平成25年度
スーパーサイエンスハイスクール
サイエンス研究会

研究論文集

奈良女子大学附属中等教育学校
平成 26 年 3 月 1 日

平成 25 年度スーパーサイエンスハイスクール
サイエンス研究会生徒研究論文集
目次
1

刊行にあって2013 年度教育課程表奈良女子大学附属中等教育学校

SSH カリキュラム

2
3

研究論文
物理班
クアッドコプターの製作
放電の探究
Web カメラの映像からの目検出ソフトの作成
拡張型情報表示デバイスの開発
文字認識ソフトウェアの作成
高精度車両挙動モデル開発へ向けて
二輪車での姿勢制御の研究
マイクロ波実験装置の製作
物質中でのマイクロ波の波長測定実験
豆電球と LED の電力特性

5

9
13
17
21
33
39
43
47
51

数学班
完全数について正五角形と黄金比
カプレカー変換に関する考察
素数の並びに規則はあるかⅢ

55
59
65
73

生物班
猿沢池のアオコの発生を考える
植物の成長と音楽との関係
黄金比と植物
トカゲの生態
繊毛虫 ブレファリズマの細胞サイズの巨大化メカニズムを探る
カツオブシ菌の最適な培養条件について

81
89
93
97
99

103

地学班
マイクロ波の研究107平成 25 年度

スーパーサイエンスハイスクール サイエンス研究会研究論文集刊行にあたって

奈良女子大学附属中等教育学校は、平成 17 年度に SSH(スーパーサイエンスハイスクール)の第Ⅰ
期 5 年間の指定を受け、現在、第Ⅱ期の 4 年目を終了しようとしています。本校の SSH は、中高一貫の SSH の魁として研究を進め、深めてきました。理数教育のカリキュラム開発や、生徒全員の数
学的リテラシー・科学的リテラシーの育成と、リベラルアーツの涵養を目標として実践研究を行っています。これらの研究は高い評価を受けていますが、それとともにサイエンス研究会の生徒たちの研究内容とその活躍も、非常に高く評価されています。
本研究論文集は、サイエンス研究会に所属する生徒の日頃の研究成果をまとめあげたものです。全
校 6 学年で約 90 名が所属する、サイエンス研究会の生徒の研究テーマの選択と研究は、本校の校是の通り「自由に、自主的に、自立して」行っています。そして、中高一貫教育の 6 年間のゆったりとした時間の中で、「下級生は、上級生の姿を真似つつ育ち、上級生は、下級生を指導しながら育つ」のです。このような生徒たちを指導する教員は、生徒の自由な研究を尊重し、ときには「壁」となりな
がら、情熱を込めて指導しています。サイエンス研究会を指導する教員は、生徒の研究には 3 段階があると考えています。指導する教員は、各段階に応じた関わり方が求められますが、そのキーワード
とともに 3 段階を示すと、次のようになります。
1．研究課題を決定する段階
・徹底した話し合い・助言者としての指導

・引っ張り上げる支援

2．研究を軌道に乗せる段階
・細部にわたる問いかけ ・相談相手としての指導 ・背中を軽く支える支援
3．研究を自分で進める段階
・対等な立場での討論

・競争相手としての指導 ・後方から見守る支援

このような生徒の研究の状態と、教員の指導の様子をマラソンに例えると、右図のようになります。生徒と教員がともに学びつつ成長していくのが、サイエンス研究会の活動の大きな特徴の 1 つです。
さて、2013 年 11 月には、アメリカの 15 歳の高校生ジャック・アンドレイカ君が、すい臓がんの早期発見方法を開発し、国際科学技術フェア(ISEF)をはじめとして各種の賞を受賞するなど、大きな話題となりました。彼は、抗体とカーボンナノチューブの異分野の融合を思いつき、ICT を活用して論文を検索し、199 人の教授に断られても 200 人目で OK を勝ち取るなど、信念を持って成功するまで頑張った結果、格安(3 円)、高精度(400 倍)、短時間(5 分)でほぼ 100％完治の早期発見ができる検査方法の開発に成功したのです。また、2014 年 1 月には、小保方晴子さんが画期的な方法で「STAP 細胞」を作製しました。これも、自由な発想に基づく粘り強い努力が、研究成果として現れたものです。
サイエンス研究会の生徒諸君も、志を持って興味のある分野の研究に没頭することで、将来の日本を背負って立つ人間に育ってくれることを願っています。
平成 26 年 3 月
奈良女子大学附属中等教育学校
副校長

吉田信也

2013年度(平成25年度) 教育課程
学年
時間

1年

2年

3年

4年

共通

共通

共通

共通

5年

6年

文系

理系

文系

理系

1
現代文(2)

現代文(2)

古文(2)

古典(2)

国語基礎(3)2
国語基礎(4)

国語総合(4)
国語総合(5)3
4

情報と表現(1)
漢文(1)

5
6

社会（3）
地理的分野

社会（3）
歴史的分野

現代社会(2)
現代社会(2)

7
現代史(2)
8

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)*(3)

世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)
*(3)

物理(3)
生物(3)
*(3)

現代史(2)
9
10

基礎数学Ⅰ(4)
代数分野
基礎数学Ⅱ(5)
幾何分野
代数分野
数学探究ⅠA(3)
幾何分野
数学探究ⅡA(3)1112

情報と科学(1)

化学基礎(2)*(2)

数学探究ⅠB(2)13
数学探究ⅡB(2)14
基礎理科Ⅰ(4) 基礎理科Ⅱ(4)

15

自然探究Ⅰ
(3)

16
17
音楽(2)

音楽(2)

18
19
美術(2)

美術(2)

工創基礎１
生活基礎１
(2)

工創基礎２
生活基礎２
(2)

20
21
22

音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
書道Ⅰ(2)
工芸Ⅰ(2)*(2)

技術総合・
家庭総合(2)

自然探究Ⅱ
物理基礎(2)
生物基礎(2)(4)

家庭総合(2)25

解析Ⅰ(4)*(4)

解析Ⅰ(4)*(4)

代数・幾何(3)△(0)or(3)代数・幾何(3)
*(3)

体育(3)

体育(2)
体育(3)

古典講読(1)*(1)
世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)△(0)or(3)
日本史特講(2)
世界史特講(2)
地理特講(2)△(0)or(2)体育(2)数学発展演習(2)
音楽Ⅲ(2)
美術Ⅲ(2)△(0)or(2)Reading(2)△(0)or(2)

解析Ⅱ(5)△(0)or(5)解析Ⅱ特論(2)△(0)or(2)
数学演習(1)△(0)or(1)

体育(3)

保健(1)

保健(1)

物理(4)
生物(4)
△(0)or(4)数学
基礎演習Ⅰ・Ⅱ(2)△(0)or(1)or(2)

発展現代文(2)△(0)or(2)

保健(1)

化学(4)
△(0)or(4)

生物(4)
地学(4)
高大連携特講(1)△(0)or(1)or(4)

音楽Ⅰ(2)
美術Ⅰ(2)
書道Ⅰ(2)
工芸Ⅰ(2)*(2)2324

化学基礎(2)
化学(2)*(4)

地学基礎(2)
音楽Ⅱ(2)
美術Ⅱ(2)
工芸Ⅱ(2)△(0)or(2)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
倫理・政経(3)*(3)

日本史B(3)
世界史B(3)
地理B(3)
*(3)

IE(2)
体育(3)

26
27

IE(3)

IE(3)

28

IE(1)

IE(Reading）(3)Topic Studies II(3)

BE(1)

29

BE(1)

BE(1)

NET(1)

IE(Writing)(1)30NET(1)

NET(1)

情報の科学(1)

NET（Speaking）(1)

31

道徳(1)

道徳(1)

Topic Studies I(3)

情報の科学(1)Writing(1)

探究・世界Ⅱ(2)コロキウム(2)Reading(2)△(0)or(2)理科特講(2)
数学特論(2)△(0)or(2)Writing(2)△(0)or(2)Writing(2)△(0)or(2)

探究・世界Ⅰ(2)
32

HR(1)

HR(1)

33

道徳(1)

34

HR(1)

HR(1)

HR(1)

HR(1)

CGⅠ(1)

AG(1)

AG(1)

補講・AG(1)

テーマ研究(1)△(0)or(1)

テーマ研究(1)△(0)or(1)

テーマ研究(1)△(0)or(1)

短期集中 探究・奈良Ⅰ(1)探究・奈良Ⅱ(1)研 究 論 文クアッドコプターの製作
２年 A 組 上林幹宜

２年 A 組 三浦聡汰

指導教員 米田隆恒

１.要約
私たちは、強風などの悪条件下でも飛行することのできる、クアッドコプター（４枚のプロペラで姿勢制御を行う小型ヘリコプター）の開発を目指している。そのために、可能な限り簡単に無線通信をする方法の考察とともに、安定した飛行方法を研究している。
今回は、モータドライバー「TA7291P」と無線マイクロコンピューター「TWE-Lite
DIP」を使用して、モータ制御と無線制御の研究を行った。
キーワード

モータドライバー、モータ制御、無線マイコン、無線制御

２.研究の背景と目的
東日本大震災などのような大災害が起こった場合に、がれきなどが散乱した道路で

３.研究内容3.1 モータ制御
今回使用したモータドライバー

は車などを使っての情報収集は難しいと考「TA7291P」（図２）は東芝製の DC モー

えられる。そのため、狭い隙間でも入るこ

タ用フルブリッジドライバーである。

とのできるような小型で飛行する、小回りの利くものが情報収集の手段として必要だと考えた。そこで、そのような場合にクア
ッドコプター（図１）が便利ではないかと考えた。今回は、クアッドコプターを製作することを目的とし、まずは、モータ制御
部分と無線制御部分に分けて、製作するこ図２

TA7291Pとにした。
このモータドライバーは、２つのピンを制御するだけで正転、逆転、ストップのコ
ントロールを行うことができる（図３）。
図３の L は０V に近い電圧、H は電源電
圧に近い電圧である。また、出力端子、制御端子、Vref 端子（一定の電圧を出力する
図１

クアッドコプター(参考文献５より引用)

端子）を持っているため、モータへ印加する電圧を調整することができる。

入力
IN１ IN２
０
０
１
１
１
０
０
１
図３

出力
OUT1 OUT2
∞
∞
L
L
H
L
L
H

モード

3.2 無線制御

ストップ

ライト・ディップ）」（図６）は、東京コス

回転
逆回転

モス電機株式会社製の無線マイコンである。

今回使用する「TWE-Lite DIP（トワイTA7291P での入力、出力（∞は、ハイインピーダンス）
そこで、このモータドライバーを利用して、簡単にモータ制御を行うことができると考えた。今回は、TA7291P と DIP スイッチ（小型のスライドスイッチ）を用いて

図６

モータの制御を行った（図４、図５）。こ（参考文献３より引用）

TWE-Lite DIPの回路を４つ使用して、４つのモータを同時に制御することに成功した。

「簡単にすぐに使
この無線マイコンは、用できる無線モジュール」をコンセプトに開発されている。そのため、外部に制御用のマイコンを必要とせずに無線通信を行うことができる。また、はじめからプログラ
ムが書き込まれているため、プログラム開発なしで使用することができる。TWELite DIP は、以下のような仕様になっている。

図 4 モータの制御

・動作電圧：2.3～3.6V
・電波認証：ARIB STD-T66（日本の電波法認証を取得している）
・デジタル入力：４つ・デジタル出力：４つ・アナログ入力：４つ・アナログ出力：４つ

図５

図４の回路図図７ 実態配線図(参考文献４より引用)
私たちは、はんだ付けを行う必要のない、
ブレッドボード上で無線通信を行うことにした。この無線マイコンでは、デジタル制
御とアナログ制御の両方が行える。今回はデジタル通信を行い、タクトスイッチなどを使用して LED を点滅させた（図７）。

図８双方向デジタル信号通信

親機のタクトスイッチを押すと、DI１にGND（－端子）が接続されたことになり、

４.反省点

無線でスイッチの ON、OFF のデータが子

今回は、ブレッドボードを使うのに慣れ機へ送られる。それが子機の DO１に出力ていないこともあり、ジャンパーワイヤのされ、DO１に接続されている LED が点灯

接続ミスが多くなってしまい、それに気付する。この仕組みを利用し、私たちは無線

くのに時間がかかってしまった。そのため、で LED の点灯を制御することに成功した。

完成させるのにも時間がかかってしまった。

また、この無線マイコンは双方向デジタ
ル信号通信（双方向リモコン）も可能なた

５．今後の課題

め、それにも挑戦した（図８）。親機にも今回、スイッチによって、モータドライ

LED をつけ、子機にスイッチをつける。

バーを用いたモータ制御と、無線制御を行すると、上の一方向通信と同じ仕組みで、うことができた。しかし、モータ制御と無子機から親機へもスイッチの ON,OFF の線制御をつなげての制御を行うことがまだデータが送られる。

できていない。今後は、PIC マイコンを用いたモータ制御や、加速度センサを用いたクアッドコプターの姿勢制御を行いたい。

また、TA7291P と TWE-Lite DIP とをつなげての、無線でのモータ制御を行いたい。

６．参考文献[１]『電子工作マガジン No.20』電波新聞社(2013)[２]TA7291P データシート
http://akizukidenshi.com/download/ta729
1p.pdf[３] TWE-Lite DIP マニュアル
http://akizukidenshi.com/download/ds/toc
os/TWE-Lite_DIP_manual.pdf[４] TWE-Lite DIP ピン配置表
http://akizukidenshi.com/download/ds/toc
os/TWE-Lite_DIP_pin.pdf[５] 鋼のペンギン(Fullmetal-Penguin)
http://ameblo.jp/fullmetal-moon/entry11330869139.html

７．謝辞
サイエンス研究会物理班の活動において、顧問の米田先生をはじめ、多くの先輩方から多大なご指導や、ご協力していただきました。この場で深く感謝申し上げます。

放電の探究２年 B 組 清家 悠大
２年 B 組 中谷 駿介
指導教員 米田隆恒

１．要約
私たちは、周りの空気量などの環境によって放電がどう変化するかを調べた。また、放電から発生する電磁波の性質についても調べた。それらについて、わかったことを報告す
る。
キーワード

真空、放電、電磁波

２．研究の背景と目的

これについては、放電の周りの環境を変近年、蛍光灯や LED(発光ダイオード)なえることで明るくなるのではないかと考え

どの発光体が目覚ましく発達している。私た。そこで微真空にする場合と、その中にたちはそのような発光体の中でも気体と放様々な気体を入れた場合の２パターン(A、電の関係性に注目し、今後の私たちの電球

B)について調べた。

開発で電球の発光体に放電を用いるとした[実験Ⅱ] 放電からは電磁波が出ている可ときに発生する課題や疑問を改善しようと能性があり、ラジオなどの電波を使う機器思った。

に影響が出る可能性があり、もし出ている

また、光源として放電を利用する際、次ならそれを遮断する方法を考えるべきであの２点について考察し、改善しようとした。

る。こちらも２パターン(C、D)行った。

１つ目は、普通の空気中の放電だと電球として利用するほどの明るさを得られないと

４．実験Ⅰ考えたため、明るくする必要があるという

4.1 実験 A

こと。２つ目は放電からは電磁波が発生し放電の周りの空気を段々と抜いていき、ている可能性があり、ラジオなどの電波を微真空にする。

使う機器に影響が出る可能性がある。この

4.1.1 実験 A の装置の説明ため、もしそれが出ているなら、それを遮断するべきということである。

真空ポンプ、真空容器(直径約 30cm、高さ約 12cm)、電池、９V 入力の高電圧発生装置(放電を発生させる機器)、リードスイッ

３．研究内容今回は 2 つの実験を行った。

チ(磁石によってスイッチを on、off できる部品)、ネオジム磁石[実験Ⅰ] 普通の空気中の放電では電球と真空容器の中に、高電圧発生装置と電池して利用するほどの明るさが得られないのとリードスイッチを繋いだものを入れ、真で、明るくする必要がある。

空ポンプで真空容器の空気を微真空になる

まで抜く。そして、真空容器の外からネオ５．実験Ⅱ

ジム磁石を使ってリードスイッチを on に放電からは電磁波が出ている可能性があ

し、高電圧発生装置で放電させる。つぎに、り、ラジオなどの電波を使う機器に影響が真空容器のバルブを緩め、空気を徐々に入出る可能性があり、もし出ているならそれれていく。

を遮断する方法を考えるべきである。

この実験を行う際、放電は周りの空気が減れば、光りの強さが増し、パチパチとい5.1 実験 C
放電から本当に電磁波が出ているかを確う音も小さくなると私たちは予想した。

認する。

4.1.2 実験 A の結果と考察

5.1 実験 C の装置の説明

放電は微真空のときは光もあまり見えず、
音もしなかったが、 空気を入れるにしたが100V 入力の高電圧発生装置、ラジオを準備する。

って、光が現れて太くなっていき、音も徐々高電圧発生装置で放電を発生させ、ラジに大きくなっていった。 しかし、音は空気

オを近づけたり、遠ざけたりしながら雑音が少ないため、伝わりにくかったという可の入り具合で、放電から電磁波が出ている

能性がある。このことから放電は周りの気ということを確認する。私たちは放電から圧が下がると、放電する力が下がるというは電磁波が出ているので、ラジオを放電へことが判明した。

と近づけるほど、雑音は徐々に大きくなる

4.2 実験 Bと予想した。

放電の周りの気体を変える。
4.2.1 実験 B の装置の説明
100V 入力の高電圧発生装置、放電管(窒素,水素,酸素,ネオン)、分光器

5.1.1 実験 C の結果と考察
ラジオを放電部分へと近づけるにつれて、雑音が大きくなっているので、放電から電磁波が発生している。しかし、このときに高電圧発生装置の端子と放電管をワニ口

高電圧発生装置の端子同士が当たると、ラクリップでつなぎ様子を観察する。そして、ジオに小さく雑音が入った。さらに、蛍光分光器で放電のスペクトルを見る。この実灯の方に近づけると雑音が入った。

験を行う際、私たちは周りの気体が変わっこのことから、放電からは電磁波が出てても放電の様子やスペクトルに変化はない

いる。さらに、端子同士が接触したときにと考えた。

も電磁波が発生している。また、蛍光灯か4.2.2 実験 B の結果と考察

らも電磁波は発生していると考えられる。

実験結果は図１の通りになった。4.1 の放電に比べて、明らかに明るくなっていた。

5.2 実験 D
放電からの電磁波を遮断する物質を考え

このことより、放電は周りの気体が変わるる。

と色が変わり、明るさは通常のときに比べ5.2.1 実験 D の装置の説明てとても明るくなることがわかった。

100V 入力の高電圧発生装置、ラジオ、
金網(鉄製)、発泡スチロールケース、プラス
チック皿(３枚)、A４用紙(２枚)まず、高電圧発生装置で放電を発生させまた、実験を行った際のこととして、今る。次に、金網，発泡スチロール，プラス

回の実験は真空容器内で行ったが、容器内

チック皿，A４用紙のそれぞれでラジオを完は大きくなく、実験器具が散在しており実全に覆う。そして、覆っているときと覆っ

験がしづらい状況となってしまった。今後、ていないときでの雑音の大きさで、物質ご実験を行うときは、部品等の配置などを決とに電磁波を遮断することができるかを調めて行いたい。

べる。また、蛍光灯についても同じように調べる。私たちの仮説はどの物質を用いても電磁波を遮断することはできないという

７．謝辞
今回のサイエンス研究会物理班の活動にものである。

おいて、顧問の米田先生をはじめ、多くの5.2.2 実験 D の結果と考察

先生方、先輩方から多大なご指導やご協力

放電から発せられる電磁波は金網のみで遮断することができた。また、他の物質では全く効果がなかった。さらに、蛍光灯についても同じ結果が出た。今回のことから、放電から出る電磁波は鉄を使うことで遮断することができると考えられる。

６．今後の課題
実験をしていく中で下記の疑問が発生したためそれぞれを解決していきたい。
・空気を抜いていくと、なぜ放電の光は弱くなっていったのか？また、なぜ通常の空
気では青白い放電なのに、様々な気体の中ではカラフルな色に光ったのだろうかということについては、放電が発生する原理を調べるべきである。
・カラフルな色が混ざり合うとなぜ青白くなったのかということについては、空気の成分の割合と、光の混ざる度合いによる光りの色の変化について調べるべきだと考える。
・高電圧発生装置の端子同士が接近すると、なぜ、電磁波が発生するのかということについては、他の金属でも試してみるべきだと考える。

をいただきました。この場で深く感謝申し上げます。

図１ 放電管内での放電の様子

Web カメラの映像からの目検出ソフトの作成
４年Ａ組

稲益 秀成

指導教員 米田 隆恒
１．要約
私は、コンピュータに搭載されている Web カメラを用いて利用者を撮影し、その映像か
ら利用者の顔、そして目線を検出する方法を研究した。
今回作成したソフトは、Web カメラで利用者を撮影し、その映像から顔の位置を検出し、そこから映像中の利用者の目の位置を検出することができるものである。
キーワード 目、目線、目線検出、Web カメラ、OpenCV、Processing

２．研究の背景と目的
人間は他人の目を見ると、その目線と目線の先にあるものから、その人が何を見て

３．研究内容コンピュータが利用者の目線を取得する
ために、Web カメラを用いた。

いるのかをおおまかに知ることができる。

Web カメラとは、Skype や FaceTime な

そこで私は、人間の目は視覚情報を得るとどといった、インターネットでテレビ電話

いう感覚器官としての機能だけでなく、自を楽しむときに相手にリアルタイムで送信分の視覚情報を他人に知らせるという情報するための自分の顔の映像を撮影するカメ

伝達の役割も持っているのではないかと考ラのことである。

えた。今日幅広く普及しているコンピュー
タやスマートフォンなどが人間の目線を情報として取得できれば、これらの電子機器の使い方が広がるのではないだろうか。例
えばコンピュータが利用者の見ているものを検出できれば、そこから利用者の興味のあるものを予測する、といったことが考えられる。
そこで、コンピュータが利用者の目線を得る方法について考えていくことにした。
現時点では目線検出までは完成していな
いため、顔検出、目検出について報告する。

図１

Web カメラこれまで、目の認識までは成功していたが、今年度は精度を高めるために、顔検出方法についてさらに深く研究した。
現在、目線計算の部分はまだ完成していないため、(Ｂ)までを報告する。
図２ スマートフォン等のインカメラ
３．１ ノイズ除去
また、図２のように最近のスマートフォ

昨年度の時点で、目検出自体は安定したンや、タブレット端末などには同様な用途ものが完成したが、その処理を行う顔検出のカメラが標準で内蔵されていることが多が安定していないため、最終的な目検出のい。たとえ、標準で搭載されていない場合

精度は十分なものではなかった。そこで、や、搭載されているカメラが低性能であっ顔検出が安定しないのはカメラのノイズがたとしても、Web カメラは複数のメーカー原因だと考え、映像のノイズを除去する方から多数販売されており、手軽に高性能な法を調べた。そして、「メディアンフィル

カメラを用意することができる。よって、

ター」「平均値フィルター」という方法を他に目線検出専用の機器を追加するよりも検討した。

Web カメラを利用したほうが、手軽に目線

まず、「メディアンフィルター」とは、検出を行うことができると考え、Web カメ

映像から、例えば３ピクセル×３ピクセル

ラで目線検出に向けた目検出を行った。

の大きさを切り出し、その範囲の 9 つのピ

Web カメラの映像から利用者の目線のクセルの濃度の中央値をその範囲の中心の動きを検出する流れとしては、ピクセルの濃度にする、という方法である。

（Ａ）Web カメラの映像から利用者の顔部「平均値フィルター」は、同様に９つのピ分のみを切り出す。

クセルについて考え、その平均値をその範（Ｂ）切り出した顔の範囲から目の位置を囲の中心のピクセルにする、というもので検出する。

あるが、今回のプログラムではこの２つの（Ｃ）目の位置から、目の中心を計算し、方法は使えないと考えた。なぜなら、もしその動きから目線を計算する。

色相の中央値をとってしまうと、肌の色相といったものである。

が大きく変化してしまう可能性が高いからである。そうすると、逆に肌の色の検出が安定しなくなってしまう。また、平均値をとることでは大きく色相の値が変化しないが、それでも色相が変化してしまい、肌の色だったものが肌の色と認識されなくなる

図３目検出までの流れ可能性があるので、他の方法を考えた。

そして考えたノイズ除去方法は、まず肌の色が検出されたピクセルから左方向と上方向に、５ピクセルの範囲で、近いところ
から順番に肌の色のピクセルがあるかを探す。肌の色のピクセルが５ピクセル以内にあれば、最初の肌の色の点とその５ピクセ
ル以内の点の間も肌の色にする。という方法である。
顔の映像にあるノイズを除去できればい
いので、肌の色だけを見ていくことにした。
この方法を使うことで、元々肌の色だった
ピクセルは変化せず、肌の色だと予想されるものは肌の色だと認識できるので、はじ

図４ 顔検出におけるパターン認識の例

めの 2 つの方法に比べて良いと考えた。

（参考文献[６]より引用）

結果の色の違いであるため、シンプルで計算量

この方法では、ノイズが強い状態では顔が少なくて済み、それらをたくさん用意し以外の部分も肌の色に変更してしまったとて調べていくことで認識率を高めていくもいう問題点があった。また、リアルタイムのである。

で計算を行うには処理が重いものであった。

そこで、この顔検出を手軽に行うことができる、インテル株式会社が発表したオー

３．２

OpenCV を用いた顔検出

肌の色を探していく方法では、なかなか

プンソースライブラリーである OpenCV を利用することにした。

精度を出すのが難しかったため、今度は肌この方法は点ではなく、部分と部分の色の色ではなく、パターン認識を使う方法をの差を用いるので、ノイズの影響を受けな用いた。たとえば、鼻筋の方がその隣の目いという利点がある。

