シンガポールの教科書から学ぶ数学の指導法
2009SE059 堀部真未
指導教員：佐々木克巳

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はじめに

[4] によれば，近年，日本の学力低下や理系離れが問題とされている．そこで, ＩＥＡ国際数学・理科教育動向調
査 (TIMSS) で上位の学力を持つシンガポールの数学教育に注目した．シンガポールの教科書は，世界的にも注目されており，アメリカのカリフォルニア州ではシンガポー
ルの教科書を使ったことで，5 年生の統一試験で合格点をとる生徒の割合が増えたという例がある ([6])．
本研究の目的は，シンガポールの数学教育において，優れた点を見出し, 日本の数学教育に活かすことである．具
体的には，日本とシンガポールの教科書を使って，単元の導入や扱っている問題を比較する．

2

両国の教科書の比較(ii) 日本の教科書
三角形の合同を考えるために「△ ABC と合同な△ DEF を書く方法を考えます．はじめに，辺 BCと等しい長さの辺 EF をかきました．頂点 D はどのようにして決めればよいでしょう．
」という質問がある．
「EF=BC のほかに，∠ E=∠ B，∠ F ＝∠ Cとなるように点 D を決める」というのが１つの方法として挙げられ，さらに「EF=BC のほかに，∠E=∠ B，DE=AB となるように点 D を決めて，△DEF を書きなさい．
」「EF=BC のほかに，DE=AB，DF=AC となるように点 D を決めて，△ DEF を書きなさい．
」という問いが続いている．作図には，三角定規・コンパス・分度器を用いる．
三角形の合同条件は以下の 3 つである．

• 3 組の辺が，それぞれ等しいとき
日本とシンガポールの数学教育を比較するために，両• 2 組の辺とその間の角が，それぞれ等しいとき
国の教科書を比較した．用いる教科書は，シンガポール• 1 組の辺とその両端の角が，それぞれ等しいの 7，8 年生 (日本では中学 1，2 年生にあたる) の教科書
とき[5] と，日本の小学 5 年生〜高校 1 年生の教科書 [1,2,3] である．対象とした単元は，「正の数・負の数」，「方程式」， (iii) 考察「相似と合同な図形」，「三角法」である．本稿では，このシンガポールの教科書では，導入で，考えられるうちの「相似と合同な図形」から「合同な三角形の導入」
いろいろなパターン (6 つ) の作図をし，その中で必と「合同な三角形で扱う問題」を抽出して述べる．
ず合同になった条件のものを合同条件としている．
生徒は条件にそって自分で作図をすることによって，
2.1 合同な三角形の導入
合同になる場合とそうでない場合の作図ができるのこの節では，シンガポールの教科書 ([5])「8.1 合同なで楽しく学ぶことができるのではないかと考える．
三角形」と日本の教科書 ([2])「4 章 1 節１ 三角形の合
特に 2 や 5 は，できる図形が 1 つではないので，合同」を比較する．
同な図形をかく生徒もいれば，そうでない生徒もい(i) シンガポールの教科書
るので，できた図形を見せ合うことで発見できるこ合同な三角形の導入の例題は，三角形において，ともあると考える．
「1．2 辺とその間の角」「2．2 辺とその間ではない
合同条件は，シンガポールの教科書では 4 つ，日角」「3．2 つの角と 1 辺」
「4．3 辺」「5．3 つの角」
本の教科書では 3 つになっているが，これはシンガ「6．1 つの角が直角な三角形について，斜辺と他のポールの教科書では，直角三角形の合同条件も含ま1 辺」が与えられている三角形を作図するという問れているからである．日本では，直角三角形の合同題である．指定された角の大きさや辺の長さで三角条件として，「斜辺と 1 つの鋭角が，それぞれ等し形をかき，その書いた三角形と問いの横の三角形のい」「斜辺と他の１辺が，それぞれ等しい」である．
図が必ず合同になるかどうかを確認する．この 6 つ「斜辺と 1 つの鋭角が，それぞれ等しい」という条件の三角形を書くことによって，三角形の合同条件には，三角形の内角の和が 180 °であることから，「１ついて学ぶ．
組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という三三角形の合同条件は以下の 4 つである．
角形の合同条件で示すことができる．そのため，シンガポールの教科書では，三角形の合同条件と直角• 2 辺とその間の角（SAS）三角形の合同条件が合わせて 4 つになっているのだ• 2 角と対応する 1 辺（AAS）と考えられる．
• 3 辺（SSS）
日本の教科書の「1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」という条件は，シンガポールの教科書• 90 °，斜辺，1 辺（RHS）の「2 角と対応する１辺」という条件に対応する．こ
括弧内は，合同条件の省略形である．これらは，2．の， 対応する 1 辺 が分かりにくいので考える．22 節の例題で用いる．
つの角から，三角形の内角の和は 180 °であるという性質を用いて 3 角を求めておいて，間の 1 辺とすれば，対応する 1 辺も分かりやすい．このことを指導するとよい．次の節で扱う図??の例題は，日本式で考えると∠ D も考えることになるが，このステップは対応する辺を明確にする．

