平 成 31 年 度
和歌山県高等学校入学者選抜学力検査問題

数学（11時35分〜12時25分）

数学

（注意）

１

「始め」の合図があるまで，問題を見てはいけません。

２

問題冊子と別に解答用紙が１枚あります。答えは，すべて解答用紙に記入しなさい。

３

問題冊子と解答用紙の両方の決められた欄に，受検番号を記入しなさい。

４

計算にあたっては，問題冊子の余白を使いなさい。

５

印刷が悪くて分からないときや筆記用具を落としたときなどは，黙って手を挙げなさい。

６

時間内に解答が終わっても，その場に着席していなさい。

７「やめ」の合図があったら，すぐに解答するのをやめ，解答用紙を裏向けにして机の上に置きなさい。

受検番号

１

次の〔問１〕～〔問５〕に答えなさい。
〔問１〕

次の（１）～（５）を計算しなさい。

（１） ６－９（ ）（２） ４＋２÷ −

３２

（３） ３
（２x － y）
＋２（４x －２y ）（４）

32－ 18＋ ２（５）（a ＋２）
（a －１）－（a －２）２〔問２〕

次の二次方程式を解きなさい。

x２－９x ＝０
〔問３〕 周の長さが 20 ㎝ の長方形がある。この長方形の縦の長さを x ㎝，横の長さを y ㎝とするとき，

x と y の関係について，次のア～エの中から，正しく述べているものを１つ選び，その記号をかきなさい。
ア y は x に比例する。
イ y は x に反比例する。
ウ y は x に比例しないが， y は x の一次関数である。
エx と y の関係は，比例，反比例，一次関数のいずれでもない。

〔問４〕 右の図のような大小２個のさいころがある。さいころを同時に投げて，大きいさいころの出た目の数を a，小さいさいころの出た目の数を b とする。
このとき， b が a の約数となる確率を求めなさい。
ただし，さいころの１から６までのどの目が出ることも同様に確からしいものとする。
C〔問５〕 右の図のように，線分AB を直径とする円O の周上に58 °２点C，D があり，AB ⊥CD である。
∠ACD ＝58° のとき，∠ x の大きさを求めなさい。

AO

BxD−1 −

２

次の〔問１〕～〔問３〕に答えなさい。
〔問１〕

半円部分

右の図のように，運動場に大きさの違う半円

直線部分

半円部分

幅１mと，同じ長さの直線を組み合わせて，陸上競技用のトラックをつくった。直線部分の長さはa ｍ，最も小さい半円の直径は b ｍ，各レーンの幅は１ｍである。また，最も内側を第１レーン，bmam

最も外側を第４レーンとする。
ただし，ラインの幅は考えないものとする。
なお，円周率は πとする。

第１レーン

次の（１），（２）に答えなさい。

第４レーン（１） 第１レーンの内側のライン１周の距離をℓｍとすると，ℓは次のように表される。

ℓ＝２a +πb
この式を， a について解きなさい。

（２） 図のトラックについて，すべてのレーンのゴールラインの位置を同じにして，第１レーンの走者が走る１周分と同じ距離を，各レーンの走者が走るためには，第２レーンから第４レーンのスタートラインの位置を調整する必要がある。第４レーンは第１レーンより，スタートラインの位置を何ｍ前に調整するとよいか，説明しなさい。
ただし，走者は，各レーンの内側のラインの 20 ㎝ 外側を走るものとする。
〔問２〕ある工場では生産したネジを箱に入れて保管している。標本調査を利用して，この箱の中のネジの本数を，次の手順で調べた。
手順ⅠⅡⅢ

箱からネジを 600 個取り出し，その全部に印をつけて箱に戻す。
箱の中のネジをよくかき混ぜた後，無作為にネジを 300 個取り出す。
取り出した 300 個のうち，印のついたネジを調べたところ，12 個含まれていた。

次の（１），（２）に答えなさい。
（１） この調査の母集団と標本を，次のア～エの中からそれぞれ１つずつ選び，その記号をかきなさい。
ア

この箱の全部のネジイ

はじめに取り出した 600 個のネジウ

無作為に取り出した 300 個のネジエ

300 個の中に含まれていた印のついた 12 個のネジ

（２） この箱の中には，およそ何個のネジが入っていたと推測されるか，求めなさい。
〔問３〕 ある花屋では，赤色の花と白色の花をセットにした２種類の花束を販売している。赤色の花10 本と白色の花８本をセットにした花束 A の１束の値段は 800 円，赤色の花２本と白色の花６本をセットにした花束 B の１束の値段は 400 円である。
白色の花は 200 本あり，赤色の花は花束をつくるのに十分な本数がある。
花束 A と花束 B を，白色の花が過不足なく使われるように，それぞれいくつかつくったとき，赤色の花は 80 本余った。また，花束 A と花束 Bはすべて売ることができ，その売り上げの合計は，16000 円であった。
このとき，つくった花束 A の数を x 束，花束 B の数を y 束として連立方程式をつくりなさい。また，花束をつくる前にあった赤色の花の本数を求めなさい。
ただし，消費税は考えないものとする。
−

