数学（全 問必Ⅱ答）

第１問 （配点 ３０）〔$〕 三角関数の値の大小関係について考えよう。

x＝πのとき sin x'

sin%x であり，x ＝ア

sin x

イ

sin%x である。

ア，イ!

＜%π のとき&の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）"＝#＞（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ４ ―（２６０５―４）

数学Ⅱ
sin x と sin"x の値の大小関係を詳しく調べよう。

sin"x − sin x ＝ sin #x$

ウcos x −

エ%&であるから，sin"x − sin x ＞!が成り立つことは「 sin x ＞!

かつウ

cos x −エ＞! 」 …………… かつウcos x −エ＜! 」 …………… または「 sin x ＜!

が成り立つことと同値である。!≦ x ≦"π のとき， が成り立つような xの値の範囲は!＜ x ＜πオであり， が成り立つような x の値の範囲はπ＜x＜カキπである。よって，!≦ x ≦"π のとき，sin"x ＞ sin x が成り立つような xの値の範囲は!＜ x ＜πオ，π＜x＜である。

カキπ（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ５ ―（２６０５―５）

数学Ⅱ
sin/x と sin0x の値の大小関係を調べよう。



三角関数の加法定理を用いると，等式
sin（ α ＋ β ）− sin（ α − β ）＝.cos α sin β…………………… が得られる。α ＋ β ＝0x，α − β ＝/x を満たす α，β に対して  を用いる
ことにより，sin0x − sin/x ＞-が成り立つことは「 cos

ク＞-かつsinケ＞- 」 …………………… ク＜-かつsinケ＜- 」 …………………… または「 cosが成り立つことと同値であることがわかる。
-≦ x ≦ π のとき，， により，sin0x ＞ sin/x が成り立つような xの値の範囲は-＜ x ＜サπ，

コ

シπ＜x＜スセπである。

ク，ケの解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）#-$x%.x&/x'0x(1x)

2x

*x.

+/x.

,1x.

!

3x.

"

4x.

（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ６ ―（２６０５―６）

数学Ⅱ
， の考察から，!≦ x ≦ π のとき，sin#x ＞ sin$x ＞ sin"x が成り立つような x の値の範囲はπ
コ＜x＜πス，ソセであることがわかる。

π＜x＜タチπ（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ７ ―（２６０５―７）

数学Ⅱ〔)〕

a ＞'，a(，b ＞'の と き，log a b ＝ x と お く と，ツが成り立つ。

ツの解答群!

xa ＝ b"xb ＝ a#ax ＝ b$bx ＝ a%ab ＝ x&ba ＝ x

様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。

+トlog５２５＝テ，log９２７＝であり，どちら も 有 理 数 で あナる。

,log２*が有理数と無理数のどちらであるかを考えよう。
log２*が有理数であると仮定すると，log２*＞'であるので，二つの自然数 p，q を用いて log２*＝り log２*＝pはqであるので，ニニpと表すことができる。このとき， によqと変形できる。いま，)は偶数であり*は奇数を満たす自然数 p，q は存在しない。

したがって，log２*は無理数であることがわかる。

-a，b を)以上の自然数とするとき，, と同様に考えると，「ヌならば log a b はつねに無理数である」ことがわかる。
（数学Ⅱ第１問は次ページに続く。）― ８ ―（２６０５―８）

数学Ⅱ
ニの解答群!

p２ ＝(q２"q ２ ＝ p３

# ２q ＝３p$p３ ＝'q３%

p２ ＝ q ３& ２p ＝３q

ヌの解答群

!

a が偶数

"b が偶数#a が奇数$b が奇数%a と b がともに偶数，または a と b がともに奇数&a と b のいずれか一方が偶数で，もう一方が奇数― ９ ―（２６０５―９）

数学Ⅱ

第２問 （配点 ３０）〔.〕

k を正の定数とし，次の0次関数を考える。
２（f x ）＝ x（k − x）

y ＝（f x ）のグラフと x 軸との共有点の座標は（-，-）と45ア，-67である。
（f x ）の導関数 f′（ x ）はf′（ x ）＝x２ ＋イウエkxである。
x＝オのとき，f（ x ）は極小値カをとる。

x＝キのとき，f（ x ）は極大値クをとる。

また，-＜ x ＜ k の範囲において x ＝キのとき （f x ）は最大となることがわかる。

ア，

オ〜クの解答群（同じものを繰り返し選ん で も よい。）
#-$.
k0%.
k/&/k0'k(0k/)−1k２*. ２k2+/ ３k２７,

1 ３k２７!

