今回の問題は (1) が【2006名古屋大もらいたいと思います．

理学部

それでは，解答です．【※】と【※※】の部分には，後期】の入試で出題された問題です．(2) は「何か別後ろに考察があります．の切り口で類題を作れないか？」と私がうねうねと考えながら捻り出した問題です．

［解答］

それでは，まず問題の確認から．

（カッコ内の文章は，理解の助けのために書いてあ問題るものなので，試験では省略してよい。）「n が 5 以上の奇数のとき，正 n 角形の対角線は，頂点頂点と交点の名前が，図のように並んでいると(1)以外では 3 つの対角線が 1 点で交わることはない」

しても一般性を失わない．ということを証明なしに用いてよいものとする．以下の$各問いに答えよ．
(1)

正五角形の頂点 A,B,C,D,E を結んだ 5 本の対角線を考えると，交点が 5 個できる．この 5 個の交点

3%

P,Q,R,S,T の上に，表裏が定まったコインが置か(64れ固定されているとする．

5

今，表裏が定まっていて互いに区別のつかない 5 枚の&コインを新たに用意し，5 個の頂点上に 1 枚ずつ置く．

'

まず A に，コインを表でも裏でもよいので置く . す

すると，各対角線上には 4 枚のコインが並ぶことになる．

るとこのとき，どの対角線上にも表のコインが偶数枚置かれているような，5 個の頂点へのコインの置き方の場合の対角線 APQC

数は何通りあるか．考察の過程を丁寧に説明して解答せB1の上に表のコインが偶数個となるような，Ｃにおくよ.
(2)

7

コインの表裏が（【※】P,Q にあるコインの表裏がn を 5 以 上 の 奇 数 と す る． 正 n 角 形 の 頂 点

どう固定されていても，それに対して）1 通りに決A1,A2,B,An を結んだ対角線をすべて考え，正 nまる．同様に角形の内部にできた交点すべてに表のコインを置き固定する．
今，表裏が定まっていて互いに区別のつかない n 枚のコインを新たに用意し，n 個の頂点上に 1 枚ずつ置く．

対角線 CRSE

B2対角線 ETPB

B3対角線 BQRD

B4

このとき，どの対角線上にも表のコインが偶数枚置かれを考えると，E,B,D に置くコインの表裏が（対ているような，n 個の頂点へのコインの置き方の場合の角線の交点上にあるコインの表裏がどう固定されて数は何通りあるか．考察の過程を丁寧に説明して解答せいても，それぞれに対して）1 通りに決まる．【※こよ.

こまで】このとき，1，2，3，4 の 4 本の対角線の上問題文が若干長いので，慣れていない人は条件をにある表のコインの数をそれぞれ a1,a2,a3,a4把握するのに時間がかかったかもしれません．ただ，で表すと，これらはすべて偶数であり（4 本の対

浜松医科大や，滋賀医科大などでは，これ以上に長角線上の点に，B,C,E,P,Q,R は 2 回ずつ，い問題文の出題もあり，どちらも「短時間で必要な情報を判別し，自分の言葉で説明，もしくは，計算して結果を得ることができるか」という力を問うて

D,S,T,A は 1 回ずつ登場するので）【※※】
a1 + a2 + a3 + a4いると考えられます．よって，医学部系を目指す強= 2 × (B,C,E,P,Q,R 上の表のコインの数 )者は特に，今回のような出題形式にも慣れていって+ (D,S,T,A 上の表のコインの数 )

1となるので，残りの対角線 DSTA 上の表のコインも領で順に頂点を追いかけていくと，各頂点のコイン偶数個となる．の表裏が決まっていく過程がわかりやすいと思いま【※※ここまで】す．

以上より，最初に A に置くコインが表でも裏でも，・【※※】について題意を満たすような頂点へのコインの置き方は１通さて【※】を使えば，4 本目の対角線まではうまりに決まる．

