（専門科目（物理学） ・ 4 枚中の1枚目）［専門科目（物理学）］（全２題）［問題 1］以下の文章を読み，問 A～F に答えよ．ただし，解答用紙には導出過程も記述すること．また，ディラック定数 ℏ は１とする．

3 次元直交座標系の軌道角運動量演算子 𝒍𝒍̂ の各成分 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 , 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 , 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 は，位置演算子 𝒓𝒓� =(𝑥𝑥�, 𝑦𝑦�, 𝑧𝑧̂ ) と運動量演算子 𝒑𝒑
� = �𝑝𝑝̂𝑥𝑥 , 𝑝𝑝̂𝑦𝑦 , 𝑝𝑝̂𝑧𝑧 � の外積 𝒍𝒍̂ = 𝒓𝒓� × 𝒑𝒑
� として与えられる．こ� の各成分間の交換関係から，以下の交換関係が導かれる．のとき 𝒓𝒓� ， 𝒑𝒑�𝑙𝑙̂𝑥𝑥 , 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 � = 𝑖𝑖𝑙𝑙̂𝑧𝑧 ,�𝑙𝑙̂𝑦𝑦 , 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 � = 𝑖𝑖𝑙𝑙̂𝑥𝑥 ,また， 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 , 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 , 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 を用いて定義される次の演算子
𝒍𝒍̂2 = 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 + 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 + 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 ,𝑙𝑙̂+ = 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 + 𝑖𝑖𝑙𝑙̂𝑦𝑦 ,�𝑙𝑙̂𝑧𝑧 , 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 � = 𝑖𝑖𝑙𝑙̂𝑦𝑦𝑙𝑙̂− = 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 − 𝑖𝑖𝑙𝑙̂𝑦𝑦 (= 𝑙𝑙̂+† )𝑧𝑧を考える．𝒍𝒍̂2 と 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 は交換可能であり，その同時固有関数を 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)と記す．
𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧𝑧以降では座標(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)を省略し，固有方程式は 𝒍𝒍̂2 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚= 𝑗𝑗(𝑗𝑗 + 1)𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚, 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚=𝑧𝑧𝑧𝑧
𝑚𝑚𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚と実数 𝑗𝑗, 𝑚𝑚 を用いて表され， 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚は規格化されているものとする．

問 A 演算子 𝒍𝒍̂2 は 𝒍𝒍̂2 = 𝑙𝑙̂+ 𝑙𝑙̂− +問B

問Cアの形で表わされる．空欄

アに入る適切な式を 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 を用いて答えよ．

𝑧𝑧𝑧𝑧
𝑙𝑙̂𝑧𝑧 の固有関数 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚に 𝑙𝑙̂+ を作用させた関数 𝑙𝑙̂+ 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚も 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 の固有関数となることを �𝑙𝑙̂𝑧𝑧 , 𝑙𝑙̂+ � = 𝑙𝑙̂+ を用いて示せ．また，そのときの固有値を求めよ．
𝑧𝑧のノルムの 2 乗は�𝑗𝑗 +𝑙𝑙̂−† = 𝑙𝑙̂+ より，𝑙𝑙̂+ 𝜓𝜓𝑗𝑗,𝑚𝑚わされる．空欄

イ,ウイ � �𝑗𝑗 −ウ � の形で表に入る適切な式を答えよ．

電子スピン演算子 𝒔𝒔� の各成分 𝑠𝑠̂𝑥𝑥 , 𝑠𝑠̂𝑦𝑦 , 𝑠𝑠̂𝑧𝑧 も上記の 𝑙𝑙̂𝑥𝑥 , 𝑙𝑙̂𝑦𝑦 , 𝑙𝑙̂𝑧𝑧 と同じ交換関係を満たす．電子は 𝑗𝑗 = 1⁄2 の角運動量を持つことから，そのスピン波動関数は
1 1𝒔𝒔�2 𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,𝑚𝑚 (𝜎𝜎) = � + 1� 𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,𝑚𝑚 (𝜎𝜎),2 2

