スピンはめぐる
ー 固体の中で ー
２０２２年１２月３日＠仁科記念講演会

永長 直人
理化学研究所 創発物性科学研究センター
東京大学工学系研究科 物理工学専攻

●スピンと物理
スピンでめぐる現代物理学
スピンは電子などの素粒子がもつ基本的な性質の一つとして，量子力学の理解とともに見出され，物理学の発展に寄与してきました．素粒子物理のようなミクロな世界から，物性物理におけるマクロな現象まで，今日における様々な研究の中でスピンは重要な役割を担っています．
本特集では，スピンの基礎・性質，数理的側面をはじめ，素粒子物理，物性物理，量子情報などの研究にスピンがどのように関わっているのか，近年注目されている興味深いトピックスも取り上げ，スピンの重要性と奥深さについて迫っていきます．

◇巻頭言
永長直人
◇スピンとは何か
藤川和男
発見からディラック方程式まで◇スピンと統計性
風間洋一◇素粒子物理とスピン
米谷民明
スピンから超対称性へ，その起源としての弦理論へ◇量子スピン鎖における田崎晴明「対称性に守られたトポロジカル相」と指数定理◇物性物理とスピン 永長直人
スピンの創発物性◇超伝導とスピン佐藤昌利◇スピンと磁性現象 川村光スカーミオン，スピングラス◇スピン流とスピントロニクス 吉川貴文 齋藤英治
◇スピン量子情報樽茶清悟

スピン波動関数と行列力学
電子の自転運動 磁気モーメント

W. Heisenberg

ψ = αφ+ + βφ −W. Pauli
From Wikipedia

重ね合わせの原理

G.E.Uhlenbeck, S.A. Goudsmit 1925

ヒルベルト空間における「ベクトル」（正確にはスピノール）

量子ビットとしてのスピン| ↑>from Wikipedia

古典ビット |0> or |1>
量子ビット |φ>= a|0> + b|1>|𝝍𝝍 > = 𝒆𝒆𝒊𝒊𝜶𝜶 [𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜| ↓>重ね合わせの原理

𝜽𝜽𝜽𝜽
𝒊𝒊𝝋𝝋| ↑ > +𝒆𝒆 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 | ↓>]𝟐𝟐𝟐𝟐

スピンと対称操作

時間反転

空間反転

鏡像鏡像

電子・負の電荷 - e

固体の電磁気学的性質を決定-e・スピン S=1/2・フェルミオン
パウリの排他律-e

電気的、磁気的、光学的
クーロン斥力または

スピン一重項 磁気モーメントの消失

U クーロン斥力による磁気モーメントの復活フント則
1. 最大のスピン角運動量 S パウリの原理と斥力より
2. 最大の軌道角運動量 L

下図

3. スピン軌道相互作用により全角運動量 J
J= |S-L|
n: less than half
S+L
n: larger than half 次のページ
Friedrich Hundfrom Wikipedia

同じ方向で走っているとぶつからない

Kentaro Iemoto from Tokyo, Japan - Masato Yokota,
CC 表示-継承 2.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=23414401による

相対論的効果
𝒗𝒗

𝑬𝑬s
電子

𝟐𝟐

𝑩𝑩𝑩 = 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬/𝒄𝒄
原子核

スピン軌道相互作用

運動している電子の座標系から見るとローレンツ変換によって電場から𝑩𝑩𝑩 = 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬/𝒄𝒄𝟐𝟐の磁場が生じ、これが電子スピンの磁気モーメントが相互作用する
軌道角運動量𝒔𝒔 � 𝑩𝑩′ ∝ 𝒔𝒔 � 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬 ∝ −𝒔𝒔 � 𝒓𝒓 × 𝒗𝒗 ∝ −𝒔𝒔 � 𝑳𝑳𝒔𝒔 � 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 � 𝒔𝒔 × 𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜

正確には相対論的ディラック方程式より導出できる

スピン軌道相互作用 ３つの表現
𝑨𝑨 � 𝑩𝑩 × 𝑪𝑪 = 𝑩𝑩 � 𝑪𝑪 × 𝑨𝑨 = 𝑪𝑪 � 𝑨𝑨 × 𝑩𝑩
𝑬𝑬 � 𝒔𝒔 × 𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜

