岐阜経済大学論集41巻1号（2007年）

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係

中

川

裕

司

1．はじめに

2．連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係
2．1

ヒストリカル・リターンのケース

2．2期待収益率のケース
3，期間が異なる2種類のヒストリカル・アヴェレッジ・リターンの大きさの一致条件
3，1両平均収益率がヒストリカル・アヴェレッジ・リターンのケース
3．2−1くρILn．t＜ρ∴．，＜0または0〈R，T．．，＋＜ρL．！のケース

3．3−1〈ρ，L，，t＜O〈ρ．L，

3．4

ttまたは一1＜ρ．［，．、＜0＜ρ⊥，．．．のケース

比較静学

4、期間が異なるヒストリカル・アヴェレッジ・リターンと期待収益率の大きさの一致条件
4，1

ヒストリカル・リターンと期待収益率のケース

4，2−1＜∂；．一．〈ρ∴．〈0または0〈ρ，1．．、．〈ρ∴．．，のケース

4．3−1＜p，L−、＜0＜ρ∴．、．または一i＜ρ，・ttt＜0くρ∴一，のケース

4．4

比較静学

5．期間が異なる2種類の期待収益率の大きさの一致条件
5．1両平均収益率が期待収益率のケース
5．2−1〈p．L］、，一．＜1）．L，．一．，．＜0または0＜／）．Ll．一，、〈p．L，、，一，、のケース

5．3−1＜ρ∴レ．，．＜0＜p，L］tt−t／t．または一1＜p，し1、，一，．〈0＜p．L，、．．，，のケース

5．4

比較静学

6．投資家のための投資戦略
6，1一方がヒストリカル・アヴェレッジ・リターンと他方が期待収益率のケース

6，2両平均収益率が期待収益率のケースの確率
6．2．1

時点tでの確率6．2．1．A

時点t＋1ηで取引終了のケース

6．2、1．B

時点t＋nで取引終了のケース
ー

1

−

71

6．2．2
7．お時点t＋tnでの確率

わりに1．はじめに
拙稿〔1〕で，ヒストリカル・データを使った期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率とその標本標準偏差（ヒストリカノレ・ボラティリティ）から，異なる2時点の価格比の対数の確率分布が任意の範囲で一様分布に従う

とき，あるいは正規分布に従うときに，rl期間平均収益率の大きさ（絶対値）がη？期間平均収益率（m＜71）の大きさを上回る可能性を考察した。そのとき，期間比を2，価格比を0．9048から1．1052の範囲で一様分布に従う
とき，m期間平均収益率の絶対値が1°／・として，両平均収益率の符号が同じとき，ll期間平均収益率の大きさがm期間平均収益率の大きさを上回る確率は60％となり，両平均収益率の符号が異なるときに上回る確率は40％であることが確認できた。また，価格比の対数の確率分布が正規分布に従うときに，換言すれば，収益率が対数正規分布に従うとき，m期間平均収益率の絶対値が2°／・のときにn期間平均収益率の大きさが711期間平均収益率の大きさを上回る確率は，m期間収益率のボラティリティが2°／・のときには31．730／o，m期間収益率のボラティリティが200／oのときに92．030／oであることを明らかにした。

本稿では，離散時間で考えた収益率の相乗平均（以下では，離散時間型相乗平均収益率とよぶ）について，拙稿〔1〕で論じた連続時間型平均収益率との関連を示すとともに，2種類の期間が異なる平均収益率，すなわち，両平均収益率がともにヒストリカル・データを使って求めた平均収益率（以下では，ヒストリカル・アヴェレッジ・リターンとよぶ）である場合，各平均収益率のヒストリカル・アヴェレッジ・リターンと将来の収益率の期待値（以下で
72

−

2

一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）は，期待収益率とよぶ）である場合，さらに，両平均収益率が共に期待収益率である場合のそれぞれのケースで，拙稿〔1〕と同様に，n期間平均収益率の大きさがm期間平均収益率の大きさを上回る可能性を考察する。さらに，期待収益率を含む上述の2ケースで，投資戦略の結果，正の収益を得る
確率を求めて，投資家の一助としたい。

次節では，離散時間型相乗平均収益率の定義と拙稿〔1〕で論じた連続時間型平均収益率との関係を示し，3節から5節では，現時点ではヒストリカ
ル・アヴェレッジ・リターンと期待収益率とを明確に区別した上で，2種類の期間が異なる収益率がどちらに属するかによって，3つのケースに分けて，2種類の平均あるいは期待収益率の大きさ（絶対値）が一致する資産価格の条件を求める。6節では，資産価格比が対数正規分布（対数ガウス分布）に従う場合に，2時点で意思決定を行う投資戦略を考えて，予想通りに資産価格が上または下に変動した場合の投資成功確率を求める。ここでの価格変動
予想は，正確な値までは必要ないと考える。

2．連続時間型平均収益率と離散時間型
相乗平均収益率の関係
2．1

ヒストリカノレ・アヴェレッジ・リターンのケース

まず，ヒストリカル・リターンを時点t−sの資産価格と時点t−s−1の資産価格の関係で（2．1）式のように考え，（2．1）式が成立する時点t−sの収益率を離散時間型平均収益率1｝巴あるいは離散時間型1期間収益率と定義する。

・P，一、⇒．。．1（・＋・・）「21）−P，．、．le・p（7｝一、）（s＝0，1，…，n）

（2．1）

73

一1≦r；ll（2．2）

ここで，rt−、は連続時間型平均収益率であり1），0＜P，一、とすると（2．1）式から（2．2）式となる。時点s＝0を現時点として，収益率∂に（2．1）式を再帰的に代入すると，（2．3）式となる。
P，−P，一、（1＋・川⇒一，（1＋ii

リヨi）（1＋・川一ぴ1H（1・＋・，］

11）（2・3）

・＝i）（2．3）式の各辺をP，＿1で割って，離散時間型r］期間収益率ρ㍑．，を（2．4）式と定義する。

み1＋ぬ≡（1＋聯」−P・／P，−r，−1−H（1・＋・，1i．li）一・XI・（P，，，、t）≧・（2・4）、一［iここで，昂㌦，は時点t−nから時点tまでの離散時間型t］期間相乗平均収益率，ρ㌫，は時点t−1？から時点tまでの離散時間型ll期間収益率を表す2）。（2．2）式より，（2．4）式はゼロ以上であり，ゼロとなるときはr，］1＝−1であり，時点t−sでP，＿、＝0，すなわち債務不履行（デフォルト）になったと想定する。（2．4）式から，Rlr・tについて解くと，（2．5）式となる。

Rll

い
い
・・一（1＋山二1−〔÷〕−1−O，（1＋川一1−exp（R・＿・．r）−1（2．5）

つぎに，資産価格が常に有限値であることを前提にして，（2．5）式のllに対する極限を考えて，遠い過去の離散時間型相乗平均収益率を求めると（2．6）式になる。

・埠鋼▲酬｛（P，／司㌧1｝1＿一・（2・・）
ここで，直感的には，（2．6）式のP，．xは遠い過去の資産価格であり，有限値であり，無限期間相乗平均収益率Rl

1、，はゼロに収束する。すなわち，nの極限では，平均収益率はゼロに収束することを意味している。（2．2）式と（2．6）式から，（2．7）式が成立する。
74

−

4

一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）1・｝［！1≧砿、，（2・7）

ここで，（2．7）式の等号は，P，一、＝Pト司のときであり，11「llとR匹．，はともにゼロである。

2．2期待収益率のケース
また，期待収益率を想定するときには，時点tの資産価格と時点t＋Tlの資産価格の関係を（2．8）式のように考え，（2．8）式が成立する時点t＋sの収益率を離散時間型期待収益率i／11あるいは離散時間型1期間収益率と定義する。
戸．、−P，．．．1（1⊥弓三）−P，一、−le・p（ξ．、）（・−1・2・・…n）−1≦i；［11

（2・8）
（2．9）

ここで，戸、は連続時間型平均収益率であり，0〈P，−Lとする。時点s＝0のときの資産価格P，は既知とし，収益率杷に（2．8）式を再帰的に代入すると，（2．

10）式となる。
‡t

戸ト＝互一1（1＋i；ll，）一耳＿一，（1＋元1−1）（1＋川一君H（1＋詞（2．10）

・＝］（2．10）式の各辺をP，で割って，離散時間型tl期間収益率ρ，IL，一，，を（2．11）式と定義する．
1・＋・P，：，、t−FF≡（1＋盆し）u一互、／pr一血1刷一・xp（ρ，＿1．t＿rt）≧0（2．11）

・＝］

ここで，司㌦臼、は時点t＋1から時点t＋llまでの離散時間型n期間相乗平
均収益率，ρ；二1日，は時点t＋1から時点t＋llまでの離散時間型ll

M間収益率，p，．1．t＿、，は連続時間型n期間平均収益率を表す3）。（2．9）式より，（2．11）

式はゼロ以上であり，時点t＋sでデフォルトの可能性を考慮し，そのとき元［21＝−1と想定する。（2．11）式から，Rl二1、t−rJについて解くと，（2．12）式と
なる。

P

−

／P

貼・一・刷〃−1一笥一1一陣刷r−1−・XP（ρ，．、．，．，）−1≧−1（2・12）

つぎに，資産価格が常に有限値であることを前提にして，（2．12）式のnに対する極限を考えて，遠い将来の離散時間型相乗平均収益率を求める。

し≡煙礼＿、一煙｛（馴1二1｝。＜，、．、一・（・・13）
ここで，直感的には，（2．13）式のP，一。。は遠い将来の資産価格であり，有限値であるため，無限期間相乗平均収益率Rl二1臼、はゼロに収束する。すなわ

ち，nの極限では，平均収益率はゼロに収束することを意味している。
（2．9）式と（2．13）式から，（2．14）式が成立する。

1剖≧恥X（2・14）

ここで，（2．14）式の等号は，戸トL＝且＿1のとき，杷と司㌦．xはともにゼロである。

3．期間が異なる2種類のヒストリカル・アヴェレッジ・
リターンの大きさの一致条件
3．1両平均収益率がヒストリカル・リターンのケース
期間が異なる2種類の平均収益率がともにヒストリカル・アヴェレッジ・リ
ターンである場合，1≦ノη＜nの仮定の下で，R出，，とR口、，の大小関係を考えるため，6L］．inを（2．5）式から（3．1）式のように定義する。ここで，平均収益率の絶対値で比較することは，時点t−m−1あるいは時点t−ll−1の資産価格が時点tでの資産価格を中心に，プラス方向とマイナス方向に等しい確
76

