機能コア解析のためのソフトウェア開発と応用
世 古 敦 人 豊 浦 和 明 柴 田 基 洋1) 溝 口 照 康2)

晶構造のポテンシャルエネルギーと構造特徴量の関係を記述

.

はじめにする．また，多様な結晶構造に対する網羅的な第一原理計算を実行し，機械学習によりモデルパラメータを推定する．こ近年の材料研究では，シミュレーションと解析の両面で計のような機械学習ポテンシャルは，多数の構造特徴量と柔軟算科学手法とソフトウェアの重要度が増している．現象の理な予測モデルを用いるため，経験的ポテンシャルと同じよう解には第一原理計算や分子動力学計算などの計算結果が，結な計算コストにより第一原理計算に近い精度での予測が可能

果の解析には統計処理や画像処理が常用されるようになってとなる．これまで実行不可能であった探索範囲の広い結晶構いる．また，完全結晶を対象とした網羅的な構造や物性のデ造探索や高精度な大規模分子動力学計算などが可能となるたータベース，二次元化合物や触媒といった特定の材料系に関め，機械学習ポテンシャルの手法開発や応用が，世界中で活するデータベースなどが実験・計算を問わず多数公開される発に行われている．のに伴って，大量のデータを情報科学的手法で解析して材料

本稿で紹介する機械学習ポテンシャルは，動径関数と球面開発に利用する「マテリアルズインフォマティクス」の研究調和関数に基づいた多項式回転不変量を群論的手法により系も盛んに耳にするようになった．

統的に生成し，回転不変量を構造特徴量として用いたもので本特集号で注目している「機能コア」は，材料中の格子欠あり，多項式モデルに分類される(1),(2) ．また，対象とする陥近傍に形成される機能発現にかかわる量子場である．機能それぞれの系について，カットオフ半径，構造特徴量の数，コアにおける局所的な構造機能相関に関する定量的で包括

多項式回転不変量の次数などを変化させた様々なポテンシャ的な解析には，原子構造レベルでの正確なモデリングや発現ルを構築し，最適なポテンシャルを選択した．それぞれのポする機能を扱うための計算科学とそれを実装したソフトウェ

テンシャルモデルの推定には，ICSD のプロトタイプ構造かアが不可欠である．

ら生成された一万から四万程度の構造に対する第一原理計算

本稿では著者らが開発してきた機械学習ポテンシャル，固結果(エネルギーや原子に働く力)を用い，線形リッジ回帰に体イオニクス材料の理論解析ソフトウェア，界面モデリングよりパラメータ推定を行った．図( a)に， Ti Al 系におけソフトウェアなど，機能コア解析のためのソフトウェアにつる様々なポテンシャルモデルの予測誤差と計算コストの関係いて述べる．

を示す．図 1( a )より，予測精度と計算コストはトレードオフの関係にあり，最適なポテンシャルを探すことは多目的最.

機械学習ポテンシャルの開発と応用適化となることがわかる．このような場合，最適なポテンシ
ャルはパレート最適なポテンシャルの集合であり，パレート機械学習ポテンシャルでは，隣接原子分布を表現する「構最適なポテンシャルよりも予測精度と計算コストの両方が向造特徴量」を定義し，ニューラルネットワークモデル，ガウ上するポテンシャルは存在しない．また，TiAl 系においてス過程モデル，多項式モデルなどの機械学習モデルにより結は，予測誤差が非常に小さい 5(meV/atom)以下となるポテ京都大学大学院工学研究科材料工学専攻准教授(〒6068501 京都市左京区吉田本町)
東京大学生産技術研究所1)助教 2)教授
Applications and Software Developments for Analyzing Crystal Defect Cores; Atsuto Seko, Kazuaki Toyoura, Kiyou ShibataandTeruyasu Mizoguchi(Department of Materials Science and Engineering, Kyoto University, Kyoto. Institute of Industrial Science,
The University of Tokyo, Tokyo)
Keywords: Crystal defect, DFT, Machine learning, migration, software
2022年 6 月 1 日受理[doi:10.2320/materia.61.634]



