大学入学共通テストに向けた問題の分析
愛媛県立大洲高等学校
愛媛県立松山西中等教育学校
１ はじめに昨年度から大学入学共通テストが実施された。数学Ⅱ ･ Ｂにおいて出題順の変更はあったが，大問構成に大きな変化はなかった。しかし，問題作成の方針である「日常の事象や，数学のよさを実感できる題材，教科書等では扱われていない数学の定理等を既知の知識等を活用しながら導くことのできるような題材」が多く出題されていたことが特徴である。
今回はその共通テストの分析と一昨年度から研究してきたことを基に作成した問題を紹介したい。
２ 問題分析
令和３年度の共通テストは新型コロナウイルス感染症の影響で第１日程と第２日程の２回実施された。今回は受験者数が多かった第１日程の問題をメインに分析を行うこととする。
数学Ⅰ ･ Ａ
○ 第１問［ ］数と式２次方程式の解に関する問題。試行調査でもおなじみの会話文の形式が出題された。
○ 第１問［ ］図形と計量
三角形とその各辺の外側に正方形をかいてできる図形を考察する問題。「一度考えた結果を一般化していく」という共通テストの特徴が出ている問題であった。
○ 第２問［ ］２次関数ｍ走を題材にした問題。 問題作成の方針である「日常の事象や，数学のよさを実感できる題材」に沿った問題であった。問題文が長く，初めて見る用語や関係式に対して立式することができるかがポイントであった。
○ 第２問［ ］データの分析
都道府県別の各産業の就業者数割合を題材にした問題。
平均値や分散，相関係数などの数値を求める問題はなく，データの読み取りが重視されていた。
○ 第３問 場合の数と確率複数の箱からくじを引く試行に関する条件付き確率の問
題。会話文の形式で「解決過程の振り返り」という試行調査でも重視されていた問題構成であった。
○ 第４問 整数の性質
円周上を動く石について，１次不定方程式を利用して考える問題。平成 年度の試行調査の問題と同様の形式であった。
○ 第５問 図形の性質
平面図形に関する問題。従来のセンター試験とは違って誘導が少なく，思考力や図形的考察力が問われる問題であった。

入田 圭司
壼内 智士

指数関数を含む２つの関数について，対話形式で考察していく問題。関数の特徴を考察していく共通テストの特徴が出ている問題であった。
○ 第２問 微分法 ･ 積分法
２次関数，３次関数のグラフの接線や面積，最大 ･ 最小に関する問題。文字を含んだ計算が多く，上手く処理をする力が必要であった。また、試行調査でも出題された関数の特徴を捉えてグラフの概形をイメージする力が問われる問題も出題された。
○ 第３問 確率分布と統計的な推測
二項分布や母平均の推定に関する問題。平成 年度の試
行調査と同じ読書時間の調査が題材にされていた。選択肢を選ぶ問題では思考力，判断力が問われる内容であった。
従来のセンター試験とは異なり，平成 年度の試行調査と同様，第３問に配置された。学習指導要領の配置順に従ったものと思われる。
○ 第４問 数列
等差数列，等比数列，複雑な漸化式を扱った問題。問題
作成の方針である「一定の手順に従って数学的に処理すること」に沿った問題であった。
○ 第５問 ベクトル
正五角形から正十二面体へと平面から空間へ拡張していく問題。問題作成の方針である「教科書等では扱われていない数学の定理等を既知の知識等を活用しながら導くことのできるような題材」に沿った出題であった。
その他
試行調査で出題されていたコンピュータによる図形の描写を扱った問題は第１日程では出題されなかったが，第２日程の２次関数の問題で出題されていた。
３ 問題例
今回の共通テストの分析や昨年度から研究してきたことを基に作成した問題をいくつか紹介する。
１ 数列
会話文による誘導形式にしている。多様な解法を学んだり，問題同士の関連を考えながら解く問題にしている。
太郎さんと花子さんは数列の和について話している。二人の会話を読み，下の問いに答えよ。
太郎：今日は Σ を用いた計算について学んだね。
花子：

