Sous-espaces caractéristiques et Jordan
vs. Sous-espaces cycliques et facteurs invariants
1

Introduction

Un but de la réduction des endomorphismes est de trouver un représentant
privilégié dans chaque classe de similitude de Mn (k). Il faut également êtrecapable étant donnée une matrice A de calculer le représentant dans la classede A. Enfin, les représentants choisis doivent être aussi simple que possible,
on doit pouvoir répondre à « toute » question naïve à leur sujet. L’idée étant
que pour étudier finement un endomorphisme, on calcule son représentant eton montre la propriété cherchée sur ce représentant.
Ces buts peuvent être atteints de deux manières différentes ; chacune
d’entre elles présente des avantages et des inconvénients. Ici, nous présentons ces deux approches. Nous expliquons ensuite comment passer de l’uneà l’autre et essayons de dégager les avantages de l’une et de l’autre des méthodes.

2

Théorème de Jordan

2.1
Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Le théorème de Jordan est
le suivant :Théorème 1 (Jordan) Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme
caractéristique est scindé.
Alors, il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale
par blocs carrés du type


λ 1


... ...
Jλ,l =  l,..

. 1 λoù λ ∈ k.

1

De plus, l’ensemble (avec multiplicités) des couples (λ, l) tels que Jλ,lapparaît ainsi ne dépend que de u et pas de la base.
Une matrice diagonale par blocs du type Jλ,l est appelé matrice de Jordan.

2.2

Existence

Nous donnons ici les grandes lignes de la démonstration de l’existence :Étape 1 : Réduction au cas nilpotent
Grâce au théorème de décomposition des noyaux et à celui de
Cayley-Hamilton on montre que E est la somme directe des sous-espaces
caractéristiques de u. Cette décomposition est stable par u, il suffit donc
de montrer l’existence dans le cas où u a un seul sous-espace caractéristique
c’est-à-dire u = λId + n, avec n nilpotente. Il suffit alors, de traiter le casoù u est nilpotente.
Étape 2 : Le cas nilpotent
La démonstration se fait par récurrence sur la dimension de E.
Supposons que us = 0 et us−1 6= 0. Soit x dans E tel que us−1 (x) 6= 0.
Alors, la famille F = (us−1 (x), · · · , u(x), x) est libre, et le sous-espace F engendré par F est stable par u. De plus, la matrice de la restriction de u à Fdans la base F est J0,s .
Pour pouvoir appliquer l’hypothèse de récurrence, il suffit maintenant detrouver un supplémentaire à F stable par u.
Comme us−1 6= 0, il existe ϕ ∈ E ∗ tel queϕ(us−1 (x)) 6= 0.

(1)

Soit G0 le sous-espace de E ∗ engendré par les t ui (ϕ). D’après (1), t us−1 (ϕ) 6=
0. De plus, (t u)s = t (us ) = 0. On en déduit (t us−1 (ϕ), · · · , ϕ) est une basede G0 et que G0 est stable par t u.
Mais alors, l’orthogonal de G0 est stable par u et a la dimension d’unsupplémentaire de F . Il nous reste donc à montrer que cet orthogonal est en
somme directeavec F .
Ps−1
Soit y = i=0 ai ui (x) ∈ F . Supposons que y est dans l’orthogonal de G0
et montrons que y est nul. Si ce n’est pas le cas notons i l’indice minimaltel que ai 6= 0. On a : 0 = t us−1−i (ϕ)(y) = ai ϕ(us−1 (x)). Mais alors, lacondition (1) montre que ai = 0. Contradiction.
2

2.3

Unicité

La démonstration de l’unicité que nous esquissons ci-dessous est aussi unmoyen de calculer une matrice de Jordan à laquelle est semblable une matrice donnée.
Supposons que u a une matrice de Jordan M dans une certaine base deE. On va expliquer que l’on peut décrire les blocs de M en ne parlant quede u : cela montrera bien l’unicité !
On remarque tout d’abord que l’ensemble des λ qui apparaissent est lespectre de u. Fixons λ dans le spectre de u et considérons la suite : d0 = 0,
di = dim(Ker(u − λId)i ). On vérifie que si u est un Jλ,l (dans une base) cettesuite augmente de 1 en 1 jusqu’à atteindre la valeur l puis stationne. On en
déduit alors que di − di−1 est le nombre de blocs Jλ,l de M vérifiant l ≥ i.
Posons δi = di − di−1 . Notons l1 ≥ l2 ≥ · · · ≥ lr , la suite ordonnée des tailles
des blocs Jλ,l de M . On remarque alors que li est le nombre de δj supérieurs
à i. Nous avons bien exprimé les l tels que Jλ,l apparaît dans M en fonction
des dim(Ker(u − λId)i ).

