データ構造を拡張した SN 比の分布に関する研究
M2012MM003 藤井裕之
指導教員：松田眞一
表 1 データ形式 (2 因子静特性)

はじめに

1

水準
企業にとってはますます品質は重要であり, そのために問題を未然に防ぐ方法がいくつか存在する. その一つが近B1

年製造業を中心に関心の高いタグチメソッドである. さらなる品質向上にはデータ構造を拡張したものに対応した

SN 比の分布論が必要だと思い, 過去の先輩の研究を参考にしつつ, 拡張されたデータ構造における SN 比の分布に関する研究を行っていこうと考えた.

過去の研究

2

堀井 [2] では永田 [5] が示した分布の導出を整備し、そのSN 比の計算においては既存の近似法ではなくモンテカルロ法が妥当であると結論づけた. 前廣 [4] では他の近似法についての研究を行い,MCL-M 法が有効であると結論づけた. また, 高橋 [6] では実データに基づき SN 比の再現性の確認を行い, ± 3db は幅 6db に関しては問題が無いが, 対称性は無いために± 3db が緩い基準であることがわかった. 藤村 [1] では, シミュレーションに基づいて SN 比の再現性を確認し, 静特性ではすべての結果において下側に±3db を切ったものが上回り, 動特性に関しては± 3db の値は緩い基準ではないため変更する必要はないという結果を得た,SN 比における± 3db は幅 6db における妥当性や対称性に関しては, 静特性と動特性は一律の基準ではないと結論づけた. しかし, 藤村 [1] までは１因子のみを制御因子として解析しており, データ構造を拡張した場合はどうなるのかを欠点としていた.

SN 比の再現性3

一般には,SN 比の再現性は, 推定と確認での差が± 3dbの間に入っていれば再現していると判断している. ± 3dbとは,10 log10 をとっているので, 約 21 〜2 倍の間に入っていることを意味している.(立林 [7]・藤村 [1] 参照)

..
.

..
.

B1
Aa..
.
Bb

不偏分散SN 比

x̄A1

VA 1

γA1..
.

..
.

..
.

x̄Aa

VAa

γAaとなる. ここで得られたデータ xijkl の構造を以下のように成り立つと考える.

xijkl = µ´ij +nijk +²ijkl = µ+ai +bj +(ab)ij +nijk +²ijkl(2)µ´ij : 制御因子の各水準での母平均
 (µ´ij = µ + ai + bj + (ab)ij )nijk : Ai Bj 水準での誤差因子 Nk 水準の影響の大きさ(nijk = nk + (an)ik + (bn)jk + (abn)ijk ) (繰り返しなしの時は, nijk = nk + (an)ik + (bn)jk )²ijkl : データを取る際に生じる誤差因子以外の誤差PP(ab)ij = 0 であり,cijk = bj +i (ab)ij =Pb Pr j(ab)ij + nijk ( j=1 k=1 cijk = 0) とすると
xijkl = µ + ai + cijk + ²ijkl

静特性 (望目特性) の SN 比m 回繰り返しの制御因子が A と B で, 誤差因子が N だけの実験で得られたデータを表 1 とする. x̄Ai は制御因子

A が i の水準の平均,VAi は制御因子 A が i の水準の時の不偏分散とする時, 因子 A に対する標本 SN 比は,µ 2 ¶x̄AiγAi = 10 log10VAiBb用であり主な導出結果は Ai 下の規定のものを表示する.

4.1..
.

平均

また,(ab)ij は制御因子 A が i で B が j のときの交互作

2 元配置データ構造の SN 比

4A1

N1 ,. . . ,Nrx1111 ,. . . ,x11r1..
.
x1b1m ,. . . ,x1brm..
.
x1b11 ,. . . ,x1br1..
.
x1b1m ,. . . ,x1brm..
.
xa111 ,. . . ,xa1r1..
.
xa11m ,. . . ,xa1rm..
.
xab11 ,. . . ,xabr1..
.
xab1m ,. . . ,xabrm(1)(3)と表せる. ここで誤差は E(²ijkl ) = 0,V (²ijkl ) = σi2 (たPaPb
i=1 ai = 0,j=1 bj =Pr0, k=1 nijk = 0 である. 母 SN 比は,だ し,Ai の 下 で 規 定) と し,10 log10mPb(µ + ai )2j=1Pr

2k=1 cijk

brm−1(4)+ σi2となる. 次に誤差に正規性を仮定して確率分布を求める. ス
ペースの関係上 I = mPbx̄2Ai=VAi

Pr

j=1(2k=1 cijk とする.

