コンピュータの活用と農業数学
愛媛県立伊予農業高等学校

１

主題設定の理由

岩部智

いくつの順列がひとつ分になるかを考えながら、組

本校は生物工学、園芸流通、環境開発、食品化学、生合せや円順列の個数を求めることができる。

活科学の５学科からなる農業高校である。教育課程は１⑻三角形の重心・外心・内心

年次に数学Ⅰを４単位、２年次に数学Ａ（習熟度別）を２つの三角形△ＡＢＣと△Ａ'Ｂ'Ｃ'を考え、対応し２単位履修するのみとなっている。地元の国立・私立大ている頂点を近づけることによって、内心・外心・重学への進学希望者に対しては、２・３年次に週に１時間心の理解を深めることができる。

程度、数学Ⅱの補習を行っている。多くの生徒に共通し⑼接弦定理て言えることは２つある。１つには、新しく学ぶ定義・接線と接点を通る弦の作る角とその内部にある弧に定理や公式に対して難しさを感じてしまうこと。２つに対する円周角が動く様子を見ながら、接弦定理を理解

は、問題演習の時間が充実したものにならないことであすることができる。

る。以上の２つから、コンピュータを活用した分かりや⑽

方べきの定理すい教材の開発と、生徒の興味・関心を高める問題演習

円周上にない２直線の交点Ｆが、円の内部と外部を（昭和４４年発行の「実用農業数学」から）の研究を行動く様子を見ながら、方べきの定理を理解することがい、少しでも分かりやすい授業を展開するためにこの主できる。

題を設定した。
３２

研究の内容

研究の目標と方法

数学Ⅰではプレゼンテーションソフトを使用した。使コンピュータの活用については、それが有効であると用した単元は１次関数、２次不等式、三角比の定義、三思われる単元を選び、その単元で目標を設定することに平方の定理、三角形の面積、余弦定理である。数学Ａでした。生徒の理解を助けるために、教材提示用としてコはプレゼンテーションソフトとＧＣ（Geometric Const

ンピュータを利用した教材の開発と授業実践を行い、そructor（フリーソフト））を使用した。プレゼンテーシの概要をまとめた。また、それらと関連のある問題があョンソフトを使用した単元は組合せと円順列である。Ｇる場合については、「実用農業数学」の中から数値や表Ｃを使用した単元は三角形の内心・外心・重心、接弦定現の修正等をしてから演習を行った。

理、方べきの定理である。円周角が動く様子や、円周上⑴ １次関数にない２直線の交点Ｆが円の内部と外部を動く様子が分

表・式・グラフによるxとyの対応の様子を考えながかるものを作成した。

ら、１次関数の意味を理解することができる。

「実用農業数学」からの関連問題については、主に数⑵ ２次不等式

学Ⅰに関するものは見られたが、以下の⑵、⑺～⑽につ２つの数の対応を考えながら、２次不等式を解くこいては関連の問題がなかった。とができる。
⑶⑴

三角比の定義斜辺・対辺・隣辺による三角比の定義から、座標平１次関数
１次関数 y  2 x  1 について、x と y の対応表、x の値から y の値を求める途中式、座標のとり方を示した。

面による三角比の定義を理解することができる。
⑷ 三平方の定理
斜辺の２乗が他の２辺の２乗の和に等しいことを等積移動で理解することができる。
⑸ 三角形の面積２辺とその間の角度が分かっている場合の三角形の面積の公式を具体例と対比しながら理解することができる。
⑹ 余弦定理余弦定理の 2abcos C に相当する部分の面積を知ることで、余弦定理についての理解を深めることができる。
⑺ 組合せ・円順列

アニメーションの順序は①対応表の x の値②x 座標

1

のプロット③y の値の計算④座標のプロットである。

気温 20℃の直線も同様に求めると、 y る。

3x  4 とな
20

3x  4 ≦ 15 より、 x ≦ 73.33 (%)
20（当時の農林省では含水率 15％以下のものを１等と呼んでいた。）＜実用農業数学 P76 l12～P77 l12＞※一次関数の問題の後に、標準偏差に関する問題があったので記述しておく。
[問]

