数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 82-92

82

NATURALLY REDUCTIVE HOMOGENEOUSSPACES の全測地的部分多様体について

東條晃次 (KOJI TOJO)
千葉大学大学院自然科学研究科

$0$

. 序説.

E.Cartan により, 対称空間において 全測地的部分多様体が存在するための必要十分条件は Lie triple system が存在することであるということが知られている。 また対称空間の全測地的部分多様体についてはよく研究されており, 特に Chen-Nagano によって, それはより深まったといえる。彼らの結果のうちの 1 つに次がある。

Theorem 0.1. ([3]) 既約な対称空間で, 全測地的超曲面を許容するものは定曲率空間に限る。
対称空間を含む Riemann 等質空間の class の 1 つに naturally reductive
homogeneous space というものがある。 ここでは, この等質空間にたいし,’Lie triple system’ に相当する条件を求め, さらに, その応用として Theorem 0.1 と同様の問題を考えることにする。 また, ’ 全測地的’ という条件を少し変えた問題も扱うことにする。
この講義録の構成は以下の通りである。
等質空間の共変微分を Lie 環の言
Section 1 において, (.
葉を用いて書き表す。
Section 2 では, Cartan による全測地的部分多様体の存在に関する定理を用いて, naturally reductive homogeneous space において 全測地的部分多様体が存在するための必要十分条件を Lie 環の bracket で表す。
Section 3 では, naturally reductive homogeneous space の 1 つの例である normal homogeneous space を root system を用いて見てみる。 Section
4 においては, 全測地的超曲面を許容する normal homogeneous space の分$-\text{般_{の})}\mathrm{R}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}$83

類を試みる。 さらに extrinsic hypersphere と呼ばれる超曲面についても同様のことをする。 そのとき Section 3 での結果が必要となる。
Riemann 多様体が全測地的超曲面を許容すれば, その (ある点における) 接空間には curvature invariant hyperplane が存在する。 Theorem 0.1 から,既約な対称空間で curvature invariant hyperplane を許容するものは定曲率空間のみであるが, normal homogeneous space では, そうではない。 その例を Section 5 で与える。
,

1. 等質空間の Levi-Civita 接続$G$

を Lie 群,

$K$

Lie 環とする。

$\mathrm{g}$’ を $G$ の閉部分群とする。 また,の部分空間$\mathrm{g}=\mathrm{f}\oplus \mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\mathrm{f}$$\mathrm{g},$をそれぞれ $G,$

$K$

の

で

(部分空間の直和),$[\mathrm{t}, \mathfrak{p}]\subset \mathfrak{p}$を満たすものが存在するとき, 等質空間 $G/K$ は reductive であるという。
$G/K$ を reductive homogeneous space $\text{とし},G/K$ に G- 不変計量 $<,$ $>$ が存在すると仮定する。 と接空間 $T_{o}(G/K)(\mathit{0}=\{K\})$ を同–視すれば, $<$上の$>$ は-invariant 内積となる。 このとき, connection function
A は以下で定義される ([5])。
$\mathfrak{p}$$\mathrm{A}\mathrm{d}(K)$$\mathfrak{p}$

$,$

(1.1)

$\Lambda(X)(Y)=\frac{1}{2}[X, Y]_{\mathfrak{p}}+U(X, \mathrm{Y})$

ここで,$Z\in \mathfrak{p}$(X,$\mathrm{Y}\in \mathfrak{p}$

),

に対し

$<U(X, Y),$ $Z>= \frac{1}{2}\{<[Z, X]_{\mathfrak{p}}, \mathrm{Y}>+<[Z, \mathrm{Y}]_{\mathfrak{p}}, x>\}$ .

