IPhO2017

T1Solutions/Marking Scheme

A. 銀河クラスター
A.1
クラスター内の物質の分布は連続的であると仮定する。クラスター全体の重力ポテンシ

1.0pt

ャルのエネルギーを𝑀, 𝑅で表せ。
43

質量が𝑀(𝑟) = 𝜋𝑟 3 𝜌である球体と球の中心から距離𝑟にある質量𝑑𝑚の粒子からなる系のポテンシャルエネルギーは，

𝑀(𝑟)𝑑𝑈 = −𝐺𝑑𝑚
𝑟0.2ptで与えられる。
したがって半径𝑅の球では，
𝑅

𝑈 = −∫ 𝐺
0𝑅
𝑀(𝑟)4𝜋𝑟 3 𝜌16𝑑𝑚 = − ∫ 𝐺
4𝜋𝑟 2 𝜌𝑑𝑟 = − 𝐺𝜋 2 𝜌2 𝑅 5𝑟
3𝑟
1500.6pt

今，系の全質量である

𝑀=4 3𝜋𝑟 𝜌30.2pt

を用いて，

𝑈=−3 𝐺𝑀
5 𝑅2を得る。
A.2
銀河クラスター全体が地球から遠ざかる平均の速さ𝑉𝑐𝑟 を，𝑓𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑁), 𝑓0 , 𝑁で表せ。

0.5pt

個々の銀河の速さは光速𝑐に比べて非常に小さいことに注意せよ。
ドップラー効果より，

𝑓𝑖 = 𝑓0

1≈ 𝑓0 (1 − 𝛽)1+𝛽を得る。ここで𝛽 = 𝜈/𝑐, 𝜈 ≪ 𝑐とした。したがって，放射状に遠ざかっていく𝑖番目の銀河の速さは，

𝑓𝑖 − 𝑓0
𝑉𝑟𝑖 = −𝑐𝑓0と求まる。近似を用いない他の解答は，

𝑓𝑖 = 𝑓0

11+𝛽1 / 100.2pt

IPhO2017

T1

Solutions/Marking Scheme𝑓0
𝑉𝑟𝑖 = 𝑐 ( − 1)𝑓𝑖
銀河クラスター内の全ての銀河は宇宙膨張によって一緒に遠ざかっていく。したがってクラスター内にある𝑁個の銀河の遠ざかっていく速さの平均は𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=1𝑐𝑐𝑓𝑖𝑉𝑐𝑟 = −∑(𝑓𝑖 − 𝑓0 ) = − ∑ ( − 1)
𝑁𝑓0𝑁𝑓0と求まる。近似を用いない他の解答は，
𝑁

𝑁

𝑖=1

𝑖=1

0.3pt

𝑐𝑓0
𝑐𝑓0
1 1
𝑉𝑐𝑟 = ∑ ( − 1) =∑( − )
𝑁𝑓𝑖
𝑁
𝑓𝑖 𝑓0

A.3
クラスター中心に対する銀河たちの相対速度の分布が等方的（方向に依らない）であるものと仮定し，クラスター中心に対する銀河の運動の二乗平均速度𝑣𝑟𝑚𝑠（二乗したものを平均してルートをとった速度）を決定せよ。𝑁, 𝑓𝑖 (𝑖 = 1, ⋯ , 𝑁), 𝑓0で表すこと。この結1.5pt

