必修「数学Ⅰ」で統計を学ばせるための教材実践研究
一橋大学 経済学研究科

駒野誠

makomano@mbj.nifty.com

１．研究の動機
筆者は、「数学は、無限を掴む」が大テーマであると考数学であると生徒に思わせていたらダメだろう。

２．学校数学の役割

え、そのためには、「無限を有限化する行為が欠かせず、｛‘かぞえる’， ‘くらべる’，‘はかる’，‘かえる’｝

また、逆に有限個を無限にするという、他に類を見ないを四面体構造の頂点とする学校での数学教授の中心的学ぶべき価値がある」と考え生徒・学生に指導してきた。

な概念が学校教育での dependable(頼りになる)とする。

無限のなかに‘共通点’を見いだし、それによって、その内部で、困ったときの対処法に、portable(持ち運び無限から有限の世界に誘うことが可能となる。このこと可能)な｛仲間をつくる，次元をあげる，相棒をみつける，は人間の思考効率化の特徴といってよいだろう。これは、定義をする｝の実行を試みる。また、これら全体を通じ、AI そのものの考え方かもしれない。

個々の数式・定理・公式らを従え、最上位にあるべきは、

しかし、現在の学校教育での統計指導は、多くの定義・‘共通点’を見出すことが sustainable(持続可能)と考え公式を適用するいわば暗記ものになりがちである。

る。数学教育という塀の中での村社会にならないような（統計に関わらず、答を速く出す算術が主眼になってい生き生きとした学びが肝要である。

るように感じる。ここで、塩野直道の要目カス論：「要目として羅列してある数学的な話題は，生徒が数学的な活３．問題点動をして後に残った食べカスに過ぎない。活動の質自体

新学習指導要領では、‘データの分析’が引き続き「数が重要な教育的内容である。
」を思い出す。
）答えを出す、学Ⅰ」で、「数学 B」では、ベクトルを「数学 C」へ追い答は一つが数学と思い込まされてはいないだろうか。

出し、
‘数列’，
‘統計的な推測’，‘数学と社会生活’が入「見えなかったモノが観えるようになる」を狙った、る。必修の「数学Ⅰ」で統計を扱う際に、未習の’ベクト

モノの見方に新たな視点をプラスする数学としての力

ル’、’数列’の使用禁止の影響が大である。具体的には、を生徒につけさせられるとの認識が持てないためか、現添え字とΣである。

場での統計授業に力が入っていない現状がある。入試でも、2022 年度以降の高大連携で、すぐにでも実行可能＜箱ひげ図の扱い＞で効果あることとして、各大学の入試において、受験生

2022 年からは、‘四分位数’や‘箱ひげ図’が中学校の自分のノート 1 冊持ち込み OK の決断で、入試は新たへ移行となる。しかし、「数学 A」の‘数学と人間の活な歩を踏み出せるだろう。

動’の章の中の整数の性質の学習で、もっと数学的に扱偏差の平方の平均、2 乗の平均から平均の 2 乗を引いたもの、が分散だ！覚えて置けとヤクザ調になったりする。暗記はある意味、考えることを放棄し、考えないでうべきことがある。
〇「数学 A」整数とリンクさせる指導例
中学校へ移行した理由は、簡単なことだから中学へ、済むという利点があるともいえるが、数学科の存在意義が理由だとするならば、それは、算数の「…算」のような答えを出すマニュアル的算は誤りである。

術方法の暗記ではない。これを問題解決だとの勘違いがその理由を示そう。四分位数あるのかもしれない。公式の文字に数を代入することがと 箱 ひ げ 図 （ box-plotdiagram）は、データを小さい値の順にソーティングし、箱内でℓより左に全部あるときが最大個数で 15 個、⑦4 等分に分割し、その位置にくる数を「四分位数」といの 7 個全部が箱内ℓの右かつ𝑄2 の左にあるときが最小個い、小さい方から「第１四分位数𝑄1 」、「第 2 四分位数𝑄2 」

数の 8 である。

(中央値)、「第 3 四分位数𝑄3 」と呼ぶ。
Q は Quartile （4 分の 1 は quarter）の頭文字で、四分位数(quartile) first-, second-, third-

