2次元乱流における異常渦粘性岩山隆寛，村上真也（神戸大・理）iwayama@kobe-u.ac.jp

渡邊威（名工大・工）watanabe@nitech.ac.jp
2014. 7. 7 第65回惑星大気研究会オンラインセミナー

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目次
1.

はじめに
– 渦粘性とは
2. 研究対象：一般化された2次元流体系– 支配方程式– 基本的性質– 過去の研究– 本研究の目的
3. 一般化された2次元流体系の渦粘性– 定式化– EDQNM完結近似方程式の解析・数値計算– DNSによる検証
4. 考察・・・未完成

5.

まとめ2はじめに3渦粘性の物理的例• 済州島の風下にできるKarman渦列
Reynolds数

2007年2月15日：流速：円柱の直径：粘性係数
Karman渦ができる条件

高知大学気象情報頁
http://weather.is.kochi-u.ac.jp/wiki/inwxhome/20070215karman_e6_b8_a6– 済州島の条件では，粘性係数が空気の粘性係数の渦粘性倍・・・

4
http://socyo.high.hokudai.ac.jp/more_html/buturi/news/bsn9811/im/vortex.jpg

数値計算における渦粘性• 支配方程式– 格子サイズ– 格子サイズ以上の現象と格子サイズ以下の現象に分離• 上付き線：格子サイズで平均．
– 格子で表現できる現象の支配方程式

格子で表現できる現象と格子サイズ以下の現象との相互作用
しばしばとおく5

乱流の特徴•••••微小擾乱に対する不安定性
巨大自由度
大きな輸送能力
強い非線形性
散逸性
乱流理論の基礎知識（後藤俊幸，朝倉書店, 1998)

6本研究の目的•一般化された2次元流体系における渦粘性を求める

7一般化された2次元流体系

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本研究の対象• 一般化された2次元流体系（α 乱流系）
(Pierrehumbert, et al., 1994)

q : （一般化）渦度,：流れ関数，: 実数（, Iwayama & Watanabe, 2010): Jacobian– α＝２：Navier—Stokes系– α＝１：Surface-Quasi-Geostrophic（SQG）系 (Held, 1995)– α＝-２：Charney-Hasegawa-Mima方程式系の漸近モデル(CHM-AM)(Larichev & McWilliams, 1991)
地球流体力学的2次元系
9一般化された2次元流体系の研究目的• 地球流体力学的2次元流体系を統一的な観点から研究・理解する• 2D Euler/NS 系のもつ普遍性や特殊性を明らかにする– α の値に依存しない性質・・・普遍性– αの値に対して連続的に変化する性質・・・特殊性• ある α の値での性質の転移

10一般化された2次元流体系の非粘性保存量• 2次元NS系と同様に2つの非粘性保存量が存在する．
– （一般化）エネルギー• （一般化）エネルギースペクトル：– （一般化）エンストロフィー• （一般化）エンストロフィースペクトル：– スペクトルの関係

11強制2次元NS乱流のエネルギースペクトルM. Lesieur, (“Turbulence in Fluids”. 2008)
2次元乱流の古典理論（KLB理論）• Kraichnan(1967)• Leith (1968)• Batchelor (1969)

エネルギー保持領域

赤外領域

慣性領域

慣性領域
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一般化された2次元流体系のスペクトルα<2 ではKLB理論で説明可エネルギー保持領域

赤外領域

慣性領域

慣性領域
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一般化された2次元流体系の過去の研究
乱流研究が精力的に行われてきた• 強制散逸一様等方性乱流– エンストロフィー慣性領域のスペクトル• Pierrehumbert et al. (1994)• Schorghofer(2000)• Watanabe & Iwayama (2004, 2007)• Tran et al. (2010)– エネルギー慣性領域のスペクトル
energy inertial range• Smith et al. (2002)• Burguess & Shepherd (2013)• 非等方乱流• Sukhatme & Smith (2009)• 二重カスケード過程

enstrophy inertial range• Tran (2004)• Gkioulekas & Tung (2007)• Burguess & Shepherd (2013)• 赤外領域スペクトル• Iwayama & Watanabe (2014)

エネルギー

dissipation

forcing

エンストロフィー14

dissipation

本研究の目的•一般化された2次元流体系における渦粘性を求める– ある波数（切断波数）よりも大きな波数で系を切断した時の,のモードの発展に与える影響（渦粘性）を調べる– 任意のαで渦粘性は研究されていない．
NS系（α=2）ではKraichnan (1976)で研究されている– 渦粘性のα依存性を調べる．

•方法
1.
2.
3.

