構造制約のあるロバスト補償器設計– PID 補償器への応用 –M2004MM023 川津 勇治
指導教員

1

はじめに産業界で使われる補償器の 90% 以上は, PID 補償器である. その理由を二つ挙げる. 第一に, PID 補償器のもつ構造が簡単だからである. PID 補償器は, 比例, 微分, 積分ゲインの三つのパラメータより構成される. 各パラメータは, 物理的な性質が明らかであり, 現場での柔軟な対応が可能となる. したがって, 突発的な異常に対して調整が必要になる状況を考えると, 現場にとっては理想的な補償器である. 第二に, 三つのパラメータを決定するための調整法が確立されているからである. 調整法には, 現場でつちかわれた膨大なノウハウや経験も含まれる. そのため, これまでの実績もあわせて, エンジニアからの支持は大きい.
一方, 補償器設計のために用いる設計用モデルに, 実プラントの情報を全て反映させることはできないから, 設計用モデルを用いて設計した補償器を, 実プラントに実装してもうまく制御できないということが問題視された. そのため, 実プラントと設計用モデルとのモデル化誤差を陽に扱える, 1989 年に完成した H∞ 制御理論が注目を集めた[8]. いわゆるロバスト制御である. 当時, H∞ 制御は PID制御に代わる画期的な制御手法として広まっていくことが期待された. しかしながら, そうはならなかった. その理高見 勲年前からされており, 最近多入出力系に拡張された [3]. ただし, 安定化 PID 補償器が初期解として簡単に得られる問題に限定されており, いわゆる初期値問題には触れていない. 文献 [1, 7] では, 初期値問題から扱ってはいるが,H2 , H∞ ノルムなどの評価仕様に対して, 必要十分な解析条件を解いてないため, 得られる結果が保守的になっている. そこで, 本研究では必要十分条件を導出し, 文献 [1, 4]のアルゴリズムをベースに, 多目的仕様も扱えるようなアルゴリズムを提案する.
本文では以下の記号を用いる. M T は, 行列 M の転置を表す. M > (≥) 0 は, 行列 M = M T が (半) 正定であることを表す. diag {M1 , · · · , Mn } は, 行列 M1 , · · · , Mn を対角成分にもつブロック対角行列を表す. Tr(A) は行列 A のトレースを表す. ⊗ はクロネッカー積を表す. k · k2 で H2 ノルムを表す. また, He {M} := M + M T とする.

2 定式化
はじめに, 本研究で扱いたい問題について提起する. 次に, PID 補償器を SOF に帰着させる方法について述べる.

問題設定

2.1

一般化プラント,ẋ = Ax + B1 w + B2 u z = C1 x + D11 w + D12 u
Σ:y = C2 x + D21 w
 x ∈ Rn , z ∈ R p1 , y ∈ R p2 , w ∈ Rm1 , u ∈ Rm2

由には, PID 補償器のようなメリットの欠如が指摘できる. 一般に, H∞ 補償器の次数は高くなりやすいから, 実装時の計算コストは大きくなる. さらには, 線形補償器のもつ自明な構造以外に, 物理的な構造や情報については何一(1)つ分からない. 結局, これまでの技術を捨ててまで採用すについて考える. ただし, 本文で制御仕様として安定性しるには, リスクが大きいわけである.

か要求していない場合は, 仮想的な評価信号である z, w は本研究の目的は, 補償器の構造を PID 補償器に固定した上で, H2 , H∞ ノルムなど, ロバスト制御で使われる評価仕様や, 付加的な評価仕様である閉ループ系の極領域制考慮しない. また, 可安定可検出などの一般的な標準仮定は満たされているものとする. このとき SOF ,u = Fy, F ∈ Rm2 ×p2

約 [2] も扱える設計法を提案することである. つまり, 多目的 PID 制御の枠組について考える. 確立されている

PID 補償器の調整法は経験則でしかなく, 理論的な立場から見れば, 制御仕様である安定性すら保証するものではない. また, プラントが一入出力系かつ安定であることが前提であり, 理論的に安定性も保証する設計法が提案されたのはごく最近である [1, 7]. なぜなら, 安定化 PID 補償器を設計する問題は, 未解決課題である静的出力フィードバック (SOF ) 補償器を設計する問題に帰着でき, NP 困難なクラスに属すからである [5, 6]. 本研究でも, 文献 [1, 7]にならい, PID 補償器設計問題を SOF 補償器設計問題に帰着させて解く方法について考える. H∞ 制御問題をPID 補償器の構造に固定した上で解くという研究は, 12(2)によって構成される閉ループ系は,

Σ(s)
cl :

(ẋ = Acl x + Bcl w
z = Ccl x + Dcl w(3)となり, 各行列パラメータは,

"Acl
Ccl

# "BclADcl := C1

# "
# h
B1
B2
C
D11 + D12 F 2

D21i(4)で与えられる.
(s)

定義 1 Σcl を安定化する SOF ゲイン F を設計する問題(s)を SOF 安定化問題という. Σcl を安定化する SOF ゲイン F が存在するとき, Σ は SOF により安定化可能である

という. さらに, 複素平面上で極を Re(s) = α より左に配置する SOF ゲイン F が存在するとき, Σ は SOF によりα-安定化可能であるという.

