課題学習の指導法の研究－２次関数－
愛媛県立川之江高等学校

井上真一

はじめにく、数学的活動を一層重視することが大切である。例

数学及び理科については、平成24年度入学生から新学

えば、課題を理解する、結果を予想する、解決の方向習指導要領による指導が実施される。教育内容の改善事を構想する、解決する、解決の過程を振り返ってより項として、理数教育を充実させるため、知識・技能を活よい解決を考えたり、更に課題を発展させたりする、用する学習や探究する学習を重視し、課題学習が導入さという一連の過程に沿って、必要な場面で適切な指導れている。そのことを踏まえ、来年度の準備が少しでもを工夫するとともに、適宜自分の考えを発表したり議できればと思い、本主題を設定した。本校の第１学年は論したりするなどの活動を取り入れるよう配慮する。

８クラスあり、習熟度別クラス編成をしている。習熟度

また、課題については、日頃から生徒が関心をもちの高い方から順にⅠ型が１クラス、Ⅱ型が２クラス、Ⅲそうな話題や生徒に育てたい能力とその能力を育てる型が５クラスある。今年はⅢ型の１クラスを授業で担当ために相応しい話題などを考えておくこと、生徒の疑することになった。研究する内容については、２次関数問を課題として取り上げたり、生徒の疑問を課題としを扱うことにした。て設定させたりすることなどが大切である。

１

２

研究の目標
(1) 数学Ⅰの課題学習について調べる。
(2)

学習のテーマを２次関数として課題学習を実践し、生活と関連付けたり発展させたりする。

課題学習の例
身近な事象を二次関数を用いて考察し、数学のよさを認識する。
身近な事象として、文化祭で模擬店を開設して食品を販売し利益を寄付するためにその利益を最大にすること

３

数学Ⅰの課題学習
数学Ⅰの内容を取り上げる。
例えば、食品の値段を上げると売れる食品の数は一定(1)数と式の割合で減少すると仮定して、純利益と食品の値段の関(2)図形と計量係を二次関数で表し、純利益が最大になるように食品の(3)二次関数値段と売れる数を決定する活動が考えられる。特に、食(4)

データの分析

品の値段と売れる食品の数との関係をどのように仮定す〔課題学習〕

るのがよいかを生徒に工夫させるようにする。

(1)、(2)、(3)及び(4)の内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生活と関連付けたり発展させたりするなどして、生徒の関心や意欲を高める課題を設け、生徒の主体的な学習を促し、数学のよさを認識できるようにする。

(ｱ)『数学Ⅰ』（数研出版）「２次関数がもつ性質」

学習のテーマ：２次関数
２つの量x，yについていくつかの値の組が与えられたとき、yがxの２次関数になっていることを調べ[内容の取扱い]
課題学習については、それぞれの内容との関連を踏ることにしよう。
課題10 右の表は、ある２つの量x，yがとる値であまえ、学習効果を高めるよう適切な時期や場面に実施る。

するとともに、実施に当たっては数学的活動を一層重yがxの２次関数になっているかどうかを調べてみる。
(1) 初めの３つのx，yの値 x 0 1 2 3

視するものとする。

をとるような２次関数を yを求めよう。

課題学習の実施については、内容との関連を踏まえ､適切な時期や場面を考慮することが大切である。必ずしも、それぞれの項目の終りに実施する必要はなく、複数の項目にわたる課題を学習したり、場合によってはより早い時期に課題学習を行いそれ以後の内容ではどのようなことを学習するのかを感じ取らせ、関心や

(2)

4

348

残りのx，yの値がその２次関数を満たすかどうかを調べよう。

課題11 ２次関数 f(x)＝ax2+bx+c について、g(x)＝f(x+1)－f(x)とする。次の値を求めよう。
(2) g(3)－g(2)(3) g(4)－g(3)(1) g(2)－g(1)

意欲をもって学習を進めさせることも可能である。
実施に当たっては､一方的に知識を与えるのではな

課題12 ２次関数がもつ上の性質を利用して、課題

10のx，yについて、yがxの２次関数でないことを絶対値のつく関数 y=｜f(x)｜ のグラフを調べて示そう。

みよう。さらに、グラフを利用して、絶対値を含む1＜まとめの課題＞

次不等式、2次不等式を解いてみよう。

２次関数 y＝ax2+bx+c のグラフが 3 点(0,3), (1,5),

課題３ 関数y=｜x－2｜ について、次のことを確か(2,3)を通るとき、２次の係数 a の値を求めよう。

めよう。
(1) x≧2 のとき配慮されている点

y=x-2 (2) x＜2 のとき y=-x+2

学習事項を発展させて、生徒が数学を探究できる課題としている。様々な運用に対応するため、巻末にまとめ、１テーマに対して複数の課題を設定している。
(ｲ)『高等学校数学Ⅰ』（数研出版）「放物線の性質」

