数-20-公-東京-問-01

１ 次の各問に答えよ。
□1
問１ 9－8÷2を計算せよ。

問２ 3(5a－b)－(7a－4b) を計算せよ。

アート工房
問３ (2－ 6)(1＋ 6) を計算せよ。

問４ 一次方程式 9x＋4＝5(x＋8)

を解け。

7x－3y＝6を解け。
問５ 連立方程式 x＋y＝8

問６ 二次方程式 3x2＋9x＋5＝0

問７ 次のを解け。の中の「あ」「い」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
右の表は，ある中学校の生徒 40 人について，自宅から A 駅まで歩いたときにかかる時間を調査し，度数分布表に整理したものである。

アート工房
自宅から A 駅まで歩いたときにかかる時間が 15 分未満である

人数は，全体の人数の問８ 次のあい％である。

「え」に当てはまる数字をそれぞれ答の中の「う」

図１

えよ。

右の図１で，点 O は線分 AB を直径とする円の中心であり，2点 C，D は円 O の周上にある点である。
4 点 A，B，C，D は，図１のように，A，C，B，D の順に並んでおり，互いに一致しない。
点 O と点 C，点 A と点 C，点 B と点 D，点 C と点 D をそれぞれ結ぶ。
∠AOC＝∠BDC，∠ABD＝34°のとき，x で示した∠OCD の大きさは， うえ－ 1 －度である。

図２

問９ 右の図２で，△ABC は，鋭角三角形である。
解答欄に示した図をもとにして，辺 AC 上にあり，AP＝BP となる点 P を，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点 P の位置を示す文字 P も書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

アート工房
数-20-公-東京-問-04

２ 右の図１で，四角形 ABCD は正方形である。
□図１

点 P は辺 BC 上にある点で，頂点 B，頂点C のいずれにも一致しない。

点 Q は辺 CD 上にある点で，CP＝CQ である。
頂点 A と点 P，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。
問１ 図１において，∠BAP＝a°とするとき，∠APQ の大きさを表す式を，次のア～エのうちから選び，記号で答えよ。
ア (90－a) 度イ(45－a) 度

ウ (a＋45) 度

問２ 右の図２は，図１において，辺 AD を D

図２エ (a＋60) 度

アート工房の方向に延ばした直線上にあり AD＝DEとなる点を E，点 E と点 Q を結んだ線分

EQ を Q の方向に延ばした直線と線分 APとの交点を R とした場合を表している。
次の(1)，(2)に答えよ。

(1) △ABP≡△EDQ であることを証明せよ。

－ 2 －(2) 次のの中の「お」「か」「き」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図２において，AB＝4 cm，BP＝3 cm のとき，線分 EQ の長さと線分 QR の長さの比を最も簡単な整数の比で表すと，EQ：QR＝おか ：きである。

数-20-公-東京-問-05

３ 右の図１に示した立体 ABCD－EFGH は，AB＝6 cm，□

図１

AD＝8 cm，AE＝12 cm の直方体である。

アート工房
頂点 C と頂点 F を結び，線分 CF 上にある点を P とする。
辺 AB 上にあり，頂点 B に一致しない点を Q とする。

頂点 D と点 P，頂点 D と点 Q，点 P と点 Q をそれぞれ結ぶ。

次の各問に答えよ。

問１ 次のの中の「く」「け」「こ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
点 P が頂点 F と，点 Q が頂点 A とそれぞれ一致すると
き，△DQP の面積は， くけ

問２ 次のこcm2 である。の中の「さ」「し」「す」に当てはまる数字

図２をそれぞれ答えよ。
右の図２は，図１において，点 Q を通り辺 AE に平行な直線を引き，辺 EF との交点を R とし，頂点 H と点 P，頂アート工房
点 H と点 R，点 P と点 R をそれぞれ結んだ場合を表している。

