三角比の指導法の研究
愛媛県立八幡浜高等学校

1

増田稚子

はじめにたものである。このとき、図形の捉え方を変えることで数学を学習する中で、図形の性質を使って問題を解く式の立て方や使う公式が変わることに気付かせた。特に、ことは多い。平面図形の単元のみならず、図形の見方を体積を求める問題では底面と高さとの関係を理解させる変えることで、問題を容易に解くことができるときもあことが重要であると考えた。

る。図形の性質を数量的に取り扱う場合、線分の長さや＜解答の手順＞は、解答の流れを簡単にまとめたもの

角の大きさを基本にして考えるが、数学Ⅰの「図形と計である。順を追って求めていくと答えに結びつくように量」で学ぶ三角比や数学Ⅱの「三角関数」で学ぶ三角関した。図形の性質を用いると容易に考えることができる数がこれらの２つのものを結びつける働きをする。しかときもあるが、今回は基本的な解法の流れを大切にし、し、そのためには図形の性質を学び、理解することが不考えが定着するように心掛けた。

可欠である。様々なものの見方ができる方が思考はより深まっていく。

＜解答＞は、＜解答の手順＞で示した流れを穴抜きの形で示したものである。手順と穴抜きで示した文章や式

三角比は、図形に関連した様々な計算を行うために重の前後から、求める値や公式を確認させた。

要な分野である。生徒にとっては、なじみのない分野で＜類題＞は、問題を理解したときの練習問題として、あるため日常生活に関連付けて概念を導入することが多

また、実力を付けたいときの問題として提示したものでいが、その良さを理解するには時間がかかるように思わある。

れる。三角比を用いて考える良さを理解することは、物理学や工学、他の分野でも重要であり、その有用性を理解して欲しい。そのためには、図形の見方や捉え方、解(2) 生徒の自学自習として利用させる法の見通しなどを、生徒自身が考えられるようにならな授業でも使用している問題集の問題であるので、生徒ければいけない。生徒が自学自習できる学習教材を作成が家庭学習などで自身の考えを深めるために利用して欲することで、家庭学習の質を高められるのではないと考しいと考えて作成をした。そのため、生徒の理解度に応え、この主題を設定した。

じて使用方法を変えることができるように工夫した。
例えば、習熟度の高い生徒の場合、考え方は理解できており、逆に穴抜きの形の解答では考えづらいと感じる

2

研究の目標

ときもある。その場合は＜考え方＞を見て、自身の考え(1) 授業で使用している補助教材の問題を用いて、ワー方が間違っていないかを確認し、＜類題＞を解くことでクシートを作成する。

実力をつけることができる。問題によっては、穴抜きの(2) 生徒の自学自習として利用させる。

解答は使わずに、＜解答の手順＞を追って、自身で解答(3) テストを行い、生徒の理解度を確認する。また、生をしていくこともできる。

徒に感想を聞き、理解を深めることができたかを確認する。

数学が苦手な生徒の場合、問題の見通しを理解することが重要である。まずは、＜考え方＞と＜解答の手順＞をしっかりと理解してから穴抜きを埋めていき、解くことができたという実感を身に付けさせる。何度か練習を3

研究の内容して、手順を見ながら自身で解答することができるよう(1) ワークシートを作成するになるためのモデルとすることもできる。

本校の普通科第１学年では、補助教材として数研出版の『クリアー

数学Ⅰ＋Ａ』を使用している。授業の進度に応じて日々の課題や定期考査の出題範囲として利用(3)

テストを行い、生徒の理解度を確認するしている。今回、多くの生徒がつまずきやすいと思われテストを実施し、生徒の理解度を確認する。ただ解くる問題を選び、ワークシートを作成した。選んだ問題のことができるだけではなく、論理的な解答ができている

内容は、円に内接する四角形、内接円の半径、空間図形、か、相手に伝わるような解答ができているかを確認する。

内接球など、全部で５題である。問題１問ごとに１枚のまた、生徒にワークシートについての感想を聞き、どワークシートを作成した。内容は、＜考え方＞、＜解答のように利用したのか、参考になった点などを確認する。の手順＞、＜解答＞、＜類題＞の４つである。
＜考え方＞は、問題の見通しや図形の捉え方をまとめ

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研究の成果と今後の課題りを見ていると、相互に理解が深まっている様子が伝わ

今回の研究は、生徒の家庭学習の充実と自学自習としってきた。て利用させることを目的として行った。補助教材の問題

テストの結果は、半数ほどの生徒が正答しており、一は一度授業で扱った問題が多く、考査などの勉強で役立定の成果を感じた。特に、内接円の半径に関する問題は、てて欲しいと考えたからである。図形の問題は、様々な公式や考え方が多くの生徒に定着していた。また、空間問題を通していろいろな考え方があることを知り、理解図形でも、これまで図形の扱い方がよく分からないと十することを繰り返していくことが大切であると考えてい分に解答できていなかった何人かの生徒が、最後まで解る。そのための一つの道しるべとしてワークシートを利答することができていた。中でも、体積を利用して空間用し、家庭学習を充実させて欲しいと考えた。実際に、図形の高さを求める問題の正答率が上がっていた。

ワークシートを利用しての感想を聞くと、それぞれが自今後の課題は、利用することができるワークシートも身の理解度に応じてワークシートを利用していたことがまだ少ないため、このようなワークシートを少しずつ増分かった。

