理論試験表紙	  Ø 理論試験は 5 時間です。3 題の大問があり、全部で 30 点満点です。大問の配点が異なるので、注意して下さい。また、すべての大問で用いるデータシートがあるので、注意して下さい。
Ø 試験が始まる合図（笛）の前に、問題が入っている茶色の封筒を開けてはいけません。
Ø 各大問に、専用の解答用紙（Answer	
 Sheet）（ヘッダーの番号と色を確認すること）があります。解答は、対応する解答用紙の指示された欄に記入しなさい。
Ø 詳しい計算などには、正式な IPhO 答案用紙と IPhO グラフ用紙を用いなさい。ヘッダーのすべての記入欄を埋め、用紙の表のみに記入しなさい（裏は採点されません）。文字の使用は最小限にして、主に方程
式や数、記号や図を用いて、解答を作成するようにして下さい。用紙の採点されたくない部分には、線を引いて消しなさい。
Ø 許可なく席を離れてはいけません。補助が必要な場合には（電卓の故障や用紙の補充、トイレなど）、手を挙げて、監督者が来るまで、そのまま待っていて下さい。
Ø 試験の終わりの合図（笛）があったら、ただちに書くのをやめなさい。
終わりの合図の前に試験を終了する場合は、手を挙げて下さい。
Ø すべての紙を、表を上にして、次の順に並べて、茶色の封筒に入れなさい。
1. 大問 1（T1）の解答用紙に続いて、詳しい計算などを記入した T1 の答案用紙
2. 大問 2（T2）の解答用紙に続いて、詳しい計算などを記入した T2 の答案用紙
3. 大問 3（T3）の解答用紙に続いて、詳しい計算などを記入した T3 の答案用紙
Ø どの用紙も部屋の外に持ち出してはいけません。

The Maribo Meteorite

T1

導入
流星は彗星あるいは小惑星から飛んでくる小粒子（通常，1 m 以下）である. 地面に衝突する流星は隕石とよばれる。
2009 年 1 月 17 日の夜，バルト海に面した地域の多くの人々は，大気を貫いて落下する流星の輝く軌跡や火球を目にした。スウェーデンの監視カメラが記録した映像を図 1.1(a)に示す。これらの映像と目撃者の証言から，落下地点の範囲が狭められ，６週間後，質量0.025 kg の隕石が南デンマークの町マリボー付近で見つかった。現在，マリボーと名づけられている隕石の分析と大気中の軌道から，興味深い結果が示された。大気に突入したときの流星の速度は非常に速く，その年代は 4.567 × 109 年であることから，その流星は，太陽系が形成された後すぐに形成されたことがわかった。マリボー隕石は，エンケ彗星の一部であるらしい。

マリボーの速さ
図 1.1(c) のように，火球は落下地点に向かって，北から 285°の方角の西方向に移動していた。隕石の落下地点は，監視カメラから 195 km 離れた地点で，北から 230°の方角であった。
このことと，図 1.1 のデータ，映像の 155 番目のこまから 161 番目のこままでの間のマリボーの平均の速さを計算せよ。地球の曲率と流星に対する重力の影
1.1
1.3
響は無視してよい。

大気中の通過と融解?
上層の大気中を運動する流星に対する空気摩擦は，流星の形状と速さ，さらに，大気の温度と密度に複雑に依存する。上層大気においてはたらく摩擦力𝐹 は，適切な近似で
𝐹 = 𝑘𝜌atm 𝐴𝑣 2 と表すことができる。ここで，𝑘は定数， 𝜌atm は大気の密度， 𝐴 は速度の向きに垂直な流星の断面積，𝑣はその速さである。
流星の運動を解析するために，次のような簡単な仮定をする：この物体は質量𝑚M =30 kg ，半径𝑅M = 0.13 mの球形で，温度𝑇0 = 200 K，速さ𝑣M = 2.91 × 104 m/sで大気に突入する。大気の密度は一定値𝜌atm = 4.1 × 10−3 kg/m3 （地表から 40 km 上空での値）として，摩擦係数は𝑘 = 0.60であるとする。
1.2a 流星が大気に突入した後，その速さが𝑣M から0.90 𝑣M まで 10％減少するのにかかる時間を求めよ。流星に対する重力の影響は無視できる。流星は質量と形状に変化は生じないものとする。

0.7

1.2b 大気に突入する流星の運動エネルギー𝐸kin は，完全に融解するのに必要なエネ
ルギー𝐸melt の何倍か計算せよ（必要な値はデータシートを見よ）。

0.3

Page 1 of 4

The Maribo Meteorite
(a)

