素粒子論研究 ･ 電子版 Vol. 42 (2024) No. 2

Soryushiron Kenkyu

SU(3) 格子 QCD を用いた Dimensional Reduction
ゲージにおける QCD の低次元化の解析∗
京都大学大学院

理学研究科

物理学・宇宙物理学専攻
當銘

原子核研究室啓2024 年 2 月 13 日∗

本稿は 2024 年 2 月に京都大学大学院理学研究科に提出した修士論文である。

Soryushiron Kenkyu

概要
量子色力学 (Quantum ChromoDynamics, QCD) は、クォーク・グルーオンの間に働く強い相互作用の基礎理論であり SU(3) ゲージ理論という形式で記述され、ゲージ群の非可換性に由来してゲージ場の自己相互作用が生じる。その結果、漸近的自由性がもたらされ、高エネルギーでは摂動論が有効である。一方、低エネルギーでは著しい強結合性を示し、摂動論を超えた非摂動的な現象が多様かつ複雑な物理を与える。

QCD の非摂動的な現象の 1 つであるクォークの閉じ込めは、クォーク間の線形ポテン
シャルで特徴づけられ、それにはカラー電束が 1 次元的に絞られた「フラックス・チュー
ブの形成」が本質的に重要と考えられている。1 次元的なフラックス・チューブ形成は、

4D QCD における「低次元化」の可能性を示唆しており、この「低次元的性質」を浮き彫りにする目的で、我々は「Dimensional Reduction (DR) ゲージ」という新しいゲージ固定を考案した。この DR ゲージでは、t, z にのみ依存するゲージ関数 Ω(t, z) によるゲージ変換で（2D QCD と同じ）ゲージ対称性が残留し、従って DR ゲージの 4D QCD は

2D QCD と類似のゲージ系になると期待される。本研究では、解析的議論と SU(3) 格子
QCD 計算 [β = 6.0(格子間隔 a ≃ 0.1 fm), クエンチ, 格子サイズ 244 ] を用いて DR ゲー
ジの性質を調べ、以下のような結論を得た。

(1) DR ゲージではグルーオン場の x, y 方向成分 Ax , Ay が抑制されるので、それらを格子 QCD 配位から取り除く「tz-射影」を考え、それによりクォーク間ポテンシャルがどのような影響を受けるかを SU(3) 格子 QCD 計算で調べた。その結果、DR ゲージではクォーク間ポテンシャルが tz-射影で変化せず、グルーオン場の 2 次元的成分のみによって再現されることが分かった。これは「長距離の物理量が 2 次元的な自由度のみで再現できる」という可能性を示唆する。

(2) 解析的議論からは、DR ゲージで tz-射影した 4D QCD は、「近接相互作用をする
2D QCD の類似系のアンサンブル」という描像が得られる。
(3) この描像に現れる 2D QCD 類似系間の相関を格子 QCD を用いて調べた。2D
QCD 系間には exp(−mr)[m ≃ 0.6 GeV] という指数関数的に減衰する相関が見られ、従って 2D QCD 系間の相関長は ξ ≡ 1/m ≃ 0.3 fm という結果が得られた。

(4) この ξ ≃ 0.3 fm 以上で 2D QCD 系間の相関が θ 関数的に切れるという非常に大まかな近似の下では、4D QCD が「結合定数が g2 ≡ gm の 2D QCD 系」のアンサンブルとして記述できる可能性を指摘した。

Soryushiron Kenkyu

目次
第1章

量子色力学の基礎

3

1.1

QCD 作用とゲージ不変性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31.2

経路積分量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

漸近的自由性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

格子 QCD8

2.1

ユークリッド化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82.2

リンク変数とゲージ変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92.3

格子上での作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4

格子 QCD での測定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

QCD とクォーク閉じ込め

18

3.1

線形ポテンシャルとフラックス・チューブ形成 . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2

双対超伝導描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3

最大可換ゲージを用いた双対超伝導描像の概略 . . . . . . . . . . . . . .

21

Dimensional Reduction(DR) ゲージと QCD の低次元化の解析

27

4.1

本研究の動機と方針 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4.2

Dimensional Reduction (DR) ゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.3

DR ゲージ QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.4

tz-射影 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.5

格子上での DR ゲージおよび tz-射影の定式化 . . . . . . . . . . . . . .

32

4.6

格子 QCD 計算を用いた DR ゲージ QCD の解析 . . . . . . . . . . . . .

35

まとめと展望

54

第2章

第3章

第4章

第5章

1

Soryushiron Kenkyu

付録 A

経路積分におけるゲージ固定の方法

58

A.1

ファデーエフ・ポポフの処方. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

A.2

ファデーエフ・ポポフ・ゴースト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

付録 B

経路積分における摂動論の方法

61

付録 C

格子 QCD におけるゲージ固定

64

付録 D

Elitzur の定理についての補足

67

Elitzur の定理の適用条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67d(Uµ , I)2 についての補足

69

E.1

d(Uµ , I)2 の最大値について . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

E.2

ゲージ固定無しの場合の ⟨d(Uµ , I)2 ⟩ = 1 の証明 . . . . . . . . . . . . .

70

D.1
付録 E

参考文献

72

2

Soryushiron Kenkyu

第1章

量子色力学の基礎
ここでは量子色力学 (Quantum ChromoDynamics, QCD) の基礎について解説を行う[1]。

1.1 QCD 作用とゲージ不変性
量子色力学 (Quantum ChromoDynamics, QCD) は量子場の理論の 1 種であり、クォー
ク・グルーオンの間に働く強い相互作用の基礎理論である。数学的には、クォークのカ
ラー自由度を Nc として、特殊ユニタリー群 SU(Nc ) をゲージ群とする非可換ゲージ理論として記述される。QCD に現れる場は、クォーク場 q(x) とゲージ場 Aµ (x) であり、それぞれゲージ群 SU(Nc ) の表現として、クォーク場 q(x) は基本表現、ゲージ場

Aµ (x) は随伴表現に属す。ゲージ場は随伴表現に属すため、リー代数 su(Nc ) の基底
T a (a = 1, · · · , Nc2 − 1) を用いて Aµ (x) = Aaµ (x)T a ∈ SU(Nc ) と表される。
QCD 作用は、Aµ (x), q(x) を用いて


Z
1
4
µν
µ
SQCD [A] = d x − Tr (Gµν (x)G (x)) + q̄(x) (iγ Dµ − m) q(x)
2

(1.1)

と書かれる。第 1 項はグルーオンの運動項および自己相互作用項、第 2 項はクォークの運動項とクォーク・グルーオン間の相互作用項を表す。γ µ (µ = 0, 1, 2, 3) はガンマ行列である。q̄(x) は q(x) の Dirac 共役であり、ガンマ行列 γ 0 を用いて q̄(x) = q † (x)γ 0 と定められる。第 2 項の Dµ は共変微分でDµ ≡ ∂µ + igAµ (x)(1.2)と定義される。g は QCD のゲージ結合定数である。第 1 項の Gµν (x) はゲージ場の曲率

3

Soryushiron Kenkyu

テンソルまたは場の強さと呼ばれる量で、共変微分 Dµ から

Gµν (x) ≡1[Dµ , Dν ] = ∂µ Aν (x) − ∂ν Aµ (x) + ig [Aµ (x), Aν (x)]
ig

(1.3)

と定義される。

QCD 作用 (1.1) は局所的なゲージ対称性を指導原理として構成される。ゲージ変換はSU(Nc ) の元aaΩ(x) ≡ eiω (x)T ∈ SU(Nc )ω a (x) ∈ R(a = 1, 2, · · · , 8)

(1.4)
(1.5)

を用いて、クォーク場 q(x) に対して

q(x) → q ′ (x) = Ω(x)q(x)(1.6)と定義される。これに伴い、共変微分のゲージ変換はDµ → Ω(x)Dµ Ω† (x)(1.7)と定められる。従って、ゲージ場 Aµ (x) はAµ (x) → A′µ (x) = Ω(x)1Aµ (x) + ∂µ Ω† (x)
ig

(1.8)

とゲージ変換をしなければならない。これらのゲージ変換 (1.6),(1.7)（および (1.8)）より、作用 (1.1) の第 1 項、第 2 項はそれぞれ

Tr (Gµν (x)Gµν (x)) → Tr Ω(x)Gµν (x)Ω† (x) · Ω(x)Gµν (x)Ω† (x)= Tr (Gµν (x)Gµν (x))
q̄(x) (iγ µ Dµ − m) q(x) → q̄(x)Ω† (x) iγ µ Ω(x)Dµ Ω† − m Ω(x)q(x)= q̄(x) (iγ µ Dµ − m) q(x)
(1.9)
(1.10)となり、ゲージ不変である。局所的なゲージ対称性の他に、ローレンツ対称性とくりこみ
可能性、そして CP 対称性を課すことで作用は式 (1.1) の形に定まる。

CP 対称性を課さない場合、作用には
µνθTr Gµν (x)G̃ (x)1G̃ (x) ≡ ϵµνρσ Gρσ (x)2!
µν(1.11)という項が含まれ得る（ϵµνρσ は完全反対称テンソル）。式 (1.11) は θ-項と呼ばれ、全微分で書けるため古典的には無視できる（運動方程式に寄与しない）が、量子論では無視で4

Soryushiron Kenkyu

きず CP 対称性の破れを与える。θ-項が存在する場合、中性子の電気双極子モーメントが生じる。2020 年に行われた測定 [2] の結果では、θ の大きさには |θ| < 1.8 × 10−10 という上限が付き、これは θ ≃ 0 とほぼコンシステントといえる。

QCD はクォーク・グルーオンを扱う理論であるが、その正確な取り扱いには量子化が必要である。次節では QCD の量子化の手法として、経路積分量子化について説明をする。

1.2 経路積分量子化
経路積分量子化は、理論に登場する場のあらゆる配位を足し合わせることにより量子効
果を取り入れる方法である。QCD に現れる場はゲージ場 Aµ (x) とクォーク場 q(x) および q̄(x) なので、これらの場の配位をZZ ≡ Dq̄DqDAµ eiSQCD [A,q,q̄]


Y
Df ≡
df (x)

(1.12)x∈spacetimeのように足し上げて生成汎関数を定義する。q(x) の Dirac 共役 q̄(x) は、複素解析で z とその複素共役 z̄ を独立に扱うように、独立とみなす。

Aµ (x), q(x), q̄(x) から構成される演算子 Ô[Aµ , q, q̄] の真空期待値は期待値はZ
1⟨Ô[Aµ , q, q̄]⟩ =Dq̄DqDAµ Ô[Aµ , q, q̄]eiSQCD [A,q,q̄]Z(1.13)

で計算される。
場 Aµ (x), q(x), q̄(x) は連続時空で定義されているため、経路積分は非可算無限の自由度による多重積分であり、自由場など特殊な場合を除いて、実行は難しい。そのため摂動論が用いられることが多い（摂動論については付録 B を参照）。

QCD の経路積分には 2 つ注意点がある。1 つ目は、フェルミオンであるクォーク場
q(x) は反可換なグラスマン数の場として定義するということである。QCD 作用のフェルミオンに関する部分は q(x), q̄(x) は双一次形式で書かれるので、クォーク場の経路積分
は、グラスマン数 q̄i , qj によるガウス積分Zdq̄i dqj exp [iq̄i Mij qj ] = detMを用いて実行可能である。

5(1.14)

Soryushiron Kenkyu

２つ目は、ゲージ場 Aµ (x) およびゲージ対称性に関連するものである。QCD 作用はゲージ対称性をもつが、そのゲージ自由度に由来して摂動論の定義には注意を要する（場の理論における摂動論に関しては付録 B を参照）。摂動論においてプロパゲーターは非常に重要かつ基本的な役割を果たす。QCD 作用 (1.1) の第 1 項において、ゲージ場の 2 次
項は部分積分を用いて
1 
Tr Aµ (x) ∂ 2 η µν − ∂ µ ∂ ν Aν (x)2(1.15)と書ける。プロパゲーターはこの式 (1.15) に出てくる微分演算子∂ 2 η µν − ∂ µ ∂ ν(1.16)の逆演算子として計算できる。しかし、式 (1.16) はゼロ固有値を持つため逆演算子は発散してしまい定義できず、そのゼロ固有値の存在はゲージ自由度に由来している。そのため摂動論を念頭に置いた上でゲージ場の経路積分を連続時空で定義するにはゲージ自由度を取り除く必要があり、その方法がゲージ固定である。経路積分の形式においてゲージ固定の系統的な手法は Fadeev と Popov により発表された（詳細は付録 A を参照）[4]。このような手法を用いることでゲージ場のプロパゲーターを定義し摂動論を展開することができるようになる。

1.3 漸近的自由性
QCD ではゲージ場の自己相互作用により、結合定数 g が高エネルギー領域で小さくなるという漸近的自由性を示す。
量子効果を 1-loop まで含んだ計算では、QCD の結合定数は以下のようになる [5, 6]：

11Nc − 2Nf 3 2
d
2
α
(µ
)
=
−
αs (µ ) + O(αs3 (µ2 )) ,
s
2
2
dµ
48π
2
g (µ)
αs (µ2 ) ≡ R
4πβ(µ) ≡ µ2(1.17)(1.18)

ここで µ はくりこみ点のエネルギースケールであり、gR (µ) はエネルギースケール µ でくりこまれた結合定数、Nf はエネルギースケール µ で massless とみなせるクォークの5フレーバー数である。O(gR) の項を無視してこの微分方程式 (1.17) を解くと

αs (Q2 ) =12π
1
11Nc − 2Nf ln Q2 /Λ2

QCD

6



(1.19)

Soryushiron Kenkyu

図 1.1: 漸近的自由性を示すグラフ。縦軸が結合定数 αs (Q2 )、横軸がエネルギースケール Q。黒線は αs (m2Z ) = 0.1180 ± 0.0009 を用いて 5-loop まで量子効果を取り入れたときの微分方程式 (1.17) を解いた曲線。[3] より引用。

となる。ΛQCD は QCD スケールと呼ばれるパラメーターで、実験から ΛQCD は 200〜

300MeV 程度ということがわかっている。
式 (1.19) より、11Nc − 2Nf > 0 のとき、エネルギースケール Q2 の増加に伴い αs (Q)は減少する。我々の世界では、Nc = 3, Nf ≤ 6 なので、αs (Q2 ) ≪ 1 となる高エネルギー領域では、摂動論が有効である。
これに対し、低エネルギー領域では αs (Q2 ) は大きくなる。特に、Q2 ∼ ΛQCD となる領域では、αs (Q2 ) は摂動的には発散してしまうため、摂動論の適用範囲外となる。
そのため低エネルギー領域の QCD を解析するには、例えば、適当な正則化の下で経路積分を直接的に評価するなど、摂動論を超えた非摂動的な方法が必要となる。格子 QCDは標準的な非摂動的解析手法であり、経路積分をモンテカルロ法により数値的に評価する。次節では、格子 QCD について解説を行う。

7

Soryushiron Kenkyu

第2章

格子 QCD
格子 QCD は格子状に離散化された有限サイズの 4 次元時空上での QCD である[7, 8, 9, 10, 11]。こうすることで経路積分は、非可算無限個の自由度による多重積分から、可算有限個の自由度による多重積分になる。この章では、格子 QCD の基礎事項について解説する [12, 13, 14]。なお以下ではフェルミオンの動的な自由度を無視したクエンチ近似で議論を進める。

2.1 ユークリッド化
ユークリッド化とは、Wick 回転によりミンコフスキー時空からユークリッド時空へ移行する操作のことであり、具体的には虚時間 τ を導入し、実時間 t に対してkt ≡ −iτ, xk ≡ xE
k =x

(k = 1, 2, 3)(2.1)とすることでなされる。上付き添え字 E はユークリッド化をされた量であることを示す。
ユークリッド化 (2.1) に伴い、微分は∂t ≡ i∂τ , ∂k ≡ ∂kE = ∂k(2.2)

となる。微分のユークリッド化 (2.2) から、ゲージ場 Aµ (x) は共変微分 (1.2) を通して

At ≡ iAτ , Ak ≡ AE
k = Ak(k = x, y, z)(2.3)となる。ユークリッド化した時空座標およびゲージ場をxEµ = (τ, x, y, z) = (it, x, y, z)

