H∞ 制御理論を用いた 3 自由度ヘリコプタのロバスト安定化
2009SE259 杉野拓眞
指導教員：高見勲

はじめに1

本研究では, 線形化に伴うモデル化誤差, 荷重の変化に対するロバスト性を保証し, 系を安定にする制御則を設計することを目的とする. 制御対象には 3 自由度ヘリコプ
タを用い, フロント, バックロータにそれぞれ荷重をかける. この制御対象は双線形システムであるが, これを線形化する. ディスクリプタ表現と線形分数変換 (LFT) により, 変動パラメータに関し, ポリトープな状態方程式を導く. そして, H∞ ノルム仕様を満たす LMI で定式化し, 系を安定にする制御則を設計する.

ただし, Jϵ [kg·m2 ], Jρ [kg·m2 ], Jλ [kg·m2 ] は, それぞれ各方向に運動する際に生じる慣性モーメントである.
ここで, sin ρ(t) ≒ ρ(t) として λ̈(t) に注目すると,λ̈(t) =制御対象とモデリング2.1

状態方程式の導出と線形化

1
 0
 0
E =  0 0FbBack Motor00100002(Mf + Mb )L2
a + Mw Lw

00002(Mf − Mb )La Lh00 0 0A =  0 0
01000001000000

0 00 
 01 
 0
0  , B = Kf 
 La

0 Lh

001

00
0La −Lh0

E, A には, 不確かさ Mf , Mb が混在しているため, ポリトープ表現ができない. そこで, ディスクリプタシス
テムと線形分数変換を用いて, これらの不確かさを 1 つの係数行列にまとめる. ディスクリプタ変数を, x̂(t) =[x(t) ϵ̈(t) ρ̈(t) λ̈(t) u(t)T ]T とすると, ディスクリプタ方程式は式 (3) になる.
˙Ê x̂(t)= Âx̂(t) + B̂u(t)ρ(t)(3)

Front Motor

Mb g
CLhLhλ(t)00000

00 0 0 
0 000(Mf − Mb )La Lh(Mf + Mb )L2h0

ディスクリプタ方程式の導出

2.2

FfBÂ を式 (4) のように定める. ここで, Ân は定数行列,Bδ ∆(I − Dδ ∆)−1 Cδ は変動パラメータを含む行列である.

Mf g

Travel axisε(t)Â = Ân + Bδ ∆(I − Dδ ∆)−1 CδLaElevation axis

Counter Weight00000U0JλPitch axis

DO0100

本研究で用いる 3 自由度ヘリコプタの簡単な構成図を
図 1 に示す. 本実験機は, 支持棒 AB を, 支点 O を中心として水平面内および垂直面内で回転させることができる. 点 O を基準として, 垂直面内での回転角を ϵ(t)[deg],水平面内での回転角を λ(t)[deg] とする. また, 点 B を支点として支持棒 CD を垂直面内で回転させることができ,このときの回転角を ρ(t)[deg] とする.

(2)となる. これは双線形系であるが, 平衡状態 (U0 , ρ0 = 0)のまわりで線形化すると, E, A, B は次のように書き直され, 系は線形の形で表現できる.

02

U (t)
ρ(t) , (U (t) := Kf La (uf (t) + ub (t)))
JλA(4)

また, 式 (3) に線形分数変換を施し, 新たなディスクリプ
タ変数を zδ とすると次式になる.

Lw[Mw gEd

図 1 3 自由度ヘリコプタのモデル

˙x̂(t)z˙δ (t)][= Adx̂(t)zδ (t)]+ Bd u(t)(5)

ここで, Ed , Ad , Bd は, 次のように与えられる.
状態変数 x(t) を, x(t) = [ϵ(t) ρ(t) λ(t) ϵ̇(t) ρ̇(t) λ̇(t)]T ,入力 u(t) を, u(t) = [uf (t) ub (t)]T とし, 状態空間表現を式 (1) に示す. ただし, uf (t)[V], ub (t)[V] は, それぞれフロント, バックモータの入力電圧である.

E ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) + L, y(t) = Cx(t)(1)

また, E, A, B, C, L は, 次のように与えられる.
1
 0
 0

E =  0

 00
 0
 0
 0
A =  0
00010000000000001000000000000Jϵ2(Mf − Mb )La Lh010000001000000 00 01 , B = K f La0 Lh00La sinρ(t)[C =1000010000000(Mf − Mb )La LhJρ000]

00 0 0 0 Jλ000La
−LhLa sinρ(t)[Ed =00[], Ad =ÂnCδ

Bδ ∆Dδ ∆ − I[], Bd =

B̂0]

拡大系の導出2.3

出力 y(t) を目標値に定常偏差なく追従させるため, 拡大系の導出を行う. 観測出力 y(t) と目標値 r(t) の偏差を e(t) とする. また, 偏差 e(t) を区間 [0, t] まで積分した値を w(t) とする. 拡大系の状態変数を x̃(t) =[wϵ (t) wλ (t) x̂(t) zδ (t)]T とすると, 拡大系は次式となる.

