過去の「シリーズ日本経済を考える」については、
財務総合政策研究所ホームページに掲載しています。
http://www.mof.go.jp/pri/research/special_report/index.html

シリーズ
日本経済を考える

グリッド・ポイント・
センシティビティ入門―日本国債およびバリュー・
アット・リスクの観点で―＊ 1
東京大学 公共政策大学院／財務総合政策研究所

110 服部 孝洋＊1１．はじめに 1＊の年限の金利が動くことが少なくありません。そのため、特定の年限の金利が上昇した場合の損失額を把握

連載
日本経済を
考える

「金利リスク入門」および「コンベクシティ入門」（服部することも有益です。これはイールドカーブに対して、（2020c,d））では、デュレーションやコンベクシティなど

年限ごとにグリッド・ポイントを設けて金利変動に係

金利リスクの基礎的な概念について解説を行いました。

るリスク量を把握することから、グリッド・ポイント・

デュレーションでは1年から40 年におけるすべての金利

センシティビティといいます。服部（2020c）で説明しが同じように変化（イールドカーブがパラレルシフト）す

たとおり、デュレーションの場合、図1の左図のようなることが前提でしたが、実際にはパラレルにシフトすると金利上昇を想定しています。一方、GPS は、図1の右は限らず、例えば、超長期国債の金利が上昇するなど特図のように、ある特定のグリッド・ポイント、例えば、定の年限の金利のみが動くことも少なくありません。この5 年金利のみ上昇した場合のリスク量を指します。

ようなパラレルに動かない金利の動きを捉えるため、リスク管理の現場ではグリッド・ポイント・センシティビ
ティ（Grid Point Sensitivity, GPS）が用いられています。GPSは金融機関のリスク管理の実務において広く活用されていますが、規制当局が金融機関の有する金利リ
スクを測る指標としても用いられています＊2。GPSは実務
的には、バリュー・アット・リスク（Value at Risk,
VaR）の計算に用いられる点も看過できません。そこで、本稿では円債にフォーカスしてGPSの概念を紹介すると
ともに、VaRとGPSの関係についても説明します。

２．GPS
２．１ GPS とは

図 1 デュレーションとグリッド・ポイント・センシティビティが想定する金利上昇
金利＜デュレーション＞＜グリッド・ポイント・センシティビティ＞

金利

イールドカーブ

特定の年限だけ上昇

パラレルに金利上昇
年限

年限

GPSはグリッド・ポイント・センシティビティですから、「センシティビティ」であるがゆえ、特定の金利が変化したときの変化「率」という印象を持つかもしれま
せん。もっとも、実務的には特定の金利が変化した場合の価格の変化「額」としてGPSが使われる点に注意が前述のとおり、デュレーションではカーブのパラレ必要です。服部（2020c）では、デュレーションがイー

ルシフトが想定されていましたが、実際には金利はパルドカーブがパラレルに変化したときの「価格の変化率」

ラレルに動くとは限らず、例えば超長期金利など特定である一方、DV01やBPV（Basis Point Value）はイー＊1） 本稿の意見に係る部分は筆者の個人的見解であり、筆者の所属する組織の見解を表すものではありません。本稿の記述における誤りは全て筆者によるものです。また本稿は、本稿で紹介する論文の正確性について何ら保証するものではありません。本稿につき、コメントをくださった多くの方々に感謝申し上げます。
＊2） 例えば金融庁の「市場リスク管理態勢の確認検査用チェックリスト」における市場リスク計測方法の中にも GPS は指摘されています。

80

ファイナンス2021 Mar.

シリーズ 日本経済を考える 110

ルドカーブがパラレルに変化したときの「価格の変化額」

から9 年のGPSは 0.1～1といった小さい値をとっていであると説明しました。その意味で、GPSはデュレー

る一方、10 年のGPSは8.856をとっています。これはションより、DV01やBPVに近い概念と解釈できます。

10 年国債をロングしていた場合、たとえ、1－9 年まで

このように、イールドカーブを一定年限（グリッの金利が上昇したとしても、10 年金利が変化しなけれ

ド・ポイント）ごとに区分し、例えば 5 年金利のみをばそれほど損失がないことを意味します。一方、（1年上昇させた時の価格の変化が GPS ですが、5 年金利だから9 年金利は横ばいで）10 年金利のみが上昇した場

けでなく、例えば 1 年金利、2 年金利、…、40 年金利

合は（100円に対して）8.856 銭の損失を計上することのみの金利上昇という形で様々な年限の金利の変化かがわかります。これは10 年国債のデュレーションが10

ら GPS を算出することができます 。1 年～40 年の程度であることを考えると、金利が1bps パラレルシフ

GPS を合計することは、1 年から 40 年までの金利がトした場合とかなり近い損失であることがわかります。

＊3

上昇したときのリスク量を意味しますから、これはイールドカーブをパラレルにシフトさせたことと同じ意味を有します。そのため、各年限の GPS の合計はDV01（BPV）と一致します。
注意すべき点は、海外の文献などではGPSという表現
Duration, KRD）やキー・レート・リスク（Key Rate
す＊4。KRDとは特定の年限の金利（キー・レート）が変

