正規多群モデルにおける対照群との分散の多重比較法
2010SE061 石部栞
指導教官:白石高章

1

はじめに
本論では 3 群以上の正規多群モデルで，分散の多重比較法について考察する．多重比較法にはさまざまなものがある．たとえば Bon-ferroni（ボンフェローニ）法，Holm（ホ3正規多群モデル

3.1

モデルの設定第１群を対照群とする Dunnett 型多重比較検定を論じる．
表 1 ：k 群正規モデルルム）法，Dunnett（ダネット）法，Tukey-Kramer（テューキークレーマー）法などがある．それらは白石 [1]，永田・水準
対照処理 1

吉田 [4] で紹介している．

2 標本の分散の一様性の検定に F 分布が使われている．
本研究ではモデルを k 群正規モデルに変え，正確な検定を

群
第1群
第2群······

処理 k-1

第k群

データ

分散分布

X11 , · · · , X1n1
X21 , · · · , X2n2·········
Xk1 , · · · , Xknk

σ12σ22···
σk2

N (µ1 , σ12 )N (µ2 , σ22 )···N (µk , σk2 )行うため，ホルム法を用いて対照群との多重比較検定を述べ，同時信頼区間も調べる．F 統計量を使う理論は白石 [2]で考察されている．それらを参考にし，C 言語でプログラ
ムを作成した．

2

総標本サイズ : n ≡ n1 + n2 + · · · + nk (すべての観測値の個数)
一様性の帰無仮説 H0 :σ12 = σ22 = · · · = σk23.2

対立仮説の設定

第１群の対照群と第 k 群の処理群を比較することを考え

1,2 標本モデルにおける統計的推測
２群のデータがともに正規分布からの無作為標本と仮定

る．１つの比較のための検定は，帰無仮説 Hi：σi2 = σ12し，２群の違いはその分散で測られると考える．
確率変数 X1 , · · · , Xm を正規分布 N (µ1 , σ12 ) からの無作為に対して, ３種の対立仮説，
1 両側対立仮説 HiA±：σi2 ̸= σ12⃝2 片側対立仮説 HiA+：σi2 > σ12⃝3 片側対立仮説 HiA−：σi2 < σ12⃝

標本，確率変数 Y1 , · · · , Yn を正規分布 N (µ2 , σ22 ) からの無作為標本とする．このとき

S3 =σ̃12σ122222/ σ̃σ ∼ F

m−1n−1(1)

帰無仮説のファミリーは，HD ≡ {H2 , · · · , Hk } = {Hi | 2 ≤ i ≤ k}となる．ただし，σ̃12 ，σ̃22 はσ̃12 =となる．

m∑n∑11(Xi − X̄)2 ，σ̃22 =(Yi − Ȳ )2
m − 1 i=1n − 1 i=1である．Ti と σ̃i2 を，Ti ≡とする．
m−1
ただし，Fn−1は自由度 (m − 1, n − 1) の F 分布である．

これより 0 < α < 1 に対して

ni1 ∑σ̃i22,σ̃=(Xij − X̄i· )2iσ̃12ni − 1 j=1とする．

【ボンフェローニ法での検定方法】
( ))
((α)
m−1 α
m−1
1−< S3 < Fn−1= 1 − α (2) 初歩的な多重比較検定法としてボンフェローニ法がある．
P Fn−122
ボンフェローニ法とは k 個の事象 E（i i = 2, · · · , k ）に対
m−1
m−1となる．ただし Fn−1 (β) は Fn−1 の上側 100β ％点であ して，る．
( k)k∪∑
2222
検定では帰無仮説は H0：σ1 = σ2 ，対立仮説は H3：σ1 ̸= σ2P
Ei ≤P (Ei )(3)であり，帰無仮説 H0 の下では確率変数 S3 の σ22 /σ12 が消え
i=1i=1S4 =σ̃12m−1∼ Fn−1σ̃22となり，σ12 ̸= σ22 のときは，

S4 = S3 ×となる．

σ12σ22に基づく多重比較法である．以下のように判定する．
1 両側検定：Hi vs. HiA± (i = 2, · · · , k)⃝−1−1
Ti > Fnn1i−1(α/{2(k − 1)}) ま た は Ti < Fnn1i−1(1 −α/{2(k − 1)}) ならば，帰無仮説 Hi を棄却し対立仮説
HiA± を受け入れ，σi ̸= σ1 と判定する．
2 片側検定：Hi vs. HiA+ (i = 2, · · · , k)⃝
(制約 σ2 , · · · , σk ≥ σ1 がつけられるとき)，

