数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 112-122112

法指数写像の単射半径に関するある不等式について
横浜市立大学文理学部

1(Ryosuke Ichida)

市田良輔

はじめに

を $m$ 次元 $(m\geq 3)$ 連結, コンパクト, 非単連結 ) $-$ マン多様体で, そのすべての断面曲率 $K_{M}$ が条件 KM\geq l. を満たすとする. $N$ を $M$ に埋め込まれた 次元$(n\geq 1)$ 連結,
コンパクト部分多様体とする. 法指数写像 $Exp_{N}$ : $\mathcal{U}(N)arrow M$ の単射
半径を $i(N)$ で表す. ここに $\nu(N)$ は $M$ における $N$ 上の法バンドルの全空間である.
$M$

$|$

$n$

$i(N)$

は次で定義される:$i(N)= \sup$

ここに $\nu_{r}(N)$ は長さが$r$

{ $r>0;ExPN$ :$\nu_{r}(N)arrow M$は単射}.

より小さい $M$ における $N$ の法ベクトルの全体のなす集合を表す.

Grove-Shiohama ([8]) による直径球面定理から $M$ の直径 $d(M)$ について,$d(M) \leq\frac{\pi}{2}$が成立する. Gromoll-Grove $([6|)$ の結果から, 上の不等式において等号が成立すれば$M$ は定曲率 1 の空間型に等長であるか,
断面曲率が $1\leq K\leq 4$ となる複素奇数次元に等長である. ここに,の複素射影空間 $P^{2k-1}(\mathrm{C})(m=4k-2)$ のある商空間$\overline{M}$$\overline{M}$は対合$\varphi$:$P^{2k-}1(\mathrm{C})arrow P^{2k-1}(\mathrm{c})([_{Z_{1,\ldots,k,k}}ZZ+1, \ldots, z2k]arrow[_{\overline{Z}\overline{Z}}k+1, \ldots,2k, -\overline{z}1, \ldots, -\overline{z}k])$の商空間である.
$i(N)$ の定義から, $i(N) \leq d(M)\vee\leq\frac{\pi}{2}$ である. ここでによる$P^{2k-1}(\mathrm{C})$$i(N)= \frac{\pi}{2}$が成立するとき $N$

は $M$ において全測地的になることが分かる.

本稿では次のことを問題にする.

(1) $M$ と $N$ の基本群の間の関係から,$i(N)$

を$\frac{\pi}{2}$より小さい正数で上から評価すること.

(2) 得られた評価式において等号が成立するとき,$M$と $N$ の幾何学的性質を調

べる.

2

結果
この節では 1 節で述べた問題について得られたいくつかの結果をのべる.

113

2.1
本稿を通して,

非単連結リーマン多様体
で, そのすべての断面曲率が条件 $IC_{M}\geq 1$ を満たすものとする. また, $N$ は特に断らない限り $M$ に埋め込まれた 次元 $(1\leq n\leq m-1)$ 連結, コンパクト部分多様体とする.
: $Narrow M$ を埋め込み, \sim 1 $\pi_{1}(N)arrow\pi_{1}(M)$ を によって誘導された準同型写が全射のとき, このことを $\pi_{1}(M, N)=0$ と表す像とする. $G=\iota_{\#}(\pi_{1}(N))$ とおく.
こともある. またりが全射でないとき, このことを $\pi_{1}(M, N)\neq 0$ と表すことにする.
$M$

は $m$ 次元 $(m\geq. 3)$ 連結$\text{コンパクト},$.

$n$$\iota$$\iota$$\iota_{\#}$

定理 ([9])22$G$

が $\pi_{1}(M)$ の真部分群または $G=\{1\}$ かつ $\pi_{1}(M)$ が真部分群をもつとき,$i(N) \leq\frac{\pi}{4}$が成立する. ここで等号が成立すれば $M$ は定曲率 1 で $N$ は次元が高々全測地的部分多様体に含まれる.

2.3

$N$

の $M$ の定理 ([9])かつ $i(N)> \frac{\pi}{4}$ ならば,$G^{J}=\{1\}$2.4$\frac{m-1}{2}$$\pi_{1}(M)$は位数が素数の巡回群である.

定理 ([9])は $M$ の超曲面とする.

