新旧学習指導要領の研究－新旧教科書の比較（数学Ⅰ・Ａ）－
愛 媛 県 立 今 治 北 高 等 学 校 山瀬潤一郎

はじめに

(2)

学習指導要領研究委員会では昨年までの３年間、数学

愛媛県立松山中央高等学校

岩城俊哉

愛媛県立宇和島東高等学校

藤岡敦子

特徴・考察・留意点

ア式の計算

Ⅰ～Ⅲ及び数学Ａ・Ｂの新学習指導要領について研究を・３次の乗法公式及び因数分解の公式が数学Ⅱに移行った。新学習指導要領では以前、中学校から移行してされたが、発展として教科書に示されている。

きた内容の大半が再び中学校へ戻ることになったが、新・因数分解では、共通因数のくくり出しが以前よりしい内容も増え、各校とも指導には苦労されていること強調されている。と思われる。そこで、今年度から３年計画で新旧教科書・これまで発展として扱っていた４次以上の多項式の比較を行い、実際に授業を行う上でベースとなる教科の因数分解（置き換えて公式を使うもの）が削除さ書がどう変わったのか、変更点を明らかにし指導する際れているが、演習問題Ｂに複２次式の因数分解が入の助けとしたい。っており、問題が精選されている。

今年度は３年計画の初年度として数学Ⅰ・Ａの比較を行いたい。数学Ⅰ・Ａの大きな変更点は「データの分析」

イと「整数の性質」が追加されたことと数学Ａが選択履修・問題に出ていた「式の値」が応用例題として入っ実数となったことである。その他にも「条件付き確率」の追たが、３次の乗法公式及び因数分解の公式が発展の加や「期待値」数学Ｂへの移行など細かな変更点は思っ扱いとなったため、２次までの問題になっている。

た以上に多い。教科書を細かく見ていくことで、指導する上での注意点を研究していきたい。

ウ

集合と命題

・ここでは、旧課程数学Ａの集合とその要素の個数の一部が移ってきている。ただし、集合の要素の個１．数と式(1) 内容の対比

数に関する公式 n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)などは

新中学校

旧数学Ⅰ

数学Ⅰ・Ａ
（数学Ⅰ 第１章 方程式と不等式）

第１学年

第１節 式の計算・背理法を用いた証明の流れが示され、生徒の理解

１．整式

１．多項式を助けるのではないかと思う。

２．整式の加法と減法および乗法

２．多項式の加法・減法と乗法

３．因数分解３．因数分解第２節 実数

第３学年

４．実数

４．実数

「有理数と無理数」

５．根号を含む式の計算

５．根号を含む式の計算発展 やや複雑な因数分解

発展 ２重根号

発展 ２重根号

第３節 １次不等式

第３節 １次不等式と２次方程式

６．１次不等式

６．１次不等式

第１学年

７．１次不等式の利用「大小関係を不等式を用いて表すこと」

研究 絶対値と場合分け

研究 絶対値と場合分け
７．２次方程式（数学Ａ 第１章 場合の数と確率）

第４節 集合と命題「二次方程式の解の公式」

導したいところではある。

第１節 式の計算「数の集合と四則演算 発展 ３次式の展開と因数分解の可能性」
第２節 実数第３学年

数学Ａの場合の数に移行されているで、まとめて指８．集合

第１節 集合とその要素の個数
１．集合（数学Ａ 第２章 論理と集合）

９．命題と条件

１．命題と条件１０．命題と証明

２．逆・裏・対偶

２．２次関数(1) 内容の対比
新中学校

第３学年
「いろいろな事象と関数」

旧数学Ⅰ

数学Ⅰ

第１節 ２次関数とグラフ（第１章 方程式と不等式）

１．関数とグラフ

第３節 １次不等式と２次方程式

２．２次関数のグラフ

７．２次方程式

研究 グラフの移動（第２章 ２次関数）

３．２次関数の最大と最小

第１節 ２次関数とグラフ

４．２次関数の決定１．関数とグラフ

第２節 ２次方程式と２次不等式

２．２次関数のグラフ

５．２次方程式

研究 グラフの移動

６．グラフと２次方程式

３．２次関数の最大と最小

発展 放物線と直線の共有点

４．２次関数の決定

７．グラフと２次不等式

第２節 ２次不等式

研究 絶対値を含む関数のグラフ

５．２次関数のグラフとx軸の位置関係
発展 放物線と直線の共有点
６．２次不等式

(2)特徴・考察・留意点イア

２次関数とグラフ・「三角形の１辺の長さとその両端の角の大きさが与三角形への応用・「いろいろな事象を表す関数」が中学３年に移行さえられた場合は，正弦定理を…」という部分の「それたため、２次関数の具体例としての郵便料金が削の両端の角」が「２つの角」に、「２辺の長さとその除された。逆に y=|f(x)|のグラフは章末の「研究」