下のように成り立つと考える.

yijkl = βAi xl + (βAiBjN k − βAi )xl + ²ijkl (Ai 規定) (9))2x̄
p AiVAi

誤差因子 Nk で場合分けしたときの傾きと誤差 ²ijkl で以yijkl = βBj xl + (βAiBjN k − βBj )xl + ²ijkl (Bj 規定) (10)=2 (x̄ − µ − a )/pσ 2 /brm + (µ + a )√brm/σ Aiiiiqi(5)pI
222σi χ (brm − 1, σ2 )/(brm − 1)/ σi /brm 

ここで誤差は E(²ijkl ) = 0,V (²ijkl ) = σi 2 (ただし,Ai の下で規定) である. つまり,PbPr Pm
k=1
l=1 yijkl xl
j=1
β̂Ai = Pb Pr Pm
2
j=1
k=1
l=1 xlPb Pr Pmxl ²ijkl
j=1k=1Pm l=1= βAi +2br l=1 xliと変形できるので, 次のような分布になる.

brmx̄2Ai∼
VAi½ µ¶¾2√µ + ai It00 brm − 1, brm, 2(6)σiσi2 重非心 t 分布の 2 乗は 2 重非心 F 分布となるので
brmx̄2AiVAi
δ1 =(11)であり, 期待値をとると,Pb∼ F 00 (1, brm − 1; δ1 , δ2 )E(β̂Ai ) = βAi +brm(µ + ai )2I, δ2 = 2σi2σiSeAi =動特性 (ゼロ点比例式) の SN 比=子が N だけの実験で得られたデータを表 2 とする.

b Xr
X

B1A1..
.
Bb..
.

..
.

B1Aa..
.
Bb

傾き残差分散β̂A1 B1 N1..
.
β̂A1 B1 Nr..
.
β̂A1 Bb N1..
.
β̂A1 Bb Nr..
.
β̂Aa B1 N1..
.
β̂Aa B1 Nr..
.
β̂Aa Bb N1..
.
β̂Aa Bb Nr

SN 比γAi = 10 log10Pbとなる.(β̂Ai =j=12β̂AiVeAi+2m
Xx2l +b
j=1

Prb X
r X
mX

Pm

²2ijkl´2Pm

k=1brb X
r X
mX
j=1 k=1 l=1l=1³P−l=1 xl ²ijkl

2l=1 xl(βAiBjN k − βAi )xl ²ijkl(13)

j=1 k=1 l=1SeAiとなる.VeAi = brm−1より,VeAi の期待値をとると,

VeA1PbγA1E(VeAi ) =Pr2k=1 (βAiBjN k − βAi )j=1Pm

2l=1 xlbrm − 1+ σi2(14)..
.

..
.

である. よって母 SN 比は,

10 log10 Pb

j=12βAiPr

2k=1 (βAiBjN k −βAi )Pm

2l=1 xl

brm−1VeAa

γAa(15)+ σi2と な る. こ こ で, 誤 差 ²ijkl に 正 規 性 を 持 た せ, 静 特性 と 同 様 に 式 変 形 行 う.

