過去の「シリーズ日本経済を考える」については、
財務総合政策研究所ホームページに掲載しています。
http://www.mof.go.jp/pri/research/special_report/index.html

シリーズ
日本経済を考える

金利リスク入門―デュレーション・DV01（デルタ、BPV）を中心に―
東京大学 公共政策大学院、財務総合政策研究所

105 服部 孝洋＊1１．はじめに金利リスクとは、金利が変動することにより国債の２．デュレーション
２.１

国債の金利と価格は逆の動き

連載
日本経済を
考える

価格が変化するリスクです。財務省は償還期限が 1 年

債券の初学者が最初に躓く点は、国債の金利と価格以内の短期国債に加え、2 年債から 40 年債まで様々

が逆の動きをする点です。日本政府は国債を発行する

な年限の国債を発行していますが、実は年限によってことで資金調達をしていますが、具体的には銀行や生その金利リスク量が異なります。国債の安定消化は国命保険会社などが国債を購入することで金融機関の有債の投資家である金融機関の状況に依存しますが、金する資金が政府に流れています。銀行や生命保険会社

融機関はリスク管理や金融規制の観点から、自らがとが積極的に国債に投資することは政府にとって資金調ることができるリスク量に上限があります。その意味達が容易になることを意味します。仮に多くの投資家

で、国債の安定消化を理解するうえで、国債の有するが国債を保有したいと考えた場合、国債の需要が増大

金利リスクがどの程度であるかを適切に理解しておくするので、国債の価格が上がります。一方、政府の側必要があります。

から見れば、多くの投資家が国債を保有したいと思う

これまで日本国債の金利リスクについては「ファイのであれば低い金利で資金調達をすることができまナンス」で様々な角度から取り上げてきました。本稿

す＊2。これが、価格と金利が逆の動きをするメカニズ

は金利リスクに絞ってその内容を深掘りすることを目ムの直感的な説明です。

的としています。具体的には金利リスクの基本である

この関係をもう少し厳密に考えてみます。例えば、デュレーションと DV01（デルタ、ベーシス・ポイン

読者がクーポンが 1% の 1 年国債に 100 円投資した場

ト・バリュー（Basis Point Value, BPV）
）について合を考えてみましょう（図 1 の左図参照）。この場合、取り上げますが、本稿では出来る限り日本国債におけ

1 年経過後、政府から金利が 1 円支払われると同時に、る実務の観点で、その内容について説明します。

投資した元本である 100 円も返済されます。100 円投資したものが 1 年後 100 円で戻ってきて、1 円の利子
（クーポン）がもらえるのですから、この投資に係る年間のリターン（利回り）は 1% になります＊3。
ここで、金利上昇と国債の価格の関係を考えるた＊1） 本稿の意見に係る部分は筆者の個人的見解であり、筆者の所属する組織の見解を表すものではありません。本稿の記述における誤りは全て筆者によるものです。また本稿は、本稿で紹介する論文の正確性について何ら保証するものではありません。本稿につき、コメントをくださった多くの方々に感謝申し上げます。
＊2） 逆に、投資家が国債を買いたいと思わなければ、国債の価格は下がり、政府は高い金利を付すことで投資家の購買意欲を高める必要があります。
＊3） ここではわかりやすさを重視するため、期中得られる利子の再投資は捨象しています。

54

ファイナンス2020 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 105

図1

金利上昇前後のキャッシュ・フローのイメージ（1 年債のケース）
利子収入が 1 円異なる。
1% 金利が上昇した場合、クーポン 1% の 1 年債の価格は 1 円低下。

① 1％利回りの国債のケース② 1％金利上昇したケース（2％の 1 年債のケース）

1 円の利子収入

2 円の利子収入

100 円

金利が 1% から
2% へ上昇1円
1 年目（満期）

100 円

2 円 100 円
1円
1 年目（満期）

100 円

め、仮に、読者が 1 年債に投資した直後に、1 年債の格が 99 円まで低下する必要が生まれます（つまり、金利（利回り）が 1% から 2% に上昇したとしましょ

1％金利上昇した場合、価格は 1 円低下します）。

いることを意味します。金融市場では同じ金融商品に

２.２

連載

う。これは市場には利回り 2% の 1 年国債が流通して金利リスクと契約の期間の関係

このように国債の価格と金利は逆の動きをしますが、から（これを一物一価の法則といいます）、先ほど読国債の投資家からすれば金利が動くことで保有してい者が保有した 1% のリターンを生む 1 年国債（年間 1る国債の価格が動くことから、金利の変動はいわば国円のクーポンを生む 1 年国債）は利回りが 2% になる

債の投資リスクとして認識されます。前述のように、ように価格が調整されなければなりません＊4。

このリスクを「金利リスク」といいますが、国債の金

それでは価格はどれくらい調節されるでしょうか。

利リスク量を測るうえで最も用いられる指標はデュ

利回り 2% の 1 年債に投資した場合、1 年後に 2 円をレーションと呼ばれるリスク指標です。そもそもデュ受け取れるので、2 円の利子収入が得られることが分レーションは期間を示す概念であり、期間がリスク量かります（図 1 の右図参照）。一方、以前投資したクーを示すといわれても最初はピンとこないかもしれませポン 1% の 1 年債が生み出す利子は 1 円にとどまり、ん。しかしよく考えれば、私たちが何か契約を結ぶ際、市場で取引されている 1 年債との利子の差は 1 円（＝長期にわたる固定契約を結んだ場合、仮に契約後に市

