ボラティリティ・スマイルとスキュー―日本国債市場における正規分布から乖離した動きについて―

1 はじめに

服部 孝洋

ＳＰＯＴ

財務総合政策研究所研究員

本稿では、先物価格や金利の変化が正規分布から外服部（2020a,b）では国債先物オプションに関するれる世界について、ボラティリティ・スマイルの観点

基礎事項について確認しました。オプションから得らから考えていきます。服部（2020a）では金利急騰リれるリスク量はオプションの価格から示唆（インプラ

スクを把握するうえで IV の有益性を強調しましたが、イ）されるボラティリティであることから、インプラ

ボラティリティ・スマイルを理解することにより、正イド・ボラティリティ（IV）と呼ばれています。オ

規分布から外れるような暴落や急騰について市場参加

プション価格から IV を算出するにはモデルが必要に者がどのような予想をしているかを把握することがでなりますが、ブラック 76 モデルと呼ばれる正規分布

きます。特に金融市場では、資産価格の変化が正規分に基づくモデルが商慣行として用いられています。

布から非対称にずれる現象（特に価格の急騰より暴落

先物価格や金利の変化に正規分布を想定する直感的のほうが起こりやすい現象）を統計学の用語を援用しなイメージは、（1）平均的なことが起こりやすく、「スキュー」と表現します。著名な投資家であるナー（2）価格や金利の上昇・下落がバランスよく発生し、

シム・タレブ氏が正規分布で説明できないような極端かつ、（3）急騰や暴落はあまり起こらない、というな現象を「ブラック・スワン」と呼んだことから、スものです。もっとも、実際の先物価格や金利変化は正

キュー指数は「ブラック・スワン指数」と呼ばれるこ規分布とは異なるものです。特に問題であることは、ともあります。本稿では服部（2020a、b）で記載しオプションの売り手が正規分布に基づいて判断する

た内容を前提としますので、そちらの文献も適時参照＊1
を過小評価しと、例えば価格の暴落（金利の急騰）いただければ幸いです。

てしまう可能性がある点です。この問題は 1987 年にク・ マ ン デ ー を 契 機 に 意 識 さ れ る よ う に な り ま し

2 権利行使価格と IV の関係：スマイル・
カーブとスキュー

た＊2。実際の市場では正規分布では想定されないよう

２．
１ 正規分布からの乖離：スキューとカー

おいて米国で経験した株価の暴落、いわゆるブラッ

な頻度で暴落が発生することが広く認識されるようにトシスなったわけです。このような問題に対して、市場参加

服部（2020a）では正規分布を想定するブラック

者は、オプションの中でも、暴落を保証するオプショ

76 モデルに基づき金利リスクについて考えてきましンに追加的なプレミアムをのせるかたちでこれに対応たが、本稿では先物価格や金利の変化が正規分布に従しました＊3。これがボラティリティ・スマイルと呼ばわない可能性について考えていきます。最初に、先物れる現象です。

価格や金利の変化が正規分布からどのように外れてい＊1） 価格と金利は逆の動きをします。債券（固定利付債）の場合、クーポン（キャッシュフロー）が固定されていますから、価格が上昇すると、その債券のリターン（金利）は低下します。（他の条件を一定にすれば）購入する価格が上がればリターンが低下することは、株式や不動産などすべての資産について共通して言えることです。
＊2） この記述はダーマン（2005）や櫻井（2016）などを参照しています。
＊3） 例えば、ダーマン（2005）では、「87 年の株式暴落を経験した投資家は、かつて苦しんだリスクに対する将来の保険として、率先してコストを支払う」（p.352）と記載ようになっていた。その結果、90 年当時には、すべての株式市場で似たようなスマイル（スマーク）が出現するようになっていた。
しています。
ファイナンス2020 Jul.

47

図 1 歪度（スキュー）と尖度（カートシス）のイメージ
確率（密度）

確率（密度）

スキュー＝0（正規分布）

スキュー＞0

カートシス＞3
カートシス＝3（正規分布）

スキュー＜0

カートシス＜3

うな極端な現象を「ブラック・スワン」と呼んだことから、スキュー指数は「ブラック・ス
うな極端な現象を「ブラック・スワン」と呼んだことから、スキュー指数は「ブラック・ス
うな極端な現象を「ブラック・スワン」と呼んだことから、スキュー指数は「ブラック・ス

ＳＰＯＴ

ワン指数」と呼ばれることもあります。本稿では服部（D、E）で記載した内容を前提とワン指数」と呼ばれることもあります。本稿では服部（D、E）で記載した内容を前提とワン指数」と呼ばれることもあります。本稿では服部（D、E）で記載した内容を前提と先物価格（金利）の変化

先物価格（金利）の変化しますので、そちらの文献も適時参照いただければ幸いです。
しますので、そちらの文献も適時参照いただければ幸いです。
しますので、そちらの文献も適時参照いただければ幸いです。    るかについてデータで確認してみましょう。

騰より暴落が起こりやすいことがわかります。また、

．権利行使価格と．権利行使価格と,9,9の関係：スマイル・カーブとスキュー
の関係：スマイル・カーブとスキュー
．権利行使価格と,9 の関係：スマイル・カーブとスキュー
金融データがどの程度正規分布から乖離するかを把表 1 には国債現物の金利変化のスキューの記載もされ確率（密度）
確率（密度）

確率（密度）
カートシスが正
．１
．１
正規分布からの乖離：スキューとカートシス
正規分布からの乖離：スキューとカートシス
．１
正規分布からの乖離：スキューとカートシス
握する概念として、統計学には、「歪度（Skew, スていますが、こちらは逆に正の値をとっており、金利
カートシスが正

スキュー
スキュー
が負
が負

服部（D）では正規分布を想定するブラック
服部（D）では正規分布を想定するブラック
モデルに基づき金利リスクについて
モデルに基づき金利リスクについて服部（D）では正規分布を想定するブラック モデルに基づき金利リスクについて
キュー）」と「尖度（Kurtosis,
カートシス）」というの急騰が起こりやすいことを意味しています。債券でカートシスが正

スキュー
が負

＊4
考えてきましたが、先物価格や金利の変化が正規分布に従わない可能性について考えてい考えてきましたが、先物価格や金利の変化が正規分布に従わない可能性について考えてい考えてきましたが、先物価格や金利の変化が正規分布に従わない可能性について考えてい。「スキュー」は図 1 の左図のように概念がありますは価格と金利が逆方向の動きをすることを考えると、

きます。
きます。
最初に、
最初に、
先物価格や金利の変化が正規分布からどのように外れているのかについて
先物価格や金利の変化が正規分布からどのように外れているのかについて
きます。
最初に、
先物価格や金利の変化が正規分布からどのように外れているのかについて
金利変化が正規分布から左右にどの程度乖離するかと国債先物のデータと一貫性がある結果といえます。一カートシスが負
カートシスが負データで確認してみましょう。
データで確認してみましょう。
データで確認してみましょう。
いう非対称性をとらえる指標になります。詳細な議論
カートシスが負方、国債先物と国債現物のカートシスは 3 を超えるこ

金融データが正規分布からどのようにずれているかを把握する概念として、統計学には、
金融データが正規分布からどのようにずれているかを把握する概念として、統計学には、
金融データが正規分布からどのようにずれているかを把握する概念として、統計学には、は統計学のテキストに譲りますが、横軸を先物価格のとがわかります。このことは先物価格や金利の変化が「歪度（6NHZ「歪度（6NHZ
スキュー）
スキュー）
」と「尖度（.XUWRVLV」と「尖度（.XUWRVLV
カートシス）
カートシス）」という概念があります」という概念があります。筆「歪度（6NHZ
スキュー）」と「尖度（.XUWRVLV
カートシス）」という概念があります。筆。筆変化率（金利の変化）とするならば、図1 の左図のよ
正規分布より裾が厚い分布に従っており、正規分布よ
先物価格（金利）の変化
先物価格（金利）の変化
者の印象では歪度や尖度という表現が用いられることが多いですが、オプションではスキ者の印象では歪度や尖度という表現が用いられることが多いですが、オプションではスキ者の印象では歪度や尖度という表現が用いられることが多いですが、オプションではスキうにスキューが負（正）の場合、平均からみて暴落
り平均から外れた事象が起こりやすいことを意味して


先物価格（金利）の変化
先物価格（金利）の変化

ューという言葉が実務で用いられるため、ここではスキューとカートシスという表現を使ューという言葉が実務で用いられるため、ここではスキューとカートシスという表現を使ューという言葉が実務で用いられるため、ここではスキューとカートシスという表現を使（急騰）の方が起こりやすい分布を想定します（正規います。


先物価格（金利）の変化

先物価格（金利）の変化

うことにします。
うことにします。
うことにします。
分布のように左右対称であればスキューは0 になりまこのようにデータの動きをみると、先物価格や金利
トシスを用いて国債先物の価格変化や国債の金利変化がどのよートシスを用いて国債先物の価格変化や国債の金利変化がどのよ
カートシスを用いて国債先物の価格変化や国債の金利変化がどのよ
いるかについて確認しましょう。
表は
年以降の日次ベー「スキュー」は図「スキュー」は図 の左図のように金利変化が正規分布から左右にどの程度乖離するかの左図のように金利変化が正規分布から左右にどの程度乖離するかす）。一方、カートシスは図1
の右側のように正規分の変化が正規分布から乖離していることが確認できま「スキュー」は図
 の左図のように金利変化が正規分布から左右にどの程度乖離するか
いるかについて確認しましょう。
表は年以降の日次ベーているかについて確認しましょう。
表  は  年以降の日次ベー
債（
年、
年、
布からどの程度裾が厚いかを示します。具体的にはすが、これは時折市場にクラッシュが起こることで金という非対称性をとらえる指標になります。詳細な議論は統計学のテキストに譲りますが、という非対称性をとらえる指標になります。詳細な議論は統計学のテキストに譲りますが、
債（という非対称性をとらえる指標になります。詳細な議論は統計学のテキストに譲りますが、年、
年、 年）のデータを用いてスキューとカートシ
年）のデータを用いてスキューとカートシ
国債（年、 年、 年）のデータを用いてスキューとカートシいます（国債先物は価格の変化率、日本国債については金利の変います（国債先物は価格の変化率、日本国債については金利の変カートシスが3 を超えた場合、正規分布より裾が厚く利が急騰する（先物価格が暴落する）傾向があると解イメージは図イメージは図 の左図に記載しています。横軸を価格の変化率とするならば、スキューがの左図に記載しています。横軸を価格の変化率とするならば、スキューがイメージは図
 の左図に記載しています。横軸を価格の変化率とするならば、スキューがています（国債先物は価格の変化率、日本国債については金利の変国債先物をみると、スキューは負の値をとっていますから、表国債先物をみると、スキューは負の値をとっていますから、表（すなわち平均から大きく外れた事象が正規分布より釈できます。なお、先物価格や金利の変化が正規分布
負（正）の時、平均からみて暴落（急騰）の方が起こりやすいことを表しています（正規分
負（正）の時、平均からみて暴落（急騰）の方が起こりやすいことを表しています（正規分
負（正）の時、平均からみて暴落（急騰）の方が起こりやすいことを表しています（正規分、国債先物をみると、スキューは負の値をとっていますから、表
下落が起こりやすいことがわかります。また、表には国債現物
下落が起こりやすいことがわかります。また、表には国債現物
起こりやすく）、3 を下回った場合は裾が薄いことをに従っているかどうかを直接検証する手法もあります
布のように左右対称であればスキューは布のように左右対称であればスキューは
 になります） になります）。一方、カートシスは図。一方、カートシスは図 の右側の の右側の布のように左右対称であればスキューはになります）。一方、カートシスは図 の右側のり下落が起こりやすいことがわかります。また、表  には国債現物載もされていますが、こちらは逆に正の値をとっています。
これ
載もされていますが、こちらは逆に正の値をとっています。
これ示します（正規分布であればカートシスは3 になりまが、その手法を用いても先物価格や金利の変化が正規
ように正規分布からどの程度裾が厚いかを示します。具体的にはカートシスはように正規分布からどの程度裾が厚いかを示します。具体的にはカートシスは を超えたを超えたように正規分布からどの程度裾が厚いかを示します。具体的にはカートシスは
 を超えた
記載もされていますが、こちらは逆に正の値をとっています。
これいことを意味しています。債券では価格と金利が逆方向の動き
すいことを意味しています。債券では価格と金利が逆方向の動き
＊5
＊6
。
。
す）
分布から乖離していることを示すことができます
場合、正規分布より裾が厚く（すなわち平均から大きく外れたことが起こりやすく）
場合、正規分布より裾が厚く（すなわち平均から大きく外れたことが起こりやすく）
場合、正規分布より裾が厚く（すなわち平均から大きく外れたことが起こりやすく）
、 、
を、をを
やすいことを意味しています。債券では価格と金利が逆方向の動き
債先物のデータと一貫性がある結果といえます。一方、国債先物
債先物のデータと一貫性がある結果といえます。一方、国債先物
表 1 国債先物および現物国債のスキューとカートシス
それではスキューとカートシスを用いて国債先物の
国債先物のデータと一貫性がある結果といえます。一方、国債先物
下回った場合は裾が薄いことを示します
下回った場合は裾が薄いことを示します（正規分布であればカートシスは（正規分布であればカートシスは
 になります） になります）。
下回った場合は裾が薄いことを示します（正規分布であればカートシスは
 になります）。 。
３を超えることがわかります。このことは先物や金利変化の部
は３を超えることがわかります。このことは先物や金利変化の部
現物国債
国債先物
スは３を超えることがわかります。このことは先物や金利変化の部
価格変化や国債の金利変化がどのように正規分布から
 

5 年金利
10 年金利
20 年金利分布、分布、すなわち、
すなわち、正規分布より平均から外れた事象が起こりやす
正規分布より平均から外れた事象が起こりやす
スキュー（歪度）-0.575
0.339
0.481
0.234
い分布、すなわち、
正規分布より平均から外れた事象が起こりやす
乖
離
し
て
い
る
か
に
つ
い
て
確
認
し
ま
し
ょ
う。
表
1
は
図
 歪度（スキュー）と歪度（カートシス）のイメージ
歪度（スキュー）と歪度（カートシス）のイメージ
す。
カートシス（尖度）
9.019
8.296
8.600
11.504す。 図 図歪度（スキュー）と歪度（カートシス）のイメージます。
注：2000/1~2019/12 の日次データを使用。先物については先物価格の変化率、
2000 年以降の日次ベースでみた国債先物と日本国債をみると、先物や金利の変化が正規分布から乖離していること
きをみると、先物や金利の変化が正規分布から乖離していること
現物国債については金利の変化を用いています。
動きをみると、先物や金利の変化が正規分布から乖離していること
（5
年、10
年、20
年）のデータを用いてスキューと時折市場にクラッシュが起こることで金利が急騰する（先物価格
時折市場にクラッシュが起こることで金利が急騰する（先物価格
は時折市場にクラッシュが起こることで金利が急騰する（先物価格
カートシスを計算した結果を示しています（国債先物
解釈できます。なお、正規分布に従っているかどうかを直接検証
解釈できます。なお、正規分布に従っているかどうかを直接検証と解釈できます。なお、正規分布に従っているかどうかを直接検証
は価格の変化率、日本国債については金利の変化をみの手法を用いても正規分布から乖離していることを示すことが２．
２ スマイル・カーブ
その手法を用いても正規分布から乖離していることを示すことが、その手法を用いても正規分布から乖離していることを示すことがこのように実際の先物価格や金利の変化をみると、ています）。まず、国債先物をみると、スキューは負の値をとっていますから、図 1 を考えると、価格の急国債のスキューとカートシス
国債のスキューとカートシス
物国債のスキューとカートシス𝑇𝑇
𝑇𝑇 3𝑇𝑇3 3𝑇𝑇
 


その動きは正規分布に基づかないことがわかります。

𝑇𝑇 ∑4𝑇𝑇
4 ̅)4
(𝑦𝑦̅)
̅)(𝑦𝑦
(1/𝑇𝑇) ∑(1/𝑇𝑇)(𝑦𝑦𝑡𝑡∑−𝑦𝑦
𝑡𝑡 −𝑦𝑦𝑡𝑡 −𝑦𝑦𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1(1/𝑇𝑇)
2 で定義されます（ここでの22
3/2 、カートシスは
3/2 2 3/2
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
𝑇𝑇
2
2
2
2
∑(𝑦𝑦
[(1/𝑇𝑇)[(1/𝑇𝑇)]̅)2 ]
(𝑦𝑦̅)
̅)
∑(𝑦𝑦
[(1/𝑇𝑇) ∑] 𝑡𝑡 −𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑡𝑡∑−𝑦𝑦[(1/𝑇𝑇)[(1/𝑇𝑇)
]̅) ]
(𝑦𝑦̅)
̅)
[(1/𝑇𝑇) ∑] 𝑡𝑡 −𝑦𝑦(𝑦𝑦𝑡𝑡∑−𝑦𝑦
𝑡𝑡 −𝑦𝑦𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡 −𝑦𝑦
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1

