信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

2 つのリング状結合ファンデアポール発振器の同期現象
成相大貴†

TranMinh Hai†

上手 洋子†

西尾芳文†† 徳島大学工学部 〒 770–8506 徳島県徳島市南常三島 2–1
E-mail: †{nariai,minhhai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし 本研究では、2 種類のリング状結合発振器を抵抗で結合した新たな結合発振器システムを提案する。1 つ目の回路は 3 個のファンデアポール発振器を抵抗でリング状に結合させた。2 つ目の回路は 3 個の van der Pol 発振器の構造を変えた発振器をインダクタを介して抵抗で落とすタイプでリング状に結合させた。私たちはこれら２つのリング状結合発振器を抵抗で結合させ、その抵抗の結合強度に着目して研究を行った。結合強度を変えることで同期現象がどのように変化するのかを調査した。
キーワード van der Pol 発振器、同期現象

Synchronization Phenomena
in Two Rings of Coupled van der Pol Oscillators
Daiki NARIAI† , Tran MINH HAI† , Yoko UWATE† , and Yoshifumi NISHIO†† Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University,
2-1 Minamijosanjima, Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{nariai,minhhai,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Synchronization phenomena have been studied in various fields since long time ago. In this study, I
propose a novel coupled oscillatory system such as two rings of oscillators coupled by resistors. The first ring consists of three van der Pol oscillators connected by resistors. The second ring consists of three oscillators connectedby inductors and resistors. I focus on coupling strength of coupled oscillatory networks consisting of two kinds ofoscillators. I investigate how to change synchronization phenomena by changing the coupling strength.
Key words van der Pol oscillator, Synchronization

1. ま え が き

der Pol 発振器のネットワークを用いて研究を行う。
本研究では、結合構造が異なる 2 種類のリング状結合 van der

同期現象は、非線形システムにおける最も代表的な現象であPol 発振器を抵抗で結合して同期現象の観測を行った。1 つ目

り、自然界においてもホタルの点滅や心臓の鼓動などと同期現のリングは、3 個の van der Pol 発振器を抵抗で結合したリン象によって発生する現象が多く存在する。そのため古くから同グ状結合 van der Pol 発振器を使用する。2 つ目のリングは、3期現象は、工学や生物学などの様々な分野において研究されて個の van der Pol 発振器の構造を少し変え、インダクタを介しいる。その中でも、van der Pol 発振器の同期現象は、周波数て抵抗で落とす結合をしたリング状結合 van der Pol 発振器をを変えることで様々な自然現象に近似することができる。さら使用する。この 2 つのリング状結合 van der Pol 発振器間を抵に van der Pol 発振器の回路構造はシンプルで van der Pol 発抗で結合させ、その抵抗の結合強度を変えた場合のの同期現象振器の結合系は扱いやすく、多くの研究者が van der Pol 発振の調査を行う。

器の様々なネットワークを提案している [1]〜[3]。しかし 1 種類のネットワークでの同期現象は今まで研究されてきたが、22. システムモデル種類のネットワークを持つ研究の報告は少ない。自然界におい

図１に本研究で使用する van der Pol 発振器の回路構造を示ても 1 つのネットワークだけで成り立っているものは少なく、す。この回路は負性抵抗、インンダクタ、キャパシタから構成様々なネットワーク感の相互作用によって成り立っている。私されている。

たちは異なる同期現象が発生するように結合した 2 種類の van

図 2 に提案する van der Pol 発振器のネットワークモデルを—1—

示す。3 個の VDP を抵抗で結合した同相同期が発生する 1 つ目のリングと、3 個の NC をインダクタを介して抵抗で落とす結合をした 3 相同期が発生する 2 つ目のリングを 3 つの抵抗

R1 , R2 , R3 で結合する。R1 , R2 , R3 の値を変化させた場合、同相同期が発生するネットワークと 3 相同期が発生するネット

非線形抵抗の I − V 特性を式 (3) に示す:

ign

また、変数変換に使用するパラメータを以下のように置くこt=√LGτ, vn =

√ g1

√C√L

ε = g1ign

β = R′iLn
vCn

VDP

LC(3)とによってワークを結合させたネットワークの同期現象がどのように変化するのかを観測する。

−g1 vn + g3 vn3=L1,α = R√CL

√x ,i =3g3 n n, γn = R1n

C(4),

√L
C.

