数理解析研究所講究録
第 848 巻 1993 年 109-119

109

The Entropy of the Moduli Space of the Real
Cubic Polynomials
野尻朝子 (Asako NOJIRI)

上智大学理工学部数学科

西沢清子 (Kiyoko NISHIZAWA)〃

1. Introduction
実係数 3 次方程式の族の力学系を研究するために、 この族に同値関係を導入し、 パラメータ化する。 このパラメ -タ 平面 (モジュライ空間と呼ぶ) に代数曲線を導入し、大まかに平面を分類することができる。 J. Milnor の preprint に基づきながら、関数の複雑さを表す topological entropy という概念を用い、パラメータ平面の性質を詳しくみていくことにする。

2. 3 次多項式写像のパラメータ平面とその分類

3 次多項式写像$xrightarrow g(x)=c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+$ へ,$c_{i}\in \mathbb{R}$は、複素アフィン変換で次の形の多項式$z\mapsto f(z)=z^{3}-3a^{2}z+ba,$(1)$b\in \mathbb{R}$と共役になる。 したがって$A=a^{2}$,(2)$B=b^{2}$は、 モジュライ空間 (moduli space) としての座標系と考えてよい。 アフィン共役類に対は判別式の一種とみなされ、 critical point が一致しているときに限り$B$なる。になる。
は $f$ が奇関数のときのみ
ここで座標系の実数係数のアフィン変換に制限すると、 もう 1 つの不変量する不変量$A$に$0$$0$$\sigma$$\sigma^{d}=^{ef}sgn(g’’’)=sgn(c_{3})$(主係数の符号)(3)が必要となる。 この結果、
定義 1

実係数 3 次多項式のアフィン共役類のモジュライ空間 (moduli space) は、$\{(A, B)|B\geq 0\}\cup\{(A, B)|B\leq 0\}$である。

110が正か負に応じて、実 3 次多項式は実数の critical point をもつか、複素共役な critical point をもつことを注意してお \langle 。に分けられる。
3 次多項式写像のモジュライ空間は、 4 個の異なる領域
ここで、は常に $\sigma B>0$ を満たし、 また、$\sigma$$\sigma A$$\mathcal{R}_{0},$$\mathcal{R}_{1},$$\mathcal{R}_{2},$$\mathcal{R}_{3}$を 3 次多項式とする。
は trivial classが real periodic point を 1 つしか持たないとき、に属するの periodic point をすべて含む最小の閉区間をする。 このときをという。 また、$f\in \mathcal{R}_{n}(n\geq 1)$ とは、で交わった $f$ のグラフが 個の異なった成分をもつこととする (Fig. 1 参照)。

定義 2

$f$

$f$

$f$

$I$

$\mathcal{R}_{0}$$f$$I\cross I$$n$$\sigma>0$窺$\mathcal{R}_{2}$$\mathcal{R}_{1}$$\mathcal{R}_{3}$$\sigma<0$

Fig. 1.
以後、 3 次多項式 $f(z)$ の$n$$\mathcal{R}_{0},$$\mathcal{R}_{1},$$\mathcal{R}_{2},$$\mathcal{R}_{3}$について回合成を $f^{on}(z)$ と書く: ただし、

$f^{00}(z)=z$,$f^{o(n+1)}(z)=f^{on}(f(\dot{z}))$

である。

篇,

$\mathcal{R}_{1},$$\mathcal{R}_{2},$$Per_{p}(\mu)$$\mathcal{R}_{3}$は、モジュライ空間上の 4 つの代数曲線によって分類することができる。

を、 eigenvalue が$\mu$である周期$p$の periodic cycle をもつ $f$ に対する組 $(A, B)$とする。
$Per_{1}(1)$$Preper_{(t)p}$: $B=4(A+ \frac{1}{3})^{3}$ , $Per_{2}(1)$ : $B=4(A- \frac{2}{3})^{3}$を critical $point\pm a$ が preperiodic で、 $f^{ot}(a)$ が周期 $P\geq 1$ の periodic pointになるような $f$ に対する $(A, B)$ とする。
$Preper_{(1)1}$: $B=4A(A-1)^{2}$ , $Preper_{(1)2}$ : $B=-(1\pm(2A+1)\sqrt{-A})^{2}$

これらの曲線により、下半平面は$Per_{2}(1)$とに分類される。上半平面は $Per_{1}(1)$ と$Preper_{(1)2}$ によって、分類されている (Fig. 2 参照)。
$\mathcal{R}_{0},$$\mathcal{R}_{1},\mathcal{R}_{2},\mathcal{R}_{3}$$Preper_{(1)1\text{、}}$

111

Fig. 2. パラメータ平面の大まかな分類
3. critical point の挙動
一般に、点の orbit は、有界と非有界に分類され、有界の場合にはさらに細かく、 periodic と chaotic に分かれる。 3 次多項式は、重複度を含めて 2 つの critical points をもち、 この 2 つの critical points の挙動は次のように分類することができる。

case$\mathcal{A}$. Adjacent$f(U)\cap U$ =\phi 、かつ $f^{op}(U)\subset U$ をみたす両方のある。周期

case B.

