４次元データの提示方法に関する研究
村田 誠

橋本周司

早稲田大学理工学部応用物理学科橋本研究室
１ . はじめにわれわれは、２次元上（例えば、紙面、ディスプレイ）に表示された３次元の物体からその３次元的な形状を推測すること

オブジェクトデータ
オブジェクトデータ（（頂点、ポリゴン頂点、ポリゴン））ができる。同様にして、４次元の物体を３次元上に表示することによって、４次元形状が推測できるのではないかと考えられ３次元空間への投影変換

る[1]。
４次元形状が推測できるようになると、３次元上には表わす

これまでも、ＣＧを用い、４次元の光源によって４次元物体のレンダリングを行った表示[2],[3]が試みられているが、静止した画像から４次元の形状を把握するのは困難である。むしろ、４次元物体をインタラクティブに操作し表示された３次元形状の変化を感じた方が４次元を理解しやすいと思われる。
われわれは、４次元を直感的に把握することを目的に、投影

図１ 投影変換システム概要

４次元から３次元への投影は、式（１）、（２）により求められる。まず、４次元ワールド座標系から、視線方向をｗ軸にとった視点座標系へ変換する。
− Ey / AEx / A00  X x    y−ExEz/AB−EyEz/ABA/B0  =  Y z  − ExEw / B − EyEw / B − EzEw / B B   Z    ExEyEz Ew   W wA =本研究における４次元データの提示方法には、３次元の物体を２次元に表示するときに有効な投影および断面図による２つの方法を４次元から３次元の場合に拡張して用いる。
扱う４次元空間は、４次元ユークリッド空間とする。Ｘ，Ｙ，Ｚ、Ｗ軸がそれぞれ直交しているとする。

２−１ 投影による提示
３次元の物体を２次元の紙面やディスプレイ上に描画するように、４次元の物体を４次元空間内の視点から見える３次元のスクリーン上へ投影する。
４次元データと４次元上の視点を入力して、３次元上のスクリーンに投影変換を行う。３次元空間への表示のために、Stereo Graphics 社の液晶シャッター眼鏡を用いて時分割立体視を行っている。また、４次元空間内の回転、各軸方向への伸縮、拡大・縮小といった操作をインタラク
ティブに行うことができ、投影された３次元形状の変化が立体的に観察できる（図 1）。

Four Dimensional Data Display

Ex 2 + Ey 2

ワールド座標系
視点座標系と断面による表示とインタラクティブな操作を重視したＣＧを用いた４次元データの提示方法を検討している。

２ . ４次元データの提示方法

操作・回転（４Ｄ，３Ｄ）
・伸縮・拡大・縮小

液晶シャッター眼鏡による３次元立体視ことのできない高次元のデータ間の対応関係が捉えやすくなる。しかし、４次元空間での経験が無いわれわれにとって、３次元から４次元物体の構造はすぐにはわからない。３次元から４次元を想像するための訓練を行うシステムが必要になる。

４次元の４次元の視点
視点

B =

（１）

1 − Ew 2（Ｘ，Ｙ，Ｚ，Ｗ）（ｘ、ｙ、ｚ、ｗ）

視方向単位ベクトル （Ｅｘ、Ｅｙ、Ｅｚ、Ｅｗ）

これより、３次元空間に投影された座標（ｘ 、ｙ 、ｚ ）は、視点から視点座標系の原点までの距離をｔとすると
x’ =t
xt+w、y’ =t
yz’ =
t+w 、

tzt+w

（２）と表される。
３次元の物体の形状を理解するとき様々な角度から眺めることが必要なように、４次元空間でも物体の形状を理解するために４次元上での回転が行えるようにした。
４次元空間内においては、平面と平面が１点で直交することから、回転はある平面を軸にしてそれと直交する平面上で行われる。つまり、回転はＸＹ平面、ＸＺ平面、ＸＷ平面、ＹＺ平面、ＹＷ平面、ＺＷ平面上の６通りがある。ＸＹ平面上の回転は、式（３）で表される。

 cosθ − sin θ 0 0   x 
 x’    cosθ 0 0   y y’  =  sinθ 0 z’ 0 1 0  z    0 0 1   w
 0 w’（３）

また、軸の方向をわかりやすくするために、軸方向への伸縮が可能である。さらに、投影した３次元形状も任意に回転、拡大・縮小が実時間で可能である。

Makoto Murata, Shuji Hashimotoe-mail: {makoto, shuji }@shalab.phys.waseda.ac.jp

２−２ 断面による提示

Hashimoto Lab. Dept. Applied Physics,
School of Science & Engineering, Waseda Univ.

