こうえいフォーラム第９号／２００１．１

線形計画法に基づいた腐食水圧鉄管の極限解析
LIMIT ANALYSIS OF AGING PENSTOCKS BASED ON LINEAR PROGRAMMING

師 自海*・桜井達朗*・中野雅章*
Zihai SHI, Tatsuro SAKURAI and Masaaki NAKANO

For the limit analysis of aging penstocks in hydroelectric power stations, neither analytical
approach nor the finite element method is readily applicable because of the large sizes andcomplex failure modes. The present paper shows that the linear programming method （LP）
is quite effective for this kind of problems, and thus the problem of an aging penstock is solved
by combination of LP and an analytical method. In the analysis, influencing factors to the limit
states such as pipe thickness and length between anchor blocks are discussed. Based on the limit
loads, a quantitative method for assessing the structural stability of aging penstocks is proposed.
Key Words : penstock, hydroelectric power stations, corrosion, limit state analysis, linearprogramming, structural stability

１．は じ め に含めて複雑であり、総合的な検討が必要である。本研究で図−１に示す水力発電設備における水圧鉄管は、水力発は、水圧鉄管の構造安定性について、内水圧を受ける円筒電に必要な落差を伝える構造物であり、常時圧力水頭を持シェルの極限解析の問題として取り扱い、腐食による板厚った流水が通過する水力発電設備の主要設備の一つであの減少時の塑性崩壊荷重の低減に着目した。

る。このように水圧鉄管は、常時水にさらされているため、内圧を受ける円筒シェルの構造安定性に関する極限解析

経年とともに腐食･摩耗が発生･進行し、それに伴って板厚の問題は、塑性理論に基づく解析的なアプローチと数理計が減少するなど、長期的には水圧鉄管の構造安定性に何ら画法の手法を用いた研究が大半を占めている。Hodge１），２）

かの影響を及ぼす劣化が予想される。従って、経済性を追の研究成果を代表とする解析的な手法は、与えられた境界求し、水圧鉄管の延命化を図る情勢の中で、腐食した鉄管条件、荷重、降伏条件に対して、適切な塑性領域または破の構造安定性に関する定性的および定量的な評価は必要か壊メカニズムを選定する必要があるため、破壊形態の比較つ不可欠と考えられる。現実的には、水圧鉄管の構造安定的単純な問題に限られる ３）〜５）。例えば、固定台間隔が数性に影響する要因は、管内空虚時の限界座屈、振動などを十メートルにも達し、その上区間内で異なる設計板厚を有する水圧鉄管への適用は困難である。一方、Tin-Loiら６）〜８）が提案した数理計画法によるアプローチは、問題の釣り合い条件式、境界条件および降伏曲線を離散化、線形化することによって、極限解析に関する問題を通常の線形計画法（LP）の問題に変換することができる。この手法は、応力場や崩壊機構について事前に検討する必要がないため、力学的な取り扱いが簡便であり、かつシステム化しやすいという特徴がある。従って、水圧鉄管のような、規模が大図−１ 水圧鉄管の例

きく、破壊形態が複雑である問題にも適用可能である。しかし、塑性崩壊荷重以外に得られる情報量が少なく、特に＊ 中央研究所 開発研究部

塑性変形に関する定量的な情報が得られない。

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線形計画法に基づいた腐食水圧鉄管の極限解析

そこで、本研究では、内水圧下における腐食水圧鉄管の（2）極限解析の問題に対して、塑性崩壊荷重と変形の両者を解析する手法を提案する。それは、線形計画法により塑性崩壊荷重を算定し、塑性崩壊時において降伏した節点の内力

上記の式からせん断力Sxを消去すると、内力に関する釣りを変形に関する理論解に代入し塑性変形量を求める、とい合いは次のようになる。

うアプローチである。応用事例として、水力発電所の腐食水圧鉄管に適用し、板厚の減少および固定台間隔の影響等（3）を含めて水圧鉄管の塑性崩壊状態について検討した。さらに、求められた塑性崩壊荷重を用いて、水圧鉄管の構造安式（3）に対して、無次元変数n＝Nθ/ N 0、m＝M x / M 0、p＝定性に関する定量的な評価方法を提案した。

