フレキシブルアームの制御
2011SE136 小島涼平
指導教員：陳幹はじめに

12.2

減衰振動

フレキシブルアームは高度の精度も要求される状況にお本研究では制御対象の減衰振動を考慮する. 論文 [2] よりいて, 例えば軽量化によってアームの剛性が低下しそれま剛性 KStif f , 減衰比 ζ(臨界減衰係数 cc 分の減衰係数 c) かで起きなかった振動が発生すると, 性能低下につながってら減衰係数 c は以下となる.

しまう. それは制御によって抑制する必要がある [1].

KStif f = ωd2 JLink = 1.722cc
ζ== √cc
2 JLink KStif fc = 0.158

制御対象はフレキシブルリンクモジュールを取り付けたSRV02 プラントである. 本研究では論文 [1] に対して減衰振動を考慮したモデリングを行い, 最適サーボシステムによって追従性能の改善を目的とする.

2

モデリング

2.1モデリング(7)(8)

表 1 制御対象のパラメータ

図 1 に制御対象である 1 自由度のフレキシブルリンクの俯瞰モデルを示す. 制御対象はトルクを加えた時, 根本のハブ (モータ) が θ だけ回転し, そこから先端部がばねの力のみによって α だけ回転する.

図 1 フレキシブルリンクの俯瞰モデル

記号

詳細値

ηgηmKtKg
Jeq
RmBeq
KmLMωdζJLink
KStif f

ギヤボックス効率

0.9
0.69
0.00767[Nm/A]
70
0.002[kgm2 ]2.6[Ω]
0.004[Nm/(rad/s)]
0.00767[V/(rad/s)]
0.43[m]0.065[kg]20.7350.9517
0.004
1.722

モータ効率
モータトルク定数
システムギヤ比ハブでの等価慣性モーメント
電機子抵抗
等価粘性減衰係数
逆起電力係数フレキシブルリンク長さ
フレキシブルリンク質量
減衰固有角振動数
減衰比
リンクの慣性モーメント
剛性

モータの仕様書と論文 [2] より, 入力電圧 V と負荷出力トルク τ の関係は次式になる. 変数の詳細は表 1 に示す.

ηm ηg Kt Kg (V − Kg Km θ̇)τ=Rm(1)

制御対象の運動エネルギー T はハブとリンクに存在し,ポテンシャルエネルギー U はばねのみに存在している. またラグラジアン L は以下となる.

11Jeq θ̇2 + JLink (θ̇ + α̇)2(2)22
1
U = KStif f α2(3)2111L = Jeq θ̇2 + JLink (θ̇ + α̇)2 − KStif f α2 (4)222
これより θ, α を一般化座標として, オイラ−・ラグランジュの運動方程式を得る. ここで −Beq θ̇ は摩擦についての項であり,−cα̇ は減衰振動についての項 (減衰項) である.
T =δLδ δL( )−= τ − Beq θ̇δt δ θ̇δθδLδ δL( )−= −cα̇δt δ α̇
δα(5)
(6)

2.3

制御対象の状態空間表現

式 (1),(5),(6) からシステムの状態空間表現は次式となる. ただし出力は θ, α である.

 0 0ẋ =  00
+

00
KStif fJeqK(J +J)− StifJfeq JeqLinkLink00ηm ηg Kt Kg
Jeq Rmη η Kt Kg− mJeqg Rm

y=[ 11010−SS01cJeqc(J +JLink )− Jeqeq JLinku

0 ]xx

(9)

(10)

ここでシステムの状態ベクトル x, 制御入力 u, θ̇ の係数 Sは以下である.

[]Tx = θ α θ̇ α̇u=Vηm ηg Kt Kg2 Km + Beq Rm
S=Jeq Rm

3

コントローラ設計

3.1

最適サーボシステムのコントローラ設計

最適サーボシステム [3](詳しくは [4]) を設計するために,
式 (9),(10) を状態方程式{ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t)(11)とする. ここで定常値 x∞ , u∞ , w∞ からの変動を[x̃(t)w̃(t)x̃e =][=x(t)w(t)][−x∞w∞](12)ũ(t) = u(t) − u∞(13)

図 2 減衰項の影響の比較と定義すると, 以下の拡大偏差システムを得る.

{x̃˙ e (t) = Ae x̃e (t) + Be ũ(t)e(t) = Ce x̃e (t)
[]
[]
A O
B
Ae =, Be =, Ce = [ −C−C OO

次に異なるコントローラによる追従性能の比較を図 3 に(14)示す. 図 3 は本研究と論文 [1] のコントローラでの追従性能

O ]の比較であり, 目標値は π/4 とした. 本研究のコントローラを使用した方が速く目標値に到達し安定している.

次に評価関数∫ ∞J=()x̃e (t)T Qe x̃e (t) + ũ(t)T Re ũ(t) dt
0[]
C T Q11 C O
Qe =O
Q22(15)を最小化する以下のコントローラを得る.

Ke = [ K∫ tu(t) = Kx(t) + Ge(t)dtũ(t) = Ke x̃e (t),0−1 T
P12+ [ −K + 2GP22G ] = −Re−1 BeT Pe

[I ]

AC

BO]−1 [−1 T− 2GP22
P12 x0OI](16)y ref (t)(17)

図 3 異なるコントローラによる追従性能の比較

K = −Re−1 B T P11 , G = −Re−1 B T P124

シミュレーションと実験

4.1

重みの設定

5

本研究では減衰振動を考慮したモデリングと, 最適サー評価関数 (15) について定義 (12) から∫ ∞J=(ボシステムでのコントローラ設計を行った. 図 3 から, 論文)
Q11 e(t)2 + Q22 w̃(t)2 + Re ũ(t)2 dt (18)0となる. よって重みは以下を考慮すればよい.

Q11 > 0,4.2

終わりに

Q22 > 0,Re > 0(19)

追従性能の確認

重みを Q11 = 20, Q22 = 700, Re = 1 とするとゲインは[1] と比べ追従性能は改善された. しかし図 2 より,2 つの波形に違いがなく, 減衰項による影響はほとんどない. よってこの制御対象に対して, 減衰振動に関する項は無視できる.

参考文献[1] 水戸健詞:最適レギュレータによるフレキシブルアームの制振制御, 南山大学数理情報学部 2010 年度卒業論文(2010).

Ke = [ −8.9701 −4.5691 −0.57455 −0.40571 26.458 ] [2] 松井祐介, 三輪有弘:フレキシブルアームに対する H2 制となる. 減衰項の影響と追従性能の確認のためにシミュレーション及び実験を行った. その減衰項の影響の比較を
図 2 に示す. 図 2 は θ に対する PID コントローラによる,減衰項を含むモデルと含まないモデルの比較である. ただし目標値を π/2 として α はコントロールしていない.2 つのモデルの波形はほぼ一致している.

御によるロバスト安定化, 南山大学情報理工学部 2012
年度卒業論文 (2012).

[3] 川田昌克:MATLAB/Simulink による現代制御入門, 森
北出版,pp.169–174(2011).
[4] 池田, 須田:積分型最適サーボ系の構成, 計測自動制御学会,Vol.24,No.1,pp.40–46(1988).