数理解析研究所講究録 1410 巻 2005 年 85-105

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Generalization of Harish-Chandra’s basic theorem fornon-compact Riemannian symmetric spaces
織田寛 (Hiroshi ODA)＊

拓殖大学・ 工学部 (Faculty of Engineering, Takushoku University)

1 導入と主結果
本稿て扱う結果は, [Od] て行った複素半単純 Lie 環に対する Harish-Chandra 同型の一般化を非ニンパ
クト型 Riemann 対称空間の場合に拡張したものである. [Od] における予想 39 が講演後に一般化された形で解決したのて (定理 49), 本稿はそれについても触れる.
$\mathfrak{g}$を非コンパクト型実半単純 Lie 環と$\llcorner$, その Cartan 対合を 1 つ固定する. 一般に本稿ては右下の$\theta$の普遍包絡環,をを複素 Lie 環は実数上定義された数学的対象の複素化を表す.
その中心,
の
を
を の自己同型を与えるようなを の随伴群,の対称代数とする.
上複素線型に拡張する),
内部自己同型全体が作る群とし ( はをてあるような任意の群とする.
を Cman 分解とし,,の随伴作用を Ad,
で表す.
のそれを
の極
大可換部分空間 をとり,兇猟蠅瓩訐汽襦璽帆澗
に関する制限ルート系 の基 兇鮓把蠅垢.

添字$\mathbb{C}$$U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})$$S(\mathfrak{g}\mathrm{c})$$G_{\theta}$$G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}$$\mathfrak{g}\mathrm{c}$$\mathfrak{g}$$\mathfrak{g}\mathrm{c}$$G$$G_{\theta}$$\mathrm{a}\mathrm{d}$

の集合を
おける

$\alpha$

鈷とし,

と表す.

$M=\mathrm{Z}_{K}$(a)( $K$ における$\alpha$の中心化群),の正規化群) により Weyl 群 $W=N_{K}(\alpha)/M$ を定義する. 各$\mathfrak{n}=\sum_{a\in \mathrm{z}+}\mathrm{a}$’$\subset G\subset G_{\theta}$$G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}$$\mathfrak{p}$$\Sigma$$(\mathfrak{g}, \alpha)$$K=G^{\theta},$$\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}$$\mathfrak{g}=\mathrm{f}\oplus \mathfrak{p}$$9\mathrm{c}$$\alpha$$\Sigma^{+}$$\mathfrak{g}$$G$$\theta$$G_{\mathrm{a}\mathrm{d}},$$\mathrm{Z}(9\mathrm{c})$$\mathfrak{g}\mathrm{c}$$\rho=\frac{1}{2}\sum_{\alpha\in\Sigma}+(\dim \mathfrak{g}_{\alpha})\alpha$とする.

$U(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})$から$\mathfrak{m}=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(M)$$\alpha\in\Sigma$$S(0_{\mathrm{C}})$とする.

$N_{K}(\alpha)(K$にに対する (実) ルート空間をへの写像$\gamma$を, 射影$U(\mathfrak{g}\mathrm{c})=U(\alpha \mathrm{c})\oplus(\mathfrak{n}\mathrm{c}U(\mathfrak{g}\mathrm{c})+U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{f}\mathrm{c})arrow U(a\mathrm{c})\simeq S(\alpha \mathrm{c})$とそれに続く平行移動$S(0_{\mathrm{C}})\ni f(\lambda)\vdash’ f(\lambda+\rho)\in S(a_{\mathrm{C}})$の合成で定義し, これを Harish-CHandra 準同型と呼ぶ. ここで$S(0_{\mathbb{C}})$を$a\mathrm{c}$の双対空間$(a\mathrm{c})^{*}$

上の正則

(oe)
をそれぞれ
の作用のもとでのな多項式函数の空間と同一視した.
の不変式環とする (一般に本稿てはある作用域に対する不変部分空間を作用域の添字を右上に付けて表$U(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})^{K},$

す).

$W$

$U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}),$$S$

Harish-Chandra は [HC1 て次の環準同型列の完全性を示した 1 :

(1.1)

一方,

$K,$

$S(a_{\mathrm{C}})^{W}$$0arrow U(\mathfrak{g}\mathrm{c})^{K}\cap U(9\mathrm{c})\mathrm{f}\mathrm{c}arrow U(\mathfrak{g}\mathrm{c})^{K}arrow S(\mathrm{o}\mathrm{c})^{W}\gammaarrow 0$$B(\cdot, \cdot)$を$\mathfrak{g}$または$\mathfrak{g}\mathrm{c}$の Killing 形式とし,\mbox{\boldmath $\alpha$} ，$\mathfrak{p}$

内での

$a$

の

$B(\cdot, \cdot)$$S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})=S(a_{\mathrm{C}})\oplus S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})(\alpha^{[perp]})_{\mathrm{C}}arrow S(0_{\mathrm{C}})$で定まる射影$\gamma_{0}$:$S(\mathrm{j})\mathrm{c})arrow s$.

に関する直交補空間とすると,.

(忙) は, 環同型:$S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})^{K}arrow S(_{\mathrm{o}\mathrm{c}})^{\uparrow\gamma}\sim$,$. \frac{(1.2)\gamma}{\mathrm{e}- \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{i}1.\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{a}@1\mathrm{a}.\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{h}1\S \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{k}\mathrm{u}- \mathrm{u}.\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{j}\mathrm{p}}*.0$

1 実際には, 田果ては $G=G_{u1}$ の場合が扱われている. 一般の場合は [ことによる.

$\mathrm{K}\mathrm{R}$, Propoeifion 101 により (L2) が任意の $G$ て成立する

86を与える. これは “Chevalley の制限定理” と呼ばれ, (垣) はこれを非可換化したものと考えられる. それは, 対称化写像 symm :$S(\mathfrak{g}\mathrm{c})arrow U(\mathfrak{g}\mathrm{c})$(1.3)

を用いた K-加群の直和分解$U(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})=$

symm(S$(\mathrm{p}_{\mathrm{C}})$から理解できる. (1.1) と (1.2) により 3 つの環 U( 。)$\mathfrak{g}$)$\oplus U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{f}_{\mathbb{C}}$.

$\kappa/U(9c)^{K}\cap U(\mathfrak{g}\mathrm{c})fc$,$S(\mathrm{P}\mathrm{c})^{K},S(\infty)^{W}$は互いに同一視できるが, それらを同じ記号 $d$ で表す.
(1.1) と (1.2) はそれぞれ次のように書き直すことができる:$\Gamma^{\mathrm{h}\mathrm{v}}$(1.4)$0arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$(triv,$U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\cap U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{f}_{\mathrm{C}}$(1.5)$\dot{\mathrm{N}}_{0}^{\mathrm{v}}$

ここて “伍:$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$)$arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$(triv,)$U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})$$arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}\sim$$S(\mathrm{P}\mathrm{c})$は $K$ や $W$ の単位表現とする (従って”$\mathrm{v}$(triv,) $arrow$ HomW(triv,の表現$arrow$O,の定義は明らかであろう.

$\backslash \mathrm{r}$$\Gamma_{0}^{\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{v}}$

我々はます (1.5) の形の Chevalley の制限定理を一般化することを考える.
$(\mathrm{A}\mathrm{d}|_{K},S(\mathrm{P}\mathrm{c}))$)(triv, $S(\infty)$ ).

が表現空間). 可 や$\mathbb{C}$$S(a\mathrm{c})$

-タイプ

$K$

$(\sigma, V)$のうち,に実際に現れるものを “quasi-spherical” な K- タイプと呼ぶ. [KR1 によると
このとき Weyl 群 $W$ がが quasi-spherical てあることは $V^{M}\neq 0$ てあることと同値であるが,$V^{M}$$K$$(\sigma, V)$に自然に作用する. 写像
(1.6)
を, 像

$\Gamma_{0}^{\sigma}$$\varphi$:$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S(\mathrm{P}\mathrm{c}))\ni\Phi\vdash’\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}w(V^{M},S(a\mathrm{c}))$

が

(1.7)

:

$\varphi$$V^{M}arrow Varrow S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})arrow S(\mathrm{o}\mathrm{c})\Phi\gamma 0$となるように定める. 明らかにこれは well-defined で致する.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})),$

加群の構造を持つが,$\Gamma_{0}^{\sigma}$$\mathrm{H}$omW(VM,$S(\alpha_{\mathrm{C}})$) は像への$(\sigma, V)=(\theta \mathrm{i}\mathrm{v},\mathbb{C})$$S(\mathrm{P}\mathrm{c})^{K},$

$S$

(忙)

$W$

の場合は (1.5) におの要素の掛$\mathrm{t}1$$\#\mathrm{e}$る$\mathrm{I}_{0}^{\dot{\mathrm{m}}\mathrm{v}}\neg$と一算により自然に d-は 2 つの $d$-加群の間の準同型になっている. ここで新しい K-タイプのクラスを定義する.
定義 1.L
と定める.
対して

$B$

(., ) により$\cdot$$\Sigma_{1}=\Sigma\backslash 2\Sigma$$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{\alpha}\backslash \{0\}$$\alpha$

とその双対

と置き,

$\mathscr{B}_{J}$をを同一視し,$\alpha^{*}$$\Sigma_{1}$$\alpha^{*}$に内積$\langle\cdot, \cdot\rangle$

を入れる.

$\alpha\in\alpha^{*}$

に対しての $W$-軌道の代表元を集めた任意の集合とする.

を 1 つ固定しておく. このとき, quasi-spherical な K- タイプ$(\sigma, V)$$|\alpha|=\langle\alpha,\alpha\rangle$

また, 各

1,

, に

$\alpha\in \mathscr{B}$が “single-petaled”てあることを,(1.8)$\sigma$($X\text{。}$+\mbox{\boldmath $\theta$}Xa)(\sigma (X。

)$v=0$$+\theta X_{a})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})$$(\forall v\in V^{M},\forall\alpha\in\sim)$が成り立つことと定義する.
注意 1.2.

$\mathfrak{g}_{\alpha}$は$-B(\cdot,\theta\cdot)$

rem 2.1.7] によりという正定値内積を持ち,$\dim \mathfrak{g}_{\alpha}\succ 1$

てあれば

$M$

$M$

が等長変換群として作用している. [K02, TheO-が g。の単位球面に推移的に作用するのて, (1.8) に $M$ の要素やスカラーを掛けることにより, 上の定義が X。の選び方に依らないことが分かる. また, (1.8) にの要素を掛けることにより, (1.8) の従って上の定義は,$\mathscr{B}$,$\mathscr{T}$を$\Sigma_{1}$$N_{K}(\alpha)$

全体に置き換えても同じ条件になっていることが分かる.

の選ひ方にも依らない.

この準備のもと次がいえる :定理 1.3. 全ての quasi-spherical な

petaled であることは同値てある.

$(\sigma, V)$に対して$\Gamma_{0}^{\sigma}$は単射. 一方,$\Gamma_{0}^{\sigma}$が全射てあることと$\Gamma_{0}^{\sigma}$

が single-87
この定理は複素半単純 Lie 環の場合の Broer の結果 ([Br]) の Riemann 対称空間の場合への一般化である. ところで [Brl の論文の脚注に, Kostant が Broer に知らせたとされる [PRV] の結果を用いた別証
明の存在が述べられている. 証明の内容は書かれてぃないが, 確かに [PRV] で考察された多項式を成分とする正方行列 (2 章参照) を用いると簡単な証明が可能である. 実はこの正方行列の Riemann 対称空間版を Kostant 自身が研究していて ([K02]) その結果にょり定理 1.3 を完全に代数的に示すことができるのだが, 本稿 \S 3 で述べる証明は [Da] に倣った解析的なものである. この方法にょると定理 1.3 を$\mathrm{r}$更にいくつかの方向に一般化した形 (命題 3.1, 定理 3.5, 定理 3.15) で示すことがてきる.
(L4) を一般化するにはというデータから定まる退化 Hecke 環 が必要になる. 正確な定義は\S 4 で行うが (定義 4.1), ここで のいくっかの性質を述べる.
は
上の代数で
と群環
$(\mathrm{n}, \alpha)$$\mathrm{H}$$\mathrm{H}$を部分環として含む. また,(1.9)$\mathbb{C}$-線型空間として$\mathbb{C}$$S(0\mathbb{C})$$\mathbb{C}[W]$である. 従って左 H-加群
[W $(w-1)$$S_{\mathrm{H}}(0_{\mathbb{C}}):= \mathrm{H}/\sum_{1\nu\epsilon W\backslash \{1\}}\mathrm{H}(w-1)\simeq S(0_{\mathbb{C}})\otimes \mathbb{C}[W]/S(0_{\mathrm{C}})\bigotimes_{w}\sum_{\epsilon W\backslash \{1\}}\mathbb{C}$を自然に C-線型空間として$S(\mathrm{o}\mathrm{c})$は注意すべきである. 一方,
間が$\mathrm{H}$$\mathrm{H}\simeq S(a_{\mathbb{C}})\otimes \mathbb{C}[W]$$S(\mathrm{o}\mathrm{c})^{W}$と同一視できる.

$S_{\mathrm{H}}(\mathfrak{a}_{\mathbb{C}})$へのの作用が通常のものと違うこと$W\subset \mathrm{I}\mathrm{I}$に等しく(系 4.4) , これからてあることが分かる. 従って (1.4) において

を

の中心は

$\mathrm{H}$

$S$

(叱)

$W$

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v},S(\alpha \mathrm{c}))$$S\mathrm{n}(\mathrm{o}\mathrm{c})$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$の W-不変部分空($\dot{\mathrm{m}}\mathrm{v}$,S。(忙)) て置き

換えることが可能である.
$(\sigma, V)$を quasi-spherical K- タイプとする. 写像(1.10)を, 像$\Gamma^{\sigma}$$\psi$:$\psi:V^{M}rightarrow Varrow U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})arrow S(\mathfrak{a}_{\mathrm{C}})\simeq S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}})\Psi\gamma$となるように定める. 右辺の (1.10) が$\psi$$\mapsto\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathbb{C}}(V^{M},S_{\mathrm{H}}(a\mathrm{c}))$が(1.11)るP$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))\ni$, SH(叱)) でないことに注意する. 実際, (1.11) で定まは必すしも $W$ の作用と可換てはない. 本稿の主結果を述べる (証明は \S 4).
$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$($V^{M}$

定理 1.4. 全ての$(\sigma, V)$に対してまれるためには$(\sigma, V)$が single-petaled てあることが必要十分てある. この場合像は$\Gamma^{\sigma}$の核は$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})\mathrm{f}_{\mathrm{C}})$

である.

犬料

が

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M},S_{\mathrm{H}}(\mathrm{o}\mathrm{c}))$に含$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}w(V^{M},s_{\mathrm{H}}(\mathrm{o}\mathrm{c}))$に一致し, 次が完全になる :0(1.12)$-arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{f}\mathrm{c})arrow$

注意 1.5. $D\in U$ (gc)K,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$作用により(1.13)

Hom$\Psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}))$$\kappa(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M},s_{\mathrm{R}(\mathrm{o}\mathrm{c}}))\mathrm{I}^{\mathrm{w}}arrow 0.$とすると, 甲の像に右から $D$ を掛けることにより新しいの要素甲. $D$ が定まる. このように$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$は右$U(\mathfrak{g}\mathrm{c})^{K}$-加群となる. また,この(gc)fc) は $d$-カ D 群になる. 明らかに$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}))/\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})\mathrm{f}_{\mathrm{C}})\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})/U$「($\Psi\cdot$D)=I”(町.

