数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 44-5144複素空間形の複素螺旋について

前田定連 (島根大学理学部)

はじめに.

次元 Kaehler 多様体、 $J$ と $<,$ $>$ をそれぞれ $M$ の複素構造とリーマンの弧長) を $M$ 上の $d(\leq 2n)$ 次の螺旋、 $\{V_{1}, \cdots, V_{d}\}$計量とする。 $\gamma=\gamma(t)$ ( :$M$を$n$$t$$\gamma$上のフレネ標構とするとき、我々はの複素れい率 (complex torsions)$\tau_{ij}(t)=<V_{i}(t),$$JV_{j}(t)>$$(1 \leq i<j\leq d)$ . Kaehler 多を次のように定義する:
を$\gamma$$\gamma$$\tau_{ij}(t)$様体上の螺旋の研究において複素れい率は重要な働きをする。 我々は、 すべての複素れい率がそれぞれ– 定である螺旋を複素螺旋 (complex helix) と呼ぶことにする。 論文 [3] において、「複素空間形 (即ち、 複素射影空間、 複素双曲空間または複素ユーク リッド空間) 内の任意の曲線が複素螺旋になるための必要十分条件は、が複素キリングベク トル場の積分曲線になることである。
」 が示されている。 これは、「実空間形内の任意の曲線が螺旋になるための必要十分条件は、がキリングベク トル場の積分曲線になることである。
」 と言う事実の complexverslon になっている。 このことからもわかるように複素空間形の幾何学において、 複素螺旋の研究は基本的なものの一つである。
本稿の主たる目的は、 複素空間形内の 3 次の複素螺旋全体の作る moduh を調べることにある。 1 次の螺旋は当然のことながら測地線である。 2 次の螺旋は通常、 円 (circle) と呼ばれる。 これら 1 次及び 2 次の螺旋は、 すべて複素螺旋である。 しかし、 3 次以上の螺旋の族では、 複素螺旋でないものが無数に存在する。
これを精密に述べると次元複素空間形では、 3 次の複素螺旋全体の成す moduli$n\geq3$
空間はのときは、 3 個の実数でパラメ トライズされ、 $n=2$ のときは、 2個の実数でパラメ トライズされる (参照 : 定理 5) 。これ以外の結果として 2 次元の複素空間形のすべての複素螺旋全体の成す moduli 空間を調べた (詳しくは、 定を参照)
理4
尚、本稿は T. Adachi との joint work を解説したものである。
$\gamma$$\gamma$$\gamma$$\gamma$$n$$\text{、}5$。

45

1. 複素螺旋の複素れい率.
まず、螺旋の定義を復習しよう。弧長 でパラメ トライズされた曲線が本来 次の螺旋 (a helix of proper order ) とは、 上の正規直交標構 $\{V_{1}=$$\gamma=\gamma(t)$

$t$

$d$

$d$

$\dot{\gamma},$$\cdots,$$V_{d}\}$と正数$k_{1},$$\cdots,$$k_{d-1}$$\gamma$. が存在して、$\gamma$が次の微分方程式系を満たすことを言う。

(1.1)$\nabla_{t}V_{j}(t)=-k_{j-1}V_{j-}1(t)+k_{j}V_{j+}1(t)$, $j=1,$$\cdots,$$d$に沿った共変微分を表す。 そして、 定数 $k_{j}(1\leq$がのフレネ標構と呼ぶ。 曲線$j\leq d-1)$ をの曲率、 $\{V_{1}, \cdots, V_{d}\}$ をが本来 $r(\leq d)$ 次の螺旋のことである。 こ次の螺旋 ( hehx of order ) とは$V\mathit{0}=Vd+1$

ここで、

で$\text{ _{}t}$は$\gamma$$d$$\gamma$$\gamma$$\gamma$$d$$a$$\gamma$(1. 1) において $k_{j}=0(r\leq j\leq d-1),$ $V_{j}=0(r+1\leq j\leq d)$ と考えることにする。 ここで、 Kaehler 多様体上の任意の螺旋は実解析的な曲線であるのときはことに注意。

複素れい率の定義より$|\tau_{ij}(t)|\leq 1$が常に成立しているが、 これから複素螺旋の曲率と複素れい率が満たすべき関係式を調べて見よう:.

