新学習指導要領の研究－新旧教科書の比較（数学Ⅱ・Ｂ）－

はじめに

愛 媛 県 立 今 治 北 高 等 学 校

山瀬潤一郎

愛 媛 県 立 今 治 南 高 等 学 校

砂田佳範

愛 媛 県 立 南 宇 和 高 等 学 校

黒江英隆

でほぼ同じ内容が掲載されているため、発展の内容を学んだ生徒にとっては復習の内容になっている。

学習指導要領研究委員会では、数学Ⅰ～Ⅲ及び数学追加された内容に３次を超える式の因数分解がある。

Ａ・Ｂの新学習指導要領について研究を行ってきた。昨・二項定理は旧数学Ａからの移行である。旧数学Ａ

年度から３年計画で新旧の教科書の比較を行っている。

では二項定理を証明し、その後パスカルの三角形を教科書の変更点を明らかにし、実際に授業を行うときの紹介していたが、その順序が逆になっている。

注意点を喚起できればと考えている。本年度は研究の２・２つの文字についての恒等式では、以前はなかっ年目として数学Ⅱ・Ｂの教科書の比較を行いたい。

た例が加わり、理解しやすい内容となっている。

昨年度、研究を行った数学Ⅰ・Ａではデータの分析や整数の性質などが加わり、大きな変更点があったが、数イ等式と不等式の証明

学Ⅱ・Ｂでは変更点は一見大きくない。そのため、昨年・比例式は以前から条件付等式の中で扱われていた度までと同様に授業を行ってしまいがちであるが、新学が、今回一つの項目として取り上げられ、内容が増習指導要領に対応した違いが必ずあるはずである。その加している。

点を明らかにしていきたい。
１．式と証明(1) 内容の対比

２．複素数と方程式(1) 内容の対比
新

旧数学Ⅱ

数学Ⅱ

１．複素数とその計算

１．複素数

２．２次方程式の解

２．２次方程式の解と判別式

３．解と係数の関係

３．解と係数の関係
研究 ２次方程式の実数解の存在範囲

４．剰余の定理と因数定理

４．剰余の定理と因数定理

研究 組立除法

研究 組立除法

５．高次方程式

５．高次方程式

発展 ３次方程式の解と係数の関係(2)ア

特徴・考察・留意点
複素数と２次方程式の解・従前のものと比べて、複素数の説明が丁寧になっており、従前の新編数学Ⅱの教科書とほぼ同様の解説がされている。
・複素数の相等の練習問題では、右辺が０となる問題が追加され、生徒が間違いやすい内容を確認できるようになっている。
・虚数単位 i について、「特に」という形で説明され(2)
ア

特徴・考察・留意点るようになった。

式と計算・判別式の符号で解の種類を判別する際に、虚数解・３次式の展開と因数分解は旧数学Ⅰから移行してをもつ場合の説明がより詳しくなった。また、注意きた内容である。しかし、現在の数学Ⅰに発展の形として、実数解をもつ場合の条件が追加されている。

・研究で取り扱っていた２次方程式の実数解の存在認がより詳細になっている。

範囲がなくなっているが、模試等で出題されること・軌跡を求める応用例題において、点Ｐがどの曲線は考えられるため、演習時に取り扱う必要があるだ

上を動くか分かりやすいように文章が変更されていろう。

る。また、解説においても点Ｐが満たす条件の確認がされるようになっている。

イ高次方程式・直線が境界線となる領域については練習問題の数・剰余の定理を解説する前に、整式の割り算を実際値が多少変化している程度である。円が境界線となに計算するような書面であったが、今回はそれが省る領域については、変更は見当たらない。

略されていた。

・連立不等式が表す領域については、例題の不等号

・剰余の定理において、定数を求める例題で内容のが変更されており、より平易になっている。

平易なものが追加されている。
・因数定理の内容において、多項式を割り切れるように定数の値を求める種類の問題が追加されており、４．三角関数(1) 内容の対比生徒の理解を確認しやすくなっている。

