平成年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校 新海 孝則

１

はじめに５月１２日（土）に松山南高等学校において，愛媛大学理学部平野幹教授より平成 年度愛媛大学数学入試問題の解説があった。実際の入試問題を利用して 本校生徒がどこでどのような間違いが生じてくるのか，誤答分析を中心に考察していきたい。
２ 出題の傾向（１）出題傾向
今年度は教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコースにおいて記述４題を分で，理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部医学科においては記述５題を分で，後期は記述５題を分で解答する。
（２）出題内容
教育学部（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系を除く），農学部，工学部
環境建設工学科社会デザインコース
１ 小問集合 数学Ⅰ ･ ･ Ⅱ ･ の範囲
２ ２次関数，微分法 積分法
４ 空間ベクトル
５ 確率漸化式
教育学部学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系
１ 小問集合 数学Ⅰ ･ ･ Ⅱ ･３ 小問集合 数学Ⅲ４ 空間ベクトル
５ 確率漸化式
理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）
４ 空間ベクトル
５ 確率漸化式
６ 小問集合 数学Ⅲ
７ 複素数平面８ 微分法 積分法 数学Ⅲ
医学部医学科５ 確率漸化式
６ 小問集合 数学Ⅲ
７ 複素数平面８ 微分法 積分法 数学Ⅲ
９ 確率
後期
１ 小問集合（穴埋め） 数学Ⅲ ･
２ 小問集合３ 数列 積分の融合
４ 平面ベクトル

５ 対数関数 微分法 積分法（３） 出題者の意図と採点基準の考え方
２次試験数学入試のポイント
ア基本的な事項が理解できているか。
イ基本的な計算が身についているか。
ウ応用力を身につけているか。
エ論理的に考察し 表現できるか。の４つの観点で問題を作成している。
文系前期数学は 数学ⅠⅡ基礎学力の確認である。問題把握を確認したいときは 空間図形の問題を出題。思考力を調べたいときはパターン化されていない問題を出題する傾向がある。
理系（理工系）数学ⅠⅡ
基礎学力 ＋数学Ⅲの確認である。文系と同じく 問題把握を確認したいときは 空間図形の問題を出題。思考力を調べたいときは パターン化されていない問題を出題する傾向がある。 大学に入学して必要となってくる複素数平面においては頻出である。
理系（医学）
高い学力と問題把握ができているかの確認である。複数の場合分けが必要な問題を出題して現場に出たときに 状況判断が適切にできることを確認するためにこのような問題を出題している。
全体に言えることだが教科書と異なる問題を出題すると正解率が下がるので受験生は暗記で解いている部分が多いのではないかと予想される。難しい問題は 一般的には解けない人数の方が多いが 答えを求めるだけの問題はセンター試験で確認しているので ２次試験では 論理的に考えて表現することができているかが採点に大きな差が応じる。
３ 問題分析
本校の３年生に入試問題を解いてもらう。
３年生の文系生徒（ 人）に前期１，２，４，５，理系生徒で，教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコースを志望の生徒（ 人）は，前期１～５から選び，理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）志望の生徒（ 人）は前期４～８から選び解いてもらった。理数科生徒（ 人）に後期１～５を解いてもらった。採点基準は公表されていないため，定期考査に準じて採点し，得点率と誤答例から分析を行った。

前期 ＜教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコース＞
１ 次の問いに答えよ。との最小公倍数を求めよの桁数との位の数字を求めよ。とする。

ただしでのときとを求めよ。
点とについて 線分をに外分する点を中心とし 点 を通る円の方程式を求めよ。
下図のように 本の平行な道とそれらに直交する本の平行な道がある。地点 を通るが地点 を通らずに 地点 から地点 へ行く最短経路の総数を求めよ。