ただし、４．現状認識(1) 教科書のあり方

4 等分の位置にデータがない場合もあり、その時は両隣繰り返すが、必修の「数学Ⅰ」では、新「数学 C」ののデータの平均値を四分位数とするなど、見た目ほど簡‘ベクトル’ で学習するベクトルの大きさや内積、新単ではない。箱にはデータが均等に分布しているわけで「数学 B」で学ぶ‘数列’でのΣ記号などを用いることはないことは特にわかりにくい。

はできないことを前提に教材を構成する必要がある。そのため、「数学Ⅰ」での、‘データの分析’における式変指導例 データの個数に関して、半分半分とするのだから、mod 4 つまり 4 で割った余りが０，１，２，３の 4通りを考えさせることで、すべてを掴んだことになる。
データの個数を𝑛 としたときの図の記号は、｜が両隣の平均を四分位数とするとき、●はデータそのもの𝑛 ≡ 0(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ｜ 〇 ｜ 〇 ｜ 〇１０ ０
１min００min

第一 第二第三1１max

1𝑛のように（ +…+ ）/ 𝑛を多用しなければならず先生方は指導に苦労している

０１

第三max

り、
‘共通点’は思考の根幹に位置づけられる。

１０
１min𝑥 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛に、平均のたびに、 1に気が付いたとき、ワクワク感は最高潮であった。やは(2) 定義と式変形𝑛 ≡ 2(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ● 〇 ｜ 〇 ● 〇１で差し挟むことは指導上無理があり、Σは使えないため筆者がこの打開策を模索していて、共通点の‘平均’𝑛 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ｜ 〇 ● 〇 ｜ 〇１

せられるが、数学が苦手な生徒たちにはΣ記号を短時間現状がある。

１１

第一 第二形は、数学が得意な生徒たちにはΣ記号を導入して済ま

第一 第二1１第三max

統計の代表値である、‘最頻値’、‘中央値’などは、データの和とは無関係であり、小中学校で済む内容である。

１

その後の代表値としての「数学Ⅰ」での内容は、‘分散’、‘標準偏差’、‘共分散’、‘相関係数’だが、、‘回帰直線𝑛 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑 4) 〇 ● 〇 ● 〇 ● 〇１

11１min

第一 第二1

１第三maxの傾き(回帰係数)’なども学ばせたい。ここで暗記モノ
ではない、数学としての統計をしたいものである。

１「数学Ⅰ」での‘データの分析’における共通点は、よくある問題問題 データの数と箱ひげ図が与えられたとき、4 等分のところにデータが存在しているか否かが重要であり、また、𝑄2 が箱の中を仕切っているが、𝑄1 と𝑄2 の間にカーテンℓを入れたとき、ℓよりも小さい数がどのように分布しているかは不問である。そのため、ℓより小さいデータの最小値と最大値という問題が生じる。 そこで、すべてを把握するために、データの個数で分類するのが数学である。
30 人のデータの箱ひげ図が下図である。

7 1⑦07 1730 個の分布 30≡2(mod 4) カーテンℓより小さいデータの個数 N は、8≦N≦15 なぜなら、⑦の 7 個が、平均を利用した値の処理であることである。

この‘共通点’を見出すことこそ、数学学習の最大の課題ともいえる。純粋数学においても、共通点から同値関係を考え、分類作業が始まる。この論文の肝は、いかにして、Σを使わずに指導できるのか模索していたところ、平均を計算する式たちに‘共通点’があり、Σを使わずに種々の公式を変形することが容易にできたので、高校生、大学生、教員に実践してみた結果、好評であったので報告する。この論考では、念のためΣなど一部両方併記しておく。

111𝑛𝑛𝑛５．表現方法

𝑎 ∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 + 𝑏 ∑𝑛𝑖=1 𝑦𝑖 + ∑𝑛𝑖=1 𝑐 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + c = 右辺

(1) データの表現◎シグマを使わない指導による証明

数学として、最初に困るのが、資料、データ𝑥という表現である。集合なのか、順序対なのか、不明であるこ

1{(𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 + 𝑐) + (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 + 𝑐) + ⋯ + (𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑦𝑛 + 𝑐)}𝑛と。集合ならば、
データ𝑥 = {𝑥𝑖（} 𝑖 = 1,2,3, ・・・, 𝑛）,y ==𝑎× 1{𝑦𝑖 }（𝑖 = 1,2,3, ・・・, 𝑛）とするのだろう。集合よりも、= 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + c

