大学入試研究委員会
本研究委員会は、６名の研究委員で構成されています。

２

国公立大学入試問題の研究

継続的な研究から発展的な研究まで各分野に分かれ努力を－ＡＯ・推薦入試の問題から－続けてきました。本年度の研究一覧は以下の通りです。

愛媛県立三島高等学校

五味稔

大学入試センター試験に関してのアンケートにつきましては、県下の受験生や先生方のご協力を頂き、本年度も集

３

平成２１年度大学入試センター試験アンケートの分析

計・分析を終え報告するはこびとなりました。ありがとう

愛媛県立宇和島東高等学校

冨田裕昭

ございました。

愛媛県立西条高等学校

真田幸治

愛媛県立今治北高等学校

兵頭

道淳

先生方のご意見・ご指導を頂き、今後の研究活動に生かしていきたいと思いますので、よろしくお願いします。
４１

平成２１年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校

中四国の国立大学の入試問題について

近藤

弘法

浦田雄一

－数学Ａにおける確率から－
愛媛県立松山東高等学校

浦田雄一

中四国の国立大学の入試問題について－数学Ａにおける確率から－
愛媛県立松山東高等学校
１

はじめに
確率は中学から高校へと、代数、幾何、代数幾何、解析と積み上げてきた数学の世界と異質なところがあり、

３

入試問題例
Ⅰ

島根大学

前期

（理系）

＜問題＞

多くの受験生にとって苦手な分野の一つになっている。

A, B の２人がそれぞれ袋の中に４個の玉を持っていそれを克服するために大切なことは 、「場合の数」を計る。A の玉には１から４までの数字が書かれている。

算するときに、もれなく、かつ重複しないことである。

B の玉には２から５までの数字が書かれている。各自

また、効率的に数え上げるには、求められていることのが玉を１個取り出して，より大きい数字の玉を出した性質、特徴に着目し、一定の法則を見つけ、その法則にものが勝ち，同じ数字の玉なら引き分けとする。こののっとって計算することを体得することである。このことき，次の問いに答えよ。とは数学に限らず日常生活においても基本的かつ重要な（１）２人が各自の袋から中を見ないで１個取り出すことである。

とき，A が勝つ確率を求めよ。

本校の生徒は、ほとんどが大学進学を希望しているこ（２）４回の対戦を次のように行う。A は袋の中を見ともあり、今回も昨年に引き続き、平成２１年度入試のて１，２，３，４の順に玉を取り出し，B は袋の中四国の国立大学の二次試験から生徒に確率の問題を解中を見ないで１個ずつ取り出す。ただし，取り出いてもらい、それらについて調べてみることにした。

した玉は袋に戻さないとする。このとき，A がちょうど２勝する確率を求めよ。

２

確率に関係する問題の出題状況
過去５年間に出題された平成１７年度から２１年度入試の出題状況を次ページの表にまとめてみた。中四国のすべての国立大学が出題しているわけではないが、明らかに中国地区の大学からの出題率が高く、四国地区の大学は出題率が低い傾向にある。中でも広島大学は毎年出題しており、良問で複数の問題が出題されている。
今回は、３つの問題と解答を紹介し、そのうちの２題を本校の生徒に解かせてみて、その分析を行ってみた。

（３）（２）のとき，A がちょうど１勝する確率を求めよ。
＜解答＞（１）A, B が取り出す玉をそれぞれ a, b とすると，A が勝つのは0 a, b 1 = 0 3, 2 1, 0 4, 2 1, 0 4, 3 1のときであるから，確率は

