国公立大学入試問題の研究－岡山大学・広島大学の入試問題の研究－
愛媛県立西条高等学校 三浦 怜也
2015 年度

１ はじめに
私は今回の研究テーマを岡山大学と広島大学の入試問題の研究とした。岡山大学と広島大学は愛媛県からも多くの生徒が受験している。平成 29 年度入試において、岡山大学は合格者が 168 名、広島大学は合格者が 115 名であった。平成 28年度入試、平成 27 年度入試も同程度の合格者になっており、

番号１２

今後も愛媛県からこの２つの大学を受験する生徒は多いと考３えられる。
私は今年度から西条高校に勤務させていただいている。国公立大学を目指す生徒も多い中、私自身は昨年までも工業高

４科目

内容

Ａ・Ｂ（確率、２枚のカードを同時に引く確数列）

率

Ｂ（空間ベクト

球の中心と半径、球と直線のル）交点

Ⅲ（数列の極限、 (n+2)次の関数と数列の融合
面積）問題、接線、面積、極限

Ａ・Ⅱ（空間図

立方体を平面で切った切り口形、定積分）の面積、定積分校に勤務していたため大学進学の受験指導の知識もまだまだ乏しい。今回の研究を通して、国公立大学の入試問題を研究【経済・教育】（ⅠⅡＡＢ）

し、自身の受験指導のスキル向上を図りたいと思いこのテー2017 年度

マを設定した。

番号２ 試験内容一覧

１(1) 岡山大学 前期試験
【理・工・環境理工・農・医・歯・薬・教育】２（ⅠⅡⅢＡＢ）
３

2017 年度
番号
１２
３

科

目

Ａ（組合せ、確率）

内容
４

６～８人を複数の班に分ける

Ⅲ（接線、面積）
Ｂ・Ⅲ（空間ベ空間ベクトルの成分表示、回クトル、体積）

転体の体積

平面、漸化式、

１
２
３
４

容

３次関数の接線、接線が３本方程式）

存在する範囲Ａ（整数問題、自然数を７で割った余りの計不定方程式）

算、不定方程式Ⅰ（２次関数の定義域に文字を含む２次関数最大、最小）の最大値、最小値

Ｂ（平面ベクトベクトルの内積、ベクトルとル、内積）

図形の応用

番号
１
２

３目

Ａ（約数と倍数）科目

Ⅱ（複素数）

内４を考えるⅡ（加法定理、３次方程式の解の個数、３倍関数のグラフ）角の利用た部分の面積

Ｂ（空間ベクト球と直線の交点、空間ベクトルと図形）

ルと図形の利用

１の３乗根であるωの計算、二項定理の利用

図形）

ルと図形の利用

Ａ・Ⅱ（確率、三角関数）
Ⅱ（加法定理、関数のグラフ）

サイコロを３回投げた目によって定める三角形が特定の三角形になる確率
３次方程式の解の個数と、３倍角の利用（理系の問２と同じ）2015 年度
番号

Ⅲ（関数の凹凸、 変曲点の軌跡、曲線で囲まれ変曲点、面積）

容

球と直線の交点、空間ベクト

容

階乗に含まれる素因数の個数

内Ｂ（ベクトルと複素数と漸化式の融合問題

2016 年度
科

内

Ⅱ（接線、微分に囲まれる範囲の面積極限）
番号目

2016 年度
対数関数の共通接線とそれらＢ・Ⅲ（複素数４科１２

科目

内容

Ａ・Ｂ（確率、２枚のカードを同時に引く確数列）

率（理系の問１と同じ）

Ⅰ（図形の計量）

正弦定理・余弦定理、三角形の面積の最小３４Ｂ（数列・漸化漸化式と階差数列を利用して式）

一般項を求めるⅡ（微積分、接接線から２次関数の決定、曲線、法線）線で囲まれた面積４５Ⅲ（関数の極限、接線）
Ａ（重複順列）楕円と曲線の交点、極限
重複順列【経済・教育（一部）・歯（一部）】（ⅠⅡＡＢ）
2017 年度(2) 広島大学（前期）

