数学科

第２学年

尾道市立瀬戸田中学校

指導者

伊藤 絵理奈

単元名

二等辺三角形になるための条件
令和４年 12 月２日（金）５校時 ２年２組教室 ２年２組 23 名（男子 10 名 女子 13 名）

１ 単元について〇 本単元は中学校学習指導要領解説数学「Ｂ⑵ 図形の合同」では、次のように記されている。
⑵ 図形の合同について、数学的活動を通して、次の事項を身に付けることができるよう指導する。
ア 次のような知識を身に付けること。
(ア) 平面図形の合同の意味及び三角形の合同条件について理解すること。
(イ) 証明の必要性と意味及びその方法について理解すること。
イ 次のような思考力、判断力、表現力等を身に付けること。
(ア) 三角形の合同条件などを基にして三角形や平行四辺形の基本的な性質を論理的に確かめたり、証明を読んで新たな性質を見いだしたりすること。
(イ) 三角形や平行四辺形の基本的な性質などを具体的な場面で活用すること。

（１）単元観
本単元は、三角形や四角形などの多角形の角の大きさについての性質を、数学的な推論を用いて調べることができるようにしたり、根拠を基にして筋道立てて考え説明したりするとともに、三角形の合同条件を使って、図形の性質を演繹的に確かめ、論理的に考察し表現する能力を育てることをねらいとしている。基本的な平面図形の性質や証明の必要性について学習することで、「仮定」と「結論」を結び付けるために証明の根拠を明らかにし、試行錯誤しながら方針を立てるなど、図形の性質を導くための考え方を一層豊かにする。また、様々な図形について考察することで、図形に対する興味や関心を引き出すことができる単元である。

（２）生徒観本学級の生徒は、おおむね意欲的に数学の学習に取り組んでいるが、内容の定着には学級内で大きな差が見られる。
本学級の生徒に事前に行ったアンケート（令和４年 11 月 17 日実施、21 名回答、２人欠席）では、「数学の問題に取り組む際、自分の力で解くことを心がけていますか。
」の項目の肯定的評価は 81％であったが、｢数学の授業に意欲的に取り組んでいますか。｣の項目の肯定的評価は 67％に留まった。また、「平面図形の問題は得意ですか。
」の項目の肯定的評価も 57％であり、授業の様子からも、図形の特徴を捉え、それらを説明することに苦手意識をもってることが分かる。
一方で、「友達と話し合って課題を解決する活動は得意ですか。
」の項目は肯定的評価が 85％であった。特に「連立方程式」の単元では、グループ活動や教え合いを積極的に行うなど、授業に意欲的に取り組む姿が見られた。さらに、「ICT を使った授業は分かりやすいですか。」の項目も肯定的評価が100％であり、生徒全員が ICT を活用した授業に意欲的に参加していることが分かる。

（３）指導観指導に当たっては、「なぜ証明をすることが必要なのだろうか。
」という単元を貫く問いを設定し、仮定や図から分かることを整理させたり、｢どのようにすれば結論を導くことができるのか。｣と繰り返し問いかけた
りすることで、証明することの意義を実感できるような学習活動とする。比較・検討を重ねながらこの単元を貫く問いを考えさせることで、他の単元においても活用できるような論理的思考力を養いたい。
また、比較・検討の際に、他者と意見を交流する場面や、グループ活動を多く設けたり、Jamboard を活用したりすることで、生徒の主体性を引き出すとともに、配慮を要する生徒への支援としたい。さらに、図などを用いて思考を視覚的に整理させながら問題に取り組ませることで、統合的・発展的に考察する力や、自分の考えを簡潔・明瞭・的確に表現する力を身に付けさせたい。

（４）単元の目標〇平面図形の合同の意味及び三角形の合同条件について理解する。
〇証明の必要性と意味及びその方法について理解する。
【ア.知識・技能】〇三角形の合同条件などを基にして三角形や平行四辺形の基本的な性質を論理的に確かめたり、証明を読んで新たな性質を見いだしたりする力を養う。
〇三角形や平行四辺形の基本的な性質などを具体的な場面で活用する力を養う。
【イ.思考・判断・表現】〇図形の合同や証明のよさを実感して粘り強く考え、様々な図形について、それらの性質や関係を見出したりして、意欲的に課題を解決しようとする態度を養う。
【ウ.主体的に学習に取り組む態度】（５）本単元において育成しようとする資質・能力とのかかわり
本校で、次の資質・能力の育成に重点を置いている。