特集

ンシャルが複数存在し，これらのポテンシャルのエネルギーや力の計算に必要な時間は，10－4～10－2(s/atom/step)程度である．従来から広く利用されている EAM ポテンシャルと比べると，計算コストは 10 倍から 1000 倍程度となる一方で，安定構造，規則相の形成エネルギー，弾性定数，フォノン物性や熱膨張率，一般化積層欠陥エネルギー[図 1(b )]，Bain path エネルギー曲面など，高精度な予測が可能となる(2)．
原稿執筆時点において， 48 種の単体や Mg 系， Al 系， Li系， Si 系， Cu 系など約 100 種の合金における機械学習ポテンシャルが構築済みである．これらのパレート最適な機械学習ポテンシャルは，WEB にて公開中(Polynomial Machine
Learning Potential Repository at Kyoto University)(3)であり，今後も継続的にポテンシャルを追加する予定である．また，これらの機械学習ポテンシャルは，世界中で広く用いられている分子動力学計算ソフトウェア LAMMPS にて利用可能な形式であり，LAMMPS にて用いるためのパッケージも併せて公開している(3)．さらに，それぞれのパレート最適なポテンシャルにより予測された多様な結晶構造に対する凝集エネルギー，エネルギー体積曲線，フォノン状態密度，弾性定数，格子定数，規則構造の形成エネルギーなどが併せて閲覧できるようになっており，パレート最適なポテンシャルの中から，要求される計算精度と計算コストに応じて，適切なポテンシャルを選択することが可能である．
最も直接的な機械学習ポテンシャルの応用は，多数の原子から構成される系を対象とした物性計算，構造探索，分子動力学計算などの統計力学計算である．EAM などの経験的ポテンシャルと比べると，計算可能な原子数やステップ数は少し減少するものの，一般的な第一原理計算では不可能である
大規模な計算が，第一原理計算と同じような精度で実行可能である．例えば，図( a )は FCC 金属において， 2112 原子までの粒界構造モデルを考え，粒界構造および粒界エネルギーの予測を行ったものである(4)．それぞれの粒界構造モデルについて，さまざまな剛体変位を与えることにより，粒界モデルの大域的最適化を行った．機械学習ポテンシャルは粒界構造データを一切用いず構築したものであるが，粒界エネルギーの予測値は第一原理計算の値を再現しており，学習データに含まれない欠陥構造に対しても予測能力が高いことを示
図1(a) TiAl 系における機械学習ポテンシャルの予測誤差と計算コストの関係およびパレート最適な機械学習ポテンシャル．横軸は，エネルギーと原子に働く力の計算に必要な 1 原子 1 ステップあたりの時間．(b) パレー
ト最適な機械学習ポテンシャルによる gTiAl の一般化積層欠陥エネルギー．(c) 機械学習ポテンシャルを用いた大域的最適化手法( DIRECT 法)により予測されたTiAl 系における形成エネルギーと安定構造．安定構造
は ， TiAl3 を 除 き ， 実 験 に よ る 構 造 と 同 じ で あ る ．
TiAl3 の実験構造は D022 構造であるが，凸包上の D023構造の形成エネルギーとかなり近い値を示す(＋6 meV/atom)．(オンラインカラー)している．その他にも， Si 粒界における粒界構造探索および格子熱伝導計算を行った(図 2(b ))(5)．その他にも，機械学習ポテンシャルを利用した多くの大規模計算が期待される．
また，膨大な数のエネルギー・力計算が必要となる応用に対しても，機械学習ポテンシャルは非常に有効である．その一例として，大域的構造探索を紹介する．上述の機械学習ポテンシャルは，経験的ポテンシャルでは精度が足りない多くの構造についても，高精度なエネルギー予測が可能である．
図 1(c)は，決定論的大域的最適化手法の一つである
DIRECT 法を用い， 12 原子までにより表現可能な化学組成を対象に，TiAl 系の安定構造および準安定構造列挙を行ったものである(6) ． DIRECT 法では，解の存在する可能性の

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Materia Japan図2(a) Ag および Au における対称傾角粒界，ねじれ粒界の過剰エネルギー．(b)∑5(310)Si 粒界における phonon wave packet シミュレーション．(オンラインカラー)

高い探索領域を分割し，分割した部分探索領域の中央に該当あり，結晶内に導入した細かなグリッド点上で網羅的に PEする構造のエネルギーを計算する．解の存在する可能性の高計算することで PES を獲得できる．例として，立方晶ペロい探索領域の判定，探索領域の分割およびエネルギー計算を

ブスカイト型 BaZrO3 中におけるプロトンの PES(H＋PES)繰り返すことで，大域的に構造を探索する．また，その過程を図( a )に示す．図の灰色曲面は PE 最小点に対して 0.3で得られるエネルギー計算を行った構造集合には，低いエネeV の等値面であり，それより PE の低い領域については PEルギーを持つ準安定な構造が含まれている．合計109 回程度値をグレースケールで表示している．図より，プロトンは主の機械学習ポテンシャルによるエネルギー評価の結果，に酸素イオン周囲に存在し，その周囲の回転と隣接する酸素HCP 置 換 の Ni3Sn 型 ( D019 ) 構 造 や FCC 置 換 の AuCu 型

