数と式における課題学習の研究
愛媛県立伊予高等学校 藥眞寺裕
１ はじめに今年度から本校に赴任し、教科指導について大きく環境が変わり、良い意味で刺激を受けている。そのような日々の授５ｋｍ／ｈA ３時間x １５ｋｍ
これをまとめると業の中で、共通して感じることがある。それは「定着」ということである。公式をそのまま暗記し、当てはめ答えを導く

答え：１５ｋｍ（速さ）×（時間）＝（距離）・・・①となる。

ことができるが、問い方を変え応用問題になると導くことができない生徒が多い。また、基礎・基本の定着を図るために

問２：時速 x ［ｋｍ/ｈ］で３時間進んだら１５ｋｍ移動も、”なぜそのようになるのか？”という部分を丁寧に伝えなければならないと感じることも多い。例えば、数学Ⅱ及び数学Ⅲの極限において以下問題の考察として、

x 2P 3xx 0P 0 x 0x0x! 0

した。時速を求めなさい。

（15km）km/hlimと答えてしまうことや、数学Ⅰの三角比の場面ではtanxA ３時間x １５ｋｍ
１５ｋｍ x ５ｋｍ／ｈ
xx
３時間
答え：５ｋｍ/ｈ

ｼyx
x 1x 0
2x0

いずれも場合も「０」で割ることをしっかり理解できていないことによるものである。そこで日々の授業の中で生徒のこれをまとめてみると考察及び誤答例を分析した。数学Ⅰの目標の中に、「理解させ，（速さ）x （距離）（時間）

基礎的な知識の習得と技能の習熟を図る。
」と示されている。
数学の本質である理論や単純な原理をより深く追究していく

3時間

1時間・・・②となる。

ことにより、「なぜ？」という部分の理解を深めることで、授業理解を高めることができると考え、この主題を設定した。

x 時間かかったとする。

２ 「０」で割ってなぜ悪い①⑴ 導入

0C 15x

問３：時速５ｋｍ/ｈで１５ｋｍ移動するには何時間かかるか。

5km/h

15km

1時間x時間, 15C 0x

この２つの違いを考えさせる。生徒に挙手をさせて聞いてみると「両方とも０になる」と答える生徒が多い。中には、何かを察知して、よく分からないが「０にならない」気がすると答える生徒もいた。ちなみに、代表生徒に実際に電卓をたたかせてみた。

５ｋｍ／ｈA xx １５ｋｍ
１５ｋｍ x ３時間
xx５ｋｍ／ｈ
答え：３時間これをまとめてみると

15C 0x E (エラー）（時間）x （距離）（速さ）

で、電卓は計算を受け付けない。それは「打ち込んだ、あなたの間違い！」と言わんばかりである。
「０で割っていけ・・・③となる。

ない」その説明についてはいろいろな方法があるが、いず０で割ることについて考えさせているが、基本的な文章題

れも「なるほど、わかった」という”心からの納得”につを解かせ関連があるのかどうか感じる生徒も多くなる。そこながる説明を考えることにした。

で、次の問題を考える。

⑵ 展開
問１：時速５ｋｍ/ｈで３時間進むと何ｋｍ移動するか？

5km/h()km問４：時速 15 ｋｍ/ｈとはどんな速さになるか。問２の問
015

題を、答えが 0 ｋｍ/時となるように変え、そのことにより考察しなさい。
15

1時間

3時間

問２の答えが 0 ｋｍ/ｈとなるためには問題文の３時間の15ところを０時間とすればよい。このことから 0 ｋｍ/ｈとは０時間で１５ｋｍ進む速さである。ここで、この解答は本

３ 「０」で割ってなぜ悪い②当に正しいのか検証する。０時間で１５ｋｍ進める速さと０で割ることは認められていないことについて、別の角度はいったい時速何ｋｍなのか。地球上で最も？早く進むとからの説明を考える。教科書のコラムの欄に短編として、な言われる「光」でさえも、１秒間で地球を７周半するが、ぜ０で割ってはいけないかの説明に以下のような記述がある。

