国公立大学入試問題の研究－無限級数の種々の問題－
愛媛県立松山東高等学校
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はじめに数列③が与えられたとき，無限級数を２無限級数の収束と発散…… を無限級数または級数という。収束 発散については，第 部分和を考え，数列すな……
わち ， ， ，……， ，…… が有限確定の値に収束するとき，級数は収束して，和はう。このとき，と書く。 数列……
……
が奇数のとき，……
が偶数のとき，…

，または，で不定とするのが基本である。

ゆえに，発散大学入試問題の分析◎ 恒等式を利用したやや複雑な式変形を行う問題＜２０１５ 神戸大学 ＞， を実数とし，自然数に対してとする。

が収束し法則は成り立つ。しかし，無限級数の和は，普通の加法の和ではなく，極限値，すなわち，項を多くとればとるほど近づいてゆく目標値であるため，次の例で示すように，かっこでくくったり，順序を変更したりすると極限値が変わってしまうことがある。したがって，無限級数の和の求め方は，部分和を求め，問題④であるといない，，振動 とき，級数は発散する，または，和をもたないという。の計算は，有限項数であるから，交換法則，結合正……
ゆえに，収束３……

浦……と表すことは受け入れやすい定義であるが，生徒たちは，これが無限数列の項すべてを足し合わせた総和であると勘違いしてしまうことも少なくない。そのため，その勘違いから生じた感覚のズレに違和感を感じてしまい，無限級数の収束 発散の判定問題にも苦手意識を持ってしまうのかもしれない。
本研究では，無限級数の和の意味と収束 発散の判別方法を確認しながら，過去 年間の入試問題に焦点を当て，様々な解法パターンを分析することで，今後の指導に役立てていきたいと思い，この研究テーマを設定した。

松がすべての自然数について成り立つような実数 ， ， を， ， を用いて表せ。のとき， 以上の自然数を求めよ。また，に対して無限級数に対してのとき， 以上の自然数を求めよ。の和を求めよ。

【解法の分析】恒等式の考え方を利用する。

次の無限級数の収束 発散を判定せよ。

①……

両辺にを掛けるとが奇数のとき，が偶数のとき，すなわち，または， で不定②……
……
ゆえに，収束ゆえに，発散

よって，について成り立つとき，ゆえに，がすべての自然数，，のとき，から，，ゆえに，このときしたがって，

類題 ＜２０１６ 岐阜大＞
を正の整数， を正の実数とし，のとき，……とする。

ただし，は二項係数である。の値を求めよ。
を示せ。
を示せ。

…… ①のとき，から，，無限級数，の和を求めよ。

◎ 漸化式との融合問題＜２０１７ 千葉大＞
数列を次の条件によって定める。
，…②， ， ，……

を求めよ。
をの式で表せ。

……

無限級数が収束することを示し，その和を求めよ。
【解法の分析】
また，のとき，① からゆえに，，のとき，② から，…③から，よって，①，③ から， 以上の自然数

方針

番号を つずらし， 式の辺々を引くことで漸化式を導く。
からに対してよって，のときまた，であるから，のときゆえにしたがって，…… ①のとき…… ②

①② から，のとき

よってこれはのときも成り立つ。

･

ゆえにであるからよって，数列は増加数列である。

方針

ゆえに定積分を部分積分法により計算する中で，についての漸化式を作る。

したがってよって※であるからまた，与えられた条件からゆえにしたがって，は収束し，その和は，よって，※ 極限と大小関係， ， ，…… のとき，ならばのとき，…①より，① はのときも成り立つ。

したがって，＜２０１６は数とする。

群馬大＞を満たす定数とし，また･･は正の整とするとき，次の問いに答えよ。ただし，のときはとを求めよ。
を求めよ。
無限級数･とする。

･の和を求めよ。

･は，初項【解法の分析】
で，その和は，，･，公比がの無限等比級数であるから収束する。

＜２０１７ 神戸大＞
辺の長さがの正四面体がある。図のように，辺上の点，辺，辺上上の点の点から平面に正三角柱下ろした垂線をそれぞれ，，としたは正三角柱になるとする。

ただし，ここでは底面が正三角形であり，側面が正方形である三角柱を正三角柱とよぶことにする。同様に，点 ， ， ，，，… を次のように定める。正四面体において，辺上の点上の点から平面，，，辺上の点との相似比は，：：

