令和３年度 A日程
学 力 検 査 問 題

3数学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３

問題用紙は表紙を除いて７ページで，問題は １ から ６ まであります。

４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に志願先高等学校名と受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

志願先高等学校名高等学校

受検番号

１ 次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算せよ。
①2 －（− 5）－ 9②x＋2y3x−y−4
3③

a 2b ×（− 3b）÷ 6 ab2④122− 32

（2） 50 本の鉛筆を，7 人の生徒に 1 人 a 本ずつ配ると，b 本余った。このとき，b を a の式で表せ。

（3） a は正の数とする。次の文字式のうち，式の値が a の値よりも小さくなる文字式はどれか。
次のア～エからすべて選 び，その記号を書け。
アa ＋（ −1）2イa−（−1）
2（4） 2 次方程式（x − 4）
（x ＋ 2）＝ 3 x − 2 を解け。

−1−ウa ×（ −1）2エa ÷（ −1）2

（5） 関数 y＝ ax2 について，x の変域が − 2 ≦ x ≦− 1 のとき，y の変域は 3 ≦ y ≦ 12 である。
このときの a の値を求めよ。

（6） 次の図は，高さがすべて等しい立体の投影図である。次の投影図で表されたア～ウの立体を，体積の小さいものから順に並べ，その記号を書け。
アイ立面図

6 cm

平面図
6 cm

ウ立面図

立面図

平面図

平面図6 cm
6 cm

6 cm（7） 右のグラフは，ある中学校の 3 年生女子 40 人について，50 ｍ走の記録をヒストグラムで表したもので（人）12ある。このヒストグラムでは，例えば，50 ｍ走の記10録が 8. 0 秒以上 8. 5 秒未満の女子が 6 人いることが8わかる。

6このヒストグラムにおいて，中央値を含む階級の相対度数を求めよ。

3 年生女子の 50ｍ走の記録

4
207.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 10.5（秒）（8） 下の図のように，2 つの半直線ＡＢ，ＡＣがあり，半直線ＡＢ上に点Ｄをとる。2 つの半直線ＡＢ，ＡＣの両方に接する円のうち，点Ｄで半直線ＡＢと接する円の中心Ｐを，定規とコンパスを使い，作図によって求めよ。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
CA−2−DB２

ひかるさんたちの学級では，数学の授業で次の〔問題〕に取り組んだ。下の【ひかるさんのつくった方程式】と【まことさんのつくった方程式】は，ひかるさんとまことさんがこの問題をあ正しく解くためにつくった方程式である。
【ひかるさんのつくった方程式】の中のう【まことさんのつくった方程式】の中のには，x と y を使った文字式がそれぞれ入る。
いまた，【ひかるさんのつくった方程式】の中のい中のとと【まことさんのつくった方程式】のには，同じ数字が入る。このことについて，下の（1）～（3）の問いに答えなさい。

〔問題〕
地点Ａから 4200 ｍ離れた地点Ｂまで行くのに，地点Ａから途中の地点Ｐまでは自転車を使って，分速 240 ｍの速さで進んだ。地点Ｐで自転車をおりて，分速 75 ｍの速さで歩いて地点Ｂに到着した。地点Ａから地点Ｂまで移動するのにかかった時間は 23 分であった。このとき，地点Ａから地点Ｐまでの道のりとかかった時間，地点Ｐから地点Ｂまでの道のりとかかった時間を，それぞれ求めよ。

【ひかるさんのつくった方程式】
あ【まことさんのつくった方程式】＝ 23

240x ＋ 75y ＝x＋y ＝

いう

＝ 23

い

（1）【ひかるさんのつくった方程式】の中の x が表しているものとして適切なものを，次のア～エから 1 つ選び，その記号を書け。
ア

地点Ａから地点Ｐまでの道のり

イ

地点Ｐから地点Ｂまでの道のり

ウ

地点Ａから地点Ｐまで移動するのにかかった時間

エ

地点Ｐから地点Ｂまで移動するのにかかった時間（2）【ひかるさんのつくった方程式】の中のあに当てはまる文字式と，うに当てはまる文字式として適切なもの

いに当てはまる数字を，それぞれ書け。
（3）【まことさんのつくった方程式】の中のを，次のア～エから 1 つ選び，その記号を書け。
ア240x ＋ 75yイxy＋24075−3−ウ24075＋xyエy240＋x75

