令和 6 年度
千葉大学先進科学プログラム入学者選考課題
課題論述

物理
解答例

課題 I, II

解答例：課題 I
出題の意図
力学の基本概念である力の釣り合い，エネルギー保存，放物運動を正しく取り扱えるかを確認します。複雑な方程式や不等式を最後まで解き切る数理能力，知的体力も確認し，また極限の操作や近似を正しく取り扱えるかも問います。分量も多いため，実力があっても時間内での完答は困難かもしれませんが，一方で時間にこだわらずじっくり解くことで物理の面白さが感じ取れるような問題となっていることを期待しています。

問 1 エネルギーの保存を考えると1mgr = mgr cos ϕ + mv 22
なのでv=p2gr(1 − cos ϕ)(1)(2)となる。
問 2 回転座標系における力の釣り合いを考えると，垂直抗力を N としてmg cos ϕ = N + mv2r(3)が得られる。小球が半円上を離れる ϕ = ϕ1 で N = 0 となるので，式 (2) と (3) から

mg cos ϕ1 = m2gr(1 − cos ϕ1 )r(4)となり，これを整理すると

cos ϕ1 =23(5)となる。
問 3 円周の式 (x − xc )2 + (y − yc )2 = R2 を x で微分して得られる式2(x − xc ) + 2(y − yc )y ′ = 0
から

y ′ (xP ) = −xP − xc
yP − yc(6)(7)が得られる。また，式 (6) をさらに x で微分して2 + 2 (y ′ ) + 2(y − yc )y ′′ = 021(8)より，式 (7) と組み合わせてy ′′ (xP ) = −1(xP − xc )2−
yP − yc(yP − yc )3(9)が得られる。
問 4 問題文で与えられた xP − xc = R cos θ，yP − yc = R sin θ を式 (7) に代入して1tan θ(10)1cos2 θ1=−−
3R sin θ R sin θR sin3 θ(11)f ′ (xP ) = y ′ (xP ) = −となる。また，式 (9) からも同様に

f ′′ (xP ) = y ′′ (xP ) = −が得られる。

問 5 問 2 と同様に回転座標系での力の釣り合いを考える。0 < θ < π のとき,

mg sin θ = N + mv2
R(12)であり，小球が曲線上を離れない条件は N > 0，すなわち

g sin θ −v2>0R(13)となる。ここで問 4 の結果を用いると1f ′′= −f ′′ sin3 θ = −sin θR
1 + (f ′ )2(14)となるので，式 (13) に代入して

1 + (f ′ )2 g + f ′′ v 2 > 0(15)と問題文の条件式が得られる。また π < θ < 2π の時は, 力の釣り合いの式は sin θ < 0であることに注意すると

N + mg sin θ = mv2R(16)と書け，これに式 (14) を代入すると同じ条件式 (15) が得られる。
問 6 エネルギーの保存を考えると

1 2 1 2xmv0 = mv − mgb sin
22a2(17)なのでrxv = v02 + 2gb sina(18)となる。
問 7 点 P に到達する必要条件として，点 P の位置エネルギーより大きな運動エネルギーを初期条件として与える必要があることから

1 2mv > mgb
2 0
したがってv0 > v0,min =p(19)2gb(20)となる。厳密には v0 = v0,min の時に小球が曲線上を離れないことを示す必要がある
が，これは問 8 の解答から確認できるので，ここでは不問とする。
問 8 問題文で与えられた条件である式 (15) と問 6 の解答から，小球が曲線上を離れない
ためには

xb2
1 + 2 cos2aa

b  2x
x
g + 2 v0 + 2gb sinsin > 0aaa(21)を常に満たす必要がある。この式を

xa(22)

v02a2
u+1+ 2 >0gbb(23)u = sinを使って書き換えると

u2 +さらに変形すると

F (u) =v2
u+ 02gb2+1+a2v04−>0b24g 2 b2(24)

問 7 の条件より左辺の放物線の頂点は常に u < −1 となりかつ下に凸の放物線なので，u が −1 ≦ u ≦ 1 の値しか取らないことに注意すると，曲線上を一度も離れることなく点 P に到達するためには v0 > v0,min かつF (−1) > 0(25)であればよいことがわかる。具体的に計算すると

sv0 < v0,max =3



a22gb 1 + 22b
(26)

