中四国の国公立大学入試問題の研究―ＡＯ・推薦入試の問題から―
愛媛県立松山北高等学校
愛媛県立 西条 高等学校
１ はじめに2016 年度入試から東京大学・京都大学が推薦入試を導入
し、国公立大学の推薦入試は注目を集めている。
推薦入試は、文部科学省の定める大学入学者選抜実施要項

・・に沿って行われるが、2011 年度から重要な改訂が加わった。
大学入学者の基本方針では、「学力の要素の適切な把握」がのときの山田
関一貴聡司の値を求めよ。のときのを満たす の値の範囲を求めよ。
・ ，，の大小関係を調べよ。

示され、受入方針の明確化や具体的な学力把握措置が規定された。特に推薦入試への影響が注目されるのは、従来の「原愛媛大学 工学部 環境建設工学科則として学力検査を免除」から学力検査容認へ大きく転換し・周囲の長さが 36cm の長方形の面積の最大値を求めよ。

たことである。

・ 次方程式

ＡＯ入試に関しては、推薦・一般入試にはなかった、新しが重解をもつとき、の値と、その重解を求めよ。

い人材発掘の理念と戦略を備えている。その傾向は、愛媛大の「スーパーサイエンス特別コース」、高知大の「土佐さきがけプログラム」、九州大の「21 世紀プログラム」など、ＡＯ入試に特別なプログラムが組み込まれていることでも明らかである。一方、推薦入試と同様に、学力の重要な要素を適切に把握することが求められるようになり、センター試験併用型の試験が増加し続けている。
今年度入試での形態別の学校数では、国立大学 82 校中、徳島大学 工学部 知能情報工学科
・，・ ，，・，のグラフをかけ。
，の値を求めよ。の値を求めよ。

推薦入試実施校が 77 校、ＡＯ入試実施校が 47 校、公立大学84 校中、推薦入試実施校が 82 校、ＡＯ入試実施校が 23 校、にのぼる。入学者比率を見てみると、国立大の全入学者約 10

３ 平成 27 年度四国の国公立大学ＡＯ・推薦入試問題から万人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約 15％の約 1 万 5 千人、愛媛大学 理学部 数学総合 AO 入試

公立大学約 3 万人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約 26％の 7【第１問】

千 9 百人を占めている。ＡＯ入試に関しては、国公立大学の次の総定員約 3 千人に対して、志願者数は約 1 万 1 千人を超えている。
国公立大の推薦入試では、全般的に評価方法がきっちり明示されているため、それを活用して準備を進めたい。また、に入る数を，解答用紙の指定のところに記入せよ。
を虚数単位とする。 は実部が負で虚部が の複素数であり，は実数とする。このとき，アである。

ＡＯ入試ではアドミッションポリシーや求める学生像をよ(2) 216 以下の自然数のうち，216 と互いに素な数は全部く理解し、その適合度を測る必要がある。

でこれから、出題問題の中から、昨年度の中四国の国公立大学のＡＯ・推薦入試で実際に出題された数学の問題を取り上イ個ある。

(3) 赤球 2 個，緑球 2 個，青球 2 個の合計 6 個の球が入った袋から，3 人が順に 2 個ずつ球を取り出す。自分の取りげてみる。

出した 2 個の球が同じ色であれば当たり，そうでなければはずれとする。このとき，3 人とも当たりとなる確率は
ウ
２ 平成 27 年度四国の国公立大学推薦入試問題から（抜粋）以下に推薦入試における教科面接の質問内容を紹介する。
愛媛大学 工学部 機械工学科
・を因数分解せよ。

であり，3 人ともはずれとなる確率はエである。ただし，取り出した球は袋に戻さないものとする。
(4) 点， から楕円

傾きが正であるものの方程式はである。に引いた接線で，オカ

値を求めよ。
数列の初項から第項までの和が高知大学 医学部医学科 AO 入試総合問題， ， ，･･･で与えられるとき，
ク関数

キ

【第１問】
数列

であり，は次を満たしている。

である。

，は導関数

コ

このとき，次の設問に答えなさい。

をもち，であるとする。このとき，

ケ， ，･･･であり(1)とおくとき，数列(2) 数列の一般項を求めなさい。の一般項を求めなさい。

を求めなさい。

である。

【第２問】

【第２問】

次の命題の真偽を判定し，解答用紙に書かれた真または偽実数に対し，関数のいずれか一方の文字に○を付けよ。さらに，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ。
(1)
が自然数のとき，は 6 で割り切れる。
(2)を実数とする。不等式
が条件を満たすすべての実数 ， について成り立つならば，である。
(3) 数列，がともに発散するならば，， ， ，･･･ で定義される数列･･のグラフが 軸と異なる 2 つの共を考える。関数

