数理解析研究所講究録
第 848 巻 1993 年 38-48

38Young tableaux の構成アルゴリズム
橋口 博樹 (Hiroki HASHIGUCHI)
仁木 直人 (Naoto NIKI)
中川 重和 (Shigekazu NAKAGAWA)

九州大学総合理工学研究科
九州大学理学部
岡山理科大学理学部

1. はじめに
ヤングタブロー (単にタブロー) は, 対称群の表現論, 対称式の基底変換, Poincar\’e Func-tion 等と深い関わりがある. 特に, 表現論では, 対称群の元である置換とスタンダードタ
ブローの組が 1:1 に対応することが知られており, その証明の中で, 置換に対応する二つのスタンダードタブローを構成している. さらに [Knu70] では, この構成法を一般のタブローに拡張し, タブローの組とある性質をもった一行二列の配列とが 1:1 に対応することを示している.

これらでは 1:1 の対応関係を示すことが主になっていて, タブローの構成には重点がおかれていない.
しかしながら, 対称式の基底変換という観点からタブローを見ると, タブローを数え上げる必要があり, 特に, これから定義する $P$ タブロー” の数え上げが重要である. 本報

タブローの構成法を議論し, その実行アルゴリズムを作成する. $P$ タブロー
全体の集合に同値関係を定義し, 新たに $P$ タブローの表現方法を導入することにより,$P$
タブロー構成アルゴリズムの効率化を図るとともに, アルゴリズムの妥当性を示す.
さらに, 不十分ではあるが個数に関する評価もしている.
尚, スタンダードタブローの構成は [Ski90] にある.
告では,

$P$

2. 基本事項

Definition 1 (分割) 自然数

かつで,の分割を数列の個数のみでを満たすものと定める. ただし, 2 つの分割がの異なっているとき, それらは同一であるとみなす.
でない
の個数を
で表
が
し,
の分割であることをと書く.
$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k})$$n$$\Sigma\lambda_{i}=n$$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\cdots\geq\lambda_{k}\geq 0$

$0$

$0$

$\lambda$$\lambda$$\lambda_{i}$$l(\lambda)$$\lambda\vdash n$$n$

Definition 2 (台)に対して, 四角形を, 一段目に左端かの分割
ら個, 二段目に左端から個, 三段目以降も同様に段まで並べた図形を ‘台”,もしくは “ヤング図形” という.
$n$$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{l(\lambda)})$$l(\lambda)$$\lambda_{2}$$\lambda_{1}$

いま台を構成する四角形全てに, 1 から
この数付き図形の中の数 の出現回数
う.
$T$

$n$

$i$

$c_{i}$

Definition 3 (タブロー (ヤングタブロー) )て,

次の三つの条件を満たす時,$T$までの数を入れることを考える. この時,を $c(T)$ で表そを並べた数列$(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n})$の分割をタブローという.

1. 各行は左から右へ単調非減少である.

2. 各列は上から下へ単調増加である.

$n$$\lambda$を台とする数付き図形

$T$

におい

39
3.

の出現回数列 $c(T)=(c_{1}, \cdots, c_{n})$ において,$T$$\forall i\geq 1,$

図形

$T$

$c_{i+1}\neq 0\Rightarrow c_{i}\neq 0$

がタブローである時, 出現回数列 $c(T)$ をタブローの重みという.

Definition 4 (スタンダードタブロー) 特に, 1 から
つまり

ロー,

.

$c=(1,1, \cdots, 1)$までの数が一回ずつ現れたタブとなるものをスタンダードタブローという.
$n$と重み が決まっても, タブローは一意にきまるわけではない. 我々の関心は,台と重みが決まったときにタブローが幾つ存在するかということである. これについての一般的な公式はないが, 台が決まったときのスタンダードタブローの個数には, 次のようなエレガントな公式がある.
台$\lambda$$c$Proposition 1 (Hook の公式)
タブローの個数を$f^{\lambda}$$\lambda$を$n$の分割とし,$\lambda$を台にもつようなスタンダード

で表すと,$f^{\lambda}= \frac{n!}{\Pi_{(i,j)\in\lambda}h_{ij}}$

である.

