平成 22 年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校
１

はじめに(3)

近藤 弘法

難易度

５月１５日（土）に松山南高等学校において、愛媛大学昨年度までと同様大きな変化はない。基本～標準レベルの平野教授より平成２２年度の愛媛大学数学入試問題の解の問題を中心に出題されている。小問５問は教科書レベルの説があった。各問題において、基本的事項の確認、基礎! 基

基本問題であり、非常に解きやすい。基礎力を重視した問題構成であるといえる。

本の計算力、応用力、論理的な思考力! 表現力に重点を置いて、評価をしているとのことであった。正しい推論ができ３ているかどうか、適切に処理できているかどうかがポイントであり、公式を書いて部分点をねらう解答は、あまり評価で本校の現３年生に入試問題を解いてもらう。
３年生の文系生徒に１～４を８月に、理系生徒に４～８、きないようである。それでは、どこでどのような間違いが生理数科生徒に工学部後期１～４を１１月に解かせた。採点基準

じてくるのか、現役生徒の誤答分析を中心に考察していきたは公表されていない。そのため、定期考査と同様に採点基準をい。

２

平成２２年度入試問題の分析(1)

設けて採点し、調査を行った。

出題の傾向
(1)

(2)

問題分析

出題傾向
教育! 農については例年通り全問記述4 題を100 分、１ 次の問いに答えよ。

理! 工! 医については今年度も全問記述 5 題を120 分で解答

(1) 次の連立不等式を解け。

>

4x 2 -4x -15 < 0する。一昨年度より実施されている工学部後期については

x 2- 2x ) 0

全問記述4 題を100 分で解答する。

(2) 鈍角三角形AB さを求めよ。において，BC=1 , CA=U 3 , 4A=30, であ教育! 農学部

１～４（Ⅰ! Ⅱ! A! B）

理! 工学部

４～８（Ⅰ! Ⅱ! Ⅲ! A! B ! C）

医学部

４，６～９（Ⅰ!Ⅱ!Ⅲ!A!B!C）

0<s <1 に対して，線分AB , 線分CA をs:0 1 -s 1 に内分する点を

工学部後期

１～４（Ⅰ! Ⅱ! Ⅲ! A! B ! C）

それぞれP , Q とするとき，内積OP･ OQをs を用いて表せ。

るとき，AB の長さを求めよ。
(3) 原点O , および 3 点A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) , C ( 0 , 0 , 1) がある。

8(4) 方程式 log 2 U x +log 2 x 2 + log2

(2)
１

出題内容
小問５問

1x

9 =9 を解け。
2(5) 数列 1 , a , b , c はこの順に等差数列であり，

５６

小問５問

数列 1 , a , b , c はこの順に等比数列であるとする。

数列

このとき，c=1 であることを示せ。

２図形と方程式

３微・積分法７行列

４

確率８微・積分法

９整数問題

計

得点率0 %101 181.4

0 2151.9

031
35.204124.8051
14.3

41.5

標準偏差

1.1

2.2

2.3

1.5

1.1

3.5

工学部後期
１小問５問

２小問５問

３

行列

４微・積分法

K誤答例J(1) 計算が間違っている。
不等号の書き間違い(2) AB の値を２つ求めて、吟味していない。
正弦定理を利用しているが、4B が１つに限定できていない。

- 10 -

K考察J(4) 真数条件が明記されていない。

(3) OPこちらも全問正解者はいなかった。(2), OQ が正確に表せていない。の時点で間違えてlog2 xU x 1 =2log 2 x U x として計算している。
0いる生徒が多く、その後の問題につながらなかったようで
OP･ OQ=60 1 -s 1 OA +sOB 7･ 6sOA+ 0 1 - s 1OC7logと考えてしまっている。
ある。(4)
2 x >0については誰も解答できていないところが気になを計算し、OA ･ OB , OB ･ OC , OC･ OA の値がる点である。
(5) 立式ができていない。
間違っている。
2

３ f0 x 1 =x 2 -2 x -1 とする。
(1) 関数y=f0 x 1 のグラフをかけ。
(2) 曲線y=f0 x 1 と直線y= 3x+5 の交点の座標を求めよ。
(3) 曲線y=f0 x 1 と直線y= 3x+5 で囲まれた面積を求めよ。

