数理解析研究所講究録
916 巻 1995 年 40-5140非心分布の近似について

鳥越規央 (筑波大数学)

1. はじめに非心分布のパーセント点の近似式については、いろいろな観点から論じられている ([AA90],[B93], [CR87], [G90], [JK70], [M86], [Sh81], [WG93], [Y72] 。最近、非心 分布の近似式がカイ統計量と標準正規統計量の線形結合による統計量の分布の Cornish-Fisher 展開を用いて導出され、従来の近似式より良いことも示されている
本論では自由度 \nu 、至心度 の里心カイ 2 乗分布\mbox{\boldmath $\chi$}2と自由度, \nu 2 、非心度 の非心 分布の近似について考察する。 -般に回心 分布は分散分析における検定の検出力を求めるときなどに用いられ、 また非心カイ 2 乗分布は非心 分布の極限として考えることもできるが、 カイ 2 乗適合度検定、その他の離散分布に関する仮説検定の検定
統計量の対立仮説の下での漸近分布としても現われる。従って任意の自由度、非心度についての検出力を求めたり、寸心度についての検定や信頼区間を求めるときにパーセント点が重$)$$\mathrm{t}$$([\mathrm{A}93], [\mathrm{A}\mathrm{S}\mathrm{T}94])$$(\nu, \xi)$$\xi$$\mathrm{F}$$F(\nu_{1}, \nu_{2}, \lambda)$。

$(\nu_{1}$$)$$\mathrm{F}$$\lambda$$\mathrm{F}$$\mathrm{F}$要になる。 しかし、非 JL“\mbox{\boldmath $\chi$}2 分希\mbox{\boldmath $\chi$}2$(\nu, \xi)$や非心$\mathrm{F}$分布$F(\nu_{1}, \mathcal{U}_{2}, \lambda)$の密度関数は$p_{\chi^{2}}(x; \nu, \xi):=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-}\frac{\epsilon}{2}\frac{1}{k!}(\frac{\xi}{2})^{2}\frac{2^{-(\mathcal{U}+)}2k/2}{\Gamma(k+\nu/2)}X(\mathcal{U}+2k)/2-1-ex/2$$p_{F}(x;\nu_{1}, \nu_{2}, \lambda)$$(0<X<\infty)$ ,$:= \frac{e-\lambda/2\nu_{1}^{\mathcal{U}}1/2\nu_{2}1\text{ノ}2/2}{B(\nu_{1}/2,\nu_{2}/2)}x^{\mathcal{U}_{1}}-1(/2\nu 2+\mathcal{U}_{1}x)-(\nu 1+\nu 2)/2$$\cross\sum_{k=0}^{\infty}\{\frac{\lambda\nu_{1^{X}}}{2(\nu_{2}+\nu_{1^{X}})}\}^{2}(\frac{1}{k!})\frac{B(\nu_{1}/2,\nu 2/2)}{B(\nu_{1}/2+k,\nu 2/2)}$$(0<x<\infty)$ ,と複雑で、 その積分、つまり分布関数は不完全ベータ関数比を用いた形となり、パーセント点等を具体的に求めるためには、大規模な数値計算を必要とする。 また統計数値表も利用できるが、複数のパラメータをもつために、 それもかなり限定される ([Y72])。以下の節では従来の近似式の考え方を踏まえて[A93] と類似の方法を用いてカイ統計量の分布$([\mathrm{S}\mathrm{h}81])\text{、}$の Cornish-Fisher 展開から新しい近似式を求め、従来の近似式と比較検討する。

2. 非心カイ 2 乗分布のパーセント点の近似式

まず従来の非心\mbox{\boldmath $\chi$}2 分布\mbox{\boldmath $\chi$}2$(\nu, \xi)$の上側 100\alpha パーセント点\mbox{\boldmath $\chi$}2$(2.1)\sim(2.3)$ がよく用いられてきた(2.1)$([\mathrm{S}\mathrm{h}81])$$(\alpha;\nu, \xi)$の近似式の中で次の。

$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)=(\nu+\xi)(\mu+\sigma u_{\alpha})1/h$(Sankaran の近似式 [Sa63]).

