幾つかの指数型分布モデルにおける統計量の漸近近似の良さのシミュレーション
2009SE297

脇田雅樹

指導教員：白石高章−µ log (1 − U ) と お け ば ，−µ log (1 − U ) は EX(1/µ)
に従う. さらに，1 − U と U は同じ分布であるので，代表的な指数型分布として，二項分布，ポアソン分布， Y ≡ −µ log(U ) の U に一様乱数を入れることで平均 µ の指数分布について考察する．１標本のデータを解析するた 指数乱数が得られる.
めに，漸近的に正規分布に従う統計量が使われる．その場 参考文献 [1] の命題 5.2(p.158 ∼ 160) を使うとはじめに1合，中心極限定理をストレートに当てはめられる統計量とP (Y ≤ x) = P (−µ log (1 − U ) ≤ x)
x= F( )µ

分散安定化変換による統計量の正規分布への近似の良さを，モンテカルロシミュレーションにより比較する．

擬似乱数生成法2= 1 − e− µx

擬似乱数生成法は様々な手法が知られている.
その中の一部を紹介する.となり，(1) より Y は EX(1/µ) に従う確率変数となる．
ポアソン乱数3.3・線形合同法

平均 µ のポアソン分布の確率関数は，・線形帰還シフトレジスタ
・メルセンヌ・ツイスタ

f (x|µ) =・セルオートマトン法µx −µe , x = 0, 1, 2, · · · , µ > 0x!

本研究では，メルセンヌ・ツイスタを用いて乱数を生成

f (0|µ) = e−µx∑
F (x|µ) =f (i|µ)

させる. メルセンヌ・ツイスタは既存の乱数生成アルゴリ
ズムの欠点を改良して，高品質の乱数を高速に生成するよi=0うに設計されている.
一様乱数 U を生成し{指数型分布に従う乱数の生成[3] のメルセンヌ・ツイスタを用いて生成した一様乱数から分布に従う乱数を生成する.

3.1考える．

U を U (0, 1) に従う確率変数とし,0 < p < 1 となる定数p に対して，U ≤ p ならば X = 1, U > p ならば X > 0 で確率変数 X を定義すれば，すなわち，X ≡ I(0,p] (U ) とおくならば，確率変数 X は二項分布 B(1, p)（ベルヌーイ試行）に従う.

x1 −µµeをもつ指数分布

EX(1/µ) に従う乱数の生成を行うための変換を考える．
この指数分布の分布関数 F (x) は，∫ xxx1 − µxF (x) =e= [−e− µ ]x0 = 1 − e− µ(1)µ0である．

U ≤ f (0|µ) = e−µ ⇒ X = 0F (x − 1|µ) < U ≤ F (x|µ), x ≥ 1となる x に対して、X = x

シミュレーションによる近似の比較

4

ベルヌーイ乱数, 指数乱数, ポアソン乱数から中心極限定
理により, 標準正規分布に収束することを確かめる. ただし，z(α) は標準正規分布の上側 100α% 点とする．

α = 0.05，標本サイズを 100, 繰り返し回数を 10, 000 とした．

4.1

ベルヌーイ乱数p̂1 ≡ X/n , p̂2 ≡ (X + 0.5)/(n + 1) とする．

指数乱数

平 均 µ の 密 度 関 数 f (x) =(I)(II)とすると，X ∼ P0 (µ) となる．

ベルヌーイ乱数

二項分布 B(1, p) に従う乱数の生成を行うための変換を

3.2(3)

である．(3) 式のポアソン分布 P0 (µ) において・xorshift3(2)中心極限定理とスラツキーの定理より，p̂ = p̂1 or p̂2 に対して，ｎ→ ∞ として，√n(p̂ − p) L√→ Z ∼ N (0, 1)p̂(1 − p̂)(4)である．参考文献 [1] の (7.25)，(7.27) 式より，分散安定化変換による統計量は，√√√
LF (x) は 指 数 分 布 EX(1/µ) の 分 布 関 数 な の で ，
2 n{arcsin( p̂) − arcsin( p)} → Z ∼ N (0, 1) (5)−1F (−µ log (1 − u)) = u より，F (u) = −µ log (1 − u)
ゆ え に U は U (0, 1) に 従 う 確 率 変 数 と し ，Y ≡ となる．ここで，√√√W3µ̂， σ̂2 ≡ 12 { Wn+1 + W}，σ̂≡
3nn + 8nである，σ̂ = σ̂1 , σ̂2 , σ̂3 とすると，参考文献 [1] の p.234√√√
Z1n = 2 n{arcsin( p̂1 ) − arcsin( p)}√√√Z2n = 2 n{arcsin( p̂2 ) − arcsin( p)}√√Z3n = √ n(p̂1 −p) ,Z4n = √ n(p̂2 −p)p̂1 (1−p̂1 )σ̂1 ≡より，p̂2 (1−p̂2 )√n(µ̂ − µ) L√
→ Z ∼ N (0, 1)µ̂√
L2 n(σ̂ − σ) → Z ∼ N (0, 1)とする．
ベルヌーイ乱数によるシミュレーションにより，P (Zin >z(α)) (1 ≦ i ≦ 4) の値の表を表 1 に与えた．
表 1 シミュレーションによる P (Zin > z(α)) (1 ≦ i ≦ 4)

