Ｂ５サイズで作成しています

令和７年度大学入学共通テスト

試作問題『数学Ⅰ，数学Ａ』○ 試験時間70 分○ 出題範囲

「数学Ⅰ」及び「数学Ａ」の内容から出題

100 点「数学Ａ」については，図形の性質，場合の数と確率の２項目に対応した出題とし，全てを解答する。
問題

選択方法

第1問

必答

第2問

必答

第3問

必答

第4問

必答

○ 作成の趣旨及び留意点
本試作問題は，令和７年度大学入学共通テストの出題科目『数学Ⅰ，数学Ａ』について具体的なイメージの共有のために作成・公表するものです。
本試作問題は専門家により作成されたものですが，過去の大学入試センター試験や大学入学共通テストと同様の問題作成や点検のプロセスを経たものではありません。
なお，本試作問題の第２問〔２〕及び第４問は新規に作成したものですが、それ以外の問題は令和３年度大学入学共通テスト本試験（１月17 日実施）で出題された問題を充てています。
令和７年度大学入学共通テストの出題内容については，本試作問題の作成を踏まえつつ，引き続き検討することとしています。
※

本試作問題に関する説明は，「試作問題「数学」の概要」を御覧ください。

数学Ⅰ，数学Ａ

数学Ⅰ，数学Ａ（全第１問（配点問 必 答）30）〔１〕𝑐を正の整数とする。𝑥の 2 次方程式
2𝑥 + 4𝑐 − 3 𝑥 + 2𝑐 − 𝑐 − 11 = 0……………………… ①について考える。
⑴ 𝑐 = 1のとき，①の左辺を因数分解すると𝑥+ア𝑥−イウであるから，①の解はイ𝑥=−，ウアである。
⑵ 𝑐 = 2のとき，①の解は

𝑥=−±エオカキであり，大きい方の解を𝛼とすると

5 =αク+ケコサである。また，𝑚 < 5 < 𝑚 + 1を満たす整数 𝑚 はαシである。

（数学Ⅰ，数学Ａ第１問は次ページに続く。）－ 2 －－1－数学Ⅰ，数学Ａ⑶ 太郎さんと花子さんは，①の解について考察している。

太郎：①の解は 𝑐 の値によって，ともに有理数である場合もあれば，ともに無理数である場合もあるね。𝑐 がどのような値のときに，解は有理数になるのかな。
花子：2 次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。

①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数 𝑐 の個数はス個である。
（数学Ⅰ，数学Ａ第１問は次ページに続く。）－ 3 －－2－

数学Ⅰ，数学Ａ〔２〕右の図のように，△ABCの外側に辺AB，BC，CAをそれぞれ 1 辺とする正方形ADEB，BFGC，CHIAをかき，2 点EとF，GとH，IとDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。
以下においてBC = 𝑎, CA = 𝑏, AB = 𝑐∠CAB = 𝐴, ∠ABC = 𝐵, ∠BCA = 𝐶とする。

⑴ 𝑏 = 6，𝑐 = 5，cos 𝐴 = 3 のとき，sin 𝐴 =5セであり，

ソ△ABCの面積は タチ ，△AID の面積は ツテ である。
（数学Ⅰ，数学Ａ第１問は次ページに続く。）－ 4 －－3－

数学Ⅰ，数学Ａ⑵ 正方形 BFGC，CHIA，ADEB の面積をそれぞれ 𝑆 ，𝑆 ，𝑆 とする。このとき，
𝑆 −𝑆 −𝑆 は・0° < 𝐴 < 90° のとき，

ト・𝐴 = 90° のとき，。

ナ・90° < 𝐴 < 180° のとき，ト～ニ。

ニ。の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

0 である
正の値である負の値である正の値も負の値もとる⑶ △AID，△BEF，△CGH の面積をそれぞれ 𝑇 ，𝑇 ，𝑇 とする。このとき，
ヌである。

ヌの解答群

𝑎 < 𝑏 < 𝑐ならば，𝑇 > 𝑇 > 𝑇
𝑎 < 𝑏 < 𝑐ならば，𝑇 < 𝑇 < 𝑇
𝐴が鈍角ならば，𝑇 < 𝑇 かつ 𝑇 < 𝑇
𝑎，𝑏，𝑐の値に関係なく，𝑇 = 𝑇 = 𝑇（数学Ⅰ，数学Ａ第１問は次ページに続く。）－ 5 －－4－

