大学入試問題の研究（数学Ⅱ）－演習問題での活用を通して－
愛媛県立今治西高等学校
１

はじめに（２）1 の 3 乗根とその性質

教科書をひととおり学習し終えた後の演習問題への取2008 年度

見いだすことで，時間をかけて思考力が養われ，定着し木将

産・教育学部の虚数解の一つを方程式ていくものである．日ごろから家庭学習に対して地道にとするとき，の値を求めよ．

努力を重ねている生徒は，理解度が高く，演習問題への2010 年度取り組む意欲も高い．しかし，中には数学が不得意な生の解のうち，1 と異なるものの 1 つ方程式をとする．このとき，次の問に答えよ．

徒や，どのように学習してよいのかわからない生徒もい

香川大学［前期］法・教育・農学部

る．

を示せ．

幸いなことに，今年度は大学入試研究委員会で入試問題を研究する機会に恵まれ，近年の大学入試問題を参考にして，演習問題の内容を精選・工夫し，少しでも本校生徒に役立てようと考えた．生徒の実態も考慮に入れながら，基本的な問題の復習から応用的な問題に挑戦できるレベルまで，段階に応じて頻出項目を体系的に配列しを a,b（２） a , b が実数のとき，を用いて表せ．
（３）（ c , d は実数）の形で表せ．

を（ m , n は自然数）に対し， が（４）た．

（ p , q は整数）の形で表されるとき，z を求め対象生徒は，本校２年生の理系生徒 73 名である．４
月から７月までに学習した数学Ⅱの単元の中から，演習よ．
演習問題

問題作成にあたって参考にした大学入試問題，実際に出1 の 3 乗根のうち，虚数であるものの 1 つを題した演習問題の順で掲載する．（ただし，大学入試問る．

題を改題することなく出題した場合は，“この問題を演（１）次の式の値を求めよ．

習問題として，出題した．”と問題の下側に記してある．）

ア（２）て採点を行い返却した．

を a,bが実数のとき，を用いて表せ．
複素数と方程式での演習〈 正誤人数 〉（１）解と 2 つの 2 次方程式
2009 年度

群馬大学［前期］社会情報学部

実数 a , b を係数とする 2 次方程式の解をとする．

を解にもつ 2 次方程式が（１）ア

（１）イ

（２）

正 答

696952

誤 答

3417無 答104

〈 主な誤答例 〉のとき，a , b の値を求めよ．

（１）ア 0 , －1

演習問題

イ －1 , －7

2 次方程式の 2 つの解に，それぞれ2 を加えた数を解とする方程式があるという．定数 p , q の値を求めよ．
〈 正誤人数 〉
正 答

58

誤 答

11

無 答

4

〈 主な誤答例 〉,0,（２）

で（３）解の対称式の値
2010 年度

秋田大学

3 次方程式［前期］医学部の 3 つの解をとするとき，次の式の値を求めよ．
（１）
（２）
（３）とす

イ

解答は時間を一定に制限し，生徒に解かせた上で回収し２

彦

鹿児島大学 ［前期］理・工・医・歯・農・水り組みは，理解を深めるために大切である．演習問題は，自ら手を動かし，頭を使い，解決への糸口をじっくりと青2007 年度

青山学院大学
方程式の解をの値は ア ,と，とする慶應義塾大学を（１）（２）の値は イ ，薬学部

［Ｂ方式］で割ったときの余りを求めよ．
をで割ったときの余りを求めよ．の値は ウ ，山形大学の値は エ である．
整式

を演習問題

で，で割ったときの余りが －4 である．

2 次方程式（１）P (x) をで割ったときの余りを求めよ．

（２）P (x) をで割ったときの余りを求の 2 つの解をとするとき，次の式の値を求めよ．
（１）で割ったときの余りがめよ．
（３）P (x) を求めよ．

（２）〈 正誤人数 〉

で割ったときの余りをこの問題を演習問題として，出題した。

（１）

（２）

正 答

5862

誤 答

1511

無 答

00

〈 正誤人数 〉〈 主な誤答例 〉

（１）

（２）

（３）

正 答

634831

誤 答

71831

無 答

3711

（１）

〈 主な誤答例 〉（１）（２）29 , －29 ,（２）〔 剰余の定理を利用して連立方程式が立式できない解答，連立方程式の立式はできていたが演習問題計算ミスをした解答があった．〕

3 次方程式の 3 つの解を［余りをとおいた後の式変形ができない解答があった．］

するとき，次の式の値を求めよ．
（１）（２）（５）2 次方程式の整数解（３）2010 年度（４）（５）

自治医科大学2 次方程式（ただし，k は整数）が2 つの整数解をもつとする．整数 k の最小値を m として，の値を求めよ．

〈 正誤人数 〉
（１）

（２）

（３）

（４）

（５）

正 答

7269706337

誤 答1431033

無 答

0000

3

〈 主な誤答例 〉（２）－1（３）3に，計算ミスが多かった．］

x についての 2 次方程式が整数解のみをもつような整数 m の値とそのときの整数解をすべて求めよ．
〈 正誤人数 〉（１）5（４）0 , 6 ［解答が多かった．］（５）－1 , 5 , 9 ［演習問題と式変形したを展開したとき