$G=\{1\}$ならば,$i(N) \leq\frac{\pi}{4}$等号が成立すれば $M$ は定曲率 1 の実射影空間
で $N$ は定曲率 2 のユークリッド球面 $s^{m-1}(2)$ に等長である.

が成立する.

2.5
$N$

ここで,

$P^{m}(\mathrm{R})$に等長定理 ([9])は $M$ の超曲面で標準的球面 $S^{m-1}$ によって (位相的な意味で) 被覆されないとする. そのとき,$i(N) \leq\frac{\pi}{4}$が成立する. ここで, 等号が成立し $m$ が奇数ならば, $M$ は定曲率 1 で $N$ はリーマン積多様体 $S^{k}(2)\chi S^{m-k-1}(2)(1\leq k\leq m-2)$ によって (局所等長的に) 被覆される. このとき, さらに次の とが成立する. $\pi_{1}(M, N)=0$ で $N$ の $M$ における最小は $M$ のコンパクト, 全測地的部分多様体でその連結成分は高々 2
跡 (cut locus)
が連結ならば, $m=2k+1$ で $N$ は $M$ の極小超曲面である.
個である.
$arrow\vee$$C_{N}$$C_{N}$

26

定理 ([9])を $m$ 次元 $(m\geq 3)$ 連結, コンパクト, 単連結リーマン多様体で, そのすべての断面曲率が条件 $IC_{V}\geq 1$ とし $N$ は $V$ に埋め込まれた 次元 $(1\leq n\leq m-2)$ 連結,
コンパクト部分多様体とする. もし $m$ または が奇数ならば,
$V$

$n$

$n$

114

$i(N) \leq\frac{\pi}{2}$が成立する. ここで等号が成立すれば
面 $S^{m}(1)$ とそこにおける

3

$n$

$V$

と $N$ はそれぞれ定曲率 1 のユークリッド球

次元大球に等長である.

補題

この節では 2 節で述べた定理の証明に必要となる補題を準備する. 証明は [9] を参照してほしい.
この節を通して $V$ を $m$ 次元 $(m\geq 3)$ 連結, コンパクト, 単連結リーマン多様体でを $V$ 上の距離関数とす
そのすべての断面曲率が条件 $IC_{V}\geq 1$ を満たすものとする.
る. $V$ の空でない部分集合 $A$ と正数嫁こ対し,$d$$B(A, r)=\{x\in V;d(X, A)<r\}$ ,

とおく.

$V$

$\partial B(A, r)=\{x\in V;d(X, A)=r\}$における測地線はすべて弧長によって助変数表示されているものとする.

3.1
Bonnet-Myers の定理により,より大きくない. Toponogov のの直径 $d(V)$ は
最大直径定理から, $d(V)=\pi$ ならば $V$ は定曲率 1 のユークリッド球面 $S^{m}(1)$ に等長
である.

32

全

$V$

$\pi$

凸集合
の空でない部分集合とする. 両端点が $C$ の点で, 長さが より小さい $V$をの測地線分はすべて $C$ に含まれるとき, $C$ は $V$ において全 \mbox{\boldmath $\pi$}-凸という.
凸真部分集合とする.
以下において $C$ は $V$ のコンパクトな全$V$$C$ が連結でないならば,は定曲率 1 のユークリッド球面 $S^{m}(1)$ に等長で, $C$ は2点よりなり $d(x, y)=\pi$ である. このことは 3.1 で述べたことから従う.
$C$の内部は $M$ の 次元 $(k\geq 0)$ (embedded) 全測地的部分多様体である. $C$ が連結で $\dim C\geq 1$ ならば, $C$ の任意の 2 点は $C$ に含まれる $V$ における最短測地線分で
結ばれる.
$C$
をもっとする. このとき, $C$ 上の関数 $d(x, \partial C)(x\in C)$ が上に強凸が境界であることより, $C$ におけるからの最遠点集合は 1 点からなることが分かる([3]). このことから, 次のことが示せる.
$C$$\pi-$$V$$\pi$$\pi-$

$x$

.

$y$

$k$

$\partial C$$\partial C$

321

補題

$\dim C\geq 1$

で $C$ が不動点をもたない $V$ の等長変換$\varphi$

によって不変ならば,$C$は境界をもたない.

322

補題 ([6])$\dim C\geq 1$で$\partial C\neq\emptyset$

とする.