PR /σ0 tおよびx＝X / L、また無次元シェルパラメータα2＝2L2 / Rtを採用し、無次元化する。ここに、N0＝σ0 t、M＝σ0 t2/２．塑性崩壊荷重４、およびσ0 は材料の降伏応力を表す。従って、式（3）は、水圧鉄管の塑性崩壊荷重に関するLPに基づいた定式化

次のように書き換えられる。

は、内力の釣り合い式に、境界条件、降伏条件を加え、連続である各条件式を離散化、線形化するプロセスから成る。

（4）

この定式化を以下に示す。
（2）釣り合い式および境界条件の離散化
釣り合い式（4）に関する離散化はTin-Loiら６）が提案した（1）釣り合い条件式
図−２に示すように、固定台間隔L、半径R、板厚tを持中点差分法を採用する。図−４に示すように、無次元長さつ水圧鉄管を想定する。この円筒シェルは、完全塑性を有l＝1の円筒シェルを、間隔ｈでｎ等分する。区間［０，１］する均質等方性の材料から成り、作用荷重は内水圧のみで、において無次元モーメントm（x）の二次微分は次のように自重、温度変化などによる管軸方向に働く外力を受けない差分で表すことができる。

ものとする。それは、通常水圧鉄管の固定台の間に多数の小支台を設けるため、自重による曲げモーメントが小さいこと、また伸縮継手が設置されるため、管軸方向に発生する外力が常に解放されるためである。内水圧Pを受ける微（5）小シェル要素に作用する断面力および円筒座標系（X，θ，r）を図−３に示す。ここでは板厚、変位に関する薄肉シ
ェル理論の諸基本仮定が成り立つものとする。次に、釣り合い式について簡単に述べる。より詳細な理論展開については参考文献に委ねる１），９）。問題の対称性を考慮し、内水圧に関する力の釣り合い、また管軸方向の曲げモーメントに関する釣り合いは、それぞれ式（1）と（2）となる。

（1）
図−３ 水圧を受ける微小シェル要素の釣り合い

図−２ 水圧鉄管の寸法および円筒座標系

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図−４ 差分法によるアプローチこうえいフォーラム第９号／２００１．１

式（5）の第二項O（h2）を無視し、式（4）に代入すると、任意

Tin-Loiら ６）が指摘したように、この降伏条件式をこのまの節点 i に関する釣り合い式は次のようになる。

まの形でLPの問題に適用するのは難しい。そのため、六角形の頂点と中間変数の線形組み合わせによって、i＝１，…，sとなる構造体のすべての節点について、降伏基準を（6）次のように変換する11），12）。
（8a）

ここに、節点０と（s＋１）は、差分法において使われるダミー点である。またμは無次元設計水圧 p― に関する荷重

ここに、上式における節点に関する各成分は次のようにな係数である。

る。

i

数値解析の精度を上げるためには、差分近似式の間隔h（8b）を細分する必要がある。しかし、h を極端に小さくすると、差分近似式の有効桁数が落ちてしまい、丸め誤差の方が数（8c）値解析の精度を支配してしまう恐れがある。そこで、真のm（x）に関する数値解析の結果 ―m（x）の誤差範囲は Rと仮定―（x）
すると、m＝（1＋r）
m（x）、｜r｜＜＿ R。これにより、式（6）（8d）の差分近似式の誤差範囲は 4R / h2となり、この誤差をε以下に収めるために、h2＞4R /εの条件が必要となる。
（8e）

境界条件については、自由端、単純支持および固定支持の三種類がある。自由端では曲げモーメントとせん断力がゼロであり、一方、単純支持端では曲げモーメントがゼロである。固定支持の場合には、内力については無制約である。