1 つ目のリングの正規化方程式式 (5)、2 つ目のリングの正規化方程式 (6) が得られる。

ẋn
=ẏn=ε(xn − x3n ) − yn − γn (xn − xn+3 )+α(−xn + xi + xj )(5)
xn .
(n = 1, 2, 3)

図 1 van der Pol 発振器.

ẋn





circuit 2i2b

R
i1acircuit 1i2aVDPR

i3bir2

circuit 3
VDP

VDP
i1bi3aR

ir3

ir1

ẏan






ẏbn




R2
R3

R1
ir5

ign

circuit 52L
2L

ir4
circuit 4

i4a2LNC2L

i5ai5b
R'R'
2L2L

vCn

ir6i6bNC

Cε(xn − x3n ) − yan−ybn + γn−3 (xn − xn−3 )=xn − β(yan + yb(i) )=xn − β(ybn + ya(j) )(6)(n = 4, 5, 6)

circuit 6

パラメータ ε は非線形強度を意味し、α, β,γn は抵抗 R、抵抗i6aR'=NC

NCi4bg1 Cy ,3g3 L n

R′ 、抵抗 Rn の結合強度を意味する。

3. シミュレーション結果

図 2 システムモデル.

この回路の 1 つ目のリングの回路方程式を式 (1) に示す。

提案するシステムモデルの γn の値を変化させた時の同期現象の変化に着目して研究を行った。他の結合強度は ε = 0.05,

−ign − icn − iLn
 L didtLnvn − vi
vn − vjvn − vn+3α = 0.05, β = 0.05 に固定する。
=

ian + ibn + irn=vn=(ian − ib(i) )R=(ibn − ia(j) )Rので、結合強度 γ1 , γ2 , γ3 のうち 1 つまたは 2 つの結合強度を=(irn − ir(n+3) )R3

弱め、初期値によって変化しないように同期現象を制御する。

γ1 = γ2 = γ3 = 0.02 の時の発振器間の位相差を図 3、図 4 に示す。図 3、図 4 の結果は初期値が異なる。これら 2 つの結果

(1)

により、初期値によって同期現象が変化することが確認できた

γ1 = 0.001, γ2 = 0.001, γ3 = 0.02 の場合の発振器間の位相ここで、n = 1, 2, 3、i = 2, 3, 1、 j = 3, 1, 2 とする。

差を図 5 に示す。初期値に関係なく、1 つ目のリングでは同相

この回路の 2 つ目のリングの回路方程式を式 (2) に示す。

−ign − icn
 vn − 2L diandtvn − 2L didtbn
vn − vn−3

同期が観測できる。図 6 に 3 つの NC の電圧の時系列波形を示す。この時系列波形と発振器間の位相差により、2 つ目のリングでは 3 相同期が発生する。これらより、3 つのうち 2 つの結=ian + ibn + irn=−(ian + ib(i) )R′

合強度を弱めた場合は 1 つ目のリングでは同相同期、2 つ目の(2)′=−(ibn + ia(j) )R=(irn − ir(n−3) )R3リングでは 3 相同期が発生する。
γ1 = 0.02, γ2 = 0.005, γ3 = 0.02 の場合の発振器間の位相差を図 7 に示す。初期値に関係なく、1 つ目のリングの VDP ではそれぞれ同相同期が発生し、2 つ目のリングの NC では circuit

4 と circuit 6 でも同相同期が発生する。この結果より、3 つの
ここで、n = 4, 5, 6、i = 5, 6, 4、 j = 6, 4, 5 とする。

うち 1 つの結合強度を弱めた場合は 1 つ目のリングでは同相同—2—x1x2x5x4x5x6x5発振器間の位相差 ( γ1 = γ2 = γ3 = 0.02 ).

x2x2x1x4x5x6

次に、2 つ目のリングの位相差と結合強度の関係に着目して調査する。図 8 に結合強度 γ2 と circuit 4 と circuit 5、circuitx35 と circuit 6、circuit 6 と circuit 4 の位相差の関係を表した

x6x5x4x3

図 7 発振器間の位相差 ( γ1 = 0.02, γ2 = 0.005, γ3 = 0.02 ).

x1x3x6x6x4x3x2x1x4x6x2x5x4x3x1x3x1x3x2x1x2x6x5x4

図3x1x3x2グラフを示す。γ2 の値を 0.000 から 0.030 まで 0.001 間隔で変化させた場合の 2 つ目のリングの位相差を観測する。この時のx1x2x6x5

γ2 以外の結合強度 γ1 = 0.02, γ3 = 0.02、初期値は一定の値に固定する。

x4x5x4
図4x3

γ2 の値が 0.02 より小さい (他の 2 つの結合強度より小さい)
場合について考える。γ2 が 0.000 から 0.012 まで circuit 4 とx6circuit 5、circuit 5 と circuit 6 の位相差は逆相同期が発生する。0.12 を超えると、circuit 4 と circuit 5、circuit 5 と circuit

発振器間の位相差 ( γ1 = γ2 = γ3 = 0.02 ).