3
3=
1642

平成 17 ～ 21 年度入試の中四国の国立大学入試問題状況（数学Ａ年
大学

鳥取文系

理系

数学科

医/歯/薬

確率関係から）
備考

度 前期 後期 前期 後期 前期 後期 前期 後期
17

○

18○

□△

□は数Ｂとの融合○△：場合の数のみ

19
○

20

○

21
○

17根

19

○20

□21

○

17○△18
島△

△：場
△

○

○

△：期、△と○は数Ⅰの内容を含む

期待値との融合問題
期待値、数Ⅲとの融合問題△△△:期待値との融合問題

○○：場

18
岡山△

1920

△山島

口○○

○

○

21

広○

○：場、△：期△：期○：場合の数

17△○

□

☆

○

□と☆：数Ⅲとの融合、○は数Ｂとの融合

18○△□

☆

△

□と△：期、☆は数Ⅲ，Ｃとの融合

19

△○

□

☆

○

○と△：期、☆は数Ⅲ，Ｃとの融合

20

△○

□

☆

○

□：期、△：数Ｂ、○：期、数Ｂ、数Ⅲ

21○△□

☆

△

□、△、☆は期待値との融合問題

17

○

○

18

△△

○

△：期、数Ｃとの融合△○○，△とも場合の数との融合

19

○

○

20

○

21

○

期待値との融合問題

17○場合の数のみ

○○18
徳島

1920

○

場合の数のみ21△

数Ⅲとの融合問題○

17中学校数学専修コース

18
鳴門教育 19愛媛

20○

小(算数)、中(数学)コース

21○

小(算数)、中(数学)コース

17

○

18

○
○

19
20

○

21

場合の数
○

○△
○

集合の内容を含む△△○：期○は教育・農学部、△：二項定理△：場合の数（小問）（香川大学と高知大学は過去５年間出題なし）＜主な例＞○：場・・・○が場合の数の内容を含むことを表す。
△：期・・・△が期待値の内容を含むことを表す。

（２）B が４回取り出す玉の数字を順に b 1, b 2, b 3, b 4

0 1, 1, 1, 1 1, 0 1, 2, 3, 6 1, 0 1, 2, 4, 4 1, 0 1, 3, 3, 3 1,0 2, 2, 2, 2 1 の５通りあり，それぞれの目の出方の順番とする。どのような b 1, b 2 であっても A が１回を考えて，求める場合の数は目または２回目に勝つことはないので， A がちょうど２勝するのは A が３回目と４回目に勝つときである。したがって，0 b 3 , b 4 1 = 0 2, 3 1

1+4!+4!
4!
++1=42 （通り）2!
3!

（３）¦ P 1P 2P 3の面積が最大

辺 P 1P 2 と点 P 3 の距離C

このとき，0 b 1 , b 2 1 は 0 4, 5 1, 0 5, 4 1 の２通りあが最大る。よって，A がちょうど２勝する確率は

よって，図より３回目のさいころの目が１のとき最大となる。（図は省略）

21=4!
12（３） A がちょうど１勝するのは３回目または４回Ⅲ

山口大学

前期

（理系）

＜問題＞

目だけ A が勝つときである。したがって，A, B の２人が次のようなゲームをする。１枚の硬貨を0 b 3, b 4 1 = 0 2, 4 1, 0 2, 5 1, 0 3, 2 1, 0 4, 2 1,何枚か投げて表が裏よりも先に３回出たら A の勝ち，反0 4, 3 1, 0 5, 2 1, 0 5, 3 1
それぞれの 0 b 3, b 4 1 に対して 0 b 1, b 2 1 は２通り

対に裏が表よりも３回出たら B の勝ちとし，ゲームを終ずつある。よって，A がちょうど１勝する確率は４回目に表が出た場合には A の勝ちである。ゲーム終了
時に､得点として勝った者には１点を､負けた者には x 点

7･2
7=4!
12を与えることにする。このとき，次の問いに答えなさい。
（１）１回目に表が出たとする。このとき， A が勝つ確

Ⅱ 岡山大学 前期 （理系）

率を求めなさい。

＜問題＞
１から６までの目があるさいころがある。さいころを振って出た目が k のとき，単位円周上の点 P が原点を中心として正の向きに角了する。例えば，１回目に表，２回目に裏，３回目に表，pだけ回転する。点 P の最初の位置をkP 0 として，次の問いに答えよ。
（１）さいころを何回か振って，点 P の回転した角がp2となるための目の出方を列挙せよ。
（２）さいころを n 回振って移動した後の位置を P n とす（２）x =-0.5 とし，１回目に表が出たとする。このとき， A の得点の期待値を求めなさい。
（３）１回目に表が出たとする。このとき， A の得点の期待値が０点となるように x の値を定めなさい。
＜解答＞
表が出ることと，裏が出ることはどちらも（１）１回目に表が出たとき，求める確率は128 9る。P 4 =P 0 となる目の出方は何通りあるか。
（３）さいころを２回振ったところ，１回目は４の目，２=回目は３の目が出た。そのとき，三角形 P 1P 2P 3 の面積を最大にするような，３回目のさいころの目は何か。