（4）線形計画法による定式化
塑性理論の下界定理の適用には、力の釣り合い条件と降伏条件の双方を満たす範囲において、荷重係数μを最大化（3）降伏条件の線形化する必要がある。

一般化応力（n，m）に関するvon Misesの降伏条件の六角形近似を図−５および式（7）に示す１），２），10）。

目的関数：
制約条件：式（6）、式（8）と境界条件（9）式（9）は、目的関数とすべての制約条件が線形であることから、変数μ、Qとξに関するLPの問題である。μとξは、負でない変数であり、一方、 Qに関する制限はない。
ただし、同式は節点以外の点において成り立つ保証がない（7）

ため、求められた荷重係数は下界値とは限らない。しかし、差分近似式の間隔 h を適当に細分することにより、解の精度を向上することができる。

図−５ Hodgeの塑性降伏条件

図−６ 検証事例

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線形計画法に基づいた腐食水圧鉄管の極限解析

管軸方向に働く外力がゼロと想定したため、軸方向の釣り表−１ 等分割数によるLP解析の精度
等分割数(n)等分間隔(h)４0.25８0.125

160.0625

240.041667

800.0125

限界荷重係数（μｃ）

2.58866

2.63524

2.62765

2.627011

2.62678

誤差（％）-1.4595

0.31370.02470.0004-0.0084

合いからNx＝０になる。既に導入した無次元変数以外に、・ ・さらに無次元変数 w＝ W / Rを採用すると、式（12a）は次のように変換される。

理論解 μｃ＝2.627（12b）

図−６に示すように、片端自由、片端固定の静水圧における円筒シェルに関する極限荷重の問題はCinquiniら９）が理論解により、またTin-Loiら

６）

Hodge２）は、この式に基づいて一般化ひずみ速度ベクトルを次のように定義した。

がLPの手法によって求めた。この問題（α＝2.958）を検証事例として式（9）を解析し（13）た結果を、表−１に示す。各分割のケースに対してLPによる数値解を求め、理論解のμc＝2.627と比較することに降伏後の流れ則から、このひずみ速度ベクトルは式（7）より、解の高精度について確認した。この問題に関しては、80等分以上の分割は差分近似式の有効桁数が減少するたに示す六角形の降伏条件の各辺に垂直となることが分か・る。このように定められたに wに関する微分方程式を解くめ、かえって数値解析の精度を低減させてしまうことも認と、次のような解が求められる。

められる。なお、本研究の数値解析事例においては数理計画法の汎用ソフトとして知られるGAMS14）を用いた。

３．塑性崩壊状態における塑性変形一般化応力（n，m）に対応する一般化ひずみを算出する（14）

ために、シェル要素に対する単位面積当たりのひずみエネルギーを求める。図−２と図−３を参照し、シェルの中央

ただし、C1からC8は積分定数である。一方、塑性理論に関面を基準に任意の点 Z における変位は次のようになる。

しては、Prandtl-Reussの式13）として知られる次の関係が存在する。

（10a）
（10b）
（10c）
ここに Z は中央面から外向きに正とする。この問題にお・ ・ける非零ひずみ成分は次のεx、εθのみである。
（11a）

（15）
ここには塑性ひずみ、は等方性応力（静水圧）を除く偏差応力である。dλは正の比例係数であり、通常応力状態および載荷履歴に依存する。従って、一般化ひず・み速度 wと一般化応力 n との間に次の関係が導かれる。
（16）
ここに p は無次元静水圧である。式（14）と比較すると、降伏曲線上で dλは定数となることが分かる。式
（16）
は、水圧

（11b）

鉄管のような、Lが長く無次元シェルパラメータαが非常に大きい問題における塑性変形量を求めるのに有効である。
式（16）は釣り合い式および降伏後の流れ則からも導くこ

