１に収束する無限級数とその応用
Infinite series converging on 1 and its applicability
田尾 大和・北山 さくら・大谷 真太郎
Yamato Tao Sakura Kitayama Shintaro Ohtani
Ⅰ研究動機
無限個の数を足しているにもかかわらず、1 に限りなく近づいていくということに魅力を覚え、それに当てはまる数列の一般項を導こうと考えた。のちにさまざまな数に応用することができると期待しているため、１に収束させることにこだわっている。

Ⅱ研究目的①１に収束する無限級数の条件を満たす一般形の式を導くこと。

②

例外パターンをできるだけみつけること。

③１に収束する無限級数を応用すること。

Ⅲ研究内容① １に収束する無限級数の条件を満たす一般形の式を導く。
①-ⅰ 第一法則

𝒏→∞ 𝒏+𝒎𝑛

一般に、 𝑙𝑖𝑚𝒏無限数列の和が𝒍𝒊𝒎𝑛→∞ 𝑛+𝑚になる数列を作る。

が 1 に収束することが知られているので、和がこの形になるときの数列を導けばよい。

（ⅰ）ｍ＝1 のとき
𝑆1 =

12, 𝑆2 =23, 𝑆3 =314223, …となるには、
132243𝑎1 = , 𝑎2 = − , 𝑎3 = − , …であればよい。
1126∴ 𝑎1 = , 𝑎2 = , 𝑎3 =一般項{𝑎𝑘 } =1112, …となる。

が得られる。

𝑘(𝑘+1)（ⅱ）ｍ＝2 のとき
𝑆1 =

13, 𝑆2 =24, 𝑆3 =35, …となるには、

1213241354

13136

𝑎1 = , 𝑎2 = − , 𝑎3 = − , …であればよい。
∴ 𝑎1 = , 𝑎2 = , 𝑎3 =一般項{𝑎𝑘 } =102, …となる。となる。

(𝑘+1)(𝑘+2)(ⅲ)ｍ＝ｍのとき具体的な数値を複数代入して一般項を予想し、証明した結果一般項が得られた。よって、次式が導かれる。
∞∑𝑛=1

これを第一法則とする。

𝑚(𝑛+𝑚)(𝑛+𝑚−1)=1（ｍは自然数）

(以下証明)∞𝑚=1のとき、∑

𝑚=𝑘のとき、 ∑1𝑛=1 𝑛(𝑛+1)∞=1𝑘𝑛=1(𝑛+𝑘)(𝑛+𝑘−1)∞のときの、 ∑𝑚=𝑘+1

𝑛=1と仮定する。

=1(𝑘+1)(𝑛+𝑘+1)(𝑛+𝑘)を示せばよい。

=1𝑘𝑘𝑎𝑛 = (𝑛+𝑘)(𝑛+𝑘−1) とすると、𝑎𝑛+1 = (𝑛+1+𝑘)(𝑛+1+𝑘−1)である。
∞∑∞𝑛=1 𝑎𝑛+1 = ∑𝑛=1 𝑎𝑛 − 𝑎1 + 𝑎∞+1 = 1 −∞∑𝑛=1(𝑘+1)(𝑛+𝑘+1)(𝑛+𝑘)= ∑∞𝑛=1 𝑎𝑛+1 ×

𝑘+1𝑘=∞+0=𝑘𝑘+1×

𝑘+1𝑘𝑚∴数学的帰納法の定義より、∑

𝑛=1①-ⅱ𝑘𝑘(𝑘+1)(𝑛+𝑚)(𝑛+𝑚−1)

𝑘𝑘+1=1=1が成り立つ。

長方形を規則に従って分割し、面積を埋めていく方法で導く。

規則とは分母と分子の値の差を 1 に保ったまま、分母と分子を限りなく大きくしていくことである。
1（ⅰ）下図の操作を数列で表す。（初項は ）2

なお、図中の分数の割合で、残りの面積を分割していく。

3412

図１・・・

452311 2111 31111 41212 3323 48238 530, 𝑎3 =1⋅2⋅3⋅4①𝑎1 = , 𝑎2 = (1 − ) = , 𝑎3 = (1 − − ) = , 𝑎4 = (1 − − − ) =

②

𝑎1 =

③

𝑎1 = (1+1)! , 𝑎2 = (2+1)! , 𝑎3 = (3+1)! , 𝑎4 = (4+1)!