2.4

Calcul de la matrice de Jordan d’un endomorphismeUne question naturelle est maintenant : Étant donnée une matrice A explicite, comment calculer une matrice de Jordan J à laquelle elle est semblable et comment calculer une matrice de passage P ?
Ces deux questions qui se ressemblent sont en fait très différentes. Pour lecomprendre, on peut regarder le cas d’une matrice A diagonalisable à valeurs
propres distinctes. Dès que l’on a scindé le polynôme caractéristique de A,
on sait à quelle matrice diagonale A est semblable. Trouver une matrice depassage revient à trouver une base constituée de vecteurs propres et revient
donc à résoudre autant de systèmes linéaires qu’il y a de valeurs propres.
Dans les deux cas, il faut commencer par calculer puis scinder le polynôme
caractéristique de A. Pour chaque valeur propre λ, on calcule alors la suitedes sous-espaces Ker(A − λIn )i .
Pour répondre à la première question, on a presque terminé puisque l’onpeut alors facilement calculer les δi de la section précédente, puis les li as3

sociés. Autrement dit, on refait de manière explicite la démonstration del’unicité pour calculer J.
En revanche, pour trouver une matrice de passage, on refait explicitementla démonstration de l’existence.
Exemple.

Calculer la réduite de Jordan et une base de Jordan pour
0 −1
2 −2 −1
 0
0
0
0
0 


.
0
1
0
0
0
A := 


 0
1
0
0
0 
0
1 −1
1
0

On vérifie que
0 −1 1 −1 0
 0
0 0
0 0 


2

0 0
0 0 
A = 0
,
 0
0 0
0 0 
0
0 0
0 0
A3 = 0 et que le rang de A vaut 3. Donc, la suite des dimensions des noyaux
des puissances de A vaut 0 < 2 < 4 < 5. Les différences de telles dimensions
successives valent 2 ≥ 2 ≥ 1. On en déduit que A est semblable à la matrice:
0 1 0 0 0
 0 0 1 0 0 
B := 
 0 0 0 0 0 .
 0 0 0 0 1 
0 0 0 0 0
Cherchons maintenant une base dans laquelle l’endomorphisme associéà A a B pour matrice. On commence par choisir un vecteur qui n’est pas
dans le noyau de A2 . On prend un vecteur de la base canonique poursimplifier les calculs ! Posons
 


 
0
2
1
 0 
 0 
 0 
 


 
2

 0 
 0 .
1
V
=
A(V
)
=
V
=
A
(V
)
=
V1 = 
2
1
3
1
 


 
 0 
 0 
 0 
0
−1
0
4

On cherche maintenant un sous-espace stable par A et supplémentaire àVect(V1 , V2 , V3 ). Soit ϕ = e∗1 une forme linéaire simple (base canonique) telleque ϕ(V3 ) 6= 0. On calcule les itérés de ϕ par t A :


 


1
0
0
 0 
 −1 
 −1 
 




t
t
2



ϕ=
A(ϕ) = (A )(ϕ) = 
 0 
 2 
 1 
 0 
 −2 
 −1 
0−1
0
Soit G0 le sous-espace engendré par ces trois formes linéaires. On cherche
maintenant V4 orthogonal à ces trois formes linéaires tel que A1 (V4 ) 6= 0 (caron cherche maintenant un bloc de Jordan 2 × 2). L’orthogonal de G0 est


0

x 



y 
{
 : tels que x, y ∈ R}.
 y−x xAutrement dit,  
00
 1   0   
 0  ,  1   
 −1   1 
100
est une base de l’orthogonal de G . On vérifie qu’en prenant pour V4 lepremier vecteur de la base ci-dessus, on a bien A(V4 ) 6= 0. On calcule :
 
0
 0 
 

A(V4 ) =  1  =: V5 .
 1 0
La matrice de A dans la base (V3 , V2 , V1 , V5 , V4 ) est B. Autrement dit, lamatrice


1
2 0 0
0
 0
0 0 0
1 



0
0
1
1
0
P := 

 0
0 0 1 −1 
0 −1 0 0
15est une matrice de passage de A à B, c’est-à-dire P −1 AP = B.
Exercice 1.
matrices :Calculer la réduite de Jordan puis une base de Jordan des




1
0
0
0
6
1 −2
1
 0

1
0
0 
8
5 −2
3 
 et N := .
M = −2 −2
 11
0
1 
0 −4
1 
−2
0 −1 −2−22 −116 −7Afin de limiter vos calculs, on vous indique que N 2 = 0.