順序対のほうがよいのではないか。

② 𝑥 = 𝑦より、任意の𝑖で𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 であるから、平均 𝑥と順序対𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , ・・・, 𝑥𝑛 ),𝑦 = (𝑦1 , 𝑦2 , ・・・, 𝑦𝑛 )𝑦 は等しい。といっても、𝑥𝑖 という、「数学 B」の数列で学習する添③ 平均すると、1 つの定数になるので、平均しても変え字付きの数(関数)の前に使用しているという、化なし。//

𝑥 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛𝑛𝑦 +𝑦2 +⋯+𝑦𝑛+𝑏× 1𝑛+𝑐+𝑐+⋯+𝑐𝑛//

そこで、ベクトルに似せて、𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , ・・・, 𝑥𝑛 )などと書き、𝑥のメンバーたちと呼ぶことにする。

よく知られている確率変数の変換である公式：,

異なる種類のデータを扱うときやそこから組を作る

期待値 E(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝐸(𝑥) + 𝑏には順序が肝心となる。また、後に学ぶ、ベクトル、数2

分散 𝑉(𝑎𝑥) = 𝑎 𝑉(𝑥)列につながるものでなければならない。リンクで見出す

この証明は、期待値 E(𝑎𝑥 + 𝑏) = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ,’共通点’を有する知識でなければ、portable なモノに𝑥の分散がV(𝑥) = (𝑥 − 𝑥)2 であるから、ならず、社会に出て役に立たない。

𝑎𝑥の分散 V(𝑎𝑥) = (𝑎𝑥 − 𝑎𝑥)2 ＝{𝑎(𝑥 − 𝑥)}2= 𝑎2 (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2 V(𝑥) //(2) 平均をとる操作 barなどにも容易に対応できる。

ここでは、これを‘平均化’と呼ぶことにする。

また、教科書(「数研出版」研究‘変量の変換’)で、変Bar は、否定としてド・モルガンの法則𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵

量𝑥から変量𝑦への変数変換：𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏の平均と分散のは、bar の配下にある 3 つを個々に否定したような、使計算を紹介している。

い勝手がよい法則である。次のような括弧の代用として

ここでは、平均化を用いて計算してみる。

222の使い方もある。例）𝑥 = (𝑥 − 𝑝 + 𝑝) = (𝑥 − 𝑝) +2𝑝(𝑥 − 𝑝) + 𝑝

2

平均は、𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑎𝑥 + 𝑏のようにテーラー展開では活躍する。

2

分散は、𝜎𝑦 2 = (𝑦 − 𝑦)2 = ((𝑎𝑥 + 𝑏) − (𝑎𝑥 + 𝑏))

平均化では、bar を使うことの凄さは、添え字を使うことなく、Σも使う必要がないことである。
𝑥 +𝑥2 +⋯+𝑥𝑛

データ𝑥の平均 𝑥 = 1𝑛・・・={𝑎(𝑥 − 𝑥)}2 = 𝑎2 (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2 (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑎2 𝜎𝑥 2
1𝑛

1 ページを割いて掲載されたことが、たったの数行で計∑𝑛𝑖=1 𝑥𝑖 を1 文字𝑥で表現できることである。凄い！

算終了となるほど容易になった。

ことばに直せば、この「𝑥の平均」とは「𝑥のメンバーたちの平均をとる」ことをいう。平均値とは、和をとることが前提で、足した個数で割って得られる数のこと。

平均化の公式（bar）線形である：

主たる統計量の表つくり
x-¯x

データ

メン バー② 𝑥 = 𝑦ならば𝑥 = 𝑦 , ③ (𝑥) = 𝑥

メン バー

𝑥−𝑥

ｙ−yxの偏差yの偏差

𝑥−𝑥 𝑦− 𝑦(𝑥 − 𝑥) 2(ｙ − 𝑥) 2( x の偏差) の平方( ｙの偏差) の平方𝑥−𝑥
𝜎𝑥𝑦 −𝑦𝜎𝑦𝑥 −𝑥 𝑦−𝑦×𝜎𝑥𝜎𝑦𝑥1 − 𝑥 2 4𝑦1 − 𝑦 21𝑥1 𝑦14𝑥1 21𝑦1 216− 2− 550𝑥2 − 𝑥 𝑦2 − 𝑦0𝑥2 − 𝑥 2 1𝑦2 − 𝑦 20𝑥2 𝑦210𝑥2 24𝑦2 225−10𝑥3 − 𝑥 𝑦3 − 𝑦