紙面の都合により, 本研究で扱う問題を簡略化する.
問題 1 ある与えられた κ < 0 に対して, κ-安定性を達成す
る PID 補償器,

u(s) = K(s)y(s)K(s) = K p + Ki 1 + Kd s
ΣPID :  K p , Ki , Kd ∈ Rms 2 ×p2 1+τs(5)を設計し, κ-安定性を達成しつつ, γ2 > kTzw k2 を最小化せよ. ただし, PID 補償器の各ゲイン構造には, LMI 制約が与えられるものとし, Tzw は, w から z までの閉ループ伝達関数行列を表す.

目的 SOF 安定化問題を解くためのアルゴリズムを提案する.

D-安定性条件と文献 [1] の結果
定義 2 ある ζ = ζ T ∈ Rm×m , ξ ∈ Rm×m に対し,on
D := z ∈ C : fD := ζ + zξ + zξT < 03.1で定義される領域 D を LMI 領域と呼ぶ [2]. さらに, 領域D を複素左半平面の部分集合になるようにとる. 極を領域D に配置する SOF ゲイン F が存在するとき, Σ は SOFにより D-安定化可能であるという.
LMI 領域には, α-安定領域, 楕円領域, コニックセクタ領域などが含まれる. また, 各領域の共通部分も表すことができる. 文献 [2] によると, Σ が SOF により D-安定化可能であるための必要十分条件は,
MD (Acl , PD ) < 0

この問題は, いわゆる多目的 PID 補償器設計問題の一MD (Acl , PD ) := ζ ⊗ PD + Heつと位置づけることができる. すなわち, κ-安定性を満たした上で H2 最適化問題を解かなければならない. ここで,(7)nξ ⊗ ATcl PDo(8)(9)

を満たす SOF ゲイン F と PD > 0 が存在することでLMI 制約とはブロック分散型 PID 補償器のように, 各ゲイン構造に,hi hnoi
K p Ki Kd := diag K p(1) , · · · , K p(ν) · · · · · · (6)ような制約が加わる状況である [3]. ただし, ν は入出力信は (9) 式と等価である.

号の適切な分割である.

証明 十分性は明らかである. 必要性のみ示す. 十分大き

SOF への帰着
PID 補償器設計問題を SOF 補償器設計問題に帰着させる方法について述べる. (5) 式で与えられる不完全微分を含む PID 補償器は, Σ と ΣPID の動的要素を含んだ拡大系に対し, SOF ゲイン F を設計する問題に帰着できる. したがって, 図 1 に示す拡大系に対し, SOF 安定化問
PSfrag replacements
題を解くことができれば, PID 補償器が設計できる. ここに, 行列 C p ∈ R p p ×p2 , Ci ∈ R pi ×p2 , Cd ∈ R pd ×p2 は, 拡大系を作るときに次数を調節するために用いる.
2.2CpFuΣ

y1Ciss
Cd1 + τsypyi定理 1 PD に依存しない任意の W ≥ 0 に対して,

MD (Acl , PD ) + W < 0(10)なスカラー ρ > 0 が存在し,1
MD (Acl , PD ) + W < 0 ⇐⇒ MD (Acl , ρPD ) + W < 0 (11)
ρが成り立つ. これより, 新たに ρPD → PD とおく.
したがって, 領域 D を解析するにあたり, (10) 式を用いても必要十分な解析が可能となる. (10) 式において,

ζ = −α, ξ = 1, PD = P s > 0, W = (FC2 )T FC2 と選び, 平方完成すれば文献 [1] の α-安定化条件,"#He {P s A − αP s } − P s B2 BT2 P s ∗<0(12)BT2 P s + FC2−Iがただちに得られる. したがって, (10) 式は文献 [1] の結果

ydAugment plant
図 1 Augment plant with PID controller

3ある.

