数学Ⅰ・Ａ，Ⅱ・Ｂの指導における，発展的な学習の扱いについて
愛媛県立新居浜東高等学校
愛 媛 県 立 北 条 高 等 学 校
愛 媛 県 立 松 山 北 高 等 学 校

はじめに
平成 24年度から他教科より選考して導入された新数学Ⅰのアンケート結果は以下の通りである。
① ３次式の展開(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎 2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3

校の数学Ⅰ・Ａ，Ⅱ・Ｂの指導において，発展的な学扱う 47% ，一部で扱う 25% ，扱わない 28%

習を扱っているかについて，各学校からご意見をいた
だき，今後の指導の参考にしていただければと考え，
％ア

イウエ

1351

185オ

カキク

ケ

13

② ３次式の因数分解

１ 実施状況

𝑎3 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 )教科書の中にある「研究」「発展」の内容を授業扱う 43% ，一部で扱う 21% ，扱わない 36%で取り扱っているかどうかを調査した。
数研出版の教科書には「研究」は『本文の内容に関連するやや程度の高い内容を扱いました。場合に健太恵女一貴（１） 数学Ⅰのアンケート結果学習指導要領が５年目を迎えている。今年度は，各学この主題を設定した。

大西岩﨑
山田％アイウエ861143オカキクケ

14

よっては省略して進むこともできます。』と，「発③ ２重根号展」は『学習指導要領の数学Ⅰの範囲外の内容です。
興味や関心に応じて選択して学習する発展的内容で√8 + 2√15 を簡単にせよ。

す。』と，記されている。

扱う 31% ，一部で扱う 28% ，扱わない 41%※ 高いレベルの教科書では，今回アンケートを行った内容の一部が，「研究」ではなく、通常％

アイウ

34747エオカキクケ3の指導内容として記載されていた。「教科書に載っているので，通常授業で扱う」と回答され④ 絶対値の場合分けた学校は，『扱う』の学校数として記載した。

|𝑥 − 2| の絶対値を外せ。
扱う 37% ，一部で扱う 35% ，扱わない 28%

２ 数学Ⅰ・Ａにおける取組について『扱う』『一部のクラスで扱う』『扱わない』の％

アイウエオ

カ350

318

53キクケ

割合と，扱う学校に関してはその理由を調べた。理由の選択肢は次の９つである。

⑤ ３つの集合の共通部分と和集合

ア…紹介程度で扱う

𝐴 = {3,6,9}, 𝐵 = {1,2,3,6}, 𝐶 = {2,4,6,8} につ

イ…通常の内容として扱う

いて，𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 と 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 の要素を書け。

ウ…既習事項を発展させて応用力をつけるため扱う 31% ，一部で扱う 24% ，扱わない 45%

エ…一貫性を持たせた系統的指導を行うため
オ…副教材で取り扱うため％

ア

イ

ウ

134830エオ

カ

キ

333ク

ケ

カ…数学Ⅱに関連づけるため⑥ √2 が無理数であることを、背理法で証明する

キ…興味・関心を持たせるため扱う 35% ，一部で扱う 16% ，扱わない 49%

ク…課題学習につなげるため
ケ…その他％

アイ

ウ

75329エオ

カ

キ

47クケ

⑦ ｢第１象限｣｢第２象限｣という名前扱う 62% ，一部で扱う 11% ，扱わない 27%％

ア

イ

2067ウ

エオ

3カキ

ク％

アイ

ウ

エ

1850213オ

カキ

ク

ケ

8ケ

10

⑮ 共分散という言葉
扱う 42% ，一部で扱う 20% ，扱わない 38%⑧ 𝑥 軸（𝑦 軸，原点）に関して対称な点扱う 54% ，一部で扱う 18% ，扱わない 28%％

アイ

ウ

エオ

カキ106485355ク％

アイウエ

26501212オカキクケ

ケ⑯ 相関係数の定義
計算方法を教えるだけでなく，定義に触れる。
扱う 42% ，一部で扱う 11% ，扱わない 47%⑨ グラフの平行移動
２次関数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) のグラフを 𝑥 軸方向に 𝑝,𝑦 軸方向に 𝑞 平行移動すると，𝑦 − 𝑞 = 𝑓 (𝑥 − 𝑝)

