中四国の国公立大学入試問題の研究－推薦入試の問題から－

１ はじめに
四国地区には，つの国立大学，つの公立大学が設置されている。中国地方には，つの国立大学，の公立大学が設置されている。国立大学では，約％，公立大学では，約％の生徒を推薦入試により学生募集を行っている。私たちが生徒に指導する際，過去問を解かし，その傾向を見つけることで対策を講じることができると思う。そのため，昨年度に引き続いて，中四国の国公立大学の推薦入試問題で出題された数学の問題を取り上げた。

２

平成年度四国の国公立大学・推薦入試問題

愛媛大学
１

理学部

次の

入試Ⅱ

に入る数または式を解答用紙の指定のところに

記入せよ。



    のとき，  


ア

である。



関数        は， イにおいて最大値

ウ

愛媛県立新居浜西高等学校

松本慎

愛媛県立北条高等学校

砂田佳範

 実数，に対して
     が成り立つ。
３ △の辺の中点をとする。このとき，

          を示せ。
４
 関数  が  において微分可能で     とするとき，曲線    上の点 ，   における接線が軸と交わる点の座標を求めよ。

      とする。数列 ， ， ，…を次の  ，  により定める。
     とする。
    が定められたとする。このとき，曲線  上の点  ，    における接線が軸と交わる点の座標を  とする。

ⅰ   を  を用いて表せ。

をとる。

を複素数とする。複素数平面において，点が原点を中心

ⅱ すべての ，，，…についてとする半径  の円周上を動くとき，     で表される

     が成り立つことを示せ。
ⅲ すべての ，，，…について          が成り立つことを示せ。



点が点    を中心とする円を描いたとする。このとき，
エ

で，点が描く円の半径は

オ

である。

 和の絶対値がであるつの整数，   がある。
を倍するとより小さくなるとする。このようなは全部でカ個である。

 座標平面上の軸上にある点を，次の規則にしたがって動かすとする。
さいころを個投げ，出た数をで割った余りがであるとき，点を軸の正の方向にだけ移動する。
最初にが原点 ， にあるとした場合，さいころを回投
げたあとが点 ， にある確率は








   

ク

キ

である。







高知大学 教育学部 推薦入試Ⅰ

である。

２ 次の命題の真偽を判定し，解答用紙に書かれた真または偽のいずれか一方の文字に〇を付けよ。さらに，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ（ただし，の命題が偽の場合には，微分可能でないことを証明せよ。）
 でないつの複素数とに対して．   と がいず

れも実数のとき，とはともに実数である。
 関数  を             と定める。このとき，  は において微分可能である。
 自然数が奇数であるとき，と は互いに素である。

   

ⅳ       を示せ。

５ を定数とする。次関数     の   における最大値を求めよ。
６ 四角形において，，，  ，，とする。次の問いに答えよ。
 対角線および辺の長さを求めよ。
 四角形の面積を求めよ。
７ 男子人，女子人の中から人の委員を選ぶとき，次のような選び方は何通りあるか。
 男子から人
 男子から人，女子から人
 少なくとも男子人，女子人を含む

高知大学 理工学部 数学物理学科（数学分野）推薦入試Ⅰ
１ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
よく知っているように，すべての実数に対して        が成り立つ。さらに，すべてのでない整数に対して，         となる。このを時として関数  の周期と呼ぶ。特に，その正の最小のもの
を関数  の基本周期と呼ぶことがある。
この考え方を次のように一般化しよう。をでない実数とする。関数  がすべての実数に対して       を満たすとき，  を周期関数と呼び，を  の周期と呼ぶことにする。が  の周期のとき，も  の周期になる。
より一般に，すべてのでない整数に対しは  の周期となる。周期関数  の周期の中で正の最小のものを  の基本周期と呼ぶことにする。
を正の実数とする。  が周期の周期関数のとき，     の範囲で  の値が与えられていれば，すべてのに対して  の値がわかる。例えば，   が周期の周期関数で，   のとき     であり，  のとき     であるとする。このとき，   の範囲におけるグラフをもとにして，   が周期の周期関数であることから，    のグラフを描くことができる。
次に，周期関数が与えられたとき，それを用いて新しい周期関数を作ることを考えてみよう。上の   に対して，        とおくと，   は周期の周期関数になる。
 さらに，              とおくと，   は周期の周期関数になる。
さらに例を考えてみよう。   は周期の周期関数で，   のとき         であり，  のとき       であるとする。このとき，           とおくと，   の基本周期はどのようになるだろうか？
問．    のグラフを図示せよ。
問．   の基本周期がであることを証明せよ。
問．    のグラフを図示せよ。
問．    のグラフを図示せよ。
問．   の基本周期はどうなるかを理由を付けて答えよ。

２ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
を以上の自然数とする。個の椅子を丸テーブルの周りに並べる。適当な椅子を番とし，反時計回りにそこから順番に番まで番号を振る。そして，人の人がひとつずつ椅子に座る。このとき，次のような行為を考えてみよう。
ⅰ 番の席の人から反時計回りに数え始めてふたり目の人に席を離れてもらう。
ⅱ 次に，席を離れた人の反時計回りの隣の人から反時計回りに数え始めてふたり目の人に席を離れてもらう。
ⅲ ⅱを繰り返す。
席を離れる行為を 回繰り返せば，ただひとりが残る。この人は何番目の席に座っていたのだろうか？
まず，個の椅子に対して，上の行為で最後に残った人の席の番号を  で表すことにする。実際に図を描いて調べてみれば，次の表ができる。

               



 







  表
この表から   と     の式を予想できるだろう。
今度は個の椅子に対して，席を離れる行為をちょうど
回繰り返したときに，最後に席を離れる人の番号を ， で表すことにする。席を離れる行為を何回か繰り返せば，再び番の席の人に戻ってくることを考えると，次の式が成り立
つことがわかる。
  ，    ，  
これらの式の意味を考えると，予想した   と     の式が正しいことが証明できる。
さらに，上でわかったことを具体的な計算に応用してみよう。

       であるから，と     の式を用いると   がわかる。同様に工夫して  を求めてみよう。
問．表における ， ，，，に対する  の値を求めよ。なお，求め方を書く必要はなく，答えのみでよい。
問．とが成り立つ理由を説明せよ。
問．   と     の式を予想し，さらに，それが正しいことを証明せよ。
問．   が成り立つ理由を説明せよ。
問．  を求めよ。求め方も明記すること。

高知大学 医学部医学科 入試Ⅰ 総合問題ⅠⅠ 平面において，下の図のように，不等式    と    を満たす点 ， からなる領域をとする。点 は軸上にあり， は軸上にあり， は図のように領域
の右境界線上にあるとする。さらに ， ， は内にあり， ， ， ， ， ， ， を反時計回りにこの順で線分で結んでいくとき，内に正六角形ができるとする。
点 と を通る直線の方程式を       とおく。
  とする。次の設問に答えなさい。ただし，
必要ならば    を用いなさい。



ここで














設問  の座標とをを用いて表しなさい。
であることを示しなさい。
設問 正六角形      の面積をを用いて表しな
設問    

さい。
設問 正六角形      の面積の最大値を求めなさい。
Ⅱ つの変量，，を回測定した結果が下の表のようになっている。次の設問に答えなさい。

高知工科大学 経済・マネジメント学群 入試











































設問 の平均と中央値（メジアン）を求めなさい。
設問 ，，のそれぞれの分散，，を小さい方から順
番に左から並べなさい。
設問 との相関係数，との相関係数，との相関係数，それぞれの符号を求めなさい。
Ⅲ，Ⅳのうちいずれか問を選択し，解答してください。
Ⅲ 数列   は初項と公差が正の等差数列とする。さらに  を満たすとする。このとき，次の設問に答えなさい。


設問



  を満たすを求めなさい。


設問      ，     ，     とする。数列   が等比数列となるように を数列   から取ってくる。   ，   としたときにをで表しなさい。
設問    としたときにをで表しなさい。