イオン間のホッピングにより移動することがわかる．回転お(L10)構造などが，凸包上の安定構造として現れている．まよびホッピングに対する PE 障壁 DE mig は，それぞれ，0.17た， AlB2 型( C32 )， Cu3Au 型( L12 )， AuCd 型( B19 )， Cu2eV および 0.25 eV であり，プロトンの長距離伝導に対するMgLaves 型(C15)，AuTe2 型(C34)，Ca7Ge 型構造など，律速過程はホッピング過程である．このような PES 評価の様々な準安定構造が求まった．

コストは，ホスト結晶の対称性低下とともに増大するが，“ PES の 極 小 点 間 を 繋 ぐ 谷 線 を 探 索 す る Nudged.

固体イオニクス材料の理論解析ソフトウェアの開発

Band

Elastic( NEB )法(7)(8) ”や“ガウス過程( Gaussian Process,GP )に基づくベイズ最適化( Bayesian Optimization, BO )にシミュレーション結果から物性を定量的に評価する際により伝導の支配領域を選択的に評価する手法(9)(11)などが提も，ソフトウェアは有効である．第一原理計算などの理論計案されており，効率的に評価することが可能となっている．

算を固体イオニクス材料評価に用いる方法のひとつに，“ポPES の全容が明らかとなれば系内で起こり得る全てのイオテンシャルエネルギー曲面マッピング( PotentialEnergy

ンジャンプと PE 障壁 DE mig を抽出でき，遷移状態理論にSurface mapping, PES mapping)”がある．これは，ホスト基づいてジャンプ頻度 G を G0 exp (－ DE mig / kBT )により見結晶中で伝導キャリアが感じるポテンシャルエネルギー積もることができる．ここで， kB はボルツマン定数， T は( Potential Energy, PE )を位置の関数として評価するもので絶対温度である． G0 はジャンプの試行回数と解釈される前

特集のサイトも考慮する必要がある．このマスター方程式は，位置 r に対するフーリエ変換( r → Q )を用いることで容易に解くことができる．詳細は割愛するが， Li j ＝∑a G ai j exp ( iQsai j )－ di j∑a, j′G ai j′を 要 素 と す る n × n 次 元 の 正 方 行 列 L ( jumpmatrix)を定義すると，拡散係数は行列 L の固有値から見積もることができる．ここで，a は基本単位格子セルの番号を表し，周期境界を跨ぐジャンプを考慮するために Gi j およびsi j の添え字として付加されている．拡散係数テンソル D の要素 Dmn(m, n＝x, y, z )は，行列 L の最大固有値 lmax と lmax＝－∑m, n＝x, y, zDmnQmQn の関係があることから，十分小さなQ ベクトルを適切に設定することで見積もることができる．

筆者らは，マスター方程式の数値解法に基づいて拡散係数テンソル D を見積もることのできるソフトウェアプログラ
ム(MASTEQ)を開発し，Github にてソースコードを公開している(15)．例として，BaZrO3 中のプロトンの拡散係数を本プログラムで見積もった例を図 3( b)に示す．この酸化物は立方晶であり，プロトン拡散は等方的である．また，基本単位格子内のサイト数は12であることから，例えば，Q＝(Qx,0, 0)に対する12×12正方行列 L の最大固有値 l1 を求めれば，Dxx＝| l1 |/ Q 2x から拡散係数を見積もることができる．見積

もられた拡散係数の見かけの活性化エネルギーは 0.24 eV であ り ， 想 定 通 り ， 律 速 過 程 の ホ ッ ピ ン グ 経 路 の PE 障 壁( 0.25 eV )と同程度となっている．現時点では， MASTEQは“独立粒子近似下”あるいは“サイトブロッキング効果を図3( a) BaZrO3 で計算された H＋の PES．グレーの表面はPES の等値面(等断面レベル最も安定なサイトに対して 0.3 eV)であり，計算された Potential Energy をグレースケールで示している．( b ) ( a )の結果を MASTEQに入力して得られた BaZrO3 におけるプロトン拡散係数の定量値．

