分散の異なる場合の多群正規標本モデルにおけるすべての平均相違の多重比較法
2009SE057 廣田拓也 2009SE204 二階堂健吾
指導教員：白石高章

1/√はじめに(X̄1· − X̄2· )T = √分散の異なる 2 群問題の検定として Welch の方法がある.Welch の検定統計量を用いて多群モデルのおける多重σb21比較法を Games-Howell が提案した. 本研究では，Games-n1

Howell 法の分布論について考察する. さらに，GamesHowell 法と漸近理論についてのプログラムを作成した. それを用いてデータ解析を行う. データ解析では，白血球の量が大腸がんに関連があるのか調査したデータを用いる.

2σb21
近似的に，n1σ 21n1

Welch の検定

ν2 つの母集団の母平均の差に関する検定を考える. この検定を行うために頻繁に用いられる検定方法が 2 標本 t 検定である. なお，母集団がいずれも正規分布に従いそれぞれ独立であると仮定した上での、平均が等しいかどうかの検定である. その中でも等分散性が仮定できないときに用いるのが Welch の検定である. 以下の内容は，参考文献[2]，[5] を基に記述した.
2 組のデータを，
X1j ∼ N (µ1 ，σ 21 )X2j ∼ N (µ2 ，σ 22 )(j = 1，· · · ，n1 )，(j = 1，· · · ，n2 ).

それぞれの標本平均，分散の推定量を，X̄1· ≡

n11 ∑n1 j=1n1∑

σb21 ≡

X1j ，X̄2· ≡(X1j − X̄1· )j=1

n1 − 1n21 ∑n2 j=1X2j ，n2∑2，σb22 ≡+n2n1
σ 21n1++σ 22n2，σ 22n2σb22

χ2νn2∼となり，
νσ 22+n( 2σb21n1Y ≡+σb22/√

σ 21+σ 21σb22)n2が近似的に χ2ν に従う.

σ 22+n1 n2(χ2ν は自由度 ν の χ2 分布 )W ∼ χ2ν とする.
E(W ) = ν ，V (W ) = 2ν より，(2) を得る.
V (W )2ν
2= 2= .
(2)
2{E(W )}
νν)
(2σ 412σ 42ν
+n21 (n1 − 1) n22 (n2 − 1)
E(Y ) = ν ，V (Y ) =.
()2
σ 21 σ 22+n1 n2
W を Y に変えて (2) に代入すると，(X2j − X̄2· )j=12σ 411，n2 − 1νX̄1· − X̄2·統計量を，T ≡ √とする.
σb21 σb22+n1 n2{
帰無仮説 H0 : µ1 = µ2
対立仮説 H1 : µ1 ̸= µ2

σ 42n21 (n1 − 1) n22 (n2 − 1)を得る.
()2
σ 21 σ 22+n1 n2

ここで σ12 ，σ22 は未知であるので，代わりに推定量 σb12 ，σb22入れると，(1)の検定を考える.

(ν≡

ここで，自由度 ν について考察する.H0 の下で T は近似的に tν に従うと考える. (tν は自由度 ν の t 分布 )E(X̄1· − X̄2· ) = 0，V (X̄1· − X̄2· ) ==+σ 21n1+σ 22n2

より，

X̄1· − X̄2·N (0，1)√∼ tν より，∼ N (0，1)，さらに √χ2νσ 21 σ 22ν+n1 n2σb21n1σb41n21 (n1 − 1)++σb22)2n2σb42n22 (n2 − 1)となる. しかし，実際の計算では自由度が整数にならないので，四捨五入して扱う.

(1) に対する水準 α の Welch の検定は，|T | > t(ν; α/2) のとき，帰無仮説 H0 を棄却し，対立仮説 H1 を受け入れ，µ1 ̸= µ2 と判定することである.

ただし，t(ν; α/2) は自由度 ν の t 分布のT A(t) ≡ k

上側 100(α/2) % 点とする.

∫ ∞ [∫ ∞−∞0− Φ(x −µ1 − µ2 についての信頼係数 1 − α の同時信頼区間は，(X̄1· − X̄2· − t ν;α) √·σb21√]2 · ts)}k−1dΦ(x) g(s)dsとする. ただし，
∫ xσb22Φ(x) =+n1 n2() √ασb21 σb22
< µ1 − µ2 < X̄1· − X̄2· + t ν;·+2n1 n2で与えられる.
2{Φ(x)g(s) ≡1x2φ(z)dz ，φ(x) = √ e− 2 ，2π−∞2mm/2sm−1 e−ms /2 ，m ≡ n − k ，m/2−1Γ(m/2)2∫ ∞Γ(a) ≡xa−1 e−x dx0である. T A(t) = 1 − α を満たす t の解を ta(k ，m; α) とGames-Howell 法

3する.