(2.4)

AE
µ = (Aτ , Ax , Ay , Az ) = (−iAt , Ax , Ay , Az )

(2.5)

8

Soryushiron Kenkyuと表す。
ユークリッド化により作用 (1.1) も変化を受けZ
iSQCD = iZ
d xLQCD → −SE = −d4 xE L E
QCD

4

(2.6)

となり、ユークリッド時空での経路積分は



ZE AE
µ



Z

DAµ e−SE [A ]
E

=

(2.7)

という形式で表される。
以上がユークリッド化およびユークリッド時空での QCD の定式化である。この定式化
では実変数 xE , AE を用いることで、式 (2.6) のように作用 S E が実数になり、従って位相因子 eiSQCD は正の実数 e−SE になる。ユークリッド時空で QCD を定式化する利点はここにあり、正の実数 e−SE を確率の重みと見なせる。これは非常に重要な性質で、格子QCD 計算はこの性質をもとに経路積分の数値的な評価を行う。

2.2 リンク変数とゲージ変換
格子上の理論ではゲージ場はリンク変数

Uµ (s) ≡ eiagAµ (s) ∈ SU(Nc )(2.8)

で記述される（図 2.1 の左側）。ここで a は格子間隔、g は（くりこみスケール a での）ゲージ結合定数、s は格子点の座標である。

図 2.1: 格子上でのリンク変数 Uµ (s)（左）とプラケット Pµν (s′ )（右）。

9Soryushiron Kenkyuµ̂ を µ 方向を指す長さ a のベクトルとすると、リンクは図 2.1 のように 2 つの格子点 sと s + µ̂ を結ぶように µ 方向に伸びた長さ a を持ち、リンク変数 Uµ (s) はこのリンク上に定義される力学変数である。
リンク変数 Uµ (s) のゲージ変換は、ゲージ変換関数 Ω(s) ∈ SU(Nc ) を用いて

Uµ (s) → UµΩ (s) = Ω(s)Uµ (s)Ω† (s + µ̂) ∈ SU(Nc )(2.9)のように、連続理論とコンシステントに定義される [13]。
リンク変数のゲージ変換性 (2.9) は以下の議論から導くことができる。
まず連続時空で 2 点 x, y をつなぐ曲線 C 上の Wilson line を





Z

U (x, y) ≡ P exp igµ

dz Aµ (z)(2.10)

Cと定義する。P は経路順序積を表しており、2 点 x, y をつなぐ曲線を微小区間に分割して各区間を経路に沿った順番に掛けるという操作である。例えば C が直線の場合、Wilsonline はZ yP exp ig

dz Aµ (z) ≡ lim
µ

N →∞

x

N
−1
Y

[1 + ig∆xµ Aµ (x + k∆x)](2.11)

k=0と定義される。ただし ∆xµ = (y µ − xµ )/N である。
ここでゲージ変換 (1.8) を考えると、式 (2.11) の右辺の括弧 [· · · ] の内部は

1
1 + ig∆x Aµ (x) → 1 + ig∆x Ω(x) Aµ (x) + ∂µ Ω† (x)igµµ= Ω(x) [1 + ig∆xµ {Aµ (x)}] Ω† (x + ∆x) + O((∆x)2 ) (2.12)と変換する。従って N → ∞ の極限で定義される Wilson line (2.10) のゲージ変換性は式 (2.12) より

U (x, y) → Ω(x)U (x, y)Ω† (y)(2.13)である。リンク変数 Uµ (s) は、格子間隔 a が十分小さいときの Wilson line U (s, s + µ̂)に対応するため、そのゲージ変換性は式 (2.9) で与えられる。

2.3 格子上での作用
格子上の理論の作用を決定する指導原理は10

Soryushiron Kenkyu

1. 連続極限 a → 0 で連続理論での作用に一致すること
2. 連続理論と可能な限り同様の対称性をもつことの 2 つである。従って、リンク変数のゲージ変換 (2.9) に対して不変な量を構成する必要がある。そのような量は複数種類存在するが、最も簡単かつ標準的で広く用いられているのがプラケット作用である。

2.3.1 プラケット作用
プラケット Pµν (s) はリンク変数を用いて以下で定義される：

Pµν (s) ≡ Uµ (s)Uν (s + µ̂)Uµ† (s + ν̂)Uν† (s).

(2.14)

図 2.1 のように格子上の最小四角形になるようにリンク変数を掛けて構成される量である。
リンク変数はゲージ変換で式 (2.9) のように変化するため、プラケットのゲージ変換
性は† Ω †ΩPµν (s) → Pµν(s) = UµΩ (s)UνΩ (s + µ̂) UµΩ (s + ν̂)Uν (s)= Ω(s) Uµ (s)Uν (s + µ̂)Uµ† (s + ν̂)Uν† (s) Ω† (s)(2.15)となる。リンク変数に挟まれたゲージ変換関数は Ω(s ＋µ̂)Ω† (s ＋µ̂) = 1 のようにキャン
セルし、両端のゲージ変換関数のみが残る。両端のゲージ変換関数は Ω(s), Ω† (s) なので、

TrPµν (s) はゲージ不変量になる。
プラケット作用は、この TrPµν (s) を用いて以下で定義される：

S Plaq ≡ β

X
s

"

#
1 X
1−
ReTrPµν (s) .
Nc µ<ν

(2.16)

ここで β ≡ 2Nc /g 2 は格子パラメーターと呼ばれる定数である。
プラケット作用 (2.16) は指導原理 2 から、ゲージ対称性を満たすように構成され、指導
原理 1 も満たしている。以下、それを見る。
連続極限での作用
指導原理 1 を確認するため、プラケット作用 (2.16) の連続極限 a → 0 を考える。
まずプラケット (2.14) は、リンク変数の定義 (2.8) からPµν (s) = eiagAµ (s) eiagAν (s+µ̂) e−iagAµ (s+ν̂) e−iagAν (s)11(2.17)

Soryushiron Kenkyuのように、ゲージ場 Aµ (s) を用いて表すことができる。
ここで、Baker-Campbell-Hausdolf の公式

1
e e = exp A + B + [A, B] + · · ·
2!



A B

(A, B : 正方行列)(2.18)

を用いると、式 (2.17) は






iag
3
Pµν (s) = exp iag Aµ (s) + Aν (s + µ̂) +[Aµ (s), Aν (s + µ̂)] + O(a )
2!




iag
3
× exp −iag Aµ (s + ν̂)+Aν (s)−[Aµ (s + ν̂), Aν (s)] + O(a ) (2.19)2!
と書ける。これに再度 Baker-Campbell-Hausdolf の公式 (2.18) を用いると

Pµν (s) = exp iag {Aµ (s) + Aν (s + µ̂) − Aµ (s + ν̂) − Aν (s)}
a2 g 2
3{[Aµ (s), Aν (s + µ̂)] + [Aµ (s + ν̂), Aν (s)]} + O(a ) (2.20)−2!
となる。格子上での微分として、前方差分∂µ f (s) ≡f (s + µ̂) − f (s)a(2.21)

を定義すると、式 (2.20) はPµν (s) = exp ia g {∂µ Aν (s) − ∂ν Aµ (s) + ig [Aµ (s), Aν (s)]} + O(a )2= exp ia g (Gµν (s) + ∆Gµν (s)) ∈ SU(Nc )23(2.22)と書ける。ここで ∆Gµν (s) は式 (2.22) の指数の高次項であり、Pµν (s) ∈ SU(Nc ) より

∆Gµν (s) ∈ su(Nc ) かつ ∆Gµν (s) = O(a) である。また 1 行目から 2 行目は式 (1.3) を用いて {· · · } の部分をゲージ場の強さ Gµν (s) で書き直した。
プラケット作用 (2.16) では、プラケットは ReTrPµν (s) という形で含まれるため、これを計算する。プラケットは式 (2.22) で表され、また最終的に連続極限をとるので a は十分小さいと考えると


a4 g 2 2
5
ReTrPµν (s) = ReTr 1 + ia gGµν (s) + ia g∆Gµν (s) −G (s) + O(a )
2! µν
 4 2

a g 2
= Nc − ReTr
G (s) + O(a5 )(2.23)
2! µν
2

2

12

Soryushiron Kenkyuとなる。ただし第 2,3 項の Gµν (s), ∆Gµν はリー代数 su(Nc ) の元なので、トレースにより消えた。これをプラケット作用 (2.16) に代入すれば

 4 2

#
X
1
a
g
S Plaq = β
1−
Nc − ReTr
G2µν (s) + O(a6 )
N
2!
c
s
µ<ν
" 4 
#

X
X 1

4
2
2
=
a
Tr Gµν (s) + O(a )
2
s
µ,ν=1
Z
1
a→0
−−−→ d4 xE G2µν (s)2X"(2.24)
と書ける。なお 1 行目から 2 行目に移る際、β = 2Nc /g 2 を用いて書き換え、Tr G2µν (s)

は実であるから ReTr は Tr となることを用いた。また、Gµν (s) の反対称性を用いて和P

1µ<ν を 2P4µ,ν=1 とした。

式 (2.24) で連続極限 a → 0 を取ると和を積分に変えられるため、連続極限でのプラケット作用は連続時空での作用 (1.1) のグルーオン場のものに等しくなる。

2.4 格子 QCD での測定
ここまでで格子上でのゲージ場の定義およびその作用について説明をした。以下では、上記の方法で導入した格子上のゲージ場であるリンク変数 Uµ (s) を用いた格子 QCD での物理量の計算方法について説明する。

2.4.1 経路積分のモンテカルロ計算
格子 QCD での物理量 Ô の真空期待値は以下で与えられる：R⟨Ô⟩ =

DU e−S[U ] Ô[U ]R.
DU e−S[U ](2.25)

連続時空での経路積分 (1.13) は非可算無限個の自由度の積分であったが、格子上での経路積分 (2.25) は可算個の自由度の積分である。さらに時空が有限体積であれば、可算有限個の自由度の積分になる。
原理的には積分 (2.25) を実行することで物理量 Ô の真空期待値を求めることができる。
しかし、有限自由度による多重積分とはいえ、積分 (2.25) をそのまま実行するのはほぼ不可能である。例えば 104 個の格子点からなる時空格子を考えると、各格子点でゲージ群の自由度が 8、時空の方向の自由度が 4 なので、全体の自由度は 8 × 4 × 104 = 320000 であり、経路積分は 320000 重積分という、超多重積分となる。

13

Soryushiron Kenkyu

実は経路積分 (2.25) の定義に従って全てのゲージ配位を考慮する必要はない。ゲージ
配位は e−S[U ] を含む重みで経路積分 (2.25) に寄与するため、寄与の大きい配位を重点的に取り入れれば十分である。さらに、ユークリッド化により e−S[U ] は実数となるので、

e−S[U ] を確率因子と見なし、e−S[U ] を含む確率分布でゲージ配位を生成する重点サンプ
リングが適用できる。
格子 QCD では、重点サンプリング法を用いて生成したゲージ配位の統計平均として経路積分を評価する。具体的には、配位を Nconf 個生成したとして、物理量 Ô の真空期待値はR⟨Ô⟩ =

conf
DU e−S[U ] Ô[U ]1 X
R≃Ô[Ui ] + O
Nconf i=1
DU e−S[U ]

N



1
√
Nconf

と計算される。Ui は i 個目のゲージ配位のリンク変数である。この際、O(2.26)


√ 1
Nconf



程度

の統計誤差が生じる。

2.4.2 Elitzur の定理
ここでは格子上の場の理論において重要な「Elitzur の定理」を紹介する。
「Elitzur の定理」とは以下の定理である：
定理 1 (Elitzur の定理). 局所ゲージ対称性を持つ格子上の場の理論では、局所ゲージ対称性は自発的に破れない。
この定理の「局所ゲージ対称性は自発的に破れない」という主張は、言い換えると「局所ゲージ不変でない演算子の真空期待値は零になる」ということである。Elitzur の定理
から、格子 QCD で真空期待値が零でない演算子、つまり観測可能な物理量はゲージ不変な量に限られる。本論文のようにゲージ場のみを考える場合は、リンク変数のみから構成されるゲージ不変量のみが観測でき、そのような量は基本的にはリンク変数をループ状に掛け合わせてトレースを取ったものに限られる。

2.4.3 ゲージ不変な観測量
ここでは格子 QCD で観測される基本的なゲージ不変量として、後述の研究にも関連する Wilson loop を紹介する。

Wilson loop
14

Soryushiron Kenkyu

Wilson loop は以下で定義されるゲージ不変量である：
Wµ,ν (r × t) ≡ Tr Lµ (s; r)Lν (s + rµ̂; t)L†µ (s + tν̂; r)L†ν (s; r) ∈ C(2.27)Lµ (s; r) ≡ Uµ (s)Uµ (s + µ̂) · · · Uµ (s + (r − 1)µ̂) ∈ SU(Nc ).

(2.28)式 (2.28) は µ 方向に伸びた長さ r の直線上で定義された Wilson line であり、 Wilson

loop は Wilson line で構成されるループ状のゲージ不変量 (2.27) である。
Wilson loop は静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャルの情報を与えるなど、QCD
において重要な物理量である。以下で Wilson loop から静的なクォーク-反クォーク間ポ
テンシャルが得られる理由およびその手法を説明する [13]。
まず初めに、重いクォーク-反クォーク対の時間発展をミンコフスキー時空で考える。
重いクォーク-反クォーク対を時刻 t に生成するゲージ不変な演算子は、同時刻における空間の 2 点 (x, t), (y, t) (x ̸= y) を結ぶ Wilson line を用いて
Q
Mαβ (t) ≡ Ψ̄Q
α a (x, t)Uab (x − y; t)Ψβ b (y, t)(2.29)と書ける。上付き添え字 Q は重い粒子を表す添え字であり、ΨQ は重いクォークを表す

Dirac 場である。また下付き添え字の α, β はスピノルの脚であり、a, b はカラー自由度を表す。カラー自由度 a, b については、以降省略する。

Ψ̄Q は粒子の生成演算子と反粒子の消滅演算子を含み、ΨQ は粒子の消滅演算子と反粒子の生成演算子を含むため、Mαβ (0) |0⟩ は時刻 t = 0 に粒子-反粒子対が生成された状態を記述する。Mαβ で生成された粒子-反粒子対を消滅させる演算子は

Q†M̄αβ (t) ≡ γ 0 αρ Mρτ(t) γ 0 τ β = Ψ̄Q
β a (y, t)Uab (y − x; t)Ψα b (x, t)(2.30)と定義する。これにより、時刻 t = 0 に生成された粒子-反粒子対が時刻 t = T に消滅す
る確率振幅は⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩(2.31)

で与えられる。
これを経路積分表示で考えてみる。経路積分表示での確率振幅 (2.31) はZ⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩ =
=

Z

Q

Q

DADΨ̄Q DΨQ M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0)eiS[A,Ψ̄ ,Ψ ]hQ
DADΨ̄Q DΨQ Ψ̄Q
β ′ (y, T )U (y − x; T )Ψα′ (x, T )
i
Q
Q
Q
Q
×Ψ̄α (x, 0)U (x − y; 0)Ψβ (y, 0) eiS[A,Ψ̄ ,Ψ ] (2.32)
15

Soryushiron Kenkyuと書かれる。この章ではクエンチ近似を用いて動的なフェルミオンの自由度を無視するため、作用 S[A, Ψ̄Q , ΨQ ] はゲージ場と重いクォークの自由度のみに依存しS[A, Ψ̄Q , ΨQ ] = SG [A] + SQ [A, Ψ̄Q , ΨQ ]


Z
1
4
µν
SG [A] = d x − Tr (Gµν (x)G (x))
2Z
SQ [A, Ψ̄Q , ΨQ ] = d4 xΨ̄Q (x) (iγ µ Dµ − MQ ) ΨQ (x)(2.33)(2.34)(2.35)と書ける。ここで 3 つ目の式 (2.35) の MQ は重いクォークの質量である。
確率振幅 (2.31) の表式において、ΨQ と Ψ̄Q の組は付録 B の手法を用いると、フェルミオン・プロパゲーター S(x − y, x0 − y 0 ) で書ける。重いクォーク-反クォークはほぼ静止していると近似すると、S(x − y, x0 − y 0 ) は
γ 0 ∂0 − MQ S(x − y, x0 − y 0 ) = δ(x0 − y 0 )δ 3 (x − y)(2.36)に従う。この方程式 (2.36) の解として S(x − y, x0 − y 0 ) を求めると


1 + γ 0 −iMQ (x0 −y0 )S(x − y, x − y ) = −iδ (x − y)e xθ(x0 − y 0 )
e
2

0
0
0 1−γ
iMQ (x0 −y 0 )+θ(y − x )e(2.37)
2
0

0

i

3

∫ y0

0 dt A0 (x,t)となる。
経路積分表示の確率振幅 (2.32) をみると、ΨQ と Ψ̄Q の組の作り方は以下の 2 通りあることがわかる：Q
Q
Q
1. Ψ̄Qα′ (y, T ) と Ψβ ′ (x, T ) および Ψ̄α (x, 0) と Ψβ (y, 0) ,Q
QQ
2. Ψ̄Qα′ (y, T ) と Ψβ (y, 0) および Ψ̄α (x, 0) と Ψβ ′ (x, T ) .