𝑨𝑨 × 𝑩𝑩

𝑪𝑪𝑨𝑨𝑩𝑩・電場によるスピン流（異常ホール効果、（逆）スピンホール効果）
・スピン分裂、スピン・運動量ロッキング
・スピン流による電気分極（マルチフェロイック）

𝒗𝒗 � 𝑬𝑬 × 𝒔𝒔 = 𝒗𝒗 � 𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯𝐯 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 ・トロイダルモーメント 𝑻𝑻 = 𝑷𝑷 × 𝑴𝑴による非相反輸送・光学効果

𝒔𝒔 � 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬 = 𝒔𝒔 � 𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙 𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟𝐟

・電流によるスピン分極 Edelstein効果
・スピン軌道トルク

集団現象としての磁気秩序
自発的対称性の破れ
南部陽一郎
創発現象

T>Tc ランダムなスピンの向き

エネルギー

𝐸𝐸𝐹𝐹
T<Tc スピンの向きが揃った状態（強磁性）
https://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/ferromagnetic/printall.php

スピンの非共線構造
(a)

強磁性

(b)

反強磁性

(c)

スピン密度波(d)らせん
磁性
強相関（強い電子間反発）  スピンの「長さ」が飽和  方向の自由度のみ
吉森昭夫 1959 MnO2

©皆川 麻利江氏

局所的なスピン座標系
接続の概念
微分幾何学

©皆川 麻利江氏

“場”の励起（出来事）としての粒子
あらゆる粒子・波は粒子と波の双方の側面を持つ。（量子力学）
粒子は電光掲示板の光のようなものである
粒子の生成・消滅

有限の寿命

多彩な可能性

分裂や融合

古典粒子

粒子とは“出来事”

場の理論における粒子

From Wikipedia

量子力学におけるベクトルポテンシャル ＡＢ効果
from Wikimedia
Commons𝐶𝐶2
𝐶𝐶1

𝑎𝑎1 ∝ 𝑒𝑒∫𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑑𝑑�𝐴𝐴(𝑟𝑟)1

電子波の複素振幅

量子力学と結合したとき、電磁場は幾何学・トポロジー的性質を持つ

外村彰博士
電子線ホログラフィースピン構造に伴う創発電磁場
|ni>

tij

Si|nj>

創発磁場𝒃𝒃Si

Sj

平行でないスピン構造に伴う量子位相
創発電磁場

𝒂𝒂(𝒓𝒓, 𝑡𝑡) v/cの因子なし

時間変化

𝒆𝒆 𝒓𝒓, 𝑡𝑡

Sk𝒆𝒆 = −巨大な創発電場
𝜕𝜕𝒂𝒂(𝒓𝒓,𝑡𝑡)=−
𝜕𝜕𝜕𝜕~104 V/m𝜕𝜕𝒂𝒂𝜕𝜕𝜕𝜕

Sj
空間変化巨大な創発磁場

𝒃𝒃 𝒓𝒓, 𝑡𝑡 = 𝜵𝜵 × 𝒂𝒂(𝒓𝒓, 𝑡𝑡)
100~1000 T（テスラ）電子の量子位相干渉
巨大で高速な創発電磁場

パイロクロア酸化物R2 Mo2 O7における異常ホール効果
田口ら

異常ホール効果

662K

H = 0.5 T
H || (100)H || (100)

10 K

4Nd2Mo2O7
TC = 89 K

20 K
30 K

3 40 K
50 K

2 60 K70 K

ρH (10-6Ωcm)

ρH (10-6 Ωcm)

