平成年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校 新海 孝則

１ はじめに５月日（土）に松山南高等学校において，愛媛大学理学部平野幹教授より平成 年度愛媛大学入試問題の解説があった。実際の入試問題を利用して 本校生徒がどの問題でどのような間違いをするのか，誤答分析を中心に考察していきたい。
２ 出題の傾向（１）出題傾向
今年度は教育学部，農学部，工学部工学科社会デザインコー
スにおいては 記述４題を 分で，理学部，工学部（工学科社会デザインコースを除く），医学部医学科においては記述５題を 分で，後期は記述５題を 分で解答する形で 去年と大きな変化はなかった。
（２）出題内容
教育学部（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系を除く），農学部，工学部工学科社会デザインコース
１ 小問集合 数学Ⅰ･ ･Ⅱ ･
２ ２次関数，２次不等式
４ 平面ベクトル
５ 確率
教育学部学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系
１ 小問集合 数学Ⅰ･･Ⅱ ･
３ 微分 積分 数学Ⅲ
４ 平面ベクトル
５ 確率
理学部，工学部（工学科社会デザインコースを除く）
４ 平面ベクトルある。特にセンター試験で確認しにくいところを意図的に出題している。
理系 医学 は やや難易度高めの問題を出題している。
採点基準を公表してはいないが かなり細かい採点基準が定められているようである。また 受験者の解答の中には 答えを求めることだけに重点をおいた解答が存在したり 解答が一方的であったり数式のみで表現したりしている解答が存在している。採点者は 答えが求められていなくても 解答者がどのように考えたのかを一つ一つ丁寧に確認している。このことか
ら 解答用紙が白紙であることがいかに受験生にとって不利な状況であるかが予想される。論理的な思考ができており 採点者に対して対話的な答案は得点が得られる場合もあることを受験者は理解する必要がある。
３ 問題分析
本校の３年生に入試問題を解いてもらう。
３年生の文系生徒（ 人）には前期１，２，４，５を理系生
徒にはそれぞれの志望に合わせた問題を選んでもらった。教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコースを志望の生徒（（工学科社会デザインコースを除く）志望の生徒（ 人）は前期４～８を解答 医学部志望の生徒

人 は前期５～９を解答した。理数科生徒（ 人）に後期１～５を解いてもらった。採点基準は公表されていないため，定期考査に準じて採点し，得点率と誤答例から分析を行った。

点満点で

前期
１＜教育学部，農学部，工学部工学科社会デザインコース＞
次の問いに答えよ。

５ 確率
６ 小問集合 数学Ⅲ
７ 微分法 積分法 数学Ⅲ
８ 複素数平面
医学部医学科
５ 確率，をそれぞれ，６ 小問集合 数学Ⅲを用いて表せ。の値を求めよ。

７ 微分法 積分法 数学Ⅲ
８ 複素数平面
９ 確率漸化式
後期
１２３４５人）は，前期１～５から選び，理学部，工学部を満たす整数， の組の個数を求めよ。

を実数とし，放物線

小問集合（穴埋め） 数学 ･Ⅱ ･Ⅲ
小問集合（数学Ⅲ）
空間ベクトル積分法
複素数平面（３） 出題者の意図と採点基準の考え方
２次試験のポイント
ア基本的な事項が理解できているか。
イ基本的な計算力が身についているか。
ウ応用力を身につけているか。
エ論理的に考察 表現できるか。の４つの観点を記述式の問題で確認することを意図している。去年と同様のポイントであった。

上の，接線，とする。

，点，，における接線をそれぞれ，とする。

が直交するように の値を定め，そのときのの交点の座標を求めよ。

定積分を求めよ。

問題番号
文系 得点率

合計名

標準偏差
農学部得点率 名
標準偏差【誤答例】･としていた。

文系前期数学は 数学ⅠⅡ基礎学力の確認である。の加法定理が正確でなかった。

理系 理工系 は 数学ⅠⅡ

基礎学力 ＋数学Ⅲの確認での場合をとして計算していたがの通りが抜けていた。

を満たす実数までは求めることができていたが 交点の座標まで正確に処理することができていない答案が多かった。
絶対値のグラフが正確でなくとして計算をしをそれぞれ辺する。
，次の問いに答えよ。