のある部分の方より手前にあり、光が当たりやすいため明るくなる、といったように

結果

顔の一部分と別の部分との色の違いの特徴

OpenCV による顔検出の精度は高いもの

をデータベースに持っておき、このデータだったが、リアルタイムで目検出を行うにをパターンとして映像の左上から 1 ピクセ

は処理が重すぎるものであった。

ルごとにずらしながら、今調べている範囲

しかしながら、この OpenCV による高精の映像の特徴が、データベース上の顔の特度かつ処理の重い方法と昨年度研究した、

徴と一致するかを調べていく方法である。

低精度かつ処理の軽い方法とを組み合わせ

また、この顔の特徴のデータは１つひとれば今回の研究目標を達成するのに十分なつでの認識率は低いものだが、２つの部分

性能の顔検出が行えると考えている。

４．考察

定時間見ることでその文字を選択したこと

今回、コンピュータで利用者の目線を取にすれば、文章入力はもちろんだが、その得するために、Web カメラで利用者を撮影

文字を音声で出力することで、体が不自由し、その映像から目の位置を検出する方法

な人でも会話することができるようになる。

を研究した。

このような社会貢献につながると考えられ顔の範囲の検出は、まだまだ改善の余地る。

があるが、目の位置の検出の処理は軽く、安定しており、顔検出さえ改善すれば目認

６．参考文献識をリアルタイムで動かすことができると[１] メディアンフィルター考えている。

「http://www.gifu-nct.ac.jp/elec/yamada/

今後は、肌の色を使う方法と OpenCV に

iwata/median/index.html」

よるパターン認識を用いる方法をどのよう[２]に組み合わせて行くか、考えて行きたい。

「http://processing.org/reference/」[３]

５．今後の展望
今回検出した目の中心から目線を推定し、Processing Reference
OpenCV ¥ Library「http://ubaa.net/shared/processing/open
cv/」

それをコンピュータに活用させるようにし[４] コンピュータビジョンのセカイ - 今ていくことが次の課題である。

そこにあるミライ

そのためには、顔の向きや、顔と画面と「http://news.mynavi.jp/series/computer_の位置関係を取得し、それらの情報から利vision/008/index.html」

用者の見ているものを計算していく必要が

[５]

ある。

Viola-Jones Face Detection

これが完成すると、コンピュータは、利Adam Harvey Explains「http://makematics.com/research/viola-j

用者が何を見ているのかという情報を得る

ones/」

ことができるようになる。これにより、例[６]

えばインターネットブラウザ利用者の目線「http://opencv.jp/」

OpenCV.jp

から、その利用者の興味がどこにあるかがわかることになる。あるいはどのような内

７．謝辞

容が読んでもらえるかを今まで以上に調べ

今回の研究にあたり、サイエンス研究会ることができるようになり、うまく使えば、物理班顧問の米田隆恒先生、藤野智美先生

Web サイトの質の改善につながると考えらには、研究に関する助言や指導をしていたれる。

だきました。また、同研究会のメンバーに

また、体の不自由な人でも目線の動きだ

は研究のサポートをしていただきました。

けでコンピュータを操作できるようになる。 この場を借りてお礼申し上げます。
例えば、画面に「あいうえお…」といったような文字の表を表示しておき、それを一

拡張型情報表示デバイスの開発
４年Ｂ組 青木雅典

指導教員 米田隆恒

１．要約
私は、昨年度から、表示領域をハードウェア面でユーザーが自由に伸縮できる新しい情報表示デバイスの開発を行っている。今回は、その基本部分として、小型ディスプレイを搭載したデバイスを複数台組み合わせてユーザーが自由に操作できるデバイスのプロトタイプを製作した。
OLED、小型ディスプレイ、PIC マイコン、SPI、UART

キーワード

２．研究の背景と目的
近年、タブレット端末やスマートフォン等が普及したことで、ディスプレイを利用した小型の電子デバイスがより身近なものになってきた。

面の中でしか行うことができないので、デバイス本体の画面サイズによってユーザーにできることが限られてしまう。
この現状を打破するため、現在主流となっている「一つのデバイスあるいはシステ
ムに、一つの画面」という考え方ではなく、「小型ディスプレイを複数枚組み合わせて使用する」ことを考えた。これにより、ユーザーはデバイスの並びや構成を変化させることでさらに多様な情報入力の手段を得ることができ、同様に多様な情報出力手段も得られると考えられる。
今回は、昨年度の課題であったデバイス
間のデータ共有を可能にすることを目標に研究を行った。

図１

液晶ディスプレイを搭載した
スマートフォン

３．研究内容3.1 研究事項

老若男女問わず、たくさんの人々が利用＜研究１＞

しているこれらのデバイスには、使用目的

マイクロコンピュータから小型ディスプに応じた様々なサイズのディスプレイが取レイを制御し、画面に文字や写真などを描り付けられている。しかしながら、ユーザ

画するーが行える操作はすべて、たった一つの画＜研究２＞
デバイス間で通信を行い、一つの図形を
複数のディスプレイにわたって表示する

る。UART は、SPI や I2C などの他の通信プロトコルと比べて、コンピュータとの通信が容易であることや、信号線の本数が少なくてよい。そこで、ここでは、このデバ

3.2 研究内容

イスとコンピュータを UART で接続し、＜研究１＞

OLED に表示する文字列や画像のデータを

私は昨年度の研究で、小型の有機 EL
ディスプレイ(以下、OLED)を搭載した情報表示デバイスを作成した(図２)。

送受信する。
コンピュータから UART でデータを送信するには、「Tera Term」というシリアル通
信用のプログラムを利用する。キーボードからコマンドを直接入力できれば操作性が向上するため、今回は、ASCII コードで表されるアルファベット一文字をコマンドと
して扱う。
＜研究２＞

図２ 製作した情報表示デバイス

研究１では単体のデバイスを制御することを目的としていたが、ここでは、拡張型

このプロトタイプのデバイスでは、の情報表示デバイスを実現するために、２「UG-2828GDEDF11」と呼ばれるOLED

つのデバイスを接続し、２つのディスプレ

を「PIC24FJ64GA004」マイクロコンピュ

イを一つの画面として使用することを目標

ータを用いて制御している。デバイスには、とする。

四辺それぞれに2.0mmピッチのオスピンとコンピュータからデバイスに画像データ

メスピンが対になって備わっている。ここを送るには、１ピクセルごとのデータをにマイクロコンピュータのデータ通信端子

UART で送らなければならない。そこで、を接続し、デバイス間で通信ができるよう

私は、プログラミング言語 Visual C#を用にする。また、自作の制御基板と小型の表

いて専用の制御ソフトウェアを制作し、画面実装型部品を用いることで、制御回路を

像データを非常に簡単にデバイスへ送信で薄く、かつコンパクトにまとめた。これにきるようにした(図３)。コンピュータから

より、デバイスをOLED側から見たときデデバイスへ送信するデータは、「どのデバイィスプレイのみが見えるようになったたスに対するデータか」と「画像の各画素デめ、連結時のディスプレイ同士の隙間を少ータ」の２つを送る。画素データは、OLED

なくすることができた。

のデータ形式と同じ、赤 5bit、緑 6bit、青今回使用している PIC マイクロコンピュータには UART（汎用非同期送受信回路）と呼ばれる通信モジュールが搭載されてい5bit の 16bit カラーにソフトウェアで変換してから送信している。
これにより、ソフトウェア利用者が、どのデバイスにどの画像を表示させたいかコ
ンピュータ上で選択でき、デバイスはそれに従って動作することが可能となる。

＜研究２＞
コンピュータ上の制御ソフトウェアから
UART で画像をデバイスへ送信し、OLED
上に表示することに成功した。
また、２つのデバイスを接続し、１つのディスプレイのように画面を拡張させ、１枚の画像を表示させることにも成功した
(図５）。

図３

自作の制御ソフトウェア
図５ １枚の画像を表示している

４．研究結果＜研究１＞

５．考察

コンピュータから UART で受信したコマ

今回の研究で、デバイスは単体動作だけンドに対応する動作を行い、受け取った情でなく、組み合わせることで、画面を拡張

報を元に、文字列を OLED 上に描画させる

して使用することが可能となった。

ことに成功した(図４)。
また、昨年度よりも通信速度を上げたこ

しかしながら、今回のプロトタイプではコンピュータから画像データを受信していとで、データ送信から文字列描画までのるため、デバイス単体では画像を表示する

タイムラグを少なくすることができた。

ことができない。また、画像を表示できるデバイスの数が２つに制限されてしまっているため、画面を次々に拡張していくことは難しい。

６．今後の課題
今回製作したプロトタイプでは、実用性が非常に低い。単に画像の表示や文字列を描画するだけでなく、時計や地図などの、特定の目的に沿った、ユーザーが求めてい図４ OLED 上に文字列を表示ると考えられる情報や機能を提供できるデバイスを開発する必要があると考える。
実用性のあるデバイスを開発するためには、様々な使用環境や、ユーザーの利用方
法を考える必要がある。スクリーンサイズ
やシステム全体の大きさ、可搬性、汎用性などを踏まえ、これからの研究をより向上
させ、より良いシステムを開発できると考えている。

７．参考文献［ １ ］ PIC24F リ フ ァ レ ン ス マ ニ ュ ア
http://www.microchip.co.jp/download.

ルhtml［２］SSD1351 データシート
http://aitendo2.sakura.ne.jp/aitendo_data/product_img2/product_img/oled/UG-282
8GDEDF11/SSD1351.pdf［３］UG-2828GDEDF11 データシート
http://aitendo2.sakura.ne.jp/aitendo_data/product_img2/product_img/oled/UG-282
8GDEDF11/UG-2828GDEDF11.pdf

８．謝辞
今回の研究にあたり、サイエンス研究会
物理班顧問の米田隆恒先生には、日頃からご指導、ご助言をしていただきました。さらに、本校サイエンス研究会の先輩方にも多大なご協力をいただきました。この場をお借りして、御礼申し上げます。

文字認識ソフトウェアの作成
４年 B 組 上田樹

指導教員 米田隆恒

１．要約
私は、看板などで読めない漢字を見つけたとき、読みが分からなければ意味を調べるのも困難であると感じた。そこで、日本語に限らず、それらの文字を全て写真に撮るだけで認識することができれば、外国など読めない文字が使われている場所へも、もっと気楽に行くことができるようになって、便利であると考えた。
市販の文字認識ソフトもあるが、文字の状態によっては読めないことがある。そこで、
Visual Basic を用いて、様々な状態の文字の写真に対応できる文字認識ソフトを自分で開発することにした。
キーワード

文字認識、エッジ、HLS、細線化、輪郭追跡、学習機能

２．研究の背景と目的

３．研究内容看板などで読めない漢字や知らない言語

文字の特徴点を抽出し、それらをつないの文字などを見つけたとき、そのたびに意でいくことができれば、文字を線の集まり

味を調べるのは大変である。そこで、そのとして読み取ることができると考えた。そような場合でも全て、写真に撮るだけで文のために、前処理として文字の領域の抽出、字を認識することができればよいと考えた。 また文字の頂点の認識のために線の中心部
携帯電話などに付属している文字認識ソフの抽出を行った。

トは、文字の並びや大きさによっては読めない、文字のバランスが悪いと読めない、

3.1 文字の抽出

斜めだと読めない、言語によっては読めな

昨年度の研究では、写真から文字を検出

いなど、読みとれる条件が限られている。

する手段として閾値を決め、その値を境にまた、私は昨年度までもこの研究を行って輝度情報を２つに分けて写真を白と黒のみいたが、背景に模様等があると正しく文字の画像にする２値化を行っていた。しかし、を認識することができなかった。そこで、文字部分だけを正確に２値化で抽出するた

これらの問題を解消し、より多くの場合にめには、文字と背景で輝度の差があること対応できる文字認識ソフトの開発を行うこが最低条件であり、図１の写真のように写とにした。

っている影の色が、文字に使われている色
より暗い場合、背景部分の画素の全てが背景色に含まれるような閾値にすると文字部

輝度の値の差をエッジ値とし、その値から分の色も含まれてしまうため、図２のようエッジの強さを検出する。

に正しく抽出することが不可能となってし

まず横方向のエッジ値は、調べたい画素

まった。また、本来の目的である看板からの周辺画素の輝度の値に以下の値をかける。

の認識では、背景に複雑な模様が映っていこの値の和は、その画素の右側の方が明るる場合も予想される。そこで、それらの場

ければ正、暗ければ負になり、また輝度の合でも正しく動作するような文字の抽出方差が大きいほど絶対値が大きくなる。そこ

法を考案した。

で、この値を右向きのエッジ値とする。
-1

0

1

-2

0

2

-1

0

1

縦方向のエッジも同様に、周辺画素に以下の値をかけることで計算できる。

図１ 影のほうが文字よりも暗い写真

-1

-2

-1

0

0

0

1

2

1

この値から、縦横それぞれのエッジの向き、強さを計算できる。例として、図１の写真についてそれぞれの画素のエッジ値を求め、各画素の RGB 値にそれぞれエッジの強さをあてはめた画像を作成したところ、
図３、図４のような画像が得られた。

図２ 図１の２値化結果(1) エッジの検出
画像内で色が変わる部分の画素では、周辺画素との色の差が大きくなる。これを利用して、まず文字と背景との境目を求める。
画像内での色の変わり目の画素をエッジという。文字と背景では普通、輝度が異なるため、今回は各画素について周辺画素の

図３

横方向のエッジの強さ

の大きさは、図のように、周辺画素の輝度の差が大きいほど大きくなる。
こうして得られるデータを、エッジの角度を色相、エッジの強さを彩度として可視化すると、図６のようになった。

図４

縦方向のエッジの強さ(2) エッジの方向の検出
先ほど得た値を横方向のベクトルと縦方向のベクトルと考えると、その合成ベクト
ルから各画素のエッジの向きと大きさが分

図６ エッジベクトルの角度と強さ

かるのではないかと考えた。
(3) エッジ間の距離検出
エッジの角度を計算したとき、文字の線の部分を挟む２つのエッジの向きはほぼ逆方向になるため、ある２つのエッジについて角度が真逆で、かつそのエッジの角度が２点を繋いだときの角度と一致するような位置関係のエッジ同士をつないで、その間の画素を記録すれば、線の部分を抽出できると考えた。
図５ エッジベクトル

検出したエッジの強さが一定以上のとき、一般的に文字は背景より暗いため、そのエ

まずこのベクトルの角度は、x 成分と y

ッジの向きと反対向きに直線を引き、重な成分が分かっているため、tan の逆関数にった画素をたどって対応する線の端を探す。

よって求めることができる。またこのベク

直線は（エッジの Y 成分）÷（エッジの X

トルの大きさは３平方の定理から計算する成分）を比例定数 a とする１次関数と考え、ことができる。こうして得られるベクトル|a|≦1 のとき（傾きが 45 度以下のとき）は、たとえば図５のような右上に向けてひは(X、a・X)となる点を X を１ずつ変化さかれた直線の画像の中では、図のように、せて、|a|>1 のとき（傾きが 45 度以上のその画素から見て明るい側に線の向きと垂とき）は(Y/a、Y)となる点を Y を１ずつ変直な角度をとる。また、得られるベクトル

化させてその画素に注目していく。注目画

素について、(注目画素のエッジの強さ)×

この得られた値にはノイズが多いため、

cos(注目画素と初めの画素のエッジの角度

平滑化を行う。平滑化の際、ただ単純に画の差)を調べ、その値を足していく。この像をぼかすだけでは、本当に線である部分

値の和について、本来注目画素が線から背の値も大きく変わってしまう。そこで、抽景に移った時に０になるはずだが、判断基出したエッジの強さを利用して、本来の輪準がそれだけだと、線を挟んだ両側で影な郭をできるだけ保持しながら平滑化を行う

どによって背景色が異なっている場合正し方法を考えた。

く処理することができない。そこで、このエッジが強い画素は元の画像では別の線和が始めのエッジの強さの半分より小さくの部分との境目になっていると考えられる。

なる、または(その値)≦ －１×(始めのエそこで、注目画素とその周辺画素について、ッジの強さ)のとき、初めの点からその点エッジが強い画素ほど平滑化後の値への影までを文字の線の内側であるとし、内側の響が小さくなるようにすれば、２つの線のそれぞれの画素についてエッジの強さを記

間にエッジの強い部分が間にあればその両録していくようにしたところ処理が安定し側の値が混ざらず、輪郭が保たれると考えた。すると文字である部分ほど値が大きくた。そのため、注目画素とその周辺画素になる。そこで、各画素について、その値をついて、それぞれのエッジの強さをかけた

最大値で割ったものをその画素が文字であ

重み付き平均を計算する。画素(x,y)の得らる割合とした。

れた文字である割合の値を f(x,y)、エッジ

しかし、この方法では文字のほうが明るの強さをその画像内でのエッジの強さの最い色である場合に対応できない。また、背大値で割り 0.0～1.0 までの値にしたもの

景に模様がある場合、背景に文字よりも明を g(x,y)とすると、平滑化後の(x,y)の値は

るい色も暗い色も存在する場合がある。そ∑ ∑ f ( x + i, y + j ){1.0 − g ( x + i, y + j )}こで、検出したエッジに対して逆の向きだ
けではなく同じ向きにも同様の処理を行うことにした。その結果を、文字である割合

1

1

i = −1 j = −1

11

∑ ∑{1.0 − g ( x + i, y + j )}i = −1 j = −1

を輝度として可視化したものが図７である。
となる。この処理を先ほどの抽出結果で行ったところ、図８のようになった。

図７ある画素が文字である割合

うにした。この方法で、街中などの背景が複雑な写真で文字である割合を計算したところ、次の図 10 のようになった。

図８

平滑化後の画像

ただし、このままでは線同士の間も線とされてしまっている。そこで、エッジ同士を繋ぐとき、その距離を記録するようにした。
先ほどの画像でそれぞれのエッジ同士の距離を求め、疑似カラーで可視化すると、図９のようになった

写真の引用元

街画ガイド(http://komekami.sakura.ne.jp/archives/567/p8236268 ）

図 10 街中の写真からの文字部分の検出
このように、複雑な背景である写真の中からでも、文字の大まかな位置を認識することができるようになった。
図９それぞれの線の幅(4) HLS モデル上の座標の計算

このように、線の部分と線同士の間の部
分に、明確に差がでた。

写真の中で、文字と背景では色に偏りがあることが多い。エッジからの線の抽出だ

この記録した距離について、文字の部分

けでは「線」と「線と同じ幅の模様」を区と背景の部分では、文字の部分のほうが距別することができない。そこで、各画素の離の値が小さいことが多い。そこで、文字色の情報についても考慮することにした。

である割合を計算する際、（1.0―記録した色の違いを正確に数値化するために、各画距離/距離の最大値/10）をかけ、線の距離

素の色の HLS モデル上の座標を計算する。

が短いほど文字である割合が大きくなるよ

HLS とは、色情報を双六角錐にモデル化

されたもので、H が色相、L が明度、S が正の X 軸から反時計回りに 240°であるか

彩度を表している。

ら、
x =R−

𝐺 𝐵
−
2 2

√3
√3
𝐺−
𝐵
2
2
と計算できる。また、モデル内の高さ Z にy=

ついて、R,G,B の最大値を Imax、最小値
を Imin とすると、

である。

Z=L=

𝐼𝑚𝑎𝑥 + 𝐼𝑚𝑖𝑛2

２つの色の違いは、このモデル上での距離と考えられるので、数値化することがで
図 11 HLS モデル
調べたい画素の赤の値を R、緑の値を G、青の値を B とおき、それぞれの値を 255
で割って範囲を 0～1.0 に変換する。
X、Y 座標について、図 12 のように双６角錐を上から見て考える。

きるようになった。
(5) クラスタリング
データを自動的に分類する手法をクラス
タリング、同じものと分類された部分をク
ラスタ、それぞれのクラスタの中心をクラスタ中心という。検出したデータを基に、どの部分が背景でどの部分が文字かを分けるため、k-means++法を参考にクラスタリ
ングを行った。
まず、文字と背景の２つのクラスタ中心を作る。クラスタ中心の初期値は、1 つ目
をデータからランダムに選ぶ。それぞれのデータ点 x に関して、最も近いクラスタ中
心との距離D(𝑥)（この場合は１つめのクラスタ中心からの距離）を計算し、その値が最も大きいものを２つめのクラスタ中心とした。クラスタ数を３つ以上にする場合も

図 12 真上から見た HLS モデル
R の方向を X 軸とすると G の方向は正のX 軸から反時計回りに 120°、B の方向は同様に、距離D(𝑥)が最大である点を新しい
クラスタ中心としていく。
次に、各データ点に、クラスタ中心が最も近いクラスタを割り振っていき、割り振
ったデータを基に各クラスタの中心を計算する。そして、もう一度各データ点にクラ

このように、四角形と文字とでそれぞれスタを割り振っていく。これを全てのクラクラスタの端にあたる画素の数

スタの割り当てが変化しなくなるまで行う。

クラスタ内の総画素数

先ほどの写真についてクラスタ数を２個とを求めたとき、図形と文字とで明確な差がしてクラスタリングを行ったところ、図生じた。そこで、各クラスタについてこの13 のようになった。

値を求め、その平均よりも値が大きいクラ
スタを「文字のクラスタ」とした。

3.2 細線化
文字の形を認識する際、線に太さがあると認識しづらい。そこで、文字の中心１画
素以外を除去する細線化を行った。今回は、田村の方法（参考文献４）を基に、文字の認識に最適な細線化方法を考案した。
図 13 クラスタリング結果(6) 文字のクラスタの特定割り振ったクラスタについて、どのクラ
スタが文字であるかを特定する。
一般的に文字の形は図形より複雑である。
その為、そのクラスタと他のクラスタとの境目に当たる画素数を調べれば、文字と背景で違いが現れ、見分けることができるのではないかと考えた。

文字の画素を１、背景の画素を０とおく。
この時、例えば注目画素が 1 でその右が０の時、その画素は線の右の端であると考えられる。上、左、下も同様に線の端であるので、そのような画素を除去(０に)してい
くと、線が細くなっていく。しかし、それだけでは線が途切れてしまう。そこで、図15、図 16 のように、除去しないパターンに相当する場合は除去を行わないようにした。その結果が図 17 である。

そこで、簡単な図形と文字とで実際に比較を行った。その結果が図 14 である。

図 14 端の画素の数の違い

図 15（左）除去パターン１

図 16（右）除去パターン２

図 17 細線化結果

図 19 細線化結果

図 17 をみると、線が本来無いはずの場

また、歪みについて、細線化のパターン

所に飛び出てしまっているところがある。

が「上または右」が０の場合と「下またはまた、線の交点付近が大きく歪んでおり、左」が０の場合という２パターンのみであ

このままでは処理が困難である。

ったが、「上または左」「下または右」が０

線が飛び出ているところを処理前の画像であるというパターンも考えられる。そこ

データで確認すると、飛び出ている線の端で、その２パターンを追加すれば、除去しの部分が１画素分の突起になっていて、そていく向きの偏りが減り、歪みが軽減され

こが線の端であるとされてしまっているこると考えた。そこで、除去パターン１、２とが分かった。そこで、図 18 のような４を参考に、図 20、図 21 の除去パターン３，

パターンに相当する場合は、除去しないパ４を作成した。この処理の結果が図 22 でターンにあてはまっていても強制的に除去ある。

するようにした。その結果が図 19 である。
このように、飛び出ている線を大幅に減らすことができた。

図 18 強制除去するパターン

図 20（左）除去パターン３

図 21（右）除去パターン４

図 23 進む方向
進む方向に、図 23 のように番号をふる。
図 22 細線化結果
このように、線の歪みを大幅に軽減することができた。

3.3 線の座標抽出細線化した画像データから、どこからどこに線が引かれているかを抽出する。そのためには、線の端、交点、角を認識すればよいと考えた。
細線化したデータにおいて、ある画素が１で、隣り合う１の画素が１つだけの場合、その画素は線の画素と考えられる。また、ある画素が１で、隣り合う１の画素が３つ以上ある場合、その画素で線が交わってい輪郭を辿る際、例えばひとつ前に下に進んでいた場合、次の画素は今の注目画素の左
上や左になることはない。なぜなら、下に進んだ時点で、すでに左と左下（今の注目画素から見て左上と左）はすでにチェックされ除外されているということなので、下に進んだ後も選ばれることはない。一般化
すると、ひとつ前の向きから時計回りに３つ分の向きに進むことはない。この性質を利用し、輪郭を検索するときの１つ前の向きを Vold、次の向きの検索の初めの向き
を Vnew とすると、Vnew = (Vold + 6)𝑚𝑜𝑑 8となる Vnew から向きの検索を始めれば効率が良い。このように開始地点に戻るまで輪郭を辿る。

ると考えられる。そこで、まずこの２種類の特徴点を抽出する。
次に、抽出した特徴点を結んでいく。この際、線の角の抽出も行いたいので、輪郭追跡を行った。輪郭追跡では、文字のクラスタと他のクラスタとの境界部分を、反時
計回りに一周する。
輪郭追跡の開始位置は、特徴点を結んでいきやすいよう、線の端の中の一つから行う。線の端が存在しない場合はそのクラス

図 24 輪郭追跡

タ内でもっとも上にある画素から行う。
辿っていく際、最後に通った特徴点からひとつ前までの角度を計算し、次に進む向き

との差が一定値以上のとき、その画素を線

線が２重になっている部分を除去する際、の角とする。角も特徴点であるため、その線の角の位置は通る向きによって変わるこ

画素から次の特徴点までで計算する角度は、 とがあり、完全に同じ線になるとは限らな
その画素からの角度となる。

い。そこで、線一本一本の座標を確認していき、類似した直線がないかを探す。２本の直線について、角度がほぼ同じで、かつそれぞれの対応する点との距離の和が一定値以下の場合、その２本の線を同じ線だとみなし、対応する点同士の中央を結んだ線
を新しい線とし、元の２本の線を除去する
この際に、線の座標が変わった場合、もともと繋がっていた他の線と離れてしまう場

図 25 線の角の認識合がある。そこで、座標を変更する際、ほかの線がその座標を使用していれば、そのこうして抽出した３種類の特徴点を、輪郭追跡の際に通った順に結んでいく。これで、画像から線を抽出できた。

