数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 123-130123

平行な平面場を持つリーマン多様体のべッチ数について

大町英理子 ( Eriko Omachi )\S 1. 序.

$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$Riemann 計量を$\mathrm{g}=$を向き付け可能な連結コンパク トで表す.

$(\mathrm{g}_{\mathrm{j}}\mathrm{i})$またの$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$p 次 Bet個または 2 個の平行ベク トル場を持つとき, その Bett$\mathrm{L}\mathrm{i}$chnerow cz 等が研究しているが ([1] [2]) , より$\mathrm{i}$ル場を持つ場合, Bet

不等式.

$\mathrm{p}$$\mathrm{s}$$.(-1)^{\mathrm{i}}$–数を$\mathrm{t}\mathrm{i}$$\mathrm{i}$で表す.

$\mathrm{b}_{\mathrm{p}}$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$.

が$\mathrm{r}(1\leqq \mathrm{r}\leqq \mathrm{n})$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$が1数に関して L. Karp や A.

般に,$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$が個の平行ベク ト$\mathrm{r}$数に関して次の不等式が知られている ([3])$\mathrm{t}\mathrm{i}$定理 (Ogawa –Tachibana)$\Sigma$

次元 Riemann 多様体とし,$\mathrm{n}$:個の平行ベク トル場を持つとき,$\mathrm{v}^{1}\cdot-\cdot|$$($$\mathrm{i}=0$$)\mathrm{b}_{\mathrm{P}^{-\mathrm{i}}}\geqq 0$,$(1\leqq_{\mathrm{S}}\leqq \mathrm{r}, 1\leqq \mathrm{p}\leqq \mathrm{n})$が成り立つ.
ここでは,$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$が向き付け可能な平行 2 次元$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}$ibut ion を持つ場合に, Bett

関してどのような不等式が成り立つかを調べる. 扱う関数やテンソルはすべて$\mathrm{i}$数に$\mathrm{c}^{\infty}$とする.
$\mathrm{I}\mathrm{I}_{\mathrm{P}}$を$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$便宜上,上の調和 p-形式全体のなすベク トル空間とすれば,$\mathrm{p}>\mathrm{n}$または$\mathrm{p}<0$の時には$\mathrm{H}_{\mathrm{F}^{\mathrm{t}}}=\{0\}$$\mathrm{d}$im$\mathrm{H}_{\mathrm{P}}=\mathrm{b}_{\mathrm{p}}$である.

とし, その上では各作用素は自明に作用するものとする.
ベク

ともに

P-形式

トル場
$\mathrm{u}$$\mathrm{w}$$\mathrm{u}^{\mathrm{j}}(\partial/\partial \mathrm{x}^{\mathrm{j}})$で表す.

$\mathrm{u}$

は

1-形式

$\mathrm{u}_{\mathrm{i}}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{i}}$$(\mathrm{u}_{\mathrm{i}}=\mathrm{g}\mathrm{i}_{d}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{j})$による外積および内積作用素をに対しては, Xl,$\cdot$.. .

$\mathrm{X}_{\mathrm{P}^{-1}}$$\mathrm{e}(\mathrm{u})$と必要に応じて同–視し,,$\mathrm{i}(\mathrm{u})$を接ベク トルとするときで表す. すなわち,

124

e(u)w

$=\mathrm{u}\wedge \mathrm{w}$$(\mathrm{i}(\mathrm{u})\mathrm{w})(\mathrm{X}\iota.

\cdots.

\mathrm{x}_{\mathrm{P}^{-}}\mathrm{l})=\mathrm{W}(\mathrm{u}, \mathrm{X}_{1}, \cdots.

\mathrm{X}_{\mathrm{P}^{-}\mathrm{l}})$であり,$\mathrm{e}(\mathrm{u})^{2}=\mathrm{i}(\mathrm{u})^{2}=0$をみたす.

また, 単位ベク トル$\mathrm{u}$

に対しては

I

$\mathrm{i}(\mathrm{u})\mathrm{e}(\mathrm{u})+\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{i}(\mathrm{u})=$が成り立つ.

I は恒等作用素である. 上の定理はこれらの性質を使って証明さ

ここに

れる.

