80 

衝突地形と聞くと普通は円いクレーター地形を思い浮かべるが, 実は小惑星形状自身も衝突で割られ削られ侵食された衝突地形である. そして, その小惑星全体形状を厳密に調べることで, 母天体の大きさやその破壊と進化の過程を復元でき, 興味深い結論を引き出%&'()*+,- ./0123456-せる可能性があるのだ.
小惑星は衝突によってかなり砕かれ, 亀裂長と亀裂間隔がほぼ等しい Fully Cracked Condition[1]と呼ばれる限界までひびが入っているか, もしくは幾つかのブロックが重力で弱く結びついていると考えられている(rubble pile). ある程度以上小さければ, 衝突破壊の過程で飛び散った一枚岩のカケラ(monolithic asteroi!
"#$d)として存在するかもしれない. 破壊された当時の形状を保持していれば, Facets (図1) と呼ばれる, 母2005年６月に到着予定の小惑星探査機はやぶさのター

天体上のクレーター壁の一部と見られる凹地形 [2]なゲットは, 日本版ロケットの父, 故糸川博士にちなんどから, 衝突破壊される前の母天体の大きさが推定でで25143 Itokawa と名付けられた[5]. おおまかな大き

きる.

さはレーダー観測から548x312x276m

衝突実験からクレーターの直径・深度比は小+/-10％と見積天体の曲率によって変わることが確かめられているかもられている[6]. これくらい小さいと, いわゆるらだ[3]. また, 小惑星形状の三軸比から, 衝突破壊

rubble pile ではなく単一岩体であっても不思議ではな

過程がコア型[4]であったか否かも押さえられる (図2).

い. 破局的衝突で放出されたカケラのひとつかもしれ

探査機の軌道や慣性運動から小惑星質量が求められれない. 世界の探査計画の中で最も小さなターゲット小ば, 小惑星形状に基づく体積から密度が求められる.

惑星である. きっと, これまでの大きめの小惑星とは密度は小惑星の組成と進化履歴を知るうえで, 最も基違った知見をもたらしてくれるだろう.

本的な物理量である. 組成成分の密度と比べることで,形状認識成果である３Ｄ地図は, 衝突地形のサイエンどれだけ衝突で密に締まっているのか, 逆に破砕されスに資するだけでなく, 他観測機器成果をマッピングて見かけの密度が小さくなっているのか, などの考察する白いキャンバスとしても重要である.の基礎である.

天体, 小惑星における圧密／固化／続成／変成といっ  
 



隕石の母81

日本惑星科学会誌Vol.13.No.2,2004

た作用を知るためには, 地球で手に入る隕石サイズ以(Asteroid Multi-band Imaging Camera)は, 視野角5.7x上の大きな構造を知る必要がある. しかし, その手が5.7deg, 画素数1024x1024pixel, 空間分解能1m/pixel

かりは非常に少ない. たとえば圧密時の脱水構造が破(高度10km)という高解像度での撮像が可能となって断面での ｢組成／粒径／風化度｣ の分布特徴として見いる. 我々のグループは, 上記の制約と合わせて, 単えてきたら, 機械的強度の弱線としての議論が可能と一カメラのため, 2枚の画像を同時刻に撮像できないなり, そのインパクトは計り知れない. また, 破壊前こと(非同期撮像), さらに, 自転走査による多視点かの構造を組み上げるパズルピースとしての模様としてらの高解像度画像が得られる点から, 2枚の画像からも有用であり, 衝突破壊過程を制約する大切な鍵になステレオを構築し, エピポーラ幾何と呼ばれる幾何拘ると考えている.

束を利用した形状復元手法を提案する. エピポーラ幾

会津大の月惑星グループでは, はやぶさ搭載の望遠何を利用した本手法は, 探査機の動きと小惑星の自転カメラ AMICA[7]を用いて小惑星形状モデルを作成を相対運動としてひとまとめにして考えることができする予定である. 2003年度, AMICA のプロトモデルるという利点がある. 以下, その原理と手法を述べる.