+2 C1 ･1 1 1
1
1･ ･ + C ･ ･2 2 2 3 1 2
2

1
13
11+ +=
4
4
1616E =1 %pになるのは，２の目が出る１通り。
21%

pになるのは，0 3, 6 1, 0 4, 4 1, 0 6, 3 1 の2３通り。３回振ってpになるのは， 0 6, 6, 6 1 の１2通りであるから，目の出方は
0 2 1, 0 3, 6 1, 0 4, 4 1, 0 6, 3 1, 0 6, 6, 6 1（２）３回振って角 p だけ移動するのは（１）より

18 9 ･22111117+ -0.5 1 % 1 =16 016328（３）(2) と同様に，E =0 として（１）１回振って２回振って2（２）(1) より，求める期待値 E は理由を付けて答えよ。
＜解答＞

1である。
21111+x% 1 =016168

よって，x =-４99と表される。

11=-2.2
5

入試問題の分析および考察
問題Ⅰ（対象生徒：２年生 理系 40名，設定時間 20分）

＜正誤人数＞

0 2, 3, 6 1, 0 2, 4, 4 1, 0 3, 3, 3 1

正答

0 1137021
29031
12であるから，P 4 =P 0 となる目の組合せは誤答

31126

無答

002いる。

<主な誤答例>（１）!引き分けを勝ちに含んでいる。（１名）（12名）!樹形図などを利用したが、不足して!Ａの３，４から１つ，Ｂの２，３から１つ取り出す（３名）という考えから分子を2 C 1 % 2 C 1 としている。（１名）!すべての場合の数を 4! % 2 としている。（１名）!樹形図などを利用したが、不足して（２）!３回目が（Ａ，Ｂ）＝（3，2）､４回目が（Ａ，Ｂ）!樹形図が，途中で終わっている。（１名）!4 C 2!Ａが勝つのが１通りしか見つかっていない。（１名）

313!

3!

3
1
111としている。（４名）% + % =
42422!

123+ =としている。（３名）
444!

118 2 9 8 2 9 として，表表裏の場合をC21 2 1 2 3= としている。
!4 P 22248 98 9（２）!（１）で間違えたため。

（１名）

（１名）
（17名）

!Ａが１回勝つごとに１点すなわちＡが勝利したとき３点と解釈して解いている。

（２名）!「１回目にＡが勝っている」という条件が使えていな

1
112+ + =としている。（２名）
6
443い。
（３）!（１）で間違えたため。

＜考察＞

29名（約78％）であった。
!この問題はすべての場合の数を列挙しても24通りであるから，式を立てるよりも樹形図や辞書式を利用した方（１名）（22名）!答に－（マイナス）が付いていないケアレスミス。

（１）!正答者37名中，樹形図や辞書式を利用している生徒が（１名）＜考察＞(１)!同様に確からしいかどうかの認識不足が16名であった。
場合分けはできているがそれらが同様に確からしいかの確がミスを防げたと思う。
（２）!誤答者の中では32含んでしまっている。

2!
11としている。（１名）%% 1=
C262C1241+=としている。（４名）
24
24
43（２名）!１回目表の後,4（３）!

12い。

8 16 98 16 9 % 16 としている。（１名）!3 C 118 2 9 8 2 9 = 8 と答えている。（２名）
2!「１回目にＡが勝っている」という条件が使えていな

113=としている。（１名）%
161612825
1= と答えて102（１名）いる。

＝（4，2）とＢの２が重複している。（６名）!4 C 2 %5と答えている。
8認（チェック）をするまでには至っていない。

121という解答が４名と最も% =448!正答している生徒の中で，数式からが13名，樹形図利用からが４名，Ｂの勝つ確率を求めて余事象利用からが１名多かった。

であった。
!正答者29名の内訳は2が19名（約66％），
4!

