社団法人 電子情報通信学会
THE INSTITUTE OF ELECTRONICS,INFORMATION AND COMMUNICATION ENGINEERS

信学技報
TECHNICAL REPORT OF IEICE.

2 つのダイオードを含む 4 次元自励振動回路にみられるトーラスの崩壊とカオス
稲葉 直彦†

西尾芳文††

遠藤哲郎†† 明治大学電気電子生命学科 〒 214–8571 川崎市多摩区東三田 1–1–1†† 徳島大学工学部電気電子工学科 〒 770–8506 徳島市南常三島町 2–1
E-mail: †naohiko@yomogi.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp, †††endoh@isc.meiji.ac.jp
あらまし

2 つのダイオードを含む 4 次元自励振動回路のにみられるトーラスの崩壊とカオスを調べた．本研究では，これらの２つのダイオードを理想的なスイッチとみなして解析を行った．ダイオードが２つとも ON である場合は，回路方程式は 2 次元の方程式に縮退するため，ポアンカレ写像は一次元写像として厳密に導出される．このポアンカレ写像をサークル写像と対応づけることにより，トーラスの崩壊を説明した．解析結果の妥当性は回路実験によって確かめられている．
キーワード

4 次元自励振動回路，トーラス，カオス

Chaos via Torus Breakdown in a Four-Dimensional Autonomous Circuitwith Two Diodes
Naohiko INABA† , Yoshifumi NISHIO†† , and Tetsuro ENDO†† Department of Electronics and Bioinformatics, Meiji University, Kawasaki 214-8571, Japan†† Department of Electrical and Electronic Engineering, Tokushima University, Tokushima 770-8506, Japan
E-mail: †naohiko@yomogi.jp, ††nishio@ee.tokushima-u.ac.jp, †††endoh@isc.meiji.ac.jp
Abstract By using a remarkably simple and natural degeneration technique, the mechanism of chaos via torus
breakdown observed in a simple four-dimensional autonomous circuit including two diodes is investigated rigorouslyin this paper. The idealized case where the diodes are assumed to operate as switches is considered. In this case,the governing equation is represented by a constrained equation, and the Poincaré mapping is derived rigorously as
the circle map. The torus breakdown in the four-dimensional autonomous circuit is well explained by the Poincaré
mapping. The theoretical results are verified by laboratory experiment.
Key words four-dimensional autonomus circuit, torus, chaos

1. ま え が きする．これは，系に含まれる微小パラメータ ε1 , ε2 が共に０となる場合に対応し，回路方程式は各々一個のダイオードが近年，トーラスの崩壊によるカオスの発生が注目を集めていON の場合は 1 次元縮退した回路方程式によって表され，2 個る．自励振動系では 3 次元系にトーラスが発生することが知らのダイオードが共に ON の場合は 2 次元縮退した回路方程式れているが [1]，3 次元自励振動回路にトーラスが発生することによって表される．故に、ポアンカレ写像は一次元写像としては極めて稀であるらしい [2]．それにひきかえ，4 次元自励振動

厳密に導出される．本研究で対象とするようなシンプルな回路

回路ではトーラスは頻繁に見られる現象である [3]〜[8]．しかにおいても解の挙動は著しく複雑であるが，適当にパラメータしながら，自励系のトーラスの崩壊のメカニズムが厳密に明ら値を選ぶと，ポアンカレ写像はサークル写像との対応が得られかにされた例はないようである．

た．このサークル写像が homeomorphism [11] ら極値を持つ写本研究では，ダイオードを 2 個含む 4 次元区分線形自励振動回路に発生するトーラスの崩壊とカオスを解析する．トー像 [12], [13] へ変形していくことから，トーラスの崩壊によるカオスの発生が説明された．

ラスの崩壊を厳密に調べるため、2 つのダイオードを理想的なスイッチとみなす理想ダイオード型特異摂動法 [9], [10] を適用—1—2. 回次式を得る．

路

ẋ


図 1 に対象とする回路モデルを示す．

=

δ (x + γ y) − z − fd1 (x)ẏ=β {δ (x + γ y) − w − fd2 (y)}ż

=x=αyẇ

i1i d1 (v 1)

C1L1

v1-g(4)

ただし，fd1 (x)=|x − 1| + x − 1,2 ε1

fd2 (y)=|y − 1| + y − 1.
2 ε2(5)この方程式を解いて得られたアトラクタの例を図 3 に示す．回i2i d2 (v 2)C2L2路実験とシミュレーションでは定性的に一致した結果が得られている．

3. ダイオードをスイッチとみなした簡素化回路の解析

v2

解析のため，ダイオードを図 2 において G1 → ∞, G2 → ∞としたスイッチとみなす．理想化されたダイオードの電圧電流特性を図 4 に示す．両方のダイオードが ON であるような領域

図 1 本研究で対象とする回路図．

を D11 , ダイオード 1 のみが ON である領域を D01 , ダイオー
ド 2 のみが ON である領域を D10 , 両方のダイオードが OFF

id1 (v1 ) = 0.5 G1 (|v1 − E1 | + v1 − E1 ).

