Theory

Q3-1
Japanese (Japan)

熱⾳響エンジン
熱⾳響エンジンは熱を⼒学的仕事の⼀つの形である⾳のエネルギーに変換する装置である。他の熱機関の多くと同じように，逆向きに，⾳によって低温熱源から⾼温熱源に熱を移動する冷却器として使うことができる。⾼い周波数で動作させることにより熱伝導の効果を⼩さくでき，閉じ込め容器を不要にできる。他の熱機関の多くと違って，動作流体以外には動く部分がない。
典型的な熱⾳響エンジンの効率は他の熱機関より低いが，設置や維持の費⽤が少ない利点がある。このため，太陽熱発電や廃棄エネルギーの利⽤などの再⽣可能エネルギーへの応⽤が可能となる。以下ではエンジンの中での⾳響の発⽣のみに注⽬し，エネルギーの取り出しや外部機関の駆動のためのエネルギーの変換は考えない。

Part A: 閉じた管の中の⾳波 (3.7 points)
⻑さ 𝐿，断⾯積 𝑆 の熱的に絶縁された管がある。軸は 𝑥 ⽅向であり，端は 𝑥 = 0 と 𝑥 = 𝐿 である。管の中には理想気体が封⼊されている。熱平衡状態では，気体の温度は 𝑇0 ，圧⼒は 𝑝0 ，質量密度は 𝜌0 である。気体の粘性は無視でき，気体の運動は 𝑥 ⽅向のみであり，気体の運動と性質は 𝑦, 𝑧 ⽅向には⼀様とする。

図1
A.1

⾳の定在波が⽴っているとき，気体の体積要素は 𝑥 ⽅向に⾓振動数 𝜔 で振動する。 0.3pt
振動の振幅は各要素の平衡状態での位置 𝑥 に依存する。平衡状態での位置 𝑥 からの縦⽅向の変位は次式で与えられる。
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑎 sin(𝑘𝑥) cos(𝜔𝑡) = 𝑢1 (𝑥) cos(𝜔𝑡)(1)(𝑢 は気体の体積要素の変位を表すことに注意)
ここで，𝑎 (𝑎 ≪ 𝐿) は正定数，𝑘 = 2𝜋/𝜆 は波数，𝜆 は波⻑である。可能な波⻑の最⼤値 𝜆max を求めよ。
この問題を通じて，振動は最⼤波⻑ 𝜆 = 𝜆max のモードと仮定する。
さて，静⽌しているとき，𝑥 と 𝑥 + Δ𝑥 (Δ𝑥 ≪ 𝐿) の間にある気体の微⼩部分を考えよう。A.1 の定在波による変位の結果，この部分は 𝑥 ⽅向に振動し，体積や他の熱⼒学的性質が変化する。
以下では，熱⼒学的性質の変化は平衡値に⽐べて⼩さいとする。
A.2

体積要素の体積 𝑉 (𝑥, 𝑡) は平衡値 𝑉0 = 𝑆Δ𝑥 の周りに次のように振動する。
𝑉 (𝑥, 𝑡) = 𝑉0 + 𝑉1 (𝑥) cos(𝜔𝑡).
𝑉1 (𝑥) を 𝑉0 , 𝑎, 𝑘, 𝑥 で表せ。

0.5pt
(2)

Theory

Q3-2Japanese (Japan)

A.3

⾳波による振動があるときの気体の (全) 圧⼒が次の形に近似的に表されるとする。
𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝0 − 𝑝1 (𝑥) cos(𝜔𝑡).

