逆命題を考えることによる証明問題の理解
M2014SS001

藤城 佳高

指導教員：佐々木1

はじめに

本研究の目的は，証明問題の逆命題を考えること，すなわち，仮定の 1 つと結論を入れかえて考えることにより，その問題の理解を深めることである．とくに，逆命題が成立しない場合は，成立するようにもとの命題の仮定を弱めること

(∗)

克巳

Step 2-1. A1 , · · · , Am のうち，Gj を導くのに必要な仮定 Ak1 , · · · , Akℓ を抽出する．すなわち，次の 2 条件を満たす，Ak1 , · · · , Akℓ を抽出する．
(1.6)Γ∗ ,Ak1 , · · · , Akℓ =⇒Gj が成立する．
(1.7) どの i ∈｛k1 , · · · , kℓ ｝に対しても，Γ∗ ,Σi =⇒Gj は成立しない．
ただし，Σi は列 Ak1 , · · · , Akℓ から Ai を除いた列である．

までを考える．対象は中学校 2 年で扱われる図形の論証， Step 2-2. 上の (1.6) の命題に対して，各仮定 A (i∈｛i
とくに三角形の合同を用いた証明である．
k , · · · , k ｝) と G を入れかえた逆命題 Γ∗ ,Σ ,G =⇒A
1

逆命題を考えることのよさは，鈴木 [1] で述べられている．以下にそれを要約して示す．

(1.1) もとの問題の仮定と結論を明確に分けることができるようになる(1.2) 逆命題を作ることは，もとの問題から新しい問題を作る活動であり，発展的な考え方の 1 つである
(1.3) 作った逆命題について，生徒が証明しようという意欲が高まる(1.4) 逆命題を作ることで，生徒が「よりよいもの求めよう」とする数学的な態度を育てることができる(1.5) 逆命題は成立しない場合があり，なぜ成立しないのかを生徒自身が考えるきっかけとなる本研究の (∗) により，上の逆命題のよさはより一層高まると考える．

ℓjijiが成立するかを調べる．

Step 2-3. step 2-2 の逆命題が成立するときは，その証明を与える．
Step 2-4. step 2-2 の逆命題が不成立のときは，その反例を与え，Γ∗ , Σi =⇒ Ai ∨ A′i ↔ Gj が成立するように，
仮定 Ai を Ai ∨ A′i に弱める．ただし，A′i は Ai と同じ辺（または角）についての文である．
1 節で述べた (∗) は，上の step 2-4 に反映されている．
ここで，step 2 を本質的な部分に絞るために，次の約束をしておく．
約束2.1 上の step 2 において，Γ∗ =⇒ Ai ↔ Gj が成立するときは，以下の理由で，その考察を省略する．
理由:仮定より，Γ∗ , Ai =⇒ Gj

本研究では，具体的には，まず，個別の問題に対して行 を対象として逆命題を考えることになるが，その逆命う逆命題考察の手順を定め，間宮 [2] から抽出した証明問 題は題 (5 題) に対して，その手順を適用した．そして，上のΓ∗ , Gj =⇒ Ai(1.2) における「新しい問題」，(1.4) における「よりよいの 1 つだけで，これも Γ∗ =⇒ Ai ↔ Gj から，明らかにもの」，(1.5) における「なぜ成立しないか」を具体例を成立する．
通して考察し，逆命題を考察することの意義を具体的な形で述べた．
3 個別の問題に対する逆命題の考察
本稿では，次節で，個別の問題に対して行う手順を示
この節では，[2] の問題 98 と問題 103 を，2 節の手順にす．3 節では，その手順を適用した 5 題から，問題 98 とそって考察した結果を示す．ただし，本稿では，step 2-4
問題 103 を抽出しその考察の一部を示す．4 節では，手（すなわち，1 節の (∗)）を重視して，それ以外の部分の順を適用した問題の考察をふまえた，逆命題のよさのう多くを省略する．例えば，逆命題が成立することの証明
ち (∗) に関わる部分を示す．などを省略する．

2

逆命題の考察の手順

考察 3.1(問題 98 の考察)

本研究では，個別の問題に対する逆命題の考察を次の 問題 98．△ABC の辺 BC の中点を M とし，点 B を通り
辺 AC に平行な直線と直線 AM との交点を D とすると
2 つの step で行う．
き，△BDM≡△CAM を示すことにより，BD=CA を示
Step 1. その仮定，結論を明らかにし，それぞれにおいて，辺の長さ，角の大きさに関する条件を分離する．分 しなさい (図 1 参照)．
離された辺の長さ，角の大きさに関する仮定を
A1 , · · · , Am とし，それ以外の仮定を A∗1 , · · · , A∗m∗ とおく (以下この m∗ 個の仮定の列を Γ∗ とおく)．同様に，辺の長さ，角の大きさに関する結論を G1 , · · · , Gn とし，それ以外の結論を G∗1 , · · · , G∗n∗ とおく．
図 1 問題 98 の図
Step 2. 各結論 Gj に対して次を行う．

