ロープ長の速度，加速度を考慮したジブクレーンのロバスト制御
2010SE150 成田将規

2010SE258 後呂拓司

指導教員：高見勲

1

はじめに[mjÊ =−mp][0, Ĝ =0[ ]kt
Ĥ =0−mp lmp l]
0mp g

本研究では動特性に含まれる変動パラメータを省略することなくモデル化，制御系の設計を行う． 今回はロープ長の変動に注目する．ロープ長は時変なパラメータであるため，その変化速度，加速度が存在する．しかし，ロー˙ ¨l を省略することなく数学モデルの導出を本研究は，l,プ長に関する従来の研究では，ロープ長を時変パラメータとしモデリングを行っているが，制御系設計の際にロー 行う. これにより，2 つの動作を同時に行う場合のいかプ長の変化速度，加速度を 0 として扱っており [1] [?] モ なるロープ長の変動に対しても安定な制御器を構築できデル化誤差が生じてしまう．そこで，本研究ではロープ長 ることを理論的に保証する．求められる数学モデルを 式の変化速度，加速度を省略することなく最適レギュレー (2) に示す．
˙ q̇(t) + G(¨l)q(t) = HIj (t)E(l)q̈(t) + F (l)(2)
タ理論に基づくロバスト LQ 制御器 (R-LQ 制御器)，単]][[0 −2mp l˙
mj −mp l
一リアプノフ関数に基づくゲインスケジューリング制御
E=, F =−mp mp l
0 2mp l˙
器 (S-GS 制御器)，パラメータ依存リアプノフ関数に基づ[][]
くゲインスケジューリング制御器 (PDL-GS 制御器) の設
0 −mp ¨lkt
G=, H=計を行う．それらを，ロープ長の変化速度，加速度を 0 と0 mp g0した数学モデルで制御器の設計したもと評価関数値，シミュレーション結果の比較を行う．その比較より，ロープ本研究の制御目的は吊り荷を偏差なく目標値に追従さ長の速度，加速度を数学モデル，制御器に考慮する有効 せることである．そのため，拡大系を設計する．偏差を性を検証する．また，各制御器の制御性能の比較も行う． e = r − y とし，偏差の積分を x = ∫ t e(τ )dτ とすると，
e2

制御対象滑車の位置 ξ [m]，吊り荷の振れ角 γ [rad]，ロープ長 l [m] であり，制御量は吊り荷の水平方向の位置 y [m]（y = ξ − l sin γ ）とする．操作量は横行き用モータへの入力電流 Ij [A] である．クレーンの概略図を図１に示す．
+

ξ(t)
y(t)

Ed ẋd = Ad (l, l,˙ ¨l)xd +[ Bu ]Ed = diag(I, I, 1, 0), J = 1 −l 0I000 0000I  Ad =  B=  −J0000 −G −F 0 −EH+Trolley

γ(t)
l(t)

4Payload

(3)

制御器設計

本研究ではロバストな制御器を設計する．そのため，変˙ ¨l, ...
動パラメータである l, l,l のポリトープ端点の上下界を頂点とするパラメータボックスを 式 (4) で与える．

図 1 クレーンの概略図

Φ = {ϕ = [ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 , ϕ4 ]T：ϕi ∈ {ϕi , ϕi }} (4)...
ϕ1 = l, ϕ2 = l,˙ ϕ3 = ¨l, ϕ4 = l , (i = 1, 2, 3, 4)

また，この際 γ は十分小さく，sin γ ≃ γ ，cos γ ≃ 1，γ̇ 2 ≃ 0 のように近似できるものとする．

30

状態変数は x(t) = [(q(t)−q(∞))T q̇(t)T xe (t)−xe (∞)]T，操作量は u(t) = up (t) − up (∞) となる．ここにおけるq(∞)，xe (∞)，up (∞) は定常値である． 式 (2) の拡大系を状態方程式にした際，行列 E −1 F ，E −1 G が非線形な形になるため，ディスクリプタ表現を用いる．ディスクリプタ変数を xd (t) = [x(t)T q̈(t)T ]T とすると， 式(2) は 式 (3) のように与えられる．

ディスクリプタ方程式

4.1
T

一般化座標 q(t) を q(t) = [ξ(t) γ(t)] とおくと，従来の数学モデルは 式 (1) のように与えられる．

Ê(l)q̈(t) + Ĝq(t) = ĤIj (t)(1)

