数理解析研究所講究録 1445 巻 2005 年 154-166

154
転移点における WKB 解の構成について
中野 實 (Minoru Nakano)
慶応大学・理工学部
Faculty of Science and Technology, Keio University
転移点 (turning point) を持つ線形 2 階常微分方程式の解の漸近性について考察する, 解の \mbox{\boldmath $\zeta$}漸近的特性’ は文字通り ‘特性多角形’ によって特徴づけられる. 特性多角形は Newton 多角形と似たもので,線分が下に凸に連結したものである. 一本の線分の場合が最も簡単であるが, これがエアリー (Airy) 方程式
である、 2 番目に簡単なものは 2 本の線分の場合で Fedoryuk [6], Nakano et al. [23] で考察された. 3 本以上の場合は Fedoryuk [6], Nakano [15], [16], [20]\sim [22], Roos [28], [29] で扱われて る. ここでは最もの場合, 即ち, 任意有限本の線分の場合を考察する.

要旨.

$-_{1}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}$$\backslash$

\S 1.

はじめに.

11.

次の 1 次元 Schr\"odinger タイプの方程式を考察する :$\ovalbox{\tt\small REJECT}\epsilon^{2h}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=Q(x, \epsilon)y,Q.(x, \epsilon).\cdot=\sum_{k=0}^{\sigma}.\sum_{l=0}^{\wedge},a_{j_{h}+l}\epsilon^{j_{k}+l}x^{m_{j_{k}}-l\cdot\alpha_{s\mathrm{t};}^{-1}}h,s\in \mathrm{N}x,y)a_{j_{k}+l}\in \mathbb{C},\forall a_{j_{k}}\neq 0\kappa a_{j_{\mathrm{S}}+l}=0(l\geq 1)\cdot$

(1.1)

,

1

$0<\epsilon<1;D:=\{x :は小さい正定数,
また, 次の条件を仮定する :ここで$\epsilon$$x_{0}$

0\leq|x|\leq x_{0}\}$.

は小さい正のパラメーターで Planck 定数とみなされることがある.

$\alpha_{j_{\mathrm{s}}}^{-1}:=\frac{m_{j_{s}}+2}{h}$$\alpha_{j_{k}}^{-.1}:=\frac{m_{j_{L}}.-m_{j\kappa+1}}{j_{k+1}-j_{k}}.>0,$

,

$\{$

$(1.2\rangle$. $-1)$ ,$\alpha_{j_{k^{1}}}^{-1}>\alpha_{j_{k+1}}^{-.1}>0(k=0,1,2, \cdots, s$$l_{k}:=j_{k+1}.-j_{k}(>0)(k=0,1,2, \cdots, s-1)$ ,

(1.3)

$\{$

$j_{0}:=0,$$j_{s}:=h, \sum_{k=0}^{\mathrm{s}-1}l_{k}=h(l_{k}\in \mathrm{N})_{1}$

.

(1.4)

$h> \frac{j_{k}+\alpha_{j\kappa}(m_{j_{k}}.+2)}{2}$$(k=0,1,2, \cdots, s-1)$ .

の零点は (1.1) の転移点 (turning point) と呼ばれる. したがって,である. 不等式 (1.4) は特異摂動条(1.1) は原点 $x=0$ に転移点を持ちその位数は
件 (singular perturbation condition), 即ち, \S 2 で行われる変換によって単純化された方程式がすと置くと微分方程式でなくなる) になるための条件である.
べて特異摂動タイプ (我々の目的は ‘特性多角形の概念》といわゆる ‘stretching-matching method’ (Nakano [15], [16],$Q(x, 0)(=aj\mathrm{o}x^{m_{j_{0}}}\equiv a0x^{m0})$$m_{j_{0}}(\equiv m\mathrm{o})$$\epsilon=0$[18], $[20]\sim[22]$ , Nakano et at. [23], Nishimoto [25], Wasow [33] と呼ばれる方法を適用して領域$D$ における解の漸近性質を調べることである. (結果は, WKB 近似解が $D$ の部分領域である特性
領域 (canonical domain) と呼ばれる領域とそれに隣接した領域において漸近展開になっている$)$と言うことである)

1.2.

新たに実 2 次元の ( $X$ , Y)Y 平面を用意して次の点をその上に打つ.
$P_{k}^{(l)}:=( \frac{j_{k}+l}{2},$ $\frac{m_{j_{k}}-l\cdot\alpha_{j_{k}}^{-1}}{\underline{?}})(k=0,1,2, \cdots, s;l=0,1,2, \cdots, l_{k}-1)$

(1.5)

$\{$

$R:=(h, -1)$ .

,155
点 Pk(のは (1.1) の$ffi_{\backslash }\text{数}$$Q(x,c.)$ の$\epsilon\nearrow \text{項}$の$\epsilon$と $x$ のべき指数から定められるもので, 点 $R$ は (1.1)の左辺ののべき指数から定められる. したがって, 点 P(の と係数の項は 1 対 1 に対応する. 点$a_{j_{k}+l}.\epsilon^{j_{k\sim}+l}x^{m_{j_{k}}-l\cdot\alpha_{j_{k\backslash }}^{-1}}$$\epsilon$$P_{k-1}^{(0)},$ $P_{k-1}^{(1)},$ $P_{k-1}^{(2)},$$\cdots,$と$P_{k-1}^{(l_{k-1}-1)},$ $P_{k}^{(0)}$は 1 つの線分上にあるが, この線分を $L_{k}(k=1,2, \cdots, s)$ とする.

と点 $R$ を結
また, 点
ぶ線分を $L_{s+1}$ とする. 関係式 (1.2) はこれらの線分の傾きの関係を表している. 特性多角形(characteristic polygon) はこれらの線分を順に繋げたものと定義される (Iwano-Sibuya [12]). この多角形は 3 角形や 4 角形のように閉じていない. 特性多角形は (1.2) と (1.4) によって下に凸でで折れているから全部で $s+1$ 本の線分から成っている. また, 各ある. そして それは三線分上の点の個数は条件 (1.2), (1.3), (1.4) さえ満たす限り任意の有限個である.
$P_{s}^{(0)}$$P_{k}^{(0)}$2 本, 3 本, もっと多くの線分から成る特性多角形を持つ微分方程式が Fedoryuk [6], Nakano [15],[21], [22], Nakano et al. [23], Roos [28], [29] などで考察されているが, それらはすべて (1.1) の特別な場合である.
例.

1 本... $\epsilon^{2}y’’=x^{m}y(m\geq 1),$2 本... $\epsilon^{\sim}.y’’=(?x^{m}+\epsilon x)y(m\geq 5),$,
3 本...
6 本...

$\epsilon^{4}y’’=(x^{-)}‘+\epsilon x+\epsilon^{2})y$,$\epsilon^{6}y’’=(x^{2}+\epsilon x+\epsilon^{2})y,$,$\epsilon^{6}y’’=(x^{6}+\epsilon x^{4}+\epsilon^{2}x^{2}+\epsilon^{3})y$$\epsilon^{4}y’’=(x^{5}+\epsilon x^{2}+e^{2})y$$\epsilon^{10}y’’=(x^{22}+\epsilon x^{15}+\epsilon^{2}x^{30}+\epsilon^{3}x^{6}+\epsilon^{4}x^{3}+\epsilon^{\mathrm{r}}.x)y$.

階微分方程式を扱っている. また, この方法と全く違う観点で 3 階微分方程式が考察されている (Aoki et al. [1], Berk et al. [2], Matsubara et al. [14],$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{l}0[18],$$[20]$

はこれと同じ方法で$n$Nakano [17], [19], Nakano et al [24] ,$)$( $m>m_{j\iota}$. $-l\cdot$ \mbox{\boldmath $\alpha$}元 1) に対のべ*指敷 $m$ が最低次数より大きいものの項にある
注意. $Q(x, \epsilon)$ の応する点は ( $X$ , Y)Y 平面で特性多角形より上方にあるが, これらが解の漸近性に及ぼす影響は小さいことが知られていを解る. したがって, 特性多角形の線分上にのっている点に対応する項のみの方程式, 即ち, (析することが出発点である. この意味で (1.1) は最も一般の方程式である,$\epsilon^{i_{k}+1}$$x^{m}$$x^{m}$$1.1\dot{)}$$(\mathrm{I}\mathrm{w}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{o}arrow \mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{u}\mathrm{y}\mathrm{a}[12])$\S 2 では, 元の領域 の適当な部分領域において (1.1) を漸近的により単純な微分方程式に帰着させる. \S 3 では, 単純化された微分方程式の WKB 近似解を求める.
WKB 近似解は漸近展開の第 1 次近似である. \S 4 では, (1.1) が抽象的であるから, これよりやや13.

