線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 11 回（’14 年 1 月 8 日：Keywords · · · 最小多項式）[最小多項式]・・・行列 A の最小多項式 MA (t) とは、 MA (A) = O となる多項式のうち次数が最小で、最高次の係数が 1の多項式のこと．最小多項式は固有多項式 ΦA (t) の約多項式である．

[対角化可能性と最小多項式]・・・行列 A が対角化可能であるための必要十分条件は、最小多項式が一次式の積（つまり重根を持たない式）となることである．
[対角化と n 乗の求め方]・
・・A が対角化のとき、P−1 AP = D となる正則行列 P が存在するが、A = PDP−1 であること
n−1から、A = (PDP ) · · · (PDP−1 ) = PDn P−1 と計算できる．D は対角行列であることから、Dn は各対角成分の n 乗である．
[A∗ = t Ā][正規行列]・
・・正方行列 A が AA∗ = A∗ A となるもの．
[ユニタリー行列]・・・AA∗ = E となる行列．同値なことに、A の列ベクトルか行ベクトルが正規直交基底であること．
[直交行列]・
・・実正方行列 A が At A = E となること．
[エルミート行列]・・・A∗ = A となる行列．
[対称行列の対角化]・・・対称行列は直交行列によって対角化できる．
[エルミート行列の対角化]・・・エルミート行列はユニタリー行列によって対角化できる．

A-11-1. [最小多項式]
次の行列の最小多項式 MA (t) を求め、次の行列が対角化可能かどうか判定せよ．

1 2(1) 2 11 1(2) 0 11 1 2(3) 0 1 0
0 0 2
1 1 1(4) 0 1 0
0 0 0

0 1(3) 1 2
1 1(4) 0 1

A-11-2. [An の計算]
次の行列の An を計算せよ．


2 1(1) 0 2


1 1(2) 2 1

A-11-3. [正規行列]
次の行列が正規行列かどうか調べよ．ただし、ω は 1 の 3 乗根である．


 2 i 0 (1) −i 3 −i
0 i 2

2 − i0i (2)  01+i0 i02−i 1 ω2 ω (3)  ω 1 ω2 
 2ω ω 1———————————————————————————————————————————————

B-11-1. [ユニタリー行列][易]AA∗ = E であることと、A の行ベクトルか列ベクトルが正規直交基底であることは同値であることを示せ．

B-11-2. [行列の n 乗][易]2 1
 とするとき、An を求めよ．
行列 A = 1 2

B-11-3. [行列の n 乗][易]1 1
 とするとき、An をan を a1 = 1, a2 = 1 となるフィボナッチ数列とする．行列 A を A = 1 2
求めよ．

B-11-4. [内積と随伴行列][中]正方行列 A に対して、(Ax, y) = (x, A∗ y) が成り立つことを示せ．ここで、内積 (·, ·) は Rn 上の標準内積であるとする．

B-11-5.
][中] [重解を持つ固有ベクトル1 a b
行列 0 2 c が対角化できるための必要十分条件は ac − b = 0 となることであることを示せ．

0 0 1

B-11-6. [最小多項式][中]A を行列とすると、ΦA (t) は MA (t) で割り切れ、λ を A の固有値とすると MA (λ) = 0 であることを示せ．

B-11-7. [複素数と行列 ][中]

a −b とする．このとき、A(a, b) は複素数 a + bi と同じ四則演算が成り立つ
行列 A(a, b) を b aことを示せ．

B-11-8. [複素数と An の計算][難]a −b は対角化可能であることを示せ．また、An はa, b を実数とする．このとき、行列 A = b aαn −βn  とかけ、z = a + bi としたとき、zn = αn + i βn であることを示せ．
βn αn B-11-9. [行列のn 乗と 5 で割った余り][難]1 1
 とし、An の各成分を 5 で割った余りを与える行列を Bn とする．このとき、行列を A を 1 0det(Bn ) を 5 で割った余りは n に応じてどのようになるか求めよ．

B-11-10. [対角化可能であるため条件][中]次の行列が対角化可能であるような a を求めよ．
a 0 1 
0 2 1 
0 0 −aB-11-11. [対称行列の固有空間の直交性][中]λ, µ を実対称行列 A の固有値とする．Rn 上に標準内積を入れておく．このとき、Vλ , Vµ はこの内積に関して直交していることを示せ．つまり、∀v ∈ Vλ , ∀w ∈ Vµ に対して、(v, w) = 0 を示せ．
(Hint:対称行列であるとき、教科書定理 7.4 もしくは B-11-4 を用いることで (v, Aw) = (Av, w)が成り立つことを用いよ．
）———————————————————————————————————————————————

C-11-1. [An ] 1 3 に対して以下の問題に答えよ．
行列 A = 2 0

(1) 固有値と固有ベクトルを求めよ．
(2) An を求めよ．

C-11-2. [最小多項式]
次の行列を A とする．

 2 1 1 
 0 1 −1
−1 −1 1

このとき、以下の問題に答えよ．

(1) 固有値とその固有値に関する固有空間を求めよ．
(2) 最小多項式を求め、対角化できるかどうか判定せよ．
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
第 9 回の略解(C-9-1) 固有値 λ の定義は Av = λv かつ v , 0 となる v が存在することである．ゆえに、Vλ ∋ v , 0 である．よって、Vλ , 0 であり、同値なことであるが dim Vλ > 0 である．
ΦA (t) = |tE − A| = t3 − t2 − t + 1 = (t − 1)2 (t + 1) であり、
 (C-9-2)   
−2 4 0
⟨ 2 0 ⟩   = 1 , 0 また、固有値が λ = −1v ∈ C3 | −2 4 0 v = 0
固有値は ±1 である．固有値が λ = 1 のとき、V1 =    



10−2 4 0 
−4 4 0 ⟨ 1 ⟩ 
3 = 1v ∈ C | −2 2 0  v = 0のとき、V−1 =  
1−2 4 −2