平成 26 年度愛媛大学入試問題（数学）の研究
愛媛県立松山南高等学校
１

はじめに

近藤

弘法に関する問題，後期試験では命題の証明問題が与え５月 17 日（土）に松山南高等学校において，愛られるなど，論理的な思考力を必要とされるものが教授より平成 26 年度含まれていた。証明問題に不慣れな生徒は，論理的愛媛大学数学入試問題の解説があった。では，どこに説明することができず，内容が伝わらない解答とでどのような間違いが生じてくるのか，本校生徒のなっていた。難易度としては基本～標準レベルの問誤答分析を中心に考察していきたい。

題を中心に出題されている。小問については例年通媛大学理学部

土屋卓也

り教科書レベルの基本問題であり，確実に完答した
２

出題の傾向

いところである。工学部後期については，一昨年は（１）出題傾向

全問記述式の問題であったが，今年度は穴埋め式の今年度は教育学部，農学部，工学部環境建設工問題が １ で出題されていた。確実な知識と計算力を学科社会デザインコースにおいて記述４題を 100見るためであると考えられる。

分で，理学部，工学部（環境建設工学科社会デザインコースを除く），医学部医学科においては記述

３

問題分析

５題を 120 分で，工学部後期は記述５題を 120 分で解答する。
（２）出題内容
教育学部，農学部，工学部環境建設工学科社会デザインコース

本校の３年生に入試問題を解いてもらう。
３年生の文型の生徒に１～４，理型生徒に４～１０，理数科生徒に工学部後期１～５を解いてもらった。
採点基準は公表されていないため，定期考査に準じて採点し，得点率と誤答例から分析を行った。

１小問集合

２

微分法・積分法

３

整数の性質

１

４

確率

 ，を満たす直角二等辺三角形

＜前期＞

理学部，工学部

次の問いに答えよ。

において，辺の中点を，辺を：に内分す

４

確率る点を，線分と線分の交点をとする。こ５

小問集合のとき，線分の長さを求めよ。

６

２次方程式

７

微分法・積分法

８行列

医学部医学科４確率

６２次方程式

７微分法・積分法

８行列

９確率

工学部後期

  を小数で表すと，小数第何位に初めてでない

数字が現れるか。ただし，必要ならば   として計算せよ。

 を実数とし，不等式    ，         を満たす実数の集合をそれぞれ ， とする。
このとき，であるための必要十分条件をを用いて表せ。
問題番号   

合計

小問集合

得点率





３

命題

標準偏差







４

微分法・積分法

５

ベクトル１

小問集合

２

（３）難易度
今年度は昨年度に比べ，全体的に難易度が上がったように感じた生徒が多かった。前期試験では整数

【誤答例】

 として問題を解いている。
を，で表したときの一次独立性を利用しているが，連立方程式の計算が間違っている。

 常用対数のとり方がわかっていない。
      まではできているが，小数第問題番号    

合計得点率



標準偏差





【誤答例】

 証明の道筋が立っていない。
     の場合のみ考えている。

位と答えている。

以上で成り立たない証明が記述されていない。

   が間違っている。

 証明の道筋が立っていない。

         について，  のときが考えられていない。

等式が成り立ちそうな値を推測して，考えている。

 証明の道筋が立っていない。

十分条件のみの証明になっている。

ある値のときのみを検証している。

 からまでの条件を利用して，すべてを書き出して２いる。

 ，は実数とする。関数   を       と定義し，

４

       とおく。
を以上の整数とする。点，は辺の長さがである正四面体の頂点の上を，以下の条件， 関数     のグラフをかけ。

を満たしながら移動する。

 関数  を求めよ。
 曲線    上の点  ，   における接線  の方程式を求めよ。

 曲線    と   で求めた接線 とで囲まれた図形の面積を求めよ。

 時刻  において，点は頂点に，点は頂点にいる。
 時刻   において，点と点は各々，時刻  のときにいた頂点から，他のつの頂点のいず

問題番号   合計

得点率



標準偏差れかに，それぞれの確率で移動する。
時刻  における点と点の間の距離を  とおく。  の値はまたはである。時刻  において   となる確率を  とする。

【誤答例】

 場合分けしているが直線がすべて実線でかかれている。
 場合分けができていない。
 のとき        として計算している。
  の   についても点  ，    における接線を求めている。