会デザインコース＞
関数とをそれぞれ次のように定義する。

次の問いに答えよ。
関数のグラフを描け。の値を求めよ。の範囲での範囲での値を求めよ。
問題番号

合計

得点率
標準偏差

【誤答例】

●のときのグラフが●の計算をしている。

●
合計

文系 得点率文系 標準偏差理系 得点率理系 標準偏差【誤答例】と分解が終わっておりができていない。になっていな

い。のグラフを利用することなく〇問題番号を求めよ。の最大値とそのときのの形で因数･ ･最大公倍数を求めることから桁と解答している。
具体的に計算して規則性が見つけることができていない。問題文を読んでおらずの位の数字を求めていない。
乗の計算ミス。
外分点の公式が分かっていない。
から の経路数と から までの経路数を足しただけになっている。
【教授コメント】
基本的な問題であり 基本的な知識で解ける。
素因数分解ができない場合の問題の解き方をユークリッドの互除法を用いて示された。
２＜教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社

場合分けをすることができずのときの関数しか求めることができていない。と同様で 場合分けをすることができずのときの関数でしか最大値を考えることができていない。
【教授コメント】
絶対値 場合分けが苦手なので 暗記の中でとっかかりと見つけようとしてくる。どうして 場合分けをしないといけないのかが分かっていない。正確なグラフを描く必要があり、積分区間がずれることをイメージすることができるかどうかがポイントである。
３＜教育学部学校教育教員養成課程中等教育コー
ス自然科学系＞
曲線上の点ををとする。

における接線を としの方程式とする。ただし次の問いに答えよ。
関数をを微分せよ。
を用いて表せ。

変数変換を用いてである。

を求めよ。
曲線
接線軸で囲まれる図形と曲線接線軸で囲まれる図形の面積の和をとする。
ⅰを求めよ。
ⅱの最小値とそのときの の値を求めよ。
問題番号

合計

得点率
標準偏差

【誤答例】
合成関数を利用できていない。
計算ミス。の計算ができていない。
未解答【教授コメント】
基礎力であり 非常に典型的な問題である。
図が描けるかどうかで差が生まれる問題である。
４＜教育学部，農学部，工学部，理学部＞
四面体はを満たすとする。
を満たす実数に対し 辺をに内分する点を辺をに内分する点をとする。

･を問いに答えよ。
およびを求めよ。
をとおく。
次の問いに答えよ。
内積 ･の計算ミス。
【教授コメント】
基本的な問題である。まず図が描けるかどうか図がおかしいと次のステップにいけない。問題把握を行い 基本的なロジックが組み立てられるかを採点者は見ている。
５＜教育学部，農学部，理学部，工学部，医学部＞
袋に赤玉が 個入っている。 さんと さんは次の手順１から手順３までを 回の操作とし この操作を反復する。ただしさんの手元には白玉と赤玉がたくさんあるとする。
手順１
さんは袋から無作為に玉を 取り出し玉の色を確認せずにさんにその玉をわたす。
手順２
さんはさんから受け取った玉が白玉ならば赤玉に 赤玉ならば白玉に取り換えて袋にもどす。
手順３
さんは袋の中を確認し すべての玉が同じ色ならば終了を宣言し すべての操作を終了する。すべての玉の色が同じでなければ 手順１にもどる。
自然数 に対して 操作が 回行われ かつ回目の操作後に袋の中の白玉の数が 個 個 ３個である確率をそれぞれとする。次のちょうどを用いて表せ。

回目の操作で終了する確率を求めよ。
･ を求めよ。

問題番号を用いて表せ。

文系 得点率つのベクトルが直交するときを を用いて表せ。
三角形の面積の最小値とそのときのの値を求めよ。
問題番号

合計

文系 得点率文系 標準偏差理系教育学部 得点率

合計

文系 標準偏差理系教育学部 得点率
理系教育学部 標準偏差理系教育学部以外 得点率
理系教育学部以外 標準偏差【誤答例】
問題文の把握ができていない。
袋の中の玉の状態とから

理系教育学部 標準偏差に移る条件を理解できてない。

理系教育学部以外 得点率の奇数と偶数のときの場合分けができて いない。
【教授コメント】
まず、ルールを正確に把握すること。奇数回では終わらないことなど思いつくことをまず考えてみる。最終的に知りたいことに着目し、辛抱強く考えさせることを訓練させることが必要。