①言語・数量・情報 ②問題解決力 ③情報活用力 ④コミュニケーション能力 ⑤主体性・協調性
この中から、本単元において育成しようとする資質・能力とのかかわりについて、次の１点に重点を置くものとする。
④ コミュニケーション能力証明の方法や、性質の利用の仕方について、比較・検討をし、自分の考えを他者に説明する活動を取り入れる。この活動によって、どのような表現をするとより分かりやすく伝わるかを考え、試行錯誤する能力を養いたい。また、これらの活動の中で自己の考えを積極的に伝えたり、他者と意見を交流したりすることによって、コミュニケーション能力を育てたい。
（６）本質的な問い
数学的な考え方は、どのような場面で役に立っているだろうか。
（７）単元を貫く問い
なぜ証明をすることが必要なのだろうか。
（８）個別の問い
・なぜ二等辺三角形の底角は等しくなるのだろうか。
・なぜ２つの角が等しい三角形の２辺は等しくなるのだろうか。
・直角三角形の合同条件はどのようにして導くことができるだろうか。
２ 単元の評価規準

観点

ア. 知識・技能

イ. 思考・判断・表現

評価規準①平面図形の合同の意味及び三 ①三角形の合同条件などを基に角形の合同条件について理解して三角形や平行四辺形の基している。
本的な性質を論理的に確かめ②証明の必要性と意味及びそのたり、証明を読んで新たな性方法について理解している。
質を見いだしたりしている。
②三角形や平行四辺形の基本的な性質などを具体的な場面で活用している。

ウ. 主体的に学習に取り組む態度①図形の合同や証明のよさを実感して粘り強く考え、様々な図形について、それらの性質や関係を見出したりして、意欲的に課題を解決しようとしている。
②図形を学ぶことの意義や必要性を考えようとしている。

３ 指導計画（１９時間）
次時

学習活動
１.三角形や四角形について既習事項を復習する。

指導上の留意点（〇）
予想される生徒の反応（・）

評価基準
【観点】
（評価方法）〇それぞれの図形にはどのような特徴 【ア②】があるのかを確認する。
ワークシート
振り返り【単元を貫く課題】なぜ証明をすることが必要なのだろうか。
２.本時の学習内容を確認する。

めあて：二等辺三角形の２つの角が等しいことを証明しよう。
〇これまで、二等辺三角形の２つの角が等しいことは、操作的な方法でしか確かめられなかったことを確認す
る。
・角度を測っていた。
・折り返して重ねていた。
１３.仮定と結論を整理し、補助線の条 〇どのような条件が考えられるかを交件を考える。
流し、条件から分かることを、記号を使って表す。
・∠A の二等分線→∠BAD＝∠CAD・BC の中点→BD＝CD・垂線を引く→∠ADB＝∠ADC

一４.三角形の合同条件を用いて証明する。

三角形

５.全体交流をする。
６.新出用語を確認する。
７.振り返りをする。
１.前時の復習をする。

２.新出用語の確認をする。

〇どれか１つの条件を選んで証明する。
・垂線では、三角形の合同条件が使えないため証明ができない。
〇モニターを用いて、頂角・底辺・底角の意味を確認する。

〇二等辺三角形の２つの角が等しいこ 【イ①】との証明の流れや、用語の復習を行 ワークシートう。
振り返り〇定理と定義の意味の違いを確認する。

３.本時の学習課題を確認する。

２

めあて：二等辺三角形の底角の性質を利用して、角の大きさを求めよう。

４.例題を解く。
５.問題演習を行う。
６.全体交流をする。
７.振り返りをする。

〇定理が利用できることを確認する。
・定理から、底角が等しいことを使うことができるな。
〇図形の中に、分かる角度をかきこませる。

１.前時の復習をする。

〇底角の性質を利用した問題に取り組 【イ②】ませる。
ワークシート振り返り

２.本時の学習課題を確認する。

めあて：二等辺三角形について、底角以外の性質を見つけよう。
３.予想を立てる。

〇前々時の証明から、底角が等しいこと以外にどのようなことが分かるかを考えさせる。
・∠ADB＝∠ADC が分かる。
・それぞれ 90°になりそうだ。

４.証明を行う。

〇穴埋め形式にすることで、証明の流れを掴ませる。
・二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に２等分する。
〇頂角の二等分線の性質を利用した問題に取り組ませる。

