数理解析研究所講究録 1450 巻 2005 年 1-22

1

代数閉体のモデル理論について
鹿児島国際大学国際文化学部

福崎 賢治 (Kenji Fukuzaki)

Faculty of Intercultural Studies,
The International University of Kagoshima

目次
1

Quantifier Elimination (Q.E.)

2

2

Compactness theorem

63

saturated extension

10

4

type と prime ideal

125

Elimination of imaginaries(E I.)

14

Hrushovski による geometric Mordell-Lang 予想の解決では、 代数閉体、 微分閉体、
分離閉体のモデル理論が用いられた。 これらについては、 [1] “Modei Theory and Al”,
. Bouscaren Ed. に詳しい解説がある。 特に代数閉
gebraic体のモデル理論については、 A. Pillay による優れた解説がある。 しかしその解説はモ$\mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{y}$$\mathrm{L}\mathrm{N}\mathrm{M}1696,\mathrm{E}$

デル理論のある程度の素養を前提としていると思われる。
本稿では代数閉体のいくつかの話題について、 初等的に解説する。ただし [1] 第 1 章の E. Bouscaren による “Introduction to modei theory” の大体の知識を仮定する 1 以
下言語は で一般の言語を、 で ring language $\{+, -, \cdot, 0,1\}$ をあらわすことにする。
$\epsilon$

$L$

2

Quantifier Elimination

1$(\mathrm{Q}.\mathrm{E}.)$

Definition I , -theo 卿 が quantifier elimination を持つとは、任意の ,C-formulaがあり、 任意の のモデル $BI$ に対に対して、 ある quantifier free な -formula$T$$\mathrm{C}$$\varphi(\overline{x})$$T$$\psi(\overline{x})$$\mathcal{L}$して、$\mathrm{A}I\models\forall x(\varphi(\overline{x})\Leftrightarrow\psi(x))$となることである。
$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$. の例はよくある。 例えば実数体 (の理論) では、$\forall\overline{x}(\exists y(y^{2}+x_{1}y+x_{2}=0)\Leftrightarrow x_{1}^{2}-4x_{2}\geq 0)$と quantifier$\exists$

が eliminate される。 (ただし言語は $L_{ord}=\{+,$ $-,$$\cdot,$$<,$ $0,1\}$

また良く知られている例として、 Resultant を用いるものがある。 つまり体、$f(y,\overline{x}),$ $g(y,\overline{x})\in k[y,\overline{x}]$で $f$ または

$g$

である。)

$k$

を代数閉

の $y$ についての最高次の係数が定数ならば、$\forall\overline{x}(\exists y(f(y,\overline{x})=0\Lambda g(y,\overline{x})=0)\Leftrightarrow{\rm Res}(f,g,y)=0)$が成り立つ。つまり共通解を持つという first order sentence が parameter による (quantifier のない) 条件に (一様に) 置き換えられるのである。
は代数閉体では、 たとえ や がどのように複雑に入っていてもすべての form$\forall$$\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}$$\exists$

quantifier をとる事ができるのである。
の代数理体の理論 $ACF$ が. を持つことの証明法はいろいろある。 例え
ば [1] の Pillay による方法は back and forth を用いるものである。 (この方法について

雪避$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$$p$

は Poizat[2] を参照のこと。) ここでは Fried, Jarden[3] の代数的な方法を紹介する。

formula$\varphi(x_{1}, \ldots, x_{n})$が prenex normal form であるとは、 それが$Q_{1}y_{1}\cdots Q_{m}y_{m}\psi$の形であることである。 ここで各

Lemma 2 すべて (1)$\sim\sigma^{\iota}$-formula$Q_{i}$$\varphi(\overline{x})$(は$x_{1},$$\exists$$\ldots,$か$\forall$$x_{n},$ $y_{1},$$\ldots$

であり、$\psi$\sim ym) フ
は quantifier free である。

は prenex nomal form なある formula と論理的に同値である。
証明は、 formula の構成に関する帰納法により容易である。

2

3

Lemma 3 quantifier free な-fomula は disjunctive-conjunctive nomal $fom$ なあるformula と論理的に同値である。 つまり、 達を , -atomic formula とするとき、$\mathcal{L}$$\mathrm{C}$$z_{ij}$$i\in I\vee$仏$z_{ij}$A$j\in J’\Lambda\urcorner z_{ij})$

な形のものと論理的に同値である。
証明は de-Morgan の法則により容易である。

. を示すにはの形の formula から quantifier
Lemma 2. よりが取れることを言えば十分である。 なぜならはと論理的に同値であり、prenex normal form の内側から quantifier を消去すればよいからである。
言語 における atomic formula は 上の多項式であり、は$\exists y\psi(x_{1}, \ldots, x_{n}, y)$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$$\neg\exists y\neg\psi$$\forall y\psi$$L$$\mathbb{Z}$と論理的に同値でありまたが. を持つことを言うには、$\exists y(\psi\vee\theta)$

は$\bigwedge_{i}g_{i}(\overline{x})\neq 0$$\exists y\psi\vee\exists y\theta$$\prod_{i}g_{1}(\overline{x})\neq 0$と論理的に同値であるから、 $ACF$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$(\dagger )$\exists y(fi(\overline{x}, y)=0\Lambda\cdots f_{m}(\overline{x}, y)=0\wedge g(\overline{x}, y)\neq 0)$

が quantifier free なものと $ACF$ 上論理的同値であることを言えばよい。ここで$\mathbb{Z}[\overline{x}, y]$$f_{1},$$\ldots f_{m},$である。

Lemma 4

$T$

を体の公理からなる$L$-theory とすると、 (\dagger ) の形の formula は$\bigvee_{\overline{l}}\varphi_{i}(\overline{x})\Lambda\exists y(h_{i}(x,y)=0\Lambda g_{i}(\overline{x}, y)\neq 0)$の形の formula と $T$ のもとで同値である。 ここで$\mathbb{Z}[x, y]$である。

Proof.

$p(\overline{x}, y),$$q(\overline{x}, y)\in \mathbb{Z}[\overline{x}, y]$$\varphi_{i}(x.)$

は quantifier free であり、で $0\leq\deg_{y}p\leq\deg_{y}q=d$ とする。 さらに$p(\overline{x},y)=a_{k}(\overline{x})y^{k}+a_{k-1}(\overline{x})y^{k-t}+\cdots a_{0}(\overline{x})$各$a_{i}\in \mathbb{Z}[\overline{x}]$, として各 $0\leq j\leq k$ に対して
$p_{j}(\overline{x}, y)=a_{j}(\overline{x})y^{j}+aj-1(\overline{x})y^{j-1}+\cdots a_{0}(\overline{x})$

とする。

3

,

$h_{i},$$g_{i}\in$$g\in$

4をが恒等的に 0 でないならばを得る。 つまりと多項式の商と余りもし,$a_{j}(\overline{x})^{d}q(\overline{x}, y)$$(\overline{x})$

$y$

について

$pj(\overline{x},y)$で割って、$rj(\overline{x}, y)$$q_{I}(\overline{x}, y)$$a_{j}(\overline{x})^{d}q(\overline{x}, y)=q_{j}(\overline{x},y)p_{j}(\overline{x}, y)+r_{j}(\overline{x}, y)$

で $\deg_{y}r_{j}<\deg_{y}p_{j}\leq d$ である。

ならばがある体の元で. $a_{k}(\overline{b})=\cdots=a_{j+1}(\overline{b})=0$ でと同値である。 したが$p(\overline{x}, y)=0\wedge q(\overline{x}, y)=0$ はその体の中でもし$aj(\overline{b})\neq 0$$b_{n_{7}}c$$b_{1},$$\ldots,$$p_{j}(\overline{b}, c)=0\wedge r_{j}(\overline{b}, c)=0$って、$a_{j}(\overline{x})$が恒等的に等しいときは$r_{j}(\overline{x})$を、例えば 0 にして、

$p(\overline{x}, y)=0\Lambda q(\overline{x}, y)=0$

は$\mathrm{V}_{j=0}^{k}(a_{k}(\overline{x})=0\Lambda\cdots\Lambda a_{i+1}(\overline{x})=0\wedge a_{j}(\overline{x})\neq 0\Lambda p_{j}(\overline{x}, y)=0\Lambda r_{j}(\overline{x},y)=0)$$\vee(a_{k}(\overline{x})=0\Lambda\cdots\wedge a_{0}(\overline{x})=0\Lambda q(\overline{x},y)=0)$と $T$ のもとで同値となる。 さらに$r_{\mathrm{i}}$と$p_{j}$にこの操作を繰り返して $m=2$ の場合が示される。 $m>2$ の場合もこれを繰り返せばよい。
口Lemma 5$\mathrm{t}\mathrm{t}$) で $m=1$ の形の formula は$\bigvee_{i}\varphi_{i}(\overline{x})\Lambda\exists y(g_{i}(\overline{x},y)\neq 0)$の形の$h_{i},$$f_{\mathit{0}7}mula$$g_{i}\in \mathbb{Z}[\overline{x}, y]$Proof.

