WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --So misst PI - Teil II
Positioniergenauigkeit, Wiederholgenauigkeit und verwandte Messungen: Messprozedur und Datenaufbereitung bei PI

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 1 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --1 Qualifizieren von Positionierachsen
Zur Qualifizierung der von Physik Instrumente (PI) hergestellten Positionierachsen werden Messungen an Prototypen, Einzelprodukten und Serienprodukten durchgeführt. Für Serienprodukte werden basierend auf den Messwerten gültige Spezifikationen abgeleitet und in den Datenblättern veröffentlicht.
Diese Spezifikationen beschreiben die grundlegenden Eigenschaften der Positionierung eines Produkttyps, wie z.B. Positioniergenauigkeit, Winkelfehler in mehreren Achsen, sowie die
uni- und bidirektionale Wiederholgenauigkeit.
Insbesondere bei der Konzeption von kundenspezifischen Lösungen ist es wichtig ein gemeinsames Verständnis für Spezifikationen zu haben, da nur so die Auslegung klar definiert werden kann.
Das hier vorliegende Dokument beschreibtwelche Messungen durchgeführt und welche Messverfahren angewendet werden,
welche Normen dabei Berücksichtigung finden,
wie die aus in den Messungen gewonnen Daten aufbereitet werden,
wie aus den Daten die Messergebnisse abgeleitet werden und welche Terminologie bei der Beschreibung verwendet wird.

Weiterhin wird ein kurzer Überblick über das Aussehen und
den Aufbau der Messprotokolle und der auf den Messprotokollen angegebenen Messergebnisse gegeben.

Ein großer Nachteil der genannten Normen für die Qualifikation in der Mikro- und Nanopositionierung besteht in der Tatsache, dass sie eigentlich für größere Drehmaschinen, Fräsen
und ähnliche Produkte konzipiert wurden. Die darin beschriebenen Methoden passen daher nicht in allen Ausführungenund Einzelheiten zur Qualifikation von Produkten, die für die
hochpräzise Mikro- und Nanopositionierung hergestellt werden. Wenn die Übertragung der Ideen aus diesen Normen auf
die Qualifizierung von PI Produkten nicht unmittelbar möglichwar, wurden daher Modifikationen an den in den Normen beschriebenen Messvorschriften vorgenommen.
Die bei PI geltenden Messvorschriften sind also keine direkte
Kopie der genannten Normen, sondern beinhalten auch spezifische Anpassung und insbesondere Erweiterungen, mit dem
Ziel die Vermessung von Mikro- und Nanopositionierachsen
bestmöglich durchzuführen.
PI beteiligt sich aktiv an der aktuellen ASME B5.64 Normungsgruppe, die die Entwicklung eines Messstandards speziell für
Mikro- und Nanopositioniersysteme zum Ziel hat.

3 Grundlegende Durchführung
der Messungen und verwendete Messmittel
3.1

Allgemeine Messprozedur

Die von PI hergestellten Positionierachsen werden mit einem
definierten Stellweg konzipiert und spezifiziert.

2 Geltende Normen und Besonderheiten in der Präzisionspositionierung
Die hier beschriebenen Messvorschriften basieren maßgeblich
auf der Serie der internationalen ISO 230 Normen, wobei primär die ISO 230-1 (2012-03) und ISO 230-2 (2014-05) Normen
relevant sind, sowie auf der amerikanischen ASME B5.54(2005) Norm. Diese ist in Bezug auf die hier beschrieben Messungen in großen Teilen identisch zu der ISO 230 Serie.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Definitionen: Der Stellweg ist derjenige Weg innerhalb
dessen Positionen über den Controller gesteuert angefahren werden können. Der Messweg liegt innerhalb
dieses Stellwegs, oder entspricht maximal dem Stellweg. Die jeweiligen Endpunkte des Messwegs werden
immer unidirektional angefahren. Alle anderen Messpunkte werden bidirektional angefahren. Dabei bezeichnet „unidirektional“ jeweils eine Messreihe, bei
der das Anfahren der Zielposition immer in der gleichen Richtung ausgeführt wurde, „bidirektional“ bezeichnet das Anfahren der Zielposition aus beiden
Richtungen (Hin- und Rückrichtung).

