25

数理解析研究所講究録
第2003巻 2016年 25-35\mathcal{W} 代数の自由場実現
京都大学

数理解析研究所

元良直輝*

Naoki Genra

Research Institute for Mathematical Sciences,

Kyoto University

研究の背景

1

\mathcal{W} 代数とは,複素有限次元単純リー代数またはbasic classical なスーパーリー代数 \mathfrak{g} , その (evenな ) べき零元 f 複素数 k そして f に関して良い条件を満たす \mathfrak{g} の半整数次数付け (good grading,と呼ばれる),$\Gamma$ によって定まるスーパー頂点代数の族である.これを\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$)と表す (詳しくは2章参照)

k を \mathcal{W} 代数のレベルと呼び,特に h〉を \mathfrak{g} の双対 Coxeter 数とすると, k=-h^{\vee} のときを臨界レベルという. k が非臨界レベル (k\neq-h^{\vee}) のとき, \mathcal{W} 代数は共形ベクトルをもち,共形的なスーパー頂点代数となる. \mathfrak{g}, f が与えられたとき, $\Gamma$ は少なくとも一つ存在し,しかも $\Gamma$ の選び方によらず \mathcal{W} 代数は同じスーパー頂点代数構造をもつ.ただし共形ウェイト
は $\Gamma$ の選び方に依存する.
\mathcal{W} 代数は数多くの数学的にも物理的にも重要なスーパー頂点代数をその例として含んでいる.
\mathfrak{g}=\mathfrak{s}【2かつ f が正則べき零元ののときVirasoro 代数, \mathfrak{g}=\mathfrak{s}\text{【_{}3} かつ f が副正則べき零元ののときBershadsky‐Polyakov 代数, \mathfrak{g}= osp(1, 2) かつ f が正則べき零元ののときSuper Virasoro 代数( \mathrm{N}=1 スーパーコンフオーマル代数), \mathfrak{g}=\mathfrak{s}[(1,2) かつ f が正則べき零元ののとき \mathrm{N}=2 スーパーコ
ンフォーマル代数などがある.
初めて \mathcal{W} 代数を導入したのは Zamolodchikov [12] である.彼は二次元共形場理論の研究の中で,Virasoro 代数の一般化の一つとして, \mathfrak{g}=\mathfrak{s}\text{【_{}3} かつ f が正則べき零元のときに対応する \mathcal{W} 代数を構成した.その後 Fateev とLukyanov [3] によって A_{n}, B_{n}, D_{n} 型の \mathcal{W} 代数と呼ばれるものが定義され,Feigin とFrenkel [5] によって一般の単純リー代数 \mathfrak{g} (かつ f はその正則べき零元) に対応する\mathcal{W} 代数が定義された.それから de Boer とTjin によるさらなる一般化を経て,最終的に最も一般的な定義は,Kac, Roan, 脇本らによって与えられた [9].
注意しなければならないのは,FateevとLukyanovは \mathcal{W} 代数をスクリーニング作用素と呼ばれる線形作用素を用いて,Heisenberg 頂点代数の部分頂点代数として構成したが,Feigin とFrenkel
は(一般化のために)BRST コホモロジーを用いて \mathcal{W} 代数を構成したという点である.BRSTコ

ホモロジーを用いた構成はさらなる一般化に向いていたため,その後の \mathcal{W} 代数の定義にはBRST
コホモロジーが用いられた.するとFateev とLukyanov による構成は,FeiginとFrenkel以降の*gnr@kurims.kyoto‐u.ac.jp

26\mathcal{W} 代数の定義と一致しているのか,という問題が残る.以降,二つの構成を区別するために,BRST

コホモロジーによって構成された \mathcal{W} 代数を \mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) と表すことにする.次の結果はFeiginとFrenkel による.

定理1.1 (Feigin‐Frenkel [4][7]).
−\mathfrak{g} を有限次元単純リー代数, f をその正則べき零元, $\Gamma$ をその (唯の)good grading とする. k がgeneric のとき,BRST コホモロジーによって定義された \mathcal{W} 代数\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) は, \mathfrak{g} のCartan 部分代数の双対 \mathfrak{h}^{*} に付随する Heisenberg 頂点代数の部分頂点代数として次のように実現される :\displaystle\mathcal{W}^{k(\mathfrak{g},f;$\Gam a$)\simeq\bigcap_{i=1}^{\mathrm{}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathfrak{g}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{}\int\mathrm{e}^-\frac{1} $\nu$}\int$\alpha$_{i}(z)d,
ただし $\nu$=\sqrt{k+h^{\vee}}, $\alpha$_{i}(z) は \mathfrak{g} の単純ルート $\alpha$_{i} に対応する Heisenberg 頂点代数の場であり, \displaystyle \int\cdot dz

は形式的に z^{-1} の係数をとる操作を表す.
上式の \displaystyle \int \mathrm{e}^{-} う \displaystyle \int$\alpha$_{i}(z)dz はHeisenberg 頂点代数からその加群への線形作用素で,これがスクリー

ニング作用素である.このスクリーニング作用素による構成を \mathcal{W} 代数の自由場実現という.この定理より,Fateev とLukyanov の A_{n}, D_{n} 型の \mathcal{W} 代数は, A_{n}, D_{n} 型の単純リー代数とその正則べき零元に付随するBRSTコホモロジーによって定義された \mathcal{W} 代数と一致することがわかる.したがってBRSTコホモロジーによる \mathcal{W} 代数の構成は,スクリーニング作用素による構成の一般化になっている.