てあるから,「は $d$ -加群の準同型$\gamma(D)$$\forall D\in U$(gc)K,$\forall\Psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})/U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})\not\in)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V^{M},S_{\mathrm{H}}(a_{\mathrm{C}}))$

が single-petaled である場合には同型写像

omW(VM,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})/U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})\mathrm{f}_{\mathbb{C}})arrow \mathrm{H}\sim$を導く. 更に$S_{\mathrm{B}}(0_{\mathrm{C}})$$(\sigma, V)$) が得られる.

2 quasi-sperical K-タイプ
この節ては quasi-sperical K- タイプに関する結果で後の節で必要となるものをまとめる. 殆どが既知の結果てある.

88
K, 加群
は

$X\in \mathfrak{p}$-値多項式函数全体が作る -加群
からを(X) を定めるが, この対応 :を Kffing 形式により$S(\mathfrak{p}_{\mathbb{C}})$上の偏微分作用素$\mathfrak{p}$上の$\mathfrak{p}$$K$$\mathbb{C}$$X1arrow\partial(X)$の環への準同型へ拡張する.
るものを 上の $K$-調和多項式と呼び, その全体をの要素で全ての$S(\mathrm{P}\mathrm{c})\simeq \mathscr{P}(\mathfrak{p})$$\mathscr{K}_{K}$$\mathfrak{p}$$S(\mathrm{P}\mathrm{c})$$\mathscr{K}\kappa$上の偏微分作用素$\mathfrak{p}$(F) で消えに対する$F\in S(\mathfrak{p}\mathrm{c})^{K}\cap S(\mathfrak{p}\mathrm{c})\mathfrak{p}\mathrm{c}$(p) で表す (と同一視する. 各$\mathscr{P}(\mathfrak{p})$(p) は $G$ の取り方に依らないことに注意). 次は本質的に [KR1 による :命題 2.1. 環の積で定義される自然な写像$S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})^{K}\otimes \mathscr{K}_{K}(\mathrm{p})arrow S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})$

は $K$-加群の同型を与える. 更に,市$V^{M}$$\mathrm{m}_{\mathbb{C}}$

$K$

の任意の

$\mathbb{C}$上の有限次元表現に対して dimc$(\sigma, V)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$

(

$V,$

K

$\mathscr{K}$$(\mathrm{p})$

)

$=$

, 従つて

(2.1)

M

ここて

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, S(\partial \mathrm{c}))\simeq d\otimes \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, \mathscr{K}_{K}(\mathrm{p}))\simeq d^{\oplus m(\sigma\rangle}$$m(\sigma)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}V$が成り立つ.
系 $2B$. -加群として U$K$$(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})=U$(gc) 貼( $S($ pc)K) という分解が成立する.

$\oplus \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}(\mathscr{K}_{K}(\mathfrak{p}))\otimes \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}$( , りを quasi-spherical $K$-タイプとする.

$m(\sigma)=$$\sigma$を$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$($V,\mathscr{K}$K$(\mathfrak{p})$) の基とする. また,[勤 21 では, 本稿の主題と深く関わる$\Psi_{j}=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}$$S(\mathrm{o}\mathrm{c})$が具体的に計算されている. 明らかに
命題 2.3.

$\lambda\in$

幅が全ての線型に延長したもの), 各

証明. [Kol], [K02] でに対して$(\sigma, V)$$G=G_{\theta}$に対する $K,$ $M$ をそれぞれ

$F$

$F$

$(V_{1})^{M_{\theta}}\oplus\cdots\oplus(V)^{M_{\theta}}$

を各 $s=1,$

一方,$m(\sigma)\mathrm{x}m(\sigma)$${\rm Re}\langle\lambda, \alpha\rangle\geq 0$$t$$\ldots,$$(\det P^{\sigma})(\lambda)\neq 0$$F$を$\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}$$(\sigma_{\theta}, V\theta)$$(s=1\ldots., t)$

を選んて[こは自然 [こO, ..., ($\sigma_{t},$$\text{く}$.

$[\mathrm{K}\mathrm{o}1]$,はの内積を幅上複素$\alpha^{\mathrm{r}}$$G=G_{\theta}$$\exp \mathrm{o}_{\mathrm{C}}$$K_{\theta}=K\mathrm{x}$$K_{\theta}$となる.

F1, $M,$-加群の構造$=M\mathrm{x}F_{1}$$\sigma_{\theta}$\oplus (\sigma 〆,$V_{t}$

は $(\sigma, V)$ から誘導された$K_{\theta}$$\ldots,$$V^{M}$の基$\eta$

を\otimes VM て

) を K\mbox{\boldmath $\theta$}-カ O 群としての既約$( \frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\epsilon F_{1}}a)\otimes V^{M}=$$\{v_{1}^{(1)}, \ldots,v_{m(\sigma_{1})}^{(1)}, \ldots, v_{1}^{(\prime)}, \ldots,v_{m(\sigma)}^{(t\rangle},\}$

が$( \frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\epsilon F_{1}}a)\otimes v_{m(\sigma_{S})}^{(s)}\}$$\sigma,$$\sigma\theta(ka)(a’\otimes$$(V_{\theta})^{M}=\oplus_{a\epsilon F_{1}}a$t) がちょうど quasi-spherical であるとする.

$\{(\frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\epsilon F_{1}}a)\otimes v_{1}^{(s)},$とできる. (が入る. つまり,$V_{\theta}=\oplus_{a\epsilon F_{1}}a\mathfrak{H}V,$より $m(\sigma)=m(\sigma_{1})+\cdots$ +m(丙) てある.

$(V_{s})^{M_{\theta}}$の基となるように取る.

-準同型の表現と考えられるのて,$K$$\iota_{s}$:$\mathrm{f}\mathrm{l}k’$$Vrightarrow V_{\theta}arrow V_{s}$により, 同型を得る. 従って各 $s=1,$$\ldots$

,

$t$

について

$\{\Phi_{1}^{(1)}\circ\iota 1$($\langle\cdot, \cdot\rangle$

$V$

(1

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$と置甲 j ) が研究され, det7”の選ひ方に依らすに定まる.

$\gamma\circ$$\{v_{i}\},$ $\{\Phi j\}$$(\sigma_{\theta}, V_{\theta})=(\sigma_{1}, V_{1})\oplus\cdots$$\rangle_{\mathrm{O}}$$\oplus^{t}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{@}(V_{s},\mathscr{K}_{K_{\theta}}(\mathfrak{p}))\ni(\Phi^{(1)}s=1’\ldots,\Phi 0)\mapsto\Phi$が($\{\Phi_{1}, \ldots,\Phi_{m(\sigma)}\}$$[v_{i}]$.

の随伴群の部分群$F_{1}$$V_{\theta}:=\mathbb{C}[F_{1}]\otimes V$

$V$

について

行列

$P^{\sigma}=$を満たすならば ((a’akaa’)v $(k\in K,a,a’\in F, v\in V)$ とするのである.

分解とし, そのうち (の基,$\circ\Phi_{j}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}))(j=1, \ldots, m(\sigma))$はスカラー倍を除いての適当な部分群$(V_{\theta})^{M_{\theta}}=( \frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\epsilon F_{1}}a)\otimes V^{M}$$\sigma_{1},$$V^{M}$$\mathrm{K}\mathrm{R}$quasi-spherical K- タイプとすると$v)=aa’\otimes${v1, ..., v。(の} を$V^{M},$の要素て位数が 2 以下のもの全
は $K,$ $M$ を正規化し, $K_{\theta}=KF,$ $M,$ $=MF$ が成り立つ ([, Roposition 1,\mbox{ ldmath$\ eta$} と表す.

$K_{\theta}$$\mathrm{m}\mathrm{c}$の場合が示されているのでその結果を一般の $G$ の場合に翻訳する.

$K_{\theta},M$の部分群とする.
体が作る
Lemma20]). 更に, 明らかに

あるから

に対して

$\alpha\in\Sigma^{+}$

成分の$\det 7$”

山

$V,$ $\mathscr{K}$K$(\mathfrak{p})$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\theta}}$, ...,$\Phi$($V_{s},$$(\sigma_{1}))\circ l$

1,$\gamma$は定義から$M_{\theta}$

O$1+\cdot..+\Phi$q(p))(7) 基$\mathscr{K}$...,) の基となる. この基と上て取ったを正規化するので,,$\Phi_{1}^{(l)}\circ\iota_{t}$$V^{M}$,$t\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,\mathscr{K}_{K}(\mathfrak{p}))$$\{\Phi_{1}^{(s)}, \ldots,\Phi_{m(\sigma_{l})}^{(s)}.\}$, ...,$\Phi$

p2,,の基に関する-準同型てある. また,$\rangle_{\mathrm{O}}$$S(\mathrm{o}\mathrm{c})$$)^{\circ\iota_{\ell}}$$P^{\sigma}$

を取ると,

}

について考えよう.

?は自明な$M_{\theta}$$M_{\theta}$

は$\mathrm{I}\mathrm{c},\mathfrak{n}\mathrm{c}$-加群なのて, 各 D\in U 色)88につぃて $\gamma(D)=\gamma($() D) となる. これより$\frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\in F_{1}}a$$s,$$s’=1,$$t,$$\ldots,$$i=1,$$m(\sigma_{s’}),$$\ldots,$. .. ,$j=1$ ,$m(\sigma_{s})$について(s=s’ のとき)$\gamma \mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\circ\Phi_{j}^{(s)}[(\frac{1}{\# F_{1}}\sum_{a\epsilon F_{1}}a)\otimes v_{i}^{(s)}]$$\gamma \mathrm{O}\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\circ\Phi_{j}^{(s\rangle}0\iota_{S}[v_{i}^{(s’)}]=\{$

0(s\neq s’ のとき)が成り立ち, 等式(2.2)$P^{\sigma}=\{\begin{array}{lll}P^{\sigma_{1}} 0 \ddots 0 P^{\sigma_{|}}\end{array}\}$を得る. 従って我々は主張は明らか.

口

次に基本的な single-petaled $K$-タイプについて考察する. 自明な K- タイプは明らがに single-petaled てあるが, その他の非自明な single-petaled $K$-タイプの例が (Ad, ) がら作られる.
$\mathfrak{X}$

補題 2.4. 各($\alpha\epsilon\Sigma$$\Sigma_{1}$ではない !),$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{a},$$\mathrm{a}\mathrm{d}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})$証明. $\alpha(H)=0$ てある $H$ については

Od

に対して

$H\in 0\mathrm{c}$$(Xa+\theta C\alpha)^{2}-2|\alpha|^{2}B(’\alpha’\theta X)a)H=0$$\mathrm{a}\mathrm{d}(X_{\alpha}+\theta X_{a})H=0$.

. 一方, Killing 形式で$\alpha$と同一視される要素に対して$H_{a}\in\alpha$($\mathrm{a}\mathrm{d}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}$

))H

B(’

$\alpha=|\alpha|^{2}\mathrm{a}\mathrm{d}$$\alpha’\theta X\alpha$($X_{\alpha}+$eX )(-X

X ) $-$ 21cr B(X$|^{2}$$\alpha+\theta$$\alpha$$\alpha$$\alpha$’$\theta X_{a}$)$H_{\alpha}$$=2|\alpha|^{2}([X_{\alpha},\theta X_{\alpha}]-B(X\alpha’ \theta X_{\alpha})H_{\alpha})$$=0$

定理 2.5.

$\mathfrak{g}$.

ロは単純とする.

(i) $G/K$ が Hermite 型のとき,

の固有値

$J$

を

の $K$-不変な複素構造を$\mathfrak{p}$の固有空間とする. このとき$\pm\sqrt{-1}$はともに single-petaled で,-加群として$W$(fi) $G/K$ が Hermite 型でないとき,への$(\mathrm{p}_{\mathrm{C}})^{M}=a_{\mathbb{C}}\oplus Ja_{\mathbb{C}}$$(\mathrm{p}_{\pm})^{M}\simeq 0_{\mathbb{C}}$-タイプ (Ad,$K$$\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}$$\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}$$\mathbb{C}$-線型に延長したもの,$\mathrm{P}\pm$

を2 っの K- タイプ (Ad,

てある.

$J$

$\mathfrak{p}_{\pm}$)(鏡映表現).

) は single-petaled で,-加群として$W$$(\mathrm{P}\mathrm{c})^{M}\simeq a_{\mathrm{C}}$(鏡映表現).
証明.

$G=G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}$(i) $G/K$ が船$\oplus Ja\mathrm{c}$の場合のに関する結果は [Jo, Proposifion4. 月による.

$(\mathrm{P}\mathrm{c})^{M}$

Hemite 型てあれば

てあるが,

$J$

と $K$ の

$G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}/(K\cap G_{\mathrm{a}\mathrm{d}})$$\mathfrak{p}\mathrm{c}$も当然 Hermite 型である. このとき [Jo] よりへの作用が可換であるから$(\mathrm{p}\mathrm{c})^{M}=0\mathrm{c}\oplus J\mathrm{o}$

c.

$K$

-同型

$(\mathrm{p}_{\mathrm{C}})^{M\cap G_{u1}}=$$\underline{1\mp}\mathrm{B}-1J2$:$\mathfrak{p}arrow \mathrm{p}\sim$\pmと補題 2.4 より残りは明らか.
(ii) $G/K$ が Hermite 型てないとする.
り$(K\cap G_{\mathrm{a}\mathrm{d}})$

dimc

$c$

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$こて(-加群の分解. 一方,K$\mathfrak{p}_{\mathrm{C}},\mathscr{K}$$(\mathfrak{p})$$(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})^{M}\supset a_{\mathrm{C}}$

今度は

$J$

)

と $K$ の$\mathrm{P}\mathrm{c}$が Hermite 型てあるとき, その複素構造 $J$ によが得られる. (i) と命題 2.1 により($\dim {}_{\mathrm{C}}\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K\cap G_{u}}$K$\mathscr{K}$$\mathfrak{p}_{+},$$(\mathfrak{p})$)$=$への作用が非可換てあるから p。は $K$-加群として既約となり, 自然な単射$arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K\cap G_{A}}(\mathfrak{p}_{+}, \sim K(\mathfrak{p}))$より$(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})^{M}=\alpha_{\mathrm{C}}$$G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}/(K\cap G_{\mathrm{a}4})$$(\mathfrak{p}\mathrm{c})^{M}=0\mathrm{c}$$\mathrm{P}\mathrm{c}=\mathrm{p}_{+}\oplus \mathrm{p}_{-}$$G_{\psi}/(K\cap G_{\mathrm{a}\mathrm{d}})$.

が得られる. 従って命題 2.1 により伍 mc(pc)Mが Hermite 型てないとする.

. 残りは補題 2.4 より明らか.

このとき [Jo] より$\leq$$(\mathfrak{p}\mathrm{c})^{(M\mathrm{n}G_{u1}\rangle}=0\mathrm{c}$何$0\mathrm{c}$. こてあるのて,口80
最後にを実ランク 1 の半単純 Lie 環とし, その quasi-spherical K- タイプを詳しく見る.

$\mathfrak{g}$

一の要素をとし, X\mbox{\boldmath $\alpha$}\in g。を$\alpha$置く. すると quasi-spherical な

補題 2.6.
(i)$\sigma(\mathrm{Z})$となるように選んで固定し,$B(X_{\alpha}, \theta X_{\alpha})=-\frac{1}{2|}a\mathrm{I}\tau$の唯$\mathrm{Z}=\sqrt{-1}X_{\alpha}+\sqrt{-1}\theta X_{\alpha}$とが single-petaled であるための条件 (1.8) は $\mathrm{Z}(\mathrm{Z}^{2}-1)V^{M}=0$ となる.