となる。
問 9 x = x1 で式 (24) で定義される F (u) について F (u) = 0 が成り立つので，そのときのu を u1 とおくと F (u1 ) = 0 となる。この二次方程式の解は二つ存在するが，問 8 の解答における考察にもとづくと二つの解のうち大きい方の解が求めるべき解である
ことがわかるので

u1 = sinv02

sx1=−+a2gbとなる。従って

y1 = −b sinv02

x1=−a2gv04a2−1−4g 2 b2b2(27)sv04− a2 − b24g 2(28)となる。
問 10 x = x1 での曲線の第 1 次微分係数を f1′ とおくと

x1btan α = f1′ = − cosaa(29)

式 (27) の結果を代入し，また tan α > 0 よりv
2usu242buv
v0a tan α = t1 − − 0 +−1−a2gb
4g 2 b2b2v
su422avvv04a2bu−1−= t2 + 2 − 20 2 + 0ab2g bgb 4g 2 b2b2(30)となる。
問 11 エネルギーの保存を考えると，(x1 , y1 ) での小球の速さを v1 として

1 2 1 21
mv0 = mv1 + mgy1 = m (v1 cos α)2 + mgH
222(31)

が成り立つ。ここから

v12 = v02 − 2gy1(32)となり，これを用いて

H=

v12v2
sin2 α + y1 = 0 sin2 α + y1 cos2 α2g2g4(33)となる。式 (28) を代入し，また cos2 α =v2
H= 0 −2g1
なので
1 + tan2 αsv04
1− a2 − b 224g
1 + tan2 α(34)となる。問 10 の解答と組み合わせれば，H を v0 ，g ，a，b のみで表すこともできる。
問 12 v0 ≫s√ga，v0 ≫√gb のとき

a2v02v04−1−=4g 2 b2b22gb(a21− 1+ 2bv022gb−2 )1/2

v2 1≒ 0 −2gb 2

a21+ 2b−1v022gb(35)なので，v0 が十分大きいとき，式 (30) から

tan α ≒ba(36)となる。
問 13 問 12 で考えた v0 が十分大きい状況では，v1 ≒ v0 ，x1 ≒ πa，y1 ≒ 0 となっている
ので，放物線の軌跡は，小球が曲線上を離れた瞬間の時刻を t = 0 としてx(t) = πa + (v0 cos α)t1y(t) = (v0 sin α)t − gt22(37)(38)となる。ここから放物線の頂点を過ぎて y = 0 に到達する時刻 t = tL が

tL =2v0 sin αgと求まり，L をL = x(tL ) − 2πa =と計算できる。問 12 の解答より tan α ≒2v02 sin α cos α− πagba2 + b2cos α ≒ √L≒

aa2 + b 22v02 ab− πag a2 + b 25(40)bなのでasin α ≒ √を代入すると，L は(39)(41)(42)(43)となる。これを a を固定した b の関数とみると2v 2 a(a2 − b2 )dL≒ 0 2dbg (a + b2 )2(44)となることから L は b < a で b の増加関数で b > a で b の減少関数となっている。したがって，L を最大にするには b = a とすればよい。
問 14 エネルギーの保存より，点 (x, f (x)) における小球の速さ v はx
v 2 = v02 + gd 1 − coss(45)をみたす。これを問題文に与えられた，小球が曲線上を離れない条件である式 (15)に代入すると

d2x
1 + 2 sin24ss



dv 2xcos>02s2s(46)xs(47)

g−となりu = cosを用いて整理すると

d2dI(u) = 2 u2 − 24s2s 2d2v0+d u+1+ 2 >0g4s(48)v02+ 1 > 1 かつ下に凸の放物線なので，u がgd−1 ≦ u ≦ 1 の値しか取らないことに注意すると，曲線上を一度も離れることなくとなる。左辺の放物線は頂点が u =点 Q に到達するためにはI(1) > 0(49)であれば良いことがわかる。具体的に計算すると

r0 < v0 <2gsd(50)であればよいことがわかる。
問 15 点 T における接円の偏角は明らかに θ =3πであり2f ′′ (πs) =d2s2(51)かつ式 (11) より接円の半径はR=2s2d(52)となることがわかる。一方，点 T における近似的な円運動の力の釣り合いより，求6める垂直抗力は点 T における小球の速さ v を用いて

