Choice model based on
mixed discrete/continuous PDFs
J. Swait, Choice model based on mixed
discrete/continuous PDFs, Transportation Research Part B,Vol. 43, Issue. 7, pp.766-783, 2009.
2009/12/16
論文ゼミ#24
原祐輔

1. Introduction• この論文ではランダム効用モデルの誤差項を混合分布と仮定することで新しいモデルを考える．
• これまで様々なモデルがRUMには提案されている．

– IIDガンベル分布→MNLモデル(McFadden, 1973)– 多変量正規分布→MNPモデル(Daganzo, 1979)– GEV分布→NLモデル(McFadden, 1978; Williams, 1977, Ben-Akiva andLerman, 1985)– GNLモデル(Wen and Koppelman, 2001)– ordered logit (Small, 1987, 1994)– choice set generation logit (Swait, 2001a)– choice models based on sums of GEV generation functions(Swait, 2003)– dynamic choice models (Swait et al., 2004)– 乗数型誤差項モデル(Fosgerau and Bierlaire, 2008)(論文ゼミ#1参照)– など

1. Introduction
MNL, MNP, GEV, MXLでさえ一つの意思決定ルールに従う

効用最大化という意思決定ルール
しかし，人々の意思決定は複雑で伝統的なモデルでは必ずしも表現できていないという証拠が知られている(Simon, 1955; Payne et al. 1993)
そこで，本論文では効用がいくつかの離散的な状態(conditionと呼ぶ)にあると仮定することで，あるconditionでは補償型の意思決定ルールに従い，別のconditionでは非補償型の意思決定ルールに従うと表現することで，意思決定の異質性を表現する．それを本論文では混合分布を用いて考える．
混合分布の確率的メカニズムは非補償型意思決定ルールの良い近似でありえるかもしれない．たとえばEBAや辞書編纂型，連結型/分離型などを表現できる．
※連結型…足切り※分離型…一芸秀逸

RUMへの非補償型ルールの拡張の既往研究
Gopinath (1995)
SPデータとRPデータにおける意思決定の違いを潜在クラスモデルを用いて表現

Gilbride and Allenby (2004)
選択肢をスクリーニングするために連結型，分離型，補償型ルールを特定する選択モデルを提案

Cascetta and Papola (2000)
Vの中に確率的に選択肢利用可能性を導入することによって暗黙的に選択肢集合の定式化をMNLの中に入れた

Cascetta and Papola (2000)
選択肢集合の定式化において確率的にスクリーニングメカニズムを入れた2. The 2-condition (2-Mix) model
選択肢iの効用を次の式で表す

i ∈ G 選択肢集合

Vi + ε i with probability qi
Ui =  − ∞ with probability pi(1)pi + qi = 1(1)式はある確率piで選択肢の属性に関わりなく，効用が-∞となることを表す．
上はTradeoff Condition, 下はRejection Conditionとする．
この定義を別の見方をすると，Uiの確率密度関数が確率1-qiで-∞のパルス波，確率qiでεiの確率密度関数に従うと捉えられる．この混合分布は次のように書ける．

f i (U i ) = qi g i (Vi , ε i ) + (1 − qi )hi (−∞)
誤差項のpdf(2)-∞にパルスを持つpmf(probability mass function: 確率質量関数)

この離散分布と連続分布を結合した混合分布選択モデルの記述を行う

2. The 2-condition (2-Mix) modelf i (U i ) = qi g i (Vi , ε i ) + (1 − qi )hi (−∞)

(2再掲)

重要な仮定として，条件確率(condition probability)qiは効用関数の誤差項εiとは独立である．
これは異なる意思決定モードを採用するメカニズムが効用関数の非観測項とは独立であるという仮定と等価．

2.1. Case1 binary choice G={1,2}
選択肢1が選ばれる状況は以下の３つの状況があり得る(a)両方の選択肢がRejection Conditionであり，それは(1-q1)(1-q2)の確率で起こる．
このとき選択肢1の選択確率はランダムに選ばれるというルールにより単純に1/2である(b)選択肢1がTradeoff Conditionで選択肢2がRejection Conditionである状況はq1(1q2)の確率で起こる．このときの選択肢1の選択確率は1である(c)両方の選択肢がTradeoff Conditionである状況はq1q2の確率で起こる．
このときの選択肢1の選択確率は通常の補償型のロジットの形で書ける．

(1 − q1 )(1 − q2 )exp(V1 )+ q1 (1 − q2 ) + q1q2 
P1 =2
 exp(V1 ) + exp(V2 ) 
Rejection
Rejection

