CHAOS - czy Bog gra w kosci?
Z dr hab. Markiem Wolfem rozmawia E.Kolakowska
Dr hab. Marek Wolf - pracownik Instytutu Fizyki Teoretycznej
Uniwersytetu Wroclawskiego, jest autorem okolo trzydziestu
publikacji naukowych, obszernego skryptu pt. Wyklady z kwantowej
Teorii Pola oraz kilku artykulow popularnonaukowych. Dwukrotnie,
w latach 1991 i 1993, odbywal paromiesieczne staze w Boston
University. Po ukonczeniu studiow zajmowal sie supersymetriami i teoria strun. W roku 1984 kupil
sobie mikrokomputer ZX Spectrum i to spowodowalo calkowita zmiane jego zainteresowan. Od
1987 roku zajmuje sie fraktalami i chaosem. W 1995 roku za pomoca komputera odkryl
regularnosci w rozkladzie liczb pierwszych i jest to aktualnie glowny obszar jego naukowej
dzialalnosci. Dr M. Wolf ma 41 lat, jest zonaty, ma czteroletnia corke Magdalene, a jego hobby tofotografia i jazz.
E. Kolakowska: Cala historia rozwoju mysli ludzkiej sprowadza sie do tego, ze czlowiek
poszukiwal zasad porzadkujacych otaczajacy go swiat, wierzac, ze zasady te tkwia w samej naturze
swiata. Chaos traktowany byl jako stan, z ktorego wylonil sie ten porzadek, badz tez jako skutekgniewu nadprzyrodzonych mocy. Dzisiaj, w naszym potocznym podejl9C_ciu, niewiele sie
zmienilo. Jestesmy sklonni myslec o chaosie jak o czyms negatywnym, spowodowanym naglymi
zywiolami, czy tez nieoczekiwanymi zdarzeniami o nieznanej przyczynie. Pojawienie sie chaosu
traktujemy jak cos przypadkowego, lub koniecznego, cos nad czym nie mamy kontroli. Czasem
utozsamiamy go z balaganem lub zametem i oczywiscie chcielibysmy go opanowac. Czywspolczesna nauka interesuje sie chaosem z podobnych powodow, tzn. z potrzeby opanowania
nieprzewidywalnego?
Dr Marek Wolf: Zacznijmy od tego, ze okolo 1975 roku kilka osob (m.in. R.May i M.Faigenbaum)
odkrylo, iz proste reguly deterministyczne moga prowadzic do zachowania, ktore z zewnatrz moze
wygladac na chaotyczne. Tzn. gdybysmy patrzyli na efekt dzialan tych regul, np. na wykres
rysowany przez komputer, to nie domyslalibysmy sie, ze za skomplikowana i przypadkowa krzywa
kryje sie bardzo prosty wzor matematyczny. A wiec cos co wyglada na zjawisko chaotyczne, moze
byc w istocie spowodowane deterministycznym mechanizmem. Takie uklady deterministyczne
wykazujace zachowanie chaotyczne maja tez wlasnosc czulosci na warunki poczatkowe.
Co to znaczy? Rzecz w tym, ze gdy bedziemy patrzec na ewolucje takiego ukladu w czasie,
zaczynajac od nieco innego stanu poczatkowego, to okaze sie, ze uklad dojdzie do zupelnie innej
konfiguracji. A wiec mala zmiana warunkow poczatkowych powoduje duza zmiane w zachowaniu
sie ukladu po jakims czasie. Mozna zrealizowac to w inny sposob: wziac dwie kopie tego samego
ukladu bedace w chwili poczatkowej w bliskich sobie stanach, tzn. wygladajace podobnie. Gdy
teraz bedziemy patrzec na ewolucje tych dwoch ukladow, zauwazymy, jak coraz bardziej roznia sie
od siebie i po jakims czasie nie bedziemy wierzyc, ze wystartowaly one prawie z tego samego
stanu.
E.K.: Jak powinnismy rozumiec okreslenia reguly deterministyczne i uklady deterministyczne? Czychodzi o ich przyczynowe uwarunkowanie? Przyzwyczailismy sie myslec, ze te same przyczyny
wywoluja te same skutki. Jesli tak jest, to nie mamy do czynienia z chaosem, zas to, o czym Pan
mowi dotyczy, jak rozumiem, tych zjawisk, ktorych skutki tylko wygladaja na chaotyczne, bo
faktycznie sa one w okreslony sposob uwarunkowane, choc roznia sie warunkami poczatkowymi.
