Theory

S2-1

電子レンジの物理 － 解答
Part A : マグネトロンの構造と動作 (6.6 points)
A.1. (0.4 points)
LC回路の周波数は 𝑓 = 𝜔/2𝜋 = 1/2𝜋√𝐿𝐶 と書ける。空洞のまわりを流れる電流の大きさを𝐼とおくと、問題で与えられた仮定より、空洞に作られる磁束密度の大きさは、0.6 𝜇1 𝐼/ℎ と計算され、磁束は 𝜋𝑅4 × 0.6 𝜇1 𝐼/ℎ である。よって共振器のインダクタンスは 𝐿 = 0.6𝜋𝜇1 𝑅4 /ℎ と求まる。題意のコンデンサーを平行板コンデンサーで近似すると、その電気容量は 𝐶 = 𝜀1 𝑙ℎ/𝑑 で与えられる。以上より、LC回路の周波数は𝑓9:; =12𝜋√𝐿𝐶=1ℎ𝑑1 𝑐𝑑1 3 ∙ 10@
1<<<=== 2.0 ∙ 10D Hz4BC2𝜋 0.6𝜋𝑅 𝜇1 𝜀1 𝑙ℎ 2𝜋 𝑅 0.6𝜋𝑙 2𝜋 7 ∙ 103.6𝜋となる。
A.2. (1.5 points)
電子の速度を𝑢H⃗(𝑡)と表す。このとき電子にかかる力は𝐹⃗ = −𝑒(−𝐸1 𝑦R + 𝑢H⃗(𝑡) × 𝐵1 𝑧̂ )と書ける。ここで𝑢H⃗(𝑡)を、直交する電磁場中で荷電粒子がドリフトする速度（電場による力と磁場による力がちょうど打ち消し合うような速度） 𝑢
H⃗W = −𝐸1 /𝐵1 𝑥R を用い⃗て𝑢H⃗(𝑡) = 𝑢
H⃗W + 𝑢H⃗′(𝑡) と表す。このとき 𝐹 = −𝑒𝑢H⃗′(𝑡) × 𝐵1 𝑧̂ となる。このように、ドリフト速度𝑢H⃗W で動く系から見ると、電子は一定の速さ 𝑢Z = |𝑢H⃗′(𝑡)| で半径 𝑟 = 𝑚𝑢Z /𝑒𝐵1の円軌道を描くことがわかる。実験室系ではこれにドリフト速度 𝑢
H⃗W を加えればよいから、
1. t=0での電子の速度が 𝑢
H⃗(0) = 3E1 /𝐵1 𝑥R である場合： 𝑢Z = 4E1 /𝐵1 , 𝑟 =4𝑚𝐸1 /𝑒𝐵1 4
2. t=0での電子の速度が 𝑢
H⃗(0) = −3E1 /𝐵1 𝑥R である場合：𝑢Z = 2E1 /𝐵1 , 𝑟 =2𝑚𝐸1 /𝑒𝐵1 4
円運動の周期が速さ𝑢Z に依存しないことと合わせて、電子の軌道はそれぞれ以下のように書ける（緑線は1. の場合を、赤線は2. の場合を表している）。

Theory

S2-2

A.3. (0.4 points)
電子の軌道が円形とみなせるような慣性系で見たとき、電子の速さは 𝑢Z である。
A.2. より 𝑢W + 𝑢Z = 𝑣bcd , 𝑢W − 𝑢Z = 𝑣bef なので、 𝑢Z = (𝑣bcd − 𝑣bef )/2 < 𝑣bcd が分かる。よってこの慣性系における電子の軌道半径について 𝑟 = 𝑚𝑢Z /𝑒𝐵1 < 𝑚𝑣bcd /𝑒𝐵1iが成り立つ。速さの最大値は運動エネルギーの最大値 𝐾bcd = 4 𝑚𝑣bcd 4 = 800 eVによって決まるので、
𝑟<𝑚 2𝐾𝑚 2𝑒𝑉
1 2𝑚𝑉
1 2 ∙ 9.1 ∙ 10BCi ∙ 800<<<<==== 3.18 ∙ 10Bo m
𝑒𝐵1 𝑚𝑒𝐵1 𝑚
𝐵1𝑒0.3
1.6 ∙ 10BiD≈ 0.3 mm