 ができていない。

３

は桁の自然数で，その百の位の数，十の位の数

，一の位の数 は，         を満たしている。

  の値を求め，，， はすべて以下であることを示せ。

  は以下であることを示せ。
  ，  のうち少なくともつはであることを示せ。
 を求めよ。

 時刻  とする。
ⅰ 点が頂点にいるとき，  となる点の位置は何通りか。

ⅱ 点が頂点にいるとき，  となる点の位置は何通りか。

   を求めよ。
      となる確率を求めよ。
   を  で表し，  を求めよ。
問題番号

 

 

 

 

合計

文型得点率











文型標準偏差









理型得点率











理型標準偏差









【誤答例】

６

 図形が立体として考えられていない。
 点が点にいるときが考えられていない。

は自然数， は整数， ， ， は実数とする。

 ，のとき，が成り立つことを示せ。

点が点にいるときしか考えられていない。

  に関する 次方程式      のつの解を  かつ   ， かつ  のいずれか，，とする。が整数ならば， と も整数であるもしくは両方の確率が求まっていない。

      としている。
ことを示せ。

  に関する次方程式       は，整数の解をもたないことを示せ。

  に関する次方程式          が整数５次の問いに答えよ。（医学部希望者は除く）

 すべての実数に対して        が成り立つような関数   を求めよ。の解をもつとき，の値とその解をすべて求めよ。
問題番号    合計得点率

標準偏差

 次の極限値を求めよ。
【誤答例】

      証明の筋道が立っていない。
結論を変形しているだけであるため，証明になっ 次の極限値を求めよ。ていない。

     

 証明の筋道が立っていない。

 関数         は  において微分可能であるとする。このとき，定数の値を求めよ。
問題番号    

合計得点率







標準偏差







【誤答例】

 方程式     が解けていない。
 処理できていない。

 としている。
 区分求積が理解できていない。
   のときの関数       を微分して  を代入している。

 証明の筋道が立っていない。
  が平方数にならないことを利用しようとしているが，そのことが証明できていない。

 判別式を利用しようとしている。
の範囲は求められている。

７

，は，  を満たす実数とする。曲線８    上の点，における接線 の方程式を     ，点， における接線 の方程式を    とおく。また，と の交点の 座標を   とする。連立不等式

  ，  とし，は実数とする。

は  を満たす次の正方行列とする。

           をと を用いて表せ。
  のとき  は逆行列をもつことを示せ。
 次のつの命題を証明せよ。

   ，       ⅰ   ならば，       である。の表す領域の面積を ，連立不等式

ⅱ      ならば，   は逆行列をもた   ，     ない。の表す領域の面積を とし，    とおく。

ⅲ   が逆行列をもたないならば，  である。

このとき，次の問いに答えよ。必要ならば，すべての自然数に対して，     が成り立つこと
９（医学部希望者専用）
は自然数， ，  ，…，  は   ，  ，を用いてよい。

…，   かつ     …    を満たす定数と    を求めよ。
  と を求めよ。

する。ポイント，，，…，  ， が，それぞれ ，  ， ，… ，  ，  の確率で得られる試    とする。をのみの関数として表せ。

行を考える。試行を回行って得られるポイント

 極限値       を求めよ。の期待値をとし，      とする。ただし，実数に対して   はを超えない最大の整数を表す。

を求め       とする。このとき，極限値

競技者は，試行を下記の各設問のルールに従って何回か行う。

よ。

  を  を満たす整数とする。競技者は試行問題番号     

合計得点率

標準偏差

を以下のルールに従って最大回まで行う。
①

試行 を回行い，もしポイントが以上であれば回目の試行を行わず，このポイントを賞金とする。
②

回目のポイントが未満であれば回目の試行を行う。このとき，回目のポイントは無効とし，回【誤答例】

 接線の方程式までは求められている。
  として計算している。
不定積分が間違っている。

 正しく処理できていない。

目のポイントを賞金とする。
このとき賞金の期待値を  とする。  を求めよ。

 の期待値  は が のとき最大となることを示せ。
 を    を満たす整数とする。競技者は，試行を以下のルールに従って最大回まで行う。
①

     は計算できている。

試行を回行い，もしポイントが 以上であれば回目以降の試行を行わず，このポイントを賞金と ができていない。

する。
②

回目のポイントが未満であれば回目の試行
を行う。回目のポイントが以上であれば回目の試行を行わない。このとき，回目のポイントは無効とし，回目のポイントを賞金とする。

③

回目のポイントが 未満であれば回目の試行を行う。このとき，回目，回目のポイントは無効とし，回目のポイントを賞金とする。
このときの賞金の期待値を とする。 を求めよ。

