数理解析研究所講究録 1445 巻 2005 年 88-98

88

Global phase portraits of planar autonomous
half-linear systems
島根大学総合理工学研究科
島根大学総合理工学部
島根大学総合理工学部

鬼塚 政一 (Masakazu Onitsuka)
山口 亜矢 (Aya Yamaguchi)
杉江 実郎 (Jitsuro Sugie)

Department of Mathematics
Shimane University1

序文
本研究では, 2 階微分方程式$(\mathit{4}_{p}(\dot{x}))^{\circ}+\alpha\phi_{p}(\dot{x})+\beta\phi_{p}(x)=0$,(1)$\cdot=\frac{d}{dt}$と同値な方程式系$\dot{x}=\phi_{p^{*}}(y)$,(2)$\dot{y}=-\alpha y-\beta\phi_{p}(x)$を考え, この方程式系の解軌跡の挙動について考察する。 ただし,し,関数$\phi_{p}(z)$は $\phi_{p}(z)=|z|^{p-2}z,$$\alpha\in \mathbb{R},$$\beta(\neq 0)\in \mathbb{R}$$(p>1)$ で定義された実数値関数である。 また,$1/p+1/p^{*}=1$ をみたす値とする。 このとき,$\phi_{p^{*}}(y)$$p^{*}$とはは $y=\phi_{p}(\dot{x})$ の逆関数になる。 もし,$p=2$ ならば, 方程式 (1) と方程式系 (2) はそれぞれ線形微分方程式(3)$\ddot{x}+\alpha\dot{x}+\beta x=0$と自励系$\dot{x}=y$,(4)$\dot{y}=-\alpha y-\beta x$になる。 自励系 (4) は一般解を求めることができるので, その解の挙動は容易に知ることができる。 このことは初歩的な書物で紹介されている。

方程式 (1) の非自明解を $x_{1}(t),$$x_{2}(t)$とするとき, 任意定数

$c\in \mathbb{R}$に対して,$cx_{1}(t)$も方程式 (1) の解になることから, 方程式 (1) は半分線形微分方程式と呼ばれている。 半分
線形微分方程式の解の振動問題に関する研究は古くから行われている (例えば, $[1, 2]$ を見よ)

本研究の目的は方程式系 (2) の解軌跡が自励系 (4) のそれと同様の挙動をとることを示すことである。
方程式系 (2) の原点の性質は次の 4 つに分類される。 方程式系 (2) の原点が saddle pointであるとは, 方程式系 (2) の原点近傍からはじまる正の半解軌跡 (resp., 負の半解軌跡)
が原点に漸近する正の半解軌跡 (resp., 負の半解軌跡) と原点に漸近しない正の半解軌跡。

89(resp., 負の半解軌跡) を同時にもっことをいう。方程式系 (2) の原点が center であるとは,方程式系 (2) のすべての解軌跡が原点を含む閉軌跡になることをいう。 方程式系 (2) の原
点が node であるとは, 方程式系 (2) の原点近傍からはじまるすべての解軌跡が原点の周囲を有限回まわって原点に漸近することをいう。 方程式系 (2) の原点が focus であるとは,方程式系 (2) の原点近傍からはじまるすべての解軌跡が原点の周囲を無限回まわって原点に漸近することをいう。
よく知られているように, 自励系 (4) の原点は次のように分類される。

Theorem A. 自励系 (4) の原点は次のように分類される:(i) $\beta<0$ ならば, saddle point である;
(ii) $\alpha=0$ かつ $\beta>0$ ならば, center である:
(iii)$\alpha\neq 0$時\acute \supset \mbox{\boldmath $\alpha$}2/4 $\geq\beta>0$ ならば, node である;

(iv)$\alpha\neq 0$

かつ $\alpha^{2}/4<\beta$ ならば,

focus である。

Theorem A の証明には, 方程式 (3) に対する特性方程式(5)$\lambda^{2}+\alpha\lambda+\beta=0$の判別式が重要な役割を果たす。 すなわち, 特性方程式 (5) の根を調べることによって,自励系 (4) の原点を分類することができる。 この特性方程式 (5) は, 一般に方程式 (3) に$x(t)=e^{\lambda t}$ を代入する方法と,
自励系 (4) の原点でのヤコビ行列を求める方法の 2 つの手法により得ることができる。
本研究で対象とする方程式系 (2) は非線形である。 本来, 非線形な方程式系に対して
は, 原点でのヤコビ行列を求め, 方程式系を線形 (近似) 化する手法がとられる。 しかし,方程式系 (2) に対してこの手法を用いることはできない。 なぜなら, $p\neq 2$ のとき, 方程式系 (2) の原点でのヤコビ行列を定義できないからである。 本研究では, 方程式系 (2) が線形化できないにもかかわらず, 方程式系 (2) の解軌跡は自励系 (4) のそれと同様の挙動をとることを示す。 そのため, 方程式 (1) に対する特性方程式(6)$(p-1)\phi_{p}(\lambda)\lambda+\alpha\phi_{p}(\lambda)+\beta=0$を代入することにより得られる。
を考察する。 この特性方程式は方程式 (1) にもし, $p=\cdot 2$ ならば, 方程式 (6) は方程式 (5) になる。 特性方程式 (6) の判別式を以下に$x(t)=e^{\lambda \mathrm{f}}$示す。

