数理解析研究所講究録 1430 巻 2005 年 81-95

81

浅水波の振幅増大機構と KP 方程式のある行列式解
丸野 健一 1 , 辻 英一 2 , 及川 正行 2
1 九州大学・数理学研究院, 2 九州大学・応用力学研究所

Ken-ichi Maruno 1 , Hidekazu Tsuji 2 and Masayuki Oikawa2l Faculty of Mathematics, Kyushu University
2 Research Institute for Applied Mechanics, Kyushu University

1

序論

巨大な波は海洋で最も恐ろしい現象である. つい最近おきたインド洋津波は歴史上ない
大きな被害を及ぼした. 強大な波を予測することは, 人類にとって重要な課題であるといえる. 従来, 海洋波の予測には線形理論に基づいた統計則が用いられ, 波高が何心メートルにも及ぶような巨大な波はほとんど起こりえないとされてきた. ところが 1990 年代に,ほとんど起こりえないはずの巨大な波が各地で観測されることとなり, 理論の修正を迫られることとなった. このような巨大な波は’
wave’ と呼ばれていwave’ または’る [1]. Freak wave の生成機構, 性質を詳しく理解することは船や海洋構造物を設計する上で大変重要であり, 現在, 多くの研究者によって活発に研究されている. Freak wave の生成機構には状況に応じて様々な種類が考えられるが, 特に非線形性の効果に関連する研究が理論的にはよく行われている. 現在よく観測されているのは深海域においてであるが, 浅海域での研究もされている [1]. 浅海域の場合に起こる巨大な波は, 深海域での Freak wave
Killer Wave’ と呼んだほとはかなりイメージが違う. 混乱をさけるために, むしろ’$[2,
3]$
うがよいかもしれない. 浅海域での巨大な波 Solitary Klller Wave はイングランド東
海岸の Harwich で実際に起こった. この Solitary Killer Wave は高速 Ferry によって生成さ$\mathrm{F}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{k}$$\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{u}\mathrm{e}$$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathfrak{M}$れた可能性が高いとの調査報告がある.

本稿では浅海域においての巨大波の生成機構を考えることにする. Peterson らは浅水波を記述する Kadmtsev-Petviashvili (KP) 方程式の 2- ソリトン解の振幅を詳しく解析し, 波高が線形理論で予測されるより大きくなる領域を調べ, 巨大波の生成機構の一つである可能性を指摘した [4, 5, 6]. 振幅が最も高くなるのは, 1 個の孤立波の振幅の 4 倍となる場合で,これは Miles が調べたソリ トン共鳴の場合である $[7, 8]$ . この理論の欠点は, 2 つのソリトン相互作用は定常的であり, 非定常な現象を記述していないことである. すなわち, 仮に何かのきっかけでソリトン共鳴解ができたとしても, その解は有限時間内で減衰はせず巨大』方程式の多ソリトン相互作用は定常的であるので, ソリ
波は消えることがない. 普通』
トンを用いた非定常な巨大波生成の説明は無理なように思われる (また, [9] も参照) .

82

方程式のあるクラスの厳密解を詳しく調べ, その厳密解がくもの巣状の非定常パターンを示すことを指摘した [10]. Biondini らの調べた厳密解は,に共鳴関係にある. こ$N$ ソリトン解が退化したものであり, $N$ 個の孤立波がすべてお互のような解は行列式の形に書くと自然に得られる. さらに Kodama は一般的なロンスキア
ン解について, グラスマニアンのシューベルト分解とソリ トン相互作用を結びつけ, ヤン
グ図形を用いてソリトン相互作用を分類した [11].
方程式のロンスキアン解を用いて $N$ 個の孤立波の相互作用による振幅の本稿では,増大について議論する. これまでの Web 構造を持つソリ トン相互作用の研究は, パターンについての解析であったが, 我々は振幅の解析を行 , どのような解のクラスが振幅の増
最近, Biondini と Kodama は,$\mathrm{K}\mathrm{P}$$\mathfrak{j}_{\sqrt}\mathrm{a}$-$\mathrm{K}\mathrm{P}$$\mathfrak{j}_{f}\mathrm{a}$大現象を持ちうるかを示す.

