新学習指導要領の研究
－数学Ⅲ－

はじめに

愛媛県立新居浜東高等学校

西坂靖司

愛媛県立松山中央高等学校

岩城俊哉

愛媛県立宇和島南中等教育学校

岡﨑英幸

基づいて曲線の方程式を導くとあり、数学Ⅱの「軌跡」

学習指導要領研究委員会では、一昨年から３年計画での内容をしっかり理解させておくことが必要であると思

新学習指導要領についての研究を始めた。研究最終年度

われる。また、媒介変数による表示、極座標による表示にあたる今年度は、数学Ⅲについての研究を進めることについては、二次曲線の内容や（３）微分法、（４）積分とした。

法で取り上げる曲線を中心に扱うものとしている点に注

新学習指導要領では数学Ⅲの標準単位数は５単位と明意する必要があるであろう。

記されている。平成 10 年度改訂の学習指導要領（以下、複素数平面については、複素数の図表示やド・モアブ

現行学習指導要領と明記）では、数学Ⅲは３単位であっルの定理について理解させることに重点が置かれている。

たため、数字的には大幅増となる。ただし、内容的には旧学習指導要領（平成元年度改訂の学習指導要領）の数「行列」に替えて「複素数平面」が入り、現行学習指導学Ｂで扱われていた内容が約 10 年ぶりに復活すること要領の数学Ｃの「二次曲線」を含んだもの、と考えるなになった。旧課程の頃を思い返してみると、文系生徒にらば、標準単位数が２単位である数学Ｃをほぼ含めてのとって複素数平面という分野はかなりの負担になっていものとなったといえる。その他の部分については、現行たように思われる。その意味では、数学Ｂではなく、ほ学習指導要領の数学Ⅲの内容と大きく変化する部分は少ぼ理系生徒のみが履修すると予想される数学Ⅲで扱うこないため、単位数的には変更なしと見てよいであろう。とになったことは歓迎すべきことなのかもしれない。たまた、履修順序についても、数学Ⅱを履修したあとにだし、理系生徒とはいえ、旧課程の頃の生徒に比べて学履修することを原則としており、学習指導要領解説には力低下が叫ばれている今、その指導はより慎重に行う必「この科目は、数学に強い興味や関心をもって更に深く要があるだろう。内容的にも、複素数の和、差及び実数学習しようとする生徒や、将来、数学が必要な専門分野倍の図表示なども扱うことになっており、数学Ｂのベクに進もうとする生徒が履修する科目」とあり、大きな変トルとの関連も図りながら、丁寧に指導していくことが更点は見られない。したがって、これまでどおり、大学必要であろう。数学Ｂのベクトルは選択履修になってい進学をめざす理系生徒中心に履修させることになるであるが、数学Ⅲとの接続を考慮すると、理系の生徒たちのろう。なお、現行学習指導要領における数学Ⅲだけを履

多くは、ベクトルを選択させるのが適切ではないかと思修させ、数学Ｃを履修させていない学校は、ほぼ零であわれる。

ると思われるため、内容が数学Ⅲに吸収されてしまったことによる影響も少ないものと予想される。

現行学習指導要領の数学Ｃ「式と曲線」において、二次曲線については、「二次曲線の標準形やそれを平行移動

実質的な単位数や履修内容、履修順序に大きな変化がした程度のものを扱い、曲線の回転は扱わないものとすないため、数学Ⅰ・Ⅱ・Ａ・Ｂに比べて注意する点は少る。」とあり、「行列とその応用」においては、「平面上のないとは思われるが、これまでとの違いや留意点につい点の移動のみを扱う」とある。しかしながら、近年の大て研究していきたい。

学入試においては、行列の応用問題として、原点を中心とした点の回転移動と関連付けて二次曲線の回転に関す（１） 平面上の曲線と複素数平面
学習指導要領解説の内容には「平面上の曲線がいろいる問題が出題されている。今回の改訂で、学習指導要領ろな式で表されること及び複素数平面について理解し、察することは含まれない。」とあるが、「複素数平面」でそれらを事象の考察に活用できるようにする。」とある。

は、「平面図形への応用を扱うことも考えられる。」とあ解説の「平面上の曲線」には、「二次曲線を回転させて考平面上の曲線については、直交座標による表示、媒介る。複素数平面上での原点のまわりの回転移動について変数による表示、極座標による表示などの基本的な概念学ぶことを考えると、今後大学入試に、二次曲線など座について理解させることに重点が置かれており、現行学標平面上の図形の回転移動の問題が出題されることを視