このとき,

ある正数

$r$

.

が存在して,$0<t\leq r$

なる

115

すべての
ある.

に対して $B(C, t)$ の閉包は $m$ 次元ユークリッド単位閉球体 $D^{m}$ に同相で

$t$

33
$A$

を $V$ のコンパクト真部分集合とする.

$B= \{x\in V;d(x, A)\geq\frac{\pi}{2}\}$

とおく.

Toponogov の比較定理を用いて次が示せる.
331

補題

$A,$

は上の通りとし,

$B$

は
(1)
(2) もし$B\neq\emptyset$とする.

凸集合である.
が不動点をもたない $V$ の等長変換によって不変で $\dim B\geq 1$ ならば,
は $V$ に埋め込まれた境界をもたないコンパクト, 連結, 全測地的部分多様体で,
$B$

の全

$V$

$\pi-$$A$$d(x, A)= \frac{\pi}{2}(x\in B)$$B$が成立する.

34$C_{1},$$C_{2}$

を $V$ のコンパクト, 連結真部分集合で次の条件を満たしているとする:$C_{1}= \{x\in V;d(x, C_{2})\geq\frac{\pi}{2}\}$

補題 33.1 よりこれらは $V$ の全
次を得る.

3.4.1
(1)
(2)

$\pi-$,$C_{2}= \{x\in V;d(x, C_{1})\geq\frac{\pi}{2}\}$.

息集合である. Toponogov の比較定理を用いて補題$\partial C_{1}=\emptyset$

ならば,$\partial C_{1}=\partial C2=\phi$$d(x, C_{2})= \frac{\pi}{2}(x\in C_{1})$

ならば,

.

$d(x, y)= \frac{\pi}{2}(x\in C_{1}, y\in C_{2})$.

$(i=1,2)$ とする.
は $V$ の全測地的部分多様体である. 第 2 変分公式より, $n_{1}+n_{2}\leq m-1$ が従う. 補である.
題 3.3.1 の (2) より,
におけるの単位
2 点 $x_{1}\in C_{1},$ $x_{2}\in C_{2}$ を取り以下固定する. Si $(i=1,2)$ を法ベクトルの全体からなるユークリッド単位球面とする. それらの次元は: $S_{i}arrow C_{i+1}$ を $\pi_{i}(X)=Exp_{x}:(\frac{\pi}{2}x)$ で定義する.
$\dim S_{i}=m-ni-1$ である. 写像
以下, 上の$C_{1},$

は境界をもたず,$C_{2}$$C_{1}= \partial B(C2, \frac{\pi}{2}),$$n_{i}:=\dim c_{i}\geq 1,$$C_{1},$$C_{2}$$C_{2}= \partial B(C1, \frac{\pi}{2})$$x_{i}$$C_{i}$$\pi_{i}$

ここに,

342

$C_{3}=C_{1}$.

補題

上で述べた条件の下で次が成立する.

(1)
(2)
(3)

$C_{1}$$\pi_{i}$) の強変位レトラクトである.
(resp.
(resp.
) はは Riemannian submersion である.
$C_{2}$$V\backslash C_{2}$における長さがプである.
$C_{i}$$2\pi$$V\backslash C_{1}$より小さい閉測地線はすべて以上述べた補題を用いて, 次の基本補題を得る.

$C_{i}$

において点曲線にホモトー

116

3.4.3
$C_{2}$

補題$V$ は次の条件を満たす埋め込まれたコンパクト,
連結, 全測地的部分多様体を含むとする:$C_{1}= \{x\in V;d(x, C_{2})\geq\frac{\pi}{2}\}$

このとき $m$ が奇数ならば,$V$,$C_{2}= \{x\in V;d(x, C_{1})\geq\frac{\pi}{2}\}$$C_{1}$,.

はユークリッド単位球面 $S^{m}(1)$ に等長である.

35
以下において $L$ を $V$ に埋め込まれたコンパクト, 連結超曲面とする. $V$ は単連結だから,は丁度 2 個の連結成分をもつ. $L$ はの共通境界であ$D_{1},$$V\backslash L$

る.

$Ci= \{x\in D_{i;}d(X, L)\geq\frac{\pi}{4}\}(i=1,2)$

3.5.1$D_{1},$$D_{2}$$D_{2}$

とおく.