ここで得られた軌道半径の最大値は陰極−陽極間距離よりも十分小さいため、円運動を無視し、電子の運動をドリフトのみで近似することができる。
A.4. (1.2 points)
前述の通り、電子の運動はドリフトのみで近似できる。A.2. で確かめたように、ドH⃗ の方向に向かう。ドリフト速度のうち動径方向成分には電場の接線リフト𝑢H⃗W は𝐸H⃗ × 𝐵
方向成分のみが寄与するが、静電場は接線成分を持たないので、考慮する必要があるのは交流電場のみである。図より、点Ａ・Ｂにおいて交流電場成分は時計回り方向、
点Ｃ・Ｄ・Ｅにおいて反時計回り方向となっているから、磁場が紙面手前方向にかかっていることと合わせて、ドリフトの方向は次の表のようになる。
点ABC
DE

陽極方向

陰極方向 動径方向と完全に垂直
X
X

XXX

Theory

S2-3

A.5. (1.2 points)
本問では、ドリフト速度のうち接線方向成分のみを考えればよい。各点は全て陽極から等距離にあるので、感じる静電場は全て等しい。よって交流電場の動径方向成分のみが電子の位置ベクトルどうしのなす角の増減を決定づける。これが内向き（陰極方向）をならドリフト速度の接線方向成分は反時計回りに、外向き（陽極方向）なら時計回りになる。以上より、位置ベクトルどうしのなす角の増減は次の表のようになる。
点のペア 角度は減少する 角度は増加する この条件だけでは決められない
ABX
BCX
CAX
DEX
EFX
DFX

A.6. (0.8 points)
スポークは電子が集中する場所にできる。前問より、下図のように４つのスポークができることがわかる。電子のドリフト運動により、その回転方向は反時計回りであることがわかる。
交流電場の周波数は 𝑓 = 2.45𝐺𝐻𝑧 である。
各スポークは、交流電場の向きが反転する半周期の間に、 π/4 回転して次の空洞に移る。
よって各スポークの角速度は
𝜋 𝑇 𝜋
𝜔 = / = 𝑓 = 3.85 ∙ 10D rad/s
4 2 2となる。各スポークは交流電場４周期分の間にマグネトロンを１周する。

Theory

S2-4

A.7. (1.1 points)
陰極と陽極の間のちょうど中間の位置 𝑟 = (𝑏 + 𝑎)/2 における電場の大きさは、その地点での静電場の大きさ 𝐸 = 𝑉1 /(𝑏 − 𝑎) に等しいから、ドリフト速度の接線方向成分は 𝑢W = 𝐸/𝐵1 = 𝑉1 /[𝐵1 (𝑏 − 𝑎)] と書ける。𝑢W /𝑟 が前問で求めた角速度と等しいことから、 𝑉1 = 𝜋𝑓𝐵1 (𝑏 4 − 𝑎4 )/4 がわかる。