(b)

方位角
155
215°
161
221°
地点 M に衝突する 230°
こま時刻1.46 s2.28 s

仰角
19.2°
14.7°
0.0°

(c)

図 1.1 方位角は水平面上で北から時計回りの角度であり，仰角は水平面から上向きに測った角度である。(a) スウェーデンにある監視カメラの捕えた映像の一連のこまである。
マリボーの運動が，大気を通して落下する火球として示されている。(b) カメラ（C）から見た２つの映像のこまの時刻と方位角，仰角が示されている。 (c) 監視カメラ（C）に示されたマリボーの経路（赤紫色の矢印）の北（N）からの方角とデンマークの落下地
点（M）の略図。

大気中を落下中のマリボーの加熱
岩石状流星マリボーが超音速で大気に突入するとき，周囲の空気が熱せられて流星が火球のようになる。それにも拘わらず，マリボーの最外層だけが熱せられる。マリボーを，密度𝜌sm ，比熱𝑐sm ，熱伝導率𝑘sm （値はデータシートに与えられている）の一様な球と仮定する。 さらに，大気に突入するときのマリボーの温度は𝑇0 = 200 Kで，マリボーが大気中を落下する間，空気抵抗を受けて表面温度は一定値𝑇s = 1000 Kとなり，次第に内部が熱Page 2 of 4

T1

The Maribo Meteorite

T1

せられる。大気中を時間 𝑡 だけ落下した後，厚さ𝑥のマリボーの外層は，𝑇0 より十分高温に熱せられる。この厚さは次元解析により熱力学パラメータのベキの簡単な積で評価され
る：
𝛽
𝛾
𝛿
．
𝑥 ≈ 𝑡 𝛼 𝜌sm 𝑐sm 𝑘sm
1.3a ４つのべき指数𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿の値を，次元解析で定めよ。

1.3b 落下時間𝑡 = 5 s の後の厚さ𝑥を求め，比𝑥/𝑅M を定めよ。

0.6
0.4

隕石の年代

放射性同位体元素の化学的性質は異なるため，与えられたある隕石の中の鉱物が結晶化していく間，いくつかの鉱物は特殊な放射性同位体元素を多く含み，他はわずかにしか含まない．この違いは，放射性鉱物からなる隕石の年代を測定するのに用いられている。
１つの例として，同位体 87Rb （原子番号 37）が，安定な同位体 87Sr (原子番号 38)に半
減期𝑇½ = 4.9 × 1010 年で崩壊する現象を，安定な同位体 86Sr と比較して考えてみよう。結晶化するはじめのとき，比 87Sr/86Sr はすべての鉱物に対して等しいが, 比 87Rb/86Sr は異なっている。時間が経過すると，87Rb は崩壊により減少し 87Sr の量は増加する。その結果として，比 87Sr/86Sr は初めのときとは異なる。図 1.2(a)には，鉱物が結晶化するとき，異なる鉱物における 87Rb/86Sr を横軸にとって，比 87Sr/86Sr の変化を示している。

Figure 1.2 (a) 結晶化が始まる 𝑡 = 0のときの異なる鉱物における比 87Sr/86Sr（白丸）と，その後のある時刻におけるその比の値（黒丸）。(b) 隕石から得られた３つの異なる鉱物
サンプルに対するその後の時刻の同位体比。
871.4a 87
37Rbから 38Srへの崩壊の反応式を書き下せ。

同じ隕石から得られる異なる鉱物サンプルに対する比 87Sr/86Sr と現在の比87
Rb/86Sr は直線を形成する。これはいわゆる同位体比の直線と呼ばれ，その傾
1.4b
きが 𝑎(𝑡) = �e𝜆𝑡 − 1�と表されることを示せ。ここで，𝑡 は鉱物が形成されてからの時間であり，𝜆 は半減期 𝑇½ に反比例する崩壊定数である。
1.4c 図 1.2(b)の同位体比の直線を用いて，隕石の年代 𝜏M を定めよ。
Page 3 of 4

0.3

0.7
0.4

The Maribo Meteorite

T1

マリボーが起源とするエンケ彗星
太陽を回る軌道において，エンケ彗星と太陽の間の距離の最小値と最大値は，それぞれ𝑎min = 4.95 × 1010 m と 𝑎max = 6.16 × 1011 mで与えられる。
1.5 エンケ彗星がその軌道を１周する時間 𝑡Enckeを計算せよ。

