教科書別課題学習題材研究（数学Ａ）
愛媛県立川之江高等学校
１

はじめに

土居晃大

株式会社第一学習社

今回の学習指導要領改訂で数学Ⅰと数学Ａにおいて，課記号・番号

教科書名

ページ数

具体例数

題学習が盛り込まれた。それにともない，教科書にもさま

数Ａ・３１５

高等学校数学Ａ

６

３

ざまなテーマで課題学習の内容が掲載されている。その内

数Ａ・３１６

高等学校新編数学Ａ

６

３

容は，教科書によって難易度・話題ともに大変バラエティ※３例中２例は全く同じであるが、１例は異なっている。

ーに富んでいる。昨年度は数学Ⅰの教科書に扱われている課題学習の内容をまとめ，考察した。本年度は数学Ａについてまとめることにする。また，このまとめが課題学習を指導するに当たり，少しでも先生方の参考になればと考え

３

教科書別課題学習内容(1)

東京書籍「数学Ａ」

ア

課題学習全体の内容についてている。

巻末にテーマごとに 1 つの大きな問題が用意されている。各問題に対して 1 から 2 問程度の課題を解くこ

２

研究する教科書についてとでその研究テーマの問題を解決できるようになって今回研究する教科書は，高等学校用教科書目録（平成２いる。さらに研究を深めるための提案が用意されてい６年度使用）に記載されている数学Ａの教科書１６冊とする問題もある。

る。まずは，出版社別に各教科書の課題学習に当てている

イ

題材・具体例についてページ数と課題の具体例（テーマや話題）の数を比較する。

(ｱ)

テーマ「コイン投げ」

なお，教科書によって表記が異なるが，基本的にどれも具健太さんと美咲さんがそれぞれ違う枚数のコイン体例の中の小問はまとめて１つの例として数えることにしを投げるとき，表が出た枚数が多い方が勝ちというた。

ゲームについて表を用いて確率を考える。

東京書籍株式会社(ｲ)

テーマ「誕生日は何曜日？」

記号・番号

教科書名

ページ数

具体例数

数Ａ・３０１

数学Ａ

３３

うるう年とそうでない年に分けて考える。また，生数Ａ・３０２

新編数学Ａ

６＋２

３

まれた日の曜日の求め方を考える。ちなみに，また

数Ａ・３０３

新数学Ａ

６３

健太さんが登場する。(14)の(ｲ)にも同じようなテー

誕生日の曜日が，その前の年といくつずれるかを，※新編数学Ａの６ページ分は課題学習として独立したペーマがあるので，このテーマを使うときは読んでおきジではなく，章ごとの扉のページとして掲載されている。

たい。

実教出版株式会社(ｳ)

テーマ「正多面体」

記号・番号

教科書名

ページ数

具体例数

正六面体の各面の対角線でできた面で囲まれる四数Ａ・３０４

数学Ａ

８４面体が正四面体になること考える。また，その他の数Ａ・３０５

新版数学Ａ

１４４多面体についても，課題などで考えていく。

数Ａ・３０６

高校数学Ａ

８４ア

株式会社新興出版啓林館
記号・番号

教科書名

(2) 東京書籍「新編数学Ａ」

ページ数

具体例数

各章ごとに扉のページに章の内容に沿ったテーマで問題が与えられて，それを巻末で解説し研究課題で深数Ａ・３０７

詳説数学Ａ

１１１５数Ａ・３０８

数学Ａ

１１１５数Ａ・３０９

新編数学Ａ

１１１５

※３冊とも課題研究の部分はまったく同じ内容である。
数研出版株式会社
記号・番号

教科書名

ページ数

具体例数

数Ａ・３１０数学Ａ

１０１０数Ａ・３１１

高等学校数学Ａ

８７数Ａ・３１２

新編数学Ａ

８８数Ａ・３１３

最新数学Ａ

６３数Ａ・３１４

新高校の数学Ａ

８＋２３※新高校の数学Ａの＋２は巻末の付録

課題学習全体の内容についてめていく形を取っている。研究課題は，具体的な内容で取り組みやすい。
イ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「源氏香の図」

日本の伝統的な様式一つである「源氏香の図」と呼ばれる模様について，場合の数を考える。模様も美しく源氏物語の巻の名前がついていて面白い。
(ｲ)

テーマ「十干と十二支」「甲子園球場」や「戊辰戦争」のような例をあげ，約数や倍数について考える。研究課題では，「応仁の乱」の西暦を，干支を利用して調べる。

(ｳ)テーマ「黄金比」

数学Ⅰの課題学習でも数冊の教科書で取り上げられていた黄金比がテーマである。同じ東京書籍の教である。作図問題の題材としても面白い。
(5)

