IPhO2017 T3 解答

IPhO2017 理論試験問題３宇宙のインフレーション

A. 宇宙の膨張
A1 [1.3pt.]
球面上の質量 𝑚の質量素片の運動方程式は(等方性の仮定により動径方向のみであることに注意して)，𝑚𝑅̈ (𝑡) = −𝐺𝑚𝑀𝑠
𝑅 2 (𝑡)

ここで，𝑀𝑠 は半径𝑅(𝑡)の球殻の内部にある質量である。
上式に𝑅̇をかけて積分すると，
∫ 𝑅̇

𝑑𝑅̇
1
𝐺𝑀𝑠𝑑𝑡 = 𝑅̇ 2 =+𝐴𝑑𝑡
2𝑅を得る。ここで，𝐴は定数である。
ところで，
4
𝑀𝑠 = 𝜋𝑅 3 (𝑡)𝜌(𝑡)3
𝑅̇ = 𝑎̇ 𝑅𝑠
なので，代入して整理すると，
𝑎̇ 2 8𝜋𝐺2𝐴( ) =𝜌(𝑡) + 2 2𝑎3
𝑅𝑠 𝑎 (𝑡)となる。式(1)と見比べて，
𝐴1 =8𝜋𝐺
3A2 [0.9pt.]
熱力学の第１法則より，𝑑𝐸 = −𝑝𝑑𝑉 + 𝑑𝑄𝑖𝑛
膨張は断熱的なので，𝑑𝐸 + 𝑝𝑑𝑉 = 0
𝐸̇ + 𝑝𝑉̇ = 0
ここで，𝑎̇𝑉̇ = 𝑉 (3 )𝑎
𝐸 = 𝜌(𝑡)𝑉(𝑡)𝑐 2
𝑎̇𝐸̇ = (𝜌̇ + 3 ) 𝑉𝑐 2𝑎
代入して整理すると，𝜌̇ + 3 (𝜌 +𝑝 𝑎̇) =0𝑐2 𝑎が得られ，(2)と見比べると，
𝐴2 = 3

1

IPhO2017 T3 解答
A3 [1.2pt.]
文中の𝜌と𝑝の関係式を式(2)に代入すると
𝜌̇ + 3𝜌(1 + 𝑤)𝑎̇=0𝑎

これは変数分離できて
𝑑𝜌𝑑𝑎= −3(1 + 𝑤)
𝜌𝑎となるから、
𝜌 = 𝐾𝑎−3(1+𝑤)𝜌𝑟 ∝ 𝑎−3(1+𝑤)とかける(𝐾は初期値によって定まる定数)。ここで， r は，エネルギー密度である。
(ⅰ) 放射だけの場合を考える。光子のエネルギーは波長𝜆を用いて，𝐸=ℎ𝑐𝜆とかける。ここで，膨張おける波長の伸びより，エネルギーは𝑎 に反比例する(フォトンの波長は𝑎に比例して大きくなるので)。
したがって，
𝜌𝑟 𝑉 ∝ 𝑎−1𝜌𝑟 ∝ 𝑎−4−3(1 + 𝑤𝑟 ) = −4𝑤𝑟 =13(ⅱ) 非相対論的な場合，静止エネルギー m0c 2 が優勢であり，エネルギー密度は m m0c 2
 a 3 であるから
V−3(1 + 𝑤𝑚 ) = −3𝑤𝑚 = 0(ⅲ) 一定のエネルギー密度を持つ場合、
𝜌Λ = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡.
−3(1 + 𝑤Λ ) = 0𝑤Λ = −1
訳者補足：この問題のポイントはそれぞれの仮定において何が一定で何が変わりうるのかを考えることであった。(ⅰ)の場合には，膨張による波長ののび(文中に書いてある)によって，エネルギーは保存せず，膨張に反比例して小さくなる。(ⅱ)の場合には，非相対論物質を仮定しており，エネルギーとしては，静止エネルギー m0c 2 が優勢である。(ⅲ)での保存量は問題文から明らかに分かる。