−1(α/(k − 1)) となる i に対して Hi を棄却し，対Ti > Fnn1i−1
立仮説 HiA+ を受け入れ σi > σ1 と判定する．
3 片側検定：Hi vs. HiA− (i = 2, · · · , k)⃝
(制約 σ2 , · · · , σk ≤ σ1 がつけられるとき)，−1
Ti < Fnn1i−1(1 − α/(k − 1)) となる i に対して Hi を棄却
し，対立仮説 HiA− を受け入れ σi < σ1 と判定する．

5データ解析

5.1

データ内容【ホルムの方法】

値, 分散値) ) を生成した．各群の平均値，分散値を以下の以下ではボンフェローニ法を改良している方法として，ホように設定した．各群のサイズを 5 とした．

する．

4．Holm()；ホルムの方法を実行する．

Excel を用いて正規乱数 ( =NORMINV(RAND(), 平均ルムの方法を紹介する．

Ti の実現値を ti とし，Hi に対する p 値 pi を，
1 のとき)(⃝qi−12 のとき)
pi ≡ P (Fnn1i−1> ti )(⃝
−13 のとき)P (Fnn1i−1< ti )(⃝第 1 群：平均値 5，分散値 1
第 2 群：平均値 10，分散値 2
第 3 群：平均値 10，分散値 3
第 4 群：平均値 15，分散値 5(4)とおく．

表 2 は生成した正規乱数の値を表にまとめたものである．

−1−1
ただし qi ≡ 2 min{P (Fnn1i−1> ti )，P (Fnn1i−1< ti )}表2(4) とホルム法をもとに手順 1∼ 手順 3 を行う方法は，水準 α の多重比較検定である．
以下では検定方法の手順 1〜手順 3 を説明する．
手順 1．推測の対象となるファミリーをF = {H2 , · · · , Hk }，Hi : σi2 = σ12 (i = 2, · · · , k)
手順 2．k − 1 個の pi を小さい順に並べかえたものを

第1群

第2群

第3群

第4群

4.86
4.62
4.56
5.57
4.81

9.34
9.51
11.86
11.05
7.62

8.38
11.51
12.26
6.43
9.19

11.11
18.77
15.60
27.3221.19p∗(1) ≤ p∗(2) ≤, · · · , ≤ p∗(k−1) とし，∗∗対応する帰無仮説を H(1), · · · , H(k−1)∈ F とする． 5.2 データ解析結果
手順 3．ある i が存在して，前述のプログラムを使って，群の個数を 4，各群のサイ
j = 1, · · · , i に対して p∗(j) ≤ α/ (k − j)
ズを 5，観測値として表 2 の値，有意水準を 0.01 を入力し，∗ならば，H(i)を棄却する．
対立仮説の種類は両側対立仮説を選択した．その結果，

C 言語によるホルム法の検定プログラム

4

対照群 (第 1 群) vs. 処理 2(第 3 群)
対照群 vs. 処理 3(第 4 群)

前述で述べたホルム法を行うプログラムを C 言語を用いて作成した．パラメータの制約は 3 ≤k≤ 10，2 ≤ ni ≤100，0 < α < 0.5 とする．
4.1

メインプログラム

ページ数の都合上，main プログラムのみを示す．なお，全体のプログラムは卒業論文を参照せよ．

int main(){
Input();
Keisan();Fmain();
Holm();}
以下ではその説明を行う．の場合に棄却され，有意差があることが分かった．

6

おわりに
本論では正規分布の分散について研究をおこない，正規多群モデルを設定し，対照群と処理群を比較する多重比較検定を論じてきた．ホルム法の検定方法を学び，C 言語を用いてホルム法のプログラムを作成し，データ解析を行った．今回は Excel を用いて正規乱数を生成し，データを作成したが，医療や地震などの解析を行えば有益な解析結果を得られるのではないかと感じた．

参考文献[1] 白石高章：『多群連続モデルにおける多重比較法』．共立出版社，東京，2011．

入力し，対立仮説の種類を選択する．制約外の値が入力さ[2] 白石高章（2013）．多群指数モデルにおける平均パラメータの多重比較法 計量生物学 34 巻 1-20．

れた場合にはエラーメッセージを表示し再度入力を行う．

[3] 白旗慎吾：『統計学』．ミネルヴァ書房，京都，2008．

2．Keisan()；各群の平均値，分散値，検定統計量を算出す[4] 永田靖・吉田道弘：『統計的多重比較法の基礎』．サイエンティスト社，東京，1997．

1．Input()；群の個数，各群のサイズ，観測値，有意水準をる．
−1−1
3．Fmain()；P(Fnn1i−1> ti )，P(Fnn1i−1< ti ) の値を算出