2 −花束A800円
赤色10本
白色８本

花束B400円
赤色２本
白色６本

３

中学校３年生の和歌子さんたちは，修学旅行の夕食の時間にホテルの食事会場を訪れた。食事会場には，
図１のように，テーブル１卓につき６席の座席がある複数のテーブルが設けられている。テーブルは正面に近い方から，第１列，第２列，第３列，…，第 20 列まで設けられている。第１列には，横に３卓のテーブル，第２列には，横に４卓のテーブル，第３列には，横に３卓のテーブルが設けられている。
このように，列の番号が奇数の列には，横に３卓のテーブル，列の番号が偶数の列には，横に４卓のテーブルが設けられている。
各テーブルには，正面に向かって左側から順にテーブル番号がつけられており，第１列のテーブルには，１ ，２ ，３ ，第２列のテーブルには，第１列のテーブル番号の続きから ４ ，５ ，６ ，７ の番号がつけられている。このように，第 20 列までテーブル番号がつけられている。
また，各座席には，テーブルの正面側の座席から，反時計回りに座席番号がつけられている。テーブ
ル １ の座席には， １ ， ２ ， ３ ，…， ６ の座席番号，テーブル ２ の座席には，テーブル １ の座席番号の続きから， ７ ， ８ ， ９ ，…， 12 の座席番号がつけられている。このように第 20 列までのすべてのテーブルの座席に座席番号がつけられている。
このとき，下の〔問１〕～〔問４〕に答えなさい。
図１
食事会場

座席図

（左）

（正面）

１２

第１列

３１７６８５９４2021４2426232745５８322933＊47＊

６36383539＊

＊

＊

＊

＊

＊

＊

＊41＊
＊

＊

＊
＊

＊

＊

＊

＊

4240．．．．．．

．．．．．．
＊

７＊

＊
＊

1737＊

＊

183448

＊

３16＊

＊
＊

153046＊112844＊143143

第20列

1225

22

第３列

２131019
第２列

（右）

＊
＊

＊
＊

＊

＊

＊

＊

＊
＊

＊

＊は，あてはまる数を省略したことを表している。

−

3 −

〔問１〕

次の（１），（２）に答えなさい。

（１） 座席は全部で何席あるか，求めなさい。

（２） 第７列の最も左側にあるテーブル番号は何番か，求めなさい。

〔問２〕

和歌子さんの座席番号が 176 番であるとき，和歌子さんのテーブル番号は何番か，求めなさい。
また，和歌子さんは，テーブルのどの座席に座ることになるか，図２のア～カの中から１つ選び，その記号をかきなさい。

図２（正面）
アイカウオエ

図３は，テーブル a のテーブルとその座席を表したものである。

〔問３〕次の表は，テーブル番号と，そのテーブルの最も大きい座席番号，そのテーブルの正面から最も遠い座席の座席番号についてまとめたものである。
このとき， a と b の関係を等式で表しなさい。
テーブル番号

１２３…

a…

20

最も大きい座席番号

６1218…

＊…

＊

正面から最も遠い座席の座席番号

４

1016…

b…

＊

図３（正面）＊＊＊ab＊＊＊は，あてはまる数を省略したことを表している。

〔問４〕

和歌子さんは，各テーブルの６席の座席番号に何かきまりがないか，調べることにした。
和歌子さんは，テーブル １ からテーブル ３ について，それぞれ６席の座席番号の和を求めてみた。テーブル １ は 21 ，テーブル ２ は 57 ，テーブル ３ は 93 であり，それぞれ６席の座席番号の和は３の倍数であることに気づいた。
このことから，和歌子さんは，すべてのテーブルの６席の座席番号の和は３の倍数になると考え，次のように説明した。その説明の続きを解答欄のにかき，完成させなさい。

ある１つのテーブルについて，６席の座席番号のうち，最も小さい番号を n とすると，残り５つの番号は，したがって，すべてのテーブルの６席の座席番号の和は３の倍数になる。

−4 −

４

図１のように，
１y＝x2
２
12y＝ −（x＞０）

x

図１･･･

①･･･

②y①

Aのグラフがある。

BxO①のグラフ上に２点 A，B があり，それぞれ②の座標は（−２，２），（２，２）である。また，②のグラフ上に点 P があり，P を通り x 軸にQ平行な直線と y 軸との交点を Q とし，四角形PABPQ をつくる。
次の〔問１〕～〔問４〕に答えなさい。
〔問１〕

１x 2 について， x の値が２０から２まで増加するときの変化の関数 y ＝

図２y①

割合を求めなさい。
A〔問２〕 図２のように，四角形 ABPQ が平行BxO四辺形になるとき，直線 AQ の式を求②めなさい。
Q〔問３〕 図３のように，①のグラフと四角形

