中学校数学科における数学的な表現力を高める指導に関する研究－数や式と図を双方向に関連付けて説明する活動を通して－
山陽小野田市立厚陽中学校
１

教諭

木村

英司

研究の意図
(1) 研究の背景
中央教育審議会答申（平成20年１月）では改善の基本方針として、「言葉や数、式、図、表、グラフなどの相互の関連を理解し、それらを適切に用いて問題を解決したり、自分の考えを分かりやすく説明したり、互いに自分の考えを表現し伝え合ったりすることなどの指導を充実」＊１
させることなどが示された。
これを受け、「中学校学習指導要領解説

数学編」（平成20年）では、数学科の目標に「数学的活動を通して」と「表現する能力」が追加され、各学年の内容に数学的活動が位置付けられることとなった。また、数学的活動として重視しているのは「数や図形の性質などを見いだ
す活動」、「数学を利用する活動」及び「数学的な表現を用いて説明し伝え合う活動」であると示された。
「全国学力・学習状況調査の４年間の調査結果から今後の取組が期待される内容のまとめ～児童生徒への学習指導の改善・充実に向けて～中学校編」（平成24年９月）には、予想した事柄を説明すること、問題解決の方法を説明すること及び事柄が成り立つ理由を説明することが課題として挙げられている。さらに、「数や図形の性質や関係について数学的に表現したり，数学的に表現されたものの意味を読み取ったりする」 ＊２ という基本的なことにも課題があると分析されており、これらの課題を踏まえた学習指導の改善・充実が求められている。
(2) 研究テーマ設定の理由
原籍校の生徒は、式などを用いて数学的に表現することや式などの数学的に表現されたものの意味を読み取ることに課題があり、自分の考えを数学的に説明することを苦手としている。
また、数学の授業において、自分の考えを説明できる生徒は限られており、その説明も考えの根拠を明らかにせずに計算の仕方や手順のみになることが多い。これらの要因は、これまで行ってきた授業において、生徒が自分の考えを根拠を明らかにしながら説明する学習活動や、生徒が思考の過程を振り返ったり、判断の根拠を確かめたりするような学習活動が十分に行われていなかったためであると考える。
そこで、数や式の意味を読み取って図に示したり、図から分かることを数や式で表したりするという、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を通して、生徒が思考の過程を振り返ることで、判断の根拠を明らかにすることができるようになるのではないかと考えた。なお、本研究では、数学的な表現力を、言葉や数、式、図、表、グラフなどを用いて、思考の過程や判断の根拠などを分かりやすく説明する力と捉えることとした。
(3) 研究の仮説
研究の仮説を「数学的な事象を考察する場面において、数や式と図を双方向に関連付けて考えさせる指導を行うことで、思考の過程や判断の根拠を明らかにしながら筋道立てて説明することができるようになり、数学的な表現力の高まりにつながる」とし、授業実践を通して検証を行うこととした。
- 49 -

２

研究の内容
数や式の意味を読み取って図に示す(1) 数学的な表現力を高める指導の工夫
ア

数や式と図を双方向に関連付ける学習活動
本研究では、数や式の意味を読み取って図に示したり、図から分かることを数や式で表したりする活動、

数や式

つまり、
「数や式と図を双方向に関連付ける学習活動」

うになると考えた（図１）。

図

図から分かることを数や式で表すを授業に取り入れることで、思考の過程を振り返った
り、判断の根拠を明らかにしたりすることができるよ

双方向

図１ 数や式と図を双方向に関連付ける
学習活動のイメージ「数や式と図を双方向に関連付ける学習活動」として、数や式の意味を読み取って図に示したり、図から分かることを数や式で表したりして考える「数や式と図を双方向に関連付けて考える学習活動」と、数や式と図を双方向に関連付けて考えたことを、図を用いて説明する「数や式と図を双方向に関連付けて説明する学習活動」を行うこととした。
そして、このような「数や式と図を双方向に関連付ける学習活動」を積み重ねていくことで、段々と、生徒は思考の過程や判断の根拠を明らかにしながら筋道立てて説明することができるようになり、数学的な表現力の高まりにつながると考える。
イ数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を位置付けた授業モデル「数や式と図を双方向に関連付ける学習活動」を位置付けた授業モデルを考案した（図２）。
「数や式と図を双方向に関連付けて考える学習活動」は「自力解決」、「練り上げ」及び「振り返り」の各過程において行い、「数や式と図を双方向に関連付けて説明する学習活動」
は「練り上げ」及び「振り返り」の過程において行うこととした。
また、この授業モデルでは、既習の数学的知識・技能を活用して、数や図形の性質などを見出したり、問題を解決する過程について自分の考えを構築し説明したりする数学的活動を行うこととした。
(ｱ) 問題把握
問題把握

