国公立大学入試問題の研究－数学的帰納法を用いた証明問題の研究－
愛媛県立松山東高等学校

1

はじめに受験指導を行うときに感じることは，論証問題に対して苦手意識をもつ生徒が非常に多いということである。別解のある問題も多く，解答中で必ず押さえるべき条件の導き方や，その条件に気付くための思考力発想力を身に付けることは容易なことではない。そのため，暗記中心の学習スタイルの生徒や思考力 発想力が不足している生徒にとってはとても苦労するのが証明問題である。
本研究では，数学的帰納法に焦点を当て，昨年の大学入試問題を中心に出題形式，出題頻度，解法について分析を行うことを通して，数学的帰納法の単元における体系的な学習指導に役立てていきたいと思い，この研究テーマを設定した。
２

列の一般項を松 浦正と推測し，それを数学的帰納法で証明する。そして，最後に周期 となるための条件式を導く。
【解答例】のとき，数列は周期が の数列であるから，は自然数

条件により，･大学入試問題の分析①『で成立と仮定でも成立 』型
数列の単元において，教科書等で扱われる基本パターンであり，『Σ』記号を持ちいた等式の証明や不等式の証明で利用される。

……
よって，に対して，…… ①となることが推測される。
＜２０２０ 宮崎大学＞
数学的帰納法を用いて，自然数証明せよ。のとき，① の右辺は，に対する次の等式をよって，のとき，① は成り立つ。のとき ① が成り立つ，すなわち…… ② と仮定する。のときを考えると，② から，＜２０２０ 東北大学＞
を正の整数， ， を 以上の整数とする。のとき不等式を示せ。
不等式
等式
組 ， ，＜発展問題が成り立つこと
ここで，を満たすを満たす ， ， のをすべて求めよ。

２０２０

ゆえに，よって，， から，のときにも ① は成り立つ。
に対して ① は成り立つ。

神戸大＞

を 以上の自然数とし，数列は，， ， ，…… を満たすとする。のとき，より，をすべて求めよ。

を求めよ。

したがって，＜類題 ２０２０ 琉球大＞を虚数単位とし，複素数をであることを示せ。

， ， ，…… によっ【解法の分析】
で ， ， ，… を順に求めていけば周期性があることは容易に気付くので，では，，に対して，数て定める。
， ，を求めよ。

すべての正の整数についてが成り立つ

ことを，数学的帰納法を用いて証明せよ。

②『＜発展問題
２０２０ 大阪大学＞を 以上の自然数とする。三角形
において，辺の長さを ，辺の長さを で表す。
であるとき，を示せ。
【解法の分析】，と正弦定理から，証明すべき不等式をと同値変形できるかがポイントである。この不等式の証明は，とおいて，の増減を調べて示すこともできる。

，で成立と仮定
でも成立 』型
で成り立つと仮定して，でも成立することを示そうとしても上手くいかないときがある。隣接 項間の漸化式が関係している問題が多い。
＜２０２０長崎大学＞，に対して，る。このとき，ての自然数およびの値を求めよ。また，すべに対して，は の倍数ではない偶数であることを証明せよ。
【解答例】，【解答例】とおく。

よって，｢･は の倍数ではない偶数である｣ … ① として，数学的帰納法で証明する。のとき，ゆえに，三角形とすにおいて，正弦定理より，のとき，よって，， のとき，① は成り立つ。
，のとき，① が成り立つと仮定する。のときを考えるとすなわち，したがって，証明すべき不等式は，すなわち，…… ① と同値であるから， 以上のすべての自然数 で ① が成り立つことを数学的帰納法で示す。
ⅰのとき，仮定より，る。また，ゆえに，，よって，ⅱのとき ① は成り立つ。
は 以上の自然数 のとき ① が成り立つ

は偶数であるから，は の倍数でない偶数であるから，のときも ① は成り立つ。
から，すべての自然数 に対して，① は成り立つ＜類題 ２０２０ 京都大学＞
を正の整数とする。 ， はに関する 次方程式の つの解で，であるとする。と仮定すると，ここで，は の倍数であは の倍数でない偶数である。

すべての正の整数 に対し，さらに偶数であることを証明せよ。
極限は整数であり，を求めよ。

【解答例】 は省略。
･
よって，のときも ① は成り立つ。
に関する 次方程式
ⅰ ， ⅱ より， 以上のすべての自然数 で ① が成り立ち， するから，，も成り立つ。
また，解と係数の関係より，の つ解を ， と，とおく。
･･

よって，…… ①

ここで，すべての正の整数 に対し，『が整数であり，さらに偶数である 』……
数学的帰納法で証明する。
ⅰことを

，よって，， のときは成り立つ。
ⅱ，は正の整数 のとき が成り立つと仮定すると， ，はともに整数であり，さらに偶数である
このとき，① から，，はともに偶数であるから，も整数であり，さらに偶数である。すなわち，も は成り立つ。
ⅰ ， ⅱ より，すべての正の整数 に対しのとき＜応用類題２０２０は成り立つ。

