令和年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立新居浜西高等学校 松本 慎

１

２

はじめに
今年度は 月日 土 にオンラインで愛媛大学理学部平野幹教授による令和 年度愛媛大学入試問題の解説があった。実際の入試問題を利用して，本校生徒がどの問題でどのような間違いをするのか，誤答分析を中心に考察していきたい。なお，筆者のミスで解説のメモを紛失してしまい，教授コメントが掲載できてないが，ご容赦願いたい。
出題の傾向
問題数および試験時間
今年度はセンター試験から大学入学共通テストに変わった影響からか， 次試験も大きく変化した。全ての学部で記述 題の設定で，教育学部，農学部，工学部文理型においては分で，理学部，工学部理型，医学部医学科においては分で，総問題数は 題（昨年度までは 題）に減少している。また，医学部医学科の問題が工学部理型，理学部と同じ問題になったのは大きな変化だと思われる。後期は小問 題，記述 題を分で解答する形であった。前後期ともに小問，中問レベルが多くなった印象である。
出題内容
＜前期＞
教育学部（「数Ⅰ，数Ⅱ，数 ，数 」受験者）
農学部，工学部文理型
１ 小問集合（数学Ⅱ ）２ 小問集合（数学 ⅠⅡ）
３ 図形と方程式，数列
教育学部（「数Ⅰ，数Ⅱ，数Ⅲ，数 ，数 」受験者）
２ 小問集合（数学 ⅠⅡ）
３ 図形と方程式，数列（数学 Ⅱ ）４ 小問集合（数学Ⅱ Ⅲ）
理学部，工学部理型，医学部
４ 小問集合（数学Ⅱ Ⅲ）
５ 小問集合（数学Ⅱ Ⅲ）
６ ベクトル 微分法 （数学Ⅲ）＜後期＞
１ 小問集合（穴埋め）（数学Ⅲ）
２ 小問集合（数Ⅱ Ⅲ）
３ 確率，複素数平面
出題者の意図
次試験数学入試のポイント．基本的な事項が理解できているか。
．基本的な計算が身に付いているか。
．応用力を身に付けているか。
．論理的に考察し，表現できるか。の つの観点で問題が作成されているのは，例年通りである。前述したが，小問集合が多く，より基礎の定着を図る問題が多かったのではなかろうか。
３問題分析
本校の 年生に入試問題を解いてもらった。
普通科理系の生徒
名 に ， ， を，数学
Ⅲ選択者
名 に ， ， と 後期の ， ，を解いてもらい誤答例から分析を行った。
＜前期＞
１ 小問集合（数学Ⅱ
以下の問いに答えよ。

）

を虚数単位とする。の実部を求めよ。
，

で，のとき，，の値を求めよ。とする。座標空間における 点， ， ，， ， ，， ， について，となる の値を求めよ。
曲線と 軸とで囲まれた つの部分の面積の和を求めよ。
辺の長さが の正方形がある。頂点， ， ， を移動する点 は， 回の移動で，今いる頂点から他の つの頂点のいずれかへ移動する。ただし，距離がする確率は率はそれぞれで，他の離れた頂点へ移動つの頂点へ移動する確である。点が頂点するとき， 回の移動でちょうどを求めよ。

を出発に戻る確率【誤答例】
展開したときの符号ミス。ド モアブルの定理を使って の計算ミス。の符号ミス。
成分表示ができず，内積の値を出せなかった。と間違えた。余弦定理を使って計算ミスなど。
積分した後の計算ミス。の を積分区間にしていた。 因数分解を間違えたなど。
条件を満たす場合を正確に出せなかった。

【考察】は数Ⅲ選択者はド モアブルの定理を使っている生徒がほとんどであった。数Ⅲを選択していない生徒は，二項定理か分配法則で展開している人がいたが，全部展開しようとしていたためミスが目立った。
は正答率が高く，三角関数の公式はうまく使えていた。
は成分表示がうまくできていない解答が目立った。また，余弦定理で解こうとして，計算ミスをしている生徒が多かった。
は積分した後の分数の処理でミスがあった。正確に計算させたい。
は 回で に戻る場合がうまく出せてない生徒が多かった。具体的に考える練習の必要性を感じた。
２