内容は以下の通り.

$D$

簡単な形, かつ, かなり一般的な形をした微分方程式で, しかも, (L1) の本質を持ったものについて, 漸近解の存在領域である特性領域の定め方と隣り合った領域における 2 つの解を接続する行
列 (matching matrix) の計算法について解説する. 最後の \S 5 では, (1.1) の matc.hing matrix を計算する. こうすることで, 元の領域 $D$ (より正確には, $D$ の一部分である角領域またはそれに近い形をしたもの) における解の漸近性を知ることができたことになる.

\S 2.

(1.1) の漸近的単純化.

の各項は $D$ の適当な部分領域において ‘漸近的に優勢 (asymptotically domiであることが .
に 「,\llcorner ‘\rightarrow ‘する項nant) である. これを知るため, たとえば,

2.1.

$Q(x, \epsilon)$$\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}’$$\mathrm{f}fi^{\Xi},$$\backslash \backslash P_{\hat{k}}^{(0)}$$i[perp]\triangleleft\backslash$$a\prime j_{\hat{k}}\epsilon^{j_{\hat{k}}}\cdot x^{m_{j_{\hat{k}}}}$)

そのために, この項を一番前にもって来てを示そう.

$Q(x, \epsilon)$を次のように 3 つの部分に分ける:$Q(x, \epsilon)$(2.1)$=a_{\mathrm{j}_{\hat{k}}}\epsilon^{j_{\hat{L}}}\cdot x^{m_{j_{\hat{k}}}}.$

最初のダブル

(2.2)

.

$\{$

$\Sigma$$\{(\sum_{k=0}^{\hat{k}-1}\sum_{l=0}^{l\kappa-1}+\cdot\sum_{t=0}^{l_{\hat{k}}-1}+\sum_{k=\hat{k}+1}^{\mathit{8}}\sum_{l=0}^{l_{\mathrm{k}}-1})a_{j+l}\mathrm{i}^{k}\epsilon^{j_{k}-j_{\hat{k}}+l}x^{m_{j_{k}}-m_{\mathrm{j}_{\hat{k}}}-l\cdot\alpha_{j_{k\}}}^{-1}}a_{j_{\dot{k}}}$の項$. \sum_{k=0}^{\hat{k}-1}\sum_{l=0}^{l_{k}-1}\frac{aj_{k}+l}{a_{j_{\hat{k^{\tau}}}}}(\epsilon^{-1}x^{\alpha_{j_{k})^{l_{k\neg}-l}}^{-.1}}\prod_{n=0}^{\hat{k}-1-k}(\epsilon^{-1}x^{\alpha_{\dot{\mathcal{J}}k}^{-1}}+n)^{l_{k+n}}$

.

156

の時 $‘arrow 0$ ’ である. 即ち,の時ダブル の置は小さい. なぜならば,に対してだからである.
ならばに属する時$\epsilon^{-1}x^{\alpha_{j_{\hat{k}-1}}^{-1}}arrow 0$

は,
数) に

$9^{-}$

る$x\in\{x :$\epsilonarrow 0$$x$は十分小さい定
力撮も小さい|x|\leq\check{k}\epsilon^{\alpha_{\mathrm{j}}}\hat{k}-1\}(\check{k}$$\Sigma$$x$$\epsilon^{-1}x^{\alpha_{j_{k}}^{-.1}}arrow 0$$\epsilonarrow 0$$\{x:|x|\leq\check{k}\epsilon^{\alpha_{j_{\overline{k}-1}}}\}$$-\alpha^{-1}$の時第 2 項の . :$j\hslasharrow 0$$\epsilon x$$\Sigma$(2.3)$\sum_{l=0}^{l_{\hat{k}}-1}a_{j_{\hat{k}}}\mathrm{i}.(\epsilon x^{-\alpha_{j_{\dot{k})^{l}}}^{-1}}a_{j_{\hat{k}}+l}$は 1 に近づく. 即ち,(2.3) は 1 に近づく.

$\{x:|x|\geq\check{I}\mathrm{f}\epsilon^{\alpha_{j}}\hat{k}\backslash \}$(は十分大きい定数) に属する$\check{K}$

$x$

に対して

$\epsilonarrow 0$

の時

最後の項

(2.4)

は

$\sum_{k=\hat{k}+1}^{s}\sum_{l=0}^{\iota_{k}-1}\frac{a_{j\iota+l}}{a_{j_{\dot{k}}}}.(\epsilon x^{-\alpha_{j_{k}}^{-1}})^{l}\prod_{n=0}^{k-\hat{k}-1}(\epsilon x^{-\alpha_{j_{\hat{\mathrm{t}}+n)^{l_{\hat{k}+n}}}}^{-1}}\cdot$

対して
る

{こ
( は十分大きい定数) lj するの時 0 に近づく. 即ち,に属すの時 (2.4) は小さくなる. なぜならば, 最も大きい領域$\epsilon x^{-\alpha_{j}^{-1}}\hat{k}arrow 0$$x$$\epsilonarrow 0$$\{x :$\check{K}$$x$$\{x :|x|\geq\check{K}\epsilon^{\alpha_{j_{\dot{\mathrm{t}}}}}\cdot\}$となるからである.
に対してに属するが下で与えられる ( $D$ の部分領域)
この項のみの微分方程式の時, 他の項と比べて漸近的に大きいのである. よって,に対して$\epsilonarrow 0$の時

このようにして, aj\sim ん$\epsilonarrow 0$|x|\geq\check{K}\epsilon^{\alpha_{j_{\hat{k}}}}\}$$\epsilon x^{-\alpha_{j}^{-}}\iota^{1}.arrow 0$$x^{m_{\mathrm{i}_{k}}}$$D_{\text{。}ut,j_{\hat{h}}}$

(2.5)

$x$

$\epsilon^{2h-j_{\hat{k}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=}}a_{j_{\dot{k}}}x^{m_{j_{\dot{k}}}}y$の解は領域$(2.5)’$$D_{out,j_{\hat{h}}}:=\{(x, \epsilon)$:.

$\check{K}\in^{\alpha_{j}}\dot{k}\leq|x|\leq\check{k}\epsilon^{\alpha_{j_{\hat{k}-1\}}}}\cdot$

において, (11) の第 1 次近似漸近解になる. 原点 (転移点) を含み (2.5)’ の形にならない例外的なでは
領域$\{(x, \epsilon) :0\leq|x|\leq\check{k}\epsilon^{\alpha_{h}}\}$$\epsilon^{h}\frac{cPy}{dx^{2}}=a_{h}x^{m_{h}}y$の解が必要であるが, これは特殊関数で与えられる. $m_{h}=0$ ならば定数係数微分方程式である.
の間にある中間領域
において, (1.1) は. と次のように漸近的に単純化される. いわゆる拡大変換 (stretching transformation)

2.2.

番号が続く 2 つの領域

$D_{out,j_{\hat{k}}}$$Dj_{\hat{k}+1}$$D_{o’ut,j_{\hat{k}+1}}$

.

(2.6)

$x:=t\epsilon^{\alpha_{j_{\hat{k}}}}$を (1.1) に適用すると, 次の微分方程式.

$\epsilon_{j_{\overline{k}+1}}^{2}.\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=$$Q_{j_{\dot{k\backslash }+1}}(t)y$(2.7)$(\epsilon_{j_{\hat{k}+1}}^{2}:=\epsilon^{2h-\{j_{\overline{k}}+\alpha_{j}(m_{j_{\hat{k}}}+2)\}}.\dot{k})$$\{$$Q_{j_{\hat{k}+1}}(t):= \sum_{l=0}^{\neg}a_{j_{\dot{k}}+l}.t^{m_{\mathrm{j}_{\hat{k}}}-l,\alpha_{\mathrm{j}}^{-1}}t_{\mathrm{L}}4\hat{k}$

が中間領域

(2.8)
で得られることが分かる.
特性多角形の 1 つの線分

$D_{j_{\hat{k}+[perp]}}:=\{t:.

