Proceedings of the 1st Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 29th Linear Accelerator Meeting in Japan (August 4 - 6, 2004, Funabashi Japan)

Analytical soultion of phase space evolution of electrons in a SASE FEL
N.Nishimori∗, Free-Electron Laser Laboratory, Japan Atomic Energy Research InstituteTokai-mura, Ibaraki 319-1195 Japan
Abstract
I present an analytical description of the phase space evolution of electrons in a self-amplified spontaneousemission (SASE) Free Electron Laser (FEL) operating in the linear regime before saturation, by solving the one
dimensional FEL equation together with the solution of the cubic equation, which represents the evolution of theFEL power. The optimum bunching of electrons on the scale of the radiation wavelength is analytically derived
from the solution of the phase space evolution. The well known saturation condition ρNw ≈ 1 is derived from theoptimum bunching.

SASE-FEL における電子位相空間分布の時間発展の解析解
1.

2 . 1 次元 FEL 方程式と変数はじめに

Self Amplified Spontaneous Emission (SASE) 自由電子レーザー (FEL) は、共振器ミラーの使えない、X線領域でのレーザー生成を目的として主に開発されている [1]。SASE FEL の理論的な研究によると、発振プロセスはおおまかに 3 段階にわけられる [2]。自発放射光が支配的な不活性領域 (lethargy regime) と呼ばれる第 1 段階では、電子が通過したアンジュレーター周期数 (Nw ) の逆数に比例して放射光のスペクトル幅が狭くなる。これにより、アンジュレーター放射光の位相が揃う。電子は位相の揃った光と相互作用し、光波長サイズ毎にバンチ圧縮される。光との相互作用で電子バンチはエネルギーを失い光を増幅する。この第 2 段階において、放射光パワーはアンジュレーター周期数と共に指数関数的に増幅する(Exponential growth regime)。電子をバンチ圧縮しすぎると、電子はオーバーバンチされ第 3 段階である飽和領域 (Saturation regime) に達する。
指数関数的増幅領域での FEL 光の成長は cubic 方程式の解として求められ、ゲイン長(光強度が e 倍に√なる距離) が 1/(4π 3ρ) になること等、実験をよく再現する。ここで、
q1
ρ = [eaw F ne /(²0 m)/(4ckw )]2/3
γ0a(ζ, τ ) =2πeaw λw FE(ζ, τ ) exp[iφ(ζ, τ )],γ0 2 mc2(2)これは、Colson の無次元電場を 2Nw2 で割ったものに等しい。E(ζ, τ ) は rms 光電場である。i 番目の電子の無次元エネルギーは µi (τ ) = 4π[γi (t) − γ0 ]/γ0 、
位置は ζi (τ ) = [zi (t) − ct]/λ、位相は ψi (τ ) =(kw + k)zi (t) − ωt である。共鳴波長は λ = λw (1 +a2w )/(2γ02 ) である。
上定義に基づくと、電場や電子の成長を表す 1 次
元 FEL 方程式は次のように求められる [6]。

∂a(ζ, τ )∂τdµi (τ )dτdψi (τ )dτ(1)

は FEL パラメーター [3]。一方、光の成長と対をなす電子バンチングの時間発展については、数値計算がなされているのみである [4]。
本研究の目的は、SASE FEL 指数関数的増幅領域での、電子の位相空間分布の時間発展を 1 次元 FEL方程式を用いて解析的に求めることである。変数の定義と 1 次元 FEL 方程式を 2 章で示し、解析解を 3章で求める。電子が最も強くバンチングされる条件を 4 章で求め、飽和条件 ρNw ≈ 1 を導く。
∗ E-mail: nisi@milford.tokai.jaeri.go.jp

Brau や Colson の教科書 [5, 6] では、光がアンジュレーター周期数 Nw を通過する時間を 1 と定義している。一方、Bonifacio は、アンジュレーター周期数1/(4πρ) を通過する時間を 1 と定義している [3]。このような変数の定義に応じて、FEL 方程式は異なった外見を持つ。ここでは、本報告で用いる変数を定義する。無次元時間を τ = ct/λw とし、光がアンジュ
レーター 1 周期を通過する時間を 1 とする。無次元電場は位相 φ(ζ, τ ) を使って次のように表される。

= −(4πρ)3 hexp[−iψi (τ )]iζi (τ )=ζ , (3)= a[ζi (τ ), τ ] exp[iψi (τ )] + c.c., (4)= µi (τ ).

