J. Inst. Electrostat. Jpn.

静電気学会誌，36, 4 (2012) 222-228

SPM によるトナー表面電荷分布の計測に関する考察
栗林 夏城＊,1（2011 年 12 月 25 日受付; 2012 年 4 月 30 日受理）

Study on Measuring Method of Charge Distribution on a
Toner Surface Using Scanning Probe Microscope (SPM)
Natsuki KURIBAYASHI*,1(Received December 25, 2011; Accepted April 30, 2012)

A signification of surface potential measured by Kelvin Force Microscope (KFM) on charged surface is revealed,
and potential distribution on a charged toner surface is calculated by electrostatic field analysis using Boundary
Element Method (BEM). It is found that the potential distribution is spread more than the charge distribution, because
Coulomb force is long range interaction and measured potential depends on shape and configuration of tip. Two
methods of inverse analysis for finding the charge distribution on a toner surface are proposed. One is given by using
KFM experimental data, and the other is by using measurement of induced current on vibrating tip surface. Trial
simulation for verification of these methods is practiced, and the possibility is found.
1.

はじめに

せて走査し表面ポテンシャルの分布を計測する方法であるが，電子写真の画像形成材料であるトナーは粒径数ミクロンのこれを絶縁性試料表面の電荷分布の計測に適用すると表面電帯電した微粒子で，個々のトナー粒子は主に静電気力によっ荷によるクーロン電場が長距離まで及ぶため，実際の電荷分て感光体上に現像され凝集した状態で保持されている．既布より大きく広がった分布が計測されること 3, 4) が知られて

報 1) ではトナー粒子間の付着力（凝集力）がトナー表面上におり，その詳細を本研究で明らかにした．

局所的に分布している電荷が引き起こす誘電分極による静電

本報告では，まず KFM の測定原理を検証し，トナー表面的引力であることを示唆し，表面の電荷分布によってトナー

電荷分布と KFM 測定値である表面電位分布との関係を明らと感光体間やトナー間の静電的付着力が大きく変わることをかにした．そして KFM による表面電位分布計測のシミュ

解析シミュレーションにより示した．トナーの付着力はト

レーションを実施して上述の問題点を検討した．次に，KFM

ナー挙動を支配する重要な要因でトナー画像の形成過程に測定値から表面電荷分布を逆推定する方法を提案した．さら大きな影響を与える．したがって，トナー表面の電荷分布をに，探針に誘導される電荷の測定値を用いて表面電荷分布を知ることがトナー画像の形成プロセスを最適化するために必逆推定する方法を提案する．

要である．しかし，実際のトナー表面上の電荷分布の計測は困難である．

表面電荷分布の推定については，静電容量型表面電位計の計測値から表面電荷法や電荷重畳法を用いて逆解析を行う例

走査型プローブ顕微鏡（Scanning Probe Microscope：SPM）

が紹介 5, 6) されている．本研究の方法は原理的にはこれらとの 一 種 で あ る ケ ル ビ ン フ ォ ー ス 顕 微 鏡 （ Kelvin Force

同様であるが，KFM 測定値を使って境界要素法による静電場

2)

Microscope：KFM）を用いた取り組み があるが，その方法

解析をもとに逆解析の定式化を行っている．

は表面電荷の直接測定ではないために，測定値が何を意味するのか，表面電荷分布とはどのように対応するのか明確では

2.

ない．
KFM は導電性の探針先端を導電性の試料表面に極近接さ

KFM によるトナー表面電位分布計測のシミュレー
ション

2.1

KFM によるトナー表面電位の計測方法

KFM でトナー表面の電位分布を計測する際は，まず原子間
キーワード：トナー，表面電荷，走査型プローブ顕微鏡，
逆問題，境界要素法* (株)リコー研究開発本部基盤技術研究センター（224-0035
神奈川県横浜市都筑区新栄町 16-1）
Research and Development Group, Ricoh Company, Ltd., 16-1
Shinei-cho, Tsuzuki-ku, Yokohama, Kanagawa 224-0035, Japan1
natsuki.nk.kuribayashi@nts.ricoh.co.jp

