縦断データ分析の基礎－SEMによるアプローチを中心に－
宇佐美慧(東京大学大学院教育学研究科)
Email: usami_s@p.u-tokyo.ac.jp
HP: http://usami-lab.com/

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研究関心（潜在変数モデリング）
・縦断データ分析（構造方程式モデリング、階層線形モデル）

軌跡のモデリング、（個人内）関係の推論、分類、測定モデル、心理学・教育学・医学領域（コホート研究）への応用。

反社会的行動

自尊心
米国青年全国縦断調査(NLSY,1990,1992,1994)

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縦断データ分類

モデリング
関係性の推論名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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因果推論

強縦断データ(intensive longitudinal data: ILD)

コホート研究（Tokyo Teen Cohort: TTC)

http://ttcp.umin.jp/index.html

縦断構造方程式モデリング(longitudinal structural equation modeling (SEM))

・教育測定

項目反応理論（モデル開発）、心理臨床検査の開発・標準化、学力調査の運用、記述式・論述式テストの評価。

アウトライン・縦断データの収集により、発達・変化の軌跡を記述
したり、またその背後にあるダイナミクスを推測できるなど、幅広い研究仮説の検証が可能になる。
・一方で、実際の縦断研究のデザインや扱う研究仮説
は極めて多様であり、また縦断データ分析は学際性の高い領域と言われ、研究領域によって異なる分析アプ
ローチが慣習的にとられるケースも少なくない。

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アウトライン・本講演では、縦断データの収集によってどのような研究仮説の検証が可能になるのかをまず整理し、その後、主に構造方程式モデリング(SEM)を用いた分析アプロー
チを概観する。
・特に、潜在成長モデルを中心とした軌跡のモデリング
や、ダイナミクスの推測のための交差遅延モデル群およびモデル選択を巡る最新の議論について紹介し、その他、（時点数が多く、集中的に測定が行われる）強縦断データや、軌跡の分類、欠測データ処理に関する話題についても紹介する。
・RやMplusで実装可能な分析コードも提供する。
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アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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縦断データとは• 縦断データ(longitudinal data)…小学校六年間を通して得られた児童の身体測定データのように、複数の対象（児童）に対して複数回測定して得られるデータ。
• 横断データ(cross-sectional data)に比べ、時間的・経済的コストが高く、また分析方法は高度化し、欠測や練習効果を考慮する必要性もしばしば生じるが、国内外で縦断研究は増加傾向にある。

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縦断研究数の推移

Psychological Methods, 2015

15000
12000

longitudinal data

9000
6000
3000
0

1970 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006 2010 2014
year

800
600
400

*Web of Scienceにて longitudinal research, longitudinal designなどの関連用語も含めた時の「トピック」の該当件数

latent growth model

潜在成長モデル(Meredith& Tisak, 1984, 1990)200
01970 1974 1978 1982 1986 1990 1994 1998 2002 2006 2010 2014

*Web of Scienceにて latent curve model, cross-lagged regression(correlation)などの関連用語も含めた時の「トピック」の該当件数

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縦断データとは＊宇佐美・荘島(2015)

・3名のデータ例。通常、個人の数＞時点数。
・縦断データはパネルデータとも呼ばれるが、慣習的に、とくに（経済学の）人を対象とした調査研究で用いられる。

・個人によってデータの測
定回数や測定時点が異なる場合。

様々なタイプのデータ＊宇佐美・荘島(2015)

時系列データ(time series data)

横断データ＊各個人、同一時点での1回の測定名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

反復横断データ＊各個人１回の測定で、個人によって測定時点が異なる。
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＊宇佐美・荘島(2015)

対象数
縦断データ
時系列データ
横断データ
反復横断データ

一般に多い(対象数＞時点数)

一事例など，
一般に少数(対象数＜時点数)

一般に多い(対象数＞時点数)

一般に多い(対象数＞時点数)

時点数

同じ対象に
複数回の観測2～10時点程度行う

10～数百，数万
時点程度

行う

1時点

行わない

2～20時点程度

行わない• 他にも、強縦断データ(intensive longitudinal data [ILD]：個人の数と時点数が多く、また測定時点間のラグは縦断データより短い)がある。
• 反復測定データ(repeated measures data)も縦断データの意味で用いられることがある。
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強縦断データ（ＩＬＤ）

Hamaker (2023)

McNeish & Hamaker (2020)

縦断研究の目的(Baltes & Nesselroade, 1979; 宇佐美訳)(1) Identification of intra-individual change（個人内変化の特定）(2) Direct identification of inter-individual differences inintra-individual change (個人内変化における個人差の特定)(3) Analysis of inter-relationships in change（複数の変化の間の分析）(4) Analysis of causes (determinants) of intra-individualchange（個人内変化の因果[規定因]の分析）(5) Analysis of causes (determinants) of inter-individual
differences in intra-individual change（個人内変化における個人差の因果[規定因]の分析）
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15/141*intra-individual（個人内）、interindividual（個人間）はそれぞれwithin-person、
between-personと呼ぶことも多い。

(1)自尊心の軌跡（変化のパタン）は？
(2)自尊心の軌跡の個人差は？
(3)自尊心と反社会的行動の軌跡の関係は？
(4)自尊心の変化を説明する変数は？
(5)自尊心の変化の個人差を説明する変数は？
自尊心と反社会的行動の間の関係の個人差を説明する変数は？
その他、(6)自尊心の軌跡はどのように分類できるか？
自尊心と反社会的行動の関係はどのように分類できるか？
(7)将来の自尊心の低さを高い精度で予測する変数は？（予測的研究：予防・介入）

縦断データ分析と構造方程式モデリング
縦断構造方程式モデリング(longitudinal structural equation modeling (SEM))

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構造方程式モデリング（SEM）• SEM(または、共分散構造分析[covariance structure analysis:CSA]) は、分析者が設定した様々な統計モデルの推定や評価のための一貫性の高いアプローチを提供する。
• SEM は、その下位モデルとして因子分析モデルやパス解析モ
デルなど多くのモデルを包含する。
• ソフトウェアもR（lavaan、sem パッケージ）、Mplus、Amos、
OpenMx、Onyx など既に数多くの種類が利用可能。
• 特に、横断的な調査・観察研究においてSEM は既に広く利用されている。

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SEMに基づく縦断データ分析の特徴
1, 共通因子（潜在変数）を介して個々の軌跡を記述し、また軌跡の平均像や個人差、複数の変数に関する軌跡の関係性も記述できる。
2, 心理学的構成概念を取り扱うための共通因子や、他にも測定誤差を伴うモデルが容易に導入でき、共通因子を基盤とした軌跡の記述ができる。
3, 変数間の逐次的な関係を想定したモデルなど、多変数間の複雑な縦断的関係性を表現したモデルを導入できる。

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SEMに基づく縦断データ分析の特徴
4, 軌跡や関係性を記述する母数の集団差や背後にある潜在構造を検討できる。
5, 特定の母数間の等値制約や特定の対間の残差共分散の導入などモデル設定上の高い柔軟性がある。
6, モデルの推定オプションが多様であることに加え、適合度指標などを通したモデルの多面的な評価が可能。
7, （ランダム欠測[MAR] の仮定の下での）完全情報最尤
推定法（FIML）に基づく欠測処理が利用可能。
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量的研究（データサイエンス）における研究目的の分類
Hamaker, Mulder, & van Ijzendoorn (2020); 宇佐美訳

