数理解析研究所講究録 1410 巻 2005 年 124-138124

局所対称リーマン多様体に関する
スペクトルゼータ関数の特殊値
橋木康史

Yasufumi Hashimoto
九州大学大学院数理学府
Graduate School of Mathematics, Kyushu Universlty

Introduction

1

を実階数 1 の半単純リー群, $K$ を $G$ の極大コンパクト群, を cO-compact torsionの固有値上のラプラシアンを
free な $G$ の離散部分群とする. このとき,を次て定義$(0=\lambda_{0}<\lambda_{1}<\ldots),$の重複度とし, スペクトルゼータ関数
tj を$\Gamma$$G$$\lambda_{j}$$\Delta$$\Gamma\backslash G/K$$\zeta_{\Delta}(s)$$n$$\lambda_{j}$する.
$\zeta$x(s)$= \sum_{j=1}^{\infty}n_{j}\lambda_{j}^{-s}$${\rm Re} s>d/2$

.

(1.1)

がコンパクトリーマン面てある場合には,の 2 以上ての整数点の値が, 前回の表現論シンボジウムにおいて, セルバーグゼータ関
ここて,

$d$

は $G/K$ の次元てある.

$\zeta_{\Delta}(s)$$\Gamma\backslash G/K$

数のローラン展開の係数として定義されるオイラーセルバーグ定数を用いて表せることが知られており,その関係式が本質的に$n$に関する漸化式の形て [HIKW], [St] によって得られている.
本稿ては, ニンパクトリーマン面の場合も含めたコンパクトな局所対称リーマン多様に関するスペクトルゼータ関数の整数点の値 $\zeta_{\Delta}(n)(n>d/2)$ をオイラーセ
体たちを用いて表す公式を (漸化式てはなく) 一般式の形て明示的に
ルバーグ定数と, 及ひ
記述することを主目的とする. さらに, コンパクトてない場合にも が$\Gamma\backslash G/K$$\zeta(n)$$\Gamma$$SL_{2}(\mathbb{Z})$の合同部分群の場合に限って, コンパクトの場合と同様の公式が記述てきたのて
紹介する.
の数値計算
の合同部分群の場合のが四元数群, およひ
また, 応用として,$SL_{2}(\mathbb{Z})$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\Gamma$について紹介する. Theorem 4.1 から$\zeta_{\Delta}$がオイラーセルバーグ定数を用いて記述されての値が求まることがわ
いるのて, オイラーセルバーグ定数を計算することによって$\zeta_{\Delta}$$\zeta_{\Delta}(n)$前回の講演の際に証明したオイラーセルバーグ定数の双曲元の和としての表示式 ([H]) を [AKN] によって得られたセルバーグゼータ関数の数論的表示を用い

かる.

ここては,

, の $n$ に関する増大度て書き直す, という方法をとった. 本講演てはさらに,に依っていることを利用して, ラプラシアンの第一固有値の数値評価を行った.
が主に$\{\zeta_{\Delta}(n)\}_{*\geq 2}$$\lambda_{1}$1252

記号の準備と主結果
を実階数 1 の半単純リー群,

$G$

$K$

を $G$ の極大コンパクト群とし,$d$を $G/K$ の次元とすに関する Cartan 分解とする. へを の極大可換部分空間とする. このとき, $G/K$ の階数が 1 なのて,) となるように(を -stable に拡張し
である.
, 果
を,
$A\mathrm{e}=\exp$ 果とおく.
た の極大可換部分環とする. このとき, $A=\exp a$ ,p’
C をそれそれを (また,c) のルートの集合,の複素化とする. このとき,

店そをそれそれ $G,$ $K$ のリー環とし,る.

を Cartan 対合$g=\mathrm{t}+\mathfrak{p}$$\theta$$\dim\alpha_{\mathfrak{p}}=1$$\mathfrak{p}$$a$$=a\cap \mathrm{t}$$\eta=a\cap \mathfrak{p}$$a=a_{\mathfrak{p}}+a_{\mathrm{t}}$$\theta$$a_{\mathfrak{p}}$$A_{\mathfrak{p}}=\exp a$$\mathrm{g}$$\mathrm{g}^{\mathbb{C}},$$\Phi^{+}$

onを$\alpha_{\mathfrak{p}}$$\Phi$$a$$\mathrm{g},$$\Phi$$a$の元て正てあるものたちのなす集合,}, $P_{-}=\Phi^{+}-P_{+}$ とし,$P_{+}$$\rho=1/2\sum_{\alpha\in P}+\alpha$を $\xi_{\lambda}(h)=\exp\lambda$ (10g ) て定義する.
は高々 2 つの元からなる集合てあり 1 ある
して,

$h$

$\xi_{\lambda}$$\Sigma$$\beta\in\Sigma$

に対して,を $\beta(H_{0})=1$ て定め,, 几をそれぞれとおく.
を$P_{+}$$h\in A$の元の$a$$\mathfrak{g}^{\mathbb{C}},$と$\emptyset \mathfrak{p}$$P_{+}=\{\alpha\in\Phi^{+}|\alpha\not\equiv 0$$a$上の線形形式$\lambda$に対への制限としたとき,に対して $\Sigma=\{\beta\},$$\{\beta, 2\beta\}$と書ける.

$\Sigma$

こ

と書く
さて,
を -compact tosion free なの離散部分群と仮定する. $C$ (\Gamma ) を の位数が有限てない半単純元の 共役類のなす集合, Prim(I) を の素元のなす集合, $Z$ (r) をなる素元,をの中心とする. $\gamma\in C$ (\Gamma ) に対して,(\gamma ) を と共役
$A$
な
を
の元とし,
(\gamma ) て定める. また, $N$ (\gamma ) を$N(\gamma)=\exp(\beta(\log(h_{\mathfrak{p}}(\gamma)))),$をて定義する.
$G/K$ の Plancherel 測度を $\mu(s)$ とし, また, 便宜上次を定義する.
の$\beta$$H_{0}\in\emptyset \mathfrak{p}$$\rho_{0}=\rho(H_{0})$$\mathrm{c}\mathrm{o}$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$$h_{\mathfrak{p}}(\gamma)\in A_{\mathfrak{p}},$$h_{l}(\gamma)\in A_{t}$$D(\gamma)$$\rho$[Wi]$\overline{\mu}(r)$$D( \gamma)=N(\gamma)^{2\rho 0}\prod_{\alpha\in P}+|1-\xi_{\alpha}(h(\gamma))^{-1}|$$\mu$

if $G=SO(n, 1)$ ,(r)$\overline{\mu}(r)=\{$$\rho$$\gamma$$h(\gamma)=h_{\mathfrak{p}}(\gamma)h_{f}$0,$\hat{\rho}_{0}=\{$$h$$\gamma=\delta_{\gamma}^{j}(j\geq 1)$$\delta_{\gamma}$

このとき,

$l$

$G$

$\Gamma$0/2,

if$2\mu(2r)$は (2.3) によって定まる$C_{G},$

$P$

(r),

$\sigma(r)$$G\neq SO(n, 1)$

(2.1)

.