(.1.1)- から複素螺旋の複素れい率を微分することにより$\frac{d}{dt}\tau_{ij}(\iota)=-k_{i}-1\mathcal{T}i-1,j(t)+ki\mathcal{T}_{i+}1,j(t)-k_{j}-1(t)\tau_{i},j-1(t)+kj\tau i,j+1(t)$,これより次の結果を得た :命題 1. Kaehler 多様体上の本来 d(:奇数) 次の複素螺旋の複素れい率は・ 次の関係式を満たす。
$\tau_{i,i2k}+=0$

for $i=1,2,$$k_{1^{\mathcal{T}}2d}=kd-1^{\mathcal{T}}1,d-1$$k_{1^{\mathcal{T}_{2j}+}}k_{j1,j}\tau+1=k_{jj-1}-1\tau 1,$$\cdots,$$d-2k;k–1,2,$$\cdots,$$(d-1)/2$ ,,for $j=3,5,$$\cdots,$$d-2$ ,

$k_{i-1}\tau_{i-}1,d+k_{d}-1\tau i,d-1=kiTi+1,d^{[ri}0=3,5,$ $\cdots,$ $d-2$,$\kappa_{-1^{T}i}-1,j+kj-1Ti,j-1=ki^{\mathcal{T}}i+1,j+kjTi,j+1$

for $i=2,3,$$\cdots,$$d-3,$ $j=i+2,$ $i+4,$$\cdots,$$d-1$ .

46

命題 2. Kaehler 多様体上の本来 $d(:\text{偶数})$ 次の複素螺旋の複素れい率は、 次の関係式を満たす。
$\tau_{i,i+2k}=0$

for $i=1,2,$,$\cdots,$$d-2k;k=1,2,$$\cdots,$$(d-2)/2$ ,$k_{1^{\mathcal{T}_{2d}=}}k_{d1^{T}1,d-}-1$$k_{1^{\mathcal{T}+}}2jkj^{T}1,j+1=k_{j}-1\tau 1,j-1f_{o\mathrm{r}j}=3,$$k_{i-1^{\mathcal{T}}i}-1,d+k_{d-1}\tau_{i,d1}-=k_{i^{T}i+1},d$for $i=2,4,$$\epsilon,$$\cdots,$$\cdots,$$d-1$ ,

$d-2$ ,

$k_{:-1^{\mathcal{T}}i-1},j+k_{j-1i}\tau,j-1=k;\tau_{i+1},j+k_{j}\tau_{i,j}+1$

for $i=2,3,$
逆に Kaehler 多様体 $M$ 上の螺旋$\gamma$$d-3,$ $j=i+2,$ $i+4,$$\cdots,$$\cdots,$$d-1$ .

がある点 $p$ において命題 1 叉は命題 2 の関係式を満たしているならば、 のすべての複素れい率の任意の $n$ 次導関数は点において零になるから曲線の解析性よりは複素螺旋になる。 よって、 常微分方程式の解の 意性より次の結果を得る :$\gamma$$p$$\gamma$$\gamma$–

命題 3.

Kaehler 多様体上の点における正規直交ベクに対してが適当な正数$k_{d-1}$$\cdots,$$\cdots,$ $k_{d-1}$に対して命題 1 叉は命題 2 の関係式を満たすならば、$\cdots,$を曲率に持ち、を初期ベク トルとする複素螺旋が $M$ 上 意的に存在$=<v_{i},$ $Jv_{j}>(1\leq$\tau_{ij}$$p$

トル$v_{1},$i<j\leq d)$ と置く。 このとき、 この$\cdots,$ $v_{d}$$\tau_{ij}$$k_{1},$$k_{1},$$v_{1},$–$v_{d}$する。

次のことは容易に証明される:.