④∴𝑎𝑘 = (𝑘+1)! (= (𝑘+1)! )1⋅2, 𝑎2 =

2
1⋅2⋅3

1

2(𝑘+0)1!

𝑘𝑛⑤ 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛→∞𝑘=1𝑘(𝑘+1)!

=13, 𝑎4 =3

4

1⋅2⋅3⋅4⋅5
4

2（ⅱ）右下図の操作を数列で表す。
（初項は ）
3

①22 3

12

1 4

12

11 5

133 4

4

34 5

8

348 6

30

(1+1)2!

(2+1)2!

𝑎1 = , 𝑎2 = (1 − ) = , 𝑎3 = (1 − − ) = , 𝑎4 = (1 − − − ) =(3+1)2!

(4+1)2!

②𝑎1 = (1+2)! , 𝑎2 = (2+2)! , 𝑎3 = (3+2)! , 𝑎4 = (4+2)!

③∴𝑎𝑘 = (𝑘+2)!

(𝑘+1)2!

𝑛(𝑘+1)2!

④ 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛→∞𝑘=1(𝑘+2)!

=1𝟒𝟓𝟐
𝟑

図２・・・（ⅲ）初項を𝑚𝑚+1𝟑𝟒に変えて同様の操作を行う。
(𝑛+𝑚)−1

これは𝑎𝑛+1 = (1 − ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 ) (𝑛+𝑚) を𝑎𝑛 について解けば一般項が得られるが、複雑であるため、具体的な数値を複数代入して、一般項を予想し、数学的帰納法で証明をした結果、一般項が得られた。よって、次式が導かれる。
∞∑(𝑛+𝑚−1)𝑚!
(𝑛+𝑚)!

𝑛=1=1（ｍは非負整数）

これを第二法則とする。

（以下証明）∞

𝑛のとき、∑

𝑚=1𝑛=1(𝑛+1)!

∞(𝑛+𝑘−1)𝑘!のとき、 ∑𝑚=𝑘=1𝑛=1(𝑛+𝑘)!
∞𝑚=𝑘+1のときの、 ∑𝑛=1

𝑎𝑛 =(𝑛+𝑘−1)𝑘!
(𝑛+𝑘)!

=1と仮定する。

(𝑛+𝑘+1−1)(𝑘+1)!
(𝑛+𝑘+1)!とすると、𝑎𝑛+1 =(𝑛+1+𝑘−1)𝑘!
(𝑛+1+𝑘)!

∞∑∞𝑛=1 𝑎𝑛+1 = ∑𝑛=1 𝑎𝑛 − 𝑎1 + 𝑎∞+1 = 1 −∞∑𝑛=1(𝑛+𝑘+1−1)(𝑘+1)!
(𝑛+𝑘+1)!

=1= ∑∞
𝑛=1 𝑎𝑛+1 ×𝑘!

である。

𝑘⋅𝑘!
(𝑘+1)!

(𝑘+1)!

=を示せばよい。

+0=

1
𝑘+1

1𝑘+1× (𝑘 + 1) = 1

∞(𝑛+𝑚−1)𝑚!

∴数学的帰納法より、∑(𝑛+𝑚)!

