日文 教授用資料

Vol.05〇させるために、本格的な論証指導が始まる前に実践してきたものです。
「なぜ、面積が変わるのか」という疑問をもち、意欲的に取り組める授業です。
図１形を、図のように４枚の3タイルに分け、並びかえ5て新たな図形を考える。
（2）並 び か え た 図 ２ の 図 形と、もとの正方形との面

3333

図４

生徒は、図２の図形を二等辺三角形だと思って面積を計算しますが、あえて、二等辺三角形とは言わずにたときに「あれ、同じタイルを並びかえただけなのに、35なぜ面積が１だけ違うのかな」と発問し、生徒の課題5積が１だけ異なる理由を考える。
①図２の図形が本当に三角形かどうかを調べる。
②３点 A、D、B が同一直線上

図３

面積が 64 と 65 になり、異なることに疑問を持っ85下の図３、４のような図形を考えると予想されますが、「図２の図形」という表現に気を付けました。

積を比べる。

（3）図１の正方形と図２の図形の面55

図２②図２の面積 10×13÷2＝65単純な図形に並びかえさせます。生徒は、図２以外に、えさせました。

8①正方形の面積 8×8＝64布し、ハサミで４枚のタイルに切らせて、出来るだけ傾きに着目して解決させる都合上、図２に限定して考〇 「不思議なタイル」の授業の流れ（1）図１の１辺 8 cm の正方

この授業では、図１のような正方形の紙を各自に配Aの点かどうかを確認する。
8515BD の傾き＝ － ＝－E
D2635 58162
DA の傾き＝ － ＝－B
C365
③点 D は、直線 AB に対して、くぼんだ点か飛び出した点かを確認し、面積が１だけ増えた理由を説明する。
（4）証明の必要性を知る。
見たり、測ったりしただけでは本当に正しいかどうかはわからないので、筋道を立てて説明することが必要である。すなわち、証明が必要である。

意識を高めました。
課題解決に向けては、図２の図形を上下、左右に分けて面積を求めさせ、左右に分けたときに面積が図 1 と異なることより、つなぎの部分に問題があることに気付かせ、方眼上に図をかいて傾きを調べさせました。さらに、傾きの大小より、くぼんでいるのか、飛び出しているのかを判断させ、面積が左右それぞれ 0.5 ずつ大きくなり、全体で１増えていることの説明をさせました。
最後に、授業を振り返り、「最初は見ただけで二等辺三角形だと思ってしまいましたが、それは正しくなかったです。本当に正しいかどうかは、根拠に基づき、筋道立てて説明しなければなりませんでした。それが、これから勉強していく証明だと分かりました」と、証明の必要性を実感していました。

今回のテーマ 《 意味理解を大切にした指導 》

意味理解を大切にした指導で、より確かな資質・能力の定着へ
方程式を解くとき、なぜ、移項してもよいのですか
方程式の解き方で、x の項を移vol.04_1項して左辺に集めると決まっているからです。
○ 「なぜ」にこだわる意味理解
方程式の解き方が一通りできるようになった頃に「なぜ、移項してもいいのですか」「なぜ、移項すると符号が変わるのですか」と生徒に聞くと、「方程式を解くときの決まりだから」と何の疑いもなく、その手順だけを覚えていて、その意味や理由を説明することができない場合がよくあります。数学は、解き方を暗記し、それに沿って解けるようになればいいと思っている生徒が多くいます。そのような生徒は、少し条件が異なる問題が出るとまったく解けないといったことが起こります。一つ一つの解き方の手順に「なぜ」そうするのかといった疑問を持ち、その意味をしっかりと理解できるようにしておくことが大切です。
生徒が「なぜ」にこだわった学習ができるようになっていくと、自然と主体的な取り組みができ、それぞれの学習内容の意味や数学的な見方・考え方のよさも理解でき、数学への興味・関心も高まってきます。

楽しい数学の授業をめざして Vol.05
日文 教授用資料令和 4 年（2022年）12 月 1 日発行

た指導のあり方を紹介します。
①

文字式を用いることの意味理解
文字式の導入では、マッチ棒を正方形状に並べたり、碁石を正三角形や正方形状に並べて、マッチ棒の本数や碁石の数を、文字を使った式で表したりする場合が多いです。
碁石を正方形状に並べる場合、● ●……● ●●●……

