国公立大学入試問題の研究－複素数平面について－
愛媛県立松山東高等学校
1

はじめに私が数学Ⅲの指導をする中で感じることの１つは，複素数平面の単元を苦手とする生徒が多いことである。複素数の計算は，数学Ⅱで学習済みではあるが，数学Ⅲで扱う計算は，基本形以外にも，ド モアブルの定理を用いた極形式の変形など，煩雑なものが多いため，計算力自体がなかなか定着しづらい側面もある。さらには，数としての計算の意味を平面上における点や図形の回転移動に結び付けていく必要があるため，生徒たちも理解に苦しんでいるような印象を受ける。こういった現状において，大学入試問題で求められている力が何かを考察し，今後の指導に役立てていきたいと思い，この研究テーマを設定した。

本研究は，２０１８年の大学入試問題で出題された複素数平面の問題を取り上げ，それぞれの解法パターンを分析していく。
２

大学入試問題の分析＜２０１８ 福島大学 ＞
異なる つの複素数 ， ， がを満たすとする。
， ， を表す複素数平面上の点を ， ， とするとき，△はどのような形か答えよ。
【解法の分析】
から，よって，は，点を中心としてを･点は，点を点を中心としてだけ回転した点である。
よって，ゆえに，点であるから，は，点を原点を中心として･点は△の重心であるから，

点は△の重心であるから，点は△の重心であるから，点を中心として，を点だけ回転した点であだけ回転した点をは正三角形である。

したがって，回転した点である。
したがって，△は，の直角二等辺三角形である。

＜２０１８ 北海道大学 ＞
を虚部が正である複素数とし，，，を複素数平面上の 点とする。
△，△，△は△の内部と重ならない正三角形とし， 点 ， ， をそれぞれ △，△，△の重心とする。
点 ， ， が表す複素数をそれぞれ で表せ。
△は正三角形であることを示せ。

正とおく。

また，だけ浦だけ回転した点である。よって，とすると，△ゆえに，点点【解法の分析】，，，，，点 は，点 を原点を中心としてる。よって◎ 複素数平面上の図形問題

松展開して整理すると，よって， から，点 と点 は一致する。
ゆえに，△は正三角形である。

したがって，① から，＜２０１８広島大学＞

複素数平面上の 点，，，を頂点とする四角形を考える。ただし，四角形は，すべての内角がより小さい四角形 凸四角形 であるとする。また，四角形の頂点は反時計回りに， ， ， の順に並んでいるとする。四角形の外側に， 辺， ，，をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形，，，を作る。
点 を表す複素数を求めよ。
四角形が平行四辺形であるための必要十分条
件は，四角形がどのような四角形であることか答えよ。
四角形が平行四辺形であるならば，四角形は正方形であることを示せ。

【解法の分析】，，点 は，点中心として，を点とする。
をだけ回転し，との距離を倍した点である。したがって，ゆえに，と同様に考えると，，したがって，四角形，が平行四辺形

四角形が平行四辺形
よって，四角形が平行四辺形であるための必要十分条件は，四角形が平行四辺形であることである。
四角形が平行四辺形であるとき， から，すなわち，…… ①
ここで， の計算から，…… ②
また，…… ③②，③ からよって，すなわち，また，ゆえに，…… ④であるから，…… ⑤であるから，④ より，は純虚数であるから，⑤，⑥ から，四角形は正方形である。

…… ⑥が平行四辺形ならば，四角形

◎ 方程式の解に関する問題◎ 複素数平面上の集合問題＜２０１８ 東京工業大＞， ， を実数とし， つの 次方程式…… ①…… ②の解を複素数平面上で考察する。
つの方程式 ①，② がいずれも実数解をもたないとき，それらの解はすべて同一円周上にあるか，またはすべて同一直線上にあることを示せ。

