数 学 科 学 習 指 導 案
日時

令和 ４年１２月２日（金）場

対象

普通科 ２年２組

教科書

４２名

所

（男子２６名，女子１６名）
科

１．

目

会議室
新編数学Ⅱ
（出版社 数研出版）

数学Ⅱ

指導者

〇〇

単元名
第６章 微分法と積分法

２．

指導の立場

（１）

教材観第１節 微分係数と導関数

微分の概念は、いろいろな事象を数理的に取り扱うのに有用である。関数に関しては、中学校第２学年で一次関数は変化の割合が一定であることを、第３学年で関数y = 𝑎𝑥 2は変化の割合が一定でないことを取り扱い、「数学Ⅰ」で一般の二次関数について、変化やグラフの特徴を調べて二次関数の値の変化について理解を深めている。ここでは、簡単な多項式で表される関数に限定して瞬間の速さなどの具体的な事象の考察を通して微分の考えを理解し、その考えの有用性を認識できるようにするとともに、微分の考えを活用して問題を解決する力などを養う。
また、本単元は、次章の積分法や数学Ⅲで学習する関数・極限・微分法・積分法の基盤となる。
中学第 2 学年
一次関数

数学Ⅱ
数学Ⅰ

微分・積分法

数学Ⅲ
関数・極限

2 次関数

中学第 3 学年

数学Ⅱ

関数 y = 𝑎𝑥 2三角関数

微分・積分法

指数・対数関数（２）

生徒観
本校は、国公立４年制大学への進学を希望する生徒が大半を占める普通科の学校である。このクラスは理系標準クラスであり、数学Ⅱ（３単位：本授業者担当）・数学 B（３単位）はともにクラス固定で授業を行っている。3年次では全員が数学Ⅲを履修する。
活発なクラスであり、ペア・グループ活動に積極的に参加し発言できる。教員の発問に対しても、自分の考えや疑問に思ったことを発言する力がある。１つの問題に対して様々な考え方ができることに対して素直に感動し自らの答案に取り入れようとする生徒もいる。中には数学に苦手意識をもつ生徒もおり、そのような生徒は個人で応用的な問題に取り組む際には、見通しを立てることができず手が止まってしまうことがある。
しかし生徒同士の教え合いの場では周囲の生徒と協力をしながら問題を解決しようと前向きに取り組む姿が見られる。
一方で生徒の解答を見ると、解答の根拠が不十分なものや、意味や本質を理解しないまま“なんとなく”解答を作る様子も見られる。ＡＴ（到達度テスト）では、公式を利用する問題や、教科書の例題レベルの問題では得点できるものの、本質は教科書の問題と同じであるが問い方を変えた問題や、複数の単元を融合させた問題では、見通しを立てることができず白紙が目立つ。
また、これまでに学習した 2 次関数・三角関数・指数関数・対数関数については、導入として点をプロットし繋ぐことでグラフの概形を知るという活動を行っている。
1 年次には全員物理基礎を履修しており、平均の速度や瞬間の速度について学んでいる。微分はニュート
ン力学により発展し、物理学と微積分には深い関わりがあることは物理基礎の教科書に記載されており、𝑥 − 𝑡グラフの接線の傾きが瞬間の速度を意味するという知識はあるものの、理解が伴っている生徒は少ない。2 年次では２１人が物理、２１人が生物を履修している。
生徒のレディネステスト（１１月２５日（金）実施）の結果は以下のとおりである。
問題内容

正答率

１

１２３92.9％
１と誤答・・・２名
２と誤答・・・１名
３と解答・・・３９名

物体が斜面を転がり落ちるとき，速度が最も大きいのは１～３の地点のうちどこか。
２

太郎さんは 1ｋｍを１５分で歩く。太郎さんの歩く速度を求めなさい。

３𝑦 = 2𝑥 + 1の変化の割合を答えよ。

100％
正答・・・４２名
78.6％
正答・・・３３名

４𝑦 = 3𝑥 2で𝑥の値が 2 から 3 まで変化するときの変化の割合を答えよ。

47.6％
正答・・・２０名
３と誤答・・・ ６名以上の結果から、物体が斜面を転がり落ちるとき次第に加速をしていくことや、距離を時間でわることで速度を求めることができることなど、本時の活動において必要不可欠である力は身についていることがわかる。

