微積分 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (B622) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 8 回（’14 年 12 月 12 日：Keywords · · · ジョルダン外測度、重積分、累次積分）
定義および定理.
8-1. 長方形上の積分.・・・L を [a, b] × [c, d] = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} なる長方形上の領域とする．このとき、µ(L) = (a − b) × (c − d) と定義する．
8-2. ジョルダン可測集合.・・・A ⊂ R2 を有界な部分集合とする．

1 (x, y) ∈ A
χA (x, y) = 0 (x, y) < A

I を有界区間として、A ⊂ I としたとき、χA (x, y) が積分可能であるとき、A はジョルダンの意味で可測であるという．その積分の値を µ(A) とかく．
・・A を有界集合とし、A ⊂ L1 ∪ L2 ∪ · · · ∪ Ln なる長方形領域 {L j } による被覆
8-3. 内測度、外測度.・をとる．このとき、このような長方形領域の被覆全体の下限 n∑
µ(A) = inf µ(L)|{L}
jj 
j=1

つまり、χA (x, y) の上積分をジョルダン外測度という．おなじように、χA (x, y) の下積分をジョルダン内測度といい、µ(A) とかく．
特に、µ(A) = µ(A) であることと、A が可測であることは同値である．
8-4. 外測度 0.・・・ 有界集合 A がジョルダン外測度 0 であれば、A は可測であり、µ(A) = 0 である．
8-5. 変数変換.・・・φ を R 内の領域 D を φ(D) に一対一に写すとき、φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) とする．
このとき、∫ ∫∫ ∫∂(x, y)f (x, y)dxdy =f (x(u, v), y(u, v))|dudv∂(u, v)φ(D)Dφ によって一点に写された写された集合がジョルダン外測度 0 集合であってもこの公式は成り立つ．
2 22
例: (x, y) = (r cos θ, r sinθ) なる極座標に対しては、D = {(x, y) ∈ R |x + y ≤ 1} とすると、ヤコビ cos θcos θ 行列は、 であるから−r sin θ r cos θ∫ √D∫ 1 ∫ 2πx2 + y2 dxdy =[ 3 ]1r
2πr drdθ = 2πr dr = 2π
=3 030∫ 12002などとなる．
8-6. アフィン変換.・・・変数変換において、x = au + bv + e, y = cu + dv + f なる一次式と定数項をも∂(x, y)= ab − cd
つ変換のことである．3 変数の場合も同じである．この変換によるヤコビアンは∂(u, v)となる．
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今日の課題.
1. ジョルダン外測度．
2. 積分の計算ができるようになること．
3. 変数変換の公式———————————————————————————————————————————————

例題-8-1. [ジョルダン外測度]
次の集合は、ジョルダン外測度が 0 であることを示すことで、特に可測であり、面積 0 であることを示せ．

(1) 一点はジョルダン外測度 0 であることを示せ．
(2) [a, b] × [c, d] の境界

例題-8-2. [長方形型の領域上の積分]
D を下のような領域のとき、関数 z = f (x, y) を D 上で積分せよ．
(1) D = [0, 1] × [0, 1], f (x, y) = x2 + y2

(2) D = [0, 1] × [0, 1], f (x, y) = (x + 2y)2y2(3) D = [0, 1] × [0, 1], f (x, y) =1+x[ π] [ π]√(4) D = 0, × 0, , f (x, y) = 1 − x2 − y222(5) D = [1, 3] × [0, 2], f (x, y) =1(1 + x + y)2

例題-8-3. [三角形領域の積分]
D を下の点を頂点とする三角形領域のとき、関数 z = f (x, y) を D 上で積分せよ．
(1) (0, 0), (1, 0), (0, 2), f (x, y) = x2 − xy − y2(2) (0, 0), (1, 1), (1, 0), f (x, y) = x2 + y2

次の積分を計算せよ．
∫ ∫(1)
x2 dxdy, D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ x}D∫ ∫(2)xdxdy, D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ x}
D

