中四国の国公立大学入試問題の研究－

推薦入試の問題から －愛媛県立新居浜西高等学校 松本慎
愛媛県立 北 条 高等学校 砂田 佳範

１ はじめに
四国地区には， つの国立大学， つの公立大学が設置されている。中国地方には， つの国立大学，ている。国立大学では，約の公立大学が設置され％，公立大学では，約％の生徒

３以上の自然数に対して，める。このとき，を推薦入試により学生募集を行っており、年々増加傾向にある。私たちが生徒に指導する際，過去問を解かせ，その傾向を見つけることで対策を講じることができると思う。そのため，昨が成り立つことを示せ。さらに極限値

年度に引き続いて，中四国の国公立大学の出題された数学の問題を取り上げた。

を求めよ。

２ 平成

年度四国の国公立大学

愛媛大学 理学部
１ 次の推薦入試問題で４・推薦入試問題に入る数または式を解答用紙の指定のところに関数

は，である。

イにおいて最大値をとる。とする半径点が原点を中心の円周上を動くとき，が点で表されるが描く円の半径はオ和の絶対値がである，をより小さくなるとする。このような部でで，点倍するとカつの整数軸上にある点関数が極値をとるとがある。
は全，で割った余りがるとき，点を軸の正の方向にであだけ移動する。

，と直線

例えば， 線分，また， 線分の垂直二等分線で，点つ存在するときには， とげたあとが点，にある確率はクである。

問

下線部て表せ。

２ 次の命題の真偽を判定し，解答用紙に書かれた真または偽のいずれか一方の文字に〇を付けよ。さらに，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ。

問

下線部の理由を説明せよ。

問

点に対して，線分ならばと実数に対して，，つ通る点の集の垂直二等分線の方程式を を用いの垂直二等分線で，その点下線部， ，点，を除く。の理由を説明せよ。

２ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
ならば，である。と を複素数とするとき，ある。
異なる素数 ， に対して，の線分を満たすこを通るものの数は ， ， であるような点の例をそれぞれ
問は垂直である。

を通るものがとが分かる。言い換えれば，垂直二等分線がただまりとして，放物線が現れる。

つずつ挙げよ。ただし，文章中の点つのベクトル ， に対して、，は関係式にあるとした場合，さいころをでないを通るものはを通るものは存在しない。

，空間のの垂直二等分線の方の垂直二等分線で，点 ，が原点である。

をとる。

に対して，線分最初にキで求めた値を代入して，その垂直二等分線を平面に描いてみると，垂直二等分線が描かれる場所と描かれない場所があることが分かる。

ただ回投を求め程式を を用いて表すことができる。このとき， にいろいろなつあり，点個投げ，出た数を軸とで囲まれた図形の面積平面において，点上の点を，次の規則にしたがってさいころをの値を求めよ。

１ 次の文章を読んで，以下の問いに答えよ。
ある共通した性質をもつ点の集まりがよく知っている曲線になることがある。ここでは，放物線が現れる場合を紹介しよう。

である。

個である。

座標平面上の動かすとする。

軸との交点の座標をすべて求めよ。

高知大学 理工学部 数学物理学科（数学分野）推薦入試Ⅰを中心とする円を描いたとする。このとき，

エとの範囲で の値が増加するとき，の値も増加することを示せ。

アを複素数とする。複素数平面において，点とする。

曲線
曲線よ。

記入せよ。

ウを実数とし，入試Ⅱのとき，と定…

ならばとでは互いに素である。

座標平面上において，点数のとき， ，て，格子点，，，，，，，，のつの成分 ， がともに整を格子点と呼ぶ。すべての整数を中心とする半径，，，，，の， に対しの円周上には，，，，，個の格子点が存在する。以降これら個の点を，からする。
いま，座標平面上の格子点の上を，次のような規則に従って移動していくことを考えよう。
ⅰ

はじめはⅱ，，からを示しなさい。

離れた格子点と呼ぶことににいるとする。
離れた格子点のうち，好きな点をつ選ん設問

およびを示しなさい。

Ⅱ平面において，次のを満たす実数とする。

でその点に移動する。
ⅲ

さらに移動した点からをⅳ離れた格子点のうち，好きな点つ選んでその点に移動する。
ⅲ を何回も繰り返す。

与えられた規則のもとで， ，点は，から個ある。また， ，動すれば， ，からから回の移動で到達できる，，回の移動で，に到達できる。

から回以下の移動によって到達することはできないが，例えば， ，，のように移回の移動で到達することができる点は，他にもたくさんある。また， ，のように移動すれば， ，からに到達することができる。なお， ，から，に，，回の移動で，回の移動でいま， ， を条件

このとき 次の設問に答えなさい。
設問

直線と直線の交点

設問

直線と直線の交点を ，直線からⅢ

一方で，移動の回数を，，到達できる。 ，問に到達することはできない。

回以下に制限しないとしよう。例えば，に対しては， ，，から回の移動で ，に設問

次の 個の点のうち， ， から 回の移動で到達できるものをすべて選べ。なお，理由を書く必要はなく，答えのみでよい。
， ， ， ， ， ， ， ， ，設問，，回の移動で挙げよ。