Kaehler 多様体 $M$ 上の本来 次の複素螺旋の複素れい率は次の不等式
命題 4for everyを満たす。
$d$$\Sigma_{j=}^{i-1}\tau 1ji2+\Sigma_{j=i+}^{d}1^{T}i^{2}j\leq 1$

証明. $\tau_{i,i+2k}=0$ であるから$i$.

$\{V_{2\iota_{-}1}, JV2\iota_{-}1|l=1,2, \cdots\}$$1,2,$ $\cdots\}$ は正規直交系を成す可が奇数のときは、不等式の左辺はと$\{V_{2\mathrm{t}},$$V_{i}(0)$を$JV_{2l}|l=$$\{V_{2\iota-1}(\mathrm{o})$によって張られる線形部分空間上に射影したベク トルの長さと等しい。 よって、不等式は確かに成立する。 が偶数のときも同様である。 口$J$ $V_{2\mathrm{t}-1}(\mathrm{o})|\iota=1,2,$ $\cdots\}$.

$i$

これから次数 3 の複素螺旋を考察する。 そのために正規直交系$T_{p}M$$v\iota,$$v_{2},$$v_{3}\in$を$k_{1}<v_{2},$ $Jv_{S}>=k_{2}<v_{1},$ $Jv_{2}>,$を満たすように取る必要がある。 そこで $T_{p}M$ を$<v_{1},$ $Jv_{3}>=0$$C^{n}$と同 $-$ 視することにより,

47$\tau^{2}+\rho^{2}\leq 1$を満たす正数$\tau$と$v_{1}=(1,0, \cdots, 0)$$\rho$

に対して$v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3}$を次のように定義する:,$v_{2}=(-i\tau, \sqrt{1-\tau^{2}},0, \cdots, 0)$,$v_{3}=(0, -i\rho/\sqrt{1-\tau^{2}}, \sqrt{1-\tau-2\rho 2}/\sqrt{1-\tau^{2}},0, \cdot..

, 0)$は正規直交系になり $<v_{1},$ $Jv_{2}>=\tau$ , $<v_{2},$ $Jv\mathrm{s}>=\rho$ ,$<v_{1},$ $Jv\mathrm{s}>=0$ を満たす。 これより次の定理 1を得る:
こうすると$v_{1},$ $v_{2},$ $v_{3}$$\text{、}2$

定理 1.

$M$を3 次元以上の Kaehler 多様体とする。 このとき、 次の事が成り立

つ $0$(1) 次数 3 の複素螺旋は次の関係式を満たす:$k_{1}\tau_{2}\mathrm{s}=k_{212}\mathcal{T},$(2) 逆に、 非負定数

$k_{1},$$k_{2}$$k_{2}$(3)$|\tau|>k_{1}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}$$|\tau_{12}|\leq k_{1}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}$$|\tau|\leq k_{1}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}$とを第 2 曲率、を第 1 曲率、の複素螺旋が存在する。

$\tau_{13}=0,$$\tau$.

を満たす定数$\tau$

に対して、$k_{1}$を第 1 複素れい率 (即ち、 $\tau_{12}=T$ ) に持つ次数 3のときは、 上述の性質を満たす次数 3 の複素螺旋は存在しない。

2 次元 Kaehler 多様体とするとき、 次のことが成り立つ。
(1) $M$ 上の本来次数 3 の複素螺旋 の複素れい率は次のようになる:定理 2.

$M$を$\gamma$(1.2)$\tau_{12}=k_{1}/\sqrt{k_{1^{+}}^{2}k_{2}^{2}},$$\tau_{13}=0,$$\tau_{2S}=k_{2}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}$$\tau_{12}=-k_{1}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}},$$\tau_{13}=0,$$\tau_{23}=-k_{2}/\sqrt{k_{1^{+}}^{2}k_{2}^{2}}$