実教出版「新版数学Ａ」

ア

課題学習全体の内容について科書でも「新数学Ⅰ」で取り上げられていた。数学

1 つのテーマに対して「課題」「予想してみよう」

Ａなので二等辺三角形や相似に着目して，より図形「調べてみよう」「求めてみよう」「考えてみよう」的に考えている。

「発展させよう」「確かめてみよう」といったように(3) 東京書籍「新数学Ａ」
ア

課題学習全体の内容について1 ページを使って，１つの大きなテーマについての解説と各テーマについて 3 から 4 問程度の問題がそれぞれ何をすればよいかを示している。4 つのテーマのうち 2 つは(4)とほぼ同じテーマであるが，編集の仕方はかなり異なっている。
イ

題材・具体例について(ｱ)

与えられている。図や写真なども比較的多く，問題も簡単な小問形式になっている。内容は研究と言うテーマ「誕生日が一致する確率について調べてみよう」

よりは文章問題である。

クラスの中に同じ誕生日がいる人の確率を求める

イ問題。(4)より説明が詳しく，内容は少し軽めにな

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「何回ぐらいで勝敗が決まる？」っている。
(ｲ)

あいこになったら勝敗が決まるまでじゃんけん

テーマ「油分け算について考えてみよう」

を繰り返す。人数が変わるとき，勝敗が決まるま

これも(4)とほぼ同じ内容であるが，手順をグラでにどのくらいじゃんけんを繰り返すことになる

フ化したグラフの読み方を詳しく説明してある。

かを考える。

ページも(4)の 2 倍の 4 ページ使っているので(4)(ｲ)の教科書を使う場合も，この教科書を参考にすれ

テーマ「点と線分と多角形」

オイラーの多面体定理の証明の元になる平面図ばよいと思う。
(ｳ)

形においての点と線分と多角形の関係を，具体的(ｳ)

テーマ「正多面体について調べてみよう」

正多面体が 5 種類しかないことを確かめる問題

な図を使って考える。
テーマ「ふしぎな 4 枚のカードである。オイラーの多面体定理を利用し，その 54 枚のカードを使った数字当てマジックについ種類の多面体の形状も考える。また，準正多面体についても少し触れている。

ができる。

(ｴ)

(4)て考える。2 進法を利用して数理的に考えることア

実教出版「数学Ａ」
課題学習全体の内容についてつけていく。実教出版の「数学Ⅰ」にも同様のテ

東京書籍の「数学Ａ」と同じような形式で，巻末にテーマごとに 1 つの大きな問題や説明が用意されている。各問題に対して 2 から 6 問程度の課題を解

テーマ「黄金比について調べてみよう」

ノートや本，正五角形などの中から黄金比を見ーマがあるがこちらの方が詳しい。
(6)

実教出版「高校数学Ａ」

ア

課題学習全体の内容についてくことでその研究テーマの理解を深め，問題を解決4 つのテーマそれぞれ見開き１ページにまとめてできるようになっている。さらに研究を深めるため学習できるようになっている。
「やってみよう」「予の提案が用意されている問題もある。

想してみよう」「考えてみよう」「余事象を利用してイ求めてみよう」といったように何をすればよいかわ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「同じ誕生日の人がいる確率」

同じ誕生日の人がいる確率を，40 人のクラスやかりやすくまとめている。問や課題なども比較的多く，生徒 1 人でも取り組みやすい。そのため家庭学

n 人の集団などで考えていく。

習課題として，レポート提出させるなどといった活(ｲ)

用ができそうである。

テーマ「油分け算」

江戸時代の「塵劫記」に載っている「油分け算」
容器の中の油を決められた量に分ける問題を一次不定方程式を用いて考える。(5)の(ｲ)のほうがくわしいので，参考にするとよい。
(ｳ)

テーマ「完全順列の総数」

5 人の生徒のプレゼント交換を例にして完全順

イ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「何通りの塗り方があるか考えてみよう
地図で隣り合う県が異なる色になるように塗り分ける方法が何通りあるかを考える。
(ｲ)

テーマ「クラスに誕生日の同じ人がいる確率列の総数を考える。

を求めてみよう」(ｴ)他の教科書でも出てきたテーマ。予想してクラテーマ「九点円」

ある三角形において規則に従って取られた 9 個の点が同一円周上にあることを確かめていく問題

スで話し合う内容になっている。
(ｳ)

テーマ「数当てカードをつくろう」

9 個の数字が書かれた 4 枚のカードから選ばれいろいろな自然数について約数の個数を考え共た数字を当てる方法を考える。(3)の(ｳ)と同じよう通する性質などを考える。