M.W.: Przymiotnik deterministyczne oznacza oczywiscie przyczynowosc. Ewolucja, albozachowanie sie ukladu deterministycznego, opisane jest jakas regula, prawem, ktore czesto mozna
przedstawic w postaci rownania matematycznego, w ktorym nie ma miejsca na zjawiska losowe.
Jesli rownanie jest nieliniowe, tzn. rozne wielkosci wchodza do niego w potegach wyzszych niz 1,
to wtedy jest mozliwe istnienie chaosu deterministycznego.
Oczywiscie te same przyczyny prowadza do tych samych skutkow, ale nigdy nie jest mozliwe
przygotowanie ukladu dwa razy w dokladnie takim samym stanie wyjsciowym. Np. raz ciecz w
probowce bedzie miala temperature powiedzmy 17.8345 stopni, a drugim razem 17.8346. Jesli
uklad wykazuje zjawisko chaosu deterministycznego, to po pewnym czasie roznica jednej
dziesieciotysiecznej stopnia doprowadzi do dwoch zupelnie roznych stanow koncowych. A
poniewaz nie jestesmy w stanie tak dokladnie mierzyc temperature, bedziemy miec wrazenie(mylne), ze te same przyczyny doprowadzily do roznych skutkow.
E.K.: Teraz, gdy juz to wiemy, wydaje sie to tak oczywiste, ze az trudno uwierzyc, iz dopiero w
latach siedemdziesiatych odkryto te prawidlowosci...
M.W.: Znanych jest wiele rownan wykazujacych taka wlasnie czulosc na poczatkowe wartosci. W
ten wlasnie sposob odkryl po raz pierwszy zjawisko chaosu E.N. Lorenz okolo 1960 roku.
Rozwiazywal on na komputerze uklad nieliniowych rownan rozniczkowych, teraz nazywany
ukladem Lorenza. Wpisywal do komputera wartosci poczatkowe zmiennych wystepujacych w tym
ukladzie, a komputer wyliczal ewolucje czasowa. W ktoryms momencie Lorenz chcial cos
sprawdzic i jeszcze raz przesledzic pewna konfiguracje poczatkowa. Jednak otrzymal zupelnie inne
rozwiazanie. Poczatkowo myslal, ze zepsul sie komputer, co w tamtych czasach zdarzalo sie bardzo
czesto. Jednak to lenistwo Lorenza plus czulosc na warunki poczatkowe bylo odpowiedzialne za
zmiany w wynikach. Za drugim razem nie wpisal on wszystkich cyfr wartosci zmiennych, lecz
przerwal wpisywanie na 5 czy 6 miejscu po przecinku. Taka mala zmiana szybko doprowadzila do
zupelnie innego stanu koncowego.
Taka sytuacje, jak juz wspomnialem, mamy przy przepowiadaniu pogody. Do komputera podaje sie
rozklad cisnien i temperatur, powiedzmy Europy o godzinie 6 rano i chcemy z tego otrzymac
wartosc cisnien i temperatur za jakis czas. Poniewaz nie znamy z dowolna dokladnoscia wartosci
poczatkowych, to taka prognoza moze dawac wiarygodne wyniki tylko na niezbyt odlegla
przyszlosc. Przy kontynuowaniu obliczen dojda do glosu cyfry dalekie po kropce dziesietnej w
wartosciach poczatkowych cisnienia i temperatury. To wlasnie nieliniowosc rownan powoduje
wzmocnienie roznic i uzewnetrznienie sie cyfry znajdujacej sie np. na szostym miejscu w wartosci
jakiejs zmiennej.
E.K.: Problem warunkow poczatkowych jest jednym z podstawowych punktow spornych we
wszystkich istniejacych teoriach probujacych wyjasnic tajemnice powstania i ewolucji
Wszechswiata. Nie znamy warunkow poczatkowych, wlasciwie nic o nich nie wiemy. Jesli nawet
przyjac, najbardziej prawdopodobna dzisiaj, hipoteze wielkiego wybuchu, wyliczenia i dokladny
opis warunkow trzech pierwszych minut po eksplozji, to pierwsza sekunda jest nadal niepojeta. Czy
w takim razie wszystkie teorie ewolucji Wszechswiata nie sa takim przepowiadaniem pogody, ojakim Pan mowil, ale nie na miesiac, czy rok, a na miliardy lat do przodu? Jak te problemy nalezyrozumiec?

