国公立大学入試問題の研究－通過領域に関する問題の研究－
愛媛県立松山東高等学校
1

はじめに松浦正から，本研究では，通過領域に関する入試問題に焦点を当て，昨年の大学入試問題を中心に出題内容と解法について分析を行う。そして、今回の研点究結果を今後の教科指導に役立てていきたい。

この，がのの通過する領域に含まれるための必要十分条件は，次方程式が，の範囲で実数解をもつことである。のとき
２

大学 入試 問 題の分析
＜２０２１

鳥取大

はより，理系前期＞

すなわち，を満たす実数とする。

対し，関数を満たす実数をとし，を ：であるから，求める条件は，にのとき

平面上の曲線とおくと，とする。の導関数を求めよ。

がの範囲を動くとき，曲線面積をが通過する領域のすなわち，を用いて表せ。

で定めたに関する次の極限

ただし，を求めよ。のとき求める条件は，であることを用いてよい。

よって，

すなわち，かつかつすなわち【解法の分析】
は，底が変化するときの指数関数のグラフの通過領域を考える問

求める条件は題である。底の大小による関数の値の変化の違いを想像しやすい問題であるため，曲線のときすなわち，よって，かつから，曲線が通過するの通過領域をイメージすることは難しくはないだろ，う。

領域は右の図の斜線部分のように曲線なる。ただし，境界線は含むが，が通過する領域は右の

軸は図の境界線を含む斜線部分であるの部分のみ含み，の部分は含まない。

から，

＜２０２１

大阪市立大学実数 に対して，理系前期

平面上の曲線が実数全体を動くとき，曲線＞：がちょうどを考える。
回通過する

平回通過する平面上の点全体からなる領域を図示せよ。
が実数全体を動くとき，曲線がちょうど面上の点全体からなる領域を図示せよ。
省略【解法の分析】
＜２０２１

東北大学

でない実数
直線頂点が文系後期＞に対して曲線をは， でないすべての実数に対して曲線する。このような直線をとおく。と接するとの方程式を求めよ。の範囲で動かしたときに曲線軸上にある放物線させながら座標平面上を動く様子を，頭の中で通過する回数ごとにイメージすることは非常に難しい。定番である の方程式の実数解を利用する解法になるが，「実数解を持つ」ではなく，「実数解をきと「実数解をから，【解法の分析】
次方程式せる定番の解法になる。ただし，，（答えのみ）が実数全体を動くとき，曲線…… ①がちょうど 回通過するための条件は， のつの実数解をもつことである。

次方程式 ① が異なる

実数解の存在条件に帰着さとおくと，の条件が与えられ，解の存在範囲を考慮しながらの場合分けが必要となる問題であるため注意が必要である。

個もつ」と個もつ」ときに分けて考える必要がある。

が通過する領域を図示せよ。

についてのが， の値の変化によって凹凸を変化のとき，よって，① は異なるのときとするとよりは単調に増加する。

つの実数解をもたない。

このとき，は極大値，極小値をつずつもち，それらは，，点である。
よって，① が異なるの軌跡の極方程式は，であるから，つの実数解をもつための条件はよって，両辺を乗すると，，すなわち，を代入して整理すると，または，したがって，以上から，求める領域は図の斜線部分である。
ただし，境界線は含まない。
が実数全体を動くとき，曲線だがちょうど回通過するための条件は， の次方程式 ① がた点の軌跡の極方程式はであるから，つの実数解をもつことである。のとき，，よりは単調に増加する。また，はすべての実数値をとり得る。
よって，① はただよって，つの実数解をもつ。のときのときは極大値，極小値をよって，① がただつずつもち，それらは，であるから，である。の範囲においてつの実数解をもつための条件は，はに関して単調に減少する。

また，

すなわち，のときのとき

または，，であり，のとき以上から，求める領域は図の斜線である。

したがって，部分である。ただし，原点は含み，原点を除いた境界線は含まない。

＝ ……

＜２０２１

大阪市立大学

平面上の原点の理系後期を通る直線＜２０２１＞を考える。 上の点と条件を満たすとする。
点 ，の線分と線分点の長さの積はと直線線分がから以上である。のなす角を共有点のの長さに等しい。