をはっきりさせる場合、$p$$\mathcal{A}_{p}$critical point を含む連結開区間$U$がと書く。

$\mathcal{B}itransitive$

first return map が定義され ‘ smooth で、 これらの 2 つのが存在する。すなわち、成分が交換可能な 2 つの critical point の近傍$U=U_{1}\cup U_{2}arrow U$ への$f^{op}(U_{1})\subset$$U_{1},$ $U_{2}$$U_{2},$$f^{oq}(U_{2})\subset U_{1}$。この場合、case . Capture
first return map が$\mathcal{B}_{p}+q$と書く。

$C$

存在する

$\circ$$U_{1},$ $U_{2}$とも$U_{2}$にいくような 2 つの critical point の近傍

すなわち、 $f^{op}(U_{1})\subset U_{2},$ $f^{oq}(U_{2})\subset U_{2}$ で、 この場合、$C_{(p)q}$$f^{op}(U_{1})\subset U_{1},$case$\mathcal{A}\sim \mathcal{D}$$U_{2}$$f^{oq}(U_{2})\subset U_{2}$をみたす。 この場合、$\mathcal{D}_{p,q}$が$U_{i}arrow U_{i}$でと書く。

case D. Disjoint periodic sinks
が存在するが、 この場合は first retum map により、disjoint $k$ 近傍$U_{1},$$U_{2}$$U_{1},$と書く。

については、 Fig 3 を参照。パラメータ平面内での各タイプの位置については、 Fig. 4 を参照。

定義 3

$f(x)=\sigma x^{3}-3Ax+\not\in B|$

において、上で分類したそれぞれの挙動を満足する

112

$p$

$O^{p}$$C_{(p)q}$$\mathcal{B}_{p+q}$$\mathcal{A}_{7}$Fig. 3.

case$\mathcal{A}\sim \mathcal{D}$$\mathcal{D}_{p,q}$について$C^{\wedge}$$\swarrow\{3p$$D^{\wedge}$$1\beta$$C^{S}$$\swarrow^{B_{1*2}^{*}}$$(2p$$\swarrow^{o_{3^{-}S}}$$\downarrow$$o_{22}\iota$..

$B_{1*1}$$+$

1,1$”\cdot z.’.\cdot.’.;\backslash _{\backslash }^{\backslash }$$\tau_{\overline{D}_{22}}$$B_{1*3}\uparrow_{*}$.

$A_{1}$$c_{\emptyset 1}^{*\wedge}:.\cdot,..:\cdot$$c$品$v_{2\overline{\rho}}$$c_{(1p}^{*}$$g^{*}\wedge$$J_{\int}$

$2s2$

..

$Fg.\eta$$A_{2}$$arrow B_{3\cdot 3}$/($Fb$ 萄$B_{1*2}^{*}\nearrow$$B_{2*}^{*}$

Fig. 4.

パラメータ平面. 領域は $[-1.2,1.2]\cross[-1.85, .75]$.

113
critical pointsをもつ、 パラメータ $(A, B)$ を求めることができる。 この $(A, B)$ をそのタイプの中心という。
$\pm\sqrt{|A|}$

例1$C_{(3)1}$

タイプの中心を求めるには、次の 4 つのタイプを考えればよい。
す $k$ わ$\bullet f$$\{)-\sqrt{|A|}(x)_{f^{03}(\sqrt{|A|}=}=x^{3}-3A_{X}+\sqrt{|B|}$$f(x)=-x^{3}-3$$\bullet$$\{$$f(-\sqrt{|A|})f^{03}(\sqrt{|A|})$平$\text{ち_{}(-\sqrt{|A|})=^{\text{
とき_{\sqrt{|A|}}}}\{-b\neq$$ffi\text{の_{}=\sqrt{|A|}}f(\sqrt{|A|}^{\text{、}})$

Ax+\mbox{\boldmath $\psi$}B| 、すなわち下半平面のとき$-\sqrt{|A|}-\sqrt{|A|}$$==$$\{f^{03}(-\sqrt{|A|})f(\sqrt{|A|})$$==$$\sqrt{|A|}\sqrt{|A|}$