2 円－ 1 円）になることが分かります。もっとも、仮況が変わると、契約が固定されているため変化の影響に 1 円のクーポンを生み出す 1 年債であっても、（100を長期にわたり受けることがわかります。その意味で、円から価格が 1 円低下した）99 円で投資できるので長期の固定契約はそもそも環境変化に対して大きな影

あれば、投資家は（1）利子収入から 1 円得られるだ

響を受ける契約と解釈することができます。

けでなく、（2）価格の上昇で 1 円（1 年国債は満期でこのように考えると、年限の長い国債が高い金利リ

100 円で償還されます）の利益が得られますから、合スクを有することが直感的に理解できます。ほぼすべ計 2 円のリターンが得られます（つまり、クーポンての国債が固定のクーポンを支払う固定利付債である

1% をもたらす 1 年債を投資家が 99 円で投資できるのことを考えると、長い年限の国債を購入するとは、長であれば 2% の利回りの 1 年債と収益が均等化しまい期間、日本政府に固定金利で資金を貸すことですかす）。その意味で、当初 100 円で購入した 1% のクーら、まさに長期契約と解釈できます。例えば、10 年

ポンをもたらす国債が 2% のリターンを生むには、価国債を購入した場合、その時点で（満期まで保有した

日本経済を
考える

は同じリターンが付されるようプライシングされます＊4） このように現在の市場価格で評価することを時価評価といいます。
ファイナンス2020 Oct.

55

図 2 金利上昇時のキャッシュ・フローのイメージ（10 年債のケース）

利回り 1％の 10 年国債のキャッシュ・フロー

時価で評価した場合10 円分（10％）の価格低下

合計 10 円の利子収入

1円

1円

1 円＋100 円

1円
……

1 年目

2 年目

3 年目

10 年目（満期）

利回り 1％の 10 年国債が 1％金利上昇したケース
合計 20 円の利子収入
2円

2円

2 円＋100 円

2円

金利が 1％から
2％へ上昇

……
1 年目

2 年目

3 年目

10 年目（満期）

連載
日本経済を
考える

時の）投資のリターン（利回り）が 10 年にわたり固のクーポンの 10 年債が 2% のリターンを生むには、定されることになりますから、仮に 10 年金利が上昇

価格が 90 円まで低下する必要が生まれます。すなわ

した場合、その影響は 10 年間に及ぶことになります。

ち、10 年債の金利が 1% 上昇した場合、価格は 100 円

デュレーションの長い国債の金利リスクが大きい直感

から 90 円へ低下することになるわけです。

はここにあります。

1 年債の時とは異なり 10 年債のケースでは、同じ

このことを数値で確かめるため、ここで先ほど取り1% の金利上昇でも価格が 1 円から 10 円と 10 倍大き上げた 1 年債とは異なり、読者がクーポン 1% の 10 年く低下したことに読者は気づかれたと思いますが、年国債へ 100 円投資したケースを考えましょう。この場

限の長い国債を購入して金利が上昇した場合、その分合、10 年間毎年 1 円の金利を受け取りますから、図 2の下落率が大きくなる本質はここにあります。10 年の上図のとおり、10 年で合計 10 円の利子収入が得ら債の場合、投資した瞬間に 10 年間の収入が固定されれます 。仮にこの 10 年国債に投資した直後に 1% でるため、市場環境が変わった場合、長期にわたり影響あった 10 年金利が 2% へ上昇したとしましょう。先を受けるがゆえに価格が大きく調整される必要が生まほどの 1 年債の例と同じく 1% 上昇した場合、10 年債れるわけです。初学者が持つべきイメージは、国債のの価格はどれくらい調節されるでしょうか。

ような固定利付債の場合、デュレーションとは債券の＊5

利回り 2% の 10 年債に投資した場合、2 円を 10 年年限であり、年限は金利の変化に関する価格感応度

間受け取れるので、図 2 の下図のように、合計 20 円

（金利が動いた時、どのくらい価格が動くか）におおの利子収入が得られます＊6。一方、読者が保有していよそ一致するということです。この例からもわかる通る 10 年国債のクーポンレートは年率 1% であるため、り、仮に金利が 1% 動いた場合、1 年債の価格は 1%

合計 10 円の利子収入にとどまり、その収益差は 10 円

変化しますが、10 年債の価格はその 10 倍である 10%（＝ 20 円－ 10 円）となります。これに対して、例え変化するため、デュレーション（年限）の長い債券はば、クーポンが 1% の 10 年債であっても、（100 円か高い金利リスクを有するのです。

ら価格が 10 円低下した）90 円で投資できるのであれ
ば、投資家は（1）利子収入から 10 円得られるだけで２.３

なく、（2）価格の上昇で 10 円の利益が得られますか

金利感応度を把握することは金利が変化した際の損ら、合計 20 円の収入が得られます。その意味で、1%

益を把握することにつながります。例えば、読者が国＊5） ここではわかりやすさを重視するため、期中得られる利子の再投資は捨象しています。
＊6） ここではわかりやすさを重視するため、期中得られる利子の再投資は捨象しています。

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デュレーションの使用例

ファイナンス2020 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 105

図3
（年）
7

業態別でみた資産および負債の平均残存期間
大手行

（年）
7

地域銀行

（年）
7

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

0

0

－1

10 11 12 13 14 15 16 17 18（年度）－1

10 11 12 13 14 15 16 17 18（年度）期間ミスマッチ

貸出

債券

－1

信用金庫

運用超
調達超
10 11 12 13 14 15 16 17 18（年度）調達（注）1.「期間ミスマッチ」は資産と負債の平均残存期間の差。資産の平均残存期間は、貸出、債券、金利スワップ受分の加重平均値。負債の平均残存期間は、調達、金利
スワップ払分の加重平均値。
2. 2018 年度の計数は 2018 年 12 月末の値。
（資料）日本銀行

