ビーム安定性(2)中村剛

財 高輝度光科学研究センター


加速器部門

〒6795198 兵庫県佐用郡三日月町光都 111E-mail: nakamura＠spring8.or.jp

今回は，ビームが自分自身の発する電磁場により自ら不安定になって暴れる現象についての話である。リング中のビームの電流を増やしていくと，ある電流値を境に，ビームが水平方向や垂直方向または，到着時間やエネルギーについてのコヒーレントな振動を始める。このような現象はビーム不安定性と呼ばれており，ビームとそれを取り巻く環境とが相互作用して生じる電磁場が，ビーム自身に跳ね返って不安定にしてしまうために発生する。ビーム不安定性が生じると，ビームがビームダクトの壁にぶつかって失われたり，ビームの見かけ上のサイズ（水平，垂直方向の寸法やバンチ長，エネルギー広がり）が増大して，使い物

Figure 1. Beam Instability. Field produced by a beam aŠects itself
and form positive feedback loops through the response of its environments.

にならなくなってしまう。ビーム不安定性が発生する蓄積
電流値は，その設計値1に比べて遥かに低い値であることが多く，対処法を設計の段階で十分に検討しておく必要が合，この振動によって生成されるウェーク場は，振動の方ある。

向に対する力を発生する。この力がもとの振動を強めるよ

以下では，このような現象がなぜ発生するのか，そしうに働くとビームは不安定になる。また，縦方向の振動がて，それを抑制するためにどのような手法がつかわれてい発生し，ウェーク場の発生源でのビームの到着時間が前後るのかについて解説する。

すると，ウェーク場も到着時間の変動分だけ位相が変動して発生する。ウェーク場がビームを加減速する際に，この蓄積リングでは，これまで本シリーズにて解説されてき位相の変動は加減速についての変動を生じる。この加減速ているように，ビームに対して横方向（水平，垂直方向）の変動によるエネルギーの変化は，シンクロトロン振動にへは 4 極磁石による収束力，縦方向2（到着時間のずれ―

より到着時間の変動を引き起こすが，この到着時間の変動

エネルギー空間）へは高周波加速による収束力を発生させが，最初の変動を強め合う場合には不安定となる。

て，それぞれの方向へのポテンシャルを作り出し，ビーム

さいわいなことに，電子ビームには放射光を出すことにをその平衡点に閉じ込めている。横方向の振動をベータトより生じる振動の減衰機構（放射減衰)5があり，この正のロン振動，縦方向の振動をシンクロトロン振動とよぶ。こフィードバックの成長率がこれを上回らないかぎりビーム

れに加えて大電流のビームでは，ビームが環境と相互作用は安定であるが，ビーム電流が増大すると，正のフィードして生じている電磁場（これをウェーク場3とよぶ）がビー

バックがこの減衰機構に打ち勝ち，振動は成長してビームムに力を及ぼしている。何らかの影響で，ビームがその平は不安定となる。この電流が不安定性発生のしきい値とな

衡点の周りに振動を始めたとしよう（Fig. 1）。

っている。ただし，ある不安定性6では，フィードバック

この振動によりビームを取り巻く環境を通じてウェークのメカニズム自体にしきい値を生じる機構が内在する場合場が変動し，ビームに与える力が変動する。この変動ががあり，そのような不安定性では，ビーム電流がそのしきビームの振動をさらに強める場合には正のフィードバック

い値を越えない限りフィードバックは成立せず，ビームがとなる4 。たとえば水平や垂直方向の振動が発生した場
41電流の増大による放射光のパワーの増大と，その照射をうける
ビームダクトや吸収体の熱負荷，加速用高周波電力などとの兼ね合いで決まる2 英語では，横方向の～＝transverse，縦方向の～＝longitudinal
3 wake ˆeld ＝航跡場であるが，ビーム後に残すためこのように呼ばれている

逆に負のフィードバックとなって振動を減衰してくれる場合もある
5 放射減衰の時定数は数 ms 程度であるが，エネルギーを低くす
ると放射光の放出が小さくなり，この減衰はエネルギーの 3 乗に反比例して弱くなるので，低エネルギーにした時にはあまり期待できなくなる
6 例えばシングルバンチ不安定性の一種のモード結合不安定性など

May 2004 Vol.17 No.3 ● 161(C) 2004 The Japanese Society for Synchrotron Radiation Research

