中四国の国公立大学入試問題の研究－

推薦入試の問題から －愛媛県立新居浜西高等学校 松本

１ はじめに

問

下線部
に関して，共通接線の本数と ， の値の関係について考察せよ。結果だけでなく理由も明記すること。

四国地区には， つの国立大学， つの公立大学が設置されている。中国地方には， つの国立大学，ている。国立大学では，約の公立大学が設置され％，公立大学では，約ため，昨年度に引き続いて，中四国の国公立大学の試問題で出題された数学の問題を取り上げた。
年度四国の国公立大学

問

下線部の理由を説明せよ。

％の生徒を推薦入試により学生募集を行っており、昨年度と同程度の割合である。私たちが生徒に指導する際，過去問を解かし，その傾向を見つけることで対策を講じることができると思う。その

２ 平成

推薦入

次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
，，，～～が成り立つかどうかは以上でない実数とし， 次関数のグラフ上の点おけるのグラフの接線の方程式をことができる。
二つの次関数とと，るのであれば，何本あるのだろうか。いま， は実数とし， と以上のグラフの共通のグラフとのグラフの共通接線の本数はちょうどとがわかる。のときも，接線の本数はのグラフと本であるこのグラフの共通本なのだろうか。このことを考えるために，

ⅲのとき，，とすれば，とき，とすれば，のグラフとの共通接線は本ある。のとき，，つの→←→，…，次関数とはをでない実数とし， 次関数のグラフ上の点のグラフの接線の方程式を問

下線部の理由を説明せよ。

問

下線部の理由を説明せよ。とと以上以下の整数，と， ，…，以上←→←→←→が同時に成り立っているとき，，き，～，が成り， ，，，，～，←も成り立つ。また，以下のある整数 ， ， に対して

問，以下のある整数 ， に対して，←→←→とも成り立つ。

， ，，，とする。このとがそれぞれ成り立つかどうかを理由を付けて答えよ。
以上

以下のすべての整数 に対して，，，を用いて表せ。

，の与え方による。

下線部と，～が成り立つかどうかは

問におけるが同と書くこととする。

問を，以上～のグラフとをこのようにおいた場合の共通接線の本数を調べる
ことに帰着される。
するとき，とのグラフと，～が成り立つとは限らない。

が成り立っているとき，のでない実数とする。二をそれぞれ～以下のすべての整数 に対して，以上のグラフとおいてみよう。実は， 一般の二つの 次関数に対して，それらのグラフの共通接線の本数を調べることは，

問のとき，立つ。また，のグラフの共通接線の本数は， と のすべての値に対しては，どうなるだろうか。
今度は， と は実数とし， とのが成り立

以下のすべての整数 に対して，，のグラフの共通接線は存在しない。同じく～以上の整数以上の場合を考えてみよう。と～も成り立つ。一方，が存在するとき，以上と を用いて表してみると，と ，ⅱみよう。
接線の方程式を，ⅰとのグラフとのとき，，以下の整数 ， に対して，次の ⅰ ， ⅱ ， ⅲ をすべて満たすについて，それらのグラフの共通接線を考えてのとき，～以下のある整数 ， ， に対して…，のグラフとでない実数とする。二つの 次関数，以下のある整数 ， に対して，時に成り立っていても，のグラフの両方に接する直線を，との共通接線と呼ぶ。共通接線はいつも存在するのだろうか。存在すはにも属するようなもの

以下のすべての整数 に対して，が成り立っているとき，にを用いて表すに対して，の点で領域以下の整与え方による。

１ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
微分を学んだことで，曲線の接線の方程式を求めることができとするとき，を座標平面上の点とする。と書くことにする。

つ。また， 以上を，を正の実数とする。 以上

数 ， に対して，領域があるとき，・推薦入試問題，…，また， ， ，…，

高知大学 理工学部 数学物理学科（数学受験）推薦入試Ⅰるようになった。例えば， を慎の理由を説明せよ。
，とする。このとき，が成り立つかどうかを理由を付けて答えよ。
問

