数理解析研究所講究録
第 1984 巻 2016 年 87-109

87

Big and Small Spreading Phenomena
for Free Boundary Problems of Spruce Budworm Models
早稲田大学大学院・基幹理工学研究科

河合優佑 (かわいゆうすけ)

YUSUKE KAWAI
Department of Pure and Applied Mathematics,
Waseda University

1序．
外来種の侵入拡散を再現する生態系モデルとして，次のような自由境界問題を考える :(FBP)$\{\begin{array}{ll}u_{t}=du_{xx}+f(u) , t>0, 0<x<h(t) ,u_{x}(t, 0)=u(t, h(t))=0, t>0,h’(t)=-\mu u_{x}(t, h(t)) , t>0,h(O)=h_{0}, u(O, x)=u_{0}(x) , 0\leq x\leq h_{0}.\end{array}$$u=u(t, x)$ は生物の個体数密度， $h=h(t)$ は自由境界の座標， $d,$ある．反応項 $f=f(u)$ は$[0, \infty$$f(O)=0,$

$\mu$

そして

$h_{0}$

は正定数で) 上で局所 Lipschitz 連続かつ，$\exists K$

s.t. $f(K)=0$ and $f(u)<0$ for $u>K$(1.1)

なる条件をみたすものとし，初期値 $u_{0}=u_{0}(x)$ は$u_{0}\in C^{2}[0, h_{0}]$with $u_{0}’(0)=u(h_{0})=0$ and $u_{0}>0$ in $(0, h_{0})$(1.2)

なる関数とする．1 次元領域の左端 $x=0$ では斉次 Neumann 条件を課し，生物の出入りがないものとする．自由境界の挙動は，その速度が $x=h(t)$ における個体数圧に比例するという Stefan 条件 : $h’(t)=-\mu u_{x}(t, h(t))$ に従うものとする．このような自由境界問題
は 2010 年に Du-Lin [2] によって導入され，反応項を logistic 関数 : $f(u)$ $:=(a-bu)u$ としたものをはじめ，近年様々な種類の自由境界問題が研究されている．
$f$ が局所 Lipschitz 連続かつ (1.1) をみたすならば，(FBP) は有界な古典大域解 $(u, h)$ を持つことが示される (Theorem 1). したがって， $tarrow\infty$ としたときの大域解の漸近挙動の解析が大きな目標となる．

Definition 1. (FBP) の解 $(u, h)$ の挙動について次のように定義する :(I) Vanishing:;(II) Spreading:and$\lim_{tarrow\infty}|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}=0$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$$\lim inftarrow\infty|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}>0.$

生物学的に Vanishing は外来種の侵入拡散の失敗，Spreading は成功を意味する．漸近挙動は反応項 $f$ に強く依存する． $f$ が monostable 型 (e.g. logistic 関数) の場合は Du-Lin[2] によって Vanishing または Spreading のみが起こるという二者択一定理が得られている．また， $f$ が bistable 型 e.g. $f(u):=u(u-\theta)(1-u)$ with $0<\theta<1/2)$ の場合には$($Vanishing, Spreading または Transition(Vanishing と Spreading の中間の特殊な現象) が起こるという三者択一定理が Du-Lou [3] によって得られている．

88

図 3: positive bistable 型
図 2: bistable 型の反応項として次のものを採用する:
本研究では，(FBP)
図 1: monostable 型$f(u) :=(a-bu)u-\underline{u^{2}}$(1.3)$1+u^{2}.$
$a$

と

$b$

は正定数とし，それぞれ内的増加率，内的競争率と呼ばれている．この非線形項は北アメリカの森に生息するトウヒノシントメハマキガ (Spruce Budworm) の生態系モデル
として Ludwig et al. [12] によって考案され，長い研究の歴史がある．反応項は logistic 項と，Holling によって提唱された I, II, III 型の捕食率のうち，I 型を用いて構成されている．I 型は次の 2 つの仮定が考慮されている :(1) 被食者の個体数が多い場合，捕食者が “ 満腹” となり捕食率は飽和状態に近づく．
(2) 被食者の個体数が少ない場合，被食者が “ 隠れ家 に隠れる等して捕食を免れる．
I 型は単に 捕食率が生物の個体数に比例する としたもので，II 型は捕食者の 満腹”のみが仮定されたものである．反応項 (1.3) は，パラメータ と によって大きく 3 つの形状に分類される :のみを持つ．
(i) small monostable : $f(u)=0$ は正値解として小さなのみを持つ．
(ii) big monostable : $f(u)=0$ は正値解として大きなを持つ．
(iii) positive bistable : $f(u)=0$ は 3 つの正値解with(i) と (ii) は Du-Lin [2] による monostable 型と同様の結果が得られるので，今回は (iii) のpositive bistable 条件を満たす場合のみに焦点を当てて議論する．以下， は次の条件を満たすものとする :
”

“

“

”

$a$

$b$

$u_{1}^{*}>0$$u_{3}^{*}>0$$u_{1}^{*},$$u_{2}^{*},$$u_{3}^{*}$$u_{1}^{*}<u_{2}^{*}<u_{3}^{*}$

$f$

(PB)

$f$

is given by (1.3),

図 4: (1.3) のパラメータ相平面

図 5: 各パラメータ条件における (1.3) の概形

89のうちRemark 1.1. (PB) において常微分方程式を考えた場合，4 つの平衡点
碗と嬉のみが安定となる．生物学的に， は生物が隠れ家にひっそりと身を潜めている$0,$$u_{1}^{*},$$u_{2}^{*},$$u_{3}^{*}$$u_{1}^{*}$

状態，$u_{3}^{*}$

は生物が大発生している状態を意味する．

をみたすので，大域解の存在定理 (Theorem
Remark 1.2. 反応項 (1.3) は (1.1) with
に対する大域解 $(u, h)$ の一意存在は保証されている．
1) より，(FBP) の各初期値$K=u_{3}^{*}$$(u_{0}, h_{0})$Remark 1.3. Holling I 型: $f(u)=(a-bu)u-u$ は monostable 型，Holling II 型: $f(u)=$$(a-bu)u-u/(1+u)$ は bistable 型に分類され，先行研究と同様の結果が得られる．

主結果．

1.1

を初
この小節では (FBP) について，(PB) を仮定して主結果を述べる．以下，$tarrow\infty$における漸近挙動の択一定理
期値とする (FBP) の解を $(u, h;u_{0}, h_{0})$ と表記する．
として，次の四者択一定理が得られる :$(u_{0}, h_{0})$Theorem I (四者択一定理). (PB) を仮定する．このとき，(FBP) の任意の解 $(u, h)$ について次の $(I)-(IV)$ のいずれかが成り立つ :(I) Vanishing:(II)Small spreading:

and
and

$\lim_{tarrow\infty}h(t)\leq(\pi/2)\sqrt{d/a}$$(III)Bi_{9}$$(IV)$

spreading:$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$

Middle spreading:

ただし$v_{de}$$tarrow\infty hm|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}=0$$\lim_{tarrow\infty}u(t, x)=u_{1}^{*}$;

locally uniformly in$[0, \infty$););
locally uniformly in
and),and $\lim_{tarrow\infty}u(t, x)=v_{dec}(x)$ locally uniformly in; $dv”+f(v)=0$ for $x>0,$ $v’(O)=0.$$[0, \infty$$\lim_{tarrow\infty}u(t, x)=u_{3}^{*}$$[0, \infty$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$。は次の問題の単調減少な正値□解■かである

図 6: Vanishing

図 7: Small spreading

図 8: Big spreading $(\mu<\mu^{*})$

図 9: Middle spreading

Theorem I の漸近挙動に対する十分条件として，次の結果が得られる :90
Theorem II (漸近挙動に対する十分条件). $(u, h;u_{0}, h_{0})$ を (FBP) の解とし，(PB) を仮定する．このとき，次の $(i)-(iii)$ が成り立つ :(i) $h0<(\pi/2)\sqrt{d}/a$ とする．このとき，(a) $u_{0}(x)\leq V^{*}(x)$ in
ならば，Vanishing が起こる．ただし，$[0, h_{0}]$$V^{*}$

は $[0, h_{0}]$ 上の正値関数とする．

(b)$|u_{0}|_{L^{1}(0,h_{0})} \geq\frac{d}{\mu}(\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{d}{a}}-h_{0})\max\{1,$$\frac{|u_{0}|_{C[0,h_{0}]}}{u_{1}}*\}$

ならば Spreading が起こる．

(ii) $h_{0}\geq(\pi/2)\sqrt{d}/a$ とする．このとき，Spreading が起こる．さらに，
ならば，Small spreading が起こる．
(a)ならば，Small spreading が起こる．
(b)$|u_{0}|c[0,h_{0}]<u_{2}^{*}$$|u_{0}|_{L^{1}(0,h_{0})}<u_{2}^{*}\sqrt{\pi d}/(2ea)$(iii) $h_{0}\geq\ell*with$ some $\ell*>0$ とする．このとき，がとれて， $u_{0}(x)\geq q_{2}(x;\ell)$in $[0, l]$ が成り立つならば，Big spreading が起こる．ただし， は次の問題の 2 番
目に小さな正値解とする ; $dq”+f(q)=0$ for $0<x<\ell$ with $q’(O)=q(\ell)=0.$$\ell\in[\ell^{*}, h_{0}]$$q_{2}$

次に，(1.2) を満たすようなる．ただし，$(u_{0}, h_{0})$を固定し，$(\sigma u_{0}, h_{0})$は正のパラメータとする．もちろんを初期値とする (FBP)。を考えも (1.2) を満たすので，(FBP)。も大域解を一意に持ち，その漸近挙動は に依存する．このとき，次の定理のように漸近挙と動に対する閾値
の存在が示され，Middle spreading が Small と Big spreading の中間の特異な現象であることがわかる．
$\sigma$$\sigma u_{0}$$\sigma$$\sigma_{1}^{*}$$\sigma_{2}^{*}$

Theorem III (漸近挙動に対する閾値). (PB) と (1.2) を仮定し，を初期値とする (FBP) の解を考える．このとき，に依存する定数が存在して，$(\pi/2)\sqrt{d}/a-$ならば翫 nishing,
ならば Spreading が起こる．とくに，$(\sigma u_{0}, h_{0})$$(u_{0}, h_{0})$$0\leq\sigma\leq\sigma_{1}^{*}$$\sigma_{1}^{*}\in[0, \infty]$$\sigma_{1}^{*}<\sigma$

ならば 1 $<\infty,$ $h_{0}<(\pi/2)\sqrt{d}/a$ ならば 1 $>0,$0 である．さらに， $h_{0} \geq\max\{(\pi/2)\sqrt{d/a}, \ell^{*}\}$ ならばならば Small spreading,が存在して，$*$$\mu u_{1}^{*}|u_{0}|_{L^{1}(0,h_{0})}/(d|u_{0}|_{C[0,h_{0}]})\leq h_{0}$ならば 1依存する定数ならば Middle spreading,$(\pi/2)\sqrt{d/a}$$\sigma$$*\equiv$$*$$\sigma$$(u_{0}, h_{0})$$\sigma_{2}^{*}\in(0, \infty)$$\sigma_{1}^{*}\equiv 0<\sigma<\sigma_{2}^{*}$$\sigma_{2}^{*}<\sigma$

(SWP)

$u$

に

$\sigma=\sigma_{2}^{*}$

ならば Big spreading が起こる．

漸近 Spreading speed に関する結果を述べる．Spreading が起こるとき;の漸近 Spreading speed や$h0\geq$$\sigma$$tarrow\infty$のときの漸近形状を知る上で，次の問題の解析が重要である :$\{\begin{array}{ll}dq_{zz}-cq_{z}+f(v)=\cdot 0, z>0,q(0)=0, q(\infty)=u^{*}, q(z)>0, z>0,\mu q_{z}(0)=c.