座標も新しい線に合わせるようにした。
また、分かれている線について、２つの線が頂点で接しており、かつ角度の差が一定値以下の場合は、接していないほうの２つの点から新しい線をつくり、もとの２本の線を除去することで１本にまとめた。

図 26 線の抽出
しかし、この段階では、一周しているため
２回通る場所ができ、図のように抽出した

図 27 線情報の調整

線が２重になってしまうことがある。また、交点によって本来 1 つの線であるべき線が２つの線に分けられてしまっている部分がある。
そこで、これらの線の調整を行う。

3.4 文字の判定登録された文字データと照合するために、読み取った文字の大きさ、縦横比を、次のようにして登録されたデータのものに合わせる。読み取った文字の大きさについ

て、抽出した線の頂点のなかから最も上にもし同じことが機械でもできれば、読み取ある点、右にある点、左にある点、下にあれない文字を減らし、また読み間違いも減る点をもとめる。すると、左上の頂点がり精度を上げることができると考えた。推（最も左の点の x、最も上の点の y）、右下測のために、まず単語のデータベースを作の頂点が（最も右の点の x、最も下の点のり、言葉を大量に登録する。読み取った文y）である長方形に、文字がちょうどおさ

字を、その登録された全ての単語と比較し、まる。この長方形の横幅を文字の幅、この一致度を調べた。読み取った単語には、間長方形の高さを文字の高さとする。読み取

違った文字が含まれている可能性があるた

った線の頂点のｘ座標にそれぞれめ、登録された単語の側から相当する文字登録された文字データの幅をかけ、y読み取った文字の幅を探していく。また、言葉の最初の文字と

ぞれ

座標にそれ

登録された文字データの高さをか ければ 、 大
読み取った文字の高さ

きさ、縦横比が同じになる。

最後の文字は言葉を判別するうえで重要であると考えた。そこで、単語の初めの文字と最後の文字は一致しているときに４pt、

次に、文字の判定のために文字の形の一

それ以外の文字は場所も同じで２pt、何文

致度を求める。文字の形の一致度は、各座字目かがずれていてもその文字が存在すれ標の絶対位置だけではなく、線の角度や相ば １ pt と し 、 文 字 の 一 致 度 は対的な位置の違いなどを含め、字に癖があ「ったり字のバランスがある程度崩れていても認識できるようにした。読み取った線にポイントの合計」とした。さらに文全てあっていたときの合計

字数の違いについて、文字数の一致度を文
１

ついて、登録された文字データのすべての字数の差に反比例するように、線に対して｛1.0―(角度の差)/360｝×（対とした。単語の一致度を文字の一致度と文応する頂点間の距離の合計）/(判定用デー

字数の一致度の積とすると、単語の一致度

タを囲む長方形の対角線の長さ)×(その線は完全に同じ単語のときに 1 となる割合との長さ)を求める。全ての線でこの値を計なる。この値が最大になる単語が、本来そ算し、その和を、読み取った線の長さの和こに書かれていた単語であると考え校正をで割れば、線の一致度の合計が出せる。ま行うことで、正しく読み取れていない文字

た、頂点同士の位置関係について、ある点が混じっていても、自然な読み取りができより右か左か、上か下か、という関係が同るようになった。

(文字数の差 )+1

じである点を数え、(一致した点の情報の数)/(全ての組み合わせ)を求める。これを3.6.学習機能

先ほどの線の一致度にかけると、完全に同文字を認識していく中で、自動的に精度

じ形のときを１とする一致度が求まる。

を上げていく「学習機能」が実現すれば、文字の登録効率が非常によくなると考えた。

3.5.推測判定時、形の一致度が８割以上の場合や、人は文中に読めない文字があっても、前読み取りに失敗した文字を推測したときに後の文字から推測して読むことができる。

文字数が完全一致かつ単語の一致度が 8 割

以上の場合は、読み取った文字を「その文(3) C#と VB.NET の入門サイト

字」としてデータベースに追加するように「http://jeanne.wankuma.com/」

した。また、形の一致度が８割以上でかつ(4) 画像処理ソリューション

使われている線の数が同じである場合、そ「http://imagingsolution.blog107.fc2.com/の登録された文字データの各座標を、読み

blog-entry-151.html」

取った文字の座標に、一致度に応じて近づ(5) 村上研究室

けるようにした。これで、認識の際にある「http://ipr20.cs.ehime-

程度の精度で読み取れていれば、使っていu.ac.jp/column/gazo_syori/index.html」

るだけで自動的に精度が上がっていくよう(6) イメージングソリューション

になった。

「http://imagingsolution.net/」

画像処理(7) 無作為研究所「http://www.faicha.com/」

４．まとめと今後の課題
今回の研究で、文字を線として認識し、判定することができた。しかし、今の段階

６．謝辞

では文字が斜めになっている場合に正しく

今回の研究を行うにあたり、顧問の米田

判定することができない。そこで、今後は隆恒先生には多大なご指導を賜りました。

判定時に、それぞれの最も長い線の向きがまた、サイエンス研究会の先輩方にも多く同じになるように回転させてから判定するの助言をいただきました。この場を借りて、などして、写真が斜めに撮られていても認深く御礼申し上げます。

識できるようにしたい。
また、背景に影や模様が入っているような場合でも、文字の大体の場所の抽出ができるようになった。しかし、実際に背景が複雑な写真のクラスタリングを行おうとす
ると、様々な模様と区別するため多くのクラスタ中心が必要になる。そこで今後、最適なクラスタ数を計算する方法を考案し、より精度のよいクラスタリングを行えるよ
うにしたいと考えている。

５．参考文献(1) Visual Basic

中学校「 http://homepage1.nifty.com/rucio/main/main.htm」(2) DOBON.NET「http://dobon.net/index.html」

高精度車両挙動モデル開発へ向けて４年 C 組 村田 宏暁
指導教員 米田隆恒

１．要約
私は、交通渋滞などの道路交通における問題を小さくするため、交通シミュレーターを開発して研究を行っている。しかしこれまで採用していた車両挙動モデルでは精度が不足していたため、より精度の高い車両の挙動モデルを開発しようと試みた。現在モデルは完成していないが、その開発の過程と今後の方針について述べる。なお、本稿における車両挙動モデルとは車両の加減速の挙動のモデル
を言う。

キーワード

交通渋滞、シミュレーション、モデル、JAVA

２．背景の情報の取得から影響が加速度に現れるまでの道路交通は、現在この国の主要な移動手段で時間は、人間の反応時間を考慮して１秒とした。

ある。しかし、交通集中などによって円滑な交

まず私は、実際の自動車の挙動を一つの式で通ができない状況が生まれると、所要時間の延表すことはできないと考え、「両車が現在の速伸や事故率の上昇、排出ガスの増加など、さま度を保てば近い将来衝突する」場合、「近い将ざまな問題が生まれる。円滑な道路交通を実現

来に衝突することはないが車間距離が短い」場するため、私は昨年度までも、JAVA 言語を用

合、「十分な車間距離があり、衝突のおそれがいて独自に開発した道路交通シミュレーターをほぼない」場合の三つに分けてモデルを構築し用いて研究を行ってきたが、そのシミュレータ

た。

ーにおいて用いていた車両の挙動モデルは処理

これを元に検証と修正を繰り返すことで、精速度を重視したシンプルなものであり、精度は度の高いモデルを開発することを試みた。モデあまり高くなかった。そのため、より詳細に実ルの検証は、以下のような条件下でシミュレー

際の道路交通の様子を再現するためには精度のションを行い、各車の速度や加速度の変化のグ

高い車両挙動モデルが必要であった。

ラフを作成することで行った。
・100 台の車列が直線道路を走行している

３．開発
車両挙動モデルを開発する際、前提として、運転する際に考慮する要素は自車の速度、前方車の速度、車間距離の三つであるとし、それら・信号などは無い
・歩行者や二輪車などはいない
・先頭車両は定められた動き、または、キー入力に応じた動きをする
・先頭以外の車両はモデルに従って走行する。

シミュレーションの速度と加速度を表し、図１

４．結果
以下に結果のグラフを示す。以下のグラフはと図３はモデルのパラメータのみが異なる。な

先頭車両(１台目)の速度をグラフのように変化

お、加速度の単位は通常は(m/s^2)を用いるが、させた際の後続車両の挙動を表すものであり、今回はより直感的に理解できる(km/h/s)を用い

図１と図２、および図３と図４はそれぞれ同じる。

図１ 速度の変化のグラフ１

図２加速度の変化のグラフ１図３

速度の変化のグラフ２

図４

加速度の変化のグラフ２５．考察が小さい段階から反応していることによるもの

図１、図２では、減速の際、加速度が非常にだと考え、導きだされた加速度の絶対値が非常緩やかに変化しており、極端に緩やかな減速がに小さい場合は０にするようにモデルを調整し長時間にわたって行われている。これは速度差た。その結果が図３、図４であるが、前方車とほぼ同じ速度になった後も小さな加減速を繰り

6.1.1 速度の測定方法

返しており、現実と一致しない。これらを同時■GPS を用いる方法に解決するためには小さな加減速によって前方GPS とは Global Positioning System の略での車と同じ速度にする必要の有無を判断する必あり、複数の専用人口衛星からの信号を受信す

要があるが、そのためには前方の車の動きを予ることで GPS 受信機の位置を知ることができる

測する必要がある。人間がどのように予測してシステムである。GPS 受信機から速度を得るこいるのか推察することは困難であるから、実際とは容易であり、また、スマートフォンなどはの自動車の挙動を観測する必要があると考えた。

GPS 受信機となるため、最も容易な取得方法であると言える。しかし、データは１回/秒程度し６．検討得る必要があるデータは自車の速度、前方車の速度、車間距離、加速度の４つであるが、前か得られず、そこから得られる約１秒間の平均速度では、精度が悪いと考えられる。
■OBD2 を用いる方法

方車の速度は車間距離の変化と自車の速度から

OBD2 は車両故障の自己診断のための通信に求めることができる。そのため、自車の速度と関する規格であるが、車速なども送信するため、

車間距離、加速度を取得できれば実際の自動車

OBD2 アダプター搭載車に専用の機器を接続すの挙動を表すことができる。そこで、車両に装ることで、車から速度の情報を得ることができ置を搭載する方法と車外から観測を行う方法のる。車載の速度計と同じ値が得られるため、運二つに分けて、それぞれの情報の取得方法につ転手が速度計に表示される速度を元に運転していての検討を記載する。

いる場合は最も精度の高い方法となる。しかし、速度計は平成 19 年以降は、速度計が 40km/h

6.1 車両に装置を搭載する方法を示した際に速度計試験機を用いて計測した速車両に装置を搭載することで、運転手や車種度を V(km/h)として、30.9≦V≦42.6 を満たすが同一の場合の挙動を長時間にわたって観測すように作られており、速度計が実際の速度よりることができるため、個人差や個体差による差大きい値を表示する場合は比較的大きな誤差を異と、人間の曖昧さなどによるばらつきを区別許容するため、測定値より大きな値を表示してすることができる。しかし、測定の際に協力しいることが多い。そのため、運転手が速度計以ていただく運転手の方々は少数であるため、必外から速度を知り、運転している場合には多少ずしも母集団である国内の運転手全体の特徴を精度が低くなる。

反映していないと考えられる。そのため、運転

6.1.2 車間距離の測定方法

手などの持つ特性の分布については信頼のでき■カメラで撮影した映像のナンバープレートのないものになってしまう。

大きさから算出する方法

ナンバープレートの大きさは既知であるため、ことによる部分が大きいため、それぞれの GPS

前方車後面のナンバープレートの、画像の中で受信機が同一の GPS 衛星からの電波をもとに位の大きさを調べることで前方車までの距離が算置を算出している場合は車間距離の誤差は小さ出できる。ただし、２ｍ程度しか車間距離がな

いものになることが期待できる。ただし、速度

い場合でも前方車両が映像内に収まっている必と同様にデータは１回/秒程度しか得られず、ま要があり、車両の横幅は２ｍ程度なのでカメラた、トンネルや都市部などでは精度が大幅に落の水平画角は 60°より小さくすることはできなちる。さらに、他の方法では通常走行している

い。また、ナンバープレートは普通乗用車の物

車に装置を搭載することによって測定が行えるで横幅が 33cm なので、30m 先の車のナンバーのに対して、この方法では装置を搭載した２台

プレートは画像横幅の 1/100 程度の大きさになの車が前後に並んで走行する必要があるため、る。デジタル画像を扱う際には１ピクセルの誤測定が困難である。

差を無視できる必要があるが、横幅 2000 ピク

6.1.3 加速度の測定方法

セルの映像を撮影できるカメラを使用してもナ■加速度センサーを用いる方法

ンバープレートは 20 ピクセルとなってしまい、

加速度センサーはスマートフォンなどにも搭

１ピクセルが５％もの誤差を生んでしまう。た載されており、手軽に使うことができる。また、だし、この問題は倍率の異なる複数台のカメラ

精度も未確認ではあるが高い精度が期待できる。

を設置することによって解決する。
■車載した２台のカメラの視差を元に測定する
方法

6.2 車外から観測する方法
カメラや各種センサーなどを設置し、観測す

車内２カ所に取り付けたカメラそれぞれで前るため、観測時間帯に観測区域を通過した車す

方車の輪郭を抽出し、その視差から距離を求め

べての情報が得られる。そのため、得られる挙る。前方の車両を直方体として考え、どちらの動はその地域の運転手の特性の分布を反映してカメラにもその後面のみが映っているとの仮定いると考えられる。ただし、特定の車についてのもとで行うため、カーブなどでは距離を測定

は非常に短い時間しか観測することができない

することはできない。ナンバープレートより大ため、人間の曖昧さなどに起因するばらつきときい物を認識するため誤差は小さくなるが、車個人差や個体差による差異とを区別することは両の輪郭抽出が困難である。

難しい。

■２台の車両を前後に並べて走行させ、両車に6.2.1 速度の測定方法搭載した GPS 受信機を用いる方法■カメラで撮影する方法

GPS の誤差は、電波が地球の大気を通過するカメラで撮影した映像から車両の位置の変化際にかかる時間が大気の状態によって変動するを解析し、速度を算出する。しかし、２枚の画

像の車両の位置の差から求める場合、撮影時刻

め、その近似方法にモデルが大きく影響されてに誤差がないものとし、それぞれ画像におけるしまう可能性がある。

車両の位置の誤差を±Δx(m)、２枚の画像の撮
影時刻の差を t(s)とすると、±2Δx/t(m/s)の誤差７．今後の課題が 出 て し ま う 。 Δ x=0.10, t=0.50 と し て も

まず、上のいずれかの方法で観測を実際に行±0.40(m/s)=1.4(km/h)と、非常に大きい。また、う必要がある。車外から観測する方法は加速度何らかの関数で近似する場合、データ点以外での精度を確保する見通しが立っていないため、の関数の挙動の妥当性について検証することが車内に機器を搭載する方法が現実的であると考難しいため、その近似方法にモデルが大きく影える。その場合、速度は OBD2、加速度は加速響されてしまう可能性がある。

度センサーを用いれば比較的容易に計測できる■速度測定器を用いる方法

が、車間距離はナンバープレートの大きさから複数の車両の同時測定や連続測定ができない

算出する方法を主に検討しているため、ナンバと考えられる。

ープレートの認識を行う必要があると考えてい6.2.2 車間距離の測定方法

る。

■カメラで撮影する方法
カメラの画像から車間距離を算出する。画像

８．参考文献内での車を十分な精度で認識することができる[１]「交通工学」飯田恭敬 監修、北村隆一 編のであれば、車間距離の算出は比較的容易であ著、オーム社 版(2008 年)

り、また精度も高くなる。

[２]「Java Platform, Standard Edition 6 API

6.2.3 加速度の測定方法

仕様」■カメラで撮影する方法
上の方法で測定した速度の変化から算出する。
しかし、２つの異なる時間における速度の変化

http://docs.oracle.com/javase/jp/6/api/[３]「Android Developers」
http://developer.android.com/

か ら求 める と、そ れぞ れの速 度の 誤差 を± Δ
v(m/s)、２つの速度の測定時刻の差を t(s)とし

９．謝辞て 、 ± Δ 2v/t(m/s^2)の 誤 差が 出 る。 Δv=0.40,

この研究を行うにあたり、顧問の米田隆恒先

t=0.50 とすると±1.6(m/s^2)=5.7(km/h/s)となり、生には多大なご指導を賜りました。また、サイ

意味をなさない。そのため、何らかの関数で近エンス研究会の先輩方や、立命館大学の野間春似する必要があるが、データ点以外での関数の生先生、近畿大学の多田昌裕先生には多くの助挙動の妥当性について検証することが難しいた

言をいただきました。この場を借りて、深く御礼申し上げます。

二輪車での姿勢制御の研究
４年Ｃ組 船井遼太朗
指導教員 米田隆恒

１． 概要
私は現在、ロボットが左右についた二輪車で前後に倒れることなくバランスを取るための「姿勢制御」の研究を行っている。今回は、前後のバランスをとるために距離センサを用いる方法と、３軸加速度センサを用いる方法の二つの視点から取り組んだ。ここでは、
その途中経過を報告する。

キーワード

姿勢制御、距離センサ、３軸加速度センサ、倒立振子

２． 研究の背景と目的
私は、レゴ社が販売している「マインドストーム」と呼ばれる、プログラミングロ
ボット開発キットを用いて製作された、姿勢制御ロボットを見る機会を得た。このロボットは、手で押してもバランスをとりな
がら、自立し続けることができるものである。私もこのような、自立型の姿勢制御ロ
ボットを開発したいと考えた。そこで、今

図１ Arduino Uno

回は２つの車輪を持った、シンプルな形状の試作機を製作することにした。

車輪の動力には、機体の重さに耐えて走３． 研究内容
３.１ 研究１
まず私は、地面と機体の高い位置に取り付けたセンサとの間の距離を測定し、そのデータを元に機体の姿勢制御を目指した。
できるだけバランスを取りやすくするため、箱形の機体を製作した。今回用いたマ
イクロコンピュータ（以下マイコン）には、複雑な制御でも、利用者ができるだけプロ
グラミングをしやすいように改良された、
Arduino と呼ばれるものを選択した。

ることができるだけのトルクのある、タミ
ヤ製ハイパーダッシュモータ PRO を使用した。モータの回転方向、及び、印加電圧を調整できるモータドライバ IC(TA7291P)を使用して、マイコンからモータの回転を制御した。
地面からの距離を計測するための距離センサとしては、GP2Y0A21YKという、10~80cmまでの距離を計測することができるセンサを使用した。高い位置にこのセンサをつけることで、機体のわずかな傾きもより早く検出できるようになるのではないが原因となり、モータが空回りしてしまっかと考え、このセンサを利用した。

た。そこで本体の重心を一度糸で引っ張り上げ、動くようにしてから再度実験を行ってみた。しかし、それでも上手く動かなった。まず考えられたのがしきい値の決め方である。最初は目で確認して設定していたが、その後倒立振子という考え方をご教示していただいた。この考え方は、重心が上にあり、支持点が下にある場合の考え方で、

図２

距離センサ(GP2Y0A21YK)

その支持点を重心の下に持っていくように制御するという考え方である。

図３

距離センサで測定する距離

まずこのセンサを用いて、図３の矢印で表しているように地面からの距離を測定し、値の範囲を見た上で、しきい値を設定する。
次に、その値を超えたときモータの回転方

図５

倒立振子模式図

向を逆回転させることで本体が倒れる前に機体の位置を修正するようにした。

ところが、この考え方で厳密に計算を行

機体の重さは前後でなるべく調整を行っうのは困難であり、断念した。そこで、別たが、均等にはならず常にアンバランスなの方法を用いて次のような研究を行うこと状態となっている。

にした。

３.２ 研究２
倒立振子を用いずに、３軸加速度センサを用いた姿勢制御方法を考えた。研究１で製作した機体を軽量化したものに、赤外線距離センサの代わりに、３軸加速度センサ
図４ 自作した箱型ロボットを搭載したものを使う。このセンサを用いることで、どちらの方向に機体がどれだけ実際に作動させたところうまくバランス

傾いているかを測定することができる。初を取ることができなかった。1 回目に行っ期の状態をバランスが取れている状態とした実験では、機体のプラスチック板の重さた時に、そこからどれだけ傾いたかを計測

して制御を行う。また、できる限り精密に

は、センサから取得した数値が変わるのに測定するために三端子レギュレータを用い応じて、モータの回転方向を変え、バランてなるべく電圧を安定させるようにした。

スを保つことができると考えている。

まず、私は３軸加速度センサの動作実験を行った。この実験は、加速度センサの６，
７，８ピンがそれぞれx軸,ｙ軸,ｚ軸方向への加速度データを出力しているため、そこからArduinoの入力ピンがデータを受け取り、10進数に変換して数値化するものである（図５）。
図７

３軸加速度センサ（kxr94-2050）

４． 今後の課題
今回行った研究１は、非常に複雑なものになるため一度断念することにした。しかし、今後、機会があれば再度取り組んでみたいと思う。
図６

３軸加速度センサから取得した値

研究２では、まだ実際に動作させていな
いが、モータの回転が空回りしないための

しかし、このままでは直感的に数字の変

本体の軽量化と、センサの値とモータとの化を捉えにくい。そこで、私は、Processing

連動を行うことで姿勢制御が行えるのではを用いてアナログデータをグラフ化するプ

ないかと考えている。

ログラムを見つけ、 Arduino マイコンと連今回行った実験により、センサの値を視動させることにした。先に実験したときと認することができた。センサから取得した同じようにマイコンからセンサ入力値を取値をグラフで描画する実験は、シリアル通得し、そのデータを一度別の変数に格納す

信からデータの送信ができず、グラフ化をる。その後、Processing を用いて制作され実行することができなかった。今後はシリたソフトウェアで、シリアル通信用のライ

アル通信から得たデータをインポートし、ブラリをインポートし、そのデータをグラ

グラフ化を行えるようにしていきたいと思フに変換する。しかし、送られてきたデー

う。

タが全て 0 になっていたため今回その実験は失敗だった。原因として、取得したデー

５．参考文献タを上手くインポートできなかったことが[1]倒立振子を作ってみよう

考えられる。

http://www.kumikomi.net/archives/2009/

実際に機体にこのセンサを用いるときに

04/01beauto.php?page=1

[2]倒立振子の製作
http://maverickengineer.web.fc2.com/[3]加速度センサで遊ぼう
http://jkoba.net/prototyping/arduino/a
ccel_practice.html

６.謝辞
サイエンス研究会物理班の活動において、顧問の米田先生をはじめ多くの先生、先輩方に多大なご指導をいただきました。この場で深く感謝申し上げます。

マイクロ波実験装置の製作
５年 B 組 寺川 峻平
指導教員 米田隆恒

１．要約
電磁波の性質を学習する際、学習者が自らの手で実験を行うことによって、より理解が深まると考えられる。そこで、市販のドップラーセンサモジュールを利用し、高校物理の生徒実験に使えるマイクロ波実験装置を製作した。
キーワード マイクロ波、実験装置、ドップラーセンサ、教材、多重反射、干渉

２．研究の背景と目的
数年前、私は電磁波の性質に興味を持ち、数 cm であるため、実験を机の上のスケー
ルで手軽に行うことができる。

物理の教科書を読んでそれらを理解しよう

電圧計とした。また、実験によってそれらを確かめたいと思った。しかし、本校にはそのよ
うな実験を行うための実験装置が無かった

受信機
送信機

ため、自作することにした。
製作にあたり、装置はなるべく単純な構

分配器

図１

マイクロ波実験装置

造となるように注意した。これは、部品点数を減らすことで材料費を抑えられること、今回製作した装置は、送信機・受信機・装置への理解と製作・保守が容易になるこ

分配器・電圧計で構成されている(図１)。

とを目指したからである。

それぞれの役割は以下の通りである。

また、これらの目標は装置を教材として生徒実験に用いるというもう一つの目的にも沿うものであるため、教材としての用途にも留意しながら研究を進めることにした。

・送信機：マイクロ波の送信を行う
・受信機：マイクロ波を受信し、受信強度を出力する・分配器：受信機へ電源供給を行い、受信機からの出力信号を電圧計へ中３．研究内容3.1 装置の概要
一口に電磁波といっても、X 線・可視光

継する・電圧計：受信機の出力電圧を表示する
これらを組み合わせて使用し、受信強度測線・赤外線など、周波数によっていくつか定を行う。以下に実験例を挙げる。

に分類される。製作に使用したドップラー

・物質中のマイクロ波の波長測定

センサは、マイクロ波と呼ばれる周波数帯

・反射、屈折、回折、干渉などの確認

域の電磁波を扱うものであり、その波長が・透過率の測定

・横波の検証と電場の振動面の測定

3.3 受信強度測定への応用

・レンズ、フレネルゾーンプレートの実験

２つのドップラーセンサを向かい合わせ装置の製作にかかった費用(材料費)はおて静置すると、出力信号④はドップラー効

よそ 9000 円である。性能の差はもちろん果の有無に関わらず振動する。これは、２あるが、市販の実験装置が数十万円と高価

つのドップラーセンサの発振周波数の個体なのに対して非常に安価に製作できた。

差によって送信波①と受信波②の周波数が一致していないためである。今回使用した

3.2 ドップラーセンサ

ドップラーセンサの仕様を確認すると、“周

マイクロ波の発振回路やアンテナの設

波数安定度：±５MHz max.”とある。つ

計・製作は困難であったため、市販のドッ

まり、異なる２つのドップラーセンサでは、

プラーセンサモジュール(以下ドップラー

発振周波数に最大 10MHz の差があるといセンサ)を利用し、その機能の一部を活用す

うことである。このため、出力信号④は最ることにした。使用したドップラーセンサ

大で 10MHz の周波数を持ちうる。

は新日本無線社の NJR4178(図２)という

また、うなり成分④(③)の振幅は受信波

製品で、本来はその名前の通りドップラー②の強度に従って大小に変化する(図３)。

効果を利用した動体検知などに用いられるものである。

よって、ドップラーセンサを２つ使用し、どちらか一方の出力信号の振幅を測定する

マイクロ波はドップラーセンサ内部の誘導発振器(約 10.5GHz)で生成され、送信アンテナから出力される。反射して返ってきことによって受信強度測定を行うことがで
きる。
送信波

