誤差特性関数による定積分の精度保証
2009SE127 児玉康裕
指導教員：杉浦洋である．

はじめに

1

Polya 則の誤差特性関数の絶対値の上界は以下の定理で積分は解析学における最も基本的な演算である．しか与えられる．

し，積分値が解析的にあたえられていることは稀で，そのz ∈ C − [−1, 1] について，値を与えるために数値計算に頼らざるを得ないことが多|Φn (z)| ≤ Fn (z)い．したがって，数値積分による値の精度保証は極めて重要な課題である．

2 log

今回は正則関数の定積分の精度保証付積分について研究

Fn (z) =w=z+分を用いるもの [1] がある．後者の方法ついて野間 [2] は(|a|−1)+(|a|−1) +b,√z 2 − 1, z = a + ib.//

Polya 則 Qn の誤差は周回積分 (1) で評価され積分路を手動で決めたが本研究では計算機による自動決定をめざす．

√22√(|a|+1)2 +b2|wn + w−n |する．数値の絶対誤差の上界を与える理論としては，積分関数の高階導関数を用いるものと被積分関数の複素周回積(|a|+1)+|En f | = |12πiI12πΦn (z)f (z)dz| ≤C

IFn (z)|f (z)||dz|C(7)2

積分誤差の包囲2.1

数値積分公式と誤差の特性関数である．本論文では，この式の最右辺が小さくなるような積分路 C を自動的に構成する方法を考える．最右辺の積

実軸上の有限区間 J = (−1, 1) の積分分を精度保証付で計算する方法についてはここでは述べないので，野間 [ｘ] を参照して頂きたい．

∫ 1I=f (x)dx(1)−13

積分路の自動決定を考える．この積分を数値的に近似計算するための公式を

3.1

基本的枠組みIn =n∑(１)
Aj f (aj )

(2)

(２)

j=1

積分路 C は点 P1 ,. . . ,Pn を頂点とする多角形とする．
積分路 C 上の積分とする．aj ∈ [−1, 1] を積分公式 (2) の標本点，Aj を重みM (P1 , . . . , Pn ) =という．この公式を n 点公式と呼ぶ．積分誤差は次のように複素周回積分で表せる [2]．

f (x) 単純閉曲線 C の内部で f (z) が正則で，C がその内部に積分区間 [−1, 1] を含むとき∆In = I − In =12πiIΦn (z)f (z)dz

(3)

n∑
w(x)
Ajdx −.//z − aj−1 z − x
j=1(4)C∫ 1
Φn (z) =n−1∑

3.2(１)

点 P1 , P2 , . . . , Pn の順に１点づつ動かして最小化, すなわち Pi を動かすときは z の一変数関数

g(z) = M (P1 , . . . , Pi−1 , z, Pi+1 , . . . , Pn )g(z) = g(x + iy)を用いる．標本点は n 次 Chebyshev 多項式 Tn (x), n ≥ 1∇g(z) =の零点(10)∂∂g(z) + i g(z)∂x∂xを差分近似する．そして(0 ≤ l ≤ n)

(9)

最急降下方向に直線探索する．すなわち，l=0()
1l+2(8)頂点の動かし方と考え，グラディエントπξl = cosn

F (z)|f (z)||dz|
Cを最小化する．

(5)

ωl f (ξl )∫を最小化する．そして，Φn (z) を数値積分公式の誤差の特性関数という．
具体的な積分則として n 点 polya 則:
Cn f =12πi(6)直線：z = Pi − t∇g(Pi )(t ∈ R)(11)

で定義される比 1 : ϕ であり，ギリシャ以来最も美しい比上で最小値を探索する．すなわち一変数関数

h(t) = g(Pi − t∇g(Pi ))(12)を最小化し，最小点 t = t(min) における(min)Pi= Pi − t(min) ∇g(Pi )(13)とされてきた．いま，(t2 ‐t1 ) : (t3 ‐ t2 ) = ϕ : 1 のとき，区間 (t2 , t3 ) より長い区間 (t1 , t2 ) が内分点 a ∈ (t1 , t2 ) で分割される．このとき分割比を (a ‐ t1 ) : (t2 ‐ a) = ϕ : 1と，黄金比に取る．こうすると，(2) で h(a) < h(t2 ) のとき，区間幅縮小比は ϕ2 = 1 + ϕ に注目して，を新しい頂点として採用する．これを p1 , . . . , pn の順に行

t2 − t1ϕϕ== 2 = ϕ−1
t3 − t11+ϕϕうことを大反復という．

3.3極小値の黄金比探索法(19)h(a) ≥ h(t2 ) のときも，区間縮小比が一変数関数 h(t) の極小点を求める黄金比探索法を説明する．まず基本定理を述べる．
［定理１］2 回連続微分可能な 1 変数関数 h(t) で h′ (t) が単純零点しか持たないないとする．このとき，t1 < t2 < t31