このうち、1 つ目の組み方ではプロパゲーターに δ 3 (x − y) が含まれており、今は x ̸= yの場合を考えているため、2 つ目の組み方のみが確率振幅 (2.32) に寄与する。従って、確率振幅 (2.32) の表式はZ
⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩ =DADΨ̄Q DΨQ [−Sα′ α (0, T )U (y − x; T )Q

Q× Sββ ′ (0, −T )U (x − y; 0)] eiS[A,Ψ̄ ,Ψ ](2.38)となる。Sα′ α の時間依存性が T および −T であることから、1 つのプロパゲーター (2.37)

16

Soryushiron Kenkyuのうち θ(x0 − y 0 ) と θ(y 0 − x0 ) のどちらか一方が残る。それにより、式 (2.38) は"Z⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩ ∝DADΨ̄ DΨ
Q

×e

i

∫T
0

Q

dt A0 (y,t)

1 + γ02

1 + γ02α′ α∫i T0 dt A0 (x,t)

U (y − x; T )eβ′ βU (x − y; 0)×e−i2MQ T eiS[A,Ψ̄ ,Ψ ]∝ ⟨Wk,t (R, T )⟩e−i2MQ T
Q

i

Q(2.39)となる。ここで R ≡ |x − y| とし、k はベクトル x − y の方向を表す添え字とする。以上
より、確率振幅 (2.32) は Wilson loop の真空期待値に比例することが分かった。
次にユークリッド時空に移って確率振幅 (2.32) の表式を考える。まず式 (2.39) は⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩ ∝ ⟨Wk,t (R, T )⟩Eucl. e−2MQ T(2.40)となる。
一方、式 (2.31) にエネルギー固有状態の完全系を挿入すると⟨0| M̄α′ β ′ (T )Mαβ (0) |0⟩ =X

Cαn′ β ′ ; αβ e−En (R)TnnCα′ β ′ ; αβ ≡ ⟨0| M̄α′ β ′ (0) |n⟩ ⟨0| Mαβ (0) |n⟩(2.41)(2.42)と書ける。En (R) は距離 R だけ離れた重いクォーク-反クォーク対の第 n 励起状態のエ
ネルギーを表す。
この 2 式 (2.40), (2.41) から、Wilson loop の真空期待値は⟨Wk,t (R, T )⟩Eucl. ∝X

Cαn′ β ′ ; αβ e−[En (R)−2MQ ]T(2.43)nと書ける。En (R) のうち質量エネルギーは −2MQ でキャンセルされ、T → ∞ の極限では基底エネルギーが主要な寄与をするため

lim ⟨Wk,t (R, T )⟩Eucl. ≃ Cα0 ′ β ′ ; αβ e−V (R)TT →∞(2.44)となる。V (R) は重いクォーク-反クォークの間に働くポテンシャルであると解釈される。
従って、静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャルは1ln (⟨Wk,t (R, T )⟩Eucl. )T →∞ T

V (R) = − limと求められる。

17(2.45)

Soryushiron Kenkyu

第3章

QCD とクォーク閉じ込め
クォークはその概念の提唱以来、単離されたという明確な実験結果はなく、ハドロンの内部に閉じ込められている。閉じ込め現象の定量的な記述は、クォーク間の線形ポテン
シャルという形で説明される。歴史的には、軽いハドロンの角運動量と質量の関係を表す
レッジェ軌跡や重いクォーク-反クォーク対からなるクォーコニウムの質量スペクトルを再現するという観点から、クォーク間ポテンシャルは現象論的に

V (r) = −A
+ σr + const.
r

(3.1)

と予測された [15, 16, 17]。A, σ は定数で A ≃ 0.27, σ ≃ 0.89 GeV/fm であると考えられており、特に σ は string tension と呼ばれ、閉じ込め力を特徴づける重要な量である。
ポテンシャル (3.1) はコーネル・ポテンシャルと呼ばれている。

2.4.3 節で述べたように、格子 QCD でも Wilson loop を用いてクォーク-反クォーク間ポテンシャルを計算でき、図 3.1 のようにコーネル・ポテンシャルを極めて良く再現する[18, 19, 20, 21]。

3.1 線形ポテンシャルとフラックス・チューブ形成
2.4.3 節および 3 節で述べたように、閉じ込めは線形ポテンシャルという形で記述される。そしてその線形ポテンシャルの形成には 1 次元状に絞られたカラー電束、つまりカラー・フラックス・チューブの存在が本質的に重要と考えられている。
カラー・フラックス・チューブの存在は格子 QCD でも検証されており、図 3.2 は格子

QCD 計算に基づいて作用密度を可視化した結果である [22]。中間子 QQ̄ 系（図 3.2a）およびバリオン QQQ 系（図 3.2b）の双方で 1 次元のチューブ状の作用密度の盛り上がり、

18

Soryushiron Kenkyu

図 3.1: 格子 QCD による静止したクォーク-反クォーク間のポテンシャルの計算結果 [18, 19, 20,21]。実線（赤）がコーネル・ポテンシャル。

つまりフラックス・チューブの存在が確認できる。

(a) 中間子 QQ̄ 系の作用密度。

(b) バリオン QQQ 系の作用密度。

図 3.2: 中間子 QQ̄ 系 (a) とバリオン QQQ 系 (b) における作用密度に対する格子 QCD 計算 [22]。

以上のことから、フラックス・チューブの形成が閉じ込め（線形ポテンシャル）の実現に重要であると考えられる。ではこのフラックス・チューブの形成はどのようにして起こるのか？この疑問に対する答えは明確には出ておらず、様々なモデルや議論がある。その有力なモデルの 1 つに、南部・トフーフト・マンデルスタムによって提唱された「双対超伝導描像」がある [23, 24, 25]。このモデルはのちに格子 QCD 計算で研究され、そこでは「最大可換ゲージ」と呼ばれるゲージ固定が用いられた [29, 30]。本論文で後述する研究も

19

Soryushiron Kenkyu

またゲージ固定を用いた格子 QCD であり、議論の構造は双対超伝導描像の格子 QCD による研究と幾分パラレルなものである。そこで、本研究の参考のために、以下では「双対超伝導描像」および「最大可換ゲージ」に関する解説を行う [48, 49]。

3.2 双対超伝導描像
双対超伝導描像とは 1974〜76 年に南部・トフーフト・マンデルスタムによって提唱された [23, 24, 25]、超伝導体内に現れる 1 次元的な Abrikosov 渦糸とフラックス・チュー
ブとのアナロジーからクォーク閉じ込めを説明するというモデルである。
超伝導はクーパー対の凝縮により実現する状態であり、磁場を排斥する Meissner 効果を示す。Meissner 効果により、超伝導体内部に磁気的なモノポールと反モノポールを置くと、その間の磁束は 1 次元状に絞られ、磁気的なモノポールの閉じ込めが発生すると考えられる。
電磁気テンソル F µν およびその双対テンソル F̃ µν

F µν ≡ ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ , F̃ µν ≡1 µνρσ
Fρσ
ϵ
2

(3.2)

を用いると、磁気的なカレント k ν を導入したマクスウェル方程式∂µ F µν = j ν(3.3)∂µ F̃ µν = k ν(3.4)には電場と磁場および電気的カレントと磁気的カレントを入れ替える双対性

F µν ↔ F̃ µν
j µ ↔ kµ

(3.5)
(3.6)
(3.7)

がある [26]。この双対性を超伝導体に用いて、電荷（クーパー対）の凝縮と磁荷（モノポール）の凝縮を入れ替えることで、電気的なフラックス・チューブの形成およびそれによるクォークの閉じ込めを説明しようというのが双対超伝導描像である。
しかし、QCD における双対超伝導描像の正当化は非自明であり、例えば次のような問題がある：

1. 式 (3.5),(3.6) で表されるような、双対性の単純明快な定義が QCD においてでき
るかはわからない。

20

Soryushiron Kenkyu

図 3.3: 双対超伝導描像の模式図。超伝導体内では電荷が凝縮し、その結果磁束が 1 次元状に絞られる（左）。電気と磁気を入れ替えた双対超伝導体内では、磁荷が凝縮し、その結果電束が1 次元状に絞られる（右）。

2. QCD はクォークとグルーオンを基本場として構成される理論であるため、磁気モノポールの存在は非自明である。またモノポールが存在したとしても、凝縮が起こ
るかはわからない。
クォーク閉じ込めを双対超伝導描像で説明する際に生じるこれらの問題は、1981 年にトフーフトによって発表された「可換ゲージ」により解決の糸口が与えられ [27]、以下で紹介するように「最大可換ゲージ」を用いた格子 QCD 計算により、一定の解釈が与えられるようになった。

3.3 最大可換ゲージを用いた双対超伝導描像の概略
ここでは最大可換（Maximally Abelian, MA）ゲージおよび MA ゲージを用いた双対
超伝導描像の概略について解説を行う。MA ゲージは、ゲージ固定を用いることで QCDの非摂動的な性質に対し、双対超伝導描像という物理的描像を与える。

3.3.1 MA ゲージの定義と理論形式
MA ゲージは、ユークリッド時空での QCD においてゲージ場であるグルーオン場の対角成分を最大化（非対角成分を最小限に抑制）するゲージであり、’t Hooft が提案した可⃗ を用いてゲージ場 Aµ を
換ゲージの一種である。リー代数 su(Nc ) のカルタン部分代数 H⃗µ · H⃗ +Aµ = Aaµ T a = A

X

diag
Aα
+ Aµoﬀ−diag ∈ su(Nc )µ E−α = Aµ

(3.8)

α

と表したとき [28]、MA ゲージは関数

Z
RMA ≡

d4 s

X

Aα
µ (s)

α

21

2

(α: 非対角成分)(3.9)

Soryushiron Kenkyu

を最小化するゲージとして定義される。ゲージを MA ゲージに固定するという操作は「本来対等なゲージ場の対角・非対角成分の差別化」であり、具体的には• 対角成分を最大にすることで、可換性を強調• 非対角成分のゲージ自由度を固定し、charged matter として扱うということを行っている。

MA ゲージではゲージ自由度は完全には固定されておらず、U(1)Nc −1 のゲージ対称性が残留する。そのため、ゲージ場の可換成分はゲージ固定後もゲージ場として振る舞う。
一方で非可換成分については式 (3.9) によってゲージ自由度は固定されるため、ゲージ場
としての振る舞いは失われ U(1)Nc −1 ゲージ変換に対し電荷をもつ物質場のように振る舞う。
また MA ゲージでは
π2 SU(Nc )/U(1)Nc −1 ≃ ZNc −1(3.10)というホモトピー群に従ってトポロジカルにモノポールが出現する [32]。
つまり MA ゲージでの QCD は「可換ゲージ場 + 荷電物質場 + モノポール」という 3
種類の物理的対象からなる可換ゲージ理論となる。前述の双対超伝導描像の問題点のうち「双対性の定義」に関しては可換ゲージ理論の場合は明確であり、「カラー磁気モノポールの出現機構」についても一定の解決がなされる。残る問題は• モノポールは凝縮するのか。
• 非摂動的な QCD 現象が可換ゲージ理論の自由度のみで記述できるか。
の 2 点である。
これらの問題については格子 QCD を用いて研究されており、モノポール凝縮を示す結果が報告されている [33, 34]。可換ゲージ理論の自由度による非摂動的な QCD 現象の記述については 3.3.2 節で紹介する。

3.3.2 最大可換射影と Abelian dominance
MA ゲージ固定後の QCD に対し
oﬀ-diagAµ (s) = Adiag(s) → Adiagµ (s) + Aµµ (s)(3.11)とする操作を考える。これはゲージ場の非対角成分を消す操作であり「最大可換射影」と
呼ばれる。

22

Soryushiron Kenkyu(a) SU(2) 格子 QCD 計算によるモノポール・カレン(b) SU(2) 格子 QCD 計算によるモノポール・カレン
ト（非閉じ込め相）。

ト（閉じ込め相）。

図 3.4: SU(2) 格子 QCD 計算によるモノポール・カレントの可視化。それぞれ (a) は閉じ込め相（β = 2.2）、(b) は非閉じ込め相（β = 2.4）におけるモノポール・カレントを示す。[34, 35]より引用。

MA ゲージは最大可換射影に対し興味深い性質を示し、一部の物理量 Ô[Aµ ] についてÔ[Aµ ] ≃ Ô[Adiagµ ](3.12)という性質が成り立つことが知られている。この性質は Abelian dominance[31] と呼ばれており、最大可換射影をしても物理量はほとんど変化しない、つまり「可換ゲージ場の自由度のみで一部の物理量は記述できる」ということを意味する。

string tension は
σ Abel ≃ σ(3.13)となることが SU(2) および SU(3) 格子 QCD 計算で示されている [36, 37]。string tension
は閉じ込めの強さを特徴づける物理量なので、MA ゲージでは可換ゲージ場の自由度がクォーク閉じ込めにおいて支配的であるといえる。
また Wilson loop 以外の物理量として、カイラル対称性の秩序変数であるカイラル凝縮⟨q̄q⟩ も Abelian dominance を示すと考えられ [32]、カイラル対称性の自発的破れにおいても MA ゲージでは可換ゲージ場が支配的であることは SU(2) および SU(3) 格子 QCD
計算で示されている [38, 39, 40]。

23

Soryushiron Kenkyu

図 3.5: SU(3) 格子 QCD 計算によるモノポール・カレント。それぞれ (a) は β = 6.1（非閉じ込め相）、(b) は β = 5.8（非閉じ込め相）、(c) は β = 5.5（閉じ込め相）の時のモノポール・
カレントを示す [33] より引用。

3.3.3 MA ゲージのまとめ
以上が MA ゲージ QCD における双対超伝導の概略である。
まとめると、MA ゲージは

• ゲージ場の非対角成分を最小限にするようにゲージ固定をして可換・非可換の自由度を差別化し、QCD を可換ゲージ理論 + 荷電物質場 + カラー磁気モノポールの自由度で記述するということを行っており、そのとき• 閉じ込め相ではカラー磁気モノポールが凝縮する• string tension やカイラル凝縮など低エネルギー領域の QCD で重要な物理量がAbelian dominance を示すなどが格子 QCD 計算で検証または推定されている。

24

Soryushiron Kenkyu(a) MA ゲージでの SU(2) 格子ゲージ理論の計算結果。塗りつぶしの四角と三角は MA ゲージ固定前(b) MA ゲージでの SU(3) 格子ゲージ理論による最大の可換なゲージ配位で計算した Wilson loop （四可換射影後のクォーク-反クォーク間ポテンシャル
角が 1 × 1、三角が 2 × 2 の Wilson loop に対応）。の計算結果。丸、四角、三角はそれぞれ SU(3) の他のシンボルは MA ゲージ固定後の可換なゲージ
ゲージ配位、MA ゲージで最大可換射影後の可換な配位で計算した Wilson loop。上側の実線（β/4）
ゲージ配位、SU(3) のゲージ配位の非対角成分のと下側の実線（(β/4)4 ）はそれぞれ 1 × 1 と 2 × 2
配位から計算されたクォーク間ポテンシャル。[37]の完全な Wilson loop の強結合展開を表す。真んより引用。
中の実線（8β/81）は MA ゲージ固定前の Wilson
loop の強結合展開を表す。[36] より引用。