数式処理システム MACSYMA を使って、 これらの式を満足するパラメータ $(A, B)$ は(但し、 ここで $A,$であることに注意する)、上半平面には存在せず、下半平面に 2つ存在する。
$B\in \mathbb{R}$$(A, B)=(-.74959, -.18679)$$=(-.75040, -.18820)$

他のタイプについても中心を求め、表にまとめた (Table 1 参照)o
4. Topological Entropy
次に述べる topological entropy の定義は Y [3] を参照している。

定義 4$[c_{i-1}, c_{i}]$

各ろ

$f$

: $Iarrow I$ が piecewise-monotone であるとは、があり、各ろにおいて、$f|_{I_{i}}$

$I$

$I$

補題 1

$\lim_{narrow\infty}l(f^{on})^{\frac{1}{n}}$$c_{1},$$\cdots,$ $c_{l-1}$$c_{0},$が存在し、$f^{on}$を $f$ の growth number と呼ぶ。
$\log s$を $f$ の topological entropy という。の lap の列$l(f^{o*})^{d}=^{ef}(l(f^{00}), l(f^{01}),$は $f$ の位相共役類の不変量を表す。

$c_{1},$を turning point と呼ぶ。

$s^{d}=^{ef} \lim_{narrow\infty}l(f^{on})^{\frac{1}{n}}=\inf_{n}l(f^{on})^{\frac{1}{n}}$$s$,$I_{i}=$は単調になる。

を $f$ の lap 数といい $l(f)$ で表す。

味での最大、最小とな り、

定義 5$I= \bigcup_{i=1}^{l}I_{i}$として単調性をみたす最大の区間をとることにするとき、 このろをいう。 また、 lap の数となり、の閉被覆$l(f^{02})$)$\cdots,$$c_{i}$$f$の lap とは、局所的な意

114
定義 6

$x\in I$の address を$A(x)^{\Leftrightarrow e}\{\begin{array}{l}I_{j}.x\in I_{j}TturningpointTk\backslash \cap\ gc_{j}x\delta^{i}turningpointc_{j}\otimes gg\end{array}$$x$の $f$に関する itinerary をdef$A(f^{o*}(x))=(A(x) , A(f(x))$ ,$A(f^{02}(x))$, .dots)とする。

定義 7$f(x)$の符号関数 (sign function)

sign
但し、$(x)^{d}=^{ef}\{\begin{array}{l}1.xl^{i}f\emptyset g_{-}^{\backslash }arrow \mathfrak{F}\mathfrak{n}\ovalbox{\tt\small REJECT}\not\supset DE|_{B}^{\ni}7YC\ovalbox{\tt\small REJECT} LT\backslash \cap 6*g-1xp_{i}f\emptyset\backslash g_{\wedge}^{arrow}-\Re_{\mathfrak{n}}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\vee}’J\backslash \not\in|^{a_{B}}5\#C\ovalbox{\tt\small REJECT} LT\backslash \cap\xi gg\end{array}$が turning point の場合には、 sign $(c_{k})=0$ と定義する。

$x$

この定義より、$e_{n}$$:= \prod_{i=0}^{n-1}sign(f^{oi}(x))$

は、 $f^{on}(x)$ の入っている区間が増加か減少かを示していることがわかる。

この符号関数を$x$の $f$に関する itinerary につけ加えた数列を$:=(e_{0}A(x), e_{1}A(f(x)),$$\theta^{*}(x)$$\cdots$)とする。
$f$ を 3 次多項式とする。 $f$ 欧窺のとき、十分大きなに対し、 $l(f^{on})=1$ とな
例2り、 $s=1$ となる。 よって、 topological entropy は、 $\log s=0$ である。
$n$のとき、 $l(f^{on})=3^{n}$ となり、 $s=3$ となる。
を 3 次多項式とする。
よって、 topological entropy は、 $\log 3$ である。

例3$f$$f\in \mathcal{R}_{3}$

一般に、上の例のように、簡単に topological entropy を求めることはできない。 これから、 その求め方について述べていくことにする。の係数としてもつ形式的べき級数の第 項の元を数列$\theta^{*}(x)$$n$$t^{n-1}$$\theta(x)=\theta_{0}+\theta_{1}t+\theta_{2}t^{2}+\cdots$に対応する invariant coordinate とする。
を点は有理係数のべき級数環の元であるが、 それと同時に $I_{i}(1\leq i\leq t)$ を基底としてもつ自由加群でもある。 ゆえ$\theta(x)$$x$$\mathbb{Q}[[t]]$に、$\Theta=\Theta_{1}I_{1}+\cdots\Theta_{l}I_{l}$但し、$\Theta_{j}$は有理係数をもつ形式的べき級数と書き換えることができる。
$x$に$\theta(x)$を対応させる関数は単調増加で、各係数は有限個の値しかとれないことから、$\theta(x+)=\lim_{y\downarrow x}\theta(y)$が存在し、 これを right hand limit と呼ぶ。 同様に left hand limit $\theta(x-)$ も定義できる。

