数理解析研究所講究録
第 1900 巻 2014 年 48-51

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蝶の羽ばたき飛翔の縦方向運動の時間スケール
横山直人 1, 飯間信 2, 泉田啓 1, 平井規央 3

1 京大工，2 広大理，3 阪府大生命環境科学

Timescales of longitudinal motion of butterfly’s flapping flight
Naoto Yokoyama1, Makoto Iima2, Kei Senda1 , Norio Hirai3
1Faculty of Engineering, Kyoto Univ., 2Faculty of Science, Hiroshima Univ.,
3Grad. School of Life & Environmental Sciences, Osaka Pref. Univ.

1

はじめに蝶の優美な飛翔は，羽ばたき運動と流体の相互作用によって作り出される．数値的にモデル化した蝶に，実験観測された周期的な関節運動をさせても，縦方向に不安定な飛翔となり，周期的な飛翔は実現されない．[1]
羽ばたき飛翔する生物は，感覚器から体の姿勢や位置の情報を得る．[2,3] この情報に基づいて，羽ばたき方を陽に変えることによって生物は姿勢や位置を能動的に制御する．例えば，モンシロチョウは胸部と腹部の間の関節角を変えることによって，胸部姿勢を安定化すると考えられている．[4] また，受動的に引き起こされる，翅の弾性変形が蝶の羽ばたき飛翔の安定化に寄与することが報告されている．[5]
本研究では，2 次元の蝶モデルを作成し，縦方向不安定性の特性を数値的に明かにする．この特性を用いて，能動的な制御によらない飛翔安定化の機構を構築する．

2計算方法

本研究で用いる 2 次元蝶モデルを図 1 に示す．蝶の胸部，腹部，翅は 2 次元化によって，スパン方向に無限に長い板に置き換えられる．モデル化された蝶は，長さ , 質量 の胸部に，腹部関節によって長さら，質量の腹部が接続されている．翼弦長 を持つ翅は，質量を持たないとする．翅は簡単のために，常に胸部と平行であるとし，胸部と翅の距離を とする．また，3 次元$\beta=0$ かつ $\eta=0$ のの蝶のリードラグ角に相当する胸部前端と翅前縁のずれの量を とする．
とき，翅の前縁と胸部の前端が一致するものとする．羽ばたき運動 が時間的に与えられると
座標 , 胸部の姿勢角 および腹部関節角
とそき，この蝶の状態は，胸部重心の 座標$l_{t}$$m_{a}$$m_{t}$$c_{m}$$\beta$$\eta$$\beta$$x$$x_{t},$$y$$y_{t}$$\theta_{t}$$\theta_{a}$れらの時間微分で与えられる．

本研究では，空気の密度，アサギマダラの翅の空力平均翼弦長，前進飛翔速さを用いて無次元$l_{t}=3/8,$ $l_{a}=3/4,$ $c_{m}=1$ とする．同様に，$m_{t}=3$ お化する．また，アサギマダラの諸元より，よび $m_{a}=8$ とし，翅の質量は無視する．また，胸部と腹部は 2 次元の板とモデル化したので，胸部重心まわりの慣性モーメントと腹部関節まわりの慣性モーメントは，それぞれ，$I_{t}=m_{t}l_{t}^{2}/3,$$I_{a}=m_{a}l_{a}^{2}/12$である．

49$e_{y}\llcorner$$e_{x}$$*u_{0}e_{x}$図 1:2 次元蝶モデル．

蝶の運動に対する Lagrangian は以下のように与えられる:$L= \frac{1}{2}m_{t}(\dot{x}_{t}^{2}+\dot{y}_{t}^{2})+\frac{1}{2}I_{t}\dot{\theta}_{t}^{2}+\frac{1}{2}m_{a}(\dot{x}_{t}^{2}+\dot{y}_{t}^{2})+\frac{1}{2}I_{a}\dot{\theta}_{a}^{2}+\frac{1}{8}m_{a}l_{t}^{2}\dot{\theta}_{t}^{2}-\frac{1}{2}m_{a}l_{t}\dot{\theta}_{t}(\dot{x}_{t}\sin\theta_{t}+\dot{z}_{t}\cos\theta_{t})$$+ \frac{1}{4}m_{a}l_{t}l_{a}\dot{\theta}_{t}(\dot{\theta}_{t}-\dot{\theta}_{a})\cos\theta_{a}-\frac{1}{2}m_{a}l_{a}(\dot{\theta}_{t}-\dot{\theta}_{a})(\dot{x}_{t}\sin(\theta_{t}-\theta_{a})+\dot{z}_{t}\cos(\theta_{t}-\theta_{a}))$(1).

