計測白勤制御学会東北支部第177回研究集会〔1D鵬．1U．31）
資料番号177−7状態空間のファジィ分割による制御系の設計
ADesignofControllerUsingFuzzyStatesSpaceDivision○坂田宗久，大久保車範

OMunehisaSaka亡a，SigenoriOkubo
山形大学

Ⅵ1magataUniversity
キーワード：状態空間のファジィ分割〔ru呵Sl21te叩aCedivisioユ1），線形化〔1i【1earlize）．
ファジィモデル（rしl㍑ymOd咄安辻解析（stabilityaェIaly占i＄）

連絡先：〒那闇米沢市城南4−ニ】一用山形大学大学院工学研究科機械システム⊥学専攻大久保研究重坂田宗久∴取1∴（023日）26−3246．Fax・＝〔02謂〕24−64姑E−Ⅰ−1礼i】＝bs止且ta伽叫3470．yヱ．y皿agatユーn．aC．jp

1． はじめに入力を滑らかに接続する。その際．ファジィモデ
ルを用いたリアプノフの安定論を用いることによ制御器設計の目的は言うまでもなく制御系をり、安定性を考慮した設計を行っている。

安定化し、かつ、希望の応答を実損することである。よって、ファジィ制御器の設計においても、安2．問題の設定定性の概念は欠かすことのできないものである。
J■，ガが壬の隕なる関数とはならない（オートノ

ファジィ制御の安定解析の方法としては様々な方法マス）非線形システムが行われており、羊なところでは、ファジィ制御器を普通の制御と比較し論じている北村1〕や弓丘、荒木2）らのルーリエ系の絶対安定問題や前町村上3）叫）＝ 丑拍〕⊃叫））＋dらのリミットサイクルを考慮した位相面での解析拍）二 ≦巾ニH〕÷rf。

がある。また、田中、菅酔〕はプラントのファジィモデル化により、リアプノブ関数を川いて安定解について考える。エ．上，叫を基準伯として析を行っている。ファジィモデルとは、エキスパー