力顕微鏡（Atomic Force Microscope：AFM）によりトナー表面形状を計測した後，導電性探針を 50-100 nm（ナノメート
ル）程度リフトさせて一定の gap を保ったまま同じ表面を走査する．その様子を図 1 に示した．なお，探針は曲率半径 20nm 程度の鋭い先端を持つ．

SPM による表面電荷分布の計測（栗林夏城）

223(59)

仮想変位の手法により探針にかかる力を以下の通り求める．

Photo-diode系の静電エネルギーとはコンデンサの持つエネルギーである

Laser BeamPZT Actuator

が，電極の位置が変わることで電極上の電荷量が変化すると

z

き，その変化分を電圧 V に抗して電源に戻す仕事も考慮する

Cantilever

必要がある．
探針の印加電圧を 0 とした場合でも，トナー表面電荷（正V  VDC  VAC sin t

Conductive Tip

電荷とする）により誘導された電荷 －Q0（Q0 > 0）が存在しTonerているので，Q  CV  Q0
Diameter : 6 μm(2)が成り立っている．印加電圧を V に保ったまま探針が垂直方

Grounded Plate

向（z 方向）にΔz 変位すると静電容量がΔC 変化してコンデ

図1 KFMによるトナー表面電位分布の測定

ンサの静電エネルギーが変化する．同時にΔQ の電荷が電源

Fig.1 Measurement of toner surface potential by KFM.

から探針へ流入する．これを探針が電源に対してなす仕事として，静電エネルギーの増分と電源になす仕事の和をΔUe とAFM による表面形状の計測方法としては，探針に結合しているカンチレバーを固有振動数（例えば 100 kHz 程度）近くで振動させて，探針先端が表面に極く近接（1 nm 以下）したときに働く原子間力を振幅や振動数の変化として検知して表面高さを決定する方法が一般的であるが，トナー表面電荷のリークを防ぐため探針は非接触で走査される必要がある．

すると次式で表わされる．

1
 CV 2  (   QV )21
   CV 2   Q 0V2  Q   CV   Q 0
U e (3)(4)

上式 (4) は，探針のΔz 変位にともない，－Q0 も変化するこるが，直流バイアス VDC を変えるとある値のとき探針の振動とを考慮している．仮想変位の考え方により Fz は次式となる．
 U e 1  C 2  Q0
Fz  
V 

V
z
2 z
z
1 C 2 Q0
V 

V
(5)
2 z
z
上式で表わされる力 Fz は，探針に電圧 V を印加した状態で成分がゼロになる．この値をその探針位置での表面電位とす

探針の変位により静電エネルギーなどが変化することで生じる．この VDC 分布を表面電位分布としているが，VDC は探針る力であるが，印加電圧 V ＝ 0 のときも探針にはトナー表

印加電圧のことである．

面電荷による引力－F0（F0 > 0）が働いている．したがって，

KFM 測定では探針に次式で表わされる交流電圧を印加しながら，カンチレバーは加振せずに走査する．

V  VDC  VAC sin t(1)

この際，探針には静電気力が生じて振動数 ω で微小に振動す

探針の変位量を計測する方法は光てこ方式と呼ばれ，図 1に示すようにカンチレバーの背面（鏡面）に照射したレーザ
スポット光の反射光の振れをフォトダイオードで検出するこ

Fz 

7)

走査され，垂直，水平分解能とも 0.1 nm 以下である ．
2.2

KFM 測定値 VDC の物理的意味

トナー表面は平面ではなく凹凸もあるため，KFM 測定では探針先端と表面との gap を数十 nm 以上に保って走査する必要がある．この際，探針に働く z 方向の力 Fz はトナー表面の電荷による静電気力であり原子間力は無視できる．そこで，探針，トナー，トナーを保持する接地プレートからなる系の静電場を解析することで Fz と探針印加電圧 V との関係を求めた．
図 1 のように探針と接地平面で静電容量 C のコンデンサが形成され，その間に誘電体であるトナーが挿入されている系を考える．電極である探針に電圧 V が印加され電荷 Q が蓄えられているときに，この系の持つ静電エネルギーに着目し，