ロバスト LQ 制御器設計得られたディスクリプタシステム 式 (3) に対し，LQ 制御を考慮した場合の一般化制御対象を 式 (5) と与える．
{Ed ẋd = Ad (ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 )xd + Bdw w + Bdu u(5)
z = Cd xd + Dd u Bw[] Bdw =  0  , Cd = Wx 0 0
0
[ ]
[ 1]0
Q2
Dd =, Wx =1R20

リアプノフ行列 Xd (ϕ) ，変数行列 Yd (ϕ) を考慮し得られる LMI 条件式は 式 (12) となる．
minimize : γsubject to : Ed Xd (Φ) = Ed Xd (Φ)T ≥ 0[He {Ad (Φ)Xd (Φ) + Bd Yd (Φ)} − Ed Ẋd (Φ)
Cd Xd (Φ) + Dd Yd (Φ)](Cd Xd (Φ) + Dd Yd (Φ))T< 0 (13)−I[]W
Bdw
>0T
Bdw
Xd (Φ)

w はインパルス外乱入力，z は評価出力，Q は状態
変数 x に対する重み行列，R は制御入力 u に対する重みである．ここで, 式 (5) のシステムの w から z までの評価関数が 式 (6) で与える．
∫∞∥Gzw ∥22 =z(t)T z(t)dt(6)

Trace(W ) < γ 20

式 (5) で表されるシステムを変動パラメータ ϕi の変動範囲内において安定化し，評価関数を最小化する LMI
条件は 式 (7) で与えられる．
minimize : γLMI 条件式 (13) より He {Ad (Φ)Xd (Φ) + Bd Yd (Φ)}
を満たさなければならない． しかし， Ad (Φ)Xd (Φ) には変動パラメータの二乗項が存在する．そのため，式 (13) がΦ に対しマルチアフィンとなるような制約が必要となる． よって，行列 Ad (Φ) の構造を考慮しリアプノフ行列
Xd (Φ) に対し式 (14), (15), (16) の制約を与える [2]．

subject to : Ed Xd = (Ed Xd )T ≥ 0[]
He {Ad (Φ)Xd + Bd Yd } (Cd Xd + Dd Yd )T< 0 (7)
Cd Xd + Dd Yd−I
X111[]
 0W
Bdw
 T>0
X113
TBdw
X
Xd1 = X1T14 TX115
X1Trace(W ) < γ610Tただし，式 (7) で与えられる条件 Ed Xd = (Ed Xd )
X211
よりリアプノフ行列に対し式 (8) の制約が必要となる．
X2T12
 T
よって，行列 Xd は 式 (9) より以下のように定める．
X213

TX=0

Ed Xd = (Ed Xd )d2
 T[] []
X215
X2
X11 X12
X11 0
61==X271
00
X12 0

X311
⇒ X12 = 0(8)
 0[]
 T
X313
 T
X110
X=
X314
d3
Xd =(9) T
X21 X22
X315
X361
X371
以上より，ロバスト LQ コントローラは 式 (10) で与え2られる．

4.2

Kd = Yd Xd −1(10)PDL-GS 制御器設計ロバスト LQ 制御器と同様に得られたディスクリプタ
システム 式 (3) に対し，LQ 制御を考慮した場合の一般化制御対象を 式 (5) と与える．リアプノフ行列 Xd (ϕ)
を 式 (11) と定義する．
[]
X11 (Φ)0Xd (Φ) =(11)X21 (Φ) X22 (Φ)= Xd0 +3∑

= Yd0 +n=1

ϕn Ydn

X114
0X134
X144
X1T
45
X164
0X115
0X135
X145
X155
X165
000000
X166
0

X212
X222
X2T
230T
X225
X262
X272

X213
X223
X233
0
X2T
35
X263
X273

00000
X264
X274

X215
X225
X2350X255
X265
X275

00000X266
X27600000X362
X372

X313
0X333
X3T
34X3T
35X363
X373

X3140X334
X344
X3T45X364
X374

X315
0X335
X345
X355
X365
X375

00000X366
X376

Kd (Φ) = Yd (Φ)Xd (Φ)−1

Kd1 (Φ) = Yd (Φ)Xd−15(12)