小問集合（数学 ⅠⅡ）
以下の問いに答えよ。
自然数 は で割ると 余るとする。このとき，はの倍数であることを示せ。
座標平面において，不等式の表す領域を図示せよ。
等式を満たす実数 をすべて求めよ。
導関数の定義にしたがって，関数注意したい。
３

図形と方程式，数列（数学 Ⅱ ）， を正の定数とし，座標平面上の 点 ，の座標を，それぞれ ， ， ， とする。
線分上の ， とは異なる点， を考える 図 。座標が ， ， ， ， ， ，， である 点を頂点とする長方形の面積をとする。
，，，
図ⅰを ， ， を用いて表せ。
ⅱが最大となるときの点 の座標，および，そのときの を ， を用いて表せ。
座標平面上の 点 ， の座標を，それぞれ， ， ，とする。点の座標を，上の， …，，える。座標が，，， ， ， ， ，，であるの面積をは自然数 とおいている。合同式ⅰ，を用いてを の倍数と の倍数としての倍数としている。
展開をして，グラフがかけてない。
場合分けはできているが，解の吟味ができてない。
定義を覚えていない。
が途中で消えていⅱ

数列のを考点を頂点とする長方形の面積をとし，そのときとする。
を求めよ。の一般項を求めよ。

ⅲ
ⅳとする。線分， とは異なる点が最大となるときの点る。
【考察】
は大体の生徒がとおいていたが， この形なら， は 以上の整数だが，自然数とおいている解答が目立った。
とおいた方が計算量も少なく，ミスが減ると思われる。状況に応じて使い分けをさせていきたい。
は正答率が高かったが，展開するとどうしようもないので注意させたい。
は解の吟味ができてない生徒がおり，場合分けとセットで考えれるように指導していく必要を感じた。
は公式を用いて微分することはできるが，定義の定着は不足していると感じた。数Ⅲ選択者は特に，…，および，実数 ， ， ，…， ，… を次のように定める。
自然数 に対し，点が定められたとき，の導関数を求めよ。
【誤答例】

，…

を…
を求めよ。ただし，を用いて表せ。となる最小を用いてよい。
【誤答例】
ⅰⅱ
ⅰⅱ
ⅲ
ⅳ

を消去できてない。
を考えてない。とうまくつながってない。の座標を，とおき，計算ミス。
ⅱ ができてないため無答が多かった。
で近似して答えている解答がほとんどだった。
【考察】
で面積の最大値を考えさせ， でその図形を繰り返し作っていき，規則性を用いて考えてさせる問題であった。 は正答率は高かったが， でを求めれるかが分かれ目であった。筆者もそうだった
が，座標で漸化式を作ると計算が煩雑になるので，図形の相似から面積の漸化式を作りたい。 ⅳ は誤答例にもあるように不等式で挟めてない生徒がほとんどだったので今後練習が必要であると感じた。

ていたり，求める集合を間違っている生徒が見受けられたのが残念であった。

４５小問集合（数学Ⅱ Ⅲ）
以下の問いに答えよ。
不定積分を求めよ。

定積分を求めよ。

つの曲線，で囲まれた数列部分の面積を求めよ。とする。このとき，集合の要素の個数をに関するの補集合【誤答例】
とおいて計算している。
部分積分ができてない。部分積分はできているが，そのあと計算ミス。
求める面積の図が見えていない。積分区間が出せてない。