を用いてテストデータを取得し, 高度分解能１ｍ級の形状認識の基礎を固めた. 以下, その原理・手順ならびに現状と課題を報告する. 到着まで残されたあと１年余りで手順を確立し, 運用計画支援ツールとしても使えるような, マッピングに資する可視化ツールの構築も考えているので, 御意見頂ければ, できる限り取り入れさせて頂きたい.





画像を用いた不規則形状小天体の形状認識は, 画像に楕円体をフィッティングさせていく方法に始まり,ピンホールカメラモデル(図3)[10]は, 被写体の投現在では２つに大別できる. ひとつは, 低解像度のた影面である画像平面 I を含む画像座標系(c,x,y)めにステレオを構築できない場合で, リムやターミネーと, 焦点面 F を含むカメラ座標系(C,Y,Z)タ(明暗境界線)から, 球面に格子状に配置されたコンから構成される. ここで, 画像平面と焦点面は並行でトロールポイントによって, 3次元形状モデルを構築あり, レンズ中心 C を通る両平面に垂直な線を光軸していく方法である. もうひとつは, フォボスなど広といい, また, 画像平面から焦点面までの距離を焦点範囲に渡って十分な高解像度の画像が得られた場合で,距離という. 空間中の物体  は, レンズ中心 C を通ステレオ観測によって, 形状だけでなく, 詳細な地形り, 画像平面上の  として射影される. ここで, 実まで復元できる場合である[8].

はやぶさの, 小惑星

際のデジタル画像の座標系においては, 原点は画像左近傍でのデフォルト運用である Home Position(HP)保上に位置し, 通常, 水平右方向に x 軸, 垂直下方向に持運用とは, 電力確保のため探査機は常に太陽に背をy 軸をとることから, このモデルとは座標系が異なる.

向け, 保持 BOX と呼ばれる一定範囲を遊弋すること

さらに, レンズ歪や焦点距離などのカメラが持つ固有である. そのためターミネータを観測することは困難のパラメータも考慮する必要がある. そこで, 正規化である. また, はやぶさに搭載されている AMICAカメラの概念を導入する. デジタル画像座標から正X,

小惑星形状モデリングと衝突地形〜はやぶさが教えてくれるもの〜／小林, 出村, 橋本, 斎藤

規化画像座標 への変換    (ここで, は,カメラの固有パラメータを含む3×3行列)によって,どのカメラを用いても, 同じようにビジョンの問題を82

 ：フィルタの中心座標
 ：フィルタのサイズ
 ：濃淡値
 ：閾値

考えることが出来る. なお"˜"は拡張ベクトルを表す.
また, 実際には は, 次式 を初期値として5章でフィルタの中心座標の濃淡値 ()と, その近傍の濃述べる最小二乗フィッティングによって求めた.

淡値との差の絶対値が, 閾値 より小さければ ()に１を加える. ()は, における特徴の強さを決

定する.



ここで H と W は画像の横サイズと縦サイズ.

 
マッチングとは, 2枚の画像間で対応するピクセルを検出する処理である. 画像間の類似度は正規化相関関数によって求める. まず, 1番目の画像の特徴点近ステレオを考えるとき, 2枚の画像間の対応関係が傍の矩形領域をテンプレートイメージとして切り出す.

必要となってくる. もし, 対応点の集合のなかに, 数

次に, 2番目の画像を探索し, テンプレートと一致すピクセルのずれや, 間違った対応が混じっていると,る部分をみつける. ここで, 一致する部分の中心点が形状の復元結果に大きく影響してしまう. そこで, 少対応点となる. 正規化相関係数 Rは次の式によって決しでも偽マッチを避け, マッチングの精度を上げるた

定される.

めに, 以下のようなステップを踏んで, 特徴点対応をり, 値が高いほど相関が高いことを示す.

求めた.

