「質問者の島」のパズル
2009SE166 宮下健一
指導教員：佐々木克已

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はじめに表 1 問題 1 の真理値表
本研究の目的は，スマリヤン [1] の「質問者の島」のパ(1) の左辺(1) の右辺ズル（19 問）に対して，真理値表を活用した解を与える
PR ¬ P∧ ¬ R
こと，および，真理値表から同様の問題を作成すること
ｔｔｆである．真理値表を用いることで，論理パズルは簡潔にｔｆｆ解けるのではないか，という点に注目して，[1] に記載さｆｔｆれている解答と比較して研究する．また，真理値表からｆｆｔ問題を作成することで，真理値表についてさらに理解を深める．
本稿では，研究で扱った 19 問の中から，4 問を抽出し， であると結論される．また，夫ラッセル・エ―サンのタその真理値表による解法を示す．また，「質問者の島」の イプは B タイプである．
前提条件をもとに，真理値表から問題を作成した結果を問題 2([1])
示す．
次に私はゴルドンという姓の夫婦に出会った．ゴルゴン
ここで用いる論理記号は「かつ」を表す ∧，「または」を「ねぇ，ぼくらはそれぞれ違ったタイプかな？」
表す ∨，「でない」を表す ¬，「ならば」を表す ⇒，「同値」 氏は妻に，と尋ねた．各人について何が言えるか？
を表す ↔ の 5 つである．また, 真理値 t は「真である」を真理値表を用いた解法意味し，真理値 f は「偽である」を意味する．
この問題に必要な真理値を表 2 にまとめた．ただし，ゴ2 真理値表を用いた解ルゴン氏を夫として考える．ここで，「質問者が A タイプ」
この節では，[1] から抽出した 4 問に対して，真理値表 を P とし，「妻が A タイプである」を R とする．
を用いた解を与える．最初に，これらの問の前提条件を[1] の表現を要約して示す．
表 2 問題 2 の真理値表
前提条件 1([1])(1) の左辺(1) の右辺
・この島の住民たちはイエスまたはノーで答えられる質PR ¬ (P↔ R)
問しかしない．
ｔｔｆ
・住民の 1 人 1 人は 2 つのタイプ，A と B のうちの一つ
ｔｆｔである．
ｆｔｔ
・A タイプの人々は正解がイエスである質問しかできな
ｆｆｆ
い．
・B タイプの人々は正解がノーである質問しかできない．
表 2 では，(1) の同値性を満たす行は 2 行目と 4 行目で上記の前提条件から次の同値性がいえる．
ある．したがって，夫のタイプにかかわらず，妻のタイ(1) 質問者が A タイプ ↔ 質問の正解がイエス
プは B タイプであることが結論される．
以下の問題の真理値を用いた解法において，この同値性が重要な役割を果たす．

次の問題 3 では，これまでの前提条件にさらに条件が加わる．以下に [1] からその条件の部分を引用する．
前提条件 2([1])
問題 1([1])
精神病院から３人の患者が逃走して，質問者の島を訪
私は一度この島を訪れたとき，ラッセル・エ―サンと ねてきた．この精神病院から来た患者は正気か狂気で，正ヴァイオレットの名前の夫妻にであった．エ―サンが誰 気の患者は自分たちの信ずるすべてにおいてまったく正かに，「ヴァイオレットと私はともに B タイプですか？」 しく，狂気の患者は自分たちの信ずるすべてにおいてまっと尋ねるのを聞いた．ヴァイオレットのタイプは何か？ たく嘘であるということであった．また，患者は正気で真理値表を用いた解法あれ，つねに正直であった．
この問題に必要な真理値を表 1 にまとめた．ただし，エ上記の前提条件から次の同値性がいえる．
―サンを夫, ヴァイオレットを妻として考える．ここで,「質問者が A タイプ」を P とし，「妻が A タイプである」(2)「患者が Q と思う」↔
を R とする．
「患者が正気である ↔Q の正解がイエス」
表 1 では，(1) の同値性を満たす行は 3 行目だけである．したがって，妻ヴァイオレットのタイプは A タイプ

