地質学雑誌，第 106 巻，第 5 号，363 − 378 ページ，2000 年 5 月
Jour. Geol. Soc. Japan, Vol. 106, No. 5, p. 363 − 378, May 2000

X 線 CT による岩石内部構造の観察・解析法
Observation and analysis of internal structure of rock using X-ray CT

中野 司

*

中島 善人

**

中村 光一

***

池田 進

****

Tsukasa Nakano *, Yoshito Nakashima **, Ko-ichi Nakamura *** and Susumu Ikeda *****

地質調査所 地質情報センター．
Geological Information Center, Geological Survey of Japan,
1-1-3, Higashi, Tsukuba 305-8567, Japan**

地質調査所 地殻物理部．
Geophysics Department, Geological Survey of Japan,
1-1-3, Higashi, Tsukuba 305-8567, Japan***

地質調査所 海洋地質部．
Marine Geology Department, Geological Survey of Japan,
1-1-3, Higashi, Tsukuba 305-8567, Japan****東京大学 地質学教室．
Geological Institute, Graduate School of Science, University of Tokyo,
Hongo, Bunkyo-ku, Tokyo 113-0033, Japan

23 August 1999
22 October 1999
10 November 1999
15 December 1999
26 May 2000

「地質学雑誌」（総説）に投稿
編集委員会より査読結果（ごく僅かの修正）の通知
編集委員会へ修正・加筆した原稿送付
編集委員会より受理の通知
出力中野ほか : 2

見出しの柱中野 司・中島 善人・中村 光一・池田 進
X 線 CT による岩石内部構造の観察・解析法

中野ほか : 3

要旨
X 線 CT（Computerized Tomography）はサンプル内部の物質の X 線線吸収係数（LAC）の空間分布を示す CT 画像を再構成する手法である．この手法を用いれば岩石の精密な３次元内部構造を非破壊で観察・解析することができる． LAC は物質の密度，状態および化学組成と X 線のエネルギーに依存した物性定数である．医療用 X 線 CT スキャナで用いられるエネルギーレベルの X 線では，LAC は物質の化学組成に大きく左右される．測定された X 線強度のデータを用いた CT 画像の再構成にはフィルタ補正逆投影法（FBP 法）
もしくは畳み込み逆投影法（CBP 法）が用いられる．これらの手法において再構成フィル
タを適切に選択することにより，サンプル内部の観察したい組織を強調した CT 画像を再構成することができる．白色 X 線でサンプルを撮影した CT 画像には光線硬化と呼ばれる偽像が生じる．サンプルの周囲に緩衝材をつめて CT 画像を撮影したり，撮影に用いた X
線のスペクトルやサンプルの密度および化学組成のデータを用いて画像を補正することにより光線硬化の影響を取り除くことができる． X 線 CT を用いた岩石内部構造の観察・解析では，このような X 線 CT の原理や手法を十分に理解して処理を行なう必要がある．

中野ほか : 4

Abstract
X-ray computerized tomography (CT) is a technique to reconstruct a CT image showing the spatial distribution of X-ray linear absorption coefficients (LAC’s) of the materials in a sample. This
technique allows us to observe and to analyze the three-dimensional precise internal structure of rocknon-destructively. The LAC is a physical property which depends on density, state and chemicalcomposition of the material and X-ray energy used in the measurement. Chemical composition of amaterial greatly affects the LAC for the photon energy level of the medical X-ray CT scanners. Filtered back-projection (FBP) method and convolution back-projection (CBP) method are applied to
the reconstruction of a CT image from the obtained X-ray projection data. A suitable choice of areconstruction filter in the methods enables us to enhance the target texture in the image. An artifact
called beam hardening occurs in the CT image obtained by the CT scanner with polychromatic Xray. This artifact can be reduced by the use of a suitable pad for the sample and / or by the correctionof the image using spectrum data of the X-ray source used in the measurement and bulk density andchemical composition of the sample material. To apply the X-ray CT to advanced observation andquantitative analysis of the internal structure of rock, it is necessary to understand the basic theory
and the detailed techniques used in the X-ray CT.

中野ほか : 5

Key words : X-ray CT， X-ray linear absorption coefficient (LAC)， filtered back-projection (FBP)
and convolution back-projection (CBP) methods ， reconstruction filter ， X-ray spectrum ，beam hardening， internal structure of rock

中野ほか : 6

はじめに
X 線 CT（Computerized Tomography）は X 線 CT スキャナを用いて様々な光路でサンプルに入射し透過させた X 線の強度（X 線光子数）を測定し，それらのデータをもとにサンプル内部の物質の X 線線吸収係数（X-ray Linear Absorption Coefficient；以下では LAC と略称する）の空間分布（通常は２次元断面の分布）を示す画像を計算機で再構成する手法である（岩井，1979）． X 線 CT で得られたサンプルの断面の画像は CT 画像，また，その各画素におさめられた再構成計算で推定した LAC の値は CT 値と呼ばれている．医療分野の利用でも明らかなように，X 線 CT を用いれば人体や岩石などのサンプルの内部構造を示す高精度デジタル画像を非破壊で撮影することができる．また，複数の断面の CT 画
像を積み重ねることにより，サンプルの３次元内部構造を観察・解析することも可能である．現時点では，X 線 CT は岩石の３次元内部構造を簡便かつ精密に非破壊で観察・解析するための唯一の手法であると考えられる． Hounsfield（1973）と Ambrose（1973）によって X 線 CT が実用化された 1970 年代以降，それを用いた岩石もしくは地球科学試料の内部構造の観察・解析の報告が多数発表されている（たとえば，西澤ほか，1995）．
X 線 CT スキャナ（第 1 図）はサンプルをスキャンする方式や測定に用いる X 線の強度
およびスペクトル（エネルギーごとの入射 X 線の強度分布）によって分類できる．スキャン方式の違いは世代（generation）という語で区別され，世代が進むにつれて CT 画像の再構成に必要な透過 X 線強度のデータを短時間で測定できる（岩井， 1979 ；西澤ほか，
1995）．初期のスキャナや X 線源の運動が困難なスキャナではサンプルの運動を伴う第２世代以前の方式が用いられており，データの測定に数分あるいはそれ以上の時間を要す
る．最近の医療用装置ではサンプルの周囲を高速に回転する１個の X 線管と複数の X 線
強度検出器を用いた第３世代以降のスキャナが主流であり，数秒以内の測定が可能である．さらに，静的に配置された多数の X 線管と検出器を用いた電子的なスキャンによって
1 / 100 秒程度の時間で測定を行ない，管中の気液２相流体の流れの様相などを観察するための動画の CT 画像を作成できる第５世代のスキャナもある（Misawa et al.，1998）．このようなスキャン方式の違いによりサンプルを透過した X 線の光路の配置に差異が生じる
が，それは CT 画像の再構成計算の段階で調整される（正確にはスキャン方式の違いによる透過 X 線光路の配置の差異を調整しなければ通常の手法で CT 画像を再構成できない；
付録を参照のこと）．そのため，スキャン方式の異なるスキャナで得たデータから再構成
した CT 画像に本質的な違いは生じない．これに対して，光子発生のための電子の加速方中野ほか : 7

式ごとに異なる X 線の強度やスペクトルは，CT 画像の画質に大きく影響する．
120 kV 程度の加速電圧の X 線管を線源とする医療用スキャナでは強度が弱く透過能の低い X 線（正確には物質による吸収が著しいエネルギー付近にピークがあるスペクトルのX 線）を用いるため，サイズが大きい，もしくは高原子番号の元素（≈ 高密度の物質）を含んだサンプルの CT 画像の S / N 比は低くなる．たとえば，直径 10 cm 以上の玄武岩サンプルを医療用 X 線 CT 装置で撮影すると，透過 X 線の強度不足のために CT 画像に偽像（artifact）が生じる可能性がある．また，医療用スキャナのように幅広いスペクトルを持
つ単色でない X 線（白色 X 線）を用いている場合には CT 画像中に光線硬化（ beamhardening）と呼ばれる偽像（CT 値の空間変動）が生じ，サンプルが均質でも内部に比べて縁の部分の CT 値が高い値に再構成されてしまう．一方，高加速電圧の X 線管（稲角ほか，1995）や線形電子加速器（中野ほか，1997）で発生させた X 線，もしくはシンクロト
ロン放射光（Bonse and Busch，1996； Uesugi et al.，1999）を利用した材料用 X 線 CT ス
キャナでは，濾波もしくは分光して単色化した高強度の X 線を用いることによりこのような偽像の少ない高画質の CT 画像を再構成することができる（ただし，医療用装置に比べると，材料用の CT スキャナでは X 線源や検出器の不良に起因する X 線データの雑音が十分に除去されていないことも多く，その場合には前述したものとは異なる種類の偽像がCT 画像に生じることになる）．第 2 図および第 3 図にこれらの X 線 CT スキャナで岩石サンプルを撮影した CT 画像を示す．
CT 画像の空間分解能（画素サイズ）は透過 X 線の光路の配置間隔（≈ X 線強度検出器の配置間隔）によって決まり，医療用のスキャナでは 0.1 〜 1 mm 程度であるが，シンク
ロトロン放射光やマイクロフォーカス線源（Shibata and Nagano，1996；Nakashima et al.，
1997； Kondo et al.，1997）を用いたスキャナには 10 µm 以下の性能を持つものもある．
CT 値の分解能は X 線 CT スキャナが使用する X 線の強度や X 線検出器のダイナミックレ
ンジに依存する．シンクロトロン放射光のような単色の高強度 X 線を用いて撮影した CT
画像なら 0.1 重量 % 以下の特定元素の定量（Hirano et al.，1989）も可能であるが，白色 X
線を用いた医療用スキャナで撮影した画像の CT 値の分解能は密度に換算すると実質的に3はせいぜい 0.1 g / cm 程度である．
容易に利用可能な医療用スキャナで撮影した X 線 CT 画像に限って言えば，その空間および CT 値（物体密度）の分解能は岩石サンプルの組織観察に用いられている光学顕微鏡
や EPMA などのイメージング装置で得られるものに比べて低い．これに加えて，CT 値の中野ほか : 8