①

受信波

②

内部
合成波

③

出力信号

④

たマイクロ波は同じドップラーセンサの受信アンテナで受信され、ドップラーセンサ
内部で送信波と混合、検波され出力されるという仕組みである(図２)。ドップラー効
果によって受信波の振動数が変化するとドップラーセンサ内部で混合された内部合成

受信強度が弱い場合

波にうなりが生じ、出力信号は送信波と受信波の差の周波数で振動する。

送信波
受信波
内部
合成波
出力信号
受信強度が強い場合

図２

NJR4178

新日本無線 Web サイトより引用

図３

受信強度と出力信号の振幅(電圧)との関係

3.4 構成［送信機］
ドップラーセンサ、電源回路とスタンドで構成される。
電源回路は AC アダプタからの直流電源［分配器］
２芯シールド線で受信機と接続し、増幅回路への電源の供給と増幅回路からの出力信号の中継を行う。配線は図のようになっている。

を５V の三端子レギュレータで安定化させ受信機と分配器を接続するケーブルは図てドップラーセンサに供給するだけのもの

４のように電源と GND 線をクロスさせてである。送信側ドップラーセンサの信号出いる。こうすることで、分配器側ではジャ力端子は未使用である。

ックの一番奥に、受信機側ではプラグの最スタンドには田宮模型のユニバーサルア

後に刺さる端子に電源ラインが引かれるこームを利用した。ユニバーサルアームとはとになり、AC アダプタをコンセントに挿

スチロール樹脂でできた棒状の工作用構造

したままケーブルを抜き差ししてもドップ

材で、５mm 間隔で穴が開けられており切ラーセンサや増幅回路が壊れにくくなる。

ったり組み合わせたりといった工作が簡単

ケースには百円ショップのタッパーを用に行えるという特徴を持つ。これを用いるいた。

ことで、木材やアクリル板などと比べて加工の手間が減り、実験に合わせてスタンドを作り替えたり同じ状態を再現したりといったことが行い易くなった。
設置の自由度を高めるため、電源は受信機側とは別に用意した。
図４

クロスケーブル［受信機］
ドップラーセンサ、増幅回路とスタンドで構成される。

［電圧計］
学校の直流電圧計を用いた。

増幅回路では、ドップラーセンサの出力マイクロ波の受信強度が０のとき、増幅信号の振幅を電圧計で扱えるレベルに増幅回路からの出力電圧は 0V ではない。このする。出力信号の中心電圧は 0V ではなくため、実験に際しては受信強度０のときの受信機の設置位置や周辺環境によって変動値をオフセット電圧として記録しておき、するので、コンデンサを直列につないで直実験値から引く作業が必要になる。

流成分をカットし、中心電圧を 0V とする必要がある。その後、ダイオードとコンデンサで負電圧側カット・平滑化し、オペアンプで増幅する。
スタンドは送信機と同じようにユニバー
サルアームで製作した。

3.5 多重反射防止シールド
２つのドップラーセンサに何も手を加えない状態で本実験装置を使用し、送信機と受信機を遠ざけて行き、電圧計の値を記録すると、値は単調に小さくなるのではなく距離が約λ⁄2 変化するごとに極大が現れる。

そこで、マイクロ波を正面以外の方向に反ここでλはマイクロ波の波長であり、空気中射するのではなく、吸収してしまう素材をでは約 28mm である。極大が現れるのは送使うことを考えている。

信機と受信機の間でマイクロ波が反射を繰り返し、干渉しあうためだと考えられる。
このままでは不便なので、多重反射が起こ

５．参考文献らないようにするためにシールドを製作し[1]新日本無線た。

http://mc.njr.co.jp/jpn/technical/sensor_2.

技術サポート

html

マイクロ波を正面以外へ反射させるために、シ[2]RF ワールドールドの形は図５のよう「ドップラー・センサを使ったスピード・な四角錐とした。アルミガンの製作」

ホイルをコピー用紙で挟

http://www.rf-world.jp/bn/RFW05/sample

むようにしてそれぞれ接s/p126-127.pdf[3]「電子回路入門講座」見城尚志・高橋久,

着し、それを切り抜いて組み立てた。コピー用紙

サンプルページ

図５

電波新聞社

で挟んだのは、加工が簡単になり絶縁にもなるためである。

６．謝辞

これを送信・受信用のドップラーセンサ

今回の研究において、顧問の米田先生をそれぞれに装着したところ、出力信号の変はじめとして多くの方々にアドバイスをい動を減らすことができた。しかし、干渉のただきました。また、何人かの友人に実験影響を完全になくすことはできなかったたを手伝っていただきました。この場をお借め、定量的な実験を行うときにはこの変動

りして、深くお礼申し上げます。

に注意する必要がある。

４．今後の課題
高校３年生の物理の授業で生徒実験に使用してもらったとき、受信機と分配器とをつなぐケーブルが断線してしまうことがあった。また、プラグをケーブルにハンダ付けするのは手間がかかるので、これらを踏まえてケーブルの構造、作り方を見直す必要がある。
また、多重反射防止シールドを改良した
い。送信機と受信機のなす角によっては四角錐のシールドが邪魔になる場合がある。

物質中でのマイクロ波の波長測定実験
５年 B 組 寺川 峻平
指導教員 米田隆恒

１．要約
私は数年前から電磁波の性質に興味を持ち、マイクロ波実験装置の製作に取り組んでいる。その実験装置を使用し、マイクロ波の波長測定実験を行った。マイクロ波が物質を透過する際、物質と空気との境界面で一部のマイクロ波は反射する。それらの経路差により、物質の厚さに対応して透過後のマイクロ波の強度が変化する。これを利用し、物質の厚さを段階的に変えてマイクロ波の受信強度を調べることで物質中の波長を測定した。その結果、紙中においては約 3%の誤差で波長を測定できた。水中においてはデータの分析方法を
現在研究中である。
キーワード マイクロ波、実験装置、多重反射、干渉、波長、薄膜干渉２．研究の背景と目的
私たちの生活は電磁波の活用によって支それぞれの物質の波長 λ は以下のとおりである。

えられている。しかし、身近なはずの電磁波のことを私はよく知らなかった。
そこで、実験を通して電磁波の基本的な性質を理解

𝜆=するため、まずは物質中でのマイクロ波の波長を測定することにした。
しかし本校には波動実験を行う電波実験
装置がなかったため、実験装置を自作し、それを使用した。よって、今回はこの実験装置を用いた波長測定実験の手法や考え方を確立することを目標として研究を行った。

𝑐 = 𝜆𝑓 =

1
√𝜀𝜇

1
1
=
𝑓√𝜀𝜇 𝑓�𝜀𝑟 𝜀0 𝜇

紙 … 𝜀𝑟 = 2.0 , λ = 18 [mm]水 … 𝜀𝑟 = 80 , λ = 2.9 [mm]3.1 仮説マイクロ波実験装置の送信機と受信機を向かい合わせて設置し、それらの間に波長３．研究内容紙・水(水道水)の中でのマイクロ波の波長を調べた。

測定を行う物質を置く。物質の厚みを変えると、その変化にあわせてマイクロ波の受信強度が周期的に変化する(簡易実験にて製作したマイクロ波(10.5GHz)実験装置

確認)。この現象を利用し、受信強度の変動

は、出力信号の電圧からマイクロ波の受信から物質中でのマイクロ波の波長を測定で強度を判断するものである。

きると考えた。

文献[1]による比誘電率 ε r から計算した

空気(１)送信機と受信機に反射板を取り付け、鉄物質

柱スタンドで図２のように固定する。
受信機

送信機

λ1

λ2

で振りきれる)しないように気をつx

けながら、できるだけ送信機と受信機を近づける。

L
図１

このとき、出力電圧が飽和(約 8.5V

波長測定簡略図(２)送信機と受信機の間に厚紙を重ねて置く。

空気中のマイクロ波の波長をλ1 、物質中

(３)受信機だけ電源を入れ、受信強度０での波長をλ2 、物質の厚みを𝑥、送信機と受(４)送信機の電源を入れ、紙を一枚ずつ取

いま、厚みが𝑥のときに受信強度が極大

り除いてゆき、受信機の出力電圧を信機との距離を𝐿とする。

になったとする。物質の厚さを増やしていき、𝑥 + δで再び極大となったとすると、(𝑚：整数)

3𝑥 − 𝑥 = 𝜆2 𝑚

3(𝑥 + 𝛿) − (𝑥 + 𝛿) = 𝜆2 (𝑚 + 1)となり、これらの差を求めると、
2(𝑥 + 𝛿) − 2𝑥 = 𝜆2
∴𝛿=

𝜆2
2

よって物質の厚みを𝜆2 ⁄2変化させるごとのオフセット電圧を記録する。

記録する。
※(１)反射板を取り付けるのは、未使用のアンテナを無効にするためである。送信機
は受信アンテナを、受信機は送信アンテナをふさぐように取り付ける。
※(４)重ねて揃えられた状態から紙を取り除いてゆくことで、一枚一枚積み上げるよりも厚紙同士の隙間を小さくできると考えたためこのような方法をとった。

に極大があらわれることになる。

この予測のもと、物質に紙と水を用いてそれぞれ測定を行った。
3.2 紙中の波長測定＜結果＞
グラフの極大-極大間の距離より、
δ の平均 = 9.41 [mm]𝜆2 = 18.8 [mm]となり、理論値に非常に近い値が得られた。

＜実験方法＞
送信機

反射板

厚紙
反射板
受信機

図２

実験装置
図３

紙の測定結果厚み[mm] 電圧-オフセット[V]
39.60
1.85
19.14
38.94
2.00
18.48
38.28
2.15
17.82
37.62
2.25
17.16
36.96
2.40
16.50
36.30
2.55
15.84
35.64
2.65
15.18
34.98
2.70
14.52
34.32
2.70
13.86
33.66
2.70
13.20
33.00
2.75
12.54
32.34
2.80
11.88
31.68
2.90
11.22
31.02
2.95
10.56
30.36
3.15
9.90
29.70
3.20
9.24
29.04
3.35
8.58
28.38
3.50
7.92
27.72
3.65
7.26
27.06
3.85
6.60
26.40
3.95
5.94
25.74
3.95
5.28
25.08
3.90
4.62
24.42
4.00
3.96
23.76
4.05
3.30
23.10
4.20
2.64
22.44
4.35
1.98
21.78
4.60
1.32
21.12
4.90
0.66
20.46
5.30
0.00
19.80
5.65

6.00
6.20
6.30
6.30
6.25
6.15
6.15
6.20
6.35
6.60
6.85
7.20
7.50
7.75
7.90
7.95
8.00
7.95
7.90
7.70
7.60
7.50
7.55
7.70
7.95
8.20
8.35
8.35
8.35
8.35

(１)送信機と受信機に反射板を取り付け、鉄柱スタンドで図４、図５のように固定する。水中ではマイクロ波が非常に減衰しやすいため、送信機と受信機を水槽に接触しないようにしてできるだけ近づける。
(２)受信機だけ電源を入れ、受信強度０でのオフセット電圧を記録する。
(３)送信機の電源を入れる。送信機と受信機の間に水槽を置き、受信強度が０になるまで水を入れていく。このとき、表面張力によって水槽壁面付近の液面が平らにならないことがある
ので、ときどき水槽を揺らして壁面をしっかりと濡らす必要がある。
(４)ピペットで水を水槽から約１ml ずつ取り出していく。取り出した水は電子天秤に乗せたメスシリンダーに移し、電圧計は 15V レンジで測定を電圧計の値とともに、取り除いた水行い、最小目盛は 0.5V である。

の質量も記録する。この操作を水槽の底面の一部が乾いて島のようにな

3.3 水中の波長測定

るまで繰り返す。

＜実験方法＞※(４)水中ではマイクロ波が減衰しやすい
ため、できるだけ浅い水深で実験を行う必要がある。しかし、水を滴下していくと、水量が少なく水深が浅いときに、表面張力によって水が水槽の底面に広がらない恐れがあると考えたため、水を増やすのではな
く減らしていく方法にした。
水１ml を１g と考えて体積及び水の厚さを

図４

実験装置

求める。

送信機
水槽

受信機

図５

配置

＜結果＞
極大-極小間で変化した厚さをδ⁄2と考えると、𝛿= 0.53 × 2 = 1.06 [mm]

よって、水中での波長λ2 はとなった。

𝜆2 = 2.12 [mm]際には図１で表したもの以外にも反射は起きるはずであるが、位相の変化が物質の厚みの変化によらなかったり、伝搬によって減衰し影響が小さくなると考えられる。
水中の波長測定では極大-極小間で変化した厚さを𝛿 ⁄2とみなしたが、これによって誤差が大きくなった可能性がある。紙中の波長測定結果をみると、極大-極小間に変化した厚さと極小-極大間に変化した厚さが異なっている。このため、どちらかを二倍しても極大-極大間に変化した厚さとし

図６

水の測定結果て扱うことができない。
マイクロ波の減衰が大きくない物質にお減った水深[mm] 電圧-オフセット[V]
0.00
0.01
1.94
1.83
0.08
0.02
2.02
2.03
0.16
0.02
2.10
2.26
0.23
0.03
2.18
2.49
0.30
0.04
2.25
2.72 ３V
0.38
0.05
2.32
2.86
15V
0.46
0.08
2.40
3.14
0.53
0.11
2.47
3.24
0.60
0.13
2.54
3.34
0.68
0.17
2.62
3.29
0.74
0.22
2.70
3.24
0.82
0.26
2.77
3.19
0.89
0.32
2.85
3.09
0.97
0.38
2.92
2.99
1.05
0.46
2.99
2.94
1.12
0.53
3.07
2.94
1.20
0.60
3.15
2.99
1.28
0.67
3.22
3.09
1.35
0.76
3.29
3.29
1.43
0.86
3.37
3.64
1.50
0.96
3.44
4.14
1.58
1.07
3.52
4.84
1.65
1.20
3.60
5.79
1.72
1.33
3.67
6.99
1.79
1.47
3.74
8.39
1.87
1.64
電圧計は 3V レンジと 15V レンジを途
中で切り替えて測定を行い、最小目盛はそれぞれ 0.1V と 0.5V である。

４．考察・今後の課題
境界面での反射を利用して、紙中のマイクロ波の波長を測定することができた。実

いては紙に対して行ったような実験で波長測定ができるようになった。
今後の課題は、水のように減衰が大きく
極大(極小)点が観測しづらい物質でも波長測定ができるような方法を考えることである。

５．参考文献[1]誘電率表
http://www.rkcinst.co.jp/cp1/yudenritsu_
hyou.htm

６．謝辞
今回の研究において、顧問の米田先生をはじめ、多くの方々にアドバイスをいただ
きました。この場をお借りして、深くお礼申し上げます。

豆電球と LED の電力特性
５年 C 組 田中 一輝
指導教員 米田 隆恒
１．要約
私は、本校の太陽光発電の発電量を見たとき、発電量は何によって決まるのかという疑問を持った。昨年、豆電球と小型の太陽電池を用いて光源から太陽電池までの距離と太陽電池の発電電圧の関係性を調べた結果、それらの間に規則性があることがわかった。今回は距離ではなく、光源の種類と発電量の関係性を調べた。その結果、興味深い事実がわかったので報告する。
キーワード 太陽電池、発電電圧、LED、豆電球
２．研究の背景

ミホイルで覆い、上部に光源を下向きに取私は、これまでの実験で豆電球を光源とり付けたものを太陽電池にかぶせ、光源以して使用してきた。しかし、最近は LED

外の光が太陽電池に当たらないようにする。

が新しい照明として注目されている。そこ

また、ガムのケースの内部にもアルミホイ

で、LED を光源としたとき、太陽電池の発ルを貼り、光源の光がすべて太陽電池に当

電電圧は豆電球と比較して、どうなるのか、たるようにする。

また LED の色の違いによって、太陽電池

光源にかける電圧を上げていき、各電圧の発電電圧は変わるのか、について実験をにおいて、光源に流れる電流と、その光を行い、考察した。

受けた太陽電池の発電電圧を測定する。
光源には、耐電圧が 6.0V、3.8V、2.5V

３．研究内容の豆電球と、白色 LED を使用する。

3.1 仮説１
LED は通常、豆電球よりも効率が良いとされている。そこで、「同じ消費電力において LED を光源とした方が豆電球を光源とするよりも発電電圧が大きくなる」という仮説をたて、実験を行った。
(1) 仮説１の検証
図１が製作した実験装置の写真である。
市販のガムのケースの底を切り取り、アル

図１ 実験装置

(2) 仮説１の検証結果(3) 仮説１の考察

図２は、豆電球、LED それぞれにかけた

仮説１の検証結果をみると、豆電球の方

電圧と太陽電池の発電電圧の関係を表したが LED より効率が良いように思える。しグラフである。同じ電圧においては、豆電

かし、LED の特徴である小さい消費電力で球の方が LED よりも発電電圧が高いこと

発電電圧が高いことを利用して、LED を複がわかる。つまり、同じ電圧においては豆数個使用すれば、総消費電力において LE

電球の方が明るいことがわかる。また、L

D の方が効率が良いといえる。

ED は電圧が一定値を超えるまでは電流が流れず光を出していないので、太陽電池は発電しないことがわかる。

3.2 仮説２
LED は様々な色のものがあるが、その色によって発電電圧は変わるのかという疑問を持った。そこで、「同じ消費電力において発電電圧は LEDの色に依存しない」という仮説をたて、実験を行った。
(1) 仮説２の検証

図２ 電圧と発電電圧の関係

実験装置は、仮説１の検証に用いたものと同じ装置を使用する。光源には、白色、

図３は、光源の消費電力と太陽電池の発

赤色、黄色、緑色、青色 LED を使用する。

電電圧の関係を表したグラフである。およそ 0.2W までは、同じ電力において白色 L(2) 仮説２の検証結果

ED が最も発電電圧が高いが、それ以上の図４は、LED の電圧と太陽電池の発電電

消費電力になると豆電球の方が高くなるこ圧の関係を表したグラフである。同じ電圧とがわかる。よって、仮説１「同じ消費電において発電電圧は LED の種類によって力において LED を光源とした方が豆電球異なっているが、赤色 LED と黄色 LEDを光源とするよりも発電電圧が大きくなる」

は非常に近いといえる。また、白色 LED、は正しくない。

緑色 LED、青色 LED も近いといえる。

図３ 消費電力と発電電圧の関係

図４ 電圧と発電電圧の関係

図５は、各色の LED の消費電力と太陽電池の発電電圧の関係を表したグラフである。赤色 LED を除くと、同じ消費電力において発電電圧はかなり近いといえるが、多少の違いはある。よって仮説２「同じ消費電力において発電電圧は LED の色に依存しない」は正しくない。
図７ 赤色 LED

図５ 消費電力と発電電圧の関係
図８ 黄色 LED
(3) 仮説２の考察
図５をみると、グラフが対数関数である
ようにみえる。そこで Excel を用いて、それぞれのグラフについて、対数関数の近似曲線を描いた。

図９ 緑色 LED

図６ 白色 LED

図１０ 青色 LED図６が白色 LED、図７が赤色 LED、図８が黄色 LED、図９が緑色 LED、図 10が青色 LED であり、それぞれのグラフに対する対数関数の近似曲線を重ねたものである。いずれのグラフも、対数関数の近似曲線とほぼ重なっており、対数関数で表せるといえる。
４．まとめと今後の展望
今回の実験で、図３から小さい消費電力については、LED の方が太陽電池の発電効率が良いが、大きい消費電力になると、豆電球の方が発電効率が良い、つまり明るい
ことがわかった。しかし、明るさを得るた
めに LED を複数個使用すれば、LED の方
が豆電球よりも効率が良いことがわかった。
また、図５から LED の色によって発電
効率は少し違うということがわかった。さらに、図６、７、８、９、10 から LED の消費電力と発電電圧のグラフは対数関数で表せることがわかった。
今後は、なぜこのグラフが対数関数になるのかについて考察したい。
５．謝辞
この研究にあたりご指導くださったサイエンス研究会顧問の米田隆恒先生にこの場をお借りして深くお礼申し上げます。

完全数について
1 年 C 組 小椋 晃一
指導教員 川口 慎二

１.要約
サイエンス研究会数学班 1 年生は完全数について学習している。今回は完全数を扱い、新たなことを見つけることを目標とした。その過程において、完全数に関する考察をすることができたので紹介する。
キーワード

完全数、約数、準完全数、概完全数、奇数、 k 倍完全数

２．研究の背景と目的
完全数とはその数 n の正の約数の和が2n と 等しくな る自然 数のこと であり 、
6,28,496 ・・・と続く。
私は、完全数に先行興味をもった。すると、完全数に関する研究がいくつもあるこ■概完全数
ある数 n の約数の和が 2n − 1 になるとき、その数 n を概完全数という。具体的には、

4,8,16,32  があるが、 2 x 以外には見つかっていない数である。

とを知った。そこで、基本的な内容と発見できたことを本稿にまとめることにした。

■ k 倍完全数
本稿では、 k を整数として、ある数 n の３．研究内容約数の和が kn になるとき、その数を k 倍完

3.1 定義全数という。

■約数
通常、整数 α に対して、 α = βχ を満たす整数 β , χ が存在するとき、 β , χ を α の■メルセンヌ素数

2 n − 1 になっている素数をメルセンヌ素

約数というが、今回は自然数 α に対して数という。例えば、 3,7,31 がある。

α = βχ を満たす自然数 β , χ が存在するとき、β , χ を α の約数という。つまり、負の3.2 偶数の完全数数について考えないことにする。

命題
■準完全数
ある数 n の約数の和が 2n + 1 になるとき、その数 n を準完全数という。未だに見つかっていない数である。

2 n − 1 が素数ならば 2 n −1 ( 2 n − 1) は完全
数である。

（証明）

2

n −1

縦同士を掛けると n になるように並べ替え( 2 − 1) は既に素因数分解されており、 る。 n も約数になるが、掛けるのはおな
n

約数も素因数分解ができるか素数であるた

じ n となるため

め、小さい順に

1,2,4,8,,2 n −1 , ( 2 n − 1),2( 2 n − 1),
4( 2 − 1)  2nn −1( 2 − 1)2 ÷2=2

n −1

,2

n −1

÷2=2

n −2

,

より、 2 − 1 、
n −1( 2 − 1),2( 2 − 1),4( 2 − 1)  2 ( 2 − 1)の和は分配法則より ( 2 n − 1) 2 となるので
2 n − 1 + ( 2 n − 1) 2 = 2 n ( 2 n − 1)
より 2 n −1 ( 2 n − 1) の約数の総和は
n

n

na

, n

この約数の和は奇数個の和ゆえ奇数である。

nnn2 ,  , na −1 ,n, nm −1 , nm −2 ,  , nm −a +1 , nm −aとなる。 1,2,4,8,,2 n −1 の和は、
n1, n1 ,nn

2n ( 2n − 1) となり、2 n −1 ( 2 n − 1) の２倍であるため、 2 n −1 ( 2 n − 1) は素数である。
(Q.E.D )これは有名な定理であるが、偶数の完全数に関する定理である。次項からは奇数の考察を述べていく。

しかし、奇数の完全数 n の約数の和は偶数2n でなければならない。したがって、奇数の完全数は平方数ではない。 (Q. E . D )3.4 奇数の準完全数および概完全数
命題
奇数の準完全数と概完全数はともに平方数である。
（証明）
約数の和が奇数になるが、約数は全て奇数で偶数個あるため和が奇数にならない。
約数の和を奇数にするにはもう一つ奇数を

3.3 奇数の完全数足す必要があり、平方数である必要がある
ため、奇数の準完全数と奇数の概完全数は

命題

平方数である (Q. E . D )奇数の完全数は平方数ではない

3.5 奇数の k 倍完全数
（証明）
平方数である奇数の完全数を n とおいた
とき、その約数を小さい順に

1, n1 , n2 ,  , na , n ,  , nm −1 , nm とする。このとき、 nm は n 自身になり、

n1 × nm −1 = n, n2 × nm −2 = n,  となる。
また、奇数の約数は奇数であるため、

n1 , n2 ,  もすべて奇数である。この約数をまず、3 倍完全数 n をつくるためには、nの約数の和が奇数である必要がある。これは平方数でないと約数の和は奇数にならな
い。
約数の和が 3n ということは n を除いた

1, n1 ,

n2 ,  , na −1 ,na , nnm −1 , nm −2 ,  , nm −a +1 , nm −aの和が 2n になればいいということであり、

nm −1 + nm −2 +  + nm −a > n1 + n2 +  + na
５．参考文献なのでnm −1 + nm −2 +  + nm −a + n > n

６．謝辞

となる。

n1 × nm −1 = n,n1 ≥ 3 なので1
1n ≥ nm −1 , n ≥ nm −2 ,  となり
35
n 以上になるには

1 1 1 1 1
1
1
+ + + + + +≥1
3 5 7 9 11 13 15より、 7 つ必要なので

nm−1 , nm−2 ,  , nm−a , n の 約 数の 数が 7 つ以上になる。
となると、n1 , n・・
na は 6 つ以上になる
2
ため奇数の 3 倍完全数の約数は 13 個と n と1 をあわせた 15 個以上となる。
同様に奇数の 4 倍完全数についても考えると、

nm −1 + nm −2 +・・nm −a + n > 1.5nになるようにすればよいため、計算した結果より、約数は 41 個以上となる。
奇数の 5 倍完全数についても、113 個以上の約数があることがわかった。

４．今後の課題
今回研究するにあたって約数を並び替えるという操作をしたが、その際約数が奇数に限られるように「奇数の」と限定するという方法を用いた。この場合主にある偶数の完全数については考えていなかったため、かなり強い条件のもとでの証明になってしまった。偶数についても今後自分で挑戦したい。

