需要予測を考慮した 2 つの配送モードのある在庫管理の研究
M2008MM013 飯尾恭宏
指導教員：澤木勝茂

1

はじめに

本論文では需要予測を考慮した 2 つの配送モードにおける在庫管理モデルを考察する．商品の性質上，早く到着する必要のある商品と，早く到着することよりも費用を抑えたい商品がある．在庫を発注してから到着するまでのリードタイムの短い発注はコストがかかるため，リードタイムの長さに応じて発注を分けて考えることで，コストを抑えることができる．配送モードは，商品到着の早い発注 fast-order と商品到着の遅い発注 slow-order に分けて考える．
アプローチとして，第 2 章では fast-order と slow-orderの 2 パターンの配送モデルを考えたモデルを，期待総コストを最小化する目的で動的計画法を用い定式化する．解析解を求めるため，需要関数が一様分布に従うものと仮定し解析解を求める．さらに需要関数を積の形，和の形と仮定し，一様分布および指数分布の下で計算を行う．需要分布を特定化することにより，最適発注量を導出し，数値例でモデルの有用性を考察する．
第 3 章では，2 つの配送モードのある在庫管理について，異なる需要決定における最適政策の違いを一様分布および指数分布を用い考察する．需要決定は，決定因子の積の形と仮定したものをパターン 1，決定因子の和の形と仮定したものをパターン 2 として考察する．

期首に在庫状況および第 1 の需要決定因子である i1k を観測し，需要 Dk を更新，それをもとに発注量 Fk ，Sk を決定する．期末では，需要の実現値の更新および，第 2の需要決定因子である i2k を観測し，ここで Fk が到着する．また，fast-order は slow-order よりも発注費用がかかると仮定する．
期首在庫量を Xk としたとき，期首在庫量の関係式は
1 ≤ k ≤ N で次のように定義される．なお，X1 = x1 を所与とし，需要関数を Dk = gk (Ik1 , Ik2 , vk ) とする．

Xk+1 = Xk + Fk + Sk−1 − Dk= Xk + Fk + Sk−1 − gk (Ik2 , Ik2 , vk )．

期首では，期首在庫量である Xk の実現値 xk ，需要決定因子 Ik1 (確率変数) の実現値 i1k を観測することができる．これにより，需要 Dk に対して，gk (i1k , Ik2 , vk ) という需要予測を更新することができる．さらに，第 k − 1 期に決定した slow-order の発注量 Sk−1 が期末に到着することが判っているので，発注後在庫量 Yk = Xk + Sk−1 は常に判る．さらに，Fk が期首に到着することが判っているので，需要 Dk に対して有効な在庫は Xk + Sk−1 + Fkである．
期末では，需要決定因子 Ik2 (確率変数) の実現値 i2k を観測することができる．これにより，需要予測 gk (i1k , i2k , vk )を更新することができ，Xk + Sk−1 + Fk と Dk の差が2 2 つの配送モードにおける在庫管理
第 k + 1 期の期首在庫量 Xk+1 となる．また，slow-order
この章では，需要予測を考慮した 2 つの配送モードに は期首に発注して次の期末に商品が届く発注であるので，おける在庫管理モデルを定式化する．その後，需要の確 第 N 期では，slow-order はしないものとし，SN = 0 と率分布を特定化し，数値例でモデルの有用性を考察する． する．

2.1

仮定とアプローチ

商品の販売期間を複数期間 {1, 2, ..., N } とし，1 期ごとに発注をおこなうものとする．発注は 2 つのモード，fastorder と slow-order があるものとする．fast-order は期首に発注すると期末に商品が届き，slow-order は期首に発注して次の期末に商品が届く．

2.2

定式化

期首在庫量 x1 のときの期待総コストは，

J1 (x1 , s0 , i11 , (F, S)) = H1 (x1 )[N]) (1)∑( fs+E
Cl (Fl ) + Cl (Sl ) + Hl+1 (Xl+1 )
l=1となる．ただし，(F, S) = ((Fn , ..., FN ), (Sn , ..., SN )) ．
この期待総コストを最小化するため，以下の価値関数を定義する．

V1 (x1 , s0 , i11 ) =inf(F,S)∈A1{J1 (x1 , s0 , i11 , (F, S))}(2)