A4 [1.2pt.](ⅰ) A3 での条件に今のパラメーターを代入することにより，
𝜌𝑟 (𝑡)𝑎4 (𝑡) = 𝜌0
𝑘 = 0と式(1)より，
2IPhO2017 T3 解答𝑎̇ 2 8𝜋𝐺( ) =𝜌 𝑎−4 (𝑡)𝑎3 0
膨張しているので𝑎̇ > 0であることに注意して、
8𝜋𝐺1
𝑎̇ (𝑡) = √𝜌0 ∙3𝑎(𝑡)を得る。変数分離型の簡単な微分方程式なので，これを解くと，1 28𝜋𝐺𝑎 (𝑡) = √𝜌 ∙ 𝑡 + 𝐾𝑟23 0
𝐾𝑟 は定数であり初期条件により，1111432𝜋𝐺𝑎(𝑡) = (𝜌0 ) ∙ 𝑡 2 = (2𝐻0)2 ∙ 𝑡 23

ここで，8𝜋𝐺𝐻0 = √𝜌
3 0(ⅱ) 同様に，
𝜌𝑟 (𝑡)𝑎3 (𝑡) = 𝜌08𝜋𝐺
𝑎̇ (𝑡) = √𝜌 ∙ 𝑎−1/2
3 02 38𝜋𝐺𝑎2 (𝑡) = √𝜌 ∙𝑡
33 02123𝐻0 3 2𝑎(𝑡) = (6𝜋𝐺𝜌0 )3 ∙ 𝑡 3 = () ∙ 𝑡32(ⅲ) 同様に，
𝜌𝑟 (𝑡) = 𝜌08𝜋𝐺
𝑎̇ (𝑡) = √𝜌 ∙𝑎
3 08𝜋𝐺ln 𝑎 = √𝜌 ∙𝑡
3 0𝑎(𝑡) = 𝑒√8𝜋𝐺 𝜌0 ∙𝑡
3= 𝑒 𝐻0 𝑡

A5 [0.1pt.]
定義により，𝜌𝑐 (𝑡) =33𝐻2 (𝑡)8𝜋𝐺IPhO2017 T3 解答
フリードマン方程式(1)に代入して整理すると、
𝐻 2 (𝑡) = 𝐻 2 (𝑡)Ω(𝑡) −𝑘𝑐 2
𝑅02 𝑎2 (𝑡)𝑅02𝑘 = ( 2 ) 𝑎2 𝐻 2(Ω − 1)
𝑐A6 [0.3pt.]
𝑅02( 2 ) 𝑎2 𝐻 2 > 0𝑐が成り立つことに注意すると、𝑘 = +1ならばΩ > 1、𝑘 = 0ならばΩ = 0、𝑘 = −1ならばΩ < 1が条件である。

B. インフレーションの導入の動機と一般的な条件
B1 [0.5pt.]
A5 の式より、
Ω−1=

𝑘𝑐 2 1
𝑅02 𝑎̇ 2が成り立つ。A4 より、放射が支配的な時期も、非相対論的物質が支配的である時期もどちらも𝑎は𝑡のベキ乗として変化する。
𝑡 𝑝𝑎 = 𝑎0 ( )𝑡0
ここで、放射が支配的な場合は𝑝 = 1/2で、非相対論的物質が支配的な場合は𝑝 = 2/3である。
したがって、時間の関数としてのΩ(𝑡) − 1は、𝑘̃を定数として、
Ω(𝑡) − 1 = 𝑘̃ 𝑡 2(1−𝑝)これは、時間発展によってズレが拡大していくことを表している。

B2 [0.3pt.]
A4 より，
𝑎(𝑡) = 𝑒 𝐻0𝑡
𝑎̇ (𝑡) = 𝐻0 𝑒 𝐻0𝑡
よって，𝑘̃を定数として，
Ω(𝑡) − 1 = 𝑘̃ 𝑒 −2𝐻0𝑡
このことは，時間発展によってズレが指数関数的に小さくなることを示している。

B3 [0.9pt.]
・負の圧力
A3 より，𝑤Λ = −1だから，𝑝 = −𝜌𝑐 2 < 0・加速度的な膨張
フリードマン方程式より，
𝑎̇ 2 =8𝜋𝐺𝑘𝑐 2
𝜌(𝑡)𝑎2 (𝑡) − 2
3𝑅0

両辺微分して，
4IPhO2017 T3 解答2𝑎̇ 𝑎̈ =8𝜋𝐺8𝜋𝐺𝑝(𝜌̇ 𝑎2 + 2𝜌𝑎𝑎̇ ) =(−3 (𝜌 + 2 ) 𝑎𝑎̇ + 2𝜌𝑎𝑎̇ )
33𝑐𝑎̈
4𝜋𝐺
3𝑝8𝜋𝐺=−(𝜌 + 2 ) =𝜌𝑎3𝑐3