番号【理・工・医・歯・薬・教育・総合学科・生物生産】（ⅠⅡⅢＡＢ）

１

2017 年度
番号
１２

３

４

５

科目

内容

３

図形、三角関数

２点間の距離とその最大値、の方程式）

最小値

Ⅱ・Ｂ（図形と直線の方程式と、その交点の方程式、平面ベ座標、ベクトルの内積の利用、クトル、漸化式） 漸化式

３次関数の最小値、４次関数

Ａ・Ⅱ（反復試

Ⅱ（円と曲線、微分法の応用）と円の共有点、動点との距離３の最小値

行、常用対数の利用）

Ａ・Ｂ（反復試

コインの表裏によって、三角行、漸化式と確形の頂点を移動する動点の確率）率

2016 年度

楕円の面積、楕円柱を斜めに番号

Ⅲ（面積、体積）

切った立体の体積

Ａ・Ｂ（不定方格子点と内積、四角形の内部程式、平面ベクおよび周にある格子点の個数トルの成分）と不定方程式

科目

内容

Ｂ（空間ベクト空間ベクトルの成分表示、内ルと図形）積の利用、四面体の体積

Ⅲ（逆関数、合４１２３４線、面積）で囲まれた面積科面積）Ⅰ（正弦定理、余弦定理）

Ａ（確率）Ⅰ（データの整番号３

2015 年度
科目

内容

円と曲線の面積、回転体の対１Ⅲ（体積、面積）２

Ⅲ（数列の極限） 数列の極限、漸化式

積Ｂ（空間ベクトル、ベクトル方程式）

直線の交点、空間ベクトル

４正弦定理、余弦定理の利用

積の利用、四面体の体積

限２

円と 2 次関数の接線、面積

ルと図形）と図形、漸化式)

