社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

一次元座標上に配置されたカオス回路ネットワークにみられる同期現象について
塩本純†

上手洋子†

オットトーマス††西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1†† チューリッヒ応用科学大学
E-mail: †{shiomoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
あらまし

本研究では, 結合カオス回路を用いた同期現象について調査を行う. まず, 一次元座標上に配置したカオス回路を抵抗によって完全結合する. 回路の数は常に偶数個とし, システムが対称となるようなシステムの調査を行う.
回路間の距離を変化させ, 結合強度を調節できるようにする. システムの中央の回路間の距離を固定し, 左右対称に二つのグループとなるようにした後, グループ内の回路間の距離を変化させた場合や, 全体の回路の数を変えた時に起こる同期現象について調査を行った. また, コンピュータシミュレーションを用いて中央の回路間の位相差を測定し, 考察を行った.
キーワード

同期現象, カオス回路, クラスタリング

Synchronization Phenomena in Complex Networks
Arranged on One-dimensional Coordinate
Jun SHIOMOTO† , Yoko UWATE† , Thomas OTT†† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima Univesity
2–1, Minami Josanjima, Tokushima 770–8506, Japan†† Einsiedlerstrasse 31a, 8820 Waedenswil, Switzerland
E-mail: †{shiomoto,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp, ††thomas.ott@zhaw.ch
Abstract In this study, we investigate synchronization phenomena of coupled chaotic circuit. First, we combine
chaotic circuits by resistors on one-dimensional coordinate system. The number of the circuits is always an evennumber and we investigate symmetry systems. We change the distance between the circuits to adapt the couplingstrength. The distance between the center circuits is ﬁxed. After they are divided to two symmetry groups, weinvestigate synchronization phenomena when the distance between the circuits or the number of the circuits in thegroup is changed. Also, we measure the phase diﬀerence between the center circuits using computer simulations.
Key words Synchronization, Chaotic Circuit, Clustering

1. ま え が き胞の同期をコントロールできるようになれば心臓のペースメーカーも作ることが可能であり, これは実際に医療器具として用同期現象とは, 自然界において観測される典型的な現象のひいられている. よって本研究では, 工学の分野だけでなく, 生物

とつであり, 近年, 結合カオス回路の同期現象に関する多くの学や医療の分野にも応用が可能である結合カオス回路の同期現研究が行われてきている [1]- [5]. 特に同期現象は, 自然界にお象を解析することを目的とする.

いては生物に関わることが多いというのが特徴であり, ホタル

我々の研究グループでは, 過去に二次元座標上に配置されたの発光や心臓の心筋細胞の振動の同期などが挙げられる. また,結合カオス回路を用いた研究を行っている [6], [7]. 二次元座標

同期現象の利点は, ひとつひとつのパワーが小さくても, うま上に配置したカオス回路を完全結合し, 回路間の距離や回路配く同期することでより大きなパワーが生み出せるという点にあ置の密度を変化させ, 同期現象やクラスタリングについて調査る. この性質を利用すれば様々な分野に応用が可能であると考するという内容の研究である. この研究では, 近い距離に配置えられる. 生物学の分野において例を挙げると, 心臓の心筋細したカオス回路どうし同相同期が観測され, 遠くの距離の回路—1—とは非同期という結果であった. さらに, 結合カオス回路のネッ式 (2) は正規化され, 以下のような式 (3) が得られる.

トワーク中に, カオス回路の距離に応じていくつかのクラスタが形成されており, 結合強度を変化させることによりクラスタẋ = αx + zの数も変化するといった興味深い結果を得ることができた. しẏ = z − f (y)かし, 二次元座標上では少し複雑なため, 本研究ではより詳細なż = −x − βy(3)調査を行うため, 一次元座標上における同期現象についての調査を行う. 一次元座標上に配置されたカオス回路を抵抗によっ

また, 式中の f (y) は次のように記述できる.て完全結合する. その際, 距離によって結合強度が変わるようf (y) =に抵抗値をを設定する. そして, 中央の回路間の距離を固定し,

δ2(y+11− y−δδ)(4)

左右対称に二つのグループとなるようにした後, グループ内の

図 2 に, この回路で観測されるカオスアトラクタを示す. 図

回路間の距離を変化させた場合や, 全体の回路の結合数を変え2(a) がコンピュータシミュレーションによる結果で, 図 2(b) がた時に起こる同期現象を観測し, 位相差の変化を調査する.

