計算手法の数理解析と現実問題への適用<#1>

Lagrange-Galerkin 法の理論と実践
野津 裕史

1

はじめにを得る。ここに

本稿では、流れ問題の強力な数値解法の1つである
Lagrange-Galerkin（LG）法の理論的および実践的な内容について紹介する。LG 法とは、簡単に記すと、として、関数は
記号 は関数の合成：

LG 法＝特性曲線法＋有限要素法である。別の呼び方がいくつかあるが、論文 [12] を尊重して LG 法と呼ぶことにする。有限要素法を有限差分法で置き換えた特性曲線有限差分法なども自然に考えられるが、本稿では LG 法に焦点をあてる。
特性曲線法は物質微分項（時間微分項＋移流項）を離散化する方法の一つである。そのアイデアは、流体粒子の軌跡を考えて、その軌跡に沿って離散化をおこなう、物理的視点から自然な手法である。
を正定数、 = 2, 3を空間次元、を有界領域、を の境界、を流速とする。
物質微分をを表す。

は、 の に関する上流点で、の近似である。の近似（3）が特性曲線法に基づくスキームの基礎である。
一般に、特性曲線法に基づくスキームは次の利点を持つ；• 移流が支配的な問題に対してロバスト .
• 得られる連立一次方程式の係数行列は対称 .
• CFL 条件不要 .

2

LG 法と安定化 LG 法

2.1 Navier-Stokes 方程式
非定常 Navier-Stokes（NS）方程式で支配される問題：
により定義する。

を常微分方程式系：

（4a）
（4b）

（1）の解とすると、 の物質微分を用いて常微分により記述できる；（4c）は（4d）を求めを満たす流速と圧力よ、を考える。ここに、,,は 与 え ら れ た 関 数、 は 正 定 数、は変形速度テンソルである。簡単のため、以下では ȍ は多角形（多面体）、g = 0 とする。

（2）
を時間刻み、とし、に対してとする。（1）および初期条件を満たすものをと書く。
はにおいて を通過する流体粒子の位置を表す。
（2）より、時刻における物質微分の近似：

（3）

2.2

NS 方程式のための LG 法

を の三角形（四面体）要素分割とする。
ここに は総要素数である。 , をそれぞれ、流速のP1-、P2- 有限要素空間とし、 を圧力の P1- 有限要素空が与えられたとする。問題間とする。 の近似（4）のための P2/P1要素による LG スキーム [8, 12]：

筆者紹介（5a）のつ ひろふみ

（5b）

2000年広島大学大学院理学研究科博士課程前期修了。博士（数理学）、九州大学、2009年。産業技術総合研究所特別研究員、明治大学先端数理科学イによりキーム（5）は LG 法の出発点といえる。

ンスティテュート研究員、早稲田大学高等研究所講師を経て、現在、同准教授。偏微分方程式の数値解析の研究に従事。

Vol.20, No.3 2015（21）を求める。ス特集<#1>

定理2（スキーム（8）, [5]）. 問題（4）の解は滑らかとする。

注意1. スキーム（5）から導かれる連立一次方程式の係数行列をブロック表示するとは ( , 0) の安定化 Stokes 射影の第1成分とする。
このとき、正定数 と が存在して、任意のに対してスキーム（8）の安定な解が唯一存在して、評価式：の形となる。 は、 はに対応し、全体として対称行列である。に 対 し て、 ノ ル ム
ノルム空間
それぞれ（9a）を時間のみ離散的にしたものをで表す。次の評価が成立する。

が成立する。さらに、Stokes 問題が（）正則ならば、（9b）が成立する。

定理1（スキーム（5）、 ）. 問題（4）の解は滑らかとする。
[12]

は の射影とする。このとき、正定数 とが存在して、任意のに対してスキーム（5）の安定な解が唯一存在して、評価式：（6a）が成立する。さらに、Stokes 問題が（）正則ならば、スキーム（8）の時間2次精度化は、（8a）の左辺第1項を（7）で置換すればよい [6]。そのスキームについて、適切な条件の下で、定理2（9a）、（9b）の右辺をそれぞれ、とした評価が成立する [6]。同評
価に必要な と の条件はの形となる。

（6b）が成立する。
（5a）の左辺第1項を（7）で置換すると、スキーム（5）は時間2次精度となる [2]。
適切な初期および第1ステップの流速が与えられれば、定理1の誤差評価（6a）、（6b）の右辺を、それぞれ、とした評価が成立する [2]（後者の評価は [2] には記されていないが証明可能）。同評の形に弱まる。
価に必要な と の条件は

