7式の利用

出題パターン

12のめやす・12点程度
・₂問程度
・₈分程度



ある中学校の数学の授業で，S さんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［S さんが作った問題］
図1a，b，h を正の数とする。

AD

右 の 図 1 で， 四 角 形 ABCD は，AB=acm，AD=bcm の 長M方形である。
四角形 ABCD の 2 つの対角線の交点をMとする。

B

右の図 2 に示した立体は，図 1 の四角形 ABCD を，四角形ABCD と垂直な方向に，一定の距離だけ平行に動かしてできたC

図2

直方体を表している。
点Mが動いてできた線分の長さをhcm，この立体の体積をA

Pcm3 とするとき，体積 P をa，b，h を用いた式で表してみよう。
BDM
CT さんは，［S さんが作った問題］の答えを次の形の式で表した。Tさんの答えは正しかった。
〈T さんの答え〉 P=〔問 1〕〈T さんの答え〉の
アh(a+b)

イに当てはまる式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

2h(a+b)

ウエ 2abhabh〔〕先生は，［S さんが作った問題］をもとにして，次の問題を作った。
［先生が作った問題］

図3

a，b，ℓを正の数とする。
右の図 3 に示した立体は，図 1 の四角形ABCDを，頂点A，BAを通る直線を軸として 1 回転させてできた円柱を表している。

M

点Mが動いてできた円の周の長さをℓcm，この立体の体積をVcm3 とするとき，V=abℓとなることを確かめなさい。

DBC〔問 2〕［先生が作った問題］で，V=abℓとなることを証明せよ。
ただし，円周率はp とする。


ポイント

式の利用に関する問題は，出題パターンのように，作成した問題に答えるという形式で出題される。問題の内容をしっかりと読みとり，文字式を利用した証明ができるようにしておこう。
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8ある中学校で，S さんが作った問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［S さんが作った問題］
図1

右の図 1 は，整数を規則的に並べたものである。
図 1 において，25 個の数の中から，縦と横がともに 3 マスの正方形の枠を用いて，1 マスに 1 個の数が入るように，9 個の数を囲むことを考える。
右の図 2 は，図 1 において，縦と横がともに 3 マスの正方形の枠を用いて，四すみのうち，左上の数が 3 ，右上の数と左下の数が 5 ，右下の数が 7 となるように 9 個の数を囲んだ場合を表している。
囲んだ 9 個の数の四すみの数について，左上の数と右下の数の和を P，右上の数と左下の数の和をQ としたとき，P+Qの値が整数の 2 乗で表される数となる 9 個の数の囲み方は，全部で何通りあるか調べてみよう。

〔問 1〕 次の

図212345123452345623456345673456745678456785678956789の中の「あ」に当てはまる数字を答えよ。

 ［S さんが作った問題］で，P+Qの値が整数の 2 乗で表される数となる 9 個の数の囲み方は，全部であ通りある。
あ〔〕

先生は，［S さんが作った問題］をもとにして，次の問題を作った。
［先生が作った問題］
右の図 3 は，整数を規則的に並べたものである。
n を 2 から 9 までの自然数とし，図 3 において，100 個の数の中から，縦と横がともにnマスの正方形の枠を用いて，1 マスに 1 個の数が入るように，n2 個の数を囲むことを考える。
囲んだn2 個の数の四すみの数について，左上の数と右下の数の和をP，右上の数と左下の数の和を Q としたとき，P+Q の値を求める。
例えば，n=4 のとき，左上の数が 6 ，右上の数が 9 となるように 16 個の数を囲んだ場合，+（9+9）=36=4*9となる。
P+Q=（6+12）
また，n=5 のとき，左上の数が 9 ，右上の数が 13 となるように 25 個の数を囲んだ場合，+（13+13）=52=4*13 となる。
P+Q=
（9+17）
図 3 で示した数を，縦と横がともにn マスの正方形の枠を用いて囲むとき，P+Qの値が 4 の倍数となることを確かめなさい。

図312345678910234567891011345678910111245678910111213567891011121314678910111213141578910111213141516891011121314151617910111213141516171810111213141516171819〔問 2〕 ［先生が作った問題］で，縦と横がともにnマスの正方形の枠を用いて囲んだn2 個の数の四すみの数のうち，左上の数を aとする。
 このとき，右上の数，左下の数，右下の数をそれぞれa，n を用いた式で表し，P+Qの値が 4 の倍数となることを証明せよ。
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9

S さんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［先生が示した問題］

a，b を正の整数とし，a＞bとする。
右の図 1 で，四角形ABCDは，1 辺の長さがacm の正方形である。
点 Eは辺AB 上の点であり，AE=bcmである。点Eを通り辺BCに平行な直線と辺CDとの交点をFとする。
点 G は辺AD上の点であり，AG=bcmである。点G を通り辺AB に平行な直線と辺BCとの交点をHとする。
線分 EFと線分GHとの交点をIとする。
2
四角形IHCFの面積をPcm とするとき，P を a，bを用いて表しな
さい。

図1AGDIE

BFCH

S さんは，［先生が示した問題］の答えを次の形の式で表した。Sさんの答えは正しかった。
〈S さんの答え〉 P=〔問 1〕〈S さんの答え〉のアa-bイに当てはまる式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。

abウ 4(a-b)

エ2(a-b)

〔〕S さんのグループは，［先生が示した問題］で示された図 1 をもとにして，次の問題を考えた。
［S さんのグループが作った問題］
a，b を正の整数とし，a＞bとする。
右の図 2 で，図 1 における線分 AE の中点を J とし，点J を通り辺BC に平行な直線と線分GHとの交点をK とする。
辺 AD の中点をL とし，点L を通り辺ABに平行な直線と線分EF との交点をMとする。
線分 JKと線分LMとの交点をNとする。
四角形AJNL の周りの長さをXcm，四角形 NMIK の周りの長さをYcm，四角形IHCF の周りの長さをZcmとするとき，Xなることを確かめてみよう。

1Z=Y と2

図2AJEBL

NMGDKIFCH

1
2〔問 2〕 ［S さんのグループが作った問題］で，X，Y，Zをそれぞれ a，bを用いた式で表し，X- Z=Yとなることを証明せよ。
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1のめやす・46点程度
・₉問程度
・12分程度

特別講座〈大問1〉
1

次の各問に答えよ。

( 23 )+4 を計算せよ。

〔問 1 〕 -6* -〔問 2 〕 7a-5b-(a-3b)〔問 3 〕

〔〕

〔〕

〔〕

〔〕

を計算せよ。

12- 3 *9 を計算せよ。

〔問 4 〕 一次方程式 7x-9=4x-30 を解け。

x+2y=7〔問 5 〕 連立方程式

3x-y=0〔問 6 〕 二次方程式を解け。

x2-7x+12=0〔〕

〔〕

を解け。

〔問 7 〕 下の表は，あるクラスの生徒 12 人について，数学の小テストの結果を表したものである。
四分位範囲を求めよ。

3871062584639 （点）〔〔問 8 〕 右の図のように，2 点 C，Dは線分 AB を直径とする半円 Oの〕

C5 ⌒ ⌒ 1⌒⌒⌒
C=AB，DB= AB である。
AB 上にある点で，A186DE

線分 ADと線分 BC との交点を Eとするとき，∠AEBの大きさは何度か。

A〔BO〕〔問 9 〕 右の図のように，直線ℓ上にない 2 点A，Bがある。
直線ℓ上にあって，2 点 A，Bからの距離が等しい点 Pを定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 Pの位置を示す文字 PAB¬も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
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