在宅学習で高校受験対策

６．二次方程式の利用 ① 整数・規則性関係・その他【問１】ある数 x，y があり，x を２乗して 4 をひいた数は，y を３倍して 1 を加えた数と等しくなる。x と y の関係を等式で表しなさい。
（秋田県 2003 年度）【問２】
ある正の数 x を２乗して 5 を加えるところを，間違えて x を２倍して 5 を加えたので，正しい答えより 24 小さくなった。ある正の数 x を求めよ。
（京都府 2003 年度）
x＝【問３】
次の，先生とＡさん，Ｂさんの会話文を読んで，下の(1)，(2)に答えなさい。
（山口県 2003 年度）
先 生：

連続する３つの正の整数があります。一番小さい数と一番大きい数の積から真ん中の数の２倍をひくと 62 になっています。方程式を使って，この連続する３つの正の整数を求めてごらん。

Ａさん：

３つの正の整数のうち，真ん中の数を x として方程式をつくると(x－1)(x＋1)－2x＝62 となりました。

Ｂさん：

一番小さい数を x として方程式をつくることもできると思います。

先 生：

そうだね。どちらの方程式でも求めることができるんだよ。

(1) 下線部の方法で方程式をつくりなさい。

(2) 会話文で先生が問いかけている連続する３つの正の整数を求めなさい。

(1)
(2)

1=62，

，

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在宅学習で高校受験対策【問４】
図は，ある月のカレンダーである。この中のある数を x とする。x のすぐ真上の数と xの右どなりの数をかけたものは，x に 3 を加えた数を９倍したものに等しい。このとき，x日 月 火 水 木 金 土
１
２ ３ ４ ５ ６ ７ ８を求めなさい。

９ 10 11 12 13 14 15

ただし，x についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

16 17 18 19 20 21 22（佐賀県 2003 年度）

23 24 25 26 27 28 29
30 31

【問５】
ある数 x を２乗すると x より 2 大きくなります。このとき，ある数 x をすべて求めなさい。
（宮城県 2005 年度）【問６】ある正の整数 a を２乗してから３倍しなければならないのに，誤って３倍してから２乗したため，答えが 216 大きくなってしまった。このとき，a の値を求めなさい。
（茨城県 2005 年度）
a＝2

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在宅学習で高校受験対策【問７】
a，b，c の３つの正の数があり，これらは次の①，②の関係を満たしている。
① b は a より 12 大きく，c は a の２倍である。
② c の２乗から a の２乗を引くと，b の６倍になる。
このとき a，b，c の値を次のようにして求めた。 ア～クに適する数や式を答えなさい。
（島根県 2005 年度）（解答） a を x とするとき，b，c を x を用いて表すと,①より b はア，c はこれを用いると②は，(イイと表せる。
)2－x2＝6×(ア)と書け，これを整理すると，x2－2x－ ウ＝0 となり，これを解いて x＝エ， オであるが，a＞0 より a＝

よって，①より b＝キ，c＝コ （これは条件を満たす）

答 a＝カ，b＝キ，c＝カとなる。

クア

イウエオカキク【問８】
図は，整数 a，b，c，d，e の関係を表したものである。a に 4 をたすと b に，b を６倍すると c になる。また，a を２乗すると d に，d から 3 をひくと e になる。このとき，次の(1)～(3)の問いに答えなさい。
（高知県 2005 年度）(1) d を b の式で表せ。
(2) c が a の３倍に等しくなるとき，c の値を求めよ。
(3) a が正の数であるとき，c と e が等しくなるような a の値を求めよ。

3

⑴

d＝⑵

c＝

⑶

a＝

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在宅学習で高校受験対策【問９】
連続する３つの正の整数がある。まん中の数の２倍に 27 をたした数が，最も大きい数の２乗から最も小さい数の２倍をひいた数に等しい。このとき，連続する３つの整数を求めなさい。
ただし，方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。
（佐賀県 2005 年度）【問 10】
由美さんのクラスでは，調理実習でドーナツとカップケーキをつくることにした。主な材料は，それぞれ次のようになっていた。このとき，次のア，イの問いに答えなさい。

（宮崎県 2005 年度）
ア ドーナツをつくるとき，砂糖は小麦粉の重さの 25％の量を使う。ドーナツ１個あたりの砂糖の量は何 g ですか。
イ ドーナツとカップケーキをあわせて 80 個つくったら，小麦粉を 1420 g 使った。ドーナツを x 個，カップケーキを y 個として連立方程式をつくり，ドーナツとカップケーキの個数をそれぞれ求めなさい。（式と計算の過程も書きなさい。）

gア
式と計算

イ

答 ドーナツ4個，カップケーキ個

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在宅学習で高校受験対策【問 11】
一郎さんは，傾きの変わらない長い坂道で，ボールを足で押さえて立っていましたが，足をはなしたら，ボールが転がり始めました。ボールが転がり始めてから 3 秒後に，一郎さんがボールを追いかけ始めたところ，坂道の途中でボールに追いつきました。ボールは転がり始めてから t 秒間に

1 2
t m 進み，一郎さんは毎秒 4 m の速さで追いかけま3した。このとき，一郎さんがボールを追いかけ始めてから追いつくまでの時間を求めなさい。ただし，一郎さんがボールを追いかけ始めてから追いつくまでの時間を x 秒として方程式をつくり，それを解く過程も書きなさい。
（岩手県 2007 年度）

