３章

方程式4 方程式の利用⑶図形への利用⑴ ～面積の公式～

学習 1問題▶チェック問題 扌 P89

底辺が 12 cm，面積が 36 cm2 の三角形がある。この三角形の高さは何 cm か。
三角形の高さをxcm とすると，

解

1×12×x＝36 より，x＝621三角形の面積は， ×(底辺)×(高さ)2

高さが6cm のとき，三角形の面積は答

1×12×6＝36 (cm2) で，問題に適している。
26 cm

1 次の問いに答えよ。
□⑴■

高さが5cm で，面積が 20 cm2 の三角形がある。この三角形の底辺は何 cm か。

□⑵

面積が 54 cm2 のひし形がある。一方の対角線が6cm のとき，もう一方の対角線は何 cm か。

□⑶■

上底が7cm，高さが6cm，面積が 60 cm2 の台形がある。この台形の下底は何 cm か。

□⑷周の長さが 24∏ cm の円がある。この円の半径は何 cm か。
図形への利用⑵ ～面積の公式の利用～

学習 2
問題

周の長さが 54 cm で，横の長さが縦の長さの2倍より3cm 短い長方形がある。この長方形の面積は何 cm2 か。
長方形の縦の長さをxcm とすると，横の長さは (2x−3) cm と表せるから，

解｛ x＋(2x−3)｝2＝54 より，x＝10

長方形の周の長さは，2×｛(縦の長さ)＋(横の長さ)｝

縦の長さが 10 cm のとき，横の長さは 2×10−3＝17 (cm) で，問題に適している。
よって，長方形の面積は，10×17＝170 (cm2)
答2170 cm

注意 x＝10 は，長方形の縦の長さを表している。
問題で問われているのは面積であることに注意。

2 次の問いに答えよ。
□⑴■

周の長さが 60 cm で，横の長さが縦の長さより6cm 長い長方形がある。この長方形の面積は何 cm2 か。
□⑵

高さが4cm で，上底が下底より2cm 短く，面積が 28 cm2 の台形がある。この台形の上底を2cm 長くして平行四辺形にすると，面積は何 cm2 になるか。
★

3 次の問いに答えよ。
□⑴■

図右の図1で，四角形 ABCD は長方形，

図
A

9 cm

D

点Eは 辺 CD の 真 ん 中 の 点， 点Fは 辺BC 上の点である。三角形 AEF の面積

8 cm

A E

6 cm

7 cm

FCDEが 28 cm2 のとき，CF の長さは何 cm か。
□⑵

右の図2で，四角形 ABCD，EFGD

BFC

B

Gは平行四辺形で，辺 BC，FG を底辺としたときの高さはともに6cm である。三角形 DCG の面積が 15 cm2 のとき，四角形 ABFE の面積は何 cm2 か。
860062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

862023/08/16

14:53:15

4

学習 3

図形への利用⑶ ～点の移動～

右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで

問題

→PA

毎秒2cm の速さで動く。次の問いに答えよ。
⑴

方程式の利用⑶D6 cm

点PがAを出発してからx秒後の三角形 PCD の面積を，xを使ったもっとも簡単な式で表せ。

BC12 cm⑵

三角形 PCD の面積が 15 cm になるのは，点PがAを出発してから何秒後か。

解⑴ 点PがAを出発してx秒後には，AP＝2x cm，PD＝AD−AP＝12−2x（cm）となる。

211
よって，三角形 PCD の面積は， ×PD×CD＝ ×（12−2x）×6＝−6x＋36（cm2）22⑵ 三角形 PCD の面積が 15 cm2 のとき，−6x＋36＝15 より，x＝3.5x＝3.5 のとき，三角形 PCD の面積は−6×3.5＋36＝15（cm2）で，問題に適している。
⑴ −6x＋36 (cm2)

答

注意 12÷2＝6（秒）より，点Pは出発して6秒後にDに着くので，xの値の範囲は0≦x≦6 である。方程式の解がこの範囲にあることも確認しておくこと。

⑵ 3.5秒後

4 右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで毎秒→PA3cm の速さで動く。次の問いに答えよ。

