§11連結性，弧状連結性問題 11-1 [連結]X, Y を位相空間とし，連続 f : X → Y に対して，X の連結な部分集合 A の像 f (A) も連結であることを示せ．

問題 11-2 [連結部分集合の閉包の連結性]
連結な部分集合の閉包は連結であることを示せ．

問題 11-3 [直積空間の連結性]
連結な位相空間の直積は連結であることを示せ．

問題 11-4 [連結]位相空間 X 上の任意の 2 点が X のある連結集合に含まれるとき，X は連結であることを示せ．
問題 11-5 [連結]位相空間の各連結成分は閉集合であることを示せ．

問題 11-6 [完全不連結集合]
有理数全体は完全不連結であることを示せ．

問題 11-7 [開集合でない連結成分]
各連結成分が閉集合だが開集合でない例をあげ，証明せよ．

問題 11-8 [連結性]位相空間 X が連結であるためには，連続な全射 X → {0, 1} が存在しないことが必要十分であることを示せ．ただし，{0, 1} は離散空間とする．
問題 11-9 [局所連結]
局所連結だが，連結でない空間をあげ、説明せよ．

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問題 11-10 [R 上の区間とゾルゲンフライ直線上の区間][0, 1], [0, 1), (0, 1) に R 上の部分位相空間とする．このとき，これらの区間はお互い位相同型でないことを示せ．
問題 11-11 [開写像]
連続関数 f : R → R が開写像であるとき，f : R → f (R) は同相写像であることを示せ．ただし、f (R)には相対位相を入れておく．

問題 11-12 [R の連結性]
R は連結であることを示せ．

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問題 11-13 [局所連結]
局所連結であることと，すべて連結な開集合が開基となることは同値であることを示せ．

問題 11-14 [弧状連結であるが局所連結でない]
I を閉区間 [0, 1] とし、{}
1
Y = x ∈ R|x = ∨ x = 0 × I ∪ I × {0}nは弧状連結であるが，局所弧状連結ではないことを示せ．

問題 11-15 [商空間の連結性]
A ⊂ X を稠密な部分集合とする．このとき，商空間 X/A は連結であることを示せ．
問題 11-16 [商空間の連結性]
X を連結な位相空間とする．A を X の連結集合とし，B を X − A の開集合でかつ閉集合とする．A ∪ Bは連結であることを証明せよ．

問題 11-17 [任意の 2 点がある連結部分集合に含まれる位相空間]
任意の 2 点がある連結部分集合に含まれるような位相空間は連結であることを示せ．すなわち次を示せ．

∀x, y ∈ X∃A ⊂ X 連結集合で x, y ∈ A ⇒ X 連結問題 11-18 [連結集合の列]
隣り同士が互いに交わる連結部分集合の列の和集合は連結であることを示せ．つまり次を示せ．

∀n ∈ N, An ⊂ X 連結 An ∩ An+1 ̸= ∅ ⇒ ∪n∈N An は連結問題 11-19 [連結集合の列]
任意の 2 つが互いに交わる連結部分集合の族の和集合は連結であることを示せ．

∀λ ∈ Λ, Aλ ⊂ X 連結かつλ, λ′ ∈ Λ, Aλ ∩ Aλ′ ̸= ∅ ⇒ ∪λ∈Λ Aλ は連結問題 11-20 [R 上の連結集合]
R 上の部分集合 A が連結であるための必要十分条件は A が区間であることであることを示せ．
問題 11-21 [完全不連結]
相異なる x, y ∈ X を含む連結集合 A は全て連結集合でないとすると，X は完全不連結であることを示せ．

問題 11-22 [稠密な連結部分集合]
稠密は連結部分集合を含む位相空間は連結であり，連結集合の閉包は連結であることを示せ．つまり次を示せ．
A ⊂ B ⊂ cl(A) ⊂ X かつ A 連結なら B は連結28

問題 11-23 [連結成分]
位相空間 X における x ∈ X を含む最大の連結集合を x の連結成分といい，CX (x) と表す．CX (x) は閉集合であり，x, y ∈ X に対して，CX (x) ̸= CX (y) ならば，CX (x) ∩ CX (y) = ∅ であることを示せ．
問題 11-24 [球の連結性]
Rn+1 上の球 Sn = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Rn+1 |x21 + x22 + · · · + x2n+1 = 1} は連結であることを示せ．
問題 11-25 [閉包の内部と内部の閉包]
A を閉連結集合とするとき，A の内部の閉包 (A◦ ) は A と一致するか？また，A を開連結集合とすると
き，A の閉包の内部 (Ā)◦ は A と一致するか？
問題 11-26 [Rn の開集合]
Rn の開集合 G に対して次を示せ．