2.5

Applications

Les propriétés suivantes se montrent grâce au théorème de Jordan et sontdifficiles sans celui-ci :1. Toute matrice de Mn (C) est semblable à sa transposée. Le résultat est
vrai sur R car deux matrices réelles semblables sur C sont semblables
sur R.
2. Toute matrice de Mn (C) est semblable à une matrice symétrique. Sur
R, les matrices semblables à des matrices symétriques sont les matrices
diagonalisables.
3. Soit A ∈ Mn (C). Posons Com(A) := {B ∈ Mn (C) : AB = BA}.
Posons Com(Com(A)) := {C ∈ Mn (C) : BC = CB ∀B ∈ Com(A)}.
Alors, Com(Com(A)) est l’ensemble des polynômes en A.
Remarque. Il va de soit que cette liste n’est pas exhaustive et ne demandequ’à être complétée.

3

Facteurs cycliques

Dans cette section, le corps de base est quelconque et on ne fait aucune
hypothèse sur u ∈ L(E).

6

3.1

Le lemme fondamental

Si x ∈ E, on note Ix l’idéal de k[X] constitué des polynômes P tels que
P (u)(x) = 0. On note µu,x le générateur unitaire de cet idéal. On voit
facilement que µu,x divise µu . On a de plus le :Lemme 1 Il existe x dans E tel que µu,x =µu .
Preuve. On écrit µu = P1α1 · · · Psαs , avec Pi des polynômes irréductibles 2à 2 distincts et αi des entiers strictement positifs. D’après le théorème dedécomposition des noyaux, on a :E = Ker(µu (u)) = Ker(P1α1 (u)) ⊕ · · · ⊕ Ker(Psαs (u)).
On vérifie que pour tout i, Ker(Piαi (u)) est stable par u et µu|Ker(P αi (u)) = Piαi .
iEn effet, sinon µu serait plus petit ! Soit xi ∈ Ker(Piαi (u)) − Ker(Piαi −1 (u)).
Posons x = x1 + · · · + xs .
On vérifie alors, que P (u)(x) = 0 si et seulement si pour tout i, P (u)(xi ) =0, c’est-à-dire si et seulement si pour tout i, Piαi = µu|Ker(P αi (u)) divise P ; siiet seulement si µu divise P . On en déduit que µu divise µu,x . CQFD.


3.2

Théorème de Frobenius

Commençons par quelques définitions :Définition.
1. Un endomorphisme u ∈ L(E) est dit cyclique s’il existe x dans E telque (ui (x))i∈N engendre E.
2. Un vecteur x ∈ E est dit cyclique si (ui (x))i∈N engendre E.
3. Un sous-espace F de E est dit cyclique s’il est stable par u et si larestriction de u à F est cyclique.
Le théorème fondamental de la réduction des endomorphismes par lessous-espaces cycliques est le suivant :7

