令和２年度 A日程
学 力 検 査 問 題

3数学注意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３ 問題用紙は表紙を除いて７ページで，問題は １ から ６ まであります。
４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

受検番号

１ 次の（1）～（8）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算せよ。
①−5−4＋7②2x＋yx−2y−46③

24 a 2b 2 ÷（− 6 b 3 ）÷ 2ab④75 −93（2） 周の長さが a cm の長方形において，縦の長さを 5 cm としたときの横の長さを b cm とする。
このとき，b を a の式で表せ。

（3） 4％の食塩水と 9％の食塩水がある。この 2 つの食塩水を混ぜ合わせて，6％の食塩水を 600ｇつくりたい。4％の食塩水は何ｇ必要か。

（4） 2 次方程式 2 x 2 ＋ 7x ＋ 1 ＝ 0 を解け。

−1−

（5） 関数 y＝− x 2 について，x の変域が−2 ≦ x ≦ 3 のとき，y の変域は a≦y≦b である。このときの a，b の値を求めよ。

（6） 右の図のように，1 辺の長さが 12 cm の立方体のすべての面に接している球がある。この球の体積を求めよ。ただし，円周率はπを用いること。

（7） 右のグラフは，ある中学校の学級の生徒 40 人について通学距離を調べ，その結果をヒストグラムで （人）表したものである。このヒストグラムでは，例えば，通学距離が 2 km 以上 3 km 未満の生徒が 7 人いることがわかる。また，この生徒 40 人の通学距離の平均値は，3. 3 km であった。
このヒストグラムにおいて，平均値である 3. 3 kmを a，中央値を b，最頻値を c とするとき，a，b，c のある中学校の学級の生徒 40 人の通学距離

10864200123456789（km）

大小を，不等号を使って表せ。

（8） 下の図のような，三角形ＡＢＣがある。∠Ｂの二等分線上にあって，点Ａからの距離が最も短い点Ｐを，定規とコンパスを使い，作図によって求めよ。ただし，定規は直線をひくときに使い，長さを測ったり角度を利用したりしないこととする。なお，作図に使った線は消さずに残しておくこと。
AB−2−C2

あすかさんは，規則的に並んだ整数の和で，いろいろな整数を表すことを考えた。例えば，

48 は，15 ＋ 16 ＋ 17 ＝ 48 のように，連続する 3 つの整数の和で表すことができる。このことについて，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 48 は，連続する 4 つの奇数の和でも表すことができる。次の【あすかさんのノート】は，あすかさんが文字式を使って，和が 48 になる連続する 4 つの奇数を求める問題を，正しく解いたノートの一部である。
【あすかさんのノート】中のア，イ，ウに当てはまる文字式を，それぞれ書け。
【あすかさんのノート】〔解答〕
n を整数とする。連続する 4 つの奇数のうち，最も小さい奇数を 2n ＋ 1 とおくと，連続する 4 つの奇数は，小さい順に 2 n ＋ 1，イア，ウ）＝ 48，ウと，それぞれ n を使って表すことができる。
この 4 つの奇数の和が 48 なので，（2 n ＋ 1 ）＋（ア）＋（イ）＋（

8 n ＋ 16 ＝ 48n＝4
したがって，和が 48 になる連続する 4 つの奇数は，9，11，13，15 である。

（2） 280 は，連続する 5 つの整数の和で表すことができる。このとき，和が 280 になる連続する 5 つの整数のうち，最も小さい整数を求めよ。
（3） 280 は，連続する 3 つの偶数の和では表すことができない。その理由を，n を使った文字式を用いて，言葉と式を使って説明せよ。ただし，n は整数とする。

−3−

3

図 1 のように，円Ｏの周上に 3 点Ａ，Ｂ，Ｃをとり，三角形ＡＢＣをつくる。半径ＯＢと辺ＢＣでできる∠ＯＢＣを∠ x とする。また，弧ＢＣに対する円周角∠ＢＡＣを∠ y とする。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。

AyBxＯC

図1A（1） ∠y は鋭角とする。このとき，∠ x と∠ y の関係は，∠ x ＋∠ y ＝ 90°という式で表すことができる。このことyを説明するために，図 2 のように，線分ＢＤが直径となるような点Ｄを円Ｏの周上にとり，点Ｃと点Ｄを結ぶ。
∠ x ＋∠ y ＝ 90°が成り立つ理由を，図 2 を用いて言葉と式で説明せよ。

BxDＯC

図2A（2） ∠ y を鈍角とすると，図 1 の三角形ＡＢＣは，図 3 のようになる。このとき，∠ x と∠ y の関係は，どのような式で表すことができるか。∠ x と∠ y を使った式で答えよ。

ByxＯ

図3−4−C４

図 1 のような，一方の面が白色，もう一方の面が黒色の円盤状のこまが 6 枚ある。この 6 枚のこまを，六角形ＡＢＣＤＥＦの各頂点上に，図 2 のように白色の面を上にして 1 枚ずつ置き，頂点Ａから順に，こまＡ，こまＢ，こまＣ，こまＤ，こまＥ，こまＦとする。1 つのさいころを 2 回投げ，下の【手順】にしたがって，さいころの出た目の数だけこまをうら返す。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。
AF