と $ACF$ のもとで同値である。 ここで \mbox{\boldmath $\varphi$}j(のは quantifier

free であり、である。

を勝手な代数閉体とし、ないならば、$K$$b_{1},$$\ldots,$$b_{n}\in K$とする。 もし$f(\overline{b}, y)$が恒等的に 0 で$K\vdash-\exists y(f(\overline{b}, y)=0\Lambda g(\overline{b}, y)\neq 0)$

は$g(\overline{b}, y)\not\in\sqrt{f(\overline{b},y)}$がと同値である。 $\deg_{y}(f(\overline{x}, y))=k$ としたとき、 これは、 $K[y]$を割り切らないことと同値である。 したがって、として前の補題の notation を使って、 $\exists y(f(x, y)=0\wedge$の中で$f(\overline{b}, y)$$f(\overline{x}, y),$$q(\overline{x}, y)=g(\overline{x}, y)^{k}$$g(\overline{x}, y)\neq 0)$$g(\overline{b}, y)^{k}$$p(\overline{x}, y)=$は $ACF$ 上$\mathrm{V}_{j=0}^{k}$($a_{k}(\overline{x})=0\Lambda\cdots\Lambda a_{j+1}(\overline{x})=0$

A$a_{j}(\overline{x})\neq 0\Lambda\exists yr_{j}(\overline{x},y)\neq 0$)$\vee(a_{k}(\overline{x})=0\Lambda\cdots\Lambda a_{0}(\overline{x})=0\Lambda\exists yg(\overline{x},y)\neq 0)$

口と同値である。

4

5

Lemma 6
すると、$T$を体の公理及び無限体であることをあらわす sentence からなる理論とは $T$ 上 quantifier free なある formula と同値である。

$\exists y(g(\overline{x}, y)\neq 0)$

Pu$oof$.
$g(\overline{x},y)=a_{l}(\overline{x})y^{l}+a_{l-1}(\overline{x})y^{l-1}+\cdots+a_{0}(\overline{x})$とかくと、 明らかに
$a_{l}(\overline{x})\neq 0\vee a_{l-1}(\overline{x})\neq 0\cdots\vee a_{0}(\overline{x})\neq 0$と $T$ 上同値である。

口

Theorem 7 $ACF$ は $Q.E$ . を持つ。

Proof. $ACF$ から無限体であることはすぐに出て、 上の 3 つの補題から明らか。

口model theory では扱う対象が や を含む一般の論理式なためある構造の拡大を考えるとき、 elementary extension を考えなければならない。 しかし. を持つ理論のモデルに関しては単に拡大を考えればよいすなわち、$\forall$$\exists$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$Lemma 8 $Q.E$ . を持つ理論$\Lambda I\underline{\subset}N\Leftrightarrow\Lambda I\prec N$

Proof.

$\varphi.(\overline{x})$$T$

は model complete である。つまり、 $II,$ $N\models T$ のとき、.

を lC-formula,$\overline{a}$を$\Lambda I$の tuple としたとき、$\mathrm{A}I\models\varphi(a)$$\Leftarrowarrow N\models\varphi(\overline{a})$

を

で
があって
示せばよい。
. よりある quantifier free な formula
は拡大、 縮小に関してもそのまま成り立つので明である。 quanfifier free な$\Lambda I,$$\psi(\overline{x})$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$$N$$\varphi(\overline{a})\Leftrightarrow$$\psi(\overline{a})$$\psi(\overline{a})$らか口

よって $ACF$ は model complete である。 $ACF$ に標数が $p$ であることを書いた sentence を付け加えたものが $ACF_{p}$ であった。 $ACF_{p}$ の論理的帰結全体が complete であることが model completeness からすぐわかる。 (普通略して AC 瑞は complete であるという。)
まず complete とは consistency に関して極大な sentence の集合であった。 (つまりどんな $L$-sentence$\sigma$

をとってもそれ自身かその否定が入っていて consistent なこと。)

であるこいいかえると $ACF_{p}$ の 2 つのモデル $fI,$ $N$ をかってにとったとき、と書く) が completeとである。 なぜなら、 今 $ACF_{p}$ の論理的帰結全体 (これを$\mathrm{A}I\equiv N$$T_{ACF_{\mathrm{P}}}$は任意の$N\models ACF_{p}$ ならば当然とする。
$\Lambda I,$$\mathrm{A}I\equiv N$

ではないとすると、 ある$\sigma$$L$-sentence$\lambda I,$$\sigma$に対して $\mathrm{A}I\vdash-\sigma=N\models\sigma$ のことである。
が complete
だからこれは明らか。逆に$N\models T_{4CF_{p}}\wedge$があって$\sigma,$$T_{A\text{。}F_{p}}$$-\sigma\not\in T_{ACF_{p}}$

5

である。

$T_{ACF_{\mathrm{p}}}\cup\{\sigma\},$$T_{ACF_{P}}\cup\{\neg\sigma\}$

$\mathrm{e}$ともに consistent である。 (そうでないと論理的帰結としてその否定が出てきてしまう。) よって consistency の定義からモデル

Th(N)、 つまり$\Lambda I\not\equiv N$$\mathrm{A}I,$

$N$

を持ち

$\Lambda I,$$N\vdash-ACF_{p}$だが Th(M)\neqである。

を標数 の代数閉体とすると、 共通の prime field を持つ。 そこに modelである。
がでる、 つまりcompleteness を使えば Th(M)いま$\mathrm{J}^{\mathit{1}}.I,$

$N$

$p$

$\Lambda I\equiv N$$=\mathrm{T}\mathrm{h}(N)$-sentence の集合とすると、 -sentenceの論理的帰結であるとは任意の を満たすモデル (&structure) が必ず を満たすことである。 よってとはすべての標数 の代数閉体で成り立つような -sentence 全体である。

Remark.

$\Sigma$を$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\Sigma$$\Sigma$$L$$p$$\Sigma\cup\{\varphi’\}$が$\varphi$$T_{ACF_{p}}$また$\varphi$が consistent ではない (つまりモデルを持たない) とは、$\Sigma$が consistentを満たすことである。 なぜなら任意のである限り任意の を満たすモデルが必ずが の論理的のうち一方が成り立つからである。 したがってモデルでは か帰結ということである。 また が consistency に関して極大ならば、 その論理的帰結をすべて含みどんな -sentence をとってもそれ自身かその否定が入っていることが$\Sigma$$\neg\varphi$$\Sigma$$\varphi$$\neg\varphi$$\neg\varphi$$\Sigma$$L$$\sigma$

分かる。

Corollary 9 $ACF_{p}$ は model complete であり、 complete である。

Th(C) $=T_{ACF_{0}}$ である。 $ACF_{0}$ は無限個の公理からなるが、 きれいに公理化できしかしたとえば Th(Q) は G\"odel の結果によりている (recursively axiomatizable)$\text{。}$recursively$\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{i}_{\mathrm{o}\mathrm{I}}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{z}\mathrm{a}\mathrm{b}1\mathrm{e}$ではない。

Compactness theorem

2-sentence の集合で complete なもの) 全体の集合とすとする。 蒐に位相を定義する。 各, -sentence ’ に対して全体の集合は明らかに open base をなす。 は明らかに Hausdorff space である。
は clopen である。 さらに、り、 各 basic open set
竃を complete $L$ -theory (つまり$\mathcal{L}$$\langle\acute{\backslash }\rho\rangle=\{T\in \mathfrak{T};\varphi\in T\}$$\mathrm{C}$$\varphi$$\mathfrak{T}$$\langle\varphi\rangle$$\langle\varphi\rangle$

Theorem 10(Compactness theorem) I は compact である。
つまり竃は Stone space である。 証明は Poizat [2] を参照のこと。

普通 Compactness theorem として引用されるのは次の形である.
を -sentence の集合とする。 すると、
Corollary 11
が consistent (model を持つ) iff のすべての有限部分集合が consistent (model$\Sigma$$\Sigma$$\Sigma$

を持つ)

$Z$

.
6

7

Ptoof. 閉集合の family
その有限個の$\{\langle\varphi\rangle;\varphi\in\Sigma\}$

たちのモデルを$\varphi$$\lambda I$

は finite intersection property を持つ。 なぜならとしたとき

$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(\Lambda I)$は$\langle\varphi\rangle$

たちの共通部分に入っている。 よって明らか。

$\square$

また次の形も良く用いられる。

Corollary 12

1.

$\Sigma$2.