有点を持つとする。このとき，次の設問に答えなさい。
(1)が満たすべき条件を求めなさい。

(2) 曲線と 軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい。

も発を負の整数とするとき，で求めた面積がと散する。
(4)， を実数とする。方程式が虚数解をなるを求めなさい。

もつならば，それと共役な複素数もこの方程式の解となる。
【第３問】とする。このとき，次の設問に答えなさい。

【第３問】△ABC において，BC，CA，ABとし，∠A の大きさを A とする。このとき(1)を(2)を用いて表しなさい。
を満たす(3) (2) で求めたが成り立つことを示せ。ただし，∠A は鋭角とする。の値をすべて求めなさい。

に対して，の値をそれぞれ求めなさい。

【第４問】
関数

について，次の問いに答え【第１問】よ。ただし， は実数の定数とする。
(1) 閉区間(2) 方程式， において，の増減を調べよ。

が開区間 ，でただ 1 つの解をもつ

とき，定数 k の満たすべき条件を求めよ。
不定積分(4) 方程式

高知大学 理学部 数学分野 推薦入試
次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
関数と実数考えてみよう。のグラフ上の点を求めよ。
は開区間 ，でただ 1 つの解をもとの交点の x 座標をつとし，その解を とする。さらに，が成り立つとする。このとき， のに対して次の操作を上の点

x 座標を，，における接線と x 軸とする。さらにこのに対して，における接線と x 軸との交点のとする。同様の操作を繰り返してできる数列をとする。

このとき，数列はどのような振る舞いをするだろうか。

上に書かれた操作に従って計算すると，から，とである方程式は実数解を持つ場合もあれば持たない場合もあるが，一般にが実数解を持たなければは実数がすぐに導かれる。

解を持たない。(イ) 最後に，上と同様に実数の間の関係は，式を考えると，に関する方程の実数解 でやはりなる からすべて求めることができる。

， ， ，･･･(1) 下線部(ア)の方針に従って，2 次方程式の解の公式(S)となる。

を導け。

そこで，漸化式の右辺の括弧の中に，相加・相乗平均の不等式を適用すると，が得られる。さらに，不等式(2)実数に対して，の満たすを求めよ。

(3) 下線部(イ)を示せ。
(4) 下線部(イ)に関連して， に関する 2 次方程式が成り立つことが証明できる。

は実数解を持つがまた，この不等式を用いると，はが大きくなるにつれて，だんだん 0 に近づくこと，すなわち，がに近づくことがわかる。

は実数解を持たないような具を挙げよ。

(5)実数(1) 文章の最初で説明された操作を行い，に対して，を満たすを求めよ。

まで求める過程を座標平面に図示せよ。

高知大学 教育学部学校教員養成課程 推薦入試総合問題(2) 文章中の漸化式を証明せよ。

(3) 文章中の漸化式を証明せよ。

【第５問】
次の問いに答えなさい。

を満たす をひとつ挙げよ。必要ならば，体的な例(1) 756 の正の約数の個数を求めなさい。
(2) 3 で割ると 2 余り，5 で割ると 1 余るような自然数のうち，2 桁の最大のものを求めなさい。

であることを用いてもよい。

(3)【第２問】の最大公約数が 13 となるような 100と以下の自然数をすべて求めなさい。

次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
2 次方程式に関連した話題をみていこう。ただし，2 次方
程式の係数は実数とし，その解は複素数も含めて考えるもの

【第６問】
2 次関数

において，最大値が 9 で最小値が 1 であるという。このとき，定数 ， のとする。
実数 A に対し，値を求めなさい。

2 次方程式(P)の解はである。この性質を使って一般の 2 次方程式の解の公式を導

A，B，C，D，E，F の 6 人が 1 列に並ぶとき，次の問いにくことを考える。実数 ， ， に対してとおく。ただし，【第７問】とする。方程式の解は答えなさい。
(1) A と B が隣り合う並び方は全部で何通りありますか。
(2) A と B が両端にくるような並び方は全部で何通りありであった。