いま、A，B の二つの品種を５回作付けして下表の通り同じ平均値を得たが、いずれを選ぶべきか。度数はいずれも１とする。
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

平均A

７５４６８６B６６５７６６

[解]
22222
Aは (7  6 )  (5  6 )  (4  6 )  ( 6  6 )  ( 8  6 )  25 1.414
22222
Bは (6  6)  (6  6 )  (5  6)  (7  6 )  (6  6)  105510 についてルートの開平を行うと、

３．
３３対応表にない座標についても、x と y の値が一定の

１６１０．００００９関係にあることに注意させる。
６１１＜１次関数に関する問題＞[問] 右図は米の平衡水分と大気の湿度の関係を示したもので、気温 10℃で湿度１００６１80％のとき平衡水分 17６２６６３９００３７５６％であり、湿度 60％のと６３２２１４４き平衡水分 14％である。
このことから、気温 10℃、湿度 70％では平衡水分い

よって、 3.16  5  0.63くらになるか。また、上の２つの標準偏差から、Bのほうが信頼性が大きい。

「グラフ」から、気温 20＜実用農業数学P72 l11～l22＞℃のとき平衡水分 15％以⑵２次不等式下にする湿度はいくらか。

グラフを用いた１次不等式の解法から，２次不等式※平衡水分・・・食品をの解法を考えさせ，一般的な解法と手順についてスラ各湿度の環境に保存し、水分が一定になったところのイドで示した．

含水率のこと[解] 直線であるから y  ax  b とおき、x  80 、 y  17 の座標より 17  80 a  b ・・・・①x  60 、 y  14 の座標より 14  60 a  b ・・・・②①、②より a 3 、b520

よって、 x  70 のとき、 y  3  70  5  15.5 (％)
202

3⑶

三角比の定義直角三角形による三角比の定義を示した図から、半径が r の円に直角三角形を埋め込む。

さらに θ が鈍角の場合についても説明する。

斜辺→r、対辺→y、隣辺→x、A→θ に対応させる。

θ が鈍角の場合は、r＞0、x＜0、y＞0 であることに4注意させる。
＜三角比の定義に関する問題＞[問] 与えられた長さを１辺とする正 5 角形を近似的にかく方法を述べよ。
[解]

図のように与えられた長さ a の垂直二等分線 AB 上に 1.5a となる O 点をとり、OA 、 OB を 延 長 し てAC=BD=a なるように C、D 点をとる。C、D を中心として半径 a の円をかき、その交点を E とすれば、
ACEDB が求める正 5 角形である。なぜならば、直角三角形 OAH において、tan  OHa2
 1.5a   1.5a   3AH2aであり、tan   3 となる  の角度を三角関数表で求めると、
約 72°であることがわかる。したがって、∠BAC=180°－72°=108°であるから正 5 角形の内角である。

＜実用農業数学 P107 l12～P108 l8＞⑷ 三平方の定理
レオナルド・ダ・ビンチによる等積移動の方法によって斜辺の２乗が他の２辺の２乗の和に等しいことを示した。

＜三平方の定理に関する問題＞[問] 周囲が 62.8cm の丸太から何 cm角の角材がとれるか、小数第 2 位まで求めよ。ただし、円周率は3.14 とする。
[解] 円周＝直径×3.14

直径＝円周÷3.14

直径＝62.8÷3.14=20(cm)三平方の定理より

x 2  x 2  20 22 x 2  20 2x 2  200x  200  14 .14 cm

また、正方形の切り貼りによる方法によって、斜辺の２乗が他の２辺の２乗の和に等しいことを示した。

＜実用農業数学P56 l1～P56 l7＞5

⑸ 三角形の面積∠B に対して、具体例と対比させながら導き出した
公式は、同様に考えると、∠A、∠C についても成り立ち、それらの角に対応している辺を説明する。

＜三角比の面積に関する関連問題＞
２辺侠角による面積の問題はなかったが、ヘロンの公式（三辺法）を用いた問題は見られた。
[問] 次の三角形の面積を求めよ。

[解] s 685 9.5 より S  (9.5  6 )(9.5  8 )(9.5  5 )2 3.5  1.5  4.5  23.625  4.86 (m)４． ８４４８８８６２３．６２５０１６７７６２０４

