社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

怠け者の割合を考慮した Lazy Self-Organizing Map とその振る舞い
原口

卓†

松下

春奈†

西尾

芳文†

† 徳島大学工学部 〒 770-8506 徳島県徳島市南常三島 2-1
E-mail: †{taku,haruna,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

自己組織化マップ (Self-Organizing Map: SOM) は Kohonen 氏によって提案された教師なしニューラル

ネットワークであり, 近年クラスタリングへの応用として注目されている. 過去の研究で, SOM の学習率係数が更新回数に依存するのに対し, ニューロンの性格にのみ依存する学習率係数を持つ Lazy Self-Organizing Map (LSOM) を提案した. さらに, その LSOM の振る舞いを調査することで, SOM よりも入力データの分布状態をより反映したマップを取得できる反面, ねじれが生じやすいという傾向を確認した. そこで本研究では, 学習率係数がニューロンの性格,
怠け者の割合に依存し, さらに更新回数に従って減少する新しい Lazy Self-Organizing Map を提案する. そして, 改良版 LSOM の怠けニューロンの割合を変えて, 様々な入力データに適用しその振る舞いと有効性を確認する.
キーワード

自己組織化マップ, クラスタリング, 特徴抽出

Behaviors of Lazy Self-Organizing Map Considering Lazy-Neuron Rate
Taku HARAGUCHI† , Haruna MATSUSHITA† , and Yoshifumi NISHIO†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University 2-1, Minami-Josanjima,
Tokushima, 770-8506 Japan
E-mail: †{taku,haruna,nishio}@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract The Self-Organizing Map (SOM) is unsupervised neural networks introduced by Kohonen. The SOM
attracts attentions for clustering in these years. In the previous study, we have proposed the Lazy Self-Organizing
Map (LSOM), whose learning rate depends on only each neuron’s character. Meanwhile, the learning rate of theconventional SOM depends on learning step. We investigated its behaviors, however, we conﬁrmed that the previous
LSOM tend to obtain eﬀective map reﬂecting the distribution state of the input data and a strongly twist map thanthe conventional SOM. In this study, we propose an improved LSOM, whose learning rate depends on each neuron’scharacter, lazy-neuron rate and decreases according to learning step. We apply the improved LSOM consideringlazy-neuron rate to various input data set and conﬁrm its behaviors and eﬀectiveness.
Key words self-organizing map (SOM), clustering, feature extraction

1. ま え が きある位相的順位を保持できるという利点を持ち, 類似性のあるデータを分類するのに適している.

情報技術の急速な発達に伴い, 世界中でデータの量が複雑か

私たちは過去の研究で, より効率の良い自己組織化を行うた

つ膨大になっていることから, データマイニングは重要な課題

めに, SOM にアリの世界を適用することを提案した [3]. そのである. またデータマイニングにおいて, クラスタリングは代

背景に, まだ明確な理由や確実性は立証されていないが, 働きア

表的な分析手法の一つであり, 統計, パターン認識, 画像分析なリの約 20% が働いていないという興味深い報告 [4] がある. まど多くの分野で盛んに研究されている. そこで近年, 自己組織た, これを報告した研究者はこの怠けアリにもなんらかの役割化マップ (Self-Organizing Map: SOM) [1] を利用したクラスがあるのではないかと考えている. その裏づけに, シミュレー

タリングに関する研究が注目されている [2]. SOM は 1982 年

ション結果ではあるが, 優秀なアリだけのグループよりも怠けに Kohonen 氏によって提案された教師なしニューラルネット

アリを含むグループの方がより効率的に餌を集められるというワークであり, 教師信号がなくても自分自身で内部構造を変化報告がある. これらのことから, 私達は怠けニューロンを含んできることから脳の自己組織化過程を簡略化したモデルである

だ自己組織化マップ (Lazy Self-Organizing Map: LSOM) をとも言われている. また SOM は, ニューロン間のつながりで提案した. LSOM の重要な特徴は, 3 種類のニューロン (働き—1—減少するため, 学習の最終段階では小さな値となり, ニューロン
4