Games-Howell 法は Tukey 型の方法で，Welch の統計量を基礎とした多重比較法である. 以下の内容は，参考文
献 [4] を基に記述した.
k 群のデータを次の表 1 のようにまとめた.
表1群

サイズ

第1群n1..
.
nk..
.
第k群

µi − µi′ (1 ≤ i < i′ ≤ k) についての信頼係数 1 − α の同時信頼区間は，√X̄i· − X̄i′ · − ta(k ，νii′ ; α) ·k 群モデル

データ
X11 ，· · · ，X1n1

平均..
.

..
..
.
.
Xk1 ，· · · ，Xknkµ1..
.
µk分布関数N (µ1 ，σ12 )..
.
N (µk ，σk2 )σb2ini+σbi2′ni ′√< µi − µi′ < X̄i· − X̄i′ · + ta(k ，νii′ ; α) ·(1 ≤ i < i′ ≤ k) で与えられる.

4

σb2ini+σbi2′ni′

漸近理論
統計量 Tii′ について次の補題 1 が得られる.

分散の推定量を，ni∑

σbi2 ≡

補題 1(Xij − X̄i· )2

j=1

ni − 1， (i = 1，· · · ，k)X̄i· − X̄i′ ·統計量を，Tii′ ≡ √，σb2i
σbi2′+ni ni ′( 2)2σbiσbi2′+nini ′
自由度を，νii′ = +0.5σbi4σbi4′+n2i (ni − 1) n2i′ (ni′ − 1)とする. [ ] はガウス記号.

{{Xij ｜ j = 1，· · · ，ni ，i = 1，· · · ，k} は互いに独立であると仮定し，Xij ∼ N (µi ，σi2 )， lim

n→∞ nに対する水準 α の多重比較検定は，

1. |Tii′ | > ta(k ，νii′ ; α) となる i，i′ に対して帰無仮説
A′H(i，i′ ) を棄却し，対立仮説 H(i，i′ ) を受け入れ，µi ̸= µiと判定する.
2. |Tii′ | < ta(k ，νii′ ; α) となる i，i′ に対して帰無仮説
H(i，i′ ) を棄却しない.

= λi > 0(i = 1，· · · ，k)(X̄i· − µi ) − (X̄i′ · − µi′ )√とおく.
σb2iσbi2′+ni ni′ni1 ∑
ただし，σbi2 ≡(Xij − X̄i· )2 とする.
ni − 1 j=1Tii′ (µ) ≡L

このとき，Tii′ (µ) → N (0，1)，max

1≤i<i′ ≤k

L|Tii′ (µ)| →帰無仮説 H(i，i′ ) : µi = µi′A′
対立仮説 H(i，i′ ) : µi ̸= µinimax

1≤i<i′ ≤k|Yi − Yi′ |√σi2 σi2′+λi λi′が成り立つ.
ただし，Yi ∼ N (0，σi2 /λi ) とする.

√√n(X̄i· − µi ) − n(X̄i′ · − µi′ )√証明 Tii′ (µ) =n 2n 2σbi +σb′nini ′ iと式を変形できる. 中心極限定理より，√Lni (X̄i· − µi ) → σi Zi ∼ N (0，σi2 ) が成り立つ. 故に，

√n√n(X̄i· − µi ) = ni √ (X̄i· − µi )ni()
σi2L σi→ √ Zi ∼ N 0，λiλiが言える. このとき，Zi ∼ N (0，1)，Z1 ，· · · ，Zk は互いに独立である. 大数の法則より，
ni

∑
n1i2σbi2 =Xij− (X̄i· )2
ni − 1  ni√

∗A (t) ≡k ∫ ∞ ∏k∑i′ =1(√−Φ{ (√Φ

−∞ i=1i̸=i′λi σi2′·x−λi′ σi2√λi σi2′·xλi′ σi2))}
λi σi2′ + λi′ σi2·tdΦ(x)λi′ σi2とする. σ12 /λ1 = · · · = σk2 /λk が満たされるとき，上の不等式で等号が成り立つ.