とそれらの間のすべての点, 即ち,の上にある端点を含むすべての点, に対応する項を含む.

$Q_{j_{\hat{k}+1}}.(t)$$L_{\hat{k}+1}$\dot{k.}\leq|t|\leq\dot{K}\}$は, 2 つの$\Re$$|8\backslash \backslash P_{\hat{k}}^{\langle 0)},$」$P_{\hat{k}+1}^{(0)}$157の零点で転移点を持つ,は多項式であるから, (2.7) はこの微分方程式の係数
これらの転移点は ‘元の転移点’ と区別して (1.1) の準転移点 (secondary turning point) と呼ばれる (Wasow [33]). \llcorner たがって, secondary turning point を持つ微分方程式の解析問題は secondary
turning point problem と呼ばれる. 最初の secondary turning problem を扱ったのは Nakano etal[23] である. なお, 変換 (2.6) を施すことは ‘stretching-matching method’ の第 1 段階である.
では, (2.7) を導いてみよう. 変換 (2.6) を (L1) に施すと (1.1) は$Qj_{\acute{k}+1}(t)$$Q_{j_{\overline{k^{\vee+}}1}}(t)$$\epsilon^{2h-2\alpha_{j_{\dot{k}}}}\cdot\frac{\prime Py}{dt^{2}}=\tilde{Q}y$.

$\tilde{Q}=\epsilon^{j_{\dot{k}}+\alpha_{j_{\hat{k}}}m_{\dot{k}}}.\sum\sum sl_{k}-1a_{j_{k}+l}\epsilon^{ik}+l+\alpha_{j_{\hat{k}}}(m_{j_{k}}-l\cdot\alpha_{j_{k}}^{-1}\rangle-j_{\tilde{\lambda}^{\mathfrak{l}}}-\alpha_{j_{\hat{h}}}m_{j_{\hat{L}}}$

(2.9)

$\{$

$=\epsilon^{j_{\hat{k}}+\alpha_{j_{\hat{k}}}m_{\hat{k}}(\sum_{1}+\sum_{2}+\sum_{3})}.k=0l=0$となる. ただし,は線分$\sum_{1}$$L_{1},$ $L_{2},$ $\cdots$$P_{0}^{(0)},$ $P_{0}^{(1)},$,$L_{k}^{\mathrm{A}}$上にある点$P_{1}\langle l_{0}(0\}, P_{1}(1),$$P_{0}-1\rangle,$$P_{0}^{(2)},$$\cdots,$に対応する項をすべて含み, 第 2 の$\sum_{2}$$P_{\hat{k}^{1}}^{(0)},$は線分$P_{\hat{k}^{\mathfrak{l}}}^{(1)},$に対応する項をすべて含む. また, 最後の$P_{\hat{k}}^{(2)},$$\sum_{3}$$P_{\hat{k}+1}^{(1)},$$l_{\hat{\lambda\sim}-1,-1}-1)$

上の点$L_{\hat{k}+1}$$P_{\hat{k}}^{(l_{\dot{k}}-1)},$$\cdots,$$P_{\hat{k}+1}^{(0)}$はその他の線分$P_{\hat{k}^{l}+1^{7}}^{(2\rangle}\cdots,$に対応するすべての項を含む. この時, 最初の(2.10)$\mathrm{I}\sim$$\cdots,$$\Sigma$$L_{k+2}^{\mathrm{A}},$$\epsilon$$L_{s}$

上にある点$P_{s}^{\langle 0)}$にー\supset いて, 次が成り立つことが分かる :$\sum_{1}=\sum_{k^{\mathfrak{n}}=0}^{\hat{k}-1}\sum_{l=0}^{l_{k}-1}a_{j_{k}+l}\epsilon^{g}t^{m_{j_{k}}-l\cdot\alpha_{j_{k}}^{-1}}arrow 0(\epsilonarrow 0,$

なぜならば,$\cdots,$$t\in D_{j_{\hat{\mathrm{A}}^{1}+1}})$

.

のべき指数
$\sum\hat{k}-1l_{n}\cdot\alpha_{j_{n}}^{-1}(\alpha_{j_{\hat{k}}}-\alpha_{j_{n}})+(l_{k}-l)\cdot\alpha_{j_{k}}^{-1}(\alpha_{j_{\hat{k}}}-\alpha_{j_{k}})$$g:=$n=k 十 lはプラスであるから、である.
第2の$\Sigma$は, そのべき指数がゼロであることから,(2.11)$t$の多項式となり, それは$\sum_{2}=\sum_{l=0}^{l_{\hat{h}}}a_{j_{\hat{k^{\gamma}}}+l}t^{m_{j_{\hat{k}}}-l\cdot\alpha_{j_{\dot{k}}}^{-1}}$

である.

3 番目の

$\Sigma$における$\epsilon$のべき指数$g’:= \sum_{n=1}^{k-\hat{k}-\mathrm{I}}l_{k+n}\mathrm{A}.\cdot\alpha_{j_{\dot{k}}+n}^{-1}(\alpha_{j_{\dot{k}}+n}-\alpha_{j_{\hat{k}}})+l\cdot\alpha_{j_{k}}^{-1}(\alpha_{j_{\hat{k}}}/.

-\alpha_{j_{\hat{k}}’})$

はプラスであるから(.2.12)$\sum_{3}arrow 0(\epsilonarrow 0,$$t\in D_{j_{\hat{k}+1}}.)$

が成り立つ. このようにして, 方程式 (2.7) が得られた.
微分方程式 (2.5) は (1.1) の外部方程式 (outer equation), 微分方程式 $(2,7)$ は (1.1) の内部方
程式 (inner equation) と呼ばれる. また, それらの解はそれぞれ外部解 (outer solutaon), 内部解(inner solution) と呼ばれる.

158
2.3. 以上の結果をまとめて次の定理を得る :微分方程式 (1.1) は外部領域 (2.5)’ において, 外部方程式 (2.5) に漸近的に表され.
に対応する. また, 微分方
上の左端点
形の線分
式の関
る. この微分
程式 (L1) は内部領域 2.8) において内部方程式 (2.7) に漸近的に表される. この方程式の係数の定理 21.

$P_{\hat{k}}^{(0)}$$i4\wedge \text{多角}$$\backslash \text{数^{}\prime}l\mathrm{h}\text{特}$$\text{方}r_{\mathit{3}i}$$L_{\hat{k}+1}$$\langle$

項は \eta \doteqdot , \uparrow *多\S \hslash /\nearrow /の線分$\cdot$.

$L_{\hat{k}+1}$

上の$\backslash \rho \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}_{J|\backslash \backslash }^{\Xi}[perp]\mu$

を含めすべての点$P_{\hat{k}}^{(0)},$$P_{\hat{k}}^{(1)},$$P_{\hat{k}}^{(2)}.’\cdots,$$P_{\hat{h}}^{(l_{\hat{k}}-1)},$ $P_{\hat{k}+1}^{(\{\})}$

に対

応する.
外部方程式と内部方程式はもともと同一の方程式, 即ち, (1.1) から導かれたものである力 1 ら, それら \sigma ) 角も注意
外部解と内部解には線形関係があるはずである. この線形関係は行列で表され matching matrix と呼 れる. と即ち,(2.8) を拡大した領域有界である内部領域
ころで, この行列を求めるためには,$l\mathrm{f}$

$($

2.

$D_{in};=\{t :$\mathrm{S})’$

0<|t|<\infty\}$で内部解を求めなければならない. $(2.8)’$ を拡大内部領域と呼ぼう. こうすると, 拡大内部領域と外部領域とは共通点を持つから都合がいいのである, しかし, 拡大内部領域で解を求めると言うことは, 解の大域的性質を調べることであのるから, 漸たな困難な問題が生じることになる. matching matrix を計算することは stretching-matching method
第 2 段階である (\S 4.4, 4.5, \S 5).

\S 3.

WKB 近似解3.1. 外部方程式と内部方程式は見掛け上共通の形を 1, ている. それは特異摂動タイプである. そこで, ここでは, 次の微分方程式を考察することにする.