Table 1

放射光リングで現れる主な不安定性の種類と発生源，SPring-8 リングでの発生電流値
マルチバンチ振動の方向と特性

縦方向
強さ

1/b

シングルバンチバンチ長の増大 ＞1 mA/bunch で発生エネルギー広がり† ＞7 mA/bunch で発生加速空洞の高次モード
SPring-8 では観測されていない

小さな凹凸（ベローズ，フランジ，溶接部等）が発生源
横方向（水平，垂直)
強さ b/b3

加速空洞の高次モード ＞50 mAで発生
壁抵抗（真空封止挿入光源) ＞50 mAで発生

モード結合不安定性＞4 mA/bunch で発生（両方向)

head-tail 不安定性（クロマティシティ＞0 で抑制）
凹凸，壁抵抗が発生源

b はビームダクトの径や挿入光源のギャップを表す
b はウェーク場の源でのベータ関数の値を示す。安定周回時のビームサイズの 2 乗に比例
Potential-well distortion と呼ばれる静的な現象であり，正のフィードバックが起こるわけではない† microwave 不安定性（後述）Figure 2. Wake ˆeld produced by a bunch passing a small cavity. A ˆeld accompanied with the bunch is scattered at thecavity to the beam duct and to the cavity and accelerate/decelerates longitudinally and/or kick transversely the beam.

不安定となることはない。
放 射光 リン グで 問題 とな るビ ーム 不安 定性 の種 類をダクトの中を周回している。このときビームダクトにはビームに随伴して電磁場が流れている8（Fig. 2）。

Table 1 に示す。振動の方向によって，時間―エネルギー

ビームダクト内面には凹凸，すなわちフランジや溶接な空間での振動が増大する縦方向不安定性，水平，垂直方向

どの接合部，ベローズ，挿入光源等でのビームダクトの形（横方向）の振動が増大する横方向不安定性に分けられ，状変化，高周波加速空洞など，そして内面の電気抵抗があ

また，多数個のバンチが協力して不安定となるマルチバン

るが，それらをビームが通過する際にはビームに随伴してチ不安定性，単一のバンチ内部での振動が増大するシング

きた電磁場が乱されて新たな電磁場＝ウェーク場を発生す

ルバンチ不安定性がある。

る。ウェーク場はビームに跳ね返ってビームを加減速した
り横方向のキックを与えたりする9 。 Fig. 2 のように，ウェーク場の発生

ビームが空洞を通過する場合には，ビームの持っていた電ビームがその環境と相互作用して発生する電磁場とし磁場は，一部はビームパイプ内に散乱されたり，一部は空て，ビームが走っているビームダクト内面のもつ凹凸や電洞内部に散乱されたりしてウェーク場を発生する。ビーム

気抵抗によりビームのもつ電磁場が乱されて発生するもダクトの遮断周波数より高い周波数の成分は，ビームダクの，ビームダクト内を漂う原子をビームがイオン化するこ

ト内を拡散していくため，素早く減衰するが，空洞内部にとにより生じるイオンの静電場，またイオンの分布がビー散乱されたウェーク場のうち，ビームダクトの遮断周波数

ムの位置変動を感じて変化し，それ生じる新たな電場分布

より低い低周波の成分は閉じ込められてしまい，長い時間などがある7。このうち，放射光リングにおいて最も深刻なものは前者であり，それについて述べる。
ビームはビームダクト（ビームパイプ）とよばれる真空

7

その他，KEKB などの大電流陽電子ビームでは放射光が生成する 2 次電子の雲もある

162 ● May 2004 Vol.17 No.38光速に近いのでビームに付随する電磁場はビームに真横に発生している。光速なのに真横に電磁場があるのは，電子がここまでやってくるよりだいぶ以前に電子が発生した電磁場がここまで届いているから
9 電子はほぼ光速であるが，ウェーク場はビームをななめに追っかけていくので，ある程度までは近づける特別企画 ■放射光源シリーズ

Figure 3‚ Transverse multi-bunch instability driven by long lifetime wake ˆeld. Small circles show bunches. The numbers in the bunches are for identiˆcation. A solid line and dashed arrows are the amount of kicks on bunches by wake
ˆeld. Excitation of the wake ˆeld is proportional to shift of the transverse position of a bunch from the axis and the kickarose after 90 degree phase shift.

