学習指導要領の発展的学習の取り組みについて－課題学習を意識して－
愛媛県立今治東中等教育学校 清川 正義
愛媛県立宇和島東高等学校 宮田誠
はじめに①

平成２４年度入学生より、高等学校では数学の新学習指導要領が年次進行で実施される。各学校及び先生方におかやや複雑な因数分解（４次以上の多項式の因数分解）【内容】次の式を因数分解せよ。 x 4 − 10x 2 + 9

れては、新教育課程の研究及び指導内容の研究、準備に取●授業にてり組まれていると思う。中でも、数学Ⅰ・A の内容に新し●理由

扱う 68.6%

扱わない 31.4%

く導入される「課題学習」については、その内容や実施方

項目

アイウエオ

カキクケ

法など、まだまだ不透明な部分が多い。そこで、新学習指割合(%)

9.3

75.0

6.3

003.1

006.3

導要領の実施に先がけて、各学校からの幅広いご意見を頂き、今後の指導の参考にしていただければと考えた。
１

調査対象

②

県下の県立高等学校及び中等教育学校で特別支援教育【内容】式にある２つの文字を入れかえても、式の対称式と交代式形が変わらない整式を「対称式 」、式にある２つの学校を除く５３校で実施。の文字を入れかえると、もとの式に－１を掛けた形になる整式を「交代式」という。
２

扱う 56.9%

扱わない 43.1%

イウエオ

カキク

ケ

割合(%) 28.0 56.0

000

4.0

00

12.0

7 + 210

実施状況など●授業にて教科書の中にある「研究」や「発展」「（ 参考」と表記●理由されている場合もある）の内容を授業で取り扱っているかを調査した。

項目ア※「研究」は『本文の内容に関連したやや程度の高い内容を取り上げた。場合によっては省略してもよい』、「発展」は『高等学校学習指導要領の範囲を越えた内容を扱った。すべての学習者が一律に学ぶことはない』と③

２重根号記されている。また、教科書により表記方法が違う場【内容】次の式を簡単にせよ。

合もある。

●授業にて扱う 52.9%

扱わない 47.1%

イウエオ

カキク

ケ

割合(%) 24.0 60.0

8.0004.0004.0

●理由
項目

(1)

数学Ⅰにおける取り組みについて

ア『扱う・扱わない』の割合と、扱う学校に関してその理由を次の項目に分けて割合を示す。類似した回答は一番近い項目に取りまとめてある。
④

ア…通常の内容

絶対値を含む方程式や不等式の場合分けによる

イ…既習事項を発展させ応用力をつけるため

解法

ウ…副教材で取り扱うため【内容】次の方程式を解け。 x − 4 = 3 x

エ…検算のみ●授業にてオ…数学Ⅱに関連付けるため●理由

カ…一貫性を持たせた系統的指導を行うため
キ…教科書レベルのみ
ク…興味・関心を持たせるため
ケ…その他（簡単な問題のみ・紹介程度・他の教科との兼ね合いで・参考程度など）

項目ア扱う 62.7%

扱わない 37.3%

イウエオ

カキク

ケ

割合(%) 25.0 53.6

7.1003.60010.7⑤２次方程式の解と複素数（虚数単位や複素数の− 1 として、新たな数を定義する。

内接円の半径を求めよ。

こ の i を虚数単位という。また 1 + 2 i の よ う にi を用いて表された数を虚数といい、虚数の解を虚数解という。
扱わない 86.3%

イウエオ

カキクケ

割合(%) 50.0 33.300000016.7●理由ア

扱う 76.5%●授業にて扱わない 23.5%●理由項目

扱う 13.7%

●授業にて

項目

内接円の半径【内容】△ ABC において、a=4、b=5、c=6 のとき、紹介のみ）【内容】 i =⑩イウエオ

カキクケ

割合(%) 38.3 50.0

5.902.92.9000⑪ア

ヘロンの公式【内容】a=5、b=8、c=11 である△ ABC の面積 S を求めよ。
⑥解と係数の関係●授業にて【内容】次の２次方程式の２つの解の和と積を求めよ。 x 2 + 3 x − 1 = 0

項目

扱う 13.7%

扱わない 86.3%

イウエオ

カキクケ

割合(%) 42.8 28.6

0014.300014.3●授業にて扱う 58.8%

扱わない 41.2%

●理由
イウエオ

カキ

クケ

割合(%) 15.4 50.0

ア07.703.80023.1

●理由
項目

ア⑫

球の体積（カヴァリエリの原理を用いた求め方）【内容】２つの立体図形を、一定な平面に平行な平面で切ったとき、切り口の図形の面積がつねに等し⑦グラフの移動いならば、２つの立体の体積は等しい。

