国公立大学入試問題の研究―整数問題について―
愛媛県立宇和島南中等教育学校

１

川野星子

はじめに
平成２１年度の新学習指導要領から，数学Ａの単元の(2)一つとして，「整数の性質」が登場した。整数問題に関する入試問題は，難関大学を中心に出題されており，ど小のような問題が出題されているのかを調べてみた。
２

学習指導要領よりまず，入試問題の前に整数の問題に関して学習指導要

目

小学
校

中学
校

高等
学
校

数学的活動を通して，数学における基本的な概念や原理・法則の体系的な理解を深め，事象を数学的に考察し表現する能力を高め，創造性の基礎を培うとともに，数学のよさを認識し，それらを積極的に活用して数学的論拠に基づいて判断する態度を育てる。

数と計算）

・整数の加・減（１位数の加・減，簡単な２位数の加・減）標

数学的活動を通して，数量や図形に関する基礎的な概念や原理・法則についての理解を深め，数学的な表現や処理の仕方を習得し，事象を数理的に考察し表現する能力を高めるとともに，数学的活動の楽しさや数学のよさを実感し，それらを活用して考えたり判断したりしようとする態度を育てる。

（学年

学年

算数的活動を通して，数量や図形についての基礎的・基本的な知識及び技能を身に付け，日常の事象について見通しをもち筋道を立てて考え，表現する能力を育てるとともに，算数的活動の楽しさや数理的な処理のよさに気付き，進んで生活や学習に活用しようとする態度を育てる。

校

・整数の意味と表し方（２位数，簡単な３位数など）

第２各ステージにおける目標

学

第１領での扱いについて調べた。
(1)

各ステージにおける学習内容（小中は整数に関するもののみ）

・整数などの表し方（３位数，４位数，１万，簡単な分数など）
・整数の加・減（２位数の加・減，簡単な３位数の加・減など）
・整数の乗法（乗法九九，簡単な２位数の乗法など）・整数の表し方（万の単位，１億など）・整数の加・減（３位数や４位数の加・減など）

第３学
年

・整数の乗法（２位数や３位数の乗法など）
・整数の除法（１位数による簡単な除法など）
・小数（小数の意味と表し方，小数の加・減）・分数（分数の意味と表し方，簡単な分数の加・減）・そろばん（数の表し方と加・減）・整数の表し方（億・兆の単位など）
第４学
年

・およその数（概数，四捨五入，四則計算の結果の見積り）
・整数の除法（２位数などによる除法など）
・整数の四則計算の定着と活用
・小数の計算（小数の加・減，小数の乗・除）・分数の計算（同分母分数の加・減など）
・そろばん（加・減）第・整数の性質（偶数と奇数，約数と倍数，素数）

５

・整数と小数の記数法

学

・小数の計算（小数の乗・除）

年・分数の計算（異分母分数の加・減など，分数の乗・除）

第６・分数の計算（分数の乗・除）学年・小数や分数の四則計算の定着と活用

中学校（数と式）

高等学校

・正の数・負の数
ア

正の数と負の数の必要性と意味（数の集合と四則）

イ

正の数と負の数の四則計算の意味

ウ

正の数と負の数の四則計算

エ

正の数と負の数を用いること

数と式，図形と計量，二次関数及びデ数
学
Ⅰ

数と式ータの分析について理解させ，基礎的な図形と計量知識の習得と技能の習熟を図り，事象を二次関数数学的に考察する能力を培い，数学のよデータの分析さを認識できるようにするとともに，そ

第・文字を用いた式

１

ア文字を用いることの必要性と意味

いろいろな式，図形と方程式，指数関いろいろな式

学

イ

乗法と除法の表し方

数・対数関数，三角関数及び微分・積分

図形と方程式年

ウ

一次式の加法と減法の計算数の考えについて理解させ，基礎的な知識

指数関数・対エ文字を用いた式に表すこと（不等式を用いた表現）学の習得と技能の習熟を図り，事象を数学

数関数

Ⅱ的に考察し表現する能力を養うととも三角関数に，それらを活用する態度を育てる。

微分・積分の・一元一次方程式
ア

方程式の必要性と意味及びその解の意味

イ

等式の性質と方程式の解き方

ウ

一次方程式を解くことと活用すること（比例式）

・文字を用いた式の四則計算
ア

簡単な整式の加減及び単項式の乗除の計算

第イ文字を用いた式で表したり読み取ったりすること

２

ウ

目的に応じた式変形学

・連立二元一次方程式

年ア

二元一次方程式の必要性と意味及びその解の意味

イ

連立方程式とその解の意味

ウ

連立方程式を解くことと活用すること

・平方根

第３
学
年

れらを活用する態度を育てる。

考え数
学
Ⅲ

平面上の曲線と複素数平面，極限，微平面上の曲線分法及び積分法についての理解を深め，と複素数平面知識の習得と技能の習熟を図り，事象を極限数学的に考察し表現する能力を伸ばすと微分法ともに，それらを積極的に活用する態度

積分法を育てる。
場合の数と確率，整数の性質又は図形

数学Ａ

場合の数と確の性質について理解させ，基礎的な知識率の習得と技能の習熟を図り，事象を数学整数の性質的に考察する能力を養い，数学のよさを図形の性質

ア

平方根の必要性と意味（有理数・無理数）認識できるようにするとともに，それらイ平方根を含む式の計算を活用する態度を育てる。

ウ

平方根を用いること

確率分布と統計的な推測，数列又はベ確率分布と統計的な推測・式の展開と因数分解数

クトルについて理解させ，基礎的な知識

ア

単項式と多項式の乗法と除法の計算学の習得と技能の習熟を図り，事象を数学数列

イ

簡単な式の展開や因数分解Ｂ的に考察する能力を伸ばすとともに，そベクトル

ウ

文字を用いた式でとらえ説明すること

れらを活用する態度を育てる。

・二次方程式数ア

学

イ

二次方程式の必要性と意味及びその解の意味
因数分解や平方完成して式を解くこと

ウ

解の公式を用いて二次方程式を解くこと

エ

二次方程式を活用すること活
用

数学と人間のかかわりや数学の社会的数学と人間の有用性について認識を深めるとともに，活動事象を数学的に考察する能力を養い，数社会生活にお学を積極的に活用する態度を育てる。