0.6

地球に衝突する小惑星の影響

6500 万 年 前 ， 密 度 𝜌ast = 3.0 × 103 kg m−3 , 半 径 𝑅ast = 5.0 km の 巨 大 な 小 惑 星 が 速 さ𝑣ast = 2.5 × 104 m/sで地球に衝突した。この衝突は，地球上の多くの生命を絶滅させ，巨大なチクラブ・クレーターを形成した。同等の小惑星がいま地球に完全非弾性衝突すると仮定する。地球の慣性モーメントは，同じ質量で同じ半径の一様な球の 0.83 倍であると２いう事実を用いる。質量𝑀，半径𝑅の一様な球の慣性モーメントは 𝑀𝑅 2 である。地球の５

軌道の変化は無視せよ。
1.6a

小惑星が北極に衝突したとする。衝突後の地球の回転軸の変化量∆𝜃の最大値を
0.7
求めよ。

1.6b

小惑星が赤道上の点に，地球の半径方向から衝突したとする。衝突後，地球が0.7１回自転する時間の変化の最大値 Δ𝜏vrt を求めよ。

1.6c

小惑星が赤道上の点に，赤道面上で，赤道の接線方向から衝突したとする。衝0.7
突後，地球が１回自転する時間の変化の最大値 Δ𝜏tan を求めよ。

衝突する速さの最大値

太陽系に重力的に束縛された天体が速度𝑣imp で地表面に衝突する場合を考える。初期状態
では，地球の重力場の影響は無視できる。また，大気による摩擦を無視し，他の天体および地球の自転の影響は無視する。
max
を求めよ。
1.7 𝑣imp の可能な最大値 𝑣imp

Page 4 of 4

1.6

Plasmonic Steam Generator

T2

導入
この問題では、効率的な蒸気発生過程について考える。この過程は実際に働く事が実験的に確かめられている。ナノサイズの球形銀粒子を 1 リットルあたり僅か1013 個程度溶かした水溶液が、収束光で照射されている。光のうちの一部がナノ粒子に吸収され、粒子が熱せられることで周囲の水溶液が局所的に熱くなり，その結果、溶液の全体を温める事無く蒸気を発生させる事ができる。蒸気は上昇する泡として系から放出され、溶液の上方で集められる。今でもこの過程の全てが理解された訳ではないが、核となる過程は金属ナノ粒
子のいわゆる電子集団振動による光の吸収である事が分かっている。このデバイスはプラ
ズモニック蒸気発生機として知られている。

図 2.1 (a) 中心が座標原点に位置する、半径𝑅の球形で荷電中性なナノ粒子(b)一様な正電荷密度
𝜌で帯電した球（赤）と、中心が𝒙𝐝 = 𝑥d 𝒆𝒙 にずれて位置する半径𝑅1 の荷電中性な小領域(0、黄色) (c)中心が座標原点に位置する一定の正電荷密度 𝜌で帯電した銀イオンナノ粒子と、中心が𝒙𝐩に位置する負電荷密度– 𝜌（青）で帯電した電子雲（但し、𝑥p ≪ 𝑅が成り立つ）(d)一様な外場
𝑬𝟎 = −𝐸0 𝒆𝒙 、𝑬𝟎 が時間に依存する時には電子雲は速度 𝒗 = d𝒙𝐩 /d𝑡で運動する (e)𝑧軸方向に伝わる
角振動数 𝜔p 、強度𝑆の単色光で照射された、ナノ粒子の水溶液を含む直方体容器(ℎ × ℎ × 𝑎)

球形の単一銀ナノ粒子
この問題では中心が原点に位置した、半径𝑅 = 10.0 nmの球形の銀ナノ粒子を考える（図2.1(a)を見よ）。全ての運動、力及び外場の方向は𝑥軸（単位ベクトル𝒆𝒙 ）に平行とする。
ナノ粒子は銀原子に束縛されずに粒子内を動ける自由（伝導）電子を含んでいる。銀原子はその様な自由電子を、各々一粒子ずつ与える事で一価の陽イオンとなっている。
次の量を求めよ：ナノ粒子の体積𝑉と質量𝑀、粒子内の銀イオンの個数𝑁とその2.1 電荷密度𝜌、自由電子の密度𝑛とその総電荷𝑄及び総質量𝑚0Page 1 of 4

