惑星運動シミュレータの開発
５年Ｃ組

前澤俊哉

指導教諭

末谷健志

１．要約
私は、複数物体の放物運動と衝突のシミュレーションを行う、物理シミュレータの制作に成功した。また、その制作知識を元に、惑星運動シミュレータを開発した。
キーワード

シミュレーション、斜方投射、万有引力

２．研究の背景

＜研究Ⅱ

惑星運動シミュレータ＞

学校で学ぶ物理の力学分野の各公式は、シミュレータを制作し、惑星運動のシミ簡潔ではあるものの、イメージがし辛いとュレーションを行うことにより、太陽系のいう一面を持っている。そこで、物理現象誕生を確認できる。のシミュレーションを行うことにより、より物理が理解しやすくなるのではないかと（２）研究方法考え、研究するに至った。

＜研究Ⅰ

物体衝突シミュレータ＞

物体の衝突シミュレータを C++言語を用
３．研究の目的いて制作する。シミュレータは、壁に囲ま研究Ⅰれた空間の中で物体を斜方投射し、物体と複数物体の衝突をシミュレートし、反発壁、または物体同士の衝突判定を行う。斜係数が１のとき、物体全体での力学的エネ

方投射の公式は以下の通りである。

ルギー保存則が成り立つことを確認する。

v x  v0 x ， v y  v0 y  gt

研究Ⅱ
研究Ⅰで学んだ知識をもとに、惑星運動x  v0 x t ， y  v0 y t 

シミュレータを制作し、太陽系の惑星の誕

1 2
gt
2

(v:速度、g:重力加速度、t:時間)

生をシミュレートする。
４．研究内容物体と壁あるいは物体同士の衝突後、衝（１）仮説突後の物体の速度を反発係数の公式と運動＜研究Ⅰ

量保存則に基づいて決定する。

物体衝突シミュレータ＞e  (v A  v B ) /(v A  v B )m A v A  m B v B  m A v A  m B v B

シミュレータを制作し、複数の同質量の物体が反発係数１で衝突し続けるとき、物体全体の力学的エネルギーの和が一定とな(e:反発係数、v:速度、m:質量、´:衝突ることを確認できる。

後)

また、物体全体の力学的エネルギーの和引力により軌道がずれ、他の物体と衝突すを以下の式により算出し、グラフ化する。

る。衝突後、物体は衝突してきたもう一方w  k 1 12 mk v k2  mk ghkn

(m:質量、v:速度、h:高さ)の物体を吸収し、質量を増す。その物体はまた別の物体と衝突し、さらに質量を増していく。この過程を幾重にも得ることにより、莫大な質量を持つ惑星が誕生するはず

なお、物体の XY 平面上の初期位置と初である。

速度は乱数を用いて決定した。
（３）研究の結果＜研究Ⅱ

惑星運動シミュレータ＞＜研究Ⅰ

物体衝突シミュレータ＞

研究Ⅰと同様、C++言語を用いてシミュ

物体衝突シミュレータの制作に成功したレータを制作する。シミュレータは、ある（図１）。このシミュレータでは、Δt、重一定の範囲内に大量の物体をランダムに配力加速度、物体の半径と個数、反発係数の置し、物体に初速度を与えたのち万有引力値を自由に変えることができる。の法則に基づいて各物体を運動させる。万これを用いて反発係数が１のときのシミ有引力の法則の公式は、以下の通りであュレーションを行い、横軸に時間、縦軸にる。

力学的エネルギーをとったグラフを表示し

F G

Mmr2

た（図２）。このグラフから、全物体の力学的エネルギーの和が一定となることを確認(F:万有引力、G:万有引力定数、M,m:質量、できた。また、反発係数が１未満のとき力r:物体間の距離)