正 答

7

誤 答

58

無 答

8

〈 主な誤答例 〉
・判別式を計算した解答が多かった．解と係数の関係を利用すればよいことに気付いていない．
とおくとき，・2 つの整数解をを利用して（４）剰余の定理を作ることができない．
・からの値を求めることができない．

0

無 答

00

〈 主な誤答例 〉（６）3 次方程式の総合演習
2006 年度

神戸大学 ［前期］理・医・農・工・発達科・海事科学部（２）とする．ただし， は虚数単位である．
（１） を解にもつような 2 次方程式
（

（１）

（３）
演習問題のとき，は実数）を求めよ．

（２）整数 a , b , c を係数とする 3 次方程式
について，解の 1 つは値を求めよ．
〈 正誤人数 〉
正 答

46の範囲に実数解を 1 つ

誤 答

20もつとする．このような整数の組 （ a , b , c ）無 答7であり，またをすべて求めよ．の〈 主な誤答例 〉

この問題を演習問題として，出題した。
・〈 正誤人数 〉
（１）

（２）

正 答

34

6

誤 答3436無 答

531・

から後の計算ミスが目立った．

〈 主な誤答例 〉（２）2 倍角の公式と半角の公式（１）（２）・b と a , c と a の関係式は導けるが，実数解がであることに気付いていない．

2006 年度

はを因数にもつこと・は理解できているが，商や余りを求めることができない．
・a の値を特定することができても，b と a , c と a

３

秋田大学

［前期］医学部のとき，次の値を求めよ．ただし，とする．
（１）

（２）

（３）

（４）の関係式を導いていないので，b , c の値を求めるこ

この問題を演習問題として，出題した。とができない．

〈 正誤人数 〉

三角関数での演習（１）加法定理2009 年度

信州大学［前期］理・医学部（医学科）

九州歯科大学

（２）

（３）

（４）

64585319

誤 答

8131640

無 答

12414

〈 主な誤答例 〉の値を求めよ．
2008 年度

（１）
正 答

［前期］

（１）のとき，の値を求めよ．

（２）

演習問題
次の値を求めよ．
（１）

（３）

（２）

（３）
（４）

〈 正誤人数 〉
（１）

（２）

（３）

正 答

625843

誤 答111530（３）三角関数の合成
2006 年度

岩手大学

以下の （

〈 正誤人数 〉［前期］人文社会科学部（１） （２） （３） （４） （５） （６））に正しい式を入れよ．
が成り立つ．

演習問題

正 答463449252720

誤 答273824454451

無 答010322〈 主な誤答例 〉の形に変形せよ．ただし，次の式を,とする．

を解くと，

（１）

（がない．）（２）（（２）

〈 正誤人数 〉（１）（２）

正 答

6944

誤 答

425

無 答

04

,がない解答や，という解答もあった．）
（３）
（４）・

〈 主な誤答例 〉

より（１）（（２）がない．）

（５）・

より

（４）方程式と不等式
2009 年度

信州大学［前期］工学部・を解け．ただし，
2007 年度

東北大学

よりとする．

［後期］理・医（保健）・薬学部

である．このとき，の範囲で次の方程式の解を求めよ．となるから，（１）（２）
2007 年度

和歌山大学 ［前期］教育・経済・システム工学部のとき，次の方程式を満たす

2009 年度

小樽商科大学［前期］商学部とするとき，方程式の値を求めよ．
2006 年度（５）和と積の公式を解け．
山口大学［前期］教育・経済・農学部の値を求めよ．

2009 年度

高知大学とするとき，埼玉大学［前期］教育・経済学部（１）正弦に関する加法定理を用いて，のとき，方程式を満たす

2008 年度が成り立つことを示せ．

［前期］理・教育学部となるの範囲を求めよ．

（２）三角形の頂点 A , B , C の内角の大きさをそれぞれ A , B , C で表すことにする．

, それぞれの範囲を求および演習問題のとき，次の方程式，不等式を解け．
（１）

（２）

（３）

（４）

（５）

（６）のとき，めよ．
演習問題
次の積を和または差の形に，また，和や差を積の形に変形せよ．
（１）

（２）

〈 正誤人数 〉〈 正誤人数 〉

（１）

（２）

正 答

33

28

誤 答

24

30

無 答

16

15

〈 主な誤答例 〉
（１）

（２）

正 答

61

12

誤 答

953

無 答

38

〈 主な誤答例 〉
,

（１）

（２）2
2007 年度（１）

九州歯科大学（２）・［前期］を解け．ただし，方程式・を確認していない．

・は確認できているが，最大値をとする．
演習問題

とる x の値を求めるときに，のとき，方程式を考えていない．同様にして，最小値をとる x の値を求めを解け．
〈 正誤人数 〉
正 答

7

誤 答

51

無 答

15を考えていない．

るときに，（７）三角関数の最大・最小 ― おき換え ―〈 主な誤答例 〉

2010 年度

・関数
いて，以下の問いに答えよ．