Ⅰ 次の各問に答えよ。なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること。
 の多項式  を     およびで割ったときの余りは，それぞれ ，である。このとき，  を         で割ったときの余りを求めよ。
 放物線   上の点で，点 ， との距離が最も小さくな
るようなものの座標を求めよ。
 の方程式     の実数解をすべて求めよ。
 が実数全体を動くとき，直線 と の交点 ， について，が取り得る値の範囲を求めよ  ， ，のとき，       の最大値を求めよ。
 辺の長さがの正方形の周および内部をとし，正方形の対角線の交点を中心としてを回転させたものを とする。と の共通部分の面積を求めよ。
 辺の長さが，，である三角形の内接円の半径を求めよ。




       について，     ，     とする。このとき，      の値を求めよ。

Ⅳ 次の設問に答えなさい。
設問 円周上の異なる点を，，とする。これらは内積の関係

 ･  ･  ･ を満たすとする。このとき，三角形はどのような三角形になるか。証明をつけて答えなさい。
設問 つのベクトル，，のうち，とは零ベクトルではなく，互いに直交する。このとき     の大きさ
が最小となるとと，その最小値を求めなさい。
設問 空間の点，，の座標をそれぞれ ，，  ， ， ， ， ， ， とする。三角形の面積を求めなさい。



次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ。
    ，  ， 

 つの円       ，                の共通部
分の面積を求めよ。



              を求めよ。





 
をについて微分せよ。
   Ⅱ ，，，，，，，のつの数について，次の各問に答えよ。
 上のつの数から異なるつの数をとってけたの数をつくるとき，何通りの数ができるか。
 のうち，の倍数は何通りできるか。
 上のつの数から異なるつの数をとる組合せをすべて考え，それぞれの組合せについてつの数の積をとる。このようにしてできる積の総和を求めよ。
Ⅲ を自然数とする。次の主張と証明を読み，後の設問に答えよ。
【主張】数，，…，からどのように 個の数 ， ，…，  を選んでも，その中には互いに素なつの数が存在する。
【主張２】数，，…，からどのように 個の数 ， ，…，  を選んでも，その中には一方がもう一方を割り切るつの数が存在する。

【証明】まず主張を証明する。 ， ，…， は ア       …      をみたしているとしてよい。このとき，これら 個の数の中にはだけ離れたつの数が存在する。なぜなら，どのつも以上離れているとすると
    ，        ，        ，…
…，     となり，イ矛盾が生じるからである。
   ，，…，  の中からだけ離れているつの数を選び，それらをと とする。このとき，
 ウ これらは互いに素である。よって，主張が証明された。
次に主張を証明する。  ，，…， に対し３ まとめ
平成年度の入試と推薦入試の問題の中で，数学の内容に関するものを取り上げた。平成年度の問題と比較してみると，それぞれの大学で，単元や出題形式に大きな違いはないようである。教科書の基本的な内容を問う問題や，定理の証明が出ていたり，問題文で数学的な内容を説明して問題を解かせるような読解力を問う問題を出すなど，大学により傾向が異なるので，生徒の進路に合わせた対策が必要であると感じた。また，小論文の問題でも，グラフや表から読み取らせて分析させる問題を出題している大学もいくつかあり，様々な場面で数学的な見方や考え方が必要とされているのを感じた。

て， を割り切る最大ののベキを  とする。つまり，  は を割り切るが，  は を割り切らな

４ 平成 28 年度中国地方の国公立大学 AO 入試問題
島根大学 総合理工学部 理工特別コース

い。すると各に対して        は自然数 とか小論文(数学)ける。さらにエ は奇数である。

サイコロをくり返し投げ、出た目の合計が３の倍数となったと以上 以下の奇数は個しかないので，オ ，

ころで終了とする。ただし、1 回目に３の倍数が出たら終了と ，…， の中には等しいものがある。それらを する。例えば、1 回目に５の目が出た場合、２回目に１か４の目が出たら終了となる。n 回目に終了する確率を 𝑝𝑛 で表すと        とし，       とおく。この

とき，     ，     であり，   である。
したがってカ ，  のどちらか一方はもう一方を割りとき、次の問いに答えよ。(1) 𝑝1 , 𝑝2 および 𝑝3 を求めよ。
(2) 𝑛 ≧ 1 のとき、𝑝𝑛 を求めよ。
𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ ∑𝑛𝑘=1 𝑘𝑝𝑘 を 求 め よ 。 た だ し 、 |𝑟| ＜ １ の と き(3)切る。よって，主張も証明された。

