ディスクリプタ表現を用いた磁気浮上装置に対するロバスト制御
2009SE138 熊田 健良 2010SE238 谷口巧磨
指導教員 ： 陳幹

1

はじめに磁気浮上系のメリットは, 物体を非接触に支持することにより, 摩擦から解放されること, 騒音が非常に少ないことである. 一方で不安定系であるために安定化が困難であるということが挙げられる. また, 磁気浮上系は非線形性が強いシステムであり, 不確かさを含むパラメータが存在している. 本研究では, 不確かさを含むパラメータを適切に扱うため, ディスクリプタ表現を用いてゲインスケジューリング制御を行う.
近年, 線形ロバスト制御理論の成果に基づいたゲインスケジューリング制御系設計の研究が盛んに行われている[1]. ゲインスケジューリングとは対象とするシステムの変動するパラメータの情報を利用して, 補償器のゲインを変える制御手法である. 従来の線形制御理論における補償器設計は, 対象とするシステムをある平衡点において線形近似を施し, その線形化されたモデルに対して補償器を設計することで対象とするシステムを制御してきた. この方法で得られる補償器は常に変化しないものである. しかし,

図 1 磁気浮上系の構成図

3モデリング

3.1

運動方程式の導出と線形化対象とするシステムが環境の変化や何らかの外乱を受けた場合, 対象のシステムが不安定になる恐れがある. このよ

表 1 物理パラメータ

うな問題に対しては変動の幅を予め見積もり, パラメータ変動や外乱の影響を低減するような補償器を設計すること

器で対象のすべての動作範囲に対応するには, 補償器へのg[m/s ]2

えられるゲインスケジューリング制御を用いて適切な制御を行い, 鋼球の安定した浮上を目的とする. また, 本研究の比較対象としてロバスト LQ 制御用いて設計した固定ゲインとの比較を行うことで提案手法の有効性を検証する.

2制御対象
図 1 に磁気浮上系の構成図を示す. 本研究で用いる磁気浮上装置は, ボール台座に埋め込まれているセンサーによって鋼球の位置が検出される. またコイルに電流を流すことで, 発生した磁界による吸引力で鋼球を浮上させることができる. コイルへの電流を大きくすると吸引力が増大し, 鋼球はコイルに近づき, 電流を小さくすると吸引力が2Km [Nm /A ]ある.
処することができ, また制御性能の向上にもつながると考電流

Ic [A]

負担が大きくシステムの性能の劣化等を引き起こす可能が本研究では, 磁気浮上装置に対してより大きな変動に対重力定数 (=9.81[m/s2 ])2で対処できる. しかし, この見積もった変動の幅が大きな場合, また, 変動の上下界の差が大きいほど, 固定の補償

鋼球質量 (=0.045[kg])Mb [kg]

電磁力定数xb [m]

鋼球位置 (コイルと鋼球間の距離)

Fc [N]

電磁力引力

図 1 に示される構成図より, ニュートンの第二法則を用いて, 磁気浮上系の運動方程式を以下のように表すことができる.

Mbd2
xb = Mb g − Fcdt2(1)

また, 電磁力引力 Fc は電流の２乗に比例し, 物質間の距離の２乗に反比例することから, 以下のように表す.

Fc = Km

Ic22x2b(2)式 (1), 式 (2) より式 (3) を導出できる.

d2Km Ic2x=
g−bdt2
2Mb x2b(3)減少し, 鋼球は重力に従いコイルから遠ざかるという原理

この式は非線形のため, 平衡点 (xb0 , Ic0 ) の周りで線形化である. 本研究で用いる物理パラメータを表１に示す.

を行う. xb1 [m] と Ic1 [A] をそれぞれ鋼球位置の微小変位,電流の微小変化とすると, 実際の変位 xb と電流 Ic は以下y(t) = Ĉ x̂(t)のように表わされる.

xb = xb0 + xb1 , Ic = Ic0 + Ic1(4)

式 (4) を式 (3) に代入し, 線形近似することにより, 以下のように微分方程式を導出できる.