３次元の空間で切っていく。４次元物体の頂点、辺、面のデー
タと物体を切る空間の方程式を入力とし、物体の辺と空間との3-4-1-55N-4-10A Okubo, Shinjuku, Tokyo 169-8555, Japan
Tel: 03-5286-3233, FAX: 03-3202-7523

連立方程式を解くことにより、交わりの３次元形状の頂点座標が求まる。次に、辺や面のデータにより、３次元形状を構成す３次元の物体を２次元の平面で切るように、４次元の物体をる。３次元空間をある方向に沿ってずらしていくことにより、交わりの３次元形状の変化をアニメーションとして観察するこ投 影 に よ る （ ｃ ） の 例 と し て 、 複 素 関 数 f(z) = z 2 、f(z) = z 3 、f(z) = 1 / z および f(z) = e z のグラフの表示をとができる。
（図2）任意の方向の空間によって切っていけるため、物体のいろいろ方向による断面形状の変化の違いをつかむ

行った結果が図５である。
Ｚ＝Ｘ＋ｉＹが複素関数ｆによってｆ（ｚ）＝Ｕ＋ｉＶに写像されるとして、（ Ｘ，Ｙ，Ｕ（ｘ、ことが可能になる。

ｙ）、Ｖ（ｘ、ｙ） ）を４変数にとり、３次元空間に投影した。
この図は静止画であるが、インタラクティブに図形を回転させオブジェクトデータ
オブジェクトデータ（頂点、辺、ポリゴン）（頂点、辺、ポリゴン）

空間の方程式
空間の方程式f(z) = e z のグラフにおいては、平面から円の中への写像であオブジェクトと空間の交点３次元形状の構成ることによって、写像の構造が良く把握できる。例えば、
f(z) = 1 / z のグラフにおいては、原点に特異点が確認でき、空間の移動によるアニメーションることが確認できた。

立体表示
立体表示

図２ 断面表示システム概要

３．４次元データの表示結果
投影および断面による方法を用いて、４次元データの提示を行った。４次元のデータは次の４通りに分けることができる。
（ａ）４変数が独立な場合

f(z) = z 2f(z) = z 3f(z) = 1 / zf(z) = e z（ｂ）３変数が１変数に依存する場合（ｃ）２変数が２変数に依存する場合（ｄ）１変数が３変数に依存する場合（ａ）の例として、４次元の物体、（ｂ）の例として、３次元空間内を時間によって移動する点の軌跡、（ｃ）の例として、複素関数のグラフ、（ｄ）の例として、３次元空間の温度分布のような３次元スカラー場などが考えられる。
投影による方法により、（ａ）の例として４次元立方体の回転を行った結果が図３である。 ４次元立方体は、頂点１６、辺３２、面２４、３次元の立方体８個を構成要素にもち、各頂点にて４本の辺が直交した図形である。
３次元の物体を回転させると、２次元上に出来る影の形が変化するように、４次元空間内で回転させると投影された３次元物体の形状が変化する。

図５

複素関数のグラフ

４．まとめ
３次元から２次元への表示法を拡張し、対話的な４次元データの提示を行った。
４次元構造の違いによって３次元形状に変化が生じるので、その情報を通して４次元を推測することができる。
いかにその情報をわかりやすく提示するかが重要であるが、今回は投影と断面という方法を選択した。現在、いろいろな４次元データに対して、どの提示方法が適しているのかを評
価実験を通じて検討中である。

図３

４次元立方体の回転

また、４次元立方体をＸ軸方向に向かって伸ばすことにより、４次元空間の軸の方向が確認できる。（図４）

参考文献[1] 登 不二雄、 橋本 周司 ４次元パターンの３次元表示に関する基礎研究 電子情報通信学会 総合大会 D‑601 pp.7‑337 1994
[2] A.J.Hanson and P.A.Heng “Illuminating the Fourth Dimension” IEEE
Computer Graphics & Applications pp.54-62 July 1992
[3] 池辺 亮志、斎藤 豊文、鳥脇 純一郎
４次元空間の図形・情報の可視化手法についての一考察 電子情報通信学会 総合大会
D‑12‑114 pp.313 1998

図４

４次元立方体のｘ軸方向への伸び