$L$

を $L$ -sentence の集合とする。 すると、$\Sigma$が consistent でない (model を持たない) iff

あるのある有限部分集合が矛盾する。

の帰結ならば ( のすべてのモデルで が成り立つならば)があって はの有限部分集合の帰結である。

-sentence$\Sigma$$\Sigma$$\varphi$が$\Sigma$$\Sigma$$\varphi$$\Sigma’$、$\Sigma’$$\varphi$

3 つの形が同値である事はすぐに分かる。
簡単な応用として、$N$ を
Lemma 13extension を持つ。
$\mathrm{A}I,$$\lambda I\equiv N$

な $L$ -structure とすると、$\mathbb{J}I,$$N$

は共通な elementaryのを -structure, $A$ を
証明には言語の constants による expansion を使う。
を付け加える。 ( の各要素にsubset としたとき、 言語 に constant として名前をつける) 普通省略して c。のかわりに をそのまま使う。 できた言語を $L(A)$ との -theory (つまりで成り立つ
は当然 $L(A)$ -structure である。
普通書く。
$\mathrm{A}I$$\Lambda I$$\mathcal{L}$$A$$\{c_{a}.\}_{a\in A}$$\mathcal{L}$$a$$\lambda I$$\lambda I$.-sentence 全体) を$L$$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathbb{J}I)$$\lambda I$$\mathcal{L}$とかいたが、 $\sim’(A)$ -theory を$T(A)=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathbb{J}I, a)_{a\in A}$のように書く。

-theory $T(\lambda I)\cup T(N)$ が consistent (つまりモデルを持つ) ことを言えばよい。 そのモデルの -reduct (言語を の制限したもの) は求めるものである。
をモデルに持つ。
有限個を持ってくる。 それらは必ずがそれらを満たすのは当たり前 ( からの constant symbolからのものはProof.

$L(\mathrm{A}I\cup N)$$L$$\mathcal{L}$$\mathrm{A}I$の解釈はそのまま)$\overline{b}\in N$。

である。 するとがあって$\Lambda I$$\mathrm{A}I$$T(\mathrm{A}I)$$\mathrm{A}I\vdash-\varphi(\overline{b}^{l})$$T(N)$ からのものを考える。 そのひとつを$N|=\exists\overline{x}\varphi(\overline{x})$.

$\Lambda I\equiv N$だから$\varphi’(\overline{b})$$\Lambda I\models\exists\overline{x}\varphi(\overline{x})$. constant symbol b- の解釈として$\overline{b}’$とする。 ここで. よってあるをとればよい。

したがって compact ness theorem よりいえた。
$\mathrm{A}I\prec K\Leftarrow\gg K\models T(\mathrm{A}I)$$\overline{b}’\in\Lambda I$$\square$である。

である。 したがって共通は正確に書くと、
言語と $N$ の重なり具合は分からない。 (こ constantの elementary extension の中での$T(N)$ の中に新しい constant symbol との等式が現れる。
symbol があれば、$\mathcal{L}\cup\{c_{a}\}_{a\in M}\cup\{d_{b}\}_{d\in N}$$\sim\sigma^{1}(AI\cup N)$$\sim T^{\backslash }$$\Lambda I$$T(\mathrm{A}I),$同様にして、

7

$\epsilon$

Lemma 14$\{\mathrm{A}I_{i}\}_{i\in I}$

をすべて elememtary equivalent な $L$ -structure とすると、 それらすべてに共通な elementary extension がある。

$T$を complete$T=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathrm{A}I)$$/\mathrm{e}$-theory,

とする。)

$A$

を &structure,
を $T$ のモデルとする。 (別な言い方 :の (universe の) subset とする。 このとき n-formula$\lambda I$$\lambda I$を$\lambda l$に解を持つの集合 が 上の partial -type であるとは、 の任意有限個が必ずような $L(A)$ -formula の集合であることであった。 さらにいま n-formula の variables-theory として complete なを constants として考えたとき、 がを省略といい、 その全体を $S_{n}^{M}(A)$ と書いた。 普通
とき (complete) -type over$p$$x_{1},$$\ldots,$$\lambda I^{n}$

$A$

$n$

$p$

$p$

$x_{n}$$L(A\cup\{\overline{x}\})$$\mathrm{A}I$

$A$

$n$

して $S_{n}(A)$ と書く。

-type はある
Lemma 15 par
すべての partial -type を実現させる$\mathrm{i}aln$

$p$

$n$

Proof. 今 type の variables$x_{1},$$\ldots,$$x_{n}$$\lambda I$$\Lambda I$の elementary extension で解を持つ。 さらにの elementa 卿 extension もある。

を new constants と考え、 言語

える。 $p\cup T(\Lambda I)$ は compactness theorem によってモデルのたすということは, その $L$ -reduct が$\Lambda I$味する。 また $N$ が

$p$

で考
を満
を持つ。 がextension であることを意
$N$

$N$

$(\mathcal{L}-)\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{y}$を満たすということは、 その忌 reduct I こ$\mathcal{L}(\mathrm{A}I\cup\{\overline{x}\})$$T(\mathrm{A}I)$の解があると言うこ

$p$

とである。

後半は、 各 partial type ごとにそれを実現させる elementary extension をとるのモデルであるから、ある。 よって前の補題から出る。

れらは$T(\lambda I)$$L(\mathrm{A}I)$$\text{。}$そ-structure として elementary equivaient で$\square$

後半では、 各 partial type ごとのそれを実現させる elementary extension に含まれを考えなくてはならない。
るを共通にするため言語$\mathrm{Z}(\lambda I)$$\Lambda I$があって a- は の解
(elementary extension),である。 つまりどである。すると が complete(consistent で極大) よりの解をとってもそれが満たす $L(A)$ -formula は同じである。 ここに$p\in S_{n}(A)$とするとある$\overline{a}\in N$$N\succ\lambda I$$p$$p=\mathrm{t}\mathrm{p}^{N}(\overline{a}/A)$$p$$\mathrm{t}\mathrm{p}^{N}(\overline{a}/A)=\{\varphi(\overline{x})\in$$\mathcal{L}(A);N\models\varphi’(\overline{x})\}$である。 普通$\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{a}/A)$と $N$ を省略する。 $\in L(A)$ で $L(A)$ -formula であることを表す。
に対してに前と同様に位相を入れる。 各 $L(A)$ -formula$S_{n}(A);\varphi\in p\}$ とする。
全体の集合は明らかに open base をなす。 $S_{n}(A)$ は明らかに Hausdorff space であり、 各 basic open set は clopen である。 再び、$S_{n}(A)$$\varphi(\overline{x})$$\langle\varphi(\overline{x})\rangle$

Theorem 16 $S_{n}(A)$ は compact である。

8$\langle\varphi(\overline{x})\rangle=\{p\in$9

Proof. いまはを有限交叉性をもつ閉集合の族とする。つまり各の形で任意有限個をとるとその共通部分にはある $p\in S_{n}(A)$ が入っている。
とおく。 から任意有限個の formula をとったときそれだから証明は終わる。
らがで共通の解を持つことを言えば $q\in S_{n}(A)$ で$\ldots,\psi_{m}\in q$ とする。
たちの共通部分を含む。 よっはある何個かの達を含む。 type の定義
はある $p\in S_{n}(A)$ を含む。 したがって はて$\{C_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$$C_{\lambda}$$q=\{’\varphi_{i}^{\lambda}(\overline{x});\lambda\in\Lambda, \mathrm{i}\in I_{\lambda}\}$$q$$\Lambda I$$q \in\bigcap_{\lambda}C_{\lambda}$$\psi_{1},$$C_{\lambda}$$\bigcap_{1\leq k\leq m}\langle\psi_{k}\rangle$$\mathrm{H}fl\check{\downarrow}\supset$$\psi_{k}$$p$$\bigcap_{1\leq k\leq m}\langle\psi_{k}\rangle$から$\bigcap_{i\in I_{\lambda}}\langle\varphi_{i}^{\lambda}(\overline{x})\rangle$

か。

口上のことは compactness theorem からも出てくる。
$p\in S_{n}(A)$とする。 大切なことは $p\supset T(A)$ なことである。 もしこの表現がいやな

らば、 各 $\varphi\in T(A)$ に対して $p\ni\varphi\Lambda x_{1}=x_{1}\Lambda\ldots\Lambda x_{n}=x_{n}$ と思えばよい。

complete な$p$は-theory である。
-reduct
逆に を complete な-theory とする。 そのモデルを $N$ とし,である。
と$T(A)$
elementary equivalentを満たすことより、を考えると complete な$p\in
S_{n}(A)$であることが分かる。
でで finitely satisfiable
よって はは Stone space である。の complete theory 全体とする。
今萱を言語$\epsilon(A\cup\{\overline{x}\})$$\mathrm{C}(A)$$\mathcal{L}(A\cup\{\overline{x}\})$$p$$\Lambda I$$p$$\mathrm{A}I$$L(A\cup\{\overline{x}\})$$\mathfrak{T}$すると、 $S_{n}(A)$ は閉集合 $\cap,\in T(A$ }$\langle\varphi\rangle$と一致する。 よって再び Stone space である。

