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日本建築学会大会学術講演梗概集（東海） 2021 年 9 月

剛性マトリクスの固有値操作の提案

その1：固有値操作
正会員 ○堀 昭夫*
準会員

剛性マトリクス 固有値 操作
１．序弾塑性江島ありさ**

不安定釣合経路

不安定性を含む弾塑性解析のための妥当な方法の 1 つとして，剛性マトリクスの固有値を操作する方法を提案する。その 1 では固有値操作を提案する。

不安定釣合経路をたどる問題 1)と部分的に似た状況にあると思われる。
③これらをもとに，剛性マトリクスの固有値が負となっまず非常にた場合には，1 次の剛性に従うと不安定な経路を目指単純なモデルとして，Fig. 1( a)に示す両端ピンの倒立棒してしまうと仮定する。この場合，1 次の釣合式によを考える。図中の P1, P2 は外力，d1, d2 は変位，L は材る解は，力の釣合は満足するものの不安定であるから，長，EA は断面軸剛性とし，塑性化や慣性力は考えない。

その解を指向しても実際の挙動からは遠ざかることに倒立棒なので P2 = 0 とし，初期状態で d2 = 0 とすると，なる。

２．非常に単純なモデルの不安定釣合経路当然ではあるが，倒立棒は P1 が正なら安定，P1 = 0 で④このため本報では，不安定釣合経路に向かわないよう，分岐経路を持ち， P1 が負なら不安定である。いま，倒剛性マトリクスの負の固有値を正値へと操作する事を立棒の釣合を Fig. 1( b)の局所座標系で考えてみる。図

考え，それによる挙動を調べてゆく。

中に示すように局所座標系方向を添字 x,y で，前ステッ

Fig. 1 の倒立棒の数値解析結果を Fig. 2 に示す。なお

プ終了時の値を添字 0 で，増分を Δ で示すと，下式が解析用の条件は Fig. 1(c)によったが，d 1 の初期値を得られる。

-10 -5mm として初期軸力をわずかに圧縮側とした。Fig. 2Px ≒ EA ( ε x0 + Δ ε x + 0.5 Δ ε y2 )(1a)

Py = 0 ≒ Px Δ ε y(1b)ここに ε x0 , Δ ε x , Δ ε y はそれぞれ，d x 0 , Δd x , Δd y を(初期)材長 L で除した値とする。式(1a),(1b)より，Δ ε y ににおいて，◆付の青線および○付の赤線は d 2 の初期値がそれぞれ 0.04mm および 0.05mm の場合を示すが，いずれも固有値操作は行わずに，鉛直下方に変位制御した
計 50 ステップ程度の解析の結果である。なお各ステップでの収束計算は行わず，次のステップで不釣合解消力関して 3 次，Δ ε x に関して 1 次の，以下の方程式が得らを作用させている。同図を見ると，2 つの場合とも初期れる。の数ステップの振動の後に，圧縮軸力下の不安定釣合経Δ ε y ( ε x0 + Δ ε x + 0.5 Δ ε y2 ) = 0(1c)上式は，Δ ε y が 0 の横変位しない解と，括弧内の Δ ε y お路をたどる場合(d 2 = 0.04)と，軸力 0 の分岐経路をたどる場合(d 2 = 0.05)に分かれた様子がわかる。
一方， d 2 にわずかな初期値( 10 -12)を与えて，固有値よび Δ ε x に関する 2 次および 1 次の式が 0 になる解があ操作を行った場合の結果を，同図にマゼンタの実線で示るが，これより以下の可能性が示唆される。

す。但し，固有値操作といっても，本節の単純な検討モ①横変位のない基本経路の解と，横変位のある分岐経路デルでは，変位制御すると剛性マトリクスがスカラーにの解が独立的に存在している。このため，1 次の剛性なるから，単純に剛性が負であれば- 1 を乗じて正値化だけを用いると，分岐経路を目指さずに，横変位のなしただけである。図では 36 ステップ目で d 2 が 0.43 まい安定(Px >0)または不安定(Px <0)な基本経路上の点をで成長しているが，これは d 2 初期値の 2 38.6 倍であるか目指してしまう。

ら， 36 のステップの間において不安定釣合経路からの②このような基本経路へと向かう問題は，森迫らが詳述

距離が概ね 2 倍前後に拡大し続けた結果として，本来のした，座屈荷重を超えた領域において整合剛性の下でP x, Δd x,
P x 0, d x 0

P 1, d 1
P 2, d 2
EA, L

P y, Δd y,P y0(a) model(b) local coordinate

θ0

L = 1000[ mm]A = 1000[ mm2]
E = 2･ 10 5[N/mm2]
Δd 1 = - 10 -5[mm](c) in analytical cases

Fig. 1 Study modelFig. 2 Results of inverted bar

Manipulation of Eigenvalues of a Stiffness Matrix, Part 1: Manipulation
HORI Akio, EJIMA Arisa― 287 ―