％

アイウエオ

21452173カキクケ

3扱う 33% ，一部で扱う 27% ，扱わない 40%
ア％

3イ58

ウ
27エ6オカキ3クケ

アンケート結果から分かるように，「扱う」または，「一部のクラスで扱う」と答えた学校の半数が3「イ：通常の内容として扱う」と回答している。次に多い理由は，「ウ：既習事項を発展させて応用力⑩ グラフの対象移動２次関数 𝑦 = 𝑓 (𝑥) のグラフを 𝑥 軸（𝑦 軸，原①②⑦⑫のように，数学Ⅱで学習する内容を先に点）に関して対称移動したグラフの式
扱う 33% ，一部で扱う 27% ，扱わない 40%％

アイウエオ

6552763カキを付けるため」である。

クケ3

扱う際には，「カ：数学Ⅱに関連づけるため」という理由が多い。
また，「一部のクラスで扱う」と答えた学校では「ア：紹介程度で扱う」という学校が多かった。

⑪ 放物線と直線の共有点の座標「授業時間に余裕があれば扱う」などのように，扱う 46% ，一部で扱う 17% ，扱わない 37%％

アイウエ370159オ

カキ

クケ3（２） 数学 A のアンケート結果

𝑦 = |𝑥 − 1| のグラフをかけ。
扱う 29% ，一部で扱う 20% ，扱わない 51%％

イウ45130エ

学習時間をきちんと確保させるのかを分けている学校もあるようである。

⑫ 絶対値を含む関数のグラフ

ア

それぞれの先生方の判断で，紹介程度で扱うのか，

オ

カ

キ

474ク

数学 A のアンケート結果は以下の通りである。
① 重複を許して作る組合せ

ケ

３種類の果物から，重複を許して５個にする。区
切り棒２本と５つを並べて，(3－1)＋5 C 5扱う 32% ，一部で扱う 21% ，扱わない 47%⑬ 三角形の内接円と面積△ABC の内接円の半径を 𝑟 とすると，△ABC％アイ

ウ73943エオ

カ7キク

ケ

41の面積 𝑆 は，𝑆 = 𝑟(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
2② 立方体の色塗り

扱う 45% ，一部で扱う 27% ，扱わない 28%％

アイウエオ

カ86318353キク

立方体の６面を６色で塗り分ける。底面固定で上ケ面が５通り。側面は４色の円順列。5 × (4 − 1)!
扱う 39% ，一部で扱う 24% ，扱わない 37%⑭ ヘロンの公式
扱う 40% ，一部で扱う 19% ，扱わない 41%％

アイウ

33835エオ
21カキ3クケ③ 原因の確率

𝑃𝐵 (𝐴) =𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)

％

アイウエ

47

2663オ

カキクケ

18

扱う 40% ，一部で扱う 22% ，扱わない 38%％アイ

ウ

96421エオカ3キクケ⑩ 最大公約数・最小公倍数の性質

3

最大公約数が12，最小公倍数が 72 である２つの自然数の組を求める。

④ 三角形の辺（三角形の成立条件）

扱う 43% ，一部で扱う 20% ，扱わない 37%

三角形の２辺の長さの和は他の１辺よりも大きく，２辺の長さの差は他の１辺よりも小さい

％

アイウエオ

9641836カキクケ

扱う 62% ，一部で扱う 8% ，扱わない 30%％

アイウエオ

1967333カキクケ⑪ 自然数の積と素因数の個数

5108 以下の自然数で，108 と互いに素であるものの個数を求めよ。

⑤ 三角形の辺と角扱う 33% ，一部で扱う 13% ，扱わない 54%△ABC において，𝑏 ＞ 𝑐 ⇔ ∠B ＞ ∠C扱う 64% ，一部で扱う 13% ，扱わない 23%％

アイウエ

276422オカキク％アイウエオ

125216412カキクケ

4ケ

5⑫ 和，差，積の余り5100 を 4 で割ったときの余りを求めよ。

⑥ 方べきの定理の逆扱う 35% ，一部で扱う 15% ，扱わない 50%

PA・PB = PC・PD が成り立つならば，４点A，B，C，D は１つの円周上にある。

％アイウエ

オ

75622411カキクケ

扱う 51% ，一部で扱う 9% ，扱わない 40%％アイウ

31579エオカキクケ⑬ 合同式

3𝑎 を 𝑚 で割った時の余りと，𝑏 を 𝑚 で割ったときの余りが等しいとき，𝑎 ≡ 𝑏 (mod 𝑚)