しかしながら,実は Fateev とLukyanov の構成した B_{n} 型の \mathcal{W} 代数は, B_{n} 型の単純リー代数に付随する \mathcal{W} 代数と一致しないことが知られている. B_{n} 型の単純リー代数に限らず,一般の単純リー代数 (とそのべき零元) に付随する \mathcal{W} 代数は頂点代数となるが,FateevとLukyanovの B_{n} 型の \mathcal{W} 代数はスーパー頂点代数になることからも分かる.以降,区別するため Fateevの B_{n} 型の \mathcal{W} 代数を,彼らの表記に倣って \mathcal{W}B_{n}$\gamma$\in \mathbb{C} にもよっている (詳しくは3章参照)とLukyanovと表す. \mathcal{W}B_{n} 代数は n だけではなくパラメータ\mathcal{W}B_{1} はSuper Virasoro 頂点代数であり,これはスーパーリー代数 osp(1,2) とその (even part の) 正則べき零元に付随する \mathcal{W} 代数に一致する.一般には次の予想がある.
予想1.2. \mathcal{W}B_{n} 代数は 0\mathfrak{s}\mathfrak{p}(1,2n) とその (even part の) 正則べき零元に付随する \mathcal{W} 代数に一致する.

本稿の研究のきっかけは予想1.2にある.この予想を証明するために,まず定理1.1を拡張した.
実際には一般の \mathfrak{g}, f に対して定理1.1は拡張できる (定理5.2)

特に $\Gamma$ として特別な条件を満たすものがとってこれるときには, \mathcal{W} 代数の新しい自由場実現を与えてくれる果を用いて,予想1.2は(非臨界レベルのとき) 証明される (定理6.1)(定理5.3)

この結一方で定理5.3より一般的な結果である定理5.2には,それとは別の応用がある.それがもう一つの結果である定理6.2である.定理6.2はFeigin とSemikhatov [6] によって導入された \mathcal{W}_{7 $\iota$}^{(2)} 代数と呼ばれる頂点代数が \mathfrak{s}\text{【_{}n}とその副正則べき零元に付随する \mathcal{W} 代数と一致することを示す.この証明には本質的に \mathcal{W} 代数がスクリーニング作用素の核の形で実現されることが使われる.本稿ではこれらの結果をまとめて報告する.

2\mathcal{W} 代数
Kac, Roan, 脇本らによる \mathcal{W} 代数の定義を与える.

\mathfrak{g} を複素有限次元単純リー代数またはbasic

classical なスーパーリー代数とする.このとき \mathfrak{g} は非退化 even 超対称不変双線形形式:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\rightar ow \mathbb{C}27\mathrm{n}をもつ.そこで (eve,な)
長ルートに対して長さの二乗が2となるように正規化したものをとる. \mathfrak{g}は一般にスーパーベクトル空間であり,\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{\overline{0} \oplus \mathfrak{g}_{\overline{1}なる \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} 次数付けをもつ.これをパリティという.ただし \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}\} とする. \mathfrak{g}_{\overline{0} を \mathfrak{g} のevenpart, \mathfrak{g}_{\overline{1} を \mathfrak{g} のodd part という. f を \mathfrak{g} のeven part のべき零元, k を複素数とする.また$\Gam a$:\displaystle\mathfrak{g}=\bigoplus_{j\in frac{1}2\mathb {Z}\mathfrak{g}_jを \mathfrak{g} の(スーパーリー代数としての)次数付けであって, f\in \mathfrak{g}-1 かつ f:\mathfrak{g}_{j}\rightarrow \mathfrak{g}j-1 が i\displaystyle \geq\frac{1}{2} のとき単射, i\displaystyle \leq\frac{1}{2} のとき全射となるものとする.これを \mathfrak{g} の f に関する good grading と呼ぶ、例えば, \{e, h_{\underline{\backslash } f\} を f を含む \mathfrak{s}\mathfrak{l}_{2} ‐tripleとするとad (\displaystyle \frac{1}{2}h) は \mathfrak{g} に \displayst le\frac{1}2\mathb {Z} 次数付けを与えるが,これは good
grading になっている (これを Dynkin grading と呼ぶ)

\mathfrak{h} を \mathfrak{g} のCartan 部分代数, \triangle を \mathfrak{g} の)レー

ト系, $\Pi$ をその単純ルートの集合であって,\displayst le\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}_{0},\bigoplus_{$\alpha$\in\triangle_{+}\mathfrak{g}_{$\alpha$}\subset\mathfrak{g}\ eq0となるようにとる (いつでもこのようにとれる)