542

1 80 K
90 K

00100 K2 4 6 8 10Magnetic Field (T)0050
Temperature (K)100種々のナノスピン構造
創発磁場𝒃𝒃SkSiSj
スキルミオン

全スピンは球を一回覆う(量子化）

立体角４π

スキルミオンの創る創発磁場＝磁束量子10 nm2に１個のスキルミオン＝創発磁場 400 T（テスラ）

創発電磁場を担う様々なトポロジカル・ナノスピンテクスチャー

スキルミオンの観測
H+Sk

a

100 nm

50 mT

20 mTgFM+Sk

c70 mTexperimental

FMFM+Sk60

SkXSkX
120B (mT)6080

40H+SkH
510152520T (K)303540H
0060

20FM0100SkXb

于-十倉ら

100 nm結晶結晶化過程

孤立粒子 気体

X. Z. Yu, Y. Onose, N. Kanazawa, J. H. Park, J. H. Han, Y. Matsui, N. N. Y. Tokura
Nature (2010)

Experiment

Theoryトポロジーに保護された「創発粒子」としてのスキルミオン

Emergent electromagnetism 創発電磁場
J.D.Zang, J.H. Han, M.Mostovoy, 永長

物質中にスピン構造が作る「創発電磁場」が存在

G. Volovik
創発電磁場との結合
ローレンツ力電子のボルツマン方程式
スピンの運動方程式
スピン移動トルク
スピンテクスチャの電流駆動運動

スキルミオンと創発電磁場のもたらす種々の現象
創発磁場
電子流
トポロジカルホール効果

電流駆動スキルミオン運動

不純物を「回転運動」によって避けて運動するスキルミオン

創発電場（創発電磁誘導）

スキルミオン
ホール効果

永長-十倉

超低電流密度（～100A/cm2)で駆動可能
 超低消費電力： １fJ/b（フェムトジュール/ビット）以下（磁壁の電流駆動 ～107A/cm2)

不純物

24
トポロジカルカレントの実証
トポロジカルホール効果
MnSi

トポロジカルホール効果
MnGe

ρyx (µΩ cm)

ホール抵抗

創発電磁誘導
MnSi

200 K
160 K

6100 K

4250 K

00.430 K

ホール抵抗

8

ホール抵抗

ρyx (µΩ cm)

10ホール効果

30 K

0.2

20 K
10 K

05K

05µ0H (T)1015

磁場
金澤-十倉ら

温度
C. Pfleiderer –A.Rosch et al.
Nature Phys. (‘12)

電流密度スキルミオンとスピン波の衝突

25

岩崎淳一ら

kξ = 2.0kξ = 1.0kξ = 0.5

波と粒子の運動量保存則∂LPµ =∂ µ Φ = (1 − cos Θ)∂ µ Φ = aµ∂ΦPmagnon= ∑ kb bk+k k

マグノン波の運動量P

skyrmion= 2π e z × R

スキルミオン粒子の運動量P

magnon+Pskyrmion=0magnonskyrmion
θ scatt= 2θ scattらせん磁性体におけるスピン流と電気分極マルチフェロイックス

マクロな量子現象 超伝導Ψ = e iΘ

マクロな波動関数

𝛩𝛩, 𝑛𝑛 = 𝑖𝑖

Θ : Josephson phase

超伝導電流J s = ρ s ∇Θ

電荷の保存則マクロな量子現象 磁性from Wikipedia

スピン軌道相互作用[θ , S ] = iz

𝑗𝑗𝑠𝑠 = ∇𝜃𝜃𝑬𝑬 � 𝒗𝒗 × 𝒔𝒔 = 𝑬𝑬 � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜
電気分極

固体中では真空中に比べて相対論的効果が増大 !! ( ~10^6)電気分極のスピン流機構

 P ∝ e12 × ( S 1 × S 2 ) ∝ e12 × j se1

PV

d-orbitals

M1e2p-orbitals


e12

js

d-orbitals

Js ：spin current
Δ：ｄ－ｐ energy difference
V： transfer integral

OM2

I：constant ∝ a0（Bohr radius）
桂-永長-Balatsky PRL05

スピン構造による電気分極

十倉ー関ー永長 2010

ペロブスカイト酸化物におけるマルチフェロイックス

木村-有馬-十倉ら 2003

Kenzelman et al.
有馬ら

らせん磁性体における創発電場

G.E. Volovik, 1987 Barnesー前川, 2007

永長 JJAP 2019

Emergent electric field創発インダクター
創発電磁場

インダクター

非相反応答 (コイル構造における静的創発磁場)

