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La rkassurance des G garanties plancher 1)descontrats en unit& de compte

Paul-Antoine

Darbelay

et FranckPinette249

1 Introduction
Les contrats en unites de compte connaissent un franc sucds depuis quatre ans sur lemarch6 francais. Dans ce type de contra& la prime de I’assure est investie dans desactifs financiers, par exemple un fonds d’investissement, et le risque de fluctuations
boursibes est laisse a I’assure. GCnCralement, ces contrats sont vendus avec une
garantie de&s.
Les types de garantie decks les plus repandus sur le march6 sont les suivants :lll

La garantie decks plancher qui assure au beneficiaire en cas de decks de l’assure
au moins la prime investie (ou la prime payee) et au plus la valeur de rachat. Cette
couverture est appelee “garantie plancher”. Dans la partie plus technique de cet
article, nous focaliserons notre analyse sur ce type de couverture.
La garantie d&es indexee qui assure au beneficiaire en cas de deck de l’assure aumoins la prime investie capitalike selon un taux (par ex. 3,5 %) et au plus lavaleur de rachat.
La garantie decks cliquet qui assure au beneficiaire en cas de decks de l’assure leplus haut tours historique de l’unite de compte de reference.

2 Les diffkentes formes de rkassurance
On distingue trois formes de reassurance:
La reassurance a la prime de risque; cette methode consiste a &assurer toutes lessemaines ou tous les mois la difference par assure entre la somme garantie en casde decks et la valeur de rachat lorsque celle-ci est inferieure a la garantie plancher.
On applique la probabilite de mortalite hebdomadaire ou mensuelle sur cettedifference. Cede methode est Cvidemment parfaite mais elle est tres contraignantepour la &dame et imphque une gestion sophistiquee.
La reassurance sur la provision mathematique; il s’agit dune methode globale oh
le reassureur va tarifer le risque decks en chargeant une prime bake sur laprovision mathematique ammelle. L’approche du reassureur est globale et sa
taritication est faite en fonction de l’age moyen et de la volatilite de l’actif sousjacent. L’inconvenient apparent de cette methode est qu’elle charge une prime&levee a la cedante quand le capital sous risque diminue (augmentation desreserves) et inversement.
La reassurance sur la prime originale; comme la deuxieme m&ode, il s’agit d’une
m&ode globale qui charge une prime de reassurance sur les primes pay&es par
I’assure. C’est sur cette demiere m&ode que nous allons porter notre attention.

250

PXtlVXRC--

3 Garantie plancher: le point de vue du rCassureur
Nous allons Ctudier le point de vue du reassureur concemant la tarification desgaranties plancher et plus specifiquement le risque dune telle garantie, la methode detarification, les hypotheses utilisees pour tarifer et les problemes qui y sont lies, puis
finalement nous aborderons le probleme du provisionnement de ces garanties
plancher.

3.1

Le risque

3.1.1

Assurances

vie traditionnelles

Rappelons que dans les assurancesvies traditionnelles, le risque financier est supporte
par l’assureur direct. L’assureur direct supporte le risque de mortalite et le risquefinancier. Le risque financier est generalement peu important, car les capitaux sontplutot investis dans des actifs relativement peu volatiles. La mortalite est un risquemaitrisable lorsque des statistiques fiables sont utilisees pour un portefeuille d’assuresrelativement important. Ainsi, pour un tel portefeuille d’assures, la loi des grands
nombres s’applique et il est possible de projeter le nombre futur de decks avec une
marge d’erreur faible.
3.1.2

