数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 1-11

1

3 次元双曲型空間内の平均曲率 1 の曲面の双対性とその応用
大阪大・理

熊本大・教養(Masaaki Umehara)
Yamada)
山田光太郎
(梅原雅顕

$\mathrm{K}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{o}$$.$

定曲率 $-1$ の 3 次元双曲型空間の平均曲率 1 の曲面は,3 次元 Euclid 空間の極小曲面と大変よく似た性質をもつことが知られている. たとえば, 3 次元双曲型空間の平均曲率 1 の曲面に対しても weierstrass 表現と類似の表現公式が Eryant によって示された.

本講演では, . 3 次元双下平空間の平均曲率 1 の曲面のある種の双対性を用いて3 次元 Euclid 空間の極小曲面に対する Osserman の不等式の類似が成り立つことについてお話ししたい.
価する不等式で,Osserman の不等式は, 完備極小曲面の全曲率を上から評-vossen の不等式より, エンドの数の$\mathrm{C}\mathrm{o}\bm{\mathrm{i}}$$2\pi$倍だけ強い評価を与える.
このことについて, 以前に我々は Osserman の不等式とほぼ同程度の深さの主張として Cohn-Vossen の不等式の等号が成立しないことの証明を得ていたのであるが, 今回, 「双対性」 に気がついたことで,ようやくその双曲版を与えることにOsserman の不等式の等号条件は, Jorge-Meeks [JM] で決定されているが, その双曲版の等号条件も以前の我々の結果 [UY1] を用いて決定できる.
以後簡単のために, 平均曲率 1 を CMC-I (constant nean curvature 1 の略) で成功した.

表すことにする.

21.

3 次元 Euclid 空間の極小曲面
まず, 極小曲面の Weierstrass 表現に関連した部分について復習する. 極小曲面といえば, 与えられた針金に石鹸膜を張る, 所謂, Plateau 問題の解として, 捉えることができるが, これから述べる 3 次元双曲面空間の平均曲率 1 の曲面は極小ではなく石鹸膜の問題とは関係が薄いにもかかわらず不思議とよく似た性質を備えているのである.
を Riemann 面とし,$M^{2}$と,$x$$x=(x_{1}, x_{2}, x\mathrm{a})$が極小となるための必要充分条件は,$\partial\overline{\partial}x=0)$

いま,$x$$\omega$$(.1.2)$$g$data とよぶ.

$M^{2}$

そのため, 同-視して,が調和写像となることである. (i.e.

$:=$$\partial x_{1}-i\partial_{X_{2}}$$:=$$\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{1}-i\partial X_{2}}$$ds^{2}$$g$

はめ込み x の Gauss 写像と立体射影との合成である.

自身を$x$のGauss 写像と呼ぶことにする.

および第二基本形式$h$$ds^{2}$$=$$(1+|g|2)2\omega\cdot\overline{\omega}$$(1.4)$$h$$=$$-\omega\cdot dg-\overline{\omega\cdot dg}$$x$

上の式で複素化された第二基本形式の $(2,0)$ -part

ドットは対称積を表す.に相当する $Q:=\omega\cdot dg$ は,このとき,は, それぞれ次で与えられる.

(1.3)

ここで,を共形はめ込みとする上の正則 1-形式, 有理型関数となる. 対 $(g,\omega)$ を Weierstrass

ここで $g$ は,の第–基本形式$x$$M^{2}arrow \mathrm{R}^{3}-$を極小とすると, この条件から(1.1)

はそれぞれ,:

Hopf differential とよばれる. Weierstrass data$(g, \omega)$を用いて,(1.5)$x= \mathrm{R}\epsilon(\int_{z_{0}}^{z}(1-g^{2})\omega,$ $\int_{z_{\mathrm{O}}}^{z}i(1+g^{2})\omega,$なる表示式を得る. (ここで則 1-形式$\omega$$z_{0}$$\int_{z_{\mathrm{t}}}^{z_{2)}},g\omega$は $M^{2}$ の固定点とする) 逆に, 任意に $M^{2}$ 上の正と, 有理型関数 g で (1.3) が正定値になるものを与えると, 一般には経路により積分値が異なるが,$M^{2}$小はめ込みがえられる. これを,が単連結のときには, (1.5) によって, 共形極Weierstrass の表現公式と云う.