ナノスピン構造ダイナミクス (創発電磁誘導)
古典的なコイル構造

交流電流

𝑑𝑑𝑰𝑰
𝑬𝑬 = 𝐿𝐿
𝑑𝑑𝑑𝑑

創発電磁誘導へ置き換え

現在の最高値
0.6 x 0.3 x 0.3 mm size 𝐿𝐿~10−7 Henly
微細化に限界 𝐿𝐿 ∝ 体積

𝜕𝜕𝒂𝒂𝒆𝒆 = −𝜕𝜕𝜕𝜕

創発インダクター （評価値）
𝐿𝐿 ∝ 1/断面積
1 x 1 x 1 µm 𝐿𝐿~10−10 Henly

ナノスケール化で現在のLを凌駕可能
33/14

持帰不可量子力学に内在する幾何学とゲージ場波動関数＝ヒルベルト空間におけるベクトルφ3φ1

ψ = ∑ ciφiφ2

ベリー位相の思想
断熱過程：状態間の遷移が禁止される
 ヒルベルト空間の部分空間に波動関数のベクトルが制限・拘束される
 「曲がった」部分空間の持つ非自明な幾何学的性質

CEn ( X (t ))

t

持帰不可

球面三角法

非ユークリッド幾何学

π1× 4π =823角形の内角の和が２７０度= 3π/2𝜕𝜕𝐷𝐷𝜇𝜇 =− 𝑎𝑎𝜇𝜇𝜕𝜕𝑥𝑥𝜇𝜇曲面上のベクトルを平行移動

持帰不可

広がる創発電磁場の概念
1. ヒルベルト部分空間の曲率を表現Φ

2. 種々の対称性群
U(1), SU(2), Z2, SU(N)

x1a2

C2a1
C1x0a1∗ a2 |Φ = a1∗ a2 |Φ =0 e ieΦ / c

3. 一般化された空間
実空間、運動量空間、パラメタ―空間
4. トポロジー的構造
磁気単極子、渦糸などの特異性
大域的トポロジー

38
結晶中の電子電子波

バンド構造

Re ψ ( x, t ) = A cos( kx + φ − ωt )𝐸𝐸 = ℏ𝜔𝜔 エネルギーk

波束エネルギーギャップ

k

周期構造

運動量

39
結晶中の電子電子波の波束 波の描像と粒子描像をつなぐ

バンド構造

Re𝜓𝜓(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)= ∑𝑘𝑘 𝐴𝐴 𝑘𝑘 cos(𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝜙𝜙 − 𝜔𝜔𝑘𝑘 𝑡𝑡)

𝐸𝐸 = ℏ𝜔𝜔 エネルギー

波束

k

波束

エネルギーギャップ

k

周期構造

運動量

40
結晶中の電子バンド構造

各バンドに属する波動関数は部分空間を作る

𝐸𝐸 = ℏ𝜔𝜔 エネルギーk

波束

エネルギーギャップk

運動量

曲率を感じる波束波束の運動方程式→→→d r (t ) ∂ε n ( k ) → → d k (t )=−Bb n (k ) ×→dt
dt
k-空間の∂k

異常速度

ベリー曲率→→→d k (t )d r (t )∂V ( r )=−− B( r ) ×→dt
∂ r 実空間の磁場 dt→ →k-空間のベリー曲率は電流演算子のバンド間行列要素から生じる

bBn (k ) = ∇ × aAn (k ) aAn (k ) = i < nk | ∇ | nk >

固体中の３種類の電子流
1. オーミック流-+

非平衡状態
散逸および熱の発生-eE

2. 超伝導電流B

Js

3. 幾何学的/トポロジカル電子流：
電子の異常速度
ベリー位相

巨視的量子コヒーレンス
熱平衡状態、 散逸なし
磁場に応答 低温に限る
量子干渉によって駆動される
熱平衡状態 散逸なし
運動量空間の“曲率”
バンドギャップにより守られる
室温でも可能分極電流
量子ホール電流異常ホール電流反磁性電流
スピンホール電流
シフト光電流など

