コンピュータを活用した授業のまとめ
愛媛県立津島高等学校

清家 規晶

１ はじめにコンピュータ研究委員会に所属して１０年になった。

点Ｑ（ａ（－１≦ａ≦２，０）
点Ｒ（０，ａ２（－１≦ａ≦２））

そこで、この１０年間に行ってきた授業において、効果的であったと思われるいくつかの事例を取り上げてみ連結図形 Ｌ１ ・→・ ＰＲた。

Ｌ２ ・→・ ＱＰ

１０年間で南宇和高校、宇和高校、津島高校と３校を経験してきたが、幸いなことに受験指導に追われて、ただカリキュラムをこなし、速く進めること だけに数学の授業を使っていくことは尐なかった。
どの年においても、必ず、進度を考えることなく、コンピュータを利用して授業を行うことができるクラスを１クラスは担当してきた。
特に、現在の学校では教科書等の説明よりもコンピュータを用いての視覚的な効果の方が大きいようである。
ただ、教科書同様に長持ちはしないようである。しかし、授業を楽しく印象的にとらえることにおいては絶対的であった。
これまでの研究をまとめてみると、ほとんどが生徒の理解を助けるための部分であり、グラフの移動や変化を想像できない生徒のために、コンピュータを用いて視覚的に分かり易く説明することを目的としていた。
２ 研究の内容(1) 最大値・最小値

点Ｑから点Ｐ、点Ｐから点Ｒへとベクトルのように矢印を入れているのは、ｘの値（点Ｑ）を決める

数学Ⅰの２次関数において、生徒が理解できにとグラフ上の点（点Ｐ）が示され、それが決まるとくいところが最大値･最小値のところである。その前ｙの値（点Ｒ）が決まりるということを示している。の平方完成から、軸･頂点の読み取り、グラフの作図さらに、パラメータａを変化させることによって現のところを乗り越えてきたが、最大値・最小値になっれる点Ｒの軌跡を、ｙ軸上にとることで値域も理解てとうとうつまずいてしまう者が多いように感じらさせ、その結果、ｙの最大値・最小値を読み取らせれた。

ようという意図がある。また、増加・減尐が頂点を生徒としては、直線の最大値・最小値と同じように、定義域の両端における値が最大値と最小値であると境にしていることを理解させるのにも便利であると思われた。

考える。グラフを書いてみると分かり易いのである

この種の問題での誤答は、先に述べたとおりであが、例えば(ｱ)の場合であれば、ｘ＝－１のときのｙり、定義域のない場合での頂点のｙ座標が、最大値の値１よりも小さい値というのは－１＜ｘ＜１におまたは最小値になるという考えはどこかにいっていていくらでもあるのだが、頂点の概念がないためしまっているのである。しかし、黒板に書いた図でに、ｘ＝０のとき最小値０ということが見えなくなっ説明するのとは違い、コンピュータの画面上で繰りてしまう。頂点と最大値･最小値の関係をグラフを用返し、点を移動させることで理解を助けることにないて発見させることがこの部分のポイントである。

った。

(ｱ) ｙ＝ｘ２ （－１≦ｘ≦２）における最大値・最小値
ＧＲＡＰＥＳへの入力

頂点のｘ座標が定義域の中にない場合は逆に理解は早かったように思う。
これらのことが理解できると、頂点がどのように陽関数 ｙ１＝ｘ２（－１≦ｘ≦２）

移動しても、また、上に凸であろうが、下に凸であ基本図形 点Ｐ（ａ（－１≦ａ≦２，ａ２）

ろうが解くことはできていたように思う。

さらに、定義域が変化する場合や軸が移動する場合の応用問題にも対応ができる。

記を入れている。この上下動によって最大値・最小値が判断できると思われた。その上、このベクトルの重なるときが場合分けの基準になることにも気(ｲ) 定義域が変化づいてもらえるのではないかと思われた。

２ｙ＝(ｘ－１) －１ (ａ≦ｘ≦ａ＋２)における最大値・最小値

この関数のように、ａの場合分けによって、最大値・最小値が変化する問題については、明らかにグＧＲＡＰＥＳへの入力ラフを見せることで理解の手助けとなっていた。
２

陽関数 ｙ１＝(ｘ－１) －１
ｙ２＝(ｘ－１)２－１(ａ≦ｘ≦ａ＋２)(ｳ) 軸が変化
ｙ＝(ｘ－ａ)２＋１ （０≦ｘ≦４）における最陰関数 Ｃ１ ａ≦ｘ≦ａ＋２
基本図形 点Ｐ（１，－１）

