Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2018-2019Leçon 101 Groupe opérant sur un ensemble. Exemples etapplications.

1

à mettre dans le plan
1. Lien entre une action (à gauche) G × X → X, g 7→ g.x et le morphismede groupes associé : G → SX , g 7→ (x 7→ g.x).
2. Action de GLn (K) sur les formes quadratiques. Donner les orbites dansle cas de R, C, Fq (pour C, les orbites sont paramétrées par le rang, pourR par la signature et pour Fq par le discriminant et le rang ;3. Action de GLn (K) sur les formes vilinéaires alternées. Orbites caractériséees par le rang K de caractéristique 6= 2.
4. Action de GLn (K) sur les matrices nilpotentes n × n. Bijection entre
les orbites et les partitions de n (=réduction de Jordan).
5. Formule de Burnside pour compter le nombre d’orbites :# orbites =1 X g|X ||G| g∈Goù X g = {x ∈ X : g.x = x}. Exemples d’applications : compter lenombre de coloriages du cube.
6. Représentations des groupes finis sur C
7. Tout groupe fini se réalise comme un sous-groupe de Sn où n = |G|.
|G|
. Exemple : cardinal des matrices nilpotentes 2 × 2 sur Fq .
8. |G · x| = |Gx|

9. Action de PGLn (K) sur P1 (K). Exemples d’isomorphismes exceptionnels :GL2 (F2 ) ' S3 , PSL2 (F3 ) ' A4 , PSL2 (F4 ) ' PSL2 (F5 ) ' A5 .

10. Bijection entre les classes de conjugaison de Sn et les partitions de n(décomposition en produit de cycles à supports disjoints).

2Développements possibles

Développement 1 Les sous-groupes finis de SO3 (R).
cf. [2] ou [3, t. I]
1

Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2018-2019

Développement 2 (SU2 × SU2 / ± 1 ' SO4 (R)) Soit SU2 le groupe des matrices 2 × 2 complexes unitaires de déterminant 1. On a un isomorphisme degroupes :SU2 × SU2 / ± (I2 , I2 ) ' SO4 (R) .
En particulier le groupe SO4 (R)/Z n’est pas simple (Z est le centre (=±I4 )).
cf. [5, ] ou [6, ex. 12.56].
 a −b Remarques : on fait agir SU2 × SU2 sur H :=  : a, b ∈ C

b ale R− espace vectoriel des quaternions. Si M ∈ M2 (C), on note M ∗ :=t
M . Alors si q1 , q2 ∈ H, on remarque que q1 q2∗ + q2∗ q1 ∈ RI2 , on pose alorsq q ∗ +q ∗ q
hq1 , q2 i := 1 2 2 2 1 . C’est un produit scalaire sur H et hq, qi = dét q si q ∈ H.
On a donc une action de SU2 × SU2 qur H via :∀u, v ∈ SU2 , ∀ q ∈ H, (u, v).q := uqv −1 .

Cette action préserve le déterminant donc la norme euclidienne choisie surH. D’où un morphisme SU2 × SU2 → O4 (R). On peut admettre que SU2 est
connexe ; si demandé, il suffit de savoir trouver un chemin continu
qui relie∗g ∈ SU2 à I2 et pour cela, il suffit de diagonaliser : g = P eiθ0 0 e−iθpour un θ réel et une matrice unitaire P ; voici un chemin continu :t ∈ [0, 1] 7→ P ∗ itθe00−itθeP P ...

Pour la surjectivité, on peut à la place de l’argument de Vinberg qui fait
appel aux algèbres de Lie, utiliser cet argument plus élémentaire : commeles réflexions orthogonales engendrent O4 (R) et comme toute rotation est un
produit d’un nombre pair de réflexions, il suffit de montrer que le produit de2 réflexions orthogonales est dans l’image de SU2 × SU2 . Or l’application ru :H → H, q 7→ −uq ∗ u est une réflection orthogonale d’hyperplan l’orthogonal
de u. On vérifie facilement que si u, v ∈ SU2 , alors, ru ◦ rv : q 7→ uv ∗ qv ∗ u est
dans l’image de SU2 × SU2 car uv ∗ , v ∗ u ∈ SU2 ...
Développement 3 (Théorèmes de Sylow) Avec la démonstration du [5]où on commence par donner un p−Sylow de GLn (Fp ) puis on remarque que
tout groupe d’ordre n est isomorphe à un sous-groupe de Sn lui-même isomorphe à un sous-groupe de GLn (Fp ) et où l’on montre le lemme suivant :Lemme : si H ≤ G, si P est un p−Sylow de G, alors il existe g ∈ G telque gP g −1 ∩ H est un p−Sylow de H.
2

Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2018-2019

Développement 4 (Sous-groupes compacts de GLn (R)) Soit K ≤ GLn (R)un sous-groupe compact, alors G est conjugué à un sous-groupe de On (R).
Remarques : savoir démontrer facilement le cas fini en « moyennant »une
forme quadratique définie positive. Cf [1]Développement 5 Les automorphismes de Sn :Théorème 2.1 Tout automorphisme du groupe Sn est intérieur si n 6= 6.
cf. [5]. Savoir qu’il existe des automorphismes non intérieurs si n = 6.
Développement 6 Théorème de Wedderburn : tout corps fini est commutatif. cf. [4]Développement 7 La table des caractères de Sn est à coefficients entiers.
cf. [?].