2 年国債
0.136
1.793
0
0
0
0
0
0
0
0
1.929

5 年国債
0.002
0.004
0.007
0.505
4.373
0
0
0
0
0
4.891

10 年国債
0.001
0.001
0.002
0.003
0.003
0.004
0.005
0.005
1.017
8.856
9.897

注：Bloomberg が算出する KRD に基づいています。

化したときのデュレーション（感応度）を意味しますが、例えばタックマン（2012）やBloombergなどではGPS

このような傾向はその他の年限の国債についても言という表現ではなく、KRDという表現が用いられていまえます。例えば 5 年国債については 5 年金利が上昇しす 。筆者の印象では、日本の金融機関ではGPSというたとき、5 年債のデュレーションが想定する損失に近言葉が普及していますが、海外の金融機関ではKRDとい損失が発生しますが、それ以外の年限が動いても損いう表現の方が広く使われています。GPSは、グリッド・

失はほとんど発生しません。この背景には、満期にはポイントごとの感応度（センシティビティ）という意味で利払だけでなく元本の支払いがあるからですが、そのすから、GPSの方が（金利だけにとどまらない）広い概詳細は後述します。

＊5

日本経済を
考える

Risk,KRR）という表現が用いられる傾向がある点で

1年
2年
3年
4年
5年
6年
7年
8年
9年
10 年
合計

連載

は用いず、キー・レート・デュレーション（Key Rate

図 2 日本国債の GPS の事例

念と解釈することもできますが、海外における債券のリスク管理や文献を見るときには一定の注意が必要です。

日本国債のマーケット・メイクと入札の事例 ＊6
より実際的な事例を考えるため、次のようなケース

２．２ GPS の使用例を考えてみましょう。例えば日本国債のマーケット・

日本国債の GPS

メイクをする JGB トレーダーが短期ゾーンでショー

ここからGPSを用いた事例をみておきましょう。図 2

トのポジションを作る一方、長期のゾーンでロングのは 2 年、5 年、10 年国債の GPSを示しています。これ

ポ ジ シ ョ ン を 作 っ て お り、 合 計 の 金 利 リ ス ク 量は特定の年限の金利だけが1bps 上昇した場合、各国債（DV01、BPV）はゼロになっていたとしましょう。

を保有していたとしたら、どれくらいの損失を抱えるか

この場合、イールドカーブがパラレルに上昇した場を示しています。図 2の右側の10 年国債をみると、1年合、長期のポジションで損失が生まれますが、短期の＊3） ここで 40 年まで考えている理由は日本国債が 40 年債まで発行されているからです。他国では 40 年より長い年限の国債が発行されているケースがありますが、その場合は 40 年以上の年限の金利を動かすことができます。
＊4） タックマン（2012）では第 7 章でキー・レート・デュレーションについて取り上げています。
＊5） キー・レート・デュレーションはデュレーションに立脚した概念であるため、キー・レートが動いた時の「価格の変化率」を表現しますが、キー・レー
トが動いた時の「価格の変化額」については KR01（キー・レートが変化したときの DV01 に相当する概念です）という表現が用いられます。
＊6） この部分を記載するにあたり、後藤勇人氏のサポートを得ました。記して感謝申し上げます。
ファイナンス2021 Mar.

81

ショートのポジションで利益が生まれるため、それらます。実際、国債の入札において、業者にとって特定が相殺されることで損益が発生しません。

の年限の国債の在庫が重く、そのことが入札の不調をしかし、仮にベア・スティープした場合＊7（金利が招いたなどと説明されることもあります。

上昇しつつも短期金利より長期金利のほうがより上昇した場合）、短期のショートからの利益に比べ、超長GPS という観点でみた銀行の有するリスク量期のロングのポジションでは損失が大きくなります

図3は日銀の「金融システムレポート」（2010 年3月）

（スティープという概念については BOX 1 を参照してでGPSが用いられている事例を示しています。GPSを用ください）。この事例を考えれば、金利のパラレルシ

いて金融機関のリスク量を分析すると、単純にデュレー

フトのみを把握する DV01 やデュレーションといったションやDV01などイールドカーブがパラレルシフトした

指標ではこのようなスティープに伴うリスクをとらえだけでなく、どの年限の金利が上昇した場合に損失が大られないということになります。

きいかを確認することができます＊8。この場合、銀行が分

連載
日本経済を
考える

そこで、ポートフォリオのリスク・リミットを設定す析対象になっていますが、銀行が短中期ゾーンで運用をる際、イールドカーブのパラレルシフトに対するリスする傾向があることから、「3年以下」、「3－5年」、「5年

ク・リミットをDV01等で設定するだけでなく、カーブ

以上」に分けて分析を行っています。金融システムレ

形状の変化に対するリスク・リミットとして、GPSを用

ポートでは、「各年限の金利が1%上昇した場合の保有債いることがあります。単純にデュレーションや DV01の券にかかる金利リスク量（グリッド・ポイント・センシ

みでリスク・リミットを設定すると、前述のように、例

ティビティ〈GPS〉）は、大手行では短中期ゾーン、地域

えば長期金利のみが上昇した時に発生する損失を低く銀行では長期ゾーンの拡大を主因に、それぞれ既往ピー見積もる恐れがあるからです。GPSに基づくことで、ク圏に達している」（p.33）というコメントをしています。

