信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

ニューロン間の結合強度を時間的に変化させたときの同期現象
金澤尚人†

上手 洋子†

西尾 芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県南常三島町 2–1
E-mail: †{naoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

生物の脳内ではミエリン化という現象が起きており，ニューロン間の結合強度は時間的に変化する. そのため結合強度は一様ではない. 本研究では，ミエリン化に対する結合強度を時間的に変化させる方法を提案する. ヒン
ドマーシュ・ローズモデルは実際の生物ニューロンのようなスパイクやバーストを作り出すことができる. このモデルでの同期現象について観察する. 各ニューロン間が同期するたび，その結合強度は小さくする. 一方，他の結合強度は大きくする. このように少しずつ異なった結合強度に変わっていく. この提案手法をヒンドマーシュ・ローズモデルの結合系に適応し，同期の達成への効果について調べる.
キーワード

ニューロン, 同期, 結合強度, ヒンドマーシュ・ローズモデル

Investigation of synchronization under temporal evolution of coupling strength
Naoto KANAZAWA† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Faculty of Engineering, Tokushima University 2–1 Minami–josanjima, Tokushima, 770–8506 Japan
E-mail: †{naoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract In this study, we observe synchronization on Hindmarsh Rose model which produce spiking-bursting
behavior like real biological neurons. There is phenomenon called Myelination. We have unequal coupling strengths
to temporal evolution them in our brain. We propose the way to temporal evolution of coupling strength. The
coupling strength is weaked every synchronization. On the one hand, other coupling strengths are enhanced. We
investigate the eﬀect to achieving synchronization of Hindmarsh Rose model with this proposed method.
Key words neuron, synchronization, coupling strength, Hindmarsh Rose

1. ま え が きよりも情報伝達を早く行うことができると報告されている. この現象はミエリン化と呼ばれる. 例えば，何か新しいことを始

我々の脳内には無数のニューロンが存在する. ニューロンはめた時，達成するために練習に励むだろう. 新たな挑戦を達成

多数の入力部分と１つの出力部分で構成される. 脳内ではそのすることができるのは脳内でミエリン化が起きているからであニューロンたちが結合し，神経回路を形成している. その神経る. これより，学習とミエリン化との間には大きな関係がある回路を数学モデル化し，脳内で起こる特徴をコンピュータ上でことがわかる. ミエリン化の研究は学習での応用において性能シミュレーションを行うことができるものがニューラルネットがより良くなると期待されている.

ワークである. 高次元の力学系を持ったスパイクやバーストを本研究では，ミエリン化に対する結合強度を時間的に変化さ観察することができる. 軟体動物でのニューロンの働き [1] やせる方法を提案する. 各ニューロン間が同期するたび，その結スパイク，バーストの動き [2]，ヒンドマーシュ・ローズモデ合強度は小さくする. 一方，他の結合強度は大きくする. このルにおけるニューロンの振る舞い [3]，結合方法による違いなように少しずつ異なった結合強度に変わっていく. 提案手法をど [4]，ニューラルネットワークの基礎研究は注目がされてい実際の生物ニューロンのようなスパイクやバーストを作り出する. このネットワークは非常に複雑に形成されている. ニューヒンドマーシュ・ローズモデルに適応し，完全同期になるまでロン間の結合の強さは結合強度と呼ばれている. 結合強度は電の時間を観察した. また，結合強度を時間的に変化させた場合気信号によって強くなり，つまり情報伝達を行うことで強くなの影響や効果についても調査する.

る. ニューロンの出力部分と軸索と呼ばれる. 一部の軸索は髄鞘にオリゴデンドロサイトが覆っている. オリゴデンドロサイ
トは脂質の多い白い物質である. 覆われた軸索は覆われた軸索

2. ヒンドマーシュ・ローズモデル
ヒンドマーシュ・ローズ (HR) モデルは軟体動物のニューロ—1—

ンで起こるカオス的振る舞いを数学モデルで再現したものであ

0.01

Asynchronization

る. このモデルは外部からの刺激が常時なくても自動的にカオス的振る舞いを引き起こすことができる. パラメータを設定す

Synchronization

0

ることで様々な発振を見ることができる.

2. 1 単体ニューロン
このモデルは３つの変数を持っている. ニューロンの膜電位Asynchronization-0.01を示す x(t)，補助変数でカリウムとナトリウムを運ぶための速図 3 同期状態の定義.

いイオンチャンネルの集合を表す y(t)，遅い変数で他のイオンチャンネルにおける力学系を捕える z(t) である. HR モデルは次の式のように表される.

32 ẋ(t) = y(t) − ax (t) + bx (t) − z(t) + I



32

 x˙i (t) = yi (t) − axi (t) + bxi (t) − zi (t) + I − Kiẏ(t) = c − dx2 (t) − y(t)y˙i (t) = c − dx2i (t) − yi (t)(2)z˙i (t) = −rzi (t) + rS(xi (t) − cx )(1)
ここで i はニューロン番号（1 から 5）を示している. 関数 Kiż(t) = −rz(t) + rS(x(t) − cx )は次のように示す.