を用いて次のように書ける ([Mi],$)$$\overline{\mu}$

$G$

$d$

(s) $:=\pi$ C P(r) (r).
$G-1$$\hat{\rho}_{0}$$\rho_{0}$$C_{G}$$\sigma(r)$$2^{4m-6}\Gamma(m-1/2)^{2}$$1$

SO $(2m-1, 1)$ $2m-1$$m$

SO(2m, 1)$m-1/2m-1/22^{4m-4}\Gamma(m)^{2}$

$2m$

-l

$SU(2m-1, 1)$ $4m-2$ $2m-1$(2m, 1)$SP$ (m, 1)$SU$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$m-1$$m-1/22^{4m-5}\Gamma(2m-1)^{2}$

$4m$

$2m$

$m$

$2^{4m-5}\Gamma(2m)^{2}$$4m$$2m+1$$m+1/2$$2^{4m-1}\Gamma(2m)^{2}$

16

11

11/2

$\mathrm{Z}^{19}\Gamma(8)^{2}$$G$$P(r)$

SO $(2m-1, 1)$$r^{2} \prod_{j=0}^{m-2}(r^{2}+j^{2})$SO(2m, 1)$r \prod_{j=1}^{m-1}\{r^{2}+(j-1/2)^{2}\}$$SU(2m-1, 1)$$r \prod_{j=1}^{m-1}\{r^{2}+(j-1/2)^{2}\}^{2}$(2m, 1)$SP$ (m, 1)$SU$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$(2.2)$\sigma$anh$\pi r$taz 市$\pi r$$\mathrm{t}$

oth
anh
anh

$\mathrm{c}$$\mathrm{t}$$\mathrm{t}$$\pi r$$\pi r$$\pi r$$r^{3} \prod_{j=1}^{m-1}(r^{2}+j^{2})^{2}$$r \{r^{2}+(m-1/2)^{2}\}\prod_{j=1}^{m-1}\{r^{2}+(j-1/2)^{2}\}^{2}$$r(r^{2}+1/4)^{2}(r^{2}+9/4)^{2}(r^{2}+25/4)(r^{2}+49/4)(r^{2}+81/4)$

(2.3)

126

$\lambda_{j}$を$\Gamma\backslash G/K$

で定まる値,

上のラプラシアン の固有値 $(0=\lambda_{0}<\lambda_{1}<\lambda_{2}<|\cdot.),$ j をの重複度とする. このとき, スペクトルゼータ関数
を$r$$\Delta$$\lambda_{j}=\rho_{0}+r_{j}22$

を次で定$\zeta_{\Delta}(s)$$n_{j}$$\lambda_{j}$義する.
$\zeta_{\Delta}(s)=\sum_{j=1}^{\infty}n_{j}\lambda_{j}^{-s}$$s>d/2$ .

(2.4)

関数 $f$ をそのフーリエ変換 $\hat{f}(r)=1/2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{*xr}.dx$ が条件 (1) $\hat{f}(r)=\hat{f}(-r),$ (2)に対して,が $\{|{\rm Im} r|\leq\rho_{0}+\delta\}$ て正則てあるような $\delta>0$ が存在する, (3) 任意のこのとき, 次のセノレバーグ$\hat{f}(r)=O(|r|^{-d-e})$ as $|r|arrow\infty$ てある, を満たすものとする.

$\hat{f}$$\epsilon>0$

跡公式が成り立つ ([Ga])$\sum$$\log N(\delta_{\gamma})D(\gamma)^{-1}N(\gamma)^{\rho 0}f(\log N(\gamma))$$\sum_{j\geq 0}n_{j}\hat{f}(r_{\mathrm{j}})=$$\gamma\in$G(r)-z(r)$+ \frac{1}{4\pi}\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\mathrm{I}\backslash G)[Z(\Gamma)]\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}$(2.5)(r) (r)dr.
$\mu$

セルバーグゼータ関数を次て定義する.
$\ s>2\rho_{0}$$Z_{\Gamma}(s)= \prod_{\delta\in \mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{m}(\Gamma)}\prod_{\lambda\in L}(1-\xi_{\lambda}(h(\delta))^{-1}N(\delta)^{-s})^{m_{\lambda}}$

ここて,

$L$

を

$L:= \{\sum_{=1}^{l}.\cdot m:\alpha_{i}|\alpha:\in P_{+},m_{\dot{*}}\in \mathbb{Z}_{\geq 0}\},$

異なる $(m_{1}, \ldots, m_{l})$ の個数てある. このとき,$Z_{\Gamma}(s)$$m$ \lambda(2.6)

を $\lambda=\sum_{=1}^{l}.\cdot m.\alpha:\in L$ となる相の対数微分は次て書ける.
${\rm Re} s>2\rho_{0}$$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\sum_{\gamma\in C(\Gamma)-Z(\Gamma)}1o\mathrm{g}N(\delta_{\gamma})D(\gamma)^{-1}N(\gamma)^{2\rho 0^{-\epsilon}}$$Z_{\Gamma}’(s)/Z_{\Gamma}(s)\}$.

X $s=2\rho_{0}$ で 1 位の極を持つことが知られており,$s=2\rho_{0}$

.

(2.7)

てのローラン展

開は(s-2 0) .

(2.8)

$k$

$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\frac{1}{s-2\rho_{0}}+\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(0)}+\sum_{k=1}^{\infty}\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k})$と書ける. ここて,表示を持つ ([H])$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k})$$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$は$k$$\rho$

次のオイラーセルバーグ定数と呼ばれる定数て, 次のような.

$= \frac{(-1)^{k}}{k!}\lim_{xarrow\infty}\{\sum_{\gamma\in C(\Gamma}\log N(\delta_{\gamma})D(\gamma)^{-1}(\log N(\gamma))^{k}-\frac{(1\mathrm{o}\mathrm{g}x)^{k+1}}{k+1}\}$(2.9)

本稿ては, スペクトルゼータ関数の $s=n>d/2$ ての値と上述のオイラーセルバーグ定数の間の関係式が次のように表されることを主定理とする.

127

Theorem 2.1. $n>d/2$ に対して, 次が戒り立つ.
$(2 \rho_{0})^{2n}\zeta_{\Delta}(n)=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(\begin{array}{ll}2n-k -2n-1 \end{array})(2 \rho_{0})^{k+1}\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}-$$(\begin{array}{l}2n-1-1n\end{array})+[Z(\Gamma)]\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash G)I_{G}^{(n)}$,こニて$\sum^{n}A_{l}^{(n)}(\zeta(l)-\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{2\rho 0}k^{-l})-\frac{1}{2}$A(n),if $G\neq SO(2m-1,1)$ ,$I_{G}^{(n)}:=C_{G}^{-1}\mathrm{x}\{$f $G=SO(2m-1,1)$ ,$\pi\sum_{m=1}^{(d-1)/2}(-1)^{m-1}p_{2m}\sum_{q=0}^{\min(2m,n-1)}\frac{(-2)^{q}}{(2m-q)!}.(\begin{array}{l}2n-q-2n-1\end{array})l=2$$\iota$$A_{l}^{(n)}:=(2 \hat{\rho}_{0})^{l}\sum_{m=1}^{d/2}(-1)^{m-1}\hat{\rho}_{0}^{2m-1}p_{2m-1}\sum_{q=0}^{1}(\begin{array}{l}-12mq\end{array})\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{I}\mathrm{n}(n-l2m-1)(\begin{array}{llll}2n -l- q -1 n-1 \end{array})(-2)^{q}$てあり, また,

3$p_{m}$.

mrm て定まる値てある.

