佐藤超函数論に基づく数値積分法
日本数学会 2016 年年会∗ 緒方秀教 Hidenori Ogata（電気通信大学）

平山弘 Hiroshi Hirayama （神奈川工科大学）
2016 年 3 月

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目次
1.
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4.
5.

佐藤超函数論
有限区間積分に対する超函数法
半無限区間積分に対する超函数法
数値例
まとめと今後の課題

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目次
1.
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佐藤超函数論
有限区間積分に対する超函数法
半無限区間積分に対する超函数法
数値例
まとめと今後の課題

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1. 佐藤超函数論：直感的定義✓✏

佐藤超函数の定義

複素解析関数 F (z) の境界値の差として表される一般化関数 f (x) を（佐藤）超函数 (hyperfunction) と呼ぶ：

f (x) = F (x + i0) − F (x − i0) = lim {F (x + iǫ) − F (x − iǫ)}. (1)ǫ→0+F (z) を f (x) の定義関数と呼び，f (x) = [F (z)] と記す．

✒D \ K における解析関数 F (z) に対し，K における値（境界値）から特異性を抽出したもの．
式 (1) はあくまでもシンボリックな表記．

✑DK

R

極限が存在しないような点 x に対しては，超函数の値を定めない．

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1. 佐藤超函数：例• Dirac のデルタ関数





11
δ(x) = −=−2πiz
2πi

11−x + i0 x − i0.

• Heaviside のステップ関数

u(x) =(1 (x>0)
0 (x<0))

1log(−z) .
= −2πi∗ log z は −π ≦ arg z < π なる主値をとるものとする．
• べき乗関数
αx+ =(xα0(x>0)
(x<0)

)



= −(−z)α2i sin(πα)

( α 6∈ Z const. ).

∗ z α は −π ≦ arg z < π なる主値をとることにする．
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1. 佐藤超函数論✓超函数 f (x) = [F (z)] の積分Z✏

If (x)dx ≡ −F (z)dz
KZ C
Z=F (x + i0)dx −F (x − i0)dxKK

C : C を正の向きに囲む D \ K 内の積分路．

✒✑DK• Cauchy の積分定理により，積分値は経路 C のとり方に依らない．

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1. 佐藤超函数論：例
Dirac のデルタ関数D1
δ(x − x0 ) ≡ −2πi(z − x0 )( x0 ∈ R const., x0 ∈ K ).

K x0C

K 近傍で解析的な関数 φ(x) に対して，Cauchy の積分公式により，
Z
I1dzφ(x)δ(x − x0 )dx = −φ(z) −2πi(z − x0 )KCI1φ(z)=dz = φ(x0 ),2πi C z − x0Z∴φ(x)δ(x − x0 )dx = φ(x0 ).
K. . . 初等的なデルタ関数の定義を再現する．
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佐藤超函数論
有限区間積分に対する超函数法
半無限区間積分に対する超函数法
数値例
まとめと今後の課題

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2. 有限区間積分に対する超函数法

I=Z bDf (x)w(x)dx,aabf (x) : 領域 D 上解析的 ([a, b] ⊂ D ⊂ C),
w(x) : 重み関数.

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2. 有限区間積分に対する超函数法

I=Z b

Df (x)w(x)dx,aabf (x) : 領域 D 上解析的 ([a, b] ⊂ D ⊂ C),
w(x) : 重み関数.
被積分関数を超関数とみなす：

1f (x)w(x)χa,b (x) = −f (z)Ψ(z)2πi(Z b1 x ∈ (a, b)w(x)dx.
with χa,b (x) =, Ψ(z) =0 x 6∈ [a, b]a z−x

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2. 有限区間積分に対する超函数法

超函数積分の定義から

Z b

1f (z)Ψ(z)dz.
2πi C
Z uperiod
1f (ϕ(u))Ψ(ϕ(u))ϕ′ (u)du,=2πi 00 ≦ u ≦ uperiod 周期関数（周期 uperiod ）.

f (x)w(x)dx =a

C : z = ϕ(u),IDabK
C : z = ϕ(u)右辺を台形則で近似して…

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2. 有限区間積分に対する超函数法✓超函数法 (hyperfunction method)
N −1Z b✒✏h X
f (x)w(x)dx ≃I=
f (ϕ(kh))Ψ(ϕ(kh))ϕ′ (kh),2πiak=0Z buperiodw(x)dx and h =.
with Ψ(z) =Na z−x✑

Dab
C : z = ϕ(u),0 ≦ u ≦ uperiod

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2. 有限区間積分に対する超函数法✓超函数法 (hyperfunction method)N −1Z b✒

h X
f (x)w(x)dx ≃I=f (ϕ(kh))Ψ(ϕ(kh))ϕ′ (kh),2πiak=0Z b
uperiodw(x)dx and h =.
with Ψ(z) =Na z−x主な重み関数 w(x) に対する関数 Ψ(z)(a, b)(a, b)(0, 1)✏✑

w(x)Ψ(z) 
z−a1log
z−bxα−1 (1 − x)β−1 B(α, β)z −1 F (α, 1; α + β; z −1 )( α, β > 0 )∗ log z は −π ≦ arg z < π なる主値を取る．