(3.1)$\epsilon^{2h}\frac{d^{12}y}{dx^{2}}=Q(x)y$$(h\in \mathrm{M};x, y\in \mathbb{C};0\leq|x|<\infty;0<\epsilon<1)$.

したがって, $x=\infty$ は (3.1) の不確定特異点である. $Q(x)$ の零点
は (3.1) の転移点である. 一般に, $Q(x)$ の次数が高い詰屈多くの転移点が存在する.
を(3.1) の WKB 近似解
は $x$ の多項式である.

$Q(x)$$\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon)$(3.2)$\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon):=\frac{1}{\sqrt[4]{Q(x)}}\exp$$($$\pm\frac{1}{\epsilon^{h}}\xi(a, x))$と定義する. ただし,

(3.3)$\xi(a, x):=\int_{a}^{x}\sqrt{Q(x)}dx$は転移点とは限らない).
複素 x. 平面上で方程式である (ここの

$a$

(3.4)

$\Re\xi(a, x)=C’$$(Q(a)=0)$の等高線と呼ばれる. 特に,によって定められる点の集合は曲線であるが, これは (3.1) の高さ
高さ零の等高線, 即ち, $C=0$ の場合は (3.1) の Stokes 曲線と呼ばれる. また, 方程式
$C$

(3.5)

$\triangleright s\xi(a, x)=C$$(Q(a)=0)$

によって定められる曲線も (3.1) の高さ $C$ の等高線と呼ばれ, 特に, $C=0$ の場合は (3.1) のanti-Stokes 曲線と呼ばれる.
は不確定特異点で, この近傍における Stokes 曲線と anti-Stokes 曲線は, 方程式縦 $(\infty, x)=0$ ,から定められる. これらは (3.4), (3.5) から定まる曲線の $xarrow\infty$ の状態と一致する.
が共に転移点である時, から出る Stokes 曲線戦 $(a, x)=0$ は, $x=b$ から見れば等高線$a,$である. ただし, $\Re\xi(a,$ } $=\Re\xi(b,x)$ の場合は から出る Stokes 曲線でもある (下の例 (i) を参照).
注意.

$x=\infty$$\Re\xi(\infty, x)=0$$b$$\Re\xi(b, x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\neq 0$

$a$

$x$

$b$

32. Stokes 曲線の主な性質は次の通りである:(i)

Stokes 曲線と anti-Stokes 曲線は共に転移点から出て, 他の転移点または不確定特異点

である $x=\infty$ に向かう.

(ii)

Stokes 曲線は自分自身とは交わらない. anti-Stokes 曲線も同様である.

159
Stokes 曲線は円と homotopic でない. 幾本かの Stokes 曲線を結んでも円と homotopicにならない. anti-Stokes 曲線についても同様である.
(iii)(i) $Q(x)=x^{2}-1$ の時, $x=\pm 1$ は転移点で, x-平面の実軸上の線分一 l $\leq\Re x\leq 1$ は Stokes 曲線である.
から出る他の Stokes 曲線は共にそれぞれ $x=\infty$ に向かう.
$(ii\} s^{\alpha}\xi(a, x)$ の値はStokes 曲線に沿って単調に増加 (または減少) するから, Stokes 曲線はループを作らない,が転移点, $x=0$ は確定特異点, $x=\infty$ は不確定特異点である. $x=0$(iii) $Q(x)=x^{-2}-x$ の時, $x=1,$
は $x=0$ の周$Q(x)\simx^{-2}$$\xi\sim\log
x$
.
よって
, 等高線
の近傍で
だから,
りの円である. 任意の 2 つの転移点を結ぶ Stokes 曲線があり 7 これらの 3 本をつなげると円と homotopic になる.
$Q(x)=x-x^{-2}$ の時, やはり $x=1,$
が転移点, $x=0$ は確定特異点, $x=\infty$ は不確定特異点である. $x=0$
は $x=0$ の周りの円である. この近傍で $Q(x)\sim-x^{-2}$ だから, 等高線
曲線と(の幾本かをつなげたもの) が円曲線(の別本かをつなげたもの)
anti-Stokesのように, 有理関数の場合 Stokes
例.

$x=\pm 1$$e^{\pm 2\pi i/3}$$\Re\log x=\{(\Re x)^{2}+(\propto \mathrm{r}x)^{2}\}^{1/2}=\mathrm{c}.\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}(>0)$$e^{\pm 2\pi \mathrm{t}^{\iota}/3}$$\Im\log x=\{(\Re x)^{2}+(\Im x)^{2}\}^{1/2}=\mathrm{C}^{\cdot}\mathrm{O}\mathrm{I}\iota \mathrm{s}\mathrm{t}(>0)$と homotopic になることがある.

(3.3) の右辺の積分で定義される関数 $\xi:=\xi(a, x)(Q(a)=0)$ は, $d\xi/dx\neq 0(x\neq a)$ より 転移点を除いて, 『複素 xx 平面から複素 平面への等角写像』 である. したがって, (3.4) で定義される等高線と (3.5) で定義される等高線は, 写像 $\xi=\xi(a, x)$ によって \mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面に直交するように写さ$\xi-$

れる.

xx 平面上において, Stokes 曲線で囲まれた非有界単連結集合 $D^{can}$ が, \mbox{\boldmath $\xi$}. 平面全体に有限本の線分を除いて写される時, それは (3. 1) の特性領域 (canonic.a1 domain) と呼ばれる. (3.1) の特性領域は少なくとも 1 っあり, 一般には複数個あること溺知られている. しかし, 抽象的な多項式 $Q(x)$に対しては, 転移点も, したがって, Stokes 曲線も定めることができないので, 特性領域を決定できない. 具体的な多項式 $Q(x)$ に対する (3.1) の特性領域の幾つかの例が Fedoryuk [6], Nakano[22], Wasow [33] 等で求められている. 2 つの WKB 近似解 (3.2) を漸近展開とする 2 つの線形独立な真の解が存在する最大領域が特性領域である. これに関する詳しい説明は Fedoryuk [6], [7],Wasow[33] 等で見られる.
と anti-Stokes 曲線
数の, その Stokes
上の例 (iii) に示されたように, $Q(x)$ 力][16], [18] におい
Nakano[6]に,Fedoryuk
幾つかの具体例がの形は多項式の場合とは全く違う.
にも簡単な説明がある)
特性領域について\S 4.2ては特性領域も与えられている. (以上のほかに,$\backslash \backslash \mathrm{i}\mathrm{E}\text{理}\ovalbox{\tt\small REJECT} 5$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\text{線}$$\mathrm{F}_{\ovalbox{\tt\small REJECT}\subset \mathrm{J}}^{\mathrm{A}}$例. Airy 方程式 $\epsilon^{2}y’’=xy$ の場合, Stokes 曲線は $x=re_{\gamma}^{\pm\pi i/3}re^{\Uparrow\cdot i}(r\geq 0)$ の 3 本. これらの 2 本ではさまれた
角 $4\pi/3$ の角領域の 3 つが特性領域である. 複素平面 2 枚から成る Riemann 面で考えれば, 6 つある.

は次に述べるような 2 重漸近性 (double asymptotic property) を持つことが知られている (Evgrafov et at. [4], Fedoryuk[6]):WKB 近似解定理 3.1.
近似画$\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon)$(3.6)$\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon)$をそれぞれ (3.1) の WKB 近似解特性領域とする. この , WKBが存在して, 次の 2 重漸近性が成り立つ :を漸近展開とする (3.1) の真の解$\mathrm{B}_{\backslash }\not\equiv$$\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon),$$\prime D^{can}$$y^{\pm}(x, \epsilon)$$y^{\pm}(x, \epsilon)\sim\tilde{y}^{\pm}(x, \epsilon)$$xarrow\infty$$(x\in D^{can}’, 0<c.<1)$$\in\prec 0$$(x\in D^{\mathrm{c}^{r}an}/, 0<\epsilon<1)$

.

$\{$

WKB 近似解は不確定特異点 $(x=\infty)$ と転移点の両者に関して漸近展開になっている. もし,集合の can が有界である場合は当然第 1 の漸近関係は存在しない.

