スイッチトリラクタンスモータの V/f 制御の高性能化

学生員

熊谷 崇宏

正員

加藤

尚和

正員

日下 佳祐

上級会員

伊東

淳一

(長岡技術科学大学)(長岡モーターディベロップメント株式会社)High Performance V/f control Method for Switched Reluctance Motor
Takahiro Kumagai, Student Member, Keisuke Kusaka, Member,
Jun-ichi Itoh, Senior Member (Nagaoka University of Technology)
Masakazu Kato (Nagaoka Motor Development Co., Ltd.)This paper proposes a novel V/f control method for switched reluctance motor (SRM). The proposed method does
not require rotor information and nonlinear magnetization curve model of SRM. This paper proposed the following
three methods and confirmed their effectiveness: (ⅰ) a virtual rotor magnetic flux was generated by controlling thezero-phase current with a PI controller, and V/f control for SRM was realized, (ⅱ) from the stability analysis based on
the derived SRM’s state equation, the optimum gain design method for stabilization control is proposed. The optimum
gain leads to the wide range stable operation in proposed V/f control. In addition, (iii) by applying i0 = iq control and
id = 0 control, a high torque per current is achieved without complicated parameter adjustment.
キーワード：スイッチトリラクタンスモータ, 高効率 , V/f 制御, 安定化

Keywords：Switched reluctance motor (SRM), High efficient, V/f control, Stabilization method

1.

はじめに

スイッチトリラクタンスモータ(SRM)は，レアアースを使する電流・速度制御系を構成するためには，事前実験や解析により電流振幅や点弧角，消弧角等の複数のパラメータを同時に調整する必要がある(9)(10)。

用する磁石が不要で，鉄心と集中巻の巻線のみで構成されそこで，本論文では，これらの問題を解決するため，SRMるため，製造コストが安価である。加えて，回転子は堅牢なの V/f 制御を提案する。V/f 制御はインバータ出力電圧を基

突極鉄心構造で，高速運転や高温環境に適することから，産準とした回転座標軸に基づいて制御されるため，本質的に業用途や家電製品向けの可変速モータとして注目されてい回転子位置情報を必要としない。そのため，インダクタンス

る(1)(2)。SRM の安価で堅牢という特徴を活かすためには，位の検出精度や回転子位置への変換精度の問題が発生しな

置センサレス化が望まれる。

い。加えて，V/f 制御に SRM のベクトル制御(11)における最SRM の位置センサを用いない駆動法としては，インダク
タンスの位置依存性を利用する手法が数多く検討されてい大トルク電流比制御をベースとした高効率制御を付加する
ことで，高効率かつ簡易な速度制御を実現する。

る(3)-(8)。この手法では，電圧および電流からインダクタンス

提案する SRM の V/f 制御の原理は，PMSM において提案の瞬時値を検出し，インダクタンスと回転子位置のルックされている安定化制御と高効率制御を付加した V/f 制御(12)アップテーブルもしくは近似式に基づき，回転子位置に変を元とするが，主に以下の点が異なる。(ⅰ) PMSM における換する。しかし，インダクタンスの瞬時値を精度良く検出す

回転子磁石磁束に対応する仮想回転子磁束を生成する必要

るには，高調波電圧重畳のような複雑な駆動(3)(4)や追加のアがある。(ⅱ) 動作条件に応じて回転子磁束やインダクタンス

ナログ回路(5)(6)が必要である。また，検出したインダクタン

値がダイナミックに変化するため，安定化制御のゲインもスから精度良く回転子位置に変換するには，SRM の非線形ダイナミックに変化させる必要がある。(ⅲ) 高効率制御のた磁化曲線モデル(7)(8)が必要であり，複雑な測定や有限要素電

めには，無効電力を用いた id=0 制御に加えて，i0=iq 制御が

磁場解析が必要となる。加えて，高いトルク/電流比を達成必要である。本論文では，上記の(ⅰ)-(ⅲ)に対して提案手法を説明したのちに，実機検証にて提案する SRM の V/f 制御の(ⅰ) zero-phase current ACR
i0* +
PI
-

有用性について確認する。

2. SRM の V/f 制御

rm*

図 1 に提案する SRM の V/f 制御の制御ブロック図を示す。

*Pf(ⅱ) V/f control
f/V conv.

