数理解析研究所講究録 1430 巻 2005 年 146-159

146

非線形

SCHR\"ODINGER 方程式の爆発解と NELSON 過程の道の幾何(FORMATON OF SINGULARITIES IN SOLUTIONS OF THENONLINEAR SCHR\"ODINGER EQUATIONS AND SAMPLE PATH

PROPERTIES OF THE CORRESPONDING NELSON DIFFUSIONS)(HAYATO NAWA)

名和 範人

大阪大学大学院基礎工学研究科 数理教室
ABSTRACT. 擬共型変換で不変となるような非線形 schr\"odinger 方程式の爆発解の爆発時刻付近の漸近挙動および極限形状について報告したい, このような不変性がある (時空 $1+d$ 次元の) 非線形 schr6dinger 方程式の爆発解は際立った特徴を持っている事が分かっている : 解の爆発現象は, 解析的にはコンパクト性の破綻とよばれる現象の一つであると見なすと, この ‘伏きな’ 群の作用が背後にあるカラクリであり, 幾何学のひとつの証でもある
でいう bubbI。と類似の現象でもある. さらに, 爆発解は, Brown 運動の ubiquitous
ような振る舞いをしていることも, だんだんと分かって来た.

0. sELF-FOCUSING OF LASER BEAM
非線形媒質中を伝播するレーザービームの自己集束を記述する, ひとつの数学的モデルとして, 非線形 Schr\"odinger
方程式が現れるのは良く知られている (例えば [12]). ここでは, Maxwell の方程式を基礎方程式として用いる従来の方法とは異なる見方を紹介したい.
. ここで, は媒質 0),
非線形媒質中の電磁場 を考える. 媒質の非線形効果は分極 に現われる :が電場の強度に感受率であるが.
を (非線形) 感受率とすれば,は真空の誘電率である. 今,{?}--磁気学の教えるところによれ
C ま、 屈だから,は比例定数とした)
比例するとすれば,(ここで右辺の$\epsilon \mathrm{E}=\epsilon_{0}\mathrm{E}+\mathrm{P}$$\mathrm{P}$$\epsilon$$\mathrm{E}$$\mathrm{P}=\chi_{e}(\mathrm{E})\mathrm{E}$$\chi_{e}$$\chi_{e}$$\epsilon_{0}$$\chi_{e}=\chi_{\mathrm{e}}|\mathrm{E}|^{2}$

折率 $n$ は$n^{2}=\epsilon$$\chi_{e}$を満たすので,$n^{2}=\epsilon_{0}+\chi_{e}|\mathrm{E}|^{2}$となる.

Fermat の原理によれぽ, 媒質中の 2 点$p_{1\backslash }p_{2}$infを結ぶ幾何光学的軌跡は、$c$

を真空申の光速度として,$\frac{1}{c}\int_{p_{1}}^{p_{2}}ndl$

なる変分問題で特徴付けられるから, (局所座標系で) 幾何光学的軌跡は計量(0.1)$ds^{2}=n^{2}dl^{2}=(\epsilon_{0}+\chi_{e}|\mathrm{E}|^{2})(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$に対する測地線の方程式を満足することになることに注意しよう.
今, 非線形媒質中に直交座標系 O-xyz を設定し, xyy 平面に垂直に, zz 軸に平行に単色光 (レーザービーム) が伝播して行くとする. $k>>1$ として, その電場$\mathrm{E}$が$\mathrm{E}(x, y, z, t)=\Re\frac{1}{k}\overline{\mathrm{E}}(\frac{x}{k},$$\frac{y}{k},$$\frac{z}{k^{2}})\exp(\mathrm{i}(k_{\sim}^{\gamma}-\omega t))$をこの系の特徴的 f5i\S さ (speci 且 lengffi), ビームの進行方向を表す変数と表されているとする. Y‘R 数の逆数
は, 所謂, 遅い変数 (stow variable) と考える. このとき, $V$ を$\mathrm{c}$$z$$\frac{1}{k}$$V( \xi, \eta, \zeta)=|\overline{\mathrm{E}}(\frac{x}{k},$$\overline{k^{2}}\sim 7|^{2}$$\frac{y}{k})$,$\xi=\frac{x}{k},$$\eta=\frac{y}{k}$$\zeta=\frac{z}{k^{2}}$Typeset by$AJ\Lambda S- \mathrm{I}\mathrm{p}\mathrm{C}$147と定義すれば, ビームの強度分布 $I$ は$I(x,y, z)= \frac{1}{k^{2}}V(\frac{x}{k},$$\frac{y}{k},$$\frac{z}{k^{2}})$,で与えられる. 今, 定常的にビームが xyy 平面に入射されていることから$\frac{d}{dz}\int\int_{\mathrm{R}^{2}}I(x, y, z)dxdy=0$であることに注意しよう. レーザービー\Delta の自己集束を, 少々無理があるかもしれないが, 数学的に表現すれば : 強度
分布 $I$ は(0.2)$I(x, y, z)dxdy arrow\sum_{j=1}^{L}A_{j}\delta_{a_{\mathrm{j}}}(dxdy)+r(x, y)dxdy$

as,$z\uparrow z_{0}$はを満たすこととなろうか (収束は測度の弱収束の意味である). ここで, $A_{j}(j=1,2, \cdots, L)$ は正数,
実際には,光の持つ不確定性
上の
は
測度であり
,
‘Ilx
関数
‘
である
.
次元
に集中した
2
Dirac
xyy 平面の点と考えているようなモデルでは許容されるにより, Dirac 測度のような特異点は表れないのかもしれないが,べきものかも知れない.
または $V$ を与えてくれる法則 (方程式) を探していることになる. 以上の仮定に我々は, なんらかの形で, この$\mathit{5}_{a}(dxdy)$

$r$

$a$

$\mathbb{R}^{2}$$\frac{1}{h^{2}}\approx 0$

$I$

より,

(0.1) は

(0.3)$ds^{2}=n^{2}dl^{2}=(k^{2}\epsilon_{0}+\chi_{e}V(\xi, \eta, \zeta))(d\xi^{2}+d\eta^{2}+k^{2}d\zeta^{2})$と書けるので, 実際に測地線の方程式を求めてみると,$s\approx k\zeta$という仮定のもと$\frac{1}{k^{\wedge}}$の高次の項を落とすと$\frac{d}{d}\zeta 4_{2}2=\frac{1}{2}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{e}_{h}}\epsilon_{0}+\oplus^{V}\frac{\partial V}{\partial\xi}$

(0.4)

$\{$

$\frac{d}{d}\zeta^{2}\Delta 2==\sim\frac{\partial V}{\partial\eta}$となり, 空聞の第 3 軸方向の変数を時間軸とみなした Newton の運動方程式が得られる. 対応する波動光学は, この軌

い椶 す」方法の一つとして. Nelson の確率
程度 r ぼかした」 ものと考えられる. この跡を分布 $V$ を持つように対応する過程は
過程量子化 $[9,10]$ の精神に則つとると (この小文の剛節も参照),$\frac{1}{k}$$dX\zeta=b\langle X\zeta,$ $t)d\zeta+\sqrt{\frac{1}{k}}dB\zeta$

(0.5)

,

$\{$

$b= \frac{\hslash}{m}(\Re+\Leftrightarrow s)\frac{\nabla\psi}{\psi}$を満足し, ここで, 分布 $V$ を決定する(0.6)$\frac{V}{k^{2}}\ll 1$$\psi$

は次の Schr\"odinger 方程式の解である :$\{2\mathrm{i}\frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial\zeta}+\frac{1}{k^{2}}(\frac{\partial^{2}}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial\eta^{2}})+\frac{1}{\in 0}\ln(1+\frac{\chi_{e}}{k^{2}\epsilon_{0}}V(\xi, \eta, \zeta))\}\psi(\xi, \eta, \zeta)=0$.

