マイクロメカニックス
～基本的事項～森

勉

あった．達成度は低いけど．今でも，理解度を高めたいと思

.

緒

論

っている．なお，これらの具体例の前に，基本概念をまず書くことにする．

編集委員会から，マイクロメカニックスの講義ノートを書･ 基けと言われた．ニュートン力学の範囲云々なる語句を使って

本

概

念

マイクロメカニックスを定義している人もいる．我が師のToshio Mura (村外志夫)は，“固体の微細構造の幾何学およマイクロメカニックスは，非弾性ひずみがあるときの弾性

びひずみ・応力を研究する”ものと説明している(1)．一方，ひずみ，応力，弾性エネルギーを算えて，物事を議論するの皆川先生の極めて難解な解説記事もある(2)．この解説の最初に役立つ．非弾性ひずみとは，Mura が名づけた eigenstrainの数行は分かるが，あとは金属屋や材料屋の日常生活に役にのことで，塑性ひずみ，熱膨張ひずみ，変態ひずみ，析出物

立ちそうもないことばかりである．堀さんの著書はかなり具の misfit ひずみ，電界誘起ひずみ等である． eigenstrain eij

体的問題を議論しているが，これも難しい(3)．

があるとき生じる変位を uk とし，全ひずみを gkl とする．gkl

40年ほど前に，マイクロメカニックスの講義を，「まてりあ」の前身の会報に書いた(4)(6) ．このときは，教科書，参と uk は

gkl＝(uk,l＋ul,k)/2(1･1)

考書に解のみが書かれていることを，どうやって導くかといで結ばれる．(このように，座標 xl で微分する操作 &uk / &xl

うことに主眼をおいた．古いものである．加藤雅治さんの講を ， comma を 使 っ て uk,l と 簡 便 に 表 す ) 弾 性 ひ ず み ekl と義も最近のまてりあ(7)に載っていて，未だマイクロメカニッ

の和が全ひずみである．
eigenstrain ekl

クスの手法が利用できるという感もある．Mura にも解説記
gkl＝ekl＋ekl(1 ･ 2 )事があり(8)，ありがたい教えが載っている．“一番良いこと

応力 sij は，弾性ひずみ ekl に比例し( Hooke の法則)，弾性は，自分の問題を作ることである．そうするとマイクロメカ

係数(elastic stiffness)Cijkl を使ってニックスの有用性が自ずとわかって来る．”そこでこのノー

sij＝Cijkl ekl(＝Cijkl(gkl－e
kl))( 1･ 3)トでは，前に書いたノートとの重複を避け，かつ，この 20となる．このように，一つの辺に同一 index が二度でてきた年間に私が携わった具体的問題を題材として取り上げ，考えときは，1, 2, 3 を代入して和をとる(総和記号規約)．(1･3)方，解き方を述べることにした．( Mura の教えの有用性云のなかの gkl は，uk,l で置き換えて良い．これは，々に理解力を加えたい．具体的問題を考えれば，理解力も深Cijkl＝Cijlk＝Cjikl(＝Cklij)(1 ･ 4 )まると考えている)その際，マイクロメカニックスでよく使なる弾性係数の対称性による．この対称性は，歪の対称性とわれる方法，定式の説明をするようにした．こうすれば，基応力の対称性に由来する．括弧内は，熱力学に出てくる

本的かつ使い易い formulae も知り，マイクロメカニックス

Maxwell 関係の一例から求まるもので，よく利用される．

の有用性が見えてくると思う．そして，より理解が進むと思弾性エネルギー(弾性ひずみエネルギー，ひずみエネルギう．私の意味のある日常生活は，上の Mura の教えの実践でー) E は，弾性エネルギー密度 sij eij / 2 を使って，物体全体

防衛大学校研究協力者
Micromechanics I ～Basic Discussion～; Tsutomu Mori(National Defence Academy, Yokosuka)
Keywords: micromechanics, eigenstrain, stress, energy discussion
2016年 2 月 7 日受理[doi:10.2320/materia.55.416]




講義ノート

Cklmn{－ šum(j)jl jn exp(ij･x)－ijl šemn(j)exp(ij･x)}＝0

を D として，

fsij eij/2dV

E＝

(1･5)

D

(1･12)を得る．ここで，(dV は体積要素)で定義されるが，D 内のある領域 V のみにše
i ＝－iCijmn jj šemn(1･13)

eigenstrain e
i j がある場合には，

Kim＝Cilmn jl jn(1･14)f

sij e
i j/2dV

E＝－

(1･6)