Q / z  1 Q0 / z 
1 C  F0
V  0 
C / z  2 C / z
2 z 
2

とで行う．
振動数 ω 成分の検出には Lock-in アンプを用いる．
探針とカンチレバーは一体として圧電アクチュエータにより

1 C 2 Q0V  F0
V 
z
2 z
2

( 6)

となる．平行板コンデンサの場合，静電容量 C は 1/z に比例することからもわかるように，通常∂C/∂z < 0 であり，式（6）は上に凸の放物線となる．
式（6）に式（1）で表わされる印加電圧を代入すると，
Q0 / z 
1 C  
VDC 2 z 
C / z 
2

Fz 


Q / z 2
2
2V AC VDC  0 sin t  V AC sin t 
C / z 
1 Q0 / z 
 F0
2 C / z
2



(7)

となり，Fz の振動成分がゼロになるのは次式が成り立つときであることがわかる．

VDC 

Q0 / zC / z(8)224(60)

静電気学会誌

第 36 巻

第 4 号 (2012)

すなわち，KFM 測定値 VDC は上式で与えられ，この値は

20μm

30μm

Tip B

Tip C

トナー表面電荷のみによって決まるのではなく，探針の形状や配置に起因するコンデンサの静電容量によっても変わる．表面形状を計測した後，gap を一定に保って走査するの15μm

は，式（8）からわかるように KFM 測定値 VDC は z に依存すること，また∂C/∂z を一定にするためである．
2.3

Tip A

静電場解析による Fz と VDC の計算方法

1.0

既報 1) で示した境界要素法による静電場解析を用いて，上2 は計算モデルのメッシュ分割図であるが，既報 1) で示した例と同じに径 6 μm，電荷質量比 25 μC/g の球形トナーの表面

Fz [nN]

述の式（6）が正しいことを確かめるための計算を行った．図

gap = 100 nm

0.0

Tip A

-1.0

VDC =22 V
10.5 V-2.0に 4 個の局所電荷が均等に分布するとして，その天頂部分に-3.0存在する面電荷（局所電荷）の周囲を探針で走査する場合を-4.0示している．また，探針先端は 5 nm 程度のメッシュで細分割

-5.0

Tip B
VDC =7.0 V

0

5

10

している．なお，天頂以外の電荷の影響は小さいことが計算実
施により確かめられたので 2.4 以降の計算では除いている．
まず，式（6）で表わされる Fz と探針印加電圧 V の関係を

Tip C
15

20

25

30

V [V]

図 3 探針が受ける力と探針印加電圧の関係
Fig. 3 Force of Tip (Fz) for applied voltage to tip.

計算した．天頂部分の面電荷の面積 dS を球面積の 0.55%，面
電荷密度 σ = 10－3 C/m2 として，探針は天頂位置（gap = 100

地探針先端とトナー表面との gap に対して gap±Δz の位置でnm）に固定した．Fz は探針表面上で Maxwell の応力を積分す

Q0 を計算する．探針は導体であるので静電場計算の結果からることで求める．探針形状は 3 種類を考え，Tip A は探針の次式を使って Q0 を算出できる．

円錐部分のみとし，Tip B と C は探針に接続するカンチレバ

Q0    Tip dS    0 En dSーの先端部を形状追加している（図 3）．

(9)計算結果を図 3 に示す．3 種類とも Fz-V 曲線は上に凸の放ここで，σTip は探針表面に誘導された電荷の面密度，En は物線を示しており，式（6）で表わされる曲線である．静電場

