課題学習の指導法の研究② －２次関数－
愛媛県立土居高等学校
１

井上

真一

はじめに数学及び理科については、今年度から新学習指導要領

最初の人は、力加減がによる指導が始まった。今年から本校に赴任し、前任校わからず１回目は失敗で研究してきたことをさらに深めたいと思い、昨年に引したが、それ以降は皆入き続いて２次関数における課題学習の指導法の研究をすり、感心していた。

ることとした。
本校では、第１学年は３クラスあり、習熟度の高いクラスを１クラス設けている。今回の研究はその習熟度の高い１クラスを対象に実践したものである。

(2)円錐曲線の１つとしての放物線
２次曲線は円錐を切断した切断面に見出すことができるため、「円錐曲線」とも呼ばれている。懐中電
灯の光が円錐の形で広がるという性質を利用して、懐

２

研究の目標

中電灯の灯りを壁面に当てることで放物線を探させ学習のテーマを２次関数として課題学習を実践し、生た。

活と関連付けたり発展させたりする。

双曲線を放物線と勘違いする生徒が多く出た。

３

研究の内容

そのため、円、楕円、放数学Ⅰの２次関数を学習した後の授業を３時間利用し物線、双曲線について説以下の内容について考えさせた。内容については昨年と明をした。

同じものもあるが、対象となる生徒が異なるので改めて実践した。
(1)

放物線の性質(ｱ) 身の回りにある放物線を探す
投げ上げたボール（物）の軌跡、放水（噴水）の軌跡やパラボラアンテナ等の発言が出た。
(ｲ) 放物線の性質を利用した活動
鏡の前の適当な位置に籠を置く。物を鏡に向かって投げ、その跳ね返りで籠に入れるためには、物をどのように投げればいいかを考えさせた。
まずは、体育館で壁の跳ね返りで実験した。生徒達は、ボールの速さや壁から籠までの距離等を考え、腰の位置と同じ高さに当てたり、ある角度をイ

実験後、光だと分かりにくいからもう少しわかりやすメージして投げたりした。１人２回ずつ投げさせいものはないかという意見が出たので、円錐の形のゼリた。２回とも入った人はほとんどおらず、２回目にーを作り、それを母線と平行に、たこ糸、ピアノ線、大入る人が多く、中には１回も入らない人もいた。

きい下敷きで切ってみた。しかし、どれで切っても切断面が波打ってきれいな放物線に見えなかった。
どうにかして放物線の断面を作れないかを考えさせた。容器に少量のゼリーを入れ、母線と平行な状態にして固めればいいという意見が出たので作ってみた。

次に鏡の前に移動して、どこを目掛けて投げればいいかと質問した。「壁のときと同じように」とか「鏡なので壁のときよりも優しく」などの意見が出た後に、「鏡に映った籠に投げたらいい」という意見が出て、皆その意見に感心し、早速実践してみた。

これをイメージしながら、な穴を開ける。これに水をもう一度懐中電灯で放物線注ぎ続け、水面を一定に保を作ってみると理解が深ま

つとき、流出する水の軌跡った生徒もいた。

が何になるかを予想させる。
２次関数の単元の最後な(3) 教科書にあるコラムの発展的な内容「新編数学Ⅰ」（数研出版）のコラムについて課題学習で扱えないかを考えてみた。
コラム：「放物線の不思議」

ので「放物線」という答えが出てきた。
次に、5cm から 30cm までの６つの穴から放物線はどのような軌跡を描くかを予想させる。
「６つとも同じ軌跡を描く」、「６つとも同じ所に衛星放送受信用のアンテナの面は、放物線をその軸飛んでいく（着地点が同じ）」、「5cm の穴が一番遠を中心に 1 回転させてできる面の形をしています。こく飛ぶ」や「30cm の穴が一番遠く飛ぶ」等いろいろのような面には、回転軸に平行に進んできた電波がこの面で反射するとき、そのすべてがある１点を通過すな意見が出た。
その後、実際に 5cm の穴から１つずつ布テープをはるという性質があります。この点は放物線の焦点と呼がして確認していった。最後に６つすべてをはがし同ばれます。このアンテナはパラボラアンテナと呼ばれ時に確認した。