33. \S 3.1 から, (2.5) の外部 WKB 近{ ,のような形を持つ :はそれぞ$1\backslash \mathrm{J}$$\hslash\not\in\tilde{?}J_{out,j_{\hat{k}}}^{\pm}(x, \epsilon)$, また, (2.7) の$\text{内_{}r\mathit{1}}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }$WKB 近似解$\text{れ}\backslash JR$$\tilde{y}_{in,j_{\dot{k}+1}}^{\pm}(t, \epsilon)$$\exp(\pm\frac{2\sqrt{a_{j_{\hat{k}}}}}{\epsilon^{h-j_{\hat{k}}/2}}\frac{x^{(m_{j_{\grave{k}}}.+2)/2}}{m_{j_{\hat{h}}}+2})$

(3.7)

(3.8)

.

,

$\tilde{y}_{out,\dot{g}_{\hat{k}}}^{\pm}.(x, \epsilon):=\frac{1}{\sqrt[4]{a_{j_{\dot{k}}}x^{j_{\dot{k}}}}}$$\tilde{y}_{in,j_{\hat{k}+1}}^{\pm-}(t, \epsilon):=$$\exp(\pm\frac{1}{\epsilon_{j_{k+1}^{\mathrm{A}}}}\int_{a}^{t}\sqrt{Q_{j_{\hat{k}+1}}.(t)}dt)$$(Q_{j_{\hat{k}+1}}(a)=0)$.

1BO
内部 WKB 近似解 (3.8) は次の性質を持つ:$(tarrow\infty)$$\frac{1}{\sqrt[4]{a_{j_{\hat{k\backslash }}}t^{j_{\dot{k}}}}}\exp(\pm\frac{2\sqrt{a_{j_{\dot{h}}}}}{\epsilon_{j_{\hat{\mathrm{t}}+1}}}.\frac{t^{(m_{\mathrm{j}_{\hat{k}}}+2)/2}}{m_{j_{\dot{k}}}.+2})$

li\pm n,j 糾$(3.8)’$$(t, \epsilon)\sim\{$1$(tarrow 0)$$\exp(\pm\frac{2\sqrt{a_{j_{\hat{k}+1}}}}{\epsilon_{j_{\hat{k}+[perp]}}}.\frac{t(m_{j_{\hat{k}+1}}+2)/2}{m_{j_{\dot{k}+1}}.+2})$

ここで,$j_{\hat{k}}$十$l_{\hat{k}}=j_{\hat{k}+1}$,

であることに注意する.

$m\mathrm{i}_{\dot{h}}-l_{\hat{k}}\cdot\alpha_{j_{\dot{k}}}^{-1}=mj_{\hat{k}+1}$

したがって, 定理 3.1 から次の定理を得る :定理 32.
と$\prime D_{out}^{can}$(2.7) の真の解

(3.9)

を (2.5) の,$y_{\mathrm{i}n,j_{\dot{k}+1}}^{\pm}(t, \epsilon)$$D_{in}^{can}$を (2.7) の$\text{特}1\not\subset \text{領域}$とする. この時 (2.5)の解$\mathit{0}3_{\nearrow\backslash }^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}$$y_{out,j_{\hat{k}}}^{\pm}(x, \epsilon)$が存在して次の漸近関 ffi‘x が成り立つ :$y_{out,j_{\tilde{k}}}^{\pm}(x, \epsilon)\sim\overline{y}_{out,j_{\lambda}}^{\pm}(x, \epsilon)$$(\epsilonarrow 0(x\in D_{out}^{can}’, 0<\epsilon<1))$,$t-+\infty(t\in D_{\mathrm{i}n}^{can}, 0<\epsilon<1)$(3.10)$y_{in,j_{\hat{k}+1}}^{\pm}(t, \epsilon)\sim\tilde{y}_{\mathrm{i}n,j_{\hat{k}+1}}^{\pm}(t, \epsilon)\{$$\epsilonarrow 0$$(t\in D_{in}^{can}, 0<\epsilon<1)$. すは 1 つ\sigma |)t‘‘\Re 近関係 (3.9) だけを持つことににおいて, WKB 近似解が有界であるからである.
る. それは (定理 31 に述べられているように) xx 平面上の領域
この–$\backslash /^{\backslash }3\mathrm{i}_{r}^{\mathrm{B}}\mathrm{f}\mathrm{f}$$i\overline{\mathrm{k}}\text{理}$$\tilde{y}_{out,j_{\hat{k}^{\tau}}}^{\pm}(x, \epsilon)$$D\mathrm{H}_{ut}^{an}$\S 4.

matching matrix の形式的な計算.

4.1. 2 つの微分方程式 (2.5) と (2.7) は見かけ上かなり複雑に見える. それらの本質を理解するため, ここでは, 本質を保ちつつ簡単な形に見える微分方程式について考察しよう. そのために,
特性多角形の 1 本の線分の上にある端点を含むすべての点に対応する項をすべて持つ次の微分方
程式$\epsilon^{2h_{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}}=Q(x, \epsilon)y$

(4.1)

$\{$

$Q(x, \epsilon):=\sum_{l=0}^{\alpha(M-m)}a_{l}\epsilon^{l}x^{M-l\cdot\alpha^{-1}}$$(a_{0}\neq 0, a_{\alpha\langle M-m)}\neq 0;h, \alpha, M, m\in \mathrm{N};M>m)$について, その外部解と内部解の関係式である matehing matrix を形式的に計算する方法を説明を次のように書き直しよう. (1.1) は特性多角形の各線二上では (4.1) の形をしている.
そう :$Q(x, \epsilon)$$Q(x, \epsilon)$$(4.1\rangle’\{$$:= \sum_{j=M}^{m}\hat{a}_{j}\epsilon^{\alpha(M-j)}x^{j}$$=ax^{M}+\cdots+a’\epsilon^{\alpha(M-M’)}x^{M’}+\cdots+b’\epsilon^{\alpha(Mrightarrow m’)}x^{m’}+\cdots+b\epsilon^{\alpha(M-m)_{X}m}$$(a\neq 0, b\neq 0_{\}}.

M, M’, m’, m\in \mathrm{N};M>M’>m’>m)$\S 2 と同様な単純化を行うことによって次の 2 つの優勢 ($\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}\dot{)}$微分方程式を得る. いずれも外部方程式である:$2hd^{2}y$$(4.2)_{out,1}$$(4.2)_{out,2}$$\in$$\overline{dx^{2}}=ax^{M}y$$(\epsilonarrow 0, x :$\epsilon^{2h-\alpha(M-m)}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=bx^{m}y$\dot{K}\epsilon^{\alpha}\leq|x|(\leq\dot{k}\epsilon^{\alpha’}))$$(\epsilonarrow 0, x :,(\dot{K}\epsilon^{\alpha’’}\leq)|x|\leq\dot{k}\epsilon^{\alpha})$

.

161
定数

$\alpha’$と$\alpha’’$拡大変換

は $\alpha’<\alpha<\alpha’’$ を満たし,$x=t\epsilon^{\alpha}$$\dot{k}$はそれぞれ十分大きい, 小さい定数である.

によって (4.1) は$\epsilon^{2h-\alpha(M+2)}.\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=Q(t)y$$(4.3)_{in}$と$\dot{K}$$(\dot{k}\leq|t|\leq\dot{K})$$\{$$Q(t):=at^{M}+\cdots+a’t^{M’}+,$ ,. $+b’t^{m’}+$$\cdots+bt^{m}\sim\{at^{M}bt^{m}(tarrow\infty)(tarrow 0)$

これは内部方程式である. 内部解 (内部方程式の解) と外部解 (外部方程式の解) を接続を拡大内部領域の有界な内部領域(matching) する (\S 4.4) ためには,となる.