∑(𝑦𝑦
̅)
(1/𝑇𝑇)(𝑦𝑦̅)̅)(1/𝑇𝑇) ∑(1/𝑇𝑇)(𝑦𝑦𝑡𝑡∑−𝑦𝑦
𝑡𝑡 −𝑦𝑦𝑡𝑡 −𝑦𝑦
𝑡𝑡=1
𝑡𝑡=1

 
̂ = ̂̂
スキューは𝑠𝑠𝑠𝑠= =𝑇𝑇 𝑡𝑡=1
スキューは𝑠𝑠𝑠𝑠＊スキューは𝑠𝑠𝑠𝑠
スキューは
4）

̂ = ̂̂
、カートシスは𝑘𝑘𝑘𝑘、カートシスは𝑘𝑘𝑘𝑘==、カートシスは𝑘𝑘𝑘𝑘

で定義されます（ここでの𝑦𝑦で定義されます（ここでの𝑦𝑦̅は標̅は標で定義されます（ここでの𝑦𝑦
̅は標は標本平均を示しています）。

本平均を示しています）
本平均を示しています）。 。。

 本平均を示しています）



を引いた超過カートシス（excess kurtosis）が計算されることがある点に注意してください。この場合、0 を上回った場合、正規分布より裾が厚いこ＊5） 株式などのリターンのカートシスは３を超えることがほとんどです。ちなみに、統計パッケージソフトなどを用いて計算した場合、カートシスから３  とを示します。
 株式など資産価格のリターンのカートシスは有意に３を超えることがほとんどです。ちなみに、統計パ
 株式など資産価格のリターンのカートシスは有意に３を超えることがほとんどです。ちなみに、統計パ
 株式など資産価格のリターンのカートシスは有意に３を超えることがほとんどです。ちなみに、統計パ分布が正規分布に従うかどうかについてはジャック・ベラ検定でテストす分布が正規分布に従うかどうかについてはジャック・ベラ検定でテストす化の分布が正規分布に従うかどうかについてはジャック・ベラ検定でテストす＊6） 先物価格の変化や金利変化の分布が正規分布に従うかどうかについてはジャック・ベラ検定でテストすることができます。ジャック・ベラ検定の統計

22
ッケージソフトなどを用いて計算した場合、カートシスから３を引いた超過カートシス（H[FHVV
ッケージソフトなどを用いて計算した場合、カートシスから３を引いた超過カートシス（H[FHVV
ッケージソフトなどを用いて計算した場合、カートシスから３を引いた超過カートシス（H[FHVV
2 2 /6 + 𝑇𝑇(𝑘𝑘𝑘𝑘̂̂および𝑘𝑘𝑘𝑘
̂を
̂̂−−3)
̂̂であり、 ̂
および ̂を用いて定義されます。先物価格の変化や金利変化を用いてジャック・ベラ検定を行うと、量は = =
ク・ベラ検定の統計量は𝐽𝐽𝐽𝐽
𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠3)/24であり、𝑠𝑠𝑠𝑠/24であり、𝑠𝑠𝑠𝑠
ベラ検定の統計量は𝐽𝐽𝐽𝐽
ベラ検定の統計量は𝐽𝐽𝐽𝐽
𝑇𝑇𝑠𝑠𝑠𝑠/6 + 𝑇𝑇(𝑘𝑘𝑘𝑘/24であり、𝑠𝑠𝑠𝑠
および𝑘𝑘𝑘𝑘
を

先物価格の変化や金利変化が正規分布に従うという帰無仮説を棄却することができます。
NXUWRVLV）が計算されることがある点に注意してください。この場合、
NXUWRVLV）が計算されることがある点に注意してください。この場合、を上回った場合、正規分布より裾を上回った場合、正規分布より裾NXUWRVLV）が計算されることがある点に注意してください。この場合、を上回った場合、正規分布より裾先物価格の変化や金利変化を用いてジャック・ベラ検定を行うと、先物価格の価格の変化や金利変化を用いてジャック・ベラ検定を行うと、先物価格の価格の変化や金利変化を用いてジャック・ベラ検定を行うと、先物価格のが厚いことを示します。
が厚いことを示します。
が厚いことを示します。
に従うという帰無仮説を棄却することができます。
うという帰無仮説を棄却することができます。
うという帰無仮説を棄却することができます。

48

ファイナンス2020 Jul.






 

ボラティリティ・スマイルとスキュー

図 2 ボラティリティ・スマイルのイメージ
IV

IV

プットのOTMのIVから計算

コールのITMのIVから計算

ブラック 76 モデルはフラット・カーブ
実際はスマイル・カーブ

ＳＰＯＴ

しかし、既に確認したとおり、実際は正規
しかし、既に確認したとおり、実際は正規分布で想定されないレアなイベントが起こる可
しかし、既に確認したとおり、実際は正規分布で想定され能性は高いといえます。
このことは、正規分
ATM
権利行使価格ATM
権利行使価格
能性は高いといえます。このことは、正規分布に基づくオプションのプライスは実際の暴落能性は高いといえます。このことは、正規分布に基づくオプを過小評価していることを意味します。もを過小評価していることを意味します。もし仮に市場にこのプライスでオプションが取引を過小評価していることを意味します。もし仮に市場にこしかしながら、服部（2020a,b）でも記載したとおり、します。オプションへの需要の増加はオプションの価されていたら、このプライスは暴落を過小評されていたら、このプライスは暴落を過小評価しているため、されていたら、
投資家はそのオプションに対
このプライスは暴落を過小評価しているため
国債先物オプションの IV を計算するうえで、正規分格（IV）を上昇させますが、このことは図
2 の右図のする需要を増やします。オプションへの需要
する需要を増やします。オプションへの需要の上昇はオプションの価格（,9）を上昇させまする需要を増やします。オプションへの需要の上昇はオプシ＊9布に基づいたブラック 76 モデルが用いられることがように ATM から離れたオプションについては正規分
すが、このことは図  の右図のように $7
すが、このことは図  の右図のように $70から離れたオプションについては正規分布がすが、このことは図  の右図のように $70から離れたオ布が示唆する価格より高いプレミアムが付されることほとんどです。そこで、冒頭で記載したとおり、ブ示唆する価格より高いプレミアムが付され示唆する価格より高いプレミアムが付されることを意味します。この図で示しているとお示唆する価格より高いプレミアムが付されることを意味しを意味します。この図で示しているとおり、権利行使
ラック 76 モデルが前提としている金利変化から示唆
り、権利行使価格と ,9 の関係は人の笑顔のり、権利行使価格と ,9 の関係は人の笑顔のような形状をしていることから、このカーブをり、権利行使価格と ,9 の関係は人の笑顔のような形状をし価格とIV の関係は人の笑顔のような形状をしているこ
されるボラティリティにプレミアムを追加すること
スマイル・カーブといいます。
スマイル・カーブといいます。
スマイル・カーブといいます。
とから、このカーブをスマイル・カーブといいます。
で、この問題に対処することを考えます。
冒頭で記載したとおり、スマイルの発生は冒頭で記載したとおり、スマイルの発生は、冒頭で記載したとおり、スマイルの発生は、
年の株式市場が暴落したいわゆるブラ
年の株冒頭で記載したとおり、スマイルの発生は、1987
まず、IV と権利行使価格の関係を直感的に考える
ック・マンデーを契機としているといわれまック・マンデーを契機としているといわれます。ゴールドマン・サックスでクオンツを務めック・マンデーを契機としているといわれます。ゴールドマ
年のブラック・マンデーを契機としているといわれてために、縦軸を IV、横軸を権利行使価格としてカーたエマニュエル・ダーマン氏は「世界中で株たエマニュエル・ダーマン氏は「世界中で株式市場が暴落したその日たエマニュエル・ダーマン氏は（ブラック・マンデー）「世界中で株式市場が暴落しいます。ゴールドマン・サックスでクオンツを務めた
ブを描きます（これは金利と年限の関係を考えるた以降から、投資家は習慣的な株式暴落の可能以降から、投資家は習慣的な株式暴落の可能性について常に注意を払うようになり、以降から、投資家は習慣的な株式暴落の可能性について常に
それか
エマニュエル・ダーマン氏は「世界中で株式市場が暴め、イールドカーブを描くことで直感的な理解を得る
ら防衛できるならばためらいなく資金を投入
ら防衛できるならばためらいなく資金を投入するようになっていた。アウト・オブ・ザ・マ
ら防衛できるならばためらいなく資金を投入するようにな落したその日（ブラック・マンデー）以降から、投資ことと同じイメージです＊7）。ブラック・ショールズ・
ネー・プットはそのためには最適かつ最もコ
ネー・プットはそのためには最適かつ最もコストの低い保険だった。
ネー・プットはそのためには最適かつ最もコストの低い保（中略）その結果、
モデルやブラック 76 モデルでは、そもそもボラティ
家は習慣的な株式暴落の可能性について常に注意を払
年当時には、すべての株式市場で似たような
年当時には、すべての株式市場で似たようなスマイル（スマーク）が出現するようになって年当時には、すべての株式市場で似たようなスマイル（スマリティが（権利行使価格に依存せず）一定であること
うようになり、それから防衛できるならばためらいないた」（ダーマン SS）と記載いた」（ダーマン SS）と記載しています。
いた」（ダーマン SS）と記載しています。
を仮定しています（ブラック 76 モデルについては
く資金を投入するようになっていた。アウト・オブ・
上記の通り、スマイルが発生している理由
上記の通り、スマイルが発生している理由はブラック
上記の通り、スマイルが発生している理由はブラック

モデルが正規分布に依存していBOX 1 を参照ください）。これはハル（2016）など
ザ・マネー・プットはそのためには最適かつ最もコスるからですが、この問題を解消するため、るからですが、この問題を解消するため、様々なモデルが提案されています
るからですが、この問題を解消するため、様々なモデルが。もっとも、
が指摘しているとおり、正規性が生まれるための条件
トの低い保険だった。
（中略）その結果、90年当時に今でも国債先物オプションではブラック
今でも国債先物オプションではブラック
今でも国債先物オプションではブラック  モデルを用
ブラック 76 モデルではボラティリ  モデルを用いることがほとんどです。服部
です＊8。すなわち、は、すべての株式市場で似たようなスマイル（スマー（）でも強調したように、実務の現場で（）でも強調したように、実務の現場では、各社が異なるモデルを用いると混乱するた（）でも強調したように、実務の現場では、ティが権利行使価格に依存しないわけですから、ボラク）が出現するようになっていた」（ダーマン 2005,各社が異なめ、正規分布に基づくブラック  モデルをめ、正規分布に基づくブラック モデルを標準モデルとし、実際の取引に当たっては正規
め、正規分布に基づくブラック  モデルを標準モデルとしティリティのカーブは、図2 の左図にあるようなフ
p.351-p.352）と記載しています。
分布から示唆されるプライスにプレミアム
分布から示唆されるプライスにプレミアムを付すという商慣行が生まれたわけです。ちな
分布から示唆されるプライスにプレミアムを付すという商
ラットなカーブとなります。
上記の通り、スマイルが発生している理由はブラッ
みに、服部（D）で紹介した日本国債 9,
みに、服部（D）で紹介した日本国債 9,; は特定のモデルに基づかないモデル・フリー・
服部（D）で紹介した日本国債 9,; は特定のモデしかし、既に確認したとおり、現実には暴落が起こ
クみに、
76 モデルが正規分布に依存しているからですが、
インプライド・ボラティリティが用いられてインプライド・ボラティリティが用いられています（日本国債
インプライド・ボラティリティが用いられています（日本国
9,; の詳細は %2; を参照
る確率は正規分布が想定する確率より高いといえま
この問題を解消するため、様々なモデルが提案されてしてください）。
＊10
してください）。
してください）。。もっとも、今でも国債先物オプションではす。このことは、正規分布に基づくオプションのプラいます
注意すべきは、スマイル・カーブを描く
注意すべきは、スマイル・カーブを描く際は、アウト・オブ・ザ・マネー（2XW
注意すべきは、スマイル・カーブを描く際は、アウト・
RI 7KH
ブラック
76 モデルを用いることがほとんどです。服
イスは実際の暴落を過小評価していることを意味しま
0RQH\270）のオプションの ,9 を用いる
0RQH\270）のオプションの ,9 を用いる点です。270
0RQH\270）のオプションののオプションの定義とは、現在,9 を用いる点です。270部（2020a）でも強調したように、実務の現場では、す。もし仮に市場にこのプライスでオプションが取引行使しても利益が出ないオプションです。服
行使しても利益が出ないオプションです。服部（E）で記載したとおり、270
行使しても利益が出ないオプションです。服部（E）でのオプ各社が異なるモデルを用いると混乱するため、正規分されていたら、このプライスは暴落を過小評価しているため、投資家はそのオプションに対する需要を増や

布に基づくブラック76 モデルを標準モデルとし、実


 先物価格と行使価格が一致する場合、このオプシ

先物価格と行使価格が一致する場合、このオプションを$W7KH0RQH\
先物価格と行使価格が一致する場合、このオプションを（$70）といいます。詳細は$W7KH0＊7） イールドカーブについては服部（2019）をご参照ください。
服部（E）を参照してください。
＊8） ハル（服部（E）を参照してください。
2016）に記載しているとおり、資産価格が対数正規分布に従うためには①資産のボラティリティは一定である、②資産価格はジャンプがなく連服部（E）を参照してください。

続的に変化する（同書、p.682）、という仮定が必要になります。
 三菱東京 8)- 銀行（）では、ブラック・モ
＊9） 先物価格と行使価格が一致する場合、このオプションを）といいます。詳細は服部（
At The Money（ATM2020b）を参照してください。
 三菱東京 8)- 銀行（）では、ブラック・モデルにおける原資産価格のモデルのおけるボラティリ
 三菱東京 8)- 銀行（）では、ブラック・モデルにおける原資ティ項の関数を𝜎𝜎𝑡𝑡 のような形で時間に依存するよう＊10） 三菱東京 UFJ 銀行（2014）では、ブラック・モデルにおける原資産価格のモデルのおけるボラティリティ項の関数をのような形で時間に依存す
ティ項の関数を𝜎𝜎𝑡𝑡 のような形で時間に依存するようにしたうえで、①𝜎𝜎ティ項の関数を𝜎𝜎を時間以外の要素（原資産価格自身など）に依存した関数とする、②に確率構造を入れる、③ジャンプ項など追加的なるようにしたうえで、①𝑡𝑡 を時間以外の要素（原資産価格自𝑡𝑡 のような形で時間に依存するようにしたうえで、①身など）に依存した関数とする、②𝜎𝜎𝑡𝑡 に確率構造を項を加える、といった拡張がボラティリティ・スマイルを表現するうえで必要であるとしています。詳細は三菱東京 UFJ 銀行（2014）を参照してく身など）に依存した関数とする、②𝜎𝜎𝑡𝑡 に確率構造を入れる、③ジャンプ項など追加的な項を加える、とい
身など）に依存した関数とする、②𝜎𝜎𝑡𝑡 に確率構造を入れる、③ジャンださい。
った拡張が、ボラティリティ・スマイルを表現するった拡張が、ボラティリティ・スマイルを表現するうえで必要であるとしています。詳細は三菱東京った拡張が、ボラティリティ・スマイルを表現するうえで必要である
8)銀行（）を参照してください。
ファイナンス2020 Jul. 49
銀行（）を参照してください。
銀行（）を参照してください。


際の取引に当たっては正規分布から示唆されるプライ
スにプレミアムを付すという商慣行が生まれたわけで

図 3 ボラティリティ・スマイルとスキューのイメージ
IV（％）
行使価格の低い IV が高い（オプション料が高い）す。ちなみに、服部（2020a）で紹介した日本国債
VIX は特定のモデルに基づかないモデル・フリー・イ
ンプライド・ボラティリティが用いられています（日本国債 VIX の詳細は BOX 2 を参照してください）。

ＳＰＯＴ

注意すべきは、スマイル・カーブを描く際は、アウト・オブ・ザ・マネー（Out of The Money, OTM）

オプションの行使価格
確率密度（％）
分布に歪みのオプションの IV を用いる点です。OTM のオプションとは、現在行使しても利益が出ないオプションです。服部（2020b）で記載したとおり、OTM のオプションとは保険としての色彩強く、流動性があります。一方、イン・ザ・マネー（In The Money, ITM）のオプションは今すぐ行使しても利益が出るため、保険としての色彩は弱くなり、流動性はありません。そ

大幅下落確率正規分布

先行きの価格変化率
注：崎山・眞壁・長野（2017）をベースに作成。両分布の平均および標準偏差（IV）
は同一であり、市場参加者の認識する価格変動リスクの大きさは同じと想定。