Figure 4. Longitudinal multi-bunch instability driven by long lifetime wake ˆeld. Small circles show bunches anddashed circle shows the orbit in a timing-energy phase space of the bunches. The numbers besides the bunches are for
identiˆcation. A solid line is the acceleration/deceleration of bunches by the wake ˆeld. Excitation of the wake ˆeld is
proportional to the shift of the timing and the acceleration/deceleration arose after 90 degree phase shift. Actual periodof the synchrotron motion is hundreds times longer than rotation period of a ring.

にわたって残留することになる。高周波数成分は強いけれ

クループが閉じてビームは不安定となる。 Fig. 3 に横方どもビームダクト径程度の寿命しか持たないので，シング向のマルチバンチ不安定性， Fig. 4 に縦方向のマルチバ

ルバンチ不安定性を引き起こし，閉じ込められた低周波成ンチ不安定性を示す。

分は，いくつものバンチにわたって力を及ぼすので，バン

バンチがウェーク場を通して強く結合するためには，あチ間の結合を引き起こし，マルチバンチ不安定性を引き起るバンチの発生したウェーク場は後続のバンチがやってくこす。なお，あるウェーク場の発生源において，ウェークるまで持続している必要がある。放射光リングにおいて問場を発生しているビームを電流，ウェーク場によるビーム

題となるのは，高周波加速空洞の高次モードによる縦方向のエネルギーの変化を電圧と考え，周波数領域で眺めるとや横方向不安定性と，真空封止型挿入光源の抵抗壁による発生源はインピーダンスとして表されるため，ウェーク場

横方向不安定性である。

の発生源をインピーダンスとよぶ場合が多い10。

高周波加速空洞の高次モード12高周波加速空洞は高周波を蓄積して大きな加速電界を発不安定性の種類
ビーム不安定性には，ビームを構成するバンチが協力し生する装置である。加速空洞はビームダクトの遮断周波て不安定になるマルチバンチ不安定性11と，一つのバンチ

数13より低い周波数の多くの電磁場固有共振モード14 を持内部で振動が発生して不安定となるシングルバンチ不安定っており，これらは長く持続するウェーク場の発生源とな性とがある。

って，バンチ間の結合を引き起こす。 Fig. 5 では，横方

マルチバンチ不安定性

向の不安定性を引き起こす共振モードの一つである

マルチバンチ不安定性は多数個のバンチがウェーク場を

TM110 モードの，中心軸からずれたバンチによる励起と通して結合し，協力して不安定となる現象である。あるバ

それにより後続のバンチが受ける横方向の力を示していンチが振動してウェーク場の変動を発生したとする。このる。

ウェーク場は，後続のバンチの振動を励起し，この振動は真空封止型挿入光源の抵抗壁

より新たなウェーク場を発生する。これが回り回って最初

真空封止型挿入光源は，電気抵抗が大きく，かつ，非常のバンチの振動を励起するように働くと正のフィードバッ

に狭いギャップでの運転となるため，垂直，水平方向に強1012不安定性の解析は，昔から周波数領域で行われてきた経緯がある
11 バンチ結合不安定性（ coupled-bunch instability ）とも呼ばれる

HOM (Higher Order Mode) とも呼ばれる
例えば半径50 mm では TE 波で1.76 GHz, TM 波で2.3 GHz
14 通常，基本モードは加速に用いており制御可能であるが，問題となるのは高次モードである
13

May 2004 Vol.17 No.3 ● 163

Figure 5. An example of a higher order mode, TM110, one of the dangerous transverse wake source. A bunch with upward oŠset excites the mode with being decelerated by its electric ˆeld (left). After half period of the mode, horizontal
magnetic ˆeld arose and kick following beam vertically (right).

の現象が起こりやすくなるので，注意が必要である。
シングルバンチ不安定性
バンチの前方の振動が発生するウェーク場がバンチの後方の振動を励起し，これがシンクロトロン振動により前後が入れ替わった後も，その振動を励起し合う場合に発生す
る不安定性である（Fig. 7）。
Figure 6‚ Wake ˆeld produced by resistive-wall. A bunch with upward oŠset produces the un-balance of the eddy-current in the upperand lower wall. Resulting horizontal magnetic ˆeld kick verticallyfollowing beam.

