直線群から浮かび上がる図形について―包絡線で曲線を定める―
愛媛県立今治東中等教育学校
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はじめに高校生が物理の授業で学習するホイヘンスの原理などで見られるように，包絡線とは，連続的に動く一連の曲線全てに接する曲線のことである。ここでは，与えられた曲線の族の包絡線を次のように定義する：[定義(包絡線)]
全微分可能な実数値関数h(x ,y ,X ,Y )，f (X, Y )に対し，{<x(X,Y ),y(X,Y )> |f (X,Y )=0} が{G(h(x ,y ,X ,Y )=0) | f (X,Y )=0} の 包 絡 線 で あ る とは，f (X , Y )＝0 を充たす任意の点(X, Y )に対し，hx･dx＋hy･dy＝0を充たすときをいう。
ここで，hx ，hy は，関数 h の x , y による偏導関数を表し，G(h( x ,y ,X ,Y )=0) は，(X, Y )を固定したときのh(x ,y ,X ,Y )＝0 のグラフを表すものとする。
この定義は，点(X, Y )を固定して考えたとき，求める曲線の dx と dy の比が，h(x ,y ,X ,Y )＝0 の(x , y )におけるそれと一致することから正当化される。
本論の目的は，2-パラメーターを持つ直線の族で与えられる包絡線を求める公式を与えることである。また，それを利用し，カージオイドなどの種々の曲線を直線の族の包絡線で定義することを試みる。

１

2-パラメータの直線群がなす包絡線を求める公式とその系
直 線 の 族 { a(X,Y)x + b(X,Y)y＝c(X,Y) | f (X , Y )＝0}の包絡線を求めよう。
a(X,Y)x + b(X,Y)y＝c(X,Y)より，次が成り立つ：
da･x＋a･dx＋db･y+b･dy=dc
ここで，定義より，a･dx +b･dy=0 であることから，
da･x＋db･y =dcとなる。よって，次が成立する：(aX･dX＋bY･dY)x＋(aX･dX＋bY･dY)y = cX･dX＋cY･dY
また，f (X , Y )＝0 より，fX･dX＋fY･dY =0 であることか
ら，

| af

X
X

aY
fY

| x＋| bf

bY
fY

X
X

| y＝| cf

X
X

cYfYが得られた。同様にして，
 c cX cY 
 a aX aY 
 0 fX f Y y＝－
 a aX aY 
 b bX bY 
 0 fX f Y が得られる。
[公式１] (直線の族が成す包絡線)
直 線 の 族 { a(X,Y)x + b(X,Y)y＝c(X,Y) | f (X , Y )＝0}
による包絡線は次の式で与えられる：bc0x＝－ab0X
XXX

cY－cfYaY－a
fY| | bf
| | bf

X
X

XX

bY
fY
bY
fY

|||が得られる。これを行列式の形にまとめて，

 bc

0x＝－
 ba

0bX
cX
fX
aXbX
fXbY
cY fY aYbY fY bY
ccY a
0fY , y＝－aY
abY b0fY bc
0x＝－
ab
0より，c|fx＝ab|fbXcX
fXaXbXfXcXaX
fXaXbXfXcY
aY fY aYbY fY 

次に，この系として，1-パラメーターの場合を考える：
X＝φ( t ) , Y＝ψ( t ) とすると，φ－1( X )－ψ－1 ( Y )＝0が成り立つと見られるので，a(φ( t ), ψ( t ))x + b(φ( t ),ψ( t ))y＝c(φ( t ), ψ( t ))(t∊R) の包絡線の x 座標は，上で得た公式より，次のようになる：bY
 b bX
cccY X
 0 dt － dt dφdψ x＝－a aXaYbY  b bX
 0 dt － dt dφdψ dφ･dψ
右辺の分母分子にをかけることにより，次の式dt2が得られた：が成立する。これに ax + by＝c を考慮に入れることにb谷 山 伸 司