(２) ! (１)を間違えた影響による誤答者17名中13名（約76％）は余事象の考え方でＢが勝つ確率を求めており，さらに期

1
12
12C2が６名（約20％），が２名，
% %%
2
342
4C2

待値の定義式も正しく使えていた。
!正答者17名中，Ｂが勝つ確率を余事象の考え方を使わず

21
11が２名（約７％）であった。
% % %2
143（３）!様々な誤答例が出たことから，場合分けの力を試されに求めた者が２名いた。

(３) ! (２)と(３)の問題は期待値の定義式を理解しているならば(１)が正解した人へのサービス問題である。

る問題であったと思う。

!逆に言えば，問題を正しく理解できなかったり，樹形図!樹形図などを利用するなど，基本である数え上げの原などに過不足があって（１）で間違えた受験生にとっては理の大切さを痛感した。

致命的な影響があったと思われる。
問題Ⅲ（対象生徒：２年生 理系 40名，設定時間 20分）

! (１)の誤答率（約55％）には驚かされた。これだけの数値＜正誤人数＞が出ると言うことは受験生にとってケアレスミスの代表的正答

011
18021
17031
14

誤答

22

23

24

無答

002

な例であると言える。授業等でこの誤答を解答例の１つとして提示し，どこがどう間違っているのかを生徒に発表させるような工夫も必要だと思う。
５<主な誤答例>（１）!樹形図などを利用したが、不足しておわりに確率問題の解法は、樹形図や辞書式による数え上げの原理

63= と答えて105(原則)が基本となるが、大学入試問題にもなると“もれなく”かつ“重複なく”効率的に数え上げることが必要となってくる。そのためには、性質や特徴に着目し、一定の法則を見つければならない。特に，反復試行や独立試行の応用問題をはじけ式を立てる能力を養うことが必要となってくる。数多くのめとする代表的な問題を取り扱い、問題に慣れる必要がある。

問題を解く経験から一般的な手順や解法を習得させることが大切である。確率の指導のポイントとして、（１）事象と確率では、集合に関する種々の内容の理解（２）確率の基本性質では、加法定理や和事象の理解（３）独立試行の確率では、直感的な解釈（４）反復試行の確率では、具体的な問題を扱う中での慣れ（５）期待値では、概念の把握が挙げられる。
また、確率の最大値、最小値問題では、平方完成による解法もあるが、（ア） P0 k+11 -P0 k1 と 0 との大小
p k+11と 1 との大小
（イ） 0p0 k1の解法はとても重要である。
入試問題の形式も定理を証明させるなど多様化している。
ここで，鳴門教育大学からユニークな問題が出題されていたので紹介したい。
鳴門教育大学 前期（小 ! 中学校教育＝算数 ! 数学科教育コース）＜問題＞
下の問題について (1), (2) に答えなさい。
アからウイまでの数字を１つずつ書いた枚のカードの中から２枚のカードを同時に取り出す。このとき，その２枚のカードの数のエである確率を求めなさい。
（１）

アには 10 より大きい自然数を，イ，ウには３桁の自然数を，エには適切な文を入れて，確率の加法定理を用いる問題となるように問題文を完成させなさい。
（２）完成させた問題を確率の加法定理を用いて解きなさい。
＜解答例＞
ァ…11

ィ…110

ゥ…100

ェ…和が 23 または 25
上の問題では、確率の加法定理 P0 A2B1 =P0 A 1 +P0 B1 について問われている。これを、和事象の確率
P0 A2B1 =P0 A 1 +P0 B1 -P0 A3B1 と間違えた生徒もいたのではないだろうか。自分自身で、指定された条件のもと、問題を作って解くという今までにないパターンであった。生徒の学力レベルを知ることもできると思う。
確率は、方程式の解を求めたときのように検算方法が少ないため、発想の段階がとても大切であることに注意し、指導しな以上のような点を再確認し、今後の指導に役立てていきたい。
＊参考文献：
平成21年度 国立大学 全国大学 数学入試問題詳解（聖文新社）