M.W.: To bardzo trudne pytanie. Nikt nie zna na nie odpowiedzi. Sa rozne hipotezy, aby nie
powiedziec bardziej dokladnie: spekulacje. Obecnie najwiecej fizykow glosowaloby za tzw. teoria
Wielkiego Wybuchu. Mnie przekonuje do niej odkryte na poczatku lat szescdziesiatych
promieniowanie reliktowe. W mysl teorii Big Bang Wszechswiat mial poczatek i dlatego
uzasadnione jest pytanie o warunki poczatkowe w chwili powstania. Jednak o ile wiem,
obowiazujacy tzw. mechanizm inflacyjny jest w znacznym stopniu niezalezny od warunkow
poczatkowych. Niektorzy uwazaja, ze dobra teoria wszystkiego powinna wyprowadzic warunki
poczatkowe. Ostatnia czesc pani pytania jest uzasadniona, gdyz rownania opisujace ewolucje
Wszechswiata (czasoprzestrzeni) sa silnie nieliniowe i dlatego powinny wykazywac zjawisko
chaosu.
A wiec faktycznie skonczona dokladnosc znajomosci warunkow poczatkowych moglaby prowadzic
do nieoznaczonosci ewolucji Wszechswiata wperspektywie miliardow lat. Na duzo mniejsza skale
dotyczy to naszego Ukladu Slonecznego, o ktorym nie wiadomo, czy bedzie trwac wiecznie, czy
tez na skutek wzajemnych zaburzen np. niektore planety spadna na Slonce, albo tez go opuszcza.
Bardzo dobrze widac tutaj zaleznosc od warunkow poczatkowych: przeprowadzono np.
eksperymenty komputerowe, w ktorych zmieniono poczatkowe polozenie srodka masy Jowisza o 1
cm (!) i okazalo sie, ze za kilkaset milionow lat Jowisz znajdowalby sie w zupelnie innym miejscu.
Kilka lat temu okazalo sie, ze dotyczy to wszystkich planet: mala zmiana polozenia lub predkosci
prowadzi do zupelnie innych polozen po uplywie kilkuset milionow lat.
Oznacza to, ze ruch planet jest nieprzewidywalny. Juz Newton zdawal sobie sprawe z tego, ze
oddzialywanie miedzy planetami, duza liczba ich ksiezycow i kilka tysiecy planetoid moze
doprowadzic do zaburzen w ich ruchu i dlatego uwazal, ze stabilnosc Ukladu Slonecznego wymaga
ingerencji Boga, ktory co jakis czas popychalby nieco planety w odpowiednim kierunku. A ruch
malych cial, takich jak komety, jest nieprzewidywalny juz na odcinku tysiecy lat.
Ciekawy jest przyklad Hiperona, ksiezyca Saturna. Otoz w jego poblizu przeszly dwie
amerykanskie sondy Voyager 1 i Voyager 2, w odstepie 9 miesiecy: w listopadzie 1980 i w sierpniu
1981 roku. Jak sie okazalo, nawet pomiar polozenia Hiperona i jego predkosci z dokladnoscia do 10
cyfr po przecinku nie byl wystarczajaco dokladny, aby z danych przeslanych przez Voyagera 1
mozna bylo przewidziec polozenie tego ksiezyca w momencie przejscia w jego poblizu Voyagera
2.
E.K.: Wszechswiat to takze zjawiska rodzace sie i istniejace w mikroskali. Jakie znaczenie mawrazliwosc ukladow deterministycznych na warunki poczatkowe dla mechaniki kwantowej, teorii
budowy materii, czastek elementarnych...?
M.W.: Sprawa z chaosem na poziomie atomow jest skomplikowana. Z jednej strony rownania
opisujace mikroswiat sa liniowe, wiec nie wystepuje tutaj problem warunkow poczatkowych. Z
drugiej strony istnieje obszerna dziedzina nazwana chaosem kwantowym. Dla niej chaos tonieregularny rozklad poziomow energetycznych z jednej strony, a z drugiej badanie
odpowiedniosci miedzy ukladami kwantowymi, ktore przechodza w granicy do klasycznych
ukladow wykazujacych chaos.
E.K.: Co Pan sadzi, jako fizyk, o takim twierdzeniu: wszystko zachowuje sie w sposob chaotyczny
tylko my - naszym umyslem, obserwacja, pomiarem, czyli w gruncie rzeczy matematycznym
opisem warunkow poczatkowych i ich skutkow - narzucamy niejako porzadek spostrzeganym
zjawiskom, naszej rzeczywistosci, Wszechswiatowi?

M.W.: Nie zgadzam sie z tym. Moze nie powiedzialem wczesniej, ze te zjawiska chaotyczne,
ktorymi zajmuja sie fizycy sa zdeterminowane. Nawet funkcjonuje taki termin: chaos
deterministyczny, ktory brzmi nieco jak np. kwadratowe kolo. Ale wlasnie chodzi o to, ze sa uklady
zachowujace sie w sposob przyczynowy, a mimo to, dla kogos patrzacego z zewnatrz wygladaja na
przypadkowe.