パラメータを a = 1， b = 3， c = 1， d = 5 と設定する. 本研
究では，入力電流 I = 3.281， 電圧 cx = −1.6， 遅い力学系における膜電位が起こす影響の大きさ S = 4.0， 遅い電流のタイムスケール r = 0.0021 とする. これらの微分方程式はルンゲクッタ法を用いて解く. 図１は単体ニューロンの膜電位の時間
K1 = ε12 (x1 − x2 ) + ε13 (x1 − x3 )
+ε14 (x1 − x4 ) + ε15 (x1 − x5 )
K=ε(x−x)+ε23 (x2 − x3 )
21221+ε24 (x2 − x4 ) + ε25 (x2 − x5 )
 K = ε (x − x ) + ε (x − x )3的変化の波形の一例である.

1331

2332


+ε34 (x3 − x4 ) + ε35 (x3 − x5 )





K4 = ε14 (x4 − x1 ) + ε24 (x4 − x2 )





+ε34 (x4 − x3 ) + ε45 (x4 − x5 )K5 = ε15 (x5 − x1 ) + ε25 (x5 − x2 )(3)+ε35 (x5 − x3 ) + ε45 (x5 − x4 )t
図 1 HR モデルにおける単体ニューロンの膜電位の時間的変化.

ここでパラメータ ε は結合強度である.

3. 提 案 手 法
初めに，同期状態の定義を次の式で表す.

2. 2 電 気 結 合本研究では，図 2 で示したように 5 つのニューロンでの完全|xa − xb | < 0.01(4)結合モデルを使用した. 電気結合を用いた式は次のように示さ
ここで xa ，xb はニューロンの膜電位を表す. 2 つニューロンのれる.

膜電位の差が 0.01 よりも小さいと同期とする. 図 3 は同期の定義を表す. ステップサイズは h = 0.05 に設定した場合，単1ε12εε25ニューロンの 1 周期分の平均は 5066 イタレーションであるこε15とがわかった. つまり，t = 253.3 である. これより，t = 253.3
間常に同期状態を保てればそのニューロン間は同期したと判断132することとする. 結合強度の変化方法について説明する. 結合5強度はニューロン間が同期すれば m ずつ小さくする. その後，他の結合強度を m/9 ずつ大きくする. これはニューロン間が同期するたびに行われる. もし全ニューロン間が同期しなかっε23

ε14 ε453ε35 ε244ε34

図 2 ５つのニューロンでの完全結合モデル.

た場合，t = 100000 まででシミュレーションは終了することとする.

4. シミュレーション結果
4. 1 結合強度の変化なし
このシミュレーションでは，毎回ランダムな初期値を用いている. 全ての結合強度は εij = 0.2 と設定する. シミュレーショ
ン結果から 3 つの同期型が現れた. 完全同期型，3-2 同期型，2-2-1 同期型である. 3 つの同期型は図 4 で表す. シミュレー—2—1125(a) 1-225(b) 1-3(c) 1-443(a)43(b)(b)図 4 分離した同期型. 実線はニューロン間の同期を示す. (a)3-2 同期型 (b)2-2-1 同期型(d) 1-5(e) 2-3(f) 2-4(a)(g) 2-5(b)(h) 3-4(c)(i) 3-5(d)(j) 4-5(e)図 6 結合強度変化なしにおけるニューロン間の波形の差異.

(3-2同期型)
図 5 結合強度変化なしにおける膜電位の時間的変化. (a) ニューロン

1. (b) ニューロン 2. (c) ニューロン 3. (d) ニューロン 4. (e)ニューロン 5.

ション中にこれらの同期型が何度か現れることもある。シミュ(a)(b)

レーションは完全同期が現れる場合または t = 100000 まで実行する。図 5 はニューロンの膜電位による時間的変化を表す.
図 6 はニューロン間の波形の差異を表す. これらのシミュレー(c)ション結果は図 4(a) を示す. また図 6(a)，(c)，(f)，(i) からニューロン間が同期していることが確認できる. これより，図4(a) と同じ分離した同期型を示されていることがわかる. この(d)同期型は全結合強度を εij = 0.2 で設定した時，t ≃ 9608.5 で現れた.

(e)

4. 2 結合強度の変化あり
このシュミュレーションでも，毎回ランダムな初期値を用い

図 7 結合強度変化ありにおける t ≃ 7500 周辺での膜電位の時間変ている. 全ての結合強度は初め，εij = 0.2 と設定する. 本研究化. (a) ニューロン 1. (b) ニューロン 2. (c) ニューロン 3. (d)では，m = 0.005，0.001，0.0003 と設定した時のシミュレー

ニューロン 4. (e) ニューロン 5.