−

6

一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）率で出現していたであろうという想定に基づいている。
エいエパ

・∴・1・II・．tl−1・i．，1一宏一11一昔一1（3・1）

次項では，δ∴、＝0となる条件，すなわち期間が異なる2種類のヒストリ

カル・アヴェレッジ・リターンが同値になる条件を考える。すなわち，nとmとP，とP，＿1の値を与えることによって，離散時間型m期間相乗平均収益率が離散時間型η期間相乗平均収益率に一致するような一意のP，．。−1が決定する。換言すれば，両平均収益率Rili．．．，とRl

とき，P，＿1はP，，．，と期間mとnが公表されるとP，＿．1の関数，あるいは，1），−m−1はPtとPr＿1の関数であると考える。

3．

2−1＜ρ）L〕，、r〈ρIL）．、、t〈0または0〈ρll）．，，〈ρil．i，，tのケース

まず，期間収益率ρ口．．，とρ，㌦の関係が一1〈ρ巴、、，〈ρi㌦，〈0または0＜ρ∴．t〈ρIL，、、，のとき，6：，｝∴．＝0となる条件を考える。そのとき（3．1）式から，（3．2）式となる。

η＿1一批ll−1／円準一1・P，−nt−、−P，Z，1＿lp，i−（3・2）（3．2）式を1プラスrコ1期間収益率に対する1プラスn期間収益率，あるいは

時点t−n−1の資産価格に対する時点t−m−1の資産価格の比に代入すると，（3，3）式となる。

リノトセ
トリば
；1†㌫一吉一：一、一（1醐耐一（1＋P，ザー即い；n；−1〕｝−e・p｛ρ・＿，，、r〔1

〆

l

：〕｝

（3・・）

77

n！ni
［．

＜0・．、，

ρr，

＞0

P、

ρ

〆

〈0

．〉〔｝

．・

一

・°°

1

1

1

｜

1

B

0

．4／

，」

：

1

1＄

1

1

一一一

1：

1

ゾド・・ニニー……一…一

3

z×．−

1｜

1

1

II．■．

一≡≡一一一，一一一一≡≡≡一一一●一価格比
価格比の対数Bt

離散時間型期閲収益率のケース
連続時間型期間収益率のケース
グラフIA・RIL．

1−1R，ln・を齪する直線（・・ρ，1＜ぴまたは一1＜ρ∴〈ρIJ．・＜0のケース）

ここで，ρ，−rr／．，は時点t−・nlから時点tまでの連続時間型m期間収益率，ρト．，t，は時点t−nから時点tまでの連続時間型〃期間収益率を表す。（3．3）式をn／lnについて解くと，δ∴，＝0を満足する条件下で，期間比〃／mと価格比1），−n．1／P，＿，．，−1の関係（3．4）式が成立する」）。

アη

11・ピ1ち一⊥1．1・（P，＿，，，＿，

1・（1＋ρ∴のP，⊥1＋1・（P・一・n

・・1・・（1＋Rli

の

rl

− ＝1十

i

p

−IJ−1）

ρξ一，，、．s（3．4a）：−1＋≒！；二÷）−1・111；（1÷1）一，・W（｝tfLt）（3．4b）

ここで，m＜riの仮定により，（3．4a）式の左辺は1より大きい。（3．4a）式の右辺が1になる条件はP，＿1＝Pト，一のときであり，この条件は本節の前提
78

−

8

一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）
n／m
0

0

価格比

離散時間型期問収益率のケース
連続時間型期聞収益率のケース
グラフIB・IR∵−IR∵「を瀧する曲線（・・Pnll，〈P：，または一1〈ρ∴〈ρ，V＜0のケース）

条件より除外されている。ρ∴．tとρ）li，．、、，が負のとき，（3．4a）式の右辺第2項の分子分母はともに負であるので，（3．4a）式の右辺は1より大きい。また，ρ∴，とρ∴．，が正のときには，（3．4a）式の右辺第2項の分子分母はともに正であるので，（3．4a）式の右辺は1より大きい。

（3．4a）式の左辺が各右辺より大きい場合にはrl期間平均収益率の絶対値が71

期間平均収益率の絶対値より大きいケースであり，左辺が各右辺より小さい場合にはη期間平均収益率の絶対値がlll期間平均収益率の絶対値より小さいケースである。また，m期間収益率の絶対値がη期間収益率の絶対値より大きいときには，η期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より大きい可能性がゼロとなるため考慮の必要はない。
（3．4a）式を描いたものがグラフ1Aとグラフ1Bであり，グラフ1Aの横軸は
一

9

−

79

価格比の対数，グラフlBの横軸は価格比であり，n？＜tl仮定により，ll／M＞1の範囲であり，n／rn＝1は含まない。ここで，グラフ内の価格比はP，．，。−1／
P，．。−1，ρ∴はβ㌧，屍はρ∴−Rl，i］はR∴、戸R∴はR∴。，で表示し，ρ，，，．tは連続時間型m期間収益率のときの価格比とη／171の関係を表している。

つぎに，（3．4a）式から，期間比η／mを1より大きい任意の定数3とする
ときのδ㌫＝0となる価格比を求めると，（3．5）式となる。
ナヨ

トユグゴ

；二1ゴーft−t、一（1十ρ）1・，，，「）相一（1瑞丁1

一・・p｛P，−r，、，t（・−1）｝一…｛P，−n，t（叩）｝（…）

グラフ1のAとBは（3−1）ρ，−m．t，A・とB・は（3−1）1・（1＋ρ∴，），CとDは・xp｛（3−1）P，−nx．t｝，

CとD・は（1・・㍑プー1である。グラ・lAの直線の上方またはグラフIBの曲線の上方はη期間平均収益率の絶対値がlll期間

平均収益率の絶対値より小さい領域であり，グラフIAの直線の下方または
グラフ1Bの曲線の下方はη期間平均収益率の絶対値がrll期間平均収益率の絶対値より大きい領域を表す。

さらに，3が無限大になった場合を考える。
映（β＿1／P，−it−1）−1＋・｝L，、・一・xp（P，一の（3・6）

このとき，両平均収益率が一致するという条件の下で，期間比が無限大になったときには，価格比P，＿1／P，．，、．1は1プラスη期間収益率となる。これは，rlを一定とするとき，mが限りなくゼロに近づく結果，1プラス

間収益率になることを意味する。

80

10一

lt期

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中1［［）

3．3−1＜ρlljl．t＜0〈ptt

つぎに，

1−）m

−1＜ρllL．t＜0〈ρili．tまたは一1〈ρ；L，，、1〈0＜ρll．i，，、tのケース．。，または一1〈ρ）li．，、t＜0＜ρ；土㌧のとき，6；∴，，＝0となる条件を考える。そのとき（3．1）式から，（3．7）式となる。
T−﹁＿N ＿e「
N

／

fi

fi

「

君一一（，諾才ドP・＿m−1下そ三所
T−

（・・7）

ここで，（3．フ）式の左辺が非負であるための条件は右辺分母がゼロより大きい条件（3．8）式である。
ρ；：1，，，、r〈2m−L

ρjL

，，、

＜2

−1

（3．8）

（3．7）式を1プラスlll期間収益率に対する1プラスn期間収益率，あるいは

時点t−n−1の資産価格に対する時点t−tn−1の資産価格の比に代入すると，（3．9）式となる。

；†荒i…2一嘉≒1ゾ「一←＿）←一剖
下（芸lll：lr←．：1；｛；lil：1）1・・（3・・）（3．9）式をnについて解くと，δ；∴＝0を満足する条件下で，期間比nと価格比P，＿1／P，＿1の関係（3．10）式が成立する。
1・（P，一＿け一同）＋1・（1＋ρ1土しのn＝1・｛2−（1＋パ1，

1・〔P，−7v＿i、『）ln｝

Pt−＿1）＋ρ，＿．．，

1・｛・一・xp（・一・・）｝＞m（3．10）

ここで，m＜nの仮定により，（3．10）式はmより大きい範囲で成立しなけ
ればならない。期間Trl（≧1）を所与として，

ll

1で（3．10）式の両辺を割ると（3．11）式となる。

11

81

〃／∫η

1

，ρ．，

〆

、〈o

〉｛〕

ρ「「

ρ，，

＞0・．．．

一

，

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

一

1・．．

≡

一

一

一

．3−一

一一

l

l

一

一

一罰一一一一一一一一一一一一一一一一

，

一一一≡一

1

−．一．．
一一．
1
／1
元／・

／

／，

村

1／

一

1

1
1

ll

l

価格比

価格比の対数

1︐／

（「

，1

〔

，
＼＼0

㌧こ、

、ミ

．・

Dt Bt D

．4

、

．＜0

B／
−1

離散時間型期間収益率のケース
連続時間型期間収益率のケース
グラフ2A：［a．tt＝R．．−Lを満足する直線（−1＜ρ∴〈o＜ρ，または一1＜ρ

1・（P，三，＜o〈∂のケース）

P・一，、1）＋ln（1＋μ㌧のmln｛・一（1・・∵）［

m

｝
rr

＝り，1

tn

1・（P．一．，1P，−1，−1）＋P，−L，t．t（3．11）

1・1・｛・一・xpい．・一・り｝
1

←

一

1

︿
F

（3．11）式の左辺が各右辺より大きい場合にはll期間平均収益率の絶対値がlri期間平均収益率の絶対値より大きいケースであり，左辺が各右辺より小さい場合にはll期間平均収益率の絶対値がIR期間平均収益率の絶対値より小さいケースである，また，irl期間収益率の絶対値がll期間収益率の絶対値より大きいときには，η期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より大きい可能性がゼロとなるため考慮の必要はない。

（3．ll）式を描いたものがグラフ2Aとグラフ2Bであり，グラフ2Aの横8212期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）小