Théorème 2 Soit u ∈ L(E). Il existe une décomposition (non unique) de
E en somme directe de sous-espaces cycliques : E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fs telle queµu|Fs |µu|Fs−1 | · · · |µu|F1 .
De plus, les polynômes µu|Fi ne dépendent pas de la décomposition : on lesappelle les facteurs invariants de u.
Démonstration.
Existence. La démonstration de l’existence ressemble
à celle de l’existence dans le théorème de Jordan pour les endomorphismes
nilpotents. Ceci n’est pas surprenant car si u est nilpotent l’énoncé ci-dessus
n’est autre que celui de Jordan. La démonstration est cependant plus délicate
ici et utilise le lemme 1 et certaines propriétés des matrices compagnons.
On fait une récurrence sur la dimension de E. Soit x dans E tel queµu,x = µu . Notons F1 le sous-espace engendré par les itérés ui (x) de x.
Posonsl := max{i tels que (x, u(x), · · · , ui (x)) est libre}.
Alors, (x, u(x), · · · , ul (x)) est une base de F1 . Mais alors, µu = µu,x = µu|F1 .
Pour pouvoir appliquer l’hypothèse de récurrence, il suffit de trouver un
supplémentaire à F1 stable par u.
La restriction de u à F1 est cyclique, donc sa transposée aussi. Soit ϕ unvecteur de F1∗ cyclique pour t (u|F1 ). Alors, (ϕ, t (u|F1 )(ϕ), · · · , t (u|F1 )l (ϕ)) est
une base de F1∗ .
Soit ϕe une forme linéaire sur E dont la restriction à F1 est ϕ. En remarquant que t (u|F1 )(ϕ) = (t u)(ϕ)
e |F1 , la liberté de (ϕ, t (u|F1 )(ϕ), · · · , t (u|F1 )l (ϕ))
entraîne celle de (ϕ,e · · · , t ul (ϕ)).
eSoit G0 le sous-espace de E ∗ engendré parcette famille.
Montrons que l’orthogonal G de G0 est un supplémentaire de F1 stablepar u.
On a dim(G0 ) = l + 1.
Par ailleurs, la famille (ϕ,e · · · , t ul+1 (ϕ))
e est liée car le degré de µt u = µu
0vaut l + 1. On en déduit que G est stable par t u.
Il reste donc à montrer que G ∩ F1 = {0}. Soit y dans cette intersection.
Comme (ϕ, t (u|F1 )(ϕ), · · · , t (u|F1 )l (ϕ)) engendre F1∗ , on a pour tout ψ ∈ F1∗ ,ψ(y) = 0. Mais alors, y = 0.

8

L’hypothèse de récurrence appliquée à G montre qu’il existe F2 , · · · , Fs
des sous-espaces de E u-cycliques tels que :1. E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fs , et2. µu|Fs | · · · |µu|F2 .
Il nous reste à montrer que µu|F2 divise µ|u|F1 . Or, µu est le ppcm des µu|Fi ,c’est-à-dire compte tenu de 2, le ppcm de µu|F1 et de µu|F2 . Par ailleurs,µu|F1 = µu par construction. Ainsi, µu = ppcm(µu , µu|F2 ) ; donc µu|F2 |µu|F1 .
Unicité :Supposons que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fs = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr , avec les Fi et Gi
vérifiant le théorème. Posons Pi := µu|Fi et Qj := µu|Gj . On a déjà remarquéque, P1 = Q1 = µu . Supposons par l’absurde que les Pi n’égalent pas les Qj .
Soit i l’indice minimal tel que Pi 6= Qi . On a :Pi (u)(E) = Pi (u)(F1 ) ⊕ · · · ⊕ Pi (u)(Fi−1 )= Pi (u)(G1 ) ⊕ · · · ⊕ Pi (u)(Gi ).
Or, pour j = 1, · · · , i−1, u|Fj est semblable à u|Gj (deux endomorphismes cycliques ayant même polynôme minimal sont semblables). Donc, Pi (u)(Fj ) et
Pi (u)(Gj ) ont même dimension, pour j = 1, · · · , i−1. Mais alors, Pi (u)(Gi ) =0 ; c’est-à-dire Qi divise Pi . Comme les Pj et les Qj jouent le même rôle, on
en déduit que Pi = Qi . Ceci est une contradiction.

Soit u un endomorphisme cyclique dont le polynôme minimal est X d −a1 X d−1 − · · · − ad . Alors, la matrice de u dans une base cyclique est :


0
ad
 1 0
ad−1 ..  .
.
.
.
.

.
.
. 




1 0
1 a1
En déduire un théorème du type : toute matrice carrée est semblable à
une unique matrice de la forme suivante. . .

9

3.3
Comme pour le théorème de Jordan, la démonstration de l’existence faite
ci-dessus est constructive. Il est cependant assez long de mimer cette démonstration sur des exemples un peu complexe.
La démonstration de l’unicité n’est en revanche pas applicable pour trouver à quelle matrice cyclique par blocs une matrice donnée est semblable.
Voici un résultat qui permet de calculer cette matrice facilement :Proposition 1 Soit M la matrice de u dans une base B de E. Soit A = k[X]l’anneau des polynômes et M̃ la matrice M − XIn à coefficients dans A.
Alors, se valent :1. la matrice M̃ est équivalente dans GL(A) à une matrice


1
..


