Ｉ1１５

6.11基礎公式のまとめ

０１１基礎公式のまとめ■微積分公式・ルー・霞十○(以下は積分定数を省略ルハ･露`←:．．”．〃血一念．／:`←1.gに’．／為弐・向，／潟=:伽-Ⅲ：．／▽十二戸=m-Ⅲ③／泥二二戸=m-1：
イマニニ夛臺'･恩(遜十,、）（,/IT55可を置換するときは麺＝tanOとすると複雑になるのでｚ＝sinht＝竺二嵜二）

イマ芸言-'ogcMす=了）

MFT=-1を置換するときはｚ＝志とすると複雑になるのでｚ＝cosht＝竺聿ﾃﾞｰと）２つまとめてノワ壽字ﾗTdz＝log(鰹川戸丁ﾌI)でもよい．／e川(曇)`…川．／器血=1.川’・艸腕…ｗ)-帥)+ﾊ通)｝(墜川）・かwFo-w(霞)一八邇１－〃)-仰１－O
例化3e-ｴ｡⑳＝(_z3-3z2-6z-6ﾙｰ②イル)…一八…+ﾊ璽)…+〃)(-m)+川錘)(-…)+…
（はじめの/(z)sinzを出して後は両方とも微分していく）
例此3coszdz＝z3sinm＋3z2cosz-6zsinz-6coszイル)…-/(錘)(-…)+八…+〃)…-Ｗ……
イノに)…-F(…-/器F(塗ＭＭ(露)=ﾉﾙ)血・急鯛/(Ｍ)｡u=/(叩(錘)),'(錘)-/い(麺))ん'(z)+悶塞(Ｍ)血Ｕ(・ﾙｰ錘)`璽壽ﾉ(｡'Ｍ‘

例ｊｉ;『/2(汀/２－m)sinzdz＝jiF/2zcoszdm＝Izsinz]3/2＋[cosz1i/2＝５－１〃/2(汀/２－ｍ)2coszdz＝爪/2m2sinzdz＝lm2(-cosz)]i/2＋[2msinz]i/2＋[2cosz}3/２ ＝７「－２(区分求積法)隅≦''鵲薑ﾉ(”)巾

隅工ﾙ+(b~｡):)旱=い)ﾉ(､ﾙ+(ルル)`塑一か錘)血虎＝１例隅(志+市+…+帝１－鯨≦壺一ﾉ(‘鵠-,.囑，、半径rの球の体積＝:汀ｒ３
半径γの球の表面積＝４７Tr2

い０Ⅱ■■■０■０１■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■０□‐。・・ｉ■■■Ｂ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Ｉ－‐１１■■■■■■■■■、■■■■｜■■■■■■■■■■■■■日■■ＩｉＩ０■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■‐ｒ凸■■■■■■■■二■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■々０△■■■■■０■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■巳■■■▽‐。Ｉ。■■Ｉ■■■■■■■■■■■■■■Ⅱ■■■Ｂ■■■■■■■■。ＦｊⅢ■■』□ロロロ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ＵＶ－▲▽■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■。ｌ■０■■■■■■■■■■■召■■■■■■■■■■■■■■■■■■■？

第 6章確率・統計のまとめ

1１６

・ノビWﾗｰｱｰﾉ(vｱｰｱ`麺薑二・.(半円細の面積を考える）

Ⅱ;,/:戸=寂血=歪･'+鍔｡(扇形と三角形に分ける）
Ⅱ門戸コア血-;．,+;論･ﾉ(l=｡『研炸,/=(鵬>０１(ｶﾞｳｽの公式）･『(.)＝ﾉ(~が-Ｗ…ﾉ(~紗-堺｡`”

r(s＋1)＝slYs)，ｎｅＮならｒ(､)＝(、－１)１，ｒ(1/2)＝,/ﾗテ.Ｂ(･ルルー!(1-璽桝`…ﾉ(巾｡m塗-,…麩,…ﾉr嵩(1＋z)｡+ｂ－，２１，１dｚ￣ｒ(､＋b）．ＺＺ｡`ゴーエ。ガーＺＺＱ`ゴガ＝’ゴー’’三だ‘≦ね,＝，ｆ＝ｊｏＬ≦鰄雪沖,)伽炉ﾉＭ・ﾙ山ルノ(｡`,ﾉ(''(麺w)`。
（どちらの順序で計算するのかを注意する。勿論、計算が簡単な方を選ぶ）

・ノルノ(z'Zノル｡ZﾉｰﾉＩＤ'巾(Ｍ),Zﾉ(Ｍ))鵠dudU（ここで変換は1対1のときで鵠はﾔｺﾋﾞｱﾝの絶対値）･鯛(童:-,.9")－７(ONⅡｵｲﾗｰ定数）
岱声く+｡｡ごα>｣
ん＝１

ん＝１

．Ｃｌ７T２○．１汀４．ｚ京一丁吾原=ｍｌＤ＝１・芸等差数列－１辺璽舌越×項数
初馴

例乙聖２０(3i－１)＝且2壱二2×３，末項．ｚ等比数列-初項了二言if公比（無限等比級数はr4zI雲tE）

Ｉｌｌｌｌｌ囚

勺上｜、代因ｚ樫

■数列の和など.

