2016 年 1 月 18 日
2017 年 2 月 9 日 追記

2015 年 12 月一様ビームの形成と評価メモ
神原 正2015 年 12 月のビーム有償利用では、95MeV/A の Ar と 70MeV/A の Kr のイオンビームを E5A ビー
ムラインで大気中に取出し照射を行った。照射場所でビーム強度分布を一様にするため、Wobbler 電磁石と散乱体の最適条件を求め、半導体検出器でスキャンして確認した。ビームラインの配置は以下の通りである。

ビーム分布の一様化
客先の要請に基づき、試料上 50mmφの範囲で線量分布をほぼ一様にすることを目指した。上流にある垂直・水平方向の Wobbler 電磁石にそれぞれ正弦・余弦電流を流し、試料位置のビームスポットに一定半径の円軌道を描かせ、さらに金薄膜の散乱体による多重散乱でビームスポットを広げて強度分布を形成する。ビームスポットが 1 周する間に試料上の任意場所で得られる照射線量の積分値は、ビームスポットの強度分布と回転半径で決まる。ビームスポットの中心が試料上で原点を中心に半径𝑅𝑅の円周上を一周する間に中心から r の場所の照射量の積分値は、以下の図のコペルニクス的転回によれば同じビームスポットを中心から𝑅𝑅 の位置に固定して、原点を中心とする半径 r の円上で積算した照射量に等しい。

多重散乱による角度分布はガウス分布で近似できるので、線量分布はガウス分布の幅と回転半径で決まる。以下でまずその評価を行う。
回転中心を座標原点にして、ビームスポットの中心を𝑅𝑅�⃗、線量強度の測定点を𝑟𝑟⃗とする。ビームスポッ
トの強度分布をその中心からの距離𝑑𝑑 = �𝑅𝑅�⃗ − 𝑟𝑟⃗�の関数としてexp (− 𝑑𝑑 2⁄𝜎𝜎 2 ) と表す。1 周の間に測定される線量の積分値は2𝜋𝜋𝐹𝐹(𝑟𝑟) = �0exp �−2𝜋𝜋(𝑟𝑟 cos 𝜃𝜃 − 𝑅𝑅)2 + 𝑟𝑟 sin2 𝜃𝜃
𝑟𝑟 2 −2𝑅𝑅𝑅𝑅 cos 𝜃𝜃 + 𝑅𝑅 2�𝑑𝑑𝑑𝑑=�exp�−� 𝑑𝑑𝑑𝑑𝜎𝜎 2𝜎𝜎 20= exp �−2𝜋𝜋
𝑟𝑟 2 + 𝑅𝑅 22𝑅𝑅𝑅𝑅 cos 𝜃𝜃��exp �� 𝑑𝑑𝑑𝑑2𝜎𝜎𝜎𝜎 20となる。積分の中の指数関数を展開して項別積分すると= exp �−∞𝑟𝑟 2 + 𝑅𝑅 21 2𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑛𝑛 2𝜋𝜋 𝑛𝑛����� � cos 𝜃𝜃 � 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜎𝜎 2𝑛𝑛! 𝜎𝜎 20𝑛𝑛=0三角関数のべきの積分は昔高校で習った懐かしい部分積分と漸化式の応用で2𝜋𝜋

� cos 𝑛𝑛 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4 �0𝜋𝜋/20cos𝑛𝑛 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑑𝑑 =となるので、和の各項の係数を整理すると

0�2𝜋𝜋(2𝑛𝑛 − 1)‼
2𝑛𝑛‼

(odd 𝑛𝑛)(even 𝑛𝑛)∞𝑟𝑟 2 + 𝑅𝑅 21𝑅𝑅𝑅𝑅 2𝑛𝑛𝐹𝐹(𝑟𝑟) = 2𝜋𝜋 exp �−����(𝑛𝑛!)2 𝜎𝜎 2𝜎𝜎 2𝑛𝑛=0

この級数は集束が速いので数値計算が簡単である。ここでσを長さの単位にしてｒと R を𝑅𝑅0 = 𝑅𝑅/𝜎𝜎, 𝜌𝜌 =𝑟𝑟/𝜎𝜎と表して𝑛𝑛 = 5までとると

11
11(𝜌𝜌𝑅𝑅0 )8 +(𝜌𝜌𝑅𝑅0 )10 �𝐹𝐹(𝜌𝜌, 𝑅𝑅0 ) = 2𝜋𝜋 exp �−(𝜌𝜌2 + 𝑅𝑅0 2 )� �1 + (𝜌𝜌𝑅𝑅0 )2 + (𝜌𝜌𝑅𝑅0 )4 + (𝜌𝜌𝑅𝑅0 )6 +43657614400