 の期待値 は が      のとき最大となり，
    であることを示せ。ただし，  はで求めた期待２次の問いに答えよ。

 ， を整数とする。  をで割った余りがの値  の    のときの値である。

とき，     をで割った余りもであることを示せ。

   とし，試行として，枚の硬貨を同時に投げ，表の出た枚数をポイントとする試行を考える。また，  ，        とする。     の範囲で，関数      の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調は上記で定義したものとする。

べ，そのグラフをかけ。

ⅰ   ， ，  ， ， ，  ， を求めよ。
ⅱ のように最大回試行を行う場合，  の最大値を求めよ。

ⅲ のように最大回試行を行う場合， の最大値を求めよ。

合計得点率



標準偏差    ，   が求められていない。
   ，  の正負が間違っている。

    イ  

のときが考えられていない。

に入る数または不等式を求めよ。

次の 【誤答例】
 証明の道筋が立っていない。

＜工学部後期＞
１

問題番号   ア 

極値，変曲点が記されていない。

   行列で表される次変換をとし，点，，点，のによる像は，ともに点，を通る直線上にあるとする。このとき， ウ  ， エ

 であ

３

を自然数，を実数とし，
                とおく。命題「関数     は，係数の和がとなるようなある   次式   を用いて         と表すことができる。

る」

 のとき，不等式
           の解は， オ  または カ である。
問題番号ア  イオ  カ

合計得点率

標準偏差

を考え，この命題を  とする。

    を整式とする。このとき，    であることは，   の係数の和がであるための必要十分条件であることを示せ。

 命題 と はともに真であることを示せ。
   のとき，        を     と   を用いて表せ。

 ある自然数について命題  と  が真ならば， 【誤答例】

ア 部分積分が理解できていない。
イ       として計算している。
   オ 等号が付いていない。

もまた真であることを示せ。
問題番号    

合計得点率



標準偏差カ 等号が付いていない。
【誤答例】

 証明の道筋が立っていない。
十分条件のみの証明になっている。
   を次式として考えている。
   ，   が正しく与えられていない。

４

 を   を満たす実数とする。
 積分を計算せよ。
  

問題番号    

合計得点率



標準偏差

 次の不等式が成り立つことを示せ。
【誤答例】

         が正しく求められていない。

 ，を用いて， の値を小数第位まで求め垂直条件は理解しているが，計算できていない。

よ。

 ができていない。
問題番号 

 

合計得点率



標準偏差





 ，   は計算できているが，   が表せていない。

４【誤答例】

前期日程，後期日程ともに難化傾向であったよう 部分分数を利用できていない。
おわりにに感じた。証明問題が多く出題されていることから，        としている。


論理的思考力や表現力を重視した内容であった 。前期の １ ，後期の ３ では必要十分条件であることの証  とおいて，置換積分を利用している。

   であることが理解できておらず，  明問題が出題されていたが，どちらも一方のみの証明が目立った。また，前期の ３ ，６ では整数の性質を用いた証明問題も出題されており，テクニックだで終わっている。

けでは太刀打ちできない思考力を要する問題に手も 差を計算して示そうとしている。

足も出なかった生徒も多かった。解答の内容が相手  のみ示している。
   に正しく伝わるような表現力を身に付けさせる必要があると改めて感じさせられた。さらに，前期の ５(４)は微分の定義があやふやになっている生徒や問５辺の長さがである正四面体 において，ベクトル  ，， 

題で聞かれていることの意味を理解できていない生をそれぞれ ，，とする。 ，徒ばかりであった。問題が解けるという結果だけで を   ，    とし，辺 を     ： に内分すなく，その成り立ちや結論が出るまでのプロセスをる点を，辺を：     に内分する点を ，点 かもっと大事にするべきである。

ら平面に下ろした垂線と平面 との交点を と説明会において，土屋教授から採点時のポイントし，とおく。

を話していただいた。
「 解答のプロセスを大事にして 内積 ･  の値を求めよ。

おり，答えだけというものに対してはほとんど点を

 ベクトル  ，を， ，および，，を用いて与えていない。解答のプロセスが論理的に書かれているかというような表現力，国語力を重視している。

表せ。

解答はきれいな字で丁寧に書いてもらいたい。」との    を ， を用いて表せ。
  とする。このとき，    の範囲でを最大とするの値を求めよ。また，そのときの は  より大
きいことを示せ。

ことであった。
今年度入試で論理的な思考力や表現力を重視した問題が多く出題されたことは，来年度以降の受験生に対するメッセージであると感じている。論理的に考え，さらにその自分の考えをはっきりと正しく表現できる力を育成することが今後の課題であると感じた。