線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 10 回（’13 年 12 月 18 日：Keywords · · · 対角化可能性）[対角化可能]・・・行列 A が対角化可能とは、ある正則行列 P が存在して、P−1 AP が対角行列 D とできること．このとき、D の対角成分は全て A の固有値となる．
[対角化不可能]・・・どのような正則行列 P を取っても、P−1 AP が対角化行列でないこと．
[対角化可能であるための必要十分条件]・・・行列 A の固有空間を {Vλ } としたとき ⊕λ Vλ = Cn となること．
[行列 P]・
・・A が対角化可能であるとき、A のある固有ベクトルの集合 {p1 , · · · , pn } が、Cn の基底となるようにとることができる．このベクトルを並べて作った行列 ( p1 · · · pn ) は上記の A を対角化する正則行列 P となる．固有ベクトルは一意的ではないので、このような行列 P も一意に決まるわけではない．
[対角化可能であるための十分条件 1]・・・固有多項式 ΦA (x) が重根を持たないこと．ただし、逆は成り立たない．つまり、重根を持つからといって対角化できないわけではない．単位行列を考えてみよ．

[対角化可能であるための十分条件 2]・・・実対称行列は固有値が全て実数であり、さらに対角化可能でもある．実対称行列はもっと強く直交行列によって対角化可能．

A-10-1. [対角化可能性]
次の行列が対角化できるかどうか判定せよ．対角化できるとき、どのような正則行列 P をとれば P−1 AP が対角行列となるか．

0 1
(1) A = 1 01 a(2) A = 0 1
1 a (3) A = 0 −1 0 1(4) A = −1 0
 2 −2(5) A = −1 3  1 2 1(6) A = −1 4 1
2 −4 0A-10-2. [対角化可能性]
次の行列が対角化できるかどうか判定せよ．


1 −2 1 (1) A = 0 3 −1
0 4 −1 1 −1 0(2) A =  1 1 2
−1 2 1———————————————————————————————————————————————

B-10-1. [固有多項式と重解、対角化可能性][易]以下の問題に答えよ．

(1) 固有多項式が重解をもつが、対角化できる行列の例をあげよ．
(2) 上三角行列でなく対角化不可能の行列を無限個あげよ．
1 a は対角化できることを示せ．
(3) a, b を正の実数とする．このとき行列 b 11 a(4) 行列  が対角化できるための a の必要十分条件は a = 0 であることを示せ．
0 1

B-10-2. [対角化と固有空間の次元][易]3 × 3 行列 A の固有多項式が ΦA (t) = (t − µ)2 (t − λ) であるとする．ただし、λ , µ とする．このとき、A が対角化できるための rank(µE − A)、rank(λE − A) の条件とは何か？

B-10-3. [対角化と固有空間の階数][易]n × n 行列 A の異なる固有値の集合を {λ1 · · · , λk } とする．このとき A が対角化可能であるための必要十分条件はk∑rank(λ s E − A) = (k − 1)ns=1であることを示せ．ここで、E は単位行列．

B-10-4. [X の形の行列の対角化可能性][易]次の行列 A が対角化可能か調べよ．また可能である場合、P−1 AP が対角行列となる正則行列P を求めよ．

1 0 1(1) 0 1 0
1 0 110(2) 0

101
100
110

1
0
01

B-10-5. [対角化できるための必要十分条件][中]次の行列が対角化できるための a, ba の必要十分条件を求めよ．
a a − 1A = 
b b + 1

B-10-6. [べき零行列][易]べき零行列 A が対角化できる必要十分条件は A = O となることである．
（べき零行列とはある自然数 m が存在して、Am = O となる行列のことである．
）

B-10-7. [対角化可能性][易]次の行列が対角化できるかどうか判定せよ．

 6 2 9 
A =  2 3 6 
−4 −2 −7

B-10-8. [対角化可能性][難]n を整数とする．このとき、次の行列 A の固有ベクトルを求めよ．また、対角化できるかどうか判定せよ．
 n!
(n + 1)! (n + 2)!

A = (n + 2)! (n + 1)!
n! 
n!
(n + 1)! (n + 2)!

B-10-9.
][中] [重解を持つ固有ベクトル1 a b
行列 0 2 c が対角化できるための必要十分条件は ac − b = 0 となることであることを示せ．

0 0 1B-10-10. [あるファンデルモント行列の対角化][難]次の行列 A の固有多項式を求めよ．また対角化できるかどうか判定せよ．

1 1 1 1 
1 i −1 −i 
A = 
1 −1 1 −1
1 −i −1 iB-10-11. [固有多項式と固有空間][易](n, n) 行列 A の固有値集合が {λ1 , · · · , λn } であるとする．Φi (t) = ΦA (t)/(t − λi ) と定義する．このとき、Wi = {Φi (A)v ∈ Cn |v ∈ Cn } は λi の固有空間であることを示せ．

B-10-12. [複素数 z とその行列][難]a −b は対角化可能であることを示せ．また、An はa, b を実数とする．このとき、行列 A = b aαn −βn 
 とかけ、z = a + bi としたとき、zn = αn + i βn であることを示せ．
βα nnB-10-13. [A2 = E となる行列][中]A2 = E かつ A , ±E となる行列の固有値の集合は {1, −1} であることを示せ．またこのような行列は対角化可能か？
———————————————————————————————————————————————

C-10-1. [対角化可能性]
次の行列が対角化可能か判定せよ．またその理由を述べよ．

1 1 0(1) 1 1 2
0 2 0

−3 −2 −1(2)  2 1 1 
4 2 2
1 2 −1(3) 0 −1 1 
0 −2 2C-10-2. [対角化可能性と正則行列P]

2 −2 1
行列 A を A = 0 −1 0 とおく．このとき、以下の問題に答えよ．


0 2 1
(1) A の固有値を求めよ．
(2) 行列 A が対角化可能かどうか判定し、もし可能であれば P−1 AP が対角行列となる正則行列 P を一つ求めよ．


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

第 8 回の略解 2(v,  )      1 2
1
0
2 2
1 2





(C-8-1) 正射影は P : v 7→  となる．ゆえに、表現行列は P( ) =   また、P( ) =   となる．ゆえに、
5 1
5 1
5 101

2






1 4 2
1 4 2
1 20 10 1 4 2表現行列は、  となる．(2)P2 = ==  = P (C-8-2)(1) 定義から T (v) = v − 2(v −
5 2 125 2 125 10 5  5 2 1
(v, w)(v, w)(v1 + v2 , w)
(v1 , w)
(v2 , w)w) = −v + 2w である．T (v1 + v2 ) = −(v1 + v2 ) + 2w = −v1 − v2 + 2w+w = T (v1 ) + T (v2 )2222||w||||w||||w||||w||||w||2(v, w)(v, w)(v, w)(v, w)となる．スカラー倍に関しては省略．(2) (T (v), T (v)) = (−v, −v) + (−v, 2w) + (2w, −v) + (2w, 2w) =||w||2||w||2||w||2||w||2(w, v)(v, w)(v, w)(v, w)(v, v) − 2(v, w) − 2(w, v) + 4(w, w) = (v, v)||w||2||w||2||w||4