平成年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校 渡部 靖司

１

はじめに５月 日（土）に松山南高等学校において，愛媛大学理学部 土屋 卓也 教授より平成年度愛媛大学数学入試問題の解説があった。では，どこでどのような間違いが生じてくるのか，本校生徒の誤答分析を中心に考察していきたい。

２ 出題の傾向（１）出題傾向
今年度は教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコースにおいて記述４題を分で，理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部医学科においては記述５題を分で，後期は記述５題を分で解答する。
（２）出題内容
教育学部（学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系を除く），農学部，工学部
環境建設工学科社会デザインコース
１ 小問集合２ 図形と方程式，微分法 積分法
３ 数列
５ 空間ベクトル
教育学部学校教育教員養成課程中等教育コース自然科学系
１ 小問集合２ 図形と方程式，微分法 積分法
３ 数列
４ 微分法 積分法
理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）
５ 空間ベクトル６ 小問集合
７ 確率，数列
８ 複素数平面９ 微分法 積分法
医学部医学科
６ 小問集合７ 確率，数列
８ 複素数平面９ 微分法 積分法
三角関数，微分法
工学部後期
１ 小問集合（穴埋め）
２ 小問集合（複素数平面，微分法）
３ ２次曲線４ 確率，数列
５ 微分法 積分法

（３）難易度
今年度の難易度としては基本～標準レベルの問題を中心に出題されているが、各大問の最後の問題は難しめで作成されたそうである。
テストは時間が限られているため、全体を見通してどの問題を解くのかということを選び抜くことも１つの能力であると話されていたとおり、計算量が大幅に増えた印象を受けた。
３

問題分析
本校の３年生に入試問題を解いてもらう。３
年生の文型の生徒に１～３，５，理型生徒で教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコースを志望の生徒は，それぞれの学部に応じた問題を１～５から選び，理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く）
医学部を志望の生徒は，それぞれの学部に応じた問題を５～１０から選び，理数科生徒に後期１～５を解いてもらった。採点基準は公表されていないため，定期考査に準じて採点し，得点率と誤答例から分析を行った。

＜前期＞
１ 次の問いに答えよ。
を満たす自然数， を求めよ。のときを満たす の値を求めよ。
袋の中に ， ， ， ， の数字が つず
つ書かれた 個の玉が入っている。 人が順にこの袋の中から玉を 個ずつ取り出し，玉に書かれた数字を記録する。
この操作が終了したら，すべての玉を袋に戻し，同じ操作をもう一度行う。このとき，回目と 回目に取り出した玉に書かれた数字が同じであるという人がちょうど 人になる確率を求めよ。とする。関数
小にする
問題番号
得点率
標準偏差を最の値を求めよ。次の問いに答えよ。
合計

【誤答例】
，

【誤答例】

，など

，，･，，，，，２，の両辺をなどなど

放物線 上の点 ，を通る接線の方程式を求めよ。
平面上の点， から に相異なる 本の接線 ， が引けるとする。
， はの計算が間違っている。
を利用できていない。
４＜教育学部学校教育教員養成課程中等教育コー
ス自然科学系希望者＞とし，関数を満たすことを示とする。また，

せ。
ⅱとが直交するとき， をと問題番号ⅰⅱを移動したグラフをを用い

ただし， は関数て表せ。
合計

【誤答例】
微分をや原点をにしていた。

る。とし，のときまれた部分の面積方針が立っていない。と が直交の条件までは立式できてい問題番号るが，その後の処理ができていない。

だけ平行とする。

を満たす実数である。の増減，極値を調べの概形てよい。との交点の標準偏差のグラフを軸方向にをかけ。なお，得点率ⅰⅱで割って手詰まり。

放物線 ：について次の問いに答えよ。ただし， ， は実数とする。

ⅰなど･であることを用い座標を求めよ。と軸の交点をとす，および線分で囲を求めよ。
合計

得点率
３＜教育学部学校教育教員養成課程中等教育コー
ス自然科学系希望者を除く＞
つの数列，が，および【誤答例】
解答者は１名であった。との交点の 座標を求める立式はできているが，その後の計算が間違っている。
方針が立っていない。