$\dot{k}\leq|t|\leq\dot{K}$$(4.3)_{\mathrm{i}n}$の 嫁 $0<|t|<\infty$$(4.3)_{in}’$$\mathrm{i}$を定め, そこで内部解を求めなければならない. 本に拡張して, この中に (4.3):n の特性領域の来の内部領域と外部領域は境界を共有するだけで, 内点を共有しない. 接続するためには, 内点を共有する必要がある (cf. (4.8), (4.15)).
$\check{\iota}ncan$

また, Stokes 曲線とのf ま非有界単domain)(canonicaltt
平面上の特性領域
曲線の本数も有限である.
anti-Stokes$(:=\int_{a}^{t}.\sqrt{Q(t)}dt,
Q(a)=0)$によって\mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面全体に写される.
連結集合で, それは写像 $\xi=\xi(a,$ }
ただし, \mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面上で, 転移点の像から出て虚軸と平行で無限遠点に向かう (一般には, いく本かあの境界の一部分の像である.
る) 半直線を除く. この半直線は無限遠点 $t=\infty$ は $M$ 位の不確定特異点であるから, $M+2$ 本の Stokes 曲線と $M+2$ 本の
anti-Stakes 曲線が $t=\infty$ から出る. $t=\infty$ から出る Stokes 曲線は転移点に向かう. 転移点から出る Stokes 曲線は他の転移点に向かうか $t=\infty$ に向かうかのどちらかである (\S 3.2).
の託る転移点の \mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面上の像から出て実軸と平行な直線の中にそれに沿って $tarrow\infty$ の三
等
(
または
,
に増加するものがある. この半直線の tt 平面上における逆像は anti-Stokes
値が
に
の値が一
高線) である. これを \gamma +、とする. また, \mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面上の他の直線上で $tarrow\infty$ の時
である
.
等高線
)
減少するものがある. この半直線のか平面上における逆像は anti-Stokes (または,とする.
これを$t=0$ は $(4.3)_{in}$ の転移点 ( $(4.1)$ の準転移点) であり, その位数は $m$ であるから $m+2$ 本のStokes 曲線と $m+2$ 本の anti-Stokes 曲線が出る. したがって, 弱る転移点の \mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面上の像からの時の値が 0 に減少するものがある. この出て実軸と平行な直線の中にそれに沿ってとする. また,
等高線) である. これを(または,半直線の tt 平面上における座像は anti-Stokes
tt 平面上この半直線のに増加するものがある
.
の時
の値が
0
\mbox{\boldmath $\xi$}\mbox{\boldmath $\xi$}平面上の他の直線上でとする.
における逆像は anti-Stokes(または, 等高線) である. これをのような曲線を (何本か) 含む. また, -\Re \iota ’u に特性領と内部領域 $(4.3)_{in}’$ は非有界でとして採用することにする.
本の曲線を含むものを
特にこれら
4
域は幾つかあるから,の外部は $(4.2)_{out.1}$$(4.2)_{oul,2}$の外部領域とは共通部分がある. 曲線$(4.2)_{oul,1}$と,と,42. (4.3):n の係数は多項式であるから転移点の個数は有限個である.

$i?tcan$$t$$D_{in}^{can}$$\Re\xi$$+\infty$$\infty$$\Re\xi$$\gamma_{-\infty}$$tarrow \mathrm{O}$$\Re\xi$$\gamma_{+}0$$tarrow \mathrm{O}$$\Re\xi$$\gamma_{-}0$$\gamma\pm\infty$$\gamma\pm 0$$D_{\mathrm{i}n}^{can}$$\gamma\pm\infty$$D_{\mathrm{i}n}^{\mathrm{c}an}$の両側にある Stokes 曲線の片方の延長線はこの外部領域の特性領領域に続いている. 曲線
は $(4.2)_{oul,2}$
域 (有界) の境界であり, 外部方程式 $(4.2)_{out,1}$ の Stokes 曲線である. また, 曲線
曲線のの両側にある
Stokes曲線に続いている.
の外部領域 (これは $x=0$ に近い方にある)$\gamma\pm\infty$$\gamma\pm 0$$\gamma\pm 0$

片方の延長線は外部領域 (有界) の特性領域の境界である. この延長線は外部方程式 $(4.2)_{out,2}$ のStokes 曲線である,

43. 微分方程式.

$(4.2)_{olLt,1}^{WKB}$$(4.2)_{out,2}^{WKB}$

$($

4.

$3)_{in}^{WKB}$$(4.2\grave{)}_{out,j}., (4.3)_{\mathrm{i}n}$の WKB 解は, 定義 (\S 3.1) によって, 次の通りである;$\tilde{y}_{ou8,1}^{\pm}(x, \epsilon):=\frac{1}{\sqrt[4]{ax^{M}}}\exp(\pm\frac{\sqrt{a}}{\epsilon^{h}}\frac{2}{hI+2}x^{(M+2)/2})$,,$\tilde{y}_{out,2(X,\mathcal{E})}^{\pm}:=\frac{1}{\sqrt[4]{bx^{m}}}\exp(\pm\frac{\sqrt{b}}{\epsilon^{h-\alpha(M-m)/2}}\frac{2}{m+2}x^{(m+2)/2})$$\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{\pm}(t, \epsilon)$$:= \frac{1}{\sqrt[4]{Q(t)}}\exp(\pm\frac{1}{\epsilon^{h-\alpha(\mathrm{J}\vee I+2)/2}}\int_{0}^{t}\sqrt{Q(t)}dt)$

.

162
また,

.

$(4.3)_{\mathrm{i}n}^{WKB}$の漸近性は, 容易に分かるように, 次の通りである:$(tarrow\infty)$$\frac{1}{\sqrt[4]{at^{M}}}\exp(\pm\frac{\sqrt{a}}{\epsilon^{h-\alpha(M+2)/2}}\frac{2}{M+2}t^{(M+2)/2})$(4.41,.

$\tilde{y}_{in}^{\pm}(t, \epsilon)\sim\{$$\frac{1}{\sqrt[4]{bt^{m}}}\exp(\pm\frac{\sqrt{b}}{\epsilon^{h-\alpha(M+2)/2}}\frac{2}{m+2}t^{(m+2)/2})$$(tarrow 0)$のべき指数 $(M+2)/2$ と $(’4.4)$ の $tarrow\infty$ の時の のべきの $\exp$ 部分の
ここで,のべき指数 $(m+2)/2$ と (4.4) の $tarrow 0$ の時の指数が一致すること, $(4.2)_{out,2}^{WKB}$ の $\exp$ 部分ののべき指数が一致すること に注意する.
$t$

$x$

$(4.2)_{ou}^{w^{r}}\mathrm{j}\mathrm{s}^{\mathrm{B}}$

$x$

$t$

44. 外部 WKB 近似解と内部 WKB 近似解をベクトルの形で次のように表そう:$[\tilde{O}_{j}]:=$$(4.5)_{out,j}$$(4.5)_{in}$$:={}^{t}[\tilde{y}_{in}^{+}(t, \epsilon),\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{-}(t, \epsilon)]$$[\tilde{I}]$次に, 2 組の解$[\tilde{O}j],$$[\tilde{I}]$$(j=1,2)$ ,${}^{t}[y_{out}^{+}J^{x,\epsilon}), ’\tilde{y}_{out,j}^{-}(x, \epsilon)]$.

を接続する matching matrix$\tilde{M}_{j}:=l|/I[\tilde{O}_{j},\tilde{I}](j=1,2)$$(4.6)_{j}$を$\tilde{M}_{j}\cdot[\tilde{O}_{j}]\sim[\tilde{I}]$$(4.6)_{j}’$と$\text{定}\prime \text{義}.garrow$る,$\tilde{\acute{\mathrm{x}}}\mathrm{f}u$め$f^{r}.,\tilde{M}_{1}$を$\equiv-+\mathrm{p}\Leftrightarrow\wedge 1,$$a \frac{\tilde{y}_{out,1}^{+}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{in}^{+}(t,\epsilon)}$

(4.7)

よう.

$+$

$\tilde{M}_{1}:=\{\begin{array}{ll}a bc d\end{array}\}$

.

$x$

と

の関係は拡大変換

$t$

(4.8)

$x=t\epsilon^{\alpha}$$x;=r/\epsilon^{\alpha-\beta},$と置く事が出来る. すると,の時$\epsilonarrow 0$$xarrow \mathrm{O}$

かっ

$x$

.