j=1

P2→ E(Xi1) − {E(Xi1 )}2 = σi2

証明 任意の( t > 0 に対して， )lim P

が成り立つ. よって，スラツキーの定理より，

σiσi′√ Zi − √ Zi′
λiλi′
L√Tii′ (µ) → Sii′ ≡σi2 σi2′+λi λi′である. このとき Sii′ の平均，分散を求めると，E(Sii′ ) = 0，V (Sii′ ) = 1 である.
L
よって，Tii′ (µ) → N (0，1) となる. また，max′L1≤i<i ≤k|Tii′ (µ)| →max′

1≤i<i ≤kσi′σi√ Zi − √ Zi′λiλi′√σi2 σi2′+λi λi′|Yi − Yi′ |⇔ max′ |Tii′ (µ)| → max′ √1≤i<i ≤k1≤i<i ≤kσi2 σi2′+λi λi′L√が成り立つ. ただし，Yi ≡ σi Zi / λi ∼ N (0，σi2 /λi ) と□する.
2補題 1 の条件 Xij ∼ N (µi ，σi ) の替わりに，次の一般的な分布の(条件 1))(x − µiP(X≤x)=F，
ij
∫ ∞ σi
f (x) ≡ F ′ (x)，xf (x)dx = 0，−∞∫ ∞
x2 f (x)dx = 1.
n→∞

max

1≤i<i′ ≤k|Tii′ (µ)| ≤ t|Yi − Yi′ |√
max=P≤t1≤i<i′ ≤k
σi2 σi2′+λi λi′が補題 1 より成り立つ.
ただし， Yi ∼ N (0，σi2 /λi ) とする.

σi2 を σi2 /λi として，参考文献 [1] の付録の定理 A.5，A.6を適用すると，

A(t) ≤ lim Pn→∞(max′1≤i<i ≤k)|Tii′ (µ)| ≤ t ≤ A∗ (t)□が導かれる.

(条件 1) のような一般的な条件に変えても命題 2 は成り立つ. すなわち連続型の分布ならば正規分布でなくても命
題 2 は成り立つ.

n1 ，· · · ，nk が大きいとき命題 2 より，}
A′
帰無仮説 H(i，i′ ) vs. 対立仮説 H(i，i′ ) 1 ≤ i < i ≤ kに対する水準 α の多重比較検定は，{

1. |Tii′ | > a(k; α) となる i，i′ に対して帰無仮説 H(i，i′ )A′を棄却し，対立仮説 H(i，i′ ) を受け入れ，µi ̸= µi と判定する.
2. |Tii′ | < a(k; α) となる i，i′ に対して帰無仮説 H(i，i′ )を棄却しない.
A(t) = 1 − α を満たす t の解を a(k; α) とする.

−∞

µi − µi′ (1 ≤ i < i′ ≤ k) についての信頼係数 1 − α の漸近的な同時信頼区間は，に変えても補題 1 は成り立つ. すなわち連続型の分布な√らば正規分布でなくても補題 1 は成り立つ.

X̄i· − X̄i′ · − a(k; α) ·補題 1 から次の命題 2 を得る.
命題 2 補題 1 の条件の下で，(A(t) ≤ lim Pn→∞max′

1≤i<i ≤k)|Tii′ (µ)| ≤ t∫ ∞−∞{Φ(x) − Φ(x −ni+σbi2′ni ′< µi − µi′ < X̄i· − X̄i′ · + a(k; α) ·≤ A∗ (t)(1 ≤ i < i′ ≤ k) で与えられる.

5が成り立つ. ただし，A(t) ≡ kσb2i√2 · t)}k−1 dΦ(x)，√σb2ini+σbi2′ni ′Games-Howell 法の解析プログラム
Games-Howell 法で解析を行うプログラムを作成した.

自由度が 200 以上になると漸近理論を用いて応用解析する. α = 0.05，0.01，3 ≤ k ≤ 10 に対する ta(k ，m; α) のD (25 ％)：腹膜、肝、肺などへの遠隔転移のあるもの

数表が参考文献 [6] の表 6.1，表 6.2 に，a(k; α) の数表が参考文献 [1] の付表 12 に掲載されている. これらの数値を検定結果は以下のようになった.