Step 1．条件「平行」を分離する方法が複数あり，step
1 の結果も複数ある．以下にそのうちの 1 つを示す．
仮定．
A∗1 :△ABC がある
A∗2 :M は辺 BC 上にあるA∗3 :∠CAD と ∠BDA が錯角の位置にあるA∗4 :D は直線 AM 上にある
A1 :BM=CM
A2 :∠CAD=∠BDA

CM=BM(∵A1 )∠CFM=∠BEM=90◦ (∵E と F の定義)
∠CMF=∠BME(∵ 対頂角)だから，△CFM≡△BEM であり，CF=BE である．よって，△CFA と △BED において，

CF=BE∠CFA=∠BED=90◦ (∵E と F の定義)
CA=BD(∵G1 )より，△CFA≡△BED である．

結論．

次に，以下の 2 条件を考える．
(条件 1)A が，F と D の間にある．
(条件 2)D が，A と E の間にある．

G1 :CA=BD
G2 :CM=BM
G3 :AM=DM
G4 :∠CAM=∠BDM
G5 :∠CMA= ∠BMD
G6 :∠ACM= ∠DBM

すると，

(条件 1) =⇒ ∠CAF + ∠CAD = 180◦(∗1)

(条件 1) の否定 =⇒ ∠CAF = ∠CAD(∗2)

◦A∗2 と A1 が「M が BC の中点である」を分離した結果であり，A∗3 と A2 が「AC//BD」を分離した結果である．

(条件 2) =⇒ ∠BDA + ∠BDE = 180(∗3)(条件 2) の否定 =⇒ ∠BDA = ∠BDE(∗4)

Step 2．j の値によって場合分けする．この step 2 において，Γ∗ は，列 A∗1 ,A∗2 ,A∗3 ,A∗4 を表すとする．
j=1 のとき，Γ∗ ,A1 ,A2 =⇒G2 を対象に仮定と結論を入れかえる．すなわち，各 Ai と G1 を入れかえた逆命題がいえる．(条件 1)，(条件 2) の成立，不成立によって，場合分けをする．
(i) (条件 1) と (条件 2) が成立するとき:∠CAD=180◦ −∠CAF(∵(条件 1),(∗1))Γ∗ , A2 , G1 =⇒ A1(3.1.1)=180◦ −∠BDE(∵△CFA≡△BED)Γ∗ , A1 , G1 =⇒ A2(3.1.2)=∠BDA(∵(条件 2),(∗3))
を考える．(3.1.1) は成立するが，（3.1.2）は成立しない．
すなわち，A2 がいえる．
(3.1.2) では，(ii) (条件 1) が成立し，(条件 2) が成立しないとき:
A2 ′ :∠CAD+∠BDA=180◦∠CAD=180◦ −∠CAF(∵(条件 1),(∗1))
とおくと=180◦ −∠BDE(∵△CFA≡△BED)Γ∗ , A1 =⇒ A2 ∨ A′2 ↔ G1
(3.1.3)=180◦ −∠BDA(∵(条件 2) の否定,(∗4))
が成立する．
すなわち，A2 ′ がいえる．
(3.1.2) の反例:下図 (図 2) の場合が反例である．
(iii) (条件 1) が成立せず，(条件 2) が成立するとき:∠BDA=180◦ −∠BDE(∵(条件 2),(∗3))=180◦ −∠CAF(∵△CFA≡△BED)=180◦ −∠CAD(∵(条件 1) の否定,(∗2))
すなわち，A2 ′ がいえる．
(iv) (条件 1) が成立せず，(条件 2) が成立しないとき:∠CAD=∠CAF(∵(条件 1) の否定,(∗2))=∠BDE(∵△CFA≡△BED)=BDA(∵(条件 2) の否定,(∗4))

図 2 (3.1.2) の反例(3.1.3) の証明:Γ∗ , A1 , A2 =⇒ G1 は成立するのでΓ∗ , A1 , A′2 =⇒ G1∗
Γ , A1 , G1 =⇒ A2 ∨ A′2(3.1.4)(3.1.5)を示せば十分である．