図 3.6: MA ゲージでの格子 QCD が示す string tension（閉じ込め力）の Abelian dominance。

25

Soryushiron Kenkyu(a) カイラル凝縮の β 依存性の SU(2) 格子ゲージ理論による計算結果。SU(2), U1 はそれぞれ SU(2)のゲージ配位、MA ゲージでの可換な配位から計(b) MA ゲージでのカイラル凝縮のクォーク質量依存性の SU(2) 格子ゲージ理論の計算結果。三角、丸はそれぞれ SU(2) のゲージ配位、MA ゲージでの算されたカイラル凝縮である。可換な配位をさらにモノポールの配位とフォトンの配位に分解し、モノポールの配位から計算されるカイラル凝縮がDs、フォトンの配位から計算されるカイラル凝縮
が Ph。[38] より引用。

可換な配位から計算されたカイラル凝縮。四角は各時空点 s でプラケット Pxy を対角化するゲージで定義した可換なゲージ配位による計算結果。[39]より引用。

(c) MA ゲージでの SU(3) 格子ゲージ理論の計算結果。局所的なカイラル凝縮とモノポールの SU(3) 格子
QCD による計算結果。時刻 t = 12 における局所的なカイラル凝縮の値が色のグラデーションで表されている。上向きの三角は時刻 t = 11.5 におけるモノポール、下向きの三角は時刻 t = 11.5 におけるモノポー
ルである。[40] より引用。

図 3.7: MA ゲージでのカイラル凝縮の Abelian dominance。

26

Soryushiron Kenkyu

第4章

Dimensional Reduction(DR) ゲージと QCD の低次元化の解析
本章では本論文の主題となる研究について説明を行う。

4.1 本研究の動機と方針
前章の MA ゲージによるアプローチは、MA ゲージ固定で QCD を「可換ゲージ場 +荷電物質場 + モノポール」で記述される理論にし、双対超伝導描像を通じてフラックス・
チューブの形成を示すことでクォーク閉じ込めの物理的描像を得ている。これは QCD の「非可換性」に由来する困難を緩和するという方向からのアプローチであるといえる。

図 4.1: MA ゲージでの QCD の概略。

一方で、QCD の難しさには「高次元性」に由来するといえるものもある。低エネルギーの 4 次元 QCD を解析的に調べるのは難しいが、2 次元 QCD ならば解析的に扱える場合があり、例えば 2 次元 QCD のメソンの記述がカラー数 Nc を大きいとするラージ Nc 極限
を用いて’t Hooft により求められ [41]、その物理的性質も調べられている [42, 43, 44, 45]

27

Soryushiron Kenkyu。このように 2 次元では解析的手法が有効な場合があるため理論的に扱いやすく、非摂動的な現象の物理的描像を得ることも 4 次元よりは容易になると考えられる。
そこで我々は、MA ゲージで非可換性が緩和されたように、ゲージ自由度を利用して 4
次元 QCD の「高次元性」を緩和することで理論を 2 次元 QCD 的自由度で記述し、問題を扱いやすくできるのではないかと考えた。特に時空が 2 次元（空間 1 次元）であれば、古典的には線形ポテンシャルが形成されるため、閉じ込めに対するアプローチとしても魅力的である。図 4.2 に本研究の閉じ込めに対するアプローチの概観を記す。

図 4.2: 本研究の閉じ込めに対するアプローチ。本研究では点線で囲まれた「低次元化」の方針で研究を進める。

本研究では以上の動機から

1. ゲージ場のうち Ax,y 成分を最小限に抑制するようなゲージ固定で、4 次元 QCD
を 2 次元 QCD 的な自由度 At,z で記述可能か？

2. Abelian dominance に類似した、一部の物理量が 2 次元的自由度 At,z のみで再現できるという性質は成り立ち得るのか？
について調べる。

28

Soryushiron Kenkyu

4.2 Dimensional Reduction (DR) ゲージ
図 4.2 で示したように、4 次元 QCD に対して「低次元化」という観点でアプローチをし、理論を 2 次元 QCD 的な自由度で記述することを目指す。そこで我々は MA ゲージ
による一連の研究を参考にして、ゲージ固定を用いた理論の自由度の差別化および特定の性質の強調ということを考え、「Dimensional Reduction (DR) ゲージ」という新しいゲージ固定条件を考案した。

DR ゲージは、大域的には以下の関数を最小にするようなゲージとして定義される：
Z
Z
X




4
2
RDR ≡ d s
Tr A⊥ (s) = d4 s Tr Ax (s)2 + Ay (s)2
(大域的な定義).
⊥=x,y

(4.1)
ここで添え字 ⊥ は x, y を走る添え字であり、以下でもこの記法を用いる。また本論文では x, y 方向をまとめて transverse 方向と呼ぶ。

MA ゲージはゲージ場の非対角成分を最小限に抑制するいうゲージであったのに対し、
DR ゲージは関数 (4.1) を最小にするゲージなので、Ax,y の振幅を最小限に抑制するゲージであることがわかる。MA ゲージはユークリッド時空で定義されていたが、DR ゲージ
は Ax,y にのみ依存して定義されるので、ユークリッド時空とミンコフスキー時空の両方で定義可能である。また、この DR ゲージ固定によりゲージ自由度は完全には固定されておらず、ゲージ固定は部分的である。既に述べたように MA ゲージでもゲージ固定は部分的で U(1)Nc −1 というゲージ対称性が残留しており、このゲージ自由度が可換自由度のゲージ対称性となっている。

DR ゲージでは t, z 方向の座標にのみ依存するゲージ関数 Ω(t, z) を用いて1At,z (x, y, z, t) → Ω(t, z) At,z (x, y, z, t) + ∂t,z Ω† (t, z)ig1
Ax,y (x, y, z, t) → Ω(t, z) Ax,y (x, y, z, t) + ∂x,y Ω† (t, z)ig= Ω(t, z)Ax,y (x, y, z, t)Ω† (t, z)

(4.2)

(4.3)

というゲージ変換に対する対称性が残留している。実際、このゲージ変換 (4.2),(4.3) に対し、ゲージ固定条件 (4.1) は不変である。
ゲージ変換 (4.2),(4.3) に関する対称性は 2 次元 QCD のゲージ対称性と等しく、式(4.2) のように変換する At,z は 2 次元ゲージ理論のゲージ場に対応し、式 (4.3) のように変換する Ax,y は 2 次元ゲージ理論で随伴表現に属す荷電物質場と見なせる。

29

Soryushiron Kenkyu

従って、DR ゲージ QCD は「2 次元非可換ゲージ場 + 荷電物質場」という自由度で記述される理論になっていると考えられる。
上記の DR ゲージ固定条件は大域的なものであるので、局所ゲージ固定条件も求める。
既に DR ゲージ固定が完了している状況を考える。つまりゲージ場の配位として関数(4.1) が最小となっているものを考える。このゲージ場配位に対して無限小のゲージ変換を考えると、既にゲージ固定がなされているため、RDR は最小かつ極小であり、ゲージ
変換で RDR の値は増加する。無限小のゲージ変換は無限小パラメーター ω a (s) ∈ R を用
いたゲージ変換関数aaΩ(s) = eiω (s)T = 1 + iω a (s)T a + O(ω 2 )(4.4)

で実現され、それによる RDR の変化分 δRDR は

1
δRDR = −gZd4 s Tr Ax (s)∂x ω a (s)T a + Ay (s)∂y ω a (s)T a + O(ω 2 )(4.5)となる。今考えているゲージ場の配位は RDR の極小値を実現しているため、極値条件

δRDR = 0 を満たしている。そして式 (4.5) を部分積分して O(ω 2 ) を無視すると、任意の無限小パラメーター ω a (s) に対して

1
δRDR =gZ
d4 sTr [ω a (s)T a (∂x Ax (s) + ∂y Ay (s))] = 0(4.6)

が従う。よって DR ゲージの局所ゲージ固定条件はX∂⊥ A⊥ (s) ≡ ∂x Ax (s) + ∂y Ay (s) = 0(局所的な定義)

(4.7)

⊥=x,y

であることがわかる。
式 (4.7) から、DR ゲージの局所固定条件はランダウ・ゲージ（∂µ Aµ (s) = 0）やクー
ロン・ゲージ（∇ · A(s) = 0）と類似した形式であることがわかる。ランダウ・ゲージやクーロン・ゲージのゲージ固定項は−

12(ランダウ・ゲージ)
Tr (∂µ Aµ )2α
12Tr (∇ · A(s))(クーロン・ゲージ)
2α

(4.8)
(4.9)

という形で作用に入るため DR ゲージも同様に定式化でき、実際 DR ゲージのゲージ固定項は付録 A の処方に従うと

1
2Tr (∂⊥ A⊥ )2α

(DR ゲージ)30(4.10)

Soryushiron Kenkyuという形で作用に導入可能である。その作用を調べることで DR ゲージ QCD の理論構造を解析でき、以下で DR ゲージ QCD の理論構造を調べる。

4.3 DR ゲージ QCD
3.3.2 節で解説したように、MA ゲージ QCD は可換ゲージ場 + 荷電物質場 + モノポー
ルという自由度で記述され、低エネルギー領域では Abelian dominance が成立していた。
本節では DR ゲージ固定をした 4 次元 QCD がどのような自由で記述されるのかを調べる。なお本論文では主として閉じ込めやゲージ場の自由度に着目するため、クォークの動的自由度を無視したクエンチ・レベルでの議論を進める。

DR ゲージのゲージ固定項は式 (4.10) で書かれるため、DR ゲージ QCD の作用は


Z
X
1
1
2
SDR = d4 x − TrGµν Gµν +Tr (∂⊥ A⊥ ) (4.11)22α⊥=x,yとなる。この作用はゲージ固定項を含むが、ゲージ自由度は完全には固定されておらず、
ゲージ関数 Ω(t, z) のゲージ変換に対する対称性が残留している。作用 (4.11) の第 1 項は
2

そもそもゲージ不変であり、第 2 項 Tr (∂⊥ A⊥ ) は

Tr (∂⊥ A⊥ ) → Tr Ω(t, z)∂⊥ A⊥ Ω† (t, z)2

2= Tr (∂⊥ A⊥ )2

(4.12)のように不変である。

MA ゲージ QCD の場合は「4 次元可換ゲージ場 + 荷電物質場 + モノポール」という自由度で記述されており、MA ゲージ QCD では可換な自由度のみを残す最大可換射影という操作を考えていた。そこで DR ゲージでも At,z のみを残す tz-射影という操作を考える。

4.4 tz-射影
DR ゲージ QCD には 2 次元 QCD と同じゲージ対称性が残留する。MA ゲージでもゲージ固定後に U(1)Nc −1 ゲージ対称性が残る。MA ゲージの場合は、重点サンプリング
法で生成した各ゲージ配位に対して MA ゲージ固定をした後、最大可換射影という操作でゲージ場の非対角部分を取り除き、4 次元 QCD を可換ゲージ理論の自由度で記述した。

tz-射影を
Ax,y → 0(DR ゲージ固定後)31(4.13)

Soryushiron Kenkyuという操作として定義する。

tz-射影を施した作用は、Ax , Ay が 0 になるため、
"
#
Z
Z
2
n
o
X
2
2
tz
SDR
= dxdy dtdz Tr G2tz +Tr − (∂⊥ At ) + (∂⊥ Az )(4.14)⊥=1と表される。ここで第 1 項は t-z 平面内の 2 次元 QCD 作用と等しい。第 2 項は各 t-z 平
面内の 2 次元 QCD からのずれであり、物理的には x, y 方向に並列する 2 次元 QCD 系
間の相互作用に対応すると解釈される。
従って、tz-射影を受けた 4 次元 DR ゲージ QCD の理論構造は• 各 x, y での t-z 平面上に 2 次元 QCD の類似系
• それらの t-z 平面上の 2 次元 QCD の類似系が x, y 方向に近接的相互作用をするという記述様式で表現できる可能性がある（図 4.3）
。つまり DR ゲージの 4 次元 QCD は「t-z 平面上の 2 次元 QCD の類似系 +x, y 方向の近接的相互作用」という見方で扱える可能性がある。4 次元 QCD の問題をより簡単な 2 次元の理論で解析できる場合、その利点は大きいと考えられる。また 2 次元 QCD から 4 次元 QCD を構築する方法を与えてくれる可能性もあり、その場合 4 次元 QCD の解析的手法による理解が深まると考えられる。
このような観点から、以下では格子 QCD 計算を用いて DR ゲージ固定された QCD の性質および理論構造を探る。

4.5 格子上での DR ゲージおよび tz-射影の定式化
以上の DR ゲージ QCD の定式化は連続時空におけるものであるが、非摂動的な現象の解析は格子 QCD 計算が信頼性があり有効である。従って DR ゲージ QCD での閉じ込めやカイラル対称性の自発的破れといった現象の解析のためには、上記の理論を格子上で定式化することが望ましい。ここでは格子上での DR ゲージ固定および tz-射影の定式化を行う。

4.5.1 格子上での DR ゲージ
まず格子上での DR ゲージの定義について述べる。
格子上の DR ゲージはリンク変数 Ux,y を用いて与えられる
lat
RDR
≡

X X
s

ReTr [U⊥ (s)] =

⊥=x,y

X
s

32

ReTr [Ux (s) + Uy (s)](4.15)

Soryushiron Kenkyu(a) tz-射影を受けた DR ゲージ QCD の模式図(b) tz-射影を受けた DR ゲージ QCD の模式図
（4 次元時空全体）。各 t-z 平面上で 2 次元
（x-y 平面へ射影）。2 次元 QCD 系（六角形）QCD が成り立ち、その 2 次元系が x, y 方向
は t, z 方向（紙面垂直方向）に広がり、x-y 平に無限個並列している。各 2 次元系は近接的面内に敷き詰められている。各 2 次元 QCD
相互作用をする。
系は ξ 程度の広がりを持つと考えられる。

図 4.3: tz-射影を受けた DR ゲージ QCD の模式図。2 次元 QCD 系が成立する t-z 平面が x, y 方
向に無限個並列しており、各 2 次元系が近接的相互作用をするという様式で記述できるかもしれない。

latという関数 RDRを最大化するゲージとして定義される。これは連続極限では式 (4.1) のRDR の最小化と同義である。実際、連続極限 a → 0 の近似の下では
1Uµ (s) = eiagAµ (s) ≃ 1 + iagAµ (s) − a2 g 2 A2µ (s) + O(a3 )2(4.16)であり、従って

X X
1
lat
RDR
≃ − a2 g 2
ReTr [U⊥ (s)] + real const.
2s(4.17)⊥=x,ylatとなるので、この RDRの最大化は、連続時空での RDR の最小化に対応する。

次に格子上での局所的な DR ゲージ固定条件を導出する。連続時空での議論と同様に、格子上でも既にゲージ固定が完了しているリンク変数（ゲージ場）の配位を考える。1 点
latlatの変化分 δRDR
はs でのみ無限小のゲージ変換を考えると関数 RDR
X


lat
δRDR
=
ReTr Ω(s)U⊥ (s) + U⊥ (s − a⊥ )Ω† (s) − (Ω(s) = 1)
⊥=x,y



= ReTr Ω(s)

X n
⊥=x,y

o



†
U⊥ (s) + U⊥(s − a⊥ )  − (Ω(s) = 1)33

(4.18)

Soryushiron Kenkyuとなる。ここで a⊥ は格子間隔 a の長さをもつ ⊥ 方向（x, y 方向）のベクトルである。

Ω(s) は格子上でも無限小のパラメーター ω a を用いて式 (4.4) のように表され、リンク
変数は U⊥ (s) = exp[iagA⊥ (s)] と書かれるので、連続極限 a → 0 で式 (4.18) は


lat
δRDR
= −agReTr ω b T b= −agReTr ω b T b

X(A⊥ (s) − A⊥ (s − a⊥ )) + O(a2 )