働きニューロン

はほとんど更新されなくなる. しかし, 従来版 LSOM は SOMと違い, 更新回数に従って減少せずニューロンの性格にのみ依

2

4

1

1

優柔不断な
優柔不断なニューロン

2

1

4

怠けニューロン

存する. つまり, 学習率係数は固定の値となり, 学習の最終段階
でも SOM に比べ大きな値をとるためにニューロンは大きく更新される. これらの理由から, 従来版 LSOM は SOM よりも入力の分布状態をより反映したマップを取得できる反面, ねじれ

2

1

2

が生じやすいという欠点があった.
そこで本研究では, 従来版 LSOM の特徴を残しつつ, 位相的4

順位を保持できるような新しい LSOM を提案する. この改良版
優柔不断な
優柔不断なニューロンはニューロンは時間と
時間と共に
増加する
増加する !!!

LSOM の学習率係数は, 従来版 LSOM と同様にニューロンの性格によって各ニューロンが異なる値を持つのに加え, 怠けニュー

図 1 3 種類のニューロンを含む LSOM: 働きニューロン, 怠けニューロンの割合にも影響を受ける. また, この値は固定値ではなく,ロン , 優柔不断なニューロン. それぞれの数字は怠けニューロン

更新回数に従い, 徐々に減少する. これは, 改良版 LSOM が従とそれぞれのニューロン間の近傍距離を表す.

来版 LSOM よりも SOM に近い特性を持つことを意味する.
改良版 LSOM の学習アルゴリズムについて詳しく説明する.

ニューロン, 怠けニューロン, 優柔不断なニューロン) を持つと改良版 LSOM は入力層と競合層の 2 層構造であり, 競合層でいうことである. 怠けニューロンは働きニューロンよりも学習

は M 個のニューロンが 2 次元格子状に配列されている. そ率係数が小さく, 更新幅が少ないニューロンである. 優柔不断

れぞれのニューロンは重みベクトル wi = (wi1 , wi2 , · · · , wid )なニューロンは怠けニューロンの近傍であり, その影響を受け(i = 1, 2, · · · , M ) を持ち, その初期値は, 0 から 1 の範囲でランて学習率係数が働きニューロンよりも小さくなるニューロンでダムに与えられる. さらに, ランダムに選ばれた (p × M ) 個のある. このように, LSOM の学習率係数はニューロンの性格にニューロンは, 怠けニューロンとしての集合 Slazy に分類され依存することから, SOM よりも入力状態をより反映したマップる.

を取得することができた. しかし, その得られたマップにはねじれが生じているなどの位相的順位が正確に保持されていないという欠点があった.
そこで本研究では, 従来版 LSOM の特徴を残しつつ, 位相的順位を保持できるように改良した新しい LSOM を提案する. 改
良版 LSOM の学習率係数は, ニューロンの性格, 怠けニューロンの割合に依存し, さらに更新回数に従って減少する. これは,(LSOM1) 入 力 ベ ク ト ル xj = (xj1 , xj2 , · · · , xjd ) (j =1, 2, · · · , N ) を全てのニューロンに同時に入力する.
(LSOM2) 入力ベクトル xj とニューロン i の重みベクトル wiとの距離を計算し, 入力ベクトル xj に最も近い重みベクトルを持つニューロンを勝者ニューロン c に決定する.

c = arg min{kwi − xj k},(1)i

改良版 LSOM が従来版 LSOM よりも従来の SOM に近い特性を持つことを意味する. さらに, それをさまざまな入力データに

本研究では, k · k はユークリッド距離を表している.

適用することで, 改良版 LSOM のアルゴリズムの有効性を確認

もし c ∈ Slazy なら (LSOM3) を, そうでないなら (LSOM4) をする. また, 異なる怠けニューロンの割合においてもシミュレー

実行する.

ションを行い, 怠けニューロンの割合に対する改良版 LSOM の(LSOM3) 勝者ニューロン c になった怠けニューロンは, Slazy

振る舞いを調査する.

から取り除かれる. さらに, 入力データ xj から最も遠く, Slazy

改良版 LSOM の新しいアルゴリズムと怠けニューロンの割合を考慮したときの有効性を調査し, その振る舞いを確認する.

の中に存在しないニューロン f が Slazy に入るように選ばれる.

f = arg max{kwi − xj k},ii 6∈ Slazy .