Seite 2 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --Für die Bestimmung einer Messgröße müssen Positionen innerhalb des Stellweges meist bidirektional angefahren unddort Messwerte erfasst werden. Dies ist an den Endpunkten
des Stellwegs nicht möglich, da diese das Ende des numerischsteuerbaren Bereiches darstellen und dort die Positionierung
nur aus einer Richtung kommend möglich ist. Der sogenanntebidirektionale Messweg schließt die Endpunkte aus und ist somit immer etwas kürzer als der gesamte Messweg.
Die Daten, die an den Endpunkten des Messwegs unidirektional gemessen werden, werden nur für Bestimmung ausgewählter Messgrößen verwendet. Beispielsweise wird daraus der
Hub bestimmt, der sicherstellt, dass die Positionierachse auchüber den spezifizierten Weg verfahren werden kann.
Die Positionen, an denen innerhalb des Messwegs Messdaten
aufgenommen werden, werden Zielposition Pi genannt. Standardmäßig werden immer die Zielpositionen an den Messpunkten an den Enden des Messwegs vermessen (zwei Punkte)und zusätzlich 18 äquidistant verteilte Punkte innerhalb des
Messwegs, was zu insgesamt 20 Zielpositionen führt.
Diese Zielpositionen werden für die Aufnahme der Messdaten
mäanderförmig abgefahren (siehe Abbildung 1) und die Positionsdaten mit einem geeigneten Messmittel erfasst. Der gesamte bidirektionale Zyklus wird standardmäßig fünfmal abgefahren, so dass entsprechend fünf Sätze von unidirektionalen
Messpunkten in beiden Richtungen aufgenommen werden.
Die gesamte Messung wird dabei als statische Messung ausgeführt. Das bedeutet, dass eine Zielposition angefahren wird,
die bewegte Plattform dort zum Stillstand kommt und erst
dann die Messdaten mit dem entsprechenden Messmittel aufgenommen werden.

Abb. 1

Aus diesen Messungen wird für jede einzelne angefahrene Zielposition die Positionsabweichung berechnet. Diese Positionsabweichungen xij↑ oder xij↓ entsprechen dann der Differenz
der aktuellen, erreichten Istposition Pij und der kommandierten Zielposition Pi. Die entsprechende Positionsabweichungwird für jeden Zyklus j an der Zielposition i berechnet:𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑃𝑃𝑖𝑖Die Symbole ↑ und ↓ kennzeichnen dabei die Richtung, ausder die Zielposition angefahren wurde.

3.2

Messmittel

Die Erfassung der Messdaten erfolgt zumeist mit Interferometern zur Bestimmung der linearen Auslenkungen und Autokollimatoren zur Bestimmung der Winkelabweichung.

Abb. 2

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Exemplarische Darstellung des Zyklus innerhalb dessen die Messdaten erfasst werden.

Typischer Messaufbau, von links: Autokollimator zur Messung vonWinkelabweichungen, Positionierachse mit Aufnahme zweier Reflektorspiegel, Interferometeraufbau zur Messung der Auslenkung.

Seite 3 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --In Abbildung 2 ist ein solcher Messaufbau gezeigt. Aus einer
Richtung wird mit einem Interferometer gegen die zu untersuchende Achse gemessen, um die lineare Auslenkung zu bestimmen, aus der gegenüberliegenden Richtung gleichzeitig mit einem Autokollimator, um zeitgleich die Winkelabweichungenzu bestimmen. Die Positionierachse ist entsprechend mit zwei
Reflektorspiegeln ausgestattet, gegen die mit dem Interferometer, bzw. Autokollimator gemessen wird. Die bei PI verwendeten Messmittel werden im Whitepaper PI-WP4011D-Messtechnik-Messumgebung.pdf (So misst PI - Teil I) genauer beschrieben.