(5)電子ビームの形状は長方形とし、ρ 一定の場合を考える。

3.

電子の位相空間分布の成長

FEL の発振プロセスの第１段階において、空間・時間的に一様な電場が形成される [7, 8]。初期一様電場・位相 |a(0)|eiφ(0) を持つ電場の成長は cubic 方程174

Proceedings of the 1st Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 29th Linear Accelerator Meeting in Japan (August 4 - 6, 2004, Funabashi Japan)式の解で表される [3, 6]。時刻 τ の時の位置 ζ < −τの電場は次のように、指数関数的増加項、指数関数的減少項、振動項からなる。

a(τ ) = [|a(0)|eiφ(0) /3][exp(4πρτ eiπ/6 )時刻 τ の電場ゲインは式 (10) を式 (3) に代入して、次のように求まる。

∂a(τ )∂τ=+ exp(−4πρτ e−iπ/6 )+ exp(4πρτ e−iπ/2 )].

+ exp(4πρτ e−iπ/2 − iπ/2)].

(6)

i 番目の電子が、時刻 τ 0 に微小時間 δτ 0 の間に受けるエネルギー変化は式 (4)、(6) を使って δµi (τ 0 ) =0[a(τ 0 )eiψi (τ ) + c.c.]δτ 0 となる。 飽和以前の FEL 電場

4πρ|a(0)|eiφ(0)[exp(4πρτ eiπ/6 + iπ/6)
3− exp(−4πρτ e−iπ/6 − iπ/6)(13)√2π 3ρτ/[3(4πρ)2 ] ¿ 1 の時に成りこの式は 2|a(0)|e立ち、式 (6) の時間微分 ∂a(τ )/∂τ と全く同じである。
3

強度は非常に小さいため、電子の位相は初期値からほとんど変化せず、ψi (τ 0 ) ≈ ψi (0) という近似が使える。この近似を使うと、エネルギー変化は δµi (τ 0 ) ≈[a(τ 0 )eiψi (0) + c.c.]δτ 0 となる。i 番目の電子のトータルのエネルギー変化 µi (τ ) は、時刻 0 から τ までのエネルギー変化全てを足したものとなり、次の様に記述できる。
Z τµi (τ ) ={a(τ 0 ) exp[iψi (0)] + c.c.}dτ 0 .
(7)

2Y

104πρτ=2=3=5=7=10-1-2-3-3-2-10
X1230

式 (7) に式 (6) を代入して積分すると次式となる。

µi (τ ) = {2|a(0)|/[3(4πρ)]} ×

図 1: 4πρτ = 2, 3, 5, 7, 10 の時の X [式 (11)]、Y [式(12)] 位相空間での電子分布。電子マイクロバンチ中心位置は 4πρτ ≥ 4 の時 (X, Y ) = (0, −1)。

√{e2π 3ρτ cos[ψi (0) + φ(0) + 2πρτ − π/6]√−e−2π 3ρτ cos[ψi (0) + φ(0) + 2πρτ + π/6]
+ cos[ψi (0) + φ(0) − 4πρτ + π/2]}.
(8)
式 (8) は、指数関数的増加項、指数関数的減少項、振動項を持つ。
i 番目の電子が、時刻 τ 0 に微小時間 δτ 0 の間に受ける位相変化は、式 (5) を使って δψi (τ 0 ) = µi (τ 0 )δτ 0となる。トータルの位相変化は時刻 0 から τ までの合計であり、次のように表される。
Z τ∆ψi (τ ) = ψi (τ ) − ψi (0) =µi (τ 0 )dτ 0 .
(9)4.