図３y

ABPQ の対角線 BQ が B 以外で交わっている。その交点を R とする。

①B

A

R の x 座標が１のとき，P の座標をO求めなさい。

〔問４〕

PRxQ

図４のように，∠ ABP ＝90 ° のとき，図４y四角形ABPQを，辺BPを軸として１回転させてできる立体の体積を求めな

PAさい。

①B

ただし，円周率はπとする。

xOQ−5 −②P②５

図１のように，一辺が６㎝の正方形 ABCD の辺 BC 上

図１Aに点 E がある。AE と BD の交点を F とする。

D

次の〔問１〕，〔問２〕に答えなさい。
〔問１〕

F

次の（１）
，（２）に答えなさい。

（１） BE：EC ＝３：２のとき，AF：FE を求め

BECなさい。

（２） ∠ BFE ＝∠ BEF のとき，BF の長さを求めなさい。

〔問２〕 図２のように，E を通り BD に平行な直線と辺 DCとの交点をGとする。また，辺 ADの延長

図２A

DH

上に AD ＝ DH となる点 H をとり，H と G を結ぶ。
次の（１），（２）に答えなさい。

FG（１） △ ABE ≡△ HDG を証明しなさい。
B（２） 図３のように，HG の延長と AE との交点をI とする。∠ BAE ＝30 ° のとき，四角形 IECGEC図３A

Dの面積を求めなさい。
FGI

B−6 −

ECH

平成31年度学力検査

数学科解答用紙

（１）

〔問３〕

（２）

〔問４〕

受検番号

〔問１〕（３）
（４）

１

（５）

３

〔問２〕 x ＝〔問３〕〔問４〕〔問５〕 ∠ x ＝（１）

したがって，すべてのテーブルの６席の座席番号の和は度３の倍数になる。

a ＝
〔問１〕

（２） （説明）

４〔問１〕

〔問２〕
〔問３〕 P（，）

〔問４〕

（１）

AF：FE ＝

（２）

BF ＝

〔問１〕
第４レーンは第１レーンより，スタートラインの２位置を（cm（１） （証明））m 前に調整するとよい。

母集団
（１）
〔問２〕

標本

（２） およそ個

（式）

５〔問３〕

〔問２〕

（答え）花束をつくる前にあった赤色の花の本数 （１）

本席

〔問１〕

３（２）

番

テーブル
番号番

〔問２〕

記号（２）

cm 2

平成31年度学力検査
問題

配点（１）

３－３（２）

３

８３（３）

３

14 x －７y（４）３２ ２（５）３

５a －６〔問２〕３x ＝ ０，９〔問３〕

３

ウ

〔問４〕

４

７
18〔問５〕

４∠ x ＝ 26

３a＝ℓ－〔問１〕

１（１）

〔問１〕
（２）

５

２２（１００点満点）

解

採 点 上 の 留 意 点

（度）
πb２

第１レーンの１周の距離は { ２a + π（ b + 0. 4）}（ｍ）
第４レーンの１周の距離は { ２a + π（ b + 6. 4）}（ｍ）
第４レーンの１周の距離と第１レーンの１周の距離の差を求めると，{ ２a + π（ b + 6. 4）} － { ２a + π（ b + 0. 4）} ＝６π（ｍ）
よって，第４レーンは第１レーンより，スタートラインの位置を６π m 前に調整するとよい。

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。

母集団

２ア

標本２ウ

（２）

３（個）

式

４

答え

３（およそ）15000
⎧ ８ x ＋６ y ＝200⎨
⎩ 800 x ＋400 y ＝16000（花束をつくる前にあった赤色の花の本数） 220

（本）

（１）

２420

（席）

（２）

２22

（番）

２30

（番）

２

イ４

b ＝６a －２

正解は一例を示したものである。

〔問４〕５（ n ＋１），（ n ＋２），（ n ＋３），（ n ＋４），（ n ＋５）と表される。
６席の座席番号の和は，n ＋（ n ＋１）＋（ n ＋２）＋（ n ＋３）＋（ n ＋４）＋（ n ＋５）＝３（２n ＋５）（２n ＋５）は自然数だから，３（２n ＋５）は３の倍数になる。
したがって，すべてのテーブルの６席の座席番号の和は３の倍数になる。

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。

〔問１〕

３

１

〔問２〕

４y＝－

〔問３〕

４Ｐ（12 ，－１）

〔問４〕

５224
π
３（１）

３

AF：FE ＝ ５：３（２）

３

BF ＝ ６ ２ －６

（１）

６△ ABE と△ HDG で，AB ＝ AD ＝ DH より，
AB ＝ HD・・・①∠ ABE ＝∠ HDG ＝90° ・・・②
△ BCD が BC ＝ DC の直角二等辺三角形で，BD//EG より，同位角が等しいから，∠ CEG ＝∠ CGE ＝45°
△ CEG は直角二等辺三角形だから，EC ＝ GC
また，BE ＝ BC － EC，DG ＝ DC － GC から，
BE ＝ DG
・・・③①，②，③から，２組の辺とその間の角が，それぞれ等しいので，△ ABE ≡△ HDG（２）

４36－18 ３ 

〔問２〕

〔問３〕

〔問１〕

（１）

テーブル
番号〔問２〕
記号３ 〔問３〕

４

正

数学科採点表

〔問１〕

５〔問２〕

正解は一例を示したものである。

５x －３２（ cm ）（ cm２）

正解は一例を示したものである。段階的に評価する。