物理的意味（特に CT 値の元素依存性）や画像再構成の原理（特に再構成フィルタの機能）に対する理解不足，そして，光線硬化などによって CT 画像に生じうる偽像への対策（補正処理）の不十分さなどにより，岩石サンプルに対して X 線 CT は 単なる写真の代用として利用されることが多かった．しかしながら，X 線 CT の原理を十分に理解し，適切なサイズ・化学組成の岩石サンプルを撮影したものに対して光線硬化の補正処理などを加えれば，医療用のスキャナで撮影した CT 画像でさえも実用的な鉱物の同定やその形状の定量解析などに十分使用可能である．本文では，X 線 CT による岩石内部構造の観察・解析のために必要な物質による X 線の吸収のメカニズム，CT 画像の再構成の原理と手法，
光線硬化の発生の原因とその対処法などについて詳しく解説し，それらを考慮に入れてわれわれが医療用装置で撮影した CT 画像を用いて行なった岩石内部構造の観察・解析の実例を紹介する．

物質による X 線の吸収
厚さ S の均質な物質を入射強度 I 0 の単色 X 線が透過したとき，透過強度 I は，
I = I 0 ⋅ e− µ ⋅ S[1]のように減衰する（Koch and MacGillavry，1962）．もしくは，[1] 式を書き換えて，投影（projection）と呼ばれる X 線の入射強度と透過強度の比の自然対数 p を考えると，
p = ln(I 0 / I ) = µ ⋅ S[2]-1となる．ここで， µ は物質の X 線線吸収係数（LAC；単位は cm ）で，入射・透過した X
線のエネルギー（波長）と物質の密度，状態（固体・液体・気体），および化学組成で決まる物性定数である． [2] 式に示されたような測定された投影 p と X 線の透過光路長 S の間の線形性（p / S = µ = 一定）が X 線 CT の原理で基礎となる大前提である．
LAC を物質の密度 ρ （単位を g / cm3 とする）で割った値 τ （単位は cm2 / g）は，物質の X 線質量吸収係数（X-ray Mass Absorption Coefficient；MAC）と呼ばれている． MAC
は X 線（光子）のエネルギーと物質の化学組成だけの関数である．すなわち，
τ =µ/ρ=Σj w j ⋅ τ j (E)[3]

ここで，w j は Σ w j = 1 を満たす物質を構成する元素 j の質量の割合である．また， τ j (E)jはエネルギー E の X 線に対する元素 j の MAC で，その値は公開されているデータベース

中野ほか : 9

（たとえば，Hubbell and Seltzer，1996）から得ることができる．
電子対生成（electron-pair creation）が生じない 1.022 MeV 以下の X 線エネルギーでは，
τ j (E) を以下のように表すことができる（たとえば，Koch and MacGillavry，1962）．
τ j (E) = {σ Rj (E) + σ Pj (E) + σ C (E)} ⋅ N ⋅ Z j / A j[4]

ここで， N は Avogadro 数， Z j と A j はそれぞれ元素 j の原子番号と質量数である．
σ Rj (E)， σ Pj (E) および σ C (E) はいずれも電子あたりの光子の散乱断面積（photon interac-tion cross section per electron）で，それぞれ Rayleigh 散乱（原子核による光子散乱），光電効果（電子による光子吸収・輻射）および Compton 散乱（電子と光子の非弾性衝突）による寄与を示している．ただし，Compton 散乱による寄与は元素に依存しないので σ C (E) に
添字 j を記していない．医療用 X 線 CT スキャナの X 線のエネルギーレンジ（正確には30 ≤ E ≤ 100 keV）において低原子番号（Z j ≤ 20）の元素に対しては，元素 j の電子あたりの散乱断面積を以下のような近似式で原子番号 Z j と X 線のエネルギー E （単位は keV）
から計算できる（McCullough，1975）．
σ Rj (E) = 1. 25 × 10− 24 ⋅ Z 2.00
⋅ E − 1.9j

− 3.2
σ Pj (E) = 9. 8 × 10− 24 ⋅ Z 3.8
j ⋅ E

[5]

σ C (E) = 0. 597 × 10− 24 ⋅ e− 0.0028 ⋅ (E − 30)

第 4 図から低原子番号の元素もしくは高エネルギーの X 線に対しては Compton 散乱が，また，高原子番号の元素もしくは低エネルギーの X 線に対しては光電効果が物質による X
線吸収の支配的な素因であり，可視光で有効な Rayleigh 散乱による寄与は少ない．
[4] 式の Z j / A j は水素を除いたあらゆる元素でおおよそ 1 / 2 である．したがって，Compton 散乱が吸収の素因として支配的な MeV レベルの高エネルギー X 線に対しては，あらゆる元素の MAC はおおむね X 線のエネルギーだけの関数になり，LAC もしくは CT
値はサンプルの構成元素によらず密度だけに依存（比例）する．これに対して，医療用の
X 線 CT スキャナが用いているような低エネルギーの X 線では，LAC もしくは CT 値はサ
ンプルの密度だけではなく構成元素の種類と量比（化学組成）にも大きく依存する．たと3

えば，石英（ Si O2 ；密度はおおよそ 2.65 g / cm ）とカリ長石（ K Al Si3 O8 ； 2.56 g /cm3 ）のサンプルを医療用 X 線 CT 装置で撮影すると，他の元素に比べて高原子番号のカリウムを含むカリ長石の CT 値の方がより高密度の石英のものよりも大きくなる（Ikeda etal.，1999）．

中野ほか : 10

低エネルギー X 線の MAC もしくは LAC では [5] 式に示したような X 線エネルギーに対する連続的な変化以外に，光電効果の一種である元素ごとの吸収端（absorption edge；たとえば， Koch and MacGillavry，1962）における不連続な変化も生じる．シンクロトロン
放射光を利用する場合のように X 線エネルギーを精密に調整（分光）可能なら，吸収端をはさむエネルギーの X 線のデータから再構成した２枚の CT 画像を用いてサンプル中の特定の元素の同定や定量を行なうことができる（たとえば，Hirano et al.，1989）．ただし，岩石の構成元素の主要な吸収端は X 線 CT スキャナで用いる X 線としては低いエネルギーレベルにあり（たとえば，鉄の K 吸収端の位置でも高々 7.112 keV），そこでは岩石の主要元素による X 線の吸収が大きく，かつ，吸収値の元素ごとのバリエーションも大きいので，特定元素の吸収端の影響を検知するためにはダイナミックレンジの大きな X 線検出器が必要である．

画像再構成
X 線 CT で行なっている画像再構成は，基本的には，投影データの無限集合によって２もしくは３次元の物体像が一意的に再構成できることを保証する Radon の定理に立脚している（岩井，1979；西澤ほか，1995）．すなわち，X 線 CT スキャナで測定した，物体を様々な光路で透過した X 線の多数の投影データを用いれば， CT 画像を再構成することができる．３次元画像の再構成は２次元 CT 画像（断層画像）を積み重ねることによって容易に実現できるため，ここでは断層画像の再構成だけを考える．なお，以下では言及しな
いが，実際の断層画像は X 線ビームの幅や透過 X 線強度検出器の配置間隔もしくは受光部の幅で決まる「厚さ」を持つ．断層画像をある方向（Z 方向）に積み重ねた３次元 CT
画像では，それが Z 方向の空間分解能（画素サイズ）となる．２次元に配列した検出器で透過 X 線強度の画像（透視画像）を測定する X 線 CT スキャナ（たとえば， Uesugi etal.，1999）では，それは断層画像の面内の空間分解能（後述）と同程度である．しかし，検出器の Z 方向の受光部の幅を広げて強度の測定値（X 線光子のカウント数）を稼いでい
る医療用のスキャナなどでは，それは断層画像のものよりも大きい値になる（医療用ス
キャナでは，Z 方向の空間分解能は断層画像面内の値の倍以上である）．
複数の物質から構成される不均質なサンプルに単色 X 線を入射・透過させた場合，投影
p は [2] 式と同様に以下の式で表わされる．
p = Σ µ k ⋅ Skk[6]