ますか。

これを導くにはの左辺を平方完成させ，上の性質(P) を使えばよかった。(ア)に関する 2 次方程式

ありますか。
からスタートして，別の方程式を考えてみる。
まず実数

【第８問】

に対してとおき， に関する方程式を考えてみよう。これはち，満たすの実数解のうなる からすべて求めることができる。つまり
かつ(3) A，B，C の 3 人が隣り合わないような並び方は何通りを満たす実数 x に対して，をする点を D とする。A，∠A C°のとき，次の問いに答えなさい。
(1) 辺 AB の長さを求めなさい。
(2) 辺 AC の長さを求めなさい。

を求めればよいのである。

次に 2 次方程式から得られる特殊な（つまり 1 次と 3 次の項が現れない）4 次方程式

三角形 ABC においては BC = 3 とし，辺 BC を 2：1 に内分を考えてみよう。この(3)の値を求めなさい。

(4) 三角形 ABC の外接円の半径を求めなさい。

高知工科大学 経済・マネジメント学群 ＡＯ入試を示す。
△AEB と△HEC は相似だから

【第１問】

（ウ）

AE･EC = EB･HE が成り立つ。よって次の各問に答えよ。

2AE･EC = 2BE･EH = BE･2EH ･･･を計算せよ。
を小数表示した際の小数点以下第 1 位の数字を求が成り立つ。ここで，めよ。

をに代入してを 7 で割った余りを求めよ。
から

2AE･EC = BE･DE ･･･③が成り立つ。逆に（エ）③が成り立つと仮定すると，までの整数の和を求めよ。

を用いてをみたす x を求めよ。
次方程式

下ではを示すことができる。従って，と③は同値なので，△AE と△CEB は相似だから辺の長さが ， ， の直角三角形がある。x の取り得

AEE1 ，□
2 ，□
3 と書かれたカードがそれぞれ 4 枚，3 枚，□AE EC･BE Eの値を求めよ。

ACB･･･ACB･･･が成り立つ。ここで，△ABC が直角二等辺三角形なので BC =を求めよ。
上の点AC であり，さらに BD = BC の条件を用いると， における接線の方程B

AC ･･･⑥の右辺はに等しいのでである。

関数の極値を求めよ。

⑥より，

AE･EC
BE･ Eとなる。よって【第２問】

2AE･EC = BE･DE

以下の各問に答えよ。
実数について「 は有理数である」ことの定義を書け。

「は無理数である」ことの証明をせよ。との少なくとも一方は無理数である」

ことを証明せよ。
「ECBE

よって2 枚ずつ，計 9 枚ある。その中から 4 枚取り出して一列に並べてできる 4 桁の整数はいくつあるか。

「のの代わりに③を示すことにする。

を解け。

る値をすべて求めよ。

曲線式を求めよ。

が成り立つと仮定すると，とがともに無理数である」ことは成り立つか。もし成り立つのであれば，そのことを証明せよ。
もし成り立たなければ「との少なくとも一方は有理数である」ことを証明せよ。

すなわち③が示された。（証明終）［設問］(1) 下線部（イ）において，DH = EH であることを示せたとすると，なぜ CD = CE が示せるのか。「合同」という用語を用いて説明せよ。
(2) 下線部（ウ）において，△AEB と△HEB は相似であることを証明せよ。また相似性から AE･EC = EB･HE が成り立つことを証明せよ。
(3) 下線部（エ）において，③が成り立つとするとが成り立つことを証明せよ。

【第３問】∠A が直角である直角二等辺三角形 ABC の頂点 A を通り BCに平行な直線 を引き，（ア） 上に点 D を次のようにとる。
線分 BD と線分 AC は共有点 E をもち，BD = BC とする。このとき CD = CE であることを示す次の証明を読み，後の設問に答えよ。
［証明］ 点 C を通り DE に垂直な直線と DE との交点を Hとする。CD = CE を証明するには，H が DE の中点であること，すなわち（イ）DE = EH であることを示せばよい。よって以下ではDE = 2EH ･･･(4)を証明せよ。

