高等学校数学科学習指導案
１

単元名
微分法の活用法のまとめ（教科書：数研出版 改訂版 高等学校 数学Ⅲ、副教材：study-up ノート）

２

単元の目標と評価規準(1) 単元の目標
・様々な課題について、事象を数学化したり、数学的に解釈したり、数学的に表現・処理したりする際に微分法を活用できる技能を身に付ける。

【知識及び技能】

・微分法を活用して、他単元や既習事項との関連を考察し、発展的に活用する力を身に付ける。
【思考力、判断力、表現力等】
・微分法において、有用性やよさを認識し積極的に活用しようとする態度、粘り強く考え数学的論拠に基づいて判断しようとする態度、問題解決の過程を振り返って評価・改善しようとする態度を身に付ける。

【学びに向かう力、人間性等】(2)単元の評価の観点の趣旨・観点別の評価規準

単元の評
価の観点の 趣 旨

学習活動に即した
具体的な評価規準

３アイウ

知識・技能

思考・判断・表現

主体的に学習に取り組む態度・微分法の発展的な内容について、事象を数学化したり、数学的に解釈したり、数学的に表現・処理したりする技能を身に付けている。

・微分法を活用して、他単元や既習事項との関連を考察し、発展的に活用する力を身に付けている。

・微分法において、有用性やよさを認識し積極的に活用しようとしたり、粘り強く柔軟に考え数学的論拠に基づき判断しようとしたりしている。
・問題解決の過程を振り返って考察を深めたり、評価・改善しようとしたりしている。

①導関数を用いて、接線の方程式、 ①関数の変化に着目し、事象を数 ①事象を微分法の考えを用いて考察関数の値の増減などからグラフ学的に捉え、問題を解決したり、 する有用性やよさを認識し、問題の概形をかいたりすることがで解決の過程を振り返って事象の解決にそれらを積極的に活用しよきる。
数学的な特徴や他の事象との関うとしたり、粘り強く考え数学的係を考察したりすることができ論拠に基づき判断しようとしたりる。
している。
②問題解決の過程を振り返って考察を深めたり、評価・改善したりしようとしている。

指導にあたって(1) 教材観「数学Ⅲ」は、「数学Ⅱ」の履修後に数学に強い興味や関心をもってさらに深く学習しようとする生徒や、将来、数学が必要な専門分野に進もうとする生徒が履修する科目ではあるが、その内容の高度さ、複雑さ、日常生活と結び付けることが容易ではない抽象性のため、技能が習得できると満足してしまう科目であると感じている。しかしながら、高校数学を学ぶ以上、数学Ⅲでの思考こそが、数学的な見方・考え方を一層豊かにするものと考える。したがって、数学Ⅲの特殊なイメージを払拭するため、この「微分の活用法のまとめ」という単元では、数学Ⅱの「微分の考え」と数学Ⅲ「微分法」で共通している数学的な思考や、数学Ⅱの「微分の考え」のみでは不足している部分を補う発展的な思考に重点を置いている。微分を活用した応用的事項を主体的に学習できるような

題材を扱い、課題解決の過程で考察を深めたり、論理的に考察したりする時間となるようにしたい。
短い単元ではあるが、単元に微分の活用というテーマを設定し、単元全体で目標を達成できるように留意する。
(2) 生徒観
本科目は理系の生徒の受験や、進学後に必要のある生徒が選択する科目である。例年、20 名程度の選択であるが、本年度は選択者が 30 名と非常に多くなっている。その要因として、生徒の進路希望もあるが、１・２年次における数学科の丁寧な指導が挙げられる。数学に苦手意識を持たずに数学ⅠⅡＡＢまで学習してきた生徒が多いと感じる。中には、高度な数学を進路選択のためには不要の生徒もいるが、そのような生徒も意欲を失っておらず、概ね数学を学習することへの関心・意欲は高い。また、これまでの指導者のおかげで演習中の対話的に学ぶ姿勢が確立されている。したがって、学びの中で新たな疑問（問い）を生徒自身が持つことがある。具体的には、べき乗の微分について指数が整数の時でも成立つことを確認した際、有理数・実数の時はどうなるのか疑問が表出していた。また、微分法の応用では第２次導関数とグラフの凹凸を考える際、第１次導関数との関係を考察しようとするなどしていた。教科書の演習などでも対話的に解決していく場面が多く見られる。
一方で、他の事象と関連付けて発展的に考察したり、論理的に考察したりする部分はまだ課題がある。直前の単元との結びつきや、関連は生かすことは比較的できる方であるが、十分とはいえない。特に、数学Ⅲ以外の単元での学びには中々結びつかない。数学Ⅲの「微分法」の学びを関連付けた本単元の題材を通して、生徒に、既習内容を踏まえて考察を深めたり、微分法を活用して論理的に考察したりする力を身に付けたい。
(3) 指導観
単元「微分法」では、微分可能性や関数の和、差、積及び商の導関数、合成関数の導関数を求めること、三角関数、指数関数及び対数関数の導関数を求めること、導関数を用いることで、グラフの概形をかいたりすることなど、一通りの基本的な概念や原理・法則は、単なる暗記に陥らないよ
うに、留意しながら指導してきた。また、関数の局所的性質や大局的性質について理解を深めるた
めに、生徒の理解度によってはコンピュータなどを活用しながら進めてきた。本単元では、既習事項の振り返りとしてだけではなく、数学Ⅱなどの他の科目で履修した内容との継続性・連続性を意識して指導を行う。指導の際は、対話的・協働的な学びを心掛け、発表や討論により主体的に学習を進めるゼミナールのような授業を展開することを目標としている。生徒の多くは、大学へ進学後さらに発展的な学びへ向かっていき、探究的な学びをまさに体現していくこととなるので、「微分法のまとめ」を通じてそのような力を育成したい。また、数学Ⅲまで履修した生徒ならではの数学のよさや奥深さを感じられるような展開を心掛ける。
４

