国公立大学入試問題の研究―東京大学・京都大学の入試問題について（文系）―
愛媛県立新居浜西高等学校
１

はじめに

表１

東京大学・京都大学の個々の問題については、昨年度年いる。京都大学は「深い思考力を問う」、東京大学は「高度傾向はその通りなのだろうか。それぞれの大学の入試全

東京大学（文科）出題内容

H

１

２

整数、図形の通過領域、

３４

図形と方程式

確率と相加･相乗平均漸化式

2

不等式

今回は、文系の入試において、出題される分野に偏りが7ないか、理系との共通問題はどの程度出題されているのH

2 次関数、確率と線分の整数、微分法

漸化式

通過領域

漸化式

△

●

△証

体を通して、出題傾向などに特徴はないか興味を持った。

かなどを調べてみた。

2

積分法

証●

6
２

新平

○…全部共通、△…一部抽出、●…類題、証…証明までの数学部会の研究においても度々取り上げられて度な処理能力を問う」とよく比較されるが、最近の出題

吉村

出題分野についての比較
過去５年間の入試において、出題された分野と、理系との共通問題について、以下の表にまとめた。理系とのH
2共通部分については、○…完全に同じ内容であるもの、

5△…理系の問題の一部を抽出したもの、●…テーマは同Hじであるが、与えられる式や条件が異なるもの、の３つに分類した。また、証明を含む問題には「証」の記号を付した。
両者を比較してみると、出題分野に偏りがあることがわかる。京都大学ではベクトルに関する問題が 5 年間で4 問と、ほぼ毎年出題されている。空間ベクトルに関す

22 次方程式、微分法

22 次方程式、

図形と方程式

確率と2 次不等式

相加・相乗 平均漸化式

年

Hて採用されていない。図形をベクトルでとらえさせるか、方程式でとらえさせるか、各大学の（出題者の？）こだわりが見える。しかし、H27 年度入試では京都大学にも図形と方程式の問題〔資料 2〕があり、今後出題が増える可能性はある。東京大学では図形の通過領域に関する問題が 2 年連続で出題されている。〔資料 3，4〕
また、確率の出題について、東京大学では多くが漸化式を用いて確率を求めさせる問題（４問中３問）であるが、京都大学ではどの問題も漸化式を用いずに確率を求めることができる。
数学 B の内容でほとんどの高校で学習している数列、ベクトルの 2 つの分野について、東京大学は数列、京都大学はベクトルと、はっきりと出題傾向が分かれたことは興味深い。

微・積分 法

○
微・積分法

漸化式

軌跡、整数

小数部分
△

表２ない。

学では、H23～H26 の 4 年間は問題のメインテーマとし

確率双曲線

△

○

京都大学（文系）出題内容○…全部共通、△…一部抽出、●…類題、証…証明度

H23 年度入試以来出題され続けているのに対し、京都大(２次曲線)

3ければ解けない問題は過去 5 年間で 1 問も出題されてい逆に、図形と方程式に関する問題は、東京大学では最大・最小4H

が、垂線に関する問題が多く〔資料 1〕、「垂直⇔内積ゼはずである。一方で、東京大学ではベクトルを利用しな領域と方程式△る問題が多く、文系生徒にはやや厳しいように思われるロ」の考え方に習熟していれば発想に苦しむことはない

図形と2１図形と方程式
積分法

7H

２３平面図形
相加･相乗

確率

平均

４５

空間ベク整式、

トル

整数

○

●証

三角関数、

微・積

空間ベ対数、

確率

22 次方程式

分法

クトル

漸化式

期待値

6

証
平面ベク整式、

微・積

トル

整数

分法

○

●証

H
22 次関数

5H
2(1) 積分法

三角比、(2) 確率

空間図形

4H

○

○証
(1) 平面図形

空間ベク

2(2) 確率トル

3(2) ○

確率
●

微分法

平面図形

○

●証微分法

積分法
●三角関数
領域

数列、対数

証明問題が多いのも京都大学入試の特徴である。これが京都大学の入試を「深い思考力を問う」ものと感じさせる要因なのかもしれない。難易度は H27 年度入試の第5 問〔資料 5〕のように何を示せばよいか発想に苦しむものから、H26 年度入試の第 1 問〔資料 6〕のように示すべきものが比較的分かりやすいものまで様々である。