ここでは時間微分を表す．蝶の運動に対する Euler-Langrange 方程式は，(2)$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial\theta_{i}}=\tau_{i}$および のいずれかを表す一般化座標である． は一般化座標である．ここで， は，に対応する一般化力であり，翅に作用する力およびトルクを変換した， 方向の力瓦， 方向$\theta_{i}$$x_{t},$$y_{t},$$\theta_{t}$$\theta_{a}$$\tau_{i}$$x$$\theta_{i}$の力$F_{y}$

胸部重心まわりに作用するトルクと，腹部関節に生じるトルク$\tau_{air}$$y$$\tau_{a}$からなる．流体が翅に作用する力およびトルクは，埋め込み境界法によって得られる．また，逆動力学法を用い，を与えることによって，腹部関節に生じるトルク を得る．このとき，Euler-Lagrange 方程式 (2) によって，が得られ，これを数値積分することによって，胸部の状態変数$\theta_{a}$$\tau_{a}$$\ddot{x}_{t},\ddot{y}_{t},\ddot{\theta}_{t}$$x_{t},y_{t},\theta_{t}$およびこれらの速度が得られる．
速度を $u$ , 圧力を として，非圧縮流れの支配方程式は，Navier-Stokes 方程式$p$,$\frac{\partial u}{\partial t}+(u\cdot\nabla)u=-\nabla p+\frac{1}{Re}\nabla^{2}u+fi_{B}$(3a),(3b)$\nabla\cdot u=0$で与えられる．ここで， は，埋め込み境界法を用いて流体と蝶の相互作用を体積力に置き換えたものである．流れ方向の速度場の境界条件には，一様流入 $u_{0}=1$ と Sommerfeld 流出境界条件を用い，圧力の境界条件には，Neumann 境界条件を用いる．また，主流に垂直な境界には周期境界条件を用いた．Reynolds 数は $Re=500$ とした．また，周期的な羽ばたき運動を十分な時間繰り返した後の，周期的な状態を初期条件として与える．主流方向 e。の計算領域の長さは 40$fi_{B}$とした．主流と垂直な方向 の境界条件には周期境界条件を用い，その周期は 10 とした．
計算領域は，主流方向に 1024 点，主流と垂直な方向に 256 点の等間隔格子によって離散化される．主流方向の微分は 4 次精度中心差分によって得られ，主流と垂直な方向の微分は Fourier$e_{y}$

級数によって評価される．

50$M2$$\theta_{a}-\sim\theta_{t}--\simeq^{\prime^{\vee’-\wedge^{->\sim_{\backslash }}\backslash }}---\wedge^{/_{----}^{/}}-\prime\backslash _{\backslash :_{\sim\sim-}^{\wedge\sim}}\backslash /\nearrow\sim$$\overline{\frac{\varpi_{\triangleleft}}{e^{\alpha}}}$$0$$\dot{\Phi}$$-M20$

63Time

図 2: $\eta=0$ の場合の，胸部姿勢角および腹部関節角．点線は 3 次元の蝶の観測から与えられる理想的な胸部姿勢角の関数形．(左) 流体による胸部重心まわりのトルクと腹部関節まわりのトルク．(右)6$0$12Time1824

図 3: 胸部姿勢角．左: $\eta=l_{t}/4$ , 右: $\eta=l_{t}/2.$

3

数値計算結果まず，実際の蝶の運動に近い $\eta=0$ の場合を考える．羽ばたき運動はを与えた．ここで，$C_{\beta}=7/10,C_{a}=\pi/12$ を用いた．羽ばたき運動 と腹部運動は，実際のアサギマダラの運動より関数形を決定した．羽ばたき周期 $T=6$ であり，換算振動数$t<0$ では $\theta_{t}=-C_{t}\sin\omega t(C_{t}=\pi/18)$ を与え，初期の場を生成した．
は 0.52 程度である．また，蝶の胸部姿勢角と，流体による胸部重心まわりのトルクと腹部関節まわりのトルクを図 2
左に示す．初期から半周期程度後のにおいて，となり，3 次元の蝶モデルの飛翔$\beta=C_{\beta}\cos\omega t,$$-C_{a}\cos\omega t$$\beta$$\theta_{a}=$$\theta_{a}$$\theta_{t}$$t\approx 3$$\theta_{t}>\pi/2$

