非負値行列因子分解入門～音響信号処理を題材として～
音響信号処理を題材として
亀岡弘和
日本電信電話株式会社
NTTコミュニケーション科学基礎研究所
kameoka@cs brl ntt co jp
kameoka@cs.brl.ntt.co.jp
部分空間法研究会 2010年7月26日
1目次
1. 非負値行列因子分解（NMF）とは–何に使えるのか（音響信号処理を題材として）–どのような性質があるのか
どのような性質があるのか–どのように求めるのか–統計モデルとしての解釈とアルゴリズムの一般化–他の技術とどう関係しているのか
他の技術とどう関係しているのか

2 複素NMF [H. Kameoka et al., 2008]
2.
–NMFにおける問題点
NMFにおける問題点–解決のためのアイディア–NMFとどう関係しているのかとどう関係
か2非負値行列因子分解(NMF)とは• 非負値行列を２つの非負値行列の積で表現• 行列因子分解の応用場面– ブラインド信号分離(Blind Signal Separation)– 次元圧縮3

なぜ非負値なのか？その意図は？
• データ行列の非負性– 実世界には非負値データが多い
実世界には非負値デ タが多い（例） パワースペクトル，画素値，度数，• 基底行列の非負性– 「非負値データの構成要素もまた非負値データであるべきである
き(でないと物理的に意味をなさない！)」という考え方（例）負の値をもったパワ スペクトルなんて解釈のしようがない（例）負の値をもったパワースペクトルなんて解釈のしようがない• 係数行列の非負性– 構成要素の混ざり方は「足し算」のみ– 係数行列をスパースに誘導  基底の情報量をアップ
4係数行列の非負性について• 係数が負の値を取っても良い場合
基底ベクトル

観測データ係数+)5係数行列の非負性について• 係数が負の値を取ってはならない場合
基底ベクトル

観測データ係数+)
スパース
6PCAとNMFの比較
観測データの平均値ベクトル

HHSNBD（ハイハット/スネアドラム/バスドラムの音量パターン）時刻

各図が１つのベクトルに対応
PCA
基底NMF
基底

[D.P.W Ellis & J. Arroyo, 2004]より抜粋

7

NMFが生まれた背景•画像処理分野で生まれた技術 [D.D. Lee & H.S. Seung, 1999]–顔画像から顔パーツを抽出するのが目的–顔画像から顔パツを抽出するのが目的–概念自体は９０年代前半に登場 [P. Paatero & U. Tapper, 1994]•音のスペクトルを画像と音のスペクトルを画像と見なして適用（後述）音声分離・自動採譜等
音声分離 自動採譜等[P. Smaragdis et al., 2003]
以降極めて多数…
以降極めて多数•効率的な反復アルゴリズム[D D LLee & H.S.
[D.D.
H S Seung,
S
2000]

8

NMFで音声スペクトログラムを分解してみる
周波波数→

•音響信号
短時間フーリエ変換（時間周波数分解）

音声スペクトログラム：時刻 に周波数 の成分がどれ ど含まれどれほど含まれているかるか

各基底ののアククティビティ
ィ

絶対値をとる

時刻→周波数→→

基底スペクトル

低ランクスペクトログラム

基底数10
基底数30

繰り返し現れるスペクトル繰れパターンが獲得される

9
時刻→

何に使えるのか？（1/3）• 自動採譜 [P. Smaragdis et al., 2003]
J.S. Bach: Fuge #16 in G minor

10何に使えるのか？（2/3）• 教師ありモノラル音源分離 [P. Smaragdis et al., 2007 ]音声（学習データ）
混合信号（テストデ タ）
混合信号（テストデータ）

チャイム（学習データ）

固定11

何に使えるのか？（3/3）•音の「超解像」

低サンプリングレートの信号[[P. Smaragdis
g & B. Raj,j, 2007 ]高サンプリングレ ト信号の学習デ タ
高サンプリングレート信号の学習データ（固定）
高周波帯域が復元された信号

12

NMF の基本問題••

個の観測データ(非負値ベクトル)個の非負値基底ベクトルの非負結合でどの観測データも良く表現できる基底セットを求めたい

のとき，各基底ベクトルはいくつかの観測データで共起するパターン（パーツと呼ぶ）を表現するよう誘導される• 想定する状況– データは非負値– 高々 種類の種類のパーツだけですべての観測データは構成されているツだけです ての観測デ タは構成されている– パーツの和で観測データをモデル化
13

