中学校数学領域「図形」における問題づくりの数理的考察
M2013SS008 永井千尋
指導教員：佐々木克巳

1

はじめに

本研究の目的は，中学校数学における問題づくりの数理的考察を行い，問題づくりの仕組みを整理することである．対象とする領域は，中学校 2 年で扱う「図形」の三角形の合同条件を用いる証明である．具体的には，合同な 2 つの三角形の配置から証明問題をつくる方法を提案し，実際にその方法による問題づくりを行うことで，その方法の有用性を確認する．
本研究が提案する方法を以下に示す．
方法 1:

STEP1 合同な 2 つの三角形 T と T′ を，T の 1 つの頂点 A と T′ の 1 つの頂点 D が重なるように配置する．特に，次の条件を満たす配置を考える．

作成した問題は表 1 に示す通り，212 問であり，そのうち10 問が，教科書 [2] や問題集 [4],[5] の問題と類似していた．
表 1 作成した問題の数
配置の種類(i) の配置(ii) の配置(iii) の配置
合計

条件 1 T において A を端点とする辺 e と，Tにおいて D を端点とする辺 e′ が同一の直線上にある．

作成した問題数
36 問
71 問
105 問
212 問

以下の 2 節で，STEP3 で用いる図形の性質を列挙する．
3 節で方法 1 に基づいて作成した 212 問のうち 4 つを示す．

2′

配置の数
9 通り
24 通り
24 通り
57 通り

図形の性質

STEP3 で用いる既習の図形の性質のうち，3 節で用いるものを列挙する．これらの性質のうち性質 1〜性質 8 は[1],[2],[3] から抽出している．

性質 1 対頂角は等しい
条件 1 を満たす配置は次の 3 つに分けて考える．
性質 2 平行線の性質(i) e と e′ が一致する．
2 つの直線に 1 つの直線が交わるとき，次の(ii) e と e′ のうち，片方がもう片方に含まれる．
ことが成り立つ．
ただし，一致はしない．
(iii) (i),(ii) 以外，すなわち，e と e′ の共有点は(a) 2 つの直線が平行ならば，同位角は等しい．
A(=D) のみである．
(b) 2 つの直線が平行ならば，錯角は等しい．

STEP2 次の操作を組み合わせて，新しい直線や線分，
性質 3 三角形の内角・外角の性質
頂点を加える．
(a) 三角形の 3 つの内角の和は 180 °である．
• 2 頂点 (端点) を結ぶ．
(b) 三角形の 1 つの外角は，そのとなりにない 2• 延長線をひく．
つの内角の和に等しい．
• 垂線をひく．
性質 4 2 つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という．
• 平行移動させる．
性質 5 2 つの角が等しい三角形は，二等辺三角形である．
• 対称移動させる．
性質 6 平行四辺形の性質
STEP3 STEP2 で追加した直線や線分，頂点を用いて，(a) 平行四辺形の 2 組の向かい合う辺は，それぞT と T′ の合同条件を導出する条件を表現する．
れ等しい．
この導出には，既習の図形の性質を用いる．
(b) 平行四辺形の 2 組の向かい合う角は，それぞSTEP4 STEP2 でできた図形と STEP3 の条件を踏まえ，′れ等しい．
T と T が合同であることを証明する問題文をつくる．
(c) 平行四辺形の対角線は，それぞれの中点で交本研究では，方法 1 による問題づくりを，3 辺の長さわる．
が異なる直角三角形に限定して行った (ここでは直角三角
性質 7 平行四辺形になる条件
形の辺を長い順に，斜辺，長辺，短辺と呼ぶことにする)．
四角形は，次の各場合に平行四辺形である．
この制約のもとでは，STEP1 の (i) の配置は全部で 9 通(a) 2 組の向かい合う辺が，それぞれ平行であるり，(ii) の配置は全部で 24 通り，(iii) の配置は 24 通り以とき (定義)
上ある (図 1, 図 2, 図 3 参照)．
方法 1 の有用性は，実際に作成できた問題の数，及び，(b) 2 組の向かい合う辺が，それぞれ等しいとき作成された問題と，教科書や問題集にある問題との類似(c) 2 組の向かい合う角が，それぞれ等しいとき性により確認できたと考える．より具体的には，実際に(d) 対角線が，それぞれの中点で交わるとき(e) 1 組の向かい合う辺が，等しくて平行である
とき
性質 8 対称移動の性質
対応する点を結んだ線分は，対称の軸と垂直に交わり，その交点で 2 等分される．また，対称になる図形において，対応する線分の長さ，角の大きさは等しい．
性質 9 二等辺三角形，二等分線，平行の関係
図 4 において，2 つの直線 l と m が平行で，辺BC が ∠B の二等分線ならば，△ABC は AB=ACの二等辺三角形である．
証明 9 の証明. 性質 4, 性質 5 を用いる．

