■ 投―34―稿 ■尽数関係にある公転軌道の天体が描く美しい図形～力学計算をせずに軌道共鳴の安定性を判定できるか～
石坂千春 （大阪市立科学館/中之島科学研究所）
3.0天文単位）、2:5（同2.7天文単位）、1:3（同

1. はじめに金星と地球の会合周期は583.9日であり、82.5天文単位）のあたりには小惑星がほとんど年間にちょうど5回会合する(365.2日×8年÷

存在しないことが知られている[2]。これらの583.9日＝5）。

領域は「カークウッドの空隙」と呼ばれてい金星と地球が会合する位置を公転軌道上で順番につなぐと、ペンタグラム（五芒星）る。
互いの公転周期が整数比になる原因として、を描くことが古くから知られている[1]（ 図1）。 共鳴軌道になっている場合がある。軌道共鳴
このように、太陽系の天体どうしで、公転は、中心天体(太陽など)と、その周りを公転周期に特別な関係をもつものは他にもある。

する2天体(惑星など)の間の周期的な重力の本報告では特に、互いの公転周期が整数比変化により公転軌道が影響を受けるものであ（「尽数関係」という）になっている天体の軌る。共鳴によって軌道が安定になる場合もあ道の安定性について考察する。

れば、不安定になる場合もあるが、軌道共鳴尽数関係にある天体としては、たとえば、の計算は、基本的に解析解のない「三体問題」

木星のガリレオ衛星が有名である。イオ、エであり、共鳴が起きているかどうかの判定がウロパ、ガニメデの公転周期の比は、1:2:4で難しいものも多い。

あり、ガニメデとカリストの公転周期の比は3:7である[2]。

本報告では、整数比の周期をもつ尽数関係の公転軌道上における、同時刻での内側天体

逆に、火星と木星の間にある小惑星帯では、と 外 側天 体 の 位 置 を つ な い だ 線 分 の 包 絡 線

木星（軌道長半径5.2天文単位）の公転周期（線分群に接する曲線）が、どのような図形

11.86年に対し、1:2（同3.3天文単位）、3:7（同を描くのかを見る。そして、実際の太陽系において安定な軌道となっている場合（ガリレオ衛星など）と、不安定な軌道となっている場合（カークウッドの空隙など)について、包絡線の描く図形がどのように異なるのかを考察する。
その結果を踏まえ、複雑な「三体問題」を解くことなく、軌道の安定・不安定を図形から予測できる可能性について報告する。
2. 計算方法
簡単のため、天体の軌道は円とし、一定の図１

金 星 と地 球 の 会 合 位 置が公 転 軌道 上にペンタグラムを描く。

速度で軌道上を周回するものとする。
内側天体（天体１）の公転周期と外側天体

天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）

尽数関係にある公転軌道の天体が描く美しい図形（天体２）の公転周期の比をN 1：N2とすると、―35―1外側天体の軌道半径が1の時、内側天体の軌
道半径a1はケプラーの第3法則より、0.5

a1 = 3 ( N1 / N 2 ) 2と書ける[3]。ただしa 1の値は以後の議論では結果（図形の特徴）を左右しないので、どん0-1-0.500.51な値を採ってもかまわない。
MSエクセルにより、一定の時間間隔で天-0.5体１と天体２の位置を計算し、図にプロットする（図2）。図化するに当たり、x軸（正）上で会合していた両天体が反時計回りに公転-1し、再びｘ軸（正）上で会合するまで、同時
刻 で の 両 天 体の 位 置 同 士を 線 分 で 接 続 し た

図 3 公転周期の比（【付録1】）。

半径 a1=0.63）１：２（内側天体の軌道同時刻での内側 天体と外側天体の位置 を線分1でつないでいる。x 軸上で会合していた両天体が反時計回りに公転し、再びｘ軸上で会合する

0.5までを表示している（以下の図でも同様）

表1

ガリレオ衛星の公転周期[2]0-1-0.500.51衛星

公転周期（日）

イオ

1.77

エウロパ

3.55

ガニメデ

7.15-0.5-1

図2

図化の途中経過

天体は反時計回りに公転している。同時刻の内側天体 の位置と外側天体の位置 を線分で接続する。

他に、公転周期が1:2になっているものに、土星の衛星のミマス－テチス、エンケラドス－ディオネがある。
また、公転周期が木星の1/2になる軌道付近には小惑星がほとんど存在せず、カークウッ

3. 結果互いの公転周期が整数比になっている代ドの空隙になっていることが知られている。

表的な場合について計算した結果を、以下の3.2節に示す。

公転周期の比が２：３の場合（図4）海王星と冥王星の関係、および小惑星の3.1公転周期の比が1:2の場合（図3）

木星のガリレオ衛星のうち、内側の３つ（イオ、エウロパ、ガニメデ）は、公転周期の比が1:2の共鳴軌道になっている（表１）。

Hilda群と木星との関係は、公転周期の比が2:3である。
周期2:3の場合を図示したものが図4である。
包絡線が描く図形は凸部が１つ、凹部が１つで、右に90度倒したハート型になっている。