ただし \triangle_{+} は正ルートの集合, \mathfrak{g}_{$\alpha$} は $\alpha$ のルート

ベクトル空間である. j\displaystyle \in\frac{1}{2}\mathb {Z} に対して,\triangle_{j}=\{ $\alpha$\in\triangle|\mathfrak{g}_{ $\alpha$}\subset \mathfrak{g}_{j}\}, $\Pi$_{j}= $\Pi$\cap\triangle_{j}とすると, $\Gamma$ の満たす条件から
垣=$\Pi$_{0}\cup$\Pi$_{\frac{1}{2} \cup$\Pi$_{1}となることが知られている. $\alpha$\in\triangle に対して)レートベクトル e_{ $\alpha$} を一つとっておく. \overline{$\alpha$} で e_{ $\alpha$} のパリ
ティを表す

,

$\alpha$, $\beta$, $\gamma$\in\triangle に対し,

c_{$\alpha$_{:}$\beta$}^{$\gam a$} で構造定数を表す.また
I=\{1, . . . , l\}, l=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathfrak{g}として, \{e_{i}\}_{i\in 1} を \mathfrak{h} の基底とする.さらに, V^{k}(\mathfrak{g}) を \mathfrak{g} に付随するレベル k のアファインスーパー
頂点代数 (affine vertex superalgebra),

F^{\mathrm{c}\mathrm{h} を \mathfrak{g}>0 に付随するチャージフエルミオンスーパー頂

点代数 (charged fermion vertex superalgebra),

F^{\mathrm{n}\mathrm{e} を\mathfrak{g}_{\frac{1}{2} に付随する中立フェルミオンスーパー

頂点代数 (neutral fermion vertex superalgebra) とする. V^{k}(\mathfrak{g}) の生成する場を u(z)(u\in \mathfrak{g}) とすると, u, v\in \mathfrak{g} に対して

u(z)v(w)\displaystyle \sim\frac{[u,v](w)}{z-w}+\frac{k(u|v)}{(z-w)^{2}が成り立つ. F^{\mathrm{c}\mathrm{h} の生成する場を $\varphi$_{ $\alpha$}(z) $\varphi$^{ $\alpha$}(z)( $\alpha$\in\triangle_{>0}) とすると,これらは e_{ $\alpha$} のパリティとは,逆のパリティ (\overline{e}_{ $\alpha$}+\overline{1}) をもち, $\alpha$, $\beta$\in\triangle_{>0} に対して$\varphi$_{ $\alpha$}(z)$\varphi$^{ $\beta$}(w)\sim$\delta$_{ $\alpha,\ \beta$}z-w$\varphi$_{ $\alpha$}(z)$\varphi$_{ $\beta$}(w)\sim 0\sim$\varphi$^{ $\alpha$}(z)$\varphi$^{ $\beta$}(w)28が成り立つ. F^{\mathrm{n}\mathrm{e} の生成する場を$\alpha$_{\underline{\backslash } $\beta$\in\triangle_{2}1 に対して$\Phi$_{ $\alpha$}(z)( $\alpha$\in$\Delta$_{1,2}) とすると,これは e_{ $\alpha$} と同じパリティをもち,$\Phi$_{$\alpha$}(z)$\Phi$_{$\beta$}(w)\displaystyle\sim\frac{$\chi$([e_{$\alpha$},e_{$\beta$}])}{z-w}が成り立つ.ただし u\inに対して, $\chi$(u)=(f|\mathrm{u}) とする.このとき,スーパー頂点代数 C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$)

を

C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$)=V^{k}(\mathfrak{g})\otimes F^{\mathrm{c}\mathrm{h} \otimes F^{\mathrm{n}\mathrm{e}で定義する.また C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) 上の odd な場 d(z) を

d(z)=d_{\mathrm{s}\mathrm{t}}(z)+d_{\mathrm{n}\mathrm{e}}(z)+d_{ $\chi$}(z),ただし

d_{\mathrm{s}\mathrm{t}(z)=\displayst le\sum_{$\alpha$\in\triangle_{>0}(-1)^{\overline{$\alpha$}:e_{$\alpha$}(z)$\varphi$^{$\alpha$}(z):-\frac{1}2\sum_{>$\alpha$_{:}$\beta,\ gam a$\in\triangle0}(-1)^{\overline{$\alpha$}\overline{$\gam a$}c_{$\alpha,\ beta$}^{$\gam a$}: \varphi$_{$\gam a$}(z)$\varphi$^{$\alpha$}(z)$\varphi$^{$\beta$}(z):,d_{\mathrm{n}\mathrm{e}(z)=\displayst le\sum_{$\alpha$\in\triangle_{\frac{1}2}:$\varphi$^{$\alpha$}(z)$\Phi$_{$\alpha$}(z)d_{$\chi$}(z)=\displaystyle\sum_{$\alpha$\in\triangle_{>0} $\chi$(e_{$\alpha$})$\varphi$^{$\alpha$}(z)とする.すると