な内容である。

(ｸ)(ｴ)

テーマ「正五角形の中に秘める黄金比」

よう」
100 以下の自然数の完全数を 2 つ探す。

正五角形の中にある黄金比を調べる。また，正(ｹ)五角形の作図方法を詳しく説明してある。
(7)

啓林館「詳説数学Ａ」「数学Ａ」「新編数学Ａ」

ア

テーマ「約数：約数の和について考察してみテーマ「切手の問題：料金分ちょうどの切手を貼ることができないのはどのような場合か考

課題学習全体の内容についてえてみよう」

啓林館の教科書は 3 冊とも課題学習の部分は内50 円切手と 80 円切手では 190 円ちょうどを貼

容・ページレイアウトともに全く同じであるため，ることができない。このような場合を考え，一般まとめて記載する。くわしい内容は昨年の教科書別的に互いに素な自然数 m，n で支払うことができ題材研究（数学Ⅰ）で書いたので見てほしいが，そない最大の金額を m，n の式で表す。

れよりも一度教科書を見てみるのが早いと思う。特(ｺ)テーマ「ゲームの必勝法：このゲームの必勝

徴は，生徒に自分で課題を見つけて課題学習に取り法を考えてみよう」

組ませ，レポートとして提出や発表をさせることを1 から順番に 2 人順番に 1 個から 3 個の数字を想定し，レポートの書き方を詳しく書いてあること言い合って 20 と言った方が負けというゲームのである。

必勝法を考える。

イ(ｻ)題材・具体例について(ｱ)

テーマ「試合の方式：試合に勝ったチーム同テーマ「ゲームの必勝法：このゲームを変形して考えてみよう」
言ったら負けになる数字を 20 以外に変える，言士が次々に戦い，優勝したチームを決めるトーナメント方式について考察してみよう」

うことのできる数を変えるなど，ルールを変えた

一般に n チームが参加するトーナメントでは全らどうなるかを考える。
(ｼ)

部で何試合行われるか。また，試合の機会を増やテーマ「立方体：立方体を平面で切ったときすための方法を考える。の切り口の形について考えてみよう」(ｲ)

立方体を平面で切った切り口の図形の種類や特テーマ「試合の方式：各チームがすべてのチームと同じ回数ずつ戦い，優勝チームを決める徴的な図形になる場合について考える。

リーグ戦方式について考察してみよう」(ｽ)

一般に n チームが参加して 1 回ずつ戦うリーグ

テーマ「立方体：立方体を平面で切ったときの切り口の面積について考えてみよう」

戦では全部で何試合行われるかを考える。また，

1 辺の長さが 2 である立方体を平面で切って，全チームが同一の日に試合を行うときの日程につ切り口が三角形になるとき，その三角形の面積をいて考える。

最大にするにはどのように切るとよいかを考える。

(ｳ)

(ｾ)

テーマ「多人数の時のじゃんけん：確率を計算して比較してみよう」

テーマ「立方体：立方体に内接する立体について考えてみよう」

n 人でじゃんけんするときに，あいこになる確各面の対角線を結んでできた正四面体の形状を率，勝ち残る人が m 人以下になる確率を考える。

考える。また，各面の中心を結んでできる立体に(ｴ)ついて考える。

テーマ「多人数の時のじゃんけん：1 人が勝(ｿ)ち残るまでに何回くらいじゃんけんをしなければいけないか考えてみよう」
n 人でじゃんけんするときを考え比較する。
(ｵ)

幅が 1 の直角のＬ字状の通路を通ることができる図形のなかで，面積が 1 より大きい図形がある

テーマ「多人数の時のじゃんけん：効率的なじゃんけんの方法を考えてみよう」
いろいろなじゃんけんのルールを考え，それぞれのルールでじゃんけんをする場合について，比かを考える。
「ソファの問題」とも呼ばれる。
(8)ア

数研出版「数学Ａ」
課題学習全体の内容について1 つのテーマごとに１ページで学習するようにな較する。
(ｶ)テーマ「通路を通過できる図形：面積が 1 よりも大きい図形はあるか考えてみよう」

テーマ「階乗：n という自然数と n!の末尾にっている。自分で課題を見つけたり調べたりする内並ぶ 0 の数との間にある規則性を探ってみよう」

容ではなく，値を求めたり証明したりといった内容

4 つの小問に分けて考え n!の末尾にならぶ 0 のが多い。それぞれ 1 題から 2 題の課題を順番に解い数を，n を使って表す方法を考える。て，最後にまとめの課題をする形になっている。教(ｷ)科書の応用問題や発展問題といった内容である。