以下,

\S 2. 平行な平面場に関連する作用素.
$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}$ribut on$\mathrm{i}$$\mathrm{D}$を持つと仮定する.

これらは局所的な

ベク$\mathrm{c}^{\alpha)}$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$の正規直交基底$\mathrm{D}$は向き付け可能な平行 2 次元$\mathrm{u}=(\mathrm{u}^{1}’)$,$\mathrm{v}=$(V i) をとる.

トル場である

このとき$\pi_{\lrcorner^{\mathrm{i}}}$

とおくと
$\pi$

$=0$ ,$\nabla \mathrm{k}\pi.\mathrm{i}\mathrm{i}$は同じ向きを持つ

る.

すなわち

吉

$=$

$\pi$

$\mathrm{D}$$–\mathrm{u}_{\mathrm{i},\lrcorner}\mathrm{v}_{\mathrm{i}}-\mathrm{u}_{i}\mathrm{v}_{1,\sim}$

すなわち

$\pi$

$=$

が平行であることが示される. また,$(\pi_{\mathrm{j}}\mathrm{i})$の正規直交基底のとり方によらず, 大域的に定まることも分か
は,$\pi \mathrm{i}\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{j}}\nwarrow \mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{i}}$

義される大域的な 2-形式である.

$\pi$$\mathrm{u}$,$\mathrm{v}$を 1-形式と見なせば,$\pi$$–\mathrm{u}\wedge \mathrm{v}$で定に関する外積および内積作用素を定義する. P-形$\wedge \mathrm{d}\mathrm{x}\grave{\mathrm{v}}_{\neg,\mathrm{t}}$式$\mathrm{w}=$$[]^{arrow}\llcorner$$.k^{-}\mathrm{P}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\vee}’\wedge \mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{I}_{l}}\iota_{\lambda}\wedge$$(1/\mathrm{p}!)\mathrm{w}_{\downarrow,\mathrm{t}}f$対して$\mathrm{e}(\pi)_{\mathrm{W}}=\pi\wedge \bm{\mathrm{w}}$$\grave{\iota}_{?}$$.\grave{\iota}_{3}$$\triangleright \mathrm{j}$$\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{W}}=(1/(_{\mathrm{P}^{-}}2)!)(\urcornerarrow|\mathrm{r}\pi \mathrm{w} )$dx$\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}\mathrm{x}$$(\mathrm{p}\geqq 2)$$|\backslash \backslash \dot{\dagger}\mathrm{t}_{*}\cdot\cdot\cdot\wedge^{\wedge}i\mathrm{P}$$\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{W}}=0$

によって作用素$(\mathrm{p}=0.

$\mathrm{e}(\pi)$

および

1)$

を定める.

$\mathrm{i}(\pi)$

また$\phi(\pi)=\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{i}(\mathrm{u})+\mathrm{e}(\mathrm{v})\mathrm{i}(\mathrm{v})$により作用素 $\phi(\pi)$ を定義する.
あることが確かめられる.

$\mathrm{u}$,$\mathrm{v}$は局所的であるが,$\phi(\pi)$は大域的な作用素で

125\S 3. 結果.

$\pi$に関する内積と外積の定義より$\mathrm{i}(\pi)=\mathrm{i}(\mathrm{v})\mathrm{i}(\mathrm{u})$

であり,

,

(1)

$\mathrm{e}(\pi)=\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{e}(\mathrm{v})$

これらを使って$\mathrm{i}(\pi)^{2}=\mathrm{e}(\pi)^{2}=0$が示される.

さらに,$\mathrm{i}(\pi)\mathrm{e}(\pi)$を P-形式$\mathrm{w}$に作用させ (1) を使うことによって,次の定理が証明される.

I

定理 1

(2)

$=\mathrm{i}(\pi)\mathrm{e}(\pi)+\phi(\pi)-\mathrm{e}(\pi)\mathrm{i}(\pi)$が成り立つ.

$\mathrm{e}(\pi)$$\phi(\pi)_{\mathrm{P}}$,$\mathrm{i}(\pi)$,$\phi(\pi)$を p-形式に対して作用させる時,と書くことにする.