2.2

合同な三角形で扱う問題

この節では，シンガポールの教科書 ([5])8.1 の中の「合同な三角形を使って」と日本の教科書 ([2])「4 章 2 節 2合同条件を使った証明の進め方」を比較する．とくに，証明の記述の方法を比較する．

(i) シンガポールの教科書
シンガポールの教科書の例題についてみていく．
翻訳は図??の通りである．

図 2 日本の教科書 ([2]) 合同条件を使った証明

3
図 1 シンガポールの教科書 ([5]) 合同問題証明 1
最初の 2 つの下線部は，式の後ろに括弧書きで等式が成り立つ根拠を書いている．これは，この問題の条件などから明らかな場合である．
残りの 2 つの下線部は，上で述べた式から導かれている等式である．

(ii) 日本の教科書
日本の教科書 ([2]) の例題 (図??) における証明を見ていく．
➀➁➂の式が示される理由をそれらの式の前に記述している．合同な図形の性質として「対応する線分の長さはそれぞれ等しい」と学習しているが，証明の中でも丁寧に「合同な図形では，対応する辺の長さは等しいから，」という説明がされている．

おわりに本研究では、日本の教科書とシンガポールの教科書を用いて、単元の導入や扱う問題の比較を行った。その結果、どちらの教科書にも優れた点が見つかり、日本の教育に活用できそうな点も見つかった。今まで、日本の教科書しか見たことがなかった私にとっては、新鮮であり、新しい発見があった。これから、教師として指導していく際に、取り入れてみたいことも見つかった。今後も、教師として、よりわかりやすく指導できるように、今回比較できなかった単元についても研究をしていきたい。

参考文献[1] 大矢雅則 ほか 17 名：『新編 数学 I』．数研出版株式会社，東京，2012．
[2] 岡本和夫・小関熙純・森杉 馨・佐々木 武 ほか 39 名：『未来へひろがる 数学 1，2』．啓林館，東京，2012.

(iii) 考察『わくわく 算数 5 上』．
シンガポールの証明の書き方は，等しい辺や角を [3] 清水静海・船越俊介 ほか 49 名：
啓林館，東京，2012．
示してから根拠を書いている．日本の書き方は対照『人はなぜ数学が嫌いになるのか』．PHP的に，根拠を書いてから等しい辺や角を示している． [4] 芳沢光雄：研究所，東京，2009.
証明問題を苦手と感じる生徒が多いが，辺や角が理由から書かなければならないことばかり考えてしま [5] Sin Kwai Meng：『NEW ELEMEMTARY METHEうから，証明問題を難しいと感じる生徒が多いのだ
MATICS SYLLABUS D 1，2』．Marshall Cavendishと思う．証明問題を解くには，対応する辺や角の関Education，Singapore，2011．
係を調べて，合同条件を生徒にしっかり考えさせる[6] Los Angel times: March 09，2009.
指導をしていきたい．
http://articles.latimes.com/2008/mar/09/local/memath9