美しくて感動する数の教室

今回の研究にあたり顧問の川口先生をはじめとした方々にアドバイスをいただきました。ありがとうございました。

正五角形と黄金比
１年 B 組 古宮 昌典
指導教員 川口 慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班１年生は、三角比について学習している。今回は、正五角形と黄金比について理解することを目標とし、その理解のために三角比、黄金比、二次方程式、について学習した。また、その考察もできたので、紹介する。
キーワード 三角比、36°、黄金比、二次方程式

２．研究の背景と目的
正五角形の一辺の長さと対角線の長さの比が黄金比になっているということは、広く知られていることである。そこについて私は、なぜそうなるか興味をもったからである。
３．研究内容3.1 基本的な定義と定理■黄金比
黄金比とは比 1 :1+ 5のことであり2φ

不思議な性質をもっている。
■三角比
下図の AB を斜辺とする直角三角形
ABC において、 ∠ ABC を θ とする。この
とき、

AC
AB
AB
、 cos θ =、 tan θ =BC
AB
BCと定義する。

する。このとき、 AB = BC + CA が成
り立つ。
2

2

2

証明
下図で、AB＝ z ,AC＝ x ,BC＝ y とする。
このとき、４つの直角三角形は、すべて合同である。すると、△ABC の面積は1+ 5
を φ で表すことが多い。
21
φ には、 φ 2 + 1 = φ + 1 、 = φ − 1 というsin θ =

定理１（ピタゴラスの定理）
直角三角形 ABC において、AB を斜辺と1xy2と表すことができる。しかし、{}

1(x + y )2 − z 2 とも表すことができる。
4
よって、

{

}

1
(x + y )2 − z 2 = 1 xy
4
2
これを変形させて、

x 2 + 2 xy + y 2 − z 2 = 2 xy
したがって、

x2 + y2 = z2 ．

(Q.E.D)定理２sin θ + cos θ = 12

2

証明
直角三角形 ABC で、AB を斜辺、∠ ABC を θ とする。AB＝１とすると、

BC
AC= AC cos θ =
= BC
1
1
2
2
2
定理１より、 1 = AC + BC よって
sin θ =

sin 2 θ + cos 2 θ = 1(Q.E.D)定理３(加法定理)（１） sin( a + b) = cos a sin b + sin a cos b（２） cos(a + b) = cos a cos b + sin a sin b
証明（１）下図で四角形 ACDF は長方形で、∠ BGD = 90° 、∠ BDG = b 、∠ GDF = a1 、DE
= DE より DE の長さ
DB
が cos(a1 + b) となる。まず、 DG = cos b
DF
ゆえに、より、 cos a1 =cos b
DF = cos a1 cos b
また、 BG = sin b より、BA
sin a 2 =
ゆえに、
sin b
DF = cos a1 cos b,cos(a1 + b) =よって、

DE = DF - BA = cos a1 cos b + sin a1 sin b
つまり、

cos(a1 + b) = cos a1 cos b + sin a1 sin b(Q.E.D)∠ BGA = a 2 とし、いま、BD の長さを１とする。

a1 + ∠ BGD (= 90°) = ∠ AGD より、
a1 + 90° = ∠BGD(= 90°) + a 2
ゆえに、

a1 = a 2
よって、 a1 と a 2 の角は等しい。

BE= BE = AF より、AFBDの長さが sin( a1 + b) となる。まず、AG
GB = sin b より、 cos a 2 =sin bsin(a1 + b) =ゆえに、

AG = cos a 2 sin b
また、 DG = cos b より、GF
sin a1 =ゆえに、
cos b
GF = sin a1 cos b

よって、

BE = AG + GF = cos a1 sin b + sin a 2 cos b,
a1 = a 2 なので、
sin( a1 + b) = cos a1 sin b + sin a1 cos b(Q.E.D)
証明（２）■偶関数と奇関数
関数 y = f (x) を考える。すべての x に対して − f ( x) = f ( x) が成り立つとき、 f (x)を偶関数という。偶関数のグラフは y 軸に関して対称となる。
また、すべての x に対して
− f ( x) = f (− x) が成り立つとき、 f (x) を奇関数という。奇関数のグラフは、原点に関して対称となる。
例えば、 y = sin x は奇関数、 y = cos x は偶関数である。（下図）
実線  y = sin x

破線  y = cos x

x+± b 2 − 4ac
b
，
=
2a
2a

x=

− b ± b 2 − 4ac
2a(Q.E.D)定理４sin( a − b) = sin a cos b + cos a sin bcos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b証明
定理２より、■頂角が３６°の二等辺三角形
下図の直角二等辺三角形 ADC において、∠DAC = 36°, ∠ADB = ∠BDCとする。

sin( a − b)
= sin{a + (−b)}= sin a cos(−b) + cos a sin( −b)ここで、

cos(− x) = cos x, sin(− x) = − sin x

180° − 36°= 72°
2
よって、 ∠BDC = ∠ADB = 36°∠ADC =ゆえに、

AB = BD
また、 180° − 36° − 72° = 36°
ゆえに、

より、

sin(a − b) = sin a cos b + cos a sin b
同様に、

cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b(Q.E.D)BD = DC
したがって、

AB = BD = DCが成り立つ。

定理５（二次方程式の解）
x の二次方程式ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, a, b, c ∈ R)
の解は、

x=

− b ± b 2 − 4ac2aで与えられる。
証明

ax 2 + bx + c = 0 を平方完成すると、
bc
x 2 + x + = 0,
a
a
 2
b
b2  b2c x + 2 ⋅x + 2  − 2 + = 0,2aa4a  4a2b2c 2 b =− = 0，
x
+


2
2a 
a
4a

よって、

b 2 − 4ac
 2 b 
，
 =
x +
2a 
4a 2

2

3.2 正五角形と黄金比
下図で、 ∠AGF = 90° 、直線 HF は、直線
DC に平行である。すると、∠ABC = ∠AED =180°(5 − 2)
= 108°
5

よって、∠CAB = ∠DAE =180° − 108°
= 36°
2

ゆえに、

∠DAC = 180° − 36° × 2 = 36°

=

5+2 5
2

1

, cos18° =すると、先程の事実から、

AF = FD = DC
となる。

なので、

sin 18° =∠DAC = ∠FDC であり、AF = FD = DC = AH より、△DFC ≡△AHF

1+ 5

5+2 5
1+ 5

となる。

となる。また、△ADC ∽△AHF なので、いま DC = 1 、
AC＝ x とすると、
x : 1 = 1 : ( x − 1)
よって、

x2 − x −1 = 0となる。二次方程式の解の公式を用いると、

x=

1± 5
2

いま、 x > 0 なので、 AC =

1+ 5
これは
2

黄金数 φ と同じ値である。これで、AC : CD = 1 : φ が示された。ちなみに、
AF = 1,

AG =

1+ 5
より、
4
2

1+ 5 10 − 2 5 =GF = 12 − 

4
 4 
よって、

sin 36° =10 − 2 5
1+ 5, cos 36° =44となる。また、点 A から辺 CD へ下ろした
垂線の足を I とする。すると、

AC =

1+ 5
,
2

IC =

1
より、
2
2

 1 + 5   1 2 − 
IA = 
 2
2


=
=

3+ 5 1−
2
4
6 + 2 5 −1
2

3.3.1 考察①
ここで、私は、 sin 18°, cos 18° の値と定理４を用いて、 sin 3°, cos 3° を求めることができないかと考えた。
■ sin 15°, cos 15° を求める。
左図のような、 ∠ACB = 30°,
∠ABD = 90°, ∠ADB = 15° となる、
直角三角形 ADB を考える。

∠CAB = 60°, ∠DAB = 75° より、∠DAC = 15°

したがって、

AC = CD

いま、 AB = 1 とする。すると AC = 2 より

CB = 3 ゆえに、 DB = 2 + 3となる。よって、(

AD = 12 + 2 + 3) = 2+ 6
2

よって、

sin 15° =12+ 6, cos15° =

2+ 3
2+ 6

= sin a (cos a cos a − sin a sin a )+ cos a (sin a cos a + cos a sin a )= sin a cos 2 a − sin 3 a + 2 sin a cos 2 a= 3 sin a cos 2 a − sin 3 a22
ここで、定理２より、 cos a = 1 − sin a

となる。

なので、
■ sin 3°, cos 3° を求める。
先程の、 sin 18°, cos 18°, sin 15°, cos 15°の値を定理４にあてはめると、

sin(18 − 15)°
= sin 18° cos15° − cos18° sin 15°==(1⋅ 2 + 3)−

1⋅ 5 + 2 5(1 + 5 )( 2 + 6 ) (1 + 5 )( 2 + 6 )2+ 3 − 5+2 5

2 + 6 + 10 + 30
cos(18 − 15)°= cos18° cos15° + sin 18° sin 15°
=

=

(

)+
1
(1 + 5 )( 2 + 6 ) (1 + 5 )( 2 + 6 )5+2 5 2+ 3

2 5 + 2 5 + 15 + 6 5 + 1
2 + 6 + 10 + 30

よって、

2+ 3 + 5+2 5

sin 3° =2 + 6 + 10 + 30
≈ 0.05233595624

cos 3° =2 5 + 2 5 + 15 + 6 5 + 1

2 + 6 + 10 + 30
≈ 0.9986295348()

sin 3a = 3 sin a 1 − sin 2 a − sin 3 a= 3 sin a − 4 sin a …①
3

同様に、

cos 3a= cos a cos 2a + sin a sin 2a= cos a cos 2 a − sin 2 a− cos a ⋅ 2 sin a cos a

(

)

(

)

= 4 cos a − 3 cos a …②
(Q.E.D)3■ sin 1°, cos 1°
ここで、①、②に a = 1° を代入すると、

sin 3° = 3 sin 1° − 4 sin 3 1°,

cos 3° = 4 cos 3 1° − 3 cos1°
しかし、 sin 1°, cos 1° を求めるためには、上の三次方程式を解かなければならない。
そこで、その方程式を関数電卓に計算させた。すると、それぞれ３つの解を得た。

(sin 1°, cos 1°)= ( −0.8746197071,0.9998476952)(0.8571673007,−0.4848096202)(0.01745240644 ,−0.5150380749)
まず、 sin 1°, cos 1° の値が負になることは

3.3.2 考察②

ありえない。

さらに、定理４を用いて、 sin 1°, cos 1° を求めることができないかと考えた。

よって、 cos 1° ≈ 0.999847695 2

定理６（３倍角の公式）

sin 3a = 3 sin a cos 2 a − sin 3 acos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a証明
定理４で b = 2a を代入すると、

sin 3a= sin a cos 2a + cos a sin 2a(= cos 3 a − cos a 1 − cos 2 a − 2 cos a 1 − cos 2 aになることがわかる。また、sin 1° ≈ 0.86 となる直角三角形を描くと下図のようになり不適だとわかる。
よって、 sin 1° ≈ 0.0174524064 4
となる。
つまり、

sin 1° ≈ 0.01745240644,
cos1° ≈ 0.9998476952と求められた。

)

1 2
360
a n sin2nとなる。また、AB の長さを b とすると、b
180 AD AB==
より、 tan2n
DC 2 DC180 b=
よって、 DC tan
n
2
AD =

ゆえに

DC =

3.4 正 n 角形の面積
三角比を用いて、正 n 角形の面積を求めることができないかと私は考えた。下図の、
正 n 角形を n 個の二等辺三角形に分けたものの１つ分の面積を考える。AC = CB = aとすると、まず、 ∠ACD =360 1 180
⋅ =
n 2
n

180 AD AD
=
=
n
AC
a
180
したがって、 AD = a sinn

よって、△ABC の面積は、

b
1
b2
b⋅
⋅ =
180 2
180
2 tan
4 tan
n
n
n
よって、正 角形の面積は、より、 sin

ゆえに、

180
n
180 DC DC==
また、 cosnACaAB = 2a sin

ゆえに、

DC = a cos

180n

よって、△ABC の面積は、

2a sin180
180 1⋅ a cos⋅nn 2= a 2 sin

180
180
cos
n
n

定理３を用いて、

180
180
a sin
cos
n
n
360 1
= a 2 ⋅ sin
⋅
n 2
2

1 2
360
a sin
2
n
よって、正 n 角形の面積は、
=

b
180
2 tan
n

b2n
180
4 tan
n
とも表すことができる。

４．今後の課題
今回、 sin 1°, cos 1° の値を求めることができた。なので、さらに細かい角度についても求めることや、正 n 角形以外の形でも面積を三角比を用いて表すことができるのかが今後の課題である。

５．参考文献[１]三角形の七不思議 細矢 治夫
講談社[２]図解雑学フーリエ変換 佐藤
ナツメ社

敏明

６．謝辞
今回の研究にあたり、ご指導下さった顧問の川口先生ありがとうございました。また、
SSH の先輩方にも、パソコンの使い方など、さまざまなことを教えてくれました。ありがとうございました。

カプレカー変換に関する考察
２年Ａ組 市田美玲

指導教員 川口慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班２年生はカプレカー変換について学習している。今回は 3, 4 桁のカプレカー変換と変換後の各桁の和の一般化について学習した。また、2, 5 桁のカプレカ
ー変換に関する考察ができたので紹介する。
キーワード カプレカー変換、カプレカー定数、ソート

２． 研究の背景と目的
私は顧問の先生からカプレカー変換について教えていただき、興味を持った。この■ソート
各桁の数字を並びかえて、最大の数にする操作をいう。

カプレカー変換を行い続けるとどのような値になるのか疑問に思い、桁数ごとに考察しようと考えた。そこで、3, 4 桁のカプレ■カプレカー定数１回の変換によって、値が変化しない自カー変換と n 桁の変換後の各桁の和につい然数のことをいう。例えば、て先行研究から学習し、2, 5 桁のカプレカ

495（ 954 − 459 = 495 ）などである。

ー変換について考察を行ったので紹介する。
3.2 ２桁のカプレカー変換

３． 研究内容■２桁のカプレカー定数を求める

3.1 基本事項

命題１■カプレカー変換
自然数において、各桁の数字を並びかえ

２桁のカプレカー定数は存在しない。
[証明]て作ることのできる最大の数から最小の数

２桁の自然数のソート後の値をを引く操作のことをいう。例えば、265 を

10a + b （ただし、 9 ≥ a > b ≥ 0 かつ
a, b ∈ Z ）変換すると、 652 − 256 = 396 より 396 となる。以降、これを変換と呼ぶ。
ただし、ぞろ目は最初の変換で 0 になる
ので、除いて考える。また、 n 桁の変換を考える際に変換により１桁減ってしまったとおき、これを ab と表記する。同様に変換後の値を pq とおく。 a > b より繰り下としても、n 桁とみなして考える。例えば、がりに注意して変換を筆算で行うと次のよ99 を 099 とみなして、445→99→891 と変

うになる。

換する。

a
−
b
a − b −1bab − a + 10

1

90

81

2, 9

81

63

3, 8

72

45

(q)

4, 7

63

27

5, 6

54

9

( p)
筆算１

表１

ab がカプレカー定数のとき、 a, b それぞ

３回目の変換後の値は、２回目の変換後のれの値が p, q のどちらかと等しくなる。

a = p ならば、筆算１より

p = a − b − 1 = a より b = −1 となり矛盾。
したがって、 a = q, b = p とすると、
b − a + 10 = a
この連立方程式を解くと、
 a − b −1 = b
8
19
a = , b = となり a, b ∈ Z に矛盾。
3
3
よって、２桁のカプレカー定数は存在しない。 (Q.E.D.)

値から計算でき、それ以降も同様に計算できる。
よって、表１から、すべての２桁の自然数は変換を繰り返すと
9→81→63→27→45→9→ と循環し、さらにそれは最大２回目の変換
でその循環に入るということが示された。
3.3 ３桁のカプレカー変換■３桁のカプレカー定数を求める
命題２■変換を続けるとどうなるのか[考察]

３桁のカプレカー定数は 495 である。
[証明]

２桁のカプレカー定数は存在しないこと
ソート後の値を abc 、変換後の値をが示されたが、任意の２桁の数 ab について、変換を繰り返すとどのような数になる

pqr とおく。（ 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ 0 ，のかを考える。

a > c かつ a, b, c ∈ Z ）繰り下がりに注意

ab を変換すると筆算１より、して変換を筆算で行うと次のようになる。

a−ca − c −110(a − b − 1) + b − a + 10 = 9(a − b)となる。ここから、変換後の値は a − b の値によって決まることがわかる。a − b は自然

b
b
9

c
a
c − a + 10

筆算２数（ a − b ∈ N かつ 1 ≤ a − b ≤ 9 ）なので、この値によって場合分けし、変換を繰り返

abc がカプレカー定数のとき、a, b, c それ

すと次のようになる。

ぞれの値が p, q, r のうち、どれかと等しく
なる。

a −b

変換後の値
のソート後

２回目

9 ≥ a ≥ b ≥ c , a > c かつ q = 9 より

a=q=9

よって、表２より、すべての３桁の自然

よって、r = c − a + 10 = c + 1 ≠ c より c ≠ r

数は変換を繰り返すと 495 になる。さらに、したがって、 c = p ， b = r となり、それに辿り着くまでに最大で６回の変換が必要であるということが示された。

pqr = cab となる。

a − c − 1 = cを解くと、連立方程式 a = 9
c − a + 10 = b


a = 9, b = 5, c = 4 となる。よって、３桁のカプレカー定数は 495 である。 (Q.E.D.)■変換を続けるとどうなるのか

3.4 ４桁のカプレカー変換■４桁のカプレカー定数を求める。
命題３
４桁のカプレカー定数は 6174 である。
[証明]
ソート後の値を abcd 、変換後の値をpqrs とおく。（ 9 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0 ,[考察]
３桁のカプレカー定数は 495 であることが示されたが、任意の３桁の数 abc について、変換を繰り返すとどのような数にな

a, b, c, d ∈ Z , a ～ d のうち１つは必ず異なる） b = c のときと b > c のときで場合分けして、変換を筆算で行うと次のようになる。

るのかについて考える。
[１] b = c のとき

abc を変換すると筆算２より100(a − c − 1) + 10 × 9 + c − a + 10 = 99(a − c)となる。ここから、変換後の値は a − c の値

a−d
a − d −1によって決まることがわかる。a − c は自然

b
b
9

b
b
9

d
a
d − a + 10

筆算３

この値によって場合分けし、変換を繰り返

9 ≥ a ≥ b = c ≥ d , a > d かつ q = r = 9 より、 a = b = q = r = 9

すと次のようになる。

したがって、 d = p または d = s となる。

数（ a − c ∈ N かつ 1 ≤ a − c ≤ 9 ）なので、

筆算３より、s = d − a + 10 = d + 1 ≠ d となり、 d = p

a−c

変換後の値

1

990

891

d =4

2, 9

981

792

このとき、 c = s = d + 1 = 5

3, 8

972

693

b = c かつ b = 9 より c = 9

4, 7

963

594

よって、 b = c のときカプレカー定数は存

5, 6

954

495

在しない。

のソート後

表２

２回目

p = a − d − 1 = 8 − d より 8 − d = d となり、矛盾である。

[２] b > c のとき

a
− d
a−d

■変換を続けるとどうなるのか

b
c
d
c
b
a
b − c − 1 c − b + 9 d − a + 10

[考察]
４桁のカプレカー定数は 6174 であるこ

筆算４とが示されたが、任意の４桁の数 abcd に

a − d ≥ b − c より、 p > q
p > q より a ≠ q, d ≠ p

ついて、変換を繰り返すとどのような数に

b − c − 1 ≠ b より、 b ≠ q

なるのか考える。

9 ≥ a より − a + 10 ≥ 1

b = c のときも筆算４で考えることがで

s = d − a + 10 ≥ d + 1 > d となり d ≠ s

きるので、全ての場合を筆算４で考える。

pqrs に当てはまる abcd はabcd を変換すると筆算４より、999(a − d ) + 90(b − c) となる。ここから、

acdb , adbc , adcb , bcda , bdac ,

変換後の値は a − d と b − c の２つの値で決

bdca , cdab , cdba

まることがわかる。

の８通りとなる。それぞれの連立方程式を解くと、 pqrs = bdac = 6174 だけが解

（ただし、 9 ≥ a − d ≥ b − c ≥ 0 かつ

a − d , b − c ∈ Z かつ a − d ≠ 0 ）変換後の値をソートした値を a − d と b − c の値によっとして適する。よって、４桁のカプレカーて場合分けし、変換を繰り返したものをま

定数は 6174 である。 (Q.E.D.)

とめると次のようになる。

(a − d , b − c)

１回目
ソート後

２回目

３回目

４回目

５回目

６回目

７回目

（1, 0）

9990

8991

8082

8532

6174

6174

6174

(1, 1), (9, 1), (9, 9)

9810

9621

8352

6174

6174

6174

6174

(2, 0), (9, 0)

9981

8082

8532

6174

6174

6174

6174

(2, 1), (8, 1)

8820

8532

6174

6174

6174

6174

6174

(2, 2), (8, 2), (8, 8)

8721

7443

3996

6264

4176

6174

6174

(3, 0), (8, 0)

9972

7173

6354

3087

8352

6174

6174

(3, 1), (7, 1)

8730

8352

6174

6174

6174

6174

6174

(3, 2), (7, 2)

7731

6354

3087

8352

6174

6174

6174

(3, 3), (7, 3), (7, 7)

7632

5265

4176

6174

6174

6174

6174

(4, 0), (7, 0)

9963

6264

4176

6174

6174

6174

6174

(4, 1), (6, 1)

8640

8172

7443

3996

6264

4176

6174

(4, 2), (6, 2)

7641

6174

6174

6174

6174

6174

6174

(4, 3), (6, 3)

6642

4176

6174

6174

6174

6174

6174

(4, 4), (6, 4), (6, 6)

6543

3087

8352

6174

6174

6174

6174

(5, 0), (6, 0)

9954

5355

1998

8082

8532

6174

6174

(5, 1)

8550

7992

7173

6354

3087

8352

6174

(5, 2)

7551

5994

5355

1998

8082

8532

6174

(5, 3)

6552

4176

6174

6174

6174

6174

6174

(5, 4)

5553

1998

8082

8532

6174

6174

6174

(5, 5)

5544

1089

9621

8352

6174

6174

6174

(6, 5)

6444

1998

8082

8532

6174

6174

6174

(7, 4), (7, 6)

7533

4176

6174

6174

6174

6174

6174

(7, 5)

7443

3996

6264

4176

6174

6174

6174

(8, 3), (8, 7)

8622

6354

3087

8352

6174

6174

6174

(8, 4), (8, 6)

8532

6174

6174

6174

6174

6174

6174

(8, 5)

8442

5994

5355

1998

8082

8532

6174

(9, 2), (9, 8)

9711

8532

6174

6174

6174

6174

6174

(9, 3), (9, 7)

9621

8352

6174

6174

6174

6174

6174

(9, 4), (9, 6)

9531

8172

7443

3996

6264

4176

6174

(9, 5)

9441

7992

7173

6354

3087

8352

6174

よって、すべての４桁の自然数は変換を繰

a, b, c, d , e ∈ Z ）変換を筆算で行うと次のよ

り返すと 6174 なる。さらに、それに辿り着うになる。

くまでに最大で７回の変換が必要であるこ

a
b
c
d
a
− e
d
c
b
e
a − e b − d − 1 9 d − b + 9 e − a + 10とが示された。

筆算５

3.5 ５桁のカプレカー定数■５桁のカプレカー定数を求める
命題４
５桁のカプレカー定数は存在しない。
[証明]
ソート後の値を abcde と表記し、変換後の値を pqrst とする。
（ただし、a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e ≥ 0 , a > e かつa ≥ b ≥ c ≥ d ≥ e , a > e かつ r = 9 より、
a = 9, e ≠ r とわかる。
a − e ≥ b − d より、 p > q
p > q より、 a ≠ q, e ≠ p
b − d − 1 ≠ b より、 b ≠ q− a + 10 ≥ 1 より、e − a + 10 = e + 1 ≠ e となり、 e ≠ tpqrst に当てはまる abcde はacbed , acdeb , adbec , adceb , aebcd ,■変換を繰り返すとどうなるのか

aebdc , aecbd , aecdb , aedbc , aedcb ,[考察]

bcaed , bcdea , bdaec , bdcea , beacd ,beadc , becad , becda , bedac , bedca ,
cdaeb , cdbea , ceabd , ceadb , cebad ,cebda , cedab , cedba , deabc , deacb ,debac , debca , decab , decbaの３４通りとなる。これらを解くと、解と５桁のカプレカー定数は存在しないことが示されたが、任意の５桁の数 abcde について、変換を繰り返すとどのような数になるのかを考える。

abcde を変換すると筆算５より、9999(a − e) + 990(b − d ) となる。変換後のして適するものがない。
よって、５桁のカプレカー定数は存在し値は a − e と b − d の値で決まることがわかない。

る。（ a − e ≥ b − d ）変換後の値をソート(Q.E.D.)

