対称性と群の表現論に基づく超伝導ギャップ・ノード構造の分類理論

角田 峻太郎2022 年 2 月 25 日 (3 日目)
理化学研究所 古崎物性理論研究室

1/21

前回の復習• 磁気小点群 M̄ 𝒌 の既約 PUA 表現 𝜇¯𝒌 (Bloch 状態の情報) から，Mackey–Bradley の定理によって超伝導ギャップ関数の表現 𝜈¯𝒌,−𝛼 を構成できる．
• 鏡映面上の超伝導ギャップ関数の分類 (非共型対称性に起因する非自明な構造)• 具体例：UPt3 ，UPd2 Al3 ，UCoGe，Sr2 IrO4 など• 分類結果にはギャップを開けられる独立な基底の個数が反映されている (？)( 𝑘 𝑧 = 0 で 𝐴𝑔 ：1， 𝐴𝑢 ： 𝑘 𝑥,𝑦 𝑥ˆ, 𝑘 𝑥,𝑦 𝑦ˆ， 𝐵𝑢 ： 𝑘 𝑥,𝑦 ˆ𝑧 など)
ケース

時間反転

重要な要素

(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)なし
なし
あり
あり
あり
あり

[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 = 0[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 ≠ 0[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 = [𝒕 T ] 𝑧 = 0[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 = 0, [𝒕 T ] 𝑧 ≠ 0[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 ≠ 0, [𝒕 T ] 𝑧 = 0[𝒕 M 𝑧 ] 𝑧 ≠ 0, [𝒕 T ] 𝑧 ≠ 0𝑘 =0;−

𝜈¯I𝑧
𝐴𝑢𝐴𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝑘 = 𝜋/𝑐;−

𝜈¯I𝑧

𝐴𝑢
𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐵𝑔 ⊕ 3𝐴𝑢𝐴𝑔 ⊕ 3𝐵𝑢𝐵𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 2𝐵𝑢2/21

概念図3/21目次

高対称点における超伝導ギャップ・ノードの分類結果の例 (つづき)回転軸上の分類：角運動量による非自明ギャップ構造
空間反転対称性が破れた場合

トポロジカルな分類理論との対応

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高対称点における超伝導ギャップ・ノードの分類結果の例 (つづき)回転軸上の超伝導ギャップ・ノード構造の分類• 時間・空間反転対称性および回転対称性をもつ共型な超伝導体• 回転軸：鏡映面より高対称 → スピン 1/2 以外に 3/2, 5/2 に対応する既約表現 𝜇¯𝒌• 回転軸を含む鏡映面が存在する場合もある (𝐶𝑛𝑣 )M̄ 𝒌
𝐶2 t 𝔗𝐶2¯𝒌
𝜇𝐸1/2

𝐶3 t 𝔗𝐶3
𝐸1/2
2𝐵3/2
𝐶4 t 𝔗𝐶4
𝐸1/2
𝐸3/2
𝐶6 t 𝔗𝐶6𝐸1/2
𝐸3/2
𝐸5/2

elements

𝐸2𝐸22𝐸22𝐸222𝐶20𝐶31−2𝐶4√
2√− 2𝐶6√
30√− 3𝐶32−12𝐶43√− 2√2𝐶65√− 30√
3𝐶4200𝐶31−21𝐶32−12−1𝐶20005/21

回転軸上の超伝導ギャップ・ノード構造の分類• 時間・空間反転対称性および回転対称性をもつ共型な超伝導体• 𝐶2(𝑣) , 𝐶4(𝑣) ：一意な超伝導ギャップ関数の表現• 𝐶3(𝑣) , 𝐶6(𝑣) ：正常 Bloch 状態の角運動量に依存する非自明な超伝導ギャップ構造M̄ 𝒌
𝐶2 t 𝔗𝐶2
𝐶3 t 𝔗𝐶3
𝐶4 t 𝔗𝐶4
𝐶6 t 𝔗𝐶6𝐶2𝑣 t 𝔗𝐶2𝑣
𝐶3𝑣 t 𝔗𝐶3𝑣
𝐶4𝑣 t 𝔗𝐶4𝑣
𝐶6𝑣 t 𝔗𝐶6𝑣