2

支配方程式
粘性, 圧縮性, 表面張力の影響は無視する. また, 水の運動は渦なしであると仮定す

波による擾乱を除いたときの水深屓ま一定で, 波の代表的な振幅を , 代表的な水平, 底面から測った鉛直座標を $hz$ , 時
スケールを とする. 水平方向の直角座標を, 速度ポテンシャルを( $c_{0}=\sqrt{gh},$ は重力加速度), 波による水面変位を間をとすれば, 水の運動を支配する方程式と自由表面, 底での境界条件は以下のよる.

$a$$(\ell x,\ell y)$$\ell$$(\ell/c_{0})t$$a\eta$$g$$(a\ell c\mathrm{o}/h)\phi$

うになる.

\beta \nabla 2\phi +\phi 二$\phi_{z}=0$,(2)$(z=0)$ ,$\eta_{t}+^{\mathfrak{l}}\alpha\nabla\phi\cdot\nabla\eta-\frac{1}{\beta}\phi_{z}=0$,$(z=1+\alpha\eta)$$\phi_{t}+\frac{\alpha}{2}(\nabla\phi)^{2}+\frac{\alpha}{2\beta}\phi_{z}^{2}+\eta=0$

ここで,$\nabla\equiv(\partial/\partial x, \partial/\partial y),$(1)$(0<z<1+\alpha\eta)$ ,$=0_{i}$$\alpha=a/h,$ $\beta=(h/p)^{2}$

,

,

(3)

$(z=1+\alpha\eta)$.

(4)であり, 弱い非線形性と弱い分散性が釣り合う弱非線形長波を考えて $O(\alpha)\sim O(\beta)\ll 1$ と仮定し, 速度ポテンシャルを$\phi(x,y,z,t)=\sum_{m=0}^{\infty}(-\beta\nabla^{2})^{m}f(x,y,t)\frac{z^{2m}}{(2m)!}$,(5)と展開すると, 非線形と分散の最低次の効果を取り入れた Boussinesq 方程式系を得る.
方程式に従っ
次に伝播方向が異なる 2 つの孤立波を考える. それぞれの孤立波は$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$ているものとし, 相互作用を高次の効果で記述できると仮定すると, 底での速度ポテン
シャル $f(x,y,t)$ は $f(\xi_{1},\xi_{2},\sigma)=F_{1}(\xi_{1}, \sigma)+F2(\xi_{2}, \sigma)+\alpha F12(\xi_{1},\xi_{2},\sigma)$ , と書ける.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}$はポテンシャル

$\xi i=\mathrm{n}i.\mathrm{x}-t,$ni$\mathrm{K}\mathrm{d}\mathrm{V}$\mbox{\boldmath $\tau$} \exists [3i 式$2 \alpha F_{\sigma}+\frac{3}{2}\alpha F_{\xi}^{2}+\frac{1}{3}\beta F\xi\xi\xi+O(\alpha^{2})=0$$=\{\cos \mathrm{V}/i,\sin\psi_{i}\},$ $\sigma=\alpha t$

この時, 水面変位$\eta$, 孤立波の伝播方向が

$x$

ここで

を満足する. ただし,軸となす角を燐とした.