本制御法は，(ⅰ) ゼロ相電流制御，(ⅱ) V/f 制御，(iii) 高効率制御から構成される。ゼロ相電流制御では，ゼロ相電流を PI

Damping control
K1
HPF

制御器により制御することで，仮想回転子磁束を生成する。
一方，V/f 制御および高効率制御に関しては，<2∙1>節，<2∙2>

0

v*
v*

+
Δv*
 1* 1  1*+s-(iii) Highefficiency
control

節にてそれぞれ説明する。
〈2･1〉V/f 制御

i

SRM のベクトル制御では，仮想回転子磁束ベクトルの方i3f/i

向を d 軸，d 軸から 90deg.遅れた軸を q 軸とした dq 軸直交
座標系を用いる。一方，V/f 制御では，インバータ出力電圧ベクトルの方向を軸と定義し，軸より 90deg.遅れた軸を軸とする軸直交座標系を用いる。PMSM の V/f 制御では，有効電流 iを電気角周波数指令*にフィードバックする安定化制御により， V/f 制御で駆動する際に生じる慣性モー
メントと電機子インダクタンスの共振によるトルク振動を抑制している(12)。SRM においても，ゼロ相電流制御により仮想回転子磁束を生成することにより，PMSM の V/f 制御と同様な安定化制御ができる。
dq 座標上の SRM の電圧方程式およびトルクの関係式(11)を座標上に変換すると，(1), (2)式が得られる。
Lac
L
Lac


− ac sin(61 − 2 )cos(2 )  Ldc + 2 cos(61 − 2 )2
2
  i   v 
i    
Lac
Lac
Lac
 
  
v
=
R
i
+
−
sin(6

−
2

)
L
−
cos(6

−
2

)
−
sin(2

)

 p  i  


1
dc
1
 
 
2
2
2
  i   v0  i0    0 
Lac
Laccos(2 )−sin(2 )
Ldc




2
2
Lac


− Ldc − Lac cos(61 − 2 )sin(2 )  − Lac sin(61 − 2 )2 i  Lac
+21  Ldc − Lac cos(61 − 2 )Lac sin(61 − 2 )cos(2 )  i 2 i 

 0
0
0
0




Lac
Lac
 Lac

sin(6

−
2

)
cos(6

−
2

)
−
sin(2

)
1
1
 2

2
2

 i 
 Lac
 
Lac
Lac
+2 p( ) cos(61 − 2 ) −sin(61 − 2 ) −cos(2 )  i 22
 2
 i 

 0
LL− ac cos(2 )0 − ac sin(2 )



2
2

....................................................................................... (1)T = 2 PLaci0iq = 2 PLaci0 (i sin(2 ) + i cos(2 )) ....... (2)

ここで，R は巻線抵抗，Ldc, Lac は自己インダクタンスの直流，交流成分，p は微分演算子，φ は座標と dq 座標のずれ
角，は回転電気角周波数，1 はインバータ出力電気角周波数，P は極対数(回転子ティース数の半分)，J は慣性モーメ
ントである。ここで，簡単化のため 6 次調波として現れる非同期項は無視したのち，文献(12)同様に，定常状態近傍で線形近似を行い，状態方程式を求めると，(3)式が得られる。
 i   A11   i   A 21
 i   A
p  0  =  31
    A 41      A51
 x   A 61

A12
A 22
A32
A 42
A52
A62

A13 A14
A 23 A 24
A33 A34
A 43 A 44
A53 A54A63 A64

A15
A 25
A35
A 45
A55
A 65

A16   i   B11
  
A 26   i   B21
A36   i0   B31
 +
A 46      B41
  
A56      B51
A 66   x   B61

B12
B22
B32
B42
B52
B62

B13 B14 

B23 B24   v 
B33 B34   v 
B43 B44   v0   *
B53 B54    
B63 B64 

3f/

v*

vu*
vv*
vw*

iu
iv
iw

Fig. 1. V/f control method based on  axis.
なお，各要素の具体的な式は，付録に示す。
安定性や応答を簡単に議論するため，以下のような条件を仮定する。
(ⅰ) 無負荷条件：φ =  i = 0, i = 0(ⅱ) 高速回転条件：0Ldc, 0Lac >> R, 0Ldc >> K1i(ⅲ) 機械時定数が電気時定数よりも十分に大きい：p(∆i) = 0, p(∆i) = 0, p(∆i) = 0,(ⅳ) HPF の根の安定性への影響は小さい：p(∆x) = 0(ⅰ)~(ⅳ)の仮定により，(3)式で表される 6 次系の状態方程式
を，2 次系に近似したのち，制御系の特性方程式を求め，制動係数と固有角周波数n を求めると，(4)式と(5)式が得ら
れる。

n =

=

2 Pr
................................................................... (4)
JLdc

2 J
K1 ............................................................... (5)
P Ldc

ただし，

r =

Lac
i0 ...................................................................... (6)2