41

但し、 u。は標準正規分布$N(\mathrm{O}, 1)$の上側 100\alpha パーセント点、$h=1- \frac{2}{3}\frac{(\nu+\xi)(\nu+3\xi)}{(\nu+2\xi)^{2}}$,$\mu=1+h(h-1)\frac{(\nu+2\xi)}{(\nu+\xi \mathrm{I}^{2}}+h(h-1)(h-2)(1-3h)\frac{(\nu+2\xi)^{2}}{2(\nu+\xi)^{4}}$

,

とする。

(2.2)

(Patnaik の近似式 [Pa49]).

$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)=C1\chi^{2}(\alpha;m)$

但し、$c_{1}= \frac{\nu+2\xi}{\nu+\xi}$,$m= \frac{(\nu+\xi)^{2}}{(\nu+2\xi)}$

とする。

(2.3)

(Pearson の近似式 [Pe59]).

$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)=c_{2}\chi^{2}(\alpha;n)+b$

但し、$b=- \frac{\xi^{2}}{(\nu+3\xi)}$,$c_{2}= \frac{(\nu+3\xi)}{(\nu+2\xi)}$$n= \frac{(\nu+2\xi)^{3}}{(\nu+3\xi)^{2}}$とする。
上の (2.1) は Wilson-Hilferty の近似式の拡張に相当する近似式である。非心カイ 2 乗分布とし、 自由度 の中心カイ 2 乗分布\mbox{\boldmath $\chi$}2 $(m)$ に従う確率変数をに従う確率変数を$\chi^{2}(\nu, \xi)$$\mathrm{m}$$\chi_{\nu,\xi}^{2}$の分布で近似することに対応するもので、 $m$とは次、 2 次キュムラントを等置することにより定められている。 さらに、の分布で近似すれば (2.3) が得られ、 3 次までのキュムラントを等$(x_{\nu,\xi}^{2}-b)/C2$ の分布をの上側を中心カイ 2 乗分布が求められる。 このとき置してセント点とすると、 これは Cornish-Fisher 展開により次式で近似される。

$\chi_{m}^{2}$とすると、 (2.2) は$\chi;\text{の}$$\chi_{\nu,\xi}^{2}/c1$$x_{\nu,\xi}^{2}/C_{1}$の分布を$\chi_{m}^{2}$$c_{1},$$1$$\chi_{n}^{2}$$b,$$c_{2},$$\chi^{2}(\nu)$$\chi^{2}(\alpha;\nu)$$n$$100\alpha^{\text{ノ}}\backslash ^{l}-$$\chi^{2}(\alpha;\nu)=\nu+\sqrt{2\nu}u_{\alpha}+\frac{2}{3}(u_{\alpha}2-1)+\frac{1}{9\sqrt{2\nu}}(u^{3}-\alpha 7u\alpha)$$- \frac{2}{405\nu}(3u_{\alpha}^{4}+7u^{2}-\alpha 16)+O(\frac{1}{\nu})$.

次に (2.3) より、 カイ統計量の分布の Cornish-Fisher 展開を用いて新しい近似式を考える。
の上側 100\alpha パーセント点とすると近似式 (2.3) から、十分大きなを$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)$$\nu$$\chi^{2}(\nu, \xi)$

に対して

(2.4)

$1-\alpha\approx P\{\chi_{\nu,\xi}2<\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)\}$$=P \{\frac{\chi_{\nu,\xi}^{2}-b}{c_{2}}<\frac{\chi^{2}(\alpha\cdot\nu,\xi)-b}{c_{2}},\}$