よって，𝑎̈ > 0である。
・ハッブル半径の減少
𝑎̈ =𝑑𝑑𝑎̇ = (𝐻𝑎) > 0𝑑𝑡𝑑𝑡

だから，𝐻𝑎は単調増加。よってハッブル半径(𝑎𝐻)−1は単調減少し，これは，𝑑(𝑎𝐻)−1 < 0𝑑𝑡に他ならない。

B4 [0.2pt.]𝑑𝑎̇ 𝐻 + 𝑎𝐻̇
1(𝑎𝐻)−1 = −= − (1 − 𝜖) < 02(𝑎𝐻)𝑑𝑡
𝑎𝜖<1C. 一様分布の粒子によって引き起こされるインフレーション
C1 [1.7pt.]
式(4)を微分することで，
2𝐻𝐻̇ =1𝜕𝑉1̇ ̈̇̇2
2 [𝜙 𝜙 + (𝜕𝜙 ) 𝜙 ] =2 [−3𝐻𝜙 ]3𝑀𝑝𝑙
3𝑀𝑝𝑙𝐻̇ = −𝜖=1 𝜙̇ 222 𝑀𝑝𝑙

1 𝜙̇ 22 22 𝑀𝑝𝑙
𝐻をえる。ポテンシャルエネルギーが十分大きいという仮定から，
𝐻2 ≈𝑉23𝑀𝑝𝑙

また，緩い転がりの近似から，
3𝐻𝜙̇ ≈ −𝑉′
したがって，2𝜖≈2𝑀𝑝𝑙𝑉′( )2 𝑉

ところで，
3𝐻̇ 𝜙̇ + 3𝐻𝜙̈ = −𝑉′′𝜙̇
𝛿=−𝜙̈
𝐻𝜙̇

=𝑉 ′′−𝜖3𝐻 2だから，2𝜂𝑉 ≈ 𝑀𝑝𝑙

5𝑉′′𝑉

IPhO2017 T3 解答となる。最後に，
𝐻
1 𝑉
𝑑𝑁 = 𝐻𝑑𝑡 = ( ) 𝑑𝜙 ≈ − 2 ( ′ ) 𝑑𝜙
𝑀𝑝𝑙 𝑉𝜙̇より，
𝑑𝑁1 𝑉≈ − 2 ( ′)𝑑𝜙𝑀𝑝𝑙 𝑉を得る。

D. 単純なポテンシャルで記述される膨張D1 [0.5pt.]
𝜙𝑛インフレーションの終わりでは，𝜖 = 1なので，𝑉の具体的な関数形 𝑉 = Λ4 (𝑀 ) を代入すると，
𝑝𝑙𝜖=1=2𝑀𝑝𝑙
𝑛 2[]2 𝜙𝑒𝑛𝑑

𝜙𝑒𝑛𝑑 =𝑛√2𝑀𝑝𝑙

D2 [0.9 pt.]
𝑑𝑁1 𝑉𝜙= − 2 ( ′) = −2𝑑𝜙𝑀𝑝𝑙 𝑉𝑛𝑀𝑝𝑙
なので，積分すると(インフレーションの終わりで𝑁 = 0, 𝜙 = 𝜙𝑒𝑛𝑑 に注意)，
2𝑁=−1 𝜙𝑛[] +2𝑛 𝑀𝑝𝑙
4となり，𝑁, 𝑛, 𝜙間の関係が得られる。よって，𝑀𝑝𝑙 2 2(𝑛 − 1)
𝜂𝑉 = 𝑛(𝑛 − 1) [] =𝜙𝑛 − 4𝑁
𝜖=𝑛2 𝑀𝑝𝑙 2𝑛[] =2 𝜙𝑛 − 4𝑁だから，𝑟 = 16𝜖 =16𝑛𝑛 − 4𝑁

𝑛𝑠 = 1 + 2𝜂𝑉 − 6𝜖 = 1 −2(𝑛 + 2)
𝑛 − 4𝑁をえる。𝑛𝑠 = 0.968を代入すると，𝑛 = −5.93となる。しかし，𝑛 = −6 のとき， 𝑟 = 0.39，𝑛 = −5 のとき，
𝑟 = −0.32 となり、条件を満たす 𝑛 は存在しない。

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