下線部の理由を説明せよ。

問

下線部の理由を説明せよ。

高知大学 医学部医学科

入試Ⅰ 総合問題ⅠⅠ
を実数とし， 次関数をとする。このとき，次の設問に答えなさい。
設問のとき，の増減表を書き，の概形を書きなさい。のグラフ

設問

が つの相異なる実数解をもつようなを求めなさい。の範囲

設問

が実数解を，もつような設問

以上

以下の範囲で曲線とつもつとき，曲を満たすすべての実数が成り立つようない。

設問，垂直で，大きさがラフは原点平面上に図示しなさする。

，の両方につ求めよ。

で，と，の次関数を通り，点，がある。のグにおいて直線と接を求めよ。

和の式で表しなさ
Ⅱで求めた範囲にある， ，で定まる数列の一般項次の項の係数がい。
設問

で囲を求めよ。

が成り立つとき， を設問， ， ，である空間ベクトルを，に対して，の範囲を軸， 軸，直線つの図形の面積の和を求めよ。

つの空間ベクトル軸で囲まれる領域の面積を求めなさい。

Ⅱ， を実数とし，関数をとする。このとき，次の設問に答えなさい。
設問とまれるが相異なる実数解をちょうど線つ以上の範囲を求めなさい。

をで割った余りを求めよ。

， は実数の定数とする。 についての方程式･を考える。次の各問に答えよ。

が同時に成り立つものをすべて求めなさがを解にもつとき， ， の満たす関係式を求めよ。

がい。

を解にもつとき， ， の満たす関係式を求めよ。
Ⅲ， ， を実数とし，関数をが，を解にもつとき， ， の値を求めよ。

についての次方程式とする。このとき，次の設問に答えなさい。
設問

すべてのをに対して， ，設問となる，，，とする。設問のをなすとき， が実数全体を動くときのとする。設問

設問の，の最大値，最小をを用いて表しなさい。
において， を定数として，を数とみなす。

が実数全体を動くとき，となるようなを第部 自然数 正の整数 全体の集合を合が有限個の要素からなるとき，の部分集合が最小で表す。

･…

･･…①の部分集合，，…，を計算せよ。

を係数が実数の範囲で因数分解せよ。
を， つの箱 ， ， ，か。ただし，ボールがする。

つも入らない箱があってもよいものとめて回目にはじ以上の目が出る確率を求めよ。

は方程式
この方程式の他の解をすべて求めよ。の解のつである。

三角形
求めよ。

は素数が有限個しかないと仮定し，それらを小さい順には素数の個数 とする。例えばであり，また辺の長さが点，は 存在していると仮定している 最大の素数である。
， ，…， に対し，とする。

である。

数全体の集合をとする。の倍数である自然数全体の集合ををみたす任意の自然数…
上に，， ，…

とおき， 以下の自然である。
に対して， がで割り切れるような番号 がとれる。なぜなら， の素因数分解はの値を求めよ。
平面上の放物線

第 部 第 部を踏まえ，素数が無限に存在することを背理法によって証明する。

ア回投げる。

…②…

が成り立つことがいえる。

…，
このボールに分けて入れる方法は何通りあるを正の整数とし，さいころをが有限個の要素からなるとき入試を正の整数とする。互いに区別がつかないで， が有限個の要素からなるとき…

･の部分集の要素の個数をであるから，とくにが成り立つ。同様に，

Ⅰ 次の各問に答えよ。なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること。
和部に分けて証明の関を用いて表しなさい。

高知工科大学 経済・マネジメント学群

つの実数解をもつためⅢ 素数は無限に存在することを以下のようにした。これを読み，後の問に答えよ。

表す。

，が相異なるの ， の条件を求めよ。の関数とみに対して，設問

つの実数解をもつための ， の条件を求めよ。

についての方程式値を求めなさい。
設問が相異なるを用いて表しなさい。

，， ， があり，の正三角形である。 の値を， ，…，は以上の整数の形になるが，どの についてもがすると， ， ，…，以下となるのではすべてで割り切れないと仮定…

が成り立つことになり， イ 矛盾が生じるからである。よって，のとき，となる番号 がとれる。

下線部 ウ について，ち，最大のものを ，の部分集合と自然数あるもの全体をするとに対して，の要素のうち以下で， ，…，である 。

で表す 例えば以下の自然数に対して，ならならある番号 について，の要素のうを用いて表せ。さらに，となる理由をわかりやすく説明せよ。
下線部 エ の理由をわかりやすく説明せよ。

である。
３ まとめ

よって平成

…
が成り立つ。すると，② より，任意の自然数をみたす自然数

較してみると，愛媛大学理学部が改組の関係か入試がなくなっていた。また，香川大学創造工学部が小論文は理科的な内容であった。高知大学は、理学部は問題文で数学的な内容を説明して問題を解かせるような読解力を問う問題で，医学部医学科は総合問題Ⅰに数学と理科の問題を出題していた。高知工科大学の経済 マネジメント学群は，小問集合と大問，読解力を問う問題と幅広く出題していた。例年出題している大学は，出題傾向は昨年度と大きく変わるところはなく，過去問を利用して指導をしていく必要性を改めて感じた。また，小論文や総合問題においては，理科的な内容が多くみられたが，グラフや表の読み取りや計算などは数学とつながる要素もあり，他教科の教員と連携して指導をしていく必要性を感じた。

…③， ，…，をとるとなので，不等式 ③ は エる。のとき成り立たず，矛盾が生じ設問
不等式 ① に関して次の問に答えよ。

以下の自然数のうち，の倍数からなる集合を ， の倍数からなる集合をとする。とをそれぞれ求め，どちらが大きいかに加えて，以下の自然数のうち， の倍数からなる集述べよ。
合を とする。とれ求め，どちらが大きいか述べよ。
不等式 ② について，をそれぞのときは ① を回使って…④と導かれる。ここで，図線部と図の斜線部は図の斜の斜線部の和集合であることを使っ

図 ：

図 ：た。

図 ：

④ を導いたのと同様の考え方を用いて，② を示せ。
下線部 ア に関して，の要素のうち，の場合に以下のものをすべて挙げると， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，である。第部で導入した記号を用いてかくと， ，である。

， ，の要素のうち，，，，， ，以下のもの つまり，，の要素をすべて挙げよ。
下線部 ア に関して，の要素のうち，入試と推薦入試の問題の中で，に対してすなわちが成り立つ。しかし，年度の四国地方の数学の内容に関するものを取り上げた。平成ウ

まりとおく。

以下のもの つの要素 をすべて挙げよ。

下線部 イ の理由をわかりやすく説明せよ。

年度の問題と比