トがいないプラントを対象とする場合、あるいは坤）＝ エi＋△ユ車）

オペレ一夕より良い制御を削旨すためにプラントt巾〕二 叫＋△叫）の特性をけ一班eTl形式で記述したものである。

本稿では、非線形モデルを各制作点まわりで線形近似し、ファジィ制御を用いてプラントヘのとおくと、式（3）より・・■1＋持帰両＋d坤）＝△叫）

4坤牛卜月1u（り＋Jい＝ま，叫〕（6）を得る。またJ（ユ巾），叫 をェ宣≡叫の近傍でテー＋d・−4苛一旦叫

ラー展開すると木津〕＋且項牛トdi叫高・J．・拍）【lり〔坤）ご去）＋g（．Ti）＋d。

∂こrJ〔坤甘坤））＝ Ci（叫）−ごiトト葺（ごi）＋屯J〔∬i，叫）＝ Ciユ：M＋g（ごri）＋d。−Clごt

1＋ −i△咄孟1！

＝ Ciユ巾）＋屯．

＋叫動刷

（12〕

勇一且，C 王丑≡d。iはそれぞれ式（13ト〔17）であ1＋‡叫）孟＋△璃‡コ∫柚る。

即（苫i，叫）‡△叫孟＋△7咄叫〔Tl1）！

．−jニーい∂∬XJ〔ェi＝叫）∂J（∬j，lり〔14）∂7⊥・十 凡、〔7）ヨCl＝二＝〕．】

d卓 ＝ d−4苛一坊t上i札＝沖叫）孟叫り訂（1G）d√J・三 ＝（7。−C査ごt

XJ（ごi＋β△叫）コ叫＋β△坤））

（17〕

脚

ただし、諾，諾はヤコピ行列であり以下のよう0＜β＜1に定義される。
式（7）より高次項を切り捨て、式（6）を用いると＋J（∬i，叫）＋d監⁝設監

∂u

監弛抽

△可り＋弛晦叫）人＿＿′．、．即〔ごi，lりI？．丁：斗∵⁚声昔恥即缶・上汁r・．
△叫）

り・デを得る。同掛こ乙巾）についても以下の」二〔で与え∂t亡＝・られる。

各行別の次元は以下のとうりである。

州＝△朴卜抽・√j。（10）几⊂月柑畑，βl∈毘れ・柚㌧q∈月月XTl△坤〕コ△一U・回を消去すると

コ＝何∈∬了，叫〕∈月n，抽〕∈月ぎ

即（ごi，・両Jj車）∂ェ∂J〔ごi，叫）1￣∂む

次に式（11〕，〔12〕を用いて目標値をrとしたとき．

匝同一萌）

r一封→口となるサーボ系を設計する。叫）を次式〔封〔り−7J・i〕＋J（ごi，ui〕＋｛よのように定義する。

功〔項トコ：t）＋β1ト（り−叫〕］2Ⅶ

式〔29）のメンバーシップ㈲数より各規則の適台度
叫（t）は式〔30）で与・えられる。
叫〕＝ e＝二r拍）〔20）

二 7−−q項）（21〕w・再）＝e叩‡（zヰーヱ王）7「（ヱ＋−エ出（叫ここでeは偏差である。式〔11）っ（21〕より勘22）

ファジィ制御器からの出力は式（31）となる。

で表される状態力▲程式を得る。

﹈ご

卜ハリ

∑叫（岬ヱ（りT上‖r

L−−−し琉＋1﹂γnU﹁﹂−山﹁．．∃し■﹁旦0﹂1日﹁−・．・一U︺﹁■■■．．J

芳■・レナんY．1′．−1ヽヽl■ノノ離

﹁■■■L

dト

上王＝1

上〔3り重油弓aqE
t＝1〔22）

各勤作点まわりで線形近似された砿，旦如，仁■油症
坤〕†d由っ塩，d占・iを式〔23ト（26）のように置き換を用いて疋mの極配道によるレギュレーターの設えると、式（22〕は式（27）となる。

計により、フィードバック係数君を求める。

珊＝［詫言］

3．2 制御系の安定解析（23）﹈nUl■・−rL

β1−⊥

CnU

A

月 0・叫 r卜﹇A．1

プラントの特性をげ一触m形式で記述したファ（24）ジィモデルを川いる。後件郡には関数型を使用す（25〕る。ファジィモデルの記述形式には、後件那が線﹈形関数になっているのが最も適しているからであ（2G）る。ファジィラベルも使用可能だが．プラント法貝r」
叫）＝Aβ五言（り＋且甜‖−トdj壱の扱が膨大になってしまう恐れがある。それはプ（27）

ラントは制御器に比べ、一般に次元が大きいからである。まず、・般的な安定解析の方法を説明す

3．設計及び安定解析

る。プラントより以下のルールが得られたとする。

3．1制御器の設計
ファジィルールを後件削が関数型で表現される盲Jg（小旗仇抽聞

関数型推論法を用いる。

坤〕＝丸主項〕＋月古盲」〜巾）＋d．i

拍）＝仁 ．正之（り：−：i」：l式（32）のルールで与・えられている連続系のファ叫）＝丑山巾〕＋月ぷⅠ叫トトd8宣盲Jヱ（申ゴロi班em

ジィモデルは式〔33）で与えられる。ファジィモデ拍）＝C∫iヱ（りルの前件郎には状態変数のみが仕われてし1るもの

肌dl巾）＝彗ヱ（t）〔28）とする。すなわち、叫（りは状態変数のみに依存すメンバーシップ関数を式（29）と定義する。

るもとのする。

J叫（り＝e叩（〔坤トヱ竃）丁七（まトヱ出 〔29〕

∑叫〔り抽i坤）＋坑川柳）拍）＝±呈

叫〔小ま時間亡に依存せず、l即f】までの適合度を表し占∑舶）ている。入力の非ファジィ値がが与えられたとき、l＿上ー3−ファジィ制御器のルールが式（＝判で与えられた