習指導要領の数学Ｃの内容と大きな変更点はない。ただ野に入れながら指導していく必要があるであろう。

し、直交座標による表示においては、幾何学的な定義に今回の改訂で、「平面上の曲線」が数学Ⅲの１分野となり、「微分法」の前に指導することになった。二次曲線や媒介変数表示を理解した上で、「微分法」を学習することになり、生徒にとっては、関連分野がつながることでより微分積分学の理解が深まることが期待されるであろう。
（２） 極限学習指導要領解説の内容には「数列や関数値の極限の原理を理解し、それらを事象の考察に活用できるようにする。」とある。
内容については、「ア数列とその極限」と「イ関数とその極限」で構成されており、現行学習指導要領と同じである。数列とその極限について、「数学Ｂの数列で扱っているが，この内容を履修していないことも考えられるので，指導に当たっては配慮が必要である。」とあるが、現行学習指導要領で数列とベクトルを履修していた学校が大半であったように、新学習指導要領でも同様の選択が予想されるため、大きな混乱はないように思われる。
ただし、数学Ⅰの「データの分析」は、今回の学習指導要領の改訂の大きな目玉の一つと考えられる。その重要性が今後ますます増してくると考えるならば、中には数学Ｂで「確率分布と統計的な推測」を履修する学校も出てくるのではないだろうか。その場合は、数学Ｂの数列を履修しないことも考えられるため、数学Ⅲの授業において十分対策が必要であると思われる。

数については、 y=x k （ kは有 理数）、 y= ax+b 及びy= ax 2 +b の程度の簡単な関数を扱うものとする」という部分は削除された。このことは、基礎的内容にとどまらず、より高度な内容の学習に発展させる可能性を示している。これに伴って教科書にも変化が見られ3る。例えば「 y= x 2 +4 を微分せよ」という問題において、従来ではu=x 2 +4と置 換する解法を採用していたが、今回の改訂によって、置換しない解法を採用しているものがあり、とてもスマートである。本来導関数を求めることは、最終目的ではなく問題を解くために必要な手段の一つに過ぎない。シンプルな解法への変更に伴い、その指導には今まで以上の工夫と説明力が必要とされるだろう。その他、従来よりも高度な内容を取り扱っている例として、「２曲線が接する条件」や、発展内容ではあるが「ロルの定理」を挙げている教科書もある。
現行学習指導要領の数学Ｃ「式と曲線」の内容が、新学習指導要領では数学Ⅲ（１）「平面上の曲線と複素数平面」に移行したことにより、陰関数や媒介変数表示された関数の導関数における指導が大変スムーズになる。現行学習指導要領では、数学Ｃの学習を前提としていない数学Ⅲの微分法で「媒介変数表示」や「媒介変数」という用語が登場するが、その直後「F(x,y)=0⇔ x=f(t),y=g(t)」 の変形 を未習 の状態 でそれきるようにする。」の活用例として、漸化式で与えられたらの導関数を求めるという無理な学習内容がある。また、楕円については補足で紹介のみ、双曲線について数列の極限値を利用して 2 の近似値を扱うことが紹介されている。また、逆関数において、現行学習指導要領は参考グラフのみという扱いしかできなかった教科書は多かった。今回の改訂において、数学Ⅲと数学Ｃ

では「対数関数が指数関数の逆関数であることに触れてを融合したことによるメリットは特に大きいと感じる。

内容面については、「数列の極限を事象の考察に活用でおくことも考えられる。」という標記であったものが、新学習指導要領では、「対数関数が指数関数の逆関数であるど、多くの部分で内容がより深くなっている。ただし、（４） 積分法
学習指導要領解説の内容には「積分法についての理解現行学習指導要領でも指導していた学校は少なくないとを深めるとともに、その有用性を認識し、事象の考察に思われ、大きな混乱はないものと考えられる。その中で活用できるようにする。」とある。

こともここで触れる。」という必須項目に変わっているな

気になるのは、現行学習指導要領にあった「ここで扱う現行学習指導要領で「置換積分法は、ax+b=t、x=asin

極限は導関数の計算に必要な程度にとどめる。」という標

θと置き換える程度とし、簡単なものについてはこれ以記が削除されていることである。逆に考えれば、かなり外に扱ってもよいが、その場合には置き換える関数を指の応用問題まで踏み込むことも予想され、入試問題を含示するものとする」「部分積分法は、簡単な関数についてめて学習内容を検討していく必要があるかもしれない。

１回の適用で結果が得られるものにとどめ、複雑な計算は扱わない」という部分が、新学習指導要領では「置換（３） 微分法
学習指導要領解説の内容には「微分法についての理解

