マウスによる仮想折り紙の対話的操作のための計算モデルとインタフェース
古田陽介†

三 谷純 †,†† 福 井 幸 男 †本稿ではマウスのみでも直感的、対話的に複雑な折り紙形状をモデリングできる計算モデルとインタフェースを提案する。近年の計算機の高性能化に伴って一般家庭の PC でも 3DCG アニメーションが扱いやすくなったため、これを用いたより分かりやすい折り手順の伝達方法が研究されている。
しかし、既存のモデリングソフトで折り手順を示すための 3DCG アニメーションを作ることは、非常に手間のかかる作業である。紙の折り方は複数の種類に分類できるが、これらはある面の回転とそれに付随する隣接面の動きで表現できる場合が多い。そこで本稿で提案する手法では、折り紙の面の形状と動きを計算機で表現するためにバネモデルを用い、さらにマウスで直感的に面の分割や回転操作を行うために、2D ドローツールを参考にした折れ線生成インタフェースや、面を折り曲げる際の回転軸、回転角を決定するための手法を提案する。実際に本手法を計算機上に実装し、これまでモデリングすることが難しかった複雑な形状、折り操作を計算機上で再現できることを確認した。

Modeling and mouse interface for interactive virtual Origami operation.
Yohsuke FURUTA ,† Jun MITANI †,†† and Yukio FUKUI †We propose a new method of modeling and interface for interactive virtual Origami operation that enables a user to handle a complex Origami model intuitively using a commonmouse. Although 3DCG animation has become popular in recent years with the progress ofperformance of common PCs, designing 3DCG animation of folding process of Origami is still
diﬃcult and time consuming task. Though there are many ways of folding operation, most ofthem can be expressed as a set of the rotation of certain face and the movement of the neighboring faces. Based on this thought, the modeling method we propose uses the spring-massmodel to express shapes and movements of an Origami model in a computer. The interface
we propose uses simple mouse operations. The main operation that generates folding lines
works similarly with 2D draw tools. Additionally, we propose new interfaces for specifying
the axis and the angle for rotation. We implemented the method on a PC and we found that
we can reproduce complex Origami shapes intuitively using a simple mouse.

1. は じ め に
日本では多くの場合、折り紙は単なる遊戯と認識されている。しかし折り紙は古くから幾何学との関連性が知られており、学際領域では数学の世界を中心として以前から研究が進められてきた。近年では工学の分野への応用に関する研究も盛んに行われるようになり、自動車のエアバッグの折りたたみ1) やドーム建築
物の屋根の収納法2) などにその研究成果が応用されている。

図 1 テナガコガネの折り図3)

また、近年では任意の形状を展開図化するための「設計」と呼ばれる手法が発明され、それを用いて多かしながらその折り方を他者に伝えるための手段は、くの新しい折り紙作品が創作されるようになった。し旧来からの「折り図（図 1）」に頼っているのが現状である。折り図で複雑な手順を表現するためには作図† 筑波大学 システム情報工学研究科
University of Tsukuba†† 科学技術振興機構 さきがけ
PRESTO, Japan Science and Technology Agencyに多大な労力が必要となるだけでなく、各イラストの時間的つながりを表現することができないという根本的な問題点がある。現在折り紙が広く普及しているの情報処理学会 インタラクション 2007

は、誰でも身近な素材で実際に作ることができるからだといえる。しかしそれをどうやって作るかを他人に伝える点においては、まだ多くの改善の余地が残されている。
そこで近年の計算機の性能向上とともに注目されているのが、3DCG アニメーションを用いた折り手順提示手法である。そのために必要となる折り紙形状のモデリングについても、近年いくつかの手法が発表され

図 2 折り紙設計の例4)円のパッキング問題を解くことで正方形の紙から任意の長さの角を折り出すことができるてきたが、多種多様な折り紙の形状や紙の対する操作を完全に再現するまでには至っていない。そこで、本開図から折り上がる形状を推定するアルゴリズムに関

研究では折り紙の形状をバネマスモデルで表現するこするものがある5) 。設計技術の進歩によって複雑な形とを提案する。これまでの多くの研究では、折り紙の状が折り上がるようになったが、それに伴い展開図も持つ幾何学的性質をもとに形状を計算していたが、こ複雑化している。そのような展開図に対しても適切なの手法では折り操作による複数面の三次元的で連鎖的折り上がり形状を短時間に予測できるような手法につな移動を計算することが難しく、できたとしても非常いて現在も研究が行われている。に時間がかかることが予想される。しかし、バネモデ