＜２０１８

信州大学

＞

は有限個の複素数からなる集合で，，，ならばを満たすとする。とするとき，次の問いに答えよ。となる自然数をが存在することを示せ。

を満たす自然数のうち最小のものとする。

このとき，であることを示せ。

【解法の分析】
方針
次方程式の実数解に関する条件を利用して解く。
①，② がいずれも実数解をもたないとき，すなわち，① の解は…… ④

よって，条件…… ⑤

すなわち同様に考えていくと，すべての自然数 に対して② の解は【解法の分析】であるから，条件よりより，…… ①④ の つの解，⑤ の つの解はそれぞれ互いに共役である。
， ，…… が の値によってすべて異なるとすると，よって，④ を表す つの点，⑤ を表す つの点はそれぞれが有限個の複素数からなる集合であることに矛盾する。
実軸に関して対称である。
よって，…… ② となる異なる自然数 ， が存在のとき，④，⑤ の表すする。
としても一般性を失わないから，の場合をつの点は，点を通り考える。
条件のより，であるから，② の両辺に実軸に垂直な直線上にある。のとき，④，⑤ の表すつの点を結ぶと等脚台形ができる。
等脚台形は， つの内角がその対角の外角に等しいから，円に内接する。
よって，①，② の解はすべて同一円周上にあるか，またはすべて同一直線上にある。
※ 解がすべて同一円周上にあるとき，円の中心は，④ の表す つの点を結んだ線分の垂直二等分線上，すなわち実軸上にある。

を掛けると，， は自然数で，であるから，る。したがって，となる自然数は自然数であが存在する。

とおくとよって， は の乗根の つである。

また，であるから， ， ， ，……，れぞれ 乗すると，すべて になる。
ゆえに， ， ，ある。
一方， ， ，，……，，……，はすべて のをそ乗根での中に等しいものが存在するとすると，，，を満たす整数 ， が存在する。

，

このとき，，これはを満たす自然数のうち最小のものであがることに矛盾する。よって， ， ，て互いに異なる複素数である。 の， ，，……，ですべてである。 は のであるから， は ， ，致する。したがって，
すなわち，，……，はすべ乗根は 個あるから，乗根，……，のいずれかと一と ① より，

◎

乗根の問題

＜２０１８
＜２０１８

鳥取大学

＞

積＞

つの整式

を満たす複素数は全部で， ，……， とする。
和東京学芸大学，個あり，それらをりを，に対し，をで割った余をで割った余りをとす，を求めよ。

る。

を満たす 個の複素数をすべて求めよ。の値を求めよ。
……
…… の値を求めよ。とするとき，【解法の分析】…対称性を利用した解法を満たす有理数の組…… ① とすると，であるから，， ， ， を 組求めよ。

【解法の分析】

より，･，両辺の絶対値と偏角を比較すると，，であるから，は整数であるから，また，の範囲で考えると，よって，求める解は，，，，， ，……，，，，，，の結果から， ， ，……，，，

ド モアブルの定理から，，であるから，，を次のようにおける。

，，である。

から，であるから，，，･･，であるから，，，，･，よって，，，，，ゆえに，，よって，求める ， ， ，，ゆえに……
より，，，，，，よって，同様にして，よって，，……

，･･，･･ ･ ･ ･ ･ ････，，の組は，

◎ 複素数平面上の軌跡と領域の問題と＜２０１８ 愛媛大＞
を虚数単位とし， を実数とする。複素数平面において，点 が 点 ， ，， を頂点とする四角形の周を動くとき，が表す点の描く線で囲まれた図形をとする。の絶対値と偏角を求めよ。
ただし，偏角は 以上未満とする。の概形を描け。
複素数平面における図形 を， は実数，，と定義し， との共通部分の面積をすなわちの共通部分は，右の図の斜線部分のようになる。
において，は単調に増加するから，の最大値は，は 辺の長さがの正方形の面積の半分であるから，とすなわちの共通部分は，右のとする。