した値を a − e と b − d の値によって場合分
けし、変換を繰り返したものをまとめると
次のようになる。

(a − e, b − d )

１回目
ソート後

２回目

３回目

４回目

５回目

６回目

(1, 0)

99990

89991

80982

95931

85932

74943

(1, 1), (9, 9), (9, 9)

99810

97911

87912

85932

74943

62964

(2, 0), (9, 0)

99981

80982

95931

85932

74943

62964

(2, 1), (8, 1)

98820

95931

85932

74943

62964

71973

(2, 2), (8, 2), (8, 8)

98721

85932

74943

62964

71973

83952

(3, 0), (8, 0)

99972

71973

83952

74943

62964

71973

(3, 1), (7, 1)

98730

94941

84942

73953

63954

61974

(3, 2), (7, 2)

97731

83952

74943

62964

71973

83952

(3, 3), (7, 3), (7, 7)

97632

73953

63954

61974

82962

75933

(4, 0), (7, 0)

99963

62964

71973

83952

74943

62964

(4, 1), (6, 1)

98640

93951

85932

74943

62964

71973

(4, 2), (6, 2)

97641

82962

75933

63954

61974

82962

(4, 3), (6, 3)

96642

71973

83952

74943

62964

71973

(4, 4), (6, 4), (6, 6)

96543

61974

82962

75933

63954

61974

(5, 0), (6, 0)

99954

53955

59994

53955

59994

53955

(5, 1)

98550

92961

86922

75933

63954

61974

(5, 2)

97551

81972

85932

74943

62964

71973

(5, 3)

96552

70983

94941

84942

73953

63954

(5, 4)

95553

59994

53955

59994

53955

59994

(5, 5)

95544

50985

92961

86922

75933

63954

(6, 5)

96444

51975

81972

85932

74943

62964

(7, 4), (7, 6)

97533

63954

61974

82962

75933

63954

(7, 5)

97443

62964

71973

83952

74943

62964

(8, 3), (8, 7)

98622

75933

63954

61974

82962

75933

(8, 4), (8, 6)

98532

74943

62964

71973

83952

74943

(8, 5)

85442

73953

63954

61974

82962

75933

(9, 2), (9, 8)

99711

87912

85932

74943

62964

71973

(9, 3), (9, 7)

99621

86922

75933

63954

61974

82962

(9, 4), (9, 6)

99531

85932

74943

62964

71973

83952

(9, 5)

99441

84942

75953

63954

61974

82962

① 74943 → 62964 → 71973 → 83952

a k − a n+1−k = bk とおく。( k = 1,, n )a1 ≥ a 2 ≥ a3 ≥  ≥ a n かつ a1 > a n より、
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥  ≥ bn かつ b1 > bn であり
bk = −bn+1−k が成り立つ。変換を筆算で行う② 75933 → 63954 → 61974 → 82962と次のようになる。

よって、全ての５桁の自然数は変換を繰り返すと次の３パターンのいずれかで循環する。

③

59994 → 53955

さらに、①,②は最大で６回の変換を行うと循環に入り、③は最大で２回の変換を行うと循環に入ることが示された。

a1
− an
p1

a2  an−1 anan−1  a2 a1
p2 
pn−1 pn

また、 m が bk = 0 となる最小の k として、
3.6 変換後の各桁の和の一般化

各桁の和を S とする。

命題５

n 桁の変換後の各桁の和は９の倍数にな[１] n が奇数のときる。

奇数桁の場合、中央の桁で同じ数を引く

[証明]

n
 が存在する。
2
bk = −bn+1−k より、 bm = −bn−m+1 = 0
b1 ≥ b2 ≥ b3 ≥  ≥ bn かつ b1 > bn より、m ≥ k ≥ n − m + 1 のとき、 bk = 0
また、m の最小性より、k < m とき bk > 0,k > n + 1 − m のとき bk < 0

n 桁の自然数のソート後の値をa1a 2 a3  a n とする。（ただし、9 ≥ a1 ≥ a 2 ≥ a3 ≥  ≥ a n ≥ 0 か つ a1 > a n
かつ a1 , a 2 , a3  a n ∈ Z ）ここで、変換後の値を p1 p 2 p3  p n として、ので、必ず m  2 ≤ m ≤したがって、 k ≥ m のとき繰り下がりが起
こり、逆に k < m のとき繰り下がりが起こ

らない。これを考慮して、bk の値から p k の値を求めると次のようになる。
・ k = n のとき、 p n = bn + 10
・ n > k ≥ m のとき、 p k = bk + 9
・ k = m − 1 のとき、 p m −1 = bm −1 − 1
・ k < m − 1 のとき、 p k = bknbk = −bn +1−k より、 ∑ bk = 0
k =1

よって、 S =9n2

以上の結果から偶数でも奇数でも S の値
が 9 の倍数になることがわかる。各桁の和が 9 の倍数である数は 9 の倍数であるから、したがって、
nn

変換後の値は 9 の倍数であることが示され

k =1

k =1

た。

S = ∑ p k = ∑ bk + 10 + 9(n − m) − 1
bk = −bn +1−k より、bk をすべてたすと 0 にな

(Q.E.D.)nる。つまり、∑b = 0k =1

k４．今後の課題

よって、 S = 9(n − m − 1)

今回、２、５桁のカプレカー変換について、自ら考察することができた。２、３、[２] n が偶数のとき

４、５桁を比べるとカプレカー定数が存在

偶数桁の場合、 m が存在するときと存在する桁と、カプレカー定数が存在せず循環しないときがある。 m が存在するときは奇する桁があった。その違いに規則性がある

数桁の場合と同様、 S = 9(n − m − 1) となる。

か、どのような数がカプレカー定数になる

n
のとき繰り
2

のかについて疑問をもったので、さらに研nのとき繰り下2
がりが起こらない。これを考慮して bk の値

つれて計算量が非常に増えるので、今後はから p k の値を求めると次のようになる。

について考察したが、それ以外の数についm が存在しない場合、 k >下がりが起こり、逆に k ≤究を進めていきたい。桁数が大きくなるに
コンピューターを用いて計算することも見据えていきたい。また、今回は十進法の数ても調べていきたい。

・ k = n のとき、 p n = bn + 10
・n > k >nのとき、 p k = bk + 9
2

・k =

n
のとき、 p n = b n − 1
2
2
2

・k <

n
のとき、 p k = bk
2

５．参考文献[1]http://nadamath2012.web.fc2.com/bus
hi/2011_sigma.pdf、重村卓人

６．謝辞
今回の研究にあたりご指導くださった顧したがって、

問の川口先生、ありがとうございました。

n 
S = ∑ bk + 10 + 9 − 1 − 1
2 
k =1

また、サイエンス研究会の先輩方にもご協n力いただきました。ありがとうございました。

素数の並びに規則はあるかⅢ
4年A組

田村

拓也

指導教員 川口慎二

１． 要約
サイエンス研究会数学班４年生は素数について学習している。今回も算術級数定理の証
明を理解することを目標とし、その理解のためにリーマン予想やラマヌジャン予想、ベルヌーイ数、スターリング数を学習した。
キーワード 素数、ゼータ関数、L 関数、ベルヌーイ数、スターリング数

２． 研究の背景と目的
素数とは 1 と自分自身以外に正の約数を■テイラー展開・マクローリン展開
1 変数関数 f ( x ) に対して性がないように見える。しかし、実際はどf (n ) (a )( x − a )nn!
n =0を関数 f ( x ) の x = a のまわりでのテイラー

うなのか未だわかっていない。

展開という。特に、a = 0 のとき、つまり、持たない 1 以外の自然数であり、

2, 3, 5, 7,11, と続く。この並びは一見規則∞

f (x ) = ∑f (n ) (0 ) n
x
n!
n =0
∞

私は、
「素数の並びに規則はあるのか」と

f (x ) = ∑いう問題に興味をもった。すると、素数の並びの背景には深い代数世界が広がっていを関数 f ( x ) のマクローリン展開という。

ることを知った。そこで、基礎的な内容に加えて、L 関数、ディリクレ指標、ベルヌ■群

ーイ数やスターリング数といった内容につある演算について、結合則、単位元の存

いて、本稿にまとめておくことにした。

在、逆元の存在を満たす集合のことを群と2 年生のときに行った研究ではベルヌーいう。

イ数、3 年生では L 関数についての研究を行ったので、4 年生である本年は、その 2
つを関連付けながら算術級数定理の証明の理解を試みた。

■対称群

I n = {1,2,3,  , n}に対し、 I n から I n への全単射全体の集合は、写像の合成を積として群になり、これを n 次対称群といい、S n ,３． 研究内容
3.1 基本事項
算術級数定理初項と公差が互いに素である算術級数には無限に素数があらわれる。

Sym(n ) などと表す。

X を有限集合とし、 X から X への全単射全体の集合を Sym( X ) と置くと、写像の合成を積として Sym( X ) は群になる。

f を自然数とする。写像 χ : Z → C が f を■ゼータ関数∞ζ ( s ) = ∑ n − s をゼータ関数という。このn =1

関数は、因数分解によって、

1 
1 − s ∏p p: prime ∞−1に式変形できる。

法とするディリクレ指標であるとは、
1,

任 意 の

a, b ∈ Zに 対 し 、

χ (ab ) = χ (a )χ (b ) は乗法的である。
2, 任 意 の a, b ∈ Z に 対 し 、χ (a + bf ) = χ (a ) は乗法的である。
3, (a, f ) = 1 な ら ば 、 χ (a ) ≠ 0 か つ 、(a, f ) ≠ 1 ならば、 χ (a ) = 0 。
■L 関数【考察】有限のゼータ関数

先程のゼータ関数を拡張し、各項の分子でリーマンゼータ関数は無限までの総和である。そこで、有限個の総和は因数分解で

あ る 1 を 数 列 a = {a (n )} に 変 え た 級 数a(n )sn =1 n∞有限のオイラー積に変形することができる

L( s, a ) = ∑のかについて考察した。

オイラー積に変形できるものもある。

（１） 自然数を用いた和ディリクレの L 関数

n

∞

1
−s
p: prime 1 − χ ( p ) p

−s
を考える。
1 Z n (s) = ∑ m

L( s, χ ) = ∏因数分解できない。

ラマヌジャンの L 関数

m =1（２） n の素因数を用いた和2

Z n ( s ) = ∑ p を考える。
−s∞

L ( s,τ ) = ∏p: prime1( )1 − τ ( p ) p + p11 p − s
−s

2

pn

■リーマン予想

因数分解できない。
（３） n の約数を用いた和3ゼータ関数の非自明な零点の実部はすべて

Z n ( s ) = ∑ m −s を考える。
mn

(

− Df

1 − p p ,nm=∑∏
1 − p −s
mn
pn
−s

)

+1 s

と因数分解できる。ただし、Df p ,n は n の素因数 p の個数とする。
これを無限に拡張しようとしてみたができないことがわかった。
■ディリクレ指標
定義

1
である。
2
■ラマヌジャン予想
ゼータ関数、 L 関数のオイラー因子の零点の実部はすべて一定である。
3.2 べき乗和
ガウスの逸話で有名な以下の式

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  + 99 + 100
は、

100 × (1 + 100 )= 5050 と求められる。
2n

これを一般化すると

∑i =
i =1

n(n + 1)という
2公式が導かれる。しかし、以下のように各S 5 (n ) =項を２乗したものの和では計算が困難であるように見える。

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +  + 99 + 100
2

2

2

2

2

2

2

況してや５乗や 100 乗ともなれば計算が出来るのかさえ、疑いを思ってしまう。すなn2=

2 n 6 + 6 n 5 + 5n 4 − n 2
12

(

)

1 2
2
n (n + 1) 2n 2 + 2n − 1
12

(

)

1
2
100 2 (100 + 1) 2 × 100 2 + 2 × 100 − 1
12= 171708332500=∑ i において k や n が（非常に）大と求めることができる。しかし、このベル

きくなると計算が困難であるということでヌーイ数を求めることが困難ならばあまりある。

意味がない。そこで、ベルヌーイ数を先程

わち、

k

i =1

の定義式以外から求める方法を次項で紹介
3.3 ベルヌーイ数する。

ベルヌーイ数とは、■ベルヌーイ数の母関数n n + 1Bn をベルヌーイ数とする。

∑  i B = n + 1
i =0





i

定義される数列 B j のことである。これを用nいれば、前項の∑ i を簡単に求めることが
k

i =1

できる。

k 
n k +1− j
S k (n ) = ∑ i = ∑   B j
k +1− ji =1
j =1  j 
1 k  k + 1=
∑  B j n k +1− jk + 1 j =0  j nnn

 n  k n−k

k =0

 

∑  k a b

証明

 ∞
tn 
te t =  ∑ Bn  e t − 1 を示せばよい。
n!  n =0

(

(

)

 ∞
t n  ∞ t n =  ∑ Bn  ∑ 
n!  n =1 n! 
 n =0に非常によく似ていることに注意すれば、上∞ n −1 Bi  nt= ∑  ∑n =1  i = 0 i!(n − 1)! 

T を T : T (b j ) = B j で定義しておくと、∞  n −1 n   tn= ∑  ∑   Bi 
n =1  i = 0  i 
 n!

の式で多項式環 Q[b] から Q への線形写像()

T (n + b ) − b k +1と書き換え
S k (n ) =k +1
ることができる。例えば、k = 5 ならば、つまり n までの 5 乗の和は
k +1

)

 ∞
 ∞

tn 
t n  ∞ t n ∑ Bn  e t − 1 =  ∑ Bn  ∑ − 1n! n!  n =0 n! 
 n =0 n =0kk

ま た 二 項 定 理 (a + b ) =

∞
te t
tn
=
B
∑
n
n!
e t − 1 n =0

ここでベルヌーイ数の漸化式n n + 1

n −1

n

i =0

 

∑  i B = n + 1 よ り ∑  i B = n と
i =0





i

i

なるので、マクローリン展開の逆を用いて∞
 n −1  n   t n
tn
t




B
=
∑
 ∑  i  i  n! ∑ (n − 1)! = ten =1  i = 0  
n =1

∞

となる。

n
− m 
a n,m =  と置く。これが   と同じ初m
− n 
期値、漸化式を満たすことを確かめればよい。初期値については自明。第２種スター(Q.E.D.)
3.4 スターリング数
スターリング数は 2 種存在し、それらはどちらも組み合わせに関係する。
■第 1 種スターリング数
は m 個のサイクルからなる n 次対リング数の漸化式より、

− m + 1  − m  − m − n
=
 − n  − n − 1  − n 
− m + 1 − m  − m = + n
 − n   − n  − n − 1
これは a n ,m −1 + na n ,m = a n +1,m と書け、これは第 1 種スターリング数の漸化式に等しい。

(Q.E.D.)

称群の個数( n cycle m )n + 1  n n=+ n  と 初 期 値 m  m − 1
m

漸化式 

n   0 
0 
,
=
1
0  = m = 0 (n, m ≠ 0 ) で定義す0     (2) x n = (− 1)

n

n m

∑ (− 1) mx (n ≥ 0)
n

n

 

m =0

m

ただし、 x はる。

x m = x( x − 1)( x − 2)  ( x − m + 1)
(m > 0), x m = 1 とする。

■第 2 種スターリング数

証明
先程と同様に考え、は n 元集合を m 個の空でない部分nx n = (− 1) ∑ (− 1) a n ,m x m とおいて、a n ,m
n

m

m =0

集合に分ける方法の数。

n
n + 1  n 
 + m  と、初期
=m  m  m − 1

漸化式 

0
0

n 
0 

0
m 

値   = 1 ,   =   = 0 (n, m ≠ 0 ) で 定義する。
ここでは自身で証明できたもののみ証明を明。

x m × x = x m +1 + mx m より、
n +1(− 1)n+1 ∑ (− 1)m a n+1,m x m = x n+1n= (− 1) ∑ (− 1) a n ,m x m ( x − n )n

− m − n(1)   = 

m

m =0

n +1

示す。

証明

化式を満たすことを確かめる。初期値は自m =0■スターリング数関連の公式

n
m 

が第 1 種スターリング数と同じ初期値、漸n= ∑ an , m −1 x m × x + ∑ man , m x m
m =0

m =0

m

より、 x の係数より漸化式を満たす。

(Q.E.D.)

n

n m

として考える。初期値は自明。2 項定理の

m =0

 

定義域の外を 0 とすると、∑ mx (n ≥ 0)

(3) x n =証明

先程と同様に考え、 x =na n ,m −1 + ma n ,m

n

∑a

m =0

m

n,m

x とおい

て、 a n ,m が第 2 種スターリング数と同じ初=(− 1)m m (− 1)l  m l nl(m − 1)! ∑
l =0
 

期値、漸化式を満たすことを確かめる。初m −1 mm − 1 n(− 1)l(− 1)l +∑l(m − 1)! l =0

期値は自明。

x m × x = x m +1 + mx m より、
n +1

∑a

m =0

n +1, mm
 m
m − 1  n(− 1) ml(− 1)l   − =∑(m − 1)! l =0
 l   l 

x m = x n +1 = x n × x

n= ∑ a n,m x m × xmm(− 1) m(− 1)l  l n+1 = a
=

m =0
n +1

n

= ∑ an , m −1 x m × x + ∑ man , m x m
m =0

m!

m =0

より、 x m の係数より漸化式を満たす。

∑

l
 

l =0

より成り立つ。

(Q. E. D.)nn m d  d (4)  x
 = ∑   x   dx 
m =1 m  dx nm(n ≥ 1)(Q. E. D.)(7)(e − 1) =ln   l m!

  
(5.2) m, n ≥ 0 に対し
n   l ∑ (− 1)  l  m = (− 1) δ  
(6) m, n ≥ 0 に対しl ≥0n  t n∑   (m ≥ 0)
n = m m  n!
∞

(8)

m

l ≥0

l

m

t

(5.1) m, n ≥ 0 に対し∑ (− 1)  l m = (− 1) δn +1, m

m,n

∞
n 
tm
= ∑  t n (m ≥ 1)
(1 − t )(1 − 2t )(1 − mt ) n=m m

m,n

3.5 ベルヌーイ数のスターリング数によるmm
n  (− 1)m m(− 1)l  l n =∑
m! l =0
m 
l 

公式
(1)

(− 1)m m! nnm (n ≥ 0 )
m +1

証明

Bn = (− 1) ∑

同様に

証明

n  (− 1)m m(− 1)l an,m l n =∑
m! l =0m Bn の母関数を以下のように変形する。

n

m =0

引用

{ (

te t
t
− log 1 − 1 − e − t==
1 − e −te t − 1 1 − e −t
テイラー展開した式 − log(1 − t ) =)}∞るわけであるが、計算が困難である。

tm

∑mに

(2)

t = 1 − e − t を代入して変形すると、∞
t n − log{1 − (1 − e − t )}
B
=
∑
n
n!
1 − e−tn =0∞=∑(1 − e )− t m −1

m

m =1

∞

=∑

m=0

(− 1)m (e−t − 1)m
m +1

m

t

m!

証明

m +1

(n ≥ 0)

引用

先程の公式(8)を用いて証明する。第 2 種ス
ターリング数の漸化式より

 n

n 
 
m + 1 


 
m
(
− 1) m!   + (m + 1)
n m 
m +1

Bn = ∑m =0n(− 1) m! n  (− t )=∑∑   n!
m = 0 m + 1 n = m m ∞m

n + 1 1  = m! なので、公式(5.1)より
n  
 (− 1)m m!    n∞n
m   t= ∑ (− 1)  ∑
 n!
m +1
m=0

 m=0





n 

m + 1


m
(
)
(
)
1
!
1
−
+
m
m

n

∞

∑

m +1

m =0

n

両辺の

m =0

であるので

n  t n∑   (m ≥ 0)
n = m m  n!
∞を代入すると∞Bn = ∑

 n 
 n + 1  n 
 =   + (m + 1)
m + 1m + 1 m

ここで公式(7)(e − 1) =n +1 
m + 1


m
(
)
1
m
!
−

n

m =1

t
の係数を比べれば公式が導かれn!

nm  m + 1  n = ∑ (− 1) 
 = δ 1,n
m =0
 1  m + 1

ゆえに命題の右辺はる。

(Q.E.D.)
また、公式(6)、すなわち m, n ≥ 0 に対し、n m + 1(− 1)m m!(m + 1)
n

∑

m +1

m =0
l
m
n  (− 1)m m(− 1)  l n =∑
m! l =0m l を用いると、先程の公式は
lm
1 m(− 1)  l n と 書 け
Bn = (− 1) ∑∑m =0 m + 1 l =0l n

+ δ 1,n= (− 1) Bn + δ 1,nnとなる。

(Q.E.D.)n

これは次のようにパスカルの三角形に似た方法で求められるということも示す。

d((t − 1)g n−1 (t ))dt
よって、 (t − 1)g n −1 (t ) = hn (t ) とおくと、=

hn (t ) = (t − 1)d(hn−1 (t )) (n ≥ 1)
dt

これより、
n

d

hn (t ) =  (t − 1)  (h0 (t ))dt 
ここで公式(4)を用いると、

nm d 
hn (t ) = ∑  (t − 1)   h0 (t ) dt 
m = 0 m mn

両辺 t = 0 とおいてn
 n + 1m
an , 0 = ∑ (− 1) m! a0, mm=0
m + 1nnm− an , 0 = ∑  (− 1) m!(an , m −1 − a0.m )m = 0 m 
n −1
 n 
m +1
= ∑
(− 1) (m + 1)!a0, m
m = 0 m + 1nnm
− ∑  (− 1) m!a0.m
m = 0 m 
n −1
 n 
m
= − ∑ (− 1) m!
a 0 , m
m=0m + 1

であればよい。

これで求める式が得られた。

図 1 ベルヌーイ数を求める
証明

引用

a n ,m = (m + 1)(a n −1,m − a n −1,m +1 ) で 定めら れるような数列において、(Q.E.D.)∞g n (t ) = ∑ a n ,m t mm =0とおく。 an ,m の漸化式より n ≥ 1 に対して

3.6 一般ベルヌーイ数法 f で定義された指標 χ に対して、一般ベ∞

g n (t ) = ∑ (m + 1)(a n −1,m − a n −1,m +1 )t m

ルヌーイ数は Bn , χ は、母関数を用いて、

m =0

=

d  ∞
 d  ∞ ∑ a n −1,m t m +1  −  ∑ a n −1,m +1t m +1 
dt  m =0
 dt  m =0f

χ (a )te at∑ e −1a =1ft∞= ∑ Bn ,χ
n =0

tn
n!

で定義される。また、テイラー展開によって展開されていくので、一般ベルヌーイ数= g n −1 (t ) + (t − 1)d(g n−1 (t ))dtは、以下のように計算していくことができる。

B0, χ = 0

B1, χ =1 f∑ χ (a )af a =1

B2, χ =f
1 f
χ (a )a 2 − ∑ χ (a )a∑f a =1
a =1

1 f
3 f
f f
χ (a )a 3 − ∑ χ (a )a 2 + ∑ χ (a )a∑2 a =1
2 a =1f a =1
これを一般にはベルヌーイ数 Bn を用いて、
B2, χ =

f

Bn ,χ = f n−1 ∑ χ (a )Bn (a f )a =1と表すことができる。

４．今後の課題
今回、スターリング数の証明について、自ら考察することができた。しかし、算術
級数定理の証明を完全には理解することができなかった。また、今回は新しい概念を膨大に学習したので、まだ理解が不十分なものも多い。そのため、さらに考察を深めるとともに、理論の大きな流れと微細な論理をしっかりと見極めながら学習と研究を進めたい。

５．参考文献[1]「素数からゼータへそしてカオスへ」，小山信也，日本評論社[2]「ベルヌーイ数とゼータ関数」，荒川恒男，伊吹山知義，金子昌信，牧野書店

６．謝辞
今回の研究にあたりご指導くださった顧問の川口先生、ありがとうございました。
また、サイエンス研究会の先輩方にもご協力いただきました。ありがとうございました。

猿沢池のアオコの発生を考える
４年 C 組

狩田 帆乃夏４年 C 組

赤木 美穂

指導教員

矢野 幸洋

１．要約
猿沢池(奈良市)のアオコの発生について水質調査および環境データの測定、プランク
トンの観察を行った。その結果、猿沢池では藍藻類が恒常的に多く、５月～６月にかけて発生したアオコは藍藻類の増加によるものだと確認できた。
キーワード プランクトン、アオコ、COD
２．研究の背景と目的

また,アオコを引き起こす原因となる藍猿沢池には古くからの言い伝えである藻類が猿沢池には恒常的に多く、それら「澄まず、濁らず、出ず、入らず、蛙はが急速に増えることによって引き起こさ

わかず、藻は生えず、魚が七分に水三分」

れるのではないかと考えられる。

という七不思議があり、それを科学的に解明しようと、池の水質を調べることに

４．研究内容した。調査を進める中で、春～夏にアオ

実験方法

コが発生することがあり、それについて(1) 環境データの収集とプランクトンの詳しく調べることにした。植物プランク

採集・観察

トンの量を数値化するために、クロロフ①水の採集

ィルの抽出実験を行い、クロロフィル量

プランクトンネットを使用し、あらを求めることにした。また、猿沢池で確かじめ決めた場所で採水ビン１本分の認したプランクトンを整理するために、水を採集した。

図鑑を作成することにした。

②環境データの測定採集した直後に、気温、水温、pH、COD、DO、濁度の値を調べ、記録し３．仮説
アオコは春から夏にかけての気温、水た。なお、気温、水温、pH の測定はデ温の上昇に伴って発生すると考えられる。

ジタル pH 計を、COD はパックテスト
を、濁度は濁度計を用いて、計測した。

1

③遠心分離定値を引き(引いたものをそれぞれの持ち帰った水を、30ml 遠心分離管

波長の測定値とする)、以下の式に数をに入れ、遠心分離した。遠心分離管のあてはめて、クロロフィル a、クロロ

底に沈殿したプランクトンをピペッ

フィル b、クロロフィル c の値を計算

トで吸い上げ、スライドガラスに１滴する。※参考文献(1)よりドロップし、プレパラートを作成した。
④観察
作成したプレパラートを顕微鏡でChl.a(11.64A-2.16B+0.1C)a÷VL

Chl.b(20.97B-3.94A-3.66C)a÷VL

Chl.c(54.22C-14.81B-5.53A)a÷VL

観察した。植物プランクトンにおいては、個体数が少ないものはカウントし、・A=663nm の測定値-750nm の測定値

多いものはどの種が特に多かったの・V=ろ過量=0.2(L)

かを記録した。また、動物プランクト

・B=645nm の測定値-750nm の測定値

ンにおいては、形の残っているものの・L=セルの長さ＝5(cm)みカウントし、すべての種について数

・C=630nm の測定値-750nm の測定値を数えた。

・a=溶液の量=50(ml)(2) クロロフィル抽出実験
３．実験結果採水に行った日に同時にクロロフィル(1) また水質調査および環境データの結の抽出実験を行った。