次に動的計画法を用いて，最適政策を示す．期待総コストは，Jn (xn , sn−1 , i1n , (F, S)) = Hn (xn )[N]) (3)∑( fs+E
Cl (Fl ) + Cl (Sl ) + Hl+1 (Xl+1 )
図 1 在庫の流れ

l=nである．よって，この期待総コストの式を最小化する価値関数は，

Vn (xn , sn−1 , i1n )= inf {Jn (xn , sn−1 , i1n , (F, S))}

(4)(F,S)∈An

式 (5)，(6) は，Û1 (q1 , i11 ) ={C1f (y − q1 ) + C1s (z − y)[]+E [H2 (y − g1 (i11 , I12 , v1 )) ]+E Û2 (z − g1 (i11 , I12 , v1 ), I21 ) }，infy≥q1 ,z≥yÛ2 (q2 , i12 )[]となる．ここで，An は F と S が作る決定領域の集合で= inf {C2f (y − q2 ) + E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 )) }ある．コストが凸関数になる基本的な在庫モデルでは，価yi≥q2値関数も期首在庫量に関して凸関数である．この事実は，となる．I21 = i12 で与えられた第 2 期の fast-order の最適需要予測に基づく二元的な配送モードの問題にも有効で発注後在庫量は，ある．
[]∂E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 ))式 (3) を，決定変数として発注量 ϕ，σ を含む動的計画
fc2 +=0(9)∂y法の式に書き直し，さらに発注後在庫量 y ，z を含む式に書き換える．このとき，発注量 ϕ，σ は，xl ，sl−1 の和に を満たす y ∗ である．一様分布を代入し，計算をおこなう．
依存することが判る．l 期の有効在庫量である xl + sl−1 ここで，を，状態変数 ql と表すことにすれば，式 (3) は次のよう[]
E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 ))に書き換えることができる．
∫ y∫ i12 + ϵa2
11f=h(y − D2 ) dD2 −p(y − D2 ) dD2Ûk (qk , i1k ) = inf {Ck (y − qk ) + Cks (z − y)ϵaϵaϵai12 − 2yy≥qk ,z≥y[](5)+E Hk+1 (y − gk (i1k , Ik2 , vk ))[]p − cf2+E Uk+1 (y − gk (i1k , Ik2 , vk )) }，であり，式 (9) について解き，β =とおけば，p+hfs(z − y){CN(y − qN ) + CN
y≥qN ,z≥y(6)[]2+E HN +1 (y − gN (i1N , IN, vN )) }．

ÛN (qN , i1N ) =inf

この 2 つの式 (5)，(6) の解を V̂k (qk , i1k )(1 ≤ k ≤ N ) とし，後ほど使用する．

2.3

一様分布

次に解析解を求めるため，需要関数が一様分布に従うものと仮定し，数値例を示す．以下のことを仮定する．
{+∞, u > 0， sf
C (u) = cs1・u，C1 (u) =0,u = 0， 1C2f (u) = cf2・u， g1 (i11 , I12 , v1 ) = 0，H1 (x) = H2 (x) = H3 (x){hx,x > 0，=−px, x ≤ 0．

1y ∗ = ϵa・(β − ) + i122(10)を得る．よって，第 2 期の fast-order の最適発注量は，
11

ϵa・(β − ) + i12 − q2 , ϵa・(β − ) + i12 ≥ q2 ，
f2∗ =22 0,otherwiseとなる．発注後在庫量が発注点よりも低い場合 (q2 ≤ϵa(β− 12 )+i12 ) のみ，第 2 期の fast-order をする必要がある．
さらに，式 (7)，(8) から需要関数が g2 (i12 , I22 , v2 ) ≤ i12 + ϵa2で与えられることより，発注後在庫量が十分に大きい(q2 ≥ i12 + ϵa2 ) なら，ペナルティコストは発生しない．
価値関数は以下のように定義できる．
ϵa
−h・i12 + h・q2 ,i12 ≤ q2 − ，2
h+p 1 2
1
 2ϵa (i2 ) + Y1 (q2 )・i2 + Y2 (q2 ),
1ϵa1V̂2 (q2 , i2 ) =q2 −≤ i12 ≤ q2 − ϵa(β − )，(11)


22


cf2・i12 − cf2・q2 + Y,


1


q2 − ϵa(β − ) ≤ i12 ．
2

ただし，初期在庫 0（x1 = s0 = 0）とする．
次に確率変数 I21 を区間 (v2 − a2 , v2 + a2 ) の一様分布とY (q ),Y (q ),Y は次のように定義する．
仮定すると，密度関数 λ2 (i12 ) は以下のように定義される． 1 2 2 2p−h h+p[Y1 (q2 ) =−q2 ，1aa](7)2ϵaλ2 (i12 ) = , i12 ∈ v2 − , v2 +．
h+ph−ph+pa22Y2 (q2 ) =(q2 )2 +q2 +ϵa，[]2ϵa28 2][2i12 ∈ v2 − a2 , v2 + a2 のもと，需要 g2 (i12 , I22 , v2 ) の条件付
hβ+p(1−β)
1Y = ϵa cf2・(β − ) +．
密度関数 ψ2 (i22 |i12 ) は，22{[]1ここで，コスト関数 G1 (z) を，, i22 ∈ i12 − ϵa, i12 + ϵa，2 1ϵa22
ψ(i2 |i2 ) =(8)[]0,otherwise
G1 (z) = cs1・z + E V̂2 (z, I21 )(12)で与えられる．ただし，0 < ϵ < 1．とし，コスト関数のグラフを書く．