(1)

idk (v2 ) = 0.5 G2 (|v2 − E2 | + v2 − E2 ).

である領域を D00 と呼ぶことにする.
このようにダイオードが理想化された場合，各々の領域の回路方程式は次式によって表わされる．

id1(v )id2

1

0E1(v )
22

D11 : 両方のダイオードが ON のとき.

2G1G2v

v201E2(x (y=1)=1)

ż



=1=αẇ

図 2 ダイオードの電圧電流特性.

D10 : ダイオード１のみが ON のとき.

ダイオードを式 (1)(図 2 参照) に示されるようなこのような区分線形関数によって近似する．このとき回路方程式は次式のような 4 次元自律系常微分方程式によって表わされる．

dv1= g(v1 + v2 ) − i1 − id1 (v1 )dt
dv2
C2= g(v1 + v2 ) − i2 − id2 (v2 )dtdi1
L1= v1
dt
di2
L2= v2 .
dt(2)

i1 =
α=C1
E1 z, i2 =L1√C1E1 w,
L1

L1 E2C1 E1E2, β=, γ=, δ=g
L2 E1C2 E2E1ε1 =1G1

√C11, ε2 =L1G2√1)=β {δ (x + γ y) − w}

ż


=

1=αyC1,L1(7)のみが ON のとき.

 ẋ (y=δ (x + γ y) − z=1)

ż


=x=αẇ

(8)

D00 : 両方のダイオードが OFF のとき.

ẋ



L1 C1 τ, v1 = E1 x, v2 = E2 y,√=

D01 : ダイオード 2

ここで，次のような変数変換を行うと，

t=

(x


 ẏẇ

C1√(6)√L1,C1(3)=δ (x + γ y) − zẏ=β {δ (x + γ y) − w}

ż



=x=αyẇ

(9)

そして、これらの領域の解は以下の遷移条件によって接続される。

—2—(a1) 22.6 [µS](b1) 0.11
図 5 理想化モデルにみられたカオスの例. Horizontal: x [−4.0, 2.0].

Vertical: y [−3.0, 3.0]. α = 2.0, β = 0.14 and γ = 3.0,
δ = 0.219.

（ 3 ） ダイオード 1 が ON のとき (id1 > 0), ダイオード 1 はid1 = 0 のとき OFF になる.
(a2) 45.8 [µS]（ 4 ） ダイオード 2 が ON (id2 > 0) のとき, ダイオード 2(b2) 0.19

は id2 = 0 のとき OFF になる.
これらの遷移条件は式で表すと以下のようになる。

D11 → D10 : δ (1 + γ) − w = 0
D10 → D11 : y = 1
D11 → D01 : δ (1 + γ) − z = 0D01 → D11 : x = 1(a3) 60.4 [µS]

D10 → D00 : δ (1 + γ y) − z = 0(b3) 0.29(10)D00 → D10 : x = 1
D01 → D00 : δ (x + γ) − w = 0
D00 → D01 : y = 1.
各領域の方程式は線形であるので，各領域の解は解析的に求めることができる．このダイオードが理想化された回路方程式より得られたアトラクタの例を図 5 に示す．式 (4) にみられた結(a4) 73.8 [µS]

果と定性的に一致した結果が得られている．

(b4) 0.34

図 3 (a) 回路実験において観察されるアトラクタ (b) 数値実験にお4. リターン写像の導出

いて得られるアトラクタ. (1)(2) 準周期解. (3) 周期解. (4) カオス. (a) Horizontal: v1 [0.5V/div]. Vertical: v2 [1.5V/div].

両方のダイオードが ON であるときは，解は 2 次元平面上を

L1 = 200mH, L2 = 300mH, C1 = 0.010µF, C2 = 0.028µF,動くため，ポアンカレ写像は 1 次元写像として厳密に導出されE1 ≈ 0.7V (ダイオード 1 個) and E2 ≈ 2.1V (ダイオード 3る．D11 上の部分集合を以下のように定義する．

個). 負性抵抗 g がパラメータ. (b) Horizontal: x [−4.0, 2.0].

