東海地区

教育システム情報学会 2023年度学生研究発表会

数学計算問題における誤答特徴分析の試み－微分積分学の問題を例に－Attempt to Analyze the Characteristics of Incorrect Answers in Mathematical
Calculation Problems– Using Differential and Integral Calculus Problems as an Example –渡邉 聡真*1，宮崎 佳典*2
Souma Watanabe*1, Yoshinori Miyazaki*2*1 静岡大学情報学部情報科学科*1Faculty of Informatics, Shizuoka University*2 静岡大学学術院情報学領域*2College of Informatics, Shizuoka University
Email: dubiancongzhen@gmail.com
あらまし：数学計算問題を学習者に解かせたのち，それらの誤答からその特徴分析の試みを行った．なお，今回はその数学計算問題の例として，大学初年次程度における一変数の微分積分学の学習内容より，12題の微分に関する問題を出題した．
キーワード：数学計算問題，誤答，微分積分学

1.

誤答特徴分析の概要

表4

本研究では，まず，某国立大学の情報系学部生計
101 名に合計 12 問の微分に関する問題を 2 度の授業に分け，解いてもらった．これらは HW１，HW2 とまとめられ，HW1 に 6 問，HW2 に 6 問という形になっている．HW1，HW2 の問題の一例を示したものが以下の表 1 である．そして，HW1，HW2 に対する学習者の誤答を集め，正答と比較をして間違いの原因について ID を付与していく（表 2～4）
．学習者の解答，正答，誤答 ID をまとめる作業を終了次第，学習者ごと，問題ごと，全体の 3 つの粒度に分けた．この集計にはプログラムを作成した．
-2-3-42-5-1 係数をかけ忘れている

2-1-2 微分の時-を付けている

2-5-2 ーをかけ忘れている

2-1-3 sinの中身を微分して外に出していない

2-5-3 前に出す係数が違う

2-1-4 sin(x^2+x)が残っている

2-5-4 同じ数字を2回出している

2-2-1 係数の付け忘れ、係数が違う

2-5-5 sinを出していない

2-2-2 指数の部分が違う

2-5-6 cosの中身の微分ができていない

2-2-3 cos(x)が違う

2-5-7 指数が違う

2-2-4 -を付けている

2-6-1 xの係数かけ忘れ

2-3-1 f(x)・g(x)の微分ができていない

2-6-2 分数になる部分出していない

2-3-2 くくっている

2-6-3 分数の部分の数字が違う

2-4-1 e^(1/x)の微分が違う

2-6-4 logの指数が違う

2-4-2 指数を忘れている、指数が違う

2-6-5 係数が違う

2-4-3 係数が違う

2-6-6 logが消えている

2-4-4 微分していないところが一部ある誤答特徴分析

2.

2 の手法で行った誤答特徴分析の結果は表 5～6 で示される．この 2 つは全問題に共通している．

表 1 各問題の例-1

誤答 ID の詳細(2)2-1-1 f(x)・g(x)の微分をしている

表 5 HW1 の集計結果
-5

hw1-6

内容

12

表 2 誤答 ID の大別

表 6 HW2 の集計結果
hw2個数

内容個数

表記ミス

30 表現ミス

簡単な微分を間違う

2 簡単な微分を間違う

2

微分方法が違う33 微分方法が違う

70
1160

未回答

7 未回答

1

表記ミス

計算ミス

13 計算ミス

32

微分のミス（簡単な微分を間違えている）

前の問題を解く

5 前の問題を解く

14

3

微分方法が違う

4

未回答

5前の問題を答える

6

計算ミス

間違いが目立つのは「微分方法が違う」と「表記ミス」である．HW1 と HW2 の表記ミスの総数の割合はどちらも変化していない．キーボードで自ら打ち込むと，式の構造を理解しにくく間違いにつながっていると考えた．また，HW2 のほうが計算ミスがHW1 より減っていることが分かる．HW1-1～HW2-6の間違いの内訳を表 7～8 に示す．表記ミスが多くなっているのは HW1-6, HW2-3, HW2-4, HW2-6 である．
共通するのは問題の関数が複雑であると言えよう．
HW1-1,1-2 では問題が単純である微分であるので比較的間違いが少ない．HW1-3 では和の微分であるので，微分自体に困るというより，計算ミス，表記ミ