2.4

数値例

パターン 1 の場合の一様分布

3.1

基本のパラメータは，h = 0.1, p = 5.3, cs1 = 1.0, cf2 =g2 (i12 , I22 , v2 ) = i12 I22 v2 ，2, a = 15, ϵ = 0.5, v2 = 50 と設定した．また，h = 0.8, p =6.2 と高くした場合 (図 2)，および ϵ = 0.3，ϵ = 0.7 とした場合 (図 3) も考察する．

[]
E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 )) =−∫ i12 + ϵa2p(y − i12 I22 v2 )y∫ yi12 − ϵa2h(y − i12 I22 v2 )

1 2dI
ϵa 2

1 2dI
ϵa 2であり，式 (9) について解くと，y∗ =ϵa(β − 21 ) + i122 − i12 v2(13)を得る．また，価値関数 Vˆ2 (z, i12 ) は，

(h + p)v2 1 3 (p − h)v2 1 2(i2 ) +(i2 )Vˆ2 (z, i12 ) =2ϵa21+Y1 (z)i2 + Y2 (z)図 2 p, h を変化となる．ただし，Y1 (q2 ) =(14)(h+p)
1ϵ2 a22ϵa {− 2 v2 q2 −q2 + 8 v2 }，(h−p)
2Y2 (q2 ) = (h+p)ϵa q2 + ϵa q2 ．

3.2

図 3 ϵ を変化

パターン 2 の場合の一様分布

g2 (i12 , I22 , v2 ) = i12 + I22 + v2 ，[]E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 ))∫ y1=h(y − i12 − I22 − v2 ) dI22ϵa1
ϵai2 − 2∫ i12 + ϵa2
1−p(y − i12 − I22 − v2 ) dI22ϵayであり，式 (9) について解くと，コスト関数 G1 (z) は z に関して凸関数で最小値が存在1することが判る．また，各コストを増やせば期待総コス(15)y ∗ = ϵa・(β − ) + 2i12 + v2
2
トは増えたことより，仮定が正しかったことを裏付けることができた．また，ϵ が高いほど，期待総コストは高く を得る．また，価値関数 Vˆ2 (z, i12 ) は，なり，コスト関数の傾きが緩やかになっていることから，
3(h + p) 1 2
一様分布の幅を決定する ϵ の仮定が正しかったことを意Vˆ2 (z, i12 ) =(i2 ) + Y1 (z)i12 + Y2 (z) (16)2ϵa味している．
v (h+p)2(h+p)となる．ただし，Y1 (q2 ) = 2 ϵa + (p − h) − ϵa q2 ，3一様分布および指数分布の下での異なる需
v2 (h+p)h−p2
Y2 (q2 ) = (h+p)}q2 + v2 (p−h)+2ϵa q2 + { 2 −ϵa2
要決定による解析解ϵa(h+p)．
8
ここで需要の決定について説明する．需要関数 Dk =3.3 数値例
gk (Ik1 , Ik2 , vk ) は，需要の決定因子である Ik1 , Ik2 (確率変数)，
1 2
パターン 2 の場合の一様分布の，期待総コストと z ∗ のvk (定数) という 3 つの要素で決めることができる．Ik , Ik
を [0,1] の確率変数であるとすると，vk の値を任意に定め 関係をグラフで示す (図 4)．
ることにより表現できる．
gk (Ik1 , Ik2 , vk ) が積の形，gk (Ik1 , Ik2 , vk ) = Ik1 Ik2 vk だと仮定すると，vk は Ik1 , Ik2 = 1 のとき，上界 (upperbound) であることが判る．一方 gk (Ik1 , Ik2 , vk ) が和の形，gk (Ik1 , Ik2 , vk ) = Ik1 + Ik2 + vk だと仮定すると，vk はIk1 , Ik2 = 0 のとき，下界 (lower bound) であることが判る．これらを踏まえ，2 通りの需要関数の決定の方法を，一様分布および指数分布の 2 通りの確率分布に当てはめ，計 4 パターンを考察する．ただし，パターン 1 を積の形，
図 4 期待総コストと z ∗ の関係パターン 2 を和の形とする．

3.4

パターン 1 の場合の指数分布

3.7

指数分布は，本来 [0, ∞] で計算するべきであるが，範囲 0 < i12 ≤ x として計算をおこない，その後，x を十分に大きくするという手順で解析解を求めることにする．
1g2 (i12 , I22 , v2 ) = i12 I22 v2 ，ψ(i22 |i12 ) = λe−λi2 ，[]E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 ))∫ x∫ y1=h(y − i12 I22 v2 )λe−λi2 dI22 di12i12 − ϵa20−∫ x ∫ i12 + ϵa20p(y − i12 I22 v2 )λe−λi2 dI22 di121yであり，式 (9) について解くと，