【内容】関数 y = f ( x )向に pのグラフ F を x 軸方

y 軸方向に q だけ平行移動して得られる曲線を G とするとき、G の方程式は y − q = f (x − p)から求めることができる。
扱う 66.7%

扱わない 33.3%

イウエオ

カキクケ

割合(%) 30.0 56.7

3.300

3.3006.7●授業にて●授業にて扱う 11.8%

扱わない 88.2%

●理由
イウエオ

カキ

クケ

割合(%) 40.0 60.0

項目

ア0000000●理由項目ア

各学校で使用している教科書により 、「通常の内容」として扱っている内容も多く見られたが、割合として高かったのは「既習事項を発展させ応用力を身に付けるため」で⑧あった。また、「数学Ⅱに関連付けるため」「一貫性を持た放物線と直線の共有点【内容】放物線

y = x − 4x + 5 と直線 y = x +12の共有点の座標を求めよ。
●授業にてように、次の課程において学習する内容を取り入れ、より扱う 54.9%

扱わない 45.1%

生徒の理解を深める指導を行う学校も見られた。逆に、
「興●理由
項目

アせた系統的指導を行うため」の回答もあり、⑤や⑥、⑦の味・関心を持たせるため」の回答はなく、問題を解く力を
イウエオ

カキクケ

割合(%) 37.0 48.2

3.703.7

3.7

003.7

身に付けさせ、同時に応用力を養うことを目標において授業で扱う内容が多いようである 。「⑪ヘロンの公式」は検算に便利であり、問題に応じて活用している学校もあるようだ。関数や２次方程式・不等式、三角比においては、解⑨三角形の辺と角の大小関係の証明

答の流れを考えるよりも、定理や公式を理解し、利用する【内容】正弦定理を用いて、「△ ABC において、力が必要とされるようである。その力を付けることを重点b＜c

B ＜ C」を証明する。

において指導されている学校が多いように思われるが、結扱う 19.6%

果として興味・関心を持たせる指導につながっているはず⇔●授業にて扱わない 80.4%●理由項目アである。
イウエオ

カキクケ

割合(%) 45.5 45.5

000

9.0

000

(2)

数学 A における取り組みについて⑰

チェバの定理・メネラウスの定理【内容】△ ABC の頂点 A、B、C と、三角形の内項目については数学Ⅰと同様に記する。

部の点 O を結ぶ直線 AO、BO、CO が、辺 BC、CA、AB⑬と交わる点を、それぞれ P、Q、R とするとき、次３つの集合体とその要素の個数【内容】 A={ 2、 4、 6、 8、 10}、 B={ 3、 4、 6、 9}、C={5、6、9、10}のとき、A ∩ B ∩ C およびの等式が成り立つ。

BP CQ AR⋅⋅=1※ここではチェバの PC QA RB

A ∪ B ∪ C を、要素を書き並べて表せ。
扱う 51.0%●授業にて定理のみ載せる。

扱わない 49.0%

●授業にて

●理由
項目

扱わない 49.0%

●理由
イウエオ

カキ

クケ

割合(%) 30.5 60.9

4.3004.3000⑭ア

扱う 51.0%

重複を許して取る組合せ

項目

アイウエオ

カキ

クケ

割合(%) 30.5 60.9

0004.3004.3

数学Ⅰと同様な結果になったが 、「興味・関心を持たせ【内容】りんご、みかん、バナナの３種類の果物が、るため」という回答があった。くじ引きの確率についてはそれぞれたくさんある。この中から、６個を選ぶ方生徒たちも、より身近なものとしてとらえることができる法は何通りあるか。ただし、選ばない果物があってため、取り組みやすいのではないかと思う。また、数学Ⅰもよいとする。の内容と比べ 、「別解」として扱うことができる内容が多扱う 44.9%●授業にて扱わない 55.1%

いと思われる 。「⑭重複を許して取る組合せ」は表を利用すれば解くことも可能であり、「⑮ (a +b + c)n の展開式」は●理由
項目

アイウエオカキクケ

割合(%) 15.7 73.7

000

5.3

005.3

階乗（！）を利用する方法と combination（ n C r ）を利用する方法などがある。これらは「知らないとできない」ではなくて「知っておくと便利」という内容なので、生徒一人ひとりがどの解法が一番解きやすいか考える力を養うことができる 。「チェバの定理・メネラウスの定理」は平面n( a + b + c ) の展開式
【内容】 ( a + b + c )8 の展開式における⑮ベクトルの検算などで活用できる。数学Ａの内容も他分野

a 3b 2 c 3に応用できる内容も少なくないのである。の項の係数を求めよ。
●授業にて扱う 55.1%

扱わない 44.9%

最初に記したとおり、教科書の「研究 」「発展」などは

●理由
項目

ア

省略してもよい内容であるため、各学校の現状を考えた上
イウエオ

カキクケ

割合(%) 16.6 75.0

4.200

4.2000で取り扱われている。そのため、各内容によって数学Ⅰ、Ａともに「扱う・扱わない」に関してはばらつきが見られた。また、扱う理由に関しては、ほとんどの学校でア、イを合わせると７割を越えていた。さまざまな問題を解くためにはさまざまな解法や応用力が必要となる。そのために、⑯

積事象の確率（くじ引きの確率など）

新たに問題を作成するよりも、教科書を有効的に活用する【内容】当たりくじ３本を含む 10 本のくじがある。

ことにより、生徒も復習などを行いやすいはずである。さ引いたくじはもとに戻さないものとして、A、B ２らに副教材などで類題を扱えば、解法の定着や、応用力も人がこの順に１本ずつくじを引く。このとき、２人身に付きやすいであろう。授業時数や生徒の実態を踏まえ、とも当たる確率を求めよ。