⑦ 三垂線の定理

扱う 22% ，一部で扱う 9% ，扱わない 69%

右の図において，OA⊥𝛼 ，OB⊥l

ならば AB⊥l



％

アイウ

エ

3535

246オカキクケ

数学Ⅰと同様に，「扱う」または「一部のクラス扱う 28% ，一部で扱う 4% ，扱わない 68%％アイ

3547ウエオカキクケ

18で扱う」と答えた学校の半数が，「イ：通常の内容として扱う」と回答している。
数学Ⅰとの違いは，２番目に多い理由が「ア：紹介程度で扱う」になっていることである。

⑧ 正多面体の体積

また，「場合の数と確率」と「図形の性質」の領

正六面体から周りの立体を切り取って、正四面体と、正八面体の体積を求める。

で扱っている内容も多い。より多くの種類の問題を扱う 19% ，一部で扱う 0% ，扱わない 81%％アイ

ウ403020エオ

カ

域では，「オ：副教材で取り扱うため」という理由

キ

ク

ケ

10

⑨ 正多面体の種類正多面体が５種類であることを知る
扱う 52% ，一部で扱う 11% ，扱わない 37%

学習させたり，「違った考え方（別解）」を教えた
りすることで，教科書で扱われている内容の理解が深まりやすい分野であるためであろう。
「場合の数と確率」と「図形の性質」と比べて，「整数の性質」領域の問題は，扱わないと回答した
学校が多かった。

３ 数学Ⅱ・Ｂにおける取組について⑤ ２直線の交点を通る直線の方程式
２直線 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 , 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 の交点 A『扱う』『一部のクラスで扱う』『扱わない』の割合と，扱う学校に関してはその理由を調べた。理を通る直線の方程式は，定数 𝑘 を用いて，由の選択肢は次の８つである。

(𝑥 − 𝑦 − 1) + 𝑘(𝑥 + 2𝑦 − 4) = 0 と表せる。
扱う 41% ，一部で扱う 25% ，扱わない 34%

ア…紹介程度で扱う
イ…通常の内容として扱う
ウ…既習事項を発展させて応用力をつけるため

ア

イ

ウエオ

64924

126％

カキ

ク

3エ…一貫性を持たせた系統的指導を行うため⑥ ２つの円の交点を通る図形

オ…副教材で取り扱うため
カ…数学Ⅲに関連づけるため

２円 𝑥 2 + 𝑦 2 − 5 = 0 , 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0

キ…興味・関心を持たせるための交点をA，B とすると，A，B を通る図形の方程ク…その他

式は，定数 𝑘 を用いて，次のように表せる。
𝑘(𝑥 2 + 𝑦 2 − 5) + (𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 2𝑦 + 5) = 0
扱う 35% ，一部で扱う 27% ，扱わない 38%（１） 数学Ⅱのアンケート結果
数学Ⅱのアンケート結果は以下の通りである。
𝑛① (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)の展開式

𝑎𝑝 𝑏 𝑞 𝑐 𝑟 の項の係数は

𝑛!
𝑝!𝑞!𝑟!

(𝑝 + 𝑞 + 𝑟 = 𝑛)

扱う 42% ，一部で扱う 27% ，扱わない 31%％

アイウエ

1158256ア

イウエ

オ

7532737％オ

カキ

カキ

ク

3⑦ 放物線を境界線とする領域
不等式 𝑦 ≥ 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 の表す領域を図示せよ。
扱う 36% ，一部で扱う 22% ，扱わない 42%

ク％

アイ

ウ

106717エオ

カ3キク

3② 代入による恒等式の係数決定
等式 2𝑥 2 − 7𝑥 − 1 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑏(𝑥 − 1) + 𝑐⑧ 加法定理の点の回転加法定理を用いて，点(2，4) を，原点を中心としが恒等式になるような，定数 𝑎, 𝑏, 𝑐 を求める問題
で，𝑥 に0，1，2 を代入して，連立三元一次方程式てを作って考える。

