スパース表現と凸最適化に基づく非負値行列因子分解と音楽信号処理への応用
Nonnegative Matrix Factorization Based on Sparse Representation and Convex Optimization:
An Application to Music Signal Processing
１．研究背景と目的
非負値行列因子分解（NMF）は、非負値行列 Y（各成分が 0 以上の実数値を取る行列）を 2 つの非負値行列 W と H の積に分解する数理問題である。この問題
は、遅くとも 1970 年代には研究されていたが、20 世
紀 の 終 わ り に 学 術 誌 Nature に 掲 載 さ れ た Lee,Seung の論文が火種となって広く研究されるように

湯川 正裕 (Masahiro YUKAWA, Dr. Eng.)なった[1]。図 1 に、音楽データ解析への応用例を示す。

慶應義塾大学 理工学部 電子工学科 准教授

行列 Y の列ベクトルは、楽曲を短い時間窓で短時間フ(Associate Professor, Department of Electronics and ElectricalEngineering, Keio University)ーリエ変換した（局所）周波数スペクトルの振幅（または電力）を表している。簡単に言えば、楽曲に含ま電子情報通信学会 IEEE EURASIP
受賞：船井学術賞 (2015 年度) APSIPA Annual Summit and Conference
2015 Best Paper Award (2015 年度) KDDI 財団賞 (2014 年度) 科学技術分野の文部科学大臣表彰若手科学者賞 (2014 年度) 電気通信普及財団
テレコムシステム技術賞 (2013 年度) 電子情報通信学会学術奨励賞(2009 年度) エリクソン・ヤングサイエンティストアワード (2009 年度)
丹羽保次郎記念論文賞 (2006 年度) 電子情報通信学会論文賞 (2005 年度)
研究専門分野：信号処理 最適化 情報通信

れる局所的な周波数成分の時間変化を図示している。
これをスペクトログラムという。図の例では、3 つの楽器音、つまりピアノ（ド）、フルート（レ）、ヴァイオリン（ミ）が順に演奏される。右辺の第一項は、ピアノ（ド）に対応する音を「スペクトル（周波数情報）」と「音量変化」に分解したものである（楽器音にはハーモニクスと呼ばれる倍音（高調波）成分が含まれるため、複数のピークが立つようなスペクトルが見られる）。ピアノ（ド）は、前半部分のみ演奏されるため、後半部の音量はゼロとなっているのが分かる。この右あらまし 非負値行列因子分解（NMF）は、音響信号や辺のような分解を得ることが NMF の目的である。図画像、文書データなどから頻出するパターンを抽出するの例では、分かりやすさのため単音の場合を描いてい技術として盛んに研究されてきた。しかし、NMF は一るが、一般には、複数の楽器音が混ざった混合信号に般に、(i) 分解の非一意性、(ii) 目的関数の非凸性、(iii) パ対応するスペクトログラムが初めに得られる。しかし、ターン数推定誤差への性能依存性の問題を抱えている。

複数のスペクトルが混ざった複雑なスペクトログラム

本研究では、これらの問題点を解決すべく、目的関数をを見ても、意味のある情報は得られにくい。右辺のよ損失関数（Kullback-Leibler/Dual-Itakura-Saito ダイ

うに分解することで、自動採譜（楽譜を自動生成するバージェンス）、非負値制約を満たすための指示関数、技術）や音源分離（楽器音毎の音源に分離する技術）複数の正則化項の和として設計し、これを効率的に最に役立てることができる。この右辺の分解を行列表現適化する手法を与えた。正則化項には、全変動、ブロしたものが、その下に描かれている。