問題を解決するために必要な条件やそれに関わる既習事項を確認させたり、具体物を用いた体験的な活動

自力解決

によって意欲を高めたりする。そうすることで、生徒（考えの構築）は目的意識をもって主体的に学習に取り組めるようになると考える。

練り上げ（考えの交流）(ｲ) 自力解決（考えの構築）
数や式の意味を図に示したり、図から分かることを振り返り

数や式で表したりして、数や式と図を双方向に関連付（考えの再構築）

けて考える。その中で数や式が成り立つ根拠などを確

るに数
学関や
習連式
活付と
動け図
てを
説双
明方
す向

考数
えや
る式
学と
習図
活を
動双
方
向
に
関
連
付
け
て

かめたり、問題を解決するための手順を確認したりすることによって、試行錯誤しながら自分の考えを構築することができるようになると考える。
(ｳ) 練り上げ（考えの交流）

数学的な表現力の高まり

図２

数や式と図を双方向に関連付ける
学習活動を位置付けた授業モデル「自力解決」の過程で構築した自分の考えを基に、数や式と図を双方向に関連付けて説明し考えを交流する。その中で説明に対して他者から指摘を受けて、その説明に対する他- 50 -

者の質問に答えることにより、自分の考えの誤りや根拠の不十分さなどに気付いてそれらを改善し、自分の説明がより分かりやすいものになることを実感できると考える。
(ｴ) 振り返り（考えの再構築）「練り上げ」の過程で得た気付きを基に、数や式と図を双方向に関連付けながら数や式が成り立つ根拠や図形の性質などを確かめたり、問題を解決する手順を振り返ったりすることで、自分の考えを再構築することができると考える。
ウ

自力解決を補強する学習
自力解決を補強する学習

数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を位置付けた授業モデルの「練り上げ」の過程において、生徒が、する学習を位置付け、数や式と図を双方向に関連付けて

学数
習や
活式
動と
を図
位を
置双
付方
け向
たに
授関
業連
モ付
デけ
ルる

考える学習活動を中心に行わせることとする（図３）。

図３

自分の考えを説明したり他者の説明に対して指摘や質問したりするなどの考えの交流を行うことができるようになるためには、「自力解決」の過程において、自分の考えをもつようになることが必要である。そこで、授業モ
デルに基づいた学習の事前学習として、自力解決を補強(2) 授業実践１

問題把握
自力解決
（考えの構築）・自分の考え練り上げ（考えの交流）・考えの説明・指摘や質問

振り返り（考えの再構築）

自力解決を補強する学習の位置
付け「式の計算の利用」の単元において、数や式と図を双方向に関連付けて考えさせる指導を行う
ことで、生徒が問題を解決する過程を明らかにしながら筋道立てて説明することができるようになったかについて検証した。なお、単元名は、啓林館の「未来へひろがる数学３」を参考にした。
ア

単元
第３学年「式の計算の利用」

イ

単元目標
式の展開や因数分解を利用して、数量の関係や図形の性質を捉え説明できるようにする。

ウ

単元指導計画（全８時間）
本研究における授業実践として、第５時から第８時において、式の意味を可視化するための教材を用いて、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を行わせた（表１）。
表１「式の計算の利用」の単元指導計画

時

学習内容

１ 式の展開や因数分解を利用し、工夫して数の計算を行う。
２ 式の展開や因数分解を利用して式の変形を行い、式の値を求める。
３ 整数の性質を捉え、式の展開や因数分解を利用して、文字を用いた式で証明する。
４ 図形の性質を捉え、式の展開や因数分解を利用して、文字を用いた式で証明する。
５ 数量の関係を表した式の意味を読み取り、図と関連付けて説明する。
自力解決を補数量の関係を表した式が成り立つことを、根拠を明らかにしながら図と関連付けて
強する学習
６
説明する。
式の意味を読み取って図に示し、式が成り立つ根拠を図と関連付けて明らかにしな
授 業 モ デ ル に ７ がら説明する。
基づいた学習８ 数量の関係を式で表し、式が成り立つ理由を筋道立てて説明する。

エ

自力解決を補強する学習
自力解決を補強する学習では、数や式と図を双方向に関連付けて考える学習活動を中心に- 51 -

行わせた。具体的には、式の意味を可視化するための教材として、図４のような面積図などを用いた。式、項、因数に分けて考える視点をもたせ、それぞれの意味を考えさせる指導を、
授業実践を通して繰り返し行った。
例えば、まず、生徒は図４に示した図形の面積を