価格比

離散時間型期間収益率のケース
連続時間型期間収益率のケース
グラフ2B・R，i

1−IR．ll．．1を満足する曲線（−1・ρ∴＜・・〆，1

まナこは一1＜ρ∴＜0＜ρ∴のケース）

軸は価格比の対数であるが，グラフ2Bの横軸は価格比であり，〃1〈ll仮定により，li／m＞1の範囲であり，η／nl＝1は含まない。ここで，グラフ内の価格比はPs＿1／P，．．−1，ρ1．1はρ；土り，ρ∴はρ，

L，，，t．，，

Rl．i

はη，二，

R），1

はRll），，．，で表示し，ρ．，は離散時間型r〃期間収益率を連続時間型ln期間

収益率と勘違いしたときの価格比とr〕／tnの関係を表している。グラフ2のAEBは一・・一・，・一・1・｛・一…（・・一，，ln（1＋P・L．・）…

（1＋・：、．）IF

Dは†・−m／m）｝・一一1tとB・はnln｛・一・xp（・一ln｛・一〔1・P．L・）二・／t−t／ll・）｝…とDtはm1・｛・一TIII（1＋Rll．…）・Eと・は・xp←P，一∬｛・一・xp〔ρ一・・｝｝・

は｛・一（1・P，1，．i−・］／（1…∵）…≡X・（−t・，

13

｝−

Et・

．）／｛・一・X・b−tt．・・）｝，

83

GとH・は・xp（−P

一，，，．t）／｛・一・xpレ，，1・）｝：f／であ・・グ…Aの直線の上方またはグラフ2Bの曲線の上方はll期間平均収益率の絶対値が7η期間平均

収益率の絶対値より小さい領域であり，グラフ2Aの直線の下方またはグラフ2Bの曲線の下方はη期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より大きい領域を表す．

3．4比較静学
一1＜ρ㌫，＜ρ1㍊，〈0または0＜犀．、，〈ρ山、，のとき，離散時間型7η期間

相乗収益率の上昇によって，（3．4a）式の傾きがいかに変化するかをみるために，tη期間相乗収益率で微分すると，（3．12）式となる。

di，

111（P，一一m−L

Pt−n−1）｛1・（1＋ρ1］

，の｝

（k）一

（3．12）

ここで，−1〈ρ㌫．．＜ρ出肩く0のとき，Pl＿1＜P／−m−］であることから，（3．12）式の右辺分子は正であり，（3．12）式は負である。また，0〈ρ1：），，，，〈ρ口、，のとき，1）t．．，．t1〈P，＿．．1であることから，（3．12）式の右辺分子は負であり，（3．12）式は正である。よって，ρIL，，．，の上昇によって，グラフ1Aの直線はn／n］＝1，グラフ1Bの曲線はll／m＝価格比＝＝

1を通って，傾きが急になる。

また，n／m＞1の範囲で一1〈ρ∴、，＜0＜ρ；㌦，または一1〈ρ；㌦r＜0〈ρ㌫．tのとき，期間7η（≧1）を所与として，（3．9）式をm期間相乗収益率で微分す
ると，（3口3）式となる。

癒∵∴蒜c（ft，iitrll）1；寸ほ団

川一「ノμttJ
ここで，（3．8）式より，（3．13）式の右辺分子は正であり，−1＜ρ㍑、，＜0＜ρ；㌦、，
84

14

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）のとき，右辺分母は負であるので，（3．13）式は負である。また，−1＜ρilln、t〈0＜ρ口，．，のとき，右辺分母は正であり，（3．13）式は正である。よって，

ρ出、tの上昇によって，グラフ2Aの直線はn／m＝−1，グラフ2Bの曲線は

価格比＝1を通って，傾きが緩やかになる。

4．期間が異なるヒストリカノレ・アヴェレッジ・

リターンと期待収益率の大きさの一致条件
4．1

ヒストリカノレ・アヴェレッジ・リターンと期待収益率のケース

つぎに，期間が異なるヒストリカル・アヴェレッジ・リターンと期待収益率である場合，1≦m〈nの仮定の下で，R）ll，．，と昆；LL，，の大小関係を考えるため，δ；∴，を（4．1）式のように定義する。

ロィ

ペ

ポリ

ξlll・㌦1一司し一￡−1十計1（・・1）
次項では，δ∴，＝oとなる条件を考える。

4．2−1＜Plll．t＿，〈ρ1：i。、、，〈0または0＜ρIL〕，。，t＜piVI．t−−t，のケース

まず，期間収益率ρ1㌦，とρ；㌦ト，、の関係が一1＜piLi，．，．，、〈ρiLl．，，＜0または0＜ρ㌫．，．t＜piYl．t−、、のケースで5，i，」．1、＝0となる条件を考える。そのとき（4．1）

式から，（4．2）式となる。

互一君トツ瑠1−1（4．2）（4．2）式の両辺をPtで割ると，（4．3）式となる。

−15−

85

P，ノP，一（1＋・1∵）川−1＋ρIL，．。一・・p←lpr−，、り・・）一・・p（元＿）（4．3）

ここで，（4．3）式をrl／tl？について解くと，硯，＝0を満足する条件下で，期間比n／lllと価格比互ノPの関係（4．4）式が成立する。

s−ll｛≒碧）−1鵠÷1）一÷P）一ピ（・…）f−1｝｝捲1）艦ll二！）−ln（芦）÷（・・b）（4．4a）式を描いたものがグラフIAとグラフ1Bであり，グラフ1Aの横軸は価格比の対数，グラフIBの横軸は価格比であり，

t7？〈nの仮定により，

n／rll＞1の範囲である。ここで，グラフ内の価格比は1》一．／P，p．．iはρ，ll日，
ρ．1

はal．

，，

t，

R），iはRjli．，．r，，R。｝はR∴、，で表示し，ρn，は連続時間型n？期間

収益率としたときの価格比と1φηの関係を表している。グラフ内の横軸のアルファベットは3節の記号を上述の記号で置換したものである。グラフ

lAの直線の上方またはグラフIBの曲線の上方はn期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より小さい領域であり，グラフ1Aの直線の下方またはグラフ1Bの曲線の下方はn期間期待収益率の絶対値が1η期間
平均収益率の絶対値より大きい領域を表す。

4．

3−1＜ρ1；L．〈0〈ρご。．，または一1〈ρiLir，，．t＜0〈Pl

つぎに，−1＜ρi1，．

1，L，，のケース〈0＜ρ；11川または一1〈ρ∴、，，〈0〈Pll／L，tのとき，6∴＝0となる条件を考える。そのとき（4．1）式から，（4．5）式となる。
・P，（・P，：V］・−1一川pr86

1−n／Sj，P，．，／＝

P，・，，、−1＝

（2P，i

lll

16

Pr

n一戸㌘げ

（4．5）

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

ここで，（4．5）式の左辺が非負であるための条件は右辺の括弧内がゼロより大きい条件であり，（3。8）式となる。（4．5）式の両辺をP，で割ると，（4．6）式となる。

告一・窟1［一｛・一（1＋・｝li．，．，

）i

r

］

＝

｛・一・exp（一梛（4．6）（4，6）式をllについて解くと，5X．，、＝0を満足する条件下で，期間比nと価格比P／Pトt＝ln…の関係（4．7）式が成立する。

1・（互一け）
1・匡召）
1・匡P，）｛・一（η司り＝hl｛・一（1＋・げ｝＝ln｛・−exp（刷｝〉（4．

ここで，lll17）〈・ilの仮定により，（4．7）式はnlより大きい範囲で成立しなければならない。期間rn（≧1）を所与として，rnで（4．7）式の両辺を割ると（4．8）

式となる。

nl

1・（Pt＿u1・（∂け）

L｛・一（P・・・．，−1）1川｝

一一曲

・1・1・

n

P｝）

｛2−（1＋ρ∴，）加｝tl］＝ti9／ifTlf

1・匡P，）（4．8）

・・111｛・一・X・（P・＿，・，trl・）｝＿一（4．8）式の左辺が各右辺より大きい場合にはn期間収益率の絶対値が7η期間収益率の絶対値より大きいケースであり，左辺が各右辺より小さい場合にはn期間収益率の絶対値が期間収益率の絶対値より小さいケースである。
ここで，グラフ内の価格比はP，，．／P，ρナはρ；L／．，L，，

R出成Rl，｝］はRILi．、、，をで表示し，

，ρLJ

はρ

tLi。

．t

i

R）、t

は

Pmは離散時間型期間収益率を連続時間型

m期間収益率と勘違いしたときの価格比とη／mの関係を表している。グラフ
ー17・−

87

・のAとBは一

・

1・｛・一・xp（P，一。．4・）｝…，・8・B

CとDは一ml・｛・一・xp（P，一・州｝・・

は・1・｛・一（1＋・川とDtは・・1・｛・一（1・・∴．

り，

）1m｝・

Eと・は｛・一・X・（P，＿．，．，／・）∫・E・と・・は｛・一（1＋刷1〃｝r／…Hは｛・一・xp＠．、4・・）｝f・G

・Htは｛・一（1＋醐T／｝川であ・・（…）式を描・・たものがグラフ2Aとグラフ2Bであり，グラフ2Aの横軸は価格比の対数，グラフ2Bの横軸は価格比であり，nユ＜η仮定により，η／ア）1＞1の範囲であり，ll／tn＝1は含まない。

4，4比較静学
一1＜PIL

1．一，＜ρ；11，、↑〈0または0＜ρ1三，。，，＜ρ出、t．T、のとき，離散時間型m

期間相乗収益率の上昇によって，（4．4a）式の傾きがいかに変化するかをみる
ために，rn期間相乗収益率で微分すると，（4．9）式となる。

誌〔m〕一1・（互詔）（4．9）｛1・（1＋ρ□の｝

ここで，−1〈p；L．1、，．T、＜ρ｝［1．，、，＜0のとき，且，，〈P，であることから，（4．9）式の右辺分子は負であり，（4．9）式は正である。また，0＜ρ1㌦，＜ρ｝LL白，のとき，P，＜P，一，、であることから，（4．9）式の右辺分子は正であり，（4．9）式は負である。よって，ρil．）。．，の上昇によって，グラフ1Aの直線はη／7η＝1，グラ

