目次• 境界層とは？
– その定義– 境界層のなかで起きている現象

境界層• 典型的な境界層– 境界層過程が求める時間変化率とは？
– 境界層のモデリング12

境界層とは？
• 明確な定義はないが、地表面に近い大気– The layer of air directly above the Earth’s surface
in which the effects of the surface (friction,heating and cooling) are felt directly on timescales less than a day, and in which significant
fluxes of momentum, heat or matter are carriedby turbulent motions on a scale of the order ofthe depth of the boundary layer or less.

境界層とは？
境界層の中で起きていること(by Garrat)– つまり、地表面の摩擦、熱、水蒸気が影響する層• 境界層上端の雲も重要
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境界層で起きていること

境界層と自由大気• 地表面と大気との間での交換– 地面の摩擦によって風速が弱まる• 大気から地面に運動量が輸送される、と解釈

通常、地上から高度3kmくらいまでが境界層となる。
それより上は自由大気と呼ばれる。

– 顕熱が地面から大気に供給(顕熱フラックス)– 水蒸気が地面から大気に供給(潜熱フラックス)

境界層の高さをhとすると、地上から0.1hまでは接地境界層、それより上はエクマン層と呼ばれる。

• 地面では水の状態のものが、大気に蒸発して供給される。

• これらが境界層内に輸送される。
• 運動量、熱、水蒸気の(鉛直)輸送(フラックス)による時間変化率を求めるのが境界層過程561

フラックス輸送による時間変化率

境界層モデルの概念
境界層パラメタリゼーション：乱流輸送による時間変化
低温

熱水蒸気運動量

高温
地表面フラックス

風鉛直 不安定度
シアフラックス＝
物理量の輸送• 地表面フラックスを評価• 粗度長さ、接地境界層の安定度、最下層と地表面の物理量の差に依存• 風の鉛直シア、不安定度などによりをフラックスを算出。
• フラックスに応じて物理量を鉛直方向に輸送。

X, Y 方向からの寄与も同様に計算できて、それを足し合わせたものが時間変化率となる

8観測例

典型的な境界層の日変化
地面が加熱され、顕熱・潜熱フラックスが供給されるとともに鉛直一様な層が高くなっていく。
鉛直一様の層=混合層

近藤「人間環境の気象学」よりStull より
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なにが輸送をするのか？
乱流＝大気は常に乱れている

典型的な境界層

風速・温位の平均からの変動の観測例•混合層の上端にはよく層積雲が生成。
•層積雲上面では、放射冷却によって強い逆転層=温位で見ると大きなジャンプができる。

鉛直風(平均)は水平風(平均)よりはるかに小さいが、変動量は同じオーダー

竹内・近藤 よりFrom Lock et.al (2000)
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乱れによる輸送
例:断熱の場合の温位の方程式

Reynolds 分解・Reynolds平均• 平均値とその周囲の乱れに分解– 時間的・空間的平均操作:Reynolds 平均– 乱れのReynolds平均は0:• のフラックス

はExplicit Flux = advection

Subgrid flux to beparameterized

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境界層近似

14の解釈
(a) 不安定成層のとき
w’ > 0 で、parcel が断熱的に持ち上がると周りより暖かくなる: つまりΘ’ > 0。
w’ < 0 で、parcel が断熱的に下がると周りより冷たくなる: つまりΘ’<0。いずれの場合もw’Θ’ > 0。

• 通常、
• 加えてたいていの大気モデルでは、• したがって、(b) 安定成層のとき(a)と逆の議論で、w’Θ’ < 0• 鉛直輸送が最も寄与。水平成分は無視。
• (注)上の議論はExplicit flux =移流には成立しない:
15の実際(1)16の実際(2)w’, Θ’, w’Θ’の頻度分布
w’ , Θ’の平均値が0でもw’Θ’の平均は0ではない。

Stull より

Stull より
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境界層の発達とフラックスの実際(3)温位(観測)

温位(モデル)フラックス(モデル)

エントレ
インメント

竹内・近藤より

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境界層でよく使う保存物理量• 液水温位• 総水量• これらの量は凝結を含めても保存• 凝結を含む過程では、の代わりにを考える。
• 参考 Deardorff (1976)

境界層のモデリング

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クロージャー問題

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乱流の基礎方程式• Navier-Stokes 方程式• 用語– N次のモーメント: N個の揺らぎ量の積の平均– フラックスは2次のモーメント– 場の平均量は1次のモーメントと定義する

気圧傾度力

重力コリオリ力

分子粘性(平均+乱流による揺らぎ)に分解して代入し、平均操作をとると…..

