第章

多標本問題

第係も章の標本のを以上に拡張したモデルで種の手法のよさの関標本問題の場合と同じであるが 手法の構成法と分布論を学習する必要があり 多重比較と呼ばれる問題への自然な理論を作ることができる

モデル
ある要因があり

本個の水準は第を考え 水準における標標本と呼ばれ 各成分は同一の連続型分布関数をもつとする さらにすべてのは互いに独立であると仮定する

一般性を失うことなくとする このとき標本数をとおきとおく このとき主効果である 総が成り立つ

を全平均とよぶ ここでは要因の水準における

第章

多標本問題

ただしと書き直せは誤差確率変数とよばれ独立で同一の分布関数をもつ仮説検定として帰無仮説と 対立仮説あるについてに興味がある また この帰無仮説と対立仮説はとあるについてと同値である また パラメータの点推定に興味がある

正規性の検定と分布の探索
第 標本の標本平均をとおくとなる整数とでを定義する ただしであるに対してとおく

このときを以下となる

で定義する
観測値の従っている分布を調べる方法としてとおく ただしの個数

正規性の検定と分布の探索

はの頑健推定量である

正規性の検定 『帰無仮説は正規分布

対立仮説は正規分布ではない』の検定としてが大きいときを棄却する方法が採用できる．シミュレーションによる検定手順を以下に示す
手順手順となるように有意水準
シミュレーションの繰り返し数を決めを計算するとしてを採りについて以下の手順
手順

正規乱数をと同様にを定義するの替わりにそれをを繰り返す個生成させ それをとし手順と手順で式を計算しとする

手順

とおく

より小さいならばは値となり この値がを棄却する

残念ながら， 標本の場合と同様に観測値の従っている分布が正規分布でないときでもが非常に大きくないと正規性を棄却できないことが多い．

分布の探索

は 観測値の従っている分布がどれくらいいかのはかりとして見れるに近として正規分布 混合正規分布 ロジスティッ

ク分布 両側指数分布 異常値を持つ混合正規分布 ワイブル分布 対数正規分
布 指数分布を当てはめ 統計量のもっとも小さい値を与える分布を探し それを観測値の従っている分布に最も近い分布と見なすことができる

第章

多標本問題

正規母集団での最良手法
を標準正規分布
正規分布の分布関数とする すなわちはの分布関数

検定とおくときをそれぞれ 級内変動総変動といいの関係がある このを級間変動

れらを使って帰無仮説と対立仮説と表されが大きいとき定理の下での検定統計量はを棄却するは自由度

証明 一般性を失うことなくこれによりここで定理という このとする 系分布に従うよりまたを適用するととおくと次元正規分布に従いとなる．命題は

ノンパラメトリック法

よりとは互いに独立である 定理の関数であるよりの関数であるとはたがいに独立である これにより結果を得る

を自由度のにより分布の上側ゆえに有意水準点とすると 定理の検定方式はのときのときと表現されるとは別のもの

点推定量 パラメータの推定量はノンパラメトリック法
分布関数は未知でもかまわないとする

クラスカル

ワリスの順位検定

節で定義したように方から並べたときのとおくとの下でである ただしたものとする また個すべての観測値の順位をが成り立ちを小さいとするとしの分布ははで定義しとおき

第章

多標本問題

とおく このときの下での平均と分散共分散行列はそれぞれ個となる 演習

ただし定義
を次正方行列に対しての一般化逆行列といいとなり一意である しが正則行列でないならばその一般化逆行列は定理
証明

次正方行列で表すが正則行列ならばその一般化逆行列はかしながらを満たすつ以上存在するが成り立つの階数はの階数もまたより 行列である ゆえにとなる列ベクトルが存在する これによりとなり この値はの一般化逆行列の採り方に依らない そこでとすればを得る

つぎの定理はよく知られていることであるが完全な証明にはかなりの知識を要するので 証明は概略を述べる
定理としてとする このときの下ですなわちは自由度のカイ二乗分布に分布収束する
証明

ハエック

シダック

センより

ノンパラメトリック法

ただしは互いに独立で定理

ここで定理を適用して結果を得るが大きいときを棄却する

かつとなる

定方式は検定関数よりに対してを探す このとき 有意水準の検を使ってのときのときのときと表現される
おけば 定理が大きいとき カイ二乗分布の上側より有意水準点をの検定方式は単純で検定関数とを使ってのときのときと表現される
順位推定量に対して個の値は節よりの中央値のホッジスよりを提案できる ただしとおく，ただしレーマン順位推定量である またの順位推定量としてとするに対してとする このときの

第章

多標本問題

順位推定量は個の値でありの中央値の順位推定量はである 推定量の理論的正当性としてにはを必要としないが密度関数
るは密度関数に対称性の対称性を必要とするに対称性を仮定できない場合は，をの推定量とすの推定量はセミパラメトリック法
前節と同様には未知でもかまわないとする