新・高次方程式において、４次式の解法で因数定理を２回用いて解く種類の例題と問題が追加されている。

旧

数学Ⅱ

数学Ⅱ

第1節 三角関数

第1節 三角関数

・発展内容として、３次方程式の解と係数の関係が１．一般角と弧度法

１．一般角と弧度法追加されており、式の値の例題が増えている。

２．三角関数

２．三角関数

３．三角関数の性質

３．三角関数の性質

４．三角関数のグラフ

４．三角関数のグラフ

５．三角関数の応用

５．三角関数の応用

３．図形と方程式(1) 内容の対比
新旧第2節 加法定理

第2節 加法定理

数学Ⅱ

数学Ⅱ

６．加法定理６．加法定理第１節 点と直線

第１節 点と直線

研究 点の回転７．加法定理の応用

１．直線上の点

１．直線上の点

７．加法定理の応用

発展 和と積の公式

２．平面上の点

発展 和と積の公式

８．三角関数の合成

３．直線の方程式

８．三角関数の合成

２．平面上の点
３．直線の方程式
４．２直線の関係

４．２直線の関係

第２節 円

第２節 円

５．円の方程式

５．円の方程式

６．円と直線

６．円と直線

７．２つの円研究 ２つの円の共有点・動径 OP の表す角の問題では、一般角で表す練習か第３節 軌跡と領域

第３節 軌跡と領域ら、さまざまな角のうち動径が一致するものがどれか

８．軌跡と方程式

７．軌跡と方程式を問う問題に変更されている。角を拡張させたことを

９．不等式の表す領域

８．不等式の表す領域意識するような問題となっている。

研究 放物線を境界線とする領域

研究 放物線を境界線とする領域

・三角関数を含む方程式では、θ＋π/3 について解い(2)
ア

特徴・考察・留意点
三角関数てから、θの解を求める問題が応用として追加されて(2)ア

特徴・考察・留意点いる。

点と直線・練習問題の符号・数値が一部異なる以外は、変更点が見当たらない。

イ加法定理・加法定理を利用した点の回転が研究として紹介されている。数学 C で行列を用いた回転の内容がなくなっイ円たことで、ほかの方法として追加されることとなって・２つの円の位置関係が追加されており、例などといる。

併せて２ページを割いている。

・三角関数を含む方程式・不等式では三角関数の合成

・２つの円の共有点が発展から応用例題へと取り扱に関連した方程式が追加された。三角関数の合成を行いが変化している。また、２つの円の共有点を通るった後、方程式・不等式を解く問題のところで少しで直線について補足説明が追加されている。

も指導を軽くする狙いがあるように感じる。
・これまで三角関数の合成の項目を asinθ+bcosθのウ

軌跡と領域

・最初の例の解説において、点Ｐが満たす条件の確変形という項目で表されていたが、今回の学習指導要領から三角関数の合成として項目が定まった。ただし、

この教科書では、旧学習指導要領の改訂版から変わっ旧ており、とくに変化はなかった。
・関数の最大値と最小値を求める問題では、そのときの x の値を求めるところまで発問の仕方が具体化されている。また、問題数も問、練習、問題、演習問題 Bに追加されており、教科書でいろいろなことを組み合わせた問題が演習できるように工夫されている。
５．指数関数と対数関数(1) 内容の対比
新

旧数学Ⅱ

数学Ⅱ

１．指数の拡張１．指数の拡張研究 負の数のｎ乗根

研究 負の数のｎ乗根

２．指数関数

２．指数関数３．対数とその性質

３．対数とその性質

４．対数関数４．対数関数５．常用対数５．常用対数研究 対数と無理数

研究 対数と無理数(2)(2)

特徴・考察・留意点

特徴・考察・留意点

ア

指数関数

・xn の導関数がｎが０または正の整数の場合に拡張

ア

微分法と導関数・累乗根の大小関係を調べる問題では、”小さい順で並されたため、演習問題に４次以上の関数を扱った問べよ”と出題されていたものが、”不等号を用いて表せ”

題が追加されている。と出題されている。それにより数の大小の表し方から不等号を用いての表し方で確認する問われ方にしていイる。

・曲線上にない点から引いた接線の方程式を求める

・指数関数を含む方程式・不等式では、同じ底の累乗練習問題の内容が、以前は３次関数のみであったが、に式を変形して解く問題を追加しており、それにより、一つ目は２次関数を扱った内容に変わっている。生t についての 2 次方程式や 2 次不等式と考えて解いて徒にとって理解しにくい場所であるため、段階を踏いく問題が難化し例題から応用例題の形で示されていんだ内容に変化している。