(2)

2. 改良版 Lazy Self-Organizing Map (LSOM) つまり, 勝者ニューロン c になった怠けニューロンは働きニュー
過去の研究で, 3 種類のニューロン (働きニューロン, 怠け

ロンになり, もう一方のニューロン f が怠けニューロンになる

ニューロン, 優柔不断なニューロン) を含む LSOM を提案した(図 2).

(図 1). この 3 種類のニューロンには, それぞれ学習率係数を(LSOM4) 怠けニューロンの近傍に位置する働きニューロン

用いることで個性を持たせた. 働きニューロンは学習率係数

が, 怠けニューロンの影響を受けた優柔不断なニューロンになが最も大きい値であり, 更新幅が大きいことが特徴である. 怠る. 優柔不断なニューロンの集合を Nlazy とする.

けニューロンは働きニューロンよりも学習率係数が小さく, 更
新幅が少ないニューロンである. 優柔不断なニューロンは怠け
ニューロンの近傍に位置するニューロンであり, その影響を受

Nlazy = {i |kr i − r l k2 <= D(t),
i 6= c, i 6∈ Slazy , l ∈ Slazy },(3)

けて学習率係数が働きニューロンよりも小さくなるニューロン||r i − r l || は, マップ上におけるされるニューロン i とニューロである. 一方, 従来の SOM の学習率係数は更新回数に従って

ン l 間の近傍距離であり, D(t) は近傍範囲に一致する. また,—2—入力データ
入力データからデータから最から最も遠いニューロンがニューロンが怠けニューロンになる
ニューロンになる !!
怠けニューロン

怠けニューロン

働きニューロン

働きニューロン

怠けニューロンがニューロンが働きニューロンになる
ニューロンになる !!

怠けニューロンがニューロンが勝者になる !!

xj

xj
図 2 怠けニューロンが勝者になったとき働きニューロンとの交代方法

D(t) は式 (4) に従って減少する.

[

α(0) = 0.5, σ(0) = 4.0, Dmax = 5.

]

D(t) = Dmax

t
,
T

(4)

[ · ] はガウス記号であり, D(t) の最大値である Dmax は固定のパラメータで決定される. また, t は現在の学習回数であり, T

怠けニューロンの有効性を確認するために, αw は SOM の初期
学習率係数 α(0), σ(0) は SOM の近傍関数の幅と一致させる.
図 3(b), (c), (d) に SOM, 従来版 LSOM, 改良版 LSOM のシ
ミュレーション結果をそれぞれ示す. 図 3(b) において, SOM はは最大学習回数である.

(LSOM5) すべてのニューロンの重みベクトルを式 (5) に従っ

全ての離れた入力データを自己組織化できていないが, 図 3(c)における従来版 LSOM では, ねじれが生じてはいるものの全てて更新する.

の離れた入力データを自己組織化できている. しかし, ねじれ

wi (t + 1) = wi (t) + hLc,i (t)(xj − wi (t)),(5)

hLc,i (t) は LSOM の近傍関数と呼ばれ, 式 (6) のように表さは位相的順位が保持できていない現象であり, ねじれのためにニューロン間の距離が遠いにも関わらず, 距離が近いというよ
うな誤認が生じる. これはデータ抽出の際, 正確な抽出を困難にれる.

(

kr i − r c k2
hLc,i (t) = α(t) exp −2σ 2 (t))

するなどの問題を引き起こす. すなわち, ねじれは回避すべき,(6)現象であるといえる. 一方, 図 3(d) において, 改良版 LSOM は
従来版 LSOM ほど正確ではないが, SOM より離れた入力デー

α(t) は改良版 LSOM の学習率係数を表し, 式 (7) のようにタを自己組織化し, さらにそのマップにはねじれが生じていな

ニューロンの性格と怠けニューロンの割合 p (0 < p < 1) によっい. これは, 改良版 LSOM が, ねじれが生じにくい SOM と, 離て決定され, 更新回数に従って減少する.

れた入力データを自己組織化し易い従来版 LSOM の両方の特α(t) =)(
1 − p Tt ,
 αlazy()


αN 1 − (1 − p) Tt ,if i ∈ Nlazy

αw 1 − (1 − p) T ,

それ以外

(

)
t

徴を持っているからである. 怠けニューロンは 2. 節におけるif i = l, l ∈ Slazy(7)(LSOM3) の特徴を持つため, その他のニューロンが勝者になった場合でもあまり動かないという性質がある. すなわち, 離れた
入力データを自己組織化し易い. また, 改良版 LSOM の学習率

αw , αlazy , αN はそれぞれ働きニューロン, 怠けニューロン,係数は更新回数に従い減少するため, 従来版 LSOM に比べて,優 柔 不 断 な ニュー ロ ン の 初 期 学 習 率 係 数 を 表 す.

