平成年度愛媛大学入試問題 数学 の研究
石丸 直司
愛媛県立松山北高等学校
年 月 日

はじめに
月日 土 に松山南高校において、愛媛大学の平田教授より平成１７年度愛媛大学前期日程

数学入試問題（理学部数理学科用問題を含む）についての説明があった。

出題傾向の考察
出題形式
昨年に引き続き、各学科とも次の範囲より全問記述４題を解答させるようになっている。
教育・農学部・・・
・数学Ⅰ・Ⅱ・Ａ・Ｂ
理・工・医学部・
・
・数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ
理（数理科学）学部・・数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・Ａ・Ｂ・Ｃ「数学Ａ・Ｂ・Ｃ」の出題範囲は、次のようになっている。
「数学Ａ」
・・・・
・・・数と式，数列「数学Ｂ」
・・・・・・・ベクトル 複素数と複素数平面「数学Ｃ」
・・・・・・・行列，いろいろな曲線
また、各学部に共通の（数学Ａ），（数学Ｂ）の２題が、ａとｂに分かれ、いずれか一方の選択問題である。

出題内容「数学Ⅱ」 図形と方程式 積分法 面積「数学Ⅲ」 微分・積分 接線 微分・積分 極限 三角関数とその極限「数学Ａ」 命題と論証 いろいろな数列 漸化式「数学Ｂ」 空間ベクトル 空間ベクトル，内積 複素数

難易度
例年どおり、おおむね標準的・基本的なレベルであり、複合問題もなく素直な問題が多い。

平成年度入試問題の分析

生徒に入試問題を解かせてみて
月下旬に理系３年生

名 に平成年度愛媛大学入試問題の １ 〜 ６ の４題をで解かせ、本校での定期考査程度の解答、採点を行った。なお、選択問題はの２問と分間のベクトルのあわせて３問より、２問を選択させた。説明会では、各学部によって評価が異なり、したがって採点基準も異なるので、平均点も多少差がある。たとえば、次のような評価であるらしい。
理学部・・・理論的な力が付いているか
工学部・・・複雑な式でも、がむしゃらに解けるか
教育学部・・ひとに分かりやすい答案がかけるか

問題分析
１
平面上に

点，，， と点を通る直線 がある。

から等距離にある点の軌跡の方程式を求めよ。

（１）点（２）中心が一致する２つの円る。 の面積がの面積のがある。円倍であるとき表

平均点
理系

得点を通り 円は直線 に接していの中心の座標と半径を求めよ。

平均点と度数分布〜

理系
得点率

は点〜〜〜

点満点 受験者〜名考察（１）についてほとんどの生徒が垂直等分線として求め、よくできていた。

（２）について条件を式にすることはできているが、円の中心が直線式を上にあることに気づかず、円の方程とおき、作業が増え最後まで計算できていない生徒が多い。図は描けているが活用できていない。
２
曲線（１）点（２）上の２点の座標をそれぞれを通る直線 の方程式を求めよ。と で囲まれる部分の面積を求めよ。としとする。

表
平均点
理系

得点〜

理系
得点率のとき 線分（３）

平均点と度数分布〜〜点満点

受験者の長さを最小にする〜〜
名を求めよ。

考察（１）（２）についてよくできているが、式を整理しきれない生徒が多い。
（３）について（２）でと整理できていない生徒は先に進めていない。また、の左辺をうまく整理できず、数字が大きくなり最後まで計算できていない生徒が多い。
３
曲線上の点を（１） におけるの接線の方程式を求めよ。

（２） における接線が点（３）点を通るとする。
， を通るときを求めよ。の接線が 本あり かつで直交するとき 点の座標を求めよ。たとする。

だし

平均点と度数分布

表
平均点
理系

得点〜〜〜

理系
得点率％

点満点

〜
受験者

〜
名

考察
（１）（２）について基本的な問題で、よくできている。
（３）について問題を読み切れておらず、接点を２点設定しその接線が垂直に交わるとして解こうとした生徒が多かった。
を通る（１）で求めた接線が本あるときとはどういうことかを、理解できていない。