中野ほか : 11

ここで， µ k と S k はそれぞれサンプルの構成物質 k の LAC とそれを透過した X 線の光路長である．サンプルの断面を含む２次元領域をそれぞれが単一の物質であると仮定した多数の「画素」で分割し，それぞれの透過 X 線の光路と画素の幾何学的関係から画素 k に対する S k を決めれば，[6] 式は測定された投影 p に対する未知数 µ k の式となる．多数の透過 X 線に対する [6] 式を連立させて解けば，サンプルを含む２次元領域内の LAC の空間分布を近似するすべての µ k を得ることができる．このような CT 画像の再構成法は ART（Algebraic Reconstruction Technique）と呼ばれており（たとえば，Herman，1980），地球
内部構造解析のための地震波 CT でも用いられている（たとえば，井上，1988）．しかしながら，X 線 CT の画像再構成では非常に多数（再構成する CT 画像の画素数と同程度）の直線の光路のデータを用いるため，ART に比べて計算時間やメモリ使用量の点で効率的なフィルタ補正逆投影法（Filtered Back-Projection method；FBP 法）もしくは畳み込み逆投影法（Convolution Back-Projection method；CBP 法）が用いられる（飯沼，1983）．付録に示されているようにこれら２つの手法は数学的には等価で， CBP 法を用いた方が数値計算の精度が若干向上する．後述する再構成フィルタの選択の柔軟性の点で勝るため，市販（特に医療用）の X 線 CT 装置では FBP 法が用いられていることが多い．これらの手法の詳細な説明はやや数学的になるので省略し，ここでは，これらを利用する上でキーポイントとなる再構成フィルタの機能について説明する．
付録に示されているように， FBP 法および CBP 法の前半では X 線 CT スキャナが測定したデータのうちで平行な光路でサンプルを透過した X 線の投影 p(r) のデータを選び出し，それらの r に対する空間周波数成分の解析（いわゆる Fourier 解析）を行う．ただし，r は平行な X 線光路に直交する方向の座標軸に沿った座標値で，実際のスキャナでは
第 1 図 に示されているような透過 X 線強度検出器が設置されている離散的な r （通常は等間隔の位置）においてのみ p(r) のデータが存在する．ここで行なわれる計算は，空間変-1数 r に対する空間周波数 z （r の単位を cm とすると z の単位は cm ）を用いてG(z) = |z| ⋅ W (z)[7]と表わされる「フィルタ」に通して p(r) を濾波（filtering）することに相当する．ここで，G(z) は再構成フィルタ（reconstruction filter），また，W (z) は周波数空間における窓関数（window function）と呼ばれている．付録で説明されているような p(r) が r の連続関数として与えられる理論的な場合には W (z) ≡ 1 となる．これに対して，第 1 図 に示されているような間隔 δ で r = δ ⋅ l （l = 0, ± 1, . . . ）の位置に配置された検出器で測定された実際

中野ほか : 12の離散的な投影データを用いる場合は，サンプリング定理（南，1986）により空間周波数成分の解析計算で p(r) の高周波数（短波長）成分を 0 としなければならない．これを考慮に入れると W (z) を以下のようにおくことできる．
1
W (z) = 0|z| < z *|z| ≥ z *[8]

ここで，z * は Nyquist 周波数と呼ばれるもので，透過 X 線強度検出器の配置間隔 δ から以下のように決まる．
z * = 1 / (2 ⋅ δ )[9]

なお，ここでの解析計算で p(r) の z * 以上の高周波数成分を 0 とすることは，それを用いた CT 画像の空間分解能が δ となることを意味する（CT 値の 2 ⋅ δ よりも短い波長成分は計算で求めることができない；これがサンプリング定理の大意である）．
[8] 式に示される箱型関数の窓関数を用いた再構成フィルタは Ramachandran のフィルタと呼ばれている（飯沼，1983）．実際の X 線 CT 装置では，以下のものを一例とする様々な窓関数が用いられ，また，それに応じて，[7] 式から計算される再構成フィルタとして複数のものから選択可能なことが多い．
sinc 関数型の窓関数：

π
z
π
z 
W (z) = sin( ⋅ ) / ( ⋅ )2 z*
2 z* 
[10]Hanning 窓：
W (z) =1 z 
⋅ 1 + cos(π ⋅ )
2 
z* 

[11]

これらの窓関数から [7] 式で計算される再構成フィルタは，それぞれ Shepp のフィルタ（[10] 式）および Chesler のフィルタ（[11] 式）と呼ばれている（飯沼，1983）．第 5 図に
これらの窓関数および再構成フィルタの関数形を示した．
窓関数として [8] 式以外のものを用いる理由のひとつは，測定された投影データ p(r) に含まれる r 方向に変動する雑音成分の抑制である．たとえば，第 2(b) 図および第 3 図の画像の再構成では，測定データに含まれていた検出器ごとに異なる雑音成分を除去するために，p(r) の高周波数（短波長）成分を抑える Chesler のフィルタを用いた．また，窓関数
として [8] 式以外のものを用いるそれ以上に重要な理由は，投影データの高周波数成分を[8] 式で切り捨てることによって生じる数値計算の不確定性（いわゆる Gibbs の現象；たと中野ほか : 13

えば，力武ほか，1980）を防ぐことである．その実例として，円断面の均質なサンプルを撮影した CT 画像における半径方向の CT 値のプロファイルを第 6 図に示した．内部のLAC の値が均一な（LAC に空間的な変動成分がない）サンプルを透過した X 線の投影
p(r) の空間周波数成分（特に高周波数成分）は，LAC が階段状に急変するサンプルの端の部分がおもな原因となって生じる．このため，再構成した画像においては， p(r) の高周波数成分の切り捨ての影響はサンプル像の端の部分の CT 値の乱れとなってあらわれる．第6 図に示されているように，CT 値の乱れはサンプル像の端から画像の空間分解能 δ の数倍程度の範囲に局在し，再構成フィルタを取り換えることによってその振幅が変化する．
そして，Nyquist 周波数 z * を越える高周波数成分を急激に切り捨てずに徐々に減少させる
窓関数（第 5 図）を用いた方が，Gibbs の現象によるサンプル端の CT 値の乱れを緩和できることは明らかである．
このような再構成フィルタによって CT 値の乱れを緩和すると，その代償としてサンプル像の端のシャープさが損なわれ CT 画像の実質的な空間分解能は低下する．ところで，
第 6 図に示されたような CT 値の乱れは，CT 画像に対して通常の画像処理で行なわれる「エッジ強調」と同様の効果を持つ． CT 値の値を問題とせずにそのコントラストを利用して CT 画像に撮影されたサンプルの観察を行なうだけなら，再構成フィルタによって生じた CT 値の乱れはサンプル像の輪郭をきわだたせるために有用である．これを積極的に利用した，本来とは逆の目的を果たすための再構成フィルタが導入されている X 線 CT 装
置も多い．すなわち，FBP 法の後半で行なわれる逆投影（back-projection）の処理があるた
めに正確ではないが，直感的には測定された投影データから計算する過程で再構成フィル
タが CT 値の「空間フィルタ」として機能することを利用するわけである．観察したい組
織（たとえば，癌細胞や鉱物粒子）の平均サイズが既知の場合には，そのサイズの逆数に相当する空間周波数にピークを持つ窓関数を用いて再構成することにより， CT 画像中でその組織を強調して表示できる．
このように，観察したい対象に応じて再構成フィルタを選択することが X 線 CT 画像を用いたサンプル内部構造の観察・解析のキーポイントとなる．ただし，医療用の X 線 CT
装置では，CT 画像をサンプルの定性的な観察だけに用いる通常のユーザには不要で，かつ，メーカーのノウハウに抵触することなどの理由により，選択可能な再構成フィルタもしくは窓関数の関数形が明示されていない（それを適用すると有効な人体の部位だけが示されている）ことも多い．

中野ほか : 14

後述するように，医療用 X 線 CT 装置で撮影した CT 画像には再構成フィルタによるものとは別個に光線硬化によるエッジ強調が生じうる．装置によってはサンプルとして特定の物質（医療用なら人体を構成する水や燐酸カルシウムなど）を仮定した光線硬化の補正が行なわれることもあるが，それは岩石サンプルに対しても有効であるとは限らない．それとあいまって，医療用 X 線 CT 装置を用いて岩石サンプルを撮影する場合には，再構成フィルタによるエッジ強調は思いがけない偽像を生じることもある．そのため，岩石サン
プルに対する画像再構成では Gibbs の現象への対処だけを考慮したフラットな窓関数を用いた再構成フィルタ（たとえば，Shepp のフィルタ）を選択することが望ましい．