Vertical: y [−3.0, 3.0]. α = 2.0, β = 0.14, γ = 3.0, ε1 = 0.01

L+=

{ (x, y, z, w) | x = y = 1, z < δL−={ (x, y, z, w) | x = y = 1, z = δ (1 + γ),(1 + γ), w = δ (1 + γ) }and ε2 = 0.01. 負性抵抗 δ がパラメータ.
id1(v )id2

1(v )
22(11)w < δ (1 + γ) }.

2L+ は D11 から D10 への遷移条件であり，L− は D11 から D01への遷移条件である．L ≡ L+ ∪ L− に初期値を持つ解につい0E1v

10E2v2て考える．L 上の初期値 P0 を出発する解は適当な時刻に L に再び戻ってくる．従って，L 上のリターン写像を以下のように

図4

理想化されたダイオードの電圧電流特性.

（ 1 ） ダイオード 1 が OFF (v1 < 1) のとき, ダイオード 1は v1 = 1 のときに ON になる。.

定義できる．

T : L → L, X 7→ T (X)w ただし，{（ 2 ） ダイオード 2 は v2 = 1 のときダイオード 2 は ON になる。

(12)

X=−z + δ(1 + γ)···

P0 ∈ L+w − δ(1 + γ)···

P0 ∈ L−(13)—3—

リターン写像は理論的には超越方程式によって厳密に記述され-x or -yる．この写像が超越方程式を計算機によって解くことによって，任意の精度によって記述することが可能である．しかしながら，

1A

B

C-x or -y

1C’

A’
図7

解軌道の例.

L → D01 → D00 → D10 → D00 → (D01 ∪ D10 )→ D11 → L → D01 → D00 → D10 → D00 →図 6 リターンマップの例. 横軸縦軸 [−6.0, 2.0]

D01 → D00 → D10 → D11 → L → D01 → D00 →α = 2.0, β = 0.14, γ = 3.0, δ = 0.22.

(17)

D10 → D00 → (D01 ∪ D10 ) → D11 → L

解の振る舞いが複雑で，初期値とパラメータによって通るルートが違うため，書き下すことは実質的に不可能である．計算機のときは、

TP (X) ≡ T 3 (X).

(18)

実験に得られたポアンカレ写像の例を図 6 に示す．ポアンカレ
写像は不連続点をたくさん含んでおり，解析が難しいことが分かる．このように，もともとの力学系が連続でありながらポアンカレ写像が不連続点を持つのは以下のような理由のためである．図 7 は解軌跡様子を表わしている．L 上の A 点を出発する
解は点 B において L を打つ．よって，T (A) = B である．また、点 B を出発する解は点 C において再び L を打つ．このとき T (B) = C である．今度は下図を考えるが，上図の場合より，パラメータが僅かに異なるか初期値が異なる場合，A′ を出発する軌道は適当な時刻に C ′ を打つ．このとき T (A′ ) = C ′である．このような状況の時にポアンカレ写像は不連続点を持つ．しかし，この場合，A ≃ A′ であれば C ≃ C ′ なので，T 2 (A) = T (A′ ) が成り立つことが分かる．そこで、とする．また，他のルートを通る時は，

TP (X) ≡ T (X)(19)とする．このように TP を定義してやると，TP はサークルマップとなる．その例を図 8 に示す．TP (X) が homeomorphism
から，極値を持つ写像に変形していくので，トーラスの崩壊によるカオスの発生が説明された．

5. 結び

本研究では，2 つのダイオードを含む簡素な 4 次元自励振動回路のトーラスの崩壊を解析した．この 2 つのダイオードを理想的なスイッチとみなすことにより，ポアンカレ写像を一次元写像として導出することができ，狭いパラメータ領域ではあるL → D01 → D00 → D10 → D00 → D01 → D00 →が，ポアンカレ写像をサークル写像との対応を得ることが出来

D10 → D11 → L → D01 → D00 → D10 → D00 → (14)た．この写像が極値を含むことからトーラスの崩壊によるカオ

D01 ∪ D10 ) → D11 → Lスの発生を説明することができた．
文または、

L → D01 → D00 → D10 → D00 → D01 → D00 →D10 → D00 → D01 → D00 → D10 → D11 → L →D01 → D00 → D10 → D00(15)→ (D01 ∪ D10 ) → D11 → L,
TP (X) ≡ T 2 (X).
さらに，

(16)

献

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—4—

(a)δ = 0.201(b)δ = 0.219
図 8 ポアンカレ写像 Tp の例 α = 2.0, β = 0.14, γ = 3.0.

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—5—