4πρτ ≥ 4 を高ゲイン領域と定義する。この領域では、電場、電子のエネルギ. ー・位相変化は指数関数的増加項のみで漸近的に表される。電場は位相 φ(τ ) =2πρτ + φ(0) を使って次のように記述される。
√a(τ ) ∼ [|a(0)|/3]e2π 3ρτ eiφ(τ )∆ψi (τ ) = {2|a(0)|/[3(4πρ)2 ]} ×√{e2π 3ρτ cos[ψi (0) + φ(0) + 2πρτ − π/3]√+e−2π 3ρτ cos[ψi (0) + φ(0) + 2πρτ + π/3]
+ cos[ψi (0) + φ(0) − 4πρτ + π]}.
(10)
式 (8) と (10) を使って、√X = ∆ψi (τ )/{|a(0)|e2π 3ρτ /[3(4πρ)2 ]} (11)(14)

i 番目の電子のエネルギー・位相変化は次の通り。
√µi (τ ) ∼ {2|a(0)|e2π 3ρτ /[3(4πρ)]} ×
cos[ψi (0) + φ(τ ) − π/6],(15)0

式 (9) に式 (8) を代入して積分すると次式となる。

高ゲイン領域での電場、電子の成長√∆ψi (τ ) ∼ {2|a(0)|e2π 3ρτ /[3(4πρ)2 ]} ×cos[ψi (0) + φ(τ ) − π/3].
(16)√X 、Y 位相空間での電子の分布は X 2 +Y 2 − 3XY =1 という楕円で表される。
電子マイクロバンチ中心座標は ∆ψi (τ ) = 0 という条件を満たす。各電子の初期位置が ζi+1 (0) <ζi (0) の場合、バンチ中心の両隣の電子の位相変化 は∆ψi+1 (τ ) > 0、∆ψi−1 (τ ) < 0 となる。従って、マイクロバンチ中心は、ψi (0) + φ(τ ) − π/3 = π/2 を満たす位相を持つ電子であり、高ゲイン領域でのバンチ中心の座標は (X, Y ) = (0, −1) である。
電子分布の時間発展を ∆ψi (τ )、µi (τ ) 位相空間でからなる位相空間上の電子分布を求め、図 1 に示す。 調べたものを図 2 に示す。実線、点線、鎖線はそれぞ
電子の位相空間分布は 4πρτ < 4 で徐々に変化し、 れ 4πρτ = 10, 11, 12 の時の分布を示す。4 つの異なる初期位相を持つ電子の時間発展も示している。楕4πρτ ≥ 4 ではほぼ一定になる。

Y√= µi (τ )/{|a(0)|e2π 3ρτ /[3(4πρ)]}

(12)

175

Proceedings of the 1st Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japanand the 29th Linear Accelerator Meeting in Japan (August 4 - 6, 2004, Funabashi Japan)|a(0)| = P ρ3/2 を式 (18) に代入すると、√2π 3ρNw = 6.1 − ln(P ) + (1/2) ln(ρ) (20)0.01µi(τ)

0.005

0π/2
π
3π/20-0.005-0.01-0.2となる。ρ が 0.001 から 0.01 の範囲にあることと、Pが ほぼ全てのコンプトン FEL [11] において 2 × 10−5から 3 × 10−4 の範囲にあることを考慮すると、ρNwは 0.99 から 1.3 の間にある。これは、よく知られた
SASE FEL の飽和条件 ρNw ≈ 1 [7] とほぼ同じである.

4πρτ=10=11=12-0.10∆ψi(τ)

0.10.2

図 2: 4πρτ = 10 (実線), 11 (点線), 12 (鎖線) の時の∆ψi (τ )、µi (τ ) 位相空間での電子分布。4 つの異なる初期位相を持つ電子の位相空間内での成長を、□(初期位相:0)、■ (π/2)、○ (π )、● (3π/2) で表している。

5.

まとめ

SASE FEL における電子の位相空間分布成長の解析解を、1 次元 FEL 方程式を使って求めた。電場成長を表す cubic 方程式の解と同様、電子の成長も指数関数的増加、指数関数的減少、振動項からなる解で表される。4πρτ > 4 で定義される高ゲイン領域においては、(∆ψi (τ ),µi (τ )) の位相空間上で、波長単位の電子マイクロバンチは楕円曲線上に分布する。楕円は時計回りに回転しながら指数関数的にその大きさが増加する。電子マイクロバンチの中心は ∆ψi (τ ) = 0、µi (τ ) < 0 に位置し、楕円の大きさの指数関数的な増加は電場エネルギーの指数関数的な増加に対応する。
本研究で、東北大学 浜広幸 教授、KEK 平松成範
教授 に御助言を頂きました。ここに感謝致します。