従って、ひずみエネルギーはとができる。その証明については付録に示す。

４．水圧鉄管に関する極限解析
水力発電所の水圧鉄管を対象に、応力線図に基づき応力的に最も厳しい区間に対して、均一板厚モデルと非均一板（12a）厚モデルの二種類に分類し極限解析を行った。均一板厚モ
デルに関しては四種類の板厚（設計板厚td、0.75td、0.5td、110こうえいフォーラム第９号／２００１．１0.25td）を持つモデルとする。一方、非均一板厚モデルに限界荷重係数μC（＝塑性崩壊荷重/設計荷重）と板厚の関おいては、二種類の板厚（0.25t dと0.5td）を管軸方向に交係を図−９に表す。同図から、これらのモデルでは数値解互に変化させるモデルである。また、均一板厚モデルに関析の結果に関するメッシュサイズの影響はほとんど見られしては、二種類のメッシュサイズ（ΔL＝1.0mとΔL＝ず、解の安定性が非常に高いことが分かる。限界荷重係数0.5m）を用いて、解の安定性を確認した。なお、固定台は設計板厚tdを用いた場合、つまり腐食が全く進行していに対応する支持条件は固定支持とする。解析条件および解ない場合は約5.0である。しかし、腐食により板厚が減少

析モデルを図−７と図−８に示す。

するにつれて、限界荷重係数も次第に低減し、0.75t d 、0.5td、0.25tdの板厚に対して、それぞれ3.7、2.5、1.2となる。
図−９から分かるようにこの関係は線形である。次に、板厚を節点ごとに交互に0.25t d、0.5t dと変化させる場合は、限界荷重係数は板厚が均一に0.25tdとなる場合の限界荷重係数とほぼ変わらないことに注目したい。これは塑性崩壊
荷重が応力的に最も厳しい断面に支配されることを意味する。塑性崩壊時の各ケースの内力状態を示す図−10からも分かるように、均一板厚モデルの場合は、ほぼ全節点が降伏、あるいは降伏に近い状態にあるのに対し、非均一板厚モデルの場合は、板厚の厚い節点（偶数節点）の大部分が塑性面からほど遠い弾性域内にとどまっている。ここで図−７ 実水圧鉄管の解析条件

仮に板厚調査により、最小板厚と設計板厚との比率は0.63であったとすると、図−９に示す限界荷重係数と板厚との線形関係から、限界荷重係数は約3.1となることが分かる。

図−９ 限界荷重係数と板厚の関係

表−２に塑性崩壊状態をもたらした各降伏した節点での内力状態、塑性変形量および塑性崩壊形態を示す。同表から分かるように、塑性崩壊はある節点での円周方向の引張応力が降伏応力に達する時点（n＝１）から始まる。この最・初に降伏した節点においては、塑性変形 wの符号が必ず負であり、内水圧の作用下において最初の塑性変形が外側へ膨張していることを示している。管全体の塑性崩壊は、その後の幾つかの隣接節点での材料降伏と同時に発生すると推定できる。また、表−２に示す塑性崩壊形態図から分かるように、ケース３における降伏関節円（m＝１）
を除けば、降伏が生じる節点がほぼ管長の中央部に集中している。このことは、固定台間の水圧鉄管の長さがある程度あれば、図−８ 実水圧鉄管の解析モデル