計算ができていない。
結論に至っていない。

得点率0 % 1
標準偏差K考察J
全問正解者はいなかった。正確に基本問題を解きき計01169.702177.6

0 31
60.1

69.8

2.2

2.7

3.1

6.5

K誤答例Jれる生徒が少なかったように感じている。特に (5) の(1) グラフを決定するための点の記入が不十分である。

得点率が低いことから、数列の基本的な内容が定着して場合分けができていない。

いないようである。

x>0 , x< 0 の場合分けはされているが、x=0 が含まれていない。

２ 直線 y=a0 x +2 1 と円 x 2 + y 2 - 4x=0 は異なる

(2) 場合分けができていない。

2 点P , Qで交わっているとする。また，線分PQ の計算が間違っている。

中点をR とする。

(3) 立式ができていない。

(1) 定数a の値の範囲を求めよ。

立式はできているが、計算が間違っている。
K考察J(2) R の座標をa を用いて表せ。

全問正解者が 16 ％であった。最も得点をとれた大問であった。

(3) 原点O と点R の距離を求めよ。

ただし、計算ミスや絶対値の場合分けが不十分な解答もあった。

(4) a の値が0 1 1 で求めた範囲を動くとき，点R の軌跡を求めよ。

４ 4 の数字が書かれたカードが 1 枚，3 の数字が書かれたカードが 1 枚，2 の数字が書かれたカードが 2 枚，1 の数字

得点率0 % 1
標準偏差が書かれたカードが 2 枚，0 の数字が書かれたカードが 4 枚

計011
71.1

021
11.9

031
1.8

04 1
0.0

26.4

2.2

2.1

0.5

0.0

3.6ある。これら合計 10 枚のカードをよくまぜて，左から右に一列に並べる。
(1) 左から4 番目までの4枚のカードに書かれた数がすべて0 となる確率を求めよ。
(2) 右から1 番目のカードに書かれた数の期待値K誤答例Jを求めよ。

(1) 点(2 , 0) と直線の距離ができていない。

(3) 左から3 番目までの3 枚のカードに書かれたd<r は書けているが、計算が間違っている。

3 つの数について，次の条件① , ②を考える。

判別式が間違っている。

① 3 つの数が全て異なる。

(2) 代入して計算しようとして、計算できずに終わって② 3 つの数の中で，左から1 番目のカードにいる。

書かれた数a が最大である。

解と係数の関係を用いているが、途中で終わっている。

条件① , ②の両方が同時にみたされた場合の立式はできているが、計算が間違っている。

得点をa とし，それ以外の場合の得点を0 点(3) 計算が間違っている。とする。
(ⅰ) 得点が4 点となる確率を求めよ。
(ⅱ) 得点の期待値を求めよ。

- 11 -

５ 次の問いに答えよ。
(1) 次の連立不等式を解け。

文系得点率0 % 1011
46.8

02 1
58.5

0 3 10 ⅰ 1
1.6

0 3 10 ⅱ 10.0

計
22.6

文系標準偏差1.3

2.9

1.00.03.7

理系得点率0 % 1

63.4

76.2

27.9

5.835.8

理系標準偏差

1.9

1.7

1.6

1.7

5.0>

(2)

4x 2 -4x -15 < 0x 2- 2x ) 01
1
1+ = とx(y の両方をみたす自然数の
3xy
組0 x , y 1 をすべて求めよ。

8(3) 方程式 log 2 U x +log 2 x 2 + log2

K誤答例J

1x

9 =9 を解け。
2(4) 原点O , および 3 点A ( 1 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 1 , 0 ) ,文系