果を表 1 に示す。猿沢池で見られたプラ①プランクトンのろ過
Ⅰ-(1)と同じ方法で採集した 200ml

ンクトンを表２にまとめた。

の水を、ろ過装置でろ過をする。
②90％のアセトンの作製
アセトン 54ml、蒸留水 6ml を混ぜ、

天気

気温

水温

pH

COD

2012/10/20(土)①

晴れ

19.2

19.4

8.58

20

2012/12/19(水)①

曇り

9.5

9.3

8.1

13
5

濃度 90％のアセトンを 60ml 作製する。

2013/01/19(土)①

晴れ

5.8

5.4

8.48

2013/02/26(火)①

曇り

4.2

11.6

7.6

5

③クロロフィルの抽出

2013/04/11(木)①

曇り

16.2

15.4

8.6

13
20

ビーカーに 90％アセトンを入れ、そ2013/04/27(土)①

晴れ

18.9

18

7.88

2013/05/18(土)①

晴れ

27.2

29.2

9.8

30

こに、①のろ紙を下向きになるように

2013/06/01(土)①

晴れ

27.6

26 10.13

35

入れ、超音波洗浄機で 30℃で 30 秒間洗浄する。
④吸光度の測定
２本のセルに、③の上澄み液と 90％
アセトンを 2/3 ほどずつ入れ、分光光度計で、それぞれ 750nm、663nm、

2013/06/15(土)①

曇り

31.9

30.4

9.03

25

2013/06/29(土)①

晴れ

29.5

31

8.72

20

2013/07/13(土)①

曇り

31

29.5

8.2

25

2013/07/25(木)①

晴れ

34.4

32.6

9.06

90

2013/08/09(金)①

快晴

32.8

32.7

9.37

25

2013/08/28(水)①

晴れ

32.2

30

9.88

30

2013/09/14(土)①

晴れ

29.5

29.3

9.38

20

表１ 環境データの結果

645nm、630nm で吸光度を測定する。
⑤クロロフィル値の計算
上澄み液の測定値からアセトンの測
2

藍藻

珪藻

緑藻

ー

ー

ス
タ
ア
コ ス ウ セ
ア
テ
ナ
ヒ フ
ラ
ネ
エ タ
ア ア
ト タ
ス
ウ A
ト
コ
ベ
ラ ウ ト デ
ナ ナ
ヅ
M
M
ヅ
サ
ラ .
ラ
ス
ナ
ホ ス ラ ル ス
ベ ベス
マ テ キ メ ノ ノ
・ . M M M . コ ア
ハ シ ト ス ム ム
ナ ナ
ポ ヒ リ ト ル ハ ク ク
ス ベ . . . イ セ ン
リ ガ ル ト . ス ユ
･ ・
ン ン
ク
エ
イ ビ
ラ ビ ウ ラ ク ダ
ピノ ビ
ケ タ ム ル ド ･
マ フ
ク シ シ
チ
ル
ゼ
ラ グ
ロ
ド ・ ミ ム エ ネ
バ リン
イ ケ ・ ム ル オ
ク ロ
ギ オ
ン
リ ラ ド ・ ド リ
･ ア
イ
セ デ
シ ウ ウ
ノ ブ
ベ
ソ イ ミ ･ シ ポ ナ
ロ ス
ク ロ ラ ロ エ
デ ル
モ モ
ラ ア
ウ ソ ク セ デ リ
ス ア
ン 変
ス
ル ン ラ ウス ギ キ ス ザ
ン エ
ウ
ロ
バ
ポ ク
種
ト
フ
ク
モ 変 変
ベ ビ
ア
ポ ル テ ン
グ
リ
ス
ラ
種 種
シ
ラ エ
ル デ
フ
ア
ス
ス
ム
サ
ル
ム
ョ

(

ー

(

(

ー

ィ

)

）

)

ェ

ィ

ッ

2011/09/24(木)① ○

ョ

ョ

ー

ィ

ッ

ー

○●○

2011/2/24(木)①
2011/05/12(木)① ○ ○ ● ○ ○●●●○2011/11/05(土)① ○○2012/03/13(火）①○○
2012/04/21(土）①●●
2012/05/17(木)① ○ ○●○2012/06/28(木)① ●●○2012/07/07(土)① ●●2012/07/17(火)① ●●○2012/10/09(火)①○○
2012/10/20(土)①●●
2013/01/19(土)①○
2013/02/26(火)①●○
2013/04/27(土)① ○ ○○2013/05/18(土)① ● ●○○2013/06/01(土)① ● ● ● ○ ○2013/06/15(土)① ● ●●○2013/07/25(木)① ○ ○●○2013/08/28(水)①●○
2013/09/14(土)①●○○●

2011/10/08(土)①

●●○
○

●○○
●
●●
●●○
●●○
●●○
●●●

○

△
○△△

△

△
●△
○●
○△
△△
△△

○●
○○○○
○
○○
○○
○

○
○
○

●●○○
●●
○
●●
○

○○
○
○○

●

△△

○
○
△△

△
△

△

△

●：多く確認される ○：複数確認される
空欄：確認されず

3△△

表 2 猿沢池で観察された植物プランクトン△：確認される△△△○

(2) クロロフィル抽出実験

結果を次にまとめる。

クロロフィル a、b、c の抽出結果を表

・猿沢池の水質はアルカリ性で、夏ごろ、

３と図１にまとめた。また、クロロフィ

プランクトンの個体数、水温、COD、

ル値と水温 COD の関係を図２、クロロ

chl.a の値が増加し、冬になると、減少

フィル a と pH の関係を図３にまとめた。

する傾向にある。

表 4 は、それぞれの植物プランクトン

・藍藻類や珪藻類は、特定の２～４種ががどのクロロフィルを保有しているのか大量に見られるが、それに比べ、緑藻を表したものである。○は保有しているこ類は、確認できた種類数は多いものの、とを表す。

個体数は少なかった。主なプランクト※参考文献(1)よりンは「７.追補－猿沢池で観察できたプ

表 4 より、クロロフィル a の量が最も大ランクトン類－」に掲載している。

きいとわかるが、実験では、そのような・気温が高くなり chl.a の量が増えている

結果にならなかった場合もあった。

時期、猿沢池は濁り、緑色が濃くなる。
その時、ミクロキスティスやアナベナ

Chi.a Chl.b Chl.cの仲間など藍藻類が増殖した。

2013.02.26

6.23

1.52

7.31

・顕微鏡観察により、藍藻類であるミク

2013.03.13

9.59

3.47

9.73

ロキスティスやアナベナの仲間は、プレ2013.04.11

6.2

1.84

5.54

パラート全体を覆うことがあり、大量発

2013.04.27

5.48

1.42

4.35

生することが観察できた（下図）。

2013.05.18

6.44

1.32

3.46

・緑藻類のクロロフィル b 量は、変化が2013.06.01

23.6

0.75

2.76

小さくその量も少ない。また、目視で2013.06.15 103.9 3.371 0.955

も圧倒的に緑藻類が少なかった。

2013.06.29 32.58 1.769 2.536
2013.07.13

・緑藻類と珪藻類のクロロフィル量によ15.3 1.229 1.602

る差はあまりなかった。

2013.07.25 13.45 2.089 6.156

・表２には無いが、アオコ発生の前の採2013.08.09 25.76 4.101 8.334

集時に普段は見られないはずのミド

2013.08.28 8.771 1.532 3.112
2013.09.14 0.203 -1.64

リムシが確認された。これは今年だけ-5.3

でなく去年にも同じことが確認でき
3

表３ クロロフィル a,b,c(mg/m )クロロフィルa
クロロフィルb
クロロフィルc
表４ている。

藍藻 緑藻 珪藻
○ ○ ○○○プランクトンが含むクロロフィルの種類
アナベナの大量発生
4

図１

図２

クロロフィル a,b,c(mg/m3)

クロロフィル値と水温・COD の関係
5

図３

Chl.a と pH の関係

４．考察

よって、藍藻類や珪藻類の方が繁殖力

・猿沢池の水が年間を通してアルカリ性が強い可能性があると考えられる。

だった。これは、猿沢池には排水溝が・図２より気温が上昇し、クロロフィル

一箇所あり、アルカリ性の家庭排水がa の値が急激に増加しているが、その流れこんでいることによるためだと思

とき、猿沢池は濁り、緑色が濃くなっわれる。図２からもわかるように、こた。これはアオコの発生だと考えられの水質は pH の値が変化しても、プラる。

ンクトンの増減にはとくに変化が無か

アオコは５月の半ばから発生し始め６ったことから、水質はプランクトンの月中旬にピークをむかえた。このとき増減にはあまり影響を与えないと思わクロロフィル b とクロロフィル c の値れる。

はあまり変化していない。これは、ク・藍藻類や珪藻類は、特定の 2～4 種が大ロロフィル a はすべての植物プランク

量に見られるが、それに比べ、緑藻類トンが保有しているのに対し、クロロは、確認できた種類数は多いものの、

フィル b と c はそれぞれ緑藻類、珪藻

個体数は少ない。それは、猿沢池の水類が保有していることから、藍藻類がが藍藻類や珪藻類が増殖しやすい水質多く増えていることがわかる。(表４参であるのだと考えられる。また、表２照)藍藻類の中でもミクロキスティス

より藍藻類と珪藻類は年間を通してよとアナベナが多く増殖しており、ミクく見られるが、緑藻類は観察できた時

ロキスティスには他のプランクトンに期が限られる。

は無い繁殖に有利な垂直運動ができる6といわれており、光合成をより有利にく去年にも同じことが起きた。このこ行い、よく増加したと思われる。

とからミドリムシが出現することが、

・図２より、水温の上昇から少し遅れ

アオコの発生の前兆となるのではないて Chl.a の値が増加し、また少し遅かと考えられる。

れて COD の値が増加している。これは、水温の上昇に伴って藍藻類が大５．今後の課題

量に増殖し、その後死骸となって水・データを集めるだけでなく、そのプラ中の有機物が増えたためだと考えら

ンクトンに合った水質を知るため、培れる。また、気温が上がるにつれ、水養実験などを行っていきたい。

温も上昇し、
chla の値が増加したのは、・植物プランクトンの増減と動物プラン

日が出る時間が長くなり植物プランク

クトンの増減には関係があるのかを調

トンの光合成が活発になることによっべたいて増殖したのだと思われる。また、気・他の池にも採水に行き、データを比較

温が上がると動物プランクトンも増えすることで、猿沢池の特徴、またプラることから、植物プランクトンを食べ

ンクトンの性質を調べたい。

る動物プランクトンも増殖したと考えられる。しかし、クロロフィル a の量

６．参考文献は増える前とあまり変わらず、藍藻類(1) 西條八束，三田村緒佐武(1995)新編湖などは食べられずに残っていると考え

沼調査法．講談社サイエンティフィク(2) 一瀬諭，若林徹哉(2005)やさしい日本られる。

の淡水プランクトン図解ハンドブック．

・図１より、緑藻類のクロロフィル量に

合同出版株式会社

ついて、目視では圧倒的に緑藻類が少(3)田中正明(2002)日本淡水産動植物プラ

ないが、グラフにしてみると、珪藻類との差があまりなかった。これは緑藻

ンクトン図鑑.名古屋大学出版会

類の１個体が他の類に比べて大きいも(4) 月井雄二(2010)淡水微生物図鑑原生のが多いので、全体におけるクロロフ

生物ビジュアルガイドブック．誠文堂

ィル量が予想以上に多かったためだと

新光社

考えられる。珪藻類全体のクロロフィ
７．謝辞

ル量は変化が小さく、急に増加するこ

今回の研究にあたり、指導してくださとがある。
・図３より、Chl.a 量の変化ととｐH のいました矢野先生、適宜アドバイスをい変化については特に関係はないと思わ

ただいた櫻井先生に深く感謝申し上げま

れる。

す。

・表 2 には無いがアオコ発生の前の採集時に普段は見られないはずのミドリム
シが確認された。これは今年だけでな7

補足：猿沢池の主なプランクトン

sp.

ミクロキスティス・ノバセッキ

アナベナ

ミクロキスティス・ベーゼンベルギー

アウラコセイラアナベナ

sp.

ケンミジンコ8sp.

植物の成長と音楽との関係
４年 B 組 米田 英里奈
指導教員 矢野幸洋

１．要約
植物の成長と音および音楽との関係について調査した。その結果、植物に音および音楽を聴かせると何も聞かせない植物よりもよく成長した。また、クラシック音楽が最も植物に良い影響を与えることがわかった。
キーワード

マカラスムギ、音波、音楽、成長

２．研究の背景と目的

４日後、２～３cm 程度発芽したマカラス

パン生地や植物、胎児には私たち人間や、ムギの茎の先端 0.5cm 程をカッターの刃で動物のように耳はついていないが、音楽を取り除き (成長点を取り除くため)、１cm を聴くことができ、植物は音楽を聴くことで、正確に切り取る。その部分を実験に使用す

生育が促進される場合もあると言われる。

る。

つまり、音の周波数、強さ、音を与えた
時間が植物の生育に影響を与え、音楽が植物の成長を促進させることもあるといわれている。正確に言うと、「音楽を聴いている」というよりは、「音を感じている」といえる。また、音楽を聴かせなくても女性が植物に向かって話しかけると育ちがよくなると言われている。
音楽と植物の関係性はまだわかっていな
いことも多いので実際に研究し、その関係性を見つけたいと思った。

図１ 実験に使用したマカラスムギ(２)実験
これまでに実験は３回行った。いずれの時も対照実験のために何も聞かせないとい３．実験方法
次の方法で実験を行った。
(１)マカラスムギの種まき、発芽う容器(音なし)も作った。
プラスチック容器に蒸留水を 100ml 注ぎ、その中にマカラスムギの茎を 10 本×２つの種の皮を剝いたほうが発芽するまでの期

容器を用意し、音ありも音なしもそれぞれ間が短いので剝いた。トレイの中にぬれた

計 20 本ずつ使用した。それを容器ごと発砲

雑巾を敷き、その上に剝いた種を 50 粒～

スチロールの中に入れ、音漏れや外部の音

150 粒程度まいた。そして水の蒸発を防ぐを防いだ。また、あまり誰も出入りしないために水に濡らした紙をかぶせた。それを地学準備室に置いた。そして何 cm 伸びた

恒温室(23℃で湿度も一定)の中に置いた。

かを測定し、観察した。

＜予備実験＞
・音波 2000Hz と音なし
・音源を用いて行ったが音源が実験途中で切れた。
＜第１実験＞
・音波 7000Hz、ラジオ、音なし
・新しい音源を用いて行った。
＜第２実験＞
・音波 1000Hz、クラシック音楽、音なし
・新しい音源を用いて行った。

４．実験結果(１)予備実験の実験結果

二日後 7000Hz（cm）ラジオ（cm） 音なし（cm）
0.3
0.5
0.4
0.3
0.4
0.3
0.3
0.3
0.1
0.4
0.2
0.2
0.2
0.3
0.3
0.3
0.3
0.1
0.6
0.3
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.3
0.4
0.3
0.3
0.2
0.4
0.4
0.4
0.4
0.3
0.4
0.4
0.2
0.4
0.4
0.5
0.2
0.3
0.2
0.1
0.5
0.1
0.3
0.3
0.4
0.4
0.3
0.4
0.3
0.3
0.4
0.3
0.5
0.3
0.1
合計
7.1
6.4
5.6
平均
0.355
0.32
0.28

音源が切れたため実験失敗したが、実験

表２

開始から５日後の茎の成長した長さを表１の茎の成長した長さを示す。また、表４は四日後 7000Hz（cm）ラジオ（cm） 音なし（cm）
0.3
0.2
0.4
0.2
0.2
0.3
0.5
0.5
0.5
0.2
0.3
0.3
0.3
0.2
0.3
0.2
0.3
0.5
0.5
0.2
0.3
0.2
0.3
0.4
0.2
0.2
0.2
0.2
0.3
0.2
0.2
0.3
0.5
0.3
0.2
0.4
0.3
0
0.5
0.3
0.3
0.2
0.2
0.4
0.2
0.2
0.3
0.3
0.2
0
0.6
0.3
0.3
0.2
0.4
0.3
0.4
0.4
0.5
0.2
合計
5.6
5.3
6.9
平均
0.28
0.265
0.345

実験開始から９日後の茎の成長した長さを

表３

に示す。

五日後 2000Hz(cm) 音なし(cm)
0.6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.2
0.2
0.1
0.2
0.4
0.3
合計
2.1
1.3
平均
0.35
0.22
表１
（２）第１実験の実験結果
表２は実験開始から２日後の茎の成長した長さを示し、表３は実験開始から４日後示す。

九日後 7000Hz(cm) ラジオ(cm) 音なし(cm)
0.3
0.2
0.3
0.4
0.3
0.5
0.2
0.2
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
0.3
0.6
0.3
0.4
0.4
0.5
0.5
0.1
0.3
0.2
0.3
0.3
0.1
0.5
0.3
0.1
0.2
0.3
0.1
0.5
0.2
0.3
0.4
0.2
0.3
0.4
0.2
0.3
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.3
0.2
0.4
0.3
0.2
0.2
0.4
0.2
0.5
0.3
0.2
0.2
0.3
0.3
合計
5.7
5.6
6.5
平均
0.285
0.28
0.325

表４

的に成長している。
② ①に対し、音波やラジオを聴かせた茎は２日後に比べ４日後は成長が衰退している。つまり、茎が縮んだということである。
③ 音波とラジオを聴かせた茎は同じようなグラフをしていることから、植物に与える影響が類似していることだと考えられる。
④ 音を与えた時間が植物の生育に影響を与え、音楽が植物の成長を促進させているとは考えにくい。
いずれの結果も科学的な理由の解析までには至らなかった。
（３）第２実験の実験結果
クラシック音楽はモーツァルトの第一楽

図２は実験１の結果をグラフにしたも章アレグロモデラート交響曲第 29 番イ長のである。

調 K,201(186a)を使った。

0.4

四日後 1000Hz(cm) クラシック(cm音なし(cm)
0.4
0.1
0.4
0.5
0.4
0.2
0.1
0.5
0.2
0.2
0.3
0.5
0.2
0.2
0.5
0.3
0.2
0.2
0.3
0.4
0.2
0.2
0.7
0.2
0.2
0.2
0.1
0.3
0.4
0.3
0.3
0.3
0.2
0.4
0.3
0.2
0.4
0.3
0.3
0.2
0.5
0.2
0.1
0.3
0.3
0.3
0.3
0.5
0.3
0.3
0.5
0.3
0.3
0.3
0.1
0.3
0.2
0.3
0.4
0.3
合計
5.4
6.7
5.8
平均
0.27
0.335
0.29

0.35
0.3
0.25

7000Hz

0.2

ラジオ

0.15

音なし

0.1
0.05
0
0

2

4

6

8

10

図２
このとき縦軸は成長した茎の長さ(cm)、
横軸は日数(日)である。
以下は、このグラフより得られた結果である。
① ２日目にはあまり成長していなかった音なしの茎がその２日後には飛躍

表５

実験開始から４日後の茎の成長した長さを表５に示す。それをグラフにしたものが
図３である。

音楽を聴かせたほうが植物の成長を促進させた。
⑤ 音楽を聴かせなくても女性が植物に向かって話しかけると育ちがよくなると言われているが、表４のラジオの平均値

結果より、女性が植物に向かって話し

0.4
0.35

かけると育ちがよくなるとは考えに

0.3
0.25

くい。

0.2
0.15

平均値

0.1

５．考察

0.05
0

実験開始から４日後、５日後の結果を表す図３から、植物に音や音楽を聴かせると
図３

何も聞かせない植物よりもよく成長した。

(＊実験開始から４日後、５日後の結果)

つまり、植物の成長に音や音楽は親密な関以下は、このグラフより得られた結果であ係があり、音や音楽は植物に良い影響を与る。

えると考えられる。

① 2000Hz 、 ク ラ シ ッ ク 、 7000Hz 、
1000Hz、ラジオ

音なしの順で良くまた、クラシック音楽が最も植物に良い影響を与えることが考えられる。

成長することがわかる。しかし、2000Hz の結果が得られた予備実験は

６．今後の課題

音源が切れたため失敗と思われる。よ

今回は実験回数も少なく、また結果が表って、2000Hz の曖昧な結果を除くとれにくい研究だったため、実験結果からわ植物の成長に一番影響を与えるのはかったことや科学的な根拠、理由を得られクラシックである。

なかった。そのため、今年度は少し目線を② ラジオの周波数は 1000kHz 程度

周

変え、違う形でこの分野の研究を進めてい波数が高過ぎると植物の成長に影響きたい。そして、科学的な根拠、理由などが少ないとわかった。

をつきとめていきたい。

③ クラシックの周波数は 500Hz 程度である。よって植物に影響を与える周波そのために、文献や先生からご指導を受け、これからの研究を考えたいと思う。

数は、500Hz～7000Hz だと推測でき
る。

７．謝辞

④ 音なしは植物の成長に一番影響を与今回の研究にあたり、指導してください

えない。つまり、音なしよりも音波やました矢野先生に、深く感謝申し上げます。

黄金比と植物
２年 A 組

出水明日香

２年 A 組

冨永 夕鼓

２年 C 組

山田 莉彩

２年 C 組古川 紗帆

指導教員 櫻井昭

１．要約
黄金比と植物との関係性を調べようと、２種類の植物について検証実験をすることにした。
1 つ目はキク科の植物とフィボナッチ数列との関係性を調べる実験である。この実験では花の並びとフィボナッチ数列の関連性が確認できた。２つ目の実験ではセイタカアワダチソ
ウと黄金角の関係について調べた。この実験よりセイタカアワダチソウの葉と葉の間の角
度が黄金角に近似していることが確認できた。これらの２つの実験により黄金比と植物に幾つかの関連性があることが分かった。
キーワード

頭状花序、キク科、フィボナッチ数列、黄金比、黄金角、
セイタカアワダチソウ

２．研究背景＝約 137.5°

私たちは、黄金比やフィボナッチ数列という値が、植物に利用されているということを本で読んで知り、興味を抱いた。そこ

図１で、植物に対して実際にどのように利用されているのか、自分たちの手で確認するこ数列という数列があり、それは次のようなととした。

数列のことである。

黄金比とは、１：（１＋√５）／２という比のことである(１：φとも表すこと

0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，
89，144…

がある)。この黄金比は自然界に多く使われ、この数列には、数列上のある数の直前の人類が最も美しいと感じる比率であるとさ２つを足すとその数になるという規則性がれている。例として、パルテノン神殿や、ある。この数列のある項を１つ前の項で割

様々な絵画などの長方形の比率に使われてると、次のようになる。

いる。黄金角は、360°を黄金比で分割した

1/1 = 1時の「１」に当たる部分のことを指し、約2/1 = 2137.5°である(図１)。

3/2 = 1.5

また黄金比に関連性の深いフィボナッチ

5/3 = 1.6666…

8/5 = 1.6

フィボナッチ数列を満たしているかどうか

13/8 = 1.625

調べる(図２)。

21/13 = 1.6153846…
233/144 = 1.618055…
黄金比（1+√5）/2 =1.6180339887…
上記のように数が大きくなるにつれて黄金比の値にだんだん近づいてくるという性質
図２

がある。

３．研究内容3.1

花の並びとフィボナッチ数列

3.1.1 実験目的
美しい生物の形状は、数学に関係することが多い。私たちは頭状花序であるヒマワ

フィボナッチ数列を満たしているという
定義は、花の付け根の並びが右回りと左回りの螺旋状に並んでいて、どちらの螺旋の本数もフィボナッチ数列に出現する数になっていることである(図３)。

リが、フィボナッチ数列を用いた螺旋を描
いていることを知った。そこで、生物がどのようにその数学を応用して生きているのか、なぜそれを使っているのかということを解明するため、まずは身近な数列といえるフィボナッチ数列と、頭状花序の植物の関連性を調べることにした。
頭状花序とは、キク科などに見られる、複数の花が集まって、１つの花に見えるつくりのことである。
3.1.2 実験仮説
頭状花序の植物は、ひとつひとつの花が

3.1.4

実験結果

①シロツメクサ

フィボナッチ数列に関係して並んでいる。

関係はなさそうだった。

3.1.3 実験方法

花の付け根が螺旋状に並んでいなかった。

材料①シロツメクサ、②ヒメジョオン、③カントウタンポポ、④セイヨウタンポポ、⑤
ドクダミ
方法

ランダムに並んでいるようであり規則性がなかった。
②ヒメジョオン
花の毛らしきものを抜くとつるつるにな
り、双眼実体顕微鏡で見ると無数の点が並頭状花序の植物と、そうでない植物をそんでいた。その点の並びは螺旋状であった。

れぞれ採取する。そして、一つずつの花をよって、数列の並びに関係がありそうだと抜いて、花の付け根を観察し、花の並びが推測できる。

③カントウタンポポ

3.2

花の付け根が大きいため、並びをきれいに肉眼で見るこ

のつき方
3.2.1

とができた。ひ黄金角とセイタカアワダチソウの葉
実験目的

黄金角と植物の葉のつき方について調べ

とつひとつの点た。

や、螺旋がはっ3.2.2 実験仮説

きりと見えたたセイタカアワダチソウの葉のつき方は、

め、数えることも可能であった

黄金角に従っている。
図４

(図４)。

3.2.3

実験方法

材料

④セイヨウタンポポ
花の付け根が小さい。これも、花の付け
根が螺旋状だった。
⑤ドクダミ

セイタカアワダチソウ
方法
セイタカアワダチソウを採取し、葉の付け根を残して葉を切る。その後、１つ目と頭状花序ではなく、花弁が 4 枚しかなか

２つ目の付け根に、針を葉の中心に沿うよったため、フィボナッチ数列を満たしていうに刺す。 次に、茎の真上から写真撮影をるとは言えなかった。

行う。以上の操作を、全ての葉の付け根に3.1.5

対して繰り返す(図 5)。撮影した写真を使っ実験考察

結果より、頭状花序のものでキク科のもて、葉と葉の間の角を計測する。

のは、花のつき方がフィボナッチ数列の螺旋のようだと考えられる。フィボナッチ数
列を満たしていると、少ない面積により多く花をつけることができるのではないだろうか。その結果、子孫を残す確率を高められ、フィボナッチ数列を用いた螺旋を使ったものが、進化の過程でも生き残ってきた
図５のではないかと考えられる。