本来、干渉項は無視できない要素であるが、本とするとファジィ制御系全体のモデルは式（31）を稿では、安定解析の簡易イヒを考え、干渉項を無視式〔33〕に代人して、式〔34）で与えられる。

するものとする。またメンバシップ関数同士を可能な限り遠ぎけることによって、干渉項を微少なJヱものとして無視することも可能である。

∑∑叫（叫（町有・＋β副〕7⊥拍）はファジィモデルの前件部のファジィ集合

1＝lj＝1拍）

∴十】

亡J

∑∑両小川

から求められる各規則の適合度であり、各時間tでl＝1J二1次の条件が成り立つものとする。

亡∑7ノ州d五1＝1（34）叫（り ≧ nF叫（り己T＝1∑叫（り ＞ 0

本稿では、ファジィモデルを以下のルールで与竃＝1

ま ＝1，2⊃．．．，ヱえる。

リアプノブの直接法を用いれば、式〔36）で表叫）＝4耶長巾）＋β5il巾）」・・転け互小品坊拍亡托現されるファジィモデルが安定となるための十分拍）＝C一っ王ヱ車）

条件は∀王∈（1，2⊃…月に対して式（40）の条件を

αn〔h申）＝牲拍）

浦たす共通の正定封称行列Pが存拝することであ〔35〕

これより、制御系全休Ⅵモデルは式〔叫で与えり、ファジィシステムは大域的漸近安定となる。

られる。

（』。i＋β占且i）rf〕十P〔A．扇＋月βt彗）くU（叫J∑Ⅷ潮（バ。宣−＋月占iJl〕

4．磁気浮上車制御のシミュレーシi＝1叫）項）ョン

4．1 磁気浮上車のモデル
（3G）

J＝ H

式（34〕と式〔36）の速いi・ま、式（36）はファジィプラントに、直乱 入力を組み込んだ系として考えていることである。これは、ファジィ制御からの「「入力のメンバーシップ鳩が1上ノj何＝1の時のみを考えていることになるD しかし、ここで式（34）を変形してし1くと、式（叩で与えられる干渉噴GiJのJ〟g存在が問題となる。
Fip；・11／TodclofmagncticRoat・ing亡ar

CiJ＝（点上＋且q・〕＋〔月J＋町用（37〕ー4−Fig・1は磁気浮上亜を簡単に模擬したものである。

インダクタンスが，叫＝・J（41）

ごFig．2 GerleralmodelinsiLIlul山ir〕nで与えられたとき、吸引力は粧〔坤2‡Figr3 Fu叫rIrlO｛1elinstabiLityanalJrS上S〔42）したがって、磁気浮上車の運動方和式は式〔43）
よ＝1，ご1。＝10〔〔ml）

