中四国の国公立大学入試問題の研究―ＡＯ・推薦入試の問題から―
愛媛県立宇和島東高等学校

１ はじめに2000 年度、東北大、筑波大、九州大の３校で始まった国立大のＡＯ入試は今年で 10 年余りが経過し、年々成熟と進化を

大塚隆三

    のグラフをかけ。
    ととの交点の座標を求めよ。
（愛媛大 工 環境建設工 推薦）

図ろうとしている。
今年度入試での形態別の学校数では、国立大学 82 校中，ＡＯ入試実施校が 47 校，推薦入試実施校が 76 校、公立大学

等比数列の一般項と和の公式を言え。また，和の公式の81 校中，ＡＯ入試実施校が 21 校，推薦入試実施校が 79 校に証明をせよ。

のぼる。入学者比率を見てみると、国立大の全入学者約 10 万 を定義にしたがって微分せよ。

人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約 15％の約 1 万 5 千人、公立    ･    を定義に従って微分せよ。

大学約 2 万 9 千人のうち、推薦＋ＡＯ入学者は約 25％の 7 千5 百人を占めている。ＡＯ入試に関しては、国公立大学の総定員約 3 千人に対して、志願者数は約 1 万 1 千人を超えている。
ＡＯ入試に関しては、推薦・一般入試にはなかった新しい  を計算せよ。

  を解け。
（山口大 理 数理科学科 推薦）

人材発掘の理念と戦略を備えている。その傾向は、名古屋工大の「工学創成プログラム」、島根大総合理工の「理工特別コース」、愛媛大の「スーパーサイエンス特別コース」、九州大の「21 世紀プログラム」など、ＡＯ入試に特別なプログ       を解け。
 は、医療・教育分野などで「地元枠」あるいは「地域優遇型」

    についての推薦入試が増加している。2004 年度の独立法人化以降、教①  を満たすを求めよ。
   ②    を計算せよ。

ラムが組み込まれていることでも明らかである。推薦入試で



育分野では、いわゆる団塊世代の大量退職に伴い、特に過疎地、へき地の教員を志す者の不足、地域医療では、医師不足 などの地域の問題に対して、各地域との連携を強化している。

（岡山大 工 機械システム工 推薦）

今後も、医療・教育分野を中心に増加する傾向にあると思われる。
近年のＡＯ入試の拡大に伴って、その理念が推薦入試にも「生徒全員がペンを持っている」の否定を言え。

ンポリシーや「求める人物像」を明記する傾向が定着してい
ならば  」の真偽を答えよ。
る。また、文部科学省は 2011 年度の通達で、ＡＯ入試に限ら「  ならば   」の真偽を答えよ。

ず全入試において「合格から入学までの学習喚起」を講ずる   を計算せよ。

大きな影響を及ぼし、実施要項の改訂以前からアドミッショよう、初めて全大学に求めた。今後はいっそう入学準備教育

「  のプロセスを形成する一環であるため、大学の教育プログラ  を通り，  に接する接線の方程式を求めよ。
求めた接線と  ，軸とで囲まれた部分の面積をムへの熱意・向上心に欠ける受験生は、最悪の場合、合格を求めよ。

取り消すと要項に明記している大学もあることを忘れてはな  ，  とする。

らない。出題問題の中から、昨年度の中四国の国公立大学の①を求めよ。の充実が進むと期待される。特に、入学準備教育はＡＯ全体

ＡＯ・推薦入試で実際に出題された数学の問題を取り上げてみる。
２

平成２４年度推薦入試問題から（抜粋）以下に推薦入試における教科面接の質問内容を紹介する。

②   を求めよ。
     ，   ，    である   の
具体例をあげよ。
     の増減表とグラフをかけ。
 （島根大 総合理工 数理情報システム 推薦）

３ 平成２４年度ＡＯ・推薦入試問題から広島大学 理学部 数学科 ＡＯ入試する。Ｓをとを用いて表せ。
 のＳに対し，  のとき 第１問
関数                  を考える。
以下の問いに答えよ。

   とおく。

自然数に対して，          となるの値の範囲を求めよ。
   であるを固定するとき，          となるの値をすべて求めよ。

 が与えられた条件を満たしながら動くとき，のＳの最大値とその最大値を与えるの値を求めよ。
第５問
座標平面上の３点Ａ  ，Ｐ   ，Ｑ  を考える。
ただし，   ，    ，   とする。また， ， とおく。以下の問いに答えよ。
 長さの比 が固定されが自然数全体を動くときの   のを求めよ。
 最大値を とする。極限値
第２問