ック L1 ノルム、（通常の）L1 ノルムが含まれる。ダ

各楽器音のスペクトル（列ベクトル）をまとめたもイバージェンス関数の滑らかな近似として Moreau エのが行列 W、音量変化（行ベクトル）をまとめたもの

ンベロープを導入するとともに、「指示関数、ブロックが行列 H である。本研究では冗長な行列 W を用いる

L1 ノルム、L1 ノルムの和の近接写像が閉形式で与えため、実際には演奏されない楽器音に該当するスペクられる」ことを示した。これにより、補助変数フリー

トルも W に含まれている（理由は後述する。）同原理

な Proximal Forward-Backward Splitting（PFBS）

より、顔画像をパーツ（目、鼻、口、耳など）に分解法を用いて、近似問題の解を求めることができる。計できるという例も報告されている。他にも、文書・生算機シミュレーションにより、提案法の有効性を例証

体信号・遺伝子など、幅広いデータの解析に NMF をした。

応用できるため、盛んに研究されてきた。
1

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An Application to Music Signal Processing

図１

非負値行列因子分解（NMF）を音楽データに適用した例

NMF のアプローチは、教師なし学習と教師付き学負値性が自動的に担保される。このアプローチの基本

習に大別される。教師なし学習では W と H が両方と原理は Majorization Minimization（MM）アルゴリも未知であると仮定するのに対して、教師付き学習でズム（例えば、Hunter, Lange らの論文参照方[2]）では（予め、各楽器音単独のスペクトルの情報が入手可あり、上界関数を求めるのに骨が折れる場合がある。

能である状況を想定して）W が既知であると仮定して他にも、Projected Gradient Method（PGM）
や Proximal

H を推定する。教師なし学習は、後述のように非凸性

Forward-Backwardに起因する問題や W の列数決定の正確性が求められAlternating Direction Method of Multipliers（ADMM）るなど、様々な問題点を抱える。いずれにアプローチなどを用いた研究例も見られるが、NMF 研究の総数も、「適切な目的関数」と「最適化アルゴリズム」の設と比べて相当に限定的である。

Splitting （ PFBS ） Method,

NMF は幾つかの問題点を抱えている。以下、問題計が問題解決の鍵となる。
Y と WH の誤差を図る損失関数としては、ユークリ点を整理する。

ッド距離を用いた 2 乗誤差関数の他、Kullback-Leibler（KL）ダイバージェンスや板倉斎藤（IS）ダイバージ(1) 一般に解の一意性が保証されない（実際、強い条ェンスなどが用いられてきた。最適化アルゴリズムは、件の下、並び換えと定数倍の任意性を除いて、一意

Lee, Seung らによって提案された Multiplicativeに分解できることが知られている[3]-[6]。

updates（MU）[1]が広く用いられている。この手法(2) 非凸最適化問題として一般に定式化されるため、大域は、非負値の実数を乗算することで係数を更新する（実的な最適化が困難であり、初期値依存性や局所解（ま数の減算によって係数を更新する最急降下法と対照的たは停留点）に収束してしまうなどの問題が生じるである）。初期推定行列を非負値に選んでおけば、非（同問題は NP 困難であることが知られている[7]。
2TELECOM FRONTIER No.96 2017 AUTUMN

スパース表現と凸最適化に基づく非負値行列因子分解と音楽信号処理への応用
Nonnegative Matrix Factorization Based on Sparse Representation and Convex Optimization:
An Application to Music Signal Processing(3) 行列 W の列数（音楽データの場合、音源数に対応）

像とは劣微分のレゾルベントであり、滑らかでない（一の推定が重要であり、推定が不正確である場合、深般に不連続な）凸関数の最適化における強力なツール

刻な性能劣化を招く要因となる。

として現代の最適化数学で頻繁に利用されている（詳しくは、例えば、文献[19]）。前節で述べた問題点(1)

これらの問題点を解消するための新しい学習パラダ（分解の非一意性問題）に対処する手段として、先験イムの構築を目的として研究を行なった。本稿では、情報の利用が有効であると考える。音楽データの場合、本研究で得られた主要成果の概要を述べる。基本的な音量は連続的に変化するため、全変動（時間的に隣接アイデアは、「冗長な」行列 W（例えば、想定し得るする係数同士の差分の 2 乗和）を正則化項として目的全ての楽器音の周波数スペクトル）を用意し、NMF関数に加える。また、W に含まれるスペクトルと Y にを「行列 H に関するスパース最適化問題」として定式含まれる実際の楽器音のスペクトルの誤差や雑音の影化することである。ここでいう「想定し得る全ての楽響により、実際の楽器音のスペクトルと似た別のスペ器音」とは、必ずしも実際に楽曲で用いられているもクトルが誤って得られてしまうことが実験で明らかにのと同一のものとは限らない（例えば、楽曲は市販のなった。このため、正しいスペクトルを得るための手CD などのデータであり、W の列ベクトルは別のデー段として、行列 H の各行ベクトルのユークリッドノルタベースの音源を用いる状況を想定している）。この点

