中四国の国立大学の入試問題について―数学Ⅰにおける確率から―
浦田 雄一
愛媛県立松山東高等学校
平成年月日

はじめに
平成

年度から新教育課程となっている。それにともなって、以前の数学Ⅰにおける確率は数学Ａへと移行している。しかし、大学入試センター試験や二次試験について考えてみると、従来の数学Ⅰの確率に関して大きな変化はないと見てよい。
本校生徒はほとんどが大学進学を希望している。今回は「平成年度入試の中四国の国立大学の二次試験」から確率の問題を解かせ、それについて調べてみることにした。

確率に関する問題の出題状況
過去３年間に出題された平成年度の出題状況を表にまとめてみた。中四国のすべての国立大学が確率の問題を出題しているわけではない。過去３年間を調べてみると、場合の数や期待値の問題も含めて大学中８大学が出題をしている（ここでいう大学とは統合により以前の医科大学を医学部の欄に記載している）。ただ、文系あるいは理系のみの学部（学科）だったり、数学Ⅱ、数学Ｂや数学Ⅲとの融合問題がある。また、選択問題として出題しているところもある。
難易度としては、全体的に見て高くはないと思われるが、場合分けが複雑であったり、工夫した計算など計算力を必要とする問題がある。問題文の意味をしっかりと理解しなければならない問題もある。
出題傾向を見てみると、大学によって大きな隔たりがある。毎年必ず出題するところもあれば隔年であったり、中には過去３年間出題していないところもある。（参考文献：聖文社 数学入試問
題詳解 Ⅰ Ⅱ Ⅲ）
平成年度入試問題の中から３題を紹介し、その中の２題について分析を行った。

入試問題例
鳥取大学 前期（工・農・医）問題
くじ引きに関する次の問に答えよ．

表大学

平成年度

年度の中四国の国立大学入試状況（数学Ⅰ・確率関係から）

文系
前期

鳥取

理系
後期

前期

数学科
後期

前期

医 歯 薬
後期

○
○

島根

後期

○

○：期

○

□は数Ｂとの融合

○

○

△

△：場○

○

△△：場○

□

前期

備考

△

△

○：期、△は数Ｂとの融合

岡山○○：場、数Ｂとの融合

○
広島

○：場

△○

□

△○

△

○

山口徳島

◎

☆

○

○は数Ⅱとの融合、すべて：期

□

☆

○

○は数Ｂとの融合、△：場、期、

□

☆

○

□、☆：期、数Ⅲとの融合、○は○
○

○

○

○

○
△

○、△とも場合の数との融合

○
○

鳴門教育

場合の数
○

中学校教育専修○

中学校教育専修

香川

愛媛

○

○

○

○
高知

○：場・・・○が場合の数の内容を含むことを表す。
△：期・・・△が期待値の内容を含むことを表す。

集合の内容を含む

（ ）「当たり」くじが枚，「はずれ」くじがくとき， 回は「当たり」で枚入った箱がある．この箱から回くじを引回は「はずれ」となる確率を求めよ．ただし，引いたくじは毎回もとに戻すことにする．
（ ）（ ）と同じ箱から回くじを引くとき， 回以上「当たり」くじを引く確率を求めよ．ただし，引いたくじは毎回もとに戻すことにする．
（ ）「当たり」くじと「はずれ」くじが枚ずつ入った箱がある．その箱から「はずれ」くじの場合にはそれを箱に戻し，さらに箱の中に「はずれ」くじを操作を，「当たり」くじを引くまで続ける．このとき枚くじを引き，枚追加する．この回目に初めて「当たり」くじを引く確率をを用いて求めよ．
解答（ ） 回中「当たり」が（ ）回，「はずれ」が回より回中， 回「当たり」となる確率は回中，すべて「当たりとなる確率はよって，の結果とあわせると， 回以上「当たりを引く確率は（ ）回まで「はずれ」で， 回目に「当たり」を引く確率を求めればよい．
「はずれ」を引くごとに，くじに含まれる「はずれの数がだけ増えることに注意して，岡山大学 前期（経済、教育）問題
次の問いに答えよ。
（ ）英語の本と日本語の本が全部で冊と日本語の本が（ ）各組が冊である確率冊ある。その中から 冊を取り出すとき、英語の本がとなる。日本語の本は何冊あるか答えよ。

枚ずつからなる赤、青、黄色の組のカードがあり、各組ごとにからまで異なる数がひとつずつカードに書かれている。それぞれの色のカードの組から 枚ずつ取り出すとき、数の合計がとなる取り出し方は何通りあるか答えよ。

解答（ ）英語の本を冊とすると、日本語の本は−冊であるから、条件よりであるからしたがって、日本語の本は冊である。

（ ）赤、青、黄色のカードの数をそれぞれを満たす自然数

は、 を、真ん中が 、右側がに対とする。

個並べて、 と の間のヵ所から ヵ所を選べば、左側がに対応するので、求める場合の数はであるから、このうちの通りが条件を満たさない。

よって、求める場合の数は（通り）

広島大学 前期（経済、教育）問題
枚のコインを回投げて、三角形のつの頂点にある駒を、表が出たとき、左回りで隣の頂点に移し、裏が出たとき、右回りで隣の頂点に移す。という試行を考える。始めに駒を頂点に置く。

