数理解析研究所講究録903 巻 1995 年 142-147

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DILATN19 TEX ;1995/02/0;3p-Dilatioについて$\mathrm{n}$岡安野田

山形大学理学部

1. T をヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素 (以後単に作用素という), U を $H$ を含むヒルベルト空間 K 上のユニタリ作用素とする. このときもしも$T^{m}=\rho PU^{m}|H(n=1,2, \cdots)$が成り立つならば, U は のユニタリ -dilation であるという. ただし,は正の実数, $P$ は $K$ から $H$ の上への直交射影, $S|H$ は作用素 S の H への制$T$$\rho$$\rho$

限である [10].

特に$I\{:=$$U^{m}H$$\vee$$m=-\infty$が成り立つとき $T$ のユニタリ$\rho_{- \mathrm{d}}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}U$は極小であるという. 極小ユニ-dilation はユニタリ同値を除いて–意に決まる.
うまでもなくユニタリ 1-dilation は通例のユニタリ dilation である.
ユニタリ -dilation をもつ作用素のクラスを . と書く.のスペク トル
作用素 がユニタリ -dilation をもつための条件は,$\mathrm{D}=\{z:|z|\leq1\}$の任意のの内部が閉単位円の中にあって,タリ$\rho$$\Pi=$$C_{\rho}$$\rho$$T$$T$$\rho$$\sigma(T)$$\mathrm{D}$2 に対して${\rm Re}((I- \overline{z}T)^{-1})\geq(1-‘\frac{\rho}{2})I$が成り立つことである; また, 任意の$z\in \mathrm{D}^{i}$に対して$(1- \frac{\rho}{2})|z|^{2}|T|^{2}+(\rho-1){\rm Re}(\overline{z}\tau)\leq I$$\mathrm{D}^{i}$143が成り立つことである [11, p.45].
ユニタリ dilatioll の概念の重要性は改めて指摘する迄もない. それは文字通り作用素論の基本のひとつである. しかしユニタリ -dilation につ$\rho$

いては “評価” は未だ確定していないといってよいであろう.

しかしその議論そのものはおもしろい.
ここではそのユニタリ2.

$T_{1}$,$T_{2}$,$\cdot$..,$\rho^{- \mathrm{d}}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$について考察する.

をヒルベルト空間 H 上の互いに可換な作用素の族とを, $H$ を含むヒルベルト空間 K 上の互いに可換なユニタ$T_{n}$

し,リ作用素の族とする. このときもしも$U_{1},$$U_{2},$$\cdots,$$U_{n}$$T_{1}^{\eta?1}\tau_{2}nx_{2}\ldots\tau^{m_{n}}n=\rho PU_{1}^{m_{1}}Um2\ldots U^{m_{n}}|2nH(m_{1}, m_{2}, \cdots, m_{n}=1,2, \cdots)$が成り立つならば, ユニタリ作用素の族$T_{2},$$\cdots,T_{n}$$U_{1},$$U_{2},$$U_{n}$$\cdots,$は作用素の族$T_{1}$,の同時ユニタリ -dilation であるという (ことにする).
$\rho$

特に$K=.. \bigvee_{m-}m_{1},m_{2},\cdot\infty,n=\infty U_{1}m_{1}U_{2}^{m}2\ldots U_{n}^{m_{n}}|H$$T_{2,n}\ldots,$ のユニタリ,-dilationが成り立つとき作用素の四は極小であるという. 極小ユニタリ -dilation はユニタリ同値を除いて意に決まる.
$T_{1},$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$T$$U_{1},$$\rho$$U_{2},$$\cdots$$\rho$

同時ユニタリ 1-dilation が同時ユニタリ dilation であることは勿論である.

作用素の族が同時ユニタリ dilation をもつことと, それが “行列タイプの” 多変数の von Neumann の不等式を満たすことは同値である. すな$T_{2,n}\ldots,$ が同時ユニタリ dilation をもつための必要
わち, 作用素の族$T$$T_{1},$

十分条件はトーラス$P(\mathrm{T}^{n})$$\mathrm{T}$の直積 Tn 上の複素係数の ($n$変数) 多項式の全体から $B(H)$ への写像$\phi$: $p=p(z1, z, \cdots, z)narrow p(\tau_{1}, T_{2}, \cdots T_{n}f)$が完全縮小写像であることである. 換言すると,る任意の $m\cross m$ 行列 ($p\ovalbox{\tt\small REJECT}$$P(\mathrm{T}^{n})$の要素を要素とすに対して$||(p_{i}j(T_{1}, T2, \cdots, \tau_{n}))||\leq||(_{Pi}j)||=\sup_{\mathrm{T}z_{1},,z_{2},\cdots,Zn\in}||(pij(Z1, \mathcal{Z}, \cdots, zn))||$

が成り立つことである [6], [7], [8].

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しかしながらこの主張は, ユニタリ -dilation についても, von Neumann の不等式をうまく変形すればそのまま成り立つことがわかる.
$\rho$定理 1. ヒルベルト空間 H 上の互いに可換な作用素の族$T_{1}$,$T_{2},$.