もし$\mathrm{w}$が調和であれば,調和であることが, 直接, 計算によって示される.
$\mathrm{K}_{\mathrm{P}}=\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{P}^{-\mathrm{J}}}(0)$

とおくと,

それぞれ

$\mathrm{i}(\pi)\mathrm{w}$および$\mathrm{e}(\pi)_{\mathrm{P}}$,$\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{p}}$$\mathrm{e}(\pi)\mathrm{w}$

もまた

ここで

$\cap$$\mathrm{H}_{\mathrm{P}}$(1) から$\mathrm{i}(\pi)_{\rho^{(\mathrm{H}_{\mathrm{P}}}})$$\subset \mathrm{K}_{\mathrm{p}- 2}$が得られる.
さてここで,

前節で定義した作用素$\phi$

に関する条件$\phi(\pi)=2\mathrm{e}(\pi)\mathrm{i}(\pi)$(A)を考える. p-形式に対する条件 (A), すなわち$\phi(\pi)_{\mathrm{P}}=2\mathrm{e}(\pi)_{\mathrm{P}^{- 2}}\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{F}^{\mathrm{I}}}$(A)$\mathrm{P}$を (A) で表す.
$\mathrm{P}$いま, 条件 (A)p-2 を仮定しておく. すなわち$\phi(\pi)_{\mathrm{P}^{-2}}--2\mathrm{e}(\pi)_{\mathrm{p}^{-4}}\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{P}^{- 2}}$が成り立つものとする.

Iが得られる.

このとき (2) によって$–\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{P}^{\mathrm{e}}\mathrm{P}^{-_{d}}}(\pi)’+\mathrm{e}(\pi)_{\mathrm{P}^{- 4}}\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{p}^{-}2}$

これを使うと,$\mathrm{w}$$\epsilon_{-}^{-}\mathrm{K}_{\gamma- 2}$

に対して

(A)

$\mathrm{P}^{-2}$

,

126

–. I

$\mathrm{w}$となり,$\mathrm{w}$が$\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{P}}$(Hp) に含まれることが分かる. 従って(A)p-2 のもとで,このことから, 条件る.

$\mathrm{w}--\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{p}^{\mathrm{e}}\mathrm{p}^{-\cap \mathrm{w}}}(\pi)\mathrm{c}$間として同型であることが分かる. 従ってはは$\mathrm{H}_{\mathrm{p}}$$\mathrm{K}_{\mathrm{P}}$$\mathrm{x}_{\mathrm{p}}$の次元をと$\mathrm{k}_{\mathrm{p}}$$\mathrm{K}_{\mathrm{p}- 2}$$\mathrm{K}_{\mathrm{p}-2}$$\mathrm{i}(\pi)_{\mathrm{P}}(\mathrm{H}_{\mathrm{P}})$$\mathfrak{l}^{-}arrow$

であの直和にベク トル空とし,$\mathrm{p}<0$,$\mathrm{p}>\mathrm{n}$の時にとすれば, 次の定理が成り立つ.

kp $–0$定理 2

条件 (A)$\mathrm{P}^{-2}$を仮定すれば, 関係$\mathrm{b}_{\mathrm{P}}--\mathrm{k}_{\mathrm{P}}+\mathrm{x}_{\mathrm{p}- 2}$が成り立つ.
この定理から次の定理が得られる.
定理 3
(A)

$\eta$

が$\mathrm{n}$を越えない偶数 (または奇数)$\mathrm{p}-4\Gamma^{-}2\leqq$$\mathrm{q}\leqq \mathrm{p}^{-}2$$\mathrm{P}$と任意の自然数$\mathrm{r}$をみたすすべての偶数 (または奇数)に対して, 条件$\mathrm{q}$に対して成り立つならば,

2$\mathrm{r}$$\Sigma$$(-1)^{\mathrm{i}}$bp-2$\mathrm{i}$$–\mathrm{k}_{\mathrm{P}}+\mathrm{k}_{\mathrm{P}}-4$\ulcorner -2$\geqq 0$$\mathrm{i}--0$が成り立つ.

\S 4. 条件 (A) の局所表現.

前節において仮定した条件 (A) について考えよう.

