ポリトープ表現を用いたフレキシブルアームの H2 制御
2009SE052 日榮祐紀 2009SE264 鈴木奏
指導教員

陳幹
減衰固有角周波数 ωc と α の間には常に以下の関係が成立

1 はじめに産業用ロボットなどに用いられているロボットアームする.

α̈ = −ωc2 α(2)の高速化や省エネ化といった要求に対し, アームは軽量であることが望ましい. しかし, 軽量化を行うことにより(1), (2) 式より以下の式が得られる.

アームの剛性が低下し, それまで起きなかったたわみや振Kstif f = ωc2 Jarm動が発生してしまう問題がある. これらはロボットの性能低下に繋がるため, それを制御によって抑制する必要がある. 本研究はフレキシブルアームの質量の変化によって生(3)3 オイラー・ラグランジュの運動方程式

じる, プラントの慣性モーメントの変動に対して, H2 制単純化したモデルに対してオイラー・ラグランジュの御によるロバスト安定化を行うことを目的とする. 本来,運動方程式を用いてシステムのモデリングを行う. オイロバスト性を持たない H2 制御にロバスト性を持たせる

ラー・ラグランジュの運動方程式とは, システムを完全にことで, 特性変動が起こったときでも正確に目標値に収束表す独立な一般化座標 qi (i = 1, 2, …, n) と, 一般化座標にさせるような制御を行う手法を示す.

働く力やトルクを表す一般化力 τi (i = 1, 2, …, n) によって構成され, 運動エネルギー T, 位置エネルギー U, 損失

2 モデリング
2.1

エネルギー D を一般化座標 qi とその時間微分 q˙i の関数で表すことによってシステムの運動方程式を求める手法

フレキシブルアームについてアーム部の重みが薄く, 軽量化したロボットアームの単純モデルである. そのため剛性が低く, アームの振る舞いは非常に振動的である. フレキシブルアームの制御量はアームの先端の角度であり, 操作量はアームにギアを介して取り付けられたモータに与える電圧である. また, 検出量はアームの根元の角度とアームのたわみの角度となっている.

2.2である. それは (4) 式である.

d ∂T
∂T∂U
∂D()−++= τi (i = 1, 2, …, n)
dt ∂ q˙i∂qi∂qi∂ q˙i(4)3.1 フレキシブルアームへの対応
オイラー・ラグランジュの運動方程式をフレキシブルアームに適用するため, 位置エネルギー, 運動エネルギー,損失エネルギーを求める.

単純化モデルによるモデリング・位置エネルギー

このモデルはトルクがモータと繋がっている hub(モータ) の部分にのみ働き, load(先端) は根元との間に繋がれU=たバネの力のみによって運動する. トルクを加えた時 hubは θ だけ回転し, load はそこから更に α だけ回転する.
よって, γ = θ + α が終点の絶対的な角度となる. この角度がアームの先端角に相当する. アームの中点に質点をおいたときの慣性モーメント Jarm は、トルクより 12 α だけ

1Kstif f α22・運動エネルギーT =1112Jhub θ̇2 + Jload (θ̇ + α̇)2 + Jarm (θ̇ + α̇)2 (6)2223・損失エネルギー回転する. Jload は load の慣性モーメントであり, Kstif fはモデルの剛性に相当するバネ定数であるとすると, 以下の式が得られる.

(5)

D=1Beq θ̇22(7)一般化座標は θ と α の二つであり, 一般化力をトルク τとする. (5), (6), (7) より,Jload α̈ = −Kstif f α(1)∂T
2= Jhub θ̇ + Jload (θ̇ + α̇) + Jarm (θ̇ + α̇)
3
∂ θ̇

(8)

ただし,ηg はギアボックス効率であり, モータに与える電d ∂T
2= Jhub θ̈ + Jload (θ̈ + α̈) + Jarm (θ̈ + α̈)
dt ∂ θ̇3(9)2∂T= Jload (θ̇ + α̇) + Jarm (θ̇ + α̇)
∂ α̇
3(10)

d ∂T
2= Jload (θ̈ + α̈) + Jarm (θ̈ + α̈)
dt ∂ α̇3(11)(22) 式を (18) 式に代入する.

∂V=0∂θ

(12)θ̈ =∂V= Kstif f α∂α(13)(22) 式を (19) 式に代入する.

∂D= Beq θ̇
∂ θ̇

(14)

∂D=0∂ α̇

圧と hub に与えるトルクは以下の通りである.

τ=(15)(22)

Kstif f
Beq Rm + ηm ηg Kt Kg 2 Kmηm ηg Kt Kg
α−θ̇+VJhubJhub RmJhub Rm(23)α̈ = −+よって (4) 式よりオイラー・ラグランジュの運動方程式(16),(17) を得る.