のため、市場で実際に取引されているオプションの価格を用いてスマイル・カーブを描くには、OTM のオ合、スマイル・カーブはフラットになっており、図 3

プションの価格を用いる必要があります。プット・の上図にはこのことが示されています。これは前述のコール・パリティを考えれば、同じ権利行使価格のとおり、ブラック 76 モデルにおいてボラティリティ

プットとコールは高い類似性を有しますから、スマイが一定であることからきている性質ですが、このこと

ル・カーブを描く上で、プットとコールを考慮せず、は図 3 の下図のように、先物価格の変化に対して正規

OTM のオプションを用いてカーブを描写することが分布の想定をしていると解釈することができます。

可能です。

一方、前述のように、実際のデータをみると、価格の暴落は正規分布より高い頻度で起こります。このことは、

２．３

50

スキューとスマイル・カーブの関係

正規分布に従う場合のオプションのプライスは実際の暴

ここまで IV と権利行使価格の関係について考えて落を過小評価していることを意味します。もし仮に市場きましたが、ここからこの関係をスキューという側面にこのプライスでオプションが取引されていたら、このから考えていきます。これまでみたとおり、スマイ

プライスは暴落を過小評価しているため、このことが暴

ル・カーブはオプションの価格から計算された IV に落の保険に相当するオプションの価格（IV）を上昇さ基づき描写されましたが、そのカーブを用いて投資家せます。図 3を確認すると、同図の上図のように、権利による（先物価格の変化に関する）予測の分布が正規

行使価格低下に伴いIV が上昇しており、フラットなカー

分布からどの程度乖離しているかを把握することが可ブでなくスマイル・カーブとなっていることが確認でき能になります。前述のとおり、スキューとは先物価格ます。図 3の下図にスマイル・カーブからインプライさの変化の非対称性をとらえる指標でしたが、スマイれる分布（インプライド分布）と（その分布と平均およル・カーブからスキューを算出することで、投資家がび標準偏差が一致する）正規分布が示されていますが、どの程度正規分布から乖離した予測をしているかを定（既出の図1で確認できるとおり）このインプライド分布

量的に把握することを試みます。

はまさに負のスキューを有している図といえます。

もう少し具体的にスキューとスマイルの関係につい上記に鑑みると、暴落の保険に相当するプットのて考えてみます。図 3 はボラティリティ・スマイルとIV の方がコールの IV より高くなっていれば、投資家

そこから示唆される分布について、正規分布との比較

は先物価格の急騰に比べ暴落の保険を需要しており、の観点で描写した図になります。正規分布に基づく場

急騰より暴落が起こりやすいことを予測していると解

ファイナンス2020 Jul.

イスは暴落を過小評価しているため、このことが暴落の保険に相当するオプションの価格（,9）を上昇させます。図 を確認すると、同図の上図のように、権利行使価格が低下していくと ,9 が上がっており、フラットなカーブ

ボラティリティ・スマイルとスキュー（,9）を上昇させます。図 を確認すると、同図の上図のように、権利行使価格が低下していくと,9 が上がっており、フラットなカーブ
でなくスマイル・カーブとなっていることが確認できます。図 の下図にスマイル・カーていくと ,9が上がっており、フラットなカーブ
でなくスマイル・カーブとなっていることが確認できます。図 の下図にスマイル・カー
ブからインプライされる分布（インプライド分布）が示されていますが、（既出の図  でとが確認できます。図 の下図にスマイル・カー
ブからインプライされる分布（インプライド分布）が示されていますが、（既出の図  で確認できるとおり）まさに負のスキューを有している図表といえます。

イド分布）が示されていますが、（既出の図  で確認できるとおり）まさに負のスキューを有している図表といえます。
上記に鑑みると、投資家が先物価格の変化の分布に対して、プットの,9 の方がコールの釈できます。このことから、実務的には、投資家がど
OTM や ITM を表現するうえでデルタを用いる一因を有している図表といえます。
上記に鑑みると、投資家が先物価格の変化の分布に対して、プットの,9 の方がコールの,9 より高くなっていれば、投資家は先物価格の急騰に比べ暴落の保険を需要していると解の程度スキューを想定しているかを把握する際、プッ
は、先物価格の動きにより
ATM となる権利行使価格変化の分布に対して、プットの,9に対して、どの程度高い水準にの方がコールの,9トのより高くなっていれば、投資家は先物価格の急騰に比べ暴落の保険を需要していると解釈できます。このことから、実務的には、投資家がどの程度スキューを想定しているかを把IV がコールのIVが変化するためです。国債先物オプションでは、権利価格の急騰に比べ暴落の保険を需要していると解釈できます。このことから、実務的には、投資家がどの程度スキューを想定しているかを把,9ば、に対して、どの程度高い水準にあるかをみることがあ る か を握する際、プットのみ る こ と が 少 な く あ,9りがコールのま せ ん。 例 え
行使価格が 50 銭刻みでオプションが設定され、それ投資家がどの程度スキューを想定しているかを把握する際、プットの,9 がコールの ,9 に対して、どの程度高い水準にあるかをみることがBloomberg
による米国債先物オプションから算出さぞれが上場します。もちろん、先物価格は変化するた
少なくありません。例えば、%ORRPEHUJ
による米国債先物オプションから算出されたスキによる米国債先物オプションから算出されたスキという形で定義されています（実際には「化しますし、先物価格と一致した行使価格のオプショ
ュー指数は、「プットの ,9－コールの ,9」「'HOWD3XW,9－'HOWD&DOO,9」という形で
3XW,9－'HOWD&DOO,9」という形でデルタを使って定義していますが、デルタ（'HOWD）」という形でデルタ（Delta） 。ンが上場しているとは限りません。例えば、時系列」「'HOWD3XW,9－'HOWD&DOO,9」という形でデルタを使って定義していますが、デルタ（'HOWD）が意味することについては次節で説明が意味することについては次節で説明します）

を使って定義していますが、デルタが意味することにデータを用いて分析を行いたい場合、特定の権利行使
タ（'HOWD）が意味することについては次節で説明します）。 スキュー指数は特に株式市場で注目度が高い指数になっています。最も典型的な指標はついては次節で説明します）。
価格（例えば 152 円）を用いると、その時の先物の価
スキュー指数は特に株式市場で注目度が高い指数になっています。最も典型的な指標は
シカゴ・オプション取引所（&%2(）が構築するスキュー指数（6NHZLQGH[）です。同指標

スキュー指数は特に株式市場で注目度が高い指数に格次第で、152 円のオプションは OTM になることもが高い指数になっています。最も典型的な指標は
シカゴ・オプション取引所（&%2(）が構築するスキュー指数（6NHZLQGH[）です。同指標

なっています。最も典型的な指標はシカゴ・オプション
あれば ITM になることもあります。
構築するスキュー指数（6NHZLQGH[）です。同指標



取引所（Chicago Board Options Exchange, CBOE）

一方、後述するように ATM はデルタというリスクが構築するスキュー指数（Skew index）です。同指標量を用いればおおよそ 0.5＊11 と表現できるため、0.5」という形で定義さを軸に OTMおよび ITM の IV が ATM からどの程度乖
は「は「－×スキュー（歪度）」という形で定義されていますが、（スキューが負になるとれていますが、（スキューが負になると下落方向に分離しているかを評価することが可能になります（デル
分布が下落側に分布が厚くなることを思い出すと）スキュー指数が上昇すると暴落する可布が厚くなることを思い出すと）スキュー指数が上昇
タ 0.5 のオプションを 50% デルタ（50 デルタ）と書能性を投資家が高く見積もっていることが分かるような設計がなされています。冒頭で言すると暴落する可能性を投資家が高く見積もっている
くこともあります）。すなわち、デルタを用いること及したとおり、このような正規分布から外れた現象をブラックスワンと呼ぶことがあるこ
ことが分かるような設計がなされています。冒頭で言で、ATM の水準、あるいは ATM から OTM や ITM にとから、スキュー指数を「ブラックスワン指数」と呼ぶこともあります。スキュー指数の詳及したとおり、このような正規分布から外れた現象をどの程度乖離しているかを把握することが容易になる
細は崎山・眞壁・長野（）などをご参照ください。

わけです。
ブラックスワンと呼ぶことがあることから、スキュー
は「－×スキュー（歪度）」という形で定義されていますが、（スキューが負になると）」という形で定義されていますが、（スキューが負になると度）」という形で定義されていますが、（スキューが負になると指数を「ブラックスワン指数」と呼ぶこともありま
図 4 は縦軸がデルタ（の水準）で横軸がATM から３
デルタを用いたスマイル・カーブ
分布が下落側に分布が厚くなることを思い出すと）スキュー指数が上昇すると暴落する可ることを思い出すと）スキュー指数が上昇すると暴落する可ることを思い出すと）スキュー指数が上昇すると暴落する可す。スキュー指数の詳細は崎山・眞壁・長野（2017）の乖離を示していますが、デルタがおおよそ 0.5 の水
３．１
270,70 とデルタの関係
能性を投資家が高く見積もっていることが分かるような設計がなされています。冒頭で言＊12ていることが分かるような設計がなされています。冒頭で言ていることが分かるような設計がなされています。冒頭で言。ここでできる限り直感的などをご参照ください。
準に ATM が位置します
市場参加者のレポートや %ORRPEHUJ などの機能において、270
や ,70 を表現する際、及したとおり、このような正規分布から外れた現象をブラックスワンと呼ぶことがあるこ
規分布から外れた現象をブラックスワンと呼ぶことがあるこ
規分布から外れた現象をブラックスワンと呼ぶことがあるこに、ATM の際、デルタがおおよそ 0.5 になる理由をデルタという概念を使うことが少なくありません。そもそも、デルタとは原資産（国債先物とから、スキュー指数を「ブラックスワン指数」と呼ぶこともあります。スキュー指数の詳ックスワン指数」と呼ぶこともあります。スキュー指数の詳ラックスワン指数」と呼ぶこともあります。スキュー指数の詳
3 デルタを用いたスマイル・カーブ
考えてみます。例えば、仮に現在の先物価格が 152 円
オプションの場合、国債先物価格）が変化した場合、オプションの価格がどれくらい動くか
細は崎山・眞壁・長野（）などをご参照ください。
）などをご参照ください。
）などをご参照ください。
であるとしましょう。この場合、権利行使価格が 147
３．１ OTM/ITM とデルタの関係を示しています（すなわち、国債先物オプションの価格𝑉𝑉、国債先物の価格を𝑃𝑃とすると、

市場参加者のレポートや
Bloombergの機能などに円のコール・オプションは、現在権利行使した場合、デルタはδ= 𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕と定義できます）。これはオプションのリスク量を算出するうえで、最デルタを用いたスマイル・カーブ
・カーブ
・カーブ３おいて、OTMや ITM を表現する際、デルタという概（先物を 147 円で購入して、152 円で売ればいいので）も基本的なリスク指標になります。
３．１
270,70 とデルタの関係
関係
の関係
念を使うことが少なくありません。そもそも、デルタ
5 円の利益が出ます。すなわち、このコール・オプ
270 や ,70 を表現するうえでデルタを用いる一因は、先物価格の動きにより$70 と市場参加者のレポートや%ORRPEHUJなどの機能において、270や,70を表現する際、
RPEHUJ などの機能において、270や
RRPEHUJなどの機能において、270や,70,70を表現する際、を表現する際、とは原資産の価格（国債先物オプションの場合、国債ションは ITM のオプションになり、図 4 であれば右なる権利行使価格が変化するためです。国債先物オプションはその時々の先物価格に近い
デルタという概念を使うことが少なくありません。そもそも、デルタとは原資産（国債先物が少なくありません。そもそも、デルタとは原資産（国債先物が少なくありません。そもそも、デルタとは原資産（国債先物先物価格）が変化した場合、オプションの価格がどれ
銭刻みの価格を中心としたうえで、それを軸に上下に側に位置します。
 銭刻みで先物を上場させます。
オプションの場合、国債先物価格）が変化した場合、オプションの価格がどれくらい動くか
価格）が変化した場合、オプションの価格がどれくらい動くか
価格）が変化した場合、オプションの価格がどれくらい動くか
くらい動くかを示しています（すなわち、国債先物オ
先物オプションの満期は長くてもせいぜい 1 か月程
もちろん、先物価格は変化するため、その時々の先物水準で軸となる$70 となる先物オプを示しています（すなわち、国債先物オプションの価格𝑉𝑉、国債先物の価格を𝑃𝑃とすると、プションの価格 、国債先物の価格を とすると、デ
国債先物オプションの価格𝑉𝑉、国債先物の価格を𝑃𝑃とすると、度ですから、満期まで価格が暴落して 147 円以下にな
国債先物オプションの価格𝑉𝑉、国債先物の価格を𝑃𝑃とすると、ションの権利行使価格は異なりますし、常に先物価格が権利行使価格と一致するとは限り
デルタはδ
。これはオプションのリスク量を算出するうえで、最と定義できます）。これはオプショ
ルタは = 𝜕𝜕𝜕𝜕/𝜕𝜕𝜕𝜕と定義できます）
る確率は相当低いことを考えると、このオプションはます）。これはオプションのリスク量を算出するうえで、最きます）。これはオプションのリスク量を算出するうえで、最ません。例えば、時系列データを用いて分析を行いたい場合、権利行使価格を用いると、そンのリスク量を算出するうえで、最も基本的なリスク
ほぼ権利行使されるオプションと考えられます。ほぼます。
ます。 も基本的なリスク指標になります。
の時の先物の価格次第で、 円のオプションは 270 になることもあれば ,70 になるこ
270
や ,70 を表現するうえでデルタを用いる一因は、先物価格の動きにより$70 と指標になります。
権利行使されるオプションについては、先物価格の変えでデルタを用いる一因は、先物価格の動きにより$70
えでデルタを用いる一因は、先物価格の動きにより$70ととともあります。一方、デルタをつかえば、後述するように $70 はデルタというリスク量をなる権利行使価格が変化するためです。国債先物オプションはその時々の先物価格に近いためです。国債先物オプションはその時々の先物価格に近いためです。国債先物オプションはその時々の先物価格に近い
用いれば  と表現できるため、 を軸に 270 および ,70 の ,9 が $70 からどの程度
銭刻みの価格を中心としたうえで、それを軸に上下に 銭刻みで先物を上場させます。
うえで、それを軸に上下に
うえで、それを軸に上下に銭刻みで先物を上場させます。
銭刻みで先物を上場させます。
＊
11） ここで「おおよそ」という表現を使っている理由は、例えば
ATM コールのデルタは0.5 より少し大きくなるからです。
乖離しているかを評価することが可能になります（デルタ のオプションをデルタ＊12） コールをロングした場合、デルタの領域が 0 から 1 になりますが、逆にコールをショートした場合、デルタの領域が−1 から 0 になります（逆に、
もちろん、先物価格は変化するため、その時々の先物水準で軸となる$70となる先物オプになる一方、プットのショートの場合、からになります）。ここでの目的は ATM からどの程度
プットのロングの場合、デルタの領域は−
1 から
0
0
1
ため、その時々の先物水準で軸となる$70
るため、その時々の先物水準で軸となる$70となる先物オプとなる先物オプ（ デルタ）と書くこともあります）。
すなわち、デルタを用いることで、$70の水準、乖離しているかをみることであるため、デルタの大きさ（水準）に焦点をあてています。なお、プットとコールのデルタの詳細はハル（2016）の第ションの権利行使価格は異なりますし、常に先物価格が権利行使価格と一致するとは限り
19 章などをご参照ください。
りますし、常に先物価格が権利行使価格と一致するとは限り
りますし、常に先物価格が権利行使価格と一致するとは限り
あるいはどれくらい $70 から 270 や ,70 にどの程度乖離しているかを把握することがません。例えば、時系列データを用いて分析を行いたい場合、権利行使価格を用いると、そを用いて分析を行いたい場合、権利行使価格を用いると、そタを用いて分析を行いたい場合、権利行使価格を用いると、そファイナンス 2020 Jul. 51
容易になるわけです。
の時の先物の価格次第で、
円のオプションは270になることもあれば,70になるこ
円のオプションは円のオプションは270
270になることもあればになることもあれば,70,70になるこ
になるこ


ＳＰＯＴ

対して、どの程度高い水準にあるかをみることが少なくありません。例えば、%ORRPEHUJ
による米国債先物オプションから算出されたスキ」という形で定義されています
れたスキュー指数は、「め、ATM となる先物オプションの権利行使価格は変ュー指数は、「プットの,9－コールの,9」（実際には「'HOWD