９６６６５８５０５７９６９７２６４＜実用農業数学 P97 l1～P97 l8＞

6⑹

余弦定理

[解] 上の構造は、下図のような釣り合いとなるから、正弦正弦を用いた三角形の面積の公式を学習した後、まとめの問題で余弦定理を復習するときに、 2 abcos C に定理より、
T1より、sin 30 sin 30

相当する部分の面積について説明した。

T1  sin 30
 1(ｔ)
sin 30また、

1P、sin 30 sin 1203sin 120
2P
 3 (ｔ)1sin 30
2＜実用農業数学 P109 l1～P109 l13＞⑺

組合せ・円順列
簡単な順列を，同じ要素が並んでいるグループにまとめたスライドを示し，いくつ分で割れば良いのかを考えさせる．また，円順列についても，順列との対応を考えながら，同じ順序になっているグループにまとめたスライドを示し，いくつ分で割れば良いのかを考えさせる．
ア

１，２，３，４のカードから異なる３枚を選ぶ方
法＜余弦定理に関する関連問題＞
余弦定理に関するものはなかったが、正弦定理に関するものは多くあったので、ひとつ紹介しておく。
[問] 図のような「クレーン」に 1ｔの荷重を吊るすとき、ＡＢのうける抗圧力Ｐと「ワイヤー」の抗張力Ｐを力の釣り合いから求めよ。

7

イ

３人が輪になる方法⑻ 三角形の重心・外心・内心Geometric Constructor で作成した図形をプロジ
ェクターを通して生徒に提示した。
ア

３中線が１点で交わる

頂点Ａ、Ｂ、ＣをそれぞれＡ'、Ｂ'、Ｃ'にマウス操作で近づけることによって、内心Ｏと角の二等分線の交点Pが徐々に一致していく様子が分かる。
ウ

垂直二等分線の交点Ｐと外心Ｏの一致

頂点Ａ、Ｂ、ＣをそれぞれＡ'、Ｂ'、Ｃ'にマウス操作で近づけることによって、△ＡＢＣの中線ＢＥとＡＤの交点Ｇが、△Ａ'Ｂ'Ｃ'の中線Ａ'Ｄ'とＣ'Ｆ'の交点Ｇ'に徐々に一致していく様子が分かる。
イ

角の二等分線と内心の一致

頂点Ａ、Ｂ、ＣをそれぞれＡ'、Ｂ'、Ｃ'にマウス角の二等分線が１点で交わることはアと同様にす

操作で近づけることによって、外心Ｏと垂直二等分れば良いことを説明する。

線の交点Ｐが徐々に一致していく様子が分かる。

8

⑼

接弦定理
接線と弦がなす角や円周上の点を動かしながら、その角と円周角が常に等しいことを説明した。

４まとめと今後の課題⑴

１次関数
１次関数のプレゼンテーションは、中学校時代に関数が苦手だった生徒に対して好評であった。ただし、２つの数量の対応を考える例題を解いたり、xの値を代入してyを求める計算を練習しておく必要がある。

⑽ 方べきの定理

関連問題は平衡水分や含水率の説明に時間はかかった

２直線の交点Ｆが円の内部から外部へ動く様子を見が、興味を持って取り組むことができた。また、標準ながら、ＦＥ×ＦＤ＝ＦＢ×ＦＣが常に成り立つこと偏差の意味はなかなか理解できなかったが、ルートのを説明した。

開平の計算は積極的に取り組むことができた。
⑵

２次不等式
２次不等式で用いたスライドは「上に凸か下に凸か」、「x軸よりも上側か下側か」という要点の整理の上で効果があった。黒板に書いたことを消してしまった場合、再度説明するときは手間がかかるが、基礎事項をスライドにしておくと、授業の中で繰り返し説明ができ、分かりやすい授業が展開できたと思う。しかし、生徒が形式的に２次不等式を解こうとする様子から考えると、２つの数の対応を考えながらという当初の目標が達成できたとは言えない。

