中 四国の国公立大学入試問題の研究－ＡＯ 推薦入試の問題から－
愛媛県立北条高等学校
愛媛県立西条高等学校

砂田
関佳範聡司

１

はじめに正 面体の各辺をそれぞれに つずつ向きをつけて、ベ四国地区には、５つの国立大学、４つの公立大学が設置クトルとして考える。正 面体の辺の数を とするとき、されている。中国地方には、５つの国立大学、９つの公立各辺にどのように向きをつけても、それら 個のベクトル大学が設置されている。国立大学では、約 ％、公立大学の和は零ベクトルにならない。
では、約 ％の生徒を推薦入試により学生募集を行っ数列がともに収束する等比数列であるとき、ている。私たちが生徒に指導する際、過去問を解かしそのも収束する… で定義される数列傾向を見つけることで対策を講じることができると思う。
等比数列である。
そのため、昨年度に引き続いて、中四国の国公立大学の３ 平面の でない つのベクトルの推薦入試で出題された数学の問題を取り上げた。
なす角を とするとき、２ 平成 年度四国の国公立大学
愛媛大学 理学部
入試Ⅱ
１ 次の・推薦入試問題に入る数または式を、解答用紙の指定のところに記入せよ。
不定方程式

ⅰイエ

を満たす自然数 がちょうど つとなである。

を満たす複素数 のうち、実部が正となるものはカ

自然数 がにおける解はのみであることを示せ。
ⅱ

方程式のにおける解はちょうど つであることを示せ。
ⅲ

である。

から までの番号が つずつ書かれた 枚のカードがある。この中から 枚のカードを同時に選び、選んだカードに書かれた数のうち、小さい方を 、大きい方を とする。

る確率は オのウと表せる。ただし、 は整数である。
原点
で 軸に接する円が異なる 点

不等式

方程式のすべての整数解はアを通るとき、が成り立つことを示せ。
４ 関数
について、次の問いに答えよ。
関数の導関数と第 次導関数を求めよ。

関数の区間におけるグラフの概形をかけ。となる正の実数 の全体を小さい方から順に並べて数列…を定める。
ⅰ

不等式を示せ。

ⅱ

極限値を求めよ。

高知大学

教育学部 推薦入試Ⅰ

である。
第５問

を満たすとき、
キ…
が成り立つ。ただし、 キは の多項式である。

は定数とする。 次関数おける最大値を求めよ。
第６問とする。

ク
２ 次の命題の真偽を判定し、解答用紙に書かれた真または偽のいずれか一方の文字に○を付けよ。さらに、真ならば証明し、偽ならば反例をあげよ。
を実数とするとき、がすべて無理数であるならばも無理数である。
実数を係数とする 次方程式は少なくとも つの実数解をもつ。のにのとき、次の問いに答えよ。の値を求めよ。の値を求めよ。
第 問
個のさいころを 回続けて投げるとき、次の問いに答えよ。の目がちょうど 回出る確率を求めよ。
出る目の和が になる確率を求めよ。
出る目の最小値が である確率を求めよ。

高知大学

理学部

推薦入試Ⅰ

であり、辺第 問
昔の人は夜空の星をつないで星座を描いた。皆さんも幼いころ、点を順につないでいくと絵が現れるという「点つなぎ」という遊びをしたのではないだろうか。
座標平面上の点が格子点であるとは、その 座標 、座標 がともに整数であるときをいう。ここでは、座標平面上の格子点を線分でつないで、正多角形が描けるかどうか考えてみよう。すなわち、格子点を頂点とする正多角形が存在するかどうかを考えてみよう。
まず、格子点を頂点とする正方形が存在することはすぐわかる。実際、を整数とし を でない整数とすると、点をこの順で線分で結べば、正方形ができあがる。より具体的な例として 点を頂点とする正方形がある。実は四角形の場合には、平行四辺形であるというだけで、頂点のうちの 個が格子点になれば、残りのひとつの頂点も格子点であると分かってしまう。
次に格子点を頂点とする正三角形の存在について考えてみよう。座標平面上に格子点を頂点とする正三角形があると仮定する。そのとき、三角形を頂点 が原点になるように平行移動しても、得られた三角形は格子点を頂点とする正三角形となるので、最初から、と仮定してよい。
を整数とし、とおく。このとき、頂点 の座標は頂点 の座標を用いて、複合同順と表すことができる。