図1

スキーム（8）による円錐周りの流れの計算例、Ȟ í

2.4 自然対流問題
Boussinesq 方程式を含む、次の形の自然対流問題：
（10a）
（10b）

2.3 NS 方程式のための安定化 LG 法
LG 法と安定化法 [3] を組み合わせた安定化 LG 法 [4–6]を紹介する。
に対して、 を正定数（10c）（10d）（10e）が与えられたとする。問題（4）のためとする。の P1/P1要素による安定化 LG スキーム [5]：（8a）を求めよ、をを満たす
は、それぞれ流速、圧力、温度考える。ここにを表し、 , は正定数である。
はに 関 し て 線 形、 す な わ ち、 与 え ら れ た 関 数
に対して、

（8b）

によりと す る。

を求める。

注意2.（i）（8b）左辺第2項が（圧力）安定化項 [3] である。
（ii）P1/P1要素により自由度を小さくでき、特に3次元問題に有用である。
（iii）スキーム（8）から導かれる行列は、,である。簡単のため、以下,,,,は与えられた関数とする。

2.5 自然対流問題のための安定化 LG 法Ȍh を温度のための P1- 有限要素空間とする。 ,の,が与えられたとする。問題（10）の近似ための P1/P1/P1要素による安定化 LG スキーム：の形となる。C が安定化項に対応しており、対称なので、全体としても対称行列である。
（22）

計算工学

計算手法の数理解析と現実問題への適用

3.1 重心座標数値積分により（12）の近似値を求める際に、重心座標の性質を利用すると効率的である。ここでは重心座標を復習する。とする。
をK（11a）（11b）の 頂 点 の 座 標 と す る。 重 心 座 標 をとする（図3参照）。įij を Kronecker のデル,（ii）タ と す る。 重 心 座 標 は（i）

（11c）,（iii）、を満たす。重要なのは（iii）である。（12）の数値積分では、あるが与えられたときに を含む要素（番号）を探す、という作業を行う。（iii）により が K の内部かどうかがわかり、また が K の外部のときには、 の符号により の方向がわかる（図3参照）。

を求める。

により

<#1>

注意3. スキーム（11）は、（11a）、（11b）の NS 型方程式と（11c）の移流拡散方程式を分離して解くことができる。その際に現れる行列はともに対称である。
定理3（スキーム（11）, [7]）. 問題（10）の解は滑らかとする。

P1とは() の安定化 Stokes-Poisson 射影の第1、第3成分とする。このとき、正定数 と が存在して、任意のに対してスキーム（11）の安定な解が唯一存在して、評価式：が成立する。さらに、Stokes 問題が（Ȝ3 < 0Ȝ 3 (x )xȜ 1 (x )P2）正則ならば、

3LG 法と数値積分（13）、 は 積 分 点 の 個 数、
こ こ に、はそれぞれ、積分点と重みである。（13）のの一例として2次公式 (N = d+1) を挙げておく。
2次公式 (d = 2, 3)：,、,

ここに、 の位置は重心座標で示した。
に対して ( , ···,) の順列の集合) は ( , ···,である。5次公式 ( = 2 : = 7, = 3 : = 15) などの他の公式は [11] を参照されたい。

（12）,重心座標（d = 2）

3.2 数値積分公式
要素K上での関数の積分を、数値積分により近似計算する；

本 節 で は LG 法 の 実 装 に つ い て 考 え る。 ス キ ー ム（5）、（8）、（11）などの LG 法の計算を行うとき、合成関数の積分を効率よく行う必要がある。なぜなら、一般に最も計算負荷がかかるのは連立一次方程式の求解であるが、LG 法では、係数行列の対称性によって連立一次方程式の求解時間を半減できる代わりに、合成関数の積分を含む右辺ベクトル作成には通常より時間を要すからである。また、精度の低い数値積分公式によって不安定な数値解が現れることがある [13] ため、注意が必要である。具体的に以下では、（5）、（8）、（11）
第1式、第1項の計算に現れる、各三角形（四面体）要素上での合成関数の積分：を考える。ここにP3

Ȝ1 < 0
図3が成立する。

Ȝ2 < 0Ȝ 2 (x )は既知関数である。

3.3

要素探索アルゴリズム（12）を数値積分する場合、（13）においてとなる。
に対して、を計算する。の値はにより計算できる。
（i）（ii）
図2の値は、なる要素番号 を求め、により計算する、という手続きを踏む。LG 法に特有な作業は（i）であスキーム（11）による自然対流の計算例、Ȟ ț í