テーマ「約数：約数の個数について考察してみよう」

イ

題材・具体例について

(ｱ)テーマ「完全順列」

り扱っている。その分利用する問題の量が少なく完全順列の総数を求める問題。6 人が手紙を交なっている。
(ｴ)

換するとき，手紙と封筒の宛名が全て違う確率を(8)の(ｷ)と全く同じ内容である。

求める。
(ｲ)

(ｵ)

テーマ「道順の総数と和の法則」(ｶ)うだけで，ほぼ同じ内容である。
(ｷ)

計算する。
(ｴ)

(ｵ)

テーマ「チェバの定理の逆とその利用」

テーマ「n 進数の足し算・引き算」

2 進数の足し算・引き算の問題がほとんどで 5

テーマ「同じ誕生日の人がいる確率」

進数と 7 進数の問題が 1 問ずつある。

ある集団の中に同じ誕生日の人がいる確率を調べる。

テーマ「整数の割り算の等式の活用」(8)の(ｹ)と問題の順番や説明の仕方が微妙に違

テーマ「トランプの確率の問題」「ポーカー」について，ある役ができる確率をテーマ「x，y の 2 次方程式と整数解」(8)の(ｸ)と全く同じ内容である。

和の法則を利用して道順の総数を求める方法について調べる。
(ｳ)

テーマ「相似を利用する作図」(10) 数研出版「新編数学Ａ」
ア

課題学習全体の内容について(8)，(9)の教科書と同様の編集方法である。カラーチェバの定理の逆を用いて三角形に関するいろいろな性質を証明する。の量は(8)と(9)の教科書のちょうど中間くらいの量(ｶ)である。すべてのテーマが(8)か(9)の教科書のどちら

テーマ「四角形が円に外接するための条件」

四角形が円に外接するための条件を調べ，背理法を用いて証明する(ｷ)

かとほぼ同じ内容である。
イ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「相似を利用する図形」

テーマ「道順の総数と和の法則」(8)の(ｲ)とほぼ同じ内容で，内容を少し少なくし作図の問題を，相似の性質を利用する「相似法」と呼ばれる方法で解く。ている。

(ｸ)

(ｲ)

テーマ「x，y の 2 次方程式の整数解」

x，y の 2 次式で表される不定方程式の整数解に(8)の(ｳ)と全く同じ内容である。
(ｳ)

ついて調べる。
(ｹ)

(ｴ)
(ｵ)

テーマ「累乗と余り」

テーマ「相似を利用する作図」(8)の(ｷ)と全く同じ内容である。

現在の暗号理論にも利用される「フェルマの小(ｶ)定理」に触れる問題を解く。

テーマ「x，y の 2 次方程式の整数解」(8)の(ｸ)とほぼ同じ内容であるが，まとめの課題

数研出版「高等学校数学Ａ」

ア

テーマ「チェバの定理の逆とその利用」(9)の(ｳ)と全く同じ内容である。

る方法を調べる。

(9)

テーマ「同じ誕生日の人がいる確率」(8)の(ｴ)と全く同じ内容である。

テーマ「整数の割り算の等式の活用」

割り算の等式を利用して 1 つの整数解を見つけ(ｺ)

テーマ「トランプの確率の問題」

課題学習全体の内容についてのみが，完全に別の問題に変更されている。

(8)の教科書と同様に 1 つのテーマごとに１ページ(ｷ)または 2 ページで学習するようになっている。また，

テーマ「整数の割り算の等式の活用」(9)の(ｶ)とほぼ同じ内容であるが，まとめの課題

それぞれ 2 題から 4 題の課題を順番に解いて，最後の数字のみが変更されている。にまとめの課題をする形になっているところも同様(ｸ)である。7 つのテーマの内 6 つまでは，(8)の教科書と全く同じか少し変更しているだけである。(8)の教科書よりフォントが大きくカラーが増えている。
イ(11) 数研出版「最新数学Ａ」
ア

課題学習全体の内容について
数研出版の(8)，(9)，(10)の 3 冊は同じような内容

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「完全順列」(8)の(ｱ)とほぼ同じであるが，具体的な実例はな
テーマ「身近な確率の問題」(8)の(ｳ)，(ｴ)と全く同じ内容をくっつけて 1 テーマにしている。
(ｳ)であったがこの教科書は，テーマが全て別になっている。ただし，編集方法は似ており，1 つのテーマごとに１ページまたは 2 ページを使っており，数問い。
(ｲ)

