第 9 回 2012.11.5

ネット, フィルター, コンパクト化, 全有界性

位相空間の点列の概念は大変有用であるが、{xn }n∈N のような点列だけでは位相空間を詳しく扱えない場合もある．例えば第 1 可算でない位相空間など．そのため点列の概念を広げる必要がある．それがネット（教科書 4 章）である．ネットは点列の添え字集合 N とその収束先 ∞ を、有向集合とその共終な集合として一般化した．その解説は教科書を読むことにして、ここではそれと同値な概念であるフィルターを紹介する．


フィルター

位相空間 X の部分集合族 F が (i)-(iii) を満たす時 F は フィルター という．
(i) F, K ∈ F ⇒ F ∩ K ∈ F (ii)F ∈ F, F ⊂ K ⇒ K ∈ F (iii)∅ ̸∈ F(i)’(iii) を満たすとき F をフィルター基底という．(i)’F, K ∈ F ⇒ ∃L ∈ F s.t. L ⊂ F ∩ K(フィルターのイメージ図)

例 19 NbdX (x) はフィルターの性質を満たす．X = N として、An = {i|i ≥ n} とするとF = {An } はフィルター基底を成す．
フィルターは有限交叉性を持つ．フィルター F を含むフィルターが F しかないとき F を極大フィルター(ウルトラフィルター) という．F が極大フィルターであることと A ⊂ X が部分集合であるとき、A ∈ F もしくは X \ A ∈ F であることは同値である．F をフィルター基底とし、ある点 x ∈ X に対する任意の近傍 U ∈ NbdX (x) に対して F ⊂ U となる F ∈ F が存在するとき、x は F の 極限 という．
（点列の極限を一般化している．
）
N ∪ {∞} には N に普通の近傍を入れ、∞ の近傍を極大フィルターを使った近傍を入れると∞ に収束する点列で相異なるようなものは作れない．これは下の αN とは異なる位相である．
証明はトポロジーへの招待 (寺澤順著) を見よ．
フィルター F とネット Λ の関係はフィルターを Λ によって添え字づけた（F = {Fλ }λ∈Λ ）として、Fλ ⊂ Fµ のとき、λ ≻ µ として順序関係を入れればよい．
コンパクト化、一点コンパクト化 αX 、ストーンチェックコンパクト化 βX ・・・第 7 回参照．
n ∼nn
例 20 B = R （n 次元円板）の一点コンパクト化は S に同相である．このとき付け加えられた点を ∞ で表すことがある．
例 21 複素（実）射影空間 CP n , (RP n ) は Cn （Rn ）のあるコンパクト化である．付け加えられた集合は 1 つ次元が小さい射影空間である．例えばRP 2 = {[x0 : x1 : x2 ]|x0 ̸= 0} ∪ {[0 : x1 : x2 ]} = R2 ∪ RP 1
同相

同相

[x0 : x1 : x2 ] (x0 ̸= 0) 7→ (x1 /x0 , x2 /x0 ) ∈ R2 , [0 : x1 : x2 ] 7→ (x1 : x2 ) ∈ RP 1
この写像によって、R2 ,→ RP 2 は稠密になる．
（S2 と RP 2 は同相ではない．
）
コンパクト空間の部分空間は完全正則であるので、コンパクト化をもつためには完全正則でなければならない．しかしそのような空間がいつでも一点コンパクト化を持つわけではない．
定理 完全正則な空間が一点コンパクト化を持つための必要十分条件は局所コンパクトであることである．ストーンチェックコンパクト化は完全正則な空間なら存在する．
必要条件であることは分かるが実は十分条件でもある．よって局所コンパクトでない空間は一点コンパクト化は持たない．
例 22 [有理数全体 Q とゾルゲンフライ直線 RS について] Q と RS はどちらも局所コンパクト

