数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 12-21

12双曲型空間の極小曲面の表現公式について

東京都立大理國分雅敏 (MASATOSHI KOKUBU)\S 0. 序$\mathrm{E}^{3}$の minimal

surface を具体的に記述する表現公式として、 Weierstrass の公式がよく知られている。 また、$\mathrm{E}^{3}$の平均曲率一定な曲面の表現公式として、 Kenmotsu 氏によるものがある。 ([Ke] では、 より –般に、 与えられた関数を平均曲率にもつ曲面の表現公式が得られている。 )Kenmotsu の公式は、 単連結 Riemann 面から 2 次元球面$\mathrm{S}^{2}$への harmonic

map が与えられたときに、 それを Gauss map とする平均曲率一定な曲面の immersion を記述するものである。

方、 Bryant [B] は、$\mathrm{H}^{3}(-1)$(断面曲率が $-1$ の 3 次元双曲型空間) の平均曲率が恒等的に 1 の曲面 (CMC-I 曲面) の表現公式を与えた。 Bryant の公式は、 Weier-strass の公式に似たもので、 任意の CMC-I 曲面は、 Riemann 面上の有理型関数と正則 1 次微分形式の組から得られる、 と主張するものである。
以下では、 双曲型空間の極小曲面の表現公式に関する、 [Ko] で得られた結果を述べる。 $n$ 次元双曲型空間のモデルとして、 ある Lie 群 $G$ に左不変計量 g。を入れたものを使った (cf. \S 1) 。このモデルを使うことの利点として次があげられる。

(1)

$G$

は、 微分可能多様体として$\mathrm{R}^{n}$である。 よって、 $G$ への写像が $n$ 個の関数の組で与えられ、扱いやすい。

(2) $(G, g_{c})$ は定曲率$-c^{2}$をもち、 とくに ( $G$ , go) は、 ちょうど Euclid 空間$\mathrm{E}^{n}$である。 得られた結果はその場合を含む ( $c\neq 0$ を仮定する命題もあるが) 。すな

わち、$\mathrm{E}^{n}$の minimal surface の Weierstrass formula を含む。

(3) \S 4 で normal Gauss map $\text{を定義するが_{、}その幾何学的意味を}$いて明確にすることができる。

$G$の左移動を用13\S 1. 双同型空間のひとつのモデル$\mathrm{R}^{n}$

上に、 次式で定義される Riemann 計量 g。を考える。

$g_{\text{。}}:=(dt)^{2}+e^{-2ct}\{(dx^{2}.)^{2}+,\cdots+(dx^{n})^{2}\}$

ここで $(t, x^{2}, \cdots, x^{n})$ は様体$(\mathrm{R}^{n}, g_{c})$$\mathrm{R}^{n}$の標準的な座標系、$c$は実定数。 このとき、 Riemann 多($c=0$ のときは明らかで、 $c\neq 0$

は、 断面曲率が一 c2 の空間形である。

のときは、 $y=e^{ct},\tilde{x}^{j}=cx^{j}(j=2, \cdots,n)$ で定義される微分同相写像
より、 双曲角空間の上半空間モデルに等長的である。 )Proposition 1.1.

$G$

。

このとき、

$G_{c}$

Proof. 任意の

に

さらに、

を次で定義される Lie 群とする。

$:=\{[^{1} e^{\text{。}t} ..

$(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$$\mathrm{R}^{n}arrow \mathrm{R}_{+}^{n}$e^{\text{。}t} x_{1}^{n]}x^{2}l..

; (t, x^{2}, \cdots, x^{n})\in \mathrm{R}^{n}\}\subset GL(n;\mathrm{R})$は G。に、 ある左不変計量を入れたものに等長的である。

$\tilde{a}=(a, a^{2}, \cdots, a^{n})\in$$L_{\overline{a}}(t, x^{j})=(t+a, e^{\text{。}a}x^{j}+a^{j})$G。に対し、$L_{\overline{a}}$をa による左移動としたとき、で、$L_{\tilde{a}}^{*}g_{c}= \{d(t+a)\}^{2}+e^{-2\text{。}(}\sum t+a)\{d(e^{\text{。}aj}X+a^{j})\}^{2}$$=dt^{2}+e-2 \text{。}t\sum(dx^{j})^{2}=g_{c}$である。
$\mathfrak{g}$口を G。の Lie 環、 $<,$

積とする。

(1.1)

$\mathfrak{g}$

$>$

を同–視

により g。から引き起こされる$\mathrm{g}$上の内の正規直交基底 $\{e_{1}, \ldots, e_{n}\}$ を次のように選ぶ。

$e_{1}=$ ,ここで $E_{jn}$ は、 $(j, n)-$ 成分が(1.2)$\mathrm{g}\cong T_{e}G$

その他の成分が$1_{\text{、}}$$[e_{1}, e_{j}]=ce_{j}$$(j=2, \ldots, n)$$e_{j}.=- E_{jn}$,$[e_{j}, e_{k}]=0$$0$である行列単位。 Lie bracket は、$(j, k=2, \ldots, n)$.