(5) 点 D が直線 上にあるという下線部（ア）の条件は，証明中でどのように使われているか説明せよ。
４ まとめ
ＡＯ入試と推薦入試の問題の筆記試験・教科面接の問題の一部を紹介した。教科面接においては、問題の難易度は高くないものの、生徒自身の表現力が問われるのではないかと思われる。入試に限らず、新教育課程における言語活動の充実を図るためにも、普段の授業の中から表現力を身に付けさせていきたい。

筆記試験においては、数学的な見方や考え方を問われる問題に加え、基礎・基本が問われる問題や、読解力を問われる問題が出題される傾向にある。問題文を読んで流れをしっかりとつかみ、正しい推論をしていく力やその考えを式や図で表現できる力を身に付けていくことが求められる。また、定義や定理をきちんと理解し、説明できるような力も必要である。普段から教科書に書かれてあることをきちんと読み、理解を深めたり、疑問を持ったりする探求心を持つことが大事であると思われる。

(2) 点 P 0,4 から(1)の曲線 C に引いた２本の接線の

接 点 を Q  , f ( ) お よ び R  , f (  ) （ た だ し   ）とする。線分 RP ，線分 PQ および曲線y  f (x) ( ≦ x ≦  ) で囲まれた図形の面積を求めよ。

センター試験を使わないＡＯ・推薦入試では、試験日が９月から１１月にあるため、それまでに十分な学力を身に付けなければならない。当然、一般入試に向けた学習も平行して行わなければならないので、生徒の状況に応じて受験をさせるべきか判断していかなければならない。ＡＯ・推薦入試も頭に入れながら、国公立大学の受験を考えていくことが３年生の担任には求められていくが、安易に受験機会を増やす手段として考えていくことは危険であると思われる。
５ 平成２７年度中国地方の国公立大学ＡＯ入試問題
広島大学 理学部 数学科 筆記試験問題[１] 以下の問いに答えよ。
(1) a は有理数であるとする。このとき，cos x  1 かつcos ax  1を満たす実数 x は無限にあることを証明せよ。
(2) a は無理数であるとする。このとき，cos x  1 かつcos ax  1 を満たす実数 x は 0 のみであることを証明せよ。

[３] 区間 0 ≦ x ≦1 で定義された連続な関数 f (x) は次の条件を満たすとする。
(ⅰ) 区間 0  x  1 において f (x) は微分可能であり f ( x)  0 である。
(ⅱ)

f (0)  0(ⅲ)

f (1)  1

正の整数 n に対して，区間 0  x  1 で定義された関数

g n ( x)  f ( x)(log f ( x)) 2 nを考える。以下の問いに答えよ。
(1) 関数 g n (x) はただ１つの極大値とただ１つの極小値(3) 恒等式

cos   cos   2 sin 2sin をもつことを証明し，極大値 An と極小値 Bn を求めよ。

2を用いて， 0 ≦ x ≦ 20 の範囲でAn 1を求めよ。
n  n 2 An(2) (1)で定めた An に対し， limcos x  cos 2 xを満たす実数 x の個数を求めよ。
[２] 関数[４] 平面上の四角形 OABCはOA  OC  1 ， OB  2OA  3OC2f ( x) 1 x2

を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 曲線

C : y  f ( x) (1  x  1)

の接線で，点 P 0,4 を通るものがちょうど２本あることを証明せよ。

を満たすとする。 a  OA ， c  OC とおき，内積 a  c の値を  とする。以下の問いに答えよ。
(1) AB と BC を  を用いて表せ。
(2) 四角形 OABC がある円 P に内接しているとき， を求めよ。

(3) (2)のとき，円 P の半径を求めよ。

1 
2

［５］ Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４チームで，次のようなトーナメント方式で試合を行う。まず４チームを２チームずつ

問２． x2に分け，それぞれで１回戦を行う。そして１回戦の各試合の勝者同士で決勝戦を行い，決勝戦の勝者を優勝とする。各対戦においてそれぞれのチームが勝つ確率は，以下の表のようになっているとする。