イールドカーブの形状（傾き）の変化に対してどの程度の損失が発生するかを把握できるため、より健全なリス
ク管理が可能になります。

図 3 保有債券の GPS
（兆円）
3

大手銀行

地域銀行

（％）
20

このようなリスク・リミットの存在は、日本国債市場の動きを説明するうえでもしばしば用いられます。例えば、JGBトレーダーが 20 年国債を在庫として保有しており、保有する20 年国債が有する金利リスク量（DV01、
BPV）分だけ先物をショートすることでヘッジし、
ニュートラルなポジションを作っていたとします。服部（2020a）で指摘したとおり、先物は7 年国債金利に連動するため、この状況において、JGBトレーダーは20

15

2

10
1

5

0
00

03
3 年以下

06
3～5 年

09 00
5 年以上

03

06

0
09（年度）

対 TierⅠ比率（右軸）（注）日本銀行「金融システムレポート」より抜粋

年国債ロング、7 年国債ショートのポジションをとっていると解釈できます。この場合、ポジション全体の前述のとおり、GPS は実際の金融機関のリスク管理

DV01ではリスク量がゼロになるようにヘッジしていまでも用いられています。例えば、三菱東京 UFJ 銀行

すが、GPSに基づいた超長期のリスク量はプラスになっ（2012）では国債、スワップ、預金・貸出、その他にています。仮に、そのトレーダーに課されたGPSにつついて GPS を用いてリスク管理を行う事例を紹介していて、20 年国債についてはリスク・リミットに近いリスいます。三菱東京 UFJ 銀行（2012）は、「『ALM 委員

ク量をすでにとっていた場合、このトレーダーは20 年会』等の場において、後述の市場リスク資本を勘案し国債の入札において消極的な応札をする可能性を有しながら、BS 全体及び有価証券ポートフォリオにおけ＊7） 三菱東京 UFJ 銀行（2012）ではベア・スティープを「超長期主導で金利が上昇」（p.303）と説明しています。
＊8） ここでは、日銀の GPS では、残存期間ごとに、「債券評価損＝残高×残存期間×金利上昇幅」としてリスク量を算出し、積み上げる形で GPS を算出
しています。ここでの説明は鎌田・倉知（2012）に基づいています。

82

ファイナンス2021 Mar.

シリーズ 日本経済を考える 110

る BPV および各 GPS の上限値（もしくは、レンジ）を定める。ALM 部門は、その範囲内で国債操作を行

c
c
c+100
+
2 +…+
（1+r1） （1+r2）（1+r10）10

P=

うことが機動的な国債保有戦略（Tactics）の基本となる」（p.389）とコメントしています。ちなみに、三注意してほしい点は、服部（2020c,d）でも国債の菱東京 UFJ 銀行（2012）には各投資家が有する日本

キャッシュフローの割引現在価値を計算しましたが、そ国債の GPS が示されていますが、（この書籍が出版さ

こではr1 ,r2 ,… ,r10 という形で年限ごとに異なる金利で割れた時点が 2012 年である点に注意が必要ですが）同

り引いておらず、一つの金利（r）で割り引いていた点

分析では、生損保等の 10 年超のセンシティビティがです＊9。ここでは特定の年限の金利を上げるという思考大きい一方、5 年以内については銀行のリスク量が大実験をしたいため、1年目のクーポンcにはr1、2 年目のきいことを指摘しています。

クーポンcにはr2 という形で、年限に対応させた金利を用いて割り引いています（このような金利をスポットレー

２．３ GPS のフォーマルな定義＊10といいます）。この場
ト（ゼロ・クーポン・イールド）

合、10 年国債は、10 年金利（r10）が動いた時の影響はす。ここで国債の価格が様々な金利に依存することを大きいものの、1年など10 年以外の金利が動いても、そ表現するため、国債の価格を下記のような金利の関数

もそも分子のキャッシュフローが小さいことから、そので表現します。

価格への影響が小さいことがわかります。
P（r1,r2, … ,rn）

ちなみに、DV01（BPV）はすべての年限の金利がたから、下記のように表現できます。

（rn）に依存することを表しています。i 年の国債の金利が1bps上昇した場合、その価格をP（r1,r2,… ,ri+1bps,

DV01（BPV）= P（r1 + 1bps,r2 + 1bps, … ,ri + 1bps,…,rn）と表現すれば、GPSとは前述のように特定の年限… ,rn+1bps）－ P（r1,r2, … ,ri , … ,rn）