初項

例乙聖20(32`-1)＝壁;一筆里・Ｚ｡=･凧，士ﾙｰｪ121芸11
ｋ＝１

１c＝１

ＡＢ＝１．Ｚｋ(ん-1)(ﾙｰ2)＝("＋1)"("－１)(､－２）（_般化できる）
ＩＣ＝１(一般化できる）．Ｚ(ん+3)(ん+2)(ん＋1)ルー("+4)("＋3)(洞十2肋＋,泥（一ｍ脆＝１BＬ■０口■９△■■■■■■■Ⅲ■■■■■■■■■■８９Ⅱ■ｇＲＵ０ｒ０●▲■■□■■８０００■■■Ⅱ００Ｊｄ１‐‐４０△■■■ロ■■■■■■■■■■■■ロロ.】i二偽L繩(蠅+\緬十D，≦Ｌ(苧)。

6.11基礎公式のまとめ

曾臘(豈丁一≦州+D(川)薑;(;-(蝿+,h川)川弓､弄冷７両言'祠Ｔｍ桁h雨)）〃＋１l7Z●

zM臘一Ⅲ=揚言書Ⅲ‐(痢十lw-錘)+(1-洲）］-麺”〃（１－ｚ)２（１－ｚ)２１－Ｚ

ＩＤ＝Ｏ
●

冗冗汀冗

冗ｎ

ん＝O

AE＝ＯＩＣ＝１

ｋ＝１ｋ＝Ｏ

ＡＢ＝０

ＺＱｎ－ｋ＝Ｚα府,Ｅα"-偽+]＝Ｅα胸例Ｚ("-A)2＝ＺA2＝"(施十')(2"＋'）６■三角関数など．ｅv'二丁垂＝cosz＋,/二Tsinz(オイラーの公式）

例cos(z＋Z/)＋,/=Tsin(z＋Z/)＝。/=丁('㈹)＝。/=、｡/二丁’＝(cosz＋Ｖ=Tsinz)(cosZﾉ＋Ｖ=rsinZ/）
冗

７Ｌ
几

le＝Ｏ

ＡＢ＝０

戸〒'－０勺、＿

例三二(ＣＭ＋,/=てSMD)＝Ｚｅｎ崎鍾＝ｌ－ｅｎＭ)“
１－ｅ､/=T5r・cos2z＝L±E;皇2三,sin2z＝Lﾆﾆ;昌旦三
Icosm,sinz)＋(cosy,sinZ/)＝2COS苧(COS学,sin学）（ﾍﾞｸﾄﾙの和の図を描くとわかる.）sin-1z＝a-sinα＝ｚｎ－：≦α≦；cos-1z＝α<→ｃｏｓａ＝ｚｎＯ≦α≦7T

tan-1z＝α←，tanα＝Ｚｎ－号＜α＜：■ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭの補間法２点(Ｍ),(６，B)を通る直線の方程式〃＝Ａ蕎十Ｂ鍔

３点(Ｍ),(6,B)北,O)を通る２次関数の方程式ツーA{:三:}{:三:}し+B{;;=:}{鵠十Ｏ {;三:}{:二号（以降ｎ次関数も同様）■極限ｌｉｍ(1＋α/z)辱＝lim(1＋α/")ＬＡ甥(1＋αz)1/錘＝e・エ→ＣＣ

ＴＬ－ｏＯ．，imlog(1＋ｚ）＝，
ｚ→ｏｚ・ｌｉｍ型L三＝１テーラー展開より、，ｉｍｓｍｚ－ｑＤ１エーＯＺｚ→Ｏｍ３

６．ｌｉｍ型型＝Ｏ②→ＯＯＺ

ｐﾋﾟﾀﾙの定理巾)-,(･)一脈慨器(薑A)が存在するならば、 四潟訓．α＞０，６＞Ｏに対して、ｌｉｍｚａｅ－ｂ亜＝０
年→○○匹〉0に対して」甥ZologZ＝0,,iml2型：＝Ｏｚ→○・ＺαＩ０６Ｐ０５Ｌ■■■Ｂ■ＩｒＤⅡ！■□６０■■■■■ローＤＰＩ０●・０００１日日■■Ｕ■５１０■■■■■Ⅱ■■■凸リーーーｌｐＰＰＩｈＰｌ０９．０□Ｐ５ⅡリムＢ００Ｖ－ｌ９Ｉ■Ｐｒ－ｒ０．日０６－０－０－－卜・ｌｉｍＶﾖﾃﾃﾃ､"e-"＝’（スターリングの公式）
ｎ１７Ｌ－ＯＯ