主要結果
前節で示した問題は, 多目的 SOF 安定化問題を解くことで設計できる. 本節では, 文献 [1] の結果を一般化した条件と, 十分条件でない SOF H2 制御の結果をまとめる.
さらに, 文献 [1] で提案されたアルゴリズムとあわせて, 多を含む. ここで, ∗ は非対角ブロック項の対称を表す. (12)式は, 負の二次項 −P s B2 BT2 P s が存在するため非凸な条件となる. 文献 [1] で, 負の二次項 −P s B2 BT2 P s を, その上界((14) 式左辺),∀X s , (X s − P s )T B2 BT2 (X s − P s ) ≥ 0no
X sT B2 BT2 X s − He X sT B2 BT2 P s ≥ −PTs B2 BT2 P s

(13)
(14)

でおきかえた条件も必要十分条件になることが示された.
補題 1 Σ が SOF により α-安定化可能であるための必要十分条件は,"#Φ(P s , X s , α) ∗<0(15)TB2 P s + FC2 −InoΦ(P s , X s , α) := He P s A − X s B2 BT2 P s − αP s + X s B2 B2 X s (16)を満たす SOF ゲイン F と P s > 0, X s > 0, α < 0 が存在することである.

SOF H2 制御
H2 制御は直達項 Dcl が存在すると, H2 ノルムが有界にならない. そこで, D11 = 0 かつ D12 = 0, または, D11 = 0かつ D21 = 0 であることを仮定する. 本文では, D11 = 0かつ D12 = 0 の場合のみを考える. kTzw k2 < γ2 かつ Σ がSOF で安定化可能であるための必要十分条件は,
3.2Tr(Z) < γ22(17)−Z + BT1 P2 B1 < 0ATcl P2 + P2 Acl + CclT Ccl < 0(18)(19)

を満たす SOF ゲイン F と P2 > 0, Z が存在することである [4]. 文献 [7] では, 補題 1 に帰着させることで SOF H2i = i + 1, αi = α とする. α ≤ κ ならば, α = κ, X s = P s とおいて ステップ 4 へ. |αi − αi−1 | < δ ならば, Σ を κ-安定化する SOF ゲインが見つからないとして終了.
ステップ 3 次の凸最適化問題を解く.
inf Tr(P s ), s.t. α = αi , (15) hold.

P s ,FkBT2 X s − BT2 P s k < δ ならば, Σ を κ-安定化する SOF ゲインが見つからないとして終了. そうでなければ X s = P s とおいて ステップ 2 へ.
ステップ 4 次の凸最適化問題を解く.
inf Tr(Z), s.t. (18), (19) hold.

P2 ,Z√j = 1, γ2( j) = Tr(Z), X2 = P2 , L2 = F とおく.
ステップ 5 次の凸最適化問題と解く.
inf

制御問題を解いている. しかしながら, (19) 式には定数T項 Ccl
Ccl が存在するから, 帰着させるだけは定理 1 の証

P s ,P2 ,F,Z

Tr(Z), s.t. (15), (18), (22) hold.
√Tr(Z) とおく.

明で現れる ρ が残ってしまう. 文献 [7] では, ρ = 1 と固j = j + 1, γ2( j) =定して十分条件を解いているため, 当然ながら保守的なステップ 6 γ2 − γ2( j)( j−1)< δ ならば, F を SOF ゲインとし結果になっている. そこで, 本来現れるべき負の二次項て終了. そうでなければ, X s = P s , X2 = P2 , L2 = F とお−C2T F T FC2 (もしくは −W) を残し, その上界 ((21) 式左辺),いて ステップ 5 へ.

∀L2 , C2T (L2 − F)T (L2 − F)C2 ≥ 0on
C2T L2T L2C2 − He C2T F T L2C2 ≥ −C2T F T FC2(20)(21)

定理 2 kTzw k2 < γ2 かつ Σ が SOF により安定化可能であるための必要十分条件は (17), (18) 式と,
∗−I0
∗ 
∗  < 0
−Ion:= Φ(P2 , X2 , 0) − He C2T L2T F2 C2 + C2T L2T L2 C2る X2 の初期値を解析する手続きである.
命題 1 アルゴリム 1 において, ステップ 3 の X s = P s お
よび ステップ 6 の X s = P s , X2 = P2 , L2 = F という更新(22)は, ステップ 2 および ステップ 5 の目的関数の単調非増加性を保証する.

(23)を満たす SOF ゲイン F と P2 > 0, X2 > 0, L2 , Z > 0 が存在することである.

3.3

達成できれば, H2 ノルムを最小化する手続きが始まる
ステップ 4 に移る. ステップ 4 は, ステップ 5 で必要となでおきかえた条件を考える.

 Λ(P2 , X2 , F, L2 ) BT2 P2 + FC2

C1 + D12 FC2
Λ(P2 , X2 , F, L2 )

κ-安定化を達成させるために必要な ステップ 1 からステップ 3 までは, 文献 [1] と同じである. κ-安定化を

証明 更新前の解を解を含むという性質を容易に証明できる [4]. したがって, 少なくとも次回更新時に悪くならない.
命題 1 より, アルゴリム 1 は収束解を必ず約束する. したがって, ステップ 2 で α ≤ κ を満たす SOF ゲイン F が多目的 SOF 補償器設計のためのアルゴリズム(15), (17), (18), (22) 式を同時に満足する各変数が存在す
れば, 前節の問題が解ける. 特に触れなかったが, (15), (22)
式には BMI 項が (1, 1) ブロックに存在するから, 簡単には解けない. 文献 [1] のアルゴリズムを拡張し, 各条件を段階的に満たしていくアルゴリズムを提案する.