11 + ϕ 1+ϕ1 + ϕ ϕ2t3 − a1+ϕϕ2===== ϕ−1
t3 − t11+ϕϕ2
ϕ3
ϕ3(20)となり，縮小比が変化しない．区間 (t2 , t3 ) が区間 (t1 , t2 )において，h(t1 ) ≥ h(t2 ) < h(t3 ) または h(t1 ) > h(t2 ) ≤ h(t3 )(14)を満たすなら，区間 (t1 , t3 ) に極小値を持つ．//より長いときも同様である．
黄金比探索法により，極小点を含む区間は黄金比の逆比ϕ−1 = 0.618 · · · で縮小する．

（証明） h(t1 ) ≥ h(t2 ) < h(t3 ) が成立するとき，平均値4の定理より，

数値実験結果
被積分関数 f (x) = ex ,cos x,1/(x2 + 1) に関して数値実h(t2 ) − h(t1 )
h(t3 ) − h(t2 )≤ 0, h′ (τ2 ) =>0
t2 − t1
t3 − t2(15)積分路から出発し，野間 [2] の結果とほぼ同等の結果を得を満たす τ1 ∈ (t1 , t2 ), τ2 ∈ (t2 , t3 ) が存在する．したがっることができた．しかし f (x) = 1/(1 + x2 ) の場合は，解て，中間値の定理により，h′ (t) は区間 [τ 1, τ 2] に零点を持として特異点 z = ±i を内部に含む積分路 C を出力して失h′ (τ1 ) =′′つ．h (t) の連続性より，[τ1 , τ2 ] における h (t) の零点の集合は閉集合で最大値 τ を持つ．条件より τ は単純零点ゆえ，h′′ (τ ) ̸= 0．ここで h′′ (τ ) < 0 を仮定すると，十分小さい ϵ > 0 で

τ + ϵ < τ2 , h′ (τ + ϵ) < h′ (τ ) = 0

験を行った．f (x) = ex ,cos x に関しては，適当な多角形敗した．

5

おわりに
野間 [2] は Fn (z)|f (z)| の複素平面における等高線を用い，鞍点法により積分路の決定を行った．我々は等高線の(16)

観察によらず，適当な初期多角形から出発し，頂点位置をとなる．これと h (τ2 ) > 0 から，中間値の定理を用いて， 動かして，逐次最適多角形をめざして，積分路を自動的に区間 (τ, τ 2) における h′ (t) の零点の存在が示される．これ 決定する方法を開発した．
′は τ の最大性に反する．ゆえに，h′′ (τ ) > 0 であり，τ はその結果 f (x) = ex , cos x の精度保証の改良には成功し極小点である．h(t1 ) ≥ h(t2 ) < h(t3 ) が成立するときも同たが x21+1 の精度保証の改良はうまくいかなかった．原因様である．//

は，積分路の変形の過程で「C が内部に f (z) の特異点をひとたび (1) を満たす 3 点 t1 < t2 < t3 が見つかれ含まない」という条件を満たさなくなるためである．これば，それを反復改良して極小値を含む区間 (t1 , t3 ) の幅をを制約条件として最適化するアルゴリズムの開発が今後のいくらでも小さくできる．まず区間 (t1 , t2 ), (t2 , t3 ) の長課題である．

い方を選ぶ．仮にそれを (t1 , t2 ) としたとき，その内分点

6a ∈ (t1 , t2 ) をとり，{
(t1 , a, t2 ), h(a) < h(t2 )(t1 , t2 , t3 ) =(a, t2 , t3 ), h(a) ≥ h(t2 )

参考文献
(17)

t1 ) : (t3‐ t2 ) が黄金比またはその逆比となるように取る．黄金比は黄金数

√1+ 5
ϕ=
2

[1] 森正武：数値解析と複素関数論，薩摩書房 (1975)．
[2] 野間ちほ：『定積分の誤差特性関数の評価』．とすれば，新しい 3 点 t1 < t2 < t3 も再び (1) を満たす．
黄金比探索法は，3 点 t1 < t2 < t3 を (t2 ‐

参考文献

(18)

南山大学数理情報学部情報システム数理学科 2012 年
度卒業論文 (2013)．