Skaczàcy liderzy
Ian Stewart przeskakuje odst´py pomi´dzy liczbami pierwszymi

WSZYSTKIE ILUSTRACJE: BRYAN CHRISTIEM

atematyka jest pe∏na niespodzianek. Kto na przyk∏ad móg∏ przypuszczaç,
˝e coÊ tak prostego, jakliczby naturalne (1, 2, 3, 4...) mo˝e zrodziç coÊ tak skomplikowanego jak liczby pierwsze (2, 3, 5, 7...)? Sposób budowy liczb naturalnych jest oczywisty:
jakàkolwiek wybierzemy, bez problemu okreÊlimy, która b´dzie nast´pna.
Nie mo˝na tego powiedzieç o liczbach
pierwszych. A jednak przejÊcie od liczb
naturalnych do pierwszych jest ∏atwe.
Po prostu bierzemy liczby, które nie majà dzielników w∏aÊciwych.
O liczbach pierwszych wiemy mnóstwo, znamy nawet pot´˝ne wzory dajàce dobre przybli˝enia, kiedy brak odpowiedzi dok∏adnych. Twierdzenie orozmieszczeniu liczb pierwszych mówi,
˝e liczba liczb pierwszych mniejszych
od x jest równa w przybli˝eniu x/ln x,gdzie ln oznacza logarytm naturalny.
Stàd na przyk∏ad wiemy, ˝e jest oko∏o4.3 × 1097 liczb pierwszych majàcych
mniej ni˝ 100 cyfr – ale dok∏adna ich liczba jest wielkà niewiadomà.
Ostatnio Andrew Odlyzko z AT&TLabs, Michael Rubinstein z University ofTexas i Marek Wolf z Uniwersytetu
Wroc∏awskiego zwrócili uwag´ na odst´py pomi´dzy kolejnymi liczbami
pierwszymi. W artykule w Experimental Mathematics (tom 8, nr 2, 1999) zadali pytanie: Jaka liczba jest najcz´stszymodst´pem pomi´dzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mniejszymi odx? Pytanie to postawi∏ pod koniec lat
siedemdziesiàtych Harry Nelson z Lawrence Livermore National Laboratory.
Póêniej John Horton Conway w celu
opisania tych liczb uku∏ nazw´ „skaczàcy liderzy”.
Liczbami pierwszymi mniejszymi od
50 sà: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,37, 41, 43 i 47. Ciàg odleg∏oÊci – ró˝nicpomi´dzy kolejnà liczbà pierwszà i nast´pujàcà po niej – to 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2,4, 6, 2, 6, 4, 2 i 4. Liczba 1 pojawia si´tylko raz, poniewa˝ wszystkie liczby
pierwsze oprócz 2 sà nieparzyste. Pozosta∏e odleg∏oÊci sà liczbami parzystymi. W wypisanym ciàgu liczba 2 pojawia si´ szeÊç razy, 4 – pi´ç razy, a 6 –dwa. Zatem gdy x = 50, najcz´stszà odleg∏oÊcià jest 2, i dlatego w∏aÊnie ta liczba jest skaczàcym liderem.

Czasem kilka odleg∏oÊci wyst´pujejednakowo cz´sto. Na przyk∏ad gdy
x = 5, odleg∏oÊciami sà 1 oraz 2 i obie
liczby wyst´pujà po razie. Dla wi´kszych x jedynym liderem jest 2 a˝do x = 101, kiedy zaszczyt ten dzielà 2i 4 [ilustracja poni˝ej]. Póêniej liderem
jest 2 albo 4, albo obie te liczby a˝ dox = 179, kiedy 2, 4 oraz 6 remisujà. Wtym miejscu 4 i 6 odpadajà, a 2 króluje
samodzielnie a˝ do x = 379, kiedy remisujà 2 i 6. Powy˝ej x = 389 skaczàcym
liderem jest g∏ównie 6, od czasu do czasu remisujàc z 2 albo 4 lub z nimi obiema. Gdy jednak x przebiega od 491 do
11222

34541, skaczàcym liderem staje si´ znowu
4. Od x = 947 jedynym liderem jest 6 ibadania komputerowe pokazujà, ˝e nie
traci tego tytu∏u do co najmniej x = 1012.
Rozsàdne zatem wydaje si´ przypuszczenie, ˝e gdy pominiemy poczàtkowà
rywalizacj´ z 1, 2 i 4, jedynym d∏ugodystansowym liderem pozostanie 6. Okazuje si´ jednak, ˝e wzorzec utrzymujàcy si´ do liczb rz´du bilionów mo˝e si´zmieniç, gdy liczby stanà si´ jeszcze
wi´ksze. W∏aÊnie wtedy pojawia si´ niespodzianka. Odlyzko i jego koledzy dostarczyli przekonujàcego argumentu, ˝egdzieÊ w pobli˝u x = 1.7427 × 1035 ska-5

2

6

4

7

8

9

4

16

17

18

19

31

32

33

46

47

48

20

21

22

23

24

34

35

36

37

38

49

50

51

52

53

64

27

39

40

41

65455566667686977

78

91

9293

2930424344455758596072737475

888990103

104 ............