.




1


,

Ps




.
..


P1
avec Ps | · · · |P1 .
2. Ps | · · · |P1 sont les facteurs invariants de u.
La démonstration de cette proposition sera faite dans la section 3.5. Une
autre démonstration plus élémentaire est faite dans l’ouvrage de Denis Serre,
intitulé Matrices. Théorie et Applications.

3.4

Applications

3.4.1

JordanLe théorème 2 implique celui de Jordan assez facilement. On peut mêmeprocédé de deux manières différentes :1. On montre Jordan pour les matrices compagnons. Ceci est plus simple
car les matrices nilpotentes que vous serez amenés à mettre sous forme
de Jordan sont d’indice de nilpotence maximal. Ainsi, il n’est pas utile
de chercher de supplémentaire stable ce qui était l’étape difficile deJordan.
10

2. La seconde méthode consiste à appliquer les théorèmes de CayleyHamilton et de décomposition des noyaux, puis d’appliquer le théorèmede Frobenius sur chaque sous-espace caractéristique.
3.4.2

Changement de corps de base

Soit k ⊂ K une extension de corps et A ∈ Mn (k). Alors, les facteurs invariants de A ∈ Mn (k) sont visiblement des (donc les) facteurs invariants de
A ∈ Mn (K). Cette remarque montre la
Proposition 2 Deux matrices de Mn (k) qui sont semblables dans Mn (K)sont semblables dans Mn (k).
3.4.3

Petite dimension

Proposition 3 Dans M2 (k) et M3 (k), deux matrices sont semblables si etseulement si elles ont même polynômes caractéristiques et minimaux.
3.4.4

Commutant

Proposition 4 Soit u un endomorphisme de E. Alors, u est cyclique si etseulement si Com(u) = k[u].
3.4.5Transposé

Proposition 5 Toute matrice carrée est semblable à sa transposée.

3.5

Le point de vue k[X]-module

3.5.1

A-modules

Soit A un anneau euclidien. Très vite A sera égal à k[X]. Un autre exemple
intéressant pour l’agrégation est A = Z.
Les notions supposées connues ici sont celles de A-module, de A-modulede type fini, de A-module libre de type fini, de morphisme de A-module etc...
Il convient également de savoir montrer le lemme suivant :Lemme 2
1. Les A-modules An et Am sont isomorphes si et seulementsi n = m.
Cet entier est appelé le rang de An . Cette notion est l’équivalent de la11dimension pour les espaces vectoriels. Son comportement est cependant
ASSEZ DIFFÉRENT.
Par exemple, un sous Z-module de Zn de rang n peut être strict.
2. Soit M un A-module. Une famille (v1 , · · · , vn ) de M estP
une A-base sinet seulement si le morphisme φ : A −→ M, (λi ) 7−→ i λi vi est un
isomorphisme.
ATTENTION : on peut définir libre et générateur. Cependant on a pas: libre+bon cardinal implique générateur !!
3. Soit u : M −→ N un morphisme de A-module libres de même rang
n. Munissons M et N de deux bases. Alors, u est représenté par une
matrice carré M de taille n × n à coefficients dans A. De plus, u est
injectif si et seulement si det(M ) 6= 0 et u est inversible si et seulement
si det(M ) est inversible dans A.
Posons, GLn (A) := {M ∈ Mn (A) : det(M ) est inversible dans A}.
Un théorème important pour l’algèbre linéaire est leThéorème 3 (Théorème de la base adaptée) Rappelons que A est euclidien. Soit M une matrice carrée de taille n × n à coefficients dans A.
Alors, il existe P et Q dans GLn (A), d1 , · · · ds dans A tels que :1. d1 |d2 | · · · |ds ,
2. et





P MQ = 






d1
...










ds
0
..

.
0

De plus, les di ne dépendent que de (l’image de) M .
Une démonstration algorithmique mélangeant pivot de Gauss et algorithme d’Euclide pour le calcul du pgcd se trouve dans le livre intitulé Algebra de Jacobson.

