ノンパラメトリック法，セミパラメトリック法のアルゴリズム

第章

標本問題

ノンパラメトリック法
を連続型の分布関数
らの大きさをもつ母集団かの無作為標本の観測値とする さらに 密度関数はを満たすについて対称な関数 すなわち互いに独立で各は同一の連続型の分布をもつ

符号付き順位検定 帰無仮説の有意水準
とおきの符号をは対立仮説の検定を考える

を小さい方から並べたときので定義する ただしの順位をとしの中に同じ値がある場合を考慮してとしのときのときのとき

ノンパラメトリック法

とおく ただし不等式が真のとき不等式が偽のときとする このときとおきが大きいとき

まずがを棄却する未満のときの手順を述べる

手順となるように有意水準

手順

シミュレーションの繰り返し数を決めを計算するとしてを採りについて以下の手順
手順

乗算合同法の疑似一様乱数をと手順を繰り返す個生成させ それをとする
手順

を計算する

手順

をコインを使った例で説明すると コインをとしたものをとし回投げ表をを計算しそれを手順

裏をとする

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはとする

かつかつを棄却するのうち 大きい方かられば

次によりは上側点の推定となりのときには正規分布に従うので 検定方式は楽で番目の値をならばとす

を棄却する

は帰無仮説の下で近似的に標準

第章

標本問題

値
ただしを棄却するは標準正規分布の密度関数

帰無仮説

対立仮説

大きいとき
れをの検定に対してはを棄却する 有意水準を決め 一様乱数がつを生成させそとする

とおく

または

かつかつを棄却するのときには
値
帰無仮説
してはを棄却する対立仮説が大きいときを生成させそれをの有意水準を棄却する 有意水準を決め 一様乱数とする

とおく
または

かつかつを棄却するのときには
値

平均の順位推定量の検定に対を棄却する

つセミパラメトリック法

個の値をの中央値の順位推定量と呼ぶ

セミパラメトリック法
を連続型の分布をもつ母集団からの大きさ作為標本の観測値とする さらに 密度関数を満たすとするの無はについて対称な関数で一般性を失うことなくすなわちは互いに独立で各は同一の連続型の分布をもつ
検定 帰無仮説の有意水準
符号を対立仮説の検定を考える
で定義する

関数

とおきをで定義し 尺度母数をとおき

まず
手順
手順の中央値 で推定しが大きいとき

は『統計科学』のがを棄却する 関数の式の中の節で説明されているが今後とするとなるように有意水準
シミュレーションの繰り返し数を決めを計算するとしてを採り

乗算合同法の疑似一様乱数をと手順を繰り返す個生成させ それをとする
手順の決め方未満のときの手順を述べる

について以下の手順
手順のを計算する

第章

標本問題

手順

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはかつとする
かつを棄却するのときにはは帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従うので 検定方式は楽で値を棄却する

帰無仮説

対立仮説

大きいとき
れをの検定に対してはを棄却する 有意水準を決め 一様乱数がつを生成させそとする

とおく

または

かつかつを棄却するのときには
値
帰無仮説
してはを棄却する

対立仮説が大きいときを生成させそれをの有意水準を棄却する 有意水準とする
とおく

またはを棄却するかつかつの検定に対を決め 一様乱数つ

セミパラメトリック法のときには
値平均のの解をを棄却する

推定量の点推定量で推定量と呼ばれている ただしの中央値 での中央値以下の誤差の範囲でを探すにはとおくとが成り立つとしまたはを繰り返す

新たにとおき新たにとおくになるまで 四角の枠内

第章

標本問題

ノンパラメトリック法
を平均の連続型の分布関数もつ母集団からの大きさをの無作為標本の実現値の分布関数

を平均をもつ母集団からの大きさ

為標本の実現値とする すなわちは互いに独立な確率変数の実現値で 各は同一の分布関数の分布関数をもつとするをもち 各方から並べたときの対立仮説の検定を考えるの順位をは同一と置く

ウィルコクソンの順位検定 帰無仮説の有意水準の無作を小さいの順位をとするの中に同じ値がある場合を考慮して

ただしノンパラメトリック法とする このときとおきが大きいときを棄却する
まずまたは手順が未満のときの手順を述べるとなるように有意水準を決め

とおき 統計量を計算する
手順
カードををカードを使った例で説明すると 表に枚作り 最初のを

手順の番号の書かれた枚までの番号をすべて加えた値をとするシミュレーションの繰り返し数

としてについて以下の手順
手順とし乗算合同法の疑似一様乱数をを採りから手順までを繰り返す個生成させ それをとする
手順について以下の手順と手順を繰り返す
手順

とおき新たにとおく ただし

手順次元ベクトルの成分

ならばはを越えない最大の整数とすると成分とを入れ替え

第章

標本問題たものを新たに手順

手順

とおく

で成分入れ替えによって最終的に決定されたをとおく
手順よりを計算する
カードを裏にして 十分繰った後に枚のカードを抜き それらの番号をすべてとし加えた値をによりをとする 以下同様の操作