点とする。

座標は座標はが通過する部分の面積をが通過する部分のとする。 との値をそれぞれ求めよ。

，のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。

放物線の通りうる範囲を座標平面上に図示せよ。

【解法の分析】
は次方程式の解の配置を考える典型的な問題である。判別式，端点の符号，軸の位置に注意して考えていく。
が【解法の分析】， ，，とおくと，，よって，したがって，とのからを消去して，すなわち，ここで，と放物線…… ①とおく。
がの範囲との範囲にそれぞれつずつ共有点をもつための必要十分条件は，方程式から，より，点の値を固定し， の値域を求める。

を極， 軸の正の部分を始線とする極座標を考え， 点 ，，は動かすパラメータつあるので，放物線の動きの様子を把握することが困難である。

極座標平面上で考えていくという発想が必要である。

から，のつの共を満たす。

したがって，逆像法ではなく，順像法により極座標をそれぞれとを満たし，他方のを用いて表せ。

まで変化するときに，線分

面積を ，線分は放物線有点をもち，一方の共有点のである。との距離は，線分の長さを文理共通＞

座標平面上の放物線 ：座標， 座標はすべて軸の正の部分と線分東京大学， を実数とする。

は次

座標はより小さいから，の範囲との範囲にそれぞれがつずつ実数解をもつことである。のグラフは下に凸の放物線であるから，求める必要十分条件は，，，＜がすべて成り立つことである。

２０２０東京大学を原点とする座標平面において，放物線から，から，を満たす部分をから，点が上を動くとき，の斜線部分である。ただし，実数境界線上の点を含まない。の範囲を求めよ。

で求めた領域を，が放物線存在するための必要十分条件は，の点が存在すること，すなわち，平面上で，傾きがぞれ，を満たすようなと， 切片が，， ， ， ， ，，，が正三角形のである直線を表半直線の動きがイメージしやすい問題である。（接点の原点の値はそれを通り，放物線に接する直線の方程式をを消去すると， の座標を と① の判別式をとする。

次方程式の範囲に重解をもつ。

を整理すると，のときの満たすべき条件は， ，おくと， の値が大きくなるにつれ，半直線は右方向に傾いていく），のとりうる値の範囲はで， 点【解法の分析】はよって上の点を考える。次の条件を満たす

内…… ② が共を通るようなとと連立してすなわちが通過する頂点となるものがある。の通りうる範囲に有点をもつことである。
す。直線 ② が点を端点とする半直線に対して，直線 ：（条件） 上の点とおく。

を定数とみなしたとき，点②はのうち，とする。

領域を図示せよ。

これらが表す領域は，右の図，

文系＞…… ①とすると，･ ･の範囲に重解をもつための条件は，①がかつ 放物線の軸について，となることである。
すなわち

から，のとき，…… ②から，のとりうる値の範囲は…… ③②，③ から，よって，の満たすべき条件は

このとき，重解は，したがって，求める領域は，すなわちかつ，すなわち，からかつを同時に満たす点，の集合であり，右図の斜線部分のようになる。のとき

ただし，境界線を含む。のとりうる値の範囲はよって，省略の満たすべき条件は＜２０２０東京大学

理系①＞を満たす実数 に対して，，とする。座標平面上の点における の関数

すなわちのとき原点とのとりうる値の範囲はの距離をの満たすべき条件はから，点，の存在しうる領域，すなわち放物線の通りうる範囲は，右の図の斜線部分である。
ただし，境界線は含まない。

は単調に減少することを示せ。とする。

を動くときのれた領域をの軌跡をとする。原点を中心としてさせるとき，～を考える。

における の関数の増減を調べ，最大値を求めよ。
がよって， ，，とし，とを時計回りに軸で囲ま回転が通過する領域の面積を求めよ。

【解法の分析】
領域を回転させることにより，の通過してできる新たな領域の面積を求める内容である。回転の向きに注意して落ち着いて計算を行うように注意したい。
，のは省略。
･･において，の底面は，とすると，よって，，…

