アジアン・オプションのオプションプライシング– アメリカンタイプとゲームタイプへの応用 –M2004MM013 石原 正也
指導教員

國田 寛を得る．

1 はじめに

2.1 PDE アプローチ

アジアン・オプション [2] は，事前に決められたある期間中の資産の平均価格に依存するオプションである．このオプションは，投資者が原資産価格の不利な動きから生ずる損失を，連続的にヘッジを繰り返すことなく，リスクを回避するために用いられる．
アジアン・オプションをアメリカン・オプションタイプ

[3] に拡張することで満期以前の任意の時点での行使が可能となり，自由境界値問題として解釈できるため数学的ヨーロピアン・アベレージ・ストライク・コール・オプ
ションの価格に関する偏微分方程式はµ¶
G S ∂cσ2 2 ∂ 2 c∂c+ln+
S∂tt
G ∂G2∂S 2∂c+(r − q)S− rc = 0， 0 < t < T∂Sにより与えられ，終端条件はに面白いといえる．また, ゲーム・オプションタイプ [1]c(S, G, T ) = max(ST − GT , 0)に拡張することによりアメリカンタイプの事前行使に加え, オプションの売り手にもオプションをストップできる(4)とする．

ようなり，売り手側の自由境界も存在すると考えられる．

S ∗ (G, t) をアメリカン・アベレージ・ストライク・コー

これらがバニラタイプのオプションと比べて自由境界がル・オプションの最適行使境界とする．アメリカン・アベ

どのようになるか興味があった．

レージ・ストライク・コール・オプションの価格に関する本研究ではヨーロピアンタイプのアジアン・オプション

偏微分方程式は式 (4) を修正することによりをはじめ，アメリカンタイプやゲームタイプへのアジア∂C+∂t

ン・オプションの拡張を行う．

2 アメリカン・アジアン・オプション
幾何平均を使ったアメリカン・アベレージ・ストライク・µ¶
G S ∂Cσ2 2 ∂ 2 C∂Cln+S+ (r − q)S− rCtG ∂G2∂S 2∂S(0if S ≤ S ∗ (G, t)=(5)−qS − dG
if S > S ∗ (G, t)
dt + rG

コール・オプションを考える．t を現在時刻，T を満期とする．アメリカン・アベレージ・ストライク・コール・オを得る．
変数をプションの終端条件はC(S, G, T ) = max(ST − GT , 0)(1)

y = t lnで与えられ，ST と GT はそれぞれ時刻 T での資産価格と

µ Z t
¶
1
ln Su du ,t 0

W (y, t) =C(S, G, t)
S(6)とおく．式 (6) を使えば，偏微分方程式 (5) と終端条件

資産価格の幾何平均値とする．また，Gt はGt = exp

G,S(1) は0<t≤T(2)で定義される．St はリスク中立対数正規過程

dSt = (r − q)St dt + σSt dZt(3)にしたがうとする．r は無リスク金利， q は配当利回り，σ はボラティリティ，そして Zt は標準ウィナー過程とする．確率微分方程式 (3) を解き，式 (2) を使えばµ¶
σ2ln ST = ln St + r − q −(T − t) + σ[ZT − Zt ]2Ztσ Tln GT = ln Gt +[Zu − Zt ]duTT t·µ¶¸1σ 2 (T − t)2+(T − t) ln St + r − q −T22µ¶∂W
σ 2 t2 ∂ 2 Wσ2∂W+− r−q+t− qW∂t2 ∂y 22∂y(0if y ≥ y ∗ (t)=(7)if y < y ∗ (t)−q + rey/t + ty2 ey/t
W (y, T ) = max(1 − ey/T , 0)(8)のように変数を減少させることができる．行使（停止）領域でのアメリカン・アベレージ・ストライク・コール・オ
プションの価格は

W (y, t) = 1 − ey/t ,で与えられる．

y ≤ y ∗ (t)2.2

早期行使プレミアム

上記の価格付けモデルにおける解は，偏微分方程式の3 ゲーム・アジアン・オプション
3.1 オプション価格
現在時刻 t，満期 T ，無リスク金利 r，配当利回り q ，ボラティリティκ のとき，St はリスク中立確率 P 0 のもとでグリーン関数を含んだ積分で表現できる．偏微分方程式µ¶∂F
σ 2 t2 ∂ 2 F
σ2∂F− r−q++t=02∂t2 ∂y2∂y