nリl︑．

′．−■■ヽ

ロロ

4

良U

O

ハnリ

O

∵nU

515日U

On＝【（l・3030

平衡点を芸＝エ肌朋＝・山。とすると290U−1（43）

ハ〃＃

盲粛

ハU

〃崖＋＝

19G

0．・1l−
八￣l′こ！

700︵‖U1で与えられる。

宜＝2⊃∬1。＝20（cけ1）
nU
OnU

9呂nU

ノ12＝

これより、目標値を才一、外乱をdiとした線形近nU

l0〔44）（49）−1似サーボ系は坤）＝れ（t）−叫）＝現車〕とすると式

巧＝【0▼3586 0▲0303 ¶0．1212】〔50）〔45）で与えられる。
豆＝3，エ1。＝3n（r汀rり︹XU︹VU90O O

O 1nU490

一・しl−〔46〕

r1 00−1

4．2 制御器の設計及び安定解析

凡＝［≠4冊7

設計及び制御についてはFig．2で示すモデルを、0．†〕GO610・2424】（5∠1）

各点でのメンバーシップ関数叫‖を式〔55）

安定解析についてはFig．3で示すモデルをそれぞれN〔5割と定義し、Fig＿4で図示する。

使用する。

叫‖ ＝ e叩（〔ご．（り−10〕21〔55〕

各パラメータを財＝1・0胸），打＝3叫仙T12／A2〕，

明何 ＝ e叩（（れ（り−2畔）〔56）

β二9▼B（mノ占2）とする∴平衡点をご1。＝叫20，30，40（亡Tm）と与えれば、止血且七，d古五，君〔盲＝1へ′4〕が求めら明（り ＝ eユ：可（ご1（亡トー叫2‡〔57）

れる8それぞれの相はト2・−4 G】とした。

叫（り ＝二 巳叩（（れ（り40）コ）〔叫−5−︶18410君U﹂︼0︹Unリ五＝4，諾1。＝4ロト了可（45）拍）＝ h（り ご2（り 叫）】TnU りム 八U＋l−O nU

O nU nリl nUnUl nU nU

O架ユニ．Jf』＝［0■4140

P＝

5．05

0．153

口．153

0．U961 −0．0104−5＿74 口．0104

5．74

乱81

4．3 シミュレーション結果
Fi邑■5NFi呂・7はファジィ制御による結果である。

Fi昌．5は目標値γに対する応答であり、外乱d＝0である。時間嗅）の経過により7せ以下のように与えた。

ロく 壬 ≦6 r＝35（亡m〕

Fi苫■4 れ′Icnb亡rS山pfun亡tioll

6く t ≦1コ 7，＝0．1〔亡†n）

次にこのシステムの安定性について考える。

12＜ f ≦18 r＝30〔m）

このシステムが安定であるための条件は式18＜ ￡ ≦24 r＝50（cアナも）（40）を満たす止定対称行列Fが存在すること

24く よ ≦30 rニニ1U（亡m）と等価である。本稿ではPを以下の方法で求Fig・Gはr＝25〔c叫＝一定としたときのdに対める。式（40）よりする応答であり、8く王≦25の臥d＝5．0（叩を、その他の時間ではd＝0を与え続けている。Fi呂．7
吠拝＋Pルす5i＝一日

爪先去二A．示＋旦J㌔は目標値と外乱が混在したときの応茶であり、H（59）

怯値や外乱はFig．5，Fig．Gと同じ条件である。いず（60〕れも別期条件としてェ］＝3D（c叩り，エ2＝口を与えてQは正定対称行列である。式（叫は2つの写いる。

像†拉伊を用いることにより式（叫のように変換できる。
⊂J︵∈且lH

4

TJ（九九l押（P〕＝−り柑）〔61〕

つJ別ま全朋寸であるので、叩〔鳩1）が止別ならばつム〃は式（62）で得ることができる。

P＝β1卜‡り〔蝿i）1￣1β〔切］〔62）

式（62）より式（40）のま＝1〜4を満たす北通のPを試行錯誤的に求めると式（G3）で表されFj昌・5 FuzEyCOntrOlforreferenceるPを得る。

−6−−（G3〕

G．4を用いた模索などが考えられる。

参考文献
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7）11」中・・男：アドバンストファジィ制札共立出版株
式全判二（1脾1）8）菅野道夫ニファジィ制札日刊工業新聞祉〔ユ9呂7）

上→1ig・7 Fumy controlhr rel■erence and disLulLrl〕a11C〔・

5．おわりに非線形モデルの線形化により、檀接、入力を組み込んだiJ班巳円形式のファジィモデルを作成し、リアプノブ関数を用いた制御系の安定解析の簡易化を行った。その結果はFig．5 〜Fig．7から分かるように、様々に変化する目標値や外乱に対して、安定した制御結果が得られた。本稿で示した安定解析の方法は、従束の方法に比べ簡易化されているが、それでも式（4U〕を満たす共通の正拉対称行列ダを見つけるのは困難であり、これに関しては−7］