探針表面に垂直な電界ベクトルである．これを探針表面全体解析により式（6）が定性的に確かめられた．また，極大値ににわたって積分する．

おける印加電圧，すなわち VDC は大きく異なる．この理由は一方，∂C/∂z については静電容量 C が，表面の電荷をゼロ

探針形状により式（8）の分母∂C/∂z が異なるためである．

として印加電圧 V を 1.0 V としたときの探針に誘導される電式（8）で表わされる KFM 測定値 VDC の計算方法は，式（8）の分子∂Q0/∂z と分母∂C/∂z を差分で計算する．すなわち，接2.4

トナー表面電位分布（VDC 分布）の計算結果

前と同様に直径 6 μm，電荷質量比 25 μC/g の球形トナーをFzz

荷（Q = CV）に等しいので上と同様に求められる．

考える．一つの円形の表面電荷の中心をトナー天頂位置としTipて，その面積 dS をトナー球面積 S の 2，5%，電荷量は全体

σTipの 1/4 とする．面電荷密度 σ は一定ではなく，次式で示すよEn

うな cosine 曲線で変化するとした．

Curvature: 20 nmgap   max (1  cos k )(10)

ここで，k は円形の表面電荷の境界で σ＝0 となるように調Scan

整するパラメータで，σmax は電荷量を調整するパラメータでToner

σ＝10-3 C/m2

ある．式（10）は天頂位置で最大（2σmax）となる軸対称の電4 Charge Patches

荷分布である．
KFM 計測の際にトナーは導電性テープに半分程度埋まって固定されているので，窪んだ接地プレートも考慮して図 4のような計算モデルで静電場解析を行った．式（8）の分子

図 2 トナー表面電位分布の計算モデル∂Q0/∂z を計算する場合は探針を接地して，分母∂C/∂z を計算

Fig. 2 Calculation model for VDC distribution on toner surface.

する場合は探針に 1.0 V を印加して静電場計算を行う．探針SPM による表面電荷分布の計測（栗林夏城）
Tip C

V = 1.0

VDC (dS/S=0.02, Tip C)

0.006
VDC (dS/S=0.05, Tip C)
0.005

4.0

0.004

VDC (dS/S=0.02)( Tip D)
3.0
2.0

σ (dS/S=0.05)

0.001

0.0
-3.0

-2.0

-1.0

0.0

1.0

2.0

0
3.0

x [μm]

Grounded Plate

KFMシミュレーションの計算モデル

0.003
0.002

σ (dS/S=0.02)

1.0

図4

σ [C/m2]

Toner

VDC [V]

5.0

xgap = 100 nm

6.0z225(61)

図5 探針印加電圧分布VDCの計算結果

Fig. 4 Calculation model for KFM simulation.

Fig. 5 Calculation result of VDC distribution.

は図 3 の Tip C を用いた．探針先端とトナー球面との gap は

i の中心から z 方向に gap だけ離れた位置にあるときの式

100 nm として，－3.0 < x < 3.0 μm の範囲を走査した．VDC 分(8)(9)における Q0 である．

布の計算結果を図 5 に示す．図 5 には式（10）で与えられる

トナー表面上の電荷はそれぞれ独立に静電場を形成し，探面電荷分布も破線で示している．dS/S = 0.02 の場合，電荷分

針表面上の各位置に垂直な電界 En を作るので，式(9)で表わ

布の半値幅 0.96 μm に対して表面電位分布（VDC 分布）の半値される誘導電荷が生じる．すなわち Qi は次式のように σj の

幅は 1.72 μm であり，面積にして 3.2 倍程度に広がっている．

線形結合として表わされる．

上と同じ計算条件で，ただし探針は実際の形状と同じ 3 角
錐形状でカンチレバーの部分も形状追加したもの（Tip D）をQi    j  j
i

(11)

j

用いて計算を行った．計算モデルを図 6 に示す．dS/S = 0.02

ここで，λji は探針，トナー，接地プレートの形状と配置，おの場合の計算結果を図 5 中に示してある．

よびトナー表面上の電荷 σj の位置に起因する係数である．上Tip C（計算モデル図 4）を用いた場合は VDC のピーク値は式に∂/∂z を作用させれば次式となる．