(1) 部分空間 G において，点 a ∈ G と弧によって結ぶことのできる G の点の全体を G(a) とする．このとき G(a) は Rn の開集合であることを示せ．
(2) G が連結であれば，G は弧状連結であることを示せ．
問題 11-27 [2 点集合]
2 点集合 {a, b} 上の位相 {∅, {a}, {a, b}} は弧状連結であることを示せ．
問題 11-28 [n 点集合]
n 点集合上の位相空間 X を考える．X が連結であることと弧状連結であることは同値であることを示せ．
問題 11-29 [局所連結空間の連結成分]
局所連結空間の連結成分は開かつ閉であることを示せ．
問題 11-30 [連結部分集合の性質]R2 から高々可算個の点の補集合は連結集合であることを示せ．
問題 11-31 [位相空間の連結性]
位相空間 X が連結であるためには連続な全射 X → {0, 1} が存在しないことが必要十分であることを示せ．ただし，{0, 1} には離散位相が入っているとする．
問題 11-32 [連結性]X, Y を連結は位相空間とし，A ⊂ X, B ⊂ Y を真部分集合（全体と一致しない）とする．このとき，
X × Y − A × B も連結となることを示せ．
問題 11-33 [弧状連結，連結]{(( ))}
12R の部分集合として X = (x, y)| x, x sin, x > 0 ∪ {(0, 0)} を考える．このとき，X は連結xか？また弧状連結か？

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問題 11-34 [p-進距離空間の 0 次元性]
Z 上の p 進距離空間は 0 次元であることを示せ．
問題 11-35 [有理数の 0 次元性]
Q は通常の距離空間として 0 次元であることを示せ．

—————————————————————————————————————————§12

ハウスドルフ空間問題 12-1 [非ハウスドルフ空間上の点列]
非ハウスドルフ空間における点列 {an } で a にも b にも収束するものを構成せよ. ただし，a ̸= b とする．
問題 12-2 [距離空間の分離公理]
ユークリッド空間 Rn はハウスドルフ（T2 -空間）を満たすことを示せ．
問題 12-3 [3 点集合の分離公理 2]
3 点集合の位相のうち，T0 -空間となるものはいくつあるか？
問題 12-4 [ハウスドルフ空間の商空間]
ハウスドルフ空間の商空間がハウスドルフにならない例を示せ．

問題 12-5 [ハウスドルフ空間の収束極限]
ハウスドルフ空間 X において収束する点列の極限は一意に決まることを示せ．
問題 12-6 [n 点集合の分離公理]n 点集合上のハウスドルフ空間 (T2 -空間) は離散位相であることを示せ．
問題 12-7 [T1 空間]
T1 空間であることと、任意の 1 点集合が閉集合であることは同値であることを示せ。
問題 12-8 [ハウスドルフ空間の直積，部分空間]
ハウスドルフ空間の直積，また部分空間はまたハウスドルフになることを示せ．

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問題 12-9 [非ハウスドルフ空間上の点列]
非ハウスドルフ空間 X に対して、相異なる a, b ∈ X をとる。点列 {an } で a と b に収束するものを構成せよ．
問題 12-10 [有限補集合位相の分離公理](N, O) を補有限位相とする．このとき，O はハウスドルフでない T1 空間であることを示せ．また，数列 xn (n ∈ N) で，xn ≥ n を満たす数列とする．このとき，xn は N の全ての点に収束することを示せ．

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問題 12-11 [ハウスドルフ空間]
X をハウスドルフ空間とする．このとき，∆ = {(x, y) ∈ X × X|x ∈ X} は X × X 上の閉集合であることを示せ．

問題 12-12 [ハウスドルフ空間]
X をハウスドルフ空間とする．このとき，次が成り立つことを示せ．f, g : X → Y が連続写像であるとする．

(1) {x ∈ X|f (x) = g(x)} は X の閉集合である．
(2) D を X において稠密な集合とするとき，f |D = g|D ならば，f = g である．
問題 12-13 [ハウスドルフ空間]
X をハウスドルフ空間とする．f, g : X → Y が連続写像であるとする．f のグラフ {(x, f (x)) ∈ X ×Y |x ∈X} は X × Y の閉集合である．
問題 12-14 [T1 空間]
任意の相異なる 2 点 p, q において，一方を包み，他方を含まないような開集合が各点においてとれることをいう．T1 空間は一点が閉集合であることを示せ．
問題 12-15 [Vietoris の位相]
X を位相空間とする．X の閉集合全体のなす族を X の巾 (べき) 空間といい，2X とあらわす．巾空間
2X の開基として⟨U1 , · · · , Uk ⟩ = {B ∈ 2X |B ⊂ ∪ki=1 Ui , B ∩ Ui ̸= ∅(i = 1, · · · , k)}なる形の集合全体をとる．ただし，U1 , · · · , Uk は X 上の開集合とする．X が T1 空間とすると，このようにして 2X に導入された位相も T1 であることを示せ．
問題 12-16 [有向点列と有向点列の収束]
X を空間，D を有向集合とする．写像 φ : D → X を有向点列といい，x0 ∈ X に対して，x0 の任意の近傍 U (x0 ) に対して，d ≺ d ⇒ φ(d) ∈ U (x0 )となる d0 ∈ D が存在するとき，有向点列 φ が x0 に収束するという．
問題 12-17 [ハウスルドルフ性と有向点列]
位相空間 X に対して，以下は同値であることを示せ．

(1) X はハウスルドルフ(2) X における有向点列の極限がただ一つである．
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