図形の面積
を表す式

表す式 ab  ba  b を、項 ab 、 ba  b に分け、さらに

面積図a

因数 a 、 b 、 a  b に分ける。次に、図５の①のように、図に示されていない因数 a  b を図に示す。そしbab  ba  bて、それを基に図５の②のように補助線をひくと、a

二つの長方形に分けられ、項 ab 、 ba  b がそれぞれ分けられた長方形の面積を表していることが分かる。
このようにして、図５の③のように、この二つの長b
図４方形を合わせた図形の面積が、式 ab  ba  b で表さ式の意味を可視化するための教材れることが確かめられた。
①因数を示した図a②項を示した図
a

ab

b

a

a
ab

ab

b

a

ba  b  a  b

b

b
図５

オ

③式を示した図abba  b  a  b

ab  ba  b b

式、項、因数の意味を示した図の例

授業モデルに基づいた授業の実際（第７時）(ｱ) 主眼数量の関係を表した式の意味を読み取り、根拠を明らかにしながら図と関連付けて説明することができる。
(ｲ) 学習過程
表２は、授業モデルに基づいた学習を行った第７時の学習過程を示したものである。な
お、表中では数や式と図を双方向に関連付けて考える学習活動を 考、数や式と図を双方向に関連付けて説明する学習活動を説と表す。また、学級全体での活動を〈全〉、個人での活動を〈個〉、グループでの活動を〈グ〉と表す。
表２「式の計算の利用」第７時の授業モデルに基づいた授業の学習過程
学習活動・学習内容

問
題
把
握

教師の支援

１〈全〉問題を把握する。

a〔問題〕次のア、イの式は、右の図形の面積を表している。
それぞれどのような方法で導き出されたと考えられる

ア a  2ab  b
2

2

b

a

か説明しなさい。
イ a  ab  ba  b
2○ア、イの式が、図形の面積を表している式
であることを知る。

b○因数が辺の長さ、項が面積を表していることを想起させることで、問題を解決することへの見通しをもたせる。

- 52 -

自力解
決考

２〈個〉自分の考えを構築する。
○ア、イの式の意味を読み取って図に示す。
○式の意味を示した図を用いて、式が成り立つことを確かめる。

○導き出し方を考える式は、ア、イのどちらの式でもよいことを指示する。
○説明を書くことにつまずいている生徒に対○ア、イの式が、どのような方法で導き出されているかについて、説明を考える。
練３〈グ〉考えの交流をする。
り○ア、イの式が、どのような方法で導き出さ上れているかについて、説明し合う。
げ○他者の説明に対して、指摘や質問をする。
考･説○他者の指摘や質問に対して、自分の考えのしては、分かったことを箇条書きにしてもよいことを指示する。

○各自のワークシートの図を用いて、自分の考えを説明させる。
○問題解決が途中までの生徒も、できたとこ
ろまでを説明させる。

根拠を図を用いて確かめながら答える。
振４〈個〉自分の考えを再構築する。
り○考えの交流での気付きを基に、ア、イの式
返が、どのような方法で導き出されているかりについて、説明をまとめる。
考･説○発表を基に、他者の考えと自分の考えを比○新たに気付いたことなどは書き留めておく
よう指示する。
○生徒に発表させ、各自の考えと比較させる。

較する。
５〈個〉今日の学習を確認する。
○自己評価表を書く。

○自己評価表を書かせ、今日の学習を確認させる。

(ｳ) 授業の様子「問題把握」の過程では、教師が実際に正方形の厚紙２枚を重ね合わせて問題の図を示すことで、生徒は問題の内容を理解することができていたようであった。
「自力解決」の過程では、式を項と因数に分け、図に補助線をひくことで、因数が意味する辺を見出したり、項が意味する長方形や正方形に分割したりして式の意味を読み取っていた。また、図形の移動を表す矢印や新たな図形をかき加えるなど、式が図からどのような方法で導き出されているかを考えていた。そして、自分がかいた図を用いて、その式が成り立つことを確認し、自分の考えを構築していた。
「練り上げ」の過程では、２人又は３人のグループで考えの交流を行った。因数が意味する辺や、項が意味する図形を指し示しながら、式の導き出し方について、お互いに考えを説明し合い、考えの交流を行っていた。また、なぜそうなるのかという他者の質問に対して、新たに補助線をひいたり、辺の長さをかき加えたりして、自分の考えがより分かりやすく伝わるように説明していた。
「振り返り」の過程では、考えの交流で得た気付きを基に、図を用いて自分の説明の内容を確認しながら考えの再構築を行っていた。また、説明が不十分だった生徒は、図に補助線ひきながら式の意味を確かめ、説明を記述していた。
カ授業実践１の考察
図６は、Ａさんの「振り返り」の後のワークシートである。補助線をひいて図形を分割し、項 a 2 が意味する正方形と、項 ab が意味する長方形を図に示している。項  b 2 について
は、補助線をひいて項 ab が意味する長方形を図にかき加えて、１辺の長さが b の正方形の面積 b 2 を引くことを意味していることを見出し、図と関連付けて面積を表す式がどのような方法で導き出されているかを理解している。そして、考えの交流を行い、項  b 2 について、- 53 -