3Exercices / questions possibles
1. Des exemples d’isomorphismes exceptionnels : PSL2 (F4 ) ' PSL2 (F5 ) 'A5 .
En effet : PSL2 (F4 ) agit sur P1 (F4 ) de cardinal 5 d’où un morphisme
PSL2 (F4 ) → S5 . On montre que c’est injectif et on remarque quel’image est d’indice 2 dans S5 . D’un autre côté : P SL2 (F5 ) agit surP1(F5) de cardinal 6 d’où un morphisme f : P SL2(F5) → S6. On
montre facilement que c’est injectif et que l’image est dans A6 (parexemple comme PSL2 (F5 ) est simple le noyau de  ◦ f : PSL2 (F5 ) →{±1} est tout le groupe !). On a donc un morphisme dont l’image dansA6 est d’indice 6 (il suffit de calculer le cardinal de PSL2 (F5 ) !). Doncc’est A5 .
2. Réaliser S3 comme un sous-groupe de GL2 (R).
Réponse : le groupe S3 agit (linéairement) sur le sous-espace de dimension 2 E = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 0} par permutation des coordonnées. On obtient un morphisme de groupes S3 → GL(E) ' GL2 (R)qui est clairement injectif ! Explicitement, si on prend pour base de E les vecteurs
v1 = (1, −1, 0) et v2 = (0, 1, −1) on obtient le morphisme suivant :(12) 7→−1101!
et (23) 7→3101−1!
.

Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2018-2019

3. (Si on parle de représentations des groupes finis) Quelles sont les représentations irréductibles de Z/dZ sur C ?
Réponse : si V est un C−espace vectoriel de dimension finie et si ρ :Z/dZ → GL(V ) est une représentation irréductible, alors les élémentsde ρ(Z/dZ) sont diagonalisables (car d’ordre fini !) et commutent 2
à 2 (car Z/dZ est abélien). Donc ces éléments sont simultanément
diagonalisables i.e. il existe une base de diagonalisation commune enparticulier il existe au moins un vecteur propre commun et donc comme
V est irréductible, ce vecteur engendre V et ρ est de dimension 1. Lesmorphismes de Z/dZ dans GL1 (C) = C∗ sont les applications k 7→e2iπkl/d pour un certain l = 0, ..., d − 1.
4. GL2 (Z/2Z) ' S3 ?
Réponse : oui. On peut par exemple faire agir GL2 (Z/2Z) sur les troiséléments non nuls de Z/2Z2 .
5. Quels sont à isomorphisme près les sous-groupes de SO2 (R) ? de O2 (R) ?
de SO3 (R) ? Montrer qu’un sous-groupe fini de SL2 (R) est cyclique.
Réponses : C∗ > S 1 ' SO2 (R), eit 7→ cos t − sin t  donc les soussin t cos tgroupes finis de SO2 (R) sont cycliques. Si G < O2 (R) est un sousgroupe fini, alors G ∩ SO2 (R) est distingué d’indice 1 ou 2 dans Get cyclique (car sous-groupe fini de SO2 (R). On en déduit facilement
que G est soit cyclique soit isomorphe à un groupe diédral. Pour lessous-groupes de SO3 (R) qui sont finis il faut aussi ajouter les groupesdu tétraèdre, du cube et du dodécaèdre (sous-entendu les sous-groupes
des rotations qui laissent stable l’ensemble des sommets d’un tétraèdre/cube/dodécaèdre régulier centré en 0) respectivement isomorphes
à A4 , S4 , A5

6. Montrer que g ∈ GLn (C) est diagonalisable si et seulement si sa classede conjugaison est fermé !
7. La table des caractères de Sn est réelle !
Réponse : en effet si σ ∈ Sn , σ est conjugué à σ −1 (même décompositionen produit de cycles à supports disjoints) donc χr (σ) = χr (σ −1 ) = χr (σ)
si r : Sn → GL(V ) est une représentation.
8. Si X est fini de cardinal ≥ 2, si G, groupe fini agit transitivement surX, alors il existe g ∈ G qui n’a pas de point fixe. Donner un contreexemple si G infini.
Réponse : d’après la formule de Burnside, la moyenne du nombre depoints fixes est 1 (une seule orbite !). Or le neutre de G a beaucoup4Préparation à l’agrégation

université Lyon I — 2018-2019

de points fixes ... Contre-exemple : SO3 (R) agit transitivement sur lasphère S 2 mais toute rotation 6= I3 a un axe donc deux points fixes surla sphère.
9. Combien y a-t-il de matrices nilpotentes 5 × 5 à coefficients réels, àconjugaison près ?
Réponse : d’après la forme réduite de Jordan des matrices nilpotentes,
il y en autant que de partitions de 5 i.e. 7.

10. Combien y a-t-il de matrices nilpotentes à coefficients dans Fq ?
Réponse : une matrice nilpotente non nulle est conjuguée à la matrice : 0

1 0 0.

Pour l’action de GL2 (Fq ) par conjugaison, le stabilisateur de cette matrice est le sous-groupe des matrices de la forme :

 a b 0 a

où a ∈ F×q et b ∈ Fq . Ce qui fait un sous-groupe d’ordre q(q − 1). Il y
|GL2 (Fq )|a donc q(q−1) = q 2 − 1 matrices nilpotentes non nulles ...

Références[1] Alessandrini. Thèmes de géométrie. Dunod.
[2] Combes. Algèbre et géométrie.
[3] Francinou, Gianella, and Nicolas. Oraux x-ens, algèbre 1. Cassini.
[4] X. Gourdon. Les maths en tête, algèbre. Ellipses.
[5] Daniel Perrin. Cours d’algèbre.
[6] E. B. Vinberg. A course in algebra, volume 56 of Graduate text in mathematics. American mathematical society, 2003.

5