このことより、格子点を頂点とす

問と辺の長さは等しいことを示せ。

下線部 を理由をつけて説明せよ。ただし、必要ならばが無理数であることを用いてよい。

問

平行四辺形の 個の頂点が格子点ならば、残りの頂点も格子点であることを示せ。

問「格子点を頂点とする正五角形が存在しない」ことを示した上記の証明のやり方は、他の正 角形の場合にも適用できるかどうか考察し、記述せよ。

第 問
次の文章を読んで、以下の問いに答えよ。
「距離」という言葉は日常でもよく使う。高知駅から高知大学までのタクシーの「走行距離」といえば、いわるゆ「道のり」である。一方で高知駅と高知大学の「距離」は地図上で、その２か所を線分で結び、その線分の長さと地図の縮尺を用いて求める「最短距離」であろう。当たり前のことであるが、最短距離は負でない数である。２箇所のどちらから測ろうと最短距離は変わらない。最短距離が０であれば、同じ場所であるし、その逆も成り立つ。寄り道をすれば、直接行ったよりも短くなることはない。数学における「距離」はこれらの概念を基にして定義される。
座標平面で考えてみよう。座標平面上の２点とに対し、この２点間の距離はで与えられると高校で学んでいる。
高校までは一つの実数を与えたときに、ただ一つの実数が決まる規則を関数と呼んだ。この考えは大学の数学で発展される。
上のようにという二つの点が与えられた時にただ一る正三角形は存在しないことが示される。
さらに、格子点を頂点とする正三角形が存在しないことを用いると、格子点を頂点とする正六角形は存在しないこととも示される。なぜならば、格子点を頂点とする正六角形 つの実数が決まる規則も関数と呼び、たとえばが存在すると仮定する。この正六角形のひとつおきの頂点 表記する。
さて、座標平面上の２点により決まる関数を線分で結ぶと 本の線分が引かれる。その線分で描かれたが距離関数であるとは次の４つを満たすこととす
図形は格子点を頂点とする正三角形である。格子点を頂点とする正三角形は存在しなかったので、これは矛盾である。 る。
よって、格子点を頂点とする正六角形は存在しない。
ⅰ 任意の２点について最後に格子点を頂点とする正五角形の存在について考え
ⅱ 任意の２点についてよう。格子点を頂点とする正五角形が存在すると仮定して、ⅲならば、その中で一番小さいものを取ろう。二つおきの頂点を線分逆にならばで結ぶと 本の線分が引かれる。そこには、より小さな正五ⅳ 任意の３点について角形が現れている。上で述べたように、「平行四辺形の 個の頂点が格子点ならば、残りの頂点も格子点である」が成
このとき、関数の値を座標平面上の２点 と の距離とり立つので、そのより小さな正五角形の頂点はすべて格子呼ぶ。
点になる。ところが、最初に取った格子点を頂点とする正上に述べた例に戻ろう。座標平面上の２点と五角形は一番小さいものとしていたので、格子点を頂点とについてするより小さな正五角形ができてしまたことは矛盾である。
よって、格子点を頂点とする正五角形は存在しない。
問１ 下線部 のように頂点 が表されるとき、はと定義するとは座標平面上の距離関数となる。 ⅰは明らかだろう。 ⅱ が成り立つことを示すには関数の定義 るこのとき、次の設問に答えなさい。の式をきちんと理解すれば良い。 ⅲ を満たすことは容易に 設問１示せる。 ⅳ は図を描いてみれば直感的に理解できる。また、余弦定理を用いて、であるⅳ の不等式を三角不等式と呼ぶことも納得できるだろう。
ことを示しなさい。ここで、とする。
これは一番慣れ親しんだ距離関数である。この距離はユー設問
クリッド距離と呼ばれる。のとき、 がを満たすならば、ⅰ ⅱ ⅲ ⅳ を満たす関数はみな距離関数と呼ばれる。座標平面上にユークリッド距離と異なる距離関数を定 をそれぞれの辺の長さとする三角形ができることを示しなさい。すなわち、 辺の長さの和は他の 辺の長さより長い義してみよう。例えばことを示しなさい。のとき設問のとき設問 の について、が成り立つと定義すれば、これは座標平面上の距離関数となる。
またはの距離を用いて、図形を定義することができる。例えば、 ことを示しなさい。また、等号の成立は１点から等距離にある点の集合として円と呼ばれる図形が ときに限ることを示しなさい。
定義される。同じ座標平面でも距離関数が異なったときに、 Ⅲ座標平面上の集合はどうなるだろうか。距離関数が異なると同じような式で集合を定義しても、見かけがまったく違う集合となることがある。
問１．ユークリッド距離を与える関数
が ⅱ を満たすことを示せ。
問２．ユークリッド距離を与える関数