表１

数値は、角度(°)を表している。それぞれの平均値は、第 1 回 139.7°

回 138.5°、全体平均は、136.2°であった。

、第 2 回 135.1°、第 33.2.4

実験結果

セイタカアワダチソウの葉のつき方は黄金

結果は、表１のようになった。

角に従っており、その理由として日光をよ

第１、２回は、採集場所が本校テニスコ

り効率よく受けるため(図６)だと考えられ

ート横と、柵が近い場所だった。そのため、る。

柵の影響を受けて数値にばらつきが生じてしまった。第３回は、採集場所を平城宮跡

５．今後の課題に移した。そのため数値のばらつきが小さセイタカアワダチソウの研究がまだ途中くなった。平均値としては、ほとんど変化段階であるため、セイタカアワダチソウのが表れなかった。しかし、第３回の方が、葉の並び方について成長良好なものと成長

第１、２回よりも、全体的に黄金角の近似

不良なもので比べ、調べなおす必要がある。

値である 137.5°に近づいているといえる。

また、これまでの研究ではキク科の植物、

3.2.4 実験考察

セイタカアワダチソウに限ったものしか標結果より全体的に葉と葉の間の角度は黄本として用いていない。よって今後の研究

金角に近いと言えた。よって、セイタカア

ではさらに様々な植物について黄金比が用

ワダチソウの葉のつき方に、黄金角を見ついられているのか検証していきたい。

けることができた。今回採集したセイタカ
アワダチソウは、生息していたもののなか

６．参考文献でも、よく成長したものを選んだ。従って、「黄金比よく成長しているセイタカアワダチソウに

思議な数の話」,スコット・オルセン

は黄金角が見られることが分かった。枯れ藤田優里子 訳,創元社, 2009

かけていたものや、あまり成長できていな「不思議な数列

いものについては調べられていないが、よルフレッド・S・ポザマンティエ，イングル

く成長しているものにのみ利用されている

マル・レーマンのであれば、セイタカアワダチソウの中でPB 社，2010

自然と芸術にひそむもっとも不著

フィボナッチの秘密」，ア
著

松浦俊輔

訳，日経

も黄金角をうまく利用したものだけが、生き残っているのではないかと考えられる。

７．謝辞
これまで私達を指導してくださった櫻井

４．考察

先生、数学的な面において相談にのってく

キク科の植物は頭状花序であり、花の並
び方はフィボナッチ数列を用いた螺旋を描いており、その理由としてより多くの花を効率よ
く並べ、子孫をより多く残すためだと考えられる。

図6

ださった河合先生に、感謝の意を示します。

ニホントカゲの生態について
2年A組

西村

2年B組

高畑菜々子

2年B組

津村

卯乃

指導教員 櫻井

昭

咲野

１．要約
私たちの学校でよく見かけるニホントカゲが、生活の中でどれだけこの「学習」という行動を使っているのか、調べてみることにした。調べるにあたって、ニホントカゲを捕獲し、育て、実験条件が同じになるような個体を準備してから、学習行
動実験を行う計画を立てた。ここでは、育てる過程で発見した、ニホントカゲの生態について紹介する。
キーワード

ニホントカゲ

ミールワーム２．研究の背景と目的
ヒトやサルなどの哺乳類を始め、鳥幼体を 3 体と、成体１体を捕獲した。
3-2 飼育と観察類、爬虫類などのセキツイ動物、節足腐葉土を敷きつめた水槽を２つ用意し、動物の中でも昆虫類、そして環形動物

幼体と成体を分けて飼育を開始した。餌はの一部にも学習行動が見られるとされミールワームを与えた。

ている。そこで、私たちの学校でよく観察記録

見かけるニホントカゲが、生活の中で

6/21 成体が 10 個の卵を産卵

どれだけこの「学習」という行動を使

6/27

5 個の卵を成体のそばに残し、っているのか、調べてみることにした。

他の 5 個の卵は、別容器に移し転調べるにあたって、ニホントカゲを捕卵せずに孵化するか観察を続ける。

獲し、育て、実験条件が同じになるよ

7/1

別容器に移した卵が乾燥によりへうな個体を準備してから、学習行動実

こむ。霧吹きで水をやると、5 個験を行う計画を立てた。そのため、飼中 4 個はもとに戻る。成体のそば育を通した爬虫類の生態調査も、本研の卵に変化はなし。

究の目的とした。

7/16

卵が孵化した。別容器に移した 4個と、成体のそばに置いておいた

３．研究内容5 個から、合計 9 体の幼体がでて3-1 実験材料の捕獲きた。体長は、約 1.5cm。
＜ 夏休み中に 9 体中 7 体が死亡＞

捕獲方法記入9 月
５月中旬、上記の方法で、ニホントカゲの1/2～1/4 に切った、ミールアームを食すことができるようになる。

ビタミン剤(液体)を与えると、よく舐めた。

とのほうが、孵化には必要な条件である。
二つ目は、幼体のほうが、成体に比べて、舌をペロペロする行動がよく見ら

周囲の環境への適応能力に優れていることれた。

である。人がほとんど通らない場所で飼育9/30 1 個体が脱走し、2 日後脱水によりしても、野生のものは飼育全体を通して、死亡しているのが発見される。

あまり人に慣れることがなく、動くものに

ピンセットでずっと餌(ミールアはすぐに反応し続けた。しかし、人がいるーム)をあげていたが、ピンセット

環境で生まれた幼トカゲは、人が近づいてを見せるだけで、口をあけてくるもそれほど逃げることは無かった。孵化しようになった。

たときから、人がいる環境という野生とは

10/11

10/17 20℃の恒温室へ水槽を移動。
日光不足を補うため、爬虫類専
用ライトを設置。
10/18 動きが鈍くなった。周りの動くものに対して、威嚇するような反応を頻繁に見せるようになった。
10/19

異なる環境だったこともあるが、幼トカゲのほうが環境への順応性があると考えられる。また、これが「慣れ」という行動にも関わっているのか、次回行動実験で調べてみたい。
三つ目は、餌をつかんでいないピンセッのた打ち回るような行動をしてトにも、餌を与えられた時と同じ行動をトは、静止するといった行動を繰りカゲが見せることである。この行動は、ト返した。腹が少し青くなっていた。

カゲの学習行動を調べるための実験系に、自らの尾と右後足を自切して死応用することができるのではないかと考え亡しているのが、確認された。

ている。

10/20

5 月中旬に捕獲し、卵から返した全ての個体が死んでしまったため、学習行動の実
験はできなかった。

５．今後の課題
今回、半年にかけてニホントカゲの飼育を試みたが、全ての個体を死亡させてしまう結果となった。今後は、この死因を解明

４．考察
ニホントカゲの産卵、孵化、生育過程を観察することで、いくつかの発見があった。

し、安定的にニホントカゲが飼育できるよ
うにしたい。また、ニホントカゲの学習行動について実験を行っていきたい。

一つ目は、ニホントカゲの卵は転卵しても孵化することが分かったことである。別６．謝辞

容器に移し、転卵させない卵と、親トカゲ

この論文を書くにあたり、櫻井先生に多大のそばに置き、常に親が卵を転がしているなるご協力をいただきました。感謝してい状況を作ったが、どちらも孵化させることます。

ができた。当たり前のことであるが、卵を転がすよりも、水分が十分に足りているこ繊毛虫 ブレファリズマの巨大化についての研究
2年A組

竹中

2年B組

塩見真里菜

2年C組

山根

里奈

指導教員 櫻井

昭

友理

１．要約
昨年から今年にかけて、ブレファリズマが巨大化する条件についての検証を行った。これは、ブレファリズマの巨大化に必要な外的要因が何であるか、どんな環境においてブレファリズマが巨大化するかについての実験である。期待していたよう
な明確な結果は出なかったが、この実験の内容と成果について考察する。
キーワード ディプレッションスライド、ガラスビーズ(0.05 ㎜、0.2 ㎜)、
SMB(繊毛虫類用生理食塩水)、大腸菌、シスト

２．研究の背景と目的
ブレファリズマは飢餓状態におかれ

３．研究内容3.1 実験目的

ると、巨大化することが分かっている。

今回の実験の目的は、ブレファリズマのこの巨大化したブレファリズマをジャ巨大化に栄養が必要なのか、ブレファリズ

イアントブレファリズマと呼ぶことにマのみが持つ何かも重ねて必要なのか、そする。このジャイアントブレファリズ

れとも、なにも必要でなく、ブレファリズ

マの特徴は、体長が通常のブレファリ

マの口に何かブレファリズマのサイズ

ズマの 2～3 倍になり、体内に赤い大き(0.2mm 程度)のものが触れることで巨大化な食胞が(共食いしたためと考えられするのかについて確かめ、考察することでる)見られることである。このジャイアある。なお、ブレファリズマの体が巨大化

ントブレファリズマは、普通サイズのしているのであって、喰われたブレファリ

ブレファリズマ同士が共食いをした時ズマの体積が加算されている一時的なものに現れるとされるが、なぜ大きくなるではないという証明も兼ねている。

のか等、細かいことは分かっていない。

3.2 実験仮説

ブレファリズマは単細胞生物なので、この実験にあたり、私達は 2 つの仮説を共食いしても、食べた相手の細胞を自たてた。

分の体の一部にすることはできない。

1. 養分等は一切関係無く、大きいものを食つまり、細胞融合はできないと考えらべた事により細胞が反応して巨大化した。

れる。よって、何がブレファリズマの2. 養分(と共にブレファリズマだけが持つ細胞サイズを巨大化させる直接的な要何か)を吸収した為巨大化した。

因になるのか、調べることにした。

3.3 実験方法

ャイアントブレファリズマは、出現しなか

5 つのディプレッションスライドに A かった。ブレファリズマの色素が抜け、透明ら E の記号をつけ、それぞれ次のものをい化し、数も減少した。

れる。

C のディスプレッションスライド

A

SMB500μml(ディプレッションスラ

栄養を与えていないにもかかわらず、少しイドには 3 つのくぼみがあるため、この条

不健康そうだが分裂がおこっていた(分裂件のサンプルが 3 つあることになる。)

がおこったサンプルでは入れてあったビー

B

ズがなくなっていた)。しかしそれは始めだ

SMB500μml

0.2 ㎜のビーズ 530 個(3けで、最後には減少した(それほど減らなか

サンプル)
C

SMB500μml

0.05 ㎜のビーズ(3 サン

った)。

プル)

D のディスプレッションスライド

D 大腸菌を培養した培養液 500μml(3 サ

始め均一的で健康そうだった。二日目から

ンプル)

シストが出現した。最終的には増えた。

E

E のディスプレッションスライド

ブレファリズマを培養した培養液 500

μml(3 サンプル)

大小の違いがあり、1 日目に観察した時は、それぞれにブレファリズマを 6cell ずつい

シストが合計 5cell いた。2 日目になると、れ、15℃のインキュベーターで保存し、大小の差が激しくなり、シストは確認され日間培養。

ず、ジャイアントブレファリズマが 4cell

日おきに光学顕微鏡で観察した。

確認された。しかし最終的にはジャイアン
トブレファリズマがいなくなり、細胞の大3.4 実験結果

きさも小さくなった。また、シストが 5～

A のディプレッションスライド

6cell 確認された。

シスト状態のブレファリズマが見られる

まとめると、A、B、C つまり栄養を与えなのが比較的早かった。変形したもの(細くねかったディスプレッションスライドでは、じれた形をしたもの)が多く見られた。細胞ジャイアントブレファリズマは出現せず、数は多少揺らぎながらも、緩やかに減少し次第に元気が無くなり数が減少した。D,Eてい、最終的にはブレファリズマの赤い色

つまり栄養を与えたディスプレッションス

素の色がうすくなり、ほぼ透明になった。

ライドでは、個体数が増えたり、ジャイア

大きさは、通常サイズのブレファリズマのントブレファリズマが確認されたりした。

半分になっていた。3 つあるサンプルにはB と C を比較すると最終的にはどちらも数それぞれ 6cell のブレファリズマが入ってが減少した。

いたのだが、
2 つは半数’(3cell)しか残らず、
1 つは 1cell しか残らなかった。

４．考察

B のディプレッションスライド

E でしかジャイアントブレファリズマが観

始めは元気に動き回っていたものの、次察されなかったことより、ブレファリズマ

第に元気がなくなっていった。シストやジは食べたものの大きさに影響されるのでは

なく、食べた物の栄養量とブレファリズマ
特有の何かによって巨大化することが明らかとなった。(つまり仮説 2 が正しかった)。
C のディスプレッションスライドのブレフ
ァリズマが、栄養もないのに分裂していたのが予想外だった。分裂して共食いすることで栄養を得ようとしたのだろうか。分裂
がおこったサンプルでは、入れてあったガラスビーズが極端に少なくなっていたので、ビーズを餌と勘違いして分裂したとも考えられる。
0.2mm のビーズのはいっていた B のディ
プレッションスライドでも、実験開始から数日は、ブレファリズマが他のサンプルよりも健康そうだったことから、物質を細胞口に入れることで、餌を食べたと勘違いし一時的に健康さを取り戻すのかも知れない。
５．今後の課題
この実験で仮説 2 が正しいと証明されたため、今後はブレファリズマの巨大化に関係があると思われる、ブレファリズマ特有の何かが、何であるかを特定したいと考えている。
また私たちは、ブレファリズマは真核生物なので核をもっているが、これがブレフ
ァリズマを巨大化させる原因物質ではないかという観点から、それを証明するような実験も行っていきたいと考えている。
６．謝辞
この論文を書くにあたり、櫻井先生に多大なるご協力をいただきました。感謝しています。

カツオブシ菌の最適な培養条件について３年 C 組 飯野さくら
３年 C 組 太田香梅
指導教員 矢野幸洋

１．要約
世界一硬い食品である鰹節を作るために用いられるカツオブシ菌は、鰹内に含まれるほとんどの水分を吸収し、脂肪分を分解する。私たちはその性質にとても興味を持ち、カツオブシ菌の最適な培養条件を探した。
キーワード

カツオブシ菌、培養

２．研究の背景と目的

カツオブシ菌のリパーゼにより殆ど分解

私たちは今、カツオブシ菌を培養される。カツオブシ菌自らが持つプロテするにあたってカツオブシ菌にとっアーゼ(蛋白質分解酵素)が鰹の酵素と一て最適な環境をみつけだすために実緒になって働くことにより、各種アミノ験を行っている。最終的な目標とし

酸やイノシン酸などの旨味を作り出す。

ては、以前カツオブシ菌を研究され又、生育に多量の水を必要とするため、ていた先輩の実験内容を引き継ぎ、

カビづけを行うことによって鰹の水分をカツオブシ菌の特徴を深く調べるこ

吸い尽くし、極度に乾燥した保存性の良とであるが、大学の研究室が所有しい鰹節ができあがる。

ている機器を使うなど高度な内容だったため、現時点での実現は不可能と判断した。そこで、よく知られて＜実験 1＞
カツオブシ菌を培養する最適条件を調べいるカツオブシ菌そのものがもつ特るために、次の 2 つの方法を行った。

徴(下記の研究内容＜カツオブシ菌① 寒天培地の成分で比較する。

とは＞に示した)を身近なことに応培地Ａと培地Ｂの 2 種類を使って用できないかと考え、実験に使用す培養した。(表１参照)

るためのカツオブシ菌を効率良く培② 培養する温度で比較する。

養するための条件を探すことにした。

先輩がおっしゃったカツオブシ菌を培養する最適な温度が 32℃だっ

３．研究内容たため、今までは 32℃で設定したイ＜カツオブシ菌とは＞ンキュベーターで培養してきた。し鰹節のカビづけに使われる麹菌。リパ

かし、その温度の根拠に疑問を持っーゼ(油脂分解酵素）活性が強いのが特徴

たため 28℃･32℃・36℃の 3 種類のであり、鰹に含まれていた多量の油脂はインキュベーターを使って培養した。

［結果］結果を表２・表３に示す。まとめると以下のようになる。
・８日間培養すると 36℃で培養した２枚の培地と 32℃で培養した培地 B は良く繁殖したが、他の３枚ではほとんど繁殖していなかった。

培地 B では菌が繁殖した様子は見られな
く、培地にも変化はなかった。
［考察］
培地 A が縮んだ(乾燥した)ため、カツオブシ菌が繁殖したと考えられる。
培地 B では変化がなかったので、カツオブシ菌は繁殖しなかったと考えられる。

・20 日間培養すると６種類の培地に差はほ
とんどなくなった。ただし、32℃で 20 日間

４.まとめ

培養したものは、機器の不具合で３日間水実験１で使ったカツオブシ菌が、実験２に浸かったため参考資料として扱うこととの結果からコンタミしていたことがわかっする。

た。これからは実験２で培養した菌を実験［考察］に使用し、さらに最適な培養条件について28℃で培養することはカツオブシ菌には調べていきたい。

適していないことがわかった。
また、この実験の記録を取り終えた後も

５．謝辞

そのまま培養を続けたが、シャーレ内の培

この研究を進めるにあたり、多忙にもか

地の水分量に変化がなかった。そのため、かわらず、日々の活動をサポートして頂い培養していたものは本当にカツオブシ菌だ

た矢野先生。また、以前顧問として指導しったのかという疑問を持ち次の実験２を行て頂いた櫻井先生。誠にありがとうございうことにした。

ました。
最後になりましたが、私達の研究をサポ＜実験２＞
今まで使っていたカツオブシ菌がコンタミしていた可能性があるため、鰹節を新たに購入し次の手順で培養した。
① 枯節の表面を滅菌されたカミソリを使って 0.15g 削り取る。
②

40ml の蒸留水を加えよく撹拌する。

③②の水溶液を培地Ａ、培地Ｂにそれぞれ２ml ずつ撒き、35℃のインキュベータ
ーで培養する。

｛結果｝
結果を表４に示す。
培地 A では菌がよく繁殖し、８週間後には培地が縮んだ。

ートしてくださった皆様、そしてこの論文を読んでくださった皆様に深く感謝いたします。

培地の成分とその量

培地 A

培地 B

粉末酵母エキス 8g

ブドウ糖ペプトン培地
14.3g

グラニュー糖 8g

寒天 8g

寒天 8g

蒸留水 500ml

ペプトンＹ 4g
蒸留水 500ml
表１

培養期間
培養温度

培地組成

８日間
28℃

32℃

36℃

培地Ａ

培地Ｂ

表２

20 日間

培養期間
培養温度

実験１の８日間の培養結果

28℃

32℃

培地Ａ

培地Ｂ

表３

実験１の 20 日間の培養結果

36℃

培養期間

４週間

８週間

培地 A

培地 B

表４

実験２の培養結果

ワイヤレス電力給電について
５年 C 組 岩﨑

暖

指導教員 藤野智美

１． 要約
サイエンス研究会地学班は電気と波長に関する研究活動を行っている。今回はワイヤレ
ス電力給電実験キットを用いて、配線を使わずに非接触に電力を供給出来る範囲と、その時のコイルの巻き数、バリアブルコンデンサ(以下バリコン)の羽の枚数との関係を調べた。
キーワード ワイヤレス給電、共鳴方式、電磁界、給電コイル、受電コイル、バリコン

２．研究の背景と目的「給電」という言葉を身近なものに置き換えると、まずは「充電」という言葉が出てくるだろう。その形態は製品と電源をコ

３． 研究内容
3.1 基礎知識①今回の実験について
ワイヤレス給電技術には以下の 2 方式がードで繋ぐといったものが主流だが、最近ある。

ではコードを使わなくても携帯電話や電気・E 型フエライトコアを使用したコイルに自動車が充電出来るようになってきている。

よる磁界方式（写真右のコイル）
・E 型フエライトコアを使用しない空芯コ
イルの共鳴方式（写真左のコイル）

図１：電気自動車ワイヤレス充電の様子
図 2：使用したコイル
エネルギーに関する研究を行う中で、離れていても電気を正確に供給できることに

今回は後者を利用した実験を行った。
②実験の原理興味を持ち、今回はその仕組みの理解と、今回の実験に用いた共鳴方式は給電コイ

元々苦手である電気分野をより近くに感じ

ルを振動させて発生した電磁波を受電コイることを目的とし、本研究を始めた。

ルが受け取り、エネルギーの受け渡しを行っているという仕組みである。
電磁誘導方式では磁界を使った通信のた光ダイオード(以下 LED)の点灯、光の強弱により判定した。図１は回路図である。

め距離が離れるにつれエネルギーも授受出来なくなる、コイルを一直線上に置かないと通信は途絶えてしまうといった欠点があ回路図る。それに対して共鳴方式では電磁波が給EScad なんて名前のソフトは見つけました

電コイルから四方八方に出るため、電磁波

図４：が伝わる範囲ではエネルギーの授受が可能であり、コイル同士をずらしても通信出来るといった違いがある。
実験ではコイルの発する固有振動数が重要であり、次式で表される。

f =②測定方法について(ⅰ) 給電距離の測定
給電基板と給電コイルを左側に固定し、1受電コイル及び受電基板を動かして両者の2π LC

距離を少しずつ離した。コイルを動かす際

L〔H〕…コイルの自己インダクタンスには紙パイプ部分を持つよう細心の注意をC〔F〕…コンデンサの電気容量払い、また、給電コイルと受電コイルが正面に向き合ったまま動かせるよう、図５の

今回は L=一定であるので、C をバリコンのように、２本の物差しを固定して受電コイ

羽の枚数で調整する。これは給電コイル、ルをスライドさせた。距離の測定は、この受電コイルそれぞれの固有振動数を制御す

物差しの目盛を読んで行った。

るという意味になる。

3.2 実験内容
電力授受に必要な受電コイル・給電コイルの２種類を用意する。それぞれ紙パイプにコイルを巻きつけたものである。給電コイ
ルには出力用のコイル、受電コイルには駆図５：実際の実験の様子(ⅱ） LED の点灯の判定

動用のコイルをそれぞれ 3 回巻いた。また

LED を真上から見た時に完全に光が確

それに追加してより強く共鳴させる為の共認出来なくなった場合を消灯とし、その地

振用コイルをそれぞれに巻いた。巻き数は点までを給電可能な最長距離とみなした。

実験に応じて調整した。この巻き数によって、コイルの自己インダクタンス L が決まることになる。

[実験１]
半径 5.45ｃｍの紙パイプに出力用・駆動

これらの給電コイル、受電コイルをそれぞ

用コイルを 3 回、共振用コイルを 9 回、それ電子基板に接続し制御する。給電出来てれぞれに巻いた。これら 2 つの給電・受電いるか否かは受電基板についている赤色発コイルを使い、給電基板と受電基板にある

バリコンの羽の枚数を変えながら LED の点灯距離を測定した。
羽の枚数が 5,6,7,9,12,16 枚であるのは、元々基板のダイヤルについていた数字のみを使って実験したからである。
[実験１の結果][実験２の結果]
羽の枚数（枚）
給電側
受電側
5
5
6
7
9
12
16
6
5
6
7
9
12
16
7
5
6
7
9
12
16
9
5
6
7
9
12
16
12
5
6
7
9
12
16
16
5
6
7
9
12
16

LEDの点灯距離（ｃｍ）
0～1.250～1.170～1.000～0.900～0.600～0.850～1.100～0.900～0.350～0.300～0.300～0.300～0.600～0.700～1.600～2.200～1.75×
0～0.670～0.60×
0～3.000～1.670～1.750～0.700～0.800～0.500～1.150～6.930～1.650～0.750～0.550～0.500～1.140～0.95×

実験１と違って LED が点灯しなかった
場面は３回しか見られなかった。半径が大きくなったことにより LED の点灯距離もより長くなると予想していたが、実際はほとんどが実験１よりも短距離になってしま
×…LED は点灯しなかったった。

ほとんどの場合において LED は点灯しなかったが、受電側のバリコンの羽を 6 枚[実験３]にすることで給電側のバリコンの羽が 9 枚

実験１、実験２を通して受電側のバリコと 16 枚である時以外は短距離から中距離

ンの羽の枚数を７枚から９枚に変える間に給電できることが分かった。

LED が最も強い光を発していることに気付いた為、受電側の羽の枚数を８枚に固定[実験２]
紙パイプの半径を 8.50ｃｍに変え、実験
１と同じ実験を行った。

し、給電側の羽の枚数を変えながら LED の点灯距離を測定した。紙パイプの半径は8.50cm のものを使用した。

４．今後の課題[実験３の結果]

データの測定方法を更に精度の良いもの

羽の枚数（枚）
給電側
受電側
5
8
6
8
7
8
9
8
12
8
16
8

点灯距離（ｃｍ）
0～1.970～3.900～8.230～14.65
0～10.100～9.30へと改良する必要がある。
ある距離で１度 LED が消えた後、少し進んだ場所で再度点くという現象について、給電コイルから発される電波を波の面から
詳しく検討していきたい。

実験１、２に比べ点灯距離を延ばすことに成功した。

５．参考文献

[実験４]

６．謝辞

更に点灯距離の底上げの為、実験２、３と同じ半径 8.50ｃｍの紙パイプに出力用・駆動用コイルを 3 回、共振用コイルは巻き数を３回増やして 12 回巻いた。
今回は受電側バリコンの羽の枚数が５枚の時に LED が１番明るく光っていたため、その枚数を固定して実験３と同様に実験した。
[実験４の結果]
羽の枚数（枚）
給電側
受電側
5
6
7
9
12
16

点灯距離（ｃｍ）
5
5
5
5
5
5

3.3 実験結果の分析

0～19.51
0～8.480～6.430～5.340～4.420～3.94

平成25年度
スーパーサイエンスハイスクール
サイエンス研究会研究論文集
平成26年(2014年) 3月1日

発行

国立大学法人 奈良女子大学附属中等教育学校〒630-8305

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