時間軸状態制御形によるControl Moment Gyroscope の目標値追従制御
2011SE248 鈴木彰悟
指導教員：高見勲

1

はじめに非ホロノミックと呼ばれる拘束をもつ機械系は従来の線形制御理論を適用することが困難なシステムであることがT1

知られている. そのようなシステムに対する制御手法の一つとして, 時間軸状態制御形 (以下, TSCF) と呼ばれる形

Rotor1q1

Gimbal3

ω1q2
ω2q3
ω3式があり, 線形制御理論を適用可能な形で表現し, コント

T2

ローラを設計する手法が提案されている [1].

Gimbal2

本研究では, 2 入力 3 状態の非ホロノミック系である

Gimbal4

Control Moment Gyroscope(以下, CMG) に対し, TSCFを用いた安定化制御を行う. 先行研究では, コントローラ

q4
ω4を切り替えながら状態を安定化させるといった制御仕様により, システムの応答が振動的になってしまい, その分安定

図 1 Schematic model of CMG化に時間がかかってしまう. よって, この問題を回避するために, コントローラの切り替えを行わないような制御系を設計し, 駆動源を持たないジンバルの目標値追従制御を行い, 理論の有用性をシミュレーションを用いて検証する.

2

モデリング

図 1 は CMG の概略図である. CMG は Rotor1, Gimbal2, 3, 4 の計 4 つの剛体で構成されるシステムである.
CMG には Rotor1 を回転させるトルク T1 と Gimbal2 を回転させるトルク T2 が存在する. Roter1, Gimbal2, 4 の角度と角速度を q1 , ω1 , q2 , ω2 , q4 , ω4 と定義する. また
Gimbal2 の可動域は − π2 < q2 < π2 である.
運動方程式はそれぞれ (1), (2), (3) 式となる.

JD ω̇1 + JD ω̇4 sin(q2 ) + JD ω2 ω4 cos(q2 ) = T1(1)1(IC + ID )ω̇2 − J1 ω42 sin(2q2 )2− JD ω1 ω4 cos(q2 ) = T2(2)(J2 + J1 sin2 (q2 ))ω̇4 + JD ω̇1 sin(q2 )+ JD ω1 ω2 cos(q2 ) + J1 ω2 ω4 sin(2q2 ) = 0(4) 式にはシステムの状態のみでなく, 状態の一階微分が含まれていることから, 一階非ホロノミックシステムであることがわかる.

3

制御系設計
システムを TSCF[1] に変換する. TSCF は時間軸制御部, 状態制御部という 2 つのサブシステムに分けて制御系設計を行う.

Gimbal4 の目標値を z3r とするとき, TSCF における状態変数を (5a) 式, 入力を (5b) 式と定義する.
z = q1
 1z2 = α(q2 )(5a) z3 = q4z̃3 = z3 − z3r{v1 = ω1(5b)v2 = β(q2 )ω2)
(d−JD sin(q2 ), β(q2 ) =α(q2 )
α(q2 ) =dq2
J2 + J1 sin2 (q2 )(3)

dz 1 = v1
dt

2

ID , JD : Rotor1 の慣性モーメント [kg・m ]JC , KC : Gimbal2 の慣性モーメント [kg・m2 ]KB : Gimbal3 の慣性モーメント [kg・m2 ]KA : Gimbal4 の慣性モーメント [kg・m2 ]J1 = JC + JD − KC − ID , J2 = ID + KA + KB + KC
初期状態において Gimbal4 が静止している場合, (3) 式を一階積分すると次の拘束条件が得られる.

(J2 + J1 sin2 (q2 ))ω4 + JD ω1 sin(q2 ) = 0(4)(6a)[] [][] [ ]z̃3z̃30 1 00 v
d2z2= 0 0 0 ∫ z2+ 1∫dz1v
1 0 00 1z̃3 dz1z̃3 dz1(6b)
ここで, 時間軸制御部は (6a) 式, 状態制御部は (6b) 式で表される.

