新学習指導要領の研究－新旧教科書の比較（数学Ⅲ）－
愛 媛 県 立 今 治 北 高 等 学 校 山瀬潤一郎
愛 媛 県 立 北 条 高 等 学 校

はじめに砂田佳範

愛 媛 県 立 南 宇 和 高 等 学 校 黒江

英隆

理と併せて非常に美しい性質を持っているため数学

学習指導要領研究委員会では平成 25 年度から３年計の魅力を伝える例としたい。

画で新旧教科書の比較を行っている。旧課程との変更点

・複素数と図形の項目では、数学Ⅱの図形と方程式を知ってもらい、授業で役立ててもらいたい。

で既習の内容が複素数平面でも成り立つことが紹介

今年は３年目として数学Ⅲの教科書の比較を行う。数されている。また、円の方程式は数学Ｂのベクトル学Ⅲの大きな変更点は２つある。１つめは数学Ⅲと数学方程式と同様に考えることができる。そこから複素Ｃが統合されたこと、２つめは行列がなくなり、複素数数平面の問題であってもベクトルの問題として解く平面が復活したことである。数学Ⅲは主に理系を選択しことができるような指導法も考えられる。

た生徒しか履修しない難易度の高い科目である。そのため、生徒全員に理解させることが難しい。新しい教科書
では理解につまずきやすい箇所へどのような手立てがな

２式と曲線(1) 内容の対比されているか、詳細に比較を行った。どういう意図でど新旧

ういう変更が行われたのかを研究していくこととする。

数学Ⅲ

数学C

１．複素数平面(1) 内容の対比
新

旧

数学Ⅲ

数学C

1．複素数平面（第2章 式と曲線）

２．複素数の極形式と乗法，除法

第2節 媒介変数表示と極座標

３．ド・モアブルの定理

８．極座標と極方程式

４．複素数と図形(2)

特徴・考察・留意点

第1節 2次曲線

第1節 2次曲線

１．放物線

１．放物線

２．楕円

２．楕円

３．双曲線

３．双曲線

４．2次曲線の平行移動

４．2次曲線の平行移動

研究 直角双曲線 xy=1

発展 双曲線の回転

５．2次曲線と直線５．2次曲線と直線研究 接線の方程式の一般形

研究 接線の方程式の一般形

６．2次曲線の性質

６．2次曲線の性質

第2節 媒介変数表示と極座標

第2節 媒介変数表示と極座標７．曲線の媒介変数表示

７．曲線の媒介変数表示

・複素数平面は、数学Ⅱで学んだ複素数を平面上の研究 いろいろな曲線の媒介変数表示点として表すことになるが、虚軸の説明には例と練８．極座標と極方程式

８．極座標と極方程式

習問題で図示されているため理解しやすいと思われ

９．コンピュータといろいろな曲線

９．コンピュータといろいろな曲線る。
・複素数の実数倍と加法、減法については、数学Ｂ(2) 特徴・考察・留意点のベクトルの計算と同様にとらえることを紹介すれ・楕円の長軸・短軸の説明が旧課程ではグラフを使ば生徒は理解しやすいと思われる。

った説明であったが、言葉のみで定義されている。

・数学Ⅱでは「虚数については大小関係や正、負は・焦点の座標が説明が若干詳しくなっており、旧課考えない」と指導しているため、複素数の絶対値を程では例に焦点の座標の計算課程はなかったが、途大きさと言わないように指導の際には注意が必要で中式が掲載されている。

ある。

・行列が指導内容から除かれたため、双曲線を回転・極形式の表し方は、三角関数の合成と類似していさせるのではなく、漸近線等の比較から xy=1 が直角ることに加え、複素数の乗法、除法については、三双曲線であることを示している。

角関数の加法定理が使われるため、適宜確認してお・2 次曲線と直線の共有点は今まで場合分けをしてく必要がある。

共有点の個数を求める例題から始まっていたが、変・ド・モアブルの定理を用いると、１のｎ乗根は単数を含まない共有点の座標を求める問題を最初に入位円をｎ等分する分点にある事が示されており、定れることで理解しやすくなっている。