例lilnZ錘＝lime⑩logqD＝１
ｍＯｑＤ↓ｏ例’imzsinユーｏｒ一oｚ

巴夛
毛~=P｣＝:宮よ弓〒:宍写二コ守＝寺汽完云＝

第６章確率9統計のまとめ

1１８■組み合わせ:ｉ≦(:)鰯Lい”Ｆ１を代入して≦(舶禽(：ルーⅡ)…a鰄引を代入してﾆﾊﾟﾙｿﾞ，

白(1)い)-(Ｗ･艸川十麺岼い)…の両辺…係数）．（再)＝ｍ個のものからｎ個のものを選ぶ組み合わせの総数＝(ｍｑとも書く）．（吋1)＝(要)＋い)率30,,(V､＝ｍ(隅)掌3１

・mHh＝ｍ種類のものから重複をゆるしてｎ個選ぶ(重複)組み合わせの総数＝(m評-1)＝ｍ種類の文字のｎ個の積から作られる単項式の個数（･･･ｍ－１個の｜とｎ個の。を並べた順列と１対１対応）、（mまれ)＝(0,0)から(『Ｍ)を結ぶ最短経路(右に1(ﾖ),上に1ずつ進む(ﾀ))の個数～+,H、＝ｍ個のヨの位置を、＋１個の水平な線から重複を許して選ぶ｛ｗ)臺二(筑已豆')化最後のﾖの,座標で分類汎前のほうの級数もこれで解釈可衞：ｉｉ額二練剰鴬解の個数~A…+…+…の自然数解の個数一AⅢ．Ａを定義域とし、Ｂを値域とする写像全体の個数は重複順列の考えかたより＃(Ｂ)#(A)個
ここで＃(A）は集合Ａの要素の個数＃(B)≧＃(A)のとき、Ａを定義域とし、Ｂを値域とする１対１写像全体の個数は鍔(圖吟仏)＝て享T縄|耐

多項定理(麺+ｗ)Lz75m二完了Ｉｗ－偽-1ｏ≦ん,！≦、■ﾃｰﾗｰ展開・吉=Ⅲ+…2+…('麺'<'）.≦肱～古(上を微分）・量脆肥沖臘-2丁三券(上を微分）．ｚﾙ(脆-リ(臘一Ⅲ2沖臘-州臺苦L=崇
ＩＣ＝２

虎＝、－１．≦化')霞臘一三仙醗L吾(か)L('一趣ｗｚ２ｚ３．ｅ錘＝’＋ｚ＋可十両…（－゜。＜ｚ＜。｡）*２７この２項定理の計算によらない組み合わせ論的な説明は以下のとおり・冗人のクラスで係が勿十１種類あり、すべての人がどれかの係を一つやるとすると、選び方の総数は重複順列の考え方より、（、＋')九通りである。また、一つの係に注目してその係の入れ……であったと…初係以外の人は稲-Mいるので選び方の総数は=けし昌腓*2８これは上の考え方にさらにひとつの係にはその長も選ぶ(例えば委員を－つの係として委員長もその中から選ぶ)ことを２通りに考えればよい*２９とれはｎ人のクラスとｍ人のクラスから合わせて１人の委員を選ぶことを２通りに見ればよい。

*3Ｏこれは、＋１人のクラスから冗人の委員を選ぶのだが,特定の人が委員に入る場合と，はいらない場合を考えればよい。
*31とれは、－，人の委員と一人の委員長を選ぶが、ｎ人の委員を選んでからそのなかから委員長を選んでも同じことに気づけばよい。

例T澪

第６章確率・統計のまとめ■コーシーの関数方程式・ノ:Ｒ→Ｒがノ(s＋t)＝ノ(8)ｆ(2)を満たすなら、ヨαにＲ）ノ(t)＝e@t*32.
．ノ:Ｚ→Ｒがノ(s＋t)＝/(8)/(t）を満たすなら、ヨα(EIR）ノ(t)＝０t．

■正射影・宝の、の正射影ベクトル＝pmj冒壷＝静団・壷のLineaJFspanof侭,亀)への正射影ベクトル＝proj{国,亀}(三)＝(壷･ei)臼十(毎句)亀ここでＢｒ,亀は正規直交ベクトル、つまり’臼|＝|亀|＝1,Ｂｉ･亀＝ｏ例(グラム・シュミットの直交化)一次独立なa,瓦5から正規直交ベクトルＧＩ,亀,亀を作ると臼＝筒周一i:=潟暑T周＝語鶚着譜例Ｈ＝{XlE(Ｘ２)＜CO}に内積〈Ｘ,Ｙ>＝Ｅ(ＸＹ）をいれ、グラム・シュミットの直交化より、1,ｘから正規直交ベクトルを作ると1,ｘの標準化＝2匹ヂとなる。
すると、ｐｒｏ小x}Ｙ＝Ｅ(Y)1＋Ｅ(Ｙ』Lﾃﾞﾕ)』ﾋﾞﾃﾞ22となり、これは回帰直線と一致する。