まず, 今までに導入した作用素間に, 次の関係が成り立つことに注意する.
$\mathrm{i}(\mathrm{u})\mathrm{e}(\pi)\mathrm{i}(\pi)--\mathrm{e}(\mathrm{v})\mathrm{i}(\pi)$$\mathrm{i}(\mathrm{v})\mathrm{e}(\pi)\mathrm{i}(\pi)--$$\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{i}(\pi)$-$\mathrm{i}(\mathrm{u})\phi(\pi)--\mathrm{i}(\mathrm{u})+\mathrm{e}(\mathrm{v})\mathrm{i}(\pi)$$\mathrm{i}(\mathrm{v})\phi(\pi)--\mathrm{i}(\mathrm{v})$-$\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{i}(\pi)$

これらの関係を使って次の定理が証明される.
定理 4

条件 (A) は,127$\mathrm{i}(\mathrm{u})=\mathrm{e}(\mathrm{v})\mathrm{i}(\pi)$(3)$\mathrm{i}(\mathrm{v})---\mathrm{e}(\mathrm{u})\mathrm{i}(\pi)$(4)とが同時に成立することと同値である.
定理 4 を使って, 条件 (A)$(\mathrm{w}_{\grave{\iota}_{1}},, \sim_{\mathrm{q}}\backslash |)$(3) と (4) を P-形式の局所表現を与えよう$\mathrm{P}$に作用させると(5)$\sum_{l^{-}}?-Z(-1)\text{広}\mathrm{v}_{\dot{\mathrm{A}}L}.\mathrm{u}^{V}j\mathrm{V}^{\backslash ^{\wedge}}\mathrm{w}_{C\mathrm{S}}\dot{\iota}_{\mathit{1}}\ldots$$\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{w}_{\mathrm{r}.\dot{\mathrm{b}}_{2}}.$.

.-.

$\dot{\sim}\mathrm{r}--$$\bigwedge_{\backslash \prime}$$\grave{\wedge}\mathrm{P}$$\sim$

が得られる.

$\mathrm{D}$と$\mathrm{D}^{\perp}$$\mathrm{D}$

その部分の添字が除かれていることを表す.

に直交する$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}$ibution を

は共に積分可能である. 従って等長である.
$\mathrm{n}\}$は,$\mathrm{M}$

’2

の局所座標

から構成される(6)$’ \chi\sum_{-arrow \mathrm{z}}^{\mathrm{f}}\circ(-1)l\mathrm{u}\mathrm{v}^{V}\dot{u}_{k}\mathrm{u}^{\mathrm{s}}\mathrm{w}_{\Gamma\overline{\mathrm{S}}\tilde{\iota}_{2}}\ldots \mathrm{A}_{\backslash }\sim\iota^{\sim-}.\grave{k}\uparrow$$\mathrm{v}^{\mathrm{v}^{\sim}}\mathrm{w}r\mathfrak{i}_{\mathrm{z}}\cdots k^{*}\mathrm{P}--$

ここで,$\mathrm{w}--$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$$\mathrm{D}$が平行であることから,は局所的には Riemann 積$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$と$\{\mathrm{x}^{\mathrm{a}} ; \mathrm{a}--1.2\}$

の座標

で表せば,

$\mathrm{D}^{\perp}$の局所座標 {$\mathrm{M}^{*\mathrm{n}- 2}$$\{\mathrm{x}^{\mathrm{I}} ; \mathrm{I}--1.2.3.

, \mathrm{n}\}$coordinate と呼ぼう. この座標に関して, P-形式

をとり,$\mathrm{x}^{\wedge}’$$\mathrm{M}’ 2\cross \mathrm{M}’\cap-2$;$\lambda--3$.

に,

これを adaptedは$\bm{\mathrm{w}}$$\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{I}_{\mathrm{P}}$$\mathrm{w}--$$\sim\iota_{\mathrm{r}}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{I}_{1}}\wedge\backslash ..\wedge$$\overline{\iota}_{1}<\Sigma..\nwarrow\overline{\mathrm{L}}_{\uparrow}\mathrm{w}\mathrm{I}_{\iota}\cdots$

, dx

$–$
$\mathrm{A}_{\mathrm{i}}<\Sigma\ldots \text{く}J^{\cdot}\backslash ?\mathrm{w}_{\wedge},$$+$$\wedge \mathrm{a}<<\wedge\gamma\Sigma..\mathrm{w}\alpha,\backslash _{\mathrm{z}}\cdot$$+$.