可能性が考えられる。但し多重固有値に対しては mi分岐経路へ至ったものと解釈できる。
本検討は非常に単純な例ではあるが，剛性マトリクスの値を同一にすべきと想像される。の負の固有値を正値に操作することで，不安定釣合経路

なお当該ステップの前後における剛性変化が小さい場から離してやり，分岐経路へと向かわせる事の可能性が合には，式(2)を用いて負固有値を( 1 - m i)倍する事によ示された。

る当該固有ベクトル方向の不釣合力の拡大縮小率 m i*３．対称な剛性マトリクスでの固有値操作

上記の解析は，ステップ内での収束計算を特にしなければ，結果を参考に，対称な剛性マトリクスでの固有値操作とm i* = 1.0 - 1.0/ (1 - m i) = m i /(m i - 1 ) , if linear (4a)して，下式を提案する。なおベクトルを斜体，マトリクとなるはずである(Fig. 3(a))。これより m i が 2.0 の場

スを立体で表記する。
TmK = K - Σ mi λ i u i u ii(2)合には m i* も 2.0 になるが，もしも不釣合力をより積極的に拡大したい場合には上式から m i を設定する事もで

ここに，mK は操作後の剛性マトリクス，K は操作前のきよう。一方，もし剛性変化が大きく，荷重―変位関係(通常の)剛性マトリクス，λ i および u i は K の i 番目の固有値および固有ベクトル(ノルムは 1 に基準化)，Σ はが Fig. 3( b)のような放物線の場合には，
m i* = { 1.0 -0.5/ (1 - m i)}2 = ( m i - 0.5 )2/(m i - 1 )2 ,i

負の固有値と対応する部分の総和，m i は後述する固有if quadratic

値操作の定数，とする。上式による mK は以下の特性を(4b)持つ。となるものの，m i が 2.0 の場合の m i* は 2.25 にしかな

①対称な K に対して，線形代数の定理より固有ベクトらず，Fig. 3(a)の場合の 2.0 との相違は大きなものではルの直交性が成立するから，式( 2)の両辺に後から jない。このため，m i の仮値 2.0 は，滑らかな剛性変化に次の固有ベクトル u j を乗じれば，は影響されにくい範囲にあるように思われる。

mK u j = K u j， 但し i ≠ j の場合(3a)４．非対称な剛性マトリクスでの固有値操作

詳細は省略するが，非対称な場合も含む剛性マトリクスの固有値となる。つまり，固有値操作をしない他の固有ベクト操作として，下式を提案しておく。

ルに関わる変位増分については，K を mK に代えてもmK as = K - U j i m i λ i U j i

影響が起きない。

-1(5)②負固有値を持つ i 番目の固有ベクトルに関わる変位増

ここに， mK as は操作後の(対称または非対称な)剛性マ分に対しては，剛性マトリクスの固有値が( 1 - m i)倍トリクス， K は操作前の(対称または非対称な)剛性マされる。これは，式(2)の両辺に後から u i を乗じて考トリクス，λ i は K の固有値を並べた対角マトリクス，m iえると(但し負固有値が 1 つだけの場合を略記する

は m i を並べた対角マトリクス，U j i は K の固有マトリが)，クス(ノルムを 1 に基準化した i 番目の固有ベクトル u i

mK u i = K u i - mi λ i u i = (1 - m i) λ i u i(3b)を i 列に配した行列)，とする。なお添字 i は i 番目の固有値･固有ベクトルに対応する事を示す。となるから，容易に確かめることができる。この定数５．まとめm i の値については，相当に複雑な剛性選択を含む場

トリクスでは式(2)，非対称マトリクスでは式(5)で与え合の結果も勘案して定めるべきであるが，本報の範囲られる。具体的な解析結果をその 2 で述べる。

では特に言及のない限り m i を仮値の 2.0 として検討を進める。この場合， K の負固有値を- 1.0 倍したもその 1 では固有値操作を提案した。対称マ参考文献 1)上谷･中村･森迫･石田：弾塑性構造物の臨界挙動解
析のための整合剛性行列形成法，AIJ 構論報，1993.3のが，mK の正固有値へと操作される。
③上記①②より当然ではあるが，mK の固有ベクトルはForceK のそれと変わらない。また対称な K に対して，mKunstablebalance pointも対称となる。
④負の固有値が多数ある場合でも，固有値操作には特段の支障が起きないと考えられる。この点は，弾性分岐along(1-mi)λi

Forceunstablebalance point

Disp.

Disp.

unbalance force
magnified by mi*

magnifiedby mi*

along λi問題において 0 固有値が複数ある場合に工夫する方法(a) linear

や，弾塑性分岐問題において負固有値の固有ベクトル(b) quadratic

Fig. 3 Magnification of unbalance force1)の正負両方向に試行する方法 ，にはない特長となる* 小山工業高等専門学校 教授･博(工)* Prof., Oyama College, National Inst. of Tech. Dr. Eng.

**小山工業高等専門学校** Grad. Student, Oyama College, National Inst. of Tech.

専攻科生― 288 ―