Part B: マイクロ波と水分子の相互作用 (3.4 points)
B.1. (0.5 points)
時刻 t におけるトルクは 𝜏(𝑡) = −𝑞𝑑 sin[𝜃(𝑡)] 𝐸(𝑡) = −𝑝1 sin[𝜃(𝑡)] 𝐸(𝑡)と表される。よって電場から双極子に与えられる瞬間のエネルギーは
𝑑𝑑𝑝‰ (𝑡)𝐻… (𝑡) = 𝜏(𝑡)𝜃̇ (𝑡) = −𝑝1 𝐸(𝑡) sin 𝜃(𝑡) 𝜃̇(𝑡) = 𝐸(𝑡) (𝑝1 cos 𝜃(𝑡)) = 𝐸(𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑡である。
B.2. (0.5 points)
双極子モーメント密度は電場に平行なので、単位時間あたりに吸収されるエネルギ
ーの時間平均は𝑑𝑃‰
𝑑〈𝐻(𝑡)〉 = 〈 sinŒ𝜔• 𝑡Ž〉 = 〈 𝐸1 sinŒ𝜔• 𝑡Ž Œ𝛽𝜀1 𝐸1 sinŒ𝜔• 𝑡 − 𝛿ŽŽ 〉𝑑𝑡
𝑑𝑡= 𝐸1 4 𝛽𝜀1 𝜔• 〈 sinŒ𝜔• 𝑡Ž cosŒ𝜔• 𝑡 − 𝛿Ž 〉 = 0.5𝐸1 4 𝛽𝜀1 𝜔• 〈 sin 𝛿 + sinŒ2𝜔• 𝑡 − 𝛿Ž 〉= 0.5𝐸1 4 𝛽𝜀1 𝜔• sin 𝛿
B.3. (1.1 points)
深さ 𝑧 における電磁場のエネルギー密度は、その点での電場のエネルギー密度の２倍に等しいから、2 × 𝜀’ 𝜀1 〈𝐸 4 (𝑧, 𝑡)〉/2 = 𝜀’ 𝜀1 𝐸1 4 (𝑧)〈sin4 𝜔𝑡〉 = 𝜀’ 𝜀1 𝐸1 4 (𝑧)/2 である。よって、深さ 𝑧 におけるエネルギー流速密度の時間平均は
1𝑐 1𝐼(𝑧) = 𝜀’ 𝜀1 𝐸1 4 (𝑧) × = ”𝜀’ 𝜀1 𝑐𝐸1 4 (𝑧)2𝑛 2となる。ここで 𝑐 は真空中での光速である。B.2. で計算したエネルギー損失を考えると、次の微分方程式が成り立つ。
𝑑𝐼(𝑧)1𝛽𝜔 sin 𝛿= − 𝛽𝜀1 𝜔𝐸1 4 (𝑧) sin 𝛿 = −𝐼(𝑧)𝑑𝑧
2𝑐 √𝜀’
これを解いて 𝐼(𝑧) = 𝐼(0) exp[−𝑧𝛽𝜔 sin 𝛿 / (𝑐√𝜀’ )]TheoryS2-5

B.4. (0.6 points)
前問と同様に、エネルギー流速密度は1𝐼(𝑧) = ”𝜀’ 𝜀1 𝑐〈𝐸 4 (𝑧, 𝑡)〉 = ”𝜀’ 𝜀1 𝑐𝐸1 4 𝑒 B—˜√™š ›cf œ/•2と求まる。B.3. の結果と比較して、tan 𝛿 ≈ sin 𝛿を利用すれば、𝛽 = 𝜀’ が分かる。
B.5. (0.7 points)
1. 前問の結果から、エネルギー流速密度の値が 𝑧 = 0 における値の半分になるのは、
𝑧i/4 =𝑐 ln 2𝑐 √𝜀’ ln 2=𝜔𝜀𝜔√𝜀’ tan 𝛿である。周波数と水の温度が分かっているので、グラフから読み取ると 𝜀’ ≈ 78 , 𝜀 ≈10 が分かるから、𝑧1/2 ≈ 12 mmとなる。また、侵入長は √𝜀𝑟 /𝜀𝑙 に比例することがわかる。
2. 水の温度を増加させると、マイクロ波の周波数では 𝜀 の減り具合が明らかに√𝜀’ の減り具合よりも大きい。よって水の温度が増加すると、マイクロ波はより深くまで侵入して内側を温めることができる。
3. 反対に、スープを温めると、マイクロ波の周波数では 𝜀 が増加する一方 𝜀’ は減少する。よって侵入長は短くなり、マイクロ波は奥まで侵入することはできない。
物質

温度が増加すると𝑧i/4 は増加する

水スープ

X

𝑧i/4 は減少するX

𝑧i/4 は変わらない