計画を立て、活用していただきたい。

扱う 75.5%

扱わない 24.5%

イウエオカキクケ

割合(%) 21.2 51.6

3.0

00

3.0

3.0

9.1

9.1

●授業にて
●理由項目ア３

アンケート結果の分析を踏まえて４まとめ今回行ったアンケートの結果から、新教育課程の数学Ⅰ

教科書の種類によっては、「研究」「発展」が扱いにくい・Ａに導入される「課題学習」について考えてみた。課題内容もあるかもしれない。しかし、今回アンケートを行い、学習は「学習内容又はそれらを相互に関連付けた内容を生

結果をまとめていく中で、どの学校も、生徒の意欲や数学活と関連付けたり発展させたりするなどして、生徒の関心に対する関心を高めるための指導法を工夫されていると感や意欲を高める課題を設け、生徒の主体的な学習を促し、じた。応用力を養うことは大切である。しかし、その力は数学のよさを認識できるようにする」と位置付けられてい問題を解くためだけのものだけではない。さまざまな問題る。今回行ったアンケートで取り上げた、教科書の「研究」に直面したとき、その問題を解決するためにどうすればよ「発展」の中で、課題学習を意識した取組ができないだろいかを考える力につながっていくはずである。そのためにうか。生徒の意欲や関心を高め、主体的に学習に取り組むも数学におけるさまざまな問題を取り扱い、解法を理解し、ために有効な指導方法はないかを考えてみた。

さらに別解を考えるなどして、主体的に取り組む姿勢を身例えば 、「⑫球の体積（カヴァリエリの原理を用いた求に付ける必要がある。その方法として取り上げた「課題学め方 ）」において、カヴァリエリの原理を導入する方法と習」は、今まで以上に生徒たちに意欲や関心を高め、主体して、次を挙げておく。

性をもたせ、課題を見出し、問題解決能力を養ううえで、『10 円玉を 10 枚ほど同じ枚数だけ積み上げた円柱を２つ有効に扱えるのではないかと思う。しかし、課題学習に関準備する。そして一方の円柱に対して、積み上げた 10 円しては、まだ不透明な部分も多い。学習内容の細かい部分

玉を少しずつずらしていけば新たな立体ができあがる。こがもっとはっきりしてくれば、どういった内容の課題学習の２つの立体を 10 円玉の面に沿って切ったとき、どこををさせていくか計画も立てやすくなるはずである。「３切ってもその切り口はすべて 10 円玉となり、断面積が同アンケート結果の分析を踏まえて」で述べた導入の方法やじである。このとき、もとの２つの立体は 10 円玉を同じ問題を解かせる指導法は、数学に対して興味を持ち、主体枚数だけ積み上げているので体積は同じである。』

的に取り組むための環境を作る一つの方法として挙げていこの導入においては、側面は球面にはならないが、生徒もる。課題学習の指導方法に直結はしないかもしれない。しイメージをつかみやすいのではないだろうか。身の回りにかし、生徒たちが多様化する中で、私たちの日々の努力やあり、自分たちの手で実際に触れることができるものを導研究は、きっと生徒たちの力に変わるはずであると信じて入として扱えば、記憶に残りやすいと思う。導入で立体にいる。

対するイメージをつかみ、計算練習として球の体積を求め最後になりましたが、今回のアンケート調査に対し、おさせることも、生徒が応用力を身に付ける一つの手段では忙しい中ご回答、ご意見をいただきありがとうございましないだろうか。

た。本研究委員会は今後も研究を重ねていく所存ですので、次に「⑯積事象の確率（くじ引きの確率）」について、実際に問題を提示し、考えさせ、解かせる指導について挙げておく。
『問題：当たりくじ３本を含む 10 本の宝くじがある。次の①、②の各場合においてＡ、Ｂ、Ｃがこの順にくじを引くとき、誰が一番当たりを引きやすいか。
①引いたくじは毎回元に戻す。②引いたくじを元に戻さず次の人が引く。』
まずこの問題を解いていく上で大切なのは、計算を行う前にまず予想をさせることである。状況を考え、生徒それぞれが考えた予想が当たっているかどうかを調べていくことも、興味・関心を持たせる一つの手段ではないだろうか。
①は容易に予想もでき、計算も簡単である。②はくじを引く順番によって有利・不利があるかどうかを予想するのは少しイメージがつかみにくいかもしれない。問題文としても「誰が」と書かれてある分、答えが必ず誰か一人になると勘違いする生徒もいるかもしれない。その場合は先に①だけを予想、計算をさせれば、②も考えやすいであろう。
計算は、それぞれが当たる確率を求めるために、場合分けを何通りか行えばいい。ここで、①も②も全員の当たる確率は同じであるという結果を生徒自らが導き出したとき、数学に対する意欲や理解も深まるのではないだろうか。

各先生方の幅広いご意見をお寄せいただけたら幸いです。