図 4 デルタと OTM/ITM オプションの関係
デルタ
1

満期が短いオプション

0.75

満期が長いオプション

0.5
0.25

ＳＰＯＴ

0

OTM

ATM

ITM

注：Huggins and Schaller（2013）などを参考に筆者作成

化とオプションの損益が概ね一対一に対応するので、カーブになります。前述のとおり、OTM のオプショ

事実上、国債先物をロングしていることとほぼ同じとンだけを用いているため、下落方向はプット、上昇方

解釈できます。原資産（国債先物）をロングしている

向はコールの IV が用いられています。前述のとおり、要です。
場合、いうまでもなくその価格が動いた時、その変化

が損益に相当しますから、デルタの定義を思い出せばデルタがおおむね 50% の場合、ATM であり、デルタ
が 0% に近いほど OTM としての色彩が強くなります。

３．２ デルタを用いたスマイル・カーブとスキュー
（原資産である先物の価格が変化した際のオプション
たとえば「25% プット」とは、デルタが 0% と 50%

図  がデルタ表示でみたある時点でのスマイル・カーブになります。
前述のとおり、270
価格の変化）、ほぼ行使されるオプションのデルタはの中間に位置するOTMであることを意味しています。
のオプションだけを用いているため、下落方向はプット、上昇方向はコールの価格の,9 が1 に近い値をとることがわかります。
「10% プット」とは、「25% プット」よりアウト方向
用いられています。前述のとおり、デルタが $70 であり、デルタが に近いほど一方、逆に、権利行使価格が157 円のコール・オプのオプションであることを意味するため、価格暴落の

270 としての色彩が強くなります。たとえば「プット」とは270 のプットを意味しションの場合、先物価格がやはり152 円であれば、こ保険としての色彩がより強くなるといえます（このよており、 と の中間に位置する「プット」とれは今すぐ権利行使しても利益がでないため
OTM の 270
うにであることを意味しています。
OTM が非常に深い状態をディープ・アウト・オ

は、「プット」よりアウト方向のオプションであることを意味するため、価格暴落の保オプションです。この場合、満期までそれほど時間がブ・ザ・マネーということもあります）。このような険としての色彩がより強くなるといえます（このように非常に270 が非常に深い状態をないことを考えると、価格が満期まで急騰して
157 円
表示は実務的にはしばしば用いられます。例えば、国ディープ・アウト・オブ・ザ・マネーということもあります）になる可能性は低いことから、ほぼ権利行使されない
債 先 物 の ボ ラ テ ィ リ。このような表示は実務的にテ ィ・ ス マ イ ル に 関 す るはしばしば用いられます。たとえば %ORRPEHUJのツールでもデルタを使った表示がなされコール・オプションと解釈できます。ほぼ行使されな
Bloombergのツールでもデルタを使った表示がなさています 。
いオプションを保有していても、何も持っていないの デルタは 0 に近い値をとります。
とほぼ同じですから、れています＊15。

表 2 デルタ表示でみた日本国債先物スマイル・カーブのイメージ
図  デルタ表示でみた日本国債先物スマイル・カーブのイメージATM はその両極端の中間に位置するため、ATMのデルタはおおむね 0.5 になります（ATM だと、権利行

5％プット 10％プット 25％プット

ATM

25％コール 10％コール 5％コール
2.40％

使される確率が五分五分であるため、デルタがおおよ

注：上図では IV を表示していますが、ここではあくまでも仮想的な値を用いています。

2.30％
2.10％
2.00％
2.05％
2.20％
5%プット 10%プット 25%プット 2.50％
25%コール
10%コール
5%コール
ATM

2.50%

2.30%

2.10%

＊13
。図 4 にそ 50% という直感で解釈する人もいます）

2.00%

2.05%

2.20%

2.40%



注：上図では ,9 を表示していますが、ここではあくまでも仮想的な値を用いています。
このようにデルタを使えば、ATM からの乖離を表現
示されている通り、デルタは満期にも依存する点に注意が必要です＊14。

できるので、デルタを利用してスキューを定義することができます。例えば、前述の Bloomberg で取得できる
このようにデルタを使えば、$70 からの乖離を表現できるので、デルタを利用してスキ

米国債先物オプションのスキュー指数は満期が1か月の
３．２ デルタを用いたスマイル・カーブとス
ューを計算することができます。例えば、前述の%ORRPEHUJ で取得できる国債先物オプシ」で定義されて「キュー ョンのスキュー指数は満期が  か月の「'HOWD3XW,9－'HOWD&DOO,9」で定義されて表 2 がデルタ表示でみたある時点でのスマイル・います。これはデルタの水準がOTMのオプションの中でいます。これはデルタが 270 のオプションの中でも、だけ $70 から離れたプットとコールの ,9 の差でスキューを計算しているということです。これを例えば、「'HOWD3XW＊13） デルタの水準は満期で ITM となるおおよその確率として解釈することができます。
,9－ 'HOWD &DOO ,9」という形で定義すればよりアウトに外れたオプションでスキューを＊14） 図 4 に示されている通り、満期までの時間によってデルタの形状が変わることに注意する必要があります。例えば、満期が明日であれば、OTM のオ
プションの場合、権利行使できる可能性が低いので、原資産が多少動いてもオプションの価値は動かず、デルタは低い値になります。一方、満期が長ければ、仮に ATM から離れた OTM オプションであっても原資産の価格変動によっては利益を生む可能性があるため、原資産の価格が動くことによ
りオプションの価格が一定程度変化し、デルタが相対的に高い値になります。
＊15） 例えば Bloomberg の JBA Comdty OVDV を用いると、ボラティリティ・スマイルを表示するうえで、権利行使価格として 10DP や 10DC などの 図 10DPに示されている通り、満期までの時間によってデルタの形状が変わることに注意する必要がありま
表示がなされています。
は 10% デルタのプット、10DC は 10% デルタのコールを示しています。Bloomberg の JBA Comdty OVDV では、
デフォルトの設定として、10DP、15DP、25DP、35DP、50D、35DC、25DC、15DC、10DC が表示されています。

す。例えば、満期が明日であれば、例えば、270 のオプションのように現在の  円からある程度離れ

52

ファイナンスてしまうと、もうほとんど権利行使できる可能性がないので、原資産が多少動いてもオプションの価値は2020 Jul.
動かないため、デルタは低い値になります。一方、満期が長ければ、仮に $70 から離れた 270 オプシ

すが、ここではあくまでも仮想的な値を用いています。
ボラティリティ・スマイルとスキュー、$70 からの乖離を表現できるので、デルタを利用してスキす。例えば、前述の %ORRPEHUJ で取得できる国債先物オプシ

も、おおよそ25%だけATMからアウトへ離れたプットと
 か月の「'HOWD3XW,9－'HOWD&DOO,9」で定義されて中心にオプションの説明をしてきました。オプション

コールのIVの差でスキューを計算しているということです。
0 のオプションの中でも、だけ $70 から離れたプットとについては多数書籍があるものの、その多くはモデル」
これを例えば、「を計算しているというこ「'HOWD3XW,9－'HOWD&DOO,9」の説明であったり、株式や為替が主語となっているテという形で定義すればよりアウトに外れたオプション
ウトに外れたオプションでスキューをみていることになりま

キストが少なくありません。そこで、ここでの連載ででスキューを定義していることになります。

は可能なかぎり債券を中心にオプションの基本事項について解説をしてきました。もっとも、実際の実務に。金利リ「デルタ」と呼ぶことが少なくありません、例えば、270のオプションのように現在の  円からある程度離れおいて円金利オプションから金利リスクを計算する

スクをデルタと呼ぶ理由として、債券価格を金利のデ使できる可能性がないので、原資産が多少動いてもオプションの価値は際、国債先物オプションではなく、スワップションのなります。一方、満期が長ければ、仮に$70 から離れた 270 オプシ
リバティブと解釈すれば、金利が変化した時の債券価

IV が用いられることもあります。その一因はスワッ

格の変化はまさにデルタに相当するため、金利リスク

プションの場合、Bloomberg などを使えば簡単にデーをデルタと呼んでいると解釈できます。

タが取得できることに加え、様々な満期や年限の IV＊16は利益を生む可能性があるため、価格が動くことによりオプションの価ので 以下である fが表示されています。

W\29'9 を用いると、ボラティリティ・スマイルを表示するうえで、

4 おわりに& などの表示がなされています。'3
は デルタのプット、'&ます。%ORRPEHUJの -%$&RPGW\29'9 では、デフォルトの設定としこれまで三回にわたり、日本国債先物オプションを、'、'&、'&、'&、'& が表示されています。

ＳＰＯＴ

ちなみに、円債市場の実務家は国債の金利リスクをまでの時間によってデルタの形状が変わることに注意する必要がありまを算出することが可能であることなどが挙げられます＊17。そこで、次回はスワップションについての解説を行うことを予定しています。



BOX
1 ブラック 76 モデル（ブラック・モデル）%2; ブラック モデル（ブラック・モデル）
%2; ブラック モデル（ブラック・モデル）

%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
%2;
ブラック

%2;
ブラック
モデル（ブラック・モデル）
服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（2020a）では、ブラック76 モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラック教授が%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
%2;
ブラック
モデル（ブラック・モデル）
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が
年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
1976
年に発表した論文（Black
1976）で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールズ・モ服部（）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここで ここでズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
デルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。ここではもう少し具体的ック教授が 年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が 年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここでズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここでズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
に同モデルについて考えてみます。

ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここでここではもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
ハル（）に記載しているとおり、ブラック モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのハル（）に記載しているとおり、ブラックハル（2016）に記載しているとおり、ブラック76モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのモデルでは をコール・オプションのプレミアム、はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
ハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
をプット・オプションのプレミアムとすると、コールとプットのプレミアムは下記の式で算出できま  18
ハル（）に記載しているとおり、ブラック モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。。。
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りですハル（）に記載しているとおり、ブラック。
す＊プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです  プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑑𝑑  2 )]       。  。
𝑐𝑐0=
𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐹𝐹0𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
𝑁𝑁(𝑑𝑑12))]
− 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑   
1) −








−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
) ))]
)0𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑=𝑒𝑒𝑐𝑐−𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑𝑒𝑒−−𝑟𝑟𝑟𝑟−
𝑐𝑐 𝑒𝑒=
𝑒𝑒=
[𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑
          
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝐹𝐹
 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑 2)])]
               𝑝𝑝𝑐𝑐 =−−𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑑𝑑 2)]
001𝑁𝑁(𝑑𝑑
10[𝐹𝐹2 )[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 )11−
12)]
−𝑟𝑟𝑟𝑟−𝑟𝑟𝑟𝑟)𝑁𝑁(𝑑𝑑𝑐𝑐−𝑟𝑟𝑟𝑟=𝑒𝑒0 𝑁𝑁(𝑑𝑑[𝐹𝐹))𝑁𝑁(𝑑𝑑)]) 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑𝑝𝑝𝑐𝑐=
𝑒𝑒𝑝𝑝𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑−𝐹𝐹12)]
      =𝑒𝑒[𝐹𝐹[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑−0−𝑁𝑁(𝑑𝑑𝐹𝐹2𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
𝑁𝑁(𝑑𝑑
𝑝𝑝==
𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑
−
)]
120
0𝐹𝐹
21)
01)]
2−
1 )]

) − 𝐹𝐹
𝑝𝑝 =[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑
𝑁𝑁(𝑑𝑑
)]
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 1 )]
                        
  ここで、𝑑𝑑
2𝑁𝑁(𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑2 ) − 𝐹𝐹0
10
1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。

 

（1）
（2）

 ここで、𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。
ここで、𝑑𝑑
ここで、
と
1 と𝑑𝑑
2
1は下記の通りです。
2は下記の通りです。
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) +𝜎𝜎 20𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
𝑑𝑑1 =

𝑑𝑑1 =

2 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
ここで、𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
𝜎𝜎 2𝜎𝜎+
𝑇𝑇/2
/𝐾𝐾)
ln(𝐹𝐹
+
𝑇𝑇/2
0ln(𝐹𝐹
0+0 /𝐾𝐾)
𝑑𝑑1𝑑𝑑=
  
=1 =
1 𝑑𝑑
2 + 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
2+
𝜎𝜎√𝑇𝑇
/𝐾𝐾)
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎𝜎𝜎√𝑇𝑇𝑇𝑇/2
0𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) −𝜎𝜎 2ln(𝐹𝐹ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾)0 /𝐾𝐾)−ln(𝐹𝐹
𝜎𝜎
0𝑇𝑇/2

𝑑𝑑2 =
𝑑𝑑2 =𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑1 == 𝑑𝑑21 − 2𝜎𝜎√𝑇𝑇= 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
2 𝜎𝜎 𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
𝜎𝜎𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑇𝑇/2
/𝐾𝐾)
ln(𝐹𝐹
−
𝜎𝜎−
𝑇𝑇/2𝑇𝑇/2
0ln(𝐹𝐹
0−0 /𝐾𝐾)
𝑑𝑑2𝑑𝑑===
𝑑𝑑1𝑑𝑑=−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
− 𝜎𝜎√𝑇𝑇=2 =−1 𝜎𝜎√𝑇𝑇
2 𝑑𝑑
1 𝑑𝑑
2 − 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹
𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾)−
𝜎𝜎𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑇𝑇/2
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
0 /𝐾𝐾)
𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑2 == 𝑑𝑑1 −=𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇 𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ  モデ
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ

一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のこの式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のこの式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のこの式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格𝐹𝐹0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
価格𝐹𝐹
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のこの式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の＊16）
DV01、ベーシス・ポイント・バリューなどと呼ばれることもあります。
価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
価格𝐹𝐹
価格𝐹𝐹
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
0金利リスクは、デュレーション、
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・＊17） 国債先物オプションに関する運用戦略の分析が少ない一因は、国債先物オプションは制度的に満期が１か月程度であることから、満期が短く、ベガリ

スクが少ないことなどがあります。しばしばオプションの満期が長いセクターをベガ・セクター、
1 年以下など満期が短いセクターをガンマ・セク
価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
方法を確認しておきます。先物価格は 円（𝐹𝐹152.49）、権利行使価格は
円  円
方法を確認しておきます。先物価格は=
152.49）、権利行使価格は0価格𝐹𝐹
0 = 円（𝐹𝐹0ターといいますが、その意味では先物オプションはガンマ・セクターに含められます。
 
＊方法を確認しておきます。先物価格は）の第 18章をご参照ください。

18）
2016
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹=152.49）、権利行使価格は
円円 円
方法を確認しておきます。先物価格は円（𝐹𝐹=152.49）、権利行使価格は
円（𝐹𝐹=
、権利行使価格は
（𝐾𝐾 = 151.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟= 0.023）、
現時点は、
満期は
（𝐾𝐾=具体的にはハル（151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）
現時点は、満期は 
0、
0 152.49）
0 152.49）
方法を確認しておきます。先物価格は
= 152.49）、権利行使価格は
円
方法を確認しておきます。先物価格は=
、権利行使価格は

円=
（𝐾𝐾
=
151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟=（𝑟𝑟
0.023）、
現時点は、
満期は
（𝐾𝐾= 151.5）、安全利子率は
=円（𝐹𝐹0.023）、0現時点は、
満期は
（𝐾𝐾=
151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は、
満期は
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎0円（𝐹𝐹ファイナンス 2020 Jul.