は $P(r)= \sum 3_{1}p$Theorem 2.1 の証明の概略
テスト関数として$\hat{f}(r)=(r2+a2)-n$$f(x)=$ Cをとり$(n>d/2, a>\rho_{0})-$,,

x$|x| \sum_{k=0}^{n-1}\mathrm{A}(\begin{array}{ll}2n-k -2-1n \end{array})(2a)^{-2n+}k+1|$$|^{k}$

跡公式 (2.5) にあてはめると次の公式を得る.

$(a^{2}- \rho_{0}^{2})^{-n}+\zeta_{\Delta}(n,a^{2}-\rho_{0}^{2})=\sum_{k=0}^{n-1}(\begin{array}{ll}2n-k -2n-1 \end{array})(2a)^{-2n+k+1} \frac{(-1)^{k}}{k!}(\frac{Z_{\Gamma}’}{Z_{\Gamma}}$$+ \frac{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash G)[Z(\Gamma)]}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty}$

ここて,$\zeta_{\Delta}(n,x)=\sum_{j\geq 1}n_{j}(\lambda_{j}+x)^{-n}$てある.

$(a^{2}- \rho_{0}^{2})^{-n}=\sum_{k=0}^{n-1}(\begin{array}{ll}2n-k -2-1n \end{array})(2a)^{-2\mathrm{z}\mathrm{I}k+1}$$\lambda_{0}${)$0)(a+\rho 0)$(3.1)(r $2+a2$ ) $-n$ p(r)dr.

の寄与からあらわれる$(a^{2}-\rho_{0}^{2})^{-n}$$(a-\rho_{0})^{-(k+1)}+(a+\rho_{0})^{-}$ (A

$+1)$

}

$,$

は

(3.2)

と書き換えられるのて, (3.1) の左辺の第 1 項と右辺の第 1 項の差が-(a$2-\rho 8$ )$-n+ \sum_{k=0}^{n-1}(\begin{array}{l}2n-k-2-\mathrm{l}n\end{array})(2a)^{-2n+k+1}\frac{(-1)^{k}}{k!}(\frac{Z_{\Gamma}’}{Z_{\Gamma}})^{(k)}(a+\rho_{0})$$= \sum_{k=0}^{n-1}(\begin{array}{l}2n-k-2n-1\end{array})(2a)^{-2n+k+1}\{\frac{(-1)^{k}}{k!}(\frac{Z_{\Gamma}’}{Z_{\Gamma}})^{(k)}(a+\rho_{0})-(a-\rho_{0})^{-k-1}-(a +/)0)-k-1\}$(3.3)となるのて, あとは$aarrow\rho_{0}$とすればよ 1.

口

128

4

$G=SL_{2}(\mathbb{R})$$K=SO$ (2),$G=SL_{2}(\mathbb{R}),$

とき,の数論的部分群の場合が$\Gamma$$\mathrm{c}\mathrm{o}$-compact tosion free な$SL_{2}(\mathbb{R})$の離散部分群てある

Theorem 2.1 は次のように書 #1 る.
$\zeta_{\Delta}(n)=\sum_{k=0}^{n-1}(,1)^{k}(\begin{array}{ll}2n-k -2n-1 \end{array}) \tilde{\gamma}"-$$+ \frac{\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash H)}{2\pi}[\sum_{l=2}^{n-1}\{$$(\begin{array}{ll}-l-2n 1-1n \end{array})-2$ $(\begin{array}{ll}-l-2n 2-1n \end{array})\}\zeta(l)+\zeta(n)]$

.

(4.1)

が -compact だが tosion free てない ( が楕円元をもは上半平面てある.
つ) 場合にも (4.1) と同様の公式を作ることがてきる. Section 4.1 ては, その一例としてが -compact てない場合は, 跡公式中の散乱
四元数群に関してみていきたい. また,行列式を含む項が明示的に書けていないのて, (4.1) と同様の公式を作ることは難しい.
, およひ, その合同部分群てある場合には [Hel] なとによってがしかしながら,
散乱行列式が明示的に計算されているため, 公式の具体的な記述が可能てある. Section
ここて,

$H$

$\Gamma$$\Gamma$$\mathrm{c}\mathrm{o}$$\Gamma$$\Gamma$

4.2 ては4.1$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\mathrm{c}\mathrm{o}$$SL_{2}(\mathbb{Z})$の合同部分群に関する公式を紹介する.

四元数群$a,b>0$ を互いに素な平方因子をもたない整数とし, $B$ を$a,$ $\beta^{2}=b,$$q_{2}\beta$

十$\alpha\beta=-\beta\alpha)$$q_{3}\alpha\beta$$(q:\in \mathbb{Q})$て定義されるに対して,$\overline{q},$$\mathbb{Q}$$n$$n(q)=q\overline{q}=q_{0}^{2}-q_{1}^{2}a-q_{2}^{2}b+q_{3}^{2}ab,$$B=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\alpha+\mathbb{Q}\beta+\mathbb{Q}\alpha\beta(\alpha^{2}=$上の不定値四元数環とする. $B$ の元 $q=q\mathit{0}+q_{1}\alpha+$(q),$\mathrm{t}$$\mathrm{t}\mathrm{r}q$をそれそれ $\overline{q}=q_{0}-q_{1}\alpha-q_{2}\beta-q_{3}\alpha\beta$,

r $q=q+\overline{q}=2q_{0}$ て定義する.

$B$

の極大整環

を用いて
を $O$ の 上の基底をひとつ選ひそれを $O$ と書く $B$ の判別式のとりかたに依らなは $O$ やと定義する. このとき,て分岐する素数 (このような素数は偶数個ある) の積と等しいことが知値てあり,をそれそれ $B,$ $O$ の元てあって $n(q)=1$ てある からなる群とする.
られている.
と同一視される.
の離散部分群は次の写像によって
このとき, 群$\{u:\}_{1\leq j\leq 4}$$\mathbb{Z}$$d_{B}$($\mathrm{A}\mathrm{a}$$\{u_{i}\}$$d_{B}$$d_{B}:=|\det(\mathrm{t}\mathrm{r}(u\dot{.},u_{j}))|^{1/2}$$B/\mathbb{Q}$$B^{1},$$O^{1}$$q$$\Gamma_{B}$$SL_{2}(\mathbb{R})$$\mathcal{O}^{1}$$q\mapsto(_{q_{2}\sqrt{b}-q_{3}\sqrt{ab}}^{q_{0}+q_{1}\sqrt{a}}q_{2}\sqrt{b}+q_{3}\sqrt{ab}q_{0}-q_{1}\sqrt{a})$,は -compact てあり, 位数 2 または 3 の楕円元をもち得る.
の離散部分群
はそれそれをそれそれ位数 2, 3 の楕円的共役類の個数とすると,次のように定まる ([He2], [Sh])$SL_{2}(\mathbb{R})$$\Gamma_{B}$$\nu_{2}$$\mathrm{c}\mathrm{o}$$\nu_{2},$$\nu_{3},$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma \mathit{0}\backslash H)$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma_{B}\backslash H)=\frac{\pi}{3}\prod_{p|d_{B}}(p-1)$,$\eta=\prod_{p|d_{B}}(1-(\frac{-1}{p}))$,$\nu_{3}=\prod_{p|d_{B}}($$1-( \frac{-3}{p}))$

.