Contrats

en unites de compte

En principe, dans les contrats en unites de compte, le risque financier est laisse aI’assure.Le risque financier provient des fluctuations boursieres des titres representant
le capital de l’assure.Cependant, lorsqu’une garantie plancher est accordee, ce principe
nest plus totalement vrai puisque cette garantie plancher correspond a un capital
minimum garanti en cas de deck. Cela signifie que si un assure de&de alors que lefonds est en dessous du capital minimum garanti, l’assureur doit compenser la par-tie
manquante. Nous voyons immediatement qu’il y a deux aspects, le c&e decks et letote financier. Comme nous l’avons deja vu, la mortalite est un risque maitrisable
alors que les fluctuations boursieres ne le sont pas. En realid, le risque financier est
difficilement maitrisable et peut se reveler trb important. La bourse est imprevisible
et des fluctuations annuelles de plus ou moins quarante pour-cent sont realistes. Ainsi
dans ce type de couverture, le risque de mortalite est i&me en comparaison aux
risques de fluctuations boursieres.
Remarquons encore qu’il existe un risque supplementaire: le risque systemique. Eneffet, les fluctuations boursieres vont se repercuter de maniere systemique sur tous lescontrats de ce type. I1 n’y a pas de compensation entre les differents contrats mais
plutot un curnul de risque. De plus, lors de fortes fluctuations boursieres les ressources
propres de l’assureur et du r&ssureur peuvent &tre mises a ma1 et ainsi reduire lacapacite a faire face aux engagements conclus.
Voyons plus precisement les fluctuations boursibres. Prenons l’exemple des actions
suisseset observons quelles peuvent &tre les fluctuations reelles entre 1926 et 1997.
Nous observons les taux de rendements total amruels, c’est-a-dire qu’il s’agit aussi bien251

des rendements directs (dividendes) que des augmentations ou diminutions de lavaleur de marche des actions pendant I’annCe consideree.

Nous constatons que les fluctuations sont tres importantes, les taux de rendement total
annuel se situent entre environ +60% et 40%.
Les contrats en unites de compte peuvent done subir des fluctuations importantes
comme le montre clairement ce graphique.

3.2

M6thodede tarikation

Calcul de la prime
Une solution pour tarifer ce genre de produit revient a combiner les probabilites dede&s et de survie (risque de mortalite) avec les produits derives (risque financier).
Nous pouvons alors utiliser la formule suivante:

3.2.1

PosonsPU = Prime unique nette technique de reassurance
qx = Probabilite de deceder entre l’age x et x+ 1,pX = Probabilite pour une personne d’bge x d’&treen vie a I’age x+iP, = Valeur actuelle du prix d’un put exercable au temps ii = Nombre d’annees de couverturen-lpu = C4,+APx . ?+I,=O252

--Explicitons brievement cette formule. Dans la premiere partie, la multiplication desprobabilites de survie et de d&es correspond a une assurancetemporaire au de& saris
facteur d’escompte (qui est deja compris dans le prix du put). Cela nous permet dedeterminer le nombre d’assuresou le pourcentage d’assuresdun groupe qui vont peut&tre devoir necessiter une compensation sur leur capital en cas de de&s pour obtenirla garantie plancher. Le prix de cette couverture etant dorme par le put, il suffit alorsde multiplier nos probabilites par le prix de ce put. Finalement pour obtenir la prime
unique nette de reassurance, il ne reste qu’a sommer sur le nombre d’armees decouverture donne.
Le prix d’un put europeen reprtsente pour I’acheteur, le droit et non l’obligation devendre un actif sous-jacent a un prix stipule a l’avance, le prix d’exercice, et a une datestipulee a l’avance, la date d’echtance du contrat d’option.
Mais voyons plus exactement comment obtenir le prix de ce put.

3.2.2

Moditlede Balck & Scholes

Nous pouvons utiliser le modele de Black & &holes et calculer le prix dun puteuropeen. La formule de base est la suivante:
Posonsr = le taux de rendement instantane
T = date d’echeance du contrat d’option
X = le prix d’exercice (la garantie plancher)
ST= prix de l’actif sous-jacent au temps T (variable aleatoire)

Explicitons bribvement cette formule. La difference entre le prix d’exercice et le prixde I’actif sous-jacent correspond a ce que doit couvrir le reassureur lorsque la valeur
de l’actif sous-jacent est inferieur a la garantie plancher (le prix d’exercice); c’est
pourquoi nous prenons le maximum entre cette difference et zero. Ensuite, nous
calculons I’esperance mathematique de ce maximum, pour obtenir la couverturemoyenne reassureeque nous escomptons grace au taux de rendement.
Le modele de Black & Scholes repose sur des hypotheses strictes. 11est interessantd’expliciter les hypotheses que nous faisons implicitement lorsque nous utilisons ce
modele pour Cvaluer une option ou realiser une strategic de couverture.
3.2.2.1 Les hypothtses
Black & Scholes supposent que le marche est efficient, que le taux d’interet est
constant et que le prix de l’option est fonction de l’actif sous-jacent, de sa duree, de sa
volatilite et du prix d’exercice. De plus, ils supposent que le prix de l’action suit tm
processus stochastique lognormal en temps continu.