（３）

指導観
これまで曲線のグラフを描く際には、点をプロットし、それを繋ぐという活動を行ってきた。本単元では、生徒は初めて局所的な変化に着目しグラフを描く。また数学Ⅰの 2 次関数・数学Ⅱの図形と方程式での 2 次関数・円の接線に関する学習では「直線との共有点がただ 1 つとなるとき、この直線を接線という」と定義した。
しかし本単元における接線の学習では極限の考え方を利用するため、これまでの接線のとらえ方とは大きく異なる。本時では、局所的な変化・極限の考え方へ目を向けさせるきっかけ作りとして、導入として物体（テーマパークのアトラクション）の運動の変化を考察する活動を行う。時間𝑥（𝑥の変化量）を限りなく０に近づけることで、それに伴って平均の速度（平均変化率）が瞬間の速度（微分係数）に限りなく近づいていくという極限の考え方を見出させる。修学旅行を目前に控えた生徒にとって興味を引く題材といえるだろう。
本時の振り返りシートには、「本日の授業で考えた瞬間の速度は、グラフ上で何を表すだろうか」という問いを設定している。次時では、生徒の振り返りシートに記述された内容を取り上げながら微分係数の図形的意味を見出す活動を行う。その際、GeoGebra を用いることで、視覚的にも理解ができるよう工夫する。
また、微分・積分学は物理学と深く関わりあっており、1 年次に学習した物理基礎の既習の知識と関連付け、より深く、体系的、教科横断的に学ぶことができる。そのため、新しく学習する概念や法則を、教員が一方的に提示するのではなく、瞬間の速さなどの生徒の経験・既習の知識に基づいた具体的な事象を通して学習することにより、数学的に考える能力を身に付けさせることを目指したい。

一般的に(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1が成り立つことを学ぶと、それ以降定義に従って微分係数・導関数を求める機会はほとんどなくなり、微分係数や導関数の本質を忘れてしまいがちである。しかし、次の節・数学Ⅲでは関数の増減と導関数の符号の関係から、増減表を作り、グラフの概形を考える。これがただの作業とならないよ
う、式で処理をしていることのグラフ上での意味を、生徒の思考をもとに丁寧に確認しながら授業を展開する。

３．

単元目標

・

微分の考えについて、数学的活動を通して、その有用性を認識するとともに、微分係数や導関数の意味について理解し、関数の定数倍、和および差の導関数を求めることができる。

・関数の局所的な変化に着目し、日常の事象や社会の事象などを数学的に捉え、問題を解決したり、解決の過程を振り返って事象の数学的な特徴や他の事象との関係を考察したりすることができる。

・４．

関数とその導関数の関係について考察できる。
単元の評価規準
関心・意欲・態度

数学的な見方や考え方

数学的な技能知識・理解・事象を微分の考え方を・関数の局所的な変化に・関数を定義に従って微・微分係数や導関数の図用いて考察する良さを認着目し、日常の事象や社分をすることができる。

形 的 な意 味 に つ い て理識し、問題解決にそれら

会 の 事 象 など を数学 的・関数の定数倍、和およ解している。

を活用しようとしたり、粘に捉え、問題を解決したび差の導関数を求めるこ・接点の座標が分かればり強く考え数学的論拠にり、解決の過程を振り返とができる。

接線の方程式を求めるこ基づき判断しようとしたりったりして事象の数学的・微分を用いて、グラフのとができることを理解してしている。

な特 徴や他 の事 象との接線の方程式を求めるこいる。

・問題解決の過程を振り関係を考察できる。とができる。

返って思考を深めたり、・関数とその導関数の関評価・改善したりしようと係について考察できる。

している。

５．

指導と評価の計画

時

学習内容

間

●活動

１

微分の導入

評
関考

技 知〇

価

評価規準

評価方法

・物体の速度の変化を数学的にとら

観察●物体が斜面を下るときの瞬間の速え、関数の局所的な変化に着目す

ノート

本 度について、局所的な変化に着目することで、瞬間の速度を知るための振り返りシート

時 ることで、正確な値を求める方法を考方法を考察する。【考】

える。
２

微分係数の計算と接線の方程式・微分係数や導関数の図形的な意

観察●第１時で思考したことをもとに、平味を見出すことができる。【考】

ノート

均変化率と微分係数の図形的意味・定義に従って微分係数を計算する

振り返りシートを見出す。

することができる。【技】

考査

実際に定義に従って微分係数を計算〇 〇することでグラフ上の点における接線の傾きを求める。
３

導関数①〇

●物体が斜面を下るときの速度の変・関数とその導関数の関係について観察考察できる。【考】

ノート

化の様子について考え、導関数を導振り返りシートく。関数とその導関数のグラフをか考査

き、関係について考察する。適当な関数を与えたときに、導関数のグラフの概形を描くことができる力をつける。
４

導関数②・いろいろな関数の導関数〇●定義に従って𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 などの導関・関数の定数倍、和および差の導関観察数を求めることができる。【技】