よって，体積比は，ゆえに，また，，辺･

ここで，としたとき，は正三角柱になるとする。
辺の長さを体積をとするとき，次の問いに答えよ。
から平面えると，と同様に考に下ろした垂線をそれぞれ三角柱

点と表す。の 辺の長さはすべて等しいから，とき，三角柱，をとし，正三角柱のに下ろした垂線をとするとき，をを用いて表せ。

をを用いて表し，としたがって，数列
公比は初項，の等比数列であるからとし，の値を求めよ。

より，であるからを求めよ。

【解法の分析】△，△，△はすべて合同な直角三角形であるからよって，点 は正三角形の外心である。
したがって，

類題＜２０１７を･また，三平方の定理により名古屋工業大＞を満たす定数とし，自然数してとおく。

数列の極限を求めよ。

が 以上のとき
よって，方針の 辺の長さをとおく。 が 以上のときを表す数列の漸化式を作る。
正四面体とで表せ。とすると無限級数

また，よって，が成り立つことを示せ。

，図形の性質を用いて，体積に対であるからの和を求めよ。

を◎ ベクトルとの融合問題，＜２０１６ 大阪大＞
円上の 点 ， ， ， ，は反時計回りにこの順に並び，円周を 等分している。 点， ， ， ， を頂点とする正五角形をとする。
，とおき， の大きさを とする。

より，

，これとであるからより，したがって，斜線部分がの大きさを とするとき，成り立つことを示せ。

がを ， を用いて表せ。の対角線の交点として得られるの内部のつの点を頂点とする正五角形をとする。の 辺の長さを を用いて表せ。
， ， ，…… に対して，の対角線の交点として得られるの内部の つの点を頂点とする正五角形をとし，の面積をとする。

であるからの 辺の長さは，･より，ととの相似比は ：であり，の相似比は，これと等しい。

よって，ゆえに，を求めよ。

であ【解法の分析】
正五角形の外接円の中心を とすると，り，これは初項 ，公比と等しい。

であるから，であるから，この無限等比級数

円周角の定理により△はの無限等比級数は収束し，求める極限値は，の二等辺三角形であるから，，また，線分と線分の交点をより，△とすると，はの類題 ＜２０１５ 島根大＞
を自然数， を正の実数とする。
，二等辺三角形であるから，よって，△△ゆえに，：：
したがって，･･，，るから･，，答えよ。ただし，であ，･，，，とするとき，次の問いには座標空間の原点を表す。

（ ）内積，，を･･･それぞれ求めよ。
（ ）四面体の体積を を用いて表せ。
（ ） で求めた体積が最小となる の値と，その最小値を求めよ。
（ ）の値を求めよ。

◎ 確率との融合問題

回以下でコイン投げが終了しないのは，「表裏」または「裏表」を 回繰り返すときであるから＜２０１６ 福井大＞
表の出る確率が ，裏の出る確率がであるコインがある。このコインを繰り返し投げ，表の出た回数と裏の出た回数の差の絶対値が になったときにコイン投げを終了する。ちょうど回で終了する確率をとし， 回以下で終了する確率を とする。ただし， は正の整数とする。
を求めよ。
無限級数

に対して，であることを用いてもよい。となる最小のよ。
必要であれば，として計算せよ。

を求め，【解法の分析】
ちょうど回でコイン投げが終了するのは，「表裏」または「裏表」を回繰り返し，最後の 回は「表表」または「裏裏」となるときである
から，･，とおくと，に対して，とおくと…

辺々を引いて，…
で，であるから，よって，また，からより両辺の常用対数をとって，…①

ゆえに，①から，……

これを満たす最小の自然数

は，＜２０１５ 九州大＞
数直線上で，座標が整数 である点を整数点 とよぶことにする。ある人が硬貨を投げながら次の規則に従って数直線上を移動している。
規則 整数点 にいるとき，硬貨を 回投げて表が出たら整数点へ，裏が出たら整数点へ移動する。
原点 から出発し， 回硬貨を投げて移動し終わったとき，原点 にいる確率をとする。となるための に関する必要十分条件を求めよ。
を自然数とする。
……
等式が成り立つこと……
を示せ。
無限級数

