フレキシブルアームに対する H2 制御によるロバスト安定化
2009SE156 松井佑介 2009SE165 三輪有弘
指導教員

陳幹(1), (2) 式より以下の式が得られる.

1 はじめにKstif f = ωc2 Jload

産業用ロボットなどに用いられているロボットアーム(3)の高速化や省エネ化といった要求に対し, アームは軽量であることが望ましい. しかし, 軽量化を行うことにより3 オイラー・ラグランジュの運動方程式

アームの剛性が低下し, それまで起きなかったたわみや振. 単純化したモデルに対してオイラー・ラグランジュの動が発生してしまう問題がある. これらはロボットの性能運動方程式を用いてシステムのモデリングを行う. オイ低下に繋がるため, それを制御によって抑制する必要があ

ラー・ラグランジュの運動方程式とは, システムを完全にる. 本研究はフレキシブルアームの質量の変化によって生表す独立な一般化座標 qi (i = 1, 2, …, n) と, 一般化座標にじる, プラントの慣性モーメントの変動に対して, H2 制働く力やトルクを表す一般化力 τi (i = 1, 2, …, n) によっ御によるロバスト安定化を行うことである. 本来, ロバスて構成され, 運動エネルギー T, 位置エネルギー U, 損失

ト性を持たない H2 制御にロバスト性を持たせることで,エネルギー D を一般化座標 qi とその時間微分 q˙i の関数特性変動が起こったときでも正確に目標値に収束させるで表し, これを用いてような制御を行う.

∂T∂U∂Dd ∂T()−++= τi (i = 1, 2, …, n)
dt ∂ q˙i
∂qi
∂qi
∂ q˙i

2 モデリング(4)によってシステムの運動方程式が求める手法である.

2.1

フレキシブルアームについて

3.1 フレキシブルアームへの対応

アーム部の重みが薄く, 軽量化したロボットアームの単オイラー・ラグランジュの運動方程式をフレキシブル純モデルである. そのため剛性が低く, アームの振る舞いアームに適用するため, 位置エネルギー, 運動エネルギー,は非常に振動的である. フレキシブルアームの制御量は損失エネルギーを求める.

アームの先端の角度であり, 操作量はアームにギアを介・位置エネルギーして取り付けられたモータの電圧である. また, 検出量

1Kstif f α22(5)11Jhub θ̇2 + Jload (θ̇ + α̇)222(6)U=はアームの根元の角度とアームのたわみの角度となっている.

2.2・運動エネルギー
単純化モデルによるモデリングT =このモデルはトルクがモータと繋がっている hub(モータ) の部分にのみ働き, load(先端) は根元との間に繋がれ・損失エネルギーたバネの力のみによって運動する. トルクを加えた時 hub

D=は θ だけ回転し, load はそこから更に α だけ回転する.
よって, γ= θ + α が終点の絶対的な角度となる.

1Beq θ̇22(7)一般化座標は θ と α の二つであり, 一般化力をトルク τ

この角度がアームの先端角に相当する. Jload は load の慣性モーメントであり,Kstif f はモデルの剛性に相当するとする. よって (4) 式よりオイラー・ラグランジュの運動方程式 (16),(17) を得る.

バネ定数であるとすると, 以下の式が得られる.

Jload α̈ = −Kstif f α(1)減衰固有角周波数 ωc と α の間には常に以下の関係が成立

Jhub θ̈ + Jload (θ̈ + α̈) + Beq θ̇ = τ(8)Jload (θ̈ + α̈) + Kstif f α = 0(9)Kstif fBeq1α−
θ̇ +τJhubJhubJhub(10)上式よりする.

α̈ = −ωc2 α(2)θ̈ =α̈ = −Kstif f (Jload + Jhub )Beq1α+θ̇ −
τ
Jload JhubJhubJhub(11)5 減衰固有角周波数
フレキシブルアームのアーム部をしっかりと固定し, そよってシステムの運動方程式が得られた. しかしながの状態でアームに適切な初期値を与えて離す. アームはら, 実際に制御するにあたり, 直接操作できるのはトルク振動をしながらゆっくり減衰するので, その波形を計測すではなく, モータに与える電圧である. そのため, モータる. 計測した波形より周波数を測定し, その周波数を 2πに与える電圧 V と τ との関係を求める必要がある. ここ倍したものが, 減衰固有角周波数となる.

で, 電機子回路入力電圧を V, 電機子回路電流を Im , 電機5.1 減衰固有角周波数の測定

子抵抗を Rm , 電機子インダクタンスを Lm とする. Eemf
をモータの逆起電力, 逆起電力係数を Km とし, トータルギア比を Kg とする. また, モータのトルクを τm , トルク定数を Kt , モータ効率を ηm とすると以下の式を得る

減衰固有角周波数は, 同定実験を行って測定する. 具体
的な手順は以下の通りである.