D

を定義する．(Kmi＝ Kim である．式(1･14)を見よ)これらより式(1･12)は，と同じで，実際の計算が非常に楽になる．式( 1 ･ 5 )から式

Kim šui＝ šem(1･15)( 1 ･ 6 )が出てくる理由は，応力の釣り合い式(応力の平衡方の時成立することが分かる．これは， šui を未知数とする三程式)と，物体 D 表面には力が働いていないことによる．こ

元連立一次方程式である．式(1･15)を具体的に書きだすとの条件を式に書けば，以下となる．

(m ＝ 1 )K11 šu1＋K21 šu2＋K31 šu3＝ še1sij, j＝0 in D

(1･7)

(m＝2)

K12 šu1＋K22 šu2＋K32 šu3＝ še2

sij nj＝0 on &D

(1･7′
)

(m＝3)

K13 šu1＋K23 šu2＋K33 šu3＝ še3( &D とは物体 D の表面のことである) nj は，物体 D の表面に立てた単位の法線ベクトルである．式(1･6)を導く際の数
式処理中では，部分積分( Green Gauss の定理)を使うが，)詳しいことは文献( 4)～( 7)に書いてある．式( 1･7) , (1･ 7′
は，たいていの力学の本に説明がある．力学の本ではないが，実際問題に役に立つ Nye の本も，これらを説明してお(1･16)となる．標準的な方法でこれを解くと，
šui(j)＝

Nim(j)
Nim(j)(－ijnCmnpq še
še
m(j)＝
pq(j))D(j)D(j)(1･17)となり，変位は，
ui(x)＝

Nim(j)(－ijnCmnpq še
pq(j)exp(ij･x))
D ( j)(1･18)

り(9)，分かり易い図もある．Nye にあるように式(1･7′)は，として求まる．ここで，Nim は Kim をマトリックスとした行

単位の法線 nj を持つある面に働く単位面積当たりの力 Xi

列の余因子， D はこのマトリックスの行列式である．等方(面力)と応力 sij の関係

等質物質，立方晶，六方晶の場合の Nim と D が Mura(10) の

Xi＝sij nj(1･7″)からきている．

本に書いてあって(pages 13, 14)便利である．
次に単一周期でなく，色々な周期の eigenstrain が連続的に分布している場合を考える．つまり，式(1･8)を

･ eigenstrain の周期的分布

∞

∞

∞

fff

e
i j(x)＝

dj1

d j2

－∞

マイクロメカニックスは，ひずみや応力を対象とする．そこで，私が習ったひずみや応力を求めるある一つの基本的取扱いをまず述べる．一見難しいので，ざっとだけ見てほしい．
Mura の本(10) にある eigenstrain が周期的に分布している場

dj3 šei j(j)exp(ij･x)－∞(1･19)－∞のように拡張するのである．ei j( x )が分かっているときは，šei j(j)は3še
i j(j)＝∞∞∞(21p)fdx fdx fdx e(x)exp(－ij･x)
1

2

－∞

3 ij

－∞

－∞

合(pages 7～11)で，ここにコピーする．こういう場合の特(1･20)

殊例や，合成によっていろいろな問題が解ける．今節の目的から求まる．ここで想像をたくましくすると，式( 1 ･ 19 ) ,は，順番に少しずつ組立てて行けば，利用すべき解が出てく(1･20)場合，変位，変形勾配，ひずみは，ることを示すことでもある．結果だけを羅列することは良くない．まず，

∞

∞

dj 2

－∞

e
i j(x)＝ šei j(j)exp(ij･x)(1･8)のように eigenstrain が周期的に分布するとする．( ij ･ x ＝
ijm xm＝i(j1 x1＋j2 x2＋j3 x3), i＝ －1))．
um(x)＝ šum(j)exp(ij･x)
um,n(x)＝ šum(j)ijn exp(ij･x)－∞∞

Nim(j)D ( j)

∞

∞

ff f
dj 2

－∞

dj 3

－∞

gij(x)＝

1
2

∞

∞

∞

ff f
dj1

－∞

dj 2

－∞

d j3

－∞

(1･22)

jnCmnpq še
p q( j )D(j)×(jj Nim(j)＋ji Njm(j)exp(ij･x))である．したがって応力は(1･21)

Nim(j)D ( j)

×(jj jnCmnpq še
pq(j)exp(ij･x))(1･9)(1･10)

