アンチロックブレーキングシステムのロバスト制御
2010SE167 大石直人 2010SE246 遠山智孝
指導教員：大石泰章

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表 1 パラメータ

はじめに
近年，自動車の走行性能の向上に伴い安全性への要求が高まり，数多くの安全装置が開発されている．中でも現在のほとんどの自動車に標準装備されているのがアンチロックブレーキングシステム (以下，ABS) である．緊急制動時や悪路でブレーキを強く踏み込むと，ブレーキがタイヤを止めようとする力がタイヤと路面の間の摩擦力を上回り，車輪が回転しない，すなわちロックされた状態に陥る．

ABS はこのような状態に陥る前に車輪をロックさせないようブレーキを調整することで，タイヤと路面の間の摩擦力を最大に制御する．その結果，緊急時のハンドル操作を有効にし，安全性を確保する．ABS の作動環境は，自動車の走行速度が速いときや遅いとき，また，乾いた路面などの摩擦力の大きいときや，濡れた路面や凍結した路面などの摩擦力の小さいときなど，様々な状況が考えられる．ゆえに，ABS の制御にはロバスト性が求められる．
本研究では，INTECO 社の The Laboratory Anti-lockBraking System[2] を考察対象とし，ロバスト性を確保し

x1 [rad/s]
x2 [rad/s]
M1 [Nm]r1 [m]
r2 [m]
J1 [kgm2 ]J2 [kgm2 ]d1 [kgm2 /s]d2 [kgm2 /s]Fn [N]µ(λ)λ
M10 [Nm]
M20 [Nm]y

上部車輪の角速度
下部車輪の角速度
制動トルク
上部車輪の半径下部車輪の半径上部車輪の慣性モーメント
下部車輪の慣性モーメント
上部車輪の粘性摩擦係数
下部車輪の粘性摩擦係数
上部車輪が下部車輪を押す力

0.0995
0.099
7.53×10−3
25.6×10−3
1.19×10−4
2.15×10−458.2

車輪間の摩擦係数
スリップ率
上部車輪の摩擦力
下部車輪の摩擦力

0.0032
0.0925ブレーキ制御つつ，スリップ率を目標値に追従させることが可能な固定ゲインのロバストコントローラを設計する．ロバスト性を実現するために，不確かなパラメータを含む場合でも所望の制御則を満たすコントローラが設計可能な線形行列不等

本研究で着目するスリップ率は車輪速度 r1 x1 と車体速度 r2 x2 の関数として式 (以下, LMI) を用いる．また，シミュレーション, 実装により効果の実証を行う．

2λ=モデリング本 研 究 の 考 察 対 象 で あ る The Laboratory Anti-lockBraking System には上下に 2 つの車輪がついており, それぞれ車輪, 路面を再現している (図 1). 上部車輪の角速度に半径をかけたものは車輪速度, 下部車輪の角速度に半径をかけたものは車体速度として扱うことができる.

r2 x2 − r1 x1
r2 x2(1)と定義される.

λ = 0 のとき車輪速度は車体速度に等しいので完全粘着，λ= 1 のとき車輪速度は零なので車輪が完全にロックしていることを意味する．路面と車輪の間の摩擦が最大となるスリップ率はおよそ 0.2 であることがわかっている[5]. 本研究では目標スリップ率 λ∗ を 0.2 とし, x1 ≥ 0,x2 ≥ 0 の時のみを考える.
上部車輪と下部車輪の運動方程式, ブレーキのシステ
ムは

図 1 The Laboratory Anti-lock Braking System

J1 ẋ1 = Fn r1 µ(λ) − d1 x1 − M10 − M1 ,J2 ẋ2 = −Fn r2 µ(λ) − d2 x2 − M20 ,(2)(3)

Ṁ1 = 20.37(b1 y + b2 − M1 )

(4)と表される [1]. (ただし, b1 = 15.24, b2 = −6.21 である.)
車輪間の摩擦係数は,制御対象のモデリングに用いるパラメータを表 1 に示す.

µ(λ) =W4 λ p+ W3 λ3 + W2 λ2 + W1 λa + λp(5)と表すことができる. ただし,最適レギュレータと LMI

3a = 2.57×10−4 ,p = 2.10,
W1 = −4.24×10−2 ,W2 = 2.94×10−10 ,W3 = 3.51×10−2 ,W4 = 4.07×10−1

次に，スリップ率を目標値に追従させるためのコントローラを設計する．ロバスト性を実現するために最適レギュレータ問題を LMI に帰着させる．
最適レギュレータ問題の可解条件を LMI 条件で表現するためには以下の評価関数

Jϵ =(12)0である [1].

