社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

結合されたファンデアポール発振器の振幅を変えることによって得られる同期現象
ヴミントゥアン†

上手洋子†

西尾芳文†

† 徳島大学工学部 〒 770-8501 徳島市新蔵町 2 丁目 24
E-mail: †{thuan,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

本研究では 3 相以上のファンデアポール発振器から結合されるシステムにおいて一部の発振器の振幅が異なった時の同期現象について考える．
キーワード

同期現象，ファンデアポール，発振器

Synchronization of Coupled van del Pol Oscillators
by Changing their Oscillation Amplitudes
Vu MINH THUAN† , Uwate YOKO† , and Nishio YOSHIFUMI†† Faculty of Engineering, Tokushima University 24-2 Shinkura, Tokushima, 770-8501 Japan
E-mail: †{thuan,uwate,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract This research considers about the synchronization phenomena in a system which contains three or more
van der Pol oscillators when a part of them has diﬀerent amplitudes from the others.
Key words synchronization phenomena，van der Pol，oscillator

1. ま え が き

2. 回路モデル

自然界では，カエルの合唱，ホタルの同期発光などの現象が本研究では以下の図 1 のような回路モデルを用いる. 第 1 相よく観察される．これらの現象のようにある振動系において，目から第 N 相目までのファンデアポール発振器は純抵抗 R で各振動が互いに影響を及ぼし合って，外部からの作用なしに自結合され, k 相目の発振器の非線形抵抗 iRk の電流・電圧関係発的に揃って振動する現象が同期現象と呼ばれる．
これまでの研究では結合されたファンデアポール発振器で一は式 (1) で表される. 図 2 のように βk の値によって k 相目の振幅を変えることができる. 但し, βk の既定値を 1 とする．

部の周波数や結合強度などが異なった時の同期現象についての調査が行われてきた．本研究では発振器の振幅をパラメータとして取り扱い，全ての振幅が同じでない時に各発振器の間の位相関係はどうなるかを調査する． まず回路システムの方程式を導いて，プログラムを作成してシミュレーションを行う．また，回路実験で同様の結果を確認する．最後に数学的な証明を行い，結果の考察をし，応用及び製品開発について考える．
同期現象の特徴としては，全ての振動の位相が揃った場合に各振動の足し合わせによって大きなエネルギーを生み出すこと

図 1 回路モデルや，逆相となった場合に互いのエネルギーを打ち消し合うことなどが挙げられる．世の中の現象がある意味で電気電子回路モデルを用いて再現できるため，本研究の成果は電気電子工学分野だけではなく生物や化学及び機械工学分野でも広く応用されることが期待できる.

(iRk = −g1vkβk)(+ g3vkβk)3, k = 1, .., N(1)—1—また, ルンゲクッタ法によるシミュレーション結果は図 4 のように得られ, 解析結果と同じものである．

図 2 パラメータβと振幅の関係

また, 回路方程式は以下である：
dvk= −iLk − iRk(2)
Cdt∑NdiLkL= −vk − R j=1 iLj(3)dt
ここで, 回路方程式を次のように変数変換を行うと, 以下の式

vk =g1
xk , iLk =3g3√
α = RC, ε = g1Lεdxk=xkdτβk(1−√√(4)
Cg1
yk
3Lg3

L
C1 2x k3βk2

次 に ，図 5 は β3 = 0.5 の 場 合 の 回 路 実 験 結 果 で ある.

(7)-(8) で正規化式が得られる.
√t = LCτ√

図 4 ３相システムのシミュレーション結果(5)

図 面 か ら 位 相 差 を 計 算 し て み る と, (φ12 , φ23 , φ31 ) =(−150◦ , −105◦ , −105◦ ) であり，この値を図 3 と図 4 に比較すると解析結果, シミュレーション結果と回路実験結果は同様であることが分かる．

(6))− yk(7)∑dyk= xk − αyj (k = 1, .., N )
dτ(8)

N

j=1

次はルンゲクッタ法を用いて正規化式のシミュレーションを
図5行い, 平均化法による解析解を求める.

３相システムの回路実験結果

3. 3 相システムの同期現象
まず, 3 相のファンデアポール発振器から構成されたシステムを考え, 3 相目の発振器の振幅だけを変えてみる. 具体的なパラメータは, β3 を［0.2,2.0］の間で変化させる. その場合, 平

4. 4 相システムの同期現象
発振器数が 4 に増えると, 1 相だけではなく, 2 相の振幅も変えることができる.