1 ３k3"1k３（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １０ ―（２６０５―１０）

数学Ⅱすい後の図のように底面が半径"の円で高さが１５の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれ x，V とする。V を x の式で表すと
ケV＝

コ２
πx#
$サである。 の考察よ り，x ＝る。V の最大値は

スセソ

− x%
&（!＜ x ＜"）シのとき V は最大となることがわかπ である。

159（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １１ ―（２６０５―１１）

数学Ⅱ
〔#〕

"!
"
定積分 ! (x ＋$*+dx の値は!) %

また，関数タチツである。

" ２"x −
x ＋%の不定積分は１００&( " x２ − " x ＋%*dx ＝!
) １００+&"
テトナ

x３ −"
ニヌ

x２ ＋ネx＋Cである。ただし，C は積分定数とする。



ある地域では，毎年$月頃「ソメイヨシノ（桜の種類）の開花予想日」が話題になる。太郎さんと花子さんは，開花日時を予想する方法の一つに，#月に入ってからの気温を時間の関数とみて，その関数を積分した値をもとにする方法があることを知った。ソメイヨシノの開花日時を予想するために，二人は図"の&時間ごとの気温の折れ線グラフを見ながら，次のように考えることにした。

(℃)
16141210864202/12/6

図"2/112/162/212/26(月日)&時間ごとの気温の折れ線グラフ

x の値の範囲を!以上の実数全体として，#月"日午前!時から２４x 時間経った時点を x 日後とする。
（例えば，１０．
３日後は#月１１日午前'時１２分を表す。）また，x 日後の気温を y ℃ とする。このとき，y は x の関数であり，これを y ＝ （f x ）とおく。ただし，y は負にはならないものとする。
（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １２ ―（２６０５―１２）

数学Ⅱ
気温を表す関数 （f x ）を用いて二人はソメイヨシノの開花日時を次の設定で考えることにした。
設定
正 の 実 数 t に 対 し て，f（ x ）を)か ら t ま で 積 分 し た 値 を S（ t ）と す!

f x ）dx とする。この S（ t ）が４００に到達したる。すなわち，S（ t ）＝ ! （!

とき，ソメイヨシノが開花する。

設定のもと，太郎さんは気温を表す関数 y ＝ （f x ）のグラフを図+のように直線とみなしてソメイヨシノの開花日時を考えることにした。
(℃)
161412108642005

図+.

10152025303540(日後)

図*のグラフと，太郎さんが直線とみなした y ＝ （f x ）のグラフ

太郎さんは*x ＋, （ x ≧)）（f x ）＝として考えた。このとき，ソメイヨシノの開花日時は+月に入ってからノとなる。

ノの解答群! ３０日後

" ３５日後# ４０日後$ ４５日後% ５０日後& ５５日後' ６０日後( ６５日後（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １３ ―（２６０５―１３）

数学Ⅱ'

太郎さんと花子さんは，#月に入ってから３０日後以降の気温について話をしている。

太郎："次関数を用いてソメイヨシノの開花日時を求めてみたよ。
花子：気温の上がり方から考えて，#月に入ってから３０日後以降の気温を表す関数が#次関数の場合も考えてみようか。

花子さんは気温を表す関数 （f x ）を，!≦ x ≦３０のときは太郎さんと同じように（f x ）＝"
x ＋$%………………………… とし，x ≧３０のときは（f x ）＝" ２"
x −x ＋%
１００&………………………… として考えた。なお，x ＝３０のとき  の右辺の値と  の右辺の値は一致する。花子さんの考えた式を用いて，ソメイヨシノの開花日時を考えよう。 より"!
"!(x ＋$*+dx ＝!) %タチツであり#!
" ２"!(x −x ＋%*+dx ＝１１５００&"!) １となることがわかる。
また，x ≧３０の範囲において （f x ）は増加する。よって#!

! （f x ）dx"!

$!

ハ! （f x ）dx#!

であることがわかる。以上より，ソメイヨシノの開花日時は#月に入ってからヒとなる。
（数学Ⅱ第２問は次ページに続く。）― １４ ―（２６０５―１４）

数学Ⅱ
ハ!

ヒの解答群
"

＜＝#＞の解答群! ３０日後より前" ３０日後# ３０日後より後，かつ４０日後より前$ ４０日後% ４０日後より後，かつ５０日後より前& ５０日後' ５０日後より後，かつ６０日後より前( ６０日後) ６０日後より後― １５ ―（２６０５―１５）

数学Ⅱ

第３問 （配点 ２０）

次の問題１について考えよう。

問題１２２
座標平面上の原点を O とし，方程式（ x −１０）＋（ y −#）＝２５が 表 す 円 を C１ と す る。点 P が 円 C１ 上 を 動 く と き，線 分 OP を!："に内分する点 Q の軌跡を求めよ。

$

円 C１ は，中心%&アイ，ウ'，半径(エの円である。

（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）― １６ ―（２６０５―１６）

数学Ⅱ*

点 Q の軌跡を求めよう。
点 P，Q の座標をそれぞれ（ s，t ），（ x，y ）とすると
オx＝

カ

キs，y＝クtが成り立つ。したがって
カs＝

オ

クx， t ＝キyである。
点P（ s，t ）は円 C１ 上にあることに注意すると，点 Q は方程式,x −-ケ２.
,/ ＋- y −

コ

２.
/＝

サ

２………………… が表す円上にあることがわかる。方程式  が表す円を C２ とする。
逆に，円 C２ 上のすべての点 Q（ x，y ）は，条件を満たす。
これより，点 Q の軌跡が円 C２ であることがわかる。

+

円 C１ の中心を A とする。円 C２ の中心は線分 OA をシに内分する点である。

シの解答群!