一郎さんがボールを追いかけ始めてから追いつくまでの時間を x 秒とする。

答秒【問 12】
a を自然数，b を素数とするとき，a2－16＝3b を満たす a，b の値の組をすべて求めなさい。求め方も書くこと。
（大阪府 前期 2007 年度）
求め方a，b の値の組

5

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在宅学習で高校受験対策【問 13】
2 けたの自然数がある。この自然数の一の位の数は十の位の数より 3 小さい。また，十の位の数の 2 乗は，もとの自然数より 15 小さい。もとの自然数の十の位の数を a として方程式をつくり，もとの自然数を求めなさい。
（栃木県 2009 年度）

答()【問 14】
ある正の数 x に 4 を加えて 2 乗するところを，誤って，x に 2 を加えて 4 倍したため，正しい答えより 29 小さくなった。この正の数 x を求めなさい。
（千葉県 2009 年度）
x＝6

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在宅学習で高校受験対策【問 15】
次の表は，1 から 50 までの連続する自然数を，上から下へ 5 つずつ，左から右へ，順に並べたものである。

明さんは，この表から「縦に並んだ連続する 3 つの自然数で，32＋42＝52 のように，小さい方の 2 数の 2 乗の和が，最も大きい数の 2 乗と等しくなる場合がある」ことを見つけた。次に，明さんは，表での 12，17，22 や24，29，34 などのような順に，横に並んだ 3 つの自然数に着目した。そして「横に並んだ 3 つの自然数で，小さい方の 2 数の 2 乗の和が，最も大きい数の 2 乗と等しくなる場合はあるだろうか」という疑問をもち，最も小さい数を x として，二次方程式をつくって考えることにした。
（長野県 2009 年度）(1) 横に並んだ 3 つの自然数のうち，最も大きい数を，x を用いた文字の式で表しなさい。

(2) x についての二次方程式をつくりなさい。

(3) 小さい方の 2 数の 2 乗の和が，最も大きい数の 2 乗と等しくなる横に並んだ 3 つの自然数を求め，左から小さい順に書きなさい。

(1)
(2)
(3)

7

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在宅学習で高校受験対策【問 16】
連続した 3 つの正の整数がある。最も小さい数とまん中の数の和の 3 倍は，最も大きい数の 2 乗より 64 小さくなる。最も小さい正の整数を x として二次方程式をつくり，それを解いて連続した 3 つの正の整数を求めよ。
（愛媛県 2009 年度）
解最も小さい正の整数を x とすると，答

8

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在宅学習で高校受験対策【問 17】
同じ大きさの玉を使い，【規則】①，②にしたがって，n 段重ねの立体をつくる。ただし，n は 2 以上の自然数とする。このとき，次の問１～問４に答えなさい。
（鹿児島県 2009 年度）【規則】① いちばん下の段には，縦横に n 個ずつの玉を，正方形の形にぴったりとつめて並べ，1 から順に自然数の番号を 1 つずつつける。たとえば，n＝3 のときは図 1 のようになる。
② 下の段において，縦横に 2 個ずつ隣り合って並んでいる 4 個の玉のすべての間に，玉を 1 個ずつ積み重ねて上の段をつくり，①と同じように 1 から順に自然数の番号を 1 つずつつける。この操作を，いちばん上の段の玉が 1 個になるまで続ける。たとえば，n＝3 のときは図 2 のようになる。

問１ 4 段重ねの立体をつくるには，全部で何個の玉が必要か。

図1

図2

問２ 6 段重ねの立体で，5 の倍数の番号のついた玉は全部で何個あるか。

問３ 図 2 の 3 段重ねの立体では，ちょうど 2 回使われる番号は 2，3，4 であり，それぞれ玉は，2 個ずつ全部で 6個ある。n 段重ねの立体で，ちょうど 2 回使われる番号のついた玉は，全部で何個あるか。n を用いて表せ。

問４ n 段重ねの立体をつくるとき，下から 2 段目まで積み重ねたところ，ちょうど 145 個の玉を必要とした。このとき，n の値を求めよ。ただし，n についての方程式と計算過程も書くこと。

問１個

問２個

問３個

問４

方程式と計算過程

答 n＝9

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在宅学習で高校受験対策【問 18】
大小 2 つの長方形の花だんがある。小さい花だんのまわりの長さは 28 m で，縦は横よりも短い。大きい花だんの縦と横の長さは，小さい花だんの縦と横の長さよりそれぞれ 2 m ずつ長い。大きい花だんの面積は，小さい花だんの面積の 2 倍より 13 m2 小さい。このとき，小さい花だんの縦の長さを求めなさい。求める過程も書きなさい。
（福島県 2010 年度）〔求める過程〕答 小さい花だんの縦の長さm【問 19】
ある正の数 x がある。x の 2 乗から 12 をひいた数は，x に 6 を加えて 2 倍した数に等しい。このとき，x の値を求めよ。x の値を求める過程も，式と計算を含めて書け。
（香川県 2010 年度）〔x の値を求める過程〕

答 x の値

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在宅学習で高校受験対策【問 20】
連続した 3 つの自然数があり，最も大きい数と 2 番目に大きい数の 2 つの数の積は，最も小さい数の 6 倍より 20大きくなった。
このとき，最も小さい自然数を x として，次の(1)，(2)の問いに答えなさい。
（佐賀県 後期 2011 年度）(1) 最も大きい数と 2 番目に大きい数を，それぞれ x を使って表しなさい。

(2) 3 つの自然数を求めなさい。ただし，x についての方程式をつくり，答えを求めるまでの過程も書きなさい。

最も大きい数(1)
2 番目に大きい数(2)11

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