■常微分方程式．鍔＝＠Ｍ(O)＝cの解はＺ/(z)＝Ce･“Ｈ:＝/(卿)，(z)(変数分離形)はＪ諾｡‘＝J，(z)血として解く。

・豊十9(zルーノル(z)は鎧(eJg(錘)d麺z/)＝/z(z)eJg(廷)d麺として両辺を積分
喘豐＝/(:)(同次形)はｕ＝：として秘の微分方程式に直す。

屯,bは定数として､塞十α鍔+６，＝Oの解は,特性方程式ｕ２+“+b＝Oの異なる2解をαβとしてすべての解Z/(⑳)が安定(lim麺一・Ｗ(z)＝O)であるための必要十分条件は特性方程式のすべての解の絶対値が１より小さいこと。

塞十α塞十６，＝ｆ(z)の解は特殊解を1つ求めて､特殊解十一般解とする。

■極値問題ＭＭが(`M')＝(zMﾉo)で極値をとる｡一篝(範｡,ﾂﾞ｡)＝諾(廼川｡)＝０．（条件付き極値問題、ラグランジュの未定係数法)ｇ(z,Z/)＝Ｏのもとで、加,Zﾉ)が(ｑＷ)＝(ｚＭ/o)で極値をとる。－Ｌ(｡ｗ,入)＝ノ(Ｍ)＋入9(z,y)とおき、

篝(zMo,入o)＝詩(zM/０，入o)＝器(麺M/０，入o)＝Ｏ■連､次方程…R`としⅧ…腓表せる未知数蝋個式の個数繍個①連立方程式を考える。掃き出し法は係数行列価,⑫,蝿)を行基本変形を用いてできるだけ単位行列に近づけて行く。（詳しくは穴埋め式線形代数らくらくワークブック参照)、単位行列に変形できた場
合はｒＱｎＡ((cii,⑫,堀))=ｒｑｎｋ(何,⑫,妬,b)＝３のケースとなり解が一意的に存在する。また、解が存在しなし”→ｒＱｎ虎((瓜,Czh,妬)〈ｒｑＭ((cJi,妬,蝿,;)であり、解が存在する←》rqnA(何,⑫瓜))＝…ん((Czi,妬,堀,笏であるが､解が存在する場合の解は､３－rQnA((`z１，⑬,蝿)個の任意定数であらわされる。
また、行列式kii,妬,妬|≠ｏの場合は次のクラーメルの公式が成立する。

*３２厳密にいうとノには、連続性、単調性、原点の近くでの有界性、微分可能性、可測性などの条件のうちのひとつを課さなければならない。

巳夕■１１口１１１ｙ＝Ｃｅα麺十Ｄｅβ垂αが重解の場合はＺノー(0m＋Ｄ)eαエ「て126.11基礎公式のまとめ→_

Ｚ＝＝,里謡,Ⅲ=,豊鵲I＝,豊鶚，■逆行列．、×、行列が逆行列を持つ。←，det(A)(＝|Ａｌ＝Ａの行列式)≠Ｏ｛:;丁上☆い）.（逆行列の求め方)掃き出し法で行基本変形によりＡｌＥ→ElA-1に変形する．
■漸化式(差分方程式）まずα冗十,＝γα”－→α"＝αOバーα,rn-1)＝α_mγ”十ｍｊＩＩＥ■■■■■■■■■■■■■ⅡⅡ■■■■■■■■■■■日０．．１口■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■０７．‐’Ｌ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■▼Ｌ■ＵＩＩ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■』■■■■■可■α､+,＝γα"＋巾)の場合特殊解6冗十,＝r6"＋巾)となるb宛を求め、
α”+1-6冗十,＝γ(α冗一b”）．..α”－６"＝(qo-bo)r"．.&＝bね＋(Qo-6o”ね
計算例１

α冗十,＝3α”＋４（αo＝２）ｃ＝３ｃ＋４－ｃ＝－２■ｊ日日５７▲■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■０６■■■■■■■■■Ⅱ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Ｐ‐ｃｄＥ０■■■■■■ＣＯＤ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■Ｌ□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■。ｊ■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■△□■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■ｑ凸

α冗十,＋２＝３(ａｎ十2）．.、ａｎ＝－２＋(αo＋2)3,＝－２＋4.3”
計算例２α､+,＝3α"＋、２（αo＝２）b〃+,＝３６施十〃２６冗＝0,2＋Ｄ、＋Ｅ（6,2は２次式）

C("+1)，+D(施十l)+E=3(C"，+D､+E)+"'よＭ=D=E--；
α冗十,－６"+,＝３(ｑｎ－Ｍルー`愈=(.｡-ｈ.)3繩=(2+;)柳川一;"２－;"-;+:3”
計算例３αね+]＝2αね＋3"（αo＝3）

b冗十，＝２bね＋３河－６，＝ｃ３ねとおけるこれより、ｃ＝１－１１．．川+１－b”+,＝２(α”－６ｎ）：、ａｎ＝b冗十(qo-bo)2”＝3,＋2冗十’

