数学における高等教育◆特集＊招待論文◆

数学における高等教育
Higher Education in Mathematics
河添 健

慶應義塾大学総合政策学部教授

Takeshi Kawazoe
Professor, Faculty of Policy Management, Keio University

数学の高等教育について述べる。初等・中等教育の後が高等教育であり、よって大学や大学院などで教える数学ということになる。大学で教える数学教育といっても、大学自体の在り方が大きく様変わりしている。さらには後期中等教育、すなわち高校で行われている数学教育あたりからその目的が十分に達成されていない。このあたりから数学教育の全体が危機的な様相を呈している。この稿ではその現実を浮き彫りにするとともに新たな数学の高等教育の可能性について考えてみたい。

In this note we analyze higher education in mathematics,educational system for teachingmathematics at Japanese universities. Nowadays, Japanese universities have drastically changed andthey have accepted more than 50 percent of high school students. However, they have difficulty inteaching mathematics. The system almost malfunction and things are coming to a crisis. We propose a
new style and a new standard in teaching mathematics.
Keywords: 高等教育、数学教育、教育改革

１

数学高等教育の名著

1.1

スミルノフの高等教育教程

実情の話を始める前に数学の高等教育における名数学者、特に年配の数学者に数学高等教育の教著を紹介する。名著とは、とその定義を云々しても科 書 を 問 え ば、 間 違 い な く こ の 本 を 思 い 浮 か べ

仕方がない。要するにあの本のおかげで（高等）数る。1913 年ごろからサンクトペテルブルグ（旧レ学が分かったと多くの人が感じる本である。したニングラード）大学の数理物理学部の Vladimir I.

がって数学が分からない人にはどうでもよい話であSmirnov (り、名著を取り上げたところで数学の高等教育が進− 1974 年 ) が 書 い た 数 学、 物 理 数 学、 応 用 数 学

むとは思えない。しかし名著の中には数学を理解すの教科書で全 5 巻からなる（第 1 巻は J. Tamarkin

ることへの確固とした道筋があることは確かであとの共著）。当時のロシアで広く教科書として使る。ここではスミルノフの「高等数学教程」（[1]）

わ れ た。 英 訳 は 1964 年 に「A Course in Higherと高木貞治の「解析概論」（[2]）を紹介する。

Mathematics」として出版され、和訳は 1958 年に) (1887 年

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特集

高等教育

図1

スミルノフ「高等数学教程」

図２

共立出版より「スミルノフ高等数学教程全 5 巻」と高木貞治「解析概論」

11. スティルチェス積分・集合函数とルベーグ積して出版されている。監修は彌永昌吉・福原満洲雄・分・一般積分の概念

河田敬義・三村征雄・菅原正夫・吉田耕作である。

12. 距離空間とノルム空間・ヒルベルト空間（有現在は分冊を整理して 12 巻として出版されており、界作用素論・空間）

その内容はである。これぞ高等数学である。いまでも理・工学
1. 函数関係と極限の理論・導関数の概念とその部の学生、研究者や技術者が必読して欲しい本であ応用・積分の概念とその応用る。ただし書き方はロシア流であり、良く言えば説2. 級数およびその近似計算への応用・多変数の明が丁寧であるが悪く言えば間延びする。数学の厳函数他

密さは後とし実用的な理解を優先している。12 巻

3. 常微分方程式・線型微分方程式と微分方程式の内容は「微積分学」「級数論」「常微分方程式」「多論補遺・重責分と線積分他

変数関数論」「ベクトル解析」「場の理論」「微分幾4. ベクトル解析と場の理論・微分幾何学の基礎・何学」「フーリエ解析」「線形代数」「複素関数論」「特フーリエ級数他

殊関数論」「積分方程式」「変分法」「偏微分方程式」

5. 行列式と方程式系の解法・線型交換と二次形「境界値問題」「測度論」「関数解析」などなどである。

式・行列の標準形への簡約他

現在は分野ごとに多くの入門書が出版されているの6. 函数論の基礎・留数の理論の応用・整函数とで、この 12 巻を教科書として使うことはあまりな有理型函数他いと思う。しかし数学や物理数学を自習するには良7. 多変数の函数と行列の函数・数理物理学におい本である。