1. 記述的研究（descriptive research）
集団（または個人）の特性についてまとめることが主目的。
2. 予測的研究（predictive research）（選抜・選択・管理のための）将来値の予測が主目的。
3. 説明的研究（explanatory research）
介入の開発に資する、因果のメカニズムの根底を理解することが主目的。
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縦断研究の場合の例
1. 記述的研究（descriptive research）
・幼児の語彙力は時間とともにどのように推移する？
・その個人差・集団差の大きさは？
・幼児の社会性の変化との相関関係は？
2. 予測的研究（predictive research）
・3歳時の語彙力は、2歳時の語彙力からどれだけ正確に予測できるか？他にどのような説明変数を投入し、どのように予測力の高いモデルを構成するか？
・語彙の発達遅滞のリスクがある幼児をどのようにスクリーニ
ングするか？
3. 説明的研究（explanatory research）
・本の読み聞かせは幼児の語彙力を飛躍的に高めるか？
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データ分析の前に・研究目的（記述・予測・因果のうちどれか、またはどの組
み合わせか）を明確化し、それを踏まえた研究デザインを立てる。
・実験的操作を行わない限り、横断研究では交絡の問題が強く影響する（交絡変数の特定・収集は重要）。
・縦断研究では、しばしば交絡変数と考えられる、過去の結果変数（ラグ付き変数）が収集できるため、説明的研究においてより強力な研究デザイン。
・交絡の影響が考えられるとき、独立変数の効果の推定値にはバイアスが生じ、因果の証拠としては弱いことからも「（独立変数が）影響している」・「規定している」といった強い表現の使用には慎重な検討が必要。
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発達科学研究における研究目的と研究デザイン(Hamaker et al., 2020)・発達研究（縦断・横断それぞれ含む）においては記述的・説明的研究志向が強い。
・このことは、縦断研究に限っても同様。
・予測的研究も、勿論必要。
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本講演のねらい・本講演では、記述的・説明的研究のための方法に重みづけしな
がら、SEM に基づく縦断データ分析について概観していく。
・記述的研究潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング
軌跡の分類と潜在成長混合モデリング・説明的研究交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測
強縦断データと動学的SEM
・その他
欠測データの処理
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アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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変化を記述する
縦断データ（Ｎ＝３００、Ｔ＝６）の例(宇佐美・荘島、2015)

縦断データに見られる変化やその個人差をどう表現するか？

潜在成長モデル（latent growth model: LGM)の基本表現

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑖𝑖 + 𝑤𝑤𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑖𝑖 + 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖
軌跡

残差

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

●
●

●
●

●
〇
〇

〇

Aさん

〇

Bさん

〇

𝑡𝑡

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 ：時点𝑡𝑡における個人𝑖𝑖の測定値。
𝐼𝐼𝑖𝑖 ：個人𝑖𝑖の切片因子得点(intercept factor score):最初の時点(𝑡𝑡 =1)における個人𝑖𝑖の軌跡の値。𝐸𝐸(𝐼𝐼𝑖𝑖 ) = 𝜇𝜇𝐼𝐼 , 𝑉𝑉(𝐼𝐼𝑖𝑖 ) = 𝜑𝜑𝐼𝐼2
𝑆𝑆𝑖𝑖 ：個人𝑖𝑖の傾き因子得点(slope factor score):軌跡の値の時点間の変化量を反映する量。 𝐸𝐸(𝑆𝑆𝑖𝑖 ) = 𝜇𝜇𝑆𝑆 , 𝑉𝑉(𝑆𝑆𝑖𝑖 ) = 𝜑𝜑𝑆𝑆2 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑖𝑖 , 𝑆𝑆𝑖𝑖 ) = 𝜑𝜑𝐼𝐼𝑆𝑆
𝑤𝑤𝑡𝑡 ：時点𝑡𝑡において𝑆𝑆𝑖𝑖 にかかる重み。
𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 ：（測定誤差やモデルの誤設定の影響を反映する）残差。
𝐸𝐸(𝑒𝑒𝑖𝑖𝑡𝑡 ) = 0, 𝑉𝑉(𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 ) = ψ2𝑡𝑡 , 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑒𝑒𝑖𝑖′𝑡𝑡 )= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖 , 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑡𝑡 ′ = 0.
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パス図による表現（T=5の場合）

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑖𝑖 + 𝑤𝑤𝑡𝑡 𝑆𝑆𝑖𝑖 + 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖

四角…観測変数
丸…潜在変数（共通因子）
・測定誤差・残差
単方向矢印…パス（回帰）係数・因子負荷
双方向矢印…共分散µ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2

𝜑𝜑𝐼𝐼𝐼𝐼µ𝑆𝑆 , 𝜑𝜑𝑆𝑆2（平均・分散）1 1 1 1 1

𝑤𝑤1 𝑤𝑤2 𝑤𝑤3 𝑤𝑤4 𝑤𝑤5

真値についての式：

1

1

1

1

1

0, ψ120, ψ220, ψ230, ψ240, ψ25（平均・分散）名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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線形LGM𝑦𝑦𝑖𝑖𝑡𝑡 = 𝐼𝐼𝑖𝑖 + (𝑡𝑡 − 1)𝑆𝑆𝑖𝑖 + 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖

yが線形的に変化するが、個人(A,B)によって軌跡の切片・傾きの大きさが異なる。
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖●●𝐼𝐼𝐴𝐴 ●µ𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵 〇●〇〇●𝑆𝑆𝐴𝐴 Aさん (I,S大)平均的な軌跡

µ𝑆𝑆

〇

〇

𝑆𝑆𝐵𝐵

µ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2(𝑤𝑤𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 − 1)

𝜑𝜑𝐼𝐼𝐼𝐼µ𝑆𝑆 , 𝜑𝜑𝑆𝑆2

0 1 2 3 41 1 1 1 1

Bさん (I,S小)
𝑡𝑡
1

1

1

1

1

0, ψ120, ψ220, ψ230, ψ240, ψ25

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LGMの基本的な考え方（１）・それぞれの個人について，真の軌跡（成長軌跡[growth curve]または発達軌跡 [developmental trajectory]）がある。
・真の軌跡は、線形などの特定の（しばしば、単純化された）関数
で表現され、関数形は個人間で共通。
・観測データは、（測定誤差やモデルの誤設定の影響を反映する）残差の影響を受けており，真の軌跡は直接観測できない。
・軌跡の平均や個人差は潜在変数（共通因子）から特徴づけられる。
・線形LGM内の母数は因子得点の平均𝜇𝜇𝐼𝐼 , 𝜇𝜇𝑆𝑆 ,（共）分散𝜑𝜑𝐼𝐼2 , 𝜑𝜑𝑆𝑆2 ,𝜑𝜑𝐼𝐼𝑆𝑆 ,残差分散ψ2𝑡𝑡 。母数の識別のため3以上の時点数が必要。
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LGMの基本的な考え方（２）・因子の種類や重み、関数形を変えることで、様々な形状の軌跡を表現できる（後述）。
・多くの場合、軌跡の平均と個人差の推定に関心がもたれる
が、各個人の軌跡に関心があればそれも推定できる（因子得点の推定の問題）。
・個人によって異なる関数形を考える場合→潜在成長混合モデル（latent growth mixture model; LGMM, 後述）。

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SEMによる推定の考え方• 実際のデータ（標本）における平均・分散・共分散（積率）に対して、設定したモデルの構造（平均構造・共分散構造：母数の関数で表現される）が「近く」なるように母数を推定する。
• （線形）LGMの平均構造と共分散構造