オムニバスの問題で 正確な計算ができているかを見ている。得ⅰ ベクトルせ。

点がつきやすいが 問題作成者はみんなができる前提で作成してⅱいる。予想に反しての正解率が低くのような絶対値はよ
く間違える。あせらずに絶対値の定義を利用すること。
２＜教育学部，農学部，工学部工学科社会デザインコース＞ⅲ，を実数とし，する。次の問いに答えよ。の最小値を求めよ。

ⅱ

関数の最大値を求めよ。

ⅲ

すべての実数 ， に対してベクトル
直線

文系 得点率ⅰⅱⅲが成り立つようなの値の範囲を求めよ。
ⅱ．

ⅲ．

．

ⅱのミスがあった。と平方完成で符号を条件として考えていた。の最小値を考えていたが 問題の題ⅱ 問題の題意を満たす条件を考えることができず 空欄の答案が多かった。
【教授コメント】
問題を解くときに振り返っているかどうかがポイントである。また 図の中で解釈することができているか。
３＜教育学部学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系＞，点と点，を満たす実数とする。線分をとる。の中点であるとする。次の問いに答えよ。

およびの値を求めよ。

， の座標を求めよ。

関数
曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

選択が一人だったため 分析を控えた。
【教授コメント】
図を正確に書くこと。
４＜教育学部，農学部，工学部，理学部＞
辺の長さが･の正三角形合計がある。

を考えることはできていたが 長さとの２次方程式を計算することはできていたが 問題文のをを満たしていなかった。
通りで表すことはできていたが 連立方程式の計算が不十分であり 文字が答えであることに抵抗感があったように感じる。
【教授コメント】
問題設定で気が付いたことと対称性を大切にすること。
５＜教育学部，農学部，理学部，工学部，医学部＞
からまでの整数がつずつ書かれた以下の手順に従って，整数①，，枚のカードがある。

，…… を順次定める。

枚のカードを取り出し，書かれている数をとし，取り出したカードを元に戻す。
②枚のカードを取り出し，書かれている数をに掛けた値をとし，取り出したカードを元に戻す。
同様に， ， ，…… に対して， 枚のカードを取り出し，書かれている数をにかけた値をとし，取り出したカード を元に戻す。
自然数
素数を微分せよ。と線分ⅱ内積を求める際に計算ミス が多かった。

ⅰ 誤答なし，ⅰとしていた。

ⅲ

上に点ⅲ

名

ⅰ

条件であるかつⅱの値を求めよ。

として計算していた。

合計

【誤答例】

ⅰの最小値と意を満たさなかった。

ⅰとする。

【誤答例】

に対して標準偏差が点の中点であるとき，標準偏差ⅱ

農学部得点率 名， ， を用いて表せ。の交点を名

工学部 得点率

標準偏差曲線をの値を求めよ。

農学部 得点率 名名

ただし， ， はを用いて表せ。

標準偏差に対してが成り立つようなをそれぞれ ， ， を用いて表標準偏差が成り立つよ

を満たすすべての実数ⅲとおく。と辺点 がの値の範囲を求めよ。
ⅱ

問題番号，が直交するとき，ⅰの値の範囲を求めよ。

すべての実数を問題番号

関数

文型 得点率，とと，とⅱとⅰⅰとなる点の交点を上にとり，内積 ･ を求めよ。ていた。
【教授コメント】

うなに対し，，に対し，が素数である確率をとし，個（同じ素数でもよい）の積である確率をなお， は素数ではない。
次の問いに答えよ。
，を求めよ。

，を求めよ。

をの式で表せ。

をの式で表せ。

がとする。

問題番号
文系 得点率７＜理学部，工学部（工学科社会デザインコースを除く），医学部＞

合計名の範囲で定義された関数

文系 標準偏差
農学部 得点率 名える。
次の問いに答えよ。

農学部 標準偏差問題番号の導関数

合計

工学部得点率を求めよ。

における名標準偏差の増減を調べよ。

において， つの曲線

医学部 得点率

名

で囲まれた図形を標準偏差【誤答例】
素数の定義が不十分であった。

ⅰの面積ⅱをの順番を考慮することができなかった。
つの場合を考えることができずに 一方のみの場合分けを行っていた。
【教授コメント】
で間違えるとすべてが違ってくるので 素数の定義 素因数分解を正確に処理する。
６＜理学部，工学部（工学科社会デザインコースを除く），医学部＞
次の問いに答えよ。
不等式を解け。