0.7

Plasmonic Steam Generator

T2

荷電球内の荷電中性な領域に存在する電場
これ以降の問題では全ての媒質の比誘電率を𝜀 = 1と仮定せよ。半径𝑅1 の荷電中性な小領域が、一様な電荷密度𝜌で半径 R の荷電球内に、𝒙𝐝 = 𝑥d 𝒆𝒙 を中心とする反対の電荷密度−𝜌を重ね合わせる事で作られている（図 2.1(b)を見よ）。
2.2

荷電中性な領域内の電場が一様であり、それが𝑬 = 𝑨 (𝝆/𝜺𝟎 ) 𝒙𝐝 という形で与え1.2られる事を示せ。係数𝑨を求めよ。

変位した電子雲にかかる復元力
次に自由電子の集団運動を考える。電子の運動を、中心座標𝒙𝐩 をもつ一様な負の電荷密度−𝜌の球の x 軸方向への運動としてモデル化する。銀イオンからなる正電荷の球の中心は原点に固定されており，そこからの負の電荷密度の球の変位が𝒙𝐩 である（図 2.1(c)を見よ）。外力𝑭𝐞𝐱𝐭 により電子雲の中心が新しい平衡点𝒙𝐩 に変位したと仮定せよ（但し、|𝒙𝐩 | ≪ 𝑹が成り立つ）。
ナノ粒子内の大部分は荷電中性な領域のままであり、粒子の両端における正味の電荷変化は微小とする。
2.3

𝒙𝐩 と𝒏を用いて次の二つの量を表せ：電子雲が銀イオンから受ける復元力𝑭、変1.0
位する際に電子雲になされる仕事𝑾𝐞𝐥

定常な外場下の球形銀ナノ粒子
真空中におかれたナノ粒子が、定常で一様な電場𝑬𝟎 = −𝑬𝟎 𝒆𝒙 による外力𝑭𝒆𝒙𝒕 を受けている。
電子雲は外場により微小な変位|𝒙𝐩 |を生じる（|𝒙𝐩 | ≪ 𝑹）。
2.4

𝑬𝟎 と𝒏を用いて電子雲の変位𝒙𝐩 を表せ。また、yz 面を通って移動する総電荷0.6−𝚫𝑸を、𝒏、𝑹、𝒙𝐩 を用いて求めよ。

銀ナノ粒子と等価な電気容量とインダクタンス
定常な、あるいは時間に依存した外場のいずれに対しても、ナノ粒子は等価な電子回路でモデル化する事ができる。等価な電気容量は、粒子の両端に生じる分離電荷𝚫𝑸を、電子雲になされる仕事𝑾𝒆𝒍 と関係づける事で求まる。電荷が分離する事で、等価なコンデンサの間に等価な電位差𝑽𝟎 が生じる。
2.5a 等価な電気容量 C を𝜀0 、𝑅を用いて表し、その値を計算せよ。
Page 2 of 4

0.7

Plasmonic Steam Generator
2.5b

T2

この電気容量に対して、等価な電位差𝑽𝟎 を𝑬𝟎 と𝑹を用いて表せ。この𝑽𝟎 はコン
0.4
デンサに電荷𝚫𝑸を蓄えるのに必要な電位差と関係付けられる。

時間に依存した電場𝑬𝟎 に対しては、電子雲は速度𝒗 = 𝑣 𝒆𝒙 で運動する（図 2.1(d)を見よ）。電子雲は運動エネルギー𝑾𝐤𝐢𝐧 を持ち、yz 面を通って流れる電流𝑰を生成する。電子雲の運動エネルギー𝑾𝐤𝐢𝐧 は等価なインダクタンス𝑳を持ち、電流𝑰が流れるコイルのエネル
ギーに等しいと考えられる。
0.7

2.6a 𝑊kin と𝐼を、速さ𝑣を用いて表せ。

2.6b

等価なインダクタンス𝐿を粒子の半径𝑅、電気素量𝑒、電子質量𝑚𝑒 、電子密度𝑛0.5を用いて表し、その値を計算せよ。

銀ナノ粒子のプラズモン共鳴上で行った解析から、電子雲を平衡点からずらす事で生じる運動は LC 回路の共鳴点での振動でモデル化する事ができる。この電子雲の動的モードはプラズモン共鳴と呼ばれ、その共鳴角振動数はいわゆる角プラズモン振動数𝜔p である。
2.7a
2.7b