４とする。
（１） の方程式のを用いてよい。
（２）において ２つの不等式における解を求めよ。ただし 必要ならを同時に満たす平面の領域をとする。の面積を求めよ。

を求めよ。

（３）

平均点と度数分布

表
平均点
理系

得点〜

理系
得点率〜％

〜

点満点 受験者

〜〜名考察（１）についておよそ半数の生徒は変形しただけで先へ進めていない。生徒には、角度の範囲の置き換えは比較的分かりにくいところであり、さらに文字を含んでいるのでいっそう分かりにくかったようである。
よりとしているものが多い。

（２）（３）について（１）ができている生徒は比較的よくできているが、上端 下端をやで置き換えないで行い、複雑になり間違ったり、（３）では正確に変形できていなかったりしている者もいた。
５―ａを実数とする。条件「」を条件「」を条件「」をとする。
次の命題の真偽を述べよ。また その命題が真の場合は証明し 偽の場合は反例をあげよ。
（１） 命題「」（２） 命題「」（３） 命題「」（４） 命題「」
表
平均点

理系

得点

〜

平均点と度数分布
〜

〜〜

〜

受験者

名

理系
得点率％

点 満点

考察
１ 〜 ４ とも、真偽については判定でき、偽のときの反例もあげることができた。
１ の証明では図示している生徒は以外に少なく、 の両辺を２乗して処理しているものが多かった。
３ の証明はあまりできていない。
５−ｂ数列をで定める。
（１）

とおく。

は等比数列であることを示し 一般項（２）一般項を求めよ。

（３）を満たす最小の自然数
表
平均点
理系を求めよ。

を求めよ。ただし，とする。

平均点と度数分布

得点

〜

〜

〜

理系
得点率％

点満点

〜

受験者

〜
名

考察
（１）についてはよくできているが、与式を変形できず、とおけず、等比数列であることを示せていないものが多かった。
（２）についてから、公比の等比数列としているものが非常に多かった。また、階差数列として求めているものもあった。
（３）について（２）までできている生徒はほとんどできている。
６−ａ空間の４点に対しいに垂直でとおく。ベクトルはどの２つも互である。となる点を（１）ベクトルと（２）のときを求めよ。

上の点をとする。直線（３） 直線をベクトルとする。

を用いて表せ。と直線が垂直になるとき 線分の長さを求めよ。
表
平均点
理系

平均点と度数分布

得点

〜

〜〜

理系
得点率％

点満点

受験者

〜

〜
名

考察
（１）（２）について基本的な問題でありよくできていた。
（３）について（２）のを利用している生徒はここでは、や人と、少なかった。

について考えればよいのであるが、ベクトルの始点をに取り最初から考えて、複雑になり正確に計算できなかった生徒が多い。
（１）（２）の流れから図を描けていない生徒が多い。

６−ｂ複素数は実数 について 次の問に答えよ。ただし は虚数単位である。

（１）を満たすを求めよ。

（２） を正の実数とする。

を満たすが存在するためのの範囲を求めよ。

考察（１）について基本的な問題であり 素直に２乗し 実部・虚部の係数比較をすればよい。
（２）について「 が存在する」ということが「実数の、実数解が存在するが存在する」ということに気づけば方針が立つが、の範囲を求めることを、２次方程式への置き換えができれば比較的容易である。

おわりに今年度も基本的あるいは標準的な良問が多い。今年度の特徴として、基本的な定番の問題ではあるが、あることに気がつけば意外と簡単に処理できるが、気づかなければ複雑になり大変というよ
うな、そういう力を問うような問題が目立った。今後の、動向に注目したい。また、来年度からは新課程入試となり、特に数学Ⅰ・の出題が平面図形がらみでどのような出題になるかに注目したい。
この研究により感じたことは、とにかく基本的な内容の確認と徹底、標準的な良問を繰り返し解くことが大切である、ということだ。生徒は、月下旬に解いたとはいえ、まだまだ２次試験に対する力は備わっていない。誤答分析からも、基本的な事柄がまだ消化しきれていない生徒も多く見られる。それに加え、計算力・図示やグラフ化して考える力・問題内での関連性を見抜く力の不足など、これから少しずつ力を伸ばしていくと思うが、基本的なことから一つ一つ正確にものにしていって欲しい。
今後は、各大学入試問題をよく研究して、問題の傾向を早くつかみ、受験先に応じて効果的かつ合理的に各生徒の能力を最大限に引き出せるような指導ができるよう努力していきたい。