[IÊd =0]
00, Âd =  00
√2gKm00 , B̂d = 2gxb0
√
−
√−

10001

,2Mb gKmĈ = [1 0 0]

2d2gxb12gIc1−xb =dt2xb0
Ic0(5)

拡大系の導出3.3

本研究では出力 y を目標値に追従させるために拡大系のこのとき, 閉ループ伝達関数 Gb1 (s) は導出を行う. 式 (9) に対して, 出力 y, 目標 r と目標の誤差

xb1 (s)−ω 2 Kbc
Gb1 (s) == 2 b 2
Ic1 (s)s − ωb(6)の積分値を z として定義する. 状態変数 x̃ を x̃ = [z x̂T ]と定義すると, 式 (9) から式 (10) を得る.となる.

√ωb =xb02g, Kbc =, Ic0 =xb0
Ic0√

˙Ẽd x̃(t)= Ãd x̃(t) + B̃d u(t)2Mb gxb0Km

ここで, Ẽd , Ãd , B̃d , は以下のように与えられる.

[式 (6) において, 極に s = ωb > 0 が存在するため, 極がすẼd =べて負ではないので, このシステムが不安定であることがわかる. 本研究において, 平衡点 xb0 と電磁力定数 Km は変動するので [2], これらのパラメータに対する不確かさを考慮する. 変動範囲は以下のように決定した. また, 平衡点において線形近似を行った際の鋼球位置は 8mm, 電磁力定数の値は変動範囲の中点とした.

]
[]
[ ]
1 000 −Ĉ, Ãd =, B̃d =0 ÊdB̂d0 Âd4制御系設計

4.1

ロバスト LQ 制御

本研究の比較対象としてロバスト LQ 制御を用いて, 固定ゲインを設計することを考える. まず, 鋼球位置と電磁−3xb0 [m] の変動範囲 : 3.0 × 10

力定数の変動を考慮したロバスト制御則の設計を行う. 制−3∼ 14 × 10

Km [Nm2 /A2 ] の変動範囲 : 6.82 × 10−5 ∼ 8.86 × 10−5
3.2(10)御則の導出にあたり, 複数の変動に対して安定性を理論的1に保証する. θ1 = xb0 , θ2 = √Kmとし, 変動範囲の端点行列を以下のように定める.

状態方程式及びディスクリプタ方程式の導出

Âd = Âdi (θ1 , θ2 ), (i = 1, · · · , 4)

式 (6) より, 状態変数 x を x = [xb1 ẋb1 ]T , 入力を u =Ic1 とすると, 状態方程式は以下の式 (7) のように示すことができる.
ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
(7)
[]
[]
00 1
A = 2g, B = − √ 2M2gg
0b xxb0b0
KmÂd1 = Âd (θ1 , θ2 ),Âd2 = Âd (θ1 , θ2 )Âd3 = Âd (θ1 , θ2 ),Âd4 = Âd (θ1 , θ2 )システムを安定化させる状態フィードバックコントロー
ラを得るために, J を最小化する以下の評価関数を考える.
ただし, xp = [z xT ] である.

ここで, 行列 B 内に不確かなパラメータと変動パラメータ∫ ∞が存在しているためディスクリプタ形式に変形し, 行列 B

J=(xTp Qxp + uT Ru)dt(11)0内から消去するとディスクリプタ方程式を以下のように示

ここで Q ∈ ℜ3×3 ≥ 0 と R ∈ ℜ > 0 とする. このポリトーすことができる.

プ型の拡大システムに対して, 以下の補題を用いる.

Ed ẋ(t) = Ad x(t) + Bd u(t)(8)

閉ループシステムは, u = −Kxp := Y X −1 xp で安定化さ

ここで, 行列 Ed , Ad , Bd , は以下のように与えられる.