この相関係数は-1.0から1.0までの値をと 

Step 1: スーザンオペレータを用いた特徴点抽出
Step 2: 正規化相関関数によって対応点を仮決定
Step 3: ミスマッチの除外
Step 4: サブピクセルマッチングで対応点を修正

ここで,           

画像は膨大なデータを持っているため, 特徴的なコーナーやエッジのみを抽出して処理を行う. 特徴点抽出にはスーザンオペレータを用いた. スーザンオペレー

R：正規化相関係数
W：画像の濃淡値
T ：テンプレートイメージ. サイズは M× N−
W：2番目の画像の探索窓内の濃淡値の平均−
T ：テンプレートイメージの探索窓内の濃淡値の平均

タはフィルタリング処理の一種で, 以下の式で定義さ !"#$%&れる.
   

ここで,      
：ピクセル座標

サブピクセルマッチングとは, 画像の最小単位であるピクセルよりも, さらに細かい精度(サブピクセル)で対応点を検出する処理である. 相関係数は2次式なので, 相関が高いところに現れるピークを対象画素の8近傍の放物線近似に基づいて, サブピクセル単位で求めることができる(図4).

83

日本惑星科学会誌Vol.13.No.2,2004

エピポーラ幾何(図5)とは最初, 両眼立体視の対応付けの問題から考えられたもので, ステレオビジョンを記述する上でよく用いられている. ただし, 図5では, VP1と VP2は２つのカメラではなく, ひとつのカメラが２つの視点から非同期で撮像したものとする.
２つの視点で３次元空間中の同じ点を見ているとする
と, その点と２視点はひとつの平面にある. この平面をエピポーラ平面といい, エピポーラ平面と画像平面 との交線をエピポーラ線という. さらに, 各画像にお偽マッチを避けるために導入した手法である. 探索

いてエピポーラ線が交わる点をエピポールという. 2窓を縮小しながら, 同じ特徴点に対して3度のマッチ視点間の幾何関係が既知の場合, 一方の画像で1点がングを行う. まず21x21の探索窓を使ってマッチング与えられると, エピポーラ平面と各画像上のエピポーを行い, 次に1回目の探索で発見された対応点を中心ラ線が決まる. 他方の画像上では, 対応点がエピポーとして19x19の窓を使って探索する. 最後に, 2回目にラ線上に限定される. したがって, 対応点を探すには発見された対応点を中心として, 9x9の窓を使って探2次元の探索でなく, エピポーラ線に沿ってのほぼ1次索する. 探索窓の範囲を変えた3度の探索で, いずれ元探索で済む.の探索でも対応点が検出されたとき, その点は保存される. 1回目の探索で対応点が検出されても, 2回目, 

3回目で検出されなければ, その点は偽マッチとみな

画像１の点の座標を , 画像２の点の座標を  として破棄される. また, 探索窓を大きくすると, 広いする. また, 視点１から視点２への運動は回転運動 

範囲でマッチングできるという利点があるが, まれに,と並進運動 によって表現することができる. つまり,探索窓内で相関値のピークが２つ以上存在する場合が視点１から視点２への運動は  によって表ある. この場合, 探索窓を狭めた2回目, 3回目の探索される. ここで, ベクトル , , 
は共平面でにより, 間違ったピークのほうを選択してしまう可能あるのでスカラー3重積は0となる.

性があるが, 相関値に閾値を設け, それを下回った場 .

合, 1回目の探索で検出された点を対応点とした.

この式をエピポーラ方程式という. 歪対称行列
 
＝×つまりを使って変形すると,
   , . さらに, デジタル画像座標が与えら

れた場合は,      , ここで, を 基 本 行 列 (Essential Matrix) , F を 基 礎 行 列(Fundamental Matrix)という. もし一方のデジタル画像座標が与えられた場合, エピポーラ線は として与えられる.

小惑星形状モデリングと衝突地形〜はやぶさが教えてくれるもの〜／小林, 出村, 橋本, 斎藤84


ここで,        .

 
基礎行列を求めることはエピポーラ方程式を解く上本来ならばすべての組み合わせについて計算すれば最で最も重要なステップだとされており, 過去, いかにも精度良く基礎行列が求まるような点の組み合わせが精度よく基礎行列を求めるか, という研究が数多くな分かるが, 計算コストがかかりすぎるため, 上記の方されてきた. 本手法では, 8点の特徴点対応から基礎法を採用した.