12Remarque.
Dans le théorème ci-dessus, l’hypothèse A euclidien peutêtre remplacée par A principal. Cependant, cette amélioration complique ladémonstration alors que son utilité n’est pas flagrante pour l’agrégation.
Le corollaire suivant explique le nom donnée à ce théorème :Corollaire 1 Soit M un sous-module de An . Alors, il existe une base (e1 , · · · , en )de An et des éléments d1 , · · · ds dans A tels que
1. d1 |d2 | · · · |ds ,2. (d1 e1 , · · · , ds es ) est une base de M .
De plus, les di ne dépendent que de M .
Ce corollaire a un corollaire très connu :Corollaire 2 Tout groupe abélien G est isomorphe à un unique produit Z/d1 Z×· · · × Z/ds Z avec d1 |d2 | · · · |ds .
3.5.2

Application à l’algèbre linéaire

On se donne un endomorphisme u d’un k-espace vectoriel de dimension finie
E. Alors, E est muni d’une structure de k[X]-module par la formule :P.x = P (u)(x) ∀x ∈ E ∀P ∈ k[X].
On fixe une base B = (e1 , · · · , en ) de E. Considérons alors l’application
ϕ :

k[X]n
−→ P E(P1 , · · · , Pn ) 7−→
i Pi .ei .

D’après le théorème 3, il existe une base (E1 , · · · , En ) de k[X]n et despolynômes non nuls P1 , · · · , Ps tels que (P1 .E1 , · · · , Ps .Es ) est une base de
Kerϕ. De plus, k[X]n /Kerϕ est isomorphe à E, qui est l’image de ϕ. En
particulier, ce k-espace vectoriel est de dimension finie. On en déduit que
s = n.
Plus précisément,k[X]n /Kerϕ ' k[X]/(P1 ) × · · · × k[X]/(Pn ).
13

Notons di le degré de Pi . Posons
B1 = (E1 , XE1 , · · · , X d1 −1 E1 , E2 , XE2 , · · · , X dn −1 En ).
Alors, ϕ(B1 ) est une base du k-espace vectoriel E. On vérifie alors aisément
que la matrice de u dans cette base est la juxtaposition diagonale des matrices compagnons des polynômes P1 , · · · , Pn . On retrouve donc le résultat
d’existence du théorème 2.
Remarque. Dans la discussion ci-dessus, il se peut que certains polynômessoient égaux à 1. Il n’interviennent alors nulle part. On pourra en guised’exercice caractériser les endomorphismes pour lesquels aucun de ces polynômes
n’est égal à 1.
Soit M la matrice de u dans la base de départ B. Considérons la matriceM̃ = M − XIn à coefficients dans k[X]. Cette matrice induit un morphismede k[X]-module de k[X]n dans lui-même. On a alors leThéorème 4 L’image de M̃ est égale au noyau de ϕ.
Preuve.
Notons I l’image de M̃ et N le noyau de ϕ. Pour montrer
que I est inclus N , il suffit de montrer que chaque vecteur colonne de M̃appartient à N . Par exemple, le premier vecteur colonne de M̃ este∗1 (M e1 ) − X e∗ (M e1 )

 2

 ..
.
 .

∗
en (M e1 )Son image par ϕ est donc : (e∗1 (M e1 )e1 − M e1 +M e1 = 0.

∗j≥2 ej (M e1 )ej = M e1 −PEnsuite, on raisonne par un argument de dimension, en considérant k[X]n /Iet k[X]n /N comme des k-espaces vectoriels (et non plus comme des k[X]modules). Nous savons déjà que k[X]n /N est un k-espace vectoriel de dimension n. Le lecteur vérifiera qu’il suffit donc de montrer la même propriété
pour k[X]n /I.

14

D’après le théorème 3, il existe P et Q dans GLn (k[X]) et Q1 , · · · , Qn tels
que


Q1


...
P M̃ Q−1 = .
QnMais alors, k[X]n /I est isomorphe comme k-espace vectoriel à k[X]/(Q1 ) ×· · ·×k[X]/(Qn ). En particulier,sa dimension est la somme des degrés des Qi ,Q
c’est-à-dire le degré de ni=1 Qi = det(P M̃ Q−1 ) = det(P ). det(Q)−1 det(M̃ ).
Or, det(P ) et det(Q) sont des éléments inversibles de k[X], c’est-à-dire deséléments de k. Finalement, la dimension du k-espace vectoriel k[X]n /I estégal au degré de det(M̃ ) c’est-à-dire à n.
Le théorème 4 est un moyen très pratique de calculer les facteurs invariants d’une matrice donnée. En effet, on considère la matrice M − XIn , on
lui applique l’algorithme qui permet de montrer le théorème 3. On calcule
ainsi des polynômes unitaires P1 , · · · , Pn se divisant les uns les autres tels
qu’il existe P et Q dans GLn (k[X]) tels que