なお，r は一般に仮想回転子磁束を表している(11)。PMSM
同様に，制動係数はフィードバックゲイン K1 の関数となり，K1 を適切に設定することにより安定化できる。一方，文献(13)(14)の IPMSM における制動係数と固有角周波数と比較すると，相対変換と絶対変換の違いによる係数の違いはあるが，回転子磁石磁束が仮想回転子磁束に対応しており，q
軸インダクタンスが自己インダクタンスの直流 Ldc に対応していることがわかる。
図 2 に基底速度においてダンピングゲイン K1 を変化させた時の根軌跡を示す。なお，No.1~No.6 は，6 次の状態方程
式の固有値である。PMSM における設計手法(13)(14)同様に，........... (3)

モータの回転数のオーバーシュートを抑制するために，ダンピングゲイン K1 を No.1, 2 と No.3, 4 の実部が等しくなる

3000

K1=0.043p.u.

No.6

No.5

Gain [dB]

1000

No.1

0
-1000

-100

-80

10

-20

0

ダンピングゲイン K1 を採用する。図 2 に示す通りに，ダンピングゲイン K1 は，0.043p.u.の時に最適な値であると言える。また，すべての根が s 平面の左半分に位置しており，システムが安定している。
図 3 に無負荷，基底速度において速度指令に正弦波を重畳した際の速度指令とモータ速度の周波数応答を示す。なAngular frequency [rad/s]

Fig. 3. Frequency characteristics of speed command to motor
speed under no-load and base speed (0.6p.u.).
300

なる値を設定する。図 3 より(3)式による計算結果とシミュ
レーションはほぼ一致しており，導出した 6 次状態方程式

150

す。図 4 よりほぼ一致しており，2 次系近似により導出した特性は妥当である。ここでは，PMSM における設計手法(13)(14)
同様に，安定化制御の HPF のカットオフ周波数を固有周波数n の 1/20 とする。
つまり，HPF のカットオフ周波数c は，

50
0
0

n
20

=

1 2 Pr..................................................... (7)20 JLdc

0.2

0.4
0.6
0.8
Zero phase current i0 [p.u.]

0.2

0.15
0.1

0.05

0
0

10
20
Zero phase current i0 [A]i0 =iq control
i

×

+

法では，図 5 に示すとおりダンピングゲイン K1 を零相電流

i

×

+

の値に対して可変させて適用する。
〈2･2〉高効率制御

1

高効率制御では，インバータ出力電圧を調整することによってトルク/電流比を改善し，効率を向上させる。SRM で最

×

2Ldc

Qdq*
+
-

P

*

v*

×

i0*

√

ン K1 は反比例の関係があることがわかる。そこで，本提案

図 2 に SRM 向けの高効率制御の制御ブロック図を示す。

30

Fig. 5. Relationship between zero phase current and optimized
damping gain K1

図 5 に最適化した零相電流と最適なダンピングゲイン K1の関係を示す。図 5 から零相電流と最適なダンピングゲイ

1Fig. 4. Relationship between zero phase current and naturalangular frequency(7)式の通りに設定する。

c =Dot: Simulation
results

100

Optimized danming gain
K1[p.u.]を(4)式により求めた計算値とシミュレーションの比較を示

Line: calculationfrom Eq.(6)200モデルの妥当性が確認できる。
図 4 に無負荷，基底速度における No.1, 2 の固有角周波数

Error rate > 0.5%

250

お，零相電流は 0.33p.u., 0.66p.u., 1p.u.の場合を示しており，ダンピングゲイン K1 は，No.1, 2 と No.3, 4 の実部が等しく

10000

i0=1p.u.

Line: Calculation from Eq.(3)Dot: Simulation results

20

Fig. 2. Loot locus of sixth-order state equation when damping
gain K1 is increased at no-load and base speed.