が ⅲ を満たすことを示せ。
問３．
が距離関数となることを証明せよ。
問４．とする。とする。

設問
直線を満たす点 全体のを満たす点 全体の集合を図示せよ。
医学部

入試Ⅰ 総合問題Ⅰ

Ⅰ 関数とする。このとき、次の設問に答えなさい。
設問の増減表をかきなさい。
設問 関数のグラフの概形をかきなさい。それを用いては つの異なる実数解でを満たすものをもつことを説明しなさい。
設問

で囲まれた三角形の面積を求めなさい。
で囲まれた三角形が二等辺三角形となる を求めなさい。
高知工科大学

集合を図示せよ。
問６．とする。

高知大学

設問と の交点の座標を求めなさい。

を満たす点 全体の集 設問
直線合を図示せよ。
問５．とする。次の 直線について設問に答えなさい。とする。

を計算し経済 マネジメント群入試

Ⅰ 次の問いに答えよ。の正の約数の個数を求めよ。
方程式を解け。
方程式の複素数解をすべて求めよ。
から までの整数で、各桁の数が二つ以上同じものの個数を求めよ。の値を求めよ。の値を求めよ。の極大値を求めよ。
を自然数とするとき、の小数部分を求なさい。それを用いての実数解のうちの つの解はを満たすことを説明しなさい。
設問 設問 におけるは設問 におけるを用いて、めよ。
を 以上の整数とするとき、を求めよ。
…

それぞれとかけることを示しなさい。

さらにを満たすことを示しなさい。

上の任意の点と、点から点を求めよ。

Ⅱ

辺の長さがである三角形の面積をとす

連立不等式
面積を求めよ。

から点までの距離までの距離とが等しいとき、の表す領域のは または とする。このときを満たすようなⅡ 関数をを 組求めよ。
である。この式の分子はで定義する。次の各問いに答えよ。
を満たす実数 をすべて求めよ。
を満たす実数 を つ求めよ。
を満たす実数 を つ求めよ。
Ⅲ 三角形の つの角をとし、向かい合う辺の長さをとする。このとき、次の つの命題のうち、どの つも互いに同値であることが知られている。
その証明を読み、後の設問に答えよ。ただし、証明にあたっては、三角関数の加法定理は既知とする。
…ⅰ…ⅱ…ⅲ…ⅳ…ⅴ…ⅵ…ⅶ
証明

まずを示す。
与えられた式の値を とするとうと因数分解できるので＝が成り立つ。この右辺はえであるが、 い これはに等しい。
よって、 ⅶ 式が成り立つ ⅴ ⅵ 式も同様である。
よってが示された。
次にを示す。 ⅴ よりである。よって、が成り立つ。

よってが成り立つ。よってが示された。
以上によりが成り立つことが分かったので、から任意の つを選んだとき、 お それらは互いに同値である。 証明終了
設問
下線部 あ と同様にして、 ⅲ が成り立つことを示せ。
下線部 い を確かめなさい。
下線部 う を確かめなさい。
下線部 え についてである。よって、である。 あ よって ⅱ が示された。
同様に ⅲ ⅳ も示される。
よってが示された。
次にを示す。
ⅱⅲⅳ
をつくるとの対称式だからが成り立っていることを確かめなさい。
下線部 お の理由分かりやすく説明しなさい。
上の証明では ⅱ かつ ⅲ かつ ⅳ ならば ⅶ であることが示されたが、 ⅱ かつ ⅲ かつ ⅶ ならば ⅳ であることを示せ。
ⅱ かつ ⅲ かつ ⅶ はのいずれとも同値である理由を分かりやすく説明しなさい。
３

