MD－14－050
HCA－14－002

磁気飽和と鉄損特性の数学モデルに基づく同期リラクタンスモータの最大効率運転法
学生員

日吉良太*正員

野口季彦（静岡大学）

Maximum Efficiency Operation of Synchronous Reluctance Motor
Using Mathematical Models of Magnetic Saturation and Iron-Core Loss Characteristics
Ryota Hiyoshi* , Toshihiko Noguchi（Shizuoka University）
This paper describes a maximum efficiency control method of a synchronous reluctance motor taking magnetic saturation and iron-coreloss into account. The method is based on simple mathematical models of the d-axis inductance, the q-axis inductance and the equivalentiron-core loss resistance obtained by FEM analyses.
As a result, it was confirmed through experimental tests that the efficiency was improved with the proposed technique. In addition,propriety of the maximum efficiency condition was experimentally proven by a comparison between theoretical and experimentalefficiency characteristics.
キーワード：同期リラクタンスモータ，インダクタンス，磁気飽和，鉄損，最大効率(Keywords: Synchronous reluctance motor, inductance, magnetic saturation, iron-core, maximum efficiency)

1. はじめに
従来は回転子に永久磁石を有する回転機が主に AC サー
ボモータとして使用されてきたが，最近ではコスト低減と信頼性向上のため同期リラクタンスモータ（SynRM）も工作機械等に使われるようになってきている。SynRM は界磁制御を行うことができ，高速運転時の鉄損も少ないことから，フライホイールエネルギー貯蔵システムのモータ／ジェネレータとしても有望である。また，レアアース材料の価格高騰や資源確保の問題から磁石を使用しないレアアースフリーモータとしても期待される。SynRM は負荷に応じて励磁電流を制御することにより，最大効率運転や単位モータ電流あたりの最大トルク運転を実現することができる(1)(2)。筆者らはこれまで SynRM の特性検討に電磁界解析を用いておらず，磁気飽和特性しか考慮してこなかった。そこで，本稿では電磁界解析により得られた SynRM の特性に基づき，磁気飽和および鉄損特性を考慮した最大効率運転条件を数学モデルから導出し，理論的に検討するとともに，提案した手法の有効性を実機により検証した。さらに理論特性と実機による測定結果の比較を行ったので報告する。

2.SynRM の磁気飽和特性と等価鉄損抵抗特性
図 1 に鉄損を考慮した SynRM の d 軸および q 軸等価回路を示す。図中の Ra は固定子巻線抵抗，Rc は等価鉄損抵抗である。突極性をもつ SynRM は d 軸インダクタンス Ld と q軸インダクタンス Lq の差によってトルクを発生するため，磁気飽和によるインダクタンスの変動は運転特性に重大な影響を及ぼす。これらのインダクタンスを d 軸電流 id，q 軸電流 iq の自然対数を用いて(1)のように定式化する。ここで，電流に対する磁気飽和の度合いを示す値 kd，kq を磁気飽和係数と呼ぶこととし，磁気飽和モデルを簡単化するために両軸間の磁気飽和相互干渉（Cross Saturation）は無視できる

図 1 等価鉄損抵抗を考慮した SynRM の等価回路
Fig. 1. Equivalent circuits incorporating equivalent iron-core loss
resistance.

ほど小さいと仮定する。実際，後述の電磁界解析結果が示すとおり，本稿で制御対象とする供試モータは磁気飽和相互干渉を低減した設計が施されている。また，等価鉄損抵抗は運転角周波数 ω と d 軸電流 id の自然対数を用いて(2)のように定式化する。

⎧⎪ Ld = Ld 0 + k Ld ln (id )⎨ L = L + k ln (i )q0Lqq
⎪⎩ q

(1)

Rc = kω ω + k Rc ln (id ) + Rc 0

(2)