活用した. ページ数の都合上，C 言語によるデータ解析プ|T12 | = 1.070 < ta(5，10; 0.01) = 4.339 より H(1，2) を棄

ログラムは，main プログラムだけを以下に示し，その説却しない. µ1 − µ2 の信頼係数 0.99 の同時信頼区間は，明を行う. なお，全体のプログラムは卒業論文に掲載され− 3.749 < µ1 − µ2 < 2.265.
|T13 | = 4.588 > ta(5，32; 0.01) = 3.548 より H(1，3) を棄却する. − 4.224 < µ1 − µ3 < −0.540.
|T14 | = 4.165 > ta(5，30; 0.01) = 3.569 より H(1，4) を棄却する. − 3.930 < µ1 − µ4 < −0.303.
|T15 | = 2.840 < ta(5，10; 0.01) = 4.339 より H(1，5) を棄却しない. − 6.288 < µ1 − µ5 < 1.313.ている.

int main(void){taa();input();
keisan();taakakuno();sinrai();
残りの帰無仮説に対しても同様に検定をした結果，棄却
kentei();
されなかった.
return 0;}
健康な人と比べて病状 B，C の人は白血球が多いことがtaa(); は ta(k ，m; α)，a(k; α) の値をファイルから読み 分かった. 信頼区間に 0 を含まないことと帰無仮説を棄込む.
却することが一致していることを確認できた. また，ボン
input(); は検定したい群の数，それぞれの標本サイズ， フェローニ法やホルムの方法を用いても同様の結果が得ら有意水準，観測値を入力する.
れた. 作成したプログラムで解析を行ったところ，同様のkeisan(); は標準平均，分散の推定量などを求めそれらを 結果を得られた.
用いて統計量，自由度を計算する.
taakakuno(); は入力された群の数，有意水準，計算に7 おわりによって求められた自由度から ta(k ，m; α)，a(k; α) を求Welch の検定や Games-Howell 法について述べてきた.
める.
多重比較法について研究してきたが，Games-Howell 法のsinrai(); は同時信頼区間を求める.
kentei(); 自由度の大きさによって Games-Howell 法の検定か漸近理論の検定のどちらかの結果を表示する.

プログラムを作ることで，今まで研究してきたことの理解がより深まった. 2 群問題の Welch の検定を基礎として多重比較法の Games-Howell 法を研究していくことで，2 群

6

データ解析問題では考えなかった条件などを論じた.

がん患者の白血球量に違いがあるのか調べるためにそれぞれの群について Games-Howell 法で実際に解析してみた. なお，このデータは参考文献 [3] に掲載されている.
表2第1群
健常者
第2群

A
第3群B
第4群

C
第5群
D

β− 白血球の量 (∗109 /L)

6.0
5.6
4.3

6.3
5.3
4.9

5.1
2.6
7.3

6.2
6.3
4.9

10.4
6.1
6.9

4.4
5.3
4.3

7.4
5.4
5.6

7.0
5.2
5.1

7.7

7.8

6.1

9.6

5.5

5.8

4.0

5.4

10.4
6.5
5.8
8.0
6.2
9.5
6.2

5.6
9.1
7.0
6.7
10.1
7.8

7.0
11.0

8.2
10.9

9.0
10.6

8.4
5.2

8.1
7.9

8.0
7.6

9.3
9.3
5.7

6.6
9.4
8.0

9.3
6.5
9.6

7.2
5.4
13.7

5.2
7.6
6.3

9.89.27.3

参考文献[1] 白石高章：『多群連続モデルにおける多重比較法』共立出版，東京，2011.
[2] 矢島美寛 等：『自然科学の統計学』東京大学出版会，東京，1992.
[3] Daniel，W.W.：Biostatistics：basic concepts andmethodology for the health sciences，Wiley，2010.
[4] Games，P.A. and Howell，J.F.： Pairwise Multiple
Comparison Procedures with Unequal N’s and/orVariances：A Monte Carlo Study，Journal of Educational and Behavioral Statistics，1976.

[5] Welch，B.L.：The signiﬁcance of the diﬀerence between two means when the population variances are
表 2 のデータは，大腸癌患者の β -白血球について検討
9unequal．Biometrika，25，350-362，1938.
した. 数値は β -白血球 (∗10 /L) を表している．病状 A，B，C，D を以下のように分類する.
[6] 早川由宏: 『Mathematica と C 言語による統計プログ
A (95 ％)：がんが大腸壁内にとどまるもの
ラミングの基礎』. 2012 年度南山大学情報理工学部情B (80 ％)：がんが大腸壁を貫くがリンパ節転移のないもの
報システム数理学科卒業論文，2013 年 1 月.
C (70 ％)：リンパ節転移のあるもの