ける特殊函数他
8. 積分方程式・変分法

1.2

9. 偏微分方程式の一般的理論

高木貞治の解析概論

この本も多くの数学者が名著として取り上げる。

10. 境界値問題

高木貞治（1875 年 － 1960 年）が書いた解析学の入88数学における高等教育門書であり初版は 1938 年に岩波書店から出版され２ている。現在も版を重ねて軽装版・ソフトカバーが数学の高等教育が目指すもの

数学の高等教育、大学での数学教育は何を目指し出版されている。各章は以下のようになっている。ているのだろうか？

ここは他の分野と大きく異なる点である。大学教育において、学部に限っても、
第1章

基本的な概念

例えば政治学や経済学であれば刻々と変化する社会

第2章

微分法への対応が必要であり、その現実を理解することが第3章

積分法

教育の 1 つの目標となる。そしてその理解が社会へ

第4章

無限級数、一様収束の貢献につながる。物理や化学でも変化する速さは第5章

解析函数、とくに初等函数異なるにせよ、新たな発見へ対する理解が教育の上

第6章

Fourier 式展開で必須であり、その応用は社会へ貢献する。つまり第7章

微分法の続き（陰伏函数）

多くの分野では最先端を理解することが高等教育の第8章

積分法（多変数）目的となる。ところが数学は奥が深すぎるのである。

第9章

Lebesgue 積分

最先端は遠くの先にあり、新たな発見を理解できる附録（I） 無理数論

人は多くない。場合によってはその分野の専門家で附録（II） 二，三の特異な曲線も苦労する。当然のこと学部のレベルではその理解は無理である。たとえ理解したとしてもほとんど役

スミルノフの 12 巻にくらべると内容は解析学にに立たつことはない。すなわち、他の分野と異なり限定されている。しかし十分に高等数学であり、こ数学の高等教育は最先端の理解ではない（もちろんれに「線形代数」や「微分方程式」を加えればよい。

今は大学の数学教育の話をしているのであって数学

この本の特徴は公理系に基づく厳密な数学の記述で科の話ではない）。学部で教えられる数学は 100 年ある。したがってロシア流ではなく、定理の証明にぐらい前からほぼ同じである。大学での数学を理解重きが置かれている。スミルノフが物理数学や応用できたとしてもそれは 100 年前の数学であり、最先数学を意識したのとは逆にこの本は数学本来の厳密端ではない。しかしそれが最先端の数学への基礎でさをきちんと取り上げている。したがってフーリエあり、また現代社会の中で大いに役立っている。し級数、陰関数、多変数解析など応用上大事なこともたがって数学の高等教育、大学での数学教育は何か厳密さにこだわる分だけに分かりにくい。このあたと聞かれれば、一言でいえば他分野で数学が使われりが純粋数学者のこだわりである。

ることへの手助けである。したがって学部レベルで2 冊を紹介したが、まだまだ名著はある。佐武一は最先端の数学は必要なく、古典的な名著が今でも郎「線型代数学」（裳華房）、スピヴァック「多変数読まれ教科書として使えるのである。

解析学」（東京図書）、クーラン・ヒルベルト「数理名著は数学が分かった人がその価値を認めるもの物理学の方法全４巻」（東京図書）、加藤敏夫・吉田なので、名著を闇雲に教育の主とするのは暴論であ耕作「応用数学Ｉ」（裳華房）、アールフォルス「複ろう。しかし前節で紹介した 2 つの名著は当時の数素解析」（現代数学社）などは名著と言わないと誰学を必要とする人々へその基礎と考え方を提供したかに怒られそうである。ブルバキの「数学原論」もことは間違いない。ここで気付くべきことは 2 つの然りである。しかしこの稿の目的は数学の高等教育名著に共通する教授内容と異なる教授方法である。

なのでそれらの紹介は割愛するが、いずれにせよこ数学の高等教育で何を教えるべきか？

教授内容

れらの名著は数学の高等教育を目指して書かれたもに対する答えは比較的共通すると思われる。他の分のであり書かれた当時のスタンダードな高等数学で野において数学を使うことへの手助けとしては、スある。