0.7pt

(3)

気体の微⼩体積に働く⼒を考えて，圧⼒の近似式における振幅 𝑝1 (𝑥) を位置 𝑥，質量密度の平衡値 𝜌0 ，変位の振幅 𝑎 と，波動のパラメータ 𝑘，𝜔 で表せ。
⾳波の振動数では，気体の熱伝導は無視できる。気体の微⼩体積要素の膨張・圧縮は完全な断熱変化であり，𝑝𝑉 𝛾 = const. を満たす。𝛾 は断熱指数 (⽐熱⽐) である。
A.4

上の関係式とこれまでの問いの結果を⽤いて，管の中の⾳速の近似式 𝑐 = 𝜔/𝑘 を求めよ。答えを 𝑝0 , 𝜌0 と断熱指数 𝛾 で表せ。

0.3pt

A.5

⾳波による断熱膨張・断熱圧縮の結果，気体の体積要素の温度は次の形をとる。

0.7pt

𝑇 (𝑥, 𝑡) = 𝑇0 − 𝑇1 (𝑥) cos(𝜔𝑡).

(4)

温度振動の振幅 𝑇1 (𝑥) を 𝑇0 , 𝛾, 𝑎, 𝑘, 𝑥 で表せ。
A.6

この問い (A.6) においてだけは，管と気体が弱く熱的に結合しているとする。その結果，定在波はほとんど変化しないが，気体と管の間には少量の熱の交換が可能になる。粘性による気体の発熱は無視できる。
図 2 の点 A, B, C (A, C は管の端に，B は中央にある) のそれぞれについて，⻑時間の間に，その点の管の温度が増加するか，減少するか，それとも変わらないかを述べよ。

1.2pt

図2Part B: 外部熱源との接触による⾳波の増幅 (6.3 points)
薄い固体シートを間隔をあけて重ねたもの (スタック) を管の中に置く。各シートは管の軸に平⾏で，気体の𝑥 軸⽅向の流れに影響しない。スタックの中央は 𝑥0 = 𝐿/4 で，𝑥 の幅は ℓ (≪ 𝐿) で，全断⾯積を占めている。
スタックの両端の温度差は 𝜏 であり，左端 𝑥𝐻 = 𝑥0 − ℓ/2 では外部熱源により温度 𝑇𝐻 = 𝑇0 + 𝜏 /2 に，同時に，右端 𝑥𝐶 = 𝑥0 + ℓ/2 では温度 𝑇𝐶 = 𝑇0 − 𝜏 /2 に保たれている。
𝑥 − 𝑥0𝜏にスタックのわずかな軸⽅向の熱伝導により，両端の間の温度分布は⼀定の勾配で 𝑇plate (𝑥) = 𝑇0 −ℓ保たれる。

Theory

Q3-3Japanese (Japan)

図 3: システムの概念図。A, B は⾼温および低温の熱源。D はスタック。
スタックのシートと気体との熱的結合が管の中の⾳波に与える影響を解析するために以下を仮定する。
• Part A と同じように，振動による熱⼒学的性質の変化は平衡値に⽐べて⼩さい。
• 系は可能な最⼤の波⻑の定在波のモードで動作する。そのモードはスタックの存在によりほとんど変化しない。
• スタックの⻑さは波⻑に⽐べて⼗分短く ℓ ≪ 𝜆max であり，スタックは気体の変位や圧⼒変化の節 (ノード) から⼗分離れていて，スタックの中では変位 𝑢(𝑥, 𝑡) ≈ 𝑢(𝑥0 , 𝑡) や圧⼒ 𝑝(𝑥, 𝑡) ≈ 𝑝(𝑥0 , 𝑡) は⼀定とみなせる。
• スタックに気体が出⼊りすることによって⽣じる端の効果は無視できる。
• スタックの両端の温度差は気体の温度に⽐べて⼩さい: 𝜏 ≪ 𝑇0 .
• スタックの中，気体中，および管に沿う熱伝導は無視できる。重要な熱の移動は，気体の移動に伴う対流と気体・スタック間の熱伝導だけである。
B.1

始め 𝑥0 = 𝐿/4 にあった気体の微⼩部分について考える。この部分がスタックの中を動くとき，接しているスタックの温度は次のように変化する。
𝑇env (𝑡) = 𝑇0 − 𝑇st cos(𝜔𝑡).

