Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 TUP055

SuperKEKB における加速モード起因結合バンチ不安定性抑制システムの位相調整
PHASE TUNING FOR DAMPER SYSTEM OF COUPLED BUNCH INSTABILITY
CAUSED BY ACCELERATION MODE IN SuperKEKB
小林鉄也 ∗,A) , 廣澤航輝 B)
Tetsuya Kobayashi ∗ , A) , Kouki Hirosawa B)
A)
High Energy Accelerator Research Organization (KEK)B)
National Institutes for Quantum Science and Technology, Rokkasho Fusion Institute (QST/Rokkasho)

Abstract
SuperKEKB accelerator is the world’s highest luminosity collider with electron-positron asymmetric collision, which
is aiming at 40 times higher luminosity than that KEKB achieved. The commissioning of the SuperKEKB begun in 2016,
and then the world record of the luminosity was updated. In order to obtain such higher luminosity, very high current
beam is needed to be stored in the rings. For the high current storage, suppression of coupled bunch instability (CBI)
caused by accelerating mode is one of the most important issues for RF system. Therefore, an advanced CBI damper
system had been newly developed for SuperKEKB, and it is working successfully in the operation; it is indispensable
now for SuperKEKB. However, this CBI damper had difficulty in phase tuning method: it was available only in closed
feedback loop, and phase scan was required to optimize the feedback phase. This method needs long time for tuning, andis likely to make beam abort by exciting instability during the scan. In order to clear this difficulty, new function, which
can directly obtain the loop phase from beam response with open loop, was implemented into the CBID damper.
上、スキャン中に逆にビーム振動を増大させアボートしてしまう、などの問題が多かった。一度調整さSuperKEKB は電子陽電子非対称衝突型円形加速器 れた位相設定を変える必要性はほとんどないが、RFで、前身である KEKB 加速器の 40 倍のルミノシティ 系に変更があった場合や、長期シャット・ダウン後を目指している [1]。2018 年から衝突実験が始り、概 などに、再調整（確認）が必要になる。
上記の問題を改善するため、本 CBID の機能を拡ね順調にルミノシティの世界記録を更新し続けてい張し、開ループでビームを強制振動させることで、る。2022 年 6 月には、KEKB の 2 倍を大きく超えるルミノシティに達した [2]。ただし、目標ルミノシ ビームの応答からループ位相を決定することを可能
ティの達成に向け、今後も更なるアップ・グレード、 にした。これにより、不安定性を発生させず、予め位相調整を済ませることができ、調整時間も大幅に蓄積電流の増加が必要となる。
SuperKEKB 加速器は、7 GeV 電子リング（High 短縮された。これは比較的単純な FPGA ロジックのEnergy Ring, HER）と 4 GeV 陽電子リング（Low Energy 変更で実現され、コミッショニングの効率化には大きく貢献している。本稿の本題は、この拡張機能のRing, LER）とで構成される。高い目標ルミノシティ
紹介であるが、その理解のためにも一応、CBI およのため、蓄積ビーム電流のデザイン値は非常に大きび CBID について簡単に説明しておく（前置きが長く、HER, LER それぞれ 2.6 A, 3.6 A である。
い）。本稿のコア部分は、最後の Chapter 4 である。
大きなビーム電流の蓄積において、RF 制御で最も重要になる課題の一つが、加速モードに起因する結合バンチ不安定性（Couled Bunch Instability: CBI） 2 . 加速モード起因の結合バンチ不安定性を抑制することである。そのため SuperKEKB では、新たに多モードに対応した高精度でフレキシブルな 2.1 結合バンチ不安定性
CBI ダンパー（CBID）が開発された [3]。その一部は結合バンチ不安定性（CBI）に関するテキストは多FPGA を用いたデジタル信号処理で構成される。
くあるので詳細はそちらに譲るが、本 Section で基本
これまでの運転で、本 CBID は非常に有効に機能 事項を紹介する。
し、大電流の蓄積には欠かせないシステムになって
CBI とは、加速空洞などの構造体において、リンいる。しかしながら、位相の調整方法に課題があっ グを周回するバンチ・ビームが、自ら励起する Wakeた。CBID はフィードバック（FB）制御の一種である 場によりバンチ間で相互作用し、互いにビーム振動が、本 CBID は、閉ループの状態でしか位相調整で を増長させる、いわばバンチどうしの共鳴現象であきず、ビーム不安定性が発生してから位相をスキャ る。CBI の定量評価は、一般的に対象とする構造体ンして最適値を探す、という方法を行っていた。こ の結合インピーダンス（周波数特性）を用いて行う。の方式では、不安定性が発生しないと調整できない。 より具体的には、CBI 振動の振幅増加率が結合イン
また、やみくもに最適位相を探すので時間がかかる ピーダンス（の実部）から求められ、それを放射減衰率と比べて、不安定（増大）となるかを評価する。
∗ tetsuya.kobayashi@kek.jp
結合インピーダンスは、Wake 場の縦方向（longi-1.