$(\sigma, V)$を quasi-spherical K-タイプとする,$(\sigma, V)$の固有値は全て整数である. 以下てはその最大のものを(ii) dimc $V^{M}=1$$\Sigma_{1}\cap\Sigma^{+}$. 従って$v^{\sigma}\in V^{M}\backslash \{0\},$$\Phi‘\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$

(

$V,$

K

$\mathscr{K}$$(\mathrm{p})$)$e(\sigma)$とする.

はスカラー倍を除いて一意に定$\backslash \{0\}$

まる.
(iii)

を

$V^{\mathrm{Z}-e(\sigma)}$直交補空間を(iv)の固有値$\sigma(\mathrm{Z})$$(V^{M})^{[perp]}$(2.3)の固有空間とする.

とすると,$h= \frac{\alpha^{\mathrm{v}}}{2}+\underline{\mathrm{d}}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{p}_{2}\alpha\in S(\alpha \mathrm{c}),$整数 $i,j$ が存在して,$e(\sigma)$$\delta$$\gamma\circ$$V^{\mathrm{Z}-e(\sigma)}\not\subset(V^{M})^{[perp]}$

=dim

symm

$\mathfrak{g}_{2a}$

とする (

$V$

.
[ま

$\alpha^{\vee}$$\circ\Phi^{\sigma}[v^{\sigma}]=\det P$\sigma

上の $K$-不変 Hermite 内積$\alpha$のコノレート$arrow_{|\alpha|}^{2H}$).

$(\cdot, \cdot)_{V}$に関する$2i+j=|e(\sigma)|$$V^{M}$のを満たす非負は$[(h+\delta)(h+\delta+2)\cdots(h+\delta+2(i+J)-2)]\cdot[(h+1)(h+3)\cdots(h+2i-1)]$にスカラー倍を除いて一致する.
(v)$(\sigma, V)$が自明な K-タイプ \Leftrightarrow e(\sigma ) $=0$ . (\sigma , りが (Ad,証明. 命題 2.3 の証明て用いた記号を用いる.
果.

$G\neq G_{\theta}$

で$V^{M_{\theta}}=V^{M}$

てあり,

とする.

$\mathfrak{g}$))(($-\sqrt{-1}0$に対し quasi-spherical K- タイプ ($\mathrm{I}\mathrm{I},$($\sigma_{e},$である.

e) に対して )$V$$e\neq 0$$-(\mathrm{i}\mathrm{v})$は単純としてよい.

\S 21)

一方,$|$$G=G_{\theta}$$K_{\theta^{-}}$

タイプ$\sigma_{e},$

e) が

$V$

$V_{e}=\mathbb{C}$のときは$(V_{e})_{\theta}$にe) に対しては既約$K_{\theta}$が成立する. $e=0$ のときは$(\sigma, V)$の場合は$\mathrm{Z}=\pm(_{\frac{1}{2}\sqrt{-1}}0$$- \frac{1}{2}\sqrt{-1}0)$$(V_{e})_{\theta}=1\otimes V_{e}+a\otimes V_{e}$-カ I 群となり, (2.2) より$\sigma_{e}=\alpha \mathrm{i}\mathrm{v}$は K-加群として既約$G=G_{\mathrm{a}\mathrm{d}}$

. 整数

$e$

という作用を入れて定まるが, これら$\sigma_{e}(\mathrm{Z})=e$$V$$\sigma_{e},$.

の場合は [Kol], [K02] の結$\mathfrak{g}=\mathrm{s}1(2,\mathbb{R}),\mathrm{f}=\mathrm{s}\mathrm{o}(2, \mathrm{R})$と置くと $F_{1}=$ $\{1,a\}$ である. また,が quasi-spherical K- タイプの全ててある. 各 ($a\otimes V_{e}\simeq V_{-e}$) [こ現れる K-タイプ \Leftrightarrow le(\sigma )l $=1$のときは全ての quasi-spherical$\mathfrak{g}\not\in \mathrm{s}1(2,\mathbb{R})$であるからよい ([K02, Chapter$a=\mathrm{A}\mathrm{d}$$\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}$, K 功 I 群として$P^{\sigma_{l}}=P^{(\sigma_{\ell})_{\theta}}$てあり, このとき$(\mathrm{i})-(\mathrm{i}\mathrm{v})$てあるからが成立するのは明らか. (v) の成立も明らか.

口

3 Chevalley の制限定理
この節の目的は定理 1.3 の証明てある. その方法は大部分古典的結呆に対する [Da] の方法と同じてあるが, 有理型 D 一作用素を用いる等により本質的に改良している部分もある.

これは古典的結果の証明にも有効てある.

\S 1 の設定のもと, ( , りを quasi-spherical な -タイプとする.
$K$$\sigma$

続微分可能な函数),(3.1)$\mathscr{T}$(多項式函数) のいすれかの$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,\mathscr{F}(\mathrm{p}))$a$\Phi\vdash\rangle$($\mathbb{C}$$\mathscr{F}$で$\mathscr{C}$(連続函数),$\wp\infty$(無限回連-値函数のクラスを表すことにし, 写像$\varphi:V^{M}\ni v\vdash’\Phi$[v1 )$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M},F(\alpha))$$\alpha$の場合の (3.1) はを定義する. Killing 形式による同一視(ac) のもと,のになる. よって同じ記号を一般の (3.1) にも用いることにする. 最初に次を示す :\S 1$\mathscr{T}(\mathrm{p})\simeq S(\mathrm{p}\mathrm{c}),$$\Gamma_{0}^{\sigma}$$\Gamma_{0}^{\sigma}$

命題 3.1.

$\mathscr{F}=\mathscr{C},\mathscr{C}^{\infty},$$\mathscr{T}$に対して$\Gamma_{0}^{\sigma}$

は単射.

$\mathscr{T}(\alpha)\simeq S$$\mathscr{F}=\mathscr{T}$

81
証明.

$\mathscr{T}=\mathscr{C}$としてよい.

(3.2)$V=V^{M} \oplus\sum V_{\tau}$#ffiv
を M-加群 $V=V|M$ の等質成分(isotypic component) への分解とし, 射影(3.3)$p^{\sigma}$を定める. 任意に$\Phi[p^{\sigma}(v)](H)$$X=\mathrm{A}\mathrm{d}(k)H$.

$\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, \mathscr{C}(\mathfrak{p}))$の像を$\Phi$$V=V^{M} \oplus\sum_{\tau\neq \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}}V_{\tau}arrow V^{M}$を取る. 明らかに各 $v\in V$ およひ各$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}, \mathscr{C}(\alpha))$と書けるのて任意のとする. 各元$X\in \mathfrak{p}$$H\in \mathrm{Q}$につぃて $\Phi[v](H)=$は適当な $k\in K$ と $H\in\alpha$ にょり$v\in V$ について$\Phi[v](X)=$ !) [v](Ad $(k)6\mathit{0}=\Phi[\sigma(k^{-1})v](H)$(3.4)$=\Phi$

これは$\Gamma_{0}^{\sigma}$:$\Phi$

が$\varphi$[p’( (k-1)v)](H)$\sigma$[p$=\varphi$(k-1)v 1(H).
$)$$\sigma(\sigma$

から完全に復元てきることを示す.

の像を議論するために,$V^{M}$

の

2 っの

$W$

$0$

-部分加群を導入する:

定義 3.2.
(Xa’$V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}=\{v\in V^{M};\sigma(X_{a}+\theta X_{a})(cr(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B$$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}=V^{M} \cap\sum\{\sigma(X_{a}+\theta X_{\alpha})$補題 3.3.
証明.

$V^{M}=V_{\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}\oplus V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$$(\cdot, \cdot)_{V}$する.

$\sigma(X_{O}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},$) $)v=0$Xa))V;$\theta$の$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$$\forall\alpha\in\sum_{1},$$\alpha\in\sum_{1},$$X_{\alpha}\in$$\forall Xa\in \mathfrak{g}\alpha\}$

鮎

$\}$

,

.

.

を $V$ 上の $K$-不変 Hermite 内積とすると, (3.2) における(VdMouゎゎ)\perp をなのて($\theta X\alpha$$V^{M}$. 逆に$V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}\subset(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M})^{[perp]}$における直交補空間とすると,”$v\in(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M})$とする.

$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$$V^{M}$

や$\sigma(X\text{。}+\theta X_{\alpha})$は$V$$\alpha\in\Sigma_{1},$$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{\alpha}$

はの等質戒分は互いに直交$(\cdot, \cdot)_{V}$に関して歪 Hermiteの M-部分加群$\sum\{\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha}, \theta X_{\alpha}))V;\alpha\in\Sigma$の写像 (3.3) による像であるから, 各 $v’\in V,$$V_{\tau}$

1,$X;\in \mathfrak{g}_{\alpha}$

}

について

$(\sigma(X_{a}+ \mathrm{e}x\alpha)(\sigma(X\alpha+ \mathrm{e}xa)2- 21\alpha|^{2}B(X\alpha’\theta X_{\alpha}))v,v’)_{V}$$=-(v,\sigma(Xa+\theta \mathrm{f}_{\alpha})(_{\mathrm{C})}(o\mathrm{x}_{e}+\theta \mathrm{C}_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha}))v’)_{V}$$=-(v,p^{\sigma}$($\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-$21cr B(x$|^{2}$$\alpha$’$\theta X_{a}))v’$)$)_{V}$

$=0$

となり,

あを得る. 従って$v\in V_{\Phi}^{M}$

注意 L2 により補題 3.4. 各$(\sigma, V)$$\alpha\in\Sigma,$$V_{s\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}=(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M})^{[perp]}$.

ロが single-petaled てあることと VdMoubゎ =0 であることは同値てある.

$v\in V_{\S \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}$$\sigma$, X\mbox{\boldmath $\alpha$}\in g。に対して(X

X )( (X$\alpha+\theta$$\sigma$$\alpha$X )$\alpha+\theta$$\alpha$$2-2|\alpha|^{2}$

B(X ’$\alpha$;))$v=0$ .

$\theta X$

82
証明. 注意 L2 によりルート$\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)=[\mathfrak{g}(\alpha), \mathfrak{g}(\alpha)]$$2\alpha\in\Sigma\backslash \Sigma 1$と置くと,$\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$U(\mathrm{f}_{8S}(\alpha)\mathrm{c})v$(\mbox{\boldmath $\alpha$}) はであるので,$K_{s\mathrm{s}}(\alpha)-$タイプと称す) ,0 でな\S 2 の結果を適用てきる.

$\mathrm{Z}=\sqrt{-1}X_{\alpha}+\sqrt{-1}\theta X_{\alpha}$と置く.

あるから $\mathrm{Z}(Z^{2}-1)v^{(s\rangle}=0(s=1, . .. , t)$ である.

タイプか (Ad, p。

$\cap \mathfrak{g}_{\epsilon \mathrm{s}}(\alpha)\mathrm{c}$( (X$\sigma(X\mathrm{i}+xX_{2\alpha})$) に現れるx2)$2\alpha+\theta$$\sigma$$v\in V_{\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{g}}^{M}$

よって補題 2.6
$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$$G_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$\beta ’をと置く.

を対応する分解とする.
-不変ベクトノレである. また,の随伴群の “K- タイプ” と見做せ

$X_{\alpha}\in$

らを

であるから

1e

$\mathrm{f}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)=\mathrm{f}\cap \mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha),$$\mathrm{A}^{\mathrm{a}}M_{s\mathrm{s}}(\alpha)$$\mathrm{s}(\alpha)$

ように選んて固定し,$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$の$V^{(s)}$$a+ \sum_{\beta\in\Sigma\cap \mathrm{Z}\alpha}\mathfrak{g}$$v=v^{(1\rangle}+\cdots+v(t)$の中心を含むので $V^{(s)}(s=1, \ldots, t)$ は実質的に缶$G_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$(ここでは単純に

自明な

に分解して
は

$v^{(s)}(s=1, \ldots, t)$

幻$M_{\mathrm{s}s}(\alpha)=N_{K\cap G_{*}.(\alpha)}\mathit{9}JI_{\alpha})$$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)=K\cap G_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha),$$V^{(1)}\oplus\cdots\oplus V(t)$$M\cap G_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)=M_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$\mathfrak{g}(\alpha)=\mathfrak{m}+$は実ランク 1 の半単純 Lie 環である.

の解析的部分群 (analytic subgroup) とし,を既約 Kss(\mbox{\boldmath $\alpha$}) 功 Iffl の直和$\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$M_{\mathrm{s}s}$に対して証明すれば十分である.

$B(X_{\alpha}, \theta C_{\alpha})=-^{1}\overline{2|}\alpha|\urcorner$$\mathrm{Z}(\mathrm{Z}^{2}-1)v=0$$(\mathrm{i}\mathrm{i}),(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}),(\mathrm{v})$

(こより

.

となる

$\mathrm{Z}\in\zeta_{S}(\alpha)\mathrm{c}$$(s=1, \ldots, t)$$V^{(s)}$ではタイプてある. 従って定理 2.5 と補題 2.4 より$-2|2\alpha|^{2}B(X_{2\alpha},\theta X_{2\alpha}$)) v$(s)=0$ ,$s=1,$$\ldots$,$t$が成り立つ.

ロ$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{w}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}, \mathscr{F}(\alpha))=\{\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}w(V^{M},\mathscr{F}(\alpha));\varphi[v1=0 \forall v\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\}$と置くと定理 1.3 の一部を精密化した次を得る :定理 3.5.

$ff=\mathscr{C},\mathscr{C}$($\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\kappa$$V,\mathscr{F}$\infty , ? とする. 任意の$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}, \mathscr{F}(\alpha))$に対して$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)=\varphi$となる(p)) が唯一存在する.

証明はやや長く, この節の残りの殆とがそれに費やされる. 命題 3.1 の証明て用いた記号を使う. ます$\mathscr{F}=\mathscr{C}$の場合を示す.

$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{w}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},\mathscr{C}(a))$(3.5)とする. 各 $v\in V$ に対して

(k, $H$) $=\varphi[p^{\sigma}(\sigma(k^{-1})v)](H)$$\Phi_{v}$$\Phi_{v}\in \mathscr{C}(K\mathrm{x}\alpha)$を$(k,H)\in K\cross\alpha$により定める.

補題 3.6. $k_{1},k_{2}\in K$ と$\Phi_{v}$(k ,${}_{1}H_{1}$

証明.

意の

$H_{1}$)$=\Phi_{v}$と$v\in V,$(k2.

$H_{2}$$k$,は$H_{2}$

が$H_{1},H_{2}\in\alpha$$\mathrm{A}\mathrm{d}(k_{1})H_{1}=\mathrm{A}\mathrm{d}(k_{2})H_{2}$を満たすとする. このとき各 $v\in V$ について).

$N_{K}(\alpha)$のある元て共役てある ([Hel, Chapter(\mbox{\boldmath $\alpha$}),$k_{1}\in K,\overline{w}\in N_{K}$$\Phi_{v}$(k-11k,$\varpi=\Phi_{\sigma}$\Phi v(締, $H$)$=\Phi_{v}$, Proposition 2.2]). 定義 (3.5) より任について以下が成立する :$H\in\alpha$(k1)v(k, $H$),(k, $wH$)

ここで.