ますが、さて、parabola の意味は……？
パラボラアンテナに、軸に平行に進んできた電波が反射するとすべて焦点を通ることがわかるものを作ってみた。

Ａ5cm

Ｂ10cm

Ｃ15cm

Ｄ20cm

Ｅ25cm

Ｆ30cm

1

方眼用紙にのグラフ y= 20 x2をかく。２次関数であれば、他の式でもいいが座標がとりやすいのでこれを用いた。
次に、日よけ用の車に貼るカッティングシートと厚紙を縦 3cm×横 25cm に切る。
カッティングシートを厚紙に貼り、それを方眼用紙にかいたグラフ上にテープで固定する。
これに、ｙ軸と平行に３本レーザーを当てると焦点を通ることが分かる。
３本レーザーを平行移動させても、すべて焦点を通ることが実際に見て確認することができた。

理科の物理基礎の中に出てくる水平投射と関連さ

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せながら初速度ｖ０、時刻ｔとしてx=v0t、y= gt
2g 2
y=xで表され、ｔを消去するととなるが、こ2v02
れを y＝ax２として a の値を求めさせた。
トリチェリの定理は、液体を入れた容器の壁に小さな穴をあけたとき、その穴から流出する液体の速度を支配する法則である。液面から穴までの深さをｈ、重力加速度をｇとすると y= 2gh で与えられる。
この定理は、容器の形や大きさには関係なく、放物線の軌跡は水面からの深さによって決まることので、(4) 放水の軌跡の発展的な内容
直方体の容器に、水面からの深さが 5cm、10cm、15cm、20cm、25cm、30cm のところに直径 6mm の小さ凹凸のあるドラム缶でも同じ実験結果が得られる。しかし、実際には穴を正確に開けられていなかったり、水面を一定に保つことができなかったりするので、同じ結果を得ることは難しい。

トリチェリの定理については、詳しくは大学などで流体力学や水理学で学べ、ダム建設にも使われていることを紹介した。

今後も考えていきたい。
最後に、課題学習をするときに大切なことは、教師自身が良い学習者であることだと思うので、そうなれるよう研鑽を積んでいきたい。

＜生徒の感想＞
鏡の実験《参考文献》

・放物線の性質を利用すると百発百中で入ることが分か

・『高等学校学習指導要領』（文部科学省）

り驚いた．

・『高等学校学習指導要領解説数学編』（文部科学省）

・壁に向かって投げるときは角度や感覚を気にしていたが、鏡のときは、鏡の中のカゴに向かって投げたら入ることがわかった。数学で習ったことがこんなときに使えるなんて・・・。とても面白い実験だった。
円錐曲線の実験
・懐中電灯の角度を変えるだけで、円になったり放物線になったりするのが面白い。
・２次関数が嫌いだったので、今日の授業は難しいのかと思っていたら、案外すぐに分かったので楽しかったです。
放水の軌跡の実験
・5cm の穴が一番遠くへ飛ぶと思っていたので、水面から深いほど遠くに飛ぶことを知り驚いた。６本の放物線を同時に見るとよくわかった。
・ダム以外にもどんなところで使われているか探してみたい。今まで数学はあんまり必要ないと思っていたけ
ど、身近に使われているのがわかり、考えが少し変わった。
＜自己評価＞授業に興味や関心を持って取り組めたか。

４

よくできた30 人

できた

4人

どちらともいえない

0人

あまりできていない

0人

できていない0人

研究の成果と今後の課題(1) 成果昨年と同様に、学習した内容を日常生活に関連付けることにより関心や意欲が高まり、円や二次曲線に関連付けることもできた。昨年より事前の準備をしっかりしていたため、生徒たちは意欲的に活動していた。
課題学習については、生徒が全く何もない状態から課題を見つけるのは難しいので、最初に教師が誘導しても問題はないと思う。
(2) 今後の課題
普段数学が苦手な生徒も課題学習ならできることを感じさせる問題を作ったり、生徒が疑問に思っていることを深めさせたりしていきたい。
評価については、パワーポイント、板書、ワークシート等いろいろある。それをどう評価していくのかを

・大矢雅則ほか 17 名『新編数学Ⅰ』
数研出版株式会社（平成 23 年検定済）・佐藤雅彦『日常にひそむ数理曲線』株式会社小学館