(1.2)

reductive homogeneous space $G/K$ が, さらに $U=0$ を満たすとき, $G/K$
は naturally reductive であると言う。
の bracket
をで表
次に, $(G/K, <, >)$ の Levi-Civita connection$[, ]$$\nabla$$\mathrm{g}$

すことをする。
$\pi$: $Garrow G/K$ を canonical projection とする 0$W’ \text{を},$$\mathfrak{p}$の $0$ を含む

open

subset で$\mathrm{v}\mathrm{r}$$\mathrm{o}\exp$: $Warrow\pi(\exp W)$

が diffeomorphism となるようにとる。

vector field$X\in \mathfrak{p}$に対して,$X_{*}\text{を}$$(X_{*})_{\pi}(\exp x)=\tau(\exp X)_{*}\{X\}$$\pi(\exp W)$ の上の84と定義する。 ここで,は $G/K$ の左移動を表す。 また,$\tau(g)(g\in G)$

$\mu$

:

$\pi(\exp W)arrow\exp W\text{を}$$\mu(\pi(\exp x))=\exp_{X}(x\in W)$の基底,と定義する。

に関する正規直交基底とする。
$\omega^{i}(\alpha\in A, i\in I)$ をそ( の元と $G$ の左不変 vector field を同–視して)$\{X_{\alpha}\}_{\alpha\epsilon A}$を$\mathrm{f}$$\{X_{i}\}_{i\in I}$を$\mathfrak{p}$の $<,$ $>$$\omega^{\alpha},$$\mathrm{g}$れぞれ$X_{\alpha},$$X_{i}$のdual 1-form とする。

Lemma 1.1. $\{(X_{i})_{*}\}(i\in I)$ に対応する connection forms$\theta_{j^{i}}(i, j\in I)$

は次で与えられる。

$\theta j^{i*}=-\mu\{\alpha\in\sum c_{j\alpha}\omega^{\alpha}+\frac{1}{2}\sum_{IA}i(_{C}i-jkc^{jk}ik-cij)\omega^{k}\}k\in$

ここで, $c^{p}qr$ は$\{X_{\alpha}\},$

に関する$\{X_{i}\}$Helgason [4] によると,.

の構造定数。

$\mathrm{g}$の微分写像は$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}:\mathrm{g}arrow G$$(\exp_{*})_{x}(y)=(L\exp x)*\Phi_{x}\mathrm{o}(y)(x, y\in \mathrm{g})$$\Phi_{x}(y)=n=\sum^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(n+1)!}0(\mathrm{a}\mathrm{d}X)n(y)$で与えられる。

$p\mathrm{e},$$p_{\mathfrak{p}}$をそれぞれ$\mathrm{g}$から$\mathrm{f},$$\mathfrak{p}$への射影とする。 $W$ を小さくとって
$p_{\mathfrak{p}}\mathrm{o}\Phi_{x}|\mathfrak{p}$:$\mathfrak{p}arrow \mathfrak{p}$が各 $x\in W$ に対して isomorphism となるようにしておく。 このとき, (1.1),(1.2), Lemma 1.1 から次を示すことができる。

Theorem 1.2. $x\in W,$ $X,$

$Y\in \mathfrak{p}$に対して$(\nabla \mathrm{x}_{*}Y_{*})_{\pi}(\exp x)=\tau(\exp_{X)_{*}}\{\Lambda(x)(\mathrm{Y})+[h_{x}(X), Y]\}$

ここで.

$h_{x}(X)=p\mathrm{g}\mathrm{o}\Phi \mathrm{o}(xp_{\mathfrak{p}^{\mathrm{o}}}\Phi\alpha’|\mathfrak{p})^{-}1(x)$.

85Corollary 1.3.
$(\nabla_{\mathcal{T}(\exp x)_{*^{\mathrm{O}}}\circ\Phi_{x}}(\mathrm{p})Y\mathrm{x}*)p(=\tau\exp x)_{*}\{\Lambda(p_{\mathfrak{p}^{\mathrm{o}}x}\Phi(x))(\mathrm{Y})$$+[p_{l^{\mathrm{O}\Phi_{x}}}(X), Y]\}$.