1

であるから

$t:=\eta\epsilon^{-\beta}(0<\beta<\alpha, |\eta|=1)$

は外部領域$tarrow\infty$と置くと, $(4.6)_{1}’$ より次が成り立つ ;$(\epsilonarrow 0)$$+d \frac{\tilde{y}_{out,1}^{--}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{-}(t,\epsilon)}$$c \frac{\tilde{y}_{out,1}^{+}(x,\epsilon)}{\overline{y}_{i7\mathrm{A}}^{-}(t,\epsilon)}$,1$b. \frac{\tilde{y}_{oub,1}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{+}(t,\epsilon)}$$\{$2 つの変数$\{\epsilonarrow 0^{\backslash })$$\{x:\dot{K}\epsilon^{\alpha}\leq|x.|\}$となる. WKB 近似解の

$x$

と

に,
$t$

$t$

は拡大内部領域のを代入すると$D_{in}^{can}$に属し,(こ (4.8)$\tilde{y}_{out,1}^{\pm}(x, \epsilon)=\frac{1}{\sqrt[4]{a(\eta\epsilon^{\alpha-\beta})^{\psi f}}}\exp(\pm\frac{2\sqrt{a}}{M+2}\eta^{(M+2)/2}\epsilon^{-\hat{g})}$

(4.9)

$\{$

$\tilde{y}_{in}^{\pm}(t, \epsilon)\sim\frac{1}{\sqrt[4]{a(\eta\epsilon^{-\beta})^{M}}}\exp(\pm\frac{2fa}{\mathrm{A}l+2}\eta^{(M+2)/2_{\mathcal{E}}-\hat{g})}$$(tarrow\infty)$

であるから,$(4.10)_{1}$$\frac{\tilde{y}_{out,1}^{+}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{in}^{+}(t,\epsilon)}=\epsilon^{-\alpha M/4}\exp(0)$が成り立つ. また, (4.9) の $\exp$ 部分のの時から,$\epsilon$のべき指数 $\hat{g}:=h-(\alpha-\beta)(M+2^{\cdot})/2$ が正であること$\epsilonarrow 0$$(4.10)_{2}$$\frac{\tilde{y}_{out,1}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{in}^{+}(t,\in)}=\epsilon^{-\alpha M/4}\exp(-\frac{4\sqrt{a}}{M+2}\eta^{(M+2)/2_{\mathcal{E}}-\hat{g})}arrow\infty$$(\Re\eta<0)$183が成り立つ. ただし, 新しいパラメーター
において, 十分大きは, $(4.3)_{in}$ の特性領域なに対して $\arg\eta=\arg\gamma_{-\infty}$ であるように選ぶ (cf. \S 4.2.). 言い換えれば, anti-Stokes 曲線に沿って $tarrow\infty$ となるようにするのである. 同様にして次が成り立つ :$D_{\mathrm{i}n}^{\mathrm{c}ar\iota}$$\eta$$|t|$$\gamma_{-\infty}(\in D?\mathit{8}^{n}.)$$(4.10)_{3}$$\frac{\tilde{y}_{out,1}^{+}(x,\sigma)}{\tilde{y}_{in}^{-}(t,\epsilon)}.=\epsilon^{-\alpha hI/4}\exp(\frac{4\sqrt{a}}{M+2}\eta^{(M+2)/2}\epsilon^{-\hat{g}})arrow\infty$.

に対して .arg
ih 上のものとは違って, 特性領域つ incan に属する十分大きなに沿って $tarrow\infty$ とするのであととる. 言い換えれば, anti-Stokes 曲線

ただし, ここの$\arg\gamma+\infty$$(\Re\eta>0)$$|t|$$\eta$$\eta=$$\gamma+\infty(\in D_{\mathrm{i}n}^{can})$る. また,$(4.10)_{4}$$\frac{\tilde{y}_{out,1}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{-}(t,\epsilon)}=\epsilon^{-\alpha M/4}\exp(0)$であるから, (4.7) は. oo$\sim 1$

$c\cdot\infty+d\cdot\epsilon^{-\alpha M/4}$$\sim 1$

$a\cdot\epsilon^{-\alpha M/4}+b$(4.11)$\{$となり, したがって$(4.11)’$$c\sim 0,$$b\sim 0,$$a\sim\epsilon^{\alpha \mathit{1}\mathfrak{l}/I/4},$$d\sim\epsilon^{\alpha M/4}(\epsilonarrow 0)$

が成り立ち, これから

(4.12)$\mathrm{J}\tilde{\prime}I_{1}$$=\epsilon^{\alpha M/4}E$を得る. ここで, $E$ は単位行列である.

45

もう一つの matching matrix$\dot{M}:=M[\tilde{I},\tilde{O}_{2}]$を計算しよう.

この行列$l\dot{\downarrow/I}$

は [(4.13)$\tilde{I}\rceil’$と$[\tilde{O}_{2}]$を接続するもので$(\epsilonarrow 0)$$\dot{M}\cdot[\tilde{I}]\sim[\tilde{O}_{2}]$なる関係を満たす行列である, 関係式 (4.13) を$(4.13)’$$\dot{M}^{-1}\cdot[\tilde{O}_{2}]\sim[\tilde{I}]$$(\epsilonarrow 0)$,と書き直すと$\dot{M}^{-1}=\tilde{M}_{2}$であるから$\{\begin{array}{ll}a bc d\end{array}\}$$\tilde{M}_{1}$を計算する方法とまったく同じ方法でと置くことにする.

$+b \frac{\tilde{y}_{out,2}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{in}^{+}(t,\epsilon)}$

$x$

と

$t$

は

$(\epsilonarrow 0)$$x=t\epsilon^{\alpha}$(4.15)$f^{r}+_{\backslash }\text{式^{}\backslash }$$+d \frac{\tilde{y}_{out,2}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{z}n}^{-}1(t,\epsilon)}$なる関係 (拡大変換) がある.

$x:=\eta\epsilon^{\alpha+\beta},$$t:=\eta\epsilon^{\beta}$$\mathit{1}\dot{\mathfrak{l}’I}^{-3}:=$が成り立つ :

1$\{$

$c \frac{\tilde{y}_{out,2}^{+}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{i7b}^{-}(t,\epsilon)}$2 つの変数を求めることができる. 再びしたがって, (4.7) と同じ形をした次の関$a \frac{\tilde{y}_{out,2(X,\mathcal{E})}^{+}}{\tilde{y}_{\mathrm{i}^{r}n}^{+}(t,\epsilon)}$(4.14)$\dot{M}^{-1}$.

1
今度は, 前と違って(\mbox{\boldmath $\alpha$}>\beta >O 可\eta | $=1$ )に,が ( $x=0$ に近い方の) 外部領域と分ける. すると, 容易に分かるように
近似解の
である
.
また
となり
,
WKB
の長
に属し,
は拡大内部領域の$\{x:|x|\leq\dot{k}\epsilon^{\alpha}\}$$x$$D_{\mathrm{i}n}^{can}$$\epsilonarrow 0$$xarrow \mathrm{O}$$tarrow \mathrm{O}$

$t$

184

$x_{7}t$に (4.15) を代入すると$\tilde{y}_{out,2}^{\pm}(x, \epsilon)=\frac{1}{\sqrt[4]{b(\eta\epsilon^{\alpha+\beta})^{m}}}\exp(\pm\frac{2\sqrt{b}}{m+2}\eta^{(m+2)/2^{\cup}}\epsilon^{-g})$(4.16)$\{$$(t\prec 0)$$\tilde{y}_{in}^{\pm}(t, \epsilon)\sim\frac{1}{\sqrt[4]{b(\eta\epsilon^{\beta})^{m}}}\exp(\pm\frac{2\sqrt{b}}{m+2}\eta^{(m+2)/2_{\mathcal{E}}-\dot{g})}$であるから,$\frac{\tilde{y}_{out,\sim}^{+},(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{+}(t,\epsilon\}}=\epsilon^{-\alpha m/4}\exp(0)$$(4.17)_{1}$が成り立つ. また, (4.16) の $\exp$ 部分の のべき指数か $=h-\alpha(M+2)/2-\beta(m+2)/2$ が正での時次の関係式が成り立つ :あることから,$\epsilon$$\epsilonarrow 0$$(4.17)_{2}$$\frac{\tilde{y}_{out,2}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{+}(t,\epsilon)}=\epsilon^{-\alpha m/4}\exp(-\frac{4\sqrt{b}}{m+2}\eta^{(m+2\}/2}\epsilon^{-\dot{g}})arrow\infty$$(\Re\eta<0)$.
.