$w:=\overline{w}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} M\in W$

従って次を示せばよい :(3.6)$\Phi_{v}$

但し,
し,

$e$

は $K$ の単位元,$\lambda_{H}\in V$$K^{H}$(k,11)$=\Phi_{v}$(e, $H$ )$H\in\alpha$.

, $k\in K^{H},v\in V$

は $K$ における $H$ の中心化群とした.

このために $H\in\alpha$ を任意に取って固定‘を$\lambda_{H}$て定義する. ($\sigma^{\iota},$$\overline{w}\in N_{K}(\alpha)\cap K^{H}$

$V$

r) を

$(\sigma, V)$: $V\ni v\mapsto\Phi_{v}(e,H)$と双対な $K$-タイプとし,$(\cdot, \cdot)$

を $V\mathrm{x}V$ 上の標準的な双一次形式とする.

と $v\in V$ に対して$(\sigma^{*}(\overline{w})\lambda_{H},v)=(\lambda_{H\prime}\sigma(\overline{w}^{-1})v)=\Phi$-1)v(e, $H$)$=\Phi_{v}(\overline{w},H)=\Phi_{v}(e,wH)=\Phi_{v}$(e, $H$) $=(\lambda H,v)$ .

83
これは

に対して

$\overline{w}\in N_{K}(\alpha)\mathrm{n}K^{H}$$X_{a}\in \mathfrak{g}_{a},$$\sigma^{*}(\overline{w})\lambda_{H}=\lambda_{H}$,

特にであることを示す. 更に,$\lambda_{H}\in(V^{*})^{M}$$\alpha\in\Sigma_{1}$,\in V に対して$v$$(\sigma^{*}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})$(X )) H,$\sigma^{*}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta$$\lambda$$v)_{V}$$\alpha$$=-(\lambda_{H}$,$\sigma$(X$=-\Phi_{\sigma(X}.+\theta$$=-\varphi$[p$\sigma$$\alpha+flX\alpha$X,)(cr(XX$\sigma(X_{\alpha}+exa)^{2}-2|\alpha|^{2}$$+\theta$$\alpha$( (X$\sigma$)(B(X$\theta X_{\alpha})$$\alpha$)2-21crl2B(X.Q.))vG,X ) ( (X$\alpha+\theta$$\alpha+\theta X_{a}$$\sigma$$\alpha$’)$v)_{V}$)$H$) $2-2|\alpha|^{2}$ B(X ’ X ))$\theta$$\alpha$$\alpha$v)1(H)$=0$てある$(\cdot.\cdot p^{\sigma}(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{a})(\sigma(X+\theta\alpha X\alpha)^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{a’\alpha}\theta X))v)\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M})$と置き, 任意の$\Sigma^{H}=\{\alpha\in\Sigma;\alpha(H)=0\}$$B(X_{\alpha}, \theta\subset)=-\frac{1}{2|a|}\tau$である. 故にと仮定してよい.

$\sigma^{*}(\overline{s}_{\alpha})\lambda_{H}=\lambda_{H}$.

$\alpha\in\Sigma^{H}$と$X\alpha\in \mathfrak{g}\alpha$. 故 [こに対して$\lambda_{H}\in(V^{*})_{8\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{k}}^{M}$.

$\sigma^{*}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})\lambda_{H}=0$を示そう.

と置くと $4\in N_{K}(0)\cap K^{H}$$\mathrm{Z}=\sqrt{-1}X_{\alpha}+\sqrt{-1}\theta X_{\alpha},\overline{s}_{\alpha}=\exp(\pi\sqrt{-1}\mathrm{Z})$

一方補題 3.4 により \sigma ’’(Z)(\sigma *(り 2-y\lambda H $=0$ なのて$\sigma^{*}(\mathrm{Z})$の固有値 0,$1,$-1の固有ベク トルへの分解\lambda H=\lambda H(0ゝ$+\lambda_{H}^{(+)}+\lambda_{H}^{(-)}$

が可能である. すると,

\sigma *(s-a)\lambda H=\lambda H(0ゝより

\lambda H=\lambda H(0ゝとなり,$\mathrm{E}^{H}$”\lambda (H+ゝ\lambda H(-)=\lambda H(0ゝ$+e^{-\pi\sqrt{-1}}$$\forall X\in \mathfrak{t}^{H}.\cdot=\mathfrak{m}+\sum\{\mathbb{R}(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})j\alpha\in\Sigma^{H},X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{\alpha}\}$の解析的部分群を $(K^{H})0$ とすると, 典型的な議論により$K^{H}=(N_{K}(\alpha)\cap K^{H})\cdot$となるが, これは補題 3.7.

$\lambda^{H}$の $K^{H}$ -不変性,

証明. Killing 形式$B(\cdot, \cdot)$の$\mathrm{p}$

$H$

(K )0

従って (3.6) を導く.

の通常の位相は $q(k,H)=\mathrm{A}\mathrm{d}(k)H$ で定まる全射$\mathrm{p}$$-(\lambda_{H}^{(+)}+\lambda_{H}^{(-)})$

が得られる. 従って$\sigma^{*}(\mathrm{z}_{d})\lambda_{H}=0$$\sigma^{*}(X)\lambda_{H}=0$が示された.

$+e^{\pi}$ロによる商位相と一致する.

$q:K\mathrm{x}\alphaarrow \mathrm{p}$への制限は $K$-不変な内積を定めるので, 正の実数 $R$ に対して$\alpha_{R}=\{H\in a;B(H,H)\leq R\}$ ,$\mathfrak{p}R=\{X\in \mathrm{p}jB(X,X)\leq R\}$と置くと, 任意の閉集合
コンパクトてあるから$S\subset K\mathrm{x}\alpha$$q(S)\cap \mathrm{p}_{R}$もに対して$\mathfrak{p}$,$q(S\cap(K\mathrm{x}\alpha_{R}))=q(S)\cap \mathfrak{p}_{R}$である. ここて,$s\cap(K \mathrm{x}\alpha_{R})$の通常の位相に関してコンパクトてある. これは $q(S)$ がの位相に関して閉であることを示す,

補題 3.6 と補題 3.7 から, 各 $v\in V$ についてに対応$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$(:$\Phi$$v-\rangle$$V,\mathscr{C}$ロ$\Phi_{v}$が$\mathfrak{p}$上の連続函数$\Phi[v]$は $K$-作用と可換て関係式 (3.4) を満足する. 故に$\mathscr{F}=\mathscr{C}^{0}$$\mathrm{k}:\Sigmaarrow \mathbb{C}$$f\in \mathscr{C}^{\infty}(\alpha)$の通常を導くことが分かる. 明らか$\Phi$

は$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)=\varphi$てあるような(p)) の唯一の要素てある.

定理 3.5 を

定義 3.8.

$\Phi[v]$$\mathfrak{p}$はまたはに対して示すには更に準備が必要てある.

を重複度函数, つまり各 $W$-軌道上同じ値をとる函数とする. 各に対して函数(コンパクト台の無限回連続微分可能な函数) に作用する微分差分作用素$\xi\in\alpha$$\mathit{9}(\alpha)$$\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\xi)$

を

(3.7)

で定める. ここで$\hslash(\xi)f(H)=\partial(\xi)f(H)+\sum_{a\epsilon \mathrm{Z}^{+}}\mathrm{k}(\alpha)\alpha(\xi)\frac{f(H)-f(s_{\alpha}H)}{\alpha(H)}$$(\xi)$

は-方向への偏微分作用素て$\xi$$s_{\alpha}\in W$は$\alpha$,が定める鏡映である.

84
または 9) に属する. また, 各 $w\in W$ について
注意 3.9. (3.7) の結果は同じ函数クラス (は [Du 月で導入された有理型 Dunkl 作用素と呼ばれるもので, 任意のが成り立つ.

$w\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\xi)=$$\mathscr{C}^{\infty}$$\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(w\xi)w$に対し$\mathscr{T}_{\mathrm{k}}$$\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\xi)$$\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\xi)\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\eta)=\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\eta)\mathscr{T}_{\mathrm{k}}(\xi)$が成り立つ. この節では$\xi,$$\eta\in\alpha$

午の場合しか扱わないので添字$\mathrm{k}(\alpha)=$$\mathrm{k}$

を

から省く.

補題 3.10.

$L_{\mathrm{p}}$を Euclid 空間$\mathrm{p}$と置く. すると,$\sum_{i=1}^{t}\mathscr{T}(\xi_{i})^{2}$

上の Laplace 作用素とする.

$\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$

(

$V,$

$\mathscr{C}$\infty (p)),$v\in V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}$$X\in \mathfrak{p}$と$\alpha$の正規直交基底とし,$\mathscr{B}_{0}=$(こ対して$(L_{\mathfrak{p}}\Phi[v])|_{a}=\mathscr{B}_{\alpha}(\Phi[v]|_{\alpha})$証明.

を$\{\xi_{1}, \ldots,\xi_{\ell}\}$

.

火こ対して

$\mathrm{Y}\in$$\Phi$[ (Y)v1(X)$\sigma$$= \frac{d}{dt}\Phi$[cr(exp$= \frac{d}{dt}\Phi$[v](Ad(exp$t\mathrm{Y})v$] $(X)|_{t=0}$

(3.8)

てある

従って
$\Phi$$H\in\alpha,\alpha\in\Sigma$[ (Xex ) v](H)$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{\alpha}$$=\partial$$\alpha$$=\alpha$(H) (X$\partial$))([X, $Y]$ ) $\Phi[v](X)$$|_{t\triangleleft-}=\partial$

に対して( $[H,X_{\alpha}+$$2$$\alpha+$$\sigma$と$-t\mathrm{Y}$ex l)(1)[ (X ex ) vl(H)$\sigma$$\alpha+$$\alpha$$\alpha$$\alpha-\theta X_{a}$) [ (X$\Phi$$\sigma$X ) v1(H)$\alpha+\theta$$\alpha$$= \alpha(H)\frac{d}{dt}\Phi[\sigma(\ + \theta X_{\alpha})v](H+t(X_{\alpha}-\theta X_{a}))|_{t=0}$$= \alpha(H)\frac{d}{dt}\partial([H+t(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha}),X_{\alpha}+\theta X_{\alpha}])\Phi[v](H+t(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha}))|_{t=0}$$(3.9)$$= \alpha(H)^{2}\frac{d}{dt}\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})\Phi[v](H+t(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha}))|_{t=0}$$+ \alpha(H)\frac{d}{dt}2t\partial([X_{\alpha},\theta X_{\alpha}])\Phi[v](H+t(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha}))|_{t=0}$$=\alpha(H)^{2}\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})^{2}\Phi[v](H)+2\alpha(H)\partial([X_{\alpha},\theta X_{\alpha}])\Phi[v](H)$$=\alpha$(H) $2\partial(\sim-\theta X_{\alpha})2\Phi[v](H)+2\alpha$(H)B$(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})\partial(H_{\alpha})\Phi$[v1(H).

次に$v=v^{(0)}+v^{(+)}+v^{(-)}$

を$\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})$の固有値 $0,$の固有値はない).

このとき$\sigma$(3.10)$\pm|\alpha|\sqrt{\alpha’\theta X\alpha)}$(Xの固有ベクトルへの分解とする (補題 3.4 よりこれら以外$v-s_{\alpha}v=2(v^{(+)}+v^{(-)})$$\alpha+xo\mathrm{x}_{e}$であり(補題 3.7 の証明を参照),) $2v=\sigma(X;+\theta X_{\alpha})2(v^{(+)}+v^{(-)})$$=2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})(v^{(+)}+v("))=|$

cr B(X$|^{2}$$\alpha$$\theta X_{\alpha}$’) $(1-s_{\alpha})v$となる. (3.9) と (3.10) から[v](H)$\frac{\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})^{2}}{-2B(X_{\alpha},\theta\ )}\Phi$$= \frac{1}{\alpha(H)}\partial$(H ) [v](H)-D$\Phi$$\mathrm{I}^{2}\frac{\Phi[v](H)-\Phi[v](s_{\alpha}E)}{2\alpha(H)^{2}}$$\alpha$てあり,$L_{\mathrm{p}} \Phi[v](\varpi=\sum_{i=1}^{\ell}\partial(\xi_{i})^{2}\Phi[v](H)$$+ \sum_{a\epsilon\Sigma^{+}}\frac{\dim \mathfrak{g}_{\alpha}}{2}(\frac{2}{\alpha(H)}\partial(H_{\alpha})\Phi[v](H)arrow|\alpha|^{2}.\frac{\Phi[v](H)-\Phi[v](s_{\alpha}H)}{\alpha(H)^{2}})$となるが, これは [Dul, Theorem 1.10] により$\sum_{j=1}^{t}\mathscr{T}(\xi i)^{2}\Phi[v](H)$に等しい.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

85
補題 3.11. 正の定数

$c_{\alpha,-}$があって任意のコンパクトな台を持つ $K$ -不変な$F(X)\in \mathscr{C}(\mathrm{p})$

に対して

.

$\int_{\mathrm{p}}F(X)dX=C_{a}\int_{\alpha}.F(H)\prod_{\alpha\epsilon\Sigma^{+}}|\alpha(H)|^{\dim}\mathfrak{g}_{a_{dH}}$

証明. [He2, Chapter , Theorem 5. 171 を参照.
$\mathrm{I}$

補題 3.12. 各$\varphi\in \mathscr{C}^{\infty}(a),$ $f\in \mathscr{D}(\alpha),$$\xi\in\alpha$$\text{口}$に対して$\int_{a}(\mathscr{T}(\xi)\varphi)(H)f(H)\prod_{\alpha\epsilon\Sigma^{+}}|\alpha(H)|^{\mathrm{d}\dot{\mathrm{m}}\mathfrak{g}_{\alpha}}dH=-\int_{a}\varphi$(HX\sim ( ) $f$)

.

$\xi$

$( \mathrm{o}\prod_{\alpha\epsilon \mathrm{Z}^{+}}|\alpha(H)|^{\mathrm{d}\dot{\mathrm{m}}\mathfrak{g}_{a}}dH$

証明. 直接計算による ([Du2, Lemma 2.9] 参照).

補題 3.13. (3.2) の分解を思い出そう.
がそれぞれ

,

$V_{\mathrm{s}_{\dot{\mathfrak{B}}^{\mathrm{k}}}}^{M}$双対基とすると,$v_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$

口

を $V$ の基で,$\{v_{1}, \ldots, v_{n}\}$$\langle$$v_{1},$$\ldots,$$v_{m’1},$, \Sigma 7 ユユ V $V$ の基となっているものとする. このとき$\{v\mathrm{i}, \ldots, v_{m}^{*},\},${$v_{m+1}^{*},,$

$.$

.o’

$v_{m}^{*}$},$\{v_{m+1}^{\mathrm{r}}, \ldots, v_{n}^{*}\}$

はそれそれ

{

$v_{m’+1},$$\ldots,$\tilde , {$v$$\{v_{1}^{*}, \ldots,v_{n}^{l}\}$$(V^{*})_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M},$を$(V^{*})_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1e}^{M},$$v_{m+1},$$\ldots,$

\sim

$v$

$\{v_{1}, \ldots, v_{n}\}$の$\sum_{\tau\neq \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}}(V^{*})^{7}$

の

基となる.
証明.

$(\cdot, \cdot)$を$V^{*}\mathrm{x}V$上の標準的な双一次形式とする.