よそ 1,000 億円の日本国債を運用していたとします。

限）をみることが一案です。図 3 は日銀が作成してい実際の運用に当たっては金利が変化した場合に自分のる「金融システムレポート」の抜粋で、大手行、地域運用の損益がどうなるかを把握する必要があるのです

銀行、信用金庫の貸出や債券の平均年限（平均残存期

が、デュレーションを把握すればそれを簡易的に計算間）を示しています。例えば図 3 の左図は大手行の債することができます。例えば、読者が 1 年から 40 年

券の平均残存期間が示されていますが、おおむね上昇

まで様々な償還年限の国債を持つものの、もし平均的傾向であることが分かります。このことは地域銀行おな年限がおおよそ 5 年であれば、仮に 1% 金利が上昇

よび信用金庫も同様であり、日本の銀行は資産サイド

した場合、金利の変化の 5 倍だけ国債の価格が落ちるの金利リスクを概ね増加させていることがわかります。

ことになります。そのため、おおよそ 1,000 億円 ×5×

また、大手行に比べ信用金庫の方が平均残存期間が長

1% ＝ 50 億円の損失という形で、金利が上昇した時のく、金利リスク量は相対的に大きいと判断できます。

損失を簡易的に計算することができます 。
＊7

日本経済を
考える

握する場合、金融機関の有するデュレーション（年連載

債を運用している金融機関の運用担当者であり、おおもっとも、金融機関が有する金利リスク量を正確に仮にこの金融機関が長期債への投資を積極化するな把握するためには、金融機関が有する負債側の年限もどして、保有する国債の平均的な年限を 7 年に伸ばし把握する必要があります。実際、図 3 には調達サイド

たとします。平均 7 年であれば 1,000 億円 ×7×1% ＝（負債サイド）の年限に加え、期間ミスマッチも記載

70 億円が金利上昇時の損失となり、平均 5 年の場合されています。このように資産と負債のバランスで金に比べて損失額（リスク量）が増加します。反対に年利 リ ス ク の 管 理 を 行 う こ と を Asset Liability

限を 2 年に短縮すれば 1,000 億円 ×2×1% ＝ 20 億円のManagement（ALM）といいますが、ALM の概要に損失ですから、年限を長くするほど金利が上昇した場

ついては BOX 1 で説明します。

合の損失が大きくなることが確認できます。ここでは金利の上昇を例にしましたが、金利が低下した場合
は、その逆に利益を得ることができます＊8。このこと
からも、デュレーションを伸ばすことはリスクは高いですが、リターンも高くなりえることがわかります。
金融機関がどの程度金利リスクを取っているかを把＊7） 厳密にはコンベクシティがあるため、この計算は少し粗い推計になっています。ここではわかりやすさを重視するため、コンベクシティがないケースを想定しています。コンベクシティについては次回の論文で説明することを予定しています。
＊8） 例えば、保有している国債（1,000 億円）の年限が 5 年であり、金利が 1% 低下した場合、50 億円の利益が得られます。
ファイナンス2020 Oct.

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BOX 1 Asset Liablitity Management（ALM）とは
図 4 日本の生命保険会社における資産・負債デュレーションとデュレーション・ミスマッチ
（年）
16
14
12
10

（年）
10

デュレーション

8

負債デュレーション

6
4

資産デュレーション

2

8
6
04

デュレーション・ミスマッチ

06

08

10（年度）

0

04

06

08

（注）デュレーション・ミスマッチは負債デュレーションから資産デュレーションを引いたもの。集計対象は大手 9 社。
（出所）菅和・倉知・福田・西岡（2012）より抜粋。

10

（年度）

本文で述べたとおり、金融機関が有する金利リスク量を正確に把握するためには、資産側のデュレー
ションだけでなく、負債側のデュレーションも考える必要があります。資産側のデュレーションだけをみると、銀行は短い年限の資産を有する一方、生命保険会社は長い年限の資産を有しています。これだ
けをみると、生命保険会社の方が金利リスクを取っているように思われるかもしれません。
連載

しかし実は、この事実をもって生命保険会社の方が銀行より金利リスクを取っているということにはなりません。なぜなら、銀行は負債サイドの年限が短い一方、生命保険会社は負債サイドの年限が長く、金

日本経済を
考える

融機関は資産と負債の年限を合わせるようにリスク管理をしているからです。このようなリスク管理は、
資産と負債の有する金利リスクを管理することから、Asset Liablitity Management（ALM）といいます。
銀行の負債サイドの年限が短い理由は預金という形で資金を調達しているためです。逆に、生命保険会社
は例えば終身年金などを販売することで資金調達をしていますから、負債サイドの年限は長くなります。
資産サイドと負債サイドの年限がずれると、金利が変化した時にリスクが顕在化します。例えば、資産サイドの年限が短く、負債サイドの年限が長い生命保険会社の事例を考えます。この場合、仮に金利が低下すると、負債サイドは長期の契約を結んでいるため、金利が低下する以前の高い金利を調達コストとして支払い続ける必要がある一方、資産サイドは年限が短いため、仮に保有している債券が償還を迎えてしまうと、再投資する債券は低い金利で運用しなければなりません。金融機関は、このように金利が変化することに伴うリスクを管理するため、資産サイドと負債サイドの年限に大きな乖離が起こらないような運営をしています。実際、日本の生命保険会社はかつてこのリスクにさらされ、2000 年以降、資産と負債のデュレーションのマッチングを進めています（図 4 を参照）。
債務管理当局の観点でみれば、生命保険会社や銀行のバランスシートの規模やそれが有する金利リスクなどに応じて短期債と長期債の投資意欲が異なってくることを意味します。そのため、市場参加者との対話などを通じ、金融業界における銀行や生命保険の規模や調達構造を把握しておくことは、債務管理当局
がどのような年限の国債を発行するかを考えるうえで重要になるわけです。例えば、英国の債務管理当局
は各国に比べて年限の長い国債を発行していますが、その一因として、英国の年金において、リスク管理の観点で年限の長い国債のニーズが高いことが背景にあります（年金も生命保険会社と同様、年金という金融商品の性質上、遠い将来の支払いの約束をしているため、負債側のデュレーションが長いといえます）。
英国の事例については中対・村田（2018）が包括的に説明しているため、詳細は同論文をご参照ください。
ちなみに、財務省は財政投融資制度を活用して地方自治体や政府系金融機関に融資などの形で資金提供をしていますが、2000 年代の改革以降は財政投融資でも ALM に取り組んでいます。詳細は「財政投融資リポート」などをご参照ください。