果を用いて，クラスター中心に対する銀河の運動の，一つの銀河あたりの平均運動エネルギーを求めよ。𝑣𝑟𝑚𝑠 と𝑚で表すこと。
A.2 における遠ざかる銀河の速さ𝑉𝑖 は，銀河の速度の 3 成分のうち 1 成分のみしか考えていないものであった。そのことを踏まえると，クラスターの中心に対する各銀河の速さを 2 乗したものの平均は，𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=1112⃗𝑖 − 𝑉⃗𝑐 ) = ∑ {(𝑉𝑥𝑖 − 𝑉𝑥𝑐 )2 + (𝑉𝑦𝑖 − 𝑉𝑦𝑐 )2 + (𝑉𝑧𝑖 − 𝑉𝑧𝑐 )2 }∑(𝑉𝑁𝑁0.5ptと求まる。等方的であるという仮定より，
𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=1132⃗𝑖 − 𝑉⃗𝑐 ) = ∑(𝑉𝑟𝑖 − 𝑉𝑐𝑟 )2∑(𝑉𝑁𝑁が得られる。
したがって，クラスターの中心に対する銀河の速さの 2 乗平均速度は，

2 / 100.7pt

IPhO2017

T1Solutions/Marking Scheme

𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=133𝑣𝑟𝑚𝑠 = √ ∑(𝑉𝑟𝑖 − 𝑉𝑐𝑟 )2 = √ ∑(𝑉𝑟𝑖 2 − 2𝑉𝑟𝑖 𝑉𝑐𝑟 + 𝑉𝑐𝑟 2 )𝑁𝑁𝑁

3= √ (∑ 𝑉𝑟𝑖 2 ) − 3𝑉𝑐𝑟 2𝑁𝑖=1

ここで𝑉𝑐𝑟 = ∑𝑁𝑖=1 𝑉𝑟𝑖 /𝑁を用いた。A.2 より
𝑁

𝑁𝑖=1𝑖=121𝑓𝑖
1𝑓𝑖√
𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑐√3 ( ∑ ( − 1) ) − ( ∑ ( − 1))
𝑁𝑓0
𝑁𝑓02

これを整理して𝑁

𝑁𝑖=1𝑖=1𝑐√3√(𝑁 ∑ 𝑓𝑖 2 ) − (∑ 𝑓𝑖 )𝑣𝑟𝑚𝑠 =𝑓0 𝑁2が得られる。近似を用いない他の解答は，𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=12
1𝑓0
1𝑓0√
𝑣𝑟𝑚𝑠 = 𝑐√3 ( ∑ ( − 1) ) − ( ∑ ( − 1))
𝑁𝑓𝑖
𝑁𝑓𝑖2を整理して，
𝑁𝑁

𝑖=1𝑖=1𝑐𝑓0 √31 21√(𝑁 ∑ ( ) ) − (∑ )𝑣𝑟𝑚𝑠 =𝑁𝑓𝑖𝑓𝑖2がある。
クラスター中心に対する銀河の運動エネルギーの平均は，
𝑁𝑚1𝑚2⃗𝑖 − 𝑉⃗𝑐 ) = 𝑣𝑟𝑚𝑠 2𝐾𝑎𝑣𝑒 =∑(𝑉2𝑁20.3pt

𝑑Γ/𝑑𝑡 の長時間にわたる時間平均が 0 になること、つまり〈𝑑Γ/𝑑𝑡〉 = 0を用いて、重力1.7pt𝑖=1と求まる。
A.4相互作用の場合にビリアル定理中の 𝛾 の数値を決定せよ。
（ヒント：まずは非常に少数3 / 10

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T1Solutions/Marking Schemeの銀河からなる系について考えて𝛤の和を取ることで、答えを予想してみよ。）
𝑑Γ/𝑑𝑡 の時間平均は，〈𝑑Γ〉 =0𝑑𝑡 𝑡となる。いま，𝑑Γ 𝑑𝑑𝑝⃗⃗⃗𝑖𝑑𝑟⃗𝑖= ∑ ⃗⃗⃗𝑝𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ∑∙ ⃗𝑟𝑖 + ∑ ⃗⃗⃗𝑝𝑖 ∙𝑑𝑡 𝑑𝑡𝑑𝑡𝑑𝑡𝑖𝑖0.6pt𝑖= ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 + ∑ 𝑚𝑣⃗⃗⃗𝑖 ∙ ⃗⃗⃗𝑣𝑖 = ∑ ⃗⃗𝐹𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 + 2𝐾𝑖𝑖𝑖