日本経済を
考える

1bps 上昇した場合（パラレルシフトした場合）でし
これは国債の価格（P）が1年金利（r1）からn 年金利

連載

最後に GPS のフォーマルな定義を確認しておきまの金利（ri）が1bpsだけ上昇したときの価格の変化額ですから、GPSは下記のように定義できます。

前述のように各グリッド・ポイントごとの GPS の合計が DV01（BPV）になりますから、i 年の GPS を

GPS=P（r1,r2, … ,ri+1bps, … ,rn）
－ P（r1,r2, … ,ri, … ,rn）
次に、なぜ GPS が元本の償還のある年限に大きく出るかを考えます。まず、10 年国債の価格が将来のGPSi とすると、下記が成立します。

DV01（BPV）=

∑ GPS
i

i

キャッシュフローの割引現在価値で決まるとします。
10 年国債を保有することで将来発生するキャッシュ

BOX 1 イールドカーブのスティープとフラット

フローは期中のクーポン（c）と満期の元本の支払い

本稿で強調したように、イールドカーブは実際（100 円）であると考えると、（クーポンが年 1 回の支にはパラレルに動くわけではなく、短期金利や長払いと簡略化すると）下記のようにキャッシュフロー期金利で異なる動きをすることが少なくありませを割り引く形で価格が決まっているとします。

ん。実務家はイールドカーブがどのように動いたかを表現するため、「スティープ」と「フラット」＊9） 服部（2020c,d）では価格を下記のように定義しました。
c
c
c+100
P=（1+ r）+（1+ r）
2 +…+（1+ r）10
この場合、r を最終利回り（yield to maturity）といいます（単に利回りといった場合、この金利を指します）。服部（2020c）では r で微分すること
でデュレーションを算出しましたが、上記の定式化で r で微分することはカーブ全体を平行移動することを意味しています。スポット・レート（ゼロ・
クーポン・イールド）と最終利回りの違いについてタックマン（2012）では最終利回りを「全てのスポット・レートを 1 つの数値に集約したもの」（p.48）と説明していますが、詳細は同書の 2 − 3 章を参照してください。
＊10）この金利は割引債の利回りに相当します。
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83

という言葉を使います。スティープとは、イール

実務家はあまりに自然にこの表現を用いてカーブのドカーブの傾きが急になることを表現する一方、動きを表現するため、債券市場に係る者はこの表フラットとはイールドカーブの傾きが平らになる

現に慣れる必要があります。筆者も当初混乱しま

動きを表現しています。

したが、毎日使う中で、これらの用語とカーブの動

もっとも、例えばイールドカーブの傾きが急にな

きが自動的に頭に入るようになりました（円債市場

る（スティープになる）場合でも、短期ゾーンの金の実務家は皆このカーブの動きと用語が頭の中に利が低下して急になるケースもあれば、長期金利叩き込まれています）。これらの用語とカーブの動の金利が上昇して急になるケースもあります。前者

きを暗記してしまい、金利の動きを表現するうえで、は国債が買われて（価格が上がり、金利が低下す

積極的に活用してこれらの用語に慣れることが一ることで）スティープになるため、ブル・スティー

案ですが、筆者の場合、ブルは債券が買われる（金プと呼ぶ一方、後者は国債が売られて（価格が下利が下がる）、ベアは債券が売られる（金利が下ががり、金利が上昇することで）スティープになるたる）という意味をまずは頭に入れ、スティープに動め、ベア・スティープといいます。ブルやベアはそ

くか、フラットになるかをイメージしています。

連載
日本経済を
考える

れぞれ価格が上昇・下落することを表す金融業界

なお、カーブがフラットになることで利益が上の専門用語（ジャーゴン）です。一方、フラットにがるポジションをフラットナー（flattener）、カー

なる場合は、同様のロジックで、ブル・フラットとブがスティープになることで利益が上がるポジ

ベア・フラットという表現が用いられます。図 4 がションをスティープナー（steepener）といいます。

これらのカーブの動きをまとめています。

本稿で、JGBトレーダーが超長期国債を在庫として保有する一方、先物をショートすることでヘッ
ジするケースを取り上げましたが、これはカーブ

図 4 各種金利上昇のシナリオ
金利

ベア・スティープ

金利

ブル・スティープ

がフラットになることで収益が上がるため、フラッ
トナーのポジションです。一方、超長期国債をショートし、先物をロングすることでヘッジした
場合、スティープナーのポジションといえます＊11。

年限

金利

ベア・フラット

金利

年限

３．GPS と VaR との関係
３．
１

ブル・フラット

VaR とは

GPSはVaR とも密接な関係を有しています。VaR とは、実際の資産価格や金利の動きに基づき、リスク量を算出する指標です。たとえば 10 年国債のリスク量を算出する場合、デュレーションでは約 10 という金
利感応度を用いますが、VaR の場合は、10 年国債の年限

年限

利回りの過去の動きに基づき、リスク量を算出します。例えば、過去 5 年のデータを取得して、金利変化

ベア・スティープやブル・フラットなどの表現は債券の初学者が当初は混乱しますが、債券市場のを計算し、そこから標準偏差やパーセンタイル値＊12を計算することでリスク量を算出します。

＊11） ちなみに、ヘッジをしないでロングすることを明示的に表現するため、実務家はしばしば「アウトライトで買う（ロングする）」と表現することがあります。
＊12） パーセンタイル値とは、金利上昇を悪いシナリオとすれば、悪いシナリオから数えて 1％番目の「金利上昇」を金利リスク量という形でリスク量を算出する方法です。実際には、悪いシナリオからでなく、良いシナリオから 99％番目（＝悪いシナリオから 1％番目と同じ）である 99% タイル値を用
います。

84

ファイナンス2021 Mar.