電子雲の角プラズモン振動数𝝎𝐩 を電気素量𝒆、電子質量𝒎𝒆 、電子密度𝒏、誘電0.5
率𝜺𝟎 を用いて表せ。
𝝎𝐩 を計算し、rad/s で表せ。それと同じ振動数𝝎 = 𝝎𝐩 の光の波長𝝀𝐩 を、nm で表0.4
せ。

プラズモン振動数の光で照射された銀ナノ粒子
𝟏

これ以降の問題では、ナノ粒子は角振動数が𝝎𝐩 で強度が𝑺 = 𝟐 𝒄𝜺𝟎 𝑬𝟐𝟎 = 𝟏. 𝟎𝟎 𝐌𝐖 𝐦−𝟐 の単色光で照射されているとする。波長は十分長く（𝝀𝐩 ≫ 𝑹）、ナノ粒子は単振動する一様な外場𝑬𝟎 = −𝐸0 cos(𝜔p 𝑡) 𝒆𝒙 の下で運動するものとして考えられる。外場𝑬𝟎 により駆動されると、電子雲の中心は同じ振動数で速度𝒗 = d𝒙𝐩 /d𝑡、一定の振れ幅𝒙𝟎 で運動する。この電子の振動が光の吸収を引き起こす。粒子により吸収されたエネルギーは、粒子内のジュール熱に変換されるか、粒子により散乱光として再放射される。

ジュール熱はランダムな非弾性散乱により引き起こされる。非弾性散乱により銀イオンと衝突する事で、自由電子は全ての集団の運動エネルギーを失い、そのエネルギーは銀イオンの個々の振動運動に変換される。衝突の間の平均時間は𝝉 ≫ 𝟏/𝝎𝐩 で、銀ナノ粒子に対しては𝝉 = 𝟓. 𝟐𝟒 × 𝟏𝟎−𝟏𝟓 𝐬である。

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Plasmonic Steam Generator
2.8a
2.8b

T2

ナノ粒子における単位時間に生じるジュール熱の時間平均𝑃heat と電流の二乗平1.0
均〈𝐼 2 〉を、電子雲の二乗速度の時間平均〈𝑣 2 〉を含めた形で表せ。

電子雲の電流 I とジュール熱𝑃heat で決まる等価な抵抗回路のモデルにおける、
1.0
等価な電気抵抗𝑅heat を求めよ。𝑅heat の値を数値で求めよ。

入射ビームは振動する電子雲が引き起こす散乱により、時間平均して𝑃scat の量のエネルギ
ーを単位時間に失う（再放射）。𝑃scat は振れ幅𝑥0 、電荷𝑄、角振動数𝜔p と光の性質（光速𝑐と真空中の誘電率𝜀0 ）に依存する。これらの四変数により𝑃scat は次の様に与えられる：4
𝑄 2 𝑥 2 𝜔𝑝

𝑃scat = 12𝜋𝜖0 𝑐 3.
0

2.9

𝑷𝐬𝐜𝐚𝐭 を用いる事で、（𝑹𝐡𝐞𝐚𝐭 と同様に）等価な抵抗回路における散乱抵抗𝑹𝐬𝐜𝐚𝐭
1.0
を求め、その値を計算せよ。

上で求めた等価回路の素子を組み合わせる事で、単振動する電圧𝑉 = 𝑉0 cos(𝜔p 𝑡)をかけた
LCR-回路を用いて、ナノ粒子をモデル化する事ができる。電圧𝑉 = 𝑉0 cos(𝜔p 𝑡)は入射光線の電場𝐸0 により決定される。
2.10a

プラズモン共鳴点𝝎 = 𝝎𝒑 において、単位時間に失われるエネルギーを時間平1.2均した量𝑷𝐡𝐞𝐚𝐭 と𝑷𝐬𝐜𝐚𝐭 を入射光線の振れ幅𝑬𝟎 を含んだ形で表せ。

2.10b 𝐸0 、𝑃heat 、𝑃scat の数値を計算せよ。

0.3

光による蒸気発生

密度𝑛np = 7.3 × 1015 m−3 の銀ナノ粒子の水溶液がある。溶液はサイズがℎ × ℎ × 𝑎 = 10 ×
10 × 1.0 cm3 の透明な直方体容器内に入っており、強度が𝑆 = 1.00 MW m−2 でプラズモン
振動数の光により照射されている（図 2.1(e)を見よ）。水の温度は𝑇wa = 20 ∘ Cとし、定常状態ではナノ粒子の発する全てのジュール熱は温度𝑇st = 110 ∘ Cの蒸気を発生する事に使われ、水の温度は上昇しないものとする。この仮定は実験の結果とよく一致する。
プラズモニック蒸気発生機の熱力学効率𝜂は、単位時間のエネルギー変化の比𝜂 = 𝑃st /𝑃totで定義する。𝑃st は容器全体で、蒸気発生のために単位時間に用いられるエネルギー量で、𝑃tot は容器内に単位時間に入射する光線のエネルギーである。
ほとんどの時間において、全てのナノ粒子は水の代わりに蒸気で囲まれており、従って真空中にあると考えてよい。
2.11a