ここで compactness theorem の適用例を 1 つ紹介する。 [1],$\mathrm{p}63$の Corollary 1.5 である。
をを標数 の代数閉体とする。 を perfect な部分体、Proposition 17-definable set, : $Xarrow F$ を -definable function とする。 するとある有限個の k$j(m)$と自然数 $j(1),$と -rational functions,
definable sets
$Fr$ は Frobenius
でがあって $X=X_{1}$ U.
. $=(Fr^{-j(i)}\cdot f_{i})|X_{i}$ である。 ここに
map である。
$F$

$k$

$k$

$f$

$X_{1},$$X\subseteq F^{n}$

$k$

$p$

$\ldots,$$k$$X_{m}$$..\cup X_{m}$$f1(\overline{x}),$$\ldots$$f_{m}(\overline{x})$$\ldots,$$f|X_{i}$1.4 である。 を の subset, を から生成された部分体、 $a\in F$ とすると、 $a\in dcl(A)$ iff $a\in k_{ins}$ である。 ここに

Proof. 使うのは、 [1]$\mathrm{p}63$の Corollary

$A$

$F$

$k$

$A$

$k_{\mathrm{i}ns}=$$\bigcup_{n}Fr^{-n}(k)=k^{p^{-\varpi}}$$X,$ $f$である。

を define する $L(k)$ -formula を$\varphi(\overline{x}),$$\psi(\overline{x}, y)$とする。 $L(k)$ -formula$\varphi\wedge\psi$

を考の無限開被覆を次のように取る。 $p\in S_{n+1}$ (紛をととする。 を実現する elementary extension $F’$ (つまり $F$ のある拡大
り、
で
だから
とする。
代数二四) をとり、 1 つの解をと自然数 があってある。 は完全体だから、 ある -rational function

える。 $S_{n+1}(k)$ の閉集合
$p\in\varphi\Lambda\psi$$\langle\varphi\wedge\psi\rangle$$p$$a\in dcl(k\cup\{\overline{b}\})$$(\overline{b}, a)$$k$$f_{p}\in k(\overline{x})$$\mathrm{k}$$a=(Fr^{-j_{\mathrm{p}}}\cdot f_{p})(\overline{b})=(f_{p}(\overline{b}))^{p^{-j_{p}}}$9$a\in(k(\overline{b}))_{ins}$$j_{p}$

10である。 $f_{p}=h_{p}/k_{p},$$h_{p},$ $k_{p}\in k[\overline{x}]$とかき、$k_{p}(\overline{x})\neq 0\Lambda\varphi(\overline{x})\Lambda\exists y,$を$\theta_{p}(\overline{x}, y)$とおくと、$p\in\langle\theta_{p}(\overline{x}, y)\rangle$$z(yk_{p}(\overline{x})=h_{p}\Lambda y=z^{j_{p}}\Lambda\psi(\overline{x}, z)$である.

をとれば開被覆をえる。 $S_{n+1}(k)$ は compact だから有限開被ごとに各覆を得る。 後は明らか。
$p\in\varphi\Lambda\psi$$\theta_{p}$$\text{口}$を実現するモデ) があるところに compactness theorem が使われている。 $F^{n+1}$ 内
をの $f$ のグラフの各点に使うだけでは不十分である。 $S_{n+1}(k)$ のすべての type ごと$p$$\theta_{p}$とらねばならない。 $F^{n+1}$ で実現されないものがあるかもしれない。 はじめに $S_{n+1}(k)$のすべてのタイプを実現するような拡大をとってもよい。
他にもいろいろな使い方があるが、 1 つの典型例である。

saturated extension

3$T$

を complete $L$ -theory,$\Lambda I$

を $T$ のモデル、 $A$ を$\lambda I$の subsetとする。 このとき前節

で $S_{n}(A)$ のすべてのタイプを実現するような elementary extension の存在を示した。

しかし多くの場合色々な部分集合上のタイプが解を持つような elementary extension
を考えることが望ましい。

しかしすべてのタイプを実現する構造を望むのは無理である。 partial -type $p=$はに解を持たないからである。 ちなみに partial type は、 Zorn のlemma により必ず complete type に拡張できる。 したがって card inality で制限を設け$1$$\{x\neq a;a\in \mathrm{A}I\}$$\mathrm{A}I$

ることが自然と出てくる。

-saturated であるとは、 濃度 未満の部分集合上のタイプが必ず解を持つような構造のことであった。習慣によって -saturated は -sat tlrated と書くことになっ$\mathrm{A}I$が$\kappa$$\kappa$$\aleph_{0}$$’\omega$ている。

実は容易に次の定理が得られる。

Theorem 18 すべての構造は ’-saturated elementary extension を持つ。
$\omega$

Proof. 有限部分集合上のタイプごとにそれを実現する elementary extension をとる。 こ-theory はすべてであり-structure として elementary equivalent である. よって共通な elementaryがあり、 そこではすべての有限部分集合上のタイプは解を持つ。 この操
extension
作を繰り返して elementary extension のの elementary extension であることは容易に分かり、 まを得る。 それらの union がた求めるものであるのも明らか。
こにタイプは 1-type,$2\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}\mathrm{e},\ldots$

すべてをとる。 それらの$L(\Lambda I)$$T(\mathrm{A}I)$$\sim\zeta^{1}(\lambda I)$$\lambda I_{1}$$\mathrm{t}_{)}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\lambda I\prec\Lambda I_{1}\prec\cdots\prec \mathrm{A}I_{n}\prec \mathrm{A}I_{n+1}\prec\cdots$$\mathrm{A}I$$\square$10

11-saturated elementary extension の存在を示すのも同様である。 今度は長さののelementary extension tower を作る必要がある。 つまり各 ordinal
に対して
をつくる。
から
が limit のときはは上と同様。
のとする。 tower$|A|<\kappa$ とすればunion を云 とする。の性質よりあるがあって A\subset AI。である。よって明らかにの -saturated elementaryは$\kappa^{+}$$\kappa$$\alpha<\kappa^{+}$$AI_{\alpha}$$\mathrm{A}I_{\alpha}$$\gamma<\kappa^{+}$$\Lambda I_{\alpha+1}$$I^{*}$$\lambda I_{\gamma}=\bigcup_{\alpha<\gamma}\lambda I_{\alpha}$$A\subset\Lambda I^{*},$$\kappa^{+}$$\alpha<\kappa^{+}$$\Lambda I^{*}$$\Lambda I$$\kappa$

extensionl である。

Theorem 19 すべての構造は -saturated elementary extension を持つ。
$\kappa$-saturated structure の濃度は当然 以上である。 $p=\{x\neq a;a\in \mathrm{A}I\}$ を考えればすぐわかる。 もちろん best possible は であるが一般にはいえない。 しかし代数閉体、 微分閉体、 分離閉体の場合には存在する。 広くは stable な理論には存在すること$\kappa$$\kappa$$\kappa$がわかっている。

-saturated なとき単に saturate ているという。 complete な理論
urated model は universal domain の性格を持っている。 つまり、$\mathrm{A}I$が$\text{し}$$|\mathrm{A}I|$

Theorem 20$T$

1. $N$ を濃度$\kappa$

を comp fete な理論、$\lambda I$

を濃度$\kappa$の別な saturated model とすると2. 濃度が 以下の$\kappa$$T$$T$の sat-の saturated modd とする。
$\lambda I$と $N$ は同型である。

のモデルは $AI$ の elememta 興 subsrructure として埋め込める。

( -universal であるという。)$\kappa$

3. $A,$の濃度 未満の部分集合でとする、 つまり $A$ から $B$
への bijection
でがあり任意の $L$ -fomula, cz 6 $A$ に対してのをが成り立つとき ( を partial elementary mapping という)自己同型に拡張できる。 ( $(strongly)\kappa$ -homogeneous という。)$B$を$\mathrm{A}I$$\mathrm{t}\mathrm{p}(A)=\mathrm{t}\mathrm{p}(B)$$\kappa$$\varphi(\sigma\overline{(}a))$$\varphi(a)\Leftrightarrow$$\mathbb{J}I$$\varphi(\overline{x})$$\sigma$$\sigma$$\sigma$$\lambda I$、

証明は Poizat [2] または坪井 [4] を参照のこと。 よって saturated なモデルがある場
合には十分大きな濃度の saturated model を universal domain としてとる。 一般の場合には、 complete な $T$ に対して十分大きな正則基数 をとったとき -saturated,$\kappa$$\kappa$(strongly) -holnogeneous なモデルが存在することが知られている (その濃度は より大きいかもしれないが)これを universal domain としてとる。 (他の立場もある。
[1] Ziegler を参照のこと。)-universality は -saturatedness からでる。 つまり、$\kappa$$\kappa$。

$\kappa$$\kappa$

Theorem 21
き、 濃度が$\kappa$$T$-saturated なモデルとする。 このとのモデルは $II$ の elememtary substmcture として埋め込める。

を complete

以下の $T$$\sim\sigma^{1}$-theory,$\mathrm{A}I$

を $T$ の

11$\kappa$12

証明は再び Poizat [2] または坪井 [4] を参照のこと。

Remarkすべての$n$quantifier

が $S_{1}(A)$ (ここで $A\subset II$ ) のすべてのタイプを実現するならば、 実は
は $S_{n}(A)$ のすべてのタイプを実現することが容易に分かる。
に対して$\mathrm{A}I$$\lambda I$

