エミッションの統計的評価

エミッションの統計的評価
株式会社 e・オータマ 佐藤智典

2023 年 12 月 10 日

目次

り正確な説明は CISPR/TR 16-4-3[1] や統計に関す

1

概要

1

2

非心 t 分布に基づく試験
2.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123二項分布に基づく試験
3.1 背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

補足
4.1 単一のサンプルでの試験 . . . . . . . . . . . .
4.2 量産抜き取り検査 . . . . . . . . . . . . . . .

555

参考資料

65る書籍†2 などを参照されたい。

2

非心 t 分布に基づく試験非心 t 分布に基づく試験では、量産品から抜き取られた複数のサンプルでの測定を行なって得た測定結果の平均値 x̄ と不偏標準偏差 Sn 、またサンプルの個数によって決まる係数 k とから、量産品のエミッション限度 L への適合性を1x̄ + kSn ≤ L

概要によって判断する。

量産される製品のエミッション規格への適合性の抜き取りでの評価に関して、量産品の 80 % 以上がこの評価は周波数毎に行なうが、単純に同じ周波適合していることを 80 % 以上の信頼度で確認す数のデータを比較したのではエミッションが高い周る、いわゆる 80 % / 80 % ルールに言及されるこ

波数が僅かにずれただけで Sn が非常に大きく、まとがある。

た x̄ が低く出てしまうことが予期される。このた

このための統計的な評価の方法として、

CISPR/TR 16-4-3[1]め、この評価では測定周波数範囲を周波数サブバン

ではドに分割し、サンプルのそれぞれの個体毎にそれぞれのサブバンド内の最大値を測定し (これを xi と• 非心 t 分布に基づく試験する; 図 1)、その測定結果に基づいてサンプル全体• 二項分布に基づく試験のそれぞれのサブバンドの x̄ と Sn を算出する方法が用いられる。†3†4• 追加の許容限界に基づく試験

この評価は次のような手順で行なうことができる:の 3 つの手法が示されている。

1. 規格で定められた範囲内でサンプル数 n を決

本稿では、非心 t 分布に基づく試験、及び二項分定する;

布に基づく試験について、その原理の簡単な説明を

2. 量産品から無作為に抜き取られた n 個のサンプルについて測定を行なう;含めて述べる。
実際に統計的な評価の実施を考える場合は該当する規格を参照されたい。†1 また、より詳細、かつよ†2 本稿での説明や表現は統計学的に不正確な部分もあるだろうことを承知いただきたい。
†3 だが、このようにした場合も、高いレベルのエミッションが周波数サブバンドの境界付近にある場合はそれがどちらのサブバンドに入るかがサンプルによって異なり、これが結果に大きな影響を与えるかも知れない。
†4 測定に際しては、その範囲内に顕著なエミッションがあるかどうかに関わらず、全ての周波数サブバンドのエミッション・レベルの記録が必要となる。

†1 統計的評価の適用性、また具体的な方法は規格によって異なる。例えば CISPR 12:2007 は統計的評価としては非心 t 分
布に基づく試験のみに言及しており、またその方法での評価に関しての限度の適用、周波数サブバンドなどについて追加の規定を定めている。

1

エミッションの統計的評価

22.93, 25.31 dBµV/m だった場合、平均値 x̄ =25.26 dBµV/m、不偏標準偏差 Sn = 1.96 dB で、また規格の表 (表 1) から k = 1.42 であるので、Ѕ‫܆‬अx̄ + kSn = 28.05 dBµV/m となる (図 2)。
この場合、エミッション限度 L = 28 dBµV/mであるとすれば x̄ + kSn ≰ L であるので不適合、
L = 30 dBµV/m であるとすれば x̄ + kSn ≤ L でXav

(3) Xav + k Snあるので適合と判定できる。

図 1: 周波数サブバンドへの分割(2)