'：("'：)#(：)$(：'%)：'&)：(（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）― １７ ―（２６０５―１７）

数学Ⅱ


次の問題２について考えよう。

２２
座標平面上の原点を O とし，方程式（ x −１０）＋（ y −(）＝２５

問題２が 表 す 円 を C１ と す る。点 P が 円 C１ 上 を 動 く と き，線 分 OP をm：n に内分する点 R の軌跡を求めよ。ただし，m と n は正の実数である。

円 C１ の 中 心 を A と す る。点 R の 軌 跡 は 円 と な り，そ の 中 心 は 線 分 OA をスに内分する点であり，半径は円 C１ の半径のスの解答群セ倍である。

!

'：m

"

'：n

#

m：n

$

m：'

%

n：'

&n：m

セの解答群

!

mn"

nm

#

m＋nm

$

m＋nn%

mm＋n&

nm＋n

（数学Ⅱ第３問は次ページに続く。）― １８ ―（２６０５―１８）

数学Ⅱ

太郎さんと花子さんは，次の問題３について話している。

座標平面上の(点 D（'，+），E（)，(）をとり，方程式

問題３２２（ x −*）＋（ y −,）＝-が表す円を C３ とする。点 P が円 C３ 上を動くとき，.DEP の重心 G の軌跡を求めよ。

太郎：点 P，G の座標をそれぞれ（ s，t ），（ x，y ）とおいて， の / のようにして計算すれば求められそうだね。
花子： の 0 や  で考えたことをもとにしても求められるかな。

線分 DE の中点を M とする。.DEP の重心 G は，線分 MP をソに内分する点である。
点 G の軌跡は，中心12ソタ，チ3，半径4ツの円である。の解答群!

'：("'：)#(：)$(：'%)：'&)：(― １９ ―（２６０５―１９）

数学Ⅱ

第４問 （配点 ２０）p，q を実数とし，x の整式 S（ x ），T（ x ）を次のように定める。
S（ x ）＝（ x −#）｛ x２ −#（ p ＋"）x ＋#p２ −#p ＋%｝T（ x ）＝ x３ ＋ x ＋ q
x の$次 方 程 式 S（ x ）＝!の 三 つ の 解 を#，α，β と す る。x の$次 方 程 式
T（ x ）＝!の三つの解を r，α′，β′とする。ただし，r は実数であるとする。

S（ x ）＝!の解がすべて実数になるのは，x の#次方程式

x２ −#（ p ＋"）x ＋#p２ −#p ＋%＝! ………………………… が実数解をもつときである。 の判別式を考えることにより， が実数解をもつための必要十分条件は
p２ −アp＋イ≦!

であることがわかる。すなわち，p ＝ウである。よって，S（ x ）＝!の解がすべて実数になるとき，その解は x ＝#，pウエである。のとき，S（ x ）＝!は二つの虚数

x＝p＋オ±&'p −を解にもつ。このことから，p(i)カウのとき，S（ x ）＝!の二つの虚数解 α，β は互いに共役な複素数であることがわかる。

― ２０ ―（数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）（２６０５―２０）

数学Ⅱ

x ＝ r が T（ x ）＝)の解であるので，q ＝− r

キ− r となる。これより T（ x ）は次のように表せる。

+,

ク

T（ x ）＝（ x − r ） x２ ＋ rx ＋ r

こ こ で x の*次 方 程 式 x２ ＋ rx ＋ rと，すべての実数 r に対して Dサはx＝コ!

ケ.
＝)の 判 別 式 を D と お く)となり，T（ x ）＝)の x ＝ r 以外の解となる。したがって，α′，β′は＜シ。

"

＝#＞

"

−r

#−r±D
*の解答群
r*!

−$−*r ± D

シ＋ケの解答群

サ'コク＋*− r ± !− D i*%(− r ± !D i*&−*r ± !D i*−*r ± !− D i
*の解答群

!

異なる実数である"等しい実数である#虚数であり，互いに共役な複素数である（数学Ⅱ第４問は次ページに続く。）― ２１ ―（２６０５―２１）

数学ⅡS（ x ）＝%，T（ x ）＝%が共通の解をもつ場合を考える。

)*

共通の解が x ＝'であるような r の値はス。

スの解答群

!

存在しない"

ちょうど&個存在する#ちょうど'個存在する$

ちょうど(個存在する共通の実数解をもつが，x ＝'が共通の解では な い と き，p，r の 値 の 組（ p，r ）は
,-セ，

ソ.
/である。

+共通の解が虚数のとき，p，r の値の組（ p，r ）は,-タ，チツ.， , テト/ -，ナ.
/である。

― ２２ ―（２６０５―２２）