３

国公立大学入試問題の研究
４－ 広島大学・岡山大学の入試問題（理系）－
愛媛県立大洲高等学校 岩村 崇

Ⅱ（2 次方程式の解文字定数ｋを含む 2 次方程式のと判別式）

虚数解についての問題

B（球面の方程式、 球面とｘｙ平面、ｙｚ平面が交空間ベクトル）2017 年度
番号

科

目

２

Ⅲ（接線、面積）３導の改善につながればと考えたからである。大洲高校

ル、体積）

体の体積

Ｂ・Ⅲ
（複素数平面、は 15 名、受験者 11 名、進学者 9 名であった。他校の2016 年度

漸化式、極限）番号科る。
二つ目に、この 2 大学の入試問題と、難関大をはじ２めとする他の大学の入試問題とを参照・比較し、近年の 2 次試験における傾向を分析したいと考えたからで３ある。大学入試問題には少なからず“流行”があり、そういった視点で分類することや対策を練ることは指４導者にとって欠かすことはできないものであると考え複素数と漸化式の融合問題

目ことが推察でき、愛媛県の高校生にとって身近な志望
１

囲まれる範囲の面積
空間ベクトルの成分表示、回転４大学であり、その入試問題は注視すべきものだといえ対数関数の共通接線とそれらにＢ・Ⅲ（空間ベクト

では、昨春の入試においてこの 2 つの大学への志願者受験生を含めると、多くの志願者および受験者がいる

容Ａ（組合せ、確率） ６～８人を複数の班に分ける

た理由は、一つ目に本県高校生の多くが志望する大学の入試問題を研究・分析することにより、私自身の指内

１

１ はじめに私が研究テーマを広島大学・岡山大学の入試問題としわる 2 つの円の面積の和Ａ（約数と倍数）

内容

階乗に含まれる素因数の個数を考える

Ⅱ（加法定理、関数３次方程式の解の個数、３倍角のグラフ）の利用

Ⅲ（関数の凹凸、変変曲点の軌跡、曲線で囲まれた曲点、面積）部分の面積Ｂ（空間ベクトルと球と直線の交点、空間ベクトル図形）と図形の利用る。また、平成 20 年度入試から始まった「大学入試過去問活用宣言」に国公私大合わせて 124 大学が参加しており、過去に他大学で出題された良問はその後他大学の入試問題にも反映されてくるといえる。また、入試問題分析を通じて解法に必要な力をどう養っていくべきかを考え、生徒の学びのなかに生かしていきたいと思い研究を行った。なお、過去問研究は最も受験者の多い理系学部の前期試験における問題のみであり、(2) 広島大学（前期）【理・工・医・歯・薬・教育・総合科学・生物生産】（ⅠⅡⅢＡＢ）
2018 年度
番号１