𝑠𝑠̂𝑧𝑧 𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,𝑚𝑚 (𝜎𝜎) = 𝑚𝑚𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,𝑚𝑚 (𝜎𝜎)を満たす 2 つの固有関数 𝛼𝛼(𝜎𝜎) ≡ 𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,+1⁄2 (𝜎𝜎) と 𝛽𝛽(𝜎𝜎) ≡ 𝜃𝜃1𝑧𝑧⁄2,−1⁄2 (𝜎𝜎) を用いて一（専門科目（物理学） ・ 4 枚中の2枚目）

般に 𝜑𝜑(𝜎𝜎) = 𝑐𝑐1 𝛼𝛼(𝜎𝜎) + 𝑐𝑐2 𝛽𝛽(𝜎𝜎) と表される．ただし，𝜎𝜎 はスピン座標を表し，𝛼𝛼(𝜎𝜎)，𝛽𝛽(𝜎𝜎) は規格化された関数とする．演算子 𝑂𝑂� を 𝜑𝜑(𝜎𝜎) に作用させて生成する関数
𝜑𝜑′(𝜎𝜎) = 𝑂𝑂�𝜑𝜑(𝜎𝜎) を， 𝜑𝜑 ′ (𝜎𝜎) = 𝑐𝑐1′ 𝛼𝛼(𝜎𝜎) + 𝑐𝑐2′ 𝛽𝛽(𝜎𝜎) と表し，これをスピン波動関数の係数を成分とするベクトル 𝒄𝒄 から 𝒄𝒄′ への変換と考えれば，演算子の作用は𝑐𝑐 ′𝑂𝑂
� 1′ � = � 11
𝑂𝑂21𝑐𝑐2

𝑂𝑂12 𝑐𝑐1�� �𝑂𝑂22 𝑐𝑐2のように2 × 2の行列との積として表わされる．この行列 𝑶𝑶 を 𝑂𝑂� の行列表示と呼ぶ．例えば，演算子 𝑠𝑠̂𝑥𝑥 , 𝑠𝑠̂𝑧𝑧 の行列表示はそれぞれ以下の通りである．
𝐬𝐬𝑥𝑥 =問Ｄ
問Ｅ