行列を推定する Eight-Point Algorithm[11]と, 数百点の特徴点対応からランダムに点を選び出し, 評価関数が閾値以下になるまで計算を繰り返すというRANSAC 法を組み合わせて, 基礎行列を求めた.




復元された3次元点をもう1度画像面に投影してやれば, 元の特徴点と一致するはずである. そこで, 次の評価関数を立て, これを最小化することによって, カEight-Point Algorithm (EPA)

メラの運動と, 物体の3次元点を復元することができ

画像１の i 番目の点 と画像における対

応点 
はエピポーラ方程式  を満たす. ここで, 最低8点以上が与えられれば, 線形解法が存在する. 基礎行列の要素をベクトルとして並べると, 次式が成り立つ.
  
る(図11参照).

    

 ：画像枚数
 ：特徴点対応数
：i 番目の画像の j 番目の特徴点対応ベクトル ：復元された３次元点を逆投影した点：カメラ固有パラメータ：回転行列：並進ベクトル：３次元点

 




この関数は非線形であるため, 最小化には最急降下法

ここで, 
は,  の各要素.

を用いた.

さらに, n 点の対応が与えられたとき,
 

＝0 , ここで,     .
最小二乗法に基づき は, の最小固有値に対応 !"#$%&'()する固有ベクトルとして求められる.
求まった3次元点の集合に面を張る必要がある. ま

RANSAC 法

た, 張られた面にテクスチャをマッピングすることで,Step 1: 特徴点集合から無作為に8点を抽出表面の粗さなどの情報を併せて表現できるようにする.

Step 2: EPA により基礎行列を計算

本手法では, 面の要素としては最も簡単な3角形を,Step 3: もし, 評価関数が閾値以下なら終了. それ以ドロネー分割法によって3次元点の集合に自動的に張っ外なら Step 1に戻る.ていく.

上記の手法で求めた数百点の特徴点対応からランダムに8点を抽出し, 特徴点とエピポーラ線とのユーク*
+ ,-./01

リッド距離が0となることを利用した評価関数を立て,最初にボロノイ分割(図6)について考える. これは,これが閾値以下の値になれば, その基礎行列を採用す

ユークリッド距離に基づき, 平面をそれぞれの点の勢る. 評価関数は以下の式で表される.

力圏に分割したものである. この分割の境界線は両側  の点を結ぶ線分の垂直2等分線となり, 一般に3つの境界線が1点で交わる[12]. ここで, この辺を共有する285

日本惑星科学会誌Vol.13.No.2,2004

点を線分で結んだものをドロネー図という(図7). 退

レンズを挟み, 光源はできるだけ光軸と平行になるよ

化の場合を除いて, この分割は三角形となる. 3点をうに配置した(図8). 小惑星を設置するためのターン選んで三角形を作る時に線の結び方に様々な組み合わテーブルは太陽位相角, 俯角, 自転の3軸について自せが考えられるが, ドロネー分割は, 3辺の比が最小由に振ることができる.となるようなバランスのよい三角形が選択されていく
ので, 結果として最良の面が選択されていると言える.



我々は, HP 保持運用時に, はやぶさが遊弋する箱状の領域(保持ボックス)内の各頂点など, 重要と思わ

れる12種類の視点からの撮像を行った. なお探査機のドロネー分割は, 必ず点集合を凸面で囲む(凸包)と視点の位置は, 太陽位相角と俯角によって決定した.

いう性質がある. よって, 単純にドロネー分割を2次

また, 各視点につき, 自転1周分, 3度刻みでの撮像を元から3次元に拡張すると, できあがった形状が凸面行った. 図9に撮像結果を示す.

