社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,
INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

2 種類のテンプレートを用いたセルラーニューラルネットワークの発振現象と固有値の関係について
細川康輝†

西尾芳文††† 四国大学経営情報学部〒 771-1192 徳島県徳島市応神町古川†† 徳島大学工学部〒 770-8506 徳島県徳島市南常三島町 2-1
E-mail: †hosokawa@keiei.shikoku-u.ac.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp
あらまし

数多くの改良型セルラーニューラルネットワーク (CNN) が提案されているが，改良型 CNN は通常の CNNに比べ構造が複雑になるため，CNN の利点である集積化容易性が損なわれている．しかしながら，2 種類のテンプ
レートを用いた CNN は一般的な CNN と概ね同等の構造であるため集積化容易性が損なわれておらず，一般的な CNN
では発振が起こらない状態でも発振現象が観測できる．さらに，発振器結合系として考えた場合，新たな結合系であると考えられる．本報告では，2 種類のテンプレートを用いた CNN で観測されるいくつかの現象を紹介し，4 つのセルの場合での発振現象と固有値の関係を報告する．
キーワード

セルラーニューラルネットワーク，発振器結合系，クローニングテンプレート，固有値

Relationship between Oscillatory Phenomena and Eigenvalues in
Cellular Neural Networks Using Two Kinds of Cloning Templates
Yasuteru HOSOKAWA† and Yoshifumi NISHIO††† Faculty of Management and Information Science, Shikoku University
Furukawa, Ohjin-cho, Tokushima-shi, Tokushima 771–1192 Japan†† Faculty of Engineering, Tokushima University
2–1 Minami-Josanjima-Cho, Tokushima-shi, Tokushima 770–8506 Japan
E-mail: †hosokawa@keiei.shikoku-u.ac.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp
Abstract Many kinds of modified Cellular Neural Networks are proposed. A disadvantage of these CNNs is acomplexity in structure. This disadvantage means that easiness of integration of CNN circuit is lost. However,
Cellular neural network using two kinds of cloning templates is similar to a generic CNN in structure. The easinessof integration is not lost. Oscillatry phenomena observed in this system can not be observed in a generic CNN.
Additionally, we consider that this system is novel coupled system as coupled oscillatory systems. In this report,
phenomena in Cellular Neural Networks using Two kinds of cloning templates are introduced and relationshipbetween oscillatory phenomena and eigenvalues in CNN using two kinds of cloning templates is reported.
Key words Cellular neural networks, Coupled oscillatory system, Cloning templates, Eigenvalues

1. は じ め に応用が研究されている．CNN の動作を決定づけているクロー
ニングテンプレートは数多く提案されており，それらの処理のセルラーニューラルネットワーク (以下，CNN とする) は組み合わせることで有用な処理が可能であることも示されてい1988 年 Chua ら [1] によって提案された一種のアナログコン

る [4]– [8]．そして，提案されている応用のためには，CNN のピュータである．既存のノイマン型コンピュータでは不可能な実装が必要である．CNN は同一のセルが均等に配置された構処理や並列で処理ができることから画像処理 [2]– [3] などへの造をもつため，LSI での実装にも適している [9]– [11].

—1—

j

近年では，さまざまな CNN の改良が提案されている．例N

えば，Delayed Cellular Neural Networks [12], Fussy Cellu-

lar Neural Networks [13], Quantum Cellular Neural Networks[14] Small-World Cellular Neural Networks [15], Shunting Inhibitory Cellular Neural Networks [16], Two Layer Cellular
Neural Networks. [17] などである．基本的にこれらの改良型
CNN は，通常の CNN に比べ複雑な処理ができるが，構造も複雑になっている．このため，集積回路としての実装を考えたi

場合にはその構造が弱点となる．

c(i,j)

本研究では，2 種類のクローニングテンプレートを使った

CNN で観測される発振現象について調査する．この CNN は通常の CNN と概ね同等の構造であるため，集積回路としての実装を考えた場合でも，通常の CNN と同程度の技術で実装できMると考えられる．この系で見られる発振現象は，通常の CNN
図 1 2 種類のクローニングテンプレートを用いた CNN

では発振現象が起こらない対象なテンプレート値で見ることが可能で，この系を発振器結合系と考えた場合，発振の要素を互いに共有した構造を持つ新たな結合系であるといえる．
２章ではシステムの構造を紹介し，３章では発振現象について，４章では発振現象が起こる最小のセル数 4 での発振現象と