課題４ 次の関数のグラフをかいてみよう。
(1)関数 y=｜x－1｜

学習のテーマ：２次関数(2)関数 y=｜x+2｜

課題５ 次の関数のグラフをかいてみよう。

２次関数のグラフである放物線には、図形的に面(1)関数 y=｜x２－1｜白い性質がある。ここでは、放物線の拡大・縮小に関する性質を調べることにしよう。

(2)関数 y=｜x２－2x｜

課題６ 次の方程式、不等式を解いてみよう。

課題５ 下の図は放物線数y＝x2 で、点Ａの座標は(1)｜x－2｜=2x(1,1)とする。x軸とy軸の目盛りの尺度を次のよう(2) ｜x－2｜＞2x

課題７ たとえば、不等式｜x－2｜＞2xに変えるとき、新しい目盛りでの放物線の方程式の解は、関数 y=｜x－2｜のグラフが直線 y=2x よを求めてみよう。

り上側にある x の値の範囲である。

(1)点Ａの座標が(2,2) (2)点Ａの座標が ⎛⎜ 1 , 1 ⎞⎟
⎝2 2⎠

(1)

下の図の交点Ａの x 座標を求めてみよう。

(2)

グラフを利用して、不等式｜x－2｜＞2x を解いてみよう。

＜まとめの課題２＞
不等式 f(x)＞mx なら、その解は関数 y=f(x)のグラフが直線 y=mx より下側にある x の値の範囲である。
次の不等式を解いてみよう。
(1) ｜x－2｜＜課題６ 課題５において点Ａの座標が(a,a)であると12(2) ｜x－1｜＜1x2

みるとき、新しい座標平面におけるこの放物線は、どのような２次関数のグラフであるかを調べてみよう。
＜まとめの課題２＞
２つの放物線は一方を拡大すると他方が得られるので、すべての放物線は互いに相似である。では、放物線y＝ax2 から放物線y＝bx2 を得るには、どのようにすればよいのだろうか。ただし、a＞b>0 とする。
配慮されている点配慮されている点

様々な運用を考慮して、巻末にまとめて取り上げ、様々な運用を考慮し、巻末にまとめて取り上げ、11 つのテーマに対して複数の課題を設定している。各つのテーマに対して複数の課題を設定している。各テーマの最後には「まとめの課題」をおき、総合的テーマの最後には「まとめの課題」をおき、総合的なレポート課題としても使えるようにしている。既なレポート課題としても使えるようにしている。

習内容を発展させ、数学の内容そのものを深める課題を中心に取り上げている。

４

研究の内容
数学Ⅰの２次関数を学習した後の授業を２時間利用(ｳ)『新編数学Ⅰ』（数研出版）

し、以下の内容について考えさせた。

「絶対値を含む関数と方程式、不等式」(1) 放物線の性質

学習のテーマ：数と式、２次関数(ｱ)

身の回りにある放物線を探す。

＜生徒の意見＞予定の『新編数学Ⅰ』のコラムについて課題学習で扱・投げ上げたボール（物）の軌跡

えないか考えてみた。
コラム：「放物線の不思議」

・水の放水（噴水）の軌跡

衛星放送受信用のアンテナの面は、放物線をその軸・パラボラアンテナ(ｲ)

放物線の性質を利用した活動を中心に 1 回転させてできる面の形をしています。こ鏡の前の適当な位置に籠を置く。物を鏡に向かっのような面には、回転軸に平行に進んできた電波がこて投げ、そのはねかえりで籠に入れるためには、物の面で反射するとき、そのすべてがある１点を通過すをどのように投げればいいかを考えさせた。

るという性質があります。この点は放物線の焦点と呼鏡の向こう側にある籠に向かって、放物線を描く
ように投げれば、下の写真のように入る。

ばれます。このアンテナはパラボラアンテナと呼ばれますが、さて、parabola の意味は……？

図１
図１のように電波も「入射角＝反射角」という反射鏡に当たる所が頂点になるようにすれば、手元に戻ってくる。の法則に従う。また、放物線にぶつかった電波は、ぶつかった座標における接線において反射させられると考えることができる。
これらのことを前提として、y 軸に平行に進入してく(2) 円錐曲線の１つとしての放物線２次曲線は、円錐を切断した切断面に見出すことができるため、「円錐曲線」とも呼ばれている。懐中電る電波は、その x 座標に関係なく焦点を通ることを示す。