考慮した平均場近似下”における拡散係数テンソル D の見積もりのみが可能である．将来的には，“連続するジャンプ間の相関効果”や“キャリア間の相互作用”を取り扱うことができるよう，本プログラムを拡張する予定である．

.
指数因子であり，格子振動の周波数程度(～1013/s)の値で近結晶学に基づく効率的な界面モデリングソフトウ
ェアの開発似されることが多い．このジャンプ頻度を用いて動的モンテカルロ(Kinetic Monte Carlo, KMC)法(12)に基づく拡散シミ

結晶の界面では，結晶内部では現れない局所構造や周期性ュレーションを行い，イオンの平均二乗変位から拡散係数をが生じ，熱伝導や電気伝導の変調や熱膨張率の増大といった見積もる方法が一般的であるが，ここでは，より簡便に拡散バルクでは現れない物性が現れたり，破壊や腐食といった材係数を見積ることのできるマスター方程式の数値解法を紹介

料の機械的耐性を支配したりする．また，原子分解能観察にしたい(13)(14)．

よる界面構造と特性の各論的な分析と理解の進展に伴い，最マスター方程式とはマルコフ過程に基づく時間発展方程式

安定および準安定な粒界相やファセット構造の網羅的な探であり，時刻 t において位置 r のサイト i に拡散粒子が存在索，それらのダイナミクス解析や物性予測など，構造や現象する確率 pi(r, t )の時間変化は次式で表される．の理解における計算科学の適用範囲と重要性が増大してい&pi(r, t )＝∑j[Gji pj(r＋si j, t )－Gi jpi(r, t )］&t

る．以上の背景から，著者らは新規材料特性の設計には界面

ここで，Gi j，si j は，サイト i からサイト j へのジャンプ頻度しい計算科学が不可欠だと考え，これまで界面構造や物性関およびジャンプベクトルである．右辺第 1 項および第 2 項する情報科学的なアプローチ(16)(19) を提案したほか，現在は，それぞれ，“隣接サイトからサイト i への粒子の流入”もシリコン界面構造の相挙動についての検討(20) などを重ねと“サイト i から隣接サイトへの粒子の流出”に対応していている．

を舞台とした機能コアの探索と解析，およびそれに適した新る．結晶内の拡散については，並進対称性を利用すること界面構造のモデリングでは，1. 計算科学的な扱いやすさ，で，基本単位格子(primitive cell)内のサイト(サイト数 n )2. 物理的妥当性，3. 効率的な探索の3つの考慮すべき要素がのみを考えればよい．注意すべきは周期境界を跨ぐジャンプある． 1 は計算科学的な要請であって，対応格子( coinci-の存在であり，隣接サイトとして，着目する基本単位格子外

dent site lattice: CSL )に基づいて周期的境界条件を満たす

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図4

CNID と CSL の単位胞の面積の比較の全体図(a)と拡大図(b)．凡例の数は回転軸ミラー指数，文字は界面の種類(STGB
対称傾角粒界，ASGB非対称傾角粒界，TSTGBねじれ粒界，MXDGB混合粒界)を表す．(b)では原点を通る比例関係の補助線を傾き k とともに示している．

計算セルの作成などが挙げられる．しかし，ヘテロ界面や格そこで，我々はこれらの要素を考慮して CSL 粒界モデル

子定数の比に解析的な対応関係がない結晶，ランダム粒界なを簡便に生成できるソフトウェア， Interface master を開発

どでは，厳密な CSL が存在しないため，適当な格子歪を導し GitHub で公開している(24)．Interface master では各種ア入して近似的な CSL 粒界を計算する必要がある． 2 は物理ルゴリズムを統合的に実装し，歪を許容した近似的な CSL的な要請であって，界面の存在によるひずみ場やそれによる粒界モデルの生成，適当な大きさのバルク領域を含む粒界モ界面間の相互作用が目的とする構造や物性に影響しない程度

デルの作成， CNID 内で RBT をサンプリングした構造の計に抑えられたモデルを用いる．計算コストが低い分子動力学算ソフトウェア形式( LAMMPS や VASP など)での出力な計算の場合，結晶と比較した場合のひずみが粒界近傍から十どが行える．

分に緩和する程度のバルク領域を含めればよい．ただし，一例えば，上記の 3 に関連した CNID によるサンプリング

般の近似 CSL 粒界ではバルク領域の周期性が不整合なのの効率化を紹介する(25) ．サンプリング密度を一定にした場で，薄膜に対して基板は歪ませないなど物理的に妥当な格子合，探索空間に比例してサンプリング点が増えるため，歪分布を考慮する必要がある．3 は主に最安定状態や準安定