00 

0 

0 (14)
0 
X167 0

00 

0 

0 (15)
0 
X267 X277

00 

0 

0 (16)
0 
X367 X377(17)

ここで，リアプノフ行列 Xd (Φ) を変動パラメータに依存させず Xd とし，式 (13) において Ed Ẋd (Φ) = 0とすることで単一のリアプノフ関数に基づくゲインスケジューリングコントローラゲイン Kd1 (Φ) は式 (18) で与えられる．

ϕn Xdn3∑X1130X133
X1T43X1T35X163
0

式 (11)， (12) を考慮した LMI 条件を解くことで得られる Xd (Φ)，Yd (Φ) より，リアプノフ関数に基づくゲインスケジューリングコントローラゲイン Kd (Φ) は式 (17) で与えられる．

n=1変数行列 Yd (ϕ) は 式 (12) と定義する．
[]
Y11 (Φ)Yd (Φ) =000000
X1620(18)シミュレーション

パラメータボックスの上下界を l = ϕ1 ∈ [0.0985, 0.7]，l˙ = ϕ2 ∈ [−0.011, 0.2609]，¨l = ϕ3 ∈ [−2.0218, 2.0218]，...
l = ϕ4 ∈ [−60.2349, 60.2349] とし，ロープ長の巻き上げ速度の目標値を 0.25[m/s] とする．ロープ長とその速度，加速度は以下の図となる．

5.20.7

˙ ¨l を 0 とした場
ディスクリプタ表現の枠組みにおいて l,˙ ¨l を考慮し合と，ディスクリプタ表現の枠組みにおいて l,た場合で S-GS 制御器を設計し比較を行う．以下の表の括弧内はスケジューリングパラメータである．

0.60.5
Rope length[m]S-GS 制御器

0.40.30.2

表 2 S-GS 制御器の評価関数比較
XXX
評価関数
XXX
上界値
XXXXX
制御器の種類(γ)

0.10Time[s]行列 Ad

図 2 巻き上げ時のロープ長Ad (l)0510150.3

Ad (l，̇l，̈l)

Simulation(∥Gzw ∥2 )Single Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝31.3271

1.1821

Single Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝61.3369

1.1806

Single Lyapunov GS(ϕ1 ϕ2 )…⃝71.3369

1.1804Single Lyapunov GS(ϕ1 ϕ2 ϕ3 )…⃝81.3369

1.1831

2
Rope acceleration[m/s＾2]

Rope velocity[m/s]

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0

101.2
-1

1
10.8

51015

0510Time[s]図 3 巻き上げ時のロープ速度

5.115Time[s]図 4 巻き上げ時のロープ加速度

Position[m]0Position[m]-2-0.05

0.60.4Single Lyapunov…③Single Lyapunov(φ1)…⑥Single Lyapunov(φ12)…⑦Single Lyapunov(φ123)…⑧0.2

R-LQ 制御器

00.5

Single Lyapunov…③Single Lyapunov(φ1)…⑥Single Lyapunov(φ12)…⑦Single Lyapunov(φ123)…⑧0-0.20

ロープ長を固定した LQ 制御器，ロープ長の変動を考慮した R-LQ 制御器，ロープ長の速度，加速度を考慮した R-LQ 制御器の比較を行う．

10

図 9 静止状態スタートの出力

01.3267

1.2698-0.020Robust LQ(ϕ1 ϕ2 ϕ3 )…⃝51.3384

1.2858

-0.03

-0.1

0.10510

図 11 静止状態スタートの振れ角

Position[m]

0.8
0.6

0.6
0.4
0.2

0.4
0
Robust LQ…②Robust LQ(φ123)…⑤
LQ (l=0.35)…①

0.2-0.2010150

図 1251001551015

Time[s]Time[s]図 6 π/6 振れた状態スタートの出力

図 5 静止状態スタートの出力

0.6
Robust LQ…②Robust LQ(φ123)…⑤
LQ (l=0.35)…①

π/6 振れた状態
スタートの振れ角

Robust LQ…②
Robust LQ(φ123)…⑤
LQ (l=0.35)…①0.4

表 2 より評価関数値上は l, l˙ をスケジューリングパラメータとした S-GS 制御器 (⃝7 ) が一番低い． しかし，評価関数値，シミュレーション結果においてもそれほど差が見られなく，誤差の範囲以内だといえる．そのため，l,˙ ¨l をスケジューリングパラメータに含めなくても十分な制御器が設計できるものと考えられる．また，R-LQ 制御器と同様に吊り荷の揺れに影響を受けて出力が振動していることがわかる．

