微積分 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (D506) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 12 回（’16 年 1 月 8 日：Keywords · · · 広義重積分、級数の収束）
まとめ.

12-1. 級数の収束・・・sn =n∑ak とおくとき、 sn が極限 n → ∞ において収束するとき、級数は収束

n=1するといい、その値を∞∑an とかく．

n=1∞∑12-2. 等比級数・・・
arn−1 は |r| < 1 のとき収束し、値はn=112-3. 級数の判定・・・（ライプニッツの判定法）∞∑

an が交代級数（つまり、任意の n に対してn=1an an+1 < 0 が成り立つ）であり、 lim an = 0 であるとき、n→∞（コーシーの判定法）が存在するとき、∞∑∞∑aとなる．
1−r∞∑an は収束する．

n=1√an は正項級数であり、（有限この n を除いて） n an ≤ r < 1 を満たす

rn=1an は収束する．

n=1∞∑an+1an は正項級数であり、（有限この n を除いて）（ダランベールの判定法）≤ r < 1 であると
ann=1∞∑
an は収束する．
き、
n=1（絶対収束）任意の n に対して |an | ≤ bn かつ∞∑∞∑bn が収束すれば、 an も収束する．

n=1

n=112-4. 一様収束・・・関数列 fn (x) が B ⊂ R で一様収束するとは、任意の ϵ > 0 に対して、ある N が存在して n > N なる任意の n に対して、任意の x ∈ B に対して | f (x) − fn (x)| < ϵ が成り立つ．
・・ fn が区間 I で連続な関数であり、 fn が I において f に一様収束するとする．
12-5. 関数列の極限・
このとき、 f は I で連続である．
12-6. 微分と極限の順序交換・・・ fn (x) が区間 I 上で C 1 級関数とし、 fn′ (x) が I 上一様収束するとし、
d fn (x)dある点 x0 ∈ I で、 fn (x0 ) である点に収束しているとする．このとき、 lim=
lim fn (x) がn→∞dxdx n→∞成り立つ．つまり、微分と極限が交換ができる．
12-7. 積分と極限の順序交換・・・ fn (x) が区間 I 上で連続関数とし、 fn (x) が I 上一様収束していると∫ x∫ xする．このとき、 limfn (t)dt =lim fn (t)dt が成り立つ．つまり、極限と積分の交換ができn→∞

aa n→∞

る．
12-8. 広義（コンパクト）一様収束・・・関数列 fn (z) が閉領域とは限らない領域 A において、広義（コンパクト）一様収束するとは任意の有界閉集合 B ⊂ A において、 fn (z) が一様収束するということである．
・・ fn (z) をある領域 A 上での連続関数からなる関数項級数とする．
12-9. 項別微積分・∞∑(1). A においてfn (z) が f (z) に広義一様収束するなら f (z) も A 上連続である．
n=1∞∑(2). A において fn (z) が C 1 級関数列であり、fn′ (z) が、I 上広義一様収束し、さらに、ある z0 ∈ I
n=1

があって、∞∑fn (z0 ) が収束するなら

n=1∞∑

fn (z) は A で広義一様収束し、項別微分

n=1∞∞∑d fn (z)d ∑fn (z) =dz n=1dzn=1が成り立つ．

(3). A において∞∑∞ ∫ z∑fn (z) が f (z) に広義一様収束するなら、fn (t)dt は A 上広義一様収束し、An=1n=1上で

∞ ∫ x
∑
n=1

fn (t)dt =a∫ x∑∞aafn (t)dtn=1が成り立つ．

∞∑・・区間 I で定義された関数項級数 fn (x) に対して | fn (x)| ≤ Mn が成り立ち、
Mn12-10. 優級数法・が成り立つとする．このとき、∞∑n=1

fn (x) は一様収束する．

n=1∞∑an zn の形の級数をべき級数という．このべき級数に対して・・12-11. べき級数・
n=1√n1= lim sup |an |Rn→∞として計算される量をこのべき級数の収束半径とよぶ．この R は |z| < R なる任意の複素数 z に対して級数が（絶対）収束する．特にこのとき、関数項級数は一様収束する．収束半径内においては項別微積分ができ、できた級数も同じ収束半径をもつ．
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今日の課題.
1. 広義積分．2. 級数の収束について———————————————————————————————————————————————

小テスト-12. [面積](x, y) = (cos θ, sin3 θ) (0 ≤ θ ≤∫2π) によって囲まれる部分の面積を求めよ．
()
2π2n + 1 12nただし、グリーンの公式や、
sin θdθ = 2B, を用いてもよい．
220————————————————————————————————————————————-

問題-12-1. [広義積分]
次の広義重積分を計算せよ．ただし、D = [0, 1] × [0.1] とする．
∫ ∫dxdy√Dx 2 + y2

問題-12-2. [パラメータのある関数の積分の微分]
パラメータを含む積分の微分において、a, b が y の関数 a(y), b(y) であるとする．このとき、下を示せ．
∫ b∫ bdaddb∂fdxf (x, y)dx = f (b, y) − f (a, y) +dy adydya ∂a

問題-12-3. [積分]∫∞cos ax π −a= e であることを使って、
1 + x2 20∫ ∞0πsin ax
dx =x2

を示せ．

問題-12-4. [積分]次の関数を α によって微分せよ．

F(α) =∫ α0log(1 + αx)
dx
1 + x2問題-12-5. [級数]次の級数が収束するか、コーシーの判定法、ダランベールの判定法のいずれかを用いて求めよ．

(1)

∞
∑
1
n=1(3)

n!

∞
∑nn
n=1n!

(2)

∞
∑
n − 1 n2)
(nn=2(4)∞ (2∑n )n nen+2n=2———————————————————————————————————————————————

宿題-12-1. [広義積分]
次の積分を求めよ．

∫ ∫ √x2 + y2 dxdy

D

ただし、D = {(x, y)|x2 + y2 < 2ax}

宿題-12-2. [級数]次の級数は収束するか?ダランベールの判定法、もしくはコーシーの判定法を用いてもよい．

∞∑πn sin n(1)2n=1(2)∑nn=1n2 + 1———————————————————————————————————————————————
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提出-12-1. [広義積分]
番号
次の広義積分を求めよ．
∫ ∫名前xydxdy D = {(x, y)|x ≥ 1, y ≥ 1}2
2 3
D (x + y )