線形代数 II 演習 担当 丹下 基生：研究室 (D506) mail(tange@math.tsukuba.ac.jp）
第 9 回（’15 年 12 月 9 日：Keywords · · · 商空間・準同型定理）
まとめ.
9-1. 同値関係・・・集合 X の元全体に入る以下の性質を満たす関係 ∼ を同値関係という． x, y, z ∈ X
を任意の元とする．

(1) x ∼ x
(2) x ∼ y ならば、y ∼ x(3) x ∼ y かつ y ∼ z ならば、 x ∼ z
また、C(x) = {y ∈ X|x ∼ y}と書き、C(x) を x を含む同値類という．このとき、X 全体はいくつかの交わりのない同値類によって⨿C(x0 )
X=x0 ∈Sのように書くことができる．同値類全体の集合を X/ ∼ のようにかく．また、 x を含む同値類の集合の元を [x] ∈ X/ ∼ と書く．特に x ∼ y なる 2 つの元は [x] = [y] となる．この等式は X/ ∼ での等式であることに注意しておく．
このように集合 X に同値関係を導入することを、同値関係を入れるということがある．また、同値類全体の集合 X/ ∼ を ∼ によって同一視してできる集合ということがある．
同値類 {C(x)} の一つの元から X の元を一つずつ取り出したものを代表元という．
9-2. p 元体 F p ・・・ n を整数とする．Z において、k, l ∈ Z において、k − l が n で割れるとき、k ∼ lとして同値関係を入れたものに、普通の和積を導入したものを Z/nZ とかく．つまり、n ∼ m なる関係のとき [n] = [m] として書いたときに、[n] + [m] = [n + m][n] · [m] = [n · m]と書く．ここで、さらに n が素数 p であるとき、和に対するゼロ元 [0] 以外の全ての元において掛け算の逆操作、割り算が存在する．Z/nZ にそのような商の操作を含めると、体の構造が作られる．
それを F p と書いて、n 元体という．
F p は {0, 1, · · · , p − 1} の p 個の元からなり、和積を普通の整数の和積を用い、計算結果がこの p個の元に収まらないときは、適当に p を倍数を足すことで、{0, 1, · · · , p − 1} に収める．また、商は、 x ∈ {1, · · · , p − 1} は p と互いに素であるから、 xr + ps = 1 なる r, s が存在する． x の逆元は rの同値類であるとする．
9-3. 商空間・・・V をベクトル空間とし、W ⊂ V を部分ベクトル空間とする．このとき、v ∼ w なる関係を、v − w ∈ W となることとして定義すると、V 全体に同値関係を入れることができる．この関係を使った、同値類の集合 V/ ∼ のことを V/W と書く．また、V/W は以下の和によってベクトル空間となる．
[v] + [w] = [v + w]

λ · [v] = [λ · w]

この空間のことをベクトル空間の商空間という．
9-4. 準同型定理・・・ f : V → W を線形写像とする．このとき、 f から誘導される自然な写像 f˜ によって、同型写像f˜ : V/Ker(V) → Im( f )をつくることができる．とくに、 f が全射であれば、同型写像f˜ : V/Ker(V) → Wが作られる． f から誘導される自然な写像とは、 f˜([v]) = f (v) のことである．
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今日の課題.
1. 同値類
2. 商空間．
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A-9-1. [同値類]次の関係によって、集合 X をいくつかの同値類にわけよ．そのとき、同値類の個数をもとめ、また、同値類全体はどのような集合といえるか？I は単位区間 [0, 1] とする．

(1) X = R, 任意の x において x ∼ (−x)(2) X = Z、n, m ∈ X に対して、n − m が偶数 ⇔ n ∼ m．
(3) X = R2 , 任意の x, y, y′ (x, y) ∼ (x, y′ )(4) X = I × I, (t, 1) ∼ (t, 0), (1, s) ∼ (0, s)

A-9-2. [平面上の商空間]
X = R2 とする．このとき、次の部分ベクトル空間 W を取ったときに V/W において、[(1, 2)] +[(3, 4)] を計算し、元の (0, y) なる形の代表元を選べ．
(1) W = ⟨(0, 1)⟩(2) W = ⟨(1, 1)⟩(3) W = ⟨(2, 1)⟩(4) W = ⟨(−1, 1)⟩———————————————————————————————————————————————

B-9-1. [商空間の定義]上の和とスカラー倍は、商空間の定義としてうまくいっていることを示せ．つまり、和とスカラー倍は、代表元のとり方によらずに定まることを示せ．
B-9-2. [ベクトル空間としての商空間]上の定義により、商空間がベクトル空間であることを示せ．

B-9-3. [準同型定理]
f : V → W における上の自然な写像 f˜ は写像になっているか？つまり、代表元のとり方によらずに像を一意にさだめることができるか？

B-9-4. [商空間と補空間]
W ⊂ V を部分ベクトル空間とする．このとき、V/W は W の V における補空間と同型になる
ことを示せ．

B-9-5. [商空間]V = ⟨v1 , v2 , v3 ⟩ とする．

(1) {v1 , v2 , v3 } が一次独立であるとする．V/⟨v3 ⟩ は ⟨{v1 , v2 } と同型となることを示せ．
(2) {v1 , v2 , v3 } が一次独立でなければ、V/⟨v3 ⟩ は ⟨{v1 , v2 } と同型るとは限らないことを示せ．

B-9-6. [商空間]V = ⟨v1 , v2 , v3 ⟩ とする．V/⟨v3 ⟩ は ⟨v1 , v2 ⟩ と同型となることを示せ．

B-9-7. [行列の空間]
A を 3 × 3 行列とする．⟨E, A, A2 ⟩ の次元は、A の条件を使って、どのように振舞うか？

B-9-8. [2 元体 F2 ]F2 上の数ベクトル空間 F32 において、t (1, 1, 0), t (1, 0, 1), t (0, 1, 1) は一次独立か？

B-9-9. [2 元体 F2 ]F2 上の数ベクトル空間 F62 において、t (1, 1, 0, 0), t (0, 1, 1, 0), t (0, 0, 1, 1), t (1, 0, 0, 1) は F42 の基底となりうるか？

B-9-10. [商空間からの線形写像]
V をベクトル空間とする．W ⊂ V を部分ベクトル空間とする． f : V → Z を線形写像とする．
このとき、自然に線形写像 f˜ : V/W → Z が作られるためには W ⊂ Ker( f ) となることが必要十分であることを示せ．
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C-9-1. [3 元体 F3 ]3 つの元からなる集合 {0, 1, 2} において、和積に関するテーブルを作れ．例えば、F2 の和に関するテーブルは、+ 0 10 0 1
1 1 0C-9-2. [商空間] 






12−1
 v = 0
V = R3 とし、W = v
∈V|とする．V/W の基底を対応する R3 の元として一
0 1 1組求めよ．
(Hint:dim V/W は 2 次元である．)

C-9-3.
]
 [表現行列

1 2
 なる 2 × 2 行列とする．
A を 2 1
(1) V = {a0 E + a1 A + · · · + an An |ai ∈ R} とする．このとき、V は 2 × 2 行列全体のなすベクトル空間 M(2, R) のなかで、スカラーを R とする部分ベクトル空間であることを示せ．ここで、E は単位行列を表す．
(2) このとき、V の実ベクトル空間としての基底を求め、その次元を求めよ．
(3) X ∈ V に対して、A を左から書けることで、線形写像 LA : V → V が作られることを示せ．
(4) 上の基底を用いた LA の表現行列を求めよ．

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