2次元・地衡流乱流におけるエネルギースペクト
ルとフラックス不等式
岩山隆寛（福岡大・理）
地球流体力学オンラインセミナー
2021年6月17日

Iwayama,T., Okazaki, S., and T. Watanabe, T., Numerical investigation of
the Danilov inequality for two-layer quasi-geostrophic systems.
Fluid Dynamics Research 51(2019), 055507(28 pages).

はじめにエネルギースペクトル

強制散逸乱流2次元乱流のスペクトル• よく知られている事実• ある狭い波数帯域で系を強制• 強制波数帯域よりも低波数側にエネルギーが輸送• 強制波数帯域よりも高波数側にエンストロフィーが輸送

強制波数Vallis(2006，AOFD)

はじめにエネルギースペクトル

強制散逸乱流2次元乱流のスペクトル• 素朴な疑問：以下のようにならないのか？
• ある狭い波数帯域で系を強制• 強制波数帯域よりも低波数側にエンストロフィーが輸送

エンストロフィー

強制エネルギー波数• 強制波数帯域よりも高波数側にエネルギーが輸送

はじめに
動機：
• 2次元乱流（NS方程式に従う強制散逸乱流）や地衡流乱流（2層準地衡流渦位方程式に従う強制散逸乱流）におけるエネルギーやエンストロフィーの波数
空間内の輸送方向はどのように決まるか？
今日の話• 輸送方向を決める式を紹介：• Danilov不等式••••

エネルギーフラックスとエンストロフィーフラックスからなる不等式
Tung and Orlando (2003, J. Atmos. Sci. 60)が初出
２D系の証明はGkioulekas and Tung (2005, Discrete and Continuous Dynamical System B 5)に掲載
Danilov(2004)からpersonal communicationによってGkioulekas and Tungに伝えられた．

• カスケード不等式• エネルギースペクトルの重心波数に関する議論• Arbic, Flierl, and Scott（2007, J. Phys. Oceanogr., 37)• 先ず，2次元乱流の場合，次に，地衡流乱流の場合，の順に話をします．

2次元NS系の場合

波数空間ダイナミクスの基礎（１）• エネルギースペクトルの発展方程式••••：エネルギーフラックス（単位時間に波数kを通って低波数側から高波数側へ流れるエネルギー）：エネルギーフラックスは高波数向き：エネルギーフラックスは低波数向き：強制スペクトル：散逸スペクトル：全エネルギー波数空間ダイナミクスの基礎（２）• エンストロフィースペクトルの発展方程式：エンストロフィーフラックス（単位時間に波数kを通って低波数側から高波数側へ流れるエンストロフィー）•：エネルギースペクトルとエンストロフィースペクトルの関係•• triad interaction（三角相互作用，三波相互作用）• triad：ある特定の性質を持った3つのものの組• 波数ベクトルが三角形を形成（）するモードのみが相互作用できる

Fjortoftの定理• Fjortoft（1953，Tellus 5）• 波数ベクトルの大きさがk, l, mの3つのモード間でエネルギーとエンストロフィーを保存的に分配• 仮定：•：波数ベクトルの大きさがkのモードのエネルギー変化
エネルギー保存:
エンストロフィー保存:• 結論：中間の波数モードへ向けて，または，中間の波数モードからエネルギーとエンストロフィーが輸送される• 問題点：• 三角相互作用が（十分に）考慮されていない• 一組の三角相互作用しか考慮していない

2次元乱流の古典論• Kraichnan(1967,PoF 10)• Fjortoft（1953）に三角相互作用の詳細と多数のモードが励起されていることを考慮．
• エネルギースペクトルの冪則とエネルギーフラックス，エンストロフィーフラックスの関係を導出• 計算はかなり複雑．結果だけ紹介• 波数ベクトルの大きさがl(=vk), k, m(=wk)の3つのモードが相互作用• エネルギースペクトル：• 重み関数：• エネルギー伝達関数（l < k < mのモードが相互作用して，kのモードが得るエネルギー）：