ミルノフの本でいえば最初の 4 ～ 5 巻、高木貞治の本でいえば 8 章までに「線形代数」と「微分方程式」

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高等教育を加えることなる。もちろん、将来に数学を必要と生はスミルノフや高木貞治の名著を読めないのであすることであろう理・工学部の大学生を対象とするる。それは少数のエリートを対象としていた大学教育を念頭に置いている。しかし文系学部の学生でが崩れたことによる。1990 年ごろの大学進学率はも数学を道具として使いたい場合にはそれらの学生25%であったが、2009 年には 50％を越えほぼ倍増も対象に含まれる。

した。いわゆる「大学全入時代」が近づいている。

問題はその教授方法である。スミルノフの本では当然ながらこの現象はエリートが倍増した訳ではな

数学の厳密さよりも、内容の理解に重きを置き、高く、もっとも大きな要因は 20 歳前後の人口減少で

木貞治の本では数学の厳密さの理解に重きを置いてある。実際、大学生の数はあまり変化していない（図いる。これらを教科書あるいは参考書として見たと３参照）。

き、工科系の学生へは前者を、理科系の学生へは後この結果として学生の学力幅が拡大し、大学への者を薦めることになる。しかしこれはあくまで一般進学目的も多様化した。このような状況下で前節の論である。教育の使命は理解すること、すなわち「分最後に述べたような数学科目を外した大学入試を実かる」ことを体験させることである。何をもって「分施すれば、火に油を注ぐようなもので、数学の高等かる」とするかは、大学や学部の理念である。した教育は困難を極めている。エリートは高望みとしてがって学生の属性によりその教授方法は大きく異なも、少なくともモチベーションを持った学生は欲しることになる。

い。しかし現実にはモチベーションの低い学生が多大学での数学教育は、大学や学部の理念と大きくく、場合によっては彼らが多数派となっている。こ関わる。学生の属性を顧みずに行えば、数学嫌いをのことは数学に限ったことではない。

増やし、あるいは逆に数学を使いたい学生の不満を大学のこの現状は、2 節で述べた数学教育の目指増すことになる。まずは大学や学部はその理念に基すものがすでに現実とかけ離れていることを意味しづき数学教育をいかに位置づけるかを明確にすべきている。抜本的な改革には後期中等教育や大学の入である。この段階で数学の教授内容や教授方法が確試改革が必要である。大学生の学力幅が拡大し、大立する。このとき教授内容を決めることについては学への進学目的も多様化した中で大学は何を教育す迷いが少ないが、どのような理解を求めるかについべきか？ての教授方法については議論が必要であろう。つぎり、文部科学省でも十分に審議されている（[7] 参にそれに合った学生を大学入試で集めればよい。と照）。数学教育に限って考えても前節のように教授ころが現実にはこの順序が不確かである。まずは学内容と教授方法を一方向から考察するだけでは明ら生を集めて、そのつぎに数学教育となる。後期中等かに不十分であり、大学生の実情を考慮した双方向教育、すなわち高校の数学教育の現状から、大学の理解が必要である。また単に役立つ数学を教えるの入試科目に数学を入れると受験生が大幅に減る。

だけでよいかというとそれも不十分であり、数学教よって大学は入試に数学科目を課すことなく学生を育も社会を先導する指導者を養成することを求めら受け入れる。そして入学した学生を見てからの数学れているのである。エリートを対象とした大学が崩教育となる。これではモチベーションは上がらず、壊し、よりきめ細かな教育環境が期待されている。

数学嫌いを増やすための数学教育となる。

そのなかでも3

大学の変化と現状

この現状は既に予見されてきたことであ(a) 専門家養成

数学の高等教育、すなわち大学での数学教育を足(b) 教養教育

早に振り返ったが、以上は教える側からの話であり(c) 社会貢献理想論に近い。現実には少し古い話となり、通用しなくなっている。一言でいえば、現在の多くの大学は必須であろう。そのバランスは大学や学部の理念

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数学における高等教育

図3

大学進学率と 19 〜 22 歳人口の推移（[3] より引用）

学のマス・フォア・インダストリ研究所を紹介する。

や社会情勢により左右される。その中で数学はいかなる高等教育を目指すか？

(a) の専門家の養成は数学科の使命としてここでの話から外すとしても、（１） 慶應義塾大学の湘南藤沢キャンパスでは理(b) や (c) を考えたとき数学教育が単純に 100 年前

