摩擦係数の変動を考慮した ABS のゲインスケジューリング制御
2010SE083 片岡 寛
指導教員：高見1

はじめにABS は摩擦係数と横抗力が共に高い理想的なスリップ率 0.2 を保つことにより車輪のロックを防ぐ．本研究では路面状態によって変動する摩擦係数をポリトープ表現を用いてロバスト安定性を保証し, 保証した範囲内でスリップ率を 0.2 に安定化させる．また, 時変パラメータである車
体速度を考慮したパラメータ依存リアプノフ関数に基づくゲインスケジューリング制御系設計を行う．

2

勲

3ディスクリプタ表現

本研究では出力を目標値に追従させるために制御ループ内に積分器を状態変数に入れた．拡大系の状態変∫数 を x(t) = [x1 (t) x2 (t)]T = [ (λ − λ∗ )dt λ −λ∗ ]T , u(t) = τ1 − τ1∗ と す る ．デ ィ ス ク リ プ タ 変 数を xd (t) = [x(t) λ̇ u(t)]T とすることで, ディスクリプ
タ表現を用いた状態方程式は式 (5) となる．

モデリングEd ẋd (t) = Ad (ω2 )xd (t) + Bd u(t)
0 10010  0 0Ad (ω2 ) = 0 b1 −a1 ω2 a1 b3 0 00−1


1 0 0 0
 0 1 0 0 
TEd = ,B = [ 0 0 0 1 ]0 0 0 0  d0 0 0 0

本研究で用いる ABS 装置を図１に示す．今回の研究では車体速度 V[km/h] が 10 ≤ V ≤ 50 の範囲のとき上の車輪にかかるブレーキングトルクτ1 を操作し, 車輪間の摩擦係数であるµを 0.1 ≤ µ ≤ 0.7 の範囲内でスリップ率λを目
標値 0.2 に追従させる制御則を設計する．上の車輪の角速度, 下の車輪の角速度をω1 (t), ω2 (t), 上の車輪, 下の車輪の半径を r1 , r2 , バランスレバーの回転軸から車輪間の接点ま(5)b1 = b11 s(µ)2 + b12 s(µ) + b13
b3 = b31 s(µ) + b32 , a1 = a11 s(µ) + a12での距離を L, 線分 L と車輪間の接点の法線との角度をϕとする．また, 以下から角速度ω1 (t), ω2 (t) の (t) は省略する．上の車輪, 下の車輪の角加速度の回転運動方程式とスリs(µ) に 変 動 パ ラ メ ー タ で あ る 摩 擦 係 数 が 含 ま れ て いるので, s(µ) を変動パラメータとして扱う．b1 , b2 , b3 , a3は s(µ) を 含 む 変 数 で あ り 変 動 パ ラ メ ー タ で あ る．b1p , b3q , a1q (p = 1, 2, 3 q = 1, 2) は定数である．式 (5) 内
では変動パラメータを行列 Ad (ω2 ) 内に集約できているが変動パラメータである s(µ)2 が存在する．LFT を用いて s(µ)2 をアフィンな形で取り出す．

ップ率を次のように示す．

4

線形分数変換 (LFT)

行列 An を Ad (ω2 ) の変動パラメータを含まない項,∆
を LFT 形式のスケジューリングパラメータとする. 行列Ad (ω2 ) が

図 1 ABS 実験機の簡略図

Ad (ω2 ) = An + Bδ ∆Cδ

J1 ω̇1 = Fn r1 µ − τ1J2 ω̇2 = −Fn r2 µr2 ω2 − r1 ω1
λ=r2 ω2(1)(2)(3)

式 (1),(2),(3) から導出される非線形のスリップ率の微分方
程式を平衡点 (λ∗ , τ1∗ ) の周りで線形化 [1] し,(4) を得る．
λ̇ =1 b11 s(µ)2 + b12 s(µ) + b13(λ − λ∗ )ω2
a11 s(µ) + a12s(µ)b31 + b32+(τ1 − τ1∗ )ω2

ここで s(µ) は次式のようになる．

s(µ) =µL(sin(ϕ) − µcos(ϕ))(4)(6)となるような Bδ ,Cδ ,∆ を定めることで式（6）は式（7）で表される．

Ed ẋd (t) = An xd (t) + Bδ ωδ + Bd u(t)Zδ (t) = Cδ xd (t)ωδ = ∆Zδ (t)(7)式（7）を元に Ad (ω2 ) のスケジューリングパラメータを取り出す．変動パラメータである s(µ)2 に対して LFT を行い，新たにディスクリプタ変数を x̃d (t)=[xd (t) Zδ ]T と与えることで LFT を行ったディスクリプタ表現を用いた