14と計算される。 また、に対して、$X\in \mathfrak{g}$$\mathrm{a}\mathrm{d}(X)^{*}$\in g【(g) を、任意の$\mathrm{Y},$$Z\in \mathfrak{g}$に対し$<[X, \mathrm{Y}],$ $Z>=<\mathrm{Y},$ $\mathrm{a}\mathrm{d}(x)*(z)>$が成り立つものと定義し、$\mathfrak{g}$上の対称 2 次形式 $U$ を$U(X, \mathrm{Y})=\frac{1}{2}\{\mathrm{a}\mathrm{d}(X)*(\mathrm{Y})+\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{Y})^{*}(X)\}$で定義する。 このとき、 次のように計算される。
$U(e_{1,1}e)=0$ ,$U(e_{1},e_{\mathrm{j}})=U(e_{j,1}e)= \frac{c}{2}e_{j}$$U(e_{j}, e_{k})=-C\delta_{jk}e1$

ここで、 $j,$ $k=2,$ $\ldots,$ $n$ で、\S 2.
$\Omega$

を複素平面$\mathrm{C}$$\varphi$:$\delta_{jk}$$\Omegaarrow G$$\varphi$に対する調和写像の方程式の領域とし、 $z=u+iv$ を計量の備わった Lie 群とし、 $<,$

滑らかな写像[は Kronecker のデルタ。

$>$$\Omega$

を $G$ の Lie 環の座標とする。 $(G, ds_{G}^{2})$ を左不変$\mathfrak{g}$の、: $\Omegaarrow G$ が harmonic map とは、$(1/2) \int_{\Omega}|d\varphi|^{2}dV$$\varphi$$ds_{G}^{2}$に同調した内積とする。

がエネルギー汎関数 $E(\varphi)=$の臨界点であることであった。 その Euler-Lagrange 方程式を求める

ことにより次を得る。

Lemma 21. 滑らかな写像$\varphi$:$\Omegaarrow(G, ds_{J}^{2})c$が調和写像であるための必要十分条件

は、

(21)

$\frac{\partial}{\bigwedge_{---}}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\mathrm{o}_{--}})+\frac{\partial}{\mathfrak{Q}_{--}}(\varphi-1\frac{\partial\varphi}{\mathfrak{Q}_{-\wedge}}$$\frac{\partial}{\partial u}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u})+\frac{\partial}{\partial v}(\varphi-1\frac{\partial\varphi}{\partial v})$$- \mathrm{a}\mathrm{d}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u})*(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u})-\mathrm{a}\mathrm{d}(\varphi-1\frac{\partial\varphi}{\partial v})*(\varphi^{-}1_{\frac{\partial\varphi}{\partial v})=0}$が成り立つことである。

Proof. 簡単のため$\varphi_{t},$$-\epsilon<t<\epsilon$$G$をは行列群とする。
$\varphi=\varphi 0$の変分で$\varphi_{t}|_{\partial\Omega}=\varphi|_{\partial\Omega}$$\mathrm{A}=\frac{d}{dl}(\varphi^{-1}\varphi t)|t=0$

と置く。

:

なるものとする。

$\Omegaarrow \mathfrak{g}$

15

また

の

$\varphi$energy densityは$e(\varphi)$$e( \varphi)=\frac{1}{2}(|\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u}|2+|\varphi-1_{\frac{\partial\varphi}{\partial v}}|^{2})$であるので、$\frac{d}{dt}E(\varphi_{t})|_{t0}=$$= \int_{\Omega}\{<\frac{d}{dt}(\varphi_{t}^{-1_{\frac{\partial\varphi_{t}}{\partial u})}}|_{t0}=’\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u}>+<\frac{d}{dt}(\varphi_{t}^{-1_{\frac{\partial\varphi_{t}}{\partial v}}})|t=0, \varphi^{-}1\frac{\partial\varphi}{\partial v}>\}dudv$