ム和（ブロック L1 ノルムという）を第二の正則化項が、他の教師付き NMF とは異なる。

として加える。さらに、各楽器音は楽曲の中で部分的行列 H を高精度で推定するために、WH と行列 Yに演奏されるため、無音区間に誤差が生じないようにの合致性を測る損失関数（データ忠実項）と非負値制

通常の L1 ノルムも第三の正則化項として加える。指約に加えて、3 つの罰則項（ブロック L1 ノルム、L1示関数（非負値であれば 0、そうでなければ無限大をノルム、全変動）を導入する（図 1 参照）。これによ取る関数）を目的関数に加えることで、非負値性が保り、非負値行列因子分解は「微分可能な関数」と「複証される。

数の微分不可能な関数」の和の最小化問題として定式まとめると、NMF 問題は、以下の目的関数の最小化される。損失関数は、2 乗誤差、KL ダイバージェン化問題として定式化される。

スに加えて、「双対板倉斎藤（Dual-IS）ダイバージェ損失関数（2 乗誤差、KL ダイバージェンス、Dual-ISンス」を検討した。ブロック L1 ノルムと L1 ノルムのダイバージェンスなど）+ 全変動 + 指示関数 +利用はスパース最適化に関係しているので、興味のあブロック L1 ノルム + L1 ノルムる読者は、拙稿[8]とその参考文献を参照されたい。次KL ダイバージェンスと Dual-IS ダイバージェンス

節以降で、その詳細について述べ、自動採譜への応用で得られた結果を紹介する。

は、正の領域のみを定義域とすることが多いが、凸最適化の枠組みで扱いやすくするため、0 以下の領域で２．複数の正則化項を用いた凸最適化アプローチ

無限大を取るものとして、定義域を実数全体に拡張す幾つかの研究を経て、最終的に行きついた結果を学る。値域は実数全体の集合に無限大（＋∞）を加えた術論文（Yukawa, Kagami, 投稿中[14]）にまとめた。

集合である。このように定義すると、目的関数に含ま以下、その内容を説明する中で、途中経過で得られたれる全ての項は、（ユークリッド空間全体で定義された）成果についても触れる。

下半連続な真凸関数である。ここで、下半連続とは、損失関数は、前節で述べたように、2 乗誤差、KL関数のグラフを任意のレベルで横にスパッと切った切ダイバージェンス、Dual-IS ダイバージェンスの 3 種り口が閉集合になるという性質である。正確には、全類を検討した。理由は、全て凸関数であるため、大域ての実数αに対して、f(x)¥leqαを満たす x 全体の集的最適化が可能であることと、最適化する際に利用す合（レベル集合と呼ばれる）が閉集合になるとき、関る近接写像が計算できるからである。ここで、近接写数 f(x)は下半連続であるという。レベル集合が常に凸3TELECOM FRONTIER No.96 2017 AUTUMN

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集合である（集合内の任意の 2 点を結ぶ線分がその集ADMM はポピュラーな手法であるが、補助変数を合に完全に含まれる）とき、関数 f は凸関数であると利用するため、メモリ効率が低い。補助変数を利用しいう。特に、関数 f(x)が少なくとも一点で実数値を取ない PFBS で解くことができれば、もっと効率良く問るとき、f(x)は真凸関数であるという。