P1


...
P M̃ Q−1 = .
PnLes polynômes Pi non égaux à un ainsi obtenus sont les facteurs invariantsde M .
Exercice 2. Déterminer les facteurs invariants de la matrice :−17 8 12 −14
 −46 22 35 −41 A= 2 −1 −4 4 
−4 2
2 −3

15

4

Comparaison de Jordan et de Frobenius

4.1

La théorie

D’un point de vue théorique, le théorème de Frobenius ne présente pasd’inconvénient majeur par rapport à celui de Jordan puisqu’il est plus général(on ne suppose pas que le polynôme caractéristique est scindé) et qu’il entraîne facilement ce dernier.
Se passer de l’hypothèse « polynôme caractéristique scindé » est indispensable pour montrer la proposition 3.4.2. Ceci montre la supériorité deFrobenius par rapport à Jordan. Une fois la proposition 3.4.2 démontrée,on peut souvent dans des problèmes de similarité de matrices supposer les
polynômes caractéristiques scindés en prenant une extension du corps debase.
Un énorme avantage de Frobenius sur Jordan est qu’il ne nécessite pas descinder le polynôme caractéristique. Même sur C cela est très intéressant car
on ne sait pas trouver les racines d’un polynôme complexe. Ainsi, le théorèmede Frobenius permet un algorithme exact pour décider si deux matrices sontsemblables ou pas.

4.2

Passages de Frobenius à Jordan

Soit C une classe de similitude de Mn (k). On suppose que le polynôme caractéristique des éléments de C est scindé. On a choisi (essentiellement, car il y aplusieurs matrices de Jordan) deux matrices particulières dans C. Une question naturelle est étant donnée une de ces deux matrices comment retrouverl’autre. Autrement dit, comment calculer la réduite de Jordan d’un matricede Frobenius et vice versa ?
De Frobenius à Jordan. En raisonnant bloc par bloc, il suffit de savoir
calculer la matrice de Jordan d’une matrice compagnon. Ceci
une
Q est facile,αimatrice compagnon dont le polynôme caractéristique est i (X − λi ) est
semblable à la matrice de Jordan dont les blocs diagonaux sont les Jλi ,αi .
De Jordan à Frobenius. Il s’agit cette fois de reconnaître les endomorphismes cycliques parmi les matrices de Jordan. Ceci est fait par leLemme 3 Une matrice de Jordan dont les blocs diagonaux sont les Jλi ,αi est
cyclique si et seulement si les λi sont deux à deux distincts.
16

La preuve de ce lemme est facile sachant trois choses :1. le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire par blocs est le
produit des polynômes caractéristiques des blocs diagonaux.
2. le polynôme minimal d’une matrice diagonale par blocs est le ppcm despolynômes minimaux des blocs diagonaux.
3. un endomorphisme est cyclique si et seulement si son polynôme minimal est égal à son caractéristique.
Soit M une matrice de Jordan. On ordonne les blocs de Jordan de lamanière suivante :1. Pour chaque valeur propre, on choisit un bloc de taille maximale. On
met les blocs ainsi repéré au début.
2. Parmi les blocs restants, on refait la même opération.
3. etc...
les matrices construites à chaque étape ne font intervenir qu’au plus une
fois chaque valeur propre. D’après le lemme précédent, elles sont cycliques.
De plus, à valeur propre fixée la taille des blocs triés par la méthode suscité est décroissante. Donc les polynômes minimaux des blocs cycliques ainsi
construit se divisent les uns les autres. On obtient ainsi la décomposition de
Frobenius.