－∞

dj 1

－∞

となる．(この理由を考えて下さい)この勾配は

dj 3

×(－ijnCmnpq še
pq(j)exp(ij･x))
ui, j(x)＝当然，これによって生じる変位は

∞

ff f
dj 1

ui(x)＝(1･23)

から計算できることが分かる．一見ややこしいが，こういうskl(x)＝Cklmn(um,n－e
mn)＝Cklmn{ šum(j)ijn exp(ij･x)－ šemn(j)exp(ij･x)}のを利用すると転位による変位，応力も順番に求まる．ま(1･11)

た，弾性係数に異方性がある場合にも使えることになる．まとなる．ここで，括弧内に全ひずみ gmn でなく，変位の勾配

た， Nim / D の Fourier 変換である Green 関数を使って，変(distortion，変形勾配)を使ったが，これは弾性係数 Cklmn の位，応力のGreen関数表示へとつながる．

対称性による(1･4)．釣り合いの式(1･7)(skl,l＝0)を使うと

ま て り あ 第55巻 第 9 号(2016)
Materia Japan

この節を読み直し，文献(4)を眺めてびっくりした．以上



は，殆ど文献(4)にあるものと同じだからである．勘弁してら で あ る ． 例 え ば ， 式 ( 1 ･ 23 ) か ら Eshelby tensor が で る下さい．文献(4)や Mura の本(10)の有用な結果だけを引用す

が，このような無限大領域の積分でなく，二次元または一次

るなら，公式集と殆ど同じになってしまう．考え方を組み立

元の有限領域での積分の形に書き換えることも行ったのであてるのが大切だと考えていると，重複が起ってしまう．

る．つまり，介在物の場の計算方法を発展させ，さらに介在

Mura の教え(8)には逆らっていない．

物の外側の場まで求める手段の定式化まで行ったのである．
これらのことは，Mura の本を読めば分かる(10)．

･ 楕円体介在物，Eshelby，Mura･ 平 板 状 領 域
マイクロメカニックスは J. D. Eshelby の楕円体介在物の論文(11) から始まったと言う人がいるくらいであり，固体力

この問題を基本概念に入れるのをためらうが，役に立つの学の分野で最も多く引用されている論文である(12)．しかし，でまとめておく．例えば，マルテンサイトの力学， Ni 基超

マイクロメカニックスの進歩を紹介，解説しても， Eshelby

合金(gg′合金)に存在する g channel 中の応力解析である．

を引用していないものもある(2)．とは言え，Eshelby の論文

平板状領域(V )の外側へ向けて立てた単位法線ベクトルを n

がすごいことは事実である．この論文は難しいが，一行，一とする．この問題の場合， šei j(j)をうまくとると，∞

行読めば分かり，極めて有用である．しかも，数か所に出てfe
i j(x)＝

く る ideas が す ご い ． こ の 論 文 の す ご さ は ， わ が 師 の 名著(10) ，“ Micromechanics of Defects in Solids ”を読んでもše
i j(j)exp(ijn･x)dj(1･27)－∞

は，V の中で一定の e
i j をとり， V の外では eigenstrain がゼ分かる． Mura は， Eshelby の楕円体介在物の論文を，このロとすることができる．変位勾配は，式( 1 ･ 22 )を書き直し

本の Preface の中でも取り上げ， celebrated paper と呼び，て特別なものと考えている．勿論，難しい堀さんの著書にも(3)，Eshelby は出てくる．

∞

fui, j(x)＝－∞Nim(jn) 2
j nj nnCmnpq še
pq(j)exp(ijn･x)djD (jn)

Eshelby の paper でのありがたいところの一つは，“領域(1･28)V が楕円体で，V のなかに一様な eigenstrain e
kl が存在するで あ る ． 式 ( 1 ･ 27 ) と ( 1 ･ 28 ) 中 の j は 正 と 負 を 取 り う る

ときには， V のなかの全ひずみ gij も一様(一定)になる”こscalar である． D は j の 6 次， N は j の 4 次，式( 1 ･ 28 )中とを示した点にある．(この証明がすごいのである)すなわち，の分子には j の 2 次があるので，式(1･28)は，

gij(V )＝Sijkl(V )ekl

(1･24)