（𝐾𝐾
= 151.5）、安全利子率は= 0.023）、現時点は、
（𝐾𝐾=（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟 = （𝑟𝑟0.023）、現時点は、
満期は満期は
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎== ==
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ

53

1

2

1

2

2

0

1

2

0

−𝑟𝑟𝑟𝑟
ラック  モデル（ブラック・モデル）
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
2
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟=ここで𝑒𝑒1 )]
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑     2) −  𝐹𝐹 0𝑁𝑁(𝑑𝑑   1 )]
       22𝑇𝑇/2
 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 ) − 𝐹𝐹0𝑝𝑝𝑁𝑁(𝑑𝑑ln(𝐹𝐹00/𝐾𝐾)/𝐾𝐾) ++ 𝜎𝜎𝜎𝜎
𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹
ln(𝐹𝐹
0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2=

𝑑𝑑𝑑𝑑11 =𝑑𝑑=
1−𝑟𝑟𝑟𝑟%2;

モデル（ブラック・モデル）
）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
)ブラック
 1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
は下記の通りです。
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒ここで、𝑑𝑑[𝐹𝐹− 2𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑   1 と𝑑𝑑 2 は下記の通りです。      𝜎𝜎√𝑇𝑇
ここで、𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑𝜎𝜎√𝑇𝑇𝜎𝜎√𝑇𝑇
0𝑁𝑁(𝑑𝑑11と𝑑𝑑
2 )]
𝑑𝑑
−𝑟𝑟𝑟𝑟
ブラック
 モデル（ブラック・モデル）
 年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ハル（）に記載しているとおり、ブラックここで、𝑑𝑑モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの22𝑝𝑝𝑇𝑇/2) − 𝐹𝐹0𝑁𝑁(𝑑𝑑)]𝜎𝜎
2服部（）では、ブラック
ここで、𝑑𝑑=𝑒𝑒 2 は下記の通りです。
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 𝑇𝑇/2
        ln(𝐹𝐹モデル（ブラック・モデル）とは、フ  0 /𝐾𝐾)   + 𝜎𝜎2 𝑇𝑇/2 ln(𝐹𝐹00/𝐾𝐾)/𝐾𝐾)− 𝜎𝜎𝜎𝜎1 と𝑑𝑑
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
/𝐾𝐾)
1+
ln(𝐹𝐹
−
𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2 2 ln(𝐹𝐹0== 𝑑𝑑𝑑𝑑11 −− 𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑1 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇 𝑑𝑑1=𝑑𝑑𝑑𝑑22 ==𝑑𝑑1 =2
𝑑𝑑2 =  モデル（ブラック・モデル）
ブラックプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです モデル（ブラック・モデル）
%2;
ブラック）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
2ここで年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
。%2;
ブラック
 モデル（ブラック・モデル）
%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
𝜎𝜎√𝑇𝑇

𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラテ
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹
ln(𝐹𝐹
𝜎𝜎√𝑇𝑇 ック教授が0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
𝑑𝑑1 =𝑑𝑑1 =

;
ブラック

モデル（ブラック・モデル）
（）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
が
年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説
具体的に同モデルについて考えます。
2
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル
服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フ
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ここで、𝑑𝑑
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点ですln(𝐹𝐹0/𝐾𝐾)− 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
気を付けるべき点はボラティリティはとなっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値に気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
ln(𝐹𝐹
1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
𝑑𝑑𝑑𝑑21 =
=
𝑑𝑑
𝑑𝑑
=
=
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑
=
= 𝑑𝑑
1
2
−𝑟𝑟𝑟𝑟
2 2 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
服部（）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
授が 年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が

ルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここで)]はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
）に記載しているとおり、ブラック モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの
𝑐𝑐年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール= 𝑒𝑒 [𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
 年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常の    2
𝑇𝑇/2
モデルの場合、ボラティリ
 𝜎𝜎√𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹 /𝐾𝐾)
ルの場合、ボラティリティ・
 −
ック教授が
年に発表した論文で提案されたモデルでありック教授が一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック

モデ
1 )0−
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデln(𝐹𝐹𝜎𝜎 𝑇𝑇/2 𝜎𝜎√𝑇𝑇なっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
+𝜎𝜎√𝑇𝑇𝜎𝜎22𝑇𝑇/2
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 76
0 モデ
𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑= 𝑑𝑑= − 𝜎𝜎√𝑇𝑇= 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑1 =
ク教授が
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
デルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
し具体的に同モデルについて考えます。 ここでモデルでは𝑐𝑐をコー、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑− 𝐹𝐹𝜎𝜎√𝑇𝑇。ここで           2  1     ティリティに対してこのようズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルでズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
2 )ハル（）に記載しているとおり、ブラック
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]   気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティリティに対してこのような想ＳＰＯＴモデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここで少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
%2; この式を用いてオプション
ブラックモデル（ブラ）に記載しているとおり、ブラック モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通り
2
 ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ
定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショ
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
もう少し具体的に同モデルについて考えます。（）に記載しているとおり、ブラックハル（）に記載しているとおり、ブラック 2モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの服部（）では、ブラックム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです  ハル（）に記載しているとおり、ブラック
ここで、𝑑𝑑𝑐𝑐 1=と𝑑𝑑
𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック− 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑 𝜎𝜎√𝑇𝑇    ハル（）に記載しているとおり、ブラック。1 ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになる 
 モデルで モデルでは𝑐𝑐をコー一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデ
 モデ
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の2 は下記の通りです。2 )] ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたがルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格𝐹𝐹0 、権利、権利行使価格𝐾𝐾、満期
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の


−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
ハル（）に記載しているとおり、ブラック
アム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
%2;
ブラック) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
年に発表した論文)]ln(𝐹𝐹𝑐𝑐 = 𝑒𝑒ック教授が[𝐹𝐹オプションのプレミアムを計
𝑝𝑝=モデル（ブラック・モデル）
𝑒𝑒、満期[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑−、ボラティリティ
𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの 0 /𝐾𝐾)  プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通+ ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘し
𝜎𝜎 2𝑇𝑇/2   プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、
    。
 ティリティに対してこのような想定を置くことからきて  
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑12 )]    
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・2 )ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
、金利を代入すればコール及びプット・オプションのプレミア
行使価格
価格𝐹𝐹
価格𝐹𝐹
00、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・𝑑𝑑=
1%2;
ブラック
 モデル（ブラック・モデル）
レミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
服部（）では、ブラックモデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
ズ・モデルにおける株価をフォワー
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐹𝐹𝜎𝜎√𝑇𝑇  実際の数値例を用いて計算実際の数値例を用いて計算  。
この式を用いてオプションの国債先物オプションの 
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑  ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )] ここでは、ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する
2 ) − 𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]        
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ
ムを計算することができます。ここでは、実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のオプションのプレミアムを計算することができます。
方法を確認しておきます。先オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
2  𝑐𝑐 =モデル（ブラック・モデル）
%2;
モデル（ブラック・モデル）
)]
%2;
、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・モデル（ブラック・モデル）
)]
𝑐𝑐𝑒𝑒円（= 𝑒𝑒[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑[𝐹𝐹−
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑𝑒𝑒 、権利行使価格は
、権利行使価格は円（
  価格𝐹𝐹
、権利行使価格は−𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャ
ブラック
円
 
 
率[𝐹𝐹は−
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑 、安全利子率は
 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショールはもう少し具体的に同モデルについ𝑝𝑝ブラック
=ブラック
−
−
𝜎𝜎価
 この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを  [𝐹𝐹152.49）)=151.5）
  
、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリテ
𝑑𝑑方法を確認しておきます。先物価格はと𝑑𝑑2 は下記の通りです。
𝑐𝑐（𝐾𝐾=𝑒𝑒=−𝑟𝑟𝑟𝑟[𝐹𝐹𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
−
𝑐𝑐 利
=
𝑒𝑒子
𝑁𝑁(𝑑𝑑
  2 )]

0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 ) 𝐹𝐹
2行
0𝑁𝑁(𝑑𝑑
12 )]
2 )
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑
1服部（）では、ブラック
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
𝑇𝑇/2
、
権円（𝐹𝐹
は
151.5
、
安全
0.023%（
格%2;
は152.49価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹=152.49）

1
価格𝐹𝐹
1
0円
1 )151.5）
2))]
=152.49）円
方法を確認しておきます。先物価格は円（𝐹𝐹0利
0格
0 =152.49）
00使
0
0 =
𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
2
1
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
＊
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
2
19
服部（）では、ブラック服部（）では、ブラック)] 𝑝𝑝
)
)])−)] 𝑝𝑝 =実際の数値例を用いて計算
𝑐𝑐
=0[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝑒𝑒 （𝑟𝑟[𝐹𝐹𝜎𝜎02𝑁𝑁(𝑑𝑑−
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑価格𝐹𝐹
現時点は
、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すれ 満期は
満期は𝑝𝑝 =𝑒𝑒ln(𝐹𝐹−𝑁𝑁(𝑑𝑑0.023）
ここで、𝑑𝑑=𝑒𝑒、
年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・0[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑は年表示であるため、
1と𝑑𝑑は下記の通りです。
𝐹𝐹0ここでは、
𝑁𝑁(𝑑𝑑  1ここで =0.12）である日本国  ハル（）に記載しているとお[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 2ここでは、)[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑 𝐹𝐹モデル（ブラック・0𝑁𝑁(𝑑𝑑  2
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
)実際の数値例
𝜎𝜎√𝑇𝑇
)]
− 𝐹𝐹
𝑒𝑒
− 0 𝑁𝑁(𝑑𝑑   1)]
こ1𝐹𝐹)0ック教授が22020/6/15（
1モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
=0.0023）、現時点は2020/5/2、満期は価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
/𝐾𝐾)
+
𝑇𝑇/2
オプションのプレミアムを計算することができます。
2
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
（𝐾𝐾= 151.5）
151.5）、安全利子率は安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は、
満期は
オプションのプレミアムを計算することができます。
1
（𝐾𝐾
=
、
=
0.023）、

オプションのプレミアムを計算することができます。
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=（𝐾𝐾= 151.5）、
安全利子率は（𝑟𝑟=現時点は、、
0
𝑑𝑑
=

1
−𝑟𝑟𝑟𝑟
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
2%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデル))]ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました
𝑝𝑝=𝑒𝑒[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑
−
𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑

























はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプショ、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
𝜎𝜎√𝑇𝑇

2
0 方法を確認しておきます。先物価格は1 =0.0275とすると、プット・オプションのプレミアム（）は
債先物オプションを考えます。ここでln(𝐹𝐹𝑇𝑇/2
1
2
オプションのプレミアムを計算することができます。
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
ここでは、実際円（𝐹𝐹
= 𝜎𝜎152.49）、権利行使価この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行使価格は円（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇==方法を確認しておきます。先物価格は円（𝐹𝐹2.75とすると、プット・オプ
0 /𝐾𝐾)（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=0+0 = 152.49）
0 =𝑑𝑑1ここで=
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
2%2;ブラック
モデル（ブラック・モデル）
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック2
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモ
ここで 𝜎𝜎√𝑇𝑇はもう少し具体的に同モデルについて考えます。

で、𝑑𝑑は下記の通りです。
ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。
ハル（）に記載しているとおり、ブラック


、権
モデ
ここで、𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑は下記の通りです。
= －（𝐾𝐾=－
0.677となることから、
式（2）により算出することができます。具体的には、
ln(𝐹𝐹+𝜎𝜎安全利子率は
𝑇𝑇/2
1 と𝑑𝑑2一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
1、2
方法を確認しておきます。先物価格は方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行使価格は円（𝐹𝐹= 0.023）152.49）

円
/𝐾𝐾)
−
𝑇𝑇/2
（𝐾𝐾モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの= 151.5）
安全利子率は
（𝑟𝑟=152.49）
0.023）、
現時点は満期
価格𝐹𝐹ln(𝐹𝐹2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ（𝐾𝐾= 𝜎𝜎151.5）

（𝑟𝑟、=
0.023）、
、
満期は
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
1 と𝑑𝑑
20.687,2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ=現時点は151.5）、
安全利子率は（𝑟𝑟
現ます。𝑑𝑑−0.68695
𝑑𝑑=
0 /𝐾𝐾)
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ0 =0 、
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
1 =2、
𝑑𝑑01 =

𝑑𝑑2 =
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
1
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。

＊20
2
2
服部（）では、ブラック
モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
2
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ック教授が

年に発表した論文で提案されたモデ
2はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
ハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプ
2
ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
。
𝑐𝑐

𝜎𝜎√𝑇𝑇
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
𝜎𝜎√𝑇𝑇が得られます。 +=𝜎𝜎151.5）ln(𝐹𝐹𝑑𝑑0 /𝐾𝐾)
𝑇𝑇/2 、
/𝐾𝐾)
+
𝜎𝜎= =
𝑇𝑇/2
2 =0.214ln(𝐹𝐹/𝐾𝐾)
−
𝑇𝑇/2
（𝐾𝐾
安全利子率は（𝐾𝐾 =ln(𝐹𝐹
151.5）（𝑟𝑟、
安全利子率は0.023）

現時点は（𝑟𝑟、=𝜎𝜎
0.023）
満期は
、
現時点は

（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
0.12）である日本国債先物オプションを考えま
/𝐾𝐾)
+
𝑇𝑇/2
オプションのプレミアムを計算することができます。
実際の数値例を用いて計算ます。𝑑𝑑111 ==ます。𝑑𝑑
−0.68695𝑑𝑑= −0.6774となることから、𝑝𝑝−0.6774となることから、𝑝𝑝= 0.213677が得られます
0.213677が得られます。 、= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=𝜎𝜎
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
+ln(𝐹𝐹
𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
ます。𝑑𝑑−0.68695==。（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=このケースは𝜎𝜎を決めた上
0.12）である日本国債先物−0.68695
=0ここでは、0.213677が得られます
22 （𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
1 = 𝑑𝑑2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝
𝑑𝑑1 =

𝑑𝑑
 𝑑𝑑2 = 𝑑𝑑1 0=。 0𝑑𝑑1 = = 0𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
1 =ハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの
22 𝜎𝜎√𝑇𝑇ック教授が
年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正した
ここでハル（）に記載しているとおり、ブラック
モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのハル（）に記載しているとおり、ブラックプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑝𝑝。
=
𝜎𝜎√𝑇𝑇
るべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
を決めた上で式（2）を用いてを算出しましたが、実際には国債先物オプションが市
このケースは
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ln(𝐹𝐹
− 𝜎𝜎ln(𝐹𝐹𝑇𝑇/2（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎= 0.12）である日本国債先物オプションを=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出す
方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行使価格は
円
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）はションが市場で取引されて𝑝𝑝
0 /𝐾𝐾)
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
0 = 152.49）

𝑑𝑑
=

𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
。
1
2
1

−𝑟𝑟𝑟𝑟
2 プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすズ・モデルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
 1𝑑𝑑
2 /𝐾𝐾)
)−
)]
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑐𝑐 −
=𝜎𝜎2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
𝑒𝑒2−0.68695
[𝐹𝐹  、−𝜎𝜎
=、
−0.6774となることから、𝑝𝑝
 = 0.213677が得られます を下に、
ln(𝐹𝐹 ここで𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格
なっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のが決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる場で取引されて
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹
𝑇𝑇/2
0 𝑁𝑁(𝑑𝑑22.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）によ= −0.68695
𝑑𝑑 2はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
0.213677が得られln(𝐹𝐹𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2（𝐾𝐾 = 151.5）
安全利子率は
（𝑟𝑟= 0.023）
現時点は
満期はションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ます。𝑑𝑑=𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑−0.6774となることから、𝑝𝑝。−
𝜎𝜎−0.6774となることから、
𝑇𝑇/2 =−
0、
0 /𝐾𝐾)
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝ます。𝑑𝑑−0.68695
𝑑𝑑2を逆算します。
=
を下に、𝜎𝜎を逆算します。このションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝10
1 =2ます。𝑑𝑑0 /𝐾𝐾)
1−
𝑑𝑑2 =
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑==
𝑑𝑑
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑== 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√
𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
− 𝜎𝜎√𝑇𝑇12
1
2はもう少し具体的に同モデルについて考えます。
ハル（）に記載しているとおり、ブラック 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・−
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑
1   =   ) − 𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑𝑝𝑝𝜎𝜎√𝑇𝑇=/𝐾𝐾)
𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟  𝜎𝜎√𝑇𝑇 1
= モデルからインプライされるボ
−0.68695   このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出
  ハル（）に記載しているとおり、ブラック 𝑐𝑐 = 𝑒𝑒𝑑𝑑−𝑟𝑟𝑟𝑟 2 [𝐹𝐹0𝑁𝑁(𝑑𝑑 =と𝑑𝑑 2 は下記の通りです
けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデル
がブラック76
この時算出された
ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
価格𝐹𝐹
ln(𝐹𝐹
−[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
1 )ここで、𝑑𝑑
2 )]
𝜎𝜎√𝑇𝑇
1 )]
1𝜎𝜎√𝑇𝑇ます。𝑑𝑑=2−0.68695
ます。𝑑𝑑𝑑𝑑モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの0.213677が得られます
0.213677。=1 モデルからインプライされるボラティリティ（IV）になります。もっ0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
モデルからインプライされるボ
0（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
0を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
モデルからインプライされるボ
ラティリティ（,9）になりまを下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝
2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝−𝑟𝑟𝑟𝑟 このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には
𝑐𝑐 = =
𝑒𝑒 𝑑𝑑1[𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]      −𝑟𝑟𝑟𝑟       
𝑑𝑑2 =−−𝑟𝑟𝑟𝑟0 𝜎𝜎√𝑇𝑇ハル（）に記載しているとおり、ブラックこのケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションのプレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。)]プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムと𝑐𝑐 =ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場
𝑒𝑒 ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しまし[𝐹𝐹0気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格
𝑁𝑁(𝑑𝑑  を算出し、ちょうど市 2) −
 𝐹𝐹 0 𝑁𝑁(𝑑𝑑 1 )]
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒  [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑  [𝐹𝐹 0 𝑁𝑁(𝑑𝑑   1) − 𝐾𝐾
𝜎𝜎√𝑇𝑇このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック

モデ
に対応する
を計算するには、例えば、様々なを式（2）に代入してとも、に対してこのような想定を置くことからきています。
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利
1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑22.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 ) − 𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]  ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため
                      𝑑𝑑
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
 プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです  モデ) −一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ)]𝑒𝑒を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑=     モデルからインプライされるボ  。       円 。   𝑝𝑝 =𝑒𝑒
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 ) − 𝐹𝐹0𝑝𝑝 =気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ
ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
に等しくなるを見つけてくるなど、数値計算が必要になります。
、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行使価格は1一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデル
1場価格の
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算モデルからインプ−0.68695
𝑑𝑑2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝0.213677が得られます
0 2= 152.49）を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
1 = 具体的にはハル（）の第
 ます。𝑑𝑑