三角相互作用の詳細と多数のモードの励起を表現

2次元乱流の古典論• 慣性領域• 強制も散逸も効かない波数領域では，統計的定常状態でエネルギー/エンストロフィーフラックスは波数に依存しない• エネルギーフラックスから• エンストロフィーフラックから・・・エンストロフィーフラックスはゼロ・・・エネルギーフラックスはゼロ• エネルギーフラックスの向きとエンストロフィーフラックスの向きは逆向き• Fjortoftの定理で述べたようにの符号は決まらず• Spreading hypothesis : エネルギーは波数空間内で広がっていくであろう．
: 中間の波数からエネルギーは出ていくセンス・・・• Spreading hypothsisを考慮することによって，エネルギーフラックスは低波数，エンストロフィーフラックスは高波数へ向くことが導かれる．

Kraichnan(1967)の結論

エネルギースペクトル

強制散逸乱流2次元乱流のスペクトル• Spreading hypothesisを使用• 強制波数帯域よりも低波数側にエネルギーが輸送• 強制波数帯域よりも高波数側にエンストロフィーが輸送
強制波数
Vallis(2006)

Danilov不等式

Spreading hypothesisを使用しないで，支配方程式からフラックスの方向を決められないか？

• 2次元Navier-Stokes方程式系における波数空間内のフラックスに関する不等式 (Danilov,2004: Gkioulekas and Tung, 2005)• 定常状態，強制波数帯域を除く波数領域で以下の不等式が導ける：

・K67によると慣性領域（⇒だったので，不等式より（エネルギーは低波数に輸送）

・同様に，慣性領域では（⇒）では）では（エンストロフィーは高波数に輸送）• 慣性領域におけるエネルギーフラックスとエンストロフィーフラックスの向きが決まる• Danilovの不等式の証明は次ページ

Danilov不等式の証明• Danilov (2004), Gkioulekas & Tung (2005)• エネルギースペクトルの発展方程式を波数に関して0 ~ kまで積分• 統計的定常状態，強制は狭い波数帯域のみ，kは強制波数帯域よりも低波数• 同様にエンストロフィースペクトルの方程式から•を計算.に注意すると• 積分を逆にk ~ ∞にしたとき，kは強制波数帯域よりも高波数，に注意すると

Danilov不等式とは異なる議論の仕方• Arbic et al. (2007)• 統計的定常状態において，エネルギースペクトルの重心波数が，強制波数よりも低波数側に位置することを証明．
• エネルギースペクトルの発展方程式を波数に関して 0~∞で積分：エネルギー，：エンストロフィー• 同様にエンストロフィースペクトルの発展方程式も積分：パリンストロフィー：強制が近傍に限られるならからを引き算して以下を得る：

Schwartzの不等式よりなので，一方，エネルギースペクトルの重心波数または，を定義してまたは，以上より• 減衰性乱流で似た議論（Rhines, 1979）はあるがspreading hypothesisが必要だった

2層準地衡流系の場合
Iwayama, Okazaki, & Watanabe, FDR 51(2019)の紹介

はじめに：
Nastrom-Gage（NG）スペクトルとは• 地球大気のエネルギースペクトル（Nastrom & Gage, 1985）
2つのスケーリングレンジがある•（波長 300~1000 km）•（波長 2.6 ~ 300 km）

東西風南北風温度• 大気大循環モデルや客観解析データでも再現(例えば, Koshyk & Hamilton, 2001;
Burgess et al. 2013)• 地球大気の中・大規模運動の普遍的性質と考えられる

Nastrom & Gage (1985)

エネルギースペクトル

はじめにNGスペクトルを2次元乱流で説明する試み

強制波数

強制波数
Lilly（1989, JAS 46)

はじめに：
Tung & Orlando (2003)の研究• 準地衡2層モデルの数値実験によってNGスペクトルを再現• 系の強制は傾圧不安定に伴うもののみ．
• Lilly（1989）のような小スケールの外的強制はなくてもよい
Tung & Orlando (2003)