横方向の不安定性ではバンチの後方部に励起される振動は，バンチ前方部の振動に比べて 90 度遅れているため，ある程度の電流値までであれば前後が入れ替わることにより，振動の成長が押さえられる。しかし，クロマティシテ
ィ（色収差)15があると，バンチの前後が入れ替わる際にいウェーク場を引き起こし，横方向ビーム不安定性を引き

この位相が90度からずれる16。この効果によりクロマティ

起こすことがある1)。この型の挿入光源は，ビームを蛇行

シティが正の場合には，バンチの重心の運動は，ウェークさせるための磁石を真空中に置いているが，この磁石はア場に より減衰 させられる ことがわかっ ている。こ れはルミなどの通常のビームダクトの材質に比べて 2 桁ほど

head-tail 減衰と呼ばれている。逆にクロマティシティが

電気抵抗が高いため，ビームが通過する際にビーム側の表

負の場合には，励起されることになり， head-tail 不安定面に発生した壁電流が渦電流となって残留し磁石内部にし性となる。このため，通常の放射光リングでは，クロマテ

み込んでゆく（ Fig. 6 ）。この渦電流はビームに平行に流ィシティは正で運転されている17。また，振動の励起の強れるため，ビーム軸上に横方向磁場を生じ，ビームを横方

さ＝バンチ電流がある値を越えた場合には，前後の入れ替向に蹴る。ビームが挿入光源の中心軸を通過しているな

わりを繰り返しているうちに振動が増大する現象が生じ，ら，上下に流れる渦電流による力は打ち消し合うが，軸をモード結合不安定性（ mode-coupling ）と呼ばれている。

上下にずれて通過すると，発生する渦電流のバランスが崩

これは不安定性のメカニズム自体にしきい値が存在する不れて上下方向に後続のビーム（バンチ）を蹴ることになる。

安定性である。
また，縦方向では，バンチ内部のさざ波のような電荷密この渦電流の効果は，周波数が低いほど大きくなるので，低周波の領域で不安定性が発生する。この効果を和らげるため， SPring-8 では数十ミクロン厚の金属シートが磁石表面にかぶせられているが2)，低周波のため表皮厚が数百ミクロンとなってしまうので，渦電流の発生をすべて押さえることができているわけではない。
また，全周のビームダクトの材質にステンレスを用いた
場合にも，アルミや銅に比べて電気抵抗の大きいため同様

164 ● May 2004 Vol.17 No.315電子のエネルギーがずれた際に，ベータトロン振動の周波数がそれに応じてずれる場合の比例定数
16 前後が入れ替わる際にはエネルギーがずれるが，このズレとク
ロマティシティにより，ベータトロン振動の早さが変わり，位相のズレを生じる
17 このとき，バンチの前方部と後方部の相対位置の振動は励起されるが，成長率が小さいのであまり問題とならない

特別企画 ■放射光源シリーズ

Figure 7. Snapshot of transverse motion of a single-bunch. Dashed line is the trajectory of the head of the bunch andsolid line shows that of the tail. Wake ˆeld produced by the head of the bunch kicks the tail of the bunch. Because thehead and the tail change the position after half-period of the synchrotron motion, the growth of instabilities does not
happen in such a way. Even wake ˆeld of short lifetime can contribute this mechanism.

Figure 8. Microwave instability. Charge density modulation produces wake ˆeld and accelerate/decelerate electrons.
The resulting energy modulation enhances the density modulation through synchrotron motion. The left is the result of asimulation using calculated wake ˆeld for the SPring-8 storage ring.

度の変調が，それに応じたウェーク場を発生して，さざ波

不安定性の抑制には，その原因となる環境の応答を変え中の電子を加減速し，さざ波をさらに成長させる不安定性て成長率を押さえ込む方法，ビームを形成する電子のベーがある（ Fig. 8 ）。生じたさざ波が強い電磁場18 を発生す

タトロン振動やシンクロトロン振動にばらつきを持たせ，るので，microwave 不安定性19と呼ばれており，シンクロ

ビームの重心振動を早く減衰させて不安定性の成長に打ちトロン振動の周期より早く成長する不安定性である。これ

勝つ方法，ビームの振動を測定し，それに応じて外力を加が起こると，バンチのエネルギーが広がり，またその分，えて能動的に振動を減衰させるフィードバックを用いる方

バンチ長も広がる。また，バンチ長より小さな凹凸が発生法などがあり，それぞれを組み合わせて不安定性を抑制しするウェーク場は，バンチ長のスケールでみると，バンチている。