題を解くことができる。これを可能にする鍵は 2 つあ

まず初めに、損失関数が 2 乗誤差の場合を検討した。

る。1 つは、滑らかでない目的関数（KL ダイバージェ

損失関数 + 全変動は滑らかであり、指示関数、ブロンスと Dual-IS ダイバージェンス）を Moreau エンペック L1 ノルム、L1 ノルムのそれぞれの近接写像は容ロープ[19]で近似することである。元の関数が下半連易に計算できる。実際、指示関数の近接写像は非負値続な真凸関数であれば、Moreau エンペロープはいつ領域への距離射影であり、行列の各成分に対して、そでも滑らかな関数となり、勾配方向は近接写像を適用

れが負値であれば 0 にする、0 以上の値であれば、そする前後の点の差分ベクトルで与えられる。KL ダイのままの値に保つという操作で計算できる。ブロック

バージェンスと Dual-IS ダイバージェンスの近接写像

L1 ノルムの近接写像は、各行ベクトルの長さ（ノルム）は、閉形式で与えられるため、これらの Moreau エンを一定値 λ（＞0）だけ縮め、元の長さがλ以下であペロープの勾配は簡単に計算できる。従って、2 乗誤れば、0 ベクトルとするという操作で計算できる。L1差のときと同様、損失関数 + 全変動は滑らかな関数

ノルムの近接写像は、よく知られる shrinkage 作用素となる。2 つ目の鍵は、目的関数に含まれる残りの項であり、各成分の大きさから一定値 γ（＞0）減じ、（すなわち指示関数 + ブロック L1 ノルム + L1 ノル

元の絶対値が γ 以下であれば 0 値とするという操作

ム）を一つの関数とみたときの近接写像が計算可能でで計算できる。従って、この場合の最適化問題は、あることを示したことである。これらにより、「KL ダGeneralized Forward-Backward Splitting（GFBS）

イバージェンス（または Dual-IS ダイバージェンス）

Method を用いて解くことができる。GFBS は一般に、の Moreau エンペロープ + 全変動」に対する最急降「滑らかな関数」と複数の「近接写像が計算可能な関下シフト写像（Foward ステップ）と、「指示関数 + ブ数」の和の最小解に収束する点列を生成する逐次アルロック L1 ノルム + L1 ノルム」の近接写像（Backward

ゴリズムである。ここで、近接写像が計算可能な関数ステップ）を交互に繰り返す PFBS によって、近似問は滑らかでなくてもよく、もっというと不連続であっ題の解に収束する点列を生成することが可能となった。てもよい（指示関数は不連続関数である）。これが、これが、学術論文（Yukawa, Kagami 投稿中[14]）にMorikawa, Yukawa のアプローチ[9]である。さらに、記したアプローチである。

音源が鳴っている区間を推定して、これに基づく局所シミュレーション結果を図 2～図 4 に示す。

的なブロック L1 ノルムに変更することで、1 オクタ図 2 は、合成データを用いた実験結果である。行列ーブ上の音階に誤って採譜してしまうというエラーをW は一様分布からランダムに生成した。H* をスパー抑止できることを示した。これが Morikawa, Yukawa,ス（全成分の 50％が零値）かつ行スパース（行ベクトKikuchi のアプローチ[10]である（APSIPA-ASC 2015

ルのうち、20％が零ベクトル）な行列とし、ランダムBest Paper Award を受賞）。

雑音 N を加えて Y = WH* +N とした。Y と W から次に、KL ダイバージェンスと Dual-IS ダイバージ

H*を推定し、推定誤差 H − H*の各成分の 2 乗和（フェンスを目的関数として利用することを検討した。こロベニウスノルムの 2 乗）を評価した。ADMM は、の場合、目的関数は滑らかでないため、GFBS をその提案法と同様の目的関数を（補助変数を利用して）近ままの形で適用することはできない。目的関数は「近似なしで最小化した場合の性能を示している[11]。MU

接写像が計算可能な関数」と「線形写像」の合成写像と PGA は、損失関数を非負値制約の下で最小化したとなっており、標準的な凸最適化アルゴリズム場合の性能を示している。KL ダイバージェンス規準、ADMM で 解 く こ と が で き る 。 こ れ が 、 Kagami,

