トポロジー I 演習

ヒント集1

演習 2.1位相空間 X が離散空間であるためには、一点集合がすべて開集合となることである。

（ヒント）位相とは部分集合の集合を定めることであり、離散空間は全ての部分集合が位相に入っていることである。
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演習 2.2３点集合 {0, 1, 2} 上にはいくつの位相が定義できるか？

（ヒント）全ての部分集合の集合から位相になるものと選べ。
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演習 2.3上の定義における Td が X 上の位相であることを確かめよ。
（定義 2.1 の 3 条件 (O-1),(O-2),(O-3) を満たすことを確かめよ。）（ヒント）この定義が位相の条件 (O-1),(O-2),(O-3) を満たすことをチェックせよ。
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演習 2.4
命題 2.10 を証明せよ。

（ヒント）互いに同値な距離の定義を用いて、位相の集合が一致することを示せ。
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演習 2.5
有限個の点からなる位相空間 X に関して、X が距離付け可能になるための必要十分条件は、X が離散空間であることを示せ。

（ヒント）有限集合において、各点のある開近傍がその点に一致するようにとれることを示せ。
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演習 2.6
無限集合に有限補集合位相を与えた位相空間は、距離付け可能ではない（例 2.5 を参照）

（ヒント）有限補集合位相をもつ無限集合は互いに交わらない開集合をとることができないことを証明せよ。
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演習 2.7上の定義 2.14 における T≤ が位相となることを確かめよ。

（ヒント）位相の定義に戻れ。
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作成:丹下基生1

演習 2.8
集合 X = {0, an , bn |n ∈ N} の上に順序 ≤ を 0 = min X で、an と bm は比較不可能、m < n に対して、an < am , bn < bm と定める。このとき、定義 2.14 における T≤ が X 上の位相とならないことを示せ。

（ヒント）(O-2) を満たさないことを示せ。
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演習 2.9
命題 2.15 を証明せよ。

（ヒント）両方の位相が一致することを示せ。
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演習 2.10
命題 2.16 を証明せよ。

（ヒント）整列集合の性質、任意の部分集合が最小限を持つことをもちいよ。
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演習 3.1
X における内部と閉包に関して、以下が成り立つことを示せ。
intA = X \ cl(X \ A); clA = X \ int(X \ A);int(A ∩ B) = intA ∩ intB; cl(A ∪ B) = clA ∪ clB;（ヒント）(i) 内点の定義に戻る。内点の任意の点はそれを含む近傍をもつことを使え。

(ii) 触点の定義に戻る。A の触点の任意の点が A と共通部分を持つことを使え。
(iii) (i) と同じ。
(iv) (i),(ii),(iii) を全て使って証明せよ。
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演習 3.2数直線 R の部分集合 A, B で以下のようになる例をあげよ。

int(A ∪ B) ̸= intA ∪ intB; cl(A ∩ B) ̸= clA ∩ clB（ヒント）(i) 内部を取ると、一般的には境界の部分だけ小さくなる。しかし、A と B がある境界の部分でつながっているとその境界の部分は A ∪ B では内部になることがある。

(ii) 触点を取ると、一般的には境界の部分だけ大きくなる。そうすると、cl(A) ∩ cl(B) は A ∩ B より大きくなる。
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演習 3.3数直線 R の部分集合 A で cl(intA) ̸= clA, int(clA) ̸= intA となる例を挙げよ。

（ヒント）一点の内点とはなんだろうか？
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演習 3.4
ユークリッド空間 Rn において、B̄(x, ϵ) = clB(x, ϵ) となることを示せ。

（ヒント）B̄(x, ϵ) ⊂ clB(x, ϵ) かつ B̄(x, ϵ) ⊃ clB(x, ϵ) を定義に戻って示せ。
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演習 3.5
全順序集合 X の 2 点 a ≤ b に対して [a, b] は閉集合となることを示せ。

（ヒント）閉集合であること ⇔ 補集合が開集合であること。
全順序集合の開集合は 2.14 定義に戻れ。
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演習 3.6
距離空間においては、どんな閉集合も Gδ 集合となり、どんな開集合も Fσ 集合となることを示せ。

（ヒント）前者もしくは後者を示せば十分であることを示す。
前者：任意の閉集合をそれを覆う開集合の可算個（距離空間を使う）の減少列によって構成せよ。
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演習 3.7
命題 3.9 を証明せよ。すなわち (1)TN が X 上の位相となること、(2) 各点 x ∈ X に対して、NbdTN (x) = N(x)となることを示せ。

（ヒント）前半：位相の定義にあてはまるかどうか逐一チェック
後者：NbdTN (x) ⊂ N(x) かつ NbdTN (x) ⊃ N(x) を示せ。
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演習 3.8
命題 3.10 を証明せよ。すなわち (1)Ta が X 上の位相となること、(2)A ⊂ X に対して clTa A = a(A) となることを示せ。

