ホモロジー球面から得られるレンズ空間たちについて III
丹下基生 (Motoo Tange) (RIMS)
結び目の数学 2008 年 12 月 26 日
東京女子大学§1 導入³Doubly primitive knot
3 次元多様体 Y の中の結び目 K が doubly primitive とは次の条件を満たすものをいう。
・Y は種数 2 のヘガード分解 Y1 ∪Σ Y2 を持つ。
・K はそのヘガード曲面 Σ に埋め込まれている。
・K は Y1 と Y2 の基本群に元を自然に誘導するが、そのどちらもが π1 の生成元になる。
¶µ¶´

レンズ空間手術予想 (Berge,Gordon)³

S 3 のデーン手術によってレンズ空間が得られるならその結び目は doublyprimitive knot であろう。
µ´1¶³
ここでの主な問題
3 次元多様体 Y と K はどのようなものをとればレンズ空間が作れるか？

µ´・CGLS Philosophy
手術によってレンズ空間を作り、かつその作り方が特殊な場合、その係数は整数である。
ここで・手術係数は整数
・Y はホモロジー 3 球面だけ

¶Fact(Fintushel-Stern)³

レンズ空間 L(p, q) があるホモロジー球面の整数手術から得られる必要十分条件は q が modp で平方剰余であること。
µ´2

¶

³Fact
ポアンカレホモロジー球面からレンズ空間を得ることができる。しかしその係数は正の整数に限る。

µ´

注 1：S 3 の場合はその対称性から向きを逆にする微分同相が存在するので係数は正も負も現れる。
注 2：λ = −1 で doubly primitive knot からレンズ空間を得るホモロジー
球面は Σ(2, 3, 5) と Σ(2, 3, 7) しか知られていない。
λ ≤ −2 の場合は後半。

3Σ(2, 3, 5) の場合
pA1
14`2 + 7` + 1A2 20`2 + 15` + 3
B
30`2 + 9` + 1
C1 42`2 + 23` + 3
C2 42`2 + 47` + 13
D1 52`2 + 15` + 1
D2 52`2 + 63` + 19
E1 54`2 + 15` + 1
E2 54`2 + 39` + 7
F1 69`2 + 17` + 1
F2 69`2 + 29` + 3
G1 85`2 + 19` + 1
G2 85`2 + 49` + 7h±(7` + 2)±1 mod p±(5` + 2)±1 mod p±(6` + 1)±1 mod p±(7` + 2)±1 mod p±(7` + 4)±1 mod p±(13` + 2)±1 mod p±(13` + 8)±1 mod p±(27` + 4)±1 mod p±(27` + 10)±1 mod p±(23` + 3)±1 mod p±(23` + 5)±1 mod p±(17` + 2)±1 mod p±(17` + 5)±1 mod p

2g − p − 1−|`|−|`|−|`|−|`|−|`|−|`|−|`|
−|`|
−|`|
−2|`|
−2|`|
−2|`|
−2|`|
4

H1H2I1I2I3JK¶

99`2 + 35` + 3
99`2 + 53` + 7120`2 + 16` + 1120`2 + 20` + 1120`2 + 36` + 3120`2 + 104` + 22
191±(11` + 2)±1±(11` + 3)±1±(12` + 1)±1±(20` + 2)±1±(12` + 2)±1±(12` + 5)±1
15mod pmod pmod p
mod pmod p
mod p−2|`|
−2|`|
−2|`|
−2|`|−2|`|−|2` + 1|−2Fact
Σ(2, 3, 6n ± 1) からもレンズ空間を得ることができる。
³µ´

このような表を他のホモロジー球面の場合に作りたい。

5L(n(5` + 2)2 ± (5`2 + 5` + 1), (5` + 2)2)
L(n(6` + 1)2 ± (6`2 + 3`), (6` + 1)2)
L(n(7` + 2)2 ± (7`2 + 5` + 1), (7` + 2)2)
L(n(7` + 4)2 ± (7`2 + 9` + 3), (7` + 4)2)
L(n(11` + 2)2 ± (22`2 + 9` + 1), (11` + 2)2)
L(n(11` + 3)2 ± (22`2 + 13` + 2), (11` + 3)2)
L(n(12` + 1)2 ± (24`2 + 8`), (12` + 1)2)
L(n(12` + 2)2 ± (24`2 + 12` + 1), (12` + 2)2)
L(n(12` + 5)2 ± (24`2 + 16` + 3)), (12` + 5)2)では一般のブリースコーンホモロジー球面 Σ(p, q, r) から得る方法はあるか？
¶³
予想
Σ(p, q, r) は正の手術によってレンズ空間を得ることができるであろう。