はじめに- 469 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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PASJ2022 TUP0552.2µ=3µ =1µ=02hωrevhωrev

前述したように CBI は結合インピーダンス（周波数特性）で評価されることから、ビームが持つ周波数成分が関係する。等間隔で並んでリングを周回するバンチ・ビームの角周波数成分 I(ω) は、周回周波数 ωrev の整数倍に線スペクトルを持ち、各線スペクトルに、ビーム振動のスペクトル（ここではシンクロトロン振動周波数 ωs ）がサイドバンド（pωrev ± ωs ）として現れる（p は整数）。
ここで、h 個のバンチが（等間隔で）リング内を周回し、各バンチのビーム粒子が隣り合うバンチに対して、それぞれ互いに位相差 ∆θb を持って振動しているとする。この場合、 h + 1 番目のバンチは自分自身に戻るので、 µ を整数として h∆θb = 2πµの関係があると言える。この µ が CBI の振動モード番号に相当し、−h から h の整数で示す。ただし、µ = h − n と µ = −n（0 5 n 5 h）は同じモードである。話を単純にするために h は harmonic number とする（SuperKEKB の場合 h = 5120）。
先の、h∆θb = 2πµ の関係から、バンチ・トレインは一周内に µ 回の振動のうねりを持ち、周回周波数
ωrev でリングを周回していることから、ビームのスペクトルは µωrev の周期性を持つ（phωrev ± µωrev ± ωsのようになる）ことが推測できる。
上記を踏まえ、ここで縦方向の CBI（モード µ）について考える。ビーム振動（振幅）が exponential で増大するとして、その成長率（growth rate: τµ−1 ）は、縦方向インピーダンス（Zk ）を用いて、µ=0µ=3µ=3µ =1µ=0µ=0µ =1µ=3dampexcite

ωs(= ωrf )CBI 振動モードと Growth Rateτµ−1 =µ =1

ωrev

Re[Z(ω )]µ=2µ=2tudinal）成分、横方向（transverse）成分、どちらの成分に起因するかで 2 つに分けられる。本稿は加速電圧制御（低電力高周波制御）に関するもので、加速モードの空洞インピーダンスに起因する CBI、すな
わち縦方向振動（シンクロトロン振動）を扱う。
ちなみに、構造体の Wake 関数をフーリエ変換したものが、その結合インピーダンスを表すことは良く知られている。

ωFigure 1: Relation between beam spectrum and CBImodes. Illustration of Eq. (1) for case of h = 4.

般的に RF 周波数（ωrf ）となる。
2.3

加速モードに起因する CBI

加速空洞（加速モード）の結合インピーダンス
Za (ω)（の実部）は、共振周波数 ω0（∼ ωrf ）にピークを持ち、Za (ω) =Rsh /2(β + 1)ω0
ω
1 + jQL−ωω0(3)で表される。ここで、Rsh , β は、それぞれ空洞のシャント・インピーダンス、入力結合度である。
加速モードによる CBI は、この空洞インピーダン
ス（高い Q 値）から RF 周波数（ωrf = hωrev ）の周辺だけを考えれば良く、Eq. (1) において、p = 0, 1 だけになる。従って、growth rate は、