Small spreading を解析する際には\end{array}$

Big spreading を解析する際にはとしたものを解析する．この (SWP) がどのように導出されるかを示す．まず， $v(t, z)=$$u(t, h(t)-x)$ とすれば，(FBP) から次の問題が導かれる :$u^{*}=u_{1}^{*}$,$\{\begin{array}{ll}v_{t}=dv_{zz}-h’(t)v_{z}+f(q) , t>0, 0<z<h(t) ,v(t, O)=v_{z}(t, h(t))=0, t>0,h’(t)=\mu v_{z}(t, 0) , t>0,h(O)=h_{0}, v(O, x)=u_{0}(h_{0}-z) , 0\leq x\leq h_{0}.\end{array}$$u^{*}=u_{3}^{*}$

91
Spreading が起こる場合にはであることに注意して， $tarrow\infty$ としたときに $h’(t)$ と $v(t, z)$ がそれぞれ定数 と) 上の正値関数 $q=q(z)$ に収束することを仮定
すれば，この問題から (SWP) が導かれる．
(SWP) の解 Semi-wave の存在に関する次の定理が成り立つ :$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$$[0, \infty$$c$

Theorem IV (Semi-wave の存在). (PB) を仮定する．このとき，(SWP) with
は各 $\mu>0$ に対して一意解 $(c, q)=(c_{S}^{*}, q_{S}^{*})$ を持つ．さらに，次の Case
れかが成り立つ :$A$$u^{*}=u_{1}^{*}$

または $B$ のいず

Case $A$ : (SWP) with $u^{*}=$ 妬は各 $\mu>0$ に対して一意解 $(c, q)=(c_{B}^{*}, q_{B}^{*})$ を持つ．
は各 $\mu<\mu^{*}$ に対して一意解
Case : 正定数が存在して，(SWP) with$B$$u^{*}=u_{3}^{*}$$\mu^{*}$$(c, q)=(c_{B)}^{*}q_{B}^{*})-$を持ち， $\mu>\mu^{*}$ に対して解を持たない．

各 Spreading 現象の漸近 Spreading speed ついて次の定理が成り立つ :を Theorem IV で
Theorem V (漸近 Spreading speed). (PB) を仮定する．
得られた定数とする．このとき，Small または Middle spreadin9 が起こるならば，$c_{S}^{*},$$\lim_{tarrow\infty}\frac{h(t)}{t}=c_{S}^{*}(\mu)$for each $\mu>0$ andBig spreadin9 が起こるならば，次の Case

Case $A$ :$\lim_{tarrow\infty}\frac{h(t)}{t}=c_{B}^{*}(\mu)f$$c_{B}^{*}(\mu)$Case $B:\lim$$t arrow\infty\frac{h(t)}{t}=\{$$c_{S}^{*}(\mu)$

ただし，$c_{0}^{S}$と$c_{0}^{B}$$A$$c_{S}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{S}$

as$\mu^{*}$$\muarrow\infty.$

または $B$ のいずれかが成り立つ :or each $\mu>0$ andfor eachfor each$c_{B}^{*},$$\mu<\mu^{*}$

as$c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{B}$

and$\muarrow\infty.$$c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{S}^{*}(\mu^{*})$

as$\mu\nearrow\mu^{*},$$\mu>\mu^{*}.$

は Theorem VI で得られる正定数とする．さらに，Case $A$ (resp. B):$c_{S}^{*}(\mu)<c_{B}^{*}(\mu)$

for $\mu>0$ (resp.

図 10: Case $A$$\mu<\mu^{*}$).

図 11: Case $B$;
Remark 1.4. Middle spreading は bistable 型や combustion 型: $f\in C^{1};f(u)=0$ inの反応項を用いた (FBP) における$f(u)>0$ in , 1 ; $f’(1)<0;f(u)<0$ inTransition という現象に対応している．Du-Lou-Zhou [4] によれば，Transition が起こると仮定すると，bistable 型においては $\lim_{tarrow\infty}h(t)/\log t=c^{*}$ , combustion 型においては$[0, \theta]$$[\theta$$]$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/\sqrt{t}=c^{*}$$[0, \infty)$

なる結果が示されている．

92
1.2

一般の自由境界問題に対する先行研究と主要な定理．

この小節では，先行研究によって得られた主要な定理を述べる．まず，古典大域解の一意存在と有界性について，次の定理が知られている :Theorem 1 $(古典大域解の一意存在と有界性 [7,$ Theorem $1 f=f(u)$ は , oo) 上で局
所 Lipschitz 連続な関数で (1.1) をみたし，初期関数 $u_{0}=u_{0}(x)$ は (1.2) をみたすものとする．このとき，任意の $\alpha\in(0,1)$ と $t>0$ に対して，(FBP) は一意解$[0$$(u, h) \in C^{1+\frac{\alpha}{2}2+\alpha}\rangle(\bigcup_{t\geq 0}(\{t\}\cross[O, h(t)]))\cross C^{1+\frac{\alpha}{2}}[0, \infty)$を持つ．さらに，定数$C_{1}^{*}$と$C_{2}^{*}$$0<u(t, x)\leq C_{1}^{*},$

ただし，$C_{1}^{*}$と$C_{2}^{*}$

はそれぞれが存在して，

for $t>0,$ $x\in(O, h(t))$ .

$0<h’(t)\leq\mu C_{2}^{*}$$|u_{0}|_{C[0,h_{0}]}$と$|u_{0}|_{C^{1}[0,h_{0}]}$のみに依存する正定数である．

この定理から，自由境界 $h(t)$ は後退することなく前進し，その極限は有界か無限であることがわかる．生物学的に定数 $K$ は生物の環境容量を意味し，通常の生態系モデルの反応項は (1.1) をみたす．

漸近挙動の解析の際に有効な定理として，比較定理，Vanishing, Spreading に対する十分条件が示されている．まず，比較定理を述べる :Theorem 2 ((FBP) に対する比較定理 [7, Lemma 3$\{(t, x)\in \mathbb{R}^{2}:0<t\leq T, 0\leq x\leq\overline{h}(t)\}$とし，$(u, h;u_{0}, h_{0})$$\overline{h}\in C^{1}[0, T]$とを (FBP) の解，$\overline{u}\in C(\overline{\Omega}_{1})\cap C^{1,2}(\Omega_{1})$$\Omega_{1}:=$

は

(1.4)

$\{\begin{array}{ll}\overline{u}_{t}-\fbox{Error::0x0000}u_{xx}-f(\overline{u})\geq 0, (t, x)\in\Omega_{1},\overline{u}_{x}(t, 0)\geq 0, \overline{u}(t, \overline{h}(t))=0, t\in(O, T],\overline{h}’(t)\geq- \mu\overline{u}_{x}(t, \overline{h}(t)) , t\in(O, T]\end{array}$をみたすものとする．さらに， $\Omega_{2}:=\{(t, x)\in \mathbb{R}^{2}:0<t\leq T, 0\leq x\leq\underline{h}(t)\}$ とし，
”
”
”
と
と“
と
をそれぞれ
を (1.4) における“”で置き換えた条件をみたすものとする．このとき，$\underline{h}\in C^{1}[0, T]$$”\geq$$\underline{u}\in C(\overline{\Omega}_{2})\cap C^{1,2}(\Omega_{2})$$”\leq$$\Omega_{1}$$\Omega_{2}$$\underline{h}(O)\leq h_{0}\leq\overline{h}(O)$and$\underline{u}(O, x)\leq u_{0}(x)\leq\overline{u}(0, x)$in$[0, h_{0}]$ならば，$\underline{h}(t)\leq h(t)\leq\overline{h}(t)$in $[0, T],$$\underline{u}(t, x)\leq u(t, x)in(t, x)\in\overline{\Omega}_{2}, u(t, x)\leq\overline{u}(t, x)in(t, x)\in\overline{\Omega}_{1}.$Remark 1.5. (1.4) の条件式$\overline{u}(t, L)\geq u(t, L)$としても良い．

$($

resp.

$\overline{u}_{x}(t, 0)\geq 0$

$($

resp.