データ(標本平均・共分散）モデル（平均・共分散構造）

𝒚𝒚𝟏𝟏

𝒚𝒚𝟐𝟐

40

近づ
ける

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𝒚𝒚𝟏𝟏

𝒚𝒚𝟐𝟐

𝒚𝒚𝟑𝟑

𝒚𝒚𝟒𝟒

𝒚𝒚𝟓𝟓

10

𝒚𝒚𝟑𝟑

10

𝒚𝒚𝟒𝟒

10

𝒚𝒚𝟓𝟓

10

𝒚𝒚𝟏𝟏

𝒚𝒚𝟐𝟐

𝒚𝒚𝟑𝟑

𝒚𝒚𝟒𝟒

𝒚𝒚𝟓𝟓

10

15

45

30

30

10

10

30

60

30

10

20

30

30

70

40
10

10
40

33/141

10
15

10
10

10
20

最尤法による推定・対数尤度（データに多変量正規性を仮定）… 母数ベクトル… 標本平均ベクトル… 平均構造… 標本共分散行列… 共分散構造… 定数・の最大化は下記の最小化に等しい（尤度比検定）：…変数の数・モデルが正しく設定されれば、大標本(N→∞)の下で、得られる推定値は漸近的に有効で、不偏で、一致性がある（Bollen, 1989）。
より詳細は、補足資料を参照構造方程式モデル（f:潜在変数,y:観測変数）

平均構造（θはモデル内の母数）

共分散構造

適合度指標(Tは検定統計量、dfはモデルの自由度、hは設定モデル,ｂはベースラインモデル）

より詳細は、補足資料を参照分析の実行 (lavaan)• SEMによる分析は、Mplus, OpenMx, R(lavaan, semパッケージ),
Amos, Onyxなど様々なソフトウェアから実行可能。
• ここでは、近年最もよく利用され、かつフリーで実行できる
lavaan(latent variable analysis; Rosseel, 2012)の分析例を紹介する。
• lavaanのHP（インストールやコード例）
https://lavaan.ugent.be/• マニュアル・コード例
https://lavaan.ugent.be/tutorial/tutorial.pdf（英語）http://www.ec.kansai-u.ac.jp/user/arakit/documents/lavaanTutorial20170124.pdf （日本語）豊田秀樹編 (2014). 共分散構造分析R編
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東京図書36/141

分析例
・東大附属の生徒（中1－高3）を対象に実施した「こころとからだの健康アンケート」調査（2009-2013）における睡眠習慣と精神的健康の縦断データ。N=1067, T=6 （学年が時間単位）.

・睡眠習慣（平日・休日の睡眠時間[分]・起床時間・就寝時間）
・精神的健康（GHQ[General Health Questionnaire]:0-12点,得点が高いほど健康状態が悪い)
Matamura,M., Tochigi,M, Usami,S., Yonehara,H., Fukushima,M., Nishida,A., Togo,F., & Sasaki, T.
(2014). Associations between sleep habits and mental health status and suicidality in the longitudinalsurvey of monozygotic-twin adolescents. Journal of Sleep Research, 23, 290-294.
股村美里・宇佐美慧・福島昌子・米原裕美・東郷史治・西田淳志・佐々木司 (2013). 中高生の睡眠習慣と精神的健康の変化に関する縦断的検討 学校保健研究, 55, 186-197.

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csvファイル

*複数のコホートがあり、また個人（生徒）によって調査への参加時期が異なる。
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コード例（睡眠時間に関する線形LGM）
データの
読み込み
lavaanの呼び出し
線形LGMの記述。各因子を定義。sleepは変数名。

因子平均の設定。

LGMの当てはめ
分析結果の呼び出し名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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切片が0である
ことを設定
（後述）。

分析結果（１）推定の基本情報

適合度指標・情報量規準

設定モデルの情報

独立（ベースライン）モデルの情報

適合度指標

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分析結果（２）
推定結果
点推定値

点推定値

SE

SE

z値

z値

点推定値

SE

z値

p値

点推定値

SE

z値

p値

p値

p値

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分析結果（３）パス図−264.82448.25, 2345.51-15.50, 105.08（平均・分散）（平均・分散）0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

1

0, 1683.69 0, 2474.20 0, 2550.88 0, 1679.29 0, 1686.69（平均・分散）名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

42/1410, 2510.78

結果の解釈（１）・切片因子𝜇𝜇𝐼𝐼 の解釈
各生徒の変化のパタンにおける最初（中1）の平均が448.25(分)。

切片因子の分散𝜑𝜑𝐼𝐼2 は2345.51（標準偏差は48.43）。正規性を仮定した場
合，中1での生徒の真値の多く（約95%）は448.25±2×48.43 、つまり351.39から545.11(約6-9時間)の間に含まれると考えられる。
・傾き因子𝜇𝜇𝑆𝑆 の解釈
傾き因子の平均が-15.50なので， 1時点（1年間）経過すると平均的に真値が15.50下がる。切片の平均が448.25なので，中1～高3の順に，真値の平均は，448.25, 432.75, 417.25, 401.75, 386.25, 370.75となる。
→軌跡の平均像（反復測定ANOVAを用いない差の評価）
傾き因子の分散𝜑𝜑𝑆𝑆2 は105.08（標準偏差は10.25）であった。平均±2×標
準偏差を評価すると、多くの生徒の傾きは負であると分かる。
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結果の解釈（２）
切片・傾き因子間共分散𝜑𝜑𝐼𝐼𝑆𝑆• 切片・傾き因子間共分散は-264.82と負の値。つまり、最初の睡眠時間が長い生徒ほど後の睡眠時間の減り方が大きい傾向にある。
• 相関係数(= 切片・傾き因子間共分散/ (切片因子の標準偏差×傾き
因子の標準偏差)のほうが解釈しやすい（標準化解も参照できる）。相関係数は-0.533となる。
残差分散ψ2𝑡𝑡• 最初の時点（中1）の残差分散の推定値は1683.69（標準偏差は41.03）。中1時の共通因子（軌跡）で説明できる分散の割合（決定係数）は2345.51/(2345.51+1683.69)=0.582。残差分散の大きさは
学年間で大きな違いはない。

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宇佐美・荘島(2015)

補足：線形LGMと因子分析モデル
・線形LGMは（平均構造を伴う、確認的な）二因子分析モデル。
→因子平均や因子分散を自由推定する代わりに、パス係数（因子負荷）を固定する。観測変数の切片も０。
線形LGM

因子分析モデル

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補足：階層線形モデル(HLM;または混合効果モデル) との関係
・LGMの切片因子、傾き因子と重みは、HLMのランダム切片、ランダム傾きおよび（時点を表す）独立変数にそれぞれ対応する。

＊1つの典型的な設定

HLM
LGM

・多変量の従属変数や共通因子間の扱いが容易であるのはLGM(SEM)の利点（e.g., Curran, 2003; McNeish & Metta, 2018）。
・LGMでは測定誤差を明示的にモデリングでき、さらにSEM で提案されている様々な推定量や適合度指標が利用可能。
・一方、LGM は各個人のデータが同じ時点で測定されていることを通常仮定するが（ただし欠測として扱うことはできる）、HLM では
測定時点や回数が個人間で変わる一般的な状況であっても可能。
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多重指標（multiple indicator）LGM
・多重指標を縮約する共通因子得点の変化を記述するLGM。
←独自成分を含む合計点を扱う場合とは概念的に異なる。
・各時点で同じ因子分析モデル（因子負荷・独自分散）を仮定してよいかに関する測定不変性の検討が必要。

1

1

1

1

1

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0

1

2

3

4

48/141

条件付(conditional) LGM（時不変的変数）

・切片や傾き因子得点の個
人差を、（性別・出生年など）測定期間中に変化のない時不変(time-invariant)的な変数を主に使った回帰式により説明する。
・時不変的な変数XのYへの効果は時点によって異なることを暗に表現。
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0 1 2 3 41 1 1 1 1