1. フレキシブルアームのアーム部を取り外し, 校正台に取り付ける.

2. 校正台に取り付けた状態でアームを適切な初期値をηm Kt (V − Km Kg θ̇)τm =Rm(12)

与えて離す. アームは振動をしながらゆっくり減衰するので, その波形を測定する.

これはモータのトルクであり, hu には負荷ギアを介しているため, hub に与えるトルクを計算する必要がある.

上記の方法によって減衰固有角周波数は,重りなしの時

モータのトルクと hub に与えるトルク τ の関係式は以下の通りである.

ωc = 20.074(19)ωc = 9.2946(20)ωc = 7.0637(21)50g の重りの時τ = ηg Kg τm(13)100g の重りの時

ただし,ηg はギアボックス効率であり, モータに与える電圧と hub に与えるトルクは以下の通りである.となった.

τ=ηg ηm Kt Kg (V − Km Kg θ̇)
Rm

(14)

6 細い一様な棒の慣性モーメント
全質量を M , 棒の長さ L, 面密度 λ, 微小線素片 ds, 線4 システムの状態空間表現

素までの距離を s とする. λ= M
L であるので, 棒の慣性モーメント Jload はシステムの状態ベクトル x をx=[θαθ̇α̇∫ L]T(15)とすると制御入力を u とした状態空間表現は以下のようになる.

Jload =0M L21λs2 ds = λ L3 =33(22)数値を代入すると重りなしの時

Jload = 0.0031
00
00
Kstif fdotx =  0Jhub
Kstif f (Jload +Jhub )0 −Jload JhubB=

y=[10
Beq Rm +ηm ηg Kt Kg2 KmJhub
Beq Rm +ηm ηg KtKg2 Km
Jhub

−

00
ηm ηg Kt Kg
Jhub Rmη ηg Kt Kg− mJhub
Rm

1

10
u
]
0 x

(16)

(17)

(2.3)
 式より
0
Kstif f = 1.0913
1x0今回, アームに重りをつけてシミュレーション, 実験を0行う為, それをふまえて慣性モーメントを導出する. 重りの質量を m とすると, 慣性モーメント Jload はJload =1
M L2 + mL23

数値を代入すると

50g の重りの時(18)

Jload = 0.0132(23)

(2.3) 式より

表1

Kstif f = 1.1370
100g の重りの時
Jload = 0.0031(2.3) 式よりKstif f = 1.2674
Kstif f は, バネ定数であるため, 重りを付けていない時と50g の重りを付けた時,100g の重りを付けた時の Kstif fの平均の値を今回の Kstif f の値として扱っていく.

Kstif f = 1.16523

Jhub は load の慣性モーメントとギアとモータの慣性モーメントの和となり, ギアの慣性モーメントはギアを一様な円盤として計算する.
全質量を M , 面密度 σ とする. 半径 r と r + dr で囲まれる微小面積素片を ds とする. 円盤の慣性モーメント I
は (4.11)(4.12) 式より下式になる.

I=∫ a
2πσ ｒ3 dr =dI =0M a22(24)

よ っ て,24 歯,72 歯,120 歯 の 慣 性 モ ー メ ン ト

J24 ,J72 ,J120 の慣性モーメントはそれぞれJ24 = 1.0081 × 10−7(25)J72 = 5.4435 × 10−6(26)J120 = 4.1835 × 10−5(27)モータとアームの間には 24 歯と 120 歯のギアを一枚ずつ, 72 歯のギアを二枚介している. トータルギア比 Kg はKg = Kgt × Kge = 70 である. また,Jhub はギアとモータの慣性モーメントの和となるのでJhub = J24 +2 × J72 +J120 +Kg2 × Jmotor × ηg = 0.0018(28)7.1

パラメータの決定

7.1.1

各種パラメータ

7.2

変動パラメータ

今回アームに重りをつけることによって, アームの質量が変わる. パラメータの中でアームの質量がかかわってくるパラメータはアームの慣性モーメント Jload であることがわかった. よって変動パラメータは Jload であると考える. ここで, 状態方程式を導出する.

各種パラメータ

Description
アーム長
アーム重量
モータトルク定数
モータ逆起電力定数
モータ電機子抵抗
ギアボックスの効率
モータ効率
モータ慣性モーメント
遊星ギア比
ギア比
アーム粘性摩擦係数
ギア（２４歯) 重量
ギア（７２歯）重量
ギア（１２０歯）重量
ギア（２４歯）直径
ギア（７２歯）直径
ギア（１２０歯）直径
重りの重量
重りの質量

Value[Unit]
20 × 10−2 [m]65[g]0.00767[Nm/A]
0.00767[V/(rad/s)]
2.6[Ω]
0.9
0.69−73.9001 × 10 [kgm2 ]145
0.004[Nm/(rad/s)]
5[g]
30[g]
83[g]
0.5 × 2.45 × 10−3 [m]−3
1.5 × 2.45 × 10 [m]
2.5 × 2.45 × 10−3 [m]129[g]
69[g]7.3 重りなしの時

