大学入試研究委員会
本研究委員会は、６名の研究委員で構成されています。継続的

２ 平成23年度大学入試センター試験アンケートの分析な研究から発展的な研究まで各分野に分かれ努力を続けてきまし愛媛県立松山東高等学校

た。本年度の研究一覧は以下のとおりです。

愛媛県立新居浜西高等学校

松田智也

愛媛県立西条高等学校

真田幸治

大学入試センター試験に関してのアンケートにつきましては、

浦田雄一

県下のの受験生や先生方の御協力をいただき、本年度も集計・分析を終え報告する運びとなりました。ありがとうございました。
先生方の御意見・御指導をいただき、今後の研究活動に生かし

３ 平成 23 年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校ていきたいと思いますので、よろしくお願いします。

近藤 弘法

１ 中四国の国公立大学入試問題の研究
４ 大学入試問題の研究（数学Ⅱ）―ＡＯ・推薦入試の問題から―
愛 媛 県 立 宇 和島東 高等 学校

大塚－演習問題での活用を通して－隆三

愛媛県立今治西高等学校

青木将彦

大塚隆三

中四国の国公立大学入試問題の研究―ＡＯ・推薦入試の問題から―
愛媛県立宇和島東高等学校
はじめに伴い、特に過疎地、へき地の教員を志す者の不足、地域医2000年度、東北大、筑波大、九州大の３校で始まった国療では、医師不足などの地域の問題に対して、各地域との立大のＡＯ入試では今年で10年余りが経過し、年々成熟と連携を強化している。今後も、医療・教育分野を中心に増進化を図ろうとしている。

加する傾向にあると思われる。

１

近年のＡＯ入試の拡大に伴って、その理念が推薦入試に今年度入試での形態別の学校数では、国立大学82校中、ＡＯ入試実施校が47校、推薦入試実施校も大きな影響を及ぼし、実施要項の改訂以前からアドミッが76校、ションポリシーや「求める人物像」を明記する傾向が定着

公立大学80校中、ＡＯ入試実施校が21校、推薦入試実施校している。また、文部科学省は2011年度の通達で、ＡＯ入が77校試に限らず全入試において「合格から入学までの学習喚起」にのぼる。入学者比率を見てみると、国立大の全入学者約を講ずるよう、初めて全大学に求めた。今後はいっそう入10万人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約15％の約1万5千人、学準備教育の充実が進むと期待される。特に、入学準備教公立大学約2万9千人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約25％の7育はＡＯ全体のプロセスを形成する一環であるため、大学千3百人を占めている。ＡＯ入試に関しては、国公立大学のの教育プログラムへの熱意・向上心に欠ける受験生は、最総定員約3千人に対して、志願者数は約1万2千人を超えてい悪の場合、合格を取り消すと要項に明記している大学もある。

ることを忘れてはならない。出題問題の中から、昨年度のＡＯ入試に関しては、推薦・一般入試にはなかった、新中四国の国公立大学の推薦入試の教科面接において実際にしい人材発掘の理念と戦略を備えている。その傾向は、名出題された数学の問題の一部とＡＯ・推薦入試の筆記試験

古屋工大の「工学創成プログラム」、島根大総合理工の「理の一部の問題を本校の3年生普通科理系・理数科の生徒を対工特別コース」、愛媛大の「スーパーサイエンス特別コース」、象に行った誤答分析を中心に考察していきたい。

九州大の「21世紀プログラム」など、ＡＯ入試に特別なプログラムが組み込まれていることでも明らかである。推薦
２入試では、医療・教育分野などで「地元枠」あるいは「地平成23年度推薦入試問題から（抜粋）域優遇型」の推薦入試が増加している。2004年度の独立法

以下に推薦入試における教科面接の質問内容を紹介す

人化以降、教育分野では、いわゆる団塊世代の大量退職にる。

-1-

! y=0x +5 1 を微分せよ。
25３

誤答分析

対象生徒：３年生 理系 理数科 ５８名
広島大学 理学部 数学科 ＡＯ入試

! y=x 2 -2x のグラフをかけ。
（愛媛大 工 環境建設工 推薦）

関数f0 x 1 をf0 x 1 =! 0 (h <2p のとき，cos h =-tdt によって定義する。
1+ t 2x .*(3) x がx ) -2 を動くとき，f0 x 1 の最大値を求めよ。

た，y=3 ax 3 を定義にしたがって微分せよ。

＜正誤人数＞

b0 x - a1 0 x -b 1dx を計算せよ。
a!xx(1) f0 -2 1 を求めよ。
(2) x)0 のとき f0 x 1 を求めよ。また lim f0 x 1 を求めよ。

! y=f0 x 1 として，これを定義にしたがって微分せよ。 まQx +2

以下の問いに答えよ。

1となるh の値をす べて2

求めよ。

!