項 ab が意味 する 長方 形 二 つを重ね、その重なる 部分 である １辺 の長 さ が b の 正 方
形 の 面 積 b 2 を 引 く と い う 考 え方を、新たに図をかいて確かめている。
また、授業後の生徒の感想には、表３のような記述が見られた。授業実践後のワー
クシートの記述や授業後の感想、授業中の生徒の様子から判断すると、式の意味を可視化するための教材を用いて、式の意味を図に示すことは、式を導き出す過程を明ら

図６

Ａさんの「振り返り」の後のワークシート

かにし、自分の考えを構築することに効果
表３があったと考えられる。
また、図を用いて、お互いの考えを比較したり、共有したりして、新たな数学的な見方・考え方を獲得しようとする生徒の姿

授業後の生徒の感想（一部抜粋）

・図にかいて考えると分かりやすかった。
・項が図のどこを表しているかが分かった。
・図に入れる補助線のひき方で、式の意味の確認方
法が違うことが分かった。

も確認できた。
キ

授業実践２に向けた改善
授業実践１では、「自力解決」、「練り上げ」及び「振り返り」の過程を通して１枚のワークシートを使った。同じワークシートを用いたため、生徒の手元に再構築する前の考えが残らなかった。そこで、「自力解決」及び「練り上げ」の過程に用いるワークシート（図７）と、「振り返り」の過程に用いるワークシート（図８）を用意し、生徒が自分の考えを他者と比較した上で自分の考えを再構築しやすいようにした。

図７「自力解決」から「練り上げ」で用いるワークシート（一部抜粋）

図８「振り返り」で用いるワークシート（一部抜粋）(3) 授業実践２「図形と相似」の単元において、数や式と図を双方向に関連付けて考えさせる指導を行うことで、生徒が判断の根拠を明らかにしながら筋道立てて説明することができるようになったかについて検証した。なお、単元名は、啓林館の「未来へひろがる数学３」を参考にした。
ア

単元
第３学年「図形と相似」

イ

単元目標
相似の意味及び三角形の相似条件について理解し、それらを基にして図形の性質を確かめ、相似の考えを活用できるようにするとともに、論理的に考察し表現する力を伸ばす。

ウ

単元指導計画（全７時間）
本研究における授業実践として、第１時から第５時において、「見付ける図」と「確かめる図」を用いて、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を行わせた（表４）。
- 54 -

表４「図形と相似」の単元指導計画

時

学習内容

１ 相似の意味と相似な図形の性質について理解し、三角形の相似条件を見出す。
自 力 解 決 を 補 ２ 相似比の意味と求め方を理解し、相似な図形の辺の長さを求める。
強する学習
３ 三角形の相似な条件を根拠にし、相似になることを説明する。
４ 相似な三角形を見出し、相似になることを根拠を明らかにしながら説明する。
授業モデルに相似な三角形の性質を利用して長方形の紙を三つ折りにする方法を、根拠を明らか
５
基づいた学習にしながら説明する。
６ 三角形の相似条件を用いて、二つの三角形が相似になることを証明する。
７ 三角形の相似条件を用いて、図形の性質を証明する。

エ

自力解決を補強する学習
自力解決を補強する学習では、数や式と図を双方向「見付ける図」に関連付けて考える学習活動を中心に行わせた。具体的には、図９のような、「見付ける図」と「確かめる関係式とその根拠図」の、二つの図を設けたワークシートを用いた指導を、授業実践を通して繰り返し行った。「見付ける図」
は、辺や角の関係を読み取るためのものであり、「確「確かめる図」

