女子中高生夏の学校 2010
-科学・技術者のたまごたちへ-実習記
ダイヤモンドの立体をつくろう
奈 良 知 惠東海大学 阿蘇教養教育センター

1.

はじめに離散幾何学の分野には数学的な知識があまり要求されない問題が多数あります．感覚的に把握しやすく挑戦しやすいなどの理由から，もっと幅広い方々にこの分野の面白さを知って欲しいと思っておりました．そんな折に，プロジェクト「女子中高生夏の学校 2010 ～科学・技術のたまごたちへ～」で私が担当した実習の講師のお話をいただき，浅学も省みずにお引き受けしました．場所は埼玉県の国立女性教育会館で，全国から公募で集まった中高生が３日間にわたって取り組むプログラムの２日目（８月 13 日）の午前中に複数の実習からの選択方式で行われました．

2.

「ダイヤモンドの立体をつくろう」の実習内容

2.1

テーマの設定「ユークリッドの 3 次元空間を等体積に分割したとき，１個当りの平均表面積を最小にするような分割を求めよ」という問題（Kelvin, 1887 年）があります．これにさらに条件を付けて，「合同な多面体によって分割せよ」とすると，切頭八面体が現在まで知られている中で最も表面積が小さい分割です．このように「合同な多面体」という条件をつけると，空間を隙間なくかつ重複なく被覆する多面体（すなわち，モノタイルの多面体）を対象にすることになり，「タイリング問題」に結びつきます．しかし，四面体に限っても，既知のモノタイルがすべてなのか否かさえ分かっていません．
そこで，この実習では，正四面体を変形したモノタイルとしてダイヤモンドの炭素原子配置から自然に求められる図 1 の多面体（これをここでは「ダイヤモンドの十六面体」とよぶことにします）を扱うことにしました．この立体が最初に印刷物に載ったのは，デザインの本（K. Critchlaw, “Order in Space―A DesignSource book―, Thames & Hudson, 1969 年）と言われていて，対称性が高くとても美しい形をしています．

図1

ダイヤモンドの十六面体

2.2

テーマの導入対象が中高生なので専門的な言葉を避けるために，導入として「ダイヤモンドはなぜ硬いのでしょうか？」という質問を投げかけることから始めました．ダイヤモンドの炭素原子の配置は非常に対称性が高く安定していることから「硬い」と言われています．そこで，それらの炭素原子がどんな配置をしているかの説明に入りました．
正四面体の重心に１つの炭素原子を置くと，この原子は正四面体の４つの頂点に置いた炭素原子と結合します（図 2）．その他の炭素原子は結合した２つの炭素原子の中点に関して点対称になるように配置されます（図 3）．このようにすると，８個の炭素原子が１つの（同一平面上にはない）輪をなして，きれいな周期的な配置として空間に広がっていきます．それを立方体で切り取り，見やすい方向に回転すると図４のようになります．ここで，点 a は立方体の頂点，３点 b, c, d は頂点 a を共有する立方体の３つの面の中心,
点 g は正四面体 abcd の重心です．

b'da'ca'dc'dgbab

図22.3cg

炭素原子の配置ga図3ba点対称の配置

図4c
立方体で切り取った配置「ボロノイ図」と「モノタイル」の定義

ダイヤモンドの炭素原子の配置とここで工作する「ダイヤモンドの十六面体」を結びつけるのが「ボロノイ図」です．ボロノイ図とは，大雑把にいうと，距離空間（たとえば，ユークリッド平面やユークリッド空間）上に配置された点の集合に対して，最も距離が近い点がどこになるかで距離空間を分割した図です．平面上の２点ならば，２点を結ぶ線分の垂直二等分線になるし，３点ならば，３点を通る円の外心（辺の垂直二等分線の交点）を共有する３本の半直線によって分割されます．空間の場合は，２点に対して，垂直二等分線の代わりに垂直二等分面を考えることになります（図 5）．各点がこれらの平面で囲まれる領域の境界は面の集まりになります．

２点

３点

図5

ボロノイ図の例

そこで，ダイヤモンドの炭素原子配置によるボロノイ図を考え，図 2 の重心 g を含む領域（ボロノイ領域という）がどんな形になるかを調べてみます．まず，正四面体の頂点をなす４点 a,b,c,d の各々に対して，g と結ぶ線分を垂直に二等分する平面が４枚できるので，これらの面で囲まれた点 g の領域は対称性から「正四面体」になります．残りの炭素原子との間で垂直二等分面を作って，点 g が囲まれる立体（ g のボロノイ領域）を求めると図１の立体（ダイヤモンドの十六面体）になるのですが，証明は参考文献（奈良知惠・伊藤
仁一「ダイヤモンドと正四面体」数学セミナー 1 月号，日本評論社 2010）を紹介してすませ，ここでは実際に厚紙で立体を作って，どのようにして空間を埋め尽くしていくのかを調べてもらうことにしました．ダイヤモンドの十六面体（図１）は４個の正六角形と12 個の二等辺三角形の面から構成されています．
ここでは，「ダイヤモンドの十六面体をつくる過程で，いくつかの立体も作り，それらのうちどれがモノタイルであるか，出来上がった立体を使って判定し，その理由の説明も課題にしました．