間の角の大きさが与えられた場合は，余弦定理を…」に回り、より深い内容となっている。という部分の「その間の角」が「１つの角」に変わ・平方完成の注釈に「x2-2x=x2-2･1･x+12-12=(x-1)2った。これによって、余弦定理で隣辺を求める問題-12」という２乗の因数分解公式を強調した記述があを例題で扱うなど、正弦定理・余弦定理の利用に柔222ったが、「x -kx=(x-k/2) -(k/2) 」という記述に変え、軟性を持たせている。

式変形の単純化を図っている。

・これまで３辺の長さと１つの角の大きさがわかっ

・演習問題Ｂにしか出ていなかった「軸と定義域のているときは正弦定理が利用されており、生徒は正位置関係で場合分け」を例題で登場させており、そ弦の値から得られる２通りの角の大きさの処理に戸の重要性が伺える。

惑うこともあったが、今回余弦定理に変わりその問題点は解消されたように思う。

イ

２次方程式と２次不等式

・例題の前に「鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角・第１章に切り離されていた２次方程式がこの章に入り、平方完成→解の公式、２次方程式→２次形のいずれかを調べるには，最大の角を調べればよ不等式という自然の流れができた。
・演習問題Ｂにしかなかった場合分け問題などの書きかえられる」「△ABC の面積を S，内接辺の半径応用問題が演習問題Ａに回るなど、難化が顕著である。

え方を明記することによって、解答を簡潔にしてい３．図形と計量(1) 内容の対比を r とすると，S=1/2r(a+b+c)」などの必要となる考る。
４．データの分析(1) 内容の対比

新中学校

い」「正弦定理の関係式は a:b:c=sinA:sinB:sinC と

旧
数学Ⅰ

数学Ⅰ

第１節 三角比第１節 三角比

１．三角比

１．正接・正弦・余弦

２．三角比の相互関係

２．三角比の相互関係

３．三角比の拡張

３．三角比の拡張

第２節 三角形への応用

第２節 正弦定理と余弦定理

４．正弦定理４．正弦定理５．余弦定理５．余弦定理６．正弦定理と余弦定理の応用

６．正弦定理と余弦定理の応用

７．三角形の面積

第３節 図形の計量

第１学年
発展 ヘロンの公式「球の表面積・体積」
第３学年「相似な図形の相似比と面積比及び体積比の関係」

新小・中学校
小学校第６学年「度数分布」
中学校第１学年「代表値」
中学校第３学年「標本分布」

旧
数学Ⅰ

数学Ｂ

１．データの代表値（第４章 統計とコンピュータ）

２．データの散らばりと四分位範囲

１．資料の整理

３．分散と標準偏差

２．資料の代表値

４．データの相関

３．資料の散らばり

５．表計算ソフトによるデータの分析

４．変量の変換
５．相関係数
６．コンピュータによる統計処理

７．三角形の面積
発展 ヘロンの公式
８．球の体積と表面積９．相似と計量(2)

特徴・考察・留意点

・「資料」は「データ」と、「相関図」は「散布図」と用語が改められた。
・中学校までに学習したヒストグラム、度数分布、(2)
ア

特徴・考察・留意点

階級、相対度数に関して、教科書は記載していない。

三角比

学習内容が絞られ理解しやすくなったが、度数分布

・これまで、まず正接を定義し練習問題、その後正表を利用するような発展問題への対応も不可欠であ

弦・余弦を定義し練習問題という流れであったものる。

が、正接・正弦・余弦がまとめて定義されコンパク

・「データの分布と，平均値と中央値の大小関係」にトになった。

ついて考えるページがあり、生徒が陥りやすい「平・sinθ=a/c，cosθ=b/c，tanθ=a/b と記述されて均値を代表値とすること」が必ずしも適切でないこ

いた鋭角の三角比の定義が、それぞれ y/r，x/r，y/xとが伝わりやすくなっている。となった。座標を用いた三角比の定義に合わせた形

・データの散らばりの度合いを表す「四分位範囲」

で統一感があるが、直角三角形の３辺の長さが x，y「箱ひげ図」等を扱うことは、大いに生徒の興味・となぜ r なのか、生徒にとっては疑問に感じるとこ関心をひくことにつながると思われる。