Aα (i, j; i − 1, j − 1)
 Aα (i, j; i, j − 1)Aα (i, j; i + 1, j − 1)

Aα (i, j; i − 1, j)
Aα (i, j; i, j)
Aα (i, j; i + 1, j)

Aα (i, j; i − 1, j + 1)Aα (i, j; i, j + 1) Aα (i, j; i + 1, j + 1)(3)

固有値の関係についてそれぞれ報告し，５章でまとめとする．

2. システムモデル

出力関数は以下のように与えられる．

一般的な CNN との実装上の違いは，クローニングテンプ

yij = 0.5(|xij + 1| − |xij − 1|).

(4)

レート用の信号線の数だけである．したがって，提案システム

3. 発 振 現 象は一般的な CNN と同様に集積化に適している．
図 1 は，提案システムの構造を示している．システムは M
行 N 列のセルで構成されており，任意の i 行 j 列目のセルを

c(i, j) とする．２種類のクローニングテンプレートのうち一方をセル α，もう一方をセル β とする．２種類のセルは市松模様
上に配置される．
システムを連続時間系とした場合，状態方程式は解のように与えられる．

c(k,l)+∑

一般的に発振器と結合要素で構成されているが，CNN での発振は発振器の要素が分割されており，その結合は結合要素と発系とは大きく異なる構造を持つ．この点において，新しい発振器結合系と考えられる．本章では，提案システムで観測される(1)

いくつかの現象を紹介する．
図 2 は，Two Layer CNN [17] で確認されている現象を提案

B α (i, j; k, l)ukl

システムで再現したものである．初期状態は，次のように設定した．境界条件は 0 とし, セルの数は 16 × 16 初期状態値は，

2: i + j が奇数の場合
dxij= − xij + Iβ
dt∑+
Aβ (i, j; k, l)ykl
c(k,l)+の結合は興味深いものであると考えられる．発振器結合系では素ではすべて共有されている状態となり，一般的な発振器結合c(k,l)∑

一方，CNN での発振現象は発振器結合系として考えた場合，そ振器のパラメータに対応する．さらに，発振の要素は複数の要

1: i + j が偶数の場合
dxij= − xij + Iα
dt∑+Aα (i, j; k, l)ykl

ニューラルネットワークの専門家にとって発振現象は好まし
くない現象であり，基本的に発振しないよう注意を払ってきた．

c(5, 5) を 1(黒) としそれ以外はすべて 0(灰) とした．


(2)B β (i, j; k, l)ukl

0.1

Aα = 
 0
0.1

0
1.1
0



−0.01
0.1


 1
,
A
=
−1
β


−0.01
0.1

0

−0.01

1.04

0

0

−0.01



,


B α = B β = 0, Iα = Iβ = 0.

c(k,l)

A{αβ} (i, j; k, l)ykl , B {αβ} (i, j; k, l)ukl , I{αβ} はそれぞれ，フィードバック係数，コントロール係数，バイアス電流に対応している．変数 u と y は，セルの入力と出力の変数である．Aα ,B α , Aβ and B β は，３ × ３の行列で以下のように記述される．

(5)
図 2 (1) のように c(5, 5) から発生した波は，図 2(2)-(10) のよ
うにすべての方向に向かって伝搬する．図 2 (11) のように波が—2—

(1) τ = 0(2) τ = 200(3) τ = 400(4) τ = 600

図3(5) τ = 800(9) τ = 1600

(13) τ = 2400

(6) τ = 1000

(7) τ = 1200

(10) τ = 1800(8) τ = 1400

(11) τ = 2000

(14) τ = 2600

周期境界条件

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(12) τ = 2200

(15) τ = 2800

図 4 コンピュータシミュレーション結果 (周期振動状態). p = 2，(16) τ = 3000

q = 4，r = 0. (a) 初期状態. (b)-(j) スナップショット.