42になる。 ここで $x_{\alpha}=(\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)-b)/C2$ とし、 $X=(\chi_{\nu,\xi}^{2}-b)/c_{2}$ とすると $X$ は漸近的に$\chi_{n}^{2}$に等しい。 そこで (2.4) の両辺の平方根をとり、 $S_{n}=\sqrt{X}/n$ とおくと、$b_{n}:=B[Sn]= \sqrt{\frac{2}{n}}\mathrm{r}(\frac{n+1}{2})/\mathrm{r}(\frac{n}{2})$$V(S_{n})=1-b_{n}$となるので、 (2.4) は$1-\alpha=P\{Sn<\sqrt{\frac{x_{\alpha}}{n}}\}$$=P \{\frac{S_{n}-b_{n}}{\sqrt{1-b_{n}^{2}}}<\frac{\sqrt{x_{\alpha}/n}-b_{n}}{\sqrt{1-b_{n}^{2}}}\}$となるから, $Y$ を(2.5)$\mathrm{Y}=\frac{S_{n}-b_{n}}{\sqrt{1-b_{n}^{2}}}$によって定義された統計量とすれば $B[\mathrm{Y}]=0,$ $V(\mathrm{Y})=1$ となる。 そこでこの の分布に関する Cornish-Fisher 展開を $o(n^{-3})$ の次数まで得るために、 まず のキュムラントを求め$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$

る。

補題 21

$([\mathrm{A}93])$.

$S_{n}$–bn の 3 次、 4 次キュムラントは$\kappa_{3,n}(S_{n}-bn)=-bn\{2(1-b_{n}^{2})-\frac{1}{n}\}$,$\kappa_{4,n}(S_{n}-bn)=(1-b2n)\{4-6(1-b2n)\}+\frac{4}{n}(1-b2)n-\frac{2}{n}$である。

証明の概略.

$E[S_{n}]=bn’ E[s^{2}]n1=,$ $E[S^{3}n]=(1+1/n)b_{n}$ であるから$\kappa_{3,n}(s_{n}-b_{n})=E[(S_{n}-b_{n})^{3}]$$=E[S_{n}^{3}]-3b_{n}E[S_{n}^{2}]+3b_{n}^{2}E[S_{n}]-b_{n}^{3}$$=-b_{n} \{2(1-b_{n}2)-\frac{1}{n}\}$を得る。 また $E[S_{n}^{4}]=1+(2/n)$ となるから、 上記と同様にして$\kappa_{4,n}(S_{n}-b_{n})=E[(S_{n}-bn)4]-3(E[(Sn-bn)^{2}])^{2}$$= \frac{2}{n}(1 - 2b_{n}^{2})+(1-b2)n(1+3b^{2}n)-3(1-b_{n}^{2})^{2}$$=(1-b_{n}^{2}) \{4-6(1-b2n)\}+\frac{4}{n}(1-b_{n}^{2})-\frac{2}{n}$

43

口
を得る。
補題 $2.2([\mathrm{A}93])$ . Y の 3 次、 4 次キュムラントは,$\kappa_{3,n}(Y)=\frac{1}{4(1-b_{n}^{2})^{3/}2}\{\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{4n^{3}}+o(\frac{1}{n^{4}}\mathrm{I}\}$$\kappa_{4,n}(Y)=^{o(}n^{-4})$である。

証明の概略.

Stirling の公式より、$\Gamma(n)=\sqrt{2\pi}n^{n-1/2-n}e(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^{2}}-\frac{139}{51840n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}}))$

であるから

(2.6)

$b_{n}= \sqrt{\frac{2}{n}}\mathrm{r}(\frac{n+1}{2})/\mathrm{r}(\frac{n}{2})$:$=1- \frac{1}{4n}+\frac{1}{32n^{2}}+\frac{5}{128n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}})$となる。 またこれより(2.7)$1-b_{n}^{2}= \frac{1}{2n}-\frac{1}{8n^{2}}-\frac{1}{16n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}})$になる。従って補題 21, (2.6), (2.7) より$\mathrm{Y}$の 3 次キュムラントは$\kappa_{3,n}(Y)=\frac{1}{(1-b_{n}^{2})^{3/}2}\kappa 3,n[sn-b_{n}]$$=- \frac{b_{n}}{(1-b_{n}^{2})^{3/}2}\mathrm{t}2(1-b2)n-\frac{1}{n}\}$$= \frac{1}{4(1-b_{n}^{2})^{3/}2}\{\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{4n^{3}}+o(\frac{1}{n^{4}})\}$となる。 さらに$\mathrm{Y}$の 4 次キュムラントは補題 $2.1,(2.7)$ より$\kappa_{4,n}(Y)=\frac{1}{(1-b_{n}^{2})2}\kappa_{4,n}[S_{n}-b_{n}]$$=O( \frac{1}{n^{4}})$