単元の指導と評価の計画（計 4 時間）
次(時間)

ねらい

学習内容・学習活動

評価規準(評価方法)

1
いろいろな関数のグラフについて微分法2を活用して理解できるようにする。

指数関数と三角関数の合成関数のグラフについてイー①（学習プリント）の考察を通して、グラフのかき方の理解を深める。

媒介変数表示された曲線のグラフについて媒介変数表示された曲線について考察することを微分法を活用して理解できるようにする。

通して、グラフの対称性を意識しながらかくこと

アー①（行動観察）

を理解する。

3４５

微分を活用して、関数の変化に着目したり、数の大小関係を比較する際に、微分法を用いるこ

既習事項と関連付けたりすることで大小関とでグラフが単調減少であると見通しを持ち、考 イー①（ノート・Google forms）

係の比較ができるようにする。

察する。

微分の活用法のまとめとして総合問題を演

微分法を含んだ総合問題の演習を通して、その問習し、本単元で学んだ微分法の良さや有用題解決の過程を振り返って学習の成果を実感す性を振り返ることができる。

る。

イー①（学習プリント・発表）
ウー①②（学習プリント）

本時の展開(1) ねらい・微分を活用して、関数の変化に着目したり、既習事項と関連付けたりすることで大小関係の比較ができるようにする。

【思考・判断・表現】(2) 展開時間

学習内容・学習活動○ 質問・発問・指示

導入

Ｓ 生徒の反応

指導上の留意事項
・ 学習活動

〇今日は大小関係の問題を扱います。

５分

log 𝑒

「①35 分

Ｔ 教師の手立て◇ 評価規準(評価方法)

・座席は自由席。座席配置も自由とする。
T：単元の目標である、「関連付け」を意識する〇本日の問いを確認します。

展開

・ 留意点

、

𝑒log 𝜋𝜋のどちらが大きいか」ついて、どのように考えればよいだろうか〇どちらが大きいかを予想してみよう。
1

S1：log 𝑒は１だから片方は だ。
𝑒log 𝜋S2：𝜋ことを確認。

がうまく計算できない。

T：周囲と対話的に学べるように声掛けをする。
・この段階では、単純な「予想」なので、自由に意見を出させる。

S3：単純計算は少々面倒だ。

〇今までどのように大小比較をしていたか？考えられる方法を答えよう。

T：大小比較する方法にはどんな方法があるか発S1：２数を引いた差と０の大小関係から示す。

言させる。発言がない場合・S4 のような生徒

S2：関数の単調減少・増加の性質を利用する。

が多い場合は、微分を用いた不等式の証明や1𝑒S3：log 𝑒 と log𝜋1𝜋を比較する。

S4：わからない。

数Ⅱの既習事項を振り返るよう働きかける。
その際、教科書データを画面で提示してもよい。

〇それぞれの方法を検討してみよう。
・それぞれで検討する。グループ、個人の形態は問わない。

T：でてきた案を A パターン、B パターンなどと板書し、整理する。
T：全体で各方法の検討が進むように配慮する。
グループになってもよい。全体ですべての解答が出そろうように配慮する。

・以下は生徒の検討状況を見定めながら、進め・生徒の気づきや困り感などを板書することなていく

どより、互いに思考の不足部分を補えるような状況を作り出し、検討が進むようにする。
〇机間指導で以下のようなやりとりをするが、最終的に生徒に解答を発表してもらう。
log 𝑒S1：

S2:

𝑒<log 𝜋log 𝜋と予想して、𝜋−𝜋log 𝑒𝑒を考えまT：関数を定義するということに気付けない生徒

したが、ここからわかりません。

へは単調減少・単調増加の性質を用いた大小比

log 𝑒較についての例を示し、関数を定義することに

𝑒log 𝜋<𝜋と予想して、両辺に𝑒𝜋をかけました。𝜋 < 𝑒 log 𝜋まではたどり着いたので着想させる。

すが途中でわからなくなりました。

T1:S2、S3 の考え方を共有して、関数を定義する

1𝑒S3：底は 𝑒 > 0だから、𝑒 と 𝜋1𝜋の大小関係
11𝑒𝜋を比較することはわかるけど、 と1𝑥があるからな。𝑦 = 𝑥 のグラフをかいて確かめことに気づかせる。
T2:定数πを変数として置き換えて、関数を定義するとよいことに気付かせる。

たいけど、どうしたらよいのだろう。

T3:両辺の対数をとって考えることを伝える。

log 𝜋・T1～T3 は、すぐに結論として伝えずに、生徒

S4：

𝜋log 𝑒−𝑒から何をしたら良いのかわかりません。の思考の段階を見ながら必要な働きかけをする。
T4：関数の単調減少、単調増加の性質を用いた大小比較についての例を提示し、思考するよう促す。

〇いずれのケースにも、この後に共通する考え方の見通しは何だろうか。

・板書の比較検討を十分に行うことで、S1～S3
どの方法であっても、共通している考え方が、S：関数を定義し、微分することでグラフの増減を確かめること。

関数を定義し、微分をして、グラフの増減を確かめることで結論が得られるのではないか

S4：わかりませんという予想をさせる。
T4:S1～S3 の生徒に何をしたか・見通しを話してもらい共通点を探れるようにする。

〇では、見通しを踏まえて実際にやってみよう。 ・それぞれどのような関数を定義したか、途中S1：𝑦 =log 𝑥のグラフをかいて考えた。

𝑥で確認をする。

𝑥 = 𝑒で極大値となるので、𝑥 > 𝑒 ではグラフは単調減少。𝑒 < 𝜋だからlog 𝑒log 𝜋・以下、必要な場面で補助的な発問に心がける。

だ。

T1：完全に導けていなくても、方向性がこれにS2：𝑓(𝑥) = 𝑒 log 𝑥 − 𝑥として、𝑓(𝑥) > 0 を示す。

近いものについては、考え方を全体で共有𝑓𝑒>𝜋𝑒′ (𝑥)= − 1となり𝑥 = 𝑒 で極大値をもつ
𝑥ことまでは確認できたよ。
1𝑥する。
T2、3：グラフをかいた段階で、今何を求めるべ

S3：𝑦 = 𝑥 のグラフをかいたら、𝑥 = 𝑒で極大値きかについて、わからなくなっているので、をもつことを確認したよ。𝑒 < 𝜋 だから、最初の問題に立ち返り、何を求めるか再度

1𝑒𝑒 >𝜋1𝜋が得られたよ。

S4：わかりません。

確認させる。
T2､3､4：グラフがかけない生徒に対しては、どこでつまずいているのか確認する。
T4：微分がやりやすいと思われる S2 の案について説明をし、微分する方向へ誘導する。

・問いの答えは、こちらから示すのではなく、生徒同士で導き、共有できるようにする。
・生徒の解法をタブレット端末で写し、前方のモニターへ投影し、生徒に解説をしてもらう。
○関数を結びつけて考えるときに、気をつけたポイントは何だろう。
log 𝑒

S1:𝑒とlog 𝜋の、 𝑒と𝑒𝜋、𝜋と𝜋のところを𝑥 にしたところかな。
S2: 最初、𝜋 < 𝑒 log 𝜋と予想したところから考えたから、𝜋と𝜋を𝑥 にしたところかな。
11

S3: 𝑒 𝑒 と 𝜋 𝜋の大小関係を比較することから考えたから、𝑒と𝑒、𝜋と𝜋のところを𝑥 にしたところかな。

T1～4：ここでは、生徒の言葉でまとめさせるように留意する。
・どのように関数と考えるかというポイントを整理させる。それぞれの場合に偶然にできたという考え方ではなく、どの場合でも留意する点に気付かせたい。
・次時の問いへとつなげるための捉え方である。

展 開②○log 𝑒𝑒>log 𝜋𝜋であるという結果から、新たに気づくことはあるかな。

５分
S1：対数のままで考えても、引き算で考えても、 ・本時の考察を振り返りながら、気付いたこと指数で考えても結果は一緒だった。

を自由に発言させる。

S2：交差してる？なんか、両辺に𝑒𝜋かけたら、・S4 の気づきへ促したい。

𝜋 log 𝑒 > 𝑒 log 𝜋みたいな関係が成り立つ。
𝜋S3：さらに、log 𝑒 > log 𝜋𝜋S4：𝑒 > 𝜋

まとめ５分𝑒𝑒じゃないの？になるってことじゃない？

〇この時間でポイントになった考え方について、振り返ろう。

・さらに、例えば23 と32 のように底と指数を入れ替えたものの大小関係はどうなっているかを投げかけて次の課題につなげる。
・Google classroom で forms によるアンケートを実施する。本日のノートを撮影し、クラスルームに提出する。
◇【思】微分を活用して、関数の変化に着目したり、既習事項と関連付けたりすることで大次時の課題の確認
太郎さんは小関係の比較ができる。