平面において，行列  


をとを用いて表せ。
 点ＰがＰ  で固定され，点Ｑが   を満たしながら動くとき，の動く範囲を求めよ。また，このときのを正の実数，を実数とする。Ｏを原点とする座標であることを示せ。

の最小値とその最小値を与える点Ｑの座標を求め
よ。
 が表す１次変換により，

どのような０でない実数に対しても点 
は曲線      上の点に移るとする。以下の問いに答えよ。
   ，  となることを示せ。
 実数に対して点Ｐ を考える。行列Ａを表す１次変換によるＰの像をＱとする。どのような実数に対し 中心が で半径が の円の外側に点Ｐが固定され

点Ｑが   を満たしながら動くとき，

が最小値
をとるのは点Ｑの座標が  のときであることを示せ。

山口大学 理学部 数理科学科 推薦入試（抜粋）
第１問ても線分ＯＰとＯＱが直交しないためのの範囲を求めよ。 日本の代表的な年金制度に国民年金がある。国民年金は，日 のＰとＱに対し，半直線ＯＰを原点Ｏを中心にだ本国内に住所のある歳以上歳未満の全ての人が加入する

け回転すると半直線ＯＱが得られるとする。がの条ことが義務付けられており，毎年一定の額を保険料として年件を満たすとき， をの式で表せ。

金機構に払い込まなくてはならない。平成年度の保険料は においてが正の実数によらない定数となるときのの値を求めよ。
第３問

年額円となっており，以後の保険料は変わらないとす
ると，歳になるまでの年間に払い込む保険料の総額は次のようになる。

を３以上の整数とする。サイコロを回投げるとき，６が＝円

ちょうど２回出てかつ回目に５以下の目が出る確率を  歳以降，こうして積み立てた保険料から年金が支給されるとする。以下の問いに答えよ。

が，実際には払い込んだお金に毎年利子が付くため，支給さ   を求めよ。

れる年金は払い込んだ保険料の総額より多くなる。以下で実      となるの値を求めよ。

際に年金の試算を行ってみよう。ただし，話を簡単にするた   が最大となるの値を求めよ。

めに次のことを仮定しておくことにする。
１年ごとの利率（年利）は％で固定されている。

第４問
とは正の定数であり，区間   で常に保険料の支払いと年給の受給は全て４月２日に行われる。
利子は，１年分が毎年３月日に複利で加算される。

     を満たすとする。以下の問いに答えよ。
たとえば， 定数の値の範囲をを用いて表せ。

歳になる年の４月２日に払い込んだ保険料円は， 放物線

 と軸で囲まれた図形の面積をＳと

歳になる年の４月１日には年分の利子が複利で加算される
ため，実際には次の価値があるとみなされる。

   円

以下， として，次の問いに答えなさい。ただし
愛媛大学 理学部 数学科 ＡＯ入試
次のに入る数を解答用紙の指定のところに記入せよ。

 連立不等式

金額を数値で答える場合には，小数点以下を切り捨てて整数    ，   ，   

値で答えなさい。（計算には配布された電卓を用いてよい。の表す領域の面積は アべき乗の計算は次項の『電卓によるべき乗の計算』を参考にしなさい。）
 歳になる年から歳になる年までの年間，毎年円の保険料を払い込んだとする。歳になる年の４月１日時点での払い込んだ金額の価値の合計をとするときをを用いて表しなさい。
   （年利５％）の場合にの値を実際に計算しなさである。

   とする。２つの曲線  および  に対しにおけるそれぞれの接線の傾きが等しいとき，   イ  である。

 方程式      が    を解にもつとき，

ウエ，

である。ただし，は実数で，は虚数単位である。

い。
 歳になる年から歳になる年までの年間，毎年円の保険料を払い込む。  の場合に，歳になる年の４月１日時点での払い込んだ金額の価値の合計を  と表す
とき，    となるためのの値を計算しなさい。
次に年金の受給額について考える。歳になる年の４月

            オ  関数           はとき極小値 キ  

１日の時点で，年金機構にはで求めた円が預けられることになる。歳以降は，この預けている金額から毎年一定額を引き出す，という扱いで年金受給額が計算される。
以降は，歳になる年から歳になる年まで計年間に，毎年同じ金額を年金として受給されるものとして計算を行う。
毎年の年金受給額を円とすると，は次のように計算される。
を以上以下の整数とし，歳になる年の４月１日の時点で年金機構に預けている金額を で表すことにする。
すると，  であり， 歳になる年の４月１日の時点
で年金機構に預けている金額 は からを引いたものに利子がかかったものとなるので
       という関係式が得られる。このとき，  となるような値が毎年の年金受給額となる。
 をとを用いて書き表しなさい。また，  のときに，で求めたの値を用いて実際にの値を計算しなさい。
注意：上記の計算は「積み立て方式」と呼ばれる方式によるものですが，日本の国民年金の計算では賦課方式と呼ばれる方式が採用されており，実際には上記のような形で計算されるわけではありません。

