長方形領域の再利用可能積分公式の設計

12010SE095 桂川友香

指導教員：杉浦洋

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はじめに再利用性と R 集合本研究では，適応型積分法を考える．長方形領域の適応

長方形領域 D 上での近似積分 In (D)f の精度が悪いと型積分法のアルゴリズムは「精度が低いと判定された小長きは，x 軸あるいは y 軸と平行な直線で小長方形 D0 と D1方形を２等分する」という操作を繰り返して，必要な精度に２等分し，より精度の高い近似積分 In (D0 )f + In (D1 )fを達成する．このような数値積分法に用いる効率の良い積を得る．この領域分割を D0 , D1 以下にも再帰的に繰り返分公式を設計することが，本研究の目標である．

し，十分精度の高い近似積分値が得られる．このような領2域分割による近似積分法を適用型積分則という．

数値積分公式2

基本正方形領域 ∆ = [−1, 1] 上の関数 f (x, y) の積分

本点の数∫∫f (p)dxdy,If =In (D), In (D0 ), In (D1 ) の 標 本 点 集 合 を そ れ ぞ れ ，P, P1 , P2 とするとき，領域分割に際し新しくできた標

p = (x, y),∆を公式の分割コストという．C は小さいほど効率的である．

を近似する基本積分公式を，

In f =n∑

ρi f (π i ) ∼= Ifl=1とする．π i , ρi (1 ≤ i ≤ n) は標本点と重みである．
任意の s 次多項式 f に対し In f = If ，ある s + 1 次多P ⊂ P1 ∪P2 であれば，分割コストが小さくなり効率的である．P ⊂ P1 ∪ P2 を満たす基本積分公式を R(Reusable:再利用可能) 公式と言い，その標本アトムの集合を R 集合という．R 集合 A は，α = ⟨ξ, η⟩, α1 = ⟨φ(ξ), η⟩, α2 =⟨η, φ(ξ)⟩, φ(x) = |2x − 1|，として次の性質を持つ．
α∈A項式 f に対し In f ̸= If となる公式を s 次公式と言う．奇k+l=(s+1)/2

Er =k,l≥0

In (x y ) − I(x y )I(x2k y 2l )2k 2l2k 2lで定義する． 次数 s が高いほど，誤差指標 Er が小さいほ5

ρi f (p(π i )) ∼=で拾い出し，そして，それらを標本点とする R 公式を作成∫∫し，その中から優良な公式を選抜した．しかし、後の検証

f (x, y)dxdyDで近似する．ここで，S は D の面積である．

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親子関係グラフ G(A8 ) を作成した．古田 [1] は、それから得られる 1 次則，3 次則，5 次則のための R 集合を全て手

p : ∆ → D により，4 i=1FSR 則の構成
伊藤 [2] は座標の分母が 8 以下のアトムの集合 A8 の，一般の長方形領域 D 上の定積分は，アフィン変数変換

In (D)f =α1 , α2 ∈ A.

α は α1 , α2 の子，α1 , α2 は α の親という．A が R 集合であることと，任意の α ∈ A から出た親子グラフの矢印がA に終端を持つことは同値である．

ど高精度である．

nS∑⇒

この関係をグラフ的に表現して α → α1 , α → α2 と書き，

数 s 次公式の誤差指標を∑

C = |P1 ∪ P2 − P |FS(Fully Symmetric：完全対称) 集合
基本領域 ∆ をそれ自身に移す 8 つのアフィン変換(u, v) = ϕ(x, y) = (±x, ±y), (±x, ±y) で不変な，∆ の部分集合を FS 集合という．点 p = (x, y) を上記 8 つのアフィン変換で移した点全体の集合を⟨p⟩ = ⟨x, y⟩ = {(±x, ±y), (±x, ±y)}と書き，アトムと呼ぶ．FS 集合はアトムの和集合である．
標本点集合が FS 集合で重みが同一アトム内で等しいものを FS 公式という．本論文では FS 公式のみを扱う．によれば R 集合の数え上げは不完全であった．今回は、数え上げの手順を明確にし、完全なリストの作成を目指す．

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系統別 R 集合リスト

A8 の親子関係グラフ G(A8 ) は図 2 の様に，10 個の弱連結成分に分かれる．それらを，アトムの x 座標，y 座標それぞれの既約分母の最大奇数因数に基づき，11, 13, 15,17, 33, 35, 37, 55, 57, 77 系統と呼ぶ．A8 の R 集合を全て求めるには，各系統の R 集合をリストアップしてそのリストから 0 個あるいは 1 個の R 集合をとって和集合を作る．

