IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)Développement décimal de 1/p(d’après O. Mathieu)
Besançon, 2 juin 2006

Jérôme Germoni (université Lyon 1)

Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

1

2

3

4

Introduction
Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (groupes cycliques)
Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Longueur de la période (conjecture d’Artin)
Digression : nombre de périodes des k/p et longueur
minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels
Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Devinettes
Quelques miracles admirables

Plan
1

2

3

4

Introduction
Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (groupes cycliques)
Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Longueur de la période (conjecture d’Artin)
Digression : nombre de périodes des k/p et longueur
minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristiqueet résultats
partiels
Besançon, 2 juin 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Devinettes
Quelques miracles admirables

Devinettes
Devinettes
1 Calculer de tête le 53-ème chiffre de 1/53.
2

Calculer de tête le 52-ème chiffre de 1/53.

3

Calculer de tête le 27-ème chiffre de 1/53.

4

Julian additionne deux nombres et trouve 999.
Combien de retenues a-t-il effectuées ?

Une réponse
4

Si Julian a calculé 142 + 857, il n’a pas fait de retenue.
Donc, par contrat didactique, la réponse est : aucune.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
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Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.

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Devinettes
Quelques miracles admirables

Introduction
1= 0,142 857 142 857 142 857 . . .
7Développement cyclique.
Pas de demi-mesure :142 + 857 = 999.
Silence, on tourne !
1
2
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777Besançon, 2 juin 2006

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Devinettes
Quelques miracles admirables

Figures tutélaires
Suivant Gauss, Disquisitiones arithmeticæ (1801), on s’intéresse audéveloppement décimal de 1/p, où p est un nombre premier.

p+1-ème chiffre
longueur p − 12
Notation : nombres premiers : P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }.
p-ème chiffre

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Plan
1

2

3

4

Introduction
Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (groupes cycliques)
Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Longueur de la période (conjecture d’Artin)
Digression : nombre de périodes des k/p et longueur
minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristiqueet résultats
partiels
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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Besançon, 2 juin 2006dd

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Posons n = a1 a2 . . . ad =
10d ×

d

Pd

d

d−i , il vient :i=1 ai 1011= a1 a2 a3 · · · ad , a1 a2 a3 · · · ad · · · = n+ ⇐⇒ np = 10d −1.
{z
} |
{z
}
p |
p
d

d

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Traduction de l’existence d’une période
Dire que le développement de 1/p est périodique de période d,c’est dire qu’il existe des chiffres a1 , . . . , ad ∈ {0, . . . , 9} tels que
1= 0,a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad a1 a2 a3 · · · ad · · ·.
|
{z
}|
{z
}|
{z
}
p
d

Posons n = a1 a2 . . . ad =

d

Pd

d

d−i , il vient :i=1 ai 10

+∞

1 X n
10−d nn=== d⇐⇒ np = 10d − 1.
id
−d
p
10
1 − 1010 − 1i=1Besançon, 2 juin 2006

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Existence d’une période

1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddBesançon, 2 juin 2006

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Existence d’une période

1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;Besançon, 2 juin 2006

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Existence d’une période

1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;plus petite longueur = ordre de 10 dans (Z/pZ)∗ ;Besançon, 2 juin 2006

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Existence d’une période

1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;plus petite longueur = ordre de 10 dans (Z/pZ)∗ ;longueurs possibles = multiples de cet ordre ;Besançon, 2 juin 2006

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Existence d’une période

1= 0, | {z n} | {z n} · · · ⇐⇒ np = 10d − 1.
pddConséquenced = longueur d’une période de 1/p ⇐⇒ p divise 10d − 1 ;plus petite longueur = ordre de 10 dans (Z/pZ)∗ ;longueurs possibles = multiples de cet ordre ;10d − 199 · · · 9période de 1/p : n ==.
ppBesançon, 2 juin 2006

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Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Arithmétique modulo p
modulo pcomplexes

Z, +, ×R[i] : polynômes en inouvelle règle
i2 + 1 = 0

p=0
nombres obtenus
Z/pZ

C{0, 1, . . . , p − 1}

a + ib“miracle”

tout “nombre” non nul est inversible

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Arithmétique modulo pNombres entiers relatifs, règles usuelles, et de plus :p = 0.

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Arithmétique modulo pNombres entiers relatifs, règles usuelles, et de plus :p = 0.
Conséquence : ne restent que p “nombres” :Z/pZ = {0, 1, . . . , p − 1}.

