就職試験等を見据えた課題学習の研究
愛媛県立今治工業高等学校 藥眞寺裕１．はじめに工業高校である本校において、数学の専門教育における役割は大きい。就職試験に関しても各企業が実施している適性検査

ういい加減なものではなく、一方が２倍に増えればもう一方も正確に２倍増える、という厳密な数学的意味を持つ言葉なのである。

やＳＰＩ試験では、多くの数学の問題が出題され、これまで数学で学んできた知識や応用力が問われることが多い。このよう

３．就職試験問題から課題学習を探るなことから、本校における数学教育の重要性は高い。しかし、以下の問題について考察する。

本校の生徒の数学に対する理解度や学力は差が大きく、苦手意識を強く持っている生徒も少なくない。昨年度の就職状況の分

半径１０の球について、灰色部分の表面積を求めなさい。

析の中で、不採用の一つの要因として、数学の問題での不振がただし、円周率はπとしてよい。

挙げられた。本校の生徒の多くは、地元今治を支える造船や繊維関係の会社をはじめ、ものづくりを主体とした企業へ就職する。すなわち、ものづくりに携わっていく中で、数学は欠かすことのできない要素の１つとなる。
しかし、入試の得点率や授業の様子を見ると、中学校までの数学の内容をほとんど理解していない生徒もいる。企業の方との懇談でも、１つのツールとして扱うことができない話をよく聞く。企業の求める人材・人財になるために、数学を苦手としている生徒に対してどのように支援していくか、また、得意としている生徒の数学力をどのように伸ばしていくかを考察した。
本研究は図形の就職問題を参考に、３年次に開講される選択科出題者の意図はよく分からないが、恐らく受験生を少し困ら目「数学Ａ」の授業での考察である。また、就職試験対策をしせる（我々数学教員が定期考査でよく行う１００点阻止のためている講座でも授業実践し、生徒の活動の様子を考察した。の）問題であろう。一見シンプルな問題に見えるが、この問題は奥が深い。１つの解答例を示してみる。

２．比例について考える
今年４月に消費税が８％となった。この部会誌が発行される頃には、もしかしたら１０％に増税が決まっているかもしれな
いが、ここ最近耳にした言葉に注目してみる。
「物価の上昇に比例して庶民の生活は苦しくなる。
」「給料の上昇と比例して豊かな生活が送れる。
」

灰色部分の面積は、幅が半径と等しいので、中心を通る面で半分に切った球面の表面積と等しくなる。下図の表面積と等しくなるので、

Sx 4ｼA 10 2A

1x200ｼ2となる。というような言い方を新聞などで時々見かける。物価が上がれば上がるほど生活が苦しくなる、お給料が上がれば景気が上向き生活が豊かになる、くらいの意味だが、数学的には正しくない。もし、物価と生活の苦しさが比例する、というなら物価が２倍になれば生活はちょうど２倍苦しくなり、物価が３倍なら生活苦も３倍、ということになるが、現実の庶民感覚としては物価が５％上がっただけで生活は３倍も４倍も苦しくなるのだ。
「ちゃんと書いてある通りに読め、物価に比例するのではな≪テーマ：ボールをスライスした面積≫

くて物価の上昇に比例する、と言っているのだ。
」といちゃもんをつける人がいるかもしれないが、それも正しくない。もし、

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半径r の球の表面積S は、Sx 4ｼr で与えられる。そこで、物価の上昇に比例するなら、ちょっとでも物価が下がれば苦し

ボールを次図のように幅d で球面をスライスする。そのスライさはマイナスになってしまうはずだが、多少物価が下がったって（円高差益で電気代が年間１００円下がったって）苦しいもスした面積（図の灰色部分）について考察しなさい。ただし、半径r の球面を一直線に切った時、その高さがh になったとしのはやっぱり苦しいのだ。

たときに、その表面積S h は、S h x 2ｼr h で与えられることを比例というのは一方が増えればもう一方も増える、などとい使ってよい。

表面積2ｼr a

表面積2ｼr b

これは幅d さえわかれば、a を知らなくても計算できる。すここで、高さh が半径r と等しいとすると、S r x 2ｼr とな2る。これは球の表面積の半分であるので、Sx 4ｼr x 2A S r が2成り立つことを確かめることができる。
また、表面積S h x 2ｼr h

