った要因は観察しておくことが望ましい。たとえ頻繁に活用されるマルチレベル分析

ば就学前教育が豊富だと学習時間が長く，また数学スコアも高いことが理論的に予想できる。その社会学や心理学の計量分析の分野では，「マル場合，就学前教育を観察して変数として投入してチレベル分析（multilevel analysis）」とよばれる

おかないと，β1 には本来学習時間の効果ではなデータの分析手法が盛んに活用されるようになっい効果が入り込み，結果がバイアスをもってしまている。社会学のトップジャーナルの 1 つであるう。

American Sociological Review に目を通せば，い一般的に，よい育ちをした子は勉強する癖もつかにこの手法が頻繁に使われているかわかるだろ

いているだろうから，試験前に勉強せずともそもう。

そも高いスコアを期待できる。育ちに関わる変数

他方で，社会学の分野ではマルチレベル分析のを観察しないでたんに試験前学習時間で数学スコ性質についての理解はあまり進んでいないようにアを回帰してしまうと，ウソの結果が推定されて思える。とくに現在はソフトウェアが対応していしまう。調査においてさまざまな変数に影響を与ればその手法を使えるという事情もあり，理解よえる可能性のある変数，すなわち性別，年齢，学りも利用が先行しているのが現状である。

歴，出身家庭の情報などを同時に観察し，回帰モ

この論考ではこのような事情を鑑み，マルチレデルに投入するのは，これらの変数自体の効果にベル分析とはどのような分析手法なのか，そして関心がある場合もあるだろうが，これらから影響どのように使っていけばよいのかについて，できを受ける変数の推定バイアス（擬似相関）を取りるだけ平易な言葉で解説することにしよう。

除くためという意味が大きい。とはいえ，基本属性を観察して統制することに固定効果モデルで「面通し」

よってバイアスをすべて取り除けるわけではない。
質問紙調査では観察しにくい微妙な育ちの要因が計量分析にはさまざまな手法があり，またさまバイアスをもたらしている可能性もある。もしそざまな用途があるが，分析者が回帰分析に一番期うなら，何が数学スコア上昇をもたらしたかとい待するのは，バイアスの小さな推定である。

う「捜査」における試験前学習時間という容疑者

数学のスコアに対する試験前の学習時間の効果について推定する例を考えよう。通常のモデルでは，は，じつは真の犯人ではない（効果をもっていない）のかもしれない。

ここで，試験前学習時間が本当に犯人なのかど数学スコア＝β0 ＋β1 学習時間＋ e

うかを検証するために「面通し」をするさまざまという式で推定がなされる。β1 学習時間の部分な方法がある。もっとも信頼性が高いのは実験でを固定効果，e を変量効果（攪乱項） とよぶ。こある。まず複数人の数学スコアを試験で測定し，の e の部分には，学習時間以外に数学スコアに影次に無作為に分けた 2 グループの片方にのみ学習響した無数の要因が集積されている。もしこの隠をさせ，そののちふたたび試験をするのである。

れた要因の一部が学習時間と相関しているのなら

この 2 グループのスコア向上の差が，学習のバイば，β1 の推定値はバイアスを被るので，そういアスのない効果であるということになる。

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社会と調査（2012 年 9 月）

このような実験が難しいときにしばしばとられり， こ れ ら は 変 量 効 果 モ デ ル（random-effects

る代替手段が，パネル調査である。たとえば 2 回model） を使えば両方の大きさを推定することがの試験結果の差を，それぞれの試験前の学習時間できる。もし u の大きさが e に比べて大きいのなの差で回帰することで，観察期間中一定であったら，数学スコアに大きく貢献した要因は，半年間要因の影響を推定結果から除去することができる。

では変化しないような要因のグループのなかにあ「育ち」の効果は持続的なものであるから，パネる，ということがわかる。もし e が大きいのなら，ルデータ分析によってこれに起因するバイアスを数学スコアはそのような生徒個人に帰属できるよキャンセルできるのである。これがパネルデータうな要因では説明できないということになる。

を使った固定効果モデル（fixed-effects model）である（北村 2005）。

この場合インターバルは半年だが，その間に変化しない要因には，たとえば育ちに起因するものがあるだろう。たった 2 回試験をして，しかも変量効果モデルで「犯人探し」（学習時間などの）基本要因を観察しないようなずさんな調査であっても，「育ち」要因が効いてい上記のような方法は，最初からターゲット（容疑者）を絞り込んで，その効果を厳密に推定しよそうかどうかのアタリをつけることができてしまうわけである。

うという方針に基づいている。計量経済学者はこ試験を複数回行っていなくても，受験者の所属の方針をとることが多い。しかし社会科学データする集団や地域の情報が得られれば，同じようなにおいてはとくに，被説明変数は複数の（それこ絞り込みが可能である。たとえば地域，学校，クそ無数の）要因によって説明される。共犯者が無ラス，その他で変量パートを分割すると，数にいるようなものである。そこで，たとえばまだ容疑者の目星がつかない段階で，だいたいのア数学スコア＝β0＋u1＋u2＋u3＋eのようになる。u1 が地域，u2 が学校，u3 がクラタリをつけるための探索的な捜査をする，というスである。もしこのうち u2 の大きさが突出して方針をとることが考えられる。