0.4pt

(5)

𝑇st を 𝑎, 𝜏 , ℓ で表せ。
B.2

温度差が 𝜏cr (臨界温度差) 以上になると，気体は熱を⾼温熱源から低温熱源に運ぶようになる。𝜏cr を 𝑇0 , 𝛾, 𝑘, ℓ で表せ。

B.3

𝑑𝑄の⼀般的な近似式を，その体積と圧⼒の時間𝑑𝑡
𝑑𝑉変化率の⼀次式として求めよ。答えは，体積の時間変化率，圧⼒の時間変化率
𝑑𝑡𝑑𝑝，圧⼒と体積の平衡値 𝑝0 , 𝑉0 ，および，断熱指数 𝛾 で表せ。(気体定数を 𝑅 とす
𝑑𝑡𝑅ると，定積モル⽐熱が 𝑐𝑣 =であることを⽤いることができる。)
𝛾−1
気体の微⼩部分に流れ込む熱流

1.0pt

0.8pt

Theory

Q3-4Japanese (Japan)

気体の微⼩部分とスタックの間の熱の流れが制限されているため，気体の圧⼒振動と体積振動の間に位相のずれが⽣じる。以下のように，これにより有限の仕事がなされることになる。
スタックから気体の微⼩部分への熱流は，気体の微⼩部分とそれに接するスタックの温度差に⽐例し，次の𝑑𝑄式で近似的に表されるとする:= −𝛽𝑉0 (𝑇st − 𝑇1 ) cos(𝜔𝑡). ここで，𝑇1 , 𝑇st はそれぞれ，A.5 と B.1 で求め
𝑑𝑡
た気体とスタックの温度変化の振幅であり，𝛽 (> 0) は定数である。また，このシステムの動作周波数では，この熱流が気体温度に与える影響は 𝑇1 および 𝑇st のどちらと⽐べても⼩さい。
B.4

仕事を求めるために，スタックとの間の熱接触による，移動する気体の微⼩部分の体積の変化を考える。気体の微⼩部分の体積と圧⼒を次の形に表すとしよう。
𝑝 = 𝑝0 + 𝑝𝑎 sin(𝜔𝑡) − 𝑝𝑏 cos(𝜔𝑡), 𝑉 = 𝑉0 + 𝑉𝑎 sin(𝜔𝑡) + 𝑉𝑏 cos(𝜔𝑡).

1.9pt

(6)

𝑝𝑎 , 𝑝𝑏 が与えられたとき，係数 𝑉𝑎 , 𝑉𝑏 を求めよ。
答えは 𝑝𝑎 , 𝑝𝑏 , 𝑝0 , 𝑉0 , 𝛾, 𝜏 , 𝜏cr , 𝛽, 𝜔, 𝑎, および ℓ で表せ。
B.5

1 周期の間に気体の微⼩部分が単位体積当たりになす⾳響的仕事 𝑤 の近似式を求めよ。スタックの全体積について積分して，気体が 1 周期の間になす仕事 𝑊tot を求めよ。𝑊tot を 𝛾, 𝜏 , 𝜏cr , 𝛽, 𝜔, 𝑎, 𝑘, 𝑆 で表せ。

0.8pt

B.6

⾯ 𝑥 = 𝑥0 の左側から右側に 1 周期の間に移動する熱 𝑄tot の近似式を求めよ。答えを 𝜏 , 𝜏cr , 𝛽, 𝜔, 𝑎, 𝑆, ℓ で表せ。(ヒント: 対流による単位時間当たり熱流の公式
𝑑𝑢𝑗=𝑄を⽤いることができる。)
𝑑𝑡

0.8pt

B.7

熱⾳響エンジンの効率 𝜂 を求めよ。効率はなされた⾳響的仕事と熱源から取り出された熱量の⽐で定義される。答えを，⾼温熱源と低温熱源の温度差 𝜏 ，臨界温度差 𝜏cr ，および，カルノー (Carnot) 効率 𝜂𝐶 = 1 − 𝑇𝐶 /𝑇𝐻 で表せ。

0.6pt