である． Sijkl(V )と書いたのは，これが楕円体の形で決まる∞

fui, j(x)＝－∞Nim(n)
nj nnCmnpq še
pq(j)exp(ijn･x)djD (n)こ と を 示 す た め で あ る ． Sijkl を Eshelby tensor と 呼 ぶ ．
Eshelby は，このことを弾性係数が等方的な場合に証明し(この証明がすごい)ている． Sijkl は，一般的には弾性係数
Cijkl にも依存する．等方等質物体では，この弾性係数依存性(1･29)と直せる．さらに j を含まない項を積分の外に出して
ui, j(x)＝∞fNim(n)
nj nnCmnpq
D (n)

še
pq(j)exp(ijn･x)dj－∞は Poisson 比だけで表せる．勿論 Eshelby は，Sijkl を楕円体の形(軸比)で書く方法を与えている．Mura の本には，幾つか の 代 表 的 楕 円 体 の 場 合 の Sijkl と 応 力 の 具 体 的 表 示 が ある(10)．楕円体中の応力

sij(V )(＝Cijmn emn(V ))＝Cijmn(Smnkl(V )e
kl－e
mn)

(1･25)

も，勿論一定となる．
この Eshelby 問題は，木下Mura によって弾性係数に異(1･30)
としても良い．この積分項は式(1･27)そのものなので，ui, j(x)＝Nim(n)
nj nnCmnpq e
pq ( x )D(n)(1･31)となる．応力は，

skl(x)＝Cklij{ND((nn)) n n C e(x)－e(x)} (1･32)
im

j

n

mnpq pqij

方性がある物体に拡張されている(13)．異方性物体でも，Sijklとなる．ここで，ひずみが対称であることを無視するというを Eshelby tensor と呼ぶ．異方性物体の場合，Sijkl を求める

さぼり行為をして，上式を書き直す．まず，ui, j＝Sijpq e
pqには，一般的には数値積分を必要とする．しかし，特別なV の場合には簡単に書ける．あとでその例が出てくる．この楕円体介在物の性質を使えば， eigenstrain を持つ楕円体

Sijpq＝が作る弾性ひずみと応力により物体全体にたくわえられる弾性エネルギーは，
E＝－sij(V )ei j(V )V/2

Nim(n)
nj nnCmnpq
D (n)(1･34)

である．式( 1 ･ 34 )が平板状領域の Eshelby tensor であり，
(1･26)

として掛け算で求まる．便利である．
この節の heading に Mura を入れた理由を述べる． Muraは，木下Mura の論文で Eshelby の介在物問題を異方性へと拡張しただけでなく，さらに介在物の力学を発展させたか

(1･33)とする．ここで，Sijpq は式(1･33)がこの領域に一定の eigenstrain が入ったときのこの領域内の一様な全ひずみを与える表現となる．
ここで，n＝(001),n1＝n2＝0,n 3＝ 1(1･35)という特別な場合を考える．板状領域が， x3 方向に垂直な講義ノート

場合である．この時，式(1･31)より，
ui,1＝ui,2＝0

る．これに，熱力学に出てくる PV に相当する項を加えれば，(1･36)

Gibbs エネルギーとなる．－PV は，一定圧力 P が物体の体である．また，この板状領域内に生じる eigenstrain が積変化に応じてする仕事である．見方を変えると，PV は一e
1 1 ＝ e2 2 ＝ e1 2＝ 0(1･37)

定圧力 P の位置エネルギーである．物体の Helmholtz エネの場合，この領域内に生じるすべての応力はゼロになる．一

ルギーに，実際には外力が持っているその位置エネルギーを例として e33 のみ存在しているとしよう．式(1･32)より，こ加えて，かつ物体に責任を負わせて，物体の Gibbs エネルのときの応力は，ギーと言う． Eshelby は全エネルギー( total energy )と書い

skl＝Cklij

Nim(n)
nj nnCmn33 e
33－Ckl 33 e
33
D (n)

(1･38)

であるが，式(1･35)に注意すると，これは次のようになる．
Nim(n)
skl＝Ckli 3
Cm333 e33－Ckl 33 e
33
D (n)

(1･39)ている．
ある転位を含む物体を考える．適当な外力もかけておく．
この転位を仮想的に dx だけ動かしたとき，全エネルギーがdF だけ変化したら，転位に働く力 f を
f＝－&F/&x(1･45)