式 1

したがって、Wobbler と散乱体による平均照射線量の径方向距離依存性の形状は、散乱体によるガウス分布の幅を単位として、Wobbler によるビーム中心の回転半径をパラメータとして表すことができる。
この式を用いた計算結果を図に示す。横軸は規格化した径方向距離 𝜌𝜌 = 𝑟𝑟/𝜎𝜎 、縦軸に線量を𝑅𝑅0 が 0.8 から1.2 までの場合に対してプロットした。

𝑅𝑅0 < 1 すなわち回転半径が分布幅より小さいときは、線量分布は中心付近で大きくなる。一方𝑅𝑅0 > 1 す

なわち回転半径が分布幅より大きいとビーム強度が回転軌道の付近に局在するので線量分布は𝜌𝜌 = 1 付近にピークを持つ。𝑅𝑅0 = 1 のとき 𝜌𝜌 の 2 次の項が 0になるので中心付近の分布は平らになるが、ρ=1 付近まで一様にするには回転半径がビームスポットの広がりに比べて少し大きい方がいいようである。

多重散乱：理論による予測
多重散乱による散乱角広がりの幅については、Bethe の論文 [1]に Molière の理論に基づく近似式があり、また LISE で angular struggling の計算ができる。ただし[1]ではガウス分布の形をexp (− 𝜃𝜃 2⁄𝜎𝜎𝜃𝜃 2 )としているのに対し、LISE で計算される angular struggling は正規分布exp (− 𝜃𝜃 2⁄2𝜎𝜎𝑠𝑠 2 ) に基づくと考えられる、したがって[1]で得られる分布幅𝜎𝜎𝜃𝜃 は LISE の計算値σ𝑠𝑠 の√2 倍である。以下の図に金の散乱体による多重散乱角の分布幅𝜎𝜎𝜃𝜃 を Bethe-Moliere の近似式（実線がありのまま、破線は実験に合うように適当に入れたらしい補正項を含む）と LISE による angular struggling の計算結果を示す。ただしガウス

分布の表記は[1]に従い、LISE の計算値には√2 を掛けている。

まず、Bethe-Moliere の近似式のありのままを用いて散乱体の厚さを選択した。照射位置のビーム強度分
布を半径 2.5cm の範囲で一様にするには、ビームスポットの分布幅σも 2.5cm 以上にする必要がある。
散乱体から照射位置まで 418.2 cm あるので、多重散乱角の分布幅𝜎𝜎𝜃𝜃 は 6.3mrad 程度が望ましい。グラフに基づきそれに近い分布幅をもつように、手持ちの金薄膜から Ar ビームに対して厚さ 73 μm、Krビームに対して厚さ 46 μm（秤量値）を散乱体として選択した。
SRIM-13 によると、この厚さの薄膜通過後のエネルギーは Ar ビームでは 90.5MeV/A、Kr ビームでは63.9MeV/A である。そこで改めて多重散乱角の分布幅を薄膜通過前後のビームエネルギーの平均値を用いて評価したところ、それぞれ 6.31 mrad と 6.42 mrad、したがって照射位置のビームスポットの分布幅の計算値はそれぞれ 26.4 mm と 26.8 mm である。
Wobbler の設定
今回のビームタイムでは、上記の Bethe-Moliere 近似式に基づくビームスポットの広がりの予想値に合わせて Wobbler 電磁石を設定した。
Wobbler 電磁石の電流値は J7 準備室の DAC で設定される。
2014 年 7 月のビームテストのときに Kapton
窓の位置の ZnS を 95 MeV/A の 40Ar17+ビーム（3.385 Tm）で光らせて測定した Wobbler による回転半径と DAC 設定値の関係（LogNote p. 42）から、最小二乗法による直線近似でDAC1（水平）; R=11.51+28.06*V、DAC2（垂直）; R=9.39+27.08*Vを得た。
[1] H. A. Bethe: Phys. Rev. 89, 1256-1266 (1953).

