復元力モデルと減衰モデルがブレース付架構の動的応答に与える影響
Effect of Hysteresis Model and Damping Model on the Dynamic Response of Steel Braced Frame
空間性能システム専攻 建築構造性能学研究室 渡井悠介
Abstract
Time-history response analysis was conducted to examine how the choice of hysteresis model and damping
model affects the nonlinear behavior of steel braced frames. Hysteretic response of steel angle braces
reported in the literature was extracted through digital image processing. A phenomenological hysteresis
model was adjusted to represent steel angle braces that exhibit local-buckling induced degradation at theplastic hinges. This model was implemented in OpenSees to perform the time-history response analysis ofa 2-story braced frame model. As a result, a suite of key dynamic response induced by unrealistic damping
force is reported.
Keywords: Damping Model, Steel Brace
1. はじめに文献 1)によると、建築構造物の減衰比は振動モードによらず、ほぼ一定である。塑性化すると構造物の剛性は低下するため、弾塑性状態に応じて減衰係数を更新しないと、過剰な減衰力を生じることが指摘されている 2) 3)。軸力と軸変形を変数とした現象論でブレースの復元力特性をモデル化すると、同モデルと比較して計算量が少ない利点がある。しかし、モデル化方法によらず、ブレースの座屈に伴って軸剛性が負に転じ、正定値でない剛性行列を生じ、非現実的な応答を計算する可能性があり、数値計算上の課題がある。
本研究では、鋼材ブレースの現象論モデルである柴田－若林モデル(SW モデル) 4) 5)を、動的応答解析に適用し、あるべき減衰モデルと組み合せるための課題を検証した。
2. ブレースに関する実験データの収集
ブレース付架構の動的応答の分析には、ブレースの軸力－軸変形関係を模擬する必要がある。例
として山形鋼ブレースを対象とし、学術資料からブレースの軸力－軸変形関係を定量的に把握することを試みた。7 件の文献より、細長比 λ=24～52 の計 17 体を対象とした。

2.1 実験結果のデータ化手法
図 2 に示すように、画像より、軸力－軸変形の履歴に適合する点𝑃𝑖 (i…データ数)を、画素の RGB値で自動検索した。点𝑃𝑖 の軸力と軸変形を座標軸との相対距離から算定した。点𝑃𝑖 を時系列で並び替えるために目標点𝐺𝑘 を手動で設定した。目標点
𝐺𝑘 と𝐺𝑘+1 を結ぶ線分と履歴の誤差は降伏強度に対して 7%に収めた。時系列に応じて点𝑃𝑖 を並び替えた点を点𝐹𝑗 とした。目標点𝐺𝑘−1と𝐺𝑘 の間で、式(1)の𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒が最大となる点𝑃𝑖 を、点𝐹𝑗 の次の点𝐹𝑗+1とした。
⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒𝑖 = cos θ𝑖 ∕ |𝐹𝑗 𝑃𝑖 |任意の点𝑃𝑖 の中で点𝐹𝑗+1 は𝐹𝑗 と相対的に距離が⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
小さく、|𝐹
𝑗 𝑃𝑖 |の組み合わせにおいて、𝐹𝑗 𝐹𝑗+1 は𝐹𝑗 𝐺𝑘 と比較的近い方向になる。抽出したデータの圧縮側最大耐力は、実験結果と 4%以内で整合した。
2.2 山形鋼ブレースへの柴田若林モデルの適用
本研究で対象とした山形鋼ブレースは、全ての試験体で全体座屈を生じると同時に局部座屈を生じた。
SW-M3_model5)は局部座屈による劣化を想定していないため、修正を試みた。SW-M3_model の圧縮側曲線は式(2)、(3)で表される。

圧縮曲線
𝑛𝑠𝑤 = −ሺ𝑛𝑑 /𝑛𝑐 ሻ 𝑓𝑐 ሺ𝛿𝐵 + 𝑛𝑐 − 𝛿ሻ𝑓𝑐 ሺ𝑋ሻ = ሺ𝑝1 𝑋 + 𝑝2 ሻ𝑟

図1SW モデル5ሻ(1)図2

目標点間の検索𝑛𝑖,𝑠𝑤 = −ሺ𝑛𝑑 /𝑛𝑐 ሻ 𝑓𝑐 ሺδ𝐵 + 𝑛𝑐 − δሻ

(2)