学的エネルギーの和が徐々に減少し（図３）、反発係数が１より大きいとき力学的エネル

物体の初速度は、上記の万有引力の式と向心力の式を連立させて求められる。以下

ギーの和が徐々に増加することもわかった（図４）。に向心力の式と物体の初速度を求める式を示す。物体と太陽の距離が小さいほど物体の初速度は大きくなる。

F mv0 x   G S / r＜研究Ⅱ

惑星運動シミュレータ＞

実際にシミュレータを制作した（図５）。
2vryx， v0 y  GS / rrr

このシミュレータでは、物体の衝突回数を視覚的に把握するため、物体の半径を衝突分だけ変更させ、物体を表示している。
このシミュレータを用いて、約二週間を(F:向心力、m:質量、v:速度、r:太陽との距かけてシミュレーションを行った。シミュ

離、Gs:日心重力定数)

レーションの条件は図６のとおりである。
シミュレーションの結果を図７、図８、図各物体は、太陽との万有引力により太陽の周りを円運動するが、物体間に働く万有９に示す。

５．考察
＜研究Ⅰ

そのためには、物体の数を増やすことが重物体衝突シミュレータ＞要である。

シミュレーションを通じて、反発係数と力学的エネルギーの和の関係を確認できた。
ここでは、この関係について数式の面から考察したい。
反発係数の式と運動量保存則の式を連立すると、６．まとめと今後の課題
今回の研究において、複数物体の放物運動と衝突のシミュレーションを行う、物理シミュレータの制作に成功し、力学的エネルギー保存則が成り立つことを確認できた。
しかし、惑星運動シミュレータによる太陽v A  v A m A  v B mB  emB (v B  v A )/(m A  m B )v B  v A m A  v B m B  em A (v A  v B ) /(m A  m B )系の形成は確認できなかった。
今回の惑星運動シミュレータの研究では、物体の個数を２万個にしてシミュレーショとなる。この式から、 m A  m B かつ e  1ンを行ったが、物体の個数を多くすることであるとき、 v A  v B かつ v B  v A となるにより、形成される太陽系がより現実のもことがわかる。よって、全体で見た物体ののに近づくと予想される。この場合、計算運動エネルギーは変化せず、力学的エネル量が莫大になってくるため、計算量を削減ギーの和が一定に保たれるのである。

し処理速度を向上することが課題となる。

e  1 、 e  1 のときも同じように考えることができる。

７．参考文献・サイト[1]物理のエッセンス、（河合出版）＜研究Ⅱ

惑星運動シミュレータ＞

図 10 は、太陽からの距離 r を横軸に、そ[2]ゲーム開発のための物理シミュレーショ
ン入門、（オーム社）の太陽からの距離 r から r+10 の間に存在するすべての物体の平均半径を縦軸にとった

８．謝辞

グラフである。なお、グラフの横軸の単位今回の研究を指導してくださった末谷先は 10 m であり、150[Pixel]付近が地球、生とサイエンス研究会物理班メンバーに深780[pixel]付近が現在の太陽系の木星の位くお礼申し上げます。

9置にあたる。ここでは、最下部のグラフからシミュレーションで 50000 ターンごとのグラフを表示している。このグラフから、各物体は衝突を繰り返して成長しているものの、ピークは分散的であり、惑星系は誕生していないと言える。
惑星系を誕生させるためには、このグラフのピークを収束させ、さらに大きな質量を持った物体を点在させることが必要だ。

９．資料

図 1 物体衝突シミュレータ
図１

図2 e=1

物体衝突シミュレータ

図 3 e = 1.01

図 4 e = 0.99

図５

シミュレータ＜時間＞
1 ターンあたりの時間

24[h]

＜宇宙＞
サイズ 1680×1680[pixel]

10 9 m/pixel

＜物体＞
物体の質量

3.51 × 1010（イトカワと同じ質量）

図 6 条件

図 7 0 ターン目（粒子数 20000）

図 8 950000 ターン目（粒子数 5000）

図 9 1900000 ターン目（粒子数 2000）

図 10 太陽からの距離と物体の平均半径