(4.2)

129
ここで,

$(-1/p)=\{_{-1}^{0}1$’

である. このとき, 楕円元を含む

Theorem 4.1.
$\zeta_{\Delta}(n)=$$\Gamma$$(-3/p)=\{\begin{array}{l}0(p=3)1(p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)-1(p\equiv 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\end{array}$$(p\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)(p\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)(p=2),,$$\Gamma$に関する跡公式を用いると, 次の公式を得る.

を四元数環とする. このとき,$n\geq 2$

に対して( $(4.1)$ の右辺)$+ \frac{\nu_{2}}{2}\sum_{l=1}^{n}(\begin{array}{lll}2n -l- 1n -1 \end{array}) \xi(l)+\frac{\nu_{3}}{3\sqrt{3}}[\sum_{m=1}^{n}\frac{(-1)^{[m/2]}}{m!}(\begin{array}{l}2n-m-1-1n\end{array})(\frac{\pi}{3})^{m}\alpha_{m}$$+2 \sum_{l=1}^{[n/2]}\sum_{m=0}^{n-2l}\frac{(-1)^{[m/2]}}{m!}\alpha_{m}(2n -2l-n-1 m -1) \xi(2l)+2\sum_{l=1}^{n}(\begin{array}{lll}2n -l- 1n -1 \end{array}) \alpha_{l+1}\eta(l)]l$(4.3)
が成り立つ. ここて

1( $m$ が奇数),$\sqrt{3}$(m が偶数),$\alpha_{m}=\{$$\log 2$$(l=1)$ ,$(1-2^{1-l})\zeta(l)$$(l\geq 2)$$\xi(l)=\sum_{k\geq 1}(-1)^{k-1}k^{-l}=\{$,( l が奇数),$\sum(-1)^{k-1}\cos\frac{\pi k}{3}k^{-l}$$\eta(l)=\{$(l. が偶数).

$\sum_{k\geq 1}^{k\geq 1}(-1)^{k-1}\sin\frac{\pi k}{3}k^{-\mathrm{I}}$

てある.

4.2

$SL_{2}(\mathbb{Z})$$SL_{2}(\mathbb{Z})$の合同部分群, およひ, 次て定義される合同部分群について考える.
$\Gamma_{0}(N):=\{\gamma\in SL_{2}(\mathbb{Z})|\gamma_{21}\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N\}${$\Gamma(N):=$ {$\Gamma_{1}(N):=$$\gamma\in SL_{2}(\mathbb{Z})|\gamma_{11},$ $\gamma 22\equiv\pm$l,$\gamma\in SL_{2}(\mathbb{Z})|\gamma_{11},$ $\gamma 22\equiv\pm 1,$,$\gamma 21\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N$l2,$\gamma$},$\gamma 21\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N$

}.

130
然数とする. このとき,簡単のため, $N$ を平方因子をもたなは次で与えられる.
び, カスプの個数$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash H),$$\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{g}$

2,

$\nu$

$\nu_{3}$, およ$\nu_{\infty}$$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash H)/(\pi/3)$$\Gamma$$2^{\omega(N)}$$p|N(1+(-3/p)$$\prod_{\mathrm{p}|N}(p+1)$$\prod_{p|N}(1+(-1/p))0$$\Gamma_{0}(N)\Gamma_{1}(N)$

1

1

I1

$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\nu_{\infty}$$\nu_{3}$$\nu_{2}$

1 $(N=3)$$2^{w(N)-1} \prod_{p|N}(p-1)$0(otherwise)
01/2 $\prod_{p|N}(p^{2}-1)$$\prod\{$1/2$\prod_{\mathrm{p}|N}(p^{2}-1)$0$1/2 \prod_{p|N}p(p^{2}-1)$$\Gamma(N)$ここて,$\omega(N)$[Hel] て得られた跡公式

は $N$ の相異なる素因子の個数てある. このとき.

を用いると, 次の公式が得られる.

Theorem 4.2.

$\Gamma$が$SL_{2}(\mathbb{Z})$, およひその合同部分群てあるとき,$n\geq 2$に対して次が威り立つ.
$\zeta_{\Delta}(n)=((4.3)\text{の右^{}\backslash }\Phi)$

(”,

(4.4)

$+ \mathit{2}\infty[\sum_{l=2}^{n}(\begin{array}{l}-l-12nn-1\end{array})2^{l}\zeta(l)+(\begin{array}{ll}2n -2n -1\end{array})( \log 2\pi+\gamma)-2^{2n-1}]+J\Gamma$

ここて,$J_{\Gamma}^{(n)}$は次て定まる.

$\ovalbox{\tt\small REJECT}_{(\mathrm{Z})}=\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2(-2)^{l}}{l!}(\begin{array}{ll}-l-2n 2n-1 \end{array})( \frac{\zeta’}{\zeta})^{(l)}(2)$,$?_{\mathrm{o}(N)}^{n)}= \nu_{\infty}[\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2^{l}}{l!}(\begin{array}{ll}-l-2n 2-1n \end{array}) \{2(-1)^{l}(\frac{\zeta’}{\zeta})^{(l)}(2)-\sum_{p|N}\sum_{m\geq 1}\frac{(m1\mathrm{o}\mathrm{g}p)^{l+1}}{mp^{2m}}\}-(\begin{array}{ll}2n -2n -1\end{array}) \log N]$$J_{\Gamma_{1}(N)}^{(n)}=-2^{w}$(N)1 $2n-2$$\mathrm{t}$.

$+ \nu_{\infty}[2^{2n-2}-\frac{3}{2}(\begin{array}{l}-22nn-1\end{array})\log N+\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2^{l+1}}{l!}$$+ \sum_{p|N}\frac{c(N/p)}{p-1}\{$

(

( h )
$1-2$

$\sum_{k\equiv\pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N}\frac{\Lambda(k)}{k^{2}}(\log k)^{l}$$3)$ $\log p+\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2^{l}}{l!}(\begin{array}{ll}-l-2n 2-1n \end{array}) \sum_{k\equiv\pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N/p}\frac{\Lambda(k)}{k^{2}}(\log k)^{\mathrm{I}}\}]$,$J_{\Gamma(N)}^{(n)}=-22n-2 \prod_{p|N}(p+1)$$+2\mathit{2}\infty[2^{2n-3}-$$+ \sum_{p|N}\frac{c(N/p)}{p^{2}-1}\{$

また, $c(1)=2$.