□⑴■

点PがAを出発してからx秒後の三角形 PCD の面積を，xをD12 cm使ったもっとも簡単な式で表せ。
□⑵■

三角形 PCD の面積が 63 cm2 になるのは，点PがAを出発してB

18 cm

5 右の図の長方形 ABCD で，点Mは辺 BC の真ん中の点である。まA12 cm

速さで動く。点PがCを出発してからの時間をt秒として，次の問8 cm

Cから何秒後か。
★

Dた，点Pは辺 CD，DA 上をCからDを通ってAまで，毎秒1cm の↑P

いに答えよ。
□⑴
①□⑵
①□⑶
★
★

tの値が次のときの三角形 AMP の面積は何 cm2 か。
t＝3 のとき② t＝8 のとき

BCM

③ t＝10 のとき次のときの三角形 AMP の面積を，tを使ったもっとも簡単な式で表せ。
点Pが辺 CD 上にあるとき②

点Pが辺 DA 上にあるとき

三角形 AMP の面積が 30 cm になるときのtの値をすべて求めよ。
26 右の図の長方形 ABCD で，点Pは辺 AD 上をAからDまで毎秒2cm の速さで，点Qは辺 CB 上をCからBまで毎秒3cm の速A→PD

12 cm

さで動く。点QはBに到達すると止まるが，その後も点PはDに向かって動き，Dに到達して止まるものとする。このとき，長方BQ←30 cm

C形 ABCD を直線 PQ によって2つに分けた図形のうち，頂点Aをふくむ方の図形をSとする。
2点P，QがそれぞれA，Cを同時に出発するとき，次の問いに答えよ。
□⑴

図形Sが長方形になるのは，2点P，Qが出発してから何秒後か。

□⑵

図形Sの面積が 156 cm2 になるのは，2点P，Qが出発してから何秒後か。すべて求めよ。
870062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

872023/08/16

14:53:15

３章

方程式

学習 4

規則性への利用⑴ ～数の表～

右のカレンダーで4つの数を問題で囲み，その和を考える。

日

月 火 水 木

4つの数のうち最小の数をnとして，次の問いに答えよ。

2345891011121314 15161718192021 22232425262728 293031

n＝17 のとき，4つの数の和を求めよ。

67⑵

4つの数の和が72のとき，nの値を求めよ。
4つの数の関係は，右のようになっているから，4つの数の和は，nn＋1

n＋7n＋8土1⑴解金

n＋(n＋1)＋(n＋7)＋(n＋8)＝4n＋16⑴ 4n＋16 に n＝17 を代入すると，4×17＋16＝84⑵ 4つの数の和が 72 になるとき，4n＋16＝72 より，n＝14⑴答

これは問題に適している。

⑵ n＝1484

7 右の図のように，自然数を1から順に6つずつ並べた表で，5つの数をで囲み，その和を考える。5つの数のうち，真ん中の数をnとして，次の問いに答えよ。

12345678910 11 12

13 14 15 16 17 18

規則性への利用⑵ ～図形と規則性～

1辺が2cm の正六角形を右の図のように規則正しく並べて問題

⁝学習 5

⁝

5つの数の和が 200 のとき，nの値を求めよ。

⁝□⑵
■

⁝

19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30⁝

n＝27 のとき，5つの数の和を求めよ。

⁝□⑴
■

2 cm

図形を作っていく。次の問いに答えよ。
⑴

正六角形を4個並べたとき，図形全体の周の長さは何 cm か。

⑵

図形全体の周の長さが 156 cm になるのは，正六角形を何個並べたときか。

解

正六角形が1個のときの周の長さは 12 cm で，正六角形が1個増えるごとに周の長さは8cm ずつ増えていく。
⑴ 12＋8×（4−1）＝36（cm）

はじめの 12 cm に，8cm を（4−1＝）3回たせばよい。

⑵ 正六角形をn個並べたときの図形全体の周の長さは，12＋8（n−1）＝8n＋4（cm）
これが 156 cm になるとき，8n＋4＝156 より，n＝19n＝19 のとき，図形全体の周の長さは 12＋8×（19−1）＝156（cm）で，問題に適している。
⑴