(3.1.5) のみを示す．B，C から直線 AM におろした垂線の足をそれぞれ，E，F とする．A=F または D=E のときは，∠CAD= ∠BDA=90◦ がいえるので，A2 と A′2の両方が成り立つ．以後，A̸=F,D̸=E，すなわち，△CFAと △BED が存在するとする． BC と AD が垂直，すなわ
ち，E=F=M のときは，A1 より，CF=BE である．そうでないときは，△CFM と △BEM が存在し，すなわち，A2 がいえる．
(i)〜(iv) から，A2 ∨A2 ′ を得る．

j=2,4 のとき，Γ∗ =⇒ A1 ↔ G2 ，Γ∗ =⇒A2 ↔G4 が成立するので，約束 2.1 で述べたとおり，これら場合の考察を省略する．
j=3 のとき，Γ∗ ,A1 ,A2 =⇒G3 を対象に仮定と結論を入れかえる．すなわち，Ai と G3 を入れかえたΓ∗ , A2 , G3 =⇒ A1
Γ∗ , A1 , G3 =⇒ A2を考える．これらはどちらも成立する．

j=5 のとき，Γ∗ =⇒G5 が成立するので，考察の対象となる逆命題はない．
j=6 のとき，Γ∗ , A2 =⇒ G6

A1 :AB=AC
A2 :∠BAC=90◦
A3 :∠ABD=∠CBD
A4 :∠ADB=∠CBD
A5 :∠ARC=90◦(3.1.6)が成立するので，これを対象に仮定と結論を入れかえる． 結論 (考察 3.1 と同様に 6 個の結論があるが，本稿ではそのうちの 1 つを示す)．
すなわち，

Γ∗ , G6 =⇒ A2G2 :AQ=AP
Step 2．j=2 のときのみを示す．Γ∗ は列A∗1 , A∗2 , A∗3 , A∗4 , A∗5 , A∗6 , A∗7 , A∗8 を表すとする．

を考える．これは成立する．

こ こ で ，(3.1.6) が 成 立 す る と わ か る ま で に ，step
2-2 と step 2-4 を 経 由 で き る こ と を 説 明 し て お く． j=2 のとき，Γ∗ ,A1 ,A2 =⇒G6 の逆命題Γ∗ , A2 , G6 =⇒ A1

Γ∗ , A2 , A3 , A5 =⇒ G2(3.1.7)は成立しない．下図 (図 3) の場合が反例である．

が成立するので，これを対象に仮定と結論を入れかえる．
すなわち，Γ∗ , A3 , A5 , G2 =⇒ A2(3.2.2)

Γ∗ , A2 , A5 , G2 =⇒ A3(3.2.3)∗

Γ , A2 , A3 , G2 =⇒ A5
図 3 (3.1.7) の反例
この反例から Γ∗ ,¬A1 ,A2 =⇒G6 がわかり，Γ∗ ,A1 ∨ ¬A1 ,A2 =⇒G6 を得る．ここから，排中律によって (3.1.6) を得る．

(3.2.4)を考える．これらはすべて成立する．
ここで，(3.1.6) と同様に，(3.2.1) が成立するとわかる
までに，step 2-2 と step 2-4 を経由できることを説明しておく．Γ∗ , A2 , A3 , A4 , A5 =⇒ G2 の逆命題

考察 3.2(問題 103 の考察)
問題 103．図 4 のように，∠A=90◦ の直角二等辺三角形
ABC がある．∠B の二等分線上に AD//BC となる点 Dをとり，BD と AC の交点を P とする．また，A から辺BC に垂線 AR を引き，AR と BD の交点を Q とする．
次の問いに答えなさい．
(1)△ABD が，AB=AD の二等辺三角形であることを証明しなさい．
(2)△ABQ≡△ADP であることを証明しなさい．

(3.2.1)Γ∗ , A2 , A3 , A5 , G2 =⇒ A4(3.2.5)は成立しない．下図 (図 5) の場合が反例である．

図 5 (3.2.5) の反例∗

この反例から Γ ,A2 ,A3 ,¬A4 ,A5 =⇒G2 がわかり，Γ∗ ,A2 ,A3 ,A4 ∨ ¬A4 ,A5 =⇒G2 を得る．ここから，排中律によって (3.2.1) を得る．

4

Step 2-4 のよさ

図 4 問題 103 の図

この節では，step 2-4（すなわち，1 節の (∗)）のよさを
Step 1．条件「AD//BC」を分離する方法が複数あるが， 示す．2 節の手順をいくつかの問題に適用した結果から，ここでは，そのうちの 1 つを挙げて考察する．
step 2-4 には次の 2 つのよさがあるとわかる．
仮定．
(4.1) 2 つの三角形において，条件

A∗1 :△ADC がある
A∗2 :D̸=B
A∗3 :∠ADB と ∠CBD が錯角の位置にあるA∗4 :P は線分 BD 上にあるA∗5 :P は線分 AC 上にあるA∗6 :R は線分 BC 上にあるA∗7 :Q は線分 AR 上にあるA∗8 :Q は線分 BD 上にある