2. Totally geodesic submanifolds.
ここでは, $(G/K, <, >)$ は naturally reductive とする。
このとき, 定義から connection function A は $\Lambda(X)(Y)=(1/2)[X,$に接するで与えられる。 また, よく知られているように $\mathit{0}=\{K\}$ でgeodesic は $\gamma(t)=\pi(\exp tX)$ と書ける。. このとき, Section 1 の結果を使ってに沿った parallel vector field を得ることができる。
$Y\ovalbox{\tt\small REJECT}$$X\in \mathfrak{p}$$\gamma(t)$Lemma 2.1. $Y(t)$ を測地線 $\gamma(t)=\pi(\exp tX)(X\in \mathfrak{p})$ に沿った paraIIeIとなるものとすると
vector field で$Y(\mathrm{O})=Y\psi\in \mathfrak{p})$$Y(t)=\tau(\exp tx)*\{e^{-t\Lambda()}(X\mathrm{Y})\}$

ここで $e^{-t\Lambda(X)}(Y)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-t)^{lb}}{n!}(\Lambda(X))n(Y)$.

.

Proof. Theorem 1.2 において, $x=tX$ とすると$(\nabla x_{\mathrm{r}}Y*)\pi(\exp tX)=\tau(\exp tx)_{*}\{\Lambda(x)(Y)+[h_{tX}(X), Y]\}$$\Phi_{tX}(X)=x$

に示せる。
も

$\vee^{\vee}$

)

$1$

つ

より $h_{tX}(x)=P\mathrm{e}(x)=0$ . このことから Lemma 2.1 は容易

口Theorem 1.2 の応用を与えてみよう。

よく知られているように $(G/K, <, >)$ の点
は $X,$ $Y,$

(2.1)

.

$Z\in \mathfrak{p}$に対$\mathit{0}$における curvature tensor $R$$\text{して}$$R(X, Y)Z=[[x,.Y]\epsilon,$$z]+ \frac{1}{2}[[X, Y]\mathfrak{p}’ Z\ovalbox{\tt\small REJECT}$$- \frac{1}{4}[X, [Y, Z]\mathfrak{p}]\mathfrak{p}+\frac{1}{4}[\mathrm{Y}, [X, z]_{\mathfrak{p}}]\mathfrak{p}$で与えられる。 これを Theorem 12 を用いて示してみよう。

86

まず (\nabla X*\nabla Y*Z*)。を求めてみよう。
このとき Theorem 1.2 から

$t$

を

$|t|$

が十分小さい実数とする。

$(\nabla_{\mathrm{Y}_{*}}Z_{*})\pi(\exp tX)=\tau(\exp tx)_{*}\{\Lambda(Y)(Z)+[h_{tX}(Y), Z]\}$となる。 よって$(\nabla_{X_{*}}\nabla \mathrm{Y}_{*}Z*)\mathit{0}=\Lambda(X)\Lambda(\mathrm{Y})(Z)+\Lambda(X)([h_{0}(Y), Z])$$+ \frac{d}{dt}|_{t0}=[h_{t}X(Y), z]$.

さらに $h_{0}(Y)=0,$ $\frac{d}{dt}|_{t=0}h_{tx}(Y)=-(1/2)[X, Y]\mathrm{e}$ より$( \nabla_{X_{*}}\nabla_{\mathrm{Y}*}z*)_{\mathit{0}}=\frac{1}{4}[X, [Y, Z]_{\mathfrak{p}}]_{\mathrm{p}}$$- \frac{1}{2}[[X, Y]_{\mathrm{f}},$$z]$となる。 このことから (2.1) は容易に導ける。

次に $(G/K, <, >)$ の totally geodesic submanifold が存在するための必要の bracket で書き表そう。
十分条件を
を $T_{p}M$ の元とする。 でを $M$ の点,$(M, g)$ を Riemann 多様体,とするときに接する $M$ の測地線を$\mathrm{g}$

$P$

$x$

$P$

$x$

$\gamma_{x}(t)(\gamma_{x}(\mathrm{O})=p)$$P_{tx}$: $T_{p}Marrow T_{\gamma_{x}(t)}M$

で平行移動を表す。 このとき次が知られている。

Theorem 2.2. (E. Cartan) を $T_{p}M$ の部分空間とすると次は同値に接する $(M, g)$ の totally geodesic submanifold が存在する。
(i)(ii) 次をみたす正数 が存在する。 $|x|=1$ なる任意の $x\in V$ と
$V$

$V$

$t\in \mathbb{R}$$\epsilon$$(|t|<\epsilon)$

に対して

.