ここで，𝐾は系の全運動エネルギーである。
𝑖番目の粒子における重力は他の粒子との相互作用から生じるので，∑ ⃗⃗𝐹𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ∑ ⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ∑ ⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 − ∑ ⃗⃗⃗⃗𝐹𝑖𝑗 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ∑ ⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 − ∑ ⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑗𝑖𝑖,𝑗≠𝑖𝑖<𝑗𝑖>𝑗= ∑ ⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ (𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 ) = − ∑ 𝐺𝑖<𝑗𝑖<𝑗= −∑𝐺𝑖<𝑗𝑖<𝑗𝑚𝑖 𝑚𝑗⃗𝑟𝑖 − ⃗𝑟𝑗
2|𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 | |𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 |𝑚𝑖 𝑚𝑗|𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 |𝑗>𝑖

∙ (𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 )= 𝑈𝑡𝑜𝑡

他の証明方法：⃗⃗⃗𝑗𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∑ ⃗⃗𝐹𝑖 ∙ ⃗𝑟𝑖 = ∑ 𝐹
𝐹21 ∙ ⃗⃗⃗
𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹31 ∙ ⃗⃗⃗𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗𝐹41 ∙ ⃗⃗⃗𝑟1 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹𝑁1 ∙ ⃗⃗⃗𝑟1𝑖𝑖,𝑗≠𝑖⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝑟2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹32 ∙ ⃗⃗⃗𝑟2 + ⃗⃗⃗⃗⃗𝐹42 ∙ ⃗⃗⃗𝑟2 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹𝑁2 ∙ ⃗⃗⃗𝑟212 ∙ ⃗⃗⃗+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹13 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹23 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹43 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑟3 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹𝑁3 ∙ ⃗⃗⃗⃗
𝑟3+ ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹1𝑁 ∙ 𝑟⃗⃗⃗⃗𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹2𝑁 ∙ 𝑟⃗⃗⃗⃗𝑁 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹3𝑁 ∙ 𝑟⃗⃗⃗⃗𝑁 + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹𝑁𝑁−1 ∙ 𝑟⃗⃗⃗⃗𝑁0.9pt⃗⃗⃗⃗𝑖𝑗 = −𝐹⃗⃗⃗⃗𝑗𝑖 に注意すると，項をまとめて，𝐹= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹12 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗𝑟1 ) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹13 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟3 − ⃗⃗⃗⃗𝑟1 ) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹14 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟4 − ⃗⃗⃗⃗𝑟1 ) + ⋯+⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹23 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟3 − ⃗⃗⃗⃗𝑟2 ) + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐹24 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟4 − ⃗⃗⃗⃗𝑟2 ) + ⋯ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐹34 ∙ (⃗⃗⃗⃗𝑟4 − ⃗⃗⃗⃗𝑟3 ) + ⋯𝑚𝑖 𝑚𝑗 𝑟⃗⃗⃗𝑖 − 𝑟⃗⃗⃗𝑗= ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗𝐹𝑗𝑖 ∙ (𝑟⃗⃗⃗𝑖 − 𝑟⃗⃗⃗𝑗 ) = − ∑ 𝐺∙ (𝑟⃗⃗⃗𝑖 − 𝑟⃗⃗⃗𝑗 )2𝑟𝑖 − 𝑟⃗⃗⃗𝑗 | |𝑟⃗⃗⃗𝑖 − 𝑟⃗⃗⃗𝑗 |𝑖<𝑗𝑖<𝑗 |⃗⃗⃗= −∑𝐺𝑖<𝑗𝑚𝑖 𝑚𝑗|𝑟⃗𝑖 − ⃗𝑟𝑗 |= 𝑈𝑡𝑜𝑡が得られる。
したがって，𝑑Γ= 𝑈 + 2𝐾𝑑𝑡を得る。そして、時間平均を取ることにより〈𝑑Γ〉 = 〈𝑈 + 2𝐾〉𝑡 = 0𝑑𝑡 𝑡
4 / 100.2pt