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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Arithmétique modulo pNombres entiers relatifs, règles usuelles, et de plus :p = 0.
Conséquence : ne restent que p “nombres” :Z/pZ = {0, 1, . . . , p − 1}.
Fait : tout nombre 6= 0 est inversible. Exemple modulo 7 :1 × 1 = 2 × 4 = 3 × 5 = 6 × 6 [7].
Comme il existe a < b tel que 10a = 10b [p], on a, avec d = b − a :10a (1 − 10d ) = 0 [p],Besançon, 2 juin 2006d’où

10d = 1 [p].

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
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Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Petit théorème de Fermat
Lemme
 
p
est un multiple de p.
k pPreuve : p! = k! (p − k)!
et pgcd(p, k!(p − k)!) = 1.
k
Pour 1 ≤ k ≤ p − 1,

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Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Petit théorème de Fermat
Lemme
 
p
est un multiple de p.
k pPreuve : p! = k! (p − k)!
et pgcd(p, k!(p − k)!) = 1.
k
Pour 1 ≤ k ≤ p − 1,Conséquence
Pour tout a ∈ {1, . . . , p − 1}, ap−1 = 1 [p].
On montre ap = a par récurrence sur a : évident si a = 1,
(a + 1)p = ap + 1 = a + 1.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Ordre d’un élément

Ordre de 10 dans (Z/pZ)∗
Pour p premier,
p divise 10p−1 − 1 :si p divise 10d − 1 et 10e − 1, avec d minimal, alors d divise e.
Premier point : petit théorème de Fermat.
Deux preuves du second point :1

théorème de Lagrange ;2

pgcd(10a − 1, 10b − 1) = 10pgcd(a,b) − 1.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Devinette
1 Quel est le 53-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
1

C’est le même que le premier : 0.

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7

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Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 749
95

Besançon, 2 juin 2006

7Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7
49
95
35
96

Besançon, 2 juin 2006

57

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7
49
95
35
96
56
94

Besançon, 2 juin 2006

857

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7
49
2 857
95
35
96
56
94
14
98

Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7
49 42 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Algorithme de division
999 999 7
49 142 857
95
35
96
56
94
14
98
28
7
7
0
Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
84

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3

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre

Devinette
2 Quel est le 52-ème chiffre de 1/53 ?
Réponse
2

C’est 3, car 3 × 3 = 9.
99 · · · 9 999 53
159
···3
84
···

Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Plan
1

2

3

4

Introduction
Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (groupes cycliques)
Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Longueur de la période (conjecture d’Artin)
Digression : nombre de périodes des k/p et longueur
minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristiqueet résultats
partiels
Besançon, 2 juin 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 076 923 · · ·131= 0, 0 9 · · ·11Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Dichotomie (exemples)

Ici, on suppose que la plus courte période est de longueur paire.
On peut donc la couper en deux.
Exemples :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 076 923 · · · : 76 + 923 = 999 ;13
1= 0, 0 9 · · · : 0 + 9 = 9...
11
Ca ne saurait être un hasard !

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Dichotomie (formalisation)
Lemme
Supposons que d = 2e soit une longueur de période de 1/p, maisque e ne soit pas la longueur d’une période :1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,p
| e {z e } | e {z e }d=2e

0 ≤ A, B < 10e .

d=2eAlors,A + B = 10e − 1 = 99
· · · 9} .
| {ze chiffres

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Preuve1= 0, | {z A} | {z B} | {z A} | {z B} · · ·,
p
e

e

e

0 ≤ A, B < 10eepermet d’écrire102e
1= 10e A + B + ,
p
p
puis

10e + 1× (10e − 1) = 10e A + B.
p

Modulo 10e − 1, il vient :A + B ≡ 0 [10e − 1]etBesançon, 2 juin 2006

1 ≤ A + B < 2(10e − 1).

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Un énoncé surprenantThéorème (O. Mathieu ?)Soit p ≥ 11 un nombre premier :1

la (p + 1)/2-ème décimale de 1/p est 0 ou 9 ;2

le fait que ce soit 0 ou 9 ne dépend que de p modulo 40.
↓
1= 0, | {z } | {z } · · ·p| e {z e }p−1=2eBesançon, 2 juin 2006

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Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓1= 0, | {z A} | {z B} · · · ,p| e {z e }


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eBesançon, 2 juin 2006

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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •9 9 ··· 9 9

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A+B
10p−1 − 1Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Preuve (premier point)
1

Partie facile.
↓↓1= 0, |0 {z A} | {z B} · · · ,pe| e {z
}


 A=B
ou

A + B = 99 · · · 9.

p−1=2eCas A = B : c’est 0.
Cas A + B = 99 · · · 9 : c’est 9. En effet :0 • ··· • •+ ? • ··· • •9 9 ··· 9 9A+B
10p−1 − 1
p−1

