いろいろな変換を表す行列
五味 稔
愛媛県立三島高等学校
平成年月日

はじめに
平成

年度より始まった教育課程により、数学の教科書の内容が一新され各分野で様々な学習内容の変更があった。なかでも数学Ｃにおける単元「行列」は、旧数学Ｂ「複素数平面」に変わり、移動や変換を学習する大切な単元となり復活した．従前の数学

は、目標の冒頭に「応用数理の観点から、コンピュータを活用して・・・」と示され、コンピュータを活用することを前提とした内容に構成されており、単元「行列」が、進学校の多くで授業内容から姿を消した感があったが、今回の改訂では、学習の効果を高めるためにコンピュータは必要に応じて活用する、にとどまっている．
いよいよ、その新しい教育課程での大学入試が行われる時期になり、復活した単元「行列」について私なりにまとめたいと考えた．

学習指導要領からみた入試
学習指導要領の内容を見ると、「具体的な事象の考察を通して」「具体的な事象の考察に活用できるようにする」というフレーズが繰り返し登場し、様々な生徒に対して具体的な事象から興味．
関心を持たせ、数学の有用性を理解させる狙いがある．
「行列」に関しては、連立 次方程式を解くことと、平面上の点の移動だけを扱い、直線は点の集合だからといって、直線の移動も扱えるということではない、と念を押している。前々回の教育課程でみられたような次変換とは、かなりレベルが違うことがわかる．

では、実際の大学入試の問題として、どこまでの内容が多く出題されるかを考えると、一部の難関大がより発展的な内容を出題するであろうが、多くの大学が逆行列の存在
ハミルトン・ケーリーの定理
連立次方程式の解「点の移動」から考えられる変換
対称移動を連続して行う合成変換
固有ベクトルからの行列の乗計算などの分野が重点的に出題されると考えられる。その中から特に、「いろいろな変換を表す行列」を以下にまとめた。

いろいろな変換を表す行列
過去に出題された大学入試問題から、特徴ある行列の例をあげてみる．

問題①
座標平面において、行列移動である．直線によって表される１次変換に関する対称移動となる１次変換を（ ） によって点， はどこにうつるか．

（ ） を表す行列を求めなさい．

（ ） と（ ）の合成変換を表す行列は、 軸に関する対称とするを求めなさい．

によって表される１次変換はどういう１次変換といえるか．
＜愛媛大学＞

解答（ ）が変換によりにうつるとする．

点の中点が直線上にあるので、線分は直線と直交するので、これらを解いて、（ ）がにうつるとするとき、（ ）と同様にして、

すなわち、（ ）１次変換を表す行列は（ ）原点を中心とした解説であるから，の回転を表す．となる．

原点を通る直線に関する対称変換を考える．点とする．直線 とを直線

点はからなる図形を、原点の回りに後、原点の回りにに関する対称点をだけ回転したときのの位置軸に重なる．

を原点の回りに点の直線 ：だけ回転すると点だけ回転すると点以上から、原点を通りに移り、その点を軸に関して対称移動したに重なるので、それを表す行列は軸の正の向きとなす角がである直線に関する対称移動を表す

次変と対称な点ををベ換の行列はである．
本問の場合、としてが求まる。

問題②を原点とする平面上の直線クトルにうつすに対して点次変換をとする．ベクトルとする．

（ ）変換を表す行列を求めなさい．

（ ）変換によって変わらないベクトルおよび符号のみ変わるベクトルを求めなさい．
＜富山大学＞

解答（ ）とする．ベクトルであるから，すなわち、とおける。

は直線の法線ベクトルと平行また、線分の中点は、直線上より、が成り立ち、よって求める行列はとなる。

（ ）①において、とおくと、よって、 によって変わらないベクトルは次に、①で（ は任意の実数）とおくと、よって、 によって符号のみ変わるベクトルは（ は任意の実数）

解説とおくと、から、先の問題①と同じ結果が得られる．

問題③行列の表す平面上のがうつる点をうつすとする．点次変換が、直線とし、原点をを直線とするとき、 直線へとのなす角の大きさを求めなさい．
＜東京大学＞
解答
直線上の点がうつる点は直線上より、よって、これを解くと、となり、行列である．

より、点とすると、であり、 つのベクトルのなす角をとすると、なす角は解説とみることができ、この行列は、原点の回りに回転移動し、原点からの距離を倍する変換であることを示す．

一般に、より、原点から点に向かう半直線が軸の正の向きとなる角をとするとであるから、と表され、回転と相似の合成変換を表すことが分かる．
同様に、行列のタイプについて考えると、と変形できるので、先の直線

よって、直線に関する対称移動を表す行列と同タイブと考えられる．

に関する対称変換と相似変換との合成変換である．

問題④行列で表される

次変換によって正方形は正方形にうつされることを示し、対応する正方形の面積が等しくなるように を定めなさい。
＜名古屋工大＞解答
原点から、点に向かう半直線が軸の正の向きとなす角をとするととおくと、となり、原点を中心とする角 の回転と、原点を中心とする相似比 の相似変換の合成変換である．よって、正方形は正方形にうつり、面積は倍される。面積が等しくなるのは、すなを解いて、わち、問題⑤
つの円①②がある．
で表される行列次変換によって、円①が円②にうつされる．の値を求めなさい．
円①のの部分にある弧は、 によってどのような図形にうつされるか答えなさい．
＜関東学院大＞解答（ ）円①上の点れが円②上にあるから、からが変換により、にうつる．こが成り立つ．

（ ）円①上の点が変換によりにうつるとき、ここで、三角関数の合成を行うと、ただし、 はを満たす角座標も同様に変形すると、となる．
がからまで動くとき、は円②の周上を点から点まで動くことがわかる．

問題⑥
座標平面上の 次変換
を点は、点を点にうつし、合成変換は、点にうつすとする．

（ ） を表す行列を求めなさい．

（ ）を求めなさい．
＜横浜市立大＞

解答
（ ）
よって、
第式とあわせると、ここで、より、右側からかけると（ ）（ ）よりなので，よって、これを利用して、解説回転の合成により、が簡単になる角度に気付かせ、高次の行列の式を求めさせている．

次変換のまとめ
以上のように出題された行列の成分スタイルにより、次にまとめる．ただし、とする．

スカラー変換
見て当たり前の行列であるが、原点を中心とする相似比
ときは、原点に関する点対称である．の相似変換である．特に、の対角変換
基本ベクトルがそれぞれ倍する．特に、はにうつるから、 軸方向に軸に関する対称変換、は倍、 軸方向に軸に関する対称変換である．

回転移動
言うまでもなく、原点の回りに角度だけ回転させる変換．

また、回転の中心が原点でない場合を考える．点
転させた点を定点の回りに角度だけ回の座標は、平行移動により原点の回りの回転と考えればよいので、で与えられる．

直線に関する対称変換

合成変換
回転と、原点を中心とする相似比
直線の相似変換との合成変換に関する対称変換と原点を中心とする相似比の相似変換との合成

変換

最後に新課程入試元年の今年度は、平面幾何など各分野ともどのような内容まで出題されるのか非常に興味深い。数学においても、一部の国立大学文系学部で出題が予定されるなど、特に「行列」の取り扱いが文理ともに気になるところである。今回研究した内容は「行列」の中でもほんの一部分でしかないが、具体事例から生徒に「こんな変換をさせる行列とは？」などの発間をしながら興味を持って取り組んでいかせたいと思う。
参考文献
科学新興新社 モノグラフ

行列