くできそうなのですが，最後の 5 本目の対角線を考ゆえに，求める場合の数は，2 通り．

えたとき，最後の頂点が最初の頂点と一致するため，［考察］【※】のときのように，コインの表裏を自由に決め・【※】についてることができません．ですので，最後の対角線だけ

まず (1) で難しいのはは別の方法で，表のコインが偶数個になっているの「対角線上に置いてあるコインが表か裏か決まっかどうか確かめなくてはなりません．そこで今度はていない」「（図形の）一部だけ見てわからないときは，（図形の）全体を見る」という点です．交点は 5 個しかないので，表裏の場合分けをすべて考えても，2 = 32 通りしかありませを利用して，【※】で考えた 4 本の対角線をまとめんが，さすがにすべて考察するのは面倒です．て考えると

5

そこで，まずは１．全部で表のコインは偶数回数えている「見慣れない問題は，実験してみる」

２．5 本目の対角線上にない頂点・交点は，1 か「全体で見て難しいときは，一部を抜き出す」

ら 4 の対角線の名前に 2 回ずつ登場しているに従って，いろいろ試してみましょう．すると……

３．5 本目の対角線上にある頂点・交点は，1 から 4 の対角線の名前に 1 回ずつしか登場して（例） 対角線 APQC においてi)ii)いない．
以上 3 点のうち，１と２は「偶数になるもの」です

P,Q のコインが表，裏，1 枚ずつA に表を置いたら，C は裏から，，解答にあるように，３も「偶数になるもの」

A に裏を置いたら，C は表であると示すことができるのです．

P,Q のコインが共に表か共に裏［考察ここまで］

A に表を置いたら，C は表A に裏を置いたら，C は裏次に，(2) の解答です．(1) と同じく【※】と【※※】の部分には，後で考察があります．

以上のようになりました . これは，どの対角線でも言えることなので，一方の頂点のコインの表裏を決［解答］

めると，対角線上のコインの表裏がどうなっていて(2)も，もう一方の頂点のコインの表裏は 1 通りに決まには，すべて表のコインが置かれているので，任意る（1 通りに決まるだけで，対角線上のコインに表の対角線の両端の頂点におくコインは，その対角線，ということがわかります．
裏は左右される）上にあるコインの枚数によってこのことを使えば，5 本中 4 本目の対角線までは，条件より，正 n 角形の内部にある対角線の交点奇数個のとき：表，裏，1 枚ずつ条件をみたすように頂点にコインを置けそうです．

偶数個のとき：共に表

特に今回は対角線が星形になるので，一筆書きの要と決まる．

2か共に裏【※】以下，ある対角線上にあるコインの個数の(2) は (1) とは異なり，対角線上の交点には，すべ偶奇を考える．ある対角線を選べば，その両端でなて表のコインが置かれているので，その枚数の偶奇い頂点の個数は (n - 2) 個であり，n が奇数より，(nさえわかれば，両端の頂点に置くべきコインの表裏- 2) も奇数となる．この奇数個の頂点が，選んだ対が決まります．
そこで，(1) とは少し違った実験をしてみましょう．

角線から見て，一方の側ともう一方の側に「奇数個と偶数個」または「偶数個と奇数個」(1) の解答の図より，正五角形においては，任意のと分かれるので，選んだ対角線から見て，一方の側対角線上の交点は 2 個ずつ，つまり偶数個ずつになっからもう一方の側に対角線を引くとています．これは，他の正奇数角形ではどうなって「奇数個の頂点から偶数本ずつ対角線が伸びる」いるのでしょうか？

正七角形でやってみると……

かまたは「偶数個の頂点から奇数本ずつ対角線が伸びる」のいずれかになる．よって，最初に選んだ対角線上には，他の対角線との交点が，必ず偶数個できる．
【※ここまで】
以上より，任意の対角線上には，表のコインが偶数枚置かれているので，両端の頂点におくコインは共に表か共に裏……4 個のとき，6 個のときと，個数に違いはあれ