を求める

手順

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはとする

かつかつを棄却するのうち 大きい方からればよりは上側

次に点の推定となり番目の値をならばを棄却するのときにはは帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従うので 検定方式は楽で値帰無仮説を棄却する
対立仮説とすセミパラメトリック法の有意水準の検定に対してはを決め 一様乱数が大きいときつを生成させそれをを棄却する 有意水準とする

とおく
または

かつかつを棄却するのときには値を棄却する

ホッジス・レーマン順位推定量

個の値をの中央値の順位推定量と呼ぶ

アルゴリズムはに対してとおき さらにとおく個のについて 例

高速標本中央値のプログラムをサブルーチンにしたものをつかってのを求める

セミパラメトリック法
を平均らの大きさの連続型の分布関数の無作為標本の実現値をもつ母集団からの大きさをもつ母集団かを平均の無作為標本の実現値とすると置く
検定 帰無仮説の有意水準の検定を考える 関数の分布関数

対立仮説を

第章

標本問題

で定義しとおき 尺度母数をで推定しで定義しが大きいとき方は『統計科学』のまずまたは手順を棄却する 関数の式の中の節で説明されているが今後とするがの決め未満のときの手順を述べるとなるように有意水準を決めとおき 統計量を計算する
手順

をカードを使った例で説明すると 表にたカードを枚作り 最初の枚までの番号をすべて加えた値を枚までの番号をすべて加えた値を手順の数値の書かれとするシミュレーションの繰り返し数をとしてについて以下の手順
手順

乗算合同法による

それをとし 後のとするを採りから手順上の疑似一様乱数をまでを繰り返す個生成させとする

手順について以下の手順と手順を繰り返す
手順
新たにとおきとおくならば

セミパラメトリック法

ただしはを越えない最大の整数とする

手順

次元ベクトルの成分と成分とを入れ替えたものを新たに
手順

手順

とおく

で成分入れ替えによって最終的に決定されたをとおく

手順よりを計算する
カードを裏にして 十分繰った後に残りの加えた値をを枚のカードを抜き それらの値をすべて枚のカードの値の和をとしとする 以下同様の操作によりを求める

手順

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはとする

かつかつを棄却するのうち 大きい方かられば次にとおけばよりは上側のときには点の推定となり番目の値をならばとすを棄却する

第章

標本問題

は帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従うので 検定方式は値を棄却する

帰無仮説

対立仮説の有意水準の検定に対してはを決め 一様乱数が大きいときつを生成させそれをを棄却する 有意水準とする

とおく
またはかつかつを棄却するのときにはは帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従う

ので 検定方式は値を棄却する推定量としとおくるの解をとし以下の誤差の範囲でをの点推定量とすを探すにはとおくとセミパラメトリック法が成り立つとしまたはを繰り返す

新たにとおき新たにとおくになるまで 四角の枠内

第章

独立性の検定スピアマンの順位検定
を次元の連続型分布関数からの大きさの無作為標本の観測値とする

べたときのの順位を位ををもつ母集団を小さい方から並を小さい方から並べたときのの順とする すなわちとする このとき
説
まずとおきとは互いに独立を棄却するが未満のときの手順を述べる

手順

とおき 統計量となるように有意水準を決めが大きいとき帰無仮スピアマンの順位検定

を計算する
手順

シミュレーションの繰り返し数としてについて以下の手順
手順から手順乗算合同法の疑似一様乱数をを採りまでを繰り返す個生成させ それをとする
手順について以下の手順と手順を繰り返す
手順

とおき新たにとおく ただし

手順

次元ベクトルの成分たものを新たに
手順

手順

ならばはを越えない最大の整数とすると成分とを入れ替えとおく

で成分入れ替えによって最終的に決定されたとおく
手順よりを計算する
手順

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはを棄却するのときにはかつとする
かつを

第章

独立性の検定は帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従うので 検定方式は楽で値を棄却する

検定を団からの大きさ次元の連続型分布関数をもつ母集の無作為標本の観測値とするで定義し関数をの尺度母数をそれぞれで推定しとおきとおきが大きいとき帰無仮説『とする
まずが未満のときの手順を述べる

手順

とおき 統計量を計算するとなるように有意水準を決めは互いに独立』 を棄却

検定

手順

シミュレーションの繰り返し数

としてについて以下の手順
手順

乗算合同法によるを採りから手順までを繰り返す

上の疑似一様乱数をそれを個生成させとする

手順について以下の手順と手順を繰り返す
手順

とおき新たにとおく

手順

次元ベクトルの成分ととを入れ替えたものを新たに
手順

手順

ならば

成分とおく

で成分入れ替えによって最終的に決定されたをとおく

手順よりを計算する
手順

とおく
一様乱数つを生成させ それをまたはかつとする
かつを棄却するのときにはは帰無仮説の下で近似的に標準正規分布に従うので 検定方式は楽で

第章

独立性の検定値

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