ここで,

$(i,j)\in\lambda$

は台$\lambda$の$i$

行 列の四角形の場所を示す記号であり,$j$$h_{ij}=\#|\{(i,j’) ; j’\geq j\}\cup\{(i’,j) ; i’\geq i\}|$である.

また, 記号 $\#$ は集合の要素数を表している.

Proof.

[GNW79] を見よ.

3.

$P$

タブロー

この節では, 新たに $P$ タブローを定義し, 共通の台を持つ $P$ タブローの集合に同値関係を定義する.

Definition 5 (
$T$

タブロー)
の分割 を台にもつタブローの重み $c(T)$ がの分割になっているときをいう.
$P$$\lambda$

$n$

$T$

が $P$ タブローであるとは,$n$

まず, 任意の $P$ タブローをスタンダードタブローに変換するアルゴリズムを挙げよう.

Algorithm 1 from P-Tableau to Standard Tableau
Input
OutputPS 1$Y=(y_{ij})$

$P$

タブロー

ただし陶は第 行

スタンダードタブロー

もし $\#\{i|y_{1j}=1\}=1$ ならば,

さもなくば,$darrow{\rm Max}_{ij}(Y)$

$Y$

を返す.

とおく.

PS 2 $y_{ij}=d$ で,が最大となるような添字の組を $(i’,j’)$ とする.
PS 3 $y_{i’j’}arrow y_{i’j’}+1$ とする.
PS 4 もし $\{(i, j)y_{ij}=d\}\neq\emptyset$ ならば, PS 1 にもどる.
さもなくば, $darrow d-1$ とし, PS 2 にもどる
$j$

$j$

列の要素を表す

40
Theorem 1 Algorithm 1 は任意の$P$タブローに対して, それによって定まる唯一のスタ

ンダードタブローを返す.

Pro4

タブローの列における強意単調増加性により, PS 2 の $j’$ が常に一意に決まり,
また, 最終結果はスタンダードタブローの条件を明らかに満たしている.
$\blacksquare$

この Theorem 1 をに基づき,同じ台をもつ $P$ タブロー全体の集合に同値関係を定義しよう.

任意の $P$ タブロー $Y$ に対して, Algorithm 1 を適用することを $\pi(Y)$ と書く. つまり,
は $P$ タブロー全体からスタンダードタブロー全体への “写像” である.
$\pi$

Definition 6

$n$

の分割

を台とする $P$ タブロー全体を$\lambda$

ダードタブロー全体の集合をDefinition 7 (同値関係$\equiv$)$S_{\lambda}$$n$$\mathcal{P}_{\lambda}$

で表し,$\lambda$を台とするスタンで表す.
の分割$\lambda$を台とする $P$ タブロー $X,$

$Y\in \mathcal{P}_{\lambda}$に対し,$\pi(X)=\pi(Y)$であるとき,’ 雲と$Y$が同値である” といい,

(1)

$X\equiv Y$

で表す.

Theorem 2$P_{\lambda}/\equiv$$\sim$(2)$S_{\lambda}$が成立する. 言い換えれば, スタンダードタブロー全体の集合が同値類の完全代表系になっている.

Proof.

定義より明らか.

Algorithm 1 は$\blacksquare$

タブローの中に現れる数と列番号 の大きさにより “順序付け” を行なっている. その順番がスタンダードタブローとして現れている. このことを詳しく見てくために, $P$ タブローに当てはめられている数とその場所を示すための指標を導入しよ
$P$

$i$

う.

4.

$P$

タブローの添字表現

Definition 8 自然数の組 $(i,j)$ を並べた有限配列$(i_{11}, j_{11})(i_{12}, j_{12})$$A=(i_{21}, j_{21})$

...

...

$(i_{1m_{1}}, j_{1m_{1}})$$(i_{2m_{2}}, j_{2m_{2}})$$(i_{l1}, j_{l1})\cdots(i_{lm_{\iota}}, j_{lm_{l}})$は次の四つの条件を満たすものとする.

(3)

41
1. 各行の要素の個数$m_{1},$ $m_{2},$ $\cdots,$ $m_{l}$について,$m_{1}\geq m_{2}\geq\cdots\geq m_{l}$2. $i\geq 1$ のとき,$\forall j\geq 2$

に対して,$(i,j)\in A$ ならば,である.

