仮想受動関節モデルを用いたフレキシブルアームのモデル検証
2009SE121 北島大己 2009SE125 小林勇貴
指導教員:陳幹本研究で扱う DC モータ電気回路図の概略図は図 3 であ

1 はじめにる [2].

近年, 産業用ロボットなどに用いられているロボット
アームは運搬コストや材料コストが考慮され, アームを軽量化することが望まれる. しかしながら軽量化に伴い,アーム自身の剛性が低下し, 加減速時にアームの先端に振動や歪みが誘発されてしまう. これらの現象はロボットの性能低下に繋がるため, 振動を素早く減衰させ, 位置決め精度を確保する必要がある [1]. 本研究では, アー

図3ムを, 仮想受動関節であるばねによって結合された剛体

DC モータ概略図リンクと考えてモデリングを行い. そのモデルと, 単純化モデルを比較し, 検証を行う. 手順として, まずアームのたわみ角度に相当する角度 α の比較, そして最終的にはシステムのゲイン余裕と, 位相余裕についての比較を実際に制御するにあたり, 直接操作できるのはトルクではなく, モータに与える電圧である. モータに与える電圧 V と τ との関係を (2) に示す.

行っていく. 次の図に今回比較する二つのモデルについτ=て示す. 図 1 は単純化モデルの図で, 図 2 は 2 リンクモデルを例にした, 仮想受動関節モデルの図である. アー
ムを 2 リンク, 3 リンク, 4 リンクと分割したモデルに対ηg ηm Kt Kg (V − Km Kg θ̇)Rm(2)

本研究で使用するフレキシブルアームは仕様書と文献[1] より, 表 1 のパラメータは既に判明している.

して, 分割数を変えることによってどのような違いが生じるかを比較する.

図1

表1単純化モデル

図 2 2 リンク仮想受動関節モデル

2 システム同定

パラメータ記号

名前値LMI0RmKmKtBeqKg
ηgηm

フレキシブルアームの長さ0.422[m]0.065[kg]0.002[kgm2 ]2.6[Ω]
0.00767[V /(rad/s)]
0.00767[N m/A]
0.004[V /(rad/s)]
70
0.9
0.69

フレキシブルアームの質量

hub の慣性モーメント
モータ電機抵抗
逆起電力係数
モータトルク定数
等価粘性減衰係数
システムギヤ比
ギヤボックス効率
モータ効率

3 2 リンク仮想受動関節モデル

アームの剛性には, 減衰固有角周波数を用いる. その測定方法として, まず, フレキシブルアームのアーム部を取り外し, 校正台に取り付ける. そして, その状態でアームを適当な初期値を与えて離す. その波形の周波数を測定し, 周波数を 2π 倍したものが減衰固有角周波数であり, (1) となる.

仮想受動モデルによるモデリングは, 関節部のばねによって結合された剛体リンクの連結により, フレキシブルアームを近似する方法である. アームを仮想受動関節を用いて 2 分割したモデルを図 4 に示す. ここでは,アームを同じ長さの 2 本の仮想剛体リンクと 1 つの仮想受動関節でモデリングし, 仮想受動関節角度を α1 で示

ω = 20.1060(1)した. モータに直接つながっているアームを 1 リンク,仮想受動間節によりつながっているものを 2 リンクとすとなる. バネ定数 K1stif f は, リンクとリンクを繋ぐ仮る. モータの慣性モーメントを I0 , 1 リンクの慣性モー想受動間節であり, アームのたわみ, つまりアームの剛性

メントを I1 , 2 リンクの慣性モーメントを I2 , 仮想受動に相当する. ロータリースプリングの運動はニュートン

間接のばね定数を Kstif f , hub にかかる粘性減衰係数をの運動方程式より式 (10) となる [?].

Beq とする. また, 単純化モデルと比較を行うアームのI2 α̈1 = −K1stif f α1

たわみ角度を α とする.

(10)減衰固有角周波数 ωc と α1 の間には常に以下の関係が成立する.

α̈1 = −ωc2 α1(11)式 (10), (11) より式 (12) が得られる.

K1stif f = ωc2 I2(12)式 (1), (9) よりバネ定数 K1stif f は

図 4 2 リンク仮想受動関節モデル

K1stif f = (20.1060)2 ∗ 0.00048 = 0.1904となる.

アームのたわみ角度 α はα=(13)

1α1 (0 < α1 < π)2(3)4 3 リンク仮想受動関節モデルとなる. オイラー・ラグランジュの運動方程式をフレキシブルアームに適用するため, 運動エネルギー T , 位置
エネルギー U , 損失エネルギー D を求める.