であることと$\frac{d}{dt}(\varphi_{t}^{-1}\frac{\partial\varphi_{t}}{\partial u})|_{t\mathrm{o}[}==\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u},$$\Lambda]+\frac{\partial\Lambda}{\partial u}$,$\frac{d}{dt}(\varphi_{t}^{-1}\frac{\partial\varphi_{t}}{\partial v})|t=0=[\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial v}, \Lambda]+\frac{\partial\Lambda}{\partial v}$

であることより、$\frac{d}{di}E(\varphi_{t})|_{t0}=$$= \int_{\Omega}\{<[\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u}, \Lambda]+\frac{\partial\Lambda}{\partial u}, \varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u}>+<[\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial v}, \Lambda]+\frac{\partial\Lambda}{\partial v}, \varphi^{-1_{\frac{\partial\varphi}{\partial v}}}>\}dudv$$= \int_{\Omega}<\Lambda,$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\varphi\frac{\partial\varphi}{\partial u}-1)*(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u})>dudv-\int_{\Omega}<\mathrm{A},$$+ \int_{\Omega}<\Lambda,$$\mathrm{a}\mathrm{d}(\varphi-1\frac{\partial\varphi}{\partial v})^{*}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial v})>dudv-\int_{\Omega}<\Lambda,$$9^{\mathrm{C}}$を$\mathfrak{g}$(2.2)の複素化とし、 $U$ も$\frac{\partial}{\partial u}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial u})>dudv$$\frac{\partial}{\partial v}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial v})>dudv$.

$\cdot$$\square$上の 2 次形式に拡張すると、 (2.1) は、$\mathfrak{g}^{\mathrm{C}}$$\frac{\partial}{\partial\overline{z}}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial z})+\frac{\partial}{\partial z}(\varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial\overline{z}})-2U(\varphi-1\frac{\partial\varphi}{\partial z}, \varphi^{-1}\frac{\partial\varphi}{\partial\overline{z}})=0$と書ける。
$\theta=\varphi^{-1}d\varphi=AdZ+\overline{A}d\overline{Z}$を$c_{\tau}$のMaurer-Cartan 形式の$\varphi$による引き戻しとする。

(2.2) は、
(2.3)

$A_{\overline{z}}+\overline{A}_{z}=2U(A,\overline{A})$と書ける。 –方、 Maurer-Cartan の方程式より、(2.4)$A_{\overline{z}}-\overline{A}_{z}=[A,\overline{A}]$が成り立つ。 また、 (2.3) と (2.4) は、 次のひとつの式に同値である。

(2.5)$A_{\overline{z}}=U(A, \overline{A})+\frac{1}{2}[A,\overline{A}]$(2.4) は微分方程式$\varphi^{-1}d\varphi=Adz+\overline{A}d\overline{z}$て、 単連結 Riemann 面に、る。

$\Sigma$$\varphi^{-1}d\varphi=Adz+\overline{A}d_{\overline{Z}}$からの解$9^{\mathrm{C}}$$\varphi$の完全積分可能条件であった。 したがっへの写像 $A$ で (2.5) を満たすものが与えられたときが存在し、 それは$\Sigma$から $G$ への harmonic map であ

16

\S 3.

双曲型空間の極小曲面

この節では、 前の節の結果を使って、 harmonic$\Sigmaarrow(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$$\varphi$:$\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{p}_{\text{、}}$

minimal immersion$\varphi$:を考察する。

$\Sigmaarrow(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$

を $\varphi(z)=(t(z), X^{j}(z))$ と書くことにする。 このとき、$A=t_{z}e_{1}+ \sum e^{-\text{。}t}x_{z}^{j}ej$

であり、$Adz= \xi\otimes e_{1}+\sum\omega\otimes ejj$とおくと、 (2.5) は次の (3.1) と同値である。

$\overline{\partial}\xi=C\sum\omega^{jj}\wedge\overline{\omega}$

(3.1)

$\{$
$\overline{\partial}\omega^{j_{=}}C\overline{\omega}^{j}\wedge\xi$

したがって、 次を得る。

Theorem A.