𝑙𝑖𝑚𝑛→∞ 𝑛 𝑟 𝑛 =0 であることは用いてよい。

島根大学 総合理工学部 機械・電気電子工学科
推薦入試Ⅰ 小論文
課題１
点P(5,10)から円𝑥 2 + 𝑦 2 = 25に接線を引く場合を考える。
これについて以下の設問に答えよ。
設問
 下線部アの理由を説明せよ。
 下線部イの理由を説明せよ。
 下線部ウの理由を説明せよ。ただし，一般に自然数，
が互いに素であるとは，自然数， ， を用いて   ，    とかいたときに必ず となることをいう。
 下線部エの理由を説明せよ。
 下線部オの理由を説明せよ。
 下線部カの理由を説明せよ。
   のとき，主張において 個を選ぶかわりに個の数を選ぶこととすると，結論は成り立たなくなる。 の場合と一般のの場合について，反例となる個の選び方をそれぞれ示しなさい。
   のとき，主張において 個を選ぶかわりに個の数を選ぶこととすると，結論は成り立たなくなる。 の場合と一般のの場合について，反例となる個の選び方をそれぞれ示しなさい。

(1) ２つの接線 A, B の座標を求めよ。ただし、𝑥座標が小さい方を点 A とする。
(2) ２つの接線 PA と PB の方程式を求めよ。
(3) ２点 A, B 間の距離を求めよ。
(4) 点 P と直線 AB との距離を求めよ。
(5) 三角形 PAB の面積 S を求めよ。また、S と円の面積の1/2 を比べ、大小を理由と共に答えよ。
島根大学 総合理工学部 数理・情報システム科
情報系コース 推薦入試Ⅰ 小論文
問２
自然数から自然数への関数𝑓 を次のように定義する。
2(𝑥 = 1 のとき)
𝑓(𝑥) = {3 × 𝑓(𝑥 − 1) + 2 (𝑥 > 1 のとき)
このとき、以下の問いに答えよ。
(a) 関数𝑓の定義から、𝑓(2)の値を求めよ。ただし、計算過程も詳しく述べよ。
(b) (a)の値と関数𝑓 の定義から、𝑓(3) の値を求めよ。ただし、計算過程も詳しく述べよ。
(c) 関数𝑓は自然数𝑥 に対して等式𝑓(𝑥) = 3 𝑥 − 1を満たす。
この等式を自然数𝑥 に関する数学的帰納法により示した

い。次のアからオを適切な数や数式で埋めて証明を完成信された信号と等しくなるのは、変化した信号の値がさせよ。
(基礎段階)：𝑥 = 1のとき；

いくつまでのときか。
(d) 受信した５つの信号を上記の方式で解釈する。解釈
した結果が実際に送信された信号と等しくなる確率を関数𝑓の定義より、𝑓(1) = ア 。 31 − 1 = ア 。
よって、等式 イ が成立する。
(帰納段階)：𝑥 = 𝑘 + 1 のとき；
いま、𝑥 = 𝑘のとき、等式 ウ (∗)が成立すると仮定する。このとき、
𝑓(𝑥) = 3 × 𝑓(𝑘) + 2

𝑝を使って表せ。導出過程も示せ。
島根大学 総合理工学部 数理・情報システム科
推薦入試Ⅰ 小論文
問題１
平面上に異なる３点 A,B,C がある。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 線 分 BC を 𝑚: 𝑛 に 内 分 す る 点 を P と す る と き 、
⃗⃗⃗⃗⃗
AP =

= 3 × ( エ ) + 2 ((∗)より)= 3𝑘+1 − 3 + 2
= オ

𝑛
𝑚+𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗
AB +

𝑚
𝑚+𝑛

⃗⃗⃗⃗⃗
ACとなることを証明せよ。

⃗⃗⃗⃗⃗ + 4QB⃗⃗⃗⃗⃗ + 5QC⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗0を(2) △ABC の内部に点 Q があり、3QA
満 た し て い ると す る。 こ の と き 、 △ QAB, △ QBC, △QCA の面積比を求めよ。

