第 4 回数学教育セミナー「TeX による教材開発」
MePoTeX(Ver4.50)の新機能とグ
ラフ描画

第 4 回数学教育セミナー「TeX による教材開発」

MePoTeX(Ver4.50) の新機能とグラフ描画

梅野善雄

MePoTeXとは？
MePoTeX の新機能

梅野善雄
元一関工業高等専門学校

画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

March 5, 2022

目次
第 4 回数学教育セミナー「TeX による教材開発」
MePoTeX(Ver4.50)の新機能とグ
ラフ描画
梅野善雄

MePoTeXとは？
MePoTeX の新機能
画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

1 MePoTeX とは？
2 MePoTeX の新機能

画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算
1・2 階微分方程式の解曲線
3 空間グラフの描画

n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラクター
球面調和関数空間のアフィン変換

MePoTeX とは?
第 4 回数
学教育セ
ミナー「TeX による教材開発」
MePoTeX(Ver4.50)の新機能とグ
ラフ描画
梅野善雄

MePoTeXとは？
MePoTeX の新機能
画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

MetaPost は，Metafont のフォント描画機能で図版生成．
TEX の中で利用できる eps ファイル (=mps) を生成．
John D.Hobby 氏により作成される (1990)．
マクロパッケージ「MePoTeX」を利用すると，▶ TEX から MetaPost を呼び出して，▶ 図 (mps) を作成し，▶ その図を TEX に組み込むことができる．

2000 年に「みなも」氏により Ver1.00 が発表され，今年 (2022 年) の 1 月には，Ver4.50 に更新された．
emath と類似のコマンド．曲面描画のみならず，微分方程式の解曲線，パラパラ漫画も作成可能．
「\usepackage{mepotex}」を組み込むと，\begin{MPpic}・・・\end{MPpic}内にコマンド記述．
\sendMP{・・・}内には MetaPost のコマンド記述．

MePoTeX の出力サンプル
第 4 回数
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ミナー「TeX による教材開発」
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MePoTeX の新機能
画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ主要な基本図形や実験部品等が多数マクロ化されているので必要なパラメータを記述するだけで済む．

MePoTeX を利用したグラフ描画例
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MePoTeX の新機能
画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

・5 | 1：−1 ≤ x, y ≤ 5・￥mpt・・
・：TeX マクロ・￥sendMP：MetaPost
・xdraw：MPT マクロ・InSecPoint：交点
・ExtLine：2 点を結ぶ
・Pline：軸に垂線
・Tanten：黒丸描画

MePoTeX(Ver4.50) の新機能
第 4 回数
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画像ファイルの格納先の指定
外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

MePoTeX は 2022 年 1 月に Ver4.40 から Ver4.50 に更新され，次のようなマクロが新設された．
\mptSaveDir{フォルダー名}
画像関連ファイルをサブフォルダーに格納する．
フォルダーは事前作成し，プリアンブルで指定する．
zz:=ReadCSV{ ファイル名 }{ 変数 }csv, tsv ファイルを外部ファイルとして読み込む．
zz には (列数, 行数) が，変数 v の値は v[列][行] で参照．
S:=MvSdvCov(列 1)(列 2)(集計範囲)
平均・標準偏差・共分散・相関係数，6 個の値を求める．
S は transform 宣言された変数，6 個の値を保持．
回帰直線のパスは，linear(regression(t)(S)) により取得．
rungekutta(F(u,t))(始点, 終点, 刻み幅)(初期値)
dud 2u′dt = F (u, t), dt 2 = G (u, u , t) の解曲線のパスを取得．

外部ファイルの読込みと回帰直線の描画
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ・pair：2 次元の変数宣言．
・transform：6 値を保持
・ypart：zz の後半の値
・shifted：平行移動
・w,h：横, 縦の単位
・linear：直線のパス値

2 階微分方程式の解曲線の描画例
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2 階微分方程式 y ′′ − 2y ′ + y = 0, y (0) = 0, y ′ (0) = 1 の解は，y = xe x である．y ′′ = 2y ′ − y で，y , y ′ を u, v に置き換える．
安全のため，倍精度で計算した方が良い．

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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ・x 軸のラベルは x を矢印の左側 (l)に配置して 1mm 右に移動する．

・￥mptNumSys{double}
倍精度にする・ClipPATH：指定領域内のパスを取得

n 質点系の運動方程式
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n 質点系の運動方程式をルンゲクッタ法で求めるマクロとして「RungeKutta」がある．位置ベクトルを qi (1 ≤ i ≤ n) とし，MePoTeX(Ver4.50)の新機能とグラフ描画
梅野善雄

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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラdqi= pi ,dt

dpi= fi (q1 , q1 , . . . , p1 , p2 , . . . , t)dtの数値解を求める．たとえば，2 つのバネに繋がれた重りが満たす運動方程式を解いて，解軌道のパラパラ漫画化も可能．
pi だけを用いることで，1 階連立の場合にも対応可能．ローレンツアトラクター
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

気象学者ローレンツは，大気の熱対流現象の解析モデルとして非線形微分方程式を提案した (1963 年)．

dxdydz= a(y − x),= bx − y − xz,= xy − czdtdtdt
8のときに，原点で初速度 (6, 9, 20)3を与えた場合の解が，よく提示されている．
a = 10, b = 28, c =x, y , z を，p1, p2, p3 に置き換えて定義する．
ルンゲクッタ法で数値解を求めることができても，MetaPost には空間の点を結んでパスを得る機能はない．
そこで，MePoTeX では，得られる数値解から空間の点(x, y , z) を再構成し，それを視点が定められた平面上に射影した点を結ぶことで解曲線のパスを得る。