まとめ
大学では生徒が高等学校教育で身に付けた「生きる力」「確かな学力」をいかに大学教育で発展･向上させ、社会へと送り出せるよう指導をしている。そのため、大学の入り口段階で求められる力を多面的･総合的に評価するという、個別選抜本来の役割が果たせるものとして、各大学ともアドミッションポリシーに基づく、入学者選抜を行っている。
年度と 年度の入試、推薦入試の問題を比較すると、概ね同じ単元の内容で出題をしているようである。各大学とも筆記試験においては、数学的な見方や考え方を問う問
題や基礎 基本が問われる問題や読解力が試される問題が出題される傾向となっている。また、教科書に載っている定理の証明なども出てきており、普段から教科書の内容の理解に努めることが必要であると感じる。
今後、生徒の進路実現に向けてさらに研究をしていきたい。

４

平成 28 年度中国地方の国公立大学 AO 入試問題

広島大学

理学部

(3)

数学科

AO 入試総合評価方式

筆記試験問題[１] 関数 f t   cos 2t cos t ， g t   cos 2t sin t
について，以下の問いに答えよ。
(1)

2 32Snを求めよ。
n n(3)の S n について lim［５］ n を 3 以上の整数とする。以下の問いに答えよ。

2 2(1)

0 ≦t ≦ 2 のとき， f t   g t  を満たす t をk を 1 以上 n  1 以下の整数とする。 n 人がじゃんけんを１回するとき，勝者が k 人である確率を求めよ。
(2)

すべて求めよ。
(3)を求めよ。

次の等式が成り立つことを示せ。
2n を正の整数， g x  を(2)で与えられた関数とする。曲線y  f x  ， y  g x  および直線 x  n で囲まれた図形の面積 S n(4)

 f t   g t     f t   g t  (2)グラフと対称であるとする。このとき， g x  を求めよ。

n 人がじゃんけんを１回するとき，あいこにならない確率を求めよ。

次の定積分を求めよ。
2(3)  f t g t   g t  f t dt
0n 人がじゃんけんをする。１回目ではあいこになり，２回目で勝者が１人となる確率を求めよ。

[２] 平面上の平行四辺形 OACB において， OA  a ， OB  b とす

(4)

n 人がじゃんけんをする。１回目ではあいこにならずに勝る。対角線 AB 上の点 D をとり，辺 OA ， OB上にそれぞれ点者が２人以上となり，１回目の勝者だけで２回目のじゃんけ

E ， F を ED と OBが平行， FD と OA が平行となるようにとんをしてその勝者が１人となる確率を求めよ。

る。ただし， D は A ， B とは異なるとする。また， BE と AF の交点を S とする。 AD: DB  p : (1  p) とするとき，以下の問いに広島大学答えよ。

AO 入試総合評価方式(1)

OE ， OF を a ， b ， p を用いて表せ。

(2)

OS を a ， b ， p を用いて表せ。

(3)

点 D が対角線 AB 上のどの位置にあっても，３点 C ， D ，S は一直線上にあることを示せ。

筆記試験問題（抜粋）[１] 以下の設問に答えよ。解答欄には導き方も記述せよ。
問１ 次の微分積分に関する問いに答えよ。
(1) log(sin 2 x) を微分せよ。（ log は自然対数）

問２ 数列 a n  は a n 1  a n  2n  3 n  1,2,3,  を満たしている。

x ， y は実数とする。

t の２次方程式 t 2  xt  y  0 が実数解をもつような点 x, y  の集合を座標平面に図示せよ。
(2)

物理科学科

(2) 不定積分  cos 2 xdx を求めよ。

[３] 以下の問いに答えよ。
(1)

理学部a1  4 のとき，一般項 a n を求めよ。

問３ 方程式 2 xy  3x  4 y  24 を満たす負ではない整数 x ， yx ≧0, y ≧0 の組をすべて求めよ。

次の連立不等式が表す領域を D とする。

問４ 楕円 2x  2  y 2  8 と直線 y  mx  8 が異なる２点 A ，2a 2  b 2 ≦1 ， a  0 ， b  0

B で交わるときの線分 AB の中点の軌跡を考える。
点 a, b が領域 D 内を動くとき， x  a  b ， y  ab によって定まる点 x, y  の集合を座標平面に図示せよ。
(3)(1) 交点の x 座標を表す方程式を書き，楕円と直線が異なる２点で交わる m の範囲を求めよ。
(2) 線分 AB の中点の軌跡を表す曲線の方程式と x と y の範囲