Dual-IS ダイバージェンス規準を用いた場合、提案法

Yukawa のアプローチ[11]である。の優位性が確認できる。
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Remark：ダイバージェンス関数を Moreau エンペロープで近似しているが、W に含まれるスペクトルと実際の楽曲のスペクトルの間に誤差が存在すること、環境雑音が行列Y に含まれることなどから、（近似なしの）ダイバージェンス関数を厳密に最小化することにどれだけの意義があるかという点に疑問が生じる。目的関数が滑らかな関数になったこと、補助変数を用いないことによって余計な誤差（双対変数の誤差が主変数に与える間接的誤差）を回避できることによる恩恵の方が近似誤差の影響よりも大きく、それがシミュレーション結果に示された高い性能に繋がったと考えられる。教師なし学習は、初期値への依存性が強く、音源数が既知である必要があるため、教師付き学習が有効なアプローチであるのは間違いない。NMF を種々の先験情報を取り入れた凸最適化問題として定式化し、最適解へ収束する点列を生成する数値解法を構築できたのは、大きな前進であるといえよう。

(a) EUC 規準を用いた場合(b) KL ダイバージェンス規準を用いた場合(c) Dual-IS ダイバージェンス規準を用いた場合

図２

合成データに対する係数誤差の比較

図 3 及び図 4 は、異なる 3 つの音楽データを用いて自 動採譜の 実験を 行なった 結果を図 示して いる。
F-measure が高いと高精度な自動採譜が達成できた
図３

ことを表しており、Total error は低い方が良い。いず音楽データを用いた実験結果（KL ダイバージェンスを用いた場合）

れのダイバージェンス規準を用いた場合も、提案法の優位性が確認できる。
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保証はない。
この問題を解決するため、複素 NMF と呼ばれる枠組みが提案されている[15]。複素 NMF では、NMF における各スペクトルテンプレートに位相スペクトルを時変パラメータとして付加したモデルを用いている。
これにより、NMF と類似した考え方により複素スペクトル領域での信号分離が可能になった。従来、複素NMF におけるパラメータ推定問題（NMF における行列分解に相当）は、観測複素スペクトログラムと複素スペクトログラムモデルとの 2 乗誤差（Y−WH の各成分の絶対値の 2 乗和）を規準とした最適化問題として定式化されており、効率的なパラメータ推定アルゴリズムが提案されている。2 乗誤差以外の規準でのパラメータ推定アルゴリズムは、まだ提案されていなかった。これは、複素 NMF で考えている問題が複素数値同士の乖離度を評価する必要があるためである。一方、NMF では、2 乗誤差、KL ダイバージェンス、板倉斎
藤擬距離を規準とした場合のパラメータ推定アルゴリズムがそれぞれ提案されているが、経験的に KL ダイバージェンスを規準とした場合に高い音源分離性能が得られることが知られている[16]。このことから、複素 NMF においても、KL ダイバージェンスなどの 2乗誤差以外の規準を用いた場合のパラメータ推定アルゴリズムを導出することができれば、より高い音源分離性能が得られる可能性がある。

図４ 音楽データを用いた実験結果

そこで、まず 2 乗誤差規準の複素 NMF を解釈し直（Dual-IS ダイバージェンスを用いた場合）し、これまで提案されていた複素 NMF のパラメータ推定アルゴリズムが暗に最適化していた問題を双対形式と定義した。双対形式を用いても、既存の複素 NMF

３．複素 NMF と時領域域アプローチ
前節で述べたアプローチとは異なる 2 つのアプローと同一のアルゴリズムが導かれる。ただし、複素数同チについて述べる。

士の距離が「線形制約下における実数同士の距離」に置き換わるため、2 乗誤差規準を KL ダイバージェン

３.１. KL ダイバージェンス規準複素 NMFス規準で代用することが可能となる。これがポイント

第 1 節で紹介した音楽データに対する NMF では、である。実験的に、2 乗誤差規準の複素 NMF の分離スペクトルの加法性を仮定していた。しかし、振幅ス性能を上回ることを示した[12][13][17]。