を最小化する問題を扱う．なお，対角行列 Q，R は重みで式 (1) を微分し変形することで

r1
r1 x1ẋ2ẋ1 +r2 x2r2 x22]
1
1 [ r12Fn µ(λ) + (1 − λ)Fn r2 µ(λ)=−x2 J1 r2J2r1d1 (1 − λ)r1 M10+M1 ++J1 r2 x2
J1J1 r2 x2d2 (1 − λ) (1 − λ)M20−−(6)J2J2 x2λ̇ = −を得る.

あり，ϵ は微小な正数である．これに相当するリッカチ方程式

He[P A] − P BR−1 B T P + Q + ϵI = O[1 r2r2∂µd1d2λ̇ = − ( 1 + (1 − λ∗ ))Fn (λ∗ ) +−x2 J1 r2J2∂λJ1J21 M20 ]1 r1+(λ − λ∗ ) +(M1 − M1∗ )(7)x2 J2x2 J1 r2∗となる. ただし, λ , M1∗ はそれぞれスリップ率と制動トルクの目標値を示す.

インを

K = Kopt := −R−1 B T Popt

(14)とすることで式 (12) を最小化する．また，式 (13) を(15)を使って書き換えると以下のリッカチ不等式

He[P (A + BK)] + K T RK + Q = −ϵI ≺ 0(16)が得られる．このとき，行列 P は P = P T ≻ 0 を満たす．式 (10)，(11) からわかるように，行列 A，B は下部車輪の角速度 x2 に依存する．本研究では車体速度 r2 x2 がここで,1km/h から 50km/h の範囲で変化するものとして, ロバス
トなコントローラを設計する. 車体速度を 50km/h としたときの行列 A，B を Amax ，Bmax ，車体速度を 1km/h としたときの行列 A，B を Amin ，Bmin とする．これらの式を X = P −1 ，F = KP −1 として変数変換し，シュールの[ r2] ∂µr2M201α1 = −+ (1 − λ∗ ) Fn (λ∗ ) +,J1 r2J2∂λJ2d1d2α2 =− ,J1J2r1β=J1 r2

補題を適用することで，とすると, 式 (7) は(α)β+ α2 (λ − λ∗ ) + (M1 − M1∗ )x2x21(8)と表すことができる.
状態変数を( ∫x=(λ − λ∗ )dt
λ − λ∗)

−He[Amax X + Bmax F ] XQh TQh XIRFOF TRO ≻0R−He[Amin X + Bmin F ] XQh TQh XIRFOF TRO ≻0RX≻0とし, 入力を M1 とする [4] と, 状態空間表現はẋ = Ax + Bu,[]01
A = 0 α1 + α ,x2[B=0βx2]2(9)(10)(17)(18)(19)を得る．式 (10), 式 (11) に見るように, A 行列と B 行列は 1/x2 に対してアフィンなので, 式 (17) と式 (18) が満たされるならばその他の車体速度に対しても同様の式が満たされる. ただし，Qh は Q = Qh T Qh を満たす正方行列(11)となる. また, 状態変数に λ − λ∗ の積分を含ませているのは, サーボシステムを用いてスリップ率を目標値に追従させるためである.

(13)から正定対称解 P = Popt を求め，状態フィードバックゲK = −R−1 B T P

式 (6) をテイラー展開し線形化すると

λ̇ =∫ ∞[]x(t)T (Q + ϵI)x(t) + u(t)T Ru(t) dtである．また，X −1 ≺ Z を満たす対称行列 Z を導入し，シュールの補題を適用することで次の式[ZI]
I≻0X(20)を得る．式 (17)，(18)，(19)，(20) を LMI 条件とし，これ濡れた路面から雪が積もった路面への変化を再現するたらを満足する X = X T ≻ 0，F ，Z が存在する範囲で，線めに，ブレーキをかけ始めてから 1 秒後に摩擦係数 µ の値形目的関数である trace[Z] を最小化する．このとき得らを 0.4 から 0.2 へ変化させたシミュレーション結果を図 3，

れるゲイン K = F X−1は，50km/h と 1km/h の間の任

図 4 に示す．

意の車体速度に対して評価関数 (12) を小さくする [3]．そ図 3 より，µ の値が変化しても，スリップ率の目標値 0.2

こで, 適切な重み Q，R を定め，状態フィードバックゲイに追従していることが確認できる．しかし，µ の値が変化

ン K を定めた．

後にやや定常偏差が見られる．これはシミュレーションで4シミュレーション

非線形なモデルを用いており，線形化した際に誤差が生じてしまったためであると考えられる．

第 3 章で得たコントローラを用いて Simulink 上でシミュレーションを行った．初めに実験機に付属のコント

図 4 より，µ の値の変化に伴いブレーキトルクを調整していることがわかる.

