極限を扱った入試問題の研究
愛媛県立西条高等学校

三浦怜也

１ はじめに西条高校に勤務して３年目になった。初年度と昨年度は１年生の授業を主に担当し、前任校では数学Ⅰ、数学 、数学Ⅱまでしか履修しないため、数学 、数学Ⅲの授業は実に７年ぶりになる。少々不安を覚えながら授業準備にいそしんでいる中、今回の研究委員会のテーマを何にするか迷っていたが、現在理型のクラスの授業を担当しているため、今後の授業準備もかねて数学Ⅲの基本ともいえる「極限」について研究してみることにした。「極限」の問題は幅広いが、今回は主に数列の極限を求めさせる問題に注目して研究することにした。

･…①と変形して一般項を求める。または、式を導いてもよい。そのとき、の等式から①の漸化を示す点に注意が必要。
より、なので、２ 大学入試問題の研究〇漸化式から一般項を求め、極限を求める。
＜年宮城教育大学
次の問いに答えよ。
実数が前期日程＞となる。

を満たすならば、が成り立つことを示せ。
数列●類題＜年徳島大学数列

前期日程＞

は次を満たす。

を…
…
とおくとき、をで表せ。

によって定めるとき、とおくとき、数列…の一般項を求めよ。

を求めよ。

が成り立つことを示せ。
とおくことにより、の数列の一般項を徳島大学の問題も同じ傾向の問題である。の漸化式は多くの大学で出題されている。

求めよ。の数列について極限値を求めよ。

誘導に従って漸化式から一般項をつくり、極限を求める。

●類題
＜として、

年滋賀医科大学

複素数

…

前期日程＞
…をとなり、…の範囲において単調増加。
なので、と定める。また、において…

よって、は示された。
とおく。ただし、 は虚数単位である。
をなのでを用いて表せ。

は実数であることを示せ。
を求めよ。
複素数平面上において、すべての点つまり、は同一円周上にあることを示せ。

右辺

滋賀医科大の問題は、複素数平面との融合問題であるが、左辺の漸化式から一般項をつくることで極限を求めることができる。

よって成り立つ。
〇図形の規則性から漸化式を作り極限を求める。
＜横浜国立大学を原点とする

後期日程＞
平面上に、点… がある。また、以下の ⅰ から ⅲ を満たす点… および点… がある。
ⅰ… に対して、る。
ⅱの座標はⅲ

は半直線･上にあ･である。

･… に対して、，･…･･… に対して、を求めよ。

を求めよ。

では、･･…･･である。
次の問いに答えよ。

極限値･…･をを用いて表すことで求める。

を利用してとではの漸化式を求め、そこから一般よって項を導く。そのとき、･･…･･のように項数を落とし･ていき、一般項を求める。

●類題＜年九州大学

座標平面上のは線分

前期日程＞

点を考える。点上にあり、線分上の点とは異なる点とする。

… を以下のように順に定める。点が定まったとき，点との交点を，から線分とし、点から線分との交点をとし、点との交点をとする。のとき、に下ろした垂線とに下ろした垂線とから線分に下ろした垂線とが限りなく近づく点の座標を求めよ。

九州大学の問題は、正三角形であることを利用してとの漸化式をつくれば、あとは容易に極限を求めることが･できる。
･･〇確率との融合問題･＜年北海道大学を･後期日程＞以上の自然数とする。当たりくじ本を含む本のくじがある。くじを引いて、当たりなら持ち点に を加算し、はずれなら持ち点は変わらないとする。最初の持ち点は 点とし、く･じを引いてはもどすという試行をを･が以上の整数とする。となる確率を確率なので、･…･･･… ･とする。

を求めよ。
を求めよ。ただし、から、･回繰り返す。

回の試行が終了した時点の持ち点を自然対数の底とするとき、であることを用いてもよい。と定める。値･が最大となるようなの値を求めよ。

ここで両辺に･をかけ、 倍角の公式を順に当てはめて確率との融合問題は、漸化式をつくるパターンと、つくらずに求めるパターンがある。北海道大学の問題は漸化式をつくらずに一般項をつくり、極限を利用して回のうちではの最大値を求める。

回あたりを引けばいいのでとなり、分母分子をで割れば極限を求めることができる。のとき●類題＜年電気通信大学 前期日程＞
から までの目が等しい確率で出るさいころがある。数直線上のときの点 に対して、このさいころを投げるたびに、次の操作を行うものとする。の目が出たときは、点 を正の方向へ 動かす。の目が出たときは、点 を正の方向へ動 かす。の目が出たときには、点 は動かさない。
以下の、の問いに答えよ。なおはすべての整数の倍数である。
点 が原点 にある状態から、さいころを投げて上の操作を行うことを 回繰り返した後の点･･の座標が の倍数である確率を･… ････…