1／6

3. 最大効率励磁条件と最大トルク励磁条件の導出
図 1 の等価回路で定常状態における SynRM の電圧電流方
程式は下式により与えられる。
⎡vd − Raid ⎤ ⎡ 0− ωLq ⎤ ⎡id '⎤(3)⎢⎥=⎢⎥⎢ ⎥−vRiω
0 ⎦ ⎣⎢iq '⎦⎥La q⎦⎥ ⎣ d⎣⎢ q⎡id '⎤ ⎡id ⎤ 1 ⎡vd − Raid ⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥−⎥⎢⎢⎣iq '⎥⎦ ⎢⎣iq ⎥⎦ Rc ⎢⎣ vq − Raiq ⎥⎦=⎡ Rc
Rc⎢2Rc + ωLd Lq ⎣− ωLdωLq ⎤ ⎡id ⎤⎥⎢ ⎥Rc ⎦ ⎣⎢iq ⎦⎥Ra + Rc⎡⎢ Ra + ωLd Lq⎡vd ⎤Rc2Rc2⎢⎢ ⎥= 22⎣⎢vq ⎦⎥ Rc + ω Ld Lq ⎢ωLd⎢⎣(4)⎤⎥ ⎡i ⎤⎥ dRa + Rc ⎥ ⎢⎢iq ⎥⎥⎣ ⎦Ra + ωLd Lq⎥Rc2 ⎦− ωLq

(5)
T =

(R + ω L L )2c22d( Ld − Lq )( Rc id + ωLq iq )( Rc iq − ωLd id )q(6)(6)を用いて最大効率運転条件，もしくは最大トルク運転条件を導出すると，その運転条件は煩雑な数式となるため，トルクを(7)のように近似する。また，効率は(5)より入力電力，(6)より出力を求めることにより(8)のように導出される。
Rc2(7)
T = 2( Ld − Lq ) id iq
Rc + ω 2 Ld Lqη=

最大トルク運転条件の導出も最大効率運転条件と同様の手順で行う。(1)と(2)で表わされたインダクタンスと等価鉄損抵抗を考慮し，モータ電流のノルム i を一定に維持した条件で求める。 (7) のトルク T を最大化する励磁条件，即ち∂T ∂id = 0 を id について解くと(11)が得られる。
⎧⎪ 1 ⎛⎫L ⎞ 2k⎜ Ld − Lq + k Ld q ⎟ + Rc Ld − Lq ⎪⎬Ld − Lq + k Ld + ω 2 Ld Lq ⎨Ld ⎟⎠⎪⎩ Rc2 ⎜⎝⎪⎭
Rc3iqid = ±ω 2 Ld Lq ⎛Ld ⎞⎟⎜Ld − Lq + k Lq +Ld − Lq + k LqLq ⎟⎠Rc2 ⎜⎝(上式を扱いやすいように端子側から見た電圧電流方程式に書き換えると(5)のようになり，これより与えられるトル
ク は(6)で表される。

Rc2

4. 最大トルク励磁条件の導出)(11)
この場合も(9)と同様に収束計算を行って，iq に対する idの関係を求めなければならない。なお，従来のように磁気飽 和 と 等 価 鉄 損 抵 抗 の 特 性 を 無 視 し た 場 合（ k L d = k L q = k Rc = 0 ），単位モータ電流あたりの最大トルク運転条件を求めると，(11)は(10)のように簡単化される。これより，磁気飽和と等価鉄損抵抗の特性が無視できる理想的な場合は，単位モータ電流あたりの最大トルク運転条件と最大効率運転条件は完全に一致する。磁気飽和などの特性を考慮した場合，励磁条件(9)，(11)は異なるが，後に示すように収束計算を行った結果はほぼ同じ特性となる。