BＩＯ鰄鰄繍鰄MM鱸Ⅷ鱸鰄鰄鰄鰄鰄’懸鱸鬮騨1,蝿iiM覇聴霧歸:霧憲霊鬮翻屡……爵…………－－－－

第６章確率統計のまとめ

1１８■組み合わせ:１１こげ-('+邇帆鰻引を代入して≦(:)孤曾(:ルーい)…師引を代入して≦鵬(:)‐’Ⅲ

白(1)い)‐(輌１１MＷ''ｗⅢw臺口+邇'…の両辺…係数’．（?!)＝ｍ個のものからｎ個のものを選ぶ組み合わせの総数＝(ｍｑとも書く）（､;tl)＝(V：)＋い)＊30,,(再)＝ｍ(再三})*３１．mHh＝ｍ種類のものから重複をゆるしてｎ個選ぶ(重複)組み合わせの総数＝(mw-1)＝ｍ種類の文字のｎ個の積から作られる単項式の個数（..ｍ－１個の｜とｎ個の。を並べた順列と１対１対応）．（mｽﾞ”)＝(0,0)から(7Ｍ)を結ぶ最短経路(右に1(ﾖ),上に1ずつ進む(ﾀ))の個数～+ルー、個のヨの位置を、＋１個の水平な線から重複を許して選.5$｛『w)-こい')ん最後のﾖ伽座標で分類卜前のほうの級数もこれで解釈可衞,.、l＋ｚ２＋…＋Ｚｎ＝ｍの整数解の個数＝ｎＨｍＤＤ１＋Z2＋…＋Ｚｎ＝、の自然数解の個数＝ｍ－１Ｑｕ－１Ｉ薇)＝(-1)脆(麺十:-1）．Ａを定義域とし、Ｂを値域とする写像全体の個数は重複順列の考えかたより＃(Ｂ)#(A)個
ここで＃(A）は集合Ａの要素の個数.＃(B)≧弁(A)のとき、Ａを定義域とし、Ｂを値域とする１対１写像全体の個数は＃(画)ＥＭ＝て享T網危７７$項定理(麺十Ｗ)繩=z7m7竺差=77Tzlw-鵬-1ｏ≦16,1≦、■ﾃｰﾗｰ展開・古=Ⅲ+…，+…０画'<'）.＝肋～古(上を微分）･ｚｋ(ﾙｰ'ﾙﾙｰ2-㎡不(上を微分)・量ルル(臘一叶汕臘一州-苔L=:+：ＩＣ＝２

ルー刀－１．≦化')露L召恥臘=言(ゴルＨ－露ｗｚ２ｚ３．ｅ錘＝１＋ｚ＋可十可…（-｡。＜⑳＜ＣＯ）*２７この２項定理の計算によらない組み合わせ論的な説明は以下のとおり。ｎ人のクラスで係がｚ＋1種類あり、すべての人がどれかの係を一つやるとすると､選び方の総数は重複順列の考え方より、（ェ＋')ｎ通りである。また､一つの係に注目してその係の人数川(｡≦鵬≦")であったとすると、その係以外の人は鰯-Ｍいるので選び方の総数は三(:)叙-鵬一三(Rﾙ“*2８これは上の考え方にさらにひとつの係にはその長も選ぶ(例えば委員を一つの係として委員長もその中から選ぶ)ことを２通りに考えればよい*2gこれは冗人のクラスとｍ人のクラスから合わせて１人の委員を選ぶことを２通りに見ればよい。

*3．これは、＋，人のクラスからｎ人の委員を選ぶのだが,特定の人が委員に入る場合と，はいらない場合を考えればよい。
*3，これは７２－，人の委員と一人の委員長を選ぶが、ｎ人の委員を選んでからそのなかから委員長を選んでも同じことに気づけばよい。
１１'9〉