を得る。
定理 21

口
非心カイ 2 乗分布\mbox{\boldmath $\chi$}2$(\nu, \xi)$の上側 100\alpha パーセント点を$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)$とするとき次の近似式が成り立つ。
(2.8)$x^{2}( \alpha;\nu, \xi)=b+c_{2\{b+\sqrt{1-b_{n}^{2}}\frac{u_{\alpha}^{2}-1}{24(1-b_{n}^{2})}(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{4n^{3}}}nnu\alpha+)+O(\frac{1}{n^{4}})\}^{2}$

44

証明の概略.

(2.5) と補題 22 から、$\mathrm{Y}$の分布に関する Cornish-Fisher 展開を用いて$\frac{\sqrt{x_{\alpha}/n}-b_{n}}{\sqrt{1-b_{n}^{2}}}=u_{\alpha}+\frac{1}{6}\kappa_{3,n}[Y](u_{\alpha}-21)+\frac{1}{24}\kappa_{4},n[Y](u^{3}-\alpha 3u\alpha)+o(\frac{1}{n^{4}})$$=u_{\alpha}+ \frac{u_{\alpha}^{2}-1}{24(1-b_{n}^{2})^{3/}2}\{\frac{1}{n^{2}}.+\frac{1}{4n^{3}}+O(\frac{1}{n^{4}})\}$

を得る。 ここで $x_{\alpha}=(\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)-b)/c_{2}$ であるから、 これを上式に代入し、いて解くと (2.8) を得る。
口

3. 野心

$\mathrm{F}$につ分布の近似式まず [Sh81] に従って、非心$X_{1},$ $X_{2}$$\chi^{2}(\alpha;\nu, \xi)$の分布をそれぞれ\mbox{\boldmath $\chi$}2$\mathrm{F}$$(\nu_{1}, \lambda),$分布の既知の近似式について述べる。独立な確率変数$\chi^{2}(\nu_{2})$とすると$F_{\nu_{1},\nu_{2},\lambda}= \frac{X_{1}/\nu_{1}}{X_{2}/\nu_{2}}$の分布は非心 分布となる。 $X_{1}=c_{1}X’$ とおき X’ の分布を中心カイ 2 乗分布$\chi^{2}(m)$ で近似したとき、 (2.2) より
Cl $=(\nu_{1}+2\lambda)/(\nu_{1}+\lambda),$ $m=(\nu_{1}+\lambda)^{2}/(\nu_{1}+2\lambda)$ を得る。 このとき、 十分大きいに対し$\mathrm{F}$$F(\nu_{1}, \nu_{2}, \lambda)$$\nu_{1},$$\nu_{2}$$F_{\nu_{1},\nu_{2},\lambda} \approx(1+\frac{\lambda}{\nu_{1}})\frac{X’/m}{x_{2}^{r}/\nu_{2}}$

となるから

(3.1)

$P \{F_{\nu_{1},\nu_{2}\lambda}>f\}\approx P\{F_{m,\nu}2>\frac{\nu_{1}f}{\nu_{1}+\lambda}\}$(Patnaik の近似式 [Pa49])を得る。但し、は自由度 $(m, \nu_{2})$ の中心 分布 $F(m, \nu_{2})$ に従う確率変数とする。 また
中心 分布に対する Paulson の近似式を用いると次の近似式が得られる。十分大きい$\mathrm{F}$$F_{m,\nu_{2}}$$\mathrm{F}$$\nu_{1},$

に対して

(3.2)

$P \{F_{\nu_{1},\nu_{2},\lambda}>f\}\approx 1-\Phi[\frac{(1-d)z^{1/3}-(1-a)}{\sqrt{a+d^{2/3}}}]$(Severo-Zelen の近似式 [SZ60]).