3

ここでは, 完備かつ有限全曲率をもつ極小はめ込み$x$のの極小曲面について考えたい. 共形

Gauss 曲率 $K$ は, (1.3) より,(16)$K=- \frac{4dg\cdot\overline{dg}}{(1+|g|2)4\omega\cdot\overline{\omega}}$で与えられ,$0$$\mathrm{R}^{3}$

特に $K\leq 0$ となる. (このことは, 極小曲面の主曲率なので $K$ がその積上の共形的擬計量$K=\lambda_{1}\lambda_{2}$$d\sigma^{2}$$\lambda_{1},$$\lambda_{2}$の和がとして表わされることからも明らか.) いま,$M^{2}$を $d\sigma^{2}:=(-K)d_{S^{2}}$ によって定義すると, (1.6) より,(1.7)$d \sigma^{2}=\frac{4dg\cdot\overline{dg}}{(1+|g|^{2})2}$と書け,$d\sigma^{2}$

とくに,る.

は,Gauss 写像$d\sigma^{2}$$g$による球面の標準計量の引き戻しになることがわかは定曲率 1 になる.

$x$が有限全曲率と云う条件は, 曲面の$d\sigma^{2_{-}}$面積が有限という条件と同値である. . このとき全曲率は $-4\pi$ の整数倍 ( の写像$g$度倍) になることもわかる. 次が知られている.

定理 11. (Osserman [O])$M^{2}$を Riemann 面とし,$x$:$M^{2}arrow \mathrm{R}^{3}$を完備かつ有限全曲率をもつ押形極小はめ込みとすると, コンパクトな Riemann 面
し,の$M^{2}$は,$\overline{M}^{2}$$\overline{M}^{2}$が存在から有限個の点 $\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$ を除いたものと正則同値となり, そWeierstrass data$\langle$$g,$ $\omega)$

は,$\overline{M}^{2}$上に有理型に拡張される.

上の主張で $\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$ は極小曲面

定理 1.2. (Osserman [O])$M^{2}$$x$の end に対応する.

を Riemann 面とし,$x$:

さらに次が成り立つ.

$M^{2}arrow \mathrm{R}^{3}$を完備かっ有限全曲率をもつ極小はめ込みとすると, 次の不等式が成り立つ.

(1.8)
ここで,

$\frac{1}{2\pi}I_{M^{2}}KdS\leq\chi(2M2)-n$$n$は end の数,

これは,$\chi(M^{2})$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}- \mathrm{v}_{0}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$の不等式より強い主張である. 証明の核心は, 各エンドにおいて曲面の第-基本量にある.

$ds^{2}$は $M^{2}$ の Euler 数を表す.

$ds^{2}$の発散の order が $1/|z|^{2}$ より大きいことを示す処の order は整数値しかとらないのでこのことから各エンドで $2\pi$ の全曲率が稼げるのである.
この不等式の等号条件が次で与えられる.

4不等式 (1.8) で等号が成り立つのは,定理 1.3. (Jorge-Meeks [JM])$x$の end がすべて埋め込みであることが必要充分である.

3 次元双曲型空間の平均曲率 1 の曲面

2.

3 次元双曲型空間の平均曲率 1 の曲面についても, 前節と若干異なるが類似の結果が成り立つ.
$L^{4}$

を $(-+++)$ 型の 4 次元 Minkowski 空間とすると, その部分多様体$H^{3}(-1):= \{(t, x_{1,2,3}Xx)\in L^{4};\sum_{=j1}^{3}(Xj)2-t2=-1,$の誘導計量は, この上で正定値かつ定曲率 $-1$ となる.

間という.

ここでは,

4 次元 Minkowski 空間$L^{4}$$H^{3}(-1)$の各点$t>0\}$を 3 次元双曲型空$(t_{X_{1}X_{2,3}},\tau x)$

を 2 次のHermite 行列(2.1)$\in \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}(2)$と同–視する.

(2.2)

$a$

これにより同–視,$H^{3}(-1)$$=$$\{X\in \mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}(2) ; \det(X\rangle=1, \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(X)>0\}$$=$$\{a\cdot a^{*} ; a\in SL(2, \mathrm{C})\}$

3 次元双曲型空間をこのように表すと,を得る.

$PSL(2, \mathrm{C}):=sL(2, \mathrm{c})/\{\pm 1\}$は対応 $H^{3}(-1)\ni X\vdasharrow a\cdot x\cdot a^{*}$ によって等長的に作用する.
$\mathrm{R}^{3}$

を$M^{2}$(但しの元$a^{*}:={}^{t}\overline{a}$)の極小曲面の Weierstrass 表現公式に対応して次の定理が成り立つ.