5.3

PDL-GS 制御器

Angle[rad]Angle[rad]0.03
0.020.010

˙ ¨l を 0 とした場
ディスクリプタ表現の枠組みにおいて l,˙ ¨l を考慮し合と，ディスクリプタ表現の枠組みにおいて l,た場合で PDL-GS 制御器を設計し比較を行う．以下の表の括弧内はスケジューリングパラメータである．

0.2

0-0.01
-0.02
-0.2
-0.03
0510Time[s]図 7 静止状態スタートの振れ角

15Time[s]10.8

Position[m]0.2

Robust LQ(ϕ1 )…⃝25Single Lyapunov…③Single Lyapunov(φ1)…⑥Single Lyapunov(φ12)…⑦Single Lyapunov(φ123)…⑧

0.3

-0.01

10.04

0.4

0.01

Time[s]00.5

Angle[rad]Angle[rad]0.02

1.2150.6Single Lyapunov…③Single Lyapunov(φ1)…⑥Single Lyapunov(φ12)…⑦Single Lyapunov(φ123)…⑧

1.1725

Robust LQ…②Robust LQ(φ123)…⑤
LQ (l=0.35)…①10

図 10 π/6 振れた状態スタートの出力

0.04

1.1829

1.45Time[s]LQ(l = 0.35 で固定)…⃝
1Ad (l)1.2015Time[s]0.03

表 1 ロバスト LQ 制御器の評価関数値比較
XXX
評価関数
XXX
行列 Ad
上界値
Simulation
XXX
制御器の種類(∥Gzw ∥2 )XX (γ)Ad (l，̇l，̈l)

515051015Time[s]図 8 π/6 振れた状態スタートの振れ角シミュレーション結果，評価関数値より R-LQ 制御器を設計する際にロープ長の変化速度，加速度を考慮したとしても制御性能は向上しないものと考えられる．さらに，R-LQ 制御器 (⃝2, ⃝5 ) は吊り荷の揺れに影響を受けて出力が振動していることがわかる．

行列 AdAd (l)Ad (l，̇l，̈l)

表 3 PDL-GS 制御器の評価関数比較
XXX
評価関数
XXX
上界値
Simulation
XXX
制御器の種類(γ)(∥Gzw ∥2 )XX
PD Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝41.2539

1.1859PD Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝91.2631

1.1633

PD Lyapunov GS(ϕ1 ϕ2 )…⃝101.2596

1.1651

PD Lyapunov GS(ϕ1 ϕ2 ϕ3 )…⃝111.2594

1.1875

1.4

表 4 より評価関数値上は PDL-GS 制御器 (⃝9 ) が有効であることがわかる．シミュレーション結果においても，
図 17，図 18 より他の制御器と比べて，PDL-GS 制御器(⃝9 ) はそれほど影響を受けることなく収束していることがわかる．以上の結果より，吊り荷の振れを考慮し各制御器を比較した場合，一番安定しているものは PDL-GS制御器 (⃝9 ) であることがわかる．

11.2

Position[m]Position[m]10.80.60.40.5

PD Lyapunov…④
PD Lyapunov(φ1)…⑨
PD Lyapunov(φ12)…⑩
PD Lyapunov(φ123)…⑪

0.2

PD Lyapunov…④
PD Lyapunov(φ1)…⑨
PD Lyapunov(φ12)…⑩
PD Lyapunov(φ123)…⑪00051001551015

Time[s]Time[s]

図 13 静止状態スタートの出力

図 14 π/6 振れた状態スタートの出力

S-GS 制御器の実験結果

60.6
PD Lyapunov…④PD Lyapunov(φ1)…⑨
PD Lyapunov(φ12)…⑩
PD Lyapunov(φ123)…⑪0.04

l のみをスケジューリングパラメータとした S-GS 制
御器 (⃝6 ) について，実験を行いシミュレーションとの比較を行う．

PD Lyapunov…④PD Lyapunov(φ1)…⑨
PD Lyapunov(φ12)…⑩
PD Lyapunov(φ123)…⑪

0.4
Angle[rad]Angle[rad]

0.02

00.2
0.3

0.015

0.25

0.01

0.20.005

Simulation
Experiment005

10015Time[s]図 15 静止状態スタートの振れ角

5

図 16

1015Time[s]π/6 振れた状態
スタートの振れ角

Angle[rad]