テーマ「n 進数の足し算・引き算」(9)の(ｷ)と全く同じ内容である。

テーマ「チェバの定理の逆とその利用」の問題や課題を解くことで学習するようになっている。
イ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「席替えの確率」(8)の(ｵ)は「チェバの定理の逆」の証明そのもの

他の教科書には，ありそうでなかったテーマでは省略しているが，ここではそれも課題として取ある。35 人のクラスで席替えを行うときに，Ａさ(ｲ)んがＢさんの隣になる確率などを求めていく。個人的には，課題 3 の「ＡさんはＢさんと隣同士にテーマ「ピタゴラスの数」

直角三角形の三辺の長さとなるような自然数，なる確率が小さいことがわかったので，Ｂさんが「ピタゴラス数」の性質を調べる。

自分の隣または前後の席になる確率を知りたくな(ｳ)った。
」の記述が面白いと思う。
(ｲ)

テーマ「正五角形と黄金比」て最短の経路を見つける。
「応用してみよう」は作正五角形の黄金比を考える。また黄金長方形や図の問題になっている。
(14) 第一学習社「高等学校新編数学Ａ」

正五角形の作図を考える。他の教科書と同じ。
(ｳ)

テーマ「最短の経路」

対称点などを利用して，いろいろな場面についテーマ「九去法」

ア

課題学習全体の内容についてある数を 9 で割った余りを，各位の数を足す計(13)と 3 つのうち 1 つのテーマが違うだけで，あ算を 1 けたになるまで繰り返して求める方法「九とは全く同じである。

去法」について考える。

イ(12) 数研出版「新高校の数学Ａ」
ア

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「バーコードの仕組み」(13)の(ｱ)と全く同じ内容である。

課題学習全体の内容についてそれぞれの課題を 2 ページから 4 ページで取り扱(ｲ)

テーマ「カレンダーの考察」っている。
「予想してみよう」「考えよう」「やってみカレンダーにひそむ数の関係に目を向ける。(1)

よう」「広げよう」といったように細かいステップにの(ｲ)と同じようなテーマであるが，こちらは見開分けて学習できるようになっている。また，図も多き 1 ページ使っている分詳しくなっている。

く問題も穴埋め形式で取り組みやすくなっているた(ｳ)テーマ「最短の経路」(13)の(ｳ)と全く同じ内容である。

め，数学的な話題を手軽に提供できる。また，巻末の付録を切り取って利用するようになっている問題もある。
イ４

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「確率は本当におわりに昨年度と本年度の２回にわたって，教科書別の課題学習

１２？」の研究を行わせていただいた。課題学習の部分は，教科書によって内容がかなり異なっているので，日々の授業の中両面とも白色のカードと片面が青色，もう片面で教科書とは少し離れた数学的な話題を提供したいと思うが白色のカードを使って確率を考える。
「条件付きときは，別の教科書を参考にするのも有効な手段であると確率」についても少し触れる内容になっている。

感じた。

カードが付録として付いている。
(ｲ)

テーマ「正二十面体を作ろう」

また，課題学習は，数学Ⅰと数学Ａに入っている。どうせなら，数学Ⅱや数学Ｂ，数学Ⅲのほうについているほう付録を使って実際に正二十面体を作り，その形が，より数学的な内容を深めることができ，受験対策にも状を考える。切頂二十面体（サッカーボール）も直結できるとは思う。しかし，数学Ⅰと数学Ａに入ってい頂点を切り落として作れるようなっている。

ることで難しくなりすぎず，数学に興味をもってもらえる(ｳ)という利点もあると感じた。

テーマ「必勝法をさがせ」

マスが書かれたボードの上で，「鬼」が先に自分昨年度も書いたが，啓林館の教科書は，数学Ⅰ・Ａとものコマを動かし，次に「子」が同じようにコマをに他の出版社の教科書とは課題学習の内容の性質が大きく動かす鬼ごっこのゲームの必勝法を考える。

異なっている。課題学習を長期の休みのレポート課題とし(13) 第一学習社「高等学校数学Ａ」
ア

課題学習全体の内容について
第一学習社の教科書は，数学Ⅰでは 2 冊とも課題学習の部分は，全く同じ内容であった。数学Ａでは3 つのうち 1 つだけ別のテーマになっている。
それぞれのテーマを見開き 1 ページで取り扱っている。全て「調べてみよう」「考えてみよう」「応用してみよう」の 3 つのステップで学習できるようになっている。やや発展例題的なテーマも多い。
イ

題材・具体例について(ｱ)

テーマ「バーコードの仕組み」

商品についているバーコードの仕組みについて，場合の数で考える。て提出させる場合は，啓林館の教科書が大変参考になると思う。