(17) τ = 3200

(21) τ = 4000

(18) τ = 3400

(19) τ = 3600

(22) τ = 4200

(20) τ = 3800

(23) τ = 4400

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(24) τ = 4600

図 5 コンピュータシミュレーション結果 (周期振動状態). p = 2，

q = 4，r = 0. (a) 初期状態. (b)-(j) スナップショット.
(25) τ = 4800

(26) τ = 5000

図2(27) τ = 5200

(28) τ = 5400あるため，設定する必要はない．いくつかのシミュレーション

波動伝搬現象

結果を以下に示す．
境界に接触した後も波は反射すること無く，図 2 (11)-(23) の

図 4 と 図 5 は，p = 2, q = 4, r = 0 の時のシミュレーショ

ように c(5,5) から発生され続ける波が広がる続ける．図 2 (24)

ン結果である．初期状態値の違いによって，図 4 か図 5 が観のように，全方向の境界に波が接触した後，図 2 (14)-(28) の測できる．いずれの場合においても (b)–(j) を繰り返す周期振ように周期的な振動が観測され続ける．

動状態となる．ここで，各セルの同期に注目すると，セルは３一般的な CNN において，このような動的な現象は非対象なつのグループに分けることができる．例えば，図 4 (b) の Cell

クローニングテンプレートでのみ観測される現象であるが，本c(1, 1) の値は，Cell c(3, 1), c(1, 3), c(3, 3) と同じである．こシステムにおいては，対象なクローニングテンプレートにおいのグループを Cell α1 とし，同様に Cell c(2, 2) のグループをても観測することができる．

Cell α2 ，残りを Cell β とする.

次に，クローニングテンプレートのパラメータを以下のようの波形は 1 つに重なっており完全に同期していることが分かる．

に定義した場合について報告する．
−p
Aα = 
 q
−p

q
r
q



p
−p


−q
,
A
=
q 
β


p
−p

図 6 と 図 7 は図 4 と 図 5 の波形を表している．各グループ

−q
r
−q



さらに，2 つの図の違いは，Cell α1 と Cell α2 が入れ替わって

p


−q 
,
p

いることだけである．この結果は，2 つのグループが逆相であ(6)B α = B β = 0, Iα = Iβ = 0.

ることを示している．加えて，セル β は同期しており，図 4 の場合，α2 とも同期している．
図 8 はクローニングテンプレートの値を，p = 2, q = 3，

この定義によって Aα ，Aβ は，それぞれ対象なテンプレー
トになる．境界条件は図 3 のような周期境界（トーラス環状）

r = 0 とした場合のシミュレーション結果である．準同期状態となっており，中央部ではバースト状態となっている．

とし，初期状態値は乱数とした．入力値は，B α = B β = 0 で

—3—

10

Cell α 1

10Cell α 2

10Cell α 1

10Cell α 2

10Cell β

10Cell β図 6 図 4 の時間波形.p = 2, q = 4，r = 0.
図 9 コンピュータシミュレーション結果 (クラスタリング).p = 1,

q = 1 ，r = 1
10

Cell α 1

Cell α 2

10Cell α 1

10Cell α 2Cell β101010Cell β図 7 図 5 の時間波形.p = 2, q = 4，r = 0.

Cell α 1

Cell α 210

図 10コンピュータシミュレーション結果 (収束状態).p = 1, q = 1，

r=1

10

c(1,1)c(1,2)

c(2,1)c(2,2)

10

Cell β

図8コンピュータシミュレーション結果 (バースト状態を含む準同期状態).p = 2, q = 3，r = 0.
図 11 4 セルに限定した場合の 2 種類のクローニングテンプレートを

図 9 はクローニングテンプレートの値を p = 1, q = 1，r = 1

用いた CNN.

とした場合である．クラスタリングが観測できる．いくつかのセルは発振しており，白，黒あるいは白と黒の発振状態となっている．この場合，図 10 のように初期値によっては収束する．

4. 発振状態と固有値
本章では，２種類のクローニングテンプレートをもつ CNNについて，周期境界条件で前章で定義した対象なクローニング
テンプレートを対象として，固有値に注目して調査を行う．
まず図 4 のパラメータの場合について，発振現象が確認でき
る最も少ないセルの数をコンピュータシミュレーションで調査
し，4 つのセルでも発振することを確認した．4 つのセルに限定した場合，図 11 のようなモデルとなる．図 12 は，観測された発振現象の時間波形である．図 4，図 5 の場合と同様に初期値によって，2 種類の状態が観測できる．
出力関数 yij は式 (4) で表される区分線形関数としており，
ここで，各線形領域を以下のように定義する．

D+

≡

0

≡

{x > 1}
{1 <
= −1}
=x<

−

≡

{x < −1}.