$\mathrm{w}$へb$\sum_{\iota\backslash \backslash \mathrm{b}}$$\lambda,\wedge\cdots\wedge \mathrm{d}\mathrm{x}^{J}\backslash$?

$\cdots\bigwedge_{1}$$’\backslash _{3}$.

...

$\mathrm{A}_{1^{\neg}}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\ }\wedge \mathrm{d}\mathrm{x}’\wedge\backslash _{2}\ldots$

dx へ

A

$\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{A}}$

’

(7)
,

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{d}\mathrm{x}\mathrm{b}_{\wedge}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\iota_{3}}\backslash \cdots\wedge’,\mathrm{d}\mathrm{x}’.\backslash _{\mathrm{f}}$$\bigwedge_{\mathrm{r}}$$’\backslash _{3}<\sim_{-\prime<\dot{\Lambda}}\gamma$と表せる. 添字の範囲は,$\mathrm{a}$.

$\mathrm{b}--1$. 2,

右辺の第 1, 第 2, 第 3 各項をそれぞれ’$\mathrm{w}--\bm{\mathrm{w}}^{\mathrm{t}\mathrm{I})}$$+\mathrm{w}^{\mathrm{i}1\mathrm{l})}$$+\mathrm{w}^{\downarrow’\mathrm{l}}\mathrm{I}1$)$\lambda 1$$\mathrm{w}^{(\mathrm{I})}$と分解される.

,,,$\lambda_{\mathrm{P}}--3$$\mathrm{w}^{(\mathrm{I}\mathrm{l}\rangle}$’$\mathrm{w}--\mathrm{W}^{\mathrm{t}\mathrm{I})}$,,$\mathrm{w}^{\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{l}_{\grave{J}}}$,$\mathrm{n}$

である.

(7) の

で表せば P-形式のとき I 型,$\mathrm{w}--\mathrm{w}^{(1\mathrm{l}_{\grave{\prime}}}$$\mathrm{w}$

は

のとき

128

皿型,

$\mathrm{w}--\mathrm{w}^{\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{l}1}$$\mathrm{w}^{(\mathrm{l}}\mathrm{l})$,)のとき皿型であるとよぶことにする.

coordinate に関して$\mathrm{u}\overline{-}\Sigma$$\mathrm{u}_{5}\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{a}}$久.

$\mathrm{u}^{*}\mathrm{w}$$\mathrm{v}^{\iota\backslash }\mathrm{w}$aが調和であれば,も調和であることが 直接計算することによって示せる$\mathrm{w}^{(\mathrm{I}}\mathrm{l}\mathrm{I})$へ$\mathrm{w}$$\mathrm{I}_{\mathit{1}}$$\Sigma$$–$,$\mathrm{v}--\Sigma$$(-1)^{\mathrm{A}}\mathrm{v}$

Va

とすれば,

$\mathrm{d}\mathrm{x}^{\mathrm{a}}$\S$1_{\lambda}$$\mathrm{I}_{\mathrm{A}}\sim..\tilde{\overline{\perp}}_{\gamma}$.

$(-1)^{\angle}$$\mathrm{w}$$\mathrm{u}_{\mathrm{I}_{|\mathrm{L}}}\mathrm{V}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{u}^{\mathrm{b}}$へb$\mathrm{A}=_{2}$$\mathrm{T}_{l}.\cdot\cdot\cdot \mathrm{I}_{\uparrow}$

adapted(8)$\backslash$ab,(5) と (6) は$\mathrm{u}^{\backslash \iota}\mathrm{v}^{\mathrm{D}}\mathrm{w}$$\overline{1}_{i_{-}}$$l\overline{\sim}\mathrm{z}$$\mathrm{I}_{\mathrm{P}}$.

$\mathrm{w}^{(\mathrm{l}\grave{\mathit{1}}}$$\mathrm{I}_{2},.$. 工象 ..

(9)$\iota_{\mathrm{f}}$,となる.
が I 型の場合には (8) と (9) は常に成り立つ.