・4い．

を因数分解できな

熊本大学［前期］理・工・医・薬学部につとおいて，y を t の式で表せ．

より・のとき，（２）の最大値および最小値を求めよ．
・より

2009 年度

防衛大学校

理工学専攻
について，次の問

関数
いに答えよ．
（１）（６）三角関数の最大・最小 ― 2 次合同式 ―2010 年度

宮城教育大学［前期］

求めよ．のとき,関数（３）y の最大値 M , 最小値 m を求めよ．
この問題を演習問題として，出題した。の最大値と最小値を求めよ．
2008 年度

とおいて，y を t で表せ．のとき，t のとり得る値の範囲を（２）

小樽商科大学なお（３）は，最大値 M や最小値 m をとる x の値もそ［前期］商学部

れぞれ求めさせた．
関数のに〈 正誤人数 〉
（１）

（２）

（３）

正 答

514819誤 答181342

無 答

4

1212

おける最大値と最小値を求めよ．
演習問題のとき，関数について，次の問い〈 主な誤答例 〉に答えよ．
（１）とをを用いて表せ．

（１）

より

（２）この関数における y の最大値と最小値を求めよ．
また，そのときの x の値を求めよ．

（２）・
・となるからより【参考文献】（３）・を考え忘れている．
・ t のとり得る値の範囲が間違っているために，連動して不正解になっている．

数学Ⅱ（数研出版）［２］改訂版

教科書傍用

オリジナル数学Ⅱ（数研出版）［３］改訂版

教科書傍用

サクシード数学Ⅱ（数研出版）

・最小値はのときであることは理解できているが，y の値を求めていない．

［４］2011 年度受験用

・最大値や最小値を求めることはできる．しかし, そ［５］2011 年度受験用のときの x の値を求めていない生徒や，計算が間違っている生徒もいた．
４［１］改訂版

全国大学入試問題正解

数学［私立大編］（旺文社）
全国大学入試問題正解

数学［国公立大編］（旺文社）

生徒の質問内容が基本的な事項に留まり，教員をびっくりさせるような質問が近年減少しているのが，残念でならない。思考力を要する問題を苦手としている生徒もおり，家庭での学習習慣とある程度相関関係があるように感じられる．得点率が高い生徒ほど応用的な問題に対して，諦めることなく粘り強く考えることができる傾向が強く，授業後に別解の確認を求めてくる場合が多い．
しかし，得点率が低い生徒ほど演習に必要な知識が十分に身に付いていない．部活動や学校行事との両立ができていない生徒によく見られる傾向である．演習問題解説の際は，そうした生徒への配慮も必要であることが分か

また，計算力の低下も心配である．例えば，のと解答する生徒もおり，“ゆとり教育”の弊害と受け止めなければならないと感じている．そのような生徒のために演習の機会をより一層確保して，類題を解かせるなどの対処を続けていきたい．
私が担任をしているクラスのある生徒が，「私たちは小中学校のときに“ゆとり教育”のもとで教育を受けてきました．しかし，方針の変更を受け，高校生になって学習の量が小・中学校のころと比べものにならないほど増加しています．現在の小・中学生は“脱ゆとり教育”のもと授業を受けて高校へ入学してくるので，今私たちがいちばん苦労しているのではないかと思うのです．大学へ進学後も同じ状況が続くのか心配です．私たちの親世代は，いわゆる“バブル世代”だったので，あまり苦労することなく就職できました．両親を見ていると，私たちは何だか損した気分です．」という趣旨で清掃の時間に漏らしていた．その生徒は，成績面・人物面とも申し分のない生徒である．高校２年生の目から見れば，この10 年間の急激な変動に対して疑問に感じることは，確かなようである．
私は，生徒の進路保障が何よりも大切であると考える．
どの生徒も将来の可能性を秘めており，可能性を少しでも開花させるためには，高校教員の役割が益々大きくなっているように思う．高校３年間で“確かな学力”を身に付け，生徒が安心して進学・就職できる環境を提供していくためにも，日々研究を重ねていきたい．

［７］2010 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［私立大編］（旺文社）［８］2009 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［国公立大編］（旺文社）［９］2009 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［私立大編］（旺文社）［10］2008 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［国公立大編］（旺文社）［11］2008 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［私立大編］（旺文社）［12］2007 年度受験用

全国大学入試問題正解

数学［国公立大編］（旺文社）

ったので，今後生かしていきたい．の値を平然と数学［国公立大編］（旺文社）［６］2010 年度受験用

おわりに

全国大学入試問題正解［13］2007 年度受験用

全国大学入試問題正解［私立大編］（旺文社）

数学