５

容空間ベクトルの成分表示、内2015 年度

Ａ（除法の性質、 2 n の下２桁と下３桁の周期整数の分類）
性と除法の利用内

Ｂ（空間ベクト

複素数平面上の点、数列の極１目

Ⅱ（円と直線、Ⅲ・Ｂ（複素数てｘｙ平面上を動く点の確率の積の確率３次関数の接線、曲線と直線

５

コインを投げて、表裏によっサイコロをｎ個投げ、出た目

Ⅱ（微積分、接逆関数を求める問題、面積成関数、面積）

Ａ（確率）

３

三角関数で座標が与えられた納法、数列の極限

２

容Ⅱ（三角関数と極限、漸化式）

４

番号

内三角関数の漸化式、数学的帰番号２目

Ｂ・Ⅲ（数列の2016 年度

１科理）
科目

コインを投げて、表裏によってｘｙ平面上を動く点の確率
平均値、分散、中央値

内容Ⅱ（接線、直線2 次関数と 3 次関数の接線、3の方程式）

本の接線の条件

Ｂ（数列）

対数の数列、漸化式

Ｂ（平面ベクトル）

2 直線の交点、面積

Ⅱ（面積、最大3 つの放物線に囲まれた面積、値、最小値）

面積の最大値(3) 広島大学（後期）

５【理】（ⅠⅡⅢＡＢ）

Ａ（約数と倍数、素因数分解）

約数の個数と素因数分解

2017 年度
番号１

科目

Ⅲ（面積、体積）
Ⅲ・Ｂ（複素数２平面と図形、数列）

内

容

曲線の共有点、囲まれた面積、2017 年度

回転体の体積番号

３つの複素数を複素数平面上にとり、それらの点と性質を満たす点Ｐに対応する複素数について

Ⅱ・Ⅲ（不等式３の証明、微分法

微分法を利用した不等式の証の不等式への応

明、恒等式の利用

５１２３４用）４【総合科学部】

３４５１２３４ｘｙ平面上の領域の格子点、数列）

数列と確率

Ⅲ（定積分、数区分求積法の利用、はさみう列の極限）

ちの原理の利用、極限Ⅱ・Ｂ（高次方程式、数列）

番号法）

Ｒについて楕円）光の位置関係、棒の影が描く
２軌跡

科目

内容

３科

Ａ（整数問題、整数を割った余りに関する問確率）題、確率

Ⅰ・Ⅱ（余弦定

正八角形の対角線で囲まれた理、点と直線）

面積

Ⅲ（定積分、数周期関数と定積分、数列の極列）

限トル）

ベクトル

2015 年度

Ⅱ（指数・対数対数の計算、対数方程式の解

番号方程式）がただ１つ存在する条件

Ⅲ（複素数平面）

を描く図形

Ⅱ・Ⅲ（加法定加法定理の利用、面積、三角理、面積）関数の最大・最小Ｂ（確率、漸化

袋から球を取り出す確率、漸式）

化式

２３

４
科目

内容

Ｂ（空間ベクト

三角形の面積の証明、四面体ル）の体積

Ａ・Ⅱ（確率、微分）Ⅲ（面積、接線、法線）

容

利用、四面体の体積を利用、四面体の体積、空間１

内

空間ベクトルと図形、内積の程式、空間ベク

複素数の変形、複素数平面上目ル）

４点が同一平面上にあること
４

高次方程式、数列の応用

Ｂ（空間ベクトＢ（ベクトル方

2015 年度
番号

Ａ・Ｂ（確率、2016 年度

番号

２

有点の軌跡

じて、数直線上を移動する点

Ⅰ・Ⅲ（三角比、容直線、軌跡）

式、数学的帰納１内楕円の接線、楕円の直線の共サイコロを投げて出た目に応

地面に立てた棒の影と太陽の目

Ⅲ（2 次曲線とＢ（確率と漸化

2016 年度

１

科

科目

内

容

Ⅲ（関数の増減、 対数を含む関数のグラフの概面積）
Ｂ（平面ベクトルと図形）
Ｂ（数列）Ａ（独立・反復試行の確率）

形、凹凸、面積、極限三角形の内分、重心、外心数列の和がもう一方の数列の和で割り切れることの証明
箱から球を取り出し出た球の目によって得点と勝敗が決まる確率

３ 傾向分析

サイコロの出た目を用いて作

過去３年間の入試問題では、どちらの大学も標準的な難易られた 2 次方程式が解をもつ度の入試問題が出題されていた。特に広島大学では誘導も丁条件、確率寧であり、問題の題意を読み取れば解答に至る道筋も考えや楕円の法線、面積すいと思われる。
岡山大学の入試問題の出題傾向としては、理系の学部では

Ⅱ（軌跡、加法

2 つの円の接線と軌跡、加法定

数学Ⅲは当然として、数学Ｂのベクトルと数学Ａの確率や約定理）

理の利用数・倍数、整数問題も問題が出題されやすい。ベクトルは平2(m  4)  7(k  1)

面だけでなく空間ベクトルの問題も十分に練習しておく必要がある。数学Ａの問題はそれほど難問ではないが、毎年出題

2 と 7 は互いに素であるので、 m  4 は 7 の倍数である。

されていることからも、十分準備して挑みたい。

よって R(m)  4

広島大学では、理系学部で数学Ⅲの比重が大きい。誘導もあり解きやすい問題が多いが、標準的な入試問題を多く演習

岡山大学前期 2016 年度 問１

しておくことが大切である。また、確率の出題率も高い。岡【理・工・環境理工・農・医・歯・薬・教育】

山大学と同じく、十分演習をしてから臨みたい。

p は素数とする。正の整数 n に対し、 p d が n の約数となる整

どちらの大学も数学Ａの出題が多い。現在担当している１数 d (d  0) の中で、最大のものを f (n) とする。このとき以下の年生の授業でも、入試問題にチャレンジという形で挑戦させ問いに答えなさい。てみたいと思う問題もあった。以下、過去問を一部紹介する。

(1)

p  3 、 n  32 ! のとき、 f (n) の値を求めよ。

(2)

p  5 、 n  5 2！のとき、 f (n) の値を求めよ。

(3)m が正の整数で、 n  p m！のとき f (n) を求めよ。

４ 過去問紹介
岡山大学前期 2017 年度 問１

＜解答＞
(1)

【経済・教育】
自然数 a を 7 で割った余りを R(a) と書くことにする。このn  1・2・3・  ・32 である。1 から 3 2 の中に 3 の倍数は 3 個ある。また、 3 2 の倍数は 1 個あるので、n  34  Nとき以下の問いに答えよ。
(1) すべての自然数 n に対して R(2n 3 )  R(2n ) となることと表せる。 N は 3 と互いに素の自然数である。

を示せ。

よって、 f (n)  4(2) R(22017(2)) を求めよ。

(3) 自然数 m が R(22017m  2 )  5 を満たすとき、 R(m) の29n  1・2・3・  ・52 である。(1)と同様に、1 から 5 2 の中には 5の倍数は 52  5  5 個ある。
また、5 2 の倍数は 1 個あるので、n  56  M

値を求めよ。と表せる。 M は 5 と互いに素の自然数とする。よって、

f (n)  6

＜解答＞
(1)