BEC

図1D

図2
【手順】
①

1 回目に出た目の数だけ，こまＡから左回りに，順にこまをうら返す。

②

2 回目に出た目の数だけ，こまＦから右回りに，順にこまをうら返す。

〔例〕 1 回目に出た目の数が 3，2 回目に出た目の数が 5 のときは，次のように各頂点上のこまをうら返し，こまＡ，Ｄ，Ｅ，Ｆの上の面が黒色，こまＢ，Ｃの上の面が白色となる。
1 回目に出た目の数が 3

2 回目に出た目の数が 5⇒ こまＡ，Ｂ，Ｃの順に3 枚をうら返す⇒ こまＦ，Ｅ，Ｄ，Ｃ，Ｂの順に5 枚をうら返す

AFBAECFB

DEC（1） 6 枚のこまの上の面がすべて黒色となる確率を求めよ。
（2） こまＥの上の面が白色となる確率を求めよ。

−5−D1 2x のグラフで，点Ａ，Ｂはこのグラフ上の点であり，点Ａ，Ｂの x 座標4はそれぞれ− 6，2 である。y 軸上に点Ｃをとり，点Ａと点Ｃ，点Ｂと点Ｃをそれぞれ結ぶ。こ５下の図は，関数 y ＝のとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） 点Ａの座標を求めよ。
Ay（2） 線分ＡＣと線分ＢＣの長さの和ＡＣ＋ＣＢを考える。
C

ＡＣ＋ＣＢが最小となる点Ｃの座標を求めよ。
（3） 2 点Ａ，Ｂから y 軸へそれぞれ垂線をひき，y 軸との交点をそれぞれＤ，Ｅとする。ただし，点Ｃは線分ＤＥ上の点とする。
三角形ＡＣＤと三角形ＣＥＢについて，y 軸を軸として 1 回転させたときにできる立体の体積をそれぞれ考える。三角形ＡＣＤを 1 回転させてできる立体の体積が，三角形ＣＥＢを 1 回転させてできる立体の体積の 7 倍となるときの線分ＣＥの長さを求めよ。

−6−B−6Ｏ2x６下の図のように，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＢ＞ＢＣの二等辺三角形ＡＢＣがある。この二等辺三角形の辺ＡＢ上にＢＣ＝ＢＤとなる点Ｄをとり，線分ＢＤを 1 辺とするひし形ＢＣＥＤをつくる。辺ＡＣ上にＡＤ＝ＣＦとなる点Ｆをとり，点Ｂと点Ｆ，点Ａと点Ｅをそれぞれ結ぶ。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
（1）

ＡＤＥ≡ ＦＣＢを証明せよ。

A（2） 線分ＢＦを点Ｆの方向へ延長し，線分ＣＥとの交点

DをＧとする。ＡＢ＝ 7 cm，ＢＣ＝ 5 cm のとき，ひし形E

ＢＣＥＤの面積は，三角形ＣＧＦの面積の何倍か。
F
B

−7−C

問

題

正①

令和２年度

A日程

答

配点−7± 414

答

配点各2（6） 288π cm

322（7） c ＜ b ＜ a（例）

4（1）
（2）

536718（1） （－ 6 ，9 ）

P（8）

C

ア

2n＋3（1） イ2n＋5ウ

2n＋754（例）連続する 3 つの偶数のうち，最も小さい偶数を 2n とおくと，連続する 3 つの偶数は，小さい順に 2n，2n＋2，2n＋4と表すことができる。
2
この 3 つの偶数の和が 280 なので
2n＋（2n＋2）＋（2n＋4）＝280（3）6n＋6＝280
3n＝137137
n＝3
このとき，2n，2n＋2，2n＋4 はどれも偶数にならない。
したがって，280 は連続する 3 つの偶数の和で表すことができない。

2273

各22473【証明】（例）ＡＤＥと ＦＣＢにおいて仮定より
ＡＤ＝ＦＣ ･････････････････ ①
ひし形ＢＣＥＤの辺の長さは等しいから
ＤＥ＝ＣＢ ･････････････････ ②
ＡＢＣは二等辺三角形であるから∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ ･･････････ ③（1）
ひし形ＢＣＥＤの向かい合う辺は平6行で，その同位角は等しいから∠ＡＤＥ＝∠ＡＢＣ ･･････････ ④③，④より∠ＡＤＥ＝∠ＦＣＢ ･･････････ ⑤①，②，⑤より
2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
ＡＤＥ≡ ＦＣＢ
したがって

325倍
22（2）

525 （2） （0 ，3 ）9（3）2A

32（2） ∠y －∠x ＝ 90°（5） a ＝− 9 ，b ＝0（2）正弧ＢＣに対する円周角は等しいので∠ＢＤＣ＝∠ＢＡＣ＝∠y ･････ ①∠ＢＣＤは半円の弧に対する円周角なので∠ＢＣＤ＝ 90°･･････････････ ②（1）3ＢＣＤにおいて，内角の和は 180°
だから，②より∠ＤＢＣ＋∠ＢＤＣ＝ 90°･････ ③①，③より∠x ＋∠y ＝ 90°（3） 360 g