d(z)d(w)\sim 0となり,したがって [d_{(0)}, d_{(0)}]=0. d(z) はodd な場だったので, d_{(0)}^{2}=0 となる.一方で, C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$)のチャージを V^{k}(\mathfrak{g}) と F^{\mathrm{n}\mathrm{e} に対しては全て 0, F^{\mathrm{c}\mathrm{h} に対しては任意の $\alpha$\in\triangle_{>0} について $\varphi$_{ $\alpha$}(z) のチャージを -1, $\varphi$^{ $\alpha$}(z) のチャージを1として定める.このときcp をCk (\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) の元であってチャージが n となるもの全体の集合とすると,

C_{k}(\displaystyle\mathfrak{g},f;$\Gam a$)=\bigoplus_{n\in\mathb {Z} C_{k}^{n}となる.さらに

d_{(0)}C_{k}^{n}\subset C_{k}^{n+1}が任意の n に対して成り立つ.したがって (C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$), d_{(0)}) はチャージについての複体をなす。これを量子 Drinferd‐Sokoíov 還元に関する BRST 複体と呼ぶ.このとき \mathfrak{g}, f, k, $\Gamma$ に関する \mathcal{W} 代数\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) をそのコホモロジー\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}_{\grave{c} f; $\Gamma$)=H(C_{k}(\mathfrak{g}_{)}f; $\Gamma$), d_{(0)})
で定める.実際には Kac と脇本 [10][11] によりH(C_{k}(\mathfrak{g},\cdot f; $\Gamma$), d_{(0)})=H^{0}(C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) , d_{(0)})となることが知られている.

29

Remark. h^{\vee} を \mathfrak{g} の双対 Coxeter 数とする.
1. \mathcal{W} 代数は2.

(構成から) スーパー頂点代数構造をもつ.

k\neq-h^{\vee} のとき, C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) は( $\Gamma$ に依存して定まる) 共形ベクト)レ L をもち, C_{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$)
は \displayst le\frac{1}2\mathb {Z} 次数付き共形スーパー頂点代数となる.

3. 2. のとき L は(零でない)\mathcal{W} 代数はコホモロジー類を定め, \mathcal{W} 代数の共形ベクトルになる.このとき\displaystyle\frac{1}{2}\mathb {Z}_{\geq0} 次数付き共形スーパー頂点代数構造をもつ.

4. \mathcal{W} 代数のスーパー頂点代数構造は $\Gamma$ のとり方に依存しない.ただし共形ウェイトは $\Gamma$ に依存([1][2] による)して変化する3\mathcal{W}B_{n} 代数
Fateev とLukyanov による \mathcal{W}B_{n} 代数の定義を述べる. \mathcal{H} を B_{n} 型のルート系に付随する Heisen‐berg 頂点代数, \mathcal{F} をodd な場 $\Phi$(z) によって生成されるフエルミオンスーパー頂点代数とする。ただし $\Phi$(z) は$\Phi$(z) $\Phi$(w)\displaystyle \sim\frac{1}{z-w}を満たすものとする. $\gamma$\in \mathbb{C} に対し, \mathcal{H}\otimes \mathcal{F} 上の odd な場 G(z) をG(z)=:( $\gamma$\partial+b_{1}(z))( $\gamma$\partial+b_{2}(z))\cdots( $\gamma$\partial+b_{n}(z)) $\Phi$(z) :で定義する.ただしb_{i}(z)=\displaystyle\sum_{j=i}^{n}$\alpha$_{i}(z)であり, $\alpha$_{1}

,

.

.

.

,

$\alpha$_{n}は B_{n} 型の単純ルートである.

定義3.1. \mathcal{H}\otimes \mathcal{F} 上の場 W_{i}(z)(i=1, \ldots, 2n-1) をG(z)G(w)\displaystyle \sim\frac{W_{1}(w)}{z-w}+\sum_{i=1}^{n-1}$\gamma$_{i}(\frac{W_{21}(w)}{(z-w)^{2i} +\frac{W_{2i+1}(w)}{(z-w)^{2i+1} )+\frac{$\gamma$_{n} {(z-w)^{2n+1}で定義する.ただし$\gam a$_{i}=\displaystyle \prod_{J^{=1} ^{i}(1-2j(2j-1)$\gam a$^{2})である. $\gamma$\in \mathbb{C} に関する \mathcal{W}B_{n} 代数とは, G(z) および W_{2i-1}(z)(i=1, \ldots, n) によって生成される \mathcal{H}\otimes \mathcal{F} の部分頂点代数である.