対応する，2 組の辺とその間にない 1 組の角がそれぞれ等しい(SSK)の意味を深く理解できる(4.2) 不要な仮定を見つけることができるまず，(4.1) を，考察 3.1 の (3.1.2) の反例と (3.1.5) の を理解できる．
(4.1.2)：(SSK)∗ を本質的に使った問題は，フィンランド証明を用いて確認しよう．
(3.1.2) の反例からは，(SSK) から 2 つの三角形は必ず の教科書 [3] にはあまり見られなかったことから，そのしも合同とはいえないことを示す具体例を導いており， 問題の材料を得ることは有益と考える．
(4.1.3)：反例は，パターン 1 とパターン 2 の組み合せを(SSK) の理解を深められる．
(3.1.5) の証明からは，(SSK) が成り立つときの 2 つの 考えれば挙げられる．
三角形の関係が，いくつかのパターンに分類されることが (4.1.4)：(3.1.5) に見られるように，この種の問題では，わかり，他の合同条件の関係を理解できる．このことを一 パターン 1 からパターン 3 までの場合分けと ∠C が直角般の形でまとめておこう．2 つの三角形 △ABC と △EFG か否かの場合分けが必要である．すなわち，(3.1.5) の種類の問題では，場合分けの考え方を育成できると考える．
において，(SSK) が成立する，すなわち，
A1 : AB = EF,
A2 : BC = FG,
A3 : ∠C = ∠Gが成立する場合を考える．このとき，B から直線 AC におろした垂線の足を D，F から直線 EG におろした垂線の足を H とおくと，
図 6 パターン 1
D ̸= C =⇒△ BCD ≡△ FGH,
BD = FH,
D ̸= A =⇒△ ABD ≡△ EFHが成立する．よって，△ABC は，上で合同とわかった 2組の三角形の位置関係と A=D か否かによって，図 6, 図7, 図 8 の 3 つのパターンに分類して考えてよい．ただし，∠C が直角または鋭角のときは，図 6 のパターンのみである．△EFG についても同様である．
図 6, 図 7, 図 8 から，△ABC と △EFG が同じパターンのときは，2 つの三角形は合同であるとわかる．このうちのパターン 3 同士のときは，(SSK) が直角三角形の合同条件になっている．また，パターン 1 同士，パターン 2 同士のときは，フィンランドの数学で教育している合同条件になっている．具体的には，次の条件 (SSK)∗ である．
対応する，2 組の辺とその間にない 1 組の角がそれぞれ等しく，その間にない残り 1 組の角が鋭角同士または鈍角同士である．
(SSK)∗
なお，パターン 1 同士で，∠C が (したがって，A3 より∠G も) 直角または鈍角のときは，残りの角が鋭角なので (SSK)∗ を満たしている．とくに，直角のときは直角三角形の合同条件も満たしている．
以上，(SSK) からわかる性質から，(SSK) のより深い意味を合同条件と関連させて理解できた．
さらに，この合同条件との関連を理解することで，次のよさにつなげることができる．

図 7 パターン 2

図 8 パターン 3
次に，(4.2) を確認しよう．(4.2) は，step 2-1 の「Gjを導くのに必要な仮定を抽出する」操作に現れるが，この操作において，不要な仮定を見つけるのに，step 2-4が有効なことがある．すなわち，step 2-4 における A′i が¬Ai とわかると，「Gj を導くのに Ai は不要」とわかる．
具体的には，考察 2.1(j = 6)，考察 2.2(j=2) の 2 つの場合は，不要な仮定を除去した結果をもとに逆命題を作っており，そこで，step 2-4 を経た過程も示している．考察
3.1(j = 6 の場合) のように，step 2-4 を経ることなく不要な仮定を見つけられそうなものもあるが，考察 3.2(j = 2の場合) のように，A4 が不要であることに気づきにくいものもある．とくに，後者の場合は step 2-4 が有効と考える．

(4.1.1) (SSK) が成立するときの，他の角の性質を理解で参考文献
きる．
∗(4.1.2) (SSK) を用いる問題を具体的に作成できる．
[1] 鈴木誠：『中学校数学科における「逆」の問題づくり(4.1.3) 「(SSK) から 2 つの三角形の合同が導びかれる」
に関する研究』．日本数学教育学会誌，第 76 巻，第への反例を挙げるしくみを理解できる．
7 号，pp. 3–10．
(4.1.4) 場合分けの考え方の訓練になる．
[2] 間宮勝己，山腰政喜：『最高水準特進問題集 数学中以下詳細を述べる．
学 2 年』．文英堂，東京，2012．
(4.1.1)：具体的には，(3.1.3) の A2 ∨A2 ′ に対応する条件∠BAC = ∠FEG または ∠BAC + ∠FEG = 180◦[3] Markku Halmetoja，他 6 名：『MATEMATIIKANTAITO 3』．WSOY，Helsinki，2006．