カのをとる。

，  
で定められた数列   につい  て，   クである。

 Ａ，Ｂ，Ｃの３人が，２人ずつ対戦するゲームをする。

ＡがＢに勝つ確率は ，ＢがＣに勝つ確率は ，ＣがＡに勝つ確率は とし，引き分けはないものとする。それぞれ
が他の２人と１回ずつ対戦するとき，ＢとＣがともに１勝１敗になる確率は ケである。

 平面上の異なる３点Ａ，Ｂ，Ｃについて，
 ･   ･    ･     コが成り立つ。

第２問
次の命題の真偽を判定し，解答用紙に書かれた真または偽のいずれか一方に○を付けよ。さらに，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ。
 ２つの整数の平方の差は，４の倍数であるか奇数である。
 実数が    を満たすとき， である。
 ２つの集合を ｜は整数     ｜は整数  とする。このとき，である。

すような関数の例を１つあげよ。ただし，１次関数とは
    は定数という形の関数のこととする。

 △ で，      を満たすものは存在しない。

を自然数とするとき，次の等式が成り立つことを示せ。
 ある定数 が存在してすべての  に対して
    を満たすことを示せ。
第４問

第３問

   すべての  に対して    であることを示せ。

８個の点が図のように道でつながってい       る。物体が点を出発し，１秒ごとに道でつながった隣り合う点に次のような確率で移動する：

第４問
実数を成分とする２次正方行列満たすとする。

  

は  

 ア 物体が大文字の点にあるときは，隣の大文字に移る確率を
は ，隣の小文字の点に移る確率は である。
イ 物体が小文字の点にあるときは，隣り合う３個の点に移ＤＣ
る確率はいずれも である。
    であるをすべて求めよ。
  であるをすべて求めよ。
   であるを１つ求めよ。

このとき次の問いに答えよ。
Ａ

岡山大学 理学部 数学科 ＡＯ入試

Ｂ

 ３秒後に物体が点にある確率を求めよ。

第１問

 秒後に物体が大文字の点にある確率を求めよ。

数列         を次のように定義する。

 ８秒後に物体が点にある確率を求めよ。

  ，  ，            
この数列について次の問いに答えよ。
   に対して  と  は互いに素であることを示せ。
   に対して

ＡＯ入試と推薦入試の問題の筆記試験・教科面接の問題の一部を紹介した。教科面接においては、問題の難易度は高く

          …       であることを示せ。
４ まとめないものの、生徒自身の表現力が問われるのではないかと思われる。入試に限らず、新教育課程における言語活動の充実  に対して          であること

を図るためにも、普段の授業の中から表現力を身に付けさせていきたい。

を示せ。

筆記試験においては、数学的な見方や考え方を問われる問

第２問
実数を成分とする２２行列が  ，    を満たしているとする。ただし，は単位行列である。このとき次の問いに答えよ。

題に加え、基礎・基本が問われる問題や、読解力を問われる問題が出題される傾向にある。問題文を読んで流れをしっかりとつかみ、正しい推論をしていく力やその考えを式や図で表現できる力を身に付けていくことが求められる。数学ⅡＢ 実数 に対して  とおく。このときは逆行列をもち，    となる形に表されることを示せ。また実数をを用いて表せ。
  ，   であり，かつ ， がともに逆行列をもたないような行列の例を１つあげよ。

までの内容であるものについては、早い段階で生徒に解かせてみるのもよいのではないかと思う。
センター試験を使わないＡＯ・推薦入試では、試験日が９月から１１月にあるため、それまでに十分な学力を身に付けなければならない。当然、一般入試に向けた学習も平行して第３問行わなければならないので、生徒の状況に応じて受験をさせ  で定義された関数  が次を満たしているとする。

るべきか判断していかなければならないと思う。

ア   は単調増加，すなわちならば     イ すべての  に対して          
このとき次の問いに答えよ。
 「１次関数」ではなく，かつ上記の条件ア，イを満たＡＯ・推薦入試も頭に入れながら、国公立大学の受験を考えていくことが３年生の担任には求められていくが、安易に受験機会を増やす手段として考えていくことは危険であると思われる。