…

におけるの増減表は右のようになる。したがって， の概形は図
時計回りににを斜線部分は図のように円をとする。円錐をとすると， とよって，平面回転させたときが通過する領域は，図， ，の円である。こののの部分は相似であり，相似比は， ：のようになる。

また，原点を中心として上の点を中心とする半径点の斜線部分である。

つの図形に分けられる。

， ，

線分によるの切り口は，を中心とする半径と平面の円である。の交点は，点よって，平面による， ，の切り口は点， ，を中心とする半径の円である。
これらを同一平面上にかくと，次の図のようになる。の切り口の切り口
図

図

斜線部分の面積をとおき，･

図の面積をとおくと…… ①

また，点が体積をよりを動くとき，線分とおく。また，とおき，その面積を･とき， の座標はの共通部分をが通過する部分をを平面とおく。線分が平面以上 以下である。円錐とすると，ととおき，そので切った切り口をと共有点をもつと平面は相似であり，相似比は，：…… ②
よって，は原点を中心とする半径は中心円である。 が円る半円の面積に等しいから，と平面…… ③る。点また，は奇関数であるから，…… ④をよって，は円であり，その中心は東京大学

理系②＞を頂点とする円錐 内部を含む を， ，を考える。の底面を動くとき，線分によるが通過する部分をの切り口および，平面によるとすの切り口を同一平面上に図示せよ。
点がを動くとき，線分が通過する部分の体積を求めよ。

であるから，最大値は最小値は領域，である。

は， がときに円の範囲を動くが通過する領域であり，右の図の斜線部分のようになる。
したがって，【解法の分析】
はの半径は一定である。の増加に伴って減少し，の円を考， ，とする。また，点座標は･，平面上の原点を中心とする半径える。この円を底面とし，点る。平面， ，の範囲を動くとき，円の中心のとすとすると，線分の交点は，がが， ，と平面

円

点上を動くとき，線分， ， で，半径は，座標空間において，のの交点の存在する範囲を① ～ ④ より，＜２０２０， ， ，半径の円のうち， 軸の上側にあ･と同様の発想で考えていく。切断面の面積を を用いて表し，それを区間で積分する。

よって，･･

３
＜２０２０

京都大学

理系前期＞

今回の研究を通して，大学入試において通過領域を出題する大学の数， ， を座標とする空間において，をの周りに平面内の曲線軸の周りに曲線が通過した部分よりなる図形をはそれほど多くないことがわかった。特に，理系学部で出題されるのが回転させるとき，このとする。このほとんどであった。しかし，東京大学では頻繁に出題される傾向があるをさらに軸ため，難関大学志望者にはしっかり演習させておく必要があるだろう。

回転させるとき， が通過した部分よりなる立体をと内容的にも，直線や曲線の通過領域が簡単に想像できるものから，変化する。このとき， の体積を求めよ。

するパラメータ数の多い問題やある図形（軌跡）を動かしたときの通過領域の面積や体積を求める問題までと，出題される問題のレベルもさま【解法の分析】
グラフをお わりに軸中心に回転させた図形てできる立体をさらに軸中心に回転させの体積を求める問題である。立体の概形は考わからないとえる必要はなく，図形を「切ってから回す」という手順を理解していればやるべきことは見えてくる問題である。しかし，図形ざまである。１人１台端末を活用しながら，生徒が点や図形が動く様子を頭の中で想像し，問題を解くための方針や答案作成力身に付くような指導法を今後も研究していきたい。
【参考 文献】

を ， ， の関係式としてどのように表現すればよいかがわからないと

年受験用

全国大学入試問題正解 国公立大編（旺文社）

難しい問題である。

年受験用全国大学入試問題正解 国公立大編（旺文社）

平面内の曲線を周りに軸の回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形

は，右の図のようになる。このをさらに軸の周りに回転させるとき，が通過した部分よりなる立体がである。 を平面で切ったときの切り口は， を平面で切ったときの切り口を， 軸の周りに回転させてできる図形である。
よって， を平面で切ったときの切り口は，右の図のようになる。
したがって， を平面ときの切り口の面積

また， は平面で切ったはに関して対称である。

よって， の体積は，ここで，したがって， の体積は，