$\mathrm{w}$

右辺は

$0$

が皿型の場合には (8) および (9) の

であるから

.
$\mathrm{u}$$\wedge’ \mathrm{A}_{5\mathrm{L}}..\mathrm{A}_{\Gamma}$$\mathrm{v}^{1}.\mathrm{w}\iota,\backslash _{\lambda}\cdots\bigwedge_{\mathrm{p}}$これと$\mathrm{u}$

,

$–0$

$+\mathrm{u}^{-}\mathrm{w}$$\mathrm{w}$$\mathrm{t},\backslash _{2}\cdots\bigwedge_{\gamma}$となり,$\mathrm{w}$$\mathrm{v}$$+\mathrm{v}^{2}\mathrm{w}_{\mathrm{Z}\bigwedge_{\sim}\backslash \cdots\wedge\tau,\mathrm{t}}$$–0$が正規直交であることから$–0$$\mathrm{w}\iota\backslash \bigwedge_{1}..\wedge \mathrm{r}$が得られる.

$\mathrm{w}$が皿型である場合には,(と (9) は$8\rangle$$\mathrm{u}‘(\mathrm{w}_{C\backslash \mathrm{C}\lambda;}..’\backslash _{\mathrm{p}}--\mathrm{v}_{\mathrm{c}}\mathrm{u}^{\iota\backslash }\mathrm{v}^{\mathrm{b}}\mathrm{w}_{4\mathrm{b}\mathrm{A}_{\delta}}$..

$\Lambda_{\uparrow}$.
$\mathrm{v}^{C\backslash }$$\mathrm{w}_{\mathrm{I}\lambda \mathrm{C}\prime\backslash 3}..\bigwedge_{\mathrm{Y}}--\mathrm{u}_{r,\vee}\mathrm{v}^{\mathrm{A}}\mathrm{u}^{1\backslash }\mathrm{w}_{\mathrm{a}\mathfrak{y}\backslash _{\grave{J}}},../\_{1}\urcorner$

である.

従って, 次の定理が成り立つ.

定理 5adapted coord nate に関して, 条件 (A)$\mathrm{i}$(i)$(\mathrm{i}\mathrm{i})$(i)$(\mathrm{i}\mathrm{i})$が共に成り立つことと同値である$\mathrm{w}^{\mathrm{t}\mathrm{I}\mathrm{I})}$$\mathrm{w}^{(}[]\mathrm{I})$

:

$–0$

に対して
$\mathrm{u}^{\mathrm{t}^{\neg}}\wedge \mathrm{w}$$–\mathrm{v}$$\mathrm{c}\backslash \mathrm{c}\wedge$;$\mathrm{c}$$\mathrm{x}_{?}$.

.

$\alpha$$\Lambda_{3}\ldots\wedge\rho$$\mathrm{v}^{\iota\backslash }\mathrm{w}\mathrm{t}\hat{\lambda}\mathrm{C}\wedge 3^{\cdot}’$を満たす (P-2)-形式$\bm{\mathrm{w}}^{(\mathrm{I})}$に対しては$(\mathrm{A})_{\mathrm{p}}$$\mathrm{A}_{\mathrm{p}}---\mathrm{u}_{\mathrm{c}}\alpha_{\lambda_{3}}\ldots’\backslash _{\mathrm{p}}$,$\alpha_{\mathrm{X}_{3}},\neg\cdot\cdot \mathrm{A}_{1}$が存在する.

は何の条件も課さない.

$P$

は,

$\mathrm{p}-$形式$\mathrm{w}$に対して次の

129\S 5. Rie ann 積の場合.

この節では,$\bullet$とする.
$\mathrm{M}^{\mathrm{n}},$$\mathrm{M}2,$

および$\mathrm{M}2$$\mathrm{M}^{n}$

n-2

は連結,

$\mathrm{M}^{*\mathrm{n}-\underline{\mathrm{Q}}}$p 次 Betの関係$. \sum_{\nu^{\overline{-}}}^{?}$$\mathrm{b}$.

$\mathrm{i}\mathrm{b}^{*}$$\mathrm{b}_{\mathrm{P}}$。

が知られている.