〔資料 1〕H26 年度入試

京都大学

第3問

座標空間における次のつの直線を考える：
は点を通り，ベクトル     に平行な直線である．
は点を通り，ベクトル     に

証明問題については、東京大学 H27 年度入試の第 1平行な直線である．

問〔資料 7〕や、京都大学 H24 年度入試第 4 問〔資料 8〕

は点を通り，ベクトル    に平のように、真偽の判断からしなければいけない問題も出行な直線である．

題されている。具体的な数値の代入や図形のイメージなを上の点として，からへ下ろした垂線の足をそどにより、法則性を見つける力がどちらの大学でも問われぞれとする．このとき，     を最小にするよれている。
他の共通点としては、ほとんどの大学でもそうであろうが、微・積分法に関する問題は必ず毎年出題されていることである。微・積分法に関する問題はアプローチの仕方が分かりやすく、比較的難易度の低い問題が多いように感じられた。

うなと，そのときの     を求めよ。

 ･ ， ･ を活用すれば，をつの文字で表すことが容易にできる。あとは次関数の最大値を求めればよい。

また、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して関数の最大値や最小値を求めさせる問題もよく出題されている。数学Ⅲを履修していれば分数関数の微分で対応す〔資料 2〕H27 年度入試

京都大学

第2問

ることもできるが、相加・相乗平均を用いる方が式も簡直線が，  のグラフとは交わるが，単である。個別試験で数学を必要とする文系生徒には確    のグラフとは交わらないような  

実に習得させておきたいスキルである。
理系との共通問題については、どちらの大学とも 40～50%である。東京大学は理系の問題を一部抽出したタイプが多く、京都大学では理系の問題の数値や条件を変更したものが多い。京都大学の問題のように、少し条件を変えただけで、難易度が大きく変わる問題〔資料 9〕

の範囲を図示し，その面積を求めよ．
直線が，   のグラフとは交わる条件は，次方程式  の判別式から。
    のグラフと交わらない条件を，グラフをかいて確かめる。

があることは興味深く、解き比べてみると勉強になる。
東京大学 H25 年度入試の第 2 問〔資料 10〕は、理系と共通ではないが、出題されている内容が 2 次曲線に関する問題であり、数学Ⅲ（当時は数学 C）を履修した生徒にとっては解答しやすい問題である。数学Ⅱで学ぶ 2点間の距離の求め方だけで解けるのだが、途中の式変形は複雑で、文系生徒にはやや難しい問題である。逆に理系の生徒であれば、ほとんど数式を使わずに解けてしまう。H23 年度入試の第 5 問でも、求める軌跡が分数関数（双曲線）になり、2 次曲線の学習をしていない文系生〔資料 3〕H27 年度入試

東京大学

第2問

座標平面上の点，を考える。また，
点を座標平面上の点とし，その座標の絶対値は以下であるとする。次の条件ⅰまたはⅱをみたす点の範囲を図示し，その面積を求めよ。
ⅰ

頂点の座標の絶対値が以上の次関数のグラフで，点，，をすべて通るものがある。
ⅱ

点，，は同一直線上にある。

徒には図がイメージしづらい問題であった。後期課程入条件ⅱは，条件ⅰだけだと領域が線分を除くものと試（H28 年度入試より廃止）で文科志願者にも数学Ⅲのなることに対する配慮である。

知識を問う問題を出題しており、文系学生にも理系と同本題の条件ⅰについては，点，を通る放物線（方程等の知識量を求めているようである。

式   ）が，頂点の座標の絶対値が以上となる範囲（   の範囲でが変化するとき）
に通過する領域として考えればよい。

〔資料 4〕H26 年度入試 東京大学
座標平面上の原点をで表す。

第3問

線分          上の点と，線分    上の点が，線分と線分の長さの和が〔資料 6〕H26 年度入試

第1問

京都大学

  とする．についての次方程式
            は虚数解を少なくともつ持つことを示せ．となるように動く。このとき，線分の通過する領域をつの次方程式       ，とする。
を    をみたす実数とするとき，点  がに入るようなの範囲を求めよ。
     の判別式を考え，同時に以上にならないことを示せばよい。