eαp ωrev Ib×4πωs E0τµ−1 =eαp ωrev Ib×4πωs E0[(ωrf + µωrev + ωs )<Za (ωrf + µωrev + ωs )−(ωrf − µωrev − ωs )<Za (ωrf − µωrev − ωs )](4)となる。これを図にすると、Fig. 2 のようになる（RF周波数周辺の 5 つのモードについて示す）。破線は空i(µ+)
(µ+)
(µ−)
(µ−)
洞インピーダンスの実部を表し、
optimumtuning によωp <Zk (ωp ) − ωp <Zk (ωp )(1)り（電子リングでは）RF周波数より低いほうへ離調
p=0される。矢印の赤、青が、それぞれ excite, damp の効
ωp(µ+) = phωrev + µωrev + ωs
果を現す。図から分かるように、optimum tuning（離ωp(µ−) = (p + 1)hωrev − µωrev − ωs(2) 調）により、µ = 0 のモードは damp の成分が優勢となり安定である。一方、µ < 0 では、growth rate を増で与えられる（微小振動として近似できる場合）[4]。 す excite の成分が優勢となる。また電流が増えるほ
ここで、e は電荷素量、αp は運動量圧縮率、Ib は平 ど、この離調量は大きくなるので、CBI を更に誘発
均ビーム電流、E0 はビームのエネルギーである。こ する方向に働く。
以上を踏まえ、SuperKEKB の最終デザインの運転の式を図にすると Fig. 1（h = 4 の例）のようになる。
このように、Eq. (1)(2) から、モード µ のサイドバン 条件に対し、Eq. (4) から growth rate を計算した結果
ド ±ωs によって、growth rate を上げる効果の excite （HER の例）を Fig. 3 に示す。横軸を蓄積電流とし成分と、下げる効果の damp 成分があることが分か て、µ = −1, −2, −3 についてプロットしている。全る。ここで、growth rate はモード（µ）毎に評価すべ 空洞について合計した growth rate である。放射減衰
きことに注意。一方、結合インピーダンスの虚部は による damping rate（不安定となる閾値）を黒い水平チューン・シフトに寄与する。ちなみに、hωrev は一 線で示している。
∞ hX- 470 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Re ⎡⎣ Z a (ω ) ⎤⎦上記の growth rate の評価（Fig. 3）から、SuperKEKBのデザイン電流において、 µ = −1 モードは放射減衰の閾値を超える（CBI が発生する）ことが分かる。
また、休止する空洞が１台あると、 µ = −2 モードも閾値を超えると予想される。従って、少なくとも、µ = −1, −2 モードに対応できる CBID が必要である（LER も同様）。また、更に多くの空洞が休止する可能性や、想定外のインピーダンスがある可能性などを考慮すると、µ = −1, −2, −3 モードの CBI が発生することを想定する必要がある。
実際の運転では、この予想よりかなり低い電流（500mA 程度）から、HER で µ = −1 モードが観測され（加速モード以外も寄与している可能性があり）、
本 CBID が SuperKEKB の運転に必須となっている。

with optimum tuning

µ=0

ω

ωrev

µ = +1ωµ = +2(h − 2) ωrevhωrev (h + 2)ω
= ωrf Re ⎡ Z (ω ) ⎤⎣ a⎦revω

with optimum tuningµ = −1ωωrevµ = −2(h − 2) ωrev

hωrev
= ωrf

(h + 2) ωrev

ωFigure 2: Illustration of Eq. (4). Relation between cavity impedance and CBI modes is shown for case of µ =−1, −2, 0, +1, +2.

HER では ARES 空洞 [5] と超伝導空洞（SCC）を併用している。ARES 空洞は、KEKB 特有の常伝導空洞で、大電流ビームによる負荷（CBI）の影響を小さくするために特殊は構造（3 連空洞）にし、常伝導空洞としては非常に高い Q 値（Q0 ∼ 120000）を実現している。全 16 台の空洞のうち SCC １台がトラブルで休止（-150 kHz に離調）となる場合を想定した growth rate を Fig. 3 に破線で示している。

Figure 3: Estimation of the growth rate of µ = −1, −2
and −3 modes for SuperKEKB HER.

3.

結合バンチ不安定性抑制システム

3.1

CBI ダンパーの基本方式

SuperKEKB の前身である KEKB 加速器では、µ =−1 モードの発生が予想されていたため、”-1 モード・ダンパー” [6] が開発され、実際に必要となり使用されていた。SuperKEKB でも、これを踏襲する形で、新たに高精度かつフレキシブルな CBID（µ = −1, −2, −3に対応）[3] が開発され（製造は (株) 三光社 [7]）、すでに運用している。本 CBID システムの基本的な方式について簡単に説明する。
Figure 4 に本 CBID 系の構成（FB ループのブロック図）を示す。本 CBID は緑線で示した部分で、図のように、低電力高周波（LLRF）制御システム（空洞電圧制御：Vc-Loop）に CBID が加わる形になっている。図中の”CBI Mode Filter” に要求される透過特性（µ = −1 モードの例）を Fig. 5 に示す。このような狭帯域 bandpass filter（BPF）により、ビーム pickup
信号から対象とする CBI モードの周波数（excite 側のサイドバンド）だけを選択的に抽出し（damp 側は残し）、そのモード振動を打ち消すようにゲイン／位相を調整し、クライストロン（空洞）の入力信号に合成する。SuperKEKB では、この BPF 特性をµ = −1, −2, −3 に対応（パラレル化）させた櫛形フィルターになっている。このパラレル CBI Mode Filterを用いて、模擬空洞（Q 値 ∼9000）に対して FB ルー

Figure 4: Block diagram of FB loop of the CBI dampersystem.

