線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (D506) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 3 回（’15 年 10 月 21 日：Keywords · · · ベクトル空間、部分ベクトル空間、基底）まとめ.
3-1. ベクトル空間・・・加法とスカラー倍が定義されている集合で、教科書の定義 6.1 の性質を満たnn
すもの．R 、C 、実数係数多項式全体 R[x]、実数列全体 s(R) = {(xn )|xn ∈ R}、
3-2. 部分（ベクトル）空間・・・W ⊂ V が V の部分（ベクトル）空間であるとは、W , ∅ かつ、任意の v, w ∈ W, α ∈ C に対して V の加法とスカラー倍を使って、(1) v + w ∈ W かつ (2) α · v ∈ W を満たす集合のこと．
ベクトル空間の部分ベクトル空間はベクトル空間である．
3-3. 基底・・・{v1 , v2 , · · · , vn } ベクトル空間 V の基底であるとは、v1 , v2 , · · · , vn が一次独立で、任意のv ∈ V がこれらの一次結合 c1 v2 + · · · + cn vn として表されるということ．v1 , v2 , · · · , vn が一次独立とは、c1 v2 + · · · + cn vn = 0 ならば、c1 = c2 = · · · = cn = 0 を意味する．
有限生成なベクトル空間の次元はその基底の数と定義する．
ベクトル空間が有限生成とは、ある有限個のベクトル {v1 , · · · , vn } が存在して、任意の v ∈ V がこれらのベクトルの一次結合で書けることをいう．
3-4. K[x]・・・K を係数とする多項式関数の集合．K[x]n によって K[x] 内の n 次以下の多項式全体を表す．
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今日の課題.
1. 抽象ベクトル空間とは何か？計算しながら理解すること．
有界数列全体 {(xn ) ∈ s(R)| ∃ M s.t. |xn | < M, ∀ n ∈ N} ⊂ s(R)、K[x]3 ⊂ K[x]....
2. 抽象ベクトル空間の基底とは何か？数ベクトル空間と一般のベクトル空間がどのように違うのか？
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A-3-1. [ベクトル空間であること]次の集合はベクトル空間であることを示せ．

(1) V = C2

(2) V = R[x]3 (高々2 次の R 係数の多項式)  x1 
(3) V = |2x−x=0

12
 x2

(4) C (R 上ベクトル空間として)A-3-2. [ベクトル空間]
次の集合は（通常のベクトルの和とスカラー倍として）ベクトル空間にならないことを示せ。

(1) V = { f (X) ∈ R[x]4 | f (0) = 0, f (1) = 1}

A-3-3. [基底]次のベクトル空間の基底を一つ求めよ．

 
 x1 (2) V = |2x−x=1


12


 x2
2x + x2 − x3 = 0
t3  1(2) v=(x,x,x)∈R|123
3x1 − x2 = 0(1) R[x]2

A-3-4. [基底]次のベクトルはベクトル空間 V において基底であることを示せ．

(1) V = C[x]2 , {x, x2 + 1, 2 − x + x2 }(2) V = C[x]3 , {1 + 2x, 2 + 3x − x3 , 1 − x + 2x2 , 1 + x + x3 }(3) V = {v ∈ C3 |x1 + x2 + x3 = 0} とする．{t (1, −1, 0), t (0, 1, −1)}———————————————————————————————————————————————

B-3-1. [ベクトル空間であること]次の集合はベクトル空間になることを示せ．

(1) 有界数列全体．

(2) [0, 1] 上の連続関数全体 C([0, 1])．

B-3-2. [係数が ±1 となる多項式]

C[x]2 において、xi の係数が ±1 となるベクトルの中から、C[x]2 上で基底となるようなものが選ぶことができるか？

B-3-3. [連立一次方程式の解の空間の基底とその次元]

2 3 1 0  を考える．V = {v ∈ Cn |Av = 0} と定義する．このとき、V の基
2 × 4 行列 A = 1 0 1 −4
底と、その次元を求めよ．

B-3-4. [正の実数上のベクトル空間]
教科書 p139 例 6.2 では、通常の演算では R>0（正の実数全体）はベクトル空間にならないと書いてあるが、ベクトルとしての足し算、スカラー倍を通常ではないものを入れることによって、ベクトル空間が作れるか？

B-3-5. [基底]次のベクトルは、R[x]7 で基底となるか？

{x7 , (x − 1)7 , (x − 2)7 , (x − 3)7 , · · · , (x − 7)7 }B-3-6. [ベクトル空間としての第一象限]
平面上の第一象限 {(x, y) ∈ R2 |x, y > 0} をベクトル空間とみなすことができるか？

B-3-7. [実数列]以下の問題に答えよ．

(1) 実数列全体 s(R) = {(xn ) ∈ RN |xn ∈ R} が自然にベクトル空間となるには、加法、スカラー倍をどのように定義すればよいか？
(2) s(R) の中の部分集合 s(R) f を s(R) f = {(xn ) ∈ s(R)| 有限個の n 以外全て 0} とおく．このとき、V はベクトル空間であることを示せ．またその次元は有限次元ではないことを示せ．

(3) s(R) f の中の部分集合 s(R) f,0 を s(R) f,0 = {(xn ) ∈ s(R)| 有限個の n 以外全て 0 かつ∞∑xn =n=10} とおく．このとき、 s(R) f,0 はベクトル空間であることを示し、その基底は、ei , (i =1, 2, · · · ) であることを示せ．ただし、ベクトル ei は、ei = (xn ) としたときに、


1n=i



xn = −1 n = i + 10その他として定義される．

B-3-8. [スカラー倍]
実平面 R2 上に、ベクトルの足し算を通常どおり、スカラー倍を以下のようにすると、ベクトル空間が出来上がるか？

(1) c ∈ R に対して、c(x, y) = (cx, −cy) とする．
(2) c ∈ R に対して、c(x, y) = (cx, c2 y) とする．

B-3-9. [有限生成ベクトル空間の一次独立なベクトルの最大]
V を有限生成なベクトル空間とする．このとき、ある n が存在して、V の中の任意の n + 1 個のベクトルが一次従属であり、また n 個の一次独立なベクトルが存在することを示せ．
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C-3-1. [ベクトル空間]
次の集合は C 上のベクトル空間になるか、もしなるなら証明を、そうでないなら、理由を付して説明せよ．
V = { f (x) ∈ C[x]3 || f (1) = f (2) = 0}

C-3-2. [基底]次のベクトルは、R[x]2 上基底となるか、示せ．

{1 + x − x2 , 2 + 2x + x2 , 1 − 3x + 2x2 }C-3-3. [ベクトル空間]
n 次多項式の集合 R[x]n について以下の問題に答えよ．ただし、B1 , B2 をそれぞれ、{1, x, · · · , xn }および {1, x − 1, · · · , (x − 1)n } と定義する．
（もし一般の n で分からなければ、n = 3 でやってみてもよい．
）(1) B1 , B2 は V = C[x]n の基底であることを示せ．
(2) 任意の k (0 ≤ k ≤ n) に対して、ベクトル xk を {1, x − 1, · · · , (x − 1)n } の一次結合で表せ．
(3) V の部分ベクトル空間 W には、任意の 0 ≤ k ≤ n に対してある k 次式が存在するとする．
このとき、W = V であることを示せ．
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