図の斜線部分のようになる。
から，右の図の斜線部分をただし，共通部分がない場合や，共通部分が線分や点の場合は，とする。の最大値とそのときの の値を求めよ。

除くと， つの直角二等辺三角形ができる。下側にある直角二等辺三角形の高さは，【解法の分析】

よって，の絶対値は･，偏角は同様に考えると，上側にある直角二等辺三角形の面積は，･から，ゆえに，したがって，点のとき底辺の長さは，よって，その面積は，のとき，ゆえに，のときは，点を原点を中心としては 辺の長さがだけの正方形の面積からを引いたもので，回転し，原点からの距離を倍した点である。
点 の軌跡は図 のようになる。
は，この軌跡上の各点を，原点を中心としてだけ回転し，原点からの距離を倍してできる正方形である。
よって， は図 の斜線部分のようになる。
ただし，境界線を含む。

よって，る。

において，はで最大値 をとすなわちのときと同様に考えると，において，減少するから，の最大値は，は単調に

また，

図図形
は，図は右の図の斜線部分のようになる。
を虚軸方向に だけ平行移動した図形である。
すなわちのときとの共通部分はないから，とすなわちのときの共通部分はないから，～から，はで最大値 をとる。

＜２０１８静岡大＞

である複素数＜２０１８に対して，名古屋工業大＞とする。

点 が複素数平面の虚軸上を動くとき，次の問いに答えよ。
が描く図形を複素数平面上に図示せよ。の最大値と最小値を求めよ。

を満たす複素数
また，このときの値を求めよ。の値を求めよ。

が実数となるような複素数が表す複素数平面上の点全体は，どのような図形を表すか。

【解法の分析】

が実数となる複素数と，から，すなわち，…… ①とすると， ① の左辺， ① の右辺り，矛盾する。 よって…… ②
したがって，であるから，① の両辺をを満たす複素数の最小値を求めよ。となで割について，【解法の分析】の両辺にると，を掛けて整理すると，は虚軸上にあるから，ゆえに，であるから，よって，これはを満たす

ゆえに，両辺にを掛けると複号同順 であるから，

よって，これと ② から， が描く図形を複素数平面上に図示すると，右の図のようになる。

は，点と点であるから，の距離に等しい。
･

また，が最大となるのは，が右の図において の位置にあるときであるから，求める最大値は，が最小となるのは，が右の図において の位置にあるときであるから，求めすべて複号同順のとき，が実数であるとすると，
すなわち，両辺にを掛けると，よって，る最小値は，が最大となるときしたがって，が最小となるとき

すなわち，ゆえに，以上から，またはまたはは実数 またはが実数となるような複素数が表す複素数平面上の点全体は，実軸および原点を中心とする半径の円である。ただし，原点を除く次のように考えて解いてもよい。
， は実数， ，， とおく。

このとき，＜２０１８

大阪市立大＞

を虚数単位とする。
複素数平面上の 点
したがって，を頂点とする △点

複素数

すなわち，またはは，点を中心とする半径の描く図形を図示せよ。
を満たす実数 が存在するようなの範囲を求め，複素数平面上に図示せよ。

， は実数から，の円上にある。

また，は 点 ， の距離を表す。
から， は原点を除いた実軸上または原点を中心とする半径 の円上にある。

を考える。

【解法の分析】
方針， は実数 ，とおく。

が実数となるとき，点，がこの三角形の辺の上を動くとき，複素数が表す点

よって，，よって，したがって，とおく。

が原点を除いた実軸上にあるときが最小となるのは，
点 ， が右の図の位置にあるときである。
このとき，ゆえに，
点，が線分上を動くときかつが原点を中心とする半径の円上にあるときが最小となるのは，
点 ， が線分上にあるときである。

…… ①であるから，① より，かつしたがって，かつかつかつかつすなわち，であるから，このとき，よって，点 は右の図の実線部分を動く。
点 が線分上を動くときかつ，から，であるから，① よりの最小値は，かつしたがって，かつかつかつかつすなわち，よって，点は右の図の実線部分を動く。

点が線分上を動くとき

かつ◎ 複素数の絶対値の最大値に関する問題であるから，① より，かつしたがって，かつ＜２０１８ 京都工芸繊維大＞を正の実数とし， を実数とする。絶対値が の複素数 に対して複素数 をで定める。複素数の絶対値を求めよ。と を実数とする。絶対値が の複素数 に対して複素数かつ，を，で定める。