71 次則の構成
1 次則に用いる R 集合は，アトム 1 個からなる．そのような R 集合は 3 種．それら全てについて R 公式が存在す

表 3 5 次優良公式
No46485139

α⟨0, 0 ⟩, ⟨0, 1 ⟩, ⟨1, 1 ⟩, ⟨ 31 , 13 ⟩⟨1, 1 ⟩, ⟨0, 13 }, { 31 , 1 ⟩, ⟨ 13 , 13 ⟩⟨0, 1 ⟩, ⟨1, 1 ⟩, ⟨ 31 , 23 ⟩, ⟨ 13 , 13 ⟩⟨0, 51 ⟩, ⟩0, 35 ⟩, ⟨ 15 , 1 ⟩, ⟨ 35 , 1 ⟩⟨ 23 , 1 ⟩, ⟨ 13 , 1 ⟩, ⟨ 13 , 23 ⟩, ⟨ 13 , 31 ⟩n1320202428

C1016172024Er0.740.49
0.370.200.12(5) のパターンは存在しない．
このようにして，86 種の R 集合を得，内 50 種の R 集合では 5 次則が構成できず，36 種の R 公式が構成できた．
その中から，5 種の優良公式を選抜した (表 3)．
表 1，2，3 の優良公式の標本点配置をそれぞれ図 2，3，4 に示す．

図 1 G(A8 )表 1 1 次優良公式
No12α⟨1, 1 ⟩
⟨ 13 , 13 ⟩

n44C
24Er
2.000.67

図 2 優良 1 次則の標本点配置
表 2 3 次優良公式
No124α⟨1, 1 ⟩, ⟨0, 1 ⟩⟨ 13 , 13 ⟩, ⟨1, 1 ⟩⟨ 13 , 1 ⟩, ⟨ 31 , 13 ⟩n8812C5610Er4.67
1.630.74

図 3 優良 3 次則の標本点配置
る．その中から選抜された 2 種の優良公式の標本 R 集合

α を表 1 に示す．左から α の通番 (N o)，要素アトム，標本点数 n，分割コスト C ，誤差指標 Er である．

83 次則の構成

3 次則に用いる R 集合は，アトム 2 個からなる．それらを 2 パターンに分けて数え上げた．
(1) 2 つの系統からアトム数 1 の R 集合を１つずつ採る．
(2) 1 つの系統からアトム数 2 の R 集合を 1 つ採る．
このようにして，9 種の R 集合をえ，優良公式 3 種を選抜した (表 2)．

図 4 優良 5 次則の標本点配置

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おわりに

本論文では，場合分けを使って R 集合を数え上げ，見落としがないようにした．そして，それらを標本点とする．

FSR 公式を作成し，その中から優良な公式を選抜した．得95 次則の構成

5 次則に用いる R 集合は，アトム 4 個からなる．それらを 5 パターンに分けて数え上げた．
（1）1 つの系統からアトム数 4 の R 集合を 1 つ採る．
（2）1 つの系統からアトム数 3 の R 集合，1 つの系統からアトム数 1 の R 集合を採る．
（3）1 つの系統からアトム数 2 の R 集合，1 つの系統からアトム数 2 の R 集合を採る．
（4）1 つの系統からアトム数 2 の R 集合，1 つの系統からアトム数 1 の R 集合，1 つの系統からアトム数 1 の R 集られた優良公式は古田のものと変わらなかったが，その結果の信頼性を高めた．これからの課題は構成した公式を，実際に適応型積分則に組み込み，その適合性を調べる．また，さらに高次の優良公式を設計し，高精度の積分則を目指すことである．

参考文献[1] 古田純也：長方形領域の再利用可能積分公式，南山大
学数理情報学部数理科学科 2012 年度卒業論文 (2013)．

[2] 伊藤加奈恵: 長方形領域における再利用可能型積分公式の設計, 南山大学数理情報学部情報システム数理学（5）4 つの系統からアトム数 1 の R 集合を 1 つずつ採る．
科 2011 年度卒業論文 (2012)．
ただし，アトム数 1 の R 集合は全体で 3 つしかないので合を採る．