場合の数・確率の指導法の研究
愛媛県立松山西中等教育学校

１矢埜

強(6) Ａの起こらない確率の求め方

はじめに
本校は中高一貫校であり、１学年４クラスの６学年で編ことがらＡの起こる確率を p とすると、成されている。数学おいては、第 1 学年を除いた５学年で習熟度別講座に分かれて授業を実施している。私は今年度

Ａの起こらない確率＝ 1  p

第２学年（中学２年生）の学級担任をしており、授業では第２学年と第６学年（高校３年生）を担当している。国公

中学２年生においては、起こりうる場合の数を、表に整立の難関大学を希望する生徒も多いため、レベルの高い内理したり、樹形図に表したりして数え上げ、それをもとに容を取り扱っている。しかし、学年が上がるごとに授業に確率を求めていく。場合の数を求めるときに、生徒の中についていくのも難しい生徒も増えてきているのも事実であは、樹形図を書く場合に見落としがあったり、面倒くさがる。中学２年生で確率を教える中で、より高校生には確率る者もいた。高校数学で順列や組合せを学んでいる自分にを求める際に様々な計算方法の便利さを実感し、その定着とっては指導上やりづらさを感じてしまう場面が多かったを図って欲しいと考える。そのためにも場合の数・確率のように思われる。高校では場合の数や確率を求める際には分野において、生徒が苦手としている問題の傾向を考察し、計算を用いて求めていくということを伝えると、興味・関一人でも多くの生徒が場合の数・確率への関心を高めて欲心を抱く生徒が数多くいた。

しいと願い、本主題を設定した。
３
２

中学２年生での確率の学習内容

生徒が苦手・勘違いしやすい基礎・標準問題の分析

問題 ８人の中から，委員長、副委員長、書記の各１人選

中学２年生では、確率の必要性と意味を理解し、確率をぶ方法は何通りあるか。

用いて不確定な事象を考察し表現することを目標としてい順列・組合せにおける基礎的な問題であるが、勘違いしる。生徒の多くは、「確率」ということばを、天気予報の降やすいところでもある。生徒は問題を見て、選ぶという言水確率や、選挙の当選確率などで聞いたことがある。しかし、その数値の意味を問うと、正確に答えられる生徒は少葉だけを受け入れて組合せ n C r をすぐに使ってしまう生ない。
「100 本のうち 23 本があたりのくじである箱Ａと 150徒もいる。数学が苦手な生徒はすぐ公式に頼ってしまう傾本のうち 34 本があたりのくじである箱Ｂがあります。あ向がある。そのことがらを決定するためには、ただ選ぶだたりを引くには、あなたはどちらの箱からくじを引きます

けでは役職が決定しないことを確認し、役職を決定するたか」という質問をすると、クラスの 80％程度の生徒はＢの箱と答えた。以下が中学２年生で学ぶ内容である。
(1) 確率の定義：あることがらの起こることが期待される程度を表す数(2) 同様に確からしいことの意味

めにはどうすればよいかを考える必要がある。順列 8 P3 を使う一方で 8 C3  3! を利用して解くように指導してもよ
いと考える。

(3) 確率の求め方
起こる場合が全部で n 通りあり、そのどれが起こること問題 水，お茶，スポーツドリンクの３種類の飲み物を売も同様に確からしいとする。
そのうち、ことがらＡが起こる場合が a 通りであるとき、っている自動販売機で，６本の飲み物を購入する。購入

ことがらＡが起こる確率pan(4) 表や樹形図を用いて場合の数を数える(5) 確率の範囲あることがらの起こる確率 p とするとき、0 ≦ p ≦1

しない飲み物があってもよいものとすると，購入の組合せは何通りあるか。
重複組合せの問題である。授業で学んだ際はある程度の生徒が理解をしているが、時がたって問題に取り組んでみると解けない生徒が多数であった。 3 H 6  361 C6 を用いて解くことができるが、ここではしっかりと考え方を定着させることが大切である。生徒は３種類の飲み物があるということばかりに気をとられている。ここでは６本の飲み物○○○○○○を２本の区切り線で３つの部分に区切る。

