 に対して，ある自然数Nが存在して，n ≧ Nをみたす任意の自然数n についてan < K をみたす』とき，数列{an}∞n=1は −∞ に発散するといい
an→−∞（ n→∞）で表す．
数列{an}∞
n=1が α に収束するということは，an が α に近づいていくこと，つまり『n が十分大きければ，anと α の誤差an − α をいくらでも一様に小さくできること』であると考えられる．それを数式で表現したのが上の定義である．

εεa3…

aN+1αaN

a2a1x

この中に an (n ≥ N)は存在する
この定義を簡単に述べれば，先にどんな小さな誤差 ε > 0 を設定しても，その後から ε に対応して十分大きな番号 N を決めれば，その番号から先( n ≧ N ) では誤差 an − α が常に ε より小さくできるということである．最初はとっつきにくいと思うので，具体的な数列の場合に当てはめて考えてみよう．
なお，ε は非常に小さな正の数というイメージなので，例えば任意の ε >0 に対して，ある自然数 N が存在してn ≧ N⇒ an − α < 2 εが成り立てば， an → α (n→∞) となる．また，定義において『 n ≧ N 』の部分は『 n > N 』としても同値な条件となる．

レポート
理工学群数学類

201810821

寺嶋仁志

平均値の定理・概要
実函数に対して有界な領域上の積分に関わる大域的な値を、微分によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。
・様々な平均値の定理
1． ラグランジュの平均値の定理
a<b として f(x)を閉区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能な関数とする。このとき開区間(a,b)上にある点 c が存在し、が成り立つ。我々が日頃読んでいる「平均値の定理」とはこのことである。
2． コーシーの平均値の定理
f(x)、g(x)を開区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能な関数、区間内の各点x において g’(x)≠0、g(b)-g(a)≠0 であるならとなる c(a<c<b)が存在する。
3． ロピタルの定理
f(x)、g(x)を f(a)=g(a)=0 でありかつ a の十分近くで 0 にならない微分可能な関数とするとき、さまざまな関数のテイラー展開・テイラー展開
関数𝑦 = 𝑓 𝑥 は開区間 I 上で n 回微分可能とする。𝑎 ∈ 𝐼を固定するとき、すべて𝑥 ∈ 𝐼に対して、
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑓! 𝑎 𝑥 − 𝑎 +𝑓 𝑥 =!

!
!!! !
!!!
!!

𝑓 !! (𝑎)𝑓 !!! 𝑎𝑓 ! (𝑐)(𝑥 − 𝑎)! + ⋯ +𝑥 − 𝑎 !!! +(𝑥 − 𝑎)!
2!
𝑛−1 !
𝑛!

𝑥−𝑎 !+!! !
!!

𝑥−𝑎 !

を満たす c が a と x の間に存在する。この式を𝑓 𝑥 の𝑥 = 𝑎におけるテイラー展開とよぶ。
とくに、𝑎=0 のとき、マクローリン展開ともよばれる。
・指数関数のマクローリン展開
指数関数の場合、n によらず𝑓 ! 𝑥 = 𝑒 ! であるから、

𝑒! = 1 + 𝑥 +𝑥! 𝑥!
𝑥 !!!
𝑒!
+ + ⋯++ 𝑥!
2! 3!
𝑛 − 1 ! 𝑛!

・三角関数のマクローリン展開

𝑥! 𝑥!
−1 !
(−1)!!!
!!!!
sin 𝑥 = 𝑥 − + − ⋯ +𝑥+
sin 𝑐𝑥 !!!!
3! 5!
2𝑚 + 1 !
(2𝑚 + 2)!
𝑥! 𝑥!
−1 ! !!
−1 !!!
cos 𝑥 = 1 − + − ⋯ +𝑥 +sin 𝑐 𝑥 !!!!
2! 4!
2𝑚 !
(2𝑚 + 1)!
・対数関数のマクローリン展開
x > −1のとき!!

!!

log 1 + 𝑥 = 𝑥 − ! + ! − ⋯ +!! !!! ! !!!
!!!

(!!)!!!

+ !(!!!)! 𝑥 !

部分積分部分積分とは、以下の公式を用いた、積分のテクニックの一つである。

∫f ′ (x)g(x)dx = f (x)g(x) −∫f (x)g ′ (x)(1)

この式はまた、f (x) を F (x), f ′ (x) を f (x) と置き換えることにより、以下のようにも表せる。

∫∫f (x)g(x)dx = F (x)g(x) −F (x)g ′ (x)(2)

ここで重要なのは、次の二つの事である。

1. f (x)g(x) の積分を、F (x)g ′ (x) の積分に帰着させることができる。
2. f (x) の積分を、xf ′ (x) の積分に帰着させることができる。
1. について、二関数の積で表される関数の積分は、直接は求めにくい。これは、積分には積の微分公式のようなものが無いためである。しかし、この部分積分を利用すれば、より簡単な関数の積分に帰着させられることがある。
例 1.1∫xex dx は、f (x) = ex , g(x) = x と当てはめることにより、ex・1 = ex の積分に帰着させられる。これは非常に簡単である。
例 1.2∫ √)()∫ (1 − x2
1 √x
12−√dx=−・−1−x−dxx2xx
1 − x2√∫
1 − x21√−dx=−x
1 − x2√1 − x2=−− Sin−1 x + Cx

2. は、(2) 式において、f(x) = 1 と置いた特殊な場合である。そのままでは積分が難しい関数も、微分する
ことにより扱いやすくなることがある。
例 2.1

∫∫

1x・ dxx= x log x − x + Clog xdx = x log x −例 2.2

途中で、t = 1 + x2 の置換積分を用いている。

∫ 1−1Tan0[]1xdx = xTan−1 x 0 −∫π 1 21−dt
42 1 tπ 12= − [log t]142
π log 2= −42=1∫ 11x・dx
1 + x20