⊥=x,y

X


(∂⊥ A⊥ (s)) + O(a2 ) = 0(4.19)⊥=x,yとなる。1 行目から 2 行目へは前方差分を用いた。これが任意の ω a で成立するので、格子上での局所的な DR ゲージ固定条件は

X(∂⊥ は前方差分)∂⊥ A⊥ (s) = 0(4.20)⊥=x,yとなる。前方差分は連続極限で微分と一致するため、格子上での DR ゲージの定義は連続
時空での定義と整合している。

4.5.2 格子上での tz-射影格子上での tz-射影を考える。
連続時空での tz-射影は式 (4.13) で定義されるように

Ax,y → 0(DR ゲージ固定後)である。リンク変数は Uµ (s) = exp[iagAµ (s)] と書かれるので、格子上での tz-射影は

Ux,y → 1(DR ゲージ固定後)(4.21)

で定義される。
ただし、格子上での tz-射影は、格子 QCD で生成した各ゲージ配位を DR ゲージ固定
した後、それらのゲージ配位に対して式 (4.21) の射影操作を施すという形で実行される。

tz-射影後のプラケット作用
4.4 節で見た tz-射影をされた後の作用 (4.14) は
"
#
Z
Z
2
n
o
X
2
2
tz
SDR
= dxdy dtdz Tr G2tz +Tr − (∂⊥ At ) + (∂⊥ Az )⊥=1

34

Soryushiron Kenkyu

であった。この作用のうち、第 1 項は t, z 方向に広がる 2 次元ゲージ理論の作用であり、第 2 項は x, y 方向に並列する 2 次元ゲージ系の近接的相互作用と見なせることを述べた。
第 2 項の相互作用は DR ゲージ QCD が 2 次元 QCD とどの程度ずれているかを与える項であり、後で格子 QCD 計算を用いてその効果などを評価をする。そのために、tz-射影後の作用を格子上でも求める。
格子上の作用（プラケット作用）は

S

Plaq

≡β

X
s

"

1 X
1−
ReTrPµν (s)Nc µ<ν

#である。このプラケット作用に格子上の tz-射影 (4.21) を施すとPlaq,tz
SDR
=β

X 
s


1
1−
ReTrPtz (s)
Nc



X 
X


1
†
+
1−
ReTr Uµ (s)Uµ (s + a⊥ ) 


N
c
µ=t,z

(4.22)⊥=x,yとなる。これが tz-射影後のプラケット作用である。
連続時空での議論と同様に、第 1 項は t-z 平面内の 2 次元 QCD 作用と等しく、第 2 項
は x, y 方向に並列する 2 次元 QCD 系間の相互作用に対応すると解釈される。
特に第 2 項の表式は 2 次元 QCD 系間の相互作用のリンク変数を用いた表現であり、以下で紹介する格子 QCD 計算では関連する量を計算する。

4.6 格子 QCD 計算を用いた DR ゲージ QCD の解析
本節では格子 QCD 計算を用いた DR ゲージでの QCD の解析結果を述べる。

4.3 節および 4.5 での議論を踏まえ、格子 QCD を用いて DR ゲージでのリンク変数
Uµ (s) について 3 つの項目
1. リンク変数の局所的性質: リンク変数と単位行列の距離
2. DR ゲージ QCD で tz-射影を行った後の Wilson loop およびクォーク・ポテン
シャル

3. リンク変数 Ut 間の ⊥ 方向（x, y 方向）の相関に関して計算を行った。
本研究で用いたリンク変数の配位は、プラケット作用を用いた SU(3) 格子 QCD モ
ンテカルロ計算をクエンチ近似で行い生成した。生成した配位のサイト数は V = 244 、

35

Soryushiron Kenkyu

格子パラメーターは β = 6.0 とした。この β に対する格子間隔 a は string tension

σ = 0.89 GeV/fm を再現するように決定され、その値は a = 0.10 fm であると算出されている [18]。
アルゴリズムとしては擬熱浴法 [12] を採用した。熱化時間は Nthermal = 20000sweeps、
サンプリング間隔は Nsep = 1000 sweep とし、リンク変数の配位を 800 個生成した。
lat
DR ゲージ固定は上記の関数 RDR（式 (4.15) で定義）を最大化するようにゲージ変換

関数の更新を行った（アルゴリズムの詳細については付録 C を参照）。その際、DR ゲー
ジ固定の収束をチェックするため∆DR (s) ≡X∂⊥ A⊥ (s)(4.23)

i
1 X h
†
ϵDR ≡
Tr ∆DR (s)∆DR (s)Nc V s(4.24)⊥=x,yという量を定義し、ϵDR < 10−12 を満たすまで更新処理を行った。

4.6.1 リンク変数の局所的性質: リンク変数と単位行列の距離
本小節では DR ゲージ固定の性質を調べるという目的で、リンク変数の局所的性質を調べた。具体的にはリンク変数と単位行列の距離を定義し計算し、ゲージ固定によりゲージ
場がどのように変化したかを調べた。
まず N × N 行列 A, B の内積を
N

1
1 X ∗
†
Tr A B =a bij ∈ C
(A, B) ≡2N
2N i,j=1 ij(4.25)。この内積 (4.25) を用いて、N × N 行列 A と B とのと定義する（1/2N は規格化因子）
距離 d(A, B) を

d(A, B)2 ≡ (A − B, A − B) =1
Tr (A − B)† (A − B)
2N

(4.26)と定義する。この距離 d(A, B)2 は内積の定義 (4.25) から非負であり、d(A, B)2 = 0 が成立する必要十分条件は A = B である。
この距離 d を用いるとリンク変数 Uµ と単位行列 I の距離の 2 乗 d(Uµ , I)2 は
Nc


1
1 X
2
†
d(Uµ , I) =Tr (Uµ − I)(Uµ − I) =|(Uµ − I)ij |2Nc
2Nc i,j=12

36(4.27)

Soryushiron Kenkyu

で与えられる。

d(Uµ , I)2 はリンク変数 Uµ が SU(Nc ) に属すため
d(Uµ , I)2 =
1
1
Tr 2I − Uµ − Uµ† = 1 −ReTr Uµ2Nc
Nc(4.28)となる。ここで Nc が偶数であれば Uµ = −I を取ることができ、その時に d(Uµ , I)2 は
最大値 2 を取る。一方で Nc が奇数の場合 Uµ = −I は取れないため、d(Uµ , I)2 の最大値は Nc が偶数の時と異なる。Nc が奇数の場合、d(Uµ , I)2 の最大値を与えるのは Uµ が−I に最も近くなる時であり（詳細は付録 E を参照）、結局、d(Uµ , I)2 の値域は以下のよ
うになる：

(

0 ≤ d(Uµ , I)2 ≤ 2
0 ≤ d(Uµ , I)2 ≤ 1 − cos π(NNcc−1)(Nc : even)(Nc : odd).

(4.29)d(Uµ , I)2 の期待値を SU(3) 格子 QCD で計算した結果が表 4.1 である（今の場合Nc = 3 なので最大値は 3/2）。ゲージ固定をしていない場合、d(Uµ , I)2 = 1 は解析的に示すことができ (付録 E を参照)、事実数値計算でもそのようになっている。一方 DR
ゲージ固定をした場合、d(Uµ , I)2 = 1 の値は 0.076 という値になっており、1 と比べて 1桁程度小さくなっている。従って、Uµ = exp[iagAµ ] としたときの x, y 方向のゲージ場

Ax , Ay は、DR ゲージ固定で強く抑制されているということが分かった。
gauge⟨d(Uµ , I)2 ⟩No ﬁxing

1.000

DR (⊥= x, y)

0.076

DR (µ = t, z)

1.000

表 4.1: d(Uµ , I)2 の真空期待値。それぞれ 1 行目がゲージ固定無し、2 行目が DR ゲージでの⊥= x, y 、3 行目が DR ゲージでの µ = t, z のときの値。

4.6.2 DR ゲージ QCD で tz-射影を行った後の Wilson loop およびクォー
ク・ポテンシャルMA ゲージでは string tension などの物理量が Abelian dominance を示しており[36, 37]、低エネルギー領域では可換自由度が支配的である。
37

Soryushiron Kenkyu

DR ゲージにおいては、その定義や Ax,y が強く抑制されることから、At,z の自由度が支配的となる「tz ドミナンス」とでもいうべき性質を示す可能性がある。我々は格子 QCDを用いて Wilson loop に関連する計算を行い、閉じ込め力である string tension について

At,z の自由度が支配的であるかを調べる。図 4.4 に我々が行った計算の概略を示す。

図 4.4: 本小節で行った研究の模式図。Wilson loop に tz-射影および xy-射影をしたとき、どちらが長距離の物理を担うのかを調べる。

我々は、先に導入した tz-射影の対となる操作として、xy-射影という操作を次のように定義した：

At,z → 0 ⇔ Ut,z → 1(DR ゲージ固定後).

(4.30)

なお xy-射影も tz-射影と同様に、生成したゲージ配位を DR ゲージ固定した後、それらのゲージ配位に対して式 (4.30) を施すという形で実行するものとする。
以下では、DR ゲージ QCD で tz-射影と xy-射影をそれぞれ Wilson loop に施したとき、そこから得られる string tension にどのような影響があるかを見る。
計算結果を見る前に、射影を受けた Wilson loop のゲージ不変性について論じる。

tz-射影および xy-射影は明らかにゲージ変換とは異なる操作であり、従ってゲージ不変性を壊し得るため、注意が必要である。本研究では DR ゲージ固定をしているが、先述し38

Soryushiron Kenkyu

たように（2 次元 QCD と同じ）ゲージ自由度が残留するため、残留したゲージ自由度に関する不変性が鍵になる。

t-z 平面内の Wilson loop は x, y 方向のリンク変数を含まず、従って tz-射影で自明に不変であるので、ここでは t-⊥ (⊥= x, y) 平面内の Wilson loop を考える。tz-射影および xy-射影を受けた t-⊥ (⊥= x, y) 平面内の Wilson loop は図 4.5 のようになる。

(a) tz-射影を受けた Wilson loop。左側・右側†の Wilson line をそれぞれ Lleft , Lright とす(b) xy-射影を受けた Wilson loop。上側・下側†の Wilson line をそれぞれ Ltop , Lbottom と

る。

する。

図 4.5: tz-射影を受けた Wilson loop（左）と xy-射影を受けた Wilson loop（右）。DR ゲージ固定後に残る 2 次元のゲージ自由度に対し、tz-射影を受けた Wilson loop はゲージ不変だが、xy-射影を受けた Wilson loop はゲージ不変でない。

tz
まず tz-射影を受けた t-⊥ (⊥= x, y) 平面内の Wilson loopWt,⊥(r, T ) から考える。
†

図 4.5a にある 2 本の Wilson line のうち、左側を Lleft 、右側を Lright と簡単に表すと、

tz-射影を受けた Wilson loop は

h
i
tz
Wt,⊥
(r, T ) = Tr L†left Lright(4.31)と表される。
残留した自由度に関するゲージ変換は図 4.5a のようにL†left → Ω(t′ , z)L†left Ω† (t, z)(4.32)

Lright → Ω(t, z)Lright Ω† (t′ , z)(4.33)

39

Soryushiron Kenkyuと変換する。この変換 (4.32),(4.33) を式 (4.31) に作用させると

h
i
tz
Wt,⊥
(r, T ) → Tr Ω(t′ , z)L†left Ω† (t, z)Ω(t, z)Lright Ω† (t′ , z)hitz
= Tr L†left Lright = Wt,⊥(r, T )

(4.34)となり残留したゲージ自由度に対しゲージ不変である。
次に xy-射影を受けた Wilson loop について考える。図 4.5b にある 2 本の Wilson line†のうち、上側を Ltop 、下側を Lbottom と表す。xy-射影を受けた Wilson loop はxy
Wt,⊥(r, T ) = TrhL†top Lbottomi(4.35)†と表され、Wilson line Ltop , Lbottom のゲージ変換性はL†top → Ω(t′ , z)L†top Ω† (t′ , z)(4.36)†

Lbottom → Ω(t, z)Lbottom Ω (t, z)(4.37)であるので、xy-射影を受けた Wilson loop は 2 次元のゲージ変換に対し

h
i
xy
Wt,⊥
(r, T ) → Tr Ω(t′ , z)L†top Ω† (t′ , z)Ω(t, z)Lbottom Ω† (t, z)hi= Tr Ω† (t, z)Ω(t′ , z)L†top Ω† (t′ , z)Ω(t, z)Lbottom(4.38)となる。ここでΩ̃ ≡ Ω† (t, z)Ω(t′ , z)(4.39)とし、Ltop , Lbottom ∈ SU(Nc ) より

Ltop = L0top 1 + Latop T a
Lbottom = L0bottom 1 + Labottom T a(L0top , Latop ∈ C)

(4.40)(L0bottom , Labottom ∈ C)

(4.41)と書けるので、式 (4.38) はxy
Wt,⊥(r, T ) → Tr

h
Ω̃

a∗
a
L0∗
top 1 + Ltop T

h



Ω̃

L0bottom 1 + Lbbottom T b

0
a∗
a
b
b
= Nc L0∗
top Lbottom + Tr Ω̃Ltop T Ω̃Lbottom Tii(4.42)となる。ただし Tr T a = 0 を用いた。第 1 項はゲージ変換関数がキャンセルしてゲー
ジ不変になるが、第 2 項はゲージ変換関数のキャンセルは起こらずゲージ不変ではなく、従って xy-射影を受けた Wilson loop は残留したゲージ自由度に対しゲージ不変ではない。

40

Soryushiron Kenkyu

Elitzur の定理よりゲージ不変でない量の真空期待値は 0 となるため、xy-射影を受けた
Wilson loop の真空期待値は 0 となるように思われる。しかしながら、式 (4.42) で Ω̃ に関する群多様体上での平均を取ると第 2 項は消え
xy
0
⟨Wt,⊥
(r, T )⟩ = Nc L0∗
top Lbottom =1 Tr L†top Tr Lbottom
Nc(4.43)

xyとなり、xy-射影を受けた Wilson loop の真空期待値 ⟨Wt,⊥ (r, T )⟩ は有限の値をとる。これは xy-射影を受けた Wilson loop は Elitzur の定理が暗黙に仮定している単独の既約表
現という条件を満たしていないためである（付録 D）。

tz-射影を受けた Wilson loop の計算結果

図 4.6: Wilson loop の真空期待値から求めた静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャル（格子単位）。横軸 R/a はクォーク間距離（格子単位）であり、Wilson loop の ⊥ 方向（x, y 方向）の長さを表す。縦軸はポテンシャルの値（格子単位）を表す。四角（黄）が通常の Wilson

loop のデータ、三角（青）が DR ゲージ固定後に tz-射影を受けた Wilson loop のデータ、
点線（黒）は先行研究 [18] で計算されたクォーク-反クォーク間ポテンシャルのプロットである。

閉じ込め力 string tension を計算する目的で tz-射影を受けた Wilson loop から静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャルを計算する。まず DR ゲージ固定後に tz-射影
tzをしたゲージ配位で t-⊥ (⊥= x, y) 平面内の Wilson loop Wt,⊥(r, T ) の真空期待値tz
tz(r, T )⟩ を計算する。そして ⟨Wt,⊥(r, T )⟩ から tz-射影後のポテンシャルを V tz (r)
⟨Wt,⊥

と
tz
⟨Wt,⊥
(r, T )⟩ = Ae−V

41

tz

(r)T

(4.44)

Soryushiron Kenkyuと定義し、tz-射影後のポテンシャルを V tz (r) をV tz (r) = −1tz
ln⟨Wt,⊥(r, T )⟩
T

(4.45)

として求めた。
ポテンシャルの計算結果は図 4.6 のようになった。横軸 R/a は Wilson loop の ⊥ 方向
（x, y 方向）の長さであり、縦軸はポテンシャルの値である。四角（黄）が通常の Wilson

loop のデータ、三角（青）が tz-射影を受けた Wilson loop のデータ、点線（黒）が先行
研究 [18] で得られた静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャルのプロットである。
なお Wilson loop を計算する際、基底状態のポテンシャルを数値計算的に高精度かつ高効率で求めるため、空間方向のリンク変数 Ui (i = x, y, z) に対して、標準的な手法である「ゲージ不変な smearing」を行った。smearing のパラメーターは先行研究 [18] と同じものを使用している。

tz-射影をしても Wilson loop の振る舞いはほとんど変化せずに面積則、つまり線形ポ
テンシャルの存在を示し、図 4.6 から分かるように、ポテンシャルの線形部分の傾きは tz射影にほぼ関係しないという結果が得られた。従って、クォーク閉じ込め力である string

tension は tz-射影により変化しないということが示されている。
xy-射影の計算結果

図 4.7: DR ゲージ固定後に xy-射影を受けた Wilson loop の真空期待値 ⟨Wt,⊥ (r, T )⟩。横軸 Txy

は xy-射影を受けた Wilson loop の t 方向の長さ、縦軸は xy-射影を受けた Wilson loopの真空期待値。Wilson loop の ⊥ 方向（x, y 方向）の長さを r と表したとき、四角（緑）が r = 1、丸（青）が r = 5、三角（橙）が r = 9、のデータを表す。

xy
DR ゲージ固定後に xy-射影を受けた Wilson loop の真空期待値 ⟨Wt,⊥(r, T )⟩ の格子

42

Soryushiron Kenkyu

QCD による計算結果を示す。
xy

結果は図 4.7 のようになった。横軸 T は Wilson loop ⟨Wt,⊥ (r, T )⟩ の t 方向の長さ、縦軸は xy-射影を受けた Wilson loop の真空期待値である。Wilson loop の ⊥ 方向（x, y 方向）の長さを r と表したとき、四角（緑）が r = 1、丸（青）が r = 5、三角（橙）が r = 9のデータを表す。
xy

図 4.7 から分かるように、xy-射影を受けた Wilson loop ⟨Wt,⊥ (r, T )⟩ は t 方向の長さ

T に依存せず、定数のように振る舞っている：
xy⟨Wt,⊥(r, T )⟩ = const.