ω (Ld − Lq )id iq()⎛⎞⎜ Ra + ω 2 Ld Lq Ra + Rc ⎟ i 2 + iq2 + ω Ld − Lq id iq
d2⎜Rc ⎟⎠⎝()(8)
上式の分子は機械出力，分母第一項は銅損と鉄損を含めた電気的な損失，分母第二項は機械出力を示している。(8)において(1)と(2)で表わされたインダクタンスと等価鉄損抵抗を考慮して，効率ηを最大化する励磁条件 ∂η ∂id = 0 を idについて解くと(9)が得られる。
⎛R +R2R + R ⎞(Ld − Lq + kLd )(Ra + ω2 Ld Lq) − ω2Lq (Ld − Lq )⎜ kLd a c − kRcLd a c ⎟2
⎜Rc2
RRc3 ⎟⎠c⎝id = ±iq⎛
2R + R ⎞R +RR +R(Ld − Lq − kLd )(Ra + ω2Ld Lq a c ) + ω2Lq (Ld − Lq )⎜ kLd a c − kRcLd a c ⎟223
⎜Rc
RcRc ⎟⎠⎝Ra + Rc(9)(9)は右辺に id，iq の関数であるインダクタンスおよび等価鉄損抵抗を含んでいるため，適当な初期値（例えば id = iq）を与えて iq に対する id の収束計算を行い，条件を満足する d軸電流を求めなければならない。
なお，従来のように磁気飽和と等価鉄損抵抗を無視，即ち，d 軸および q 軸のインダクタンスの磁気飽和係数がともに 0 でインダクタンスが変動せず一定であり，等価鉄損抵抗が回転速度にのみ依存する場合は (10) のように簡単化される。（ k L d = k L q = k Rc = 0 の場合に相当する。）

i d = ±i q(10)

これは d 軸電流と q 軸電流を等しくなるように制御する
従来の最大効率運転法と一致する。

図 2 SynRM の断面図（1/4 モデル）
Fig. 2. Cross section diagram of SynRM (1/4 model).
表 1 供試 SynRM のパラメータ
Table 1. Parameters of test SynRM.

Number of poles
Number of slots
Rated power
Rated speed
Rated torque
Stator outer diameter
Rotor diameter
Axial length of iron core

412100 W
1000 r/min
0.95 Nm
100 mm
51 mm30 mm

表 2 測定された供試 SynRM のパラメータ
Table 2. Measured parameters of test SynRM.

Winding resistanced-axis inductanceq-axis inductanceIron core loss resistance

Ra = 0.173 Ω
Ld = 7.82－1.72 ln (id) mH
Lq = 2.48－0.58 ln (iq) mH
Rc = 0.00534ω－1.34 ln (iq) + 6.28 Ω2／6

5. モータパラメータの算定<5.1> インダクタンスの算定
図 2 と表 1 に検討を行った SynRM の径方向断面図と主要諸元を示す。電磁界解析によりインダクタンス Ld，Lq を求め，磁気飽和特性を確認した。ここでは，ベクトル制御された SynRM において，各軸電流に対するインダクタンス Ld，Lq をモータ数学モデルから計算する手法で算定した。この場合，インダクタンス Ld，Lq を導出可能とするため，等価鉄損抵抗は十分大きいと仮定し，鉄損を無視した場合のモータモデルを用いている。各軸電流 id，iq および各軸電圧 vd，vq から，(12)より Ld，Lq を求めることができる。
vq − Raiq⎧⎪ Ld =
ω id⎪(12)⎨⎪ L = vd − Raid⎪ qω iq⎩(a) d 軸インダクタンス(a) d-axis inductance.

以上の算定結果を図 3 に示す。低電流領域では鉄損抵抗の影響が相対的に大きくなり，インダクタンスが過小に算定されるため，当該領域の測定点は除外している。また，磁気飽和相互干渉特性も示している。同図より，d 軸インダクタンスについては磁気飽和相互干渉の影響が確認できるが，その影響は大変小さい。よって，両軸間の磁気飽和相互干渉の影響は無視でき，インダクタンスの変動を(1)を用いて表わすことは妥当であると考えられる。
<5.2> 等価鉄損抵抗の算定
等価鉄損抵抗 Rc はインダクタンスと同様に電磁界解析により算定した。q 軸電流は 0 とし，d 軸電流のみの関数となるように，鉄損 Pcore，電圧 v，電流 id より(13)から求める。
Rc =(v − R a i d )2
Pcore 2(b) q 軸インダクタンス(b) q-axis inductance.
図 3 インダクタンスの磁気飽和特性
Fig. 3. Magnetic saturation characteristics of inductance.

