平成２０年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校
１

はじめに

中井賢哉

1

5月17日（土）に松山南高校において、愛媛大学の平田教授より平成20年度の愛媛大学数学入試問題の解説があった。後期工学部において数学が課されるようになったこと、前期日程の問題でも小問 5 問が出題されたことなどに触れ、大学側は、受験生の学力の差をしっかりと見極めたいとの話であった。どこで学力差が顕著に表れ次の問いに答えよ。

(1) 10000 以下の自然数のうち，8の倍数の集合を A ，12の倍数の集合を B ，16の倍数の集合を C とする。A3B3C の要素の個数を求めよ。
(2)

出題傾向の考察

(1)

出題形式

125 7

(3) 次の方程式を解け。

たのか、現役生徒の誤答分析を中心に考察していきたい。
２x8 2 -y9 の展開式において，x y の係数を求めよ。
log2xx3=6+log4 032x1 +log82U8(4) 関数 f 0x1 =ax3+bx2+x+1 が x=1 で極小値 1 をとるとき，定数 a，b を求めよ。

例年通り、教育・農・医・工学部とも全問記述 4 題を100 分、理学部数学受験コースは全問記述 5 題を 120 分で解答する。今年度より工学部の後期日程で数学が課さ(5)

2

Q 0x-310x-11dx を求めよ。
-2

得点度数分布れるようになり、全問記述 4 題を 100 分で解答する。
教育・農学部

１～４（Ⅰ・Ⅱ・Ａ・Ｂ）

工学部

４～７（Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ）

理学部

４～７、９（Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ・Ｃ）

医学部

４、６～８（Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ）

類型

平均点

０～４

５～９10～14

15～1920～2425

文系

16.5

04820

100

得点率66.1 ％標準偏差 4.4

工学部後期１～４（Ⅱ・Ⅲ・Ｂ）
(2)

《考察》

出題内容

(1)について１

小問 5 問５

小問 5 問２２次関数・図形と方程式

６微・積分法３

方程式と不等式・三角関数

７微分法であった。誤答の殆どが、４８の倍数の個数を求めれば

４

ベクトル

８微・積分法よいことに気づいていない。

９行列(2)について後期工学部

得点率 58.6%であった。正答か誤答かの両極端な結果

得点率 61.9 ％であった。(1)と同様に正答か誤答かの１

小問 5 問両極端な結果であった。誤答の殆どが、2 項定理を理解２

小問 5 問してなく、無答または筋違いな解答であった。誤答者の３

数列

うち数名の者は、x,y の係数を考慮してなく減点した。

４

微・積分法

(3)について(3)

難易度
昨年度と同様大きな変化はない。基本～標準レベルの問題を中心に出題されている。特に小問 5 問は、基本事

得点率 38.7 ％であった。計算力の差が出た問題であった。誤答の殆どが、式変形で計算ミスをしている。特に多かったのは、l o g 8x38

項を理解していれば、完全に解ける。昨年より基礎力を重視した出題である。

を底 2 の対数に変形するところでのミスであった。
(4)について
得点率 76.2 ％であった。殆どの者が、a,b の値を求め

３

平成20年度入試問題の分析(1)

本校の現 3 年生に入試問題を解いてもらう

ることはできていたが、極値をとることの確かめができ

9 月下旬に本校 3 年生文系生徒 42 名に１～４を，理てなく減点した解答が多かった。

系生徒 43 名と 39 名の 2 クラスに４～７と後期工学部の問題をそれぞれ解かせた。解答時間は各テスト 100 分。
採点基準は公表されていないため、定期考査に準じた採点を行った。配点は 1 問 25 点とし、満点は 100 点とした。
(2)

問題分析

(5)について得点率 95.2 ％であった。殆どの者が正答であった。

得点率 29.4 ％22 次関数 y=-x2 +6x-5 01(x(41 のグラフにおいて，x=1，x=4 のときの 2 つの端点をそれぞれ A，B とし，点 C をこの曲線上の動点とする。