1

0, ψ12

1

0, ψ220, ψ2349/1411

1
0, ψ240, ψ25

睡眠時間データを使った分析例
Sex: 男子=0, 女子=1
4.47

-28.09-22.84 （切片）493.22（切片）0, 2177.76（残差分散）

1

1 1 1 1 1 1

1-227.921

0 1 2 3 4 5

1

10, 1987.92 0, 2584.58 0,2525.39 0,1678.53 0,1655.02

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50/1410, 98.05（残差分散）

1
0,2547.53

結果の解釈• 男子(=0)の切片因子得点の平均=493.22, 傾き因子得点の平均= 22.84。
• 女子(=1)の切片因子得点の平均=493.22-28.09=465.13, 傾き因子
得点の平均= -22.84+4.47=-18.37。
• 性別だけでは説明できない因子得点の個人差（＝残差）もまだ多く残っている。
（分)
男子
500
400

女子

中1
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中2

中3

高1

51/141

高2 高3

条件付LGM（時変的変数）

・時変的（time-varying）変数と共通因子によって測定値を記述。
・時変的変数の影響を除いた成 1 1 1 1 1分の変化をLGMで表現している。

0 1 2 3 4・各時点の時変的変数と共通因子間の相関を仮定する。
1

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0, ψ1211

1

10, ψ220, ψ230, ψ240, ψ2552/141

多変量LGM・2複数の軌跡を記述
すると同時にそれらの変化の間の相関関係を記述。

1

・特に、傾き因子間の共分散（相関）が主要な母数。
・あくまで記述的なモデルであり、変化の間の因果関係を表すものではない。

1

1

1

1

1 1 1 1 1

0 1 2 3 41 1 1 1 1

0 1 2 3 4

1

1

1

1

1

＊同一時点間の残差間に相関を仮定することもある。
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53/141

分析例

1 1 1 1 1 1
2.119, 3.588-25.59-0.2103.758-1.0070 1 2 3 4 50.320, 0.166-15.31, 105.81

447.61, 2367.40-1.424-268.46
0 1 2 3 4 5

1 1 1 1 1 1
1

1

1

1

1

1

結果の解釈• GHQのスコアの平均は学年を経るにつれて上昇する。
• 中1の時点で、睡眠時間が長い生徒ほど中１時の精神的健康度が良い（GHQスコアが低い）傾向にある。相関は-0.278。
• 睡眠時間の傾き因子得点が大きい（＝長く寝る生徒）ほど
GHQの傾き因子得点が低く、GHQスコアが高くなりにくい（＝精神的に健康）。相関は-0.340。

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55/141

変化のパタンの分類（多群モデル）• 既知の群別にLGMを適用する。
• ただし、すべての母数が群間で異なると仮定するのではなく、
因子平均・重み・因子（共）分散・残差分散のうちどの母数が異なるのかを段階的に調べてベストなモデル選択をする。
例：全ての母数が同じと仮定したモデル。
男子

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女子

56/141

そもそも、真の変化のパタンは線形？

宇佐美・荘島（2015）• 非線形な変化のパタンを表現するには？
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57/1412次LGM（quadratic LGM）

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

●
●
●
●

〇

〇

〇

Bさん
〇

1 1 1 1 1

𝑡𝑡

2
µ𝑆𝑆𝑆, 𝜑𝜑𝑆𝑆𝑆

2µ𝑆𝑆𝑆, 𝜑𝜑𝑆𝑆𝑆µ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2

平均的な軌跡●〇Aさん

0 1 2 3 401

4 9 16

1

1

1

1

1

0, ψ120, ψ220, ψ230, ψ240, ψ25

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59/141

スプライン (linear+linear) LGM●

𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖●●Aさんµ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2

平均的な軌跡

●

●

〇
〇

〇

〇

〇

1 1 1 1 1

Bさん
𝑡𝑡

2
µ𝑆𝑆𝑆, 𝜑𝜑𝑆𝑆𝑆

2µ𝑆𝑆𝑆, 𝜑𝜑𝑆𝑆𝑆

0 1 2 2 20

0 0 1 2

1

1

1

1

1

0, ψ120, ψ220, ψ230, ψ240, ψ25

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60/141

自由負荷LGM
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖●●●●〇

平均的な軌跡●〇〇µ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2

Aさん〇

𝜑𝜑𝐼𝐼𝐼𝐼µ𝑆𝑆 , 𝜑𝜑𝑆𝑆2

1 1 1 1 1

Bさん
〇
𝑡𝑡

0 1 𝑤𝑤3 𝑤𝑤4 𝑤𝑤5

1

1

1

1

1

0, ψ120, ψ220, ψ230, ψ240, ψ25

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61/141

指数LGM（加法モデル）
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖●●●µ𝐼𝐼 , 𝜑𝜑𝐼𝐼2

平均的な軌跡

●

〇
〇

Aさん

●

〇

〇

〇

Bさん

1 1 1 1 1𝑡𝑡

1

*母数の非線形制約(nonlinear
0, ψ12constraints)が必要。
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𝜑𝜑𝐼𝐼𝐼𝐼µ𝑆𝑆 , 𝜑𝜑𝑆𝑆2

0 1-exp(-α) 1-exp(-2α) 1-exp(-3α) 1-exp(-4α)

1

1

1

1

0, ψ220, ψ2362/1410, ψ240, ψ25

補足（１）
2次LGM
・2次の傾き因子(𝑆𝑆2 )は、「時点間の変化量の変化」を反映する量。

・「1,4,9,16,25…」の（時点1を起点とした）表現以外にも、例えば「4,1,0,1,4…」のような（時点3を起点とした）表現も可能。

・母数の識別のためには4時点以上のデータが必要。
スプラインLGM
・linear+quadraticのような組み合わせも可。
・linear+linearのモデルの場合、識別性のために5時点以上のデータが必要 。
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63/141

補足（２）
自由負荷LGM
・𝑤𝑤3 は，時点1から時点2の変化量に比べて，時点1から時点3の変化量が何倍であるかを表す。他の重みについても同様。
・3時点以上の時点数が識別のために必要。
・ 𝑤𝑤1 と𝑤𝑤2 でなく、 𝑤𝑤1 と𝑤𝑤𝑇𝑇 を固定する場合もある（各重みの解
釈は、時点1から時点Tの変化量に対する割合）。当てはまりは同じ。
・ただし、不適解(e.g., 分散が負の推定値）が出やすい傾向。

指数LGM・傾き因子はt→∞のときの漸近的な変化量の大きさを表す。
・3時点以上の時点数が識別のために必要。
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64/141

モデルの適合度とモデル選択

AIC: Akaike Information Criterion; BIC: Bayesian Information Criterion CFI: Comparative Fit Index;
RMSEA: root mean square error of approximation; SRMR: Standardized Root Mean Squared Residual

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65/141

• 分析目的（e.g., 記述or予測）やモデルの適合度・情報量規準、
先行研究の知見などを踏まえモデル選択をしていく。
• 適合度指標の研究は多いが、CFI、RMSEA、SRMRの報告が推奨されている(Kline, 2016)。残差相関の検討も重要。
• 当てはまりの悪いモデルや過度に複雑なモデルは不適解（負の残差分散や因子間共分散行列の非正定値）のリスクが高い。
• 不適解の対処として、異なる仮定に基づくモデル（e.g., 傾き因子分散0の制約[ランダム切片]や誤差分散の等値制約）を試すことや、事前分布を仮定したベイズ推測を行うことが挙げられる。
• blavaan (Merkle & Rosseel, 2018)によるSEMのベイズ推測も実行可能。
• 更なる分析例はBollen & Curran (2006), Grimm et al (2016)を参照。
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指数LGM（乗法）𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