が【誤答例】の場合分けができてない。計算ミス。
とおいた
あと，の整理ができてない。

【考察】
はで普通に割っている解答が多く，残念であった。今後指導の必要を感じた。
はの処理がうまくできていない解答が多かった。そんなに複雑な計算ではないので，意外であった。
６ベクトル 微分法 （数学四面体は，Ⅲ），を満たすとする 図は自然数 で終わっている。
やの値の範囲を求めよ。のとき，成り立つことを示せ。とする。
， ， ，…， のうち，となる をすべて求めよ。
未満の正の整数全体の集合を全体集合とし，｜， は で割ると 余る整数｜
， は偶数
はの一般項を求めよ。さらに，この数列が収束するようなを虚数単位とし，求めよ。ただし，とする。の と同じ小問集合（数学Ⅱ Ⅲ）
以下の問いに答えよ。の と同じの と同じを実数の定数とし，次の式で定められる数列を考える。
，， ， ，…

。以下では，とおき，の個数を間違えている。。

，，とする。以下の問いに答えよ。

【考察】は置換積分法の問題で，大体の生徒がとおいて解いていた。一 人だけて解いていて，これだととおいとなり，簡単に解ける。
とおくと，積分区間がないため，の符号の場合分けが必要であるが，そこまでの解答は見受けられなかった。
は部分積分法の問題で，正答率は高かった。
は積分して面積を求めるが，グラフから共有点を考えるため，計算で出せなくて困っている解答があった。また，図形の対称性なども利用できるので，今後の指導に生かしていきたい。
はド モアブルの定理を使う問題で，正答率は高かった。
は未満というところで，要素の個数がずれ

図次のⅰ辺に適する値をの長さは

アイⅱ

内積について， ･オ･をを用いて表せ。

であり，である。
ウ， ･エである。

を満たす実数とする。辺をに内分する点を とし， から直線，に下ろした垂線と直線の交点を とする。
ⅰ 線分の長さを と を用いて表せ。
ⅱ
せ。となる実数ⅲ

を とのとき，つの微分可能な関数，，および，それらの導関数，が，，，，，，，を満たすとする。このとき，合成関数の導関数
について，を用いて表オであることを示せ。

を実数の定数とする。関数四面体の体積をⅰを を用いて表せ。とする。

ⅱの範囲を動くとき，関数ががカに等しいとき，である。

，で与えられる 次曲線の方程式が，定数 ， ， ， を用いて，と表されるとき，とする。

キク，である。
辺の長さが【誤答例】
ⅰの逆

媒介変数表示がの最大値を求めよ。また， が最大となると
き，平面と平面のなす角 を求めよ。
ただし，である。

，の正六角形をケがある。

各辺の中点を頂点とする正六角形をⅱ余弦定理で，をとしている。としている。
が求められてない。

ⅰ･ を間違えていて，計算が合わない。

点とする正六角形

続けて，の長さをった。△は二等辺三角形なので，中線を引き直角三角形にすればいいのだが，半角の公式でを求めており，も余弦定理を使って求めているので，時間不足であったと思われる。また，文字計算の処理が多いため，計算ミスも多く見受けられた。今後の練習が必要であると感じた。

次のⅢ）に適する数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。
， ， ，， ，，する。大きさが のベクトル
垂直で， ･ア，エ， ウとが ， の両方にを満たすとき，イ， ，である。

である。の各辺を頂とする。正六角形とするとき，サの周である。

元 次連立方程式が解けていない。 ･を吟味していない。
置換積分法ができてない。
が出せていない。としている。
誤答なし，を ， で表せていない。の意図を捉えていない解答が目立＜後期＞
１ 小問集合（穴埋め）（数学の各辺の中点を頂点とする正六角形を【誤答例】【考察】
条件ののとする。とする。以下同様に，正六角形で終わっている。
ⅱ
ⅰ と同様，内積の値が違うので，合わない。計算ミス。
ⅲを示している。
無答や時間不足で途中で終わっている解答がほとんどであった。

コ，公比がになっている。 辺の長さの無限級数を考えている。
【考察】
答のみの小問集合であるが，誤答分析するため解き方も確認した。 では答はあっているが，，が ずつ増加しているので， 次関数で考え答を出している解答が見受けられた。答のみなので有効な考え方ではあるが，記述ではあまり点数がもらえないと思われる。 も最初に値域を確認せず，で割っていた。
２