標準偏差 4.9《考察》(1)について得点率 96.7 ％であった。殆どの者が正解であった。

(1) この 2 次関数のグラフをかけ。
(2) 以下のそれぞれの条件を満たす点 C の座標を求めよ。

(2)について(ア) △ABC の面積が 3 である。

得点率 18.8 ％であった。殆どのものが 3 次方程式の(イ) △ABC の面積が最大である。

解と係数の関係を用いての解答であり、出題者の意図と(ウ) △ABC が AC=BC となる二等辺三角形である。

は異なるものであった。誤答は、大きく分けると２つである。１つは解と係数の関係から連立方程式を導くもの

得点度数分布の方程式を解けず部分点のみに終わる。もう１つは、解類型

平均点０～４５～９10～1415～1920～2425

文系

13.7211101054と係数の関係を理解してなく関係式が誤っている解答である。文字が多く計算力が必要とされた問題であった。
(3)について

得点率 54.7 ％得点率 11.1 ％であった。(2)が正解しているものは、標準偏差 6.8

殆ど正解であった。その他は無答であった。

《考察》(4)について(1)について得点率 6.0 ％であった。(3)で求めた方程式を解くの得点率 92.4 ％であった。殆どの者が正答であった。
数名は、頂点の座標等を明記してなく減点した。

でなく、sinh , coshと答えている誤答があった。

(2)(ア)について4

得点率 64.6 ％であった。直線ＡＢと動点Ｃの距離を求める解法が多数であった。方針は良いが、絶対値を上手く扱えなくミスで終わっている解答が多く、得点率が△ABC の外心を O ，点 A を通る外接円の直径を AA- とし，BC の中点を D ，点 D に関し点 A - と対称である点を H とする。
OA=a , OB=b , OC= c , OH=h とおく。

低くなった。一部、三角形の頂点の座標を使った、面積1a d-bc を使って求める解法もあった。の公式
2(2) AH5BC と BH5CA を示せ。

(2)(イ)について(3) h= 4ABC とし，R を外接円の半径とする。

(1) h を a , b , c で表せ。

BH=2R cosh であることを示せ。

得点率 28.6 ％であった。(1)を用いて、直線ＡＢと動点Ｃの距離が最大になるａの値を求めることはできていた。しかし、座標を求める際、計算ミスをして減点。ま得点度数分布表

た、誤答の中には、点Ｃが頂点のとき、面積が最大であると勘違いしている解答もあった。

類型

平均点０～４５～９10～1415～1920～2425(2)(ウ)について

文系

6.72722722

理系

12.0

14511328

得点率 36.1 ％であった。ＡＣ＝ＢＣを用いての解法が多かった。しかし、計算が煩雑でミスをして減点。線分ＡＢの垂直二等分線と放物線の共有点を求める解法が数名いた。こちらの解法の方が正答率が高かった。

得点率 36.9 ％標準偏差 9.4《考察》(1)について3

得点率 54.7 ％であった。誤答に占める無答の割合がa と h を定数とし，3 次方程式
8 x 3 - 12 x 2 + x + a = 0

多かった。どこから手を付けてよいのか分からないのだ…… ①は sin h と cos h 0 sin h ' cos h 1 を 解 に も つ と す る 。
(1) t= sin h + cos h と お く と き ， sin h cos h を t で 表 せ 。

ろう。中には設問の図を誤って描いていた者もいた。

OH と OD の関係式を求めてから OH を求める考え方(2)(1) で お い た t の 値 を 求 め よ 。

が難しかったのだろう。大きく差が出た設問であったと(3)

sin h と cos h を 解 と す る 2 次 方 程 式 を 1 つ 作 れ 。

思われる。

(4)

定数 a の値と 3 次方程式 ① のすべての解を求めよ。

(2)について
得点率 40.7 ％であった。内積の計算だけであったの

得点度数分布表で、( 1)が正解しているものは殆ど正解であった。誤答

類型

平均点

０～４５～９10～1415～1920～2425

文系

7.4

211101054は殆どが無答であった。
(3)について
得点率 14.9 ％であった。誤答の大半は無答であった。

他は、証明の方針は正しいが、内積 a ・ c をＲとcoshで表すことができず部分点のみであった。
5得点度数分布表
類型

平均点０～４５～９10～1415～1920～2425

理系

14.1

7785106

次の問いに答えよ。
(1)△ABC において，AB=1+ U 3 , BC= U 2 , 4B =45, とする。

CA の長さと 4A の大きさを求めよ。
(2) 0a + 2b 1 60 c - d 1 7 の展開式において，a 4 b 2c 2 d 5 の係数を求めよ。
(3) 次の方程式を解け。
log 2

得点率 56.3 ％(1)についてxx3=6+ log4 0 32x 1 + log82U8

得点率 83.4 ％であった。殆どの者が正解であった。
(2)について(4) 関数 y= sin 2 0 3x 1 を微分せよ。
(5) 定積分を用いて，1
極限値 limn.* n8]