シリーズ 日本経済を考える 110

VaR を用いることのメリットは実際のデータに基づです」という形で一言で自分のリスク量を表現するこきリスク量を算出できることですが、データに基づくとが可能になるわけです。VaR は JP モルガン銀行がことで投資家が有する幅広い金融商品を統合的にリス開発したと説明されることが多いですが、JP モルガ

ク管理することも可能にします。金融機関は国債など

ン銀行が VaR を開発した背景には、当時の会長が毎に加え、株式や社債など多数の有価証券を抱えてお日受け取る長いリスク報告に不満があり、銀行が有す

り、その一つ一つが固有のリスクを持つがゆえ、今自るリスク全体に焦点を当てた単純なものを求めたこと分が有しているリスク量全体を把握することは容易でが背景にあるとされています＊14。

はありません。VaR はデータを用いることで統合的なVaR は 金 融 規 制 な ど と も 密 接 な 関 係 を 有 し て お
り＊15、現在ほとんどすべての金融機関で使われている

管理を可能にするわけです。
ぞれリスク量が100 万円だったとしましょう。このポーデータさえ得られれば、株式やファンドでさえ統合的トフォリオ全体のリスク量を測る一つの考え方は、それにリスク管理ができるため、非常に強力なツールといぞれ100 万円ですからその合計である200 万円をリスクえます。もっとも、VaR にもデメリットがある点を認量とするというものです。例えば、図 5の左図のように識する必要があります。基本的には過去のデータに基その両者が同じ動きをしていればそのような算出に合理づくため、例えばかつての経験と異なる現象が起きた性はあるでしょう。しかし、図 5の右図のようにその二場合、想定以上の損失が発生することがあります。まつの資産価格が全く逆の動きをするものであれば、むした、相関関係を推定することで統合リスク管理が可能

ろ単体で持っていればリスクはあるものの、両者を同時になると述べましたが、かつて見られた相関関係が壊に持つことでリスク量を相殺することができます。例えれる可能性もあります。さらに、VaR の実際の計算にば、10 年国債を保有していれば金利の変動によって価当たっては正規分布を利用する金融機関が少なくあり格が変化するためリスクが発生しますが、国債の価格とませんが、この分布に基づいてリスク量を計算する

反対の動きをする資産を買うことができればポートフォと、金融危機などの稀なイベント（いわゆるテールリ

リオ全体の変動を抑制することができるわけです。

スクイベント）を過小評価する可能性もあります。

日本経済を
考える

非常に普及したリスク管理の手法です。原理的には

連載

例えば、読者が 2つの金融商品を保有しており、それ

もちろん、金融市場の実務家もVaRに限界があるこ
図5とは承知しています。現実的にリスク管理の指標をVaR

資産間の相関係数のイメージ

価格

価格
資産 A

にすべて押し付けるわけにはいきませんから、実際には

資産 A

VaR だけでなく、その他のリスク管理指標を併用してリ

資産 B

スク管理を行っています。例えば、テールリスクイベン

資産 C
時間

時間

トについては、金融危機時のようなストレス時における価格変動が発生したらどのような損失が発生するかを

このような資産の間の値動きの関係をとらえる概念

把握し、それにも耐えうる体力があるかを確認することを「相関」といいますが、過去の値動きのデータさえでリスク管理を行っています（これをストレステストと得られれば、その相関関係を推定することが可能であいいます）。ちなみに、金融庁と日銀は、大手金融機関

り、それを考慮したうえで、自分が保有している有価を対象に「共通ストレステスト」を継続的に実施する方証券のリスク量を統合して管理することができます。

針を明らかにしており、近年、ストレステストの重要性

すなわち、「今私が抱えているポートフォリオ（ポジは高まっているといえましょう（詳細は日本銀行・金融

ション）の最大損失量＊13

はデータに基づけば〇億円

庁（2020）を参照してください）。

＊13） 実際には 99% タイル値などを VaR として用います。99％タイル値が「悪いシナリオから数えて 1％」番目という意味にもかかわらず「最大」と表現することに違和感があるかもしれません。ここでは「99％」の信頼区間の中で最大という意味で使っています（実際、算出された VaR を最大損失額という表現を使うことは少なくありません）。
＊14） このエピソードはハル（2008）などで紹介されています。
＊15） 藤井（2016）はバーゼル規制に VaR の手法が採用されたことが VaR の普及と発展に大きく寄与したことを指摘しています。特にバーゼル規制における市場リスク規制における内部モデルの採用を金融リスク管理における「VaR 革命」と表現しています。
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85