次の問いに答えよ。
（ ）この試行を回繰り返したとき、駒が頂点にある確率を求めよ。

（ ）この試行を回繰り返したとき、駒が頂点にある確率を求めよ。

（ ）この試行を回繰り返したときに、駒が頂点（ ）この試行を回に初めて戻ってくる確率繰り返したときに、駒が頂点を求めよ。に初めて戻ってくる確率を求めよ。
解答枚のコインを 回投げるという試行を行ったとき、表の出る確率、裏の出る確率はともにである。
（ ）試行を回繰り返したとき、例えば、 回目に表、 回目に裏が出ることを ○ ×）と表すこととすると、駒が頂点にあるのは（○ ×）または（× ○）の場合であるから（ ）試行を回繰り返したとき、駒が頂点にあるのは、 回とも表または回繰り返したとき、駒が頂点に初めて戻ってくるのは、回とも裏となる場合であるから（ ）試行をと同様の表し方をすると、（○ ○ × ×）または（× × ○ ○）の場合であるから、のときのとき、試行をたは回繰り返して、駒が頂点に行き、 回目から回目まではに初めて戻ってくるのは、 回目に駒が上を行き来し、最後のであるからこれは２ のときも成り立つ。よって

入試問題の分析および考察
問題Ⅰ
対象生徒： 年生

名、設定時間分

主な誤答例

として通りのみの確率を求めた。

立式は合っているが、計算ミスをしている。
分母をとしている。

名）

名

名

回目にまに戻る場合

表

正誤人数

正答
誤答
無答

当たる確率を、はずれる確率をとしている。としている。
名としている。

で名）

名をかけるなどの考え方を考え方を間違えたため。

名

場合分けや立式は正しくできているが、計算ミスをしている。
余事象の確率を求めようとしたが、当たりが回目に当たる確率回目、 回目、本も出ない確率を求めていない。

を答としている。となっている。となっている。

立式が

名

名

名となっている。と答えている。

名名と具体的に求めているが、途中で終わっている。

立式が立式が名

名

名

考察は反復試行の基本的な問題である。しかし、入試問題を意識したか予想以上に誤答が多かった。また、の計算ミスも多かった。の掛け忘れのミスが誤答の全体のの正答者の内訳を見ると、余事象の確率求めてであった。

から引いた生徒はたった名しかいなかっから引いた生徒はもいた。

た。また、誤答となった生徒の中で余事象の確率を求めてを利用するという、入試問題の特徴を指導しなければならない。の正答者の内訳を見ると、解答例のように解けていた者が導いたものが名、規則性を読みとって答を名であった。本来なら推測であれば、数学的帰納法で証明しなければならないが、今回は未習ということもあり正答とした。

問題Ⅱ
対象生徒： 年生

名、設定時間分
表

正誤人数

正答
誤答
無答

主な誤答例

方程式を立てるまでは合っているが、 のしまった。

次式を展開して名で止まってしまった。

方程式を方程式を次方程式となり行き詰まって名としている。
（と方程式をの間違い としている。としている。

方程式をとしている。

名も同じ数字を使う場合分けも入れて名通りあると考えた。

名

名

場合分けで解こうとしたが、途中で終わっている。
同じ数字を使わない場合分けが

名

名

場合分けで解いたが、見落とし（不足）があった。の場合も含んでいる。

名名通りあり、それを答えとしている。
通りあり、それを答えとしている。

名
名

考察の正答者の中には日本語の本の数が、 冊、 冊、適するものを見つけて答えていた者がとして計算できるが、る。

名いた。と具体的に代入していって題意にで止まっている状況からとしての計算が身に付いていないと予想されは重要な公式である。特に、確率や期待値の最大値問題によく利用される。の正答者の中で、場合分けにより求めたものが名）であった。理想ではあるが工夫して式を立てることが望ましい。計算も楽になりスピードも速い式を習得したいものである。

おわりに「確率」という分野は代数、幾何、代数幾何、解析と比べると異質なところが多い。言い換えればそれだけ 考え方 が重要視されるともいえる。４つのポイント
問題文章の読解力
計算力および基本的な考え方の習得順列と組合せの使い分け工夫して考え、過不足なく場合分けをする能力
を基本的な問題から演習を重ねて力をつけなければならない。
新教育課程になり「条件付き確率」が数学Ｂから数学Ｃへと移行した。京都大学の文系学科の入試出題範囲に数学Ｃが含まれているのに興味がある。「条件付き確率」の出題のためではないだろうか。
今回の研究を生かし、今後の指導に役立てていきたいと思う。
＊参考文献：

年度全国大学入試問題詳解Ⅰ Ⅱ Ⅲ（聖文社）