1000

i0=0.33p.u.
i0=0.66p.u.

-100
-60
-40
Real part

100

-40

-80

No.4

-4000
-120

0
-20
-60

No.2
K1=0.043p.u.

-2000
-3000

600Hz

20

No.3

Natural angular frequency
n [rad/s]

Imaginary part

2000

15Hz 30Hz 46Hz

40

4000

Δv*

LPF
Limit
[0,Vdc]Q
id =0 control

Fig. 6. High efficiency control method

大トルク/電流制御を達成する条件は次式で表される(11)。
i0 = iq ............................................................................ (8)を同時に満たす必要がある。そのため，それぞれを満たすた

id = 0 ............................................................................ (9)i0=iq 制御については，後述する id=0 制御状態では，iq は交

ここで，id, iq は，仮想回転子磁束ベクトルの方向を d 軸，d軸から 90deg.遅れた軸を q 軸とした際の d 軸，q 軸電流である。一方，i0 は座標系に関係なく単に電流の直流分である。
SRM で最大トルク/電流制御を実現するには，(8)式と(9)式めの制御を i0=iq 制御，id=0 制御とし説明する。
流電流振幅 Iac に一致するため，i0 は Iac を目標値として制御すればよい。つまり，ゼロ相電流制御の指令値に次式で表される指令値を与えればよい。

i0* = iq = I ac = i 2 + i 2 .............................................. (10)

ここで，i, iは軸，軸電流である。

SRM(test)

id=0 制御については，SRM の無効電力に着目し，座標上にて間接的に id=0 制御を達成する(3)。dq 座標系では，遅torquemeter

servo motor(load)

れ力率の場合を正とすると SRM に入力される無効電力 Qdq
は次式で表される。



Qdq = vqid − vd iq = 2 Ldc (id 2 + iq 2 ) + Laci0id



2 ....... (11)

ここで，vd, vq は d 軸，q 軸電圧，は電気角速度，Ldc, Lac
は自己インダクタンスの直流，交流成分である。定常状態を考えて，SRM の dq 座標上での電圧方程式における微分項はFig. 7 Experimental equipment.

ゼロとしている。なお，簡単化のため，dq 軸上で 6 次調波として現れる非同期項は無視している。(11)式において，id=0

Table 1 Motor parameters of test motorとすれば，次式となる。
Qdq = 2 Ldciq 2 = 2 Ldc I ac 2 = 2 Ldc (i 2 + i 2 ) .............. (12)750W
5000r/min
2.39Nm
62V
18S/12P
0.102W
0.615mH
1.17mH
25.4A (i0, iq)

PowerMax. speed (1p.u.)
Max. torque (1p.u.)
Inverter DC voltage
Poles
ResistanceAC inductance
DC inductance
Rated current (1p.u.)

一方，座標上での無効電力 Qは次式となる。
Q = v i .................................................................... (13)
したがって，id=0 を達成するには，座標上で求めた無効電力(13)式が，id=0 の場合の無効電力である(12)式に一致す
る vに調節すればよい。i0=iq 制御は，(10)式をゼロ相電流制
御の指令値に与えている。一方，id=0 制御は，(12)式と(13)Stabilization control
onoff

式の偏差を求め，P 制御器にて軸電圧を調節する。なお，
図 6 に示した P 制御器の後段の LPF は，v*の再帰演算を防

0

Torque(1Nm/div)

100ms/div

Vibration

止すると共に，高周波に対するゲインを小さくすることで，定常的に id=0 を達成させるために挿入されている(3)。加えOver current

U-phase current(10A/div)て，過補償を防ぐリミットを設けている。

3. 実験結果0

図 7 に実験システムと供試 SRM のシステム，表 1 にモーFig. 8. Effect on the stabilization control.