¯𝒌
𝜇𝐸1/2
𝐸1/2
2𝐵3/2
𝐸1/2 , 𝐸3/2
𝐸1/2 , 𝐸5/2
𝐸3/2
𝐸1/2
𝐸1/2
𝐸3/2𝐸1/2 , 𝐸3/2
𝐸1/2 , 𝐸5/2
𝐸3/2

𝜈¯I𝒌,−𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 2𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 3𝐴𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 𝐸1𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 2𝐵𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 𝐵2𝑢 ⊕ 𝐵3𝑢
𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
𝐴1𝑔 ⊕ 2𝐴1𝑢 ⊕ 𝐴2𝑢
𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸1𝑢
𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐵1𝑢 ⊕ 𝐵2𝑢
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参考：多軌道超伝導体における秩序変数の分類• 点群に基づく秩序変数の分類
T. Nomoto et al., PRB (2016)• Sigrist–Ueda (1991) 等では考慮されていなかった高スピン状態• 純粋な電子スピンは 1/2 だが，多軌道系ではスピン軌道相互作用により全角運動量が 3/2，5/2 等になる場合がある• 右表：点群 𝐷 6 に対する分類• Γ7 = 𝐸 1/2 , Γ8 = 𝐸 5/2• Γ9 = 𝐸 3/2• 1/2, 5/2 と 3/2 では分類結果が異なる

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具体例：磁気空間群 𝑃63 /𝑚𝑚𝑐10 (#194.264)• 候補物質：重い電子系超伝導体 UPt3
• 3 回回転操作 C3𝑧 = {𝐶3𝑧 |0} をもつ• 正常 Bloch 状態の角運動量 1/2, 3/2 に対する

回転軸 𝐾 –𝐻 上の超伝導ギャップ構造の分類：

HH’

KK’

𝐾 – 𝐻,−
𝜈¯1/2↑ 𝐷 6ℎ ' 𝐴1𝑔 ⊕ 𝐵2𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐵2𝑢 ⊕ 𝐸 1𝑢 ⊕ 𝐸 2𝑢
𝐾 – 𝐻,−
𝜈¯3/2↑ 𝐷 6ℎ ' 𝐴1𝑔 ⊕ 𝐵2𝑔 ⊕ 2𝐴1𝑢 ⊕ 𝐴2𝑢 ⊕ 𝐵1𝑢 ⊕ 2𝐵2𝑢

• UPt3 では 𝐸 2𝑢 表現に属する超伝導秩序変数が有力と考えられている→ 𝐾 –𝐻 軸上では正常状態の角運動量が 1/2 の場合はギャップが開き，3/2 の場合は点ノードが現れる．
8/21具体例：磁気空間群 𝑃63 /𝑚𝑚𝑐10 (#194.264)• UPt3 の有効模型の構築 Y. Yanase (2016) / SS & Y. Yanase (2018)• 1 軌道模型だが，原子が反転中心にないことにより有効的な角運動量を獲得する• 𝐾 –𝐻 軸上の Bloch 状態の全角運動量 (1/2, 3/2) をパラメータによって制御可能

a:z=0b : z = 1/2

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具体例：磁気空間群 𝑃63 /𝑚𝑚𝑐10 (#194.264)• UPt3 の有効模型の構築 Y. Yanase (2016) / SS & Y. Yanase (2018)• 1 軌道模型だが，原子が反転中心にないことにより有効的な角運動量を獲得する• 𝐾 –𝐻 軸上の Bloch 状態の全角運動量 (1/2, 3/2) をパラメータによって制御可能• 𝐸 2𝑢 表現に属する超伝導秩序変数を仮定した 𝐾 –𝐻 軸上の数値計算結果

E/Δ→ 表現論に基づく超伝導ギャップ・ノードの分類と全く整合的な結果！
432
10-1-2-3-4(b) αバンド
= 3/2
3/2-3 -2 -10kz(c) αバンド
= 1/2
1/2

