ビーム不安定性
電子雲、イオン、CSR
大見

和史 (KEK加速器)
OHO’11
2011年9月6−9日

加速器における諸問題• 軌道のずれ• 振動 不安定性（高密度）• ビームサイズ（エミッタンス）の 増大結合（線形、非線型）
拡散（放射光、非線形、高密度）不安定性（高密度）• ビーム寿命、ビームロス
急激な軌道、振動、サイズ増大

KEKの加速器
Energy 長さ

current#bunchGeVｍ

KEK-Linac

8max

480(50Hz)

KEKB

4&73016

1600

KEK-PF

2.5

187

ATF

1.5

139

1-

J-PARC(RCS)0.2->3 348

2J-PARC(MR)3->30 1567

8

運動エネルギー

A0.5

bunch
shape（x,y,z）

mm

250

粒子数(bunch)

1010
1-10

0.1x0.001x5
1x0.1x10
0.2x0.02x520x20x
70000
10x10x
20000

60.5
14000
4000

世界の加速器
Energy 長さ
GeV

current#bunchｍA

LHC (2011)

3500 26670

0.21000

LHC (design)

7000 26670

0.52808

Tevatron1000 6000

RHIC

2003833

SPring881436

mm

360.1

bunch
shape
（x,y,z）

粒子数(bunch)

1010
110.016x0.0
16x75
0.04x0.04x430
0.07x0.07x500
0.2x0.02x
4

LCLS (SLAC FEL)

1130
40
0.3-11

衝突加速器のバンチ形状は衝突点

ビーム不安定性
ビーム強度の増加に関する問題
相対論的粒子は直接粒子同士の相互作用はしない。
周辺の境界条件(電磁場)、他種粒子を媒介として自身の強度に関係する問題が発生する。
非相対論的ビームでの空間電荷効果加速器業界標準の変数
運動をｓをパラメータとして記述。ｔではない。
正準共役•p̂xzdxpx
�≈x ==p0ds
p − p0= −βct p̂z =p0

ｔ: s への到着時刻 は力学変数。

z>0 前方想定より早く到着• 運動量は重心の全運動量で規格化、ビーム粒子の進行方向に対する傾き•

位相空間x − p̂x

以降＾は省く個々のビーム粒子の(線形)運動xx (s0 + L) = M xx (s0 )xx (s1 ) = M (s1 , s0 )xx (s0 )• 周回毎に位相空間の位置の位相角がμ回転する。
• リング内各所で位相角は少しづつ回転して、1周後μ回転する。μの2πx整数部が意味を持つ• リング内各所で最大振幅が変わる。
• 1周あたりの位相角の回転数をチューンという。
ν=μ/2πω = νω0 = µf0

ベータトロン振動• ビームの個々の荷電粒子は設計軌道の周りを水平、垂直方向に振動する。その振動をベータトロン振動(ωβx,ωβy)という。

ω = νω0 = µf0

ω0: 周回角周波数、f0: 周回周波数
f0 = c/L

周回ごとの粒子の運動
px(γε)1/2

バンチ内粒子(βε)1/2 x

リング各所で楕円の形が変わる。

周回中の粒子の運動• 包絡線
例
０を4回横切るνβ~2

リング各所で前ページの楕円の形が変わる。10

ビーム(バンチ)の重心運動
xx (s0 + L) = M xx (s0 )• 周回毎に位相空間の位置の位相角がμ回転する。
じ
同1周• リング内各所で位相角は少し付く回転して、と子粒後μ回転する。μの2πx整数部が意味を持つの々個• リング内各所で最大振幅が変わる。
• 1周あたりの位相角の回転数をチューンという。
ν=μ/2πω = νω0 = µf0周回ごとのバンチの運動px(γW)1/2(βW)1/2 x

シンクロトロン振動• ビーム重心は高周波加速装置の周波数に同期した(ある位相の)タイミングで加速装置を通過する。
• ビームはその位相に応じて加速装置からエネルギーを受け取る。
• ビームの個々の粒子はその位相に対して、進んだり遅れたりして振動する。この振動をシンクロトロン振動（ωs）という。

ωs=νsω0νsは一般に1より小さい。0.025((S)-KEKB),0.01(KEK-PF)