補題$i(L) \geq\frac{\pi}{4}$と仮定する.

このとき次を得る.

(1) $d(x, C_{i})= \frac{\pi}{4}(x\in L)$ .
(2) $C_{1}= \{x\in V;d(x, C_{2})\geq\frac{\pi}{2}\},$ $C_{2}= \{x\in V;d(x, C_{1})\geq\frac{\pi}{2}\}$ .
は $V$ の連結な全凸集合である.
(3)
に対し $\{x\in D_{i;}d(x, L)=t\}=\partial B(C_{i}, \frac{\pi}{4}-t)$ である.
(4) 各
$C_{1},$$C_{2}$$\pi-$$t \in(0, \frac{\pi}{4})$

4

定理の証明

この節では 2 節で述べた定理の証明の概略を与える. 3 節までに使われた記号は断りなしに用いる.

4.1$p:Varrow M$ を普遍リーマン被覆とする.

のすべての断面曲率は条件をより大きくない. 従って $V$ はコンパクトで $\pi_{1}(M)$ は有限群満たす. $V$ の直径は
で表す.
になる.
の位数を
を $\pi_{1}(M)$ に対応する $V$ の被覆変換群とする.
は $G=\iota_{\#}(\pi_{1}(N))$ に対応するの部分群を表す. $\pi_{1}(M, N)\neq 0$ ならば $p^{-1}(N)$ は少
なくとも 2 個の連結成分をもち, これらの各連結成分はによって不変である.
$V$$I\mathrm{s}\mathrm{i}v\geq 1$$\pi$$\Gamma$$\Gamma$$\#\Gamma$$\Gamma_{1}$$\Gamma$$\Gamma_{1}$ここで導入した記号は以下において断りなしに用いる.
42

定理 22 の証明と仮定する.

$i(N) \geq\frac{\pi}{4}$このとき $i(N)= \frac{\pi}{4}$ かつ $V$ は単位球面 $S^{m}(1)$ に等長であることを示す.

(1) $G=\{1\}$ かつ $\pi_{1}(M)$ が真部分押 $H$ を含む場合 : 几を $H$ に対応する分群とする.

$N_{1},$$\cdots,$$N_{s}$

を $p^{-1}(N)$ のすべての連結成分とする.

なら添数を入れ換えて,$d(N_{1}, N_{2})= \min\{d(N_{i}, N_{j});1\leq i<j\leq s\}$$s\geq 3$$\Gamma$の部である. 必要117としてよい. 仮定$i(N) \geq\frac{\pi}{4}$$A= \bigcup_{\varphi\in\Gamma_{0}}\varphi(N_{1})$,より,$r:=d(N_{1}, N_{2}) \geq\frac{\pi}{2}$$B= \{x\in V;d(x,A)\geq\frac{\pi}{2}\}$,である. 以下$C= \{x\in V;d(X, B)\geq\frac{\pi}{2}\}$もそうである.
さらに, $B$ は連結で, $\dim B\geq 1$ であることが示される. 補題 3.3.1 (2) より, $B$ は $V$に埋め込まれた, コンパクト, 連結, 全測地的部分多様体になり, $d(x, A)= \frac{\pi}{4}(x\in B)$
である. 補題 3.3.1 (1) から $C$ は $V$ の全凸部分集合になる. $C$ が連結でないなら
とおく.

$N_{2}\subset B$

だから,$\dim B\geq 1$

である.

$A$

は F0-不変だから,$B$$\pi-$

ば,$S^{m}(1)$ に等長で $C$ は 2 点よりなる.
は\iota -- クリッド単位球面.

この場合 $B$ は$S^{m}(1)$ の $(m-1)$ 次元大払と等長になるので,を得る. 次に $C$ は連結とす
は $V$ にる. $C$ は几によって不変だから, $\dim C\geq 1$ である. 補題 3.3.1 (2) より埋め込まれた, コンパクト, 連結, 全測地的部分多様体で, $B= \{x\in V;d(\dot{x}, c)\geq\frac{\pi}{2}\}$だから, Synge の定理
が分かり,
を得る.
である. このとき,
より $m$ は奇数になる. このとき補題 3.4.3 が適用出来て, 定理の主張が示せる.
とする.
(2) $G$ が $\pi_{1}(M)$ の真部分群の場合 : $p^{-1}(N)$ の連結成分を$s\geq 2$ である.
必要なら添数を入れ換えて,$V$$i(N)= \frac{\pi}{4}$$C$$\#\Gamma\geq 3$$i(N)= \frac{\pi}{4}$$r= \frac{\pi}{2}$$N_{1},$$\cdots,$$N_{s}$$d(N_{1}, N_{2})= \min\{d(N_{i}, N_{j});1\leq i<j\leq s\}$としてよい. 仮定
そ,$A=N_{1}$$i(.N) \geq\frac{\pi}{4}$