回路実験による結果である. コンピュータシミュレーションでは, 各パラメータを α = 0.460, β = 3.0, δ = 470 のように設定

2. 回路モデルする. 回路実験による結果では, 各素子の値を L1 = 600[mH],

図 1 に本研究で使用する回路モデルを示す [8]- [10]. この回

L2 = 200[mH], C = 6.8[µF ] としている.

z路は西尾・稲葉回路と呼ばれている回路モデルである.

v

xi1(a) シミュレーション.

(b) 回路実験.

図 2 カオスアトラクタ.

図13. シミュレーション結果

回路モデル.

この回路は, キャパシタ, インダクタ, 負性抵抗, 二つのダイ初めに, 本研究で使用する回路の配置図を図 3 図 6 に示す.

オードのオフ抵抗に対応している.

rd2(i2 +VV− i2 −rdrdd)(1)d

図 3 4 個の回路の配置図.

また回路のダイナミクスは次のような三次の区分線形常微分方程式により表すことができる.

{{L1d1d(2)d{di1= v + ri1dtdi2
L2= v − vd (i2 )dtdv
C= −i1 − i2dt

1{vd (i2 ) ={ {{線形抵抗の I − V 特性は式 (1) で示され, パラメータ rd はダイ{オードで構成された非線形抵抗により構成されている. この非d

図 4 6 個の回路の配置図.

ddd1d{{CV x; i2 =L1√L1 CV y; v = V z;
L2√√
C
L1L1 Cr= α;= β; rd= δ;
L1L2L2√dt = L1 Cτ ; “ · ” =dτi1 ={{{√{{式 (2) 中の各変数を, 以下のように置き換えることによって,dd

図 5 8 個の回路の配置図.

—2—1{{{{{{{{{d d d dd d d d

4. ま と め
本研究では, 結合間の距離に応じて変化させた抵抗で, カオス

図 6 10 個の回路の配置図.

回路どうしを結合したネットワークで観測される同期現象につ回路の数は, 4 個, 6 個, 8 個, 10 個とし, それぞれ中央の回路間の距離を 1 とする. そして, 図中の d の大きさを変化させ, 図3 図 6 それぞれについて, 中央の回路間の位相差の変化を調査する.
また, 配置したすべてのカオス回路は, 他のカオス回路と抵抗で結合されている. 結合方法は, カオス回路どうしを自己以外の回路とすべて抵抗で結合された完全結合の場合を考える.
dxi= αxi + zidτdyi= zi + f (y)(5)
dτ∑dzi= −xi − βyi −γi,j (zi − zj )dτN

いての調査を行った. また, 回路間の位相差の調査も行った. コ
ンピュータシミュレーションにより調査を行った結果, 全体の回路数が増えるにつれて中央の回路間の位相差は小さくなった.
これは, 今回の研究で用いたシステムが完全結合だったため, 回路数が増えると, 他の回路との結合が増えるため, より同期に近づこうとしたのではないかと考えられる. また, グループ内の回路間の距離が 0.08 の時に位相差が大きく, 距離が 0.1 から0.2 あたりで位相差が最小になった後, 距離が大きくなるにつれて位相差も大きくなるという結果が得られた. これは, 距離によって結合強度が変化するため, 距離が近すぎると結合強度が大きくなりすぎてしまい, 距離が遠すぎると結合強度が小さくなってしまうためであると考えられる.
今後の目標として, より細かい距離の変化でシミュレーショ

j=1ンを行うことや, 今回のシミュレーションで測定することので(i = 1, 2, · · ·, N )きなかった回路の数や, 回路間の距離でシミュレーションを行式 (5) 中の i は自己の回路を表し, パラメータ γi,j は回路どうしを結合する結合強度の値を表している. 今回のシミュレーうことが必要であると考えられる. また, グループの数を増やした時のシステムの挙動にも注目したい.

ションでは, 結合強度の値を距離に応じて変化するように設定
表 1 中央の回路間の位相差 [ °]し, γi,j を求める式は次に示す.

γi,j =g.
(lengthi,j )2(6)式 (6) 中の g は, 結合強度を決めるための結合変数パラメー
タである. 今回のシミュレーションの場合, g = 0.001 と設定しグループ内の回路間の距離0.08

回路の数 444.796 35.726 26.950 36.229 29.460 30.324

回路の数 628.253 21.205 22.189 24.431 29.301 32.990

回路の数 819.307 14.393 20.387 23.577 26.299 33.273回路の数 1015.916 13.166 17.836 20.896 22.304 26.100