$(P_{tx^{-1}}R)(V, V)V\subset V$

ここで $P_{tx}-1R\text{は},\gamma_{x}(t)$ における curvature tensor を鳥 x によって $P$ に引き戻したものである。
この Theorem と Lemma 2.1 から次を得る。

87

Proposition 2.3.
$V$を$\mathfrak{p}$$G/K\text{を}$

naturalIy reductive homogeneous space$k\text{し}$,の部分空間とすると, 次は同値。

(1) $V$ に接する $G/K$ の totaIIy geodesic submanifold が存在する。
(2) 各 $X\in V$ に対して, $e^{-\Lambda(X)}(V)$ #呻の曲率不変部分空間 J すなわち
$R(e^{-\Lambda()}(xV), e-\Lambda(x)(V))\subset e^{-\Lambda(X)}(V)$が成立する。

Remark 2.4. 実は, Proposition 23 の (1) は次の (3) と同値。 (3) 各 $X\in V$に対して次が成り立つ。
$R(X, e^{-}(\Lambda(X)V))$$\subset e^{-\Lambda(x)}(V)$.

3. Normal homogeneous spaces.
を compact Lie 群, $K$ を $G$ の閉部分群とする。 $G$ の biinvariant metric から導入された metric $<,$ $>$ を備えた等質空間 $(G/K, <, >)$ を normal
homogeneous space と言う。 店 をそれぞれ $G,$ $K$ の Lie 環, を $<,$ $>$ に$G$$\mathrm{e}$$\mathfrak{p}$関する$\mathrm{t}$の直交補空間とすると,

この$\mathfrak{p},$$<,$ $>$

に関して $(G/K, <, >)$ は nat-urally reductive となる。
をの複素化とし,を compact simple Lie group としよう。
次にをに関する nonzero root の集をその Cartan subalgebra とする。 また,を Killing form とする。
に対し,りを $\Psi(H_{\alpha}, H)=$合とし,を次を満たすようにとで定義する。 さらに root vector$G$$\mathfrak{h}$$9\mathbb{C}$$\triangle$$\alpha(H)$る。

$\mathfrak{h}$$\alpha\in\triangle$$\Psi$$\mathrm{g}$$H_{\alpha}\in$$E_{\alpha}$$(H\in \mathfrak{h})$

.

(3.1)

$\Psi(E_{\alpha}, E_{-\alpha})=1$,$[E_{\alpha}, E_{-\alpha}]=H_{\alpha}$$[E_{\alpha}, E_{\beta}]=N\alpha,\beta E_{\alpha+}\beta$

このとき, 次の$\mathrm{g}_{u}$は$9\mathbb{C}$の compact,$N_{\alpha,\beta\alpha,-\beta}=-N-\in \mathbb{R}$real form となる.

$\circ$.

$\mathrm{g}_{u}=\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{R}\sqrt{-1}H\alpha+\sum\alpha\in\Delta(\mathbb{R}A\alpha+\mathbb{R}B_{\alpha})$ここで, $A_{\alpha}=E_{\alpha-\alpha}-E,$ $B_{\alpha}=\sqrt{-1}(E_{\alpha}+E_{-\alpha})$ . 以下では,視する。
$\beta\in\triangle$と$\mathrm{g}_{u}$を同.