2

これを使って,$\mathrm{b}_{\mathrm{p}}$,が- Riemann 積$\mathrm{M}2\mathrm{x}\mathrm{M}’$n-2 である

向き付け可能であると仮定しておく.
$\mathrm{b}\mathrm{p}$’$\mathrm{b}^{*}\mathrm{P}$で表せば,これらの間に

p-i$\mathrm{b}\mathfrak{g}--\mathrm{b}’ 2--1$,$\mathrm{b}’ \mathrm{q}--0(\mathrm{q}\geqq 3)$に注意すれば,$\mathrm{r}$.

$\Sigma$$–$$(-1)\mathrm{i}\mathrm{b}_{\mathrm{P}^{-2\mathrm{i}}}$$\mathrm{i}--0$$+\mathrm{b}$が得られる.

コンパク ト,数をそれぞれ$\mathrm{t}\mathrm{i}$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}$.

$\mathrm{b}.\mathrm{P}+\mathrm{b}^{*}p-4_{\Gamma}-2$$\mathrm{l}(\mathrm{b}^{*}\mathrm{P}^{-\mathrm{l}}-\mathrm{b}’ \mathrm{P}^{-3}+\mathrm{b}^{\mathrm{r}_{\mathrm{P}^{-5}}}- +\mathrm{b}.\rho-4 \ulcorner- 1)$

この式から次の定理が導かれる.

定理 6Riemann 積多様体$\mathrm{b}$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}--\mathrm{M}2\cross \mathrm{M}$

.

n-2

において,

$–0$

$\mathrm{J}$または$–\mathrm{b}^{*}\mathrm{P}^{-7}--$$\mathrm{b}^{*}p- \mathit{3}r$$\cdot$..

$–\mathrm{b}^{*}\ulcorner+\iota \mathrm{P}^{-4}--0$の何れかが成り立つならば, 不等式$2\mathrm{r}$$\Sigma$$(-1)\mathrm{i}\mathrm{b}_{\mathrm{P}^{-2}}|$’$\geqq 0$$\mathrm{i}--0$が任意の自然数$\mathrm{r}$に対して成り立つ.

定理 6 で得た不等式は, 定理 3 で得たものと同じ不等式である.
ところで

I 型
皿型
$\mathrm{m}$型$\mathrm{H}_{\mathrm{p}}(\mathrm{M}^{\mathrm{n}})$Wl$\theta\Lambda$の基底は次の 3 っのタイプから構成される :(Wl$\epsilon_{-}^{-}\mathrm{H}_{\mathrm{P}}(\mathrm{M}^{n}$W2$\pi\wedge \mathrm{w}_{3}$

I 型に対して, 条件
ある.

(
(

n-s)) ,$\theta\epsilon \mathrm{H}_{\mathrm{t}}(\mathrm{M}^{\cdot}\mathrm{e})$$\mathrm{w}_{3}\epsilon \mathrm{H}_{\mathrm{P}^{-2}}(\mathrm{M}*$$(\mathrm{A})_{\mathrm{P}}$は,$\mathrm{b}1$, W2$\dot{\mathrm{b}}_{-}^{-}\mathrm{H}_{\mathrm{P}^{-1}}(\mathrm{M}" \mathrm{n}-\rho)$

),

n-2))
または

皿型に対しては, 定理 5 における$\alpha$$\mathrm{b}’ P^{-}\mathrm{J}$

として

の何れかが
$\mathrm{w}_{3}$$0$になることと同値でをとることができ,(A) が常に$\mathrm{P}$130

みたされていることが分かる. 以上より次の定理が得られる.

Riemann 積多様体

定理 7

... ,

$(\mathrm{A})_{\mathrm{P}^{-4\Gamma}}+2$$\mathrm{M}^{\mathrm{n}}--\bm{\mathrm{M}}$Qx-$\mathrm{M}^{n}$n-2において, 条件 (A)$\mathrm{F}^{--2}$(A)p-s,’が成り立つならば, 不等式2$\mathrm{r}$$\Sigma$. .

$(-1)^{\mathrm{i}}\mathrm{b}_{\mathrm{p}- 2}$$\geqq 0$$|$$\mathrm{i}--0$が任意の自然数$\mathrm{P}$,に対して成り立つ.

$\mathrm{r}$参考文献

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