(4.46)xy
T が十分大きいとき、⟨Wt,⊥(r, T )⟩ はクォーク-反クォーク間ポテンシャルを V xy (r) と

して
xy
⟨Wt,⊥
(r, T )⟩ ∼ e−V

xy

(r)T

(T → ∞)(4.47)と振る舞うので、図 4.7 の振る舞いは定数ポテンシャルを導く。さらにそのポテンシャ
ルは1xyln⟨Wt,⊥(r, T )⟩
T →∞ TV xy (r) = − limと求まるので、この式に式 (4.46) を代入すると

1
const. = 0
T →∞ TV⊥xy (r) = − lim(4.48)となり、ポテンシャルは 0 であると導かれる。よって xy-射影を受けた Wilson loop は

DR ゲージではポテンシャルには寄与をしないという結果になる。
この結果は、DR ゲージにおいては Ax,y の自由度は閉じ込めに対して主要ではないことを示唆しているように思われる。リンク変数および Wilson line は非可換であるから、
図 4.4 のように Wilson loop を tz 部分と xy 部分に単純に分離することはできず、xy 部
分が Wilson loop の中で何らかの寄与はし得る。そのため Wilson loop の xy 部分が閉じ込め（面積則）に全く影響しないとは言えないが、上記の結果（図 4.7）を踏まえると、その寄与は少なくとも主要なものではないと考えられる。

Wilson loop の計算のまとめ
上記の計算結果についてまとめる。
まず tz-射影を受けた Wilson loop については、ポテンシャルは図 4.6 が示すように、

tz-射影に関係なく線形ポテンシャルを導いた。また閉じ込め力 string tension は tz-射影

43

Soryushiron Kenkyu

を受けても変化せず、従って閉じ込めの様相は、DR ゲージにおいては、tz-射影に依存しないようである。
そして xy-射影を受けた Wilson loop については、図 4.7 から分かるように、t 方向の長さ T に依存せず定数のように振る舞っており、ポテンシャルへの寄与は 0 であると計算される
これらの結果から、DR ゲージにおいては Wilson loop の tz 部分が閉じ込め（面積則）に主要な寄与をしており閉じ込め力である string tension をほぼ再現するが、一方 xy 部
分の閉じ込めへの寄与は主要ではないと言えるだろう。

4.6.3 リンク変数 Ut 間の ⊥ 方向（x, y 方向）の相関
ここまでの計算結果から、DR ゲージでは• ゲージ場の Ax,y 成分が強く抑制されている。
• 閉じ込めへの主要な寄与は At,z 成分が与えると考えられる（tz dominance）。
という性質が成り立っていることが確認された。次に、tz-射影後の DR ゲージ QCD と純粋な 2 次元 QCD の差異を考える。

4.4 節での議論では、DR ゲージ QCD は「t-z 平面内の 2 次元 QCD+2 次元 QCD 系の x, y 方向の近接的相互作用」という理論構造をしている可能性があると述べた。ここから、DR ゲージ QCD と 2 次元 QCD の差異の 1 つは「2 次元 QCD 系の x, y 方向の近接的相互作用」であるといえる。そこでこの x, y 方向に関する相互作用の性質を格子 QCD
計算で非摂動的に調べる。

4.5.2 節で tz-射影後のプラケット作用は、式 (4.14) で表されたように
X 1Plaq,tz
SDR=β1−
ReTrPtz (s)
N
c
s



X


1 X
+
1−
ReTr Uµ (s)Uµ† (s + a⊥ ) 


Nc
µ=t,z
⊥=x,y

であった。そして、この作用 (4.14) の第 2 項

β


X X 
s

µ=t,z



1−

1
Nc

X




†
ReTr Uµ (s)Uµ (s + a⊥ )



⊥=x,y

(4.49)

が 2 次元 QCD の類似系間の x, y 方向の近接的相互作用を表していると解釈される。定44

Soryushiron Kenkyu

数項は重要でないので、式 (4.49) のうちリンク変数の積の部分


1 X
ReTr Uµ (s)Uµ† (s + a⊥ )Nc

(4.50)⊥=x,yに着目する。この隣接相互作用 (4.50) は ⊥ 方向（x, y 方向）に非自明な相関を与えると考えられる。これを考慮して、⊥ 方向（x, y 方向）の相関

C(r) ≡

1
ReTr ⟨Ut (s)Ut† (s + ra⊥ )⟩Nc(4.51)†を格子 QCD により計算した。なおゼロ温度では対称性により ⟨Ut (s)Ut (s + ra⊥ )⟩ と⟨Uz (s)Uz† (s + ra⊥ )⟩ は同じ結果を与える。
C(r) は、ある t-z 平面上のリンク変数 Ut (s) と、そこから ⊥ 方向（x, y 方向）に r だ†

け離れた t-z 平面上のリンク変数 Ut (s + ra⊥ ) の相関関数である（図 4.8）。

図 4.8: 相関関数 C(r) の模式図。ある t-z 平面上のリンク変数 Ut (s) と、そこから ⊥= x, y 方向†に r だけ離れた t-z 平面上のリンク変数 Ut (s + ra⊥ ) の相関を考える。

計算の結果、相関 C(r) は図 4.9 のようになった。丸が格子 QCD の計算結果、点線が相関のデータを指数関数

f (r; m, A) = Ae−mr45(4.52)

Soryushiron Kenkyu

を用いて A, m をパラメーターとしてフィットしたものである。

図 4.9: 2 つの t-z 平面内にあるリンク変数同士の相関。横軸が 2 つの t-z 平面の距離（格子単位）、
縦軸が相関を表す。丸が格子 QCD による計算値。点線が指数関数での最適フィット曲線（指数関数:A exp(−mr), A ≃ 0.83, m ≃ 0.32）。

フィットの結果、指数関数は格子 QCD の計算結果によく合い、各パラメーターの値はA ≃ 0.83m ≃ 0.32/a ≃ 0.64 GeV(4.53)(4.54)であることが分かった。ただし β = 6.0 での格子上の a = 0.1 fm、従って a−1 ≃ 2.0 GeV
であることを用いた。
そして m の逆数で定義される相関長 ξ は

ξ≡1≃ 0.31 fm
m(4.55)

であると計算される。
まとめると、ある t-z 平面上のリンク変数 {Ut,z (s)} と ⊥ 方向（x, y 方向）に r だけ離れた t-z 平面上のリンク変数 {Ut,z (s + ra⊥ )} の相関は指数関数的に減衰し、その相関長は ξ ≃ 0.31 fm であるということが分かった。
この結果は DR ゲージではゲージ場の x, y 方向の伝播は強く制限され、x, y 方向について massive になっていることを示唆している。一方、t, z 方向に関してはゲージ自由度が残るため massless であると考えられる。これは物性物理で近年注目を集めている「フラクトン」と似た性質であり、何かしらの関係が背後に潜んでいるのかもしれない。

46

Soryushiron Kenkyu

以上の結果を踏まえた上で大雑把に考えれば、理論のスケールを ξ よりも十分大きくすることで、4 次元の DR ゲージ QCD 系は相互作用の無い 2 次元 QCD 系の集まりと見なせるかもしれない。実際には相関は図 4.9 のように指数関数的な減衰を示すため、この見方は非常に粗い近似と言わざるを得ないが、4 次元 QCD に対して低次元化というアプ
ローチを取る場合には有用な考え方であると思われる。

4.6.4 理論の単純化：t-z 平面間相互作用の第０近似
前節の終わりで「理論のスケールを ξ よりも十分大きくして 4 次元の DR ゲージ QCD
系は相互作用の無い 2 次元 QCD 系の集まりと見なす」というアイデアを提示した。
このアイデアは非常に粗い近似ではあるが、一考の余地があると思われる。そこで、大胆な理想化としてリンク変数の相関 C(r) を図 4.10 のように(
C(r) = θ(ξ − r) =1 (r < ξ)
0 (r > ξ)(4.56)と単純化することを考えてみる。

図 4.10: 図 4.9 の ⊥ 方向（x, y 方向）の相関 C(r) の単純化。

DR ゲージ QCD ではゲージ固定により At,z と Ax,y は同等ではないため、経路積分中
47

Soryushiron Kenkyu

では有効作用

Z
Seﬀ =Z
dxdy Leﬀ [Aµ (t, z, x, y), A⊥ ]dtdz

(4.57)

で書くことにする。

4.6.2 節の計算結果から、Ax,y は閉じ込め力である string tension、つまり低エネルギーの物理にほとんど寄与しないと考えられるため、議論を低エネルギー領域に限定すれば有効作用 (4.57) を

Z
IR
Seﬀ
≃

Z
dtdz

dxdy Leﬀ [Aµ (t, z, x, y), A⊥ ≃ 0]

(4.58)と近似できるかもしれない。
ここで図 4.10 即ち式 (4.56) の近似を適用する。この近似の下では• r < ξ では C(r) = 1⇒ ⊥ 方向（x, y 方向）に r だけ離れた 2 つのリンク変数 {Ut,z (s)} , {Ut,z (s + ra⊥ )}は完全に同一。

• r > ξ では C(r) = 0⇒ ⊥ 方向（x, y 方向）に r だけ離れた 2 つのリンク変数 {Ut,z (s)} , {Ut,z (s + ra⊥ )}は完全に無相関。
となる。従って、この大胆な近似をした DR ゲージ QCD は、図 4.11 のように「⊥ 方向（x, y 方向）に ξ 程度の広がりを持つ t-z レイヤーが並列し、各レイヤー内ではゲージ場

At,z は ⊥ 方向（x, y 方向）に一様だが異なるレイヤー間では独立かつ無相関」という理論構造になっていると考えられる。
近似を適用する前の図 4.3a の t-z 平面は実数 (x, y) でラベルされるが、近似をした後の
図 4.11 のレイヤーは離散的であるから整数 (m, n) でラベルされる。1 つのレイヤー内ではゲージ場は ⊥ 方向（x, y 方向）に一様であることを踏まえると、Aµ (t, z, x, y) (µ = t, z)
はAµ (t, z, x, y) → Aµ (t, z; mξ, nξ) ≡ AN
µ (t, z)と表すことができる。この ANµ (t, z) は• 同じ N = (m, n) のレイヤーでは同じ値で t, z のみの関数• 異なる N = (m, n) のレイヤーでは独立かつ無相関48(4.59)

Soryushiron Kenkyu

図 4.11: 図 4.10 即ち式 (4.56) の理想化を受けた DR ゲージ QCD の模式図。⊥ 方向（x, y 方向）に ξ 程度の広がりを持つ t-z レイヤー内では、ゲージ場 At,z は ⊥ 方向（x, y 方向）に一様になっており、異なるレイヤー間ではゲージ場は独立かつ無相関である。

であるから、有効作用 (4.58) の x, y に関する積分は m, n についての和になり
IR
Seﬀ
≃

X

Z
ξ

2



dtdz Leﬀ ANµ (t, z)(4.60)

N =(m,n)となる。
この式 (4.60) は、x, y 座標の依存性を N = (m, n) を通じて内部自由度のようにみなし、理論を 2 次元のゲージ場 ANµ (t, z) で記述している。つまり「4 次元の DR ゲージ

QCD が内部自由度 N = (m, n) を持つ 2 次元ゲージ理論として記述される」ということを表している（図 4.12）。
有効作用 (4.60) を tree level で考えてみる。
相関長 ξ をゲージ場 ANµ (t, z) に吸収させて、ゲージ場をANµ (t, z) ≡ ξAµ (t, z)(4.61)と再定義する。これに伴い、ゲージ場の強さ GNµν と結合定数 g を

 N N
NNGµν
≡ ∂ µ ANν − ∂µ Aν + ig Aµ , Aνgg ≡ = mgξ49

(4.62)(4.63)

Soryushiron Kenkyu

図 4.12: 大胆な近似の下での 4 次元の DR ゲージ QCD と内部自由度を持つ 2 次元 QCD の関係図。

と再定義する。
この場の強さ (4.62) を用いると、tree level の有効作用は

Z
IR
Seﬀ,
tree =

dtdz

X1
N

2

 N NGµν =Tr Gµν

Zdtdz

1a, N a, M
Gµν
δN M Gµν
4(4.64)と書ける。ここで µ, ν は t, z のみをとる 2 次元時空の添え字であり、a はカラー自由度である。内部自由度 N, M についても重複した場合は縮約を取るものとする。右辺は内部自
由度 N, M の結合を考えた表式であり、N, M は N = M のときのみ、つまり δM N を通して結合するということを表している。
結合定数が式 (4.63) を通じて次元を持つ。

2 次元の QCD は結合定数が質量次元を持つため、スケールを定める必要があるが、今回の場合は 4.6.3 節で得られた相関長 ξ 、あるいはその逆数である m = ξ −1 がそのスケールになる。
最後に、2 次元の有効作用 (4.64) を用いて静的なクォーク-反クォーク間ポテンシャルを計算してみよう。
生成汎関数は Z1a, N a, M
a, N a, N
DA exp − dtdz
δN M Gµν Gµν + Jµ Aµ
4
 Z