０秒では１ｃｍも進むことができない。そのため、問４の15

最終結論として、「 0 ｋｍ/ｈとは０時間で１５ｋｍ進める速さではあるが、そのような速さは存在しない。
」とす

xx 0 とする。

両辺に１を加えて・・・①xO 1x 1るのが妥当であろう。

両辺に xP 1 をかけて ・ ・ ・ ②

問５： 15 時間は０時間のことか、

x 2P 1x x P 10

問３を用いて考察しなさい。

両辺に１を加えてx 2x x問３の時速５ｋｍ/ｈのところを時速０ｋｍ/ｈとして考両辺を x で割って ・ ・ ・ ③

15xx 1えてみる。 0 時間とは時速０ｋｍ/ｈの速さで１５ｋｍ移動するのにかかる時間となる。このことから 15 時間とは0

よって、0x 1０時間のことではないことがわかる。さらに、時速０ｋｍ/ｈなら何十時間たったとしても１ｃｍも動くことはできな
15い。つまり、 0 時間などという時間は存在しない。

ここで、①、②においてそれぞれ両辺に加える数をa 、かける数をx P a とし、同様の計算をすると０はa に等しくなえることはできないことを確認することができた。

る。a はどんな数であってもいいことから、結局すべての数

15
問４・５より、 0 x 0 とはならないこと、１５÷０は考⑶ 考察は０に等しいことがいえてしまう。 この証明の誤りは、③のところで両辺をxx 0 で割ったことにある。これらのことか①式より（速さ）×（時間）＝（距離）ら除算では、０で割ることは認められていないことがいえる。

この式の左辺の速さが０ｋｍ/ｈだと、時間が何時間たっても距離は０ｋｍとなる。さらに、０ｋｍ以外はあり得ない。

⑴ 数からの説明
割り算は、逆数のかけ算

xC yx xA０ｋｍ／ｈA ２時間x ０ｋｍ０ｋｍ／ｈA １００時間x ０ｋｍ

1yを表していることから１÷０は、１に０の逆数をかけることと考えればよい。そこで、０をひとつの数、存在する数また同じように時間が０時間だと、時速が何ｋｍ/ｈでも距離は０ｋｍとなり、０ｋｍ以外ありえない。とみてその逆数を求める。逆数の定義から０× ＝１となる が求められればよい。しかし、０にどんな数をかけても０となることから、かけて１になる数を見つけることは５ｋｍ／ｈA ０時間x ０ｋｍ・・・④
１００ｋｍ／ｈA ０時間x ０ｋｍできない。０の逆数

10なる数は存在しないことから、１÷０は計算できないことが説明できる。
⑵ 演算からの説明

この「０は何をかけても０になる」ことが０で割ることを考えられない理由となる。そして、 0 x 10について式④を用いて考えてみると５ｋｍ／ｈx
よって0となり、 0１÷０は、１を何もないもの、あるいは０という数で実際に割ったものである。もちろん、何もないもので割ること

０ｋｍ x １００ｋｍ／ｈ
０時間

５ｋｍ／ｈx １００ｋｍ／ｈ

1は、１÷０の計算の結果としてみることもできる。
0？？？

は考えることができないことになる。細かい証明となると代数学の体の公理、等号の公理を用いることになるが、直感的に「0 で割ってはいけない（禁止）」ではなく「0 で割ることは定義できない」と理解できる。

はできないことから、この場合は無あるいは０に限りなく近づけた数で割ると考えて、どんな値に近づいていくかを予想してみる。

1C 0.1x 10
1C 0.01x 100
1C 0.001x 1000
割る数は負の値から０に近づけることもでき、その除算した値は、今度は負の無限大に近づいていく。このことか

1

ら、 0 の値は数直線上で０を起点として左右の方向に無⑶ 階数【地階と０（ゼロ）】

限に伸びた先にあると考えられる。結局、その値は確定で日本の建物には０階がない。どんな建物であっても１階きないので存在しないと約束した方がよいことが説明でにはじまり、上に２階、３階・・・と続いていく。下へは、きる。