答

36 cm

⑵ 19個

8 右の図のように，1辺6cm の正方形の紙を，のりしろ6 cmの部分が1辺3cm の正方形になるように貼り合わせて図形を作っていく。次の問いに答えよ。

□⑴■

図形全体の周の長さについて

3 cm

①

正方形の紙を4枚使ったとき，図形全体の周の長さは何 cm か。

②

図形全体の周の長さが 120 cm になるのは，正方形の紙を何枚使ったときか。

□⑵

図形全体の面積について①

正方形の紙を4枚使ったとき，図形全体の面積は何 cm2 か。

②

図形全体の面積が 360 cm2 になるのは，正方形の紙を何枚使ったときか。

880062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

882023/08/16

14:53:16

4

チェック問題

方程式の利用⑶4 方程式の利用⑶

レベル１

1 次の問いに答えよ。
□⑴■

底辺が8cm で，面積が 16 cm2 の三角形がある。この三角形の高さは何 cm か。

□⑵■

上底が下底より1cm 短く，高さが8cm の台形がある。この台形の面積が 52 cm2 のとき，上底は何 cm か。
□⑶

周の長さが10∏ cm の円がある。この円の面積は何 cm2 か。

□⑷

周の長さが 54 cm で，横の長さが縦の長さの2倍より9cm 短い長方形がある。この長方形の面積は何 cm2 か。

2 右の図で，三角形 ABC は角Bが 90° の直角三角形である。点PAは辺 AB，BC 上をAからBを通ってCまで，毎秒2cm の速さで動く。点PがAを出発してからの時間をt秒として，次の問いに答え

8 cmP↓よ。
□⑴
■
①□⑵
■
①□⑶
■

tの値が次のときの三角形 APC の面積は何 cm2 か。
t＝1 のとき②B

C12 cmt＝7 のとき次のときの三角形APCの面積を，t を使ったもっとも簡単な式で表せ。
点Pが辺 AB 上にあるとき②

点Pが辺 BC 上にあるとき

三角形 APC の面積が 32 cm になるときのtの値をすべて求めよ。
23 右の図のように，1から1順に奇数の書かれたカードを規則正しく並べていく。

3579111315アイ

次の問いに答えよ。
□⑴■

図のア，イにあてはまる数をそれぞれ答えよ。

□⑵■

3枚のカード 7911に書かれている奇数の和は 27 である。このようにに書かれている3つの奇数の和が 117 になるとき，この3つの奇数を求めよ。

レベル２★

4 右の図のように，縦1cm，横2cm の長方形のタイルを規則正しく並べ，1番目，2番目，3番目，4番目，……と図形を作っていく。次の問いに答えよ。
□⑴

6番目の図形に使われるタイルの枚数と，図形の周の長さを求めよ。
□⑵

図形の周の長さが 150 cm になるのは，何番目の図形か。
890062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