ペクトルやパワースペクトルは加法的ではない。実際に加法性が成り立つのは、時間領域もしくは複素スペ

３.２ 時間領域低ランクスペクトログラム近似法

クトル領域である。このため、NMF により観測スペ3.1 節で述べた通り、従来の NMF では、実際にはクトログラムを加法的な成分に分解したとしても、必成り立たない加法性を仮定している。複素 NMF では、ずしも各音源に対応したスペクトログラムが得られる

加法性の問題を解決したものの、実はまだ問題が残っ
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スパース表現と凸最適化に基づく非負値行列因子分解と音楽信号処理への応用
Nonnegative Matrix Factorization Based on Sparse Representation and Convex Optimization:
An Application to Music Signal Processingている。複素 NMF では、位相スペクトログラムの各を期待する。画像や文書データなどに対しても、W を要素が独立なパラメータとして扱われているが、実際予め用意するための情報を取得できるので、同様のアの時間周波数成分の位相は制約があり、互いに相関がプローチが適用できるであろう。今後もより精度を向ある。なぜなら、時間周波数変換によって得られたス上させ、応用範囲の裾野を広げていけるよう研究を続

ペクトログラムは、原信号の冗長表現になっているかけたい。

らである。例えば、STFT では信号の短時間フレームをオーバーラップさせてフーリエ変換し、それらを連結することでスペクトログラムを得ている。従って、参考文献得られたスペクトログラムの全ての要素は、オーバー[1] D. D. Lee, H. S. Seung, Learning the parts of

ラップした区間に含まれる波形の一貫性条件を満たす

objects by nonnegative matrix factorization,

必要がある。複素 NMF は、このような冗長性を考慮

Nature 401 (1999) 788–791.

していなかった。さらに、変換された信号の複素スペ[2] D. R. Hunter, K. Lange, A tutorial on MM

クトログラムは、元々の複素スペクトログラムと一致

algorithms, The American Statistician 58 (1)しないため、この冗長性を考慮しない限り、推定され(2004) 30–37.
[3] D. L. Donoho, V. C. Stodden, When does

た複素スペクトログラムから生成された時間領域信号

non-negative matrix factorization give a correctは一般に最適とは言えない。
スペクトログラムの冗長性をうまく扱うため、NMF

decomposition into parts?, in: Advances inに類する分離を時間領域で可能にする手法として、時Neural Information Processing Systems (NIPS),

間 領 域 ス ペ ク ト ロ グ ラ ム 分 離 法 （ Time-domainVol. 16, MIT Press, Cambridge, MA, USA, 2003,

Spectrogram Factorization：TSF）と呼ばれる手法がpp. 1141–1148.

提案されている。TSF の最適化問題の定式化は、前節[4] S. Moussaoui, D. Brie, J. Idier, Non-negativeで述べた複素 NMF の「双対形式」に基づいており、

source separation: Range of admissible solutions「双対形式」における複素 NMF の推定パラメータをand conditions for the uniqueness of the solution,

時間領域信号と時間周波数変換基底の積とすることで

in: Proc. ICASSP, Vol. 5, 2005, pp. 289–292.

導かれる。このフレームワークでは、振幅スペクトロ[5] H. Laurberg, M. G. Christensen, M. D. Plumbley,グラムの基底を得るという特性を保持しつつ、構成音

L. K. Hansen, S. H. Jensen, Theorems onの時間領域信号を直接的に分離できる（既存の NMF、

positive data: On the uniqueness of NMF,

複素 NMF では、推定されたスペクトログラムから時Comput. Intell. Neurosci. 2008.
[6] K. Huang, N. D. Sidiropoulos, A. Swami,

間信号を取り出す後処理が必要である）。しかし、従来の TSF アルゴリズムでは、大規模行列の逆行列を求めNon-negativeるための計算時間が大きく、結果として、十分な性能uniquenessを得ることができなかった。この課題を解決するため、

decomposition, IEEE Trans. Signal Processing

大規模行列の逆行列演算を必要としない、補助関数法

62 (1) (2014) 211–224.