(13)

図 4 に d 軸電流を変化させた場合の等価鉄損抵抗 Rc の特性を示す。同図より，モータ回転数の増加とともに等価鉄損抵抗 Rc が増加するこを確認でき，線形近似できることがわかる。また，等価鉄損抵抗は回転速度のみでなく，電流に対する依存性も有しており(2)のように定式化できる。

6. 数式モデルによる理論特性<6.1> 励磁電流本方式の運転特性を確認するために数学モデルによる理論特性の検証を行った。表 2 に示す SynRM のパラメータを用いて，最大効率励磁条件である(9)，最大トルク励磁条件である(11)の収束計算を行った結果を図 5 に示す。従来の最大効率運転法と比較すると，最大効率励磁条件と最大トルク励磁条件は大きく異なり，d 軸電流が小さな値となっていることがわかる。また，提案した最大効率励磁条件と最大トルク励磁条件はわずかに異なることもわかる。通常，機械出力の最大化を考えると，最大効率運転と最大トルク運転は同一であり，励磁条件は一致しなければならない。最大トルク励磁条件は単位電流あたりのトルクが最大となる条件であり，電流が最小すなわち銅損を最小化する励磁条件である。最大効率励磁条件は銅損だけでなく鉄損も最適化する励磁条件であり，鉄損の存在により最大効率励磁条
件と最大トルク励磁条件は，わずかではあるが異なる結果になったと考えられる。また，励磁条件の導出過程において，(6)を(7)のように近似しており，この近似による影響も考えられる。

図 4 等価鉄損抵抗特性
Fig. 4. Equivalent iron-core loss resistance characteristics.

図 5 励磁電流特性
Fig. 5. Magnetizing current characteristics.
3／6

図 6 励磁電流に対するトルク曲線群と各励磁条件におけるトルク
Fig. 6. Magnetizing current and torque characteristic curves anddelivered torque corresponding to magnetizing conditions.

(a) 励磁条件：id ＝10A(a) Magnetizing condition：id ＝10A const.

<6.2> トルク特性
図 6 に 1000 r/min においてモータ電流ノルムを一定にした場合のトルク曲線群と(9)，(10)，(11)の各励磁条件における出力トルク特性を示す。最大トルク励磁条件により与えられる出力トルク特性は，トルク曲線群の最大トルクを与える頂点に正確に位置していることがわかる。最大効率励磁条件により与えられる出力トルク特性は，トルク曲線群の最大トルクを与える点からわずかに外れるが，両者はほぼ一致する。一方，従来の最大効率励磁条件はトルク曲線群の最大トルクを与える点から大きく外れており，電流ノルムが同じ場合で，提案した最大効率励磁条件と最大トルク励磁条件よりも出力トルクが小さくなる。
<6.3> 効率特性
図 7 に各励磁条件における運転効率特性を示す。比較を行った励磁条件は，id を一定（id ＝10 A）とする場合，従来の最大効率励磁条件である id = iq とする場合，そして提案法である(9)で与えられる最大効率励磁条件である。いずれの場合も，Ld，Lq は図 3 の特性，Rc は図 4 の特性をもっているものとしている。id を一定（id ＝10 A）とした場合と従来の最大効率運転法を比較すると，従来の最大効率運転法の方が，q 軸電流が小さい軽負荷で効率が高くなっていることがわかる。しかし，q 軸電流が大きい重負荷では逆に効率が低くなっている。これは図 5 の励磁電流特性からわかる
ように従来の最大効率運転法は q 軸電流が小さいときは提案した最大効率励磁条件と近い値であるが，q 軸電流が大きくなるほど，提案法の励磁条件と乖離し，むしろ id を一定とした場合の方が提案法の励磁条件と近い値となるためである。従来の最大効率運転法と提案法を比較すると，どの領域においても提案法の方が高い効率を示していることがわかる。特に，q 軸電流が大きくなる重負荷において効率の改善が顕著である。これは電流が大きくなるとインダクタスの磁気飽和の影響が大きくなり，インダクタンスの差が小さくなって出力が小さくなるからである。効率の平均値を比較すると，提案法を用いることにより，id を一定とした場合とは 11pt 効率が改善し，従来の最大効率運転法とは2.9pt 効率が改善することを確認した。

(b) 励磁条件： id = iq(b) Magnetizing condition： id = iq .