Pb

Pr

スペースの関係上 J

Pm=k=1 (βAiBjN k − βAi )σ2行うため,V (β̂Ai ) = br Pmi x2 より,
l=1 l
2j=1

このとき因子 A に対する標本 SN 比は,

Ã{yijkl − β̂Ai xl }2(βAiBjN k − βAi )2j=1 k=1

表 2 データ形式 (2 因子動特性)
N1..
.
Nr..
.
N1..
.
Nr..
.
N1..
.
Nr..
.
N1..
.
Nrb Xr XmX
j=1 k=1 l=1

信号因子が x1 ,. . . ,xm で制御因子が A と B で, 誤差因

x1 ,. . . ,xm
y1111 ,. . . ,y11r1..
.
y1b1m ,. . . ,y1brm..
.
y1b11 ,. . . ,y1br1..
.
y1b1m ,. . . ,y1brm..
.
ya111 ,. . . ,ya1r1..
.
ya11m ,. . . ,ya1rm..
.
yab11 ,. . . ,yabr1..
.
yab1m ,. . . ,yabrm

xl E(²ijkl )Pml=1 2= βAi
br l=1 xl(12)となる. 一方,SeAi を下記のようにおいて計算すると,非心 F 分布に従うことがわかる.

水準

Pm

k=1(7)となる. これより静特性 (望目特性) は上記で表される 2 重

4.2

Pr

j=12β̂Ai=
VeAi!
(8)

Pr

k=1 β̂AiBjN k /br である.) 次に,yijklのデータを各 Ai (Bj ) 全体の傾きと入力信号 xl ,Ai (Bj ) を(2l=1 xl とする. 標準化をβ̂√ AiVeAi)2p2 br Pm x2 (β̂ − β )/σ + pbr Pm x2 β /σ Ai
Aiiik=1 lk=1 l Aiq=
 σ 2 χ0 2 (brm − 1, J2 )/(brm − 1)/pσ 2 /br Pm x2 ii
l=1 l
σi(16)

となる. ゆえに, 以下の分布に従うことがわかる.



表 3 合板データの結果 1v
2u mPm 2 2Xu(br l=1 xl )β̂AiβAi J ∼ t00 brm − 1, tbrx2l,VeAi
σi σi2 

l=1(17)
2 重非心 t 分布の 2 乗は 2 重非心 F 分布となるので,
Pm2(br l=1 x2l )β̂Ai∼ F 00 (1, brm − 1; δ1 , δ2 )VeAi
Pm2(br l=1 x2l )βAiJ
δ1 =, δ2 = 2(18)σi 2σiがわかる.

SN 比の信頼区間の導出

2 重非心 F 分布に従う確率変数を F 00 とし, 下側点の真値を f1 , 上側点の真値を f2 とすると
Pr {f1 ≤ F 00 ≤ f2 } = 1 − αと 表 せ る.f1 ,f2 の 計 算 はα
2ず つ 行 う. 静 特 性 の 場

f2
f1, 10 log10 brm]
合 の SN 比 の 信 頼 区 間 は [10 log10 brmと な る. 動 特 性 の 場 合 の SN 比 の 信 頼 区 間 はf1f2[10 log10 br P, 10 log10 br P] となる.(高橋 [6] 参照)
x2x2k

7

下側 SN 比 (個)SN 比 (個)上側 SN 比下側 SN 比SN 比

1000
1000
1000

1000
1000
1000

1000
1000
1000

23.36
18.74
20.99

19.06
16.27
18.38

20.98
17.30
19.86

B1
B2
B3

1000
1000
1000

1000
1000
1000

1000
1000
1000

17.37
15.24
16.96

15.25
13.81
14.42

16.32
14.54
15.47

水準

上幅 (回)

下幅 (回)

幅 (回)

A1
A2
A3

698
981
995

854
1000
965

872
1000
999

B1B2
B3996
1000
956

996
1000
997

1000
1000
996

2 重非心 F 分布

2 重非心 F 分布 F 00 (v1 , v2 , λ1 , λ2 ) は複雑な密度関数を持つために直接的な分布計算は困難である. 本研究では前廣 [4] の作成した MCL-M 法の R 関数を近似として利用する.

6上側 SN 比 (個)A1A2A3

表 4 合板データの結果 2が導かれる. よって, 動特性も 2 重非心 F 分布に従うこと

5水準

k

シミュレーションの手順
シミュレーションに使用するプログラムは, 藤村 [1] で使用されているものを基に作成を行った.