12

3-3 -2 -10kz

12310/21

具体例：磁気空間群 𝐹𝑚 3̄𝑐10 (#226.123)• 候補物質：UBe13• Γ– 𝐿 軸上の超伝導ギャップ・ノード構造の分類
SS & Y. Yanase (2018)LΓΓ– 𝐿,−𝜈¯1/2↑ 𝑂 ℎ ' 𝐴1𝑔 ⊕ 𝑇2𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸 𝑢 ⊕ 𝑇1𝑢 ⊕ 2𝑇2𝑢
Γ– 𝐿,−
𝜈¯3/2↑ 𝑂 ℎ ' 𝐴1𝑔 ⊕ 𝑇2𝑔 ⊕ 2𝐴1𝑢 ⊕ 𝐴2𝑢 ⊕ 𝑇1𝑢 ⊕ 2𝑇2𝑢

• 有力とされる秩序変数• 𝐸 𝑢 ：角運動量 𝑗 𝑧 に依存する超伝導ギャップ構造
Y. Shimizu et al. (2017); K. Machida (2018)• 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐴2𝑢 / 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸 𝑢 ：ギャップが開く
Y. Shimizu et al. (2017); Y. Shimizu et al. (2019)

T. Mizushima & M. Nitta (2018)11/21

空間反転対称性が破れた場合• 元々の Mackey–Bradley の定理はユニタリ表現の範囲内で考えられていた• 今回，この定理 (の中で得られる指標公式) を反ユニタリ操作の範囲まで拡張→ 空間反転対称性が破れた超伝導体でも，時間反転対称性さえ残っていれば
𝑑 𝛼 = T とすることによって超伝導ギャップ関数の表現を求められる¯ =tr[¯𝜈 𝒌,−𝛼 ( 𝑚)]𝜔𝒌 (𝑚, T )¯tr[ 𝜇¯𝒌 (T −1 𝑚T )] ∗ tr[ 𝜇¯𝒌 ( 𝑚)]𝜔𝒌 (T , T −1 𝑚T )𝒌¯𝒌 (T 𝑚T 𝑚)],tr[¯𝜈 𝒌,−𝛼 (T 𝑚)] = −𝜔 (T 𝑚, T 𝑚) tr[ 𝜇𝜙(T 𝑚) = 1• 時空反転対称性をどちらも破る超伝導体については，表現論的に超伝導ギャップ・ノードを分類する公式はない？
• 私見：この場合は基本的に超伝導ギャップが開かない• バンド内秩序変数も有限エネルギーに効く → Bogoliubov フェルミ面ができる
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トポロジカルな分類理論との対応

超伝導ギャップ・ノード構造のトポロジカルな分類理論• 表現論的な超伝導ギャップ・ノードの分類 (本講義)• トポロジカルな超伝導ギャップ・ノードの分類• 注目する波数 𝒌 (例えば鏡映面) における小群の小表現を考える• その表現が時間反転・粒子正孔・カイラル的な対称性に対して閉じているかを見る• バンドがもつトポロジカルな性質を Altland–Zirnbauer クラスの分類に帰着させる• 例： 𝑃63 /𝑚𝑚𝑐10 ，鏡映面𝑘 =0;−(b)AZ クラス C𝜈¯I𝑧' 𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢

𝑘 = 𝜋/𝑐;−' 𝐴𝑔 ⊕ 3𝐵𝑢𝜈¯I𝑧(a)• 𝐴𝑢 表現に対するトポロジカルな分類

AZ クラス AII

正孔粒子• 𝑘 𝑧 = 0：0 (自明)， 𝑘 𝑧 = 𝜋/𝑐 ：2Z
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超伝導ギャップ・ノード構造のトポロジカルな分類理論• 表現論的な超伝導ギャップ・ノードの分類 (本講義)• トポロジカルな超伝導ギャップ・ノードの分類• 注目する波数 𝒌 (例えば鏡映面) における小群の小表現を考える• その表現が時間反転・粒子正孔・カイラル的な対称性に対して閉じているかを見る• バンドがもつトポロジカルな性質を Altland–Zirnbauer クラスの分類に帰着させる• 2 つの手法の間の “対応関係” を見たい．
• 厳密な証明などはないが，様々な結果の比較から予想されることを述べる• 鏡映面・回転軸といった高対称点上の分類結果を見る• 参考：ノードが高対称点からどう広がるかは適合関係 (第 1 微分) によって分かる(詳細は S. Ono & K. Shiozaki, PRX 12, 011021 (2022))