˙Ẽ x̃(t)= Ãx̃(t) + B̃u(t) + Br r(t)(6)

ここで, Ẽ, Ã, B̃, Br は, 次のように与えられる.
[00
0
, L =  −(M + M )gLa + Mw gLw fb−(Mf − Mb )gLh0Ê0Ẽ =I00Ed][, Ã =00−CAd][, B̃ =0Bd], Br =[I0]

3.1

H∞ 制御系設計

目標値 r(t) から評価出力 z(t) までの H∞ ノルムを γ∞未満にすることを考える. 一般化プラントを次式とする.
{˙Ẽ x̃(t)= Ãx̃(t) + B̃u(t) + Br r(t)(7)z(t) = C̃ x̃(t) + D̃u(t)図 2, 3 より, どの応答もほぼ同時刻に目標値に収束していることがわかる. また, 図 4, 5 より, システムを LFTとディスクリプタ表現で表わし, ポリトープでロバスト安定性を保証したゲインの応答は, 他に比べ最大電圧が低い. よって, パラメータの変動範囲に対して厳密に設計ができたといえる.
また, ロバスト安定性を確認するため, Ãa , Ãb , Ãc , Ãdのときの実験結果の比較を図 6, 7 に示す. 図 6, 7 におい

We , Wx , Wu をそれぞれ偏差の積分, 状態, 入力に対する重みとすると, C̃, D̃ は次式となる.
We00C̃ =0Wx0]000[, D̃ =15100]

0Wuε[deg][X ÃT + ÃX + Y T B̃ T + B̃YTBrC̃X + D̃Y[X=X11X21
X31

Br2 I−γ∞00X22
X320X23
X33

Mf min Mb min
Mf min Mb max

5

Mf min Mb min
Mf min Mb max

50

Mf max Mb min

Mf max Mb min

Mf max Mb max

00u(t) = K x̃(t) = Y X −1 x̃(t) とする. 以下の LMI を満たす X, Y が存在すればシステムは安定であり, ∥ G(s) ∥∞ <γ∞ を保証するフィードバックゲイン K が導出される [1].
10λ[deg]

制御器設計

101520time[s]2530Mf max Mb max0035

図 6 Ãa〜d : ϵ(t)[deg]510152025time[s]30354045

図 7 Ãa〜d : λ(t)[deg]て, Mf , Mb が変動してもほぼ同じ実験結果となっている. よって, Mf , Mb の変動範囲に対して, ロバスト安定性を保証していることが確認できた. 図 8〜11 は Ãa , Ãdのときのシミュレーションと実験の比較である.

X C̃ T + Y T D̃ T0−I5 < 0], X11 > 03.2 ポリトープ型制御系設計
不確かなパラメータの変動範囲内で, ロバスト安定性を保証することを考える. Mf , Mb の変動幅は

15ε[deg]100λ[deg]

310550シミュレーション

シミュレーション実験

Mf ∈ [Mf min , Mf max ] = [0.755, 0.830]
Mb ∈ [Mbmin , Mbmax ] = [0.755, 0.830]

005101520time[s]

2530

実験

0035

図 8 Ãa : ϵ(t)[deg]である. 変動幅の端点行列 Ãa〜d を次のように定める.

510152025time[s]30354045

図 9 Ãa : λ(t)[deg]15Ãc = Ã(Mf max , Mbmin ), Ãd = Ã(Mf max , Mbmax )105

これらそれぞれで安定であれば, 端点間でも安定である.
3.1 で導出した LMI をポリトープ型に拡張し, 状態フィードバックゲイン K を得る.

シミュレーションと実験

制 御 入 力 の 違 い を シ ミュレ ー ション で 比 較 す る.
ϵ(t)[deg], λ(t)[deg] の目標値をそれぞれ 15[deg],120[deg]とした. ただし, 図 4, 5 は入力電圧のシミュレーションであり, 10[s] でスッテプ入力を与えている.
15λ[deg]

ε[deg]

100

10
H∞

550

H∞

H ∞ & LFT

00H

5101520H25

図 2 ϵ(t)[deg]51015time[s]202530図 3 λ(t)[deg]

10.8

10.65
H ∞

10.7

H ∞

10.6

H ∞ ＆ＬＦＴ

H ∞ & LFT& LFT & polytopeu b [V]Hu f[V]& LFT & polytope∞00time[s]

∞

10.6
10.5
10.4
5& LFT∞H ∞ & LFT & polytope

H& LFT & polytope∞

10.55
10.51015time[s]20

図 4 uf (t)[V]2510.45550
シミュレーション

シミュレーション
実験

004λ[deg]

ε[deg]

100

Ãa = Ã(Mf min , Mbmin ), Ãb = Ã(Mf min , Mbmax )5101520time[s]2530

図 10 : Ãd : ϵ(t)[deg]

35

実験

005

10152025time[s]30354045

図 11 Ãd : λ(t)[deg]

どの応答も定常偏差はなく, シミュレーションと実験結果はほぼ一致しているといえる. しかし, ϵ(t)[deg] に関して, 実験結果はシミュレーションと比べ, 目標値に収束するまでの時間が長い.

5

おわりに状態空間表現にいくつかの変動パラメータが含まれる制御対象に対して, LFT, ディスクリプタ表現を用い, ポリトープシステムでロバスト安定性を保証した. また, LFT,ディスクリプタ表現により, パラメータの変動範囲に対して厳密な安定化設計法を示した. しかし, シミュレーションと実験結果を比較すると, 若干の誤差が見られる. これは気流の乱れなどによる外乱の影響だと考えられる. 今後の課題として, 外乱を考慮した制御系の設計, また, 制御性能を向上させるために適応制御を用いることを挙げる.

参考文献
1015
time[s]20

図 5 ub (t)[V]25『LMI によるシステム制御』：森北出版，東[1] 蛯原義雄：
京，2012.