Posluze sie przykladem: w komputerach jest mozliwosc generowania liczb losowych, takich jak np.
przy rzucaniu monety lub kosci. Jednak komputer jest jak najbardziej urzadzeniem
deterministycznym, a mimo to istnieja pewne reguly matematyczne, zreszta calkiem proste,
wykorzystywane w komputerach, pozwalajace losowac liczby na pierwszy rzut oka calkiem
chaotyczne. Np. program grajacy w brydza potrafi potasowac karty w sposob deterministyczny icaly przepis jest zapisany w postaci scisle okreslonego programu, np. w jezyku C++ albo Pascalu.
Tak wiec wedlug mnie przyroda nie jest przypadkowa, przynajmniej w makroskopowej skali. Jesli
jest jakis element dowolnosci, to w swiecie atomow, ale tam wlasnie nie przejawia sie chaos
deterministyczny, tylko jakis tajemniczy duch kwantowy, trawestujac tytul ksiazki P.C.W Davisa i
J.R. Browna - Duch w atomie.
Ale Einstein nie wierzyl w losowosc na poziomie atomow i wypowiedzial w zwiazku z tym slynne
zdanie: Bog nie gra w kosci.
E.K.: Czy Bog jest matematykiem? Niektorzy matematycy i fizycy twierdza, ze tak, ze nadal
materii matematyczna forme, lub ze jest jakas podstawowa zasada logiczna i przyczynowa. Inni
przeciwnie, uwazaja, ze matematyka jest tylko naszym sposobem porzadkowania swiata, a nie
sposobem jego istnienia i nie powinnismy o tym zapominac. Oba poglady wydaja sie miec
znaczacy wplyw na rozwoj wspolczesnej nauki...
M.W.: To prawda, ze istnieja te dwa stanowiska, o ktorych pani powiedziala: jedno, ze Bog
stwarzajac Przyrode uzywal do tego matematyki i drugie, ze matematyka jest tylko jezykiem, jakim
homo sapiens stara sie opisac i zrozumiec Wszechswiat. W jakims stopniu opis matematyczny jest
sprawa dowolna, jest konwencja. Na przyklad malo znany jest fakt, ze Newton rozwazal dwie
mozliwosci zdefiniowania przyspieszenia: jedna taka jaka sie w koncu przyjela i w inny sposob,
mowiacy, jak zmienia si A predkosc ciala w danym miejscu przestrzeni. Istnieja tez dwa rozne
sformulowania matematyczne mechaniki kwantowej: macierzowe Heisenberga i za pomoca rownan
rozniczkowych Schroedingera. A wiec mozliwe sa rozne formalizmy opisujace te samarzeczywistosc. Wskazuje to na subiektywnosc opisu matematycznego. Mnie np. interesuje, czyjezeli istnieja gdzies jakies cywilizacje, to czy stworzyly one nauke o przyrodzie podobna do
naszej, czy tez nie? Czy w ich fizyce tez beda wystepowac pojecia masy, sily, natezenia pola
magnetycznego, ladunku elektrycznego, cisnienia, temperatury itd.? Mnie sie wydaje, ze nasza
nauka jest skazona antropomorfizmem i mozliwy jest opis przyrody za pomoca zupelnie innych
pojec, jednak niemozliwych dla nas do wyobrazenia, bo od dziecka uczy sie nas ziemskiej fizyki.
Jest jakas tajemnica w tym, ze udaje sie opisac przyrode za pomoca matematyki. Wiele odkryc
zostalo najpierw przewidzianych na papierze, na drodze rozwiazywania rownan i roznych
przeksztalcen matematycznych. Np. istnienie planety Neptun przewidzial U.R.Leverrier probujac
wyjasnic zaburzenia w ruchu Urana i Saturna. A w nowszych czasach wnioskowano na drodzebardzo abstrakcyjnych rozwazan matematycznych istnienie roznych czastek elementarnych, ktore
faktycznie odkryto doswiadczalnie. Nawet trafnie przewidziano, jaka powinna byc ich masa iladunki elektryczne!
E.K.: Pytajac, czy matematyk odkrywa, czy tworzy matematyke dotykamy obszarow tradycyjniezarezerwowanych dla filozofii. David Bohm, jeden z bardziej znanych fizykow na swiecie,
porownal kiedys jezyk matematyki do zapisu nutowego, ktory sam w sobie jest wysterylizowany,
sformalizowany i pusty. Muzyka lezy poza nim. Czy zgodzi sie Pan z tym, ze fizyk, jak muzyk
odczytujacy nuty, odczytuje z jezyka matematyki muzyke Przyrody i Wszechswiata i dzieki temu,
ze jest na nia wrazliwy i ze ja slyszy molBF¨liwy jest rozwoj nauki?
