社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

結合に遅延を含むカオス回路にみられる同期現象蔭山 侃杜†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学 〒 770–8506 徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{n-kage, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし 結合カオス回路にみられる同期現象に関する研究は様々な分野で広く行われている. 本研究では, ２つの西尾・稲回路を抵抗により結合し, 結合に遅延を含んだ回路について, コンピュータシミュレーションおよび回路実験により調査を行い, 興味深い同期現象を確認することができた.
キーワード

カオス回路, 時間遅延, 同期現象

Synchronizations in Coupled Chaotic Circuits
Containing Delay Coupling
Naoto KAGEYAMA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Dept. of E.E. Eng, Tokushima University 2-1 Minami-Josanjima, Tokushima, 770–8506, Japan
E-mail: †{n-kage, uwate, nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Studies on synchronization phenomena in coupled chaotic circuits are extensively carried out in variousfields. In this study, we investigate two Nishio-Inaba chaotic circuits coupled via resistor containing delay coupling.
Interesting synchronization phenomena can be confirmed by computer simulations and circuit experiments.
Key words Chaotic circuit, Time delay, Synchronization

1. ま え が き合されている. それぞれのカオス回路は, インダクタ, 負性抵抗,キャパシタおよび二つのダイオードで構成された非線形抵抗に結合発振システムにおける同期現象は, 自然科学の分野におより構成されている. さらに, SW は電圧 V11 および V21 の振いて, 様々な高次元非線形現象を記述すのに非常に適したモデ幅によって制御されるスイッチであり, 電圧 V が任意のしきいルであり, 結合カオス回路の同期現象に関する研究が広く様々

値 Vth より大きくなると R に接続される. この接続時間を Tcな分野で行われている. 近年, 同期現象は, 工学のみならず物とする. また, このスイッチ動作には遅延が含まれており, この理学, 生物学などにも応用され研究されている [1]- [4]. さらに,遅延時間を Td ( Td は定数 ) とする.

時間遅延を含んだモデルにおける興味深い現象が確認されていDELAYる [5], [6]. カオスの同期現象を調査することは将来, カオスをR利用する工学分野に活用出来るのではないかと考える.
本研究では, ２つの西尾・稲葉回路 [7], [8] を抵抗により結合DELAYし, 結合に遅延を含んだ回路について調査を行う. この回路のi 11は電圧の振幅によって制御されている. このスイッチ動作には

L2C-r

SW

i 12L1間とスイッチの結合時間の変化により確認された. 発生する同期現象についてコンピュータシミュレーションおよび回路実験

R

V11(t-td1)

結合はスイッチにより制御されている. さらに, スイッチ動作遅延が含まれており, いくつかの現象がスイッチ動作の遅延時

V21(t-td2)
SWi 21i 22

L1V11L2C

Vd1-rV21
Vd2を用いて調査を行った.

2. 回路モデル

図1回路モデル.

本研究で使用する回路モデルを図 1 に示す. この回路は, 2 つの西尾・稲葉回路が正抵抗 R およびスイッチ SW を用いて結スイッチ動作を図 2 に示す. 電圧はある時刻にしきい値に達—1—する. ここでスイッチは直ちに正抵抗には接続されず, 遅延時間 Td 秒後に接続時間 Tc 秒間接続される. すなわち, V がしき
い値 Vth に達して Td 秒後に V が Vth を超えている時間間隔

Tc 秒間だけ, SW は R に接続される.

(1)

dv111C= −i11 − i12 − (v21 (t − td2 ) − v11 )


dtR




1

 dv21V

CVthTcdin1L1= v + rin1

dt




din2


 L2 dt = v − vd (in2 )= −i21 − i22 +dt

R(v11 (t − td1 ) − v21 )(n = 1, 2).

Tctime

非線形抵抗の I − V 特性は, 以下の方程式とパラメータ rdで示され, パラメータ rd は非線形抵抗の傾きである.

TdTdtime

vd (in2 ) =rd2(in2 +VV− in2 −rdrd)(2)(n = 1, 2).