115
turning point 向定義 8$(1 \leq i\leq l)$$\nu_{i}$において、$:=\theta(c_{i}+)-\theta(c_{i}-)$$=N_{i1}I_{1}+N_{i2}I_{2}+\cdots+N_{il}I_{l}$を、 $f$ の$i$

番目の kneading increment とする o また、 kneading matrix を$[N_{ij}]$$:=(\begin{array}{ll}N_{11} N_{1l}\vdots \vdots N_{l1} N_{ll}\end{array})$

但し、$N_{ij}\in \mathbb{Z}[[t]]$と定義する。
$J=[a, b](a, b\in \mathbb{R})$が符号を変える回数をとする。 また、任意の $n\geq 0$ に対して、 $J$ の内部で、 $f^{on}(x)-c_{i}$$\gamma_{in}(J)$、$\gamma_{i}(J)=\sum_{n}\gamma_{in}(J)t^{n}$

とおく。

定理 1
$\theta(b-)-\theta(a+)=\gamma_{1}(J)\nu_{1}+\cdots\gamma_{l-1}(J)\nu_{l-1}$.

ここで、 $[N_{ij}]$ の 1 列を省くと正方行列になり、 その逆行列 $[M_{jk}]$ が計算できる。

定理 1 と$[M_{jk}]$

によって、$\gamma_{k}(J)=\sum_{j=1}^{l-1}(\Theta_{j}(b-)-\Theta_{j}(a+))M_{jk}$と計算される。 これらによって次の定理が成立する。
定理 2$\sum_{n=1}^{\infty}t^{n-1}=\frac{1+\gamma_{1}(J)+\cdots+\gamma_{l-1}(J)}{1-t}$

この定理によって ‘ topological entropy が計算できる
例4$B_{1+2}^{+}$.

$0$

タイプの中心 $(A, B)=(0.71327,0.12977)$ OD topological entropy を求める。

$\theta_{*}(C1+)=(I2, -I3, -I2, I2, -I3, -I3, -I2, I3, I3, \cdots)$$\theta_{*}(C1-)=(Il, 13, 12,$ $-I2, I3, I3, I2, -I3, -I3, \cdots)$$\theta_{*}(C2+)=(I3, I2, -I3, -I3, -I2, I3, I3, I2, -I3, \cdots)$$\theta_{*}(C2-)=(I2, -I2, I3, I3, I2, -I3, -I3, -I2, I3, \cdots)$

116
invariant coordinate$\theta(x)$は、$\theta(C1+)=I2-I3t-I2t^{2}+I2t^{3}-\cdots$$\theta(C1-)=I1+I3t+I2t^{2}-I2t^{3}+\cdots$$\theta(C2+)=I3+I2t-I3t^{2}-I3t^{3}-\cdots$$\theta(C2-)=I2-I2t+I3t^{2}+I3t^{3}+\cdots$

kneading increment$\nu_{1}$$\nu_{i}$は、$:=\theta(C1+)-\theta(C1-)$$=(I2-I1)-2I3t-2I2t^{2}+2I3t^{3}-\cdots$$=-I1+ \frac{1-2t^{2}+3t^{3}-2t^{5}}{1+t^{3}}I2+\frac{-2t-4t^{4}-2t^{5}}{1+t^{3}}I3$$\nu_{2}$$:=\theta(C2+)-\theta(C2-)$$=(I3-I2)+2I2t-2I3t^{2}-2I3t^{3}-\cdots$$= \frac{-t^{3}+2t-1}{1+t^{3}}I2+\frac{-t^{3}-2t^{2}+1}{1+t^{3}}I3$となる。 これより、

kneading matrix$[N_{ij}]=(-10$$[N_{ij}]$と、$[N_{ij}]$$1-2t_{3^{2}}+-t+_{+t}^{+_{2t_{3}^{3^{3}}-1}^{3_{t}t-2t^{5}}}11$$[M_{ij}]=(01$より導かれる$[M_{ij}]$