(3)
𝑓𝑐 ሺ𝑋ሻ = ሺ𝑝1 𝑋 + 𝑝2 ሻ𝑟
ただし、𝑛𝑑 は劣化後圧縮耐力である。式(3)の係数𝑝1 , 𝑝2 , 𝑟を修正し、山形鋼ブレースの局部座屈に応じて係数を修正したモデル SW-M6_model を検討した。2 サイクル目の圧縮側曲線で、実験値と SWM6_model との誤差の 2 乗和Δ𝑗 を、各試験体で算定した。図 3 に、各試験体で最小の𝛥𝑗 となる係数𝑟の値を丸いマーカーで示す。ただし、βは幅厚比である。係数𝑟はβと相関がみられ、式(4)の通り定義した。8 ≤ β ≤ 17とした。
(4)

𝑟 = −0.267 × √β

図 4 に、𝑟 を式(4)として、各試験体で最小の𝛥𝑗 となる係数𝑝1 , 𝑝2 の値を丸いマーカーで示す。係数𝑝1 , 𝑝2はλβと相関がみられ、式(5),(6)の通り定義した。8 ≤ β ≤ 17, 200 ≤ λ ≤ 800とした。
𝑝1 = 6.84 × 10−4 × λβ(5)𝑝2 = 6.91 × 10−6 × ሺλβሻ2(6)2 サイクル目の圧縮曲線によるエネルギー吸収量について、SW-M3_Model は実験値に対して各試験体の誤差が平均 62%であり、SW-M6_Model は平均 42%だった。
3. ブレース付架構
円形鋼管ブレースを採用したブレース付架構の地震応答に、復元力モデルと減衰モデルが及ぼす影響を検証した。

3.1 解析モデル
図 5 に示すように、2 層のブレース付架構を対象に解析モデルを構築した。柱脚、ブレース接合部、柱梁接合部はピン接合とした。ブレースのみが塑性化する想定で、柱断面に H-310×107×11×17、梁断面に□-127×76.2×4.8、ブレース断面に〇-100×0.65(1F),100×0.4(2F)を採用した。柱梁接合部、ブレース接合部を剛体で模擬した。柱や梁は弾性要素とし、ブレースのみ弾塑性要素とした。
解析パラメータは、ブレースに採用した履歴モデ
ルと、減衰モデルとした。ブレースの軸力－軸変形関係を、Force-based fiber モデルで模擬した
Model F、または SW-M3 モデルで模擬した Model
T, Model TC を設定した。Model F では、ブレースの座屈挙動を模擬するため、材中央で材長の 1000分の 1 にあたる変位を材軸の垂直方向に初期不整を設け、円形鋼管の断面を厚さ方向に 3 つ、周方向に 15 つに分割した。SW-M3 モデルの負剛性となる状態で、接線剛性を初期剛性の 0.01 倍として減衰係数を設定した Model TC を設けた。減衰モデルには、表 1 に示す 7 種のモデルを採用し、目標減衰比を 0.05 とした。上添字『*』は、弾塑性状態に応じてその係数または行列を逐次更新することを意味する。Model F のブレースの弾塑性
復元力特性を、Menegotto-Pinto モデルでモデル化し、2 次剛性を初期剛性の 0.01 倍とした。入力地
震波には、加速度を 2.5 倍した El Centro を用いた。
時間積分の時間区分は 0.0005s とし、中央差分法を用いた。
Pin connection

