回帰分析の理論とその応用に関する研究− ロジスティック回帰を中心にして −2009SE291 上嶌晃司
指導教員:木村美善

1

確率 p(xi ) は yi の xi に関する条件付き確率 p(xi ) である

はじめにので，このときロジスティック回帰モデルは重回帰分析の目的変数は量的変数であり，誤差項には正.

規性を仮定することが多い しかし，実際の分析では，目的(p(xi ) =変数が事象発生の有無を表す質的変数 カテゴリカルデー)

1exp(g(xi ))=1 + exp(g(xi ))1 + exp(−g(xi ))タ や事象の発生割合の場合も多く，この場合は誤差項にと表せる．回帰モデルの枠組において xij は説明変数，p正規性は仮定されない ロジスティック回帰はこのようなは目的変数となり，各変数の定義域は.

データを中心にロジット変換や2 項分布に従う確率分布を.

−∞ < xij < +∞,用いて，一般化線形モデルで分析することができる 本研
究の目的はロジスティック回帰分析を中心に回帰分析の理となる．この関係式はロジスティック反応関数と呼ばれる論と応用について研究することである なお，解析にはフ([3], [6] 参照)．

リーソフト「 」を用いた．

3.2.

R2

対数オッズ (ロジット)

2 水準の場合，p を確率として p/(1 − p) をオッズとい.

回帰分析

2.1

0<p<1

う これは片方がもう片方の何倍起こりやすいかを意味す

モデルの定式化

重回帰分析のモデルは，n 個の観測値が与えられた場合，,目的変数を y 説明変数を xj (j = 1, . . . , k), ε を誤差項とすると回帰式は

yi = β0 + β1 xi1 + · · · + βk xik + εi.

i = 1, . . . , nる．この対数をとった log p/(1 − p) = log p − log(1 − p).

を対数オッズという オッズの対数をとることをロジット
変換という
3.3

([3], [6] 参照)．

メディアン有効レベル

ロジスティック回帰モデルは反応のレベルを調べることと表される ただし，β0 , β1 , . . . , βk は回帰係数を表す．以ができる．特に反応の半分のレベルはメディアン有効レベ下，これをベクトルで表記する 目的変数からなる n × 1

ルと呼ばれる 説明変数が１つのとき，メディアン有効レベ

行列を Y ，定数項と説明変数からなる n × (k + 1) 行列を

ルは回帰曲線から x を逆推定することができる.

.

X ，回帰係数からなる (k + 1) × 1 ベクトルを β ，誤差項の n × 1 ベクトルを ε とすると
Y = Xβ + εと表せる
2.2([4], [5] 参照).

誤差項の仮定重回帰モデルでは単回帰分析と同様に εi と yi に以下の仮定を考える.

1. E(εi ) = 0,i = 1, 2, . . . , n (不偏性)2. var(εi ) = σ2 , (等分散性)
3. cov(εi , εj ) = 0,i ̸= j (無相関性)
24．εi ∼ N (0, σ I), i = 1, 2, . . . , n (正規性)
1 から 3 を満たすモデルを「線形回帰モデル」，1 から 4を満たすモデルを「線形正規回帰モデル」という ([4], [5]参照)．
3

ロジスティック回帰

3.1

ロジスティック回帰モデル

重回帰分析と同様に g(xi ) = β0 + β1 xi1 + β2 xi2 + · · · +βk xik のモデルを考える．ただし，xi = (xi1 , . . . , xik )t ．

([3] 参照)．

exp(β0 + β1 x1 )1β0= =⇒ x0.5 = −1 + exp(β0 + β1 x1 )
2
β13.4

尤度

β の推定のために，独立な n 個の標本を収集したとする．
Y = (Y1 ，Y2 ，. . . ，Yn )t ，y = (y1 ，y2 ，. . . ，yn )t ，xi = (xi1，xi2 ，. . . ，xik )t とする一般モデルのもとで，確率変数 Yの観測値が y となる確率はL(β) ==n∏p(xi )yi (1 − p(xi ))1−yii=1n (∏i=1exp(p(xi ))1 + exp(p(xi )))yi (11 + exp(p(xi )))1−yiであり，この L(β) を尤度または尤度関数という．L(β) を最大にする最尤推定値は，対数をとり，対数尤度を求め，Newton-Raphson 法などのアルゴリズムにより反復計算をし推定する ([6] 参照).
加法形式にした上で3.3

分離

目的変数が2 値的な質的変数の場合のロジスティック回
0で

帰では，説明変数のある値以下では目的変数がすべて

表

1 分析結果

係数

P値

係数

P値

係数

P値

1.150
0.326
1.583
1.178
−
−
−
−0.450−1.781−0.740
−

0.023
0.024
0.036
0.082
−
−
−
0.003
0.016
0.005
−

0.273
−
1.708
−
0.880
1.709
0.363
−0.197−1.136
−
−

0.529
−
0.035
−
0.137
0.179
0.105
0.114
0.037
−
−

0.375
−
−
−
−
−
0.542
−
−2.441−1.0440.962

0.106−
−−−
−
0.016
−
0.004
0.00040.044

その値を超えると全て１という場合に，係数が大きくなっ(てしまい計算できず，最尤推定値が存在しない 逆の場合)