従来の SOM に近い自然な学習が行える. よって, 位相的順位がつ ま り,

αlazy < αN < αw となる.

保持でき, ねじれが生じないのである. これらの理由から, 改良(LSOM6) (LSOM1) から (LSOM5) までのステップを全ての版 LSOM のシミュレーション結果は最も有効であるとわかる.

入力データに対して繰り返す.

さらに, LSOM の学習能力を数値的な方法で比較するために

3. シミュレーション結果

以下の利用頻度の高い 3 種類の測定値を用いる.

3. 1 ターゲットデータ

量子化誤差 Qe [1]: 量子化誤差 Qe はそれぞれの入力ベクトル

まず, 図 3(a) に示すような 2 次元の入力データであるターとその勝者との距離の平均を計算した値である.

ゲットデータ [5] に対してシミュレーションを行う. 入力データ
数 N は 770 個, 2 つのクラスタの他に 4 つの離れた入力データを持ち, 全てのデータはランダムに並び替えている. SOM, 従来
版 LSOM, 改良版 LSOM はそれぞれ 100 個 (10 × 10) のニューロンを持ち, 各 LSOM では全体の 10% のニューロン (p = 0.1)
を怠けニューロンとする. 学習は全ての入力に対して 20 回繰り返す (T = 15400). 学習パラメータは以下のように設定する.

1 ∑
Qe =
kxj − w̄j k,
N
N

(8)

j=1

w̄j は入力データ xj に対する勝者ニューロンの重みベクトルである. 従って, Qe は 0 に近いほど入力状態に近いことを示す.
トポロジー誤差 Te [6]: トポロジー誤差 T e は SOM がどのくらい入力データのトポロジーを保存できているかを示す値である.

αw = 0.5, αlazy = 0.05, αN = 0.25,
—3—

1

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.2

0

0
0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0
0

0.2

(a)

0.4

0.6

0.8

1

0
0

0.2

0.4

(b)
図 3

0.6

0.8

1

0

0.2

0.4

(c)

0.6

0.8

1

(d)

ターゲットデータに対するシミュレーション. (a) 入力データ. (b) SOM. (c) 従来版

LSOM. (d) 改良版 LSOM.

1 ∑u(xj ),
N

表 1 ターゲットデータに対する量子化誤差 Qe, トポロジー誤差 T e

N

Te =

(9)

ニューロン利用率 U .

j=1

Qe

Te

U

N は入力データの総数である. また, 入力データ xj に対する 1

SOM

0.01900.17790.8100

番目の勝者と 2 番目の勝者が互いに 1 近傍以内なら u(xj ) は 0,

従来版 LSOM

0.01440.40650.8300

それ以外なら u(xj ) は 1 となる. つまり, T e は 0 に近いほど入改良版 LSOM

0.01640.08050.8100

SOM と改良版 LSOM

力データのトポロジーを保存できていることを示す.

の改善率

ニューロン利用率 U [7]: ニューロン利用率 U は 1 度以上勝者

13.6970% 54.7445%

0%になったニューロンの割合を示す値である.

1 ∑
U=
ui ,
nm

で, 離れた入力データおよび入力データの構造の確認が容易で

nm

(10)

i=1

ある. つまり, 改良版 LSOM は入力データの構造と位相空間を最も正確に抽出しているといえる.

もし, ニューロン i が一度以上勝者になったなら ui = 1 で, 一

3. 2 アトムデータ

度も勝者にならなかったなら ui = 0 となる. つまり, U は 1 に

次に, 図 5(a) に示すような 3 次元の入力データであるアト

近いほどより多くのニューロンを有効利用できており, 不活性

ムデータ [5] に対してシミュレーションを行う. アトムデータ

ニューロンが少ないことを示す.