体になってしまうという問題が出てくる. そこで, 最初に, Z 座標を0とすることで, 一旦平面化してから,2次元のドロネー分割を適用し, その後, Z 座標を元に戻すことで, 立体的に面を張るようにした. ここで,Z 軸は視線方向であり, 半透明な物質でない限り, 原理的に視線方向で重なった面が見えることはない. また, 極端に鋭い面や, 輪郭付近にみられる意味のない面は, 閾値を設けて削除するようにした.


本手法の有用性を確かめるため, 宇宙科学研究所から AMICA のプロトモデル(PM)をお借りして, はや !"#$%&'()*+,-./01 234
5678889:;3<=>=?
@ABC ぶさの撮像シミュレーションを行った. 実験では, 被以下に実験により取得した画像を使って, 復元した写体として Design Cast Studios 社製の小惑星模型"47

結果を示す. 図10は, 2枚のステレオ画像にエピポー69 CASTALIA"と, "2063 BACCHUS"の2種類を採用

ラ線を重ねた図である. 2枚の画像間の運動に回転成したが, 本解説では前者の結果についてのみ示す. ま分が入っていない場合, すなわち平行ステレオの場合

た光源には SHIMADZU 社製の平行光源を使用した.

は, エピポーラ線は完全に平行になる. 本実験では,PM と小惑星の間に焦点の合う位置を調整するための3度という極小さな回転運動が加わっているため, エ小惑星形状モデリングと衝突地形〜はやぶさが教えてくれるもの〜／小林, 出村, 橋本, 斎藤

ピポーラ線はほぼ平行に見えている.

86

算し, 慣性運動の制約から形状モデルの更新を繰り返してゆくことを考えている. また, 2視点間の幾何拘束に更に複数の視点を追加し解の収束を安定させること, エピポーラ線を平行にする投影変換を噛ませることで撮像枚数をどれだけ間引けるか検討すること, なども考えている.


 !" #$%&'()*+,-.#%/012-%3452-678
9:;.#$ <=>?%@A BCDEF018G2-.


実験を支援してくださった宇宙科学研究所の藤原顕先生, 安部正真先生, 神戸大の平田成先生には大変お

図11は異なる4つの視点を使って復元した3次元形状世話になりました. 同僚の西山耕太郎・村井靖彦両氏モデルである. VRML1.0形式で出力した後, AC3D[1にも御協力頂きました. 最後に, 本稿を丁寧に査読し3]という商業用ソフトウェアを用いて表示した.て下さった匿名査読者の方に感謝申し上げます.

[1] Demura, H., 2001, Earth Planets and Space 53,1065[2] Chapman, C.R. et al., 1996, Icarus 120, 231[3] Fujiwara, A. et al., 1993, Icarus 105, 105[4] Fujiwara, A., 1980, Icarus 41, 356, Fujiwara, A.,
1986, Mem. S. A. It. 57, 47][5] JAXA,H#IJKL MNL-%OHPHIJ
82#Q RSTUSVWS 67XYL Z[\IJ]
H-.SPACE NEWS,http : // www. isas.jaxa.jp/j/snews/2003/1007̲2.shtml[6] Ostro, S. J. et al., 2004, Meteoritics and PlanetaryScience, 39, 407



[7] Nakamura, T. et al., 2001, Earth Planets and Space53, 1047

自転軸まわりに3度回転分の視差をもつ2画像から形状を復元することに成功し, 自転走査による単一カメラ画像に基づく形状認識の基礎を固めた. 今後は, 2[8] Simonelli, D. P. et al., 1993, ICARUS 103, 49[9] 宇宙科学研究所, 2003, M-V-5/MUSES-C 飛翔実
験計画書, 582

視点から復元された面パーツ群について, どう結合し[10] 徐 剛, 2001, 写真から作る３次元 CG, 7

精度を上げてゆくか, その手順を確立する. 面の重複

[11] Hartley, R. I., 1997, IEEE 19, 6域を自動抽出し, 自転一周分に結合誤差を平均で押し[12] Berg et al, M. D., 1997, Computational Geometry,付ける(最小二乗フィッティング)ことから始め, さらに, 得られた形状モデルと画像から探査機の位置を逆

179[13] AC3D, http://www.ac3d.org/