数

学
注

数

411

問題はから5意までで， 5 ページにわたって印刷してあります。

また，解答用紙は両面に印刷してあります。
2

検査時間は 50 分で，終わりは午前 11 時 10 分です。

3

声を出して読んではいけません。

4

計算が必要なときは，この問題用紙の余白を利用しなさい。

5

答えは全て解答用紙にＨＢ又はＢの鉛筆（シャープペンシルも可）を使って明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

学

6

答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。
63
例えば，と答えるのではなく，と答えます。
8
4
答えに根号が含まれるときは，根号の中を最も小さい自然数にしなさい。

7

例えば，388 と答えるのではなく，62 と答えます。

答えを選択する問題については，特別の指示のあるもののほかは，各問のア・イ・ウ・エのうちから，最も適切なものをそれぞれ 1 つずつ選んで，その記号の9の中を正確に塗りつぶしなさい。の中の数字を答える問題については，「あ，い，う，…」に当てはまる数字を，下の〔例〕のように， 0 から 9 までの数字のうちから，それぞれ 1 つずつの中を正確に塗りつぶしなさい。

選んで，その数字の10 答えを記述する問題（答えを選択する問題，の中の数字を答える問題以外のもの）については，解答用紙の決められた欄からはみ出さないように書きなさい。
11

答えを直すときは，きれいに消してから，消しくずを残さないようにして，新しい答えを書きなさい。
受検番号を解答用紙の表面と裏面の決められた欄に書き，表面については，12

その数字の13の中を正確に塗りつぶしなさい。

〔例〕

解答用紙は，汚したり，折り曲げたりしてはいけません。

あいに 12 と答えるとき

あ0

い02134567893456789

1

次の各問に答えよ。
〔問 ₁ 〕 1 - 6 2 '〔問 ₂ 〕

92を計算せよ。

3a + ba - 7b48

〔問 ₃ 〕 _ 2 +6 i2を計算せよ。

を計算せよ。

〔問 ₄ 〕 一次方程式

₅ x - ₇ = ₉（ x - ₃ ） を解け。

〔問 ₅ 〕 連立方程式*〔問 ₆ 〕 二次方程式

₄ x2 + ₆ x - ₁ = ₀〔問 ₇ 〕 次のの中の「あ」に当てはまる数字を

x = 4y + 1
2x - 5y = 8を解け。
を解け。

答えよ。
右の表は，ある中学校の生徒 ₃₃ 人が，的に向けてボールを ₁₀ 回ずつ投げたとき，的に当たった回数ごとの人数を整理したものである。
ボールが的に当たった回数の中央値はあ回である。

〔問 ₈ 〕 次のの中の「い」「う」に当てはまる数字を回数（回）₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉₁₀計

人数（人）₂₃₅₆₄₂₂₁₂₄₂₃₃

図1それぞれ答えよ。

Ｄ

右の図 1 で点Ｏは線分ＡＢを直径とする円の中心であり， ₂ 点Ｃ，Ｄは円Ｏの周上にある点である。

Ａ₄ 点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄは図 1 のようにＡ，Ｃ，Ｂ，Ｄ

xＥ

Ｂ

Ｏの順に並んでおり，互いに一致しない。
点Ｂと点Ｄ，点Ｃと点Ｄをそれぞれ結ぶ。

Ｃ

線分ＡＢと線分ＣＤとの交点をＥとする。
点Ａを含まないＢＣについて，
ＢＣ= ₂ ＡＤ，+ＢＤＣ= ₃₄°のとき，x で示した+ＡＥＤの大きさは， いう 度である。
〔問 ₉ 〕 右の図 2 で，iＡＢＣは鋭角三角形である。

図2Ａ

解答欄に示した図をもとにして，辺ＡＢ上にあり，iＡＣＰの面積とiＢＣＰの面積が等しくなるような点Ｐを，定規とコンパスを用いて作図によって求め，点Ｐの位置を示す文字Ｐも書け。
ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。
Ｂ1Ｃ