𝑛=1=1が成り立つ。

（なお、ｍ＝０のときは計算した結果１になった。
）

①-ⅲ

𝒏第三法則
∞

𝑘𝑆𝑛 = ∑𝑘𝑘=1 (𝑛+1)

∞

𝑘=1 2

𝒌
𝒌=𝟏 𝟐𝒏→∞の 2 の部分を 3,4、…と変えていくことで導く。に値を代入し、収束の仕方を観察する。
∞

𝑘𝑆1 = ∑𝒌𝒍𝒊𝒎 ∑𝑘 = 2∞

𝑘𝑆𝑛 = ∑𝑘𝑘=1 (𝑛+1)𝑘3

𝑘=1 34𝑆2 = ∑=𝑛+1𝑛2𝑘 =∞𝑆3 = ∑𝑘𝑘
𝑘=1 4=49となると予想できる。

（以下証明）∞kS=∑(n+1)kk=1とする。S −1Sn+12=nSn+1を用いると、

3t2t−1st = (n+1)1 + (n+1)2 + (n+1)3 + ⋯ + (n+1)t1
s =n+1 t−)

1(n+1)2t+ (n+1)3 + ⋯ + (n+1)t + (n+1)t+1

𝑛1
111ts =+++ ⋯+−(n + 1)t (n + 1)t+1
n + 1 t (n + 1)1 (n + 1)2 (n + 1)3=
∴ lim

𝑛t→∞ n+111 𝑡{1−(𝑛+1) }n+11(1−)n+1

st =1n+11(1−)
n+1t− (n+1)t+11=n∴lim st =t→∞𝑛+1𝑛2（証明完了）
故に、１に収束する無限級数を考えると、𝑆𝑛 ⋅𝑛2𝑛+1=1となるゆえ次式が導かれる。
∞

∑𝒌𝒌 ⋅

𝒌=𝟏 (𝒏+𝟏)

𝒏𝟐𝒏+𝟏∞=∑𝒌=𝟏𝒌𝒏𝟐(𝒏+𝟏)𝒌+𝟏=𝟏

これを第三法則とする。

なお、無限等比級数の初項をr − 1、公比をrとしても１に収束する無限級数が得られるが、省略する。

②

例外パターンをできるだけみつける。

ゴールドバッハ・オイラーの定理というものを発見した。
累乗数𝑃を𝑠乗根したときに自然数となる自然数（𝑠は2以上の任意の自然数）と定義する。
さらに、自然数のなかで、P に該当する自然数を小さい順に𝑃1 , 𝑃2 , 𝑃3 , … , 𝑃𝑛 , …とおくと、∞∑1𝑛=1 𝑃𝑛−1③とあらわすことができる。

=1１に収束する無限級数を応用する。（一般化など）③-ⅰ

第一法則の応用第一法則の分母の項の差を変化させ、収束の仕方を観察する。
（ⅰ）差が１のとき（第一法則）∞∑
𝑛=1𝑚(𝑛+𝑚)(𝑛+𝑚−1)=1（ⅱ）差が２のとき∞𝑚すなわち ∑𝑛=1𝑚(𝑛+𝑚+1)(𝑛+𝑚−1)∞∑
𝑛=1のとき(𝑛+𝑚+1)(𝑛+𝑚−1)=𝑚2(𝑚1𝑛+𝑚−1−1𝑛+𝑚+1𝑚

112𝑚𝑚+2＝ {( −(𝑛+𝑚+1)(𝑛+𝑚−1))と部分分数分解できるゆえ)+(

＝ lim

1𝑚+1𝑚

𝑛→∞ 2𝒎𝟏

𝟏𝟐𝒎𝒎+𝟏＝ ( +1𝑚+311𝑚𝑚+1( +(＝)−) + ⋯+ (1𝑛+𝑚−112𝑚+1−1𝑛+𝑚+1)}

1－ 𝑛+𝑚 − 𝑛+𝑚+1))

2(𝑚+1)

この形に収束することがわかった。
(ⅲ）差が 3 のとき∞𝑚すなわち ∑𝑛=1𝑚(𝑛+𝑚+2)(𝑛+𝑚−1)∞∑
𝑛=1𝑚のとき(𝑛+𝑚+2)(𝑛+𝑚−1)=𝑚3(1𝑛+𝑚−1−