，

問，，以外で， ，に到達するような移動の仕方の例を

文章中の条件を満たす ， に対しては， ，以下の移動で ，問からから，を頂点とする正方形のとし，中心，，，つの辺とその内部から，半径とする。また，点の円周とその内部， ， を，平面上， ， ，とする。このとき，次の設問に答えなさい。
， ， のうちに入る点がつだけあるようなに入る点がつ以上あるようなの範囲を求めなさい。
， ， のうちの範囲を求めなさい。
設問， ， のうちるような設問

つ，点とし，それらの座標をそれぞれ，以外の場合はどうだろうか？

，平面上において，，からなる領域をのとする。

，なる領域を， から 回の移動で到達できる点すべてを座標平面上に図示せよ。

問の交の値を求めなさい。

， は実数で，を満たす整数とする。この条

回以下の移動で ，と直線，件を満たすすべての ， に対して，与えられた規則のもとで，，の座標を求めなさい。

点を とするとき，三角形の面積を求めなさい。
設問
三角形の面積が最大値となるような とそのときのに到達するような移動の仕方は，他にもいろいろ存在する。

問つの直線を考える。ただし， は，， ， の，の両方に入る点がの範囲を平面上に図示しなさい。

つともそれぞれ方には入るようない。

，つ以上あの範囲を，の少なくとも一平面上に図示しなさ回に到達できないことの理由を説明せよ。

高知工科大学 経済・マネジメント学群

入試

移動の回数を制限しないとする。文章中の条件を満たす ，で， ， から移動を繰り返して ， に到達できないよ
うなものは存在するか。理由を付けて答えよ。

Ⅰ 次の各問に答えよ。なお，解答用紙の所定欄に答のみを記入すること。
を求めよ。

･
高知大学 医学部医学科

入試Ⅰ 総合問題Ⅰ方程式が相異なる つの実数解をもつとき，定数 のとりうる値の範囲を求めよ。

Ⅰ 次の設問に答えなさい。
設問

整数を係数とするある関数の増減表を書き，ラフの概形を描きなさい。

設問

を実数とする。このとき，加法定理と用いて， 倍角の公式なさい。

設問
問

つの実数，の関数に対して，のグ倍角の公式をを示し，を割ったときの余りが等しくなったとする。このときの余りを求めよ。
円の距離上の点は相異なり，設を満たすこと

不等式
方程式
とき，定数，と点，との最小値を求めよ。
とおくとき，，次多項式で， つの多項式を の多項式で表せ。
を解け。

が相異なる つの実数解をもつのとりうる値の範囲を求めよ。

定積分

一般の場合の値を求めよ。

つの数 ， ， ， ， ， ， ， ， から異なるをとってつの数桁の数をつくるとき，何通りの数ができるか。

男子 人，女子 人が横一列に並ぶとき、女子が続いて並ぶような並び方は何通りあるか。となる自然数

ウ

このときで示されているから，人以上個のを加え，のを求めよ。

はと円する。 とは線分よりである。

より…
オ…の交点のうち，と異なるものをとであるからを ， ，で表せ。
が得られる。 カ したがってで表せ。
であることを示せ。

を ， ，下線部 ア について，その理由を説明せよ。

以上の自然数とする。 個の正の数， ，…，に対し，これらの相加平均と相乗平均とはそれぞれ…

，★

…

が成り立つ。このことの証明を読み，後の各問に答えよ。
証明に関する数学的帰納法で示す。まず アのとき題意が成のとき ★ が成り立つとし，の場合を考える。このとき，とおくと，の場合に下線部 オ で用いられている考え方を踏まえて，次の問に答えよ。
ある高等学校の…，人からなるクラスの生徒の身長の平均値は，，はいずれもセンチメートルだった。このとき， 人の平均値 に関して，どのようなことが言えるか。数式を用いた詳しい理由も記せ。
下線部 カ について，その理由を説明せよ。