3

具体例

方法 1 に基づいて作成した 212 問のうちの 4 つを示す．
例 1 ((i) の配置)がある．この四角形の対角線 FC は ∠C の二等分線である．辺 AF 上に点 G をとり，頂点 A から線分 CG に垂線をひき，交点を B とする．このとき，∠BGA= ∠BAC となる．また，頂点E から線分 CG に垂線をひき，交点を D とする．
以上より，△ABC≡△CDE を証明せよ．
』
上で作成した問題に類似した問題が [5] に載っている．
図 10, 図 11 に，その類似問題に用いられている図を示す．
図 9 の A,B,C,D,E に図 10 の C,G,D,F,A，または，図 11の A,E,D,G,C を対応付けることにより，これらの問題は，合同となる三角形の配置が一致する問題と見ることができる．ただし，図 10, 図 11 では四角形を正方形としていることや，その他 3 点の置き方に違いがある．
例 3 ((iii) の配置)

STEP1 図 12 の配置から問題を考える．
STEP2 2 頂点を結び，頂点や交点に記号をつけたもの
を図 13 に示す．

STEP3 △ABC と △DCE の合同条件を「直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい」，すな
STEP2 1 つの三角形の長辺と，もう 1 つの三角形の短わち，「∠BAC= ∠CDE,∠ABC= ∠DCE(また辺の延長線をひき，頂点や交点に記号を付けたは，∠ACB= ∠DEC),BC=CE」とする．このものを図 6 に示す．
うちの ∠ABC= ∠DCE(または，∠ACB= ∠DEC) は，性質 3 を用いて，STEP3 △ABC と △ADC の合同条件を「直角三角形のBC⊥CE, 点 C は線分 AD 上であることから導斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい」，すなわち，出できる．また，BC=CE は性質 3, 性質 4,「∠ABC=∠D= 90°,AC 共通,CD=CB」とす
性質 5 を用いて，∠CBE= 45°,BC⊥CE から導る．
出できる．
STEP4 STEP1〜STEP3 を基に，問題をつくる．
STEP1 図 5 の配置から問題を考える．

『図 5 のような ∠D= 90°の △CDE がある．辺 STEP4 STEP1〜STEP3 を基に，問題をつくる．
『図 13 のような ∠A= ∠D= 90°の四角形
CE 上に CD=CB となる点 B をとり，この点をABED において，辺 AD 上に ∠CBE= 45°,通る辺 CE の垂線と，辺 DE との交点を A とす
BC⊥CE となるよう点 C をとる．このとき，る．このとき，△ABC≡△ADC を証明せよ．
』△ABC≡△DCE を証明せよ．
』
上で作成した問題に類似した問題が [4] に載っている．
図 7 に，その類似問題に用いられている図を示す．図 7の A,B,C,D,E を図 6 の D,C,B,E,A に対応付けることにより，仮定や合同となる三角形の配置が一致する問題と見ることができる．
例 2 ((ii) の配置)