D
D

(7)

各領域の組み合わせは 34 = 81 通り考えられるが，解析す
るには多すぎるため， 図 12 の場合について，コンピュータシ
ミュレーションによって発振状態での各領域の組み合わせを確認した．表 1 は発振状態での各領域の組み合わせの遍歴を表している．軌道は数字順にループし，No.12 の次に No.1 に戻る．

—4—

表 1 図 12 の場合における領域の遷移.

c(1, 1)

No. Cell α1c(1, 2)c(2, 1)c(2, 2)

図 12 4 セルに限定した場合の発振現象の時間波形. 表 2 の No.1 の場合.

c(1, 1)c(1, 2)Cell β1

Cell β2Cell α2

1

D−

D−

D−

D−

2

D−

D0

D0

D−

3

D−

D+

D+

D−

4

D−

D+

D+

D0

5

D−

D+

D+

D+

6

D0

D+

D+

D+

7

D+

D+

D+

D+

8

D+

D0

D0

D+

9

D+

D−

D−

D+

10

D0

D−

D−

D+

11

D−

D−

D−

D+

12

D−

D−

D−

D0

表 2 図 12–図 15 の発振における 2 つ領域の組み合わせ.

No. Cell α1c(2, 1)c(2, 2)

図 13 4 セルに限定した場合の発振現象の時間波形. 表 2 の No.2 の場合.

Cell β1

Cell β2Cell α2

1-1

D−

D0

D0

D0

1-2

D−

D−

D−

D0

2-1

D0

D+

D+

D+

2-2

D0

D0

D0

D+

3-1

D0

D0

D0

D−

3-2

D0

D−

D−

D−

4-1

D+

D+

D+

D0

4-2

D+

D0

D0

D0

c(1, 1)となった以外は，すべて実数 −1 の重解であった．したがって，

c(1, 2)

軌道が各領域において平衡点へと動き，領域が変わっていくこc(2, 1)とで発振現象は起こっていると考えられる．なお，パラメータを p = 2, q = 3，r = 1 とした場合，図 4 の結果に同期のズc(2, 2)レが生じた状態となり，表 1 の No.3 と No.9 がそれぞれ D − ，

D0 ，D0 ，D0 と D0 ，D0 ，D0 ，D+ と変わり，固有値も複素
図 14 4 セルに限定した場合の発振現象の時間波形. 表 2 の No.3 の場合.

数となった．この結果から，領域が順次切り替わる周期振動がベースとなっているが，パラメータによってある領域のみで振動する要素があり，その場合に同期しないなどの現象が起こりうると考えられる．

c(1, 1)

次に，パラメータを変更することで経由する領域の数が最もc(1, 2)少なくなる場合について調査し，p = 1, q = 1.05, r = 1 の場
合に２つの領域のみでも図 12–図 15 のように発振することを

c(2, 1)

確認した．この場合，初期値によって４種類のいずれかが確認
c(2, 2)できる．表 2 は，それぞれの発振での 2 つの領域を示している．No.1 と No.3 および No.2 と No.4 は，それぞれの c(1, 1)と c(2, 2) を入れ替えた場合である．また，No.1 と No.2 ある

図 15 4 セルに限定した場合の発振現象の時間波形. 表 2 の No.4 の場合.

なお初期値によって，c(1, 1) と c(2, 2) が入れ替わった結果も得られる．領域の組み合わせについて考えると，D+ と D − を入れ替え，c(1, 1) と c(2, 2) を入れ替えることで，No.1 と No.7，

No.2 と No.8，No.3 と No.9，と番号順に対応していることが確認できる．
各領域の固有値を計算した結果，No.2 と No.8 で −1,7,−9

いは No.3 と No.4 を比較すると，D + と D− を入れ替えた場
合に対応していることが分かる．No.1 について固有値を調査した結果，No.1-1 の固有値は，-1,-6,1 ± 2.796 で，No.1-2 の固有値は，-1 だった．以上の結果から，4 つのセルのうち同時に 3 つのセルが D 0 となる場合に振動するパラメータが存在し，対称性から初期値に依存して 4 パタン考えられること. そして，
パラメータによっては，軌道がそれらの 2 つあるいは 4 つを巡る場合があると考えられる．