左側を水、真ん中をお茶、右側をスポーツドリンクとしてり生徒には解法がしっかり定着したように感じた。

考えるやり方を定着させることがこの問題を確実に解く鍵となる。生徒の解答では６個の○と２個の｜を１列に並べは分かりやすいようであった。少なくとも１本は購入しな1である。
3ければならない場合は１本ずつ確保しておいて、残りの３この２人が試合をし，先に３勝した方を優勝とする。引

本の飲み物○○○を２本の区切り線で３つの部分に区切る

き分けはないものとして、４試合目に A の優勝が決まる

方法で解けばよいとあわせて指導しておくとよい。

確率を求めよ。

る順列で解く生徒が多かった。順列を用いたほうが生徒にある試合で A が B に勝つ確率は一定で問題反復試行の標準的な問題である。しかし勘違いしやすい
10 人がＡまたはＢの２部屋に入る方法は何通りあ問題

るか。ただし，１人も入らない部屋があってもよいものとする。
重複順列の簡単な問題である。しかし数学が苦手な生徒
rの中には重複順列 n を用いて 102

 100 と解答する者問題でもある。４試合で３勝すればよいという勘違いから
3

1  24 C 3     という解答をする者もいる。そこでまずは 3  3
試合の進行パターンを考えさせる。
１試合目

２試合目

３試合目

４試合目

もいた。きちんとその問題をイメージし、「人が部屋を選ぶ」

×◎◎◎という考えを持たせる。最初の人はＡかＢの２通りの選び

◎

×

◎

◎

方がある。次の人も最初の人と同じ部屋に入ってもよいし、

◎

◎

×

◎

◎

◎

◎

×

別の部屋でもよいので２通りの方法があり重複順列である。
そう考えると 2  2    2  2 という考えが出てきて※A が勝つ・・・◎

10r

生徒は勘違いしない。 n という公式を安易に出さず、地A が負ける（B が勝つ）
・・・×

進行パターンの表を作ることにより、すべて３勝１敗であるが、４試合目は必ず A が勝たなければならないことがより定着させることができる。またこの表により３試合目ま道に問題をイメージして考える方が良いと考える。

での成績は２勝１敗であることが一目で分かり生徒は勘違問題

1  2 1
いすることなく 3 C 2        と解くことができ 3  3  32

２つのさいころを同時に投げるとき，出た目の最大値が４となる確率を求めよ。
24
「最大値が４以下」となる確率は   、「最大値が３6
23以下」となる確率は   となるので、「最大値が４」とな6
22た。しかし４試合目に A が勝つ確率1をかけ忘れる生徒が3いるので注意する必要がある。
４まとめ
中学２年生で確率を指導してみて、樹形図を書いて場合

7 4 3
で求めることができる。た   36
6 6の数や確率を求める解法の手間と時間がかかることを改めだしここではあえてまず場合分けをして生徒に解かすこと組合せ、確率の求め方がいかに速く解けて便利であるかをにした。一方で４の目が出て、もう一方で３以下の目が出感じることができ、生徒たちには高校においてしっかりと1 36、２回とも４の目が 2 
6 636

学習内容の定着を図って欲しいと思った。場合の数や確率

1 1 1となる。よって求める 
6 6 36い者も多い。そのためにも生徒がつまずきやすい問題を分る確率は るとき、その確率は出るとき、その確率は確率は617となる。しかし、この方針だとさ
36 36 36

いころの数が増えるにつれて場合分けが面倒になる。よって最初に示した方法で解くと良いと生徒に指導すると、よて感じることができた。それと同時に高校生で学ぶ順列やは生徒にとって身近に感じやすい学習内容であるが、苦手な生徒にとっては基本的な問題がしっかり理解できていな析し、生徒にとって分かりやすい指導方法を今後も研究していきたい。