３．２ VaR と GPS の関係します。分散共分散法とは、（1）金利変化が正規分布

冒頭で VaRとGPSが密接な関係を有することを指摘しに従って変動すること、（2）金利変化に対する価格感ましたが、その理由として、保有する有価証券について、応度が一定（線形）という仮定を置き、VaR の算出すそれぞれの有価証券をGPSに分解したうえで、それを集る方法です。分散共分散法と呼ばれる理由は、正規分約する形で VaRを算出することが少なくないことが挙げ

布を用いることで、金利の変化などに関する分散と共られます。金融機関が多数の有価証券を保有している場

分散に基づき、VaR を算出することができるためです。

合、その一つ一つのボラティリティや相関関係を推定す

ここから具体的に考えていきますが、分散共分散法

るには膨大な手間がかかりますが、正規分布に基づく分では、VaR は下記の式に基づき算出されます。

散共分散法と呼ばれる手法を用いれば、例えば国債ポー
トフォリオのリスク量をGPSに落とし込み、GPSで想定

VaR= λ T ϕ' Σϕ（1）するグリッド・ポイントごとの相関関係とボラティリティ
λは VaR のパーセンタイル値に対応する掛け目で、を用いることで、VaRを算出することができます。

連載
日本経済を
考える

現在の実務では、過去のデータを用い、分散と共分

信頼区間 99％の場合、λ =2.33 となります（この掛散を推定したうえで、それを正規分布に当てはめるこ

け目を変えることで 95％や 99.9％の信頼区間でみたとでVaRを計算することが少なくありません＊16。そのVaR も計算できます＊19）。信頼区間の概念については

一方で、正規分布に基づかない VaR の算出方法もあ

統計学のテキストや服部（2020b）を参照していただります。例えば、ヒストリカル法のように過去のデー

きたいですが、信頼区間 99% で VaR を算出した場合、タをそのまま用いてリスク量を推定したり、モンテカ

ポートフォリオの損益が VaR の範囲に 99% の確率でルロ法のように乱数を発生させて、シミュレーション

収まることを示しています＊20。一方、T はどれくらいをすることで VaR を算出することもあります。バー

の期間にわたる損失を考慮しているかを示しており、ゼル規制では銀行勘定の金利リスクの算出が求められ実務ではしばしば「保有期間」と呼ばれます。実務的ていますが、そこではヒストリカル法のようなイメーには、営業日ベースで金利データを取得し、金利変化。債務の系列を作り、そこから 1 営業日の標準偏差を算出す

管理当局はコスト・アット・リスク（Cost at Risk,

ることが多いことから、例えば T=1 であれば 1 営業日

CaR）と呼ばれる手法でリファイナンス・リスク（借で の VaR を 表 す し、T=10 で あ れ ば 10 営 業 日 で の換リスク）を定量的に計測していますが、（シミュレーVaR と解釈することができます。

ジで金利リスクの算出が求められていました＊17

ションに基づく）モンテカルロ法に近いアイデアでリ
スク量を算出しています（コスト・アット・リスクに

本稿は GPS に着目していますが、式（1）におけるϕが GPS になります。

ついては服部（2021）を参照してください）。
ϕ =（x1,x2, … ,xn）'

４．数式を用いた VaR と GPS の関係 18＊

４．１

分散共分散法の概要

ここではベクトルという形で抽象的に表現されていますが、例えば、x1 は1年金利が1bp動いた時の価格変化

最後に、分散共分散法を用いて VaR を算出した場合、

額、x2 は2年金利が1bp動いた時の価格変化額という形

VaR とGPS がどのような関係を有するかを数式で確認でグリッド・ポイントごとの価格変化額（GPS）がϕにス＊16） 金利と正規分布の関係については服部（2020b）やそれ以降のオプションに係る筆者の論文で詳細に言及しているため、そちらをご一読いただければ幸いです。
＊17） バーゼル 2 における「アウトライヤー規制」では 99％タイル値の計算が求められていましたが、2018 年 3 月期から国際統一基準行に適用が開始された銀行勘定の金利リスクに対する規制（いわゆる IRRBB, Interest Rate Risk in the Banking Book）では金利リスクを把握するうえで 99% タイ
ル値は用いられておらず、「パラレル上・下、スティープ、フラット、短期上・下」という 6 つのシナリオが用いられています。
＊18） この部分を記載するにあたり、藤原哉氏、毛利浩明氏のサポートを得ました。記して感謝申し上げます。
＊19） エクセルの NORM.S.INV 関数（標準正規分布の累積分布関数の逆関数）を使えば簡易的に計算できます。例えば、信頼区間 99% については
NORM.S.INV（0.99）≒ 2.33 という形で算出できます。
＊20） 例えば読者が一定量の国債を保有していたとします。その際、99% の信頼区間でみた VaR が 100 万円の場合、その国債の保有に係る損益は 99% の確率で 100 万円の範囲に収まることを意味しています。

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タックされているイメージになります。本稿ではもっぱらをみることでその債券が有する単体のリスク量だけで国債にフォーカスして話を進めていますが、実務におけなく、VaR に対するインパクトを考慮することもでき