B1

ど，任意の対角線上には偶数個ずつの交点がありまが必要である．

すね．正九角形などでも試してみると，他の正奇数

次に，頂点 A1 から順に，反時計回りに見て 2 つ多角形でも偶数個ずつになります．

先の頂点に向けて対角線 A1A3,A3A5,A5A7,B「予想したら『文字定数で説明』かを順に引いていくと（もし頂点が，番号順に並んで『数学的帰納法』で一般化」

いない場合も，同じように 2 つ先の頂点と対角線をしたいので，先の正七角形において，交点の個数が結んでいく），【※※】奇数と 2 が互いに素であるこ4 個や 6 個に決まる仕組みを考えてみると……とから，n 本の対角線を引く間に，すべての頂点を1 回ずつ通り，最後に A1 に戻る．【※※ここまで】
よって，（最後に引く対角線は An-1A1 であるが，この一つ手前の）対角線 An-3An-1 までの (n - 1) 本の対角線において，両端の頂点におくコインの表裏を考えると，1 よりすべての頂点に表のコインを置く［奇数個の○から，偶数個の□に引くとき］すべての頂点に裏のコインを置くのいずれかが必要で，逆にこのとき，任意の対角線上にある表のコインは偶数個となるので十分である．
ゆえに，求める場合の数は，2 通り．
［考察］［偶数個の○から奇数個の□に引くとき］

・【※】について3

……と，このように，選んだ対角線から見て，一方いに素であることから（n 個先の頂点は数えずに飛の側ともう一方の側に，対角線の両端ではない頂点ばすことになるので）2n 個目のときになります．
この 2n 個目に到達するまでに，n 個の頂点を通っが，「奇数個と偶数個」または「偶数個と奇数個」に分かれているから，必ずある対角線上の交点の個ていて，しかも，その途中の頂点も 2n 個先に進む数は偶数個になる，というわけなのです．ここまでまでは同じ頂点にはならないはずなので，すべて異分かれば，後はこれを一般的に文字定数で説明すれなる頂点を通っていることになります．
よって，今いる頂点からみて 2 個先の頂点と対角ばＯＫです．

線を結んでいけば，すべての頂点を 1 回ずつ通りながら，各頂点に置くコインの表裏を順に決めていけ・【※※】について【※】より，ある対角線を選べば，両端の頂点にるわけです．

置くコインの表裏が［考察ここまで］

共に表か共に裏（余談）のいずれかになることまではわかったのですが，ど全部表とか全部この問題で証明なしに用いてよい，とした「n が裏なら，たしかにうまくいきそうですが，「共に表」奇数のとき，正 n 角形の 3 本の対角線が 1 点で交わと「共に裏」が混ざっていてもうまくいくような，ることはない」という命題は 1963 年に証明されて上手な置き方があるかもしれませんので考察が必要いるとのこと．また「n が素数のとき」に条件を変です．

えると，少し易しくなり 1962 年に証明されています．

ちらを選べばいいのでしょうか？

ここで思い出して欲しいのが (1) で，(1) は対角線

「n が素数のとき」の証明は『複素数平面』の知識と，が星形で，一筆書きですべての頂点を通ることがで根気よく場合分けする能力があれば読むことができきたため，（必要条件ではありましたが）最後の 5ると思いますので，興味のある強者はチャレンジし個目の頂点まで，順にコインの裏表を決めていくこてみてはどうでしょうか．
（数学科とができました．今回も（すべての対角線を一筆書きするのは無理としても）対角線を引いていくことで，すべての頂点を 1 回ずつ通るようにできれば，順に頂点におくコインの表裏を決めていけるはずです．
ここで注目したいのが，今回は頂点の個数，つまり n が奇数であり，2 となら必ず互いに素になれる，という性質です．
ある頂点 A1 から初めて，反時計回りに，A1 の隣の頂点 A2 から順に１つずつ数えていったとき，再び頂点 A1 が現れるのは，n 個目，2n 個目，3n 個目……というように，n の倍数個だけ数えたときになりますが，これをすぐ隣ではなく，A3，A5，A7…・というように，2 個先の頂点を数えていったとすると，次に A1 を数えることになるのは，n と 2 が互4中西）