$\Sigma$

を単連結 Riemann 面とする。

$\Sigma$

上の $(1,0)$ -form の $n$ 個の組$(\xi, \omega^{j})$が (3.1) を満たすならば、

(3.2)
は

$\Sigma$$(t(Z), x^{j}(Z))=(2 \int_{z_{\mathrm{O}}}^{z}Re\xi, 2 \int_{z_{0}}^{z}e^{\text{。}t}(z)_{R}e\omega)j$から$(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$

への harmonic map を与える。 さらに、 次の条件を満たすとき、

(3.3)
上の写像は

$\xi\cdot\xi+\sum\omega^{i.j}\omega=0$$(\mathrm{R}^{n}, g_{c})$の branched minimal surface を与える。 さらに、

(3.4)$\xi\cdot\overline{\xi}+\sum\omega\cdot\overline{\omega}ij\neq 0$を満たすならば、 branch point はない。 すなわち、 regular minimal surface である。
逆に、 任意の$\Sigma$から$(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$

への harmonic

map および (branched) minimal im-

mersion は、 このようにあらわせる。

Proof. (3.2) が harmonic map を与えることは、 上に述べたことによる。 (3.3) ま、 (3.2)
で与えられる写像が weakly conformal であることを意味するから、 したがってそれは、

branched minimal immersion である。
逆は、 上に述べたことから明らか。

$(\mathrm{c}\mathrm{f}.[\mathrm{G}-0- \mathrm{R}])$口

17

Proposition 3.1. $c\neq 0$ とする。 regular minimal surface が (3.2) の形で与えられているとする。 このとき、Proof. そのような点

$P$

$\xi$

と

が共に $0$ となる点は存在しない。

$\overline{\partial}\xi$が存在したとする。

$\overline{\partial}\xi=C\sum\omega^{jj}\wedge\overline{\omega}$$\text{が成り立つ_{。}ゆえに}$ $\omega^{j}|_{p}=0$ が $j=2,$ $\ldots,$ $n$$\sum\omega^{j}\cdot\overline{\omega}^{j})|_{p}=0$$(\dot{3}.1)_{\text{、}}$$\sum\omega^{jj}\wedge\overline{\omega}|_{P}=0$に対して成り立つ。 したがって、. これは regular であることに矛盾する oLemma 3.2. $c\neq 0$ ならば、

より、$(\xi\cdot\overline{\xi}+$

口(3.3) は次に同値。

$(3.2)_{\text{、}}$(3.5)

Proof. $\xi=fdz,$$\overline{z}$で微分して、$\omega^{j}=h^{j}dz$

とおく。 (3.5) の 1 番目の条件より、 $f^{2}+ \sum(h^{j})^{2}=0$$ff_{\overline{z}}+ \sum h^{j}h\frac{j}{z}=0$。

。

(3.5) の 3 番目の条件より、$f \overline{\partial}\xi=ff_{\overline{z}}d\overline{z}\wedge dz=-\sum h^{j}h\frac{j}{z}d\overline{Z}\wedge dz$$=- \sum h^{j}\overline{\partial}\omega^{j}=-\sum h^{j_{C\overline{\omega}^{j}}}\wedge\xi$$=c \sum h^{j}fdz\wedge\omega=cf\prime j\sum\omega^{j_{\wedge}j}\overline{\omega}$

ゆえに、

(3.6)

$\overline{\partial}\xi=c\sum\omega^{jj}\wedge\overline{\omega}$

が $f$ の零点の外で成り立つ。 第 2 の条件より、 $f$ の零点集合は内点をもたないことがわ

かるから、 (3.6) がらば$\Sigma$上成り立つ。 最後に、$( \xi\cdot\overline{\xi}+\sum\omega^{j}\cdot\overline{\omega}^{j})|_{p}\neq 0$の条件より、$\overline{\partial}\xi\neq 0_{\text{、}}$$\xi\cdot\overline{\xi}+\sum\omega^{j}\cdot\overline{\omega}^{j}\neq 0$を示す。 $\xi|_{p}\neq 0$ なであることは自明である。 $\xi|_{p}=0$ とする。 (3.5) の第 2ゆえに、 (3.6) により$( \sum\omega^{j}\wedge\overline{\omega}^{j})|_{p}\neq 0$

少なくともひとつは non-zero である。 以上より、。したがって、$( \xi\cdot\overline{\xi}+\sum\omega^{j}\cdot\overline{\omega}^{j})|_{p}\neq 0$。