C ( 0 , 0 , 1) がある。0<s <1 に対して，線分AB ,(1) 問題の意味がうまくつかめていない。

線分CA をs:0 1 -s 1 に内分する点をそれぞれP , Qとするとき，内積 OP･ OQ をs を用いて表せ。

計算が間違っている。
(2) 全ての場合は書き出せているが、それぞれの計算

pp4(5)が間違っている。

Q 0 x+ a 1cos2xdx= 8 が成り立つとき，0

定数a の値を求めよ。

立式ができていない。
無答

得点率0 % 1
標準偏差(3)(ⅰ) 左から3 つの数のみを考えている。
3 つの数が全て異なる確率を求めている。
(ⅱ) 左から3 つの数のみを考えている。

計

01195.302168.6

03173.8

04 157.6

0 51
68.6

72.8

0.7

1.5

1.01.8

1.8

5.4

K誤答例J

理系

(1) 計算が間違っている。

(1) 約分ができていない。

(2) x , y の組に 0 -6 , 2 1 などの 負の数が混じっている。

問題の意味がうまくつかめていない。

条件 x(y を満たさない解を入れている。

計算が間違っている。

(3) 真数条件が明記されていない。

(2) 全ての場合は書き出せているが、それぞれの計算log2 x >0 として計算している。

が間違っている。

(4) OP･ OQ=60 1 -s 1 OA +sOB 7･ 6sOA+ 0 1 - s 1OC7

計算が間違っている。

として計算し、OA ･ OB の 値が間違っている。

(3)(ⅰ) 問題の意味がうまくつかめていない。
左から2 番目と 3 番目の組み合わせが間違っている。

(5) cos2x を積分したときに(ⅱ) 計算が間違っている。

1が抜けている。
2

K考察J左から3 つの数のみを考えている。

全問正解者は 9 ％という結果であった。文系同様、1 度使った数を重複して使っている。

真数条件の確認やベクトルの内積のミスで満点を逃している解答が多かった。また、ベクトルが最も得点率K考察Jが低いことも気になる点であった。

文理共通問題である。文系については全問正解者はいなかったが、理系については 5 ％という結果になった。
やはり、うまく文章を読み切れていない生徒が多く、整理して問題文を読む力と正しく処理する力が十分に身に付いていないようである。

- 12 -

６ 2 つの数列6 an 7 , 6 b n7 は，全ての自然数n について
an +1 =an
1 -b n 2

K誤答例J(1) 立式が正しくできていない。

, b n+1 = an +1b n

点P を0 x , y 1 とおいて、x と y の関係がわかっていない。
(2) 無答をみたしているとする。
(1) 初項がa1 = b 1 =(3) 無答1であるとする。
2

K考察J
こちらも全問正解者は 2 ％という結果になった。６ と違う(ⅰ) a2 , b 2 , a3 , b 3 を求めよ。

ところは全体的に正確に処理できる生徒が少ないという点である。

(ⅱ) an , b n を表すn の式を推定し，それらの推定平均点も理系の問題の中では最も低かった。回転移動、1 次変換にが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ。

ついては、再度見直す点である。

1
2009, b1=であるとする。
2010
2010

(2) 初項がa1 =８ n を自然数とし，f0 x 1 = x 2e(ⅰ) an +1 +b n +1 をa n , b n で表せ。とする。

(1) 関数y=f0 x 1 の増減を調べ，極値を求めよ。

(ⅱ) an +b n を求めよ。

得点率0 % 1
標準偏差2 3- 3x0 1 10 ⅰ 1
100.00 1 10 ⅱ 168.1

0 2 10 ⅰ 1 0 2 10 ⅱ1
55.0
6.6

54.1

0.0

2.7

1.5

4.8

1.1n

Q f0 x1dx を求めよ。

計(2) 定積分1n(3) 不等式P f0 k 1 <k=1

K誤答例J(1)(ⅱ) an , b n の推定ができていない。

得点率0 % 1
標準偏差an , b n の推定はできているが、証明の際に推定をそのまま使っている。

3 - 23eを証明せよ。
2
計

011
75.3

021
38.1

03 1
2.3

29.5

1.9

2.4

1.54.2(2)(ⅰ) 計算が間違っている。
(ⅱ) an +b n の推定はできているが、証明ができていない。

K誤答例J(1) 微分が間違っている。

K考察J全問正解者は 2 ％であった。推定から帰納法を使って微分できているが、f -0 x 1 =0 の方程式の解が証明を行うことになれていないようである。推定をその間違っている。

まま使っている証明が目立った。推定が全ての自然数 n極大値、極小値の計算が間違っている。

について成り立つかどうかを吟味する必要性を理解させる(2) 部分積分を用いて、計算がわからなくなっている。

ことが重要である。

不定積分をして終わっている。
ab6-18７ 行列

9(3) 中間値の定理を使って証明しようとしたが、の表す点の移動をf とし，途中で終わっている。

l を直線y=2x-1 とする。また，f による l 上の点の(左辺)-(右辺) で考えているが、証明になっていない。

像はすべてl 上にあり，l 上のある点P はf によってP 自身K考察Jに移されるとする。

こちらも全問正解者は 2 ％であった。(1) はおおむねでき(1) a , b の値を求めよ。ていたが、(3) の証明がやはりできていなかった。区分求積(2) P の座標を求めよ。の考え方がよく理解できていない解答が目立った。また、(3) 次の条件① , ② , ③ をすべてみたす直線m の方程式を定積分の計算にも不安が残る。