0.10.20.30.40.5てある. また, lengthi,j は, i 番目と j 番目の間のユークリッド距離を表している.
今回, グループ内の回路間の距離 d を , 0.08, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,0.5 と変化させてシミュレーションを行った . 図 7 図 10 にシX3X3X3ミュレーションによる結果を示す. 図 7 は回路の数が 4 個のときの中央の回路間の位相差を表しており, 図 8, 図 9, 図 10 につX2いても同様に, 6 個, 8 個, 10 個の回路を用いた場合の位相差を表している.
これらの結果より, グループ内の回路間の距離が 0.1 0.2 あたりで位相差が最小になるといった結果が得られた. しかし, 6個, 8 個, 10 個の回路を用いたときは, グループ内の回路間の距(a) d=0.08(b) d=0.1(c) d=0.2X3X3X3X2X2離が 0.1 で位相差が最小になり, 距離が大きくなるにつれて位相差も大きくなっているが, 4 個の回路を用いた場合の結果は

X2グループ内の回路間の距離が 0.2 のときに位相差が最小になり,距離を大きくしていくと 0.4 で再び位相差が小さくなっているのが分かる.

(d) d=0.3X2(e) d=0.4X2(f) d=0.5

図 7 4 個の回路を用いたときの中央の回路間の位相差.

次に, 今回のシミュレーションで得られた結果をまとめた表とグラフを表 1 と図 11 にそれぞれ示す.
表 1 と図 11 の結果より, 全体の回路の数が増えると位相差は小さくなっている. 回路の数を 10 個にすると, グループ内の回路間の距離を大きくしてもそれほど位相差が変化していないことが分かる.

—3—X4X3(a) d=0.08

X4X6X4X4(b) d=0.1(c) d=0.2

X3(e) d=0.4(f) d=0.5X5X5X4(f) d=0.5

図 10 10 個の回路を用いたときの中央の回路間の位相差.

X4X4(c) d=0.2

X5X5(d) d=0.3(e) d=0.4X5X4(b) d=0.1

X5X5X5X4(a) d=0.08

X5(c) d=0.2

X6X6(d) d=0.3

図 8 6 個の回路を用いたときの中央の回路間の位相差.

X5X5(b) d=0.1

X6X3X3(d) d=0.3(a) d=0.08

X4X4X5X3X3X6X6(e) d=0.4

X4(f) d=0.5

図 11

シミュレーション結果

図 9 8 個の回路を用いたときの中央の回路間の位相差.

文献[1] N.F. RullCkov and M.M. Sushchik, “Robustness of Synchronized Chaotic Oscillations,” Int. J. Bifurcation and Chaos,vol. 7, no. 3, pp. 625-643, 1997.
[2] M. Wada, Y. Nishio and A. Ushida, “Analysis of Bifurcation Phenomena in Two Chaotic Circuits Coupled by anInductor,” IEICE Trans. Fundamentals, vol. E80-A, no. 5,
pp. 869-875, 1997.
[3] Y. Nishio and A. Ushida, “Chaotic Wandering and its Analysis in Simple Coupled Chaotic Circuits,” IEICE Trans.
Fundamentals, vol. E85-A, no. 1, pp. 248-255, 2002.
[4] G. Abramson, V.M. Kenkre and A.R. Bishop, “Analytic Solutions for Nonlinear Waves in Coupled Reacting Systems,”
Physica A: vol. 305, no. 3-4, pp. 427-436, 2002.
[5] I. Belykh, M. Hasler, M. Lauret and H. Nijmeijer,“Synchroniza- tion and Graph Topology,” Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 15, no. 11, pp. 3423-3433, 2005.
[6] Y. Takamaru, H. Kataoka, Y. Uwate and Y. Nishio, “Clustering Phenomena in Complex Networks of Chaotic Circuits”, Proc. ISCAS’12, pp. 914-917, May 2012.
[7] Y. Takamaru, Y. Uwate, T. Ott and Y. Nishio, “ClusteringPhenomena in Complex Networks Coupled with a Resistors,” Tech. Report of IEICE, no. NLP2012-8, pp. 41-44,
Apr. 2012.

[8] Y. Nishio, N. Inaba, S. Mori and T. Saito, “Rigorous Analyses of Windows in a Symmetric Circuit,” IEEE Transactions
on Circuits and Systems, vol. 37, no. 4, pp. 473-487, Apr.
1990.
[9] C. Bonatto and J. A. C. Gallas, “Periodicity Hub andNested Spirals in the Phase Diagram of a Simple ResistiveCircuit,” Phys. Rev. Lett., vol. 101, id. 054101, Aug. 2008.
[10] R. Stoop, P. Benner and Y Uwate, “Real-World Existenceand Origins of the Spiral Organization of Shrimp-ShapedDomains,” Phys. Rev. Lett., vol. 105, id. 074102, Aug. 2010.

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