無重力状態における多関節物体の運動
宇宙猫の宙返り2010SE089 加藤 さやか
指導教員：杉浦洋

1

はじめに猫は手足を上にして背中から下に落とされても，空中でくるりと宙返りをし，足からしっかりと着地する習性を持つ．本研究では，この動きを剛体力学的に解析し，シミュレーションを行う．

2

三次元二節虫

剛体の簡単なモデルとして，図 1，2 のような 2 つの直方体部品からなる 1 関節物体の運動シミュレーションを行う．剛体力学に基づき運動方程式を立て，4 次の古典的ルンゲクッタ法 [1] で数値的に解いた．

図 1 三次元二節虫

図 2 二節虫の三面図

すると二節虫は図 3 から図 6 の順に動き，一回転をする．

θ1 = 4π のときの空間配置は同じであった．二節虫の空間配置は θ1 の関数であり，その微係数 θ̇1 とは無関係であることが予想される．これを仮説とし，今後の研究課題とする．
［仮説］二節虫の空間配置は関節角度 θ1 の周期関数であり，その周期は 4π である．//
この仮説によれば，二節虫では，真っ直ぐな姿勢で任意の方向を向かせることは出来ない．任意の方向を向かせるには，少なくとも三節虫である必要があると思われる．
これも，今後の研究課題である．

猫の設計

3

図 7 モデル化した猫

9 つの直方体部品からなるモデル猫 (図 7, 8) を考える．
部品番号を，胸：0，頭：1，首：2，右手：3，左手：4，腰：5，右足：6，左足：7，尾：8 とする．
3.1

図 3 二節虫の動き 1

図 4 二節虫の動き 2

図 8 猫の三面図

関節物体の状態

関節で連結した部品 0, 部品 1, · · · , 部品 n からなる関節物体 C を考える．本論文では部品 0 を基幹部品とする．
部品 0（基幹部品）に固定した局所座標の原点を r0 ，右手系正規直交系を i, j, k とする．各関節の角度を θj とする．このとき，関節物体 C の空間的配置は，r0 ，i，j ，k，θj で完全に定まる．

3.2

変数表

部品 i(0 ≤ i ≤ 8) について，質量：mi ，位置ベクトル（絶対座標）：ri ，重心の速度ベクトル（絶対座標）：vi ，角速度ベクトル（絶対座標）：ωi ，関節軸始点位置：pi ，関節軸ベクトル：ai ，重心の運動量：Pi ，重心の角運動量：
図 5 二節虫の動き 3
図 6 二節虫の動き 4
L1i ，重心まわりの角運動量：L2i ，重心まわりの慣性テ
ンソル：Ii ．
シミュレーションによれば，最初真っ直ぐだった二節虫
それに加えて部品 0 については，局所座標 ｘ 軸ベクトル：は関節角 t = 2π で真っ直ぐに戻るが，後斜め上を見る姿
i = (ix , iy , iz )，局所座標 y 軸ベクトル：j = (jx , jy , jz )勢になっている．t = 4π で再び真っ直ぐになり，今度はとすると，局所座標 z 軸ベクトル：k = i × j である．
設計配置に戻り，真っ直ぐ前を見る姿勢になる．
二節虫の空間配置は時刻 t について周期的で，その周 3.3 速度と運動量期は 4π であることが，このシュミレーションで分かる．
単位ベクトル a = (a1 , a2 , a3 ) を軸とする角度 θ の右ね
じ方向の回転を，以下の回転行列
Ri = R(ai , θi ) で表す．
この例以外にも，様々に設計諸元を変えて実験したが，
22
関節角 θ1 (t) = t のときは，上記の現象が観察された． a1 + (1 − a1 ) cos θa1 a2(1 − cos θ) − a3 sin θa3 a1 (1 − cos θ) + a2 sin θ
2a2a2 a3 (1 − cos θ) − a1 sin θ  ．
 a1 a2 (1 − cos θ) + a3 sin θ2 + (1 − a2 ) cos θ2
θ1 (t) = t + sin t の関数で実験しても t = 4π ，すなわちa3 a1 (1 − cos θ) − a2 sin θa2 a3 (1 − cos θ) + a1 sin θa2
3 + (1 − a3 ) cos θ回転行列 Ri の時間微分は，Ṙi = θ˙i Rθ (ai , θi ) である． 数値計算で v0 , ω0 は線形方程式を数値的に解いて求める．
部品 0 について，位置を r0 = (x, y, z)，重心の速度を 以上により，猫の位置と姿勢を決定する独立変数 r0 , i, jv0 = (vx , vy , vz )，角速度を ω0 = (ωx , ωy , ωz ) とすると， に関する，以下の微分方程式が得られる．
ṙ0 = v0 ．—(3)
運動量 P0 は，P0 = m0 v0 となる．
i̇ = ω0 × i．—(4)部品 1 について，部品１は部品 2 と連結している．連j̇ = ω0 × j ．—(5)結部の位置は r21 = R1 (g1 − p1 ) + p1 − p2 である．また
部品 2 がさらに部品 0 に連結しているため、連結部の位4 Mathematica による猫の宙返り実験
置は r01 = R0 (R2 r21 + p2 − g0 ) である．これより部品 1
4 次の古典的ルンゲ・クッタ法 [1] で数値的に解く．数の位置は r1 = r01 + r0 となる．部品１の重心の速度は値実験によると，体を変形して慣性モーメントを変える
v1 = v0 + ω0 × r01 + R0 Ṙ2 r21 + R2 Ṙ1 (g1 − p1 ) となる
ため，部品 1 の運動量 P1 は，P1 = m1 v1 となる．部品 ことによって，回転を生じさせたり，回転速度を変えた
1 のように基幹部品 0 と他の部品 (部品 1) を介して連結 りできることが分かった．基本姿勢から姿勢変形を経て基本姿勢に戻る周期的な運動を考える．1 周期後に体軸している部品を孫部品と呼ぶ．
部品 2 について，部品 2 は部品 0 と連結している．連結 回りに何度回転したかを調べ，それが大きくなるように部の位置は，r02 = R0 (R2 (g2 − p2 ) + p2 − g0 ) である． 運動パラメータの調整を繰り返した．
その結果，体軸回りに約 35◦ 回転させることに成功しこれより部品 2 の位置は r2 = r02 + r0 となる．部品 2 の◦重心の速度は，v2 = v0 + ω0 × r02 + R0 Ṙ2 (g2 − p2 ) とな た．これを 5 回繰り返して，ほぼ 180 の宙返りが行えた．
地上では 3 周期目で腕を横に伸ばして地面をとらえるるため，部品 2 の運動量 P2 は，P2 = m2 v2 となる．部
品 2 のように基幹部品 0 と直接連結する部品を子部品と ことができ，それを支点に着地可能であると思われる．
いう．他の部品も同様にして求める．