●

●

●

●

Aさん

●

平均的な軌跡𝐼𝐼𝐴𝐴µ𝐼𝐼𝐼𝐼𝐵𝐵 〇

〇

〇

〇

〇

Bさん
𝑡𝑡

・αの大きさが個人に依存する。
→個人によって上限に達する速度が異なる。
→その平均と分散を推定。
→多くの時点数が必要。
乗法モデルの共分散構造は複雑になり、通常の共分散構造分析（CSA）で扱うことが難しい。そのためR のnlme パッケージなど、
非線形混合効果モデルの推定（線形近似）を実行できるソフトウェアが必要。
・特に変量効果を仮定する母数が増えるほ
ど不適解や非収束のリスクが生じ、計算時間も長くなる。ベイズ推定も利用可能。

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アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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様々な「関係」

・集団間の相関関係 group-level relationxが大きい人ほど、 yも大きい→交絡が起こりうる。
・個人内（の共変）関係 within-person relation（ある人について）xが大きくなるとyも大きくなる→交絡が起こりうる。
・因果関係 causal relation (causality)
xが大きくなるからyも大きくなる。
Hamaker(2023)

・本資料では集団間の相関関係と個人内（の共変）関係に特に焦点をあてる。

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69/141

変数間の関係を調べる
横断データの場合
𝑦𝑦𝑖𝑖 ：従属変数 𝑥𝑥𝑖𝑖 ：独立変数 𝑒𝑒𝑖𝑖 ：残差• 交絡変数𝑙𝑙があるときの対処

𝑙𝑙の影響を除いても、 𝑥𝑥独自の効果があるか？

例：喫煙頻度(𝑥𝑥)と健康(𝑦𝑦)の関係は、普段の運動習慣や年齢(𝑙𝑙)の影響を除いても見られるか？
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交絡変数(confounder)• 例えば、従属変数yと独立変数xの双方に影響を与える（または、xについては相関する）変数。

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縦断デザイン（結果変数が一つ）の場合
縦断データの場合一時点前の自分自身の変数𝑦𝑦1 （自己回帰項）が主要な交絡変数（過去の変数が現在に影響を与えているという動学的プロセスの仮定）。
• （ 𝑦𝑦 以外の）交絡変数𝑙𝑙がある場合の回帰モデル

自己回帰項の投入による個人内関係・因果関係への接近→縦断デザインのメ
リットの1つ。
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相互関係についての説明的研究• 心理学でよく見られる説明的研究のタイプに、時変的な二変数（または多変数）間どうしの関係である相互関係（reciprocal relation)についての推測がある。
• 例えば、睡眠習慣の改善が精神的健康に影響を与えるのか、逆に精神的健康の改善が睡眠習慣に影響を与えるのか、あるいは両方か。
• この推測を目的として主に1990年代から現在まで心理学を中心に広く使われてきた統計モデルが交差遅延パネル
モデル（cross-lagged panel model: CLPM）。
→構造方程式モデリング（SEM）/共分散構造分析(CSA)による推定。
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McArdle (2009)

・相互関係の推測を目的とした教育学、心理学、医学系の縦断研究
では、典型的にサンプルサイズN は比較的大きく(≧100) 、時点数 T
は小さい(e.g., T=2,3,4)。

CLPMの表現
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = α𝑦𝑦𝑦𝑦 + β𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + γ𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = α𝑥𝑥𝑡𝑡 + β𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + γ𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖

α：切片

β：自己回帰係数γ：交差遅延係数

𝑑𝑑：残差・２つの交差遅延係数を通して相互関係が推定される。
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CLPMの別表現∗
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = µ𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖∗
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = µ𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖∗∗∗
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖= β𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ γ𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦∗∗∗
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖= β𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ γ𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

切片（α）の代わりに集団平均∗∗（µ）を導入する。 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖と𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖
は
集団平均からの偏差。

＊表現を変えてもβやγの推定
結果はかわらない。

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・交差遅延係数γ について、SMFQ（y）の回帰式では、14 歳
および16 歳時点の回帰式（i.e., γy3, γy4）においてそれぞれ統計的に有意。
・16 歳の回帰式に着目すると、14歳時のSMFQ は同じ水準でも、14 歳時の睡眠時間が長い生徒ほど、16 歳時のSMFQ の
スコアが低い傾向。
・一方、睡眠時間（x）の回帰式では、いずれの時点においても交差遅延係数の推定結果は有意でなかった。

心理学研究で起きていること• 変数間の相互関係への関心は高い。
RQ: 過去のある変数(𝑋𝑋𝑡𝑡−1 ) が大きいほど将来の別の変数 (𝑌𝑌𝑡𝑡 )も大きいか？逆の関係（𝑌𝑌𝑡𝑡−1 → 𝑋𝑋𝑡𝑡 ）は？

⇒自己回帰項の投入が重要.

• 一方で、個人内関係と個人差（個人間関係）を分
離して個人内関係を見ることへの関心も強い。
RQ:ある個人において、過去のある変数(𝑋𝑋𝑡𝑡−1 ) が（普段より）大きくなると、その個人における将来の別の変数 (𝑌𝑌𝑡𝑡 )も大きくなるか？逆の関係は？

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CLPMへの批判(Hamaker et al., 2015)

・CLPMの交差遅延係数は、個人内プロセスと個人間差が混在しており、純粋な個人内関係を正しく評価できないと批判。
→自己回帰項の統制だけでは個人内関係を捕捉する上で不十分。
→一つの対処法としてrandom-intercept CLPM (RI-CLPM)を提案。
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CLPMへの批判(Hamaker et al., 2015)
・2024年1月現在でこの論文の引用数は2500回以上。
・CLPMとRI-CLPMの数理的な違いは僅かであるが、相互関係の方向性（e.g., X⇒YかY⇒Xか）や効果の大きさ、符号等の推測結果がしばしば大きく異なる。
・RI-CLPMを含めた分析結果の比較や二次分析の試みも増加（e.g., Usami, Todo et al., 2019; Orth, Clark, Donnellan, & Robins, 2021）。
・国内の心理学や周辺領域でも、個人内の相互関係の推測を意図したRI-CLPMの適用事例が増えてきた。
・一方向の関係（e.g., X⇒Y）を調べるときに比較的広く利用される固定効果モデル・変量効果モデルでも、個人差を表す
潜在変数が含まれる（本資料では省略）。
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RI-CLPM (Hamaker et al., 2015)∗
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = µ𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖∗
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = µ𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑖𝑖 + 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖∗∗∗
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖= β𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ γ𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦𝑡𝑡∗∗∗
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖= β𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ γ𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)+ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖µ𝑦𝑦𝑦𝑦 , µ𝑥𝑥𝑡𝑡 : 各時点𝑡𝑡の集団平均
𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 , 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑖𝑖 : 個人𝑖𝑖の特性因子（個人差を表す量）𝐸𝐸 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝐸𝐸 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0∗∗
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖: 個人𝑖𝑖の期待値 (µ𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 , µ𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝐼𝐼𝑥𝑥𝑥𝑥 )からの偏差∗∗⇒ 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖, 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖
は個人内変動を表す量と考えられる.