･を求めよ。

ⅱをとする。

を用いて表せ。さらにをの式で表せ。

点 が原点 にある状態から、さいころを投げて上の操作を行うことを 回繰り返した後の点 の座標が の倍数である…･･ⅰ･…

確率 をとする。

ⅰを求めよ。

ⅱ
ⅲ…･をを用いて表せ。

を求めよ。さらに極限を求めよ。

電気通信大学の問題は、確率漸化式の融合問題である。

よって、････…･････…･〇はさみうちの定理を利用＜年信州大学 前期日程＞
次の問いに答えなさい。
において、次の不等式が成り立つことを示しなさい。
なので…のとき最大値。

よって次の極限を求めなさい。
●類題＜年奈良女子大学
ををは定番の確率漸化式で、 は隣接していない 項間漸化式なのでが奇数のときと偶数で場合分けして求めればよい。

前期日程＞

以上の整数とする。
回目から順につのさいころを…

がちょうど になる確率をる、以下の問いに答えよ。

回投げ、出た目とする。それらの積，以下になる確率を自然数に対して、…

…とす…

を求めよ。
とおく。極限を求めよ。
を求めよ。

を求めなさい。

は奈良女子大学の問題も漸化式をつくらず一般項をつくり極限を求める。

とおき、との増減を調べれば証明することができる。

は区分求積法を利用する。
、･なので、高知大学の問題もはさみうちの定理で求めることができる。 の誘導からどの数式ではさみうちの定理を用いればよいか考えやすい。
●類題
ここで、とおけば、求めることができる。

＜年大阪市立大学

前期日程＞

を自然数とする。

を満たす数列に対してよってとおく。実数に対して、…

なので、両辺の対数をとると、と定めるとき、次の問いに答えよ。とする。となる。の不等式においてに対して不等式が成り立つことを示せ。とすると、不等式を示せ。
が成り立つとき、なので、となることを示せ。
大阪市立大学の問題もからどの数式ではさみうちの定理を用いればよいかが誘導されている。
…①●類題が成り立つ。

＜年東京大学 前期日程＞
以下の問いに答えよ。

ここでを以上の整数とする。

についての方程式なので、はただしたがって、よりつの実数解で定まるをもつことを示せ。

に対し，で定まる数列であるからのとき①の左辺も右辺もを示せ。
…

… に対し，に収束する。よ，ってはさみうちの定理からを求めよ。
東京大学の問題もよっての理を用いる。その●類題

正の整数に対して、に対して、であることであることを示せ。
以上の整数の結果を用いて、の極限を求める。

〇不等式を繰り返し用いてはさみうちの定理＜年神戸大学 前期日程＞＜年高知大学 前期日程＞
次の問いに答えよ。
を満たす実数を示せ。の極限を求めるときにはさみうちの定を以上の整数とする。また、とおく。以下の問いに答えよ。
において、関数フの概形をかけ。

に対して、数列が… を満たすとき、を示せ。
であることを示せ。の数列を求めよ。の増減と漸近線を調べてグラに対し、を示せ。また、を求めよ。

は導関数を求め、増減表をかいてグラフをかけばよい。
なので、場合分けも必要ない。
数学的帰納法を用いて証明する。そのとき、の最小値はの結果からであることを利用する。とは、数学 の漸化式を十分な演習をこなしていなければいけないことである。極限を求めるのはおまけで、漸化式から一般項を求めることができるかが問われている問題が多い。様々な形式の漸化式が出題されているがⅰである。

ⅱのとき成り立つと仮定すると、である。のとき、となり成り立つ。
よって示せた。
であるので、の分数式のタイプの出題が多かった。誘導に上手に乗ることができれば極限を求めることができるであろう。
次に重要なのはやはり「はさみうちの定理」である。こちらも多くの出題形式があった。はさみうちの定理を用いるべき不等式が小問の中で誘導されている問題も多くあるが、誘導が少ない場合でも気づけるように標準的な入試問題の演習を繰り返す必要がある。また、関数と絡ませている場合は「平均値の定理」も意識を示せばよい。

しながら問題にあたるとよい。
数学科の教員にとって数学Ⅲの授業を担当できる機会はとても貴重である。高校数学の集大成ともいえる数学Ⅲを担当したときに、生徒に正しい知識と数学的な考え方を身に付けさせることが平均値の定理より、を満たす実数３ おわりに今回の数列の極限についての研究を通してまず最初に感じたこが存在する。

できるように今後も研究を重ねていきたい。
ここで、･４であり、参考文献
年受験用全国大学入試問題正解国公立大学編（旺文社）が成り立つ。

（旺文社）

これを繰り返し用いて…
なのでであるから、
すなわち●類題＜年名古屋工業大学

関数

前期日程＞

に対して、数列を次で定義する。
…

方程式の解を とおく。次の問いに答えよ。

自然数に対して、自然数に対して、が成り立つことを示せ。
が成り立つことを示せ。
数列が収束することを示し、名古屋工業大学の問題も年受験用全国大学入試問題正解国公立大学編を求めよ。

から不等式を繰り返し変形することで、はさみうちの定理を用いる数式を求めることができる。