標準偏差 8.6《考察》

得点率 47.5 ％であった。誤答の殆どが a の値での場

1+n]2+ …… +n] 9 を求めよ。
nn

合分けができてなく部分点のみであった。導関数の符号を考察する際、a の符号で異なるから場合分けの発想はさほど難しくないと思われるが、思いのほか正答率は低得点度数分布かった。
類型

平均点

０～４５～９10～1415～1920～2425

理系

16.814717131(3)について得点率 39.0 ％であった。(2)で正答のものは殆ど正答であった。誤答の殆どは(2)で誤答であったため無答で得点率 67.3 ％標準偏差 5.3《考察》あった。

7(1)について得点率 90.7 ％であった。殆どの者が正解であった。
(2)について

f0x1 =xlog x-1 とおく。
(1) limf0x1 を求めよ。
1x.

得点率 44.2 ％であった。文系の問題１(2)と同様に正答か誤答かの両極端な結果であった。誤答の殆どが、2(2) x>1 において，導関数 f -0x1 の極値を求めよ。
(3) 関数 y=f0 x1 の増減，極値，曲線の凹凸を調べてグラフをかけ。

項定理を理解してなく、無答または筋違いな解答であっ得点度数分布表た。
(3)について
得点率 54.0 ％であった。文系の問題１(3)と同じ問題である。文系と同様に計算力の差が出た問題であった。

類型

平均点

０～４５～９10～1415～1920～2425

理系

8.615119431

誤答の殆どが、式変形で計算ミスをしている。特に多かったのは、l o g 8x38を底 2 の対数に変形するところであった。

得点率 34.2 ％標準偏差 6.8《考察》(1)について(4)について得点率 48.4 ％であった。∞の誤答が多かった。

得点率 87.4 ％であった。殆どの者が正解であった。
(5)について(2)について得点率 43.3 ％であった。導関数 f''(x)の極値を求めよ

得点率 60.5 ％であった。正答か誤答かの両極端な結という問いの意味がわからないのか f(x)の極値を求めよ果であった。殆どの誤答はΣで表すことができたもののうとしている誤答が多かった。

定積分に持ち込めず部分点のみであった。

(3)について6とることに気づいてなく、増減・凹凸表が正確に描けて得点率 18.1 ％であった。誤答の多くが、x=0 で極値をa を実数とし，f0x1 =x+aUx2+1とおく。

(1) 導関数 f - 0 x1 を求めよ。
(2) 関数 y=f0 x1 が最小値 -2 をもつとき，a の値を求めよ。
(3) a を(2)で求めた値とするとき，曲線 y=f0 x1 と x 軸，y 軸で囲まれる部分をx 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

いない。0 点が半数以上あり、絶対値が含まれる関数のは予想以上に難しいと思われる。

得点度数分布表

1に適する数または式を，解答用紙の所定の欄に記入せよ。

次の(1) a, b は実数で a+bi '0 とするとき，

1=a + biア+ イi である。

類型

平均点０～４５～９10～1415～1920～2425

理系

11.47109661

ただし，ア，イは実数で，i は虚数単位である。
(2) ベクトル a，b が a =1， b =2， a+2b =2U 3 を満たすとき，
内積 a･ b= ウエcosh =(1)について(5) 0 ⅰ10ⅱ1Qオ

得点率 34.9 ％であった。誤答の殆どが無答または誤，nった不等式で 1.25 を評価していた解答であった。

である。

d 1xe =(4) 0ⅰ1dx

標準偏差 7.3《考察》となる。

p + qcosx=1 のとき，p=(3) p，q を実数とする。lim
x .0x2
q= カ

得点率 45.5 ％である。また，a，b のなす角を h とするとき，(2)について
d20 ⅱ1 dx U x + 1 =キ

得点率 60.0 ％であった。無答は少なかった。収束条ク

件が r ≦1 で解いている誤りが多かった。無限級数と1Q U3x+ 1 dx = ケ +C 0 Cは積分定数1数列の収束条件が混同していると思われる。

xe 2x dx= コ(3)について+C 0 Cは積分定数 1

得点率 45.6 ％であった。誤答の殆どが、合成関数で得点度数分布表あることに気づかず係数に類型

平均点

０～４

５～９10～1415～1920～2425

理系

12.267712521πを付け忘れている解答が多かった。
(4)について
得点率 27.2 ％であった。誤答の殆どが無答、または得点率 48.7 ％

極限値を直接計算しようとして、区分求積に持ち込めな

標準偏差 6.9

問題１は答えのみなので、各問いの得点率を挙げておく。

い解答であった。
(5)について問題(1)(2)