[1Ed = 00]√xb0Km[, Ad =0√2gKm][]
10,
B=2gd− √2M g0b

不確かなパラメータと変動パラメータを 1 つの係数行列にまとめる. ディスクリプタ変数を x̂ として, x̂ =[xb1 ẋb1 ẍb1 ]T とするとディスクリプタ方程式を以下のように示すことができる.
˙Êd x̂(t)= Âd x̂(t) + B̂d u(t)補題 1: 式 (12) を満たす X > 0, Y が存在するならば,(9)れる.

maximaze : trace(X)He[Ãdi X − B̃d Y ]X
X−Q−1Y0
YT0 <0−R(12)(i = 1, · · · , 4)
式 (12) の各端点を解くことで状態フィードバックゲイン
は K は K = Y X −1 で与えられる. (J < trace[X −1 ]).

[4.2X11
Xd =X21

シミュレーション及び実験結果

図 2 にコイルと鋼球間の距離を 4mm から 14mm へ変](18)

Yd = [Y 0]化させたとき, 図 3 に 14mm から 4mm へ変化させたときのシミュレーションと実験結果の比較を示す. 実験結果よ0X22(19)−1
式 (10) の閉ループシステムは u(t) = −Y X11xp で安定化される.
ここで, 式 (17) に存在する変数行列 Yd のみをスケジューリングパラメータに依存させることを考える. また,行列 Âd , Y (θ̃1 ) はスケジューリングパラメータに対してアファインであるので端点行列として表現できる.
次に, 電磁力定数 Km の不確かさをポリトープ表現を用いて保証する. θ̃2 = √ 1Kmとし, Km の最小, 最大のとき,また, スケジューリングパラメータの変動を考慮して Ãdj

図 2 コイルと鋼球間の距離 (4mm∼14mm)を式 (20) として定める.

1θ̃2 = √: θ̃2 ∈ {θ̃2 , θ̃2 }KmÃd = Ãdj (θ̃1 , θ̃2 ), (j = 1, · · · , 4)

図 3 コイルと鋼球間の距離 (14mm∼4mm)

Ãd1 = Ã(θ̃1 , θ̃2 ),Ãd2 = Ã(θ̃1 , θ̃2 )Ãd3 = Ã(θ̃1 , θ̃2 ),Ãd4 = Ã(θ̃1 , θ̃2 )(20)

ここでシステムを安定化させる状態フィードバック GS ゲ
インを得るための J を最小化させる評価関数は, ロバストり, 安定して収束しているのがわかる. また, 変動パラメー
タに対してロバスト性が保証されていることがわかる.

4.3

GS(ゲインスケジューリング) 制御

本研究では, 磁気浮上装置に対し, GS(ゲインスケジューリング) 制御を用いて適切な制御を行い, 鋼球の安定した浮上を行う手法を示す. 設計に用いるスケジューリングパ

LQ と同様のものを用いる. 以上の作業をもとに, LMI 条
件は次式となる.
maximaze : trace(X11 )He[Ãdj Xd − B̃d Yd (θ̃1 )]1
Q 2 Xd
1R 2 Yd (θ̃1 )ラメータ θ̃1 を θ̃1 = xb0 とし, θ̃1 の上下界を頂点とする変[動の両端点を式 (13) で与える.

θ̃1 = xb0 : θ̃1 ∈ {θ̃1 , θ̃1 }

X11
X11 > 0, Xd =X21

(13)

1Yd (θ̃1 )(R 2 )T<00−I(21)

1Xd (Q 2 )T−I00X22

Yd (θ̃1 ) = [Y (θ̃1 ) 0]

ここで, 行列 Ẽd の構造を考慮してリアプノフ行列 Xd と変数行列 Yd (θ̃1 ) の候補を下式として与える.