2

2 − 1.
Il faut décider si p−1
2 est une période, i.e. si p divise 10

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Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Carrés de (Z/pZ)∗

Lemme
Considérons les carrés : {x 2 , x ∈ (Z/pZ)∗ }.
p−1
Un élément a ∈ (Z/pZ)∗ est un carré SSI a 2 = 1 [p].
p−1

Si a = x 2 , alors, par Fermat, a 2 = x p−1 = 1 [p].
La réciproque demande un peu plus de soin.
Exemple (p = 7) : carrés : 12 = 62 = 1, 22 = 52 = 4, 32 = 42 = 2.
D’une part, 10 = 3 n’est pas un carré modulo 7.
7−1
D’autre part, 7 ne divise pas 10 2 − 1 = 999 = 33 × 37.

Besançon, 2 juin 2006

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Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Symbole de Legendre
Notation
Pour p premier et a ∈ (Z/pZ)∗ ,
 

p−1
a
1 si a est un carré dans (Z/pZ)∗=a 2 =−1 sinon.
p p−1 2
Justification : a 2= ap−1 = 1.
Exemple (non trivial)  
2
1 si p = ±1 [8]=−1 si p = ±3 [8].
p
Ce symbole ne dépend donc que de p modulo 8.
Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
qp4= (−1).
qp

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Loi de réciprocité quadratiqueThéorème (Gauss – 1801)
Soit p, q premiers impairs distincts. Alors :  
(p−1)(q−1)
qp4= (−1).
qp
Application au (p + 1)/2-ème chiffre : 0 ou 9 ?
 
p−1
10
La p+1-èmedécimale
de
1/p
est
0
SSI
= 10 2 = 1 [p]. Or...
2p       
10
2
5
2
p
=
=
.
p
p
p
p
5
Par le lemme chinois, ceci ne dépend que de p modulo 40.
Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatreDécoupage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples :1= 0, 142 857 · · ·71= 0, 14 28 57 · · ·71= 0, 07 69 23 · · ·13
Contre-exemple :1= 0,01 36 98 63 · · ·73Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatreDécoupage de période en 3, 4 et plus
Maitrisant la dichotomie, tentons de diviser plus !
Exemples (généraliser) :1= 0, 142 857 · · · : 142 + 857 = 999 ;7
1= 0, 14 28 57 · · · : 14 + 28 + 57 = 99 ;7
1
= 0, 07 69 23 · · · : 7 + 69 + 23 = 99.
13
Contre-exemple (trouver un énoncé quand même) :1= 0,01 36 98 63 · · · : 1 + 36 + 98 + 63 = 2 × 99.
73

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, • • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • • · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 10Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • • • • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=9Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 0 • 6 9 • 3 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3999

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre

Calcul exotique de 1/13
1
= 0, 076 923 · · ·13
7 × 11 × 13 = 1001 =⇒ 13|106 − 1 = (103 + 1)(103 − 1)
13 > 103×3=90••+ • •3
999
0•
+69
+ •3
99
Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Plan
1

2

3

4

Introduction
Devinettes
Quelques miracles admirablesPériode (groupes cycliques)
Existence d’une période
Arithmétique modulo p
Digression : le (p − 1)-ème chiffre
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Dichotomie
Le (p + 1)/2-ème chiffre
Digression : couper les cheveux en trois ou quatre
Longueur de la période (conjecture d’Artin)
Digression : nombre de périodes des k/p et longueur
minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristiqueet résultats
partiels
Besançon, 2 juin 2006
Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Occuper Julian (8 ans) à la pizzeria
1 × 142857 = 142857 · · · ,2 × 142857 = 285714 · · · ,3 × 142857 = 428571 · · · ,4 × 142857 = 571428 · · · ,5 × 142857 = 714285 · · · ,6 × 142857 = 857142 · · ·Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Occuper Julian (11 ans) à la pizzeria
12
3= 0,142857 · · · , = 0,285714 · · · , = 0,428571 · · · ,
7
7
7
4
5
6
= 0,571428 · · · , = 0,714285 · · · , = 0,857142 · · ·777Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
4
5
6
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Que faire à la pizzeria quand Julian aura 13 ans ?
1
2
3= 0,076923 · · · ,= 0,153846 · · · ,= 0,230769 · · · ,
13
13
13
4
5
6
= 0,307692 · · · ,= 0,384615 · · · ,= 0,461538 · · ·
13
13
13
7
8
9
= 0,538461 · · · ,= 0,615384 · · · ,= 0,692307 · · ·
13
13
13
10
11
12
= 0,769230 · · · ,= 0,846153 · · · ,= 0,923076 · · ·
13
13
13
1
Pour 13: nombre de périodes : 2, longueur des périodes : 6.

Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Proposition
nombre de périodes de k/p× longueur minimale = p−1(1 ≤ k ≤ p − 1)d’une périodeà permutation cyclique près
Question
Pour quels nombres premiers a-t-on
10 est un générateur de (Z/pZ)∗ ;la longueur minimale des périodes égale à p − 1 ?
une seule période (à permutation cyclique près) pour tous les
k/p, 1 ≤ k ≤ p − 1 ;(Les trois conditions sont équivalentes !)Besançon, 2 juin 2006

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Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
longueur minimale période = p − 1 ; ex. :Problème
On noteP(10) = {p premier: longueur minimale période = p − 1}.

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Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Deux types de nombres premiers
Pour un nombre premier p, deux cas :1= 0, 142857 · · · ;71= 0, 076923 · · · .
longueur minimale période < p − 1 ; ex. :13
longueur minimale période = p − 1 ; ex. :Problème
On noteP(10) = {p premier: longueur minimale période = p − 1}.
Est-ce que P(10) est infini ? Estimer la “densité” de P10 :d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}
Besançon, 2 juin 2006:

lim d10 (x) ?

x→+∞Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques

P10 = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Besançon, 2 juin 2006

Développement décimal de 1/p (d’après O. Mathieu)

IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques
P10 = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 4500

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques
P10 = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 45000

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques
P10 = {7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, . . . }y = d10 (x) =card{p ∈ P(10), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}base 10xmax = 450000

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Enoncé de la conjecture (base 10)

Conjecture
Il existe un nombre infini de nombres premiers p tels que laplus petite période décimale de 1/p soit de longueur p − 1.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

Remarque : où intervient 10 ?

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques : base quelconque

Soit a ≥ 2 quelconque, pas une puissance d’un entier.
P(a) = {p premier, hai = (Z/pZ)∗ }da (x) =card{p ∈ P(a), p ≤ x}card{p ∈ P, p ≤ x}

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques : base quelconque
Soit a ≥ 2 quelconque, pas une puissance d’un entier.
P(a) = {p premier, hai = (Z/pZ)∗ }card{p ∈ P(a), p ≤ x}da (x) =card{p ∈ P, p ≤ x}a=2
xmax = 4500

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques : base quelconque
Soit a ≥ 2 quelconque, pas une puissance d’un entier.
P(a) = {p premier, hai = (Z/pZ)∗ }card{p ∈ P(a), p ≤ x}da (x) =card{p ∈ P, p ≤ x}a=2
xmax = 45000

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Expériences numériques : base quelconque
Soit a ≥ 2 quelconque, pas une puissance d’un entier.
P(a) = {p premier, hai = (Z/pZ)∗ }card{p ∈ P(a), p ≤ x}da (x) =card{p ∈ P, p ≤ x}a=2
xmax = 450000

Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Enoncé de la conjecture (base presque quelconque)

Conjecture (Artin)
Soit a ≥ 2, pas une puissance d’un entier.
Il existe un nombre infini de nombres premiers p tels que laplus petite période du développement de 1/p en base a soit delongueur p − 1.
La densité de ces p est :Y CArtin =1−
q premier

Besançon, 2 juin 2006

1
q(q − 1)


' 0,373 955 813 6 . . .

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partiels

Ceci n’est pas une preuvep−1

hai = (Z/pZ)∗ ⇐⇒ ∀q premier : p ≡ 1 [q], a q 6= 1 [p]Fixons q :
1
;
q−1
p−1
1
probabilité pour que a q = 1 [p] : .
qprobabilité pour que p = 1 [q] :1.
q(q − 1)
Si indépendance, probabilité pour que “ça marche” pour tous
les q :
Y1
1−.
q(q − 1)q
Probabilité pour que “ça marche” pour q : 1 −Besançon, 2 juin 2006

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IntroductionPériode (groupes cycliques)
Demi-périodes (réciprocité quadratique)
Longueur de la période (conjecture d’Artin)

Digression : nombre de périodes des k/p et longueur minimale
Conjecture d’Artin
Justification heuristique et résultats partielsRésultats partiels

avec l’hypothèse de Riemann généralisée (version
quantitative) : la conjecture d’Artin est vraie ;résultats inconditionnels (version qualitative) : au plus 2 ou 3
exceptions parmi les nombres premiers ; par exemple, 2, 3 ou
5 engendrent une infinité de (Z/pZ)∗ .

Besançon, 2 juin 2006

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