国公立大学入試問題の研究－整数問題の研究－
愛媛県立松山東高等学校
1は じめに① を変形すると，項定理，数列，数学的帰納法など，さまざまな分野の知識を総合的に扱とおくと，うため，公式一辺倒では解けない問題が多い。そのため，暗記中心の学習スタイルの生徒にとってはとても苦労する単元である。このような特，として，整数を採用する大学も少なくない。

，

は，この方程式の整数解のよって， ， ，本研究では，昨年の大学入試問題を中心に出題内容ごとに分類し，解から法の分析を行うことで整数の単元における体系的な学習指導に役立てていきたいと思い，この研究テーマを設定した。

･②

は互いに素であるから，整数

人文社会学群＞を満たす整数の組，を組求めよ。

＜２０１９･，･を導き出す。

福島大学

理工学群＞

で割ると余るようなとの最大公約数余り，余るようなで割ると余り， で割ると余るような，

すなわち，，，となり，は最小値をとる。のとき ④ から，したがって， ， ，，

長崎大学

等式

，のときは最小値をと

経済 水産 教育 環境＞を満たす自然数の組，をすべて求めよ。

【解法の分析】因数分解を利用して解の絞り込みを行う。となる。
は整数 ，で割ると，余る整条件を満たす自然数の組，次不定方程式を解いて，は整数

ゆえに，を解いて，よって，求める自然数は，･＜２０１９…

整式，

次に，は整数を解くと，は整数

ゆえに，富山大学…

を考える。

を因数分解せよ。
を満たす整数の組，をすべて求めよ。
を満たす自然数の組， ，をすべて求めよ。

， ，…①① より，･東京工業大

人間発達科学 経済＞【解法の分析】因数分解を利用して解の絞り込みを行う。

を解いて，よって，求める自然数は，は，， ，， ，， ， は整数の解が，，， ， ， ， ，， ，条件より，， は整数なので，ゆえに， ，＞を満たす整数の組， ，，， ，を満たす整数の組， ，，，，， ， ， ，，， ， ，を組求めよ。のの値が最小となるもの，およびその最小値を求めよ。

， の値は… となるので，から，中でをそれぞれ最小にするる。

は整数 と表せるので，２０１８， は整数であるから，このとき，は整数 と表せ，求める最大の自然数は， ･で割ると 余る整数は，と表せる。
，＜２０１９余る整数はを解くと，＜発展類題，桁の自然数のうち，【解法の分析】数はは互いに素であるから，整数 を用いてまた，余り，･と桁の自然数のうち，最大のものを求めよ。

で割るととここで，最大のものを求めよ。
で割るとと表せる。

ゆえに，桁の自然数のうち，最大のものを求めで割ると･したがって，から･よ。
で割ると…… ④

よって，を求める計算式を利用して， 組の特殊解を求める。
･を用いてしたがって，【解法の分析】ユークリッドの互除法により，，つである。

このとき，より，･は ① を満たす整数の組ののとき方程式 ② は，福島大学つである。

…… ③･③ から，と＜２０１９， ，，大学入試問題 の分析『不定方程式に関する問題』…… ②つである。

は，② の整数解のこのとき，性から、受験生の総合的な思考力，論証力の有無を判断するための問題

この

正…… ①

整数問題は一種の総合問題であり，方程式 不等式，論理と集合，２松浦， ，つまり，， ， は自然数なので，，，よって，，ゆえに，， ，，， ， ， ， ，＜応用類題