𝑛Nodal Mass𝑟0.0

実験値0.8Pin supports-0.2𝑟 = −0.267 × √𝛽-0.40.4

2@ 1.8m

1.2-0.60𝑛𝑖,𝑠𝑤𝑛𝑖,𝑒𝑥𝑝-0.4

SW_M6-0.8-1.2-0.04-0.020-0.8

Elastic Beam--1.0

Column Element-1.20.02

δ

0.04-1.40

図 2 変数 𝑝1 , 𝑝2 決定
𝑝151015β20

Fiber or TrussElement

図 3 β と 𝑟の関係
𝑝2

2.9m
Pin connection
L/1000

8.0

1.0

6.0

𝑝1 = 6.84 × 10−4 × λβ0.5

𝑝2 = 6.91 × 10−6 × ሺλβሻ2Force-based fiber

4.0

Truss Element
Fiber Cross-Section

Z

2.00.0L

X

0.00300600

λβ9000300

図 4 𝑝1 , 𝑝2 と λβの関係

600

λβ900

YIntegration Point

図 5 解析モデル形状

3.2 解析結果
図 6 に、Model F、Model T、Model TC で得られた最大層変形角を、減衰モデルごとに示す。ModelT では、剛性が負となる場合に応答が計算できないため、減衰モデル 4、6、7 では応答が得られなかった。各モデルとも、減衰モデルによる最大層変形角の差異は 0.004 rad 以内で、減衰モデル 5 の最大層変形角の 35%以内であった。図 7 に示すように、各層の節点に作用する復元力と減衰力の水平成分の総和を取り、1 層、2 層の復元力𝑅1 、𝑅2および減衰力𝐷1、𝐷2と定義した。図 8 に、ブレースを Model TC で、減衰モデルを 2、3 とした場合で、時刻 1.5 から 2.5 s までの復元力𝑅2 －層変形角関係と、減衰力𝐷2－層変形角関係を示す。図中の①は各ブレースの座屈と引張降伏、②は両ブレースの除荷開始、③は、片側ブレースの引張降伏によりブレースの剛性は初期剛性の 0.01 倍となり、④は片側ブレースの除荷開始で、①から④までの履歴を太実線で示す。減衰モデル 3 の復元力特性はモデル 2 とほぼ同等だが、塑性状態で低下した接線係数で減衰係数を定義したため、両ブレースが塑性化した①から②において減衰力がモデル 2 の 0.01 倍の値を示した。図 9 にブレースをModel T で、減衰モデル 3 とした場合の減衰力𝐷2－層変形角関係を示す。圧縮耐力の劣化域で接線剛性を負と見なして減衰力を算定したため、①の時点で速度と逆向きの減衰力が生じた。この逆向きの減衰力の大きさは 1 kN と、同時点の復元力70 kN と比べて小さいため、架構の応答に及ぼす影響は限定的で、Model TC と大差ない層変形角が得られた。
各モデルの減衰特性を評価する指標として、式(7)の等価減衰比を用いた 2),6)。
ζ𝑖,𝑒𝑞 =∗(8)γ∗𝑖 =𝑚𝑖∗𝑁𝑇∑𝑖=1 𝑚𝑖∗(9)γ∗𝑖 を重みにとった、全モードの等価減衰比の加重平均を以下の式で定義できる。以下では、ζ𝑒𝑞 を減衰比の代表値とする。また、自由度は 6 とした。
𝑁𝑇ζ𝑒𝑞 = ∑ ζ𝑖,𝑒𝑞 ⋅ γ∗𝑖[c] = a0 [m]2[c] = a1 [k]3[c] = a1 [k*]4[c] = a1* [k*]5[c] = a0 [m] + a1 [k]6[c] = a0 [m] + a1 [k*]

ሺ10ሻ

𝑖=1

図 10 に、ブレースに Model TC、減衰にモデル
5 を採用した場合のγ∗𝑖 , ζ𝑖,𝑒𝑞 , ζ𝑒𝑞 の時刻歴を示す。
①から④は、図 6 に示した時刻と同時点である。
1080
60[c] = a0* [m] + a1* [k*]④③④200-200.008

5D2 [kN]

R 2 [kN]0.010

0-600.004

Model F
Model T
Model TC

0.002

②2345

Number of Model

6-80-0.008-0.004

760

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒ሺ𝑅1 ሻ

図 7 力学モデル

R 2 [kN](d)④③0-20-400.004③50②④①-5②-80-0.008①-0.004

0.000

SDR [rad]
2.9m
2.9m

0.000

10(c)

20-60-0.004

SDR [rad]D2 [kN]

1.8m
2@1.8m2@

𝐷𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒ሺ𝐷1 ሻ0.004

8040

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒ሺ𝑅2 ሻ

0.000-10-0.008

SDR [rad]

図 6 2F 最大変形角𝐷𝑎𝑚𝑝𝑖𝑛𝑔 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒ሺ𝐷2 ሻ①①0.0001②-5-400.006

③(b)

(a)

400.012Max. SDR [rad]∗ 𝑇2𝑚𝑖∗ = β∗𝑖 ・{Φ𝑖 } [𝑚]{Φ𝑖 }

減衰モデル

17ሺ7ሻ

ここに、ζ𝑖,𝑒𝑞 は、i 次モードの等価減衰比であり、ω𝑖 ∗ , Φ𝑖 ∗は塑性状態において逐次再計算される固有振動数, 固有ベクトルである。
また、式(8)と(9)により、逐次の有効モード質量∗𝑚𝑖 と、有効モード質量比 γ∗𝑖 を定義する。