のとき, これは(O.7)$2i \frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial\zeta}\psi+\frac{1}{k^{2}}$$($ $\frac{\partial^{2}}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial\eta^{2}})\psi+\frac{\chi_{e}}{\epsilon_{0}}V(\xi,$$\eta,$$()\psi=0$と近似でき, また $IkV\approx 1$ のときも漸近展開の第一項までの近似と思えば正しい式である. または, ビームの強度 $V$ のが定数のように見える) べきかもしれない.
が岡りこまれている」 と考える ((0.4) で,大きなところでは,$\mapsto_{k}^{V}\mathrm{e}$$\chi_{e}$の「分布」はNelson の確率過程量子化の処方せんでは, 幾何光学的な光跡としてしまえば, 非線形$(V\propto|\psi|^{2})$ ,非線形の前の定数を
1度分布を与えるはずだからいずれにせよ,$X_{\zeta}$$|\psi|^{2}$であり, これが強$\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{r}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}$(0. S)

方程式$2i \frac{1}{k}\frac{\partial}{\partial\zeta}\psi+\frac{1}{k^{2}}(\frac{\partial^{2}}{\partial\xi^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial\eta^{2}})\psi+|\psi|^{2}\psi=0$を得る. これが $V$ を、 即ち, 強度分布 を決定する方程式である. この考え方の利点は, 自然に復素振幅が得られる
が近似パラメーターであることが明確になっていることである.
ことと, 波数の逆数
この小文では, 実際に (0.8) の爆発解と呼ばれるものが, (0.2) のように振る舞うことを数学として証明することができることを紹介し (第 2 節), さらに詳細な爆発解の性質を知るためには, 上記に導入した Nelson 過程 (0.5) の解(弱解 $=$ 道の空間の上の測度) を考察することが重要であることを報告したい (第 3 節).
$I$$\frac{1}{k}$148
1. NONLINEAR$\mathrm{s}\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{R}\dot{\mathrm{O}}$DINGER EQUATIONS

前節で導出した Schr\"odinger 方程式 (0.S) を一般化して ( $k=1$ と無次元化しておく),線形相互作用を持った Schr\"odinger 方程式の初期値問題を考える.

,

(NLS)

$2 \mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}+\triangle\psi+|\psi|^{p-1}\psi=0$$(x, t)\in \mathbb{R}^{d}\mathrm{x}$$1+d$ 時空で次のような非

R十

$\{$

(IV)

$\psi(0)=\psi_{0}\in H^{1}(\mathbb{R}^{d})$$d=1,2$ のとき 2‘ $=\infty$ ) である. このとき
実であ長時刻) が存在することは
解 ( $T_{m}>0$ は解の最$\psi\in C([0, T_{m});H^{1}(\mathbb{R}^{d}))$ なる一
な
’S7):
’79,
Kato
り, 次の「粒子数」 とエネルギー (ハミルトニアン) の保存則が成立する (Ginibre-Vetoとし ( $d\geqq 3$ に対し

ここで, $p\in(1,2^{*}-1)$$2^{*}= \frac{2d}{d-2},$$\Theta \mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\theta\supset \text{事}$$\text{大}\mathrm{L}\mathrm{j}\mathrm{E}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\#\backslash 7$$\mathrm{f}\mathrm{f}\doteqdot \text{間}\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{P}7\mathrm{i}$$||\psi(t)||^{2}=||\psi(0)||^{2}$;$\mathcal{H}_{p+1}(\psi(t))\equiv||\nabla\psi(t)||^{2}-\frac{2}{p+1}||\psi(t)||_{\mathrm{p}+}^{p+}\}$.

$=\mathcal{H}_{p+1}(\psi_{0})$ノル\Delta である. 特に $q=2$ のときは, 単に\iota ま空間変数に関する$(p=1+\frac{4}{d})$ に興味がある :我々は特に 「擬共型」不変な場合

ここで,

$||$

$L^{q}$$||_{q}$(NSC)$2 \mathrm{i}\frac{\partial\psi}{\partial t}+\triangle\psi+|\psi|^{4/d}\psi=0$$||\cdot||$.

と添字を省略する.

.

この場合のハミルトニアンを$\mathcal{H}(\psi(t))\equiv||\nabla\psi(t)||^{2}-\frac{2}{2+\frac{4}{d}}||\psi(t)||_{2+}^{2+\frac{4}{\frac{4d}{d}}}$と書くことにする. 空間次元が 2 のとき, 即ち $d=2$ のとき, (NSC) は前節 (0.8) 式 $(k=1)$ となる.
f\ell f
以下に見るように\hslash E 式の解\emptyset ’E 質と
この $p=1+ \frac{4}{d}$ という指数は, -E すると不,\yen b‘-ffi\rightarrow -- に思え$\text{る}\mathrm{B}\backslash ^{\backslash }$.

係があり, 非線形項が 3 次であることは方程式の解の性質とはあまり関係がない ; 非線形の指数は次元と競合するのである 4
極めて prgamatic には, 擬共型不変性とは第 2 節の (2.1) 式で与えられるような時空の変換に対して方程式が不変でのときに限り不変となる). この方程式 (NSC) が持つ見かけ上あることと理解してよいのだが ( (NLS) は$p=1+ \frac{\mathit{4}}{d}$の性質が解のそれにも受け継がれている.

次のように, fa 数 $p=1+ \frac{4}{d}$ を境にして, 方程式の記述する 「世界」は劇的に変化する (この$\text{意}\Re$で,$p=1+ \frac{4}{d}$を臨界指数 critical power と呼ぼう) :(1) Case 1: $p<1+ \frac{4}{d}$ の場合
常に $T_{m}=\infty$ (時間大域解) である : エネルギーの保存則に次の Gagliardo-Nirenberg 不等式を用いると,の apriori 評価を得ることができる.
$||\nabla\psi(t)||$$||f||_{p+1}^{\mathrm{p}+1}\leqq C||f||^{p+1-\frac{d}{2}(p-1)}||\nabla f||^{\frac{d}{2}(p-1)}$.

の場合(2) Case 2:
爆発解に接続する初期値のクラスが存在する (すべての解が爆発する訳ではなく, 漸近的に自由な解や定在波解など大域解も存在し, 解の世界は多様である). ここで爆発解とは,$p \geqq 1+\frac{4}{d}$$T_{m}<\infty$,$\lim_{tarrow T_{m}}||\nabla\psi(t)||=\infty$となる解を指す.

爆発解の存在は, 重み付きの空間では, 次の Virial 等式から示せる (Zakharov ’72, Glassey 77, M. Tsutsumi ’78) :$|||\mathrm{x}|\psi(t)||^{2}=|||\mathrm{x}|\psi(0)||^{2}+2t_{S}^{\triangleright}\langle\psi(0), \mathrm{x}\cdot\nabla\psi(0)\rangle+t^{2}\mathcal{H}_{p+1}(\psi(0))$-$\frac{d}{p+1}$

(

$p+$

$1$

$-(2+ \frac{4}{d})$)$\int_{0}^{t}(t-\tau)||\psi(\tau)||_{p+1}^{p+1}d\tau$,$?4_{p+1}(\psi(0))<0$ の時,

解が時間大域的に存在するとすれば, 有限時間で右辺がゼロとなり矛盾する.

(1.1)$|||\mathrm{x}|\psi(t)||^{2}=|||\mathrm{x}|\psi(0)||^{2}+2t\Im\langle\psi\langle 0), \mathrm{x}\cdot\nabla\psi(0)\rangle+t^{2}\mathcal{H}(\psi(0))$

き, Virial 等式は次のような簡単な形になることに注意 :この事実は. $p=1+ \frac{4}{d}$ の場合に方程式の持つ対称性 (擬共縞馬変性) によるものと言える.
擬共型不変性についての詳細は, 拙文 [7] や Sulem-Sulem[12] を参照されたい.