$\underline{u}(t, L)\leq u(t, L))$$\underline{u}_{x}(t, 0)\leq 0)$

for$L\leq h_{0}$for $t\in(0, T$] を(resp. $h(O)$ ) and $t\in(O, T$ ]93
次のように優解と劣解を定義する :Definition 2. Theorem 2 における$(\overline{u}, \overline{h})$を (FBP) の優解，$(\underline{u}, \underline{h})$を劣解とする．

適切に優劣解を構成することで，解の漸近挙動を解析することができる．その際に通常の比較定理と異なり，関数 だけでなく， $(u, h)$ の組に対する優劣解を構成しなけれ$u$ばならない．

Vanishing に対する十分条件として，次のような簡潔かつ有用な結果が得られている :Theorem 3 $([7,$ Theorem $2 (u, h)$ を (FBP) の解とする．このとき， $\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$
ならば Vanishing が起こる :$\lim_{tarrow\infty}|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}=0.$

Spreading に対する十分条件が得られている :Theorem 4 $([7,$ Theorem $3 (u, h;u_{0}, h_{0})$ を (FBP) の解とし， $q=q(x;\ell)$ を楕円型問題(IP)$\{\begin{array}{ll}dq"+f(q)=0, 0<x<\ell,q’(O)=q(\ell)=0, q(x)>0, 0<x<\ell\end{array}$の解とする．ただし， は正定数とする．このとき，
ならば，$\ell$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$

ただし，$v^{*}$

and$h_{0}\geq\ell$$\lim\inf u(t, x)tarrow\infty\geq v^{*}(x)$

力 1 つ $u_{0}(x)\geq q(x;\ell)$ in $[0, \ell]$for $x\geq 0.$は楕円型問題$(SP)$$\{\begin{array}{ll}dv"+f(v)=0, x>0,v’(O)=0, v(x)\geq 0, x>0\end{array}$の解で， $v^{*}(x)\geq q(x)$ in $[0, h_{0}]$ をみたす最小のものとする．

1.3(IP) と (SP) の解析．

Theorem 4 を用いる際に，反応項 (1.3) に対する (IP) と (SP) の解析が重要である．
の小節では (PB) を仮定し，shooting method を用いて得られる (IP) と (SP) の解の存在定理を述べる ([11, 12] を参照). $vv’$ -phase plane 上で境界条件をみたす軌道を読み取れば，(SP) の解の概形を得ることができる．また，(IP) の解の取りうる最大値 $w:=|q|_{C[0,\ell]}$ は境界の幅 こ依存し，time map を用いるとその対応関係を読み取ることができる (より詳
細な解析は [13, 14] を参照).
こ$\ell l$Definition 3. 次の関数を time map と定義する :$\ell(w)=\sqrt{\frac{d}{2}}\int_{0}^{w}\frac{dv}{\sqrt{F(w)-F(v)}}.$

ただし， $F(u):= \int_{0}^{u}f(v)dv$ とする．

94
この time map から， $(IP)$ の解が$q$の最小の零点$\ell$

が$q$の $x=0$ における値 w(実際，このの最大値となる) の関数として表されることがわかる．逆に考えれば，解軌道はに依存するということである．参考までに，small と big monostable における time mapと $vv’$ -phase plane は次のようになる :$w$$\ell$

$q$

$O$

$M$

図 12: small monostable における time map

$M$

$O$

図 14: big monostable における time map(PB) においてmap の定義域は$\hat{u}_{*}\in(u_{2}^{*}, u_{3}^{*})$$[0, u_{1}^{*}$)となる点とする．(PB) における timeとなり，その概形と phase plane は次のようになる :を$\cup(\hat{u}^{*}, u_{3}^{*})$$\int_{u_{1}^{*}}^{\hat{u}^{*}}f(u)du=0$

図 17: (PB) における phase plane

図 16: (PB) における time map

Remark 1.6. time map における $(\pi/2)\sqrt{d}/a$ と$(\pi/2)\sqrt{d}/a<\ell^{*}$$\ell*$の大小関係について，数値計算によればであると推測できるが，証明は得られていない．

95以上の解析により，(IP) と (SP) の解の存在について次のような結果が得られる :Theorem 5 ( $(IP)$ の解の存在). (PB) を仮定し， $q_{i}=q_{i}(x;P)$ , $i=1$ , 2, 3 を (IP) の解とする．このとき，正定数が存在して，(IP) は $\ell\in((\pi/2)\sqrt{}, \infty)$ にと対して正値解を持つ．さらに，各 に対して) に対して$\ell^{*}:=\inf_{\hat{u}^{*}<M<u_{3}^{*}}\ell(M)$$q_{1},$$\ell$$\ell\in[l^{*}, \infty$$q_{2}$$q_{3}$

かつ $\hat{u}^{*}<|q_{2}|c[0,\ell]\leq|q_{3}|c[0,\ell]<u_{3}^{*}$ であり， $\ell=\ell*$ ならば$q_{2}\equiv q_{3}$$|q_{1}|_{C[0,\ell]}<u_{1}^{*}$

である．

Theorem 6 ( $(SP)$ の解の存在). (PB). を仮定し， $v=v(x)$ を (SP) の解とする．このとき，, 一意の単調減少な解 $v=v_{dec}(x)s.t.,$(SP) は 4 つの定数解 $v\equiv 0,$
and $\lim_{xarrow\infty}v_{dec}(x)=u_{1}^{*}$ , そして周期解 $v=Vper$ (x) $s.t.,$
Vper $(x)<u_{2}^{*}<$$u_{1}^{*},$$u_{2}^{*},$$v_{dec}(0)=\hat{u}^{*}$$u_{3}^{*}$$u_{1}^{*}< \min_{x\geq 0}$$\max_{x\geq 0}$

Vper$(x)<u^{*}\ovalbox{\tt\small REJECT}$を無数に持つ．

漸近挙動について．

2

この節では (PB) を仮定し，漸近挙動に対する主結果 Theorems I-III の証明を述べる．

2.1

四者択一定理．

この小節では，四者択一定理 (Theorem I) の証明の概要を述べる．そのために，幾つかの命題と補題を準備する．

Proposition 2.1. $(u, h)$ を (FBP) の解とする．このとき， $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ ならば$u_{1}^{*} \leq\lim\inf u(t, x)tarrow\infty\leq\lim_{farrow}\sup_{\infty}u(t, x)\leq u_{3}^{*}$

Proof.

for$x\geq 0.$なので， $h(T)>(\pi/2)\sqrt{d}/a$ となるような $T>0$ が存在する．
が $q_{1}(x;\ell)\leq u(T, x)$ inと，いくらでも小さくなるように$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$

このとき，(IP) の解$q_{1}$$[0, \ell]$(time map 図 16 を参照). ここで， $t\geq T$ に対して $(u(T, x), h(T))$ を初期値とする (FBP) の解に Theorem 4 を適用すれば， $v^{*}(x)\geq q_{1}(x;\ell)$をみたす (SP) の最小の正値解がであることから，
in$P\in((\pi/2)\sqrt{d}/a, h(T)]$ をとることができる$[0, \ell]$$v^{*}\equiv u_{1}^{*}$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$

次に，$\overline{u}=\overline{u}(t)$and$\lim\inf u(t, x)tarrow\infty\geq u_{1}^{*}>0$(2.1)

for $x\geq 0$ .

を常微分方程式$\frac{d}{dt}\overline{u}=f(\overline{u})$;$\overline{u}(0)=\max\{|u_{0}|_{C[0,h_{0}]}, u_{3}^{*}\}$の解とする．このとき， は の優解となり， $[0, h(t)$ ) 上で ‘通常の比較定理 を用いれとなるため，
ば $u(t, x)\leq\overline{u}(t)$ for $t>0,$ $x\in[0, h(t)]$ である．さらに，’$\overline{u}$$u$$\lim_{tarrow\infty}\overline{u}(t)=u_{3}^{*}$$\lim\sup u(t, x)\leq u_{3}^{*}$

for $x\geq 0$ .

(2.2)

$tarrow\infty$

以上，(2.1), (2.2) より結論の評価を得る．口96
Proposition 2.2. $(u, h)$ を (FBP) の解とする．このとき， $\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$ ならば，$\lim_{tarrow\infty}h(t)\leq\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{d}{a}}$Proof Theorem 3 より，

and$\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$$\lim_{tarrow\infty}|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}=0.$ならば次のことが成り立つ :$\lim_{tarrow\infty}|u(t, \cdot)|_{C[0,h(t)]}=0$

.

(2.3)

したがって， $\lim_{tarrow\infty}h(t)\leq(\pi/2)\sqrt{d}/a$ であることを示せばよい．背理法で示すために，ある $T>0$ において $h(T)>(\pi/2)\sqrt{d}/a$ が成り立つと仮定する．このとき，Proposition
であることに注意
2.1 の証明における議論と同様にして，(SP) の最小の正値解がすれば Theorem 4 よりなる評価を得ることができる．しかし，であることがわかる．
の評価は (2.3) に矛盾するので， $\lim_{tarrow\infty}h(t)\leq(\pi/2)$$v\equiv u_{1}^{*}$$\lim\inf_{tarrow\infty}u(t, x)\geq u_{1}^{*}$こ$\square$を幾つか表記を導入する．
上の連続関数 $w=w(x)$ の零点の数とし，とくにを区間 $It$ こおける $w$ の零点の数とする．さらに， $w$ の零点を 2 種類に分類する :$\mathbb{R}$$\mathcal{Z}(w)$$\mathcal{Z}_{I}(w)$simple zero:s.t., $w(x^{*})=0$ and $w’(x^{*})\neq 0$ ;$x^{*}$

degenerate zero:$x^{*}$

s.t., $w(x^{*})=w’(x^{*})=0.$

放物型方程式の解に対する零点の性質について，Angenent [1] によって重要な結果が得られている．その結果を用いることで Du-Matano [5] において， 上の放物型問題の解の漸近挙動の択一定理が示された．その手法を (FBP) に対して拡張することによって Theorem$\mathbb{R}$

I を示すことができる．

[1, Theorems A-D] を (FBP) に対して適用できるよう，区間 $I=I(t)$ の左端を斉次
Neumann 条件を課した固定端，右端を時間 に依存した自由境界として改良したものを示すことができる (より一般の自由境界問題に対する定理は [4, 10] を参照):$t$

Lemma 2.1 (zero number properties).
とし， $I(t):=[0, \xi(t)]$ とする．
$w(t, x)\not\equiv O$$\xi(t)$with $\xi(t)>0$ を$(t_{1}, t_{2})$における$C^{1}$級の関数$w=w(t, x)\in C^{1,0}([t_{1}, t_{2}]\cross I(t))\cap C^{1,2}((t_{1}, t_{2})\cross I(t))$

withは放物型方程式(2.4)$w_{t}=dw_{xx}+c(t, x)w, t\in(t_{1}, t_{2}) , x\in(O,,\xi(t))$

および境界条件$w_{x}(t, 0)=0,$$w(t, \xi(t))\neq 0$

for$t\in(t_{1}, t_{2})$をみたし，係数関数 は上で有界な関数とする．このとき，各 $t\in(t_{1}, t_{2})$ に対して関数 $x\mapsto w(t_{;}x)$ の零点は $I(t)$ 内で集積しない．さらに，(i) $\mathcal{Z}_{I(t)}(w(t, <\infty for any t\in(t_{1}, t_{2})$ かつ について非増加である．
(ii) $w(t^{*}, x^{*})=w_{x}(t^{*}, x^{*})=0$ for some
, $x^{*}\in I(t)$ ならば，$c$$[t_{1}, t_{2}]\cross I(t)$$t$$t^{*}\in(t_{1}, t_{2})$$\mathcal{Z}_{I(t)}(w(t, >\mathcal{Z}_{I(t)}(w(s, for all t\in(t_{1}, t^{*}), s\in(t^{*}, t_{2})$$I=[0, \infty)$

としても同様の主張が成り立つ．

.