または

(1.3)
ここで、 $k_{1},$$k_{2}$

は$\gamma$の曲率である。

(2) 逆に任意に与えられた正数素螺旋$\gamma$,が存在する。

$\gamma$に対してそれを曲率にもつ本来次数 3 の複の複素れい率は (1.2) または (1.3) で与えられる。
$k_{1},$ $k_{2}$のような簡明な state次数 4 の複素螺旋の記述はより複雑であり定理 1ment は望めない。 そこで、 2 次元 Kaehler 多様体 $M$ 上で考えることにしよう。
$\text{、}2$

48$\tau^{2}+\rho^{2}=1$を満たす$\tau$と$\rho$に対して$T_{p}M$$\simeq C^{2}$

内で次のようにベク トルを取る:$v_{1}=(1,0),$$v_{2}=(-i\tau, \rho),$$v_{3}=(0, -i),$$v_{4}=\mp(i\rho, \tau)$

そうするとこれらは正規直交系を成し、 しかも次の関係式を満たす:$<v_{1},$ $Jv_{2}>=\tau,$$<v_{2)}Jv_{3}>=\rho,$$<v_{1},$ $Jv_{3}>=<v_{2},$ $Jv_{4}>=0,$

他方、 命題 2 より螺旋ことである:$\gamma$$<v_{1},$ $Jv_{4}>=\pm\rho$$<v_{3},$ $Jv_{4}>=\pm\tau$.

が複素螺旋になるための必要十分条件は、 次が成り立つ$\tau_{13}(\mathrm{o})=\tau_{24}(0)=0,$$k_{1^{\mathcal{T}}23}(\mathrm{o})+k_{3}\tau_{14}=k_{2}\mathcal{T}_{12}(0)$$k_{1}\mathcal{T}_{14}(0)+k_{3}\tau_{2\mathrm{s}}(\mathrm{o})=k_{2}\mathcal{T}_{34}(0)$,.

定理 3 $\cdot M$ を 2 次元 Kaehler 多様体とするとき、 次のことが成り立つ。

(1) 曲率を持つ本来次数 4 の複素螺旋の複素れい率は次の関係式を満$k_{1},$ $k_{2},$ $k_{S}$

たず:

(1.4)

$\tau_{12}=\tau_{34}=\tau,$$\tau_{23}=\mathcal{T}_{14}=k_{2}\tau/(k_{1}+k_{3}),$$\tau_{13}=\tau_{24}=0$,

ここで、 $\tau=\pm(k_{1}+k_{3})/\sqrt{k_{2}^{2}+(k_{1}+k\mathrm{s})^{2}}$,(1.5)$\tau_{12}=-\tau_{34}=\tau,$$\tau_{23}=-\tau_{1}4=k_{2}\tau/(k_{1}-k\mathrm{s}),$$\tau_{1\mathrm{s}=}\mathcal{T}_{24}=0$,

ここで、 $k_{1}\neq k_{3},$ $\tau=\pm(k_{1}-k_{3})/\sqrt{k_{2}^{2}+(k1-k\epsilon)^{2}}$ または(1.5’)
ここで、$\tau_{12}=\mathcal{T}_{34}=\tau 1\mathrm{s}=\tau_{24}=0,$$\overline{k}_{1}=k_{3}$.

(2) 逆に、 任意に与えられた正数数 4 の複素螺旋で与えられる。

$\gamma$が存在する。

$\gamma$$k_{1},$$k_{2}$$\tau_{2\epsilon}=-\mathcal{T}_{1}4=\pm 1$,, 碗に対して、 これらを曲率に持つ本来次の複素れい率は (1.4), (1.5) または (1.4), (1.5’ )49

2. 複素空間形の複素螺旋の成す moduli について.の完備単連結複素空間形とする。 良く知ら次元正則断面曲率れているように任意の複素空間形は、 正則断面曲率 が正、 負、 零に対応して複$M_{n}(c)$を$c$$n$$c$素射影空間、 複素双曲空間、 複素ユーク リッド空間と局所的に複素解析的等長同型である。 ここで、 $M_{n}(c)$ の螺旋 (必ずしも複素螺旋でなくてもよい) に対する合同定理を紹介しよう。

([3])