$\tau=\mu^{*}$

でない限り $((V^{*})^{\tau}, V’)=0$ であるから$V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}}^{M}=\{v \epsilon V^{M};(v^{*},v)=0 \forall v^{*}\epsilon(V)_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}\}$$(V^{1})_{\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}}^{M}$\tilde 。

,$=\{v^{*}\in(V^{*})^{M};(v^{*},v)=0 \forall v\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}\}$をいえばよい. これは補題 3.3 と全く同様にできる.
以上の準備のもと,$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}, \mathscr{C}"(\alpha))$

口

とする.

$\varphi^{\sim}$

で$\Gamma_{0}^{\sigma}(\varphi^{\sim})=\varphi$

を満たす$\mathrm{H}o\mathrm{m}\kappa$($V,\mathscr{C}$(p))の唯一の要素を表すことにする. 注意 3.9 により写像(3.11)
は$V^{M}\ni v\vdasharrow$i\sim [v]$\epsilon \mathscr{C}^{\infty}$$\varphi$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},\mathscr{C}^{\infty}(\alpha))$に属する. 写像 (3.11) を(3.12)$\mathscr{B}_{a}\varphi$$L_{\mathfrak{p}}\varphi[\sim v]=(\mathscr{B}_{a}\varphi)^{\sim}[v_{\rfloor}^{1}$を示そう. この左辺ては$\varphi^{\sim}[v]\in \mathscr{D}’(\mathfrak{p})$

(a)

と記して
$\forall v\epsilon V$(分布函数) と見做して$L_{\mathrm{p}}$を施している. 一方右辺は連続函数であることが示されているので, もしも (3.12) が戒り立てばこれと Weyl の補題を繰り返し用いて$\varphi^{\sim}[v]\in \mathscr{C}^{\infty}(\mathfrak{p})$$\{v_{1}, \ldots, v_{n}\}$$F_{1},$

が結論てきる.

を補題 3.13 のような

$F_{n}\in \mathscr{D}(\mathrm{p})$$\ldots,$

$V$

の基とし,

$\{v_{1}^{*}, \ldots, v_{n}^{*}\}$

をその双対基とする. 勝手な$n$個の試験函数について(3.13)

をいえばよい. そのために,$\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathrm{p}}\varphi^{\sim}[vi]$$v_{i}^{*}\vdash’ F$$\overline{F}$:$(L_{\mathrm{p}}F_{i})dX= \sum_{i=1}^{n}\int_{\mathrm{p}}(\mathscr{L}_{\alpha}\varphi)\sim$i($i\vee-1,$$n\grave{)}$$\ldots,$[vdFi

で定まる線型写像$d\mathrm{X}$$F:V^{*}arrow \mathscr{D}(\mathrm{p})$$V \ni v^{*}\vdasharrow\int_{K}F[\sigma^{l}(k)v.](\mathrm{A}\mathrm{d}(k)X)dk\in?(\mathrm{p})$

を用いて

86
と置く. ここで $dk$ は規格化された $K$ の不変測度である.

$\int_{K}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathrm{p}}\varphi^{\sim}[\sigma(k)v_{i}](X)$$= \sum_{j=1}^{n}\int_{K}\int$(LpF$\overline{F}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$(V‘,) であり, (3.13) の左辺は$\mathscr{C}^{\infty}(\mathfrak{p})$)(X) $dXdk$$[\sigma^{*}(k)v_{i}^{*}]$$\varphi^{\sim}[v_{i}](\mathrm{A}\mathrm{d}(k^{-1})X)$(LpF$[\sigma.(k)v_{\mathrm{i}}^{l}]$)(X) $dXdk$p$= \sum_{i=1}^{n}\int$ $\varphi^{\sim}[v_{\mathrm{i}}](X)\int_{K}(L_{\mathfrak{p}}F[\sigma^{*}(k)v_{i}^{*}])$(Ad(k)X) $dkdX$

p(3.14)$= \int_{\mathrm{p}}\sum_{i=1}^{n}\varphi^{\sim}[vi](X)(L_{\mathrm{p}}\overline{F}[v_{i}^{\mathrm{r}}])$(X) $dX$=C。

$\int_{a}\sum_{i=1}^{n}\varphi^{\sim}[v_{i}](H)(L_{\mathrm{p}}\overline{F}[v_{i}^{*}])$

(H)

adH

$o \prod_{e\in \mathrm{z}*}|\alpha(LO|^{\dim \mathfrak{g}}$=C。

$\int_{\alpha}\sum_{i=1}^{m’}\varphi[v_{i}](H)(L_{\mathfrak{p}}\overline{F}[v_{i}^{*}])(H)\prod_{a\in \mathrm{Z}^{+}}|\alpha(H)|^{\dim \mathit{9}}$“dHと変形てきる. 4 番目の等式は被積分函数の $K$-不変性と補題 3.11 による. 最後の等式は$m’+1,$ $\ldots,n)$ という事実に基ついている (命題 3.1 の証明を参照). 同様に (3.13) の右辺を$\varphi^{\sim}[v_{i}]|_{\alpha}=0(i=$$c_{\alpha} \int_{a}\sum_{i=1}^{m’}(\mathrm{j}\sim\varphi)[J](H)\overline{F}[v-](L)\prod_{\alpha\epsilon\Sigma^{+}}|\alpha(H)|^{\dim \mathfrak{g}_{a}}dH$へ変形できるが, これは (3.14) の最後の式に等しい. 何故なら, 補題 3.12 と補題 3.10 により(j\sim ) [vi](H) Tv7](H)$\overline{F}$$\int_{a}$$\varphi$$\prod_{\alpha\in\Sigma^{+}}|\alpha(E)|^{\dim \mathfrak{g}_{\alpha}}dH=\int_{a}\varphi$$= \int_{a}\varphi$が成り立つからである. 従って

最後に$\mathscr{F}=\mathscr{T}$$\mathscr{F}=\varphi\infty$[vi](H)j\sim ([ i](H)$v$$\overline{F}$tv71 .) (H)$|$$\prod_{\alpha\epsilon\Sigma^{+}}|\alpha(H)|^{\dim \mathfrak{g}_{a}}dH$$(L_{\mathrm{p}} \overline{F}[v_{j}^{*}])(H)\prod_{\alpha\epsilon\Sigma\dagger}|\alpha(H)|^{\dim \mathfrak{g}_{\alpha}}dH$に対する定理 3.5 が証明された.

に対する定理 3.5 を示すために$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{1\mathrm{V}}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}, \mathscr{T}(\alpha)),$$\Phi=\varphi^{\sim}$とする. 各 $v\in V$を持つ同次多項式としてよい. すると,
も全て次数 の同次函数てあることが(3.5) と関係式 \Phi [v](Ad(k) 司 $=\Phi_{v}(k,H)(k\in K, H\in \mathfrak{g})$ から
函数は多項式しかないのて主張は正しい. 以上て定理 3.5 の分かる. 0 のまわりて定義された同次について$\Phi[v]\in \mathscr{T}(\mathrm{p})$を示すのてあるが,$\varphi[v]$は全て同じ次数$j$$\Phi[v]$$j$$\mathscr{C}^{\infty}$

証明を終えた.
注意 3.14. 定理 3.5 の証明において, 補題 3.4 を示す部分にだけ \S 2 の結果を用いた. 従って$V_{\epsilon \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M},$$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$の定義として定義 3.2 の代わりに(X$V_{8\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}_{\mathrm{e}}}^{M}=\{v\in V^{M};\sigma$$\alpha+\theta$

X )( (X$\sigma$$\alpha+\theta$$\alpha$X ) $2-2|\alpha$ l2B(X$\alpha$$\alpha$X )) $v=0$$\theta$’$a$$\forall\alpha\in\Sigma$,$\forall X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{\alpha}\}$,$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}=V^{M} \cap\sum\{\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{a}))V;\alpha\in\Sigma,$$X_{\alpha}\in \mathfrak{g}_{a}\}$を用いれば (補題 3.4 上りこれは同値な定義), 定理 3.5 を導くのに前章の結果は必要ない.

定理 1.3 の証明を完成させるには, 次がいえればよい.
定理 3.15. $V’\subset V^{M}$ を $W$-部分カ O 群とすると,は$V’\supset V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$てあることが必要十分である.

$\Gamma_{0}^{\pi}$(HomK $(V,$$S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}))$)$\supset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{t}V}(V^{M}/V’,S(0_{\mathrm{C}}))$てあるために

87
十分性は定理 3.5 で既に示したので必要性をいえばよい.
$S(0_{\mathbb{C}})\simeq \mathscr{P}(\alpha)$の要素で全ての $f\in S$ (忙)式と呼び, その全体を$\mathscr{K}_{W}$(a) で表す.

(f) で消えるものをに対する$W\cap S(\alpha_{\mathrm{C}})\iota\iota_{\mathrm{C}}$$\alpha$上の W-調和多項

このとき

命題 3.16. 環の積で定義される自然な写像
O く)$S(0_{\mathbb{C}})^{W}\otimes \mathscr{K}_{W}(\alpha)arrow s$

は $W$-加群の同型を与える. 更に,(3.15)$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$( VM,$S(\alpha \mathrm{c})$)$W$-加群として$\simeq d\otimes \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{w}$($V^{M}$$\mathscr{K}_{W}(\alpha)\simeq \mathbb{C}[W]$,謙$W(\alpha)$)である. 従って
ここで m(\sigma )=din$\simeq d^{\oplus m(\sigma)}$$1$

c$V^{M}$

が成り立つ.
証明. [He2, Chapter] 参照.

$\mathrm{m},\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}3.4$$\mathrm{o}$定理 3.15 の必要性は次から従う :補題 3.17.
$v\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$

は各 $v\in V^{M}$ に対して$\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, S(\mathrm{P}\mathrm{c}))$に対して$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)[v]=0$.

証明. 補題 3.10 とその証明における設定を用いる.

に対して成立することに注意すると, 各 $v\in V,$$\Phi$X )( (\sim ([ ($X$;$+\theta$$\sigma$$\alpha+6$$\sigma$$\alpha$$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)[v]\in$

馬$L \text{。}=\sum_{i=1}^{t}\partial(\xi_{i})^{2}$$\alpha\in\Sigma_{1},$$\mathrm{C}_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})$$X$\mbox{\boldmath $\alpha$}$\epsilon \mathfrak{g}_{\alpha}$$(\alpha)$と置$\text{く}$を満たすとする. このとき各.

$(3.8)$と (3.9) は全ての $v\in V$

について (3.9) と同様の計算により) ] $(E)$$v$$=\alpha(H)^{2}\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})^{2}\Phi[\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{a})v](H)$$+2\alpha(H)B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})\partial(H_{\alpha})\Phi[\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})v](H)-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})$$=\alpha$

(LO

X )

(X

$2\partial$$\alpha-\theta$$2\Phi$$\alpha$\Phi [\sigma (X$\alpha+\theta I_{\alpha}$) $vJ(H)$[ (X$a+\theta$X ) v](H)$\sigma$$\alpha$$+2 \alpha(H)B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})\frac{d}{dt}\Phi[\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})v](H+tH_{\alpha})|_{t=0}$$-2\alpha$$=\alpha$(H)$2\partial$

(H)l

(X

$\alpha$$\alpha-\theta X_{\alpha}$+2 $(H)B$(

12B)$X_{\alpha},\theta$-2$=\alpha$(H)2$2\Phi$$(\sim,\theta X_{\alpha})\partial$

[

X )
$a$

(X

$\alpha-\theta X_{a}$$\sigma(\sim+\theta X_{a}$) [v](H)$\Phi$) v](H)[v](H)$(|\alpha|^{2}\partial(X_{a}-\theta X_{a})\Phi$$(\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha})\partial$(X$\alpha-\theta X_{a}$$+\alpha$(LO (h ) (X$\partial$$\partial$$\alpha-\theta X_{\alpha}$$\alpha$) [$v]$$\Phi$(5))) $\Phi[v]$ (H)$(\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})^{2}\Phi[\sigma(X_{a}+\theta X_{\alpha})v](H)+2B(\mathrm{X}_{\alpha},\theta X_{\alpha})\partial(H_{\alpha})\partial(X_{\alpha}-\theta X_{\alpha})\Phi[v](H))$

が成り立つ. これは$\Phi$[ (X$\sigma$

X )( (X$\alpha+\theta$$\sigma$$\alpha$X )$a+\theta$$oe$$2-2|\alpha|^{2}$$=\Phi$

を示す.

0 以外の

$\alpha^{2}\mathscr{T}(\alpha)$;, X )) v]

B($X$

[p

$\theta$$|_{\alpha}$$\alpha$$\sigma$( (X$\sigma$$\alpha+\theta$

X )( (X$\sigma$$\alpha+\theta$$\alpha$X)$2-21\alpha|^{2}$$\alpha$B(X ’ X$\theta$$a$$\alpha$))v)]$|_{\mathrm{Q}}\in\alpha^{2}\mathscr{T}(\alpha)$のどの要素も L。で消されないのて$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)[p^{\sigma}(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{a})(\sigma(X_{\alpha}+\theta X_{\alpha})^{2}-2|\alpha|^{2}B(X_{\alpha},\theta X_{\alpha}))v)]=0$を得る.

$\square$

この節の最後に K- タイプの新しいクラスを導入する :定義 3.18. $K$-タイプ$(\sigma, V)$が quasi-single-petaled であるとは,$V_{\dot{u}\ovalbox{\tt\small REJECT}}^{M}\neq 0$であるときをいう.

98
命題 3.19. quasi-single-petaled K- タイプは有限個.
証明.

は quasi-single-petaled とすると定理 3.5 により自明でない$(\sigma, V)$$\Gamma_{0}^{\pi}(\Phi)=\varphi$となる$\Phi[v]$の次数は$\mathrm{I}\mathbb{I},\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}3$を超えない. 従っで$r$が存在する.

$\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S(\mathrm{P}\mathrm{c}))$る) を超えないのて ([He2, Chapter$\Phi$$W$-調和多項式.6]), また$\Gamma_{0}^{\sigma}$

は $V$ から有限次元表現 {$\varphi$$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$( VM,$\mathscr{K}_{w}(\alpha)$) に対しての次数は $W$ 内の鏡映の数 ( とす$r$は同次性を保つので, 各 $v\in V$ について

eg $F\leq r$ } のいずれかの既約$F\in S(\mathrm{P}\mathrm{c});\mathrm{d}$成分への同型を与える.

$\mathrm{o}$4Harish-Chandra 準同型
この節ては定理 1.4 の証明を行う. ます退化 Hecke 環の定義から始める. これは本質的に [Lu] て与えられた.

定義 4.1.
(i)$\mathbb{C}$を重複度函数とすると,$\mathrm{k}:\Sigma 1arrow \mathbb{C}$-線型空間として(i) 写像 $s$ (忙)$arrow \mathrm{H}_{\mathrm{k}}$,$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}\simeq S(a\mathrm{c})\otimes \mathbb{C}[W]$$f\daggerarrow f$\copyright 1 と写像$\mathbb{C}$上の代数$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$て以下を満たすものが唯一存在する :.

$\mathbb{C}[W]arrow \mathrm{I}\mathrm{I}_{\mathrm{k}},w$\vdash ’$1\otimes w$

は環準同型である.

(iii) 任意の f\in S(忙) と $w\in W$ に対してげ@1) $\cdot(1\otimes w)=f\otimes w$ てある.
(iv) 任意の$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$を兇$\alpha\in$に対して$\xi\in 0\mathrm{c}$$(1\otimes s_{\alpha})\cdot(\xi\otimes 1)=s_{a}(\xi)\otimes s_{a}-\mathrm{k}(\alpha)\alpha(\xi)$に関連した退化 Hecke 環と呼ぶ.