３下の図 1 のように，1 辺が 5 cm の正方形ＡＢＣＤと，ＥＧ＝15 cm，∠ＥＧＦ＝90°の直角二等辺三角形ＥＦＧがある。辺ＢＣと辺ＦＧは直線ℓ上にあり，頂点Ｃと頂点Ｆは重なっている。いま，この状態から，直角二等辺三角形ＥＦＧを固定し，正方形ＡＢＣＤを直線ℓに沿って，矢印の向きに毎秒 1 cm の速さで，頂点Ｂが頂点Ｇに重なるまで動かす。正方形ＡＢＣＤを動かし始めてから x 秒後に，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧが重なる部分の面積を y cm2 とする。図 2 は，動かし始めてから 2 秒後の正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧの位置を表しており，図中の斜線部分は，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧが重なった部分を表している。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。ただし，正方形ＡＢＣＤと直角二等辺三角形ＥＦＧと直線ℓは同じ平面上にあるものとし，x ＝0 のとき，y＝0 とする。
Ｅ（1） x ＝ 3 のときの y の値を求めよ。
（2） y の値が最大となるのは，正方形ＡＢＣＤを動かし始めて何秒後から何秒後までの間か。
このときの x の値の範囲を，不等号を使って表せ。

Ａ15 cm

Ｄ5 cm
ＢＣ（F）Ｇℓ

図1（3） y ＝ 8 となる x の値をすべて求めよ。

ＥＡＤＧＢ ＦＣ
図2−4−ℓ４下の図のように，1，2，3，4，5，6 の数字が 1 つずつ書かれた 6 個の玉が入っている袋がある。この袋の中から玉を 1 個ずつ 2 回取り出す。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えな
さい。ただし，この袋からどの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

（1） 袋の中から 1 個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字を a とする。1 個目の玉を袋の中に戻さずに，2 個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字を b とする。このとき，a，b ともに奇数となる確率を求めよ。
（2） 袋の中から 1 個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字を m とする。1 個目の玉を袋の中に戻してよく混ぜてから，2 個目の玉を取り出し，その玉に書かれている数字を n とする。このとき，m2 が 4 n より大きくなる確率を求めよ。

−5−124536５6のグラフである。①と②は 2 つのx交点をもつものとし，そのうちの x 座標が正である点をＡとする。ＡＯ＝ＡＢとなる点Ｂを下の図において，①は原点Ｏを通る直線，②は関数 y ＝x 軸上にとり，三角形ＡＯＢをつくる。このとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 点Ａの x 座標が 2 のとき，点Ａの y 座標を求y①めよ。
Ａ（2） 三角形ＡＯＢが直角二等辺三角形となるときの直線①の式を求めよ。

②（3） 三角形ＡＯＢの面積は，点Ａが②のグラフ上のどの位置にあっても，常に同じ値であることが言える。
点Ａの x 座標を m とすると，m がどんな値であっても，三角形ＡＯＢの面積は一定である
ことを，言葉と式を使って説明せよ。

−6−ＯＢ

②x６

下の図のように，線分ＡＢを直径とする円Ｏがある。円Ｏの周上に∠ＣＡＢ＝ 45°となるよ
うな点Ｃをとり，点Ａと点Ｃを結ぶ。線分ＯＢ上に点Ｄをとり，線分ＣＤを点Ｄの方向へ延長したときの円Ｏとの交点をＥとする。点Ａと点Ｅ，点Ｂと点Ｅをそれぞれ結ぶ。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。

（1）

ＡＥＣ ∽

ＤＥＢを証明せよ。

C（2） 円Ｏの半径を 6 cm，ＯＤ＝ 2 cm とするとき，次の①・②の問いに答えよ。
①A

線分ＡＣの長さを求めよ。

ODB②‌ 点Ｂと点Ｃを結ぶ。このとき，四角形ＡＥＢＣの面積は，三角形ＤＥＢの面積の何倍か。

−7−E令和３年度

問

題

正①（1）

数学A日程

②③④答

配点

各222－25 x－11y12a－
22 2（2） b ＝ 50−7a（3） ア，ウ，エ（4） x ＝ − 1 ，6（5） a ＝ 3
1（6） ウ，ア，イ（7） 0.25（例）