る。

導関数の応用・命題「関数 f(x)が x=a で極値を取るならば、f’(a)=0 である」の逆は成り立たないことが明記さ

イ

対数関数

れている。

・対数関数を含む方程式、不等式の問題では、真数は正であるという条件を最初に示すように統一されておウり、生徒の理解をより促すようになっている。また、・微分同様、 xn の積分がｎが０または正の整数の場積分法

問題数が増えており、不等式の応用例題が追加されて合に拡張されたため、演習問題に３次以上の関数をいる。

扱った問題が追加されている。

・対数関数を含む関数の最大値・最小値の問題が追加・曲線と x 軸で囲まれた部分の面積を求める問題でされており、三角関数に続いて最大値・最小値の問題

は、以前は２次関数までしか使えなかったため、曲が重要視されていることが覗われる。

線が x 軸と２点で交わる場合の例しかなかったが、・対数の多くが無理数であることを研究として紹介さ３次関数を用いて x 軸と接する場合も例示されていれている。数学Ⅰを履修する時点では、無理数に含まる。また、曲線と接線で囲まれた図形の面積が追加れる数として根号であらわされる数や円周率のπを示されている。

すが、新たにそこに加える形となっている。
６．微分法と積分法
(1)

内容の対比

７．平面上のベクトル(1) 内容の対比

新

旧

数学B

された。

数学B

９．数列
(1) 内容の対比

第１節 平面上のベクトルとその演算

第１節 平面上のベクトルとその演算

１．平面上のベクトル

１．平面上のベクトル

２．ベクトルの演算

２．ベクトルの演算

新旧

３．ベクトルの成分

３．ベクトルの成分

数学B

数学B

４．ベクトルの内積

４．ベクトルの内積研究 三角形の面積

第１節 数列とその和第１節 数列とその和１．数列

１．数列

第２節 ベクトルと平面図形

第２節 ベクトルと平面図形

２．等差数列とその和２．等差数列とその和５．位置ベクトル

５．位置ベクトル

３．等比数列とその和３．等比数列とその和６．ベクトルと図形研究 複利計算と等比数列研究 複利計算と等比数列

７．ベクトル方程式

７．ベクトル方程式

４．和の記号Σ

４．種々の数列

研究 点と直線の距離

研究 点と直線の距離

５．階差数列６．ベクトルと図形

６．いろいろな数列の和(2)

特徴・考察・留意点

・の説明する図について、2 つのベクトルの和をつなげた形から、平行四辺形の対

第２節 数学的帰納法

第２節 数学的帰納法

７．漸化式と数列

５．漸化式と数列

研究 確率と漸化式
発展 隣接３項間の漸化式

角線で表す形に変更された。

発展 ２つの数列の漸化式

・ベクトルのなす角を求める問題について、cosθを８．数学的帰納法

発展 隣接３項間の漸化式

６．数学的帰納法

求める式を理解しやすいように表している。
・三角形の面積を求める内容が、応用例題・練習か(2)アら研究として記述された。

特徴・考察・留意点
数列とその和・第ｎ項を、数列から「～～になっていると推定できる」と表記していたものが、「～～になっていると８．空間のベクトル(1) 内容の対比推測できる」と変化している。

新旧

数学B

数学B

・等差数列の練習問題で、初項と公比を求める問題に一般項を求めるように追加されている。

１．空間の基本的図形

・等比数列の一般項を求める例題において、公比が１．空間の座標２．空間の座標１通りになる問題から、公比が２通りある場合の問

２．空間のベクトル３．空間のベクトル

題に変更されている。

３．ベクトルの成分

４．ベクトルの成分

・等比数列の和から初項と公比を求める応用例題に４．ベクトルの内積

５．ベクトルの内積

おいて、公比が分かった状態から初項を求める段階

５．位置ベクトル

６．位置ベクトル

で、どの式に代入して求めるのか説明が追加されて６．ベクトルと図形

７．ベクトルと図形いる。

発展 同じ平面上にある点
７．座標空間における図形

８．座標空間における図形

発展 平面の方程式

発展 平面の方程式

発展 直線の方程式

イ

いろいろな数列・Σの式では、k が初項以外から始まる場合の説明が追加されている。
・従前では練習問題として、各項が自然数の和とな(2)特徴・考察・留意点っている数列の問題が、例題扱いとなり詳しく解説・空間ベクトルを学ぶ前の 2 直線の位置関係と直線されるようになった。と平面の位置関係の項目が削除された。