1 λxϵaλ(h − p)(e − 1){1 −}γ2(h + p)
cf λeλx2− 2− λx(h + p)γγy∗ =(17)を得る．ただし，γ = 2eλx − eλx v2 + λv2 x + v2 − 2λ．

3.5

パターン 2 の場合の指数分布1g2 (i12 , I22 , v2 ) = i12 + I22 + v2 ，ψ(i22 |i12 ) = λe−λi2 ，i12 − ϵa20−∫ x ∫ i12 + ϵa20p(y − i12 − I22 − v2 )λe−λi2 dI22 di121yであり，式 (9) について解き，x → ∞ とする．

lim y ∗ =x→∞ϵa(p − h) − 2cf22+ + v22(p + h)λ(18)となり，価値関数 Vˆ2 (z, i12 ) は，
111Vˆ2 (z, i12 ) = 61 e−λi2 pλz 3 + { h2 − 14 ϵae−λi2 pλ − e−λi2 i12 pλ −111 −λi2pλv2 }z 2 + {2h + ϵah− 2h+ 18 ϵ2 a2 e−λi2 pλ +2e2λ111ϵae−λi2 i12 pλ + 32 e−λi2 (i12 )2 pλ + e−λi2 i12 pλv2 −113h−λi2hpλ(v2 )2 }z + ah + 18 ϵ2 a2 h + 3h2 ϵae
λ2 − λ −hv2ϵah
λ − hv2 + λとなる．

3.6

需要決定の仕方を提案し，需要関数を積の形，和の形と仮定し，一様分布および指数分布で計算をおこなった．
パターン 1 の積の形では，一様分布，指数分布ともに妥当性を証明できなかった．パターン 1 の場合の一様分布では，コスト関数が上に凸になってしまい，パターン1 の場合の指数分布では，x → ∞ で収束せず，コスト関数も上に凸のグラフとなり，fast-order の最適発注後在庫量である y ∗ を求めるに留まった．これは最初の，需要の決定因子同士の積の形にするという仮定が現実的でないと結論付けることができる．
パターン 2 の和の形では，一様分布，指数分布ともに妥当性を証明できた．パターン 2 の場合の一様分布では，p+hVˆ2 (z, i12 ) の z 2 の係数 = (p+h)
2ϵa となり，明らかに 2ϵa > 0でコスト関数が下に凸になり最小値の存在を確認でき，数値計算も妥当な結果となった．パターン 2 の場合の指数分布では，x → ∞ で収束した．コスト関数は 3 次関数1となったが，Vˆ2 (z, i12 ) の z 3 の係数 = 61 e−λi2 pλ となり，11 −λi2pλ > 0 より，右側の極小値で最小化することがで6eきた．

4[]
E H3 (y − g2 (i12 , I22 , v2 ))∫ x∫ y1=h(y − i12 − I22 − v2 )λe−λi2 dI22 di12

数値例

パターン 2 の場合の指数分布の，期待総コストと z ∗ の関係をグラフで示す (図 5)．

考察

おわりに

本論文では需要予測を考慮した 2 つの配送モードにおける在庫管理モデルを考察した．リードタイムの長さに応じて発注を分けて考えることで，費用を抑えることができた．
今後の発展としては，補充リードタイムを 3 パターン設定し，3 つの配送モードのある在庫管理モデルに拡張，あるいは固定費用を加えたモデルに拡張することができる．また，一様分布や指数分布で解析解を求めたが，正規分布で解析解を求めることができれば，より現実に近づき，実際の現場において大きな指針となる．

参考文献[1] F. S. Hillier and G. J. Lieberman：Introduction to Operations Research，McGraw-Hill Professional，NewYork（2004）．
[2] S. P. Sethi，H. Yan and H. Zhang：Inventory Models with Fixed Costs, Forecast Updates, and Two
Delivery Modes，INFORMS，Journal of Operations
Research, Vol.51，No.2，pp.321-328（2003）．
[3] S. P. Sethi，H. Yan and H. Zhang：Inventoryand Supply Chain Models with Forecast Updates，Springer，United Kingdom（2005）．
[4] 小和田正，澤木勝茂，加藤豊：OR 入門，実教出版，東京（1994）．
[5] 早田義也：配置場所を考慮した陳腐化商品の在庫管理に関する研究，南山大学数理情報研究科修士論文，愛知（2009）．
[6] 広中平祐：現代数理科学事典，大阪書籍，大阪（1991）．

図 5 期待総コストと z ∗ の関係[7] 森村英典，刀根薫，伊理正夫：経営科学 OR 用語大辞典，朝倉書店，東京（1999）．