$p=1+ \frac{4}{d}$

のと

149
2. BLOWUP SOLUTIONS AT CRITICALITY
擬共型不変な場合, 即ち $p=1+$ -d4 の時, 次のような変換 (これは伸長変換 (dilation) と擬共型変換 (psedo-conform al’S6) :
transformation) を合成したものである) を用いて爆発する特解を作れる (Weinstein ’S6,$\mathrm{N}$(2.1)$[ \mathcal{G}(T)\psi](x, t)=(T-t)^{-d/2}\exp\{-\frac{\mathrm{i}|x|^{2}}{2(T-t)}\}\psi(\frac{x}{T-t}$

を, 定在波解$Q(x)e^{i\frac{t}{2}}$($Q$$\frac{t}{T(T-t)})$,$T>0$ ;

は $\triangle Q-Q+|Q|^{4}3Q=0$ の解) に作用させることにより$\overline{Q}(x, t)=(T-t)^{-d/2}\exp\{-\frac{\mathrm{i}|x|^{2}}{2(T-t)}\}Q(\frac{x}{T-t})\exp(\frac{\mathrm{i}t}{2T(T-t)})$を得る. この解は$\lim_{tarrow T}||\nabla\tilde{Q}(t)||=\infty$,,$\lim_{tarrow T}\int_{\mathrm{R}^{d}}|x|^{2}|\tilde{Q}(x, t)|^{2}dx=0$$\lim_{\mathrm{t}arrow T}|\overline{Q}(x, t)|^{2}dx=||Q||^{2}\delta_{0}(dx)$を満たし, 我々の目標が正しそうであることを示唆してくれるが, 実は,
除くと, それほど 「一般的 (generic) 」 なものではない.

Dirac 測度的な特異点が現れるという性質をでは, 一般的な爆発解はどのようなものであるのかを Theorem 1(とそれ以降の議論) として提示する前に, 少しだけ定在波解について触れておこう. $p=1+ \frac{4}{d}$ の時, 定在波解のうちの基底解 (ground state) は$f \in H^{1}(\mathrm{R}^{d}\inf_{f\not\equiv 0})\{||\nabla f||^{2}+||f||^{2}-\frac{2}{2+\frac{4}{d}}||f||_{2+\frac{\frac{4}{d4}}{d}}^{2+}|\mathcal{H}(f)=0\}$

で特徴付けられるが, 以下の変分問題と同等なものとなる.

(2.2)$N_{1}:= \inf_{f\not\equiv 0}f\in H^{1}(\mathrm{R}^{d})\{||f||^{2}|\mathcal{H}(f)\leqq 0\}$(2.3)

$N_{2}:= \inf_{f\not\equiv 0}\frac{||f||^{\frac{4}{d}}||\nabla f||^{2}}{||f_{1}^{\mathrm{I}}|_{2+}^{2+\frac{4}{\frac{d4}{d}}}}J\in H^{1}\langle \mathrm{R}^{d})$,.

二つの変分値は無関係なものではなく,$N_{2}= \frac{2}{2+\frac{4}{d}}N_{1}^{\frac{2}{d}}$なる関係があり, 特に$N_{2}$

は補間不等式の最良定数を与える :$||f||_{2+\frac{\frac{4}{d4}}{\mathrm{d}}}^{2+} \leqq\frac{1}{\Lambda_{2}^{r}}||f||\mathrm{a}||\nabla f\cdot||^{2}4$.

実際に下限を実現するのが基底解 Qg で, それは次の間題の球対称な正値解である (Weinstein ’83,$?t(Q_{g})=0$ ,$N_{2}= \frac{2}{2+\frac{4}{d}}||Q_{g}||^{4}\mathrm{z}$,$\triangle Q_{g}-Q_{g}+|Q_{g}|^{\frac{4}{\mathrm{d}}}Q_{g}=0$.

$\mathrm{N}’ 94$

) :

150
以上の情報は, 以下の Thoerem 1 の記述および証明にとって重要である. 実際$\mathrm{N}’ 94$にお b) ては,変分問題 (2.2)

を解く方法が Theorem 1 の証明の雛形となった.
いよいよ,

一般的な爆発解がどのような振る舞いをするのかを見ることにしよう. そのために, 今日では「くりこみ群的手法」 と呼ばれるようになった方法を導入する.

を (NSC) の爆$\psi$$\not\equiv \mathrm{g}h\not\equiv$とし, 時間列$\{t_{n},\}$,

スケールパラメーターを$\{\lambda_{n}\}$$t_{n}\uparrow T_{m}$,$\sup_{t\in[0,t_{n})}||\psi(t)||_{2+\frac{4}{d}}=||\psi(t_{n})||_{2+\frac{4}{d}}$$\lambda_{n}=\frac{1}{||\psi(t_{n})||_{2\dotplus\frac{\frac{2}{d4}}{d}}^{1+}}$

と定めて,

,

.

これらを用いて爆発解を scale down して作られる関数列 (時間推進, 伸長変換と時間反転を行っている)(2.4)$\psi_{n}(x, t):^{\mathrm{d}}=^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\lambda^{\frac{d}{n^{2}}}\psi(\lambda_{n}x, t_{n}-\lambda_{n}^{2}t)$b‘を考察する (ここで,$\{\psi_{n}(x, t)\}$ の $narrow\infty$ での振るの振る,

$n=1,2,$$\cdots$

:

,

’
は,
数列
を表す). F\Gamma bae\not\in F の ae\mbox{\boldmath $\theta$}寺間近傍での振るの上のバーは4\acute k‘\Rightarrow lf|J 不変性より, \psi \sim よ. 時
として符号化 (encode) されたこと \iota こなる.
しよう. また, ここでを西とする (NSC) の解であるることに$\text{第}\mathrm{A}^{\mathrm{a}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}\not\equiv_{\text{、}J\backslash \dagger\S}\lrcorner\pm$$\psi$$\text{第}\mathrm{A}\backslash$$\text{注_{}\mathrm{R}}^{\Rightarrow}\backslash \llcorner$

で岡りこまれた」とは言えず, 時間推進と伸長の 「半直積」 Q よ$t_{n}=T_{m}$ と採ることはできない. それ故に, 厳密には 「くりこみ群」「非線形な対応」 となっているので, 岡りこみ変換」 と言った方がいいかもしれない.
の素性がハッキリとしている
半線形の熱方程式の場合のように爆発のオーダーが分かっている場合には, 上記の刻$\lambda^{\frac{d}{},2b}.,\overline{\psi(\lambda_{n}x,t_{n})}$$t_{n}$$\mathrm{h}\mathrm{I}3\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}$$\lambda_{n}$その不動点である自己相似解が 1 発解の生
$t_{n}=T_{m}$ と見た, 伸長変換群による繰り込み操作だけでよく,成する特異点の特徴付けに重要な役割を果たす (Giga-Kohn ’89). しかし我々の場合はそうではない. だが, 「悪いこ訳だから?

特異点の近傍だけではなく爆発解の全体像に関する情報もある程度得られる.

と」 ばかりではなく, 我々の場合では,

関数列 $\psi_{n}.(x, t)$ の関数空間 $C([0, T];L^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ (for any $T>0$ ) 内での振る緻 (コンパ
追跡することにより, 次の定理を得る $(\mathrm{N}’ 94, ’ 99[7])$ :$\backslash$

Theorem 1$\text{ク}\vdash$

We have:$. \psi_{n}(x, \partial)\sim\sum^{L}\psi^{j}(x-\gamma_{n}^{j}, t)+\varphi_{n}(x, t))$(2.5)

$narrow\infty$$j=1$

in the strong topology of $C([0, T]; L^{2}(\mathbb{R}^{d}))$ (for any $T>0$ ). Here,’s are solutions of (NSC) in(i)solves.
(ii)$C_{b}(\mathbb{R}_{+}; H^{1}(\mathbb{R}^{d}))w?th\mathcal{H}(\psi^{j})=0_{i}$$\psi^{j}(x, t)$$\varphi_{n}(x, t)$,$(x, t)\in \mathbb{R}^{d}\mathrm{x}\mathbb{R}_{+}$$2 \mathrm{i}\frac{\partial\varphi_{n}}{\partial t}+\triangle\iota\rho_{n}=0$

$\{$

,

$\varphi_{n}(x, 0)=\psi_{n}(x, 0)-\sum_{j=1}^{L}\psi^{j}(x-\gamma_{n}^{\mathrm{j}}, 0)$’s are solutions of the freethat is,are in(iii) the sequences$Sch\tau\dot{o}d\mathrm{i}nger$$\varphi_{n}(x, t)$$\{\gamma_{n}^{1}\},$$\{\gamma_{n}^{2}\},$$\{\gamma_{n}^{L}\}$$\cdots,$$\lim_{narrow\infty}|\gamma_{n}^{j}-\gamma_{n}^{k}|=\infty(j\neq k)$$\mathbb{R}^{d}$$x\in \mathbb{R}^{d}$,equation; and$stch$ that.