なわち幅さえ同じなら、スライスの面積はどこで切ろうが、その幅の2ｼr 倍になる。つまり、幅さえ同じなら、端っこでスライスを取ろうが真ん中で切ろうが、同じ面積になるということになる。の証明は、積分の知識を使うので、後述することにする。数学
A の課題学習なので、ここでは深入りしない。
さらに、この式によると、半径r が一定なら、つまり、同じ４．表面積の公式の証明
半径r の球面を一直線に切った時、その高さがh になったと大きさのボールを使えば、表面積は高さh に比例することを意味している。r が定数だと、2ｼr も定数になるので、表面積はしたときに、その表面積S h は、S h x 2ｼr h で与えられる。
yx f (x) のグラフを回転させたときの面積S は、高さの定数倍になる。ということは、この球面を一定の幅でスSx

ライスすれば、どこでスライスしても同じ幅になる。これを計算で確かめてみる。下図のように幅d で球面をスライスすると、

R2ｼf (x ) 1O f ｴ(x ) dx2とあらわされる。半径r とすると、球は yx
r 2P x 2 の2r P x 2 に対しスライスの面積は、図の２つの図形の面積の差として表わされグラフを回転させたものなので、 f (x)xる。すなわち、て、上記を当てはめると、スライスの面積=2ｼr aP 2ｼr b=2ｼr (aP b)=2ｼr d1f ｴ(x ) x (r 2P x 2) 21Px 1 (r 2P x 2) 2 @(r 2P x 2)ｴ2xx Pr 2P x 2より、
2xr 2P x 2
r 2P x 2x2x 2Or P x2r 2P x 2r2x 2r P x2

ﾃ1O f ｴ(x ) 2x 1O Pとなるので、ﾄR
rx R 2ｼ@ r P x @dx
r P xx 2ｼr R 1dx x 2ｼr h

白い性質があるので、それをピックアップしての授業展開も考となる。このことより、表面積は高さの定数倍になることが計ている就職対策を、生徒への意識付けを含めて、２年生の段階算で確かめることができる。

から行ってくことの２点を確認した。現３年生が２年生の時かhSx

1O f ｴ(x ) 2 dx

2ｼf (x )0h22202h0

えられる。
最後に、課題学習の研究では，生徒の興味・関心を引き出すという目的は達成できた。昨年度の就職指導の反省を生かし、数学科内で協議し、これまで各工業科やホームルーム担任、進路課が行っていた SPI 試験及び就職試験（数学）への対応を、数学科全体で取り組んでいくこと、現在３年生の前半から行っら取り組み、今年度も３年生の担任ということも手伝い、授業５．まとめと今後の課題をはじめ、実力テストや夏季休業中の課外に取り組んだ。景気

生徒の感想を見ると、この課題について様々な考えを持ったの上向きも要因の一つになるかもしれないが、今年度は、数学ようであるが、その中でも「表面が球面であるのに、なぜ高さの問題での不振が要因で不採用になった生徒は激減した。２年の定数倍になるのか」「真ん中の方がずっと半径が大きいのに、間の取組の成果でもある。本研究は、予備知識がなくても楽し同じ面積になるのか」「端の方が太くなるから逆に大きくなるとめる題材を目標に考察した。さらに試行錯誤をしながらではあ思った」など不思議に思う場面が多く見られた。残念ながら、「表るが，多くの授業実践を通じて、教材や扱う内容を精選し，よ面積が高さに比例する」ことは本校のカリキュラムでは証明でり「考える楽しさ」を生徒に感じさせることができる数学教育

きないが、この「なぜ」と思う気持ちが興味・関心を引き出すの在り方を模索していきたい。

一つのきっかけとなった。
今後の課題として、他の分野での関連を研究することも必要である。３年生の就職試験対策の授業をしている時に、以下のような場面に出会った。
循環小数 ０．１３３・・・を分数で表しなさい。
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授業では 15 という解答を導き出して、次の問題に行こうとしたときに、ある生徒が「先生、１２．９９・・・」で同じように解くと、分数にならない。
」と言ってきた。生徒の『気付き（発見）』である。
xx 12.99@@@とすると、

P )10xx 129.99@@@
xx 12.99@@@

9xx 117
117 x
xx
139
すなわち、12.99@@@x 13 となるのである。これは、代数的な【授業の様子①】

証明であり、解析学的に証明を与えると、無限等比級数の収束定理より、

12O 0.99@@@x 12O 9A

ﾃ101 ﾄO 9A ﾃ101 ﾄO 9A ﾃ101 ﾄ@@@23

110x 12Ox 12O 1x 1311P10と示すことができる。しかし、１２．９・・・と１３が「等し9Aくない」と考える生徒に「等しい」と理解してもらうために、上記の証明ではカリキュラム上の問題があり苦労した。実数や無限の概念を話すも、なんとなく不思議な感じで終わってしまった。さらなる研究が必要であり、循環小数についても他に面【授業の様子②】