渋滞の抑制制御における制御則のロバスト性
2010SE166 大橋敏裕
指導教員：大石泰章

1かの比率を表す．ui (t) は i 番目の車両に対する制御入力

はじめに交通流における渋滞現象は，車両の遅延を誘発し，ドラである．F (yi ) は最適速度関数でありとがある．渋滞現象の理由を解明し，その発生を防止する[y∗ ]yi − y ∗) + tanh( )F (yi ) = b tanh(ccため様々な研究が行われている．例えば，Bando らは簡単で与えられ，車頭距離 yi と平衡状態での車頭距離 y ∗ = 2πr
Nな追従車両モデルを提案し，それに基づいて渋滞現象の説に依存する関数である．b と c は最適速度を決めるパラ明を行った [1]．このモデルは最適速度モデルと呼ばれ，そメータである．u(t) ≡ 0 のときの式 (1) の平衡状態はイバーに不快感を与えることで交通事故の引き金となるこ

れぞれの車両の動特性は最適速度関数に基づいた常微分方[ vi∗程式で表されている．この関数は前車との車間距離に依存した速度関数であり，各車両の速度は最適速度に近づくよy∗]v̄i (t) := vi (t) − vi∗ , ȳi (t) := yi (t) − yi∗ない条件が与えられている．文献 [4][5] では，ウォッシュ

し，最適速度関数におけるドライバーのアクセル・ブレー∗

b tanh( yc )(3)収束性の解析のためいた渋滞抑制のための制御手法が提案され，渋滞が発生しく平衡点に安定化が可能であることが示されている．ただ[であり，各車両の状態がこれに収束することが望まれる．

うに調整される．文献 [2][3] では，分散遅延時間制御を用アウト制御を用いてドライバーの意図を阻害することなyi∗ ] :=

(2)

(4)

として，平衡点近傍で式 (3) の線形近似を行う．状態空間表現は

クセル・ブレーキ感度に対するロバスト性の高い制御則を

[] [][] [][]v̄˙ i (t)−a aΛv̄i (t)0 1v̄i−1=+,˙−1 0ȳi (t)1 0ūi ȳi (t)[][] v̄i (t)v̄i = 1 0,ȳi (t)[][] v̄i (t) ȳi = 0 1ȳi (t)(5)

設計する．となる．ここでキ感度がすべてのドライバーに対して一様にある特定の値に固定されている．この値はドライバーによる変化が大きいと考えられ，この値の変化に対する制御則のロバスト性を検討する必要がある．
本研究では，文献 [5] の制御法を拡張し，一様でないア2車両モデル

Λ :=

文献 [5] に従い，N 台の車両が一車線の半径 r の円周上

∂F (y)∂y y=y ∗(6)である．各車両を制御する制御器を全て同一としを反時計回りに走行している状況を考える (図 1)．

{ξ˙i (t) = αξi (t) + βyi (t),ui (t) = αξi (t) + βyi (t)(7)とする．ここで，α と β は非零のパラメータであり，全車両が安定になるように適当な値を選択する．平衡状態での車頭距離 y ∗ は各車両には未知であるので制御器にはこの値を使用していない．ただし，平衡状態に達して ξ˙i (t) = 0になると，自動的に ui (t) = 0 になるという性質がある．

図 1 円周上を走行する車両

アクセル・ブレーキ感度が一様な場合のロバスト性

3yi (t) は i − 1 番目と i 番目の車両の車頭距離である．また，vi (t) は i 番目の車両の速度である．このとき，各車両のダイナミクスは{[]v̇i (t) = a F (yi (t)) − vi (t) + ui (t),ẏi (t) = vi−1 (t) − vi (t)制御器を式 (5) に付加したときの閉ループ系の状態方程式は

ẋ = Ax(1)

であるとする．a > 0 はドライバーのアクセル・ブレーキ感度であり，自車の速度 vi が自車にとって最適な速度F (yi ) と異なるとき，どのくらいの加速または減速をする(8)と表すことができる．ξ¯i (t) = ξi (t) − ξi∗ としたとき，