３

５.問題演習を行う。
６.振り返りをする。
１.既習事項を確認する。

〇二等辺三角形の性質を確認し、２つ 【イ①】の角度が分かっている三角形を提示 ワークシートする。

２.本時の学習課題を確認する。

めあて：２つの角が等しい三角形の２辺は等しいことを証明しよう。
３.個人思考を行う。

〇仮定と結論を整理し、補助線の条件を考えさせる。
・∠A の二等分線が使えそう。
・BC の中点が使えそう。
・垂線が引けそう。

４.集団思考を行う。
【資質・能力】④コミュニケーション能力〇根拠をもとにして、どの補助線の条件が証明しやすいかを、比較しながら考えさせる。
・中点では、間の角が等しいことがいえないから、三角形の合同条件が使えそうにないな。

４
本時

５.全体交流をする。

５

６.問題演習を行う。
７.振り返りをする。

〇定理を利用し、二等辺三角形であることを判断する問題に取り組ませる。

１.前時の復習をする。

〇二等辺三角形の定義や定理を確認す 【ア②】る。
ワークシート振り返り

２.本時の学習課題を確認する。

めあて：正三角形の３つの角が等しいことを証明しよう。

３.個人思考を行う。

４.全体交流をする。

〇正三角形の定義を確認し、証明の方針を立てさせる。
・仮定・・・AB＝BC＝CA・結論・・・∠A＝∠B＝∠C
・正三角形は、２辺が等しい三角形としてみることができるから、二等辺三角形の定義を使えそうだな。

５.定理を確認する。
６.振り返りをする。
１.既習事項の確認をする。

〇仮定と結論の意味を確認する。
【ア②】〇二等辺三角形の底角の性質と、二等 ワークシート辺三角形になるための条件の仮定と 振り返り結論を比較する。

２.本時の学習課題を確認する。

めあて：仮定と結論を入れかえたことがらについて考えよう。

６

３.新出用語を確認する。

〇逆の意味を理解する。

４.個人思考を行う。

〇正しいことがらの逆はいつでも正しいとは限らないことを確認する。
・正しくないことを説明するには、例を挙げなければいけないな。

５.ペアで交流する。
６.振り返りをする。

〇問題を出し合い、逆が正しくない場
合は反例を挙げさせる。

１.既習事項を確認する。

〇三角形の合同条件を確認する。

２.本時の学習課題を確認する。

めあて：直角三角形の合同条件を導き出そう。

７

３.個人思考を行う。

〇三角形の合同条件と比較しながら、穴埋めに当てはまる言葉を考える。

４.集団思考を行う。
【資質・能力】④コミュニケーション能力〇個人で考えたことを班で確認する。
・直角三角形は、角度が１つ分かっているから、三角形の合同条件とは異なりそうだな。
・斜辺を使って表すことができないかな。

５.全体交流をする。

〇直角三角形の合同条件を確認する。

６.問題演習を行う。

〇直角三角形の合同条件のうち、どれを使うかを考える問題に取り組ませる。

【ア① イ①】
ワークシート振り返り７.振り返りをする。
１.前時の復習をする。

〇直角三角形の合同条件を確認する。

２.本時の学習課題を確認する。

【イ①】
ワークシート
振り返り

めあて：直角三角形の合同条件を利用して証明をしよう。
３.個人思考を行う。

〇レベル別の証明の問題に取り組ませる。
・直角三角形の合同条件を使うためには、どのようなことがいえれば良いのかな。

４.集団思考を行う。

〇教え合いながら、個人で取り組んだレベルより上の証明問題に取り組ませる。

８

５.振り返りをする。

１・平行四辺形の定義と性質を知る。 〇既習事項を確認しながら、定義と定 【イ①】・平行四辺形の性質を証明する。
理の意味を理解させる。
ワークシート振り返り

２・平行四辺形の性質を利用して、図 〇証明をするために必要なことがらを 【イ②】形の性質を証明する。
整理させる。
ワークシート振り返り

３４・平行四辺形の性質の逆を証明する 〇図形の性質を調べる方法として、そ 【イ①】
ことを通して、平行四辺形になるの逆を考えることの意義を把握させ ワークシート
ための条件３,４を見いだす。
る。
振り返り