過去 4 年分の研究としている。

科目

内容

Ⅱ（図形と方程式、 2 次式の条件より不等式を作り、積分法）

その面積を求める
複素数平面上にある四角形が平２Ⅲ（複素数平面）(1) 岡山大学 前期試験

３

Ⅲ
（微分法、積分法） 定積分を含む不等式を証明【理・工・環境理工・農・医・歯・薬・教育】

４２ 試験内容一覧（ⅠⅡⅢＡＢ）
2018 年度
番号１２

科目

内容Ⅲ （面積、接線f(x) = (1 + 𝑥)𝑒 𝑥 の接線、求積問と法線）

題A・B（確率と漸化

さいころをｎ回投げ、規則に従式）って経路をゴール

５行四辺形となるための条件

ⅢBA（複素数平面、 １の 3 乗根で定義される数列と数列、確率）ⅢⅡ（微分法、図形と方程式）

確率の融合
正方形が 3 次関数のグラフと接して動くときの正方形の中心の軌跡

2017 年度
番号
１

科目

内容

Ｂ・Ⅲ
（数列の極限、 三角関数の漸化式、数学的帰納漸化式）

法、数列の極限２

３
４

Ⅱ（円と曲線、微分法の応用）

３次関数の最小値、４次関数ととではなく、他の国公立大学にも数多くみられる。

円の共有点、動点との距離の最したがって、融合問題の定番と近年の傾向とを含小値めて、次の３つの内容に注目し、過去問を紹介す

Ａ・Ｂ（反復試行、 コインの表裏によって、三角形る。なお、解答は略解であり、類題には答えのみ漸化式と確率）を付けている。

Ⅲ（面積、体積）の頂点を移動する点の確率
楕円の面積、楕円柱を斜めに切

４ 過去問紹介った立体の体積

Ａ・Ｂ（不定方程式、 格子点と内積、四角形の内部お５平面ベクトルの成よび周にある格子点の個数と不広島大学 前期 2018 年度 問 4分）

定方程式

0,1,2,3 の数字が一つずつ書かれた 4 枚のカードがある。
この中から 1 枚を取り出し，書かれた数字を見て元に戻2016 年度
番号
１２３４５（１） 融合問題 確率と漸化式

科目内容す。この操作を N 回繰り返し，カードに書かれた数字をＢ（空間ベクトルと空間ベクトルの成分表示、内積順に𝑍1 , 𝑍2 ,…, 𝑍𝑛 とする。ここで，N は 3 以上の自然数で図形）の利用、四面体の体積ある。

逆関数を求める問題、面積さらに，複素数 α = cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋 を用いて，項数Ⅲ（逆関数、合成関数、面積）
Ⅲ・Ｂ（複素数と図2233

N の数列{𝑋𝑛 }を，複素数平面上の点、数列の極限
コインを投げて、表裏によって𝑋1 = 𝛼 𝑍1 , 𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 𝛼 𝑍𝑛+1 (n = 1, 2 , 3 , … , N − 1)
により定める。n = 1 , 2 , 3 , … , N に対し，𝑋𝑛 = 𝛼となｘｙ平面上を動く点の確率る確率を𝑃𝑛 とし，𝑋𝑛 = 𝛼 2 となる確率を𝑄𝑛 とする。次のＡ（除法の性質、整下２桁と下３桁の周期性と除法数の分類）の利用

問いに答えよ。
(1) 𝑃1 を求めよ。

形、漸化式)
Ａ（確率）(2) n = 1 , 2 , … , N − 1 とする。𝛼 𝑧𝑛+1 = 1 となる確率を求めよ。
３ 傾向分析
(1) 難易度広島大学は大問 5 題（150 分）、岡山大学は大問4 題（120 分）である。2 大学とも過去の内容としては、標準的な問題のなかに１題やや難しい問題が含まれているセットか、各大問の終盤に難しく完答しづらい設問が用意されていることが多い。
ただし、問題内容は帰納的に作られており、誘導(3) n = 1 , 2 , … , N と する。 𝑋𝑛 = 1 と なる確 率を ，𝑃𝑛 , 𝑄𝑛 を用いて表せ。
(4) n = 1 , 2 , … , N − 1 に対し，𝑃𝑛 を用いて𝑃𝑛+1 を表せ。
(5) n = 1 , 2 , … , Nに対し，𝑃𝑛 を求めよ。
【略解】(1) 𝛼 0 , 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛼 3 を複素数平面上で考えると，𝛼 0 =𝛼 3 = 1より，𝑃1 =に従い結論を見い出す流れがあるため、難問はあまり見られず取り組みやすい。したがって、標準的な問題を確実に解き、部分点を積み上げる答案を作ることが肝要である。すなわち、受験生にとって高校 3 年間で培った数学力を測るに格好の題材ともいえる。
(2) 問題の傾向と分析
2 大学とも数学Ⅲの複素数平面、微積、数学 Aの確率、整数、数学 B のベクトル、数列といった分野からの出題が中心である。しかし、単純に分野別に分類することができない融合問題が毎年出題されている。そのことはこの 2 大学に限ったこ

1
42

1

42(2) 𝑍𝑛+1 = 0 , 3 になるときなので， =(3) 𝑍𝑛+1 = 0 , 3 のとき，𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛
2𝑍𝑛+1 = 1のとき，𝑋𝑛+1 は𝑋𝑛 を 𝜋回転させたもので3あり，
2

