数学Ⅰ，数学Ａにおける課題学習の研究・実践
愛媛県立三瓶高等学校
１

はじめに藤原治永

実際に配付したみかんが12345個、りんごが34566個

本校での課題学習の主な取り組みは，①各分野・各単元までは全員求めることができたが、そこから先の方針の終わりに応用的な内容の授業を行う。②長期休業中の課が分からない様子であった。『同じ個数ずつ配るから、題としてレポートを課し、提出してきたレポートを評価しその個数で割り切れる』というヒントを出し、最大公た後、面白い着眼点や良いレポートを生徒達に紹介すると約数へと導いていった。最大公約数2469の約数が人数いうものである。②については、生徒たちもweb上や書籍かの候補として挙げられるが、余った個数から求める人ら題材を見つけてきてはレポートを作成していくのだが、数は、最大公約数そのものになってしまっているため、目を見張るようなレポートにはなかなか出合えない現状が最大公約数の「約数」であることには無頓着になってあった。本年度、課題研究委員として指名していただいた

しまった生徒が多かった。問題作成時に工夫を要する。のを機に、数学Ⅰおよび数学Ａの内容を中心に研究したいと思い、この主題を設定した。

イ

歯車の歯数の設定について

今年度は、課題学習に対して経験が少ないため、様々なあなたは歯車を２つ作成しようとしている。歯車

文献などを調べ、できるだけ教科書に記載されていない内の歯数をどのように設定すれば、長持ちさせるこ容を授業で実施し、生徒たちの興味・関心・意欲を引き出とができるだろうか。

すために、作業を取り入れることを目標に研究を行った。
２

研究・実践内容
(1)

対象生徒

(2)

取り上げた課題ア

まんべんなく、すべての歯に負担がかかる様にすればよいと設定し、歯数が24，32，35，36の歯車を作成

１年生および数学探究受講生

ユークリッドの互除法を利用する問題し、実験してみた。35と36で歯数の差が１であれば適する、つまり連続する自然数の組に設定すればよいことに気付いた生徒がいた。（下図）ある大学の入学式で、みかんを 13579 個、りんごを34567 個用意して、新入生全員に対し、同じ個数だけ行き渡る様にそれぞれできるだけ多く配ると、みかんが 1234 個、りんごが 1 個余った。新入生の人数を答えよ。
生徒の解答

差が１以外にも適した組合せがあったため、差が素数になればよいのではという考えで調べてみたが、うまくいかなかった。試行錯誤の末、それぞれの歯数が互いに素になるように設定することにはたどり着いたのだが、結果から「連続する２つの自然数は互いに素である」ことも生徒達が見つけることができたことには驚いた。さまざまなアイデアを出すことができたことも、表現力の向上に寄与していると思う。
ウ

２つの砂時計で計れる時間(1)５分計と３分計を用いて１分計る方法は？
(2)６分計と９分計で計れる時間は？
自然数ｍ，ｎを用いて、不定方程式や倍数の性質を利用できる。すべての時間を計ることができる砂時計の組合せも数学的に考えることができる。

エモンティ・ホール問題

機械的作業になってしまうので、今回は実施して過年度発行の部会誌などで紹介されているので、いないが、試行回数を増やせば確率は２倍に近づく

問題は省略する。事前に何も知らないで、化学教室と考えられる。また、あくまで確率的に２倍になるから借りたマッチ箱（下図参照）を使って簡易ゲーということで、実際に変えた方が必ず当たるわけでムをやってみた。実際に生徒に選ばせて、外れの箱はないことを強調しておいた。

を１つ開けて、「変えてもかまいませんよ？」と促

また、条件付き確率を利用しての解法についてもすが、「変えません」という答えが殆どであった。

学習したが、紹介した解答が一番支持を得たよう理由を聞くと「確率は変わらないので、最初に自分に、分かりやすい解答を望む声が多いのは残念であが選んだ方にする」という答えであった。

る。
オ

数当てカード上図の５枚のカードを使う。該当の数字が書かれているカードはそのまま表に、ないカードは裏返し「変えた方が確率が２倍になるから、変えた方がよてもらい、その人の誕生日（１～31）を当てるゲーい」というマリリン・ボス・サヴァントの答を紹介ムである。これが一番生徒たちの関心を惹いた。生した。信じられない生徒が多数居たので実験するこ徒たち一人一人に５枚のカードを手渡して、ゲームとにした。「変えたとき」と「変えないとき」の「当を繰り返し行った。ＴＶの影響もあるのか、生徒達たり」および「外れ」を数えた。「変えた」場合には「これは偶数ですね？」「20から30までですね？」