2n 3

 8 2n(3) 7  2n  2n
よって、 2 n 3 を 7 で割った余りは等しい。
すなわち、 R(2n 3 )  R(2n ) が成り立つ。
(2) 2017＝672×3＋1 なので、 (1)より、R(22017 )  R(267231)＝ R(21 )  2(3) (2)から、 22017  7 p  2 （ p は自然数）
また、 229  239 2 なので、R(229 )  R(22 )  4
すなわち、 229  7q  4 （ q は自然数）と表せる。

22017 m  229  (7 p  2)m  (7q  4)

 7( pm  q)  (2m  4)pm q は自然数なので、R(22017 m  229 )  R(2m  4)
よって、 R(2m  4)  5 となる。
したがって、 2m  4  7k  5 と表せる。
（ k は正の整数）
2m  7k  1 ・・・①
2  4  7 1  1 より、①の式から辺々を引いて、2(m  4)  7(k  1)  0n  1・2・3・  ・p m で あ る 。 p m の 中 に p k の 倍 数 はp m  p k  p mk 個ある。よって、n ppm 1

 p m  2  p m  mLと表せる。 L は p と互いに素の自然数とする。したがって、

p d が n 約数となる最大の d は
d  p m1  p m2      p 0
＝

1 pm
1 p

よって、 f (n) 

1 pm
1 p

以上より、 n が奇数のとき余りは 0

広島大学後期 2016 年度 問２【総合学科（理科系）】

n が偶数のときは、余りは次の問いに答えなさい。
(1) 980 x を 2016 で割った余りが 28 となる整数 x は存在する

n2(4) 1～6 の数をそれぞれ 3 で割った余りは 0、1、2 である。余りが 0 となるグループをＡとするとＡ＝｛3、6｝、余りが 1か、理由をつけて答えよ。
(2) 1000 x を 2016 で割った余りが 28 となる整数 x は存在するか、理由をつけて答えよ。のグループをＢとすると、Ｂ＝｛1、4｝、余りが 2 のグループをＣとすると、Ｃ＝｛2、5｝である。

(3) 自然数 n に対して、1+2+…+ n を n で割った余りを求めよ。
(4) 1 個のさいころを 3 回続けて投げて出た目の数を掛け合わせる。このとき得られた数を 3 で割ったら 1 余る確率を求め

サイコロを 3 回投げて出た目の積が 3 で割って 1 余るには、次の場合が考えられる。
① Ｂから 3 回出る場合② Ｂから 1 回、Ｃから 2 回出る場合よ。

よって、求める確率は＜解答＞3(1) 980 x を 2016 で割った余りが 28 なので、980 x  2016p  282

11 1 4  3 C1     3 3   3  27を満たす整数 p が存在する。
この両辺を 28 で割って、５ おわりに35x  72 p  1

今回、岡山大学と広島大学の入試問題の研究を行うことで、35( x  2 p)  2 p  1

入試問題の傾向を学ぶだけでなく、1 年次からどのような力をこの方程式を満たす組は、たとえばつけさせていかなければいかないかを考える良い機会となっx  2 p  1 、 p  17た。初任者のとき、「入試問題は最高の教材の 1 つである」とすなわち x  35 、 p  17教わったことがある。まさにそれを実感することとなった。

よって、980 x を 2016 で割った余りが 28 となる整数が存在

現在指導している 1 年生が 2 年後にこれらの問題を解くことする。

ができるように数学の力を成長させていきたい。

(2) 1000 x を 2016 で割った余りが 28 となるとき、1000 x  2016 q  28を満たす整数 q が存在する。

【参考文献】

両辺を 4 で割って、2018 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

250 x  504 q  7（旺文社）

2(125 x  252 q)  7

2017 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

ここで、 q は整数ならば125 x  252 q は整数。このとき、左辺は偶数であるが右辺は奇数となり矛盾する。
よって、1000 x を 2016 で割った余りが 28 となる整数 x は存2016 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）（旺文社）
2015 年度 全国大学入試問題正解 数学（国公立大編）

在しない。
(3) 1  2  3      n （旺文社）（旺文社）

1n (n  1)
2

ここで、自然数 m として n  2m  1 のとき、(2m  1)(2m  1  1)
 m(2m  1)
2となり、 n で割り切れる。

n  2m のとき、2m(2m  1)
 m(2m  1)  2m  m  m2となり、 n で割った余りは m 、つまりnとなる。
2