数学Ⅱ ･ Ｂ
○ 第１問［ ］三角関数
三角関数の合成を利用して最大値を求める問題。係数が文字のままであること，余弦を用いた合成が出題されるな
ど，思考力が問われる問題であった。

を用いて計算すると○ 第１問［ ］指数関数 ･ 対数関数になるわね。の計算がとても興味深かったわ。

アイ

アに当てはまる数を答えよ。また，

イに当ては･を満たすように定数

太郎：先生が，分数の和以外にも“差に分ける”ことで様々な和を計算できると言っていたよ。
花子：一般にウコ…の値を定めると，，

サシ･である。よって，の形の和を計算すると，になるっていう話ね。ということは，が･まる式を答えよ。

スをセ

うまく定めることができれば和が計算できるのね。
である。
ⅰ

ウに当てはまるものを下の選択肢から一つ選べ。

ⅴ… について，花子さんは次･のように計算できることに気づいた。

ⅱ… について考える。
エカ，オ ，キソに当てはまる式を答えよ。また，

タに当てはまる式を下の選択肢から選べ。ただし，はⅱ で定めたものである。

《花子さんの考え方》･に当てはまる数を答えよ。また，･ソ･･･である。に当てはまる式を答えよ。

とおくと，エは求めることができ，…
をで表すとタであるから，カである。

キオタである。

ⅲの選択肢… について考える。 クに当てはまる数を答えよ。また，

ケに当てはまる式を答えよ。

２ ２次関数会話文による誘導形式にしている。平行移動 ･ 対称移動や１次方程式の解について考察を深める問題にしている。

ク太郎さんと花子さんが放物線の移動について話し合っている。

であるから，
太郎：

ケをどう動かしたら，放物線である。

花子：

アⅳ

･コス

～

セ

… について考える。の空欄に当てはまる数を答えよ。ただし，には当てはまる式を答えよ。と一致するかな？の係数がになっているから，まず，を直線に関して対称移動してみよう。これで，放物線が得られるよ。

太郎：さらに，放物線をに一致するように平行移動したらいいかな。
花子：あ，よく考えたら，遠回りなやり方だったかもしれないね。もっといい方法があるよ。 をある点に関して対称移動したら，一発でに一致するね。

アに当てはまる式を答えよ。
△次のイ～

オ

① 放物線
ウ②に当てはまる数を答えよ。

を軸方向にだけ平行移動するとを点エオ

花子：じゃあ次に，を点イ，に対して，辺の長さをそれぞれとし，する。

軸方向にの大きさをそれぞれ太郎さんと花子さんは △とについて……………の関係（余弦定理）が成り立つことを知り，その理由について，に一致する。
に関して対称移動するとから直線に垂線を下ろし，次のように考察した。に一致する。
まずれる放物線との関係を考えよう。

有点をもつのは，
太郎：ということは，とが共とがカを点キに関して対称移動して得られる放物線がと共有点をもつためのときかな？
太郎：との方程式からを軸方向にを消去して整理するとの方程式 になるから，その方程式が実数解をもつときを考えたらいいね。
かつという場合もあることに注意しなければならないね。のときを考えると，共有点はちょうど つだね。
太郎：いろんな を考えるときに，その共有点の小値 が求められたよ。
カに当てはまるものを，次のが辺において（両端を除く）上にあるとき，直角三角形
アとの，イでありの条件， 軸方向に だけ平行移動して得られる放物線をとするとき， とが共有点をもつのはどういうかつ上にある場合を次のように考察した。

を満たすときだね。

はということだね。
花子：次は平行移動について考えてみよう。

花子：が辺に関して対称移動して得らアである。
直角三角形
らにおいて，三平方の定理が成り立つことかイアを変形することでの関係が得られる。
は， が もしくは と一致するときにも成り立つ。
ア，イに当てはまるものを，次の ～ のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