の前方部を減速し，後方部を加速するようなものである

ビームダクト径を大きくとる

が，これは加速空洞による加速電界を打ち消す方向であ

ビームのエネルギー変動を引き起こすウェーク場の強さる。そのため，バンチ電流がある程度以上となると，バンは，ビームダクトの大きさに反比例し，横方向のキックを。
チ長が長くなっていく（Potential-well distortion）

引き起こすウェーク場の強さは，ビームダクトの大きさの

このような，シングルバンチ内部で生じる現象は，寿命3 乗に反比例する。このため，ビームダクトの大きさを大が短いウェーク場でも生じるが，そのようなウェーク場

きくとれば不安定性の問題は小さくなるが，大きな磁石やは，加速空洞や電気抵抗に加えて，ビームダクト内面の小電源が必要であり，また高周波加速空洞の効率が下がるのさな凹凸でも発生する。

で，必要な高周波パワーや空洞の数が増えてしまう。すな

さらにシングルバンチでの大電流蓄積では不安定性以外

わちコストがかかることになる。また，挿入光源部は小さにも，ピーク電流の増大に伴っての発熱や高電界の発生がなギャップとせざるを得ない。なお，加速空洞等の横方向問題となるが，これらは機器の損傷にもつながるため注意のウェーク場の強い発生源は，ベータ関数の値の小さなとが必要である。

ころに設置するとビームへのキックの影響が小さくなって

ビーム不安定性の抑制

影響を低減できる。
凹凸の抑制

18

一種のコヒーレント放射光19 最近 のリング では凹凸 が mm 程 度なので ，発生す る波長もmm 程度である。適切なウェーク場源を導入してワザと引き起
こせばサブミリ波を発生できて使えるかもしれない。

最近のリングではフランジやベローズなどの可動部に生じる凹凸を，ビームの進行方向に延びるフィンガーをすだ
れのように何本も橋渡しすることにより遮蔽しているが，May 2004 Vol.17 No.3 ● 165

フィンガーのそり20や，取り付けるための段差が残り，凹

コヒーレントな振動は消失する24。

凸を mm 以下とすることは難しい21。一つの凹凸の発生す横方向では，ビームサイズが大きなリングであれば，8るウェーク場は小さくとも，凹凸が大量にあるので，すべ極磁石などの非線形磁場を用いてベータトロン振動数に振てからの寄与はかなり大きなものとなってしまい，不安定

幅依存性を持たせ，電子がそのビームサイズ程度の振幅の性の原因となりうる。横方向不安定性は後述する方法での広がりを持っていることを利用してベータトロン振動数に抑 制 が 可能 で あ る が ， microwave 不 安 定 性 や Potential-

広がりを持たせることができるが，ビームサイズの極小をwell distortion によるバンチ長の増大は，それを抑制する

狙った低エミッタンスリングでは，これを行うには強い非手法がまだないので22，大電流で短いバンチを得るために線形磁場を持ち込む必要があり，入射効率や寿命などの悪はいまのところは設計段階から凹凸の減少方法やビームパ化をもたらすので用いることは困難である。そこで，SPr-

イプ径のサイズをつめていく必要がある。

ing-8 ではシンクロトロン周波数でクロマティシティを変加速空洞の工夫調する手法を考案し6) ， NewSUBARU リングにおいて実加速空洞の高次モードが発生する不安定性は，高次モー験を行う計画である。

ドの共鳴幅が狭い＝減衰が遅いモードほど強い不安定性を

また，縦方向のマルチバンチ不安定性では，バンチ毎に引き起こす。一方，ビームはベータトロン振動やシンクロ

シンクロトロン振動を変えて不安定性を抑制している。加

トロン振動は狭い周波数でしか振動することができない。

速空洞には外部の高周波源から加速電磁場のエネルギーがそこで，この共鳴幅が狭いことを逆に利用して，高次モー供給されており，一方，バンチが通過する際には，バンチドの周波数を，ビームが応答することのない周波数へとずが空洞内部にある加速電磁場からエネルギーを奪う25。リ

らすことにより23不安定性を起こさないようにすることがング内のバンチの分布に，ギャップを作り，バンチがないできる。これには空洞の温度調整や加速モードとは独立に部分を作ると，その部分では，高周波源からエネルギーだ