計算同様に縦方向に不安定化していることがわかる．このとき，流体が蝶胸部に生成するトルクは負のトルクの大きさが，腹部関節の生成するトルクが正のトルクに比べて小さいために，蝶の胸部が立ち上がってしまう不安定性が生じた．

次に，3 次元の蝶のリードラグ角に相当する$\eta$を増加させ，翅の位置を相対的に下流に位置さ$\eta=0$ に見られた初期に胸部が立ち上がる不安定性はせる場合を考える．の場合には，抑えられたものの，約 4 周期後にとなり，頭部が下がり姿勢が維持できず不安定と(図 3 左) では，初期から 5 周期程度の揺らなる．(図 3 左) さらに，翅を下流に移動させた$\eta=l_{t}/4$$\theta_{t}<-\pi/2$$\eta=l_{t}/2$

ぎは大きいが，その後，胸部姿勢角はほぼ周期的な振動を繰り返し，飛翔は安定となる．

51
翅を下流に移動させることは，流体が翅上に及ぼす力の作用点，いわゆる空力中心や圧力中心を相対的に下流に移動させることに対応する．静止翼の場合，重心よりも空力中心が下流にある場合，飛翔が安定となることが知られている．[6] 振動翼の場合も，定性的には静止翼の場
合と同様に，流体力の作用点を下流にすることが飛翔安定化をもたらすことがわかる．ただし，振動翼の場合は，流体が及ぼす力の向きや大きさの変動が大きいため，空力中心の移動を含めた動的な解析が必要である．

実際，翅の前縁から剥離した渦が下流に移流されるにしたがって，圧力中心は下流に移動する．このとき，前縁剥離渦が生成され，剥離渦が $c_{m}=1$ の翅上を移動するのに要する時間は 3程度である．これは，羽ばたき運動の半周期程度であり，飛翔運動と剥離渦の移流との強い相関を表している．飛翔や遊泳を行う生物で，換算振動数が 1/4 から 1/2 程度に限られているのは，飛翔運動と渦運動の時間スケールの比が適切な領域にあることが求められるためだと考えられる．

4まとめ

本研究では，蝶の羽ばたき飛翔の縦方向安定化機構を調べるために，2 次元モデルを構築し，その数値シミュレーションを行った．このモデルにおいて，完全に周期的な羽ばたき動作は，ピッチ方向に不安定であり，3 次元の蝶の飛翔を再現した．一方で，翅を相対的に下流に移動させ，流体が及ぼす力の作用点をより下流にすると，能動的な制御を行わない周期的な羽ばたき運動も安定な飛翔を可能とすることがわかった．
本研究の数値計算は京都大学基礎物理学研究所の計算設備にて行った．

参考文献[1] Yokoyama, N., Senda, K., Iima, M., and Hirai, N., “Aerodynamic forces and vorticalstructures in flapping butterfly’s forward flight,” Phys. Fluids, Vol. 25, 2013, pp. 021902.

[2] Sane, S. P., Dieudonn\’e, A., Willis, M. A., and Daniel, T. L., “Antennal mechanosensors
mediate flight control in moths,” Science, Vol. 315, 2007, pp. 863.
[3] Srinivasan, M., Zhang, S., Lehrer, M., and Collett, T., “Honeybee navigation en route to$Exp$ . Biol., Vol. 199, 1996, pp. 237-244.
the goal: visual ffight control and odometry,”$J.$[4] Dudley, R., The biomechanics of insect flight: form, function, evolution, Princeton Univ.
$Pr.$ , Princeton, 2002.
[5] Tanaka, H. and Shimoyama, I., “Forward flight of swallowtail butterfly with simple flapping
motion,” Bioinsp. Biomim., Vol. 5, 2010, pp. 026003.
[6] John D. Anderson, J., Introduction to flight, McGraw-Hill, 6th ed., 2008.