ノート

𝑛数を求め、その結果から𝑥 の導関数

振り返りシートを予想する。定数倍・和・差の導関数を求める。𝑥以外の文字を変数とする関数の導関数を求める。
５微分係数と接線の方程式〇〇 ・微分係数や導関数の図形的な意

観察●第４時からしばらく時間が空くの味について理解している。【知】

ノート

で、前半は既習事項の確認を行う。

・接線の方程式を求めるために必要

振り返りシート

後半は、導関数を用いて微分係数をなものは何かを見出そうとする。

計算し、グラフ上の点における接線【関】の方程式を求める。第６時に向けて、接線の方程式を求めるためには、接点の座標が分かればよいことを生徒から引き出す。
６

グラフ上にない点から引いた接線〇 ・接点の座標が分かれば接線の方

観察●曲線上にない点から、曲線に引い程式を求めることができることを理

ノート

た接線の方程式を求める。

解している。【知】

振り返りシート
考査

７

演習

〇

●教科書の補充問題や章末問題な・既習事項を活用し応用問題に積極的に取り組もうとする。【関】どの応用的な問題を行う。

６．

本時案

（１）

教材：

（２）

本時の目標

平均変化率・微分係数

・物体の速度の変化を数学的にとらえ、関数の局所的な変化に着目することで、瞬間の速度を知るための方法を考察する。【考】

（３）
段階

学習過程
ねらい(時間)導入（３分）

学習活動（○指示・説明、●発問・活動）〇この時間はテーマパークのアトラクション

指導上の留意点及び評価について考えることを伝える。
〇本時で考えるアトラクションの紹介
所要時間 9 分 30 秒
全長 850ｍ〇アトラクションが動いている様子を動画で見せる。

展開(①１０分

局 所 的 な変 化 に 着〇アトラクションが急降下している場面につ目させる

いて考えることを伝える。
〇落下し始めてからの時間𝑥(𝑠)と、進んだ距離𝑦(m)の表を与える。

)𝑥(s)12345𝑦(m)312274875●「落下し始めて２秒後の速度はどうなる？」

落下開始から約 2 秒後に撮影ポと問う。

イントがある。

【予想される生徒の反応】
S1：12÷2＝6（m/s）（速さ）＝（距離）÷（時間）で計算

S2：この表からは求められない。

していることを確認する。

●S1 の解答を前で共有し、「これでよいです

これは、2 秒後の層度ではないこか」と問う。とを確認する。

●S2 の意見を拾い、なぜ出せないと思うのか問う。
【予想される生徒の反応】
S3：１秒ごとの情報しかないから。
●「どのようなことが分かれば、2 秒後の速度が求められますか」と問う。
【予想される生徒の反応】
S4：２秒前後の情報
S5：関数が分かればいい

T4：2 秒前後の情報を知るためには何が必要だろうか。

〇S4，S5 の生徒の発言を中心に，関数は2𝑦 = 3𝑥 であることを確認する。

T5：どのような関数になるだろうか。

展開(

②３０分

落下し始めて 2 秒後

MQ：落下し始めて 2 秒後の速度をできるだけの速度をできるだけ正確に知る方法を考えよう！

正確に知る方法を考える。

【数学的な見方・考え方】
物体の速度の変化を数学的にとらえ、関数の局所的な変【考えられる生徒の反応】)

S6：１～２秒と２～３秒の平均の速度を計算し、2 つの速度の平均を考える。
9 + 15= 122
S7：1.9～2.1 秒の平均の速度を計算化に着目することで、瞬間の速度を知るための方法を考察する。
今回は主に S8・S9・S10・S11 の意見を取り上げたい。本時では

3 × 2.12 − 3 × 1.92= 122.1 − 1.9

S6 や S7 の意見はあえて取り上

S8：１～２秒もしくは２～３秒の平均の速度を業の中で振り返り、結果的に 2 次計算関数の場合は等しくなることを確げることはしないが、導関数の授

3 × 22 − 3 × 12=92−1認する。

3 × 32 − 3 × 22= 153−2ない場合は「この速度は正しい速

仮に S6 や S7 の意見しか出てこ度なのでしょうか」と問い、他の方法でも速度の求め方を考え、同じS9：２～2.1 秒の平均の速度を計算

値が出てきたら正しいと言えそう

3 × 2.12 − 3 × 22= 12.3
2.1 − 2だ ということを共有し S8～S11の意見が出てくるのを待ちたい。

S10：1.9～2 秒の平均の速度を計算
3 × 22 − 3 × 1.92
= 11.72 − 1.9
S11：２～2.1 秒の平均の速度を因数分解を用いた方法で計算
3 × 2.12 − 3 × 22 3(2.1 + 2)(2.1 − 2)=
2.1 − 2
2.1 − 2= 3(2.1 + 2)
= 12.3