ビームの振動モード• 基本的には個々のビーム粒子はベータトロン振動、シンクロトロン振動をしている。
• 集団としての振動モード

14

ビームの振動モード
単バンチ• ω=ωβ±mωs
•

m=1

m=2

m=315

ビームの振動モード
多バンチ• m: バンチID、n: mode number16

ビームの(位置)モニター• リングのいろいろな場所にはビーム位置モニター(BPM)をつける、ビームの速い(バンチごと毎周)位置検出を行う。
• リングのある場所でビームの横方向の重心位置を観測す
るとビームがベータトロン振動していると、角周波数|nω0+ωβ|の振動が観測される。
• シンクロトロン振動しながらベータトロン振動する場合、|nω0+ωβ+nsωs|• nは整数、あとでまた意味を持って現れる。
Beam Position
Monitorビーム

普通はしていない。
振動数を測定するとき揺する。不安定の時観測される。

モニターで見たバンチ振動• モードnによるバンチm (=0...M-1)の振動• バンチmのモニターへの到着時刻

ctm = −mL
M

• モニターの観測するバンチ位置

21m=0M-1• 信号のフーリエ成分
�y(t)e−ωt dt ==

�p�m

�

exp im [(n + ν)ω0 + ω]

δ [ω − (n + ν + pM )ω0 ]T0M

�∞�m=−∞

公式
exp(imωT0 ) = ω0∞�p=∞δ(ω − pω0 )ビームの振動モード
単バンチ (別の見方)• M→∞, p=0のみ採る。
δ [ω − (n + ν)ω0 ]19

どうなったら不安定が起きる• リングのある場所に|nω0+ωβ|の周波数で振動しビームと結合する何かがあり、共振する。
• 何かとは真空パイプに誘起された電磁場、イオン、電子...

20

航跡力
• 後方にしか摂動が伝わらない。W(z>0)=0• 後方への影響は前方の変位に比例。重ね合わせが成り立つ。

• Wがある周波数成分を持つ場合、ρ(z’)もその周波数成分を持つと大きい効果。

21

共振子モデルとインピーダンス• ある周波数成分を持った航跡場• インピーダンス• 減衰がある場合

22

バンチ結合型不安定性(x-y)•2 バンチは均等に同じ粒子数(N)が詰まっている。
� �

ωβ 2d ym (s)ym (s)+2dscN�
w +mN re=W (z� − zm )y� (s + zm − z� )γL
�=mz0=0 zm=mL/M s=ct21振動源
l=0M-1

解、不安定モード
�ω
mn−i sym (s) = a[n] exp 2πiMc�−ω 2 + ωβ22ωβ (−ω + ωβ )
=2cc2
��
Nw�
N re(n + ν)∆z�=W (∆z� ) exp 2πiγLL�=0z0 = 0 ∆z� = �L/MIm(µn) < 0 のモード n が不安定

νβ=ωβ/ω0ω ≈ ωβ だが小さな周波数シフトと、虚数部分があり、不安定を起こす。

単バンチ不安定性• リング全体にビーム粒子が一様に満たされていると考える。(coasting beam)• M→∞の極限• 航跡場の相関距離が短い場合、ビーム粒子が一部に存在している場合と同じと考える。

��� Lw2−ω + ωβρz r e(n + ν)z=dzW (z) exp 2πi2cγL 0L2

ビームー粒子雲相互作用• 陽電子バンチー電子

KEKB• 陽電子ビーム(バンチ列)ー電子 KEKB
• 電子バンチーイオン

KEKB, KEK-PF• 電子ビーム(バンチ列)−イオン KEKB, KEK-PF• 陽子バンチー電子

J-PARC

LHC 陽子−電子はKEKBの陽電子−電子に近いガウスの法則
�ρdivE =�0•1
E · dS =�0�

ρdx

半径R=0.5mm長さl=12mm粒子数N=5x1010の光速で走るバンチの作る電場、磁場• バンチ内N e r22πrEr =�0 � R2

• バンチ外Ne2πrEr =�0 �Ne
Er =r
22π�0 �R
Er = 4.8 × 1010 r[V /m]

Ne 1
Er =2π�0 � r
1.2 × 104
Er =[V /m]r

陽電子バンチー電子• 電子の線形振動
N e22Nd2 ye2 y
Ey = −y=−=re c 222dt
me
2π�0 me �R
�R• 電子の振動数�ωe =e2−15=2.81794
×10m
re =
4π�0 me c22N re c2
� R2• バンチ内で何回振動するか�ωe �/c =2N re �= 3.72R

