Calculs et expérimentations en théorie des nombres

Calculs et expérimentations
en théorie des nombres

X.-F. Roblot

Calculs et expérimentations en théorie des nombresMéthodes explicites

Pourquoi des calculs en théorie des nombres ?
Parce que c’est possible !
2. Pour expliciter les objets donnés par la théorie
Exemple : Extensions de degré donné d’un corps p-adique3. Pour tester ou établir des conjectures
Exemple : Conjecture de Brumer-Stark

1. Pour démontrer des résultats
Exemple : Entiers de la forme p + 2kTous les calculs ont été effectués avec le système PARI/GP

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Entiers p + 2k

Entiers de la forme p + 2k (avec L. Habsieger)
On étudie les entiers impairs de la forme
p + 2k avec p premier et k ≥ 1
Exemples : 125 = 109 + 24 ou 65 755 = 32 987 + 215
Question. Quelle est la “proportion” des entiers impairs qui s’écrivent
sous cette forme ?
Beaucoup ! Jusqu’à 500, seuls 127, 149, 251, 331, 337, 373 nes’écrivent pas sous cette forme.
Reformulation. Trouver des majorations de# n ≤ N avec n impair et n = p + 2k
d = limN →∞N/2
# n ≤ N avec n impair et n = p + 2k
¯d = lim sup
N/2
N →∞?

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Entiers p + 2k

L’idée d’Erdös est de trouver un entier M et une classe c modulo M tels
quec − 2k non inversible modulo M pour tout k ≥ 1.
En effet, si n = p + 2k ≡ c (mod M ), alorsou p - M et p est inversible modulo M : impossible
ou p | M , mais alors#{n = p + 2k ≤ N avec p | M } ≤ C × log Net donc ces entiers ont une densité nulle.
Donc, une telle classe fait diminuer la densité de 1/M .
Par exemple, pour M = (224 − 1)/3, il y a 48 telles classes et doncd¯ ≤ 0.9999914161

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Entiers p + 2k

On peut généraliser cette idée : si pour c une classe modulo M ,l’ensemble
c − 2k ; k ≥ 1 ∩ (Z/M Z)×est très petit, alors la proportion d’entiers impairs de la forme p + 2kcongrus à c modulo M est très faible.
Plus précisément, si le cardinal de cet ensemble est L(c) alors on a2 L(c)#{n = p + 2k ≤ N avec n ≡ c (mod M )}≤N →∞N/2w log 2 ϕ(M )limoù w est l’ordre de 2 modulo M
Par un procédé de “backtracking”, on trouve M admettant beaucoup
de telles classes avec
M = 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 31 · 41 · 73 · 241 · 257

Théorèmed¯ ≤ 0.98188186

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Extensions de degré donné d’un corps p-adiqueExtensions de degré donné d’un corps p-adique(avec S. Pauli)
Nombres p-adiques. Soit p un nombre premier
Z = ±(a0 + a1 p + · · · + ak pk ) avec k ≥ 0 et 0 ≤ ai ≤ p − 1

Zp = a0 + a1 p + · · · + ak pk + · · · avec 0 ≤ ai ≤ p − 1
Exemples :−2− 1/3√
4
17==1 + 2 · 3 + 2 · 32 + 2 · 33 + 2 · 34 + · · · ∈ Z33 + 5 + 3 · 52 + 53 + 3 · 54 + 55 + · · · ∈ Z5

=1 + 2 + 24 + 26 + 29 + 213 + 215 + · · · ∈ Z2

Zp est la complétion de Z pour la valeur absolue |x| = p−vp (x) , c’est un
anneau intègre avec un seul idéal premier, engendré par p, dont le corps
de fraction est Qp , le corps de nombres p-adiques.
Question. Calculer les extensions totalement ramifiées de degré fixé de Qp .