積分法は ax+b=t、x=asinθと置き換えるものを中心に扱を深めるとともに、その有用性を認識し、事象の考察にの適用で結果が得られるものを中心に扱うものとする」活用できるようにする。」とある。となった。
（３）微分法と同様、より高度な内容の学習に

現行学習指導要領で「分数関数の導関数については、分母、分子が二次程度までにとどめるものとする」と記載されていた部分が、新学習指導要領では「分数関数の導関数を求める場合には、その計算が複雑になり過ぎないように配慮する」となり、「合成関数の導関うものとする」「部分積分法は、簡単な関数について１回発展させる可能性を示している。このことに伴い、２回の部分積分法を適用する例題や、研究内容ではあるがexsinx、excosx の積分を扱っている教科書もある。
サイクロイドのように媒介変数で表された曲線によって囲まれた図形の面積を求める際にも、現行学習

指導要領による「曲線の媒介変数表示は数学Ｃの（２）式と曲線で扱う内容であり、履修しているとは限らないことに留意する」ことは（３）微分法と同様、必要がない。

これを見ると、数学ⅢＣを履修している 37 校のうち、それに加えて学校設定科目等を履修させていた学校が11 校だったものが、ほぼ倍増の 21 校まで増えたことがわかる。数学Ⅲを履修する生徒の大半はセンター試験をまとめはじめにも書いたが、現行学習指導要領で数学Ⅲを履修させている学校の大半が数学Ｃも履修させているため、受験するものと思われる。各校ともその対策に苦慮している部分もあると思われるが、その意味で学校設定科目を有効に活用し始めているのかもしれない。

この２科目が１つになることに大きな抵抗がある学校はところで、学習指導要領研究委員会では、今回同様、少ないだろう。ただし、現行学習指導要領はおろか、旧約 10 年前に現行学習指導要領の数学Ⅲおよび数学Ｃに学習指導要領にもなかった標準単位数５という数は、ほついて研究した。その際に、中学校で学習内容が大幅にぼ毎日授業があり教科書を進めやすいという利点がある

削除されたにもかかわらず、数学Ⅲと数学Ｃの到達点は反面、定期考査までの進度が大きいため、生徒にとって旧学習指導要領と大きく変わらず、理系における３年生は考査で大きな負担になりかねない。これまでは数学Ⅲでの数学の指導内容の多さにとまどった記憶がある。そと数学Ｃのそれぞれで行っていた定期考査が一本化されの意味では、今回の改訂で中学校の学習内容が大幅増とるわけである。単純に考えて考査範囲がほぼ倍増するこなり、内容的には旧学習指導要領に近いものとなったたとになるため、さすがに理系で数学に強い関心を持ってめ、高校での数学の指導内容だけ見れば少なくなったこ

取り組む生徒が多いとはいえ、何らかの対策を講じていとになる。ただし、既に新学習指導要領での授業が始まく必要があるのではないだろうか。演習の時間を多くとって数年経過している中学校では、その学習内容の多さったり、単元別の小テストを数多く実施したりするなど、にとまどい、十分な学力を定着させる前に次分野に進まより細かな指導が大切となってくるであろう。また、日ねばならない状況で、今まで以上に学力の二極化が進ん程的に可能であれば、数学Ⅲのテストを２日間に分けてでいるという話も聞いている。

定期考査を実施するのも一つの方法であると思われる。

また、数学Ａと数学Ｂでの選択の幅が広がったことに今回の研究にあたって、県内各高校の先生方にアンケより、その後の学習内容に影響が出ることも少なくない。

ートをお願いした。アンケート内容は、現行学習指導要場合によっては、数学Ⅲを履修することを踏まえて、選領（上段）と新学習指導要領（下段）で、数学Ⅲおよび択分野の選定を再考しなければならないだろう。既に数数学Ｃに加えて、学校設定科目等を履修させているかど学Ⅰおよび数学Ａの新学習指導要領における授業は進行うか、というものである。その結果を以下に示す。

している。これまでであれば、１度決めた選択分野は、次の学習指導要領改訂まで変化させることは少なかったと思われるが、今回の改訂では、果たしてそのままでいいのだろうか。今まで以上に数学教員同士の学年間、そして中高の連携が大切になってくると思われる。状況によっては、各学年でどの分野をどう選択していくかということを毎年再検討する必要が出てくるかもしれない。
《参考文献》
・『高等学校学習指導要領解説（数学編平成 21 年 7 月）』

http://www.mext.go.jp/component/a_menu/education/micro_detail/__icsFiles/afieldfile/2009/08/20
・『高等学校学習指導要領解説（数学編平成 11 年度）』

文部科学省(平成 17 年一部補訂)