1 0 1��,2 1 01 1𝐬𝐬𝑧𝑧 = �2 00�
−1

演算子 𝑠𝑠̂𝑦𝑦 の行列表示 𝐬𝐬𝑦𝑦 を記せ．ただし，交換関係 [𝑠𝑠̂𝑧𝑧 , 𝑠𝑠̂𝑥𝑥 ] = 𝑖𝑖𝑠𝑠̂𝑦𝑦 を用いよ．

静磁場 𝑩𝑩(𝜙𝜙) = 𝐵𝐵0 (sin 𝜙𝜙 , 0, cos 𝜙𝜙), 0 ≤ 𝜙𝜙 < 2𝜋𝜋 の中での電子スピンの運動

�𝐵𝐵 = 2𝜇𝜇B 𝑩𝑩 ∙ 𝒔𝒔 = 2𝜇𝜇B 𝐵𝐵0 (sin 𝜙𝜙 ∙ 𝑠𝑠̂𝑥𝑥 + cos 𝜙𝜙 ∙ 𝑠𝑠̂𝑧𝑧 )を考える．ハミルトニアンは𝐻𝐻0

�𝐵𝐵 の行列表示を求め，そので与えられるものとする．ハミルトニアン 𝐻𝐻0
固有値を全て求めよ．

問 F 前問Ｅの 𝑩𝑩(𝜙𝜙) にて 𝜙𝜙 = 𝜋𝜋/2とおいた静磁場のもと，時刻 𝑡𝑡 = 0 において
�𝐵𝐵 のもとシュレディン
𝑠𝑠̂𝑧𝑧 の固有状態 𝛼𝛼(𝜎𝜎) にある系が，ハミルトニアン 𝐻𝐻0ガー方程式に従い時間発展するとき，時刻 𝑡𝑡 = 𝜏𝜏 (> 0) での波動関数
𝜑𝜑(𝜎𝜎, 𝜏𝜏) = 𝑐𝑐1 (𝜏𝜏)𝛼𝛼(𝜎𝜎) + 𝑐𝑐2 (𝜏𝜏)𝛽𝛽(𝜎𝜎) の係数 𝑐𝑐1 , 𝑐𝑐2 を 𝜏𝜏 の関数として表せ．た�𝐵𝐵 𝜏𝜏� 𝜑𝜑(𝜎𝜎, 0) として与えられ，さらにエだし，形式解が 𝜑𝜑(𝜎𝜎, 𝜏𝜏) = exp�−𝑖𝑖𝐻𝐻0𝜆𝜆0
ルミート行列 𝐇𝐇 の指数関数の計算では，対角化 𝐇𝐇 = 𝐔𝐔 � 1
� 𝐔𝐔 † による0 𝜆𝜆2
𝑒𝑒 𝜆𝜆10 � 𝐔𝐔† という関係式を用いてよい．
𝑛𝑛𝑒𝑒 𝐇𝐇 = ∑∞𝑛𝑛=0 𝐇𝐇 /𝑛𝑛! = 𝐔𝐔 �0 𝑒𝑒 𝜆𝜆2

（専門科目（物理学） ・ 4 枚中の3枚目）［問題２］以下の文章を読み，問 A～D に答えよ．

系の熱力学的状態は，系に含まれる微視的状態のエネルギーにより定義される分配関数を用いて調べることができる．微視的状態 i のエネルギーを Ei とすると，系の分配関数 Z は次式で与えられる．

=ZEi B∑ exp  − k T i(1)

ここで，kB はボルツマン定数，T は温度である．また，和は系に含まれるすべての可能な微視的状態に対して取られる．この分配関数により，系のヘルムホルツ自由エネルギー F が与えられる．ヘルムホルツ自由エネルギー F は温度 T と体積 V の関数であり，その微小変化 dF は次式で表される．
(2)dF =− SdT − pdV

ここで S はエントロピー， p は圧力である．系の内部エネルギー U は，F から次の関係式により得られる．
(3)

U= F + TS

さて，以下の原子の結晶の熱力学的状態を考える．結晶は N 個の原子からなり，温度 T の熱浴に接している．原子数 N は変化しないとする．それぞれの原子は 1 個の基底状態と 1 個の励起状態の合計 2 状態のみを取り，基底状態のエネルギーは 0，励起状態のエネルギーは ε である．ここで，励起状態のエネルギーε は結晶内の相互作用により次式のように体積 V に依存するとする．
ε=av(4)v=VN(5)

ここで， a は正の定数である．すなわち，結晶の体積が大きくなると，励起状態のエネルギーが下がる．それぞれの原子 1 個の分配関数は アであり，結晶内のそれぞれの原子の状態分布は独立とすると，結晶の分配関数は イ となる．
この分配関数より，結晶のヘルムホルツ自由エネルギーが次式で与えられる．

（専門科目（物理学） ・ 4 枚中の4枚目）

 ε 
F=− NkBT ln 1 + exp  − kBT  

問 A 文中の空欄 ア(6)に当てはまる原子 1 個の分配関数の式を，ε ， kB ，及びT を用いて記せ．

問 B 文中の空欄 イに当てはまる結晶の分配関数の式を， ε ， kB ，T ，及びN を用いて記せ．

問 C 結晶の F が式 (6) で与えられるとき，内部エネルギー U を表す式を，kB ，T ， N ， a ，及び V を用いて記せ．導出過程も記述すること．

問 D 結晶の F が式 (6) で与えられるとき，圧力 p 及び体積熱膨張率 γ に関して，以下の (a)～(c) に答えよ．導出過程も記述すること．
(a) 圧力 p を表す式を， kB ， T ， N ， a ，及び V を用いて記せ．
(b) 高温のとき（ ε << kBT ）ek BT 1k BT(7)と近似できる．近似式 (7) を用いると， 1/ p が次式で表せる．
1=pウ + エ ×

1kBT(8)

空欄 ウ 及び エ に当てはまる式を N ，a ，及び V を用いて記せ．
(c) 体積熱膨張率 γ は次式で定義される．

γ =1  ∂V V  ∂T  p(9)式 (8) の両辺を p を固定して T で偏微分することにより，次の γ の表式が得られる．

=γ
空欄 オ

11×T
1+ オ(10)に当てはまる式を kB ， T ， N ， a ，及び V を用いて記せ．