制御することのできる高次モードチューナーをもちいる。

けが供給されるので，加速電界が徐々に強くなる。一方，初 期 の KEK PF や SPring-8 で は こ の 方 法 が 採 用 さ れ

バンチがある部分では，逆にバンチがエネルギーを奪うのた3) 。また，現在の KEK PF や NewSUBARU では高次で，加速電界は徐々に弱くなる。この効果によりバンチご

モードを外に吸い出すための導波管を空洞に取り付け，高とに加速電圧振幅を変えることができ，シンクロトロン振

次モードが発生しても中に残留しない工夫を行った空洞動の振動数をずらすことができる。実際に ESRF では，（dumped cavity)4)を用いている。

この方法で縦方向マルチバンチ不安定性を抑制している7)。

クロマティシティを大きくする

SPring-8 でも，大電流運転が必要となった場合にはこのクロマティシティ（色収差）はビームのベータトロン振動の周波数が電子のエネルギーのズレによりどのように変方法を用いることになるであろう。
フィードバック

化するかを示すパラメータである。これを 0 でない値とSPring-8 では横方向について，バンチごとに位置を測すれば，ビームはもともとエネルギー広がりを持っていて定し，それに応じてバンチ毎にキックを与えて振動を減衰

電子はその広がり程度の振幅でエネルギー振動を行っていさせる bunch-by-bunch フィードバックを開発し，利用運

るので，これとクロマティシティが結合してベータトロン

転に用いている（ Fig. 9 )8) 。これにより従来では横方向

周波数を変調し，非線形振動を行うようになる。これによ

不安定性の抑制に必要であった大きなクロマティシティをってある程度は横方向の不安定性を弱めることができる5)。

小さくでき，柔軟な運転が可能となった。 SPring-8 の装SPring-8 では，クロマティシティを大きい値とすること

置では，位置の測定時のノイズがフィードバックを励起しにより横方向不安定性を抑制していたが，非線形振動に伴てビームの残留振動を引き起こす現象を解析し，それを押う入射ビームの損失や寿命の問題を抱えていた。
ビームの振動数の広がりの導入
ビームを構成する電子やバンチが横方向や縦方向のポテ
ンシャル中の運動においてそれぞれが異なる振動数で振動すれば，電子やバンチの位相はバラバラになり，ビームのFigure 9.

20

接触圧を持たせるため，フィンガーにバネ性を持たせなければならないのでわざとつける
21 フィンガー間のビーム進行方向にそった狭い隙間はさほど問題とはならない。
22 これらが抑制できる手法があればビーム冷却も可能かもしれない23 ビームが振動しても高次モードの周波数がビーム振動の周波数からずれていて応答できないともいえる

166 ● May 2004 Vol.17 No.3

24

Transverse bunch-by-bunch feedback system.

加速器ではランダウ減衰と呼ばれているが，プラズマ物理では「ランダウ減衰＝振動数の広がり＋それによるビームの電磁波からのエネルギーの吸収」だが，不安定性では後半部がないので…
25 ビームローディングと呼ばれる

特別企画 ■放射光源シリーズ

さえ込むためにモニタを含めた低ノイズ高精度のシステ

参考文献

ムを開発した点ならびに高速のデジタル信号処理に

1)

FPGA を用いている点が特徴であり， 10 mm 程度のサイズのビームでも問題なく運転することができている。
このように，ビーム不安定性の抑制は，ビームが相互作用する対象となりうるもの，すなわちビームダクトを含めた真空系，高周波加速空洞，真空封止型挿入光源などにつ

2)
3)
4)
5)

いて設計時から検討する必要があり，場合によってはフィードバックやクロマティシティの変調等の不安定性除去装置を準備しておく必要がある。最近はこれら不安定性除6)

去装置の発展により，放射光リング程度の電流であればマルチバンチ不安定性はかなり抑制されているので，これか

7)

らの蓄積リングの設計での自由度は広がっている。
ビーム不安定性についてのより深い議論については，テキスト9)を参照いただきたい。また，定量的な議論につい

8)ては電磁場解析プログラムを用いたウェーク場の計算やそれをもとにしたシミュレーションが行われているが，それらについておよび，本記事中のいくつかのトピックスについては，10) の web ページを参照いただきたい。

9)
10)

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A. Chao: ``Physics of Collective Beam Instabilities in HighEnergy Accelerators'', Wiley.
http://acc-web.spring8.or.jp/～nakamura

May 2004 Vol.17 No.3 ● 167