次の事実が Fateev とLukyanov によって知られている.
命題3.2 (Fateev‐Lukyanov [3]). $\gamma$\in \mathbb{C} に対し, $\gamma$\pm\in \mathbb{C} を $\gamma$++ $\gamma$-= $\gamma$ かつ $\gamma$+ $\gamma$-=-1 なる複素数としてとる. $\gamma$ がgenericのとき,\displaystyle\mathcal{W}B_{n}=n-1_{\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int\mathrm{e}^{$\gam a$+\int$\alpha$_{i}(z)}i=1\capdz\cap\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int:\mathrm{e}^{$\gam a$_{+}\int$\alpha$_{n}(z)}$\Phi$(z)が成り立つ.ただし \displaystyle \int\cdot dz は形式的に z^{-1} の係数をとる操作を表す.

:

dz

30

\mathcal{W}_{n}^{(2)} 代数

4

Feigin とSemikhatov によって導入された \mathcal{W}^{(2)} 代数の定義を述べる. n を2以上の自然数, k を

k\neq-n なる複素数, V を n+1 次元複素ベクトル空間とする.
a_{n-1}, a_{n-2} ,

.

.

.

,

a_{1}, $\psi$, $\xi$\in V

を V の一つの基底とする. V 上の双線形形式 (\cdot|)_{V} : V\times V\rightarrow \mathbb{C} を次の Gram 行列で定義する:
a_{n-1}a_{n-2}a_{n-3}.

.

.

$\psi$

a_{1}

$\xi$

$\xipsa_{1}n-3a_{2}n-1:.(0 2(k+n)-_{0}nk -0 2(k_{0}+n)-k_{0}^ -n .\cdot 2(k+n)-_{0}^ -n0:. -k_{1}^:-n01 0 1:].

.

とその双線形形式 (\cdot|\cdot)_{V} に付随する Heisenberg 頂点代数,また m\in \mathbb{Z} に対して \mathcal{H}_{m $\xi$} を
m $\xi$\in V を最高ウェイトにもつ \mathcal{H} 加群とする. e^{m $\xi$} を \mathcal{H}_{7n $\xi$} の最高ウェイトベクトルとする.この\mathcal{H} を Vとき\displayst le\mathcal{V}_{$\xi$}=\bigoplus_{m\in\mathb {Z}\mathcal{H}_{rn$\xi$}は格子頂点代数になる.特に e^{m $\xi$} の頂点作用素 e^{7n $\xi$}(z) はe^{m $\xi$}(z)=\mathrm{e}^{m\int $\xi$(z)}で定義される.ここで \mathcal{V}_{ $\xi$} 上の場 \mathcal{E}(z) \mathcal{F}(z) を,\mathcal{E}(z)=e^{ $\xi$}(z) , \mathcal{F}(z)=-:\mathcal{P}(z)e^{- $\xi$}(z):で定義する.ただし\displaystyle \mathcal{P}=( k+n-1)\partial+ $\psi$+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i})( k+n-1)\partial+ $\psi$+\sum_{i=1}^{n-2}a_{i})\cdots( k+n-1)\partial+ $\psi$+a_{1})である.

定義4.1.

k に関する\mathcal{W}_{n}^{(2)} 代数とは, \mathcal{E}(z) と \mathcal{F}(z) によって生成される \mathcal{V}_{$\xi$} の部分頂点代数である.

次の事実は Feigin とSemikhatov による.

命題4.2 (Feigin‐Semikhatov [6]). k をgeneric としたとき,\displayst le\mathcal{W}_{n}^{(2)}=\bigcap_{i=1}^{n-1}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int\mathrm{e}^{\int\mathrm{o}_{\backslahi}(z)dz \displaystyle\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int\mathrm{e}^{\int$\psi$(z)}dz.
ロ

31

5

主定理
主定理を述べるための準備をする.2章の記号をここでも用いる.まず\triangle^{ $\Gamma$}=\triangle\backslash \triangle_{0=}\triangle_{>0^{\cup\triangle}<0},$\Pi$^{ $\Gamma$}= { $\alpha$\in\triangle_{>0}| $\alpha$= $\beta$+ $\gamma$ となるような $\beta$ $\gamma$\in\triangle_{>0} は存在しない},と定める. \triangle^{ $\Gamma$} はBrundan とGoodwin によって定義された制限ルート系と呼ばれるものになっており,そのとき $\Pi$ 「はその base の一つである. $\Pi$_{j}^{ $\Gamma$}=$\Pi$^{ $\Gamma$}\cap\triangle_{j} と定義すると,$\Pi$^{ $\Gamma$}=$\Pi$_{1,2}^{ $\Gamma$}\cup$\Pi$_{1}^{ $\Gamma$}となることが分かる.ここでQo を \mathfrak{g}_{0} のルート格子 (root lattice) とする.すなわち Qo=\oplus_{ $\alpha$\in$\Pi$_{0} \mathbb{Z} $\alpha$を任意の $\alpha$, $\beta$\in$\Pi$^{ $\Gamma$} に対しである.このとき $\Pi$^{ $\Gamma$} に同値関係~$\alpha$\sim $\beta$\Leftrightarrow $\alpha$- $\beta$\in Q_{0}として定義する.この同値関係による $\Pi$^{ $\Gamma$} の商集合を [$\Pi$^{ $\Gamma$}] と表す.また $\alpha$\in$\Pi$^{ $\Gamma$} の同値類を [ $\alpha$]\in[$\Pi$^{ $\Gamma$}]と表す.さらに V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0}) を \mathfrak{g}_{0} とその不変双線形形式 $\tau$_{k} に付随するアファインスーパー頂点代数とする.ただし $\tau$_{k} は u, v\in \mathfrak{g}_{0} に対し,$\tau$_{k}(u|v)=k(u|v)+\displaystyle \frac{1}{2}$\kap a$_{\mathfrak{g} (u|v)-\frac{1}{2}$\kap a$_{\mathfrak{g}0}(u|v)と定義される.このとき $\kap a$_{\mathfrak{g} は \mathfrak{g} 上の Killing 形式である. u\in \mathfrak{g}_{0} に対応する V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0}) の場を J^{u}(z)と表すと, u, v\in \mathfrak{g}0 に対し,