97
Lemma 2.1 を用いることで，[5, Lemma 2.6] と同様にして次の結果を得る :Lemma 2.2. $w(t, x)$ を

for

$t$

砺

$[$

$\in$

$t_{2}]$$[t_{1}, t_{2}]\cross[0, \infty$

をみたす関数とし，) において方程式 (2.4), $x=0$ において $w_{x}(t, 0)=0$
を次のような関数列とする :$\{w_{n}(t, x)\}_{n=1}^{\infty}$$\lim_{narrow\infty}w_{n}(t, x)=w(t, x)$

このとき， $t\in[t_{1}, t_{2}],$$n\in \mathbb{N}$in$C^{0,1}([t_{1}, t_{2}]\cross[0,$$\infty$に対して関数 $x\mapsto w_{n}(t, x)$ が $[0, \infty$ ) に simple zero のみを持つならば，すべてのsimple zero 0 のみを’$\yen$つ．

$t\in[t_{1}, t_{2}]$に対して $w(t, x)\equiv 0$ on $[0, \infty$ ), または $w(t, x)$ は $[0, \infty$ ) に

Lemma 2.1(zero number properties), Lemma 2.2 と -極限集合を用いた手法 ([3] を参照 により，次の命題を示すことができる (証明は省略) :$\omega$$)$

Proposition 2.3. $(u, h)$ を (FBP) の解とする．このとき， $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ ならば$\lim_{tarrow\infty}u(t, \cdot)=v^{*}$

ただし，$v^{*}$は (SP) の正定数解$u_{1}^{*},$

locally uniformly in$u_{2}^{*},$$u_{3}^{*}$$[0, \infty$).

もしくは単調減少な解 $v_{dec}=v_{dec}(x)$ である．

Proof of Theorem I. 自由境界 $h(t)$ は狭義単調増加である．したがって，$\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$

または $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ のどちらかが成り立つ．このことに注意して 2 つの Claim を示すことで，定理を証明する．
Claim 1: $\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$ ならば Vanishing が起こる． $\lim_{tarrow\infty}h(t)<\infty$ である
場合，Proposition 2.2 より $\lim_{tarrow\infty}|u(t, \cdot)|c[0,h(t)]=0$ , すなわち
Vanishing すなわちとなる．
Claim 2: $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ ならば Small, Big または Middle spreading が起こる． $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ である場合，Proposition 2.3 により解の漸近挙動は (SP) の定数解
または単調減少な解に限られる．
が実現しないことを示す．背理法によって示すために，次のことを仮定する :$v\equiv u_{1}^{*},$$u_{2}^{*},$$u_{3}^{*}$$v\equiv u_{2}^{*}$$V_{dec}$$\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$

さらに， $Vper=v_{per}(x)$ を

and$\lim_{tarrow\infty}u(t, x)=u_{2}^{*}$$u_{1}^{*}< \min_{x\geq 0}$

locally uniformly in$[0, \infty$

).

(2.5)

Vper $(x)<u_{2}^{*}< \max_{x\geq 0}$ Vper $(x)=v_{per}(0)<\hat{u}^{*}$ なる(SP) の周期解とし，新たな関数 を $w(t, x)$ $:=u(t, x)-v_{per}(x)$ と定義してその零点の数$<\infty$ for $t>$$\mathcal{Z}_{[0,h(t)]}(w(t, を考える．$ Lemma $2.1$ with $I(t)=[0, h(t)]$ よりである．しかし，(2.5) と Vper が 周りを振動することから，となり矛盾が生じる．したがって，は実現しない．以上より， $\lim_{tarrow\infty}h(t)=\infty$ である場合には Small, Big または Middle spreading が起こる．
$w$$\mathcal{Z}_{[0,h(t)]}(w(t,$$0$$\lim_{tarrow\infty}\mathcal{Z}_{[0,h(t)]}(w(t,$$u_{2}^{*}$$=\infty$$v\equiv u_{2}^{*}$$\square$

2.2

漸近挙動に対する十分条件．

この小節では，漸近挙動に対する十分条件 (Theorem II) の証明の概要を述べる．
Vanishing に対する十分条件 (i) の (a) は，優解 $(V, H)$ を$H(t):=h_{0}(1+ \delta(1-e^{-\alpha t})) , V(t, x):=V_{0}e^{-\beta t}\cos(\frac{\pi x}{2H(t)})$98と構成し，比較定理 (Theorem 2) を用いることで結果を得る ([8, Theorem 2.2] を参照).
また，正値関数 $V^{*}=V^{*}(x)$ は $V^{*}(x)$ $:=V(0, x)=V_{0}\cos((\pi/2)x/h_{0})$ となる．
$h_{0}<(\pi/2)\sqrt{d}/a$ における Spreading の十分条件 (i) の (b) は，[9, Proposition 4.8] と同様の対偶を用いた議論により示すことができる．
$h_{0}\geq(\pi/2)\sqrt{d}/a$ ならば必ず Spreading が起こるという結果 (ii) は，Proposition 2. 1 の証明において $T=0$ とすれば結論が従う:$C$ -norm による Small
spreading に対する十分条件 (ii) の (a) は，常微分方程式$\frac{d}{dt}\overline{u}=f(\overline{u})$の解$L^{1}$;$\overline{u}(0)=|u_{0}|_{C[0,h_{0}]}<u_{2}^{*}$

を優解として，“ 通常の比較定理” を用れば示される．
-norm による Small spreading に対する十分条件 (ii) の (b) は，初期値問題$\overline{u}=\overline{u}(t)$$\{\begin{array}{l}\overline{u}_{t}=\fbox{Error::0x0000}u_{xx}+a\overline{u}, t>0, x\in \mathbb{R},\overline{u}(0, x)=\overline{u}_{0}(x) ,\end{array}$の解$\overline{u}=\overline{u}(t, x)$を優解として“$\overline{u}_{0}(x):=\{\begin{array}{ll}u_{0}(|x|) , for |x|\leq h_{0},0, for |x|>h_{0}\end{array}$

通常の比較定理” を用いることで示すことができる ([3,Lemma 3.1] を参照).
最後に，Big spreading に対する十分条件 (iii) の証明の概要を述べる．(IP) の解についに対して(time map 図 16 を参照) であるから，(SP) の解でて任意の$v(x)\geq q_{2}(x;\ell)$ inとなるものはのみである．このことに注意すれば，Theorem
4 により結論を得る．
$P\geq\ell*$$q_{2}(0;\ell)>\hat{u}^{*}$$[0, \ell]$

2.3$v\equiv u_{3}^{*}$

漸近挙動に対する閾値．

を初期値とする (FBP) の解について，パラメータ
この小節では，の漸近挙動に対する閾値の存在定理 (Theorem III) の証明の概要を述べる．
とを，それぞれ次のように定義する :$(\sigma u_{0}, h_{0})$について$\sigma_{2}^{*}=\sigma_{2}^{*}(u_{0}, h_{0})$$\sigma_{1}^{*}=\sigma_{1}^{*}(u_{0}, h_{0})$$\sigma_{1}^{*}:=\sup$$\sigma_{2}^{*}:=\inf\{\hat{\sigma}$$\sigma${$\hat{\sigma}$: Vanishing occurs for any$\sigma<\hat{\sigma}$},: $h_{0} \geq\max\{(\pi/2)\sqrt{d/a}, \ell^{*}\}$ and Big spreading occurs for any$\sigma>\hat{\sigma}\}.$

Theorem II を用いることで，各閾値の有界性や，漸近挙動の依存性を証明できる．

Remark 2.1. 不等式$(\pi/2)\sqrt{d}/a-\mu u_{1}^{*}|u_{0}|_{L^{1}(0,h_{0})}/(d|u_{0}|_{C[0,h_{0}]})\leq h_{0}$が成り立つための必要条件は， $|u_{0}|_{L^{1}(0,h_{0})}<h_{0}|u_{0}|_{C(0,h_{0})}$ より，$\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{d}{a}}\frac{d}{d+\mu u_{1}^{*}}<h_{0}<\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{d}{a}}.$をに対してすなわち，Theorem III で得られた結果は十分小さな許す．ただし，条件 : $\inf_{u>0}f(u)/u>-\infty$ を満たす positive bistable 型の反応項ならば，$h_{0}$$\sigma_{1}^{*}<\infty,$$\sigma_{2}^{*}<\infty$$\sigma_{1}^{*}=\infty,$$\sigma_{2}^{*}=\infty$

for any $h_{0}>0$ なる結果が得られる ([3, Proposition 5.3] を参照).

99
漸近 Spreading speed について．

3

この節では (PB) を仮定し，Du-Lou [3] の手法を用いた漸近 Spreading speed に関する

主結果 Theorems IV, V の証明の概要を述べる．[3] と同様の手法によって示すことのできる命題や補題の証明は省略する．

Semi-wave の解析．

3. 1

この小節では，(SWP) の解の存在定理 (Theorem IV) を phase-plane 上の軌道解析によって証明する．そのために，(SWP) から $\mu q_{z}(0)=c$ を除いた次の問題を考える :
”

“‘

(3.1)

$\{\begin{array}{ll}dq_{zz}-cq。 +f(q)=0, z>0,q(0)=0, q(\infty)=u^{*}, q(z)>0, z>0.\end{array}$ただし，$u^{*}=u_{1}^{*}$

or$u_{3}^{*}$とする．

$(c, q(z))$ が (3. 1) を満たすとき， $q(z)$ を speed$c$の Semi-wave と呼ぶことにする．新たに未知関数 $p=p(z)$ を導入して，(3.1) の第一式を同値な連立微分方程式系に書き換える :$q’=p$ ;このとき (3.1) の解は，点$p’= \frac{1}{d}(cp-f(q))$

.