ωe = 2π × 14.6GHz

陽電子バンチ列ー電子• バンチ間隔 ~1m, 4ns• その間隔の間に電子は遠くに行ってしまうが電子が多いためビームへの影響は大きい。

電子バンチーCOイオン• イオンはバンチ内で動かない。
�2N rm c2
ωCO == 2π × 64M Hz2
� AR
ωCO �/c = 0.016rad

電子バンチ列ーCOイオン• イオンはバンチ間で0.15rad回転、40バンチで1周期、有意な運動�

2N rm c2
= 7M Hzω̄CO =2LSP AR
ω̄CO Lsp /c = 0.15

陽子バンチー電子• 半径R=20mm長さl=20m粒子数N=4x10
�13

ωe =2N re c2= 2π × 250M Hz2� R
ωe �/c = 106• バンチ間隔は数10mなので、ほとんどの電子は次がくる前になくなり、相関、影響は少ない。

ビームー粒子雲相互作用
ビーム• 運動方程式

粒子雲(1つで代表)

線形近似

33

ビームー荷電粒子間力 F• 次元 m-1.

xFx ≈σx (σx + σy )• 線形近似 σ:ビームサイズ

Fy ≈yσy (σx + σy )• 円形ガウス分布ビーム
Fr =−r 2 /2σr2

1−err
Fr ≈ 2R• 楕円ガウス分布ビーム
1
Fy + iFx =234

平板ビームのF
xFx ≈σx (σx + σy )一般的な電子陽電子リングyFy ≈σy (σx + σy )σx ≈ 10σy• Fxはyによらないが、Fyはxによる。

• ωe,yはxに対して広がりを持つ。

35

粒子雲による航跡力(線形近似)• 粒子雲の運動(式(21)を積分、t=t0でyc=0)• 式(22)に代入

• 航跡力
36

実効インピーダンス• ビームからの力が非線形で、周波数広がりがある。
• 粒子雲の振動が減衰する場合•周波数広がり37

不安定増幅率(バンチビーム)��∞N re �(n + νβ )�
W (−�L/M ) exp 2πiγLM
�=−∞
���
�
N re2πi(ω − nω0 − ωβ ) Z(ω)= −idω exp2πγLM ω0�∞
�N re= −iZ[ωβ + (pM + n)ω0 ]2πγL p=−∞• 減衰がない場合 Z~δ(ω±ω )c

いずれかのpで ωc = −(ωβ + (pM + n)ω0 )が満たされたとき増幅度∞、そうでない場合安定• 減衰がある場合、増幅度は弱まるが、不安定になる可能性は大きくなる。

不安定増幅率• コースティングビーム
��N reγL∞(n + νβ )ω0 zdzW (z) exp −ic−∞
N re= −iZ[ωβ + nω0 ]2πγL

�• 減衰がない場合 Z~δ(ω±ω )cωc = −ωβ + nω0において増幅度∞、そうでない場合安定• 減衰がある場合、増幅度は弱まるが、不安定になる可能性は大きくなる。

粒子雲の実効インピーダンス• 一様ビーム（コースティングビーム）

粒子は上にビームは下に力を受ける

粒子は下にビームは上に力を受ける

粒子の振動が不安
定な例、バンチ列が密なら安定• バンチビーム40

Q• 粒子雲が1つの粒子で一様(コースティング)ビームの場合、粒子に起こった振動は永久に続く。（ポテンシャル問題、ケプラー問題のように）• 粒子雲がたくさんの粒子で構成されていた場合、それぞれの周波数が異なるため（太陽系の惑星の1年は太陽からの距離による)、重心位置は何周期かの(Q周期)振動の後、指数関数的に減衰。
• 実際、粒子雲はたくさんの粒子で構成されている。
• シミュレーションでQを求める場合、計算する粒子数は、実粒子数より少なくてもいいだろう。 41

数値的に求めた航跡場、インピーダンス• 粒子雲の運動が安定な例、ビームが連続分布または粒子の周波数に比べバンチ列が密の場合
Q=60、電子分布が•ビームサイズ程度
Q=6.3 電子分布がビー
ムサイズの10倍以上