3. 周波数サブバンド毎に、それぞれのサンプルで( 

測定された最大のエミッション・レベル xi から測定結果の平均値 x̄ と不偏標準偏差 Sn をSn求める:(1) ( ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ ÿÿÿ ÿ1∑xi
n i=1nx̄ =vuu
Sn = tÿ

n1 ∑2(xi − x̄)n − 1 i=1

図 2: 非心 t 分布に基づく試験のイメージ

4. Sn に乗じるべき係数 k をサンプル数 n から2.1決定する (表 1);

背景

非心 t 分布に基づく試験は量産品から抜き取られ5. それぞれのサブバンドについて該当する限度 L

た複数のサンプルで得られた測定結果から量産品のへの適合性を、測定結果の分布 (正規分布と仮定される) を推定しx̄ + kSn ≤ Lて評価を行なうものである。となるかどうかから判断し、全てのサブバンドこの中で現れる係数 k は抜き取られたサンプルでこの条件が満たされれば量産品を適合と、さから得られた不偏標準偏差 Sn に乗じるべき係数でもなくば不適合と判定する;あり、これはサンプルから得られた x̄ や Sn に基づいて母集団の適合性を 80% 以上の信頼度で判断で6. その判定を受け入れ難い場合、量産品から適切きるようにするために必要となる。†6な個数のサンプルを追加で抜き取って同様に測係数 k は非心 t 分布に基づいて求められ、その値定を行ない、それを加えたサンプル全体につい†5はサンプル数 n の増加に伴って低下する。て同様に評価を行なう。

表 2に、いくつかの n についてこの k の値を計算した結果を示す。ここで、例

ν は自由度であり、ν = n − 1 である。

例えば、ある周波数サブバンドでの n = 6 での測定結果がそれぞれ 25.03, 23.78, 28.61, 25.92,†6 母集団が正規分布に従うと仮定されるが、サンプルから求†5 例えば最初に n = 6 で評価を行なった場合、サンプル 6 個められた x̄ や Sn は母集団の平均値や不偏標準偏差に対してばらつきを持つ。特にサンプル数 n が小さい時はそのばらつきも大きくなり、その値をそのまま用いた場合、x̄ や Sn が低く出た時は本来は適合と判定すべきでない母集団を適合と判定してしまう可能性も高まる。係数 k はそのばらつきの程度を反映したもので、それを Sn に乗じることで誤って適合と判定する可能性を下げ、所望の信頼度を確保する。

を追加して n = 12 での評価を行なう。ここでは詳細は示さな
いが、サンプル数が大きくなれば母集団の適合/不適合をより確実に判断できるようになり、誤って不適合と判断する確率も低下するだろう。なお、このような場合に、例えば最初の 6 台のサンプルのデータを捨てて新たに抜き取った 6 台のみで評価をやり直すような方法を用いてはならない。

2エミッションの統計的評価

n3456789101112k2.041.691.521.421.351.301.271.241.211.20

表 1: 非心 t 分布に基づく試験の係数 k (CISPR/TR 16-4-3 より)

λ は非心度で、このケースでは、正規分布の下サンプル数
n3456789101112131415161718192030
405060708090100

側累積確率が 0.8 となる点が 0.84162. . . である√ことから、λ = 0.84162 n とした。
√n·k は、自由度 ν 、非心度 λ の非心 t 分布の下側累積確率が 0.8 となる、すなわち Pr {t′ (ν; λ) ≤√n · k} = 0.8 となる点である (図 4)。
µx = 0.8416...
x=µ−σ

x=µ+σ

80 %

−3−2−10123x

図 3: 正規分布

自由度
ν234
56
78
9
10111213
14
15
16
17
18
19
29
3949
59
69
79
89
99

非心度
λ1.458
1.683
1.882
2.062
2.227
2.380
2.525
2.661
2.791
2.915
3.034
3.149
3.260
3.366
3.470
3.571
3.669
3.764
4.610
5.323
5.951
6.519
7.042
7.528
7.984
8.416

80 % ポイント
√n·k
3.492
3.350
3.385
3.472
3.576
3.687
3.799
3.911
4.020
4.128
4.233
4.335
4.435
4.533
4.629
4.722
4.814
4.903
5.711
6.404
7.019
7.578
8.093
8.574
9.026
9.454

係数
k2.016
1.675
1.514
1.417
1.352
1.304
1.266
1.237
1.212
1.192
1.174
1.159
1.145
1.133
1.123
1.113
1.104
1.096
1.043
1.012
0.993
0.978
0.967
0.959
0.951
0.945

表 2: 非心 t 分布に基づく試験に関するパラメータ(算出方法の違いのため表 1とは 3 桁目からずれがある)

x = 3.68706...