Proposffion1.1. 方程式 (6) の根は次のように判別される:(i) $\beta<0$ ならば, 異符号の 2 実根をもつ;(ii)$(|\alpha|/p)^{p}>\beta>0$の下で,異なる正の 2 実根をもつ;$\alpha>0$

ならば, 異なる負の 2 実根をもち,$\alpha<0$

ならば,

90
(iii)

$(|\alpha|/p)^{p}=\beta$の下で,$\alpha>0$

ならば, 負の重根をもち,$\alpha<0$ならば, 正の重根をもつ;(iv) $(|\alpha|/p)^{p}<\beta$ ならば, 実根をもたな$\mathrm{A}\mathrm{a}$。

この判別式を用いて方程式系 (2) の解軌跡の挙動を判定することにより,
次の主定理を得ることができる。
本研究では,

Theorem 1.2. 方程式系 (2) の原点は次のように分類される:

saddte point である;

(i) $\beta<0$ ならば,(ii) $\alpha=0$ かつ $\beta>0$ ならば, center である;

(iii)$\alpha\neq 0$(iv)$\alpha\neq 0$

node である;

かつ $(|\alpha|/p)^{p}\geq\beta>0$ ならば,
かつ $(|\alpha|/p)^{p}<\beta$ ならば,

focus である。

Theorem 12 は完全に Theorem A を含んでいる。
準備として, 方程式系 (2) の解軌跡の大まかな挙動をとらえる。 方程式系 (2) の第 1 式より, 方程式系 (2) の正の半解軌跡は上半平面では右側へ, 下半平面では左側へ流れる。
よって, 方程式系 (2) の解軌跡が上半平面と下半平面の境界である xx 軸と交わるかどうかが興味深い点になる。 もし, 方程式系 (2) のある解軌跡が xx 軸にあたるならば, 方程式系となるので, その解軌跡は xx 軸と垂直に交わらなけれ(2) の第 1 式より, $y=0$ でばならない。 一方, 方程式系 (2) のある解軌跡が xx 軸にあたらないならば, その解軌跡は$.\dot{x}=0$

方程式
(7)

$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p}*(y)=-\alpha-\beta\frac{\phi_{p}(x)}{y}$の解 $y(x,)$ に対応する。 このとき, 方程式 (7) は解 $y(x)$ の傾きの度合を表している。
都合のため, 第 象限 $(\mathrm{i}=1,2,3,4)$ を軌と表し, 方程式系 (2) の解軌跡が垂直漸近線をもたないことを示す。 方程式系 (2) の解軌跡が上半平面で垂直漸近線をもつと仮定する。 下半平面の場合も同様に示すことができる。 このとき, その解軌跡に対応する方程式$\mathrm{i}$(7) の解を $y(x)$ とすれば, ある値$x_{1}\in \mathbb{R}$が存在して$y(x)arrow+\infty$as$xarrow x_{1}$をみたす。 すなわち$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p^{*}}(y)=-\alpha-\beta\frac{\phi_{p}(x)}{y}arrow-\alpha$as$xarrow x_{1}$である。 ところが, 方程式 (7) の左辺の関数が解 $y(x)$ の傾きの度合いを表していることを考えると$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p}*(y)arrow+\infty$as$xarrow x_{1}$81となり, これに矛盾する。 よって, 方程式系 (2) の解軌跡は垂直漸近線をもたない。
からはじまる方程式系 (2) の正の半解軌跡と負の半解軌跡をそ本研究では, 点$P\in \mathbb{R}^{2}$

れぞれ$\gamma^{+}(P)$と$\gamma^{-}(P)$と表す。

,
方程式系 (2) の原点近傍における解軌跡の性質を定義する。方程式系 (2) が propeny
からはじまるに接する xx 軸上のある点) をもっとは,$i=2,4$ (resp.,$(Z_{i}^{+})$$(Z_{i}^{-}),$$\gamma^{+}(P_{0})$(resp.,$\gamma^{-}(P_{0})$$P_{0}$$Q_{i}$$\mathrm{i}=1,3$) が軌内を通って直接原点に漸近することをいう。