4.3

Avantages de Jordan

Comme nous l’avons déjà expliqué, il ne faut pas chercher les avantages deJordan dans la théorie. En effet, les avantages de Jordan sur Frobénius sont
à chercher dans la pratique et la pédagogie.
La démarche de Jordan est naturelle.
En effet, la démarche menant à Jordan est finalement assez naturelle.
On commence par comparer un endomorphisme aux endomorphismes lesplus simples c’est-à-dire les homothéties. Ceci conduit à définir les éléments
propres. Pour les endomorphismes diagonalisables, la théorie est terminée.
17

A l’inverse, les endomorphismes n’ayant qu’une valeur propre ne sontque peut réduit par la théorie des éléments propres. On remarque alors que
tout endomorphisme est une juxtaposition de tels endomorphismes (décomposition de Dunford). Ainsi, on est ramené à ce cas des endomorphismesn’ayant qu’une valeur propre, puis par soustraction d’une homothétie à desendomorphismes nilpotents.
J’espère que ces quelques lignes vous convainquent que la démarche adoptée pour la réduction de Jordan est à la fois naturelle et graduelle dans ladifficulté. Ces deux aspects constituent un avantage indéniable pour un cours.
Il est raisonnable de penser que la réduction optimale d’un endomorphisme diagonalisable est sous forme diagonale. Ceci n’est pourtant pas lepoint de vue de la réduction de Frobenius. A ce sujet, on peut se poser lesquestions suivantes : à quelle condition un endomorphisme diagonalisable est
cyclique ? S’il l’est quels sont ces vecteurs cycliques ?
Pour des questions pratiques, la réduction de Jordan est plus
simple que celle en blocs compagnons.
Voici quelques questions de base que l’on peut se poser sur un endomorphisme :• Quel est son noyau ?
• Quelle est son image ?
• Quelles sont ses valeurs propres ?
• Calculer l’exponentielle de la matrice.
Il est plus facile de répondre à ces questions (et à d’autres) sur une matricede Jordan que sur une matrice de Frobenius.
Il est plus facile de trouver une matrice de passage pour Jordan.

4.4

La décomposition de Frobénius dans une leçon d’Oral

Présenter le théorème de Frobenius le jour de l’oral est délicat. En effet, cethéorème est assez difficile et trivialise à peu près tous les autres. Il nécessite
plusieurs compétences :1. Savoir le démontrer et en proposer une partie en développement.
18

2. Bien connaître l’anneau k[X]. Il faut savoir montrer qu’il est euclidien,savoir faire une division euclidienne, avoir des méthodes pour montrer
qu’un polynôme est irréductible etc...
3. Connaître les résultats et pièges de base sur les modules sur un anneau
principal. En effet, même s’il n’est pas stricto sensus nécessaire deparler de k[X]-module pour montrer le théorème de Frobenius, ce pointde vue est derrière tout ce que l’on fait. Le jury ne manquera donc
pas de poser quelques questions de base sur cette notion. Il faut donc
savoir montrer qu’un sous-module d’un module libre est libre, connaître
le théorème de la base adaptée, connaître les éléments de GLn (k[X]),savoir à quelle condition un élément de k[X]n se complète en une basede k[X]n etc... Le mieux pour éviter des questions trop pointues est dene pas parler de k[X]-module car sinon vous allez épuiser les questions
faciles et le jury en posera des plus difficiles.
4. Il faut bien connaître les endomorphismes cycliques puisque ce sont lesbriques à partir desquelles tout endomorphisme est construit.
Une fois les points ci-dessus maîtrisés, il faut organiser la leçon. Pourcela il faut voir de quels préliminaires on a besoin pour montrer le théorèmede Frobenius. On a besoin du théorème de décomposition des noyaux, dulemme 1 et de résultats sur les endomorphismes cycliques.
Une autre possibilité (moins risquée) consiste à donner le théorème deFrobenius à la fin en disant bien quel est son statut : difficile, n’utilisantpresque rien et pouvant donc servir de base. IL FAUT ALORS expliquer
pourquoi vous n’avez pas fait ce choix : pas naturel, trop abrupt si ceci était
un vrai cours etc...
Dans tous les cas, pour présenter le théorème de Frobenius il faut êtresolide sur les endomorphismes cycliques. Voici un exercice difficile sans indication :Exercice 3. Est-ce que la restriction d’un endomorphisme cyclique est
cyclique ?
Indication : La réponse est oui. On peut le montrer rapidement en considérant I := {P ∈ k[X] : P (u)(x) ∈ F } où u est l’endomorphisme, x un
vecteur cyclique pour u et F le sous-espace stable. On vérifie alors que I est
19un idéal de k[X] et que si Q est un générateur de I, alors y = Q(u)(x) est
cyclique pour u|F .

20