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鏡映面上の分類結果の比較 (時間・空間反転あり)
表現論的な分類結果
ケース
(C)
(D)
(E)
(F)

重要な要素
[𝒕M 𝑧 ] 𝑧 = [𝒕 T ] 𝑧 = 0[𝒕M 𝑧 ] 𝑧 = 0, [𝒕 T ] 𝑧 ≠ 0[𝒕M 𝑧 ] 𝑧 ≠ 0, [𝒕 T ] 𝑧 = 0[𝒕M 𝑧 ] 𝑧 ≠ 0, [𝒕 T ] 𝑧 ≠ 0𝑘 =0;−𝜈¯I 𝑧
𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝑘 = 𝜋/𝑐;−𝜈¯I 𝑧𝐴𝑔 ⊕ 2𝐴𝑢 ⊕ 𝐵𝑢𝐵𝑔 ⊕ 3𝐴𝑢𝐴𝑔 ⊕ 3𝐵𝑢𝐵𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 2𝐵𝑢

トポロジカルな分類結果 (0 次元トポロジカル数)
ケース
(C)
(D)
(E)
(F)

𝑘𝑧 = 00000𝐴𝑔𝑘 𝑧 = 𝜋/𝑐02Z0Z2𝑘𝑧 = 0Z2Z2Z2Z2𝐵𝑔
𝑘 𝑧 = 𝜋/𝑐Z202Z0𝑘𝑧 = 00000

既約表現 Γ が表現論的分類に現れないmΓ のトポロジカルな分類が非自明になる

S. Kobayashi, SS et al. (2018)𝐴𝑢𝑘 𝑧 = 𝜋/𝑐002Z0𝑘𝑧 = 00000𝐵𝑢𝑘 𝑧 = 𝜋/𝑐02Z0015/21

3 回回転軸上の分類結果の比較
表現論的な分類結果

M̄ 𝒌𝐶3 t 𝔗𝐶3¯𝒌𝜇𝐸1/22𝐵3/2

トポロジカルな分類結果 (0 次元トポロジカル数)

𝜈¯I𝒌,−𝐴𝑔 ⊕ 𝐴𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
𝐴𝑔 ⊕ 3𝐴𝑢Ḡ 𝒌 ' 𝐶3𝒌
𝛾¯+1/2𝐴𝑔0𝒌
𝛾¯+3/20• 1 次元表現に関しては 1 対 1 に対応する．
• 2 次元表現 𝐸 𝑔 , 𝐸 𝑢 は時間反転で縮退した表現．

𝐸𝑔 ' 1 𝐸𝑔 ⊕ 2 𝐸𝑔 ,𝐸𝑢 ' 1 𝐸𝑢 ⊕ 2 𝐸𝑢

1𝐸𝑔

2𝐸𝑔

ZZ2𝐴𝑢0Z

Z0𝑆61𝐸𝑔
2𝐸𝑔1𝐸𝑢2𝐸𝑢1𝐸𝑢𝐸
11112𝐸𝑢Z0Z

Z𝐶3e −i2 𝜋/3e+i2 𝜋/3e −i2 𝜋/3e+i2 𝜋/3𝐼+1+1−1−1• 2 次元以上の表現は自発的対称性の破れを伴うので，分類に齟齬が生じる．
• 表現論的な分類：正常状態の対称性を参照 (𝜈¯𝒌,−は元の対称性を引き継ぐ)I• トポロジカルな分類：秩序状態の対称性を参照
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2 手法の相違点と処方箋[表現論的な分類]• 自発的対称性の破れを非考慮[トポロジカルな分類]• 自発的対称性の破れを考慮→ 対称性を「忘れ」ればよい？
• 秩序変数の可能な成分の個数が入る• 成分の個数は入らない (？)• Z と Z2 の区別がない• Z と Z2 の区別がある• 𝐸 1/2 ⊕ 𝐸 3/2 などに対する• 𝐸 1/2 ⊕ 𝐸 3/2 などに対する→ 𝜇¯𝒌 を 2 𝜇¯𝒌 として分類？
計算ができる• ノードの「発見」をしやすい