２０１８

福島大学

＞

『約数 倍数に関する問題』

和の絶対値と積の絶対値が等しくなる

つの整数の組をすべて求めよ。

＜２０１９

徳島大学

自然数
題意を満たすつの整数を ， とする。

条件から，はのとき，の個数が，， ，，，を整数として，のとき，のとき，，， ，，， ，，，いずれも，の倍数となるので，すべての自然数， ， ， ，

２０１８

東北大学

，＞

，

より，

よって，から，で割った余りはをであり，で割った余りはのときはをしたがって，ならば，，となる。

で割った余りはよって，を用いて，と表せる。

正の整数…… ③以上の整数で，， ，… ，，を満た③ よりは奇数，から，このとき ③ から① から，したがって，ⅱ，なので，琉球大学

任意の自然数であるから，との最大公約数は以上のことから，したがって，･はともには以上の整数 の形で表せる。

よって，はで割り切れることを示せ。

を因数分解すると，では連続，個となる自然数は，次の場合がある。

工 理 医 農 教育＞に対して，【解法の分析】はともに偶数であり，ある。
また，個となる自然数， ， ，を求めるまでの別解

より

は自然数

は異なる素数 と表されるとき最小のものは，，，…，は素数 と表されるとき＜２０１９＊からである。

は互いに異なる素数， ，以上で最小のものは，よって，からとする。

である。ゆえに，ⅰ

よって，したがって，，以の正の約数の個数は，…

正の約数の個数がちょうどよって，･個であるような，よって， を素数とすると正の約数の個数がちょうどは，す。
②

国際教養 理 医 薬 工＞…

…… ②と表せる。ただし， ， は千葉大学【解法の分析】…… ＊は素数であるから，，を求めよ。

このとき，したがって，，を求めよ。のとき
より， は自然数だから，，上の自然数の中で最小のものをのときから， ･，正の約数の個数ちょうどは偶数である。

，･，＜２０１９となる。

，のとき，これを解くと，であり，偶数のときはは平方数，およびだから，，以上より，の倍数である。

よって，の倍数である。

これを解くと，であるで割った余りは， ， を繰り返す。

すなわち， が奇数のときはまた，をはとなる。のとき，

ⅱ

したがって， ， はともに正となる。
をとなり，またはよって，から，，である。
ⅰゆえに，から，ゆえに，をすべてあげよ。

より，をを満たす自然数 ，かつ，これより，ならば， は偶数であることを示せ。

，のと表せる。

…… ① を満たしているとする。
， はともに正となることを示せ。
，は条件から，異なる素数 ， を用いて，整数 ， は等式① を満たす整数の組に対して倍数である。
， は，＜応用類題をすべて求めよ。

は整数である。

よって，から，の正の約数･ より，正の約数の個数は，， ， ，のとき，個であるような個あり，かつ【解法の分析】，から，ゆえに，の倍数であることを証明せよ。

は整数である。

よって，ここで，と定める。の相異なる素因数の個数がから，ゆえに，に対し，の正の約数の個数を求めよ。

よって，ここで，理工 医＞

整数の積なので， の倍数である。

を法として考えると，のとき，のとき，のとき，のとき，よって，いずれの場合もとなるので，は の倍数で＜ある。
ゆえに，とは互いに素なので，は応用類題をで割り切れる。

２０１９

信州大学の最大公約数
は整数の経法 工 理 医＞

がで割り切れるような自然数をすべて求めよ。

がで割り切れるような自然数をすべて求めよ。

が偶数に対して，であるから，であるから，互除法の原理により，が，ⅰが奇数で割り切れる自然数が奇数のとき，は，，のとき，のとき，ⅱで確認済みなので，は 以上の整数 と表される自然数である。
･
よって，求める自然数は， で割って 余るもの，または で割って，ⅰ，がが奇数のとき以上より，余るものである。
つまり， 以上の整数でも成立が偶数のとき，で，かつ偶数となは，＜２０１９の，は正の整数のとき，乗にならないことを示せ。

とき，【解法の分析】

るを求めよ。

【解法の分析】
･

自然数

理科＞

以上の整数とする。と＜２０１９東京大学が偶数のときが奇数のとき，を用いて，の考察より，，，， は互いに素，島根大学で割ってしたがって，＞余る自然数であるとき，に対し，はが整数の乗となるためには，， は互いに素な整数 となることが必要。すなわち，は，の倍数であることを示せ。
すべての自然数とおける。