フ1Bの曲線はll／r71・＝＝価格比＝1を通って，傾きが緩やかになる。
また，］1／η］＞1の範囲で一1＜Pl

1，L，、〈0〈ρ1㌦，または一1＜ρIY。．t〈0〈piltiLr，のとき，期間m（≧1）を所与として，（4．7）式をm期間相乗収益率で微分すると，（4．10）式となる。

88

−18一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係

d，］（1＋ρil＿ir，の1

−i

（中川）

l・（1＋ρ㌦，）

繊・一一・・｛・一（1＋・；川［1・｛・一（1＋・ILi，n．t）い｝［
L『1（4．10）

1tll−＝filt「tここで，（4．7）式より，（4．10）式の右辺分子は正であり，−1＜P！l，L，、＜0＜ρll．

、tのとき，右辺分母は負であるので，（4．10）式は負である。また，−1＜ρ；Lト。、t〈0＜Pll．r，のとき，右辺分母は正であり，（4．10）式は正である。よって，ρ㌫，．rの上昇によって，グラフ2Aの直線はn／m＝−1，グラフ2Bの曲線は価格比＝1を通って，傾きが緩やかになる。

5．期間が異なる2種類の期待収益率の大きさの一致条件

5．1

両平均収益率が期待収益率のケース

最後に，期間が異なる2種類の期待収益率である場合，1≦m＜nの仮定の下で，1ζLl．，．

，と昆！L1、t．r，の大小関係を考えるため，5，［，1、1，を（5．1）式のように定義する。

81・1・ll≡R

ヘ

ユアロ

エロ

ilii．・−ni一蘂一・一争一1一三−1（5・・1）

次項では，δ，ll］，＝0となる条件を考える。

5．2−1＜PIL），、，＿，，＜p）L

まず，p；［i．t＿，。＜0または0＜PIL〕i、t−．＜PIY1，ト，のケース

i、，tn、とPllj1、t．，、の関係が一1＜piVi、t〒、、〈pll；1，，一．、＜0または0＜

−19−

89

p；L

1、t，TSJ〈p；L

1．，，，、のケースの6irl）、＝0となる条件を考える。そのとき（5．1）式から，（5．2）式となる。
戸t．F

−i

i

：IL

p｝−7

11

・P，，m−pl川i一

ソ戸1二；1（5ユ）（5．2）式を1ブラスtl？期間収益率に対する1プラスn期間収益率，あるいは
時点r＋mの資産価格と時点t＋llの資産価格の比に代入すると，（5．3）式となる。
P，−rl 〜 P，一
P，一，，，

Nn
P，

P，

n

i
〜
一＿，．

P，

，。、P，

1
、
＝（1＋ρ）L，、t．，，

）

、rl

Bl．．、

i〜

P，−t／

P，

lt

1］

L
、1（tl／Lxl（tl／、、＝（1＋ρ1：−exp｛b・一・s−fn、1−Fra

，、，．

［i

xl

）rrざ／

）

1｝−exp｛ゑ一〃1一号｝（…）

ここで，b，．1．，−fr、は時点t＋1から時点t＋nlまでの連続時間型rn期間収益率，π．p，，、は時点t＋1から時点t＋llまでの連続時間型n期間収益率を表す。（5．3）式をll／lnについて解くと，δ∴、＝0を満足する条件下で，期間比ll／ηと価格比互ノ互lnの関係（5．4）式が成立する。

⊥。1＋1・（∂一已の．1＋正・匡∂一の．1＋1・ぱ∂」．1ml・（1＋δ㌦一）

mh・（1＋司LI．−

P・−1・・一・・（5．4a）

÷一・÷M（）−1十∴1！）−1＋÷÷∂・1（5．4b）
ここで，η］〈lzの仮定により，（5．4a）式は1より大きい。（5．4a）式の右辺が1になる条件はP，，，，＝P，．n、のときであり，この条件は本節の前提条件より除外されている。itト1、t．．1，とρ；と∫Lト，が負のとき，（5．4a）式の右辺第2項の分子分母はともに負であるので，（5．4a）式は1より大きい。また，

90

−2θ一

Pl！〕1．，−r、と期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）p）：11．，一。、が正のときには，（5．4a）式の右辺第2項の分子分母はともに正であるので，（5．4a）式は1より大きい。

（5．4a）式を描いたものがグラフ1Aとグラフ1Bであり，グラフ1Aの横軸は価格比の対数であるが，グラフIBの横軸は価格比であり，m〈η仮定により，ll／m＞1の範囲である。ここで，グラフ内の価格比はPtLu／且川，ρ1，i
ρ出，．ρ犀は棚．．，RLiは司㌦一lt，

R），1

は

iは瓦㌦＿を示し，ρ．は離散時間型ln期間収益率を連続時間型m期間収益率と勘違いしたときの価格比とn／mの関係を表している。グラフ1のAとBは（3−1）p，−1．，．n、，（3−1）Ill（1＋ρ，：。．sn），

CとDは・・p｛（3−1）i｝t−

1．t

一

nt｝，

C

とD

A

とB

は

は（1＋Pil．、．，．．，）v−1である。グラフIAの直線の上方またはグラフIBの曲線の上方はn期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より小さい領域であり，グラフIAの直線の下方またはグラフ1Bの曲線の下方はn期間期待収益率の絶対値がr）1期間平均収益率の絶対値より大きい領域を表す。（4．4a）式の左辺が各右辺より大きい場合にはn期間平均収益率の絶対値がmma間平均収益率の絶対値より大きいケースであり，左辺が各右辺より小さい場合にはn
期間平均収益率の絶対値がn？期間平均収益率の絶対値より小さいケースである。

つぎに，（5．4a）式から，期間比n／7ηを1より大きい任意の定数3とする
ときの酎∴＝0となる価格比を求めると，（5．5）式となる。
ス

肯一㌢一告

エ

フ

一（1＋ρ□ず一（1・ρ；㍊批−e・p｛P，−1・・（・−1）｝−6唄ね一〔1一撒 ｝（5．5）

さらに，3が極限になった場合を考える。
画戸．ノ∋一・＋ρ出．
このとき，一・xp（元．・一両平均収益率が一致するという条件の下で，

−21一

（5．6）

期間比が無限大に91

なったときには，価格比且，、／P，，，，／は1ブラスη期間収益率となる。

5，3−1〈ρご1、，一．＜0＜p｝li，t→ntまたは
一1〈piLji．t＿，n〈0＜ρ；；1．ト1、のケース

つぎに，−1〈PIL）i．t＿rt＜0＜pi！）1、t−mまたは一1＜p6t），．，．

m＜0＜pll

1＃ト，，のとき，

rl．lt＝0となる条件を考える。そのとき（5．1）式から，（5．7）式となる。

bP，．．−P・（2≠プ…

P，．．＝−E（2㌫註・・（57）

ここで，（5．7）式の左辺が非負であるための条件は右辺分子がゼロより大きい条件（5．8）式である。
ρ；㌦．，。＜2㌧1，

PIV，，，＿，、＜2

−1

（5．8）

（5．7）式を時点t＋mの資産価格に対する時点t＋nの資産価格の比に代入す
ると，（5．9）式となる。

2−』÷｛2−（1÷｝川L鉢甲㈲F6Φ割（5．9）（5．9）式を71について解くと（5．10）式となり，δ1、1、，、＝0を満足する条件下で，期間比ηと価格比P，．．／且，rtの関係式が成立する。
，。1・（P，，

NP，，nt）・1・（1＋ρ川．1・（∂一ほ一）・P…−ltt＞。〕（5．、。）1・｛2−（1＋pil，L．，

ここで，m．

）i，n｝
1・｛・一・xp（P，．，，．

．

m）｝〈nの仮定により，（5．10）式はTrlより大きい範囲で成立しなければならない。期間η］（≧1）を所与として，・17？で（5．10）式の両辺を割ると（5．11）

式となる。

92

−22一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

⊥

m

n「＝tl

lT／

1・（互rt∂一の＋b，、．．

1・（∂．．，∂．の＋lrl（1・＋・PllL．，）

1・II1

＞1

・・1・｛・一・xp（ぴパリ｝｛2−（1＋ρ∴Lのh｝「n＝イノ／／

ft／「／；∫．ISi「「（5，11）（5．11）式の左辺が各右辺より大きい場合には7L期間平均収益率の絶対値がrn期間平均収益率の絶対値より大きいケースであり，左辺が各右辺より小さい場合にはn期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より小さいケースである。

（5．11）式を描いたものがグラフ2Aとグラフ2Bであり，グラフ2Aの横軸は価格比の対数，グラフ2Bの横軸は価格比であり，rl／m＜nの仮定により，

171＞1の範囲であり，η／m＝1は含まない。ここで，グラフ内の価格比

は巧…／P，．rt」・ρ1，

1はρ；1

ii、，−n・ρ1：）はPIL，，．，．，，，・・RLI｝は盆IL1、，．lt・丑1｝）（斑1二，、．rnで表示し，ρ．、は離散時間型7T！期間収益率を連続時間型m期間収益率と勘違いしたときの価格比とn／7ηの関係を表している。グラフ2のAとBはP，・．・，一・1・｛・一・xp々・）｝，脱・・は・1・｛・一（1・ぴゾ｝−1・（1・鋪，一

C・Dは一b・：一r−niln｛2−・・p〔ρ．・，．r．／1）1）｝・C，・D

は・1・｛・一（1・舖｝−

1・（1・P，．i，−n／）・E・・は・xp（−P，t．rr）／｛・一・xp（ゑ」｝・宜とF・は｛・一（1・刷

1／｛1＋制・・とH・…x・（一ゑ一）／｛・⇒拓弗α・H・（よ｛・一（1瑞〕1r）｝）．／（1＋ぴ、）であ・・グ…Aの醜の上方またはグ・・

2Bの曲線の上方はn期間平均収益率の絶対値がm期間平均収益率の絶対値より小さい領域であり，グラフ2Aの直線の下方またはグラフ2Bの曲線の下方はn期間平均収益率の絶対値がアη期間平均収益率の絶対値より大きい領域を表す。