Miyazaki らは計算機を用いて折り紙を対話的に操ルを用いることでこのような連鎖的な動きを実時間で作する手法と、それによって折り紙の形状が逐次変化計算することができるようになる。

する際のデータ更新の手法を提案している6) 。この研また折り紙を折ることを計算機上でシミュレートす究で目指しているものは本研究と非常に近いが、このる上でもう一つ問題となるのが、入力装置の問題であ論文で用いられている幾何学的制約に基づく形状計算る。一般に折り紙を折る際には両手を使用するが、10手法では同一平面上にない複数の面の動きを計算でき本の指の動きを取り込める装置はあまり一般的ではなず、面が相互に作用しながら三次元的に形状が変化す

く、多くの場合はマウスやキーボードによる限られたる場合には適応できない。また、この研究で得られた情報しか得ることができない。実際に紙を折る時は、プログラムは折り手順を記録し任意に再生することが折り目を付ける動作と面を折る動作を同時に行うこ可能であるが、先の制約によって手順そのものが実際とが一般的である。しかし本研究では折り操作をマウのものとは異なっている場合が多い。本研究では三次スなどでシミュレートするために、その二つの動作を元的な形状変化にも対応し、そのため実際の折り手順別々に行うこととし、さらにそれらを直感的におこなに近い状態をシミュレーションすることが可能である。

うためのインタフェースを提案する。ある面上の折り詳細は第 3 章 2 節で述べる。

目やそれを軸とした面の回転は二次元で表現すること

三谷らは、折り紙の構造をわかりやすく表示するたができるが、それらを自然に統合することで、ユーザめの計算機を用いたデフォルメ手法を提案している7) 。

はマウスなどでも直感的で自由な折り操作を行えるよ

この手法を適用するためにはあらかじめ面の重なり順うにした。

を求めておく必要があるため、本研究に直接適用する

本研究は折り紙の形状を計算するためのモデルと、ことはできないが、折り紙の形状を分かりやすく伝え折り操作を計算機上の仮想空間内で行うためのインタるという目的のためには非常に有効であるといえる。

フェースを提案するものである。本稿の第 2 章では関計算機上に折り紙形状を取り込む研究としては、連する研究を紹介し、第 3 章では提案手法の詳細につKato らによる「折り図」の画像をもとにした手法がいて述べ、第 4 章では結果、第 5 章では考察と今後の挙げられる8) 。Kato らの手法では、折り図画像に含展望を述べる。

まれる矢印や折れ線の情報を計算機で解析することによって折り操作を推定し、それをもとに計算機内の折2. 関 連 研 究り紙モデルを更新している。また、三谷は二次元バー

折り紙についての研究として、複雑な形状を折り出コードを印刷した紙を折ったものをカメラで撮影し、すための設計手法に関するものが近年活発に発表されその写真をもとに折り畳み構造を推定しモデルを構築

4)ている。代表的なものとしては Lang による研究があげられる（図 2）。
計算機上で折り紙を扱う研究としては、内田らの展する手法を提案している9) 。しかしこれらは他の媒体を計算機で解析するという手順を踏まなければならないため、直感的かつインタラクティブであるとはいいマウスによる仮想折り紙の対話的操作のための計算モデルとインタフェースがたい。本論文で提案する手法では、ユーザは計算機上のモデルを直接操作することができるため、より直感的かつインタラクティブに操作することが可能である。詳細は第 3 章 3 節で述べる。
バネモデルを用いた形状計算手法の中には商用 3D
モデリングソフトの布シミュレータに用いられているものがある

10)

複数の面が連鎖的に動く例。しかしこれは対象が布であるため面の平面性をほとんど考慮していない点と、ユーザが対話的に折り筋を入力したり面を動かしたりするインタフェースがない点などにより、折り紙をモデリングする用途に適しているとはいえない。

3. 提 案 手 法

面同士の接続が切れる
図3

3.1 概要とデータ構造

隣接面が歪む面の千切れ・歪み本プログラムを実行すると、画面内の仮想空間内に紙を模した正方形のポリゴンが表示される。これに対してマウスで折り目の生成や面の回転などの操作を繰り返し加えることで、紙の折り操作をシミュレートする。折り紙モデルの各面は常に同じ形を維持するよう対角線状にバネが張られており、面を動かした際に隣接する面が歪むことを防いでいる（図 3、図 4）。な
お、バネの配線はプログラムを初期化した際と、ユー