ション結果を示す.
図 7 は t ≃ 7500 周辺での膜電位の時間的変化を表す. 図 8

しばらくすると，図 9，10 を得た. 図 9 は膜電位の時間変化

は t ≃ 7500 周辺での各ニューロン間の波形の差異を表す. 図を表す. 図 10 は各ニューロン間の波形の差異を表す. 図 10 の7，8 は m = 0.001 の時のシミュレーション結果である. これ

結果より，全てのニューロン間が同期状態になっていることがらの結果は図 4 の状態と同じである. この同期型になるまでにわかる. この完全同期型は t = 15541.25 で完成した.

t = 7001.05 かかった. つまり，結合強度の変化ありにおける今

表 1 はそれぞれのシミュレーション結果を示す. 我々は 3-2回の同期型は変化なしの結果よりも早く達成することがわかる.

同期型，2-2-1 同期型，完全同期型の 3 つの同期型になるまで—3—

表 1 それぞれのシミュレーション結果. 各同期型の出現確率と出現するまでの時間.

完全同期型

3-2 同期型

2-2-1 同期型

tProbabilitytProbabilitytProbability

Non-Change

9766.5161%

6798.7286%4607.63

100%

0.005

18468.1472%13480.74

91%6432.07

97%

0.001

12632.63

100%

5845.69100%

4349.01100%

0.0003 11467.45

100%

6772.48100%

4599.11100%

Change(a) 1-2(a)(b) 1-3(b)(c) 1-4(d) 1-5(e) 2-3(f) 2-4(c)(d)(e)
図 9 結合強度変化ありにおける t ≃ 15541.25 周辺での膜電位の時間変化. (a) ニューロン 1. (b) ニューロン 2. (c) ニューロン 3.

(g) 2-5(h) 3-4(d) ニューロン 4. (e) ニューロン 5.

い場合，結合強度を変化させた時と比べて完全同期型になるまでが早い. しかし，結合強度変化ありの場合は完全同期になる確率が高いことがわかる. また，結合強度の変化量においては(i) 3-5変化量が小さい方がそれぞれの同期型になるまでが早いこともわかる. 今回提案した方法を用いることで，完全同期になる確(j) 4-5率を高めることができることを確認した. 将来，今回よりも大規模のモデルを構築し，さらに神経回路に近いものでシミュ

図 8 t ≃ 7500 周辺でのニューロン間の波形の差異. (3-2 同期型)レーションを行う.
文の時間を記録した. それぞれのパラメータでの結果はそれぞれ100 回ずつシミュレーションを行った. この表から各同期型の出現確率と出現するまでにかかった時間を確認することができる.
図 11 は同期型が現れるまでにかかった時間をそれぞれの結果ごとにまとめた図である. 表 1 と図 11 を見てわかるように，結合強度変化なしは変化ありの結果よりも早い時間で完全同期型になることがわかる. しかし，全ニューロンが同期する確率は変化ありの方が高い確率を示す. また，結合強度の変化量が小さい方が完全同期型になるまでが早いこともわかる.

5. ま と め

献[1] A. L. Hodgkin and A. F. Huxley, “A quantitative description of membrane current and its application to conductionand excitation in nerve," J. Physiol., vol. 117, No. 4, pp.
500-544, Aug. 1952.
[2] A. L. Shilnikov and N. F. Rulkov, “Origin of chaos in a
two-dimentional map modeling spiking-bursting neural activity," Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 13, No. 11, pp.
3325-3340, 2003.
[3] J. L. Hindmarsh and R. M. Rose, “A model of neuronalbursting using three coupled first order diﬀerential equations," Proc R Soc Lond B Biol Sci., vol. 221, No. 1222,
pp. 87-102, Mar. 1984.
[4] Henry D. I. Abarbanel, R. Hueta, M. I. Rabinovich, N. F.
Rulkov, P. F. Rowat and A. I. Selverston, “SynchronizedAction of Synaptically Coupled Chaotic Model Neurons: I.
Simulations Using Model Neurons," Neural Computation,
Vol. 8, No. 8, pp. 1567-1602, Nov. 1996.

本研究では，ヒンドマーシュ・ローズモデルでの５つのニューロンにおける完全結合の同期を観察した. 結合強度を変化しな—4—

(a) 1-2(b) 1-3(c) 1-4(d) 1-5(e) 2-3(f) 2-4(g) 2-5(h) 3-4(i) 3-5(j) 4-5
図 10t ≃ 15541.25 周辺でのニューロン間の波形の差異.

Topology

Non Change
0.005
0.001
0.0003

53-2

2-1-1

0

5000

10000

15000

20000

Time

図 11 それぞれの同期型が出現するまでの時間. 十字印：結合強度変化なし. X マーク：m = 0.005. アスタリスク：m = 0.001. 四角形：m = 0.0003.

—5—