状態方程式は式（8）となる．
Ẽd x̃˙ d (t) = Ãd (ω2 )x̃d (t) + B̃d u(t)[]An Bδ ∆Ãd (ω2 ) =Cδ
−I[]
An11 An12Bδ1 ∆Bδ2 ∆= An21 An22Cδ1Cδ2 Dδ ∆ − I[][]Ed 0BdẼd =, B̃d =00 0(8)


(9)

He[Ãdei (Θj )X̃d + B̃d Ỹd ] − Ẽd X̃˙ d1Q 2 X̃d1R 2 ỸdX11 (Θj ) ≻ 0
1(Q X̃d )T ỸdT (R 2 )T≺0−I00−I[]ZI≻0I X(Θj )12trace(Z) ≺ γ(i = 0, 1) (j = 1, .., 4)∆ = s(µ)

パラメータ依存リアプノフ関数を扱うために ω̇2 を含むス

上の LMI を解き,γ を最小化することで状態フィードバッ
ク GS コントローラ

ケジューリングパラメータ ω2 , ω̇2 の上下界を頂点とする

K̃d (θ) = [Y (θ)X(θ)−1パラメータボックスを式（9）で与える．

00]

(22)

を得ることができる．そして現在の路面 µ=0.17 において

Θ = {θ = [θ1 , θ2 ]T : θi ∈ {θi , θ̄i }}θ1 = ω2 , θ2 = ω̇2 (i = 1, 2)

5(10)実験を行う．

6LMI 定式化

実験, 考察本研究では, システムの状態フィードバックコントロー
ラ u(t) = K(θ)x(t) 用いる．Q を拡大系の状態変数に対する重み行列, R は入力に対する重みである．次式で表される評価関数 J を∫ ∞J=(x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t))dt(11)0定義し, 評価関数 J の最小化を行う．ここで, 行列Ẽd の構造を考慮してリアプノフ行列X̃d (θ), 変換行列Ỹd (θ), 状態フィードバックゲインK̃d (θ) は[X̃d (θ) =X(θ)
X21 (θ)X31 (θ)0
X22 (θ)X32 (θ)0
X23 (θ)X33 (θ)](12)Ỹd (θ) = [Y (θ) 0 0]
K̃d (θ) = [K(θ)

0

図 2 スリップ率(13)0](14)

˙となる．行列Ãd2 , (θ)X̃d (θ)，X(θ)，Ỹd (θ)，Y (θ)，X̃d (θ) はスケジューリングパラメータに対してアフィンであるので以下のパラメータボックス頂点Θj で端点行列として表現できる．また式 (16) という制約を加える．

図 3 車体, 車輪速度

X(θ) = X0 + θ1 X1 (15)X̃d (θ) = X̃d0 + θ1 X̃d1 (16)シミュレーションはスリップ率が 0.2 に安定しているが,Y (θ) = Y0 + θ1 Y1 (17)

実験では保証した範囲内である 10 ≤ V ≤ 50 でも大きくỸd (θ) = Ỹd0 + θ1 Ỹd1 (18)X̃˙ = X̃ (θ̇) − Ẋ
(19)dddoẼd X̃˙ d (θ) = X(θ̇) − X0
An22 [X21,1X22,1X23,1 ] = 0(20)(21)Θ1 = (θ1 , θ2 ), Θ2 = (θ̄1 , θ 2 ), Θ3 = (θ1 , θ̄2 ), Θ4 = (θ̄1 , θ̄2 )摩擦係数の変動をポリトープ表現を用いて保証する．s(µ)
が最小のときの Ãd (Θj ) を Ãde0 (Θj )，s(µ) が最大値のときの Ãd (Θj ) を Ãde1 (Θj ) とする．
また, ＬＱ制御に基づく LMI 条件は次のように表される．

振動してしまう．今後の課題は大きく振動する原因を探り,10 ≤ V ≤ 50 の範囲と行列ポリトープ表現で保証した摩擦係数の端点においてスリップ率を安定化させることが挙げられる．

7

参考文献

[1] Idar Petersen, Tor A.Johansen,Jens Kalkkuhl andJens Ludemann:Wheel Slip Control in ABS BrakesUsing Gain Scheduled Constrained LQR, Proc. European Contr. Conf.,Porto, pp606-611