関数求めよ。

回転させてできる回転体の体積

問題番号ⅰのにおける微分係数を合計

名

医学部 得点率

名

標準偏差
【誤答例】
･増減表のみで解答を終えている答案が多く章で表している答案が少なかった。
ⅰの増減を文の計算ができていない。

ⅱとしていた。

【教授コメント】
グラフは書いた方が良い。
８＜理学部，工学部（工学科社会デザインコースを除く），医学部＞
複素数平面上のとおくとき，極限ⅱ

標準偏差

素数 の場合を考えていなかった。としておりを求める場合にとする。

を求めよ。

軸のまわりに工学部 得点率答案が目立った。
に関しては 素数とを求めよ。とし 順番についての考えが抜けていた

またを考を求めよ。

点，，，をとる。ここでとする。

ただし， は虚数単位である。次の問いに答えよ。
極限を求めよ。

問題番号，合計

工学部 得点率を求めよ。

およびを求めよ。

名を中心に標準偏差医学部 得点率

名

，

【誤答例】
絶対値の場合分けはできているがの解と場合分けの範囲を考えていなかった。
･と計算していた。などを代入して性質を見つけようとしていたが 解答には至らなかった。
とおき 符号のミスが起きた。
【教授コメント】
オムニバスで計算ミス等をしないようにする。

をそれぞれ角だけ回転させた点をとする。

ⅰ

標準偏差，，

を求めよ。

ⅱ

線分とⅲ

△と△の交点を

問題番号
工学部 得点率を求めよ。
を求めよ。

ⅰ名

標準偏差
医学部 得点率とする。の重なる部分の面積

名

標準偏差

【誤答例】
計算ミスをしていた。

ⅱ

ⅲ

合計

したがって回動かず回動く

回動かず回動くと変形していた。
ⅰ 三角比の値が違っていた。
ⅱ 直線はより
よって直線は回動かず回動く

ⅲ 重なる交点の座標を求め、ヘロンの公式で三角形の面積を求めていたが、座標にミスがあった。
【教授コメント】

回動かず回動く

複素数は 苦手意識が強い受験者が多いが問題の本質を見抜けて回動くと確実にとして交点を取った。

いるかが分かる。
ようにしたい。
９から

ⅰ までは基本なので落とさない辺の長さがの立方体がある。立方体の頂点の長さがとに対し，であるとき， を と隣接する頂点という。

立方体上に次の規則に従って位置が決まる点が点を動点とよぶことにする。

よってつある。そのランダムウォークの問題である。医学部受験生は 長い文章問題から正確な問題把握ができ 処理する力が必要である。
後期
１ 次の

① 時刻
頂点を②

において，動点は立方体のある頂点にいる。そので表す。

を時刻と隣接する頂点にいるので【教授コメント】

医学部

線分より以上の整数とする。時刻のときにいた頂点 には と隣接するにおいて，動点はの確率で留まるか，もしくつの頂点のいずれかへそれぞれに適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。
楕円をア
大小

時刻めよ。

において動点がと隣接する頂点にいる確率を求時刻
めよ。

において動点がと隣接する頂点にいる確率を求時刻めよ。

において動点がと隣接する頂点にいる確率を求時刻めよ。

において動点がと隣接する頂点にいる確率を求イだけである。

個のさいころを投げて 出る目をそれぞれる。このとき

次方程式

い確率はである。

ウエとすが実数解をもたなの展開式におけるの項の係数はである。

関数に対してカ問題番号軸方向にであるときの確率で移る。
次の問いに答えよ。

軸方向に平行移動して得られる楕円の方程式がオである。

である。

合計
キ得点率
標準偏差

問題番号
得点率

【誤答例】

である。
合計名標準偏差【誤答例】
平行移動に対しての符号の処理にミスがあっ

動点が止まらずにに度戻るた。などがあり 条件を満たす数が正確ではなかっ

動点が回だけ止まるた。などがあった。

動点が止まらずに戻らないなどがあり 微分の計算できていない。

などがあり 合成関数を忘れてしまっている答案が多かった。などがあり、部分分数分解の式変形をしていない答案が多かった。
【教授コメント】
オムニバスの問題であり 正確に処理するころである。
円を嫌わないこと。の楕の計算ミスが多かった。

２ 以下の問いに答えよ。
関数を 導関数の定義にしたがって微分せよ。の計算ミスがあった。
･のを利用してができていなかった。の値を求めること直線上の点を自分で置くことができずことができなかった。
【教授コメント】

