§5位相空間の内部・閉包・境界問題 5-1 [有限補集合位相]
無限集合上の有限補集合位相において任意の無限部分集合の閉包は全体と一致することを示せ．
問題 5-2 [閉集合]A, B を位相空間 X の部分集合とするとき，次が成り立つことを示せ．

(1) A ⊂ Ā, Ā¯ = Ā, A ∪ B = Ā ∪ B̄(2) X̄ = X である．A ⊂ B ならば，Ā ⊂ B̄
問題 5-3 [触点](X, O) を位相空間とし、A ⊂ X とする。A の触点 Ā を，A を含む最小の閉集合と定義すれば、x ∈ Xが A の触点であるとは，X の任意の開集合 U に対して A ∩ U ̸= ∅ が成り立つことであることを示せ．
問題 5-4 [開写像]f : X → Y が開写像であるためには，任意の B ⊂ Y に対し，f −1 (Cl(B)) ⊂ Cl(f −1 (B)) となることが必要十分であることを証明せよ．
問題 5-5 [内点]位相空間 (X, O) において，A ⊂ X とする．A◦ は X に含まれる最大の開集合であることを示せ．
問題 5-6 [導集合]位相空間 X の部分集合 A の集積点全体の集合を A の導集合といい，Ad で表す．X が距離空間のとき，Ad は閉集合であることを示し，また，A, Ad , (Ad )d が全て違う例を作れ．
問題 5-7 [導集合と閉包](X, O) を位相空間とし，A を X の部分集合とする．また，Ad (導集合という) を任意の ϵ > 0 に対して，Uϵ (x) ∩ (A − {x}) = ∅ である点とする．Ā(A を含む最小の閉集合) と導集合 Ad について，Ā = A ∪ Adが成り立つことを示せ．
問題 5-8 [境界点]A を位相空間 (X, O) の部分集合とする．このとき，∀x ∈ ∂A に対して x ∈ U となる開集合 U は，U ∩ A◦ ̸= ∅ かつ U ∩ Ae ̸= ∅ を満たすことを示せ．
問題 5-9 [R 上の開集合]
通常の距離位相における R において，[a, b) および，[a, b] は開集合ではないことを示せ．
問題 5-10 [集積点]位相空間 X において，x が集積点 ⇔ x ∈ X − {x} を示せ．
問題 5-11 [位相の数]
次の集合の上に定義される位相の同相類を全て求めよ．

(1) {1, 2}
13

(2) {1, 2, 3}
問題 5-12 [集積点]x ∈ X が A の集積点は触点であるが、集積点ではない触点とはどのような点か。

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問題 5-13 [閉集合の内部全体](X, O) を位相空間とする．F を X の閉集合系とする．O′ = {F ◦ |F ∈ F} は X の位相 O と一致するか？
問題 5-14 [無限集合の有限補集合位相]
無限集合 X に有限補集合位相を与えた位相空間は距離空間と同相でないことを示せ．

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近傍 (近傍系，基本近傍系，点列の収束)問題 6-1 [内点](X, O) を位相空間とする。A ⊂ X に対して、x ∈ A◦ であることと、∃N ∈ N (x) に対して N ⊂ A であることは同値であることを示せ。

問題 6-2 [触点](X, O) を位相空間とする。A ⊂ X に対して、x ∈ Ā であることと、∀N ∈ N (x) に対して N ∩ A ̸= ∅ であることは同値であることを示せ。

問題 6-3 [連続写像](X, d) を距離空間とし，Od を d によって定まる距離位相とする．X の点 a について，距離空間 (X, d)における点 a の近傍系と，位相空間 (X, Od ) における点 a の近傍系とは一致することを確かめよ．
問題 6-4 [近傍系，基本近傍系]
NX = {N (x)|x ∈ X} を位相空間 X の近傍系とする．このとき，N (x) は x ∈ X の基本近傍系であることを示せ．

問題 6-5 [集積点を持たない集合との共通部分]
距離空間 (X, d) の部分集合 A が集積点をもたなければ各点について A を高々1 点を持つ近傍を持つことを示せ．