序盤も同様 ．このようなケースを分離という．分析においては，標本数が小さい，観測値のパターンごとの標本数が極(切片)端に異なる状況，つまりアンバランスなデザインの場合に単打

起こる

本塁打

([2], [6] 参照)．

4

分析

4.1

データ 1

盗塁
犠打
犠飛
四死球

2012 年度プロ野球のレギュラーシーズンにおける中日
ドラゴンズの対セ・リーグチームの引き分けを除く 108 試
合を対象に，得点，失点と勝敗の関係を調べるため，ロジスティック回帰分析を行った
4.2([1] 参照，データは [7] より).

分析結果 1

被安打
被本塁打
与四死球
ホーム

中盤

終盤

塁打，被本塁打の影響が大きく，序盤に比べて安打の勝敗への影響は小さくなるが，四死球の影響が大きくなる．ま0.6shouhai

よりは四死球で粘り，試合の流れを引き寄せる，そして，ナ0.2

ゴヤドームの大きさや特徴である高いマウンドに慣れた中継ぎや抑え投手陣で逃げ切るという野球であると言える．

0.0

0.00

5

10015

51 得点と勝率の関係

図

1015

終盤の中日は本塁打やヒットをあまり打てず，打っても勝sitten

利にそれほど繋がらないことが言える．また四死球，与四2 失点と勝率の関係

死球は多くの場面で単打よりも効果的であった．これは投tokuten

図

試合が影響することから，安打や本塁打で打ち勝つという

0.4

0.8
0.6

shouhai

0.4
0.2

GiantsSwallows
TigersCarp
Baystars

塁打，四死球でしかほとんど勝ちに繋がらず，ホームでのGiants
Swallows
TigersCarp
Baystars

0.8

1.0

1.0

た，中盤の犠打，犠飛は勝利に繋がると言える．終盤は本手が崩れるところから得点できるためだと考えられる．

5 割に達するための中日の得点は，巨人 5 おわりにとヤクルトが相手の場合，約 3 点である. しかし阪神，広統一球が導入されて「先制して最後まで守り勝つ」とい
島，横浜が相手の場合，1 点台の得点であることがわかっ う風潮があるが，分析からも終盤の逆転が困難であることた. また，対巨人の失点に関する分析では，疑似完全分離 が言えた．安打，本塁打が期待できない状況の中，四球がが起こった. これは境界である 2 点を除いて勝敗が完全に 試合の多くの場面で有効的であった．
分離されたためであった. 対巨人以外では，得点と失点に本研究でロジスティック回帰分析や関連したその他の理関して対広島の回帰係数が大きいことから，対広島は 1 点 論について理解を深めることができて良かった．
中日の勝率がの試合に対する勝敗への影響が大きい試合であることがわかった
4.3

.

データ 2

3 回終了時 (序盤)，4 回から 6 回終了時 (中盤)，7 回から試合終了時 (終盤) の各
次に同試合を対象に，初回から結果を説明変数とし，それぞれ分析を行った．尚，説明変数には「 単打」，「 二塁打」，「 三塁打」，「 本塁打」，「 盗塁」，「 併殺」，「 犠打」，「 犠飛」，「 四死球」，「 被安打」，「 被本塁打」，「 与四死球」，「 失策」，「 敵失策」，「 ホーム」AIC が最小となる説明変数を選択した ([1] 参照，データは [7] より)．
を用い，

4.4

分析結果 2

序盤は単打，盗塁でチャンスを作ることが勝敗に影響するが，中盤以降それらがあまり影響しないことが言える．
これから，序盤で試合の流れが決まり，先制点を取り逃げ切ることが勝利に繋がると言える．中盤は序盤と同様に本

参考文献[1] 安藤道太: 2010 年度プロ野球球団別の統計的分析，南山大学数理情報学部数理科学科卒業論文，2011．

[2] 粕谷英一: 一般化線形モデル, 共立出版，2012．
[3] 中村永友: 多次元データ解析法, 共立出版，2009．
[4] Rencher A.C and Schaalje G.B:
Linear M odels in Statistics，John Wiley & Sons，Inc，2007．
[5] 佐和隆光: 回帰分析，朝倉書店，1979．
[6] 丹後俊郎・山岡和枝・高木晴良: ロジスティック回帰
分析 −SAS を利用した統計解析の実際 −，朝倉書店，
1996．

[7] nikkansports.com
http://www.nikkansports.com/．