〇S8 の解答を取り上げて、板書し、「これはどうですか」と生徒に問う。S9 の解答を取り上げて、計算の過程を生徒に説明させる。
〇S8 や S9 の速度は 0.1 秒間の平均の速度であることを確認する。
●①「さらに正確に求めることはできるだろうか」と問う。

考えている時間の幅が大きいものから順に取り上げる。

●②さらに時間の幅を小さく取り、計算をしている生徒を指名し、全体で共有する。
●①②を何度か繰り返す。
●「時間の幅をどこまで小さくすればいいのか」「きりがない」という生徒の言葉を拾い、「（どこまで小さくすればいいのか）みなさんはどう思いますか」と問う。
【予想される生徒の反応】
S9：限りなく０に近づける
S10：限りなく小さくする
S11：０にする
S11 の声を拾い、「時間の幅を０にすると言っていますが、どうですか」と問う。
【予想される生徒の反応】
S12：求めることができない。
S13：０分の０になる〇値が１２に近づくことを確認したら、数値計算からいったん離れ、この１２を導く方法について考えさせる。
文字や記号を用いて表している解●困りが生まれたところで、黒板を見て、今答（2 + ℎを 2.●等と記述している考えていることや行ってきた処理をもう一度ものを含む）をしている生徒の声振り返るよう促す。

を拾いながら、式を作りたい。

そのうえで、再度「１２を導く方法」を考えたい

そのような記述をしている生徒がことを確認する。

いない場合は、「計算がめんどう」などの声を拾い、文字を使うことを●生徒に投げかけながら２～２＋ｈ秒の平均生徒から引き出したい。の速度の式を作る。
3(2 + ℎ)2 − 3 ∙ 22
= 3(2 + ℎ + 2) = 12 + 3ℎ
(2 + ℎ) − 2

3∙22 −3∙(2−ℎ)22−(2−ℎ)

や3∙22 −3∙ℎ22−ℎなどの式であっても取り上げ、その場合●今作った式を使って２秒後の速度を考えさせる。時間の幅ℎを限りなく０に近づけるという極限の考え方を全体で共有しながら 2 秒後の瞬間の速度を求める。
〇lim の記号の説明をする。

3(2+ℎ)2 −3∙22(2+ℎ)−2の式は導関数の導入時に触れる。

振り返りシートを記

まとめ●GeoGebra を用いて授業の振り返りを行う。

入する(●ＭｅｔａMｏJｉで振り返りシートを記入する。

７分

振り返りシートでは「授業で大事だと思ったこと」「理解度」「瞬間の速)度の図形的意味」について記述さ
次回の予告〇「次回は瞬間の速度がグラフ上で何を意せる。

味するかを考える」ということを伝える。

次回の授業で、生徒の振り返りシートに書かせた「図形的意味」の記述を取り上げる。

（４）

評価基準
【数学的な見方・考え方】
A

B に加えて、時間の幅を文字で表し、この時間の幅を限りなく０に近づける（十分に満足）ことで、それに伴って速度が変化し、より正確な瞬間の速度を知ることができることを見出している。

B

物体の速度の変化を数学的にとらえ、局所的な変化に着目することで、時（おおむね満足）間を短くしていくことでより正確な瞬間の速度を知ることができることを見出している。

CB に達していない。

（努力を要する）

（５）

板書計画

問 2 秒後の速度は？

Q 落下し始めて 2 秒後の速度をでき

１２÷２＝６ m/s

るだけ正確に知る方法を考えよう！

3 × (2 + ℎ)2 − 3 × 22
= 3(2 + ℎ + 2)
2+ℎ−2

↳２ 秒後の 速 度
ではない

限りなく０に近づける↓

3 × 2.12 − 3 × 22
= 12.3
2.1 − 2𝑥と𝑦の関係式
𝑦 = 3𝑥= 12 + 3ℎ

212

3 × 2.012 − 3 × 22
= 12.03
2.01 − 2
3 × 2.0012 − 3 × 22
= 12.003
2.001 − 2

↓limℎ→0

3 × (2 + ℎ)2 − 3 × 22
= lim 12 + 3ℎ = 12ℎ→02+ℎ−2