はじめに：
Tung & Orlando (2003)の研究• 準地衡2層系におけるNGスペクトルの形成メカニズムを提唱

傾圧不安定によるエネル
ギー注入• 傾圧不安定によるエネルギー注入• 高波数側へのエネルギーカスケードが存在（隠れたカスケード）

エネルギーフラックス

エネルギーフラックス• エネルギーフラックスがエンストロ
フィーフラックスより卓越する波数領域で、エネルギー慣性領域スペクトルの形成
注意：現実のNGスペクトルの形成メカニズムではない
あくまでQG系のNGスペクトルの形成メカニズム

エンストロフィーフラックス

Tung & Orlando (2003)

本研究の目的• TO03によるNGスペクトルの検証する

スペクトルの形成メカニズムを• TO03を除いて準地衡2層モデルでNGスペクトルは再現されていない• 形成メカニズムの検証も行われていない

•
1.
2.
3.

スペクトルの形成メカニズム

隠れたカスケードは存在するか？
エネルギーフラックスがエンストロフィーフラックスより卓越する() 波数領域は存在するか？
上記の波数領域は慣性領域か？

• 2次元Navier-Stokes乱流ではエネルギー慣性領域でもエンストロフィー慣性領域でも・・・Danilovの不等式が証明されているので上記のメカニズムは働かない.
• 地衡流乱流特有の性質？

問題設定• ベータ平面• 等しい厚さの準地衡2層系• 一様なシアー流• 上下非対称な粘性係数• 下層に働くEkman摩擦• 擾乱について2重周期境界条件• 擾乱の支配方程式系（準地衡流渦位方程式）：

移流

ベータ効果

シアー（強制）

固体壁

固体壁

変形半径：

上下非対称な粘性 Ekman摩擦を破る可能性のある項(Gkioulekas 2012, 2014)

問題設定• ベータ平面• 等しい厚さの準地衡2層系• 一様なシアー流• 上下非対称な粘性係数• 下層に働くEkman摩擦• 擾乱について2重周期境界条件• 擾乱の支配方程式系（準地衡流渦位方程式）：

移流

ベータ効果

シアー（強制）固体壁

固体壁

上下非対称な粘性 Ekman摩擦を破る可能性のある項(Gkioulekas 2012, 2014)

2層準地衡流系のDanilov不等式：順圧モード：傾圧モード・Danilov不等式は符合不確定なので，数値実験的に調べる必要がある数値実験の概要(1)• 領域： 2 π × 2 π の正方形領域• 境界条件：周期境界条件• 計算法：順圧成分（）
傾圧成分（）に分解して計算
スペクトル法＋Runge-Kutta-Gill法• 初期条件：微小で一様なエネルギースペクトルを持つ乱数

数値実験の概要(2)• スピンアップ：低解像度（2562, 切断波数テップ）まで計算）で t=1000 （800,000ス• スピンアップさせた場を初期値として高解像度（5122 ,t=1500（800,000ステップ）まで計算• 1300≤ t ≤ 1500の結果を解析・平均• 方程式に含まれるパラメター）で• Tung & Orlando (2003)では実験の詳細（超粘性の値）が書かれていない• Larichev & Held (1995) （のダイナミクスを詳細に研究）を参考

数値実験の概要（３）• 長さ，時間で物理量を再スケールする• 系を特徴づける無次元パラメター• 重要なパラメター,• 前者は`throughtput’ (Arbic and Flierl, 2003, JOP) と呼ばれている数値実験の概要(4)• ４種類の実験：
f-平面
上層と下層は同じ粘性係数
1. Ekman摩擦係数κ に対する依存性を調べる実験（TH）…解像度 5122
• κ の値をLH95の値の1/2倍から1000倍まで変化（9ケース）