Q

2 +4x-1<0を解け。

! sinh +cos h =asin 0 h +b 1 のa ，b を求めよ。

(1)

(2)

(3)

正答

22172

誤答

31

1714

無答

524

43

! f0 x 1 =3 x 3 の増減表をかけ。
（鳥取大 工 電気電子工 推薦）＜主な誤答例＞
51(1) - log 5 ，log 2 + 1 ， log U
52! y=x 3 +6 x 2+9x+2 のグラフをかけ。

(2)! log2 3 と1.5の大小関係を調べよ。
! 1 ラジアンと60, の大小関係を調べよ。

11log 0 1 + x 2 1 0 x 2 + 4 x + 5 1 ， log 5
220 ， lim f 0 x 1 = 1x. *! s<t のとき，10s と10t の大小関係を調べよ。
(3)! y=x 2 ，y=U x ，y =ex ，y=log x の速さの大小関係

最大値

11log 5 と log 0 3 + 2U 2 122を調べよ。
（香川大 教育 学校教員養成課程（数学）推薦）＜考察＞(1)

t が正しくはずせていない生徒が多かった。

! x が５桁の数のときのlog10 x の値の範囲場合分けして，解を求めている。

! 2 20 の桁数を求めよ。ただし，log10 2 =0.3010 とする。

1tと計算している。
= t+t
1+ t2

! C = b y ，a x =b を用いて，loga C を求めよ。
! f0 x 1 =

Q

x2
0

(2)

t が正しくはずせていない。
lim f 0 x 1 が求められなかった。
x. *tsin t dt の導関数f - 0 x 1 を求めよ。

(3)! 上記の極値を求めよ。

場合分けができていない。
1
1
log 5 と log 0 3 + 2U 2 1 の大小を比較していない。
22! サイコロを５回振るとき，ちょうど１が３回出た場合のみ得点を与えるとする。点数は１が n 回目に初めて出たと き

積分範囲とそのときの t の符号が分かっていないため、n 点もらえるとする。このときの得点の期待値を求めよ。

t のはずし方ができていない生徒が非常に多かった。そのため、(2)、(3) につなげていくことができていなかった。

（島根大 総合理工 数理情報システム 推薦）

絶対値を含む問題を苦手としている生徒が多いと思うので、! log3 125 ･log5 81 を簡単にせよ。

もう一度復習をさせていきたい。

! x2 -ax+b<0 の解が 1<x<3 であるとき，a ，b の値を求Qめよ。

f -0 x 1
dx=log f0 x 1 の公式を覚えていない生徒が多かった。
f0 x1

難易度的にも、解きやすい問題であると思うので、確実に解け! f0 x1 =-x 2 +2x+3 とg0 x1 = 3x-3 についてるように指導をしていきたい。

(1) グラフをかけ。
(2) 交点の座標をかけ。
(3) 囲まれた部分の面積を求めよ。
（徳島大 工 知能情報工 電気電子工 推薦）-2-岡山大学 理学部 数学科 ＡＯ入試

＜考察＞

第１問

第１問

1で黒か箱の中に２つの玉が入っており，それぞれ確率
2１つが黒であることが分かっているので、もう１(1)つの玉が黒である確率で解が求められることが理解白であるとする。

できていなかった。

(1) １つが黒であることが分かっている場合，もう１つも黒黒を取り出したので、（白,白）という事象はない(2)である確率を求めよ。
(2) １つ取り出したところ黒であった。もう１つも黒であることに気付いていない生徒が多く、確率を求めよ。

1としている生4徒が多かった。

第２問
n を２以上の自然数として，n 個の自然数からなる数列

6 a1 , a 2 , …, an 7 について次の条件を考える。

第２問

a1 + a 2+ … + a n = a 1a 2…a n(1)

>

0*1 a
1 ( a2 ( … ( a n(2)自然数に 0 を含んでいる生徒が多かった。
(1) と同様に自然数に 0 を含んでいる生徒が多かった。

(1) n= 2 のとき，条件(*) を満たす自然数列6 a1 , a 27 を全て(3)求めよ。
(2) n= 3 のとき，条件(*) を満たす自然数列6 a1 , a 2 , a 3 7 を(1)、 (2)で論理的に考えているのではなく、直感的に解を求めているため、解を求めることができていない。

全て求めよ。
(3) n= 4 のとき，条件(*) を満たす自然数列 6 a1 , a 2 , a 3 , a 4 7(4)を全て求めよ。

(3) と同様に、直感的に解を求めているため、すべての解を求められていない。

(4) n= 5 のとき，条件(*) を満たす自然数列(1) ～(4) のつながりを意識して問題を解く必要があると

6 a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 7 を全て求めよ。

思われる。(3)、 (4) を考える前に、(1)、 (2)で問題を考え直してみるなどの工夫が必要である。

＜正誤人数＞

山口大学理学部 数理科学科 推薦入試

第１問

第２問

以下は，次に示す課題を解決する手順を説明した文章です。

(1)

(2)

(1)

(2)

(3)

(4)

手順に沿って，文中にある６つの質問に答えなさい。

正答

32

928

19

72誤答

1637

12

978無答

10121830

4448

課題 「座標空間に，点O0 0,0,0 1 ，A0 1,0,0 1 ，B0 1,1,1 1 、C0 a,b,c 1 ，D0 1,2,3 1 があり，これらの５点は同一球面Ｓ上にあるとする。このとき，四面体OABC の体積が最も大きくなるように点C を定め，そのときの体積を求めたい。」＜主な誤答例＞
第１問(1)