0 < 𝑎 < 𝑏であるとき、𝑏 𝑎 < 𝑎𝑏 が常に成り立つと考えた。正しいかどうか確認せよ。ただし、理由も書くこと。

(3) 評価規準と「おおむね満足できる」状況（Ｂ）と判断される生徒の具体的な姿について

評価規準

評価方法・評価の場面※留意点「おおむね満足できる」状況(B)と判断される生徒の具体的な姿＜ノート＞○パターン１log 𝑒𝑒>

数𝑦 =log 𝜋𝜋log 𝑥𝑥またはlog 𝑒𝑒<log 𝜋𝜋を予測し、関を活用することに気付き、グラフをかいて考える。さらに、𝑥 = 𝑒で極大値となるので、𝑥 > 𝑒 ではグラフは単調減少であることを述べて、𝑒 < 𝜋だからlog 𝑒𝑒>log 𝜋𝜋と結論づける。

○パターン２log 𝑒𝑒

ノート・まとめ５分でクラスルー
ムに提出※ノートについては、最後まで記微分を活用して、関数の変化に着目したり、既習載した後に、写真で撮り、クラスルームに提出させる。

事項と関連付けたりす>

log 𝜋𝜋またはlog 𝑒𝑒<log 𝜋𝜋を予想して、両辺に𝑒𝜋をかけて、𝜋 > 𝑒 log 𝜋 または𝜋 < 𝑒 log 𝜋となることから、
関 数𝑓(𝑥) = 𝑒 log 𝑥 − 𝑥 を 活 用 す るこ とに気づき、𝑓(𝑥) > 0 や𝑓(𝑥) < 0を示すことを𝑒考える。さらに、𝑓 ′ (𝑥) = − 1となること
𝑥から、𝑥 = 𝑒で極大値をもつので、𝑥 > 𝑒 ではグラフは単調減少であることを述べて、ることで大小関係の比𝑒 < 𝜋だから較ができる。

log 𝑒𝑒>log 𝜋𝜋と結論づける。

○パターン３11

log 𝑒 𝑒 と log𝜋 𝜋を比較することに着眼11し、底は 𝑒 > 0だから、𝑒 𝑒 と 𝜋 𝜋の大小関係を比較することから考える。
1関数𝑦 = 𝑥 𝑥 を活用することに気づき、グラフをかくことで、𝑥 = 𝑒で極大値をもつ11ことを確認し、𝑒 < 𝜋 だから、𝑒 𝑒 > 𝜋 𝜋あること、つまりGoogle Forms・まとめ５分で実施※「この時間でポイントになったlog 𝑒𝑒>log 𝜋𝜋でを結論づける。

＜Google Forms＞
大小比較には関数の変化を確かめる方法

考え方について、振り返ろもあること。その際、グラフをかくためにう。
」に対しての自由記述微分法が活用されていることへの気づきである。

がある。

６

（参考）本単元で扱う題材(1) １時間目で扱う題材
𝑦 = 𝑒 sin 𝑥+cos 𝑥 (−𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋) のグラフをかけ。

(2) ２時間目で扱う題材
𝑥𝑦平面上に、𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝜃, 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠3𝜃 (0 ≦ 𝜃 ≦ 𝜋)と媒介変数表示された曲線Ｃを考える。

(1) 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 とおいて、𝑥 と 𝑦 を 𝑡 の式で表せ。
𝜋𝜋(2) 0 ≦ 𝜃 ≦ 2 において、𝑦 を 𝑥 の式で表せ。また、2 ≦ 𝜃 ≦ 𝜋 において、𝑦 を 𝑥の式で表せ。
(3) 曲線Ｃの概形をかけ。

(3) ４時間目で扱う題材
太郎さんは 0 < 𝑎 < 𝑏であるとき、𝑏𝑎 < 𝑎𝑏 が常に成り立つと考えた。正しいかどうか確認せよ。
ただし、理由も書くこと。

７

引用・参考文献
・文部科学省「高等学校学習指導要領解説 数学編（平成 30 年７月告示）」
・数研出版「改訂版 高等学校 数学Ⅲ」 「改訂版 高等学校 数学Ⅱ」
・国立教育政策研究所「『指導と評価の一体化』のための学習評価に関する参考資料 高等学校数学」
・オリジナルスタンダート数学演習Ⅲ