本論文では, 第 2 節で,の場合の方程式系 (2) の解軌跡の大域的挙動について考$i=2,4$ ) をも
$i=1,3$ (resp.,
察する。 第 3 節では, 方程式系 (2) が property
つ, もしくはもたないための十分条件を与える。 第 4 節では, 第 2 節と第 3 節で得られ$\beta>0$$(Z_{i}^{+}),$$(Z_{i}^{-}),$

た結果をもとに, Theorem 12 に証明を与える。

2

リヤプノフ関数
この節では, 条件 $\beta>0$ の下, 方程式系 (2) に対するリヤプノフ関数を用いて, 方程式系 (2) の解軌跡の大域的挙動について考察する。
$\beta>0$ とする。 このときの方程式系 (2) のりヤプノブ関数(8)$V(x, y)= \int_{0}^{y}\phi_{p^{*}}(\eta)d\eta+\beta\int_{0}^{x}\phi_{p}(\xi)d\xi$を考える。 方程式系 (2) の形より
(9)$\dot{V}_{(2)}(x, y)=\phi_{p^{*}}(y)\dot{y}+\beta\phi_{p}(x)\dot{x}=-\alpha|y|^{p^{*}}$である。 $V(x_{7}y)=c\in \mathbb{R}$ とすれば, これは原点を含む轡型の閉曲線を描く。 $\alpha>0$ のと
き, $\dot{V}_{(2)}(t, x, y)\leq 0$ となるので, 閉曲線からはじまる方程式系 (2) の正の半解軌跡はすべてこの閉曲線の内側に流れる。 一方 $\alpha<0$ のとき, $\dot{V}_{(2)}(t, x, y)\geq 0$ となるので, 閉曲線からはじまる方程式系 (2) のすべての正の半解軌跡はすべてこの閉曲線の外側に流れる。 ま$y(t))\equiv 0$ となり, 方程式系 (2) の解軌跡はすべて閉曲線にた, $\alpha=0$ のときは$\dot{V}_{(2)}(t, x(t),$なる。 すなわち, 方程式系 (2) の原点は center である。
次に, $\alpha>0$ または $\alpha<0$ のときの方程式系 (2) の解の大域的漸近挙動について考察する。

Lemma 2.1. 定係数 $\alpha>0$ かつ $\beta>0$ とする。 このとき, 高$\mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{e}\text{式}$系 (2) の$\mathrm{E}_{\backslash J1\mathrm{Y}}^{\not\in}\mathrm{i}$は大域的漸近安定である。
証明の準備として, ラサールの不変性原理を紹介する。 方程式系$\frac{doe}{dt}=f(x)$を考える。 ただし,

$x,f\in \mathbb{R}^{n}$で, $f(x)$ は,$\mathbb{R}^{n}$$f(0)=0$(10)

上で連続であるとする。 また, 方程式 (10)の初期値に関する解の一意性は保障されているものとする。

92
Theoremえ,$D_{l}$$D_{l}$$\mathrm{B}$方程式系 (10) に対するリヤプノフ関数 $V(x)$ を考は空でない有界集合であり,の集合とする。 さらに,

(ラサールの不変性原理).

を $V(x)<l$ をみたす点 $x$$D_{l}$の中で$V(x)\geq 0$をみたす。 このとき,$R$を$D_{l}$

る最大の不変集合とすると,

and$\dot{V}_{(10)}(x)\leq 0$の中の $\dot{V}_{(10)}(x)=0$ となる点 の集合, $M$ を $R$ に含まれなる (10) の解は時間が増加するにつれて, $M$ に漸近$x$$\xi\in D_{l}$する。

条件 $\alpha>0$ の下で, 方程式系 (2) は方程式系 (10) に完全に含まれている。 方程式系 (2) に対するリヤプノブ関数 (8) を考える。 このとき, (9) より,

Proof of Lemma 2.1.
$\dot{V}_{(2)}(x, y)\leq 0$であることから,$V(x, y)=c\in \mathbb{R}$とすれば, Theorem$\mathrm{B}$の$D_{l}$に対応する

空でない有界集合 D。をとることができる。 また, Theorem の $R$ には xD 軸が対応し,$\dot{V}_{(2)}(x, y)=0$ をみたす最大の不変集合 $M$ には $(0, 0)$ が対応している。 よって,Theorem
より, 方程式系 (2) のすべての解は原点に漸近する。 また, (8) と (9) から, 方程式系 (2)$\mathrm{B}$$\mathrm{B}$の原点は安定である。 故に, 方程式系 (2) の原点は大域的漸近安定である。
$\alpha<0$