どんな性質があるのか？
• Frobeniusノルム規準のNMF

データ数とが張る「凸錐」張る「凸錐基底数

斜交基底だから係数はスパースになりやすい？
凸錐とのなす角を大きくした方がお得！とが張る部分空間

陽に制約を入れていないのに基底が直交化される傾向に？ 14

どうやって求めるのか• NMFにおける代表的な最適化規準– Frobeniusノルム– Iダイバージェンス（一般化KLダイバージェンス）
Iダイバ ジェンス（ 般化KLダイバ ジェンス）• 押さえておくべき基本原理– 補助関数法– 凸不等式（Jensenの不等式）

15

NMFにおける代表的な最適化規準• Frobeniusノルム規準

なんとかしたい部分• Iダイバージェンス（一般化KLダイバージェンス）

なんとかしたい部分

いずれものとき ０ になる

16

押さえておくべき基本原理（1/2）• 補助関数法–を満たす– 反復アルゴリズム

を補助関数と定義
補助関数

目的関数

[1]
[2]

[1]

– 収束性
[2]

目的関数を直接最小化するのが難しいなら、とりあえずその上限関数を作ってみよう！
17

押さえておくべき基本原理（2/2）• Jensenの不等式
––

：凸関数

例えば
例えば、の場合：

右辺左辺

18

Frobeniusノルム規準のNMFアルゴリズム• 目的関数• 下線部に対してJensenの不等式を立ててみる• 補助関数が完成またはごとの二次関数の和になっている

19

Frobeniusノルム規準のNMFアルゴリズム• 補助関数が完成したらあとはステップ１とステップ２を導出すればOK!

[1]

代
入

[2]

20

Iダイバージェンス規準のNMFアルゴリズム• 目的関数• 下線部に対してJensenの不等式を立ててみる• 補助関数が完成

21

Iダイバージェンス規準のNMFアルゴリズム• 補助関数が完成したらあとはステップ１とステップ２を導出すればOK!

[1]

代
入

[2]

22

統計モデルとしての解釈• NMFは以下を仮定した最尤推定問題と等価– Frobeniusノルム規準
bノルム規準正規分布– Iダイバージェンス規準
Poisson分布

23

NMFアルゴリズムの一般化• Bregmanダイバージェンス [L.M. Bregman, 1967]→指数分布族と対応
指数分布族と対応[A. Banerjee et al., 2005]

は任意の微分可能な凸関数と が近いほど小さい
ただし距離の公理は満たさない(対称性が成り立たない)例) 二乗誤差，Iダイバージェンス，板倉齋藤距離
24

Bregmanダイバージェンスと対応する距離尺度
観測値NMF型モデル[I.S. Dhillon & S. Sra, 2005]

二乗誤差

二乗誤差

Iダイバージェンス

双対Iダイバージェンス

板倉斎藤距離双対板倉斎藤距離[H. Kameoka et al., 2006][C. Févotte et al., 2008]25

Bregmanダイバージェンスと対応する尤度関数
観測値

NMF型モデルGauss分布
分布

Gauss分布
分布Poisson分布

?分布

指数分布

逆G
逆Gamma分布
分布26

NMFアルゴリズムの（できるだけ）一般化• βダイバージェンス [S. Eguchi & Y. Kano, 2001]

Bregmanダイバージェンスにおいてと置いたもの例) 二乗誤差，Iダイバージェンス，板倉齋藤距離
27

NMFアルゴリズム： βダイバージェンス最小化[M Nakano[M.
N kett al.,l 2010]• 目的関数• 補助関数の設計方針

凸/凹凸/凹凸関数– 凸不等式– 接線不等式

凹関数

凸関数項の上限を凸不等式，凹関数項の上限を接線不等式を使って設計し 補助関数を構成 [H.
を使って設計し，補助関数を構成[H Kameoka et al.,al 2006]
28

NMFアルゴリズム： βダイバージェンス最小化[M Nakano[M.
N kett al.,l 2010]• 補助関数凸凹
凸凹（例）のケース：

ただし
ただし，29

NMFアルゴリズム： βダイバージェンス最小化• 補助関数 （例）のケース：[M Nakano[M.
N kett al.,l 2010]30

NMF と pLSA [T. Hofmann, 1999] との関係
(probabilistic Latent Semantic Analysis)•各行列要素を確率値だと考えてみよう