892023/08/16

14:53:17３章

方程式章末問題 1
レベル１

1 方程式 x3 ＋4＝−2x−10 を右のように解いた。
□■の中には，間違いがある。最初に間違って書いた

式はどれか。ア～エの中から1つ選び，記号で答えよ。
また，正しい解を求めよ。

2 次の方程式を解け。

x＋4＝−2x−10 の解き方
3方程式

x＋2x＝−10−4
3……アx＋6x＝−14……イ

7x＝−14……ウ

x＝−2……エ□ ⑴ 9−4（3x−2）■＝7−10x□⑵5（3x−4）＝3（6x−7）＋13□⑶■

5−0.3x＝1.4−0.06x□⑷

2.9＋x＝−（0.65x＋0.4）□⑸■

1
5 3x− ＝ x＋1
62 4□⑹

xx＋1＝ −373□⑺■5x−7x−3−1＝812□⑻

3x−2 x＋3−＝−554□⑵

9：4＝（x＋8）：（18−x）

3 次の比例式を解け。

□ ⑴ （1＋3x）■：5＝7：2

4 次の問いに答えよ。

★

□⑴■xについての方程式 ax−3（a−2）
x＝5x＋21 の解が x＝−3 のとき，aの値を求めよ。

□⑵

xについての方程式

2x−a 2＋ax＋＝1 の解が x＝−4 のとき，aの値を求めよ。
57a5 4つの数a，b，c，dについて， cbd＝ad−bc とする。例えば，

3456＝3×6−4×5＝−2である。次の問いに答えよ。
□⑴

8−697を計算せよ。

□⑵

472x＝115x−3−1を満たすxの値を求めよ。

900062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

902023/08/16

14:53:18

３章

方程式章末問題 2レベル２

1 次の問いに答えよ。
□⑴

十の位と一の位の数の和が 11 である2桁の自然数がある。この数の十の位と一の位の数を入れかえてできる数は，もとの数を3倍したものより5大きい。もとの自然数を求めよ。
□⑵

1本90円のお茶と1本120円のジュースを合わせて14本買ったところ，代金の合計は1500円になった。お茶とジュースをそれぞれ何本買ったか。

□⑶

姉は1000円，妹は800円を持っている。同じ値段のケーキを姉は1個，妹は2個買ったところ，姉の残金は妹の残金の8倍になった。ケーキ1個の値段は何円か。
□⑷

右の図のようにマッチ棒を並べて右方向に正方形を作っていく。
400本のマッチ棒で正方形は何個作れるか。

★

2 次の問いに答えよ。
□⑴

A地点からB地点までの道のりは 2.1 km である。TさんはA地点からB地点まで，はじめは分速 60 m で歩いていたが，途中から分速 150 m で走った。このとき，A地点からB地点までにかかった時間は，すべてを分速 60 m で歩いたときより6分短かった。Tさんが走った道のりは何mか。
□⑵

あるマラソン大会の昨年の参加者は男女合わせて2750人だった。今年の参加者は，昨年より男子が6％減り，女子が8％増え，男女合わせて2760人だった。今年の男子の参加者は何人か。

★

3 図1のように4段に並べられた10個のの中に，次の手順で数字を書いていく。

1段目…連続する4つの偶数を左から順に書く。
2段目…1段目のとなり合う2つの数の和を書く。
3段目…2段目のとなり合う2つの数の和を書く。
4段目…3段目の2つの数の和を書く。

図1
1段目
2段目
3段目
4段目

図2
1段目 2

46 8
10 14
3段目 16 24
4段目 40

2段目 6

図2は，1段目に4つの偶数 2，4，6，8 を書いた場合である。次の問いに答えよ。
□⑴

1段目のいちばん左に8を書いたとき，4段目に書かれる数はいくつになるか。

□⑵

4段目に書かれる数が 168 のとき，1段目に書かれた4つの偶数の和はいくつになるか。

910062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

912023/08/16

14:53:18

３章

方程式章末チャレンジ問題 1
チャレンジ レベル１

1 次の方程式を解け。

★

□⑵

3.5−□⑶2
5  7 1−xx＋ ＝ −92 86□⑷1
x−1  1 x−4
1−− ＝＋35
4  23□⑸1−x2−x1−2x−＝3×5×7 5×7×9 7×9×11□⑹