B

題
（例）

4 x＋7y12（1）2a③－ 2b④
2 3a−10（2） b ＝
2

1

問－2②

（4） x ＝

数学

5

令和２年度 B日程
学 力 検 査 問 題

2

数学

注

意

１

開始の合図があるまで問題用紙を開いてはいけません。

２

解答用紙は問題用紙の中に挟んであります。

３ 問題用紙は表紙を除いて５ページで，問題は １ から ４ まであります。
４

開始の合図があったら，まず，問題用紙および解答用紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

５

答えはすべて解答用紙の指定された欄に，最も簡単な形で書きなさい。

受検番号

１ 次の（1）～（6）の問いに答えなさい。
（1） 次の ① ～ ④ を計算せよ。
①8 - 12 -（- 5）②4 - 2 ×（- 3）2③8 a b ×（－ 7 a）÷14 b④27 ＋ 46÷

2（2） ある地点から，時速 40 km の車に a 時間乗り，さらに時速 4 km で b 時間歩いて，84 km 離れた目的地に着いた。このとき，b を a の式で表せ。

（3） 2 次方程式 4 x 2-25 ＝ 0 を解け。

−1−

（4） 変数 x，y について，x と y の関係を表した次の式のうち，y が x に反比例するときに成り立つ式はどれか。次のア～エからすべて選び，その記号を書け。
ア4y＝- xイ

y＝x4ウ

y＝- 4 xエ（5） 右の図のように，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅは円Ｏの周上にxy＝ 4AEあり，∠ＢＡＣ＝ 28°，∠ＢＯＤ＝ 124°である。このとき，∠ＣＥＤの大きさは何度か。

OBＤC（6） 2 つのさいころＡ，Ｂを投げるとき，さいころＡの出た目の数を a，さいころＢの出た目の数を b とする。このとき，積 a b が偶数となる確率を求めよ。ただし，さいころはどの目が出ることも同様に確からしいものとする。

−2−

2

下の図のように，半径 4 cm，中心角 90°のおうぎ形ＯＡＢがある。このとき，次の（1）・（2）の問いに答えなさい。
（1） おうぎ形ＯＡＢの半径の長さを 2 倍にしたとき，弧の長さと面積について述べた文として正しいものを，次のア～エから 1 つB選び，その記号を書け。
ア

弧の長さ，面積ともに 2 倍となる。

イ

弧の長さは 2 倍となり，面積は 4 倍となる。

ウ

弧の長さは 4 倍となり，面積は 2 倍となる。

エ

弧の長さ，面積ともに 4 倍となる。

（2） 線分ＢＯを軸として 1 回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただし，円周率はπを用いること。

−3−O4 cmA

３2
下の図において，①は関数 y＝a x （a＞0）のグラフで，②は右下がりの直線である。①と②は2 点Ａ，Ｂで交わり，点Ａの座標は（-2，8）で，点Ｂの x 座標は正とする。また，直線ＡＢと x 軸の交点をＣとする。ＡＢ：ＢＣ＝3：1 のとき，次の（1）～（3）の問いに答えなさい。
（1） a の値を求めよ。

yA①8（2） 2 点Ａ，Ｂを通る直線の式を求めよ。
（3） 三角形ＯＡＢの辺上および内部にあり，x 座標とy 座標がともに整数である点は全部で何個あるか。
B−2−4−OC②x４

あきらさんは，数学の授業で出された，次の〔問題〕に取り組んだ。下の【あきらさんのノート】

は，あきらさんが文字式を使って正しく解答したノートの一部である。このとき，下の（1）・（2）の問いに答えなさい。
〔問題〕

a を一の位の数字が0でない2けたの自然数とし, b を a の十の位の数字と一の位の数字を入れかえた2けたの自然数とする。このとき，4 a ＋5 b は9の倍数になることを説明せよ。

【あきらさんのノート】〔解答〕
2 けたの自然数 a の十の位の数字を x，一の位の数字を y とすると，a はイア，b はと表すことができる。

このとき，4 a ＋ 5 b を計算すると，

ウ（1）ア・イ（2）

ウには，解答の続きが入る。に当てはまる文字式を，それぞれ書け。

ウを完成させよ。

−5−に入る内容を，言葉と式を使って書き，説明令和２年度

問

題（1）

1

正①

1②－14③－4 a2

④7 3

数学

B日程

答

配（2） b ＝ 21－10 a（3） x ＝±点

各 3 2752（4） ア，エ（5） 34 度（6）234（1）イ（2）128
π cm33（1） a ＝ 2633 （2） y ＝－2x ＋43（3） 10 個（1）

各3104

ア

10x＋y

イ

10y＋x（例）
4（10x ＋ y）
＋5（10y ＋ x）
4＝ 40x ＋ 4y＋50y ＋ 5x
＝ 45x ＋ 54y（2）＝9（5x ＋ 6y）
5x ＋ 6y は整数だから，9（5x ＋ 6y）は 9 の倍数である。
よって，4a＋5b は 9 の倍数である。

374