2. 解像度依存性を調べる実験（TH-H） …解像度 10242• TH実験と同様 （5ケース）

3. 上下非対称な粘性に対する依存性を調べる実験（HV） …解像度 5122
• LH95と同様のκ
• 上層と下層の粘性係数の比を1/10倍から10倍まで変化（6ケース）• 傾圧不安定の必要条件を満たす（9ケース）

ベータ平面
4．βの値を変える実験…解像度 10242

f－平面実験
Iwayama et al.(2019)の結果

TH実験で使用したパラメター

TH-H実験で使用したパラメター

HV実験で使用したパラメター

TH実験

渦位場の順圧成分と傾圧成分
κ：弱いLH95と同様↓

κ：

LH95の10倍

TH実験

渦位場の順圧成分と傾圧成分
κ：

LH95の50倍↓

κ：強い

LH95の1000倍

平衡状態におけるエネルギーとthroughputの関係
LH95定常状態実現せず

TO03• E ：全エネルギー•：運動エネルギー•：順圧エネルギー

本研究の目的• TO03によるNGスペクトルの検証する

スペクトルの形成メカニズムを• TO03を除いて準地衡2層モデルでNGスペクトルは再現されていない• 形成メカニズムの検証も行われていない

•
1.
2.
3.

スペクトルの形成メカニズム

隠れたカスケードは存在するか？
エネルギーフラックスがエンストロフィーフラックスより卓越する() 波数領域は存在するか？
上記の波数領域は慣性領域か？

• 2次元Navier-Stokes乱流ではエネルギー慣性領域でもエンストロフィー慣性領域でも・・・Danilovの不等式が証明されているので上記のメカニズムは働かない.
(Gkioulekas & Tung, 2007)• 地衡流乱流特有の性質？

TO03メカニズムの検証（１）：隠れたエネルギーカスケードは存在するか？
• TH実験

• 超粘性に伴う散逸率と等しい高波数向きのフラックスが存在

エネルギーフラックス•エネルギー散逸率• 隠れたカスケードは存在する
エンストロフィーフラックス

しかし、…
• 定常性が満たされるならば、散逸率に等しい高波数向きのエネルギーフラックスは存在するので当たり前の結果.

本研究の目的• TO03によるNGスペクトルの検証する

スペクトルの形成メカニズムを• TO03を除いて準地衡2層モデルでNGスペクトルは再現されていない• 形成メカニズムの検証も行われていない

•
1.
2.
3.

スペクトルの形成メカニズム

隠れたカスケードは存在するか？
エネルギーフラックスがエンストロフィーフラックスより卓越する() 波数領域は存在するか？
上記の波数領域は慣性領域か？

• 2次元Navier-Stokes乱流ではエネルギー慣性領域でもエンストロフィー慣性領域でも・・・Danilovの不等式が証明されているので上記のメカニズムは働かない.
(Gkioulekas & Tung, 2007)• 地衡流乱流特有の性質？

TO03メカニズムの検証（２）Danilov不等式は破れるか？

• TH実験

• TH-H実験

Danilov不等式は破れない！

TO03メカニズムの検証（２）Danilov不等式は破れるか？

• TH実験

• HV実験

Danilov不等式は破れない！

本研究の目的• TO03によるNGスペクトルの検証する

スペクトルの形成メカニズムを• TO03を除いて準地衡2層モデルでNGスペクトルは再現されていない• 形成メカニズムの検証も行われていない

•
1.
2.
3.

スペクトルの形成メカニズム

隠れたカスケードは存在するか？
エネルギーフラックスがエンストロフィーフラックスより卓越する() 波数領域は存在するか？
上記の波数領域は慣性領域か？

• 2次元Navier-Stokes乱流ではエネルギー慣性領域でもエンストロフィー慣性領域でも・・・Danilovの不等式が証明されているので上記のメカニズムは働かない.
(Gkioulekas & Tung, 2007)• 地衡流乱流特有の性質？