[Xd =XX210X22](22)(j = 1, · · · , 4)](14)

Yd (θ̃1 ) = [Y (θ̃1 ) 0]

(15)

Y (θ̃1 ) = Y0 + θ̃1 Y1(16)上式の LMI 条件を満たす Xd , Yd (θ̃1 ) より, 状態フィード
バック GS ゲインは式 (23) で与えられる. また, 実装の際には式 (23) を用いてゲインを導出する.
−1(J < trace[X11])−1
Kd (θ̃1 ) = Y (θ̃1 )X11

また, 本研究では LMI 条件を導出するにあたり, 参考文献

[3] の補題を用いる.
補題 2: 式 (17) を満たす X11 > 0, Xd , Yd が存在する
なら,maximaze : trace(X11 )
11He[Ãd Xd − B̃d Yd ] Xd (Q 2 )T Yd (R 2 )T1 < 0 (17)−I0
Q 2 Xd12R Yd0−I4.4(23)シミュレーション及び実験結果設計した制御器の有効性を検証するためにシミュレー
ション, 及び実験を行った. 図 4 にコイルと鋼球間の距離を 4mm から 14mm へ変化させたとき, 図 5 に 14mm から 4mm へ変化させたときのシミュレーションと実験結果の比較を示す. また, 鋼球位置の変動の上界から下界まで

図 4 コイルと鋼球間の距離 (4mm∼14mm)

図 7 コイルと鋼球間の距離 (4mm∼14mm)

図 5 コイルと鋼球間の距離 (14mm∼4mm)

図 8 コイルと鋼球間の距離 (4mm∼14mm)

図 9 コイルと鋼球間の距離 (14mm∼3mm)

図 6 コイルと鋼球間の距離 (14mm∼3mm)

移動させる実験を行う. 図 6 に 14mm から 3mm へ変化さ5せたときのシミュレーションと実験結果の比較を示す.

おわりに
本研究では, ディスクリプタ表現の枠組みにおける, 単シミュレーションと実験結果の比較より, 単一のリアプ一リアプノフ関数に基づく GS 制御の設計を行い, シミュノフ関数に基づく GS 制御器は安定して収束していること

レーション, 及び実験において理論の検証を行った. また,がわかる.

ロバスト LQ 制御と GS 制御の比較を行うことにより, よ4.5

ロバスト LQ 制御と GS 制御の比較

以下にロバスト LQ 制御と単一のリアプノフ関数に基づ
く GS 制御の実験結果の比較を示す. 図 7 にコイルと鋼り大きな変動に対して対処できる GS 制御の有効性をシミュレーション及び実験において確認した. 鋼球位置の変動の上下界を移動させる実験からも, より大きな変動に対して GS 制御が有効であることが確認できた.

球間の距離を 4mm から 14mm へ変化させたとき, 図 8 に14mm から 4mm へ変化させたときの実験結果の比較を示す. 図 8 より, コイルからの距離を近づけた場合は両者とも同じような応答をみせたが, 図 7 より, コイルからの距離を遠ざけた状況においては GS 制御の方が良い応答を見せた.
また, 図 9 にロバスト LQ 制御で鋼球位置の変動の上界から下界まで移動させた実験結果を示す. ロバスト LQ 制
御での実験は, シミュレーションでは安定して目標値へ収束していたが, コイルと鋼球間の距離を 14mm から 3mmへ変化させる実験を行った結果, 14mm から 3mm へ追従する間, 次第に振動的になり安定して浮上しなかった.

6

参考文献

[1] 増淵, 示村 : ゲインスケジューリング系の設計におけるディスクリプタ形式の利用について, システム制御情報学会論文誌, Vol. 12, No. 7, pp. 390-394, 1999.
[2] 山田 : H∞ 制御による磁気浮上装置のロバスト安定化, 南山大学数理情報学部情報システム数理学科, 2012.
[3]Tomoya Kanada, Yusuke Watanabe and Gan Chen
: Robust H2 Control for Two-wheeled inverted Pendulum Using LEGO Mindstorms, 2011 Australian ControlConference, pp. 136-141, 2011.