但し$z= \frac{\nu_{1}f}{\nu_{1}+\lambda}$$a= \frac{2(\nu_{1}+2\lambda)}{9(\nu_{1}+\lambda)^{2}}$$d– \frac{2}{9\nu_{2}}$$\nu_{2}$45とする。 さらに 3 次以下のキュムラントを等置することによって$(F_{\nu_{l},\nu_{\mathit{2}},\lambda}-P)/\gamma \text{の分布を}$で近似することができる。 これより次の近似式を得る。
に対して
十分大きな

$F(\nu^{*}, \nu_{2})$$\nu_{1},$(3.3)$\nu_{2}$$P \{F_{\nu_{1},\nu_{2},\lambda}>f\}\approx P\{F_{\mathcal{V}\nu_{2}}’,>\frac{(f-\rho)}{\gamma}\}$(Tiku の近似式 [T65]).

但し,$H=2(\nu_{1}+\lambda)^{3}+3(\nu_{1}+\lambda)(\nu_{1}+2\lambda)(\nu 2-2)+(\nu 1+3\lambda)(\nu 2-2)2$$K=(\nu_{1}+\lambda)^{2}+(\nu 1+2\lambda)(\nu 2^{-}2)$,$\nu^{*}=\frac{1}{2}(\nu_{2}-2)(\sqrt{\frac{H^{2}}{H^{2}-4K^{3}}}-1)$,$\gamma=\frac{\nu^{*}H}{\nu_{1}(2\nu^{*}+\nu_{2}-2)K}$$\rho=\frac{\nu_{2}(1+\lambda/\nu 1-\gamma)}{\nu_{2}-2}$とする。

次に (3.3) より [A93] と類似の方法を用いて 2 つのカイ統計量の線形結合の分布を Corの近似式を求める。
の上側 100\alpha ノ ‘’ 一セント点
nish-Fisher 展開して、とすると、近似式 (3.3) よ$S$に従う確率変数とし、を中心\mbox{\boldmath $\chi$}2 分布\mbox{\boldmath $\chi$}2に対してり、十分大きな$f_{\alpha}$$F(\nu_{1}, \nu_{2}, \lambda)$$(\nu^{*})$$\nu_{1},$$f_{\alpha}’=(f_{\alpha}-\rho)./\gamma$$\nu_{2}$$1- \alpha\approx P\{\frac{S/\nu^{*}}{\chi_{\mathrm{Q}}/_{\nu_{\mathrm{Q}}}}<f_{\alpha}’\}$となるので $S_{\nu}*=\sqrt{S/\nu^{*}},$ $S_{\nu_{2}}’=\sqrt{X_{2}/\nu_{2}}$ とし.

(3.4)とおくと $E[W]=0,$ $V(W)=1$ となる。 そこで前節と同様に、 W のキュムラントを求め $W$の分布の Cornish-Fisher 展開から非心 分布の新しい近似式を導出する。
W の 3 次、 4 次キュムラントは補題 31$\mathrm{F}$$\kappa_{3}(W)=\frac{1}{4\{(1-b_{\nu}^{2_{*}})+f\prime\alpha(1-b_{\nu_{2}}2)\}3/2}$$\cross\{(\frac{1}{\nu^{*2}}+\frac{1}{4\nu^{*3}})-f_{\alpha}^{\prime 3}/2(\frac{1}{\nu_{2^{2}}}.+\frac{1}{4\nu_{2^{3}}})+O(\frac{1}{\nu_{2^{4}}})\}$