$\omega^{j}|_{p}$の口

したがって、 次を得たことになる。

Theorem B. $c\neq 0$ とする。
$n$

個の組

$(\xi, \omega^{j})$$\Sigma$

を単連結 Riemann 面とする。

$\Sigma$上の$(1,\mathrm{o})- \mathrm{f}_{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\mathrm{S}$のが (3.5) を満たすならば、$(t(Z), x^{j}(Z))=(2 \int_{z_{\mathrm{O}}}^{z}Re\xi, 2 \int_{z_{0}}^{z}e^{\text{。}t}R(z)e\omega)j$は$(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$の regular

minimal surface を与える。 逆に、 任意の

minimal surface [は、 このようにあらわせる。

$(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$

内の regular18\S 4. 3 次元の場合$n=3$ の場合を考える。 今、 branched minimal surface が (3.2) の形で与えられているとし、 $\xi=fdz,$ $\omega^{j}=h^{j}dz$ とする。 $F,$ $G$ を$F=h^{2}-ih^{3}$,$G= \frac{f}{h^{2}-ih^{3}}$とおく。 正確には $G$ は関数ではないが、 Riemann 球$\mathrm{S}^{2}$への写像である。 この写像 $G$

を normal Gauss map と呼ぶことにする。 共形性 $(f)^{2}+(h^{2})^{2}+(h^{3})^{2}=0$ より、$f=FG$ ,$h^{2}= \frac{1}{2}F(1-G^{2})$,$h^{3}= \frac{i}{2}F(1+G^{2})$となる。 条件 (3.1) は、(41)$F_{\overline{z}}=-c|F|^{2}|c|2\overline{G}$,$G_{\overline{z}}= \frac{c\overline{F}}{2}(|G|^{4}-1)$となる。 計算により、 $(F, G)$ が (4.1) の解ならば、 $G$ は次の微分方程式を満たすこと

がわかる。

(42)

$(|G|^{4}-1)c_{z\overline{z}}=2|G|2\overline{G}czG_{\overline{z}}$逆に次の補題が成り立つ。

Lemma 4.1.

$G$を (6.2) の解で、 正則でないものとする。 このとき関数 $F$ で、 $G$ とあわせて、 (4.1) を満たすものが存在する。

Proof.

$F=2C^{-}\overline{G}_{z}1/(|G|^{4}-1)$とおくと、$F_{\overline{z}}= \frac{2}{c}\frac{\overline{c}_{z\overline{z}}(|G|^{4}-1)-\overline{G}z(2GG_{\overline{z}\overline{z}}\overline{c}^{2}+2c2\overline{G}\overline{G})}{(|G|^{4}-1)2}$(4.2) を使って、$F_{\overline{z}}=-c|F|^{2}|G|^{2}\overline{G}$

を得る。

口

したがって、 次の結果が示された。

Theorem C.

$\Sigma$

を単連結 Riemann 面とし、正則写像ではない)とする。 このとき、$\Sigma$$G:\Sigmaarrow \mathrm{C}\mathrm{U}\{\infty\}$から 3 次元双曲型空間への branched mini-

mal immersion で、 その normal Gauss map が第 1 基本形式$ds_{\Sigma}^{2}$を (4.2) の解 (但し、$G$であるものが存在する。

と、 第 2 基本形式の複素化の $(2,0)$ -part ($II^{\mathrm{c}_{)^{2}},0}$

differential と呼ばれている) は次のようになる。
$ds_{\Sigma}^{2}=|F|^{2}(1+|G|^{2})^{2}d_{Z}d\overline{z}$,$(II^{\mathrm{c}_{)^{2}},0}=FG_{z}d_{Z}dz$(これは Hopf19minimal surface の Hopf differential が正則な 2 次微分であることが知られていて、 この場合も$(4.1)_{\text{、}}$(4.2) から確かめられる。 Gauss 曲率 $K$ は$K=-c^{2}-4 \frac{|G_{z}|^{2}}{|F|^{2}(1+|G|^{2})^{4}}$で与えられる。

2 つの例について述べる。 簡単のため、 $c=1$ の場合について述べる。

Example 42. $\Sigma=\{z=u+iv\in \mathrm{C};u>0\}$ とし、$\xi=\frac{dz}{z+\overline{z}}$とする。 このとき、$(\xi, \omega^{2}, \omega^{3})$,$\omega^{2}=\frac{idz}{z+\overline{z}}$$\omega^{3}=0$

は (4.3) をみたし、 得られる曲面は totally geodesic である。

$t(z)= \int_{1}^{z}\frac{dz+d\overline{z}}{z+\overline{z}}=\log(Z+\overline{z})=\log(2u)$,$x^{2}(z)= \int_{1}^{z}e^{\log 2}u(\frac{idz-id_{\overline{Z}}}{z+\overline{z}})=\int_{1}^{z}2u\frac{-2dv}{2u}=-2v$,$x^{3}(z)=constant$

Example 4.3.