$\log N+\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2^{l}}{l!}\vee(\begin{array}{l}-l-22n-1n\end{array})\sum_{k\equiv\pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N}\frac{\Lambda(k)}{k^{2}}(\log k)^{l}$$(\begin{array}{ll}2n -3n -1\end{array})\log p+\sum_{l=0}^{n-1}\frac{2^{l}}{l!}(\begin{array}{ll}-l-2n 2n-1 \end{array}) \sum_{k\equiv\pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N/p}\frac{\Lambda(k)}{k^{2}}($$c(k)=1(k\geq 2)$ てある.

log$k)^{l}\}]$

‘

,

131

5

ラプラシアンの最小固有値$\lambda_{1}$の数値評価

ラプラシアンの最小固有値に関しては, セルバーグ予想 ([Se]) とよばれる以 T の予想が有名である.
てある.
予想: 数論的な に対して,を証がセルバーグ自身は, [Se] においての合同部分群てある場合に明している. それ以後も [LRS], [KS] などて評価の精密化がなされ, 現在のところ最良の評価は [Ki] による $\lambda_{1}\geq 975/4096$ $=0.238\ldots$ てある. また, [Hel] において,に関するラプラシアンの固有値の数値計算がなされており, とくに, $\lambda_{1}=91.5229\cdots$ ,$\lambda_{2}=148.4319\cdots,$ $\lambda_{3}=190.1315\cdots,$ . .
という近似値が得られている. 本稿てはスペクという定義から明らかに得られる漸近評
トルゼータ関数に関するの数値的な評価の方法, およ
価を利用して, (4.1), (4.3), (4.4) を用いた計算機による$\lambda_{1}\geq 1/4$$\Gamma$$\Gamma$$\lambda_{1}\geq 3/16$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\Gamma=SL_{2}(\mathbb{Z})$$\tau$$\zeta_{\Delta}(n)\sim\lambda_{1}^{-n}(narrow\infty)$$\lambda_{1}$ひ計算結果の一部を紹介する.
以外は容易に計算てきる値なのて,たちは次のように計算を計算すればよいことがわかる.

Theorem 4.1, 4.2 の公式の右辺の中て,の計算をするためには,$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$$\zeta_{\Delta}(n)$$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$することがてきる.
$G=SL_{2}(\mathbb{R})$r$k$$\tilde{\gamma}$のとき,\gamma \tilde \Gamma (kゝは次のように表される ([HIKW], [H]).

)$= \frac{(-1)^{k}}{k!}\lim_{xarrow\infty}\{\sum_{\gamma\in \mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}(\Gamma)}\frac{1\mathrm{o}\mathrm{g}N(\delta_{\gamma})}{N(\gamma)-1}(\log N(\gamma))^{k}-\frac{(1\mathrm{o}\mathrm{g}x)^{k+1}}{k+1}\}$

,

(5.1)

の
の双曲的共役類のなす集合てある. が四元数群, または合同部分群てあるとき, [AKN], [H3] (Appendix 参照) の結果を適用すると, (5.1) を次のように書き換えることがてきる.

ここて,Hyp(\Gamma ) は$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\Gamma$$\Gamma$$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(}’=\frac{(-1)^{k}}{k!}\lim_{Tarrow\infty}\{t=\sum_{u;d}^{T}\sum_{(3t,u)\in\emptyset}h(d(t,u))i_{\mathrm{r}}(t,u)j(t, u)^{-1}$$\mathrm{x}\frac{(21\mathrm{o}\mathrm{g}\epsilon(t))^{k+1}}{\epsilon(t)^{2}-1}-\frac{(21\mathrm{o}\mathrm{g}T)^{k+1}}{k+1}\}$

ここて$\mathfrak{D}:=${$D>0|D\equiv 0,1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4$

.

(5.2)

, 非平方数}, $d(t, u)=(t^{2}-4)/u^{2}$ ,$\epsilon(t)=\frac{1}{2}(t+\sqrt{t^{2}-4})=\frac{1}{2}(t+u\sqrt{d(t,u)})$

,

),
$j$

$j(t, u)= \max\{j\geq 1|\epsilon(t)=(\frac{1}{2}(t_{0}+u_{0}\sqrt{d(t,u)})$$\exists$

t0, $u0\geq 1\}$ ,の二元二次形式の狭義類数である. また,対して以 T て定まる値てある.
てあり,$\hat{M}_{\Gamma_{\mathrm{B}}}$$h(d)$ は判別式 $d>0$

0, )
$u$

$\hat{M}_{\Gamma}(t,u)$0$(d(t,u)/p^{2}\equiv 0,1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} 4)$$(1-( \frac{\mathbb{Q}(\sqrt{d(\mathrm{t},u)})}{p}))$(otherwise)$:= \prod_{p|d_{B}}\{$

は各$\Gamma$,( $(*/p)$ はアルテイン記号),

に

132

$\hat{M}_{\Gamma_{0}}$$\hat{M}_{\Gamma}$(N)(t, )$u$1(N)(t, )
$u$

$1+p$

$(p|u)$,$1+( \frac{t^{2}-4}{p})$$(p\{u)$.

$= \prod_{p|N}\{$’$= \frac{1}{2}\prod_{p|N}\{\begin{array}{l}p^{2}-1(p|u)p-1(p\{u,t\equiv\pm 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}N)0(\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e})\end{array}$$(t\equiv\pm 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N, N|u)$$\frac{1}{2}\prod_{p|N}p(p^{2}-1)$,$\hat{M}_{\Gamma(N)}(t,u)=\{$(otherwise).

0(d) に関しては [Sc], [Wa]. なと幾通りもの計算方法が確立されており, また, (5.2) の右の近を十分大きくとることて,辺の (\mbox{\boldmath $\theta$} 以外の値は容易に計算てきる値なのて,の近似値も得られる. さらに, スペクトルゼー
似値を得ることがてき, したがって
$h$

$T$

$h$

$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$$\zeta_{\Delta}(n)$タ関数の定義から,容易に$\zeta_{\Delta}$(n)-1/n$\zeta_{\Delta}(n)-1/n,$$(\forall n, m\geq 2)$$< \lambda_{1}<\frac{\zeta_{\Delta}(m)}{\zeta_{\Delta}(m+1)}$

as$\frac{\zeta_{\Delta}(m)}{\zeta_{\Delta}(m+1)}arrow\lambda_{1}$がわかるのて, 十分大きな $n$ に関して$\zeta_{\Delta}(n)$

,

(5.3)

$n,marrow\infty$を計算することて,.