を消去すると，の倍数であることを示せ。
すべての自然数 ， に対し，……の倍数であることを示せ。

は……

ところが， を整数とすると，よって，は整数のⅱの考察より，【解法の分析】
省略が偶数のとき，省略は，整数

るためには，， …… ，のいずれかで表のいずれかは……の倍数であるから，は……の倍数である。のときをを……
よって，……

よって，であるから，は存在しない。

，

は整数のより題意は示された。

＜２０１９で割った余りは，で割った余りに等しい。
は自然数

は……

大阪府立大学で，現代システム科学＞が素数になるものをすべて求めよ。

を満たす整数の倍数となる。

……

， の組

，は……の倍数である。のときが素数になるとき，がの倍数であるとき，とおく。

とかく。

から，よりが素数になるとき，

……

……

ⅰ……

はは……
……
から，すべての自然数 ， に対し，……

はの倍数であるから，またはのとき，このとき，したがって，で，が素数になるものをすべて求めよ。
【解法の分析】

つの整数 ， について，……

，で，から，すべての自然数 ， に対し，の別解，， の組が素数になるものをすべて求めよ。の倍数であ以上の整数……

乗にならない。となるから，る。
，， は互いに素な整数 とな

よって，以上乗とな『素数に関する問題』

で割った余りは……

が整数の，となる整数のときは整数 をとることが必要。ところが，せる。
， …… ，乗にならない。

は互いに素であるから，を用いて，，，， ，であるから，これは不合理である。

，となり適する。

ⅱのとき，に代入すると，の倍数である。
これより，の倍数である。
よって，，，，，

このとき，以上から，となり適する。

，ある。

， ， ，

このとき，① の左辺は偶数，右辺は奇数となり矛盾する。
よって， ， ， のうち少なくともとおく。

つは偶数である。

， ， がすべて素数であると仮定する。

を因数分解すると，だから，このとき，が素数になるとき，より ， ， のうち少なくとも， のうち少なくともとなることが必要になる。

つはまたはよって，つは偶数であるから， ，である。のときとしても一般性は失われない。
，，，

これを解くと，ともにこのとき，① からより，または，よって，…… ②， は正の整数であるから，，， ， ，このことと，が素数となり，条件を満たす。との偶奇は一致することから，② を満たす正の整数 ， は存在しない。のとき
＜２０１９

京都大学

理系＞

このとき，① からとする。
る整数とがともに素数となとなり，これを満たす正の整数 ，は存在しない。

をすべて求めよ。

，

から， ， ， がすべて素数であり，かつ ① を満たすものは存在しない。
【解法の分析】の偶奇はとよって， ， ， のうちに素数ではないものがある。の偶奇，すなわちの偶奇と一致する。の偶奇は異なるので，えに，とと別解の偶奇も異なる。ゆがともに素数となるのは，， ， がすべて素数であると仮定する。

① から，またはよって，， は正の整数であるから，のときに限る。
ⅰのとき， は差が，ⅱのときⅲのときは整数である。

これはⅰ と同様にして，，の素数であるから，，このとき解なし

ⅳ，と， が素数であることに注意すると，が整数であることに矛盾する。

よって， ， ， のうちに素数ではないものがある。
『記数法に関する問題』，のとき＜２０１９ⅱ と同様にして，解なし
よって，，＜２０１８類題

，

福島大学

理工学群＞

七進法で表された次の数の計算の結果を七進法で表せ。

，京都大学【解法の分析】筆算で計算すると，理系＞が素数となるような整数をすべて求めよ。

【解法の分析】

は連続するよって，整数の積であるから， の倍数である。

＜２０１９名古屋大学

正の整数の正の平方根で表すと，小数第は整数 とおくと位は理 工 農 医 情報＞
は正の整数ではなく，それをであり，第位は進法以外の数であるとする。

このようなの中で最小のものを求めよ。

このようなを小さいものから順に並べたときに番目にくるものを求めよ。
は整数なので，よって，はの倍数である。

が素数となるとき，その値は【解法の分析】である。の整数部分をとおくと，ゆえに，すなわち，したがって，よって，したがって，を， ，との差は，を満たす。

進法で表すと，より，これを変形すると，＜発展類題

２０１８

正の整数の組， ，東北大学＞が次の式を満たすとする。の動ける範囲は，， ， のうち少なくとも…①つは偶数であることを示せ。

， ， のうちに素数ではないものがあることを示せ。

① において，とすると，これを満たす最小の自然数【解法の分析】…… ①， ， がすべて奇数であると仮定すると，，，はすべて奇数ではゆえに，求める最小のは，① において，のとき，であり，である。
であり，のとき，より，また，である。のとき，は，なので，＜２０１８