は線形的に区別できないクラスタリング問題 (異なる密度と分散) を持ち, すべてのデータはランダムに並び替えている. 入力

表 1 に学習結果から計算された 3 種類の評価値をそれぞれ

データ数 N は 800 個, 学習は全ての入力データに対して 20 回示す. 従来版 LSOM の Qe は 3 つの中で最も小さな値をとり,繰り返す (T = 16000). 学習条件はターゲットデータに対するU に関しても最も大きな値をとっている. しかし, T e に関してシミュレーションと同じ値にする.

は最も悪い値をとり, SOM に比べて 128.47% も悪くなっていSOM, 従来版 LSOM, 改良版 LSOM の結果を図 5(b), (c),る. Qe とは異なり T e はマップの位相保持の度合を示すので,(d) にそれぞれ示す. これらの結果から, 従来版 LSOM は SOM

たとえ Qe が小さな値をとろうとも, ねじれのあるマップではに比べ, 球の表面に分散した入力データを自己組織化できていT e は大きな値となる. つまり, Qe と U が SOM よりもどんなる. しかし, ターゲットデータのときと同様, ニューロン間のつに良い値をとろうとも, T e が悪いとそれは有効な結果とはいえながりを保持できていないことがわかる. 一方, 改良版 LSOM

ない. 一方, 改良版 LSOM の U は SOM と同じ値であるけれ

では位相的順位を保持しつつ, 球の表面に分散した入力データ

ども, Qe は小さな値をとり, 13.7% も改善されている. さらに,を自己組織化できていることがわかる.

T e に関しては SOM に比べ小さな値をとり, 54.74% も改善されている. これらの結果から, 改良版 LSOM は 3 つの中で最も

表2

アトムデータに対する量子化誤差 Qe, トポロジー誤差 T e, ニュー
ロン利用率 U .

バランスがとれており, 有効であるといえる.

Qe

Te

U

SOM

0.05580.27250.8300で, マップのクラスタ構造を可視化する. マップノード間の距

従来版 LSOM

0.05090.40650.8200離が遠いほど四角形は黒く表されるため, 白の四角形が一様に改良版 LSOM

0.04830.25370.8500ある部分がクラスタである. 各マップはそれぞれの距離で正規

SOM と改良版 LSOM化している. 図 4(b) において, 従来版 LSOM の離れた入力はの改善率

図 4 はニューロン間の距離をグレースケールで表したもの

13.4116% 6.8807% 2.4096%

鮮明であるけれども, 入力データの構造を認識するのは困難である. 一方, 図 4(c) における改良版 LSOM では, マップの状態

表 2 に, 学習結果から計算された 3 種類の評価値をそれぞれを保持しつつ, 入力データを正確にクラスタリングしているの示す. 改良後の Qe は 3 つの中で最も小さな値をとり, U に関し

—4—

0.22

0.55

0.2

0.5

0.18

0.45

0.16
0.14

0.4
0.35

0.4

0.3

0.35

0.25

0.3

0.12

0.2

0.25

0.1

0.2

0.08

0.15

0.15

0.1

0.06
0.1
0.04

0.05

0.05

0.02

(a)

(b)

(c)

図 4 ターゲットデータに対する結果のグレースケール表示. (a) SOM. (b) 従来版 LSOM.

(c) 改良版 LSOM.

1

1

1

1

0.8

0.8

0.8

0.8

0.6

0.6

0.6

0.6

0.4

0.4

0.4

0.4

0.2

0.2

0.2

0.2

0
1

0
1

0
1

1
0.5

0.5

0
1

1
0.5

0 0

0.5
0 0

(a)

1
0.5

0.5

1
0.5

0 0

(b)

(c)

0.5
0 0

(d)

図 5 アトムデータに対するシミュレーション結果. (a) 入力データ. (b) SOM. (c) 従来版

LSOM. (d) 改良版 LSOM.

てもまた最も良い値をとっている. さらに, SOM との相対誤差

る舞いを調査するために, 怠けニューロンの割合 p を変えて,はそれぞれ 13.41%, 2.41% となり大きく改善されていることがターゲットデータに対してシミュレーションを行う. 学習条件

わかる. これは入力データと学習後のマップにおけるニューロン

はターゲットデータに対するシミュレーションと同じ値にする.