すなわち，かつア複素数の実部と虚部を求めよ。

かつ
イ
よって，点ウは右の図の実線部分を動く。

～ から，点 の描く図形は，右の図の実線部分である。

を求めよ。
がくときのを満たし， がの範囲を動の最大値を求めよ。

【解法の分析】･円の通過領域に関する問題である。
… ② を満たす実数 が存在するとする。
から，よって， 実部
イ ア より，すなわち，よって， は点とする半径の結果を利用すると，の円の周上またはくとき，点すなわち点上で，直線，上を動く。との距離がよって，は複素数平面
ウとすると， イ より，である点の集合は，直線， 虚部

また，を中心内部にある。 が実数の範囲を動

直線

アより

だから，，よって，直線を表す。
･

よって， は不等式の表す範囲にある。
逆に， がこの範囲にあるとき，② を満たす実数 が存在する。
ゆえに，求める複素数 の範囲を複素数平面上に図示すると，右の図の斜線部分のようになる。
ただし，境界線を含む。

とおくと，とすると，より，とすると，…

におけるの増減表は右のようになる。
･…

でのとき，複素数平面上の表す点は，点 を つの頂点として，単位円に内接する正 角形の各頂点である。
このとき，右の図から最大･･よって，はで最大値ゆえに，をとる。

は最大値･を満たすでこれは，， のときも成り立つ。
よって，すべての自然数 において，すべての， ， ，……，に対して，をとる。

◎ 数列との融合問題＜２０１８山口大＞

より，方程式の解をすべて求め，極形式で表せ。
ただし，解 の偏角 はとする。
で得られた解を偏角が小さい順に ， ， ，…
とおく。
…，
このとき，すべての， ， ，……，て，よって，に対し･が成り立つことを示せ。ただし，のとする。

に対してとするとき，＜２０１８複素数を求めよ。

滋賀医科大＞， ， ，……，，…… を，， ， ，……

【解法の分析】
より，より，よって，であるからで定める。また，とおくと，より，よって，，， ， ，……，とおく。ただし， は虚数単位である。
をを用いて表せ。

， ， ，……，とすると，よって，は実数であることを示せ。

， ， ，……，

逆に，， ， ，……

を求めよ。
複素数平面上において，， ， ，…… で表されるすべての点は同一円周上にあることを示せ。

である。
【解法の分析】の解は，， ， ，……，より，のときであるから，のとき，･であるから，よって，

類題
数列

＜２０１８

宮城教育大＞，，を，，，よって，数列は初項 ，公比の等比数列であるか， ， ，……

ら，すなわち，･によりは実数である。
定義する。 を虚数単位として，とをより，が成り立つように定める。
よって，より，の値を求めよ。
数学的帰納法を用いては実数であるから，ゆえに，， ， ，……
が成り立つことを示せ。
複素数 に対して，すなわち，は実数であるから，が成り立つことを，数学的帰納法を用いて示せ。
無限級数であるから，…… ① より，よって，…… ②，，， ， ，…… とする。