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ファイナンス2020 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 105

３ デュレーションのフォーマルな定義
３ . １ 金利が変化した時の価格変化「率」（金利感応度）が動いた場合には価格変化はデュレーションから算出される値からずれる可能性があります。例えば、10年国債を保有しており、デュレーションを用いて金利の変化に伴う価格への影響を考えたい場合、1bps のここでフォーマルにデュレーションを定義しておき

金 利 変 化 で あ れ ば 正 確 に 計 算 で き る 一 方 で、1%ます。デュレーションとは金利が変化した時の価格変（100bps）という 100 倍の金利変化のリスク量を計算

化「率」（金利感応度）を指します。金利変化を∆ r、する際、1bps のリスク量の 100 倍と試算することは国債価格の変化を∆ P とすると、デュレーション（D）

少し粗い計算であるということです。実はデュレー

は下記のように定義できます。

ションの大きさは金利の水準に依存し、これを捉える

1
D ＝－
P

∆P
∆r

ここでマイナスがついている理由は、金利が上昇す
ると価格は下がるため、

1
P∆P
はマイナスの値に∆r

ラスの値になるように調整しているためです。

∆P＝－ D ∆ rP

ティについては次回のレポートで取り上げることを予定しています。

３.２

デュレーションと平均回収期間

図 5 は 2 年から 40 年国債の実際のデュレーションを示していますが、年限とほぼ同じであるものの、若干ずれていることが分かります。例えば 10 年国債のデュレーションを計算すると、直近の 10 年債の修正
デュレーションは 9.79 であり、10 よりわずかに小さくなります。

この関係式は金利の変化に対して国債の価格がどれこの理由として、国債のような固定利付債に関してくらい動くかを把握する式として実務的には非常に頻は金利感応度が「債券の平均回収期間」と密接な関係

繁に用いられます＊9。例えば、10 年国債の利回りがにあることが挙げられます。債券の平均回収期間と1bps（0.01%）動いた場合、価格はそのデュレーショ

は、最初投資した 100 円が平均してどのくらいの期間ンに比例して動きますから、デュレーションを 10 とで回収できるかを指しています。先ほどの例のようにすると、上記の式から－ D ∆ r ＝－ 10×1bps ＝（100クーポン 1% の 10 年国債に 100 円投資した際、毎年 1円当たり）△ 10 銭と価格変化が計算できます。20 年円を回収して、10 年目には金利と元本の合計 101 円

債の利回りが 3bps 動いた場合は、デュレーションをを回収することになります。たしかに、大部分の回収

20 とすると、－ D ∆ r ＝－ 20×3bps ＝（100 円当たは満期である 10 年目ですが、途中も 1 円ずつ回収しり）△ 60 銭という形で計算できます。価格の変化をているため、その平均的な回収期間は 10 に近いもの

利回りの変化に直したいときもありますが、上の関係の、10 年より若干短くなります。詳細は BOX 2 で数

式より∆ r ＝

1
D∆Pとなるため、価格変化率をデュP

レーションで割ることで利回りの変化に変換することができます。
気を付けるべき点はデュレーションの概念は微小の変化で定義されている点です。そのため、大きく金利

日本経済を
考える

上記の式を書き換えると、下記の関係を導出できます。

の概念は BOX 2 で若干ふれていますが、コンベクシ

連載

なることから、マイナスをつけてデュレーションがプものとしてコンベクシティという概念があります。こ式を使って説明しますが、固定利付債の金利感応度は債券の平均回収期間にほぼ一致することを示せます。
図 5 各年限の国債のデュレーション
2年
1.95

5年
4.83

10 年
9.79

20 年
19.04

30 年
27.25

40 年
35.67

注： 上 記 は 2020 年 8 月 時 点 で の 直 近 発 行 銘 柄（ カ レ ン ト 銘 柄 ） に つ い て
Bloomberg の値を用いています。

＊9） ハル（2008）は「この式の便利さが 1938 年に Macaulay が初めて使ったデュレーションがよく使われる尺度になった理由である」（p.93）と言及しています。筆者のこれまでの論文でも、例えば、服部（2020b）ではイールド・ボラティリティをプライス・ボラティリティに修正するのにデュレー
ションを掛け合わせることで調整しましたが、これもこの式に基づいて算出しています。
ファイナンス2020 Oct.