小問集合（数Ⅱ Ⅲ）
以下の問いに答えよ。
辺の長さが で，対角線のうちの つの長さが のひし形を考える。このひし形の面積が最大になるときの の値を求めよ。
関数は，において微分可能でないことを示せ。

ⅱ

硬貨を回投げて が移動し終わったとき，が点にいる確率を求めよ。
ⅲ 方程式が定める円を複素数平面上に図示せよ。
ⅳ 硬貨を回投げて が移動し終わったとき，が ⅲ の円の内部にいる確率を求めよ。のとき，を示せ。
つの整数 ， がを満たすとき，であることを示せ。
【誤答例】
ⅰ ， ⅱ は誤答なし
ⅲ 条件を満たす場合を間違えている。強権を満たす場合がいきなり出ている。

【誤答例】
直角三角形で考えるとき，対角線の長さをにしていない。
微分係数の定義が使えてない。場合分けで絶対値を外している。
筆者が出題ミスで積分区間の を としたた
め，分析できず。
が無理数なので，のみとしている。

ⅰのときを考えていない。

【考察】
反復試行の確率で， は数直線上を， は複素数平面上を点が移動する問題であった。どちらも ⅰ ，ⅱ は誘導してくれているので正答率は高かった。
ⅲ やⅳ の条件を満たす場合の整理ができてなかったり，検討が不十分な解答が目立った。最初に回出たときの点の位置を で表す必要があると思われる。指導する際に注意していきたい。
４確率，複素数平面（数学Ⅲ）
以下の問いに答えよ。
実数 を表す数直線上の点を点 という。数直線上を動く点 が，はじめ点 にいるとする。
枚の硬貨を 回投げるたびに，出た結果に応じて，次の規則で は動く。 が点 にいるとき，硬貨の表が出れば は点に移動し，硬貨の裏が出れば は点に移動する。
ⅰを素因数分解せよ。
ⅱ 硬貨を 回投げて が移動し終わったとき，が点にいる確率を求めよ。
ⅲ 硬貨を 回投げて が移動し終わったとき，点 から のいる点までの距離が以上未満である確率を求めよ。
を虚数単位とする。複素数 を表す複素数平面上の点を点 という。複素数平面上を動く点が，はじめ点 にいるとする。 枚の硬貨を回投げるたびに，出た結果に応じて，次の規則で は動く。 が点 にいるとき，硬貨の表が出れば は点に移動し，硬貨の裏が出ればは点に移動する。

ⅰの整数を満たす， の組，以上以下をすべて求めよ。とを入れ替えた形も答えている。
ⅱ
ⅰ を間違えて影響を受けている。
ⅲ 中心がになっている。

【考察】
記述の小問集合であった。 は筆者もそうであったが，場合分けで絶対値を外して極限をとって，極限が一致しないとして証明している解答が多かった。
証明は定義を使って証明しないといけないようである。 も無理数の話からだと論点がずれて証明としては点数はなさそうであった。
３。

おわりに共通テストに変わった影響か，新型コロナウイル
スで休校する学校が多かったことの配慮なのか分からないが，出題の傾向が大きく変わっていた。ただ，出題の意図は基本的な力が身に付いているか，応用問題や論理的に解答を作ることができるかを問う形になっているのは変わらないので，まずは教科書の内容をしっかり定着させる指導をしていくことが大切だと感じた。小問集合も後期の 以外は解法の過程を記述させる形である。教授の話では，解答はかなり細かいところまで見てくれているようなので，教科書の練習問題から記述の指導をしっかり行う指導が必要であると感じた。本校生徒も自己分析するいい経験になったと思われる。
前期の ， や後期の のように誘導してくれている問題では，出題の意図を読み取ることで解答の流れが作れるのだが，あまり意識せず力づくで解いている解答も見受けられた。共通テストや入試問
題を通して，読解力を身に付けさせる指導をしていき，社会に出て通用する力を身に付けさせたい。