およそ 5.2 V であったのに対して，計算モデル図 6 に示した

Qi / z    j i / z  j

実際に近い探針形状（Tip D）を用いた場合のピーク値はおよ

(12)

j

そ 1.0 V である．VDC のピーク値で数倍の差があるが，これはしたがって，探針位置が i のときの KFM 測定値 VDC を Vi と式（8）の分母∂C/∂z の違いによる．例えば図 7 で接地プレー

すれば，トを半分程度に短くして計算すると VDC のピーク値は 2.4 V

Vi 

程度になる．すなわち，VDC が実測される系を再現して静電Qi / z1  j i / z  jCi / z Ci / z j

(13)

場計算を行うには，図 6 のようにカンチレバーと十分に広いとなる．ここで，Ci は探針位置が i のときの探針の静電容量

接地プレートを考慮しなければならない．

である．上式は次のような連立１次方程式を表わしており，

このことは，実際の KFM 測定においても考慮すべきこと
で，トナー，探針，カンチレバー，接地プレートを含めて正確に形状と配置を決めないと実験値の再現性は得られない．
3.

KFM 測定値を用いたトナー表面電荷分布の逆解析

図 5 の計算結果から，計測される VDC 分布は表面電荷分布より大きく広がることがわかった．そのため VDC 分布から表面電荷分布を逆推定する方法が必要である．
3.1







表面電荷分布の逆解析の方法

図 7 に示すようにトナー表面をメッシュ分割して離散化し，Ai j          j    Vi       
 

(14)

Ai j 

 j i / z
Ci / z

(15)

KFM 測定により得られる｛Vi ｝から｛σj ｝を原理的には逆解析できる．
行列成分 Ai j は，式(13)で σj のみを 1 として他の面電荷をすべてゼロとしたときに得られる Vi に等しい．したがって，
探針位置 i（ i = 1…N）を変え，σj = 1（ j = 1…N ）としてそれぞれのメッシュ（要素）上に一定の面電荷密度 σ（
j j =j を変えて静電場計算を行って N × N 個の Vi （=VDC）を求め

1…N）が存在しているとする．走査される探針先端の位置をることで A i j が決定できる．

示す指標を i として，そのときに接地された探針全体に誘導問題は，静電場計算においては探針，トナー，接地プレー

される電荷を Qi（ i = 1…N ）とする．Qi は探針先端が要素

トの形状と配置を実験条件と正確に一致させる必要があるこ226(62)

静電気学会誌

第 36 巻

第 4 号 (2012)
0.3μm mesh

30μm
Cantilever

240μm

Tip

Grounded Plate
Toner

図6 実際の探針形状（Tip D）を用いた計算モデル

図8 トナー天頂部の細メッシュ分割図

Fig. 6 Calculation model for KFM simulation using Tip D.

Fig. 8 Calculation mesh around the top of toner surface.
1.0

V = 1.0

σ[C/m2]

z

0.5

0.5

ΔS

×10-3 [C/m2]
0.5

0.5

0.7

0.3

En

1.0

-0.5

gap

-0.7

3μm
Model 1

σj

0.5

0.3

element i

Model 2

図9 トナー天頂部の面電荷分布（入力データ）
Fig. 9 Charge distribution on toner surface around the top(input data).