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Extensions de degré donné d’un corps p-adiqueExtensions de corps.
E/F est une extension de corps si E et F sont deux corps avec F ⊂ E.
E est un F -espace vectoriel et on note [E : F ], le degré de E sur F , ladimension de cet espace.
E/F est algébrique si, pour tout α ∈ E, il existe A(X) ∈ F [X] tel queA(α) = 0. On peut choisir A unitaire et irréductible, il est alorsunique. On note Irrα (X).
Résultat. Si [E : F ] < +∞, alors E/F est algébrique.
De plus, si car(F ) = 0, alors il existe α ∈ E tel queP (α)F [X]E = F (α) =avec P, Q ∈ F [X], Q(α) 6= 0 'Q(α)(Irrα (X))
On a alors [E : F ] = deg Irrα (X).

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Extensions de degré donné d’un corps p-adiqueAnneaux des entiers et ramification.
Soit K/Qp une extension algébrique de degré N , l’ensemble
ZK = {α ∈ K tel que Irrα (X) ∈ Zp [X]}est un sous-anneau de K, l’anneau des entiers de K. L’anneau ZK
admet un unique idéal premier pK .
On a pZK = pKe et [ZK /pK : Fp ] = f avec [K : Qp ] = N = e × f .
L’extension K/Qp est totalement ramifiée si f = 1. Alors, pour πgénérateur de pK , on a K = Qp (π) et le polynôme Irrπ (X) est unpolynôme d’Eisenstein en p, c’est-à-direIrrπ (X) = X N + aN −1 X N −1 + · · · + a1 X + a0
avec aN −1 , . . . , a0 ∈ pZp et a0 6∈ p2 Zp .
La réciproque est aussi vraie : une racine d’un polynôme d’Eisensteinengendre une extension totalement ramifiée.

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Extensions de degré donné d’un corps p-adique

Polynômes d’Eisenstein et extensions totalement ramifiées.
L’ensemble EN des polynômes d’Eisenstein de degré N s’identifie avec×pZp×pZp

×···×
pZp×pZp

pZp \ p2 ZpPar le lemme de Krasner, si deux polynômes E1 , E2 ∈ EN sont trèsproches alors les corps qu’ils définissent sont isomorphes
Qp [X]/(E1 ) ' Qp [X]/(E2 )Puisque EN est compact, on en déduit qu’il suffit d’un nombre fini depolynômes pour engendrer toutes les extensions totalement ramifiées dedegré N de Qp , donc ce nombre d’extensions est fini.
Par une étude précise, on peut déterminer un tel ensemble fini SN depolynômes. Problème : il y a beaucoup trop de polynômes !

Calculs et expérimentations en théorie des nombres
Extensions de degré donné d’un corps p-adiqueNombre des extensions totalement ramifiées de degré N .
Soit KN l’ensemble des extensions totalement ramifiées de degré N . Enétudiant les fibres de l’application[pK \ p2K → ENK∈KN

π7→Irrπ (X)on en déduit le nombre d’éléments de KN . On peut alors engendrer leséléments de SN , les uns après les autres, jusqu’à obtenir suffisammentde polynômes pour définir tous les éléments de KN .

Exemple.
Les 9 polynômes suivants engendrent toutes les extensions totalement
ramifiées de degré 3 de Q3
X3 − 2X − 39X − 107
X 3 − 396X − 3063
3X 3 + 3X − 1
X 3 − 39X − 104
3X − 39X − 116
X 3 + 6X − 2833
X + 81X − 234 X − 396X − 3054

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-StarkVérification de la Conjecture de Brumer-Stark(avec C. Greither et B. Tangedal)
Un corps de nombres est une extension finie de Q.
Pour K un corps de nombres, il existe α ∈ K tel que K = Q(α) et donc
Q(α) ' Q[X]/(Irrα (X)) ' Q(αi )où α1 , . . . , αd sont les racines de Irrα (X) dans C.
On pose r1 le nombre de αi appartenant à R et 2r2 = d − r1 le nombre
de αi appartenant à C \ R.
K est totalement réel si r2 = 0 et totalement complexe si r1 = 0.
Un idéal fractionnaire de K est de la forme a−1 a avec a ∈ Z≥1 et a unidéal entier non nul de ZK . Les idéaux fractionnaires de K forment ungroupe IK , et les idéaux principaux un sous-groupe PK d’indice fini.

