最適レギュレータとロバスト LQ を用いた ABS の制御—最適レギュレータ理論とロバスト LQ 制御の比較—
2010SE161 小川航太朗
指導教員：高見勲

1

ここで,c1i ,c2j (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 j = 1, 2, 3, 4, 5) は定数であり,s(λ) は次式のようになる.

はじめに
アンチロック・ブレーキ・システム (ABS) は、タイヤs(λ) =がロックするのを防ぐように各車輪のスリップ率をコンsµ(λ)
L(sin(φ) − sµ(λ)cos(φ))(4)

トロールすることにより, 普段どおりの操縦をすることが式 (1),(2),(3) に対して, スリップ率の微分を式 (5) に示す.

できる. 今回の実験機ではスリップ率が 0.2 のときに制λ̇ = f (λ, ω2 ) + g(λ, ω2 )τ1 , ω2 ̸= 0

動力が最大になる. したがって, 本研究ではスリップ率を0.2 に保つことで車輪ロックを防ぎ, 制動距離を短くすることを目的とする. 本来 ABS の制御はスライディングモード制御やフィジィ制御が主流だが, 本研究では最適レギュレータ制御理論を用い, ロバスト LQ 制御と比較してどれだけ正確に制御できるかを提示する. 本研究では
V = 70[km/h] で走行する自動車を ABS ブレーキを用いて制動距離を短くすることで目的を達する.

2

ここで,f (λ, ω2 ),g(λ, ω2 ) は次式のようになる.
f (λ, ω2 ) = −((s(λ)c11 + c13 )(1 − λ) +1−λr2((s(λ)c21 (1 − λ) + c23 )ω2 ) + s(λ)c22 + c24 )ω2r1r1r2(c15 s(λ) + c16 −c25 s(λ)(1 − λ))g(λ, ω2 ) = −r2 ω2r1

式 (5) は非線形であるので, 平衡点 (λ∗ , τ1 ∗ , ω2 ∗ ) のまわりで線形近似すると以下のようになる.
λ̇ = (τ1 , M10 = τ10 , M20 = τ20 )ω˙1 = s(λ)(c11 ω1 + c12 ) + c13 ω1 + c14+(c15 s(λ) + c16 )s1 τ1ω˙2 = s(λ)(c21 ω1 + c22 ) + c23 ω2 + c24(1)+c25 s(λ)s1 τ1r2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2(2)(3)r1(s(λ)c12 + C14 ))r2 ω2+

モデリングと状態空間表現

本研究で用いる ABS 実験機の簡略したモデルを図 1[?]に示す. 上の車輪が車の車輪, 下の車輪が路面を表している.V [km/h] が 70, 35, 10 において上の車輪にかけるブレー
キングトルク τ1 を操作することでスリップ率 λ を目標値0.2 に追従させる制御則を設計する. 上の車輪, 下の車輪の角速度をそれぞれ ω1 (t),ω2 (t), 上の車輪, 下の車輪をそれ
ぞれ r1 ,r2 , 車輪間の摩擦係数を µ(λ), 回転軸から車輪間の接点までの距離を L, 線分 L と車輪間の接点の法線がな
す角を φ とする. 以下から角速度 ω1 (t),ω2 (t) の (t) は省略する. 上の車輪と下の車輪の角加速度, スリップ率は次のように示す [?].s,s1 ,s2 は s = sgn(r2 ω2 − r1 ω1 ),s1 =sgn(ω1 ),s2 = sgn(x2 ) の符号関数である.(Mg = τg , M1 =(5)α1β+ α2 )(λ − λ∗ ) +(τ1 − τ1 ∗ )
ω2
ω2(6)

ここで,α1 , α2 , β1 は次式のようになる.
α1 =∂s(λ∗ )r1(− c12 + c22 − c22 λ∗ ) − (c22 s(λ∗ ) + c24 )∂λr2r1(s(λ∗ )c12 + c14 ) + (1 − λ∗ )(s(λ∗ )c22 + c24 )r2− r1(c15 s(λ∗ ) + c16 − 2r2 c25 s(λ∗ )(1 − λ∗ ))r2

1∂s(λ∗ ) r1×( c15 + (1 − λ∗ )c25 − c25 s(λ∗ ))∂λr2(s(λ∗ )c11 + c13 )(1 − λ∗ ) + (1 − λ∗ )(s(λ∗ )c21 rr2 (1 − λ∗ ) + c23 )1
α2 = −r1(c15 s(λ∗ ) + c16 − rr2 c25 s(λ∗ )(1 − λ∗ ))r2