C（8）
PA

あx ＋yい

4200（3）
9（1） y ＝
23 （2） 10≦ x ≦1592（3） x ＝ 4，54（1）
（2）

B
ウ（1）
2 （2）

D

イ1517361252各26各24（裏面に続く）

問

題

正答

配（1） 3

1（2） y ＝ x

2点（例）ＡＯＢはＡＯ＝ＡＢである二等辺三角形なので，点Ａの x 座標が m より，底辺ＯＢの長さは 2m となる。
また，点Ａは②のグラフ上の点なので，65点Ａの座標が（m，m ）となることから，
（3）
6ＡＯＢの高さは m となる。

63

よって， ＡＯＢの面積は162m× m × ＝62である。
したがって，m がどんな値であっても，ＡＯＢの面積は一定である。
【証明】（例）
ＡＥＣと ＤＥＢにおいて∠ＡＣＥ，∠ＤＢＥはそれぞれＡＥに対する円周角なので∠ＡＣＥ＝∠ＤＢＥ･･････････ ①∠ＣＡＢ，∠ＤＥＢはそれぞれＢＣに対する円周角なので∠ＣＡＢ＝∠ＤＥＢ
また，∠ＣＡＢ＝45°なので∠ＤＥＢ＝ 45°
 ･･････････････ ②（1）6∠ＡＥＢは半円の弧に対する円周角なので

37∠ＡＥＢ＝ 90°
 ･･････････････ ③②，③より∠ＡＥＣ‌＝∠ＡＥＢ－∠ＤＥＢ＝90°－45°＝45° ･･･････････････④②，④より∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＢ･･････････ ⑤①，⑤より2 組の角がそれぞれ等しい。
したがって
（2）

ＡＥＣ∽ ＤＥＢ①6 2 cm

2②

27
倍
42

令和３年度 B日程
学 力 検 査 問 題

2

数

学

注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３

問題用紙は表紙を除いて５ページで，問題は １ から ４ まであります。

４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に志願先高等学校名と受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

志願先高等学校名高等学校

受検番号

１ 次の（1）～（6）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算せよ。
①− 4 −（− 3）＋ 6②3 2− 6 ÷（− 2）③−5 b 2÷10ab×4a④15 ÷5 ＋ 20（2） a ％の食塩水 600ｇの中に溶けている食塩の量を bｇとする。このとき，b を a の式で表せ。

（3） 方程式
アxy＋＝ 1 のグラフを，次のア～エから 1 つ選び，その記号を書け。
23イy3OウyxO

3x−1−−3Oy3222エyx−2Ox（4） 関数 y ＝− 2 x 2 において，x の値とそれに対応する y の値について述べた文として正しいものを，次のア～エから 1 つ選び，その記号を書け。ただし，x は 0 でないものとする。
ア‌ x の値を 2 倍，3 倍，4 倍にすると，対応する y の値はそれぞれ 2 倍，3 倍，4 倍となる。
イ‌ x の値を 2 倍，3 倍，4 倍にすると，対応する y の値はそれぞれ−2 倍，−3 倍，− 4 倍となる。
ウ‌ x の値を 2 倍，3 倍，4 倍にすると，対応する y の値はそれぞれ 4 倍，9 倍，16 倍となる。
エ‌ x の値を 2 倍，3 倍，4 倍にすると，対応する y の値はそれぞれ−4 倍，−9 倍，−16 倍となる。

F，∠Ｂ＝ 45°，∠Ｃ＝ 52°，（5） 右の図で，∠Ａ＝ 55°∠Ｅ＝ 90°，∠Ｆ＝ 38°である。このとき，∠ＤのA大きさは何度か。

B38°
55°

E45°
52°

D

C

（6） 1 枚の硬貨を 4 回続けて投げるとき，硬貨の表と裏が 2 回ずつ出る確率を求めよ。ただし，硬貨は表と裏のどちらが出ることも同様に確からしいものとする。

−2−

２次の図 1 は，底面の半径が 4 cm，母線ＡＢの長さが 10 cm の円すいであり，図 2 は，図 1の円すいの展開図である。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。ただし，円周率はπを用いること。
A10 cm
10 cm

