線形代数続論演習
担当 丹下 基生：研究室 (B715) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）

第 1 回（’16 年 4 月 15 日：Keywords · · · 1 年生の復習．ベクトル空間、核、像）———————————————————————————————————————————————

今日の課題.
1. 線形代数 I,II の復習．
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まとめ.
1-1. 巾零行列・・・A を正方行列とする．ある正整数 ν において、Aν = O となるとき、行列 A はべ
きゼロ行列という．
・・V を線形空間とする．v1 , · · · , vn を V の基底とし、1-2. ベクトルの一次独立性に関するある命題・
w1 , · · · , wn を V のベクトルとする．次の条件は互いに同値である．

1. w1 , · · · , wn は V の基底である．
2. ベクトル (w1 , · · · , wn ) を (w1 , · · · , wn ) = (v1 , · · · , vn )A のように基底を使って表したときの表示
行列 A は正則である．
3. w1 , · · · , wn は一次独立である．
1-3. s(K)・・・ 係数を K とする数列全体の集合．
1-4. K[x], K[x]n ・・・ 係数を K とする多項式全体の集合、および、係数を K とする n 次以下の多項式の全体の集合．
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A-1-1. [ベクトル空間]
次の集合はベクトル空間か？

(1) n 次多項式全体(2) n 次以下の多項式全体

A-1-2. [一次独立]
ベクトル空間 V において次のベクトルは一次独立であることを示せ．

(1) V = R[x]2 , 1 + x + x2 , 1 − x − x2(2) V = C([0, π]), 1, sin x, cos x(3) V = s(R), (1, 2, 3, 4, · · · ), (1, 4, 9, 16, · · · ), (1, 8, 27, 64, · · · )A-1-3. [部分ベクトル空間]
数ベクトル空間 R4 の任意の x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) において、 xi − xi+1 = 0 (i = 1, 3) を満たす空間はどのようなベクトル空間となるか？基底を使って表せ．

A-1-4. [2 次以下の多項式]
2 次以下の多項式全体のうち、関数等式 f (x) = f (1 − x) を満たすもの全体はどのようなベクトル空間となるか？ 基底を使って表せ．
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B-1-1. [ベクトル空間]
実数上の連続関数のなす空間 C(R) の中で次の空間は線形部分ベクトル空間となるか？

(1) 有界な連続関数のなす部分ベクトル空間．
(2) R の双対空間．

B-1-2. [線形写像]
像の満たす集合を自分で適切に選ぶことで、次の写像が線形写像であることを確かめよ．

(1) a = (a1 , a2 , a3 ) 7→ a1 + a2 + a3 , (a ∈ C3 )(2) f (x) 7→ f (x) − f (1 − x), ( f (x) ∈ R[x])B-1-3. [基底]次のベクトルは、R[x]7 で基底となるか？

{x7 , (x − 1)7 , (x − 2)7 , (x − 3)7 , · · · , (x − 7)7 }B-1-4. [像と核]次の線形写像の核と像の基底を求めよ．
 
1 2    x1  x1 (1) C2 ∋   7→ 2 4   ∈ C3 x2x2
3 6(2) R[x]2 ∋ f (x) 7→ f (x2 ) − f (x)x2 ∈ C[x]3

B-1-5. [同型写像]
V をベクトル空間とし、 f : V → V を線形写像とする．以下は同値であることを示せ．
(1) f は単射である．
(2) f は全射である．
(3) f は同型である．

B-1-6. [実数列]以下の問題に答えよ．

(1) s(R) の中の部分集合 s(R) f を s(R) f = {(xn ) ∈ s(R)| 有限個の n 以外全て 0} とおく．このとき、V はベクトル空間であることを示せ．またその次元は有限次元ではないことを示せ．
∞∑(2) s(R) f の中の部分集合 s(R) f,0 を s(R) f,0 = {(xn ) ∈ s(R)| 有限個の n 以外全て 0 かつxn =n=10} とおく．このとき、 s(R) f,0 はベクトル空間であることを示し、その基底は、ei , (i =1, 2, · · · ) であることを示せ．ただし、ベクトル ei は、ei = (xn ) としたときに、
1n=ixn = −1 n = i + 1
0その他として定義される．

B-1-7. [基底の変換行列]
次のベクトル空間 V と 2 つの基底 B1 と B2 において、B1 を B2 にかえる基底の変換行列を求めよ．ただし、{ei } は数ベクトル空間上の標準基底であるとし、下のベクトルが基底であることは示す必要はない．

(1) V = C[X]2 , B1 = (1, X, X 2 ), B2 = (1, X − 1, (X − 1)2 )(2) V = C3 , B1 = (e1 , e2 , e3 ) B2 = (e2 , e3 , e1 )(3) V = {(an ) ∈ s(R)|an+2 = 2an+1 + 3an },B1 = ((0, 1, 2, 7, 20, · · · ), (1, 0, 3, 6, 21, · · · )), B2 = ((2, 1, 8, 19, 62, · · · ), (3, 1, 11, 25, 83, · · · ))B-1-8. [数列のなすベクトル空間の関係式]
次の s(R) のベクトルが張るベクトル空間の満たす関係式を求めよ．(1, 2, 3, 4, · · · ), (1, 4, 9, 16, · · · )———————————————————————————————————————————————

C-1-1. [ベクトル空間]
巾零行列の固有多項式は xn であることを示せ．

C-1-2. [連立一次方程式]
C[x]2 において、次の方程式を満たす部分空間の基底を多項式を使って求めよ．
f (x) + f (x + 2) = 2 f (x + 1)

C-1-3. [どの 2 つも一次独立なベクトルの列]
v1 , v2 をベクトル空間 V の一次独立なベクトルとする．n > 2 なる自然数において、vn を
vn = vn−1 + vn−2 によって v3 , v4 · · · を帰納的に定義する．W をこれらのベクトルの有限個のベクトルの一次結合からなる V の部分ベクトル空間とする．このとき以下の問題に答えよ．
(1) 任意の vn は v1 , v2 の一次結合となることを示せ．
(2) 任意の n において vn と vn−1 は W の基底となることを示せ．
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