タパラメータを示す。供試 SRM は 750W, 5000r/min(=1p.u.),のトルクメータ(UTMⅡ-5Nm, 帯域 1kHz, UNIPULSE)により瞬時トルクを測定している。また，基底速度(0.6p.u.)で変調
率が 1 となる V/f 比を設定した。
図 8 に安定化制御の効果を示す。なお，速度 0.6p.u., トル
ク 0.5p.u.としている。安定化制御なしの区間では，安定化制
御ゲイン K1=0 としている。安定化制御をしている区間では

Torque [p.u.](1p.u.=2.39Nm)

は，トルク制御により任意のトルクを印加しており，高応答

Not operatible

1.2

2.39Nm(=1p.u.)の 18S/12P 型 SRM である。負荷側サーボでNot operatible

1
0.8
0.6
0.4

0.2
0
0

0.2
0.4
0.6
0.8
1
Rotation speed [p.u.] (1p.u.=5000r/min)

U 相電流およびトルクに振動がないのに対して，安定化制

Fig. 9. Speed and torque curves

御なしにすると，持続的に振動し，最終的には過電流となる。

がモータ設計時よりも低い。そのため，基底速度を超えた領

これらのことから，V/f 制御で駆動する際に生じるトルク振域では，出力電圧飽和が発生し，脱調したと考えられる。こ動を安定化制御により抑制できている。

れらは，今後の課題とする。

図 10 に速度-トルクカーブを示す。
提案法では，
速度 0.2p.u.

図 10 にダンピングゲイン K1 の最適化の効果を示す。なから速度 1.0p.u.の範囲でトルク 1p.u.の出力ができる。なお，

お，速度 0.6p.u.とし，トルクは(a) 0.25p.u.と(b) 1p.u.の 2 つ

速度 0.1p.u.にてトルク 0.85p.u.で脱調した。これはインバーの条件で行った。トルク 0.25p.u.の条件で最適化したダンピ

タのデッドタイムなどによる出力電圧誤差の影響が考えら

ングゲイン K1 は，0.059p.u.であり，トルク 1.0p.u.の条件でれる。一方，速度 0.6p.u.の基底速度を超えた領域では，出力最適化したダンピングゲイン K1 は，0.018p.u.であった。検が制限されている。検討に用いた SRM は基底速度以上では証のため，最初に両条件において，それぞれ用いる最適なダ

シングルパルス駆動を前提に設計されている。一方，本提案

ンピングゲイン K1 を入れ替えた不適切な条件下で実験を行

法では出力電圧は正弦波状を前提としており，電圧利用率

い，その次に最適化した適切なダンピングゲイン K1 を適用している。図 11(a)および図 11(b)から，各動作点で不適切な

100ms/div

ダンピングゲイン K1 を適用すると，トルクおよび電流に持Torque(1Nm/div)

続的な振動が発生している。一方，図 11(b)から，最適化したダンピングゲインを適用すると，持続的な振動なく動作

0.25p.u.(0.60Nm)

0With
K1=0.018p.u.

できている。これらのことから，ダンピングゲインの最適化

With
K1=0.059p.u.

の妥当性を確認できた。
図 11 に速度 0.2p.u.時の高効率制御の効果を示す。比較として，位置センサ付きベクトル制御による最大トルク/電流

U-phase current(10A/div)0

制御，および，V/f 制御により i0=iq 制御のみをした場合と，(a) Torque: 0.25p.u.

i0=iq 制御と id=0 制御の両方を適用した場合を示す。軽負荷

100ms/div

ほど，高効率制御を適用することにより，電流を減少でき，
Torque(1Nm/div)

効果が大きい。特に，トルク 0.1p.u.時では，i0=iq 制御のみと比較して，i0=iq 制御と id=0 制御の両方を適用した場合は電With
K1=0.059p.u.

0WithK1=0.018p.u.

1.0p.u.
(2.39Nm)

流実効値を 43.9%低減できる。一方で，ベクトル制御による最大トルク/電流制御と比較すると，電流実効値は 14.8%増加する。これは，ベクトル制御ではフィードフォワード制御
により補償している非同期項を無視しているためであるが，負荷が大きくなるにつれ，相対的に差は小さくなる。今後，
トルク応答特性の改善と，非同期項を考慮した更なる高効率化を行う。

4.

U-phase current(10A/div)0(b) Torque: 1.0p.u.
Fig. 10. Effect on the stabilization control with the optimized
damping gain.

結論
本稿では，回転子一情報を必要としない SRM の V/f 制御を提案した。とりわけ，以下の 3 つを提案し，有用性を確認した。(ⅰ) ゼロ相電流を PI 制御器により制御することで仮想
回転子磁束の生成を行い，SRM の V/f 制御を実現した。(ⅱ)
導出した SRM の状態方程式を元にした安定解析より，ダイナミクスに変化する安定化制御の最適なゲインの設計法をCurrent RMS value [A]

24.0
20.0

文
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

0

0.1

0.2

0.4
0.6
Torque [p.u.]

