国公立大学入試問題の研究－ＡＯ・推薦入試の問題から－
愛媛県立三島高等学校
1

五味

はじめに第２問

2000年度、東北大，筑波大，九州大の３校で始まった国立大のＡＯ

n , k を正の整数とする。不等式 x 1+ x 2 +…+ x k< n を満たす

入試は今年で10年余が経過し、年々増え続けてきた。

稔

正の整数の組 0 x 1 , x 2 , …, x k 1 の個数を A 0 n , k 1 とする。例えば

現在、今年度入試での形態別の学校数では、n= 4 かつ k=2 のとき、条件を満たす正の整数の組は 0 1, 1 1 , 0 1,2 1,国立大学82校中、ＡＯ入試実施校が47校，推薦入試実施校が74校、0 2,1 1 の３組であり、したがって、A0 4,2 1 =3 である。次の問いに答えなさい。

公立大学79校中、ＡＯ入試実施校が21校，推薦入試実施校が76校にのぼる。入学者比率を見てみると、国立大で全入学者約10万1千人(1) A 0 k +1 , k 1 , A 0 k + 2 , k 1 および A 0 k +3 , k 1 を求めよ。
(2) A 0 n +1 , k + 1 1 =A 0 n , k 1 +A0 n , k + 1 1 であることを示せ。
(3) A 0 n , k 1 を求めよ。のうち、推薦+ＡＯ入学者は約15％，公立大は全入学者約2万8千人のうち、推薦+ＡＯ入学者は約25％を占める。ＡＯ入試の国公立大学総入学定員3千人に対して、受験者総数は1万人の大台に達している。

第３問

また、ＡＯ入試や推薦入試には、それぞれ大学側のねらいがある。

直径が１の４個の球が、どの２個も互いに接するように空間内にＡＯ入試では、新しい人材の発掘の理念と大学教育の戦略が込められ配置されている。この４個の球を含む最小の正四面体の一辺の長さている。名古屋工業大学の「工学創成プログラム」，岡山大学の「マを求めなさい。

ッチングプログラムコース」，愛媛大学の「スーパーサイエンス特別コース」，九州大学の「21世紀プログラム」などの特別なプログラム

第４問が組み込まれていることでも明白である。

座標平面上で、y=x 20 x - 1 1 2 によって与えられる曲線をCとし、推薦入試では、地域に根ざした人材の育成に力が注がれているが、C 上の点 P 0 a , a 20 a -1 1 2 1 におけるC の接線を l とする。l とCの今年度新規導入された型としては、熊本大学工学部の「理数大好き交点がP自身をのぞいてちょうど１個であるときのaの値を全て求入試」や、同機械システム工学科「女子学生推薦入試」などが興味深めよ。

い。
ＡＯ入試でも推薦入試でも、文部科学省は2011年度入試から、出願②（岡山大学理学部物理学科 ＡＯ入試）

基準の明確化と学力把握措置の強化に重点を置くよう通達している。

問

評定基準の見直しや、センター試験を利用する推薦ＡＯ入試のパター

３次元の空間の直交座標 0 x , y , z 1 において次の４つの方程式ンが今後ますます増えてきそうである。また、「合格から入学までのx+y+ z=2学習喚起」を講ずるよう初めて全大学に求めた。早期合格者の高校生

x=0

活を新しい視野へ、つまり大学での学びや生活へ備えさせる入学準備

y=0

教育は、重要な役割を持つ。

z=0

出題問題の中から、昨年度の中四国の国公立大学のＡＯ!推薦入試ではそれぞれ平面を表す。そこで、その4つの平面に囲まれる領域実際に出題された数学の問題を取り上げてみる。
２x+y+ z(2平成２２年度 ＡＯ・推薦入試問題から

x)0y)0①（岡山大学理学部数学科 ＡＯ入試）… 0A 1z)0

第１問が表す図形の体積を求めることを考える。

次の問いに答えなさい。

(1) z=0 のとき、上の条件0 A 1 を満たす領域の図形を x-y 平面(1) 「関数 y=f0 x 1 がx=a で微分可能である」とはどういうことで描け。

か述べよ。

(2) z=1 のとき、上の条件0 A 1 を満たす領域の図形を x-y 平面(2) 「関数 y=f0 x 1 がx=a で連続である」とはどういうことか述で描け。