ただし，この同値性の「←」の部分は [1] の解答から成立すると判断している．また，[1] の解答から患者が「信じる」，「思う」，「発言する」を同一視して考える．

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真理値表からの問題作成

この節では，質問者の島の前提条件から得た同値性 (1)をもとに，自ら与えた真理値から問題作成を行っていく．
問題作成の手順としては，真理値表を作成し，そこから問題 3([1])
問題となる質問を考えるというものである．問題作成を患者の 1 人，アーノルドは島の住民に出会った．その行っていく上の条件として，質問者の島の住民である X住民は彼に尋ねた．
「あんたは私を B タイプだと思うか？」と Y という名の登場人物を加えて考えていく．X と Y のこの住民について何が帰結されるか，またアーノルドにタイプについて考えていき，16 通りの真理値表についてついては何が帰結されるか？
考えていく．ただし，ここでは 16 通りの中から 5 通りを真理値表を用いた解法抽出し，その真理値を表 5 に示す．また，「X が A タイプ
この問題に必要な真理値を表 3 にまとめた．ここで，「島である」を P とし，「Y が A タイプである」を R としての住民が A タイプ」を P とし，「アーノルドが正気である」考える．
を R とする．また，(2) より，(1) の右辺 ↔「R↔¬P」である．
表 5 5 通りの真理値表(1) の左辺(1) の右辺
表 3 問題 3 の真理値表
P
R 【1】 【2】 【3】 【4】 【5】(1) の左辺(1) の右辺ｔｔｆｔｆｆｆ
PR ¬PR↔¬Pｔｆｆｆｔｔｆｔｔ ｆｆｆｔｆｔｔｔｆｔｆ ｆｔｆｆｆｆｔｆｔｆｔ ｔｔｆｆ ｔｆ
対応する質問
すべて X が Y に質問したとする．
表 3 では，(1) の同値性を満たす行は 2 行目と 4 行目の【1】「1=2 ですか？」みである．よって，住民のタイプにかかわらず，アーノ【2】「あなた（Y）は A タイプですか？」
ルドは狂気であると結論される．
【3】「私たちの少なくとも 1 人は B タイプですか？」【4】「私たちは違うタイプですか？」(問題 2 と同様)
問題 4([1])【5】「私たちはともに B タイプですか？」(問題 1 と同様)
私は大変興味深い噂「この島に魔術師がいるかもしれ結論ない」ということを耳にした．
(1) の同値性より，次の住民はダニエル・モットといった．彼が問うには，【1】Y のタイプにかかわらず，X は B タイプである．
「魔術師は B タイプか？」と．私は十分な情報を得てい【2】X と Y は同じタイプである．
るか？
【3】X が A タイプ，Y が B タイプである．
真理値表を用いた解法【4】X のタイプにかかわらず，Y は B タイプである．
この問題に必要な真理値を表 4 にまとめた．ここで，「ダ【5】X が B タイプ，Y が A タイプである．
ニエルが A タイプ」を P とし，「魔術師が A タイプである」を R とする．

4
表 4 問題 4 の真理値表(1) の左辺(1) の右辺PR¬Rｔｔｆｔｆｔｆｔｆｆｆｔ

おわりに本研究より，「質問者の島」のパズルを真理値表を用いて解くことができた．[1] に記載されているように真理値表を用いない解法でも解けるが，解法の見やすさであったり，分かりやすさなどの点においても真理値表を用いたほうが良いと感じた．また，真理値表から問題作成を行うことで，真理値表についての理解がさらに深まった．
論理パズルには他にも多くの問題が存在するので，他の問題にも取り組んでいきたいと感じた．

表 4 では，(1) の同値性を満たす行は 2 行目と 3 行目で 参考文献ある．よって，ダニエルと魔術師のタイプが違うことが[1] レイモンド・スマリヤン（安部剛久，黒沢俊雄，福島
わかるので，ダニエルが魔術師でないことが結論される．
修身，山口裕 訳）：『数学パズル 美女か野獣か？』．
森北出版株式会社，東京，1996