ローレンツアトラクターとパラパラ漫画
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外部ファイルの読込みと統計計算

1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ・パラパラ漫画に必要な記述は\mptparapara, \mptgetkoma, \repeat,
そして，任意コマでの記述に必要な変数 tm
・SetProjDir は，視点の方向を定める．
blue=(0,0,1) の方向を上方向とする．
・projpath は，空間の点を平面に射影し，平面上のパスとして再構成するマクロ．

(パラパラ漫画)

球面調和関数とは？
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

ラプラスの方程式 ∆ψ = 0 を球座標 (r , θ, ϕ) に変換して
ψ = R(r )Y (θ, ϕ) と変数分離．Y (θ, ϕ) は次を満たす．

[1 ∂sin θ ∂θ(∂sin θ∂θ)]
1 ∂2+ 2Y (θ, ϕ) = −λY (θ, ϕ)sin θ ∂ϕ2

この解は，ルジャンドル培関数 Pℓm (x) を用いて表される．
(ℓ, m は，|m| ≤ ℓ を満たす整数)√√m+|m|
2ℓ+1(ℓ − |m|)! |m|Yℓm = (−1) 2P (cos θ)e imϕ4π(ℓ + |m|)! ℓℓ+mm d1Pℓm (x) = ℓ (1 − x 2 ) 2 ℓ+m (x 2 − 1)ℓ2 ℓ!
dx

Yℓm は，球面上の関数に対して完全正規直交系をなす．

球面調和関数による級数展開
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ラフ描画

f (θ, ϕ) =∫ 2π∫ πaℓm =0∞ ∑ℓ∑aℓm Yℓm (θ, ϕ)ℓ=0 m=−ℓ∗f (θ, ϕ)Yℓm(θ, ϕ) sin θ dθ dϕ0

梅野善雄

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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

・個々のグラフに係数をつけて合計して，いろいろな形状表現．
・ℓ = 10 までの展開で概形再現．係数は 112 = 121 個で済む．

球面調和関数の利用例
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

球面調和関数は，球面上のフーリエ解析として多くの分野で利用されている．
ラプラシアンを含む方程式の解を表すために必要
シュレディンガー方程式，波動方程式，熱伝導方程式，拡散方程式等
球体上の現象を表現する関数としての利用(地球上の重力，磁気，いろいろな気象要素等)
球体状の物体の形状表現や評価としての利用
鋼球の形状，惑星・恒星等の形状等
あらゆる方向からの情報の表現手段としての利用(3 次元 CG，音の解析, 宇宙マイクロ波背景輻射等)
膨大な情報の圧縮手段としての利用(人体臓器の形状, 3 次元 CAD の画像表示等)

MePoTeX による球面調和関数のグラフ
第 4 回数
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球面調和関数で例示されることが多いのは，Y20 である．
√1
1 50
20
P2 (x) = (3x − 1) =⇒ Y2 =(3 cos2 θ − 1)
24 π

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1・2 階微分方程式の解曲線

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・左から順に，Y20 , Y30 , Re(Y32 )・Expi(s,t) は，緯度 s ，経度 t の方向の単位ベクトルを返す．
・裏側から順に描く必要がある．

空間のアフィン変換
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空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
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平面上のアフィン変換は，x, x′ , p を 2 次の列ベクトル，A を 2 次正方行列として，x′ = Ax + p により定義され,MetaPost では，A, p の値は transform 値に格納される．
平面上のアフィン変換で A, p を求めるには，▶ 個々の 6 つの値を具体的に指定する．
▶ 3 つの点の対応関係を解いて値を決定する．
▶ 幾つかの対称移動・平行移動等を組み合わせて定義する．

MetaPost には空間のアフィン変換の機能はないが，MePoTeX には平面と同様の形で変換するマクロがある．
空間の 4 点の対応関係を定めることで A, p を定める．
▶ 新たな変数宣言として「newTranform」がある．
▶ その宣言をされた変数 (var) を利用すると，指定した 4 点の対応関係から連立方程式を解くマクロ var.s と，得られた 12 個の値をパス値で保持する変数 var.p がある．
▶ 連立方程式の解が確定すると，その値を元にした変換は「Transformed var.p」により実現できる．

空間のアフィン変換の例
第 4 回数
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラ

1倍，z 方向に 2 倍，2(2, 1, 0) 方向に平行移動．
・color は 3 次元の変数宣言．
・var は空間での transform 変数
・var.s で変換係数を求める．
・その変換係数を var.p に保存．
・c[i] は破線直方体の頂点．
・cc[i] は変換後の新頂点．
・drawBrick で新頂点を結ぶ
・x 方向に

数ナビの部屋
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1・2 階微分方程式の解曲線

空間グラフの描画
n 質点系の運動方程式
ローレンツアトラhttps://yunavi.lsv.jp/

もともとはグラフ電卓絡みで開設した Web サイトであるが，数学関係のページが増えてきて，現在は下記のようなページで構成される．関心を持たれた方はご笑覧いただきたい．
グラフ電卓に関する解説 (TI-89, TI-Nspire CAS)．
いろいろなリンク集 (数学学習，ベキ分布等)．

Maxima に関する解説．
R に関する解説．
TeX に関する情報．
emath に関する解説．
gnuplot に関する解説．
MePoTeX に関する解説．
https://yunavi.lsv.jp/mepotex.html