プラズモン振動数で強度が𝑺の光により照射されたプラズモニック蒸気発生機
0.6が単位時間に発生する蒸気の総質量𝝁𝐬𝐭 を計算せよ。

2.11b プラズモニック発生機の熱力学効率𝜼の数値を計算せよ。
：
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0.2

The Greenlandic Ice Sheet
導入
この問題では、世界で２番目に大きな氷河であるグリーンランドの氷床(図 3.1(a))について考えてみよう。理想的なモデルとして、グリーンランドを東西の幅2𝐿、南北の長さ5𝐿の長方形状の島とし、地表は海水面と同じ高さにあるとして扱い，完全に非圧縮性の氷(一定の密度𝜌ice )で覆われている(図 3.1 (b))。氷河の高さ𝐻(𝑥)は𝑦座標によらず、海岸
𝑥 = ±𝐿では値ゼロで，𝑦軸に近づくに従って増加していき中央の南北の軸(𝑦軸、分氷嶺)に沿って最大値𝐻m をとる(図 3.1(c))。

(c)

図 3.1 (a) グリーンランドの地図。氷床の広がり(白)、氷のない海岸部分(緑)、および周辺の海(青)を表している。(b) グリーンランドの氷を𝑥𝑦平面上の辺の長さ2𝐿と5𝐿の長方形状のものとして近似したモデル。氷床の最高点𝐻m に沿う線(分氷嶺)は𝑦軸に沿って走っている。(c) 氷床の断面図(𝑥𝑧平面)で、𝐻(𝑥)の高さ分布(青線)を表す。𝐻(𝑥)は0 < 𝑦 < 5𝐿の範囲で𝑦に依存しな

いが、𝑦 = 0 と𝑦 = 5𝐿のところで急激にゼロに落ちる。図を見やすいように、垂直方向の高さは水平方向に比べ引き伸ばしている。氷の密度𝜌ice は一定である。

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T3

The Greenlandic Ice Sheet

T3

有用な二つの公式
この問題で、次の積分結果は自由に用いて良い：1

� √1 − 𝑥 d𝑥 =02
3

また、|𝑎𝑥| ≪ 1の時に成立する近似公式(1 + 𝑥)𝑎 ≈ 1 + 𝑎𝑥も用いて良い。

氷床の高さ分布

氷床は非圧縮性流体の静力学系と近似し、一定の高さ分布𝐻(𝑥)を持つとせよ。
3.1

氷床内の圧力𝑝(𝑥, 𝑧)を地面からの高さ𝑧と分氷嶺からの距離𝑥の関数として表せ。ただし，大気圧は無視せよ。

0.3

氷床の中の垂直な板状の領域は圧力平衡にあると考える。𝑥と𝑥 + ∆𝑥の間にある板状の領域は，水平方向に小さな面積∆𝑥∆𝑦を持つ(図 3.1(c)中の赤い点線)。ここで∆𝑦の大きさは問題としない。
板状の領域が二つの垂直な面から受ける正味の水平方向の力∆𝐹は、板状の領域の中央側の高さと海岸線側の高さが異なることで生じている。この力は、板状の領域が地面と接して い る 面 積 ∆𝑥∆𝑦 か ら 受 け る 摩 擦 力 𝛥𝐹 = 𝑆b ∆𝑥∆𝑦 と 釣 り 合 っ て い る 。 こ こ で 、 𝑆b =100 kPaは地面からのせん断応力である。
3.2a

ある与えられた𝑥の値に対して、 ∆𝑥 → 0の極限で𝑆b = 𝑘𝐻 d𝐻/d𝑥が成立することを示し, 𝑘を求めよ。

0.9

高さ分布𝐻(𝑥)を 𝜌ice , 𝑔, 𝐿, 𝑆b と分氷嶺からの距離𝑥を用いて表せ。
3.2b この結果より、氷床の高さの最高値𝐻m は半幅 𝐿 に対して 𝐻m ∝ 𝐿1/2 という関係を満たすことがわかる。