Tc

TdOPERATION

Td Tc

DELAY

式 (1) の各変数を, 式 (3) のように置き換える.

time√√C
L1 C
Vx,i=V yn , vn1 = V zni=nn2n1LL

12

√
√

DELAY

The switch is conected to RCα=r

図 2 スイッチ動作.

実現回路を図 3 に示す. 図中の MM1 および MM2 はそれぞ, β=L1, δ=r

L1 C,d
L1L2L2√√ γ = 1 L1 , t = L1 C2 τ, ” · ” = d .

R

れモノマルチを示す. モノモルチ 1 は入力パルスの立ち上がり

Cdτ(3)に反応して一定間隔のパルスを出力し, モノマルチ 2 はモノマ
ルチ 1 の出力パルスの立ち下がりに反応して一定間隔のパルス式 (1) は正規化され, 以下の式 (4) が得られる.

を出力する. モノマルチ 1 の出力パルスのパルス幅が遅延時間に対応し, モノマルチ 2 の出力パルスのパルス幅が接続時間に対応する.

x˙n = αxn + zn





 y˙n = zn − f (yn )z˙1 = −x1 − βyn − γ(z2 (τ − τd2 ) − z1 )





MM2 MM1VthR
Vth(4)z˙2 = −x2 − βyn + γ(z1 (τ − τd1 ) − z2 )MM1 MM2

Vth(n = 1, 2),RVthi 11i 12

L1v11

f (yn ) =L2Cvd

また, 式中の f (yn ) は次のように記述できる.

i 22

L1L2C-ri 21v21-r

δ2(yn +1
1− yn −δδ)(5)(n = 1, 2).
vd

3. 同 期 現 象
図 3 実現回路.

次に回路方程式を示す. 回路のダイナミックは, 次のような区分線形三次の常微分方程式により表すことができる.

発生する同期現象について, コンピュータシミュレーションを用いて図 1 の回路を対象とし, 回路実験を用いて図 3 の回路を対象として調査を行った.

3. 1 シミュレーション
それぞれのパラメータを β = 3.0, δ = 470, γ = 0.132,

Vth = 0.55 および Tc = 100 で固定し, α および Td を変化させ調査を行った.

—2—

図 4 に α = 0.460 で固定し, Td を変化させた場合の結果を示

x1x2

す. また, 図 4(a) は 2 つの回路を接続していない場合の x1 − z1および x2 − z2 平面上のカオスアトラクタである. Td を大きくすることでカオスアトラクタに変化は見られないが, 回路間のz1位相状態は, Td を大きくすることで同相同期が強くなり, ある(a) 結合無し

値で逆相同期へと変化した.
x1x2x1z1x1z1x2z1z2(a) 結合無し
x1z1x1x2z1z2z2(c) Td =200.

z1z2z2(b) Td =100.

x1z1z2z1x2z1z2z2(b) Td =100.

x2z2x2z1z2(d) Td =500.

図 4 α = 0.460 の場合の x1 − z1 , x2 − z2 および z1 − z2 平面上のz1状態の変化.

z2z2(c) Td =200.

図 5 および 6 に α = 0.350 および α = 0.300 で固定し, Tdx1x2z1を変化させた場合の結果を示す. α = 0.350 場合において Tdを変化さることで x1 − z1 および x2 − z2 平面上の状態は一度カオスが強くなり, さらに Td を大きくすることで周期が少なz1くとなった後, 再びカオスへと変化した. また, z1 − z2 平面上z2の状態は一度カオスが強くなった後に同相同期が強くなり, 逆相同期へと変化した. α = 0.300 場合においては, Td 大きくすz2(d) Td =300.

x1x2z1ることで, はじめは一つ目の回路がカオスとなり二つ目の回路は周期解であったが, 両方の回路がカオスとなり, さらに Td を大きくすることで一つ目の回路が周期解となり二つ目の回路はz1カオスへと変化した. また, z1 − z2 平面上の状態は Td を大きz2くすることで同相同期が強くなり, カオスとなった後, 逆相同期へと変化した.

z2(e) Td =400.

x1x2z1

3. 2 回 路 実 験
図 7 および 8 に素子の値をそれぞれ, L1 = 500[mH], L2 =200[mH], C = 0.0153[µF ], rd = 1.46[M Ω], R = 43.2[kΩ] おz1z2

よび Vth = 5.50[V ] で固定し, Td を変化させた場合の結果をz2(f) Td =500.