42数値的に求めた航跡場、インピーダンス• 粒子雲の運動が安定でない例、陽電子バンチ列ー電子

fe=500MHz/10、後方バンチへの影響は4バンチ位
はっきりした周波数はない

Q=143

陽電子バンチ列ー電子相互作用でのバンチ結合型不安定性• インピーダンスより航跡場を足した方が手っ取り早い−ω 2 + ωβ22ωβ (−ω + ωβ )
=c2c2
�
�
Nw
�
N re(n + ν)∆z�=W (∆z� ) exp 2πiγLL
�=0

不安定増幅度
0.3ms=30ターン

44

シンクロトロン振動、スリッページ、ランダウ減衰• コースティングビームあるいはバンチ内不安定性• エネルギーによってビームの進行方向速度が異なる。
dz= ηpz =ds�

1αm − 2γ

∆L= αm pzL�pz

αm:モーメンタムコンパクション係数45デコヒーレンス、ランダウ減衰• エネルギーごとにnのモードができても、進行方向速度差で位相がばらけて、重心振幅がなくなってしまう(デコヒーレンス)
遅い周波数
速い周波数ほど減衰しやすい
速い周波数
46

ランダウ減衰• 厳密なランダウ減衰は、ある周波数の不安定が成長しようとしても、成長できない状態を指す。
• 外からエネルギーを与えて、振動を誘起しても、エネルギーを受け付けない。

ではなく47

具体的に式で表すと• エネルギー広がりを考慮した運動方程式• ベータトロン振動はsに対して定義されている。1周で何回振動するか。

ωβ (pz ) = ωβ (1 − ηpz )48

• ローレンツ分布を仮定すると積分は容易

安定条件

49

バンチ内不安定性での注意点• バンチをコースティングビームの一部だと解釈。
• ωe σz /c < Q 航跡場がバンチからはみ出す。大きなQは無意味、Qef f = min(ωe σz /c, Q)に設定。

nb rb c2 cRs=14πnησp ωβ ωc50

イオンによるバンチ結合型不安定性• イオン化によりイオン生成

Nb=1010、CO 1nTorr、生成率100m-151

様々なリングでの陽電子バンチの電子雲不安定性

52

53

光電子雲不安定性• ビームパイプ表面から出てくる光電子がビームにまとわりついて不安定になる。
• KEK-PFで強いバンチ結合型不安定性が陽電子蓄積の時のみ観測された。
• 光電子モデルによるその不安定性の解釈• BeijingElectronPositronCollider (China)において同様な不安定性が観測された.
• KEKBでの電子雲効果の研究、観測• PSR, LHC, SPS, SNS, JPARC, ILC …多くの 加速器で電子雲効果の研究が始まった。

KEK-PFで観測されたバンチ結合型不安定性• KEK-PF、 E=2.5 GeV L=186 m, Frf=500MHz第2世代放射光リング。通常電子蓄積だが、イオン効果の軽減のため陽電子蓄積が行われた。
• 不安定性は陽電子多バンチ運転で観測された、バンチ数 Nbunch=200-300 (バケット数=312).
• 不安定が起こる電流の閾値は低い、I~15-20mA.
運転電流300 mA• その不安定性は電子蓄積では観測されない。

Izawa et.al., Phys. Rev. Lett. 74, 5044 (1995).
BPMの周波数スペクトル.
電子 354 mA
陽電子 324 mA & 240 mA

光電子によって引き起こされる不安定性という解釈• 陽電子ビームがシンクロトロン放射光を放出。
• 電子がビームパイプ壁面で光電効果により放出される、生成率 ~ 0.1e-/γ.
• 電子は陽電子ビームにより引きつけられ、相互作用をする。電子は20-50 ns程度ビームパイプ中をさまよい、壁面に吸収される。電子のエネルギーによっては壁面で2次電子が放出される。
• 電子は狭いバンチ間隔(~5ns)では連続的に供給され、電子の雲がパイプ内に形成される。
• その電子雲によって、バンチ間に相関ができバンチ結合型不安定性が起こる。バンチ間相関を表す量として、加速器の分野では航跡力（Wake force)を使う。
K. Ohmi, Phys. Rev. Lett., 75, 1526 (1995).