同様に $j\geq 1$ のとき,$\forall i\geq 2$$(i,j-1)\in A$

に対して,$(i-1,j)\in A$.

$(i,j)\in A$ ならば,

3. 行番号 k<k’ のとき,
$i_{k*}=i_{k’}$。ならば,$j_{k*}<j_{k’*}$

.

ならば,

$i_{k*}<i_{k’*}$.

かつ$j_{k*}=j_{k’*}$

4. 任意の行番号

$k$

について,
$j_{k1}<j_{k2}<...$ $<j_{km_{k}}$

ここで,

.

$(i, j)$ が $A$ の中にあることを $(i,j)\in A$ と書くことにし,$A$の $k$ 行を

$R_{k}(A)=(i_{k1}, j_{k1})(i_{k2}, j_{k2})\cdots(i_{km_{k}}, j_{km_{k}})$で表す.

Lemma 1 Definition 8 で定義された有限配列$A$の要素 $(i,j)$ はすべて異なる.

Proof.

定義の条件 4 より, 同一行の要素はすべて異なる. 定義の条件 3 より異なる行に同一の要素はない.
$\blacksquare$

Lemma 2 Definition 8 で定義された有限配列$A$の一行目の要素$R_{1}(A)=(1,1)(1,2)\cdots(1, m_{1})$である

Proof.

(概略) 定義の条件 2 から $(1, 1)$ が存在がする.
条件 3 より, $(1, 2)$が存在するときには, 適当な番号までは一行目に存在してい$\cdots$る.

$\blacksquare$

Theorem 3$P$

タブローの集合$\cup \mathcal{P}_{\lambda}$$\lambda\vdash n$体の集合は 1:1 に対応する.

と (8) で定義された $n$ 個の要素をもつ有限配列全42
Proof.

を台とする任意の $P$ タブロー $Y$ について, $P$ タブローの重みを $c(Y)$ とする
行目に, $c_{k}=y_{ij}$ となる $(i,j)$
とき, $c(Y)$ により定まる “台” を考える. この台の第が Definition 8 のをと書く. この配列の小さい順に左端から並べてできる配列を四条件を満たすことを示そう.
$c(Y)=(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{l(c)})$ は分割だから,$\lambda$

$k$

$A$

$A$

$j$

$c_{1}\geq c_{2}\geq\cdots\geq c_{l(c)}$なので条件 1 を満たす.
分割 から得られる台は “連結” であり, しかも, 上詰めかつ左詰めになっているのでには空白行が現れない.
条件 2 を満たす. また Definition 3 の 3 より,$P$ タブロ $-$ に当てはめられた数 $k>k’$ について,とDefinition 3 の 1 と 2 から,とよりも左にあり,はが同じ行に位置しているとき,が同じ列に位置している
ときには下側にある. したがって条件 3 を満たすことが分かる.
には $c_{k}=y_{ij}$ となるDefinition 3 から同じ数は同一の行に存在しない. また配列
(i, のを の小さい順に左端から置いてある. したがって, 条件 4 を満たす.
から,逆に, Definition 8 の有限配列$\lambda$

$A$

$k$

$k’$

$k$

$k$

$k’$

$k’$

$A$

$j$

$A$

$\lambda_{i}=\#\{(t,j)\in A|t=i\}$を台にもっような $P$ タブロー $Y$ を構成できることは,
ら明らかである.

Lemma 1,2 および上の証明か$\blacksquare$

以後 $P$ タブロー に対応する有限配列 (3) を $P$ タブローの “添字表現” と呼ぶことにし, $P$ タブロー $Y$ の添字表現を $I(Y)$ で表す.

Example 1 ($P$

タブローと添字表現)$Y=$$111234$

2 3 5$I(Y)=$$rightarrow$$(1,1)$$(1,2)$$(2, 1)$$(1, 4)$$(2, 2)$$(1, 5)$$(1,3)$$(1, 6)$$(2, 3)$

上の $P$ タブローに$\pi$を作用させると,$\pi(Y)=123578$
4 6 9
となる.

(4)

43
また,

その添字表現は$(1, 1)$$(1, 2)$$(1, 3)$$(2, 1)$$I(\pi(Y))=$(5)$(1,4)$$(2, 2)$$(1, 5)$$(1, 6)$$(2, 3)$である.