2.4

工作

幾何学的な面白さを感じてもらうためには，工夫によって種々の結果が得られることが望ましいので，正四面体とダイヤモンドの十六面体との間をつなぐ２つの多面体も含めた４個の多面体（図 6）を作成してもらいました．予定として，展開図がプリントされた工作用紙を配布⇒

立体を適宜必要な個数だけグループ毎に作成⇒

モノタイルか否かを判定⇒

判定の理由を考察⇒

グループ毎に発表との段取りを受講者へ伝えました．

さて，モノタイルはどれでしょうか？

(1)

(2)
図6

(3)

(4)

工作する 4 種類の立体

図 6 はそれぞれ図 7 の工作物です．

（2）正四面体の３頂点を高さ（1）正四面体３分の１で切り取った七面体（3）切頭正四面体（4）ダイヤモンドの十六面体
図74 個の立体と正四面体の関係

図 6 の４個の多面体の相互関係を理解するために，このほかに，(1)の正四面体を高さ３分の１に縮小したもの（ミニ正四面体とよぼう）と，このミニ正四面体を重心で合同な４個の四面体（小ピラミッドとよぼう）に分割したもの（図 8）も作成することにしました．

これらは，ダイヤモンドの十六面体が図 6(3)の切頭正四面体の各正三角形の面に小ピラミッドをくっつけたものになっていることを確認する道具になります（図 9）．

図8

図92.5

ミニ正四面体と小ピラミッド

ダイヤモンドの十六面体と正四面体の関係

モノタイルか否かの判定とその理由

ダイヤモンドの炭素原子の配置がどの原子にとっても同一の状態になっていることから，ボロノイ領域はすべて合同になり，ダイヤモンドの十六面体はモノタイルであることが言えます．受講生は３つのグループに分かれて作業に入り，実際にどのように空間を埋めていくのかをたくさんの合同多面体を使って実験しました．
（１）正四面体「５個を１つの辺に集めても 360 度よりわずかに少ないからモノタイルではない」との結論をどのグループも出しました（図 10）．あるグループは正四面体の２面角を計算で求めて 360÷5=72 度よりほんの少しだけ小さいことを数値的に導いていました．

図 10正四面体に対する判定（２）切頭正四面体（図 6 の(3)）
正四面体のときと同様の理由で「モノタイルではない」との結論をすべてのグループが出しました．
（３）ダイヤモンドの十六面体
実際にいくつかの合同な立体を自分の手で合わせてみると，「空間を埋めつくす」と納得できるような合わせ方を見つけるのは結構大変だったようですが，たとえば図 11 のように数個を寄せ集めた塊を作ると，空間全体を覆っていく様子がわかります．

図 11

ダイヤモンドの十六面体に対する判定（４）七面体（図６の(2)）
グループによって種々の取り組みが見られました．「モノタイル」であるとの判定理由として，最も明解な解説を披露したグループは図 12 のように，２個をくっつけることによって平行六面体ができることを見出しました．２時間という本実習の制限時間内では，「なぜ平行六面体ができるのか？」というところまで突っ込んだ討論はできませんでしたが，この七面体がモノタイルであることを自他共に納得させるには十分でした．

図 12

2.6

明快な判定理由の配置証明の新しい視点図 12 の事実に気づくと，正四面体を切頭した図 6(2)の七面体は単にダイヤモンドの十六面体の立体的構成を説明するのに役立つばかりでなく，「ダイヤモンドの十六面体がモノタイルであること」の数式を用いない証明にもなります．すなわち，切頭正四面体（図6（３））に対して，１つの正三角形の面にミニ正四面体をくっつけると図 6(2)の七面体ができ上がり，一方，図９のように４個の小ピラミッドを正三角形の４面にくっつけるとダイヤモンドの十六面体が得られます．このことから「ダイヤモンドの十六面体はモノタイルである」ことが言えます．

3.

実習を振り返って工作の時間をできるだけ節約して，あれこれと試行錯誤しながら考察する時間を如何にして多くするかが実習を面白くする鍵なので，ＴＡとの直前の打ち合わせでは時間配分を中心に対策を話し合いました．グループ編成の工夫だけでなく，いろいろな提案が出され，それをもとに実習が進行しました．準備段階では，正四面体のモノタイルか否かの判定にまつわるプラトンやアリストテレスの歴史的話題も用意していたのですが，蘊蓄話はすべてカットして，グループの中での個人的な活動（グループの代表者がモノタイルか否かの判定をするために試行錯誤をするのではなく，全員が自分自身の手によって体験）をする

ための時間の確保に努めました．受講生とＴＡとの年齢差が少ないことは大きなメリット
で，今回は科学・技術の“ひな”とも呼べるＴＡとの「協働」が実習をよりスムーズにし，楽しいものにしてくれました．
最後に，実習にあたって柏原賢二先生をはじめ多くの方々に大変お世話になりました．
この紙面をお借りして心より感謝申し上げます．