口のとき, 次のことが成り立つ。

Lemma 2.2. 定$r+_{\backslash }\text{数^{}\prime}\backslash$$\alpha<0$

かつ $\beta>0$ とする。 このとき, 方$\text{程式}$系 (2) の$4\mathrm{f}^{\mathrm{B}},\mathrm{B}\backslash$の非$\not\in\exists \text{明}$解は非有界である。

Proof

背理法により証明を与える。 方程式系 (2) が有界な解 $(x(t), y(t))$ をもっと仮定する。 よって, $K>0,$$t_{0}>0\mathrm{s}.\mathrm{t}$.
for$x(t)^{2}+y(t)^{2}\leq K^{2}$(11)$t\geq t_{0}$である。 リヤプノブ関数 (8) を考えれば, (9) より$\dot{V}_{(2\rangle}(x, y)>0$となるので,

この不等式の両辺を t。から

$t$

if

$y\neq 0$まで積分すれば$V(x(t), y(t))>V(x(t_{0}), y(t_{0}))$となる。 すなわち,

for$t>t_{0}$$(x(t), y(t))$ は領域$\{(x, y):V(x, y)\leq V(x(t_{0}), y(t_{0}))\}$

for $t>t_{0}$ 内に入らない。 したがって,$\epsilon_{0}>0$(十分小)$\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$\{(x, y):x^{2}+y^{2}<2\epsilon_{0}^{2}\}\subseteq\{(x, y):V(x, y)\leq V(x(t_{0}), y(t_{0}))\}$となるように$\in 0$を選ぶと条件 (11) より, 解 $(x(t), y(t))$ は円環領域$R^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\{(x, y):2\epsilon_{0}^{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq K^{2}\}$

93
for

$t\geq t_{0}$. 内にとどまりっづける。原点が方程式系 (2) の唯一の平衡点であることから, 円

環領域 $R$ 内に平衡点は存在しない。 したがって, 方程式系 (2) のベクトル場を考えれば,

解 $(x(t), y(t))$ に対応する方程式系 (2) の正の半解軌跡は原点の周囲を時計回りする。 これ
wi 由 $s_{0}<\tau_{n}<\sigma_{n}<\tau_{n+1}$ andらのことと条件 (11) から,.
as$\{\tau_{n}\},$$x(\tau_{n})=0$,$\{\sigma_{n}\}$$narrow\infty \mathrm{s}.\mathrm{t}$$\tau_{n}arrow\infty$$\sqrt{2}\epsilon_{0}<y(\tau_{n})<K$;$\epsilon_{0}<x(\sigma_{n})<K$

for$\epsilon_{0}<y(t)<K$,$y(\sigma_{n})=\epsilon_{0}$;(12)$\tau_{n}<t<\sigma_{n}$となる 2 つの数列を選ぶことができる。 よって$\epsilon_{0}<x(\sigma_{n})-x(\tau_{n})=\int_{\tau_{n}}^{\sigma_{n}}\phi_{p^{*}}(y(t))dt<K^{p^{*}-1}(\sigma_{n}-\tau_{n})$

となり

(13)

$\sigma_{n}-\tau_{n}>\frac{\epsilon_{0}}{K^{p^{*}-1}}$である。 (9) と (12), (13) より$V(x( \sigma_{n}), y(\sigma_{n}))-V(x(t_{0}), y(t_{0}))=-\alpha\oint_{t_{0}}^{\sigma_{n}}|y(t)|^{p^{*}}dt>-\alpha\sum_{k=1}^{n}\int_{\tau_{k}}^{\sigma_{k}}|y(t)|^{p^{*}}dt$$>- \alpha\epsilon_{0}^{p^{*}}\sum_{k=1}^{n}(\sigma_{k}-\tau_{k})$$>- \frac{\alpha\epsilon_{0}^{p^{*}+1}}{K^{p^{*}-1}}narrow\infty$as$narrow\infty$

なる評価が得られる。 ところが, 解 $(x(t), y(t))$ が円環領域 $R$ 内にとどまることから,$V(x(t), y(t))$ も t\geq t。で有界となり, これに矛盾する。 故に, 方程式系 (2) の任意の口非自明解は非有界である。

の符号によって原点にLemma 2.1 と Lemma 22 は, 方程式系 (2) の正の半漸近するか, 無限遠点に流れるかが決まることを示している。 当然, 負の半解軌跡では逆の動きをすることになる。
$\Psi\not\simeq \mathfrak{W}\mathrm{b}\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{B}\grave{\grave{>}}\alpha$3 原点近傍における解軌跡の挙動
この節では, 方程式系 (2) が $prope\sim(Z_{j}^{-}),$ $j=1,3$ とは,$(Z_{k}^{+}),$$k=2,4$ をもつ, もしくもたないための十分条件を与える。

