Introduction

トポロジー入門演習
補足スライド no. 1

丹下基生

2016/10/29

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．
証明の前に、定義のおさらいです．d(x, A) は、d(x, A) = inf{d(x, a)|a ∈ A}と定義されます．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．
証明の前に、定義のおさらいです．d(x, A) は、d(x, A) = inf{d(x, a)|a ∈ A}と定義されます．inf は、最小値とは違います．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．
証明の前に、定義のおさらいです．d(x, A) は、d(x, A) = inf{d(x, a)|a ∈ A}と定義されます．inf は、最小値とは違います．一般に、inf(Z ) はZ の下界の最大値です．つまり、inf(Z ) は、下界の条件

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．
証明の前に、定義のおさらいです．d(x, A) は、d(x, A) = inf{d(x, a)|a ∈ A}と定義されます．inf は、最小値とは違います．一般に、inf(Z ) はZ の下界の最大値です．つまり、inf(Z ) は、下界の条件
任意の z ∈ Z において、y ≤ z となる

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introductiond(x, A) = 0 であることと x ∈ Ā であることの同値性
以下の問題を考えましょう．
問題

X を距離空間とし、A を部分集合とする．ある点 x ∈ X がd(x, A) = 0 であることと、x ∈ Ā であることは同値である．
証明の前に、定義のおさらいです．d(x, A) は、d(x, A) = inf{d(x, a)|a ∈ A}と定義されます．inf は、最小値とは違います．一般に、inf(Z ) はZ の下界の最大値です．つまり、inf(Z ) は、下界の条件
任意の z ∈ Z において、y ≤ z となる ような y のうちで最大のものです．
inf(Z ) = max{y ∈ R|y ≤ z, ∀z ∈ Z }丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

よって、max より少しでも大きい値 w を任意に inf(Z ) < w を取ったとすると、w は下界ではないので、上の下線が否定されて、

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

よって、max より少しでも大きい値 w を任意に inf(Z ) < w を取ったとすると、w は下界ではないので、上の下線が否定されて、ある z ∈ Z が存在して、z < w となる．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

よって、max より少しでも大きい値 w を任意に inf(Z ) < w を取ったとすると、w は下界ではないので、上の下線が否定されて、ある z ∈ Z が存在して、z < w となる．

d(x, A) の値は、d(x, A) より少しでも大きい値より小さく d(x, A)
以上の値 d(x, a) (a ∈ A) が取れる、つまり、

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

よって、max より少しでも大きい値 w を任意に inf(Z ) < w を取ったとすると、w は下界ではないので、上の下線が否定されて、ある z ∈ Z が存在して、z < w となる．

d(x, A) の値は、d(x, A) より少しでも大きい値より小さく d(x, A)以上の値 d(x, a) (a ∈ A) が取れる、つまり、

d(x, A)
任意の ϵ > 0 に対して、ある a ∈ A が存在して、d(x, A) ≤ d(x, a) < d(x, A) + ϵ となる．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．
x が A の触点であることは以下のようになります．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．
x が A の触点であることは以下のようになります．
x ∈ X が A の触点である
任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ を満たす．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．
x が A の触点であることは以下のようになります．
x ∈ X が A の触点である
任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ を満たす．
また、触点のうち、x が集積点であることは x の周りに、x にいくらでも近い x 以外の A の点が存在するもので、定義すると以下のようになります．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．
x が A の触点であることは以下のようになります．
x ∈ X が A の触点である
任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ を満たす．
また、触点のうち、x が集積点であることは x の周りに、x にいくらでも近い x 以外の A の点が存在するもので、定義すると以下のようになります．

x ∈ X が A の集積点である
任意の ϵ > 0 に対して、(Bϵ (x) − {x}) ∩ A ̸= ∅ を満たす．

丹下 基生

トポロジー入門演習

IntroductionĀ は触点 (もしくは閉包 Cl(A)) です．触点は、A と A の集積点の和集合のことをいいます．A の集積点全体のことを導点と言います．導点は、Ad と書いたりすることがあります．
d は derived(引き出された)、Cl は closure(閉包) から来ています．
x が A の触点であることは以下のようになります．
x ∈ X が A の触点である
任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ を満たす．
また、触点のうち、x が集積点であることは x の周りに、x にいくらでも近い x 以外の A の点が存在するもので、定義すると以下のようになります．

x ∈ X が A の集積点である
任意の ϵ > 0 に対して、(Bϵ (x) − {x}) ∩ A ̸= ∅ を満たす．
ここで、いよいよ証明開始です．
丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction(証明)x ∈ X を、d(x, A) = 0 となる点とします．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction(証明)x ∈ X を、d(x, A) = 0 となる点とします．

d(x, A) の定義から、任意の ϵ > 0 に対して、0 = d(x, A) ≤ d(x, a) < ϵ となる a ∈ A が存在する．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction(証明)x ∈ X を、d(x, A) = 0 となる点とします．

d(x, A) の定義から、任意の ϵ > 0 に対して、0 = d(x, A) ≤ d(x, a) < ϵ となる a ∈ A が存在する．

よって、a ∈ Bϵ (x) ∩ A より、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ となる．よって、
x ∈ Ā となる．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

逆に、x ∈ Ā とする．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

逆に、x ∈ Ā とする．

触点の定義から、任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ となる．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

逆に、x ∈ Ā とする．

触点の定義から、任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ となる．

そのような元を aϵ とすると、任意の ϵ > 0 に対して、0 ≤ d(x, aϵ ) < ϵ となる aϵ が存在する．

丹下 基生

トポロジー入門演習

Introduction

逆に、x ∈ Ā とする．

触点の定義から、任意の ϵ > 0 に対して、Bϵ (x) ∩ A ̸= ∅ となる．

そのような元を aϵ とすると、任意の ϵ > 0 に対して、0 ≤ d(x, aϵ ) < ϵ となる aϵ が存在する．

d(x, A) の定義から、d(x, A) = 0 となる．

丹下 基生

トポロジー入門演習2