系・文系の枠を越えて問題発見とその解決を教育目からの道具を提供するだけでよいのだろうか？ 数標している。したがってキャンパスで取り上げられ学教育はより積極的に教養教育や社会貢献を求めている自然・社会・人文などの幅広い研究テーマにられているのである。他の分野が公開講座や産学対応する数学教育が要求されている。これらを分析連携など具体的な社会との接点を重視している中し、問題の発見およびその解決の手法を与えるのがで数学が漫然と胡坐を掻いている訳にはいかないナレッジスキルであり、数学の科目も数理科学とし時代なのである。

てこの中に位置づけられている。科目名には工夫を凝らしているが、「微積分学」「線形代数」「微分方４程式」「複素解析」「フーリエ解析」あたりはきちん新たなスタンダードを求めて― 2 つの事例と取り入れられている。具体的な科目群の目的と科目は以下のとおりである。([4] より抜粋 )大学における数学教育が大きな曲がり角に来ていることはだれもが認識している事実である。このよA

うな中で各大学では多くの試みがなされており、そデータ獲得：社会調査や環境調査、Web 調の中から新たなスタンダードとなる大学の数学教育査などにより、実世界から生データを獲得が生まれることが期待されている。ここでは文系・する過程を学習する。生データとは、単に理系の枠を越えた慶應義塾大学の湘南藤沢キャンパ

数値データだけに止まらず、マルチメディスのナレッジスキル教育と産学連携を目指す九州大

ア・データや遺伝子配列データなども含む。

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特集

高等教育

B

データ編集：獲得されたデータを使ったリの履修を卒業要件に課しているが、どこかで数学にサーチデザイン（研究全体のデザイン）と接すれば容易にクリアーできるので、履修の強制すデータベース（データの集積基地）化の過ることによって数学嫌いを増やすことはない。

程を学習する。データベース化は、それ以CD降のデータ処理の準備として不可欠なプロ（２） 九州大学のマス・フォア・インダストリ研究セスである。

所（Institute of Mathematics for Industry）は数学者

データ分析：量的なデータあるいは質的なが産学連携を目指した世界的に見ても稀な研究施設

データを対象としたデータ分析、およびそである。今までの数学に対する考え方を大きく見直の結果の解釈・評価を行うプロセスである。

す機会を与えている。大学をとりまく社会の変化にこの処理プロセスには検索やデータマイニ数学者が迅速に対応した研究所であり、今後の発展ング手法を含む。

が大いに期待されている。若山正人マス・フォア・モデリング・シミュレーション：対象をモデインダストリ研究所長（基礎理論研究部門）の言葉ル化し、そのシミュレーションの実行を通しによれば ([5])て、モデルの妥当性を検証するアプローチでEある。

『IMI の活動の基本は、多様な数学研究を基

数理科学：以上の 4 個のグループに共通す礎におく産業数学の研究の推進とその人材育成る数学的基礎を提供するのが狙いである。にあります．事実マス・フォア・インダストリ

ナレッジスキルにとって本質的な、論理・（MI）とは，未来の産業数学をも視野におく新解析・代数・確率の基礎を学び、連続量・しい研究領域です．本質的な研究は，いつかは離散量を数学的に使いこなす能力を養うこ役立つと信ずるに足る多くの例があるとおり，とを狙いとしている。

歴史は，顕在化した需要への対応のみでは，社会が真に求めている要請に応えることができな学生は文系・理系の区別なく、自分の研究を遂行いことを示しています．そのため IMI では，数するのに必要なスキルを感じたときに、いつでも履学を軸に産業界との共同研究を強力に推進する修できる仕組みとなっている。もちろんいくつかの研究者をはじめ，応用・純粋数学の垣根を越え科目には前提科目を設定しているので、順序立てて幅広い数学分野で活躍する専任教員を配置し，履修することになる。この科目の中から 2 科目以上

現代社会との接点も尊びながら基礎的研究に力表( Ａ ) データ獲得
データ獲得法
資料検索法
質的調査法
インタビュー法フィールドワーク法
Web 社会調査法

ナレッジスキル科目( Ｂ ) データ編集( Ｃ ) データ分析

データベース概論
リサーチデザイン
データベース構築法
経営統計データベース
Web テキスト処理法

データ分析
データマイニング
多変量解析 1
多変量解析 2
多変量モデリング時系列解析法
ベイズ統計
空間分析
空間モデリング
ソシオコンテンツ分析法

92( Ｄ ) モデリング・シミュレーション
モデリング・シミュレーション技法
オブジェクト指向モデリングシミュレーションデザイン( Ｅ ) 数理科学
数理と社会
数学と論理線形の理論
変化の理論
現象の理論
最適化の数理複雑系の数理複素積分の数理
不確実性と情報
情報数学 1
情報数学 2
検証技術の基礎