例題-8-4. [積分の順序]
次の積分の順序を交換せよ．

∫ 3 ∫ 2y(1)∫ 1 ∫ 3xf (x, y)dxdy

0(2)

y−3

∫ 1 ∫ √4−x2
f (x, y)dxdy

02x(3)
0√
2+x2

f (x, y)dxdy

例題-8-5. [アフィン変換による変換]
アフィン変換により、以下の積分を計算せよ．
∫ ∫(1)(x − y)e x+y dxdy, D = {(x, y)|0 ≤ x + y ≤ 2, 0 ≤ x − y ≤ 2}
D{}
∫ ∫( x )2 ( y )22(2)x dxdy, D = (x, y)|+≤1abD———————————————————————————————————————————————

宿題-8-1. [面積 0]{}1|n ∈ N は面積 0 であることを示せ．
数直線上の点集合n
宿題-8-2. [積分]次の積分を計算せよ．
∫ ∫(x − 2y)2 dxdy, D = {(x, y)||x + 2y| ≤ 1, |x − y| ≤ 1}
D

宿題-8-3. [空間の極座標]
空間の極座標を x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ とし、以下の問題に答えよ．

(1) 空間の位置を表すのに r, θ, φ はどのような範囲であればよいか？
(2) この変換によるヤコビアンを求めよ．
∫ ∫ ∫(3) 次の積分を求めよ．
(x + y)dxdydz, D = {(x, y, z)|x2 + y2 + z2 ≤ 1}
D———————————————————————————————————————————————
宿題-4-2(2) のこたえ

(0, 0) では極値ではない．y = 0 において、(0, 0) で x が正の値で近づいていくと、正で 0 に向かう．一方、
f (x, y) = (x + y)(x2 − xy + y2 + x + y) = なので、下の領域の写真の部分で近づくと、負の値で近づく．ゆえに、原点の任意の近くで、正の数と負の数が現れるので極値ではない．
yOx

宿題-6-1(1) のこたえn 一般で行う．A = (xi j ) とする．g(x11 , · · · , xnn ) = det(A) − 1 とする．このとき、ある xi j が存在して、A0 の2十分小さい近傍において S L(n, R) が Rn −1 からの関数として掛けるためには、g xi j (A) , 0 であればよい．今、g(x11 , · · · , xnn ) は xi j に関しては一次式である．A0 ∈ S L(n, R) であるとすると、A0 の全ての小 n − 1 行列式が 0になることはない．なぜなら、もしそうなら、rank(A0 ) ≤ n − 1 であるからである．ゆえに、A0 の (i j) 小行列式
を Ai j とすると、A の展開公式より、
g(x11 , · · · , xnn ) = (−1)i+1 xi j |Ai1 | + (−1)i+2 xi2 |Ai2 | + · · · + (−1)i+n xin |Ain |より、g xi j (x11 , · · · , xnn ) = (−1)i+ j |A ji | , 0 となる．ゆえに、上の条件が満たされた．
宿題 6-3 の略解．(ここでは簡単のため r = 0 のときは考えないことにする．)
π(1) r > 0 なので、0 < θ ≤ として考える．r , 0 とすると、
2cos θsin θ, Fy = Gr sin θ+Gθとな
Gr = F x cos θ+Fy sin θ, Gθ = F x (−r sin θ)+Fy r cos θ であるから、F x = Gr cos θ−Gθrrる．(2) F x = Fy = 0 となる点が特異点．上の関係式より、Gr = Gθ = 0 となる点と同じである．Gr = 1 だからそのような点は存在しない．よって全ての点が正則点である．そのような点を (x0 , y0 ) とすると、F x (x− x0 )+ Fy (y−y0 ) = 0が接線となる．r = sin 2θ などを使い、この式をあとはまとめればよい．(3) Fy = 0 かつ G(r, θ) = 0 となる点を求め、それ以外の点で陰関数 y = φ(x) は存在する．そのような点は 2 箇所存在する．計算してみよ．

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