Toner Surface

gap= 50 nm

VDC [V]
5.5

3.5

1.5

-1.5

図7 トナー表面電荷の逆解析の計算モデル
Fig. 7 Inverse analysis calculation model.
とである．また，N × N 個の行列成分 A i j を求めるには計算量が膨大になる．
なお，面電荷の個数と探針走査位置の個数が一致しない場合も考慮して，連立 1 次方程式は特異値分解による方法で解いた．
3.2

Model 1Model 2

図10 VDC分布（Tip Cを用いた計算値）
Fig.10 VDC Distribution (calculation results using Tip C).
行列成分（Ai j ）を計算するのに 30 分程度を要するため，全試行計算結果

実際の KFM 測定値を使うのではなく，2.4 で述べた KFM部で 144 × 144 × 0.5 = 10,368 時間（432 日）かかる．しかし，シミュレーションにより VDC 分布｛Vi ｝を求め，連立１次方用いた球面メッシュが 1/4 の対称性を有していることから

程式(14)を作成してトナー表面のメッシュ上の面電荷密度1/4 の計算時間短縮を図り，さらに，OpenMP による４並列計｛σj ｝を逆解析する試行計算を行った．

算と 6 個の CPU による同時実行により 6 日程度ですべての行

3.2.1

列成分を計算できた．

計算モデル

探針は，Tip C と実際の探針形状 Tip D の二つを用いた．探針，トナー，接地プレートの形状と配置は図 4，および図 6と同様である．トナー表面の天頂部分は図 8 に示すような約

3.2.2

計算結果

探針形状 Tip C を用いたシミュレーションにより得られた
VDC 分布｛Vi ｝を図 10 に，逆解析の結果を図 11 に示す．

0.3 μm のメッシュで細分割してそれぞれのメッシュ上に図 9

入力データでは四つのメッシュを一つのかたまりとして同のような 2 通りの面電荷分布を与えた．面電荷はトナー天頂

じ面電荷密度を与えているが，逆解析の結果では四つのメッ

部分の 12 × 12 = 144 個のメッシュ上のみに存在するとしていシュで σj がバラついている．ただし，四つの平均値は入力値

る．図 9 はトナー天頂部分の球面を平面に投影したものであと 10%程度の誤差である．図 11 中の数値は四つの平均値で-3る．面電荷密度 σj の大きさ（絶対値）は最大で 10 ，最小で-42

3 × 10 C/m である．

ある．机上の試行計算の結果より，逆解析が原理的には可能なことが確かめられた．

Tip C を用いる場合，静電場計算における未知数の総数は

図 12 は実際の探針形状 Tip D を用いたシミュレーションに

7,440，実際の探針形状 Tip D の場合は 7880 である．一つのよる逆解析の結果であるが，Tip C を用いた場合と比べ誤差

SPM による表面電荷分布の計測（栗林夏城）

増減する．この電荷は式(11)で与えられる．したがって式

×10-3 [C/m2]
0.66

0.69
σ[C/m2]

0.20

0.42

0.34

(14)(15)と同様な次の連立１次方程式が成り立つ．
0.37

0.43

-0.49
Model 1

0.35

-0.61

0.61

0.28

distribution using Tip C.
×10-3 [C/m2]

σ[C/m2]

0.44

0.45

0.45

Ai j

          j   Qi       
 
i

(16)
(17)

すなわち，探針誘導電荷の分布を計測できれば，上式からCalculation results of inverse analysis for charge

0.92







Ai j   jModel 2

図11 表面電荷分布の逆解析結果（Tip C）
Fig.11

227(63)｛σj ｝ を逆解析できる．
そこで，図 4 の計算モデルの場合で探針表面全体に誘導される電荷を算出してみたところ，10-16 C 以下であることがわ

0.93
0.30

0.47

0.47

かった．これを直流電流として計測するのは困難であるが，交流電流として計測できる可能性がある．非接触 AFM で表面形状を計測する際，探針は一定の振動数，振幅で振動しな

0.24

0.65

Model 1

-0.50

-0.66

Model 2

がら表面上を走査される．通常の市販 SPM 装置では，例えば固有振動数 100 kHz，振幅 40 nm 程度である．そのため，

図12 表面電荷分布の逆解析結果（Tip D）

探針がトナー表面に最近接するときと表面から最も離れたと

Fig.12

Calculation results of inverse analysis for charge

きで誘導される電荷に差が生じ，これを 100 kHz の交流電流

distribution using Tip D.