(3.2)

with $:=q’(O)\geq 0$ から出発して $zarrow\infty$ としたときに点$(u^{*}, 0)$ に到達するような， $qp$-plane 上の (3.2) の解軌道 $(q(z),p(z))$ と一致する．
$p(z)=q’(z)>0$ for all $z>0$ ならば，軌道は関数 $p=P(q;c)$ with $q\in[0, u^{*}]$ と表すことができ，この関数は$(0, \omega)$$\frac{dP}{dq}\equiv P’=\frac{1}{d}(c-\frac{f(q)}{P})$をみたす．

$u^{*}=u_{1}^{*}$としたときは$\omega$for $q\in(0, u^{*})$ ;$P_{S},$$u^{*}=u_{3}^{*}$$P(O;c)=\omega$としたときは;$P_{B}$(3.3)$P(u^{*};c)=0$と表記する．

$c=0$ かつ $P(O;0)=\omega_{0}:=\sqrt{(2/d)\int_{0}^{u^{*}}f(s)ds}>0$ なる条件のもと (3.3) を解けば，$P(q;0)$ $:=\sqrt{(2/d)\int_{q}^{u^{*}}f(s)ds}$ for $q\in[0, u^{*}];P’(u^{*};0)=-\sqrt{-f’(u^{*})/d}$ が得られる．

を考える．相平面解析によりが鞍点でと仮定して，(3.2) の平衡点から
$q<u^{*}$に到達する (3.2) の軌道が 2 つ存在あることがわかり，このことから，する．一つはにおいて傾き $(c-\sqrt{c^{2}-4df’(u^{*})})/(2d)<0$ をとるもの (この軌道を$T(c)$ と定義する) で，もう一方は傾き $(c+\sqrt{c^{2}-4df’(u^{*})})/(2d)>0$ をとる．今，
に対
して
に対して
を，
) を次のように定義する :$c\geq 0$$(u^{*}, 0)$$(u^{*}, 0)$$(u^{*}, 0)$$(u^{*}, 0)$$P_{S}$$Q_{S}\in[0, u_{1}^{*})$

とくに$Q_{S}$$P_{B}$$Q_{B}\in[0, u_{3}^{*}$$Q_{S}=Q_{S}(c):= \inf\{\hat{q}\geq 0:P_{S}(q;c)>0$

in$Q_{B}=Q_{B}(c):= \inf\{\hat{q}\geq 0:P_{B}(q;c)>0$

in$(\hat{q},$$(\hat{q},$$u_{1}^{*}$$u_{3}^{*}$と $Q_{B}$ を区別しない場合には $Q$ と表記する．点 $(Q, P(Q;c))$ は $Q=0$ ならば

軸， $P(Q;c)=0$ ならば 軸の正の部分に存在する．
$q$

$Q$

$P$

はいわば， $(u^{*}, O)$ から原点方向に

100
撃ち出される軌道 $P$ の墜落点の 座標である． $T(c)$ の $S:=\{(q,p):0\leq q\leq u^{*},p\geq 0\}$に存在する部分は， $p=P(q;c)$ with $q\in[Q, u^{*}]$ と表すことができる曲線で，$q$in $(Q, u^{*})$$P’(q;c)= \frac{1}{d}(c-\frac{f(q)}{P(q;c)})$および$P(u^{*};c)=0$ ;$P’(u^{*};c)= \frac{c-\sqrt{c^{2}-4df’(u^{*})}}{2d}$をみたす．微分方程式から $P’(Q;c)$ の符号を調べれば，明らかに次のことが成り立つ :$Q_{S}=0$

and $Q_{B}\not\in(0, u_{1}^{*})\cup(u_{2}^{*}, u_{3}^{*}] for any c>0.$(3.4)

また，明らかに $Q>0$ ならば $P(Q;c)=0$ である．
表記の利便性のために， $Q>0$ である場合には $P(q;c)\equiv 0$ for $q\in[0, Q$ ) と仮定し，
乃 $(c):=\{(q,p):p=P(q;c)$ for $q\in[Q,$$u^{*}],$$p=0$

for $q\in[0,$ $Q]\}$と軌道を定義し直す．これにより， $P(q;c)$ は $q\in[0, u^{*}]$ に対して定義されることになる．

図 18: $qp$-phase plane.
十分小さな

$c$

における軌道 $P$ は次のような性質を持つ (証明は省略) :Proposition 3.1. 任意の $c>0$ に対して， $P(q;c)<P(q;0)$ for $q\in(0, u^{*})$ . さらに，十分小さな $c>0$ に対して $Q=0$ and $P(q;c)>0$ in) である．
$[0, u^{*}$$c_{0}^{S},$$c_{0}^{B}$を次のように定義する :$c_{0}^{S}:= \sup\Lambda_{0}^{S},$$\Lambda_{0}^{S}:=\{\xi>0:P_{S}(q;c)>0in[0, u_{1}^{*})for$

all $c\in(O,$$c_{0}^{B}:= \sup\Lambda_{0}^{B},$$\Lambda_{0}^{B}:=\{\xi>0:P_{B}(q;c)>0in[0, u_{3}^{*})for$

all $c\in(O,$とくに区別しない場合には$c_{1}^{B}:= \sup\Lambda_{1},$$c_{0}$と表記する．さらに，$P_{B}$

に対して$c_{1}^{B},$$\Lambda_{1}:=\{\xi>0:P_{B}(q;c)>0in[u_{1}^{*}, u_{3}^{*})for$$c_{2}^{B}$

$\xi$

$\xi$

を定義する :

all $c\in(0,$$\xi$$c_{2}^{B}:= \sup\Lambda_{2}, \Lambda_{2}:=\{\xi>0:P_{B}(q;c)>0in[u_{2}^{*}, u_{3}^{*})foral1c\in(O, \xi$$c_{0}^{S},$$C_{0}^{B},$$c_{1}^{B},$$C_{2}^{B}$が有界であるという結果が得られる (証明は省略) :Proposition 3.2.

$c_{0}^{S},$$c_{0}^{B},$$c_{1}^{B},$$c_{2}^{B}\in(0,2\sqrt{ad}$

].

101
$c$

が

について $P$$c_{0}^{S},$$c_{0}^{B},$$c_{1}^{B},$$c_{2}^{B}$c) は連続かつ単調に変化することと，軌道 $P$ c) の墜落点 $Q(c)$ の位置を境にどのように変化するのかということが次の命題からわかる :Proposition 3 3. 任意の $0\leq c_{1}<c_{2}<c_{0}$ とに対して， $P(q;c_{1})>P(q;c_{2})>0$ in
and) $=P$) uniformly in. さらに，次の $(i)-(vi)$ が成り立つ :(i) $P_{S}(0;c)=0$ and $P_{S}(q;c)>0$ in;
for all(ii);(iii) if;and $P_{B}(q;c)>0$ in
for all(iv) QB;(V) QB;for(vi) QB $(c)=u_{2}^{*}for$$\overline{c}\geq 0$$\cdot$$[0, u^{*})$$\lim_{carrow\overline{c}}P$$[0, u^{*}]$$\overline{c}$$c$$c\geq c_{0}^{S}$$(0, u_{1}^{*})$$c_{0}^{B}\leq c_{1}^{B}<c_{2}^{B}$$c_{0}^{B}<c_{1}^{B},$$P_{B}(0;_{\backslash }c)=0$$c\in(c_{0}^{B}, c_{1}^{B})$$(0, u_{3}^{*})$$(c_{1}^{B})=u_{1}^{*}$$(c)\in(u_{1}^{*}, u_{2}^{*})$$c\in(c_{1}^{B}, c_{2}^{B})$$c\geq c_{2}^{B}.$

図 19: $P_{S}(q, c)$

図 21: $P_{B}(q, c)$ : Case $B$

図 20: $P_{B}(q, c)$ : Case $A$

Proof. 以下，幾つかの Claim を示すことで証明する．
in $[0, u^{*}$ ) for any $0\leq c_{1}<c_{2}\leq c_{0}$ and$\lim_{carrow\overline{c}}P(q;c)=P(q;\overline{c})$ uniformly in $[0, u^{*}]$ for any
O. [3, Lemma 6.1] と同
Claim 1:$P(q;c_{1})>P(q;c_{2})$$\overline{c}\geq$

様の議論により，結果が従う．
Claim 2: (i), $(iii)$ } (vi) が成り立つ．任意の $c>0$ に対して $Q$ は (3.4) をみたすことの定義から明らか．
と，,
Claim 3: $Q_{B}(c_{1}^{B})=u_{1}^{*}$ and $Q_{B}(c)\in(u_{1}^{*}, u_{2}^{*})$ for $c\in(c_{1}^{B}, c_{2}^{B})$ . [ , Lemma 6.1]の bistable 型の反応項と同様の議論により，結果が従う．
の定義と $P_{B}(q;c)$ の についての単調性から明Claim 4:
らかになので結の定義から，明らかにである．さらに，(iv) と論が成り立つ．口$c_{0}^{S}$$C_{0}^{B},$$C_{2}^{B}$$3$$c_{0}^{B}\leq c_{1}^{B}<c_{2}^{B}.$$c_{0}^{B},$$c_{1}^{B},$$c_{2}^{B}$$C_{0}^{B}\leq c_{1}^{B}\leq c_{2}^{B}$$c$$c_{1}^{B}\neq c_{2}^{B}$$c_{2}^{B}$を増加させたときに $P$ c) の墜落点 $Q(c)$ の位置が単調に変化する．その際の墜落点 QB $(c)$ について次のような 2 つの Case が起こりうる :
$c$

Case

$A:c_{0}^{B}<c_{1}^{B}$

;

Case

$P_{B}$

c)$B:c_{0}^{B}=c_{1}^{B}.$から原点方向に撃ち出される軌道c) が， 軸上の区間が存在する．Case においてに墜落することなく原点に墜落するようなは， を増加させた際にc) が原点に墜落するような が存在せず，任意の
に対する
はすべて
に墜落してしまう．
軸上の区間
c)の大小関係に関して次の結果が得られる :
馬と

Case

$A$

においては，$(u_{3}^{*}, 0)$$P_{B}$$c\in(c_{0}^{B}, c_{1}^{B})$$[u_{1}^{*}, u_{2}^{*}]$$P_{B}$$c$$P_{B}$$P_{B}$$c$$p$$[u_{1}^{*}, u_{2}^{*}]$

$q$

$B$

$c\geq c_{0}^{B}=c_{1}^{B}$

102
Proposition 3 4. $P_{S}(q;c)<P_{B}(q;c)$ in

for$[0, u_{1}^{*}]$$\cdot$$\lim_{c\nearrow c_{1}^{B}}P_{B}(q;c)=P_{S}(q;c_{1}^{B})$であり，次の Case$A$

$c\in[0, c_{1}^{B}$). さらに，

uniformly in$[0, u_{1}^{*}]$

または $B$ のいずれかが成り立つ :Case$A:c_{0}^{S}\leq c_{0}^{B}<c_{1}^{B}$

;

Case

$B:c_{0}^{B}=c_{1}^{B}\leq c_{0}^{S}.$Proof. 幾つかの Claim にわけて証明する．

for
for $c\in[0, c_{1}^{B}$ ) . $P_{B}(q;c)>0$ inであることから， $P_{B}(u_{1}^{*};c)>0=P_{S}(u_{1}^{*};c)forc\in[O, c_{1}^{B}$ ) となる．このことと，
c) とc) がともに同じ微分方程式をみたすことから，結論を得る．
. [ , Lemma 6.1] とClaim 2: $\lim_{c\nearrow c_{1}^{B}}P_{B}(q;c)=P_{S}(q;c_{1}^{B})$ uniformly in
Claim 1: $P_{S}(q;c)<P_{B}(q;c)$ in$[0, u_{1}^{*}]$$(0, u_{3}^{*})$$c\in[O, c_{1}^{B})$$P_{B}$$P_{S}$$[0, u_{1}^{*}]$

同様の議論により，$[0, u_{1}^{*}]$

上にある関数 $R=R(q)$ が存在して，$\lim_{c\nearrow c_{1}^{B}}P_{B}(q;c)=R(q)$が成り立ち， $R$ は$(0, u_{1}^{*})$$3$

uniformly in$[0, u_{1}^{*}]$

上で次の方程式を満たす :$R’(q)= \frac{1}{d}(c_{1}^{B}-\frac{f(q)}{R(q)})$$on$$(0, u_{1}^{*})$

(35)

.

