LQ 制御を用いた Anti-lock Braking System のロバスト安定化
2010SE124 水野 辰哉
指導教員：高見 勲
式 (1)，(2)，(3)，(4) より，スリップ率の微分を式 (5) に示す．

はじめに

1

本研究では Anti-lock Braking System (ABS) に対し車体速度，摩擦係数の変動に対するロバスト性を保証する

λ̇ =制御器を設計する．また，スリップ率を車輪のロックを防r2 (1 − λ)µ1r12 µ(−−ω2J1 r2 L(sin φ − µ cos φ)
J2 L(sin φ − µ cos φ)r1+)τ1(5)J1 r2+ぎ，かつ摩擦係数とコーナリングフォースの値が十分に高い 0.2 に安定させる事を目的とする．制御対象は非線形であるため，これを線形化する．またディスクリプタ表現，線形分数変換 (LFT) を用い行列ポリトープ表現で表すことで，変動パラメータを含む行列を LMI で定式化し，系式 (5) は非線形であるので, 平衡点 (λ∗ , τ1∗ ) のまわりで線形近似する [1]．また c1 , c2 , · · ·, c12 は定数である．

を安定にする制御器を設計する．

22.1r2 (1 − λ)τg µ
1r12 τg µ(−−)ω2J1 r2 L(sin φ − µ cos φ)
J2 L(sin φ − µ cos φ)

λ̇ = (

制御対象とモデリングc1 µ3 + c2 µ2 + c3 µ + c4)(λ − λ∗ )
ω2 (c9 µ3 + c10 µ2 + c11 µ + c12 )+(モデルの線形化と状態方程式の導出

c5 µ3 + c6 µ2 + c7 µ + c8)(τ1 − τ1∗ )ω2 (c9 µ3 + c10 µ2 + c11 µ + c12 )(6)

本研究では, 出力を目標値に追従させるために制御ループ
本研究で用いる ABS 実験機の簡略したモデルを図 1 に示す．上の車輪が車の車輪，下の車輪が道路を表している． 内にスリップ率の偏差の積分を状態変数に入れた．状態変∫T∗∗ T
上の車輪にかけるブレーキングトルク τ1 を操作すること 数を x(t) = [x1 (t) x2 (t)] = [ (λ − λ )dt λ − λ ] , 入でスリップ率 λ を目標値 0.2 に追従させる制御則を設計す

力を u(t) = τ1 − τ1∗ とし, 式 (6) よりディスクリプタ方程式

る．上の車輪，下の車輪の角速度を ω1 (t)，ω2 (t)，上の車は次のようになる．

輪，下の車輪の半径を r1 ， r2 ， 車輪間の摩擦係数を µ(λ)，[バランスレバーの回転軸から車輪間の接点までの距離をE=L，線分 L と車輪間の接点の法線がなす角を φ， 上の車輪にっかる垂直抗力を Fn とする．以下から角速度 ω1 (t)，ω2 (t) の (t) と µ(λ) の (λ) は省略する．上と下の車輪の回100e]

E ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)[][ ]0 10,A =,B =0 ab(7)e = c9 µ3 + c10 µ2 + c11 µ + c12
1a=(c1 µ3 + c2 µ2 + c3 µ + c4 )
ω21b=
(c5 µ3 + c6 µ2 + c7 µ + c8 )
ω2

転運動の運動方程式とスリップ率は次のように示す．

2.2

ディスクリプタ表現

行列 A, B には不確かさ ω2 ，µ があり，今のままではポリトープ表現をするのは難しい．そのため，不確かさを一つの係数行列にまとめる．ディスクリプタ変数をxd (t) = [x(t) λ̇ u(t)]T とすると, 状態方程式のディスクリプタ表現は式 (8) となる．
Ed ẋd (t) = Ad xd (t) + Bd u(t)
0 1 00[]0 I 0
 0 0 1
Ed =, Ad = 0 a −e b 0 00 0 0 −1

図 1 ABS 実験機の簡略図

J1 ω̇1 = Fn r1 µ − τ1J2 ω̇2 = −Fn r2 µr2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2(1)(2)(3)τg + τ1L(sin φ − µ cos φ)

2.301 ]

T

線形分数変換 (LFT)