0𝑥3 − 𝑥 2 0𝑦3 − 𝑦 20𝑥3 𝑦3

15𝑥3 29𝑦3 2

250𝑦 − 𝑦 -1𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦-1𝑥 −𝑥 2

1𝑦 −𝑦 2

1𝑥 𝑦

16𝑥 216𝑦2

162− 5𝑦 −𝑦𝑥 − 𝑥 𝑦 −𝑦4𝑥 −𝑥 2 4𝑦 −𝑦 2

4𝑥 𝑦

35𝑥 2

25𝑦 249

22 55 データ数

5データ数

555580

和55

和131

00

5 5 2 3

16𝑥2

26.2

00

1

B𝑥2

2

C𝑥3

3𝑦1 4 𝑥1 − 𝑥 -2 𝑦1 − 𝑦𝑦2 5 𝑥 − 𝑥 -1 𝑦2 − 𝑦2𝑦3 5 𝑥 3 − 𝑥 0 𝑦3 − 𝑦D𝑥4𝑦4 𝑥 −𝑥1E𝑥5𝑦7 𝑥 −𝑥2偏差の積2積データ数

5555データ数

5データ数

5データ数

5データ数

和152500

和5和10

和6

和𝑥 −𝑥 𝑦 −𝑦1(𝑥 − 𝑥) 22(𝑦 − 𝑦) 21.2𝑥𝑦𝑥3

𝑦5𝑥−𝑥0

𝑦 −𝑦

分散01

1.10

𝜎𝑥平方𝜎𝑦2

𝜎𝑥2

𝜎𝑥𝑦
1.41𝑦22𝑥1

標準偏差𝑥2xy-1 𝑥1 − 𝑥 𝑦1 − 𝑦A

平均① 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐＝𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + c ，y𝑥2𝜎𝑦

平方11𝑦2−=−1

=

30000

𝜎𝑦2𝜎𝑥2
12 =2−− 5 2 32 55 2 3𝑥𝑦 = 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑥 𝜎𝑦

相関係数𝑥 = 3 , 𝑦 = 5 , (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑠𝑥 2 = σ𝑥 2 , (𝑦 − 𝑦)2 =𝑠𝑦 2 = σ𝑦 2 , (𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) = 𝑠𝑥𝑦 = σ𝑥𝑦 など。

この等式は後に度々使用するので、ここで 1 度だけ1(… + ⋯ + ⋯ )を用いて証明しておく：

定義証明）① 通常の証明は、Σを利用して、

つまり、𝑠𝑥 = σ𝑥 2 = (𝑥 − 𝑥)2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛1

左辺＝𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = ∑𝑛𝑖=1(𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 𝑦𝑖 + 𝑐) =𝑛3𝑥の分散とは、偏差の平方の平均21𝑛𝑥の標準偏差とは、𝑥の分散の平方根である。

𝑛1
𝑠𝑥 = σ𝑥 = √(𝑥 − 𝑥)2 = √ ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2
𝑛𝑖=1𝑥, 𝑦の共分散とは、𝑥, 𝑦の偏差の積の平均である。
𝑠𝑥𝑦 = σ𝑥𝑦 = (𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) =𝑛1∑ (𝑥𝑖 − 𝑥) (𝑦𝑖 − 𝑦)𝑛𝑖=1

で、連立方程式による係数決定に偏っていることである。それは、パラメータの消去方法として、通る点(1，3)があれば、3 = 𝑎 × 1 + 𝑏…②
ここで、①－②で、パラメータの１つの𝑏を消去し、つまり、

