時間軸状態制御形に基づく

Control Moment Gyroscope の制御
2010SE188 佐野椋一
指導教員：大石泰章

はじめに

1

Control Moment Gyroscope(以下 CMG) は人工衛星の3 軸姿勢制御用のトルク発生装置である. 現在の中大型人工衛星には, リアクションホイールが用いられているが,CMG はそれに比べて発生トルクが格段に大きく, 将来的には宇宙ステーションなどの大型建造物の制御に有効であると期待されている. しかし, CMG を制御する際に劣駆動システムの持つノンホロノミック拘束により, 平衡点における線形近似システムが不可制御となる問題がある.
よって本研究では時間軸状態制御形 (参考文献 [1]) に基づき, システムを状態制御部と時間軸制御部と呼ばれる 2

図 1 CMG の概略図

つの部分システムに分割して制御を行う. 通常, 前者は従来の制御手法で得たフィードバック則で安定化し, 後者に制御部に対して正弦波追従制御を用いて, 従来では考えらJC , KC : ジンバル 2 の慣性モーメント [kg・m2 ]KB : ジンバル 3 の慣性モーメント [kg・m2 ]KA : ジンバル 4 の慣性モーメント [kg・m2 ]J1 = JC + JD − KC − ID , J2 = ID + KA + KB + KCと定める.

れていない時間軸の安定性を保証し, 駆動源を持たないジ

2.2

ついてはフィードフォワードによる制御を行う. しかしこれを CMG に対して適用すると, フィードフォワード制御
では時間軸の制御が不安定であるので, その時間軸の不安定性がシステム全体の不安定性に繋がる. そこで, 時間軸ンバルを所望の位置へ収束させるような制御器を設計する.

2

制御対象

2.1

CMG のモデリング(1)となる. ただし, 各パラメータは,ID , JD : ロータ 1 の慣性モーメント [kg・m2 ](4)が得られる. 式 (4) にはジンバル 2 の角度 q2 に加え, ロー
タ 1 とジンバル 4 の角速度 ω1 , ω4 が含まれていることから一階のノンホロノミックシステムであることがわかる.

3制御系設計システムを Chained Form に変換し (参考文献 [2]), 時間軸状態制御形に変換する. すなわち, ジンバル 4 の目標値を z3d とするとき, 各変数を,
z1 = α(q2 ),{z 2 = q1 ,v1 = β(q2 )ω2 ,
z=
q−zz,
v2 = ω1 ,3412
z̃3 = z3 − z3d ,d−JD sin q2, β(q2 ) =α(q2 )
α(q2 ) =dq2
J2 + J1 sin2 q2(5)(6)と定義するならば, 時間軸状態制御形は,(2)JD ω̇1 sin q2 + (J2 + J1 sin2 q2 )ω̇4+J1 ω2 ω4 sin 2q2 + JD ω1 ω2 sin q2 = 0

ジンバル 4 が初期状態で静止している状態を考えると,(3) 式を時間で積分することで,(JD sin q2 )ω1 = −(J2 + J1 sin2 q2 )ω4

CMG の概略図を図 1 へ示す.CMG は中核で回転するロータ 1, そのまわりに連結されたジンバル 2, 3, 4 の計 4つの剛体から成るシステムである. q1 はジンバル 2 からみたロータ 1 の相対角度を表し, ω1 = q̇1 はロータ 1 の角速度を表す. q2 はジンバル 3 からみたジンバル 2 の相対角度を表し, ω2 = q̇2 はジンバル 2 の角速度を表す. q3 はジンバル 4 からみたジンバル 3 の相対角度を表し, ω3 = q̇3 はジンバル 3 の角速度を表す. そして q4 はジンバル 4 の角度を表し, ω4 = q̇4 はジンバル 4 の角速度を表す. 制御入力はロータ 1, ジンバル 2 を回転させるトルク T1 , T2 である. システムの簡略化のため, ジンバル 3 をロックした状
態 (q3 = ω3 = ω̇3 = 0) を考えると, 運動方程式は,JD ω̇1 + JD ω2 ω4 cos q2 + JD ω̇4 sin q2 = T1 ,1(IC + ID )ω̇2 − J1 ω42 sin 2q22−JD ω1 ω4 cos q2 = T2 ,ノンホロノミック拘束式(3)

dz 1 = v1(7)dt[] [][] [ ]z̃3z̃30 −1 00 vdzz000
1 2=+22∫dz1 ∫ z̃ dz
1 0 00 v1z̃3 dz131(8)である. (7) 式を時間軸制御部, (8) 式を状態制御部と呼び, 2 つのサブシス テ ムに分け て制御系設計を行う.