地下１階、地下２階・・・となっていて、つまりこれはマイナス１階、マイナス２階・・・ということを示している。

４ 日常生活の中の「０（ゼロ）」

このつくりは、アメリカでも同様だといわれる。しかし、⑴ 数え年【年齢と０（ゼロ）】

イギリスやフランスには０階があり、日本やアメリカの１昔、日本では人間の歳つまり年齢を「数え年」でいって階は、イギリス、フランスでは０階（“Ground Floor”といた。これによると人は生まれた瞬間、既に１歳だったと呼ぶ）となる。つまり、地面から上のほうへ１階、２階・・・いうことである。生まれて１歳、翌年の正月になると２歳となる。したがって、１２月末に生まれた子どもは正月にとなっている。
⑷ 標高【ゼロメートルと０（ゼロ）】なるとすぐに２歳になるということになっていた。これは、山の高さや海の深さは、海面をゼロメートルとして上下昔からの習慣であり、徴兵制度も数え年２１歳で男子は徴に測った長さである。毎日の海面の上昇下降は、月の引力兵検査を受けてきたという経緯もある。しかし現在では、も手伝って、潮の流れ（干満）によるものであるが、平均諸外国同様、満年齢で数えるようになっていて、生まれれ的海面の高さをゼロメートルとしている。しかし、オラン

ば０歳、第１回目の誕生日を迎えてはじめて１歳（満１歳）

ダのネーデルラント地方のように、海面より低いところにとなる。ここでは、ゼロの活躍が見られるように変わった住んでいる人もいる。これらの地は「ゼロメートル地帯」のである。と呼ばれているが、本当は「マイナス地帯」というのが正⑵ 降水確率【０（零：れい）と０（ゼロ）】しいのだろうか。

「明日の中予地方の降水確率は０（零：れい）％です」というように天気予報での降水確率０％は必ず「零：れい」と読まれる。
「ゼロ％」と読むことはない。これには、２

４ おわりに数学は、長い年月を経て、歴史を築づきあげてきた人々の通りの考え方がある。

知恵であり、活用され、学問として今に至っている。このよ

ア 零とゼロの意味の違い

うな調べ学習や追究するといった活動を通して、「実はこうし「零」と「ゼロ」の違いは語源の違いというわけではた歴史がある、こんな見方や考え方もできる」ということをなく、意味そのものに違いがある。つまり、「ゼロ」は実感させることができた。また、学び方や物の見方・考え方、全くなし、無の意味であるが、「零」はその他にも「き問題解決能力を養う時間、及び言語活動が重要視されてきてわめて小さい」という意味があり、意味そのものが違ういる。こうした中で、積極的に課題を持ち、さまざまな手段という見方である。
「零」には零細企業などの言葉にあを使って調べ、まとめる、自分の主張を表現するといったこるように「わずか」や「規模が小さい」などの意味もあとは今後ますます求められていくと考える。ドリルで知識やり、こうしたことから天気予報の降水確率を「零パーセ技能の定着を図る方法も有効であるが、生徒のつまずきを分ント」と言うのは雨が降る確率が「わずかでもある」と析し、理解を深めることで知識の定着を助けることができる。

いうことを示していて、決して０（ゼロ）＝ 無ではな

日頃の授業の中で、引き続き研鑽を続けていきたい。

い（雨が降ることもわずかにある）ということを意味していると考える見方である。
イ 外来語と漢語の違い「零」という漢字には「わずか」という意味はあるが、数詞の「れい」にはそのような意味はない。降水確率の０％は当然のことながら、数詞の「れい」である。アナウンサーが「ゼロパーセント」と読まないのは単に「ゼロ」が漢語以外の外来語だからだとする考え方もある。
零とゼロの区別ははっきりしておらず、習慣や発音の聞き取りやすさなどが影響している。アナウンサーは大和言葉や漢語に統一しがちであるが、日常において０の読みはさまざまであることがいえる。例えば、電話番号の０はゼロ、０点は零点などそれぞれの場合で習慣付いているとされる。