定理 21. (Bryant [B1])$\omega$,$M^{2}$$M^{2}$

を単連結なリーマン面とし,上の正則 1 次形式とし,$ds^{2}=(1+|g|^{2})2\omega\cdot\overline{\omega}$$g$を$M^{2}$

上の有理型関数,が, 正定値になるとする.

$z_{0}$をの固定点とするとき, 以下の条件を満たす正則はめ込み $F:M^{2}arrow PSL(2, \mathrm{C})$が-意的に存在する.

(1) $F(z\mathrm{o})=\pm id$(2) $F^{-1}\cdot dF=\omega$5(3) $x=F\cdot F^{*}:$ $M^{2}arrow H^{3}(-1)$ は平均曲率 1 (CMC-I で表す.) の共形はめ込
みで第-基本形式は逆に,$M^{2}$となる.

$ds^{2}$上の共形的 CMC-I はめ込みは, すべてこのようにして構成される.

正則写像 $F:M^{2}arrow PSL(2, \mathrm{c})$ は, 条件 (2) から(2.3)$\det(F^{-1}\cdot dF)=0$を満たす. この性質をもつ $PSL\langle 2,$定理で与えられる対ぶことにする. ($g$$(g, \omega)$$\mathrm{C}$) への正則写像を null と云う.

を, 極小曲面のときと同様に Weierstrass data と呼のことを, 第二 Gauss 写像と呼ぶが, それは後で定義される双曲的 Gauss 写像 $G$ 7 と区別するためである.) 上の CMC-I はめ込み $x$ の第二基本形式

$h$

は,

(2.4)

$h=-\omega\cdot dg-\overline{\omega\cdot dg}+dS^{2}$で与えられる.
式 (1.6) は,$Q=\omega\cdot dg$

を,$x$の Hopf differential

CMC-I 曲面でもそのまま成り立ち,と呼ぶ.

$\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{u}\Re$

曲率を表す

とくに CMC-I 曲面も$\mathrm{R}^{3}$の極小曲面と同様に非正曲率になる.
以下, 代表的な CMC-I 曲面の例を紹介しよう.

例 2.2.

$M^{2}=\mathrm{C}$とし, $g:=z,$$\omega:=0$

とおくと,horosphere はもっとも簡単な CMC- I 曲面の例で$\mathrm{R}^{3}$horosphere が得られる.の平面と同じ Weierstrassdata をもつ.
例 2.3.

$([\mathrm{B}1])$が得られる.
もつ.

例 2.4.

同じく $M^{2}=\mathrm{C}$ とし, $g:=z,$Enneper cousin は,$\mathrm{R}^{3}$の$\omega:=dz$

とおくと,Enneper cousin

En.neper 曲面と同じ Weierstrass data をあとで定義するが, この例は irregular end をもつ典型的な例である.
$([\mathrm{B}1])$$M^{2}=\mathrm{C}\backslash \{\mathrm{o}\}$$g$$\omega$.とし,$:=z^{\mu}$$:=$$( \frac{1-\mu^{2}}{4\mu})Z-\mu-1dZ$$(\mu\neq 0, \pm 1)$

6の catenoid とcatenoid cousin が得られる. catenoid cousin は,異なる Weierstram data をもつ. 単連結でないので, 定理 21 が直接適用されない

とおくと,$\mathrm{R}^{3}$が, 回転不変なので直接曲面の式が決定でき,になることがわかる. $z=0,$$\infty$$x$: $M^{2}arrow H^{3}(-1)$ が$M^{2}$

上1価に regular end をもつが, $0<|\mu|<1$ の範囲では embedded になる. 図 1, 2 は $H^{3}(-1)$ の Poincar\’e モデル上に描いた catenoid$\infty \mathrm{u}\sin$の絵である. Gauss 曲率を表す式 (1.6) は, CMC-I 曲面でもそのまま成り立ち, 全曲率は $-4\pi|\mu|$ に等しい. 極小曲面のときと異なり, 一般には全曲率は,$4\pi$の整数倍にならない.

図2

図1$|\mu|>1$$0<_{\mathrm{I}\mu 1<}1$

前節の定理 11, 定理 12 および定理 13 に対応してそれぞれ次の 3 つの定理が成り立つ.