 −𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟

2
)
)]
)

𝑐𝑐
=
𝑒𝑒
[𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑
−
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑













𝑐𝑐
=
𝑒𝑒
[𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑
−


ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。

定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ
なお、服部（2020a）で記載したとおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプションですが、合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラィに対してこのような想定を置くことからきています。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算
0
1
2
0
1
利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・（𝐾𝐾=
151.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は、
満期は

1 を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラックln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例
𝑇𝑇/2ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しまln ここでは𝑟𝑟として 
 か月円
/,%2
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからインプライされるボモデルか
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応す 具体的にはハル（）の第
章をご参照ください。
ここで、𝑑𝑑 具体的にはハル（）の第 2 ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
𝑑𝑑1 =  章をご参照ください。

𝑑𝑑2 =
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟
−𝑟𝑟𝑟𝑟

2
)
)]
)
)]
)
𝑐𝑐
=
𝑒𝑒
[𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑
−
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑














𝑝𝑝
=
𝑒𝑒
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑
−
𝐹𝐹
𝑁𝑁(𝑑𝑑














𝑝𝑝
=
𝑒𝑒
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑−
ここで、𝑑𝑑ln(𝐹𝐹 1 [ は正規分布の累積分布関数
76 /,%25
モデルはヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのため、日本国債先物オプの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
 ブラック𝜎𝜎√𝑇𝑇 実際の数値例を用いて計算を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の0 2 価格𝐹𝐹
1 ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算する
20 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すれば
1 ティリティに対してこのような想定を置くことからきています
2のプレミアムを計算することができます。
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎
ここでは、+ 𝜎𝜎 =
𝑇𝑇/2
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
ここでは𝑟𝑟として
 か月円
か月円
/,%25
を用いています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
 ここでは𝑟𝑟として
ここで、𝑑𝑑を用いています。
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
 ここでは𝑟𝑟として
 か月円
/,%25
を用いています。
0 /𝐾𝐾)

ln(𝐹𝐹
 + 𝜎𝜎02 𝑇𝑇/2

0 /𝐾𝐾)
𝑑𝑑1 =

−𝑟𝑟𝑟𝑟

𝑑𝑑
=


クセルの関数を用いれば簡単に計2
 ションの IV を算出する際、ブラック𝑝𝑝= 𝑒𝑒𝜎𝜎12 𝑇𝑇/2
[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑  モデルからインプライされるボ    というエというエ
        𝜎𝜎√𝑇𝑇 というエ 気を付けるべき点はボラティリテ  
1 [[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
 2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ 円
76
モデルを用いることは、日本国債先物オプションが事実上、ヨー 1
ィリティに対してこのような想定を置くことからきています。
式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の 1 を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・2 ) 0−
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、
実際の数
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
+ 𝜎𝜎1 )]𝑇𝑇/2ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾)
+ 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇
しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行使価格は
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミ
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算
ln(𝐹𝐹
0 =−152.49）
𝜎𝜎√𝑇𝑇
0 /𝐾𝐾)
 具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
 章をご参照ください。
 この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の
具体的にはハル（）の第
章をご参照ください。

具体的にはハル（）の第
ック  モデル（ブラック・モデル）
𝑑𝑑
=

𝑑𝑑
=
𝑑𝑑2 =
1 = 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇1
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
2。
 実際の数値例を用いて計算
ここで、𝑑𝑑
ここで、𝑑𝑑と𝑑𝑑は下記の通りです。 = 0.023）
ロピアン・タイプのオプションとして取引されていると想定している点に注意してください。服部
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
 /,%25
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
価格𝐹𝐹
𝜎𝜎√𝑇𝑇
ンのプレミアムを計算することができます。
ここでは、
2価格𝐹𝐹
方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
、権利行
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
1−
2一定の値になっている点です。本稿
満期は）、安全利子率はます。𝑑𝑑
=−0.68695（𝑟𝑟
𝑑𝑑2 =−0.6774となることから、𝑝𝑝
現時点は、
 ここでは𝑟𝑟として
0.213677が得られます
か月円
ln(𝐹𝐹を用いています。
𝑇𝑇/2
価格𝐹𝐹
 ここでは𝑟𝑟として

か月円
/,%25
を用いています。
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・ ここでは𝑟𝑟として
𝜎𝜎か月円/,%25を用いています。
0 = 152.49）
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な1モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
0 /𝐾𝐾)
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すれば
、
具体的にはハル（）の第=章をご参照ください。

章をご参照ください。
ln(𝐹𝐹）では、ブラック 
0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2  具体的にはハル（）の第𝑑𝑑2 == 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇


2
1



2

2
2

1
[実際の数値例を用いて計算
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250
ここで、𝑑𝑑は下記の通りです。
1[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエ（2020a）でも記載しましたが、日本国債先物オプションが満期前に行使されることはほとんどありませ 1=[か月円は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載
𝜎𝜎√𝑇𝑇実際の数値例を用いて計算
格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・ョンのプレミアムを計算することができます。
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
𝜎𝜎
𝑇𝑇/2
/𝐾𝐾)
ルの場合、ボラティリティ・スマイ
認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹152.49）、権利行使価格は
円
1 と𝑑𝑑2（𝐾𝐾=
151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟= 0.023）、
現時点は
ln(𝐹𝐹
− 
𝜎𝜎
𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹
− 
𝜎𝜎0ここでは
𝑇𝑇/2+ 𝜎𝜎示であるため、𝑇𝑇
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎 ここでは𝑟𝑟として
+
か月円
 /,%25
ここでは𝑟𝑟としてを用いています。
/,%25
を用いています。
オプションのプレミアムを計算することができます。
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、
実際の数
0𝜎𝜎√𝑇𝑇
0 = ここでは、
0 /𝐾𝐾)
0 /𝐾𝐾)ln(𝐹𝐹 0年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール
𝑑𝑑1 𝑑𝑑=2 =

𝑑𝑑
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑑𝑑
=
=
1
1
2



クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
 ん。
2
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
 [ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
円（𝐹𝐹1 𝑇𝑇/2
1満期は[
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり
というエ
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依プションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
+
𝜎𝜎
確認しておきます。先物価格は方法を確認しておきます。先物価格は=
152.49）、権利行使価格は
円（𝐹𝐹

=
円
152.49）、権利行使価格は
円
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
ティリティに対してこのような想定気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
1.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は、
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇=
0.12）である日本国債先物オプションを考と、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
=
152.4

方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹=152.49）
、権利行
0
0
0
0
0
ける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
ここで 具体的にはハル（）の第𝑑𝑑=章をご参照ください。
1

クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
2 、円（𝐹𝐹気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており 
 − 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
上記では（1）と（2）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要になりますが、


𝜎𝜎√𝑇𝑇
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデ
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック法を確認しておきます。先物価格は=
152.49）、権利行使価格は

円
51.5）
、
安全利子率は
（𝐾𝐾（𝑟𝑟==
151.5）
0.023）、
安全利子率は、
現時点は
（𝑟𝑟
満期は=0.023）、
現時点は、
満期は
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
−
𝜎𝜎
𝑇𝑇/2
ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
この式を用いてオプションの国債表示であるため、𝑇𝑇=
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算−0.68695
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
𝑑𝑑=−0.6774となることから、𝑝𝑝=0.213677が得られます
モデルからインプライされるボ。（𝐾𝐾、=安全利子率は151.5）、安全利子率は（𝑟𝑟 =、0.023）、
現時点は
 ここでは𝑟𝑟として  か月円 /,%25を用いています。
（𝐾𝐾 = 151.5）
（𝑟𝑟
= 0.023）
現時点は
0
00
体的に同モデルについて考えます。
2
𝑑𝑑2 == 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇 
𝑑𝑑2 =

=


2

同モデルの導出を説明した書籍は大量にありますので、この導出は他の書籍に譲ります。例えば、ブルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ1[は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
というエ
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝜎𝜎√𝑇𝑇
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・シモデ=
151.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟
0.023）
現時点は、
満期は
ln(𝐹𝐹ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、こ
/𝐾𝐾)
− 𝜎𝜎
表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 𝑇𝑇/20.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金
ると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができます。𝑑𝑑−0.68695
𝑑𝑑2== =
−0.6774となることから、𝑝𝑝==0.213677が得
スは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプシ（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
0.12）である日本国債先物オプションを考）に記載しているとおり、ブラック =モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの0、0
1 =𝑑𝑑2 =
= 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
、バクスター・レニー（2001）、
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっておルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになる
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=すると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のオプションのプレミアムを計算する= −0.68695
𝑑𝑑ラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハル（2016）= −0.6774となることから、𝑝𝑝= 𝜎𝜎√𝑇𝑇
0.213677が得られます。をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算2ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ

この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の
村上（2015）などを参照してください。
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・シ
モデ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからき 気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ= −0.68695
𝑑𝑑
ます。𝑑𝑑1 = −0.68695
=
𝑑𝑑20.213677が得られます= −0.6774となることから、𝑝𝑝。 = 0.213677が得
価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
方法を確認しておきます。先物価格
ースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算で逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからインプライされるボます。𝑑𝑑= −0.68695
𝑑𝑑−0.6774となることから、𝑝𝑝
= 0.2
ます。𝑑𝑑
−0.68695
𝑑𝑑2 = 0.213677が得られます−0.6774となることから、𝑝𝑝
1
2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝
 具体的にはハル（）の第章をご参照ください。

0一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック
1。
2 =
1 =

−𝑟𝑟𝑟𝑟
価格𝐹𝐹
、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
0
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラックモデ
𝑐𝑐 この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の=𝑑𝑑𝑒𝑒2 = [𝐹𝐹𝑁𝑁(𝑑𝑑
𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑2 )]
 価格𝐹𝐹  0=ここでは、
 を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際   実際の数値例を用いて計算
 このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しまし 
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットにな
この式を用いてオプションの国債先物オプションの ここでは𝑟𝑟としてか月円を用いています。
、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びす。𝑑𝑑−0.68695
−0.6774となることから、𝑝𝑝0.213677が得られます。
ケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
オプションのプレミアムを計算することができます。
（𝐾𝐾= 151.5）、安全利子率は

市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝01 ) − /,%25
 モデルからイ
ィ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
1 =ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ−𝑟𝑟𝑟𝑟
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
 1 [𝑝𝑝価格𝐹𝐹
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7= 𝑒𝑒 0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・[𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑  モデルからインプライされるボ  0 =  ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するにションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算で      、権利行使価格は
 ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際
   価格𝐹𝐹
ルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
ティリティに対してこのような想定を置くことからき2 ) − 𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]  オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
が市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹152.49） 円というエ（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリテ

方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹=152.49）、権利行使価格は 円クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
0
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のこの式を用いてオプションの国債先物オプション
ここでは、オプションのプレミアムを計算することができます。
実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は円（𝐹𝐹、権利行使価格は
ョンが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック 、モデルからインプライされるボ
モデルからインプライされるボ（𝐾𝐾 = 151.5）、オプションのプレミアムを計算することができます。
安全利子率は（𝑟𝑟現時点は、
満期は
2.75とすると、プット・オプション
ティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なを下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック モこ
0 = 152.49）を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからイ
ハル（）の第 章をご参照ください。
 = 0.023）
日本国債とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ


（𝐾𝐾
=
151.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は、
満期はと𝑑𝑑  円
2 は下記の通りです。
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
価格𝐹𝐹、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリ

方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹
方法を確認しておきます。先物価格は、権利行使価格は
として
 か月円を用いています。
（𝐾𝐾 = 151.5）、安全利子率は
0.023）、現時点は下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラックモデルからインプライされるボ
リティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎= ます。𝑑𝑑
𝑑𝑑2 満期は=円（𝐹𝐹−0.6770/,%250（𝑟𝑟ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計0 = 152.49）
0
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するに
 具体的にはハル（）の第=章をご参照ください。
 、
1 = −0.68695
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎 =
2



ln(𝐹𝐹
/𝐾𝐾)
+
𝜎𝜎
𝑇𝑇/2
ブラック
76
モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
VIX
ではブラッ

分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエ
0 、安全利子率は 
価格𝐹𝐹0（𝐾𝐾、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
オプションのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算オプションのプレミアムを計算することができます。
 ここでは𝑟𝑟として=
か月円/,%25、を用いています。
=章をご参照ください。
151.5）（𝑟𝑟 = 0.023）
、現時点は
（𝐾𝐾
、= 151.5）
満期は安全利子率は
（𝑟𝑟 = 0.023） 、現（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。こティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（はハル（）の第𝑑𝑑 



1 =2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ𝜎𝜎√𝑇𝑇を用いれば簡単に計算できます。
ク/,%2576 モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけではない点に注意が必要です。
 10.213677が得られます[ ここでは、
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1
オプションのプレミアムを計算することができます。
実際の数値例を用いて計算方法を確認しておきます。先物価格は
円（𝐹𝐹=152.49）、権利行使価格は方法を確認しておきます。先物価格は
円章をご参照ください。
円（𝐹𝐹𝑟𝑟として
 1か月円（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出するこ


ます。𝑑𝑑
= −0.68695
𝑑𝑑2 =−0.6774となることから、𝑝𝑝=。にはハル（）の第を用いています。
章をご参照ください。
 = 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎 章をご参照ください。
 0.213677が得られます
具体的にはハル（）の第 0具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
 ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定
 具体的にはハル（）の第ます。𝑑𝑑1 = −0.68695
𝑑𝑑2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝
=
。
2

クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
ln(𝐹𝐹−𝜎𝜎ここでは𝑟𝑟として
𝑇𝑇/2
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許容し、ブラック・ショールズ・モデルやブ
0 /𝐾𝐾)
規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
 、
を用いています。
方法を確認しておきます。先物価格は、権利行使価格は
円
は𝑟𝑟として か月円/,%25を用いています。
 か月円
/,%25
（𝐾𝐾
=
、
安全利子率は（𝑟𝑟=
0.023）、
現時点は（𝐾𝐾 満期は=/,%25151.5）

、安全利子率は（𝑟𝑟 = 0.023）、=
𝑑𝑑2 というエ=−0.6774となることから、𝑝𝑝= 
0.213677が得られます ここでは𝑟𝑟として
 か月円
/,%25
を用いています。
−0.68695
ここでは𝑟𝑟として
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）
か月円
を用いています。
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出
0 = 152.49）
𝑑𝑑2151.5）=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ= 
𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇
体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
ます。𝑑𝑑1 円（𝐹𝐹

BOX 2

VIX

このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ

𝜎𝜎√𝑇𝑇 1 [ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7数を用いれば簡単に計算できます。

 
ラック
76
モデルという特定のモデルを使わずにインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いら
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
というエ
というエ
 1 、[ =は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載している 1、[現時点はは正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1
こでは𝑟𝑟としてか月円/,%25を用いています。
（𝐾𝐾 =
151.5）、
安全利子率は
（𝑟𝑟 このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債= 0.023）
満期は
（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇== 0.12）である日本国債ます。𝑑𝑑= −0.68695
𝑑𝑑 = −0.6774となることから、𝑝𝑝ます。𝑑𝑑0.213677が得られます= −0.68695𝑑𝑑。= −0.6774となることから、ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ラティリティ（,9）になります。も1
2
12
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
べき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。

関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
れています。これを特定のモデルに基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリ[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエ（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからインプライされるボを下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラックモデルからインプライされるボ
っている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック

モデ


ルの関数を用いれば簡単に計算できます。
ティといいます。
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができます。𝑑𝑑= −0.68695 𝑑𝑑2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝= 0.213677が得られますます。𝑑𝑑1 = −0.68695。  具体的にはハル（）の第𝑑𝑑2 =ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのためを下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
−0.6774となることからモデルからインプライ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な1ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
 章を
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ





 
ます。𝑑𝑑
= −0.68695 𝑑𝑑 = −0.6774となることから、𝑝𝑝= 0.213677が得られます。 ここでは𝑟𝑟として  か月円 /,%25 を用
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラッモデルからインプライされるボ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば1
 2

対してこのような想定を置くことからきています。

 1 [ は正規分布の累積分布関数ですがこのケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
 ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのた
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応す 具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
 具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。

いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の

クセルの関数を用いれば簡単に計算でき
 ここでは𝑟𝑟として
 か月円/,%25 を用いています。

ションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝
 ここでは𝑟𝑟として
 か月円
/,%25
を用いています。
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからインプライされるボ
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラッ
章をご参照ください。
＊19） ここではとして 6 か月円 LIBOR を用いています。
使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・  具体的にはハル（）の第



＊20）
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（というエクセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
1[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
 2016）に記載しているとおり、NORMDSIT 1 [ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエ というエ ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応

