陳腐化商品の在庫管理—最適発注量と割引率—
2008MI062 幾世隼介

2009SE074 伊野良健

指導教員：澤木勝茂

はじめに

1

本論文では，研究の対象として，コンビニエンスストアにおける弁当に着目した．コンビニエンスストアは，人々にとって身近な小売店であり，24 時間営業でもあることから，多くの人に利用されている．店頭に陳列されている陳腐化商品の在庫管理は，需要と供給のバランスを常に考慮し，商品の在庫を保つことが重要である．経営者にとってこの問題は，利益の影響に繋がることもあり，困難な問題

b:弁当 1 ロットあたりの原価
c:機会損失費用
x:発注量
y:需要量
e(x, y):(発注量 x, 需要量 y のときの) 利益t(x, y):(発注量 x, 需要量 y のときの) コスト
E(x):期待利益
T (x):期待コスト
p(y):需要確率である．
本論文では，まず，経営者が最適な在庫管理を行うため

3.2

利益最大化モデルに，機会損失費用や過剰在庫により廃棄の対象となる商品弁当が売れると a 円の利益，弁当が売れ残ったら b 円のを最小限まで減らし，利益最大化に導く最適発注方法の決損失となる．発注数よりも需要数が多く，品切れとなって定，またスタッフが賞味期限の切れた弁当を売値から割引しまったため客が弁当を買わずに店を出て行ったときの損をして購入する場合，利益への影響を比較する．最適な販

失 (機会損失費用)c 円を考慮し，発注を何個すれば利益が売方法を決定することで，利益最大化，コスト最小化の観最大になるのか，[1] の文献を参照し，基礎モデルから利益点から経済発注量を考察する．

最大化を考察する．機会損失費用の概要は文献 [2] を参照．

累積度数分布表2

過去 1 カ月分の販売データを使用し，累積度数分布表を3.2.1

定式化

利益 e(x, y) は，作成した．今回，弁当の発注は 5 個を 1 ロット (※単位) と{して発注するとし，過去 1 カ月分の動向も，5 個を 1 ロットとして統計を取ったものである．弁当は 1 ロット (5 個)売れると，a 円の利益が発生するが，逆に 1 ロット売れ残ると廃棄されるので，原価 b 円の損失が発生する．y=0x≥yx≤y(1)と与えられる. 期待利益 E(x) は，〜8 のときのみ関係しており，y=0 と y=9 以上のときはp(y)=0 と解釈する．これらを基に，需要分布 p(y) としてモデルの数値計算に利用する．

ay − b(x − y)ax − c(y − x)e(x, y) =E(x) =x−1∑

{ay − b(x − y)}p(y)y=0

表 1 累積度数分布表+∞∑{ax − c(y − x)}p(y)y=x=x∑{ay − b(x − y)}p(y)y=0+∞∑{ax − c(y − x)}p(y)(2)y=x+1となる．よって，経済発注量 xopt は，

 x−1
∑

a+c

p(y) ≤
a+b+c

モデル１ (基礎モデル)

3

新聞売り子問題を用いて，利益最大化，コスト最小化の

y=0x∑

a+c

p(y) ≥
a+b+c

面から 1 日の経済発注量を考察する．

3.1

y=0

記号の定義

a:弁当 1 ロットあたりの利益となる．

(3)

3.2.2それぞれの計算結果は，-0.2，0.4，0.6 となる．経済発注

数値計算

利 益 ，原 価 に 関 し て ，そ れ ぞ れ a=1250，b=600，機会損失費用は，c=500，1000，1500 と変化させ，数値を量はそれぞれ，xopt =0，4，4 となり，期待コストはそれぞれ T [x]=2129.032，3174.194，3561.29 となる．c=500 のとき，機会損失費用が原価よりも低いため，発注しないこ(3) の式に代入して計算を行う．それぞれの計算結果は， とが期待コストを最も減らすこととなる．よって，x =0opt
0.744680851，0.789473684，0.820895522 となる．この結 という値が出た．また，数値計算の結果から，c の値が増果から，経済発注量はそれぞれ xopt =5，6，6 となり，期 加するほど，経済発注量も増加し，期待コストも増加して待利益 E[x]=3967.742，3817.742，3737.097 となる．この いくことがわかる．また，数値計算結果を表 3 に示す．
ことから c の値が増加するほど経済発注量は増加し，期待利益は減少していくことがわかる．また，数値計算結果を