(5.4)のよい評価が得られ$\lambda_{1}$

ることがわかる.
いま,

r’(T)

$\tilde{\gamma}$$:= \frac{(-1)^{k}}{k!}\{\sum_{t=3u;d|}^{T}\sum_{(tu)\in \mathrm{D}}h(d(t,u))\hat{M}_{\Gamma}$(t, ) $j(t,u)^{-1}$$\mathrm{x}\frac{(21\mathrm{o}\mathrm{g}\epsilon(t))^{k+1}}{\epsilon(t)^{2}-1}-\frac{(21\mathrm{o}\mathrm{g}T)^{k+1}}{k+1}\}$(n, $T$)$\zeta_{\Delta}$$u$,$:= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(\begin{array}{l}2n-k-2-1n\end{array})\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}(T)-\supset\cdot$

(5.5)

.

(sae (4.3) and (4.4)),(5.6)’ を用いて $T\leq 3.0\mathrm{x}10^{6}$ て計算する. しかしなを定義する. そして, これらの値をのがら,の増加に伴い $T$ に関する誤差が大きくなるため, 大きい に関してはに対して,近似値を求めることは非常に困難てあるため, ここては, $T.=3$ .0$‘ \mathrm{C}++$$\zeta_{\Delta}(n)$

$n$

$n$

$\mathrm{x}10^{6}$,$n:= \max\{n\geq 2|T/2\leq\forall T’\leq T$

とし,

る. 各

$L:=\zeta_{\Delta}(n,T)^{-1/n},$$\Gamma$

てある)

$($

$| \frac{\zeta_{\Delta}(n,T)-\zeta_{\Delta}(n,T’)}{\zeta_{\Delta}(n,T)}|<$$R:=\zeta_{\Delta}(n-1,T)/\zeta_{\Delta}(n, T)$によって,$\lambda_{1}$に対する $L,$ $R$ たちは表 1\sim 4 のとおりてある (表中ては0.01}を評価することにす$v:=\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash H)/(\pi/3)$

133

2

$\nu_{3}$

$N$

2

2

$d_{B}$

$v$

$\nu$

$6$

2

2

4
6
8
12
10
12
20
16
24
18
24
22
32
40

43
02
22
0
3
2 43
0 0
3
4 24
4
0 4
0 0
3
203
4
0 0
2 4
5
0 2
3
0 44

10
14
15
21
22
26
33
$34$

35
38
39
46
51
55

0
2
0
4

$L$

4.

2.278 3.031
2.251
1.

1.
1.494
11.8981.797 3.506
0.696 0.770
0.691 0.796
0.925 1.810
1.218 2.428
0.738 0.827
0.422 0.439
0.652 1.295
0.633 0.872
表 1:

$N$

$v$

$\nu_{2}$$\nu_{3}$$\nu_{\infty}$

$n$

$R$

$L$

4 0 1 2
2
5.750
56202
2 3.046
7 8 0 2 2
2 2.463
11 12 0 0 2
3 1.179
13 14 2 2 215 24 00421.468
2 1.354
17 18 2 0 2
3 1.263
19 20 0 2 2
21 32 0 2 431.014
2
1.066
23 24 0 0 2
3 1.034
29 30 2 0 2
3 0.777
31 32 0 2 233 48 0 0 440.701
35 48 00430917
37 38 22240636
39 56 02430630
41 42 2 0 240655

$v$

57
58
62
65
69
74
77
82
85
86
87
91
93
94
95

36
28
30

$\Gamma=\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

$R$

$3$

1.493

2.141
1.699

2.077
1.341
0.799
1.980
0.779
1.229
0.825

2

$d_{B}$

$\nu$

48
44
36
60
40
64
42
56
72
60
46
72

$N$

$\nu_{3}$0480
4 05500 4
2 030692
3 05960 0
4 2
4 05140 04 0728
4 05724 0
3 05730 4
5 04590 42040627
5 04170 2
5 04550 0
4 0
5 04522 470323
0 0
6 0393
4

$R$

$L$

0.548
0.646
1.255
1.332

4

0

0.716
0.975
0.869
$1\mathrm{J}71$

0600
0935
0467
0547
0502
0.324
0419

group

$N$

$v$

43 44
47 48
51 72
53 54
55 72
57 80
59 60
61 62
65 84
67 68
69 96
71 72
73 74
77 96
79 80
83 84
85 108

表 2: $\Gamma=\Gamma_{0}(N)$$\nu_{2}$$\nu_{3}$$\nu_{\infty}$

$n$

$L$

0 2 2 4 0.665
0 0 2 4 0.585
0 0 4 30.637
2 0 2 3 0692
00 440.635
02 4 4 0.478
00 24 0.505
22 2 5 0.417
40430.552
02 2 4 0.587
0 0 4 4 0.514
002 5 0.370
22240.436
00 440.573

$R$

0.802
0.677
1.490
1.596
0.888
0.587
0.664
0.462
1.374
0.887
0.750
0.405
0.612
0.886
02240.478 0.710
00240.561 0.887
4 0 4 4 0.429 0.647

134

$N$
$5$

7
11
13

15
17
19
21
23
29
31
33

$v$

12
24

60
84
96
144
180
192
264
420
480
480

$\nu_{\infty}$

4
6
10
12
16
16
18
24
22
28
30
40

$n$

$L$

$R$

2 4.444
2 2.219
2 0.911
3 1.012 2.366

2
3
3
2
3
4
4
3

0.899

0.667 1.713
0609 1789
0.471
0468 1.499
0.448 0.903
0.394 0.762
0.437$\mathrm{L}761$

$N$

$v$

$\nu_{\infty}$

576
684
672
840
924
1104
1152
1404
1440
1440
1740
61 1860

35
37
39
41
43
47
51
53
55
57
59

48
36
48
40
42

46
64
52
80
72
58
60

$R$

$L$

$n$

3 0458
4 0.353
4 04395 0341
5 0.350
4 0277
4 0.344
5 0282
4 0.352
4 0302
5 0.276
5 0.266

2125
0803
0911
0549
0626
0682
0.874
0.510
0.959

$L$

$R$

0.791
0565
0.539

表 3: $\Gamma=\Gamma_{1}(N)$
$N$

$v$

$3$

12

560
7168
11 66013 1092
15 1440
17 2448
19 3420$\nu_{\infty}$

4
12
24
60
84
96
144
180

$n$

$R$

$N$

$v$

$\nu_{\infty}$

2755
2350
1.964
1842
1717

21
23
29
31
33
35
37
39

4032
6072
12180
14880
15840
20160
25308
26208

192
264
420
480
480
576
684
672

$L$

2 4.841
21.29920.58630.50530.3793 0.302
3 0.24230.204$n$40.272
3 0.151
4 0.181
4 0.165
4 0.151
5 0.191
5 0.183
5 0.170

1.041
1.495
0.892
0.839
0.749
0641
0650
0.588

表 4: $\Gamma=\Gamma(N)$に関しては $N\leq 357$
さて, 計算結果をみると四元数群に関しては, $d_{B}\leq 546$ のとき,のとき,(N) に関しては $N\leq 65$ のとき, そして, $\Gamma(N)$ に関しては $N\leq 15$ のときに$\Gamma_{0}(N)$$\Gamma_{1}$は $L\geq 1/4$ なのて $\lambda_{1}\geq 1/4$ てあることを確かめることがてきる.