M.W.: Wydaje mi sie, ze matematyka to nie tylko jezyk, taki poglad Bohma to duze uproszczenie.
Wielka czesc matematyki nie ma zadnych zastosowan, jest sztuka sama dla siebie. Nie jest to
zarzut: przeciez poezja czy muzyka tez nie maja zadnego praktycznego zastosowania. Jednak
konieczny jest rozwoj kultury, by mozliwy byl rozwoj technologiczny. Fizyka ma do matematyki
podejscie utylitarne i bierze z niej tylko to, co potrzebuje do opisu przyrody. To znaczy wedlugmnie typowa jest nastepujaca sytuacja: mamy jakies zjawisko i probujemy zapisac je w sposob
formalny za pomoca np. rownan rozniczkowych, albo przy pomocy innych struktur
matematycznych. Zdarzalo sie, ze potrzeby fizykow powodowaly rozwoj niektorych dzialow
matematyki, jak np. teorii dystrybucji. Czasem sztucznie probuje sie do pewnych tworow
matematycznych dopasowac jakies zjawiska fizyczne i taka dzialalnosc odpowiadalaby
odczytywaniu muzyki Przyrody i Wszechswiata z jezyka matematyki. Ja jednak jestemprzeciwnikiem takiego podejscia do uprawiania fizyki i krytycznie oceniam np. prace E.Wittena, w
ktorych kojarzyl on na sile rozne dzialy matematyki z teoriami fizycznymi.
E.K.: Czyli sklania sie Pan do tego, ze matematyk odkrywa matematyke, a nie ja tworzy...
M.W.: To jest pytanie o status twierdzen matematycznych. Istnieje wiele twierdzen
matematycznych odnoszacych sie do konkretnych wielkosci, np. rozne zaskakujace fakty o liczbach
pierwszych, ktore mozna sprawdzic doswiadczalnie na komputerach (pomimo istnienia dowodow
tych faktow). A wiec twierdzenia maja jak gdyby status podobny do praw przyrody, ktore
weryfikujemy eksperymentalnie. Jesli jednak prawa opisuja rzeczywistosc istniejaca obiektywnie,
to jakiej rzeczywistosci dotycza twierdzenia matematyczne ? Czy twierdzenie istnialo gdzies domomentu sformulowania go przez matematyka, czy tez dopiero pojawienie sie go w glowie stwarza
rzeczywistosc, ktorej ono dotyczy ? W ten sposob zamiast odpowiadac na pani pytania, sam je nazakonczenie tego wywiadu postawilem. Poniewaz maja one nature filozoficzna, tzn. dla mnie nie
istnieje sposob potwierdzenia jednej odpowiedzi a odrzucenia innej, Czytelnik moze sam sie nadnimi zastanowic i uwazac swoj poglad za jedynie sluszny.
Ja coraz bardziej staje sie platonikiem, tzn. uwazam, ze istnieje niezalezny od nas swiat idei imatematycy zagladajac do niego odkrywaja swoje twierdzenia.
E.K.: Sztuka jest takze swiatem idei. Czy to oznacza, ze istnieje obiektywnie, niezaleznie od nas?
M.W.: Jest wedlug mnie roznica miedzy matematyka, a np. muzyka albo poezja. Wiersze albo
utwory sa faktycznie tworzone przez poetow albo kompozytorow, a nie odkrywane: w
przeciwienstwie do matematyki nie istnieje swiat wierszy, do ktorego mozna zajrzec i wziac jakis
utwor. Matematyka, przynajmniej niektore z jej dzialow, jak np. teoria liczb pierwszych, wydaje sie
istniec obiektywnie w tym sensie, ze inna cywilizacja musi je znac w takiej samej postaci, w jakiej
my ja znamy.
Ale normy etyczne albo kanon piekna nie moga miec wg mnie takiego statusu obiektywnego, tzn.
te dziela malarstwa czy muzyki, ktore my podziwiamy, moga wywolywac obojetne uczucia u
przedstawicieli innych swiatow. Oczywiscie percepcja sztuki zwiazana jest nierozerwalnie z
posiadanymi zmyslami (sluch, wzrok), ale wydaje mi sie, ze wlasnosci liczb pierwszych maja
charakter obiektywny i uniwersalny, niezalezny od budowy organizmu, poza koniecznoscia

posiadania umyslu.
E.K.: Dziekuje za rozmowe.

Rozmawiala Elzbieta Kolakowska