べよ。

(3) ４つの条件0 A 1 が表す領域の図形を0 x , y , z 1 上で描け。
(4) その図形の体積を求めるためにはどうすればよいかを述べよ。

(3) 関数 y=f0 x 1 がx=a で微分可能であれば x=aで連続であることを示せ。

また、その計算をしなさい。

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③（広島大学理学部物理学科 ＡＯ入試）

問題２

問１

8

三角関数 y=sin x -サイコロ３個をふるとき、サイコロの目の数の合計が５になる確率を求めよ。

答えよ。

p3

9 0 0 (x(2p 1 について、以下の問いに(ａ) y のグラフの概略図を描け。

問２

ただし、始点 0 x =0 1 ，終点0 x =2p1 のy の値，y=0 となる x の次式の値を求めなさい。

値，y が最大値，最小値をとる点，を明確にすること。
(ｂ) y )0.5となるx の範囲を求めよ。

31log 5 15 -3log 5 U 6 + log 5 4022(ｃ) x=pにおけるy の接線の方程式を求めよ。
2(ｄ) y )0 となる面積を求めよ。

問３
xy 平面上の曲線 y=tan x に x 座標がpである点で接する直線4の方程式を求めよ。
問題３

問４

いま、x を 2<x<10 の範囲にある素数とすると、x=3 , 5 , 7 で以下の定積分の値を求めよ。
11(1)Q U 1- x dx(2)Q xlog x dx0ある。このことをA=6 x｜x は 2<x <10である素数 7と書くことにする。すると、

23

B=6 x｜x は 1<x <8 である素数 7としても、BはAと全く同じ要素 x=3 , 5 , 7 から成るので、B=A0問５と書くことにする。このとき次の２つの集合 C , D

実数 h の関数 y=2sin2h + sin h + cosh について以下の問に答えよ。

C= 6 x｜x はx 2 +x-2 >0 を満たす実数7(1) t= sin h + cosh とおいて、y を t の関数で表せ。

D=6 x｜x はx 2 +x-2 <0 を満たす実数7(2) t の取り得る値の範囲を求めよ。と同じ要素から成る２つの集合 E , F は、別の表し方をすると、(3) y の取り得る値の範囲を求めよ。

それぞれどうなるだろうか。E=C , F=D となる Eと F を求めなさい。

④（島根大学総合理工学部数理系 推薦入試）
問題１
行列には１～3の性質がある。
1. l% m 行列A とm% n 行列B の積 A%B は l% n 行列である。

問題４( l , m , n は１以上の整数 )X 大学の１年生から４年生までの各学年の代表４人と Y 大学の

2. l% m 行列A とm% n 行列B の積 A%B を計算するには、１年生から４年生までの各学年の代表４人とがテニス(シングルス)

l% m %n 回の掛け算が必要である。( l , m , n は１以上の整数 )の対戦をすることになった。対戦する相手を決めるくじをした

3. 積が定義されている行列 A , B , C において、ところ、４組全ての組が２学年差があった。X 大学の学生をA 君，0 A %B 1 % C =A% 0 B % C 1 が成り立つ。

B 君 ，C 君，D 君とし、Y 大学の学生をE 君，F 君，G 君，H 君としたとき、以下のことが分かった。Y 大学の各学生が何年生で、次の問いに答えなさい。答を導き出した過程も説明すること。

誰と対戦し、対戦相手は何年生かを理論立てて説明せよ。

(ａ) 4%2 行列A ，2%3 行列B ，3%1 行列C の積 A%B% C は、(１) C 君は対戦相手より学年が上である。C 君の対戦相手はE 君

A%B とB%C のどちらを先に計算するかで必要な掛け算のではない。

回数が異なる。0 A %B 1 % C とA%0 B % C 1 、それぞれの計算に必要な掛け算の回数を求めなさい。

(２) F 君の対戦相手は１年生である。F 君の対戦相手はA 君ではない。

(ｂ) 上記(ａ)に記載の行列 A , B , C と、1%2 行列D の積(３) G 君とE 君は２学年差がある。

A%B% C %D を計算したい。最小の掛け算の回数を求めな(４) H 君の対戦相手はB 君である。

さい。

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⑤（島根大学総合理工学部電子システム工学科! 関数 y=2 x 2 のグラフをかけ。

推薦入試）
連立不等式 x+2y (2 , x ) 0 , y )0 表す領域をDとする。

① 点 0 1 , 2 1 を通り、このグラフに接する接線の方程式の求め方を説明しなさい

次の設問に答よ。

② 求めた接線を作図しなさい。

(１) 領域Dを xy 平面上に図示し、面積を求めよ。

③ 関数 y=2 x 2 と接線とy 軸で囲まれた部分の面積の求め方を説明(２) 点 0 3 , 10 1 を通り、傾きがk である直線 l の方程式を求めよ。

しなさい。

(３) 直線 l が原点を通るときのk の値を求めよ。また、このときに（山口大 ! 工 ! 機械! 推薦）x 軸，直線 x+2y=2 ，および直線 l で囲まれる領域の面積を求めよ。