・媒介変数の別名としてパラメータが紹介されている。

５．微分法(1) 内容の対比

・楕円の媒介変数表示の前に円の媒介変数表示が例示されており、分かりやすくなっている。

新

旧

数学Ⅲ

数学Ⅲ

・双曲線の媒介変数表示でも説明に途中式が増えて

１．微分係数と導関数

１．微分係数と導関数いる。

２．導関数の計算

２．導関数の計算

・極座標と極方程式ではほとんど変更点は見られな

３．いろいろな関数の導関数

３．いろいろな関数の導関数

い。

４．第ｎ次導関数

４．高次導関数５．関数のいろいろな表し方と導関数

５．関数のいろいろな表し方と導関数

(2)

３。関数
(1)

ア

内容の対比
新

旧

数学Ⅲ

数学Ⅲ

特徴・考察・留意点
微分法

・微分係数の説明中に、微分係数「または変化率」という文言が追加されている。

１．分数関数

１．分数関数・極限の取り方の説明が一部変更されているが大差

２．無理関数２．無理関数ないと考えられる。

３．逆関数と合成関数

３．逆関数と合成関数(2)・y =𝑎𝑥+𝑏𝑐𝑥+𝑑・連続であっても微分可能でない例の説明途中で、「微分係数については」という表現が消えている。

特徴・考察・留意点
𝑘のグラフとy = のグラフの平行移動の関𝑥係についての記述が削除されている。

極限値が存在しないために、微分係数の定義を満たしていないことから変更されたと考えられる。
・例２で導関数を求める途中計算が、より詳しくな・無理不等式を解く練習問題の前に、無理方程式がっており理解しやすくなった。

追加されている。

・積の導関数の例・練習問題ともに、次数が上がっ・定義域と値域が異なる場合の合成関数についてのている。現行課程では数学Ⅱで４次式以上の微分も注意書きが追加されている。

既習のものであることが影響していると思われる。
また、それに合わせてｎ次式の微分の練習問題が省略されている。

４．極限(1) 内容の対比

・合成関数・逆関数の微分法では、例の解説中に合新

旧

数学Ⅲ

数学Ⅲ

成関数の微分法を用いたことが明記されるようになり、理解しやすくなった。また、例題の式がどの式の合成関数であるかを、【注意】として補足説明され第１節 数列の極限

第１節 数列の極限

１．数列の極限１．数列の極限るようになった。

２．無限等比数列

２．無限等比数列・ｘの有理数乗の導関数の説明に具体例が追加され

３．無限級数３．無限級数た。逆関数の微分法を利用しなくても容易に解ける第２節 関数の極限

第２節 関数の極限ことが分かる。

４．関数の極限４．関数の極限・三角関数の導関数を求める解説に、三角関数の加５．三角関数と極限５．三角関数と極限法定理を用いることが明記され、生徒の理解に役立

６．関数の連続性

６．関数の連続性つと思われる。

(2)

特徴・考察・留意点

・三角関数の微分の練習問題でも、各関数の成り立・ｎを限りなく大きくしたとき第ｎ項がどのようにちが追加説明されている。例題の途中計算もより詳なるか具体例を示し、用語の定義や表記の仕方を説しくなり、生徒は理解しやすくなった。

明するよう工夫されている。

・対数関数の導関数では、応用例題の解説後に【注・無限級数の収束、発散を調べる練習では無限級数意】として、対数微分法のことが紹介されるようにをΣを用いて表されており、難易度を落としている。