1. シミュレーションに使用する実験データを定める.
2. 実験データに対応する制御因子水準, 誤差因子水準, 有意水準などの数値を定める.
3. 以上により定められたデータ, 数値を元に, 制御因子の各水準での母平均, 制御因子の各水準での傾き, データを取る際に生じる誤差因子以外の誤差, 制御因子の各水準ごとの母分散などを推定する.

8.1

シミュレーションの考察

ここでは結果のまとめ (表 3,4) を載せておき, それについて考察を行う.

SN 比の信頼区間の平均の幅は A 水準では 4.29db〜2.48db,B 水準では 2.54db〜1.44db となった. 次に, 幅に関しては, 約 8 割〜全部が 6db を切る結果になった.
SN 比の再現性± 3db と比較してみると, 上幅・下幅ともに± 3db を切る割合が多く,A3 のみ上寄りだが, その他は全て下寄りになっている, 上幅の平均の幅は A 水準では2.38db〜1.13db,B 水準では 1.49db〜0.70db, 下幅の平均の幅は A 水準では 1.92db〜1.04db,B 水準では 1.07db〜0.73db となり,A,B 水準共に上幅の方が広い結果になった.
藤村 [1] の研究ではデータ構造が 1 元配置の時の SN比の研究をしており, そのときの信頼区間の平均の幅は7.72db〜7.42db. 幅は, 約 2 割が幅 6db を切った. これに比べると, データ構造が 2 元配置の時の SN 比の信頼区間の幅は短くなるというという結果になった.
また, 上幅・下幅に関しても, 藤村 [1] の研究では上幅は 1割以下, 下幅は約 1〜2 割が± 3bd を切る結果になったが,データ構造が 2 元配置の時は± 3bd を切る割合は上幅・下幅共に約 7 割〜全部と割合が高くなり, 上幅・下幅共に短くなるというという結果になった. しかし, ± 3db 対称にならない点は共通している.

動特性シミュレーション

94. 誤差因子以外の誤差に正規乱数を与えることで 1000回分のシミュレーションデータを作成し, その分析結果を得る.

をシミュレーションにより採取したデータである. 制御因

5. 分析結果より,SN 比や幅などの出力を行う.

水準), 誤差因子をグリップ (3 水準), 信号因子をモーター

8静特性シミュレーション
ある合板の接着力を高めるために, 因子として接着剤の種類 A を 3 水準, 前処理の方法 B を 3 水準設定し, 繰り返し 3 回 (誤差因子を 3 水準) の 2 元配置実験を行っている.(藤村 [1], 立林 [7] 参照)

あるサーキットでの RC カーレースにおける 1 周タイム
子 A をギア比 (2 水準), 制御因子 B を回転部分相当重量 (2トルク (3 水準) とした.(かわにし [3] 参照)

9.1

シミュレーションの考察

ここでは結果のまとめ (表 5,6) を載せておき, それについて考察を行う.
また, 藤村 [1] の動特性のプログラムにはバグが存在し,ない結果になった. また, ± 3db 対称にならない点は 1 元

表 5 RC カー (動) の結果 1水準

上側 SN 比 (個)下側 SN 比 (個)SN 比 (個)上側 SN 比下側 SN 比SN 比A1A21000100010001000100010008.838.740.800.644.964.86B1B21000
1000

1000
1000

1000
10008.79
8.70

0.760.60

4.88
4.82

配置のときと同じである.
さらに,1000 回の内容については, 幅が 6db を切る割合について調べた. 静特性では幅が 6db を切る割合を調べてみると, 約 8 割〜全てという非常に高い割合で 6db を切る結果になった. 動特性では, 幅が 6db を切る割合は極わず

表 6 RC カー (動) の結果 2かだった. しかし, ± 3db を切る割合は約 1 割以下〜約 2水準

上幅 (回)

下幅 (回)幅 (回)割と 1 元配置に比べると短くなっていることがわかる. どA1A24142137
143

32ちらの場合も,1 元配置に比べると幅が短くなるが, 静特性

B1B23732161
136

52はその傾向が顕著に出てる結果になった.