における次数 $p,$ の螺旋とする。 ここで,を$\{k_{1}, \cdots, k_{p-1}\},$をそれぞれの曲率、 そしてを満たす $M_{n}(c)$ の五 olomorphic
それぞれの複素れい率とするとき、isometry が存在するための必要十分条件は、 $p=q,$ $k_{i}=\lambda_{i}(1\leq i\leq p-1)$ か
つ $\tau_{ij}^{\gamma}(0)=\tau_{i}^{\sigma}j(0)(1\leq i<j\leq p)$ が成り立つことである。

命題 5$\cdot$$\gamma,$$\sigma$をそれぞれ$M_{n}(c)$$q$$\lambda$$\{\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{q-1}\}$$\gamma,$$\lambda$$\tau_{ij}^{\gamma}(t),$$\mathcal{T}_{hl}^{\sigma}(t)$$\gamma=\varphi 0\sigma$$\gamma,$$\varphi$

本節では、 $M_{n}(c)$ 上の $d(\leq 2n)$ 次の複素螺旋全体を $M_{n}(c)$ の holomorphic
isometries で割った商空間を考えそれを $Hh^{d}(M_{n}(C))$ と書くことにする。 命題 5$R^{(d+}2$ ) $(d-1)/2$の部分集合 $[0, \infty)d-1\cross$より集合 $Hh^{d}(M_{n}(c))$ はユークリッド空間$[-1,1]^{d}(d-1)/2$ と同–視できる。 よって、 ここでは $Hh^{d}(M_{\mathfrak{n}}(C))$ に自然な位相を入内の totally real totaly geodesic submanifold$M^{n}(c/4)$ 上の任意の螺旋は ( $M_{n}(c)$ において複素れい率が、, すべて零の) 複素螺旋になるから $M_{n}(c)$ 上の本来 $d(\leq.n)$ . 次の複素螺旋全体の成す集合は空ではれておく。 言うまでもな$\langle$$M_{n}(c)$ない。

定理 3 と命題 5 より次の結果を得る:

定理 4. 与えられた任意の正数$k_{1},$$k_{2},$$k_{3}$に対して、 これらを曲率に持つ本来次数 4 の複素螺旋が $M_{2}(c)$ 内で holomorphic isometxies の差を除いて 4 本存在する。 しかもこれら 4 本の複素螺旋の複素れい率は (1.4), (1.5). または (1.4), (1.5’ )で与えられる。

これから
$\pi$

$CP_{2}(C)$内の本来次数 4 の複素螺旋の例を提示しよう。 ここで、

: $S^{2n+1}(1)(\subset C^{n+1})arrow CP^{n}(4)$ は Hopf fibration を表す。50

例 1. $0<k<\sqrt{2}$ を満たす任意の$k$に対して、 次のように置く。

$A=\sqrt{(4-k^{2}-\sqrt{(2-k^{2})(8-k^{2})})/2(8-k^{2})}$,$B=2/\sqrt{8-k^{2}}$,$C=\sqrt{(4-k^{2}+\sqrt{(2-k^{2})(8-k^{2})})/2(8-k^{2})}$$\alpha=(\sqrt{2-k^{2}}+\sqrt{8-k^{2}})/\sqrt{2}$$\beta=\sqrt{2-k^{2}}/\sqrt{2}$

,

,

,

.

$\delta=(\sqrt{2-k^{2}}-\sqrt{8-k^{2}})/\sqrt{2}$ここで、$\tilde{\gamma}$を $\tilde{\gamma}(t)=(Ae^{i\alpha t}, Be^{i\rho}\ell, c_{e^{is_{t}}})$ によって定義された