「不思議なタイル」の授業は、証明の必要性を実感

授業実践を振り返って……

証明の必要性を実感させる授業例●●● ●……● ●１辺の碁石の数を a 個とすると、a 個 碁石の総数は、４×a－４という式で表すことができます。ここで、この式がどんな意味を持つかを、教科書の文章から読み取らせる活動をさせ、文字式の役割や意味を表したところに印を付けさせます。「すべての場合をまとめて１つの式で表している」「求め方を表している」「求めた結果を表している」等の意
味を読み取らせ、文字式は、これから学習する数学の中でとても重要な役割を果たすことを知らせます。
２年生で学習する整数の性質の証明において文字を使う際にも、文字式がすべての整数の場合についてまとめて１つの式で表しているので、文字を使って説明することで、すべての場合の説明ができたことを理解させることが可能になります。

今回は、意味理解を大切にした「なぜ」にこだわっhttps://www.nichibun-g.co.jp/
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元香川県公立中学校校長
元香川県中学校教育研究会
数学部会長
現在、初任者指導、大学非常勤講師、町教育アドバイザー

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たまき

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おさむ

修

②

方程式を解く際の移項の意味理解
５x ＝３x ＋６
５x －３x ＝６………①………②２x ＝６

また、２次方程式の解の意味は、これまでの方程式⑤

証明の必要性と意味理解⑥と同様ですが、２次式を２つの１次式にして解を求め２学年の図形学習において、本格的な証明を取り扱ることより、解が２つあることの意味についても理解うようになりますが、その意味や必要性を十分に理解できるようにします。

できないまま学習が進められ、結果的に証明が分からさらに、２次方程式の解の公式を使って方程式が解ない、証明が苦手という生徒が多くなってしまいます。

けるようになることの意味についても確認します。中そこで、図形指導の早い段階で、証明の意味やその必方 程 式 を 解 く 際 に、 式 ① か ら 式 ② へ の 変 形 で は学校になって学習してきた代数的な内容である正の要性を自覚できる機会を作るようにしてきました。

x の項を左辺に集めるために、３x を右辺から左辺に移項し、－３x となります。ここで「なぜ、３x を移項してもいいのですか」「なぜ、３x が－３x になるの数・負の数、文字式、平方根の全ての計算が使われて図形学習の最初の角と平行線では、証明という言葉います。すなわち、２次方程式の解の公式が、中学校を使わずに、筋道立てた説明を大切にします。すでにで学習する代数のゴールだと考えることもできます。

正しいと認められていることから新たなことを導き出生徒に、その価値や意味に気付かせることも大切です。

す過程を説明させ、徐々に証明を意識させていきます。

x ＝３ですか」と聞くことにしています。
このとき、移項という操作の意味を理解し、なぜ移項してもよいか、なぜ符号が変わるかを説明できる生徒はあまりいません。移項を初めて学習した際には、移項という操作は、等式の性質をもとに、両辺に同じ数をたしたり、両辺から同じ数をひいたりしても等式が成り立つことをもとに、その操作を簡単にしたものであり、結果的に符号を変えた項が反対の辺に残るという操作であると理解しているはずです。等式の性質や移項の意味をしっかりと理解させ、方程式を解く技能をより確かなものにしてもらいたいです。
③連立方程式、２次方程式の解き方の意味理解
１年生で、１元１次方程式を解くということは、移項によって ax ＝b の形の方程式に変形し、x の係数bが１になるように両辺を a で割って、x ＝－という解aを求めることだと理解させています。

④

日常事象の中のグラフの意味理解
兄は家から 1000m 離れている駅に向かって歩き、同時に妹は駅から家に向かって自転車に乗って行きました。途中、兄は家から 600m の所にあるコンビニで買い物をしました。
次の図は、兄が自宅を出てからの時間 x 分と、その道のり y m の関係と、妹の移動する様子を表したグラフです。