(1.a)

(2.a)

(1.b)

(2.b)

(1.c)

(2.c)

ザによって折り目が生成され、折り紙モデルを構成する面の個数や頂点数が変化した際に実行される。ユー
ザはマウス操作で面を動かすことができ、その操作と同時にバネモデルによる形状計算を行い画面をリアルタイムに更新するため、ユーザはあたかも計算機上でリアルタイムに折り操作を行っているかのような印象を得ることができる。
プログラムは内部に複数の頂点クラスと辺クラス、面クラスを持っており、頂点クラスは三次元座標を、辺クラスは始点、終点をあらわす二つの頂点クラスへの参照を、面クラスは辺で囲まれた閉領域を表し辺への参照を三個以上保持している。辺クラスは二つの面から参照されているかどうかで分類することができ、二つの面から参照されているものは折れ線クラス、そ

図4船 (1.a) とペンギン (2.a) の展開図 (b) とバネモデルによる形状表現 (c)れ以外は境界クラスとする。計算機内の折り紙モデルは複数の面クラスで構成されており、それらをもとにければ、面が千切れたり歪んだりしてしまうことがあ仮想空間内に 3D ポリゴンモデルとして表現される。

る（図 3）。折り紙の面を剛体であると捉え、幾何学

なお、本論文では穴の開いた面、凸型ではない面の生的な拘束条件から面の運動を求めることも可能である成については対象としない。

が11) 、実時間内で計算結果を得ることは一般的に困難

3.2 立体的な折り紙の形状維持
折り紙の面は辺による閉領域で定義され、折り操作である。
そこで本研究では、面を構成するすべての頂点間には面の移動と回転で表現することが可能である。し網羅的にバネが張られているというモデルを採用しかし場合によっては一度の折り操作で複数の面が連鎖（図 4）、面が歪んでしまった場合にはバネが釣り合お的に動くことがあり、隣接する面も適切に移動させなうとする力を繰り返し計算することで頂点を適切な位

情報処理学会 インタラクション 2007

置へと移動させることとした。具体的なバネ計算のア

3.3 マウスオペレーション

ルゴリズムは以下の通りである。

現実の折り紙において紙を折る操作というのは、「角一般的なバネモデルでは、ある頂点 i にかかる力 Fiを (1) 式で表すことができる12) 。

Fi =∑{ (k1−jLij|rij |)を合わせる」動作と「圧力をかけて折り目をつける」動作の組み合わせであることが多い。しかしこれらの}動作は両手が使えることが暗黙の前提となっており、

rij + Dvij −mg(1)

片手だけでこの動作を行うことは難しい。10 本の指の動きを計算機に取り込むための装置はまだあまり普ここで k 、Lij 、rij 、D、vij 、m、g は、それぞれ及しておらず、ほとんどの環境ではマウスによる二次バネ定数、バネの自然長、頂点 j に対する頂点 i の相元相対座標のみという、3D モデリングにおいては十対位置、ダンパー定数、頂点 j に対する頂点 i の相対分とはいいがたい入力値しか得ることができない。

速度、頂点の質量、重力加速度である。なお、本プロ

紙の折り方には多くの種類が存在しているが、それグラムでは上式を簡略化し k = 1、D = 0、m = 1、らはある面の回転とそれに付随する隣接面の動きで表g = 0 とした (2) 式を使用している。

現できる場合が多い。また、あらかじめ空間上に軸をFi =∑(1−jLij|rij |)設定しておけば、回転は二次元変換で表現することがrij(2)可能である。そこで本プログラムでは紙を折る操作を「紙に折り目をつける」操作と「折り目に沿って面を(2) の運動方程式を数値的に解くことで頂点の位置回転させる」操作に分割し、それらを組み合わせるこの時間変化を計算でき、面の位置と形状が定まる。運とで現実の折り操作をシミュレートすることとした。

動方程式の数値計算はオイラー法により行う。具体的

あらかじめ必要な折れ線をいくつか生成した後、そのには、(3)、(4) 式により ∆t 秒後の頂点 i の位置 ri とうちのひとつを実際に折る軸として、明示的に回転さ速度 vi を計算できる。