灯の光が、円錐の形で広がるという性質を利用して、懐中電灯の灯りを壁面に当てることで、放物線を探させた。

図２
図２のように、放物線を y＝ax2 とする。
これを x について微分すると、 dy = 2axdx

つまり、放物線上の点Ａ（t,at2）における接線 m の傾きは 2at である。
次に、Ａを通り、m と直交する線をℓとおく。

m×ℓ＝－1 なので、ℓの傾きは − 12at

円錐の母線に平行な平面で切断すると放物線が得られ、母線に平行ではない平面で切断すると双曲線が得

よって、ℓ： y = (−られる。双曲線を作り、「何かおかしい、先がちょっと尖っている」と疑問に思う者がいたが、多くの生徒

11…①) x + at 2 +2at2aが双曲線を放物線だと勘違いしていたので、このこと

次に、y 方向から点Ａに向けて入射した電波（直線Ｂを簡単に説明をした。そのときに、円と楕円についてＡ）の反射波（直線ＡＣ）と y 軸との交点を点Ｃ（0,b）

も触れた。とする。このとき、点Ｂと点Ｃを結ぶ直線を n とおくと

(3) 教科書にあるコラムの発展的な内容
授業では実践していないが、来年度本校で使用する

n： y = 2atx + b…②

このとき、直線 n と直線ℓの交点Ｄの x 座標 xd は

５①、②より(1) 成果1−bat +2axd =12at +2at

研究の成果と今後の課題
学習した内容を日常生活に関連付け、関心や意欲が2高まった。また、数学Ⅱで学習する円や数学Ⅲで学習…③する二次曲線に関連付けることができたと思う。
(2) 今後の課題
課題は山積である。今回の実施内容は、意欲や関心∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ、ＢＣ⊥ＡＤであるからＣＤ＝を高めるものであり、自ら課題を見いだし、解決するＢＤである。ゆえにための構想を立て、考察・処理し、その過程を振り返2xd＝t …④って得られた結果の意義を考えたり、それを発展させ③、④よりb=たり等といったことはほとんどできていない。本校で14aは習熟度別クラス編成をしているので、習熟度により扱う内容を変えた方が適切である。また、評価をどう

このことから、 b の値は t の値に影響受けず、常にするのかという問題がある。習熟度の高いクラスであれば課題に対して深く掘り下げていくこともできる一定である。このため、y 軸に平行に進んできた電波はが、そうでなければ多くの課題を設定した方が評価は放物線上のどの点で反射したとしても、必ず点しやすいだろう。しかし、課題学習の主旨を踏まえ、

1 ⎞
⎛
⎜0,⎟
4a ⎠⎝

単なる応用問題の演習に止まることなく、自分の考えを通ることになる。

を発表したり議論したりするなどの活動を積極的に取り入れていきたい。

＜生徒の感想＞《参考文献》・懐中電灯 1 つでいろいろな曲線ができてすごいと思い・『高等学校学習指導要領』（文部科学省）ました。身の回りにはたくさんの放物線があることが・『高等学校学習指導要領解説数学編』（文部科学省）

わかりました。

・大島利雄ほか 13 名『数学Ⅰ』・今までに知らない曲線がたくさんあったので、面白か

数研出版株式会社（平成 23 年検定済）・岡部恒治ほか 17 名『高等学校数学Ⅰ』った。
・放物線以外にもいろいろな曲線があって驚きました。

数研出版株式会社（平成 23 年検定済）・大矢雅則ほか 17 名『新編数学Ⅰ』

またやりたいです。
・いろいろな所で放物線を使っていることがわかった。
・２次関数が嫌いだったので、今日の授業は難しいのかと思っていたら、案外すぐに分かったので楽しかったです。
・懐中電灯を使って放物線などの曲線が作れることに感動しました。日常にいろいろな曲線があることが分かりました。
・曲線に興味がわいてきました。
・身の回りにたくさんの数理曲線があることが分かった
のでよかったです。これからは身の回りにある数理曲線を注意して探してみたいと思う。
・懐中電灯の角度を変えるだけで、円になったり放物線になったりするのが面白い。
＜自己評価＞授業に興味や関心を持って取り組めたか。
よきできた

17 人

できた

12 人

どちらともいえない

4人

あまりできていない

0人

できていない0人

数研出版株式会社（平成 23 年検定済）・佐藤雅彦『日常にひそむ数理曲線』株式会社小学館