表 3 コスト最小化モデルの期待コスト

表 2 に示す．
表 2 利益最大化モデルの期待利益

3.4

考察

モデル 1 では，割引販売を考慮しないモデルとして，機会損失の変動による経済発注量を求め，利益最大化の面，コスト最小化モデル

3.3

モデル 1 では，弁当の仕入れ原価を b 円，機会損失費用c 円とする 2 つを考慮し，発注を何個すれば，コストを最小化できるのかを [1] の文献を参照に，基礎モデルからコスト最小化を考察する．

3.3.1

定式化

コスト t(x, y) は，{t(x, y) =bxx≥ybx + c(y − x) x ≤ y(4)と与えられる．期待コスト T (x) は，

T (x) ==x−1∑
y=0x∑bxp(y) +∞∑コスト最小化の面からそれぞれ期待利益の最大化や期待コストの最小化を図った．この 2 つの結果を基に，利益とコストの比較を行う．今回，機会損失は c=1000 と仮定し，発注量をそれぞれ x=4，5，6 と変化させ比較する. 発注量

x=4 の場合，期待利益は 3817.742，期待コストは 3761.29，発注量 x=5 の場合，期待利益は 3774.194，期待コストは3387.097，発注量 x=6 の場合，期待利益は 3270.098，期待コストは 3174.194 という結果となり，この結果から 2つのモデルを考慮すると経済発注量は xopt =5 が最適であることが言えた．また，図 1 は 2 つのモデルの比較をグラフで表した．

{bx + c(y − x)}p(y)y=xbxp(y) +y=0∞∑{bx + c(y − x)}p(y) (5)y=x+1となる．よって，経済発注量 xopt は，

 x−1
∑

c−b

p(y) ≤
cy=0x∑c−b
p(y) ≥c(6)
図 1 期待利益と期待コストのグラフ c=1000y=0となる．

3.3.2

数値計算4モデル 2(割引モデル)

モデル 2 では，過剰在庫により弁当が売れ残った時に，原価は b=600，機会損失費用に関しては，c=500，1000， 在庫をスタッフに割引販売する場合を考慮したモデルをモ
1500 と変化させ，数値を (6) の式に代入して計算を行う． デル 1 と比較して，期待利益がどう影響されるかを求める．

4.1

4.2.2

記号の定義

モデルの変数に数値を代入する．n の値を 0 ≤ n ≤ 4 ま

a:弁当 1 ロットあたりの利益
b:弁当 1 ロットあたりの原価
c:機会損失費用
x:発注量
y:需要量
e(x, y):(発注量 x, 需要量 y のときの) 利益t(x, y):(発注量 x, 需要量 y のときの) コスト
E(x):期待利益
T (x):期待コスト
p(y):需要確率n:スタッフが買う数（ロット）(0 ≤ n ≤ 4)
β:割引率
(0.4 ≤ β ≤ 0.7)
4.2

数値計算

で 1 ずつ，β の値を 0.4 ≤ β ≤ 0.7 まで 0.1 ずつ変化させることから，スタッフが購入する弁当の販売数，割引率を決定する．モデル 1 と比較するため，c=1000 とする．モ
デル 1 の期待利益は，3817.742 に対し，在庫をスタッフへ割引販売する場合を考慮したモデル 2 では，n=2，β=0.7の時，期待利益は最大となり，5188.0645 となった．よって，この 2 つのモデルの比較より，在庫をスタッフへの割引販売を考慮する方が利益最大化に繋がると考えられる．
また，数値計算結果を表 4 に示す．
表 4 利益最大化モデルの期待利益利益最大化モデル

モデル 2 では，スタッフへの割引販売を考慮したモデル
をモデル 1 と比較し，期待利益がどのように変わるか求める．

4.3

コスト最小化モデル

モデル 2 では，4.2 と同様スタッフへの割引販売を考慮

4.2.1

定式化

したモデルをモデル 1 と比較して，期待コストがどのよう利益は e(x, y) は，に変わるか求める．

ay + n{β(a + b) − b}−b{(x − y) − n}x≥y x−y ≥nay + (x − y){β(a + b) − b}e(x, y) =−{n − (x − y)}{β(a + b) − b}x≥y x−y ≤n
ax−c(y−x)−n{β(a+ b) − b}x≤y4.3.1