2

Ｓさんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
［先生が示した問題］
₂ 桁の自然数Ｐについて，Ｐの一の位の数から十の位の数をひいた値をＱとし，Ｐ-Ｑの値を考える。
例えば，Ｐ= ₅₉ のとき，Ｑ= ₉ - ₅ = ₄ となり，Ｐ-Ｑ= ₅₉ - ₄ = ₅₅ となる。
Ｐ= ₇₈ のときのＰ-Ｑの値から，Ｐ= ₄₁ のときのＰ-Ｑの値をひいた差を求めなさい。

〔問 ₁ 〕 次のの中の「え」「お」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

［先生が示した問題］で，Ｐ= ₇₈ のときのＰ-Ｑの値から，Ｐ= ₄₁ のときのＰ-Ｑの値をひいた差は， えお である。
Ｓさんのグループは，［先生が示した問題］をもとにして，次の問題を考えた。
［Ｓさんのグループが作った問題］
₃ 桁の自然数Ｘについて，Ｘの一の位の数から十の位の数をひき，百の位の数をたした値をＹとし，Ｘ-Ｙの値を考える。
例えば，Ｘ= ₁₂₉ のとき，Ｙ= ₉ - ₂ + ₁ = ₈ となり，Ｘ-Ｙ= ₁₂₉ - ₈ = ₁₂₁ となる。
また，Ｘ= ₂₈₄ のとき，Ｙ= ₄ - ₈ + ₂ = - ₂ となり，Ｘ-Ｙ= ₂₈₄ -（ - ₂ ）= ₂₈₆となる。どちらの場合もＸ-Ｙの値は ₁₁ の倍数となる。
₃ 桁の自然数Ｘについて，Ｘ-Ｙの値が ₁₁ の倍数となることを確かめてみよう。

〔問 ₂ 〕［Ｓさんのグループが作った問題］で， ₃ 桁の自然数Ｘの百の位の数を a，十の位の数を b，一の位の数を c とし，Ｘ，Ｙをそれぞれ a，b，c を用いた式で表し，Ｘ-Ｙの値が ₁₁ の倍数となることを証明せよ。

2

3

図1

右の図 1 で，点Ｏは原点，曲線 l は1 2x のグラフを表している。
関数 y =4点Ａは曲線 l 上にあり，x 座標は - ₈ である。
曲線 l 上にあり，x 座標が - ₈ より大きい数である点をＰとする。
次の各問に答えよ。

yＡl₁₅₁₀〔問 ₁ 〕 次の ① ， ② に当てはまる数を，下のア〜クのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。
点Ｐの x 座標を a，y 座標を b とする。
a のとる値の範囲が - ₄ E a E ₁ のとき，b のとる値の範囲は，① EbE ②である。
ア-₄1オ2₅Ｐ-₅Ｏ

イ-₂ウ₀エカ₁

キ₄ク

x₅
14₁₆〔問 ₂ 〕 次の ③ ， ④ に当てはまる数を，下のア〜エのうちからそれぞれ選び，記号で答えよ。
点Ｐの x 座標が ₂ のとき， ₂ 点Ａ，Ｐを通る直線の式は，
y= ③ x+ ④である。
③ア-④ア

7332イ-イ

8323ウウ〔問 ₃ 〕 右の図 2 は，図 1 において，点Ｐのx 座標が ₀ より大きく ₈ より小さいとき，
点Ａを通り y 軸に平行な直線と，点Ｐを通り x 軸に平行な直線との交点をＱとした場合を表している。
点Ａと点Ｏを結んだ線分ＡＯと直線ＰＱとの交点をＲとした場合を考える。
ＰＲ：ＲＱ= ₃ ： ₁ となるとき，
点Ｐの x 座標を求めよ。