In the original utorld of , toe have$\psi$$\lim_{narrow\infty}\sup_{t_{n}t\in[-\lambda_{n}^{2}T,t_{n}]}||\overline{\psi(\cdot,t)}-\sum_{j=1}^{L}\psi_{n}^{j}(\cdot,t)-\tilde{\varphi}_{n}(\cdot, t)||=0$

with$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\iota\lambda_{n}^{2}$$narrow\infty$$\sup$$t\in[t_{n}-\lambda_{\mathrm{n}}^{2}T,t_{n}]$$||\overline{\varphi}_{n}(t)||_{2+\frac{\frac{4}{4d}}{d}}^{2+}=0$,,性の破綻の様子) を

151
where
$\psi_{n}^{j}(x, t)=\frac{1}{\lambda_{n}^{d/2}}\psi^{j}(\frac{x-\gamma_{n}^{j}\lambda_{n}}{\lambda_{n}},$ $\frac{t_{n}-t}{\lambda_{n}^{2}})$$\overline{\varphi}_{n}(x, t)=\frac{1}{\lambda_{n}^{d/2}}\varphi_{n}(\frac{x}{\lambda_{n}},$.

$\frac{t_{n}-t}{\lambda_{n}^{2}})$

この定理の証明を若干改良すれば, もし, 測度の族 $\{|\psi(x, t)|^{2}dx\}_{0\leqq t<T_{m}}$ が緊密 (tight)$R>R_{0} arrow\sup_{t}\int_{|x|>R}|\psi(x, t)|^{2}dx<\epsilon)$

(2.6)

であれば

$s_{n}:=t_{n}-\lambda_{n}^{2}$$\exists R_{0}>0\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

T. なる列にそって (必要なら部分列を取る),

as$| \psi(x, s_{n})|^{2}dxarrow\sum_{j=1}^{L}||\psi^{j}(0)||^{2}\delta_{a^{j}}(dx)+\mu(dx)$なる収束が測度の弱収束の意味で成り立つことを示せる. ここで, 測度$(\forall\epsilon>0,$

$\mu$

は

$narrow\infty$$|\overline{\varphi}_{n}(x, t)|^{2}dx$の極限として得られるものである.

Theorem 1 の内容を標語的に言えば, 考えている 「系の特徴的な解 (ゼロエネルギーの時間大域解)」が, 作用している 「ノンコンパクトな群 (伸長変換と平行移動) の軌道」 に乗って 「(関数空間の) 無限の彼方」へと逃げていく

これを爆発解の振る舞いに則して言えば, 爆発時刻付近での解の漸近展開第一項は, (NSC) それ自身の.‘零エネルギー’. を持つ (有界な) “時聞大域解” (定在波解がこれらの性質を持っている) を相似変換して得られる“有限個の特異点” の重ね合わせで記述され, また漸近展開第二項目以降は, まだ “干渉性” を持った自由 Schr6dinger 方
程式の解を用いて表現されると言うことになる : この事より解の絶対値の自乗は爆発時刻において Dirac 測度的特のである.

異点を持つことを示すことができて, レーザービームの自己集束のモデルと言う観点からは, ビームが有限個の焦
げつきを作ったことになる : 漸近展開第二項目以降はコンピュータを用いた数値実験等によれば, “肩’. と呼ばれる“非特異” な部分を作ることになる.
ここで大事な点は, 関数列証明の中で鍵となっているのは,$\{\psi_{n}\}$のコンパクト性が崩れて行く過程で,と仮定すると出て来る,$\psi^{j}$

達が有限個しか出てこないことである.

$L=\infty$$\lim\sup_{j}\sum_{=1}^{k-}\mathcal{H}(\psi^{j})\leqq 0karrow\varpi$について冗 (\psi j) $=0$ を証明することが肝要で, そのために, 以下の Theorem2(これ自身, 爆発解の存在定理として重要である ; 解が属する空間は Virial 等式 (1.1) が使える空間よりも広いことなる不等式である. これからすべての$j$に注意) を用いている $(\mathrm{N}’ 93,99[7])$ :Theorem 2.
$\mathcal{H}(\psi_{0})<0\Rightarrow t\in[0,T_{m})\sup||\nabla\psi(t)||=\infty$If$T_{m}=\infty$.

, we have that, for any $R>0$ ,.

$\lim_{tarrow}\sup_{\infty}l_{|x|>R}|\nabla\psi(x, t)|^{2}dx=\infty$

達は, すべてゼロ以上のまネルギーを持つ $(?t(\psi^{j})\geqq 0)$ ことが分かるから,
この定理から, 極限として得られるが分かり, $L<\infty$ が結論される. また次である. そして, 変分値駈の特徴付けより$\psi^{j}$$||\psi^{j}(\mathrm{O})||^{2}\geqq N_{1}$$?t(\psi^{j})=0$の等式も成立する :$|| \psi_{0}||^{2}=\sum_{j=1}^{L}||\psi^{j}(0)||^{2}+\mu(\mathbb{R}^{d})$. 初(原点は常に「爆発点」である) ことを付け加えておこう.
は消えることはないことも分かっている
測度の族$,99[7]).\cdot$$\{|\psi(x, t)|^{\mathit{2}}dx\}_{0\leqq’<T_{m}}$$(\mathrm{N}’ 99[7])$:$\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{値}$$\psi_{0}$が球対称である時は, $L=1$ で $\alpha^{1}=0$ となる

また, 爆発する特解とは違い, 一般に測度$\overline{Q}(x, t)$$\mu$に相当する部分のような爆発解は稀な存在なのである.

の緊密性 (tightness) についても簡単に触れておこう. 次の定理が成り立つ$(\mathrm{N}$152
Therorem 3. Suppose that $p=1+ \frac{4}{d}$ . Suppose one of the following two conditions holds:,(i) $d=1$ andbeing radially $symmetr\tau c$ . Then we have $T_{m}<\infty$ , that is, the corresponding(ii) $d\geqq 2_{f}H(\psi_{0})<0$ andmeasuressolutionof (NSC) (IV) blows up in finite time . Furtherrnore the farnily of Radontight.
isdefined by the solution$\mathcal{H}(\psi_{0})<0$$\psi_{0}$$T_{m}$-$\psi$$\psi$$\{|\psi(X_{\rangle}t)|^{2}dx\}_{0\leqq t<T_{m}}$実は,かつb 付きの空聞 :にも, 接己の旧.ff\breve #に関する#o\neq Theorem 3 を用いている.
ffi|」gの族 $\{|\psi(x, t)|^{2}dx\}_{0\leqq t<T_{m}}$のとき,$T_{m}<\infty$
ならば Virial 等式 (1.1) が使えるので,$-\#$.g の場合\iota gffl\mbox{\boldmath $\xi$} しい. 重み $|x|$ を「うまく肖]」って」Theorem 2 の$|x|\psi_{J_{0}}\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$$\psi_{\mathit{0}}\in H^{1}(\mathbb{R}^{d})$$\acute{\emptyset}-\vec{-}\mathrm{g}_{\mathrm{B}}\mathrm{B}$$\cdot$は, いつで b\S ‘密 (tight) であることは容易に分かるのだが,そのためには工夫が必要で,

mass を制御するのだ力’ ,Virial 等式の局所化されたものを考えて, 無限遠方でのその空間の. 院質として無限遠方で(2.2) や (2.3) を局所化した問題と組み合わせて証明を行う. 重み付きの空間で C よ,$\backslash$$L^{2}$

このよう \iota こ無限遠の振る舞いが制限されているので, 爆発解の存在証明は容易となってし) たのである. –般の場合 O こ,
爆発のオーダーが分力‘ってしまうと, 突然に方での解の挙動を制御することは容易なことではないようであるのだが,それを次章に見よう.
.
「双対的」なのかもしれな;
時問の「端」は空聞のそれと「世界」 は「平和」なものとなる$1_{J}\backslash$

その前に,

ここで,

以上のような解析の不満な点 (問題点) を整理しておく.

