ガンマモデルにおけるダネット型多重比較法
2010SE121

宮崎

指導教員：白石1

諒高章型多重比較検定を論じる．第１群の対照群と第 i 群の処理はじめに群を比較することを考える．１つの比較のための検定は，本論では，ガンマ分布に従う多群モデルにおける Dun-nett 型 (ダネット型) の多重比較検定と同時信頼区間を考察する．さらに，ダネット法によって解析を行う C 言語プ

帰無仮説

Hi： βi = β1に対して 3 種の対立仮説がログラムを作成し，鳥の寿命のデータの解析を行う．

2

ガンマ分布
確率変数 X の密度関数が，{f (x) =x1
α−1 − βeΓ(α) x0(1) 両側対立仮説

HiA±： βi ̸= β1(2) 片側対立仮説

HiA+： βi > β1(3) 片側対立仮説

HiA−： βi < β1となる．ここで，(x > 0)(x ≤ 0)Ti ≡と な る 分 布 を パ ラ メ ー タ (α, β) の ガ ン マ 分 布 と い い ，√
α0 {log(X̄i .) − log(X̄1 .)}√1
1ni + n1Ga(α, β) と表す．ただし，パラメータ α, β は正である．
とおく，また，漸近理論を述べるために，
ま た ，密 度 関 数 を 微 分 し て ，平 均 E(X) = αβ ，分 散(条件 1)ni
V (X) = αβ 2 とできる．そして，ガンマ分布は寿命のlim= λi > 0 (1 ≤ i ≤ k)n→∞n分布として，生物学・医学・薬学などの様々な分野に応用されている (白旗 [1])．

を仮定する．このとき次の補題と定理を得る．
【補題 1】 X1 , · · · , Xn 〜Ga(α0 , β) のとき，3モデルの設定√1Ln{log (X̄n ) − log (α0 β)} → N (0, )α0

白石 [2] の指数分布に従う多群モデルの設定を参考にして，ある要因 A があり，k 個の水準 A1 , · · · , Ak を考え(証明) 中心極限定理とデルタ法 (白石 [3] の定理 3.27 と定る．水準は群とも呼ばれる．水準 Ai における標本の観測 理 3.35) を用いることで示すことができる．2値 (Xi1 , Xi2 , · · · , Xini ) は第 i 標本または第 i 群と呼ばれ， 【定理 1】 (条件 1) の下で，()ガンマ分布 Ga(α0 , βi ) に従っているものとする．ただし，lim P0 max |Ti | ≤ t = B1 (t),βi は未知 (β1 , . . . , βk はすべて未知) とする．すなわち，n→∞f (x) =1−xxα0 −1 e βi (x > 0)Γ(α0 )

lim P0n→∞ただし，すべての Xij は互いに独立であると仮定し，総標
本サイズを n ≡ n1 + · · · + nk (すべての観測値の個数) とおく．また，第 i 群の標本平均を X̄i . ≡ n1i
表1水準
対照
処理 1群
第1群第2群..
.
処理 k − 1..
.
第k群

ni
∑

2≤i≤k(Xij とする．

j=1)
max Ti ≤ tが成り立つ．ただし，){ (√√∫ ∞ ∏kλi
λi + λ1・x +・t
B1 (t) ≡Φ
λ1λ1−∞ i=2(√k 群ガンマモデル
データ

平均分布X11 , · · · , X1n1X21 , · · · , X2n2..
..
..
.
.
.
Xk1 , · · · , Xknk

α0 β1α0 β2..
.
α0 βk

Ga(α0 , β1 )Ga(α0 , β2 )..
.
Ga(α0 , βk )= B2 (t)2≤i≤k−ΦB2 (t) ≡λi・x −λ1∫ ∞ ∏k−∞ i=2√(√Φλi + λ1・t
λ1

λi・x +λ1√)}dΦ(x),)
λi + λ1・t dΦ(x)λ1とする．

4

ダネット型の多重比較検定法
白石 [2] の指数分布に従う多群モデルの場合を参考にして，3 のモデルに対応して，第１群を対照群とするダネット(証明) 補題 1 を変形すると，√√L
α0 n{log(X̄i .) − log(α0 βi )} → Yi 〜N()
10,λi√ √L
α0 n{log(X̄1 .) − log(α0 β1 )} → Y1 〜N
ただし，X̄i . ≡ n1ini∑()
10,λ1は，次のように与えられる．ただし，i = 2, · · · , k とする．
両側信頼区間√Xij とする．

log(X̄i .) − log(X̄1 .) − b1 (α) ·j=1

ゆえに，(条件 1) を用いると，()
max |Ti | ≤ t

lim P0n→∞

2≤i≤k



< log(βi ) − log(β1 )|Yi − Y1 |= P0  max √≤ t
2≤i≤k11+λi
λ1< log(X̄i .) − log(X̄1 .) + b1 (α) ·と変形できる．