なった。

・三角関数の極限では、 y = sin

11, y = x sin のxx・高次導関数から第ｎ次導関数へとタイトルが変更された。それに伴い高次導関数の用語自体が紹介されないようになった。

グラフを図示、0 に近づいていく様子を視覚的に理・第２次・第３次導関数の説明と例題・練習問題の解しやすいように工夫されている。

順序が一部変更されているが指導において特に問題・関数の連続性では、今までよりもさらに説明を増はないと考えられる。

やし生徒の理解につなげるよう配慮されている。

・指数関数と三角関数の積の導関数の問・練習問題

が、例題を経てからの練習問題となり、生徒は理解となる場合の解説が詳しくなった。

しやすくなっている。

・極値を求める例題５の説明で、グラフの概形が表・第ｎ次導関数は練習問題の量が増えている。

示されるようになり、視覚的に理解しやすくなって・媒介変数表示と導関数と、方程式 F(x，y)＝０でいる。

定められる関数の導関数の順序が前後しているが指・極値を取るように定数ａの値を定める応用例題４導には問題ないと思われる。

では、【注意】として解の吟味の必要性が書かれるよ・曲線の媒介変数表示が、旧課程では数学Ｃだった

うになった。記述式の試験の場合には、書き漏らしものが現行では数学Ⅲに含まれているため、説明等た場合減点対象となる内容であるため、しっかりとは省略されている。

確認しておきたい。
・関数のグラフの概形では、例題８の漸近線の説明において、極限値が正の無限大だけでなく負の無限６．微分法の応用(1) 内容の対比大についても確認されるようになった。
旧・方程式の実数解の個数では、練習問題の内容が一数学Ⅲ部変更されているが指導には問題ないと思われる。

新数学Ⅲ
第１節 導関数の応用

第１節 導関数の応用

１．接線と法線

１．接線と法線イ

研究 方程式の重解と微分研究 方程式の重解と微分・平面上の点の運動において、サイクロイドについ２．平均値の定理

２．平均値の定理

発展 平均値の定理の証明

速度と近似式ての内容が簡素になっている。これも数学Ｃの内容であったものが、数学Ⅲに含まれたことによる変更

３．関数の値の変化

３．関数の値の変化

４．関数の最大と最小４．関数の最大と最小５．関数のグラフ

５．関数のグラフ

６．方程式，不等式への応用

６．方程式，不等式への応用「１次の近似式」へと変更されている。後述するが第２節 速度と近似式

第２節 速度と近似式２次の近似式を扱うようになったことからの変更だ

７．速度と加速度７．速度と加速度と思われる。

８．近似式

８．近似式

・近似値の例がｓｉｎからｃｏｓに変更されている。

であろう。
・近似式のまとめにおいて、文言が「近似式」から

発展 １次と２次の近似式

・旧課程では例題であった内容が、節末の問題へと(2)特徴・考察・留意点移動し、そのかわりに「発展」として「１次と２次導関数の応用の近似式」が追加された。

ア・法線の説明において、ｆ’(a)＝０のときが【注意】から通常の内容に変更されている。
・応用例題１の曲線上にない点からの接線の求め方

７．積分法(1) 内容の対比が誘導型式となり、理解しやすくなった。また、練習問題もその解説に応じた問いかけとなっている。
・F(x，y)＝０で表される曲線の接線と、２つの曲線

新

旧

数学Ⅲ

数学Ⅲ

第１節 不定積分第１節 不定積分の共有点における接線を求める問題は、順番が前後

１．不定積分とその基本性質１．不定積分とその基本性質した上に、それぞれ法線も求めるようになった。ま

２．置換積分法

２．置換積分法

た、２つの曲線の共有点に関する問題は、旧課程で３．部分積分法

３．部分積分法

は共有点において接線が直行する場合を考え、現行

４．いろいろな関数の不定積分

４．いろいろな関数の不定積分では共通の接線を持つ場合について、という具合に第２節 定積分

第２節 定積分変更されている。直線の平行と垂直であるから、問５．定積分とその基本性質

５．定積分とその基本性質

題の程度としては大差ないと考えられる。なお、そ６．定積分の置換積分法

６．定積分の置換積分法

れぞれの問題は節末の問題で補完しあうようになっ

７．定積分の部分積分法

７．定積分の部分積分法ている。

研究

・平均値の定理の利用での応用例題３では、解説が詳しくなり、数の大小が理解しやすくなった。
・「発展」として、平均値の定理の証明が追加されて

研究

2


200の値

sinn xdxexsinxdx

2,0excosxdx

研究

0sinn xdxの値の値

８．定積分の種朱の問題

(2)

