中四国の国公立大学入試問題の研究
推薦入試の問題から
愛媛県立今治西高等学校 近本 優大
１ はじめに
四国地区には， つの国立大学， つの公立大学が設置されている。
中国地方には， つの国立大学， （令和 年度より叡啓大学が設置される）の公立大学が設置されている。国立大学では，約 ％，公立大学では，約 ％の生徒を推薦入試により学生募集を行っている。
私たちが生徒に指導する際，過去問を解かし，その傾向を見つけることで対策を講じることができると思う。そのため，中四国の国公立大学の推薦入試問題で出題された数学の問題を取り上げた。
２

令和年度四国の国公立大学

高知大学 理工学部

数学受験

推薦入試Ⅰ

…

を満たすものが存在する。このとき， を 進法で…と表す。各

推薦入試問題数学物理学科…

に対して，は の 進法での小数第ような 進法での小数表記をもつ。例として，
１ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
実数 に対して， より小さくない最小の整数をる。例えば，…

整数のときは不等式である。

，位の数となる。

ここでは， 進法での小数表記と区別するために， 進法での小数表記はを付けて書くことにする。すべての 以上 未満の実数はこのの場合を説明しよう。と書くことにす…

である。 がを満たすので，小数第 位の数は と決まる。次にを満たすので，小数第 位の数は と決まる。さらにをみたす実数の組の範囲について考えてみよう。まず，のときであり，のときであることから，連立不等式の表す平面上の領域を とおくと，領域 に属するを満たす。次に，実数と整数に対して，はを満たすので，小数第 位の数は と決まる。さらに続けてを満たすので，小数第 位の数は と決まる。 式の各辺を 倍すると 式と同じであり， 式の各辺を 倍すると 式と同じであることに注意すれば，以下同様に，小数第 位以降も， と を交互に繰り返す。よって，が成り立つので，もしのとき が成り立つならば，のときも が成り立つ。従って，整数に対して，領域 を 軸方向に ， 軸方向に だけ平行移動した領域をとおくと，各に対して，領域に属するはを満たす。このことから，領域 をもとにして， を満たす実数の組の範囲を平面上に図示することができる。
上の考え方を応用して，今度は，不等式る。このの 進法での小数表記は，… となの 進法での小数表記のように循環する部分をもつ場合には，繰り返す部分の最初と最後がわかるように数字の上側に点を付けて，のような表し方を用いることにする。なお，のように進法での小数表記で，ある箇所以降， だけを繰り返す場合には…の代わりにのような表し方も用いる。

進法を用いると見通しが良くなるような例題を紹介しよう。
を満たす実数の組
問１．の範囲について考えるとどうなるだろうか？のときが成り立つかどうか理由を付けて答えよ。
問２．領域 を図示せよ。
問３．実数 と整数 に対して，が成り立つ理由を説明せよ。
問４． を満たす実数の組の範囲を平面上に図示せよ。なお，理由を書く必要はなく，答えのみでよい。
問５． を満たす実数の組の範囲を平面上に図示せよ。理由も説明せよ。
※ただし，は，特殊記号

例題 関数を表す。

２ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
以上 未満の実数を 進法での小数表記で表してみよう。 を 以上 未満の実数とする。このとき，各々の値が または であるような… で，をそれぞれを満たす実数数列で定義する。
を取る。さらに，とを用いて，を帰納的に… により，定義する。このとき，正の整数して不等式に対が成り立つことを示せ。

この例題を解くのに， 進法を使ってみよう。
を満たす実数 が， 進法で… と表されていたとする。このとき，はそれぞれ 進法で… ，… と表される。このことを用いると，… と表されているとき，正の整数で表すことができる。の 進法での小数表記と数表記を見比べることで，正の整数がすぐに示される。