完結近似方程式の解析的計算
完結近似方程式の数値計算
直接数値シミュレーション

15一般化された2次元流体系の渦粘性16

定式化• 支配方程式,– 領域：無限平面: または正方形領域2重周期境界条件→ 波数空間内の方程式を用いて議論• 切断波数で波数空間を分割–の発展に注目– 特に 以下のエンストロフィースペクトルの発展に注目
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定式化• 支配方程式,– 領域：無限平面: または正方形領域2重周期境界条件→ 波数空間内の方程式を用いて議論• 切断波数で波数空間を分割–の発展に注目– 特に 以下のエンストロフィースペクトルの発展に注目
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定式化• エンストロフィースペクトルの発展方程式– エンストロフィー伝達関数:•を満たすあらゆる波数のモード相互作用によりエンストロフィーは発展との

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定式化
• エンストロフィースペクトルの発展方程式•–のみの相互作用によるエンストロフィー伝達関数:–を含む相互作用によるエンストロフィー伝達関数:

をどのように表現するか/できるか– 通常の渦粘性表現• 渦粘性係数はは定数か？
• 常識（？）：スケール分離が十分なら拡散型では定数– EDQNM完結近似方程式で理論的な見積もりを行う

20EDQNM完結近似方程式の解析• エンストロフィーの発展方程式– Eddy-Damped Quasi-Normal Markovianized 近似(Burgess & Shepherd, 2013)：幾何学的因子: 3次モーメントの緩和時間

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EDQNM完結近似方程式の解析• エンストロフィー伝達関数の表現の向かい側の角度の余弦を満足する波数
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EDQNM完結近似方程式の解析•に注目• エンストロフィー伝達関数のうち,の寄与を計算– 微小パラメター
による

non-local triadのモードの展開

local triad
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EDQNM完結近似方程式の解析• エンストロフィー伝達関数の展開の最低次の項– 詳しい計算は Iwayama & Watanabe (2014)を参照←が伝達関数の波数依存性

赤外領域で重要24

EDQNM完結近似方程式の解析においてエンストロフィー伝達関数の表現•–において渦粘性は拡散型ではない• NSのときにのみ拡散型– 渦粘性係数• 渦粘性係数の符号は[・]の中の符号できまる•のとき
であれば25EDQNM完結近似方程式の数値計算• EDQNM完結近似方程式のエンストロフィー伝達関数を具体的に計算• 仮定：エネルギー慣性領域のKraichnan-Leith-Batchelorスペクトルを仮定• EDQNMの解析からの示唆を考慮して以下をプロット
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EDQNM完結近似方程式の数値計算•において渦粘性係数は一定値に近づく– NSのときにのみ拡散型．それ以外のαでは異常拡散型における渦粘性係数の•符号– α< 2.5 のとき負– α> 2.5 のとき正α > 2.5 のときにはEDQNM方程式のエ
ネルギー慣性領域におけるエネルギーフラックスは高波数に向く(Burgess & Shepherd, 2013)•

では渦粘性表現はよい近似でない

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EDQNM完結近似方程式の数値計算• Kraichnan (1976) との比較

Kraichnan (1976)
NS系. TFMでの計算

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直接数値計算による検証• 支配方程式の直接数値シミュレーションで先の結果を確かめる• 完結近似方程式は，渦構造や間欠性を取り込めていない理論• 渦構造が渦粘性の波数依存性，符号を変えるか？
– 特にα>2.5 のときの符号は？

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直接数値実験による検証• 数値実験の概要– 計算領域 :– 周期境界条件– 解像度 :– スペクトル法: 切断波数 682– 3次のAdams-Bashforth法– 強制散逸乱流• Markov的強制．強制波数(• 超粘性による散逸：を中心に波数±2の幅)– エネルギー慣性領域を実現• エンストロフィー慣性領域も狭いながら実現–30

直接数値実験による検証
において渦粘性係数は一定値に近づく•
における渦粘性係数の符号•– α> 2.5 のときも負
α > 2.5 でもエネルギー慣性領域におけるエネルギーフラックスは低波数側に向く(Burgess & Shepherd, 2013)

では渦粘性表現はよい
近似でない•を変えても結論は変わらない•–31

EDQNMとDNSの比較
EDQNM

DNS

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考察

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疑問点
• なぜ渦粘性係数は負なのか？
• なぜ渦粘性の波数依存性はなのか？
•となる微視的プロセスの物理モデルは？
• 他の方法で同じ結果が示せるか？

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なぜ渦粘性係数は負なのか？
• Fjortoftの定理で説明– 3つの波数間でエネルギーとエンストロフィーを分配– ただし，エネルギーとエンストロフィーを保存するという条件のもとで– 中間の波数から高波数側，低波数側へ向けてエネルギー，エンストロフィーが輸送されているとする–
ではエネルギー/エンストロフィーフラックス
は常に低波数向き

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なぜ渦粘性の波数依存性はなのか？

• 流れ関数と（一般化）渦度の関係式から説明できないか？
– 点渦によって作られる流れ関数(Green関数）
Iwayama & Watanabe (2010)– D次元Poisson方程式のGreen関数– したがって，距離依存性を眺めると・・・フラクタル次元– 特性指数βの対称な安定分布に従うランダムウォークの変位を記述する確率方程式
・・・特性指数はフラクタル次元とみなせることができる（高安, 1986)36

となる微視的プロセスの物理モデルは？
• 最近接格子へのランダムな移動の物理的モデルは拡散方
程式になる

• ？？？
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他の方法で同じ結果が示せるか？
• 他の方法としての候補– 繰り込み群
まだ具体的計算はしていない．

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まとめ
• 一般化された2次元流体の乱流状態の渦粘性を理論的・数値実験的に調べた．
– 系をある波数 で切断したとき，切断が切断波数よりも低波数のモードに及ぼす影響を調べた– スケール分離が十分であっても• α> 0のとき波数の4-α乗に比例• α < 0のとき波数の 4 乗に比例• NS系のときにのみ渦粘性は拡散型–のとき渦粘性係数は負である

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