とおき,

$B,$

$C$

より,

$r:=d(N_{1}, N_{2}) \geq\frac{\pi}{2}\text{である}.$.

上の (1) の証明においを同様に定義する. 後は (1) と同様な方法で証明出来る.

43
定理 23 は定理 22 から従う.

44

定理 24 の証明
を仮定し,$i(N) \geq\frac{\pi}{4}$$\Gamma\cong Z_{2},$$i(N)= \frac{\pi}{4}$

かつ $V$ はユークリッド単位球面 $S^{m}(1)$ に等長であることを示す. 仮定 $G=\{1\}$ より, $p^{-1}(N)$ の連結成分の個数は少なくともは $V$ に埋め込まれた閉超曲面だ2 である.
を $p^{-1}(N)$ の–つの連結成分とする.
よりから,は丁度 2 個の連結成分をもつ. $p^{-1}(N)$ の各連結成分間の距離は小さくない. また $d(V)\leq\pi$ である. 以上のことと Toponogov の最大直径定理によであることと $V$ が $S^{m}(1)$ に等長であることをり, F\cong Z。が示せる. 次に,を $p^{-1}(N)$ の連結成分とする. このとき
示す.
,
$D_{i2}(i=1,2)$ をの連結成分とする.
$(i=1,2)$ である.としてよい. 各氏に対し $C_{ij}= \{x\in D_{ij;}d(x, Ni)\geq\frac{\pi}{4}\}$ $(j=1,2)$ とおく.
である. このとき, $d(C_{11}, C_{2}2)=\pi$ が
これらは空集合でなく,
$L$

$L$

$V\backslash L$$\frac{\pi}{2}$$i(N)= \frac{\pi}{4}$$N_{1},$$d(N_{1}, N_{2}) \geq\frac{\pi}{2}$$N_{2}$$D_{i1},$$i(N_{i}) \geq\frac{\pi}{4}$$N_{1}\subset D_{21}$$V\backslash N_{i}$$N_{2}\subset D_{12}$$N_{1}\subset C_{21},$$N_{2}\subset C_{12}$で $V$ は $S^{m}(1)$ に等長である. 従って, $C_{ii}(i=1,2)$ は 1
これよりを中心とする半径 の $V$ における測点よりなる. 補題 35.1 (1) により瓦は地的超球面になるので, それは曲率 2 の $(m-1)$ 次元ユークリッド球面 $s^{m-1}(2)$ には対合で $\varphi(N_{1})--N_{2}$ であを自明でない $V$ の等長変換とする.
等長になる.
る. 以上のことより, 定理の主張が従う.

分かる.

$i(N)= \frac{\pi}{4}$$x_{i}$$x_{i}$$\varphi\in\Gamma$$\frac{\pi}{4}$$\varphi$

118

45

定理 25 証明
先ず次の定理を準備する.

451

定理
$L$
を $V$ に埋め込まれたコンパクト, 連結超曲面でユークリッド球面 $S^{m-1}$ に同相でないとする. このとき,.

$i(N)\leq.\overline{4}$が成立する. 上の不等式において等号が成立し $m$ が奇数ならば, $V$ は $S^{m}(1)$ に等長ではリーマン積 $S^{k}(2)\cross s^{m}-k-1(2)(1\leq k\leq m-2)$ に等長である. 更にこの場合$V$ における
コンパクト, 全測地的部分多様体である. C 嫁は丁度 2の最小跡
個の連結成分をもち, $V$ の全触部分集合である.
$L$$L$$C_{L}[]\mathrm{h}$$\pi-$$V,$

を定理 451 の通りとする.

$L$$D_{1},$$D_{2}$

を$V\backslash L$の連結成分とする. 以下において
$C_{i}= \{x\in D_{i;}d(x, L)\geq\frac{\pi}{4}\}$$(i=1,2)$

とおく.