したがって、関数𝑓は自然数𝑥に対して等式𝑓(𝑥) = 3 𝑥 −問題２1を満たす。

下図のように𝑥軸上に点 A、𝑦軸上に点 B があり、線分 AB の問４

長さは 1 とする。ここで、点 A の𝑥座標は正、点 B の𝑦座標は値が 0 または 1 である信号を A 地点から送信して B 地点正とする。次の問いに答えよ。

で受信することを考える。A 地点から 1 つの信号を送信し(1) 点 A の座標を(𝑡, 0)とするとき、点 B の座標を求めよ。

てその値が変化せずに、B 地点で正しく受信される確率を(2) 点(𝑥, 0) (0 < 𝑥 < 1)を通ってy軸に平行な直線と線分

𝑝(0 ≦ 𝑝 ≦ 1)とする。信号の値 0 が変化した場合は 1 が、AB が交わるとき、その交点 P の𝑦座標𝑓(𝑡)を𝑡と𝑥を用い信号の値 1 が変化した場合は 0 が、それぞれ受信されるもて表せ。さらに、𝑓(𝑡)を𝑡の関数と見たとき、𝑓(𝑡)の定義のとする。このように信号の値が変化したとき、送信された域を求めよ。

信号が誤って受信されたということにする。値の変化は 1
つの信号につき、1 回までである。信号の値は変化することはあっても消滅することはない。
以下では、５つの信号を１つずつ A 地点から送信することを考える。送信された 1 つの信号が正しく受信されたとき〇、誤って受信されたとき×と書くとすると、５つの信号のう(3) 𝑓(𝑡)の最大値𝐹(𝑥)を𝑥の関数とおくとき、𝐹(𝑥)を求めよ。
(4) (3)の𝐹(𝑥)を𝑥の関数とみるとき、曲線𝑦 = 𝐹(𝑥)の概形を描け。
(5) 曲線𝑦 = 𝐹(𝑥)と𝑥軸及び𝑦で囲まれた図形を𝑥軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を求めよ。

ち、２つ目の信号のみが誤って受信された場合は〇,×,〇,問題３〇,〇と書くことができる。×の位置を考えると、５つの信号

𝑎, 𝑏, 𝑐を実数とし、𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 + 𝑐とおく。次の問いに答のうち、ちょうど 1 つの信号が誤って受信される場合は、全えよ。

部で 5 通りあることがわかる。

(1) 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 1のとき、𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(1)を満(a) 送信された５つの信号のうち、ちょうど２つの信号が誤って受信される場合は何通りあるかを示せ。導出過程も示せ。
(b) 送信された５つの信号のうち、１つ以上が誤って受信される確率を𝑝を使って表せ。

たす実数𝑥をすべて求めよ。
(2) 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(1)を満たす実数𝑥が存在するような𝑎, 𝑏, 𝑐の満たす条件を求めよ。
(3) すべての実数𝑥 に対して 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(1)かつ𝑓(1) = 2が成立するとき、𝑎, 𝑏, 𝑐の値を求めよ。

以下では、A 地点から送信する５つの信号を、0，0，0，0，0 と 1，1，1，1，1 の２種類に限ることにする。

岡山大学 環境理工学部 環境数理学科

・0 の個数の方が多ければ、0，0，0，0，0 が送信され推薦入試Ⅱ 小論文たと解釈する。

第１問

・1 の個数が多ければ、1，1，1，1，1 が送信されたと解釈する。
たとえば、0，1，0，0，1 を受信した場合は、0 の個数
が 3、1 の個数が 2 であることから、0，0，0，0，0 が送信されたと解釈する。
(c) 受信した５つの信号を上記の方式で解釈する。信号の値が変化した場合でも、解釈した結果が実際に送

