2 次元 Padua 点上の補間型積分則
2009SE192 長浜 陽平
指導教員：杉浦洋

はじめに

1Morrow，Patterson，Xu は直積型チェビシェフ測度 µ を∏2Ω 上の n 次多項式全体を n ⊂ C(Ω) と書く．f ∈∏2C(Ω) から n ⊂ C(Ω) への µ-直交射影を Sn とする．Snは持つ長方形領域における近似積分則，µ-MPX 則を提案し∫た．Marco Caliari，Marco Vianello，Stefano DeMarchi，Sn f (x) =Kn (x, y)f (y)dµ(y).

Roberto Montagna ら [1] は，その標本点を用いて長方形Ω領域の単純かつ強力な多項式近似を提案した．本論文でと, 積分変換の形で書ける．ここでは，彼らの近似法を研究し，それを用いた長方形領域の数値積分公式 1-MPX 則を導く．また，数値実験を行いそのKn (x, y) =特性を調べる.

2(4)T̂kl (x)T̂kl (y)k≥0,l≥0

チェビシェフ多項式

は区間 [−1, 1] の連続関数全体を C[−1, 1] と書く．f, g ∈C[−1, 1] の内積を

∫ 1(f, g) =k+l≤n∑,x ∈ Ω

f (x)g(x)dµ(x),dµ(x) =−1∏2

3.2n ⊂ C(Ω) の再成核と呼ばれる．

超補間Ω 上の 2 次元数値積分 (N 点則) を2dx√
, (1)π 1 − x2N∑

QN f =∫(| x |≤ 1)(2)

f (x)dµ(x)(5)Ωi=1で定義する．n 次チェビシェフ多項式 Tn (x)Tn (x) = cos(n cos−1 x)

ωi f (ξi ) ∼=とし (4) の積分を QN で置き換えると Sn の近似により，正規化チェビシェフ多項式をLn f =N∑ωi Kn (x, ξi )f (ξi ) ∼= Sn f(6)i=11T̂0 (x) = √ T0 (x),2T̂n (x) = Tn (x)(n ≥ 1)が得られる．これを近似積分 QN による f の超補間と言う．とすると，(T̂m , T̂n ) = δmn

本論文では，重み µ の積分の近似 QN として，Morrow，Patterson，Xu の提案した積分則 (MPX 則) を採用する．
MPX 則を∑QN f =ωξ f (ξ)となる．

3多項式空間に対する µ-直交射影と超補間

3.1µ-直交射影µ-MPX 則4(m ≥ 0, n ≥ 0)ξ∈Ξ

2 次元の正方形多項式 Ω = [−1, 1]2 上の連続関数全体を と書く．ξ ∈ Ξ は標本点，ωξ は ξ 上の重みである．
∏2C(Ω) と書く．f, g ∈ C(Ω) の内積を［定理 1］MPX 則は全ての p ∈ 2n+1 を正確に積分する．
∫すなわち∫(f, g) =f (x)g(x)dµ(x),QN p =p(x)dµ(x).//Ω

x = (x1 , x2 ),Ω4dx1 dx2√dµ(x) = √2π 1 − x21 1 − x22で定義する．2 次元正規化チェビシェフ多項式を

5.11-MPX 則の導出∫∫(m ≥ 0, n ≥ 0)

∫ 1∫ 1If =f (x)ds(x) =f (x, y)dxdy−1Ωで定義する．このとき，(T̂kl , T̂mn ) = δkm δln1-MPX 則Ω 上の重み 1 の積分T̂mn (x) = T̂mn (x1 , x2 ) = T̂m (x1 )T̂n (x2 ),x = (x1 , x2 )5−1に対する MPX 点上の積分則を MPX 則と呼ぶ．具体的な(k, l, m, n ≥ 0).

すなわち {T̂mn } は C(Ω) の正規直交系となる．

(3)

積分則は，

In f =∑ξ∈Ξρξ f (ξ)

であり，重みを積分する (図 3)．

∫∫ρξ = ωξKn (x, ξ)ds(x)

ÈEnÈΩ

0.01
0.0001
1. ´ 10-6
1. ´ 10-8
1. ´ 10-10
1. ´ 10-12
1. ´ 10-14は，あらかじめ計算して覚えておく．

[定理 2] パラメタ n の 1-MPX 則 In の次数は，パラメタ nが奇数なら n 次，n が偶数なら n+1 次である．// 1-MPX則はパラメタ n が偶数のときのほうが高精度である．

6100200300400N

数値実験
図 3 f (x, y) = cos[10(x + y)]

Mathmematica による 1-MPX 則の数値実験結果を報告する．計算機は FUJITSU FMV-S8370，CPU，は，IntelCore2 Duo 2.10Hz，Windows Vista の上で Mathmematica ver.8.0.1.0 を用いてプログラムを開発し数値実験を

MPX 則と続く (図 4)．ガウス則は振動関数に強いことが行った．

わかる．

このときは，ガウス則が最も精度が高く，次に C-C 則，以下では，1-MPX 則 (MPX 則)，2 次元直積型ガウス・ルジャンドル則 (ガウス則) と 2 次元直積型クレンショウ・
カーチス則 (C-C 則) でいくつかの関数を積分し比較する．

1-MPX 則のパラメタ n は偶数とした．
まず，被積分関数

f (x, y) = e−32(x +y ) ,22n = 30を積分した結果を示す．被積分関数は図 1 に示すように，

ÈEnÈ100

0.1
0.010.001
10-410-510-6200300400500N
図 4 f (x, y) = cos[10(x + y)]以上の実験結果から，ピークを持つ関数で低精度の積分を行うときには MPX 則が良い．また，高精度の積分を行うときにはガウス則が良い．振動積分においては，ガウス

図 1 f (x, y) = e−32(x +y )22則が圧倒的に強い．

7

おわりにす．このときは，MPX 則が最も精度が高くなり，次にガ

本研究では，Marco Caliari, Marco Vianello, Stefano
De Marchi, Roberto Montagna[2] に従って，２次元長方ウス則，C-C 則と続く．MPX 則は，中程度の精度ではガ形領域の超補間について研究した．そして，超補間多項式ウス則をしのぐ．

を積分することにより数値積分則 (1-MPX 則) を構成し急峻なピークを持つ．積分誤差の片対数グラフを図 2 に示た．1-MPX 則の次数に関する定理を導いた．1-MPX 則のパラメタ n が奇数のときは n 次，偶数のときは n + 1次である．数値実験により 1-MPX 則の特性を調べた．1-MPX 則はピーク型の関数に対し，直積型クレンショウ・カ−チス則より高性能であった．また低精度の範囲では直積型ガウス則よりも優れていた．

参考文献

図 2 f (x, y) = e−32(x +y )22

次に振動数の高いf (x, y) = cos[10(x + y)][1] Marco Caliari, Marco Vianello, Stefano De Marchi,Roberto Montagna：Hyper2d: a numerical code for
hyperinterpolation on rectangles, Applied Mathematics and Computation, Volume 183, Issue 2, Pages
1138-1147(2006).