1
11I0 θ̇2 + I1 θ̇2 + I2 (θ̇2 + α˙1 2 )222
12
U = K1stif f α12D = Beq θ̇2T =(4)(5)
図 5 3 リンク仮想受動関節モデル(6)与えられたエネルギーをオイラー・ラグランジュの運動

アームのたわみ角度 α(0 < α1 + α2 < π) は方程式に適用し, システムの状態ベクトル x を [θ α1 θ̇L(sinα1 + sinα2 )tanα = L 33 (1 + cosα1 + cosα2 )sinα1 + sinα2
α = tan−1
1 + cosα1 + cosα2α̇1 ], 制御入力を V とした状態空間表現が得られる.
  0010  θd α1  0= 0dt θ̇α̇10[+ 0 0a(∗) =0
Kstif f 1
I0 +I1
Kstif f 1 (I0 +I1 +I2 )−(I0 +I1 )I2ηg ηm Kt Kg
Rm (I0 +I1 )0−a(∗)a(∗)η η K Kt g− Rgmm
(I0 +I1 )θ1 α1 0 θ̇α̇10]T(7)までの距離を s の細い一様な棒の慣性モーメントについて考える. λ= ML であるので, 棒の慣性モーメントを Jとした時

01M L2λs2 ds = λ L3 =33

エネルギー U , 損失エネルギー D を以下のように定義する.

全質量を M , 棒の長さ L, 綿密度 λ, 微笑線素片 ds, 線素∫ Lとなる. オイラー・ラグランジュの運動方程式をフレキシブルアームに適用するため, 運動エネルギー T , 位置V

Rm Beq +ηg ηm Kt Kg2 KmRm (I0 +I1 )J=(14)(8)

1
1
1I0 θ̇2 + I1 θ̇2 + I2 (θ̇2 + α˙1 2 )222122+ I3 (θ̇ + α˙1 + α˙2 2 )211U = K1stif f α12 + K2stif f α22
22D = Beq θ̇2T =(15)(16)(17)

I3 :Link3 に働く慣性モーメントとなる. 式 (8) を用いて, 慣性モーメント I1 , I2 を導出与えられたエネルギーをオイラー・ラグランジュの運動する. リンク 1, リンク 2 は同様な細い一様な棒であり,方程式に適用し, 状態ベクトル x を [θ α1 α2 θ̇ α̇1 α̇2 ],長さ 21 L, 重さ 12 M なので制御入力を V とした状態空間表現が得られる.

I1 = I2 =1
11 1∗ M ∗ ( L)2 =M L2 = 0.00048 (9)3 2224d [θdtα1α2θ̇α̇1α̇2]T=000000000
K1stif f
I0 +I1Kf (I0 +I1 +I2 )− 1stif(I0 +I1 )I2
K1stif f
I0 +I1

0000100−a(∗)

010000
10

K2stif f
I2
K2stif f (I2 +I3 )−I2 I3a(∗)

00

000



(24), (25) に示す. システムの状態ベクトル x を [θ α1α2 α3 θ̇ α̇1 α̇2 α̇3 ], 制御入力を V とした状態空間表現
は以下のようになる.

d [θdt]T[θ α1 α2 θ̇ α̇1 α̇2[η η Kt Kg
η η Kt Kg− Rgmm+ 0 0 0 Rgmm
(I0 +I1 )(I0 +I1 )]T0 V(18)

Rm Beq +ηg ηm Kt Kg2 KmRm (I0 +I1 )a(∗) =

3 リンク時と同様な導出方法を用いる. それらを (23),2 リンク時に各パラメータを導出した方法に基づいて, 3リンクの I1 , I2 , I3 の数値を決定する. 各リンクは同様

00
00
0


0
00000ムの剛性はどのモデルにおいても不変なものである. そのため, 3 リンクのバネ定数 K1stif f , K2stif f は 2 リン
クで導出したバネ定数と等しくなるとして

K1stif f α1 = K2stif f α2 = 0.1904(20)

K2stif fI2−a3(∗)

K1stif f
I2K2stif f
I30α3θ̇α̇1α̇2α̇3]T=
000001000−a(∗)

01000001000a(∗)

0000000000

K3stif f
I3
K2stif f (I3 +I4 )−I3 I4[]Tθ α1 α2 α3 θ̇ α̇1 α̇2 α̇3 +[]T0 0 0 0 a4(∗) −a4(∗) 0 0 V

1 111∗ M ∗ ( L)2 =M L2 = 0.00143
3 3381(19)3 リンクのバネ定数はアームの剛性を表しており, アーα200000

K1stif f
I0 +I1−a2(∗)

0

な細い一様な棒であり, 長さ 31 L, 重さ 13 M なので

I1 = I2 = I3 =α1000100(23)Rm Beq +ηg ηm Kt Kg2 Km
Rm (I0 +I1 )Kf (I0 +I1 +I2 )a2(∗) = 1stif(I0 +I1 )I2K
(I +I )a3(∗) = 2stifIf2 I32 3
η η Kt Kg
a4(∗) = Rgmm
(I0 +I1 )a(∗) =

基にモデルをある程度確からしく表しているバネ定数を

1 11∗ M ∗ ( L)23 44
12=
M L = 0.00006029 (24)192

決定するため, 周波数 20[rad/s] 時に 1 次の共振が発生

K1stif f α1 = K2stif f α2 = K3stif f α3 = 0.1195 (25)となる. しかし, このバネ定数は実際に制御対象を正確

I1 = I2 = I3 = I4 =に表しているとは言えない. よって 7 節のゲイン線図をするようなバネ定数を式 (21) のように設定する.