: $M^{2}arrow H^{3}(-1)$ を完備かつ有限全曲率をもつ共形的 CMC-I はめ込みとすると, コンパクトな Riemann 面

定理 2.5. (Bryant [B1])

砕が存在し,$M^{2}$は,$M^{2}$$\overline{M}^{2}$を Riemann 面とし,から有限個の点 $\{p_{1}, \ldots,p_{n}\}$ を除いたものと正則同値となり, その Hopf differential $Q$ は,

例 24 が示すように,

strass data
ential は,$(g, \omega)$$\overline{M}^{2}$$\mathrm{R}^{3}$$x$$\overline{M}^{2}$上に有理型に拡張される.の極小曲面と異なり, 一般には CMC-I 曲面の Weier-は $M^{2}$ 上–価にはならない.

しかし, この定理から,Hopf differ-上にまで, 有理型に拡張できることがわかる. このことから, CMC-I曲面の場合, Hopf differential が, 特に重要な役割を果たす. -方,CMC-I 曲面

7に関しては, 全曲率に関する Osserman の不等式 (1.8) はそのままでは成立せず,すぐあとに述べるが dual な CMC-I 曲面を考える必要がある. 完備な CMC-I 曲

面それ自身の全曲率については, 次が示される.
定理 2.6.

$M^{2}$$([\mathrm{U}\mathrm{Y}1])$

を Riemann 面とし,:$x$$M^{2}arrow H^{3}(-1\rangle$を完備かつ有限全曲率をもつ CMC-I はめ込みとすると, 次の不等式が成り立つ.

(2.5)$\frac{1}{2\pi}f_{M^{2}}KdM<\chi(M^{2})$つまり,$\mathrm{c}_{\circ}\mathrm{h}\mathrm{n}- \mathrm{v}_{\circ \mathrm{s}}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}$の不等式の等号は成立しない.

これは, 最良の評価である. 実際, 例 24 の catenoid cousin に対し $\muarrow 0$ とす

ると, 全曲率は等号にいくらでも近づけられる. (最後に二つの holosphere に崩壊

一般に,$\text{する}.)$$\langle$$M^{2},d_{S^{2}})$を 2 次元完備 Riemann 多様体とし, 任意の基点 $p\in M^{2}$に対して,$i(M^{2} \rangle=tarrow\infty\lim\frac{A_{p}(t)}{\pi t^{2}}$とおくと,半径$t$

これは基点$p$の取り方によらない. (ここで $A_{p}(t)$ は点の測地円板の面積とする.)

られる.

$\langle$$[\mathrm{S}\mathrm{h}])$Cohn-Vossen の等号条件は,上の不等式は完備 CMC-I 曲面について,$p$を中心とする$i(M^{2})=0$ で与え$i(M^{2})>0$ が成り立つことを意味する.
ここで,

よう.

$\mathrm{R}^{3}$

3 次元双曲型空間のもう –つのモデルとして Poincar\’e モデルを紹介しの原点を中心とする半径 1 の開球に(2.6)$ds^{2}:=( \frac{2}{1-\Sigma^{3}j=1(x^{j})^{2}})^{2}=\sum_{j1}^{3}(d\dot{d})^{2}$

によって, 定曲率 $-1$ の Riemann 計量が入る.

これは,Minkowski 空間の部分多様体としての双曲型空間の南極からの立体射影の像として得られ,デルと呼ばれる.

Poincar\’e モ

3 次元双曲型空間の理想境界は, このモデルでは, 半径 1 の球面として実現される.

重要な概念である双曲行 Gauss 写像はこの Poincar\’e モデルを用いて以下のように定義される.
し, 理想境界$S_{\infty}^{2}$$H^{3}(-1\rangle$の曲面上の各点との交点を $G(p)$ と定める.

$p$から, 法線方向に測地線を伸は$G$を双曲的 Gauss 写像と云う.

8

完備かつ有限全曲率をもつ CMC-I はめ込みのときには,$x:Warrow H^{3}(-1)$ が,亀を立体射影によって,$\mathrm{C}\mathrm{U}\{\infty\}$と同–視すると,

理 21 で定まる正則写像 $F$ を用いれば,

(2.7)

$G$

$G$は有理型関数となる. 定は次のように簡明に表される.

$G= \frac{dA}{dC}=\frac{dB}{dD}$

但し,$F=$とする.
$\overline{M}^{2}$

このとき, 極小曲面の Gauss 写像とは異なり, 双曲的 Gauss 写像 $G$ は,にまで有理型に拡張されるとは限らない. 定理 25 において,極になっているとき,$p_{j}$$p_{j}$

が $G$ の高々を regular end と呼び, 真性特異点になっているとき,irregular end と呼ぶ. 次が成り立つ.
補題 2.7.
$Q$が,$([\mathrm{B}1])$end$p_{j}$が regular であるための必要充分条件は,Hopf dijferential

窃で高々 2 位の極しかをもたないことである.

