場の量子論のすすめ-自然の理解に向けて大阪市立大学・大学院理学研究科
糸山 浩司
我々が観る自然界は、波動性と粒子性が矛盾無く兼ね備わった世界です。この世界を人間が理解する上で中心的な役割を果たす場の量子論、及び場の量子論の困難を救うべく導入された紐理論について講演します。
平成18年4月10日
於 大阪市立大学文化交流センター

目次I) 微視的立場から見た理論物理学の構成
II) 古典論における場と粒子
III) 粒子＝波動の場の量子論的描像
IV) 場の量子論の困難と紐(1) 古典物理学
i) Newton(古典)力学
慣性の法則≡Galilei変換に対して物理法則が不変。

ii) Maxwell(古典)電磁気学
Galilei変換では不変ではない。Lorentz変換で不変。

I)iii) i)を修正→Einsteinの特殊相対論
光速度 c=3.0×108 [m/sec] は不変定数。
v / c << 1 で特殊相対論はNewton力学に移行。

その他に流体力学、弾性体力学・・・を加えたものが古典物理学。

(2) 量子物理学
一方自然界の微視的記述には量子論が不可欠（巨視的にもしばしば）• 量子力学は古典力学と概念的に独立• 繰り返し実験を行うことを前提、測定結果を確率として予言。
• Planck定数を基本定数として導入

2通りの理解の仕方が知られており、それらは同等。

その１）

今日の話の道筋ではない。

量子力学i) （及びiii)による修正) において、電子を複素数値をとる波動とみなす。
多体系へ

その2）

今日の話の立場。

場の量子論ii) において、電磁場をエネルギーのかたまりとみなす。
電子等の物質も同様に考える。

(3) 最後に残った万有引力の法則及び非慣性系
等価原理：無重力状態は局所的にはいつでも作り出せる。
重力定数 GN=6.673 ×10－11 m3 s－2 Kg－1

重力に対するEinsteinの一般相対性理論。
v / c << 1で万有引力が導出される。

(4) では重力と場の量子論の融合はいかに？
現在の課題

II)
今までの話をまとめると、古典論は古典論は「粒子(粒子(質点)質点)」と「場」の2本立て本立て
粒子(粒子(質点)質点)系の定義：
定義： 空間内のいくつかの点に物理的性質が確定したものが集中的に存在する場合粒子系に対する法則：これらの点は時間とともにどう位置を変えていくかに答える
例：古典論での電子のふるまい。e,m場の定義：： 空間の各点各点での物理量の分布。
物理量ごとに別の場を導入。
場の法則：物理量が各点各点で時間とともにどう変動していくかに答える。
最初は媒質中での物理現象で確立。
例：音波の場
後に媒質なしの空間でも確認。
例：電荷qを持ち込むとそのまわりの空間の状態が変化し電場（の変化）を生む。

III)(1) ことのおこり

光とは何か・干渉、回折現象(位相差)が観測されている。
・古典論としては電磁場の方程式の解として得られる(進行)波。

・空洞輻射のエネルギーの問題
当時の理論

・壁の中の電磁場は限りなく高い振動数の定常波の重ね合わせ・エネルギー等分配則

温度1°上げるのに必要なエネルギーは(＊)＝kBΔT （自由度の数)＝∞ ∴矛盾1∞

kB: 1.38×10－23 J /K
実際には低温では赤い光、高温では青→白く見える。

目・・・

・光電効果

光を金属に当てると電子が飛び出す。電子のエネルギーは光の強度には関係しない。

⇒光＝色によって定まるエネルギーのかたまり、素量(Planck, Einstein)0・問題の解決策
青赤

励起されない何個も励起される∴ (＊)＝有限(2) 光はある時は位相差として測定され、ある時はエネルギーのかたまりとして測定されるという事実をどう(数学的に)考えるか ⇒場の量子論

軸1構成• 系の状態をベクトルと考える。
• このベクトルの住んでいる空間の次元数

軸2＝エネルギー(等)の許される値の個数• 場はベクトルを成分で表示した時、ある行列で与えられる。(＾をつけて表す。)• 場あるいは物理量を楕円(体)で図示する。

・簡単のため、ある決まった振動数エネルギーを表わす行列

は場を表わす行列たちを用いてと書ける。
但し、に従う。

のみで考える。

は・が持てる値(固有値)は0, 1, 2, 3, ・・・
値１値０という状態＝エネルギーのかたまり1単位が飛んでくる状態＝光子 1個・一方、この値が大きくなるとの は無視できる。
するとこれは、古典電磁気学での平面波の式となる。
⇒干渉、回折が矛盾無く説明できる。

(3) 量子論的同種粒子
さらに簡単化してとする。

が 2 の値をとる場合として210012の3通りあり、これを箱と粒子で表示すると粒子が米粒ならこの場合の数は4通りなのだが、・・・

(4) 湯川秀樹が考えたこと「力が存在すれば、これは量子論的粒子を交換することにより導き出せる。」

・核子(陽子と中性子を総称してこう呼ぶ)間に働く強い力に適用。
当時、核力の到達距離はa=1.4×10-13cmであることが知られていた。
π中間子という素粒子の存在とその質量を予言。
この力は現在ではクォーク間に働く力として理解されている。

内容 ・湯川はπ中間子(質量mとする)に対する場を導入し、これを用いて相互作用のエネルギーを与える行列
湯川を与えた。

核子の分布

結果
湯川のとる値

到達距離と結論

IV)
1) 場の量子論における自己エネルギーの問題
・光子と同様電子などの物質も物質場で記述できる。
確定・量子論的粒子なので米粒ではないが、相互作用は時空の確定した点で起きる。
⇒いくらでも大きい振動数の量子論的粒子の交換が可能。

光子
電子

・エネルギー、運動量が無限の過去と未来で確定値をもつ場合を考える。電子1個の動きを図式化し、光子の放出、吸収の回数で分類すると、
終終

終

光子

・・・

始始始となる。

∞が生じる

・しかし重力以外の3つの力では小さな展開パラメーター (次元をもたないくりこまれた結合定数)を見つけることが可能。

・重力相互作用では
終終終

重力子・・・始始

始

この2つの補正の比はは電子のエネルギー、、；万有引力定数・高エネルギーになると高次補正の方が大きくなってしまう。
・無限大の処理がうまくいかない。

2) 量子論的粒子ではなくひもを量子化しよう
大きさ10－33 cm程度の1つのモードとして電子などの物質と光子がある。の1つのモードとして重力子
つまり時空のゆらぎがある。

・・・

・電子・光子も重力子も取り扱い方にかわりはない。
不確定。
・相互作用の起こる点は不確定
不確定

3) 真空のゆらぎのエネルギーの問題
・測定にかからないので、ずっと無視してきた。
最近、宇宙の観測が進み、物質のエネルギーとはみなされない「宇宙項」とよばれる真空のエネルギーが０でないことが分かってきた。

・高次補正
粒子

ひも振動数
種類

形

長い紐の短時間の伝播＝短い紐の長時間の伝播

4) 残された課題
・高次補正が小さいとするとひもは10次元の時空に住んでいる。
我々の住んでいる世界を導出するためには高次補正が大きい必要がある。
⇒真空を決定する問題。
・「非摂動的計算」を原理的に可能にするひもに代わる自由度の導入が必要だと我々は考えている。
例; 引数を持たない場の行列の導入⇒4次元時空、素粒子の世代、質量の階層性、等の導出。