µ´

ブリースコーンホモロジー球面しか現れないのか？⇒主結果
6

§2 レンズ空間を得る為の条件
キャッソン不変量の手術公式−λ(Y ) + λCW (−L(p, q)) − s(1, p) =1 00
∆K (1)
2p

この公式のヘガードフレアホモロジーによるカテゴリー化

HF +(Y )iSS/

SSS
SSS
SSS
SSSSS

⊕t∈Q−1(s)HF +(Y0(K), s)

gggg
ggggg
ggggggg
gs gggg

HF +(L(p, q), s)7

内訳 (c1(s) 6= 0)
F1

Td(Y ) ⊕ HFred(Y )

jUUUU
UUUU
UUUU
UUUU
U

F3/

⊕t∈Q−1(s)HFred(Y0(K), t)

gg
ggggg
gggg
gggg
sgggggTd(−L(p,q),s)

F2

キャッソン不変量の公式

1λ(Y ) = χ(HFred(Y )) − d(Y )2Xµ1
λCW (W ) =χ(HFred(W, s)) − d(W, s)
2s∈Spinc(W )¶8Y = S 3 もしくは Σ(2, 3, 5) だとカテゴリー化の条件に強い制限をうける。
T0 fMMMF1MMMMMM
M3 MMMMF/⊕t∈Q−1(s)HFred(S03(K), t)

gggg
gggg
ggggggg
gs gggTd(−L(p,q),s)F2⇒ ⊕t∈Q−1(s)HFred(S03(K), t) = Ztj (K) = Z[U ]/U tj = ker(F3)⇒ 2g − 1 ≤ p, 0 ≤ tj (K)S 3 上の手術によってレンズ空間や結び目に関する制限

Fact(Ozsváth-Szabó)¶³

S 3 の中の結び目 K の整数手術がレンズ空間を作るとき K のアレクサンダー多項式の係数は ±1 か 0µ´9¶Fact(OSz-Ni)³

doubly primitive knot はファイバー結び目。
一般に S 3 の中の結び目 K の整数手術がレンズ空間を作るとき
K はファイバー結び目。
(実は Y − K が既約であれば K はファイバー結び目がいえる。）µ´注）
Y が S 3 でも Σ(2, 3, 5) でもない（non-L-space）ときは種数不等式は必ず成り立たない。(J.Rasmussen)

10例：Σ(2, 3, 7)
HF +(Σ(2, 3, 7)) = T0 ⊕ Z(−1)Σ(2, 3, 7)10(K) = −L(10.9)
K:doubly primitive knot （genus= 6） 2g − 1 > p∆K (t) = x6 − x5 + x3 − x2 + 1 − 1/x2 + 1/x3 − 1/x5 + 1/x6
HF +(Y0(K), i) (i = −5..5):Z,Z,Z,Z2,Z2,Z2,Z2,Z2,Z,Z,Z
ker(F3)(i = 0..9):Z, Z, Z, 0, 0,Z, 0, 0, Z,

Z
T0 ⊕ Z(−1)

F1iSSSSSSSS
SSSS
SSS
3

F/t−5 (K) ⊕ Zt5 (K)Ztj (K)
orZ
g
ggg

ggggg
ggggg
g
g
g
g
sggg

Td(−L(10,9),s)F211

ここですこしまとめ・L(p, q) を固定したときにそのレンズ空間を作る Y と K はどのようなバリエーションがあるか。
・種数と slope の関係
・特に doubly primitive knot の dual knot（Berge knot という）を用いて手術をするとどうなるか？
・あるホモロジー球面から得られるレンズ空間の族は 2 次関数的になるか？
・ホモロジー球面上の手術を分類すれば S 3 上のレンズ空間手術はよくわかるようになるか？
(S 3 上の手術は他の手術に比べて特別に見える。)