かめる図」は、読み取った辺や角の関係が成り立つ根
拠を説明できているか、自ら確認するためのものであ図９る。「確かめる図」を用いて自分の考えを振り返るこ

自力解決を補強する学習で用いる
ワークシート（一部抜粋）とにより、授業モデルに基づいた学習の「自力解決」の過程において、生徒は根拠を明らかにしながら自分の考えを構築することができるようになると考える。
例えば、まず、図10の①のように、生徒は「見付ける図」を用いて、△ＯＣＤと△ＯＡＢが相似な三角形になることについて、対応する角や平行な辺に印を付けながら辺や角の関係を読み取る。次に、図10の②のように、読み取った辺や角の関係を根拠に基づいて関係式に表す。そして、図10の③のように、「確かめる図」を用いて、関係式が表す辺や角に印を付けながら、∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＢの根拠が、対頂角は等しいことなどを確認する。このようにして、△ＯＣＤと△ＯＡＢが相似な三角形になるための根拠が、相似条件が２組の角がそれぞれ等しいことであることを確認した。
①「見付ける図」

D

C
O
B

A
図10

オ

②関係式とその根拠③「確かめる図」△ＯＣＤと△ＯＡＢについて
対頂角は等しいので∠ＣＯＤ＝∠ＡＯＢ
ＤＣ//ＡＢから錯角は等しいので∠ＯＣＤ＝∠ＯＡＢ
２組の角がそれぞれ等しいので△ＯＣＤ∽△ＯＡＢ

D

C
O

A

B

「見付ける図」と「確かめる図」に示した辺や角の関係と、関係式とその根拠の記述の例

授業モデルに基づいた授業の実際（第５時）(ｱ) 主眼相似な図形の性質、辺や角の関係などを式に表し、それが成り立つ根拠を図と関連付けて明らかにしながら説明することができる。
(ｲ) 学習過程
表５は、授業モデルに基づいた学習を行った第５時の学習過程を示したものである。
- 55 -

表５「図形と相似」第５時の授業モデルに基づいた授業の学習過程
学習活動・学習内容

問
題
把
握

教師の支援

１〈全〉問題を把握する。
〔問題〕長方形の紙ＡＢＣＤについて、右の図のように、下の①～④の手順で点Ｇをとる。
△ＦＤＥと△ＦＢＣ、△ＦＤＧと△ＦＢＨが相似になることを利用して、点Ｇが、辺ＡＤの長さを２：１に分けることを説明しなさい。
E G①長方形の紙を半分に折り、辺ＡＤの中点Ｅをとる。
A
D②線分ＣＥを引く。
F③対角線ＢＤを引き、線分ＣＥとの交点をＦとする。
④折り目が交点Ｆを通り、２点Ｃ、Ｄが、それぞれ辺Ｂ
Ｃ、ＡＤに重なるように折る。その折り目の線分と、
B
C
H
辺ＡＤ、ＢＣとの交点をそれぞれＧ、Ｈとする。

○問題の条件を知る。
○相似な三角形の組を確認する。
〔相似な三角形の組〕❶△ＦＤＥと△ＦＢＣ
A

E G

D

❷△ＦＤＧと△ＦＢＨ
A

E G

F

B

自
力
解
決
考

H

D
F

C

B

H

C

２〈個〉自分の考えを構築する。
○ワークシートに、等しい角や辺の長さの比を表した関係式とその根拠を記述する。
○式の意味を示した図を用いて、式が成り立つ根拠を確かめる。
○点Ｇが、辺ＡＤの長さを２：１に分けることについて、説明を考える。

○長方形の紙を２枚配付し、１枚は自分なりの方法で三つ折りにさせる。
○問題の条件を、図を用いて確認させる。
・長方形ＡＢＣＤ ・ＡＥ＝ＤＥ・ＧＨ⊥ＢＣ
・ＧＨ//ＡＢ○ＡＥ＝ＤＥから、辺の長さの比が分かる相似
E G
E G
な三角形の組が❶であることに気付かせる。
A
D
A
D○辺ＧＤに着目させ、相似な三角形の組❷のFF性質を利用していることに気付かせる。
B

H

C

B

H

C

○等しい角や長さの比が分かる辺に、印を付けさせる。
○問題解決の方針を見出すことができない生徒に対しては、どこにつまずいているかを確認し、個別に支援する。
○説明を書くことにつまずいている生徒に対しては、分かったことを箇条書きにしてもよいことを伝える。
○活動が停滞する場合、相似な三角形の組❶と❷に共通する線分はないか問い掛ける。