253

Darts ce modble, il est possible de constituer une couverture parfaite c’est-a-dire sansrisque (achat d’actions et vente d’options de mar&e a ce que les gains et pertes desdeux se compensent toujours). Black & Scholes supposent qu’il est possible dereajuster cette position en tout temps, done de manitre continue, en fonction deEvolution du prix des actions afin qu’elle reste non risquee jusqu’a l’echeance del’option. 11s font done I’hypothbse que le marche est efficient (dam un marche
efficient, les prix refletent instantanement et sans biais toute l’information pertinente al’evaluation des actifs financiers; done le march6 utilise toute l’information et l’utilisecorrectement) sur lequel il n’existe pas d’opportunite d’arbitrage (l’arbitrage etant lapossibilite de faire un gain sans risque, par exemple en achetant un actif sur un marche
X pour le revendre immediatement plus cher sur un march6 Y en faisant un gain sansrisque).
Voyons maintenant les parametres utilises pour le calcul du prix dune option dans lemodele de Black & Scholes.
3.2.2.2

Les parumitres

Le prix dune option dans le modele de Black & Scholes depend des cinq parametressuivants:lllllPrix de I’actif sous-jacentPrix d’exercice (garantie plancher)
Taux hors risque
Duree
Volatilite de l’actif sous-jacent

Nous constatons que le prix de l’option ne depend pas du rendement de l’actif sousjacent, mais du taux hors risque. Cela provient des l’hypotheses utilisees dans lemodele de Black & Scholes puisqu’il est possible de constituer une couverture
parfaite, sans risque. Le modele ne depend ni du taux de rendement espere des actions,ni d’aucun autre parametre representant les preferences des agents. 11s’applique done
quelle que soit I’attitude face au risque des investisseurs.
Remarquons que le put est une fonction croissante du prix d’exercice (pour un callc’est I’inverse), qu’il est generalement (pas toujours, depend de la duree d’escompte)
une fonction croissante de la duree (pour un call c’est identique), qu’il est une fonction
decroissante du taux hors risque (pour un call c’est l’inverse), qu’il est une fonction
decroissante du prix de l’actif sous-jacent (pour un call c’est l’inverse) et tinalement
une fonction croissante de la volatilite (pour un call c’est identique).

254

3.3

Les probEmes

de tarification

Quelle est la validite des hypotheses du modele de Black & &holes dans un contexted’assurance?
La duree de couverture et la volatilite a utiliser sont certainement les parametres lesplus discutables dans le domaine de l’assurance.
En effet, le modble de Black & Scholes est normalement utiiist sur des durees courtes(2, 3, 6 mois) mais pas sur des durees de plusieurs annees comme il faut le faire dansl’assurance vie. En effet, comme les conditions du marche changent sans cesse,
l’attente de l’evolution des marches se pratique en general sur des periodes courtes etpas sur un nombre important d’annees. Ainsi, les parametres utilises dans le modele
changent a travers le temps dormant Cvidemment une toute autre evaluation du prixde l’option.
Concernant la volatilite, nous percevons dans ie contexte actuel plutot une croissancede la volatilite des actifs. En effet, comme nous l’avons remarque dans le graphique detaux de rendement total des actions suissesentre 1926 et 1997, les fluctuations sont deplus en plus importantes ces demieres a&es. Quelle volatilite devons-nous alorsutiliser sur des periodes relativement longues ?
Remarquons encore que dans le modele des options europeennes nous supposons que
les actions ne donnent pas de dividendes et qu’il y a done une capitalisation implicite.
Cependant dam la realite l’assureur preleve en general des frais et la totalite desdividendes nest done pas reinvestie. Cela tree done un biais.
Face a ces differents problemes, il est toujours interessant de comparer le resultat
obtenu par le modele de Black & Scholes avec des methodes plus pragmatiquescomme la perte maximale probable ou une perte moyenne (jug&e realiste) probable ou,
tout simplement, avec le resultat obtenu en utilisant sa propre attente des fluctuations
du marche.