(c) 励磁条件：Eq. (9)(c) Magnetizing condition：Eq. (9).
図 7 励磁条件による効率特性の比較（シミュレーション結果）
Fig. 7. Comparison of efficiency characteristics for threemagnetizing conditions (simulation results).

4／6

図 8 実験システムの構成
Fig. 8. Experimental setup.
図 10 1000 r/min における出力トルク曲線群

Fig. 10. Output torque curves for 1000 r/min.

図 9 電流制御系のブロック図
Fig. 9. Block diagram of current control system.

(a) 1000 r/min(a) 1000 r/min.

7. 最大効率運転の実験検証<7.1> 実験システム
本稿で提案した最大効率運転法の有効性を確認するため，
表 1，表 2 に示したパラメータを有する供試機を用いて実験システムを構築した。図 8 に示すように，実験システムはマイコン（東芝製 TMPM370）を採用し全ディジタルソフトウェア制御系で構成した。負荷側には AC サーボモータを接続し，トルクセンサーを介して SynRM を直結した。
図 9 にマイコン内で処理される制御ブロック図を示す。
負荷側の AC サーボモータで速度制御を行い，供試機である
SynRM はトルク制御を行う。電流指令値に各励磁条件を与え，それ以降は通常のベクトル制御を行う。なお，PWM は三角波比較方式で行い，上下アーム短絡防止時間は 1.5 μsとし，ホールセンサによりモータの位置検出を行う。
<7.2> トルク特性
図 10 は 1000 r/min 一定で運転した場合のトルク曲線群であり，モータ電流ノルムを一定に維持しながら，d 軸電流とq 軸電流の組み合わせを変化させて計測した結果である。プロットが実験結果を示し，実線は(7)から得られた理論特性である。実験で得られたトルク曲線群は理論特性の曲線群を若干潰した形になっているが，全体として良く一致した結果が得られていることがわかる。
<7.3> 効率特性
図 11 に 1000 r/min と 1800 r/min の各励磁条件における運転効率特性の実験結果を示す。比較を行った励磁条件は理論特性と同じように，id を一定（id ＝10 A）とする場合，従(b) 1800 r/min(b) 1800 r/min.
図 11 励磁条件に対する効率特性

Fig. 11. Efficiency characteristics for three magnetizingconditions.
来の最大効率励磁条件である id = iq とする場合，そして提案法である(9)で与えられる最大効率励磁条件である。id を一定とした場合と従来の最大効率運転法（ id = iq ）を比較す
ると，従来の最大効率運転法は軽負荷では効率が改善されるが，重負荷では効率が逆に低くなっており，id を一定とした場合は，重負荷の領域で提案法の最大効率運転の効率値と近くなっている。提案法と従来法の最大効率運転法を比較すると，軽負荷では効率の改善はあまり見られないが，重負荷になるにつれて提案法は従来法を凌駕する。3 通りの励磁条件の中で提案法がどの領域においても効率が高くな5／6っており，いずれの回転速度においても同様の結果が得られた。
図 12 は回転速度を低速から高速領域まで変化させたときの実験結果である。図 12(a)に id を一定とした場合，(b)に従来の最大効率励磁条件，(c)に提案する最大効率励磁条件の効率特性を示す。どの回転速度においても同様の結果が得られ，提案法が最も高い効率となっている。図 12 の実験結果と図 7 の理論特性を比較すると，軽負荷以外ではどの励磁条件においても同様の効率特性が得られていることがわかる。理論特性は(8)から求めた特性であり，機械損が含まれていないため，軽負荷において効率が高くなっている。
実際には軽負荷領域では出力に対して機械損の割合が大きくなるため，実験結果のような特性となる。実験結果では，提案法を用いることにより，id を一定とした場合に対して7.3pt 効率が改善し，従来の最大効率運転法に対して 2.7pt効率が改善することを確認した。

8. まとめ(a) 励磁条件：id ＝10A(a) Magnetizing condition：id ＝10A const.