0.8

1Fig. 11. Effect of high efficiency control (0.2p.u. speed).

献

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隅田悟士，出口見多，岩路善尚：「1 型制御系のアナログ回路を用いた SRM の位置センサレス制御」，電学論 D，Vol.137 No.8 pp.612–621(2017)
小坂卓，落合清恵，松井信行：「磁化曲線を利用した SRM の位置セ

Vector control with sensor(i0=iq, id=0)
Increased by 14.8%
1p.u=2.39Nm

8.0
4.0

電力を用いた id=0 制御に加えて，i0=iq 制御を適用することした。今後，動作可能範囲のさらなる拡大を図る。

Proposed V/f control(i0=iq, id=0)

12.0

提案し，安定に動作することを確認した。加えて，(ⅲ) 無効
で，複雑なパラメータ調整なく，高いトルク/電流比を達成

V/f control(only i0=iq)

Reducedby 43.9%

16.0

(8)

(9)

(10)

(11)
(12)
(13)

(14)

ンサレス制御法」, 電学論 D, Vol.120, No.2, pp.216–222 (2000)
小坂卓・鍋矢善也・大山和伸・松井信行：「油圧ポンプユニット搭載
SRM の位置センサレス制御」, 電学論 D, Vol.123, No.2, pp.105–111(2003)
K.M. Rahman, B. Fahimi, G. Suresh, A.V. Rajarathnam, and M. Ehsani:“Advantages of Switched Reluctance Motor Applications to EV and HEV:
Design and Control Issues”, IEEE Trans. on Ind. Applicat., Vol.36, No.1,
pp.111–121 (2000)
I. Husain and S.A. Hossain: “Modeling, Simulation, and Control of
Switched Reluctance Motor Drives”, IEEE Trans. on Ind. Electron., Vol.52,
No.6, pp.1625–1634 (2005)
中尾矩也，赤津観：「スイッチトリラクタンスモータに特化したベク
トル制御」，電学論 D, Vol.134, No.12, pp.1006-1015 (2014)
伊東淳一，豊崎次郎，大沢博：「永久磁石同期電動機の V/f 制御の高性能化」，電学論 D, Vol.122, No.3, pp.235-259 (2002)
東井孝途, 加藤尚和, 伊東淳一: 「IPMSM の V/f 制御における有効電流フィードバックを用いた安定化パラメータの設計法」, 平成 28
年度電気学会関西支部連合大会, Vol. , No. G4-22, pp. (2016)
J. Itoh, T. Toi, K. Nishizawa: "Stabilization Method for IPMSM with Long
Electrical Time Constant Using Equivalent Resistance Gain Based on V/fControl", IEEJ Transactions on Industry Applications, Vol. 8, No. 4, pp. 592599 (2019)

付録(3)式の SRM における状態方程式は，それぞれ次式のようにあらわされる。なお，添字の”0”は各変数における動作点
の値を示す


 L L

L
− R  Ldc 2 − ac sin 2 (20 )  − 20  − dc ac sin(20 ) cos(20 ) 
2
2




A11 =
2
L L
Ldc3 − dc ac
2
2

A12 =

 L L 2 
−40 − dc ac i00 
2


A35 =
L L 2
Ldc3 − dc ac
2........................................................ (A-17)

A 41 =

2 P 2 Lac
i00 sin(20 )J........................................................ (A-18)

A 42 =

2 P 2 Lac
i00 cos(20 )J....................................................... (A-19)

A 43 =

2 P 2 Lac
( i 0 sin(20 ) + i 0 cos(20 ) )J

A 45 =

2 P 2 Lac
( 2i 0i00 cos(20 ) − 2i 0i00 sin(20 ) )J2...................... (A-1)

 L 2



L L 2
L L 2
− R  − ac sin(20 ) cos(20 )  − 20  − Ldc3 + dc ac sin 2 (20 )  − 2 K1 ( Ldc 3 − dc ac )i 0
2
2
 2



L L 2
Ldc3 − dc ac
2

1  2
L 
 L L

− R  − dc ac cos(20 )  − 20 Ldc Lac − ac  sin(20 )
2 
2
2 


A13 =
2
L L
Ldc3 − dc ac
2

(A-2)

.......................................... (A-20)..................................... (A-21)

3......................... (A-3)

 L L 2
 L L 2

1  2
L 3
−2  − dc ac sin(20 ) cos(20 )  i 0 +  − dc ac cos 2 (20 )  i 0 + Ldc Lac − ac  sin(20 )i00 
2
2
2 
2 





A14 = 2
L
L
Ldc3 − dc ac
2.