2372エ32エ₄

図2yＡ

l₁₅₁₀Ｑ

Ｐ₅-₅3Ｏ₅x4

右の図 1 で，iＡＢＣとiＡＢＤは，ともに図1同じ平面上にある正三角形で，頂点Ｃと頂点ＤはＤＡ一致しない。
Ｐ

点Ｐは，辺ＢＤ上にある点で，頂点Ｂ，頂点Ｄのいずれにも一致しない。
点Ｑは，辺ＢＣ上にある点で，頂点Ｂ，頂点Ｃのいずれにも一致しない。

Ｂ

頂点Ａと点Ｐ，頂点Ａと点Ｑをそれぞれ結ぶ。

Ｑ Ｃ

次の各問に答えよ。

〔問 ₁ 〕 図 1 において，+ＰＡＱ= ₉₀°，+ＤＡＰ= a °とするとき，+ＡＱＢの大きさを表す式を，次のア〜エのうちから選び，記号で答えよ。

ア （ ₇₅ - a ）度

イ （ ₉₀ - a ）度ウ （ a + ₃₀ ）度エ （ a + ₆₀ ）度

図2〔問 ₂ 〕 右の図 2 は，図 1 において，

Ｄ+ＰＡＱ= ₆₀°のとき，点Ｐと点ＱをＡ結び，線分ＡＢと線分ＰＱとの交点をＲとした場合を表している。
次の①，②に答えよ。
Ｐ①iＡＢＰ / iＡＣＱ であることを証明せよ。

②

次のＲＢ

Ｑの中の「か」「き」「く」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

図 2 において，ＤＰ：ＰＢ= ₂ ： ₁ のとき，iＢＲＰの面積は，iＡＢＣの面積のかきく倍である。

4Ｃ

5

右の図 1 に示した立体ＡＢＣＤ-ＥＦＧＨは， 図 1ＡＢ=ＡＤ= ₈ cm，ＡＥ= ₇ cm の直方体

ＤＱである。
点Ｍ，点Ｎはそれぞれ辺ＥＦ，辺ＥＨの中点ＡＣＢＰである。
点Ｐは，頂点Ａを出発し，辺ＡＢ，辺ＢＣ上Ｈを毎秒 ₁ cm の速さで動き，₁₆ 秒後に頂点Ｃに到着する。
点Ｑは，点Ｐが頂点Ａを出発するのと同時に

ＧＮＥＭＦ

頂点Ａを出発し，辺ＡＤ，辺ＤＣ上を毎秒 ₁ cm の速さで動き，₁₆ 秒後に頂点Ｃに到着する。
点Ｍと点Ｎ，点Ｍと点Ｐ，点Ｎと点Ｑ，点Ｐと点Ｑをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。の中の「け」「こ」「さ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。

〔問 ₁ 〕 次の点Ｐが頂点Ａを出発してから ₃ 秒後のとき，四角形ＭＰＱＮの周の長さは，
けこ〔問 ₂ 〕 次のさcm である。の中の「し」「す」「せ」に当てはまる数字をそれぞれ答えよ。
図2右の図 2 は，図 1 において，

Ｄ

点Ｐが頂点Ａを出発してから ₁₂ 秒後のとき，頂点Ａと点Ｍ，頂点Ａと点Ｎ，Ｂ

Ａ

頂点Ａと点Ｐ，頂点Ａと点ＱをＱＣＰそれぞれ結んだ場合を表している。
このとき，立体Ａ-ＭＰＱＮの体積は，Ｈしすせ cm 3 である。

ＧＮ
Ｅ

5Ｍ

Ｆ

x=，y =Ａ

Ｂ

Ｃ
さ
ししすせ

すせ

iＡＢＰと iＡＣＱにおいて，Ｘ-Ｙの値は 11 の倍数になる。
iＡＢＰ / iＡＣＱ

正答数表

学(4一次・分割前期)

問1〔問 1 〕－７

問1〔問 1 〕

５①ウ②キ５点

５a ＋９b〔問 2 〕点問2問23５８〔問 2 〕③ア④エ点

問3〔問 3 〕

５点

１０＋４ ６

問3〔問 3 〕

５点

５６点

問4〔問 4 〕

５問1５〔問 1 〕

点

イ

５点

問5x＝

〔問 5 〕，y ＝

９－３±〔問 6 〕

２

問 2①５点〔問 2 〕① 〔証７明〕

点

問6１３５点４△ＡＢＰと△ＡＣＱにおいて，

問7〔問 7 〕

ああ４仮定から，△ＡＢＣと△ＡＢＤはともに５点正三角形だから，

問81い〔問 8 〕

５ＡＢ＝ＡＣ

５点

いうう∠ＡＢＰ＝∠ＡＣＱ

１… … … … (2)仮 定 か ら ， ∠ Ｐ Ａ Ｑ ＝ 60 °
∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＱ－∠ＢＡＱ