光線硬化
X 線 CT では再構成の原理の前提条件として [2] もしくは [6] 式で示されるような X 線
透過光路長と投影の間の線形性が成り立つことを仮定している．ところが，これは使用する X 線が単色の場合にのみ成り立ち，医療用スキャナで用いられているような白色 X 線
に対しては成り立たない．このため，以下で説明するように，白色 X 線で撮影した CT 画
像には原理的に不可避な偽像（CT 値の空間変動）が発生する．
白色 X 線が厚さ S の均質な物質を透過した場合も X 線エネルギー E ごとに [1] 式が成り立ち，それぞれのエネルギー成分の X 線に対する透過強度は入射強度 i 0 (E)（第 7 (a)図）と物質の LAC µ (E)（第 7 (b) 図）に応じた値になる．ところが，検出器では E についての積分が行なわれるため，強度の測定値は，∞∫ ∞i (E) ⋅ dE
I (S) = ∫ i (E) ⋅ e
I0 =

0

0

0

0

− µ (E) ⋅ S

⋅ dE

[12]

となる．一般に，[12] 式で表された強度の測定値から計算した投影 p(S) は， S に関して直線ではなく上に凸な曲線である（第 7 (c) 図）．そして，X 線が白色で i 0 (E) が E に関して単一の鋭いピークを持たない限り，
p(S) / S = f (S) ≠ 一定： f (S) は S に関して単調減少関数[13]であり，透過厚 S が大きくなるにつれて白色 X 線による物質の見かけの LAC の値 f (S) は小さくなる（第 7 (d) 図）．これは，物理的には，透過している最中に白色 X 線が低エネ
ルギー成分から順に物質に吸収されてしまうことを意味している．通常の X 線 CT スキャ
ナの検出器ではエネルギーを区別せずに光子数の総和を測定しているので，光子吸収に対中野ほか : 15するエネルギーと透過光路長の寄与の違いを分離できない．
以上はひとつの光路に沿って透過した白色 X 線の投影データに関する議論であるが，それらを複数用いて再構成した CT 画像にも大きな影響を及ぼす．白色 X 線の投影データを用いると均質な物質を透過しても短い光路長の X 線の吸収は長い光路長のものに比べて大きいと見なされるので，その光路の投影データを使って再構成したサンプルの部分の CT
値も大きくなる．短い透過光路長の X 線の投影データはサンプルの縁の部分の再構成において使用されるので，結局，白色 X 線を用いた CT 画像では，撮影されているのが均質なサンプルであっても，その縁の部分の CT 値が中心部に比べて大きな値に再構成される．
これが光線硬化（beam hardening）と呼ばれる現象である．医療用 X 線 CT 装置で撮影した CT 画像に生じる光線硬化の実例を第 8 図に示した．
光線硬化によるサンプルの縁と中心部の CT 値の違いは，高原子番号の元素を多く含む
物質のサンプルの CT 画像ほど大きいようである．また，光線硬化によって生じる CT 値の変動パターンはサンプルの縁に近い部分で急変し，中央付近ではフラットである（第 8(c) 図）． CT 値が急変する領域の幅はサンプルサイズにそれほど依存しないので，サイズの小さなサンプルを撮影した CT 画像ほど光線硬化による影響が大きくなる．たとえば，
直径 1 cm 程度の鉱物単結晶を医療用 X 線 CT 装置で撮影すると，光線硬化によって中心部分にまで達する見事なゾーニング状の CT 値の変動パターン（偽像）が生じる．
光線硬化は検出器が [12] 式で示された X 線強度の積分値を測定することによって生じるため，LAC の元素依存性が低い MeV レベルの高エネルギー X 線を用いたスキャナで撮影した CT 画像であっても X 線が白色である限りその発生を防ぐことはできない．原理的には，単色 X 線（Bonse and Busch，1996），もしくは，エネルギーレベルの異なる光子数を個別に測定可能な X 線強度検出器（Stonestrom et al.，1981）を用いない限り CT 画像の光線硬化を除去することはできない．しかし，それをある程度防止する対策としていくつかの手法がある．それらのうち最も簡単なのものは，光線硬化による CT 値の空間変動がそれほど大きくない低原子番号（ ≈ 低密度）の物質のサンプルに対して，周囲に薄い金属板などの適当な緩衝材を入れて CT 画像を撮影する（もしくは，緩衝材なしで撮影した CT
画像上のサンプル像の中心部分だけを用いる）ことである．このような緩衝材を用いれば，光線硬化に著しく寄与する X 線の低エネルギー成分を除去することができる．たとえば，湖底堆積物のような軟岩のサンプルなら，数 mm 程度の壁厚の適当な材質の容器に入れて撮影すれば医療用 X 線 CT 装置でも光線硬化の少ない CT 画像を得ることができる

中野ほか : 16

（第 9 図）．これよりも高度な光線硬化の補正法として以下の２種類のものが X 線 CT で用いられている．
まず第一の方法は，X 線 CT スキャナで測定された投影データに対して補正を加えるものである．以前の医療用 X 線 CT 装置では，適当な標準物質（普通は水）について投影データの透過厚 S への依存性 p(S) をあらかじめ測定しておき（第 7 (c) 図），その逆関数
S( p) を使って実際のサンプルの投影データが補正されていた（Herman，1980）．実測された投影データ p から p′ = S( p) として補正された投影データ p′ を用いると，[13] 式より標準物質の見かけの LAC は 1 となり，標準物質に関しては投影と透過厚の線形性が成り立つことになる．そして，標準物質と「類似の」サンプルであれば（医療用装置で対象とする人体は水に近いと言える），生の投影データではなく補正された投影データを使う方がその透過厚との線形性は良くなる．これに対して，最近の医療用装置では，サンプルを複数の標準物質（たとえば，人体を構成する水と燐酸カルシウム）の混合物と仮定し，その混合比を推定して投影データを補正すること（Olson et al.，1981）などが行なわれているようである．しかし，いずれの方法を用いるせよ，これらは X 線 CT スキャナで測定される投影データに対する補正法であり，既存の装置を利用する一般のユーザが容易に関与できない．そして，医療用装置に組み込まれている人体をサンプルと仮定したこれらの補正法は，物性の違いから岩石サンプルに対しては不適当なこともある．
一方，おおよその密度と化学組成がわかっているサンプルに対しては，第二の手法として，実測した投影データを用いずに，理論的に予測される投影データを使って X 線 CT 画
像に含まれる光線硬化をシミュレートして補正する方法（Meagher et al.，1990）を適用できる．基質中に小量の班晶が分布する岩石サンプルのようにサンプルの大部分がほぼ均質な物質からなるとき，CT 画像に発生した光線硬化による空間変動のパターンはおおむねその物質によって決まる．そこで，サンプルがその物質だけからなるとして，計算機上に設置した「仮想」X 線 CT スキャナでサンプルを「測定」した投影データを用いて，撮影された CT 画像（OBS 画像と呼ぶ）の光線硬化をシミュレートした画像（SIM 画像）を再構成する．仮想 CT スキャナでは，OBS 画像から抽出したサンプルの輪郭線のデータを用いてサンプルを横切るそれぞれの X 線の透過光路長 S を計算する．そして，OBS 画像を撮影した装置の X 線のスペクトルのデータ（第 7 (a) 図）とサンプルの密度および化学組
成から計算した LAC（第 7 (b) 図）を用いてそれぞれの光路の透過 X 線の投影データ p(S)を計算する（第 7 (c) 図）．このような投影データから再構成した SIM 画像の値を OBS 画

中野ほか : 17

像の値から差し引けば，OBS 画像中の光線硬化の大部分を取り除くことができる．
医療用 X 線 CT 装置で岩石サンプルを撮影したとき，光線硬化に対して何らかの対策を講じない限り，得られた CT 画像は偽像のために精密な観察・解析に不十分であることが多い．後に実例を示すように，最後に述べた光線硬化の補正法は非常に有効である．ただし，この補正法を適用するためには，サンプルのおおよその密度と化学組成，および，撮影に用いたスキャナの X 線のスペクトルが既知であること，そして，撮影の際にこれ以外の光線硬化補正や特殊な再構成フィルタを用いないこと，などが必要である．

CT 画像の処理・解析の例
医療用の X 線 CT 装置で得られた CT 画像には，あらかじめ測定しておいた水からなる
標準サンプルの CT 値（正確には適当なサイズのサンプルの内部領域の CT 値の平均値）
でサンプルの CT 値を正規化した，空気の値を − 1000，水の値を 0 とする整数の値が画素値としておさめられている．これは CT 数と呼ばれており，その単位は歴史的な理由から
HU（Hounsfield Unit）と名付けられている（岩井，1979）． [3] 式より CT 値（LAC）は3