天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）

■ 投―36―稿 ■公転周期の比が１：３の場合（図6）3.41木星の公転周期の1／3になる小惑星帯は、小惑星がほとんど存在しない領域「カークウッドの空隙」である。包絡線はハート型を描0.5いていない（図6）。
0-1-0.5

00.5

11-0.50.5-10-1

図4公転周期の比２：３

3.3

公転周期の比が３：４の場合（図5）

-0.5

00.5

1

（a1=0.76）-0.5

小惑星のThule群6個は、その公転周期が木-1星の公転周期と3:4の整数比になっている。また、土星の衛星タイタンとヒペリオンも同様

図6

公転周期の比１：３ （a1=0.48）の尽数関係である。
図5を見ると、左に90度倒したハート型が公転周期の比が１：４の場合（図7）3.5

目立つが、よく見ると内側天体の軌道と、“ハ木星の公転周期の1／4になる小惑星帯も、ート型”の間に、右に90度倒した、一回り大カークウッドの空隙の一つである。ちなみに、

きな丸いハート型がもう一つ描かれているの火星の衛星のフォボスとダイモスの公転周期がわかる。

も、ほぼ1:4である。
前節同様、ハート型を描いていないことが
1

10.5

0.5

0-1-0.5000.5

1-1-0.5-1-1

公転周期の比0.5-0.5-0.5

図50３：４（a1=0.82）

図7 公転周期の比 １：４ （a1=0.4）

天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）

1尽数関係にある公転軌道の天体が描く美しい図形見て取れる（図7）。

―37―がほぼ、2:5になっている。
丸みをおびた凸部がない（図9）。

公転周期の比が１：５の場合（図8）3.6該当する天体は無いが、参考のため、計算したものを図示する（図8）。

3．8公転周期の比が３：５の場合（図10）

太陽系外縁天体1994JS（軌道長半径42.5包絡線の図形として、正方形が見える。

天文単位）は海王星（同30.1天文単位）と、3:5の共鳴軌道にあり、3回公転する間に、21回、海王星と会合する。包絡線の模様には“双葉”が見える（図10）。

0.5
10-1-0.500.50.5

1-0.50-1-0.5-1

図8

00.5

1-0.5

公転周期の比１：５（a1=0.34）-13.7

公転周期の比が２：５の場合（図9）図10

公転周期の比３：５（a1=0.71）

3．9

公転周期の比が３：７の場合（図11）

小惑星帯では、木星の公転周期と2:5の関係のある軌道付近もまたカークウッドの空隙である。ちなみに、木星の公転周期（11.86年）木星の公転周期と3:7の関係にある軌道付と土星の公転周期（29.46年）も、周期の比近の小惑星帯は、やはりカークウッドの空隙である。一方、ガリレオ衛星のガニメデとカリストは、公転周期が3:7の尽数関係にある。

110.50.5

0-1-0.5

00.5

10-0.5-1-0.500.5

1-0.5-1

図9

公転周期の比２：５（a1=0.52）-1

外側の円が木星軌道だとすると、内側の円がカークウッドの空隙にあたる。

図11

公転周期の比

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３：７ （a1=0.57）

■ 投―38―

外側のカリストは3回公転する間に、ガニメデと4回会合し、その包絡線は、なんと “四葉のクローバー”を描いている（図11）。

稿 ■金星と地球は8年間に5回会合する。
金星と地球をつなぐ線分の包絡線群は、なんと、バラ科の特徴である、美しい5弁の花を描く（図13）。

公転周期の比が５：８の場合（図12）

外側の円が地球の軌道、少し見づらいが内公転周期の比が5:8の場合、外側天体が5回側の円が金星の軌道に相当する。金星軌道の公転する間に3回会合し、包絡線は、“三つ葉内側に、“五弁の花”が４つ重なっているようのクローバー”を描く（図12）。に見える。

3.10

13.12

黄金比の場合（図14）

ところで、金星と地球の公転周期の比（1:1.625）は、ほぼ黄金比（1:1.618･･･）に0.5なっている、とも言える。
黄 金 比 は フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列 ｛ 1,1,2,3,5,8,13,･･･｝の隣り合う数同士の比の極限として0-1-0.5

00.51表わされる。3.8節で見た「3:5」、3.10節の「5:8」、3.11節の「8:13」は、徐々に黄金比-0.5に近づいていたわけである。
黄金比の場合の2天体間を結ぶ線分群を図示したものが図14である。