■‐ｉ‐Ｆ１‐－ＩＢＱＰＩ１■Ⅱ■５８●口中０●■■■０■？、４－０

119

Ｍ１基礎公式ｕﾆｰﾆｰ２

ｚ２ｚ３ｇｃ４・log('＋Z)＝Ｚ一万＋丁一丁…（lqcl＜'）
ｇｃ３ｚ５

・1.9岩=叩+丁十丁…)Ｍ<'）＋…）で近似値が求まる。
例log、＝log【】

z3…（lzl＜１;αｅＲ）。（1＋、)α＝

ここで､(莞)≦●ｔａｎ－１ｏｃ＝・ｓｉｎ－１ｇＤ＝１，αＩＣ

dr3T5｢し６jif向｡u＝ji;`乙足｡(-Ｕ２)kdu＝ｚ一丁十丁十…

１１;,▽了と了｡u＝ji;,(,＋;u2＋(-;/2)(-u2)2＋…)血＝⑳＋署十帯十…

■知っておくと良い近似値．ｅ０７罠２（テーラー展開に代入すると良い）（log2罠0.7）
これより７０の法則（,+命)要-((,+命)響)｡理『罠，・同様にeo4菫:，ｅ皿豈３．１０３菫２１０菫e７．２１９罠３１２■不等式．ｅエニ1＋皿，（,CER）（等号成立はＺ＝O）
例ｅｎ－１ｔ〉ⅡR=,(1＋#)＝、＋１より、乙足,；＝｡。
.ｚ三log(1＋Z）（ｚ＞－１）
Ｏ〈ｚ〈術/2で÷､〈sinz〈ｚ〈tanm(相加・相乗)ｑｄ≧Ｏで２人±２２±=±且ユ≧(｡,α２．.山)'/"（等号成立はすべて等しいとき）
例n個の'+片と1個の'にこれを適用すると､(('＋烏)冠)志く21上宇土'＝'＋命より（'＋烏)"〈('＋志)洲（コーシー・シュワルツ)(ＺＱｉＭ２≦Ｚα；Zb3（等号成立はベクトルとみなし平行）ｚ２＋ｙ２＋ｚ２＝１のもとでのｚ＋２９＋３ｚ几

－１１０１■■■■■■■■■■■■■■■Ｕ低ロロⅡＯＢ■ロロロロ■■■■■■■■｜■■■■■■■■■７９１０，口■■■■●■■■■■■■巳■■■■■■Ⅱ■■ロロ８Ｖ，０■■■■■■■■０■■０■■■■■■■■■■■ＯｑＩＬ０Ｄ■■■○日■、ロロ■■■□■■■■■■■ＵＩ０ｌＢ０ＵＤＢ■■■■□■■■■■■■■■日■■四Ｖ１６

例（z＋29＋3z)2≦(12＋22＋32沖2＋y2＋z2）より、ｚ２＋y2＋z2＝１のもとＶＩＺ(等号は(z,Ｍ＝売(1,2,3)）の最大値=凪(等号は（⑳,Ｍ＝た(1,2,3)),最小値=-,/ＩＺ(等号は(z,Ｍ＝Ｅ(Ｘ)2≦Ｅ(Ｘ２）（等号成立は定数）（コーシー・シュワルツ)Ｅ(ＸＹ)2≦Ｅ(Ｘ２)Ｅ(Y2)，（等号成立はＹ＝αＸ）（イエンセン)下に凸なノ(例えば/"＞0)に対して,ノ(Ｅ(Ｘ))≦Ｅ(/(Ｘ)）（/"＞Ｏなら等号成立はＸ＝定数）

Ⅱﾁｪﾋﾞｼｪﾌ)P(lxl≧α)≦旦↓芸1,/が正の値をとるならP(ｆ(x)≧⑭)≦互｣二写Lu（.．Ｅ(/(Ｘ))＝Ｅ(f(Ｘ),/(Ｘ)≧α)＋Ｅ(f(Ｘ),/(Ｘ)＜α)≧Ｅ(ｆ(Ｘ),f(Ｘ)≧｡）≧Ｅ(α,f(Ｘ)≧α)＝αP(/(Ｘ)≧α)）

また､Ｐ(lx-E(x)|≧｡)≦￥

これからＸｉをＥ(Ｘｉ)＝ｍ,Ｖ(X`)＝び2なるｉｊｄ.(独立、同分布）とすると、

Ｐ(|』且土荒土』Lml≧E)≦鼻となり､大数の弱法則２２』筈i±』ﾋﾞﾕﾃ戸5三ｍ(確率収束)がわかる
蹄..筍=一声--＝令\Yご里P￣『－～-,-.－－゜‐弓一・P=:.－－－１－－－－』－－:-,.L￣－
４.h~‐､.□‐＿▲＿．＿＿

一
6章確率・統計のまと三里■α”+2＋Ａａｎ+1＋Ｂａ､＝Ｏの場合特性方程式t2＋Ａｔ＋Ｂ＝Ｏの２解をα,β(α≠β)とし、α”＝Ｃａ冗十Ｄβ耐が解（・・・α冗十2＋Ａα"+'＋Ｂａ"＝α”(α2＋Ａα＋Ｂ)＝Ｏと線型性）
後は、αo＝Ｃ＋Ｄ,α,＝Ｃａ＋ＤＢで定数Ｃ,Ｄを定める
α"＝(ｏｎ＋Ｄ)α､が解（...（、＋2)α冗十2＋Ａ(､＋1)α"+1＋Ｂｎａｍ＝α"(α2十Ａα＋Ｂ)＋(2α＋Ａ)α､+1＝Ｏ）