・階差数列といろいろな数列の掲載順序が変更され・三角形の重心をベクトルで表す内容では、前回はているが、指導には影響ないと考えられる。

例題という形で記述されていたが、今回からは説明・いろいろな数列において、部分分数の種類の練習や例に留まっている。

問題が追加されている。

・新たに直線に関する問題や直線の方程式をベクト・各項が等比数列と等差数列の積で表される数列のル方程式で表したり、媒介変数表示を用いたりする和を求める例題において、公比が x から定数に変更

内容が応用例題や発展として記述された。

されており、易しくなっている。

・章末にある問題・演習問題 B から四面体を利用し・群数列においては、応用例題と練習の問題がそれてとった点の内分・外分した比を求める問題が削除

ぞれ逆の取り扱いとなっている。

・研究に確率と漸化式が、発展に２つの数列の漸化単になっているわけではなく、説明が詳しくなっていた式がそれぞれ追加されている。

り、設問が段階を追って問われ、答えやすくなっていた・隣接３項間の漸化式は解説がより詳細になり、練りする。そのため、数学Ⅱでは１６ページ増加している。

習問題が追加されている。

数学Ｂでは章の構成が５章から４章に減ったため８ページ減少しているが、ベクトル、数列のページ数が減ってウ数学的帰納法いるわけではない。

・特に変更点は見受けられない。

2012 年に実施した国際学習到達度調査（PISA）では数学的リテラシーを含む３分野で 2000 年の調査開始以降で最も高い順位であった。脱ゆとり教育が功を奏したと10．確率分布と統計的な推測(1) 内容の対比いわれているが、教科書も少しでも理解が深まるよう内新

旧数学B

数学A・C

容の精選が行われている。我々研究部も有益な研究が行えるよう頑張りたい。

第１節 確率分布（数学Ａ 第１章 場合の数と確率）

１．確率変数と確率分布

第３節 確率 １２．期待値《参考文献》

２．確率変数の期待値と分散（数学Ｃ 第３章 確率と確率分布）

・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 21 年 7 月）』

第２節 確率分布・『高等学校学習指導要領解説（数学編 平成 11 年度）』

４．確率変数と確率分布
５．確率変数の期待値と分散
３．確率変数の変換

６．確率変数の変換

４．確率変数の和と期待値

７．確率変数の和と積

５．独立な確率変数と期待値・分散

８．二項分布

６．二項分布（数学Ｃ 第４章 統計処理）

７．正規分布

１．正規分布

文部科学省(平成 17 年一部補訂)・大島利雄ほか 13 名『数学Ⅰ』
数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・坪井俊ほか 13 名『数学Ａ』
数研出版株式会社発行(平成 23 年検定済）・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅰ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）第２節 統計的な推測
８．母集団と標本２．母集団と標本９．標本平均とその分布

３．標本平均の分布

１０．推定

４．推定

・坪井俊ほか 16 名『改訂版

数学Ａ』

数研出版株式会社発行（平成 18 年検定済）・川中宣明ほか 13 名『数学Ⅱ』
数研出版株式会社発行（平成 23 年検定済）(2)
ア

特徴・考察・留意点
確率分布・期待値の問題が、「数学Ａ」から移動したため、ここで取り扱うようになった。
・独立な確率変数と期待値という項目が新たに設けられ、事象の独立と従属について３ページ分内容が追加されている。
イ

統計的な推測・従前の「数学Ｃ」においては、確率分布と章を分けて扱われていたが、今回は節で分けて指導するようになっている。
・母集団における変量ｘの平均値と標準偏差の解説がより詳細になっている。
・例題や練習問題の数値が一部変更されているが、大きな変更は見受けられない。
まとめ
昨年度研究を行った、数学Ⅰと数学Ａに比べると、今年度の数学Ⅱと数学Ｂは変更されている箇所は数としては多くない。しかし、生徒の変化や数学が期待されている役割をより果たそうと、細かな変更点は多い。全体的に感じられるのは内容の平易化である。大幅に内容が簡・坪井俊ほか 13 名『数学Ｂ』
数研出版株式会社発行(平成 24 年検定済）・川中宣明ほか 16 名『改訂版数学Ⅱ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）・大島利雄ほか 16 名『改訂版

数学Ｂ』

数研出版株式会社発行（平成 19 年検定済）