𝑦 = 𝑎𝑥 + (3 − 𝑎) = 𝑎(𝑥 − 1) + 3

通る点(1，3)の座標を‘見える化’した式： 𝑦 − 3 =(3) 記号の表現方法

𝑎(𝑥 − 1) を紹介する指導がなされていないことに気付𝑥, 𝑦の共分散𝑠𝑥𝑦 のディメンジョンがわかるには、𝑥, 𝑥の共分散が𝑥の分散と言い換えられることである。
2

そこで、𝑠𝑥𝑥 = 𝑠𝑥 2 = 𝑠𝑥 = σ𝑥2等と表記できるが、標かされる。後の接線の公式の指導で苦労することになる。
x 軸、y 軸上の両方に並べたデータをどうやって組にするかという根本の問題である。

準偏差𝑠𝑥 = σ𝑥 = √𝑠𝑥𝑥 = √𝑠𝑥 2 = √𝑆𝑥2 等と複数の表現

従来の「𝑥が 1 のとき𝑦が 3、𝑥が 4 のとき𝑦が 9 である 1ができるが、どれも一長一短である。

次関数？」だけでなく、新種の問い「ある日、新芽 A の長さは1㎝で 1 週間後は 4 ㎝、新芽 B の長さは 3 ㎝で 1(4) 平均の式変形週間後は 9 ㎝であった。
」

本稿では、言葉の代わりにΣ計算も書いたが、「数学データをどのように組にして、2 次元座標平面上にプロⅠ」の授業ではΣは使わずに、定義の言葉通りの計算ットするのか？

を bar だけの計算で処理できるので、これまでになくここで、これらの芽の伸びが 1 次関数的だとすると、2画期的であると自負している。

種 類 の 新 芽 A,B の 長 さ を 組 に し 、 点 (𝑥, 𝑦)①𝑥の偏差𝑥 − 𝑥の平均＝𝑥 − 𝑥＝𝑥 − 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 = 0と見做したとき、ある日の長さは点(1，3)で、その 1 週②𝑥の分散＝偏差の平方(𝑥 − 𝑥)2 の平均＝(𝑥 − 𝑥)2𝑠𝑥

2= (𝑥 − 𝑥)2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑥 + (𝑥)2
= 𝑥 2 − 2𝑥 ∙ 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑥 2 − (𝑥)2

間後は点(4，9)と見做して整理できる。
6𝑦 − 3 = (𝑥 − 1)
3

⇔𝑦−3
6=𝑥−1

⇔

3𝑦−3=𝑡 , 𝑥 − 1 = 3𝑡(𝑡は実数) と表現できる。

この変形は、数学が苦手な生徒にも、得意な生徒にも、(6) 標準化

先生方にも好評である。
2 変数変換𝑧 = 𝑥 + 𝑦の分散も容易に計算できる;
2𝑠𝑧 2 = {(𝑥 + 𝑦) − (𝑥 + 𝑦)} = {(𝑥 − 𝑥) − (𝑦 − 𝑦)}22= {(𝑥 − 𝑥)2 − 2(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑦)2 }= (𝑥 − 𝑥)2 − 2(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑦)2= 𝑠𝑥 2 − 2𝑠𝑥𝑦 + 𝑠𝑦 2次に、相関係数や回帰直線を学ぶには、標準化の考えが欠かせない。しかし、教科書では省かれ、相関係数が暗記すべき公式となっている。しかし、bar をとる計算によって、変換式などのチェックが容易になった。

‘標準化’とは、データを平均＝0，標準偏差＝１(分散＝1)に変換することである。数学的には‘正規化’と呼ぶのがよいだろう。異なる２種類のデータを扱うには、単位の統一が欠かせない。つまり、正規直交座標系に点をプロットするためには、単位を統一する必要がある。
例）高校生の身長と体重では大方 3 桁、2 桁と異なるので、模式図となる見える化作業では、標準化が必要となる。エクセルでは、変換処理は容易である。
変換 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , ・・・, 𝑥𝑛 ) →z= (𝑧1 , 𝑧2 , ・・・, 𝑧𝑛 ) の定義をz =(5) 「覧古考新」「覧古」とは、Met Before(既習)のことであるが、その後の成長によって、振り返ってみると、その当時は気が付かなかったことが深く観えて、新たなことを考えだせる「考新」となること。
例）中学での直線 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏…①の学習が 2 点通過型