Vol.20, No.3 2015

なので、

（23）

特集

<#1>

る。次の処理を行うサブルーチン（関数）を用意するとよい。
メッシュ情報なる要素番号（14）

読者の中には（14）のサブルーチンをすでに利用している人もいるのではないだろうか。ただし、毎回すべての要素をチェックするのでは計算時間の増大を招くため工夫が必要である。例えば、図4のように目標要素に近づく要素探索アルゴリズムで を求めるとよい（著者も同様なアルゴリズムを用いている）。その際にはの符号を利用すると良い（3.1参照）。積分
点の数が多いとそれに応じた計算時間を要すが、実計算では、最初の積分点について要素探索をおこなえば、残りは同じまたは隣の要素である。

[2]>@

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

図44)%UH]]LDQG-3LWNlUDQWD2QWKHVWDELOL]DWLRQRI¿QLWHHOHPHQW
approximations of the Stokes equations, In W. Hackbusch ed.,
(I¿FLHQWVROXWLRQVRI(OOLSWLF6\VWHPV, Vieweg（1984）, 11-19.
H. Notsu and M. Tabata, Error estimates of a pressureVWDELOL]HGFKDUDFWHULVWLFV¿QLWHHOHPHQWVFKHPHIRUWKH2VHHQ
equations, -6FL&RPSXW., Published online（2015）.
H. Notsu and M. Tabata, Error estimates of a stabilized
Lagrange-Galerkin scheme for the Navier-Stokes equations, To
appear in ESAIM:M2AN.
H. Notsu and M. Tabata, Error estimates of a stabilized
Lagrange-Galerkin scheme of second-order in time for theNavier-Stokes equations, Submitted.
野津裕史、田端正久、自然対流問題のための Galerkin 特性曲線有限要素法の誤差評価、2015年度日本数学会年会
応用数学分科会講演アブストラクト、129–131.
O. Pironneau, On the transport-diffusion algorithm and its
applications to the Navier-Stokes equations, Numer. Math., 38（1982）, 309-332.
O. Pironneau and M. Tabata, Stability and convergence of a
*DOHUNLQFKDUDFWHULVWLFV¿QLWHHOHPHQWVFKHPHRIOXPSHGPDVV
type, Int. J. Numer. Meth. Fl., 64（2010）, 1240-1253.
>@ +5XLDQG07DEDWD$PDVVFRQVHUYDWLYHFKDUDFWHULVWLF¿QLWH
element scheme for convection-diffusion problems, - 6FL&RPSXW., 43（2010）, 416-432.
[11] A.H. Stroud, $SSUR[LPDWHFDOFXODWLRQRIPXOWLSOHLQWHJUDOV,[9]

要素探索アルゴリズムのイメージ

結びLG 法について最近の著者の結果を中心に紹介した。
他にも LG 法の興味深い結果がある。例えば、射影 LG
法 [1]、集中質量近似 [9] や厳密な積分 [14] による数値積分の回避、質量保存型スキーム [10] などである。いずれも詳細については文献を参照されたい。
謝辞：本研究は、日本学術振興会科学研究費補助金若手研究（B）、No. 26800091、基盤研究（S）、No. 24224004、日独共同大学院プログラム（流体数学）の支援を受けた。

Prentice-Hall（1971）.
[12] E. Süli, Convergence and nonlinear stability of the LagrangeGalerkin method for the Navier-Stokes equations, Numer.
Math., 53（1988）, 459–483.
[13] M. Tabata, Discrepancy between theory and real computationon the stability of some finite element schemes, -&RPSXW$SSO0DWK., 199（2007）, 424-431.
[14] M. Tabata and S. Uchiumi, A Lagrange-Galerkin scheme witha locally linearized velocity for the Navier-Stokes equations,
arXiv:1505.06681 [math.NA].

■参考文献
[1]

finite element projection/Lagrange-Galerkin method for theincompressible Navier-Stokes equations, SINUM, 37（2000）,799-826.
K. Boukir et al., A high-order characteristics/finite element
method for the incompressible Navier-Stokes equations, Int. J.
Numer. Meth. Fl., 25（1997）, 1421-1454.

Y. Achdou and J.-L. Guermond, Convergence analysis of a

参考図書
● Finite Element Methods for Fluids
O. Pironneau
John Wiley& Sons（1989）
世界的な有限要素法の専門家による著書。
LG 法の先駆的な仕事 [10] の著者であり、LG 法についても記されている。著者は FEM フリーソフトウェア FreeFemの創始者でもある。
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計算工学