この方法では、試験されたサンプルのうちで不適合となったものの数がサンプル数に応じて決まる数

P = 0.8(表 3) 以下であれば量産品を適合と判定する。
この評価は次のような手順で行なうことができる:

1. 規格で定められた範囲内でサンプル数 n を決定する;†7−2 −10123456789 x

2. 量産品から無作為に抜き取られた n 個のサン(サンプル数 n = 8、自由度√ ν = n − 1 = 7, 非心度
λ = 0.84162 n = 2.38046)

プルについて測定を行ない、それぞれのサンプ

図 4: 非心 t 分布と 80 % ポイント

ルの適合/不適合を規格に従って判定する;

3. 不適合となったサンプルの数がサンプル数 n に

3†7 1 台での試験で不適合となった後で統計的評価を試みようとする場合はその不適合の結果も含めるべきである。このため、6 台を追加した 7 台での評価としたのでは不適合となることが既に確定しているので、少なくとも 13 台を追加して 14 台での評価とすることが必要となるだろう。 だが、14 台での評価の場合も追加した 13 台の中の 1 台が不適合となっただけで不適合が確定するので、最初の 1 台での不適合が非常に稀な偶発的なものであった場合を除き、その評価でも不適合となる可能性が高そうに思われる。

二項分布に基づく試験
二項分布に基づく試験は、量産品から抜き取られた複数のサンプルの試験を行ない、その適合/不適合の結果のみに基づいて量産品の 80 % 以上が適合するかどうかを推定するものである。

3

エミッションの統計的評価

n=3n=622242628303222n = 1224262830322426283032n = 24222426283032

22× は x̄、エラーバーは x̄ ± Sn の範囲、赤線は x̄ + kSn• n = 3, 6, 12, 24 としてそれぞれ 20 回の試行 (独立して行なわれたサンプリングを代表する) を行なった結果で、サンプル数 nを大きくすれば結果のばらつきは小さくなることがわかる。
• 30 がエミッション限度だとした場合、n = 6 でも時々不適合の判定となっている。

図 5: 非心 t 分布に基づく試験における抜き取りの影響のシミュレーション

応じて定まる個数 c 以下であれば量産品を適3.1合と、さもなくば不適合と判定する (表 3);

n714202632c01234背景

量産品の一部がエミッション要求に不適合となる(エミッション限度を超える) 可能性があるとしても、80 % / 80 % ルールを適用する場合はエミッション限度を超える製品の割合が 20 % 未満であればその表 3: 二項分布に基づく試験でエミッション限度の超過が許容されるサンプル数 c (CISPR/TR 16-4-3 より)

量産品は全体として適合とみなすことができる。
そのような量産品から無作為に抜き取ったサンプルがエミッション試験で不適合となる割合は、量産4. その判定を受け入れ難い場合、量産品から適切な個数のサンプルを追加で抜き取って同様に測品中の不適合品の割合を反映するものの、抜き取り定を行ない、それを加えたサンプル全体についに伴うばらつきを生じるため、そのような抜き取りて同様に評価を行なう。†5での検査から母集団となる量産品中の不適合品の割合 (このケースでは 80 % 以上が適合すると言えるかどうか) を判断しようとする場合にはその影響の考慮が必要となる。
母集団となる量産品のうちの不適合品の割合 (こ4エミッションの統計的評価

れは無作為に抜き取られた特定のサンプルが不適合1となる確率となる) を p とすると、量産された製品

n=7n = 14n = 20n = 26n = 320.8

から無作為に抜き取られた n 個のサンプルのうちの k 個が不適合となる確率は、0.6
ÿkn Ck p(1 − p)n−kÿÿÿ0.4となる。†80.2例えば不適合の割合 p = 0.2 (適合品の割合 q =1 − p = 0.8)、サンプル数 n = 14 の場合、不適合