ローラと 3 章のコントローラについてシミュレーション結果を比較する.

このシミュレーション結果から，路面の状況 µ が変化しても良好な制御を行うことが可能であることが確認出

時速 50km/h の時の角速度は 139rad/s であることか来た．

ら，変動パラメータ x1 (車輪速度)，x2 (車体速度）の初期値をそれぞれ 139rad/s とし，50km/h からブレーキをかけた際のシミュレーションを行う．スリップ率の変化を比較した結果を図 2 に示す．このとき，摩擦係数 µ の値は 0.4とし，濡れた路面を再現する．
図 2 において，実験機に付属のコントローラは目標値0.2 に対して大きく振動しているのに対し，3 章のコントローラは振動を抑えており，目標値にうまく追従させることができている．また，2 秒過ぎから実線も振動しているのは，速度が遅くなると上手く制御することが難しいためと考えられる．
比較した結果として，実験機に付属のコントローラは振動的で 3 章のコントローラは振動が小さい．実験機に付属のコントローラはリレー制御を行っているため，コント
図 3 スリップ率の変化

ローラの出力は 0 か 1 しかなく, これが上の結果の原因であろうと考えられる. また，速度変化に対するロバスト安定性は十分保証出来ることが確認できた．

図 4 ブレーキトルクの変化
図 2 スリップ率の変化の比較

5

実験結果

現実世界では路面状況が常に一定であるとは限らない．

第 3 章で得たコントローラを実験機に実装し，シミュそのため，緊急制動時に路面状況が変化することも想定さレーション結果との整合性を確認する．スリップ率の変化れる．そこで，本研究では濡れた路面から雪の路面へと路をシミュレーション結果と比較したものを図 5 に，車輪速面状況が変化したときのシミュレーションも行った．

度と車体速度の変化を図 6 にそれぞれ示す．この時の路面状態は一定である．
図 5 より，速度が速いときはシミュレーション結果に比べて振動的ではあるが目標値 0.2 に追従していることがわ

6

おわりに
本研究では車体速度が 1km/h から 50km/h の範囲でロかる．しかし，速度が遅くなった時は振動が大きくなり， バストにスリップ率の制御をすることを目的とし，LMI を使って制御器設計を行った．制御器設計において得られた良好な制御を行えていない．
図 6 より，車体速度はほぼ一直線に減速しているのに対状態フィードバックゲイン K を用いてシミュレーションし，車輪速度は増減を繰り返しながら減速している．しかを行った結果，スリップ率において，実験機に付属のコンしどちらも大きく振動することは無く，0km/h まで減速すトローラよりも高い追従性を示すことが出来た．また，車ることが出来ている．

体速度や路面状況が変化しても安定して制御を行うことが以上のように，実験結果はシミュレーション結果に比べて全体的に振動的な結果となった．LMI を解く際の重み確認できた．
本研究で得られたコントローラを実験機に実装したとこ

行列を調整し，様々なフィードバックゲインを試したが， ろ，シミュレーション結果のような高い追従性を示すことシミュレーション結果のような高い追従性を示すことは出 は出来なかった．原因としては，実験機の性能の問題，ま来なかった．このような結果となった原因としては，実験た，モデリングにおいて考慮できていない部分があると考機の応答速度に限界があり，狙い通りの制御を行うことがえられる．

できないということ．また，モデリングの段階でブレーキ今後の課題としては，実験機の応答速度，およびブレーパッドの摩擦係数が考慮されていないことなどが考えら

キパッドの摩擦係数を考慮したモデリングを行うことが挙れる．

げられる．

参考文献[1] INTECO：The Laboratory Anti-lock Braking System
User’s Manual．
[2] INTECO 社ホームページ,
http://www.inteco.com.pl/[3] 川田昌克：『MATLAB/Simulink による現代制御入門』．
森北出版，東京，2011．
[4] I．Petersen，T．A．Johansen，J．Kalkkuhl and J．
Lüdemann：Wheel slip control in ABS brakes using
gain scheduled constrained LQR．Proceedings of the
6th European Control Conference，Porto，Portugal，September 2001，pp．606–611，2001．
[5] 横山誠，岩田義明，片寄真二，今村政道，新部誠：「スラ図 5 スリップ率の変化の比較

イディングモード制御によるアンチロックブレーキシ
ステム」．日本機械学会論文集 (C 編)，第 63 巻 (1997)，pp．114–119．

図 6 車体速度と車輪速度の変化