−23−93

5．4比較静学
一1〈PIV，．，．．，，〈P，L，．，．．、＜0または0＜P）Lji．，，．、〈ρ出、，一，，のとき，離散時間型

ln期間相乗収益率の・ヒ昇によって，（5．4a）式の傾きがいかに変化するかをみるために，7η期間相乗収益率で微分すると，（5．12）式となる。

万÷〔÷〕一撒∵i：ll｝（5．12）

ここで，−1＜ρ出、ト，，〈ρ1㌦ト，＜0のとき，Pr−t、〈P，一，，であることから，（5．12）式の右辺分子は負であり，（5．・12）式は正である。また，0＜ρ出、ト。，＜

ρ∴四、のとき，∂．

，〈」㍉であることから，（5ユ2）式の右辺分子は正であ｛），（5．12）式は負である。よって，plL、．，一．，の上昇によって，グラフ1Aの

直線は11／nl＝1，グラフ1Bの曲線はn／アη＝価格比＝1を通って，傾きが緩やかになる。
また，−1〈ρ；㌦．JJ＜0＜PIL

1、r−FFFまたは一1＜ρ口、s．n、＜0〈ρ；：

1、、一、，のとき，

期間・lrl（≧1）を所与として，（5．9）式をm期間相乗収益率で微分すると，（5．13）式となる。
2ni＋い一m）（1＋ρ山．，．

dn，ゾ（5．13）（1＋元㌦一）1・｛2−（1＋ρ；㌦．のいdξ〜∴1．r
N、

1｝＿。一

rri−一

ここで，（5．13）式の右辺分子は正であり，−1〈ρ，」1，ト，，〈0＜p，Ll．，．n、のとき，右辺分母は負であるので，（5．13）式は負である。また，−1＜p；11．，一。，〈0＜ρ㍑加、のとき，右辺分母は正であり，（5ユ3）式は正である。よって，ρllト。、．，の上昇によって，グラフ1Aの直線はrl／rn＝−1，グラフ1Bの曲線は価格比＝1を通って，傾きが緩やかになる。

94

24一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

6．投資家のための投資戦略

この節では，期待収益率が正規分布に従う場合に，投資家が時点tで1危
険資産の売買を考えて，時点t＋・rnで資産価格の実現値を確認した上で，時点tで実行した売買を再検討して，反対売買を行って取引を終了するか，あるいは時点t＋nまで意思決定を変更しないかのどちらかに限って論じる。
実際には，時点t＋アnで時点tでの意思決定の誤りを確認して，再度投資決定を行うことができるはずであるが，本稿では，時点t＋mで取引を終了するか，あるいは継続するかに限ることにする。そのとき，投資家は時点tでの時点t＋・n？と時点t＋llでの資産価格の大小関係のみの予想を行い，また，時点t＋171では時点t＋nでの資産価格の上下のみの予想を行うものとする。また，この節では，各時点での価格に関する投資家の予想が的中した
場合だけの投資成功確率を考察することにする。特に，時点tでの意思決定
を時点t＋・

nまで持ち越す場合には，時点tあるいは時点t＋mでの価格の上下予想の一方だけが的中した場合でも，3時点の資産価格の大小関係によって，正の収益を得る可能性が存在するが，これらのケースは本稿では論
じず，機会を得て考察するつもりである。

まず，次項では一方がヒストリカル・アヴェレソジ・リターンと他方が期待収益率のケースを想定する。すなわち，投資家が過去の平均収益率を確認してから投資決定を行うケースを考える。

6．1一方がヒストリカル・アヴェレッジ・リターンと他方が期待収益率のケース
まず，投資家が1危険資産の時点t−m−1の資産価格P，一。n−1と時点tの
一25−

95

資産価格P，を観察して，時点t＋nの資産価格P，一，，を予想して，現時点（時点t）で投資戦略を立てる。したがって，1危険資産を現時点で購入する

か，空売りするかを決定する。ここで，時点tから時点t＋llの収益率
R，一．i．，一，，は平均μ同、已，，分散σ三1伸、の正規分布（ガウス分布）に従うものとする。すなわち，R，．1．，．．1Ω，−N〔・．、，一。・1．1．，一，）（6・1）

ここで，μ旦垣とσ12．i、t，1、に関しては，投資家の主観的な値とする。つぎに，以下の投資戦略下で，正の収益を得る時点tでの確率を求める。なお，損失となる確率はこれ以降の注に挙げておく。

ケース1

ヒストリカノレ・アヴェレッジ・リターンに関係なく，時点tで買って，時点t＋nで売却するとき，正の収益（P，〈P，，S／）となる時点tでの確率は（6．2）式である。

P・（P，・抽Ω，）−P・匡1、．
ここで，Ω，＝｛P，，P，．b…｝を表し，〉・1Ω，）（6・2）

Pr（1Ω，）はΩ，を条件とした時点tでの確率を表す。

ケース2

ヒストリカル・アヴェレッジ・リターンに関係なく，時点tで空売りして，時点t＋・llで買戻すとき，正の収益（ρ〉且。）となる時点tでの確率は（6．3）式である。
P・（且。＜君1Ω，）−P・匡1．．

ケース1とケース2の確率は0．5である5）。

96

26一

〈・1Ω，）（6．3）

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

ケース3
正のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，一，n．，＞0）を観察して，時

点tは天井でないと予想して（μト1ト，、＞0）購入し，時点t＋llでPtより高値で売却するとき，正の収益（∂＿、〈P，〈互，、）となる時点tでの確率6）は（6．4）式である。
P・（Pr−ml＜P，・且，，1Ω∂

一・・一≒−1＜・〈互＿∂−rs．−1．r＞・・μ・・一，〉…

−P・匹1ト，、〉・IR，＿，．

．，、，〉・＆μ品、．，，〉・）

・3−sn

（6．4）

ここで，期間比を表す3を正の任意の定数とする。

ケース4
負のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，＿Ftl．t〈0）を観察して，時点tは底値でないと予想して（LI，．1、，．1＜0）空売りし，時点t＋n．でPtよ

り安値で買戻すとき，正の収益（互，、＜1］＜P，＿1）となる確率7）は（6．5）式である。
P・匡くPr・P，一．−1｜Ω，）
一・・P，，，．，．，t＜・〈÷一・L1・，一．−1．t〈・＆μ．L，−r／〈・＆・一÷−P・｛η．1内く・1R，−rSJ−1、，＜・＆・L・，．1．t−n＜・）−1−P・（P，−n／−1〈P，・且，，1Ω，）（6．5）

グラフ3は横軸に時点tでのR，，t、t−，，のボラティリティσt−1臼、をとった（6．4）

式と（6．5）式の確率を表している。グラフの左軸はケース3の投資戦略によって，正の収益を得る確率を表し，右軸はケース4の投資戦略によって，正の収益を得る確率を表している。

一

27一

97

0

1

0．2

0．8

ケ
1

ケ
o．4

〔〕．6

1

ス
3

ス

の

の

確

4

o・6

o・4

確

率

率
0，8

o．ユ

00

こ

％

ロロ

ヰ

ウロ

むむごハ

パロ

10000

資産価格の収益率のボラティリティ（σ／−lt．n、）

グラフ3：ケース3とケース4の確率

ケース5
正のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，−Fta、，＞0）を観察して，時
点tは天井だと予想して（tt，＿1，，一，、＜0）空売りをし，時点t＋nでP，一。，−1

より高値で，かつP，より安値で買戻すとき，正の収益（P，−r，，

1〈且，、＜P，）となる時点tでの確率8）は（6．6）式である。

P・（P，−a，−1〈∂．，，〈P，

lg2，）．・，−mRt＿．，＿1・t．R，．1．，．，、〈・1R，−lt／−1、，・・＆，，−1、，．・・＆3一旦
n

−・・÷一

m

t・R，一、．，−n〈・1・R，−nt−

1．t・・…t−1、t−n＜・

（…）

ケース6
負のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，−m．t＜0）を観察して，時点tは底値だと予想して（μト1，ト，，＞o）購入し，時点t＋πでP，より高値

98

−28一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均取益率の関係（中1［［）

「）．8

o．6

a：．ケース♪−tt．一．

＝−5〔IOb：：ケース5：

＝−5Uo

lt−］

fi−

＝lo％

ff．：

；2riOeC：1ケース6］μ．−1＝−500rす，一｜一

確

d：：ケース6］μ．、1．

＝−500σ一⊥、一．＝2500

率⑪A

e：ブース

−ii＿L

＝IDOO

＝5％

σ一二．一＝10°・

f：ニケース71μ㌔

＝500

r・一ニー

9：．ケースS，

μ．一，

＝5むo

σ．一．一

h：：ケース8：μ．一．

＝500

戸．．

＝］500
＝loo，

o．2

＝こ5°o

0
−

0．6

−0，斗

一〇，こ

R−

O

〔｝，］

〔）．4

0，6

・一レ13

グラフ4：ケース5〜ケース8の確1率

で，かつP，一．，−1より安値で売却するとき，正の収益（P．＜P，，，、〈P，一一）となる時点tでの確率9）は（6．7）式である。
P・（Pr＜P，．．．＜Pr−，．＿，

jΩ，）

一・，・＜且、，。〈」眠一・1・し1、〈・＆μ．1．，，・・＆・3−⊥
η−・…R，．1．，．

r］1＜」デ凡一〈・・μ…．・−n＞・−P・（∂川く∂…〈叩，）

（6．7）

ケース7
正のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，一．、r＞0）を観察して，時
点tは天井だと予想して（Ltl−1．，一，，〈0）空売りをし，時点t＋11でPト，

一］より安値で買戻すとき，正の収益（P，．，、〈P，＿1＜P，）となる時点tでの確率lo）は（6．8）式である。

一

29

99

P︑

PY

｝

＝

i

＜P，一＿1〈P，P

1Ω，）

1頑＿1、『＜ORf−rr，−ir＞0＆μ、−L，一，，R．、t．く一
1㌦一η
−

＝Pr R

n
〈0＆．ヲ＝一ノηηR，一，，，．Lf〈一t−−t．t．

t

R，−Tl／−Lr＞0＆ltト．1．tTT／くO

3

N

（6．8）

ケース8
負のヒストリカル・アヴェレッジ・リターン（R，＿Ml．t＞0）を観察して，時点tは底値だと予想して（L・，．1．，一，、＞0）購入をし，時点t＋ηで1），より高値で売却するとき，正の収益（P，〈Pr＿，＜且tl）となる時点tでの確率11）は（6．9）式である。
P・（P，＜P，−rn−1〈P，−ll「Ω，）一・・〔0＜＿niR−1・，−1・t＜R，−1、日情一＿1．t〈0＆μ，．、ト，ノn〉・＆・−k−P，旦一・−I」＜R
3