11，34(2)11，24

まず，課題を理解するために，球面Ｓ上に頂点がある四面体
OABC を思い浮かべましょう。四面体OABC の底面を三角形
OAB と考えたとき，四面体OABC の体積を最も大きくするた
めには，点C の位置を球面Ｓのどこにとればよいでしょうか。
質問１．点C の位置をどこにとるかを述べなさい。また，そのように考えた理由を説明しなさい。

第２問

次に，球面Ｓの方程式を求めることを考えましょう。一般に、(1) （ 0 , 0 ），（1 , 1 ），（1 , 2 ）中心の座標が 0 x 0, y 0, z 01 で，半径が r の球面の方程式は(2) （ 0 , 0 , 0 ），（1 , 2 , 2 ）2220x -x 01 + 0y - y 01 +0z - z 01 = r(3) （ 0 , 0 , 0 , 0 ），解なし

で求められます。

(4) 解をすべて求められていない-3-2従って，中心の座標と半径を求める必要があります。

質問４

問題文に書かれた通りに解けばできる問題であったが、(4) までできていなかった。

三角形OAB を含む平面 a で球面Ｓを切り取ったときにでき
質問５る円の中心をH とするとき，点H は三角形OAB の外心にな誤答であった生徒は計算ミスで、途中で終わっている生徒であった。

ります。

球において、直径が最も長いということを理解して質問２．点H が三角形OAB の外心になる理由を説明しなさい。また，球面Ｓの中心をE とするとき，線分HEおく必要があった。また、最後まで文章を読んで、図と平面 a がどのような位置関係にあるか答えなさい。などをかきながら考えていくことが大事であると思う。

さて，三角形OAB の外心H を求めましょう。OA=a４

OB=b ，さらにOH=ma+ nb とおくとき，外心の性質とまとめ
ＡＯ入試と推薦入試の問題の筆記試験・教科面接の問題

ベクトルの内積を使うことによって，点H の座標を求めるこの一部を紹介した。教科面接においては、問題の難易度はとができます。

高くないものの、生徒自身の表現力が問われるのではない

質問３．m ，n の値を求め，点H の座標を求めなさい。

かと思われる。生徒自身が、表現力を身に付けられるよう次に，ベクトルp= 0 0,1, -1 1 が２つのベクトルa ，b と垂直な指導をしていくことが求められる。また、そのことは入であることに注意すれば，試に限らず数学を学習していく上で必要な部分であると思

球面Ｓの中心E の位置ベクトルOE は，OE= OH+tp と表すうので、普段の授業の中から表現力を身に付けさせていきことができます。また，この t を用いて，球面Ｓの半径 r も表たい。

すことができます。

筆記試験においては、数学的な見方や考え方を問われる

質問４．球面Ｓの方程式を t を用いて表しなさい。また，球問題が出題される傾向にあると思う。問題文を読んで流れ面Ｓが点D を通ることを用いて，t の値を求めなさい。

をしっかりとつかみ、正しい推論をしていく力やその考え四面体OABC の体積が最も大きくなるときの体積をV とします。

を式や図で表現できる力を身に付けていくことが求められ

質問５．体積V とそのときの点C の座標を求めなさい。

る。数学ⅡＢまでの内容であるものが多いので、早い段階で生徒に解かせてみるのもよいのではないかと思う。セン＜正誤人数＞
質問１

質問２

質問３

質問４

質問５

正答

613

3

30

誤答

220

40

2

無答

30

35515556

ター試験を使わないＡＯ・推薦入試では、試験日が９月から１１月にあるため、それまでに十分な学力を身に付けなければならない。当然、一般入試に向けた学習も平行して行わなければならないので、生徒の状況に応じて受験をさせるべきか判断していかなければならないと思う。
ＡＯ入試に関しては、2012 年度に東京工大工（第２～６＜主な誤答例＞類）と鳥取環境大で新規に実施される。逆にＡＯを廃止す

質問１ ¦ＯＡＢの重心を通る。

る動向も一部で続いている。ＡＯ・推薦入試も頭に入れな球の中心に対して，点Ａと対称になる点
1, 1, 1
質問３ Ｈ
2

8

がら、国公立大学の受験を考えていくことが３年生の担任

9には求められていくが、安易に受験機会を増やす手段として考えていくことは危険であると思われる。

＜考察＞
質問１

外心ではなく重心を通るという生徒が多かった。
△ＯＡＢを底面としたときの高さが最大になるときが、体積が最大になるときであることは分かっているが、そのときの高さが球の中心を通る（または直径である）ことまで説明できていなかった。

質問２

Ｈを中心とする円が△ＯＡＢの外接円になることはよく理解できていた。

質問３

計算途中で終わっていた、べクトルを成分で表すことや、ＯＨ＝ＡＨ＝ＢＨであることに気付けばそれほど難しくなかったように思われる。
△ＯＡＢが直角三角形であることに気付けばより簡単に求められていた。

-4-