AQ＝4 cm，CP：PF＝3：5 のとき，立体 P－DQRH の体積は，さしす cm3 である。

－ 3 －

問題番号

解答

配点

備

考

問１問２問３問４問５x＝，y＝

アート工房
問６

あ問７

数

-20-

公-KY-01

東京

あいい１
□う問８

うええ

問９

アート工房
－ 1 －

問題番号解答

配点

備考問１〔証 明〕△ABP と△EDQ において，アート工房(1)-20-

数-

公
東
京

２
□-KY-04

問２△ABP≡△EDQ
お(2) おか:き かき

問題番号

解答

配点

備

考

アート工房
く問１

くけこけ-20-数-公東京

こ-KY-05

３
□さ問２

さしす

しす－ 2 －

問題番号

解答

配点

問１－75問２

8a＋b5問３－4＋ 6

5問４

95問５

x＝3，y＝55問６－9± 21
65

備

考

アート工房
6あ問７

数-20-

公-K-01

東京

１
□問８5

あいい

5

う2

5

うえ
6

え

採点のポイント○辺 AB の垂直二等分線を引き，辺 AC 上に AP＝BP となる点 P が正確に示されている。

6問９アート工房－ 1 －問題番号解答

問１

配点備考5

ウ〔証 明〕

採点のポイント○正しいと認められる事柄について，根拠を明確に記述し，仮定から結論を導く推論の過程が的確に示されている。

△ABP と△EDQ において，仮定から，∠ABP＝∠ADQ＝90°
また， ∠EDQ は∠ADQ の外角で 90°だから，∠ABP＝∠EDQ＝90° …… (1)アート工房
仮定から，AB＝AD(1)-20-数-

公東京２□

AD＝ED

よって， AB＝ED……… (2)7

また，BP＝CB－CP-K-04

DQ＝CD－CQ

問２

仮定から，CB＝CD，CP＝CQ より，
BP＝DQ……… (3)(1)，(2)，(3)より，2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから，△ABP≡△EDQ
お2(2) おか:き か5

き7

問題番号解答

5配点

備考アート工房
問１

くけ

こく2

け

4

こ

5

さ1

し4

す

4-20-

数-

公東
京

３□

-K-05

問２

さしす－ 2 －55

１ 【小問集合】□数-20-公-東京-KS-01〈東京都大問１の傾向〉➀ 「正負の数」
・「式の計算」
・「平方根」・「方程式」
・「資料の整理」
・「円周角」・「作図」など。
② 計算から作図まで幅広く基本事項を扱う小問集合。
問８ 線分 OA，OC は円 O の半径だから，OA＝OC より，△OAC は二等辺三角形で，∠OAC＝∠OCA
また，∠AOC＝∠BDC で，同じ弧に対する円周角は等しいので，∠BAC＝∠BDCだから，∠OAC＝∠AOC
したがって，△OAC は正三角形で，∠OCA＝60°
同じ弧に対する円周角は等しいので，∠ACD＝∠ABD＝34°だから，∠x＝∠OCA－∠ACD＝60°－34°＝26°

アート工房
問９ 線分の両端の点から等しい距離にある点は，その線分の垂直二等分線上にある。したがって，線分 AB の垂直二等分線と，辺 AC の交点を求めればよい。

２ 【平面図形】□数-20-公-東京-KS-04

問１ ∠APQ は∠APC から∠QPC を引いて求められる。
△ABP の外角だから，∠APC＝∠BAP＋∠ABP＝a°＋90°
CP＝CQ，∠PCQ＝90°より，△PCQ は直角二等辺三角形だから，∠QPC＝45°∠APQ＝∠APC－∠QPC＝a°＋90°－45°＝a°＋45°

問２ (2) △EDQ において，△ABP≡△EDQ より ED＝AB＝4cm，
DQ＝BP＝3cm，∠EDQ＝90°だから，三平方の定理より，
EQ2＝ED2＋DQ2＝42＋32＝25 よって，EQ＝5cm
また，△ABP≡△EDQ より∠BAP＝∠DEQ だから，
∠EAR＝∠BAD－∠BAP＝90°－∠DEQ，∠EQD＝180°－∠EDQ－∠DEQ＝90°－∠DEQ より，∠EAR＝∠EQD
さらに，∠E は共通だから∠REA＝∠DEQ なので，△ERA∽△EDQ
相似比は EA：EQ＝8：5 だから，
88 32
ER＝ED×5＝4×5＝ 5 (cm)より，
732
QR＝ER－EQ＝ 5 －5＝5(cm)7
したがって，EQ：QR＝5：5＝25：7