計算例４｡､+2-5ａｎ+1＋6α"＝０（αo＝5,α,＝12）特性方程式はt2-5t＋６＝Ｏとなり、２解は２，３

αね＝Ｃ２”＋D3nとおき、αｏ＝Ｃ＋Ｄ＝５，α，＝２Ｃ＋３Ｄ＝１２より、Ｃ＝３，，＝２.．.α、＝3.272＋２．３，■ａｎ十2＋Ａａｎ+,＋Ｂａ"＝抑)の場合特殊解６，+2＋Abn+,＋Ｂｂｎ＝仲)を求め
ａｎ十２－b､+2＋Ａ(｡"+１－６"+1)＋Ｂ(α"一Ｍ＝Ｏとなり、例えば重解を持たない場合は、
α”＝Ｃａｎ＋Ｄβ、つまり、α"＝b､＋Ｏα冗十Ｄβ、となり、αo,α,よりＣ,Ｄを求めればよい
計算例５ａｎ十2-5ａｎ十1＋6α"＝２（αo＝５，α1＝12）
特殊解はｃ－５ｃ＋6c＝２．．．ｃ＝１（α冗十2-1)－５(｡”十,－１)＋6(｡"－１)＝Ｏ

特性解は２，３．．.ａｎ＝１＋Ｄ２ｎ＋Ｅ３､,αｏ＝５，α,＝１２より、
Ｄ＝１，Ｅ＝３．．.cL7L＝１＋２，＋３冗十’

計算例６

α冗十2-2α”+1-3αね＝8，（｡o＝７，cm,＝－１）
特殊解はbね＝ｏｎ＋Ｄより、Ｃ,Ｄを求めると、ｂ、＝－２、■￣グー▽￣庁一■ご_

また、特性解はt2-2t-3=二Ｏを解いて､ｔ＝－１，３．･ルー=－２，＋Ｅ３､＋Ｆ(-1)"とおけ
αo＝７，α,＝－１より、Ｅ==２，Ｆ＝５J・ａｎ==－２，＋２．３”＋5(－１)”■練習問題６．８７次を解け’

ＩＩｌＩＩｌＩＩｌ

重解、つまりt2＋Ａｔ＋Ｂ＝(t＿α)2の場合、解と係数の関係より、α＋α＝－Ａ（１）｡"+2-4α､+,＋4｡､＝3ね,αo＝２，α,＝１１(2)｡､+l-5cun＝４，αo＝３（３）ａｎ+1-5α"＝4,＋1,α０＝３（４）ａｎ+1-5ＣＭ＝5,,αo＝３(特殊解は(ｏｎ＋Ｄ)5汎）（５）ａｎ+２－α洞+l-6Qvz＝０，α0＝５，α1＝1０BCI

ﾛ中THfOI

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麺Ｆｌｌ
６ 11基礎公式のまとめ(6) ａｎ+２－α州－６αね＝6Ｍo＝－;,α,＝：(7) α冗十２＋２q､＋１－３α冗＝５．２７，，αｏ＝２，α，＝３(8) ａｎ＋２＝α冗十１＋α河,αｏ＝０，α，＝１(9) α九十２＋α刀＝０，αｏ＝１，α，＝Ｏ(１０） ｑ冗十３－４α冗十２＋ａｎ＋１＋６α冗＝８，αｏ＝５，α１＝９，α２＝１３■練習問題088ギヤンブラーの破産問題をこのやり方で解け｡つまり､勝つ確率市,α〉Ｏ負ける確率

命のゲームに最初の所持金z$で、毎回'$ずつ賭け,目標金額１Ｖに到達するかまたは破産すればゲームをやめるとする。最初の所持金が、,(Ｏ≦〃≦１V)のとぎに最終的に破産する確率をハとするとぎ、ハの漸化式を立てて解け。

また、ゲームをやめるまでの時間をＴとしたときＥ(T)もここのやり方で計算せよ。

■練習問題6.89(**）正しい硬貨を何回も投げる。初めて表裏と続けて出るまでの試行回数＝Ｘとするとき、ハーＰ(Ｘ＝、)を求めよ。また、Ｘの確率母関数9x(t)＝Ｅ(tx)も求めよ.

(Hint表が出た後の試行で初めて表裏と出るまでの試行回数＝Ｙを合わせて考えよ）■練習問題69Ｏお菓子のおまけはＡ,Ｂ,Ｏの３種類あり、お菓子を買うごとに確率；でどれかがもらえる。初めておまけが３種類そろうまでにお菓子を買った個数を１Ｖとするとぎ、次を求めよ。
ＣＯ(1)ｋＥＮにたいしてＰ(ルハ）(2)E(ﾉV）(3)zkP(ルハ）(4)Ｖ(１V）
ん＝０■行列の侭一般[卜(::)のと…計算の仕方。
ケーリーハミルトンより、（A--aE)(Ａ－βE)＝０（ここでＥは単位行列)，ＥＡ