$T_{/\overline{\iota}}$$\cdots,$の直が同時ユニタリ -dilation をもっための必要十分条件はトーラスから $B(H)$ への写像
積 “上の複素係数の ( 変数) 多項式の全体$\mathrm{T}$$\rho$$\mathrm{T}$$P(\mathrm{T}^{n})$$\uparrow 1$$p=p(z_{1}, Z2, \cdots, z_{n})arrow p(T_{1}, \tau_{2}, \cdots, \tau n)+(\rho-1)p(0,0, \cdots, 0)I$を とおくとき$\phi$$\rho^{-1}\phi$が完全縮小写像であることである. 換言すれば,の要素を要素とする任意の$m\cross\gamma\eta$

行列$(p_{ij}.)$($7n$$P(\mathrm{T}^{n})$も任意) に対して$||(_{\mathrm{P}ij}(\tau 1, T2, \cdots, \tau_{n})+(\rho-1)pij(0,0, \cdots, 0)I)||\leq\rho||(p_{\dot{l}}j)||$が成り立つことである.
このことは同時ユニタリ dilation の場合と本質的に同様に示される.
先ず, $H$ を含むヒルベルト空間 $K$ とその上の互いに可換なユニタリ作
用素の族$U_{1}$,$U_{2}$, .
$\cdot$.,$U_{n}$

が存在して$T_{1}^{m_{1}}T_{2}^{m_{2}}\cdots T_{n}^{m}n=\rho Pc^{\mathit{7}\eta}/U_{2}x_{1}m_{2}\ldots cI_{n}m_{n}|1H(m_{1}, m_{2,n}\ldots, \uparrow n=1,2, \cdots)$が成り立つとする. このとき T”’ 上の複素係数の,$z_{1}$,$z_{1}$,$z_{2}$,$z_{2},$$\cdots,$$z_{n}$, らを変数とする多項式 $p=p(z_{1,12,2,,n}z^{-}, zz^{-..-}., Z_{n}Z)$ に$p^{-1}(p(U_{1}, U12*, U, [f_{2}*, \cdots, \mathrm{r}\prime T_{n}, [I_{n}*)+(\rho-1)p(0_{\text{ノ}}\backslash 0, \cdots, 0)I)$$=\rho^{-1}p(U1, U1^{*}’ U_{2,2}U*, \cdots, Un\text{ノ}.U_{n}^{*})+(1-\rho^{-1})p(0,0, \cdots, 0)I$を対応させる写像\psi (well-defined である) は完全縮小写像であることがわ
かる. したがって$\rho^{-1}\emptyset=P\psi()|H$も完全縮小写像である (なおこのとき \mbox{\boldmath $\phi$}の cb ノルム$||\phi||_{\mathrm{C}\mathrm{b}}$は\rho と–致している).
次に\rho -1\mbox{\boldmath $\phi$}が完全縮小写像であるとする. Arveson の拡張定理 [3] によの完全正値写像に拡大できる. Stinespring の表現定理 [9]
りそれは$C(\mathrm{T}^{n})$から Hilbert 空間 $K$ と,$C(\mathrm{T}^{n})$の*表現\mbox{\boldmath $\pi$} が存在して$\rho^{-1}\phi=P\pi()|H$145が成り立つ. そこで$U_{1}=7\Gamma(z_{1}),$$U_{2}=\pi(z_{2})$,$\cdot$..,$U_{n}=\pi(z_{n})$とおく. するとこれらの作用素は K 上の互いに可換なユニタリ作用素で定理の等式を満足することがわかる.

3. 同時ユニタリ dilation に関する安藤の 2 つの定理はたいへんよく知られている. その主張するところは, 互いに可換な縮小写像の組が同時ユニタリ dilation をもつこと [1], 縮小写像の 3 つ組で, そのどの 2 つも互いに可換であってそのどれか 1 つがほかの 2 つと複可換であるものが同時ユニタリ dilation をもつこと [2], である. ただし 2 つの作用素 , T が$S$複可換であるとは$ST=TS$ ,$S^{*}T=TS^{*}$が成り立つことを意味する.

安藤の 2 番目の定理は次のとおりに拡張された. すなわち, 同時ユニタリ dilation をもつ 2 つの互いに可換な縮小写像の族の, –方のそれぞれの作用素が他方のどの作用素とも複可換であれば, 2 つの族を併せた族は同時ユニタリ dilation をもつ [7]; cf. [6].

これを更にユニタリ -dilation に拡張しよう.
$\rho$..
$\sigma$.,,定理 2. ヒルベルト空間 H 上の 2 つの互いに可換な作用素の族がそれぞれ同時ユニタリ -dilation, 同時ユニタリと$S_{1},S_{2}$$S_{m}$$T_{1},$$T_{2},$$\cdots,$$T_{n}$$\rho$

それぞれがどの-dilation をもつとする. このときもしも,とも複可換であれば 2 つの族を併せた族, ..,は同時ユニタリ-dilation をもつ.
$S_{1},$$T_{1},$$T_{2}$$T_{1},$$T_{2},$$S_{2},$$\cdots,$$S_{m}$$S_{1},S_{2},$$T_{n}$$\cdot$$\cdots,$,$T_{1},$$T_{2}$$T_{1},$$T_{2},$$T_{7\iota}$$\cdot$$S_{m}$$p\sigma$. .,$\cdots,$$\cdots,$$T_{n}$$T_{n}$

が生成する von Neulnann 環を $A$ とする.