ろでもある。

・相関係数の求め方について、具体的に表を用いて値が求まるまでを例として示すなど、大変丁寧に解説している。Σを使わないことや相関表を紹介していることも、相関係数に対する苦手意識を持たせな

６．図形の性質(1) 内容の対比

いことや興味を持たせることを目的としているよう新小・中学校に感じる。
・表計算ソフトの利用については、入力・操作における実用性の高い技術や入力した計算式の意味等が、これまでよりも詳しく説明されている。

第３学年

新

第１節 三角形の性質

１．三角形の辺の比１．三角形の辺の比２．三角形の外心，内心，重心

２．三角形の外心，内心，重心

３．チェバの定理，メネラウスの定理

３．三角形の辺と角研究 三角形の辺と角

旧数学Ａ

第１節 場合の数

数学Ａ・Ｃ
第１節 集合とその要素の個数
１．集合

１．集合の要素の個数

数学Ａ

第１節 平面図形

研究 チェバの定理
第２節 円の性質「円周角と中心角の関係」

５．場合の数と確率(1) 内容の対比
中学校

旧数学Ａ

４．円周角４．円に内接する四角形

５．円に内接する四角形

５．円と直線

６．円と直線６．方べきの定理

７．方べきの定理

７．２つの円の位置関係

８．２つの円の位置関係

８．作図

→数学Ⅰへ

２．集合の要素の個数

第２節 空間図形

研究 ３つの集合の和集合の要素の個数

９．直線と平面
第２節場合の数研究 三垂線の定理

２．場合の数３．場合の数

１０．多面体

３．順列

４．順列

４．円順列・重複順列

５．円順列・重複順列

５．組合せ

６．組合せ

研究 重複を許して取る組合せ

研究 重複を許して取る組合せ
７．二項定理→数学Ⅱへ

研究 （a+b+c）^2 の展開式
第２節 確率第３節 確率

６．事象と確率８．事象と確率

７．確率の基本性質

９．確率の基本性質

８．独立な試行の確率

１０．独立な試行の確率

９．反復試行の確率

１１．反復試行の確率(2)ア

発展 積事象の確率
１２．期待値→数学Ｂへ（数学Ｃ 第３章 確率と確率分布）
１０．条件付き確率

１．条件付き確率研究 原因の確率

特徴・考察・留意点
平面図系

・これまでは研究であった「チェバの定理」と「メネラウスの定理」が追加された。「三角形の辺と角」については研究での扱いとなった。求値問題が多少増え、生徒にとって取り組みやすいよう配慮がなされている。

(2)

特徴・考察・留意点

・円周角と中心角の関係が中学校へ移行されたため、場合の数円の弧と弦、円の内部と外部が削除された。円周角

ア・集合は数学Ⅰへ移り、集合の要素の個数だけ残っの定理と円周角の定理の逆は復習として残っている。ているため、効率的に授業を行うには、数学Ⅰと数・「作図」の追加について、主な指導事項は平行な直学Ａの指導を計画的に行いたい。

線の作図と線分の内分点、外分点の作図、いろいろ・正の約数の個数だけでなく、その総和についてのな長さの線分の作図である。線分の二等分線、角の説明・問題が入り、少し難化したように思う。

二等分線、垂線の作図については中学１年で既習で・二項定理が数学Ⅱへ移ったことで、場合の数からある。基本的な図形の性質等を活用する態度を育て確率へと内容が自然な流れになったと思われる。

ることを目的としているように感じる。

イ

イ

確率

空間図形

・条件付き確率が数学Ｃから移行された。条件付き・内容は、空間における直線や平面の位置関係やな確率は生徒にとって理解しがたい内容であるため、す角、多面体の基本的な性質といった易しいもので数学Ｃの教科書に比べ、例題・練習ともに増えていあるが、生徒の空間認識力を高めることにつながるる。のではないかと思われる。数学Ｂの「ベクトル」と・期待値は数学Ｂへ移行した。数学Ｂを学習する際、も関連が深い。