（ヒント）前半：位相の定義にあてはまるかどうか逐一チェック
後者：clTa A ⊂ a(A) かつ clTa A ⊃ a(A) を示せ。
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演習 3.9
命題 3.11 を証明せよ。すなわち、(1)Ti が X 上位相となること,(2)A ⊂ X に対して、intTi A = i(A) となることを示せ。

（ヒント）前半：位相の定義にあてはまるかどうか逐一チェック
後者：intTi (A) ⊂ i(A) かつ intTi (A) ⊃ i(A) を示せ。
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演習 4.1離散空間 X において、点列 (xn )n∈N が点 x ∈ X に収束するためには、次の条件が必要十分であることを示せ。

∃n0 ∈ N such that n ≥ n0 ⇒ xn = x（ヒント）x に収束するとは、収束先 x のどんな近傍にもある先から全ての点列が含まれることである。離散空間の開集合とは全ての部分集合である、特に一点集合も開集合であることを思い出せ。

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演習 4.2距離空間 X における点列の収束の定義 1.10 と上の定義が一致することを示せ。

（ヒント）距離空間の場合には近傍として、ϵ-開（もしくは閉）球をとることができる。
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演習 4.3
命題 4.2 を証明せよ。

（ヒント）部分列が収束の定義を満たすか？
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演習 4.4
命題 4.4 の整列集合 X と a0 に関して、X における点列 (xn )n∈N が収束するならば、次が成り立つことを示せ：∃n0 ∈ N such that n ≥ n0 ⇒ xn = x0 .

（ヒント）まず、4.4 命題から、点列はほとんど a0 ≤ xn であることを証明せよ。また、整列集合の近傍（開集合）としてどのようなものがとれるだろうか？（2.16 命題参照）■
演習 4.5
ユークリッド空間 Rm の有界閉集合 A における点列 (xn )n∈N は A の点に収束する部分列を持つことを示せ。

（ヒント）1.13 命題を使うこと。部分列の収束先が A に含まれることを示す（もし含まれないと仮定して矛盾を導け。閉集合の性質を使う。）。
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演習 5.1
定義 5.1 の条件において、近傍 V, U を開近傍としてよいことを示せ。

（ヒント）開近傍を使って連続を定義した写像と近傍を使って連続を定義した写像が同値であることを示す。近傍の中には必ず開近傍を取ることができます。逆に開近傍は近傍のひとつです。
（コメント）位相空間では、開集合と近傍はほぼ同じ役割を果たしています。
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演習 5.2
命題 4.4 において、1 点集合 {a0 } の特性関数 χ{a0 } : X → {0, 1} は a0 において不連続であることを示せ。また、a0 に収束するどんな点列 (xn )n∈N に対しても lim χa0 (xn )(an ) となることを示せ。ここで、{0, 1} は離散位相を持つとし、χ{a0 } (xn ) = 1 ⇔ x = a0n→∞（ヒント）与えられた写像は連続ではありませんが、5.3 命題の意味で連続（点列連続）は成り立ちますので、5.3 命題からは矛盾は導けません。
連続であることは、開集合の逆像が開集合であることに同値であることをこの場合に当てはめよ。連続であると仮定して得られる開集合が開集合でないことを示せば OK。4.4 命題の仮定を用いよ。
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演習 5.3命題 5.4 を証明せよ。

（ヒント）点列連続（5.3 命題）は連続であるための必要条件であるから、距離空間の場合に点列連続 ⇒ 連続を示すこと。

5.3 命題は x に収束する任意の数列に対する性質である（これをそのまま使うのは難しい→対偶をとれ。）。つまり、f が不連続と仮定すると、x に収束するある数列 (xn ) が作れて矛盾を導くことを示せ。
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演習 5.4定理 5.6 を証明せよ。

（ヒント）S で生成される位相空間について一般の開集合の性質は 2.8 命題を用いよ。
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演習 5.5定理 5.8 を証明せよ。例えば、(1)⇔(2);(2)⇔(3);(1)⇔(4) を示せ。

（ヒント）連続写像の特徴づけは、開集合の逆像は開集合である。または、閉集合の逆像は閉集合である。もしくは定義に戻る。

A が X で開集合であることと A = intX A は同値。
A が X で閉集合であることと A = clX A は同値。
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演習 5.6
命題 5.10 の (1),(2) を証明せよ。

（ヒント）閉集合であることは intA = A となること。intA は A 内の最大の開集合であること。
閉集合であることは clA = A となること。clA は A を内部にもつ最小の閉集合である。
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演習 5.7上の (2) を示せ。（なお、(1) の方は明らか）（ヒント）無限に伸びる閉集合が f によってある開集合上に写されることを示せ。
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演習 5.8
全単射 f : X → Y に対しては、開写像となること、閉写像となること、および、逆写像 f −1 : Y → X が連続となることは互いに同値であることを示せ。