Lemma 3.1. 条件$(|\alpha|/p)^{p}\geq\beta>0$の下で, 方程式系 (2) は次のように区別される:(i) $\alpha>0$ ならば, property$(Z_{2}^{+})$と$(Z_{4}^{+})$

をもつ;

(14)

94
(ii) $\alpha<0$ ならば, propertyと$(Z_{1}^{-})$$(Z_{3}^{-})$をもつ。

Proof. (i) の前者のみ示す。 他の場合も同様の議論をすることにより証明することができる。 $\alpha>0,$ $\beta>0$ であるので, Lemma 2.1 より, xr3i 式系 (2) の原点は大域 ] 近をもたないと仮定する。 すなである。 背理法で示すため, 方程式系 (2) が property$\Psi\backslash$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$$(Z_{2}^{+})$

わち, xx 軸の負の部分上の任意の点 $P=(x_{0},0),$ $x_{0}<0$ からはじまる方程式系 (2) の正内を通って yy 軸の正の部分にあたるとする。 このとき,
がの半解軌跡
は $y(x_{0})=0$ をみたす方程式 (7) の解 $y(x)$ に対応している。 また, 条件 (14) と $\alpha>0$ が$\gamma^{+}(P)$$\gamma^{+}(P)$$Q_{2}$

成り立つことから, 亡 oposition 1.1 の (ii), (iii) より, 方程式 (6) は少なくとも一つ負の実との比較のため関数とおく。 そこで,根をもつ。 その根を$\gamma^{+}(P)$$\lambda_{0}<0$

for $x<0$$y=\phi_{p}(\lambda_{0}x)$を考える。 この関数は$Q_{2}$

負の部分上からはじまり,$\phi_{p}(\lambda_{0}x)$と交わる。そこで,とおく。 このとき,$x_{1}$

内で xx 軸に沿って原点に漸近する。 よって,yy 軸の正の部分にあたることを考慮すると,$\gamma^{+}(P)$$\gamma^{+}(P)$が xx 軸のは必ず $y=$と $y=\phi_{p}(\lambda_{0}x)$ の最後の交点を $(x_{1}, y(x_{1})),$ $x_{0}<x_{1}<0$は次をみたす。

and$y(x_{1})=\phi_{p}(\lambda_{0}x_{1})$よって,$\gamma^{+}(P)$$y(x)>\phi_{p}(\lambda_{0}x)$for$x_{1}<x<0$ .

このことと方程式 (6) から$-(p-1) \lambda_{0}x_{1}<(p-1)\phi_{p}*(y(\mathrm{O}))-(p-1)\phi_{p^{*}}(y(x_{1}))=-\alpha\int_{x_{1}}^{0}dx-\beta\int_{x_{1}}^{0}\frac{\phi_{p}(x)}{y(x)}dx$$< \alpha x_{1}-\beta\int_{x_{1}}^{0}\frac{\phi_{p}(x)}{\phi_{p}(\lambda_{0}x)}dx=\alpha x_{1}+\frac{\beta}{\phi_{p}(\lambda_{0})}x_{1}=-(p-1)\lambda_{0}x_{1}$を得る。 これは矛盾である。 故に, 方程式系 (2) は property$(Z_{2}^{+})$

をもつ。

ロ

Lemma 3.2. 条件(15)$(|\alpha|/p)^{p}<\beta$の下で, 方程式系 (2) は次のように区別される:(i) $\alpha>0$ ならば, property$(Z_{2}^{+})$と$(Z_{4}^{+})$をもたない:(ii) $\alpha<0$ ならば, property$(Z_{1}^{-})$と$(Z_{3}^{-})$をもたない。

Proof. (i) の前者のみ示す。 他の場合も同様の議論をすることにより示すことができる。
をもっと仮定する。すなわち, xZ 軸の負背理法で示すため, 方程式系 (2) が property$(Z_{2}^{+})$

からはじまる方程式系 (2) の正の半解軌跡
は $y(x_{0})=0$ をみたす方
内を通って原点に漸近すると仮定する。 このとき,の部分上のある点 $P_{0}=(x_{0},0),$が$Q_{2}$$x_{0}<0$

程式 (7) の解 $y(x)$ に対応している。

$\gamma^{+}(P_{0})$$\gamma^{+}(P_{0})$95
あるパラメータ$\lambda\in \mathbb{R}$に対して$C_{2}(\lambda)=${$(x,$ $y)$