より， $P_{B}(u_{1}^{*};c_{1}^{B})=0$ となるので，$Q_{B}(c_{1}^{B})=u_{1}^{*}$$R(u_{1}^{*})= \lim_{c\nearrow c_{1}^{B}}P_{B}(u_{1}^{*};c)=0$

Claim 1 より，明らかに $R(q)\geq Ps(q;c_{1}^{B})>0$ on
上で (3.5), (3.6) をみたす正値関数は
with$[0, u_{1}^{*}$) である．したがって，q 銑 plane$P_{S}(q;c_{1}^{B})$$c=c_{1}^{B}$

(36)

.

のみなので， $R\equiv P_{S}(q;c_{1}^{B})$ となる．

ならば， $c_{0}^{s}\leq C_{0}^{B}<c_{1}^{B}.$の場合，Claim 1 より
$P_{S}(0;c_{0}^{B})\leq P_{B}(0;c_{0}^{B})=0$ となる．したがって $P_{S}(0;c_{0}^{B})=0$ ,
を得る．
即ち
ならば，
. 背理法によって示すために，
Claim4:Claim 3:$c_{0}^{B}<c_{1}^{B}$$c_{0}^{B}<c_{1}^{B}$$c_{0}^{S}\leq c_{0}^{B}$$c_{0}^{B}=c_{1}^{B}$$c_{0}^{S}<c_{0}^{B}(=$$c_{0}^{B}=c_{1}^{B}\leq c_{0}^{S}$に近い値になるようにとれを十分として矛盾を導く．Claim2 より，において $P_{S}(\theta^{*};c_{0}^{B})<P_{S}(\theta^{*};c’)<P_{B}(\theta^{*};c’)<P_{S}(\theta^{*};c_{0}^{S})$ が成り立
ば，ある
において
が次のことを満たすことに注意する :つ．ここで，区間$c’\in(c_{0}^{S}, c_{0}^{B})$$c_{1}^{B})$$C_{0}^{B}$$\theta^{*}\in(0, u_{1}^{*})$$[0, \theta^{*}]$$P_{B}(q\cdot, c’)$

$P_{B}’(q;c’)= \frac{1}{d}(c’-\frac{f(q)}{P_{B}(q;c)})\geq\frac{1}{d}(c_{0}^{S}-\frac{f(q)}{P_{B}(q;c’)})$

この評価と$P_{B}(\theta^{*};c’)<P_{S}(\theta^{*};c_{0}^{S})$により，区間$[0, \theta^{*}]$

for$q\in(O, \theta^{*}$].

において曲線 $p=P_{B}(q;c’)$ は曲線の下にとどまる．したがって， $P_{B}(O;c’)\leq P_{S}(0;c_{0}^{S})=0$ であることから$P_{B}(0;c’)=0$ が成り立つ．しかし， $C’<C_{0}^{B}$ より $P_{B}(O;c’)>0$ なので矛盾が生じる．したであることがわかる．
がって，
であるこ
Claim 5: Case $A$ または $B$ が成り立つ．Proposition 3.3 の (ii) よりとと，Claims 3, 4 より結論が得られる．

$p=P_{S}(q;c_{0}^{S})$$C_{0}^{B}\leq c_{0}^{S}$$C_{0}^{B}\leq c_{1}^{B}$$\square$103
なるProposition 3 5. 各 $\mu>$ 0 に対して存在し，である．さらに，次の Case
as
立つ :
なる
Case $A$ : 各 $\mu>$ 0 に対して，$P_{S}(O;c_{S}^{*})=c_{\mathcal{S}}^{*}/\mu$$\cdot$$c_{S}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{S}$$\muarrow\infty$$P_{B}(0;c_{B}^{*})=c_{B}^{*}/\mu$が一意にまたは $B$ のいずれかが成り$c_{S}^{*}=c_{S}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{S})$$A$が一意に存在$c_{B}^{*}=c_{B}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{B})\backslash$

し， $c_{S}^{*}(\mu)<c_{B}^{*}(\mu)$ かつ， $c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{B}as\muarrow\infty$ である．

Case : 各が一意に存在し，$B$$\mu<\mu^{*}:=C_{0}^{B}/P_{S}(0;c_{0}^{B})[_{\sim}’$$(0, c_{0}^{B})$$c_{S}^{*}(\mu)<c_{B}^{*}(\mu)$

対して， $P_{B}(0;c_{B}^{*})=c_{B}^{*}/\mu$ なる $c_{B}^{*}=c_{B}^{*}(\mu)\in$

かつ，$c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{S}^{*}(\mu^{*})as\mu\nearrow\mu^{*}$

図 22: $P(0;c)$ : Case $A$である．

図 23: $P(0;c)$ : Case $B$

Proof. 次のように 3 つの関数を定義する :$\xi_{S}(c):=P_{S}(0;c) , \xi_{B}(c):=P_{B}(0;c) , \zeta=\zeta(c;\mu):=\frac{c}{\mu}.$のの定義域は $c\geq 0,$の定義域は Case $A$ の場合には $c\geq 0$ , Case$c\in[0,c_{0}^{B}$場合には) であることに注意が必要である．幾つかの Claim にわけて証明する．
Claim 1: 各 $\mu>0$ に対して？ $P_{S}(O;c_{S}^{*})=c_{S}^{*}/\mu$ なる $c_{S}^{*}=c_{S}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{S})$ がここで，$\xi_{S}(c)$一意に存在し，$B$$\xi_{B}(c)$$c_{S}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{S}$

as $\muarrow\infty$ である．Proposition 3.3 との定義から，
は連続に減少$c_{0}^{S}$) 上で増加させたときに) かつ， をすることがわかる． $cy$ -plane における減少曲線 $y=\xi_{S}(c)$ と増加直線 $y=\zeta(c)$ について，$P_{S}(O;c)>0$ for$c\in[0, c_{0}^{S}$$c$$P_{S}(O;c)$$[0, c_{0}^{S}$

および， $\zeta(0)=0,$ $\zeta(c_{0}^{S})=c_{0}^{S}/\mu>0$ より，$y=\xi_{S}(c)$ と $y=\zeta(c)$ は区間において交点をただ一つ持つ．すなわち，が一意に存在することがわかる． $cy$ -plane 上で考えれば，は明らかである (図 22, 23 を参照).
asClaim 2: Case $A$ ならば，各 $\mu>0$ に対して， $P_{B}(0;c_{B}^{*})=c_{B}^{*}/\mu$ なる $c_{B}^{*}=$$\xi_{S}(0)=P_{S}(0;0)>0,$$\xi s(c_{0}^{S})=P_{S}(0;c_{0}^{S})=0$$(0, c_{0}^{S})$$(c_{S}^{*}, c_{S}^{*}/\mu)$$c_{S}^{*}=c_{S}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{S})$$c_{S}^{*}(\mu)\nearrow c_{0}^{S}$$\muarrow\infty$$c_{B}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{B})$

Case

$A$

が一意に存在して，において，$\xi_{B}$$c_{S}^{*}<C_{B}^{*}$

かつ $c_{B}^{*}(\mu)\nearrow C_{0}^{B}$ as $\muarrow\infty$ である．

の定義域は $c\geq 0$ であることから，Claim 1 と同様の議論により任の一意性と収束性が従う．Proposition3.4 より $P_{S}(O;c)<P_{B}(O;c)$であるなので， $\xi s(c)<\xi_{B}(c)forc\in[0, c_{0}^{B}$ ) となる．したがって，
for(図 22 を参照).
意の $\mu>0$ に対する
$c\in[0, c_{0}^{B})$$c_{B}^{*}$$c_{S}^{*}<c_{B}^{*}$

104
ならば，各 $\mu<\mu^{*}$ $:=C_{0}^{B}/P_{S}(0;c_{0}^{B})$ に対して， $P_{B}(0;c_{B}^{*})=$
なる $c_{B}^{*}=c_{B}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{B})$ が一意に存在して，かつである．
を $cy$ -plane における減少曲線 $y=\xi_{B}(c)$ と増加直線 $y=\zeta(c)$asの定義域がとの交点とする．このとき，) であることに注意すれば，Claimが一
1 と同様の議論により， $\mu<\mu^{*}$ であれば $P_{B}(0;c_{B}^{*})=c_{B}^{*}/\mu$ なる意に存在する (図 23 を参照). また，Claim2 と同様の議論により
for $\mu<\mu^{*}$ であであることに注意すればることがわかる．Proposition 3.4 より, すなわち次のことが成り立つ :Claim 3: Case$B$

$c_{B}^{*}/\mu$$c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{S}^{*}(\mu^{*})$$c_{S}^{*}<c_{B}^{*}$$\mu\nearrow\mu^{*}$$(c_{B}^{*}, c_{B}^{*}/\mu)$$c\in[0, c_{0}^{B}$$\xi_{B}(c)$$C_{B}^{*}=c_{B}^{*}(\mu)\in(0, c_{0}^{B})$$c_{S}^{*}<c_{B}^{*}$$C_{0}^{B}=c_{1}^{B}$$\lim_{c\nearrow c_{0}^{B}}P_{B}(O;c)=$$P_{S}(O;c_{0}^{B})$$\lim_{c\nearrow c_{0}^{B}}\xi_{B}(c)=\xi_{S}(c_{0}^{B})=c_{0}^{B}/\mu^{*}$