相対論的効果
𝒗𝒗

𝑬𝑬s
電子𝟐𝟐

𝑩𝑩𝑩 = 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬/𝒄𝒄
原子核

スピン軌道相互作用

運動している電子の座標系から見るとローレンツ変換によって電場から𝑩𝑩𝑩 = 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬/𝒄𝒄𝟐𝟐の磁場が生じ、これが電子スピンの磁気モーメントが相互作用する
軌道角運動量𝒔𝒔 � 𝑩𝑩′ ∝ 𝒔𝒔 � 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬 ∝ −𝒔𝒔 � 𝒓𝒓 × 𝒗𝒗 ∝ −𝒔𝒔 � 𝑳𝑳

𝒔𝒔 � 𝒗𝒗 × 𝑬𝑬 = 𝑬𝑬 � 𝒔𝒔 × 𝒗𝒗 = 𝑬𝑬 � 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜

正確には相対論的ディラック方程式より導出できる

スピン軌道相互作用と運動量空間のスピンテクスチャ

from Wikimedia
Commons

𝐻𝐻 = 𝑠𝑠 � 𝑝𝑝 × 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 � (𝑠𝑠 × 𝑝𝑝)

𝐸𝐸 ∥ 𝑧𝑧 → 𝐻𝐻 = 𝜆𝜆(𝑠𝑠𝑥𝑥 𝑝𝑝𝑦𝑦 − 𝑠𝑠𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 )スピン運動量ロッキング
電流下でスピン分極

非線形応答と整流効果
超伝導体

半導体
PR (+I) ≠ R (-I)
R = R0 (1 + βB2 + γBI)B

整流効果
𝑻𝑻 = 𝑷𝑷 × 𝑴𝑴

トロイダルモーメント

井手上-濱本-永長-岩佐ら

若月-井手上-岩佐-永長ら

臨界電流 Ic の非相反性
超伝導ダイオード効果
小野ら
J.He-田仲-永長
大同-池田-柳瀬バンド交差と磁気単極子

ワイルフェルミオン
運動量空間における磁気単極子

ベリー曲率
創発磁場

強磁性体SrRuO3における異常ホール効果
Z.Fang et al.

bnz (k )・バンド構造の指紋としての異常ホール効果
・量子ホール効果との類似性
・量子化異常ホール効果へ発展内部自由度-スピン-のトポロジカルカレント
内因性スピンホール効果の理論的発見
村上-永長-S.C.Zhang 2003
x: current direction
y: spin direction
z: electric fieldeE z H1Lj xy =k−k≡
σ s EzFF
4π 2 2e()

電場のみによるスピン注入
非磁性体
散逸の小さい流れ

spin-orbit int.

スピン流z

Eyx

GaAs

SU(2)
monopole

GaAsにおけるスピンホール効果の実験的検証
D.D.Awschalom (n-type)
J.Wunderlich (p-type )n-typeUC Santa Barbara
Hitachi Cambridge

p-typeY.K.Kato,et.al.,Science,306,1910(2004)

Wunderlich et al. 2004

多様体の大局的性質とトポロジカル秩序
Gauss-Bonnet∫ Kσ ∧ σ = 2πχ ( S )S12χ ( S ) = 2 − 2gfrom Wikimedia

トポロジカル量子状態
量子ホール効果トポロジカル絶縁体
表面状態 電子の分裂

from Wikipedia

エッジ状態

エッジ状態

トポロジカル状態

真空

ひねり1

ひねり0

メビウスの輪単なる輪３次元トポロジカル絶縁体と表面金属

Hsieh et al.
Xia et al.

2D Dirac HamiltonianH = ψ + σ ⋅ (e z × p )ψ電子分裂  電子局在なし。 運動量によってスピンが決まる。

まとめと展望
スピン 相対論と量子論の「恐るべき子供」
固体電子のスピン電子間クーロン相互作用とスピン軌道相互作用により多彩なスピンテクスチャを形成

曲がったスピンに伴う「創発電磁場」と非散逸性スピン・チャージカレント
電子状態の幾何学とトポロジー
スピントロニクスへの応用