問9６〔問 9 〕… … … … … … … (1)＝ 60° － ∠ Ｂ Ａ Ｑ点

△ Ａ Ｂ Ｃ は 正 三 角 形 だ か ら ∠ Ｂ Ａ Ｃ ＝ 60°

Ａ∠ＣＡＱ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＱ

4＝ 60° － ∠ Ｂ Ａ Ｑ
よって，Ｐ∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＱ… … … … (3)(1)， (2)， (3)よ り ， １ 組 の 辺 と そ の 両 端の角がそれぞれ等しいから，
ＣＢ△ＡＢＰ≡△ＡＣＱ
問 2②
問1〔問 1 〕

３か５点えお〕お問
2３②かきく問2〔問 2 〕 〔 証明〕２５点〔え７き２く７点
問1Ｘ，Ｙを，それぞれ a , b , c を用いた式でけ１５点表すと，
Ｘ ＝ 100 a ＋ 10 b ＋ c〔問 1 〕 け こ さ

こ７さ２

し

１

Ｙ＝ c － b ＋ aとなる。

25

よって，

問2Ｘ－Ｙ

点

＝ (100 a ＋ 10 b ＋ c )－ ( c － b ＋ a )＝ 99 a ＋ 11 b

〔問 2 〕

しすせす

１

せ２＝ 11( 9 a ＋ b )9 a ＋ b は 整 数 で あ る か ら ， 11( 9 a ＋ b )は 11の 倍 数 で あ る 。
したがって，Ｘ － Ｙ の 値 は 11 の 倍 数 に な る 。

５※3 〔問 1 〕 全 て 「 正 答 」 で ， 点 を 与 え る 。

※

3 〔問 2 〕 全 て 「 正 答 」 で ， 点 を 与 え る 。

数学

採点のポイント

問題番号配点正答（4例１

線を引き，辺ＡＢとの交点となる点Ｐが正確に示されている。

〔問９〕

Ｐ

配点
６点

ＣＢ

Ｘ，Ｙを，それぞれa，b，cを用いた式で

〔問２〕
配点
７点

採点のポイント○△ＡＢＣにおいて，辺ＡＢの垂直二等分Ａ２一次・分割前期）

表すと，○Ｘで表される3桁の自然数が，a，b，c を用いた式で適切に示されている。

○Ｙが，a，b，c を用いた式で適切に示されＸ＝100a＋10b＋c
Ｙ＝c－b＋aている。

○Ｘ－Ｙの値が11の倍数になることが的確にとなる。
よって，示されている。

Ｘ－Ｙ＝（100a＋10b＋c）－（c－b＋a）＝99a＋11b＝11（9a＋b）
9a＋bは整数であるから，11（9a＋b）
は11の倍数である。
したがって，Ｘ－Ｙの値は11の倍数になる。
△ＡＢＰと△ＡＣＱにおいて，

４〔問２〕
①配点７点

仮定から，△ＡＢＣと△ＡＢＤはともにを明確に記述し，仮定から結論を導く推論の過程が的確に示されている。

正三角形だから，
ＡＢ＝ＡＣ○正しいと認められる事柄について，根拠………………………… (1)∠ＡＢＰ＝∠ＡＣＱ……………… (2)仮定から，∠ＰＡＱ＝60°∠ＢＡＰ＝∠ＰＡＱ－∠ＢＡＱ＝60°－∠ＢＡＱ△ＡＢＣは正三角形だから∠ＢＡＣ＝60°∠ＣＡＱ＝∠ＢＡＣ－∠ＢＡＱ＝60°－∠ＢＡＱ
よって，∠ＢＡＰ＝∠ＣＡＱ……………… (3)(1)，(2)，(3)より，１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいから，△ＡＢＰ≡△ＡＣＱ

各学校において，採点のポイントを踏まえて『部分点の基準』を作成し，『部分点の基準ごとの点数』を定めること。
なお，受検者の実態等に応じて，次の例のように詳細な基準を定めることができる。
・ 「○○について××が書かれている。
」のように，具体的な内容を加えること。
・ 「○○と△△が書かれている。
（３点）」「○○が書かれている。（２点）」「△△が書かれている。
（１点）」のように，段階を設け，段階ごとの点数を設定すること。
・ 「誤字が一つ以上ある。
（１点減点）」のように，部分点の基準を加えること。