これは,[Hu] によっててあるという結果の(N), $\Gamma(N)$ に対して得られた $N\leq 18$ に関する一種の改良ということがてきる (ただ, 実験結果てあり証明がなされているわけてはないので, その意味ては改良というのはふさわしくない) これよりも大きな や $N$ に関の成立, 不成立を確かめしては, $L<1/4,$ $R>1/4$ という結果が現れるため,$\Gamma_{0}(N),$$\lambda_{1}\geq 1/4$$\Gamma_{1}$$d_{B}$$\lambda_{1}\geq 1/4$

ることがてきない. もちろん, より大きな $T,$得られるが, ここてはこの程度てととめてお$n$$\text{く_{}r}$に関して計算を行えばより精密な結果が135
6Appendix: 合同部分群に関するセルパーグゼータ関数の数論的表示
前節において,の一次形式の類数と基本単数を用いた表示式 (5.2) を用いたが, この表示式はいわゆるセルバーグゼータ関数の数論的表示とよばれている表示式から得らと四元数群の場合 ([AKN])
れたものてある. この数論的表示は, これまてにに得られていたものてあるが, 合同部分群に関しても得ることができ, 講演の際にも紹介させていただいたのて, Appendix として本稿ても簡単にふれておく. なお, この節の内容に関しては [H3] に詳しくまとめているのて, 詳細を知りたい方はそちらを参照していただきたい.
$\tilde{\gamma}_{\Gamma}^{(k)}$$SL_{2}(\mathbb{Z})([\mathrm{S}\mathrm{a}])$Theorem 6.1. $N>1$ を平方因子をもたない奇数とする.

$\Gamma=\Gamma_{0}(N)_{l}\Gamma_{1}$( N),$\Gamma(N)$てあるとき, セルバーグゼータ関数の対数微分は次のように表される.

$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\sum_{D\in\emptyset}\sum_{j=1}^{\infty}M_{\Gamma}(D,j)h(D)\frac{21\mathrm{o}\mathrm{g}\epsilon(D)}{1-\epsilon(D)^{-2j}}\epsilon(D)^{-2js}$

ここて,$M_{\Gamma}(D,j)$(6.1)

は次て与えられる.

(p u ),$1+p$$M_{\Gamma 0}$,(N)(D, )$j$$= \prod_{\mathrm{p}|N}\{$$1+$$M_{\Gamma_{1}(N)}(D,j)= \frac{1}{2}\prod_{p|N}\{$

$|$

$j$

(Y)

’
$(p\{u_{j}),$$p^{2}-1$($p|$ uj),$p-1$$(p\{u_{j}, \mathrm{t}_{j}\equiv\pm 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N)$,0(otherwise).
$\frac{1}{2}\prod_{p|N}p(p^{2}-1)$$(t_{j}\equiv\pm 2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d} N, N|u_{\mathrm{j}})$,$M_{\Gamma(N)}(D,j)=\{$

0
また,$(t_{j}, u_{j})$$(o\mathrm{t}he7wise)$はペノレ方程式 $t^{2}-u^{2}D=4$ の$j$.

番目の解 $(\epsilon(D)^{j}=(t_{j}+u_{j}\sqrt{D})/2)$ てある.

Proof. 証明には次の Venkov-Zograf’s formalization ([VZ]) を使う.
Lemma 6.2.
群,$\chi$を$\Gamma’$$\Gamma$を$\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}(\Gamma\backslash H)<\infty$なる$SL_{2}(\mathbb{R})$の有限次元ユニタリ表現とし,の離散部分群,$Z_{\Gamma}(s,\chi)$$\mathrm{I}^{\mathrm{v}}$を$\Gamma$の指数有限な部分を次て定義する.

$Z_{\Gamma}(s, \chi):=\prod_{p\in \mathrm{P}\mathrm{H}\mathrm{m}(\Gamma)}\prod_{n=0}^{\infty}\det(I-\chi(p)N(p)^{-s-n})$.

このとき, 以 T の公式が成り立つ.
$Z_{\mathrm{r}^{\mathrm{v}}}(s, \chi)=Z_{\Gamma}(s, \mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\Gamma}^{\Gamma},\chi)$

.

(6.2)

136

$\Gamma=SL_{2}(\mathbb{Z}),$$\Gamma$’を$\Gamma_{0}(N),$$\Gamma_{1}$( N),$\Gamma(N)$のいすれかとする. また,$\chi=1$

として, (6.2)の両辺を対数微分すると,

,

(6.3)

$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\sum_{\gamma\in \mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}(SL_{2}(\mathrm{Z}))}\mathrm{R}((\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\Gamma}^{\mathrm{S}L_{2}(\mathrm{Z})}1)(\gamma))\frac{j_{\gamma}^{-1}1\mathrm{o}\mathrm{g}N(\gamma)}{1-N(\gamma)^{-1}}N(\gamma)^{-s}$となる. ここて,$j_{\gamma}\geq 1$

はある素元$\delta$に対して$\gamma=\delta^{j_{\gamma}}$なる自然数てある. (6.3) の右辺

は次のように書き換えることができる.

,

(6.4)

$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\sum_{u:}^{\infty}\sum_{\in\frac{t^{2}}{u}2\emptyset}j(t,u)^{-1}\frac{2\log\epsilon(t)}{1-\epsilon(t)^{-2}}\epsilon(t)^{-2s}\sum_{\gamma t=3-,\underline{4}\in \mathrm{H}\mathrm{y}\mathrm{p}(\Gamma)i_{\gamma}=t,u_{\gamma}=u}\mathrm{h}((\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\Gamma}^{SL_{2}(\mathrm{Z})}1)(\gamma))$

ここて,

は

$\mathrm{t}_{\gamma}:=\mathrm{t}\mathrm{r}\gamma=\gamma_{11}+\gamma_{22},$$\mathrm{R}((\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\Gamma}^{SL_{2}(\mathrm{Z})},1)(\gamma))$と,$\mathrm{h}$($(\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\Gamma}^{SL_{2}(\mathrm{Z})},1)$$u_{\gamma}:=\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(\gamma_{21},\gamma_{12},\gamma_{11}-\gamma_{22})>0\text{て}\hslash \text{る}$を計算すればよ(\gam a ) が$t_{\gamma}$と$u_{\gamma}$$\text{く}$.

$f_{t\text{のて}},$$\hslash \text{と}$, 実際に, 完全代表系を適当に選ひ, 計算するのみに依存する値てあることがわかる. なのて. 結局 (6.4) は次のように書くことができる.
$\frac{Z_{\Gamma}’(s)}{Z_{\Gamma}(s)}=\sum_{u:}^{\infty}\sum_{\epsilon\frac{\mathrm{s}^{2}}{u}\overline{\pi}^{\underline{4}}\emptyset}\hat{M}_{\Gamma}(t,u)h(\frac{t^{2}-4}{u^{2}})j(t,u)^{-1}\frac{2\log\epsilon(\mathrm{t})}{1-\epsilon(t)^{-2}}\epsilon(t)^{-2s}t=3$

ここで.