46$\kappa_{4}[W]=o(\frac{1}{\nu^{4}},)$である。

証明の概略.
仮定より、
W の 3 次キュムラントは$S_{\nu^{*}}-b_{\nu^{*}}$と$S_{\nu_{2^{-}}\nu_{2}}’b$は独立であるので、補題 21、補題 22 より$\kappa_{3}[W]=-(\overline{2,f\prime\alpha(1-b_{\nu}2)\}^{3}/2}3(\{(1-b_{\nu})+2\kappa S_{\nu}*-b_{\nu^{*)-\sqrt{f_{\alpha}^{j}}}}(s_{\nu}’2-b_{\nu_{2}}))$$= \frac{1}{\{(1-b_{\nu^{*}}^{2})+f\prime\alpha(1-b_{\nu_{2}}2)\}3/2}\{\kappa_{3}(s_{\nu^{*}}-b_{\nu}*)-f’\alpha 3/2\kappa 3(s_{\nu_{2}}’-b_{\nu})2\}$$= \frac{1}{\{(1-b_{\nu}^{2_{*}})+f_{\alpha}’(1-b_{\nu_{2}}2)\}3/2}$$\cross\{(\frac{1}{\nu^{*2}}+\frac{1}{4\nu^{*3}})-f_{\alpha}^{\prime 3}/2(\frac{1}{\nu_{2^{2}}}+\frac{1}{4\nu_{2}^{3}})+o(\frac{1}{\nu_{2^{4}}})\}$となる。 同様にして W の 4 次キュムラントは$\kappa_{4}(W)=O(\frac{1}{\nu_{2}^{4}})$

となる。

口
非心

定理 31
が成り立つ。

(3.5)$\mathrm{F}$分布$F(\nu_{1}, \nu_{2}, \lambda)$の上側 100\alpha パーセント点を$f_{\alpha}$とするとき、次の近似式$- \frac{b_{\nu}*-\sqrt{f_{\alpha}’}b_{\nu_{2}}}{\sqrt{(1-b_{\nu}^{2_{*}})+f_{\alpha}’(1-b2)\nu_{2}}}$$=u_{\alpha}+.

\frac{u_{\alpha}^{2}-1}{24\{(1-b_{\nu}2*)+f_{\alpha}’(1-b_{\nu_{2}}2)\}3/2}$$\cross\{(\frac{1}{\nu^{*2}}+\frac{1}{\nu^{*3}})-f_{\alpha}’3/2(\frac{1}{\nu_{2^{2}}}+\frac{1}{\nu_{2}^{3}})+O(\frac{1}{\nu_{2^{4}}})\}$

但し、証明の概略.

$f_{\alpha}’=(f_{\alpha}-\rho)/\gamma$とする$\circ$(3.4) と補題 31 より、$\mathrm{W}$の分布に関する Cornish-Fisher 展開を用いて、$- \frac{b_{\nu}*-\sqrt{f_{\alpha}’}b_{\nu_{2}}}{\sqrt{(1-b_{\nu^{*}}^{2})+f_{\alpha}^{;}(1-b2)\nu_{2}}}=u_{\alpha}+\frac{1}{6}\kappa_{3}(W)(u_{\alpha}-1)2$$+ \frac{1}{24}\kappa_{4}(W)(u^{3}-3u\alpha\alpha)+o(\frac{1}{\nu_{2}})$$=u_{\alpha}+ \frac{u_{\alpha}^{2}-1}{24\{(1-b^{2}*\nu)+f_{\alpha}’(1-b_{\nu_{2}}^{2})\}^{3}/2}$$\{(\frac{1}{\nu^{*2}}+\frac{1}{\nu^{*3}})-f_{\alpha}^{\prime 3/2}(\frac{1}{\nu_{2^{2}}}+\frac{1}{\nu_{2}^{3}})+O(\frac{1}{\nu_{2^{4}}})\}$

47

を得る。

口

4. 数値計算による比較検討
そして (2.8) の近似式で求めた数値と真値
まず、 灯心\mbox{\boldmath $\chi$}2 分布について (2.1) からとの誤差を\alpha の値が\nu が 2, 5, 10 で、 \xi が 1.0, 5.0, 10.0, 15.0, 25.0 である場合に表 1として示す。 ここで真鰯は [Sh81] に与えられているものである。次に非心 分布について(3.5) と比較するために、近似式 (3.1), (3.2), (3.3) によるパーセント点の近似式を示す。
$(2.3)_{\text{、}}$$0.05_{\text{、}}$$\mathrm{F}$Patnaik の近似式から導出した式(41)$f_{\alpha}.