が 進法でに対してを 進法の 進法での小に対して不等式

問１．文章中のの 進法での小数表記の説明にならって，

問２を原点とする座標平面上に 点とする。このとき，以下のの値を求めよ。と表されることを説明せよ。
問２．

を満たす実数 が， 進法でれていたとする。このとき，… ，よ。
問３． が 進法で… と表さはそれぞれ 進法で… と表されることを説明せの 進法での小数表記を求めよ。ただし，解答まに対して不等式が成り立つことを示せ。

高知大学 医学部医学科

入試Ⅰ

Ⅰ，，，を満たす四角形が円に内接している。次の設問に答えなさい。
設問１となることを示しなさい。
設問２を の式で表しなさい。
設問３を の式で表しなさい。
設問４ 四角形の面積を求めなさい。
設問５ 設問４のの最大値を求めなさい。またそのときの の値を求めなさい。

設問２との値を求めよ。のグラフの概形をかきなさい。
を でない自然数とする。不等式をみたす自然数 がただ つだけ存在するとき， の値と，上記の不等式をみたすただ つの自然数 を求めなさい。

問３
とおく。このとき，以下の ～ に答えよ。の増減を調べ，極値を求めよ。
を正の定数とする。方程式がちょうど 個の異なる実数解をもつように， の値を定めよ。のとき，直線と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。
高知工科大学

情報学群とし， を原点とする座標平面上の曲線を とする。 上の点における の接線を とおく。 が直線と交わる点を ，直線と交わる点をとおく。このとき，次の設問に答えなさい。
設問１ 接線 の方程式を求めなさい。
設問２ 接線 の 切片をとおくとき，の範囲で，の増減表をかき，のグラフの概形を 平面上にかきなさい。
設問３がお範囲にあるとき，三角形の面積をを用いて表しなさい。
設問４とする。 と がの範囲で交点 を持つような の範囲を求めなさい。
設問５が設問４で求めた範囲にあるとする。設問４の点 に対して，線分と とで囲まれる部分の面積と，線分と と直線とで囲まれる部分の面積が等しくなるような の値を求めなさい。
高知工科大学

システム工学群

入試

入試

以下の問１～３のすべてに解答しなさい。問２ ３は解答の過程も記述しなさい。
問１．関数をとしとおく。このとときの関数
関数～ コをアと呼ぶ。
イウと形は エである。

エの解答群
①

次に元の関数関数
くとと が垂直とならないことを証明せよ。

③オカである。

を得る。これから，定数のとき，を解のいくつかの場合にの解は重解となる。のグラフの概形は ク
キのときのオの解答群②の解答群①②③のときを比較するにおいて ケはのグラフの概形は コ①キである。の二つの解と と カのとき，キカのグラフの概のグラフの概形を考える。
キのである。

について考えよう。とⅰを得る。

を で微分すると，ついて，のである。ここで②を を用いて表せ。のとき，～に入れるのに最も適当なものを下の解答群のうを で微分すると，内積 ･ を を用いて表せ。

を満たすような の値の範囲を求めよ。

～ ウ ，ちから一つずつ選びなさい。
まず，定数 に具体的な値を代入して考えてみよう。と の方が大きい。したがって，関数を実数とする。また，き，以下の ～ に答えよ。のキ にあてはまる数をそれぞれ答えなさい。また，空欄 エⅱ

問１は定数 ，グラフの概形について考える。以下の文章中の空欄 アを解くとⅢ，がある。に答えよ。の内接円の半径 と中心の座標を求めよ。

カ ， ク

Ⅱ 次の設問に答えなさい。
設問１の式で表せ。

△… と表されているとき，での過程を説明すること。
問４． 進法での小数表記を用いて，正の整数を～③である。

。

ク

次方程式
，の解答群
①ケ②

不等式求めよ。
不等式の解答群①極小値をとる②，を自然数とする。和 ･よ。

①②の最大値ををとし， を実数の定数とする。二つがある点で接する。ととは点を通り，かつ，曲線における接線と曲線の点における接線とが一致する。このとの点･･…

を･をを求めを実数とする。
平面上において， 次関数で表される放物線の頂点をとする。次の各問に答えよ。
をそれぞれ を使って表せ。となるような の値の範囲を求めよ。
が実数全体を動くときの点 の軌跡 を求め，の方程式で表せ。の曲線 と 軸，直線で囲まれた つの部分のうち，をみたす部分の面積を求めよ。