................................................................................... (A-4)
 L 2 L−40  dc ac cos(20 )i00 
 2

A15 =
L L 2
Ldc3 − dc ac
2
A16 = 2K1i 0

A 21 =...................................................................... (A-6)

 L 2



L L 2
− R  − ac sin(20 ) cos(20 )  − 20  Ldc3 − dc ac cos2 (20 ) 
2
 2



2
L
L
Ldc3 − dc ac
22....................................................................... (A-22)

A54 = −1........................................................................ (A-23)

A56 = K1........................................................................ (A-24)

1........................................................................ (A-25)

A 62 =



A66 = −1....................................................................... (A-26)

Aotherwise = 0

B11 =..................... (A-7)
B12 =



L L

L
L L
− R  Ldc 2 − ac cos 2 (20 )  − 20  dc ac sin(20 ) cos(20 )  + 2 K1( Ldc3 − dc ac )i 0
2
2


 2

2
L L
Ldc3 − dc ac
2
2

A 22 =.................................................... (A-5)

A52 = − K1..................................................................... (A-27)

Lac 2 2sin (20 )2
L L 2
Ldc3 − dc ac2

Ldc 2 −−........................................................ (A-28)

Lac 2
sin(20 ) cos(20 )2
L L 2
Ldc3 − dc ac
2..................................................... (A-29)

2

1  2
L 
L L

− R  dc ac sin(20 )  − 20 Ldc Lac − ac  cos(20 )
2 
2 
 2

2
L
L
Ldc 3 − dc ac
2.. (A-8)−
B13 =Ldc Laccos(20 )2
Ldc Lac 2
3
Ldc −
2

........................................................... (A-30)

3

A 23 =A 24 =.......................... (A-9)

 L L 2
L L 2
1  2
L 3
−2  dc ac sin 2 (20 )  i 0 +  dc ac sin(20 ) cos(20 )  i 0 + Ldc Lac − ac  cos(20 )i00 
2 
2 
 2


 2

2
L L
Ldc3 − dc ac
2

B21 =

...
B22 =

−

Lac 2
sin(20 ) cos(20 )2
L L 2
Ldc3 − dc ac2

Lac 2
cos2 (20 )2
Ldc Lac 2
3
Ldc −
2

Ldc 2 −................................................................................. (A-10)
 L 2 L−40 − dc ac sin(20 )i00 2
A 25 =2
L L
Ldc 3 − dc ac
2
A26 = −2K1i 0................................................. (A-11).................................................................. (A-12)

 L 2L
L L

− R  dc ac sin(20 )  − 20  dc ac cos(20 ) 
2
 2



A32 =
L L 2
Ldc3 − dc ac
2− RLdc 2
L L 2
Ldc − dc ac
2
3

A34 =

Ldc Lacsin(20 )2
L L 2
Ldc3 − dc ac
2

−
B31 =

 L 2L L L

− R  − dc ac cos(20 )  − 20  dc ac sin(20 ) 
2
2




A31 =
2
L L
Ldc3 − dc ac
2

A33 =

B23 =

............................... (A-13)
B32 =................................. (A-14)
B33 =.............................................................. (A-15)

 L 2 L
 L 2L −2  dc ac sin(20 )  i 0 +  dc ac cos(20 )  i 0 
2
2



 
2
L L
Ldc3 − dc ac2

Ldc 2
Ldc Lac 2
2

Ldc3 −

B14 = 2i 0

B54 = 1........................................................... (A-34)............................................................. (A-35)................................................................ (A-36)....................................................................... (A-37)

B24 = −2i 0.............................. (A-16)......................................................... (A-32)............................................................. (A-33)

Ldc Laccos(20 )2
Ldc Lac 2
3
Ldc −
2

Ldc Lacsin(20 )2
L L 2
Ldc3 − dc ac
2..................................................... (A-31)..................................................................... (A-38)......................................................................... (A-39)

Botherwise = 0..................................................................... (A-40)