計算結果：全エネルギースペクトル• TH実験

• TH-H実験

を0.5倍から1000倍まで変化より大きい波数領域のみ表示

計算結果：全エネルギースペクトル• TH実験

• HV実験

を0.5倍から1000倍まで変化

を0.1倍から10倍まで変化より大きい波数領域のみ表示

Iwayama et al. (2019)のまとめ• 準地衡流2層モデルにおけるNastrom-Gageスペクトルのスペクトル形成メカニズ
ム（Tung & Orlando (2003)メカニズム）を数値実験的に検証した。
• f平面・2重周期境界ではスペクトルもTO03メカニズムも再現されなかった．
• 隠れたカスケードは存在する• フラックス差の符号の転移は起こらない（）

Danilov不等式は破れない！

• 高波数側にエネルギー慣性領域は形成されない• TO03のメカニズムは普遍的に働くものではない．

• 準地衡2層モデルにおける高波数領域（）の普遍的スペクトル• 古典論を支持する結果（throughputが大きい場合）• Saffmanスペクトルを支持する結果（throughputが小さい場合）

β-平面実験流体力学会年会2019年で発表

数値実験の概要• 方程式に含まれるパラメター :• Iwayama et al. (2019)のTH-H実験（解像度10242）と基本的に同様．
• 無次元パラメター：0.25, 2.5, 12.5 の 3 ケース（Iwayama et al. (2019)のTH2, TH4, TH7実験）：2.5, 5, 10, ∞の 4 ケース：傾圧不安定の必要条件：散逸波数が切断波数以上になるように•，

平衡状態におけるエネルギーとthroughputの関係＝0 の場合TH7

大←定常状態実現せず

TH2TH4エクマン摩擦• ：全エネルギー• ：運動エネルギー• ：順圧エネルギー→小Iwayama, et al. (2019)渦位場
エクマン摩擦：小渦位場
エクマン摩擦：大結果: エネルギーの分配のβ依存性• 順圧エネルギーと全エネルギーの比

結果:Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：小↑↑フラックスの差

エネルギースペクトル

結果:

Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：小↑エンストロフィーフラックス↑

エネルギースペクトル

結果:

Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：中↑↑フラックスの差エネルギースペクトル

結果:

Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：中↑

エンストロフィーフラックス↑

エネルギースペクトル

結果:

Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：大↑↑フラックスの差

エネルギースペクトル

結果:

Danilovの不等式は破れるか？
スペクトルの傾きの転移はあるか？

• エクマン摩擦：大↑エンストロフィーフラックス↑

エネルギースペクトル結果のまとめ• NGスペクトルもTO03メカニズムも再現されなかった．
• 準地衡2層モデルにおける高波数領域（）のスペクトル• Danilov不等式が破れる（• TH2:なし• TH4:• TH7:）波数領域

考察：Rhines波数(Rhines, 1975)

Danilov不等式が破れる
波数領域• TH2:なし• TH4:• TH7:

Rhines波数以下で不等式が破れる．

線形領域と非線形領域の境界• より精密な議論
乱流のタイムスケール＝Rossby波の周期(Vallis, 2006)

2次元エネルギースペクトル• エクマン摩擦：大TH7, β=2の結果について•に有意なスペクトル• 線形論的な傾圧不安定により生じた波動？
• t=5500を初期場として線形化方程式を数値計算• κ=0.5 (減衰の時定数=20)t＝5500における2次元スペクトル線形計算の結果

t=5500• エクマン摩擦の時定数よりも長い時間にわたりのモードが存在

t=5750全体のまとめ• 2次元乱流のエネルギー・エンストロフィーのフラックスの方向を決める
不等式，Danilov不等式，を紹介．
• β-平面上準地衡2層モデルにおけるNastrom-Gageスペクトルの形成メカニズム（Tung & Orlando (2003)メカニズム）を数値実験的に検証• NGスペクトルもTO03メカニズムも再現されなかった．
• TO03のメカニズムは普遍的に働くものではない．
• 準地衡2層モデルにおける高波数領域（）のスペクトル• Rhines波数よりも小さな波数領域（線形波動領域）ではDanilov不等式は成立しない．
• 乱流領域ではDanilov不等式は成立している