𝑥−𝑥𝜎𝑥とする。

𝑥の平均が𝑥，標準偏差が𝜎𝑥 であるデータを、𝑧の平均が 0，標準偏差が 1（分散も 1）のデータに𝑥から𝑧へ線形変換したものである。 ‘見える化’する。
これは、データの組P(𝑥, 𝑧),2 点 A(𝑥, 0) , B(𝑥 + 𝜎𝑥 , 1)を通過する直線であり、その式は、
𝑥 = 𝑥 + 𝜎𝑥 𝑡 , 𝑧 = 0 + 𝑡 ( 𝑡 は 実 数 ) で あ り 、 z − 0 =1𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥) である。変換式は、𝐳 =−は標準測度とも

𝝈𝑧=＜ア＞呼ばれている。

𝑥−𝑥,𝑤 =𝜎𝑥𝑦−𝑦𝜎𝑦とおくとき、𝑤 = 𝑧の係数の意味を考える=0

従来の計算は、誤差の平方の和、𝜖𝑖 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑤𝑖 − 𝑧𝑖 )2z の分散 = (z − z)2 = (z − 0)2の最小値を平方完成（または微分）で求めることでした。

zの平均＝z = (𝑥−𝑥𝜎𝑥= 𝑧2 = ()=𝑥−𝑥𝜎𝑥𝑥−𝑥 2(𝑥−𝑥)2𝜎𝑥𝜎𝑥 2) =この回帰変数 （回帰直線の傾き）を‘最小２乗法’を利𝜎 2= 𝑥2 = 1

用して求めてみよう：しかし、そこでの計算にはΣがあ𝜎𝑥り面倒になるので、平均の最小値を考えることにする。
ここが Point である。

(7) 偏差値（標準化の一例）＜数学の問題解決は、与えられたままや最初のままで処Web 上でも、‘偏差値’についての公式を紹介しているが、変換の立場での記述はないようである。

理するのではなく、目的が同じ共通点を持つ仲間の式に

ここでのキーワードは、‘標準化’と‘線形変換(一次変形することを示すよい指導例でもある。＞変換)’である。数学科の指導としては、生徒自身が回帰直線の意味は、2 種類で一方の原因が他方に結果自分自身で公式が作れるような説明を有していることを出させているような関係が見えるときに有効な見えが重要である。

る化の一つである。実際に実行してみると、標準化による変数変換の具体的な使用例が‘偏差値’である。例）𝑥の平均 4590点、標準偏差 8 点のとき、𝑧と w 軸方向の乖離である誤差（ギャップ）を𝜀𝑖 とする

8070

これに対応する𝑦の平均標準化されたデータ第𝑖番目の組を zw 座標平面上の点と見做したP𝑖 (𝑧𝑖 , 𝑤𝑖 ) (𝑖 = 1,2,3・・・, 𝑛) と直線𝑤 =y

とき、この誤差の平方の和が最小となる傾き を求める

B( 53, 60)

6050を 50、標準偏差を 10 と（これを‘最小 2 乗法’という）ことと、誤差の平方のA( 45, 50)4030

する線形変換が偏差値で平均が最小となるような回帰直線の傾き とは同じであ2010ある。 𝑥 = 45 + 8𝑡 , 𝑦 =−20O20406080100x−20上の点と見做せば、これは 2 点(45,50), (45 + 8,50 + 10)を通る直線を求めることになる。𝑦 − 50 =𝑧=𝑥−8𝑥−8108(𝑥 − 45)zの平均 𝑧 = (𝑧の分散= (𝑧 − 𝑧)2 = (𝑥−82− 0) = (𝑥−8282) = 2=1

ここで、𝑧 =

8は、𝑥の平均 45 点、標準偏差 8 点をなぜなら、2 点(45,0), (45 + 8,0 + 1) を通る直線𝑧 − 0 = (𝑥 − 45)8𝑛𝜀 2 = 𝑤 2 − 2 𝑧𝑤 +2𝑧2 = 𝑤2 − 22 2𝑧𝑧𝑤 +分散はそれぞれ𝑤 2 = 1, 𝑧 2 = 1であり、である。すなわち、 𝑧 =𝑧𝑤 = (𝑥−𝑥𝜎𝑥𝑦−𝑦)(𝜎𝑦)=(𝑥−𝑥)(𝑦−𝑦)𝜎𝑥 𝜎𝑦=𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜎𝑦であるから、