問題点(1) 漸近形を与える, エネルギーゼロ, 遅動量ゼロの解は定在波解だろう力)\sim
特異点の個数\yen fffi. される場所カミ点 FfJ\emptyset び(2) 離散的くりこみ群を連続的なものにかえられるか? この定理では,もあり得る.
極限形状において方によることを否定できない.
7
は絶対連続であろうか(3) 極限形状に現れる測度[
ものであろう力 ?
(4) ゼロエネルギーを持つ時間大域解の集合は「豊か」 であろう力 , それともいつでも緊密(tight) であろうか(5) 爆発解から定義される Radon 測度の族 $\{|\psi(x, t)|^{2}dx\}_{0\leqq t<T_{m}}$ は,的なもの
りこみ変換 (2.4) を用いる方法は, ある 1Ff\doteqdot \Re &\mu -て去ることによって, 考えている系の(6)‘$a_{i}=a_{j}(i\neq\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\mu$$\mathrm{a}$$\text{度せ}_{\acute{\llcorner}}\mathit{1}$$\backslash$$\eta$$\text{を我_{}A}^{\backslash }\tau$$\text{特_{}\backslash }’P\mathrm{g}$$\langle$の前に明らかにしてくれている, この場含 失った月報は解$\psi$の位相$\Pi\psi\psi$

に関するものである.

$\psi$を場と見れ

ば, 運動量に関する情報を失っている.
上にも述べたが,これらの問題 (の一部は) は爆発のオーダーと密接に結びついて$1_{\mathit{1}^{\mathrm{a}}}$る.

3. LOGLOG LAW AND NELSON DIFFUSIONS
爆発解のオーダーを決定することは, 数値解析や漸近解析ではずいぶんと以前から積極的に行われて来た (Sulem-Sulem’99[12] を参照). 擬二型不変な場合に対する, その結果 (予想) は$||\nabla\psi(t)||\wedge\cdot\sqrt{\frac{\ln\ln(T_{m}-t)^{-1}}{T_{m}-t}}$loglog law と呼ばれている. 数学的には, 下からの評価が以前より知られて l‘て (Y.Tsutsumi ’89,
Cazenave-Weissler’90).
であり,$|| \nabla\psi(t)||\geq\frac{1}{\sqrt{T_{m}-t}}$.

まだ予想との閤には少しギャップがあった. ところが, 先に紹介した定在波解から 「翻心型変換」で作られた,
爆発する特解の爆発 4–ダー.
である.

$t\mathrm{h}$$|| \nabla\psi(t)||\wedge\cdot\frac{1}{T_{m}-t}$となっていて悩ましい. 爆発のオーダーという観点から見た場合も特解は一般的ではないようだ.
最近になって, 基底定在波解の近くの爆発解に対して$||\nabla\psi(t)||<\sqrt{\frac{\ln\ln(T_{m}-t)^{-1}}{T_{m}-t}}\sim$

なる評価がなされた (Perelman 2001 [11], Merle-Raphael 2003 [6]), 予想にかなり近付いたが, 両者とも定在波解での線形化作用素のスペクトルに関してある仮定をおいているようである. Merle-Raphael は現在も精力的に研究を153続けているが, 「大きな」解に対しては未解決であり, log log 型が現れるカラクリが明らかにされたとは言えないように思える. 因に, $p>1+ \frac{4}{d}$ 場合は, 数学的には未解決であるが, 予想は$||\nabla\psi(t)||\wedge\cdot\sqrt{\frac{1}{(T_{m}-t)^{E_{\frac{+1}{-1}-\frac{\mathrm{d}}{2}}}p}}$である. しかしながら下からの評価は数学的として厳密に得られていて (Y.Tsutsumi ’89,$\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}-\mathrm{W}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{s}^{\urcorner}1\mathrm{e}\mathrm{r}’ 90$) :.

$||\nabla\psi(t)||\geq\sqrt{\frac{1}{(T_{m}-t)^{L}p-+\frac{1}{1}-\frac{d}{2}}}$

上からの評価が欲しいところだ. 面白いのは, この爆発オーダーは半線形の熱方程式の場合と同じであって, 「代数的」な指数しか現れていない. なぜ, $p=1+ \frac{4}{d}$ のときだけ, 重対数補正が必要になるのかは考えるべき課題であるように思われる.
実は, 擬三型不変な場合 (即ちの爆発解に対して) は, loglog law が正しいとすると, Theorem 1 の結果
において (極限形状を考える際), 特異点の配置やその個数は時間列の取り方に依存せずに一意的に決まってしまう. このような意味でも爆発オーダーの決定は数学的に重要な問題であると言える. 証明は, 関数解析的にもできる , 確率過に従2001 [8] : Carlen’S3[1],程 (Nelson diffusion と呼ばれる [9,10,1]) を用いる方法を紹介しよう
上にえば ([3] も参照), 道の空間$(\mathrm{N}8\mathrm{C})$$h^{\mathrm{t}}$$\dot{\prime}\mathrm{S}5[2]$$)$$(\mathrm{N}$$\Gamma\equiv C([0, T_{m});\mathbb{R}^{d})$$2[X \text{重}\in dx_{\rfloor}^{\rceil}=\frac{|\psi(x,t)|^{2}dx}{||\psi_{0}||^{2}}$なる確率測度 $P$ を作ることができる.

ここに$X_{t}$

は$X_{t}(\gamma).--\gamma(t)$なる 「確率変数」 である.

,$\gamma\in\Gamma$

このような測度 $P$ は次の伊藤型確率微分方程式$dX_{t}=b(X_{t}, t)dt+dB_{t}$の弱解として得られる.

ここで,$B_{t}$

は標準 Brown 運動であり, 移流項$\Re\frac{\nabla\psi(x,t)}{\psi(x,t)}$$u(x, t)\equiv\{$

Shr\"odinger 方程式の解は,$\psi$から, if $\psi(x, t)\neq 0$
if $\psi(x_{1}t)=0$ ,0,$s \frac{\nabla\psi(x,t)}{\psi(x,t)}\propto$,$v(x, t)\equiv\{$.

$b$

if $\psi(x, t)\neq 0$
if $\psi(x, t)=0$$||||$$0_{7}$.

$1\mathrm{J}$と定めた,

osmotic velocity$u$と current velocity

$v$

を用いて

$b(x, t)\equiv u(x,$$t\rangle$

十 $v(x, t)$$|$と定義されるものである.

正確な形で, Carlen の結果を書いておこう (Carlen の証明は, 相互作用がポテンシャルで与えられるような線
形 Schr\"odinger 方程式の解に対するものだが, 非線形の場合も同様である).

and be definel through the solution of (NSC) (IV) as above. We
Theorem (Carlen). Let $u,$
be evaluation stochastic process
associate $\Gamma\equiv C([0,T_{m})$ ; ) with its Borel -algebra F. Let$F_{t}=\sigma(X_{s}, s\leqq t)$ .
exists a Borel “probability”
there
Then
rnith natural filtration
for
that;
measure on suchis a Markov process;
(i)
$v,$

$\mathbb{R}^{d}$$X_{t}(\gamma)\equiv\gamma(t)$$P$$\gamma\in\Gamma$$\Gamma$$(\mathrm{F}, F, F_{t}, X_{t}, P)$$b$$\psi$$\rho$$\sigma$$(\Gamma,F, F_{t}, X_{t})$-154(ii) the image of $P$ under$X_{t}$

has density$\rho(x, t)$, that is,$P[X_{t} \in dx]=\frac{|\psi(x,t)|^{2}dx}{||\psi_{0}||^{2}}$(iii) The following process$B_{t}$

is$a(\Gamma, \mathcal{F}_{t} , P)$;-Brownian motion:$B_{t}\equiv X_{t}-X_{0}-0^{t}b(X_{\tau}, \tau)d\tau$.