Tradeoff
Rejection(3a)Tradeoff
Tradeoff(1 − q1 )(1 − q2 )exp(V2 )P2 =+ (1 − q1 )q2 + q1q2 2 exp(V1 ) + exp(V2 ) (3b)モデル(3a,3b)がコンセプト的には推定プロセスに抗議票を考慮したWerner (1999)のWTP推定モデルに近い．

2.2. Case2 trinomial choice

G={1,2,3}

選択肢1が選ばれる状況は先ほどと同様の形で導出できる(1 − q1 )(1 − q2 )(1 − q3 )P1 =+ q1 (1 − q2 )(1 − q3 )
3




exp(V1 )exp(V1 ) + q1q2 (1 − q3 )
+ q1 (1 − q2 )q3  exp(V1 ) + exp(V2 )  exp(V1 ) + exp(V3 ) 
exp(V1 )+ q1q2 q3  exp(V1 ) + exp(V2 ) + exp(V3 ) 
選択肢2，選択肢3の選択確率も同様に導出できる(4)

2.3. Case3 generalization of the 2-mix model
これらを一般化すると∏
P=ik∈G(1 − qk )G

全てRejection
where+ ∑ Q(C ) H i|C (VC , ε C )

(5a)

C∈Γi

Tradeoffな選択肢のみでつくられる集合C(iは必ず含まれる)
Q(C ) =  ∏ q j  ∏ (1 − q j )  j∈C  j∉C
Tradeoffなもの

RejectionなものC ⊆ Γi(5b)全選択肢集合Gのうちiが含まれているもの

ここでεCがIIDガンベル分布だとMNLになるので以下のようになる exp(V ) (1 − qk )∏k∈Gi+ ∑ Q(C )
Pi =GC∈Γi ∑ exp(V j )  j∈C(6)Relationship to Latent class models
潜在クラスモデルは各個人の選好ベクトルによって⺟集団をS個のグループに分けられると仮定しており，一般的に補償型効用関数に埋め込まれている．
本質的にはこれらのモデルは各グループが個別の条件付き選択モデルをもっていると緩和することもできる．
よって，潜在クラスモデルはS個の連続的な確率密度関数の混合分布として捉えることが可能である．
Sf i = ∑ ws f i|s(7)s =1セグメントsにおけるセグメントsのメンバーシップ確率 選択肢iの効用の確率密度関数
潜在クラスモデルのアナロジーで，k-Mixモデルもそれぞれの効用の確率密度関数の連結として書いていると解釈できる．
しかし，コンセプトのモチベーションは大きく異なる．
潜在クラスはマーケットセグメンテーションが目的であったのに対し，混合分布モデルは異なる意思決定メカニズムによる認知プロセスの表現が目的である．

Similarity of 2-mix model to choice set formation models
式(5a)とManski (1977)の2段階確率的選択肢集合生成モデルの類似性について∏P=ik∈G(1 − qk )G~
Pi = ∑ Pi|C Q (C )+ ∑ Q(C ) H i|C (VC , ε C )(5a)再掲

C∈Γi

(8)

C∈G
 ∏ ρ j  ∏ (1 − ρ j ) 
~j∈Cj∉CQ (C ) =1 −  ∏ (1 − ρ j )  j∈G

選択肢は確率ρiで独立に利用可能とする
Probabilistic Independent Availability Logit(PIAL)modelとする (Swait, 1984)

C⊆G(9a)exp(Vi )Pi|C =∑ exp(V j )

(9b)

j∈C

G={1,2}でのPIALモデルの例
2-mix モデルは非補償型効用関数を入れることに着眼しており選択肢集合生成モデルは選択肢集合の中に入っている選択肢の選別に着眼している

exp(V1 )ρ1 ρ 2
ρ1 (1 − ρ 2 )P1 =⋅+ただし，2-mixモデルも選択肢集合生成モデルもGが大きくなるにつれて1 − (1 − ρ1 )(1 − ρ 2 ) exp(V1 ) + exp(V2 ) 1 − (1 − ρ1 )(1 − ρ 2 )次元の呪いが発生することは共通している．

3. The 3-condition (3-Mix) model(a)Tradeoff Condition：効用は属性に依存し，補償型である(b)Rejection Condition：効用は常に−∞(c)Dominance Condition：効用は常に＋∞

+ 1 if i ∈ G is in Dominance Conditionsi =  0 if i ∈ G is in Tradeoff Condition
 − 1 if i ∈ G is in Rejection Condition
(11)if si = +1
+ ∞
U i =  Vi + ε i if si = 0
− ∞if si = −1
(12)

 pi

Pr( si ) = qir iif si = +1if si = 0if si = −1(13)pi + qi + ri = 13. The 3-condition (3-Mix) modelΩ：選択肢集合|G|のありうる状態
ωl ：Ωの構成要素
ωl = {s1 ,..., s G } l = 1,...,3 G
ここでQ(ωl)はωlの状態が起こる確率であり