は$\eta=N_{1}(\xi_{1}+\chi_{2},\sigma)+N_{2}(\xi_{2}+\chi_{1},\sigma)+\alpha I(\kappa)N_{1}N_{2}+O(\alpha^{2})$

,

(6)

83

で与えられる. $N_{1},N2$ は,$\ovalbox{\tt\small REJECT}=(\partial_{\xi_{i}}-\frac{1}{3}\beta\partial_{\xi_{i}}^{3})F_{i}+\frac{1}{4}\alpha(\partial_{\xi_{i}}F_{i})^{2}+O(\alpha^{2})$$(\mathrm{i}=1,2)$,$(\gamma)$

で, 相手の存在により $O(\alpha)$ の位相のずれ $X1,X2$ を生じた水面の波形を表し, 相互作用パラメータ$I(\kappa)$

は $I( \kappa)=\frac{3}{2}\kappa^{-1}-3+2\kappa$, 斜め度$\kappa$

は$\kappa=\frac{1}{2}(1-\mathrm{n}_{1}\cdot \mathrm{n}_{2})=\sin^{2}\frac{\psi_{1}-\psi_{2}}{2}$, 位相のずれ $Xi$ は $Xi= \alpha(\frac{3}{4}\kappa^{-1}-1)Fi(\xi_{i},\tau)$ である.
もし $\kappa=O(\alpha)<<1$ のように 2 つの孤立波の伝播方向が近づいてくると相互作用項のは $O(1)$ となり, 相互作用は高次の効果であると仮定した上記の解析は破綻し係数方程式てしまう. しかしながらこの時は, 2 つの孤立波の相互作用は$\alpha I(\kappa)$$\mathrm{K}\mathrm{P}$,(8)$\frac{\partial}{\partial x_{*}}(\frac{\partial\eta_{*}}{\partial^{f_{*}}}+c_{0}\frac{\partial\eta_{*}}{\partial^{\chi_{*}}}+\frac{3}{2}\frac{c_{0}}{h}\eta_{*}\frac{\partial\eta_{*}}{\partial x*}+\frac{1}{6}c_{0}h^{2}\frac{\partial^{3}\eta_{*}}{\partial x_{*}^{3}})+\frac{c_{0}}{2}\frac{\partial^{2}\eta_{*}}{\partial y_{*}^{2}}=0$,y、は無次元化していない元の量である. この方
程式は完全可積分であることが知られており, 厳密解を構成できることが知られている.
$\eta_{*}=h\tilde{\eta},x*=hX,y_{*}=h\mathrm{Y},t_{*}=(h/co)T$ と規格化し,と置くと, に対する双によって記述される. ただし,$\eta_{*},t*’ x_{*}$$\tilde{\eta}=\frac{4}{3}(\log\tau 1xx$$\tau$

線形方程式 $(Dx(D \tau+Dx+\frac{1}{6}D_{X}^{3})+\frac{1}{2}D_{Y}^{2}))\tau\cdot\tau=0$ を得られ, 1- ソリトン解は$\tau=1+\exp(2\Theta)$,$\Theta=\mathrm{K}\cdot \mathrm{X}-\Omega T+\Theta^{0}=K\mathrm{X}+L\mathrm{Y}-\Omega T+\Theta^{0}$$\Omega=K(1+\frac{2}{3}K^{2}+\frac{L^{2}}{2K^{2}})$となり, 無次元水面変位はさらに, 2- ソリトン解は,$\tilde{\eta}=\frac{4K^{2}}{3}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}^{2}\Theta$となる.

$\Theta_{i}=\mathrm{K}_{i}\cdot \mathrm{X}-\Omega_{i}T+\Theta_{i}^{0}=K_{i}X+L_{i}\mathrm{Y}-\Omega_{i}T+\Theta_{i}^{0}$$\Omega_{i}=K_{i}(1+\frac{2}{3}K_{i}^{2}+\frac{L_{i}^{2}}{2K_{\dot{f}}^{2}})$,$(\mathrm{i}=1,2)$$A= \frac{4(K_{1}-K_{2})^{2}-(\tan\psi_{1}-\tan\psi_{2})^{2}}{4(K_{1}+K_{2})^{2}-(\tan\psi_{1}-\tan\psi_{2})^{2}}$

,

(9)
(10)

$\tau=1+\exp(2\Theta_{1})+\exp(2\Theta_{2})+A\exp(2\Theta_{1}+2\Theta_{2})$$\tan\psi_{i}=L_{i}/K_{i}$,$(\mathrm{i}=1,2)$

,

,

,

,

(11)
(12)
(13)
(14)

,

(15)

で与えられる.