示す.
図 7 はそれぞれの回路のカオスが強い場合の z1 − z2 平面上x1x2z1の位相状態を示す. Td を大きくすることで同相同期が強くなり, ある値で逆相同期へと変化することを確認した. また, 図 8はそれぞれの回路のカオスが弱い場合の z1 − z2 平面上の位相z1z2状態を示す. Td = 100 の場合 同相同期となる. Td を大きくすz2(g) Td =600.

ることでカオスとなり, さらに Td を大きくすると逆相同期へと変化することを確認した.

x1x2z1

回路実験において, 図 4 および図 5 のコンピュータシミュレーションと同様の結果となった.
z14. ま と め

z2z2(h) Td =700.

本研究では, ２つのカオス回路を抵抗により結合し, 結合に遅延を含んだ回路について, コンピュータシミュレーションおよ

図 5 α = 0.350 の場合の x1 − z1 , x2 − z2 および z1 − z2 平面上の状態の変化.

—3—x1x2z1

V21z2V11V11V11(a) Td =100, Tc =100.

(b) Td =150, Tc =100.

(c) Td =330, Tc =100.

(a) 結合無しx1

V21

V21z1x2

図 7 カオスが強い場合の z1 − z2 平面上の状態の変化.
V21z1

V21

V21z2z2(b) Td =100.

x1

z1x2

V11V11V11(a) Td =100, Tc =100.

(b) Td =200, Tc =100.

(c) Td =214, Tc =100.

図 8 カオスが弱い場合の z1 − z2 平面上の状態の変化.

z1z2z2(c) Td =200.

x1

び回路実験により調査を行った. 結合に含まれる遅延時間を変化させることで, それぞれの回路のカオスの状態が変化するこ

z1x2とおよび, 同期状態が同相同期からカオスとなり, 逆相同期へと変化することを確認した.
文z1z2z2(d) Td =300.

x1

z1x2z1z2z2(e) Td =400.

x1

z1x2z1z2z2(f) Td =500.

x1

z1x2z1z2z2(g) Td =600.

x1

z1x2z1z2

献[1] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Analysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.
Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.
[2] G. Abramson,V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,”
Physica A: Statistical Mecanics and its Applications, vol.
305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[3] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer, “Synchronization and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation andChaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.
[4] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,pp. 869-875, 1997.
[5] T. Maruyama, Y. Nishio, N. Inaba, S. Mori and S. Mori,”Chaos in an Auto Gain Controlled Oscillator Containing
Time Delay” Transactions of IEICE (in Japanese), vol. J72A, no. 11, pp. 1814-1820, Nov. 1989.
[6] T. Ogucht, “Stability and Synchronization in Networksof Time-delayed Coupled Nonlinear Systems” (¡Special Issue¿Network Dynamics and its Applications), Institute ofSystems, Control and Information Engineers, 53.8, 323-329,
2009.
[7] Y. Nishio, N. Inaba, S. Mori and T. Saito, “Rigorous Analyses of Windows in a Symmetric Circuit,” IEEE Transactions
on Circuits and Systems, vol. 37, no. 4, pp. 473-487, Apr.
1990.
[8] R. Stoop, P. Benner and Y. Uwate, “Real-World Existenceand Origins of the Spiral Organization of Shrimp-Shaped
Domains,” Phys. Rev. Lett., 105, 074102, Aug. 2010.

z2(h) Td =700.

図 6 α = 0.300 の場合の x1 − z1 , x2 − z2 および z1 − z2 平面上の状態の変化.

—4—