国公立大学の入試問題の研究－ 複素数平面を扱う入試問題の研究 －愛媛県立宇和島南中等教育学校 黒田 利信
１ はじめに
私は現在，高校 年生理系クラスの担任をしており，もうすぐ数学Ⅲを指導する予定である。数学Ⅲであれば，計算量が比較的多い微分法や積分法の演習に多くの時間を要する。そのため，数学Ⅲの中でも複素数平面は，授業の中で簡単に終わらせてしまう分野の一つである。その理由として，教科書のページ数が少なく，複雑な計算も少ないことが挙げられる。また，私は教師になってから，複素数平面を指導した経験が数回しかないため，正直なところ，あまり得意ではない。さらに，各大学の最近の入試傾向や問題の難易度をあまり把握できていない。しかし，それらの理由で，指導や演習が不十分になり，生徒が受験で不利益を被ることは避けなければならない。
以上のことから，自分自身も複素数平面についての理解を深め，各大学の出題傾向や難易度を把握することで，受験を見据えた指導ができるようにしたいと思い，今回の研究を行った。

年

東北大学

実数 に対して複素数絶対値を求めよ。

実数 がの範囲を動くとき，点図形を動くか，複素数平面上に図示せよ。

分母の実数化をすると実部はで表す。複素数平面上で，次の等式を満たす点す図形を とする。

，虚部はとおくと，の全体が表複素数 に対して，，とする。
， ， が表す複素数平面上の点をそれぞれ ， ， とする。点 は 上を動くとする。の面積が最大となる
複素数 ，およびそのときのの外接円の中心と半径を求めよ。

…②①②より 点が描く図形は中心半径直線 上の点せ。

は常に，からから，＝よって，とは実軸上にあり，点 から実軸に下ろした垂線の足を… ① が得られる。
が交点をもつとすると，･が実数でない，つまり，が実数でないのとき，面積最大。と同様にして，このとき，ゆえに，中心を満たすことを示

略解と表せる。

，に関して，が実数でないことが， と が交点をもつための必要十分条件であることを示せ。また， と が交点をもつとき，交点を ， を用いて表せ。

，半径 の円である。
（図形の図示は省略）

上にあるので，このとき，の円のうち

年 東北大学 後期日程
複素数平面上の原点を通らない異なる 直線 ，原点と対称な点をそれぞれ ， とする。

与えられた等式を変形すると，は円より，より，略解は，中心が…①不等式が表す領域にある部分である。

以下の問いに答えよ。
図形 を複素数平面上に描け。

点より，より，年 筑波大学 前期日程
は虚数単位とする。複素数 に対して，その共役な複素数をはどのような略解

図形の方程式や三角形の角度などを扱う問題

よって，図形を考える。ただし， は虚数単位とする。の実部と虚部をそれぞれ を用いて表せ。

２ 大学入試問題の研究
Ⅰ前期日程＝となり，，半径が外接円の直径となる。

①②から※…②を消去すれば，交点を得る。

が実数でない場合を考えているため，より，であることを用いている。Ⅱ
年
実数

金沢大学と複素数

ただし，年 熊本大学 前期日程
， を複素数とし，複素数平面上の点に対して，とする。また， を虚数単位とする。次の問いに答えよ。とする。
に対する の値を ，に対するの値を ，に対する とする。複素数平面上の 点，，を頂点とするについて，の大きさを求めよ。とする。点 が複素数平面の原点 を中心とする
半径原点を中心とする回転と拡大 縮小を含んだ問題

前期日程の描く図形を とする。 が半径含まれるときのの面積は，の値をすべて求めよ。とするをで定める。のとき， 点，略解とすると，を について解いてが得られるので，点点を中心とする半径を変形するとの描く図形は，，より，辺は，それぞれ辺を原点を中心に回転させて，倍したものである。
よって， △△であり，の円である。
相似比は，であり，点であるから，が虚軸上を動くので，であるからこれを変形すると，点が半径とおくと，より，がよりを得る。の円周上にあることから，