当たりが連続したため、早々に変えた方が当たり易といった私の言い回しに着目していたが、その方法い？という実感を持った生徒もいた。結果は下の表が分からず、すべて当てられるので、相当悔しがっのとおりである。
変えた
変えなかった当たった42
15ていた。

外れた1946

そのなかで、ある生徒が「一番右のカードは１個飛ばし、右から２番目のカードは２個ずつ２個飛ばし、３番目のカードは４個ずつ４個飛ばし！」とい数学的に考えてみようと時間を取った。

う意見を出してきて、面白い！と感じた。事実その一番支持を得た生徒の解答を紹介する。

側面があったからである。これは予想外であった。
また、ゲームの中で、一番右のカードだけを示された時には、１と答えるしかないので焦った。
そのうち、表になっているカードの左上に書かれている数を足せばよいことに気付いたが、その理由が分からなかったことは残念である。
実は16，8，4，2，1 は２のべき乗になっており、全部表であれば２進数の11111、つまり31を表しているということである。２進数を利用したマジックとして生徒たちの心に残ったのではないだろうか。
未だ実施していないが、目付字を次に紹介し、娯楽として数学を楽しんでいた江戸時代の先人達にも思いを馳せるとよいのではないか。
カ

背理法を利用した証明
夢のない話ですが、「タイムマシンは永遠に発明されることはない」ことを背理法を用いて証明せよ。

背理法は同じクラスにいる生徒の誕生日や無理題学習は、自分達が学習した数学がどのように利用され数の証明によく利用されているが、日常のちょっとているかを生徒達が実感できる。また、教員の立場からしたことに使えないかを調べてみた。前提も何もなも生徒たちの鋭い着眼点や面白い発想など普段の授業でく、背理法の学習が終わった段階の生徒に証明させは分からない予想外の発見が数多くあった。てみた。生徒の解答を紹介する。

課題としては、時間の確保と題材の選定が挙げられる。
課題学習に割く時間がなかなか取れず、長期休業中の課題としている現状がある。また、今回は作業を取り入れて実践することに主眼を置いて研究を行ったため、深い研究に到らなかった。次年度は、分野を絞り一貫性のある題材を設定し研究を行いたいと考えている。
≪参考文献≫

パラレルワールドの存在が面白い。パラレルワー

・「やじうま入試数学」（金講談社 BULEBACKS）

重明

・「大人のための数学勉強法」（永野裕之

ﾀﾞｲﾔﾓﾝﾄﾞ社）

ったが、①パラレルワールドの存在は考えなくてよ・「謎解き父さん」

朝日新聞社）

い②タイムマシンを作ったら未来の人は過去へ必・「とんでもなく役に立つ数学」

必要がある。また、職員室で会話をしていると、「夜空の星の光は、過去の光が地球に届いているため、光の速さ以上のスピードで飛ぶことができればそれはタイムマシンと呼べるのでは？」という考えにも触れることができた。
実施予定課題
ひき逃げ事件が起きた。目撃者は、タクシーが人をひいたと言っている。町にはタクシー会社が２社、Ａ社とＢ社がある。Ａ社の車の色は青、Ｂ社の車の色は白。目撃者は「白いタクシーを事故現場で見た」と言っている。
ただし、事故現場は見通しが悪かったので、見間違える可能性を 20％と考える。また、この町に走っているＡ社のタクシーとＢ社のタクシーの台数を調べてみると、Ａ社が 85％，Ｂ社が 15％のタクシーであったとする。
この目撃証言は信用できるか？
３

講談社 BULEBACKS）

ルドが生じることは正しいのか？という疑問があずやってくるといった前提条件を、より明確にする(3)

・「連分数の不思議」 （木村俊一

研究のまとめと今後の課題
今回教科書は殆ど参照せず、店頭で購入した書籍を参考にして実践した。知識としての紹介に留まることなく、生徒達に（カードを使う、マッチ箱で実験する、歯車を作って動かしてみる）といった作業を取り入れることに努めた。特に 2-(2)のイ、エ、オについては生徒たちの意欲を引き出すことに成功した。
この研究を行うことで、生徒たちの数学に対する意識が「面白い、楽しい」だけではなく、試行錯誤しながら考え、検証していく姿勢ができてきた。このように、課（伴田良輔（西成活裕

朝日出版社）

・「数学ガールの秘密ノート／整数で遊ぼう」（結城浩SB ｸﾘｴｲﾃｨﾌﾞ）