大きいのなら，数学スコアに影響する要因は（地この捜査方針は，具体的にどのように行われるのだろうか？

域でもクラスでも個人でもなく） 学校単位で変動

鍵は，する要因である，ということになる。学校偏差値，数学スコア＝β0＋β1 学習時間＋e

公立か私学か，学校の教育方針などがそれにあたの e（攪乱項） の部分にある。なにしろここにはるだろう。

無数の共犯者がうようよしているからである。ま

変量効果モデルのこの機能は，個人がおかれたずやれることは，理論的に想定できる要因を観察

集団や環境による要因を探索したい社会学者にとして，固定効果のパートに次々と移していくことっては大いなる福音であるといえよう。

である。しかしこれは少々効率が悪いやり方だ。
数学スコアに強い影響を与える要因の特徴につい混合効果モデルでさらに絞込みて，まずはざっくりと知りたいものである。そんな上手い方法があるのかと思われるかもしれないが，じつはある。

さきほどの変量効果モデルでは，性別や学習時間などの固定効果はいっさい使われていなかった。

まず，2 回の試験を一定のインターバル（たとしかしこういった要因は観察しやすいので，投入えば半年） を設けて実施する。そうすると，1 人するに越したことはない。2 回試験をやるパネルの生徒につき 2 つの観察値を得ることができる。

調査の例に戻って，今度は固定効果を投入したモ

これにより，デルを考えてみよう。

数学スコア＝β0＋u＋e

数学スコア＝β0＋β1 性別＋β2 学習時間＋u＋eのように，変量パート（攪乱項）を 2 つに分解でこれにより，まず変量効果モデルでは u の中きるようになる（β0 は全体平均値）。u は観察期間に隠れていた性別の効果が u から取り除かれ，中変化しなかった要因の集積効果の推定量，e はまた e の中に隠れていた学習時間の効果が e から観察期間中変化した要因の集積効果の推定量であ除去される。そのうえであらためて u と e の大き
社会と調査（2012 年 9 月） 103

さをみていくのである。もし，固定効果の投入前スコア

では u が大きかったのに，投入後は u が極端に生徒 A のスコア小さくなったとすれば，u のなかにはもうあまり有力な要因が残っていない，ということになる。

全体平均

したがって次に探索すべきは e，つまり半年の間に変化しうる要因である，ということになる。
このように固定効果の影響を取り除いた上で変量効果の影響を推定することができるのが，混合効果モデル（mixed-effects model） である。なぜ「混合」なのかというと，固定効果と変量効果の学習時間両方がモデルに含まれているからである。そして

図 1 数学のスコアと学習時間の関係における切片の変量効果

一般にマルチレベル分析といわれている分析手法
は，ほとんどの場合この混合効果モデルを指して与える影響の平均傾向である。生徒 A は，このいる。
ここで注意すべき点が 1 つある。それは，上記平均よりも高いスコアを保持していることがわかで説明したパネル固定効果モデルと違って，混合る。このようなモデルを変量切片モデルとよぶこ

効果モデルによる固定効果の推定では，そのままとがある。

ではバイアスが残っていることがある，というここの時点で少し補足しておこう。まず図で示さとである。固定効果モデルでは少なくとも半年間れているのは変量効果の推定結果であって，もとで変化しない要因によって引き起こされる擬似相のデータそのものではないということに気をつけ関は除去できるのだが，混合効果モデルではそうよう。変量効果については，生徒個体ごとの観察

いった要因は u のなかにそのまま残っている（上数とその個体内のばらつきの大きさに応じて，全記モデルでは性別の効果だけは除去できるが）。そ

体平均からの距離が計算されている。個体内観察の効果は，混合効果モデルでは間違って学習時間数（ここでは数学テストの受験回数） が少ないほの効果（β2）に帰属されてしまう。

ど，そのデータは信頼できないので，変量効果もちろん擬似相関を引き起こす要因を u や e か（点線） は全体平均に近づく。個体内でのデータ

ら観察によって取り出していくにつれて固定効果のばらつきが大きい場合も，そのデータは信頼性のバイアスは小さくなっていくが，攪乱項のなかが低いと判定され，やはり変量効果の推定値は全に隠れた要因の探索ではなく個体内で変化する要体平均に近づいていく。この性質から，変量効果因のバイアスのない推定（不偏推定）が目的であの推定量（一般的に Best Linear Unbiased Predic-るのなら，混合効果モデルではなく固定効果モデ

tor : BLUP と よ ば れ て い る） は「 縮 約 推 定 量ルを優先させるべきである。

（shrinkage estimator）」とよばれることがある（Hox, 2002 : 28）。したがって，個々の生徒個体の混合効果の柔軟なモデリング

ダミー変数から推定される値（固定効果）と変量効果とは一致しない。

さて，混合効果モデルは固定効果と変量効果のさて，図 1 では変量効果が全体的なレベル（切両方を同時に推定することができる柔軟さを誇っ片）のみにあるという想定で推定されていた。つているが，さらに固定効果と変量効果の交互作用まり勉強時間と変量効果は相関していないというを推定することもできる。まずは交互作用を含ま前提であった。しかし個人によって勉強の効果がない異なる，ということも十分に考えられる。同じ勉