3

ロンスキアン解と共鳴ソリトン解$\mathrm{K}\mathrm{P}$

方程式の双線形方程式として$(D_{X}(-4D_{t}+D_{x}^{3})+3D_{y}^{2})\tau\cdot\tau=0$

,

(16)

84

を選ぶと都合がよい.

ここでの $x,y,t$ は第 2 節のものとは異なり,$Y=y_{*}/h,t=-2T/3=-(2c_{0}/3h)t_{*}$ で与えられる.

の関係がある. (16) の解$\tau$$\tau$$x=X-T=(x*-c0t)/h,y=$は前節と同じで$\tilde{\eta}=\eta_{*}/h=\frac{4}{3}(\log\tau)_{x\mathrm{x}}$はロンスキアン$\tau_{N}=|\begin{array}{lll}f_{1}^{(\mathrm{o})} f_{N}^{(0)}\vdots \ddots \vdots f_{1}^{(N-1)} f_{N}^{(N-\mathrm{l})}\end{array}|$$f_{i}^{(n)}= \frac{\partial^{n}f_{i}}{\partial x^{n}}$,$(\mathrm{i}=1, \cdots,N)$

,

(17)

,

(18)

と書ける. ただし $f_{i}(x,y,t)$ は$\frac{\partial f_{i}}{\partial t}=\frac{\partial^{2}f_{i}}{\partial x^{3}}$$\frac{\partial f_{i}}{\partial y}=\frac{\partial^{2}f_{i}}{\partial x^{2}}$,$(\mathrm{i}=1, \cdots,N)$

,

(19)

を満足するような関数である. 通常の N- ソリトン解を得るには$f_{i}=e^{\theta_{2i-1}}+e^{\theta_{2i}}$,$(\mathrm{i}=1,\cdots,N)$$\theta_{j}=-k_{j}x+k_{j}^{2}y-k_{j}^{3}t+\theta_{j}^{0}$

(20)

,

$(j=1, \cdots,2N)$ ,

,

(21)

とおけばよい.
今, 関数双$X_{\rangle}y,t$) の選び方には任意性があることに注目し,$f_{1}= \sum_{i=1}^{M}e^{\theta_{i}}=:f$,$f_{i}=f^{(i-1)}$,$1<\mathrm{i}\leq N\leq M$

,

(22)

と選ぶと
$\tau_{N}=|\begin{array}{lll}f^{(0)} f^{(N-\mathrm{l})}\vdots \ddots \vdots f^{(N-1)} f^{(2N-2)}\end{array}|$,となる. $M=M_{+}+M_{-},$ $N=M_{+},$ $(1\leq M_{+}\leq M-1)$ とおくと

(23)$\tau$

関数は$\tau_{M_{+}}=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{M}\leq+M}\Delta(i_{1}, \ldots,\mathrm{i}_{M_{+}})\exp(\sum_{j=1}^{M_{+}}\theta_{i_{j}})$と書ける. (Binet-Cauchy の定理から簡単に導ける) ここで,$\Delta(\mathrm{i}1, \ldots,\mathrm{i}M+)$(24)

は van der Monde

行列式$\Delta(\mathrm{i}_{1}, \ldots,\mathrm{i}_{M})+=$$\prod$$(k_{i_{j}}-k_{i_{l}})^{2}7$l\leq j<l\leq M 十で与えられる [10]. この解を $(M_{-},M_{+})$ -ソリトン解と呼ぶ. この解は $yarrow-\infty$ で M- 個のソ個のソリトンが形成され, また中間領域でこれらのソリトンが共鳴でリトンが,$yarrow\infty$$M_{+}$

的に相互作用しており, 共鳴ソリトン解の一般形である.

