中学校における指導を発展させた指導法の研究②
愛媛県立川之江高等学校
１

はじめに
昨年は１クラスだけ実践であったため十分な研究成果が得られなかった。今年は対象をもう尐し広げ、１年生２クラスと中学生体験入学に参加した生徒 31 名に対して実践することにより研究を深めたいと思い、昨年に引き続いて式の展開について中学校における指導を発展させた指導法の研究をすることとした。

２

研究の目標
(1) １年生に対し、中学校で学習する「式の展開」を発展させ、高校で学習する「式の展開」が中学校の学習目

井上真

内容とつながっていることを模型を使って学習させる。
(2) 中学生体験入学「川高いきいきオープンスクール」
で、中学校で学習する「式の展開」を発展させた内容を高校で学習することを紹介する。
３

研究の内容(1) １年生に対する実践
昨年は数学Ａの二項定理、今年は数学Ⅰの因数分解を学習した後に１時間実践した。
ア 指導案

中学校で学習する「式の展開」を発展させ、高校で学習する「式の展開」が中学校の学習内容とつながってい標 ることを理解させる。
学

習

活

時間
(分)

動

１ 乗法公式導５

指導上の留意事項

評価の方法・規準等

・(a＋b)２の公式は、(x＋a)２の ・乗法公式を理解している(a＋b)２＝a２＋2ab＋b２

公式のxをaに、aをbに置き換か。

を確認する。

えたものであることを確認さ（知識・理解）せる。
・(a＋b)×(a＋b)の正方形の面入積が、a×aの正方形1個、a×bの長方形2個、b×bの正方形1個の面積の和と等しいことを確認させる。

指１３(a＋b) を展開する。

５・公式を正確に覚えていなけれ ・正しく展開できるか。
ば、基本に戻って導かせる。

２(a＋b)２＝a２＋2ab＋b２ が正方形５や長方形の面積で説明できるのであ導れば、(a＋b) ＝a ＋3a b＋3ab ＋b３

展

３２２

ことを理解させる。

きることに気付くことができるか。

は何で説明できるのかを考える。

(数学的な見方・考え方)
１５ ・４色の紙を用意し、a×a×aの ・興味を持って取り組んで型を作る。
過立方体1個、a×a×bの直方体3いるか。

個、a×b×bの直方体3個、b×b（関心・意欲・態度）×bの立方体1個を作らせる。
４ 模型を使って、乗法公式
開程（表現・処理）・立方体や直方体で説明できる ・立方体や直方体で説明で３３ １辺の長さが(a＋b)の立方体の模

５５一・立方体や直方体の個数が各項 ・乗法公式を理解できてい(a＋b)３＝a３＋3a２b＋3ab２＋b ３の係数となっていることを理るか。の再確認をする。

解させる。

（知識・理解）(a＋b)４を展開し、係数の規則性に １０ ・(a＋b) ２､(a＋b) ３､(a＋b)４を ・パスカルの三角形の規則ついて考え、パスカルの三角形を紹展開した式を縦に書き、規則性に気付くことができ介する。

性を生徒に発見させる。

るか。
(数学的な見方・考え方)

イ

応用例「パスカルの三角形」と「二項定理」について
数学Ａの二項定理の後で行うときには、(a＋b) nの展開式における an－rbr の項の係数は nＣr であり、パスカルの三角形が組み合わせの２つの性質① nＣr＝nＣn－r② nＣr＝n－１Ｃr－１＋n－１Ｃr＜②の意味＞
n 個の中の１個を固定し、それを選ぶか選ばないかである。選ぶ場合は(n－1)個から(r－1)
個を選ぶ選び方になるから n－１Ｃr－１、選ばない場合は(n－1)個から r 個を選ぶ選び方になるから n－１Ｃr である。したがって、これら２つを併せればよい。に由来していることを説明してもよいと思われる。

②模型完成③(a＋b)３＝a３＋3a２b＋3ab２＋b ３の再確認「パスカルの三角形」
1(a＋b)

11２(a＋b)

21３(a＋b)31(a＋b)４5

エ 授業後のアンケート341(a＋b)５1164

1010C０１

・実際に模型を使ったりしてとても分かりやすかったです。新たな発見もあり良かったです。
・今日授業を受けてとてもよかった。(a＋b)３の意
味がとてもよく分かっていい勉強なった。模型も良かった。
・図形を作って、はさみで切ったり組み立てたりして自分で組み立てたのですごく楽しかったです。
・自分なりにがんばったけど難しかったです。
・難しかったです。
・授業をやってみて思ったのは、模型を使うと尐し分かりやすいと思いました。楽しかったです。
・図形を作るのが楽しかったです。