3.3

Korrektur der Rohdaten

Abb. 33.3.1 Korrektur des Abbefehlers
Ein Abbefehler bedeutet, dass sich aus einem Winkelfehler ein
Fehler in der Linearmessung (z.B. der Positioniergenauigkeit)
ergibt.
Dies ist in Abbildung 3 bildlich dargestellt: Durch eine Verkippung der bewegten Plattform ergibt sich ein Winkelfehler desMessspiegels bezüglich des Interferometerstrahls. Die Auswirkung auf den linearen Messwert ist abhängig vom Abstand desSpiegels zur Plattform. Es resultiert also ein Fehler im Messwert, der durch eine entsprechende Korrektur berücksichtigt
und in den Daten bereinigt werden kann.

Abbefehler für die beiden Winkel α, β: rot = Messstrahl, lα und lβbeschreiben die Abstände zu den Achsen bzgl. des Messpunkts
des Interferometers. Der Punkt, auf den korrigiert wird, liegt auf
der Oberfläche der Bewegungsplattform.

Je nach Aufbau des Messmittels relativ zur bewegten Plattformkann ein Abbefehler in einer oder in zwei Richtungen existieren.
Für eine Korrektur werden die Messwerte der Linearmessung
mithilfe der mittels des Autokollimators gemessenen Winkeldaten verrechnet. Der Abstand des bewegten Spiegels wird in
Relation zur Oberfläche der Bewegungsplattform bestimmt
und für die Berechnung verwendet. Dieser Abstand wird auch
im Messprotokoll angegeben. Aus dem Messprotokoll geht
auch hervor, ob eine Abbekorrektur der Messdaten durchgeführt wurde oder nicht.
Bei PI werden Winkel und Linearmessung getrennt voneinander gemessen. Dadurch können die Fehler voneinander separiert und lineare und Winkelfehler getrennt voneinander angegeben werden.
Wenn bei der Vermessung die Abbefehlerkorrektur durchgeführt wurde, wird jeweils die Oberfläche der bewegten Plattform als Referenzfläche herangezogen, bzw. auf diese Oberfläche zurückgerechnet. Mit Hilfe dieser Information kann auchfür Punkte in beliebigen Abständen in Bezug auf die Plattform
ein resultierender Positionierungsfehler berechnet werden.

3.3.2

Korrektur thermischer Drift

Der Einfluss thermischer Schwankungen kann nicht immer vollständig durch eine Kontrolle der Umgebungsbedingungenkompensiert werden. Das ist insbesondere bei Positionierachsen mit Auflösungen und Genauigkeiten bis in den Sub-

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 4 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --Nanometerbereich der Fall. Schon kleinste Temperaturänderungen während der Messung können hier durch thermische
Ausdehnungen des Messaufbaus oder des Messmittels zu Positionsänderungen führen. Auch Verspannungen im Messaufbau und damit einhergehende Relaxationsprozesse führen zu
solchen Positionsänderungen. Wenn höchste Genauigkeiten
gefordert sind können solche Effekte die Messergebnisse massiv beeinflussen. Daher kann es notwendig sein, diese thermischen Effekte zu korrigieren.
Die Korrektur der Messdaten erfolgt unter Voraussetzung derfolgenden Annahmen:Die zu untersuchende Positionierachse selbst ändert sichim Verlaufe der Zeit nicht, abgesehen von den mechanischen Veränderungen die durch die Temperaturänderungen hervorgerufen werden.
Bei stabiler Temperatur würde der erste angefahrene
Messpunkt immer an der identischen Position gemessen.
Die Temperaturdrift ist nicht positions-, sondern zeitabhängig.

Zur Korrektur werden die jeweils ersten Messpunkte von aufeinander folgenden Wiederholungen durch eine Gerade (zeitlich) verbunden und diese Gerade von den Messdaten einer
Wiederholung abgezogen. Damit kann eine thermische Driftkompensiert werden.
Aus dem Messprotokoll geht jeweils hervor, ob eine Korrektur
der thermischen Drift durchgeführt wurde.