2 つの曲線𝐶1 : 𝑦 =

log 𝑥
𝑥

, 𝐶2 : 𝑦 = 𝑎 log 𝑥 について以下の問

いに答えなさい。ただし、0 < 𝑎 < 1を満たす定数である。
問１ 関数𝑦 =log 𝑥𝑥の増減を調べなさい。

問２ 曲線𝐶1 のグラフをかきなさい。

ただし、lim𝑥→∞

log 𝑥
𝑥

［３］

= 0が成り立つことを用いてよい。

𝑥座標、𝑦座標がともに整数である座標平面上の点を、ここで

問３ 𝐶1 と𝐶2 の交点の座標を求めなさい。

は格子点という。座標平面上の格子点(𝑚, 𝑛)を通り、直線

問４ 𝐶1 と𝐶2 で囲まれる領域の面積を求めなさい。

𝑞𝑥 − 𝑝𝑦 = 0に垂直な直線を𝑙とする。ただし、𝑝, 𝑞はどちらも第２問

0 でない整数で、互いに素であるとする。以下の問いに答え

閉区間[𝑎, 𝑏]で連続な関数𝑓(𝑥)に対して、よ。

𝑡𝐹(𝑡) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 とすると𝐹(𝑡)は閉区間[𝑎, 𝑏]で連続、開区間(𝑎, 𝑏)で微分可能である。このとき以下の問いに答えなさ(1) 直線𝑙の方程式を求めよ。
(2) 座標平面上の格子点(𝑎, 𝑏)と𝑙の距離を求めよ。
(3) 𝑙上にない格子点のうち、𝑙との距離が最小となる点の 1
つを(𝑐, 𝑑)とする。点(𝑐, 𝑑)と𝑙の距離を求めよ。

い。
問１ 𝐹(𝑡)に平均値の定理を適用することにより条件［４］𝑥, 𝑦は非負の整数で𝑥 3 − 7𝑥 + 6 = 6𝑦 2 + 24𝑦を満たすもの𝑏∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑐)(𝑏 − 𝑎) (𝑎 < 𝑐 < 𝑏) (1)とする。以下の問いに答えよ。
(1) 𝑦 = 0のとき、𝑥の値を求めよ。

を満たす実数cが存在することを証明しなさい。
𝑛

問２ 自然数𝑛に対し、𝑓(𝑥) = 𝑥 , 𝑎 = 0, 𝑏 = 1とする。

(2) 𝑦 ≠ 2であることを示せ。
(3) 𝑦が奇数ならば、𝑥は４の倍数であることを示せ。

このとき条件(1)を満たすcを求めなさい。
問３ 問２で求めたcを𝑐𝑛 とする。このとき、lim𝑛→∞log(1+𝑛)𝑛=0が成り立つことを用いて、lim𝑛→∞ 𝑐𝑛 を求めなさい。

(4) 𝑦が素数であるとき,𝑥の値を求めよ。
［５］
𝑛を自然数とする。最初に動点 A、B がそれぞれ、座標平面上の点(0, 0), (𝑛, 𝑛)に置かれている。大小の硬貨 1 枚ずつを１

問４ 自然数𝑛に対して、𝑓(𝑥) = 𝑥 ｎ , 𝑎 = 0, 𝑏 = 1とする。このとき条件(1)を満たすcを求めなさい。

同時に投げ、次のように動点 A、B が動くものとする。
大きい方の硬貨が表ならば動点 A は𝑥軸の正の方向に 1 動く。

問５ 問４で求めたcを𝑑𝑛 とする。このとき、lim𝑛→∞ 𝑑𝑛 を求めなさい。

大きい方の硬貨が裏ならば動点 A はy軸の正の方向に 1 動く。
小さい方の硬貨が表ならば動点 B は𝑥軸の負の方向に 1 動く。
小さい方の硬貨が裏ならば動点 B はy軸の負の方向に 1 動く。

広島大学 理学部 数学科

この試行を𝑛回繰り返した後、動点 A,B が同じ点に到達する

AO 入試 筆記試験

確率を𝑃𝑛 とする。以下の問いに答えよ。

［1］(1) 𝑃3 , 𝑃4 を求めよ。

t > 0とし、Ｏを原点とする座標空間上に 3 点(2) 多項式(1 + 𝑥)2𝑛 と(1 + 𝑥)𝑛 (𝑥 + 1)𝑛 の𝑥 𝑛 の係数を比較

A (𝑡, −√2 sin

することにより、 2𝑛𝐶𝑛 = ∑𝑛𝑘=0 𝑛𝐶𝑘2 となることを示せ。
（3） 𝑃𝑛 を求めよ。

𝜋𝑡𝜋𝑡1, 0) , B (𝑡, √2 cos , 0) , C(𝑡, 0, )44𝑡（4） 数列𝑎𝑛 (n = 1,2, … )は以下の関係式を満たすとする。