せると、残りの面もバネモデルに従って移動するよう

Fi (t)∆tmri (t + ∆t) = ri (t) + vi (t)∆tvi (t + ∆t) = vi (t) + dになっている。また折れ線の生成や軸となる折れ線の(3)選択と回転角の決定は一連のマウス操作に対応した形(4)で自動的に行われるため、ユーザはそれらを意識する

ここで d は減衰定数であり、0 以上 1 以下の値を指定する。本プログラムでは d = 0.2 とし、また ∆t = 1とした。

ことなく直感的に面を操作することが可能である。以下でこれらの操作について詳細を述べる。

3.3.1 折れ線の入力

上記のアルゴリズムによって得られる結果はある

折り紙を折ることを対話的に行うためには、ユーザ瞬間における形状であり、その変化を実時間アニメーが自由に、かつ少ない手順で折り目を付けられることションとして提示するためには画面書き換え時間内にが望ましい。そこで本プログラムでは紙に折り目をつ計算を終了させなければならない。その点、このアルける操作（平面に折り筋を入力する操作）に 2D のドゴリズムによる形状の変化は連続的であるため、値のローツールを参考としたインタフェースを採用した。

収束を待たずに途中で計算を打ち切っても、近似値を一般的なドローツールではキャンバス上をマウスでドユーザに提示することが可能である。さらに上記のアルゴリズムは条件分岐がほとんどない非常に単純なものであるため、計算機を用いた高速化は比較的容易である。そのため本研究のようなシミュレーションには非常に適している。
ちなみに、バネが張られているのは同一の面内にある頂点同士のみであり、違う面に存在している頂点との間にはバネを張る必要はない（図 4 の c）。なぜな
ら本手法では歪んだ面を含む個々の面の形状のみに注目し、これらを歪のない形状へと連続的に変化させていくことで全体の形状を得ているためであり、その過程において他の面との制約を考慮する必要はないからである。

図5

折れ線の入力マウスによる仮想折り紙の対話的操作のための計算モデルとインタフェース

(a)
a.
b.
c.

(b)

(c)

図 6 カーソル座標の近似
カーソル座標と頂点座標の距離が閾値以下の場合はカーソル座標を頂点座標へ一致させる
カーソル座標と辺を n 分割する点との距離が閾値以下の場合はガイド（辺上の点）を表示し、カーソル座標をその位置へ一致させる
始点が頂点でありかつ現在のマウス座標が始点の角を n 等分する点に近い場合はガイド（n 本の点線）を表示し、カーソル座標をその位置へ一致させる

ラッグすると軌跡が線となって描かれるが、本プログ

PckickPcenter੤ᏅG

ラムでも画面上の任意の場所をドラッグして線を引く
ことによって、ユーザは面のどの場所にでも自由にかF

つ対話的に折り目を「描く」ことが可能となっている（図 5）。その手順は次のとおりである。

1.

マウスでスクリーン上をドラッグし、ドラッグの始点と現在のマウス座標を結ぶ直線をスク

1-2リーン上に描画する。

2.

3-4
ゲ

始点、終点に対応する仮想空間上の三次元座標を求め、視点から両点を通り奥へ無限に伸びる二本の半直線を仮想空間上に生成する。

3.

二本の半直線の間に挟まれた三角状の領域を定義し、その領域とすべての辺との交差判定を行う。

4.

5交点に新たに頂点を配置し、その頂点を結ぶよ

図8

回転面と軸の選択

うに面分割を行う。
分割後の面に対してバネを張りなおす。

労力軽減を期待して蝶番からできるだけ遠い場所に力重なり合った面に対して折り目を描いた場合は、そ点を置くことが多い。本プログラムではその動作を参れらすべての面に新たに折れ線が追加される。また考として、面を選択すると同時にポインタ位置から人頂点付近や辺、角を等分する場所の付近では自動的に間のイメージする軸の位置を予測し、自動的に選択すスナップするため（図 6）、実際に紙を折るよりも正ることとした（図 8）。しかし、現実の動作をそのまま確で、容易に計算機内の紙に折り目をつけることがで逆転させ、ポインタから一番遠いところにある折れ線きる。なお、本論文では面を完全に分割しない折れ線を軸とするのは適当ではない場合がある（図 9.b）。そ（図 7）の生成については対象外とした。これにより、

こで本プログラムでは以下のような手順で「面の中心生成される面はすべて凸多角形となる。

から見て、クリックした位置の反対側にある折れ線」

4.