31

NMF と pLSA [T. Hofmann, 1999] との関係
(probabilistic Latent Semantic Analysis)• pLSAでは各文書中の単語数
LSAでは各文書中の単語数を推定からとのIダイバージェンス
最小化と同じ意味32

NMF と Sparse coding [B.A. Olshausen, 1996] との関係
• 個の観測データ(実数値ベクトル)• すべての観測デすべての観測データがタが 個の実数値基底ベクトル”スパース”な線形結合で表される基底セットを求めたい–exactなreconstruction
exactなreconstructionのNMFでは副次効果的にスパースになっていたのにスパスになっていたのに対し，sparse codingではスパース性コストにより強制的にスパース化–approximation
approximation

勾 法等
勾配法等
• スパース性コスト [B.A. Olshausen, 1996][G. Harpur,
p 2000]–Lpノルム尖度33

NMFによる振幅スペクトログラムの分解表現の問題点
観測振幅スペクトルを振幅スペクトルパーツの和でモデル化• 振幅スペクトルの加法性を仮定した不正確なモデル– 振幅スペクトルは本当は非加法的 （加法的なのは波形！）
 モデル自体に誤差を含んでいる• 位相情報の放棄– 推定したモデルが波形に対応しない– 波形領域で実現される多くの信号処理法と組み合せられないNMFモデルが仮定される世界周波数成分の含有率の情報

振幅スペク
トルの世界
ト世界
位相を捨てるため元に戻せない！

波形の世界(豊富な情報)
複素スペクトルの世界

広い
応用展開
34

振幅スペクトルの非加法性について
音響信号
短時間フーリエ変換（時（時間周波数分解）波数分解）（波形同士は加法的）
線形な変換・・・線形な変換（もちろん加法的）絶対値をとる・・・非線形な変換
非線変換：時刻 に周波数 の成分がどれ ど含まれどれほど含まれているかるか（振幅スペクトル同士は非加法的）NMFモデル？

振幅スペクトル35

新モデル「複素NMF」の提案
観測振幅
スペクトログラム行列Y

rank1行列（ある特定音のみの振幅スペクトログラム）

時間

音１の振幅スペクトル
振幅ス
クトル
パーツ何種類かの音からなると仮定

加法性が成り立つ！

複素NMFの考え方周波数

周波数

従来のNMFの捉え方

観測複素スペクトログラム

行列Y

非rank1複素行列（ある特定音のみの複素スペクトログラム）

これが疎になるようにパラメータを推定したい

音１がいつ鳴っているか
音 が鳴 て るかを表すアクティビティ

要素の絶対値をとると“rank1”

位相スペクトログラム

複素複素NMFモデル
デ

複素スペクトログラムをモデル化
行列積の形にならない！
（新しいクラスのスパース表現モデル）36

複素NMFアルゴリズム• 定義– 複素スペクトログラム
複素クト グラ– 振幅スペクトル基底– 位相スペクトログラム– ゲイン

音響信号モデル• 最適化問題

一般化正規分布

スパース正則化項

37

複素NMFアルゴリズム• 補助関数法を満 す任意 定数を満たす任意の定数

subject to
回目の反復計算後のパラメータ値:
Step 1)

Step 2)は増加しない！
38

NMFと等価となる条件

複素NMFはNMFを包含

Step 1)[条件1]を初期設定するStep 2)にはStep1, Step2に対して不動点になっている[条件2]
Step 3)を実行を満たす任意の定数

Lee & Seungの二乗誤差規準のNMFアルゴリズム[Lee & Seung, 2000]と等価!