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1次のモーメント量の方程式

2次のモーメント量の方程式

以下、Einstein の縮約規則を利用

1次のモーメント=平均量の方程式
2次のモーメント量

この項が乱流による平均場への寄与

変動量に対する方程式
2次のモーメントの方程式には、3次のモーメントが現れてしまう。より高次の相関量が必要になる。＝closure 問題(以降、コリオリ項、分子粘性項は省略)

地表付近では風は等圧線に沿わず低圧部側に横切る

フラックスのモデリング• もっとも古典的で簡単なもの:down gradient• 地衡風:気圧傾度力とコリオリ力が釣り合う

2次のモーメントを1次モーメントで表現＝1次クロージャーモデル

– ある程度の高度以上では等圧線に沿って、風は吹く– つまり、多いところから少ないところへ移動。
– 時間変化率の方程式に代入すると、• 地表付近では、等圧線を横切って、低圧部に向かって吹きこむ• この down gradient のモデリングで理解が可能

これは拡散方程式。
時間がたつにつれ、場はほぼ一定になる– 拡散係数を求めることが仕事• 通常、運動量、スカラー(熱・水蒸気)の2種類の拡散係数を計算
2827エクマンスパイラル(1)エクマンスパイラル(2)• 複素数表示を使って、まとめると• 仮定– 定常状態(時間微分は0)– 非線形項(=移流項)はコリオリ項に比べて小さい– 境界層近似– 地衡風の関係が常に成立– フラックスはdown gradient, Ｋは一定

• 地衡風の方向をx軸に取る(vg=0)と、この解は29305

エクマンスパイラル(3)低圧部

非勾配項(1)• Down gradient 項だけでは一様層は実現できない

Garrat より作成

– Down gradient では、輸送に勾配が必要
高圧部• 注:いくら拡散係数が大きくても勾配がなければフラックスは０．拡散係数の大小はスキームの組み立てには重要だが、場への時間変化には本質的ではない。

地衡風• これは非常に簡単化してあるので、このようなスパイラルを描いているとは限らない– 混合層では、地表面からフラックスが入ってくる。
これを上空に輸送しないと地表面に熱、水蒸気がたまってしまう。
– これを輸送するためには、勾配を残すことが必要• しかし、低圧部に向かって吹きこむことは定性的に理解できる。
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Non-gradient Flux による効果

非勾配項(2)• Down gradient に加え、non-gradient termを加える。

1次元モデルによるnon-gradient fluxの効果の比較• ほぼ一様な混合層では、non-gradient termが大きく寄与。

V
赤 w NG緑 w/o NG

Stress(y)赤 all w NG
緑 all w/o NG
青 Gra w NG
紫 Ngra w NG

•NGありの方がより一様な層を実現•Stress はNGあり/なしで大きく変わらない。しかし、同じStressを実現するために、ある程度の勾配が残っている必要がある。
•より一様な層が観測などとより一致している。

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KPタイプ

さまざまな境界層(乱流)モデル• KPタイプ• UKMO の境界層スキーム– 1次クロージャーで拡散係数・非勾配項を直接パラメタライズしようとする。
• UK Met Office の境界層スキーム(Lock et. al 2000)• TKEタイプ

各鉛直カラムの安定・不安定は地表面の浮力フラックスで決定する– 乱流エネルギー(TKE)と拡散係数の間の関係– 乱流エネルギーをその輸送方程式から予報/診断する。
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From Lock et.al (2000)

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UKMOの境界層スキーム

安定層の安定度関数への依存性
安定度関数のリチャードソン数依存性• 前者がlocal, 後者が non-local と呼ばれる。

GABLS2 SCM
夜間の温位– Ksurf , Ktop はそれぞれ surface driven, cloud top
driven term と呼ばれる。
– Non-local は不安定層で寄与

fm• Local scheme– fm, fh: 安定度関数
リチャードソン数• 安定層でのフラックスの振る舞いを支配• 複数のオプションあり

強安定で大きなfmであるほど、下向きフラックスが大きくなって、安定境界層が高くなる

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Non-local scheme

38TKEタイプ•Local scheme では、局所的な安定度だけで拡散係数を決めていたが、渦は局所的なものだけでなく、もっと大きなものがある。
•Non-local scheme では、混合層の高さ、w*, u* といったその点に局所的ではない量を用いてparameterizeする。
•Ktopも同様。混合層の高さの代わりに雲の厚さ、地上からの高さの代わりに雲底からの高さを用いる。wmの代わりに雲頂での放射フラックスの発散、浮力を考慮した複雑な速度スケールを用いる•混合層の上端では、エントレインメント率をパラメタライズ(これもnon-local)し、これを使ってフラックスを決めている。