Z
1 a, N abb, Ma, N a, N= DA exp − dtdz
ADµν δN M Aµ + Jµ Aµ + · · · (4.65)
4 µ

ab
Dµν
≡ −∂ 2 δµν + ∂µ ∂ν δ ab
(4.66)
Z

2d
Ztree
=

と書ける。ここでカレント Jµa, N を導入し、ゲージ場と式 (4.65) のように結合させた。

50

Soryushiron Kenkyu

簡単のため tree level でのカレント相関、そしてポテンシャルを導出してみる。そして付録 B のように Jµa, N のガウシアンの形式に書き換えることを考える。そのためには
abDµνの逆を定義する必要があるが、今の場合 2 次元のゲージ自由度が残るため、2 次元でのランダウ・ゲージ∂ µ Aµ = 0(µ = t, z)(4.67)ab−1 abを取ることとする。すると Dµνの逆演算子 Dµν
は運動量空間で



pµ pν
1
δµν − 2
p2
p

−1 ab
(p) =
Dµν

(4.68)となる。
以上のことを踏まえ計算を進めると、生成汎関数は


2d
Ztree
∝ exp

1
−
2

Z

Z
2

2

d xd y Jµa, Nd2 p δµν ip(x−y)
b, N
e
Jν
(2π)2 p2

(4.69)となる。なお式 (4.69) の導出では、カレント Jµa, N の保存則 ∂µ Jµa, N = 0 から、カレントJµa, N のフーリエ変換を J˜µa, N とすると、運動量空間で
pµ J˜µa, N = 0(4.70)となることを用いた。
ここで Jµa, N として、クォークが z = z1 、反クォークが z = z2 にそれぞれあり静止している系のカレントを考える。内部自由度 N はもともと x, y 座標であったから、静止している粒子を考える場合 N はある値 N0 を取り続ける。従って、この系のカレントはJµa, N = g [δ(z − z1 ) − δ(z − z2 )] δµ0 δ N N0 T a(4.71)となる。
これを式 (4.69) に代入し計算を進めると


2d
Ztree
∝ exp

g2
− C 2 δ N 0 M0
2

Z ∞

Z ∞
dt
−∞

dp 1
(1 − cos(pr))
2−∞ π p(4.72)と書ける。ただし C2 は SU(Nc ) のカシミア演算子であり、r = |z1 − z2 | である。δ N0 M0は、この大雑把な近似では異なるレイヤーにある粒子間には相互作用が働かないことを意味している。
生成汎関数と有効ポテンシャル Veﬀ の関係性は（ユークリッド時空では） Z
Z ∼ exp − dtVeﬀ
51(4.73)

Soryushiron Kenkyu

であるから、有効作用 (4.64) から導かれる tree level でのポテンシャル Vtree (r) は

g2
Vtree (r) = C2 δ N0 M0
2

Z ∞

dp 1
(1 − cos pr)2−∞ 1π pZ ∞dθ 1
g2
N 0 M0r(1 − cos θ)= C2 δ
2
2−∞ π θ(θ ≡ pr)(4.74)と求まる。p の積分を θ = pr の積分に置き換えたときに r という因子が生じ、ポテン
シャルは r に比例する。つまり線形ポテンシャルである。この線形性は時空が 2 次元であることに由来する性質である。
この積分を Nc = 3 のときに具体的に実行すると、クォーク間ポテンシャルはVtree (r) =g2 4 N0 M0δr
2 3(4.75)となる。
同じレイヤー内（N0 = M0 ）の t-z 平面内のポテンシャルについては、β = 6/g 2 =6.0 ⇒ g = 1.0 で ξ = 0.31 fm を用いると
g ≃ 0.64 GeV(4.76)となるので、これを式 (4.75) に代入すると、ポテンシャルの値はVtree (r) = σ2D r
σ2D ≃ 1.4 GeV/fm(4.77)(4.78)となる。

QCD における string tension σ の実際の値は
σ ≃ 0.89 GeV/fm(4.79)

なので、式 (4.78) の値はオーダーは合っている。
上記の議論は ⊥ 方向（x, y 方向）のゲージ場を無視している点で精密なものではない。
有効作用も tree level で考えているので、量子効果が入っていない。そのため、上記の計算はあくまでも試算的なものであるということに注意されたい。

⊥ 方向（x, y 方向）のポテンシャルは Wilson loop から計算される。今の場合、tz-射影後に式 (4.56) の近似をするため、図 4.5a のような Wilson loop を計算すればよい。
式 (4.56) による近似のため、計算は非常に簡単である。Lleft , Lright が同じレイヤー内にある場合

Lleft = Lright52

Soryushiron Kenkyuとなるので、Wilson loop は

h
i
tz
Wt,⊥
(r, T ) = Tr L†left Lright = const.
となる。
一方、Lleft , Lright が異なるレイヤーにそれぞれ存在する場合、リンク変数は無相関なので、Lleft と Lright も無相関である。従って、この場合の Wilson loop の真空期待値は

h
i
tz
⟨Wt,⊥
(r, T )⟩ = ⟨Tr L†left Lright ⟩ = 0となる。
まとめると、図 4.10 即ち式 (4.56) の近似の下では、t-⊥ 面内の Wilson loop の真空期
待値は

(
tz
⟨Wt,⊥
(r, T )⟩ =const.
0(r < ξ)(r > ξ)(4.80)となる。これから導かれる ⊥ 方向（x, y 方向）のポテンシャルは1tz
ln ⟨Wt,⊥(r, T )⟩ =V (r) = − lim
T →∞ T(0(r < ξ)∞ (r > ξ)(4.81)となる。従って、DR ゲージ QCD を図 4.10 即ち式 (4.56) の近似の下で考えると、x, y
方向に凄まじい閉じ込めが生じるともいえる。
実際には、相関は図 4.9 のように指数関数的に減衰するため、x, y 方向のポテンシャル
は式 (4.81) に比べ、もう少しマイルドになると考えられる。

53

Soryushiron Kenkyu

第5章

まとめと展望我々はクォーク閉じ込めにおいて重要なフラックス・チューブ形成や、2 次元 QCD の解析的取り扱いのしやすさを動機の 1 つとして、4 次元 QCD の低次元的性質の解析という目的で研究を行った。具体的な手法として、ゲージ自由度を利用して 4 次元 QCD の
低次元的自由度を強調するような「Dimensional Reduction (DR) ゲージ」という新しいゲージ固定条件を考案した。そして、DR ゲージ固定をした QCD の特性を、動的なフェルミオンの自由度を無視するクエンチ近似を用いて、解析的および数値的に調べた。数値的手法は SU(3) 格子 QCD 計算を用いた。その結果、以下の結論を得た。
まず DR ゲージではゲージ場の x, y 方向成分 Ax , Ay が抑制されるため、それらを格子 QCD のゲージ配位から取り除く「tz-射影」を考え、それによりクォーク間ポテンシャ
ルが受ける影響を調べた。その結果、DR ゲージではクォーク間ポテンシャルは tz-射影で変化せず、ゲージ場の 2 次元的自由度 At , Az のみで再現されることが分かり、tz

dominance、即ち「長距離の物理量が 2 次元的な自由度のみで再現できる」という可能性が示唆された。
次に解析的な議論からは、DR ゲージで tz-射影をした 4 次元 QCD は「t-z 平面上の2 次元 QCD の類似系 + 類似系間の x, y 方向の近接的相互作用」と捉えられる、つまり「x, y 方向に近接的相互作用をする 2 次元 QCD の類似系のアンサンブル」という描像が得られた。
そしてその描像に現れる 2 次元 QCD の類似系間の相関を格子 QCD を用いて調べた。
結果、2 次元 QCD の類似系間には exp(−mr) [m ≃ 0.6 GeV] という指数関数的に減衰する相関がみられ、従って 2 次元 QCD の類似系間の相関長は ξ ≡ 1/m ≃ 0.3 fm となることが分かった。
最後に、この ξ ≃ 0.3 fm 以上で 2 次元 QCD 系間の相関が θ 関数的に切れるという非54

Soryushiron Kenkyu

常に大まかな近似の下では、4 次元 QCD が「結合定数 g2 ≡ gm の 2 次元 QCD 系」のアンサンブルとして記述できる可能性を指摘した。
これらの結果は、4 次元の（DR ゲージ固定をした）QCD と 2 次元 QCD の対応を仄
めかすものであるように思える。特に 4 次元の DR ゲージ QCD と 2 次元 QCD の関係
はホログラフとホログラムの関係に類似しており、4 次元の DR ゲージ QCD をホログラ
フ、内部自由度をもつ 2 次元のゲージ理論をホログラムとするような対応関係があるのかもしれない。
高次元の理論と低次元の物理が結び付ける物理はいくつか存在し、ランダムな磁場をかけた d 次元スピン系と磁場の無い d − 2 次元スピン系が等価となる「Parisi-Sourlas 機構[46]」はその一例といえる。
また d 次元の重力理論と d − 1 次元の共形場理論（Conformal Field Theory, CFT）が等価であることを主張する「AdS/CFT 対応」も異なる次元の物理を結ぶ対応関係の一例
である。AdS/CFT 対応からは、QCD に類似した理論であるホログラフィック QCD が導かれているが、今回の研究はそれとはまた別の角度から高次元と低次元の対応を与える

QCD 理論になるのかもしれない。
今後の展望として、クォークを含む full QCD での議論・計算が考えられる。閉じ込め
はカイラル対称性の自発的破れと密接に関係していると考えられており、full QCD で tz

dominance が存在するのかを確認したい。また、DR ゲージではゲージ場の t, z 方向成分
At , Az の x, y 方向への伝播が抑制されているが、クォークは運動方向の制限を受けないと考えられ、DR ゲージの full QCD は各 t-z 平面上に束縛されたゲージ場とそれらの t-z
平面間を飛び交うクォークという描像になるかもしれない。これはグラフェンとの類似性があり、グラフェンは電子が平面上に束縛され光子が平面間を飛び交うという物理系である。従って、DR ゲージの full QCD はグラフェンのボソン・フェルミオンを入れ替えた物理系として捉えられる可能性があり、理論的に面白いかもしれない。
また、有限温度への拡張は容易かつ重要である。QCD は一定以上の温度で閉じ込めを示さなくなるが、DR ゲージ QCD では At , Az が閉じ込めに主要な寄与を果たしていたため、温度を上げた場合それがどのようになるかは興味深い。
今回の研究では、tz-射影を考えたが、これにより x, y 方向のゲージ場 Ax , Ay は取り除かれるため、z 方向のカラー磁場は存在しなくなる。カラー磁場はハドロン質量と関係しており、核子 N-デルタ・バリオン ∆ 間の質量差はカラー磁場によって生じるとされているため、カラー磁場によるハドロン質量への寄与が DR ゲージおよび tz-射影によってどのような影響を受けるのかはハドロン質量の起源を探るにあたって重要であると考えられる。

55

Soryushiron Kenkyu

そして挑戦的ではあるが、4.6.3 節で示した相関を再現するような 2 次元 QCD の集合を上手く張り合わせて 2 次元 QCD から 4 次元の DR ゲージ QCD を再構築できるかということも調べてみたいと考えている。解析的には、4.6.4 節での相関関数の近似を単一の階段関数から複数の階段関数を合わせたものに拡張し、指数関数的な相関の再現およびそれを用いた解析を行ってみたい。数値的には、2 次元の格子 QCD を用いて、指数関数的な相関を持つ配位生成が実現可能か、そしてそれらを張り合わせて 4 次元の DR ゲージ

QCD と同じような数値計算結果を示すかを調べてみたい。これらの手法の実現はおそら
く難しいと思われるが、もし可能であれば 4 次元 QCD の解析において有用な手法になりうると思われる。

56

Soryushiron Kenkyu

謝辞
本研究において、熱心かつ忍耐強いご指導をしてくださった菅沼秀夫先生には深く感謝申し上げます。知識が乏しく失敗も多い自分に熱心に向き合い、様々なことを教えて頂きました。この経験は非常に貴重で、得難い財産になったと思います。
研究室の皆様には、研究や日常の様々な面でサポートをして頂きました。落ち込みやす
い自分の悩みや話を、多くの人が親身になって聞いてくれました。本当にありがとうございました。
また様々な感情や体験を分かち合い、切磋琢磨してくれた友人たちに感謝します。
最後に、自分はあらゆる面で家族・親族に支えられてきました。父と母の子供で、兄の弟であることは自分の誇りであり、また幸福です。心から感謝を申し上げます。

57

Soryushiron Kenkyu

付録 A

経路積分におけるゲージ固定の方法
A.1 ファデーエフ・ポポフの処方
本節では、ゲージ理論におけるゲージ固定の方法として、経路積分量子化におけるファ
デーエフ・ポポフの処方 [4] について解説する。
ファデーエフ・ポポフの処方は経路積分においてゲージ固定を行う標準的な方法である。その基本的なアイデアは、場の配位の積分を「あるゲージ固定条件でのゲージ場の配位の積分」と「そこからゲージ変換で結びつく場の配位の積分」の 2 つの部分に分離するというものである。
以下では、ランダウ・ゲージ (∂µ Aµ = 0) での場合を例にとって、具体的な説明をする。

QCD の分配関数は作用 (1.1) を用いてZ
Z ≡ Dq̄DqDAµ eiSQCD [q̄,q,Aµ ](A.1)と定義される。この分配関数 (A.1) に恒等式ZDω∆ [Aω ] δ ∂ µ Aωµ (x) − f (x)
 µ ω




δ∂ Aµ (x)ω∆ [A ] ≡ Det= Det ∂xµ ∂µx + gfabc Acµ (x) δ 4 (x − y)
δω(y)
1≡

(A.2)
(A.3)

を挿入する。ここで Aω
µ (x) はゲージ変換関数 Ω(x) = exp[igω(x)] を用いて式 (1.8) のよ
うにゲージ変換をしたゲージ場であり、Det は汎関数行列式である。そのため、∆ [Aω ] は

ファデーエフ・ポポフ行列式と呼ばれる。また δ ∂ µ Aωµ (x) − f (x) は Yδ ∂ µ Aω
(x)
−
f
(x)
≡
δ(∂ µ Aωµµ (x) − f (x))
x

58

(A.4)

Soryushiron Kenkyuと定義される汎デルタ関数であり、f (x) は任意関数である。恒等式 (A.2) の挿入により、
分配関数は

Z
Z≡


 iSQCD [q̄,q,Aµ ]Dq̄DqDAµ Dω∆ [Aω ] δ ∂ µ Aωµ (x) − f (x) e(A.5)となる。ここで、作用 (1.1) と DAµ のゲージ不変性を利用すると、式 (A.5) は

Z

 µ ω
 iSQCD [q̄,q,Aω ]ωµDq̄DqDAωµ Dω∆ [A ] δ ∂ Aµ (x) − f (x) eZZ= Dω Dq̄DqDAµ ∆ [A] δ [∂ µ Aµ (x) − f (x)] eiSQCD [q̄,q,Aµ ]Z=と書くことができ、ゲージ変換の自由度に関する積分

R

(A.6)

Dω をくくりだすことができる。

経路積分では、演算子 Ô [q̄, q, Aµ ] の期待値は1⟨Ô⟩ ≡
ZZ

Z
Dω

Dq̄DqDAµ ∆ [A] Ô [q̄, q, Aµ ] δ [∂ µ Aµ (x) − f (x)] eiSQCD [q̄,q,Aµ ]
(A.7)

R

と計算される。 Dω に由来する発散は定数として現れ、期待値計算の際には分子・分母
でキャンセルするため、無視できる。以上のような手続きを経ることで、経路積分による期待値の評価が可能となる。
式 (A.6) の汎デルタ関数はゲージ固定項として作用の中に含めることができる。通常のn 次元のデルタ関数 δ (n) (x) はフーリエ積分表示でZ
dn k i⃗k·⃗x(n)δ (⃗x) =
e
(2π)4

(A.8)

と表せることから、汎デルタ関数 (A.4) は補助場 B(x) を導入してδ [∂ Aµ (x) − f (x)] =
µ

Z Y
Z

=

 Z

4
µ
(dB(x)) exp i d x (∂ Aµ (x) − f (x)) B(x)

x

 Z

4
µ
DB exp i d x (∂ Aµ (x) − f (x)) B(x)(A.9)

のように経路積分の形で書ける。この式 (A.9) を用いて式 (A.6) を書き換えると

Z
Z=

Z
Dω

Dq̄DqDAµ DB∆ [A] eiSQCD [q̄,q,Aµ ]+i

となる。

59

∫

d4 x(∂ µ Aµ (x)−f (x))B(x)(A.10)

Soryushiron Kenkyu

A.2 ファデーエフ・ポポフ・ゴースト
上記の分配関数 (A.6) を局所場の理論にするため、つまり摂動論で扱いやすくするために、ファデーエフ・ポポフ・ゴーストを導入する。
式 (1.14) から行列式はグラスマン数の積分として書けるため、新たにグラスマン数の場 c(x), c̄(x) を導入し、ファデーエフ・ポポフ行列式をZ∆ [A] =