59

債券の回収期間に着目した金利リスク指標はMacaulay（1938）が提唱した概念であることから

図 6 デュレーションで想定している金利上昇
金利
イールドカーブ

マッコーレー・デュレーションと呼ばれることも少なくありません。
図 5 をみると、2 年債のように短い年限ではデュパラレルに金利上昇

レーションは年限である2に近い値をとっていますが、40 年債では 35.67 であり、年限と比較的大きく乖離

年限することが分かります。この理由は、一般的に年限が長 い国 債 ほ ど 高 い 金 利 が 付 さ れ る（ イー ル ド カ ー

連載

ブ＊10 の傾きが右肩上がりである）ことに加え、40 年

去のデータからボラティリティを計算したり、1% の債は年限が長く、途中の利払いが多いため、途中で回金利上昇など保守的なシナリオを想定します。特に、収されるキャッシュ・フローの割合が大きくなり平均金利が大きく変動したシナリオを考える場合は、コン

回収期間が短くなるためです。このロジックに鑑みれベクシティによる効果もあるため、単純にデュレー

ば、クーポンがない債券（いわゆるゼロ・クーポン債

ションに基づいた分析は不正確なものになる可能性が（割引債））は途中でキャッシュの回収がないため、年あります（前述のとおり、コンベクシティについては

限と平均回収期間は一致します（デュレーションと年次回詳細に説明します）。

限もほぼ一致しますが、詳細は BOX 3 を参照してく

日本経済を
考える

ださい）。もっとも、実際に取引されている割引債は日本については 1 年以下の短期国債など一部に限られ４．DV01（デルタ、BPV）
４.１

ます＊11。

DV01（デルタ、BPV）とは実際のリスク管理の現場では、デュレーションのよ３ . ３ デュレーションが想定している金利上昇のシナリオ

うな金利感応度をみたいわけではなく、実際に自分のポジションに対してどのくらいのリスク量を有してい

デュレーションを把握する上で大切な点は次の 2 点

るかを知りたいケースが少なくありません。例えば、です。まず 1 点目は、想定している金利上昇はすべて金融機関で運用を行う場合は、自分が取れるリスク量の年限の金利が等しく上昇している点です。これを示が制限されていることが多いことから、単なる金利感したのが図 6 で、イールドカーブが平行に動くことを

応度ではなく、自分の現在取っているリスク量（金想定しています（このような動きをパラレルシフトと額）そのものを把握する必要が出てきます。むろん、いいます）。もっとも、現実的にはイールドカーブがリスクを取らないとは何もしないことと同義なのでリパラレルにシフトするとは限らず、例えば、1 年～19

スクを取ること自体は問題ないのですが、大切なこと

年の金利は横ばいである一方、20 年債の金利のみ上はそれが適正なリスク量であるかを把握することで昇することもありえます。このようにカーブ全体の動す。

きではなく、特定の年限の金利上昇リスクを捉える概

例えば、銀行が国債を運用するうえで、金利リスク

念 と し て グ リ ッ ド・ ポ イ ン ト・ セ ン シ テ ィ ビ テ ィを取る必要はありますが、一方で銀行はビジネスをす（キー・レート・デュレーション）という考え方があるうえで株主から資金調達をしています。株主からのります（この概念は次回の論文で説明します）。

資金調達とはいわばリスクを取ってよいと考えている

2 点目は、デュレーションでは微小な金利変化に伴投資家から資金を調達することであるため、自己資本

う価格変化という思考実験をしている点です。実際のの一定割合にリスク量が収まる運用をしているなら金利上昇に基づいた分析が必要な場合、実務的には過ば、その金融機関は安全な運用をしていると解釈する＊10）イールドカーブとは横軸に年限、縦軸に金利を軸とした年限と金利を表現する曲線です。詳細は服部（2019）を参照してください。
＊11）日本高速道路保有・債務返済機構が財投機関債が利子一括払いの 40 年債を発行するなど、日本国債以外では長期の割引債が発行されることもあります。

60

ファイナンス2020 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 105

こともできます。このような観点から、銀行が有するルタ」という表現は非常に頻繁に用いられますが、筆者

自己資本に対してどの程度金利リスクをとっているか

は大学でオプションの概念としてデルタを勉強していたを金額で把握する必要がでてくるわけです。

ため、当初戸惑った覚えがあります。

国債を把握する上で最も典型的な金利リスク量は
DV01（Dollar Value of One Basis Point）
（
「ディー・

４.２

日本国債の DV01 の例

ブイ・オー・ワン」と読みます）です。DV01 は金利

図 7 は、財務省の「令和 2 年度国債発行計画」におが 1bps（＝ 0.01%）変化した時の価格の変化「量」

ける国債発行額について DV01 というリスク量から評を示します（デュレーションは金利が動いた時の価格価したものになります＊13。この図をみると、発行金額の変化「率」であったことに注意してください）。そとしては 2 年債が 33 兆円と最も多いですが、金利リのため、下記のように定義できます。

スクの供給量でみれば、10 年国債の DV01 が 291 億

DV01 ＝－∆P
×0.01%∆r

円＊14 であり、最も大きいことがわかります。実は今年度の国債発行計画においては割引短期国債が 82.5
兆円発行されていることから、金額でみれば短期債の∆Pで し た か ら、∆r

発行が最も大きいように思われます。ただし、割引短DV01 ＝ D×P×0.01% となります。仮に 10 年国債のが 45.6 兆円であるため、（割引債については年限がデュレーションを 9.8 とすれば、10 年国債を 1 億円保