0.8

3.2c

0.5

氷床の全体積𝑉iceを長方形状の島の面積𝐴を用いて𝑉ice ∝ 𝐴𝛾 と表した時の指数𝛾を決定せよ。

動く氷床
長い時間でみると、氷は粘性のある非圧縮性流体とみなすことができ、重力の影響で中心部から海岸線に向けて流れていく。積雪による氷の蓄積が海岸線での氷の融解と釣り合っている定常状態では，氷の高さの分布𝐻(𝑥)は一定に保たれる。図 3.1(b)と(c)の氷床の形状分布に加えて次の仮定をモデルに加える：
1) 分氷嶺(𝑦軸)から海岸線に向けてxz面で氷の流れがある。
2) 中心部での氷の蓄積率𝑐 (m/year) は一定である。
3) 氷は東及び西海岸から溶けることで氷河より消える。
4) 氷の流速度の水平(𝑥-)成分 𝑣𝑥 (𝑥) = d𝑥/d𝑡 は𝑧に依らない。
5) 氷の流速度の垂直 (𝑧-)成分 𝑣𝑧 (𝑧) = d𝑧/d𝑡 は𝑥に依らない。

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The Greenlandic Ice Sheet

T3

氷河の中心に十分近い領域 |𝑥| ≪ 𝐿のみを考え、氷床の高さ変化が充分小さく完全に無視できるとして考えよ。つまり、𝐻(𝑥) ≈ 𝐻m と近似して良い。
3.3 質量保存を用い、水平方向の氷の流速度𝑣𝑥 (𝑥)を 𝑐, 𝑥, および𝐻m を用いて表せ。

0.6

3.4 氷の流速の垂直成分𝑣𝑧 (𝑧)の𝑧依存性を求めなさい。

0.6

3.5 流跡線の式𝑧(𝑥)を求めよ。

0.9

非圧縮性の仮定、つまり氷の密度𝜌ice が一定という条件より、質量の保存を用いることで氷の流速が次の条件をみたすことがわかる：
𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑧
+
= 0.
𝑑𝑥
𝑑𝑧
はじめ氷河の表面(𝑥𝑖 , 𝐻(𝑥𝑖 ))にあった小さな氷の粒子は、時間の経過とともに、氷河の一部として位置の時間変化の軌跡(流跡線)𝑧(𝑥) に沿って垂直な𝑥𝑧平面内を流れる。

動く氷床内の年代及び気候の推定
氷の流速の速度成分𝑣𝑥 (𝑥) および 𝑣𝑧 (𝑧)に基づいて、氷床の表面からの特定の深さ 𝐻m − 𝑧にある氷の年齢𝜏(𝑧)を推定することができる。
3.6 分氷嶺𝑥 = 0での地面から高さ𝑧 にある氷の年齢𝜏(𝑧) を求めよ。

1.0

グリーンランドの氷河内からドリルで取り出された氷柱は、過去からの雪層を貫ぬいているため、過去の気候変動を調べるのに用いることができる。最もよい指標のひとつは𝛿 18Oと呼ばれるもので、次のように定義される：

𝑅ice − 𝑅ref1000 ‰
𝑅ref
ここで、‰は千分の一を表す記号であり千分率と呼ばれる。𝑅 = [ 18O]/[ 16O] は、二つの安定な酸素の同位体 18O と 16O の存在比である。参考値𝑅ref は赤道面の海での同位体存在比に基づいている。
𝛿 18O =

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The Greenlandic Ice SheetT3

図 3.2 (a) 雪の中の𝛿 18Oと年間平均表面温度𝑇の関係。 (b) 𝛿 18O と深さ 𝐻m − 𝑧 の関係。グリーンラ
ンドの氷の分氷嶺上の特定の場所(𝐻m = 3060 m)で氷柱をドリルで採ったものから測定。

グリーンランドの氷床での測定から、雪の中の𝛿 18O は気温とほぼ線形な関係にあることがわかる(図 3.2(a)). この関係が常に成り立つと仮定すると、深さ𝐻m − 𝑧にある氷の塊から測定された𝛿 18O より年代𝜏(𝑧)のグリーンランドの気温𝑇を推定することができる。