\equiv\frac{b}{\nu_{1}}+\frac{c_{2}n}{\nu_{1}}+u_{\alpha}\sqrt{2n(\frac{c_{2}}{\nu_{1}})^{2}+f_{\alpha^{\frac{2}{\nu_{2}}}}2}$$+ \frac{4}{3}\frac{u_{\alpha}^{2}-1}{\{2n(C_{2}/\nu_{1})^{2}+f^{2}\alpha(2/\nu_{2})\}}\{n(\frac{c_{2}}{\nu_{1}})^{3}-\frac{f_{\alpha}^{3}}{\nu_{2}^{2}}\}$.

Severo-Zelen の近似式から導出した式(4.2)

Tiku の近似式から導出した式(4.3)$f_{\alpha}.- \neg\gamma\{\frac{(1-a’)(1-d)+\tau x_{\alpha}\sqrt{(1-a’)^{2}d+(1-d)^{2\prime}a-a’du_{\alpha}^{2}}}{(1-d)^{2}-du_{\alpha}^{2}}\}^{3}+\rho$

但し、 $a’=2/(9\nu^{*})$ とする。

これらのパーセント点の近似式 (3.5) と (4.1), (4.2), (4.3) について が 3, 5, 10, が 3,
は [Sh81] より引用した引数で5, 10, 20, 30, 60 である場合に表 2 として示す。 ここである。なお、真田は Mathematica により算出した。 この表より (3.5) と従来のパーセント点の近似式 (4.1), (4.2), (4.3) を比較するとかなり精度がよいことがわかる。 しかし、単に$\nu_{1}$$\nu_{2}$$\sqrt{\lambda/\nu_{1}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash -0$

セント点を求めるほか、任意の自由度、非心度について 検定の検出力を求めることも重要である。 (3.5) から任意の自由度、非心度についての検出力も求めることができる。表 3 では
検出力についての比較を表 2 と同様の値で行った。 これについてはまだ改良の余地がある。
$\mathrm{F}$

48

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49

$\nu$

$\xi$

$2$

$1.0$

$5$

$10$

$\mathrm{r}(2.8)$

誤 $arrow(2.1)$

誤差 (2.2)$8642$$0.01$$-0.07$$-0.02$$-0.05$\sim 値誤

誤$\mathrm{r}(2.3)$$5.0$$16383$$-0.04$$-0.02$$0.11$$-0.06$$10.0$$24344$$-0.04$$0.00$$0.22$$-0.04$$15.0$$31642$$-0.03$$0.01$$0.29$$-0.04$$25.0$$45308$$-0.02$$0.01$$0.36$$-0.03$$1.0$$13170$$0.00$$-0.03$$0.00$$-0.01$$5.0$$20288$$-0.02$$-0.02$$0.08$$-0.03$$10.0$$28026$$-0.03$$-0.01$$0.17$$-0.03$$15.0$$35214$$-0.02$$0.00$$0.23$$-0.03$$25.0$$48763$$-0.02$$0.00$$0.31$$-0.02$$0.00$$1.0$$20094$$0.00$$-0.02$$0.00$$5.0$$26636$$-0.01$$-0.02$$0.05$$-0.02$$10.0$$34089$$-0.02$$-0.02$$0.12$$-0.02$$15.0$$41123$$-0.02$$-0.01$$0.17$$-0.02$$-0.01$$0.00$$0.24$$-0.02$$25,0$$54.498$

表 1. 非心カイ 2 乗分布\mbox{\boldmath $\chi$}2 \nu ,$($$\xi)$の上側 5%点

50

表 2. 非心$\mathrm{F}$分布$F(\nu_{1}, \nu_{2;}\lambda)$の上側 5%点

51

表 3. 中心$\mathrm{F}$分布$F(\nu_{1}, \nu_{2})$の 5%点における非心$\mathrm{F}$分布$F(\nu_{1}, \nu_{2;}\lambda)$の上側確率