よこの定理で得られる拡散過程を Nelson diffusion と呼んでいるが, この性質を調べることによって, loglog law
ば次にり弱い仮定 $f_{0}^{T_{m}}||\nabla\psi(t)||dt<\infty$ のもと, Theorem 1 が改良されることになる. 証明の$\hslash\backslash J\mathrm{I}\text{れ}\mathrm{i}\not\in\ddagger\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{式的}\mathrm{F}_{\llcorner}^{arrow \text{書}\mathrm{F}*}$

ようになる :

0T エ$||\nabla\psi(t)||dt$

く$\infty$,$\Downarrow$$\mathrm{a}.\mathrm{s}.$$\exists\lim_{t\uparrow T_{m}}X_{t}$,$\Downarrow$$\exists\lim_{t\uparrow T_{m}}P[X_{t}\in dx]\equiv\lim_{t\uparrow T_{m}}\frac{|\psi(x,t)|^{2}dx}{||\psi_{0}||^{2}}$,$\Downarrow$as$| \psi(x, t)|^{2}dxarrow\sum_{j=1}^{L}A_{j}\delta_{a}\mathrm{j}(dx)+\mu(dx)$$t\uparrow T_{m}$.

の収束は分布の収束を導く」 という確率論では良く知られた結果であるが, これである部分列にそっては (2.6) 式が成り立っ$\{|\psi(x, t)|^{2}dx\}_{0\leqq t<T_{m}}$ の緊密性 (tightness) が得られ,2 段目から 3 段目は, 「Radon 測度の族ているので,$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}$最後の結論を得る.

この小文の残りは夢を語って終わりにしたい. このような確率過程をを用いる方法は, くりこみ変換によって壊れて
p 量に関する lF5\S \S g 等してくれるものである可能性がある. また, 条件
しまった, \not\in ff の持つちょうど良い具合に, 爆発する特解を除外してくれるている, そこで, この積分量が有限であるとの仮定をおけば,は,が得られるのではないかと言う気にもなってくる; 統計力学的な言葉を拝借すれば, 爆発オーダーには普遍
loglog law$\int_{0}^{T_{m}}||\nabla\psi(t)||dt<\infty$性 (universality) があるということになる.
今, 原点が職発点」 になっていたとしよう. このとき$\Gamma_{0}(R):=\cup\cap\eta>0\eta<t<T_{m}|||\gamma(t)|\geqq R\oint_{t}^{T_{\mathfrak{m}}}||\nabla\psi(\tau)||d\tau]$口[$|\gamma(t)|arrow 0$

as$tarrow T_{m}$]なる道の集合が$P(\Gamma_{0}(R))>0$を満足したとすると (極限形状に関する, もう少し詳しい情報があれば証明できそうである), この事実を用いて, 発見的な方法ではあるが,$||\nabla\psi(t)||<\sim$

を「証明」 できる. Brown 運動の重対数法則を思い起こそう :$\lim_{s\downarrow}\sup_{0}\frac{1}{\sqrt{s\ln\ln\frac{1}{s}}}|B_{T_{m}}-B_{T_{m}-}$,$|<\infty$

.

155
これから

$\lim_{t\uparrow T}\sup_{\mathrm{m}}\sqrt{\frac{T_{m}-t}{1_{11}\ln(T_{m}-t)^{-1}}}|\frac{B_{T_{m}}-B_{t}}{T_{m}-t}|$$= \lim_{t\uparrow T}\sup_{m}\frac{1}{\sqrt{(T_{m}-t)\ln\ln(T_{m}-t)^{-1}}}|B_{T_{m}}-B_{t}|<\infty$を得る. 一方で,$\Gamma_{0}(R)$,$\mathrm{a}.\mathrm{s}.$,Nelson 拡散が満たす確率微分方程式 :に属する道を用いて,$\frac{B_{T_{m}}-B_{t}}{T_{m}-t}=\frac{X_{T_{m}}-X_{t}}{T_{m}-t}-\frac{1}{T_{m}-t}l^{T_{m}}$$b(X_{T}, \tau)d\tau$.

より$\sqrt{\frac{T_{m}-t}{\ln\ln(T_{m}-t)-1}}(\frac{1}{T_{m}-t}I_{t}^{T_{ll}}’||\nabla\psi(\tau)||d\tau)\sim<1$$\lim_{t\uparrow T}\sup_{m}$.

を得る. これは大体ではあるが loglog law を示していると言ってよいと思われる.
問題は, 果たして$P(\Gamma_{0}(R))>0$となるであろう力 , ということである. 以下の二つの解析的な結果,$\backslash$

Theorem 4 と Theorem 5 (準備中) が,これをサポートしているように思える.

Theorem 4. Suppose that$\psi$

is a blowup solution of (NSC) such that

$0^{T_{m}}||\nabla\psi(t)||dt<\infty$

(A)

胤

$\{$

$\lim_{t\uparrow T_{m}}||\nabla\psi(t)||=\infty$. We put:,$\sqrt{T_{m}.-t}||\nabla\psi(t)||=\infty$$\lim_{t\uparrow T_{m}}(T_{m}-t)||\nabla\psi(t)||=0$,.

This condition (A) is imcompatible with the follorning:

We have

(B)

and

$L=1$

$\varphi_{n}\equiv 0$in (2.5) of Theorem 1.

条件 (A) と (B) のもと, 爆発解は$\exists a\in \mathbb{R}^{d}$;$\lim|\psi(x, t)|^{2}dx=||\psi_{0}||^{2}\delta_{a}(dx)$$tarrow T_{m}$となることが示される. ところが, これら 2 条件は両立しないと主張しているわけで, 一方でTheorem 5 Suppose that
$L=1$ and$\varphi_{n}\equiv 0$$\psi$

is a blowup solution of (NSC) such that$\lim_{t\uparrow T_{m}}||\nabla\psi(t)||=\infty$. If we havein (2.5) of Iheorem 1, then$\lim_{t\uparrow T}\sup_{m}\sqrt{T_{m}-t}||\nabla\psi(t)||=\infty$.

のように, 一点にすべてのmass を集中させてしまうような爆発解は, Joglog lawが成立するための必要条件は, (2.5) 式において, $L\geqq 2$ または
すなわち
.
law
を満足しないことが分かる.
となることである. このことから, 次の結果を得ることが出来そうなのだが, 未だ完全な証明には至っていない

なる結果も示せて, 特解$L^{2}$$\overline{Q}(x, t)$$1\mathrm{o}_{b}^{\sigma}\log$$\varphi_{n}\not\equiv 0$

156“Theorem”. We put $a_{1}=0$ (by space translation). Suppose one of the following two conditions holds:(i) $a_{1}=a_{j}$ for sorne $1\neq j$ ,(ii) $\mu(\{a_{1}\})\neq 0$ .