を求め、それを軸とすることで人間のイメージする軸を効果的に予測する。

1.

仮想空間上の紙をクリックし、ポインタの位置に対応する面のうち一番視点に近い面 F を取得する

図 7 完全に面を分割しない折れ線の例

2.

クリックした位置の三次元座標 Pclick と面 Fの中心（本プログラムでは頂点の平均）座標

3.3.2 回転面と軸の選択
経験的に、人はドアを開くときにテコの原理によるPcenter を求める
3.

Pclick と Pcenter を通り、F に垂直な面 G を情報処理学会 インタラクション 2007zz

٤

G

٤

yX


yX

W
Yw

YZZ
٧
٧

図94.

(b)

xx

(a)

(b)

(c)

(d)

ٌٌ

クリックした領域と選択される軸の関係。この形状の場合、マウスポインタから一番遠いところにある折れ線を軸とするアルゴリズム（b）では辺 w を選択可能な領域が存在しない。

定義a.
b.

F を構成するすべての折れ線について、G と交c.

差判定を行う5.

(a)w

交差していた折れ線のうち、Pclick から最も遠d.

図 10 面回転
面をクリックして選択し、軸を決定する。
クリックした点を通り軸に垂直な平面 G を定義して、G 上に円盤を表示する。
マウスをドラッグすると、カーソルの位置に応じて回転角を決定する。
軸を中心として、面を回転させる。

いものを軸とする
本アルゴリズムにおいて、ある折れ線と、その折れ線が軸として選択されるクリック位置との関係を図示
すると図 9.a のようになり、例えば Pclick が領域 X内であれば、軸として選択されるのは折れ線 x となる。ちなみにマウスポインタから一番遠いところにある折れ線を軸とするアルゴリズムでも同様に関係を図

図 11 視点移動

示すると図 9.b のようになり、人間の意思に関わらず軸として選択できない折れ線（図中では w）が存在してしまうため、このアルゴリズムは適当ではないといしまい、回転の制御が困難になる。そのような場合はえる。

一時的に視点を移動させ軸と視線が垂直にならない

なお、本アルゴリズムでは選択面の中に軸となる折ようにする。このときの視点の移動は上記の Pcenter 、れ線が含まれていることを想定しているが、面を構成Pstart を通る直線を軸とする回転移動とすることで、している辺以外を軸としたい場合もあると考え、本プ

マウスの位置と仮想空間上の紙の位置がずれないよう

ログラムでは手動による軸の指定もおこなえるようにになっている（図 11）。

なっている。

また、マウスボタンを押した際には軸に垂直でマウ3.3.3 回転角の決定

スボタンを押した位置を通る円を表示させ、面がその面の回転は、仮想空間上の面をマウスで選択した後軸を中心として回転することを直感的に意識しやすいドラッグするというインタフェースで実行される。面ようにしている。

を選択し軸を決定した後、軸に垂直で上記の Pclick を3.4 押しつぶし通るような平面 G を定義し、そのままマウスをドラッ

本プログラムでは回転操作を主体としてモデリング

グさせると、G 上でマウスに対応する三次元座標を通を行うが、180 °ではない中途半端な回転を繰り返すこるように回転角を決定し、面を回転させる（図 10）。とによって形状が意図せず立体的になってしまうケー

この処理によって仮想空間内にある操作対象の面と画スが発生する。現実の折り紙でも紙の塑性のよって同面上のポインタの位置が感覚的に一致するようになる様に形状が立体的になってしまう場合があり、そのよため、ユーザは直感的に回転操作を行えるようになっうな場合には圧力を加えて形状を平面に戻すことがている。

ある。

なお軸と視線が垂直に近い角度で交わっている場合、そこで本プログラムでも仮想空間上の紙に対して任カーソルの微小な移動が回転角に大きな影響を与えて意のタイミングで仮想的な「押しつぶし」操作を行える

マウスによる仮想折り紙の対話的操作のための計算モデルとインタフェース

だまし舟

風車

ねじり折り箱

鳳凰

角香箱

折鶴

カタツムリ

オルガン

図 13

作例

CPU :
RAM :
GPU :

AMD AthlonMP 2800+ (2133MHz) ×2
PC-2100 DDR-SDRAM (3.5GB)
3Dlabs WildcatIII 6210 (VRAM: 416MB)

