数理解析研究所講究録903 巻 1995 年 70-7770

条件付期待値とアダマール積茨城大

1. 最近、Khan の定理 (行列 $A,$の$B$の律男 (Ritsuo Nakamoto)Hadannard 積に関する T\^oyama-Marcus-

は、 行列の$\mathrm{J}.\mathrm{I}.\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{i}[4]$中本工

Hadamard 積 $A*B$はテンソル積$A\otimes B$の–つについて新しい見方を与えた :Hilbert 空

principal submatrix で与えられる)

間 $H$ 上の (有界線形) 作用素 $A,$ $B$ に対して、 Hadamard 積を$A*B=U^{*}(A\otimes B)U$ ,(1)からで定義した。 ここで、 $U$ は$H$

thonormal basis

に対して、$\{e_{1}, e_{2}, \cdots\}$(2)$H\otimes H$

へのisometry で、 $H$ の afixed or-$Ue_{i}=e_{i}.\otimes e_{i}(i=1,2, \cdots)$によって定義されるものである (cf.

[10])

この定義により、 行列についての。

$\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{j}\mathrm{l}\mathrm{a}- \mathrm{v}_{\mathrm{a}}\mathrm{S}\iota 1\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{v}\mathrm{a}[2]$の定理が作用素に対しても可能であることを示した。
さて、T.

を与えた

$\circ$$\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{d}_{0}[1]$は正値作用素の Hadamard 積について、多くの基本的な不等式

これらは von Neumann の diagonalization $E(A)=A*1$ -H.Umegaki$|_{\llcorner}^{arrow}$

71

よって導入された条件付期待値- と密接な関連がある。 この観点から Ando のいくつかの不等式において等号が成立する場合を考える。 とりわけ、 $E$ が faithful であることが重要である。 応用として、 Styan[11] の一つの結果が作用素に拡張されることを示す。

2. J.von Neumann は $H$ 上の作用素$A$とprojection$P$に対して、 次の演算を導入した :$A^{|P}=PAP+(1-P)A(1-P)$ ,(3)これは、 C.Davis[3] によって pinching と名付けられた。

J.von Neumann は$1,2,$ $\cdots\}$ が$[9;\mathrm{f}_{\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}10]$

maximal abelian subalgebra(4)

で証明を付けないで、 projections {$\prime D$$P_{i}$; $i=$を生成するとき、$E(A)= \lim_{narrow\infty}A^{1}P_{1}|P2\ldots|P_{n}$が存在することを述べている。 また、 このみに関係し、 生成する$E(\cdot)$

は、maximal abelian subalgebra

projections には関係しない。 これは$\mathrm{U}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{a}\mathrm{k}\mathrm{i}[13]$$\prime D$

によって証明され、 $E(A)$ を conditional expectation conditioned by $D$ と名付けられた$H$の$0$上の作用素全体のなす algebra $B(H)$ は積として Hadamard 積をとれば可換な Banach algebra になる ( cf.

Hadamard 積の inner characterization は [5] にある) 。 作用素 $A\in B(H)$ に対して、$E(A)=A*1$と置けば、 $E$ は diagonal 作用素の全体からなる

diagonal algebra$D$による条件付期待値になっている。 それ故、 $E$ は $B(H)$ から’D の上への unital positive$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{r}*-$72

preserving faithful map になる。 そこで、

$E$

は Kadisonの意味で、次の Schwarz の不等式を満たす :(5)$E(A^{2})\geq E(A)^{2}$for selfadjoint operators$A$

さらに、$E(A*B)=E(A)E(B)$ for all operators $A,$(6)$B$を満足する。 即ち、 $E$ は Hadamard 積を通常の積にかえる。

先ず、 正値作用素 $A$ が diagonal になる $-$ つの条件を考える。

$($7.

$A^{k}=A*\cdots*A$$k)$

なる条件が全ての$k$( times)$k$に対して満たされているとする。

このとき、 $\lambda’n(\mathrm{A})=(Ae_{n}, e_{n})$ は $A$ と 1 で生成された $c*$ -algebra $C^{*}(A)$ 上の char-acter となり $A= \sum_{n}\chi_{n}(A)P_{n}$ を満たす。 ここで、 。は$P$$e_{n}$で決まる projection である。 従って、 $A$ は diagonal である。
しかし、 上の条件$($7.

であることが示されている

(7)

は

$k)$

Kainuma-Kamei[7] によって次の簡単な条件で十分:$A^{2}=A*A$

次の定理は以下において基本的である。

73

定理 1.

正値作用素 $A$ に対して、 次のものは互いに同値である :(i) $E(A)^{2}=E(A^{2})$(ii) $A*A=A^{2}$(iii) $A\in D$
証明.

$(\mathrm{i})\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i})$を示せば十分である。

Ando の不等式 $A*A\leq E(A^{2})$ を使う。
$E(E(A^{2})-A*A)=E(A^{2})-E(A*A)$$=E(A^{2})-E(A)^{2}$$=E(A^{2})-E(A)^{2}=0$ .

従って、 $E$ は faithful なので、 $A*A=E(A2)\in D.$

このことにより、 $A\in D$ となる。

また、 Kadison の不等式
$E(A^{-1})\geq E(A)^{-1}$において、 等号が成立する場合として、定理 2.