練 ３〈グ〉考えの交流をする。
り○図に考えの根拠となる辺の長さの比をかき、 ○図を用いて、自分の考えを説明させる。
上
考えを説明し合う。
○問題解決が途中までの生徒も、できたとこげ○他者の説明に対して、指摘や質問をする。
ろまでを説明させる。
考･説○他者の指摘や質問に対して、自分の考えの ○質問や意見は、説明が終わった後に行うよ
根拠を図を用いて確かめながら答える。
うにさせる。
振 ４〈個〉自分の考えを再構築する。
り○ワークシートの図を用いて、辺の長さの比と ○新たに気付いたことなどは書き留めておく
返その根拠を確かめ、再構築した考えをかく。
ように指示する。
り○発表を基に、他者の考えと自分の考えを比 ○生徒に発表させ、各自の考えと比較させる。
考･説
較する。
５〈個〉今日の学習を確認する。
○自己評価表を書く。

○自己評価表を書かせ、今日の学習を確認させる。

(ｳ) 授業の様子「問題把握」の過程では、実際に長方形の紙を折って三等分にできることを体験することで、問題の内容について、具体的なイメージをもつことができた様子が見られた。
「自力解決」の過程では、点Ｅが辺ＡＤの中点であることから、辺ＢＣと辺ＤＥに長さの比をかいたり、考えの根拠となる辺の長さの比を図で確かめたりするなど、試行錯誤し- 56 -

ながら、自分の考えを構築していた。
「練り上げ」の過程では、各グループに問題の図を印刷したＡ３判の紙をラミネートしたシートを配付した。
グループで一つのシートを用いることで、考えの交流に参加しやすくするとともに、ホワイトボードマーカーを用いることで、自分の説明の根拠となる事柄を簡単に追加・訂正できるよう工夫した（図11）。

図11

シートの図に記入された辺の
長さの比

図12

シートを用いて説明する様子

生徒はシートの図に、相似な三角形△ＦＢＨと△ＦＤＧを色分けしたり、対応する辺の長さの比に印を付けたりし、それらを根拠に自分の考えを説明していた（図12）。
また、根拠が明らかでない説明には、根拠を求める質問をするなど、活発に考えの交流を行っていた。
「振り返り」の過程では、振り返り用のワークシートの図を用いて、辺の長さの比やそれが成り立つ根拠を確
かめ、自分の考えを再構築して説明を記述していた。
カ授業実践２の考察
図13は、「自力解決」の過程から「練り上げ」の過程で用いたＢさんのワークシートである。
「自力解決」の過程では、図から分かった順番に、自分の考えを記述している。「練り上げ」の過程において、他者と考えの交流を行うこと
で、△ＦＤＥと△ＦＢＣの相似比が１：２になることの根拠がＤＥ：ＢＣ＝１：２であること、
さらに、ＧＤ：ＨＢ＝１：２になることの根拠
が△ＦＤＧと△ＦＢＨが相似な三角形であるこ

図13

Ｂさんの「自力解決」から「練り上げ」のワークシート（一部抜粋）ととＤＦ：ＢＦ＝１：２であることに気付き、より分かりやすい説明にするために順番を変えればよいということを、矢印を使って表している。
図14は、同じＢさんの「振り返り」の過程で用いたワークシートである。図に説明の基になる辺の長さの比が正しく記述されている。「練り上げ」の過程での気付きを基に、自分の考えを再構築することで、根拠となる事柄に基づいて筋道立てて説明を記述している。
また、他の生徒のワークシートにも、同様の

図14 Ｂさんの「振り返り」の後のワークシート（一部抜粋）

記述が多く見られた。「自力解決」の過程から「練り上げ」の過程で用いるワークシートと、「振り返り」で用いるワークシートを分けることは、自分の考えを再構築し、より分かりやすい説明に改善することに効果があったと考える。
また、生徒の授業後の感想には、表６のような記述が見られた。授業後の感想や授業中の- 57 -