として計測できると考えられる．
次に，静電場計算によりこの交流電流の大きさを見積もるが大きい．この理由は次のように考えられる．Tip D を用いため，探針先端とトナー表面の gap が 2 nm と 80 nm の場合（振た場合の VDC 分布の計算結果は Tip C の場合と比べて VDC の

幅を 39 nm としている）で探針誘導電荷を計算した．図 4 のピーク値で数分の一であり（図 5 参照），分布が緩やかで変化計算モデルで表面電荷の面積 dS は球面積の 0.55%，面電荷密が小さい．このことは逆解析を行う際の式(14)において， Tip

度 σ = 10-3 C/m2（一定）とした．その結果，gap = 2 , 80 nm の

D を用いる場合は右辺ベクトル｛Vi ｝の小さな変化が解｛σj ｝

ときの誘導電荷の差は 5 × 10-17 C 程度となり，これを 100 kHz

を大きく変化させることを意味している．すなわち Tip C のの交流電流に換算すると 5 × 10-17 C /10-5 s = 5 × 10-12 A となる．

場合と比べて行列Aがより悪条件になっていると考えられる．

この電流は Lock-in アンプを用いて計測可能と考えられる．

すべて机上の計算データを用いているにもかかわらず，入力

また，計算により gap = 2 nm と 5 nm のときの誘導電荷の差

データと結果が一致しないのは逆問題の不安定性のためであ，探針-表面間の gap が小さいとは小さく（0.5 × 10-17 C 以下）

る．面電荷σの分布を与えて VDC 分布を求める順問題では σ 分ころで誘導電荷の変化は小さいことがわかった．すなわち実布が滑らかでなくても VDC 分布は滑らかになるため安定的に際の計測において最近接距離を正確に管理する必要がないと解を求められるが，逆問題の場合は不安定になる．数値計算上考えられる．さらに，誘導電荷は探針先端から 15 μm 程度ののわずかな誤差のため入力したσ分布と完全には一致しない．

距離（探針長さ）までに全体の 90%が集中しており，誘導電荷の測定値は VDC の測定値に比べてカンチレバーの影響は少4.

探針誘導電荷の測定値を用いたトナー表面電荷分ない．すなわち，VDC 測定値を用いるよりも誘導電荷の測定

布の逆解析

値を用いて逆解析を行う方が誤差が小さいと予想される．

KFM 測定値 VDC の分布は表面電荷分布を反映したもので以上の結果から，gap = 2 , 80 nm のときの誘導電荷の差Δはあるが，長距離までおよぶクーロン力のため真の表面電荷

Qi を計測できるとすれば，次式のようにトナー表面電荷分い分布と比べてぼやけたものとなる．また探針とカンチレバー

布を逆解析することが可能になる．

の静電容量 C の影響を受けるため，VDC の実測値は誤差を含 A     Q    Q   A

みやすいと予想される．そこで，探針に誘導される電荷の測定
値を用いてトナー表面電荷分布を逆解析する方法を検討した．
4.1

表面電荷分布の逆解析の方法

gap 2

gap 2

(18)

gap 80

gap 80(19)

 A      Q 

(20)

探針を接地したまま gap を一定に保ってトナー表面上を走ここで，式(18)(19)はそれぞれ gap = 2, 80 nm のときの式(16)査すれば，表面電荷の分布に応じて探針に誘導される電荷がに相当し，式(20)はこれらの辺々を差し引いたものである．

228(64)

静電気学会誌

第 36 巻

第 4 号 (2012)
σ[C/m2]σ= 10-3 [C/m2]
σ= 0.3×10-3[C/m2]

σ= 10-3 [C/m2]

σtip

En
Model 1Model 2(a) Charge Distribution on Surface ( Input Data )3.0
×10-17 C

ΔS⊿Q [C]
3.0i
σj

5×5 areas00(b) Charge Difference Induced on Tip ( Calculation Data )σ[C/m2]error = 3.0 ％error = 2.6 ％4.1 ％図13 誘導電荷の計算モデル（メッシュ図）
Fig.13
4.2

Mesh model for calculating induced charge on tip.
(c) Charge Distribution on Surface ( Inverse Analysis )試行計算結果上述した逆解析の方法を確かめるため，
試行計算を行った．

図14 トナー表面電荷分布の逆解析結果

誘導電荷の差（誘導電流）は測定値の代わりに静電場計算に

Fig.14Inverse analysis results for charge distribution.