Then we have:$P(\Gamma_{0}(R))>0$,

for some $R>0$ .
ここで, 条件 (i) は, 特異点が最終脚こ tf

なる (共鳴, resonance) こと jg\equiv n- っている. 数学的には (2.5) 式は一

般に $L\geqq 2$ で成立する. しかし, 物理的な局所性を考えれば, 現実世界では共鳴が起こっていると考えた方が自然のとするようにも思える. また, 条件 (ii) は弱い形の共鳴だが, これは, Haussdorf 次元が正の特異点が生成しな
speculation とは, もちろん矛盾はしない.
と で,(2.6) 式で与えられる結果は, これらとは矛盾しないことも付け加えておこおう : 論理的には, ある異なる
のままで
連
も未
については, そのが起こることを否定していないし, 測度$\mathrm{A}\backslash$$i$$a_{i}=a_{j}$(resonannce)$\ovalbox{\tt\small REJECT} X3\backslash$$t//\mathrm{L}^{\mathrm{J}}\mathbb{E}\pm$$j$$\#\#\grave{t}*$$\mu$

あって, もし, 仮に (ii) のように弱い形の共鳴が起こったとしても, 極限形状が Dirac 測度と関数だけでなると$\prime t^{\backslash }$う

speculation とも矛盾しない. 問題は (2.5) から得られる (2.6) が, どこまで忠実な (faithful) 極限形状の表現になってるかということである,
もうひとつ, 爆発のオーダーと漸近形に関する定理 (予想) を付け加えておこう.

“Theorem” 6 In Theorem 1, we suppose that$t\uparrow T_{m}\mathrm{J}\mathrm{i}\mathrm{m}\sqrt{T_{m}-t}||\nabla\psi(t)||=\infty$Then$’\psi^{j)}s$$Q^{j}$.

must be stanling waves, that is,$\psi^{j}(x,t)=Q^{j}(x)e^{i\omega_{j}t/2}$

where

and

$|x|\psi(0)\in L^{2}(\mathbb{R}^{d})$for some$(v_{j}>0$,’s solve$\triangle Q-\omega_{j}Q+|Q|^{\frac{4}{\mathrm{d}}}Q=0$

,

$\{$

$Q\in H^{1}(\mathbb{R}^{d})\backslash \{0\}$さて, 最後に,.

loglog law (重対数補正) が必要となる理由について, 未だ完全ではないが, 私見を述べて結びとしたい: 実は重対数補正が必要になる原因はどこに潜んでいたかというと, Nelson diffusion を定めている確率微分方程式.

$B_{t}=X_{t}-X_{0}-f_{0}^{t}b(X_{T}, \tau)d\tau$

その Brown 運動の道に関する有名な重対数法則が, 本来は「裏」の世界にあって隠れてしまっていて見えないはずなのに, 確率測度 $P$ の分布がの Brown 運動の中にであって,$| \psi(x, t)|^{2}dxarrow\sum_{j=1}^{L}A_{j}\delta_{a^{g}}(dx)+\mu(dx)$as$t\uparrow T_{m}$,と, 爆発時刻 $T_{m}$ において Dirac 測度を生成すことにより,「麹の世界に現れ出て来たものだと言えそう (なの) である.

APPENDIX
上に通常の量子力学と同じ予言を与える確率測度 $P$ を与える,
Nelson の確率過程量子化 (stochastic quantization) [9.10] について簡単に紹介したい (Nelson に先んじて、には広義一様収束による IYe’chet topology が入っているとし, その
Fnyes [4] が同様の考えを提唱したらしい).
と書くことにする.
Borel -albebla を
ここでは, 道の空間 (path spaoe)$\Gamma\equiv C(\mathbb{R};\mathbb{R}^{d})$$\Gamma$$\mathfrak{B}$$\sigma$157
Nelson’s Observation.
最初に, 量子力学の基礎方程式である, 一体の Schr\"odinger 方程式(A 0)$i \hslash\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hslash^{2}}{2m}\triangle\psi(x, t)+V(x, t)\psi(x, t)$

この方程式の背後に, ひとつの確率過程が潜んでいることを, Neison に従って眺めてみる. まず,
は次の二つの方程式を満足することが (形式的に) 確かめられる :があるとする.
$\rho:=|\psi|^{2}$

,

(A.1)

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(b_{+}\rho)-\frac{\hslash}{2m}\triangle\rho=0$(A 2)$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(b_{-}\rho)+\frac{\hslash}{2m}\triangle\rho=0$

.

ここで,

(A.3)

$b \pm=\frac{\hslash}{rn}(\Re\pm\triangleright s)\frac{\nabla\psi}{\psi}$である. 今$X_{t}$

を$X_{t}$:$\Gamma\ni\gamma\mapsto\gamma(t)\in \mathbb{R}^{d}$(無限次元) 測度 $P$ があったとすれば,Kolomogorov 方程式となっている :なる evaiuation map で,$(\mathrm{A} 1)$(A 4)$\Gamma$

上に $P[X_{t}\in dx]=\rho(x, t)dx$ を満足するは、 次の伊藤型確率微分方程式 (It\^o type SDE) の前向き (forward)$dX_{t}=b_{+}(X_{t}, t)dt+\sqrt{\frac{\hslash}{m}}dB_{t}$.

は (A 4) の後は測度 $P$ に関する標準的な 次元 Wiener process (Brown 運動) である. また$P$ に関するもう一つの標準的な次元ものであるが,測度
方程式と呼ばれる
ろ向き (backward) Kolomogorovを導入することによって
運動)
Wiener process(Brown
ここで

$d$

$B_{t}$$(\mathrm{A} 2)$$d$$B^{*}$(A .5)$d^{*}X_{t}=b_{-}(X_{\mathrm{f}}, t)dt+\sqrt{\frac{\hslash}{m}}d^{*}B_{t}$.

に対する forward Kolomogorov 方程式と見なすこともできる. 以上では $dX_{t}=X_{+dt}+.-X_{t},$ $d^{*}X_{t}=X_{t}-X_{t-dt}$の違いは, $t>s$ に対して, $B_{t}-B_{S}$ は $\{X_{\tau}|-\infty<\tau\leq s\}$ に独立,と$(dt>0)$ なる記号を用いた.
は $\{X_{\tau}|t\leq\tau<\infty\}$ に独立となっている ことである.
をこのようここまでが, Nelson の量子化の運動学的部分となる. また, (A.4) と (A 5) の両方において,がであると仮定した事にMarkovian上の可測関数と仮定する事は, 問題としている確率過程 (process)に$B_{t}$$B_{t}^{*}$$B_{t}^{*}-B_{s}^{*}$$b_{\pm}$$\mathbb{R}^{d}$$\mathrm{x}\mathbb{R}$なっている.

次に動力学的部分 (dynamics) はどのようになるのかを考えよう. 次の Nelson’s conditional derivatives と呼ばを定義する :
及びれる,

$D_{+}$$D_{-}$(A 6)$D_{\pm}f(X_{t}, t)= \lim_{h\downarrow 0}B[\frac{f(X_{t\pm h},t\pm h)-f(X_{t},t)}{\pm h}.|X_{t}]$特にら, それぞれ,$f\in B^{\infty}(\mathbb{R}^{d},\mathbb{R})$(finite energy diffusion) の時は $f=x$ とできて、 これらは先に見た (A 4) と (A 5) かと b\Delta こ一致することが分かる:$X_{t}\in L^{2}(\Gamma, \mathfrak{B}, P)$$b_{+}$,$D_{-}X_{t}=b_{-}(X_{t}, t)$ .

(A.7)$D_{+}X_{t}=b_{+}(X_{t},t)$(A.8)
さらに, 伊藤の公式 (It\^o formula) を使えば,(A.9)(A .10).

$D_{+}f(X_{t}, t)=( \frac{\partial}{\partial t}+b_{+}\cdot\nabla+\frac{\hslash}{2m}\triangle)f\cdot(X_{t}, t)$,$D_{-}f(X_{t}, t)=( \frac{\partial}{\partial t}+b_{-}\cdot\nabla-\frac{\hslash}{2m}\triangle)f(X_{t)}t)$.

158(A 9) および (A 10) を各々 0 と置いた

$f\cdot\mathrm{F}_{\tilde{\mathrm{L}}}\text{対}\backslash$する方程式が,forward martingale, backward maritingale 方程式である.