がある。以下の問いに答えよ。
⃗⃗⃗⃗⃗ とOB⃗⃗⃗⃗⃗ が垂直となるような𝑡を求めよ。
(1) OA
うな𝑡をすべて求めよ。

1

1

2

2𝑛

𝑎1 = , 𝑎𝑛 = (1 −(2) 三角形 OAB が AB を底辺とする二等辺三角形になるよ)𝑎𝑛−1 (𝑛 ≧ 2)

1(3) 四面体 OABC の体積の最大値とそのときの𝑡をすべて求𝑛 ≧ 2のとき、𝑎𝑛 < 𝑛−3となることを示せ。
（5）lim𝑛→∞ 𝑃𝑛 を求めよ。

めよ。
［２］

広島大学 工学部

O を原点とする複素数平面上で、実数 2 と 4 を結ぶ実軸上の線分を L とする。また、O を中心とする半径 1 の円周上で、実部、虚部ともに正である点からなる部分を C とする。L 上に点P(α)、C 上に点Q(β)があるとし、点 P を、点 Q のまわりに第二類（電気・電子・システム・情報系）
AO 入試 小論文（抜粋）
問題２𝜋

本問は、下記の設問に対する解答を通して数学に関する基

2

礎学力、論理的思考力と独創性をみる小論文の問題である。

だけ回転した点をR(γ)とする。以下の問いに答えよ。

このことに留意し、以下の問いに答えよ。

(1) γをα, βを用いて表せ。

（1） 等比数列について、下の枠内の語句すべてと数式を(2) β =

1
√2

+

1
√2

𝑖とする。点 P が L 上のすべての点を動くとき、

点 R が描く図形を複素数平面上に図示せよ。
(3) α = 2とする。点 Q が C のすべての点を動くとき、点 R が描く図形を複素数平面上に図示せよ。

用いて 3 行以内で説明せよ。
初項𝑎、公比r、第𝑛項𝑎𝑛（2） 等比数列の極限に関する数学の問題を創作せよ。問題は複数の小問から構成されていても構わない。
（3） （2）で作成した問題に対する模範解答を示せ。

して、次の問いに答えよ。ただし、𝑎, 𝑏, 𝑐は実数とする。

広島大学 教育学部
第二類（科学文化教育系）数理系コース（1） 𝑐を𝑎, 𝑏を用いて表せ。

AO 入試 総合評価方式 筆記試験

（2） 𝑃(𝑥) = 0を満たす解をすべて求めよ。

【Ⅰ】 以下の問いに答えよ。

問 2 次の積分を求めよ。

(1) 平面において、三角形の３つの内角の和は 180°であることを証明せよ。
（2） 次の数の大小を比較せよ。𝑖は虚数単位、eは自然対数の底とし、必要ならば2.7 < e < 2.8を用いてよい。
|

2
1

1− 𝑖

1+𝑖 8

|,(

√3

√2

) , 1 + log 8 𝑒 , 1 + log 8 2(3) 𝐴を整数全体の集合とし、
𝐵 = {5𝑚 + 7𝑛|𝑚, 𝑛 ∈ 𝐴}とする。 𝐴 = 𝐵 であることを証明せよ。

1（2） ∫0 𝑥𝑒 −𝑎𝑥 𝑑𝑥 (𝑎 > 0)
問 3 𝑥 < 1で定義された関数𝑓(𝑥) = − log(1 − 𝑥) − 𝑥について、次の問いに答えよ。
（1） 関数𝑓(𝑥)の導関数を求めよ。
（2） 関数𝑓(𝑥)の最小値とそのときの𝑥を求めよ。
問 4 整式𝑛を正の整数𝑚で割り、商と余りに分ける。商が𝑘と(4) 次のように定義される数列の一般項𝑎𝑛 を求めよ。
𝑎1 = 1,𝑥（1） ∫0 (𝑥 − sin 𝑥) 𝑑𝑥