極限状態に対する両端部の支持条件の影響は極めて小さい111

線形計画法に基づいた腐食水圧鉄管の極限解析ものであるといえる。それは、上記の各ケースの支持条件表すμ＝1.0を基準に、構造安定性に関する評価式を提案

を固定から自由に変更しても図−９に示す限界荷重係数はする。

全く変わらなかったことからも確かめられた。上記の水力（17）発電所の水圧鉄管を対象に、前述の解析プロセスを踏まえて、各固定台間の鉄管に関する極限解析を行い、図−11に示す各板厚における限界荷重係数と固定台間隔の関係をここに、μcd＝設計時の限界荷重係数；μcp＝現状での限求めた。同図から分かるように、各区間における設計水圧界荷重係数；γ＝構造安定性余裕度；γmin＝限界構造安定及び、設計板厚が異なるため、水圧鉄管の塑性崩壊荷重は性余裕度。限界構造安定性余裕度γminに関しては水圧鉄管板厚と固定台間隔に大きく依存する。このような図を事前の設計思想を含む工学的な総合判断に基づき定めるものとに作成し、現状の板厚と固定台間隔より、水圧鉄管の塑性する。図−11より算出した構造安全性余裕度を図−12に崩壊荷重を簡易に評価することができる。ここで、板厚の示す。同図から分かるように、限界荷重係数と異なり構造減少による限界荷重係数の低減に着目し、塑性崩壊状態を安定性余裕度は固定台間隔に強く依存しない。これは式

図−10 塑性崩壊時における各節点の内力

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表−２ 塑性崩壊時における各降伏点の内力、変形および変形形態

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虚時の限界座屈を含めて複雑であるため、今後、他の影響要素も考慮した合理的な評価方法について検討が必要であろう。
謝辞：本論文をとりまとめるにあたり、熊本大学工学部環境システム工学科大津政康教授には有益な助言を賜った。
ここに記して謝意を表する。
付録
式（16）の誘導
図−11 各板厚における限界荷重係数と固定台間隔釣り合い式および降伏後の流れ則から式（16）が導かれる。ここでは、式（7）および図−５に示す六角形の降伏条
件の辺AB上に降伏が生じる場合について式（16）を導き、辺CD、DEおよびFAについては証明が類似するため、省略する。また、式（16）が辺BCおよびEFについても成り立つことを確認する。
まず、降伏後の流れ則より、式（13）に定義した一般化ひずみ速度ベクトルが降伏面ABに垂直していることから次の関係式が成り立つ。
（18a）

図−12 各板厚における構造安定性余裕度と固定台間隔

よって
（18b）
次に、降伏条件m＝2n−２を釣り合い条件式（4）に代入す（17）に定義される構造安定性余裕度が各固定台間隔に対することにより、nに関する二次微分方程式が以下のようにる設計時の限界荷重係数を基準としているためである。こ導かれる。のように、塑性崩壊荷重を用いて腐食水圧鉄管の構造安定（19a）性を定量的に評価することは可能であると考える。

勾配が一定である固定台間の水圧が管路方向に線形的に変５．結論

化することから、式（19a）は次のように変換できる。

水圧鉄管のような、規模が大きく、破壊形態が複雑であ（19b）る構造物の塑性崩壊状態に関しては、塑性理論に基づく解と考えられる。そこで本論文では、このような問題に線形・式（18b）と式（19b）はそれぞれ w および（n−p）に関する線・形二次微分方程式である。ここで任意の関数 f を考え、w計画法が適用可能であることを示した。また、塑性理論にと（n−p）の関係を析的な手法や、有限要素法によるアプローチの適用は困難基づく理論解と併用し、破壊メカニズムおよび構造安定性（20）についての詳細検討を試みた。水圧鉄管の塑性崩壊荷重は板厚と比例し、その関係は線形である。また、塑性崩壊荷とすると、式（20）を式（18b）に代入することにより、次の重は固定台間の最小板厚にも強く依存し、応力的に最も厳非線形微分方程式が導かれる。

しい断面に支配されることが確認できた。さらに、一つの試みとして、限界荷重係数を用いて腐食水圧鉄管の構造安定性に関する定量的な評価方法を提案した。
しかし、水圧鉄管の構造安定性に影響する要因は管内空114（21）こうえいフォーラム第９号／２００１．１

式（19b）より、f ″＝０であり、f が（n−p）
に関する一次関数となるから、式（16）が成り立つ。
材料の降伏が辺BCおよびEFに生じる場合は、mが一定となるため、式（4）よりn−p＝０となる。さらに式（16）よ・り w ＝０となり、流れ則より導かれた式（14）と同様な結果が得られる。

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