121

11，   ， 2 ， 2 2 ，12

11 3 ，0  x  1 を満たすとき，x 2xxの値を求めよ。
問３．関数 y  x3

 3x 2  3x について， 2  x  2の範囲でグラフを描け。

対戦
相手

ＡＢＣＤ

Ａ

―

0.5

0.5

0.5

Ｂ

0.5―0.70.2

とき， sin  を求めよ。ただし，以下の公式を用いてＣ0.50.3―0.6よい。

Ｄ0.50.80.4―

たとえば，ＢがＡ，Ｃ，Ｄに勝つ確率は，それぞれ 0.5，0.3，0.8 である。トーナメントの組合せは以下の３通りがある。

問４． 0   2に対して sin 2  cos 3 を満たす

sin a  b   sin a cos b  cos a sin bcosa  b   cos a cos b  sin a sin b
問５． n を自然数 (n  1, 2, ) とするとき，次の積分の値を求めよ。

(Ⅰ) １回戦でＡとＢ，ＣとＤがそれぞれ対戦する。
(Ⅱ) １回戦でＡとＣ，ＢとＤがそれぞれ対戦する。

 x 1  x  dx
12n0(Ⅲ) １回戦でＡとＤ，ＢとＣがそれぞれ対戦する。
以下の問いに答えよ。
(1) トーナメントの組合せが(Ⅰ)であるとき，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの各チームの優勝する確率を求めよ。
(2) Ｄが優勝する確率が他のどの３チームよりも高くなるトーナメントの組合せはあるか。
(3) 優勝したチームには３点，１回戦で勝って決勝戦で負けたチームには２点，１回戦で負けたチームには１点，という得点をつける。トーナメントの組合せが(Ⅲ)であるとき，Ｃの得点が k 点となる確率を Pk とする。このとき，小論文問題（抜粋）
問２．本問は，下記の設問に対する解答を通して数学に関する基礎学力と論理的思考力をみる小論文の問題である。
このことに留意し，以下の問いに答えよ。
(1) 曲線 y  f (x) の極大値と極小値と変曲点とについて，下の枠内の語句すべてと数式およびグラフを用いて６行以内で説明せよ。
微分，接線，符号3

 kP
k 1

広島大学 工学部 第二類(電気・電子・システム・情報系)

kの値を求めよ。

(2) 曲線 y  f (x) の極大値と極小値と変曲点とを用いて解く数学の問題を作成せよ。問題は複数の小問から構成されていても構わない。
(3) (2)で作成した問題に対する模範解答を示せ。

広島大学 理学部 物理科学科 筆記試験問題（総合評価方式Ⅰ型）（抜粋）[１] 次の問いに答えよ。各解答にはその導き方も書くこと。
問１．次の数字を小さいものから順に並べよ。

６ 平成２７年度中国地方の国公立大学推薦入試問題

第２問
x

岡山大学 環境理工学部 環境数理学科 小論文(抜粋)

実 数 x に 対 し f ( x) 

第１問



区 間 0,  で 定 義 さ れ た ２ つ の 連 続 関 数 f (x) とe  2.71は自然対数の底である。以下の問いに答えなさい。

g (x) の「違い」の尺度として， M ( f , g ) を次の式で定問１める。
eと定める。ただし，
1 xx ≧ 2 のとき， e x  x1  x  であることを示しなさい。

M ( f , g )    f ( x)  g ( x) dx
20

ここで， M ( f , g ) は２つの関数 f (x) ， g (x) に応じて問２定まる量であることから，これらの関数を表す２つの文字関数 f (x) の増減を調べ， xy 平面において関数y  f (x) のグラフと直線 y  k が何個の共有点をf ， g を用いて M ( f , g ) と書いている。以下の問いに持つか論じなさい。ただし， k は実数の定数とする。

答えなさい。

問１

f (x) ， g (x) が区間 0,   で連続であるとする。
M ( f , g )  0 となるための必要十分条件が，区間0,   のすべての x に対して， f ( x)  g ( x) であることの理由を説明しなさい。ただし，連続関数

h(x) が区間 0,   のすべての x に対し h( x) ≧ 0

島根大学 総合理工学部 数理・情報システム学科 数理系コース 小論文
問題１d を 754 と 2366 の最大公約数とする。次の問いに答えよ。
(1) d を求めよ。
(2) 不定方程式 754 x  2366 y  d を満たす整数 x ，y の組を１つ求めよ。
(3) 不定方程式 754 x  2366 y をみたし，更に h( x)dx  0dを満たす整数 x ，2y の組は存在しないことを示せ。