数学における高等教育を注いでいきます．また，たとえば 19 世紀の期待される。

偉大な先駆者たちの，理論研究とともに数値的計算を多く行っていた事実にも着目すべく，理５

新たな名著の可能性は論研究と数値的・計算的研究をともに重視し，大学をとりまく環境が急速に変化する中で数学教さらに，決定論的な考察と統計的・確率論的手育も積極的にその変化に対応していく必要がある。

法を両翼に据えて，視野を広く保ちながら研究

現状では多くの教員は教材の選択やその作成に苦労活動を進めてまいりたいと考えています．加えしている。2 つの名著はその内容においては普遍性て，産業界・諸科学分野と数学との双方向の協を保っているが、現代の学生への教科書としてはや働を可能にする開かれた場の構築を図るなど，はり古くなってしまった。実際に彼らが読破するこ着実な拠点づくりを目指し一歩一歩前進する所とはなかなか難しい。反面、昔にはなかった PC や存です．さらに，国際連携の推進，とくに太平洋・数学ソフトが普及している。この時代にふさわしい東アジアにおいて産業数学振興に向けた連携を名著が求められている。

はかるなど，グローバルな視点からのマス・フォ

グラフィックス機能やアニメーション機能などはア・インダストリ活動を進めてまいります．』

数学の理解に大きく貢献できる。2 変数関数の極値問題や微分方程式の解の挙動など、昔から数学者は研究所には数学テクノロジー先端研究部門、応用ありとあらゆる工夫をしてその理解を深めてきた。

理論研究部門、基礎理論研究部門の 3 部門があり、しかし数学ソフトによりリターン・キーを押せばた

さらに企業との共同研究を円滑に推進するためにちどころにそのイメージが得られるようになった。

「連携推進・技術相談窓口」を設けている。セミナー

教室の機材においても黒板に加え、プロジェクターや研究集会が積極的に開催されており、2011 年度や書画カメラの利用も可能である。また数学の演習

前期に開催された次の IMI Colloquium からもそのの方法においても問題とその解説を基本にするも携特徴がうかがえる。([6])

帯端末を用いたより双方向的な方法も可能である。
100 年前とは雲泥の差があるにも関わらず、なかな

1.

金融派生証券（デリバティブ）の評価モデルかその利点が生かされていない。とリスク管理 ～その発展と今後の課題

2.

3.

その一方で、キーポイントを押さえる参考書やマ新長 義己 ( 三菱 UFJ モルガン・スタンレーンガによる数学の教科書も多数出版されている。発証券株式会社 市場商品統括グループ長）

行部数から言えば通常の数学の本をはるかに上回っ双対双線形ベクトル空間と暗号ているのではないだろうか？

岡本 龍明 氏（ＮＴＴ情報流通プラットフォー

えるかもポイントである。いろいろな事由はあるとム研究所【岡本特別研究室】）

思うが、結局のところ数学を安直に理解しようとす

開かれた数学への熱い期待 ～化学産業の研ることには違いない。教育の基本は「分かる」こと

究開発に関ってきた一研究者の思い～を体験することであると述べたが、この安直な理解中村 振一郎（三菱化学フェロー・理化学研は異質であろう。しかし「分からない」よりは良い究所特別招聘研究員）ことも確かである。ではこの現象を肯定できるかとこの現象をいかに捉いうとこの問題はそう簡単ではない。この問題の本
現在は研究所であるが、大学院や学部の学生への質はたとえ時間があっても通常の教科書は読まない影響は大きい。ここでの成果は彼らの数学に対すること、なぜなら通常の教科書が読めないことである。

考え方を大きく変え、とくに数学を学習することへ現実に多くの大学生は高校の数学の教科書を読むこの新しいモチベーションを誘発する。この流れからとすらおぼつかないのである。