は、$\frac{-2t-4t^{4}-2t^{5}}{\frac{-t^{3}-2t^{3}+11+t_{2}}{1+t^{3}}})$$\frac{1-2t+3t^{3}-2t^{5}}{\frac{1-2t1+t^{-b^{t^{3}}}}{1-2t+t^{3}}})$となる。

十分大きな$K\in \mathbb{R}$をとる。 $J=[-K, K]$ とする。
$\theta_{*}(K)=(I3, I3, I3, \cdots)$$\theta_{*}(-k)=$( $Il,$ Il, Il,$\cdots$)

これより、$\theta(K)-\theta(-K)=(I3-I1)(1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots)$$=- \frac{1}{1-t}I1+\frac{1}{1-t}I3$$\Theta_{1}(K)-\Theta_{1}(K)=-\frac{1}{1-t}$,, $\Theta_{2}(K)-\Theta_{2}(K)=0,$ $\Theta_{3}(K)-\Theta_{3}(K)=\frac{1}{1-t}$

117となる。 また、$\gamma_{k}(J)$を計算すると、$\gamma_{1}(J)=-\frac{1}{1-t}$$\gamma_{2}(J)=\frac{-2t^{4}-2t^{3}+t^{2}+t-1}{1-2t+t^{3}}$となる。 これらを使って、$\sum_{n=1}^{\infty}l(f^{n}|_{J})t^{n-1}=$$==$$\frac{1}{1=t}(1+\frac{1}{1-t}+\frac{-2t^{4}-2t^{3}+t^{2}+t-1}{1-2t+t^{3}})$$\frac{3-2t-2t^{2}}{-\sum_{m=0}^{\infty}p_{m}t^{m}\cdot\frac{+3t^{3}+_{2}2t^{4}-t-t)1}{-1+t+t^{2}}(1-t)^{2}(1}$$(p_{m}\in \mathbb{Z})$となる。 ここで、 $\frac{1}{-1+t+t^{2}}$ について考 え る$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$。

$t^{2}+t-1=0$ の解 を $\alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},$ $\beta=$とおく。
$\frac{1}{t^{2}-t-1}=\frac{1}{(t-\alpha)(t-\beta)}$$= \frac{\alpha\beta}{\beta-\alpha}\sum_{l=0}^{\infty}\{(\frac{1}{\beta})^{l}-(\frac{1}{\alpha})^{l}\}t^{l}$ゆえに、$\sum_{n=1}^{\infty}I(f^{n}|_{J})t^{n-1}=\frac{\alpha\beta}{\beta-\alpha}\sum_{m=0}^{\infty}p_{m}t^{m}$$t^{n-1}$.

$\sum_{l=0}^{\infty}\{(\frac{1}{\beta})^{l}-(\frac{1}{\alpha})^{l}\}t^{\iota}$の係数は、$l(f^{n}|_{J})= \frac{\alpha\beta}{\beta-\alpha}\sum_{l+m=n-1}p_{m}\{(\frac{1}{\beta})^{l}-(\frac{1}{\alpha})^{l}\}$

ここで、$\frac{1}{\beta}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},$$\frac{1}{\alpha}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$$l(f^{n}|_{J})^{\frac{1}{n}}$。よって\supset$narrow\inftyarrow$$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=s$

ゆえに、 topological entropy は、$\log s=1og(\frac{1+\sqrt{5}}{2}I$I

各タイプの中心について\mbox{\boldmath $\tau$} topological entropy を求め、表にまとめている (Table 1 参照)。
最近、 [3] の理論に基づいて、 topological entropy を求めるアルゴリズム [1] が知られた。 このアルゴリズムによって、 equi-entropy line の図が書かれている ([2] の Fig.
Fig. 5 参照)。
$15a_{\text{。}}$

118

Table 1.

type の欄の$+$は critical point が real であることを示す。

119

$s=1$

1.4

$\frac{A-axis\text{与}}{}$

Fig. 5.

3Equi-entropy line の図. パラメータ平面内の $[.57, 1.03]\cross[-.03, .43]$ の部分
参考文献[1] L. Block and J. Keesling. Computing the topological entropy of maps of the interval withthree monotone pieces. Journal of Statistical Physics, 66:755-774, 1992.

[2] J. Milnor. Remarks on iterated cubic maps. Preprint$\#$

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[3] J. Milnor and W. Thurston. On iterated maps of the interval. L. N. Math., 1342, SpringerVerlag, 465-563, 1988.
[4] A. Nojiri and K. Nishizawa. Moduli space of real cubic polynomials. Sushiki-shori, 1,56-59, 1992. to appear.