N = mg + mv2R(53)と書ける。エネルギー保存則より速さ v は

1 2 1 2mv = mv − mgd
2 0 2(54)を満たすので，式 (52)，(53)，(54) から，垂直抗力を
N=21+ds2

" 2 #2ddv
mg + 2 mv02 = m g +g+ 02ss2d(55)と求めることができる。
問 16 式 (50) を d に対する条件式に書き直すと

d<2gs2v02(56)となる。v0 = 36 km/h = 10 m/s，s = 1.0 m，g = 9.8 m/s2 を代入して

d<2gs2≒ 0.20 m
v02(57)がくぼみの深さ d に対する条件となる。垂直抗力 N が最大となるのは d が最大となるときで，このとき垂直抗力と重力との比の概数値は

Nd2≒ 2 + 2 ≒ 2.0mgs(58)となる。つまりくぼみの底でおよそ自分の体重分の力で地面に押しつけられる力がスキーヤーに瞬間的にかかる。ジェットコースターなどの場合は s に比べて d がもっと大きいのでより大きな力がかかる。

7

解答例：課題 II
出題の意図
電場や磁場が荷電粒子による力，電気力線の保存 (ガウスの法則)，電場と電位の関係な
ど電磁気学の基礎についての理解度を試す問題であるとともに，単振動や，極座標や微少量の取り扱いに関する数学の理解および計算力を試す総合問題となっている。

問 1 電位差は V0 で距離が a なので，電場の強さは E = V0 /a である。また出射面の方が電位が高いので，電場は出射面から接地面を向いている。コンデンサーの電気容量が C = ε0 S/a であることを使うと Q = CV0 = ε0 SV0 /a = ε0 ES と求まる。
問 2 出射面から接地面までは等加速度運動し，接地面での速度はrv =2qV0m(1)となる。また接地面に到達するまでの時間は 2a/v である。接地面から検出面までは等速直線運動をするので2a + b= (2a + b)
∆t =vrm2qV0(2)と求まる。これを m について解くと，

m = 2qV0∆t2a + b2(3)が得られる。電圧 V0 や装置の大きさ (a, b) は測定できるので，∆t を測定できれば質量 m が求まる。このように粒子の飛行時間から求める方法は飛行時間法 (Time ofFlight, 略称 TOF 法) と名付けられている。
問 3 磁場によるローレンツの力は F = qvB で反時計回りに回転するよう働く。これと半径 R の円運動の遠心力 mv 2 /R が釣り合うのは

qvB =mv 2R(4)R =mvqB(5)ときである。これを整理するとが得られる。

8

問 4 問 1 で求めた速度と電圧の関係を代入すると，sR =2mV0qB 2(6)m =qB 2 R22V0(7)

これを m について解くと，が得られるので，V0 , q, B, R の値を測定できれば質量が求まることが確認できる。
問 5 速度の大きさは変化しないので，軌道はやはり半径 R の円弧となる。その中心 C と点 P は距離が R で点 P での速度ベクトルと垂直な位置となる。この条件より中心 Cの座標は (x, y) = [R(1 − cos θ), R sin θ] と求まる。従って軌道を表す円の方程式は(x − R(1 − cos θ))2 + (y − R sin θ)2 = R2(8)となる。式 (8) に x = 0 と cos θ = 1 を代入すると(y − R sin θ)2 = R2(9)y − R sin θ = ±R(10)となるので，が得られる。 式 (10) の右辺の符号が負の場合は y < 0 となるので求める交点ではない。式 (10) の右辺の符号が正の場合は

y = R + R sin θ ≒ R + Rθ(11)となるので，∆r = Rθ，つまり f (R) = R である。
問 6 質量が m + ∆m なので，半径がsR′ =2(m + ∆m)V0= RqB 2

rm + ∆mm(12)で中心が (x, y) = (R − R′ , 0) の円の一部が軌跡となる。ここで |∆m| ≪ m であることに注意すると

R′=Rm + ∆mm

1/2


=9∆m1+m1/2≒ 1+∆m2m(13)が得られる。円の方程式は(x + R′ − R) + y 2 ≒ (R′ )22(14)と表され，y 軸との交点で y > 0 の座標は


q1 ∆m2′′2′
y =(R ) − (R − R) ≒ R ≒ R 1 +2 mとなる。∆r =(15)∆mRRなので h(R) = である。
2m2

問 7 半径 R で円運動する荷電粒子の遠心力と，電場による力が釣り合うという条件より

qE0 =mv 2R(16)