数学スコア＝β0＋β1 学習時間＋u＋eという単純なモデルを推定すると，図 1 のように実線で示したのが，学習時間が数学のスコアに社会と調査が大きくなる，という想定である。数式では数学スコア＝β0＋γ1 学習時間＋u0＋u1 学習時なる。

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強時間でもある生徒は別の生徒よりスコアの伸び（2012 年 9 月）

間＋e極端な例で説明しよう。近年盛んに行われるよスコア
生徒 A のスコア
全体平均うになっているパネル調査であるが，たいていの場合は 1 年間程度のインターバルをおいて観察がなされる。ここでインターバルを仮に 1 時間にしたらどうだろうか。協力者の方を訪問して「あなたの昨年 1 年間の税込の年収は？」などと尋ねておいて，面接調査終了後一度その場を去るが，1時間の間をおいてふたたび訪問し，同じ質問をするのである。これで一気にデータの数が 2 倍にな学習時間る。サンプルサイズが大きければ誤差も小さくな

図 2 数学のスコアと学習時間の関係における切片と傾きの変量効果るので，有意差も出やすくなる。調査コストもかからないし，いいことばかりである。
もちろんこれはインチキな調査法だ。なぜ 1 年となる。u0 は切片の変量効果，u1 は学習時間のの間を空ければインチキではないのに，1 時間だ効果（傾き）の変量効果である。この場合，図 2とインチキになるのだろうかという問いに答えるのような推定結果になる。のは意外に難しいのでここでは説明しないが，い図 2 では，切片のみならず傾きに変量効果が想ずれにしろ現代の計量分析では，個体ごとにあま定されている（この場合でも全体平均への収縮が生りに変動のない観察値については「別個の（2 つじていることに留意しよう）。生徒 A における学あれば 2 つの）観察」であるとはみなされず，誤習時間の効果は，全体平均よりも高いという推定差を調整することになっている。これを攪乱項の結果になっている。全体的に学習時間の効果にはクラスター相関，あるいは個体内相関を考慮した個体ごとのバラつきが大きく，したがって半年で誤差の推定とよぶ。やり方はおもに 3 つある。ク

変化しない要因のなかにこのバラつきを説明する

ラスターロバスト推定，FGLS（Feasible General-要因が含まれている，というアタリをつけることized Least Squares）推定，そして混合効果最尤推ができる。このようなモデルを変量係数モデルと定である。分散不均一のときと同じく，後二者はよぶことがある。

基本的にロバスト推定よりも有効な（つまり精度変量係数モデルでは，交互作用をもつ固定効果の高い）推定量を生む。の変数を中心化して推定することがしばしばなさ

この意味では，上でみてきたような攪乱項の分れる。図 2 をみるとわかるが，何もしない状態で割は探索的な用途があるときにのみ行えばよい，は u0（切片の変量効果）は学習時間がゼロのときというわけではない。データが何らかの形でクラの値になり，情報としてあまり有用ではないからスター化されており，そのクラスターの情報（個だ。中心化すれば平均値がゼロになり，したがっ人，クラス，学校，地域など）が得られるのなら，て u0 の効果も解釈しやすくなる（Luke, 2004 : 49）。

とくに探索的な目的がない場合でもクラスターロ

ここでふたたび注意を喚起しておこう。上記のバスト推定や混合効果推定を用いるほうが望ましような単純なモデルだと，固定効果にはバイアスい，ということである。

が含まれている可能性が高い。そうすると当然，交互作用効果もバイアスをもつことになる。解釈

ま と めには十分に慎重になる必要がある。
以上で固定効果モデル，変量効果モデル，そしサンプルの水増し防止て混合効果モデルの 3 つの分析手法の説明がひととおりできたと思う。肝心なのは，目的に応じて混合効果モデルには，以上のような探索的な用モデルを使い分けることである。そのためには途以外にも重要な役割がある。それは，サンプル個々のモデルがどういった性質をもっているのかの水増し防止対策である。

について，最低限の理解をしておく必要がある。
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この論考がめざしたのは，こういった分析方針策定のためのインストラクションである。以上をよく理解されたうえで，充実した計量分析のひとときを過ごしてほしい。
文献
Hox, J.,

2002,

Multilevel Analysis : Techniques andApplications, Mahwah, N. J. : Lawrence Erlbaum
Associates.
北村行伸，2005，『パネルデータ分析』岩波書店。
Luke, D. A.,

2004,

Multilevel Modeling, Thousand

Oaks : Sage.

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