ここで，① よりまた，と仮定すると，① より，これは，･に矛盾する。

よって，ゆえに，より， ， ，……

……

よって，点ならば，，は異なる点である。

は実数であるから，は純虚数である。

すなわち，② から，したがって，すべての点は線分を直径とする円の周上にある。
より，は実数であるから，よって，すなわち，すべての点円周上にある。

は原点を中心とする半径 のの和を求めよ。

◎ 確率との融合問題＜２０１８となるのは，広島大＞

その確率は，， ， ， の数字が つずつ書かれた 枚のカードがある。この中から 枚を取り出し，書かれた数字を見てもとに戻す。この操作を 回繰り返し，カードに書かれた数字を順に ， ，……，とする。ここで， はよって，この場合の確率は，かつの場合となる確率は，以上の自然数である。
さらに，複素数の数列のときであるから，となる確率は，を用いて，項数を，から，よって，この場合の確率は，，， ，……，により定める。
なる確率を， ，……，とし，とかつとする。となる確率は，に対し，となる確率をを求めよ。の場合となるのは，， ，……，とする。
率を求めよ。
， ，……， とする。とを用いて表せ。
， ，……，となる確となる確率を，に対し，を表せ。
， ，……，に対し，その確率は，よって，この場合の確率は～を用いてのときであるから，は互いに排反であるから，を求めよ。
すなわち，【解法の分析】
カードを取り出す試行で定まる複素数を用いた確率の問題である。 ， ，……，はそれぞれ ， ， ， のいずを変形すると，れかの値をとる。また，
すなわちとなるのは，のときである。よって，その初項は，となるのは，操作をよって，数列

よって，求める確率は，ゆえに，，類題
同様に考えていくと，……

， ，……，に対して，が成り立つ。

はの累乗であり，であるから，のいずれかである。となる確率がから，，となる確率がとなる確率がである。となるのは，次の合である。
かつの場合となる確率は，から，金沢大＞と，整数をとる。

個のさいころを投げる試行を繰り返し行う。
， ，…… に対して，回目の試行で 以下の目が出た場合回目の試行で より大きい目が出た場合が実数である確率…… と定める。とする。とし，のいずれかであり，から，＜２０１８複素数であるとなる確率は，は ， ，から，すなわち，，は ， ，の等比数列である。

， のときである。

回繰り返すとき，各回の試行は独立である。

よって，は公比をである～のいずれかの場を極形式で表せ。
， ， を の式で表せ。
回試行を繰り返したとき， 以下の目が出た回数を とし， より大きい目が出た回数を とする。
が実数であるための ， についての条件を求めよ。のとき，を求めよ。

◎ 証明問題＜２０１８埼玉大＞

複素数平面において，点通る円を，を中心とし，原点をとする。 上に 以外の相異なる 点をとる。 と を通る直線を ， と，を通る直線を， ，， とを通る直線をとし，点に下ろした垂線の足をそれぞれから，，とする。ととる。 点 ， ， および 点 ， ，がそれぞれ一直線上にないとき，△と△は二等辺三角形であることを示せ。
複素数 ， ， を ， ， を用いて表せ。
点 ， ， は同一直線上にあり，点 からその直線に下ろした垂線の足を表す複素数はであることを示せ。

【解法の分析】
複素数平面を利用してシムソンの定理を証明する。
省略，であるから，よって，点 は原点 と異なる。
より，であるから， は 点 ， から等距離にある。
また， より，であるから， は 点 ，から等距離にある。ゆえに，
点 ， はともに線分の垂直二等分線上にある。
異なる 点 ， を通る直線はただ つであるから，直線 は線分の垂直二等分線である。
よって，は線分の中点であるから，同様に考えると，複素数平面上に点から，点は，をとる。

を中心とする半径の円上にあるから，したがって，･
よって，…… ①

同様にして，また，，，，，…… ②であるから，から，よって，点 は原点 と異なる。
①，② から， 点 ， ， はすべて線分の垂直二等分線上にある。
ゆえに， 点 ， ， は同一直線上にある。
点 から線分の垂直二等分線に下ろした垂線の足は，線分の中点であるから，それを表す複素数は，

４

おわりに複素数平面という分野は，複素数を平面上の点に対応させることで，複素数を図形的に考えることが可能になったり，逆に，図形を複素数で考えることも可能になったりと応用力が必要になってくる。そのため，複素数の演算の持つ図形的な意味を把握することがとても重要になる。また，計算が煩雑になる場合が多く，学習時期も遅いため，入試時期までに理解を深めるだ
けの時間的な余裕がなく，問題演習をこなしているだ
けになっている可能性も高いのが現状である。こういった現状を踏まえて，生徒たちの学習意欲を向上させるためにも，既習事項との関連性を示しながら丁寧な指導を行っていく必要がある。今回の研究で得られたことを今後の指導に生かしていきたい。

【参考文献】
年度 全国大学項目別数学入試問題詳解（聖文新社）