85

さらに,

$N\mathrm{x}M$

行列 $A(N,M):=(aij)$ を用いてゐが$f_{i}= \sum_{j=1}^{M}aije^{\theta_{j}}$により定義されるとき$\tau$,

for$\mathrm{i}=1,$$\ldots,N$,

and $M>N$ ,(25)

函数 (17) は$\tau=\sum_{1\leq i_{1}<\cdots<i_{N}\leq M}\xi$($\mathrm{i}\iota,$$\ldots,$iN)$\prod_{1\leq j<l\leq N}(k_{i_{j}}-k_{i_{t}})\exp(\sum_{j=1}^{N}\theta_{i_{j}})$と書ける [11]. (これも Binet-Cauchy の定理から簡単に導ける) ここで小行列式.

$\xi(\mathrm{i}_{1}, \ldots, \mathrm{i}_{N}):=|a_{N,i_{1}}a_{1.\cdot’ i_{1}}$.

$a_{N,i_{N}}a_{1.’$\cdot.\cdot..\cdot$

i_{N}}.\cdot|$

,

(26)

$\xi(\mathrm{i}_{1}, \ldots,\mathrm{i}_{N})$は $N\mathrm{x}N$.

である. この解は, 共鳴ソリ トンと非共鳴ソリトン両者を含んだ一般的なソリ トン相互作

用を示す.
図 1 にいくつかの共鳴ソリトン解を示した. 図は, よく知られた字型の共鳴ソリ
トン解であり, 2- ソリトン解の退化したものである. 入射している二つのソリ トンが共鳴$1(\mathrm{a})$$\mathrm{Y}$して, 大きなもう一つのソリ トンができているのだが, 生成された大きなソリ トンの振幅は入射してくる一つのソリトンの振幅の 4 倍となって, 共鳴により振幅が大きく増幅されに $(2,2)$ ソリ トン解を示した. 図では, ソリ トンに囲まれたホールている. 図字型となっている. これは, 解にができている. しかしながら, 図 1(c) ではホールがなにおける相互作用部分の振幅含まれる二つの波数 , を近づけたことによる. 図の相互作用部分は, 少し高くはなっているものの, 入射している二つに注目すると, 図では, 字型ソリトのソリトンの重ね合わせた振幅より高くはなっていない. 一方, 図ンの相互作用部分は, 入射してくるソリ トンの振幅の 4 倍となっていて, 単なる重ね合わ
せよりはるかに大きな振幅となっている. 図 1(b) では相互作用部分はホールを形成し, 波
ではホールが消滅したことで, 波が一箇所に集中しが分散されているのに対して, 図のような, 有限部分だけが 4
振幅が大きく増大したと考えることができるだろう. 図
倍の振幅を持つ共鳴ソリ トン解の存在は, Miles により方程式の対称性の議論から知られていたが, 厳密解はこれまで具体的には与えられていなかった. この解は 字型共鳴ソリ$1(\mathrm{b})$-$1(\mathrm{b}),(\mathrm{c})$$\text{く},$$k_{2}$$\mathrm{H}$$1(\mathrm{b}),(\mathrm{c})$$k_{3}$$1(\mathrm{b})$$\mathrm{H}$$1(\mathrm{c})$$1(\mathrm{c})$$1(\mathrm{c})$$\mathrm{Y}$

トン解のように 2- ソリトン解からの退化としては導出はできないことを注意しておく. 通常のソリ トン解からの退化としてこの解を得ようとするならば, 4-ソリトン解の退化を考えなくてはならない. ホールをもつような共鳴ソリトンは過去のソリトン共鳴に関する数値計算で現れており, ソリトン共鳴に関係する現象に自然に現れると考えられる $[12, 13]$ .
むしろ、 いくつかのソリトンが生成されたとき, 自然に現れる共鳴ソリトンは 字型では字型ソリ トンはそれなく, ホールをもつ共鳴ソリトンや 字型共鳴ソリトンであろう.
$\mathrm{Y}$$\mathrm{H}$$\mathrm{Y}$らの極限と考えられる.
図 2 では, $(2,3)$ -ソリトンの時間発展の様子を示した. 通常の非共鳴ソリトン解と比較して, 複雑な非定常な相互作用を示すことが見てとれる. 図 3 では, $(3,3)$ -ソリトンの時間発展