4.5.2

補題
を仮定する. このとき次が成立する.
は $V$ に埋め込まれたコンパクト, 連結, 全測地的部分多様体で全(1) 各る. また $\dim$ $Ci\geq 1$ である.
$i(L) \geq\frac{\pi}{4}$$C_{i}$$\pi-$

凸であ$d(x, y)= \frac{\pi}{2}(x\in C_{i}, y\in C_{2})$ .
(2)$C_{L}=C_{1^{\cupc_{2}}}$.
(3)$i(L)= \frac{\pi}{4},$は $V$ の全再部分集合で連結になる.
補題 452 の証明 : 補題 35.1 より$\dim C_{1}\geq 1$ かつ
は 1 点からなるかまたはを示そう. その為に$\dim C_{1}\geq 1$ かっはに対しと仮定し矛盾を導く. ある $t\in(0,$$S^{m-1}$
が 1 点なら明かで, $\dim C_{1}\geq 1$ か
ユークリッド球面に同相である. これは$C_{1},$$C_{2}$$\partial C_{1}=\emptyset$$\pi-$$C_{1}$$\partial C_{1}\neq\emptyset$$\partial B(C_{1}, t)$$\frac{\pi}{4})$$C_{1}$

ならば補題 3.2.2 による. この事実と補題 3.5.1 (4) よりの仮定に矛盾である. 同様に, $\dim C_{2}\geq 1$ かっ相になる. これは(2), (3) は補題 34.1, 35.1 から従う.
つ$\partial C_{1}\neq\emptyset$

$L$

453

定理 451 の証明
を仮定し,

$L$

は $S^{m-1}$ と同$\partial C_{2}=$である.

は補題 4.5.2 の前で定義された通り, $m$ は奇数と仮定する. 補題 351とする. 主張は補題 4.5.2 より従う. 次にはリーマン積 $S^{k}(2)\cross S^{m}-k-1(2)$ に等長より $V$ は $S^{m}(1)$ に等長である. このときである. ここに, $k=\dim C_{1}\geq 1,$ $m-k-1=\dim c_{2}\geq 1$ である. 定理の他の主張$i(L) \geq\frac{\pi}{4}$$i(L)= \frac{\pi}{4}$を示す.

$C_{1},$$C_{2}$$i(L)= \frac{\pi}{4}$$L$

は補題 452 から従う.

定理 25 の証明の為に次の補題を準備しよう.

119

4.5.4

補題

$i(N) \geq\frac{\pi}{4}$

で $N$ は $S^{m-1}$ によって (位相的な意味で) 被覆されないと仮定する.

このとき $G=\pi_{1}(M)$ である.

補題 454 の証明 : $G\neq\pi_{1}(M)$ と仮定し矛盾を導く. $G=\{1\}$ のとき, 定理 24 より $N$ は $s^{m-1}(2)$ に等長である. これは $N$ についての仮定に矛盾する. 以下 $\# G\geq 2$
を $p^{-1}(N)$ の連結成分とする. $G$ は $\pi_{1}(M)$ の真部分群だから,とする.
$N_{1},$$s\geq 2$$\cdots,$$N_{s}$

である. 必要なら添数を入れ換えて,$d(N_{1}, N_{2})= \min\{d(N_{i}, N_{j});1\leq i<j\leq s\}$とする.

$r:=d(N_{1}, N_{2})\geq 2i(N)$だから$r \geq\frac{\pi}{2}$である. 補題 3.3.1 (1) より分部分集合である.
は $V$ に埋め込まれたコンパクト, 連
は乃により不変だから, 補題 3.3.1 (2) から. Ni はコンパ
結, 全測地的部分多様体になる. また $d(x, N_{1})= \frac{\pi}{2}(x\in A)$ である.
は丁度 2 個の連結成
クト, 連結超曲面であるから $A=N_{2}$ かつ $s=2$ である.となる $x\in V\backslash A$ が存在
分をもち $A$ はそれらの共通の境界であるから,する. これは矛盾である.
$A= \{x\in V;d(X, N_{1})\geq\frac{\pi}{2}\}$は $N_{i}(2\leq i\leq s)$ を含む $V$ の全$N_{1}$$\pi-$$A$$\mathrm{g}$$V\backslash A$$d(x, N_{1})> \frac{\pi}{2}$455