密度に比例し，水の密度は常温でほぼ 1 g / cm なので， CT 数がおさめられた CT 画像は3精度（分解能）0.001 g / cm の密度画像であると解釈されることも多いが，それは誤りである．医療用のスキャナで用いられる X 線のエネルギーレンジでは LAC の元素依存性は無視できない．また，白色 X 線を用いていると光線硬化が生じ，標準サンプルの平均 CT
値は X 線のスペクトルやサンプルサイズに依存する．このため，CT 数は装置ごとに異-1なった LAC の値（単位 cm で表される絶対値）と対応した相対な値にすぎない．標準サ
ンプルとサイズが異なれば，水と言えども CT 数は 0 にならない．とは言え，CT 数はサ
ンプルの密度のある程度の目安となり，特に水を多く含む軟岩サンプルでは，比較的精度
よく CT 数を密度に換算することができる（稲崎・中野，1993）．
再度強調することになるが，X 線 CT 画像を用いた岩石サンプルの定量的な観察・解析
では，CT 値の物理的意味を十分に理解してその処理にあたることが重要である．特に医療用 X 線 CT 装置で得た CT 画像では，光線硬化をいかに排除するかが処理のキーポイン
トとなる．ここでは，医療用の第３世代 X 線 CT 装置（日立メディコ製 CT-W2000）で撮影した画像を用いた，光線硬化の補正を含む岩石サンプルの観察・解析処理の実例を示す．なお，ここで用いた CT 画像は第 7(a) 図に示した X 線で測定したデータから CT 装置
固有の「頭部用」と称する再構成フィルタ（第 5 図に示した Shepp のフィルタに類似の関中野ほか : 18数形を持つ；日立メディコ，私信）を用いて再構成したもので，装置に組み込みの光線硬化などの補正処理は加えていない．
第 9 図はバイカル湖（ロシア）で得られた湖底堆積物のピストンコアサンプル（
VER-98-1，St. 6，PC，Sec. 3B）の X 線 CT 画像である（小田 啓邦・中野 司・池原 研・
中村 光一，未公表）．このサンプルの軸長は 1010 mm で，それに垂直な円断面の直径はおよそ 12 cm であった．コア軸と垂直な円断面（第 9 図の紙面に垂直な断面）について空間分解能 0.313 mm の CT 画像をコア軸方向に 1 mm 間隔で 1010 枚撮影した．その後，計算機上でそれらのデータから３次元画像を構成し，それをコア軸に平行な相互に直交する
２つの断面で切断して第 9 図の２枚の画像を得た．なお，コアサンプルを壁厚がおよそ 5mm のアルミニウム製ライナーに入れたままの状態で測定したため，撮影した CT 画像ではサンプル像に光線硬化はほとんど生じなかった．この CT 画像を用いれば肉眼では識別不能なコアサンプル中の堆積構造の観察や，古環境変動などの解析で従来用いられてきた
含水率や硅藻化石の含有率などを上回る精度の時系列データの取得が可能である．
第 10 図は直径がおよそ 7 cm の伊豆大島の玄武岩サンプル（GSJ-R26347；一色，1985）の CT 画像（空間分解能は 0.313 mm）に対して，光線硬化をシミュレートした画像を用いてその補正を行なった処理過程を示している．第 10 (a) 図は X 線 CT 装置で撮影したオリ
ジナルの CT 画像（OBS 画像）である．撮影に用いた X 線のスペクトルのデータ（第 7(a) 図），サンプルの平均密度と全岩組成から計算した X 線のエネルギーごとの LAC の値（第 7 (b) 図の曲線 G），および OBS 画像から抽出した輪郭線のデータを用いてサンプルに対して理論的に予測した投影データを作成し，それをもとに第 10 (b) 図 に示した光線硬化のシミュレーション画像（SIM 画像）を再構成した． OBS 画像から SIM 画像の値を差し引き，光線硬化を補正した画像（BHC 画像）が第 10 (c) 図である．第 10 (d) 図に示されているこれらの画像の同じ位置を通る線分上の CT 値のプロファイルからも明らかなように，OBS 画像に生じた光線硬化のパターンは SIM 画像中でよく再現されている． BHC 画
像では光線硬化の大部分が除去されているため，サンプルの縁に近い部分においてさえもCT 値の低い内部の組織（気泡の濃集している部分と思われる）が単純な２値化で識別可
能な画素値となっている．
第 11 図は複数枚の CT 画像を積み重ねて構成した３次元画像による文象花崗岩のカリ長石の基質中に分布する石英結晶のつながりの解析の過程を示している（ Ikeda et al. ，1999）．直径がおよそ 8 cm の文象花崗岩サンプル（GSJ-R6052；松原，1956）に対して空中野ほか : 19

間分解能が 0.313 mm の CT 画像を 0.5 mm 間隔で 50 枚撮影した．これらの画像には光線硬化によって断面内と断面に直交する方向の２種類の CT 値の空間変動が生じていた．そのうち CT 画像を得た断面内の変動については，もともとが 512 × 512 画素の CT 画像からサンプル中央部付近の 90 × 90 画素の部分だけを切り出すことにより第 11 (a) 図に示されるように光線硬化の影響の大部分を回避することができた．しかしながら，こうして切り出した画像を単純に同じしきい値で２値化して石英の領域を抽出すると，第 11 (b) 図に示
すように上下端の断面では石英の部分の面積が異なり，石英の３次元の空間分布が見かけ上不均一になる．このような断面に直交する方向の CT 値の空間変動は，CT 画像を得た断面内のサンプルの断面積が一定でないために生じた．断面ごとのサンプル中央部の画像の平均 CT 値とサンプルの断面積の関係を調べると，これらの間には負の相関があった．そこで，その関係をもとにして，断面の画像ごとにサンプルの断面積に応じた値を加えてCT 値を補正し，第 11 (c) 図に示されるような補正画像を得た．第 11 (b) 図と同様にして単純な２値化で補正画像から石英の部分だけを抽出した画像を作成すると，それはサンプ
ル全体に石英がほぼ均等に分布している薄片の観察結果と一致する第 11 (d) 図のようになった．これを用いて第 11 (e) 図のように３次元空間に分布している石英のつながり解析（cluster labeling；Nakano and Fujii，1989）を行ない，つながっている最大の石英のクラス
タとして第 11 (f) 図のものを得た．このクラスタの体積は石英全体の 90 % にもおよび，また，これに属さない石英の大部分は３次元画像の縁辺部に位置することがわかった．このような解析結果により，この文象花崗岩中の石英結晶は２次元断面では切れ切れに見えても，３次元空間ではほぼ完全に連結していることが証明された．

おわりにサンプル中の鉱物粒子の同定やその形状解析のような画像処理・解析では，まず，画素値の２値化（もしくは多値化）によって対象物体の領域の抽出が行なわれる．これに引き続いて行なわれる解析の信頼性を左右するため，２値化のしきい値の選択は客観的である
ことはもちろんのこと，人間の判定によらない自動化された単純な方法で行なわれることが望ましい（たとえば，池田ほか，1997）．光学顕微鏡で得た画像のサンプルの物性だけによらない画素値に比較すると，CT 画像では密度と元素組成に直結した CT 値について２値化のしきい値を選択することになり，画像処理で必要とされる要請に合致している．また，EPMA などのイメージング分析装置から出力された画像に比べると，用いている X 線

中野ほか : 20のエネルギーのレベルやスペクトルのために画素値（CT 値もしくは CT 数）の物理的意味の明確さや分解能の点で劣るとは言え，X 線 CT（特に医療用 X 線 CT）画像は測定装置の使用の簡便さの点でそれらに勝っている．これらに加えて，サンプルの内部構造を特別な前処理（たとえば，サンプル表面の研磨やコーティング）なしに非破壊で定量的に観察・解析できること，また，複数の断面の画像を積み重ねることによりサンプルの３次元画像を容易に得られることなど，X 線 CT は従来の岩石サンプルの観察，解析，そして分
析手法にない優れた特徴を持っている．
X 線 CT による岩石もしくは地球科学試料の内部構造の観察・解析の報告はこれまでに多数あるが（たとえば，西澤ほか，1995）， X 線 CT の原理を十分に考慮した上でそれを行なっているもの（たとえば，Denison et al.，1997）は数少ない．本文は岩石の内部構造の観察・解析に X 線 CT を「ブラックボックス」として利用するのではなく，その原理に基づいたより高度な解析に用いるための知識を供する目的で記された．このような知識を活用すれば，X 線 CT には岩石の内部構造の非破壊検査だけではなく，その組成の定量分析（岩石の構成元素の３次元分布の解析）への道も開かれている．

謝辞
大阪大学の土’山 明氏には X 線吸収係数に関する文献をご教示いただいた．東京工業大学および高輝度光科学研究センターの上杉 健太朗氏には同センターの SPring-8 で撮影した
X 線 CT 画像とそれに関する情報を提供していただいた．日立製作所株式会社の染谷 利明
氏と大塚 浩士氏および日製産業株式会社の相羽 俊弘氏には日立工場の材料用 X 線 CT ス
キャナの利用に際してお世話になった．日立メディコ株式会社の右田 晋一氏と宮崎 靖氏には地質調査所に設置されている医療用 X 線 CT 装置についての様々な情報を教えていただ
いた．東海大学の西村 弥亜氏と国立環境研究所の河合 崇欣氏にはバイカル湖ピストンコアの入手と利用に際して便宜をはかっていただいた．地質調査所の松江 千佐世氏と元地質調査所の一色 直記氏には地質調査所所蔵の岩石サンプルの X 線 CT 画像撮影に際してお手数をおかけした．大阪教育大学の石井 和彦氏，地質調査所の宮崎 一博氏，富樫 茂子氏および中島 隆氏には岩石サンプルをお借りした．匿名査読者の方，ならびに担当編集委員の方には粗稿を読んでいただき貴重なご意見をいただいた．ここに記して感謝の意を表します．なお，本文は科学技術庁 科学技術振興調整費総合研究「バイカル湖の湖底泥を用いる
長 期 環 境 変 動 の 解 析 に 関 す る 国 際 共 同 研 究」， お よ び， 高 輝 度 光 科 学 研 究 セ ン タ ー中野ほか : 21