コスト t(x, y) は，(7)と与えられる．期待利益 E(x) は，E(x) =x−n∑x∑−b{(x − y) − n}]p(y)∞∑T (x) =x−n∑y=0[ay + (x − y){β(a + b) − b}y=x−n+1+

bx − n{β(a + b) − b}x≥y x−y ≥n bx − (x − y){β(a + b) − b}+{n − (x − y)}{β(a + b) − b}t(x, y) =x≥y x−y ≤n bx + c(y − x) + n{β(a + b) − b}x≤y(10)と与えられる．期待コスト T (x) は，[ay + n{β(a + b) − b)}y=0+定式化+−{n − (x − y)}{β(a + b) − b}]p(y)[ax − c(y − x) − n{β(a + b) − b}]p(y)

y=x+1

y=0+∞
∑

+{n − (x − y)}{β(a + b) − b}]p(y)[bx + c(y − x) + n{β(a + b) − b}]p(y)y=x+1(11)
 x−1
∑

c−b

p(y) ≤

c(9)

y=0x
∑
c−b

p(y) ≥
cy=0となる.

[bx − (x − y){β(a + b) − b}となる．よって，経済発注量 xopt は，

 x−1
∑

a+c
p(y) ≤
a+b+cx∑a+c

p(y) ≥
a+b+cx∑y=x−n+1(8)となる．よって，経済発注量 xopt は，[bx − n{β(a + b) − b}]p(y)y=0となる．

(12)

4.3.2

数値計算モデルの変数に数値を代入する．n の値を 0 ≤ n ≤ 4 ま
で 1 ずつ，β の値を 0.4 ≤ β ≤ 0.7 まで 0.1 ずつ変化させることから，スタッフが購入する弁当の販売数，割引率を決定する. モデル 1 と比較するため，c=1000 とする．モデル

1 の期待コストは，3174.194 に対し，在庫をスタッフへ割引販売する場合を考慮したモデル 2 では，n=1，β=0.4 の時，期待コストは最小となり，3114.83871 となった. よっ

図 3 利益とコストの差 x=5て，この 2 つのモデルの比較より，在庫をスタッフへの割引販売を考慮する方がコスト最小化に繋がると考えられる. また，数値計算結果を表 5 に示す.
表 5 コスト最小化モデルの期待コスト

図 4 利益とコストの差 x=64.4考察

モデル 2 では，在庫の割引販売を考慮したモデルを基礎モデルから作り，モデル 1 と同様，機会損失の変動による経済発注量を求め，更に割引率や割引販売時の需要の変動により，利益最大化の面，コスト最小化の面からそれぞれ期待利益の最大化や期待コストの最小化を図った．この 2 つの結果を基に，利益とコストの差をとることで比較を行う．今回機会損失は c=1000 と仮定し，また利益最大化モデルでは経済発注量 xopt = 6，コスト最小化モデル
では経済発注量 xopt =4 であった結果から，発注量をそれぞれ x=4，5，6 と変化させ比較する. 発注量 x=4 の場合

β=0.4，n=1 で差は 300，発注量 x=5 の場合 β=0.7，n=1で差は 1068.709677，発注量 x=6 の場合 β=0.7，n=2 で差は 1964.83871，という結果が言え，この結果から 2 つのモデルを考慮すると経済発注量は xopt =6 であることが言えた．また，図 2，3，4 は 2 つのモデルの比較をグラフで表した.

5

おわりに
本論文では，コンビニエンスストアにおける弁当という，陳腐化により日持ちしない商品の在庫管理について，経済発注量の考察を行ってきた．どのモデルに関しても言える
事は，機会損失費用が減少するにつれ期待利益は減少し，経済発注量は増加した．また，モデル 2 で求めた経済発
注量は，割引率やスタッフの需要による影響を受けなかったが，実際には，割引率を変動させることで，スタッフの需要も伴なって変動するので，それを考慮した発注量の設定が望ましい結果に繋がるといえる．そして，データに関しても季節，天候，曜日，割引後の需要データを考慮しなかったため，今回のモデルで算出した結果は最適とはいいきれない．しかし，今回のモデルにおいて，利益最大化とコスト最小化という 2 つの観点から考察ができたことで，機会損失費用，売れ残りによる損失費用，割引販売時の割引率，期待利益，期待コストへの影響を明確に考察する事ができ，発注政策や販売政策の参考になったといえる．

参考文献[1] 小和田 正，澤木 勝茂，加藤 豊:「OR 入門」，実況出版(1984)[2] 北原 貞輔，児玉 正憲:「OR による在庫管理システム」，
九州大学出版会 (1982)[3] 白旗 慎吾:「統計解析入門」，共立出版 (1992)
図 2 利益とコストの差 x=4[4] 早田 義也:「コンビニにおけるパンの最適発注量」，南山大学卒業卒論 (2006)