るVaRの計算に当たっては、多数の資産を統合的に管理ます。ただし、このように簡易的に計算できる理由するため、ϕには為替や株式などのリスク量も含められは、前述のとおり、各リスク・ファクターが正規分布ますから、VaRを説明するテキストなどではϕをGPSでに従うなどの仮定がある点に注意が必要です。

はなく、リスク・ファクターなどと呼ぶことが少なくあり

４．
２ GPS を用いる理由ません＊21。
Σは各年限の分散共分散行列です。フォーマルには注意すべき点は、ϕ =（x1,x2, … ,xn）における x1 は

下記のように表示されますが、1 年金利の変化の分散、

1 年国債の保有額ではなく、GPS になっている点です。

2 年金利の変化の分散などが行列の対角線上に入ってこの理由は、ここでの分散共分散行列（Σ）が国債のおり、1 年金利の変化と 2 年金利の変化の共分散など「価格変化率」の分散共分散行列ではなく、国債のが対角線以外の部分にスタックされているイメージに「金利変化」の分散共分散行列になっているからです。

なります（実際の VaR の計算では国債以外の資産の分分散共分散行列（Σ）に国債の「価格変化率」の分散

散および共分散もこの行列に含まれます）。

や共分散が含まれていた場合、ϕを国債の保有額と）（「国債の保有額 × 価格変化率のボラティリティ」といVaR を算出する場合、分散共分散行列は、標準偏差は、「価格変化率」でなく、「金利変化」の分散や共分と相関係数を明示的に表現し、下記のように表示され散を用います。服部（2020c）で強調しましたが、国ることも少なくありません＊22。

債の価格変化率は金利変化のデュレーション倍変化し……

ρn1 σn σ1

ρ12 σ1 σ2 … ρ1n σ1 σnσ22…
ρn2 σn σ2 …
σn2

…

σ12
ρ21 σ2 σ1……

Cov（xn,x1）分散行列を用いて VaR を計算することができます

Cov（x1,x2）… Cov（x1,xn）
Var（x2）…
Cov（xn,x2）… Var（xn）うイメージでリスク量を算出できます）。
しかし、実務的には分散共分散行列を計算する際

日本経済を
考える

（

Σ=

…

Var（x1）
Cov（x2,x1）Σ=

連載（

し、Σを国債の「価格変化率」をベースとした分散共ますから、実際の損益を計算するには、金利変化に感）応度（デュレーション）を掛け合わせることで価格変化に直す必要があります。さらに、「価格変化率」を
実際の損益の金額に直すため、国債の保有額を加味することで「価格変化額」を把握することができます

σi はある資産 i の標準偏差です（例えば、1 年債のが、GPS は前述のとおり、DV01 などと同様、「価格金利変化で算出された標準偏差です）。ρij は資産 i お

変化額」を表しますから、GPS を分散共分散行列によび j の相関係数になります（例えば、1 年債の金利掛け合わせることで VaR を算出するわけです。そも変化と 2 年債の金利変化の相関係数です）。

そも分散共分散行列を計算する際、金利変化を用いて上記を考えれば、各資産の標準偏差と相関係数に加計算しているため、このような感応度の調整が必要にえ、保有している資産の GPS が得られれば式（1）をなるわけですが、その理由は、債券は金利をベースに用いることにより、ポートフォリオ全体の VaR を算議論をするため、金利変化の分散や共分散を計算した

出することができます。保有期間や信頼区間を変化さ方が商慣行に合っているし、ボラティリティや相関係

せたい場合は T やλを動かすだけで済みます。また、数などの解釈がしやすいことが一因です。

金融機関がある有価証券に追加投資する際、その GPS

ここで、1変数の場合の計算例を考えてみましょう。こ＊21） 例えば、三菱東京 UFJ 銀行（2012）ではϕについて「各リスクファクターのセンシティビティのベクトル（国債の場合はグリッドポイントセンシ
ティビティ）」（p.390）と記載しています。他の書籍でも同様の表現が使われています。

0

0 … 0
σ2
…
0 … σn

……

）（

σ1
0

…

ρn1

ρ12 … ρ1n1…
ρn2 … 1
……

）（

1
ρ21

…

0

0 … 0
σ2
…
0 … σn

……

σ1
0

…

（

＊22） この式はさらにΣ =）と記載することもできます。

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こでは10 年国債を1億円保有していた場合の1日の最大

グといいます）。また、高度な数学を用いるリスク管理

損失額（VaR）を過去5年のデータを用い、99% 信頼区を行うことは理想的かもしれませんが、その一方でどの間で考えます。この場合、λ = 2.33、T=1となりますが、ような計算をしているかの直観が得られなくなるという

