第 10 回 2012.11.12

正規空間, 曲面の分類, p-進トポロジー, 未消化問題

正規空間の部分空間は正規空間とは限らない．
（全ての部分空間が正規となるとき、遺伝的正規という．
）
例 26 N をニェミツキー平面（第 6 回）とする．N の外部の点を ν とする．このとき、N ∪ {ν}において N には普通の位相を入れておき、ν の近傍を、(pi , 0)（i = 1, · · · , n）を任意にとり、{ν} ∪ N \ (U1 ∪ · · · ∪ Un ) をとる．ここで、Ui は (pi , 0) の近傍である．このとき、N ∪ {ν} は正規空間だが、N は正規空間ではない．

∂X = bd(X)（X の境界）とする．埋蔵（単射な連続写像）のことを埋め込みともいう．ここでコンパクトな 2 次元位相多様体を単に曲面という．

曲面の分類
境界のない曲面は #n T 2 もしくは #n RP 2 と同相となる．

Σ \ D は境界付き曲面となる．Σ0 を境界を持つ 2 次元多様体とする．このとき、区間の埋蔵
a : I ,→ Σ0 で境界 a(∂I) ⊂ ∂Σ0 となるとき、a を固有 (proper) 埋蔵という．区間の固有埋蔵が境界非本質とは、ある円板の埋蔵 D2 ,→ Σ0 が存在して、∂D2 = I ∪ α であり、α は ∂Σ0 内の区間と同相な部分集合であり、α ∩ I = ∂α = ∂I を満たすときをいう．区間の固有埋蔵が境界非本質でないとき境界本質という．
固有埋蔵 a, a′ が平行とは、ある円板の埋蔵 D2 ,→ Σ0 が存在して、∂D2 = a ∪ α ∪ a′ ∪ α′ となる．
ここで、α, α′ はそれぞれ ∂Σ0 の区間に同相な部分集合で、∂a ∪ ∂a′ = ∂α ∪ ∂α′ である．このとき 2 つの区間埋蔵が平行という．また、a を Σ0 の境界非本質な区間とするとき、それに沿った下のような切り開きを a による曲線分解という．Σ →a Σ′ と書く．
2aα∂Σ0∂Σ0D2αα′

D2a′a区間の境界非本質埋蔵

平行な区間の埋蔵

a曲線分解∂a が異なる境界の連結成分に属するときできる曲面は連結である．
（）∂a が同じ境界の連結成分に属するとする．
補題 1 もし曲面 Σ に本質的曲線が存在しないとすると Σ はいくつかの 2 次元円板と同相．
[証明] 任意の区間 a を Σ の中の任意の成分に埋め込む．このとき a の両側は D2 と位相同相であるから、任意の成分が D2 ∪ D2 /a ≈ D2 となる．
命題 Σ0 を曲面とする．(∂Σ0 ̸= ∅ でもよい．) このとき、非本質的曲線 a1 , · · · , an による有限回の曲線分解により、いくつかの連結成分からなる 2 次元円板が得られる．
2Σ0 →a1 Σ1 →a2 · · · →an Σn = ∪mi=1 Di[証明] （略）この列を境界のないコンパクトな曲面 Σ として、Σ \ D2 に対してこの列を応用する．さらに
2
この列の逆を辿ることにより、曲面は Σ = D2 ∪ ∪ni=1 [ai × (0, 1)] ∪ ∪mi=1 Di が得られる．この分解からバンド ai × (0, 1) を滑らすことで（第 5 回）D2 にバンドを接着する形に変えることができる．さらにこれらのバンドを整理することで、T 2 のいくつかの連結和と RP 2 のいくつかの連結和の標準的な切り開きの形にもっていくことができる．
（略）
例 27 [p-adic（p-進）整数トポロジー] Z には実数の距離から来る距離位相以外に数論的に距離を構成することができる．p をある素数として固定する．s, t ∈ Z として、u ̸ |p となる u, v をとって s − t = upr と書くことができる．このとき |s − t|p = 2−r とすると、| · |p は距離の性質をもつ．この距離は普通の 3 角不等式より強い |n − m|p ≤ max(|n − l|p , |l − m|p )（非アレキメ
デス的距離）を満たす．また、この位相は Bn (r) = {r + upn |r, u ∈ Z} を開基とするような Z上の位相と同じである．またこの距離によって完備化して得られる空間を Zp (p-進トポロジー)と呼ぶ．{a0 + a1 p + a2 p2 + · · · + an pn } （0 ≤ ai < p）はコーシー列であり、Zp は収束する．
∞∑よって、∀x ∈ Zp の元は x =ai pi (p 進展開) となる展開で表される数と一致する．Zp には環i=0の構造も持つので代数的には p-進整数環と呼ぶ．
例 28 [Spec(R)] R を環とする．X を R の素イデアル全体の集合とする．C ⊂ X が閉集合であることを、あるイデアル I ⊂ R が存在して、C = {P ∈ X|I ⊂ P } となることである．このような位相を X に定めた位相空間を Spec(R) とかき、このようなトポロジーをザリスキートポロ
ジーという．
13 章までで予約されず、解かれずにのこった演習の答え．
演習 12.11 (1) αR = S 1 を示す．φ : R → S1 を φ(r) = (2r/(r2 + 1), (r2 − 1)/(r2 + 1)) とすると、この写像は有理関数で得られるので明らかに連続である．またこの写像は立体射影を通して得らθれているので全単射である．また、r = tan とおくと、θ を (cos θ, sin θ) とすることで φ の逆写2像を与えており、明らかに連続である．よって、φ は同相写像である．ここで、S1 \ {(0, 1)} ≈ Rに (0, 1) を付け加えることで、S1 = R ∪ {∞} が得られる．S1 の R2 からの部分位相としての開集合は、(0, 1) を含まなければ普通の S1 \ {(0, 1)} の開集合と同じ．V が (0, 1) を含むとすると、(S1 \ {(0, 1)}) \ V は S1 \ {(0, 1)} の中のコンパクト集合となる．つまり S1 はコンパクト化である．
演習 9.4 から B2 /bd(B2 ) ≈ S2 であり、int(B2 ) ,→ R2 として有界な開集合であるから、演習
13.5 から α(B2 ) ≈ B2 /S1 ≈ S2 となる．
(2) f を X = (0, 1] ∪ [2, 3) → [0, 1] \ {1/2} として

f (r) ={
(1 − r)/2 r ∈ (0, 1]
2 − r/2r ∈ [2, 3)と定義すると、f は全単射である．f, f −1 は 1 次関数であるためどちらも連続である．ゆえに、
f は同相写像である．また、1/2 を付け加えることで、写像 f˜ : X ∪ {p} → [0, 1] が得られる．ただし、f˜(p) = 1/2，f˜|X = f である．V ⊂ [0, 1] を開集合とし、1/2 ∈ V を満たすとする．このとき、[0,⨿1] \ V = X \ (V \ {1/2}) であるから、X 内のコンパクト集合である．
1(3) S
S 1 / ∼ で R2 の中の (1, 0) の点を同士を同一視してできる商空間となる．ちょうど 8を紙面に埋め込んだときに得られる部分位相空間である．
(3) のようないくつかの S 1 上の一点を同一視してできる空間はブーケと呼ばれている．