𝑥−8

ε2 =2

このε2−2𝜎𝑥𝑦
𝜎𝑥 𝜎𝑦+1=( −の最小値は、 =𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦

𝜎𝑥 𝜎𝑦2𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦

この定義はどのように見出した

2𝜎𝑥 𝜎𝑦のときである。

言い換えると、相関係数は、標準測度の積の平均である。

＜イ＞

𝜀2 =のか？ ベクトルの内積の考えに依らず考えてみよう：𝜎) + 1 − ( 𝑥𝑦 ) …★

(8) 相関係数
相関係数 =…＊

式＊は、zの平均 0、zの標準偏差１への線形変換である。
11

そこで、ε2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑤𝑖 − 𝑧𝑖 )2 とおけるが、これは、8∴ 𝑧の標準偏差＝１𝑥−支える「カバリエリの原理」の指導も大切である。

ここで、𝑧, 𝑤は標準化されているので、) = 0,8としε2 = (𝑤 − 𝑧)2 のことであるから、である。

で、標準化していることを確認してみよう：
𝑥−1𝑛ても縦軸方向の縮小なので最小性は不変である。これをるデータを組とし、平面

つまり、 𝑦 = 50 + 10 ×

1𝑛𝑧𝑖 )2 の最小性は、 ∑𝑛𝑖=1 𝜀𝑖 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑤𝑖 − 𝑧𝑖 )2−1050 + 10𝑡 であり、対応する。それは、𝜀𝑖 = 𝑤𝑖 − 𝑧𝑖 であり、 ∑𝑛𝑖=1 𝜀𝑖 2 = ∑𝑛𝑖=1(𝑤𝑖 −−1 ≦2−2≦ 1について
𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦+ 1 ≧ 0 であるから、𝜎2

単純に平均を取ると、 0＝0 となり、新たな式はでてこ★の最小値≧０⇔判別式＝( 𝑥𝑦 ) − 1 ≦ 0𝜎𝑥 𝜎𝑦( )2 − 1 ≦ 0すなわちよって、−1 ≦≦ 1 であない。そこで、①の両辺に𝑥 − 𝑥を掛けて変形した、(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) =ることもわかる。

𝜎𝑦𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥)2 の両辺の平均を考える。

この式の平均は、(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) =＜ウ＞

は、𝜎𝑥𝑦 =誤差の分散の最小値

誤差 𝜀𝑖 = 𝑤𝑖 − 𝑧𝑖 の平均 ε = 𝑤 − 𝑧 = 0であるから、2𝜎𝜀 2 = (𝜀 − 𝜖)2 = 𝜀 2 = ( −𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜎𝑥𝜎𝑥2

ゆえに、 =𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥)2

これ𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦つまり、最小 2 乗法を使わずに‘平均化’で導出可能であることが分かったので指導しやすい。

式★は、誤差𝜀の分散であるから、 =𝜎𝑦𝜎𝑦𝜎𝑥𝑦𝜎𝑥𝑦) +1−()
𝜎𝑥 𝜎𝑦𝜎𝑥 𝜎𝑦2のとき、誤差の分散ε2 が最小とな＜オ＞

標準化していない散布図での回帰直線と最小 2乗法＜従来の方法＞ 最小２乗法で、∑𝑛𝑖=1{𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)}2ることを示している。これがデータの間を走る回帰直線を最小にするような𝑎, 𝑏を平方完成または偏微分で求め、として最もフィットする(傾き)といえる。

𝑎 = 𝑥𝑦2 , 𝑏 = 𝑦 − 𝑎𝑥 であることを示す。結果、回帰直𝜎𝜎𝑥線は平均点(𝑥, 𝑦)を通過することも示せる。しかし、従来＜最小 2 乗法という表現は、計算方法であり、目標を表のままでは、Σを使わないと式が長くなり、平方完成も現してはいないので教育的ではない。回帰直線とは、デ辛くなる。だが、これも、データ第 𝑖番目の組を xy 座標ータの点の間を走る代表直線で、「その傾きは、誤差(デ平面上の点と見做した P𝑖 (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) (𝑖 = 1,2,3・・・, 𝑛)と、ータの点と直線との縦軸方向のギャップ)の分散が最小