: $x<0$ andを定義すれば, 02(0) は xx 軸の負の部分,$C_{2}(-\infty)$$y=\phi_{p}(\lambda x)$}

は yy 軸の正の部分になる。 このとき$\lambda=0-\infty\cup^{c_{2}(\lambda)=Q_{2}}$である。 関数 $W_{2}(x, y)$ をif$W_{2}(x, y)=\lambda$$(x, y)\in C_{2}(\lambda)$と定義する。 また, Proposition 1.1 (iv) と条件 (15) より, 特性方程式 (6) は実根をもたないので, 不等式

for$(p-1)\phi_{p}(\lambda)\lambda+\alpha\phi_{p}(\lambda)+\beta>0$(16)$\lambda\in \mathbb{R}$のみである。 よって, 02が成り立つ。 注意として, (i) の証明において考える範囲はは上で常に負の値をとる。 したがって, 方程式 (7) と不等式 (16) よりの定義から,$(\lambda)$$Q_{2}$$\lambda$$Q_{2}$$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p}*(\phi_{p}(\lambda x))=(p-1)\lambda<-\alpha-\beta\frac{\phi_{p}(x)}{\phi_{p}(\lambda x)}=(p-1)\frac{d}{dx}\phi_{p^{*}}(y)|_{y=\phi_{p}(\lambda x)}$の傾の傾きが上のすべての点において,が得られる。 この不等式は,は領域 { $(x, y)$ : $x_{0}\leq x<0$ and $0<y<$きより常に小さいことを示している。
のから領域 { $(x,$ $y)$ : $x_{0}\leq x<0$ and $\phi_{p}(\lambda x)<y$ } へ移動した後, 再びが増加すれば, $W_{2}(x, y(x))$ は減少する。 これは, あ
曲線とは交わらない。 したがって,$\gamma^{+}(P_{0})$$C_{2}(\lambda)$$C_{2}(\lambda)$$\gamma^{+}(P_{0})$$C_{2}(\lambda)$$\phi_{p}(\lambda x)\}$

$x$

る負の値

$\lambda^{*}$

が存在して$W_{2}(x_{7}y(x))[searrow]\lambda^{*}$をみたすことを示している。 このとき, 実はと仮定すれば, 不等式 (16) と (17) から

as$\lambda^{*}=-\mathrm{m}$(17)$x\nearrow-0$

である。なぜなら, もし,$\lambda^{*}>-\infty$(18)$\alpha<-(p-1)(\lambda^{*}+\epsilon)-\frac{\beta}{\phi_{p}(\lambda^{*})}$となるようなある正の値$\epsilon$

を選ぶことができる。 さらに, (17) と (18) より$W_{2}(x_{1}, y(x_{1}))=\lambda^{*}+\epsilon$and$\lambda^{*}<W_{2}(x, y(x))<\lambda^{*}+\epsilon$for$x_{1}<x<0$をみたす値 $x_{0}<x_{1}<0$ が決まる。 これをいい換えると$y(x_{1})=\phi_{p}((\lambda^{*}+\epsilon)x_{1})$and$\phi_{p}((\lambda^{*}+\epsilon)x)<y(x)<\phi_{p}(\lambda^{*}x)$for$x_{1}<x<0$96である。 よって,このことと方程式 (7) から$(p-1)\lambda^{*}x-(p-1)(\lambda^{*}+\epsilon)x_{1}>(p-1)\phi_{p}*(y(x))-(p-1)\phi_{p^{*}}(y(x_{1}))$$>- \alpha(x-x_{1})-\beta\int_{x_{1}}^{x}\frac{\phi_{p}(\xi)}{\phi_{p}(\lambda^{*}\xi)}d\xi$$=- \alpha(x-x_{1})-\frac{\beta}{\phi_{p}(\lambda^{*})}(x-x_{1})$なる評価が得られる。 しかしながら, (18) より, 十分小さい
成り立たない。 これは矛盾である。 故にas$W_{2}(x, y(x))[searrow]-\infty$であることがわかった。 以上のことと,$\gamma^{+}(P_{0})$は$Q_{2}$$\gamma^{+}(P_{0})$が$Q_{2}$

$|x|$

for

$x_{1}<x<0$に対して, この不等式は$x\nearrow-0$

内を通って原点に漸近することから,

内で yy 軸の正の部分に沿って原点に漸近することになる。 よって,$\gamma^{+}(P_{0})$の傾きは原点に近づくにつれて一\chi になる。 すなわち$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p}*(y(x))[searrow]-\infty$as$x\nearrow-\mathrm{O}$である。 しかしながら, 方程式 (7) より$(p-1) \frac{d}{dx}\phi_{p^{*}}(y(x))=-\alpha-\beta\frac{\phi_{p}(x)}{y(x)}>-\alpha$であるので,