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T1Solutions/Marking Schemeが得られ、これより

1〈𝐾〉𝑡 = − 〈𝑈〉𝑡2
したがって、
𝛾=12が求まる。
A.5
前問で求めた結果より，クラスター中のダークマターの全質量を𝑁, 𝑚𝑔 , 𝑅および𝑣𝑟𝑚𝑠 の関数として決定せよ。𝑚𝑔 は銀河の観測で見える物質の平均質量である。ダークマターの0.5pt二乗平均速度が銀河でのそれ（𝑣𝑟𝑚𝑠 ）と同じであることに注意せよ。
ビリアル定理を用いて，ダークマターが銀河と同じ二乗平均速度を持つことから，

1〈𝐾〉𝑡 = − 〈𝑈〉𝑡2
𝑀
1 3 𝐺𝑀22𝑣=2 𝑟𝑚𝑠25 𝑅0.3pt

を得る。
これより，

𝑀=

5𝑅𝑣𝑟𝑚𝑠 23𝐺0.1pt

そして，ダークマターの質量は，5𝑅𝑣𝑟𝑚𝑠 2
𝑀𝑑𝑚 =− 𝑁𝑚𝑔3𝐺0.1ptと求まる。

B. 銀河中のダークマター
B.1
この銀河が星のみによって構成されているものとした場合，ある星の速さ𝑣(𝑟)をその銀河中心からの距離の関数として求め，𝑟 < 𝑅𝑔 および 𝑟 > 𝑅𝑔 について𝑣(𝑟)をプロットせ0.8pt

よ。
球の中心から距離𝑟にある粒子にとって重力は半径𝑟の球体内部にある粒子からしか生じない。球体内部の質量𝑚𝑠 の粒子が重心の周りを円軌道で回っているとすると，

𝑚′ (𝑟)𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝑣 2𝐺=𝑟2
𝑟
5 / 100.3pt

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T1Solutions/Marking Scheme

ここで，𝑚′ (𝑟)は半径𝑟の球体内部の全質量なので，𝑚′ (𝑟) =4 3𝜋𝑟 𝑚𝑠 𝑛3

したがって，0.2pt

4𝜋𝐺𝑛𝑚𝑠𝑣(𝑟) = √𝑟3を得る。
一方で球の外にある粒子に対して同様に考えると，

𝑣(𝑟) = √4𝜋𝐺𝑛𝑚𝑠 𝑅 33𝑟0.2ptが得られる。
プロットしたものは下の図である。

0.1pt

軸が「回転する速さ」と「銀河の中心からの距離」からなる図を描くこと。
B.2
この銀河の中心を中心とした半径𝑅𝑔 の球の内部にある全質量𝑚𝑅 （星とダークマター）

0.5pt

を，𝑣0 と𝑅𝑔 を用いて求めよ。
0.5pt

全質量は，
6 / 10IPhO2017

T1
𝐺

Solutions/Marking Scheme𝑚′ (𝑅𝑔 )𝑚𝑠𝑅𝑔 2

𝑚𝑠 𝑣0 2=𝑅𝑔から推論できる。したがって，

𝑅𝑔 𝑣0 2𝑚𝑅 = 𝑚 (𝑅𝑔 ) =𝐺′と求まる。
B.3
𝑟 < 𝑅𝑔 および 𝑟 ≥ 𝑅𝑔 について，𝑟, 𝑅𝑔 , 𝑣0 , 𝑛, 𝑚𝑠 の関数としてダークマターの質量密度を決

1.5pt

定せよ。
B.1 での解答に基づいて考えてみると，もし，銀河の質量が見える星々からのみ生じているとすると，銀河回転の曲線は距離𝑟(≥ 𝑅𝑔 )の外側では1/√𝑟に比例して下がっていくはずである。しかし図 1 の曲線では𝑟 ≥ 𝑅𝑔 で𝑣(𝑟)は一定値を維持していることから，