， ， ，…
によって定められている。
によって定められる数列５の一般項を求めよ。
をとを用いて表せ。

によって定められる数列一般項を求めよ。
を求めよ。

問題番号
得点率
標準偏差

合計の＜医学部希望者は除く＞
空間内の 点，， ，，，に対して，線分を直径とする球 の中心をとする。
球 の方程式を求めよ。
平面と平行な平面 のうち と が交わってできる円の半径が最大となるような の方程式を求めよ。
原点から最も近い 上の点 ，および最も遠い点 の座標をそれぞれ求めよ。
で求めた と が交わってできる円上を動く点 に対して，△の面積を最大とする の座標をすべて求めよ。ただし， はで求めた点である。

問題番号，

合計

文型 得点率，，，，

文型 標準偏差，理型 得点率
理型 標準偏差， ，【誤答例】の長さは直径であるが，半径と勘違いしている。
，，，の長さまでは求められているが，その後内分の比を利用して座標が求められていない。

７，，，，とし， 枚の硬貨を繰り返して投げ， 回目の事象によりを次のように定める。
枚とも表のとき枚が表， 枚が裏のとき，枚とも裏のとき
またを満たす ， において，点とおくところまででき，その後，手詰まりである。
ほとんどが空欄の答案であった。
６

次の問いに答えよ。

おける三角形
このとき角形の面積をに…とする。

を求めよ。

， は実数で線を満たすとする。放物と曲線がただつの共有点 をもつとき， の座標およびを用いて表せ。

をとする。関数最小にする，をそれぞれる確率，をの値を求めよ。

である確率，でに対してを示せ。

ある確率とする。
すべての自然数，，を求めよ。

，，を，，を用いてを求めよ。
問題番号

合計

得点率
標準偏差
【誤答例】
ほとんどの生徒が数学的帰納法を用いて証明していた。
間違った生徒は証明の方針が立っていない。
，，，，，空欄の答案が目立った。

問題番号

，

合計

得点率

，標準偏差

【誤答例】

，，， ，であを求めよ。

を 軸方向に ， 軸方向に だけ平行移動して得られる楕円が 軸と直線に接するような ， を求めよ。の正，表せ。

， を正の実数とする。楕円辺の長さがとおく。

，，，，空欄の答案が目立った。

，，ができていないため，の計算が手詰る。

，

面積を求めよ。

まりだっだり，空欄だったりした。
全て空欄の答案であった。

および線分

で求めた

で囲まれた部分のに対して，が成り立つことを示せ。
８を虚数単位 と異なる複素数とする。
複素数を問題番号
得点率， ， ，…

標準偏差によって定める。
すべての自然数に対し【誤答例】
までしか求められていない。
極大値の値を にしている。の範囲のグラフがかかれていない。
交点の 座標を求める方程式を立式できているが，方程式の計算を間違えている。

であることを示せ。の絶対値 と偏角を求めよ。

ただし， の範囲はとする。となる最小の自然数 を求めよ。
複素数平面上においてする。

で求めたの表す点をに対し，… ，とする。に直せていない。
面積の立式ができていない。
面積の立式までできているが，定積分の計算を間違えている。
全て空欄の答案であった。と本の線分，で囲まれる図形の面積をのときの値を求めよ。

問題番号＜医学部希望者＞
正方形の内部の点合計得点率が直角で標準偏差あるとき，【誤答例】
解答者は４人であった。
四角形の内部にあるを直径とする半円の上に点 を取るところまでできていた。

，＜後期＞
１で止まっ次のの指定のている。
全て空欄の答案であった。に適する数または式を，解答用紙ところに記入せよ。
である素数 ， と整数を満たすとき，とし，関数とする。また，移動したグラフををを満たす実数である。
関数の増減，極値を調べ原点をとし，ウだけ平行とする。ただし， はてよい。との交点の，イ，である。

， を実数とする。空間内に， ， ，， ， ，， ， ，，， がある。
このとき直線と直線が交点を持つた点の概形であることを用いめの条件を座標を求めよ。とアがのグラフを軸方向にをかけ。なお，の最大値を求めよ。

標準偏差を計算して手詰まり。

９に対して得点率【誤答例】
証明の方針が立っていない。
証明が飛躍している。
，

合計

軸の交点をる。とす， を用いて表すとエであた数列に対して，オカである。

である。
３

問題番号アである。

イウエオカ

キ

合計

標準偏差

【誤答例】
ア，イ，ウ， ， ， ，ア イ ウ 全て空欄の解答がほとんどで，残りは ア が合っていて， イ ウ が間違うことが多かった。
エ，，，など， ， ，などカ，２， ，，，個もつとし，この交点を，とおく。また楕円と直線も交点を 個もつとし，この交点を， ，， とおく。ただし，，とする。の値の範囲を求め， ， ， ， を を用いて表せ。と の距離を を用いて表せ。とし， ， ， ， が楕円に内接する平行四辺形の 頂点を与えるとする。また，この平行四辺形の面積を とする。
ⅰを を用いて表せ。
ⅱ
を を用いて表せ。
ⅲの最大値を求めよ。次の問いに答えよ。
問題番号