3.4

角運動量

サイズ 2a × 2b × 2c の直方体部品の重心まわりの慣性テンソル Ii は，
b2 + c200m
Ii =0c2 + a2032200a +bとなり，これを用いて各部品の重心まわりの角運動量を求める．
部品 0 について，重心の角運動量は，L10 = r0 ×m0 v0 ，重心まわりの角運動量は，L20 = R0 I0 R0T ω0 となる．
部品 1 について，部品１の頭は部品 2 の首と連結している．重心の角運動量は，L11 = r1 × m1 v1 となる．重心まわりの角運動量は，慣性モーメント I1 より，

図 9 1 周期

図 10 2 周期

図 11 3 周期

図 12 4 周期

図 13 5 周期

図 14 着地姿勢

L21 = R0 R2 R1 I1 R1T R2T R0T ω0 + R0 R2 R1 I1 R1T R2T (θ̇2 a2 )+R0 R2 I1 (θ̇1 a1 )． 5

おわりに

本研究では，関節物体の姿勢変換を剛体力学的に解析
部品 2 について，部品 2 の首は部品 0 の胸と連結してした．その結果，二節虫の数値実験では一動作一回転すいる．重心の角運動量 L12 は，L12 = r2 × m2 v2 となる．
重心まわりの角運動量 L22 は，慣性モーメント I2 より， る姿勢があることが分かった．猫の場合，宇宙空間での一L22 = R0 R2 I2 R2T R0T ω0 + R0 I2 (θ̇2 a2 ) となる．他の部品 動作で一回転は難しく，同じ動作を繰り返すことで，二足着地の宙返りが成功した．そこで頭の振りを加えて姿も同様にして求める．
勢を制御すると，四足で着地し宙返りが成功した．
3.5 微分方程式
今後の課題は，もっと自由に素早く向きを変えられる
r0 (t)，i(t)，j(t) を未知関数とする微分方程式を示す． 宇宙猫を設計することである．そのためには，モーメン
関節角度 θ1 (t)，· · · ，
θ8 (t) は既知だから，r0 (t)，i(t)，j(t) トを支配する胴体部の部品数を増やし自由度を上げる必を求めれば，時刻 t における猫の空間配置が完全に決ま 要がある．また，二節虫の研究から，関節の位置も重要∑8る．3.3 節より猫の運動量は，P = i=0 mi vi である． であると考える．
∑83.4 節より角運動量は，L = i=0 (L1i + L2i ) である．
参考文献
運動量保存則より，P = 0—(1) となる．
[1] 杉浦洋：『数値計算の基礎と応用—数値解析学への入角運動量保存則より，L = 0—(2) となる．
門—』
．サイエンス社，
1997．
これは v0 , ω0 に関する線形方程式となり，陽的に解ける．