K1stif f α1 = K2stif f α2 = 0.145(21)6 モデル比較
単純化モデルと, 2, 3, 4 リンクのモデルを比較してい5 4 リンク仮想受動関節モデル

く. 比較する単純化モデルは, 論文 [2] を参考にした. 状態ベクトル x を [θ α θ̇ α̇], 制御入力を V とした状態空間

4 リンク仮想受動関節モデルを図 6 に示す.

を次に示す. jhub はモータ部分の慣性モーメント, jloadはアームの慣性モーメントである.

θ00d α1  =0θ̇dtα̇10[+ 0

図 6 4 リンク仮想受動関節モデル

b(∗) =アームのたわみ角度 α(0 < α1 + α2 + α3 < π) はL(sinα1 + sinα2 + sinα3 )tanα = L 33 (1 + cosα1 + cosα2 + cosα3 )sinα1 + sinα2 + sinα3
α = tan−1
1 + cosα1 + cosα2 + cosα3000
Kstif f 1
Jhub
Kstif f 1 Jhub +Jload )−(Jhub +Jloadηg ηm Kt Kg
Jhub Rm0 θ
1 α  10 θ̇α̇1010−b(∗)b(∗)η η K Kg

m t− gJhubRm]TV(26)Rm Beq +ηg ηm Kt Kg2 Km
Rm Jhub

各モデルに入力を θ が π2 まで変位するようなインパルス波を加える. その時のアームのたわみ角度 α を図 7 か(22)となる.

4 リンクの状態空間表現, 慣性モーメント, バネ定数は

ら図 10 で示す. x 軸は時間（s）, y 軸は α(rad) である.

4 リンク仮想受動関節モデルの状態 Ａ の固有値


α[rad]

0.05

0
−0.0146 + 80.2570i
−0.0146 − 80.2570i
−0.0837 + 55.6473i
Eig = 
−0.0837 − 55.6473i
−34.4806−0.3410 + 20.0064i−0.3410 − 20.0064i

0-0.0502468Time[s]図7単純化モデルアームのたわみ角度


(30)

単純化モデル, 2 リンク, 3 リンク, 4 リンクのボード線図を図 11 に示す. ゲイン特性の x 軸は振動数（rad/s）, y軸はデシベル (dB), 位相特性の x 軸は振動数（rad/s）,

α[rad]

0.05

y 軸は角度 (deg) である.

0-0.05ボード線図02468Time[s]0ゲイン(dB)

図 8 2 リンク仮想受動関節モデルアームのたわみ角度

α[rad]

0.05-20000-0.05468-180Time[s]図 9 3 リンク仮想受動関節モデルアームのたわみ角度

(deg)

2-360

位相0-540

Link1
Link2
Link3
Link4-720-1
100.05α[rad]

Link1
Link2
Link3
Link4-100100

図 11-0.05
02460110周波数 (rad/s)

10210

各モデルのゲイン線図の比較

8Time[s]図 10 4 リンク仮想受動関節モデルアームのたわみ角度

7 おわりに
本研究では, フレキシブルアームのモデリングにおいて, 単純化モデルと仮想受動関節モデルの比較を行った.

ここでそれぞれのモデルの固有値を式 (27) から式(30) に示す.

図 11 より, 仮想受動関節モデルは分割数を増やす毎に共単純化モデルの状態 Ａ の固有値振回数も増え, 単純化モデルでは表せない高次のモデル[
Eig = 0−2.5118 + 24.5813i−2.5118 − 24.5813i−9.8438(27)]T を得ることが出来た.

2 リンク仮想受動関節モデルの状態 Ａ の固有値[
Eig = 0−0.9161 + 20.4991i−0.9161 − 20.4991i]T−27.155(28)0−0.0858 + 51.6677i
−0.0858 − 51.6677i
Eig = −32.7333
−0.5456 + 20.0056i−0.5456 + 20.0056i



[1] 日榮祐紀. 鈴木奏:ポリトープ表現を用いたフレキシ
ブルアームの H2 制御, 南山大学数理情報学部 2013年度卒業論文3 リンク仮想受動関節モデルの状態 Ａ の固有値


参考文献[2] 鈴木宏和:非線形 PID 制御によるフレキシブルアー
ムの制振制御, 南山大学 2006 年度修士論文(29)

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