理系教育学部以外 標準偏差【誤答例】
内積の定義を間違えている。の表し方を間違えている。
･の計算ミス。

解いた問題をもう一度解いてみると見えてくるものがちがうかもしれない。
６＜理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部＞
次の問いに答えよ。
関数のグラフ上のが線分や点の場合はとする。
大値とそのときの の値を求めよ。
問題番号ⅰⅱ

ⅲ

合計

得点率
標準偏差

における接線の方程式を求めよ。

【誤答例】
内分点の公式が適用されていない。

関数を求めよ。

に対して 第２次導関数の絶対値を定積分を求めよ。

点条件を満たす複素数 に対しての最小値を求めよ。ただし は虚数単位である。
問題番号

合計得点率の最偏角をとしている。

【教授コメント】
複素数のことをしつかりと理解できていますかという問題です。解くだけなら簡単な問題ですがの記号の意味が分からず。混乱している受験者が多かったようでした。
８＜理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部＞の範囲で関数を標準偏差と定義する。

【誤答例】
またとなっている。の範囲で関数は積の微分ができていない。
を満たすとする。このとき 次の問いに答えよ。
両辺を２乗したときに計算ミスをしている。
【教授コメント】
基本的な問題 正確に処理すること。
７＜理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部＞
は複素数でとする。
をのとき 関係式が成り立つことを示せ。
すべてのを示せ。

を虚数単位としを実数とする。複素数平面において 点 が 点を頂点とする四角形の周を動くときが表す点の描く線で囲まれた図形をとする。

問題番号

複素数平面における図形 を｜は実数と定義しとの共通部分の面積をはと表せることと定義する。実数 はを満たすとする。
が表す複素数平面上の点を それぞれとする。点が線分をに内分するときをを用いて表せ。

ⅰの絶対値と偏角を求めよ。
ただし 偏角は 以上未満とする。
ⅱの概形を描け。

に対して関数を求めよ。

を示せ。の最小値とそのときの の値
合計

得点率
標準偏差

【誤答例】にの関数を代入している。
を代入してからの処理ができていない。

ⅲとする。ただし 共通部分がない場合や 共通部分の計算ミス。となる の値をミスしている。
【教授コメント】

誘導付きの問題であり 丁寧に関数を扱っていく必要がある。一見複雑だが 積分区間と絶対値を正しく扱えるかを確認する問題である。
９ 医学部
立方体の 個の頂点から無作為 に つの頂点を選ぶ作業を 回行って選んだ点を それぞれとする。以下の問いに答えよ。ただし この問題では 三角形 四角形 立方体などの図形は すべて境界とその内部からなるとする。
点がすべて異なる確率を求めよ。
点がすべて異なり かつその点を通る平面と立方体の共通部分が三角形になる確率を求めよ。
点がすべて異なり かつその点を通る平面と立方体の共通部分が四角形になる確率を求めよ。ただしが定める平面が立方体の つの面を含む場合 その面を平面と立方体の共通部分とする。
点が同一平面上になる確率を求めよ。ただし
点がすべて異なるとは限らないとする。
【誤答例】
本年度の解答者は 名であった。
【教授コメント】
高度な学力を見る問題。色々な場合分けが存在する。の正答率が悪く 出題者にとって予想外であった。まず 問題把握を正しく理解できていないことが挙げられる。また 確率を求める場合に組み合わせと順列を混在して使っている解答が多かった。
すべての問題を完答することは難しいかもしれないが 競争試験なので まずは基礎的な部分で正解にならないと合格は厳しいことは言える。
後期
１次のに適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。
数列を…

で定めたとき

アである。

エである。

オである。

関数がを満たすとき 定数

カキ

ベクトルはである。

がを満たすときについてはる最小の自然数
ウイであり

問題番号

アイウエオカキである。ただし

合計

標準偏差

【誤答例】
アイウエオ
カキク
【教授コメント】
数学Ⅲの分野が多く 特に 微分 積分が多い。
２ 以下の問いに答えよ。
関数がで微分可能でのとき 極限を求めよ。
極限を求めよ。

円 円円円
円円 の硬貨を枚ずつ 投げて枚のうち表が出た硬貨の金額を合計する。ただし すべて裏が出た場合は 合計金額は 円とする。合計金額が の倍数になる確率を求めよ。
問題番号