数学Ⅰ，数学Ａ⑷ △ABC，△AID，△BEF，△CGH のうち，外接円の半径が最も小さいものを求める。
0° < 𝐴 < 90°のとき，ID

ネ（△AID の外接円の半径）BCでありノ（△ABC の外接円の半径）であるから，外接円の半径が最も小さい三角形は・0° < 𝐴 < 𝐵 < 𝐶 < 90°のとき，ハである。

・0° < 𝐴 < 𝐵 < 90° < 𝐶のとき，ヒである。

ネ，ノ<ハ，の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）=ヒ△ABC>の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）△AID－ 6 －－5－

△BEF△CGH数学Ⅰ，数学Ａ（下書き用紙）

数学Ⅰ，数学Ａの試験問題は次に続く。

－ 7 －－6－

数学Ⅰ，数学Ａ

第２問（配点30）〔１〕陸上競技の短距離 100ｍ走では，100ｍを走るのにかかる時間（以下，タイムと呼ぶ）は，1 歩あたりの進む距離（以下，ストライドと呼ぶ）と 1 秒あたりの歩数（以下，ピッチと呼ぶ）に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。

ストライド（ｍ/歩）＝ピッチ（歩/秒）＝100（ｍ）
100ｍを走るのにかかった歩数（歩）

100ｍを走るのにかかった歩数（歩）
タイム（秒）

ただし，100ｍを走るのにかかった歩数は，最後の 1 歩がゴールラインをまたぐこともあるので，小数で表される。以下，単位は必要のない限り省略する。
例えば，タイムが 10.81 で，そのときの歩数が 48.5 であったとき，ストライドは10048.5より約 2.06，ピッチはより約 4.49 である。
48.510.81

なお，小数の形で解答する場合は，解答上の注意にあるように，指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また，必要に応じて，指定された桁までにマークせよ。
（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 8 －－7－数学Ⅰ，数学Ａ⑴ ストライドを 𝑥，ピッチを 𝑧 とおく。ピッチは 1 秒あたりの歩数，ストライドは 1 歩あたりの進む距離なので，1 秒あたりの進む距離すなわち平均速度は，𝑥 と 𝑧 を用いてア（ｍ/秒）と表される。

これより，タイムと，ストライド，ピッチとの関係はタイム＝100………………………… ①アと表されるので，アが最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし，タイムがよくなるとは，タイムの値が小さくなることである。

アの解答群
𝑥+𝑧𝑧−𝑥𝑥𝑧

𝑥+𝑧2𝑧−𝑥2𝑥𝑧2（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 9 －－8－数学Ⅰ，数学Ａ⑵ 男子短距離 100ｍ走の選手である太郎さんは，①に着目して，タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は，太郎さんが練習で 100ｍを 3 回走ったときのストライドとピッチのデータである。

1 回目

2 回目

3 回目

ストライド

2.05

2.10

2.15

ピッチ

4.70

4.604.50

また，ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合，ストライドの最大値は 2.40，ピッチの最大値は 4.80 である。
太郎さんは，上の表から，ストライドが 0.05 大きくなるとピッチが 0.1 小さくなるという関係があると考えて，ピッチがストライドの 1 次関数として表されると仮定した。このとき，ピッチ 𝑧 はストライド 𝑥 を用いて𝑧 = イウ 𝑥 +エオ………………………… ②5と表される。
②が太郎さんのストライドの最大値 2.40 とピッチの最大値 4.80 まで成り立つと仮定すると，𝑥 の値の範囲は次のようになる。

カ． キク ≦ 𝑥 ≦ 2.40

（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 10 －－9－数学Ⅰ，数学Ａ
𝑦=アとおく。②を𝑦 =に代入することにより，𝑦 を 𝑥 の関ア数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには，