12§3 主結果¶³主結果
レンズ空間を作る doubly primitive knot はグラフホモロジー球面の中に存在する。
表参照。

µ´

例えば下の図式のグラフは整数デーン手術によってレンズ空間を生む。

−220−32313

³−5 ≤ λ ≤ −2−5 ≤ λ ≤ −2 を満たすブリースコーンホモロジー球面は doubly primitive knot を内部に含む。
¶µ¶

´

µ³
分類
λ = −2Σ(2, 3, 11), Σ(2, 3, 13), Σ(2, 5, 7), Σ(3, 4, 5), G1, α..
λ = −3
Σ(2, 3, 17), Σ(2, 3, 19), Σ(2, 5, 9), Σ(2, 5, 11),Σ(3, 4, 7), β..
λ = −4Σ(2, 3, 23), Σ(2, 3, 25), Σ(2, 5, 13), Σ(2, 7, 9),
Σ(3, 5, 7), Σ(3, 5, 8), γ..
λ = −5Σ(2, 3, 29), Σ(2, 3, 31), Σ(2, 5, 17), Σ(2, 7, 11),Σ(3, 4, 11), Σ(3, 4, 13), Σ(4, 5, 7), G2, δ, ..

14

´

−22
0−32G172−322

31G2215§4 計算方法
・Berge knot の手術から得られるホモロジー球面の基本群を計算する。
・Ozsváth-Szabó の不変量の計算（計算の紹介）

Berge knot の記述
L(p, q, h) h2 = q mod pc := (h+1−p)(h−1)
216基本群の計算(palindromic relator をもつ)
*π1(Y ) =+0 −1phY¯ Y−ã 0
E (qi+1)
E (qi+1)¯x1, x2¯x1x2 h,(x1x2 h)x1x2 h c−h ,i=1
i=1(1)

where Eh : Z/pZ → {0, 1} is defined to be(Eh(k) =1 1 ≤ [k]p ≤ h0 otherwise.

*π1(Y − K) =+p¯ YE (qi+1)¯x1, x2¯x1x2 h,i=1(2)⇒ ∆K (t)17plumbed mfd のヘガードフレアホモロジー
OSz: On the Floer homology of plumbed three-manifolds
G :negative definite graph of Y
∼ H+(G) =∼ K+(G)
HF +(−Y ) =H+(G) ⊂ Hom(Char(G), T0+)
K+(G) = Z≥0 × Char(G)/ ∼K ∈ IhK, vi + v 2 = 2n を満たすとき、n ≥ 0 のとき、
U n ⊗ (K + 2P D(v)) ∼ K n ≤ 0 のとき、
K + 2P D(v) ∼ U n ⊗ K

K+(G) の中で U m ⊗ K と表せない元が重要 (basic vector)

18

・full path の構成(同値関係 (横並び) を求め、加群の生成元を数える。)
v 2 + 2 ≤ hK, vi ≤ −v 2 (initial vector)
I ：initial vectors (finite)
I 3 K0：K0, K1, · · · , Knvi を hK, vii + vi2 = 0 となる vertex vi に対して
Ki+1 = Ki + 2P D(vi)つまり、K0 ∼ K1 ∼ · · · ∼ Kn・minimal relation(関係式から加群の次元 (縦並び) を計算する)
I 3 Ki, Kj に対してU m ⊗ Ki ∼ U n ⊗ Kj を満たす最小の n, m を求める。
K 2 +|G|⇒この 2 つのデータと、d(Y ) = maxK∈Iから完全に H(G) が求4まる。
⇒ HF +(Y )19§5 問題¶³問題
・Y としてどのような plumbed mfd（ヘガード種数が 2）がありうるか？
・双曲構造をもつホモロジー球面上に doubly primitive knot は存在するか？（おそらくある）
・グラフの構造を使ってレンズ空間手術が簡単に分かるか？
・レンズ空間手術同士網目でつながっている。

µ´20

Thank you for your attention!!

21