光電子モデルと計算機シミュレーションによる電子雲の形成
yModel電子雲密度xSecondary e-e+ beameγ

2000
1000
0-10006040202040

ビームパイプ断面60生成電子数1メートルあたりに陽電子1個が放出する光子数
α : fine structure const=1/137

KEKB-LERKEK-PFγ=6850  Yγ=0.15/m=4892  Yγ=1.7/m• バンチ内粒子数
Np=3.3x1010（KEKB-LER design 2.6A）
Np=5x109（KEK-PF 400mA)
0.1• 生成率 (η=np.e./nγ)• 電子の初期エネルギー10±5 eV• KEKB-LER Yp.e.=0.015 e-/m.e+
Yp.e.=0.17 e-/m.e+ ,• KEK-PF• ionization 10-8 e-/m.e+ , proton loss(PSR) 4x10-6 e-/m.p

KEKBでの電子雲によるバンチ結合型不安定性の観測• 電子雲によって誘起されるバンチ間相関、航跡力によって不安定性が起こり、ビームロスを起こす。

KEKBでの不安定性の測定• ビームロスを引き起こす速い不安定が観測される。
• 不安定モード、つまりビーム位置モニターの検出する周波数成分、はソレノイドのON/OFFで変わる。
M. Tobiyama et al., PRST-AB (2005)
Solenoid offon (measurement)シミュレーション

K.Ohmi, PRE55,7550 (1997)
K.Ohmi, PAC97, pp1667.

ビームと電子の運動を同時に解く
Nd 2 x +,a2re i+ K(s)x +,a =FG (x +,a − x e, j ;σ (s))δ (s − s j )
∑2ds
γ j=1

€yx
電子雲

バンチの運動を
FFTe+ bunchesz~mKEKBでのバンチ結合モード
5x 10

Simulation

Experiment

4

Horizontal

Solenoid-Off0.4

Horizontal

40.3
30.2

20.1

100x 10200

4006008001000 1200 1400

0Mode

3

Vertical

31.2

20.8

10.4

00200

400

600

80001000 1200 1400

Mode

Bunches are filled every 4 bucket.

0200400600

800

1000 1200 1400

800

1000 1200 1400

Mode

Vertical

0200

400600Mode

Su Su Win et al,(EC2002)KEKB

KEKBでは電子を排除するためにソレノイドコイルが全周に巻かれた。それによって振動モードが変化するのが見られる。

Solenoid-ON

Simulation

Experiment

42 x 10

6

Horizontal

Solenoid-10 G

1.5

Horizontal

4
1
20.5

00200

400

600

800

Mode

1000

1200

1400

1500

00200

400600800

Mode1000 1200 1400

5

VerticalSolenoid-10 G

4

Vertical

1000
32500

100200400600800

Mode1000 1200 1400

00200400600

800

Mode

1000 1200 1400

Su Su Win et al., EC2002

なぜソレノイドによってビームの不安定モードが変わるのか• ビームは電子の運動を感じる。電子がある周波数ωeで運動すれば、ビームのその周波数に応じたモードωe=|µω0+ωβ|が不安定になる。

Bz=10Gのソレノイド磁石中での電子の運動
この周波数成分をビームが持つ

単バンチ不安定性

KEKB運転時の陽電子ビームサイズの肥大• ビーム電流が閾値を超えるとビームサイズ肥大が起こる。閾値は全電流でおおむね決まる。
• ビームサイズは多バンチ運転で観測されるがバンチ間の相関はない。
• バンチの中の粒子の運動で不安定が起こっている。
• ルミノシティはこのビームサイズ肥大で制限を受けている。
• 電子雲の単バンチ不安定性特有の周波数信号の観測。

単バンチ不安定性の観測
ビームサイズ肥大
電流とビームサイズ不安定性信号
ωβ + kωs , k~1.5∼νy+ νs
νyFukuma et al.

J. Flanagan et al.

シミュレーション
電子雲

陽電子バンチyy,xxzEスケールは違うがバンチ結合不安定のシミュレーションと同じ手法

1cm• Bunch head-tail motion w/wo synchrotron motion.

Vertical amplitude of the macro-particles in thelongitudinal phase space are plotted. Multi-airbag
model (z-δ) is used to visualize in these figures.
K. Ohmi, F. Zimmermann, PRL85, 3821 (2000).