Kstif f (Jload + Jarm + Jhub )αJhub (Jload + 23 Jarm )(Jload + Jarm )(Beq Rm + ηg ηm Kt Km Kg2 )θ̇Jhub Rm (Jload + 23 Jarm )(Jload + Jarm )(Beq Rm + ηg ηm Kt Kg−
Jhub Rm (Jload + 23 Jarm )(24)

2Jhub θ̈ + Jload (θ̈ + α̈) + Jarm (θ̈ + α̈) + Beq θ̇ = τ (16)32
Jload (θ̈ + α̈) + Jarm (θ̈ + α̈) + Kstif f α = 03

ここでKstif f
Beq1α−θ̇ +τ
JhubJhubJhub(17)Y =−(18)

Beq Rm + ηm ηg Kt Kg 2 Km
Jhub Rm(25)

Kstif f (Jload + Jarm + Jhub )Jhub (Jload + 23 Jarm )

(26)

X=−

上式より

θ̈ =

ηg ηm Kt Kg (V − Km Kg θ̇)
Rm

Z=(Jload + Jarm )(Beq Rm + ηg ηm Kt Km Kg2 )Jhub Rm (Jload + 23 Jarm )と置く.
Kstif f (Jload + Jarm Jhub )Beq (Jload + Jarm )α̈ = −α+θ̇Jhub (Jload + 23 Jarm )Jhub (Jload + 23 Jarm ) 4 システムの状態空間表現
Jload + Jarmτ(19) システムの状態ベクトル x を−Jhub (Jload + 23 Jarm )θよってシステムの運動方程式が得られた. しかしなが α x= θ̇ 
ら, 実際に制御するにあたり, 直接操作できるのはトルクα̇
ではなく, モータに与える電圧である. そのため, モータ(27)(28)に与える電圧 V と τ との関係を求める必要がある. こことすると制御入力を u とした状態空間表現は以下のようで, 電機子回路入力電圧を V, 電機子回路電流を Im , 電機になる.

子抵抗を Rm , 電機子インダクタンスを Lm とする. Eemfẋ = Ax + Bu(29)y = Cx(30)をモータの逆起電力, 逆起電力係数を Km とし, トータルギア比を Kg とする. また, モータのトルクを τm , トルク定数を Kt , モータ効率を ηm とすると以下の式を得る

τm =ηm Kt (V − Km Kg θ̇)
Rm

(20)

これはモータのトルクであり, hu には負荷ギアを介しているため, hub に与えるトルクを計算する必要がある.
モータのトルクと hub に与えるトルク τ の関係式は以下の通りである.

τ = ηg Kg τm(21)

0
0A=
00


B=


0010X
Z

Kstif fJhubY


01

00


00ηm ηg Kt Kg
Jhub Rm(J+J)(ηm ηg Kt Kg )− RloadJ arm
2m hub (Jload + 3 Jarm )C=[11(31)00]

(32)

(33)

4.1

パラメータの決定4.1.1

各種パラメータ
表1SymbolLM
KtKm
RmηεηmJmoter
Kgi
KgeBeqm24
m72
m120
r24r72r120m1m2となる. Kstif f はバネ定数なので, 変動しないと考えて平均値の Kstif f = 1.3922 とする.

4.2.2 一様な円盤の慣性モーメント:Jhub

各種パラメータ

Description
アーム長
アーム重量
モータトルク定数
モータ逆起電力定数
モータ電機子抵抗
ギアボックスの効率
モータ効率
モータ慣性モーメント
遊星ギア比
ギア比
アーム粘性摩擦係数
ギア（２４歯) 重量
ギア（７２歯）重量
ギア（１２０歯）重量
ギア（２４歯）直径
ギア（７２歯）直径
ギア（１２０歯）直径
重りの重量
重りの質量

全質量を M, 面密度 σ とする. 半径 r と r + dr で囲まれValue[Unit]
20 × 10−2 [m]65[g]0.00767[Nm/A]
0.00767[V/(rad/s)]
2.6[Ω]
0.9
0.69−73.9001 × 10 [kgm2 ]1450.004[Nm/(rad/s)]
5[g]
30[g]
83[g]
0.5 × 2.45 × 10−3 [m]1.5 × 2.45 × 10−3 [m]
2.5 × 2.45 × 10−3 [m]129[g]
69[g]る微小面積素を ds とすると, 円盤の慣性モーメント I は∫∫ aI=2πσ ｒ3 dr =dI =0M a22(44)はとなる. よって,24 歯,72 歯,120 歯の慣性モーメントJ24 ,J72 ,J120 の慣性モーメントはそれぞれJ24 = 1.0081 × 10−7(45)J72 = 5.4435 × 10−6(46)J120 = 4.1835 × 10−5(47)モータとアームの間には 24 歯と 120 歯のギアを一枚ず

4.2

つ, 72 歯のギアを二枚介している. トータルギア比 Kg は減衰固有角周波数:ωc

フレキシブルアームのアーム部をしっかりと固定し, その状態でアームに適切な初期値を与えて離す. アームは振動をしながらゆっくり減衰するので, その波形を計測す

Kg = Kgt × Kge = 70 である. また,Jhub はギアとモータの慣性モーメントの和となるのでJhub = J24 + 2 × J72 + J120 + Kg2 × Jmotor × ηg (48)る. 計測した波形より周波数を測定し, その周波数を 2π

4.3 状態方程式倍したものが, 減衰固有角周波数となる.