𝑍𝑛+1 = 2のとき，𝑋𝑛+1 は𝑋𝑛 を− 𝜋回転させたものだ
3から，𝑋𝑛 は 1 の 3 乗根を表す 3 点のいずれかになる。
ゆえに，𝑋𝑛 = 1となる確率は 1 − 𝑃𝑛 − 𝑄𝑛(4) 𝑋𝑛+1 = 𝛼 になるのは
𝑋𝑛 = 1 で 𝑍𝑛+1 = 1 ,〔考察〕𝑋𝑛 = 𝛼で𝑍𝑛+1 = 0 , 3 ,

数年前より数多くの大学が出題しているタイプである。
2018 年度入試問題で「確率と漸化式」の内容を出題した

2

𝑋𝑛 = 𝛼 で𝑍𝑛+1 = 2 の場合である。
1

2

1

4

4

4

ゆえに，𝑃𝑛+1 = (1 − 𝑃𝑛 − 𝑄𝑛 ) ∙ + 𝑃𝑛 ∙ + 𝑄𝑛 ∙より，大学は北海道、東京工、岐阜、名古屋、京都、大阪、岡山、広島、琉球、大阪府立などがあり、西日本の主要大学で確率の分野として出題されたなかでも大きな割合を占めるといえる。

1

1

広島大学の問題であれば(3)(4)の設問で漸化式を立式44できるかが鍵になる。その際には第ｎ項と第ｎ+1 項の関𝑃𝑛+1 = 𝑃𝑛 +1

11係に注目し、排反な事象に注目した場合分けを行うが、343

生徒の多くはこの立式に苦戦する。確率の計算は易しく、(5) 𝑃𝑛+1 − = (𝑃𝑛 − ) と変形し，漸化式を解いて漸化式から一般項を求めることも簡単であるのだが、問11題の全体像を把握することが難しい生徒が多いのであろ34う。私自身数学 B で指導する数列において、「漸化式を解𝑃𝑛 = (1 − 𝑛)く」ことに重点を置いており、その解法パターンを分類・類題整理することに躍起になっていたように思う。しかし、岡山大学 前期 2018 年度 問 2

見方によっては、複雑な漸化式を解くタイプ別演習以上

図 1 のような経路があり，次のようなゲームを考えに，漸化式を立式する力を付けさせておくことも必要でる。最初は A から出発し，1 回の操作で，1 個のさいこはないだろうか。また、そうすることによって『漸化式ろを投げて，出た目の数字が矢印にあればその方向には便利なツール』という印象が生徒に芽生えても来るの進み，なければその場にとどまる。この試行を繰り返ではないかと考える。

し，D に到達したらゲームは終了する。
(1) ちょうどｎ回の操作を行った後に B にいる確率を求○ 図形と漸化式 ～教科書、傍用問題集より～
数学 B の教科書や問題集で扱われている内容は「図めよ。
(2) ちょうどｎ回の操作を行った後に C にいる確率を求形と漸化式」「確率と漸化式」の２つが挙げられる。
例 「平面上にｎ本の直線があり，どの 2 本も平行めよ。
(3) ちょうどｎ回の操作でゲームが終了する確率を求めよ。

ではなく，また，どの 3 本も１点で交わらないとする。これらｎ本の直線が平面を𝑎𝑛 個の部分に分けるとき，𝑎𝑛 をｎの式で表せ。
」

図1D43,44（２） 融合問題 複素数平面と数列広島大学 前期 2016 年度 問 3C
1,3
1 1(1) 𝑏𝑛 = ( )𝑛−12 3A

複素数平面上を，点 P が次のように移動する。

1,3,52,5,6B

1. 時刻 0 では，点 P は原点にいる。時刻 1 まで，Pは実軸の正の方向に速さ 1 で移動する。
移動後の Pの位置を𝑄1 (𝑍1 )とすると，𝑍1 = 1である。

(2) 𝐶𝑛 =(3) 𝑑1 =13 2 𝑛9 1( ) − ( )𝑛8 3
4 3

16𝑑𝑛 =

13 2 𝑛−1( )24 3

2. 時刻1に点P は𝑄1 (𝑍1 )において進行方向を
1 1 𝑛−1− ( )2 3(𝑛 ≥ 2)

𝜋4

回転1し，時刻 2 までその方向に速さ で移動する。移√2動後の P の位置を𝑄2 (𝑍2 )とすると，𝑍2 =る。

3+𝑖2であ3.