数学教育の新しいスタンダードが創造されることがこれだけの学力差がある大学にはもはや名著は期KEIO SFC JOURNAL Vol.11 No.2 2011

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高等教育待できない。強いて言えばそれぞれの範疇でその名いいですね。と言いきってしまうのはいかがなもの著を考えるしかない。通常の数学の教科書やマンガか？

数学本の名著があってもよいのかもしれないが、昔い、このような姿勢ではせっかくの素晴らしい教科の名著とは程遠い。このような学力差あるいは高校書が宝の持ち腐れである。数学の教育には継続が必の教科書も読めない大学生がなぜ生まれてしまった須である。この文理に分ける教育姿勢が学力の格差のか、その答えは簡単で高校において継続的な数学を増長した。この広がった格差を大学で縮めることの学習がなされてないからでる。

は容易なことではない。さしあたっての急務は「大大学入試に関わらないことを教える時間がな学全入時代」のスタンダードな高校生をきちんと確

６

数学高等教育の問題点立することが必須の教育改革ではないだろうか。

数学の高等教育についてとりとめもなく述べてき７

たが、理想の教育環境を作るためには、大学での数むすび学教育の改善だけではとても無理である。近年、大昔の高等数学の名著を今の大学生は読むことがで学生の学力幅が拡大しかつ大学への進学目的も多様きない。もっと深刻なのは高校の数学の教科書も読化している。一方、教員の立場からしても学術研究むことができない大学生が大勢いることである。大の高度化や競争原理の導入により数学教育へ多くの学に入学する学生のスタンダードはどこにあるの時間を割り振ることができない。要するに数学教育か？のあらゆる側面においてスタンダードがない時代なり、マンガ数学本が名著となる時代は是非とも避けのである。このことは専門家を養成する数学科におたいものである。

大学入試制度を含めた教育改革は必須であいても同じである。大学院生の学力や修士論文のレベルにおいて、昔のスタンダードは消滅しかかっている。「大学全入時代」の学生のスタンダードな学

参考文献

力はどのレベルなのか、理系学部でいえば「大学院[1] ウラジミル・イワノビッチ・スミルノフ著、彌永 昌吉・福原 満洲雄・河田 敬義・三村 征雄・菅原 正夫・吉田耕作監修「スミルノフ高等数学教程（全 12 巻）」、共立出版、1958 年。
[2] 高木 貞治著「解析概論」、改訂第 3 版 軽装版、岩波書店、1983 年。
[3] 小樽商科大学教育開発センター 第 36 回「なぜ大学進学率が 50％を超えたのか？ －大学進学人口と大学数との関連－」、学報、第 376 号、（2010.8）掲載。
<http://www.otaru-uc.ac.jp/hkyomu1/fdhome/colum/fd-c36.htm>[4] SFC 講義案内、創造技法ナレッジスキル科目（2010年度）。<http://vu8.sfc.keio.ac.jp/course2007/data/
overview_data/2011/data_intro.html >[5] IMI について 所長メッセージ。<http:// www. imi.
kyushu-u.ac.jp/pages/message.html>[6] IMI Colloquium. <http://www.imi.kyushu-u.ac.jp/seminars/category/23>[7] 我が国の高等教育の将来像（審議の概要）、中央教育審議会大学分科会（2004.9）。<http://www.mext.go.jp/
b_menu/shingi/chukyo/chukyo0/toushin/04091601.
htm>

全入時代」の院生のスタンダードな学力はどのレベルなのか、これらの問いに対して大学や大学院は明確な答えがないまま現状を受け入れているのが実情である。大学での数学の高等教育が学術研究の高度化、学習需要の多様化、社会の変化に的確に対応するためには、スタンダードな状況を設定する必要があり、場当たり的な対応では到底に無理である。その切り札は大学入試なのだが、少子化のこの時代、その切り札が使いづらい。となると高校での後期中等教育あたりからの数学教育の改革が望まれる。現行の高校の教科書は世界的に見ても素晴らしく、要点を的確に押さえ簡潔に必要事項がまとめられている。ところがこの高校の教科書が読めない大学生が多くいる。なぜならば高校で読んでいないからである。高校における教育の最大の問題点は、文系と理系と生徒を分けることである。高校の 1，2 年生頃に、あなたは文系学部へ進学を希望しているので、数学はもう勉強しなくて94