SPring-8 1999A 共同利用課題「岩石鉱物系に対する X 線 CT 装置の開発」の成果の一部である．

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付録：FBP 法および CBP 法による X 線 CT 画像の再構成
第 1 図のような X 線 CT スキャナによって撮影したサンプルの CT 画像の再構成法について考える．このスキャナでは，角度 θ を 0 〜 180 度の範囲で変えてサンプルを回転させたスキャンの各ステップにおいて， s 軸に平行な光路でサンプルを透過した単色 X 線の強度がそれと直交した r 軸に平行な線上に配置された検出器で測定される．ただし，r および s 軸の原点はサンプルの回転中心に一致しているものとする．また，CT 画像を再構成する断面上の点の位置をサンプルに固定された（サンプルとともに回転する）座標系の座
標値 (x, y) で表し，それは r ，s および θ と以下の関係にあると仮定する．
 x   cos θ , − sin θ   r =
 y   sin θ ,cos θ   s [A1]

中野ほか : 24

なお，実際の X 線 CT スキャナでは第 1 図のものとは異なった構成の X 線源および X 線検出器でスキャンを行なっている場合もある．しかしながら，FBP 法 もしくは CBP 法でCT 画像を再構成するためには，それによって得られたデータセットをここで仮定したものと同じ配置の光路を透過した X 線のデータセットに変換する必要がある．
FBP 法および CBP 法では [6] 式のような離散的な関係式ではなく，それと等価な，断面上の座標の連続関数に対する以下の関係式を解いて画像再構成を行なう．
p(r, θ ) =∞∫ ∞ f (x, y) ⋅ ds

[A2]

−

ここで，p(r, θ ) は，角度 θ で示されるスキャンのステップにおいて，入射 X 線強度および r の位置にある検出器で測定された透過 X 線の強度のデータから計算した投影である．
また，f (x, y) は， θ ，r および透過 X 線光路上の座標値 s から [A1] 式で計算された点(x, y) における LAC を表しており，それは [A2] 式の線積分において光源から検出器までの範囲の s でのみ意味を持つ（それ以外の点では f (x, y) ≡ 0）と考える．
測定された p(r, θ ) から f (x, y) を計算するための FBP 法の基本式を導出する．その準備として，まず，以下のように表される f (x, y) の２次元 Fourier 変換 F(t, u) を考える．
F(t, u) =

∞

∞

−

−

∫ ∞ ∫ ∞ f (x, y) ⋅ e− 2 ⋅ π ⋅ i ⋅ (t ⋅ x + u ⋅ y)

⋅ dx ⋅ dy[A3]

ただし，i は虚数単位を表し， t と u はそれぞれ空間変数 x と y に対する空間周波数を意
味する．いま，[A3] 式を使って空間周波数 z と角度 θ の関数 P(z, θ ) を以下のように定義
すると， [A1] 式と [A2] 式から，
P(z, θ ) ≡ F(z ⋅ cos θ , z ⋅ sin θ )
∞

∞

−

−

−

−

∫ ∞ ∫ ∞ f (x, y) ⋅ e∞∞=∫f (x, y) ⋅ e
∫
∞
∞
∞
=∫
p(r, θ ) ⋅ e∞=− 2 ⋅ π ⋅ i ⋅ z ⋅ (x ⋅ cos θ + y ⋅ sin θ )−2⋅π ⋅i⋅z⋅r−2⋅π ⋅i⋅z⋅r−⋅ dx ⋅ dy⋅ dr ⋅ ds

⋅ dr

[A4]

が得られる．すなわち，関数 P(z, θ ) は投影 p(r, θ ) の（１次元）Fourier 変換である．
次に，[A3] 式に対応した以下のような f (x, y) の２次元 Fourier 逆変換を考える．
f (x, y) =

∞

∞

−

−

∫ ∞ ∫ ∞ F(t, u) ⋅ e

2 ⋅ π ⋅ i ⋅ (t ⋅ x + u ⋅ y)

⋅ dt ⋅ du[A5]

上式の積分を空間周波数平面での極座標形式に書き換える．すなわち，(t, u) の代わりに，

中野ほか : 25

 −∞<z<∞ただし， 
 0≤θ ≤πt = z ⋅ cos θ 
u = z ⋅ sin θ [A6]とすると， [A5] 式は以下のようになる．
f (x, y) =

π

∞

0

−

∫ ∫ ∞ F(z ⋅ cos θ , z ⋅ sin θ ) ⋅ e

2 ⋅ π ⋅ i ⋅ z ⋅ (x ⋅ cos θ + y ⋅ sin θ )⋅ |z| ⋅ dz ⋅ dθ[A7]

実際の測定データから数値計算で画像再構成を行なうための準備として，[A7] 式の積分の中の |z| を G(z) と書くことにする．それと同時に [A7] 式の二重積分を２つの（一重）積分の項に分け，それぞれの積分変数などを [A1] および [A4] 式を用いて置換すると，
G(z) ≡ |z|

[A8]

∞

⋅ dz
∫ ∞ P(z, θ ) ⋅ G(z) ⋅ ef (x, y) = ∫ q(x ⋅ cos θ + y ⋅ sin θ , θ ) ⋅ dθq(r, θ ) =2⋅π ⋅i⋅z⋅r

−

[A9]

π

[A10]

0

が得られる．
以上に示した [A4]，[A8]，[A9] および [A10] 式が FBP 法の基本式である．測定された投影データ p(r, θ ) を用いてこれらの式を順次計算することにより，サンプルを含む断面内の任意の位置 (x, y) の LAC の値 f (x, y) を再構成することができる．ここで，[A9] 式によって計算した q(r, θ ) は，物理的には，角度 θ で示された方向についての X 線の投影
p(r, θ ) を空間変数 r に対する空間周波数 z の関数として定義された「フィルタ」G(z) に通して濾波（filtering）したものである．それゆえ，[A4]，[A8] および [A9] 式で行なわれる計算はフィルタ演算と呼ばれている．これに対して，[A10] 式の演算は，測定に用いた X
線光路の方向（角度 θ ）それぞれに対して投影データから計算した q(r, θ ) を θ について積算してもとの LAC に変換するという意味で逆投影（back-projection）と呼ばれている．
ところで，[A9] 式の右辺に示された P(z, θ ) と G(z) の積の Fourier 逆変換は P(z, θ ) のFourier 逆変換 p(r, θ ) と G(z) の Fourier 逆変換 g(r) の畳み込み（convolution）と数学的に等価である．それゆえ，q(r, θ ) は以下のようにしても計算できる．
∞⋅ dz∫ ∞ G(z) ⋅ e∞q(r, θ ) = ∫p(r′, θ ) ⋅ g(r − r′) ⋅ dr′∞g(r) =

2⋅π ⋅i⋅z⋅r

−

−

[A11]
[A12]

FBP 法で用いている [A4] および [A9] 式の代わりに上の２つの式を用いる手法が CBP 法である．これらの手法は数学的には等価で計算すべき式の個数も同じだが， [A11] 式を測定

中野ほか : 26

データとは関係なしに解析的に計算できるため，実際の CT 画像の再構成では CBP 法を用いた方が計算式の近似などに伴う誤差が減る．その反面，本文で述べられている理由により G(z) として [A8] 式以外のものを与えると [A11] 式の解析的な計算が困難なこともある
ので， CBP 法に比べて FBP 法の方が汎用であると言える．
いずれの手法を用いるせよ，r および θ に関して離散的な点で測定された実際の投影データを使った画像再構成の処理では，上記の基本式の積分を和分近似して計算することになる．それに関連して注意すべき事項や近似式を用いて再構成した CT 画像に生じうる偽像などについては，本文においてやや詳しく説明されている．