・特性因子は安定した個人差を表す量と解釈され、そのモデルの設計思想から、個人内変動とは無相関と仮定される :∗∗∗∗)=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑦𝑦𝑦𝑦 , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖)=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑥𝑥𝑖𝑖 , 𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖)=0
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝐼𝐼𝑦𝑦𝑖𝑖 , 𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖

観測値の分散＝個人間（特性因子）分散＋個人内変動分散、の直交分割
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各個人の軌跡（期待値）と実際の観測値の間のずれが
個人内変動。
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CLPM

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RI-CLPM

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RI-CLPMとCLPMの推定結果の比較
抑うつと自尊心の関係(Orth et al., 2021 JPSP)相互関係に関する推定結果（効果量・符号・統計的有意性）がモデルによって異なる。
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RI-CLPMとCLPMの推定結果の比較
・特性因子の（共）分散の真値が大きいほど、交差遅延係数の推定結果がモデル間で異なり、またRI-CLPMの方が高い適合度を示す。
・特性因子で統制した後の個人内関係を見ていることを反映
して、RI-CLPMの自己回帰係数はより小さく、また係数の標準誤差が大きくなる（Mulder & Hamaker, 2021）。

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RI-CLPMの補足
・因子負荷を1に固定した（2因子）モデルと捉えられる。
・特性因子による統制は、時不変的な量による統制を意味する。
⇒時間変動的な交絡変数があれば別途統制する必要。
・RI-CLPMの母数の識別には、3時点以上必要。CLPMは2時点で識別可能（しかし、実際の研究の多くが2,3時点; Usami, Todo et al., 2019)。
・RI-CLPMに測定誤差の存在を仮定したモデル（STARTS）もあるが、不適解が生じやすい。

・1方向の関係を主に扱う変量効果モデルと考え方は近いが、両変数とも真値のセンタリングを行った表現と考えられる（後述）。

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88/141

多重指標を扱う場合；Mulder & Hamaker (2021)

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89/141

補足：心理学研究で起きていること
問題1• RI-CLPMのように個人内関係と個人差を分割するアプローチは主流になりつつあるが、現在でも論争があり、RI-CLPMへの批判もある（Asendorpf, 2021; Orth et al., 2021; Hamaker, 2023）。
問題2• 個人内関係を推測する際に、統計モデルの選択肢はRI-CLPM以外にも既に様々なものがある（詳細は、Usami, Murayama et al., 2019;
宇佐美, 2022）。いつどのモデルを使うべきか?この点も研究者間で立場が異なる。
• 研究の再現性とも関わる問題。

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90/141

補足：RI-CLPMを巡って• Asendorpf(2021) は親による過大評価（parental overevaluation）と子どもの自己愛（narcissism）の関係を例に、（個人間差としての）親の慢性的な過大評価が主要な原因でそれが交差遅延効果の中に反映されるべき成分であるから、（CLPM のような）分割を前提としないモデル設定の必要性を主張。
• 加えて、Asendorpf(2021) やOrth et al. (2021) では、長期的な時間スパンで見れば安定した個人間差は存在しないことを主張。
• Hamaker(2023) は特性因子はあくまで当該研究の測定期間内での安定した個人差と説明するとともに、経験的な観点から、長期のスパンで見ても0 でない交差遅延相関（cross-lagged correlation）
が観察され安定した個人差が存在すること（すなわち、長期に亘るほど交差遅延相関が0 になると暗に仮定しているCLPM は不適
切であること）を述べている。
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91/141

自己相関と交差遅延相関の分布例（Hamaker, 2023）

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92/141

Hamaker (2023)

・個人内関係がより時間的に短いスパンで生起している関係を表現しているのに対し、特性因子間の関係はより長期のスパンに基づく関係を表現している。
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93/141DPM (dynamic panel model: 動学的パネルモデル)
𝑦𝑦𝑖𝑖𝑖𝑖 = α𝑦𝑦𝑡𝑡 + 𝐴𝐴𝑦𝑦𝑦𝑦 + β𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + γ𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + 𝑑𝑑𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦
𝑥𝑥𝑖𝑖𝑖𝑖 = α𝑥𝑥𝑡𝑡 + 𝐴𝐴𝑥𝑥𝑥𝑥 + β𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + γ𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) + 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥

・個人効果（個別効果）を表す因子𝐴𝐴 （平均0）が含まれる。
・計量経済学の領域で特によく利用される（ただし、時不変的な係数を仮定し、一方向の関係性が検討されることが多い）。
・RI-CLPMとは異なり、回帰式の中に因子が含まれる。
・因子Aは観測値への直接効果と間接効果の両方があり、ある時点の観測値への影響が後続の時点にも累積する。一方、特性因子は直接効
果のみ。
・以下、因子Aを累積因子と呼ぶ。
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94/141

RI-CLPM

DPM

direct effectindirect effectdirect effect名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

95/141

RI-CLPMとDPM
・ RI-CLPMにおいて特性因子と個人内変動の間に相関があると仮定することも可能(predetermined RI-CLPMと呼ぶ) 。
・時不変的な係数を仮定すると、γなどの係数の値はpredetermined RI-CLPMとDPMの間で等しい(Andersen, 2021) 。
・predetermined RI-CLPMは、測定値の分散を個人内と個人間の分
散に直交分割できない。RI-CLPMとは異なる設計思想。
・このように個人差、個人間の異質性の統計的表現は多様。

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96/141

predetermined RI-CLPM

DPM

時不変的な係数を仮定すると二つのモデルは同値
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97/141CLPM

RI-CLPM宇佐美(2022)

predetermined RI-CLPM

Dynamic panel
model (DPM)宇佐美(2022)を参照。

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99/141

RI-CLPMとDPMの比較•時不変な係数と残差（共）分散を仮定した場合は、
predetermined RI-CLPMとDPMで係数（および標準誤差）の推定結果が等しい。
• また、predetermined RI-CLPMとDPMは共に累積（「的な」）因子が時変的に寄与するという意味で柔軟な表現力を有する
ことを反映して、RI-CLPMよりも高い適合度を示している。
• （時変的な条件において）DPMはRI-CLPMやpredetermined RICLPMと比べ、一部の交差遅延係数の統計的有意性が一致しな
い。

名古屋大学

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100/141

モデル選択• 真のデータ発生プロセス内に特性因子と累積因子のいずれ（または両方）が含まれるのかはほとんどの場合不明（e.g.,Andersen, 2021; Usami, 2023）。
• RI-CLPMやDPMなど特定のモデルを支持して推定しながらも、他の候補についても感度分析として推定を行い、適合度指標等も参照しながらモデル選択の適切性や結果の頑健性を検討するのが現実的か。

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101/141

どのモデルか？の前にー研究デザインー
・縦断デザインの主要な観点（Hamaker, 2023）
時間枠（time frame; 回答者に現在のことを尋ねるか、ここ数日など時間的広がりをもって尋ねるのか）
時点間の幅（time interval）
時点数• これらを通して研究の時間スパン（time span）が決定される。関係性の推測結果はこれらの設定に依存する。
• RI-CLPM を使った場合も、交差遅延係数の推定値はこれらの設定に依存する。（時不変的な係数の仮定の下で）連続時間モデルの利用は一つの対処。
• 関心のある現象のプロセスがいつ、どのような速度で展開するのかに関する実質科学的知見のもとで、時間的スパンを意識しながら最適なデザインを選択することが重要。
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アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

103/141強縦断データと動学的SEM
・心理学領域における伝統的な縦断データでは測定区間幅がしばしば
年・月単位と広く、またT = 3−8 程度と時点数が少ないタイプが主流。
・近年では、測定技術の向上に伴って、経験サンプリングに基づく強縦断データ（ILD）の収集が増加。
・厳密な定義はないが、典型的には、個人の数だけでなく時点数もT≥ 10 程度と大きく、また測定区間幅が日や分、秒などの比較的狭い
データを指す。
・Mplus で強縦断データのための動学的SEM（Dynamic SEM: DSEM,
Asparouhov, Hamaker, & Muthen, 2018）のモジュールがVer.8 から搭載。
SEMのように複数の観測変数と潜在変数を同時に扱うことができる。
• DSEM ではMCMC法に基づくベイズ推測が利用される。
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Dynamic SEM• 各個人の特性と各時点の「効果」を除いた上で個人内関係を推論するための枠組。
Between-level
model

Within-level
model

Asparouhov, T., Hamaker, E. L., & Muthén, B. (2018). Dynamic structural equation models. Structural
Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 25, 359-388. doi: 10.1080/10705511.2017.1406803

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相互関係の推測のためのモデル例（McNeish & Hamaker, 2020）
Within-level
model