で縛って一つ一つ実現すればよい。
と書く。 また一般にの代わりに空集合上のタイプは$\exists$$\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{a})$$\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{a}/)$れる。 $B=\{b_{\lambda}\}$ として対応する変数$\{x_{\lambda}\}$$\mathrm{t}\mathrm{p}(B/A)$

も考えら

を用意して

$\mathrm{t}\mathrm{p}(B/A)=\{\psi(x_{\lambda_{1}}, \ldots, x_{\lambda_{m}});m\in \mathrm{N}, \psi\in Z(A), \mathbb{J}I\models\psi(b_{\lambda_{1}}, \ldots, b_{\lambda_{m}})\}$とすればよい。
このようにモデル論では (場合によっては可算無限より) 大きい濃度の定数記号
列、 変数記号列をよく用いる。 これは代数で無限変数多項式環を考えることと同じである。

type と prime ideal

4

今 $K$ をする。

$ACF_{\mathrm{p}}$

のモデル、

$A$

を $K$ の部分集合、$k$

を $A$ から生成された $K$ の部分体とまず $S_{n}(k)$ と $S_{n}(A)$ は homeomorphic であることがすぐわかる。
に対してある -formulaとすると、-formula$\overline{b}\in k$$L(\overline{b})$$L$$\varphi(\overline{x},\overline{b})$$\varphi(\overline{x},\overline{y})$$\psi(\overline{x},\overline{z})$を L-formula,とある$\overline{a}\in A$

があって$K\models\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{b})\Leftrightarrow\psi(\overline{x},\overline{a}))$の有理関数の形にかける。 そによって素体上のが成り立つ。 (各 はあるれを代入してすべての分母をはらえばよい。) よって明らかである。 したがってこれからは parameter set として部分体だけを考えてよい。
$b_{i}$$p\in S_{n}(k)$$\overline{a}_{i}\in A$$\overline{a}_{i}$に対して$I(p)=\{f(\overline{x})\in k[\overline{x}];f(\overline{x})=0\in p\}$とおくと、 $I(p)$ は$k[\overline{x}]$の素イデアルである。
$f=0$ かつ $g=0\Rightarrow f+g=0$ ,$f=0\Rightarrow gf=0(\forall g)$

だから $I(p)$ はイデア) である。 (complete type は deducfion で閉じている。 ) 次に
$fg\not\in I(p)$ とすると、 fg=0\not\in p、よって $f=0\vee g=0\not\in p$ . したがって $f=0,$ $g=0\not\in p$
で $f,$ $g\not\in I(p)$ . よって $I(p)$ は prime である。

12

13

逆に

$I$

を

の素イデアルとする。

$k[\overline{x}]$$\{f(\overline{x})=0;f\in I\}\cup\{g(\overline{x})\neq 0;g\not\in I\}$から生成される (つまりその帰結全体) タイプ $p\in S_{n}(k)$ を考えると、
complete なことがわかる。 明らかに $I(p)=I$ である。

$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$. から

従って $I:S_{n}(k)arrow Spec(k[\overline{x}])$ は全射であり、 $I(p)=I(q)$ から $p=q$ もすぐいえる
ので bijection である。 さらに通常どおり Spec(k) c こ Zariski topology をいれると、は continuous bijection である。 しかし homeomorphism ではない。
としたとき、 $\{p\in S_{n}(k);f=0\in p\}$ は clopen であるが、 $\{I(p)\in Spec(k [\overline{x}]);f\in I(p)\}$は open ではな closed なだけである。
ACF のとき $S_{n}(k)$ の位相を constructible topology という。 (definable set が.
によって constructible なため ) Constructible topology は Zariski topology より細かい位相である。 前者が Haussdorf compact であるのに対して後者は Haussdorf ではな
quasi-compact なだけである。

$I$$[\overline{x}]$$f(\overline{x})\in k[\overline{x}]\backslash k$$\text{く}$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$$\text{。}$$\text{く}$

上の

プ

$I$

を通じてしばしば type と prime ideal を同一視することが多い。 しかしタイの実現点は generic point だけであるが、 素イデアル $I(p)\in Spec(k[\overline{x}])$ は$p\in S_{n}(k)$そうではない。 またタイプどおしの包含関係はないが、 素イデアルにはあり重要な役目を示す。 じつはこれに対応するのが、 モデル論の fundamental order である。 しかしこれについては省略する。

代数幾何では素体上無限の超越次数を持つ拡大代数閉体を universal domain とする。 実はこれはモデル論でいうものと一致する。
$|k|<|\Omega|$ とすると、は 上 infinite transcendence degree を持つ。 よって $I\in$
は必ず (こ -embed することができる。 この埋め込をとると整域
みによる ( $x_{1}+I,$に対応するタイプの実現点である。 よって、
十 1) の像力$\Omega$$\Omega$$Spec(k[\overline{x}])$$k$$\Omega$$k[\overline{x}]/I$$\grave{\grave{\grave{3}}}$$\ldots,$$x_{n}$$\mathrm{k}$$I$

Proposition 22 素体上、 濃度 の超越基底持つ代数閉体は濃度
ture である。
$\kappa$$\kappa$の saturated $s^{1}truc-$

以下の代数閉体とすると、 その超越基底
universality も明らかである。 を濃度以下である。 よって明らかに埋め込める (埋め込みの濃度は の超越基底の濃度
先が elementary submodel であることは nlodel conlplete より明らか。)$F$$\Omega$$|\Omega|$$|\zeta l|$strong homogenity も明らかである。 今 $A,$$\mathrm{t}\mathrm{p}(A)=\mathrm{t}\mathrm{p}(B)$.

とすると、 明らかに$B$$\langle A\rangle\simeq\langle B\rangle$

を濃度.

$|\Omega|$

ここで$\langle$未満の部分集合とする。
で生成される部分体$)$をあらわす。 するとまずこの同型は algebraic closure まで拡大される。

13$\Omega$での$\langle A\rangle$,

14の代数的閉包を $k,$ とする。の超越基底と 上のなため 上の$k$$l$$\Omega$

数閉体の基底の性質より、$\mathrm{a}\mathrm{c}1(k(C))=\mathrm{a}\mathrm{c}1(l(D))=\Omega$上のの自己同型に拡大される。 ( $A,$
例えば をとる。 これは濃度$2^{\aleph_{0}}$$A\backslash \{\pi\}$$\mathbb{C}$$\Omega$の超越基底 $C$ と 上の$l$$\Omega$

未満でなければ一般には成り立たない。
の上の超をの saturated structure である。

$B$$\mathbb{C}$と、 体として同型だが、$\Omega$$|\Omega|$の超越基底 $D$ がとれてである。 しかも $|C|=|D|$ である。 よって明らかに同型は$k$$\Omega$

越基底とする。 $B$ として未満の超越基底とは無限で濃度が同じである。 代であり、 $k,$ は濃度が$l$$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}_{k}(\Omega)=\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}_{l}(\Omega)$$l$$\langle B\rangle$

が濃度$|\Omega|$$A$をとる。 二つの部分体として$\mathbb{C}$$\mathbb{Q}(A)$と$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q}(B)$をとるの自己同型には拡張できない。)

実は代数醜体では単に 2 つの部分体の同型から (代数面体での) タイプが等しいことがでる。 $K,$
ると$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$$L\subset\Omega,$ $K\simeq_{\sigma}L$. により$\Omega\models\varphi(\sigma(\overline{a}))$とすとする。
とする。 さらにである。 なぜなら体の同型は quantifier free な formulaを保存するからである。 逆も明らかであり、 よって

5$\Omega\models\varphi(\overline{a})$$\varphi(\overline{x})\in L,\overline{a}\in K$$\mathrm{t}\mathrm{p}(K)=\mathrm{t}\mathrm{p}(L)$.

Elimination of imaginaries(E.I.)