−P・（互

Rr−，。−Lt＜0＆μトLr．，t＞0

トLト〃＜P，−m−1〈P，・lg，）（6．9）

グラフ4は横軸に時点tでのR，．1．，−nのボラティリティσ，，1．，．nをとり，各ケースの投資戦略によって，正の収益を得る（6．6）式から（6．9）式の確率を表
している、

6．2

両平均収益率が期待収益率のケースの確率

時点t（現時点）と時点t＋mと時点t＋71（n？〈Tl）の3時点が存在して，投資家は時点tで必ず意思決定を行って，危険資産への売買を決定し，時点
t・＋・71］で意思決定を再考することができるが，期間を通して売買は各1回とする。仮に投資家が時点tで資産の売買を行わないという意思決定を行っ
100

−30一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）て，時点t＋7ηで初めて資産の売買の意思決定を行う場合の確率は前節に集約されるため，本節では論じない。また，時点tと時点t＋mでの予想が一致し，時点t＋mあるいは時点t＋nで正の収益を得る確率のみに限定して考察する。実際には，一方の予想のみが的中した場合でも，3時点の資産価格の大小関係によって，正の収益を得る可能性が存在するが，これらのケースは本稿では論じず，機会を得て考察するつもりである。

6．2．1

時点tでの確率

まず，投資家が時点tで意思決定を行い，危険資産への売買を決定するとき，正の収益が得られる時点tでの確率を以下のケースによって求める。

6，2，1．A

時点t＋mで取引終了のケース

投資家が時点tで意思決定を行い，危険資産への売買を決定し，合理的判断によって，時点t＋mで取引を終了する場合の時点tでの確率を以下のケースによって求める。ここで，時点t＋mの時点tでの価格上昇または下落の予想が的中したときには，時点tでの意思決定をそのまま保持して，時点t＋ηで取引を終えるケースと，時点t＋mで価格上昇または下落の予想が的中したことを知った結果，時点t＋nまでの時間経過にともなうリスクを回避するために，時点t＋mで取引を終えるケースが存在するであろう。
そこで，瓦一Lt−，は（6．1）式の正規分布に従うものとし，時点tから時点t＋mの収益率R，．i．，．n、は平均μ，−1、t−rt，分散σた1．t．rrtの正規分布（ガウス分布）に従うものとする。また，司．1、t．，）とR，，i．，．，nが正規分布に従うことから，時点

t＋？η＋1から時点t＋ηの収益率司鋼一Lト，、の時点tでの分布は（7．1）式の正
規分布に従う。

31

101

司．．−1−・t−N（1・，，sr，．1、，、・・∵L．㈲．Nカー一・一・・1．、・32σこ1−2恒一・巳一…1・1・t・・Ωt．3−1（3−1）一（7．1）
ここで，η／

η＝3であり，λは時点tでのR，一、．v．とR．．1＿、の相関係数を表す。（7．1）式から，Lt，−1，，一，，とot−1．t−r、は（7．2）式が成立する。

1

it・−L・t−s／＝1一ヲμ・一・1
a：−1．r−・，一

S（1・・t，1．，．．．

ここで，！t，，，V−1．t−FiとIt，−1．，．．、とo・汁妬

一（7・2・）

IT1±」ピー1）・∵，＋（・3−1）2σ2．1，｝（・．・b），一．］，t−rF、とq−uc．L．t−r／を主観的に与えることによって，時点t＋nの期待収益率とボラティリティを求めるためである。
コ

・∵．≦芸

（…）

（7．2b）式の実数解の存在と相関係数の定義域とボラティリティの非負条件から，（7．3）式を仮定する。

ケース9
時点t＋n？の価格が時点tの価格より高値になる（P，＜P，−n，，すなわちμ．−1、，一、，，＞0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点t＋llの価格が時点tの価格より高値になる（P，〈円→，，すなわちtl，，1．，，，，

〉

0）と予想

して，時点t＋mで売却するとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．4）式である。
・・（〔（P・・P，，1，

一・・（（｛

つ

R

r

ttt

t−Lt−rt〉・1μ一1．

一・・（（R，，1、ト

102

1．t＿，，〉・）（P・・却一．〉・））Ω］…〉・）（し〉・11・・一・．・−n，↓〉・1μ．1．．．〉・）・〕

32一〉・））・〕（…）

期間か異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）・・＠＿〉・1…＿1，．．〉・・）1・）・・＠．1．、＜・「i・・、・．、・・）1・，，）

1

0

0．8

O．］

〔｝．6

o．4

0．4

〔｝．6

｛｝．2

o．8

0

l

0Wl

2〔）（）

400イ）

60イ）《）

8000

l〔｝｛｝Oe

資産価格の収益率のボラティリティ（σ一L・一、，）
グラ・5・P・＠＿・・1，，・一、・一、・・））・・）と・・＠＿・・1・・，一，〉・）1Ω．）

グラフ5は時点t＋1から時点t＋rnの資産価格の収益率のボラティリティ
σ，．1，，一、を横軸にとった確率を表し，（7．4）式の右辺第1項の確率はs＝rn．としたグラフ5の左軸に従う。

ケース10

時点t＋llの価格が最も高値で，時点tの価格が次に高く，時点t＋mの価格が最も安値である（Pt−，＜P，＜P，．

，すなわちLt，＿1、t．ll、＜0かつ

μトL臼、＞0）と予想して，時点tで空売りし，時点t＋rnで買戻すとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．5）式である12）。
・・（（互。＜P，・叫・，．1、t．lrt＜……、．、，・・）1・，）
一・・（（（P，・帥一1、・一〈・）1（∂．．＜P・

1・…．・．・−m〈・））・）

一・・（匡く司μ，＿〈・）1・t）・P・（（P，・戸一」・・，＿〉・）1・t）
一・・（（A，．，．，一．〈・1・・，一、．，，，n〈・）1・，）

−33−

（7．5）

103

ここで，（7．5）式の右辺の確率はs＝7ηとしたグラフ5の右軸に従う。
ケース11
時点t＋mの価格が時点tの価格より高値になる（P，〈P，．，，，，すなわちμ．一］．，．JS、＞0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点t＋n？が天井であると予想して（P，．，、〈∂．，。，すなわちLt，．m−1，t−n＜0），時点t＋mで売却するとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．7）式である。

・・（（匡くP，．m一・・

1

t−m−1．t−n＜・）匡・召1⊆〉・））9，）（（（R，．．＿＜・iμ・＿1．・，〈・）（亙一〉・1μ国、・・〉・））・］−Pr（（R，＿LトUt＞oiμ㌔1ゴ＿＞0）Ω〕×Pr（（司＿＿lt＿，＜olμ卜＿Lr＿＜0）Ω〕（7．6）
ここで，（7．6）式の右辺第2項は（7．7）式である。
・・（（R，．．＿＜・レ・．＿〈・）・t）−1−P・（（R，＿、・…〉・1μ＿1・−T／〉・）・」（7．7）（7．6）式の右辺第1項の確率は5＝mとしたグラフ5の左軸に従う。同様に，グラフ6は時点tでの資産価格の収益率のボラティリティをs＝mとした横軸にとった確率を表し，（7．6）式の第2項の確率は3と：，とtltt1、t＋，，，とIt，．1、，一，、とσ，．1、t．．、とσ，，1．，＋r、に依存して変わるため，3＝2パ＝0．7とし，さらに（・・，．1、t−u）・

ltt−−1、i．n）Ω，・一（土5°／・・土1・°／・）として・（7・1）式からμ・−iΩ・一

土150／oとして，σ，．1．、．t，とσ，．1、t．，T、を軸にして等しい確率を結んだ曲線（以下では，等確率曲線とよぶ）をグラフ6で表した。なお，一般的に長い期間の収益率のボラティリティが短い期間のものよりも大きいという理由から，グ
ラフ6ではσt．Lt−n、＜σ，．1．，．i，を仮定する。

ケース12

時点t＋mの価格が時点tの価格より安値になる（且
104

＿34一

、＜Pr，すなわち

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）
50％

40％

30％
σト］、t＿nt

20％

10％

0％

0％

10％

］O％

30％

40％

50％

σ
t−1．t−11

グ・…P・

＠．，・一〉・ll・t＿L・．ul・・）・t）・等確軸線

μ，−1．，．n、〈0）と予想して，時点tで空売りし，同時に時点t＋mが底値であると予想して（P，．，T、＜互。，すなわちtt，．m−1，t＋1，＜0），時点t＋mで売却するとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．8）式である。
Pr （（亘＿〈項…1μ＿1．t−，、〉・嶋くP，itt＿〈・）・，｝（（R，＿ni＿i．ti｝〉・1・−1＃−n＞・）（吾，＿＜・1・，．1、．Tll＜・）｛・・）−P・−P・阜＿。＜・レー，rl〈・）1・，）・P・（（司＿、，．n＞輌＿〉・）・，）（Z8）

ここで，（Z8）式の右辺第1項は（7．9）式である。
・・（匿1、。。〈・｜μ，＿UL＜・）・t）−1−P・（（司一。一。〉・1・＿。〉・）・，）（7．9）（7．8）式の右辺第1項の確率はs＝7n，としたグラフ5の右軸に従い，
−35一

右辺第
105

2項の等確率はグラフ6を参考にしていただきたい。
ケース13

時点tの価格が最も安値で，時点t＋ηの価格が次に高く，時点t＋mの価格が最も高値になる（P，＜P，，r，〈P，．

，，すなわちtLt−−1．t−rl，＞0かっ

Lt，．。，−1．t−n＜0）と予想して，時点tで購入し，時点t＋ノηで売却すると

き，正の収益となる時点tでの確率は（7．10）式である13）。
・・（｛R・・P，．，，・∂」・−P・．、．．．・・＆μ＿・・，．・・）・，）（匡くP・．n・1・一・．一〈・）（P，・叫・目．・一・〉・））・・