3.3.3 Lineare Korrektur der Rohdaten
Wenn für eine Auswertung nur die Abweichungen von einem
idealen linearen Verlauf von Interesse sind, so werden die Rohdaten zunächst linear korrigiert. Das bedeutet es wird von den
gemessenen Positionsabweichungen xij in Relation zu den
kommandierten Zielpositionen Pi eine Regressionsgerade abgezogen. Diese wird nach der Methode der kleinsten Quadrate
berechnet.
Aus dem Messprotokoll geht jeweils hervor, ob eine lineare
Korrektur durchgeführt wurde.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

4 Datenanalyse
Hier werden die Berechnungsvorschriften mit den entsprechenden Berechnungsformeln zur Auswertung der gewonnenen Messdaten vorgestellt.

4.1

Basisdaten für die PositionsabweichungZunächst werden die unidirektionalen Positionsabweichungenan jeder gemessenen Zielposition für beide Richtungen 𝑥𝑥𝑖𝑖 ↑und 𝑥𝑥𝑖𝑖 ↓ bestimmt. Daraus berechnet sich jeweils der Mittelwert der Positionsabweichungen 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ und 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓ für beide Richtungen an jeder Einzelposition:𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑=𝑛𝑛1
� 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↑
𝑛𝑛
𝑗𝑗=1

und
𝑛𝑛

1
𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓= � 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↓𝑛𝑛
𝑗𝑗=1

Aus diesen mittleren Positionsabweichungen an den Punkten𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ und 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓, die nur die beiden Einzelrichtungen (Hin- undRückrichtung) bewerten, wird dann der Mittelwert bestimmt.
Das ist die gemittelte bidirektionale Positionsabweichung anjeder Einzelposition 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 :𝑥𝑥̅𝑖𝑖 =

𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ +𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓2

Mit diesen berechneten Werten kann man eine Mittelwertkurve zeichnen, die die mittlere Abweichung der Achse überden gesamten Stellweg zeigt (siehe Abbildung 4).
Die Mittelwerte zeigen die systematische Abweichung. Weitere Kenngrößen einer Positionierachse sind auf statistische
Abweichungen zurückzuführen. Dazu wird die Standardabweichung an den entsprechenden Zielpositionen Pi jeweils getrennt für Hin- und Rückweg ermittelt. Dies erfolgt gemäß den
Formeln

Seite 5 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --𝑛𝑛

12
𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑= ���𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↑ −𝑥𝑥̅ 𝑖𝑖 ↑�𝑛𝑛 − 1

Diese ist in Abbildung 5 in Rot veranschaulicht.

𝑗𝑗=1

und
𝑛𝑛

1
2
𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓= ���𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↓ −𝑥𝑥̅ 𝑖𝑖 ↓�𝑛𝑛 − 1𝑗𝑗=1

Diese fünf Datensätze zusammen geben einen guten Überblick, wie sich die Positionierachse über den Messweg verhält
und wie die statistischen Abweichungen aussehen. Abbildung
4 zeigt exemplarisch alle Daten im Überblick. Auf dieser Basiskönnen weitere Größen berechnet werden.

Abb. 5

Veranschaulichung der gemittelten bidirektionalen Positionsabweichung M

Wird bei der Berechnung vom M von den Rohdaten noch eine
Korrekturgerade (siehe 3.3.3) abgezogen, so bezeichnet man
diesen Wert als ML.

4.3

Abb. 4

Veranschaulichung der Positionsabweichungen einer Achse inHin- und Rückrichtung

Das Umkehrspiel B

Um ein Maß dafür zu bekommen wie groß der Fehler zwischen
der Positionierung in Hin- und Rückrichtung ist, wird das maximale Umkehrspiel der Positionierung B berechnet. Es ist betragsmäßig die maximale Abweichung zwischen Hin- und Rückweg
𝐵𝐵 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 [|𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ −𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓|]Dies ist in Abbildung 6 in Rot veranschaulicht.