Algorithm 1 を添字表現を通してみると,

$\pi$

の作用は,

$P$

タブローの添字表現の要素を一行目の右端から左端へ, 上から下へ順番をつけて並べた添字表現のスタンダードタブ

ローを出力していることが分かる.

Definition 9 (添字表現の標準形) ある$P$

タブローの添字表現$(i_{11}, j_{11})(i_{12}, j_{12})\cdots(i_{1m_{1}}, j_{1m_{1}})$$A=$$(i_{21}, j_{21})\cdots(i_{2m_{2}}, j_{2m_{2}})$$(i_{l1}, j_{l1})$が与えられた時,$A$...

$(i_{lm_{1}}, j_{im_{t}})$の要素 (i, のを一行一列目から$(i_{11}, j_{11})$$(i_{12}, j_{12})$(6)$(i_{1m_{1}}, j_{1m_{1}})$$(i_{21}, j_{21})$$(i_{lm_{l}}, j_{lm_{\iota}})$と並べ換えて得られる配列 (6) を $A$ の標準形といい,$\Pi(A)$

で表す.

Example 5 からも分かるように, 次の定理が明らかに成立する.

Theorem 4 任意の$P$

タブロー $Y$ について$\Pi(I(Y))=I(\pi(Y))$.

44
5. 同値類の作成

Definition 7 である分割を台にもつ タブロー全体に同値関係を定義したので, その同
タブロー
と同値な
をスタンダードタブローとしたとき,
値類について調べよう.
$X$ を具体的に求めるアルゴリズムを示そう.
$P$

$P$

$Y$

$Y$

タブローの最大値に着目す
この同値類の中の $P$ タブローを特徴付けるものとして,の次数と呼び, $\deg(Y)$ で表す.
タブロー
る. この最大値のことを
$P$

$Y$

$P$

Lemma 3
$Y\in S_{\lambda}(\lambda\vdash n)\Leftrightarrow\deg(Y)=n$.

次のアルゴリズムは, 同値類の中の 1 次の $P$ タブローから,$l-1$ 次の $P$ タブローを構成するアルゴリズムである.

Algorithm 2 from P-Tableau with degree to P-Tableaux with degree $l-1$
$l$

Input
Output(Initialize)$P$

次 $P$ タブロー $(l>1)$$I-1$ 次 $P$ タブローの集合

$Y$

$l$

タブロー $Y$ の添字表現を $I(Y)$ とする$(i_{11}, j_{11})(i_{12}, j_{12})\cdots(i_{1m_{1}}, j_{1m_{1}})$$I(Y)=(i_{21}, j_{2,.1})\cdot\cdot.\cdot$(il 1,

Stack$j_{l1}$)..,$(i_{2m_{2}}, j_{2m_{2}})$.
(il$m_{\iota}$il$m_{\iota}$)$=\emptyset$

SSP 1 $k=l$ とせよ.
SSP 2 $Z=I(Y)$ とせよ. $k=2$ ならば, SSP 5 へ行く.
SSP 3 $m_{k}=1$ かつ $m_{k-2}\geq m_{k-1}+1$ かつ $j_{k-1m_{k-1}}<j_{km_{k}}$ ならば,,
$R_{k-1}(Z)arrow(i_{k-11}, j_{k-11})$ . ..
$(i_{k-1m_{\iota}}, j_{k-1m_{1}})(i_{km_{k}},j_{km_{k}})$$R_{k}(Z)arrow R_{k+1}(Z),$ $R_{k+1}(Z)arrow R_{k+2}(Z),$$Z$

を $P$ タブローに変換し,$\cdots,$$R_{l-1}(Z)arrow R_{l}(Z)$.

Stack $=Stack\cup\{I^{-1}(Z)\}$ とする.

Stack を返す.
SSP 4 $karrow k-1$ とし, SSP 2 へもどる.
$(k=2)$ もし $m_{2}=1$ かつ $i_{2m_{2}}=1$ ならば,
SSP 5
さもなくば,$R_{1}(Z)arrow(i_{1m_{1}},j_{1m_{1}})$. ..

$R_{2}(Z)arrow R_{3}(Z),$$R_{l}(Z)arrow R_{l-1}(Z)$

タブローに変換し,Stack を返す.