デュレーションにほぼ一致することを使うと）82.5有していた場合の DV01 は D×P×0.01% ＝ 1 億円 ×9.8

兆円の割引短期国債の DV01 は 59.7 億円＊15 であり、×0.01% ＝ 9.8 万円となりますから、DV01 という観

割引短期国債の発行量は多いものの、2 年～40 年国債

点でみたこのポジションのリスクはおおよそ 10 万円に比べて金利リスク量の供給は抑えられていることがのリスク量であることが分かります。

分かります。

デュレーションはD＝－1
P

期国債の内訳は、1 年債が 36.9 兆円であり、6 か月債

別の表現を用いることが非常に多い点です。特に円債されており、自らが取得できるリスク量には限界があ

市場では、DV01を「デルタ」や「ベーシス・ポイン

ります。投資家のニーズに沿った発行を行うことは投ト・バリュー（BPV）」などと表現することも少なくあり資家の国債の購入意欲につながり、最終的に発行体に「デルタ」は円債市場で非常によく使われまません＊12。

とっては調達コストを抑えることにつながることを考えすが、そもそも「デルタ」とは教科書的に言えばオプ

ると、債務管理当局としては国債が有するリスクが年ションに関する概念であり、原資産が動いた時にオプ

限ごとで異なってくることを理解しておく必要がありま

ションの価格がどれくらい変化するかを指します。国債

す。

日本経済を
考える

金融機関は国際的な金融規制など様々な制約にさら連載

円債市場のややこしいところは、DV01を表すうえでの運用担当者は自らポジションを持っており、仮に金利が動いたらどの程度自分のポジションが動くかを金利リスク量として把握しています。そのため、金利（原資産）
が変化した時の資産価値（オプション価格）の変化という意味合いで「デルタ」という表現を使っているわけです（オプションの表現を使えば、債券を金利のデリ

図 7 2020 年度の国債発行額と金利リスク量
年間発行額
（兆円）
DV01
（億円）
先物
（枚数）

2年

5年

10 年

20 年

30 年

40 年

33

28.2

29.7

13.5

10.2

3

64

136

291

257

278

107

59,363

125,573

268,149

237,060

256,411

98,709

注：上記は 2 次補正後の国債発行量です。

バティブと解釈しているわけです）。円債市場では「デ＊12） 筆者の印象では、円債市場では、投資家の分類（外国人投資家、中央金融法人、地域金融機関等）や金融機関内での役割（トレーダーやセールス等）などによって大きく用語の使い方が異なります。違う表現を使っていても同じことを指していることが少なくない点に注意が必要です。
＊13） 国債発行額については財務省のウェブサイトを参照しています。先物 1 枚の DV01 は 10.84 万円としています。
＊14） 10 年国債 1 億円分の DV01 は 9.8 万円ですから、29.7 兆円の 10 年国債の DV01 は、その 29.7 万倍ですから 291 億円になります。ここでの DV01
は Bloomberg の値をベースにしています。
＊15） ここでは 6 か月の割引債のデュレーションを 0.5、1 年の割引債のデュレーションを 1 としたうえで、0.01% × 1 × 36.9 兆円＋ 0.01% × 0.5 ×
45.6 兆円という形で簡易的に計算しています。
ファイナンス2020 Oct.

61

４.３

国債先物で評価した金利リスク量なポジションであると解釈できます＊19。

次に、実務家は先物の枚数で金利リスク量を把握し財務省が発行する国債の発行量も先物の観点でリスていることが非常に多いことから、国債先物との比較

ク量を評価することができます。例えば、明日 10 年でみた国債のリスク量について考えてみます。まず実国債が 2 兆円発行されるとします。2 兆円分の 10 年国務家は 10 年国債 1 億円のリスク量が国債先物の 1 枚

債の DV01 は 19.6 億円程度ですが、先物の枚数に換分（想定元本 1 億円分）のリスク量とおおよそ同じで算するとおおよそ 1.8 万枚になります。いわば、このあると頭に入れています。日本国債10 年1億円のDV01

ケースの 10 年国債の発行量は先物でみて 1.8 万枚分

は前述のとおり 9.8 万円ですが、先物 1 枚をロングしのリスク（DV01）の供給量があると解釈できます。

、おおよそ 10 万円

図 7 には、今年度の国債の発行額および DV01 ととも程度であることが理解できます（この数値からもわかに、先物何枚分に相当する金利リスク量であるかも記

る 通 り、 厳 密 に は 先 物 1 枚 と 10 年 国 債 1 億 円 分 の載されています。

た時の DV01 は 10.84 万円であり

＊16

連載
日本経済を
考える

＊17
。例えば、10 年の国債を 1 億円
DV01 は異なります）

注意すべき点は、以上の議論はイールドカーブのパ分取得した場合、金利リスクを削減するために、それ

ラレルシフトを想定しているため、1 年から 10 年金を売却することでリスク量を落とすこともできます。

利はすべて同じように 1bps 上昇していると想定してもっとも、JGB トレーダー＊18 がマーケット・メイク

いる点です（DV01 はデュレーションと同様、パラレのために国債を在庫として保有した場合は売却するわ

ルシフトを想定しています）。先物は先ほどみたよう

けにいきません。そこで、先物を 1 枚売ることで△に 10 年 国 債 と ほ ぼ 同 じ DV01 を 有 し ま す が、 服 部

10.84 万円という金利リスク量を作り、自分が有して（2020a）で説明したとおり、先物の価格の動きはそいる 9.79 万円というリスク量と相殺することで、リの設計上、7 年国債と連動する仕組みがとられていま

スク量を落とすことができます。

す。そのため、10 年国債と（7 年国債と連動する）先服部（2020a）で強調したとおり、国債先物の重要物の価格が完全に同じ動きをするとは限りません。例

な役割はヘッジツールの提供ですから、国債市場のえば、10 年国債をロングし、先物のショートでヘッマーケット・メイクで先物が頻繁に用いられていまジしていたとします。仮に何らかの理由で、10 年国す。例えば、10 年国債の入札の結果、あるプライマ