を図示せよ。

線分の通過領域の問題で，図示だけならそれほど難しくないが，で条件をみたすの最大最小をの値で場合分けして求めなければならず，少々面倒。

〔資料 7〕H27 年度入試

東京大学

第1問

以下の命題，それぞれに対し，その真偽を述べよ。
また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ。
命題

〔資料 5〕H27 年度入試 京都大学 第 5 問を正の有理数として整式

         を考える．すべての正の整数に対して   は整数で  あるとする．このとき，  は  で割り切れることを示せ。

が正の整数ならば，

    が成り
立つ。
命題

整数がをみたすならば，が成り立つ。

は偽。反例はのみ。
これは，関数   極小となる   の増減を調べて，付近の値をに代入してみると見つけられる。

          として，を示す。

は真。証明は等式からをで表し，不等式から

   とし，このとき，        ， （は正の整数）とすると


を消去すればよい。

は整数であり，も     
整数であるから，は整数。
  

の分母の最小公倍数を分子分母にかけることに（は正の整数）とすることがでより，
  きる。これが整数であるとき，  であるならば
はの約数でなければならない。

〔資料 8〕H24 年度入試

京都大学

第4問

次の命題，それぞれについて，正しいかどうか答えよ．正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．
 正角形の頂点から点を選んで内角のつがである三角形を作ることができるならば，はの倍数である．
 とにおいて，，  のときの約数は有限個しかないが，は，ならば，これらつの三角に整数を代入することで無数の値をとる。よって，形は合同である．

でなければならない。
は真。外接円と中心角を考えればよい。
は偽。偽であることは容易にわかるが，その反例をど
実は，5 つの係数は有理数である必要はなく，実数でも命題が成立する。理系では，係数を実数として出題されている。

う示すのか，表現力が問われる。

〔資料 9〕H25 年度入試

京都大学

第 3 問（文）とを自然数とし，整式 を整式      ３まとめ
東京大学の入試では、確率と漸化式、図形の通過領域で割った余りをとする．の問題が多く出題されている。解法はセオリー通りだが、とは整数であることを示せ．

式や数値がやや複雑な問題が比較的多い印象を受けた。

とをともに割り切る素数は存在しないことを示せ．

知識量と、速く正確に数式を処理できる力が問われる。
京都大学の入試では、ベクトル、特に空間ベクトルの問題が出題されることが多く、また、証明問題も比較的多く扱われている。図形や現象をイメージする思考力、

H25 年度入試

京都大学

第 3 問（理）

適切に文章にする表現力が問われる。

を自然数とし，整式 を整式 で割ったどちらの大学も、微・積分法、相加・相乗平均の利用余りをとする．このとき，とは整数であり，は確実に押さえておきたい分野であり、出題されたら確さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを実に解答したい。

示せ．

それぞれの大学の入試問題の特徴を理解することで、東京大学や京都大学を目指す生徒に対するよりよい教科指導に役立てていきたい。

文系では，を代入するところを，理系では    を代入する。根号が含まれることによって難易度が上がる。理系はについての数学的帰納法を用いればよい。
互いに素であることの証明は，より大きい最大公約数の存在を仮定して，矛盾を導く，背理法を用いればよい。

〔資料 10〕H25 年度入試

東京大学

第2問

座標平面上の点     ，  ，           を考える。
つの線分の長さの差はによらない定数であることを示し，その値を求めよ。


を端点としを通る半直線と放物線    との交点をとする。点から直線に下ろした垂線と直線の交点をとする。このとき，線分の長さの和はによらない定数であることを示し，その値を求めよ。

実は，は点，を焦点とする双曲線上の点であるから，その性質からである。

また，放物線    は点を焦点とする放物線であるから（準線  ），     がわかり，であるから，   【参考文献】
大学入試シリーズ

東京大学

大学入試シリーズ

東京大学

文科 2016（教学社）

理科 2016（教学社）

大学入試シリーズ

京都大学

文系 2016（教学社）

大学入試シリーズ

京都大学

理系 2016（教学社）