][x1v̄i.
3Nx =  ..  ∈ R , xi = ȳi ∈ R3
ξ¯ixN(9)である．
ここで，最適速度関数におけるドライバーのアクセル・ブレーキ感度 a の変化が安定性に与える影響を検討する．

γ閉ループ系 (8) が安定であるためには，a の値の変化に関わらず A 行列の固有値が安定であればよい．ただし，システムの性質上N∑

yi = 2πr が常に成り立つので A 行

i=1

β列は必ず零固有値を持つ．この零固有値は除いて考える．

unitlength1cm

α = −4.0，β = 6.0 としたときの零固有値を除いた A 行列の固有値の実部の最大値と a のグラフを図 2 に示す．図2 より，a が (0,1) の区間では閉ループ系が安定であることがわかる．また，a の値が大きくなってアクセル・ブレーα

図 4 安定となる α,β,γ の範囲

キ感度が増せば単調に安定性が増すのではなく，かえって安定性が減ることもあるのがわかる．

4

アクセル・ブレーキ感度が非一定な場合のロバスト性シミュレーション
3 章の例ではドライバーのアクセル・ブレーキ感度をすべて等しくして変化させても閉ループ系の安定性はくずれなかった．本章では，ドライバーのアクセル・ブレーキ感度が車両毎に異なる場合の影響を検討する．全ての車両の[a] 速度変化[b] 車頭距離

図 5 制御パラメータに α,β,γ,δ を用いた際のシミュレー
ション

ドライバーのアクセル・ブレーキ感度を開区間 (0, 1) の一収束までの時間も概ね短くなっている．

様乱数に設定する．A 行列の固有値のグラフを図 3 に示

5す．図 3 より，a の値が車両ごとに異なる場合でも全ての固有値の実部が負なので，閉ループ系は安定であることがわかる．シミュレーションでは，ドライバーのアクセル・ブレーキ感度が車両ごとに異なる場合でも閉ループ系は安定であった．
よりロバスト性の高い制御則の設計のため，制御則の A，B ，C ，D 行列がそれぞれ異なる場合を考える．制御則を{ξ˙i (t) = αξi (t) + βyi (t),ui (t) = γξi (t) + δyi (t)おわりに
本研究では，最適速度モデルにおけるドライバーのアクセル・ブレーキ感度が制御性能にどのような影響をもたらすのかを検討した．検討の結果，a の値の変化による安定性への影響がわかった．また，渋滞抑制の安定性はドライバーのアクセル・ブレーキ感度の個体差の影響があっても崩れないことがわかった．今後の課題は，現在は総当りで計算している安定となる α，β ，γ の範囲をシステマチックに計算することである．

(10)

参考文献

[1] M. Bando et al：: Dynamical model of traﬃc congestion and numerical simulation. Physical Review
ような値でも安定となるような値を選ぶ．ξ˙i = 0 のとき，E, vol. 51, no. 2, pp. 1035–1042 (1995).
ui (t) = 0 となるには δ の値が δ = βγα となればよい．
[2] 小西啓治・小亀英己・平田健太郎：「最適速度関数を有安定となる α，β ，γ ，の範囲を図 4 に示す．最も安定する離散時間交通流モデルの解析と制御」．電子情報通となる制御パラメータの一例 α = −5，β = 9，γ = −3，
信学会技術研究報告予稿集，NLP98–130 (1999)．
δ = 5.4 のときのシミュレーション結果を図 5 に示す．α，β のみの制御則と比べて速度，車頭距離の変化の幅が狭く [3] 小西啓治・小亀英己・平田健太郎：「最適速度交通流モとする．α，β ，γ ，δ はアクセル・ブレーキ感度 a がどのなり，最悪の場合の安定性を高めることができた．また，デルに生じる渋滞現象とその抑制」．電子情報通信学会
技術研究報告予稿集，NLP99–133 (2000)．

[4] 坂口英嗣・山本茂：Driver Centric Decentralized Controller Design in Traﬃc Flow. ICROS-SICE International Joint Confence 2009.

図 2 固有値の最大値[5] 坂口英嗣・山本茂：「ウォッシュアウト制御によるサイクリックな交通流の渋滞抑制」．第 11 回計測自動制御
学会制御部門大会予稿集 (2011)．
図 3 a が一様乱数のときの固有値