行列 Ad には変動パラメータ µ の重積がある．システ
ムをアフィンな形にしポリトープ表現を出来るようにす

垂直抗力 Fn は以下のようになる．

Fn =Bd = [ 0 0(8)る．Ad を式 (9) と示す Ad の µ の高次を含まない行列を(4)An ，含む行列を Bδ (I − ∆Dδ )−1 ∆Cδ とする．また，ディスクリプタ変数を x˜d (t) とすることで式 (8) は式 (10) と表あるがスリップ率は 0.2 に安定している．また 0.7 の時スせる．

リップ率は 0.2 にはかないが止まる時間が早く ABS の機

Ad = An + Bδ (I − ∆Dδ )−1 ∆CδE˜d x̃˙ d (t) = A˜d x˜d (t) + B˜d u(t)[][]Ed 0xd (t)Ẽd =,x̃=d0 0zδ (t)[][]AnBδ ∆BdÃd = C D ∆ − I , B̃d =0δ

2.4(9)(10)

能は果たしたいる．実験結果では初めオーバーシュートがあるがほぼ 0.2 に安定している．しかし 10[km/h] あたりから大きく振動してしまう．

δ行列ポリトープ表現

本研究では，車速の変動範囲が 10[km/h]≤V ≤50[km/h]の時に対してにロバスト安全性を保証する．また，路面状況が変化した場合においてもロバスト安全性を保証する．摩擦係数の変動範囲は 0.1≤V ≤0.7 である．ここでX2 := 1/ω2 と変数変換し，X2 ，µ について行列ポリトー

図 2 µ=0.1:スリップ率

図 3 µ=0.1:車体と車輪の速度

図 4 µ=0.7:スリップ率

図 5 µ=0.7:車体と車輪の速度

図 6 µ=0.17:スリップ率

図 7 µ=0.17:車体と車輪の速度

プ表現で表す．

X2 ∈ [X2min , X2max ] = [0.0071, 0.0356]µ ∈ [µmin , µmax ] = [0.1, 0.7]

(11)
(12)

行列 Ãd の変動範囲の端点行列を Ãd1 , Ãd2 , Ãd3 , Ãd4 とする．

3LQ 制御系設計

u(t) をフィードバック形式のコントローラ，Q を状態変数に対する重み，R を入力に対する重みとして次の評価関数 J の最小化システムを考える．
∫ ∞J=(x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t))dt(13)0u(t) = Kx(t) とし，フィードバックゲイン K を K̃d =Ỹd X̃d−1 = [K 0] とする．以下の LMI を満たす X̃d ，Ỹdが存在すればシステムは漸近安定であり，J は γ 未満となる．ただし，X̃d := P −1 , Ỹd := K̃d X̃d である．
minimize :γsubject to X11 ≻ 0He[Ãdk X̃d + B̃d Ỹd ]1
Q 2 X̃d1R 2 Ỹd[WII
X111X̃dT (Q 2 )T−I0][≻ 0, X̃d =Ỹd = [ Y1
1ỸdT (R 2 )T ≺ 0(14)
0−I
X11
X21

(k = 1, 2, 3, 4)]0(15)X220 ] , trace(W ) < γ(16)5

おわりに
本研究では，変動パラメータ ω2 ，µ をポリトープで表現

しロバスト性を安定させる制御器を設計した．シミュレーションではスリップ率は 0.2 に安定するものの，実験では後半に大きく振動してしまう．今後の課題は，実験での後4シミュレーションと実験結果µ の値が 0.1, 0.7, 0.17 の時のシミュレーションを行なった．0.17 は使用する実験機での摩擦係数である．スリップ率と，車体と車輪の速度のシミュレーション結果を図 2∼7に示す．また，摩擦係数 0.17 においては実験結果も載せる．車の初期速度は 50[km/h] である．シミュレーションにおいて摩擦係数が 0.1, 0.17 の時はオーバーシュートが半の振動をなくすこと，また摩擦係数が 0.1, 0.7 の時の実験を行いロバスト安定性の検証を行うことである．

6

参考文献

[1] Idar Petersen,Tor A.Johansen,Jens Kalkkuhl and Jens
Ludemann, Wheel Slip Control in ABS Brakes Using
Gain Scheduled Constrained LQR , Proc. EuropeanContr. Conf., Porto, pp.606-611.