ここで，√Z7n = 2 n(σ̂1 − σ),√Z9n = 2 n(σ̂3 − σ),の値の表

4.2

pZ1n
ratio1Z2nratio2Z3nratio3Z4nratio4

0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9

0.03700.0576
0.05480.04440.0496
0.06200.04990.04730.06020.03700.0576
0.05480.04440.0496
0.04120.04990.04730.06020.06890.0576
0.05480.04440.0496
0.04120.04990.04730.06020.06890.0576
0.05480.04440.0496
0.04120.04990.04730.0249n∑

中心極限定理の統計量である．
ポアソン乱数によるシミュレーションにより，P (Zin >z(α)) (7 ≦ i ≦ 10) の値の表を表 3 に与えた．
表 3i=1Ln{log(X̄n ) − log(µ)} → Z ∼ N (0, 1)である．ここで，

Z5n =(6)(7)√n{log(X̄ ) − log(µ)}√ nX̄n −µ)Z6n = n(X̄nとする．

> z(α))

5µZ7nratio1Z8nratio2Z9nratio3

Z10nratio41.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0

0.0446
0.04880.04440.04490.04630.04820.04360.04780.04720.05220.0556
0.04880.04980.04490.05140.04820.04630.05140.0506
0.05220.0556
0.04880.04980.04490.04630.04820.04630.05140.0506
0.05220.0446
0.04300.04440.04050.04130.0441
0.04360.04780.04720.0485

おわりに一様乱数からいくつかの指数分布モデルに従う乱数を生指数乱数によるシミュレーションにより，P (Zin > z(α))(5 ≦ i ≦ 6) の値の表を表 2 に与えた．
表 2 シミュレーションによる P (Zin > z(α)) (5 ≦ i ≦ 6)の値の表

4.3

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン に よ る P (Zin(7 ≦ i ≦ 10) の値の表

中心極限定理による統計量は，√である．分散安定化変換による統計量は，√√
Z8n = 2 √n(σ̂2 − σ),√Z10n = n(µ̂−µ)µ̂Z7n , Z8n , Z9n は分散安定化変換の統計量である．Z10n はXi とする．
n(X̄n − µ) L→ Z ∼ N (0, 1)
X̄n(9)とする．

指数乱数X¯n = n1(8)µZ5n
ratio1Z6nratio2

1.0
2.0
3.0
4.0
5.06.07.0
8.0
9.0
10.0

0.04080.04070.04420.0401
0.04420.0431
0.04280.04080.04150.04370.02840.02880.02990.02750.03070.03040.03090.02880.02950.0316

ポアソン乱数µ の点推定量は µ̂ = W
n で与えられる．
また，σ の推定量は成した. (4),(6),(8) の漸近的正規性が教科書等の文献で通常記述されている．(5),(7),(9) は分散安定化変換に基づく統計量の漸近的正規性を示している．第 4 節のシミュレー
ション比較により，(4),(6),(8) の収束よりも，分散安定化変換による漸近収束 (5),(7),(9) の方が良いことが解った．
参考文献 [2] の表１で P (|Zin | > z(α/2)) (1 ≦ i ≦ 4) についてのシミュレーションによる値が載せられている．この場合も分散安定化変換による漸近収束 (4) が速いことが参考文献 [2] より分かっている．

参考文献[1] 白石高章:『統計科学の基礎―データと確率の結びつきがよくわかる数理―』． 日本評論社，東京，2012.
[2] 白石高章:『多郡の２項モデルとポアソンモデルにおけるすべてのパラメータの多重比較法』. 日本統計学会
誌，第 42 巻，第 1 号, 55∼90 項，2012.
[3] MersenneTwisterのWebPage
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/∼mmat/MT/mt.html.