一・・（ぽ＿Sl＞・1・1，tTt＿〈・）（刀＿tit＞・1μ・−rt／〉・））・・
ト〉・1μ円．，．Frt＞・）・〕・P・（（瓦＿、，−r／＜・［μ．＿〈・）・，）

一・・（（t
F

︶

F

1
1

↓

t

（7．10）

ここで，（7．10）式の右辺第1項の確率は5＝lnとしたグラフ5の左軸に従い，右辺第2項の等確率はグラフ6を参考にしていただきたい。
ケース14

時点tの価格が最も高値で，時点t＋nの価格が次に高く，時点t＋mの価格が最も安値である（P，一。、〈P，．］，＜P，，すなわちltt−一］．t−，ui＜0かつ

lt，．，，．］．，．J／＞0）と予想して，時点tで空売りし，時点t＋rnで買戻すとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．11）式である14）。
・・（〔P．・〈∂．．〈P，1・一・．／r／〈…−1．・・〉・）・・）−P・（（匡＜P，．．1・＿a．t．rl＞・）匡く・1・・1、t−TI，

−P・（（
一・・（（

〈・））・・

・・1・，＿〉・）匡、．。＜・1・国、．．〈・））・・
・・1μ日．．。〈・）・，）・P・（（ft・・1μ．．．、，．Tl＞・）1・〕（7．11）
ここで，（7．11）式の右辺第1項の確率はs＝・rnとしたグラフ5の右軸に従
106

−36一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

い，右辺第2項の等確率はグラフ6を参考にしていただきたい。
ケース15

時点t＋η？の価格が最も高値で，時点tの価格が次に高く，時点t＋nの価格が最も安値になる（P，一，、〈P，〈君＿，すなわちμ，−1，t−，rt＞0かっ

Lt，．m−1、t．ti＜0）と予想して，時点tで購入し，時点t＋mで売却すると
き，正の収益となる時点tでの確率は（7．12）式である15）。
・・（匡〈P，・∂−1・t．．1．tTtJ／〉・・

・1・，．．・、．，／．n〈・）1・，）

一・・（（P，・叫・．、．．〉・）匡くP，1・・，．1、t．n＜・））・，−P・（（P，・∂−mlltt−i．t−fr」〉・）・）・P・（（P，，U＜P，11・・．・、・．n＜・）・，）

一・・（（R，＿LtLttt＞・1・・，．i．t−−u／〉・1・，）・P・（匡1．．。＜・1・t．1．，．n〈・）・）（7．12）
ここで，（7．12）式の右辺第2項は（7．13）式である。
・・（（R，．1，，，tl＜・1・t．1．，．n〈・）Ω，）−1−P・（匡．，．。〉・1…、．1，，．，〉・）・，）（7．13）

ここで，（7．12）式の右辺第1項の確率はs＝）ηとしたグラフ5の左軸に従い，右辺第2項の等確率はグラフ5の右軸に従う。

6．2．1B

時点t＋nで取引終了のケース

投資家が時点tで意思決定を行い，危険資産への売買を決定し，時点t＋llで取引を終了する場合の時点tでの確率を以下のケースによって求め
る。

ケース16
時点t＋rnの価格が時点tの価格より高値になる（P，〈∂．，、，すなわちLt，．1．，一，，，＞0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点t＋nの価格が時点tの価格より高値になる（1］＜互，t，すなわちtl，−1、f，

一37−、＞0）と予想し107

て，時点t＋nで売却するとき，正の収益となる時点tでの確率は（7ユ4）式である。
・・（（P，・P，．．

＝＝

1

P・（（R，一、t−rt＋1．tm，，〉・）（P，・∂一［・t．1，t−」r，〉・））・1，〉・1・．、、…〉・）（R，．、．，．。i＞・1，，，．，、，．．，〉・））1・r）−P・（（t．1，，−ut〉・1・t−・、1−r，1＞・）・）・P・（匡1．・．t／〉・レ・一〉・）・〕（7．14）

ここで，（7．14）式の右辺第1項の確率はs＝lnとしたグラフ5の左軸に従い，右辺第2項の確率もs＝nとしたグラフ5の左軸に従う。
ケース17
時点t＋mの価格が時点tの価格より安値になる（P，Lt，．、．，．

．．，，，「＜P，，すなわち、＜0）と予想して，時点tで空売りし，同時に時点t＋nの価格が時点tの価格より安値になる（P，一，，〈Pr，すなわちμ，．1、t．r、＜0）と予想

して，舌＋nで買戻すとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．15）式
である。
・・ぱくP，

1

1・，，1．，，，，＜・脂く小．．．．＜・））・，）−P・（（司＿＜・1μ，−1．，−rs〈・）（恥。．。＜・1til．・．・．，n＜・））・・−P・（（R，．、．，．ni＜・1・ぽ、，一．〈・）・〕・P・（（R，，、，，．fr〈・「ll・．1．・．n＜・）Ω・）（7．15）

ここで，（7．15）式の右辺第1項の確率は5＝mとしたグラフ5の右軸に従い，右辺第2項の確率もs＝nとしたグラフ5の右軸に従う。
ケース18

時点t＋llの価格が最も高値で，時点tの価格が次に高く，時点t＋n？
の価格が最も安値である（且108

t〈P，＜P，，，，すなわちμ，，L，

−38一

，〈0かつ

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）μ，−1、t−Jt＞0）と予想して，時点tで購入し，時点t＋n．で売却するとき，正の収益となる時点tでの確率は（7．16）式である16）。
・・（巴くP，・∂．

1・t．1．・．m〈・＆・・1、t，rl＞・）・，）−P・（（P，・亘．。1μ＿1、t．n〈・）匡くP，1・t．1＃−vi＜・））・t−P・（匡く小＿＜・）・t）・P・（（P，・∂．、，iμ．1、t−n＞・）・，）−P・（（亘＿〈・1・t，・、1−m〈・）・t）・P・（匪＿。〉・1・t．1，，，n＞・）1・t）（7．16）

こで，（7．16）式の右辺第1項の確率はs＝mとしたグラフ5の右軸に従い，右辺第2項の確率もs＝nとしたグラフ5の左軸に従う。

6．2．2

時点t＋mでの確率

つぎに，投資家が時点tで意思決定を行い，危険資産への売買を決定し，時間経過により，時点tで行った意思決定を時点t＋mで再考した結果，時点t＋nで正の収益が得られる時点t＋mでの確率を以下のケースによって求める。そこで，R，．i．，−r，とR卜1．，一，nが正規分布に従うことから，時点t＋m＋1

から時点t＋nの収益率R，−m−1．，−nの時点t＋mでの分布は（7．17）式の正規分
布に従う。
｛

，t

＿

i

，

、2

旦＿一いN3≒÷一・3：1・≡輪（7・17）

ここで，時点t＋mの情報集合を条件としたR，A、t−mは実現値Rト1，ト。であ
る。

ケース19
時点t＋rnで高値になると予想して（P，＜∂→、，すなわちLt，．1．，−n、＞0），

時点tで購入し，時点t＋mで値上がりしたことを観察して（P，〈円一

、，

−39−

109

すなわちR，．1，−in＞0），時点t＋Ilの価格が時点tの価格より高値になる（P，＜互，すなわちtl，．1、r．Jt＞0）と予想して，時点t寸llで売却する

とき，正の収益となる時点t＋mでの確率は（7．18）式である。

・・（〔P，・∂−nl

一・・

Pf・訓（P，・引μ・1、・m＞・）｜・・））（（R，一．「…〉・1・，，1．t．ft＞・）（（R，一〉・1μ・一〉・）Ω・））−P・（（昂一＿〉・1μ．1、，．rt／〉・）・・）・P・匠・．・，r／〉・IR・・、・・i＞・）（7．18）

ここで，（7．18）式の右辺第1項の確率はs＝mとしたグラフ5の左軸に従い，右辺第2項の確率は5＝llかつμ，−1．−n，をR，．、、，−nとしたグラフ5の左軸
に従う。

ケース20
時点t＋mで安値になると予想して（互，，、＜P，，すなわちμ，．］＃Tfr，＜0），時

点tで空売りし，時点t＋mで値下がりしたことを観察して（β→，〈P，，すなわちRl．1、tttJ〈o），時点t＋11の価格が時点tの価格より安値になる（P，．，，＜1］，すなわちμ4．Lr．r，、〈0）と予想して，時点t＋nで買戻すとき，正の収益となる時点t＋mでの確率は（7ユ9）式である。
・・（（P，・P，．．

1

Pt−nr〈P，）（（∂−m＜円1μ・1．・・＜・）・））−P・（（互一1．．，1〈・1・川、，，stJ・・）（（R，．＿．・・1・・…〆・）・・））

一・・（（恥、．〆・1μ・．・・−n／〈・）・r）・P・（R，−Lr−1，・・1・・一〆・）（7．19）

ここで，（7．19）式の右辺第1項の確率は5＝mとしたグラフ5の右軸に従い，右辺第2項の確率はs＝tlかつLt，−1．，．n、を瓦．1．ト，，としたグラフ5の右軸に従う。しかし，投資家が時点tで空売りした場合，時点t＋mで値下がりしたことを観察して，時点t＋rnで買戻して，確定した正の収益を得て取引
110

−40一

期間が異なるユ種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）

P・（R．

＞orR．

〉・）

P・（R−，，

1

〈o已‥

〈o）

0

〔〕．8

0．ユ

O，6

0．4

｛）．4

0．6

〔〕．ユ

0，8

︑

1

lo〔〕Oo

⊇ooo

40000

300t）↓，σw T−u，−L．r−T／

グラフ7：ゴ＝2

Pr（R＿．一三・＞olR．．1，，t＞・）とP・（R，t／＜01R−］，一，，〈0）t．

を終了することも可能である17）。

ケース21
時点t＋

mで値上がりすると予想して（P，＜P，．．，すなわちLt，，1．，一一sr，＞0），

時点tで購入し，時点t＋171で値上がりしたことを観察するが（R．＜
P，，，，，（P，一iすなわちR，．i．t−。、＞0），時点t＋mが天井ではないと予想して

r＜P，一．，すなわちLt，．m−1、t−r／＞0），時点t＋ηで売却するとき，正の収益となる時点t＋mでの確率は（7．20）式である。
・・（（円一・〈∂−nlPt・P，一の（（P，・∂」・・−L・Fti＞・）i・t））