-0.2

-0.04

Position[m]

-0.02

0.15
0.1
0.05

-0.010

表 3 より評価関数値上は l のみをスケジューリングパラメータとした PDL-GS 制御器 (⃝9 ) が有効であることがわかる．図 15 より,PDL-GS 制御器 (⃝11 ) はスケジュー¨
リングパラメータに l を含むため振動している．このこ˙ ¨l をスケジューリングパラメータに含める必とより， l,要はないと考えられる．

5.4

各制御器の比較

行列 Ad

表 4 各制御器の評価関数比較
XXXXX
評価関数
XXX
上界値
XXX
制御器の種類(γ)

Ad (l，̇l，̈l)

1.18291.17251.32671.2698Single Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝61.3369

1.1806

PD Lyapunov GS(ϕ1 )…⃝91.2631

1.1633

Position[m]Position[m]1

LQ (l=0.35)…①
Robust LQ…②Single Lyapunov(φ1)…⑥
PD Lyapunov(φ1)…⑨0.20.551001551015Time[s]Time[s]図 18 π/6 振れた状態スタートの出力

図 17 静止状態スタートの出力

LQ (l=0.35)…①
Robust LQ…②Single Lyapunov(φ1)…⑥
PD Lyapunov(φ1)…⑨0.4Angle[rad]Angle[rad]

0.03
0.02
0.01
00.2

0-0.01
-0.02

-0.2

-0.03
0510Time[s]図 19 静止状態スタートの振れ角

図 21 出力150

図 2001020Time[s]3040

図 22 振れ角

図 21 より摩擦を考慮していないため立ち上がりが遅くなっているが，収束はシミュレーションとほぼ一致している。

おわりに本研究の成果は以下のものである．
• ロープ長の変化速度，加速度 ( l,˙ ¨l ) を考慮した制御

510Time[s]π/6 振れた状態
スタートの振れ角[1] 高木 清志，西村 秀和：タワークレーンの吊り荷ロープ長変動を考慮したゲインスケジュールド制御，日本機械学会論文集 (C 編)，64-626，3805/3812（1998）[2] 陳，柴田：ディスクリプタ表現の冗長性を利用したシステム解析，システム/制御/情報 : システム制御情報学会誌，47-5, 211-216（2003）

0.6
LQ (l=0.35)…①
Robust LQ…②Single Lyapunov(φ1)…⑥
PD Lyapunov(φ1)…⑨0.0440参考文献

LQ (l=0.35)…①
Robust LQ…②Single Lyapunov(φ1)…⑥
PD Lyapunov(φ1)…⑨00030• シミュレーションにおいて各制御器の制御性能の比較を行ったこと．
今後は実験を行い，以上のことを検証する必要がある．

11.20.420Time[s]• シミュレーションにおいて S-GS 制御器，PDL-GS
制御器のスケジューリングパラメータにロープ長の˙ ¨l ) を考慮する有効性の検証を変化速度，加速度 ( l,行ったこと．

1.40.610• LFT(線形分数変換) を用いない PDL-GS 制御器を設計したこと． (これまでの研究 [3] では LFT を用いており計算量の増加から実装が難しかった．)

Simulation(∥Gzw ∥2 )Robust LQ…⃝
20.8-0.02
0器を設計をしたこと．

LQ(l = 0.35 で固定)…⃝
1Ad (l)-0.015

Simulation
Experiment-0.05

7LQ 制御器 (⃝1 )，ロバスト LQ 制御器 (⃝2 )，S-GS 制御器 (⃝6 )，PDL-GS 制御器 (⃝9 ) の制御器の比較を行う．

0-0.005

15[3] Masayuki Jinno，Yuki Ushida，Gan Chen：GainScheduling Control for Cranes via Parameter Dependent yapunov Functions , SICE ANNUAL CONFERENCE 2013 conference Proceedings ， SICE ，2013 ， pp.456-461 ， 2013/09 .