％イウ

エ

1757203オ

カキク

3だけ回転させた点の座標を求める。

4

扱う 23% ，一部で扱う 8% ，扱わない 69%

扱う 46% ，一部で扱う 24% ，扱わない 30%
ア𝜋％アイウ

193725エsin 3𝜃 cos 𝜃 =𝛼, 𝛽 が異なる２つの正の解をもつならば，12sin 𝐴 + sin 𝐵 = 2 sin

扱う 38% ，一部で扱う 27% ，扱わない 35%％

ウエ655336オ13キク{sin(3𝜃 + 𝜃) + sin(3𝜃 − 𝜃)}

𝐷 > 0，𝛼𝛽 > 0，𝛼 + 𝛽 > 0イ

カ

6⑨ 和と積の公式③ ２次方程式の実数解の符号

アオ

カ

キ

ク

𝐴+𝐵2cos

𝐴−𝐵2

扱う 16% ，一部で扱う 16% ，扱わない 68%％アイ

ウエ

2525316オ

カキク

13④ 組立除法
扱う 68% ，一部で扱う 12% ，扱わない 20%％

アイウエ

573133オカキク

33⑩ 負の数の 𝑛 乗根
3√−8 = −2

扱う 54% ，一部で扱う 16% ，扱わない 30%

ク：その他「１次式 (𝑥 − 𝑘)で割る問題は，整式の除法よりも組立除法の方が有用なため」

％

アイウ

エ

1469143オカキク

⑪ 関数 𝑥 𝑛 の導関数

(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1

扱う 76% ，一部で扱う 12% ，扱わない 12%％アイ

ウ

11769エオ

カキ

22％アイウエ21462112オ

カキク

ク② 平面の方程式
点(3,1, −1) を通り，ベクトル⃗⃗⃗⃗𝑛 = (−2,1,4) に垂⑫ ４次関数のグラフ直な平面の方程式を求めよ。

扱う 32% ，一部で扱う 20% ，扱わない 48%％

アイウ

234631エオ

カキ扱う 27% ，一部で扱う 16% ，扱わない 57%

ク％⑬ 放物線と 𝑥 軸で囲まれた部分の面積

イウエ

26435オカキク③ 複利計算扱う 27% ，一部で扱う 9% ，扱わない 64%

𝑎 > 0 のとき，放物線 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽) と 𝑥𝑎(𝛽−𝛼)3軸で囲まれた部分の面積は，

ア
266％

ア

イ

ウ

エ

4425196オ

カキク

6扱う 46% ，一部で扱う 30% ，扱わない 24%％

アイウエ

オ

8522933カキク④ 𝑎𝑛+1 = 𝑝𝑎𝑛 + 𝑞 を満たす数列の階差数列

5扱う 50% ，一部で扱う 16% ，扱わない 34%⑭ 曲線と接線で囲まれた部分の面積％

アイ

ウ145924エオ

カキク

3扱う 45% ，一部で扱う 22% ，扱わない 33%％

アイウエ

オ

652

3036カキク

3⑤ 隣接３項間の漸化式
𝑎1 = 1 , 𝑎2 = 4 , 𝑎𝑛+2 − 5𝑎𝑛+1 + 6𝑎𝑛 = 0 のとき，数列{𝑎𝑛 } の一般項を求めよ。

⑮ ３次関数のグラフと面積扱う 34% ，一部で扱う 32% ，扱わない 34%

曲線 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) と 𝑥 軸で囲まれた２つの部分の面積の和を求めよ。

％アイウ

104149エオ

カキク

扱う 40% ，一部で扱う 25% ，扱わない 35%％アイウ

エオ

65332

33カキ

ク

⑥ 二項分布のグラフ

3

数学Ⅰ，A と同様に，「扱う」または，「一部のクラスで扱う」と答えた学校の半数が「イ：通常の扱う 7% ，一部で扱う 9% ，扱わない 84%％アイウ

292929エオ

カキク
13ク：その他「数列が苦手な文系生徒のためのセンタ内容として扱う」と回答している。

ー対策で扱う」

ただし，⑧⑨は，扱わないと答えた学校が多く，理由も「ウ：既習事項を発展させて応用力をつける⑦ 連続型確率変数の期待値と標準偏差ため」の割合が高い。
（２） 数学B のアンケート結果
数学B のアンケート結果は以下の通りである。
① 同じ平面上にある点

扱う 5% ，一部で扱う 9% ，扱わない 86%％

アイウ

1733

33エオカキク17

ク：その他「数列が苦手な文系生徒のためのセンター対策で扱う」

一直線上にない3点 A(𝑎⃗), B(𝑏⃗⃗), C(𝑐⃗) と，点 P(𝑝⃗) について，点 P が平面 ABC 上にあるならば，𝑝⃗ = 𝑠𝑎⃗ + 𝑡𝑏⃗⃗ + 𝑢𝑐⃗⃗⃗ , 𝑠 + 𝑡 + 𝑢 = 1 となるような実数𝑠, 𝑡, 𝑢 が存在する。
扱う 54% ，一部で扱う 23% ，扱わない 23%