普通に考えれば第 1 階述語論理では集合族は取り扱えない。 しかし簡単な集合族に限れば、 many sorted にすることによって取り扱うことができる。簡潔な説明が [1] 第2 章 Ziegler にある。 また場合によっては many sorted にしなくても取り扱うことができる。 代数解体、 微分四体、 分離閉体がその例である。

これらにおいては例えば two-elenent set $\{a, b\}$ 全体を扱う代わりに、 definable set( $a+b$ , ab) のもとで two-element setを考えて、 その点 (tuple) を、 対応とみなせばよい。

$K^{2}$$\{a, b\}\Leftrightarrow$

Definition 23 を complete な理論、 をその universal domain とする。 が (strong)(ここではetimination of imaginaries を持つとは、 すべての formula) に対してある ruple 6 があって次のことが成り立つことである。
でとして、$D=$ {d-\in \Omega 可
$T$

$T$

$\Omega$$\varphi(\overline{x},\overline{y})$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\sim\sigma_{-fomula}^{\iota}$$\overline{a}$$\in\Omega$$\Omega\models\varphi(\overline{d},\overline{a})$$\forall\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Omega)$$\sigma(D)=D\Leftrightarrow\sigma(b_{i})=b_{i}$for each$\mathrm{i}$例えば two-elenent set $\{a, b\}$ に対して tllple ( $a+b$ , ab) はこの性質を持っている。
( $\{a, b\}$ は $x=a\vee x=b$ で定義されている。 この tuple ( $a+b$ , ab) を $\{a, b\}$ の canonicalparameter という。) canonical parameter は一意に決まるわけではない。 例えば tuple$a+b-ab,$ $a+b+ab)$ も $\{a, b\}$ の canonical parameter である。 一般に が canonicalならば c- も canonical parameter である。
parameter で$\overline{b}$$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\overline{b})=\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\overline{c})$

14

15

よく知られている例として最小定義体がある。 を $ACF_{p}$ の universal domain とすをの affine algebraic set としてその最小定義体
る。
をとる。
は素二上有限生成であるから 1 組の素下上の生成元をとり とする。 すると上記のことが成り立つ。
$\Omega$$V$$\Omega^{n}$$k_{0}$$k_{0}$$\overline{b}$

実はこの拡張として $ACF_{p}$ が. を持つことがいえる。 つまり一般の definable setについても同様なことがいえるのである。
$\mathrm{E}.\mathrm{I}$$\mathrm{Q}.\mathrm{E}$. より$\Omega^{n}$の definable set $V$ は$i=1\vee^{k}(f_{\mathrm{I}}^{i}(\overline{x}, b_{1}^{i})=0\wedge\cdots f_{m}^{i}(\overline{x},\overline{b}_{m}^{i})=0\Lambda g^{i}(\overline{x}, c.)\triangleleft\neq 0)$の形である。 (definable set と formula を同一視する。) ただし
によってはは 1 とする。 (つまり inequation はない disjunct があるとき付け加える。) 新$1\leq \mathrm{i}\leq k$$g^{i}(\overline{x}y))$

しい変数$y_{1},$$\ldots,$$y_{k}$

を用意して,$i=1\vee k(f_{1}^{i}(x,\overline{b}^{i})=0\Lambda\cdots f_{m}^{i}(\overline{x}, \overline{b}^{i})=0$A$y_{i}g^{i}(\overline{x},\overline{c}^{i})-1=0)$内の代数的集合 $V’$ を考える。 (分配すれば代数的集合となる。) 任意のの自己同型 に対して $\sigma(V)=V\Leftarrow\Rightarrow\sigma(V’)=V’$ だから $V$ の最小定義体のある 組の生成元の tuple が $V$ の canonical parameter となる。

なる$\Omega^{n+k}$$\Omega$$-arrow$$\sigma$

Theorem 24 AC 瑞は $E.I$. を持つ。
代数閉体では最小定義体 (素体上有限生成) のどの生成元の tuple も canonical parameter である。 そしてこの場合 definable closure は生成される体の perfect closureだからそれらの definable closure は一致する。
ここでもうひとつの Elimination of imaginaries の定義は、 [1] の Pillay にあるように、 まず、

Definition25 構造
任意の$e\in\lambda I^{eq}$$\mathrm{A}I$

が $E.I$. を持つとは、

f こ対してある tuple b- があって、$e\in dcl(\overline{b})$で $\overline{b}\in dcl(e)$ であることである。

これは構造が$\mathrm{E}.\mathrm{I}$. を持つことの定義だが、 この theory version として、Definition 26 complete な理論$T$が $E.I$. を持つとは、 その任意のモデルが $E.I$. を持

つことである。

15

16

この定義から先の定義が出てくるのはやさしい。 の universal domainの definable set が canonical parameter をもっことをいえばよい。
$T$$\Omega$$\Omega$をとる。

上の同値関係 (つまり parameter なしの) の同値類の場合を考える。
とし、 同値類
を同値関係として、を考える。
とする。 canonical parameter として上の定義の を取れることをいとなるような の自己同型をとる。
う.
-formula で一意的にはある parameter を持った (なくてもよい)は変わらが決まるということだから、 を施しても は変わらない、 つまりを意味. よって $\sigma(e)=e$ はない (setwise)
まず definable set が$\emptyset$$\overline{a}\in\Omega$$E(\overline{x},\overline{y})\in L$$E(\overline{x},\overline{a})$$\overline{b}$$e=\overline{a}/E=f_{E}(\overline{a})$$\Omega$$\sigma(\overline{b})=\overline{b}(\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e})$$L^{eq}$$\overline{b}$$e\in dcl(\overline{b})$$e$$E(\overline{x}, a)$$e$$\sigma$$E(\sigma(\overline{a}),\overline{a})$$\text{。}(\sigma(e)=\sigma(f_{E}(\overline{a}))=f_{E}(\sigma(\overline{a}))$する。)

を動かさない自は同じく を動かさないような自己同型 (つまり己同型によって b- が動かない (poitwise) ことを意味する。 よって同値類の場合は確
かに canonical parameter を持つ。
$\overline{b}\in dcl(e)$$E(\overline{x},\overline{a})$$e$(で定義される)
次に一般の definable set だがもしそれが parameter なしの( $E$ ( , y- とする) をとり、 definable set 内なら同値類が 2 つの同値関係を考えればよい。
の 1 点による同値類ならば、 上の同値関係
parameter ありの$\psi(\overline{x})$$\psi(\overline{x})\Leftrightarrow\psi(\overline{y})$$\overline{x}$$E(\overline{x},\overline{a})$$\overline{a}$$\emptyset$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\forall\overline{z}(\varphi(\overline{z},\overline{x})++l\varphi(\overline{z},\overline{y}))$( $E$ ($\overline{x},$$y$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$

とする)

を考える。
を変えないし (setwise)を変えない (setwise) 自己同型は definable set$E(\overline{x},\overline{a})$$\backslash$

逆もそうである。 これを考えればよい。

これより先の定義から後の定義がでることをしめす。 準備として一般に成り立つこ
ととして、
の
とする
を universal domain,
を complete theory,
Lemma 27の一元を変えない) のすべての自己同型
が Aul(\Omega /A) (つまりdefinable set
からの parameter b- を持った formulaで setwise に不変ならば、 この definable set は$T$$A\subset\Omega$$\Omega$$\text{。}\Omega^{n}$$A$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$A$$\psi(\overline{x},\overline{b})$で定義される (つまり同値)。

代数では次のような定理が有る。 を $ACF_{p}$ の universal domain, $K$ を部分体とし
の部分集
たとき、
の代数的集合 が $K$ 上 algebraically normal ならば はのこ合で定義される。 ここで algebraically noromal とはとである。 実は一般的にいえるのである (ただし十分 ‘大きな’ 構造の中で)$\Omega$$\Omega^{n}$

$V$

$V$

$K[\overline{x}]$$V^{\sigma}=V(\forall\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Omega/K))$

。

16

17

Proof.

から $S_{n}(A)$ への制限写像$S_{n}(A\cup\{\overline{a}\})$$\pi$を考える。 明らかには連続写像であ$\pi$る。 compact space から Hausdorff space への連続写像は閉写像であるから$H_{2}=\pi(\langle\neg\varphi(\overline{x}, a)\rangle)$$H_{1}=\pi(\langle\varphi(\overline{x},\overline{a})\rangle),$は閉集合である。 明らかに $H_{1}\cup H_{2}=S_{n}(A)$ である。
$H_{1}\cap H_{2}=\emptyset$を示す。

$H_{1}\cap H_{2}\ni p$とすると、 ある

$q_{3}.,$$q_{2}\in S_{n}(A\cup\{a\})$$q_{2}\in\neg\langle\varphi(x,\overline{a})\rangle$$q_{1}\in\langle\varphi(\overline{x},\overline{a})\rangle,$.

$q_{1},$$q_{2}$のでの reaiization を$\Omega$$\overline{c}_{1},\overline{c}_{2}$とすると、$\Omega\models\varphi(\overline{c}_{1}, a),$である.
る$\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{c}_{1}/A)=\mathrm{t}\mathrm{p}(c_{2}/A)$$\sigma\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\Omega/A))$definable set は
したがって
があって

$\langle\psi\rangle$$\sigma$$H_{1},$

があって

があって

(これより

$\sigma(\overline{c}_{1})=\overline{c}_{2}$.