一・・々＿〉・1・，．1、．rT／〉・）（（R，＿〉・レt．1、一．〉・）1・・））

一・・（（R，＿〉・「・，．1、・lt／〉・）・，）・P・（R＿1．．，、〉・匡＿〉・）（7．20）
41111

ここで，グラフ7は時点t＋・7Tl＋1以降の資産価格の収益率のボラティリティ・㍍．。1−（・／（・一・日・1一已軸にと・耀率・表・・乱一・一・・／bかっμ，．1、，Tr、＝50／o，

loo／o，200／bのときの（7．20）式の右辺第1項の確率はs＝mとしたグラフ7の左軸に従う。しかし，投資家が時点tで空売りした場合，時点t＋γηで値上がりしたことを観察して，時点t＋nlが天井ではないと予想
して，時点t＋7ηで売却して，リスクを軽減する代わりに損失を被って取引を終了することも可能である。

ケース22
時点t＋mで安値になると予想して（Pl．．，〈P，，すなわちS／f＋IS−。＜0），時点tで空売りし，時点t＋lllで値下がりしたことを観察するが（P，．rrJ＜P，，すなわちR，．1、t．nr＜0），時点t＋rll，が底値ではないと予想して（P，．．，、〈P，−n］，すなわちLt，．m．．Lt−F，〈0），時点t＋nで買戻すとき，正の収益となる時点t＋mでの確率は（7．21）式である。

・・（匡く円一1円．〆訓（P・−nt〈P，i・t−1．・一・n〈・）・・））−P・（匿。−1、．N〈・1妬．t−rTl〈・）（（i2，．1．・．uJく・1・・1．・・〈・）1・〕）−P・（（A，．1．，．tt）＜・i・．1．・一，n＜・）1・〕・P・（し1，，，ft＜・1・R・一・．・一・〈・）（7．21）

ここで，グラフ6は時点t＋m＋1以降の資産価格の収益率のボラティリ
ティσ12．

nt

一i、t．r，を横軸にとった確率を表し，（フ．20）式の右辺第1項の確率は

s＝ntとしたグラフ7の右軸に従う。（7．21）式の右辺第2項は（7．22）式である．しかし，投資家が時点tで空売りした場合，時点t＋mで値下がりしたことを観察して，時点t＋rnで買戻して，確定した正の収益を得て取引を終了することも可能である。また，時点tで購入した場合，時点t＋mで値下がりしたことを観察して，時点t＋rnが底値ではないと予想して，時点
t＋・］nで売却して，リスクを軽減する代わりに損失を被って取引を終了する
ll2

−42一

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）ことも可能である。
P・（R，．m．i．t，it〈・rR，一、．，．r〈・）−1−P・（司．＿。〉輌．．．〉・）（7．22）

7．おわりに本稿では，拙稿〔1〕で論じた連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均
収益率の定義との関係を示し，ヒストリカノレ・アヴェレッジ・リターンと期待収益率とを明確に区別した上で，2種類の期間が異なる収益率がどちらに属するかによって，3つのケースに分けて，両平均収益率の大きさ（絶対値）が一致する資産価格の条件を求めた。その結果，両平均収益率がともにヒス
トリカル・リターンである場合とともに期待収益率である場合には，時点が異なるだけで同様の一致条件が得られ，拙稿〔1〕と同じ条件を確認した。また，投資家が離散時間型平均収益率を連続時間型平均収益率と勘違いした場合の資産価格比と期間比の関係を図示した。さらに，η？期間収益率の変化によって，グラフ上の一致条件の線は時計回りに回転することを示した。しかし，一方がヒストリカル・アヴェレッジ・リターンで他方が期待収益率の場

合には，価格比がn期間収益率となるため，期間比はゼロより大きい範囲となり，さらに，m期間収益率の変化によって，グラフ上の一致条件の線
は時計回りとは逆に回転する。

最後に，投資家のための投資戦略として，一方がヒストリカル・アヴェ
レッジ・リターンで他方が期待収益率の場合と両平均収益率が期待収益率の場合，期待収益率が正規分布に従うとき，投資家が時点tで1危険資産の売買を考えて，時点t＋7nで資産価格の実現値を確認した上で，時点tで実行した売買を再検討して，反対売買を行って取引を終了するか，あるいは時点

t＋nまで意思決定を変更しないかのどちらかに限って論じた。実際には，
43

−

113

時点t＋ll］で時点tでの意思決定の誤りを確認して，再度投資決定を行うことができるはずであるが，本稿では，時点t＋inで取引を終了するか，あるいは継続するかに限ることにした．そのとき，投資家は時点tでの時点
t＋mと時点t＋nでの資産価格の大小関係の予想を行い，また，時点t＋ηど

では時点t＋mでの資産価格の上下のみの予想を行うものとする。また，この節では，投資家の各時点での価格の上下のみの予想が的中した場合だけの投資成功確率のシミュレーションを行った。特に，時点tでの意思決定を時
点t＋llまで持ち越す場合には，時点tあるいは時点t＋r）］での価格の予想の一方だけが的中した場合でも，3時点の資産価格の大小関係によって，正の収益を得る可能性が存在するが，これらのケースは本稿では論じず，機会を得て考察するつもりである，

その結果，投資家がヒストリカル・アヴェレッジ・リターンを観察して，1度だけ投資決定を行う場合には，概して上限と下限を有する1つの条件付確率で表現でき，そのシミュレーションはグラフ3とグラフ4で示した。一
方，投資家が将来の2時点で意思決定を行う場合には，概して上限あるいは下限を有する2つの条件付確率の積で表現できることを示した。しかし，投資家が時点tでの価格く時点t＋nでの価格く時点t＋mでの価格，あるいは時点t＋ノliでの価格く時点t＋nでの価格く時点tでの価格と予想する場
合には，2つの条件付確率の一方のシミュレーションが煩雑なものとなる，

本稿ではこれまで指摘してきたように，かなり限られたケースのみの投資成
功確率を求めた。そのため，予想が外れて，予想外の正の収益を得るチャンスが存在することから，実際の投資成功確率は本稿で求めた値以上のものであることを付け加えておく．

〔注〕

1）

以ドでは，連続時間型平均収益率に関しては拙稿〔1〕の記号に従う、

2）

ρ．，は拙稿〔1〕の（2．3）式の連続時間型n期間平均収益率に対応する、

3）

ここで，P．．，．一＝lnP−−lnPである一

114

−44

期間が異なる2種類の連続時間型平均収益率と離散時間型相乗平均収益率の関係（中川）4）

ここで，（3．4）式の最後の等号は拙稿〔1〕の（3．4）式に一致する一

5）（6．2）式と（6．3）式は「ヒストリカル・リターンに関係なく，時点tで買って，時点t＋liで売却するとき，損失となる時点tでの確率」と「ヒストリカル・リターンに関係なく，時点tで空売りをして，時点t＋ttで買戻すとき，損失を被る時点tでの確率」と同値である、6）「正のヒストリカル・リターンを観察して，時点tは天井だと予想して（μ．卜一．〈

O）空売りし，時点t＋〃でP，より高値で買戻して，損失となる時点tでの確率」と同値である．
7）「負のヒストリカル・リターンを観察して，時点tは底値だと予想して〔μ．，／、．一．＞0）購入し，時点t＋llでP．より安値で売却するとき，損失を被る時点tでの確率」と同値である。
8）「正のヒストリカル・リターンを観察して，時点rは天井ではないと予想して｛μ、：．一．

＞O｝購入し，時点t＋ltでP＿．「［より高値で，かつP．より安値で売却するとき，損失となる時点tでの確率」と同値である、9）「負のヒストリカル・リターンを観察して，時点rは底値ではないと予想して｛μ．．．．．

〈O）空売りして，時点t＋nでP．より高値，かつP．，．−1より安値で買戻すとき，損失となる時点tでの確率」と同値である，
10）「正のヒストリカル・リターンを観察して，時点tは天井ではないと・予想して｛μ一二，一＞o）購入し，時点t＋llでP，．．，−1より安値で売却するとき，損失となる時点tでの確率」と同値である。
11）「負のヒストリカル・リターンを観察して，時点tは底値ではないと予想して（μ．−1．．．

＜〔〕）空売りし，時点t＋llでP，一，，．1より高値で買戻すとき，損失となる時点tでの確率」と同値である．
12）

時点t＋lnの価格が時点tの価格より安値になる（P．．〈R．すなわちμ，．二、．一、〈0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点t＋nの価格が時点tの価格より高値・になると予想する（P〈1㌘、，すなわちμ．．1、．．．〉めことと同じである、
13）

時点t＋il）の価格が時点tの価格より高値になる（P．〈P，一．，すなわちμ，．レ．．、＞0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点ゴ＋mが天井ではないと予想して（P．．，〈P．，，すなわちlt．一．「．i，，．．＞o）ことと同じである、

14）

時点t＋lllの価格が時点tの価格より安値になる（君．，，＜P．，すなわちμ．い一，＜0）と空売りして，時点tで購入し，同時に時点t＋〃が底値ではないと予想する（ρ．，．〈ρ．．．，すなわちμ．一／t、．＜0）ことと同じである、

15）時点t＋111の価格が時点tの価格より高値になる（P．＜P，一，，．，すなわちμ，．」．，一、．＞0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点r＋〃の価格が時点tの価格より安値になると予想する（P．，．〈P，すなわちμ一1，．．＜O）ことと同じである、．．−45−

115

16）

時点t＋mの価格が時点tの価格より安値になる（P．．＜P．，すなわちμ一1、．，．．＜0）と予想して，時点tで購入し，同時に時点t＋ηの価格が時点tの価格より高値になると予想する（P＜∫1、．，すなわちμ一［．，．、＞0）ことと同じである，
17）そのときの麟はP・（匪．『一、、＜・11・・−1．．．．・・）1Ω〕である・〔参考文献〕〔1〕中川裕司，「ヒストリカル・データを使った連続時間型平均収益率の罠（Trap
Contilluous−Time，Average

Returns，L

sing

HistoricalofData）」『岐阜経済大学論集』

第40巻3号（2007年3月）。
〔2〕

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