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Figure 5: Required transmission property for the CBImode filter. Case of µ = −1 is shown for example.

Figure 7: Block diagram of the CBI mode filter.

3.2

CBI Mode Filter

前節で述べた通過特性（Fig. 5, 6）を実現する”CBIMode Filter” のブロック図を Fig. 7 に示す。この図の信号の流れは、左から右への方向になる。図中の破線枠（水色内）は、Single Sideband Filter（SSBF）の機能となり、frf より低い周波数帯域だけを通過させる。
SSBF の中で、frf で down convert（DC）され、frf より低い周波数成分となった信号（f − frf , f < frf ）に対して、Digital Bandpass Filter（DBPF）をパラレルに挿入し、モード µ の成分（−µfrev + fs , µ = −1, −2, −3）を選択的に通過させる。そして、DBPF の通過信号を up convert（UC）し、RF 信号に戻して出力する。
Figure 6: FB loop test result of the CBI mode filter for a このように、SSBF と DBPF を組み合わせることで、Fig. 5, 6 のようなフィルター特性が得られる。いずれsimulant cavity.
は SSBF も含めた全体をデジタル化したい。
DBPF の機能ブロック図を Fig. 8 に示す。DBPF
は動作クロック約 102 MHz で、SSBF 内で DC された信号を 16bit-AD 変換し、FPGA 内で Numericalプを適用した結果を、Fig. 6 に示す。各モードの狭い Controlled Oscoillator（NCO）により CBI モード周波数 µfrev − fs で DC することで I,Q 成分を得る。この周波数領域だけゲインが下がっているのが分かる。
I,Q 成分の帯域を lowpass filter（LPF）で絞り、再びこのように、加速モードに影響を与えず、抑制したいモード（excite 効果）の周波数のみを FB 制御する NCO で UC して DAC 出力することで、BPF 特性（中ことで、特定の CBI モードを抑制する。なお、前章 心周波数 µfrev − fs ）を作っている。LPF は 1 次遅れ。ここで DC
では周波数を数式に合わせて角周波数（ω ）で表して の IIR を 2 段重ねている（1 段のみも可）側とUC側でNCOの位相を相対的に変えることで、いたが、ここ（及び以降）では f（= ω/2π ）で表す。
各 CBI モードに対するループ位相を調整できる。まSuperKEKB では、RF 周波数（frf ）が約 509MHz、た、FPGA 内でゲイン調整も可能である。モードの周回周波数（frf ）が約 100 kHz、シンクロトロン振動周波数設定も含め、これらのパラメータは EPICS で周波数（fs ）が 2 kHz〜3 kHz なので、Fig. 5 のようリモート調整が可能である。に、fs のサイドバンドのみを通過させる BPF は、バ
本 CBID による実際の CBI 抑制効果については、文ンド幅が（RF500 MHz に対して）1 kHz 程度となる。
献 [3] や過去の本学会での報告を参照して頂きたい。
この非常に狭い BPF 特性（CBI Mode Filter）を、どう実現させるか、が本 CBID の本質で、次節で簡単
4 . ビーム応答によるループ位相調整機能に紹介する。詳細は文献 [8] を参照して頂きたい。
ところで、より一般的には（LHC, PEP-II 加速器な前置きが長くなったが、ようやく本題である。
どでは）、我々のように特定のモードのサイドバンド
現在、Fig. 4 に示す CBID 系を、各リング 2 ステーに限定せず、digital comb filter を用いて周回周波数の ションに適用している。運用における CBID の位相整数倍（µfrev ）を一斉に（damp 側もまとめて）FB 調整は、これまで CBI が発生してから、やみくもに制御する方式をとっている [8]。これに対して我々の スキャンして CBI が抑制される位相を探す以外に方RF システムは、クライストロンの帯域が狭く（せい 法がなかった。この方法では、冒頭で述べたようにぜい 3frev 程度）、各モードで位相が大きく変わるた 様々な不都合が生じる。この問題を解決するため、
め、SuperKEKB では、（後述するように）モード毎に Fig. 9 に示すように DBPF（FPGA ロジック）の機能独立にループ調整が可能な方式をとっている。
を拡張した。このように、通常の運転モード（OP- 472 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of JapanOctober 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

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Figure 10: Beam spectrum at µ = −1 mode during the tuning mode (left side) and the normal operation (right side).
Figure 8: Functional block diagram of the digital bandpass
filter.