7 一様な円盤の慣性モーメント∫SymbolLMKtKm
RmηεηmJmoter
Kgi
KgeBeqm24
m72
m120
r24r72r120
m1m2

Jload = 0.0031 Kstif f = 1.2674 ωc = 20.074
0010
0001
ẋ =  0 1774.2 −277.7985 0 x
0 −0.007 277.7958 0

0

0

+ 488.9976 u−488.9976[]
y= 1 1 0 0 x

(29)

(30)

7.4 アームの先端に５０ｇの重りを付けた時
Jload = 0.0132 Kstif f = 1.1370 ωc = 9.2946
00100001ẋ = 
 0 186.1636 −277.7958 0 x
0 −0.0008 277.19685 0
0
0+
 488.9976 u−4889976[]= 1 1 0 0 x

(31)

(32)

7.5 アームの先端に１００ｇの重りを付けた時
Jload = 0.0219 Kstif f = 1.0913 ωc = 0.0219

0010
0001
xẋ = 00.2518−277.7958 0 0 0.0000009869 277.7958 0
0

0

+
(33)
 488.9976 u−488.9976[]= 1 1 0 0 x(34)

8 制御系設計

9 シミュレーション結果

出力を目標値に追従させるため, 制御ループ内に積分器第 5 章で設計したコントローラを用いて, 重りを付けてを 1 つ付加した拡大系を用いる. 本報告ではモデル化誤差

いない時,50g の重りを付けた時,100g の重りを付けた時のうちアームの慣性モーメントの値に着目する. アームのの 3 通りのシミュレーションを行った. このゲイン K を

慣性モーメント Jload の範囲は 0.0031 ＜ Jload ＜ 0.0219

用いて, シミュレーションを行った結果を表したグラフがである. 運動方程式中の Jload の不確かさを構造的に抽出次のグラフである.

し, 不確かさの上下界の範囲においてロバストな制御系設1計を試みる.Jload は行列 A に存在する. 行列 A, 行列 B は[AT =04 × 10A−C][, BT =0B]
(35)

0.8

角度(rad)以下のように表現できる.

重りなしの時50gの重りの時
100ｇの重りの時

0.60.40.200

ロバスト H2 制御に対する一般化制御系を以下の式と定246810時間(s)義する.

Ed x˙d = Ad xd + Iω + Bd u(36)z2 = C2 xd + D2 u(37)[][ 1][]0 0BTQ2 0
Bd =, C2 =, D2 =100 00 R2(38)式 () 中の Q,R はそれぞれ状態変数に対する重み行列, 入力に対する重み行列である.Jload の不確かさが下界であるときの Ad を Ad1 , 上界であるときを Ad1 とする. 式 ()を不確かさの上下界の範囲において安定化し,H2 ノルムを最小化する状態フィードバックゲイン K を求める LMI

図1グラフより, 重りを変えた場合でも重りがない場合でも近似したシミュレーション結果が得られた為, 実験に移った.

10 実験結果
シミュレーション結果より, 同様に 3 通りの実験を行った. その結果を表したグラフが次のグラフである.

は式 ()-() となる

minimize : γ

シミュレーショングラフ

1(39)subject to : X > 0[[He (Ai X + BY ) BωBωT−IX
CX + DY(40)](CX + DY )Ws

T race(Ws ) < γ 2<0(41)角度（rad）

0.80.6

重りなしの時50gの重りの時
100gの重りの時

0.40.2]
T>0(42)

002

46
時間（ｓ）

図2(43)

810実験グラフ(i = 1, 2)
式 ()-() を満たす X,Y を得ることで, 所望のフィードバッ
クゲイン K は以下の式で与えられる.

K = Y X −1

グラフより, 重りを変えた場合でも重りがない場合でも近似した実験結果を得ることができた.

(44)

式 () の重み行列 Q,R に対して式 ()-() の LMI を解いた
結果, 式 () のような状態フィードバックゲイン K が得られた.

Q = diag(1000, 100, 1, 1, 10000), R = 80
(45)[]
K = −7.4554 7.3802 −1.8427 −1.6222 11.1803(46)

11 終わりに
参考文献[1] 井上和夫＝監修 川田昌克＋西岡勝博＝著: 『MATLAB/Simulink によるわかりやすい制御工学』森北出版, 東京,2001.

[2] 川田昌克著: 『MATLAB/Simlink による現代制御入門』森北出版, 東京,2011.

[3] 蛯原義雄著: 『LMI によるシステム制御』森北出版,
東京,2012.

[4] 水戸健詞: 最適レギュレータによるフレキシブルアー
ムの制振制御, 南山大学数理情報学部 2010 年度卒業論
文 (2012).