ϕ'Σϕは10 年ゾーンに焦点を当てれば、これは「10 年副作用がある点も見逃してはならないでしょう。

国債のBPV（DV01）×金利変化のボラティリティ（σ）
」

ここでは分散共分散法について簡易的に説明しまし（＝「10 年 国 債 の 保 有 額×価 格 変 化 率 のボラティリ

たが、同手法の詳細を知りたい読者や、ヒストリカルティ」） と解釈できます。例えば、過去5年のデータを

法 や モ ン テ カ ル ロ 法 の 概 要 を 把 握 したい場合は、用いて、金利変化のボラティリティ（イールド・ボラティ

FFR+（2010）や青沼・村内（2009）などを参照しリティ）を計算した場合、5bpsであるとしましょう（こていただければ幸いです。

＊23の値は過去5年の経験則でいえば 68％のデータについて（1営業日で）－5bpから＋5bpのレンジで動いていたと。
解釈できますが＊24、その理由は服部（2020b）を参照）

５．おわりに10 年国債のデュレーションを簡易的に10とすると、BPV

本稿では 3 回にわたり金利リスクの基礎について解は1bps×10×1億円＝100,000円と計算できるため、10説しました。次回はバーゼル規制における金利リスク

年国債を1億円保有した場合のVaRは「2.33×BPV×σ

規制である銀行勘定の金利リスクについて取り上げる＝2.33×100,000×5=1,1650,000円」と計算できます

。

＊25

連載

ことを予定しています。

分散共分散法では、このように金利変化に対する感応

日本経済を
考える

度を用いるのですが、この金利の変化については微小な変化のみを考え、金利変化の非線形的な関係（いわゆるコンベクシティ）については考慮しません。分散共分散法はデルタ法と呼ばれることもありますが、これはデルタと呼ばれる線形の関係のみ考慮しているからです＊26（コンベクシティの詳細は服部（2020d）を参照して
ください）
。

４．３

その他の注意点

本節では分散共分散法に基づき説明をしました。メ
ガバンクなどはヒストリカル法を用いているものの＊27、筆者の理解する限り多くの金融機関は分散共分散法を今でも用いています＊28。正規分布などの仮定が強いと思われる方もいるかもしれませんが、前述のとおり、その他のリスク管理の手法を併用する形でリスク管理を行っています。VaRに限界がある点を指摘しましたが、実際のデータを用いて VaR が正しいリスク量を計算しているかの検証もなされています（これをバックテスティン

参考文献
［1］
. 青沼君明・村内佳子（2009）「Excel & VBA で学ぶ VaR」金融財政事情研究会［2］. 鎌田康一郎・倉知善行（2012）「国債金利の変動が金融・経済に及ぼす影響―金融マクロ計量モデルによる分析―」RIETI

Discussion Paper Series 12-J-021［3］. 日本銀行金融機構局、金融庁総合政策局・監督局（2020）「共通シナリオに基づく一斉ストレステスト」『日銀レビュー』

2020-J-13［4］. 服部孝洋（2020a）「日本国債先物入門：基礎編」ファイナン
ス 1 月号、60–74.
［5］. 服部孝洋（2020b）「国債先物オプション入門―オプション市場
からみた金利リスクについて―」ファイナンス 4 月号、38–42.
［6］「金利リスク入門―デュレーション・DV01. 服部孝洋（2020c）（デルタ、BPV）を中心に―」ファイナンス 10 月号、54–65.
［7］. 服部孝洋（2020d）「コンベクシティ入門―日本国債における価格と金利の非線形性―」ファイナンス 12 月号、66–75.
［8］. 服部孝洋（2021）「コスト・アット・リスク（Cost at Risk,
CaR）分析入門」財務総研スタッフ・レポート［9］. 藤井健司（2016）「増補版 金融リスク管理を変えた 10 大事件+X」きんざい［10］. 三菱東京 UFJ 銀行（2012）「国債のすべて―その実像と最新ALM によるリスクマネジメント」きんざい［11］. ブルース・タックマン（2012）「債券分析の理論と実践（改訂版）」東洋経済新報社［12］. ハル（2008）「フィナンシャルリスクマネジメント」ピアソ
ンエデュケーション［13］.FFR+（2010）「リスク計量化入門― VaR の理解と検証」金
融財政事情研究会＊23） ϕ' Σϕはいわば（1 変数の場合）分散を GPS（ϕ）で挟み込んでおり、これは二乗を意味していますが、ルートがとられているため、GPS ×標準
偏差になります（ここでは 10 年国債だけ考えているので 10 年の GPS を BPV と解釈しています）。
＊24） ここでの解釈は金利変化が正規分布に従うと想定しています。
＊25） ここでは 1 変数の事例を上げましたが、2 変数の事例に関心がある方は FFR+（2010）や青沼・村内（2009）などを参照してください。
＊26） デルタとはもともとオプションに関する概念ですが、債券を金利に関するデリバティブとみなせば、金利の微小の変化に関する価格変化はデルタそのものです。服部（2020c）では DV01 や BPV をデルタと呼ぶこともあり、デュレーションなどと同様に線形の金利リスクを捉える概念として説明しました。
＊27） 三菱東京 UFJ 銀行（2012）ではヒストリカル法に基づいた場合も、GPS を用いて VaR を計算する計算方法が紹介されており、分散共分散法以外の方法で VaR を算出する際にも GPS の知識が必要であることが確認できます。
＊28） どのような手法を用いているかは金融機関のディスクロージャー誌等で開示されています。

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