matrixandfactorization

algorithm

forrevisited:symmetricと射影勾配法ベースのアプローチを提案した。特に、[7] S. A. Vavasis, On the complexity of nonnegative

時間周波数変換を STFT としたときのアルゴリズムを

matrix factorization, Siam J. Optim. 20 (3)導き、分離性能が向上することを実証した[18]。

(2009) 1364–1377.
[8] 湯川正裕、音響適応信号処理と最適化：スパース性 の 活 用 、 日 本 音 響 学 会 誌 , 71 巻 11 号 ,４．将来の展望pp.615--623, 2015.

本研究で開発した手法が、音楽データの自動採譜・音源分離のための基礎技術として広く利用されること
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Nonnegative Matrix Factorization Based on Sparse Representation and Convex Optimization:
An Application to Music Signal Processing[9] Yu Morikawa and Masahiro Yukawa, "'A sparse[16] D. Fitzgerald, M. Cranitch, and E. Coyle, “Onoptimization approach to supervised NMF based

the use of the beta divergence for musical sourceon convex analytic method," in Proceedings ofseparation,” in Proc. Irish Signals Syst. Conf.,

38th IEEE ICASSP, pp.6078--6082, Vancouver:

2009.
[17] 鏡英章・亀岡弘和・湯川正裕, “I ダイバージェン

Canada, May 2013.

ス規準複素 NMF,” 音講論（秋）, pp. 433–436,[10] Yu Morikawa, Masahiro Yukawa, and Hisakazu
Kikuchi,"Supervised

Factorization

Nonnegative

UsingMatrix

2016.

Active-Period-Aware[18] Hirokazu Kameoka, Hideaki Kagami, andStructured L1-Norm for Music Transcription," inMasahiro Yukawa, "Complex NMF with theProceedings of APSIPA Annual Summit andgeneralized Kullback-Leibler divergence," inConference, pp.14--18, December 2015. [AwardProceedings of 42nd IEEE ICASSP, pp.56--60,

Winning]

March 2017.

[11] Hideaki Kagami and Masahiro Yukawa,[19] Isao Yamada, Masahiro Yukawa, and Masao"Supervised Nonnegative Matrix Factorization

Yamagishi, "Minimizing the Moreau envelope ofwith Dual-Itakura-Saito and Kullback-Leibler

nonsmooth convex functions over the fixed point

Divergences

set of certain quasi- nonexpansive mappings,"

forMusicTranscription,"

inProceedings of EUSIPCO, Budapest: Hungary,in Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems

pp. 1138--1142, August--September 2016.

in Science and Engineering (H. H. Bauschke, R.

[12] Hideaki Kagami, Hirokazu Kameoka, andMasahiro

Yukawa,majorization-minimization"algorithm

Burachik, P. L. Combettes, V. Elser, D. R. Luke,

Aand H. Wolkowicz, eds.), pp. 345--390, Springer,

with2011.

projected gradient updates for time-domain
spectrogram factorization," in Proceedings of
42nd IEEE ICASSP, pp.561--565, March 2017.
[13] Hirokazu Kameoka, Hideaki Kagami, andMasahiro Yukawa, "Complex NMF with thegeneralized Kullback-Leibler divergence," inProceedings of 42nd IEEE ICASSP, pp.56--60,
March 2017.
[14] Masahiro Yukawa and Hideaki Kagami,"Supervised Nonnegative Matrix Factorization
via

MinimizationofRegularizedMoreau-Envelope of Divergence Function withApplication to Music Transcription", submittedfor publication.
[15] H. Kameoka, N. Ono, K. Kashino, and S.
Sagayama, “Complex NMF: A new sparse

この研究は、平成２４年度ＳＣＡＴ研究助成の対象とrepresentation for acoustic signals,” in Proc.

して採用され、平成２５～２７年度に実施されたもの

IEEE ICASSP, April 2009, pp. 3437–3440.

です。

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