Ⅲ 次の定理とその証明を読み，後の問に答えよ。
定理
を 以上の互いに素である自然数とする。このとき，は 以上の整数 の形にかけない自然数全体の集合を とすると， に属する最大の自然数はである。
証明 まず，であることを背理法によって示す。と仮定すると，となる以上の整数が存在する。このとき

き の値を求めよ。
問３．角の単位は弧度法とする。
下の図を参考にして，とするとき，③Ⅱ

すなわち，曲線に対して，を解け。

点を とする。
用いて表せ。

原点を通るの解答群

問２．関数の曲線を満たす関数のグラフに原点から引いた接線のうち，傾きが小さい方の方程式を求めよ。
三角形
において，辺をに内分する点を ，辺をに内分する点を とし，線分と線分の交極大値をとる

コ③の つの解をとするとき，を解とする 次方程式を つつくれ。

においてであることを証明せよ。

★

が成り立つ。右辺は で割り切れるから左辺も で割り切れ，は と互いに素だから はを割り切る。このときであるから， ★ よりとなり矛盾が生アじる。したがってである。
次に， を以上の任意の自然数とし，であることを示す。
は互いに素だからの結果を用いてをみたす イ 整数が存在する。
数 をとる。このとき，を証明せよ。
高知工科大学

経済 マネジメント学群

入試を満たす整であるから＞

ウ

Ⅰ 次の各問に答えよ。なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること。のとき，の値を求めよ。

三角形
において，，，のときの値を求めよ。
はをみたす実数とする。次のデータについて，中央値と平均値の差の絶対値が 以下となるような の値の範囲を求めよ。
大小 個のさいころを同時に投げるとき，目の積が の倍数になる場合は何通りあるか。
男子 人と女子 人がくじ引きで一列に並ぶとき，男子が隣り合わない確率を求めよ。
を展開したときのの係数を求めよ。

が成り立つ。よってたがってとおくと，だからである。しは 以上の整数でが成り立つ。よってである。
以上より定理は示された。
設問
は 以上の整数 の形にかける 以下の自然数をすべて求めよ。答えのみでよい。
下線部 ア の理由をわかりやすく説明せよ。
下線部 イ においては，一般に次の命題が成り立つという事実が用いられている。

命題
を互いに素である自然数とする。このとき，任意の整数 に対して，をみたす整数が存在する。
この命題に関して，次のの問に答えよ。のとき，をみたす整数が存在することを証明せよ。のとき，任意の自然数 に対してをみたす整数が存在することを証明せよ。
下線部 ウ の理由をわかりやすく説明せよ。
をみたす 以上の整数を一組求めよ。
必要なら， ････であることを用いてよい。
３ まとめ
令和 年度の四国地方の入試と推薦入試の問題の中で，数学の内容に関するものを取り上げた。平成 年度の問題と比較してみると，高知工科大学において，経済 マネジメント学群以外のシステム工学群，情報学群でも数学的な内容が出題されるようになった。高知大学では，理工学部数学物理学科で，数学的な内容の問題文から，その内容について説明を求められたり，証明をしたりするような読解力が求められる問題が多く出題されていた。医学部医学科で，総合問題Ⅰにおいて，英語と数学の問題を出題していた。内容としては基礎的なものも多くあった。
高知工科大学では，システム工学群で，基本的な大問を 題，情報学群で，マーク形式の問題と証明の問題，経済 マネジメント学群で，小問集合と大問，読解力を問う問題が出題されていた。出題傾向としては大きく変わっておらず，過去問を利用して対策をしていく必要がある。また，読解力や新しい発想を問うような問題が出題されており，普段から問題を読み込み，自分の頭をアクティブにする学習の方法を定着させる必要があると感じた。