ここでは𝑟𝑟として

か月円
/,%25
を用いています。
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
モデルからインプライされるボ
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な
 具体的にはハル（）の第 実際の数値例を用いて計算
章をご参照ください。
 具体的にはハル（）の第  章をご参照ください。
プレミアムを計算することができます。
ここでは、クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。

クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。



1
[
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
 ここでは𝑟𝑟として
 か月円
/,%25
を用いています。  円
 ここでは𝑟𝑟として  か月円 /,%25 を用いています。
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なておきます。先物価格は
、権利行使価格はファイナンス
2020
Jul. 円（𝐹𝐹

0 = 152.49）
54




クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
 1 [ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7
 1 [ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載
というエ


安全利子率は（𝑟𝑟 = 0.023） 、現時点は、満期は
 具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
 具体的にはハル（）の第  章をご参照ください。

ＳＰＯＴる点に注意してください。服部（D）でも記載しましたが、日本国債先
9,; ではブラック  モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
ハル（）に記載しているとおり、ブラッはもう少し具体的に同モデルについて考えます。
%2;
日本国債とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ
ブラック
9,;
モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
9,;
ではブラック モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけブラック
モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
で、𝑑𝑑
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
満期前に行使されることはほとんどありません。
ではない点に注意が必要です。
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許ボラティリティ・スマイルとスキュー
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミア%2;
日本国債とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティハル（）に記載しているとおり、ブラックボラティリティが時間を通じて変動することを許モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの
ブラック
9,;
モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
9,;
ではブラック モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
2
ではない点に注意が必要です。
近年では、
9,;
ではブラックln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) + 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2）と（）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要に容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック
モデルという特定のモデルを使わずに
𝑑𝑑1 = 。
ブラック
 モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
プレミアム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです
9,;ではない点に注意が必要です。
ではブラック モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけではない点に注意が必要です。
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許ボラティリティが時間を通じて変動することを許容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック モデルという特定のモデルを使わずに
𝜎𝜎√𝑇𝑇 近年では、
モデルの導出についてはすでに書籍が大量にありますので、その点は他の書 これを特定のモデルにインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑9,;ではブラックln(𝐹𝐹
モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ ではない点に注意が必要です。
容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック モデルという特定のモデルを使わずにモデルという特定のモデルを使わずに
2 近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許インプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
これを特定のモデルに容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック

0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2
例えば、ブラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハル
基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
𝑑𝑑2 == 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑ではない点に注意が必要です。
𝑐𝑐 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟ボラティリティが時間を通じて変動することを許[𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 ) − 𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑      
容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック モデルという特定のモデルを使わずにインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
これを特定のモデルに基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
インプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
2 )]       これを特定のモデルに
𝜎𝜎√𝑇𝑇 近年では、
日本国債 VIX では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきインプライド・
スター・レニー（） 日本国債 9,; 、村上（）などを参照してください。
では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ＊21
容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑−モデルという特定のモデルを使わずに
𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]         これを特定のモデルに  
インプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
 日本国債 9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、）を算出します。 2 )
ボラティリティ（
ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。
インプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
 基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
日本国債
9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ
では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきインプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。22 これを特定のモデルに
 日本国債
9,;値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ ここで、𝑑𝑑1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。
債 9,; とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ
2∆𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
1 𝐹𝐹
𝑅𝑅𝑅𝑅
22
2
 − 1] 
𝜎𝜎 = ∑ 22 𝑒𝑒 2 𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 ) − [基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
ここで、𝑑𝑑 日本国債
9,;では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきインプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。 1 𝐹𝐹ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾
ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します
1 と𝑑𝑑
2 は下記の通りです。
合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
𝑇𝑇 𝜎𝜎𝐾𝐾2𝑖𝑖 = ∑ ∆𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑇𝑇 𝑄𝑄(𝐾𝐾
𝐾𝐾。
モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
00 𝑖𝑖 ) − [
−
1]

𝑑𝑑1 =
𝑖𝑖
2
2

2
𝜎𝜎
 日本国債
9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきインプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。∆𝐾𝐾𝑖𝑖 𝐾𝐾𝐹𝐹 𝐾𝐾0ln(𝐹𝐹+𝑖𝑖𝑅𝑅𝑅𝑅
𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2
22 𝑇𝑇0 /𝐾𝐾)
∆𝐾𝐾
11 𝐹𝐹𝑇𝑇
ティに対してこのような想定を置くことからきています。
ク  モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ= ∑∑ 𝑖𝑖 22𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑄𝑄(𝐾𝐾− [[ −−
1]  𝑖𝑖 は L 番目の 270
 まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 )に相当します。𝐾𝐾
𝑑𝑑𝜎𝜎122 =

𝜎𝜎
𝑄𝑄(𝐾𝐾
−
1]
𝑖𝑖))
𝑖𝑖
2

ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します
2 𝑇𝑇𝑇𝑇∆𝐾𝐾𝑖𝑖 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑅𝑅𝑅𝑅
1 𝐹𝐹𝑇𝑇𝑇𝑇 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑖𝑖00)に相当します。𝐾𝐾𝑖𝑖 は L 番目の 270𝜎𝜎√𝑇𝑇 まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
ln(𝐹𝐹0 /𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 2𝑖𝑖𝑖𝑖 。
式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物の意が必要です。
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許の権利行使価格ですが、権利行使価格毎にのプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾)
𝜎𝜎 2 = ∑ 𝑖𝑖𝑖𝑖2270
𝑒𝑒 𝑄𝑄(𝐾𝐾− 1] 
𝑑𝑑=𝑖𝑖𝑖𝑖 ) − [𝑖𝑖
2
2𝑇𝑇∆𝐾𝐾/𝐾𝐾)
𝐾𝐾−0 )に相当します。𝐾𝐾
𝜎𝜎を式（）に代入して𝑝𝑝を算出し、ちょうど市場価格の𝑝𝑝に等しくなる𝜎𝜎を見つけてくるなど、
𝜎𝜎√𝑇𝑇
2 ln(𝐹𝐹𝐹𝐹𝑇𝑇 𝐾𝐾のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾
𝑖𝑖 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2 1 270
まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
はi L番目の
L 番目の
番目の
270
の権利行使価格ですが、権利行使価格毎にまず、この式においてコールとプットの価格はに相当します。 𝑖𝑖𝑖𝑖はOTMの権利行使価 まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
270、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・𝑖𝑖 )𝑖𝑖𝑖𝑖)に相当します。𝐾𝐾
0 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
・ショールズ・モデルやブラック
モデルという特定のモデルを使わずに𝜎𝜎 2
∑
𝑒𝑒
𝑄𝑄(𝐾𝐾
)
−
[
−
1]

を計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラ
𝑑𝑑=
=
=
𝑑𝑑
−
𝜎𝜎√𝑇𝑇
𝑖𝑖
2
2
1
𝑇𝑇
𝑇𝑇 𝐾𝐾0のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾
うど市場価格の𝑝𝑝に等しくなる𝜎𝜎を見つけてくるなど、
𝐾𝐾𝑖𝑖 OTM
数値計算が必要になります。
気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっ まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾)に相当します。𝐾𝐾
L 番目の 270 𝑖𝑖𝑖𝑖))
𝜎𝜎√𝑇𝑇 の価格をの権利行使価格ですが、権利行使価格毎に270を計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラとしたうえで＊22、一定のウェイトを用いて足し上げ、格ですが、権利行使価格ごとのの権利行使価格ですが、権利行使価格毎に270
𝑖𝑖のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾
𝑖𝑖 はョンのプレミアムを計算することができます。
ここでは、実際の数値例を用いて計算
𝑖𝑖
ボラティリティを算出する方法も用いられています。
これを特定のモデルにティリティを計算しています。𝐾𝐾𝑖𝑖𝑖𝑖は270で定義されていますが、270を用いている理由
なお、服部（D）で記載したとおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプシ
一定の値になっている点です。本稿ではブラッ まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾)に相当します。𝐾𝐾
L 番目の
270 𝑖𝑖 )気を付けるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、の権利行使価格ですが、権利行使価格毎にのプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾を計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラは OTMで定義されていますが、OTM
一定の調整を加えることでボラティリティを計算しています。
ティリティを計算しています。𝐾𝐾を用いている理由を計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラ𝑖𝑖で定義されていますが、270
𝑖𝑖 は確認しておきます。先物価格は 円（𝐹𝐹0 = 152.49）、権利行使価格は
円
𝑖𝑖 は 270
から、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
は、270 のオプションの方が ,70 より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
とおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプシ
ョンですが、ブラック モデルはヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットの権利行使価格ですが、権利行使価格毎に270のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾
一定の値になっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデを計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラティリティを計算しています。𝐾𝐾は270で定義されていますが、270を用いている理由
を用いている理由は、OTMのオプションの方がITM
より流動性が高いからです（その理由は服部は、270のオプションの方が,70
より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
ティリティを計算しています。𝐾𝐾
270で定義されていますが、270を用いている理由
𝑖𝑖 )
51.5）
、
安全利子率は
（𝑟𝑟 = 0.023）、
現時点は、
満期は
𝑖𝑖𝑖𝑖はでは、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイを参照ください）。
ヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのため、日本国債先物オプションの,9を算出する際、ブラック
モデルを用いることは、
ティリティに対してこのような想定を置くことを計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラルの場合、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ
ティリティを計算しています。𝐾𝐾
270で定義されていますが、270は、270のオプションの方が,70
より流動性が高いからです（その理由は服部（E）（2020b）を参照ください）。𝑖𝑖 は,70
を参照ください）は、270のオプションの方がより流動性が高いからです（その理由は服部（E）
表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=を用いている理由。
ラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。日本国債先物オプションが事実上、上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボを算出する際、ブラック モデルを用いることは、
ヨーロピアン・タイプのオプションとして取引されていこの式を用いてオプションの国債先物オプシ
ティリティを計算しています。𝐾𝐾は,70
270より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
ティリティに対してこのような想定を置くことからきています。
は、270のオプションの方がを参照ください）。 上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボラティリ
上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
を参照ください）。
すると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
2で定義されていますが、270 を用いている理由
2∆𝐾𝐾
1𝑖𝑖 𝐹𝐹𝑖𝑖 ((𝑅𝑅𝑅𝑅
ヨーロピアン・タイプのオプションとして取引されてい𝐹𝐹 𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)∞ 𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡𝑟𝑟𝑟𝑟) 𝐹𝐹𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)ると想定している点に注意してください。服部（D）でも記載しましたが、日本国債先∞
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡
𝑟𝑟𝑟𝑟)
2
𝜎𝜎
=
∑
𝑒𝑒
𝑄𝑄(𝐾𝐾
)
−
[
−
1]

それぞれ満期𝑇𝑇、権利行使価格𝐾𝐾のプットとコール・オプションのプラ𝜎𝜎を式に代入して𝑝𝑝を算出し、ちょうど市場価格の𝑝𝑝に等しくなる
𝑖𝑖
ラティリティが+ ∫𝐹𝐹𝐹𝐹 =𝑑𝑑𝑑𝑑（）𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)は]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,となることを利用し（とはそれぞれ満期 、
ティが
は、270
,70
この式を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のを参照ください）上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
 𝑑𝑑のオプションの方が上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラテ。 価格𝐹𝐹
𝐾𝐾22(𝑟𝑟𝑟𝑟)
𝐾𝐾220.213677が得られます
𝐹𝐹 𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)∞ 𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝑇𝑇 = −0.6774となることから、𝑝𝑝
𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝐾𝐾0より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
𝐾𝐾𝑖𝑖2 𝑇𝑇𝑇𝑇。 [∫002𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡
1 = −0.68695
2
𝐾𝐾
𝐾𝐾
さい。服部（D）でも記載しましたが、日本国債先物オプションが満期前に行使されることはほとんどありません。
ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑+
𝑑𝑑𝑑𝑑𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)は[∫]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,
𝑖𝑖
∫
2
2
0
𝐹𝐹
𝑇𝑇
𝐾𝐾
𝐾𝐾
に計算したものです。
この式の導出は非常にテクニカルであるため、のプットとコール・オプションのプライス）、これを近似的に計算したものです。この式
権利行使価格オプションのプレミアムを計算することができこを参照ください）。
価格𝐹𝐹 上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
0 、権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・
ケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
数値計算が必要になります。
∞𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡𝑟𝑟𝑟𝑟) 𝐹𝐹𝐹𝐹𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)∞
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡((𝑟𝑟𝑟𝑟)においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾)に相当します。𝐾𝐾
は
L
番目の
270
ことはほとんどありません。
上記では（）と（）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要に
ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑 ++∫∫𝐹𝐹 𝑖𝑖22 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)は
𝐾𝐾)は
𝑖𝑖
[∫
]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑[∫
00 𝐾𝐾𝐾𝐾22𝐹𝐹
𝑇𝑇𝑇𝑇
𝐾𝐾𝐾𝐾 い人は大屋（）や杉原（）などを参照してください。
の導出は非常にテクニカルであるため、この式の背景を知りたい人は大屋（2019）や杉原（2010）な方法を確認しておきます。先物価格は  円
 オプションのプレミアムを計算することができます。
上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
ここでは、実際の数値例を用いて計算が市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝𝐹𝐹∞
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡(𝑟𝑟𝑟𝑟)
𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)

考えました。この導出には測度変換などの知識が必要にですが、権利行使価格毎に270[∫のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾
なりますが、同モデルの導出についてはすでに書籍が大量にありますので、その点は他の書
ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫𝐹𝐹 なお、服部（D）で記載したとおり、日本国債先物オプショ
𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇, 𝐾𝐾)は𝑖𝑖 )2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,
0
𝑇𝑇
𝐾𝐾 2
𝐾𝐾円（𝐹𝐹
なお、日本国債
9,;（𝐾𝐾ではちょうど満期が か月に相当するボラティ  モデルからインプライされるボ
どを参照してください。
=
151.5）
安全利子率は（𝑟𝑟 = 0.023

方法を確認しておきます。先物価格は=
152.49）、権利行使価格は、
円
0、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック𝐹𝐹∞
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡(𝑟𝑟𝑟𝑟)
𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
7は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾
=
(𝐾𝐾
−
𝐾𝐾
)/2、𝐾𝐾
は
)
に最も近い
𝑖𝑖+1
𝑖𝑖−1
てはすでに書籍が大量にありますので、その点は他の書
𝑖𝑖𝑖𝑖
𝑖𝑖+1
𝑖𝑖−1
00
籍に譲ります。例えば、ブラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハルで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラ
ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑+
𝑑𝑑𝑑𝑑𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)は[∫]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,∫ョンですが、ブラック
モデルはヨーロピアン・タイプのオプシ

2
2
0
𝐹𝐹
𝑇𝑇
𝐾𝐾
𝐾𝐾


7
は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾
=
(𝐾𝐾
−
𝐾𝐾
)/2、𝐾𝐾は)に最も近い
ますが、市場には必ずしもちょうど満期が１か月に相当するオプショ
𝑖𝑖
𝑖𝑖+1
𝑖𝑖−1 
0
なお、日本国債
VIX
ではちょうど満期が
 = 0.023） 1、か月に相当するボラティリティを算出していますが、市場（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本（𝐾𝐾= 151.5）、安全利子率は
（𝑟𝑟
現時点は 、満期は権利行使価格、5は満期までのリスク・フリー金利です。
リティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々なョールズによるオプション公式の導出についてはハル（）、バクスター・レニー（）、村上（）などを参照してください。
算しています。𝐾𝐾は 270 で定義されていますが、270を用いている理由
 𝑖𝑖権利行使価格、5 は満期までのリスク・フリー金利です。

ため、日本国債先物オプションの,9を算出する際、ブラック
7は満期までの期間、)は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾= (𝐾𝐾(𝐾𝐾𝑖𝑖+1−𝐾𝐾𝐾𝐾𝑖𝑖−1)/2、𝐾𝐾00はは))に最も近い
に最も近い
7
𝑖𝑖+1−
𝑖𝑖−1)/2、𝐾𝐾
 1 か月に相当するオプションが取引されているとは限りません。そのため、とは限りません。そのため、日本国債には必ずしもちょうど満期が𝑖𝑖𝑖𝑖 =

2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑇𝑇は年表示であるため、𝑇𝑇= は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾
0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎= 9,; では、満期が  か月未満で）、村上（）などを参照してください。


プションの方が,70
より流動性が高いからです（その理由は服部（E）

権利行使価格、5は満期までのリスク・フリー金利です。
は満期までのリスク・フリー金利です。
 7権利行使価格、5は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾= (𝐾𝐾𝑖𝑖+1 − 𝐾𝐾)/2、𝐾𝐾に最も近い
0 は2)