円形の位相分布は時間と共に時計回りで回転しながら、その大きさが指数関数的に増加する。それぞれ
位相 φ(τ ) と電場の大きさ |a(τ )| の成長を反映している。各時刻において、∆ψi (τ ) = 0 かつ µi (τ ) < 0 となる点が電子マイクロバンチ中心である。バンチ中
心のエネルギーの指数関数的な減少は、電場エネルギーの指数関数的な増加に対応する。
高ゲイン領域での電場ゲインは、式 (13) から∂a(τ )/∂τ = [|a(0)|eiφ(0) /3][exp(4πρτ eiπ/6 + iπ/6)となるが、これは |∆ψi (τ )| ¿ 1 の場合である。飽和近くでは、電子の位相変化が大きく |∆ψi (τ )| > 1となるため、式 (13) は使えない。ただ、式 (14) を式(16) に代入して得られる振幅ゲインの式は使える。

参考文献[1] 新竹積、他, in Proceedings of the 27th Linear Accelerator
Meeting in Japan, Tokai, Japan, 2003, pp. 33-35, 2003.

[2] 磯山悟朗、加藤龍好,“第４世代光源 SASE”, 放射光,∂|a(τ )|/∂τ = −(4πρ)3 hcos{ψi (0) + φ(τ )+pp.163-174, 2001.
2[|a(τ )|/(4πρ)2 ] cos[ψi (0) + φ(τ ) − π/3]}iζi (τ )=ζ . (17)[3] R. Bonifacio et al., Riv. Nuovo Cimento 13, 9 (1990).

|a(τ )|/(4πρ)2 の関数として式 (17) を計算すると、|a(τopt )|/(4πρ)2 = 0.92 の時に最大値 (4πρ)3 /2 と [4] E.L. Saldin, E.A. Schneidmiller and M.V. Yurkov, in The
Physics of Free Electron Lasers, (Springer, Berlin, 2000),なることがわかる。計算では、ψi (0) + φ(τ ) の値がpp. 48–54.
2π に渡って一様であることを利用する。τopt は電子が最適にバンチされる時刻を表す。最適バンチ後、オーバーバンチによりゲインは減少する [7]。最適にバンチされた時の電場振幅は次のようになる。

[5] C.A. Brau, Free-Electron Lasers (Academic, San Diego,1990).

√|a(τopt )| = [|a(0)|/3]e2π 3τopt = 0.92(4πρ)2 (18)
これは、数値計算で求められた SASE ピーク電場 [3]の 80% の値である。
電子が最適にバンチングされるアンジュレーター
周期数 Nw は式 (18) から求められる。初期電場
強度 |a(0)| は式 (3) と共鳴波長単位での平均値
hcos[ψi (τ )]iζi (τ )=ζ の標準偏差を使って導くことができる。標準偏差は単位体積 λΣ に含まれている電子の数 Ne = ne λΣ を使って 1/(2Ne ) と表される [9]。ここで、Σ = λ[ZR + (Nw λw )2 /(12ZR )]/2 はアンジュ
レーター長に渡って平均化した実効的な放射光電場の面積、ZR は Rayleigh 長 [5]. 式 (1) より、電子ビー
2)/(e2 a2w F 2 ) となる
ム密度は ne = (16ρ3 γ03 ²0 mc2 kw
ので、初期振幅は |a(0)| = P ρ3/2 と求まる。ここで、q
P = 2.97 × 10−5 F aw γ0 λ/(2Σ)(1 + a2w )−1 . (19)[6] W.B. Colson, in Laser Handbook, edited by W.B. Colson,
C. Pellegrini, and A. Renieri (North Holland, Amsterdam,1990), Vol.6, pp. 115–193.
[7] Kwang-Je Kim, PRL 57, 1871 (1986); NIM A 250, 396(1986); Kwang-Je Kim and Ming Xie, NIM A 331, 359(1993);[8] N. Nishimori, R. Hajima, R. Nagai and E.J. Minehara,
NIM A 507, 79 (2003).
[9] C. Penman and B.W.J. McNeil, Opt. Comm. 90, 82(1992).
[10] N. Nishimori, R. Hajima, R. Nagai, and E.J. Minehara,
PRL 86, 5707 (2001).
[11] W.B. Colson, in Proceedings of the 23rd International
Free Electron Laser Conference (FEL2001), Darmstadt,Germany, 2001 (Elsevier, Amsterdam, 2002), p.II-67.

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