(3)

(4)

(5)

得点率53.8%

54.4%

17.9%

62.1%

59.5%

得点率 60.0 ％であった。無答は少なかったが、グラフの概形を描こうとしてミスしたり、1の積分の計算
x2

間違いが多かった。
部会開催の入試説明会で聞いた話だが、後期試験での採3

点日数が十分にないため、答えのみの小問を出題したらし数列 6an 7 は a1 =い。各問題とも基本的な問題であり、得点率も 6 割程度の良問であったと思う。ただ、( 3)のみ他と比べ難易度が高かったように思われる。
2
次の問いに答えよ。

nak
1，an = P22
k=1 k0 n = 1， 2， 3 ， … … 1を満たしている。
a 2， a 3， a 4 を 求 め よ 。

(1)
(2)

an+1 を an とn で表せ。

(3)

一般項 an を推定し，それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

(1) 1.25n の整数部分が4桁であるような整数 n の範囲を求めよ。ただし，log10 2 =0.3010 とする。
(2) 次の無限等比級数が収束するような実数 x の範囲を求めよ。また，収束する

得点度数分布ときの和を求めよ。
41664
1- x+ x 2 - x 3 +……
3927

類型

平均点

０～４５～９10～1415～1920～2425

理系

14.4

1055161223(3)Q 6 cos0 px1 +2sin 0px1 7 dx を求めよ。
1614 +24 +……+n 4を求めよ。
(4) 極限値 limn.*n5(5) 曲線 y=x+11(x(21 と2直線 x=1 , x=2 および x 軸で囲まれる
2x 0部分を，x 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ。

得点率 57.5 ％標準偏差 9.8《考察》(1)について得点率 75.2 ％であった。殆どの者が正解であった。
(2)について
得点率 52.6 ％であった。(1)から類推しようと試みた

誤答が多かった。
(3)について得点率 42.6 ％であった。数学的帰納法の証明自体は易しかったので、(2)が正答した者は殆ど正解していた。
4x>0 とし，f 0 x 1 =logxとおく。
x(1) 関数 y=f 0 x 1 の増減を調べて，極値を求めよ。
(2) 曲線 y=f 0 x 1 の凹凸を調べて，変曲点を求めよ。
(3) 曲線 y=f 0 x 1 と x 軸との交点の x 座標を a とし，(2) で求めた
bQ f 0x1 dx を求めよ。

変曲点の x 座標を bとする。

a得点度数分布
類型

平均点

０～４

５～９10～1415～1920～2425

理系

15.6

593

3514

得点率 62.3 ％標準偏差 9.2(1)について得点率 81.7 ％であった。殆どの者が正解であった。
(2)について得点率 60.4 ％であった。第 2 次導関数を求める際、計算間違いで誤答。解答の方針が良くても、最初に間違うと点が取れない。計算力の差が出た問題である。
(3)について得点率 44.9 ％であった。計算方針は良いが、積分の計算に苦心している。t=logx と置換した解答は正答率が高かった。
４

おわりに今年度の出題も基本～標準レベルの良問であった。昨年度より簡単だったと思う。誤答分析をして強く感じた
ことは、基本内容の理解と計算力の重要性である。基本
問題の出題率が高く、解答方針は立てやすい。いかに計算ミスをなくして答えまでたどり着けるかが大きなポイントになる。特に、小問 5 題の出題は、大問に比べて、点を取りやすい。確実に点を取りたいが、広範囲から出題しているので基本を理解してない、計算力がない者は大きな失点をしている。小問の出題は、受験生の学力差を見極めたいという大学側の意図を感じるものであった。来年度も出題されるのではないだろうか。教科書レ
ベルの基本問題をしっかりと理解しておくことが対策になるだろう。また、大問で大きく差が出た理由の一つに、最初の( 1)を解くことができず、大きく減点した生徒が多かったことである。特に、問題４のベクトルは顕著であった。
ごく当たり前のことであるが、定期考査レベルの問題を手堅く解くことができる実力をつけることが何よりの対策だと改めて感じた。今後の指導に生かしたいと思う。