計算はできない (？)• ノードの「安定性」を見やすい

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Z2 トポロジカル数について (例：𝐶4𝑣 対称性をもつ回転軸)• 通常の表現論の分類では Z と Z2 の違いは見えない• 正常状態のエネルギーバンドが偶然縮退するケースを考えれば Z2 が分かる？
S. Kobayashi, private communication• 正常 Bloch 状態の PUA 表現 𝜇¯𝒌 ' 𝐸 1/2 を 𝐸 1/2 ⊕ 𝐸 1/2 に変えて再計算

𝜇¯𝒌 → 2 𝜇¯𝒌 とすることでZ2 に対応する表現が分かる．
(Z は 2 倍しても出てこない)

表現論的な分類結果

M̄ 𝒌𝐶4𝑣 t 𝔗𝐶4𝑣

¯𝒌𝜇𝜈¯I𝒌,−𝐸1/22𝐸1/2𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴1𝑢 ⊕ 𝐸𝑢
3𝐴1𝑔 ⊕ 𝐴2𝑔 ⊕ 𝐸𝑔 ⊕ 3𝐴1𝑢 ⊕ 𝐴2𝑢 ⊕ 3𝐸𝑢

トポロジカルな分類結果

𝐶4𝑣𝒌
𝛾¯+1/2𝐴1𝑔
0𝐴2𝑔
Z2𝐵1𝑔
Z𝐵2𝑔
Z𝐴1𝑢
0𝐴2𝑢
Z2𝐵1𝑢
Z𝐵2𝑢
Z18/21

スピン 1/2, 3/2 間の Cooper 対• Z2 に対する処方箋を応用すれば，

𝐸 1/2 ⊕ 𝐸 3/2 などに対する分類もできる (多分)．

• 実際，秩序変数の文脈ではこのような分類が既になされている．
T. Nomoto et al., PRB (2016)• 例えば，立方晶の Half-Heusler 超伝導体
YPtBi・LuPtBi などでは，Γ 点付近で1/2 と 3/2 のバンドがほぼ縮退している．
• 𝑗 = 3/2 フェルミオンの超伝導
P. M. R. Brydon et al., PRL (2016)• 非自明なギャップ構造が出るかも？
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表現論的な手法・トポロジカルな手法の対応
予想
表現論的な分類理論とトポロジカルな分類理論には，自発的な対称性の破れがある
場合を除いて次のような “対応関係” がある．
1. トポロジカルな分類において非自明な (Z, 2Z, Z2 の) 0 次元トポロジカル数が得られるのは，表現論的な分類においてノードが予言されるときであり，かつそのときに限る．

2. トポロジカルな分類において Z2 の 0 次元トポロジカル数が得られるならば，表現論的な分類を同一の正常 Bloch 状態の直和に対して行ったときにギャップドであるという結果が得られる．

インプットの情報が (ほぼ) 同じなので対応があるのは当然な気もするが，よく分からない…
20/21

まとめ• 磁気空間群の表現論によって，Bloch 状態の情報を (ある程度) 得ることが可能．
• 正常 Bloch 状態の表現に Mackey–Bradley の定理を適用することで，超伝導ギャップ関数が従う表現を計算することができる．
• 非共型対称性に起因する乗数系や，高角運動量の状態が非自明な超伝導ギャップ・ノードの構造を導く．
• 秩序変数の点群的分類では捉えられなかった構造を予言することに成功．
• 適切な条件と対称性さえ揃えばいいので，物質の細かな性質に依らない．

• 表現論的な分類とトポロジカルな分類には良い “対応関係” があるように見える．
• ここをもう少し原理的に詰められると面白いかもしれない？

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