CNID の単位胞の面積が CSL の単位胞の面積に対して小さ状態の構造や物性を探索する場合に重要となる．界面を特徴

いほど効率的なサンプリングが可能だといえる．

づけるパラメータには，結晶間の相対的な方位関係を示す 3

図  に 面 心 立 方 格 子 の 結 晶 に つ い て 各 回 転 軸 ( [ 100 ] ,自由度と粒界面の方位を示す 2 自由度を合わせた巨視的な 5[ 110 ] , [ 111 ] 軸 ) の 各 種 粒 界 ( STGB  対 称 傾 角 粒 界 ，自由度と，相対的な剛体変位量( rigidtranslation:ASGB  非 対 称 傾 角 粒 界 ， TSTGB  ね じ れ 粒 界 ，RBT)として微視的な 3 自由度がある．網羅的に粒界構造をMXDGB 混合粒界)に対して計算した CSL と CNID の単探索する場合，各巨視的 5 自由度に対して安定な粒界構造位胞の面積( Area of CSL および Area of CNID )を散布図でを探索する必要がある．これは残りの RBT を微視的な 3 自示した．図 4(b )の拡大図では原点を通る傾き k の直線を補body

由度空間内でサンプリングし，各々の構造を構造緩和させ安助線として示した．[ 100 ]軸 STGB では CSL と CNID の単定性を調べる．一般には CSL の単位胞内で RBT をサンプ位胞の面積がほぼ同じだが，他のほぼすべての粒界で CNIDリングして探索すれば十分だが，結晶学的には冗長である．の単位胞の面積のほうが小さく，探索コストを大幅に減らせ結晶学的には非同一変位胞(cell of nonidentical displace-る場合が多く存在することが分かる．特に，回転軸が粒界面

ment: CNID)という，一方の結晶に対してもう一方の結晶をに含まれない TSTGB ， MXDGB に対して特に顕著な効率平行移動した際に非同一な配置が得られる変位ベクトルを含化が確認できる．

む最小の領域，を RBT の探索空間とすれば必要十分でより効率的な構造探索が行える．
上記の界面に関する概念や手続きは結晶学の基礎研究の進Interface master では，同相界面(粒界)以外にも異相界面や表面の計算モデル作成も可能であり，界面や表面を舞台とする様々な機能コア解析に活用している．

展で確立されてきた(21)(23) ものの，幾何学的な情報のみから簡便に近似的な CSL 粒界も含めて界面モデルを作成でき.

まとめるソフトウェアは提供されてこなかった．そのため，一般の研究者がこれらの要素を考慮して界面モデルを作成するには以上，機能コア解析に有効な計算科学とそれを実装したソ多大な労力が必要で，界面機能コア解析の障壁となっていた．

フトウェアの開発と応用について述べてきた．材料研究にお特集

いて日に日に増している計算科学の重要性はオープンサイエンスの潮流と相まって関連するソフトウェアの開発とデータベースの公開を刺激している．本稿で取り上げたもの以外にも，世界中で個別の計算ソフトウェア，ソフトウェアを橋渡しして計算・解析・データベース化を一貫して行うためのワークフローソフトや，各プロセスにおけるエラーを自動で処理するソフトウェアの開発が進んでいる．特筆すべきは，これらの多くがオープンソースプロジェクトで誰でも入手・使用でき，日々アップデートされ新たな機能が実装されている点である．加えて，様々なデータレポジトリやデータジャーナルを通して多種多様な材料データが容易に入手できる環境が整いつつある．本稿がそのようなソフトウェアやデータを駆使した材料研究を始める端緒となれば幸いである(26)．
以上の研究は科学研究費補助金・新学術領域研究(研究領域提案型)「情報科学による機能コア計算設計 19H05787 」
で実施された．ここに謝意を表する．

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(10) K. Kanamori, K. Toyoura, J. Honda, K. Hattori, A. Seko, M.
Karasuyama, K. Shitara, M. Shiga, A. Kuwabara and I.
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世古敦人
2007年 京都大学大学院工学研究科博士課程修了
京都大学次世代開拓研究ユニット助教，京都大学大学院工学研究科助教を経て，2015年10月より現職．
専門分野計算材料科学◎第一原理計算，統計熱力学，機械学習手法を用いた第一原理熱力学計算手法の開発，マテリアルズ・インフォマティクス手法の開発に従事．

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世古敦人

豊浦和明

柴田基洋

溝口照康

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