E0 =

mv 2
qR(17)が得られるのでである。ただし電場は z 軸を向くように加わっているので，電場ベクトルの r 成分は −E0 である。
問 8 電気力線は z = 一定で，z 軸へと向かう直線の一部となるため，隣り合う電気力線との間隔は r に比例する。電場は電気力線の間隔に逆比例するので，電場は E(r) ∝ r−1となる。半径 r = R での電場が −E0 であることを考えると，a < r < b の範囲でE(r) = −E0 Rr(18)が得られる。また電位はZ rV (r) = −′′E(r )dr = E0 R logara(19)と表される。従って円弧 (r = b) の内径での電位は

 bV (b) = E0 R log
a(20)と求められる。
問 9 図 1 の装置により加速された荷電粒子は mv 2 /2 = qV0 の運動エネルギーを持つので，E0 = 2V0 /R が得られる。これを式 (20) に代入すると，V (b) = 2V0 log(b/a) が得られる。この関係式には荷電粒子の質量 m や電荷 q が含まれない。従って電荷が q > 0であれば，質量によらず出射位置が等しくなる。

10問 10 図 6 に補助線を加え図 7 のようにすると，面積を求める三角形は長方形から 3 つの三角形を差し引いたものであることがわかる。

yQ = [x(t + ∆t), y(t + ∆t)]∆S

P = [x(t), y(t)]xO
図7
図 7 を使うと

x(t)y(t) x(t + ∆t)y(t + ∆t)−22(x(t) − x(t + ∆t))(y(t + ∆t) − y(t))−2x(t)[y(t + ∆t) − y(t)] y(t)[x(t + ∆t) − x(t)]=−22x(t)vy (t) − y(t)vx (t)≒∆t2∆S = x(t)y(t + ∆t) −(21)(22)(23)従って面積速度はxvy − yvx∆S=∆t2(24)となる。途中で ∆t が小さいときに成り立つ近似式を用いたが，得られた面積速度は ∆t → 0 の極限で定義されるので，近似による誤差は含まれない。
面積は正に限るのが普通であるが，面積速度は反時計回りのときが正，時計回りの時が負と定義されている。
問 11 面積速度の時間変化を計算すると

j = xvy − yvx
djdx
dvy dydvx=
vy + x− vx − ydt
dtdtdt
dt(25)(26)

dxdyが得られる。ここで= vx ,= vy である。また速度の時間変化は加速度dt
dt
dvx dvy(ax , ay ) =,と等しいことと，運動方程式
dt dtqE(r)xrqE(r)y=rmax =(27)may(28)11を用いると，dj= 0 が得られる。
dt

問 12 半径 r での電場による力は

−1qE0 R∆r∆r
F = −= −qE0 1 +≒ −qE0 1 −R + ∆rRR(29)

である。同様に遠心力はF′mj 2mj 2==(R + ∆r)3R3



∆r1+R

−3mj 2
≒
R3

∆r
1−3R

(30)と求めることができる。半径 r = R では電場による力と遠心力が釣り合っているので，qE0 = mj 2 /R3 であることを使うと

F + F′ ≒ −2mj 22qE0∆r = − 4 ∆r
RR(31)

2qE02mj 2=RR4(32)が得られる。特に指示がないので，

κ =のいずれも正解である。ただし問 13 では j を用いた表式の方が便利である。
問 13 問 12 で求めた力は，バネ定数 κ のバネにつながれた粒子に働く力と同等である。
従って角振動数r
ω =

√ j
√ v
κ
= 2 2 = 2mRR(33)と求められる。この式の最右辺に現れる v = j/R は，半径 r = R での回転速度である。半径 r = R から少し斜め方向に入射した荷電粒子がはじめて半径 r = R に戻るのは，半周期

T2π
ω

(34)

πvT
= √R22(35)=経過したときである。このとき θ 方向にはφ =だけ進む。数値を代入すると，φ ≒ 127.28◦ が得られる。厳密に考えると回転の速度は r の変化とともに微妙に変化するが，|∆r| ≪ R なのでこの計算には含めなくて良い。
入射方向が微妙に違っても出射位置が同じということは，荷電粒子を特定の場所に12集められるということである。集めた方が検出や測定に都合が良いので，このような装置が物理や化学の実験で使われている。

13