したがって， $cy$-plane 上で考えれば
以下，$c_{S}^{*}$と$c_{B}^{*}$$c_{B}^{*}(\mu)\nearrow c_{S}^{*}(\mu^{*})as\mu\nearrow\mu^{*}$

を区別しない場合にはを得る．口と表記する．

$c^{*}$

Proof of Theorem IV. Proposition 3.5 より各 $\mu>0$ に対する $P(0;c^{*})=c^{*}/\mu$ なる$c^{*}$の存在性が従う．(3.2) with $c=c^{*}$ に一致する曲線 $p=P(q;c^{*})$ with $q\in[0, u^{*}$ ) に対応する解を $(q^{*}(z),p^{*}(z))$ with $z\in[0, \infty$ ) とすれば，これは qrplane 上において 軸上の正則点 $(0, P(O;c^{*}))$ と 軸上の平衡点をつなぐ．したがって，は (3.1) with
$q_{z}^{*}(0)=c^{*}/\mu$ ,すなわち (SWP) の解となることがわかる．
次に， に対するの一意性を示す．
を (SWP) のもう一つの解とすると，
これは $qp$-plane 上のとを結ぶ 上の軌道 (3.2) と一致する．各 $c\geq 0$ に対してに結合する正値軌道の一意性により，そのような軌道は $p=P(q;\hat{c})$ with
$q\in[0, u^{*})$ に一致する．このことから， $P(O;\hat{c})=\hat{c}/\mu$ となる．ここで，Proposition 3.5 よ$p$$(u^{*}, 0)$$q$$(c^{*}, q^{*})$$(c^{*}, q^{*})$$\mu$$(0,\hat{c}/\mu)$$(\hat{c},\hat{q})$$S$$(u^{*}, 0)$$(u^{*}, 0)$

り $P(O;c)=c/\mu$ なる$c$は一意なので$=c^{*}$である．よって $q=q^{*}$ も従うので， $(c^{*}, q^{*})$ の一意性が示される．

$\square$, (SWP) with
の一意解を
の一意解を
以下，(SWP) withと表記する．qpplane 解析によって，副産物として進行波解 (Traveling wave) の存在定理が得られる (証明は省略) :$u^{*}=u_{1}^{*}$$(c_{S}^{*}, q_{S}^{*})$

Theorem VI (Traveling wave の存在).

$c_{0}^{S},$$C_{0}^{B},$$u^{*}=u_{3}^{*}$$c_{1}^{B},$$C_{2}^{B}$$(c_{B}^{*}, q_{B}^{*})$

を上記で定義されたものとする．

このとき，楕円型問題(TWP)$\{\begin{array}{ll}dq"-cq’+f(q)=0, z\in \mathbb{R},q(-\infty)=u_{*}, q(\infty)=u^{*}, q(z)>0, z\in \mathbb{R},\end{array}$

に対して一意解を持つ．さらに，次の $(i)-(iii)$ が成り立つ :with $(u_{*}, u^{*})=(O, u_{1}^{*})$ は(i) Case の場合，(TWP) with $(u_{*}, u^{*})=(O, u_{3}^{*})$ は) に対して一意解を持つ．
はに対して一意解を持つ．
(ii) (TWP) withはに対して一意解を持つ．
(iii) (TWP) with
ただし，上記の解の一意性は，変数 についての平行移動を除いて考える．
$c\geq c_{0}^{S}$$A$$c\in[c_{0}^{B}, c_{1}^{B}$$(u_{*}, u^{*})=(u_{1}^{*}, u_{3}^{*})$$(u_{*}, u^{*})=(u_{2}^{*}, u_{3}^{*})$$z$$c=c_{1}^{B}$$c\geq c_{2}^{B}$

105
3.2

漸近 Spreading speed の解析．

この小節では，Semi-wave を用いた漸近 Spreading speed に関する定理 (Theorem V)の証明の概要を述べる．与えられた $\mu>0$ に対して (SWP) の解が存在するならば，[3,Lemma 6.5] と同様にして Semi-wave を利用して劣解を構成することで Spreading speedの下からの評価を得る (証明は省略).

Lemma 3.1. $(u, h)$ を (FBP) の解とし，Small (resp. Big) spreading が起こるものとす
) を持つ
る
)” 解
(resp.
このとき，(SWP) with) である．
ならば，(resp.
$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t\geq c_{S}^{*}$$(c_{\mathcal{S}}^{*}, q_{S}^{*})$$u^{*}=u_{3}^{*}$$u^{*}=u_{1}^{*}$$(resp。 (c_{B}^{*}, q_{B}^{*})$$c_{B}^{*}$

Lemma 3.1 の略による評価は，Big と Middle spreading に対しても成り立つ (Small
spreading となる (FBP) の解を劣解とみなせば明らかに結論が従う) :Corollary 3.1. $(u, h)$ を (FBP) の解とし，Big または Middle spreadin9 が起こるものと仮定する．このとき，任意の $\mu>0$ に対して$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t\geq c_{S}^{*}$である．

に摂動を加えた Semi-wave を優解として用いることで，Spreading speed の上からの評価を得ることができる．その際，どのような摂動を $f$ に加えればよいかを述べる．
を が上で最大を $f$ が上で最大値をとる点とし，$f$$(0, u_{1}^{*})$$\hat{\theta}s\in(0, u_{1}^{*})$$\hat{\theta}_{B}\in(u_{2}^{*}, u_{3}^{*})$$f$$(u_{2}^{*}, u_{3}^{*})$

に対して， $f$ を幾つかの条件を満たすように修正し値をとる点とする．十分小さなに対するものをた
級関数を構成する．まず，(SWP) with$\epsilon>0$$C^{1}$$f_{\epsilon}^{S}(u)$$u^{*}=u_{1}^{*}$$f_{\Xi}=f_{\epsilon}(u;\epsilon)$とする :$f_{\epsilon}^{s}(u)\{\begin{array}{l}=f(u) , for u\in[0, \hat{\theta}_{S}]\cup[u_{2}^{*}, \infty),>f(u) , for u\in(\hat{\theta}_{S}, u_{2}^{*}) ,\end{array}$$f_{\epsilon}^{S}(u)=0$

has a unique solution$(f_{\epsilon}^{S})’(u_{1}^{*}+\epsilon)<0,$

次に，(SWP) with$u^{*}=u_{3}^{*}$$f_{\epsilon}^{S}\searrow f$

in theに対するものを$C^{1}$$f_{\epsilon}^{B}(u)$$u_{1}^{*}+\epsilon$innorm over$(\hat{\theta}_{S}, u_{2}^{*})$$[\hat{\theta}_{S}, u_{2}^{*}]$,

as$\epsilon\searrow 0.$とする :$f_{\epsilon}^{B}(u)\{\begin{array}{l}=f(u) , for u\in[0, \hat{\theta}_{B}],>f(u) , for u\in(\hat{\theta}_{B}, \infty) ,\end{array}$$f_{\epsilon}^{B}(u)=0$

has a unique solution$(f_{\epsilon}^{B})’(u_{3}^{*}+\epsilon)<0,$

図 24:$f_{\epsilon}^{S}$の概形$f_{\epsilon}^{B}\searrow f$

in the$C^{1}$$u_{3}^{*}+\epsilon$innorm over$(\hat{\theta}_{B}, \infty)$$[\hat{\theta}_{B}, \infty$

図 25:$f_{\epsilon}^{B}$

,

) as

$\epsilon\searrow 0.$

の概形

106
をとくに区別をしない場合にはゐと表記する． をゐと置き換えても，Theorem
IV と同様の定理を得ることができる．対応する Traveling wave と Semi-wave をそれぞれと表記し，とくに $u^{*}=$ 畷の場合に対応するものを,,$f_{\epsilon}^{S}$と$f$$f_{\epsilon}^{B}$$(c_{0}^{\epsilon}, q_{0}^{\epsilon}(z))$$(c_{0}^{\epsilon,S}, q_{0}^{\epsilon,S}(z))$$(c_{\epsilon}^{*}, q_{\mathcal{E}}^{*}(z))$とし， $u^{*}=u_{3}^{*}$ の場合に対応するものを$(c_{\in,S}^{*}, q_{\epsilon,S}^{*}(z))$$(c_{0}^{\epsilon,B}, q_{0}^{\epsilon,B}(z))$,$(c_{\epsilon,B}^{*}, q_{\epsilon,B}^{*}(z))$とする．

このとき，次の命題が成り立つ (証明は [3, Proposition 6.4] を参照).

Proposition 3.6.
$(c_{\epsilon}^{*}, q_{\epsilon}^{*}(z))$$\lim_{\epsilonarrow 0}c_{0}^{\epsilon}=c_{0},$$c_{\epsilon}^{*}>c^{*},$$c_{0}^{\epsilon}\geq c_{0},$$\lim_{\epsilonarrow 0}c_{\epsilon}^{*}=c^{*}$

を優解として用いることで，Spreading speed の上からの評価が得られる (証明は省略).