カ． キク≦ 𝑥 ≦ 2.40 の範囲で 𝑦 の値を最大にする 𝑥 の値を見つければよい。このとき，𝑦 の値が最大になるのは𝑥 =ケ． コサ のときである。

よ っ て ，太 郎 さ ん の タ イ ム が 最 も よ く な る の は ，ス ト ラ イ ド がケ

． コサ のときであり，このとき，ピッチはシ． スセ である。また，このときの太郎さんのタイムは，①によりソである。

ソについては，最も適当なものを，次の～のうちから一つ選べ。

9.68

9.97

10.09

10.33

10.42

10.55

（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 11 －－10－

数学Ⅰ，数学Ａ〔２〕太郎さんと花子さんは，社会のグローバル化に伴う都市間の国際競争において，都市周辺にある国際空港の利便性が重視されていることを知った。
そこで，日本を含む世界の主な 40 の国際空港それぞれから最も近い主要ターミナル駅へ鉄道等で移動するときの「移動距離」，「所要時間」，「費用」を調べた。
なお，「所要時間」と「費用」は各国とも午前 10 時台で調査し，「費用」は調査時点の為替レートで日本円に換算した。

（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 12 －－11－

数学Ⅰ，数学Ａ
以下では，データが与えられた際，次の値を外れ値とする。

「(第 1 四分位数)－1.5×(四分位範囲)」以下のすべての値「(第 3 四分位数)＋1.5×(四分位範囲)」以上のすべての値⑴ 次のデータは，40 の国際空港からの「移動距離」（単位は㎞）を並べたものである。

56 48 47 42 40 38 38 36 28 2525 24 23 22 22 21 21 20 20 2020 20 19 18 16 16 15 15 14 13
13 12 11 11 10 10 10876

このデータにおいて，四分位範囲は タチ であり，外れ値の個数はツである。

（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 13 －－12－

数学Ⅰ，数学Ａ⑵ 図 1 は「移動距離」と「所要時間」の散布図，図 2 は「所要時間」と「費用」の散布図，図 3 は「費用」と「移動距離」の散布図である。ただし，白丸は日本の空港，黒丸は日本以外の空港を表している。また，「移動距離」，「所要時間」，「費用」の平均値はそれぞれ 22，38，950 であり，散布図に実線で示している。

40 の国際空港について，「所要時間」を「移動距離」で割った「1 ㎞あたりの所要時間」を考えよう。外れ値を＊で示した「1 ㎞あたりの所要時間」の箱ひげ図はナテであり，外れ値は図 1 のＡ～Ｈのうちのトとである。
（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 14 －－13－

数学Ⅰ，数学Ａ
テ

については，最も適当なものを，次のト，ナＡ～のうちから一つ選べ。の解答群（解答の順序は問わない。）

ＢＣＤＥＦ

Ｇ

Ｈ

ある国で，次のような新空港が建設される計画があるとする。
移動距離（㎞）所要時間（分）

費用（円）

2238

950

次の(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)は，40 の国際空港にこの新空港を加えたデータに関する記述である。
(Ⅰ)

新空港は，日本の四つのいずれの空港よりも，「費用」は高いが「所要時間」は短い。
(Ⅱ)

「移動距離」の標準偏差は，新空港を加える前後で変化しない。

(Ⅲ)

図 1，図 2，図 3 のそれぞれの二つの変量について，変量間の相関係数は，新空港を加える前後で変化しない。
(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)の正誤の組合せとして正しいものはニニの解答群

(Ⅰ)

正正正正誤

誤誤誤

(Ⅱ)

正正誤

誤

正正誤誤

(Ⅲ)

正誤

正誤

正誤

正誤である。

（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 15 －－14－

数学Ⅰ，数学Ａ⑶

太郎さんは，調べた空港のうちの一つであるＰ空港で，利便性に関するアンケート調査が実施されていることを知った。

太郎：Ｐ空港を利用した 30 人に，Ｐ空港は便利だと思うかどうかをたずねたとき，どのくらいの人が「便利だと思う」と回答したら，Ｐ空港の利用者全体のうち便利だと思う人の方が多いとしてよいのかな。
花子：例えば，20 人だったらどうかな。

二人は，30 人のうち 20 人が「便利だと思う」と回答した場合に，「Ｐ空港は便利だと思う人の方が多い」といえるかどうかを，次の方針で考えることにした。
方針・“Ｐ空港の利用者全体のうちで「便利だと思う」と回答する割合と，「便利だと思う」と回答しない割合が等しい”という仮説をたてる。
・この仮説のもとで，30 人抽出したうちの 20 人以上が「便利だと思う」と回答する確率が 5％未満であれば，その仮説は誤っていると判断し，5％以上であれば，その仮説は誤っているとは判断しない。
（数学Ⅰ，数学Ａ第２問は次ページに続く。）－ 16 －－15－