Between-level
model*変量効果µの間は8変量正規分布を仮定（分散はτ）。

特徴：
・時不変な係数を仮定（ILDではしばしば課される仮定）。時間によるランダ
ムな変動を仮定することも可能。
・個人内関係の推測のため（真値による）センタリングを行っている（実は、RI-CLPMと同じ発想）。
・自己回帰係数、交差遅延係数、また残差分散が個人に依存することを表現（変量効果モデルとして、これら母数の平均や分散を推定）。

McNeish & Hamaker (2020)• yの残差分散の平均はexp(0.663) =1.941。
• 1 次のUrge からDep に対する
交差遅延係数の平均は有意であるが、いずれの回帰式も係数や決定係数は大きくない。
• Withinまたはbetweenのいずれのレベル（あるいは全体）の分散で標準化するかは任意。
個人別に推定された残差分散を用いた、個人内標準化した係数の平均と分散が求められる（ここでは省略）。

Schuurman et al (2016)

アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理• まとめ

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変化のパタンの分類（クラスタ分析）• 未知のクラス（または、クラスタ）によって分類する。
• 例えば、非階層的クラスタリング手法のk-means→データ間の無相関性や等分散性を仮定した最も単純な方法。
• Rではkmeans関数がある。
class1 44%; class2 12%; class3 44%

右図は推定された各クラスの平均をプロットしているものであるが、実際にはクラス内にも個人差があることに注意。
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*中3-高3の睡眠時間のデータ
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(1) クラス数C を事前設定し、各個人をランダムにいずれかのクラスに割りあてる。
(2) 各クラスに所属する個人の観測値の平均を用いて、クラスの中心ベクトル（µ𝒄𝒄 ）をクラス別に得る。
(3)µ𝒄𝒄 の推定値を利用し、各個人の観測値ベクトル𝒚𝒚𝒄𝒄𝒊𝒊 とµ𝒄𝒄 の距
離がもっとも近いクラスとして、基準
𝑸𝑸𝒊𝒊 = (𝒚𝒚𝒄𝒄𝒊𝒊 − µ𝒄𝒄 )𝑻𝑻 (𝒚𝒚𝒄𝒄𝒊𝒊 − µ𝒄𝒄 )が最小のクラスに割りあてる。

(4)(2) および(3) のステップを繰り返して、各個人の所属するクラスが変化しない場合や、Q の変化量が一定以下となった
場合に解が収束と判断して終了する。

*局所解を防ぐため、通常、複数の初期値に基づく解を比較し最適なものを選択する（multiple starts)。以後の方法も同様。

変化のパタンの分類（finite/Gaussian mixture model, 混合モデル）• データに統計分布（e.g., 多変量正規分布）を仮定する。
• Rではmclustパッケージが利用できる。クラス間・内の分散共分散行
列について様々な制約を設定可能。ただし不適解が生じやすい。
・k-meansに比べ、やや特異な軌跡を示す少人数クラスを抽出している。
class1 80%; class2; 5%; class3 15%.

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ＥＭアルゴリズム(1) クラス数C とともに、各クラスの母数の初期値を定める。
(2) 暫定の母数（µ𝒄𝒄 , Σ 𝒄𝒄 ,π𝒄𝒄 ）の推定値を基に、各個人の各クラスへの所属確率を推定する。
𝑤𝑤𝑖𝑖𝑖𝑖 は個人𝑖𝑖がクラス𝑐𝑐に所属している場合に1 をとるダミー変数.

(3)(2) で求めた暫定の所属確率（𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖 ）を基に、各クラスの母数を推定する。
(4) 一定の収束基準が充たされるまで、(2) および(3) のステップの反復を繰り返す。

変化のパタンの分類（潜在成長混合モデル; LGMM）• LGMを用いて平均と分散共分散を構造化し、母数θの値が異なる複数の未知のクラスを抽出する。

• 局所解・不適解が生じやすい（初期値やモデルの誤設定、正規性からの逸脱）。

・不適解を避けるため、クラス間で等しい
共分散構造や等相関構造を仮定する方法、また混合モデル（前スライド）で平均のみ構造化する方法がある（McNeish et al., 2023）＊linear+quadraticな変化を仮定した場合。
class1 5%; class2 61%: class3 34%
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クラスタ・クラス数の推定・決定• クラスタ分析では、クラスタ内誤差平方和（SSE）のプロットやそれを踏まえたCH統計量(Calinski & Harabasz, 1974）などが利用可能。混合モ
デルでは情報量規準が最もよく利用される。
B…クラスタ間平方和行列; W…クラスタ内
平方和行列; C…クラスタ数• 情報量規準ではBICが良く利用されるが、サンプルサイズやクラス間の分離度が小さい場合、その性能は必ずしも良くない。万能な規準はない（e.g., Usami, 2014）。

エントロピー

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潜在成長混合モデルの適用例

・潜在成長混合モデルはMplusやAmos（ベイズ推定）などで実行可。
・RではOpenMxの他、HLMをベースにした成長混合モデルのためのLCMMパッケージが利用可能。

最初の痛みがやや強いがその後の変化は中程度のクラス

最初の痛みは
小さく、その後の変化も小さいクラス

最初の痛みがやや強くその後の変化も大きいクラス

最初の痛みが強くその後の変化も二次的で大きいクラス

クラスタ・クラス数の推定・決定• 各クラスに所属する個人の特徴を外的な説明変数を用いて分析することも可能（e.g., 名義ロジスティック分析, ここでは省略）。
• 抽出されたクラスを実在的なものと捉えるか、データを近似する
数理的な産物と捉えるか（Bauer & Curran, 2003,2004）。データを捉える一つの見方と考え、またクラス内のデータに個人差があることは留意すべき。
• 潜在成長混合モデルの適用の際は、分析目的や先行研究の知見、データの性質を十分に踏まえながら、k-meansや混合モデルの結果も適宜参照し、また様々な構造化を試しながら比較するとよい。
→分布仮定は適切か（床効果/天井効果による過剰抽出のリスク）。
→抽出されたクラスが実質科学的見地からどのような価値を新たに付与するものなのか？
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Bauer & Curran (2003)

補足：決定木宇佐美(2017)

・基準関数をもとに木を伸ばす（＝ノードを分岐する）か決定する。
・Rではrpart関数やmvpart関数が利用できる。

補足：決定木• （多数の）説明変数があるときに、結果変数(GHQ)の予測に最適な説
明変数とその基準値を段階的に抽出し、説明変数がある一定以上か未満であるかを基準に予測値を得て、同時に個人を分類する。
• 各説明変数と結果変数の値の関係性は階段（ステップ）関数で表現されている。
• 最適な基準としてまず性別（男子=0, 女子=1)が選ばれ、それを基に生徒全体を分類。そして女子では睡眠時間を基準にその後さらに分割。
女子で一日の睡眠時間が短い（435分未満）の生徒がGHQが高い。

• このように、ある説明変数（睡眠時間）の予測力・説明力の大きさが、他の説明変数（性別）における水準（男子・女子）間で異なること、
すなわち説明変数間の交互作用の存在を意味する。
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変化の分類（構造方程式モデル決定木:semtree）• Brandmaier et al. (2013,2014,2016)によって心理学から提案されたモデル
ベースの決定木。
• データの関係性を説明するモデル（例えばLGM）を設定し、モデル
内の母数の差異を説明する最適な説明変数を抽出して木を生成する。

（宇佐美, 2017)
性別・睡眠時間・運動時間によってGHQの推移が異なることを示した決定木
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変化の分類（構造方程式モデル決定木:semtree）• Rではsemtreeが利用でき、Mplusでも実行可能(Serang et al., 2022)。
ダウンロード： http://brandmaier.de/semtree/• （海外では比較的よく引用されているが）国内ではこれからの応用が期待されるところ。特に、LGM+決定木としてのsemtreeは、
説明変数ベースで変化の集団差を記述するのに役立つ。