𝐺0.3pt𝑚′ (𝑟)𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝑣0 2
=𝑟2𝑟より，𝑚′ (𝑟)は𝑟 ≥ 𝑅𝑔 において𝑟に比例する。すなわち𝑟 ≥ 𝑅𝑔 において𝑚′ (𝑟) = 𝐴𝑟（𝐴は定数）となると推論できる。
一方、図 1 の𝑟 < 𝑅𝑔 では𝑟に比例する線形になることから，𝑚′ (𝑟)は𝑟 3 に比例する。つまり𝑚′ (𝑟) = 𝐵𝑟 3 となると分かる。

0.3pt

したがって、𝑟 < 𝑅𝑔 では

𝑚′ (𝑟)

𝑟2= ∫ 𝜌𝑡 (𝑟 ′ )4𝜋𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ = 𝐵𝑟 30𝑑𝑚′ (𝑟) = 𝜌𝑡 (𝑟)4𝜋𝑟2 𝑑𝑟 = 3𝐵𝑟2 𝑑𝑟0.2pt

したがって、全質量密度は𝜌𝑡 (𝑟) = 3𝐵/4𝜋と求まる。
次に𝐵を求める。

𝑚𝑅 = ∫𝑅𝑔

03𝐵24𝜋𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ = 𝐵𝑅𝑔 34𝜋

よって，

𝐵=𝑚𝑅𝑅𝑔 3=𝑣0 20.2pt

𝐺𝑅𝑔 2

したがって、ダークマターの質量密度は

𝜌(𝑟) =3𝑣0 24𝜋𝐺𝑅𝑔 2− 𝑛𝑚𝑠と求まる。
一方で𝑟 ≥ 𝑅𝑔 では，𝑚′ (𝑟) = ∫𝑅𝑔

02𝑟2

𝜌(𝑟 ′ )4𝜋𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ + ∫ 𝜌(𝑟 ′ )4𝜋𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ = 𝐴𝑟𝑅𝑔

7 / 100.2pt

IPhO2017

T1

Solutions/Marking Scheme

真ん中の式の第 1 項は定数なので，𝜌(𝑟)4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝐴𝑑𝑟
したがって，𝜌(𝑟) = 𝐴/4𝜋𝑟 2 と求まる。
次に𝐴を求める。
𝑟∫𝑅𝑔𝐴24𝜋𝑟 ′ 24𝜋𝑟 ′ 𝑑𝑟 ′ = 𝐴(𝑟 − 𝑅𝑔 ) = 𝐴𝑟 − 𝑚𝑅
𝐴=𝑚𝑅 𝑣0 2=𝑅𝑔𝐺

また，次のように𝐴を求めることもできる。

𝐺𝑚′ (𝑟)𝑚𝑠𝐴𝑟𝑚𝑠 𝑚𝑠 𝑣0 2=𝐺=𝑟2𝑟2𝑟
𝐴=

0.3pt

𝑣0 2𝐺

したがって，ダークマターの質量密度（𝑟 ≥ 𝑅𝑔 では𝑛 ≈ 0となることから全質量密度でもある）は，

𝜌(𝑟) =𝑣0 24𝜋𝐺𝑟 2と求まる。

C. 星間ガスとダークマター
C.1
星間ガスの圧力勾配𝑑𝑃/𝑑𝑟を、𝑚′ (𝑟), 𝑟および𝑛(𝑟)を用いて表わせ。ここで𝑚′ (𝑟)は銀河中心を中心とする半径𝑟の球内の星間ガスとダークマターの質量の和である。

8 / 100.5pt

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面積が𝐴、厚さが∆𝑟である体積の十分小さい円板を考える（下図を見よ）。