で 定 義 す る ． こ の f を ， generalized force と 言 う ． Con-

ここで，
Akl＝Ckli 3

Nim
nj nq Cmj 3q
D(1･40)

figurational force と呼んでいる一派もある．この定義は力学，熱力学の教えの通りである．ここにある F は全エネルなる量を考える． n ＝(001)なので，上式は式(1･38)の第一ギー( Gibbs エネルギー)である．厳密には， dx には成分が項の係数と同じになる．式( 1 ･ 14 )の Kim の定義を思い出すあるので，力にも成分があると理解してほしい．転位に働くと，力(PeachKoehler force)は sb であると習ったが，これは式
Nim
Nimnj nq Cmj 3q＝Ckli 3
Km3
Akl＝Ckli 3DD(1･41)( 1 ･ 45 )から来ている．全エネルギーなので，外部応力だけ
でな く，他の 転位，析 出物が作る 応力がこ この s に現 れとなる．連立一次方程式で習ったこと(行列，行列式，余因る．対象とした転位自身の作る応力(分かり易い例は，転位子のこと等)の曲りによって発生する応力)も入る．
Nim Kmr＝Ddir(1･42)

から，式(1･41)は，後で，個別問題を議論する時に別箇の定式化をするが，頻繁に使われる“相互作用”なる言葉をここで議論する．対象

Nim
Nim
nj nq Cmj 3q＝Ckli 3
Km3＝Ckli 3 di3＝Ckl 33
Ckli 3DD(1･43)

ギー E をとりあげる．
eigenstrain e
i j( V1 )をもつ領域 V1 が弾性ひずみ eij ( V1 )ととなる．これを式(1･37)に入れると，

skl＝Ckl 33 e
33－Ckl 33 e
33＝ 0とする量はなんでも良いのであるが，とりあえず弾性エネル(1･44)

応力 sij(V1)を作るとする．eij(V1)と sij(V1)は場所によってである．つまり， e
33 だけが存在しているときは，平板状領

変わっているとする．もう一つの領域 V2 があり，これは域内の応力はゼロである．同じことを e
3 1 と e32 だけが存在

eigenstrain e
i j( V2 ) を 持 ち ， 弾 性 ひ ず み eij ( V2 ) と 応 力 sij

しているときに繰り返せば， e
3 1 , e32 があっても，応力は生(V2)を作るとする． Hooke の法則を仮定しているので， V1

じないことが理解できる．まとめると， x3 方向に垂直な平と V2 が共存しているときは，弾性ひずみも応力も重ね合わであり， e3 3 , e31, e 32 は応せが効く．この場合， V1 と V2 が共存しているときの弾性板状介在物内では， ui,1 ＝ ui,2 ＝ 0,

力を作らないということである．(この結論の説明にもたもたしたのは，私の能力の低さのためである．乞う寛容)な
お，北大の加藤博之先生は，以上の特殊例を別の方法で示しエネルギーは，f(sij(V1)＋sij(V2))(eij(V1)＋eij(V2))dV

E(V1,V2)＝(1/2)

Dてくれた(14)．

(1･46)
である．D は物体全体を表す．これの括弧を外して，

･ エネルギー利用法，力私は，エネルギーを算えて議論の展開の利用することが，生きて行く上に役に立つと思ってきた．どんなエネルギーを算えるべきかは，教養課程でならった力学，熱力学に忠実にE ( V 1, V 2)ff
D＋(1/2)

いていることを思いだした．
Eshelby が卓見を述べたある総合的な paper は，まずエネ

sij(V2)eij(V2)dV

D

sij(V1)eij(V2)dV＋(1/2)

D

従えばいいのだが，この問題で，昔勉強した Eshelby が書

ffsij(V1)eij(V1)dV＋(1/2)＝(1/2)

sij(V2)eij(V1)dV

D(1･47)とする．
第一項は V1 のみが存在するときの弾性エネルギーであ

ルギー論と，エネルギーから定義される力の定義から始まり，第二項は V2 のみが存在しているときの弾性エネルギーる(15)．ここで少し言葉は違うが Eshelby の真似を多少する．

である．両者共存の場合は，これらの和だけでなく，第三項

物体の持つ弾性エネルギーは，その物体の持つ Helmholtzと第四項を加えなくてはいけない形となっている．このようエネルギーである．ただし，定温変化だけを考えた場合であな場合， V1 と V2 とは“弾性エネルギーに関して，相互作