4.2

Die gemittelte bidirektionale Positionsabweichung M

Die gemittelte bidirektionale Positionsabweichung M ist die
Differenz zwischen dem Maximal- und dem Minimalwert dergemittelten bidirektionalen Positionsabweichungen an den
Punkten 𝑥𝑥̅ 𝑖𝑖
𝑀𝑀 = max( 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ) − min ( 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 )Die gemittelte bidirektionale PositionsabweichungM ist die maximale Abweichung (Spitze-Spitze) der
Mittelwertkurve wie sie oben beschrieben wurde,also die mittlere Positionsabweichung der Achse.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Abb. 6

Veranschaulichung des maximalen Umkehrspiels der Positionierung B

Seite 6 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --Daraus kann auch ein mittleres Umkehrspiel bestimmt werden. Es macht eine Aussage darüber wie groß die mittlere Abweichung zwischen Hin- und Rückweg ist. Zur Bestimmung desmittleren Umkehrspiels der Positionierung 𝐵𝐵� wird der Betragdes Mittelwerts des Umkehrspiels an allen Einzelpositionen
bestimmt:𝐵𝐵� = �𝑚𝑚

1
�(𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ −𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓)�
𝑚𝑚
𝑗𝑗=1

Das Umkehrspiel B sagt aus, wie sich die Positionierachse bei Richtungsumkehr verhält.

4.4

Unidirektionale und bidirektionale Wiederholgenauigkeit R

Ein weiteres wichtiges Merkmal einer Positioniereinrichtung
ist die Wiederholgenauigkeit.
Zur Berechnung der Wiederholgenauigkeiten wird zuerst diebidirektionale Wiederholgenauigkeit 𝑅𝑅𝑖𝑖 der Positionierung aneiner Position berechnet. Diese wird berechnet gemäß
𝑅𝑅𝑖𝑖 = max[𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑ +𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓ +|𝐵𝐵𝑖𝑖 |; 2𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑; 2𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓]mit

𝐵𝐵𝑖𝑖 = 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ −𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓Die bidirektionale Wiederholgenauigkeit sagt aus,wie „gut“ jede einzelne Zielposition beim Anfahren
aus unterschiedlichen Richtungen immer wieder„getroffen“ wird.

Abb. 7

Veranschaulichung der maximalen bidirektionalen Wiederholgenauigkeit R, sowie beispielhaft R1 an der ersten Zielposition

Die maximale unidirektionale Wiederholgenauigkeit der Positionierung 𝑅𝑅 ↓↑ , ist der Maximalwert der Standardabweichungen der unidirektionalen Wiederholgenauigkeit einer Positionierachse:
𝑅𝑅 ↓↑= ± 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑; 𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓ ]Die maximale unidirektionale Wiederholgenauigkeit
sagt aus, wie groß die maximale Abweichung an einer beliebigen Zielposition sein kann, beim Anfahren
aus der jeweils gleichen Richtung.
Der Wert der unidirektionalen Wiederholgenauigkeit der Positionierung wird als ± Wert angegeben.
Die gemittelte unidirektionale Wiederholgenauigkeit der Positionierung 𝑅𝑅� ↓↑ , wird berechnet gemäß
1 𝑚𝑚
1∑𝑖𝑖=1 𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑ + ∑𝑚𝑚
𝑠𝑠 ↓𝑚𝑚 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖
𝑅𝑅� ↓↑= ± 𝑚𝑚2

Sie entspricht dem Mittelwert der unidirektionalen Wiederholgenauigkeiten in beiden Richtungen.

Die maximale bidirektionale Wiederholgenauigkeit ergibt sichentsprechend als der Maximalwert der Wiederholgenauigkeiten an den Zielpositionen:
𝑅𝑅 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑅𝑅𝑖𝑖 ]Dies ist in Abbildung 7 in Rot veranschaulicht.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 7 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --4.5

Die bidirektionale Positioniergenauigkeit
A
Die bidirektionale Positioniergenauigkeit A ist die
Messgröße, die alle auftretenden Fehler vereint unddamit den maximalen Fehler beinhaltet, der bei der
Positionierung entstehen kann.