期が 𝑖𝑖か月以上
𝑖𝑖−1
日本国債 VIX では、満期が1 か月未満である第一限月と、満期が1か月未満の第二限月のコールとプットの価格を用い
か月以上
か月未満の第二限月のコー
日本国債先物オプションが事実上、
%2;
ます。𝑑𝑑−0.68695 𝑑𝑑2 = −0.6774となること
2.75とすると、プット・オプションのプレミアム（𝑝𝑝）は式（）により算出することができ
1 =ヨーロピアン・タイプのオプシ
日本国債
9,;とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティにはハル（）の第
章をご参照ください。
）。  権利行使価格、5
は満期までのリスク・フリー金利です。
 を算出し、これらの線形補間をすることでちょうど 7 は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾(𝐾𝐾𝑖𝑖+1 − 𝐾𝐾𝑖𝑖−1 )/2、𝐾𝐾0 はこのケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて) に最も近い
1  か月のボラ
ルとプットの価格を用いて、上記の式に基づき
き𝜎𝜎𝑖𝑖 2==を算出し、これらの線形補間をすることでちょうどます。𝑑𝑑−0.68695
𝑑𝑑2 = −0.6774となることから、𝑝𝑝0.213677が得られます。
リー・インプライド・ボラティリティは𝑟𝑟として
ブラック
か月円
/,%25
を用いています。
1 = モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債ると想定している点に注意してください。服部（D）でも記載
常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ

権利行使価格、5は満期までのリスク・フリー金利です。

か月のボラティリティを計算していることに注意が必要です。
ていることに注意が必要です。
正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
このケースは𝜎𝜎を決めた上で式（）を用いて𝑝𝑝を算出しましたが、実際には国債先物オプ
9,;ではブラック モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
物オプションが満期前に行使されることはほとんどありません。

𝐹𝐹 𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)∞ 𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡(𝑟𝑟𝑟𝑟)関数を用いれば簡単に計算できます。
 𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝑑𝑑𝑑𝑑 ]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)は[∫てインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
を下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がションが市場で取引されて𝑝𝑝が決定されます。そのため、実際の計算では市場で得られる𝑝𝑝ではない点に注意が必要です。
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許して𝑝𝑝を算出し、𝜎𝜎を式（）に代入して𝑝𝑝を算出し、ちょうど市場価格の𝑝𝑝に等しくなる𝜎𝜎を見つけてくるなど、
2 𝑑𝑑𝑑𝑑 + ∫𝐹𝐹
0𝑇𝑇
𝐾𝐾ちょうど市場価格の𝑝𝑝に等しくなる𝜎𝜎を見つけてくるなど、
𝐾𝐾 2
上記では（）と（）式を前提に考えました。この導出には測度になります。
ブラック
 モデル（ブラック・モデル） 数値計算が必要になります。
では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許
参考文献
容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック モデルという特定のモデルを使わずに
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝にを下に、𝜎𝜎を逆算します。この時算出された𝜎𝜎がブラック
 モデルからインプライされるボ

D）で記載したとおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプシ
なお、服部（D）で記載したとおり、日本国債先物オプションはアメリカン・オプシ）では、ブラック モデル（ブラック・モデル）とは、フィッシャー・ブラ
なりますが、同モデルの導出についてはすでに書籍が大量にありま
参考文献
村上秀記（「インプライド・モーメントがもたらす情報：9［12］.これを特定のモデルに2015）「金融実務講座 マルチンゲールアプローチ
ルやブラック モデルという特定のモデルを使わずにインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
>@ 大屋幸輔（）
ラティリティ（,9）になります。もっとも、𝑝𝑝に対応する𝜎𝜎を計算するには、例えば、様々な


［1］. 大屋幸輔（2019）「インプライド・モーメントがもたらす情入門：デリバティブ価格理論の基礎とその実際」近代科学社
ラック
モデルはヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのョンですが、ブラック  モデルはヨーロピアン・タイプのオプション・モデルです。そのが年に発表した論文で提案されたモデルであり、通常のブラック・ショール

出する方法も用いられています。
これを特定のモデルに基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
『現代経済学の潮流
』–『現代経済学の潮流］
報：VIX は何を伝えているのか」［13
籍に譲ります。例えば、ブラック・ショールズによるオプション公2019』, のか」.Black, F. 1976.
The Pricingof CommodityContracts.
 具体的にはハル（）の第章をご参照ください

期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾は ),9に最も近い
 モデルを用いることは、先物オプションの,9 を算出する際、ブラック
ため、日本国債先物オプションのを算出する際、ブラック  モデルを用いることは、
ルにおける株価をフォワード価格へ修正したモデルであると説明しました。
𝑖𝑖 = (𝐾𝐾𝑖𝑖+1 − 𝐾𝐾𝑖𝑖−1 )/2、𝐾𝐾0ここで99–125.
Journal of Financial Economics 3（1-2）, 167–179.
ー・インプライド・ボラティリティといいます。
9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ>@ 崎山登志之・眞壁祥史・長野哲平（） ここでは𝑟𝑟として  か月円「オプションから抽出し/,%25 を用いています。
 日本国債
は満期までのリスク・フリー金利です。
 日本国債先物オプションが事実上、プションが事実上、ヨーロピアン・タイプのオプションとして取引されていヨーロピアン・タイプのオプションとして取引されていし具体的に同モデルについて考えます。

 具体的にはハル（）の第 章をご参照ください。
 、バクスター・レニー（）［2］. 崎山登志之・眞壁祥史・長野哲平（［14］2017）「オプションから抽.Huggins, D. and Schaller,、村上（）などを参照
C. 2013. Fixed Income（）のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ：A Practitioners Guide to the
出した不確実性指標の拡充−テールリスク指標とボラティリ
RelativeValue 1 Analysis[ は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します
る点に注意してください。服部（D）でも記載しましたが、日本国債先）に記載しているとおり、ブラック ると想定している点に注意してください。服部（D）でも記載しましたが、日本国債先モデルでは𝑐𝑐をコール・オプションの充－テールリスク指標とボラティリティの期間構造－」日銀レビ
 ここでは𝑟𝑟として
 か月円 /,%25を用いています。 。









ティの期間構造−」日銀レビュー
Theory, Tools,
and Trades. Bloomberg Financial.

2
クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
を算出します
満期前に行使されることはほとんどありません。
物オプションが満期前に行使されることはほとんどありません。
ム、𝑝𝑝をプット・オプションのプレミアムとすると、下記の通りです。
2∆𝐾𝐾𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
1 >@
𝐹𝐹 杉原慶彦
1［[ 3。
は正規分布の累積分布関数ですが、ハル（）に記載しているとおり、1250'6,7というエ
2］. 櫻井豊（2016）「数理ファイナンスの歴史」きんざい（）「我が国株式市場のモデル・フリー・インプライド
𝜎𝜎
=
∑
𝑒𝑒
𝑄𝑄(𝐾𝐾
)
−
[
−
1]

𝑖𝑖
2
2
）と（）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要に
上記では（）と（）式を前提に考えました。この導出には測度変換などの知識が必要に
𝑇𝑇
𝑇𝑇 𝐾𝐾0𝐾𝐾𝑖𝑖［4］. 杉原慶彦（2010）「我が国株式市場のモデル・フリー・インプ∆𝐾𝐾𝑖𝑖 クセルの関数を用いれば簡単に計算できます。
1 𝐹𝐹
𝑖𝑖『金融研究』  –
∑ 2 𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 ) −ライド・ボラティリティ」[ − 1]
（）
『金融研究』
292,
73–120.
)]モデルの導出についてはすでに書籍が大量にありますので、なりますが、同モデルの導出についてはすでに書籍が大量にありますので、その点は他の書
その点は他の書
𝑐𝑐0 = 𝑒𝑒 −𝑟𝑟𝑟𝑟 [𝐹𝐹0 𝑁𝑁(𝑑𝑑1 ) −𝐾𝐾𝐾𝐾(𝑑𝑑








    
𝑇𝑇
𝐾𝐾
𝐾𝐾𝑖𝑖
2

 まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
270 
𝑖𝑖 )に相当します。𝐾𝐾𝑖𝑖 は L 番目の［5］. エマニュエル・ダーマン（）
「物理学者、ウォール街を往
2005
−𝑟𝑟𝑟𝑟
>@
エマニュエル・ダーマン（）「物理学者、
ウォール街を往く。―
例えば、ブラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハル
𝑝𝑝 = 𝑒𝑒 [𝐾𝐾𝐾𝐾(−𝑑𝑑2 ) − 𝐹𝐹0籍に譲ります。例えば、ブラック・ショールズによるオプション公式の導出についてはハル𝑁𝑁(𝑑𝑑1 )]                        く。―クオンツへの転進」東洋経済新報社
ットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
270 のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 )𝑖𝑖 )に相当します。𝐾𝐾𝑖𝑖 は L 番目の 270
 の権利行使価格ですが、権利行使価格毎にスター・レニー（）、村上（）などを参照してください。
（）、バクスター・レニー（）、村上（）などを参照してください。
［6］. マーティン・バクスター、アンドリュー・レニー（
2001）「デ 東洋経済新報社
格毎に 270のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾)を計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラリバティブ価格理論入門―金融工学への確率解析」シグマベイ𝑖𝑖
、𝑑𝑑1 と𝑑𝑑2 は下記の通りです。>@ マーティン・バクスター、アンドリュー・レニー（）「デリバ
スキャピタル
用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラ
2 %2;
ティリティを計算しています。𝐾𝐾で定義されていますが、270を用いている理由
債 9,; とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティ日本国債
9,; とモデル・フリー・インプライド・ボラティリティln(𝐹𝐹0）/𝐾𝐾)+ 𝜎𝜎 𝑇𝑇/2𝑖𝑖 は 270「イールドカーブ（金利の期間構造）の決定［7］. 服部孝洋（2019𝑑𝑑1 =
―金融工学への確率解析」シグマベイスキャピタル
要因について―日本国債を中心とした学術論文のサーベイ―」
270で定義されていますが、270モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
ブラック モデルではボラティリティが一定であることを想定しましたが、日本国債
𝜎𝜎√𝑇𝑇 を用いている理由
は、270のオプションの方が,70
より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
ファイナンス 10 月号、41–52.
>@ 服部孝洋（）「イールドカーブ（金利の期間構造）の決定要因
ク  モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
ln(𝐹𝐹0。
/𝐾𝐾) − 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇/2 9,; ではブラック  モデルを用いてインプライド・ボラティリティが算出されているわけ
より流動性が高いからです（その理由は服部（E）
を参照ください）［8］. 服部孝洋（―オプション市
2020a）「国債先物オプション入門
𝑑𝑑2 == 𝑑𝑑1 − 𝜎𝜎√𝑇𝑇意が必要です。近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許ではない点に注意が必要です。
近年では、ボラティリティが時間を通じて変動することを許𝜎𝜎√𝑇𝑇を中心とした学術論文のサーベイ―」ファイナンス
 月号、–金利リスクについて―」場からみた
p.38–42.
 上記の式は非常に複雑に見えますが、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ［9］. 服部孝洋（2020b「国債先物オプション入門―プット・コー・ショールズ・モデルやブラック）モデルという特定のモデルを使わずに容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック モデルという特定のモデルを使わずにけるべき点はボラティリティは𝜎𝜎となっており、権利行使価格や時間に依存せず、>@ 服部孝洋（D）「国債先物オプション入門 ―オプション市場
が、これは理論的にモデル・フリー・インプライド・ボ
ル・パリティを中心に―」p.40–48.
𝐹𝐹 𝑃𝑃(𝑇𝑇,𝐾𝐾)∞ 𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)
2𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒⁡(𝑟𝑟𝑟𝑟)
ボラティリティを算出する方法も用いられています。
インプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています。
これを特定のモデルにこれを特定のモデルにになっている点です。本稿ではブラック・ショールズ・モデルやブラック モデ
ラティリティが𝑑𝑑𝑑𝑑+
𝑑𝑑𝑑𝑑𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇, 𝐾𝐾)は[∫]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,∫［10］「フィナンシャルエンジニアリング〔第. ジョン・ハル（0）
𝐹𝐹
𝑇𝑇 2016
𝐾𝐾 22
𝐾𝐾 22について―」S–
∞ 𝐶𝐶(𝑇𝑇,𝐾𝐾)から、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリティといいます。
、ボラティリティ・スマイルがフラットになることを指摘しましたが、これはボラ9 版〕―デリバティブ取引とリスク管理の総体系」きんざい
𝐾𝐾)と𝐶𝐶(𝑇𝑇, 𝐾𝐾)は
∫𝐹𝐹 𝐾𝐾2 𝑑𝑑𝑑𝑑 ]となることを利用し（𝑃𝑃(𝑇𝑇,>@ 服部孝洋（E）「国債先物オプション入門―プット・コール・パ
］
三菱東京
銀行（
［
11
.
UFJ
2014
では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイ）「デリバティブ取引のすべて〜変日本国債 9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用いて下記の式に基づきイィに対してこのような想定を置くことからきています。
貌する市場への対応〜」きんざい%2; 日本国債 9,; とモデル・フリー・インプライド・ボラテ

ブラック  モデルではボラティリティが一定であることを想9,; ではブラック  モデルを用いてインプライド・ボラティリテ

ではない点に注意が必要です。近年では、ボラティリティが時間を容し、ブラック・ショールズ・モデルやブラック  モデルというインプライド・ボラティリティを算出する方法も用いられています

基づかないことから、モデル・フリー・インプライド・ボラティリ

 日本国債 9,; では、日本国債先物のプットとコールの価格を用
ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します 。



ラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。
ンプライド・ボラティリティ（𝜎𝜎）を算出します。
を用いてオプションの国債先物オプションのプレミアムを計算する場合、先物のS–

2

∆𝐾𝐾

1 𝐹𝐹

2

2


𝑖𝑖
＊21
は満期までの期間、、 01
2 2
権利行使価格𝐾𝐾、満期𝑇𝑇、金利𝑟𝑟、ボラティリティ𝜎𝜎を代入すればコール及びプット・2 ） ∆𝐾𝐾
1 𝐹𝐹 は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾−𝑖𝑖 𝐾𝐾𝑖𝑖−1
 72 は満期までの期間、)は対象となる日本国債先物の価格、∆𝐾𝐾=2 (𝐾𝐾𝑖𝑖+1
は𝐹𝐹)に最も近い権利行使価格、に最も近い
𝑖𝑖 𝑅𝑅𝑅𝑅
𝑖𝑖+1𝑖𝑖−1)/2、𝐾𝐾
0は2 𝑖𝑖𝑖𝑖∑ 2 𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑅𝑅は満期までのリスク・フ
𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 ) − [ − 1] 版
𝜎𝜎 = ∑リー金利です。
𝑒𝑒 𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 ) − [ − 1] 𝜎𝜎 >@= ジョン・ハル（）∑ 2 𝑒𝑒 𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑄𝑄(𝐾𝐾𝑖𝑖 ) − [ 𝜎𝜎−「フィナンシャルエンジニアリング〔第
1]=
2
𝑇𝑇
𝑇𝑇 )/2、𝐾𝐾
𝐾𝐾0 ここでは、
𝑇𝑇
𝑇𝑇 𝐾𝐾0
𝐾𝐾𝑖𝑖 = (𝐾𝐾
𝐾𝐾𝑖𝑖
𝑇𝑇
𝑇𝑇 𝐾𝐾0
𝐾𝐾𝑖𝑖
権利行使価格、5は満期までのリスク・フリー金利です。
ンのプレミアムを計算することができます。
実際の数値例を用いて計算
本国債先物の価格、∆𝐾𝐾
𝐾𝐾𝑖𝑖−1は ) に最も近いATM＊22）と判定される𝑖𝑖 ただし、
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖+1 −
0の部分のみプットとコールの平均値を使います。
𝑖𝑖
引とリスク管理の総体系」きんざい
においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾)に相当します。𝐾𝐾 まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾
認しておきます。先物価格は 𝑖𝑖円（𝐹𝐹152.49）、権利行使価格は 円
リー金利です。
 𝑖𝑖 は L 番目の 270
𝑖𝑖 は L 番目の 270
𝑖𝑖 )に相当します。𝐾𝐾
0 = まず、この式においてコールとプットの価格は𝑄𝑄(𝐾𝐾 )に相当しま
55


>@
三菱東京
8)- 銀行（）「デリバティブ取引のすべて～変𝑖𝑖 Jul.
ファイナンス2020
ですが、権利行使価格毎に270のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾の権利行使価格ですが、権利行使価格毎に270 のプットとコールの価格の平均し、𝑄𝑄(𝐾𝐾1.5）、安全利子率は（𝑟𝑟= 0.023）、現時点は、𝑖𝑖 )𝑖𝑖 )満期は 
で、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラを計算したうえで、権利行使価格を用いて一定のウェイトを用いて足し上げることでボラ表示であるため、𝑇𝑇= 0.12）である日本国債先物オプションを考えます。ここで𝜎𝜎=～」きんざいの権利行使価格ですが、権利行使価格毎に270 のプットとコール