これに矛盾する。 故に,$\gamma^{+}(P_{0})$for$x_{0}\leq x<0$は yy 軸の正の部分と交わり,

property$(Z_{2}^{+})$

ロをもたない。

4 主定理の証明
この節では, 第 2 節, 第 3 節で得られた結果をもとに, 方程式系 (2) の原点が node である, もしくは focus であるための十分条件を与え, 最後に主定理の証明をする。

Theorem 4.1. 条件 (14) の下で, 方程式系 (2) の原点は次のように分類される:(i) $\alpha>0$ ならば, smble node である;
(ii) $\alpha<0$ ならば, unstable node である。

Proof.

(i) のみを証明する。 (ii) も同様の議論をすることにより証明することができる。

条件 (14) と $\alpha>0$ が成り立つことから, Proposition 1.1 の (ii), (iii) より, 方程式 (6) は実根(重根の場合は等号成立) をもつ。 このとき,
は方程式(7) の解になる。 6 つの領域.
$\lambda_{1}\leq\lambda_{2}<0$$D_{1}=\{(x, y):x\leq 0, y>\phi_{p}(\lambda_{1}x)\}$$\phi_{p}(\lambda_{i}x),$,$\mathrm{i}=1,2$$D_{2}=\{(x, y):x\geq 0, \phi_{\mathrm{p}}(\lambda_{2}x)<y<0\}$

,

\S 7

$D_{3}=\{(x, y):x\geq 0, y<\phi_{p}(\lambda_{1}x)\}$,$D_{4}=\{(x, y):x\leq 0,0<y<\phi_{p}(\lambda_{2}x)\}$$D_{5}=\{(x, y):x>0, \phi_{p}(\lambda_{1}x)<y<\phi_{p}(\lambda_{2}x)\}\subseteq Q_{4}$if$\lambda_{1}<\lambda_{2}$,$D_{6}=\{(x, y):x<0, \phi_{p}(\lambda_{2}x)<y<\phi_{p}(\lambda_{1}x)\}\subseteq Q_{2}$if$\lambda_{1}<\lambda_{2}$,,

り立つことから, Lemma 2.1 より, 方程式系 (2) の原点を考える。 条件 (14) とのとき, 方程式系 (2) のベクトル場と解は大域的漸近安定である。 したがって,の一意性より, 領域 $D_{5}(D_{6})$ からはじまる方程式系 (2) の正の半解軌跡はすべて領域$\alpha>0\mathrm{B}_{\grave{\grave{1}}}ffi$$\lambda_{1}<\lambda_{2}$$D_{5}$

内を通って原点に漸近する。
さて, 背理法で示すため, 原点近傍上のある爵 $P_{0}\in D_{1}\cup Q_{2}\cup D_{2}$ からはじまる方程式
が原点の周囲を無限回まわって原点に漸近すると仮定する。
系 (2) の正の半解軌跡
は必からはじまる場合も同様に証明できる。 $P_{0}\in D_{1}\cup Q_{2}$ のとき,
ず xx 軸の正の部分と交わることになる。 条件 (14) と $\alpha>0$ が成り立つので, Lemma 3.1をもつ。 すなわち, xp 軸の正の部分上のある点(i) より, 方程式系 (2) は property
内をは領域$P_{1}=(x_{1},0),$ $x_{1}>0$ からはじまる方程式系 (2) の正の半解軌跡を通るならば, 方程式系 (2) の解の一意性が点通って原点に漸近する。 もし,内を通って原点に直接漸近する。 これは, 背理法の仮定に矛盾する。 一方,
より, 領域が点以外の xx 軸の正の部分を横切るならば, 方程式系 (2) のベクトル場と解の内を通って原点に直接漸近する。 これも, 背理法の仮定に矛盾する。
一意性から, 領域
内を通って原点に直接漸近することになるの同様の理由から, $P_{0}\in D_{2}$ のときも領域$(D_{6})$$\gamma^{+}(P_{0})$$\gamma^{+}(P_{0})$$D_{3}\cup Q_{3}\cup D_{4}$$(Z_{4}^{+})$$Q_{4}$$\gamma^{+}(P_{1})$$\gamma^{+}(P_{0})$$P_{1}$$Q_{4}$$\gamma^{+}(P_{0})$$P_{1}$$Q_{4}$$Q_{4}$