資産価格過程のグリーン関数を F (y, t; Y, T ) とおくとF (y, t; Y, T ) = n dSt = (r − q)St dt + κSt dZt0

RTY − y + µ t uduqRT 2u duσtにしたがうとする．ただし，Zt0 は P 0 に関して標準ブラウン運動とする．式 (11) の解は2であることがわかる．ここで，µ = r − q + σ2 とおき，n(·) は標準正規密度関数とする．式 (7)，(8) の解はZ ∞max(1 − eY /T , 0)F (y, t; Y, T )dY
W (y, t) = e−q(T −t)
Z T+t−∞e−q(u−t)

Z y∗ (u) µ¶q − reY /u −−∞×F (y, t; Y, u)dY du(11)Y Y /ueu2(9)µµ¶¶1 20
St = S0 exp
r − q − κ t + κZt2と表される．ここで，ペイオフ関数を売り手 A:fδ (S, G) = f (S, G) + δ(S, G)

買い手 B

:

f (S, G)と定義する．δ(S, G)(≥ 0) はペナルティとする．また，Gtは式 (2) で与える．特に，コール・オプションのとき∗と表現することができる．y (u) は時刻 u での y の最適行

f (S, G) = max (S − G, 0)
δ(S, G) = δS

使境界である．式 (9) の最初の項に S を掛けた場合，ヨーロピアン・アベレージ・ストライク・コール・オプションの価格である．積分を計算することにより，ヨーロピアン・プット・オプションのときアベレージ・ストライク・コール・オプションの価格は

f (S, G) = max (G − S, 0)δ(S, G) = δS

c(S, G, t) = Se−q(T −t) N(d1 )−Gt/T S (T −t)/T e−q(T −t) e−Q N(d2 ) (10)St ln G+ µ2 (T 2 − t2 )σqd1 =， d2 = d1 −T
T 3 −t3σ3r

T 3 − t33µ(T 2 − t2 ) σ 2 (T 3 − t3 )Q=−2T
6T 2であることがわかる．ここで，N(·) は標準正規分布関数とする．c(S, G, t) は式 (10) で与えられ，C(S, G, t) は式とする．また，オプション価格をV (S, G, t)= infσ∈Tt,T τ ∈Tt,To¯i¯+ fδ (Sσ , Gσ )1σ<τ ¯ St = S, Gt = Gによって定義する．ただし，Tt,T は区間 [t, T ] の値をとる停止時刻の全体である．このとき

f (S, G) ≤ V (S, G, t) ≤ fδ (S, G)(5) の解とすれば，早期行使プレミアムの積分表現はC(S, G, t) − c(S, G, t)µ ¶t/uZ T(G=Sqe−q(u−t) N(dˆ1 ) −e−q(u−t) eQ̂St¸¾·³´σ̂ ³ ´
du× r + dˆ3 N(dˆ2 ) − 2 n dˆ2uh
sup E0 e−r(σ∧τ −t) {f (Sτ , Gτ )1τ ≤σが成り立つ．さらにE A = {(S, G, t)；V (S, G, t) = fδ (S, G)}E B = {(S, G, t)；V (S, G, t) = f (S, G)}
C = {(S, G, t)；f (S, G) < V (S, G, t) < fδ (S, G)}とおき，dˆ1 =σ̂
µσ̂ 222t ln Gσ̂
S − 2 (u − t ) + udˆ2 = dˆ1 − ， dˆ3 =uu2222µ(u − t )σ2 3σ̂， σ̂ 2 =(u − t3 )Q̂ = 2 −2u2u3となる．

©
ªσ 0 = inf τ ≥ t；(Sτ , Gτ , τ ) ∈ E Aª©
τ 0 = inf τ ≥ t；(Sτ , Gτ , τ ) ∈ E BµG
22u ln S ∗ (G,u)− t ln G
S + 2 (u − t )とおけば

h©
00
V (S, G, t) = E0 e−r(σ ∧τ −t) f (Sτ 0 , Gτ 0 )1τ 0 ≤σ0o¯i¯+ fδ (Sσ0 , Gσ0 )1σ0 <τ 0 ¯ St = S, Gt = G