Die bidirektionale Positioniergenauigkeit ist die Spanne, dieaus der Kombination der bidirektionalen systematischen Abweichungen zusammen mit den statistischen Abweichungenberechnet werden:
𝐴𝐴 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 [𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ +𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑; 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓ + 𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓] − 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛 [𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↑ − 𝑠𝑠𝑖𝑖 ↑; 𝑥𝑥̅𝑖𝑖 ↓ − 𝑠𝑠𝑖𝑖 ↓]Dies ist in Abbildung 8 in Rot veranschaulicht.
Abb. 8

Veranschaulichung der bidirektionalen Positioniergenauigkeit A

Um die Konsistenz zur bidirektionalen Wiederholgenauigkeit
zu wahren, wird die Berechnung der bidirektionalen Positioniergenauigkeit nur mit der einfachen und nicht mit der doppelten Standardabweichung durchgeführt.

4.6

Der Hub S

Die Vermessung einer Positionierachse soll nachweisen, dass
der gesamte Stellweg abgefahren werden kann, das heißt, dassdie zu vermessende Achse jede numerisch gesteuerte Zielposition erreichen kann, wenn der Messweg gleich dem Stellweg
gewählt wurde. Dazu werden die Mittelwerte der Positionen
an den Endpunkten des Messweges ermittelt. Die Differenz
dieser Mittelwerte ist der Hub S der Positionierachse.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

4.7

Die Linearität L
Die Linearität beschreibt die maximale Abweichungder Messwerte von einer idealen Gerade.

Zur Berechnung der Linearität werden die gemessenen Werte
an den Zielpositionen P0 bis Pm+1 verwendet. Von den berechneten Abweichungen wird eine Gerade, die durch die Endpunkte des Messweges geht, abgezogen. Diese berechneten
Fehler werden dann mit xlij bezeichnet.
Die Linearität der Positionierung L ist dann entsprechend𝑛𝑛

1
𝐿𝐿 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �� � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↑��𝑛𝑛
𝑗𝑗=1

Dies ist in Abbildung 9 in Rot veranschaulicht.

Abb. 9

Veranschaulichung der Bestimmung der Linearität der Positionierung L

Abgeleitet davon kann die prozentuale Linearität Lp (in Prozent)
berechnet werden, wobei Lm den Messweg bezeichnet.

𝐿𝐿𝑝𝑝 = 100 ∙

𝐿𝐿
𝐿𝐿𝑚𝑚

Seite 8 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --4.8

Die Hysterese H

Die Hysterese H einer Achse ist die maximale Differenz zwischen Hin- und Rückrichtung an allen Zielpositionen:
𝑛𝑛

𝑛𝑛

𝑗𝑗=1

𝑗𝑗=1

1
1
𝐻𝐻 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 �� � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↑ − � 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 ↓��𝑛𝑛𝑛𝑛
Die Berechnung von H erfolgt analog zur Berechnung des Umkehrspiels B.
Die prozentuale Hysterese Hp (in Prozent) kann entsprechend
berechnet werden
𝐻𝐻𝑝𝑝 = 100 ∙

𝐻𝐻
𝐿𝐿𝑚𝑚

5 Anhang 1: Verwendete Koordinatensysteme und Bezeichnung der Bewegungsachsen
PI verwendet zur Bezeichnung der Bewegungsachsen standardmäßig ein rechtshändiges Koordinatensystem. Die linearen Achsen sind dabei mit X, Y, Z und die Rotationsachsen mit
A, B, C gekennzeichnet. Die Rotationsachsen sind entsprechend den linearen Achsen zugeordnet, beispielsweise ist A ist
die Rotationsachse um die lineare Achse X.
Dort wo es zur Verdeutlichung nötig ist, sind die Rotationsachsen zusätzlich noch mit einem expliziten Verweis auf die Linearachsen gekennzeichnet, zum Beispiel A (rot X). Das Koordinatensystem ist in Abbildung 10 zur Veranschaulichung nocheinmal gezeichnet.