定理 25 の証明

補題 4.5.4 により $L:=p^{-1}(N)$ は $V$ に埋め込まれたコンパクト, 連結超曲面では $S^{m-1}$ に同相でないから, 定理 4.5.1 によって
によって不変である. 仮定によりで $m$ は奇数を得る. 以下である. $i(N)\leq i(L)$ だからはリーマン積であると仮定する. 定理 4.5.1 によって $V$ は $S^{m}(1)$ に等長で$S^{k}(2)\cross s^{m-}k-1(2)\subset S^{m}(1)$ (embedded) $(1\leq k\leq m-2)$ に等長である.
の最小跡$V$に埋め込まれたコンパクト,をもち, これらはC 嫁は丁度 2 個の連結成分$\Gamma$$L$$i(N)= \frac{\pi}{4}$$i(N) \leq\frac{\pi}{4}$$i(L) \leq\frac{\pi}{4}$

$L$

$L$

$C_{1},$$C_{2}$

算である. よって $M$ は定曲率 1 で $N$ はリーマン
は積 $S^{k}(2)\cross S^{m-k-1}(2)$ によって (局所等長的に) 被覆される. $N$ の最小跡となるが連結な場合,によって (局所等長的に) 被覆される.
が存在する. $\varphi(L)=L$ だから $\varphi(c_{1})=c_{2}$ である. よって $m=2k+1$ である. このとき $S^{k}(2)\cross s^{k}(2)$ は $S^{m}(1)$ の極小超曲面であるから $N$ は $M$ の極小超曲面になる.

全測地的部分多様体でしかも全$\pi-$$C_{N}$$\varphi(C_{1})\neq C_{1}$$C_{N}$

46

定理 26 の証明
以下 $V,$ $N$ を定理 26 の通りとし,$i(N) \geq\frac{\pi}{2}$$A= \{x\in V;d(X, N)\geq\frac{\pi}{2}\}$,$B= \{x\in V;d(X, A)\geq\frac{\pi}{2}\}$

とおく. これらは空でない.
上で述べた条件の下で, 以下の補題を得る.

461 補題(1) $N=B$ .

を仮定する.

$C_{L}$$\varphi\in\Gamma$

120(2) $N$ は
は
(3)
$A$

丁部分集合である. 従って $N$ は $V$ において全測地的である.
$V$ のコンパクト,
連結, 全凸部分集合である.
$V$の全$\pi-$$\pi-$

補題 46.1 の証明 : $N\subset B$ である. 補題 331(1) より $A,$ $B$ は $V$ の全 凸部分
より $\dim B=\dim N$ が分集合である. $B$ の内部が全測地的であることとかる. このことから $N=B$ である. 仮定 $1\leq\dim N\leq m-2$ より $A$ は連結である.
$\pi-$$d(A, B) \geq\frac{\pi}{2}$

462

補題

$\partial B(N, t)=\partial B(A, \frac{\pi}{2}-t)$$(t \in(0, \frac{\pi}{2}))$

.

4.6.3

補題
$m$ または$n$は奇数と仮定する.

.

このとき次を得る.

.
(1) $a:=\dim A\geq 1$$(x\in A, y\in N)$ .
(2)(3) $i(N)=i(A)= \frac{\pi}{2}$ .
$\partial A=\emptyset$$d(x, y)= \frac{\pi}{2}$

補題 463 の証明 : $a=0$ と仮定する. このとき $A$ は連結だから 1 点よりなる. 正と補題が存在して $\partial B(A, r)$ は $S^{m-1}$ に同相になる. 仮定
数: $U(N)arrow N$ の
4.6.2 より $\partial B(A, r)=\partial B(N, \frac{\pi}{2}-\Gamma)$ だから, $N$ 上の単位法球束
は連続な接 j-次
全空間 $U(N)$ は $S^{m-1}$ に同相である. 偶数次元ユークリッド球面$i(N) \geq\frac{\pi}{2}$$r \in(\mathrm{O}, \frac{\pi}{2})$$\pi_{N}$$S^{k}$