数学Ⅰ，数学Ａ
次の実験結果は，30 枚の硬貨を投げる実験を 1000 回行ったとき，表が出た枚数ごとの回数の割合を示したものである。
実験結果
表の枚数

01234567890.8%

割合

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

0.1%

表の枚数

10111213141516171819割合

3.2%

5.8%

8.0% 11.2% 13.8% 14.4% 14.1% 9.8%

8.8%

4.2%

表の枚数

20212223242526272829

30

割合

3.2%

1.4%

1.0%

0.0%

0.1%

0.0%

0.1%

0.0%

0.0%

0.0%

0.0%

表の枚数

実験結果を用いると，30 枚の硬貨のうち 20 枚以上が表となった割合は

ヌ.

ネ％である。これを，30 人のうち 20 人以上が「便利だと思う」と回答する確率とみなし，方針に従うと，「便利だと思う」と回答する割合と，「便利だと思う」と回答しない割合が等しいという仮説はＰ空港は便利だと思う人の方がノ，ハハ

については，最も適当なものを，次のそれぞれの解答群の解答群
誤っていると判断され

ハ，。

から一つずつ選べ。

ノノ

誤っているとは判断されずの解答群多いといえる

多いとはいえない－ 17 －－16－数学Ⅰ，数学Ａ

第３問（配点20）△ABCにおいて，AB = 3，BC = 4，AC = 5とする。
∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると

BD =アウ，AD =エオイである。

また，∠BAC の二等分線と△ABC の外接円 O との交点で点 A とは異なる点を E とする。△AECに着目すると
AE =カキである。
△ABC の 2 辺 AB と AC の両方に接し，外接円 O に内接する円の中心を P とする。
円 P の半径を 𝑟 とする。さらに，円 P と外接円 O との接点を F とし，直線 PF と外接
円 O との交点で点 F とは異なる点を G とする。このとき
AP =ク𝑟，PG =ケ−𝑟と表せる。したがって，方べきの定理により𝑟 =コである。

サ（数学Ⅰ，数学Ａ第３問は次ページに続く。）－ 18 －－17－

数学Ⅰ，数学Ａ△ABC の内心を Q とする。
内接円 Q の半径はで，AQ =シ

また，円 P と辺 AB との接点を H とすると，AH =セスである。

である。

ソ
以上から，点 H に関する次の(a)，(b)の正誤の組合せとして正しいものはタである。

(a) 点 H は 3 点 B，D，Q を通る円の周上にある。
(b) 点 H は 3 点 B，E，Q を通る円の周上にある。

タの解答群

(a)

正正誤

誤

(b)

正誤

正誤

－ 19 －－18－

数学Ⅰ，数学Ａ

第４問（配点20）

中にくじが入っている二つの箱ＡとＢがある。二つの箱の外見は同じであるが，箱Ａでは，当たりくじを引く確率がが1であり，箱Ｂでは，当たりくじを引く確率21である。
3⑴ 各箱で，くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返す。このとき箱Ａにおいて，3 回中ちょうど 1 回当たる確率は

ア… ①イ

箱Ｂにおいて，3 回中ちょうど 1 回当たる確率は

ウ… ②エである。箱Ａにおいて，3 回引いたときに当たりくじを引く回数の期待値はオであり，箱Ｂにおいて，3 回引いたときに当たりくじを引く回数の期待カ値はキである。

（数学Ⅰ，数学Ａ第４問は次ページに続く。）－ 20 －－19－

数学Ⅰ，数学Ａ⑵ 太郎さんと花子さんは，それぞれくじを引くことにした。ただし，二人は，箱Ａ，箱Ｂでの当たりくじを引く確率は知っているが，二つの箱のどちらがＡで，どちらがＢであるかはわからないものとする。