P\leq n\leq p\}$ を,に対し,る。 このとき, 次はほぼ明らかであろう。
$\alpha,$$\mathrm{g}$$\{\beta+n\alpha\in\triangle :$\beta$を含む$\alpha$-series とす88Lemma 3.1.
($\{000\leq\leq\leq q-p\leq q-p\leq q-p\leq 321,,$$\mathrm{g}_{\mathbb{C}}(\mathrm{g}\mathbb{C}(\mathrm{g}_{\mathbb{C}}$,がは ABGl 2J -DCtyl p”FEe4 ののといきずれのいずれかリ

を $G$ の閉部分群とする。 我々の考える等質空間は normal であり,任意の 2 つの maximal abelian subalgebra は互いに conjugate なので$K$のLie 環) の maximal abelian subalgebra はると仮定する。 (それを以下 簡単のため$\mathfrak{h}_{1}$$\sum_{\alpha}\mathbb{R}\sqrt{-1}H_{\alpha}$$\mathrm{g}$の$\mathrm{f}(K$に含まれていと書く。)$\mathfrak{y}_{\mathrm{R}}=\sum_{\alpha\in\Delta}\mathbb{R}H\alpha$’$\mathrm{g}_{\alpha}=\mathbb{R}A_{\alpha}+\mathbb{R}B_{\alpha}$と書こう。

Berger [1] によれば,X$\in \mathrm{g}_{\alpha}$に対して, $X$ の$\mathrm{e}$成分$x_{\mathrm{e}}$は, 次のように与えられる。

Lemma 3.2.

where:$x_{\mathrm{e}}= \sum_{\lambda\in\Delta(\alpha)}p\lambda x\lambda$(1)$\triangle(\alpha)=\{\lambda\in\triangle :\lambda=\alpha on \mathfrak{h}_{1}\}_{j}(2)p_{\lambda}\geq 0_{j}(3)X_{\lambda}\in \mathrm{g}_{\lambda}$

Lemma 3.2 の記号の下で,(3.2)$\mathrm{g}$の部分空間$\mathrm{g}(\alpha)=$$\mathrm{g}(\alpha)$$\oplus \mathrm{g}_{\lambda}$.

を次のように定義する。

.

$\lambda\in\Delta(\alpha p_{\lambda}\neq 0)$

さらに$\triangle_{\mathfrak{p}}=\{\alpha\in\triangle :9(\alpha)=0\}=\{\alpha\in\triangle :\mathrm{g}\alpha\subset \mathfrak{p}\}$$\triangle \mathrm{e}=\{\alpha\in\triangle:_{9(\alpha)=}\mathrm{g}\alpha\}=\{\alpha\in\triangle :\mathrm{g}\alpha\subset \mathrm{e}\}$$\triangle^{J}=\triangle\backslash (\triangle_{\mathfrak{p}^{\cup}6}\triangle)$

とおく。 もし,$\mathrm{r}\mathrm{k}(G)=\mathrm{r}\mathrm{k}(K)$のときは次が成立する。

ならば,\triangle ’$=\emptyset$である。

$\mathrm{r}\mathrm{k}(G)=\mathrm{r}\mathrm{k}(K)+1$

89を compact simpIe Lie 群, $K$ をの閉部分群
Proposition 3.3. ([6])とし, $G/K$ を normal homogeneous space とする。 ((3.2) において) 全ての
$G$

$G$

と $H$ が平の元 $H$ が存在してに対して, あるならば, この仮定は満たさ行となると仮定する。 (もし,.
.
れる。) このとき次が成立する。
$\lambda_{i},$$\lambda_{j}\in\triangle(\alpha)$$(H_{\lambda_{i}}-H_{\lambda_{j}})$$\mathfrak{h}_{\mathbb{R}}$$\mathrm{r}\mathrm{k}(G)=\mathrm{r}\mathrm{k}(K)+$(1)$\mathrm{g}$は$\mathrm{G}_{2^{rightarrow ty}}pe$

でないとすると,. の形になる。
$(a)\mathrm{g}_{\alpha}+\mathrm{g}_{\beta}$. ここで は. ここで$\beta$$\mathrm{g}(\alpha)(\alpha\in\triangle’)$$\alpha-\beta\not\in\triangle$$\{\alpha, \beta, \gamma\}$$(b)\mathrm{g}_{\alpha}+\mathrm{g}_{\beta}+\mathrm{g}_{\gamma}$$1$

は次の 2 っのどちらか

の元.
を満たす
は以下を満たす$\triangle$$\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\}$と –致する。

$\alpha_{3}=2\alpha_{1}-\alpha_{2}$(2)$\mathrm{g}$を$\mathrm{G}_{2^{rightarrow}}iyP^{e}$,$\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{2}(H_{\alpha_{2}})}=1$の Lie 環とすると,$\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{1}(H_{\alpha_{1}})}=2$$\mathrm{g}(\alpha)(\alpha\in\triangle’)$.