求めよ。
① m はP を通る。
② f によるm 上の点の像はすべてm 上にある。
③ m はl と異なる。

得点率0 % 1
標準偏差

計

011
27.9

0 21
31.6

031
13.3

21.5

2.2

2.3

2.9

6.6- 13 -K誤答例J

９ n を自然数とし，集合A , B を(1) 4! を計算している。

A=6 a｜a は条件0 ★1をみたす自然数 71 , -2 , -1 の 3 つの数の並べ方を計算している。

B=6 a｜a は条件0 ☆1 をみたす自然数 7a , b , c , d が求まっていない。

で定める。ただし，条件(★) , (☆) は次で与えられるとする。

(2) 全てのさいころの目が違う確率が間違っている。

(★) 2 次方程式x 2 -ax+2 n = 0 は異なる2 つの実数解a , b を(3) 式の持つ意味が分かっていない。

もち，a-b は整数である。

0 2 +U 3 1(☆) 2 次方程式x 2 -ax+2 n = 0 は異なる2 つの整数解a , b をもつ。

n +1= 02 + U 3 10an +b n U 3 1 で計算をやめている。

(1) 2 つの集合A , B について，A= B が成り立つことを証明せよ。

(4) t>1 を見落としている。

(2) (ⅰ) n= 1 , 2 のそれぞれの場合について，集合A を，(5)(ⅰ) e x･ e -x = e -2x としている。
微分と積分を間違えている。

要素を書き並べて表せ。
(ⅱ) 集合A の要素のうち，最大の数を求めよ。

(ⅱ)(ⅲ) 集合A のすべての要素の和を求めよ。

18x +U x 2 +11+xUx 2 + 1ケの答えに合わない。

0 与式 1 =1x +U x 2 + 19で終わっているため、としている。

K考察J＜工学部後期＞

全問正解者は 15 ％であった。やはり、数列が最も得点率がに適する数または式を，解答用紙の指定の１ 次の低い結果となった。また、指数の計算が正しくできていない生徒もいたので、確認が必要である。

所に記入せよ。
(1) x4+x3- 3x2 -x+2=

0 x +a1 0 x +b 10 x + c 10 x + d 1 が２ 次の問いに答えよ。

x についての恒等式となるような定数a , b , c , d の組合せは1 通りであり，1 列に並べる並べ方は(1) 関数y= x+1 - x- 1 のグラフをかけ。

ア(2) z 2 = i を満たす複素数 z のうち，実部が正であるものを求めよ。

通り

ただし，i は虚数単位とする。

である。

(3) 不等式U -x 2 +10x < 4 を解け。

(2) 3 個のさいころを同時に投げるとき，同じ目のさいころが2 個以上ある確率は イ(4) 0(a(p とし，連続な関数f0 x 1 はすべての実数 x に対してである。

p

このとき
a n +1 =ウ

a n+エbnb n +1 =オ

a n+カbn

得点率0 % 1
標準偏差が成り立つ。
,エ,オ,カは定数である。

(ⅱ)

得点率0 % 1
標準偏差9021
29.003151.0

04 1
19.00 5141.0

42.4

2.02.11.9

1.5

2.06.5(2) z=a+bi とおけていない。

3cosh = U を満たすとき，t=
28計0 1172.0(1) 絶対値が正しくはずせていない。

a と b のなす角 h がdex=
dx e x+ e -x

20K誤答例J(4) t> 1 とする。 a =t , b =4 , 2a-b = 2U 3 であり，

(5) (ⅰ)2Q xsin x dx を求めよ。

(5) 定積分

ただし， ウ1taを満たすとする。このとき，a の値およびf0 x 1 を求めよ。

an , b n を02 + U 3 1 n = an +b n U 3 によって定める。

>xQ e f0 t 1dt= cosx + 2e -x(3) 自然数n に対して，

キz=a+bi としz 2 を計算できているが、である。

a> 0 を満たしていない。

クdlog 0x +U x 2 +1 1 =dx(3) -x 2 +10x ) 0 を考えられていない。
1-x 2 +10x> 0 として範囲を計算している。

ケ(4) 両辺の微分が正確にできていない。

0 110210 3104 10 5 10 ⅰ 10 5 10 ⅱ 1

計

45.0

66.3

28.3

51.3

60.0

45.0

45.6

2.5

2.0

2.6

2.0

1.8

1.4

7.8x=a を代入すればよいことに気付いていない。
(5) sin 2 x =1 -cos 2xはできているが、2Q cos 2x dx=sin 2x となっている。
p(6)- 14 -4cos2x25 =1- 1 となっている。
0K誤答例J

