特性変動が生じる 3 自由度 ヘリコプタのロバスト安定化
2009SE176 森川貴光
指導教員：高見勲

1(Vf (t) − Vb (t))Kf Lh(2)Jρ√(Vf (t) + Vb (t))Kf L2a + L2bλ̈(t) =−ρ(t)(3)Jλ2222
Jϵ =(Mf + Mb + Mg )(La + Lb ) + Mw (Lw + Lb ) (4)はじめにρ̈(t) =

本研究で使用する 3 自由度 ヘリコプタは非線形性の強いダイナミクスを持つことから線形化誤差が生じる. 本
研究では, この問題を解決するために近似誤差によって生じる特性変動に対してロバスト安定性を保証できる制御器を設計する. また, 機体に重りを載せることで生じる特性変動に対してもロバスト安定性を保証する.

2

制御対象とモデリング

本研究に用いる 3 自由度 ヘリコプタの簡略化した図を図１に示す. 3 自由度 ヘリコプタは前後に２つのプロペラを持つタンデムローター型のヘリコプタであり, 支持棒を介して土台に固定されている. 点 O を中心に垂直方向をエレベーション方向, 水平方向をトラベリング方向とし, 前後のプロペラを操作することでエレベーション方向の運動とトラベリング方向の運動を制御する. エレベーションの角度 ϵ(t) [rad] とピッチングの角度 ρ(t) [rad] とトラベリングの角度 λ(t)[rad] を測定し, 前プロペラと後プロペラの電圧 Vf (t)[V], Vb (t)[V] を操作することで ϵ(t),λ(t) を目標値に追従させる制御系を設計する.
Fb
Back Rotor

λ(t)
Lb

Pitch axis

ρ(t)
FfA

Travel axis
Lh(6)ここで, Vf (t) + Vb (t) の微小変動を ∆Vf + ∆Vb [V], 機体を水平に保つ入力を Vf 0 + Vb0 [V] とすると Vf (t) + Vb (t)は以下のようになるVf (t) + Vb (t) = Vf 0 + Vb0 + ∆Vf + ∆Vb(7)(3) 式は双線形性があるので平衡点の周りで線形化すると以下となる.
√(Vf 0 + Vb0 )Kf L2a + L2b
λ̈(t) = −ρ(t)(8)Jλ(7) 式を考慮し, (1), (2), (8) 式より状態空間表現を (9) 式のように示す.
{ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)(9)y(t) = Cx(t)また, A, B, C は次のようになる.

Weight

MfCounter Weight(5)Jλ =(Mf + Mb )(L2a + L2h ) + Mw L2w

Front RotorMbOJρ =(Mf + Mb )L2hε(t)Elevation axis M g0 0 0
 0 0 0
 0 0 0A=
 a1 0 0
 0 0 0
0 a2 0[]C = I3 Ø3,3LaLw
Mw

図 1 3DOF ヘリコプタの簡略図

3 自由度 ヘリコプタの非線形運動方程式をラグランジュの運動方程式を用いて導出する. 前後プロペラの質量を Mf ,Mb , カウンターウェイトの質量を Mw , 機体重心に吊るす重りの質量を Mg , 土台中心から車体までの距離を La , 機体重心からプロペラ中心までの距離を
Lh , 土台中心からカウンターウェイト中心までの距離を Lw , 土台から支持棒までの距離を Lb とし, 状態変数x(t) を x(t)=[ϵ(t), ρ(t), λ(t), ϵ̇(t), ρ̇(t), λ̇(t)]T , 入力 u(t) をu(t)=[Vf (t), Vb (t)]T とする. 導出した非線形運動方程式を平衡点で線形化すると次の式が得られる.
(Mf + Mb + Mw + Mg )Lb gϵ(t)Jϵ√(Vf (t) + Vb (t))Kf L2a + L2b+Jϵ(Mf + Mb + Mg )La g − Mw Lw g−Jϵ100000010000
00
 00  01 ,B =  b10  b30 0000 0 
(10)b2 b4 0(11)(Mf + Mb + Mw + Mg )Lb gJϵ√(Vf 0 + Vb0 )Kf L2a + L2ba2 = −Jλ√Kf L2a + L2bKf Lh
b1 = b2 =, b3 = −b4 =JϵJρ
a1 = −3

制御系設計

3.1

システムの拡大系

本研究では出力を目標値に追従させるために制御ループ内に積分器を付加した. 状態変数の拡大系 xe (t)∫∫を xe (t)=[ϵ(t), ρ(t), λ(t), ϵ̇(t), ρ̇(t), λ̇(t), ϵdt, λdt]T とϵ̈(t) =−(1)するとシステムの拡大系は次式となる.