凡玲＝0,Ａ凡＝αPb,ＡＰb＝IBPbなどがすぐに分かる。α≠βの時､凡＝▲二互互
α－β，彫ここでαβはＡの固有値。つまり、Ｏ＝ｌｚＥ－Ａｌ＝ｚ２－(α＋巾＋qd-bcの解。

おくと、凡十Ｐｂ＝Ｅ

すると、Ａ＝ＡＥ＝Ａ(几＋Ｐｂ)＝α凡＋βＰｂ

A2＝Ｍ凡十βA島＝ａ２Ｈ＋β2彫"イ凡十β認Ｐｗ二二苧十β巍4tﾌﾟﾆﾆﾆ(ｽﾍﾟｸﾄﾙ分解）
一般ＭＡ)一巾)全二等十'(β)4t『二等α＝βの時は、（Ａ－ａＥ)2＝ＯなのでＡｎ＝(αＥ＋(Ａ－ａＥ))”＝(αE)冗十、(αE)河-1(Ａ－ａＥ)＋冗凸(αE)"-2(Ａ－ａＥ)2＋…
＝α咽十、α”-1(Ａ－ａＥ）

また､同様にノ(A)＝巾)二三等＋/(β)精＝
特に＠tA＝eto筈票＋e`β今二等とない定数係数の連立常微分方程式(鬘ﾄ(::)(:ﾄA(;''』(ルw‘':))と解ける｡また
BＩＯ

司罹￣

第６章確率・統計のまとめ[2４漸化式｡州十'州+…Ⅲ(:鰯ﾄ(ﾕﾆﾙﾄ蝋）と変形できるので（｡:\,)＝Ａ"(:?)と行列の”乗を用いて解ける。３次以上についても同様であり、同次形で特殊解を求める必要があるときも行列の固有値を元にそれがわかることを注意しておく。３次以上については、藤田岳彦・石井昌宏箸「穴埋め式線形代数らくらくワークブック参照」

固有値が異なる場合のみ触れておく。固有値αβ,γがすべて異なるとき』熱-.詞(二三三:)|:三竿)+β寵(二言二二}|:三子)+１詞(ニテニニ１号三芹）■解き方のコツまず、基本的な数学の知識、特に確率や統計における典型的計算法や基本分布に関する知識を蓄え・問題をよく読み自分のよく知っていることや経験から解法を考える。

・Ｐｕ)か余事象の確率Ｐ(AC)のどちらを計算したら簡単かを考える。
・分布関数か密度関数か母関数のどれを選択するのかを考える。
ｏガンマ関数やベータ関数が使えないかをいつも考える。

・漸化式や方程式が立てられないかを考える。
・帰納法や帰納的な考え方が使えないかどうか？

・対称性に注意して簡単になるのかどうか？

・計算を簡単にする工夫を行う。例えばＺ:=,(ん＋1)ん(ん－１)のような級数で解く。
指数分布や幾何分布はほとんどの場合テイル確率（しっぽ確率）から計算する。
・独立性や排反が使えるのか使えないのかをいつも注意する。

■検算のコツ．O≦Ｐ（）≦１（確率を求めたなら、いつでもその値はｏ以上１以下）・Ｐ(α≦Ｘ三b)＝１－→α≦Ｅ(Ｘ)三ｂ。Ｖ(Ｘに0（分散はいついかなる時でも非負。定数を除いて正）。、＝0,1,2を代入して具体的に確める・数値の場合、常識的な値になったかどうかを考える
・確率密度関数を求めた場合積分して１になるかや非負の値かどうか？

・分布関数を求めたら、単調増加か？Ｆ(｡○)＝1?,Ｆ(-｡。)＝0？
・確率ｐをｐ＝ｏやｐ＝１にしたらどうなるのか？（極端な場合を考えよ）
・対称性・非対称』性についての検討。

．．。』八・・・．・・・】】守口・一e(（’卜四口■■■■■■０■■■■■Ⅱ■■■ＩｉＩｌｌＩⅡＩ■■□■ｌ■ＩｌＩｌＩ■■■■■Ｉ■■Ｉ■ＩＵｊＩ■■ｌ■■■■■■■■■■■■■■■■ＩＩｌｌＢ００■■■■■■■■■■■■■■■１人■１口■－■】■■■■■■■■■■■■Ｉ７ｊ■Ｉ■■■■■■■■■■■■■■■■■■０１■■Ⅱ■■■■■■■■■■Ⅱ■■■■■■１０■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■▽０１■■■■■■■■■｜■■■■■■■■■■■■１０■■■■■■■■■■■■■■■■■■■７１■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■００口■■▽０口■■■■■■■■■■■■■■０．６０Ⅱ■日二日■■■■■■■■■■■■’’’１Ⅱロロ□ｐ０ＤⅡ■口Ⅱ●００－４●・ロロロ■且■■ロロロロ■一十分な計算練習を行うことが必要不可欠である。その上で１１Ｉ'(A)-巾)(二三三器三竿)+八β)(二三二鶚三等)+川(ニテニニ|号三芹）