KEKBリングでのソレノイド巻き(0) 永久磁石がリングの周回部分~800mに取り付けられた。
(1) 周回部分800mをソレノイド磁石に置き換える ( 2000年夏).
(2) さらに 500m追加 (2001年1月).
(3) 直線部にも巻く (2001年、4月).
(4) Add solenoids even in short free space (2001年夏).
(5) 磁石占有していない場所の95 %をソレノイドでカバー(~2005).
(6) 収束磁石の ¼ の内側にも巻く (2005年)

Managed by H. Fukuma et al.

Solenoid magnets

ソレノイドによるルミノシティの向上• ソレノイド ON/OFFでのルミノシティの比較• 2000年末に付加したソレノイドによるルミノシ
ティの変化 (500m).

ソレノイドON/OFFとルミノシティ• ソレノイドをOFFすると、蓄積電流もバンチ結合型不安定性により、ビームロスを起こし、制限される。
• ルミノシティもきわめて低い (~half).

ソレノイド ON/OFFに対するスペシフィックルミノシティ (measurement at May.
2001)

L/I+I-

Solenoid ON

OFFI+I-ソレノイドの追加とルミノシティの増加2000
年12月と 2001年3月
Longer and longer

L (x1030)
1300 mSolenoidcovers 800 m

Beam-beam tuning also
improves the luminosity.
750mA• ソレノイドを追加するたびにピークルミノシティとそれに対する電流値は増加• 現在ピークルミノシティは1800 mA位

Luminosity history of KEKB
17.1(2006)

シンクロベータトロン信号の測定
単バンチ不安定性の直接的証拠• ビームサイズ肥大が電子雲による端バンチ不安定性
なら閾値以上でシンクロベータトロン振動が観測されるはずである。
• その振動はビーム位置モニターのフーリエ解析によって観測された。
• 振動の発生するビーム電流閾値と、ビームサイズ肥大の閾値、シミュレーションは一致した。
• その振動は ~ωβ+ωs近辺に見つけられた。一般の不安定性は~ωβ-ωs に見られることと対照的であった。

ビーム位置モニターのFourier振幅
ベータトロン振動

シンクロベータ振動

100Bunch

10.5

Tune

1.0

• LER single beam, 4 trains, 100 bunches per train, 4 rf bucket spacing• Solenoids off: beam size increased from 60 µm ->283 µm at 400 mA• Vertical feedback gain lowered– This brings out the vertical tune without external excitation
J. Flanagan et al., PRL94, 054801 (2005)

シミュレーションによる不安定モードスペクトル
ベータトロン振動
シンクロベータ振動• シミュレーションで得られたビーム重心をフーリエ解析• シンクロベータ信号 ~ωβ+kωsが見え電子雲密度の上昇とともに周波数が高くなる

まとめ• 1995年に電子雲不安定性の存在が提案された。
• 当時はKEKBのデザインの最終、建設開始時期であった。
• 運転の開始とともに電子雲によるものらしき現象が観測された。
• ソレノイドによる電子雲対策とあわせるようにKEKBのルミノシティは向上。
• 実際のルミノシティ向上はKEKBコミッショニンググループの絶え間ない奮闘の結果。一般的な条件でソレノイドのスイッチ一つでルミノシティが2倍になるわけではない。
• KEKBの成功とともに電子雲不安定性の理論、実験は完成の域に達した。
• 次のステップはJ-PARC, ILC damping ring…

82

縦方向バンチ内不安定性• 縦波(疎密波)の不安定性• 運動方程式• 分散関係式83

エネルギー分布とランダウ減衰• ローレンツ分布を仮定• 分散関係• 安定条件n = ω/ω084

CSRによるインピーダンス• 最近流行のCoherent Synchrotron Radiation• 真空パイプ中の進行電磁波、空間電荷力による、バンチ内の加減速。

85

自由空間でのCSR• Retarded potential

G. Scott(1912), J. Murphy(1997)

電磁気学演習r0にいる光速で運動する電子によるxでの時刻tでのEΦを求めよ。
1W0 (t − t ) =e��Eφ (φ − 2Ψ)ρdφ86

境界条件• 平行平板• カットされる周波数(低周波数がカット)
87不安定性閾値
n = ω/ω0• ωが小さければ必ず不安定• ωの下限設定88