検定 帰無 仮説る

節と 対立 仮説の 有意 水準で定義したようにの 検定 を考えの順序統計量をとおき その実現値をとするで定義しの関数をを使って 尺度母数をで推定しとおきが検定統計量である
いよりの下では同一の連続型分布に従の下 で順序 統計量を与えたときのの条件付き分布は

セミパラメトリック法

によって有意確率を計算する ただしはで定義したもの またとおけば 定理
としてに対応する定理が導け 演習の下で定理

すなわちと同様には自由度のカイ二乗分布に分布収束する 詳細な証明はが大きいときを棄却する

かつ有意水準に対してとなるの検定方式は検定関数を探す このときを使ってのときのときのときと表現されるが大きいとき 検定方式は単純で検定関数使ってのときのときと表現される推定量に対してとしを

第章

多標本問題

とおくの解をはのとすれば節より推定量である またよりの推定量としてが提案できる ただしとする

統計量をがのに対してとする推定量であるの要としないがる このときにはのの解

推定量はと同様に 推定量の理論的正当性として密度関数

とおきは密度関数に対称性を必の対称性を必要とするに対称性を仮定できない場合は，をの推定量とす

人の秒間におけるの推定量はデータ解析
第一標本は現在もタバコを吸い続けている成人男子
肺活量 単位リットル

第二標本は二年以内にタバコを吸うことをやめた成人

男子

人の肺活量 第三標本は二年以上前にタバコを吸うことをやめた成人男子

人の肺活量 第四標本は今までにタバコを吸ったことのない非喫煙成人男子

人の肺活量を測定したものである 観測結果は

データ解析

タバコを吸い続けている
二年以内にタバコをやめた
二年以上前にタバコをやめた
タバコを吸ったことのないである

節の正規母集団での最良手法 ノンパラメトリック法

セミパラメトリック法を使って解析する 解析プログラムとして『統計プログラミング』のソフトを使用した
正規母集団での最良手法による結果
級内変動

総変動

級間変動
検定統計量の値
検定の値一様性の帰無仮説は有意水準パーセントで棄却された第一標本の主効果

平均

第二標本の主効果

平均

第三標本の主効果

平均

第四標本の主効果

平均

全平均

共通分散

ノンパラメトリック法による結果
順位検定統計量の値
順位検定の正規化順位検定統計量の値

値

一様性の帰無仮説は有意水準パーセントで棄却されなかった第一標本の主効果

平均

第二標本の主効果

平均

第三標本の主効果

平均

第四標本の主効果

平均

全平均
セミパラメトリック法による結果

第章

多標本問題

検定統計量の値
検定の正規化

検定統計量の値

値

一様性の帰無仮説は有意水準パーセントで棄却された第一標本の主効果

平均

第二標本の主効果

平均

第三標本の主効果

平均第四標本の主効果

平均

全平均

傾向性と分散の異なるモデルの解析
節のモデルで位置パラメータに傾向性の制約がある場合での統計解析法が論じられる 興味ある帰無仮説と対立仮説は帰無仮説
対立仮説

少なくともつの不等号はである また 傾向性の制約が正しいかどうかを確かめるためにもうつの帰無仮説と対立仮説は帰無仮説
対立仮説

あるについてである さらに 傾向性の制約の下でのパラメータの点推定に興味がある このとき ロバートソン等
で正規分布による手法と順位検定法がレビューされている

傾向性と分散の異なるモデルの解析

解析チャート
正規性の検定分布の探索 経験分布関数と正規分布関数の重ねかきグラフ①で正規性が棄却されずで正規分布が選択され正規性が妥当と認められればを選択

で両側指数分布またはワイブル分布 対数正規分布②

指数分布が選択されればを選択を選択③ これら以外であれば演習問題節の設定で 対立仮説の下での非心心度は自由度分布に従うことを示せ ただしは互いに独立で 各は同一の分布関数一般性を失うことなくとする をもちならばが成り立つことを示せ ただしを示せとしては互いに独立では互いに独立で 各とする さらに

非は 分布関数を仮定するならばをもつ

第章

多標本問題

は互いに独立で 各は 分布関数つとする さらにをもを仮定しならばとしてを示

せの下でならばであるこで定義したの平均と分散共分散行列はそれとを示せ
帰無仮説の下でぞれとなることを示せ
節の設定で検定統計量はの下でならばであることを示せ

節の設定でとおくの下で順序統計量を与えたときの付き平均と分散共分散行列はそれぞれとなることを示せ ただしの下での条件

傾向性と分散の異なるモデルの解析の記号でが成り立つことを示

せ
節ので

すなわちとすればはの狭義増加関数であることを示せ
とすればに基づく検定は並べ替え

検定 並べ替え検定と同じ考え方の検定 と同値であることを示せとすれば節の推定量はを示せ
ウェルチの検定統計量の拡張
分布関数

は互いに独立で 各は一般性を失うことなくとする をもつとするで定義しならばのカイ二乗分布に分布収束することを示せ

とおく このときとしては自由度