0が成り立つならば，区間 0,  において恒等的にh( x)  0 となることは，証明無しに用いてよい。

問題２ △OAB において，次の式を満たす点 P の存在範囲を求めよ。

OP  sOA  t OB ，
問２a を実数とする。 f ( x)  a ， g ( x)  sin x に対して， M ( f , g ) を a を用いて表しなさい。

1 ≦ 2s  t ≦ 3 ， s ≧ 0 ， t ≧ 0
問題３ 次の問いに答えよ。
(1) 関数 f ( x)  2 x

問３

問２で求めた M ( f , g ) に対し， a が実数全体を動くときの最小値を求めなさい。

2log x  x 2 の増減と凹凸を調べ，グラフの概形を描け。ただし， lim x log x  0 であx 0ることは用いてよい。

(2) 点 e, e2

 における曲線 y  f (x) の接線  の方程式を求めよ。

(3) 曲線 y  f (x) と直線  ，および x 軸で囲まれた図(2) ３次関数 v( y )  y3 cy  d を考える。ただし，c形の面積を求めよ。と d は定数である。ここで， y  f  g とおいて，問題４ 次の問いに答えよ。

f 3  g 3  d  0 かつ 3 fg  c  0 のとき， v( y )(1) 関数 g ( x) x を定義にしたがって微分せよ。

関数 f (x) は f ( x  y)  f ( x) f ( y) ( x ， y は任意の実数)を満たし，かつ定数でないとする。以下，関を求めよ。
(3)

f 3  g 3  d  0 かつ 3 fg  c  0 を満たす f 33と g を求め， c と d を用いて表せ。ただし，数 f (x) についての問いに答えよ。

d 2 c3 0 の場合は考えなくてよい。
4 27f (0) の値を求めよ。

(2)(3) 任意の自然数 n に対して f (nx)  f ( x) であるこnとを数学的帰納法を用いて示せ。

f (x) が x  0 において微分可能で f (0)  1 なら

(4)(4) 設問(1)～(3)を参考にして，３次方程式 u ( x)  0 の解を１つ求め， a 2 ， b1 および b0 を用いて表せ。
(5) ３次方程式 x3

 3x 2  3x  1.216  0 の解を３ば， f (x) はすべての点で微分可能で，つとも求めよ。ただし， 0.6f ( x)  f ( x)3

 0.216 である。

が成り立つことを示せ。
７ まとめ
ＡＯ入試と推薦入試の問題の中で数学の内容に関わ島根大学

総合理工学部

機械・電気電子工学科

小論文

（抜粋）
課題１るものを取り上げた。内容としては、指数関数，対数関数や三角関数を含む「関数」の内容が多く出題されてい３次関数 u ( x)  x

3

 a2 x 2  a1 x  a0 について，以下の設問(1)～(5)に答えよ。ただし， a 2 ， a1および a 0 は定数である。また，答はなるべく簡潔に示すこと。

a2(1) u (x) を x  y によって y に変数変換したと3a2 
32きの関数を u  y   y  b2 y  b1 y  b0 と3表す。係数 b2 ， b1 および b0 を， a 2 ， a1 および a 0 を用いて表せ。

た。基本的な２次関数，３次関数から無理関数や分数関数に至るまで様々な「関数」に対応できるようにしていく必要がある。また，単に問題を解く力だけでなく，教科書に載っているような「定義」などを問う問題もあった。これらのことは確認させておく必要がある。さらに、新課程で新たに加わった単元となる整数の問題も出題されていた。今後も新課程で変化した内容にも注目をしたい。
今回の研究から，ＡＯ入試や推薦入試の問題には、全体的に大学の２次試験レベルの問題が多いようことも分かった。１１月頃の受験で２次試験レベルの力が要求されるので、十分な学力を身につけておく必要がある。
また，証明させる問題，問題を作成させる問題や説明をさせる問題など自分の考えを論理的に表現できる力も必要となってくる。普段の授業や演習のときから注意して指導していく必要があると思うので、今後も授業を工夫していきたい。