• ただし、変化の形状について誤ったLGMをあてはめれば実際とはかなり逸脱した分類構造を示す木が抽出されるリスクがある(e.g., Usami et al., 2017)。

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アウトライン• 導入• 潜在成長モデルによる変化の軌跡のモデリング• 交差遅延モデル群による変数間の相互関係の推測• 強縦断データと動学的SEM• 軌跡の分類と潜在成長混合モデリング• 欠測データの処理名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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欠測が生じる理由
1, 回答の選択枝に「わからない」が含まれているなど、回答形式による理由。
2, 一定の年齢以上でないと答えられないなど回答上の制約がある場合。たとえば、「何歳から喫煙していますか？」という質問への回
答。
3, （回答者や調査者の）データの記入漏れや、データの紛失などの人為的ミス。
4, 回答者側の原因としての、調査・実験等への飽きや抵抗などの理由から生じる回答拒否（たとえば、年収についての質問は回答が拒否する場合がある）。
5, 回答者の転居や死亡など、調査・実験等への参加の継続不能による脱落。
6, データの打ち切り（観測値がある値以上とわかるものの実際の値は得られない場合）など、データの測定方法の制約から生じる理由。

基本方針
・まずは欠測メカニズム（ MCAR, MAR, MNAR; Rubin, 1976)の検討から。
・リストワイズ・ペアワイズ削除は基本的に推奨されない。
・（今回の睡眠データのように）MARと考えられるのならば、完全情報最尤推定法(FIML)や多重代入法(MI)の利用が有効。
・データの正規性や線形的関係が仮定される状況では、これらはほぼ同じ結果を示すことが知られている（Lee & Shi, 2021）。SEMを用いている場合、MARであればFIMLを使えばよい（ソフトウェアでは標準実装）。
・MIについてはRでは Fully Conditional Specification (FCS) に基づく
miceパッケージが利用可能。様々なモデルに対して汎用的に利用可能。
・MNARに基づく方法も幾つかあるが、絶対的に優れた方法はなく、様々な方法による結果を比較する感度分析として用いることが推奨されている（e.g., Newsom, 2016; Enders, 2023）。
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Jeličić, H., Phelps, E., & Lerner, R. M. (2009). Use of
missing data methods in longitudinal studies:
The persistence of bad practices indevelopmental psychology. Developmental
Psychology, 45, 1195–1199. doi:10.1037/a0015665

定義と
特徴

完全ランダム欠測(MCAR)

ランダム欠測(MAR)

非ランダム欠測(MNAR)

いずれのデータも欠測 観測したデータが欠測 欠測したデータそのものとは無関係であり，各 に依存する．そのため，が欠測に依存する．その個人のあいだでデータ データの欠測の有無を，ため，データの欠測の有の欠測確率が等しい． 観測したデータを手が 無を，欠測したデータをかりにして推測できる．手がかりにして推測できる．(しかし，実際に欠測しているデータは見られないのでわからない)．
・データの記入もれ ・縦断的な社会調査に ・打ち切りによって正確
該当例・データの入力ミス おける高齢の回答者の な重さを体重計から知る・回答者の転居
死亡ことができない場合
・測定内容と関係ない，
・2次試験に進めない ・身体能力の低下により受験者の回答データの 足腰が弱くなって検査会
回答者の病欠欠測（1次試験の得点 場に来られず，身体能力の低さが欠測情報をの検査データに欠測がおきた場合（身体能力の低もっている）．
さがが欠測に依存）望ましい ・多重代入法
・多重代入法・選択モデル
分析法
・完全情報最尤推定法 ・完全情報最尤推定法 ・パタン混合モデル
Mは欠測を表すインディ
ケータ変数

完全情報最尤推定法(FIML)• FIMLではデータを補完するのではなく、各個人に対して観測されたデータのみを用いて尤度を構成して母数を最尤推定する。
• 個人i について観測されている𝑃𝑃𝑖𝑖 個のみの観測変数を取り出したベ
クトルを𝒚𝒚𝒊𝒊(𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐𝒐) 、個人i の観測データに対応した要素のみを含むモ
デルの平均構造と共分散構造をそれぞれµ𝒊𝒊(𝜽𝜽) およびΣ𝒊𝒊(𝜽𝜽) とすると、FIMLでは以下の尤度関数を最大化する。

• FIML では観測されている変数の数が多い、すなわち、母数を推定する上で多くの情報をもつ個人であるほど、尤度関数に大きな影響を与える。
• MAR の下では、変数間が線形的な関係であれば、分布が非正規でもFIML に基づく最尤推定量は一致性をもつことが知られている。

分析例(MARによる欠測&脱落を仮定）
II:幼児知能
LU:言語理解名古屋大学 2024/02/16 宇佐美慧

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分析例(多変量LGMをあてはめた場合）*リストワイズでは、
特にy（言語理解）を中心に、軌跡の平均や分散に大きなバイアスが生じる。
*MIとFIMLは概ね同じ。

MNARに基づく方法：選択モデル
因子依存

指標依存

推測に関心のある変数Y に関する分析モデル（理論モデル;
substantive model; 𝑓𝑓(𝑌𝑌)）と欠測の有無M を予測する欠測モデ
ル𝑝𝑝(𝑀𝑀|𝑌𝑌)を組み合わせたもの。

分析例(NMARによる欠測&脱落を仮定）

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分析例(LGMをあてはめた場合）

・リストワイズ法はバイアスが大きい。
・MI やFIML においても因子平均・因子分散の推定値が小さい。
・このデータでは、因子依存か指標依存かといった選択モデルの設定の違いに強く依存せず、概ね同様の推定結果を示している。

• 欠測の理由やメカニズム、そして欠測データを扱う各方法の手続
きや仮定を吟味しながら最適な方法を選択していくことが重要。
• より良いデータ収集の工夫を考えることも必要（欠測を誘発しない質問の立て方や、予備調査の段階で欠測の有無を説明できそうな変数を特定し収集するなど）。
• MAR が成立しているかについて確証を得るのは難しい。その意
味で、MNAR を仮定した分析を感度分析として実行することは重要。
• 現在では選択モデルやパタン混合モデルの実装は多くのソフト
ウェアで実行可能であるが（e.g., Mplus）、これらの利用は未だ限定的（Enders, 2023）。
• 感度分析の結果がある程度共通した分析結果を示すのであれば欠測の取り扱い如何が結果に与える影響は小さいものと結論づけられる。もし結果が異なるのであれば、判断され得る結論の範囲を示すことなどが求められる。

引用文献
・ Andersen, H.K. (2021). Equivalent approaches to dealing with unobserved heterogeneity in crosslagged panel models? Investigating the benefits and drawbacks of the latent curve model withstructured residuals and the random intercept cross-lagged panel model. Psychological Methods, 27(5), 730–751.
・Asendorpf, J. B. (2021). Modeling developmental processes. In J.R. Rauthmann (Ed.), The
handbook of personality dynamics and processes (pp. 815–835). Elsevier Academic Press.
・Asparouhov, T., Hamaker, E. L., & Muthén, B. (2018). Dynamic structural equation models. Structural
Equation Modeling: A Multidisciplinary Journal, 25, 359-388. doi: 10.1080/10705511.2017.1406803
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・Bauer, D.J., & Curran, P.J. (2003). Distributional assumptions of growth mixture models:
Implications for overextraction of latent trajectory classes. Psychological Methods, 8, 338-363.
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models: Potential problems and promising opportunities. Psychological Methods, 9, 3-29.
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・Brandmaier, A.M., Oertzen, T.v., McArdle, J.J., Lindenberger, U. (2014). Exploratory data mining
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