√5

次に白石 [4] の定理 A.7 より，示すことができる．2
ここで α を与え，B1 (t) = 1 − α を満たす t の解を b1 (k, λ1 , · · · , λk ; α)，B2 (t) = 1 − α を満たす t の解を b2 (k, λ1 , · · · , λk ; α)とし，b1 (k, λ1 , · · · , λk ; α) を b1 (α)，b2 (k, λ1 , · · · , λk ; α)を b2 (α) と表記する．このとき，(定理 1) より，次の漸近的な多重比較法が導かれる．

(対数変換を使った漸近的な多重比較法)
平均母数の制約に応じて，水準 α の漸近的な多重比較法は次のように与えられる．
両側検定：帰無仮説 Hi vs.対立仮説 Hi A± (i = 2, · · · , k) のとき，|Ti | > b1 (α) となる i に対して Hi を棄却し，対立仮説 Hi A± を受け入れ，βi ̸= β1 と判定する．

Ti (β) ≡α0 {log(X̄i .) − log(X̄1 .)}√1
1
ni + n1n→∞2≤i≤k(n→∞B2 (t) ≡∫ ∞ ∏k−∞ i=2の値を選択し，出力する．

5. input2() において，各群のサイズとそれぞれの観測値を入力する．

6

おわりに参考文献√(√
Φ

4. output() において，b1 (k, λ1 , · · · , λk ; α)，b2 (k, λ1 , · · · , λk ; α)て確認することができた．

){ (√√∫ ∞ ∏kλi
λi + λ1B1 (t) ≡・x +・tΦ
λ1λ1−∞ i=2−Φ

認する．

ンマモデルにおけるダネット型多重比較法の有用性を改めが成り立つ．ただし，

λi・x −
λ1

1. teigi1()，teigi2() に お い て ，b1 (k, λ1 , · · · , λk ; α)，b2 (k, λ1 , · · · , λk ; α) の値の配列を用意する．
2. input() において，群の個数 k ，ガンマ分布のパラメー
タ α0 ，有意水準 α，検定の範囲を入力する．
3. hantei() において，2 の値で検定が行えるかどうかを確= B2 (t)2≤i≤k(√なる．

全長の大きい鳥ほど長いということが分かった．また，ガ= B1 (t),)
max Ti (β) ≤ tlim P0語プログラムを作成した．プログラムの手順は次のようにして鳥の寿命の解析を行った．その結果から，鳥の寿命は)max |Ti (β)| ≤ t

大橋 [5] を参考に，ダネット法によって解析を行う C 言

較検定と同時信頼区間を考察し，C 言語プログラムを作成【定理 2】 (条件 1) の下で，(プログラムの流れ

本論では，ガンマ分布に従う多群モデルにおける多重比とおく，このとき，次の定理を得る．

lim P011+nin1

6. keisan() において，Ti を計算する．
7. kekka() において，検定結果と信頼区間を出力する．

ここで，β ≡ (β1 , · · · , βk ) に対して，√11+nin1

λi + λ1・tλ1

λi・x +λ1√)}dΦ(x),)
λi + λ1・t dΦ(x)λ1とする．

(証明) 定理 1 と同様に示すことができる．2
また，同様に，次の漸近的な同時信頼区間が導かれる．

(対数変換を使った漸近的な同時信頼区間)
log(βi ) − log(β1 ) に対する信頼係数 1 − α の同時信頼区間[1] 白旗慎吾．「統計学」．ミネルヴァ書房．2008[2] 白石高章．多群指数モデルにおける平均パラメータの多重比較法．計量生物学．34.1-20[3] 白石高章．「統計学の基礎-データと結びつきがよくわかる数理」．日本評論社．2012[4] 白石高章．「多群連続モデルにおける多重比較法-パラメトリック, ノンパラメトリックの数理統計」．共立出版．2011[5] 大橋一之：すべての平均相違の多重比較統計量の分布論．2012 年度南山大学情報理工学部情報システム数理学科卒業論文，2013.