151「二項定理」(a＋b)

１２(a＋b)２３(a＋b)３４(a＋b)４５(a＋b)

５C０C０C０C１２３４５C０２３４５C１C１C１C１C２C２C２３４５C２C３C３C３４５C４C４オ
５C５①において n＝5、r＝4 のとき ５Ｃ４＝５Ｃ１②において n＝5、r＝2 のとき ５Ｃ２＝４Ｃ１＋４Ｃ２
ウ

実践の様子
１年生Ⅲ型２クラスを対象に該当クラスの教科担任の先生に協力していただき、ＴＴの形で実践した。
①模型を作っている様子

３乗の乗法公式の定着率
前時と次時に３乗の乗法公式の確認テストを行った。
＜前時の確認テスト＞① (a＋b)３＝a３＋3a２b＋3ab２＋b３② (2a－b )３＝8a３－12a２b ＋6a b２－b３③ (3a＋2 b )３＝27a３＋54a２b ＋36a b ２＋8 b３＜次時の確認テスト＞① (a＋b )３＝a３＋3a２b＋3a b２＋b３② (3a＋b )３＝27a３＋27a２b＋9a b２＋b３③ (2a－3 b )３＝8a３－36a２b＋54a b２－27 b３
確認テストの結果
クラス

Ａ（34名） Ｂ（34名）

前時の平均正答数

1.5

1.2

次時の平均正答数

2.1

1.9

１学期中間考査前のため慌ただしい中でのテスであったが、定着率は向上したと思われる。

(2) 中学生に対する実践
本校で７月に行われた中学生体験入学「川高いきいきオープンスクール」において、１年生に対して行った授業と同じ内容を実践した。

・乗法の公式を学校では模型でやっていなかったので、とても分かりやすかったし、詳しく知ることができました。
・中学校の授業では、黒板に書いたりしていた
けど、今回の授業で模型を使って勉強できたので、楽しかったし、分かりやすかったです。
・実際に作ったりして楽しかった。
・図形を使った授業だったので難しかったけど、尐し分かった。
・箱を作るのがおもしろかったです。
・中学校で模型を使って学習する機会はなかなか無いので、とても面白かった。分かりやすかった。
・模型で説明した方がわかりやすいと思った。
・なんとなく高校で勉強することが分かりました。中学の内容よりもだいぶ難しい授業でした。
・僕は乗法の公式で３乗まで考えたことがなかったけど、分かりやすく教えてもらえてよかったです。
・今習ってないことが分かってよかった。
・よくわかりました。パスカルの三角形すごいです。高校生になるのが楽しみです。

ア

授業の様子
①模型制作開始②制作中(3) 中高連携について高校入学後にアンケートを取ったり、尋ねるなどして中学校で学習した内容を把握した上で、授業を行っている。今年からさらに本校から四国中央市の中学校に転任された先生がいらっしゃるので、連絡を取りながら授業を進めていきたいと考えている。
特に、数学は新教育課程が２年後から先行実施されるので、必要性を感じている。

③組み立て方を思考中

４④模型完成イ

授業後のアンケート結果(ｱ) 授業の内容について難しかった2名 （ 6.5％）

尐し難しかった

5名 （16.1％）

普通

6名 （19.4％）

尐し分かりやすかった

4名 （12.9％）

分かりやすかった

14名 （45.2％）(ｲ) 授業の感想
・とても楽しかった。乗法公式の分からなかったところが分かるようになった。いい思い出になった。

研究の成果と今後の課題
実施の時期については、昨年は二項定理の後に実施したのだが、やはり因数分解の後に実施した方が効果的であったと思う。また、内容については、昨年は授業で教える内容が多過ぎたにもかかわらず詰め込んで紹介してしまった。試行錯誤の結果、今回まとめている指導案が、高校１年生でも中学校３年生でも意欲的に取り組める内容になっていると思う。
また、今回私だけが実践するのではなく、他の先生にも参加していただくことにより、さらに良い研究ができると思い、協力していただいた。先生方から「１時間しかないならば展開図は印刷しておいた方がいい」等の御意見をいただき、大変参考になった。このような活動の輪を、今後広げて行きたいと考えている。
今後の課題としては、興味・関心を高めた後、いかに普段の授業に生かしていけるかということである。その場限りの授業で終わるのではなく、生徒が意欲的に数学に取り組む時間が増えていくよう努力していきたい。

《参考文献》
・大矢雅則、岡部恒治ほか 13 名『改訂版新編数学Ⅰ』
数研出版株式会社（平成 18 年検定済）・大矢雅則、岡部恒治ほか 13 名『改訂版新編数学Ａ』
数研出版株式会社（平成 18 年検定済）