修正してあるためシミュレーション結果は直接比較ではな

したがって,2 元配置データにおける SN 比の再現性±3db は, 静特性のときは非常に緩い基準になる. 動特性の場合でも幅に対してはまれに緩くなることがある. また, ±3db の対称性はなく, 上下幅は緩くなることがある. 静特

い.

性・動特性いずれの場合でも信頼区間を使うべきという結SN 比の信頼区間の平均の幅は A 水準では 8.03db〜8.10db,B 水準では 8.03db〜8.11db となった. 次に, 幅に関しては, ほとんどが 6db を切らない結果になった.
SN 比の再現性± 3db と比較してみると, 上幅・下幅ともに± 3db を切る割合は上幅は 1 割未満, 下幅は約 1〜2割で, 上寄りになっている. 上幅の平均の幅は A 水準では3.877db〜3.872db,B 水準では 3.89db〜3.92db, 下幅の平均の幅は A 水準では 4.16db〜4.22db,B 水準では 4.11db〜4.22db となり,A,B 水準共に下幅の方が広い結果となった.
藤村 [1] の研究では, 動特性は 1 元配置のときは, 上下幅± 3db を切るものはなく, 信頼区間の幅が 6db を切るものもないと結論づけられている. しかし,2 元配置のときは, 上下幅± 3db を切るものが現れ, 信頼区間の幅も 6db を切るものが極少数ながら現れた. このことからは, 動特性も 2 元配置になると, 幅が短くなることがわかった. しかし, 静特性ほどは短くならなかった.
このことからは,2 元配置の動特性の再現性± 3db という基準は, 幅に対しては極まれに緩くなることがあると言える. 上下幅も対称性はなく± 3db が緩くなることがある
ので信頼区間を使うべきだと思った.

論に至った.

10まとめ制御因子を 2 つにしたモデルの理論式は, 藤村 [1] の従来のモデルを基に, 永田 [5] の導出方法で導いた. これと同様に SN 比の信頼区間も高橋 [6] の導出方法で導いた. シミュレーションで用いたプログラムもこれと同様である.
タグチメソッドにおける SN 比の信頼区間について, 実データを基に誤差因子以外の誤差に正規乱数を与えることで 1000 回分のシミュレーションデータを作成し, 分析結果を得ると共に, 田口玄一氏の経験則による SN 比の再現性

11

おわりに今回,2 元配置に拡張したデータの SN 比に関してシミュレーションを行ってわかったことは,1 元配置のときと比べると信頼区間の幅が短くなり, さらに静特性と動特性は一律の基準でないことが顕著に出たことである. また,2 元配置の静特性の場合は経験則の± 3db では緩すぎて判断できないこともわかった.
また, 理論やプログラムを構築するにも基となった理論・プログラムを理解した上で構築する必要があり, そういった点では苦労することが多かった. 参考文献の先輩方の論文やプログラムは間違っている部分があるので, そういった点は注意すべきたと思った.

参考文献[1] 藤村良介:タグチメソッドの SN 比における信頼区間の性質に関する研究, 南山大学大学院数理情報研究科数理情報専攻修士論文,2012.
[2] 堀井里佳子:タグチメソッドの SN 比の統計的分布について, 南山大学大学院数理情報研究科数理情報専攻修士
論文,2010.
[3] かわにし:お気楽 RC!,
http://homepage3.nifty.com/kawanish/,2004.
[4] 前廣芳孝:2 重非心 F 分布の近似法の研究, 南山大学大学院数理情報研究科数理情報専攻修士論文,2011.
[5] 永田靖:統計的手法における SN 比, 第一回横幹連合総合シンポジュウム,2006.

その結果,1000 回平均については± 3db の幅 6db に対し[6] 高橋知也:タグチメソッドの SN 比における信頼区間の適応方法の研究, 南山大学大学院数理情報研究科数理情報専攻修士論文,2011.て, 静特性と動特性共に各シミュレーションの一番 SN 比[7] 立林和夫:『入門タグチメソッド』, 日科技連,2004.

± 3db との関係,1 元配置データとの比較について調べた.の値がいいものだけをみると, 静特性の場合は全てが 6dbを切る結果になったが, 動特性の場合は全てが 6db を切ら