まず，太郎さんが二つの箱のうちの一方をでたらめに選ぶ。そして，その選んだ箱において，くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返したところ，3 回中ちょうど 1 回当たった。
このとき，選ばれた箱がＡである事象をＡ，選ばれた箱がＢである事象をＢ，3 回中ちょうど 1 回当たる事象をＷ とする。①，②に注意するとＰ(Ａ∩Ｗ )＝

1×2アイ，Ｐ(Ｂ∩Ｗ )＝1×2ウエである。 Ｐ (Ｗ )＝ Ｐ (Ａ ∩Ｗ )＋ Ｐ (Ｂ ∩Ｗ )であるから，3 回中ちょうど 1 回当たったとき，選んだ箱がＡである条件付き確率ＰＷ(Ａ)はクケとなる。また，

コサ

条件付き確率ＰＷ(Ｂ)は 1－ＰＷ(Ａ)で求められる。

（数学Ⅰ，数学Ａ第４問は次ページに続く。）－ 21 －－20－

数学Ⅰ，数学Ａ
次に，花子さんが箱を選ぶ。その選んだ箱において，くじを 1 本引いてはもとに戻す試行を 3 回繰り返す。花子さんは，当たりくじをより多く引きたいので，太郎さんのくじの結果をもとに，次の(Ｘ)，(Ｙ)のどちらの場合がよいかを考えている。

(Ｘ) 太郎さんが選んだ箱と同じ箱を選ぶ。
(Ｙ) 太郎さんが選んだ箱と異なる箱を選ぶ。

花子さんがくじを引くときに起こりうる事象の場合の数は，選んだ箱がＡ，Ｂのいずれかの 2 通りと，3 回のうち当たりくじを引く回数が 0，1，2，3 回のいずれかの 4 通りの組合せで全部で 8 通りある。
花子：当たりくじを引く回数の期待値が大きい方の箱を選ぶといいかな。
太郎：当たりくじを引く回数の期待値を求めるには，この 8 通りについて，それぞれの起こる確率と当たりくじを引く回数との積を考えればいいね。
花子さんは当たりくじを引く回数の期待値が大きい方の箱を選ぶことにした。

(Ｘ)の場合について考える。箱Ａにおいて 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象をＡ1，箱Ｂにおいて 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象をＢ1 と表す。
太郎さんが選んだ箱がＡである確率 Ｐ Ｗ (Ａ )を用いると，花子さんが選んだ箱がＡで，かつ，花子さんが 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象の起こる確率はＰＷ(Ａ)×Ｐ(Ａ1)と表せる。このことと同様に考えると，花子さんが選んだ箱がＢで，かつ，花子さんが 3 回引いてちょうど 1 回当たる事象の起こる確率はシと表せる。
花子：残りの 6 通りも同じように計算すれば，この場合の当たりくじを引く回数の期待値を計算できるね。
太郎：期待値を計算する式は，選んだ箱がＡである事象に対する式とＢである事象に対する式に分けて整理できそうだよ。
（数学Ⅰ，数学Ａ第４問は次ページに続く。）－ 22 －－21－

数学Ⅰ，数学Ａ
残りの 6 通りについても同じように考えると，(Ｘ)の場合の当たりくじを引く回数の期待値を計算する式は
オス×カ＋セ×キとなる。
(Ｙ)の場合についても同様に考えて計算すると，(Ｙ)の場合の当たりくじを引く回数の期待値はソタである。よって，当たりくじを引く回数の期待値が大きチツい方の箱を選ぶという方針に基づくと，花子さんは，太郎さんが選んだ箱とシスの解答群

ＰＷ(Ａ)×Ｐ(Ａ1)

ＰＷ(Ａ)×Ｐ(Ｂ1)

ＰＷ(Ｂ)×Ｐ(Ａ1)

ＰＷ(Ｂ)×Ｐ(Ｂ1)，セの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

12テ

14ＰＷ(Ａ)ＰＷ(Ｂ)

1ＰＷ(Ａ)
2

1
ＰＷ(Ｂ)
2

ＰＷ(Ａ)－ＰＷ(Ｂ)ＰＷ(Ｂ)－ＰＷ(Ａ)ＰＷ(Ａ)－ＰＷ(Ｂ)ＰＷ(Ｂ)－ＰＷ(Ａ)

2

2の解答群
同じ箱を選ぶ方がよい

異なる箱を選ぶ方がよい－ 23 －－22－

テ。