Abb. 10 Rechtshändiges Koordinatensystem

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 9 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --6 Anhang 2: Mechanisches Übersprechen („Crosstalk“) einer
Bewegung und Bezeichnung
der Fehler
Bei mechanischen Positionierachsen ist zumeist nicht nur der
Positionsfehler in der Bewegungsrichtung relevant, sondern
auch ein mechanisches Übersprechen einer linearen Bewegung in die weiteren linearen und rotatorischen Richtungen.
Um dieses mechanische Übersprechen zu ermitteln, werden lineare Messungen orthogonal zur Bewegungsrichtung und entsprechende Winkelmessungen ausgeführt. Hierbei wird eine
Messung gemäß dem Bewegungsprofil der in Kapitel 3.1 beschriebenen Messprozedur durchgeführt. Zur Analyse der Daten werden dieselben Methoden wie für die Positionsdaten
herangezogen, es wird jedoch kein Abzug der Istposition vonder Zielposition ausgeführt, sondern es werden die Rohdaten
verwendet.
Die Geradheit („Straightness“) und die Ebenheit („Flatness“)
werden berechnet aus der gemittelten bidirektionalen Positionsabweichung mit einer zuvor ausgeführten linearen Korrektur ML.
Hierbei muss noch beachtet werden, dass sich am funktionalen
Punkt unter Umständen die rotatorischen Fehler in translatorische Fehler übersetzen, abhängig davon wo der Nullpunkt
der parasitären Verkippung liegt.
Die Fehler selbst folgen einer eindeutigen Nomenklatur. Die
verschiedenen messbaren Fehler für lineare Bewegungen werden in Abbildung 11 veranschaulicht.

Abb. 11 Nomenklatur der Fehler in den verschiedenen Achsen bei einer linearen Bewegung. (Abbildung angelehnt an ISO 230-1:2012)

Die Nomenklatur dieser unterschiedlichen Fehler folgt bei PI
damit dem folgenden Muster:
E <Bezeichnung der Achse, in der der Fehler gemessen wird><kommandierte Achse>X

Achse der kommandierten linearen Bewegung

EAX
EBX
ECX

Winkelabweichung um die X-Achse (Rollen, „Roll“)
Winkelabweichung um die Y-Achse (Nicken, „Pitch“)
Winkelabweichung um die Z-Achse (Gieren, „Yaw“)

EXX Positionsabweichung der X-Achse
EXXL Positionsabweichung der X-Achse, minus Regressionsgerade
EYX Geradheitsabweichung in Richtung der Y-Achse (Geradheit)
EZX Geradheitsabweichung in Richtung der Z-Achse (Ebenheit)
Werden zwei Achsen bewegt (z.B. X und Y), kann es weiterhineine kombinierte parasitäre lineare Bewegung in der Z-Achse
geben. Dieser Fehler wird als Ebenenfehler („out-of-plane error“) bezeichnet.

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 10 von 13

WHITEPAPER – So misst PI – Teil II-- Dr. Axel Grabowski, Peter Diez, Birgit Schulze --Analoge Fehler sind auch bei rotarischen Positionierachsen zu
finden. Entsprechend zeigt Abbildung 12 die verschiedenen
messbaren Fehler für rotatorische Bewegungen.

EABC Neigungsabweichung von C

7 Anhang 3: Beispiel eines Messprotokolls
Die aus den Messungen und Berechnungen gewonnen Daten
können auf einem Messprotokoll ausgegeben und zur Verfügung gestellt werden. Ein solches Protokoll ist beispielhaft in
Abbildung 13 gezeigt. Das Protokoll unterteilt sich dabei in verschiedene Bereiche:
1.

Allgemeine Beschreibung, z.B. der Systemkomponenten
und Parameter

2.

Beschreibung zur Messung, z.B. Achsen, Messweg,
Messparameter, Korrekturen

3.

Messergebnisse z.B. der linearen Abweichungen4.

Messergebnisse z.B. der Winkelabweichungen

5.