均化法により各発振器間の位相差が式 (9)-(10) のように求めら

まず，発振器 3 相目と 4 相目の振幅を同時に変化すると図 6れる. そのグラフは図 3 である．
()β3(9)φ31 = ± cos−1 −2()β3
φ12 = 2kπ ∓ 2cos−1 −(10)2但し, φ12 , φ31 はそれぞれ 1 相目-2 相目と 3 相目-1 相目の発振のように各発振器の間の位相差をシミュレーション方法で求められる．

器の間の位相差であり, 図面では「Phase 1-2」と「Phase 3-1」で表示される．

図 6 4 相システムのシミュレーション結果

実際はある二つの発振器が同相になると，それは合計の振幅を持つ一つの発振器として考えられるため，図 6 の一部は図５と同様な結果を表すことが確認される．例えば, β3 = β4 = 0.5
図 3 3 相システムの解析結果の時：図 6 では Phase 4 − 1 = 0 の為，発振器 3 相目と 4 相—2—目を足し合わせすることができ，同じ振幅を持つ 3 相システムとなり，図 6 により各発振器が −120°でずれることが分かる．
この結果は図 5 の β3 = 1 における結果と同様である．また,

β3 = β4 = 1 の時も 1 相目と 2 相目の足し合わせすることによって 3 相システムと同様な結果になる．
また，発振器 3 相目と 4 相目の振幅を別々に変化するとパラメータは二つに増え，次のように同期分布が得られる．

図 8 ２グループ別けで β6 = β7 = 2.5 の結果

図 7 ４相の同期分布

図 7 で同期現象が観察される範囲は広くなり，パラメータを

図 9 ３グループ別けで β7 = 1.5 の結果

次のような条件を満たせば 4 相の中で 3 相が互いに同期で，残りの 1 相と逆同期になることが分かる．

β4 <= β3 − 2(11)β4 >= β3 + 2(12)5. 発振器数が５以上の場合相数が増えると解析が複雑になるが，以前に述べた結果を用いて発振器のグループ別けで位相差を調べることができる．例
えば，7 相システムでは最初の 5 相と残りの 2 相で 2 グループを別けて β6 = β7 = 2.5 におけるシミュレーション結果は図 7で表される．この場合，最初の 5 相は同期で残りの 2 相と逆相になることが分かる．
また，図 8-10 では 7 相のシステムを 3:3:1 で 3 グループに

図 10

３グループ別けで β7 = 3.0 の結果

別け，7 相目の振幅だけ変えた時のシミュレーション結果である．各グループ内の発振器が同相であるため，グループ間の位また，一般的な N 相から構成されるシステムにおいて，最相差（つまり発振器 3-4, 6-7, 7-1 相目の間の位相差）を調べた

初の N − 1 相が同じ振幅で N 相目の振幅をそれの N − 1 倍にら良い．その結果は図 11 である．このグラフの横軸値を 13 β7

すると 1 相目から N − 1 相目までは同相，N 相目と逆相であにすれば，3 相システムの結果と同様であることがわかる．結ることを数値解析で証明できる．図 12 は N = 7 のシミュレー論，以前の結果を用いてフループ別けで大規化の問題を解決でション結果である．

きることがわかる．

—3—

図 11 ３グループ別けた時の位相差結果

図 12[5] N. Corson, S. Balev and M. Azizalaoui, Detection of synchronization phenomena in networks of hindmarsh-rose neuronal models , Proc. Of ECCS 10, pp. 112-118, Sep. 2010.
[6] N. Vasegh and F. Khellat, Chaos synchronization of chemical models , International Journal of Applied Science andTechnology, vol. 1, no. 5, pp. 233-243, Sep. 2011.
[7] N. Wessel, Synchronization and coupling analysis: Applied
cardiovascular physics in sleep medicine , Proc. of EMBC
13, pp. 6567-6570, Jul. 2013.
[8] F. Jhou,Multistate and multistage synchronization ofhindmarsh-rose neurons with excitatory chemical and electrical synapses , Proc. of IEEE 12, pp. 1335-1347, Jan.
2012.

７相システムのシミュレーション結果

6. ま と め
本研究では，結合されたファンデアポール発振器において一部の振幅を変えると同期現象が観察される．また，システムが大きくなると発振器をグループに別けて解析することができることが分かる．将来の研究として，まず 4 相の場合の解析結果と回回路実験結果を取り出し，パラメータを増えて全ての発振器が異なる振幅を持つような問題を解決することでより豊富な同期現象が得られることが期待される．

7. 7. 謝 辞本研究の一部は, JSPS 科研費 26540127 の助成を受けたものである．
文

献[1] Vu Minh Thuan, Y. Uwate and Y. Nishio, Synchronization
phenomena in van der Pol oscillators with diﬀerent amplitudes , Proc. of NOLTA 14, pp. 365-368, Sep. 2014.
[2] Y. Uwate, Y. Nishio and R. Stoop, Synchronization inthree coupled van der Pol oscillators with diﬀerent couplingstrength , Proc. of NCSP 10, pp. 109-112, Mar. 2010.
[3] K. Matsumura, T. Nagai, H. Kumeno, Y. Uwate and Y.
Nishio, Frustrated synchronization in coupled oscillator
chains with unbalanced parametric distribution , Proc. ofNCSP 12, pp. 679-682, Mar. 2012.
[4] J. Shao, X. He, C. Bohm, Q. Yang and C. Plant,
Synchronization-inspired partitioning and hierarchicalclustering , IEEE Transaction on Knowledge and Data Engineering, vol. 25, no. 4, pp. 893-905, Apr. 2003.

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