4 cm

B

図14 cm

図2（1） 図 2 において，おうぎ形の中心角の大きさは何度か。
（2） 図 3 のように，図 1 の円すいを底面に平行な平面で切断したときのA

母線ＡＢとの交点をＣとする。ＡＣを母線とする円すいの側面積が，ＡＢを母線とする円すいの側面積の半分となるとき，ＡＣの長さを求10 cm
Ｃめよ。

4 cm
図3−3−B３

下の図において，点Ａ，Ｂは x 軸 上の点であり，その x 座標はそれぞれ−3，13である。線分
ＡＢ上にＡＣ＞ＣＢとなるような点Ｃをとり，ＡＣ，ＣＢを1辺とする正方形ＡＣＤＥ，ＣＢＦＧを，点Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの y 座標が正となるように，それぞれつくる。さらに，2点Ａ，Ｄを通る直線をひく。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。

（1） 2 点Ａ，Ｄを通る直線の式を求めよ。

yＤＥ（2） 点Ｄの x 座標を m とする。このとき，次の①・②の問いに答えよ。
①‌ 辺ＡＣ，ＣＢの長さを，m を用いた式でそれぞれ表せ。
②‌ 正方形ＡＣＤＥの面積と正方形ＣＢＦＧの面積の和が 160 であるとき，m の値を求めよ。ただし，答えを求める過程がわかる
ように，途中の式も書くこと。

−4−Ａ−3ＯＧＦＣＢ13x４

あおいさんは，右のようなかけ算の九九の表をもとに，このかける数

表の中に並んでいる数について，どんなきまりがあるかを予の【あおいさんのノート】は，あおいさんが正しく証明したノートの一部である。このとき，下の（1）・（2）の問いに答え

234511234522468103369121544812 16205510 15 2025…

…

なさい。

かけられる数

想し，予想したことについて，文字式を使って証明した。次1【あおいさんのノート】
九九の表の数のうち，右の図のように，「8」について考と，3 ＋ 5 ＋ 9 ＋ 15 ＝ 32 となり，8 の 4 倍となっている。
このことから，「ある数の左上，右上，左下，右下の 4 つの数の和は，ある数の 4 倍となる。
」と予想できる。

3451345268103912 15

1【予想したことの証明】使ってそれぞれ表すと
ア，右上の数はイ

左下の数はウ，右下の数はエ＋イ＋ウ＋エaイabウである。この 4 つの数の和を計算すると
アアエ

…

左上の数は

…

bかけられる数

a b の左上，右上，左下，右下の 4 つの数を，a，b を…

かける数

九九の表の数のうち，かけられる数が a，かける数がb となる数 a b を考える。

2…

下の 4 つの数は，3，5，9，15 である。この 4 つの数をたすかけられる数

えると，8 のまわりにある数のうち，左上，右上，左下，右かける数＝4abである。
したがって，かけ算の九九の表において，ある数の左上，右上，左下，右下の 4 つの数の和は，ある数の 4 倍となる。

（1）

ア～エに当てはまる文字式を，それぞれ書け。

（2） あおいさんが予想したことは，かけられる数とかける数の一方が 10 以上の整数の場合でも，両方が 10 以上の整数の場合でも，同様に成り立つことが言える。
ある数 ab について，ab の右上の数が 84，左下の数が 96 のとき，ある数 ab を求めよ。

−5−令和３年度

問題（1）

B日程

正①5②12③－2 b④5 5数学
答

配1 （2） b ＝ 6 a点

各 3 27（3） ア（4） ウ（5） 80 度
（6）238（1）

144 度（2）

5 2 cm（1） y ＝ x＋3①34（1）

（2）

63

ＡＣ＝ m ＋ 33

ＣＢ＝ 13−m②（例）ＡＣ＝m＋3，ＣＢ＝13－m，正方形
ＡＣＤＥと正方形ＣＢＦＧの面積の和が 160 より
22＋（13－m）＝160（m＋3）
22m －20m＋18＝0
m2－10m＋9＝0（m－1）（m－9）＝0
m ＝ 1，9m＝1 のとき，ＡＣ＝4，ＣＢ＝12 となり，ＡＣ＞ＣＢを満たさない。
m＝9 のとき，ＡＣ＝12，ＣＢ＝4 となり，ＡＣ＞ＣＢを満たす。
したがって，求める m の値は 9ア（a－1）（b－1）

イ（a－1）（b＋1）

ウ（a＋1）（b－1）

エ（a＋1）
（b＋1）

（2）

各3

a b ＝ 91

104347