立つことを前提として，， ， … とが成りが成り立つことを示すには，どのような手順を踏めばよいか。

…

， ，センチメートルだった。このクする。上の 証明 で用いられた考え方に基づけば，…

，を求めよ。の結果を用いることがで不等式 ★ が成り立つという命題をである。

…

下線部 ウ について，ラスに， 人の身長の場合…

下線部 イ について，なぜここで数学的帰納法の仮定を用いることができるのかを説明せよ。
下線部 エ について，なぜきるのかを説明せよ。

…のことである。これらについて不等式…

が成り立つ。

設問で表せ。

り立つ。次に，より…

をとおく。次の各問に答えよ。

･とおが成り立つ。よって

内積 ･ を求めよ。また，をがあは異なる点である。

，Ⅲ

くと， エ
一方

，を満たす二等辺三角形であⅱとの交点に内分する。

を個の数， ，…， ， ， ，…，が成り立つ。また

直線個の数に…

Ⅱ 点 を中心とする半径 の円に内接する四角形
り，次が成り立つとする。

ⅲとしてよい。元のを考える。これらの相加平均と相乗平均をそれぞれで定義される数列

ⅰ 三角形る。の場合は個の解を求めよ。

一般項つ存在する。よって，とかける。

を自然数とする。 についての方程式，がただ，，，… のうち必要なものを選び，証明される順に左から右に並べよ。その列はとおくと，数学的帰納法の仮定より，イ★★

ら始まりかで終わることとなる。

が成り立つ。また香川大学 創造工学部，である。したがって，が成り立つ。以上より，つ。の場合の結果と ★★ からに対しては ★ は成り立

入試

問題
下記の文章を読んで設問に答えよ。
下記の比率は黄金比と呼ばれ，構造物の寸法比や絵画の構図などに用いると安定感があり美しいと考えられている。パルテノン
神殿，エジプトのピラミッド，ミロのヴィーナスなどの歴史的建造物や彫刻にこれと同じか近い数の比が隠されていることは有名である。また，巻貝の螺旋の拡大比など生物にも見出すことができる。

簡単な図形の中に現れる黄金比には，下記のようなものがある。
Ⅰ：正五角形のⅡ：点で外分，線分３ まとめと内分比が等しくなるときのその平成用しても良い。文字数は自由とする。ただし，欄内に簡潔に記載すること。
Ⅲ のような長方形において縦横比が黄金比となることを説明せよ。説明には，図や数式を引用しても良い。文字数は自由とする。ただし，欄内に簡潔に記載すること。

問題
下記の文章を読んで設問に答えよ。
正五角形の 辺と対角線の長さの比が黄金比になることを知っていると目盛りのない直定規とコンパスだけを用いて正五角形を作図することができる。図 は，その作図の様子を示している。
図の左側が予備作図，右側が本作図である。予備作図において，適当な長さの線分を長さとし，そのを得ている。本作図では，予備作図で得られたの長さを用いて倍の長さの線分の長さとつの三角形を組み合わせて作図することで正五角形を作図している。点線の直線は直定規で引いた下書き線，円弧はコンパスで描いた下書き線である。ただし，円弧は円弧であることが分かるように誇張してあり，半径は実際と異なる。丸点は，コンパスを用いたときの中心を示す。

図問

は 辺の長さからの三角形の作図法の知識があり，それらの作図法を詳細に説明する必要はない。また，説明の過程で線分や図形に名前を付すことは差し支えない。文字数は自由とする。ただし，欄内に簡潔に記載すること。

で内分するときの外を点Ⅲ：長方形から短辺を 辺とする正方形を片側から除いた後残る長方形の縦横比が元の長方形の縦横比と等しくなるときのその縦横比
問Ⅱ のように線分の外分比と内分比が等しくなる時，その比が黄金比になることを説明せよ。説明には，図や数式を引問

本作図によって正五角形を得る方法を，図の引用をせず，箇条書きを用いずに文章で説明せよ。ただし，説明する相手， ， が直線状にこの順で並んでいるとき線分を点分比
比

辺と対角線の長さの比

問予備作図によっての長さを得る方法を，図の引用をせず，箇条書きを用いずに文章で説明せよ。ただし，説明する相手は三平方の定理，垂直二等分線の作図法についての知識があり，それらの作図法を詳細に説明する必要はない。
また，説明の過程で線分や図形に名前を付すことは差し支えない。文字数は自由とする。ただし，欄内に簡潔に記載すること。

年度の四国地方の入試と推薦入試の問題の中で，数学の内容に関するものを取り上げた。平成年度の問題と比較してみると，高知大学教育学部が講義等理解力検査に変更しており，数学的な内容ではなくなっていた。また，香川大学創造工学部が小論文の中に数学的な内容が追加されていた。愛媛大学の理学部は例年通り教科書の基本的な内容を問う問題が多かったが，１ が昨年度と全く同じ問題であった。高知大学は、理学部は問題文で数学的な内容を説明して問題を解かせるような読解力を問う問題で，医学部医学科は総合問題Ⅰに数学と理科の問題を出題していた。高知工科大学の経済 マネジメント学群は，小問集合と大問，読解力を問う問題と幅広く出題していた。香川大学の創造工学部は，小論文で数学と理科の内容が 題ずつあり，数学は黄金比について文章を読ませ，作図を説明させる問題であった。
香川大学は工学部から創造工学部に変更したタイミングで，小論文の内容も変更したようである。例年出題している大学は，出題傾向は昨年度と大きく変わるところはなく，過去問を利用して指導をしていく必要性を改めて感じた。また，昨年度と同様に小論文の問題でも，グラフや表から読み取らせて分析させる問題を出題している大学がいくつかあり，様々な場面で数学的な見方や考え方が必要とされているのを感じた。