合計

標準偏差が実数にな【誤答例】のを作り出すために与式にを加える式変形ができていなかった。
部分分数分解の式変形がは虚数単位である。

ク

得点率の偏角はである。

得点率
複素数

クとしている。

打ち消し合う項の計算ミスがある。の倍数の性質を利用せずに 数え上げのミスがあった。
【教授コメント】
基本的な問題である。
確実に解くことが求められる。
３

関係式… により関数を定める。以下の問いに答えよ。
を求めよ。
各についてにより定数を定める。
ⅰをⅱ各列を用いて表せ。

についてとするとき 数の一般項を求めよ。

ⅲを求めよ。

問題番号

ⅰⅱⅲ

合計

得点率

以下の問いに答えよ。のとき 条件を満たす点の軌跡を考える。このような点の 座標の取り得る範囲を求め 軌跡の概形を描け。のとき 条件を満たす点の軌跡を考える。このような点 座標の取り得る範囲を求め 軌跡の概形を描け。
不等式の表す領域を図示しその面積を求めよ。

問題番号

合計得点率

【誤答例】

【誤答例】

与式の両辺をの式の代入ミス。の式に分けることができていない。
【教授コメント】
問題観察 問題把握のために小問がある。誘導だけでなく 発展的な内容として扱えることができる問題である。
４
辺の長さが の正三角形において 辺辺辺をに内分する点をそれぞれとしとの交点をとの交点をとの交点を とする。とするとき 以下の問いに答えよ。
をを用いて表せ。
が 線分をに 線分をにそれぞれ内分するときの値を求めよ。
三角形
問題番号

５

標準偏差

標準偏差

点の一次独立の記述がなかった。
チェバの定理 メネラウスの定理を利用したが計算ミスがあった。
相似な図形に気付いていない。
△が正三角形であることに気付いていない。
【教授コメント】
正確な図を描こう。の面積を求めよ。
合計得点率
標準偏差
【誤答例】
内積の性質を使わず、足し算で表した
間違っていた。

がで微分してとしていた。対数の性質を利用していない。
場合分けが正確に処理することができていない。
【教授コメント】
問題の全体把握を行うことで誘導の意味が分かってくる問題である。
４ おわりに月初めに実施したこともあり 全体的にあまりできていなかった。しかし 中には 割以上の正解率の生徒も何人おり 確実に 次力を身に付いている生徒もいた。
今回の分析を通して課題として挙げられるのは基本的な計算を正確にできていないことである。
前期３ ６ 後期１では 小問集合のような大問も設けられている。ここで確実に得点を取っておく必要がある。特に理系は 数学Ⅲの内容の複素数平面 微分 積分が例年出題されており 演習で確実に力を付ける必要がある。
次に 前期２では式と図の関係を利用できていない答案が多かった。グラフから読み取る力を身に付ける必要があると感じた。前期５は確率と漸化式を組み合わせた問題であった。問題把握を行うために 具体的な例を書いて 問題の性質をつかもうと努めている様子をうかがうことができな

い答案が多く 非常に残念であった。 この形式の問題は他大学でも多く出題されているため 対策が必要である。丁寧に図を書いて考えている答案はまで解答できている答案が多かったので 粘り強く考え抜く必要がある。
教科書や問題集に載っている問題に対しては 比較的正答率が高く 知っている 解いたことのある問題に対しての対応力は高い。しかし これは暗記に頼って解くことができる問題である。初見の問題や誘導のついた応用問題に対して 対応していく力を育成していく必要がある。そのためには 全体の問題の流れを掴み どのようなアプローチで問題を考えていくかという思考力と自分の知識をいかに結び付けるかことができるという発想力が必要である。それは生まれもった力ではなく 定理をいかに正確に理解できているかであると考える。定理の有利性を１つ１つ押さえていくことが 生徒の思考力 発想力の向上につながるのではないかと考える。また 自分の考えを採点者に論理的に伝える国語力も必要とされる。
今後 上記の力を身に付けさせていくために導入部分や応用問題の扱い方など 生徒がいかに自分で考えるかという点においてより良い指導方法の研究をしていかなければならないと強く感じた。