中野ほか : 27

図の説明
第 1 図． X 線 CT スキャナの概略図．ここに示したものは第０世代のスキャナとでも呼ぶべきもので， 180 度回転可能なサンプルに対して平行 X 線の光束が s 方向に入射・透過している（これ以降の世代のスキャナでは X 線はビーム状で，画像再構成に必要な複数の平行 X 線ビームを X 線源や検出器，もしくはサンプルの運動によって実現している）．サンプルを透過した X 線は r 方向に配列された強度検出器で測定され，それらのデータをもとに CT 画像の再構成が行なわれる． θ はあるスキャンのステップにおけるサンプルの回転角を，また，x と y はサンプルに固定された（サンプルとともに回転する）座標系の軸方向を示している．黒丸はサンプルのスキャンの回転中心で， (x, y) お
よび (r, s) 座標系の原点と一致する．
第 2 図．医療用および材料用の X 線 CT スキャナを用いて同じ岩石サンプルを撮影した
CT 画像の比較．画像中でサンプルを取り囲んでいるアクリル製円筒容器の直径は 20 cmである． (a) 医療用 X 線 CT 装置（日立メディコ製 CT-W2000）で得た空間分解能 0.391
mm の CT 画像．撮影に用いた加速電圧 130 kV の X 線管で発生させた白色 X 線はサンプルに対する透過能が低いため， CT 画像には透過 X 線強度の不足に起因する線状の偽像が多数生じている． (b) 材料用 X 線 CT スキャナ（日立製作所製 HiXCT-3M）で測定した X 線データから再構成した空間分解能 0.2023 mm の CT 画像（中野ほか，1997）．
このスキャナでは加速電圧 3 MV の小型電子加速器で発生させたほぼ単色の X 線を用いているため，サイズの大きな高密度の岩石サンプルでも透過 X 線強度の不足による偽像は生じない．しかしながら，入射 X 線に含まれる雑音のため， CT 画像全体に霧状の偽像が生じている．図の下部の画素値の表示輝度のスケールバーで示されているように，
材料用スキャナで用いられている MeV レベルのエネルギーの単色 X 線に対する CT 値
（LAC）はサンプル物質の密度に換算できる．これらの CT 画像に撮影されているサン
プルは以下のとおりである． 1：Noorat 山（オーストラリア）で採取された玄武岩の殻がついたペリドタイトノジュール（Irving，1974；地質調査所 富樫 茂子氏採取）． 2：
和歌山県塩津の三波川変成帯の泥質片岩（Takagi et al.，1996；大阪教育大学 石井 和彦
氏採取）． 3：Kohistan 弧（パキスタン）のざくろ石角閃岩（地質調査所 中島 隆氏採取）． 4：平均粒径が 1.2 mm 程度のざくろ石の班晶を多数含む長崎変成岩の泥質片岩（
Miyazaki，1991；地質調査所 宮崎 一博氏採取）．

中野ほか : 28

第 3 図．高輝度光科学研究センターの大型放射光研究利用施設 SPring-8 のシンクロトロン
放射光を用いた X 線 CT スキャナで撮影した Allende 隕石中のコンドリュールの３次元
X 線 CT 画像（Uesugi et al.，1999）． 20 keV の単色 X 線による 300 枚の透視画像（透過 X 線強度の画像）のデータを用いて層厚が 6 µm，面内の空間分解能（画素サイズ）
2が 6 × 6 µm の２次元 CT 画像を再構成し，それらを複数枚積み重ねて３次元画像とし3た．図に示された領域のサイズは 1.104 × 1.194 × 1.080 mm である． (a) は LAC の値 7.5
cm-1 をしきい値として CT 画像を２値化して得たコンドリュールの外観の陰影つき鳥瞰
図で， (b)，(c) および (d) は３次元 CT 画像から切り出した相互に直交する３つの断面の画像をそれに嵌め込んだ図である．ただし，(d) に示した断面画像が X 線データから再構成した２次元 CT 画像である．これらの断面画像には陰影がつけられておらず，その表示輝度と LAC の対応関係が図の下部にあるスケールバーで示されている． X 線データに含まれる雑音（不良検出器によるものと思われる）のために CT 画像には (d) の断面に見られるリング状の偽像が生じているが，それでも，コンドリュールの外縁部に-1位置する 20 cm 以上の高い LAC を持つ殻状の部分（リム）を識別できる．測定に用いた X 線エネルギー（20 keV）における物質の LAC の値（たとえば，純粋な硅素と鉄で3は，密度を 2.33 および 7.874 g / cm として，このエネルギーでの LAC の値はそれぞれ10.4 と 202.2 cm-1 になる）から，この部分には鉄などの重元素が多く含まれると考えられる．また，(b) の断面に観察できる水平面とほぼ平行な縞模様は，棒状もしくは板状のかんらん石によって生じた構造であると考えられる．
第 4 図．岩石の主要構成元素の MAC の X 線（光子）エネルギー依存性．曲線 T で示したエネルギーごとの元素の MAC に含まれる Rayleigh 散乱，光電効果および Compton 散乱による寄与の大きさをそれぞれ曲線 R，P および C で示している．これらは [4] 式および [5] 式で示された近似式（McCullough，1975）を用いて計算した．酸素，硅素および鉄の３種類の元素について上段の図にはそれぞれの寄与の大きさの絶対値（R + P + C =T）が，また，下段の図には MAC の値で正規化された各寄与の相対的な大きさ（R + P+ C = 1）が示されている．なお，上段の図中の黒丸は，曲線 T に相当する MAC の実測
値（Hubbell and Seltzer，1996）を示している．
第 5 図． FBP 法もしくは CBP 法でしばしば用いられる窓関数 W (z) （[8]，[10] および[11] 式）とそれらから [7] 式によって計算される再構成フィルタ G(z) の関数形． z および z * はそれぞれ空間周波数および Nyquist 空間周波数（[9] 式）を表す．

中野ほか : 29

第 6 図．円断面で LAC の値が 1 の均質なサンプルに対する CT 画像のサンプルの半径方向の CT 値のプロファイル．５種類の半径（50 〜 450 × δ ）の仮想的な円断面のサンプ
ルに対する単色の透過 X 線の強度のシミュレーションデータから第 5 図に示した３種類の再構成フィルタを用いて計算したプロファイルをそれぞれ示した．上段の図に見られるサンプル像の端に生じた CT 値の乱れに注目するために，下段の図ではそれぞれのサ
ンプルの端が図の中央に来るようにプロファイルを半径方向に平行移動かつ拡大して表示した（上段の図の５本のプロファイルはサンプルの端付近でほぼ同じ変動パターンなので，下段の図ではそれらが完全に重なってしまっている）． δ は X 線 CT スキャナのX 線検出器の配置間隔（第 1 図）もしくは再構成画像の空間分解能である．
第 7 図．サンプル物質による白色 X 線の吸収に関するデータの例． (a) 医療用 X 線 CT ス
キャナ（日立メディコ製 CT-W2000）で用いられている X 線のスペクトル．管電圧 120kV，管電流 0.5 〜 0.6 mA の X 線管で発生させた X 線は 1 mm 厚のアルミニウム板と0.1 mm 厚の銅板で濾波されている． (b) サンプルの密度と化学組成（玄武岩サンプル
GSJ-R26347 についてはバルク密度と全岩組成；一色，1985）から計算した X 線エネル
ギーごとの LAC． Hubbel and Seltzer（1996）のデータベースから得たサンプルの構成元
素の X 線エネルギーごとの MAC の値を用いて [3] 式から LAC を計算した． (c) 第 7 (a)図のスペクトルを持つ白色 X 線が第 7 (b) 図の LAC を持つ均一なサンプルを透過した場
合の X 線強度（[12] 式）から計算した投影の透過厚依存性． (d) 第 7 (c) 図の投影から[13] 式を用いて計算した見かけの LAC．
第 8 図．医療用の X 線 CT 装置（日立メディコ製 CT-W2000）で撮影した人工水晶，アルミニウム，酸化アルミニウム，石膏および方解石のサンプルの CT 画像に生じた光線硬化．それぞれのサンプルの組成（化学式）と密度，そして，画像サイズは図の上部に示されている． (a) X 線 CT 装置で得た CT 画像（OBS 画像）．画像の空間分解能は 0.313
mm である． (b) サンプルの化学組成と密度，OBS 画像の撮影に用いた X 線のスペクト
ル（第 7 (a) 図），および OBS 画像から抽出したサンプルの輪郭線データを用いて光線硬化をシミュレートした画像（SIM 画像）． (c) OBS 画像と SIM 画像に示した線分上のCT 値のプロファイル．それぞれのサンプルごとに OBS 画像の値（Fobs）と SIM 画像の値（fsim）の空間パターンがサンプル内部において一致するようにプロファイルの縦軸のスケールを調整してある．また，OBS 画像と SIM 画像においてもそれと同様な表示
輝度の調整を行なってある．なお，アルミニウムの中心付近の高 CT 値の部分と石膏内