Q(４) 領域Dと設問(２)の直線 l が共有点を持つようなk の値の範囲を! log x dx を求めよ。

求めよ。

! x=tan y において(５) 設問(２)の直線 l が、領域Dを、面積が等しい２つの部分に分けるような場合を考える。

d 2yを求めよ。
dx 2! sinx - U 3 cos x +1=0 0 0(x (2p 1 を解きなさい。

ａ) 設問(３)の答から、k が満たす不等式を示せ。

（徳島大 ! 工 ! 知能情報 ! 推薦）ｂ) 直線 lと直線 x+2y=2 との交点のx 座標が、１より大きいか小さいかを、交点の座標を計算しない方法で示せ。
(６) 原点O，x 軸上の点A，直線 x+2y=2 上の点B，y 軸上の点Cを! 初項1，公差d の等差数列と初項1，公比2 の等比数列があり、初項から頂点とし、領域Dに含まれる長方形COAB を考える。この第5項までの和が等しいとき、公差d の値を求めよ。

長方形の面積を最小にする点Bの座標を求めなさい。

３! 三角形の３辺が、 6 , 8 , 10 のとき、三角形の面積を求めなさい。
! 次の条件を満たすx の範囲を求めなさい。

平成２２年度推薦入試問題から（抜粋）以下に推薦入試における教科面接の質問内容を紹介する。

(１) x 2 )1(２) y をある定数とするとき、x 2 + y 2)1(３) y をすべての実数とするとき、x 2 + y 2)1! y=0x -2 x - 31 0 x - 2 1 を微分しなさい。
32! sinA cos B =23(４) y はある定数，z はすべての実数とするとき、x 2 + y 2+ z 2 )1

1
sin a +sinb 1 において、a ，b をA , B を使って20（高知大 ! 理 ! 数学コース ! 推薦）

表しなさい

Q! 0 -sin 3x cosx 1dx を求めなさい。

４（鳥取大 ! 工 ! 電気電子工学 ! 推薦）! 次の関数の３次までの導関数を求めよ。
① y=0 2 - x 1

5② y=e

国公立大学は2004年度の独立法人化以降、所在する地域との密接x2な連携を強化している。地方自治体にとって、教育や医療分野での人材不足が切迫した問題である。国公立大の医学系や教員養成系! 次の不定積分を求めよ。
①x

Q U x+1 dx②

まとめでの「地元枠」「地域優遇型」の推薦入試が急速に導入され、将来、

Q cos x dx
2

地元への貢献を義務付けた奨学金も用意してある。
また、文部科学省は今春の通達で、推薦合格者に対して入学まで! f0 x 1 , g0 x 1 が微分可能であるとき次の問いに答えよ。の「学習喚起」を義務づけた。「入学準備教育」として、鳥取大や① f0 x 1の導関数f-0 x 1 の定義を述べよ。
② 積の導関数 6 f0 x 1g0 x 1 7-=f-0 x 1 g0 x 1 +f0 x 1g -0 x 1 を説明せよ。

九州工業大では学習合宿を実施する。九州工業大では数学と理科に特化した２泊３日の合宿研修を２回実施する。大学によって、基礎③ 不定積分の部分積分

学力問題の添削指導、課題レポート、小論文の提出と指導、課題図

Q f0x1g -0 x1dx=f0 x1g0 x1- Q f -0 x1g0 x1 dxを説明せよ。

書の提示と感想文の提出など、実施方法は様々であるが、今後はよ! 曲線C:y=log x について以下の問いに答えなさい。

り一層、入学準備教育の実施と充実化が進むと思われる。

① 点 0 0 , 1 1 から、曲線Cへ引いた接線lの方程式を求めよ。

学力重視の視点から、センター試験を利用するＡＯ入試 ! 推薦入② ①で求めた接線l および曲線Cとx 軸で囲まれた図形の面積S を試が増え、現場の教員や受験生からは「出願から合格発表までの求めよ。

期間の長さ」が長すぎるという嘆きが聞こえる。推薦入試とＡＯ! 以下のことを示しなさい。

入試のどちらに挑戦するかは、受験生の特性や能力をよく検討し、

2① 等式m =5n を満たす自然数m , n は存在しないことを示せ。

慎重に決定していく必要がある。ＡＯ ! 推薦の併願は避けるべきで② U 5 は無理数であることを示せ。

あろう。

2（島根大 ! 総合理工 ! 推薦）-9-