J^{u}(z)J^{v}(w)\displaystyle \sim\frac{J^{[u,v]}(w)}{z-w}+\frac{ $\tau$ k(u|v)}{(z-w)^{2}が成り立っている.また \{u_{i}\ _{i=1}^{\mathrm{d}\mathrm{i}_{\mathrm{l} \mathrm{n}\mathfrak{g}_{0} , \{u^{i}\ _{i=1}^{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{n}1 \mathfrak{g}_{0} を (u^{i}| uj )=$\delta$_{i,j} なる \mathfrak{g}0 の双対基底とする.このとき菅原構成から, k+h^{\vee}\neq 0 のとき

L(z)=\displaystyle \sum_{n\in \mathb {Z} L_{n}z^{-n-2}=\frac{1}{2(k+h^{\ve }) \sum_{i=1}^{\dim \mathfrak{g}0}:u^{i}(z)u_{i}(z)は V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0}) の共形ベクトルのなす場であることがわかる.

:[ $\beta$]\in [垣] に対し,ベクトル空間 \mathb {C}^{[ $\beta$]} を\displayst le\mathb {C}^{[$\beta$]}=\bigoplus_{$\alpha$\in[$\beta$]}\mathb {C}x_{$\alpha$}とする. x_{ $\alpha$} のパリティを \overline{ $\alpha$}+\overline{1} と定義してスーパーベクトル空間となる. \mathb {C}^{[ $\beta$]} に対する \mathfrak{g}_{0} 作用を,任意の u\in \mathfrak{g}_{0} に対し

u\displayst le\cdotx_{$\alpha$}=\sum_{$\beta$\in[$\alpha$]}c_{$\beta$,u}^{$\alpha$}x_{$\beta$}
によって定義する.ただし c_{ $\beta$,u}^{ $\alpha$} は [e_{ $\beta$}, u]=\displaystyle \sum_{ $\alpha$\in[ $\beta$]}c_{ $\beta$,u}^{ $\alpha$}e_{ $\alpha$} によって定義される定数である.この作用によって \mathb {C}^{[ $\beta$]} は \mathfrak{g}_{0} 加群となる.一方で \hat{\mathfrak{g} _{0} を \mathfrak{g}_{0} のループ (スーパー) 代数 \mathfrak{g}_{0}[t, t^{-1}] の $\tau$_{k} による中心拡大とする.すなわち\hat{\mathfrak{g} _{0}=\mathfrak{g}[t, t^{-1}]\oplus \mathbb{C}K

32であって,任意の u, v\in \mathfrak{g}0, m, n\in \mathbb{Z} に対し,

[utm, vt^{n} ] =[u, v]t^{7n+n}+$\tau$_{k}(u|v)Kを満たす.このとき \mathb {C}^{[ $\beta$]} に, \hat{\mathfrak{g} _{0} の部分リー代数 \mathfrak{g}_{0}[t]\oplus \mathbb{C}K の作用を \mathfrak{g}_{0}[t]t=0 かつ K=1 によって定義して \mathfrak{g}_{0}[t]\oplus \mathbb{C}K 加群とする.よって誘導表現

M_{[$\beta$]}=\displayst le\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{d}_{\mathfrak{g}_{0}[t]\oplus\mathb {C}K^{\hat{\mathfrak{g}_{\mathrm{U} \mathb {C}^{[$\beta$]}\simeqV^{$\tau$_{k}(\mathfrak{g}_{0})\otimes\bigoplus_{$\alpha$\in[$\beta$]}\mathb {C}x_{$\alpha$}が得られる.構成から M_{[ $\beta$]} は V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0}) 加群である. k\neq-h^{\vee} とする. $\alpha$\in$\Pi$^{ $\Gamma$} と n\in \mathbb{Z} に対し,線形作用素

S_{n}^{ $\alpha$}:V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0})\rightar ow M_{[ $\alpha$]}を定義する.