$Z$

SSP 6

$\cdots,$

を$P$

Definition 10 Algorithm 2 を$P$$(i_{1m_{1}},j_{1m_{1}})(i_{2m_{2}},j_{2m_{2}})$

$l$

Stack

,

とする.

$arrow Stack\cup\{I^{-1}(Z)\}$とする.

次 $P$ タブロー $Y$ に適用した時, 出力される $l-1$ 次のタブローの集合を $D(Y)$ で表す. もちろん $D(Y)=\emptyset$ となる場合がある.

このとき明らかに次の定理が成立する.

45
Theorem 5$\#[D(Y)]\leq 2$.

Algorithm 2 の逆アルゴリズムとして, スタンダードタブローでないの一つ高い タブローに変換するアルゴリズムを挙げよう.

$P$

タブローを次数$P$

Algorithm 3 from P-Tableau with degree to P-Tableau with degree $l+1$
$l$

Input
Output(Initialize)$P$

次 $P$ タブロー $(l<n)$$l+1$ 次 $P$ タブロー

$Y$

$l$

タブロー $Y$ の添字表現を $I(Y)$ とする$(i_{11}, j_{11})(i_{12}, j_{12})$...

$(i_{1m_{1}}, j_{1m_{1}})$$I(Y)=(i_{21}, j_{21})\cdots(i_{2m_{2}}, j_{2m_{2}})$...

$(i_{l1}, j_{l1})$...

$(i_{lm_{\iota}}, j_{lm_{l}})$SP 1 $karrow l$ とする.
を取り除き, $R_{k+1}(I(Y))=(i_{k,m_{k}},j_{k,m_{k}})$ とする.
SP 2 $R_{k}(I(Y))$ から
SP 3 もし $R_{k}(I(Y))\neq$ 空行” ならば $I(Y)$ を タブローに変換し, その タブローを返す.
さもなくば, $karrow k-1$ とし, SP 2 にもどる.
$(i_{k,m_{k}},j_{k,m_{k}})$$P$

Definition 11 任意の$Y\in P_{\lambda}\backslash S_{\lambda}$

について,

$P$

Algorithm 3 を適用して得られる

$P$

タブ

ローを $U(Y)$ で表す.

このとき Algorithm 3 と Algorithm 2 について次の Lemma が成立する.

Lemma 4 任意の$Y\in \mathcal{P}_{\lambda}\backslash S_{\lambda}\lambda\vdash n$について $U(Y)$は唯一存在し,$Y\in D(U(Y))$

である.

Proof.

$k+1$ 行の長さ
PS 2, PS 3 で更新された $k-1,$
が Algorithm 3 の SSP 3 もしくは SSP 5 の条件を満たすことから Lemma

(概略)

$k,$

$m_{k-1},$$B\dot{i}$$m_{k},$$m_{k+1}$成立する.

$\blacksquare$

また Algorithm 3 と Algorithm 1 について次の Lemma が成立する.

Lemma 5 任意の$Y\in P_{\lambda}\backslash S_{\lambda}\lambda\vdash n$について,$\pi(Y)=U^{(n-\deg(Y))}(Y)$である. つまり,Algorithm 3 を再帰的に適用していく操作が Algorithm 1 である.

Lemma 4 より, 同値類の元全体を求めるには, スタンダードタブローに Algorithm 2を適用し, 新たにできた
タブローに再び Algorithm 2 を適用していくという具合に再帰的に構成していけばよい. このとき構成される
タブロー全体は二分木の形をしてい
$P$

$P$

る

46
Example 2(二分木)12345$\downarrow D$

11234$J^{/_{D\backslash }}$1122311123$/D^{\backslash }\backslash$

1112211112

I

$D$

11111
6. 対称式への応用$P$

タブローを用いた応用例として, 対称式の基底変換を挙げる.