で, 矛盾。 よって, 方程式系 (2) の原点近傍からはじまる任意の正の半解軌跡は領域内を通って原点に漸近するかもしくは, 領域$Q_{2}$$Q_{4}$

内を通って原点に漸近する。 故に, 方程式系 (2) の原点は stable node である。

Theorem 4.2. 条件 (15) の下で, 方程式系 (2) の原点は次のように分類される:(i) $\alpha>0$ ならば, stable focus である;
(ii) $\alpha<0$ ならば,

unstablefocus である。

Proof. (i) のみを証明する。 そのほかの場合も同様の議論をすることにより, 証明することができる。 ある原点近傍上の点 $P_{0}=(x_{0}, y_{0})\in Q_{1}$ からはじまる方程式系 (2) の正の半を考える。 その他の象限の点からはじまる正の半解軌跡の場合も同様に証明できる。 Lemma2.1 と $\alpha>0$ より, 7F\not\in 文系 (2) の原点は大域 ffl 近安定である。 この内で原点に漸近することなく, 必はことと, 方程式系 (2) のベクトル場から,解軌跡$\gamma^{+}(P_{0})$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\backslash$$Q_{1}$$\gamma^{+}(P_{0})$へ移動することになからはず xx 軸の正の部分と垂直に交わる。 このとき,へ移動した \gamma +(P0 戸 fy\gamma 軸の負の部分にあたる。よっる。 また, Lemma 32(i) より,へ動く。 同じ要領でからはて, 方程式系 (2) のベクトル場を考慮すれば,$\gamma^{+}(P_{0})$$Q_{1}$$Q_{4}$$\gamma^{+}(P_{0})$$Q_{4}$$Q_{3}$$Q_{4}$$\gamma^{+}(P_{0})$は$Q_{3}$

から$Q_{2}$

へ移り,

さらに,

$Q_{2}$

へ戻ってくる。 ただし, 方程式系 (2)
よりも原
は初期点
へ戻ってきたから$Q_{1}$の原点は大域的漸近安定であることから,
は無限回時計まわりしながら原点に漸点に近い場所を通る。 これを繰り返せば,
口近することがわかる。 故に, 方程式系 (2) の原点は stable focus である。
$Q_{1}$$\gamma^{+}(P_{0})$$\gamma^{+}(P_{0})$$P_{0}$

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Proof of Theorem I.2. (i) を証明する。 $\beta<0$ のとき, Proposition 1.1 の (i) より, 方程式を解にと関数をもつので, 方程式 (1) は関数(6) は異符号の 2 実根$e^{\lambda_{1}\mathrm{f}}$$e^{\lambda_{2}t}$$\lambda_{1}<0<\lambda_{2}$もつ。 したがって,$(e^{\lambda_{1}}, {}^{t}\lambda_{1}e^{\lambda_{1}t})$と$(e^{\lambda_{2}}, {}^{t}\lambda_{2}e^{\lambda_{1}t})$は方程式系 (2) の解になる。

$\lambda_{1}<0$

であ

ることから
$\lim_{tarrow\infty}e^{\lambda_{1}t}=0$となるので, 解 (正の半解軌跡$e^{\lambda_{1}\mathrm{t}}$$\gamma^{+}(P_{1})$, \lambda le’’l りに対応し, 原点近傍上の点は原点に漸近する。 一方,$\lambda_{2}>0$$P_{1}$

からはじまる方程式系 (2) のであることから$\lim_{tarrow\infty}e^{\lambda_{2}l}=\infty$となるので, 解に対応し, 原点近傍上の点は無限遠点に流れる。 すなわち,$(e^{\lambda_{2}}, {}^{t}\lambda_{2}\mathrm{e}^{\lambda_{2^{f}}})$$P_{2}$

からはじまる方程式系 (2) のは原点に漸近しない。 よっ
正の半解軌跡て, 方程式系 (2) は原点に漸近する正の半解軌跡と漸近しない正の半解軌跡を同時にもつので, 方程式系 (2) の原点は saddle point である。
$\gamma^{+}(P_{2})$$\gamma^{+}(P_{2})$(ii) は 2 節前半ですでに証明した通りである。 (iii), (iv) は Theorem 3.3 と Theorem 3.4の結果より明らかである。 よって, 証明終わり。

口References[1] R. P. Agarwal, S. R. Grace and D. O’regan. Oscillation theory for second order linear,half-linear, superlinear and sublinear dynamic equations (Kluwer, 2002).
[2]

A. Elbert and A. Schneider. Perturbations of the half-linear Euler differential equation,
Resuhs Math. 37 (2000), 56-83.

[3] J. Sugie, Homoclinic orbits in generalized Lienard systems, J. Math. Anal. Appl. (2005),

in press.