$(a_{\mathbb{C}},\text{ },\mathrm{k})$注意 4.2. (ii) により$S(a\mathrm{c})$

や

(4.1)

$\mathbb{C}[W]$を$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$と書ける. \S 1 て述べたように$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$

の中心は

(4.2)

左

$S(0_{\mathrm{C}})^{W}$$\mathrm{H}$$\mathrm{k}$を$\mathrm{H}_{\mathrm{k}}$<. I{はデータから省$(\mathfrak{n}, \alpha)$$\forall\alpha\epsilon\text{ }\forall\xi\epsilon \mathrm{C}$に等しい ([Lu], [Ch],$\mathrm{k}(\alpha)=\mathrm{d}\mathrm{i}.\mathrm{m}\mathfrak{g}_{\alpha}+2$$\lim$$\mathfrak{g}$$[\mathrm{O}\mathrm{p}1$

). 以降

2

のみから定まることに注意する.

-加群 SH(忙) を \S 1 のように (1.9) で定める.

補題 4.3.

$\alpha\epsilon\text{ },$$\alpha^{\mathrm{v}}=\prec_{\mathrm{M}}^{2H},$$\alpha(\alpha)=${$S_{\mathrm{H}}(\alpha \mathrm{c})=S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}$はの部分環と見做す. すると (iv) は簡単に

$s_{\alpha}\cdot\xi=s_{\alpha}(\xi)\cdot s_{\alpha}-\mathrm{k}(\alpha)\alpha(\xi)$とし, 添字てある.

$S_{\mathrm{H}}(\mathrm{o}\mathrm{c})$へ作用する$s_{\alpha}\in \mathrm{H}$$H\epsilon\alpha$[$(\alpha$’ $)2$;\mbox{\boldmath $\alpha$}(司 =0} とすると,

l$\oplus S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\vee})2]$($\alpha^{\vee}+$dim$\mathfrak{g}_{\alpha}+$2dixn 2 )$\mathfrak{g}$$a$に対する固有値 $+1,$ $-1$ の固有空間分解てある.

証明. (4.1) により$s_{\alpha}(\alpha^{\vee}+\mathrm{k}(\alpha))=-\alpha^{\mathrm{v}}s_{\alpha}-\mathrm{k}(\alpha)\cdot 2+\mathrm{k}(\alpha)$s。

$\equiv-(\alpha^{\mathrm{v}}+\mathrm{k}(\alpha))$$\mathrm{H}(w-1)$$\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}$.

w\in h^Ev ‘{l}同様に系 4.4.

$s_{\alpha}\cdot(\alpha^{\mathrm{v}})^{2}=(\alpha^{\mathrm{v}})^{2}\cdot s$\mbox{\boldmath $\alpha$}’$s_{\mathrm{H}(a\mathrm{c}}$$\xi\in\alpha(\alpha)$に対して $s_{a}\cdot\xi=\xi$ . s。が示される.

) の $W$-不変部分空間は自然な同一視$S_{\mathrm{H}}(\alpha_{\mathrm{C}})\simeq S(0_{\mathrm{C}})$(\S 1 参照) のもと

口$S(a_{\mathbb{C}})^{W}$と一致する.

89
quasi-spheric 耐 K- タイプ$(\sigma, V)$

に対し \leq 1 の写像$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$である. また,$\{U_{d(\mathfrak{g}\mathrm{c}})\}_{d=0}^{\infty}$

を$U(\mathfrak{g}\mathrm{c})$$\Gamma^{\sigma}$を考察する. (1.3) にょり( $V$, symm(S$(\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}))$).

$\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})\mathrm{f}_{\mathrm{C}})$の標準的なフィノレター付 $l1,$$\{\mathrm{S}^{d}(\mathrm{p}_{\mathrm{C}})\}_{d=0}^{\infty},$

$\{$

Sd

$(0_{\mathrm{C}})\}_{d=0}^{\infty}$

を$S(0_{\mathbb{C}})$$S(\mathfrak{p}_{\mathbb{C}}),$の標準的な次数付けとすると,

0 )

(4.3)

$\gamma\circ \mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}(F)-\mathit{7}\mathrm{o}(F)\in\sum_{i=0}^{d-1}S^{i}$$\forall F\in S^{d}(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}})$$a_{\mathrm{C}}$となる. 従って命題 3.1 の系として次が完全となる :
(4.4)

Hom

$0arrow$$K(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{k})arrow$

Hom

Homc

$(V^{M},s_{\mathrm{H}(a\mathrm{c}}))\Gamma$$K(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))arrow$.

定理 1.4 の第 2 の主張の十分性は次による :定理 4.5.

$v\in V_{\dot{\varpi}\mathrm{n}\mathrm{g}_{1}\mathrm{e}}^{M}$とする. 任意の甲$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$(4.5)$\mathrm{F}"(\Psi)[wv]=w"(\Psi)[\mathcal{V}]$が成り立つ. ここで右辺の証明.

およひ $w\in W$ に対して

$v\in V_{\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}}^{M}$$K_{\mathrm{S}S}(\alpha),$$M_{8S}$$w$

gl。とする. 各単は$s_{\mathrm{H}}(a_{\mathrm{C}})$$w\triangleright$–の要素への作用をしてぃるとする.

$\text{ト}\alpha\in$垣に対して補題 3.4 の証明と同様に$\mathfrak{g}(\alpha),$$\mathfrak{g}_{s\mathrm{s}}(\alpha),$$\mathrm{f}_{Sl}(\alpha),$$G_{8\}(\alpha)$,(\mbox{\boldmath $\alpha$}) を定める. 更に$\theta(\alpha)=\mathfrak{g}(\alpha)$の中心,$\mathfrak{n}_{\alpha}=\sum_{\beta\in\Sigma^{+}\backslash \mathrm{Z}\alpha}\mathfrak{g}_{\theta}$,$\mathrm{f}_{\alpha}=\sum\{\mathbb{R}(X_{\beta}+\theta X_{\beta});\beta\in\Sigma\backslash \mathrm{Z}\alpha,X_{\beta}\in u\mathrm{I}$.

と置き, 射影$\gamma_{\alpha}$:$U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})=$

を定めるとこれは($(\mathfrak{n}_{\alpha})_{\mathbb{C}}U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})+U(\mathfrak{g}_{\mathbb{C}})(\mathrm{I}_{\alpha})_{\mathrm{C}}+U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})3$-準同型で,$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$\gamma\circ\gamma_{\alpha}=\gamma$( )c)$\alpha$が成り立っ.

$\oplus U$( ( )C$\alpha$$\alpha$$+\mathfrak{g}$$U(\S_{\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}})v$に分解して $v=v^{(1)}+\cdots+v^{(t)}$ を対応する分解とする. xa\in g。を固定し Z= $\sqrt$
と置くと,
-1X。

J )c)

$arrow U$$\alpha$( ( )Cについて$\mathrm{Z}(\mathrm{Z}^{2}-1)v^{(s)}=0$

タイプである.

$\mathfrak{p}\cap \mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$

を 1 つ固定する. また,$B(X_{\alpha}, \theta X_{\alpha})=-_{2|}=_{\alpha\downarrow}^{1}$$v^{(s\rangle}$$K_{\mathrm{a}\mathrm{s}}(\alpha)$は$V^{(s)}$の$M_{\mathrm{s}s}(\alpha)$-不変なベクトノレなので-調和多項式の空間を$S_{\alpha}=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}(\mathrm{S} (\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}\cap \mathfrak{g}_{\mathrm{s}s}(\alpha)_{\mathrm{C}})^{K_{\mathrm{B}}(a)})$$\mathscr{K}_{a}$

とし,

とする.

$+\mathfrak{g}_{\aleph}$$V^{s)}$( )c)$\alpha$$V^{(1)}\oplus\cdots\oplus$となるように選んでより各 $s=1,$$\mathrm{Z}(\mathrm{Z}^{2}-1)v=Z(\mathrm{Z}^{2}-1)v^{(1)}+\cdots+\mathrm{Z}(\mathrm{Z}^{2}-1)v^{(t)}=0$

を得る.

上の

$\alpha$を既約 Ks’(\mbox{\boldmath $\alpha$}) 功 O 群の直和$V^{(t\rangle}$$+\sqrt{-1}\theta X_{\alpha}$$\alpha$は s石$\mathrm{g}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\Psi^{(s)}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\mathrm{g}}(a)(V^{(s)}}$-petaled$t$$\ldots,$$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$, symm(4) \{0)$)$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{u}(a)(\mathrm{W}^{s)},U(\alpha(\alpha)}\mathrm{c}+\mathfrak{g}_{\mathrm{s}s}$(\mbox{\boldmath $\alpha$})c) の要

素甲 を
$s$

$V^{(s\rangle}\mathrm{c}arrow Varrow U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})arrow U(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}}+\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}})\Psi\gamma_{\alpha}$により定めると,$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\mathrm{r}(\alpha)(V^{(s)},U(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}}+\mathfrak{g}_{s\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}}))\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{u(a)(V^{(s)},U(\mathfrak{g}_{\mathfrak{B}}(\alpha)_{\mathrm{C}}))\otimes S(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}})}}}}}$$\mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\mathrm{r}(\alpha)(V^{(s)},U(\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}}))\simeq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\mathrm{g}}(a)}(V^{(s)}}}}$($V^{(s\rangle}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{\mathrm{B}}(a)}$, symm(4))てあるのて, 適当に $fi,$,,, symm(A,)$U(\mathfrak{g}_{\epsilon \mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}})\mathrm{f}_{u}(\alpha)_{\mathrm{C}})\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{u}(\alpha)(v^{(s)}}$$\ldots,f_{j}\in S(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}})$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{u}(\alpha)}(V^{(s)}, U(a(\alpha)_{\mathrm{C}}+\mathfrak{g}_{8\mathrm{S}}(\alpha)_{\mathrm{C}})*(\alpha)_{\mathbb{C}})$

およひ$D_{1},$$\ldots$, Dj\in S。を選んて甲 s-\Psi (s)(Dlfl+とてきる. このとき写像$p^{\sigma}$:$Varrow V^{M}$$\otimes S_{\alpha}$,$\Gamma(\Psi)[p^{\sigma}(v^{(s)})]=\gamma(\Psi_{s}[v^{(s)}])=\gamma(\Psi^{(s)}[v^{(s\rangle}])\cdot(\gamma(D_{1})f_{1}+\cdots+\gamma(D_{j})f_{j})$(Dl)$f_{1}+\cdot..+\gamma$(Dj)$f_{j}\in S(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\mathrm{v}})^{2}]$$\cdot$.. $+Djfj$ )$\in$を命題 3.1 の証明におけるものとすると,$\gamma$$)$

0)$=\mathbb{C}\Psi$

,

100
が分かる.
明な

$V^{(s)}$$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$$(s=1, \ldots, l)$

タイプの場合,場合補題 4.3 によりる$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$は自明な$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)-$$\gamma(\Psi^{0)}[v^{(s)}]^{\backslash })$s\acute (甲)[p\sigma (v0))]r‘( [p\sigma (sav(s))][+s\mbox{\boldmath $\alpha$}v(t))]=s。 (りしく, 補題 4.3 によりはスカラー倍を除いてとなって$=-\Gamma^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v^{(s)})]$$=s_{\alpha}\Gamma^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v^{(s)})]$

F‘(甲)[s\mbox{\boldmath $\alpha$}v] $=\Gamma‘(\Psi)$$p^{\sigma}(s_{\alpha}v^{(1)}+\cdots$$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$\gamma(\Psi^{(s)}[v^{(s)}])$-タイプである. 自はスカラーである. このが成り立っている. 反対{こ (Ad, pc\cap gss(\mbox{\boldmath $\alpha$})c)}こ現れ$s_{\alpha}\Gamma^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v^{(s)})]=\mathrm{I}^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v^{(s)})]$

タイプの場合, 補題 2.6 (iv), (v) よりである. 以上よりタイプか (Ad, p。\cap gs8(\mbox{\boldmath $\alpha$})。) に現れるであるが, 補題 2.6 (iv), (v) より$s_{a}v^{(s)}=v^{(s\rangle}$$[v]$$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\alpha^{\vee}+\dim$

鮎 $+2$

る. また, 定理 2.5 よりがいすれの場合にも成り立ちが$\mathrm{A}\mathrm{a}$えた. これが各$\alpha\in\text{ }$$\dim \mathfrak{g}_{2\alpha}$$(s=1, \ldots,j)$ :でいえるので, 任意の $w\in W$ に対して (4.5) が成り立つ.

$\square$兇箸, 定理 4.5 の証明の記号を引き続き用いる. 補題 2.6 (i) により各 quasi-spherical$\alpha\in$

タイプ $(\sigma’, V’)$ に対して$\sigma’(Z)$に等$s_{\alpha}v^{(s)}=-v^{(s)}$の最大値である整数$e(\sigma’)$が定まる.

$K_{s\mathrm{s}}(\alpha)$-加群$U(\mathrm{k}(\alpha)_{\mathrm{C}})V^{M}$$K_{\mathrm{s}s}(\alpha)-$を既約分解すると全ての威分が quasi-spherical となる. 何故なら, 任意のを既約分解に則して分解し,$(s=1,2,
...)$
が
とすると各
で固定されるベクトノレだからである.
加群の直和分解$v\in V^{M}$$v=v^{(1)}+v^{(2\rangle}+\cdots$$v^{(s)}$$M_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$K_{\epsilon \mathrm{s}}(\alpha)-$$U(\mathrm{f}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)\mathrm{c})V^{M}=V101\oplus V[1]\oplus\cdots\oplus V1k]$を考える. ここて,

$V_{[s]}$$(s=1, \ldots, k)$

は $|e(d)|=s$ であるような$K_{S8}(\alpha)-$タイプ $(\sigma’, V’)$ と同型な

$K_{\mathrm{o}\mathrm{s}}(\alpha)-$既約部分加群の和であるとする.
補題 4.6.

$p^{\sigma}(V_{[0\dot{]}}^{M(a)})\cap p^{\sigma}(V_{[1]}^{M_{u}(\alpha)})=0,$(4.6)$p^{\sigma}(V_{[2]}^{M_{u}(a\rangle}+\cdots$+V[Mklr(\mbox{\boldmath $\alpha$}))\subset VdMoubl。てある. 更に$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1e}^{M}=(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\cap p^{(F}(V_{\{0]}^{M_{u}()}")\oplus V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}10}^{M}\cap p^{\sigma}(V_{[1]}^{M_{u}()}"))+p‘(v\sim\tau(\alpha)+\cdots+V_{[k]}^{M_{\infty}(\alpha)})$が成り立つ.
証明. 補題 2.6 (ii), (iii) と包含関係$V^{M}\subset V_{[0]}^{M_{\mathrm{w}}(\alpha)}\oplus V_{[1]}^{M_{\mathrm{r}}(a)}\oplus\cdots\oplus V_{[k]}^{M_{\infty}(\alpha)}$. (., )V をにおける直交補空間 (V8M‘tn ユ。)\fallingdotseq t

により,の $V^{M}$$V_{l\mathrm{i}\mathrm{n}\phi}^{M}\subset V_{[01}^{M_{u}(\alpha)}\oplus V_{[11}^{M_{u}(\alpha)}$$\cdot$$V$

上の $K$-不変 Hermite 内積とすると補題 3.3 の証明から$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1}^{M}$に等しい.