数学B は，「扱う」かどうかが，内容によって大きく別れた。①④は扱っている学校が多い。
⑥⑦は，ほとんどの学校が扱わないと答えているが，昨年度までの研究部のアンケート結果から，数学B の「確率分布と統計的な推測」の領域自体を扱授業時数が限られる中，各校が工夫を凝らして課わない学校が多いと予測される。この領域は扱った題学習に取り組み，生徒の意欲や数学への関心を高としても発展的な内容には触れない学校が多いのでめたり，問題解決能力をつけさせるために努力されあろう。ていることが，アンケートの回答から分かった。

≪参考≫昨年の調査では，「確率分布と統計的な課題学習の実施例に関しては，本研究委員会の中推測」の領域を扱っていると回答した学校はの「課題学習研究委員」の研究報告もぜひご参照い２校であった（一昨年度は４校）。今年度はただきたい。

⑥が７校，⑦が６校で，「扱う」「一部のクラスで扱う」と回答されている。

５ 終わりに
数学Ⅰ・A・Ⅱ・B ともに，教科書にも書いてあ

４ 課題学習についてる通り，「研究」や「発展」は省略しても良い内容

各校で実施されている課題学習について，生徒のであり，教科書のレベルや，生徒の習熟度や進路希反応が良かった題材や，面白い題材を，各校から紹望によっては，「研究」や「発展」の内容は扱いに介していただいた。

くい物も含まれている。また，限られた授業時数の中では，発展的な内容を扱うよりも，基礎基本の徹〔課題学習実施例〕底に重きを置く必要がある学校も多い。

・ ハノイの塔

・ 数学者について・ 複利計算・ 論理パズル

しかし，今回のアンケート結果をまとめる中で，各学校における，生徒の数学への興味関心を高める

・ 身の回りにある数学ための工夫に触れることができた。

・ 砂や塩を使って、三角形の外心・内心を考える。

生徒の理解度に応じて，発展的な内容を扱うこと・ ３人に赤白の帽子を被せ、自分以外の人の帽子ので，生徒の理解が深まるのか，逆に，既習事項と混色から、自分の帽子の色を推理する。

同してしまうのか。その都度バランスを見極めて，・ クラス内に、同じ誕生日の生徒がいる確率・ 三角比を利用して急な坂道を楽にのぼる方法工夫されている様である。
発展的内容を学習することは，応用力が身に付く

・ 20歳の誕生日の曜日の計算だけでなく，数学に興味関心を持って主体的に取り・ クラスの中でプレゼント交換をして、全員が自分組もうとする姿勢を育てることや，基礎基本の定着以外のプレゼントをもらう確率
22にも繋げていける。特に，アクティブラーニングを2・ 等式 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 を満たす自然数の組( 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 )を見つける。

取り入れる重要性が語られる今，発展的内容を扱うことで，多様な考え方に触れさせたり，自己の解答・ 工業高校の特性を活かし，物作りと関連した授業を自分なりに解説させたりする機会を増やすこと

・ 黄金比尺の製作、身近にある黄金比は，有用であると考える。

・ ２進数を利用した 1 ～ 31 の数当てクイズ

今回の研究を終えて，今後は発展的な内容をより・ ２次関数のグラフ上の点の問題（英語）積極的に扱っていきたいと感じている。また，その・ モンティ・ホール問題（コップ，おはじき使用）

際には，学校で使っている教科書とは違う教科書も・ 画鋲と硬貨を何度も投げて、表の出る確率を観察参考にすることで，より幅広い題材に触れられるか・ 𝑥，𝑦 の２次方程式の整数解もしれない。

・ 三角比を使って、校舎の高さを測る

最後になりましたが，お忙しい中，今回のアンケ

・ 階段の傾斜と法律ート調査に対し，丁寧にご回答，ご意見いただきま・ ナンバープレートの総数して本当にありがとうございました。本研究委員会

・ クラスの平日の睡眠時間など、身近なものを調査は今後も研究を重ねていく所存ですので，各先生方し、各班がそれぞれのデータの分析方法を用いて、から幅広いご意見をお寄せいただけたら幸いです。

データから読み取れることを発表する。
等々