同様にして次が成り立つことが分かる :のである.
$(4.17)_{3}$$(\Re\eta>0\epsilonarrow 0)$$\frac{\tilde{y}_{out,2}^{+}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{\mathrm{i}n}^{-}\{t,\epsilon\rangle}.=\epsilon^{-\alpha m/4}\exp(\frac{4\sqrt{b}}{m+2}\eta^{(m+2)/2}\epsilon^{-\dot{g}})arrow\infty$.

に対して $\arg\eta=$ ばに属する十分小さな
ただし, ここのパラメーター は, 特性領域となるよ に, 選ぶのであであるように, 即ち, anti-Stokes 曲線 $\gamma+0(\in D_{in}^{can})$ に沿ってる. また,$|t|$$D_{\mathrm{i}n}^{can}$$\eta$$\mathrm{g}$$tarrow \mathrm{O}$$(4.17)_{4}$$\gamma+0$$\check{\eta}$$\frac{\tilde{y}_{out,2}^{-}(x,\epsilon)}{\tilde{y}_{in}^{-}(t,\epsilon)}=\epsilon^{-\alpha m/4}\exp(0)$であるから, (4.14) は(4.18)となり,$a\cdot\epsilon^{-\alpha m/4}+b\cdot\infty$$\sim 1$

$c\cdot\infty+d\cdot\epsilon^{-\alpha m/4}$$\sim 1$$\{$

したがって,$a\sim\epsilon^{\alpha m/4},$$(4.18)^{/}$$b\sim 0,$$c\sim 0,$$d\sim\epsilon^{\alpha m/4}(\epsilonarrow \mathrm{O})$が成り立つことから(4.19)$\dot{M}^{-1}=\epsilon^{\alpha m/4}E$と(4.20)$\dot{M}=\epsilon^{-\alpha m/4}E$が得られる. 以上をまとめて, 次の定理を得る :をの特性領域であるとする. 3 つの解 $(4.5)_{out,j},$定理 4.1.
によって定義される次の matehing matrix によって関係付けられる :$D_{\mathrm{i}n}^{\mathrm{C}^{l}an}$(4.21)$(4.3)_{\overline{\iota}n}$$\tilde{M}_{1}=\epsilon^{\alpha M/4}E$,$\tilde{M}_{2}=\epsilon^{\alpha m/4}E$,$\dot{M}=\epsilon^{-\alpha m/4}E$$(4.5)_{\mathrm{i}n}$は (4.6)j, (4.13).

が成り立つことに注意する, 上の matching matrix は拡大変換 (stretching transfor注意. 関係式との最初と最後の項の のべき指数の値 $(M, m)$ によって与えられる. 最mation) の のべき指数の値
初の項と最後の項は特性多角形 (の 1 つ) の線分の端点に対応する項である (cf. Nakano [22] の \S 7).
$\tilde{M}_{2}=\dot{M}^{-1}$$\epsilon$$(\alpha)$$Q(x,\epsilon)$

$x$

165
方程式 (1.1) の matching matrix.

\S 5.

51. 単純化された微分方程式 (2.5) と (2.7) は 1 つの方程式 (1.1) から漸近的に導かれたものであるから, それらの解の間には線形関係がある. その線形関係は \S 4 で示されたように matching
matrix で表される.
する. それらに \Gamma 1L‘J‘-する WKB
を (2.7) の真のの角 ,を (2.5)$\sigma \mathrm{z}\text{真}$$y_{out,j_{\hat{k}}}^{\pm}(x, \epsilon)$$\text{と}$$\not\in$$.n_{\backslash }$$y_{in,j_{\hat{k}+1}}^{\pm}.(t, \epsilon)$

近似解はそれぞれ (3.7) および (3.8) である. ベクトルの形の解を:=t[yA\sim t,7 る$[O_{j_{\dot{k}}}]$$(x_{7}\epsilon)$,$y_{out,j_{\overline{k}}}^{-}$$(x,$$\epsilon)$],$[I_{j_{\hat{k}+1}}]:={}^{t}[y_{\mathrm{i}n,j_{\hat{h}+1}}^{+}(t, \epsilon), y_{in,j_{\hat{k}+1}}^{-}.(t, \epsilon)]$と置くと, 次の matching matrix を得る:に接続する matching matrix
解 [O 九] を解り次式で定義されるものとする :定理 51.

$[Ij_{\hat{k}+1}]$(5.1)$M[O_{j_{\hat{L}}}.’

I_{j_{\hat{k}+\text{、}}}.][O_{j_{C}}]=[I_{j_{\hat{k\wedge}+1}}]$$lf’I[Oj_{\hat{k}}, Ij_{k+1}^{\mathrm{A}}]$は 2$\mathrm{x}2$

行列であ

.

この時, この matching matrix は次式で与えられる:(5.2)$M[O_{j_{\hat{k}}}.’

また, もう 1 つの$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{c}.1_{1}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$$(5.2)’$

matrix$M[I_{j_{\hat{k}+1}}.’である.

$(\epsilonarrow 0)$

I_{j_{\hat{k}+t}}]\sim\epsilon^{\alpha_{j_{\hat{k}}}.m_{j_{\hat{h}}/4}}E$.

$M[Ij_{\hat{k}+1}, Oj_{\hat{k}+1}][I_{j_{\hat{\mathrm{t}}+1}}.]=[Oj_{\hat{k}+1}]$

O_{j_{\hat{k}+1}}.]\sim\epsilon^{-\alpha_{j_{\dot{h}}}m_{j_{\hat{\mathrm{t}}+1}}./4}E$は$(\epsilonarrow 0)$(5.1) の真の解に, それらに対応する WKB 近似解を代入すると, 漸近関係式

証明.

(5.3)

$\{\begin{array}{ll}a bc d\end{array}\}\ovalbox{\tt\small REJECT}\tilde{y}_{outj_{\hat{k}}}^{-}.(x’, \epsilon)\tilde{\mathrm{e}}J_{out,j_{\hat{k}}}^{+}(x,\epsilon)\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\sim$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\tilde{y}_{in,j_{\dot{k}+1}}^{-}\langle t,\epsilon)\tilde{y}_{\mathrm{i}n,j_{\grave{h}+1}}^{+}(t,\epsilon)\ovalbox{\tt\small REJECT}$$(\epsilonarrow 0)$が成り立つ. ここで$M[O_{j_{\hat{h}}}, I_{j_{\dot{h}+1}}]:=\{\begin{array}{ll}a bc d\end{array}\}$と置いた. (5.3) を簡単に

(5.4)$\hat{M}\cdot[O_{j_{\hat{h}}}]\sim[\tilde{I}_{j_{\hat{k}+}},]$

と表そう

2

$(\epsilonarrow 0)$

ところで, (2.7) の係数はQ\sim ん+l

(5.5)

.

$(t)=a_{j_{k^{\circ}}^{\mathrm{A}}}y^{m_{j_{\hat{k}}}}+\cdots+a_{j_{\hat{k}+1}}y^{m_{i_{k+1}^{\mathrm{A}}}}$’(cf. (2.6)) である. そこで, 各定数 $aj,,$の関係は拡大変換
Q41)(cf.
を拡大変換のベキ指数を (4.1) における定数 $a,$ $M,$ $m$ に対応させ, また,に対応させることによって, 次式を得る :

であり,

$x$

と

$x=t\epsilon^{\alpha_{j}}\dot{k}$$t$$mj_{\hat{k}},$$\alpha$$b,$$\alpha j_{\hat{k}}$$m_{j_{\hat{k}+1}}$(5.6)$\lambda\tilde{/}I=\epsilon^{\alpha_{j_{\hat{k}}}m_{j_{\hat{k}}}/4}E$

全く同様にして, もう一つの matching(5.7)
を得る. ただし,$\mathrm{m}\mathrm{d}_{\mathrm{t}}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{x}$$\dot{M}\sim\epsilon^{-\alpha_{j_{\dot{k}}}m_{j_{\dot{k}+1}},/4}E$$\dot{M}$.

$(\epsilonarrow 0)$

は$(5.7)’$

で定義されるものである.

$\dot{M}\cdot[I_{j_{\hat{k}+1}}]=[O_{j_{\dot{k}+1}}]$

Q.E.D.

$aj_{\hat{h}+1}$

1B6
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