ⅰⅱ

ⅲ

合計

得点率
標準偏差，，，よりなどなど

次の問いに答えよ。
はを満たす複素数とする。複素数平面において，点 が点 を中心とする半径の円上を動くとき，点が描く図形と虚軸の共有点が 点となるような をすべて求めよ。
， を正の実数としとする。関数が単調に減少し，かつのグラフが変曲点をもつための ，の条件を求めよ。
問題番号，と 直線を考える。楕円と【誤答例】， ，キは交点を，得点率

オ， を実数とし，楕円：， ：直線に対して，キの計算間違い。
まで求められているが，その後の方針が立っていない。

で与えられ…

合計

解の公式の間違い，，，，ⅰのの長さを利用して，四角形が平行四 辺形の条件が立式できていない。
ⅱⅲ，ⅱ の の式が違うため平方完成の間違いも違う。

得点率
標準偏差
【誤答例】
，複素数を図形的に置き換えられていない。
空欄の答案が目立った。

式変形のミス空欄の答案がほとんどであった。

４

平面上の 点 ， ， ， が図のように線分で結ばれている。動点 は点 から出発し，とどまることなく 秒毎に等間隔で隣接する点に移動するものとする。ここで， 点が隣接するとは， 点が図において つの線分で結ばれていることである。たとえば，動点 が点 にいるときは，その 秒後に点 または点 にそれぞれの確率で移動し，また動点きは，そのれぞれ秒後に点が点，点出発してそれぞれ，で表せていない。
，が表せても，後の処理ができていない。
，，にいるとまたは点の確率で移動する。動点を，にそが点，を秒後に ， ， ， にいる確率を， ， ， とする。

，，，，，，，，を求めよ。

，，を，，，，を用いて表せ。

，，とおく。
，，，，をを用いて表せ。

をを用いて表せ。

，を求めよ。

５とし，曲線上の点

問題番号，：における接線を とする。また， と と 軸で囲まれた部分を とする。
接線 の方程式を求めよ。の面積 を求めよ。
を 軸の周りに 回転してできる回転体の体積 を求めよ。

合計

得点率
標準偏差
【誤答例】
，，，
問題番号
，，，

合計

得点率
標準偏差，，，【誤答例】
が求められていない。の立式ができていない。

，，，まではできたが，，，
４

おわりに１０月中旬に実施したこともあり，全体的にあまりできていなかった。空欄の目立つ答案も多く，見たことない問題や分からない問題には手を付けない傾向が見られる。特に前期理型 ７の確率の問題はできていなかった。後期の問題については昨年よりも大問が１問増えたため，計算量が多くなっている。説明会で土屋教授は，
前期 ７，後期 ４ の確率の問題は「国語力の問題である」と言われた。「前期 ７ は難しいが，後期 ４ は確率の基本的なことができていれば誘導もされているので難しくはない。問題を理解し，数式に落とし込むことができるかである」と言われていた。前期８ の問題で「理学部数学科に入ってくる生徒でも複素数平面が苦手である。
複素数を指導するとき，複素数平面は平面と絡めて図形を理解させるように指導してほしい。
図形的に理解を深めることで問題が簡単になる。
複素数の演算は，複素数平面上のベクトルの考え方である。」と言われていた。
最後に全体を通して，土屋教授は「論理的に考えて答えに達したことが大切である。プロセスが大切である。」と言われていた。「できの悪い答案は，暗算を多用し，カッコの取り扱いが下手である。」「数列で を求めたら正しいかどうかが条件に合うか確かめてほしい。」と言われ，検算などのチェックをするよう生徒に指導していかなければならないと感じた。
今回の答案の採点や定期考査の採点を通して，メモ書きや計算だけを羅列している答案が多いように感じる。自分の考えを正確に分かりやすく表現する国語力も必要であると改めて感じた。
上辺だけの知識や解法を覚えて使うだけでなく，内容をきちんと深く理解することが大切であり，そのような取組が自分の考えを表現することにつながると考える。
今後はただ目の前の答え正誤だけに目を向けるのではなく，その解答の内容やプロセスまでしっかり考えさせる指導をしていかなければならないと強く感じた。