4.2.1

細い一様な棒の慣性モーメント:Jload1
M L2λs2 ds = λ L3 =33(34) 0010000010 ẋ =  0 778.2256 −41.0941 0 x+ 18993.0 u0 −1276.010790
0−488.9976(49)[]
y= 1 1 0 0 x(50)

Jarm = 0.0031(35)

5 制御系設計

Jload = 0.0013(36)

出力を目標値に追従させるため, 制御ループ内に積分器

ωc = 20.9439(37)を 1 つ付加した拡大系を用いる. 本報告ではモデル化誤差

Kstif f = 1.3598(38)全質量を M, 棒の長さ L, 面密度 λ, 微小線素片 ds, 線素までの距離を s とする. λ= M
L であるので, 棒の慣性モー
メント I は∫ L
I=0のうちアームの慣性モーメントの値に着目する. アームの慣性モーメント Jarm の範囲は 0.0031 ＜ Jarm ＜ 0.0177

今回, アームに重りをつけてシミュレーション, 実験をで,Jload の範囲は 0.0013 ＜ Jload ＜ 0.0158 である. 運動行う為, それをふまえて慣性モーメントを導出する. 重り

方程式中の Jload と Jarm の不確かさを構造的に抽出し,の質量を m とすると慣性モーメント Jarm は不確かさの上下界の範囲においてロバストな制御系設計

Jarm =

1M L2 ＋ M L23を試みる.Jload と Jarm は行列 A, 行列 B に存在する. 行(39)列 A, 行列 B は以下のように表現できる.

[

また,100g の重りを付けた時の Jload と Jarm と Kstif f

AT =の値はそれぞれ

A−C04 × 10][]
0, BT =B

(51)

Jarm = 0.0177(40)

Jload = 0.0158(41)ωc = 8.9714(42)Ed x˙d = Ad xd + I4ω + Bd u(52)Kstif f = 1.4246(43)z2 = C2 xd + D2u(53)ロバスト H2 制御に対する一般化制御系を以下の式と定義する.

[Bd =BT0][Q1/2, C2 =0]00[]
00, D2 =0 R1/2(54)式 (54) 中の Q,R はそれぞれ状態変数に対する重み行列,入力に対する重み行列である.Jload と Jarm の不確かさが下界であるときの Ad を Ad1 ,Bd を Bd1 , 上界であると7 実験結果シミュレーション結果より, 同様に 2 通りの実験を行った. その結果を表したグラフが次のグラフである.
実験結果より, 目標値へ早く, 正確に収束することがグラフからわかった.

きを Ad2 ,Bd2 とする. 式 (52) を不確かさの上下界の範囲において安定化し,H2 ノルムを最小化する状態フィード
バックゲイン K を求める LMI は式 (55)-(59) となる

minimize : γ[[subject to : X > 0He (Ai X + BY )BiTXCX + DY

Bi−I(55)(56)]<0(CX + DY )TWs(57)]

trace(Ws ) < γ 2>0

実験

(59)

8 終わりに(i = 1, 2)
式 (55)-(59) を満たす X,Y を得ることで, 所望のフィード

今回の重りを乗せたときの実験のグラフが波打っているのは、アームの先端に重りをつるしているので振り子のバックゲイン K は以下の式で与えられる.

K = Y X −1

図2(58)(60)

式 (54) の重み行列 Q,R に対して式 (55)-(59) の LMI を解いた結果, 式 (60) のような状態フィードバックゲインK が得られた.

動きでこのような現象が起きたと考えられる.

参考文献[1] 井上和夫＝監修 川田昌克＋西岡勝博＝著: 『MATLAB/Simulink によるわかりやすい制御工学』森北出Q = diag(1000, 1000, 1, 1, 2600), R = 100 (61)
版, 東京,2001.
[]
K = −3.8512 −3.1720 −0.1280 −0.1477 5.0990.
[2] 川田昌克著: 『MATLAB/Simlink による現代制御入(62)門』森北出版, 東京,2011.

6 シミュレーション結果[3] 蛯原義雄著: 『LMI によるシステム制御』森北出版,
東京,2012.

設計したコントローラを用いて, 重りを付けていない時,,100g の重りを付けた時の 2 通りのシミュレーションを行った. 求めたゲイン K を用いて, シミュレーションを行った結果を表したグラフが図 1 である.

[4] 水戸健詞: 最適レギュレータによるフレキシブルアームの制振制御, 南山大学数理情報学部 2010 年度卒業論
文 (2012).

[5] 松井祐介, 三輪有弘:フレキシブルアームに対する H2制御によるロバスト安定化, 南山大学情報理工学部

2012 年度卒業論文 (2012).

図1

シミュレーション

シミュレーション結果より, 重りなしのときも重りがありの場合もほぼ同じグラフを得ることができた. よって,実験に移った.