1∂s(λ∗ )r1(− c15 + (1 − λ∗ )c25 − c25 s(λ∗ ))∂λr2∂s(λ∗ )∂s(λ∗ )c11 +c11 λ∗ + s(λ∗ )c11 + c13 − c23−∂λ∂λr2∂s(λ∗ )∂s(λ∗ )
+c21 (−2λ∗+ 2s(λ∗ ) + 2λ∗ s(λ∗ ) + λ∗2)r1
∂λ∂λr1r2
β1 = − (c15 s(λ∗ ) + c16 −c25 s(λ∗ )(1 − λ∗ ))r2r1×

本研究では, 出力を目標値に追従させるために制御ループ内にスリップ率の偏差を状態変数に入れた. 状態変数∫を x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T = [ (λ − λ∗ ) λ − λ∗ ]T , 入力をu(t) = τ1 − τ1 ∗ とし, 式 (6) より状態空間表現は次のようになる.
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)[][01A = 0 α1 + α,B =
ω2

320]

(7)

β1
ω2制御系設計

最適レギュレータ理論 [?] では可制御である状態方程式に対して評価関数 J は次式で表される.
∫ ∞J=(x(t)T Q1 x(t) + u(t)T R1 u(t))dt(8)0

図 1 ABS 実験機の簡略図(8) を最小化するような状態フィードバックゲイン K を求める.Q, R はそれぞれ評価関数の重み行列である. この Jを最小にする最適設計入力は次式である.
u(t) = Kx(t) = −R1−1 B T P x(t)(9)

ここで P はリカッチ方程式
P A + P T P − P BR1−1 B T P + Q1 = 0(10)を満たす唯一の正定対称解である.
重み行列 Q, R は次式に示す.
Q1 = diag [ 1000100 ](11)

R1 = 0.01(12)評価関数 J を最小とするゲイン K は,

4

K70 = [ −31.6228−33.7609 ](13)

K35 = [ −31.6228−32.8866 ](14)

K10 = [ −31.6228−32.2480 ](15)

行列ポリトープ表現

下の車輪の角速度 ω2 [rad/s] は行列の中で有理式で表されており, 変動パラメータである ω2 の変動は
ω2 ∈ [ω2min , ω2max ] = [ 14.0292

196.4085 ]図 2 70[km/h] の時のスリップ率(16)

ω2 = ω2min , ω2max の時の行列 A, B はポリトープ表現を用いて Amax , Amin , Bmax , Bmin と表現する.

5LMI 条件式

以下の LMI 条件式を用いて上限値 γ の最小化を行う.
(x0 X −1 x0 < γ, Z = X −1 )minimize : Z
subject to X11 > 0−He[Amax X + Bmax F ]
X
F

X
Q−1
O
2×1  > 02
FO1×2
R2−1


−He[Amin X + Bmin F ]X
F−1
X
Q2O2×1  > 0FO1×2R2−1[]
Z I2>0IX

図 3 50[km/h] の時のスリップ率2

評価関数 Q2h , R2 とこれにより導き出されるゲイン Kopt
は
Q2 = diag [ 10R1 = 0.01
Kopt = [ −31.4655

610 ]

(17)
(18)

−33.8666 ](19)

シミュレーションと実験結果求めたゲインを用いてロバスト LQ 制御と比較したシミュレーションを行った. 速度 70,50[km/s] の場合のスリップ率のシミュレーション結果を図??〜図??に示す.

7

図 4 35[km/h] の時のスリップ率

おわりに本研究では, 最適レギュレータを用いて制御し, ロバストLQ 制御と比較した. スリップ率が目標値 0.2 に追従し, また車輪がロックせずに停止していることが分かる. シミュレーションでは最適レギュレータ, ロバスト LQ 制御の双方とも安定することがわかった. 実験では, 最適レギュレー
タだけだと発散しやすく, ロバスト LQ 制御の方が発散しにくいことが分かった. 以上より, 最適レギュレータを用いた時より, ロバスト LQ 制御を用いた方が安定する.

参考文献[1] 川田昌克,『MATLAB/Simulink による現代制御入門』, 森北出版,
東京,2011[2] inteco,『ABS The Laboratory Anti-lock Braking System User’s
Manual』[3] 蛯原義雄,『LMI によるシステム制御 ロバスト制御系設計のための体系的アプローチ』, 森北出版,2012

図 5 10[km/h] の時のスリップ率