直線𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏と y 軸方向の誤差（ギャップ）を𝜀𝑖 とし、となるとき」、が教育的であろう。＞∑𝑛𝑖=1 ε𝑖 2 = ∑𝑛𝑖=1{𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)}2 …＃

これより、平均(𝑥, 𝑦)を原点(0，0)に平行移動し標準偏差

ここで、ε2 = ∑𝑛𝑖=1 ε𝑖 2 とおくと、＃の最小値ではなくで割った標準化された座標系（正規直交座標系）におい＃の平均である ε2 = {𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)}2 の最小値を調べれて、回帰直線の傾き(回帰変数)＝相関係数である。

ばよい。理由は平均をとっても最小性は不変である。

𝑦−𝑦𝜎𝑦＜エ＞

𝑥−𝑥=

ε2 − (𝜀)2 ＝𝜎𝜀 2 と分散との関係が気になる。

・・・①𝜎𝑥

これは、ε2 ＝𝜎𝜀 2 + (𝜺)2 ≧ 𝜎𝜀 2 …♭となり、標準化以前の散布図おける回帰直線の傾き(回帰係数)はどうなるのだろうか
𝑦−𝑦𝜎𝑦=𝑥−𝑥𝜎𝑥1𝑛… ①は平均値の点(𝑥, 𝑦)を通る直線である。

等号は、𝜺 = 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 のときであるとわかり、結局、ε2 の最小は、𝜎𝜀 2 が最小となる𝑎, 𝑏を求めればよい。
𝜀 − 𝜀 = {𝑦 − (𝑎𝑥 + 𝑏)} − {𝑦 − 𝑎(𝑥 − 𝑥)} であるから、では、点(𝑥, 𝑦)を通る直線 𝑦 − 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑥)…② の傾き𝜎𝜀 2 = (𝜀 − 𝜀)2 = {(𝑦 − 𝑦) − 𝑎(𝑥 − 𝑥)}2𝑎は何だろうか。実は簡単で、= (𝑦 − 𝑦)2 − 2𝑎(𝑥 − 𝑥)(𝑦 − 𝑦) + 𝑎2 (𝑥 − 𝑥)2①から𝑦 − 𝑦 =𝜎𝑦𝜎𝑥(𝑥 − 𝑥) これが②であるから𝑎=𝜎𝑦𝜎𝑥𝑥を説明変数、𝑦を目的変数と呼ぶことがある。𝑥が原因で𝑦がその結果というときに、𝑥が𝑦に与える影響を直線で見える化したものである。
このように、たとえば、薬の用量𝑥とその効果𝑦の関係のように、2 つのデータ間に明確な因果関係があるときを想定したときに用いるものである。
𝑦−𝑦𝜎𝑦=𝑥−𝑥𝜎𝑥・・・①を再考してみよう：= 𝜎𝑦 2 − 2𝑎𝜎𝑥𝑦 + 𝑎2 𝜎𝑥 2 = 𝜎𝑥 2 {(𝑎 −𝜎2𝜎𝜎𝑥𝑦 2 𝜎𝑥𝑦 2) −} + 𝜎𝑦 2𝜎𝑥 2𝜎𝑥2

= 𝜎𝑥 2 (𝑎 − 𝑥𝑦2 ) − 𝑥𝑦2 + 𝜎𝑦 2𝜎𝑥𝜎𝑥𝜎

これを最小にする𝑎は、𝑎 = 𝑥𝑦2 であることがわかった。
𝜎𝑥

これが、回帰直線の傾き(回帰係数) 𝑎であり、♭の等号成立が 𝜀 = 𝑦 − 𝑎𝑥 − 𝑏 = 0 のときより、切片は 𝑏 =𝑦 − 𝑎𝑥 となり、回帰直線は平均点(𝑥, 𝑦)を通過するという重要事項も同時に示せる。