との間に, 誤差が少ないことを意味する. つまり, 改良版 LSOM

図 6 はそれぞれの p を用いてシミュレーションしたときのは入力データの分布状態を最も反映しているといえる. 加えて,SOM から改良版 LSOM の改善率である. 改良版 LSOM の Qe

改良版 LSOM は U = 0.85, つまり全体の 85% のニューロンがは p に関わらず, SOM よりも良くなっている. しかし T e に関

1 度以上勝者になっていることから, 不活性ニューロンが少な

しては, p が 0.1 から 0.2 のときは SOM に比べて良くなってい

いといえる. 不活性ニューロンは, 入力データの存在しない所

るけれども, p が増加するにつれて T e は悪くなっている. まにあるニューロンである. 従って, 不活性ニューロンが少なけた, p が 0.5 から 0.9 のとき U も SOM に比べて悪くなっていれば少ないほど, より多くのニューロンが入力データを自己組

る. これらの結果から, p が増加するにつれて位相的順位を保持

織化することになる. その結果, 入力データとその入力データできなくなることがわかる. つまり, 改良版 LSOM は 10% かに対する勝者ニューロン間の距離がそれぞれ小さくなる. 一方,

ら 20% の怠けニューロンを含むとき位相的順位を保持しつつ,改良版 LSOM は更新回数に依存するため, 学習とともに学習率

SOM よりも正確に入力データの分布状態を反映したマップを係数は減少する. しかし, SOM とは異なり学習率係数が 0 には取得できる.

ならないために学習の最終段階でも更新が行われる. これらの理由から, Qe は小さな値となる. 改良版 LSOM の T e は 3 つ

5. ま と めの中で最も小さな値をとっていて, SOM に比べて 6.88% 改善

本研究では, 過去の研究で提案した怠けニューロンを含む自されている. これは, 学習率係数がニューロンの性格にのみ依己組織化マップ (LSOM) を改良した新しい LSOM を提案した.

存する従来版 LSOM とは違い, 改良版 LSOM の学習率係数はその LSOM の学習率係数は, ニューロンの性格, 怠けニューロ

SOM の学習率係数のように更新回数に従い減少するため, よりンの割合に依存し, さらに更新回数に従って減少する. また, そ

なめらかな学習ができるからである. これらの理由から, 改良の LSOM を様々な入力データへ適用することで, 改良版 LSOM

版 LSOM は最も有効であることがわかる.

のアルゴリズムの有効性を確認した. さらには, 怠けニューロン

4. 怠けニューロンの割合を考慮した LSOM の振る舞いの割合を変えて, 怠けニューロンの割合に対する改良版 LSOMの振る舞いを調査した. その結果, 10% から 20% の怠けニューロンを含むとき, 改良版 LSOM の有効性が確認できた.

さらに, 怠けニューロンの割合に対する改良版 LSOM の振—5—Qe[%]

30
20
10

Te[%]

0
0
200

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0

−200
0
5
U[%]

0.1

0
−5
0

p

図 6 怠けニューロンの割合 p に対する SOM から改良版 LSOM による量子化誤差 Qe, トポロジー誤差 T e, ニューロン利用率 U の相対誤差 [%].

文

献[1] T. Kohonen, Self-Organizing Maps, Berlin, Springer,
vol. 30, 1995.
[2] J. Vesanto and E. Alhoniemi, “Clustering of the SelfOrganizing Map,” IEEE Trans. Neural Networks, vol. 11,
no. 3, pp. 586–600, 2002.
[3] T. Haraguchi, H. Matsushita and Y. Nishio, “Lazy SelfOrganizing Map and its Behaviors, Proc. of IJCNN’08,
pp.2276-2281, June 2008.
[4] 長 谷 川 英 祐, “「 集 団 」行 動 の 最 適 化,” 日 本 動 物 行 動 学 会
Newsletter, no. 43, pp. 22–23, 2004.
[5] A. Ultsch, “Clustering with SOM: U*C,” Proc. Workshop
on Self-Organizing Maps, pp.75-82, 2005.
[6] K. Kiviluoto, “Topology Preservation in Self-Organizing
Maps,” Proc. of International Conference on Neural Networks, pp. 294-299, 1996.
[7] Y. Cheung and L. Law, “Rival-Model Penalized SelfOrganizing Map,” IEEE Trans. Neural Networks, vol. 18,
no. 1, pp. 289–295, 2007.

—6—