3.4

Le provisionnement

I1 sufftt de se rattacher a la formule traditionnelle des provisions mathematiques. Ici
nous presentons la formule prospective.
La valeur actuelle des prestations futures represente la valeur actuelle des prestations
dues au client lorsqu’il d&de alors que le fonds a une valeur inferieure au capital
minimum garanti.
Provision mathematique=Valeur actuelle des prestations futures
Valeur actuelle des primes futures

2.55

Si nous reutilisons la prime unique technique de rCassurancepresentee auparavant,nous avons alors la formule suivante:
Provision mathematique au temps t=
Valeur actuelle au temps t des prestations futures=n-r-,

C9X+f+l.1Px+1.&I
r=cl
11s’agit en fait de recalculer chaque annee, la nouvelle valeur actuelle des prestations
futures. 11faut done utiliser les nouvelles donnees du march6 et refaire le calcul de laprime unique technique.
Voyons maintenant plus en detail les parametres qui peuvent changer annuellement.
Le prix de I’actif sous-jacent va, Cvidemment, varier chaque an&e de m&me que letaux hors risque et la d&e. La volatilite peut etre reajustee chaque annee par rapport
aux donnees empiriques. 11n’y a finalement que le prix d’exercicequi ne varie pas.
Evidement, ces changements dans les parametres du modele de Black & Scholes
peuvent entrainer des fluctuations importantes darts Yevaluation des provisions
mathematiques annuelles.

4 Conclusion
Nous avons brievement demontre comment reassurer et comment provisiomrer lesgaranties plancher des contrats en unites de compte. Nous avons constate que ces
methodes reposent sur des hypotheses strictes. De plus, le changement de ces
hypotheses engendre de grandes differences dans les resultats obtenus.
Toute la methode de tarification repose sur le modele de Black & Scholes et done surles produits derives. Cela signifie que le reassureur vend un put avec une attente dumarche boursier a la hausse ou a la stagnation alors que la cedante achete un put pourse premunir contre la baisse du marche. Chaque intervenant ayant une vue differente
du marche.
Dans ce type de contrat, il s’agit done d’estimer avec le plus de vraisemblance possible
les parametres utilises. Cependant, comme nous l’avons vu, nous nous heurtons au
problbme dune duree de couverture longue en assurance vie. Cela implique quel’evaluation des parambtres utilises dans la tarification dun tel risque ne peut pas tenir
compte de l’evolution exacte de la realite du marche. La realite du marche sera
toujours differente de ce que nous pouvons imaginer aujourd’hui. De plus dans ce typede contrat, l’effet de levier est important et pour dormer un ordre de grandeur une
prime de rCassurancede 1 pourrait correspondre a un risque total de 40.
La couverture de reassurance comporte une composante tinanciere importante puisquel’intervention du rtassureur depend Cvidemment de la mortalite (il faut qu’un assure256

--dedde pour que le reassureur intervienne, mais comme nous l’avons vu la mortalite
est maitrisable: nous pouvons facilement projeter la mortalite dun portefeuilled’assures suffisamment important) mais depend surtout de la situation du marcheboursier au moment du de&. C’est veritablement la situation du marche boursier qui
va determiner l’intervention du reassureur. Hors, les fluctuations du marche sontaleatoires et le risque est systemique.
En tant que reassureur, il est primordial de se fixer des limites de pertes possibles a nepas depasserpuisque le risque est systemique. Ainsi, si le reassureur fixe clairement lemontant maximum (somme des risques totaux de tous les contrats) qu’il est pr&t a
couvrir, cela lui permettra d’etre en tout temps capable de faire face a ces
engagements.

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