$\hat{M}_{\Gamma}(t,u)$

’

(6.5)

は (5.2) て定義されている値てある. なのて, あとはパラメータ $(t,u)$ を$(D,j)$ に書き換えてやればよい.

口Theorem 6.1 の応用として, 素元定理$\pi_{\Gamma}(x)=\#\{p\in \mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}(\Gamma)|N(p)<x\}\sim\frac{x}{1\mathrm{o}\mathrm{g}x}$の一種の精密化といえる次の評価を行った.
Corollary 6.3.

$\Gamma=\Gamma_{0}(N),$$\Gamma_{1}$( N),$\Gamma(N)$の場合.

$\mathfrak{l}^{},$

as$xarrow\infty$

,

(6.6)

$x^{1/2}(\log x)^{2}<y<x$ なる $y$ に対して, 次が威り立つ.

r $(x+y)-\pi_{\Gamma}(x)\ll y$ .

(6.7)

$\pi$

の場合と, 四元数群の場合にはすてに得られている ([Iw], [AKN]).
この評価は, が定理 6.1 を使うと, [Iw] と同様の方法て, この系を証明することがてきる.
に関する数論的表示を用いて得られた
さらに, Theorem 6.1 を用いると,$\Gamma$$SL_{2}(\mathbb{Z})$$\Gamma=SL_{2}(\mathbb{Z})$$\epsilon(D)<x\sum_{D\in \mathcal{D}}h(D)\sim\frac{x^{2}}{21\mathrm{o}\mathrm{g}x}$ae$xarrow\infty$

.

(6.8)

のひとつの精密化てある次の評価を得ることもてきる.
Corollary 6.4. 奇素数 に対して,$p$$1/p\leq C(p)\leq p/(p^{2}-1)$ なる定数 $C$ (p) が存在し,次が威り立つ.
$D \in\emptyset p|D\epsilon(D)<x\sum_{\prime}h(D)\sim C\mathrm{g})\frac{x^{2}}{1\mathrm{o}\mathrm{g}x}$asx\rightarrow 科科.

(6.9)

137

参考文献
[AKN]

T. Arakawa, S. Koyama and M. Nakasuji, Arithmetic forms of Selberg zeta functions with applications to prime geodesic theorem, Proc. Japan Acad. Ser.
Math. Sci. 78 (2002), 120-125.

$\mathrm{A}$[Ga]

R. Gangolli, Zeta functions of Selberg’s type for compact space forms of symmetric spaces of rank one, Illinois J. Math. 21 (1977), 1-41.

[GW]

R. Gangoll and G. Warmer, Zeta functions of Selberg ’s type for some noncompact
quotients of symmetric spaces of rank one, Nagoya Math. J. 78(1980), 1-44.

[H1]

Y. Hashimoto, The Euler-Selberg constants for nonunifom lattices of $mnk$ one
symmetric spaces, Kyushu J. Math. 57(2003), 347-370.

[H2]

Y. Hashimoto, Special values of the spectral zeta functions for locally syrnmetricRiemannian manifolds, to appear in J. Math. Soc. Japan.

[H3]

Y. Hashimoto, Arithmetic eqressions of Selberg ’8 zeta functions for congruence.
subgrvups, math.
$\mathrm{R}\mathrm{T}/0409101$[HIKW] Y. Hashimoto, Y. Iijima, N. Kurokawa and M. Wakayama, Euler’s constants for

the Selberg and the Dedekind zeta functions, to appear in Bull. Belg. Math. Soc.
Simon Stevin.

[Hel]

D. Hejhal, The Selberg trace formula of $PSL(2,\mathbb{R})I,$ $II$, Springer Lec. Notes in
Math. 548, 1001 Springer-Verlag, $(1976, 1983)$ .

[He2]

D. Hejhal, A classical approach to a well-knom spectral corrvspondence onquaternion groups, Number theory (New York, 1983-84), 127-196, Lec. Notes
in Math. 1135, Springer, Berlin, 1985.

[Hu]

M. N. Huxley, Exceptional eigenvalues and congruence subgroups, The Selberg
formula and related topics (Contemp. Math. 53 (1984)), 341-349.

$\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}$[Iw]

H. Iwaniec, Prime geodesic theorern, J. Reine Angew. Math. 349 (1984),
159.

[Ki]

and the symmetric
H. H. Kim, Punctoriality for the exteriorof$Ramak\dot{m}$hnan and Appendix by $Kim$ and(with Appendix 1 by D.
ofSamalC), J. Amer. Math. Soc. 16 (2003), 139-183.

[KS]$fou\hslash h$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{4}$$\mathit{8}\Psi^{lare}$$\mathrm{G}\mathrm{L}_{2}$$136\sim$

$B$

$P$

.

H. H. Kim and F. Shahidi, Cuspidality of symmetric powers with applications,
Duke Math. J. 112 (2002), 177-197.

138

[LRS]

W. Luo, Z. Rudnick and P. Sarnak, On Selberg’s eigenvalue conjecrure, Geom.
Funct. Anal. 5 (1995), 387-401.

[Mi]

R. Miatello, On the Plancherel measure for linear Lie gmups of $mnk$ one,
Manuscripta Math. 29 (1979), 249-276.

[Sa]

P. Sarnak, Class numbers of indefinite binary
ber Theory, 15(1982), 229-247.

[Sc]

R. J. S&Oof, Quadratic fields and factorization, Computational methods in number theory, Part , Math. Centre Tracts, 155 (1982), 235-286.

$\Psi^{\iota admtic}$

forms., Journal of Num-$\mathrm{I}\mathrm{I}$[Se]

A. Selberg, On the estimation ofcoefficients of modular forms, Proc.
Sympos. Pure Math. 8 Amer. Math. Soc., Providence (1965), 1-15.

[Sh]

H. Shimizu, Hokei kansu. I. (Japanese) fAutomorphic functions. ] Second edition. Iwanami Shoten Kiso S\={u}gAu [Iwanami Lectures on Fundamental Mathematics], 8, ais\={u} [Algebra], Iwanami Shoten, Tokyo, 1984.

$Four\dot{\mathrm{u}}er$$I$$\mathrm{D}$[St]

F. Steiner, On Selberg’s zeta function for compact Riemann surfaces, Physics[VZ]

A. B. Venkov and P. G. Zograf, Analogues of Artin’s factorization fomulas in the
representations
spectml theory of automorphic finctions associated withof hchsian groups., Math. USSR Izvestiya, 21(1983), 435-443.

Lett. $\mathrm{B}188(1987),$ $447-454$ .

$ind\uparrow Aced$[Wa]

H. Wada, A table of ideal class numbers of real quadratic fields, Sophia
Kokyuroku in Mathematics, 10(1981).

[Wi]

F. L. Williams, A factorization of the Selberg zeta function attached to a rank 1
space form, Manuscripta Math. 77 (1992), 17-39.

HASHIMOTO, YASUFUMI
Graduate School of Mathematics, Kyushu University.
6-10-1, Hakozaki, Fukuoka, 812-8581 JAPAN.

hasimoto@math.kyushu-u.ac.jp