本稿では SynRM の磁気飽和特性と鉄損の特性を考慮した最大効率励磁条件を数理的に導出し，理論的に検証するとともに実機により従来法と提案法の運転特性を検証した。
磁気飽和と鉄損の特性を考慮することにより，励磁電流は変化し d 軸電流を従来法と比較して抑制した方が高効率化できる。2 つの従来法と比較して，提案法では負荷や回転速度によらず運転効率が改善されることを示し，数理的に導出した励磁条件により大幅な効率改善が可能であることを確認した。実機では提案法を用いることにより，従来の最大効率運転法から平均で 2.7pt 効率が改善された。また，理論特性と実験結果においてトルク特性と効率特性でよく一致した結果が得られ，数学モデルの妥当性も立証できた。

文 献
(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

N. Iiduka, T. Noguchi, “Mathematical Derivation of Excitation Condition toRealize Maximum Efficiency Operation of Synchronous Reluctance Motorand Its Experimental Verification”, PE-07-11・PSE-07-26・SPC07-51,pp.
25-30 (2007)(in Japanese).
飯塚直毅・野口季彦：「同期リラクタンスモータの最大効率運転を実現する励磁条件の数理的導出と実験検証」電学電力技術・電力系統技術・
半導体電力変換研究会，PE-07-11・PSE-07-26・SPC07-51，p.p. 25-30(2007)
R. Hiyoshi, T. Noguchi, “Maximum Efficiency Operation and Maximum
Torque Operation of Synchronous Reluctance Motor Taking MagneticSaturation and Iron Core Loss Characteristics into Account”, IEEJ Proc. IAS
Annual Conference, 3-49 (2013)
日吉良太・野口季彦：「磁気飽和と鉄損の特性を考慮した同期リラクタンスモータの最大効率運転と最大トルク運転」電学産業応用部門大会，3-49（2013）
S. Yamamoto, T.Ara, “Determination of Synchronous Reactance ofSynchronous Reluctance Motor”, 2000 National Convention Record IEEJapan, No.5-018, p.p.1761 (2001)
山本 修・荒 隆裕：「シンクロナスリラクタンスモータの同期リアクタンス測定法」電学全国大会, No.5-0.18, p.p.1761（2001）
S. Yamamoto, T.Ara, “Determination of Direct and Quadrature Axes
Inductances of Reactance Motors Taking into Account Cross Saturation”,
IEEJ Trans., Vol.123, No.8, p.p.911-917 (2003)
山本 修・荒 隆裕：「軸間の干渉を考慮したリラクタンスモータの直軸 お よ び 横 軸 イ ン ダ ク タ ン ス 算 出 方 」 電 学 論 D, Vol.123, No.8,p.p.911-917（2003）
M. Nashiki, Y.Inoue, Y. Kawai, T. Yokochi, A. Satake, S. Okuma“Improvements of Power Factor and Torque of a Synchronous ReluctanceMotor with a Slit Rotor”, IEEJ Trans., Vol.126, No.2, p.p.116-123 (2006)
梨木 政行・井上 芳光・川井 庸市・横地 孝典・佐竹 明喜・大熊繁：「スリット回転子を用いたシンクロナスリラクタンスモータの力率・トルク向上に関する検討」電気学会論文誌 D, Vol.126, No.2,P116-123 (2006)(b) 励磁条件： id = iq(b) Magnetizing condition： id = iq .

(c) 励磁条件：Eq. (9)(c) Magnetizing condition：Eq. (9).
図 12 励磁条件による効率特性の比較（実験結果）
Fig. 12. Comparison of efficiency characteristics for threemagnetizing conditions (experimental results).

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