大値・最小値２

点Ｑ（ａ，(ａ－１) －１）
２

点Ｒ（ａ＋２，(ａ＋１) －１）
点Ｓ（０，－１）

ＧＲＡＰＥＳへの入力
陽関数 ｙ１＝(ｘ－ａ)２＋１
ｙ２＝(ｘ－ａ)２＋１(０≦ｘ≦４)

点Ｔ（０，(ａ－１)２－１）

陰関数 Ｃ１ ０≦ｘ≦４

点Ｕ（０，(ａ＋１)２－１）

基本図形 点Ｐ（０，ａ２＋１）

連結図形 Ｌ１ ・→・ ＰＳ

点Ｑ（ａ（０≦ａ≦４），１）

Ｌ２ ・→・ ＱＴ

点Ｒ（４，(４－ａ)２＋１）

Ｌ３ ・→・ ＲＵ

点Ｓ（０，１）
点Ｔ（０，(４－ａ)２＋１）
直線Ｕ ｘ＝ａ連結図形 Ｌ１ ・→・ ＱＳ
Ｌ２ ・→・ ＲＴ

２次関数ｙ＝(ｘ－１)２－１は固定されているが、定義域が変化する場合の問題である。ａの場合分けが必要なこのような問題では、グラフや定義域における領域が頭の中に描くことができない者にとってはなかなか難しいものである。さらに場合分

この問題になると、(ｲ)の問題のように、固定さけのタイミングというものにも理解しづらいとこれた部分はなく、ますます、頭の中で考え想像するろがあるように思われた。そのため、この画面ではことができなくなってしまう。やはり視覚的に最大パラメータａを変化させることによって、値・最小値をとらえるためには、コンピュータを利ａ≦ｘ≦ａ＋１という領域が動き、さらにその領域用しての説明は欠かせないものになってくると思内のグラフが太線かつ色違いで表示されるようにわれる。ここでの工夫は(ｲ)と同じで、ベクトルをなっている。また、前に記述しているとおり、グラ用いていること、点の重なるタイミングが場合分けフの両端及び頂点からｙ軸に向かってベクトル標のタイミングであることである。難しい問題ではあるが、黒板だけで場合分けをしたときよりも理解ししてさえいれば黒板と同様に利用することがでてくれたように思えた。

きるため大変便利である。つまり、この部分については理解を助けると言うよりも、教師の指(2) 領域導方法の一助となると言った方がよいと思える。

(ｱ) 不等式の表す領域１

ただ、生徒にとって見やすいということは、分不等式 ｙ≧２ｘ－１ が表す領域かり易いとも言えると思う。

ＧＲＡＰＥＳへの入力

また、領域については分かりやすさとか理解

陰関数 Ｃ１ ｙ≧２ｘ－１

を助けると言うよりも、意外な利用方法があるということで、利用をさせてもらった。それが、y以前にも発表をした「絵を描く」ということで4ある。

3(ｳ) キャラクター
2

ＧＲＡＰＥＳへの入力
陽関数 ｙ＝１／１８×ｘ２－６（－６≦ｘ≦６）1

陰関数 Ｃ１:ｘ２＋(ｙ－１)２≦１４４−5−4−3−2−1O

1234

xＣ２:(ｘ－７)２＋ｙ２≦１６
Ｃ３:(ｘ＋７)２＋ｙ２≦１６−1

Ｃ４:(ｘ－４)２＋(ｙ－６)２≦９／４−2Ｃ５:(ｘ＋４)２＋(ｙ－６)２≦９／４
Ｃ６:(ｘ－４)２＋(ｙ－７)２＝４−3(ｙ≧１５／２)−4

Ｃ７:(ｘ＋４)２＋(ｙ－７)２＝４(ｙ≧１５／２)−5２

Ｃ８:(ｘ－７) ＋ｙ２＝１６(ｲ) 不等式の表す領域２２２

不等式 ｘ ＋ｙ ≦４ が表す領域

(ｘ≦７)
２

Ｃ９:(ｘ＋７) ＋ｙ２＝１６

ＧＲＡＰＥＳへの入力
２２

陰関数 Ｃ１ ｘ ＋ｙ ≦４(ｘ≧－７)