1
𝑎𝑛+1

−

1
𝑎𝑛

=𝑛

なるような𝑛の総和を𝑚の 2 次式として、

ア 𝑚2 + イ 𝑚と表すとき、 ア , イ に入る式もしくは数を(5) 次の曲線の（ ）内に示された部分の長さを求めよ。
𝑥=2017+ cos 𝑡 , y = sin 𝑡 (0 ≦ 𝑡 ≦ 1)
【Ⅱ】 円に内接する五角形ABCDEにおいて、
AB = BC = CD = 1, DE = 2, EA = 3とする。また、対角線AC, ADの長さをそれぞれα, βとする。
次の問いに答えよ。
(1) ∠ABC = 𝜃として、αを𝜃を用いて表せ。
(2) △ACDに着目して、𝛽をαを用いて表せ。
(3) 四角形ACDEに着目して、αが 4 次方程式
𝑥 4 + 6𝑥 3 − 2𝑥 2 − 18𝑥 − 12 = 0の解であることを示せ。
(4) (3)の 4 次方程式の左辺を𝑓(𝑥)とおく。関数𝑓(𝑥)の極値求めよ。
⃗⃗⃗⃗⃗ =
問 ５ O を 原 点 と す る座 標 平 面 上 の ３ つ の ベ ク ト ル OA⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1), ⃗⃗⃗⃗⃗(1, 0), OB
OC = (−1, √3)について、次の問いに答えよ。
⃗⃗⃗⃗⃗ とOC⃗⃗⃗⃗⃗ のなす角を求めよ。
(１) OA(２) 線分ACの長さを求めよ。
(３) 点Oから線分ACに下ろした垂線と線分ACとの交点をDと⃗⃗⃗⃗⃗ をOA⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑠OA⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑡OB⃗⃗⃗⃗⃗する。ベクトルOD
OB を用いて、ODのように表したとき、s, tを求めよ。
５ まとめ
中国地方の国公立大学における AO 入試と推薦入試の問題を調べ、そのグラフをかけ。

の中で、数学の内容に関わるものの一部を取り上げた。内容と(5) 次の二つの不等式を示せ。

しては、「数学Ⅱ」、「数学 B」や「数学Ⅲ」を中心に幅広く出題さ√3 < 𝛼 < 2, √6 < 𝛽 < √7
【Ⅲ】 A, B, C, D、の 4 人でじゃんけんを行う。各人はグー、れていた。今年度も昨年度と同様に、定義に従って計算させる

1

出てくる公式の証明を疎かにすることなく、一つ一つ着実に身3に付けておくことが必要である。また、情報系の学科では、読解

チョキ、パーをそれぞれ の確率で出すものとし、毎回問題や公式の成り立ちを問う問題が出題されていた。教科書にのじゃんけんの結果はそれぞれ独立に決まるものとす

力が必要な問題も出題されており、生徒の志望する大学の問

る。次の問いに答えよ。

題傾向を捉え対策を練っていかなければならない。そのために(1) じゃんけんを 1 回行うとき、1 人だけが勝つ確率を求め
よ。

いきたい。

(2) じゃんけんを 1 回行うとき、あいこになる確率を求めよ。
(3) 勝者が 1 人に決まるまでじゃんけんを繰り返し行うとき、2 回目で勝者が決まる確率を求めよ。ただし、負けた人はその後のじゃんけんには加わらないものとする。
(4) 勝敗に関係なく 4 人でじゃんけんを 15 回行うものとする。
よって負けた人もじゃんけんから抜けることはない。ここでAはチョキを出さずに、グーを 5 回、パーを 10 回出す。
Aが𝑛回目のじゃんけんで 4 回目のグーを出す確率を𝑝𝑛とするとき、𝑝𝑛 が最大となる𝑛の値を求めよ。
広島大学 理学部 物理学科
AO 入試

も、不断の努力を怠らず、数学教員としてのレベルアップをして筆記試験［１］以下の質問に答えよ。
問 1 𝑥 − 1を因数にもつ整式𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 − 𝑐に関