0.3pt

静水圧平衡より，(𝑃(𝑟) − 𝑃(𝑟 + ∆𝑟))𝐴 − 𝜌𝑔(𝑟)𝐴∆𝑟 = 0を得る。

𝑑𝑃 (𝑃(𝑟 + ∆𝑟) − 𝑃(𝑟))𝐺𝑚′ (𝑟)== −𝜌𝑔(𝑟) = −𝑛(𝑟)𝑚𝑝𝑑𝑟
∆𝑟𝑟2

0.2pt

星間ガスが理想気体であると仮定し，𝑚′ (𝑟)を，𝑛(𝑟), 𝑇(𝑟)およびそれらの𝑟での微分を用

0.5pt

C.2
いて求めよ。
理想気体の状態方程式 𝑃 = 𝑛𝑘𝑇 を用いて（ここで，𝑛 は数密度であり𝑛 = 𝑁/𝑉を満たす），

𝑑𝑃
𝑑𝑛(𝑟)
𝑑𝑇(𝑟)
𝐺𝑚′ (𝑟)= 𝑘𝑇(𝑟)+ 𝑘𝑛(𝑟)= −𝑛(𝑟)𝑚𝑝𝑑𝑟𝑑𝑟𝑑𝑟𝑟2を得る。これより，

𝑚′ (𝑟) = −0.5pt

𝑘𝑇(𝑟) 𝑟 2 𝑑𝑛(𝑟)𝑟 2 𝑑𝑇(𝑟)(+)
𝐺𝑚𝑝 𝑛(𝑟) 𝑑𝑟𝑇(𝑟) 𝑑𝑟を得る。
C.3
銀河内のダークマターの質量密度を𝑟の関数として求めよ。

1.0pt

仮に等温分布しているとすると𝑑𝑇(𝑟)/𝑑𝑟 = 0となるので，

𝑚′ (𝑟)

𝑘𝑇0 𝑟 2 𝑑𝑛(𝑟)=−𝐺𝑚𝑝 𝑛(𝑟) 𝑑𝑟9 / 100.2pt

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星間ガスの数密度について与えられている式から，

1 𝑑𝑛(𝑟)
3𝑟 + 𝛽=−𝑛(𝑟) 𝑑𝑟𝑟(𝑟 + 𝛽)
𝑘𝑇0 𝑟 3𝑟 + 𝛽𝑚′ (𝑟) =𝐺𝑚𝑝 𝑟 + 𝛽0.2ptを得る。
星間ガスの質量密度は，

𝜌𝑔 (𝑟) = 𝑛(𝑟)𝑚𝑝 =𝛼𝑚𝑝𝑟(𝛽 + 𝑟)2である。したがって𝑟𝑚′ (𝑟) = ∫ (𝜌𝑔 (𝑟′) + 𝜌𝑑𝑚 (𝑟′)) 4𝜋𝑟′2 𝑑𝑟′ =0𝑚′ (𝑟)𝑟=∫ (0𝑘𝑇0 𝑟 3𝑟 + 𝛽
𝐺𝑚𝑝 𝑟 + 𝛽

0.3pt

𝛼𝑚𝑝
𝑘𝑇0 𝑟 3𝑟 + 𝛽2(𝑟′))+𝜌4𝜋𝑟′𝑑𝑟′=𝑑𝑚𝑟′(𝛽 + 𝑟′)2𝐺𝑚𝑝 𝑟 + 𝛽

これより

𝛼𝑚𝑝
𝑘𝑇0 3𝑟 2 + 6𝑟𝛽 + 𝛽 22(+ 𝜌𝑑𝑚 (𝑟)) 4𝜋𝑟 𝑑𝑟 =𝑑𝑟𝑟(𝛽 + 𝑟)2𝐺𝑚𝑝(𝑟 + 𝛽)2𝜌𝑑𝑚 (𝑟) =0.3pt

𝛼𝑚𝑝
𝑘𝑇0 3𝑟 2 + 6𝑟𝛽 + 𝛽 2−224𝜋𝐺𝑚𝑝 (𝑟 + 𝛽) 𝑟𝑟(𝛽 + 𝑟)2を得る。
Total 10.0pt

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