「数学」を身近なものに―課題学習をふまえて―
愛媛県立三瓶高等学校
１

藤原治永

はじめに平成27年度より課題研究委員会に所属し，研究をしばらく様子を見ていたが，三角比の意味を重ねている。本校での課題学習の主な取組は，①各忘れている生徒も居たので，「中央の三角形に分野・各単元の終わりに応用的な内容の授業を行う。

ついて，底辺は斜辺の余弦倍のcosβ，対辺は斜②長期休業中の課題としてレポート（テーマは自由）辺の正弦倍となるsinβとなる」ことを確認させを課し，提出してきたレポートを評価した後，面白た。

い着眼点や良いレポートを生徒達に紹介する。ただどの角度からでも見やすくするため，折り紙し，②については，生徒たちもネットや書籍から題を利用して考えさせた。正方形の中に４つの直材を見つけてきてレポートを作成してくるのだが，角三角形があるが，どの三角形も折り紙を回転目を見張るようなレポートにはなかなか 出会えなさせることにより，直角が右下に持ってくるこい。今年度は，１年生の授業を担当していないこととができる。

も有り、数学Ⅱを履修中および履修済みの２・３年生を対象に，数学に対する興味・関心を起こさせることができるよう，身近な物品や題材を利用した課題研究の実施を試みた。
２

研究・実践内容(1) 三角関数の加法定理について（２年生）
三角関数の加法定理を幾何的に示そうとしている例をＳＮＳで見かけたので，その例と教科書の証明を参考にして実践した。
公式をそのまま覚えるよりも，三角比の意味や物理等の他教科における数学の活用にも役立てることができると考えた。
課題「下図のように，15cm四方の折り紙から幅1.5cmの幅を取り，中央に直角三角形をつくる。
左下に角度αとβをとり，中央の直角三角形の斜辺を１としたとき，残りの直角三角形の辺や角度をα，βとその三角比を使って表せ。」

下の写真の様に，目の前で見せながら話し合っていた生徒も居り，予想外のメリットであった。

この折り紙による試行錯誤の結果から加法定差を取ってダメなら，和や積，商（比）を計理を導くことができる。実際には錯角を使わず，算してみることになった。その結果，半音１つα+βではなく， 90°-(α+β)を利用していた生上がると，各フレットまでの長さは約0.94倍と徒が居た。90°-θの公式を使う復習にもなった。

なっていた。ゆえに，半音上がる毎に，駒から身近な折り紙を用いることで，普段とは違う雰フレットまでの長さは指数関数的に減少してい囲気が生まれたことは事実であるが，折ることをくことが分かった。周波数を測定するソフトや含めた活動にできるように今後，考えたい。

アプリが準備できれば，「１オクターブ（12音）高くなると，周波数は２倍になり，弦の長さは(2) 弦楽器の「音」と「弦長」の関係（３年生）1/2 倍になる」ことや「半音１つ高くなると，音は周波数で表すことができる。ギターは弦を周波数が約1.06倍（2の12乗根が約1.06であり，支える駒からフレットの元の長さが長いほど低その逆数は0.94）となる」ことまでたどりつき

く，短いほど高い音が出る。これはどの弦楽器たかった。また，上記の表において，長さの小にも言える。音楽で使用しているギターを借りさい順に並び変えて比を取ると，約1.06倍ずつて，駒から各フレットまでの長さを測り，考察になっていることが分かる。

した。

また，十三弦の筝についても，調べてみた。

「高い音と低い音の平均をとると，１ずつ下それぞれの音階の，柱までの弦の長さを測定しがる」「差を取ってみたら何か法則がある」な

たが，ギターの様に半音ずつフレットがなく，温どの予想があった。実際に計算してみると，そ度や張り具合により音程が変わるためか，ギターの予想は外れ，法則は見つからない。そこで，と同じ傾向は出てこなかった。データの数を多くエクセルでグラフをかくと，「反比例」との意とることが出来れば，同じ傾向が出てくるかもし見が出たが，これもすぐに違うことが確認されれない。

た。

同じ弦楽器であるピアノについては，弦が多すぎるので，観察のみにとどめた。実際には弦の材質や本数，そして張力によって調整される。
高い音の弦は３本あり，低くなるにつれ，その数は少なくなっていき，弦の太さは大きくなっていくことが観察できる。
(3) 31415926は２進数では何桁か？（３年生）
2020は10進数では４桁の数である。
log102020＝log10(2.02×103)＝log102.02＋log10103＝0.3054＋3＝3.3054３＜log102020＜４より103＜ 2020 ＜104の様に，常用対数の値から小数点以下を切り捨

しかし，技術の進歩はたいしたもので，エクセて，１を加えればその桁数は４桁であることが確

ルで「=log(2019,2)」や「=log(31415926,2)」と認できる。桁数を求める問は常用対数を利用した計算式を入力すれば，その値を返してくれる。次典型的な問題である。１年生の「数学Ⅰ」や「社の表はエクセルで作成した（計算上の誤差はある会と情報」の時間で２進数を学習しているので，だろうが）1024,2019,2048,224,31415926,225の対次の課題を出してみた。

数表である。（ただし，小数第３位まで）

課題「２進数における2019の桁数を，対数を用い機会が有れば，２の対数表の作成方法についてて求めることができないだろうか？

も研究してみたい。

また，31415926を２進数に直したとき，何桁の数になるかを答えよ。」
2019を２進数に直すと，11111100011となり，11桁の数である。また，31415926を2進数に変えると，1110111110101111001110110となり，25桁になる。
10進数では常用対数をとったので，２進数では底を２とする対数の値をとればよい。
log22019＝log102019 / log102≒3.3054 / 0.301
３＝10.981…
10＜log22020＜11より 210＜2020＜211

研究のまとめと今後の課題
今年度は，身近なものを利用したり，考察したり2020は２進数で11桁の数である。

することを念頭に置いて実践した。今回も思考を補

2019は２進数で11桁の数であろう。

助するツールとしてエクセルやタブレットを用いた。また，今回は他教科に関連付けた内容を取り入同様に考えるとlog231415926＝log10(3.1415926×107) / log102≒(log103.14＋7) / log102

れた。
この研究を行うことで，生徒たちの主体的な学習＝7.4969 / 0.301を促し，数学に対する興味・関心を高めることがで＝24.906…

きた。また，自分自身も教科書以外の見方や考え方24＜log231400000＜25より224＜31400000＜225を習得することができた。

31400000は２進数で25桁の数である。

課題としては，題材の選定が挙げられる。課題を

31415926は２進数で25桁の数であろう。

提示し説明することは簡単なのだが，学びが深まるx

常用対数表の代わりに，次のような２ の表を作成して確認した。
誤差を考えると，常用対数表を作成したネイピ
アには頭が下がる。

授業展開になるように，提示や展開の工夫が必要である。また，身近な物や事象を計測してデータ・グラフ化した後の考察力が低いこと，スマートフォンやパソコンを分析するツールとして利用するスキルが低いことが気になった。
昨年 3 月に告示された新学習指導要領では，「数学Ⅱ」および「数学Ⅲ」に課題学習が新設された。
今後も生活と関連付けた課題を設け，生徒の疑問を取り上げていくなど，今後も研究を続けていきたい。
≪参考文献≫
・「生き抜くための数学入門」
・「最強に面白い‼ 対数」(イーストプレス)(ニュートンプレス)