$\neg\varphi(\overline{c}_{2}, a)$$\mathrm{t}\mathrm{p}(\{\overline{c}_{1}\}\cup A)=\mathrm{t}\mathrm{p}(\{\overline{c}_{2}\}\cup A)$$c_{1}$

は definable set$\varphi(\overline{x}, a)$がでる) からあに入っていてこので不変だから矛盾する。 よっていえた。
$H_{2}$

は clopen である。そして $S_{n}(A)$ の clopen set は必ずある $\psi\in\sim(rA)$の形である。 なぜならまず open なことより’$\cup\psi_{i}$の形である。 closed な

ことより compact である。 よって finite open covering をとれる。 その disjunction をとればよい。
それゆえ$H_{1}=\langle\psi(\overline{x}_{7}\overline{b})\rangle,$$H_{2}=\langle\neg\psi(\overline{x}_{\mathrm{t}}\overline{b})\rangle$とおけて、$\forall\overline{d}\in\Omega(\Omega\models\varphi(\overline{d},\overline{a})\Rightarrow\Omega|_{--}^{-}\psi(\overline{x},\overline{b}))$$\forall\overline{d}\in\Omega(\Omega\vdash-\urcorner\varphi(\overline{d},\overline{a})\Rightarrow\Omega\models\neg\psi(\overline{x},\overline{b}))$. よって明らか。 (任意の d- に対してタイプ

Lemma 28

$T$

を complete theory,$\Omega$$\mathrm{t}\mathrm{p}(d/A\cup\{\overline{a}\})$

を考えればよい。)

を universal domain とする。 $T$ がはじめの定義の意味で $E.I$. を持つための必要十分条件は、(ここでは $L$ -fomula ですべての formulaがあり-formula$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\sim C^{1}$

口$\varphi(\overline{x},\overline{y})$$\overline{a}$$\in\Omega$) に対してある$\psi(\overline{x},\overline{z})$$\Omega\models\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{a})\Leftrightarrow\psi(\overline{x},\overline{b}))$となる (つまり同じ$\Omega^{n}$の部分集合を定義する)

17$\overline{b}\in\Omega$が一意的に存在することである。

18

例えば $x=a\vee x=b$ に対しては formula $x^{2}-z_{1}x+z_{2}=0$ が上のProof. まずは明らかである。

$\Leftarrow$$\overline{b}$$\psi$にあたる。

l よ明らかに canonical parameter である。

(これを $D$ とする) の canonical parameter を逆を示す。 今 definable setで定義される。 ここで b- によって満とする。 先の補題より $D$ はある formuiaと同じ部分集合を定ががあり、たされるある -formula$\overline{b}$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\psi’(\overline{x},\overline{b})$$L$$\psi’(\overline{x},\overline{b})$$\psi’(\overline{x},\overline{d})(\overline{d}\in\Omega)$$\theta(\overline{z})$が成り立つならば実は b-=d- であることが示される。
義してがないとすると、-formula の集合
なぜならこのような$\theta(\overline{d})$$L(\{\overline{b}\})$$\theta(\overline{z})$$tp(\overline{b}/\emptyset)\cup\{\forall\overline{x}(\psi’(\overline{\dot{x}},\overline{a})\Leftrightarrow\psi’(\overline{x}, \overline{b})),\overline{z}\neq\overline{b}\}$に共通な解 を持つ。に移す。 一方この自己同型は $D$ を変えないから矛盾の有限部分集合が解を持つことになり、 結局
よりある自己同型があり$\overline{b}$を$\overline{b}’$$\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{b})=\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{b}^{l})$$\overline{b}’$$\Omega$がおこる。
$\theta(\overline{z})$$\Lambda\psi’(\overline{x},\overline{z})$を$\psi(\overline{x},\overline{z})$とすればよい。

$\square$で同じことが成り立つのは明らかである。
の definable setである。
に埋め込む。
を universal domain
まずが上を満たすよ) をとる。 と(ここでは -formula で上のことより、 すべての $T$ のモデル$\mathrm{A}I$$\lambda I\prec\Omega$$\Omega$$\Lambda I$$\overline{a}\in \mathrm{A}I$$\epsilon$$\varphi(\overline{x},\overline{y})$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\mathrm{A}I$

うに存在するが、 一意的にある’ ことは言語でかけるので、在する。
上のことを言語$\sim\sigma\backslash eq$

でかく。

$E(\overline{x},\overline{y})$$e=\overline{a}/E=f_{E}(\overline{a}),\overline{b}=b_{1,7}\ldots b_{k},$$x_{E}$$\overline{b}\in\Omega$$\psi$$\Lambda I$にもそのようなを definable equivalence relation overを$\lambda I_{E}$$\overline{b}$は存$\emptyset,\overline{a}\in\lambda I$,の変数とする。

$\forall\overline{x}(x_{E}=f_{E}(\overline{x})\precarrow\psi’(\overline{x},\overline{b}))$を満たす$x_{E}$

は$e$

ただひとつであるから、$e\in \mathrm{d}\mathrm{c}1(\overline{b})$.

$z_{k}\forall\overline{x}(e=f_{E}(\overline{x})\Leftrightarrow\psi(\overline{x},\overline{z}))$$\exists z_{2},$$\ldots,$を満たす$z_{1}$

は$b_{1}$

ただひとつであるから、$b_{1}\in \mathrm{d}\mathrm{c}1(e)$. 他の$b_{2},$$b_{k}$$\ldots,$も同様である。

よって先の定義と後の定義とが同値である事が分かった。 さらに canonical paramならば もeter は $D$ を定義する parameter であることが分かった。
canonical parameter であることは、 ( での自己同型を考えれば) すぐに分かるのでは最小の定義定義する parameter の definable closure を考えることにすると、する parameter の definably closed set であることが分かる。
を definable set $D$ を定義する parameter であるとすると (つまりある formula$\overline{b}’$$\mathrm{d}\mathrm{c}1(\overline{b}’)=\mathrm{d}\mathrm{c}1(\overline{b})$$\Omega$$\mathrm{d}\mathrm{c}1(\overline{b})$$\overline{a}$$\eta(\overline{x},\overline{y})\in \mathfrak{L}$があって $D$ は$\eta(\overline{x},\overline{a})$で定義されると)

18$\overline{a}$

、

を変えない

$\Omega$の自己同型は$b$

19

を変えないから. よって最小である。 $ACF_{p}$ の場合は、 標数 $p=0$ の場合は生成する体で、 $p>0$ のときは生成する体の perfect closure だから最小定義体で$\overline{b}\in \mathrm{d}\mathrm{c}1(a)$$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}$ある。
なお comple{,e でない理論がルが$\mathrm{E}.\mathrm{I}$$\mathrm{E}.\mathrm{I}$. を持つ、 という言い方もする。 そのすべてのモデ. を持つことを意味する。 例えば $ACF$ は$D\subset\Omega^{n}$をしの formula

しかしこの$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\psi(\overline{x},\overline{z})$$\uparrow l’$$\mathrm{E}.\mathrm{I}$. を持つ。

で定義される definable set とする。 このときある parameter なとして定義された。
があってただひとつの b- に対して $D$ が$\psi(\overline{x},\overline{b})$は parametera- によってことなるかもしれない。

いまから $T$ が少なくとも 2 つの異なる constant の存在を認めるならば (つまりによっが少なくとも 2 つの元を含むならば) 上の は parameter に依存せず、$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\emptyset)$$\psi$$\varphi(\overline{x},\overline{y})$を含む。)てのみ決まることを示す。 ( $T$ のモデルはすべてより上の条件を満たす。 アイデアは compactness theorem に
AC 瑞はよって表現をいくつかに絞ってやり、 後は場合分けで書くことである。
$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\emptyset)$$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\emptyset)\ni 1,0$

Proposition 29$T$

が $E.I$. を持ち、 $T$ でが少なくとも 2 つの元を含むとする。
で定義される definable set とする。 このと$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{l}(\emptyset)$

をのモデルとし、き妖 , ) だけで決まるある pammeter なしの formulaとして定義される。
b- に対して $D$ が$\Lambda I$

を$T$$D\subset\lambda I^{n}$$\varphi(\overline{x},\overline{a})$$\overline{x}$$\overline{y}$$\psi(\overline{x}, z)$があってただひとつの$\psi(\overline{x},\overline{b})$Proof.

$\Omega$を universai domain とする。 $n$ を y- の長さとして、$S_{n}(\emptyset)$の無限開被覆を次のように取る。
$p\in S_{n}(\emptyset)$

formulaに対して$\psi(\overline{x},\overline{z}_{p})$$p$のの実現点を $a\in\Omega$ とする。 すると、$\Omega$があって、.