以下同様に，時刻ｎに点 P は𝑄𝑛 (𝑍𝑛 )において進行方向を1( )𝑛√2𝜋4回転し，時刻 n+1 までその方向に速さで移動する。移動後の P の位置をよって，cosて，𝑛+14𝜋 < 0 を満たすのは，k を整数とし

𝜋𝑛+1242ｋπ + <3π < 2kπ + 𝜋2

つまり，n = 8k + 2 , 8k + 3 , 8k + 4 (k = 0 , 1 , 2 ⋯ )𝑄𝑛+1 (𝑍𝑛+1 )とする。ただし，n は自然数である。
α=1+𝑖2

類題

として，次の問いに答えよ。

岡山大学 前期 2017 年度 問 4
α は 0 < |𝛼| < 1 を満たす虚数であるとする。

(1) 𝑍3 , 𝑍4 を求めよ。

複素数平面上の点の列 𝑍1 , 𝑍2 , 𝑍3 , ⋯ を，(2) 𝑍𝑛 をα , n を用いて表せ。
(3) P が𝑄1 (𝑍1 ), 𝑄2 (𝑍2 ), ⋯ と移動するとき，P はある点

𝑍1 = 0 , 𝑍2 = 1 および，Q(w)に限りなく近づく。ｗを求めよ。
(4) 𝑍𝑛 の実部が(3)で求めたｗの実部より大きくなるよう

𝑍− 𝑍2𝑛 = 𝛼(𝑍2𝑛 − 𝑍2𝑛−1 )(𝑛 = 1 , 2 , 3 , ⋯ ){ 2𝑛+1)𝑍2𝑛+2 − 𝑍2𝑛+1 = 𝛼̅(𝑍2𝑛+1 − 𝑍2𝑛 (𝑛 = 1 , 2 , 3 , ⋯ )なすべてのｎを求めよ。

で定める。
(1) 次の等式が成り立つことを示せ。
𝑍2𝑛+2 − 𝑍2𝑛 = |𝛼|2 (𝑍2𝑛 − 𝑍2𝑛−2 )【略解】21𝜋𝜋1222( n = 2 ,3 ,4 ,⋯)(2) 偶数番目の点の列 𝑍2 , 𝑍4 , 𝑍6 , ⋯ および，奇数番(1) 𝑍3 − 𝑍2 = ( ) (cos + 𝑖 sin ) = 𝑖√2より，𝑍3 = 𝑍2 + 𝑖 =13+𝑖221313+2𝑖

22+ 𝑖=目の点の列 𝑍1 , 𝑍3 , 𝑍5 , ⋯ は，それぞれ同一直線上にあることを示せ。

3344(3) lim |𝑍𝑛 − 𝑤| = 0 を満たす複素数 w を求めよ。

同様に，𝑍4 = 𝑍3 + ( ) (cos 𝜋 + 𝑖 sin 𝜋)√2=3+2𝑖+2(2) arg(𝑍𝑛+1 − 𝑍𝑛 ) =−1+𝑖𝑛𝜋
445+5𝑖4(1),(2)省略 (3) w =1|𝑍𝑛+1 − 𝑍𝑛 | = ( )𝑛√2,𝑛1=𝑍𝑛+1 − 𝑍𝑛 = ( ) (cos𝑛𝜋√24𝑛→∞+ 𝑖 sin𝑛𝜋4より，)〔考察〕（1）と同様に漸化式利用の問題として近年よく見る問

1+𝑖 𝑛=(2) = 𝛼𝑛題である。規則性をもった点の移動から漸化式で立てさ𝑘n ≥ 2 のとき，𝑍𝑛 = 𝑧1 + ∑𝑛−1
𝑘=1 𝛼 =1−𝛼 𝑛

せていく内容が広島大学、与えられた漸化式から複素数1−𝛼平面上の点の移動を考察させていくタイプが岡山大学で

これは n = 1のときも成り立つ。 𝑍𝑛 =(3) lim 𝑍𝑛 = lim (𝑛→∞1𝑛→∞ 1−𝛼−𝛼𝑛1−𝛼)=11−𝛼1−𝛼 𝑛ある。他大学の問題を参照してみると、漸化式を扱わせ1−𝛼る内容としては、このほかにも整数や積分との融合問題なども挙げられる。