（コンビニ）
600（家）
0

兄51015x 分）
20 （１次関数の活用として、１次関数のグラフから、実vol.04_1６通りのうちの、１通りなので、1確率は − です。
6

さらに、すべての場合に成り立つことを説明するのが証明であるという意味を「三角形の内角の和は 180°いう意味ですか」と聞くと、「サイコロを６回投げると、である」ことの説明を通して理解できるようにしましそのうち１回は必ず１の目が出る」と答える生徒が多た。
「三角形の内角の和は 180°である」ことは、小学５1くいます。そこで、確率が － である意味を、改めて6年生で学習し、そこでは、観察、操作や実測などの活選択肢を示して考えさせます。

動を通して、３つの内角を集めて 180°であることを確かめてきました。中学２年生では、その活動を振り返りながら、「三角形の内角の和は 180°である」こと２つの説明を示します。

妹

サイコロを１回投げて、１の目が出る確率はいくらですか。

1
生徒は、迷わず － と答えますが、さらに、「サイコ61ロを１回投げて、１の目が出る確率が － とは、どう6の説明の方法を考えさせます。授業においては、次のy m）
（（駅）
1000

サイコロの目の出る確率の意味理解①６回投げると、そのうち１回は必ず１の目が出る。
②５回投げて、１の目が１回も出なければ、６回目には必ず１の目が出る。
③６回投げると、１から６までの目が必ず１回ずつ出る。

①３つの角の大きさをそれぞれA④ 30 回投げると、１の目は必ず５回出る。

測って、その和を求める。

70°⑤ 6000 回投げると、１の目はおよそ 1000 回出る。

∠Ａ＝70°∠Ｂ＝60°∠Ｃ＝50° B

60°50°∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°

Cる事柄の起こる回数の割合が一定の値に近づいていく
とき、その値をある事柄の起こる確率ということを思Ab ac②平行線を引き、１つの頂点い出させ、正解が⑤であることを判断できるようにしこの方程式を解くという意味をもとに、連立２元際の移動の様子を読み取る授業を行ってきました。ま

１次方程式の解き方を考えた場合、既習の１元１次方ず、グラフを見せ、グラフのそれぞれの部分がどのよ程式に帰着させるために、x と y の２つの文字のうち、うな意味を持つかを読み取らせます。兄の家からコン１つの文字を消去すればよいことに気づかせます。そビニまでの移動、コンビニでの買い物、コンビニからどんな三角形でも内角の和が 180°であることの証の方法として、加減法、代入法による解き方ができる駅までの移動、妹の駅から家までの移動、それぞれの明として①、②の説明でよいかどうかを考えさせます。

ようにしていきます。

状況がグラフのどの部分にあたるかを確認します。

①は形の異なるたくさんの三角形について同じようにに３つの内角を集めて 180°であることを説明する。

確率の導入時に行った、実際の多数回の試行で、あBbcC

２次方程式の解き方についても、２次式の次数を減

その後、兄役と妹役の生徒を決めて、黒板の左側を調べなければなりません。②は、三角形の形が変わっらして、既習の１元１次方程式に帰着させる方法を考家、途中にコンビニ、右側を駅として、実際にその動ても、いつも同じように考えることができます。したえさせます。その１つの方法が、因数分解によって１きを再現させました。兄と妹が出会う所、兄のコンビがって、①では証明したことにならず、②の説明が証

次式の積に変形し「ＡＢ＝０ならば、Ａ＝０またはＢニまでの速さと、コンビニからの速さの違いも意識さ明になることを理解させていきました。

＝０」であることを用いるものです。もう 1 つの方法

せ、グラフの交点や傾きの意味を理解させます。グラが、等式の変形により x 2＝k の形を導き、平方根の考フと実際の動きとが一致することで、１次関数のグラえを用いるものです。

フの意味をより確かなものにすることができます。

ます。実際にサイコロを多数回振ると、１～６のそれ1ぞれの目が出る回数の割合はどの目についても － に6近づいてきます。このように、統計的確率の意味を十分理解させた上で、さらに、起こりうるどの場合も同様に期待されるとき「同様に確からしい」ということを知り、この条件のとき、起こりうる場合の数を数えることによって、確率が求められるという数学的確率の意味を理解できるようにしていきます。
指導にあたっては、統計的確率や数学的確率という用語は使いませんが、双方の意味を関連付けて、求めた確率の意味を理解できるようにしてきました。