GQ(ωl ) =  ∏ p j  ∏ q j  ∏ (1 − p j − q j ) , l = 1,...,3
 j∈G:s = +1  j∈G:s =0  j∈G:s = −1jjj




Dominance

Tradeoff(14)

Rejection

選択肢iの選択確率は膨大な状態ωの条件付き確率から計算される．
(a)選択肢iがDominance Conditionの状態にあるとき，選択確率は同じ状態にある選択肢の中からランダムに選ばれる(b)すべての選択肢がRejection Conditionの状態にあるとき，選択確率はランダムに選ばれる(c)選択肢iがTradeoff Conditionにあり，Dominance Conditionな選択肢が存在しないとき，補償型の効用によって選択確率が決定する

3. The 3-condition (3-Mix) model
選択肢iの選択確率は
3

G

Pi = ∑ R(i | ωl )Q(ωl )(15)

l =1−1   ∑ I (sij = +1)  j∈G
 H i|c , C ⊆ G s.t. slk ∀k ∈ C
R(i | ωl ) = 1

−1

G

0


if sli = +1
if sli = 0, slj = 0 at least one j ≠ i,and slj ≠ +1, ∀j ∈ G

if sli = 0, slj = −1, ∀j ≠ i, j ∈ Gif slj = −1, ∀j ∈ Gotherwise

ここでI(・)は指示関数でそうであれば1となる関数．
Hは補償型モデル(16)

3. Discussion of 3-Mix model• 基本的には2-Mixモデルと同様• 一番の違いはDominance Conditionがあること• Simon (1955)は人々は効用最大化ではなく，満足化ルールで意思決定をしていると仮定している．つまり，効用最大な選択肢を探す認知コストを考え，あるレベルを越えているものを一回発見すればそれ以上探索しない．
• これはDominance Conditionによって表現可能であるかもしれない4. Application of proposed models• データ– 通勤手段RPデータ– サンパウロ都市圏における2826のhome-based work trip
– 1987 O/D surveyのデータ– 分担率は自動車運転：20.3%, 自動車送迎：4.5%, バス：40.6%，
地下鉄18.6%, 企業バス：5.5%, 徒歩・自転車：9.0%, バイク：1.6%

Tradeoffの確率
exp(γ i )qi =exp(τ i ) + exp(γ i ) + 1
Tradeoffの確率
11
qi === 0.88
1 + exp(−δ i ) 1 + exp(−1.98)

Dominanceの確率
exp(τ i )pi =exp(τ i ) + exp(γ i ) + 1
Rejectionの確率1
ri =exp(τ i ) + exp(γ i ) + 1

各選択肢のcondition probability

選択肢集合が7つ0.064
選択肢集合が6つ0.661????謎？

4. Application of proposed models 2• データ２– 娯楽時キャンプ場選択のSPデータ– 選択肢は６つ（国立公園）– キャンプサイト１，２は実験計画法でコントロールされた属性– キャンプサイト３は古典的なキャンプサイトの属性で固定しているが値段だけ変化する– キャンプサイト４は国立公園の外にある– キャンプサイト５は国立公園内の町のホテルやロッジに泊まる– キャンプサイト６は家にいる– キャンプサイト４∼６は細かな属性はなく，これだけ書いてある– データ数は1776

Tradeoffの確率
1
1
qi =
=
= 0.88
1 + exp(−δ i ) 1 + exp(−1.98)

Tradeoffの確率
1qi =1 + exp(−δ ′X i )選択肢１，２のQ(C)を各変数で構造化している

変数

利用販売

放置

パラメータt値

パラメータt値

利用権日時にMM訪問

0.860

3.12

18.740

0.01

男性ダミー

1.722

6.81

6.725

3.76

log(距離)-1.392-3.86-6.400

-0.44

休日ダミー

2.918

3.60

21.5560.09log(距離)-0.405-2.75-2.986

-3.68

平日ダミー

3.335

6.34

23.227

0.10

午前ダミー

-0.476-2.09-3.539-2.74

スケジュール

0.198

1.63

0.257

0.69

選択肢固有定数

4.572

6.94

40.0580.03

スケジュール

0.298

2.49

0.650

1.62

19.9880.01-0.139

-0.30

5.344

1.13

3.047

22.74

40代ダミー
Tradeoff

利用Condition

販売
無視

Tradeoffの確率
利用 0.465
販売 0.995
無視 0.955

3.380
5.54
Rejectionの確率
利用 0.535
販売 0.005
無視 0.045

初期対数尤度-1535.860-1535.860

最終対数尤度-311.508-295.151

0.790

0.799

修正済み適合度