K考察J
全問正解者はいないものの、１ より得点を取りやすい(1) 無答内容であった。(3) の平方根の中身について考えられてい(2) 無答ない解答が目立った。また、(4) については基本問題でも18 e 9 を計算して終わっている。

(3)(ⅰ) fあるので、再度確認が必要である。

微分が間違っている。

a - 1 20 a -1 1に対して，2 次の正方行列B は
３ 行列A=630 a -1 1

892(ⅱ)

AB=BA , ABA=A , BAB=Bf0 x 1 dx=eQ

11ee
alog x + 2dx+ 2dx の計算がx1

Q

K考察J

(1) A は逆行列をもたないとする。

全問正解者は１ と同様、15 ％ではあったが、最も得点(ⅰ) a の値を求めよ。

率が高い結果となった。最後まで取り組みやすい問題で(ⅱ) B を求めよ。
(2) A が逆行列をもつとき，B を求めよ。

0 1 10 ⅰ 1 0 1 10 ⅱ1
80.0
50.0
1.2

1

できていない。

を満たしている。

得点率0 % 1
標準偏差Qe

計

0 21
21.1

43.2

2.8

9.0

6.2あったと考えられる。
４ おわりに今年度の出題は基本～標準レベルの良問であった。
誤答分析から、基本内容の定着と読解力が身に付いていK誤答例Jない生徒が多いということが分かった。どの大問を見ても、(1)(ⅰ) 行列式 60 a 2- 11 - 20 a - 1 1 ･30 a - 1 1 ' 0 としている。

必ず基本事項の確認問題が用意されている。その問題を(ⅱ) 逆行列が存在しないという前提条件を忘れている。
B=

xyzw

8 9

いかに正確に早く解くかが完答するポイントであろう。

として 、行列の積は計算できているが、特にの小問 5 題については確実に点を取りたい問題では処理できていない。

あるが、広範囲から出題されているため、基本的な内容が(2) 条件から B= A -1 は分かっているが、正しく計算できていない。
AB= BA=E からB=K考察J

xyzw

8 9

身に付いていない生徒は点を落としている。

として、処理できていない。

また、確率については問題文が正確に読み切れず、立式ができていない生徒が多かった。読解力を上げるトレーニ

全問正解者は 10 ％であった。(1) は完答している生徒が多いものの、ングも必要である。

(2) で逆行列の式をうまく求められていない解答や逆行列の公式自体を説明会の時に平野教授が思考力を表現することが大事で間違えて覚えている解答が多かった。

あると言われていた。正しい推論が解答の中でなされてい４ a , b を定数とし，x> 0 においてるかどうかを見たいとのことであった。自分の考えを適切

2x n + alogx + bとおく。
f0 x 1 =limn .*x n+ xに表現する力を身に付けさせることが、今後の指導において重要なことであると感じている。今回の研究で学んだこ(1) 次の(ⅰ) , (ⅱ) , (ⅲ) のそれぞれの場合において，f0 x 1 を求めよ。とを、普段の授業や定期考査等の中でも指導していかなけ(ⅰ) 0<x<1ればならない。

(ⅱ) x=1(ⅲ) x>1(2) 関数f0 x 1 がx>0 において連続であるとき，b の値を求めよ。
(3) b を0 2 1 で求めた値とする。
(ⅰ) f0 x 1 がx=(ⅱ) f0 x 1 が1で最大となるとき，a の値を求めよ。
ee

Q f0x1dx=e を満たすとき，a の値を求めよ。
1e

得点率0 % 1
標準偏差

0 11
77.9

021
62.5

0 3 10 ⅰ1
31.4

0 3 10 ⅱ 1
20.7

計
46.4

2.6

1.9

3.2

2.8

8.2

- 15 -