3060 m の長さを持つグリーンランドの氷柱で測定された 𝛿 18Oは、深さ 1492 m の辺りで急激に変化しており、氷河期の終わりを示している(図 3.2(b))。氷河期は 120,000 年前に始まり、これは深さ 3040 m に対応している。現在の間氷期は 11,700 年前に始まり、深さ 1492m に対応している。これらの二つの時代は異なる氷の蓄積率、𝑐ia (氷河期)および 𝑐ig (間氷期)、でそれぞれ記述することができると仮定する。120,000 年の間ずっとHm は一定であると仮定してよい。
3.7a 二つの蓄積率𝑐ia と 𝑐ig を決定せよ。
0.8
3.7b 図 3.2 のグラフを用いて、氷河期から間氷期にかけての温度変化を求めよ。

0.2

グリーンランドの氷床の融解による海面上昇
グリーンランドの氷床が完全に溶けると、世界の海面上昇が予想される。海面上昇の粗い推定として、世界中の海の面積が一定値𝐴O = 3.61 × 1014 m2 であるとして、一様な海面上昇を考えることにする。
現在、グリーンランドの氷床の面積が𝐴G = 1.71 × 1012 m2 で，地面からのせん
3.8 断応力が𝑆b = 100 kPa であるとして、グリーンランドの氷床が全て溶けたこと 0.6によって生じる世界の海全体の平均の海面上昇を計算しなさい。
大量のグリーンランドの氷は、周りの海水を万有引力により引っ張っている。もし氷河が溶けてしまったとすると、この局所的な強い潮汐力は失われるので、グリーンランド近くの海面は低下する。これは、先程計算した海面上昇とは部分的に逆行するものである。

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The Greenlandic Ice Sheet

T3

この海水に対する万有引力の効果を見積もるために、グリーンランドの氷床を地表にある質点とみなす。ただし，この質点はグリーンランドの氷床の全質量をもつとする。コペン
ハーゲンはその質点から地球表面に沿って 3500 km の距離のところにある。地球はその質
点除けば球対称である。そして、地球の全表面積𝐴E = 5.10 × 1014 m2 に海全体が広がっているものと考える。地球の自転に伴うあらゆる影響は無視する。
このモデルの範囲で、コペンハーゲンでの海面の高さを(ℎCPH )とし、グリーン
3.9 ランドの対せき点（地球の中心をとおる反対側の点）での海面の高さ(ℎOPP )との差ℎCPH − ℎOPP を求めよ。

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1.8

Data sheetT

データシート: 物理量
真空中の光速2𝜋でわられたプランク定数
万有重力定数
重力加速度
電気素量
真空の誘電率電子の質量
アボガドロ数ボルツマン定数
岩石状の隕石，比熱
岩石状の隕石，熱伝導率
岩石状の隕石，密度
岩石状の隕石，融点
岩石状の隕石，融解熱銀，1 モルの質量
銀，密度銀，比熱
水，1 モルの質量
水，密度
水，比熱
水，気化熱
水，沸点
氷の密度
水蒸気の比熱
地球の質量
地球の半径
太陽の質量
太陽の半径
太陽‐地球間の平均距離

𝑐 = 2.998 × 108 m s −1
ℏ = 1.055 × 10−34 J s
𝐺 = 6.67 × 10−11 m3 kg −1 s−2
𝑔 = 9.82 m s −2
𝑒 = 1.602 × 10−19 C
𝜀0 = 8.854 × 10−12 C2 J −1 m−1
𝑚𝑒 = 9.109 × 10−31 kg
𝑁A = 6.022 × 1023 mol−1
𝑘B = 1.381 × 10−23 J K −1
𝑐sm = 1.2 × 103 J kg −1 K −1
𝑘sm = 2.0 W m−1 K −1
𝜌sm = 3.3 × 103 kg m−3
𝑇sm = 1.7 × 103 K
𝐿sm = 2.6 × 105 J kg −1
𝑀Ag = 1.079 × 10−1 kg mol−1
𝜌Ag = 1.049 × 104 kg m−3
𝑐Ag = 2.40 × 102 J kg −1 K −1
𝑀wa = 1.801 × 10−2 kg mol−1𝜌wa = 0.998 × 103 kg m−3
𝑐wa = 4.181 × 103 J kg −1 K −1
𝐿wa = 2.260 × 106 J kg −1
𝑇100 = 100 ℃ = 373.15 K
𝜌ice = 0.917 × 103 kg m−3
𝑐st = 2.080 × 103 J kg −1 K −1
𝑚E = 5.97 × 1024 kg
𝑅E = 6.38 × 106 m
𝑚S = 1.99 × 1030 kg
𝑅S = 6.96 × 108 m
𝑎E = 1.50 × 1011 m

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