$\rho(\dot{u})$を常微分方程式$\frac{d\rho}{du}=(e-2\rho-ae^{2})2\rho\frac{1}{2}$($a$は実定数。) の解とする。 $uv-$ 平面の適当な領域$\Sigma$

上で、$\rho=\rho(u)=\rho((z+\overline{Z})/2)$$G=( \frac{e^{-\rho}+ae^{\rho}}{e^{-\rho}-ae^{\rho}})^{\frac{1}{2}}$とおく。 このとき、 $G$ {は (4.2) を満たす。 Lemma 4.1 より、 $F=(e^{-\rho}-ae^{\rho})/2$ と計算される。
したがって、$\xi=\frac{1}{2}(e^{-2\rho}-a^{22p}e)^{\frac{1}{2}}dZ$,$\omega^{2}=\frac{1}{2}ae^{\rho}dz$,$\omega^{3}=-\frac{i}{2}e^{-\rho}dz$

20

は (3.5) を満たし、 minimal surface は、$t(z)=\rho(u)$ ,$x^{2}(Z)=a \int e^{2\rho(u)_{d}}u$,$x^{3}(Z)=v$

Gauss 曲率は、 それぞれ、で与えられる。 第 1 基本形式、 Hopf differential.
$ds_{\Sigma}^{2}=e^{-2p}d_{Z}d_{\overline{Z}}$,$(II^{\mathrm{c}_{)^{2,0}}}= \frac{a}{2}dzdz, K=-(1+a^{2}e^{2\rho})$である。

\S 5. NORMAL GAUSS MAP の幾何学的意味$\varphi$:

する。 局所座標$\mathrm{P}(\mathfrak{g})\mathrm{c}$$\sum_{\alpha=1}^{n}$写像

を Weierstrass data$\Sigmaarrow(\mathrm{R}^{n}, g_{\text{。}})$

を$z$$\mathfrak{g}^{\mathrm{C}}$:で与えられている minimal surface とを使って、 $\xi=fd_{Z_{\text{、}}}\omega^{j}=h^{j}d_{Z}$ と置く。

内の複素直線からなる複素射影空間とする。 $Z=[Z_{1;}\cdots ; Z_{n}]$ にて、

Z\alpha e。により張られる複素直線 ($\Phi$$(\xi, \omega^{j})$$\Sigmaarrow \mathrm{P}(\mathfrak{g})\mathrm{c}$$\{e_{k}\}$は (2.1) で選んだ正規直交基底) を表す。

を$\Phi(p)=[A|_{p}]=[\xi|_{p};\omega^{2}|_{p};\cdots ; \omega^{n}|_{p}]=[f(p);h^{2}(p);\cdots ; h^{n}(p)]$と定義する。

$\Phi$

は実際、 hyperquadric

値をとる。 hyperquadric多様体$Gr_{2}(\mathfrak{g})$$Gr_{2}(\mathfrak{g})$$\mathrm{Q}_{n-2}$は$\mathfrak{g}$$\mathrm{Q}_{n-2}.=\{Z\in \mathrm{p}(\mathfrak{g}^{\mathrm{c}_{);\sum^{n}}2}\alpha=1(Z\alpha)=0\}$

内の向き付けられた 2-plane のつくる Grassmannに微分同相だから、 $\Phi(p)$ ま、に同–視される。 したがって、けられた 2-plane$L_{\varphi(p)}-1_{*}(\varphi_{*}T_{p}\Sigma)$に$\tilde{\Phi}$:$\varphi^{-1}(\varphi_{*}(\partial/\partial_{V|)}p)\wedge\varphi^{-1}(\varphi_{*}(\partial/\partial u|p))\in\wedge$$\Sigmaarrow Gr_{2}(\mathfrak{g})$を $p\in\Sigma$ に対してを対応させる写像とすると、$\Phi$と$\tilde{\Phi}$$\mathfrak{g}$の向き付は本質的に同じものである。 つまり、 左移動の微分写像により接空間を単位元の接空間に移す写像である。 これは、$\mathrm{E}^{n}$の曲面に対する Gauss map の–般化になっている。

REFERENCES[B]

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