39

複素NMFによる
複素よる
モノラル信号分離
デデモンストレーション
トシ

40

41

「ソ」以外は音量オフ

42

「ソ」だけ音量オフ

43

一部の基底関数に対してのみスペクトル伸縮変形を施し、混合信号を再構成（スペクトル伸縮はピッチトランスポーズに相当。例えばトランスポーズ「－１」は、半音下げという意味。）

44

まとめ

1. 非負値行列因子分解（NMF）とは何に使えるのか（音響信号処理を題材として）
 どのような性質があるのか どのように求めるのか
 統計モデルとしての解釈とアルゴリズムの一般化
 他の技術とどう関係しているのか

2 複素NMF [H. Kameoka et al., 2008]
2.
–NMFにおける問題点
NMFにおける問題点–解決のためのアイディア–NMFとどう関係しているのかとどう関係か45参考文献
[1] D. P. W. Ellis and J. Arroyo, “Eigenrhythms: Drum pattern basis sets for classification andgeneration,” Proc. ISMIR 2004, pp. 554‐559, 2004.
[2] D. D. Lee and H. S. Seung, “Learning
Learning the parts of objects with nonnegative matrixfactorization,” Nature, vol. 401, pp. 788–791, 1999.
[3] P. Paatero, U. Tapper, “Positive matrix factorization: A non‐negative factor model with
optimal utilization of error estimates of data values,values ” Environmetrics 5: 111
111–126
126, 19941994.
[4] P. Smaragdis and J.C. Brown, “Non‐negative matrix factorization for music transcription,” Proc.
WASPAA 2003, pp. 177–180, 2003.
[5] D
D.D.
D LLee anddH
H.S.
S SSeung, “Al“Algorithms
ith ffor nonnegative
ti matrix
t i ffactorization,”t i ti ” P
Proc. NIPS 2000
2000,pp. 556–562, 2000.
[6] P. Smaragdis, B. Raj, M.V. Shashanka, “Supervised and semi‐supervised separation of sounds
from single‐channel mixtures," Proc. 7th International Conference on Independent
Component Analysis and Signal Separation, 2007.
[7] P. Smaragdis and B. Raj, ”Example‐driven bandwidth expansion,” Proc. WASPAA 2007, in CD‐ROM, 2007.
[8] L.M. Bregman, “The relaxation method of finding the common points of convex sets and its
application to the solution of problems in convex programming,”
programming, USSR Computational
Mathematics and Mathematical Physics 7: pp. 200–217, 1967.
[9] A. Banerjee, S. Merugu, I.S. Dhillon and J. Ghosh, “ Clustering with Bregman divergences,”
Journal of Machine Learning Research 6,
6 pp.
pp 17051705–1749,
1749 2005
2005.

46

参考文献
[10] I.S. Dhillon and S. Sra, “Generalized nonnegative matrix approximations with Bregman
divergences ,” Proc. NIPS 2005, pp. 283‐290, 2005.
[11] 亀岡, 後藤, 嵯峨山, “スペクトル制御エンベロープによる混合音中の周期および非周期成分の選択的イコライザ,” 情報処理学会研究報告, 2006‐MUS‐66‐13, pp. 77‐84, 2006.

[12] C. Févotte, N. Bertin and J.‐L. Durrieu, “Nonnegative matrix factorization with the Itakura‐
Saito divergencegwith applicationpp
to music analysis,”y , Technical Reportp TELECOM ParisTech
2008D006, 2008.
[13] S. Eguchi and Y. Kano, “Robustifying maximum likelihood estimation,” Technical report,
Institute of Statistical Mathematics,Mathematics Research Memo
Memo. 802,802 2001.
2001[14] M. Nakano, H. Kameoka, J. Le Roux, Y. Kitano, N. Ono and S. Sagayama, “Convergence‐guaranteed multiplicative algorithms for nonnegative matrix factorization with beta‐
divergence ” Proc.
divergence,”
Proc MLSP2010,
MLSP2010 to appear.
appear[15] B.A. Olshausen, and D.J. Field, “Emergence of simple‐cell receptive field properties bylearning a sparse code for natural images,” Nature, vol. 381, pp. 607–609, 1996.
[16] G. Harpur, R. Prager, “Experiments with low‐entropy neural networks,” in R. Baddeley, P.
Hancock, P. Földiák (eds.) Information Theory and the Brain, Cambridge University Press, pp.
84‐100,, 2000.
[17] T. Hofmann, “Probabilistic latent semantic analysis,” Proc. UAI , pp. 289‐296, 1999.
[18] 亀岡, 小野, 柏野, 嵯峨山, “複素NMF: 新しいスパース信号分解表現と基底系学習アルゴリズム,”日本音響学会2008年秋季研究発表会講演論文集 2‐8‐13,
日本音響学会2008年秋季研究発表会講演論文集,
2 8 13 pp.
pp 657657‐660,
660 2008.
200847