兵庫県立大学＞

次方程式の つの複素数解（重解の場合も含む）を ， ， とする。ただし， ， ，は実数である。
，ことを示せ。

，から，すべての自然数すなわち，任意の自然数である。
③『は実数でも成立 』型＜２０１０ 京都大学＞
数列
は，すべての正の整数に対して，を満たしているとする。このとき，すべてのに対してであることを示せ。

【解法の分析】
これまでに紹介してきた手法では上手く議論が展開できないこともある。そのような場合には，次のような特殊な数学的帰納法が活用できる。

が実数であるに対して，が実数であ【解法の分析】
仮定を 段設定する問題であるが，出題頻度は多くない。
【解答例】
次方程式について，解と係数の関係により，，は実数であるから，は実数である。

は実数であるから，が成り立つことを示すが成り立つことを示す。

ⅱ， ，…， が成り立つことを仮定して，も成り立つことを示す。

【解答例】
すべての に対して、が成り立つ …… ① ことを，この連立不等式を解くと，は実数である。

さらに，よって，のとき成り立つ。
ⅱ， ， ，…… を満たすべての成り立つと仮定する。のとき，条件式より，……
上と同様に，は実数だから，である命題

ⅰ

数学的帰納法で示す。
ⅰのとき，また，の両辺にに対して，で成立と仮定すべての自然数任意の自然数ることを示せ。

について ② は成り立つ。

は実数である。
を掛けて，……
より，となり，である。ゆえに，も ① は成り立つ。
以上より，すべての に対して、のときが成り立つ。

＜類題 秋田大学＞
を自然数とする。すべての正の数

ゆえに，で①が， ，…，に対して，不等式
よって，……
……
が成立することを，数学的帰納法により証明せよ。
また，等号が成立するのはどのようなときか。

とおくと，
…… ①

このとき，「任意の自然数に対して，が実数である」…… ② を示す。
， ， のとき， より，② が成り立つ。
，，のとき，② が成り立つと仮定す
ると， ， ， ， ，，は実数であるから，も実数であり，① より，数である。
よって，参考秋田大学の問題に出てくる不等式は，コーシー シュワル
ツの不等式
…

…

は実において，のときにも ② は成り立つ。

…

…
したがって，等号成立は，としたときの不等式である。
…のときである。

＜類題 １９９３ 東京工業大学＞
を自然数，を 次の多項式とする。
，，……，が整数ならば，すべての整数に対し，は整数であることを証明せよ。

＜類題 ２０１６ 名古屋大学＞
次の問いに答えよ。ただし， 次方程式の重解は つと数えることとする。
次の条件 を満たす整数 ， ， ， ， ， の組をすべて求めよ。

④『無限降下法を活用した問題』＜２０１４ 九州大学＞
以下の問いに答えよ。。
任意の自然数 に対し，であることを証明せよ。

【解法の分析】
無限降下法は，自然数という集合の最小性を利用した証明方法であり，背理法の 種である。自然数に関する命題の証明に効果的であり，不定方程式に自然数解が存在しないことを示す際によく用いられる手法である。
【解答例】 ， は省略。
…… ① を満たす自然数が存在すると仮定
より， ， ， はすべて の倍数であるから，，，（ ， ， は自然数）とおけて，① より，の つの解が ， である，る。
すべての正の整数，（， ，を満たすとすについて，は整数であ，，の つの解が，である。

このとき，
ⅰ 正の整数

で，…… となるものが存在することを示せ。
ⅱ 条件を満たす数列，の組をすべて求めよ。

【解答例】， の ⅱ は省略。
ⅰ 解と係数の関係より，…… ①アすべての正の整数…… ②のとき，について，が整数であることより，，は自然数）とおとなる。

はいつか よりも小さくなる。すなわ

ち，何度でも で割り切れることは が有限であることに矛盾する。
したがって，① を満たす自然数 ， ， は存在しない。

よって，ゆえに，数列， ，… は，単調減少，かつ，正の整数 の数列であるから，……

よって，正の整数…… となを で割ったときの余りとして実際に得られるものを から の中からすべてあげよ。
を満たす整数 ， ， は，に限ることを示せ。

でるものが存在する。
イ ある正の整数 について，のとき①，② より，…… ③…… ④＜類題 ２０１７ お茶の水女子大学＞
次の問いに答えよ。
， を整数の範囲で動かして考えるとき，整数

実数 ， がを満たすとき， と少なくとも一方が無理数であることを示せ。

は，次の条件り， 次方程式はすべて の倍数であるから，これを繰り返すことにより，自然数 ， ， が で無限回割り切れることになる。しかし， は有限であるため，を大きくするとの つの解が ， である