3.3 売り手と買い手の行使領域が成り立つ．さらに，C 上では∂V+∂tµG SlntG¶22

ここでは，コール・オプションについて考える．この∂V κ 2 ∂ V+ S
∂G 2
∂S 2とき+(r − q)S³´³
´ϕ ey/t = max 1 − ey/t , 0³´³´ϕδ ey/t = max 1 − ey/t , 0 + δ∂V− rV = 0∂Sが成り立つ．

3.2

変数変換

仮定 3.1である．δ は正の定数とする．

ペイオフ関数が次のようにかけるとする．

f (S, G) = Sϕ (G/S) ,今，対応するアメリカン・アベレージ・ストライク・コーfδ (S, G) = Sϕδ (G/S)

ル・オプションの価格を Wa (y, t) とする．Wa (y, t) は t の減少関数である．β ≥ 0 を

このとき変数変換

y = t lnを行う．yt =G,S

yt = t ln

Rt

Gt
St

Wa (0, t) ≤ δを満たす最小の t とする．つまり，Wa (0, β) = δ である．

ln Su du − t ln St なのでµ¶1dyt = −t r − q − κ2 dt − tκdZt020と な る ．こ こ で 新 し い 確 率 P ∗e−(r−q)tを dP ∗また，そのような t がないときは β = 0 とおく．
定理 3.1=0St /S0 dP によって定義すると，ギルサノフの

1.
2.

定理より

3.

defZt∗ = Zt0 − κt∗

は P ブラウン運動となり，µ¶
1dyt = −t r − q + κ2 dt − κtdZt∗2と表せる．このとき

V (S, Sey/t , t)hn³´= inf sup E0 e−r(σ∧τ −t) Sτ ϕ eyτ /τ 1τ ≤σστ³´o¯i¯+ Sσ ϕδ eyσ /σ 1σ<τ ¯ St = S, Gt = Sey/t
hn ³´= inf sup E∗ e−q(σ∧τ −t) S ϕ eyτ /τ 1τ ≤σστ³´o¯i¯+ ϕδ eyσ /σ 1σ<τ ¯ yt = y¡¢
ゆえに V S, Sey/t , t /S は (y, t) のみに依存する関数である．

¡¢
W (y, t) = V S, Sey/t , t /S とおくと´´³³
ϕ ey/t ≤ W (y, t) ≤ ϕδ ey/t ,が成立する．

´n ³h∗∗∗W (y, t) = E∗ e−q(σ ∧τ −t) ϕ eyτ ∗ /τ 1τ ∗ ≤σ∗³´o¯i∗¯+ ϕδ eyσ∗ /σ 1σ∗ <τ ∗ ¯ yt = yが成立する．

y ∗ (t) で´¯∂W ∗∂ ³¯(y (t), t) =ϕ ◦ ey/t ¯∂y∂yy=y ∗ (t)1 y∗ (t)/t．
=− et

定理 3.21.
2.
3.

が成り立つ．さらにとおき，σ ∗ ，τ ∗ を E∗A ，E∗B への到達時間とすればµ¶∂W
κ2 t2 ∂ 2 W
κ2∂W+−r−q+t− qW∂t2 ∂y 22∂y(0if C∗=
y y/ty/t−q + re + t2 eif E∗B4.

∀y, t´on³E∗A = (y, t)；W (y, t) = ϕδ ey/t
´on³E∗B = (y, t)；W (y, t) = ϕ ey/t
´o´³n³C∗ = (y, t)；ϕ ey/t < W (y, t) < ϕδ ey/t

E∗A = {(0, t)；t ≤ β}．
E∗B = {(y, t)；− ∞ < y ≤ y ∗ (t)} ．た だ し ，y ∗ (t) は負値増加関数．

E A = {(S, S, t)；t ≤ β}．
ª©
∗
E B = (S, G, t)；t ln GS ≤ y (t) ．
C 上でµ¶∂VG S ∂V κ2 2 ∂ 2 V+ln+ S∂tt
G ∂G 2∂S 2∂V+(r − q)S− rV = 0∂Sが成り立つ．