bXbY
cXcY Y´ －X´ aXaYbXbY Y´ －X´ [公式２] (直線の族が成す包絡線)
直線の族 { a(X( t ), Y( t ))x + b(X( t ), Y( t ))y＝c(X( t ), Y( t )) |t∈R} による包絡線は次の式で与えられる：

bc
0x＝－
ab
0bXbY
ccXcY a0Y´ －X´ , y＝－aXaYabXbY b0Y´ －X´ cXcY
aXaY Y´ －X´ aXaYbXbY Y´ －X´ 式は，続いて，直線の族が { a( t )x + b( t )y＝c( t ) |t∈R} で cosθ x ＋ x cosαθ ＝ cosθ cosαθ  sinθ y   y sinαθ   sinθ sinαθ 与えられるときを考える：
これは，公式１において，X＝t ,f (X, Y )＝X＋Y と考で与えられる。これをもとに計算すると，えることによって次のようにできる。ここで，fY＝1, bY

 x －sinα+1θ 2＝cosα－1θ2 y cosα+1θ 2
＝cY＝0 が成り立つことを考慮に入れることにより，次の公式が得られた：[公式３] (直線の族が成す包絡線)を得る。公式３に当てはめて計算することにより，次が直線の族{ a( t )x + b( t )y＝c( t ) |t∈R} による包絡線得られた：は次の式で与えられる：bcx＝－
abb´ c´ ,a´ b´ 

x＝

c
a
y＝－
abc´ a´ a´ b´ cos2θ＋2cosθとなり，
3
cos2θ＋2cosθ
1
12x＋＝＋＝cosθ(1+cosθ)とな
3333
sin2θ＋2sinθ2る。また，y＝＝sinθ(1+cosθ)となる33
ことから，得られた包絡線を x 軸1方向にだけ平行移動すると，極32形式 r＝1+cosθ) で表され3 (ることが分かる。これは，件の包n算できる：
nnn+1 ＋y－n+1 ＝1 で与え自然数 n が偶数のとき，包絡線は x－nnn+1 ＋y－n+1 ＝1られ，自然数 n が奇数のとき，包絡線は x－nsinαθ＋αsinθ
α＋1x＝xy＋＝1 | X ＋Y ＝1} で与えら{XYれたとき，その包絡線は，公式１を用いて次のように計
ny＝

特にα＝2 のときは，[例１]直線の族がcosαθ＋αcosθ
,α＋1nn+1 －y－n+1 ＝±1 のグラフの和集合となる。のグラフと x－絡線がカージオイドであることを示している。

結(n＝3 のときの包絡線)[例２]直線の族 {(sinθ+cosθ)x＋(sinθ－cosθ)y＝sinθcosθ | θ∊R}の包絡線は223 ＋(x－y)－3 ＝1(x＋y)－で与えられる。
[例３]直線の族 {(1+sinθ)x＋(1－sinθ)y＝cosθ | θ∊R} の包絡線は 4xy＝1 で与えられる。

２包絡線によるカージオイドの定義
任意の定数 α∊R に対し，単位円周上の２点(cosθ,sinθ)，(cosαθ, sinαθ)を結ぶ直線が与える包絡線を考える(θ∊R)。
２点(cosθ, sinθ)，(cosαθ, sinαθ)を通る直線の方程語
本論の応用として，曲率計算が考えられる。平面上の曲線の法線がなす包絡線が曲率円の中心の軌跡となることは，曲率円の定義から直感的に得られる。
コンピュータを用いた数学的な実験は生徒の数学に対する関心を高めるとともに，発見を促し，数学的な処理の力を高める縁となる。
xy
次の例は，＋＝1 | Y＝X 2－1の包絡線をXYコンピュータで描いたものである。包絡線は，簡単な定義でも興味深い図形を成すことが多く，生徒にできあがった曲線を想像させる楽しみを味わわせることができる。コンピュータによるシミュレーションは，数学の発想を豊かにさせ，発見につなげていく楽しみを感じることができる。
自らの発想で，様々な事象を数理的に処理していくことを体験させることにより，生徒の数学に対する興味・関心及び探究心を高めることに努めたい。

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