• 基本となる関係式:– l: 混合長 (乱流のスケール、別途診断)– 定数(1次クロージャー) or 変数(MYモデル)• KPタイプに比べてシンプルであるが、以下にTKEを求めるかがキーポイント

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乱流エネルギーの方程式40

浮力フラックス• 乱流エネルギーの主要な生成源• 凝結水フラックスが大きく寄与

風速シアによる生成浮力による生成

拡散項

散逸– 凝結する際に潜熱を出して浮力を生む(浮力フラックス)

圧力輸送項は拡散項とパラメトライズ– 未飽和の場合– 飽和している場合– 部分的に凝結していることを考慮してを決める＝部分凝結スキーム(Sommeria and Deardorff (1977))
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TKEタイプの例
Deardorff

Mellor-Yamada モデル

TKEタイプの一例• Mellor-Yamada model• Deardorff (1980)– クロージャー関係は1次。Down gradient– TKEを予報– もともとはLES(超高解像度モデル)のために開発されたもの– 2007年5月までのMSMで利用– cが定数であることが難点– 2次のクロージャーモデル(3次モーメントを2次以下のモーメントを使って表現)– 近似の度合いによってレベル4—レベル1• レベル4: フルモデル。すべての2次モーメントを予報• レベル3: TKE,を予報、その他は診断• レベル2.5: TKEのみを予報、その他は診断• レベル2: すべて診断 (GSMで利用)• MSMでは、cをチューニングパラメータとして、混合層の中では0.2, 外では0.1という設定も使っていた。

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鉛直拡散による時間変化率の計算

Mellor-Yamada モデル• 2次のクロージャーモデルであるが、境界層近似のもとで解いたフラックス(2次のモーメント)は、downgradient に帰着する。

• フラックスを求めることができれば、から時間変化率を求めることができる。
•レベル2では、生成項と散逸項が釣り合うと仮定•SM, SHはフラックスリチャードソン数の関数としてあらわされる。
•フラックスリチャードソン数はリチャードソン数
同様、局所的な安定度の指数•定式はlocalスキームであるが、変化するSM,SHによって特にレベル2.5以上ではノンローカ
ルと同様の効果• しかし、単純にフラックスを鉛直差分したものを時間変化率とすると計算不安定となることが多い。

45鉛直拡散による時間変化率の評価• 簡単のため、他の過程からの時間変化率は無視して、鉛直フラックスの寄与だけ考える。
• それは、次の拡散方程式を解くのと同じ

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拡散方程式の時間離散化
Explicit• Explicit: 右辺をtimestep n の値で評価– しかし、この時間変化率を使って積分すると計算不安定に陥ることも。

• しかし、拡散方程式を解くには、工夫が必要

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拡散方程式の時間離散化
Implicit

Implicit 解法を使う際の注意• Implicit: 右辺をtimestep n+1の値で評価• 境界層過程で評価するものはフラックスであり、フラックスがわかればexplicitに解く場合はフラックスだけで時間変化率が求まる。
• しかし、implicit に解く場合は、フラックスだけでなく、未知変数の係数となる拡散係数(交換係数)も必要であることに注意。

δχについて整理するとこれはδχについての三重対角方程式
これを解けば時間変化率δχが求まる。
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Large Eddy Simulation• 水平解像度数kmでは鉛直フラックス(鉛直流)は陽には表現されない。
– MYは大小含めたすべての鉛直輸送を表現しようとしている• 水平解像度1km程度以下なら、それなりに鉛直輸送を解像するようになる• LESでは乱流(渦)を陽に解像する大きいものとパラメトライズする小さなものに分ける• Deardorff スキームはLESの小さな渦を表現しようとしたもの。
• 超高解像度が必要であり、現業モデルで使うことはまだまだであるが、現象の解明、パラメタリゼーションの糸口をつかむ、鉛直1次元モデルのリファレンスとしても使われる。
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