86の様子を示した. こちらはホールが 4 個できている. 一般に 函数 (24) で書ける $(M_{-},M+)-$
ソリ トン解は $(M_{-}-1)(M_{+}-1)$ 個のホールを持つ Web 構造 (くもの巣状構造) をなす
方程式, 2 次元戸田格
方程式だけでな , Coupled[10]. このような Web 状構造は,.
$\tau$$\mathrm{K}\mathrm{P}$$\langle$$\mathrm{K}\mathrm{P}$子方程式, 離散時間 2 次元戸田格子方程式や超離散 2 次元戸田方程式でも確認されている[14, 15, 16]. Web 構造が安定なのかどうかは自明ではないが, 数値計算をおこなったとこ

ろ, 図 4 に示すようにほぼ厳密解のとおりに相互作用をしており. Wbb 構造は安定な構造であろうということがわかる. (この数値計算は疑スペクトル法で行ったため, Web 構造を示すような初期値を無理に入れたために境界からごみが出ている. しかし, それでもなお,相互作用部分は安定である)

このような共鳴ソリトンが持つ複雑な相互作用と振幅増幅の効果を同時に併せ持つような解, つまりある瞬間にある領域の振幅が増大しそして有限時間内に振幅が元に戻るような Freak wave 的性質を持つ解は存在するのだろうか ? 図 2 と図 3 を見るとわかるように,
Web 構造を持つ共鳴ソリトン解の振幅はそれほど大きくはならず, むしろある瞬間に振幅が減少する. 図 5 と図 6 に最大値の時間変化を示したが, そのことが見て取れる. 一般的に,

Wbb 構造を持つ共鳴ソリトン解はある瞬間に振幅が巨大化することはない.
では, 函数 (26) で書ける解はどうであろうか? この解は非常に多くのクラスの解を含んでいるが, 中には非定常である瞬間に振幅が急激に増大するものもある. 図 7 にその一
ロンスキアン解から作られたもので, 一つの 字型共鳴ソリトン
例を示した. 図 7 は 2
字型共鳴ソリトンと 1- ソリトンは, 共鳴に近いと別の 1- ソリトンが相互作用している.
関係にある. 1- ソリトンが共鳴ソリトンの最大振幅部分に入ったとき, 振幅は重ね合わせよりも大きな値に増幅されていることが図 7 と図 8 からわかるだろう. つまり, 共鳴ソリ$\tau$$\mathrm{x}2$$\mathrm{Y}$-$\mathrm{Y}$

トンに別のソリトンが入射し, その両者も共鳴関係に近ければ, 波はある瞬間に増幅されるのである. この原理を拡張すれば, ある瞬間に振幅が巨大化し, しばらくしてもとに戻る
解は存在することがわかる ( 字型共鳴ソリトンの代わりに, 型共鳴ソリトン $((2,2)$ ソ$\mathrm{Y}$$\mathrm{H}$-リトン) を用いればよい). つまり, 以下のような振幅増大機構が考えられる. いくつかのソリトンが高速フェリーなどが原因で生成され, その中のいくつかが共鳴条件を満たすとき,

字型共鳴ソリトンが生成され振幅が増幅される部分ができる. そこに別のソリトンが入射し, 字型共鳴ソリ トンの最大振幅部分と入射ソリ トンが共鳴関係にある場合, 入射ソ
リトンが 字型共鳴ソリトンの最大振幅部分に達したとき, 振幅はさらに増幅される. そして, 入射ソリトンが 字共鳴ソリトンの最大振幅部分を通り過ぎると, 振幅は減少する.
このことは, ソリトン共鳴が巨大波の発生原因の一つとなりうることを示している. また, 多数のソリ トンが共鳴的に相互作用すると, その振幅は一個の孤立波の 4 倍以上にな$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$る場合があることがわかり, この現象がもし実際の海洋で起こると重大な被害を与える危険性がある.