Definition 12 (単項対称式) 変数を称式$m_{\lambda}$$x_{1},$$\cdots,$$x_{n}$とし,$\lambda$を$n$の分割とするとき, 単項対を$m_{\lambda}= \sum x^{\alpha}$で定義する,

ここで, 和は$\lambda$の異なる順列$\alpha=(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n})$でとり,$x^{\alpha}=x_{1}^{\alpha_{1}}\cdots x_{n}^{\alpha_{n}}$とするDefinition 13 (シュアー多項式) 変数をと $n$ の分割$\lambda$$x_{1},$$\cdots,$$x_{n}$とし, 数列 $\delta=(n-1, n-2, \cdots, 1,0)$に対して,$a_{\lambda+\delta}=\det(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})$$a_{5}=\det(x_{i}^{n-j})$とすると,シュアー多項式$s_{\lambda}$は$s_{\lambda}= \frac{a_{\lambda+\delta}}{a_{5}}$で定義され,

これは$\mathbb{Z}$

係数の

$n$

次同次対称多項式である.

ここで大事なことは, 今定義した$\{s_{\lambda}\}_{\lambda\vdash n}$と$\{m_{c}\}_{\text{。}\vdash n}$

が,

$n$

次の同次対称多項式全体のつくる亀加群の基底になっているということである. したがって,展開することができ, また, m。をで展開することもできる.
$\{s_{\lambda}\}_{\lambda\vdash n}$$s_{\lambda}$を$\{m_{c}\}_{c\vdash n}$

で47
Proposition 2 (Littlewood-Richardson)を単項対称式$\{m_{c}\}_{c\vdash n}$

を$\lambda$$n$の分割とする. シュアー多項式$s_{\lambda}$

で展開した$s_{\lambda}= \sum_{c\vdash n}k_{\lambda c}m_{c}$の係数紘。は,$\lambda$

を台とし,

$c$

を重みとする $P$ タブローの個数に等しい.

Proof.

[LR34] もしくは [Mac79] を見よ. ただし, [LR34], [Mac79] には, シュアー多項式を一般化した Skew Schur function についての証明がある.

Example 3 ( $P$ タブローの例) 3 と 4 の分割について タブローの例を挙げる. もちろん, P タブローの個数は, シュアー多項式と単項対称式の変換係数になっている. 現在のところ, 7 以下の分割に対して, すべてのタブローを構成することができた. 以下の表の見方は次の通りである.
$P$

$P$

重み の $P$ タブローには台をリストで表現したものを並べ, そ
れぞれのリストの第 成分が $P$ タブ$P_{\lambda}^{(c)}$$\lambda$

$c$

$i$

ローの

3 の分割

4 の分割

$i$

行を表している.

48
7. おわりに最初の目標である $P$ タブローをすべて構成するということは, 今回用意したアルゴリ
ズムで達 できた. このアルゴリズムの妥当性を評価するために, 数学的な見方, 考え方が大いに役立っていると思う.
数式 理に限らず, 計算機が自然科学の分野で理論的補足や理解の手助けをしている
場合がしばしばある. 逆に, 今回のように, アルゴリズムの妥当性と, ある種の効率評価に, 数学的手段が利用できる場合もある. 今後は, これまで以上に, 理論と算法の両面にわたる幅広い研究が必要になってくると思われる.
既に, 対称式の基底変換や対称群の表現論を統計に応用した研究がなされ, いくつかの研究成果が報告されている [Nik89] [NN91] [Dia88]. これらの研究もふまえて, 対称群$\ovalbox{\tt\small REJECT}$の J’ 現論で重要なシュアー多項式を統計の立場から見直すことを今後の課題としたい.
また, 本報告で定義した $P$ タブローの添字表現の導入により,タブローの数え上げに関する何らかの結果が期待できるであろう.
参考文献[Dia88]

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[GNW79] C. Greene, A. Nijenhuis, and H. S. Wilf. A probabilistic proof of formula for thenumber of Young tableaux of a given shape. $Adv$ . in Math., $VoL31$ , pp. 104-109,

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Pacific .

[Knu70]D. E. Knuth. Permutations, matrices and generalized Young tableaux.
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D. E. Littlewood and A. R. Richadson. Group characters and algebra. Phil. Trans.,
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[NY92]

N. Niki and M. Yoshida. Poincar\’e funcitons of point sets in projective spaces. Kyushu
University Sries A Mathmatics, Vol. XLVI No 2, , 1992.

[Ski90]S. Skiena. Inplementing Discrete Mathematics. Allan M. Wylde, 1990.

$J$