座標の最～ のうちから一つ選べ。

次に太郎さんと花子さんは，いてもが辺上にない場合につの関係が成り立つことを次のように考察した。

が鈍角のときキに当てはまるものを，次の～ のうちから一つ選べ。

ウである。
が鈍角のときエ

下線部の方程式を調べることでわかることとして適切なものを次のとと下線部～ のうちから一つ選べ。
はの値にかかわらず必ず共有点をもつ。のとき，とは共有点をもたない。のとき，とは共有点をもつ。の共有点の個数はについて，共有点の個以下である。

である。
いずれの場合も，様にしてウイであるから，の考察と同の関係が得られる。
，

エに当てはまるものを，次の ～ のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

座標の最小値を求めよ。

３ 図形と計量余弦定理の証明を題材に三角比の扱い方について考察を深める問題。中線定理や三角形の形状の判別へと発展させる問題にしている。

次に太郎さんと花子さんはに考察した。の関係を発展させて次のよう実感できる題材」を意識して作成した。
太郎：無事証明できたね。
花子：そういえば，先生がと変形する

地震が起こると，地震の開始地点である震源から地震波が地球内部を伝わっていく。地震波には、速度は早いが弱い揺れのと，が鋭角，直角，鈍角のいずれになるか簡単に判別できると言っていたわ。
太郎：とすると，△

このとき，△の最大角はオが鈍角三角形になる条件はだね。
カだね。に，波と 波は震源から同時に伝わり始めるが，オ，カ波の方が速く伝わるので，観測点には 波の方が先に到達する。 波と 波の到着時刻の差を初期微動継続時間という。また，震源の真上の地表を震央という。以下の表は，ある地震における到達時刻と震央からの距離をまとめたものである。
観測地点ⅰ波と速度は遅いが強い揺れの 波の２種類がある。地震発生と同時

震央からの距離

波の到着時刻波と 波の波の到着時刻に当てはまるものを下の選択肢から一つずつ選べ。
オの選択肢
地点までの波と 波の伝わる速度が一定であるとする。

初期微動継続時間をカの選択肢とⅱ

次の 辺が与えられた～の三角形のうち，鈍角三角の関係式は，

秒 ，震央からの距離をアイウとすると，と表すことができる。

地震が発するエネルギーの大きさ
すると，次の関係がある。とマグニチュードと形は何個あるか。また，そのうちで最大角が最も大きいものはどれか， ～から一つ選べ。

キであることを用いると，マグニチュードの値が増加すると地震のエネルギーは約チュードの値がエ， オ増加すると，約エオ倍になり，マグニ倍になる。に当てはまるものを次の～ から一つずつ選びなさい。

さらに，太郎さんと花子さんは，の関係を用いて得られる新たな関係式について次のように考察した。
△分において，辺の中点をとし，線分と線の長さをそれぞれとする。
として，三角形と三角形にの関係を用いることでクが成り立つことが分かる。
クに当てはまるものを，次の ～ のうちから一つ選べ。

４ 指数関数 ･ 対数関数
共通テストの問題作成の方針「日常の事象や，数学のよさを４ おわりに共通テストの問題を分析した結果，次の３つの力が求められていると感じた。
① 対話形式で議論を進めていく② 日常の事象や題材を数学を用いて解決していく③ 問題を一般化していく
加えて，従来通りの計算力や基礎力が必要であり，それらを活用していくことも大切である。また，問題量がかなり増加しているため，出題の意図を短時間で正確に読み取る読解力も求められるようになり，日頃から文章を読む練習も必要である。
来年度入学生から新教育課程となり，３年後の共通テストから数学②は「数学Ⅱ ･ 数学Ｂ ･ 数学Ｃ」に変わるなど，更に変化することが分かっている。その変化に対応できるようにするためにも，今後も研究をしっかりしていきたい。
５ 参考文献･大学入学共通テスト 平成 年度試行調査（独立行政法人大学入試センター）･

大学入学共通テスト 平成 年度試行調査（独立行政法人大学入試センター）･

令和３年度大学入学共通テスト（独立行政法人大学入試センター）