4227071679808182

838494

95

9697

98

99

88586

87

100

101

102

42

10............ 407

408

409

410

411

412

413

414

2

415

416

10421

422

423

424

425

426

437

438

439

440

441

6436

15

286476142465132

2646631225662

11
66

6142

10

417

418

419

420

432

433

434

4352427

428

429

430

431

442

443

444

445

446

447

448

449 ............

961

962963964

4

6

14............ 952

953

954

955

956

957

958

4966

967

968

969

959

960

6

970

971

972

965
6973

974

975

976

977

978

979

980

988

989

990

991

992

993

994 ............

8

981

982

983

984

985

986

987

ODLEG¸OÂCIAMI, które wyst´pujà najcz´Êciej pomi´dzy kolejnymi liczbami pierwszymi, dla liczb mniejszych od 1000, sà liczby 2, 4 oraz 6. Nikt jednak nie zna skaczàcych liderów dla bardzo d∏ugich ciàgów liczb pierwszych.

ÂWIAT NAUKI Luty 2001 77

Rekreacje matematyczne

TEORIA LICZB_LICZBY PIERWSZESkok dla 2d = 210

8Liczba odst´pówlg N(x, d)Rekreacje matematyczne

1044x=264
20x = 220100

200300Rozmiar odst´pu (2d )

400

500

WYKRES LOGARYTMICZNY obrazuje, w jaki sposób liczba odleg∏oÊci pomi´dzykolejnymi liczbami pierwszymi mniejszymi ni˝ x zmienia si´ wraz z wielkoÊciàodst´pu (2d). Z wykresu wynika, ˝e 210 mo˝e byç skaczàcym liderem.
czàcy lider zmienia si´ z 6 na 30. Zasugerowali tak˝e, ˝e zmienia si´ on ponownie, tym razem na 210, w pobli˝ux = 10425.
Poza liczbà 4 przypuszczalni liderzyuk∏adajà si´ w elegancki wzór, który staje si´ oczywisty, gdy roz∏o˝ymy te liczby na czynniki pierwsze:
2=2
6=2×3
30 = 2 × 3 × 5
210 = 2 × 3 × 5 × 7
Ka˝da z tych liczb jest iloczynem paru kolejnych liczb pierwszych. Kilka nast´pnych to 2310, 30 030 i 510 510. W artykule Odlyzko i wspó∏autorzy stawiajà
hipotez´ skaczàcych liderów: skaczàcymi liderami sà iloczyny kolejnych liczb
pierwszych oraz liczba 4.
A oto pobie˝ne wyjaÊnienie ich analizy: ka˝dy, kto patrzy na ciàg liczb
pierwszych, zauwa˝a, ˝e doÊç cz´stodwie kolejne liczby nieparzyste sà
pierwsze: 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19. Hipoteza
liczb bliêniaczych mówi, ˝e istnieje nieskoƒczenie wiele takich par. Oparta jestna pomyÊle, ˝e liczby pierwsze pojawiajà si´ „przypadkowo” wÊród liczb nieparzystych, z prawdopodobieƒstwemokreÊlonym przez twierdzenie o rozmieszczeniu liczb pierwszych. OczywiÊcie brzmi to jak nonsens – liczba albo
jest pierwsza, albo nie jest; ˝adne prawdopodobieƒstwo nie odgrywa tu roli.
Jest to jednak umiarkowany nonsens
w przypadku tego typu zadania. Zgodnie z obliczonym prawdopodobieƒstwem nie ma szans na to, aby lista liczbbliêniaczych by∏a skoƒczona.
A co z kolejnymi trzema liczbami nieparzystymi, które sà liczbami pierwszymi? Jest tylko jeden taki przypadek: 3,5, 7. Gdy dane sà trzy kolejne liczby nieparzyste, to jedna z nich musi dzieliç si´78 ÂWIAT NAUKI Luty 2001