S^{$\alpha$}(z)=\displaystyle\sum_{n\in\mathb {Z} S_{7b}^{$\alpha$}z^{-n}
として,任意の A\in V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0}) に対しS^{ $\alpha$}(z)A=(-1)^{(\overline{ $\alpha$}+\overline{1})\overline{A} e^{zT}Y(A, -z)x_{ $\alpha$}として定義する.ただし Y(A, z) は M_{[ $\alpha$]} 上の頂点作用素であり, T=L_{-1} とする.
命題5.1. k をgeneric とする.このとき次が成り立つ.

1.

S_{0}^{ $\alpha$}|0)=x_{ $\alpha$}, n\geq 1 に対し S_{n}^{ $\alpha$}|0 } =0.

2.

S_{n}^{ $\alpha$} は \overline{ $\alpha$}+\overline{1} のパリティをもつスーパー線形作用素である.

3.

[J_{(m)}^{u},S_{n}^{$\alpha$}]=\displaystyle\sum_{$\beta$\in[$\alpha$]}c_{$\beta$}^{$\alpha$},{_u}S_{m+n}^{$\beta$}.
\displaystyle \partial S^{ $\alpha$}(z)=-\frac{1}{(k+h^{\ve })(e_{ $\alpha$}|e_{- $\alpha$})4.

次の定理が本稿の主定理である.

\displaystle\sum_{$\beta$\in[$\alph$]_{0},$\gam a$\inI\cup\triangle}(-1)^{\overline{$\beta$}\overline{$\gam a$}c_{$\beta$,- \alph$}^{ \gam a$}:J^{e_$\gam a$}(z)S^{$\beta$}(z):.

定理5.2. k がgeneric のとき, \mathcal{W} 代数 \mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) は V^{ $\tau$}k(\mathfrak{g}_{0})\otimes F^{\mathrm{n}\mathrm{e} の部分頂点代数として次のよ
うに実現される :\displayst le\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g},f;$\Gam a$)\simeq\bigcap_{[$\alpha$]\in$\Pi$^{$\Gam a$}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}Q_{[$\alpha$]}.
ただし

Q_{[ $\alpha$]} :V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0})\otimes F^{\mathrm{n}\mathrm{e} \rightar ow M_{[ $\alpha$]}\otimes F^{\mathrm{n}\mathrm{e}は次のように定義される:

Q_{[$\alph$]}=\left{bginary}{l \sum_{$\beta in[$\alph$]}\chi$(e_{\bta$})\inS^{$\beta}(z)d&[$\alph$]\in[ P$_{1}^ \Gam $}]\tex{のとき})\ sum_{$\beta in[$\alph$]}\int:S^{$\beta}(z)$\Phi_{$\beta}(z):d&([$\alph$]\in[ P$_{1,2}^$\Gam $}]\tex{のとき}).\end{ary}\ight.

33\mathfrak{g}_{0}=\mathfrak{h} となる $\Gamma$ が選べるときを考える (必ずしもとれるとは限らない)

このとき \triangle 0= $\phi$ な

ので, \triangle^{ $\Gamma$}=\triangle, $\Pi$^{ $\Gamma$}= $\Pi$ である.また Q_{0}=0 より, $\Pi$^{ $\Gamma$} に定義された同値関係は自明となる.した
がって [$\Pi$^{ $\Gamma$}]=$\Pi$^{ $\Gamma$}= $\Pi$ である.このとき V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0})=V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{h}) は \mathfrak{h}^{*} と \mathfrak{h} を同一視することで, \mathfrak{h}^{*} に付随する Heisenberg 頂点代数 \mathcal{H} と同型になる.さらに命題5.1より, $\alpha$\in $\Pi$ に対しS^{ $\alpha$}(z)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{ $\nu$}\int $\alpha$(z)}となる.ただし$\nu$=\sqrt{k+h^{\vee}}, $\alpha$(z) は $\alpha$\in \mathfrak{h}^{*} に対応する \mathcal{H} 上の場である.よって定理5.2より次の定理を得る.
定理5.3. k がgeneric かつ \mathfrak{g}_{0}=\mathfrak{h} とする.このとき \mathcal{W} 代数 \mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g}, f; $\Gamma$) は \mathcal{H}\otimes F^{\mathrm{n}\mathrm{e} の部分頂点代数として次のように実現される :\displayst le\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{g},f;$\Gam a$)\simeq $\alpha$\in$\Pi$_{1}\cap\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int\mathrm{e}^{-\frac{1} $\nu$}\int$\alpha$(z)}dz\bigcap_{$\alpha$\in}\mathrm{n}_{$\Pi$_{\frac{1}2}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\int:\mathrm{e}^{-\frac{1} $\nu$}\int$\alpha$(z)}$\Phi$_{$\alpha$}(z):dz.
$\chi$(e_{ $\alpha$})\neq 0

ただし \mathcal{H} は \mathfrak{h}^{*} に付随する Heisenberg 頂点代数,$\nu$=\sqrt{k+h}, $\alpha$(z) は $\alpha$\in \mathfrak{h}^{*} に対応する \mathcal{H} 上の場である.
\mathfrak{g} が単純リー代数かつ f がその正則べき零元のとき, \mathfrak{g} のDynkin grading $\Gamma$ をとると \mathfrak{g}_{0}=\mathfrak{h} であり,このとき定理5.3はFeigin‐Frenkel の定理1.1の結果を含む、したがって定理5.3は定理1.1の一般化であり, \mathcal{W} 代数の新しい自由場実現を与えている.