8x＋11x−5−0.8（7x−1）＝0.9（x−4）−
153□⑵

5  2（x＋2）
5：4＝ x＋ ：
932 次の比例式を解け。
□⑴★

3x−10＝4.5x7□ ⑴ 0.7（1.3x−5）＝x＋0.01

x＋3 2−x：＝25：12
6
5

3 次の問いに答えよ。
□⑴

xについての方程式 5x＋4a＝1−ax の解が，2x−3＝4x−11 の解より1小さいとき，aの値を求めよ。
□⑵

xについての方程式 3x−ax＋2＝5（x−2a）の解が，4x−7＝2（x−1）＋9 の解より2大きいとき，aの値を求めよ。
□⑶

a☆b＝a−b＋ab とする。例えば，2☆5＝2−5＋2×5＝7 である。このとき，
（x☆6）
☆
（−4）
＝1を満たすxの値を求めよ。
★

4 次の問いに答えよ。
□⑴のクリップをKさん，Lさん，Mさん，Nさんの4人で次のように分ける。まずKさんが全体15をもらう。次にLさんが10個をもらう。3番目にMさんが残りの をもらい，最後にNさ39んが残った24個を全部もらう。クリップは最初に何個あったか求めよ。
□⑵

画用紙をA，B2つの箱に分けると，Aの箱は全体の24よりも600枚多く，Bの箱は全体の57よりも500枚少なくなった。最初の画用紙の枚数を求めよ。
□⑶

ある高校の入学試験を450人が受験し，その80％が合格した。合格者の平均点は不合格者の平均点より20点高く，受験生全体の平均点は71点だった。合格者の平均点を求めよ。

920062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

922023/08/16

14:53:19

３章

方程式章末チャレンジ問題 2
チャレンジ レベル２★

1 大きい水そうがあり，これを満水にするにはホースAだけだと40分かかり，ホースBだけだと60□分かかる。この2つのホースで同時に水を入れはじめ，しばらくしてからホースAから毎分出る水の量を25％にし，さらにその10分後にホースBから毎分出る水の量も25％にしたところ，42分で満水になった。ホースAから毎分出る水の量を25％にしたのは，水を入れはじめてから何分後か。

2 連続するn個の整数の和が12000になるものを考える。

★

□⑴

n＝3 のとき，その3個の整数を小さい方から順に答えよ。

□⑵

n＝125 のとき，その整数の中でもっとも大きい整数を求めよ。

3 サイクリングコースが池のまわりにあり，1周は 1800 m である。AさんとCさんは同じ向きに，Bさんは2人とは逆向きに，それぞれ一定の速さで走っている。CさんはAさんに20分ごとに追い抜かれ，BさんとCさんは6分40秒ごとにすれ違う。また，Aさんの速さは毎分 220 m である。このとき，次の問いに答えよ。

★

□⑴

Cさんの速さは毎分何mか。

□⑵

AさんとBさんは何分ごとにすれ違うか。

4 さやかさんの家は父，母，兄の4人家族で，さやかさんは今日が誕生日である。7年前のさやか□さんの誕生日のときの兄の年齢は，そのときのさやかさんの年齢の4倍であった。さやかさんが生まれたときの母の年齢は，そのときの兄の年齢の6倍であった。今日の4人の年齢の和は117歳で，父は母より3歳年上である。今日の兄の年齢を求めよ。

★
★

5 ある工場では，右の図のように2つの並んでいる直線状のベルトコンベヤーを利用して部品の検査を行う。検査区間
は 12 m で，ベルトコンベヤーAは 12 m 動くのに60秒かかり，ベルトコンベヤーBは 12 m 動くのに20秒かかる。検査する

検査区間
ASA

動く方向➡

TAB
SB

部品は，A，Bどちらもそれぞれ等間隔に並べてあり，その間隔はBがAよりTB14m 長い。8時3025分に同時に SA，SB から部品が動き出した。8時37分にA，B両方で部品が同時に TA，TB を通過した。この7分間で TA，TB を通過した部品の個数は等しかった。このとき，次の問いに答えよ。
□ ⑴ Aにおいて，部品の間隔は何mか。
□ ⑵ 8時37分までに TA，TB を通過した部品の個数は，合わせて何個か。
□ ⑶ TA，TB を通過した部品の個数が合わせて1400個になる時刻を求めよ。
930062-0093_1_新中問数学_発展編_1年_Ind21.indd

932023/08/16

14:53:19