空間でない．よって一点コンパクト化 αX は存在しない．しかし、どちらも完全正則（チコノフ）なのでなんらかのコンパクト化は存在する．例えば、Q ,→ R ∼= (0, 1) ,→ [0, 1] はあるコン
1パクト化である．稠密な部分空間 Q ∪ {∞} ,→ S も存在するが、コンパクトでない．もちろん閉集合でもない．
RS ∪ {∞} を S ′ とおいて、S ′ の近傍を RS の普通の近傍もしくは、RS から R への全単射によって R の有界な集合となる RS の部分集合の補集合に ∞ を付け加えた集合が近傍となる位相を S ′に入れる．S ′ はどことなく S1 に似ているが コンパクトではない し、点列コンパクトでもない．
(∵ 1/2, 1/3, · · · , 1/n · · · は収束する部分列を持たない（ボルツァーノワイヤストラスの条件を満たさない．
）よって 可算コンパクトでない．) 可算コンパクトについては第 8 回を見よ．
一般に、コンパクト ⇒ 可算コンパクト．点列コンパクト ⇒ 可算コンパクト．
可算コンパクト ⇔ 任意の点列は収束する部分列を持つ (ボルツァーノワイエルシュトラスの性質)
RS について、a < b となる実数とすると、(a, b] は開集合であるが同時に閉集合でもある．よって RS の各点 a において a の連結成分は CRS (a) = {a} である．RS は T1 なので {a} は閉集合であるが、開集合ではない．特に RS は離散位相とは異なる．(問題 6(1) の答えの 1 つ)
例 23 N はコンパクトではない局所コンパクト空間でない距離空間である．よって、一点コン
パクト化 αN は存在して、{1, 1/2, 1/3, · · · } ∪ {0} と同相になる．しかしストーンチェックコン
パクト化 βN を理解するのは難しい．βN \ N の濃度は少なくとも 2c 個存在する．(位相空間論(森田紀一著) を見よ．
）ここで c は連続濃度．
コンパクトについて追加 有界閉区間 [a, b] 上の連続関数全体に距離（スープノルム）d(f, g) =sup {|f (x) − g(x)|} を入れることで距離空間になる．その空間を完備化するとバナッハ空間
x∈[a,b]C([a, b]) が得られる．そのようなバナッハ空間におけるコンパクト集合の特徴付けが知られている．
[アスコリ-アルツェラの定理]
ある関数族 F ⊂ C([a, b]) が一様有界かつ同程度連続なら F に属する任意の関数列 {fn } にはこのノルムによって収束する部分列 {fni } が存在する．一様 · · · や同程 · · · に関しては解析学の教科書を見よ．

全有界性
距離空間 (X, d) において部分集合 A が任意の ϵ > 0 に対してある有限個の xi ∈ A(i =1, · · · , n) が存在して、A ⊂ ∪ni=1 Bd (xi , ϵ) となるとき、A は (X, d) で全有界であるという．



大事なのは次の性質である．
定理 距離空間 (X, d) なら次は同値である．
(i) コンパクト (ii) 可算コンパクト (iii) 完備全有界 (iv) 点列コンパクト．
また、コンパクトかつ距離空間ならば可分であり、第 2 可算．
ハイネボレルの被覆定理は、X = Rn の場合に、(i),(iii) の同値性を述べている．このとき完備全有界は有界閉と同じである．
例 24 ヒルベルト空間 ℓ∞ は完備距離空間であるが局所コンパクトにならない．特に、任意の x ∈ ℓ∞ と正の数 ϵ > 0 に対して B̄ℓ∞ (x, ϵ) は閉集合であるがコンパクトではない．よって、B̄ℓ∞ (x, ϵ) は完備であるが全有界ではない．しかし diam. は 2ϵ 以下なので有界ではある．商写像
B̄ℓ∞ (x, 1) → B̄ℓ∞ (x, 1)/bd(B̄ℓ∞ (x, 1)) による商空間（Sn の無限次元対応物）もやはりコンパク
トではない．
例 25 ヒルベルト立体 I N を I の可算無限個の直積空間とする．チコノフの定理により I N はコンパクトである．また、I N → ℓ∞ ((xi ) 7→ (xi /i)) を用いて距離空間にすることができる．よって、I N はコンパクトな完備距離空間である．