(6a) 式の z1 を (6b) 式の新たな時間軸とする. それにより状態制御部は可制御正準系で表現され, 線形制御理論の適用が容易となる.
本研究では, 時間軸 z1 の切り替えを行わずに単調増加さ

シミュレーション4設計した制御系を用いてシミュレーションを行う.

せ, Gimbal2 を傾けることで生成されるジャイロ効果を用いることにより, 駆動源を持たない Gimbal4 を目標値追従

各ゲインパラメータ k1 , k2 , k3 , H1 , H2 と定数 C を次のよさせる. 時間軸の切り替えを行わないことで, 先行研究にうに設定する.

おいて切り替え時に見られたシステムの振動的な応答を回

k1 = 3, k2 = 5.5, k3 = 1.5, H1 = 5, H2 = 0.01, C = 4避する試みを提案する.

3.1

各剛体の初期状態を [q1 q2 q4 ]T = [0 0 0]T [rad] とし,時間軸制御部の安定化

時間軸制御部の状態変数 z1 は単調増加させるため, 次のGimbal4 の目標値を z3r = π4 [rad] シミュレーション結果
を図 2, 3 に示す.

ようにおく.

v1 = C (定数)(7)40

理想的な入力 (7) 式と実際の入力 (5a) 式の偏差 v̄1 を次の[rad]v̄1 = ω1 − C

30201(8)qように定義する.

(8) 式で表されるシステムに対して, フィードバックゲイン H1 > 0 を用いて安定化することを考える.
v̄˙ 1 = −H1 v̄11000

ω̇1 = −H1 (ω1 − C)6810

図 2 Rotor1 の角度 q1 のシミュレーション結果(10)
q 4 [rad]0.8

状態制御部の安定化

状態制御部の状態変数 z2 , z̃3 ,4time [s](9) 式より, Rotor1 の角加速度 ω̇1 は次のように得られる.

3.22(9)∫z̃3 dz1 を状態フィード
バックゲイン k1 , k2 , k3 > 0 を用いて安定化させるため, 理想の入力 v2 を次のようにおく.
∫v2 = −k1 z2 v1 − k2 z̃3 v1 − k3 z̃3 dz1 v1(11)

0.6
0.4
0.2
00simulationreference
246810time [s]図 3 Gimbal4 の角度 q4 のシミュレーション結果

理想的な入力 (11) 式と実際の入力 (5a) 式の偏差 v̄2 を次のように定義する.

図 2 より, Rotor1 は単調増加していることから安定化∫v̄2 = v2 + k1 z2 v1 + k2 z̃3 v1 + k3

していることがわかり, 図 3 より, Gimbal4 は状態制御部z̃3 dz1 v1(12)(12) 式で表されるシステムに対して, フィードバックゲイ
ン H2 > 0 を用いて安定化することを考える.
v̄˙ 2 = −H2 v̄2かる.

5(13)時間軸制御部と同様の方法で (13) 式より, Gimbal2 の角加速度 ω̇2 は次のようになる.

1{−β̇(q2 )ω2 2 − (k1 v2 + k2 z2 v1 + k3 z̃3 v1 )v1β(q2 )∫− H2 (v2 + k1 z2 v1 + k2 z̃3 v1 + k3 z̃3 dz1 v1 )v1 }ω̇2 =(14)また, (3) 式より Gimbal4 の角加速度 ω̇4 が得られる. 以上より, (10), (14) 式を (1), (2) 式に代入することで CMGの入力トルク T1 , T2 を得る.

におけるコントローラの切り替えをしていないため, 応答が振動的になることなく目標値に追従していることがわ

おわりに本研究の成果は以下のように挙げられる.
1. 先行研究でみられていた問題点を, 提案した制御系を用いて回避した.
2. 駆動源のない Gimbal4 の目標値追従制御を行い, 理論の有用性をシミュレーションにより検証した.

参考文献[1] M. Sampei： A control strategy for a class for nonholominc systems - time-state contorl form and its
application - In proc.of 33rd CDC, pp. 1120-1121,
1994