=1+𝑖=𝑤

1(4) 𝑍𝑛 = 1 + 𝑖 − 2 ( )√2𝑛+1(cos1+𝛼1−|𝛼|2𝑛+14𝜋 + 𝑖 sin𝑛+1

より，𝑍𝑛 の実部を 𝑋𝑛 とおくと，
1𝑛+1𝑋𝑛 = 1 − 2( )𝑛+1 cos𝜋4√24𝜋)○ 2018 年度入試に見られる問題例
佐賀大学 理系 大問 2𝑎1 = 1𝑎数列{𝑎𝑛 }は {𝑎𝑛+1 = √2 − 𝑛𝑛+1で定められているとする。
このとき，次の問いに答えよ。

(n = 1 , 2 , ⋯ )り，その面積は，(1) 4 つの有理数 p , q , r , s が p + q√2 = 𝑟 + 𝑠√2を満たすとする。
このとき， p = r かつ q = s であることを示せ。

π𝑃𝑄 2 = 𝜋 {(1 −𝑡√2𝑡)2 + ( )2 } = π(𝑡 2 − √2𝑡 + 1)
√2

よって，求める体積は

ただし，√2 が無理数であることは用いてよい。

31(2) 不等式 (1 − ) √2 < 𝑎𝑛 < √2 が成立すること
𝑛と，𝑎𝑛 = 𝑝𝑛 + 𝑞𝑛 √2 (𝑝𝑛 , 𝑞𝑛 は有理数)と表される
ことをｎに関する数学的帰納法を用いて示せ。
(3) (2)で定義された数列{𝑝𝑛 }に対して，𝑝𝑛+1 と𝑝𝑛 が満√2√2 2𝑡 + 𝑡]
201√2π ∫0 ( 𝑡 2 − √2𝑡 + 1)𝑑𝑡 = 𝜋 [ 𝑡 3 −=2√23π

類題 1
京都大学 前期 1988 年度 問 4

たす関係式，および一般項𝑝𝑛 を求めよ。

各辺の長さが 2 の正四面体 ABCD を座標空間内で考える。辺 AB は x 軸上にあって，その中点は原点 O と（３） 切断面の断面積利用、回転体の体積一致し，辺 CD の中点 M は z 軸の正の部分にあると岡山大学 前期 2017 年度 問 3する。また，0 < t < 1 を満たす実数 t について，線分 OM を t ∶ (1 − t)の比に内分する点を通り，OM に座標空間内の 4 点 A(1 , 0 , 0) , B(-1 , 0 , 0) , C(0 , 1 ,√2) ,D(0 , -1 , √2) を頂点とする四面体 ABCD を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(1) 点 P(0 , 0 , t) を通り，z 軸に垂直な平面と，辺 ACが点Qにおいて交わるとする。
Qの座標を t で表せ。
(2) 四面体 ABCD（内部を含む）を z 軸の周りに 1 回転垂直な平面を α とする。
(1) 2 頂点 C,D の座標を求めよ。ただし，C の y 座標は正であるとする。
(2) 平面 α による正四面体の切り口は，どのような平面図形か。
(3) 平面 α で分けられた正四面体 ABCD の２つの部分させてできる立体の体積を求めよ。のうち，原点に近い部分の体積を求めよ。
【略解】(1) C (0 , 1 , √2 ) D ( 0 , −1 , √2 )⃗⃗⃗⃗⃗ （0 ≤ k ≤(1) 点 Q は線分 AC 上にあるので，⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑄 = 𝑘𝐴𝐶(2) ４頂点が1 ）とおける。
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑄

( −1 += (1 , 0 , 0) + k(−1 , 1 , √2)(1 −= (1 − k , k , √2𝑘)
点 Q は平面 z = t との交点より，√2𝑘 = 𝑡， 𝑘 =𝑡⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1 − 𝑡 , 𝑡 , 𝑡)
よって𝑂𝑄√2つまりQ(1 −ｔ,√2𝑡√2,𝑡 )√2(1 −√2𝑡√2𝑡√2,𝑡,𝑡 ) ,√2𝑡,𝑡 ) ,√2,−,−𝑡√2𝑡√2,𝑡 ) ,,𝑡 )である長方形(ただし，0 ≤ t ≤ √2 )(2) 四面体 ABCD は，zx 平面，yz 平面に関して対称で,√2𝑡( −1 +√2𝑡(3)2√2𝑡 2 −4√2 3𝑡3あるので，平面 z = t による切り口は長方形であり，その 4 つの頂点は( −1 +𝑡√2,𝑡√2( −1 +𝑡√2