次方程式

② および

よって， ， ，，次方程式

つの数列を満たす自然数 ， ， は存在しないことを証明せよ。

けて，① より，の つの解が ， であるを で割った余りは か

自然数 ， ， がを満たすと仮定すると， ， ， はすべて で割り切れなければならない
ことを証明せよ。

する。

次方程式

…… ⑤…… ⑥③，⑤，⑥ よりを消去すると，これを解くと，，との，解，，， ， ，のとき，の つのが整数にならないので不適。

，，のとき，④，⑤，⑥ より，，，，さらに，①，② より，，，

以上から，のとき，これから，，，， ，示せるので任意の自然数，，，について，

すなわち，【解答例】， は省略。
に関する数学的帰納法で証明する。のときであるから，は数列も，……

以上より，題意は示せた。
＜発展類題 ２００６
次の条件を満たす組

東京大学＞， ， を考える。

条件， ， は正の整数で，，およびを満たす。以下の問いに答えよ。
条件を満たす ， ， で，となるものをすべて求めよ。
組 ， ， が条件を満たすとする。このとき，
組 ， ， が条件を満たすような が存在することを示せ。
条件を満たす組 ， ， は，無数に存在することを示せ。と仮定する。
から，を大きくしていくと在し，このから，が成のとき，と表せる。のとき，と表せる。のとき，仮定から，は，……
，と表せる。
……
であるから， ， ，……， の中には存在しない。
よって，と表せる。
……
自然数であるから，…… ①

よって，に対して，であるから，が存在する条件は，，がただ つ存り立つ。

，
ここで，……
……
は限りなく大きくなるから，を満たす自然数【解法の分析】
で，無限降下法の発想に近い考え方を用いている。
【解答例】 は省略。
題意を満たすようなの互いに異なる 個の項の和で表される。とし， 以上 未満のすべての自然数は，数列の互いに異なる 個の項の和で表されるととると，についても，数列の互いに異なる項の和で表される。
， から，数学的帰納法により，すべての自然数 は，数列の互いに異なる 個の項の和で表される。

かつが成り立つ。
ゆえに，組 ， ， が条件を満たすような が存在する。
， ，， ， ，，，，によって，数列より，， ，…
を定める。

は条件を満たし，，，…
， ，ゆえに，条件，，，① より，よって，，＜ 発展例題 ＞
数列は，… である。
， ，… はすべて異なる。

を満たす組， ，，，で定義されている。
任意の自然数 に対して，は，無数に存在する。

， ， ，…とは互いに素であることを証明せよ。
＜発展類題 ２０１７ 九州大学＞
次の条件によって定められる数列，，以上の自然数ことを示せ。
以上の自然数がある。
， ， ，……

に対して，は，数列が成り立つの互いに異なる個の項の和で表されることを，数学的帰納法によって示せ。
における項の個数 は，を満たすことを示せ。

【解法の分析】
フィボナッチ数列の隣接する 項が互いに素であることの証明である。 以外に公約数をもたないことを証明するために，否定である「 以外に公約数をもつ」と仮定する背理法を用いる。その中で無限降下法の考え方を用いてとが 以外の公約数をもつという矛盾を導くことで証明できる。

⑤『双方向（正負）への帰納法』型
ある事柄について，指数関数的に大きくなるような について成立することを数学的帰納法によって示してから，次に が小さくなる方向に つずつ再び数学的帰納法を構築させる手法である。大学入試問題ではほとんど見られないパターンなので，例題と解答例のみを紹介する。
＜例題＞ 相加平均 相乗平均の大小関係の一般化
を 以上の自然数とする。
個の 正の整数 ， ，…， に対して，…

･…… ①…

が常に成立することを示せ。
【解答例】
ⅰのとき，よって，① は成り立つ。
ⅱ

は自然数 で ① が成り立つと仮定する。
…

このとき，…

…

…となるので，のときも ① は成り立つ。
ⅲ
は 以上の自然数 のときに ① が成り立つと仮定する。
…

すなわち，･…

が成り立つと仮定する。
…

このとき，…

…

を代入すると…
…

…

･…
…

よって，のときも成り立つ。
したがって， 以上のすべての自然数において ① は成り立つ。
＜類題＞ 相乗平均 調和平均の不等式
を 以上の自然数とする。
個の 正の整数 ， ，…， に対して，･… ･が常に成立することを示せ。

…

４

おわりに今回の研究を通して，大学入試問題では数学的帰納法を用いることが指示されていない場合が多いという特徴が見えてきた。受験生の柔軟な思考力 発想力 問題解決能力を見極めたいという大学側の思いが論証問題に込められているのだと考えられる。したがって，論証問題の解答では「数学的帰納法で示す」などの方針を提示し，根拠を論理的に記述するように指導していくことが大切である。特に，数学的帰納法は，①②のとき成立のとき成立するならば，のときも成立という基本定型パターンをうまく活用すれば解答を作れるので，トレーニングをして定着させたい証明方法である。
中には，成立仮定を 段階準備する必要があったり，特殊な論法が必要な難問もあるが，数列，漸化式，等式 不等式，自然数 整数というように扱われる内容は絞り込むことができる。思考力 表現力がより一層問われる「大学入学共通テスト」の導入も控えており，今後は与えられた課題にどう切り込んでいくか，そのアプローチの仕方を生徒たちに工夫させるような指導が重要になる。今後の入試全体の動向にも注意をしながら，それぞれの単元ごとの入試問題研究を続けていきたい。

【参考文献】
年受験用

全国大学入試問題正解 国公立大編（旺文社）
大学への数学スペシャル 東大 東工大（研文書院）
大学への数学 数学を決める論証力（東京出版）
モノグラフ数列（科学新興新社）