2 定点を見込む角の最大値に関する指導法の研究
愛媛県立大洲高等学校
１

はじめに
現在、主に本校２年生の数学を担当している。２年生用に何かよい題材はないかと考えていた折、昨年度「第１回愛媛大学附属高等学校数学科教育研究会」に参加していたことを思い出した。その会で得たことをふまえて、今回の主題について考察したいと思い本主題を設定した。

井上証明
弦 AB 上に点 C をとり、QC と の交点を R とする。
△AQR において  ・・・①
△BQR において  ・・・②①＋②から



ここで、  であるから



よって
２

研究動機
「第１回晋二愛媛大学附属高等学校数学科教育研究会」で□

は、「２定点を見込む角の最大値に関する問題」を生徒が取り組みやすいように、サッカーのシュートに例えていた。



主に作図を通して活用力の育成を促していくという内容で河野(2000, p.25 改)あった。その中で、「方べきの定理」を用いて点を作図する

例１という内容があったが、時間の都合もあり詳しい説明はさ直線  と  上にない 2 定点 A、B があるとき、 上の点 Pれなかった。そこで、「方べきの定理」に関する資料を探すことにし、河野(2000)では、同じような内容で中学生に対で  が最大となる点が存在する。この点 P は、2 点
A、B を通り、直線  に接する円と直線  の接点である。

しての説明がされていた。そこで、高校生に対する内容を

ただし、直線  と点 P は 2 定点 A、B より上にあるとする。

作ってみようと考え、今回の研究に至った。
さて、高校では「図形と方程式」において、点の座標を解答
定理１により、求める問題があり、「三角関数」では角度を扱う。そこで、

点 の位置は、２年生には点の座標と角度に関連した問題が取り組みやす点 、 を通り直線 に接する円と、いと考え、「指数関数」で減少関数を履修した後 、２年生直線 との接点である。

定理２
研究目標

方べきの定理岩瀬(2011, p.170)

円外の点 N から引いた接線を NP、割線を NAB とするとNP2 = NA・NB・定理１と定理２を活用することができる。
・疑問点を自ら解消しようと行動できる。



用に作りかえた、問題１で考察することにした。
３



逆も成り立つ。

・論理的に考察することができる。
定義１
４

研究課題

問題１
 軸上の 2 点    ，   と直線 減少関数

岩瀬(2011, p.278)

関数    について、ある区間の任意の   に対して     のとき      ならば、   はこの区間で減少するという。

上の動点 P を考える。このとき、
 が最大となる点P の座標を求めよ。

（２）

問題１の解説（前半）例１により、 が最大となるときの点 P の位置は、点 A と点 B を通る円と直線 との接点となるとき
５

研究内容

（１）

導入定理１

柳川(2004, p.187)である。
 

円の周上に 3 点 A、B、P があり、点 Q が直線 AB に関して点 P と同じ側にあるとき、点 Q が円の外部にあるならば次が成り立つ。
＜ 


△MO1P1 と △MO2P2 において、

動点 P     とおく。

∠O1MP1 = ∠O2MP2

直線  と  軸との交点 N の座標は   である。

∠MP1O1 = ∠MP2O2

定理２により、より、対応する 2 組の角がそれぞれ等しいので、

      ①△  △  

以上より

 

次に距離の公式からが成り立つ。

              ②

次に、， とおく。
円周角の定理より、，

①、②よりとなる。

             ･    


これより、点 P の候補は２つでてくる。

          ，  








定理１の下線部に注意。点が直線 軸 より上の場合

余弦定理と    よりと下の場合において、定理１をそれぞれ使えば、の解が２  つでることがわかる．

（後半）次に、                  ，   

とおき、∠AP1B と∠AP2B の大小関係を調べる。
点 A、B、P1 を通る円の中心を O1、半径を  とする。点また、  において   は減少関数であるから、 つまりよって、次が成り立つ。



∠AP2B ＜ ∠AP1B

直線 O1O2 と直線  との交点を M とする。直線 O1O2 は        が成り立つ。

A、B、P2 を通る円の中心を O2、半径を とする。また、
直線   より、  である。

以上より、∠APB を最大にする点 P の座標は点 P1である。また、MP1 < MP2     □

６

考察
まず、定理１と例１については図を用いて説明した。そして、残りの導入を説明した後に問題１を解かせたところ、



数名の生徒は直線 と接する円ではなく直線 と２点で交わる円を描いていた。さらに、「円上の点より円内の点の方が最大となるのではないか。しかし、一つに定まらない。」な

ど、様々な疑問が沸き起こり悩んでいる様子であった。
しかし、生徒は間違えから考え、質疑応答を繰り返し、直線  と２点で交わる円ではいけないことがわかるようになっていった。

を正の実数とする．座標平面上の 点   ，   ，   をとこの場所に思いのほか時間がかかったので、例１についてもう少し説明の工夫が必要であった。また、この部分だり，△ を考える．の値が変化するとき，の最大値を求めよ．
京都大学 理前 

けでも十分な演習になると思えたので、前半だけに焦点を当てた授業でもよいと思えた。

解答

時間の関係などもあり、前半部分ができれば十分な状況であった。前半まで正答できたのは若干名であり、後半に点 ， を通り，直線   の正の部分に接するような円を考えると，
は点 が円と直線   の接点 にくるとき最大値  をとる．

ついては十分には取り組めていない様子であった。
方べきの定理より７   ･ まとめ
問題１の最大となる点は、定理１により例１が成り立つ

ことから、円と直線  の接点とわかる。さらに、このことから定理２を用いれば点の座標が求まる。

       より よって，  

当初は、後半始めの答えは１つなのに候補が２つ出ることに対して様々な解答方法を期待していたが、代わりに前

これより，半で生徒の考察が見られたのはよかった。また、問題１に△ は ， ，  「ただし、点 P の  座標は正の数とする。」などの条件をとなる の直角三角形であるから付け加えれば、生徒の負担も少なくてすむと思えた。後半

については、意欲的な生徒に課題とするのがよいと思う。
何故という気持ちを自ら解消しようとする行動が、意欲に繋がり向学心を高めると思うので、今後もこのような取

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参考文献

１．河野芳文(2000)『直線上の点から 2 定点を見込む角の最大値について』広島大学付属中高等学校研究紀要(第 47 号)

組を続けていきたいと思う。

最後に方べきの定理が用いられる入試問題をあげておく。 ２．柳川高明(2004)『新課程 チャート式 数学 A』数研出版
３．岩瀬重雄(2011)『高校数学公式活用辞典』旺文社
軸の正の部分を動く点      と 点   ，   がある．
 を最大にする点 の座標を求めよ．
愛媛大学 理前 解答 
点 ， を通り，軸の正の部分に接する右図のような円を考えると，は点 が円と 軸の接点にくるとき最大値  をとる．
方べきの定理より   ･    より  

軸上の 点   ，   と 軸上の正の部分を動く点   を考える．＝とおく．
 

が最大になる を求めよ．
北海道大学 理前 解答 
点 ， を通り，軸の正の部分に接する右図のような円を考えると，

は点 が円と 軸の接点 にくるとき最大値  をとる．
方べきの定理より   ･     より 

４．教学社編集部(2006)『愛媛大学 2007 年版』教学社
５．教学社編集部(2006)『北海道大学 2007 年版』教学社
６．教学社編集部(2013)『京都大学 2014 年版』教学社