３０年ほど前の他大学の問題であるが、岡山大学の, 𝑡 ) , (1 −,−𝑡√2𝑡√2,𝑡√2, 𝑡 ) , (1 −問題とほぼ同一の問題である。(3)で求めさせている体,𝑡 ) ,𝑡√2,−積が切断面をｚ軸周りに回転させるのが岡山大学、切𝑡√2,𝑡 )である。
したがって，ｚ軸のまわりに 1 回転させてできる立体の，平面 z = t による切り口は半径 PQ の円であ断面を0 ≤ z ≤ √2𝑡で積分するのが京都大学である。いずれも長方形の座標が求められれば、その後の見通しが立ちそうである。

類題 2５ おわりに広島大学 前期 2017 年度 問 4

数学部会研究部として大学入試問題の分析を担当さ

座標空間内の平面H ∶ z = 0 とその上の曲線 C ∶𝑥24+ 𝑦 2 = 1 を考える。C 上の点を通り，z 軸に平行な直線の全体が作る曲面を K とする。C 上の 2 点A(−1,√32, 0) , B (−1 , −√32, 0) に対し，線分 AB をせていただいて 5 年目となった。昨年度まではセンター試験アンケートの分析を行い、今年度は国公立大学の 2 次試験の研究を担当している。いずれの研究においても、問題の傾向や難易度、正答率などをもとに考察していくのだが、本県の高校生に対して還元できる分析、研究、実践であることが求められる。入試問題

含み平面H と45°の角をなす平面を T とする。
ただし，を解くことは我々教員の教材研究の一部であるが、そ平面 T と z 軸の交点の z 座標は正であるとする。の後に授業をはじめとする様々な場面において生徒へ

平面 H，平面 T および曲面 K が囲む二つの立体のうちの指導に改良・改善の余地はないかと考え続けていきz 軸と交わるものを V とする。次の問いに答えよ。

たい。また、そういった研究は出題者（大学）側の求(1) 立体 V と平面 H の共通部分の面積を求めよ。

める数学力とは何かを理解していくことにもつながり、(2) 立体 V を平面 x = t (−1 < t < 2) で切ったとき，我々の指導実践を見直していくことになると考える。

断面の面積S(t)を t を用いて表せ。
(3) 立体 V の体積を求めよ。

【参考文献】√32019 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

2

2018 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

(1)

4

(2)

S(t) = (t + 1)√4 − 𝑡 22017 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）(3)

4

2016 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

3

3𝜋+𝜋+3√32（以上、旺文社）
2019 年度版 大学入試シリーズ 広島大学（理系）〔考察〕
私自身が指導しているなかでも、この手の立体の問題を苦手にする生徒は非常に多いと感じている。空間把握が困難で、手がつかないことなどが原因として挙げられるのではないだろうか。その反面、y = f(x) ,𝑥 = 𝑔(𝑦) などの関数の式が与えられ、そのグラフをx 軸ないしは y 軸周りに回転させてできる立体の機械的な求め方ができる生徒は多い。教科書やその傍用問題集などを見ても、関数のグラフを利用した求積問題の割合が多いように感じる。そういった点からもこの手の問題は受験生は不慣れになりがちである。
（長さ）×（微小な幅⊿x ）を総和【積分】→面積（面積）×（微小な厚み⊿x）を総和【積分】→体積が積分によって面積や体積を求める基本イメージである。そして、（長さ）や（面積）を測っている方向や面と、⊿xを測っている方向とが互いに垂直であることに注意させておくことも必要である。この 2 大学のみならず、入試問題において立体の切断面を把握させるタイプが数多く登場していることからも、今後の理系生徒に対する演習において重点的に取り組ませたい問題である。

2019 年度版 大学入試シリーズ 岡山大学（理系）（以上、教学社）
大学受験 チャート受験数学 ８－７（数研出版）