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-Stark

Soit K/k une extension abélienne de corps de nombres, c’est-à-dire legroupe de Galois Gal(K/k) de cette extension est un groupe abélien.
La théorie du corps de classes associe à cette extension un idéal entier fde k, la partie finie du conducteur de K/k, et un morphisme de groupes
Ik (f) →a7→Gal(K/k)σaoù Ik (f) est le groupe des idéaux (fractionnaires) de k premiers avec f.
Pour σ ∈ Gal(K/k), on définit une fonction zêta partielleXζK/k (σ, s) =N a−s<(s) > 1a∈IK (f), a⊂ZK
σa =σavec N a ∈ N, la norme de l’idéal entier a.

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-Stark

On suppose K totalement complexe et k totalement réel.
Soit wK le nombre de racines de l’unité dans K, l’élément de Brumer
est défini parX
ΘK/k = wKζK/k (σ, 0) · σ −1 ∈ Z[Gal(K/k)].
σ∈Gal(K/k)

Soit A un idéal fractionnaire de K. On dit que BS(A) est vérifié si
1L’idéal AΘK/k est un idéal principal

et admet un générateur α(A) tel que
23α(A) est une anti-unité, i.e. |σ(α(A))| = 1, ∀σ ∈ Gal(K/k).
α(A) est wK -abélien pour K/k, i.e. ∀λ ∈ C avec λwK = α(A),l’extension K(λ)/k est abélienne.

Conjecture de Brumer-Stark.
BS(A) est vérifiée pour tout idéal fractionnaire A de K.
Question. Comment vérifier cette conjecture ?

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-Stark

L’ensemble{A ∈ IK tel que BS(A) est vérifiée}est un sous-groupe de IK , stable sous l’action de Gal(K/k), etcontenant les idéaux principaux de K. Ainsi la vérification de laconjecture de Brumer-Stark se ramène à un nombre fini de vérifications
BS(Ai ), i = 1, .., s avec
hA1 , · · · , As iZ[Gal(K/k)] · PK = IK .
Soit A idéal fractionnaire de K, comment vérifier BS(A) ?
On commence par déterminer ΘK/k . Pour cela, on calcule des valeursapprochées des fonctions ζK/k (σ, 0), on remplace dans la formule et onarrondit aux entiers les plus proches.
Puis, on calculeAΘK/k
et on vérifie que c’est bien un idéal principal.

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-Stark

On trouve un générateur α(A). Pour vérifier si c’est une anti-unité, onutilise le critère suivant
α est une anti-unité ssi α1+c = 1, ∀c conjugaison complexe de K.
Si ce n’est pas le cas, on réduit α(A) modulo le groupe UK des unitésde K, pour obtenir une anti-unité. Mais, en fait c’est toujours le cas !
Pour tester si α(A) est wK -abélien pour K/k, on utilise le critèresuivant
Soient σ1 , . . . , σt un système de générateurs de Gal(K/k), et desentiers Ni avec σi (ω) = ω Ni pour toutes racines de l’unité ω ∈ K.
Alors, α est wK -abélien ssi ∃βi ∈ K tels que
ασi −Ni = βiwK , ∀iσ −Nj

βi j= βjσi −Ni , ∀i 6= j.

Calculs et expérimentations en théorie des nombresVérification de la Conjecture de Brumer-Stark

Toutes ces tests se font sur des objets exacts, ainsi chaque vérification
pour une extension K/k fournit une preuve de la validité de laconjecture.

Vérification
La conjecture de Brumer-Stark est démontrée par cette méthode pour379 extensions K/k de groupe C4 avec k quadratique réel, 534
extensions K/k de groupe C6 avec k quadratique réel, et 259 extensions
K/k de groupe C6 avec k cubique réel.

Ces calculs ont aussi permis de remarquer un phénomène sur la 2-partie
dans les exemples du premier cas. Dans toutes ces exemples, une part dela 2-partie peut être supprimée sans affecter la validité de la conjecture.
Merci de votre attention !