中野ほか : 30

部の縦の縞模様は CT 画像の偽像ではなく，サンプル内部の不均質構造である．
第 9 図．バイカル湖（ロシア）の湖底堆積物のピストンコアサンプル（VER-98-1，St. 6，
PC，Sec. 3B）の X 線 CT 画像（小田 啓邦・中野 司・池原 研・中村 光一，未公表）．
これら２枚の画像は，紙面に垂直な断面を撮影した 1010 枚の CT 画像から合成したコアの中心軸を通る相互に直交する断面の画像である．画像の表示輝度は画素値のヒストグ
ラム平滑化（histogram equalization；たとえば，中野，1995）で強調されている．２枚の画像の上下端に見える高 CT 数の部分は直径 12 cm，壁厚 5 mm のアルミニウム製コアライナーで，これがサンプル周囲に介在するために CT 画像には光線硬化はほとんど生じなかった．
第 10 図．伊豆大島で採取された玄武岩サンプル（GSJ-R26347；一色，1985）の X 線 CT
画像に生じた光線硬化の補正処理の過程． (a) X 線 CT 装置で撮影されたオリジナルのCT 画像（OBS 画像）． (b) OBS 画像に含まれる光線硬化をシミュレートした画像（
SIM 画像）． (c) OBS 画像の画素値 Fobs から SIM 画像の値 fsim を引き去った画素値
Fbhc を持つ光線硬化を補正した画像（BHC 画像）． (d) 第 10 (a)，(b) および (c) 図に示した線分上の CT 値のプロファイル．これらの画像において，表示輝度は画素値の上下限を設けていること以外に特別な処理を加えていない．また，BHC 画像の CT 値のプロ
ファイルの縦軸のスケールは，OBS および SIM 画像のものと揃えてある．
第 11 図． 0.5 mm 間隔で撮影した 50 枚の X 線 CT 画像を用いて行なった文象花崗岩サン
プル（GSJ-R6052；松原，1956）に含まれている石英結晶の３次元空間におけるつながりの解析処理の過程（Ikeda et al.，1999）． (a) サンプルの中心部分だけを切り出して光線硬化による断面ごとの CT 数の空間変動を回避した CT 画像．それぞれの画像の横および縦サイズはいずれも 90 画素（28.170 mm）． (b) 第 11 (a) 図の CT 画像を単純に同じしきい値で２値化して石英の部分を抽出した画像． z = 0 と z = 49 の画像を比較すればわかるように，サンプルの断面積の違いにより各断面の CT 値が光線硬化の影響で系統的に変動し，単純な２値化ではすべての断面の石英の領域を正しく抽出することができない． (c) 第 11 (a) 図の CT 画像にサンプルの断面積に応じた補正値 dF （単位はHU）を加えた画像． (d) 第 11 (c) 図の画像を第 11 (b) 図と同じしきい値で２値化して石英の部分を抽出した画像． (e) 第 11 (d) 図の２値画像で識別された石英の３次元分布を示す鳥瞰図．底面が第 11 (d) 図の z = 0，天井が z = 49 の画像に対応する． (f) 第 11 (e)図に示された石英のうち３次元空間でつながっていると判定された最大のクラスタを示

中野ほか : 31

す鳥瞰図．なお，第 11 (a) および (c) 図の画像はどちらも 1800 〜 2311 HU の範囲の CT
値を濃淡で表示している．また，第 11 (b) および (d) 図では最大のクラスタに属する石
英を黒で，それ以外の石英を灰色で表示している．

r

回転

r=0

δ

y

検出器

s

x
θ

透過 X 線強度

入射 X 線
強度

I

I0
サンプル

X 線光束

中野ほか，第 1 図， 65 %

(a)

(b)

2
3

1

3

1

4

-2000

2

CT 数 (HU)

4

4000

-0.88

密度 (g/cm3)

3.91

中野ほか，第 2 図， 70 %

(a)

(b)

(c)

(d)

0

LAC (1/cm)

15

中野ほか，第 3 図， 70 %

O : Z = 8, A = 15.999360

Si : Z = 14, A = 28.085380
10

T
C
P
R

0.001

T
C

P
R

0.001
光子のエネルギー (keV)

30

100

C

R

100

30

P

C

R

0
30

光子のエネルギー (keV)

C

R

0
100

100

P

寄与の相対的な大きさ

寄与の相対的な大きさ

寄与の相対的な大きさ

P

光子のエネルギー (keV)

1

C

R

P

0.001
光子のエネルギー (keV)

30

1

1

T

log(MAC, cm2/g)log(MAC, cm2/g)

10log(MAC, cm2/g)

10

Fe : Z = 26, A = 55.846722

030

光子のエネルギー (keV)

100

30

光子のエネルギー (keV)

100

中野ほか，第 4 図， 70 %W(z)箱型関数（Ramachandran）
1

sinc 関数（Shepp）
Hanning 窓（Chesler）
z
0

z*

G(z)
z*
Ramachandranフィルタ

Chesler
フィルタ

Shepp
フィルタ

z
0

z*

中野ほか，第 5 図， 70 %Ramachandran フィルタ

Shepp フィルタ

Chesler フィルタ

50×δ 150×δ 250×δ 350×δ 450×δ

50×δ 150×δ 250×δ 350×δ 450×δ

50×δ 150×δ 250×δ 350×δ 450×δ

1

1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

0

円の中心からの距離

500×δ

0

0

円の中心からの距離

500×δ

0

0
1

1

0.5

0.5

0.5

0

0

0

サンプル端からの距離

+4×δ

−4×δ

サンプル端からの距離

500×δ

0

1

−4×δ

円の中心からの距離

+4×δ

−4×δ

サンプル端からの距離+4×δ

中野ほか，第 6 図， 65 %100008

B(a) X 線スペクトル，i0(c) X 線投影，p = log(I0 / I)KQ
X 線投影，p

X 線管 = 120 kV / 0.5~0.6 mA
濾光材 = Al (1 mm) + Cu (0.1 mm)
検出器ゲイン = 0.629

X 線光子数，i0

G

W

0

0
X 線エネルギー，E (keV)

0

150

1000

0

物体の厚さ（透過 X 線の光路長），S (cm)

10

2

B
G

サンプル

密度
(g/cm3)

化学組成

B: 骨
G: GSJ-R26347
K: カリ長石
Q: 石英
W: 水

3.14
2.7
2.56
2.65
1.00

Ca3 P2 O8
伊豆大島玄武岩K Al Si3 O8
Si O2
H2 O

(d) 見かけの X 線 LAC（１次元 CT 値），f = p / S
見かけの X 線 LAC，f (1/cm)

log(µ , 1/cm)(b) X 線線吸収係数（LAC），µ

K
Q

B
G
K
Q

W

W
0.1

0
0

X 線エネルギー，E (keV)

1500

物体の厚さ（透過 X 線の光路長），S (cm)10

中野ほか，第 7 図， 80 %

アルミニウム：

酸化アルミニウム：

石膏：

方解石：

Al, 2.66 g/cm3,
1.878 * 1.878 cm2Al2 O3, 3.85 g/cm3,
1.8467 * 1.8467 cm2

Ca S O4 + 2 H2 O, 2.31 g/cm3,
4.6011 * 3.8812 cm2

Ca C O3, 2.72 g/cm3,
4.9141 * 3.0361 cm2(a) OBS 画像

人工水晶：
Si O2, 2.65 g/cm3,
1.9406 * 3.13 cm2

2870.12166.8
Fobs (HU)

2532.72313.2

Fobs (HU)

2885.63402.7

Fobs (HU)

Fobs (HU)

3883.32910.33839.9(b) SIM 画像

1954.4

Fobs (HU)

0.779213 fsim (1/cm) 0.978522
0.647432 fsim (1/cm) 0.786188

画像上の位置

画像上の位置4643.3
Fobs (HU)

fsim

Fobs

fsim

2616.83467.9Fobs (HU)

Fobs

1980.9Fobs (HU)
3293.43150.3
Fobs (HU)
2444.42582.3
Fobs (HU)
1864.7(c) プロファイル

fsim

fsim (1/cm) 0.729386

画像上の位置Fobs

Fobs = 5083.7833 * fsim - 1091.2463

1.128

fsim

Fobs = 5358.0059 * fsim - 1302.1407

0.890255 fsim (1/cm) 0.612743

画像上の位置Fobs

Fobs = 4480.4313 * fsim - 686.0690

1.08335 fsim (1/cm) 0.888199

fsim

Fobs = 3402.0074 * fsim + 25.0038

0.918656 fsim (1/cm) 0.711178

Fobs

0.772891 fsim (1/cm) 0.635518

Fobs = 5223.3941 * fsim - 1454.8492

0.912593 fsim (1/cm) 1.01017
4167.80.737112 fsim (1/cm) 0.840852

0.652689 fsim (1/cm) 0.721376

画像上の位置

中野ほか，第 8 図， 80 %

VER-98-1, St.6, PC, Sec.3B :コアの軸長 = 1010 (mm), lay-x 断面 = 196 / 393 (123.009 mm), lay-y 断面 = 197 / 395 (123.635 mm)
+3989

lay-x
CT 数 (HU)

lay-y
-1139
0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000 (mm)中野ほか，第 9 図， 80 %

BHC 画像
219 * 219 pixels / 6.8547 * 6.8547 cm2(d)

線分上の CT 値プロファイル

0

Fobs (HU)(c)

4382.1

SIM 画像438 * 438 pixels / 6.8547 * 6.8547 cm2

2427.5(b)

Fbhc

OBS 画像219 * 219 pixels / 6.8547 * 6.8547 cm2

1.19162 fsim (1/cm) 0.646525(a)2671.8

Fobs (HU)

3649.10.714662 fsim (1/cm) 0.987211-488.642

Fbhc+488.642

Fobs = 3585.7241 * fsim + 109.26031
Fobs

fsim

画像上の位置

中野ほか，第 10 図， 80 %

(e)
z=0

10

20

30

34

39

49

dF = +39.6

+27.9

+16.3

+4.7

0

-5.8

-17.4

(a)

(b)
(f)

(c)

(d)

中野ほか，第 11 図， 80 %