岡山大学

理 医 工 農 環境理工＞， を正の数とする。数列

であり，このときの，を満たす。

を，， ， ，…

により定める。以下の問いに答えよ。
，を ， を用いて表せ。
， ， ，… がすべての自然数になるような ， の組をすべて求めよ。

上の表より，小さいものから順に並べたときに【解法の分析】

番目にくる数はに『確率との融合問題』＜２０１９を，神戸大学

理 医 工 農 国際人間科学＞，で割った余りが，となる確率をとする。

を求めよ。となる，･を求めよ。のとき，，･以上の整数とする。 個のサイコロを同時に投げるとき，出た目の数の積を， ，…， を代入していくと，，･をすべて求めよ。
･【解法の分析】 個のさいころを区別し，一方のさいころの出た目を，他方のさいころの出た目を，とする。

は，より，数列は周期がの周期数列であるから，として，と同値だから，･は，･またはと同値だから，･同様にして，･･であるから，のとき，が自然数であるとき，が成立する。
よって，･，より，かつが必要である。これらを整理すると，，のとき，の範囲で調べる。 ， をは，…①であるから，以上…②以下の整数とする。

を満たす，が， 以外に個かつを満たすが個だけ存在し，かつかを満たす ， が存在しないことと同値である。

まず，の約数となる整数，について，･ ，･･， ， ，･･， ･， ･･， ･以上から，すなわち，が成立する。の約数となる整数， ･について，，となる。

は， に属する整数のうち， ，，， ･･ ， ･， ，となり，以外のもの，，は自然数となる。のとき，となり，， のとき，は自然数となる。のとき，となり，は自然数となる。

よって，求める ， の組は，， ，， ･， ， に限る。

このとき，ⅱ…③となり，③ を満たさない。のとき，このとき，となるので，となる

ⅰⅲ･

次に， に属し，かつ，･のとき，① からすなわち，だけ存在すること，すなわち，つかつ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，を自然数

『図形との融合問題』

やはり，教科書で学習する基礎基本の徹底が大切であることを再確認できた。次の新学習指導要領では，数学

＜２０１９

新潟大学

理 医 工 農 歯＞

半径がそれぞれ ， の円をに点をとる。はじめに，点，とする。

上に点を一致させ，をせながら滑らないように回転させる。ここで，点るときをの回転の要があれば，自然数，上可能性もある。「大学入学共通テスト」を含めた今後の入試全体の動向に外接さにも注意をしながら，それぞれの単元ごとの入試問題研究を続けていきが再び上にく， の最大公約数を上の点，が上の点で表せ。に再び一致す，とおく。ここで， ，は互いに素な自然数， ， も互いに素な自然数とする。
上の点に再び一致するとき，上の点は何周期回転しているか， ， ， ， を用いて表せ。
， は互いに素な自然数とする。
が周期回転したとき，点このとき，，，…，， ， …， に対して，が一致する

は上の点ををちょうどとする。

等分することを示せ。
【解法の分析】て，の円周の長さはそれぞれ，がに一致するまでに円の接点は，，は，回転後，初めて周上をであり，回転後初め， の最小公倍数 だけ移動する。

，この間に円，周し，がに一致するとき，それまでに接点が周期回転したとすると，これを満たす最小の自然数つまり，周期回転する。

は

は，，のの最小公倍数，， ， ，…， を で割ったときの余りをそれぞれ， ， ，…， とする。
である
このとき，， ， …，だけずれた 中心角

は，円周のはじめのの位置から位置にある。

， ，…，， ， ，… ，であることを証明すれば，，が等分することが示せたことにな，…，をちょうどる。
， ，…，は ， ， ，…，のいずれかであり，もしも，この中に一致するものがあると仮定し，それを，とする。
このとき，，つまり，はの倍数であるが，， ， は互いに素であるから矛盾が生じる。
したがって，，４，…，， ，…，は， ， ，… ，をちょうどであり，等分することが示せた。

おわりに① 因数分解や素因数分解を活用した解の範囲の絞り込み② 約数，倍数，素数の性質や証明に関する内容③ 剰余類の性質を利用

以上の【 参考文献 】
年度

は何周期回転しているかを， ， を用いて表せ。

， を正の有理数とし，がたい。

周期とする。次の問いに答えよ。ただし，必， を自然数とする。
るとき，において，整数の性質が大項目として扱われなくなるため，出題頻度や出題傾向にも変化が出てくる点の要素がほとんどの入試問題に含まれていた。整数を扱う数

列 漸化式や確率などと融合され，受験生を苦しめる分野ではあるが，全国大学数学入試問題詳解 国公立大学（聖文新社）

年度

全国大学数学入試問題詳解 国公立大学（聖文新社）