（ヒント）f が連続であるとは開集合の逆像が開集合であること。開写像であるとは開集合の像が開集合であること。
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演習 5.9
命題 5.11 を証明せよ。

（ヒント）（略）5■
演習 5.10
X の部分集合 A ⊂ X の特性関数を χA : X → R とする。すなわち、χA (x) = 1(x ∈ A), χA (x) = 0(x ∈ X \A)。
このとき、次が成り立つことを示せ。

(1)χA は上半連続 ⇔ A は X の閉集合 (2)χA は下半連続 ⇔ A は X の開集合

（ヒント）(1) 上半連続の定義を使え。

(2) 下半連続の定義を使え。
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演習 5.11距離空間 X = (X, d) において、その部分集合 A ⊂ X に対して、fA : X → R を fA (x) = d(x, A) と定義する。
このとき、fA が連続になることを示せ。

（ヒント）連続写像とは開集合の逆像が開集合であることを用いよ。
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演習 5.12
無限集合に有限補集合位相を与えた位相空間 X 上に実数値関数 f : X → R が連続ならば、f は定値写像であることを示せ。

（ヒント）もし定値でないとすると、2 点以上異なる値が f の像となる。有限補集合位相をもつ無限集合において、開集合の補集合に、開集合が含まれることはない。つまり、X には互いに交わらない空ではない開集合をとることはできない。
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演習 5.13
命題 5.16(1)-(6) を証明せよ。

（ヒント）連続写像の合成写像が連続であることを用いよ。f + g や f · g がどのような写像の合成であるか考えよ。
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演習 5.14
命題 5.28 を証明せよ。

（ヒント）（略）■演習 5.15一般の距離空間 X に対しては、命題 5.28 が成立しないことを例をあげて示せ。

（ヒント）有界閉でない距離空間 X を用いて、ある距離空間 Y に写像 f : X → Y を構成せよ。
このとき、{1/n|n ∈ N} を用いよ。

6演習 6.1
定理 6.3 を証明せよ。

（ヒント）近傍系より、近傍基の方が細かくとることができること。また、近傍基は近傍系の部分集合であることに注意せよ。
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演習 6.2
命題 6.4 を証明せよ。

（ヒント）近傍基は近傍系の部分族であることを用いよ。近傍系の任意の近傍に対して近傍基をとることができること。
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演習 6.3
命題 6.5 を証明せよ。

（ヒント）近傍基は近傍系の部分族であること。近傍基は近傍系より近傍を細かくとることができること。
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演習 6.4

X が第一可算であれば、A ⊂ X に対して次が成り立つことを示せ。
x ∈ clA ⇔ ∃xn ∈ A (n ∈ N) such that xn → x (n → ∞)（ヒント）6.4 命題を使え。可算近傍基は U1 ⊃ U2 ⊃ · · · Un ⊃ Un+1 ⊃ · · · を満たさないのでそれを満たすように作り替えればよい。
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演習 6.5

X が第一可算であるとする。次の条件が、f : X → Y が x ∈ X において連続となるために必要十分であることを示せ。
∀xn ∈ X (n ∈ N), xn → x (n → ∞) ⇒ f (xn ) → f (x) (n → ∞)（ヒント）不連続だと仮定して、演習 6.4 を用いることで、Y 上に矛盾する点列を構成する。
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演習 6.6定理 6.9 を証明せよ。

（ヒント）B が開基であることは任意の開集合 U の任意 x の点に対して x を含み、U の内部に開基となる開集合が存在すること。
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演習 6.7
命題 6.7 を証明せよ。

（ヒント）演習 6.6 の (1)⇔(2)。

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演習 6.8Rn が可分であることを示せ。

（ヒント）有理数が実数の中で稠密であることを用いよ。
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演習 6.9l1 , l2 が可分であることを示せ。

（ヒント）∪n∈N Qn × {0} × {0} · · · の閉包が ℓ1 , ℓ2 となることを示せばよい。
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演習 6.10
命題 6.20 を証明せよ。

（ヒント）同相写像（全単射連続写像）が第一可算であることや第二可算であることを変えないことを証明する。そのために、開集合の性質が保たれることを証明せよ。
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演習 6.11上の命題（命題 6.22）を示せ。

（ヒント）生成することを定義に従って言いかえる。
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演習 6.12
命題 6.23 を証明せよ。

（ヒント）生成されることの定義において、S による n 個の共通部分を含むことを一つの S で十分であることを (OB-2) を使って証明する。
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演習 6.13
命題 6.24 を証明せよ。

（ヒント）（前半）位相の定義に従うことを証明する。また、近傍基が B(x) であることを証明せよ。
（後半）(NS-5) の部分がややこしいが G ∈ N (x) であること、任意の y ∈ G に対して、G ∈ N (y)であることを、(NB4) を用いて証明する。
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