問題 6-6 [近傍を用いた連続写像の定義]
位相空間の写像 f : (X, O) → (X ′ , O′ ) において以下が同値であることを示せ．

(1) f は連続写像．
(2) 任意の x ∈ X と任意の f (x) の近傍 N ′ ∈ NX ′ (f (x)) に対して，ある x の近傍 N ∈ NX (x) が存在して，f (N ) ⊂ N ′ がなりたつ．
問題 6-7 [基本近傍系]
ユークリッド空間 Rn の通常の距離位相において，任意の x ∈ Rn において14

{ ()}
1
N (x) = B x,|n ∈ N が基本近傍系をなすことを示せ．
n∗問題 6-8 [集積点・閉包・触点](X, d) を距離空間とする．部分集合 A ⊂ X に対して収束する A の点列 xn の収束点 x は A の触点であることを示せ．

問題 6-9 [第 1 可算公理]距離空間なら第 1 可算公理を満たすことを示せ。

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問題 6-10 [p-進位相]p-進距離によって定義された Z 上の位相における基本近傍系を 1 つあげよ．
問題 6-11 [ある非可算集合上の位相]
X を非可算集合とする．

(1) x0 ∈ X に対して，x0 の近傍を x0 ∈ U となる U ⊂ X であり，X − U が可算集合となるものだけを考える．また，x ̸= x0 なる x ∈ X においては，{x} だけを近傍とする．このような近傍系をとると，X 上に位相を定義できることを示せ．
(2) 上のような位相空間 X において，A = X − {x0 } は x0 の集積点であるが，x0 とは異なる点よりなる点列 {an } は決して x0 に収束しないことを示せ．
(3) X を上のように定義された位相空間とする．Y を X 上に離散位相を与えた位相空間とする．f :X → Y を恒等写像とする．この f は，この３つ前の問題の逆は成り立っているといえるか？
問題 6-12 [距離空間上の閉集合]
距離空間 X の部分集合 F が閉集合であるための必要十分条件は F が点列の極限に関して閉じていることであることを証明せよ．

問題 6-13 [点列連続](X1 , ρ1 ), (X2 , ρ2 ) を距離空間とし，f : X1 → X2 を写像とする．次の条件は同値であることを示せ．

(1) f は連続
(2) X1 の点列 {xn } が x ∈ X1 に収束すれば，X2 の点列 {f (xn )} は f (x) ∈ X2 に収束する．
問題 6-14 [離散位相の収束列]
離散空間 X において，点列 {xn }n∈N が点 x ∈ X に収束するためには，次の条件が必要十分であることを示せ．
∃n0 ∈ N s.t. n ≥ n0 ⇒ xn = x

問題 6-15 [収束する部分列]
S1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 1} に R2 上の通常の d2 の部分距離空間の距離位相空間とする．S1 上の任意の点列 {xn } は収束する部分列を持つことを示せ．

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問題 6-16 [近傍系，基本近傍系]
2 つの近傍系 U = {U(x)|x ∈ X}, V = {V(x)|x ∈ X} が同一の位相を定めるための必要十分条件は，各点において，以下が同値であることを示せ．

(1) 任意の V ∈ V(x) に対し U ⊂ V となる U ∈ U(x) が存在する．
(2) 任意の U ∈ U(x) に対し V ⊂ U となる V ∈ V(x) が存在する．
問題 6-17 [収束点列]
距離空間 (X, dX ) と (Y, dY ) に対して，写像 f : X → Y が連続ならば，X の任意の収束点列 {xn } に対し，{f (xn )} は Y の収束点列となることを証明せよ．
問題 6-18 [基本列]距離空間 (X, d) の点列 {xn } について，∀ϵ > 0 に対してある N ∈ N が存在して，∀n, m ≥ N ならば，d(xm , xn ) < ϵ となることと、∀ϵ > 0 に対して、ある N ∈ N が存在して、∀n > N に対して、d(xn , xN ) < ϵを満たすことは同値であることを示せ．

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