ビーム・スペクトル）を Fig. 10（右）に示す。
今回行ったことは、以上の通りハードウェアの変更もなく、比較的単純な FPGA の改修だけである。
後から考えれば最初からこうしておけば良かったと思われることだが、開発当初は理解が及ばす、RF 制
御の経験からはビームを強制振動させるという発想が無かった。そのため、実際に試験してみるまでは成功する自信がまったくなかった。結果としては運転・調整の効率化に大きく繋がり、予想以上に費用対効果が大きかったと感じる。

5.

まとめ

加速モードに起因する結合バンチ不安定を抑制するためのダンパーシステム（ビーム FB 制御系）において、機能を拡張し、開ループでビームを強制振動させ、ビームの応答からループ位相を決定する方法を可能とした。それ以前は、不安定が発生してから、やみくもにスキャンをして最適位相を探していMode）と調整モード（Tuning Mode）が切り替え可能 たが、今回の機能拡張により、予め位相調整を済まになっている。また、LPF 後の I,Q 成分の値（波形） せ、不安定性を発生させずに大電流が蓄積でき、まをモニタできるようにした。
た調整時間も大幅に短縮された。単純な FPGA の変調整モードでは、開ループ状態となり、かつ I,Q 成 更ではあるものの、SuperKEKB のコミッショニング分が固定値（1,0）で UC される。こうすると、任意 の効率化に大きく貢献した。の位相 φ（振幅は固定）で CBI モードの周波数の信号が DAC からの出力され、空洞入力信号に加わる 謝辞ので、ビームを強制的に振動させることになる（レ本 CBI ダンパーの開発および今回の機能拡張におベルは DAC Gain で調整）。この状態でモニタされる
いて、（株）三光社の方には、意欲的に取り組んで頂I,Q 成分は、ビームが応答した位相 φB であり、φB − φ
き、世界最高のルミノシティに繋がったことに、心が系全体の（その振動モードの）ループ位相に相当より感謝致します。
する。閉ループでは、これを逆位相にして FB すれ◦ば良いので、設定位相を φdamp ＝ − (φB − φ) ± 180 とすれば良い。これを数 100mA 程度の蓄積電流で行え 参考文献
ば、予め位相調整が完了し、CBI を発生させること [1] http://www-superkekb.kek.jp[2] https://www-linac.kek.jp/skekb/status/web/なく蓄積ビーム電流を上げることができる。
2022ab_history.png
実際に 100mA 程度の蓄積ビーム電流で試験を行っ[3]
K. Hirosawa et al., “Advanced damper system with a flexiた時の様子（ビーム・スペクトル）を Fig. 10（左）に
ble and fine-tunable filter for longitudinal coupled-bunch in示す。調整モードで、µ = −1 モード（frf − frev + fs ）stabilities caused by the accelerating mode in SuperKEKB”,を強制的に励振している場合である。実際の CBI がNucl. Instrum. Methods. Phys. Res. A 951, 163044, 2019.
発生した時と同じようにピークが立っている。この [4] K. Akai, “RF システム”, OHO’94 テキスト,II, 1994.
調整モードで、励振する位相 φ を変えると、それに [5] T. Kageyama et al., “The ARES cavity for KEKB”, Conf.
応じてモニタ信号の位相 φB が正常に変わることがProc. of APAC98, 1998, pp. 773-775.
確認できた。これにより、上述に従って設定位相を [6] S. Yoshimoto et al., “The -1 mode damping system for
求めると、従来の方法で決めた位相と一致し（評価KEKB”, Proc. of the 14th Symposium on Accelerator Science
精度はどちらも ±10◦ 程度）、本機能が有効であるこand Technology, 2003, pp. 323-325.とが確認できた。そのまま 1A を蓄積したが、正常に [7] http://www.sanko-sha.net/
CBI は抑制され問題なく運転が続けられた。CBID が [8] T. Kobayashi, “RF システム（２）”, OHO’19 テキスト,132, 2019.
正常に CBI を抑制している様子（µ = −1 モードのFigure 9: Functional block diagram of the digital bandpass
filter with additional function.

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