przez 3, wi´c nie jest ona liczbà pierwszà poza przypadkiem, gdy jest ona w∏aÊnie równa 3. Tak rozumujàc, nie mo˝na jednak wyeliminowaç uk∏adów p, p ++ 2, p + 6 oraz p, p + 4, p + 6, a wydaje si´,˝e wyst´pujà one doÊç cz´sto. Na przyk∏ad pierwszy z tych uk∏adów spe∏niajà liczby 11, 13 i 17, a nast´pnie 41, 43
i 47. Drugi typ uk∏adu pojawia si´ dla
7, 11 oraz 13 i znowu dla 37, 41 oraz 43.
Oko∏o 80 lat temu angielscy matematycy Godfrey Harold Hardy i John
Edensor Littlewood przebadali uk∏ady
tego typu zawierajàce wi´ksze liczby.
Stosujàc rozumowanie probabilistyczne podobnego rodzaju jak opisane dla
przypadku liczb bliêniaczych, wydedukowali dok∏adny wzór na liczb´ ciàgów
liczb pierwszych o danym wzorcu odleg∏oÊci pomi´dzy nimi. Wzór jest skomplikowany, wi´c nie b´d´ go tu przytacza∏; zainteresowanych odsy∏am doartyku∏u w Experimental Mathematicsi za∏àczonej tam bibliografii.
Z pracy Hardy’ego i Littlewooda
Odlyzko i jego koledzy wyodr´bnili
wzór na N(x, d), czyli liczb´ odst´pów
wielkoÊci 2d pomi´dzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, dla liczb
mniejszych od x (u˝ywamy 2d zamiastd, poniewa˝ wielkoÊç odst´pu musi byçliczbà parzystà). Oczekuje si´, ˝e wzór
ten zachodzi tylko wtedy, gdy 2d jest
du˝e a x jest du˝o od niego wi´ksze. Rysunek po lewej pokazuje, w jaki sposóblg N(x, d) zmienia si´ w zale˝noÊci od
2d dla 13 wybranych wartoÊci x pomi´dzy 220 a 244 (lg oznacza logarytm przypodstawie 10). Ka˝da z wykreÊlonychlinii jest w przybli˝eniu prosta, ale widaç na niej mnóstwo „skoków”. Szczególnie widoczny jest skok dla 2d = 210,przypuszczalnego skaczàcego lidera dlabardzo wielkich x. (By∏oby to jeszcze
bardziej widoczne, gdyby nie sp∏aszczenie przez logarytm.) Tego typu informacje sugerujà, ˝e wzór na N(x, d) nie
jest zbyt odleg∏y od rzeczywistoÊci.
Gdy 2d jest skaczàcym liderem, wartoÊç N(x, d) musi byç doÊç du˝a. Najlepszym kandydatem jest liczba majàca du˝o dzielników pierwszych. Pozatym 2d powinno byç liczbà tak ma∏à, jakto tylko mo˝liwe w tych warunkach, zatem najrozsàdniejszy wybór stanowiàiloczyny kolejnych liczb pierwszych.
Znany skaczàcy lider 4 jest tu prawdopodobnie wyjàtkiem. Poza tym pojawiasi´ on dla wielkoÊci, w przypadku których wzór na N(x, d) nie jest dobrym
przybli˝eniem. Wzór pozwala tak˝eoszacowaç, kiedy dany iloczyn liczb
pierwszych przejmuje prowadzenie jako nowy lider.
Co zosta∏o do zrobienia mi∏oÊnikom
matematyki rekreacyjnej? OczywiÊcie,udowodnienie lub obalenie hipotezyskaczàcych liderów. JeÊli nie uda wamsi´ ˝adna z tych rzeczy, spróbujcie poszukaç innych interesujàcych w∏asnoÊci odst´pów pomi´dzy kolejnymi liczbami pierwszymi. Na przyk∏ad któraz odleg∏oÊci pomi´dzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi mniejszymi
od x pojawia si´ najrzadziej? A która
odleg∏oÊç jest najbli˝sza Êredniej? Z tego co wiem, pytania te nadal pozostajà
bez odpowiedzi, nawet dla relatywniema∏ych wartoÊci x.
SNS P R Z ¢ ˚ E N I E _ Z W R OT N EWodcinku dotyczàcym paradoksów logicznych [„Paradoks utracony”, sierpieƒ 2000] twierdzi∏em, ˝e paradoks „niespodziewana klasówka” opierasi´ na ró˝nym rozumieniu s∏owa „niespodziewana” i w ogóle nie jest paradoksem. Kilku czytelników zwróci∏o mojà uwag´ na artyku∏ zatytu∏owany „Surprise Maximization” (Maksymalizowanie zaskoczenia) w American Mathematical Monthly (tom 107, nr 6, czerwiec–lipiec 2000). Autorzy definiujà miar´ zaskoczenia i pytajà,
jakà strategi´ winien obraç nauczyciel, by zmaksymalizowaç zaskoczenie uczniów.
W konkluzji stwierdzajà, ˝e wybierajàc dzieƒ klasówki, nauczyciel powinien u˝yçtakiego rozk∏adu prawdopodobieƒstwa, który przypisuje niedu˝e, mniej wi´cej jednakowe prawdopodobieƒstwo poczàtkowym dniom tygodnia i znaczàco wi´kszedniom koƒcowym. Wed∏ug tej strategii najcz´Êciej wybieranym dniem klasówki by∏by piàtek.