001234となるサンプルの個数 k は図 6に示すような確率分

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14ÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿ

図 7: 二項分布の累積確率 (サンプル数 n = 7, 14, · · · , 32)

布に従うことが予期される。
図 6の累積確率を見ると k = 1 で 0.2 を横切っている。従って、80 % 以上が適合する量産品についてサンプル数 n = 14 での抜き取り検査を行なった
場合は不適合となるサンプルの個数 k は 80 % 以上の確率で k ≤ 1 となることが予期され、これから

4

補足

4.1

単一のサンプルでの試験

ほとんどの場合、型式試験として単一のサンプル

サンプル数 n = 14 での抜き取り検査でサンプル中のみに対する試験を行なう (統計的評価を適用しなの不適合の数 k ≤ 1 であった場合は 80 % / 80 %い) ことが許容されており、実際の製品に対する試ルールに基づいて量産品が適合していると判断でき験もその形で行なわれることが多い。

そうである。
サンプル数 n = 7, 14, · · · , 32 に対するこの累積だが、単一のサンプルでの試験では製品の個体に確率のカーブを図 7 に示すが、そのカーブが累積確よるばらつきの情報は全く得られず、またそのサン率 0.2 を横切るポイントは表 3で示した c と一致しプルがばらつきの中でどのような位置にあるものかている。

も不明であるので、一般にそのサンプル個体が適合していたという理由だけで他の個体も適合しているÿÿÿÿ1と考えることは安全とは言い難い。
例えばサンプルされた個体が図 5で見られるよう0.8なばらつきの下端に近いもので、量産品の大部分のエミッションのレベルはそれよりも有意に高いかも0.6知れない。このような場合、そのサンプルでの測定
ÿÿ0.4

結果が限度に近い場合、量産品の大部分が限度を超える (そして、ばらつきが大きい場合には量産品の相0.2当の割合が限度を大幅に超える) ことが予期される。
0012345 6 7 8 9 10 11 12 13 14ÿÿÿÿÿÿÿÿ
ÿ

図 6: 二項分布 (不適合の確率 p = 0.2、サンプル数 n = 14に対する、不適合が k 回出る確率、及び不適合が k 回以下となる累積確率)

このような試験はあくまでもその特定のサンプルの特定の状況での結果を示すだけであり、量産品の適合性をどのようにして担保するかは製造業者の責任となるであろう。

4.2

量産抜き取り検査

CISPR/TR 16-4-3:2004[1] は、型式試験を単一のサンプルで行なった場合について、生産品からランダムに抜き取られたアイテムに対する引き続いての†8

a Cb はコンビネーション (組み合わせの数) で、a Cb =試験が必要である旨の記載を含む。

a!/(b! · (a − b)!)5エミッションの統計的評価

また、例えば CISPR 14-1:2016 は、型式試験を単一のサンプルで行なった場合は特に生産品からランダムに抜き取られたアイテムに対する引き続いての試験が必要である旨の記載を、その対象を型式試
験を単一のサンプルで行なった場合に限定しない形で含む。
型式試験を単一のサンプルで行なうことが許容されるとしても、§4.1で触れたように、その形の試験は量産品のエミッションに関する情報をあまり与えない。
統計的評価を行なった場合は量産品でのばらつきの情報もある程度は得られるだろうが、これはその抜き取りの対象となった範囲 (おそらくは単一のロット) に限られ、いずれにしてもその試験ではそれ以降の生産で生じるかも知れない変動についての情報を得ることはできない。
型式試験をどのように行なったかに関わらず、また該当する規格が量産抜き取り検査の要求を含むかどうかに関わらず、適当な頻度での量産抜き取り検査を実施してその結果の分析や利用を適切に行なうことは量産品の適合性の担保 (適合性の維持) のための非常に有用な手段となるかも知れない。

5

参考資料

[1] CISPR/TR 16-4-3:2004, Specification for radio
disturbance and immunity measuring apparatus
and methods — Part 4-3: Uncertainties, statistics and limit modelling — Statistical considerations in the determination of EMC complianceof mass-produced products

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