得られれば, 必ず何らかの kTzw k2 < γ2 を満たす SOF ゲイン F も得られる. また, このアルゴリズムを一般化する
ことで, 制御仕様がさらに複雑にからみあった問題も解くことができる.

4 設計例および実験結果
図 2(左) の PENDUBOT[9] を制御対象とし, アルゴリムアルゴリズム 1ステップ 1 κ < 0 を与える. 適当な S > 0 を選び, (24) 式を4.1

解いて i = 1, αi = ∞, X s = P s とおく.

AT P s + P s A − P s B2 BT2 P s + S = 0
ステップ 2 次の準凸最適化問題を解く.

inf α, s.t. (15) holds.

P s ,F,α2 を用いて κ-安定化 PID 型 H2 補償器を設計する.
設計

PENDUBOT の各行列パラメータは,(24)"A
C2

 0
#  −128
 0B2=  123.59

 1
0100000029.42041.37
010010000 16.41 0 
−8.57 (25)PSfrag replacements

Motor & Sensor 1表している. すなわち, 振り上げ制御から, ボトムポジショ

Refference InputSensor 2

θ1 = − z1 z2Czx

π−9z3

π2czi

Link 2z4Cpθ2 = πw
πr1 =9+B2u+ZC2

A

Bottom Position

1Ciss
Cd
1 + τsyン (平衡点) において PID 型 H2 補償器に切り替えた後,10 秒後に参照入力として r1 = π/9 と与えたときの様子である. 振り上げ制御の詳細は省略する. 図 4(右) は, 図4(左) の 5 秒間から 20 秒間を線形シミュレーションと比較した様子である. ただし, 原点を平衡点としてスケーリングした. 現象を忠実に再現できている様子が確認できる.

図 2 Situation of experiment for the PEN-

4Angle [rad]で与えられる [9]. 以下では,"#h1 0C p = Cd =, Ci = 1
0 1

0.4

3DUBOT(right), generalized plant(left)

2Angle [rad]Swing Up
Link 1
PSfrag replacements

10-1

0.2

0-0.2

-2

i0 , τ = 0.01

PSfrag replacements(26)

link 1 angle
PSfrag replacements
link 2 angle
equilibrium point of link 1
equilibrium point of link 2-3-4-50510Time [s]1520-0.4

link 1 angle of experimentlink 2 angle of experimentlink 1 angle of simulation
link 2 angle of simulation-0.6510Time [s]1520とする. すなわち, 積分補償が一つとなるように PID 補償器の構造を制約する. 一般化プラントは, 図 2(右) とし

図 4 All the situation of experiment(right), com-た. ただし,parison between simulation and experiment(left),case PID-type H2 control

Czx ="

25 00 0#0 0
15 0 , czi = 1(27)である. ステップ 2 を 2 回, ステップ 1 を 1 回手続きし,

α = −4.69 に収束した. κ = −4.4 から κ = 0 まで 0.2 刻
みで大きくしていったときの, γ2 の収束値とそのときのkTzw k2 を図 3 に示す. κ = 0 で, PID 型 H2 補償器を設計した場合, γ2 = 6.985 に収束し, kTzw k2 = 6.9849 であった.
図 3 からも分かるようように, γ2 はかなりタイトな上界となっている. 一方で, 図 2(右) に対して状態フィードバッ
ク型 H2 補償器を設計した場合, kTzw k2 = 6.3689 であった. PID 型 H2 補償器は, 物理的には状態フィードバックと同質であるから, 必要十分条件に近い解析ができている.
これは, 文献 [7] では扱えない非共通リアプノフ解を用いているからにほかならない.
7.2

upper bound of H2 norm
actual H2 norm

γ2

7.15

7.1

7.05

PSfrag replacements

7-4-3-2-10κ
図34.2

Relation between κ and γ2 , case PID-type H2 control

シミュレーションと実験の比較

κ = −4.4 において, 設計した PID 型 H2 補償器,ihi hi1 hs− 15 24.3(28)K(s) = − 151.6 198.4 + 66.7 0s
1 + 0.01sを用いて, シミュレーションと実験の比較を行った. 図

4(左) は, 図 2(左) に示すような実験を行ったときの様子を

5 おわりに構造に制約のある線形補償器を設計する方法として,SOF に帰着させる方法を示した. 達成できた制御仕様を新たに制約条件として連立させるというアルゴリズムの構成法を示し, 多目的 SOF を設計するための枠組を提案し, シミュレーションと実験からその有効性を検証した.

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