元平面場を許容 $(1<i<k)$ しないから, $m-1$ は奇数である. それ故仮定により,: $U(N)arrow N$ のファイバー $F$ はは奇数にならなければならない. ここでの何れか–つとホモトピー同値になることに注意する ([1]). このことより $\dim F$
は 1, 3, 7 の何れかになる. しかしこのことは $\dim F=m-n-1$ が偶数になること仮定すを示す. そこでとに矛盾する. よって $a\geq 1$ を得る. 次にが存在して $\partial B(A, r)$ は $S^{m-1}$ に同相る. このとき補題 3.2.2 により あるになる. 上で述べたことと同じ理由により $U(N)$ は $S^{m-1}$ に同相になる. 上と同じ議沖主張 (2) は補題 34.1 より従う. また主張 (3)論により矛盾を得る. よって$n$$S^{1},$$\pi_{N}$$S^{3}$$S^{7}$$\partial A=\emptyset$$\partial A\neq\emptyset$$r \in(0, \frac{\pi}{2})$$\partial A=$

は (2) と補題 462 から従う.

補題 3.4.3, 4.6.1,

4.6.2. 4.6.3 から次を得る.

464

補題$m$ が奇数または $n=1$ ならば $V$ は $S^{m}(1)$ に等長である.

以下において $n\geq 2$ と仮定する. 2 点 $x\in A,$ $y\in N$ を取る. 補題 4.6.3 (2) よりにおける $A$ の単位法ベクトル全体からなる$d(x, y)=d(A, N)= \frac{\pi}{2}$ である.
を
: $Sarrow N$$(m-a-1)$ 次元ユークリッド単位球面とする. 補題 3.4.2 (2) により$(PN(Y)=Expx( \frac{\pi}{2}Y))$ は Riemannian submersion になる. $N$ は単連結で各 $z\in N$ に
$S$

$x$

$p_{N}$

対し $p_{N^{-1}}(z)$ は連結になることに注意する.

465

補題$m$ は偶数$n$は奇数で $n\geq 3$ と仮定する.

このとき $V$ は $S^{m}(1)$ と等長である.

121: $Sarrow N$ を考える. 先補題 465 の証明 : 上で述べた Riemannian submersion
ず $m=a+n+1$ を示す. その為に, $m>a+n+1$ と仮定し矛盾を導く. このとき
各 $z\in N$ に対し $\dim pN^{-1}\geq 1$ である. $\dim S=m-a-1$ は奇数でなければならな$p_{N}$

は偶数となり矛盾を得る. よって–方 $\dim p_{N^{-1}}$ は奇数である ([5]). 以上より
$N$
$S^{n}(1)$はに等長になることが分かる. $N$ は $V$ に$m=a+n+1$ である. これよりおいて全凸だから $d(V)=\pi$ である. Toponogov の最大直径定理により $V$ は$S^{m}(1)$ に等長になる.
い.

$n$$\pi-$

以上の補題から定理 26 が従う.

5

補足

正定曲率の連結等質リーマン空間は基本群によって完全に分類されることが知られている ([19]). 非単連結の場合の基本群は巡回群, 双正二面体群, 3 種類の双正多面体群である. この節では, 単純閉測地線の法指数写像の単射半径を用いて双正二面体群を基本群にもつ正定曲率の等質リーマン多様体の–つの特徴付けを与える.

5.1$a=b^{2}$ ,で生成され, 基本関係 $a^{2kk}=e,$双正二面体群 $D_{k}^{*}(k\geq 2)$ は二つの元$bab^{-1}=a^{-1}$ ( $2k$ はの位数 $(k\geq 2)$ ) をもつ位数 $4k$ の有限群である. 四元数群 $Q8$
$a,$

$b$

$a$

は

$D_{2}^{*}$

5.2に同型である.
定理 ([10])を等質リーマン多様体とし,を点曲線にホモトープでない $M$ の単純閉測地線とする. $\pi_{1}(M)$ が巡回群でないならば$M$$\gamma$$i( \gamma)\leq\frac{\pi}{4}$が成立する. ここで等号が成立すれば $M$ は定曲率 1 で $\pi_{1}(M)$ は双正二面体群
同型であり, [ $\gamma|\in\pi_{1}(M)$ の位数 は偶数である. ここで, $d=2$ ならば $k=2$ ,$d\geq 4$ ならば $d=2k$ である.

$D_{k}^{*}$に$d$上の定理の証明は [10], [11] を参照してほしい.

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