やしていくことである。生徒の意見の中には、他の単元ワークシートを利用した生徒の感想は、次のようであった。

でも作成して欲しいという声があり、分野や内容によって生徒のつまずきやすい問題や理解が深まる場合にはワークシートを作成し、活用していきたいと考えている。

＜生徒の感想＞
・答えまでの流れが分かりやすくてよかった。
＜参考文献＞
・答えを見ただけだと分かりにくいけれど、ワークシ

・『新課程 教科書傍用

クリアー

ートは言葉の説明が入っているので、解いていく順序が分かって、問題を理解することができた。

数学Ⅰ＋A』（数研出版）

・『新課程 教科書傍用

３TRIAL

数学Ⅰ＋A』（数研出版）

・１つ１つのポイントがあるので、分かりやすかった。
穴抜きで進めてくれるので、解けるという自信がついた。
・類題もあって復習になった。類題を解くことで、自分がしっかりと理解できたか確かめられた。
・考え方がよく分からなかったので、ワークシートを見てよく分かった。自分の考え方で不安な所の理解が深まったので良かった。
・どこを求めるために、どのような計算をするのかを実際に解いて身に付けることができた。分からなくなっても表を見て、考え方や手順を見て、自分で解くことができた。

ほぼ全員の生徒が利用していて、家庭学習の手助けとなったと答えていた。理解度に応じてワークシートを利用していた様子も感じられた。特に、＜類題＞があることで理解できているかを確認できたり、実力を付けたりすることができたので良かったとの意見が多く見られた。
また、授業での演習の時間に、配布したワークシートを利用してもよいと指示すると、多くの生徒が積極的にワークシートを利用して問題を考えていた。図形問題が苦
手な生徒が友達に考え方を質問する場面が多く見られ、その友達に説明をしている生徒も、ワークシートの手順を参考にしながら、的確な説明をしていた。そのやりと＜ワークシートの内容・表＞
三角比の演習 クリアー   円に内接する四角形円に内接する四角形 があり、 、 、 、 の＜解答＞ 対角線 を引く。

とき、次のもの求めよ。

  の値





において、余弦定理を用いて  を表す。

①四角形 の面積において、余弦定理より

         ･  ･  ･ ＝

＜考え方＞
○ 四角形（多角形）の面積は三角形に分割する。
○

○

 
…において、余弦定理を用いて  を表す。

②

において、余弦定理より

        ･ ･  ･  

円に内接する四角形の対角の和は ＝    を用いる。
  の値が必要！

三角形の面積は＋＝   より、          、        より＋ 

四角形 は円に内接するから、          、
                 よって、 ⅰ）余弦定理より、  を 通りの式で表せる。

…ⅱ）  の式から、   の値を求める。
③ⅲ）         より、   の値を求める。

＝より、   の値を求める。

、より

＜解答の手順＞
   の値
◎ 図をかく。
対角線 を引いて、四角形を つの三角形に分割する。

＝ 

  ①

において、余弦定理を用いて  を表す。

②

において、余弦定理を用いて  を表す。

③①、②より、   の値を求める。

… 答         より、   の値を求める。

①

より、   、   だから、         ②

において、三角形の面積を求める。

･  ･  ･  ･ ･  ･

…

△



四角形 の面積

①

        より、   の値を求める。

②

において、三角形の面積を求める。

③

において、三角形の面積を求める。

④

 △ △ を計算する。


③において、三角形の面積を求める。

 ･  ･   ･ ･  ･ 
四角形 は円に内接するから、        
よって、△

△

④



…

  △  △ を計算する。

、より、    … 答 ＜ワークシートの内容・裏＞

類題

円に内接する四角形

円に内接する四角形 において，
，  ， ， のとき，次のものを求めよ。
 線分 の長さ
 線分 の長さ



三角比の演習 



右の図のような， ，  ，である直方体 に

３TRIAL 数学Ⅰ＋A より］＜ワークシートの一部＞

の面積を求めよ。

クリアー   空間図形への応用

辺の長さが の立方体 において，
辺 の中点を とする。

 線分 ， ， の長さを求めよ。
 の大きさを求めよ。
 の面積を求めよ。



○を考えて、 、 、 を求める。
そのため、線分 、 、 が含まれる平面を考える。
（クリアー  を参考）

○三角形の面積は○    を用いる。
  の値が必要！

辺の長さ

 

余弦定理

○










＜考え方＞
○ 空間図形の問題は、平面図形（三角形）を取り出して考える。



から に下ろした垂線の長さを求めよ。

三角比の演習 

ぞれ ， とする。

円に内接する四角形 があり，  ， ，  ，である。次のものを求めよ。
 対角線 の長さ
 四角形 の面積 

おいて，辺 ， の中点を，それ

［数研出版

クリアー   空間図形への応用  と計算できる。

       

垂線は、面積や体積を求めるときの高さとなるため、重要である。
また、体積はどの三角形を底面として考えるかが 
から に下ろした垂線を とする。
を底面とすると、 が高さ
体積を 通りの式で表して計算する。
を底面とすると、 が高さ

＜解答の手順＞
 の面積を求めよ。
直角三角形に注目をし、三平方の定理を用いて計算する。

＜考え方＞
○ 空間図形の問題は、平面図形（三角形）を取り出して考える。
○を考えて、 、 、 を求める。
そのため、線分 ， ， が含まれる平面を考える。


○

線分 は、正方形 の対角線。
線分 は、図形の内部を通っているため、補助線 を引くと、は直角三角形であり、線分 は斜辺。

     を用いる。
  の値（もしくは、の大きさ）が必要！

三角形の面積はの大きさが求められる。

余弦定理

○

線分 、 、 を求める。

②

において、余弦定理を用いる。

③

        より、   の値を求める。

④三角形の面積 △

線分 は、直角三角形 の斜辺。

辺の長さ

①


･ ･    を求める。
から に下ろした垂線の長さを求めよ。
からに下ろした垂線を 、四面体 の体積をとする。
① を底面、 を高さとして、体積を求める。

②を底面、 を高さとして、体積を求める。

③①、②より、 の長さを求める。