生徒の様子から、図を用いて自分の考えを説

表６

生徒の授業後の感想（一部抜粋）

・図をかいたりするのですごく分かりやすかった。

明することや、説明の不十分さに気付いて訂・説明することで（他者からの指摘で）自分でも正することなど、考えの交流を行うことで、分からなかったことが分かった。

自分の説明がより分かりやすくなったという・文を書いて説明をすることによって、すごく分
かりやすくなった。

ことを実感している生徒の姿が確認できた。
(4) 研究の考察
ア

授業実践１前後の確認テストの結果から

表７ 授業実践１の確認テストの解答類型による分類

生徒が問題を解決する過程を明らかにしな

解 答 類 型

実践前

実践後

がら筋道立てて説明することができるように

Ⅰ 正しい式で、説明も正しい。

１９なったかを検証するために、授業実践１前後

Ⅱ 正しい式で、説明が誤りである。

２

１に確認テストを実施した。図から数量の関係

Ⅲ 誤った式で、説明も誤りである。

４

４

Ⅳ 式が無く、説明も誤りである。

４

０

Ⅴ 無解答

４

を見出して、式に表し、その式の求め方を説明する問題である。関係式と説明の記述によ１
単位：人り、解答類型で実践前後の解答を分類した（表７）。正しい式を導き出すことと正しい説明を記述することができた生徒は、対象生徒15人のうち、実践前は１人であったが、実践後は９人に増加した。
このことから、式、項、因数の表す意味の違いを、図と双方向に関連付けて考えることは、数量の関係を正しく把握し、関係を表す式が導き出される過程を明らかにすることに効果があると分かった。
イ

授業実践２前後の確認テストの結果から
表８

生徒が判断の根拠を明らかに

解 答 類 型しながら筋道立てて説明することができるようになったかを検

授業実践２の確認テストの解答類型による分類

Ⅰ

実践前

実践後

〔証明の方針〕に示された三角形について、辺や角の２５関係式とその根拠を記述しているもの（１） （４）

１（１）に確認テストを実施した。確認
上記①、②で、証明の筋道が正しいと思われるが、結論
０５
Ⅲを記述していないか、誤った結論を記述しているもの（４）
テストについては、実践前は平証明の筋道が正しいと思われるが、根拠を記述してい３
２
成21年度、実践後は平成20年度 Ⅳ ないか、誤った根拠を記述しているもの（１） （１）７５の全国学力・学習状況調査の調 Ⅴ 仮定のみを記述しているもの（１）
査問題を基に作成した。また、 Ⅵ 仮定として、結論を用いているもの
１０
全国学力・学習状況調査の解説 Ⅶ 上記以外の解答
２０
証するために、授業実践２前後 Ⅱ

上記①で、証明の筋道が正しいと思われるが、表現が十分でなかったり、記号を書き忘れていたりするもの

資料を参考にして解答類型を作 Ⅷ 無解答

１

２

成し、実践前後の解答を分類し （ ）内は証明に必要な辺や角の大きさの関係を図に正しく示した生徒数で内数０
単位：人

た（表８）。解答類型Ⅰを正答、Ⅱを準正答とし、解答類型Ⅰ、Ⅱ及びⅢについては、根拠を正しく記述することができていると判断することとした。その結果から、根拠を正しく記述できた生徒（解答類型Ⅰ、Ⅱ及びⅢ）は、実践前は３人であったが、実践後は11人に増加したことが分かった。
次に、証明に必要な辺や角の大きさの関係を図に正しく示すことで根拠を正しく記述でき
るようになったかについて分析した。実践前に、図に正しく示した生徒は３人で、そのうち根拠を正しく記述できた生徒は１人であった。実践後は、図に正しく示した生徒は10人で、そのうち根拠を正しく記述できた生徒は９人であった。実践前と比較して、実践後には証明- 58 -

に必要な辺や角の大きさの関係を図に正しく示した生徒が増加し、図に正しく示した生徒の多くは根拠を正しく記述できるようになった。
また、実践前に筋道立てて証明することができていない解答類型Ⅴの生徒７人について、解答を分析した。Ｃさんの実践前の解答（図15）と実践後の解答（図16）を例に、変容を述べる。実践前の解答では、∠ＡＭＣ＝∠ＢＭＤを示すために、仮定を用いて「①、②より」という誤った根拠を記述している。さらに、三角形の合同条件の記述の後に、必要のない事
柄の記述が見られ、関係式とその根拠となる事柄が、正しい筋道で記述されていない。実践
後の解答では、関係式が表す辺や角の関係を図に示し、正しい根拠に基づいて、筋道立てて証明することができており、解答類型Ⅰとなった。

図15

Ｃさんの実践前の解答［解答類型Ⅴ］（一部抜粋）

図16

Ｃさんの実践後の解答［解答類型Ⅰ］（一部抜粋）

実践前に、Ｃさんを含む解答類型Ⅴの生徒７人のうち、証明に必要な辺や角の大きさの関係を図に正しく示した生徒は１人であったが、実践後には４人となり、そのうちＣさんを含
め３人の生徒が根拠を正しく記述していた。
授業実践前後の確認テストの記述と解答類型による分類から、判断の根拠を図と関連付けて明らかにすることで、筋道立てて証明することができている生徒が増えたことが分かる。
以上のことから、「見付ける図」と「確かめる図」を用いて数や式と図を双方向に関連付
ける学習活動を積み重ねていくことにより、図を用いて式が成り立つ根拠や図形の性質などを確かめるようになり、判断の根拠を明らかにしながら筋道立てて説明することができるよ
うになったと考える。
ウ