Lemma 3.2. $(u, h)$ を (FBP) の解とし，Small (resp. Big) spreading が起こると仮定す
る(resp.
このとき，(SWP) with
) が解
) を持つ
ならば，
) である．
(resp.
$u^{*}=u_{1}^{*}$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t\leq c_{S}^{*}$$u^{*}=u_{3}^{*}$$(c_{S}^{*}, q_{S}^{*})$$(resp. (c_{B}^{*}, q_{B}^{*})$$c_{B}^{*}$

Lemmas 3.1 と 3.2 は (SWP) が解を持つ場合にのみ適用できるが，Case
においては $\mu>\mu^{*}$ に対して (SWP) withは解を持たない．このとき，Smallを用いて優解を構成することで，十分大きな
spreading に対する Semi-wave
に対する Big spreading speed の上からの評価を示すことができる．
$B:c_{0}^{B}=c_{1}^{B}\leq c_{0}^{S}$$u^{*}=u_{3}^{*}$$(c_{\epsilon,S}^{*}, q_{\epsilon,S}^{*})$$\mu$と仮定する．さらに， $(u, h)$ を (FBP) の解と
Lemma 3 3. Case が成り立ち，である．
し，Big spreading が起こるものとする．このとき，$B$$\mu>l^{l^{*}}$$\cdot$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t\leq c_{S}^{*}$

Proof. Big spreading となる (FBP) の解をとなるように十分小さく$\epsilon$

をとる．

とし，

$(u_{B}, h_{B})$$u_{1}^{*}+\epsilon\in(u_{1}^{*}, Q_{B}(c_{S}^{*}))\subset(u_{1}^{*}, u_{2}^{*})$

は，次の問題の一意解であることに注意 :$(c_{\epsilon,S}^{*}, q_{\epsilon,S}^{*})$$\{\begin{array}{ll}dq"-cq’+f_{\epsilon}^{s}(q)=0, z>0,q(O)=0, \mu q’(O)=c, q(\infty)=u_{1}^{*}+\epsilon, q(z)>0, z>0.\end{array}$

次に，$\eta=\eta(\epsilon)\in(u_{1}^{*}, u_{1}^{*}+\epsilon)$をとり，$q_{up}^{*}=q_{up}^{*}(z)$を次の問題の解とする :$\{\begin{array}{ll}dq"-c_{S}^{*}q’+f(q)=0, z>0,q(0)=\eta, q’(0)=0, q(z)>0, z>0.\end{array}$となる．したがって， $\eta\in(u_{1}^{*}, QB(c_{S}^{*}))$
qrplane 上で次の方程式を満たすような軌道に一致する :$\mu>\mu^{*}:=c_{0}^{B}/P_{S}(0;c_{0}^{B})$であるから，$q_{up}^{*}\ovalbox{\tt\small REJECT} f$

であることから$c_{S}^{*}\in(c_{0}^{B}, c_{0}^{S})$$V’(q;c_{S}^{*})= \frac{1}{d}(c_{S}^{*}-\frac{f(q)}{V(q;c_{S}^{*})})$

in$(\eta, \infty)$;$V(\eta;c_{S}^{*})=0.$[3, Lemma 6.1] における bistable 型の反応項と同様の議論から $V(u_{3}^{*};c_{S}^{*})>0$ が従うので，である．ここで，明らかに $qp$-plane 上の $q=Q^{*}\in(\eta, u_{1}^{*}+\epsilon)$ におい$\lim_{zarrow\infty}q_{up}^{*}(z)=\infty$て $p=P_{\epsilon,S}(q;c_{\epsilon,S}^{*})$ と $p=V(q;c_{S}^{*})$ は交点 $(Q^{*}, P^{*})$ を持つ．さらに，次のような $z_{1}^{*}>0$ と$z_{2}^{*}>0$が存在する :
$q_{\epsilon,S}^{*}(z_{1}^{*})=q_{up}^{*}(z_{2}^{*})=Q^{*}$

and$(q_{\epsilon,S}^{*})’(z_{1}^{*})=(q_{up}^{*})’(z_{2}^{*})=P^{*}$

107

図 26: $qp$-phase plane

Proposition 3.6 より任意の$\epsilon_{0}>0$に対して $\epsilon>0$ を$c_{\epsilon,S}^{*}\in(c_{S}^{*}, c_{S}^{*}+\epsilon_{0})$となるように取り直すことができる．十分大きな $T>0$ が存在して， $u_{B}(t, x)<u_{3}^{*}+\epsilon/2$ for $t\geq T$ が成り立つ．今， $t\geq T$ に対して， $(w, k)$ を次のように定義する :$k=k(t):=c_{\epsilon,S}^{*}t+z_{1}^{*}+L,$$w=w(t, x):=\{\begin{array}{ll}q_{up}^{*}(k(t)-z_{1}^{*}+z_{2}^{*}-x) , x\in[0, k(t)-z_{1}^{*}) ,q_{\epsilon,S}^{*}(k(t)-x) , x\in[k(t)-z_{1}^{*}, k(t)].\end{array}$

初等計算により，次の結果を得る :$w_{t}=\{\begin{array}{ll}c_{\epsilon,S}^{*}(q_{up}^{*})’(k(t)-z_{1}^{*}+z_{2}^{*}-x) , x\in[O, k(t)-z_{1}^{*}) ,c_{\epsilon,S}^{*}(q_{\epsilon,S}^{*})’(k(t)-x) , x\in[k(t)-z_{1}^{*}, k(t)],\end{array}$$w_{x}=\{\begin{array}{ll}-(q_{up}^{*})’(k(t)-z_{1}^{*}+z_{2}^{*}-x) , x\in[0, k(t)-z_{1}^{*}) ,-(q_{\epsilon,S}^{*})’(k(t)-x) , x\in[k(t)-z_{1}^{*}, k(t)],\end{array}$$w_{xx}=\{\begin{array}{ll}(q_{up}^{*})"(k(t)-z_{1}^{*}+z_{2’}^{*}-x) , x\in[O, k(t)-z_{1}^{*}) ,(q_{\epsilon,S}^{*})"(k(t)-x) , x\in[k(t)-\approx^{*}1, k(t)].\end{array}$を取り直せば $w(t, 0)=q_{up}^{*}(c_{\epsilon,S}^{*}t+L+z_{2}^{*})>u_{3}^{*}+\epsilon/2$ for $t\geq 0$ が
ここで，十分大きく成り立つ． $(w, k)$ は $(T, \infty)\cross[0, k(t)]$ 上で (FBP) の優解となる．実際，$L$$w_{t}-dw_{xx}-f(w)$$\{\begin{array}{l}\geq c_{S}^{*}(q_{up}^{*})’-d(q_{up}^{*})"-f(q_{up}^{*})=0 for x\in[0, k(t)-z_{1}^{*}),\geq c_{\epsilon,S}^{*}(q_{\epsilon,S}^{*})’-d(q_{\epsilon,S}^{*})"-f_{\epsilon}^{S}(q_{\epsilon,S}^{*})=0 for x\in[k(t)-z_{1}^{*}, k(t)],\end{array}$$w(t, O)>u_{3}^{*}+\epsilon/2>u_{B}(t, 0)$

for $t>T,$$k’(t)=c_{\epsilon,S}^{*}=\mu(q_{\epsilon,S}^{*})’(0)=-\mu w_{x}(t, k(t))$$w(t, k(t))=q_{\epsilon,S}^{*}(0)=0,$.

108
ただし， $x=0$ における条件として $w_{x}(t, 0)\geq 0$ ではなく $w(t, O)>u_{B}(t, 0)fort\geq T$ を採用している．ここで， $T$ に対して十分大きく $L>0$ を取り直せば， $h_{B}(T)<c_{\epsilon,S}^{*}T+z_{1}^{*}+L=$$k(T)$ and $u_{B}(T, x)<u_{3}^{*}+\epsilon/2<q_{up}^{*}(C_{\epsilon,S2}^{*\tau+_{\tilde{4}^{*}}+L-x)=w(T,x)for} x\in[0, h(T)]$ が成り立

つ．このことから，比較定理 (Theorem 2) より，$t\geq T$

and$c_{S}^{*}+\epsilon_{0}$が成り立つ．よって，は任意に小さくとることができるので，結論の評価を得る．

$u_{B}(t, x)\leq w(t, x)$を得る．ここで，$\epsilon_{0}$$h_{B}(t)\leq c_{\epsilon,S}^{*}t+z_{1}^{*}+L<(c_{S}^{*}+\epsilon_{0})t+z_{1}^{*}+L$for$t\geq T,$ $x\in[0, h(t)]$for$\lim_{tarrow\infty}h_{B}(t)/t\leq$$\square$を優解として用いることで，Middle spreaing の漸近 Spreading speed の上からの評価が得られる (証明は省略) :$(c_{\epsilon,S}^{*}, q_{\epsilon,S}^{*})$

Lemma 3 4. Middle spreading が起こるならば，$\cdot$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t\leq c_{S}^{*}$

である．

Proof of Theorem V. まず，Small spreading が起こる場合，Theorem IV より任意の $\mu>0$に対して (SWP) withとができ？

$u^{*}=u_{1}^{*}$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t=c_{S}^{*}$

は解を持つ．したがって，Lemmas 3.1 と 3.2 を適用するこfor $\mu>0$ を得る．

Big spreading が起こる場合，Theorem IV より Case ならば任意の $\mu>0$ , Case
ならばに対して (SWP) withは解を持つ．したがって，Lemmas 3.1 と
$A$

$\mu$

$<\mu^{*}$$B$$u^{*}=u_{3}^{*}$

3.2 を適用することができ， $\lim_{tarrow\infty}h(t)/t=c_{B}^{*}$ を得る．Case かつ $\mu>\mu^{*}$ の場合は，Corollary 3.1 と Lemma 3.3 を適用すれば $\lim_{tarrow\infty}h(t)/t=c_{S}^{*}$ を得る．
Middle spreading が起こる場合，Corollary 3. 1 と Lemma 3.4 を適用することができ，$B$$\lim_{tarrow\infty}h(t)/t=c_{S}^{*}$を得る．

最後に Proposition 3.5 より，

4$c_{S}^{*}$と$c_{B}^{*}$の大小関係と収束に関する結果が証明される．

$\square$

考察．
この節では，数値実験結果等から考察される推測および，未解決の問題を述べる．
Case $A$ と $B$ について．Theorem IV, V の Case と に
$A$

$B$

ついて，反応項 $f$ の形状によってどちらが実現するかが決まると推測される．本研究はトウヒノシントメハマキガの生態系モデルを出発点として進められてきた．その生態系
モデルにおける反応項 (1.3) においては CaseB のみ確認できている．Case $A$ が成り立つような positive bistable 型の反応項として， $f(u):=-u(u-1)(u-2)(u-3.2)(e^{u}-0.99)$とが挙げられる (図 27 を参照). 区間におけるグラフの山の大小関係が重要であると思われるが，具体的に反応項が満たすべき十分条件は得られていない．
Big step spreading とその漸近形状について．Case において Big spreading が起こる場合に， $\mu<\mu^{*}$ の場合には図 8 のような通常の形状をとるが， $\mu>\mu^{*}$ の場合には
図 28 のような階段状の形になる．これを Big step spreading と呼ぶことにする．Big step
spreading の漸近 Spreading speed は Small spreading のものと一致する．通常，Spreadingとなる解 の漸近形状は，対応する Semi-wave の形状をとる．しかし，Big step spreadingに対応する Semi-wave を構成することはできない．したがって，その全体の漸近形状を得$[0, u_{1}^{*}]$$[u_{2}^{*}, u_{3}^{*}]$

$B$

$u$

109
ることはできないが，部分的な漸近形状を得ることができると推測できる．この数値実験
は，個体群の中の切込み部隊ともいうべき先陣が先に領域を開拓拡散し，あとから本群が押し寄せてくるような拡散現象が実自然界でも起こりうることを示唆する，大変興味深
いものである．

図 28: Big step spreading $(\mu>\mu^{*})$

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$S$

$S$

$S$