５・平行四辺形になるための条件５を 〇平行四辺形になるための条件を整理 【イ①】証明する。
させる。
ワークシート
振り返り

二平行
四辺形

・具体的な事象を考察することを通 〇具体的な事象を考察する際、理想 【イ①】
して、平行四辺形になるための条化・単純化したり、図形化・記号化 ワークシート
件２を証明する。
をしたりする必要があることを考え 振り返りさせる。

６・平行四辺形になるための条件を利 〇１つの命題を証明したあと、自分で 【イ② ウ①】
用して図形の性質を証明したり、条件を変え、発展的に考察させる。 ワークシート
その証明を振り返って統合的・発振り返り展的に考えたりする。

７・長方形、ひし形、正方形の定義や 〇長方形やひし形の定義のなかに、平 【ア②】
それらと平行四辺形との相互関係行四辺形になるための条件が含まれ ワークシートを理解する。ていることを意識させる。
振り返り

８・長方形やひし形の対角線の性質を 〇平行四辺形にどんな条件を加えれば 【イ①】証明する。また、その性質の逆が長方形やひし形、正方形になるかを ワークシート正しくないことを、反例をあげて示す。

９10

考えさせることで、これらの図形に 振り返りついての理解を深める。

・既習の内容を活用して、図形の性 〇条件を変えて比較をさせながら証明 【イ② ウ①】
質を見いだし証明したり、問題のをさせる。
ワークシート
条件を変えて統合的・発展的に考振り返りえたりする。
・平行線の性質を利用して、図形を 〇面積が等しいことの根拠を明確にさ 【イ② ウ①】
等積変形する。
せる。
ワークシート
振り返り・単元の復習をする。

〇入試問題に取り組ませる。

11【ウ① ウ②】
ワークシート振り返り

４ 本時の展開（４／１９時間）（１）本時の目標「二等辺三角形になるための条件」の定理を証明することができる。
（２）観点別評価規準
イ①三角形の合同条件などを基にして二等辺三角形になるための条件を論理的に確かめている。

十分満足（A）
おおむね満足（B）
努力を要する生徒への手だて（C）
・三角形の合同条件などを基にし ・三角形の合同条件などを基にし ・三角形の合同条件などを基にして、二等辺三角形になるためのて、二等辺三角形になるためのて、二等辺三角形になるための条件を、根拠を明らかにしなが条件を確かめている。
条件を論理的に確かめることがら論理的に確かめている。
できていない。

ワークシート記述例
ワークシート記述例
手立て・㋐は、２組の辺は等しいが、間 ・㋑と㋒は、共通な辺があり、三 ・証明の流れを掴むことができるの角の∠ADB＝∠ADC がいえ角形の内角の和が 180°であるように支援を行う。
ないため、三角形の合同条件をことから、両端の角が等しいこ ・三角形の合同条件を振り返り、使うことができない。とをいえる。
それぞれの場合ではどうなるか
・㋑と㋒は、共通な辺があり、三 ・㋐は証明することができない。
考えさせる。
角形の内角の和が 180°である
・友達と比較したり、交流したりことから、両端の角が等しいこする場面を設ける。とがいえ、三角形の合同条件を使うことができる。

（３）学習の展開

学習活動

指導上の留意点（◯）
予想される生徒の反応（・）

評価規準（評価方法）
配慮を要する生徒への支援（◆）

１ 既習事項を確認する
・二等辺三角形の定義や、底角の性質について復習をする。

○モニターを用いて復習をさせる。
・二等辺三角形の定義は、２辺が等しいことだったな。
・二等辺三角形で、長さの等しい２つの辺の間の角のことを頂角、頂角に対する辺を底辺、底辺の両端の角を底角というんだったな。
・二等辺三角形の定理は、底角は等しいことだったな。