アート工房
－ 1 －

数-20-公-東京-KS-05

３ 【三平方の定理の空間図形への利用】□問１ 点 P と頂点 F，点 Q と頂点 A が一致することから，△DQP は△DAF と等しい。
△AFB において，AB＝6cm，BF＝AE＝12cm，∠ABF＝90°だから，三平方の定理より，
AF2＝AB2＋BF2＝62＋122＝180 よって，AF＝6 5cm△DAF において，∠DAF＝90°，AD＝8cm だから，△DAF の面積は11
AD×AF×2＝8×6 5×2＝24 5cm2
問２ 四角形 DQRH を底面とする四角錐と考えて体積を求める。
図２の立体に，点 P を通り辺 BF に平行な直線を引き，辺 BC との交点を S とする。また，点 S から線分 DQ に垂直な直線を引き，線分 DQ との交点を T とすると，線分 TS の長さが四角錐の高さとなる。
△CFB において，仮定から CP：PF＝3：5
BF//SP だから，CS：SB＝CP：PF＝3：533
したがって，CS＝CB×8＝8×8＝3(cm)，

図２

アート工房
SB＝CB－CS＝8－3＝5(cm)
四角形 ABCD において，辺 CB，線分 DQ を延長した直線を引き，2 直線の交点を U とする。
∠DAQ＝∠UBQ＝90°，対頂角だから∠DQA＝∠UQB なので，
AQ＝4cm，BQ＝AB－AQ＝6－4＝2(cm)だから，相似比はAQ：BQ＝4：2＝2：111
したがって，BU＝AD×2＝8×2＝4(cm)△BUQ において，三平方の定理より，
UQ2＝BU2＋BQ2＝42＋22＝20
UQ＝2 5cm
また，∠UBQ＝∠UTS＝90°，∠U は共通だから∠BUQ＝∠TUS なので，
△BUQ∽△TUS
相似比は UQ：US＝2 5：9 だから，
99 5
9＝2×＝ 5 (cm)
TS＝BQ×2 52 5

アート工房△ADQ∽△BUQ より DQ＝UQ×2＝2 5×2＝4 5(cm)，QR＝AE＝12cm だから，四角形 DQRH の面積は，DQ×QR＝4 5×12＝48 5(cm2)
9 5 1
したがって，立体 P－DQRH の体積は，48 5× 5 ×3＝144(cm3)

－ 2 －

〈別解〉
立体 P－DQRH は直方体 ABCD－EFGH から，三角柱 AQD－ERH，四角錐 P－QRFB，四角錐 P－RFGH，四角錐 P－CGHD，四角錐 P－QBCD を除いたものである。
直方体 ABCD－EFGH の体積は，8×6×12＝576(cm3)1三角柱 AQD－ERH の体積は，2×8×4×12＝192(cm3)
点 P から辺 BF，FG，GC，CB に引いた垂線と各辺との交点をそれぞれ S，T，U，V とする。
55 15
CP：PF＝3：5 より，PS＝8×8＝5，PT＝12×8＝ 2 ，9
PU＝8－PS＝3，PV＝12－PT＝2

アート工房
四角錐 P－QRFB は，長方形 QRFB を底面，線分 PS を高さとする四角錐だから，体積は1133×QR×QB×PS＝3×12×2×5＝40(cm )四角錐 P－RFGH は，台形 RFGH を底面，線分 PT を高さとする四角錐だから，体積は1 (2＋6)×8 15
1 (RF＋HG)×FG
×PT＝3×× 2 ＝80(cm3)223×四角錐 P－CGHD は，長方形 CGHD を底面，線分 PU を高さとする四角錐だから，体積は1133×CG×CD×PU＝3×12×6×3＝72(cm )四角錐 P－QBCD は，台形 QBCD を底面，線分 PV を高さとする四角錐だから，体積は1 (QB＋DC)×BC
1 (2＋6)×8 9
××PV＝×2＝48(cm3)323×2以上より，立体 P－DQRH の体積は576－(192＋40＋80＋72＋48)＝144(cm3)アート工房－ 3 －