6 は位相差が 60◦ 付近にしだいに近づく。circuit 6 と circuit 4x3x2x1においては、γ2 が 0.02 より少しでも小さければ必ず同相同期が発生する。

x1x4x2x5

4 と circuit 5、circuit 5 と circuit 6 の位相差は 60◦ 、circuit 6と circuit 4 の位相差は 120◦ に近づく。

x3x4x6x4

次に γ2 の値が 0.02 より大きい (他の 2 つの結合強度より大きい) 場合について考える。γ2 が大きくなるに従って、circuitx6x2x1x5x3x5x6

図 5 発振器間の位相差 ( γ1 = 0.001, γ2 = 0.001, γ3 = 0.02 ).

xntime
図 6 電圧の時系列波形.

期、2 つ目のリングの 2 つの NC 間で同相同期が発生する。
結合強度を変えることによって、同じシステムモデルで様々な同期現象を観測することができた。これらの結果より結合強

図 8 2 つ目のリングにおける位相差と結合強度の関係.

度を決めることによって同期現象を制御することができる。さらに結合強度を変えることによって、2 つ目のリングの同期現象が変化することが分かった。

図 9,10 に γ1 = 0.02, γ2 = 0.03, γ3 = 0.02 時の 1 つ目のリング、2 つ目のリングの時系列波形を示す。図 9 より、1 つ目の—3—リングの発振器では同相同期が発生する。図 10 より、2 つ目のリングでは 3 相同期が 1 つ目のリングの同相同期に寄せられた

60◦ ずれの同期現象が観測できた。

[4] H. Kume, Y. Uwate, Y. Nishio, “Synchronization Phenomena in Diﬀerent Sizes of Rings of Coupled Oscillators", Proceedings of International Symposium on Nonlinear Theory
and its Applications (NOLTA’14), pp. 369-372, Sep. 2014.

xntime図9γ1 = 0.02, γ2 = 0.03, γ3 = 0.02 時の 1 つ目のリングの時系列
波形.

xntime
図 10 γ1 = 0.02, γ2 = 0.03, γ3 = 0.02 時の 2 つ目のリングの時系列
波形.

4. ま と め
本研究では提案した 2 つのリング状結合 van der Pol 発振器
における、結合強度を変えることにより同期現象の調査、初期値によって変わらないようにする制御を行った。3 つの結合強度が全て等しい時は同期現象が初期値によって変化する。しかし 3 つのうち 1 つの結合強度を弱くした場合では、初期値に関係なく 1 つ目のリング状結合発振器では同相同期が発生し、2つ目のリング状結合発振器では 2 つの van der Pol 発振器で同相同期がおこる。3 つのうち 2 つの結合強度を弱くした場合では、初期値に関係なく 1 つ目のリング状結合発振器では同相同期が発生し、2 つ目のリング状結合発振器では 3 相同期または3 相同期が同相同期に寄せられた同期現象が観測することができる。
今後の展望として、提案システムモデルの回路実験を行いた
い。また、リング状ではなく様々な構造における 2 種類のネットワークにおける同期現象を観測していきたい。
文献[1] M. A. Barrón, M. Sen, “Synchronization of four coupled vander Pol oscillators" ,Nonlinear Dynamics, pp. 357-367, June2009.
[2] Y. Uwate, Y. Nishio, R. Stoop, “Synchronization in Three
Coupled van der Pol Oscillators with Diﬀerent Coupling
Strength", Proceedings of RISP International Workshop on
Nonlinear Circuits, Communications and Signal Processing(NCSP’10), pp. 109-112, Mar. 2010.
[3] K. Matsumura, T. Nagai, Y. Uwate, Y. Nishio, “Analysis of Synchronization Phenomenon in Coupled Oscillator
Chains", Proceedings of IEEE International Symposium on
Circuits and Systems (ISCAS’12), pp. 620-623, May 2012.

—4—