よって得られる計算値を用いた．図 7 と同様にトナー天頂部
周辺のみを 5 × 5 = 25 個の領域（要素）に分ける．探針先端

電荷の測定値を用いて逆解析する方法を示した．これらの解をこれらの領域（要素）の中心に配置して誘導電荷を計算す析手法では境界要素法による静電場計算により探針に誘導さる．gap は 5, 85 nm とした．gap = 5 nm のときの計算精度をれる電荷や静電容量を求めているため任意形状の探針に適用確保するため，各領域の中心位置周辺は細メッシュ分割してできる．

ある．図 13 にトナー表面のメッシュ分割図を示した．なお，
探針は簡単のため図 3 の Tip A を用いた．

はできたが，計測された実際のデータをもとに電荷分布を逆計算結果を図 14 に示す．25 個の領域の中で 2 ヶ所に面電
-3

2

-3

机上の試行計算によりこれらの実現の可能性を見出すこと

2

解析するためには，トナーの表面形状や探針，接地プレート

荷密度 σ = 10 C/m ，または 0.3 × 10 C/m を入力データとなどの詳細な形状と配置を知る必要があり，また計算時間のして与えている．逆解析の結果（図 14(c)）は入力データに対短縮も必要である．さらに逆解析手法は測定データの誤差をしておよそ 3%以内で一致している．簡単な計算モデルでは

ある程度許容できるための安定性が必要である．これらは今あるが，接地探針に誘導される電荷の測定値から表面電荷分後の課題である．

布を逆解析する可能性を確認できた．
5.

まとめ

トナー表面の電荷分布を走査型プローブ顕微鏡（SPM）を用いて計測する方法について検討した．KFM で測定される表面電位の意味を解析的に明らかにして，境界要素法による静電場解析により KFM 測定値をシミュレーションした．その結果，KFM で測定される表面電位（VDC）分布は実際の電荷分布に比べて大きく広がることが確認できた．
KFM 測定値（VDC）は探針に誘導される電荷量（の勾配）に依存するが，この誘導電荷はトナー表面電荷によるクーロ
ン電場の作用によって生じる．クーロン電場は長距離まで及
ぶため，探針から遠く離れた表面電荷の影響を受けて VDC 分
布が広がると考えられる．
次に KFM 計測で得られる表面電位分布を用いて，電荷分布を逆解析する方法を示し，さらに，SPM 探針に誘導される

参考文献
栗林夏城：トナー表面電荷による静電付着力の解析．静電気学会誌，35 (2011) 126
2) 多田達也：SPM によるトナー粒子表面の帯電特性観察―
曲率のあるトナー表面のミクロな帯電分布は測定できるのか―．日本画像学会第 3 回技術研究会 (2007) 1
3) J. Colchero, A. Gil and A.M. Baro: Resolution enhancement
and improved data interpretation in electrostatic force
microscopy. Phys. Rev. B64 (2001) 245403
4) H.O. Jacobs, P. Leuchtmann, O.J. Homan and A. Stenner :Resolution and contrast in Kelvin probe force microscopy. J.
Appl. Phys., 84 (1998) 1168
5) 宅間 董, 八島政史, 河本 正：絶縁物表面の帯電電荷測
定原理．静電気学会誌，22 (1998) 102
6) 熊田亜紀子：帯電電荷密度分布の高空間分解測定に向けて．電気学会論文誌 A，125 (2005)281
7) 重川秀実, 吉村雅満, 河津 璋：走査プローブ顕微鏡，
p.70，共立出版 (2009)1)