債の価格は下がるものの、先物価格（7 年国債の価格）

リー・ディーラーが 1,000 億円の国債を在庫として保は横ばいであったとすると、先物によるヘッジは機能有したとしましょう。この場合、DV01 は 9,790 万円

しないことになります。このように国債を先物でヘッに な り ま す が、 国 債 先 物 を 903 枚 売 れ ば お お よ そジした場合、イールドカーブがパラレルにシフトする△ 9,790 万円の DV01 を作ることができるため、1,000とはかぎらないがゆえ、一定のリスクが残る点に注意

億円の国債を有するとともに 903 枚の先物を売ること＊20。
が必要です（これをベーシス・リスクといいます）

で、リスク量をゼロに近い状態にできます。これは金利リスク量という観点では、中立的（ニュートラル）＊16） この値は Bloomberg で算出した値です。国債先物の DV01 の考え方の詳細は服部（2020a）の BOX 4 を参照してください。
＊17） 国債先物の DV01 が 10 万円を超える理由については服部（2020a）の BOX4 を参照してください。
＊18） 証券会社のトレーダーは債券を在庫で持ちながら、顧客にプライスを提示することで流通市場を形成しています。トレーダーでなくディーラーという表現が使われることもあります。JGB トレーダーとは、債券の中でも日本国債を担当しているトレーダーを指します。
＊19） ちなみに、プライマリー・ディーラーは銀行や生命保険会社などの注文を集約して入札に参加しているため、仮に 1 兆円落札したとしてもその落札分の大部分は投資家が保有します。その意味で、仮に特定の業者の落札額が多かったとしても、実際には落札額分の金利リスクを取っているわけではあ
りません。

∆P
1 ∆ P CTD
× 0.01% ＝
× 0.01% になります（ここで P は先物価格、P CTD はチーペスト∆r
CF∆r∆ P CTD
1の価格、CF はコンバージョン・ファクターです）。
× 0.01% は 7 年国債の DV01 に相当します。しかし、先物のリスク量はこれに
を掛
∆r
CF
1
けた値になります。服部（2020a）で説明したとおり、現在、CF はおおよそ 0.7 前後になりますから、はおおよそ 1.4 程度の値になります。
CF
1
したがって、先物の変化自体は 7 年国債に連動しますが、先物価格の動きはで拡張されたような大きさで動く点に注意が必要です（その結果、CF先物の DV01 はおおよそ 10 年国債の DV01 に近い値になります）。

＊20） 服部（2020a）で説明したとおり、先物の DV01 は

62

ファイナンス2020 Oct.

シリーズ 日本経済を考える 105

ようにリスク管理を行っているかや、現在金融機関が５．おわりにどの程度リスク・テイクを行っているか等を把握する

本稿では、日本国債に係る金利リスクについてデュ必要があります。もっとも、金利リスク量を把握する

レーションや DV01 という観点で説明してきました。

うえでは他にも重要な概念が存在します。特に、コン

本稿で強調したとおり、国債の主な投資家である金融

ベクシティやグリッド・ポイント・センシティビティ

機関はリスク管理を行う必要があります。したがっという概念は重要性が高いため、次回はこれらの概念て、政府は安定的な国債消化のため、金融機関がどのを解説することを予定しています。

BOX 2 マッコーレー・デュレーションと修正デュレーション
１．数式を用いたデュレーションの定義
ここではマッコーレー・デュレーションと修正デュレーションの関係を考えます。まず毎年 c というクーポンが得られる 10 年国債を考えます。この場合、1 年目は c 円、2 年目は c 円と続き、最後にクーポ。一ンの c 円と元本の 100 円が得られます（実際のクーポンは年 2 回支払いですが簡略化しています＊21）
般的に資産価格は将来のキャッシュ・フローを割り引くことでプライシングがなされると想定しますが、連載

ここでも、国債のキャッシュ・フローを金利 r で割り引くことで、下記のように 10 年国債の価格が定まっているとします。

1
P
下記の関係式が導出できます。
デュレーションの定義は－

D ＝－

1
P

∂P
1
＝
∂r
P

1
1
＝
（1＋r） P∆Pでしたが、極限を取り、上記の式を r で微分して－ P で割ると、
∆r

日本経済を
考える

c
c
c ＋ 100
…（1）
＋
P＝
2 ＋…＋
（1 ＋ r） （1 ＋ r）
（1 ＋ r）10［1× （1 ＋ r） ＋ 2× （1 ＋ r） ＋…＋ 10×（1 ＋ r） ］cc2

c ＋ 100

3

11［1×（1 ＋ r）＋ 2×（1 ＋ r）＋…＋ 10×（1 ＋ r） ］…（2）cc2c ＋ 100

10

（※）

c
c
この式の（※）の部分をみると、例えば、1×は 1 年に（すなわち、クーポン c（1 ＋ r）P（1 ＋ r）Pccというの現在価値を P で割った値）というウェイトがかけられており、2×2 は 2 年に（1 ＋ r）P（1 ＋ r）2P
ウェイトがかけられていると解釈できます。そのため、（※）を年限について各キャッシュ・フローの現在価値で加重平均を取るような調整をしているとみれば、この部分は「平均回収期間」と解釈することができます。この（※）の部分をマッコーレー・デュレーション DMac と定義すれば、デュレーションとマッコーレー・デュレーションは下記のような関係で表現することができます。
D＝

DMac
1＋r

＊21） タックマン（2012）では年 2 回の利払いで定式化しているため、厳密な説明を知りたい方は同書を参照してください。また、ここではわかりやすさを重視するため 10 年債の事例を取り上げていますが、タックマン（2012）では T 年債という一般的な形でデュレーションを定義しています。
ファイナンス2020 Oct.