4.
´∗∂V ³S, Sey (t)/t , t = −1．
∂S
3.4 売り手と買い手のプレミアム
補題 3.1t < β に対して∂W
∂W(0−, t) <(0+, t)∂y∂yが成立する．

定理 3.3

ゲーム・アベレージ・ストライク・コール・オ

Average Strike Call Option
18

プションの価格 W (y, t) は次のように分解できる．

Americandelta=0.01
delta=0.05
delta=0.10
delta=0.15

16
14+E∗
−E∗

Z T12e−q(u−t) −q + ryu /u +t

Z T



e−q(u−t)tyu yu /u e1yu <y∗ (u) du yt = yu2
∂W∂W(0+, u) −(0−, u) dL(u) yt = y∂y∂y

84
200.1

はヨーロピアン・アベレージ・ストライク・コール・オプ

0.15

0.2

0.25

0.3
sigma, kappa

0.35

0.4

0.45

0.5

図 3 アメリカン・アベレージ・ストライク・コー
ル・オプションとゲーム・アベレージ・ストライ
ク・コール・オプションのオプション価格

ションの価格であり，第二項は買い手の早期行使プレミア
ム，第三項は売り手のキャンセルプレミアムである．

4 実行結果図 1 では横軸を時刻 t，縦軸を売り手または買い手の最¶³適行使境界の値とする．アメリカン・アベレージ・ストラ

図 1 のパラメータ===106

ただし，L(t) は yt の原点での局所時間とする．We (y, t)

S0r
TµOPTION VALUE

W (y, t) = We (y, t)

10.05
1.0σ（κ） =q=δ=

イク・コール・オプションでは S ≥ G の領域に行使境界0.300.05が存在することがわかる．また，ゲーム・アベレージ・ス
トライク・コール・オプションでは，ある一定の時刻から´行使領域が存在することがわかる．
図 2 では横軸をボラティリテイ，縦軸をオプション価格

Early Exercise Boundaryとする．ボラティリテイが増加すれば，ヨーロピアン・ア

1.05
Holder’s boundary
Writer’s boundary

ベレージ・ストライク・コール・オプションとアメリカン・

1

アベレージ・ストライク・コール・オプションとともにオexp(y*/t)

0.95

プション価格は増加する．
0.9

図 3 では横軸をボラティリテイ，縦軸をオプション価格

0.85とする．ペナルティδ = 0.01 の場合，アメリカン・アベ

0.8

レージ・ストライク・コール・オプションには退化しないことがわかる．δ = 0.05，δ = 0.10 そして δ = 0.15 の場

0.75
00.10.2

図10.30.4

0.5t

0.6

0.7

0.8

0.9

1

合，それぞれあるボラティリティの値まではアメリカン・アベレージ・ストライク・コール・オプションに退化して売り手と買い手の行使境界いるが，それ以降は一定の価格を保っている．

¶³

図 2，3 のパラメータ

S0G0r
T
µ==
==100
100
0.05
1.0

σ（κ） =q=δ
=0.1，. . . ，0.5
00.01，0.05，0.10，0.15

5 おわりに本研究でゲーム・アジアン・オプションでは，売り手と買い手の行使領域やプレミアムなどコール・オプションについて考えてきたが，プット・オプションの場合を考えて´みる必要がある．また，算術平均を採用したアベレージ・ストライク・オプション，さらにはアベレージ・レート・

Average Strike Call Option
18

オプションの研究もできたら良いと思う．

EuropeanAmerican16

参考文献

OPTION VALUE

14121086420.1

0.15

0.2

0.25

0.3
sigma

0.35

0.4

0.45

0.5

図 2 ヨーロピアン・アベレージ・ストライク・
コール・オプションとアメリカン・アベレージ・ス
トライク・コール・オプションのオプション価格[1] Kifer, Y. (2000)：Game options, Finance andStochastics, 4, 443-463.
[2] Kwok, K.Y. (1998)：Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer.
[3] Wu, L.X., Y.K. Kwok and H.Yu (1999)：Asian options with the American early exercise feature, International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2(1), 101-111.