1𝑛+𝑚+2𝑚1

13𝑚𝑚+3＝ {( −(𝑛+𝑚+2)(𝑛+𝑚−1))と部分分数分解できるゆえ)+(＝ lim

1𝑚+1𝑚𝑛→∞ 3−

11𝑚𝑚+1( +𝒎𝟏𝟏𝟑𝒎𝒎+𝟏＝ ( +1𝑚+4+) + ⋯+ (+𝟏𝒎+𝟐

1𝑚+2)−(＝1𝑛+𝑚−11𝑛+𝑚−−

1𝑛+𝑚+2

1𝑛+𝑚+13𝑚2 +6𝑚+23(𝑚+1)(𝑚+2))−)}

1𝑛+𝑚+2)

この形に収束することがわかった。
差が 2 のときと比較すると、括弧外の分数の分母が２から３に変わり、括弧内の項数も２つから３つに変わった。
(ⅳ)差がｋのとき∞𝑚すなわち ∑のとき

(𝑛+𝑚+𝑘−1)(𝑛+𝑚−1)

𝑛=1

同様にして
∞𝑚

∑
𝑛=1𝑚11𝑘𝑚𝑚+1＝ ( +(𝑛+𝑚+𝑘−1)(𝑛+𝑚−1)+1𝑚+2𝑚+ ⋯+𝑘＝ (∑𝑘1𝑚+𝑘−11

𝑗=1 𝑚+𝑗̇ −1)) ・・・（*）

以上の過程から第一法則の分母の項の差を変化させたときに、その収束する値の予測をすることができるようになった。
∞

ちなみに、（*）の逆数を元の式∑

𝑛=1③-ⅱ𝑚にかけると、１に収束する無限級数が得られる。

(𝑛+𝑚+𝑘−1)(𝑛+𝑚−1)

第二法則の応用

第二法則を導く手順を式化したものである漸化式(𝒏+𝒎)−𝟏

𝒂𝒏+𝟏 = (𝟏 − ∑𝒏𝒌=𝟏 𝒂𝒌 ) (𝒏+𝒎)を変化させ、より一般化させる。
(𝑛+𝑚)−1(𝑛+𝑚)−1

ここで、𝑎𝑛+1 = (1 − ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 ) (𝑛+𝑚) という式はそれまでの項の総和を１からひいたものに (𝑛+𝑚) をかけるということである。図とこの式を変化させて、𝑎𝑛+1 = (1 − ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 )ℓ(𝑛+𝑚)−1ℓ(𝑛+𝑚)とし、さらに一般化させる。ちなみにℓ＝1のときが第二法則のm＝m + 1のときである。
(ⅰ)ℓ＝2のとき各項は11324𝑎2 ＝ ⋅𝑎1 ＝2115246𝑎3 = ⋅ ⋅規則性より111242(𝑛−1)𝑎𝑛 = ⋅ ⋅ ⋯⋅2𝑛−1 2𝑛−12𝑛１3２4= 𝑛2 ⋅𝑛!

ここで、初項を から に移して考える。各項は3𝑎1 ＝41𝑎2 ＝ ⋅54 6
1 1 7𝑎3 = ⋅ ⋅
468

図３…

12343456

規則性より111462𝑛𝑎𝑛 = ⋅ ⋅ ⋯⋅2𝑛+1=2(𝑛+1)

2𝑛+12𝑛 (𝑛+1)!

このように、初項を変化させていき、最終的に初項を2𝑚−12𝑚とし、𝑎𝑛+1 = (1 − ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 )2(𝑛+𝑚)−12(𝑛+𝑚)の一般項を考える。
2𝑚−1𝑎1 ＝2𝑚𝑎2 ＝2𝑚𝑎3 =2𝑚11⋅⋅

2𝑚+12(𝑚+1)

12(𝑚+1)⋅2𝑚+32(𝑚+2)

規則性より
𝑎𝑛 =

1

⋅2𝑚12(𝑚+1)⋅⋯12(𝑛+𝑚−2)⋅2(𝑛+𝑚−1)−1 {2(𝑛+𝑚−1)−1}(𝑚−1)!
2(𝑛+𝑚−1)=2𝑛 (𝑛+𝑚−1)!