ま て り あ 第55巻 第 9 号(2016)
Materia Japan

用を持つ”と言う．いい例は，転位と溶質原子である．そしV に eigenstrain e
i j が発生しても，外力は仕事をしない．

て，第三項と第四項の和を，相互相作用の弾性エネルギー

要は，我々の対象物(転位，析出物，介在物等)を含む物体

EI(V1, V2)と呼ぶ．多くの場合，これだけを算えれば，次のの平衡，変化の進む向きを議論する際に用いるエネルギー量

議論の展開に十分である．そして，使い易い計算法がある．

を，全エネルギーとして算えればいいのである．これから力

この計算法の導出は楽であるのだが昔やったので(6)，ここにも出るし，安定，不安定の判断や，どんな状態が優先して起書くのはみっともないのでやめる．そこで結果だけを書く．

ffsij(V1)ei j(V2)dV＝－

EI(V1, V2)＝－

V2

きるかも判断できる．こんな考えは， BCC 金属中に存在す
る侵入型不純物原子の Snoek ordering の議論( FI を利用)や，相互作用の弾性エネルギーはまとめてsij(V2)ei j(V1)dVV1

misfit を持つ二つの析出物が特定の方向と距離に配列するという問題( EI を利用)の理解に役立つ．

(1･48)(次号へつづく)で算えられる．積分記号なんて書いたが，掛け算で済ますこ文とが多い．例えば，Cottrell 雰囲気形成の原因である転位と献

溶質原子の組を考える場合，たいてい式(1･48)で， sij (V1)
を転位の作る応力，溶質原子の misfit を eigenstrain e
i j( V 2 )として，EI(V1, V2)＝－V2sij(V1)ei j(V2)(1･49)

ですませる．
この問題の転位の応力の代わりに，我々が扱っている物体に働いている応力として，この物体の表面に力(面力， traction)を与えて作る外部応力 s A
ij の効果(外力と e
i j をもつ領域
V との間の相互作用)を論じる場合もある．この場合，式( 1･ 48)や(1 ･49 )と同形の表式が使える．そして良く，別の記号を使う．例えば，式(1･49)に対応するものとして，
FI＝Vs Aij ei j(V )

(1･50)とする．この際面倒なので， V1 の代わりに V と書いた．
A
Vs A
ij e
i j( V )は， s ij を作る外力が， V に ei j( V )を発生させる時に行う仕事である．(この意味で，e
i j が塑性歪の場合には，
A
Vs A
ij e
i j( V )をよく塑性仕事と呼ぶ)あるいは，－ Vs ij e
i j( V )は， V に ei j( V )が発生するときに，一定の外力が持つ位置( 1 ) Kenkyusha's English
Japanese Dictionary for the General
Reader, ed. by T. Matsuda, Kenkyusha, (1994).
( 2 ) 皆川七郎精密工学会誌，54(1988), 1012
1016.
( 3 ) S. NematNasser and M. Hori: Micromechanics: Overall
Properties of Heterogeneous Materials, North Holland,(1998).
( 4 )～( 6 ) 森 勉金属学会会報，17(1978), 821829, 920927,
18(1979), 3747.
( 7 ) 加藤雅治まてりあ，47(2008), 375380.
( 8 ) 村外志夫ふぇらむ，2(1997), 527533.
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(10) T. Mura: Micromechanics of Defects in Solids, Martinus
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(11) J. D. Eshelby: Proc. Roy. Soc., A241(1957), 376390.
(12) Shaofan Li: IMechanica, (2006), The Most Cited ScientificPapers in Solid and Computational Mechanics.
(13) N. Kinoshita and T. Mura: Phys. Stat. Sol. (a), 5(1971), 759
768.
(14) 加藤博之北海道大学工学部，私信．
(15) J. D. Eshelby: The Continuum Theory of Lattice Defects, Solid
State Physics, Academic Press, (1956), 79.

エネルギーの変化と見れば良い．あるいは， V での応力が★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

sA
ij になるまで引っ張り試験機を動かし， cross head を固定

1957年 東京工業大学卒業(金属工学科)
1957年 東京工業大学助手(金属工学科)
1968年 東京工業大学助教授(金属工学科)
1975年 東京工業大学教授(材料科学専攻)
1995年 リヨービ 嘱託(研究部)
1996年以降，幾つかの大学・研究所への行脚と修行
2013年 現在に至る
専門分野金属材料の力学的性質

する．このあと，V に eigenstrain e
i j を発生させる．このとき，物体と引っ張り試験機を一体(一つの大きな物体)とみなして， s Aij を，一つの内部応力と考えてしまう．こうすれAば，－Vs Aij ei j(V )は s ij と V との間の相互作用の弾性エネル

ギーと見ることができる．cross head を固定しているので，
森




勉

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講義ノート