特に, 例 22 と例 24 は共に,regular end をもち, 例 23 の場合は, irregularend をもつ. Poincar\’e モデ で, regular end を描くと, 理想境界に接することが知られている.
$\mathrm{R}^{3}$$([\mathrm{U}\mathrm{Y}1])$の極小曲面の場合, 各 end の embeddedness が Osserman の不等式 (1.8)の等号条件で与えられた. これに対応する定理を紹介しよう. 与えられた CMC-Iはめ込みに対し, その双曲 Gauss 写像 $G$ と第二 Gauss 写像

CMC-I はめ込み

$x\#$$g$とを入れ換えた,が存在し, 元の CMC-I はめ込みの dual と呼ばれる. その具体的な構成方法は簡単であり, 以下の手順で構成される.
定理 2.1 で述べたように, 与えられた CMC-I はめ込み $x:M^{2}arrow H^{3}(-1\rangle$ に対して,$\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{U}$

正則はめ込み $F:\overline{M^{2}}arrow SL(2, \mathrm{C})$ が存在して $x=FF^{*}$ と表すことができる. ただし$\overline{M^{2}}$は $M^{2}$ の普遍被覆である.

ここで ,$F$の逆行列も n 仙正則はめ込みになることに注意すると, 再び定理 2.1 により$x:=(\# F-1)\cdot(p-1)*:\overline{M2}arrow H^{3}(-1)$$F^{-1}$:$\overline{M^{2}}$9は CMC-I はめ込みになる. 簡単な計算により$x\#$の双曲的 Gauss 写像は定理 22

はGauss 写像 に–致し,符号を換えた $-Q$ がその Hopf diffferential となる.の (2) 式に現れる第二$G$$g$$x\#$

この構成からわかるように dual CMC-I はめ込みの第二 Gauss 写像になり,$x\#$は元の曲面上で-価になるとは限らないが, 第-基本形式は–価となり, その全曲率を考えることができ次の定理が成り立つ.

る.

定理 2.8.

$M^{2}$$([\mathrm{U}\mathrm{Y}5])$

はめ込みとする.

$x$のを Riemann 面とし, $x:M^{2}arrow H^{3}(-1)$ を完備な CMC-I

dual CMC-I はめ込み

$x\#$のGauss 曲率を$K^{\oint}$とすると,次の不等式が成り立つ.
$\langle$

2.8)$\frac{1}{2\pi}\int_{M^{2}}K\# d_{S\leq}\mathfrak{p}2(xM2)-n$ここで,の$n$は end の数,

CMC-I はめ込み$x$$\chi(M^{2})$は $M^{2}$ の Euler 数を表す.

さらに, 等号は,の end がすべて regular で embedded のとき,もとそのときに限り成立する.
証明の最初の核心は,の第-基本量$ds^{2}$

Osserman の不等式のときと同様各エンドにおいて曲面の発散の order が $1/|z|^{2}$ より大きいことを示す処にある.

議論は既に [UY1] において定理 26. の証明で示されている. 第二の核心はorder は整数値とは限らないが双対曲面の第–基本量
り,しかも各エンドにおいて$ds^{2}$のorder が$1/|z|^{2}$$ds\#^{2}$の orderより大きいこととこの$ds^{2}$のは整数値とな$ds\#^{2}$の orderもそうなることが同値になることである.
また等号条件については, やはり論文 [UY1] において CMC-I はめ込み

$x$のend がすべて regular で embedded になるための必要充分条件をすでに決定していたので, それがこの不等式の等号条件に–致することを確かめたものである. この意味では, 以前 $[\mathrm{U}\mathrm{Y}1]\text{で示した結果を今回}-$ , 見つけた双対曲面の言葉に翻訳したのが, 上の定理と云えなくもない.

CMC-I 曲面の双対性については,

もう $-$ つ応用があり, これを用いて,Euclid空間に対称性の高い極小曲面をその対称性を保存したまま CMC-I 曲面に変形する–般的手段をあたえることが示されている.

$([\mathrm{R}\mathrm{U}\mathrm{Y}])$10$\ovalbox{\tt\small REJECT}$方, irregular end をもつ CMC-I 曲面は,

コンピ $=-ff$. グラフィックスにより embedded にならないことが, 予想されるが, 現在のところ未解決である. また, 双対性とは関係ないが, 最近 W.Rossman 氏 [R] は極小曲面の Bernstein の定理の$\mathrm{C}\mathrm{M}\mathrm{C}_{- 1}$版の証明を得たようである.

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