$(V_{\mathrm{s}\infty \mathrm{e}}^{M}.,p^{\sigma}(V_{[2]}+ \cdot..+V_{[k1}))_{V}=(V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}, V_{[2]}+\cdot\cdot$より$p^{\sigma}(V_{[2]}+\cdots+_{k]})\subset(V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M})^{[perp]}=V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$

にそれぞれ

$+1,$

れそれ $+1,$

$-1$

$-1$

で作用するが,で作用する. 従って

固有空間分解は,$p^{\sigma}$:$\circ$ubl。

$+V[k1)V\subset$( $V_{[0]}+V$I1 , $V_{[2]}+\cdot..+1$$\mathrm{J}$$[k]$. また, 補題 2.6 (v) と定理 2.5 により s。は$Varrow V^{M}$

VdM

.

は

$V_{\mathrm{s}\ddagger \mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{k}}^{M}$

ここで-準同型なのて$W$$s_{\alpha}$は$p^{\sigma}(V_{[0]}^{M_{\mathrm{r}}(\alpha)})$\cap p\sigma (V[0]+V[ll)=VdMuble\cap p\sigma (V[M0]u(aゝ$\circ$$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}\cap p‘(V_{[0]}^{M_{u}()}")\oplus V_{\mathrm{d}o\mathrm{u}\mathrm{b}\mathit{2}}^{M}\cap p^{\sigma}(V_{[1]}^{M_{\mathrm{r}}()}")$と$+V_{[1]}^{M_{u}()}‘$) $V=\{0\}$$V_{[0]}^{M_{\mathrm{r}}(\alpha)},$$V_{[1]}^{M_{\mathrm{n}}(a)}$$p^{\sigma}(V_{[1]}^{M(\alpha)})$)の$s_{\alpha}$

にそ

に対する

となる. 以上より( $V_{[0]}+\cdots+$ 吟 )$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}=V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\cap p^{\sigma}$$k]$$=V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\cap p^{\sigma}(V_{[0]}+V_{[1]})+p^{\sigma}$( $V_{[2]}+\cdots+$ l[k )$\mathrm{l}$$=(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\cap p\sigma$(V$[0]M_{u}(a))\oplus V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}\cap p^{\sigma}(V_{[1]}^{M_{\mathrm{r}}(}")))+p\sigma$(V[2]”]$(\alpha)+\cdot..+V_{[k}^{M}$$(”))$.

$\square$

次は定理 1.4 の第 2 の主張の必要性を示す :命題 4.7.

$V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}\neq 0$が存在する.

とすると,$v\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M},$$w$\in W および甲$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$で (4.5) を満たさないもの

101
証明. 仮定より上の考察における $V_{12]}+\cdots+$
Kk1 が 0 でないようなと$(2\leq s\leq k)$

ますの$V_{1s\mathrm{J}}$$p^{\sigma}(v_{0})\neq 0$$K_{\mathrm{s}},(\alpha)$を示す.

-既約部分加群$K_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)$$V_{0}$

存在する. $V_{[s]}\neq 0$ となる兇$\alpha\in$V0Mss(“ゝの 0 でないベクトノ,-加群の既約分解 U(f、(\mbox{\boldmath $\alpha$}))VM$s$を適当に選んで固定する.

$\triangleright v_{0}$を, 各成分が$=V^{(1)}\oplus V^{(2)}\oplus\cdots$$(\cdot, \cdot)_{V}$に関して互いに直交し, かつ $V^{(1)}=V_{0}$ となるように行う. 任意の $v\in V^{M}$ はこの既約分解に応じて$v=v^{(1)}+v^{(2)}+\cdots$ と一意的に分解され, 各$(s=1,2, . ..)$ はで固定されるベクトルであ$v^{(s)}$る.

$U(\mathrm{f}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathbb{C}})V^{M}$

dimc

は

より 0 てない定数$V_{0}^{M_{\mathrm{s}}()}"=1$$M_{s\mathrm{s}}(\alpha)$

で生成されるので, 少なくとも 1 っの $v\in V^{M}$ について

$V^{M}$$c$があって $v^{(1)}=cv_{0}$ とできる.

とすると $(v,p^{\sigma}(v_{0}))_{V}=(v, v_{0})_{V}=(v^{(1)}, v_{0})_{V}=c(v_{0}, v_{0})_{V}\neq 0$ より

次に同次な$\varphi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$

同次性を保つことより,
そこで

$S$

$\gamma_{a},$\mbox{\boldmath $\alpha$}’

固定し,$\mathscr{K}_{\alpha}$を$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi)=a\cdot\varphi$となるように取り,$\mathit{7}\mathrm{o}(\Phi[v_{0}])=a\cdot\varphi[p^{\sigma}(v_{0})]\neq 0$$\Psi^{0}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{n}(\alpha)}$

五

+Dj

)

$\in \mathrm{H}o\mathrm{m}\mathrm{g}_{r}$(。)へ$V_{0}$, symm(4))$(\alpha)_{\mathrm{C}}$$\ldots,f_{j}\in S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})$$(V0, U(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}}+\mathfrak{g}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathrm{C}})\mathrm{f}_{\mathrm{s}\mathrm{s}}(\alpha)_{\mathbb{C}})$$\gamma(\Psi[v_{0}])=\gamma(\Psi_{0}[v_{0}])=\gamma$$\gamma$

(

と置く.

.
$\backslash \{0\}$を任意に取っての要素甲 0 をにより定めると, 定理 4.5 の証明と同様に, 適当に $f1,$$f_{j}$$\subset\Gamma_{0}^{\sigma}$$\circ\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}))$

であるから (4.3) より $\gamma(\Psi[v_{0}])\neq 0$

は定理 4.5 の証明と同じものとする.

$+\cdots$$V^{M}$$\Psi=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}$($D_{1}$-不変 Hermite 内積$\Gamma_{0}^{\sigma}$$a\cdot \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K_{u}(\alpha)}(V_{0}, U(a(\alpha)_{\mathrm{C}}+\mathfrak{g}_{8\mathrm{S}}(\alpha)_{\mathrm{C}}))$

(

であるが,

$\varphi[p^{\sigma}(v_{0})]\neq 0$$\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}}+\Psi\gamma_{\alpha}$$0^{-}\Psi^{0}$

上の

$K$

を得る.

$p^{\sigma}(v_{0})\neq 0$$V_{0}\mathrm{L}arrow Varrow U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})arrow U$

?

を

$V$

となるように取る. 命題 3.1, (2.1), (3.15),
が0 でない同次元 $a\in d$ が存在して,S(釦))((HomK $(V,S$ (pc))).

$\Phi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}))$

は同次であり$\Phi$(VM, S(忙)) を$(\cdot, \cdot)_{V}$$v^{(1\rangle}\neq 0$(D1)f1 $+\cdot..+\gamma$(DD(N 0[v0]).

)
およひ$D_{1},$$\ldots$, Dj\in S。を選んてとてきる. このとき,$(\gamma(D_{1})f_{1}+\cdots+\gamma(D_{j})f_{j})$$f_{j}\in S(\mathrm{o}(\alpha)_{\mathbb{C}})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\mathrm{v}})^{2}]$てあるが, 補題 2.6 (iv) より, $2i+j=s\geq 2$ を満たす非負整数

$i,$

$j$

が定まって

$\gamma(\Psi^{0}[v_{0}])$はスヵラー倍を除いて(4.7)$[(h+\delta)(h+\delta+2)\cdots(h+\delta+2(i+j)-2)]\cdot[(h+1)(h+3)\cdots(h+2i-1)]$に一致する (但し$h= \frac{\alpha^{\mathrm{v}}}{2}+$$\dim \mathfrak{g}_{\alpha}\in s$

–

(忙),

$\delta=\dim \mathfrak{g}_{2\alpha}$). 明らがに$\gamma(\Psi^{0}[v_{0}])$,$\frac{1}{(h+\Phi}\gamma(\Psi^{0}[v_{0}])\not\in \mathbb{C}[(\alpha^{\mathrm{V}})^{2}]$であるから,$\gamma(\Psi[v_{0}])=\Gamma^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v_{0})]\not\in S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}$[(o’)2l[(r ) ]($a’+$ dim$\mathrm{v}$$\cup S(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}})\cdot \mathbb{C}$

従って補題 4.3 より s’(\Psi )[p\sigma (v0)]\neq \pm 「(甲)[p\sigma (v0)]. 一方
, 従って
てある.

$2$

$v0\in V_{0}^{M_{u}(\alpha)}$,

市$\mathrm{m}\mathrm{c}$$\mathfrak{g}_{a}+2\dim \mathfrak{g}$2 ).
$\alpha$$V_{0}^{M_{u}(\alpha)}=1$

てあるのて
ロ

$s_{\alpha}p^{\sigma}(v_{0})=\pm p^{\sigma}(v_{0})$$s_{\alpha}v_{0}=\mathrm{f}v_{0}$注意 4.8. 上の証明て\sigma (v0) がいえる. 実際, \Phi 0\in HomKu(。)(V0,) をてあるものとすると, これは同次元てある. よって (4.3) と (4.7) より 0 でない定数 があってとなる.
.
$s_{\alpha}p^{\sigma}(v_{0})=(-1)^{s}p$$\mathscr{K}_{\alpha}$$\Psi^{0}=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}$ $\circ\Phi^{0}$$C$$\mathit{7}0(\Phi^{0}[v\mathrm{o}1)=$$C( \frac{\alpha^{\mathrm{v}}}{2})^{s}$0 $( \Phi^{0}[s_{a}v_{0}])=s_{\alpha}\gamma_{0}(\Phi^{0}[v_{0}])=s_{\alpha}C(\frac{\alpha^{\vee}}{2})^{s}=(-1)^{s}C(\frac{\alpha^{\vee}}{2})^{s}=)0(\Phi^{0}[(-1)^{s}v_{0}])$$\gamma$であるので $s_{\alpha}v_{0}=(-1)^{s}v_{0}$ .

この節の残りては定理 3.5 の非可換版である次の定理を証明する :定理 4.9. 任意のする.

$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}W(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}}))$

に対して$\mathrm{P}(\Psi)$$=\psi$となる甲$\epsilon \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$

が存在

102
$V’\subset V^{M}$

を任意の $W$-部分加群とする.

$\iota_{V}^{\#}$, で写像$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V^{M}, S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}}))\ni\psi-,$$\psi|V’\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V’, S_{\mathrm{H}}(0_{\mathbb{C}}))$や$\mathrm{H}\circ \mathrm{m}_{W}(V^{M},S(\mathrm{o}\mathrm{c}))\ni\varphi\mapsto\varphi|_{V’}\in$

等を表す.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}}(V’,S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}}))$に {まHomW(V’,$S(a_{\mathbb{C}})$)のフイノレター付}1 から来る自然なフイノレター付けがあ$S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}})\simeq S(a\mathrm{c})$るが, それに関して自然な写像:$q_{d}$$\{\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V’,S_{\mathrm{H}}(\mathrm{o}\mathrm{c}));\deg\psi\leq d\}=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V’, \sum_{j=0}^{d}S^{j}(\mathrm{o}\mathrm{c}))arrow$

Homc$(V’,S^{d}(a\mathrm{c}))$を定める $(d=0,1, ...)$ .
補題 4.10. 任意のについて$\Psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(9\mathrm{c}))$$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V_{\mathrm{s}\dot{\mathrm{m}}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}, S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}}))$$(d=\deg\psi)$について$\iota_{V_{\dot{\mathrm{n}}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}}^{*}\circ$T(?)$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V_{\sin}^{M},, S_{\mathrm{H}}(0_{\mathrm{C}}))$$q_{d}(\psi)\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M},S^{d}(\alpha_{\mathrm{C}}))$. また, 任意の.

証明. 定理 4.5 より前半は明らか. 後半は自然な写像$\{f\epsilon S_{\mathrm{H}}(\alpha \mathrm{c});\deg f\preceq d\}=\sum_{i=0}^{d}S^{i}(\mathrm{o}\mathrm{c})arrow Sd(a\mathrm{c})$が W-準同型てあることを示せばよいが, それは (4.1) と (1.9) から容易に導かれる.

補題 4.11. 任意の置くと$\Psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$$qd(\psi)\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$

証明. 任意に($V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},S$d兇鮗茲, 各$\alpha\in$$(0\mathrm{C})$について$\mathrm{o}$$d$$\psi:=l_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{\# 0\Gamma^{7\Gamma}(\Psi)}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},S_{\mathrm{H}}(\alpha_{\mathrm{C}})),$=deg$\psi$

と

).

に対して

$v\in V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}$(4.8)$q_{d}(\psi)[s_{a}v]=s_{\alpha}q_{d}(\psi)[v]$の成立を確かめるために (4.6) の分解を考える.

任意に K8S(\mbox{\boldmath $\alpha$}\succ 既約部分加群 $V0\subset V[s](s=2,3, . . .)$ およひと同様に, $2i+j=s$ を満たす非負整数 $i,j$ と$v0\in V_{0}^{M_{u}(\alpha\rangle}$$D_{0}\in S(\alpha(\alpha)_{\mathrm{C}})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\vee})^{2}]$$\Gamma^{\sigma}(\Psi)[p^{\sigma}(v_{0})]=D_{0}\cdot[(h+\delta)(h+\delta+2)\cdots(h+\delta+2(i+J)-2)]\cdot$となることが分かる (但し$h=-\tau+\Delta 2\alpha^{\mathrm{v}}\underline{\mathrm{d}}\mathrm{i}\mathrm{m}\simeq$\in s(忙),$\delta=\dim \mathfrak{g}2\alpha$を取ると, 定理 4.5 や命題 4.7

が存在して[ $(h+1)(h+3)\cdots(h+$ 2i-1)]). 故に$S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\vee})^{2}]$の同次元$\overline{D}_{0}$が存在して$q_{d}( \psi)[p^{\sigma}(v_{0})]=\overline{D}_{0}(\frac{\alpha^{\vee}}{2})^{S}$となり,一方注意 4.8 により

d $(\psi)[p^{\sigma}(v_{0})]=(-1)^{S}q_{d}(\psi)[p^{\sigma}(v_{0})]$ が成り立つ.

$s_{\alpha}q$あるので,$v=v_{0}$1 こ対して次に K\S s(\mbox{\boldmath $\alpha$})-加群$V_{11]}$$(4\cdot 8)$\sigma (v0) て$s_{\alpha}p^{\sigma}(v_{0})=(-1)^{S}p$が確かめられた.

を既約分解して$V^{(1)}\oplus\cdots\oplus V(t)$とする.

$p^{\sigma}(v[1])\in$

VdMub、てあるような任意の$\circ$(ISs))Mu(“ゝであるから

v[ll\in ?]B(aゝをこの分解に貝 l\rfloor て分解して $\mathcal{V}[1]=v^{(1)}+\cdots+v(’)$ とすると$(s=1, \ldots, l)$ , 定理 4.5 の証明と同様にが存在して$v^{(S\rangle}\in$$\text{し}$$D_{1},$

r(ll り L\rhoとてきる. 故に$\sigma(v^{(S)})$$S(a(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\vee})^{2}]$]$\ldots,Dt\in S(\alpha(\alpha)\mathrm{c})\cdot \mathbb{C}[(\alpha^{\vee})^{2}]$$=Ds(\alpha^{\vee}+\dim \mathfrak{g}_{a}+2\dim \mathfrak{g}2\alpha)$の同次元$\overline{D}$が存在してqd(\psi )[p\sigma (v[ll) =D-\mbox{\boldmath $\alpha$}ゞ
$]$

$s$

=1, ...,

$t$

103
となる.