Nelson が stochastic accelation (SA) と呼ぶところのさらに計算を進め,$\alpha(Xt)\equiv\frac{D_{+}D_{-}+D_{-}D_{+}}{2}Xt$(A 11)を$\equiv-\Pi\dagger \mathrm{F}$

の後,

しよう.
$\alpha(X_{t})$current velocity

ここで,は $u$ と$v$

$v= \frac{b_{+}+b_{-}}{2}$で書けることが分かる :(A 12)と osmotic velocity$u= \mathrm{I}\frac{-b_{-}}{2}b$$\alpha(X_{t})=\frac{\partial v}{\partial t}-(u\cdot\nabla)u+(v\cdot\nabla)v-\frac{\hslash}{2m}\triangle u$

または、 波動関数を $\psi=\exp(R+iS)(\rho=\exp R)$ と極分解すれば,\epsilon \Re 入すると, 面$l\#\mathrm{J}$

な計算

.
だ力 ら
$\mathrm{a}$$u= \frac{h}{m}\nabla R,$$v= \frac{\hslash}{m}\nabla S$$\alpha(X_{t})=\hslash\nabla(\frac{\partial S}{\partial t}-\frac{\hslash}{2m}|\nabla R|^{2}+\frac{\hslash}{2m}|\nabla S|^{2}-\frac{\hslash}{2m}\triangle R)$$(\mathrm{A}.13)$と書けることが分かり, 結果として, Schr\"odinger 方程式 (A 0) から(A 14)$m\alpha(X_{t})=-\nabla V(X_{t}, t)$が導かれる. これが Newton 力学の第 2 法則の確率論的形式とみなされるものである.
注意すべき事は、 (A 12) または (A 13) 式は (A 4), (A 5), (A 7), (A 8) から導かれ,らない事である.

b 土の具体的な形には依Stochastic Quantization.
Nelson の言う確率過程量子化というのは、 以上の手続き逆を辿っていくことになる.
上の確率測度 ) があると思って,
Nelson は、 とにかく欲しい確率空間 (量子力学と同じ予言を与えるのに対して It6 type SDE
forward 及び backward 方程式 (A 4) と:evaluation map
力学」の運動学的部分 (kinematics)
この部分が「とが出てくる.
(A 5) をともに書く. ここで, driftの量子化の手続きの一部と言ってよい, また, 上でも述べたが,を決める事が Nelsonとであるが, この上の可測関数と仮定する事は, 問題としている process が Markovian であると仮定した事をこのように力学」の動力学 (dynamics) の部分が, Newton の運動方程式を randomize した確率論的運になっている.
, (A.14) を満足する,
動方程式 (A 14) となる. 即ち, Nelson の確率過程量子化とは, 数学的には上の測度 $P$ を決定せよと言う問題となる. いわゆる確率微分方程式 (A 4) の弱解を求めよと言
と
と
drift
$P$

$\Gamma$$X_{t}$$\Gamma\ni\gamma\mapsto\gamma(t)\in \mathbb{R}^{d}$$\mathbb{R}^{d}$$\mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}‘ \mathrm{o}\mathrm{n}$$b$$b_{+}$-$b_{-}$$b_{+}$$\mathrm{x}\mathbb{R}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\Gamma \mathrm{N}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}$$(\mathrm{A} 4)$$b_{+}$$b_{-}$$(\mathrm{A} 5)$$\Gamma$う事である.

で書かれることから, pragmaticと osmotic velocityに附随すると
forward 及び backward
て
,
5)
(A
に運動学的条件とし(A 4)には確率論的運動方程式と言って良い. 以下の議論
力学(mechanics)」.11,-(A.2)
を組み合わせたものが「Ne1sonKolomogorov 方程式 (Aを通して結びついており, Netson の Stochastic
は独立なものではなく, これらは分布とで見るように,上の測度 $P$ の分布を与える規則だと思うこともできる. 欲しい
quantization とは, 分布 と移流項
また (A. 14) の左辺である (SA) は current velocity

$u$

$v$

$(\mathrm{A} 14)$$b_{+}$$b_{-}$$\rho$$\Gamma$$\rho$$\rho$$b_{+}$

が Kolomogorov 方程式から決まり, この が Born の確率則を与える. 則ち通常の量子力学と同じ予言を与える事になる. このような確率論的力学は変分法的な定式化も行なわれている (Guerra-Morato [5], Yasue [13]),$\rho$

今, 述べたことを具体的に計算してみよう.

(A 15)$(\mathrm{A} 1)$から$(\mathrm{A} 2)$

を引いて,$u= \frac{\hslash}{2n\iota}\nabla\log\rho$を得る. また (A 1) と (A 2) を加えて,(A 16)$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(v\rho)=0$

158
を得る.

$(\mathrm{A} 15)$

を

$t$

で微分して

$(\mathrm{A}.

(A.17)

16)$を用いれば,$\frac{\partial u}{\partial t}=-\nabla(v\cdot u)-\frac{\hslash}{2m}\nabla(\nabla\cdot v)$が得られる. その一方で,$(\mathrm{A} 12)$

(A.18)と$(\mathrm{A} 14)$から$\frac{\partial v}{\partial t}=(u\cdot\nabla)u-(v\cdot\nabla)v+\frac{\hslash}{2m}\triangle u-\nabla V$が成立していたから, 二つの velosity $u$ とは (A 16) から決まる.
とき, 分布$v$

に対する連立非線形偏微分方程式 (A .17)-(A.IS) を得た事になる.

この$\rho$の方程式
実際に, [Nelson 力学」から Schr\"odinger 方程式が得られる様子を以下に見てみよう. 上で得た $u$ とは, それほど扱いやすくはない. そこで, これらから適当な復素数値関数を導入すると, それが Schr\"odinger 方程式をなるを用いて,と一致する事が示される : 具体的には (A.15) の と満足し, その絶対値の自乗が$v$$\overline{S}$$\rho$$\rho$(A . 19)$v= \frac{1}{m}\nabla\overline{S}$$\psi\equiv\sqrt{\rho}\exp(i\tilde{S}/\hslash)$を得る. 「古典力学の Newton の運動方程式から Schr\"odinger 方程式を導くこと」をと置けば良い. このときの定義
「量子化」 と呼べば, 確かに Nelson の処方せんはひとつの量子化であり, 面白いことに, Born の確率則はから自動的に出て来ている.
$(\mathrm{A} 0)$$\psi$

これで御終いでもいいけれど, 当初の目的であった, 量子力学と同じ予言を与える確率測度を path space 上に確率測度を実際に作らなければいけない. これを遂行したのが Carlen [1,2,3]. そして、 この path space 上の測度 $P$$\Gamma$に対して$P[X(t) \in dx]=\frac{|\psi(x,t)|^{2}dx}{||\psi(0)||^{2}}$$(\mathrm{A} .20)$

Born の確率則も導かれれる. Carlen の議論は確率過程量子化の手続きとは無関係に, Schr\"odinger 方程が path space
上に構成でなるものが与えられれば (A 20) を満たす測度
式 (A 0) の解で
が成立し,

$P$

$\psi\in C(\mathbb{R};H^{1}(\mathbb{R}^{d}))$$\Gamma$

きることを主張している.

Acknowledgments. 講演の機会を与えて下さった, 杉本信正先生. 吉永隆夫先生に感謝致します.
本文中, 文献の引用は簡便な形ですませました. 参考文献として以下のものを挙げておきます. それらの文献表をたどれば, 本文中の文献等に簡単に到達できると思います. どう力 , お許し頂きますよう.
$\mathrm{a}$REFERENCES
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4. Fe’nyes, I., Eine wahrshemlichke\iota stheoretishe begrndung und interpretation der Quanten-mechanik, Phys 132 (1952),$\mathrm{P}\mathrm{P}\cdot 3-31$$\mathrm{Z}$81-106.

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8. Nawa, H , Nelson diffusions and blow-uP phenornena in solutions of the nonlinecvr Schrodinger equation with cntical), CRM Proceedings and lecture
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$\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{s}.$