は極小同時ユニタリ$\sigma$-dilation$U_{1},$$U_{2},$$\cdot\cdot\ell,$$U_{n}$をもつ.

それが作用するヒルベルト空間を $K$ とし, H の K への埋蔵写像を $V$ とすが生成する von Neulnann 環を $B$ とする. このとき
る.
$U_{1},$$U_{2},$$\cdots,$$U_{n}$$[V^{*}BV]--K$ が成り立っている. また $V^{*}BV$ の交換子 $(V^{*}BV)’$ は $A$ の交換子 A’ を含む. したがって$S_{1},$$q=q(Z_{1}, z2, \cdots, Z_{n})\in P(\mathrm{T}^{n})$$S_{2}$,$\cdot$. .,$S_{m}$を含む.に$q(\tau_{1}, T_{2}, \cdots, T_{n})+(1-\sigma)q(0,0, \cdots, 0)I$

146を対応させる写像を$\phi_{2}$

とおくとき,$\rho^{-1}\phi_{2}$は unital な (1 を B こ写す) 完全縮小写像である. したがって再び Arveson の拡張定理によりそれはの完全正値写像に拡大できる. Stinespring の表現定理によってそれから$C(\mathrm{T}^{7\iota})$

得られるヒルベルト空間を極小化したものが $K$ であり,を極小化したもの\mbox{\boldmath $\pi$} による座標関数$z_{1},$$C(\mathrm{T}$[$z_{2,)}\ldots Z_{n}$ の像が$I_{1},$“$)$$U_{2}$の*-表現, ..,$\cdot$$U_{n}$である (とみなせる).

Arveson の定理 [3, Th.l 3.1] により, 任意の $S\in(V^{*}\mathcal{B}V)’$ に対して$\tilde{S}V=VS\text{を満たす}\tilde{s}\in$
は, (\mbox{\boldmath $\sigma$}弱位相に関して連続B’ が定まり, 写像な) 郭同型になる. –方 $p=p(w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m})\in P(\mathrm{T}^{m})$ に$()^{\sim}$$*-$$p(S_{1}, S_{2,m}\ldots, S)+(1-\rho)p(0,0, \cdots, 0)I$

は完全縮小写像である. よってを対応させる写像を\mbox{\boldmath $\phi$}1 とおくときともまた完全縮小写像である. ここでから $B(K)\otimes B(K)$ へのを同–視する. すると \psi \otimes \mbox{\boldmath $\pi$}は写像とみなせる. それは完全縮小写像になる.
は可換であるから単射的である. よって
ここで “ 大なた” を振るう.
半離散的である [4], [5]. つまり, 代数的なテンソル積 $B’B$ から $B(K)$ へ$\rho^{-1}\phi_{1}$$C(\mathrm{T}^{m+n})$$?^{\beta(\emptyset}=\rho^{-1}1())^{-}$$C(\mathrm{T}^{m})\otimes$$P(\mathrm{T}^{m+n})$$C(\mathrm{T}^{m})$$B$の自然な$*-$

準同型$\sum_{k}X_{k^{\otimes}}Y_{k}arrow\sum_{k}X_{k}Y_{k}$が C*環$B’ \bigotimes_{-}B$の $*-$ 準同型\mbox{\boldmath $\kappa$} に拡大できる.

$\uparrow\beta\overline{\mathfrak{G}}\pi$と の合成\mbox{\boldmath $\kappa$}$\kappa\nearrow$$\mathrm{o}(\tau\beta\otimes\pi)$はまた完全縮小写像になる. ところで任意の $r=r(w_{1}, w2, , . . , w\mathcal{Z}z7|\mathrm{t}’ 1,2, \cdots, z_{n})$$\in P(\mathrm{T}^{m+n})$に対して$(\rho\sigma)^{-}1(\Gamma(s1, s_{2}, \cdots, S_{m}, T1, \tau 2)\ldots, T)n$$+(1-\rho\sigma)r(0,0, \cdots, 0,0,0, \cdots, 0)I$$=P(\mathcal{K}\mathrm{O}(\psi\otimes\pi))(r)|H$であることがわかる. よって H ここれを対応させる写像は完全縮小写像であ$Tn$ は同時ユニタリ$S_{2)}\cdots,$-dilation
る. したがって$S_{1},$$S_{m},$$T_{1},$$\tau 2,$$\cdots,$$p\sigma$をもっことがわかる.
“なお, 最近, 定理 2 は上の おおなた” に頼らなくても証明出来ることがわかった.

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参考文献
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