(ⅱ)ℓ＝1 のとき
各項は
2𝑎1 ＝

315𝑎2 ＝ ⋅3 6
1 1 8𝑎3 = ⋅ ⋅
36

図４…

9

規則性より
111

363(𝑛−1)𝑎𝑛 = ⋅ ⋅ ⋯⋅3𝑛−1 3𝑛−1
3𝑛= 𝑛3 ⋅𝑛!
2

ここで、分母は３の倍数の積という規則性を保つために、初項を初めから に移して操作を行っている。
3

また、ℓ＝2のときと同様に初項を移していき、初項を3𝑚−13𝑚とし、ℓ＝3 のときの数列を考える。

各項は3𝑚−1𝑎1 ＝3𝑚𝑎2 ＝3𝑚𝑎3 =1⋅3𝑚+13(𝑚+1)

1
13𝑚 + 3⋅⋅3𝑚 3(𝑚 + 1) 3(𝑚 + 2)

規則性より
𝑎𝑛 =

13𝑚

⋅

13(𝑚+1)⋅⋯13(𝑛+𝑚−2)⋅3(𝑛+𝑚−1)−1 {3(𝑛+𝑚−1)−1}(𝑚−1)!
3(𝑛+𝑚−1)=3𝑛 (𝑛+𝑚−1)!

これをℓ＝2のときの最終段階の𝑎𝑛 と比較すると、分母、分子ともに２の部分が３に変わっている。

(ⅲ)ℓ＝ℓ のとき
具体的数値を代入したときと同様にすると、最終段階の𝑎𝑛 は{ℓ(𝑛 + 𝑚 − 1) − 1}(𝑚 − 1)!
ℓ𝑛 (𝑛 + 𝑚 − 1)!

𝑎𝑛 =となる。

この数列の無限級数は図５の面積が１の長方形を無限に埋めていくという意味を持つ。
故に、∑∞
n=1 a n = 1

𝑎3 = (1 − 𝑎1 − 𝑎2 )ℓ𝑚 − 1𝑎1 =ℓ𝑚]

𝑎2 = (1 − 𝑎1 ) ⋅ℓ(𝑚 + 2) − 1ℓ(𝑚 + 2)ℓ(𝑚 + 1) − 1ℓ(𝑚 + 1)

図５

Ⅳ結果
① ４つの１に収束する無限級数の条件を満たす一般形の式（法則）を導くことができた。
∞𝑚

∑
𝑛=1∞

∑
𝑛=1∞

∑

(𝑛+𝑚−1)𝑚!
(𝑛+𝑚)!
𝑛𝑚2

𝑛+1
𝑛=1 (𝑚+1)②=1（ｍは自然数）（第一法則）=1（ｍは非負整数）（第二法則）(𝑛+𝑚)(𝑛+𝑚−1)=1（ｍは自然数）（第三法則）

例外として、ゴールドバッハ・オイラーの定理を見つけた。

③ 第一法則の分母の項の差を変化させたときに、その収束する値の予測をすることができるようになった。
差が k のとき∞∑
𝑛=1𝑚𝑚𝑘= (∑(𝑛+𝑚+𝑘−1)(𝑛+𝑚−1)
𝑘1

𝑗=1 𝑚+𝑗̇ −1)

④ 第二法則をより一般化させることができた。
∞∑{ℓ(𝑛+𝑚−1)−1}(𝑚−1)!
ℓ𝑛 (𝑛+𝑚−1)!

𝑛=1

Ⅴ＝1

謝辞

今回の研究を行うにあたり、お世話になった先生方に、厚く御礼申し上げます。

Ⅵ

参考文献

数研出版

数B

数研出版

数Ⅲ

ＹＥＯ・エイドリアン著、久保儀明・蓮見亮訳（2008）『e と π の話』

青土社

Lluis Bibiloni, Pelegri Viader, and Jaume Paradis(2006) “On a series of Goldbach and Euler”pp.206-209〈https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/bibiloni206.pdf〉