であるから $v=p^{\sigma}(v_{[1]})$ に対して (4.8) が確かめられた.

$s_{\alpha}\overline{D}\alpha’=-\overline{D}\alpha^{\vee}$$s_{\alpha}p^{\sigma}(v[1])=-p^{\sigma}(v[1]),$

全く同様に任意の v\in VdMouゎl。

$\cap p^{\sigma}(V_{[0]}^{M_{88}(\alpha)})$に対して (4.8) が確かめられるので, (4.6) にょり補題が成立する.

補題 412. 任意の$\iota_{V_{----}^{M}}^{*}.\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi)=\psi$

smqe

を満たす甲

$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}))$となるものが取れて$\mathrm{k}$(:$.M..\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi)<\deg\psi$(l こ対して甲 i\in HomK(V,$\ldots$,$\psi-\iota_{V}^{\#}d’\circ\Gamma(\Psi_{\mathrm{i}}))<i$

るとする. 補題 4.10 により$\varphi_{i-1}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$$V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M},S^{i-1}$

が唯一存在するのて,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S^{i-1}(\mathfrak{p}_{\mathrm{C}}))$(4.3)$\mathrm{A}\mathrm{a}$$\deg\iota$が存在する.
$d$$\deg$,$\nu_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1*}$

証明. $d=\deg\psi$ とする. $i=d+1,$ , $d-1,$

てある.

に対して

$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}w(V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{k}}^{M}, S_{\mathrm{H}}(a_{C}))\backslash \{0\}$$\deg\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}}^{M}}^{*}$($\varphi_{i-1}:=q_{i-1}$

bleo$U(\mathfrak{g}\mathrm{c})$$\Gamma^{\sigma}(\Psi_{i})<d$

Pl 甲 i))\in HomW(VsMingle’$\psi-\iota_{V_{\dot{\mathrm{n}}\mathrm{n}_{l^{1*}}}^{M}}^{\#}\circ$(蛯)) と見做すと, 定理 35 より$\Psi_{\mathrm{i}-1}=\Psi_{j}+\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\circ\Phi_{i-1}$)てと置$\langle$$\deg$

symm

)

となる

$\Phi_{i-1}\in$$\circ\Phi_{i-1}\leq i-1$てあり,$\Gamma_{0}^{\sigma}(\Phi_{i-1})=\varphi_{i-1}$.

$S^{i-1}(0_{\mathbb{C}})$$\text{り}$$q_{i-}1$$0\iota_{V_{*\dot{\mathrm{m}}_{l}}^{M}}^{*}$.”(sy$\mathrm{m}\circ\Phi_{i-1}$.o)$=\iota_{V_{\dot{\mathrm{n}}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{k}}^{M}}^{\#}(\varphi_{i-1})=q_{j-1}(\psi-\iota_{V_{\mathrm{h}_{l}1\mathrm{e}}^{u}}^{\#}$$\Gamma^{\sigma}(\Psi_{i})$$q_{i-1}\circ\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{*}\circ\Gamma^{\sigma}(\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}\circ\Phi_{\mathrm{i}-1})=\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{\#}(\varphi_{i-1})=0$であるから,$\deg$($\psi-\iota_{V_{\dot{\mathrm{m}}g}^{M}}^{\#}$

から始めて帰納的に甲 ,$d$定理 49 の証明. $m=$ 山をてが$\varphi i$$d_{i}$

ko$\Psi_{d-1},$$\mathrm{m}_{\mathbb{C}}$\sigma (symm$\Gamma^{\sigma}(\Psi_{i-1}))<i-1,$$\ldots$$V^{M},$$\deg\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{\#}\circ\Gamma$

を定めて行き ,とすればよい.

$\Psi:=\Psi 0$$m’=\dim V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M}$) $<i-1$ てある. 故に甲 d+l.$=0$$\cdot$$\circ\Phi_{i-1}$と置く.

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$(口$V^{M}/V_{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}1\mathrm{e}}^{M},$W$\mathscr{K}$$(\alpha)$) の基$\{\varphi_{m’+1}, \ldots, \varphi_{m}\}$0 でない同次元 $b\in d$ が存在し
(HomK
) となるので (命題 4.7 の証明参照)[
こ取る.
を (\Phi i)と置くと (4.3), 補題 410, 補題 4.12
i となるよう, ..., symmの低次の部分を修正した甲 $m’+1,$を各 $i=$次同次元となるように取る (BW(\mbox{\boldmath $\alpha$})\simeq C[門に注意)$(V,$ $S(\mathrm{P}\mathrm{c}))$$b\cdot \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}, S(\mathrm{o}\mathrm{c}))\subset\Gamma_{0}^{\sigma}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,S(\mathfrak{p}\mathrm{c}))$により symm$\circ\Phi_{m’+1}$$\Phi_{m’+1},$,$\ldots,$$\Phi_{m}\in$$\deg b=\mathit{4}$$=b\cdot\varphi$$\ldots,\Psi_{m}\in \mathrm{H}o\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$$\circ\Phi_{m}$$m’+1,$ $\ldots,m$ について

(4.9)$\deg\Psi_{i}=\deg\Phi_{i}=d_{i}+h$となるように取ることができる.
ター付き $d$ -加群,$q_{d_{l}+d_{0}}\circ\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\epsilon}^{M}}^{*}0\Gamma^{\sigma}(\Psi_{i})=b\cdot\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{h}\mathrm{k}}^{M}}^{\#}(\varphi_{i})$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathbb{C}}(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},S_{\mathrm{H}}(a_{\mathrm{C}}))$てある. gr/I は $d$ 上有限生成てある.
$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathscr{M}$の $d$ 上の生成元となるように取る$\in U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})^{K}$$\mathrm{a}.\cdot=\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}(a)$に対して &gる.

$a_{\mathrm{i}}\leq d-\tilde{d}_{i}$

ところて中 1 , ...,(

$a_{1},$$\ldots,$$(i=1, \ldots,k)$($\tilde{\Psi}_{j}$

で

は

を{

$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathscr{M}\subset \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},S(a_{\mathbb{C}}))$$qd_{t}^{\mathrm{o}}$\iota #v、

$0$

であるような任意の甲$\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}}^{*}\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi-\tilde{\Psi}_{1}\hat{a}_{1}-\cdots-\tilde{\Psi}_{k}\hat{a}_{k})=0$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}$($V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M},$

(中

$i)j$

$S$

$\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V. U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$となるものが存在す(蛯)) の $d$ 上の基となっているのて,

およひ同次元 $b_{is}\in d(i=1, \ldots,k, s=m’+ 1, ...,m)$ を,$c_{i} \cdot q_{\overline{d}_{i}}\circ\iota_{V_{\mathrm{d}_{0\mathrm{u}}\mathrm{u}\mathrm{e}}^{M}}^{\#}\circ\Gamma^{\sigma}(\tilde{\Psi}_{i})=\sum_{s=m+1}^{m},b_{is}b\cdot\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}}^{\#}(\varphi_{s})$}$i=1,$ $\ldots k$ が) とする). 任意の $a\in d=S$ (pc)K に対して

$d=\deg\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}}^{\#}\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi)$$a_{k}\in d$$\{\iota_{v_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{u}}^{*}(\varphi_{\mathrm{i}})ji =m’+1, \ldots,m\}$ない同次元 $c_{i}\in d$$)$$\tilde{\Psi}_{k}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}}))$$d_{i}=\deg\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{*}\circ\Gamma^{\sigma}$$\iota_{V_{\dot{\mathrm{m}}g1\mathrm{e}}^{M}}^{*}\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi_{i})=0$(9C)) と置くと, (L13) によりこれはフィノレ,$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K(’VU}$の部分加群となる. 補題 4.11 よりと定める. すると,
なる($\mathit{1}=\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{m}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}}^{\#}\circ$,$\deg c_{\mathrm{i}}+\tilde{d}_{i}=\deg b_{is}+h+d_{s}$

0て

104
となるように取れる.

s$\overline{\tilde{\Psi}}_{i}:=\tilde{\Psi}_{i}\hat{c}_{i}-\sum_{s=m+1}^{m},\Psi$

なる $a_{ij}\in d$ (i, $j=1,$$\deg a_{ij}<\deg c_{i}+\tilde{d}_{i}-\tilde{d}_{j}$$\hat{b}_{i}$$k$$\ldots,$

SdMubleo ($\Gamma^{\sigma}$$\iota$を満たすものがある. symm(S$(\mathrm{P}\mathrm{c})^{K}$)$\subset U$

s と置くと$\deg\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}1\mathrm{e}}^{M}}^{\#}\circ\Gamma^{\sigma}(\tilde{\tilde{\Psi}}_{i})<\deg c_{i}.+\tilde{d}_{i}$$\Psi_{i}-\sum_{j=1}^{k}\approx\tilde{\Psi}_{j}\hat{a}_{ij})=0$(gc)K を戒分とする$k$

定めると次数に関する考察により $\gamma(\det A)\neq 0$ となる. また,(4.10)

dO1.o$\iota_{V}^{\#}$.

$\Gamma^{\sigma}(\tilde{\Psi}_{i}$であるので,

) で

次正方行列

$A$

(

$A:=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}$の余因子行列を$i=1,$$\det A-\sum_{j=1}^{k}\sum_{s=m+1}^{m},\mathrm{F}s\tilde{a}ijbjs)=0$$\ldots$,$\hat{c}_{1,\ldots*}$$\tilde{A}=(\tilde{a}ij)$)$k$$-(\hat{a}_{ij})$

を

とすると

$k$

を得る.
ここて,

(\Psi )

を任意に取る. 補題 412 より$\psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{W}(V^{M}/V_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{k}}^{M},S_{\mathrm{H}}(\mathrm{o}\mathrm{c}))$$=\iota_{V_{\triangleleft \mathrm{n}\phi}^{M}}^{\#}(\psi)$

であるものが取れる. 一方$a_{1},$$\ldots,$$a_{k}\in d$を「$\Psi\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$で

l#VrMn*lG。

$(\Psi-\overline{\Psi}1\mathrm{a}_{1}-\cdots-\tilde{\Psi}k\delta_{k})=0$$\iota_{V_{\mathrm{d}\mathrm{m}\mathrm{b}1\text{\’{e}}}^{M^{\circ}}}^{\#}$となるように取れる. そこて$\Psi’=\Psi\cdot\det A-\sum_{i=1}\sum_{j=1}\sum_{s=M+1}\Psi_{s}\hat{a}_{i}\tilde{a}_{ij}\hat{b}$と置くと, (4.9) と (4.10) よりとなる. 従って $J=$ {$c$$\iota_{v_{uw\mathrm{e}}^{u}}^{\#}\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi’)=\gamma(\mathrm{d}e\mathrm{t}A)\cdot\iota_{V_{*\mathrm{i}\Phi}^{M}}^{*}.(\psi),$$\epsilon d;c\cdot\psi\in$$(\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V,$$U(\mathfrak{g}_{\mathrm{C}})))$

js$\iota_{V_{\mathrm{d}\alpha\iota \mathrm{b}\mathrm{k}}^{M}}^{*}\circ\Gamma^{\sigma}(\Psi’)=0$, 艮pち$\mathrm{r}$(甲’) $=\gamma(\det A)\cdot\psi$

これは $d$ の 0 でないイデアノレて} と置くと,ある.

$J=d$ をいえば定理の証明は完結する.

$’\subseteq d$

とすると,

$J$ の

0 以外の最小次数の元 は定数て$c$ない.
$\Gamma^{\sigma}(\Psi’’)=c$

となる甲”

.

omK
を取って \S 2 の行列$\in$$\mathrm{H}$$(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c}))$を取る.

$P^{\sigma}=(\gamma\circ\overline{\Psi}j[v_{i}])$$\ldots-\overline{\Psi}_{m}\hat{e}_{m}\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}(V, U(\mathfrak{g}\mathrm{c})\mathrm{f}\mathrm{c})$てあるが, これは$P^{\sigma}$$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}_{K}$($V,$ $\mathrm{s}\mathrm{y}\mathrm{m}\mathrm{m}(\mathscr{K}_{K}$.$(p))) の基 {$\overline{\Psi}_{1}$, .. ., 中,} およひを定める. 系 22 と (44) の完全性により $e1,$となるように取れる. このとき$\ldots,$$V^{M}$の基 {$e_{m}\in d$$v_{1},$

を甲$\ldots$,v。}$\prime\prime-\overline{\Psi}_{1}\hat{e}_{1}-$$\Gamma^{\sigma}(\overline{\Psi}_{1})\gamma(\hat{e}_{1})+\cdots+\Gamma(\overline{\Psi}_{m})\gamma(\partial_{m})=c\cdot\psi$を使って(4.11)$P^{\sigma}(\begin{array}{l}\gamma(\hat{e}_{1})\vdots\gamma(\hat{e}_{m})\end{array})=c(\begin{array}{l}\psi[v_{1}]\vdots\backslash \psi[v_{m}]\end{array})$と書くことがてきる.
$\lambda\in$

幅が $c(\lambda)=0$ を満たすとき常に \gamma ( 1)(\lambda )${\rm Re}\langle w\lambda,\alpha\rangle\geq 0(\forall\alpha\in\Sigma^{+})$

こで (4.11) の両辺の$w\lambda$$=\cdots$=\gamma ( m)(\lambda ) $=0$ てあることを示す.

となるように取る. $c\in d=S$ ( ac)W てあるので$c(\lambda)=0$のとき$w\in W$ を

$c(w\lambda)=0$. こての値を見ると$P^{\sigma}(w\lambda)(\begin{array}{l}\gamma(\partial_{1})(w\lambda)\vdots\gamma(\mathcal{E}_{m})(w\lambda)\end{array}\}=\{\begin{array}{l}0\vdots 0\end{array}\}$てある. 命題 23 により$\gamma(\hat{e}_{1}),$で$\ldots,\gamma(\hat{e}_{m})\in d=S$$P^{\sigma}(w\lambda)$は正則なのて $\gamma(\hat{e}_{1})(w\lambda)=\cdots=\gamma(\hat{e}_{m})(w\lambda)=0(i=1, \ldots,m)$ てあるが,(\mbox{\boldmath $\alpha$}c)W であるから \gamma ( 1)(\lambda )$=\cdots=\gamma(\hat{e}_{m})(\lambda)=0$([He2, Theorem 3 月) , その全ての極大イデアルはある$\lambda\in$がいえた.

$d$ は多項式環と同型

幅により $\{f\in d;f(\lambda)=0\}$ て与えられ105
る([ibid., Lemma 3.11]). 従って上の事実はす.

$c’,$ $e_{1}’,$$\ldots,$$e_{m}’\in d$

を $c=c’c_{0}$ , \gamma ( i)$c$$=\gamma(\hat{e}_{i}’)c$$\Gamma^{\sigma}(\Psi’’’)=c’$

となる.

これは

$c$

の任意の既約因子 $c0$ が全ての0 である元とし,. ,$\psi$$\deg c’<$$\gamma(\hat{e}_{1})$$\Psi’’’=\overline{\Psi}_{1}\hat{e}_{1}’+\cdots+$deg

を割り切ることを示中$m\hat{e}_{\acute{m}}$

と置くと

$c$

の次数の最小性に反する. 故に $J=d$ .

口

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