STEP1 図 8 の配置から問題を考える．
STEP2 それぞれの三角形の斜辺を平行移動させ，1 つの長辺 (e または e′ ) の延長線をひき，2 頂点を結ぶ．頂点や交点に記号をつけたものを図 9 に示す．
STEP3 △ABC と △CDE の合同条件を「直角三角形の斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい」，すなわ
ち，「∠ABC= ∠CDE= 90°,∠BAC= ∠DCE,AC=CE」とする．このうちの ∠BAC= ∠DCE
は性質 2 を用いて，AF‖CE,∠BGA= ∠BAC から導出できる．また，AC=CE は性質 2, 性質 6,性質 7, 性質 9 を用いて，AC‖FE,AF‖CE,∠ACF= ∠FCE から導出できる．
STEP4 STEP1〜STEP3 を基に，問題をつくる．
『図 9 のような AC‖FE,AF‖CE の四角形 AFEC上で作成した問題に類似した問題が [5] に載っている．
図 14 に，その類似問題の解答に用いられている図を示す．
図 14 の E,C,B,D,A を図 13 の A,B,C,D,E に対応付けることにより，合同となる三角形の配置が一致する問題と見ることができる．ただし，図 14 は △ECB と △DBAの合同条件を「三角形の 3 組の辺がそれぞれ等しい」，すなわち，「EC=DB,EB=DA,CB=BA」としており，2 点A,B に座標を与えることで導出できるようになっている．
例 4 ((iii) の配置)

STEP1 図 15 の配置から問題を考える．
STEP2 2 頂点を結び，左側の三角形の長辺を平行移動させる．さらに，端点と頂点を結び，頂点や交点に記号をつけたものを図 17 に示す．
STEP3 △ABC と △DEC の合同条件を「三角形の 1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」，すな
わち，「∠BAC= ∠EDC,∠ABC= ∠DEC,AB=DE」とする．最初の条件は，性質 8 を用いて，(1) 四角形 ABFE は長方形
(2) 四角形 ABFE の対角線 BE で辺 AE 側

に点 F を折り返すことから導出できる．2 つ目の条件は，性質 1,性質 3 を用いて，(1),(2) から導出できる．3 つ目の条件は，性質 6 を用いて，(1),(2) から導出できる．

STEP4 STEP1〜STEP3 を基に，問題をつくる．
『図 16のような長方形 ABFE を対角線 BE で辺 AE 側に折り返す．このとき，頂点 F が移動した点をD とし，辺 AE との交点を C とする．以上より，△ABC≡△DEC を証明せよ．
』
上で作成した問題に類似した問題が [5] に載っている．
図 17 に，その類似問題に用いられている図を示す．図 16の A,B,C,D,E に図 17 の左の D,C,F,E,A，または，図 17の右の A,B,F,E,D を対応付けることにより，これらの問題は，仮定や合同となる三角形の配置が一致する問題と見ることができる．

参考文献[1] 岡本和夫，小関熙純，森杉馨，佐々木武，ほか 39 名：『未来へひろがる数学 1』．啓林館，大阪，2012.
[2] 岡本和夫，小関熙純，森杉馨，佐々木武，ほか 39 名：『未来へひろがる数学 2』．啓林館，大阪，2012.

図 2 (ii) の配置[3] 原田直樹：『シークエントに基づく証明教育 中学校・高等学校の数学「図形」を中心として』．南山大学院
数理情報研究科修士論文，2014.
[4] 文英堂編集部：『最高水準問題集 数学 中学 2 年』．
文英堂，東京，2012．
[5] 間宮勝己，山腰政喜：『最高水準特進問題集 数学中学 2 年』．文英堂，東京，2012．

図 3 (iii) の配置

図 1 (i) の配置

図 4 二等辺三角形，二等分線，平行の関係

図 5 例 1 の STEP1

図 6 例 1 の STEP2

図 12 例 3 の STEP1

図 13 例 3 の STEP2
図 7 例 1 の類似問題 (出典 [4])図 8 例 2 の STEP1

図 14 例 3 の類似問題の解答 (出典 [5])図 15 例 4 の STEP1
図 9 例 2 の STEP2

図 16 例 4 の STEP2
図 10 例 2 の類似問題 1(出典 [5])図 17 例 4 の類似問題 1(出典 [5])図 11 例 2 の類似問題 2(出典 [5])