表 3 誤答 ID の詳細(1)1-1-1 指数を前に出せているが、値が違う

1-4-1 分子の微分中に計算ミス

1-1-2 指数を前に出せていない

1-4-2 分母のみの微分方法が違う

1-1-3 前に出す数字と指数が逆

1-4-3 約分していない

1-1-4 指数を忘れている

1-4-4 分子ののみの微分方法が違う

1-1-5 積分している

1-4-5 式をまとめていない

1-1-6 指数の値を半分にしている

1-6-1 (1/2)をかけるのを忘れている

1-2-1 指数が違う

1-6-2 √の中身を微分したものを外に出していない

1-2-2 前に出す数字が違う

1-6-3 √がなくなっている

1-3-1 指数が違う

1-6-4 √の外に出す数値が違う

1-3-2 微分を一部忘れている

1-6-5 √の中に1/2をかけている
1-6-6 √の中身が微分されている

49

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スが増えるようになってきている．間違いの多いものが HW1-4,HW1-6 の 2 つになっている．
「微分方法が違う」という間違いは HW1-4 が最も多い．また，
このことが 1-4-4 の「指数を忘れている」という間違いにもつながっていると考えた．HW1-5 では「表記ミス」，「微分方法が違う」の間違いがほとんどを占めている． HW2-1 は間違いの数が HW2 の中で最も少なくなっている．HW2-2 では HW2-1 と間違いの散らばり具合が似ているが，間違い総数に差が出ているのは，2-2-2 の「指数の数値が違う」原因である．この問題は HW2-1 と同じような sin()の問題であるが HW2-2 は sin()の全体の累乗になっていて指数が間違えてしまったと推察する．HW2-3 では表記ミスが最も多く，半分以下を占めている．これは解答が長くなり，打鍵が難しかったと考えた．HW2-4
では最も間違いが多くなっている問題であり，その間違いの半分以上は 2-4-1 である．e^(1/x)となり，指数が分数になったことでこの間違いが一気に増えたと考えた．HW2-5 は HW2-1 と HW2-2 を組み合わせたような問題になっているが間違いの数が増えている．間違いの約 4 割を占めているのがマイナスの付け忘れで 23 回ある．仮に問題が cos()ではなく sin()であれば間違いの合計は 35 回となり，HW2-2 と同じような数になる．また，全学習者の HW2-1, HW2-2,HW2-5 の正誤をまとめた（表 9）．
表 7 HW1 の誤答内訳詳細
HW1-1

HW1-4

10 Hw1-2

1

1 HW1-3

1420

20

203

1

303

4

40

40

42

50

50

51

60

6164

1-1-1

11-2-1

9

1-3-1

1-1-2

11-2-2

2

1-3-2

3

1-1-32

合計

13合計

23

1-1-4

2

1-1-5

11-1-61合計

910 HW1-5

16 HW1-611920202031535384341415050546461671-4-1

5

合計

131-6-1

21-4-2

71-6-241-4-341-6-3131-4-4

171-6-4

61-4-531-6-5

合計

58

1-6-65合計71

表8HW2-1

2

HW2 の誤答内訳詳細
4 Hw2-2

1

5 HW2-3

11722202033343840

4140

5050

5560

60

60

2-1-1

32-2-142-3-12-1-212-2-2

72-3-22-1-3

42-2-3

2

合計

2-1-4

12-2-4

1

18

72
39

合計

24

14 HW2-5

1

6 HW2-6

1202020325

3

53104540

4

55650

562

61

6

1

2-4-1

77

2-5-1

72-6-1

102-4-2

102-5-2

23

2-6-2

32-4-352-5-342-6-372-4-4

2

2-5-4

2

2-6-4

1

合計

146

2-5-5

4

2-6-5

2-5-6

2

2-6-6

2-5-7

3

合計

1

合計

2-1

2-2

2-5

○

○

○

48

○×

○

11×○

○

6××○

0○○×

21○××6×○×

7×××

2

合計

まず，HW2-5 の正解者は HW2-1, HW2-2 のどちらかを必ず正解している．HW2-1,2-2 のどちらかで間違えても HW2-5 で正解することができている人は17 名いる．3 つの内どれかを間違えている人は 53人で全体の約 3 割である．次に HW2-5 で不正解の人について着目する．HW2-1,2-2 で正解しているがHW2-5 で間違えている 21 人の内 10 人は-の付け忘れであった．問題文が cos()になり，マイナスを忘れている人が半分であった．そして，HW2-1 と HW2-2のどちらかで間違え，HW2-5 でも間違えていたケースで，同じ理由で間違えた者は 13 人の内 1 人だけだった．つまり，残りの 12 人は HW2-1 または HW2-2での間違いを生かし 正解している．HW2-6 では
HW2-5 と類似の log の問題になっているが，log(x)の表現で HW2-5 より表記ミスが増えている．HW1と HW2 のそれぞれで間違い回数が多いものが，HW1 だと HW1-4, HW1-6, HW2 では HW2-4, HW2-5である．まず，HW1-4, HW2-4 の共通点が問題に分数が現れる点である．HW1-4 では分子のみ微分ができていないパターンが全体の約 3 割を占めている．
誤答例として，分母の(x-1)^2 を 2 乗するのではなく，(x-1)だけを 2 乗するパターンが多く見られた．また，
HW2-4 では e^(1/x)の微分ができていない人が最も多く，その間違いが全体の半分を占めている．HW1-2
では e^(-x)の微分だが，この微分を間違えているのは 11 個である．指数の部分が分数になるだけで間違い数が急増し，77 個にもなった．HW1-6, HW2-5 で共通しているのは多少複雑な合成関数の微分になることである．HW1-6 では√の引数を微分して乗算する必要があるが，引数が複雑になっているため，引数の微分が違うことや，√が消失する誤答パターンが見られた．HW2-5 は HW2-1 と HW2-2 の性格を併せ持つような問題だが，間違いの数は単体のそれよりも多い．式が複雑になり，解答の数式も他の問題より長くなり，（）の対応などの理解にも時間がかかっているのではないかと推察した．また，そちらの式の構造に意識を取られマイナスをかけるのを忘れている可能性も否めない．今後はこういった点により注力して分析を進めてゆく所存である．
最後に，数学計算問題の誤答について分類した類
似の関連研究として (1) も参照されたい．

51

合計
HW2-4

表 9 HW2-1,HW2-2,HW2-5 の正誤

181

参考文献
(1) Y. Nakamura et al., An Attempt to Analyze Mathematical
Question-Solving Processes Using STACK, Proceedingsof SITE 2019, pp. 2210-2213 (2019).

19665750