は次の 3 つのうちのいずれかとなる。
$(a)\mathrm{g}_{\alpha}+\mathrm{g}_{\beta}$. ここで は. ここで$\beta$$(b)\mathrm{g}\alpha+\mathrm{g}\beta_{1}+\mathrm{g}_{\beta_{2}}$$\alpha-\beta\not\in\triangle$$\{\alpha, \beta_{1}.’\beta_{2}\}$

の元.
を満たす
は以下を満たす$\triangle$$\{\alpha_{1}.’\alpha_{2}, \alpha_{3}\}$と –致する。

$\alpha_{3}=2\alpha_{1}-\alpha_{2}$$(c)\mathrm{g}_{\mathit{0}\iota}+\mathrm{g}_{\gamma 1}+\mathrm{g}_{\gamma_{2}}$

and

. ここで

$\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{1}(H_{\alpha_{1}})}=\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{2}(H_{\alpha_{1}})}$$\{\alpha, \gamma_{1}, \gamma_{2}\}$.

は以下を満たす$\{\alpha_{1^{-}},.\alpha 2, \alpha 3\}$.

と –致する。

$\alpha_{3}=3\alpha_{1}-2\alpha_{2}$,$\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{2}(H_{\alpha_{2}})}=1$$(d)\mathrm{g}_{\alpha}+9s_{1}+\mathrm{g}_{\delta_{2}}+\mathrm{g}_{\delta_{3}}$. ここで$\{\alpha_{1}, \alpha_{2},2\alpha_{1}-\alpha_{2},2\alpha_{2}-\alpha_{1}\}$and$\frac{2\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{1}(H_{\alpha_{1}})}=3$$\{\alpha, \delta 1, \delta 2, \delta 3|.,\}$と –致する。

$\frac{2\mathfrak{a}_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{2}(H_{\alpha 2})}=\frac{\alpha_{1}(H_{\alpha_{2}})}{\alpha_{1}(H_{\alpha 1})}=1$.

.

は以下を満たす90

4. 主な結果.
ここでは, これまでに得たことを用いて, normal homogeneous space のhypersurface に関して得られた結果を報告する。

m- 次元 Riemann 多様体とし, $N$ を $(M, g)$ の n- 次元部分多様をそれぞれ $N,$ $M$ の Levi-Civita connection とす体とする。 また,は次で与えられる。
る。 このとき, $N$ の second fundamental form$(M, g)$ を$\nabla,\tilde{\nabla}$$\sigma$.

$\sigma(X, Y)=\tilde{\nabla}\mathrm{x}Y-\nabla xY$

ここで $X,$ $Y$ は $N$ に接する $M$ の vector field である。
$H=(1/n)\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{e}(\sigma)$

を $N$ の mean curvature vector とする$\text{。}$$\sigma(X, Y)=$$g(X, Y)H$ のとき $N$ は umbilical であると言う。
$N$ が umbilical で, さらに, $H\neq 0$ であり, $H$ が normal connection に関して平行であるとき, $N$ を $(M, g)$ の extrinsic sphere という ( $H=0$ のとき,

) $\circ N$ が extrinsic sphere ならば $g(H, H)$ は nonzero
constant である。 さらに, 任意の $P\in N$ に対して, Codazzi の方程式から$T_{p}N$ は $T_{p}M$ の curvature invariant subspace である。 すなわち$N$は totally(4.1)$\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{c}$$R(\tau_{pp}N, \tau N)TNp\subset T_{p}N(R:M\sigma)$

curvature tensor)が成立する。 もちろん, $N$ が totally geodesic でも (4.1) が成立する。

Theorem 0.1 と同様の問題を, $M$ が normal homogeneous space の場合にも考えたとき, 次を示すことができた ([6])。
もしを compact simple Lie group とするTheorem 4.1.
mogeneous space $G/K$ が totally geodesic hypersurface を許容するならば,$norma\iota horightarrow$$G$$\circ$$G/K$ は定曲率空間である。