アンケートの結果から数や式と図を双方向に関連付けて説明する活動による、生徒の情意面の変容を見取るために、授業実

授業実践１前4

授業実践２後

4
8

6
7

2

2
3

践前後にアンケートを実施した。質問項目の「自分の考えや解き方を説明するとき、相手がよく分かる
ように説明しようとしている」について、授業実践
１前と授業実践２後を比較した（図17）。

ア とても当てはまるイ だいたい当てはまる

ウ どちらともいえない

エ あまり当てはまらない

単位：人

オ まったく当てはまらない図17

授業実践１前と授業実践２後のアンケートの比較

対象生徒18人のうち、授業実践１前では、ア、イと肯定的に回答した生徒は８人だったが、授業実践２後では、ア、イと肯定的に回答した生徒は15人に増えた。このことから、数や式と図を双方向に関連付けて説明する活動を繰り返し行うことは、自分の考えを他者により分かりやすく説明しようとする意識を高めることにつながったと考える。
３

研究のまとめと今後の課題(1) 研究のまとめ本研究では、生徒の数学的な表現力の高まりをめざして、式の意味を可視化するための教材- 59 -

や、「見付ける図」と「確かめる図」を用いた指導を行い、数や式と図を双方向に関連付ける
学習活動を位置付けた授業モデルに基づいて授業実践を行った。生徒が数や式と図を双方向に関連付けて考えさせる指導を行うことによって、生徒が思考の過程や判断の根拠を明らかにすることができるようになり、「自力解決」の過程において、自分の考えを構築することに効果があると分かった。また、「練り上げ」の過程では、自分の考えの根拠を数や式と図を双方向に関連付けて明らかにしながら説明し合ったり、根拠や理由を問う質問をし合ったりするなど、以前に比べて活発に考えの交流を行う中で、自分の説明がより分かりやすいものになっていったことを実感している様子が見られた。
そして、「振り返り」の過程では、他の生徒の考えと自分の考えを比較したり、問題を解く
手順を振り返ったりして、自分の考えを再構築している生徒の姿が確認できた。
以上のことから、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動は、思考の過程や根拠を明らかにしながら筋道立てて説明することに有効であると確認できた。そして、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動を積み重ねていくことで、数学的な表現力の高まりにつながることが分かった。
(2) 今後の課題
より多くの生徒に数や式が成り立つ根拠や図形の性質などの学習内容の定着を図るために、
今回の実践における指導計画の見直しや授業モデルの修正を行うなどして、研究を進めていく必要があると考える。
また、数学的な表現力を高める指導は、中学校３年間を見通して系統的・計画的に行っていく必要がある。そのためには、第１、２学年の学習内容や、関数、資料の活用の領域において、各単元の内容を検討しながら、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動の指導計画への位置付けを行っていきたい。さらに、生徒が自分の考えを分かりやすく説明したいという意欲を高め、数や式と図を双方向に関連付ける学習活動が活発に行われるよう、日常生活や社会での数学の利用につながる教材の開発を行っていきたいと考える。
【引用文献】＊１

中央教育審議会、『幼稚園､小学校､中学校､高等学校及び特別支援学校の学習指導要領の改善について＊２

国立教育政策研究所、『全国学力・学習状況調査の４年間の調査結果から今後の取 組が期待される内容(答申)』､2008、P83-84のまとめ～児童生徒への学習指導の改善・充実に向けて～中学校編』､2012、p42【参考文献】
・文部科学省、『中学校学習指導要領解説

数学編』、教育出版、2008

・国立教育政策研究所、『平成20年度全国学力・学習状況調査

調査問題

数学Ｂ』、2008

・国立教育政策研究所、『平成20年度全国学力・学習状況調査

解説資料

中学校

・国立教育政策研究所、『平成21年度全国学力・学習状況調査

調査問題

数学Ｂ』、2009

・国立教育政策研究所、『平成21年度全国学力・学習状況調査

解説資料

中学校

数学』、2008
数学』、2009

・国立教育政策研究所、『全国学力・学習状況調査の４年間の調査結果から今後の取組が期待される内容のまとめ～児童生徒への学習指導の改善・充実に向けて～中学校編』、2012

・中原忠男、『算数・数学教育における構成的アプローチの研究』、聖文社、 1995
・和田信哉、『表現からみた数学的活動（〈特集〉新教育課程に向けて（ IX））』、日本数学教育学会誌、
日本数学教育学会、2009、第91巻、第９号- 60 -