年 大阪府立大学
複素数平面上に三角形

中期日程があり， 点，，をみたすとする。ただし，，…

とおくと，とおき， 増減表を書くと，は虚数単位とする。このとき，以下の問いに答えよ。の大きさを求めよ。
を求めよ。

…

…

＋－の大きさを求めよ。
この問題の計算の過程は記入しなくてよい。
よって，最大値

略解
より，余弦定理を回使うと，が得られるので，＝，の面積の最大値と最小値を求めよ。

略解より，，で与えられることを示せ。

実数 ， に対し，複素数の円の周にのとき，，を求めよ。の円の周上を動くとき，点 の描く図形を求めよ。とする。複素数平面において，点 が虚軸上を動くとき，点，，を考える。 点は三角形をなすとする。
また，複素数 に対し，によって の虚部を表すことにする。以下の問いに答えよ。の面積を ，の面積をとするとき，最小値のとき ，のときを頂点Ⅲ
年

千葉大学

数列を中心的に扱う問題

前期日程

複素数平面上で複素数 ，，を表す点をそれぞれ， ， とする。正の整数 に対して，点は線分の中点とし，点は直線対側にあり，三角形に関して点が三角形るものとする。点と相似にな， ， ，… が表す複素数をする。
複素数を求めよ。

複素数を求めよ。の反と

年 愛媛大学 前期日程
以下の問いに答えよ。ただし， でない複素数に対して，と定める。
をかつを満たす複素数とする。このとき，次の式が成り立つことを証明せよ。
…

正の整数

…

つの数列に対して，複素数がおよびの実部と虚部をそれぞれ…

求めよ。
解答

によって定められている。また， を虚数単位とし，より，△ⅰⅱ 数列と△の相似比は，であるから，とおく。

… を満たす複素数を求めよ。の一般項を求めよ。

ⅲの実部を求めよ。

ⅳを求めよ。

である。
とおくと，略解等比数列の和の公式の証明であるため省略
ⅰ…
よって，ⅱ
ここで，と ⅰ から，より，より，

よって，…

ここで，ゆえに，実部は虚部はⅲ

より，この実部は，ⅳとおくと，より，より，

…

年 名古屋工業大学 後期日程
以上の整数 に対して複素数 ， を次で定める。のとき，より，，ただし，とする。また，複素数をまた，， ， ，… により定める。

より，はさみうちの原理より，であるから，を計算せよ。のとき，をのとき，Ⅳで表せ。

をの実部を求めよ。の虚部をとする。

確率と数列との融合問題で表せ。

年 大阪大学 前期日程
個のさいころを 回投げて， 回目に出た目が の場合は，出た目が である場合は，その他の目が出たを求めよ。

場合は解答とする。

から，より，とおき，までの積を…

，･，，…，がいずれも実数でない確率を求めよ。

が実数となる確率をより，より，極限であるから，で表す。ただし， は虚数単位とする。以下の問いに答えよ。
が実数でない確率を求めよ。とする。

をを用いて表し，を求めよ。

解答となる確率はそれぞれである。

･のときのをとおくと，のとき，･のとき，･とおくと，はこの点のいずれかを表す複素数となる。

が実数でないとき，が表す点の組は，の通りであるから，求める確率は，より，…

条件を満たすのは，…

点か点，が点を表す場合と，，…，が点か点を表し，が点，，…，を表し，を表す場合である。

よって，求める確率は，よって，…

これを変形して，より，数列…

は，初項の等比数列である。
…
…

よって，また，より，，公比がⅤ

代数方程式の解を扱う問題△ⅰ年 三重大学 前期日程を複素数とする。以下の問いに答えよ。
がを示せ。

が正三角形となるとき，またはのとき解と係数の関係よりを満たすとき，ここで，とし，を満たす， ， ， とおく。
このときと， ， ，の実部は，で， でないものをより，をを用いて表せ。

はで与えられたものとする。のとき，とⅱを求めよ。のとき解と係数の関係より

略解
ここで，の実部は，よって，より，とおくと，， ， ，は方程式の解である。

よって，の係数から，定数項から，が得られる。

ⅰ ⅱ より，年 京都大学 前期日程
， は実数で，とする。 に関する方程式……
つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺のは年

名古屋市立大学

長さが， と中期日程

を実数とする。 の次方程式とが，ともに実数解をもたないとき，それぞれの解をととする。ただし， の虚部は正とする。
複素数平面上での表す点をそれぞれとするとき，次の問いに答えよ。ただし， は複素数平面上の原点とする。
三角形が正三角形となるための条件をで表せ。
三角形が正三角形となるとき，の値をで表せ。
解答

条件より，が実数解をは実軸に関して対称であるから，…②…③とすると，の重心を表す複素数は，①より，の半径ゆえに，③より，… ②①②より，求める条件は，とおくと，は，正三角形の重心と外心は一致し，よって，が正三角形となるとき，実数解をもたないので，個もつので，…①また，△から個，虚数解をそれらをとおく。ただし， は実数であり，の虚部は正とする。解と係数の関係より，… ①の虚部が正より，△解答△実数解をもたないので，の正三角形の頂点となっているとする。このとき，の つの解を求めよ。

は実数であるから，②より，… ③
また，のつ解は，より，より，である。

Ⅵ

３ まとめ
今回の研究を通して，複素数平面では，計算や図形に関する基本的な問題から，数列や確率などの分野との融合問題まで，幅広いレベルの問題が出題されていることが分かった。それほど複雑

整数の性質との融合問題
年を大阪市立大学

後期日程以上の自然数とし，とおく。

ただし， は虚数単位とする。次の問いに答えよ。
， を整数とする。
が の倍数であることは，となるための必要十分条件であることを示せ。と互いに素な自然数とする。このとき，複素数を，， ，……，はすべて異なることを示せ。
を自然数とする。複素数 ， ， ，……，がすべて異なるとき， と は互いに素であることを示せ。
解答「がの倍数が」を示す。の倍数であるとき，（は整数）と表せるので，より，･のとき，より，な計算はなかったが，ド モアブルの定理を中心とした複素数の扱い方や，熊本大学や千葉大学などの入試問題に見られるように，原点を中心とする回転と拡大 縮小などの図形的な考察に慣れておく必要があると感じた。
また，数列をはじめ，他の分野との融合問題も多く見られたた
め，演習することで様々な分野の知識や理解を深めることもできることが分かった。例えば，名古屋工業大学の問題では，三角関数の半角や２倍角の公式，数列の極限など，様々な基本的な知識が必要となる。また，名古屋市立大学や京都大学で出題された，正三角形であるための条件を求める問題でも，方程式の虚数解を扱い，解と係数の関係などを用いる必要がある。
さらに，大阪大学の問題では，複素数の性質をうまく利用して，問題を解く力が試されていると思われる。原点中心の半径 の円に内接する正六角形の各頂点で考えるという設定ができるかどうかで，簡潔な答案が作成できるか決まる。これらの問題に対応するためには，十分な演習量を確保し，複素数の扱いに慣れておく必要がある。逆に言えば，演習量を確保して対策することで，ライバルとの差を広げることのできる可能性があるということである。今回は，年度入試問題のみを研究したため，複素数平面の問題を例年出題する大学などの分析はできていない。今後も研究を続け，例年複素数平面が出題されている大学を受験する生徒
に関しては，演習量の確保のため，個別での対応も考えていきた
い。

よって，

（ゆえに，は整数）

より，はの倍数である。

背理法を用いて証明する。とが互いに素な自然数であるとき，を満たす仮定すると，とより，は互いに素より，一方，ないので矛盾。
ゆえに， とはより，は自然数）と表せる。の倍数である。
がの倍数となることはが互いに素な自然数であるとき，複素数， ， ，……，
背理法を用いて証明する。

はすべて異なる。

複素数， ， ，……，がすべて異なるとき，と が互いに素でないと仮定すると，以上の自然数を用いて，（は自然数）と表せる。

より，であるから，かつ存在する。

を満たすつの自然数がこのとき，ゆえに，がの倍数になるので，より，が成り立つが，これは，複素数，，，……，

よって，複素数，がすべて異なることに矛盾する。
，と は互いに素である。

，……，

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が存在すると（４ 参考文献がすべて異なるとき，