y2.5
2
1.5
10.5
−2.5

−2−1.5−1−0.5

O

0.5

11.5

22.5

x−0.5
−1−1.5−2−2.5領域については、黒板で説明するよりもきれ陰関数については、Ｃ９までしか作成ができいであり、簡単に描けるところに魅力がある。

ないので、これ以外に、基本図形の円を利用しそこで説明するにしても、スクリーンに映し出てｘ２＋ｙ２≦９を表すことにする。また、色つけについては同様に基本図形で行うことができ平均変化率が（ｙの変化量）÷（ｘの増加量）る。

で求められ、これがグラフ上では直線ＰＱの傾キャラクターを描いたり、デザインをしたりきを計算していることに気づいてもらえたはずするならば「お絵かきソフト」や「Ｅｘｃｅｌ」であった。さらに、パラメータａの値を変化さを使用すれば同じような絵や、もっと正確で正せ、中でもその極限値が結局は点Ｑが点Ｐに近しい絵が描けると思う。しかし、それでは単にづいていき、最後には一致すること。つまり、「お絵かき」になってしまう。ここではあくま

直線ＰＱは点Ｐにおける接線の傾きであることでもグラフソフトを利用し、数学で絵を描くとを指導しやすくしているところである。

いうことに重点を置いているだけに尐しのゆがこの分野では、以前からコンピュータを利用みといったものは仕方がない。

したり、何らかの教具でグラフを示したりしてこの分野は何度指導してみても生徒が驚きといるところであった。そうすることで、時間もともに、楽しく授業を行うことができるところ

かからず視覚的にとらえやすいことははっきりである。コンピュータを利用して授業を行う中としていた。

でも、最も、生徒が楽しむことができるところではないかと思う。

３ おわりにコンピュータを利用して授業を行うことで生徒の(3) 微分理解を助けることになる。特に、最近の生徒、コン
２

放物線ｙ＝ｘ の平均変化率と極限、および微ピュータを扱うことにも慣れており、生徒は中でも分係数の意味

こういう作業的な学習には大きな関心を寄せてくる

ＧＲＡＰＥＳへの入力し、積極的に取り組んでくる。いつものただ机に座

陽関数 ｙ１＝ｘ２って黒板で受ける授業ではわからないところがわか

基本図形 点Ｐ（１，１）

ったり、できない問題ができたりする。

点Ｑ（１＋ａ，（１＋ａ）２）

しかし、よいことばかりではなく、幾つかの問題

連結図形 Ｌ１ -・－・- ＱＰ点もある。一つは、黒板に板書していれば生徒はわyからないまでもノートをとっており、それを元に後6に学習することはできるが、コンピュータを扱うとその授業の印象は強く楽しいのだが、家庭学習の習慣がない生徒では全くといっていいほど後に残らな5い。その場限りの学習になってしまうことが大きな問題である。コンピュータを使うことで理解を助けQ4るのだから、それを生かして次につなげる工夫が必要である。毎時間コンピュータ教室が使えるわけで3はないだけに、特に求められる問題である。
さらに、コンピュータ教室を使用する場合、教員2一人ではどうしても無理がある。コンピュータへの入力方法や関数などに対する質問を受けたりするとP一人では回らなくなってしまう。その結果、わから

1なくて何もしない生徒、逆に作業が終わってしまっ
−1

O

1

2

3

4xて何もしない生徒が出てきてしまう。
こういった問題については学校全体での取り組み

この分野は、平均変化率を指導し、その図形的な意味、つまり、２点を結ぶ直線の傾きであが必要となってくるがなかなか解決しにくい問題である。

ること。および、その極限である微分係数が接最後に、一番の問題はカリキュラムが限られてい線の傾きを表すことを理解しやすくしている分る授業では、コンピュータを使用する余裕がないこ野であった。黒板で説明するよりも簡単に説明とである。受験指導といったことを考えてしまうとすることができ、意味を視覚的にとらえやすい

なかなかコンピュータを授業に持ち込めないのが最ところである。

大の問題である。