を表す

問題としては基本的であるが 計算だけでなく空間図形を正しく理解できているかを確認する問題ある。
４ 以下の問いに答えよ。
不定積分を求めよ。

を媒介変数として 次の式で表される曲線についてをの関数として表せ。

自然数に対してⅰを求めよ。

ⅱのとき 不等式

極限を求めよ。

が成り立つことを示せ。
問題番号
得点率と定める。

合計

名

標準偏差

自然数に対してⅰを求めよ。

ⅱを求めよ。

ⅲ

を自然数とするとき

定積分

【誤答例】
導関数の定義を利用して問題を解いていない。極限を忘れていた。

を求めよ。

問題番号
得点率をと定める。

ⅰⅱ

ⅰⅱ

ⅲ

合計

名

標準偏差としており 積の微分ができていなかった。

【誤答例】としてとしている。

ⅰ

また 単調増加を示していない。
【教授コメント】

で計算していた。

３

辺の長さがの正四面体がある。とし点を･ をそれぞれ求めよ。

･ベクトルとをそれぞれを用いて表せ。の面積を求めよ。

線分の中点とと直線が直交するとき

問題番号
得点率

また その積分範囲が異なるものが多かった。
ⅱ･ ･ⅲと計算していた。

【教授コメント】
微積分の融合問題であり 完答してほしい問題である。

を求めよ。
三角形

ⅰ 絶対値の場合分けができていない。

で分けることはできていたが 計算できずにいた。

で定める。以下の問いに答えよ。

内積 ･上の点を考える。直線を求めよ。
合計５を複素数とする。複素数平面上のを考える。
で表す。以下の問いに答えよ。

名は
ⅰ

【誤答例】

ⅱの計算はできていたが 残りの内積を求めていなかった。
･としていた。

点点を結んでできる図形を点のうち 少なくともの値をすべて求めよ。

標準偏差･となり 振動する。

ⅱ

オムニバスの問題であり 証明問題である。正しい議論ができるように問題把握に努めること。

点が一致するようなを頂点とする正三角形であるとする。の１辺の長さを求めよ。の値を求めよ。
は点角であるとする。

を頂点とする直角三角形でが直ⅰの値 を求めよ。

ⅱの面積の最大値を求めよ。

問題番号
得点率

ⅰ

ⅱ

ⅰⅱ

合計

名

標準偏差
【誤答例】の場合を考えておらずⅰていなかった。
ⅱ 正の向きにⅰなかった。

が抜けている。

として立式をしたが 正確な計算ができしか考えていなかった。の条件がは実数 になることに気付いていⅱ 空欄の解答が多かった。
【教授コメント】
前期試験でも後期試験でも複素数が出題されたことを考えると大学側がいかに複素数を大切であると考えているかがうかがえる。

４ おわりに月初めに実施したこともあり 全体的にあまりできていなかった。その中でも答えを求めるだけの答案が多く 論理的な思考をしているか判断しにくいものがあった。
愛媛大学は各学部の試験問題の中に小問集合のような大問が設けられて 教育学部 農学部以外の学部については数学Ⅲから基本的な計算問題が出題されている。出題側も ここでは得点の差がつかないと思っているので 確実に得点に結び付けていきたい。
しかし 得点をとれる問題の中でも前期１や後期１のように得点率が低い問題が存在している。まずは その狙われやすいポイントの傾向と対策を立てる必要が出てくる。やはり 暗記
した公式にただ数値を代入したものは確実に生徒にとって定着しにくい傾向があるので その部分をいかに減らすことができるかが重要である。
計算の中で 文字が含まれているものは得点率が低い。前期４ⅰ のベクトルの計算で文字が含まれているもの 後期 ４
積分範囲に文字が含まれているものが挙げられる。教科書の演習では数値で扱っている部分が文字に変化すると確実に得点率が下がっているので 普段の授業の中で文字を扱うことに慣れていく必要性が考えられる。
受験者が問題のイメージを掴みづらいものは得点率が低い。
前期２の次関数で問題文の条件を満たす条件を見つけることができていない。また 複素数平面が前期８ や後期５で出題されているが全体的に得点率が低い。生徒の答案を見ると次関数の問題でグラフを書いていない 複素数平面の問題で図を書いてないものが多く存在する。
思考するための考え方やアプローチの仕方について 手を動かして 糸口を見つけ解答を導き出す成功体験を生徒に経験させる指導をしていかなければならない。