63

上記に鑑みると、平均回収期間に相当するマッコーレー・デュレーションを（1 ＋ r）で割ることで、微分で定義した厳密な金利感応度へ「修正」していると解釈できます。そのため、この修正されたデュ
レーションを「修正デュレーション」といいます。

２．注意点
マッコーレー・デュレーションに基づけば、債券の平均回収期間で金利感応度を把握できるため、実務的にわかりやすい概念ですが、この概念は基本的には固定利付債にのみ適用される点に注意が必要です。多くの日本国債のように固定利付債であれば、10 年債は「年限が 10 なのでおおむねデュレーショ
ンが 10 程度だ」と年限をベースに感応度を把握することができます＊22。しかし、クーポンが期中変動する変動債の場合、年限と金利感応度（デュレーション）は一致しません＊23。本文ではデュレーションを
－

1
P

∆P
、すなわち、債券一般に対して金利が変化した場合の価格感応度で定義しましたが、そもそ∆r

も期間の概念であるマッコーレー・デュレーションを（1 ＋ r）で割ることで金利の価格感応度として解釈できるのは、式（1）のような固定利付債を考えているからです＊24。
もっとも、円債市場の実務ではデュレーションといった場合、マッコーレー・デュレーションや修正
連載

デュレーションを指すことも多く、ほとんど区別せずに使われていることも少なくありません。これは、ほとんどの債券が固定利付債であることから、金利感応度と年限はおおよそ近い値になるため、厳密に

日本経済を
考える

区別しなければならないケースが少ないことに起因すると筆者は考えています＊25。
ちなみに、式（2）をみると、デュレーションは金利 r に依存することが分かります。仮に金利が低くなれば、式（2）におけるキャッシュ・フローを低く割り引くため、平均回収期間が長くなりますし、逆に金利が高くなると、式（2）におけるキャッシュ・フローを高く割り引くため、平均回収期間が短くなります。このようにデュレーションは金利水準にその大きさが依存するのですが、このことをコンベクシ
ティといいます。デュレーションが金利水準に依存することは非常に重要なポイントですが、コンベクシ
ティについては次回のレポートで詳細に説明する予定です。

BOX 3 割引債（ゼロ・クーポン債）のマッコーレー・デュレーションと修正デュレーション
本文で記載したとおり、マッコーレー・デュレーションは平均回収期間ですから、割引債の場合、途中でクーポンがなく、途中で回収する部分がないですから、マッコーレー・デュレーションは年限と一致します。先ほどの例でいえば、マッコーレー・デュレーションは 10 年国債の場合、
cc ＋ 100＋ 2×
2 ＋…＋ 10×
（1 ＋ r）（1 ＋ r）10

1
P［1×（1＋r）］でしたが、10 年の割引債の場合、期中のクーポンがないため、c＝ 0 とすれば下記が導出できます。
DMac ＝

1
P［10× （1 ＋ r） ］
100

10＊22） 現在は発行が停止されていますが、財務省はかつて 15 年変動利付国債を発行していました。
＊23） 例えば、10 年の変動債（クーポンは 6 か月円 LIBOR に連動）の場合、年限は 10 年ですが、デュレーションは 0.5 程度になります。
＊24） タックマン（2012）では、修正デュレーションは固定利付債におけるデュレーションの特殊なケースとして紹介しています。
＊25） タックマン（2012）は「マッコーレー・デュレーション D Mac は今日ではあまり使用されない」（p.123）と指摘しています。

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ファイナンス2020 Oct.

cシリーズ 日本経済を考える 105

100
そもそも割引債の価格は満期で 100 円になる債券を r で割り引いた値になるため、P ＝
10 とな（1 ＋ r）
ります。この式を上記の式に代入すれば下記が導出でき、10 年の割引債のマッコーレー・デュレーショ
ンが年限である 10 と一致することが確認できました。
DMac ＝ 10
また、マッコーレー・デュレーションと修正デュレーションの関係は D ＝ DMac（1/ ＋ r）でしたから、10 年の割引債の修正デュレーションは下記のようになり、年限を金利で修正していることが分かります。
D＝

10
1＋r

参考文献
．菅和聖・倉知善行・福田善之・西岡慎一（2012）「わが国生［1］
命保険会社のバランスシート構造と国債投資」日銀レビュー

2012-J-16

連載［2］．ブルース・タックマン（2012）「債券分析の理論と実践（改訂版）」東洋経済新報社．日本銀行（2019）「金融システムレポート」［3］．服部孝洋（2019）「イールドカーブ（金利の期間構造）の決［4］
定要因について―日本国債を中心とした学術論文のサーベイ―」ファイナンス 10 月号、41–52.
［5］．服部孝洋（2020a）「日本国債先物入門：基礎編」ファイナン
ス 1 月号、p.60–74.
［6］．服部孝洋（2020b）「国債先物オプション入門―オプション市
場からみた金利リスクについて―」ファイナンス 4 月号、

日本経済を
考える

p.38–42.

［7］．ジョン・ハル（2008）「フィナンシャルリスクマネジメント」
ピアソンエデュケーション．中対剛・村田大介（2018）「イギリスの平均償還年限とその［8］背景−国債の需要と供給両面からの分析−」PRI Discussion
Paper Series（No.18A-09）．Macaulay, F.（1938）The Movements of Interest［9］

Rates, Bond Yields and Stock Prices in the UnitedStates Since 1856. National Bureau of Economic
Research, New York.

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