点 a, b が(2)の領域 D 内を動くとき，を求めよ。

log 2 a  log 2 b  log 2 (a  b) の最大値を求めよ。ただし， log2 aは 2 を底とする a の対数である。
1とする。ただし， e は自然対数の底である。以下[４] f ( x)  xe 1の問いに答えよ。
(1)

工学部・情報系)

AO 入試総合評価方式

関数 y  g x  のグラフは直線 y 小論文問題（抜粋）

礎学力，論理的思考力と独創性をみる小論文の問題である。
このことに留意し，以下の問いに答えよ。
(1)

1に関して関数 y  f x  の2第二類(電気・電子・システム問題２ 本問は，下記の設問に対する解答を通して数学に関する基

関数 y  f x  の増減，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ。
(2)

広島大学

空間において，平面を表す方程式について，下の枠内の語句すべてと数式および図を用いて６行以内で説明せよ。
ベクトル，垂直，内積

(2)空間において，平面と内積とを用いて解く独創的な数学のnとするとき，不等式 S n 問題を作成せよ。問題は複数の小問から構成されていても構が成り立つことを示せ。

2わない。
(3)

(2)で作成した問題に対する模範解答を示せ。
５

広島大学

教育学部

数理系コース

平成 28 年度中国地方の国公立大学推薦入試問題

第二類（科学文化教育系）

AO 入試総合評価方式

筆記試験問題[Ⅰ] △ABC の辺 AB 上に２点 A ， B と異なる点 L をとり，辺 BC上に２点 B ， C と異なる点 M をとり，辺 CA 上に２点 C ， A と異なる点 N をとる。 AM  BN  CL  0 であるとき，次の問いに答えよ。

岡山大学

環境理工学部

推薦入試Ⅱ

小論文(抜粋)第１問

以下の問いに答えなさい。

問１

関数 f x  に対する導関数はf x   lim(1) AM  BN  CL  0 であることは，

h 0BM : BC  CN : CA  AL : ABであるための必要十分条件であることを示せ。
(2) △ABC の面積を S とする。 △LMN の面積が最小になると
き， △LMN の面積を S を用いて表せ。

f x  h   f x hg x に対し f x g x   f x g x   f x g x (1) 数列 a n  の階差数列を bn  とするとき，次のことが成り立つことを示せ。

式(1)に基づき，微分可能な関数 g  x  に対し

問２n ≧ 2 のとき a n  a1   bk

 1 g x  g x 2 g x  k 1c1  0 ，式(2)と(3)を用いて，微分可能な二つの関数 f x ， gx に

問３(ⅰ) 数列 c n  の一般項を求めよ。

対し f x  f x g x   f x g x  gx
g x 2

(ⅱ) 数列 c n  の初項から第 n 項までの和 S n を求めよ。

lim Tn1  Tn を求めよ。

第２問

以下の問いに答えなさい。

問１

次の不定積分を求めなさい。

 log xdx

［Ⅲ］ 次の問いに答えよ。
(1) n は自然数とする。 a1 , a 2 , , a n が実数のとき，不等式…(4)が成り立つことを示しなさい。ただし， g x   0 とする。

Snとするとき，nn …(3)が成り立つことを示しなさい。ただし， g x   0 とする。

c n 1 c n1n  1,2,3, で定める。
n2 nnn  2 

極限値…(2)が成り立つことを示しなさい。

n 1(ⅲ) Tn …(1)と表される。式(1)に基づき，微分可能な二つの関数 f x ，［Ⅱ］ 次の問いに答えよ。

(2) 数列 c n  を環境数理学科

い。

a1  a2    an  ≦ na1  a2    an 222k を自然数とする。次の不等式が成り立つことを示しなさ

問２k 12 log xdx ≦ logk  1kが成り立つことを示せ。ただし必要があれば，実数 a ， b に対して 2ab ≦ a 2  b 2 が成り立つことを用いてよい。

問３n を自然数とする。等式
log1  log 2    log n  logn!