⑶

三角比の定義三角比の定義については、直角三角形による三角比の定義から座標平面による定義への移行をスムーズに行うことができた。ただし、θが鈍角の場合は連続的なアニメ―ションでないためか、理解に苦しむ生徒は多かった。見るだけではなく、ワークシートなどを使9ってさらに工夫する必要がある。正5角形の問題は、⑽

方べきの定理タンジェントを用いるため、サイン、コサインを中心⑶と同様であるが、教科書には「点Ｆは円周上になに説明したことが生かされなかった。

い点」と述べられているにもかかわらず、円周上から⑷ 三平方の定理

円の外部に点Ｆが動いていく様子と、ＦＥ×ＦＤ＝Ｆ

等積移動のプレゼンテーションそのものは生徒に好Ｂ×ＦＣが常に成立している様子は生徒に好評であっ評であった。特に、正方形の切り貼りによる説明の方⑸た。

が生徒には分かりやすかったと思う。ただし、三平方コンピュータを活用した教材の提示については、多くのの定理の意味は理解できても、それを用いて問題を解反省点があり、今後さらに良いものにしたいと思う。「実けるかどうかは別問題のようだ。等式の変形や平方根用農業数学」を参考にした問題演習については、生徒が興の計算などの基本的な計算力が必要だと思われる。角

味を持ち、充実した時間を過ごしたとは言えない。特に数材の問題は、円周から直径を求めることができない生

学Ａについては、関連問題がなく、図形に関する問題は中徒が大部分で、三平方の定理に関する問題演習とは言学校までの内容のものばかりで、授業の中で取り扱うことえなかった。

は難しかった。研究題目として掲げたことに対して、明ら三角形の面積かに研究内容や成果が不十分なものとなってしまったが、三角形の面積の公式を導くプレゼンテーションはた

今後の授業に生かしていきたいと思う。

だ見るだけになってしまったので、ワークシートなどを使って工夫する必要がある。それぞれの角に対応す参考資料等る辺（３つの場合）の様子は、大変好評だった。

・高等学校

新数学Ⅰ

（第一学習社）

・高等学校

新数学Ａ

（第一学習社）・高等学校学習指導要領解説⑹ 余弦定理教科書に記載されている余弦定理の証明と比較すると、理解できた生徒もいたようである。ただし、正弦理数編省）

を用いた三角形の面積の公式を学んだ後での説明にな・

新数学教育の理論と実際＜中学校＞（聖文社）

る た め 、 復 習 事 項 が多 く 時間 が か か っ た 。 特 に 、・

実用農業数学（農業図書株式会社）sin(90   A)  cos A を再び理解させるのは困難だった。
余弦定理に関する問題が見られなかったため、正弦定理に関する演習問題を行ったが、ベクトル等がまった
く分からず、演習は充実したものにならなかった。
⑺ 組合せ・円順列
スライドの大きさの関係から、教科書の例題と同じもの（５個のものから３個を選ぶ組合せや４人の円順列）を考えることができなかったため、スライドの内容が適切でないところもあった。しかし、いくつかの順列をひとつ分の組合せや円順列として考えようとする態度が見られたため、基礎事項である積の法則を深く理解することができた。
⑻

数学編

三角形の重心・外心・内心Geometric Constructorは条件を保ちながら容易に図形の操作ができるため、今まで難解だった図形の証明や、図形の性質を用いた問題を分かりやすく解説することができた。今回は教材提示用として用いたが、使用方法を説明する時間が確保できるのであれば、生徒に使用させる方が良いと感じた。

⑼ 接弦定理接点の位置を固定したまま説明したので、生徒の理解は十分でなかったと思われる。また、角度の表示が小さいため、教材提示としては不適切かもしれない。
連続的でないものになってしまうが、地道にプレゼンテーションソフトで作成した方が良かったかもしれない。

10（文科