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2. 有限区間積分に対する超函数法✓超函数法の誤差評価✏f (ϕ(w)), ϕ(w) が複素帯状領域 | Im w| < d0 で解析的ならば，| 誤差 | ≦ 2uperiod max |f (ϕ(w))Ψ(ϕ(w))ϕ′ (w)|Im w=±d✒exp(−(2πd/uperiod )N )×( 0 < ∀d < d0 ).
1 − exp(−(2πd/uperiod )N )✑超函数法の数値積分は，標本点数 N → ∞ で指数関数的に収束する．

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3. 半無限区間積分に対する超函数法

半無限区間積分→超函数積分に翻訳して台形則近似．
✓Z ∞✒1f (x)w(x)dx =f (z)Ψ(z)dz
2πi C0Z ∞1f (ϕ(u))Ψ(ϕ(u))ϕ′ (u)du ≃ 台形則（DE 公式）.
=2πi −∞

✏

IC

✑

O

C : 正の実軸を正の向きに囲む積分路

主な重み関数 w(x) に対する Ψ(z)．

w(x)1Ψ(z)log(−z)

xα−1 ( α > 0 )−π(−z)α−1sin(πα)
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4. 数値例 1：積分区間端点に特異性がある有限区間積分Z 1

ex xα−1 (1 − x)β−1 dx = B(α, β)F (α; α + β; 1) α = β = 10−4 .

0• 超函数法• DE 公式

で数値積分を行い誤差を比較した．
• プログラム言語：C++，倍精度計算．
• 超函数法の複素積分路：z = 0.5 + 2.575 cos u + i2.425 sin u,

0 ≦ u ≦ 2π （楕円）.

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4. 数値例 1：積分区間端点に特異性がある有限区間積分0log10(relative error)-2-4-6hyperfunction rule
DE rule-8-10-12-14-160

51015N

202530数値積分の相対誤差 ( α = β = 10−4 )• 超函数法：誤差 = O(0.024N )（指数関数的減衰）．
• DE 公式：積分計算が全然できていない．
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4. 数値例 2：積分区間端点に特異性がある半無限区間積分

Z ∞0xα−1π/2(0<α<1)
dx=21+xsin(πα/2)

いくつかの α の値について超函数法・DE 公式で数値積分を行い，誤差を比較した．
2超函数法の複素積分路

1.5
10.5Im zz = ϕ(u + 0.5i),
w
1 + iw
ϕ(w) = log,iπ
1 − iw−∞ < u < +∞.

0-0.5-1-1.5-2-2 -1.5 -1 -0.5

00.5

11.5

2Re z

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4. 数値例 2：積分区間端点に特異性がある半無限区間積分
DE 公式の場合
0alpha=1.0e-1
alpha=1.0e-2
alpha=1.0e-3alpha=1.0e-4

log10(relative error)-2-4-6-8-10-12-14-160

20

40

60

80100N

誤差の標本点数 N に対する変化

α1.0 × 10−1

1.0 × 10−2

1.0 × 10−3

1.0 × 10−4誤差O(0.38N )O(0.48N )O(0.51N )O(0.57N )19 / 22

4. 数値例 2：積分区間端点に特異性がある半無限区間積分
DE 公式の場合
0alpha=1.0e-1
alpha=1.0e-2
alpha=1.0e-3alpha=1.0e-4log10(relative error)-2-4-6-8-10-12-14-16020406080

100

N

DE 公式は端点特異性が強くなると，収束が遅くなる．

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4. 数値例 2：積分区間端点に特異性がある半無限区間積分
超函数法の場合
0alpha=1.0e-1
alpha=1.0e-2
alpha=1.0e-3alpha=1.0e-4log10(relative error)-2-4-6-8-10-12-14-16020

40

6080

100

N

誤差の標本点数 N に対する変化

α

1.0 × 10−1

1.0 × 10−2

1.0 × 10−3

1.0 × 10−4

誤差

O(0.47N )O(0.46N )O(0.46N )O(0.46N )20 / 22

4. 数値例 2：積分区間端点に特異性がある半無限区間積分
超函数法の場合
0alpha=1.0e-1
alpha=1.0e-2
alpha=1.0e-3alpha=1.0e-4log10(relative error)-2-4-6-8-10-12-14-16
020

40

60

80

100N

✓

誤差の標本点数 N に対する変化超函数法は端点特異性の強さが変化しても，影響を受けない．

✒✏✑

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有限区間積分に対する超函数法
半無限区間積分に対する超函数法
数値例
まとめと今後の課題

21 / 225. まとめと今後の課題• 佐藤超函数 (hyperfunction)◦ 解析関数の境界値の差．
◦ 解析関数の特異性を抽出したもの．
• 超函数法は，求める積分を超函数積分とみなして，それを定義する複素積分を直接近似計算している．

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5. まとめと今後の課題• 佐藤超函数 (hyperfunction)◦ 解析関数の境界値の差．
◦ 解析関数の特異性を抽出したもの．
• 超函数法は，求める積分を超函数積分とみなして，それを定義する複素積分を直接近似計算している．
今後やりたいこと．
• 特異積分：Cauchy の主値，Hadamard の有限部分• 積分変換（Laplace 変換，Fourier 変換，etc.）• 積分方程式（Nyström 法）
Thank you!

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