-1

図12
3.11

公転周期の比５：８ （a 1=0.73）

公転周期の比が８：１３の場合（図13）

金星（公転周期0.615年）と地球（公転周期1年）の関係である。第1章で述べたように、

黄金比は無理数であるため、２天体の公転周期は尽数関係にはならない。黄金比は美の象徴とされることがあるが、公転周期が黄金比になっている天体が描く模様は、あまり美しくないように思われる。

110.50.50-10-1-0.500.5-0.500.511-0.5-0.5-1

図14-1

黄金比の場合図13 公転周期の比 ８：１３ （a1=0.72）
天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）（a1=0.73）

尽数関係にある公転軌道の天体が描く美しい図形―39―

絡線が描く模様は周期比の整数の差（N2-N1）

4. 考察
公転周期が整数比になっている尽数関係のと同じ数の凹部や凸部をもつ。

軌道をとる天体同士について、一定の時間間実際に安定な軌道として天体が存在するよ隔で軌道上の位置を線分でつなぐと、包絡線うな整数比（2:3、3:4、3:5、3:7、8:13など）が特徴的な幾何学模様を描くことを見てきた。 の場合、包絡線が描く図形の凸部は丸みを帯第１章で述べたように、尽数関係にある公転は安定な場合と不安定な場合がある。判定

びている（図4、5、10、11、13）。
一 方 、不 安 定 な 軌 道 に な っ て い る 整 数 比

するには複雑な三体問題を解かねばならない(1:3、1:4、1:5など)の場合、そもそも凸部がが、文献[2]のデータを見ると、内側天体の質ない（1:3の場合；図6）か、尖った凸部（1:4、量m1と外側天体の質量m2に対して、1:5の場合）になっている（図7、8）。

m1 << m2 ･･･不安定（カークウッドの空隙）(2) 凹部の位置

m1 ～m2 ･･･安定m1 > m2 ･･･安定（ガリレオ衛星など）

包絡線の凹部（線分が集中している部分）（海王星－冥王星など）が内側天体の軌道（a1）よりも中心に近い場
合は安定（図4など）、逆に内側天体の軌道に近い場合は不安定になる例がある（図6など）。という傾向がある。
本報告では力学までは考慮しなかったが、線分集中部（凹部）は、２天体間の引力の安定な軌道と不安定な軌道とで、包絡線が描方向が中心天体の方向に長期間そろう場所でく模様に、表2のような違いがあった。

ある。この場所が内側天体の公転軌道付近にあり、かつ、内側天体の質量が外側天体の質

表2公転周期比と包絡線図形の関係

量より小さければ、特定の場所で定期的に引力の強弱を受け、内側天体の軌道は容易に変（網掛けは安定な軌道）化を受けてしまう。

凸部

凹部

凹部位置数数(a1 に対する比)

1：2 (図 3)010.5

2：3 (図 4)110.3

3：4 (図 5)110.2

1：3 (図 6)020.9

尽数関係にある公転軌道の天体たちは人知

1：4 (図 7)30-

れず虚空の宇宙空間に美しい図形を描き続け

2：5 (図 9)030.7ている。そんな美しい図形に、複雑な天体力

3：5 (図 10)220.3

学の解が現れているのかもしれない。

3：7 (図 11)440.6

5：8 (図 12)

330.3

文献

8：13 (図 13)550.3[1]Carl

周期比以上のように、単純な計算を行い、図形を描画するだけで、力学を知らなくても、軌道共鳴についての知見や予測が得られる可能性があることが、今回の考察によってわかった。

Liungman 「 Symbols 」（ HMEPublishing）、p287、2004年[2]国立天文台・編「理科年表(1) 凸部の数や形一般的に、内側天体(１)と外側天体(２)の周期の比をN1：N2とすると、外側天体がN 1回公転する間に、両天体はN2-N1 回会合する。包

平成21年度版」（丸善）、p89-90、2009年[3]バーガー＆オルソン「力学」（ 培風館）、p109、1987年

天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）

■ 投―40―【付録1】包絡線図形の描き方

稿 ■計算した位置データを次のように並べる。

公転する2天体の位置を計算し、本報告で見たような包絡線図形を描く手順は次のとおx2(0)y2(0) ･･･外側天体のスタート地点りである。すべてMSエクセルを利用した。

x1(0)y1(0) ･･･内側天体のスタート地点x2(0)y2(0) ･･･外側天体のスタート地点

x2(1)y2(1) ･･･外側天体の1ステップ目

簡単のため、天体の公転軌道は円としていx1(1)y1(1) ･･･内側天体の1ステップ目

るので、スタートからiステップ目の内側天体

x2(1)y2(1) ･･･外側天体の1ステップ目の位置｛x1(i)、y1(i)｝と外側天体の位置｛x2(i)、x2(2)y2(2) ･･･外側天体の2ステップ目①天体の位置計算