4まとめ$\mathrm{K}\mathrm{P}$

方程式のロンスキアン解には豊富な解が埋まっている. その中から物理的に興味深87

い解を見つけることは, まだ十分に行われているとは言い難い. 本稿では, 海洋での巨大波方程式のロンス(Solitary Killer Wave や Freak Wave) の生成機構を説明するような解がキアン解の中に埋まっているかを探した. 結果, 物理的に妥当な解があることがわかった.
$\mathrm{K}\mathrm{P}$

しかしながら, このような解が実際の海洋中で本当に起こるのかは全く不明であり、今後,観測や実験との比較をすべきであろう. また, Freak Wave は深海域で主に観測されており,その場合のソリトンとの関係を理解することも大事な課題である.

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図 1: 共鳴ソリトン

90(a) $t=0$ での $(2,3)$ ソリ トン(b) $t=1$ での $(2,3)$ ソリ トン(c) $t=2$ での $(2,3)$ ソリ トン(d) $t=4$ での $(2,3)$ ソリトン

-

-

-

-

図 2: $(2,3)$ ソリトンの時間発展 $(k1=-2,k2=-1,k3=-1/1\alpha 1,k4=1/100,k5=2)$-

91(a) $t=0$ での $(3,3)$ ソリトン(b) $t=1$ での $(3,3)$ ソリ トン(c) $\iota=2$ での $(3,3)$ ソリ トン(d) $l=4$ での $(3,3)$ ソリトン-

\leftarrow--

図 3: $(3,3)$ -ソリトンの時間発展 $(k_{1}=-5/2,k2=-5/4,k3=-1/2,k_{4}=1/2,k5=3/2,k6=$$5/2)$

82

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

$(\mathrm{f}\gamma$

図 4: $(3, 3)$ ソリトンの時間発展 : 数値計算-

83$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathrm{u})$

-3

-2

-1

1

2

3

$\mathrm{t}$図 5: $(3, 3)$ ソリトンの最大値の時間発展-$\mathrm{t}$図 6: $(3, 3)$ ソリトンの最大値の時間発展 (数値計算)-

84(b) $t=0$(a) $t=-1$$(\mathrm{c}.)t=1$

図 7:$\tau$

函数 (26) で書けるソリトン解の時間発展: 2$\sum_{k=4}^{5}e^{\theta_{k}}$$(k1=-2,k2=0,k3=2,k4=2.01,k_{5}=4)$$\mathrm{x}2$-ロンスキアン,$f_{1}= \sum_{k=1}^{3}e^{\theta_{k}},$$f_{2}=$

85$(\mathrm{a}\}$$\mathit{1}\mathit{2}\mathit{1}\mathit{4}\{$10$\mathrm{f}\mathrm{t}$$|r$$... \frac{\mathit{1}\mathrm{t}\# 6\mathit{2}14\mathrm{I}\theta h\mathrm{t}\lceil-\Lambda[}{- \mathit{2}0- \mathrm{A}5-\angle \mathit{0}-5\lceil 5\mathrm{A}0!}.$.

$\angle 4$$(\mathrm{b})$$\mathrm{x}e$.

$\mathit{1}O$$\#$$\sigma$

4

$z$

-zo

.
-15

-10

-5

図 8: 図 7 のソリ トン解の $t=1$ での断面図: (a)5$\mathrm{y}=5.5,$$1\mathit{0}$$(\mathrm{b})\mathrm{y}=4,$$(\mathrm{c})\mathrm{y}=- 2$