6

主定理の応用定理6.1.

k\displaystyle \neq-n-\frac{1}{2} のとき,
\mathcal{W}B_{n}\simeq \mathcal{W}^{k} (osp(1, 2n), f_{reg}; $\Gamma$ ).

ただし freg は 0\mathfrak{s}\mathfrak{p}(1,2n)_{\overline{0} =\mathrm{s}\mathrm{p}(2n) の正則べき零元, $\Gamma$ はDynkin grading であり, \mathcal{W}B_{n} のパラ
メータ $\gamma$ は$\gamma$=\displaystyle \sqrt{2k+2n+1}-\frac{1}{\sqrt{2k+2n+1}}
で対応付けられる.
証明.定理5.3において \mathfrak{g}= osp (1, 2n) f をその even part の正則べき零元とすれば,定理6.1が,成り立つ.ただし定理6.1において n+\displaystyle \frac{1}{2} はosp (1, 2n) の双対Coxeter数であることに注意する.
定理6.1が k がgeneric だけではなく,非臨界レベル(k\displaystyle \neq-n-\frac{1}{2}) でも成り立つのは,三浦写像と呼ばれる \mathcal{W} 代数の自由場実現を誘導する写像を用いることでわかる.口定理6.2. k\neq-n のとき,

\mathcal{W}_{n}^{(2)}\simeq \mathcal{W}^{k}(\mathfrak{s}[_{n}, f_{sub}; $\Gamma$).

ただし fsub は \mathfrak{s}[_{n} の副正則べき零元, $\Gamma$ } 3\mathrm{i}\mathfrak{s}(_{n} のgood grading であり,単純ルートを $\alpha$_{1}とすると $\alpha$_{1}\in$\Pi$_{0} かつ $\alpha$_{i}\in$\Pi$_{1}(i\geq 2) を満たすものである.

,

.

.

.

,

$\alpha$_{n-1}34証明.定理5.2で \mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathrm{t}_{n}, f=f_{sub}, $\Gamma$ を $\alpha$_{1}\in$\Pi$_{0} かつ $\alpha$_{i}\in$\Pi$_{1}(i\geq 2) を満たす good grading とすると,generic な k に対して

\displaystyle\mathcal{W}^{k}(\mathfrak{s}(_{n},f_{sub};$\Gam a$)\simeq\bigcap_{i=2}^{n-1}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\intS^{$\alpha$_{i}(z)dz\subsetV^{$\tau$_{k}(\mathfrak{g}_{0})となる.ただし\mathfrak{g}_{0}=\mathbb{C}e_{$\alpha$_{1} \oplus \mathfrak{h}\oplus \mathbb{C}e_{-$\alpha$_{1}である.

h_{i}=$\alpha$_{i}^{\vee}\in \mathfrak{h}(i=1, \ldots, n-1) とおく.このとき頂点代数の射$\pi$:V^{$\tau$_{k} (\mathfrak{g}_{0})\rightar ow \mathcal{V}_{ $\xi$}を次で定義する:

J^{h_{1}}(z) \mapsto (k+n-2) $\xi$(z)+2 $\psi$(z)+a_{1}(z)J^{h_{2}}(z) \mapsto $\xi$(z)- $\psi$(z)+a_{2}(z)
J

ん

i(z)

\mapstoa_{i}(z),,(i=3, \ldots, n-1),J^{e_{ $\alpha$}}1(z) \mapsto \mathrm{e}^{\int $\xi$(z)},J^{e-$\sigma$_{1}}(z)\mapsto-:((k+n-1)(\partial+ $\xi$(z))+ $\psi$(z)+a_{1}(z)) $\psi$(z)\mathrm{e}^{-\int $\xi$(z)}:.

すると $\pi$ は V^{k+n-2}(\mathfrak{s}\mathfrak{c}_{2}) の脇本表現の拡張になっており,単射である (ただし5 \text{【_{}2}=\mathbb{C}e_{$\alpha$_{1} \oplus \mathbb{C}h_{1}\oplus
このとき $\pi$ は \mathcal{W} 代数と \mathcal{W}_{n}^{(2)} 代数の間の同型を誘導することが分かり,\mathbb{C}e_{-$\alpha$_{1} と思っている)
generic な k に対して主張が成り立つことが分かる.再び三浦写像を用いることで定理6.2が成り立つことが証明される.口

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