…

ここで，から，したがって，のとき，自然数･

ここで，の和を求めよ。

ただし，･は発散することを示せ。

【解法の分析】
回投げて移動し終わったとき，原点 にいるのは，表が出た回数と裏が出た回数が等しいときである。このとき，表が出た回数裏が出た回数表が出た回数 であるから， は偶数である。
よって， が奇数である場合は， 回投げて移動し終わったとき，原点 にはいない。
すなわち，が奇数…①
また， が偶数とすると， 回投げて表がゆえに，裏がしたがって，よって，原点 にいる確率は より大きい。
ゆえに，が偶数回，回出れば，移動し終わったとき原点 にいる。

対偶も真であるから，が奇数…②

①，② から，となるためのに関する必要十分条件は， が奇数であることである。
回硬貨を投げて移動し終わったとき，原点 にいるのは，表が 回，裏が 回出たときである。
したがって，･･･……･ で･……･あることに注意すると･･……･･……･･……･･……･･……･･……･･……･･･

類題 ＜２０１６ 名古屋市立大＞， の 人で交互にボールを的に向かって投げるゲームを行う。先にボールを的に当てたほ方を勝ちとし，ゲームを終了する。 がボールを 回投げて的に当たる確率は ， がボールを 回投げて的に当たる確率は である。ただし，，である。 を先攻とし， の最初の投球を回目，次の の投球を 回目，…… と数える。
次の問いに答えよ。
回目の投球で がゲームに勝つ確率を求めよ。
がゲームに勝つ確率を求めよ。
がゲームに勝つ確率が， が勝つ確率より高くなるときの ， の条件を求めよ。また，その条件を満たす ， の領域を横軸 ，縦軸 の座標平面に図示せよ。
◎ 複素数平面との融合問題･……･･ ･ ･……･が発散することを示すためには ，が発散することを示せばよい。
＜面積を利用した考え方＞
が自然数のとき，……

は，下の図の斜線部分の面積の和に等しい。

＜２０１７ 茨城大＞
を複素数の定数とし，自然数 に対して複素数を，で定める。
， ， をそれぞれ を用いて表せ。
一般の についてを推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。以下では，とする。ただし， は虚数単位を表し，とする。

が無理数であるとき，どんな自然数に対してもは実数にならないことを示せ。
自然数 に対して，複素数平面上の 点との距離をとする。無限級数を求めよ。さらに， がとき， の最大値とそのときの……との和の範囲を動くの値を求めよ。

【解法の分析】･

図から，であるからの結果から，のときであると推測できる。これを数学的帰納法で示す。のとき，であるから，成り立つ。
であるから，ち，以上から，は発散する。のとき，すなわと仮定するとよって，のときも成り立つ。
， から， 以上の自然数 については発散する。
よって，

４ある自然数に対してこのとき，なり，は整数 であるからとは有理数である。

対偶をとると，然数が実数になるときが無理数であるとき，すべての自に対しては実数でない。

よりであるからおわりに今回の研究を通して感じたことは，級数の収束または発散する条件を暗記しておくだけでは入試問題には対応できないということである。当然のことではあるが，根拠をしっかりと示した解答を作るための「答案作成力」が必要であり，こういった力を定着させるためには，長期的かつ継続的な日々の演習が必要不可欠である。さらに，級数問題が単独で出題される場合は極めて少なく，図形、関数、確率などといった様々な分野との融合問題として出題される場合が多い。そのため，他分野とのつながりも考えながら，計画的に問題演習に取り組んでいくことも大切である。今回の研究で得られたことを今後の指導に生かしていきたい。
【参考文献】
モノグラフ 数列 ３訂版 （科学新興新社）
年度 全国大学数学入試問題詳解 国公立大学（聖文新社）
年度 全国大学数学入試問題詳解 国公立大学（聖文新社）
年度 全国大学数学入試問題詳解 国公立大学（聖文新社）

ここで，よって，したがって，･より，すなわちであるから， はで最大値 をとる。

類題 ＜２０１６ 東京農工大＞を自然数とし， ， ， は実数で，，とする。複素数は，を満たすとする。
， ， ，…… とする。
ただし， は虚数単位とし，複素数 に共役な複素数を で表す。次の問いに答えよ。と の値を求めよ。
複素数平面上の 点，，について，の大きさをとする。の値を求めよ。の実部を， ， ，…… とする。
を と を用いて表せ。
で求めた を第 項とする数列について，無限級数の値を求めよ。

が収束し，その和がとなる