(2) 関数 f x  は閉区間 a, b で連続で，常に f x≧0 とする。区分求積法の考え方を用いて，不等式2 bf x dx  ≦ b  a  b  f x 2 dx
aa
が成り立つことに注意して，次の不等式が成り立つことを示しなさい。

n log n  n  1≦ logn!≦ n log nが成り立つことを示せ。
(3) 自然数 n に対して

Sn 1n0k 1

  sin 2k  1x  dx

島根大学

総合理工学部

推薦入試Ⅰ

小論文

数理・情報システム学科

問題１

次の問いに答えよ。

(3) x  1 における曲線 y  f x  の凹凸を調べよ。

(1) 複素数平面上で， 0 でない複素数 z1 ， z 2 の極形式を

z1  r1 cos1  i sin1  ， z 2  r2 cos 2  i sin 2 

島根大学

総合理工学部

推薦入試Ⅰとする。次が成り立つことを示せ。
z1 r1
 cos 1   2   i sin  1   2 z 2 r2ab(2) a  0 ， b  0 のとき，
≧ ab を示せ。
2

さらに等号が成立する条件を求めよ。

課題１

機械・電気電子工学科

小論文（抜粋）曲線 y  x 3  2 x 2  ax  6 が点 A- 3, 0 を通るとき，以下の設問に答えよ。
(1) 定数 a を求めよ。
(2) 点 A 以外の x 軸との交点 Bx B , 0 ， Cx C , 0  を求めよ。ただし， x B  x C とする。

(3) 三角関数の加法定理を用いて，(3) 曲線と線分 AB に囲まれた部分の面積 S1 を求めよ。
bb
sin a  b   sin a  2 cos a   sin
22(5) 点 A における接線の方程式を求めよ。

を示せ。
問題２AB (6) 点 A における接線が曲線と再び交わる点 D の座標を求めよ。

s を実数， t を正の数とし，平面上の三角形 △ABC は2t ， AC  2 および BAC  45 を満たすものとする。点2P ，Q をを満たすようにとる。このとき，次の問いに答えよ。
(1) 内積 AP  AQ を求めよ。
(2) t  1 のとき， PAQ  90 となるための s の値を求めよ。
(3) PAQ  90 がすべての s に対して成り立つような t の範囲を求めよ。
次の問いに答えよ。

(1) 微分可能な２つの関数 f x と gx の積で表される関数f x g x  は微分可能で，その導関数が次の等式を満たすことを導関数の定義にしたがって示せ。

 f x g x   f x g x   f x g x (2) 微分可能な３つの関数 f x ， gx ， hx  の積で表される関数f x g x hx  の導関数が次の等式を満たすことを示せ。

 f x g x hx  f x g x hx   f x g x hx   f x g x h x (3) 導関数の定義にしたがって f x   3 1  x を微分せよ。

問題４(7) 曲線と線分 AD に囲まれた部分の面積 S 3 と三角形 ACD の面積S 4 のどちらが大きいか理由と共に述べよ。

６AP  2AB  s  1AC ， AQ  AB  s AC

問題３(4) 曲線と線分 BC に囲まれた部分の面積 S 2 を求めよ。

f x  log x 2 とおく。次の問いに答えよ。
x(1) 不定積分  f x dx を求めよ。
(2) x  1 における f x  の最大値を求めよ。

まとめ

AO 入試と推薦入試の問題の中で数学の内容に関わるものを取り上げた。内容としては，「関数」を中心に，数学Ⅱ，数学Ｂや数学Ⅲなどの中から幅広く出題されていた。特に今年度は，定義にしたがって計算させる問題や，公式の成り立ちを問う問題が目立ったように思う。基本的な問題に加え，このような，教科書に出てくる公式の証明などもしっかりと押さえる必要がある。また，ここには載せられなかったが，岡山大学の推薦入試Ⅱの小論文の問題として，箱ひげ図や散布図から読み取れることを説明させる問題もあった。単純な数学の知識に加え，数学を用いて論理的に説明ができる力が求められている。
また，昨年度との比較をすると，AO 入試や推薦入試で数学の内容に関するものを出題する大学・学部は例年と変化はないように思える。生徒の志望する大学の問題傾向を把握し，11 月頃の受験でこのような２次試験レベルの力が身に付けさせられるよう今後も研究を重ねたい。