2

８．定積分の種朱の問題

特徴・考察・留意点いる。

・練習を問と練習の２段階に分けて生徒が分割して・関数の増加と減少では、問・解説の順番が多少前取り組めるような配慮がされている。

後しているが特に支障はないと思われる。
・関数の極大と極小では、ｙ＝|x|が、ｘ＝０で極小

・置換積分では x = g (t ) とき

dx= g' (t ) であるが、dtは無理不等式だけが問われていた箇所に無理方程式をその前に解かせるなど練習問題の急な難易度の上昇を抑える工夫がなされていた。
今回の研究で数学が苦手な生徒が少しでも理解しやす

形式的に dx = g ' (t ) dt として表すことにより式のいように様々な工夫がなされていることが分かった。教変換を減らしている。

科書の変化は一見大きくなく、場合によっては見過ごさ・部分積分法について、２回適用して不定積分を求れがちである。しかしよく見ればしっかりと現状を踏まめる問題を扱っている。

え、進化している。我々教員も今までと同じ授業を続け・分数関数の不定積分では、部分分数分解を説明し、るわけにはいかない。教科書の変化を汲み取り、時代の明快な解説となるよう配慮されている。

変化に対応していく必要があるだろう。

・数学Ⅱで学習した偶関数、奇関数のグラフを用い、どの部分の定積分なのかを視覚的に理解できるよう《参考文献》にしている。

・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 21 年 7 月）』
・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 11 年度）』
文部科学省(平成 17 年一部補訂)

８．積分法の応用(1) 内容の対比

・大島利雄ほか 13 名『数学Ⅰ』

新旧数学Ⅲ

数学Ⅲ
(第５章 積分法とその応用)
第３節 積分法の応用

１．面積

９．面積

２．体積

10．体積

研究 一般の回転体の体積

研究 一般の回転体の体積

３．曲線の長さ

発展 曲線の長さ４．速度と道のり

発展 速度と道のり

発展 微分方程式

発展 微分方程式(2) 特徴・考察・留意点
・ x 軸の周りに回転させてできる立体の体積を例題
で扱い、更に直線 y = x の周りに回転させてできる立体の体積を研究で取り上げ深く学習できるような工夫がされている。
・旧課程では発展で取り上げられていた曲線の長さと速度と道のりが新課程に対応したものになっている。
・学習指導要領の範囲外ではあるが微分方程式が扱われておりより深い内容が学べるようになっている。

まとめ
今回の研究で３カ年計画で行った教科書の新旧比較が終わった。数学Ⅰ・Ａでは選択分野が増えたことや、整数問題などの難易度が高い問題があったことから丁寧な記述が多く、教科書の分量が増加していた。数学Ⅱ・Ｂ
でもその傾向はあり、内容自体は旧課程と比べ変化は少なかったが、説明が詳しくなり、段階を追った問題の提示が行われていた。複素数平面が新たに加わった数学Ⅲでも同様の傾向が見受けられた。生徒が躓きやすい例題には今までは省略されていた計算の過程などが追加され、途中経過が分かりやすくなっていた。旧課程の教科書で

数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・坪井俊ほか 13 名『数学Ａ』
数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅰ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）・坪井俊ほか 16 名『改訂版数学Ａ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）・川中宣明ほか 13 名『数学Ⅱ』
数研出版株式会社発行（平成 23 年検定済）・坪井俊ほか 13 名『数学Ｂ』
数研出版株式会社発行(平成 24 年検定済）・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅱ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）・大島利雄ほか 16 名『改訂版

数学Ｂ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）・大島利雄ほか 14 名『数学Ⅲ』
数研出版株式会社発行(平成 24 年検定済)・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅲ』

数研出版株式会社発行(平成 20 年検定済)・木田祐司ほか 16 名『改訂版

数学Ｃ』

数研出版株式会社発行(平成 19 年検定済)