Proposition 23 と proposition 3.3 を使って, この定理は証明できる。特のときは, Lemma 3.1 を用いて次を示すことができる。
に,$\mathrm{r}\mathrm{k}(G)=\mathrm{r}\mathrm{k}(K)$Theorem 4.2.

$G$を compact simple Lie 群とし, $K$ を$\mathrm{r}\mathrm{k}(G)=\mathrm{r}\mathrm{k}(K)$なる $G$ の閉部分群とする。 もし normal homogeneous space $G/K$ の$\mathit{0}$とにおける接空間が curvature invariant hyperplane を許容するならば $G/K$ は定曲率空間である。

次に, $G$ を compact Lie 群, $K$ をその閉部分群とする。 さらに normal homogeneous space $G/K$ が extrinsic hypersphere $N$ を許容すると仮定す91

る。 $\mathit{0}\in N$ として, $V=T_{o}N$ とおく。 $x\in V$ と十分小さい
して, $\tau(\exp X(t))$ を $t=0$ で に接する $N$ の測地線とする。 また,に対を長さ$t\in \mathbb{R}$

$x$

$\xi$

1 の $V$ に直交する vector とする。 このとき, $N$ の定義と Corollary 1.3 より,$N$ の長さ 1 の normal vector field は $\mathcal{T}(\exp X(t))$ 上, 次のように書ける。

(4.2)$\tau(\exp X(t))*\{\xi-t(\lambda x+\frac{1}{2}[_{X},\xi]\mathfrak{p})+\mathrm{o}(t)\}$.

(4.1), (4.2), Proposition 33 を使って次を得ることができる。
を compact Lie 群 2 $K$ をその閉部分群とする。 もしTheorem 4.3.
$mal$ homogeneous space $G/K$ が extrinsic hypersphere を許容するならば,$G$$norarrow$$G/K$ は定曲率空間である。

5. 曲率不変超平面を許容する例
ここでは, 曲率不変超平面を許容する normal homogeneous space を構成
しよう。

symcompact type ) Hermitian symmetric spaceをそれぞれ $G,$ $K$ の Lie 環とする。
metric pair であるものとする。
での subspaceとなるものが存在して, この と,g
このときの Killing form に関して $G/K$ は normal homogeneous space となる。 よくとす
知られているように, には 1 次元の center が存在する。 (それをる o)の直交補空間とする。 こを Killing form に関するとし,
$G/K\text{を}$$\sigma$$\vee C^{\backslash },$$(G, K)t\grave{\grave{\mathrm{a}}}$$\mathrm{f}$$\mathrm{g},$$[\mathfrak{p}, \mathfrak{p}]\subset \mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\mathfrak{p}$$\mathrm{g}$$\mathbb{R}Z$$\mathrm{g}$$\mathrm{f}’$$\mathfrak{p}’=\mathfrak{p}\oplus \mathbb{R}Z$$\mathfrak{p}’$のとき$[\mathfrak{e}’,$$\mathrm{e}_{]}’\subset \mathrm{f}’$,$[\mathrm{t}’’, \mathfrak{p}]\subset \mathfrak{p}$,.

$[\mathfrak{p}’, \mathfrak{p}’]\mathfrak{p}’\subset \mathbb{R}Z$

は $G/K’$に対応する $G$ の Lie subgroup とすれば,の curvature invariant hyperの接空間と同–視でき, 簡単な計算から はが成り立つ。 $K’$ を$\mathfrak{p}’$$\mathrm{e}^{J}$$\mathfrak{p}’$$\mathfrak{p}$plane であることがわかる。

REFERENCES
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