今回の 95 MeV/A の Ar ビームタイムでは、DAC１を 0.5619V、DAC2 を 0.6608V に設定した（LogNotep.60）。それによる回転半径の計算値は Kapton の位置で 27.3mm、試料の位置では 28.8mm となる。ま。
た 70 MeV/A の 84Kr31+ビームでは DAC１を 0.5593V、DAC2 を 0.6379V に設定した（LogNote p.44）
この設定値による Kr ビームの回転半径は Ar ビーム（3.385 Tm）と Kr ビーム（3.325Tm）の運動量比で補正して試料位置で 29mm と算出された。
測定結果
2015 年 12 月 22 日に Kr ビーム、25 日に Ar ビームに対して金散乱体を入れた状態で照射位置におけるビーム強度分布を測定した。Wobbler 電磁石 OFF で散乱体による多重散乱の効果を、ON で形成されたビーム一様性を評価した。デグレーダは外して、照射位置で半導体検出器をスライドで水平方向に横切らせて位置 5mm ごとにイオンを計数し、その値をカプトン窓（直径 60ｍｍ）の直後のシンチレータ検出器で計数した通過イオン数で規格化した。

Ar イオンの場合
12 月 25 日に行った Ar ビームの測定結果を下図に示す。
左が Wobbler なし、右が Wobbler ありで、Kapton
窓直後の大電離箱は外してある。

図の左の実線は測定値に対して最小二乗法で得た Gauss 関数𝐴𝐴exp[− (𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 ⁄𝜎𝜎 2 ]で、高さ A、幅σ、中心 c を最適化した。ただし図中白丸で表した測定点は Kapton 窓の大きさをはみ出すので最適化には含めていない。得られた幅σの最適値は 28.25mm である。同じ条件で Wobbler を動作させた場合の分布を図の右に示す。点は測定結果で、そのうち黒丸で示す幅 50mm の範囲では±10%以内で一様である。
Wobbler の回転半径が 28.8mm なので𝑅𝑅0 = 𝑅𝑅⁄𝜎𝜎 = 1.02となる。実線はこれを用いた強度分布𝐹𝐹(𝜌𝜌, 𝑅𝑅0 )の計算値である。

Kr イオンの場合
12 月 22 日に行った Kr ビームの測定結果を以下に示す。点及び実線の意味は Ar の場合と同様である。
ただし Kapton 窓直後の大電離箱は入ったままなので窓の有効直径は 50mm である。したがって 40mmの範囲の測定値に対して Gauss 関数で最適化した。

得られた幅σの最適値は 26.5mm である。
同じ条件で Wobbler を動作させた場合の分布を図の右に示す。
点は測定結果で、そのうち黒丸で示す幅 40mm の範囲では±5%以内で一様である。Wobbler の回転半径が 29mm なので𝑅𝑅0 = 𝑅𝑅⁄𝜎𝜎 = 1.10となる。実線はこれを用いた強度分布𝐹𝐹(𝜌𝜌, 𝑅𝑅0 )の計算値である。
多重散乱角の幅の比較
測定結果に最適化した Gauss 関数の幅σを散乱体からの距離 418.2 cm で割って得られる多重散乱角度
幅σは、Ar の場合 6.76 mrad、Kr の場合 6.33 mrad である。Bethe-Moliere 近似式による計算結果は
Ar が 6.31 mrad、Kr が 6.42 mrad で 7%以内で一致する。一方 LISE で計算すると Ar で 5.3mrad、Krで 5.49mrad で測定値より 15-27%小さい。2008 年の LISE より 1953 年の Bethe-Moliere 近似式の方がよく一致する。
追記 (2017 年 2 月)

Xe イオンと Au イオンの場合について

2017 年 2 月にマシンスタディとして 39.1MeV/A の 136Xe38+イオンを、また 3 月に 197Au38+イオンを利用する。Ar、Kr ビームで多重散乱角度幅を 6mrad 程度にしたので、Xe、Au イオンでも同様になるように散乱体の金薄膜の厚さを選定し、そのときの Wobbler 電磁石の設定値を推定する。
Bethe-Moliere の式によると、Au イオンでは厚さ 6μm の金薄膜による多重散乱角度が 6.8mrad で 4m下流のビーム広がり幅は 27.2mm である。Xe イオンでは厚さ 20μm の金薄膜による多重散乱角度が6.377mrad で、4m 下流のビーム広がりは 25.5mm である。
Xe イオンの Magnetic Rigidity は 3.256Tm、Au イオンは 3.218Tm である。