y2(i)｝は、それぞれ、

・・

x1(i)=a1*cos( 360°/n1*i)x2(n2*N1-1) y2(n2*N1-1) ･･･最終ステップ

y1(i)=a1*sin( 360°/n1*i)

x1(n2*N1-1) y1(n2*N1-1)x2(i)=cos( 360°/n2*i)x2(n2*N1-1) y2(n2*N1-1)

y2(i)=sin( 360°/n2*i)x2(n2*N1）y2(n2*N1) ･･･再びｘ軸上で会合である。

この数字列に対し、MSエクセルの「グラここで、a1 は内側天体の軌道半径、n1、n 2

フ」ウィザード→「散布図」→「データポイはそれぞれ内側天体と外側天体の軌道上でのントを折れ線でつないだ散布図」により図化

ステップ数である。内側天体と外側天体の公すればよい。

転周期の比がN1：N2なので、n1:n2＝N1:N2であり、いずれのケースでもn1<n2 である（内【付録2】スピログラフ®の描き方

側天体の方が外側天体より公転運動は速いの公転する2天体の相対位置を追跡し、図示で、1周に必要なステップ数は外側天体のスすることもできる。これをスピログラフ（「ステップ数より少なくなる）。

ピログラフ」はハズブロ社の登録商標 )と言う。

また、第２章で述べたように、ケプラーの一方の天体（たとえば内側天体）に対する他方の天体（外側天体）の相対位置は、周天第３法則より、円上を周回する点の軌跡として表現できる。

a1 = 3 ( N 1 / N 2 ) 2

したがって、天体の描くスピログラフは広義であり、定義より、a1<1である。
包絡線の模様を見やすくするため、外側天体 の軌 道上 のステ ップ 数 n2 は 少な くとも 20のサイクロイドの一種である。
スピログラフの方が、包絡線図形を描くより簡単である。

以上（１ステップあたりの軌道上の移動量はiステップ目の内側天体｛x1(i)、y1(i)｝に対18°未満）が望ましいようである。ただし、する外側天体｛x2(i)、y2(i)｝の相対位置は、あまり多いと、線分が重なり過ぎて、模様が｛x2(i)- x1(i)、y2(i)- y1(i)｝と書ける。

見えなくなる。
ｘ軸（正）上で会合している状態からスタートし、再びｘ軸（正）上で会合するまでステップを進め、n2×N1回の計算を行う。

これを図示したものが、A図１～11である。
それぞれ、本編の図3～13に対応している。
尽数関係にある天体のスピログラフは、安定な軌道、不安定な軌道、ともに美しい図形②描画用データの作成となる。
天文教育 2011 年 7 月号（Vol.23 No.4）

尽数関係にある公転軌道の天体が描く美しい図形
2―41―

2

1.5

1.5
1

10.5

0.5
0-2-1.5-1-0.500.5

11.5

20-2-0.5-1.5-1-0.5

00.5

11.5

2-0.5
-1-1-1.5-1.5-2A図１ 公転周期の比 １：２（a1=0.63）-2

A図４ 公転周期の比 １：３ （a1=0.48）※本編の図3に対応する※本編の図６に対応する
21.5

2
11.50.5

10-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

20.5-0.5-10-2-1.5-1-0.5-1.5

00.5

11.5

2-0.5-2-1A図２ 公転周期の比 ２：３ （a1=0.76）-1.5※本編の図4に対応する-2

A図５ 公転周期の比 １：４ （a1=0.4）

2※本編の図７に対応する

1.5

120.5

1.5

0-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

2
1-0.5

0.5-10-1.5-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

2-0.5-2-1A図３ 公転周期の比 ３：４ （a1=0.82）-1.5※本編の図５に対応する-2

A図６ 公転周期の比 １：５ （a1=0.34）※本編の図８に対応する
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■ 投―42―

稿 ■

22

1.5

1.5

1

10.5

0.5
0-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

20-0.5-2-1.5-1-0.5-100.5

11.5

2-0.5-1.5-1-2-1.5A図７ 公転周期の比 ２：５ （a1=0.52）-2※本編の図９に対応する

A図10 公転周期の比 ５：８ （a1=0.73）※本編の図12に対応する

21.5

2

11.50.50-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

12-0.50.5-10-1.5-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

2-0.5-2-1A図８ 公転周期の比 ３：５ （a1=0.71）※本編の図10に対応する-1.5-22A図11 公転周期の比 ８：１３ （a1=0.72）

1.5※本編の図13に対応する

10.5

0-2-1.5-1-0.5

00.5

11.5

2-0.5-1-1.5

いしざかちはる-2A図９ 公転周期の比 ３：７ （a1=0.57）

http://www.sci-museum.kita.osaka.jp/~ishizaka/※本編の図11に対応する
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