とき、 これは$S^{5}(1)$上の$t$curve になる。 しかも曲線を弧長とする$\pi(\tilde{\gamma})$

は

(Hopf

$CP_{2}(4)$$R\mathrm{b}r\mathrm{a}$

tion

$\pi$

$\tau_{34}=0,$$\mathcal{T}_{1}4=1,$

例2

を次式によって定義される$\cdot\tilde{\gamma}$$\tau \mathrm{z}\mathrm{s}=-1$

horizontal

内の本来 4 次の複素螺旋になり、 曲である。 この曲線の複素れい率は$C^{3}$上の曲線とするに関する)$k_{1}=k,$ $k_{2}=\sqrt{(18-9k^{2})}/2,$ $k_{3}=k$ で、 複素れい率は率は$C^{3}$$\tau_{12}=\tau_{13}=\tau_{24}=$$(1.5’)$を満たす。

上の曲線とする:$\tilde{\gamma}(=((1/\sqrt{3})e^{i\ell}, (1/\sqrt{14})e^{2it},$ $(5/\sqrt{42})e^{-4i})t/\mathrm{S}$.

内の本来 4 次の複素螺旋になり、 曲率は $k_{1}=$$3\sqrt{2}/5,$ $k_{2}=11\sqrt{2}/10,$ $k_{3}=1/\sqrt{2}$で、 複素れい率は $\tau_{12}=\tau_{14}=\tau_{23}=\tau_{34}=$
このとき、$-1/\sqrt{2},$$\pi(\tilde{\gamma})$は$\tau_{1\mathrm{s}=}\mathcal{T}_{24}=0$$CP_{2}(4)$である。 この曲線の複素れい率は(1.4) を満たす。

最後に moduli space $Hh^{2}(M_{n}(C))(d=1,2,3)$ を調べよう。 $Hh^{1}(M_{\mathrm{z}1}(C))$ は明らかに 1 点から成る集合である。 定理 1と命題 5 より次の結果を得る:$\text{、}2$.

定理 5(1) $Hh^{2}(M_{n}(C))$ は $n\geq 2$ のときはにおける錐と位相同型になり、 $n=1$ のときは 半直線と位相同型になる。 これをもっと正確に述べると $n\geq 2$ のときは$Hh^{2}(M_{n}(c))=[0, \infty)\cross[-1,1]/\sim$ であり、 $n=1$ のときは $Hh^{2}(M_{n}(C))=[0, \infty)$$\rho\in[-1,1]$ を意味する。
は $(0, \tau)\sim(0, \rho)$ forである。 ここで、 同値関係
(2) $Hh^{\epsilon}(M(nC))$ は連結であり更に $n\geq 3,$ $n=2$ に対応してそれぞれ次のように$\sim$$R^{2}$$\tau,$なる。
$Hh^{3}(M_{n}(_{C}))$$\{(k_{1}, k_{2}, \tau)\in[0, \infty)\cross[0, \infty)\cross[-1,1]|\mathcal{T}^{2}\leq k_{1}^{2}/(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})\}/\sim$$=\{$,$([0, \infty)\cross\{0\}\cross[-1,1]\cup\{(k_{1}, k_{2}, \pm k_{1}/\sqrt{k_{1^{+}}^{2}k_{2}^{2}})|k_{1}>0, k_{2}>0)\})/\sim.$

51

ここで、 同値関係$\sim$

は$(0, k, \tau)\sim(0, l, \rho)$for$\tau,$$\rho\in[-1,1]$を意味する。の曲率を第を $M_{n}(c)$ における本来次数 3 の複素螺旋とし、注意.
real totally
が $M_{n}(c)$ の1 複素れい率を $\tau_{12}=\tau$ とする。. このときgeodesic submanifold $M^{n}(c/4)$ 上にあるための必要十分条件は、 $\tau=0$ であり、bmanifold $M_{2}(c)$ 上にあるためのが $M_{n}(c)$ の holomorphic totally geodesic$k_{1},$$\gamma$$\gamma$$\gamma$$k_{2\text{、}}$$tot\mathit{4}l_{f}$$s\mathrm{u}$$\gamma$

必要十分条件は、 $\tau=\pm k_{1}/\sqrt{k_{1}^{2}+k_{2}^{2}}$ である。

REFERENCES[1] D. Ferus ans S. Schirrmacher, Submanifolds in Eucbdean space with simple geodesics,
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$\mathrm{S}.\mathrm{L}$