モデリングに要した時間は折鶴の場合は約 7 分ほど
図 12 押しつぶしの実行結果であり、他の形状もおよそそれ以下の時間で製作できた。また、現実の紙を折る過程において複雑な動きをようにし、紙を平面に保つことを可能とした（図 12）。
実際のプログラム中では各頂点の z 座標を制約に関係なく単純に減少させているだけなので、場合によっては個々の面が変形してしまうことがある。そのためこの処理によって平坦に変形された形状に対しては再度バネ計算を繰り返し行うことによって正しい形状に復元することとしている。

4. 結

果

本プログラムを用いることによって、図 13 に示すような形状を折ることができた。このとき使用した環境は以下の通りである。

見せるケースでも本プログラムでは多くの場合でそれを再現することができた（図 14）。その動きを適切な方法で保存することによって今ある折り図の代わりにできると考えられる。

5. 考察と今後の展望
本論文による提案手法を用いることでこれまで計算機上で表現することが難しかった複雑な形状、動きを表現することができるようになったが、個々の面同士の重なり合いや衝突を考慮していないため意図しない結果になることがある。たとえば図 13 のオルガン、折鶴、カタツムリのようにごく近い場所で面が多数重情報処理学会 インタラクション 2007

図 14 花弁折りを本プログラム（上段）と既存のプログラム6) （下段）で行った場合の比較

図 15

重なりを考慮して同時に動かすことができないなり合っている形状の場合、面が交差してしまいレンダリング結果が不正になっている。また図 15 のように重なり合った面を同時に動かした場合、マウスで直接操作している面以外をその面に追随させて動かすことができない。 それらを解決するためには、面同士の位置関係の変化を調べ、衝突していたら適切な位置へと移動させる処理を加える必要があるだろう。何重にも重なった面を同時に動かす場合においても高速に処理を行えるような手法を模索中である。
本論文で提案する手法を用いて折り操作を効果的に分割することで、通常両手が必要となる折り紙の操作をマウスのみでも折ることができた。しかし紙を引っ張るような本質的に両手が必須の操作はそのようなアプローチでは解決できないため、仮想空間上に紙をピン止めする機能の追加など更なる改良が必要であるといえる。

参 考 文 献1) Cristoﬀer Cromvik: Airbag Folding based onOrigami Mathematics; The Fourth International Conference on Origami in Science, Mathematics, and Education (4OSME), (2006)
2) K.Goppert: Adaptive Tragwerke-Wandelbare
Dachkonstruktionen fur Sportbauten.; Bautechnik, Vol.82, No.3, pp.157-161, (2005)

3) 桃谷好英: おりがみ虫の世界; 誠文堂新光社,(2002)
4) Robert J. Lang：Origami Design Secrets:
Mathematical Methods for an Ancient Art; AKPeters, Ltd., (2003)
5) 内田 忠, 伊藤 英則: 折り紙過程の知識表現とその処理プログラムの作成; 情報処理学会論文誌,Vol.32, No.12, pp.1566-1573, (1991)
6) Shin-ya MIYAZAKI, Takami YASUDA andShigeki YOKOI, Jun-ichiro TORIWAKI: AnORIGAMI Playing Simulator in the VirtualSpace; The Journal of Visualization and Computer Animation, Vol.7, No.1, pp.25-42, (1996)
7) 三谷純, 鈴木宏正: 折り紙の構造把握のための形状構築と CG 表示; 情報処理学会論文誌, Vol.46,
No.1, pp.247-254, (2005)
8) Jien KATO, Toyohide WATANABE, Hiroyuki
HASE, Takeshi NAKAYAMA: Understanding
Illustrations of Origami Drill Book; 情報処理学会論文誌, Vol.41, No.6, pp.1857-1873, (2000).
9) 三谷 純: 二次元バーコードを用いた紙の折りたたみ構造の認識とモデル化; 情報処理学会研究報
告, 2005-CVIM-150, pp. 115-122, (2005)
10) Autodesk: Maya 8 Unlimited, (2006)
11) Tomohiro TACHI: Smooth Origami Animation by Crease Line Adjustment; SIGGRAPH
2006 Posters, (2006)12) 幸島 明男: Web 上で操作可能な仮想柔物体の変形操作システムの試作; http://www.consorts.org/
sashima/vr.pdf , (2004)