ほとんどの生徒が「ベクトル」,「数列」を選択すると思われるので、発展等で紹介だけでもしておきた
い。

まとめ

７．整数の性質(1) 内容の対比

今回、新旧の教科書を比較して一番最初に感じたのは

新小・中学校
小学校第３学年「正の整数の割り算」
小学校第５学年「約数，倍数，最大公約数，最小公倍数」
中学校第１学年「負の整数」
中学校第３学年「素因数分解」

旧
数学Ａ

数学Ｂ

教科書の厚さの違いである。数学Ⅰは 168 ページから 208ページ、数学Ａは 128 ページから 176 ページにそれぞれ

第１節 約数と倍数（第５章 数値計算とコンピュータ）

１．約数と倍数

第２節 いろいろなアルゴリズム増えている。数学Ａは選択履修になったので、ページ数２．最大公約数と最小公倍数６．整数が増えることは当然と言えるが、実際には「場合の数と研究 最大公約数，最小公倍数の性質７．記数法の変換確率」「図形の性質」「整数の性質」の３章とも行う高校

３．整数の割り算と商および余り
研究 自然数の積と素因数の個数も少なくない。数学Ⅰは単位数に変更がないにもかかわ研究 割り算の余りの性質らず、40 ページ増となっている。また、ページ数だけで発展 合同式第２節 ユークリッドの互除法

はなく条件付き確率や整数問題など難易度の高い内容も４．ユークリッドの互除法増えている。その内容を分かりやくす説明しようと丁寧

５．１次不定方程式な記述が増えていることも今回の研究で感じられた。他

第３節 整数の性質の活用
６．ｎ進数にも課題学習が取り入れられたこともページ数増の原因

７．分数と小数の一つであろう。課題学習は知識・技能を活用する力を育成し，数学のよさを認識させるために導入されたが、この盛り沢山の内容を指導していく中で生徒が消化不良(2)

特徴・考察・留意点

ア

約数と倍数を起こさないように取り組まねばならない。
新学習指導要領の数学科の目標では「数学的な見方や・約数や素因数分解については旧数学Ｂの数値計算考え方のよさ」から「数学のよさ」に変更されている。とコンピュータで簡単に取り上げられてはいたが、教科書でも数学の実用性や汎用性などの数学の特長や，今回しっかりと定義され、丁寧に説明されている。

数学的活動や思索することの楽しさなどを表そうとして・約数や倍数は小学校で学んでいるが、０や負の数いるのを感じた。数学をただ理解させるのではなく、数の範囲まで含めて扱うのは今回が初めてである。教学の素晴らしさを知ってもらうためにはどうすれば良い

科書では０や負の数の約数、倍数のことにはあまりのか。数学を学ぶ理由が、「受験に必要だから」では少し触れていないため、注意が必要であろう。

寂しい。学ぶことの意義を自ら考えられるよう、数学的・約数の個数はこれまで場合の数の応用例題の中で活動を生かした指導を一層充実する必要があるであろう。

触れられているだけであった。約数と素因数の例を示し、実感しやすい内容になっている。

《参考文献》

・「約数と倍数」の一節に研究と発展を合わせて 4・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 21 年 7 月）』

項目とかなり多い。生徒の実情に合わせて取捨選択・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 11 年度）』が必要であろう。

文部科学省(平成 17 年一部補訂)・大島利雄ほか 13 名『数学Ⅰ』イ

ユークリッドの互除法

・数値計算とコンピュータでは最大公約数を計算する場合の例として 91 と 77 を使っている。今回は 247と 91 を例としており、計算経過を増やすことで、どのような操作を行っているかを具体的に示そうとし

数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・坪井俊ほか 13 名『数学Ａ』
数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅰ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）ている。

・坪井俊ほか 16 名『改訂版ウ・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ａ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）
整数の性質の活用

・循環小数の説明は数学Ⅰでの説明と比べると筆算の例も提示し、実際にどう計算するのかが分かりやすい。また、分数 m/n が循環小数の場合、循環節の長さが n-1 以下であることが理解しやすくなっている。
・循環小数と有限小数の違いが単なる見かけに過ぎないということが n 進数と循環小数を同じ節で扱うことで、より理解しやすく、興味を引く内容になっている。

数学Ⅱ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）・大島利雄ほか 16 名『改訂版

数学Ｂ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）