穴埋め式の復習にすることで、答えを導きやすくする。
前時までのワークシー
トを見ても良いこととする。

〇「この三角形はどんな三角形であるだろうか。
」と質問し、次の三角形を提示する。
・二等辺三角形である。

三角形の内角の和について確認する。

２ 本時の学習課題を確認する。
・次の三角形を提示する
40°
70°〇「なぜ二等辺三角形だと分かるのか。
」と問う。
・角度の書いてない角は 70°になるから。
・底角が等しいから。
〇「二等辺三角形であれば底角は等しいが、その逆は必ず成り立つのか。
」と発問する。
・たしかに、問題文には二等辺三角形とは書いていない。
・証明しないと分からないな。

めあて：２つの角が等しい三角形の２辺は等しいことを証明しよう。

３ 個人思考を行う。
・証明するために必要な補助線の条件について考える。

〇仮定と結論を確認させる。
・仮定 ２つの角が等しい ∠B＝∠C
・結論 ２つの辺が等しい AB＝AC〇証明の方針を考えさせる。
・三角形の合同条件が使えそう。
・三角形の合同条件を使うには、補助線を引けばいいのかな。
〇補助線の条件を考えさせ、条件から分かることを、記号を使って表させる。

意図的に中点を大幅に外すように適当な補助線をかき、補助線には条件が必要であることに気付かせる。
机間巡視し、ヒントを与える。

・BC の中点と A を結ぶ(BD＝CD)・・・㋐・∠A の二等分線(∠BAD＝∠CAD)・・・㋑
・A から BC へ垂線を下す(∠ADB＝∠ADC)
・・・㋒

キーワードや記号を使って表すように指示する。

４ 集団思考を行う。
・補助線の条件について意見〇班で交流する中で、できるだけ多くの条件交流をし、Jamboard に記入すを出させる。
る。
〇補助線の条件を、数学用語を用いて説明さ【資質・能力】
せる。
④コミュニケーション能力
・Jamboard の意見を整理しながら、証明の方針を全体で確認する。

瀬戸田シン
キングタイムICT の活用
証明の流れのヒントカードを提示する。

【評価方法】イ）①三角形の合同条件などを基にして、 二等・どの合同条件が使えそうかを 〇どの条件であれば証明できるか考えさせ
辺三角形になるため考え、班で証明をする。
る。の条件を論理的に確・㋐は、２組の辺が等しいけど、間の角のか める こと ができ∠ADB＝∠ADC がいえない。
る。
（ワークシート）・㋑は、 共通な辺があり、三角形の内角の和が 180°であることから、｢１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい｣という合同条件が使えそうだ。
・㋒も㋑と同じように｢１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい｣という合同条件が使えそうだ。
５ 全体で交流する。
・どの三角形の合同条件が使え ・㋐は合同条件が使えそうにないな。
るのかを交流する。
・二等辺三角形の定理を確認する。

定義と定理の意味の違いを再度確認する。

６ まとめを行う。
○㋑・㋒から次の定理が導かれることを確認させる。
【定理】
三角形の２つの角が等しければ、その三角形は、等しい２つの角を底角とする二等辺三角形である。

７ 練習問題を解く。
・二等辺三角形であることを判 ・定理から、底角が等しい三角形は二等辺三断する問題に取り組む。
角形であると分かるな。

机間巡視し、ヒントを与える。

８ 振り返りを行う。
【振り返り】
底角が等しい三角形は、二等分線を引いたり、垂線を下ろしたりすることで合同な２つの三角形をつくることができるため、２つの辺が等しいことを証明できる。初めは補助線の条件が、∠Ａの二等分線であることしか思いつかなかったが、班での交流で、ＢＣの中点や垂線などもあることに気付いた。これからは, 補助線を引く際には意図をもって引くことを意識していきたい。また、補助線の条件によっては、三角形の合同条件を使えないため、証明をすることができないものもあるということが分かった。

※□囲みで示した活動が、本時におけるシンキングタイムである。

（４）板書計画

二等辺三角形になるための条件
めあて ２つの角が等しい三角形の２辺は等しいことを証明しよう。
仮定：∠B＝∠C

本時の流れ
復習
個人思考
集団思考
練習問題
ふり返り

㋐ BD＝CD㋑ ∠BAD＝∠CAD㋒ ∠ADB＝∠ADC

結論：AB＝AC【定理】
三角形の２つの角が等しければ、その三角形は、等しい２つの角を底角とする二証明

証明

証明

等辺三角形である。