—5—

5. ま と め
本報告では，2 種類のテンプレートを用いたセルラーニュー
ラルネットワークについて，発振現象などの振舞いについて紹
介し，さらに一定の条件下での発振現象の解析を行った．結果
として，発振するパラメータでは 4 種類の発振パタンが考えられることなどを示した．
今後の課題としては，発振する条件をより明確にすること，発振しない条件を明確にすること，セルの数が多い場合との違[16] A. Bouzerdoum and R. B. Pinter, ”Shunting inhibitory cellular neural networks: derivation and stability analysis,”IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 40, no. 3, pp. 215221, 1993.
[17] P. Arena, S. Baglio, L. Fortuna and G. Manganaro, ”Complexity in a two-layer CNN,” Proc. Int. Workshop Cellular
Neural Networks and their Applications (CCNA), pp. 127–
132, 1996.
[18] Zonghuang Yang, Y. Nishio and A. Ushida, ”Templates andalgorithms for two-layer cellular neural networks,” Proc.
Int. Joint Conf. Neural Networks (IJCNN) vol. 2, pp. 1946–
1951, 2002.

いの検討などが挙げられる．
文

献[1] L. O. Chua and L. Yang, ”Cellular neural networks: Theory,” IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 35, no. 10,
pp. 1257–1272, 1988.
[2] L. O. Chua and L. Yang, ”Cellular neural networks: Applications,” IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 35, no. 10,
pp. 1273–1290, 1988.
[3] L. O. Chua and T. Roska, Cellular Neural Networks and Visual Computing: Foundation and Applications, Cambridge,
UK: Cambridge University Press, 2002.
[4] T. Matsumoto, L. O. Chua, and R. Furukawa, ”CNN
cloning template: hole-filler”, IEEE Trans. Circuits andSystems, vol. 37, no. 5, pp. 635–638, 1990.
[5] T. Matsumoto, L. O. Chua, and R. Furukawa, ”CNN
cloning template: shadow detector”, IEEE Trans. Circuits
and Systems, vol. 37, no. 8, pp. 1070–1073, 1990.
[6] T. Kozek, T. Roska, and L. O. Chua, ”Genetic algorithm
for CNN template learning,” IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 40, no. 6, pp. 392–402, 1993.
[7] K. R. Crounse, T. Roska and L. O. Chua, ”Image halftoning
with cellular neural networks,” IEEE Trans. Circuits andSystems II, vol. 40, no. 4, pp. 267–283, 1993.
[8] K. R. Crounse and L. O. Chua, ”Methods for image processing and pattern formation in Cellular Neural Networks:
a tutorial,” IEEE Trans. Circuits and Systems I, vol. 42,
no. 10, pp. 583–601, 1995.
[9] L. Yang, L. O. Chua and K. R. Krieg, ”VLSI implementation of cellular neural networks,” Proc. Int. Symp. Circuits
and Systems (ISCAS), vol. 3, pp. 2425–2427, 1990.
[10] J. E. Varrientos, E. Sanchez-Sinencio and J. RamirezAngulo, ”A current-mode cellular neural network implementation,” IEEE Trans. Circuits and Systems II, vol. 40, no. 3,
pp. 147–155, 1993.
[11] G. C. Cardarilli, R. Lojacono, M. Salerno and F. Sargeni,”VLSI implementation of a Cellular Neural Network with
programmable control operator,” Proc. Midwest Symp. Circuits and Systems (MWSCAS), vol. 2, pp. 1089–1092, 1993.
[12] T. Roska and L. O. Chua, ”Cellular neural networks withnonlinear and delay-type template elements,” Proc. Int.
Workshop on Cellular Neural Networks and Their Applications (CCNA), pp. 12–25, 1990.
[13] T. Yang, L. B. Yang, C. W. Wu and L. O. Chua, ”Fuzzy
cellular neural networks: theory,” Proc. Int. Workshop on
Cellular Neural Networks and Their Applications (CCNA),
pp. 181–186, 1996.
[14] W. Porod, C. S. Lent, G. Tóth, H. Luo, A. Csurgay, Y.F. Huang and R.-W. Liu, ”Quantum-dot cellular nonlinear
networks: computing with locally-connected quantum dot
arrays,” Proc. Int. Symp. Circuits and Systems (ISCAS),
vol. 1, pp. 745–748, 1997.
[15] K. Tsuruta, Z. Yang, Y. Nishio, A. Ushida, ”Small-world
cellular neural networks for image processing applications,”
Proc. European Conf. on Circuit Theory and Design (ECCTD), vol. 1, pp. 225–228, 2003.

—6—