表 1 使用する減衰モデル
番号{Φ𝑖 ∗ }𝑇 [𝑐]{Φ𝑖 ∗ }2 ∙ ω𝑖 ∗ ∙ {Φ𝑖 ∗ }𝑇 [𝑚]{Φ𝑖 ∗}0.004-10-0.008-0.004

0.000SDR [rad]図 8 ModelTC-復元力・減衰力(2F)応答(a,b)Model2; (c,d)Model30.004

1) 日本建築学会：建築の減衰, 2000
2) Charney, FA: Unintended Consequences of Modeling Damping inStructures, J. Struct. Engrg., ASCE , 134, pp.581–592 ,20083) Ikogba KELVIN: Effect of Damping Models on the Nonlinear TimeHistory Response of Steel Braced Frames, 北海道大学大学院修士論
文2021.034) 柴田道生,若林實：鉄骨筋違の履歴特性の定式化－その 1 定式化関数の誘導－,日本建築学会論文報告集，No.316，pp.18-23，
1982.65) 竹内 徹,中村 悠,松井 良太,小河 利行,今村 晃：部材破断を考慮した鋼管トラス鉄塔の耐震性能,日本建築学会構造系論文集，
Vol.76，No.669，pp.1971-1980，2011.116) 柴田明徳：最新耐震構造解析(第3 版),森北出版,2014

11st0.8γ∗𝑖0.60.42nd0.201.50.622.5① ② ③ ④2① ② ③ ④2nd0.4

ζ𝑖,𝑒𝑞4. まとめ
ブレースの軸力－軸変形関係を模擬するため、山形鋼ブレースを対象とし、文献から軸力－軸変形関係を把握することを試みた。また、2 層のブレース付架構の解析モデルを対象とし、復元力モデル・減衰モデルによる弾塑性応答を比較検証した。総括を以下に述べる。
1) 細長比が 24 から 52 の範囲に相当する山形鋼ブレースの軸力－軸変形関係を、文献資料から定量的に抽出する手法を示した。
2) 現象論モデルを用いて、山形鋼ブレースの座屈による耐力劣化の特徴を捉えた復元力特性の係数を同定した。
3) 現象論モデルでブレースの圧縮耐力が劣化する範囲で、見かけ上の負の剛性を用いた場合の架構の応答は、弾性剛性の 1/100 倍に置換した場合の応答とほぼ同等となることを確認した。
なお、分析した解析モデルの数は限定的で、ブレースの剛性が負となる領域における、地震応答については、構造物の高さや構成などを変化させ、より広範に検証する必要があると考えられ、今後も課題とする。

参考文献

0.2

1st0.01.50.62.50.60.5Sum0.50.40.4

ζ𝑒𝑞

弾性範囲では、ζ𝑒𝑞 のうち 1 次モード、2 次モードで占める割合が 90%、10%であり、①から②の範囲でも割合に変化は見られず、他の減衰モデルでも同様の傾向が見られた。図 11 に各減衰モデルのζ𝑒𝑞 の推移を示す。モデル 7 のζ𝑒𝑞 が、全時刻を通して、設定した減衰比 0.05 に最も近い値を示した。モデル 4 は、ζ𝑒𝑞 の最大値 0.34 で示されるように、より大きな減衰力を生じたことが原因で、最大層変形角がモデル 7 の 8 割程度と計算されたと考えられる。減衰モデルの設定によりブレース付架構の変位応答に 3 割の差異が生じたことから、構造形式に応じて適切な減衰モデルを選択することが重要であることを再確認した。

0.30.30.20.20.10.1

1st0.00
1.52①② ③ ④2.5Time [s]8010(a)(b)④③200-20-40-60

図 10 有効モード質量比・等価減衰比の推移③5D2 [kN]

R 2 [kN]

4005②0.4-5②-80-0.008

0.6④①4ζ𝑒𝑞60

0.2

7①-0.004

0.000

SDR [rad]0.004-10-0.008-0.004

0.000

SDR [rad]

図 9 ModelT-復元力・減衰力(2F)応答(a,b)Model30.004

01.5

23①② ③ ④Time [s]図 11 各減衰モデルの等価減衰比の推移

2.5