 Z
4µ
Dc̄Dc exp i d xc̄(x)∂ Dµ c(x)Dµ ≡ ∂µ + gfabc Abµ(A.11)(A.12)と表せる。ここで導入された場 c(x), c̄(x) はグラスマン数であるからフェルミ統計に従う
が、スカラー場の運動方程式に従うためスピンは 0 であるという奇妙な場である。この場をファデーエフ・ポポフ・ゴースト場という。

60

Soryushiron Kenkyu

付録 B

経路積分における摂動論の方法
ここでは場の理論における摂動論の方法について、経路積分の形式で解説を行う [47]。
一般の場合を考え、場を ϕA と記す。添え字 A は場の時空方向成分および内部自由度をまとめて表したものとする。
理論の作用がZx
d4 x ϕA (x)KAB
ϕB (x) + Lint [ϕA (x)]

S=



(B.1)

のように自由場部分（第 1 項）と相互作用部分（第 2 項）に分離できる場合を考える。自由場部分は場 ϕA の 2 次項であるとする。
ここで作用 (B.1) にソース項 JA (x)ϕA (x) を加え

Z
SJ =

x
d4 x ϕA (x)KAB
ϕB (x) + Lint [ϕA (x)] + JA (x)ϕA (x)



(B.2)

とする。このときソース項込みの作用から定義される生成汎関数は

Z
Z[J] =

Z
DϕA e

iSJ

=

DϕA ei∫x
d4 x ϕA (x)KAB
ϕB (x)+Lint [ϕ(x)]+JA (x)ϕA (x)


(B.3)

となる。
この生成汎関数 Z[J] を用いると、例えば場の 2 点関数 ⟨ϕB (x)ϕC (y)⟩ はZ
1⟨ϕA (x)ϕB (y)⟩ =DϕA ϕB (x)ϕC (y)eiSJ
Z[J]
J→0
Z
1
δ
δ
=
DϕA
eiSJ
Z[J]
δJB (x) δJC (y)
J→0
δ
δ
1
=
Z[J]
Z[J] δJB (x) δJC (y)
J→0
61

(B.4)

Soryushiron Kenkyuのように JA (x) による Z[J] の汎関数微分によって計算できる。一般に、場 ϕA によって構成される演算子 Ô[ϕA ] の期待値については

1δ⟨Ô[ϕA ]⟩ =
Ô
Z[J]
Z[J]
δJA
J→0

(B.5)

というように、演算子 Ô[ϕA ] 内の場を汎関数微分に置き換えることで計算可能である。
式 (B.5) による期待値計算は形式的に可能であるが、実際に行うためには生成汎関数の計算（つまり経路積分の実行）が必要であり困難である。そこで生成汎関数の評価のため行われる手法の 1 つが摂動論である。
摂動論は理論を無摂動部分と摂動部分に分けて、摂動部分の効果を逐次取り込んでいくという手法である。経路積分においては Lint [ϕA (x)] 部分を摂動部分と見なす。このとき
無摂動な生成半関数 Z0 [J] を

Z
Z0 [J] ≡

DϕA e

i

∫

x
d4 x ϕA (x)KAB
ϕB (x)+JA (x)ϕA (x)


(B.6)

x
の逆演算子
と定義する。この経路積分は解析的に実行可能であり、まず微分演算子 KAB−1を KAB(x − y) を

−1
x
KAB
KBC
(x − y) = δAC δ 4 (x − y)

(B.7)

−1
と定義する。逆演算子 KAB(x − y) はプロパゲーターとも呼ばれる。次に場 ϕA (x) を

1
ϕA (x) → ϕ̃A (x) = ϕA (x) +2Z−1d4 yKAB(x − y)ϕB (y)(B.8)と変換する。こうすると式 (B.7) はZ
Z0 [J] ≡

 Z

Z
 i
−1
4
x
4
4
DϕA exp i d x ϕ̃A (x)KAB ϕ̃B (x) −d xd yJA (x)KAB (x − y)JB (y)4(B.9)となり、積分測度の変換 (B.8) に対する不変性 DϕA = D ϕ̃A を仮定すると

i
Z0 [J] ∝ exp −4Z−1(x − y)JB (y)d xd yJA (x)KAB
44


(B.10)というように計算が可能である。比例係数の正しい評価は難しいが、経路積分による期待値評価では係数は分子・分母でキャンセルするため問題にならない。
この式 (B.10) を用いると摂動込みの生成汎関数 (B.3) は Z4Z[J] ∝ exp i d xLint
62

δδϕA (x)Z0 [J](B.11)

Soryushiron Kenkyuと書ける。式 (B.11) を

 Z

k
∞
X
1
δ
4
Z[J] ∝
i d xLint
Z0 [J]k!
δϕA (x)(B.12)

k=1のように展開し、摂動を k の次数について順次取り入れるというのが摂動論の手法である。
摂動論は実空間よりも運動量空間で展開することが多い。その場合は場 ϕA (x)、ソース−1
JA (x)、プロパゲーター KAB(x − y) をフーリエ変換した後で上記の議論を行えばよい。

63

Soryushiron Kenkyu

付録 C

格子 QCD におけるゲージ固定
ここでは SU(3) 格子 QCD でのゲージ固定について、具体的なアルゴリズムを説明する [12]。なおここでは DR ゲージ固定を例にとるが、クーロン・ゲージやランダウ・ゲー
ジの場合についても同様な議論で実行可能である。
格子上における DR ゲージ固定は、重点サンプリングされた配位 1 つずつに対して、式(4.15) で与えられる
lat
RDR
≡

X

ReTr [Ux (s) + Uy (s)]

(C.1)

s

という関数を最大化するゲージ変換を施すことで実行される。そのようなゲージ変換を実現するゲージ変換関数をどのように構成するかを考える。
まず 1 点 s だけでゲージ変換を考える。すると関数 (C.1) の変化分は式 (4.18) のよう
になる：
lat
δRDR
=

X
⊥=x,y



ReTr Ω(s)U⊥ (s) + U⊥ (s − a⊥ )Ω† (s) − (Ω(s) = 1)


= ReTr Ω(s)

X n
⊥=x,y

o



†
U⊥ (s) + U⊥(s − a⊥ )  − (Ω(s) = 1).

(C.2)

lat
をゲージ変換で最大化することを考えているので、この変化分 (C.2) の今は関数 RDR

第1項


ReTr Ω(s)

X n
⊥=x,y

o



†
U⊥ (s) + U⊥(s − a⊥ ) を最大化する Ω(s) 考える。

64

(C.3)

Soryushiron Kenkyu

式 (C.3) の ReTr[· · · ] の最大化において、リンク変数の方向の自由度（⊥= x, y ）は本
質的ではないので

Φ(s) ≡

X n
⊥=x,y

†
U⊥ (s) + U⊥(s − a⊥ )o(C.4)とまとめる。これにより考える問題はReTr [Ω(s)Φ(s)](C.5)

を最大化する Ω(s) を見つけることになる。なお Φ(s) は SU(3) の元の和で定義されているため、Φ(s) 自体はもはや SU(3) の元ではないことを述べておく。
式 (C.5) の最大化には適切な Ω(s) ∈ SU(3) を見つける必要があるが、それは難しい。
そこで Ω(s) を SU(2) 部分群 Ωk (s) (k = 1, 2, 3)Ω(s) = Ω3 (s)Ω2 (s)Ω1 (s)a2
a 1 b1 0
∗
∗



a
0
0
−b
, Ω2 (s) =Ω1 (s) =
1
1
0
0 1
−b∗2
|ak |2 + |bk |2 = 1




0 b2
1
0
1 0  , Ω3 (s) = 0 a3
0 a∗2
0 −b∗3(k = 1, 2, 3).

(C.6)


0
b3 (C.7)
a∗3
(C.8)

に分割し、これらを順次 Φ(s) に作用させていくことで式 (C.5) を最大化することを考える。
具体的に Φ(s) を



Φ11

Φ(s) = Φ21
Φ31

Φ12
Φ22
Φ31


Φ13
Φ23 
Φ33

(C.9)

と表し、Ω1 (s) を掛けるとΦ11 Φ12 Φ13
a 1 b1 0Ω1 (s)Φ(s) = −b∗1 a∗1 0 Φ21 Φ22 Φ23 
00 1
Φ31 Φ31 Φ33
 ′
Φ11 Φ′12 Φ′13
= Φ′21 Φ′22 Φ′23 ′Φ′31 Φ31
Φ′33

a1 Φ11 + b1 Φ21
a1 Φ12 + b1 Φ22
∗
∗
∗
∗

−b
Φ
+
a
Φ
−b
=
1 11
1 21
1 Φ12 + a1 Φ22
Φ31
Φ31



a1 Φ13 + b1 Φ23−b∗1 Φ13 + a∗1 Φ23  (C.10)
Φ33となる。よってReTr [Ω(s)Φ(s)] = ReTr [a1 Φ11 + b1 Φ21 − b∗1 Φ12 + a∗1 Φ22 Φ33 ]65(C.11)

Soryushiron Kenkyuとなり、これを整理すると a1 , b1 はそれぞれ

a1 = Φ∗11 + Φ22
b1 = −Φ12 + Φ∗21

(C.12)(C.13)とすればよいことがわかる。次に Ω2 (s) を Ω1 (s)Φ(s) にかけて

 ′′
Φ11

Ω2 (s)Ω1 (s)Φ(s) = Φ′′21
Φ′′31

Φ′′12
Φ′′22
Φ′′31


Φ′′13
Φ′′23 Φ′′33

(C.14)とすると、Ω1 (s) のときと同様にして a2 , b2 は′
a2 = Φ′∗11 + Φ33
b2 = −Φ′13 + Φ′∗
31(C.15)(C.16)と定まる。そして最後に Ω3 (s) をかけて上と同じ議論をすると′′
a3 = Φ′′∗22 + Φ33
b3 = −Φ′′23 + Φ′′∗32

(C.17)(C.18)のように a3 , b3 が定まる。このようにして Ω1,2,3 (s) を定め、式 (C.6) でゲージ変換関数Ω(s) を構成することで、1 点 s でのゲージ変換を実行する。
lat
関数 (C.1) は全時空点にわたる和で書かれているので、上記の操作を各点で行い、RDRを最大化していく。ただし注意点があり、隣り合う 2 点で同時にゲージ変換を行うと 2 点のゲージ変換が干渉するので、同時に行うゲージ変換が干渉しないような工夫が必要がある。最もナイーブにやるならば、1 点づつ順番にゲージ変換を実行していけばよい。（もちろん互いに干渉しない時空点で同時にゲージ変換を行うことは可能であり、その方が効率的である）。
大抵の場合、全時空点を 1 回ずつゲージ変換しただけでは不十分なので、上記の操作を何回も行い∆DR (s) ≡X∂⊥ A⊥ (s)(C.19)

⊥=x,y

ϵDR ≡

i
1 X h
Tr ∆DR (s)∆†DR (s)Nc V s(C.20)

で与えられる ϵDR が指定した大きさを下回った時点でゲージ変換を完了するというのが
格子 QCD におけるゲージ変換の手続きである。もちろんこれは充填サンプリングされた

1 つの配位に対しての操作であるため、配位を Nconf 個ゲージ固定する場合には、上記の操作を合計で Nconf 回行う必要がある。

66

Soryushiron Kenkyu

付録 D

Elitzur の定理についての補足
ここでは Elitzur の定理に関する補足を行う。

D.1 Elitzur の定理の適用条件
Elituzr の定理の重要な帰結として「ゲージ不変でない演算子の期待値は零になる」というものがあった。しかしこれは「単独の既約表現」について成り立つものである。多くの場合、この条件を暗黙に仮定しているが、この条件を満たさない場合、Elitzur の定理の適用はできない。以下で Elitzur の定理の適用ができない簡単な例を紹介する。
単一の既約表現に属すゲージ不変でない演算子として Ô を考える。Ô には Elitzur の定理が適用できるため⟨Ô⟩ = 0(D.1)

が成り立つ。
ここでゲージ不変な演算子して、恒等演算子 1 を考える。これは恒等演算子なので、そもそもゲージ変換性を持たない。また 1 の期待値は⟨1⟩ = 1

(D.2)

となる。
ここで、1 とゲージ不変でない演算子 Ô の和 Ô + 1 を考えてみる。この演算子 Ô + 1の真空期待値を計算すると⟨Ô + 1⟩ = ⟨Ô⟩ + ⟨1⟩ = 0 + 1 ̸= 0

(D.3)

となる。演算子 Ô + 1 は明らかにゲージ不変でないが、その期待値が零にならない。このように、演算子がゲージ不変でなくても、複数の既約表現が混合しゲージ不変な部分を含67

Soryushiron Kenkyu

む場合、Elitzur の定理の適用条件を満たさないため、その演算子の真空期待値は 0 でな
い場合がある。

Elitzur の定理を適用する際には、考えている演算子が「単一な既約表現に属す」という性質が重要であり、このことは明記されていないこともしばしばあるため注意が必要である。

68

Soryushiron Kenkyu

付録 Ed(Uµ, I)2 についての補足
E.1 d(Uµ , I)2 の最大値について
d(Uµ , I)2 の最大値について補足する。
まずリンク変数 Uµ ∈ SU(Nc ) を対角化することを考える。リンク変数はユニタリー行
列 V ∈ SU(Nc ) を用いて

V Uµ V −1 = diag(eiθ1 , eiθ2 , · · · , eiθNc )X
θk = 2πn (n ∈ Z)

(E.1)
(E.2)

k

と対角化される。式 (E.2) は SU(Nc ) の元の行列式は 1 であることから従う。
式 (E.1) を用いて d(Uµ , I)2 の値を考える。d(Uµ , I)2 はd(Uµ , I)2 =
1
Tr (Uµ − I)(Uµ − I)†
2Nc

(E.3)

と与えられていた。この式に I = V −1 V を挿入しトレースの巡回不変性を用いると





1
1
Tr V (Uµ − I)V −1 V (Uµ − I)† V −1 =Tr (V Uµ V −1 − I)(V Uµ V −1 − I)†
2Nc
2Nc
Nc
1 X
2
=
eiθk − 12Ncd(Uµ , I)2 =

k=1

1
=
Nc

Nc
X
k=1

c
1 X
{1 − cos θk } = 1 −cos θk
Nc

N

k=1

69

(E.4)

Soryushiron Kenkyuとなる。従って d(Uµ , I)2 が最大となるのは、拘束条件 (E.2) の下で
NcX

cos θk(E.5)

k=1が最小となるときである。
そこでラグランジュの未定乗数法を用いるとcos θ1 = cos θ2 = · · · = cos θNc(E.6)

が最小条件であると求まる。従って、リンク変数が SU(Nc ) が2kπ(k = 1, 2, · · · , Nc − 1)

U µ = ei Nc I

(E.7)

で表せるもので −I に最も近いとき、d(Uµ , I)2 は最大となる。

θ = θk (k = 1, 2, · · · , Nc ) と置くと、式 (E.4) はd(Uµ , I)2 = 1 − cos θ(E.8)となるので、Nc が偶数のとき、−I = eiπ が最大値

d(Uµ , I)2 = 2(E.9)

を与える。一方 Nc が奇数のとき、リンク変数は −I = eiπ を取れないため、cos θ が最も小さな値を取るθ=π(Nc − 1)Ncのときに最大値

d(Uµ , I)2 = 1 − cosπ(Nc − 1)
Nc(E.10)(E.11)を取る。

E.2 ゲージ固定無しの場合の ⟨d(Uµ , I)2 ⟩ = 1 の証明
ゲージ固定をしない場合に⟨d(Uµ , I)2 = 1⟩ = 1(E.12)となることを証明する。
まず式 (4.28) より⟨d(Uµ , I)2 = 1⟩ = 1 −70

1⟨ReTrUµ ⟩Nc(E.13)

Soryushiron Kenkyuとなる。Elitzur の定理より⟨ReTrUµ ⟩ = 0
なので、ゲージ固定をしていない場合は ⟨d(Uµ , I)2 ⟩ = 1 が従う。

71

(E.14)

Soryushiron Kenkyu

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72

Soryushiron Kenkyu

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