4

シミュレーションと実装結果

ただし, この座標変換により状態制御部の可制御条件は設計した制御系を用いてシミュレーションを行い, そ− π2 < q2 < π2 であり, この条件を陽に満たす必要がある.の結果をもとに実装を行う. ジンバル 2 に対する指令軌

3.1

時間軸制御部

道 q2d , 時間軸に対する指令軌道 v1d , 各パラメータゲイン

G1 , G2 , λ, k2 , k3 , l2 , l3 , kI を,新たな時間軸を z1 とおき, 指令軌道 z1d とそれに対応する入力 v1d を,

q2d =ż1d = v1d(9)を満たすように定める. 軌道偏差 z1 − z1d を z̃1 , 入力偏差v1 − v1d を ṽ1 と定義するとき z̃˙1 = ṽ1 となる. ある状態
フィードバックゲイン λ > 0 に対してṽ1 = −λz̃1(10)となるように v1 を決めることができれば z1 − z1d → 0 が保証できる. 具体的には,

v1 = v1d − λ(z1 − z1d )π−JD sin q2d3sin(t) + , v1d =44
J2 + J1 sin2 q2d λ = 2.0, G1 = 20, G2 = 12,
k2 = 10, k3 = −25, kI = 27,
l2 = 10, l3 = 25,のように設定する. 初期条件を [q1 , q2 , q4 ]T = [0,[rad] とし、ジンバル 4 の目標値を z3d =のシステムの応答を図 2, 図 3 に示す.

(17)

π T, 0]4π[rad] とした時
3(11)とすればよい. これを達成するため (11) 式の左辺と右辺の差を v̄1 とすると,

v̄1 = v1 − v1d + λ(z1 − z1d )(12)が得られる. (12) 式の時間微分 v̄˙ 1 に対して,v̄˙ 1 = −G1 v̄1(13)

図 2 時間軸の応答となるようなフィードバックゲイン G1 > 0 を用いて安定化する. 得られる角加速度 ω̇2 は

図 2, 3 より, ジンバル 4 の角度 q4 の値は時間の増加と

1
ω̇2 =(v̇1d − λ(v1 − v1d )β(q2 )(14)− G2 (v1 − v1d + λz̃1 ) − β̇(q2 )ω2 2 )となる. これにより例えば外乱があっても時間軸が所望の軌道に収束することが保証される.

3.2

図 3 ジンバル 4 の応答

共にコントローラを切り替えて所望の位置に状態を切り返しながら収束していることがわかる. また, 新しい時間軸である z1 は常に生成した軌道に追従し, 増加と減少を繰り返していることがわかる.

5状態制御部

おわりに
本研究では, 2 入力 3 状態の CMG に対して, システム

時間軸 z1 の増加・減少に伴い状態フィードバックゲイを時間軸状態制御形に変換することで, 新たな時間軸を生ン k2 , k3 , l2 , l3 , kI を切り替えて状態 z2 = 0, z3 = 0 とな成すると共に, 状態制御部の状態が所望の位置へ収束するるような制御を考える. このような理想的な v2 と実際のような制御器を設計し, シミュレーションと実装によりそv2 の値の差を v̄2 とすると,∫
v2 + k3 z̃3 v1 + k2 z2 v1 − kI z̃3 dz1 v1v̄2 =∫
v2 + l3 z̃3 v1 + l2 z2 v1 − kI z̃3 dz1 v1の有用性を確認した. 今後の課題は, 時間軸状態制御形に(v1 > 0)(v1 < 0)(15)が得られる. これに基づき, 時間軸制御部と同様の方法で,角加速度を求めると,


(−G2 v̄2 + k3 z2 v1 − k2 v2 + kI z̃3 v1 )v1
ω̇1 =(−G2 v̄2 + l3 z2 v1 − l2 v2 + kI z̃3 v1 )v1

参考文献[1] 清田洋光・三平満司 : 「時間軸状態制御形によるドリフト項をもたない非ホロノミックシステムの安定化」. システム制御情報学会論文集, vol. 9 (1999), pp.

(v1 > 0)(v1 < 0)(16)が得られる. また, (3) 式よりジンバル 4 の角加速度 ω̇4 が得られる. これより (1), (2) 式に (14), (16) 式を代入する
ことで CMG の入力 T1 , T2 を得る.

基づき, 駆動源のないジンバル 3, ジンバル 4 に対して目標値追従制御を行うことである.

647–654.
[2] J. van de Loo: Control of nonholonomic control moment gyroscope. Internal Report DCT 2006.053, Department of Mechanical Engineering, Technishe Universiteit Eindhoven, Eindhoven, The Nethetlands,
2006.