$\Omega$$|=\exists!\overline{z}_{p}\forall\overline{x}(\varphi(x,\overline{a})\Leftrightarrow\psi_{p}(\overline{x},\overline{z}_{p})$である。 つまり$p\in\langle\exists!\overline{z}_{p}\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{y})++’\psi_{p}’(\overline{x},\overline{z}_{p})\rangle$である。 すると、$S_{n}(\emptyset)$は$p\in S_{\tau\iota}(\emptyset)\cup\langle\exists!\overline{z}_{p}\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{y})\Leftrightarrow\psi_{p}(x,\overline{z}_{p})\rangle$

で覆われる。 よって有限個の$\psi_{1},$$\psi_{k}$$\ldots,$があって$S_{n}( \emptyset)=\bigcup_{i}\langle\exists!\overline{z}_{i}\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{y})\Leftrightarrow\psi_{i}(x,\overline{z}_{i})\rangle$

19$\varphi(x, a)$に対してある20である。

すべての $T$ のモデルに対して、 特に$\lambda I$

に対して、$\mathrm{A}I\models\forall\overline{y}\bigvee_{i}\exists!\overline{z}_{i}\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{y})\Leftrightarrow\psi_{i}(\overline{x},\overline{z}_{i})))$

を勝手に取る。
である。 (
を満たすことが分かる。)$\overline{a}\in\Lambda I$$p=\mathrm{t}\mathrm{p}(\overline{a})\in S_{n}(\emptyset)$

ここで仮定で保証されている
適当に $z_{j}=0$ をくで付け加えて各$\mathrm{o}^{1}\mathrm{c}1(\emptyset)$の長さを とすればようにしたとき、$l_{1}$$\overline{z}_{i}$をとれば a- が上の \forall y-以下の formulaの異なる 2 つの元を 0, 1 としておく。

の長さを同じ長さにしておく。

$\psi_{1}(x,\overline{z}_{1})\wedge z_{l_{1}+1}=0$$(\psi_{1}(\overline{x},\overline{z}_{1})$で parameter の長さは $l_{1}+1$ となる。)

で$\overline{z}_{1}$この$\Lambda I\models\forall\overline{y}\bigvee_{i}\exists!\overline{z}\forall\overline{x}(\varphi(\overline{x},\overline{y})\Leftrightarrow\psi_{i}(\overline{x},\overline{z})))$

が成り立つ。
新しい parameter 用の変数
$1_{7}\ldots,$ $k$・各$\bullet$$u_{1},$$\ldots,$$u_{k}$

を用意して場合分けを formula でかく。

$\mathrm{i}=$にたいして、$u_{i}$

は 0 か 1 であり、 またiff$u_{i}=1$$\psi_{i}(\overline{x},\overline{z})$$u_{i}$の中でただ 1 つだけが 0 である。

であり$\forall\overline{t}(\forall\overline{x}(\psi_{i}(\overline{x},\overline{z})\Leftrightarrow \mathrm{t}_{7}l_{i},(\overline{x}, t\gamma)arrow\overline{t}=z$であって$j<\mathrm{i}$に対しては$\neg(\forall\overline{t}(\forall\overline{x}(\psi_{i}(\overline{x},\overline{z})\Leftrightarrow\psi_{j}$( , り)\rightarrow t$\overline{x}$$=\overline{z}$)である。
この conjunction を$\psi(\overline{x},\overline{u},\overline{z})$な , b- があり、 $D$ は$\psi(\overline{x},\overline{c}, \overline{b})$$\overline{c.}$とすると統一的に、 任意の$a\in\Lambda I$

に対してある uniqueで定義される。

$\square$を parameter なしで定義可能な同値関係とすると、 上のことよりある(への、 ここで $n$ は の長さで、からparameter なし definable な function

今$E(\overline{x},\overline{y})$$f_{E}$$m$は上の$\overline{b}$$\overline{c},$の長さ) があって、 商集合$\Lambda I^{\mathrm{n}}$x-$\lambda I^{m}$$\{\overline{a}/E;\overline{a}\in \mathrm{A}I^{n}\}$は、 全体が$f_{E}$の image で、各剰余類はその点 (tuple) であらわすことができる。 よって商集合を definable set として扱うことができる。

20

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ここで問題になるのは、 同値関係
が parameter を用いて定義できる場合であ$A$る。 parameter set をとする。 の各元に名前を付けた言語のもとでの theory$E(\overline{x},\overline{y})$$A$. を持つ。 言語 $L(A)$ のもとでは -definable だからそのまま上のことが適用でき、 結局が A-definable$T(A)=\mathrm{T}\mathrm{h}(\mathbb{J}I, a)_{a\in A}$

は$E(\overline{x},\overline{y})$$\mathcal{L}(A)$を考えると、 $T(A)$ も明らかに$\mathrm{E}.\mathrm{I}$$\emptyset$$f_{E}$となる。 商集合は $A$ -definable set として扱うことができる。

上の場合分けは複雑そうに見えるが、 もっと単純な場合はしばしば現れるものである。

Example. 体 $K$ 上の射影直線

1 通常のように definable set$E(\overline{x},\overline{y}).‘ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0$$E(\overline{x}, \overline{a})$$\mathrm{P}^{1}$.

-definable equivalence relation
による商集合とする。 parameter ( , a2) をとるとき、$K^{2}\backslash \{(0,0)\}$上の$\emptyset$$a_{1}$

は$a_{1}\neq 0$

ならば canonical parameter として $b=a_{2}/a_{1}$ を、$a_{1}=0$ ならば canonical parameter として $b=1$(

ををとることができる。

つまり素体の元なら何でも良いから今は 1 としておく。) 付随する for-$\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{l}(\emptyset)_{\text{、}}$

mula としては前者は $x_{2}-bx_{1}=0$ , 後者は $x_{1}+1-b=0$ (又は明示的に$x_{1}+1-b=0\wedge x_{2}=x_{2})$

この二つに対して前の方法を適用すればよいが、 結局
rameter を用意して、$f_{E}$

を例えば、 新しい Pa-$u$( $y_{1}\neq 0\wedge z=y_{2}/y_{1}$ A $u=1$ ) $\vee(y_{1}=. 0\Lambda z=1\Lambda u=0)$
への definable
は商集合 $\{E(x_{1} , x_{2}, y_{1}, y_{2});(y_{1}, y_{2})\in K^{2}\}$ から
injection となる。 座標として $(u, z)$ をとれば普通の代表元のとり方となる。 この場合は体でいえるが、 代数閉体ならばどんなに複雑なものに対しても同様なとすれば、$K^{2}$$f_{E}$

ことがいえるのである。

2. このような仕方は一通りではない。
のような$f_{E}$$\mathrm{P}^{1}$を affine 直線の張りあわせと見ると、 次が得られる。

お互いに disjoint な affine 直線 $K\mathrm{x}\{0\},$の中にとる。開集合 $x\neq 0$上の同値関係
どおしの張り合わせを、 $(x, 0)\Leftrightarrow(1/x, 1)$ で与える。 つまり$K\mathrm{x}\{1\}$を$K^{2}$$K^{2}$$E(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2});(x_{1}\neq 0\wedge y_{1}\neq 0\wedge x_{2}=0\wedge y_{2}=1\Lambda x_{1}.y_{1}-1=0)$$\vee((x_{1}=0\vee y_{1}=0\vee x_{2}\neq 0\vee y_{2}\neq 1)\Lambda\overline{x}=\overline{y})$

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を $(K\mathrm{x}\{0\})\cup(K\mathrm{x}\{1\})$ に制限したものである。 (この $E$ は張り合わせ部分以外は
各同値類は 1 点からなる。) 張り合わせ部分の同値類 $\{(a_{7}0), (1/a, 1)\}(a\neq 0)$ に対しては canonical parameter として を、 1 点からなる同値類 $\{(c, d)\}$ にはその$a$点の座標を tuple として canonical parameter にとる。

$f_{E}$

を $(K\mathrm{x}\{0\})\cup(K\mathrm{x}\{1\})$

上、($y_{1}\neq 0\wedge z_{1}=y_{1}$A $z_{2}=0$ ) $\vee(y_{1}=0\Lambda z_{1}=y_{1}\wedge y_{2}=z_{2})$とすればよい。
上のようにして、 Weil が定義した abstarct algebraic variety は definable set (constructible set) として定義される。 definable な atlas と definable な chart を持っているものである。 もちろん geometry は見えなくなる。 例えば subvariety かどうかを見るを知っていればそれは難しいこのは元の variety に戻らなくてはいけない。 しかし$f_{E}$とではない。 これは普通の代数幾何で行っていることである。
顕著な例として、 Weil-Hrushovski-van den Dries theorem がある。 ($[1]\mathrm{P}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{y}$参照)の definable set で群演算がを代数四体で definable な群とする。 (つまりあるなものである。) すると $G$ はある代数群と definably isomorphic である。 この場合、 代数群は上のようにして得られた definable set として扱っている。 (もちろん群演算はただの definable ではな nlorphism である。) そして二つが definable group$K^{n}$$G$$\mathrm{d}\mathrm{e}\xi \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}$$\text{く}$として同型であることを出張している。 (この同型も definable であることもである。)
model theory が力を発揮するのはこのようなことも踏まえて、 代数閉体よりも豊かな構造、 微分閉体、 分離憎体の理論等に現れるいろいろな概念 (代数閉体では無意味になることも多い) が有効であることにある。

参考文献$\lfloor 1]$

E. Bouscaren (Ed.), Model Theory and Algebraic Geometry, L.N.M. 1696,Springer,

1998.
[2] B. Poizat, A Course in Model Theory, Springer, 2000.
[3] M.D.Fried, M. Jarden, Field Arithmetic, 2nd Ed., Springer, 2005.
[4] 坪井明人, モデルの理論, 河合文化教育研究所, 1997.

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