3.2(12)

4(13)

(14)

行列ポリトープ表現

モデリングの際, (8) 式のように入力 Vf (t) + Vb (t) を機
体を水平に保つ入力 Vf 0 + Vb0 として近似を行った. しかし, 入力は定常値ではなく変動してしまい, Vf (t) + Vb (t)と Vf 0 + Vb0 に誤差が生じてしまう. そこで今回は, 入力
Vf (t) + Vb (t) と Vf 0 + Vb0 の誤差により生じる特性変動に対してロバスト安定性を保証する. また, 車体重心に重りを載せた場合に起こる特性変動に対してもロバスト安定性を保証する. 入力 Vf 0 + Vb0 の変動範囲を 10.4[V]≤(Vf 0 + Vb0 ) ≤ 44.0[V] とし, 行列ポリトープ集合 [2] を用いて表すと以下になる.

シミュレーションと実験

ϵ(t) = 15[deg] かつ Mg = 0.00[kg] の場合, ϵ(t) =15[deg] かつ Mg = 0.15[kg] の場合, ϵ(t) = −10[deg]かつ Mg = 0.00[kg] の場合, ϵ(t) = −10[deg] かつMg = 0.15[kg] の場合で, トラベリングを目標値 λ(t) =−120[deg] に追従させるシミュレーションと実験結果を図2, 図 3 に, シミュレーションと実験結果の比較を図 4 に示す.
50

Traveling angle[deg]x˙e (t) = Ae xe (t) + Be u(t)
[][]
A
Ø6,2B
Ae =, Be =−Ce Ø2,2
Ø2,2[]
1 0 0 0 0 0
Ce =0 0 1 0 0 0状態フィードバック形式のコントローラを u(t) = Kx(t)とし, フィードバックゲイン K は K = Y X −1 とする.

0−50

−100−1500

Traveling angle[deg]また, 重りの質量 Mg の変動範囲を 0[kg]≤ Mg ≤ 0.15[kg]とすると Mg は以下のように表される.

0と定義し, 評価関数 J の最小化を行う. 評価関数 J を最小化する LMI 条件は以下のようになる.
He [Aek X + Bek Y ]XYT
X−Q−1O  ≺ 0 (18)
YO−R−1(k = 0, 1, 2, 3)[ZI]
I≻ 0, γ − trace(Z) > 0X(19)P = X −1 < Z, Y = KX, J < γ

110100303540−50−1005101520
Time[s]

25303540

図 3 トラベリングの実験結果
Traveling angle[deg]Input
Measure,Elevation=15[deg]Weight=0.00[kg]Simulation,Elevation=15[deg]Weight=0.00[kg]0−50−100−15001020Time[s]3040

図 4 トラベリングのシミュレーションと実験結果の比較
図 2, 図 3 より, 各場合において安定した応答を示し, 特性変動に対するロバスト安定性を確認することができた.
また, 図 4 より, シミュレーションと実験結果も十分一致していることが確認できる.

5

おわりに行列ポリトープ表現を用いたロバスト LQ で特性変動に対するロバスト安定性を実験で確認することができた.
また, シミュレーションと実験結果が十分一致することから信頼できる数学モデルを導出したといえる.

[1] 川田昌克 : MATLAB/Simulink による現代制御入門
森北出版, 東京, 2011.

また, 重み行列 Q, R を以下のように定める.
1025

参考文献

ただし,

Q = diag [ 10 1 10R = diag [ 0.1 0.1 ]20Time[s]Input
Elevation=15[deg]Weight=0.00[kg]Elevation=15[deg]Weight=0.15[kg]Elevation=−10[deg]Weight=0.00[kg]Elevation=−10[deg]Weight=0.15[kg]50

ロバスト LQ 制御

本研究は, 最適レギュレータ問題 [1] の可解条件を LMI条件で表現し, 行列ポリトープ表現を用いることでロバス
ト安定化制御器を設計する. (15) 式で与えられた状態方
程式に対し, 評価関数 J を∫ ∞J=(x(t)T Qx(t) + u(t)T Ru(t))dt(17)150−1500(16)(15), (16) 式 の 行 列 ポ リ ト ー プ 集 合 を 用 い て シ ス テ
ム 行 列 Ae の 端 点 を Ae0 ,Ae1 ,Ae2 ,Ae3 , Be の 端 点 をBe0 ,Be1 ,Be2 ,Be3 とする.
3.3

1050(15)

Mg ∈ [Mg,min , Mg,max ] = [0, 0.15]5

図 2 トラベリングのシミュレーション

Vf 0 + Vb0 ∈ [Vf 0,min + Vb0,min , Vf 0,max + Vb0,max ]= [10.4, 44.0]

Input
Elevation=15[deg]Weight=0.00[kg]Elevation=15[deg]Weight=0.15[kg]Elevation=−10[deg]Weight=0.00[kg]Elevation=−10[deg]Weight=0.15[kg]

0.6 ] (20)(21)[2] 蛯原義雄：LMI によるシステム制御
森北出版, 東京, 2012.