ける数理的な考察

３２０１４年

岩手大学

国公立大学入試問題（一部抜粋）

農（解答）   は連続３整数であるので，問５２の倍数および３の倍数を少なくとも１つ含む。

次の問いに答えよ。

        を因数分解せよ。

  （   ）は連続した自 然数とする。このとき，

よって，       は６の倍数であるので，       ＝ （は整数）…（＊）とおけて           …①           を４で割った余りが３であることをまた，が３以上の奇数より，  示せ。

（は正の整数）…②とおけて  （   ）は連続した  

自然数とする。このとき，
                               は連続２整数であるので， は６の倍数であることを示せ。のいずれかは偶数であり，したがって    （は整数）とおけるから，   これと①より，  ともに整数である。

（解答）               
を自然数として， ，      ，   とおけて，  ＝ ･         ･       から               ＝

＝       

＝     ＝

因数分解すると，                 

と同様に を定めるとだから，２の倍数かつ３の倍数とな                        
＝          （②より）＝                       
これは，連続する３つの自然数の積              

よって，４で割った余りは３である。

      （＊）と同様に        （ は整数）とおけるからり６の倍数である。

    ･        よって，      は４の倍数である。

東京工業大学 理工生命理工 問１
３以上の奇数に対して， と を次のように定める。
            ，   京都大学 理系 問５
自然数はどちらも３で割り切れないが，   は８１で割り切れる。このような  と はどちらも整数であることを示せ。 の組（）のうち，   の値を最小にする      は４の倍数であることを示せ。

ものと，そのときの   の値を求めよ。

（解答）               が３で割り切れる     より，＝１，２，３
  のとき，①より      から，  も３で割り切れる。
              で  

（以下文字は正の整数）とおくと  
これを満たす自然数 は存在しない。
  のとき，①より        で は

３の倍数ではないから   は３の倍数では      よりない。
よって，    が８１の倍数になるのは  のとき，①よりよって，  は２７の倍数になることが必要十分である。    とおく。 を固定したとき，

      より               ＝  


 

 はが  に近いほど小さい。
            だから      ＝（）（）   ＝（）（ ）

が９の倍数になることが必要十分である。

                    だから     ＝（ ）   ＝（）以上より
     ＝（）（）（） のとき，（ ）＝（，），（，）で最小値３６５をとる。ただし，  ･  のとき     ＝       ･  

東京大学入試問題にみる「整数問題」

２０１４年 問５
を０以上の整数とし，数列｛ ｝を次のようであるから，    の値は最小にならない。

名古屋市立大学

４経済問１

自然数 は条件     および      を満たすとする。
次の問いに答えよ。に定める。
 ， ，        （ …）
また，素数を１つとり， をで割った余りを とする。ただし，０をで割った余り

不等式   を示せ。

は０とする。



与えられた条件を満たす の組

 自然数に対し， は     を

をすべて求めよ。

 ，の場合に，１０以下のすべて（解答）で割った余りと一致することを示せ。

      より，    だからの自然数に対して，  を求めよ。
 ある２つの相異なる自然数に対して，             ，    が成り立ったと      …①よりする。このとき，    が成り立つことを示せ。

  よって，   ， ， ，…にで割り切れる数が現れないとする。このとき， もで割り切れないことを示せ。

 数列｛ ｝に現れる数は，で割ったとき（解答）  と の定義から，任意の自然数の剰余である０，１，２，…， の通りに対し      となる整数 のいずれかであるから，その連続２項の対が存在する。｛｝の要素を用いると（ ， ）のとり得る組み合わせも高々 通りである。よって，

    （ ， ），（ ， ），…（ ， ），…

     よりという無限列の中に一致するものが存在する。

     ＝      そこで＝                    と仮定する。

は自然数であるから，このようなものの中で＝                最小であると仮定していよい。

よって， は     をで他方  であるので， ， ， ，…がで割った余りと一致する。

割り切れないという仮定より     である。
さて，であるとすると，で示したことに  ， であるから，

よって      ， である。任意の自然数に（ ， ）＝（  ， ）が成り立つことにな対し はで示したように    

り，上で述べたの最小性に反する。

を１７で割ったときの余りと一致するので，

よって，でなければならない。このとき

   ，    をで割った余り ，（ ， ）＝（ ，  ）より      であるが，

    をで割った余り    より   であるので， はで割り切れ同様に， ， ， ， ， となるはずであるから，ない。

異なる自然数について     …    …

が成り立つとする。ここで，②は           が素数で割り切れる…②ことを意味するが，①より     ５

まとめ
東京大学の問題において，(1)は合同式を使うともっと簡単に考えることができる。

              

入試問題では，数列や確率，方程式などいろいろな単元と融合されている。
整数は，実社会では情報セキュリティや通信の世界で      

活用されている。（例えば暗号やコードなど）まだまだ（，：整数，   ）活用されると考えられるので，そういった意味でも整数とおけるので，条件②はの単元はとても重要である。

              ＝             がで割り切れること。したがって    がで割り切れることを意味する。
したがって，     でなければならない。