Grafische Darstellung der Messergebnisse

Die Berechnungsvorschriften zu den in 3. und 4. angegeben
Messwerten sind in Abschnitt 4 beschrieben und können entsprechend aus den gegebenen Formeln abgeleitet werden.
Dies gilt sowohl für die linearen Abweichungen als auch für die
Winkelabweichungen.
Abb. 12 Nomenklatur der Fehler in den verschiedenen Achsen bei einer
rotatorischen Bewegung (Abbildung angelehnt an ISO 2301:2012)

EXC
EYC
EZC

Radiale Abweichung in Richtung der X-Achse
Radiale Abweichung in Richtung der Y-Achse
Axiale Abweichung von C

EAC
EBC
ECC

Neigungsabweichung um die X-Achse
Neigungsabweichung um die Y-Achse
Winkel Positionsabweichung von C

Ein kombinierter rotatorischer Fehler, also ein radiales Auswandern in der Bewegung wird folgendermaßen bezeichnet:
EXYC Radiale Abweichung von C
Entsprechend wird eine kombinierte Neigungsabweichung bezeichnet:

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 11 von 13

WHITEPAPER – So misst PI - Teil II-- Autor --

1.

2.

3.

4.

5.

Abb. 13 Beispiel eines Testprotokolls

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 12 von 13

WHITEPAPER – So misst PI - Teil II-- Autor --8 Weitere Dokumente und Links
Whitepaper So misst PI – Teil II
https://www.physikinstrumente.de/fileadmin/user_upload/physik_instrumente/files/WP/PI-WP4011D-Messtechnik-Messumgebung.pdf
Birgit Schulze, Produkt Marketing
Managerin für Parallelkinematiken

ISO 230-1
https://www.din.de/de/mitwirken/normenausschuesse/nwm/normen/wdc-beuth:din21:151552174

https://www.din.de/de/mitwirken/normenausschuesse/nwm/normen/wdc-beuth:din21:206720855
ASME B.5.54 – 2005
https://www.asme.org/codes-standards/find-codes-standards/b5-54-methods-performance-evaluation-computer-numerically-controlled-machining-centers

AutorenDr. Axel Grabowski, Leiter Entwicklung SensorikÜber PI
Physik Instrumente (PI), gegründet 1970, ist seit vielen Jahren
Markt- und Technologieführer für hochpräzise Positioniertechnik und Piezo-Anwendungen in den Marktsegmenten Halbleiterindustrie, Life Sciences, Photonik und Industrieautomatisierung. In enger Zusammenarbeit mit Kunden aus aller Welt verschieben die rund 1.300 Spezialisten von PI seit 50 Jahren immer wieder die Grenzen des technisch Möglichen und erarbeiten von Grund auf maßgeschneiderte Lösungen. PI Technologien erreichen reproduzierbare Genauigkeiten im MillionstelMillimeter-Bereich. Mehr als 350 erteilte und angemeldete Patente unterstreichen den Innovationsanspruch des Unternehmens.
PI entwickelt, fertigt und qualifiziert alle Kerntechnologien im
eigenen Haus und setzt damit immer neue Maßstäbe für präzises Positionieren: piezokeramische Flächenwandler und Aktoren, elektromagnetische Antriebe sowie Sensoren mit Nanometer Auflösung. Als Mehrheitseigentümer der ACS Motion
Control ist PI darüber hinaus ein weltweit führender Hersteller
modularer Motion-Control-Systeme für mehrachsige Antriebssysteme und entwickelt maßgeschneiderte Komplettsysteme
für höchste Präzision und Dynamik bei industriellen Anwendungen.
Mit sechs Fertigungsstandorten sowie 15 Vertriebs- und Serviceniederlassungen in Europa, Nordamerika und Asien ist PIüberall dort vertreten, wo High-Tech-Lösungen entwickelt undhergestellt werden.

Peter Diez, Senior Industrial Engineer in der Gruppe Mess- und Fertigungstechnologie

Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG, Auf der Römerstr. 1, 76228 Karlsruhe, Deutschland
Tel. +49 721 4846-0, Fax +49 721 4846-1019, E-Mail info@pi.de, www.pi.de

Seite 13 von 13

WP4032D Positioniergenauigkeit, Wiederholgenauigkeit und verwandte Messungen 12/2020 0 Subject to changes. © Physik Instrumente (PI) GmbH & Co. KG 2020

ISO 230-2