可逆な正値作用素 $A$ に対して、 次のものは互いに同値である(i) $E(A)^{-1}=E(A^{-1})$(ii) $A*A^{-1}=1$(iii) $A\in D$:

74

3. Ando[1] は Hadamard 積について次の不等式をあたえた :可逆な正値作用素 $A,$$\mathrm{B}$

に対して、

(9)

$\log A*B\geq(\log A+\log B)*1$(10)$A*A\geq 2(A*1)(A*A^{-1}+1)^{-1}(A*1)$
不等式 (9) は Fiedler の定理として知られている次の不等式を含んでいる

(11)

:

$A*A^{-1}\geq 1$

不等式 (11) で等号が成立する場合が定理 2 になっている。 又、 不等式 (10)についても、定理 3.

$A*A=2(A*1)(A*A^{-1}+1)^{-1}(A*1)\Leftrightarrow A\in D$

証明.

(10) で等号が成立していると、 (11) によって 2 $(A*A^{-1}+1)^{-1}\leq 1$ を満たすので、$A*A\leq(A*1)^{2}=E(A*A)$ .
従って、 $E(E(A*A)-A*A)=0$ となり、 $A*A\in D$ で $A\in D$ を満たす。
さらに、

定理 4.

可逆な正値作用素 $A,$$\mathrm{B}$に対して、$\log A*B=(\log A+\log B)*1\Leftrightarrow A,$ $B\in D$

75

4. Hadamard 積と通常の積が– 致する場合として、$\mathrm{G}.\mathrm{P}$.H.Styan[10] は、 正定値行列 $A,$ $B$ が $A*B=AB$ を満たすのは $A,$ $B\in D$ のときに限ることを、 行列式についての不等式を使って証明した。 しかし、 定理 4 を使うことによって、 作用素に対しても成立する。
定理 5.

可逆な正値作用素 $A,$$\mathrm{B}$に対して、$\mathrm{r}$$A*B=AB\Leftrightarrow A,$ $B\in D$

証明.
$AB$$A,$ $B$

共に正値作用素のとき Shur の定理より $A*B\geq 0$ なので、 $A*B=$を満たせば、 $A$ と$B$は可換である。 そこで、$\log(AB)=\log(A*B)\geq(\log A+\log B)*1=E(\log(AB))$
従って、 $\log(AB)\in D$ となり $\backslash A*B=AB\in D.$ これは定理 4 の条件を満たすので結論を得る。
定理 5 において、 次の例が示すように、 可逆の条件を除く こことはできない :$A=A_{1}\oplus 1$($A_{1}$: 任意), $B=0\oplus 1\text{とすると}A*B=AB=B$。

定理 1 に関連して、定理 6.

$A,$ $B$

を可逆な正値作用素とする。 このとき、$-$$A*B=E(A^{2})^{1/}2E(B2)1/2\Leftrightarrow A,$ $B\in D$ .

証明. 等式が成立しているとき、 $A*B$ が diagonal となるので、$A*B=E(A*B)=E(A)E(B)$76

一般に、 $E(A^{2})\geq E(A)^{2}$ で、 $tarrow t^{1/2}$ 1 ま operator monotone なので、$E(A^{2})^{1/2}\geq E(A)$$A,$ $B$

and $E(B^{2})^{1/2}\geq E(B)$は可逆なので、$E(A^{2})^{1/2}=E(A),$ $E(B2)^{1/}2=E(B)$即ち、 $A,$ $B\in D$ .
定理 6 において、 $A=B$ 以外では可逆の条件は必要である。

参考文献[1] T.Ando, Concavity of certain maps on positive definite matrices and ap-plications to Hadamard products, Linear Alg. Appl., 26(1979), 203-241.
[2]$\mathrm{J}.\mathrm{S}$.Aujla and$\mathrm{H}.\mathrm{L}$.Vasudeva, Inequalities involving Hadamard product andoperator means, Math. Japonica, to appear.
[3] C.Davis, Notions generalizing convexity for functions defined on spaces ofmatrices, Proc. Symposia Pure Math., Convexity, 8, Amer. Math. Soc., Providence, 1963, 159-170.

[4]$\mathrm{J}.\mathrm{I}$.Fujii, The Marcus-Khan theorem for Hilbert space operators, Math.

Japonica, to appear.
[5] M.Fujii and K.Kitamura, Theorems of Aujla and Vasudeva and Hadamard
product, Math. Japonica, to appear.

77[6] M.Fujii, R.Nakamoto and M.Nakamura, Conditional expectation andHadamard product, Math. Japonica, to appear.
[7] D. Kainuma and E. amei,$\mathrm{K}$$C^{*}$-homomorphisms and operator means, Math.

Japonica, 28(1983), 627-631.
[8] M.Marcus and$\mathrm{N}.\mathrm{A}$.Khan, A note on the Hadamard product, Canad.

Math Bull., 2(1959), 81-83.
[9] J.von Neumann, On rings of operators, III, Ann. Math., 41(1949), 94-161.

[10]$\mathrm{V}.\mathrm{I}$.Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman Research

Notes in Math., 146, 1986.
[11]$\mathrm{G}.\mathrm{P}$.H.Styan, Hadamard products and multivariate statistical analysis,

Linear Alg. Appl., 61973), 217-240.
[12] H.Toyama, Theory of$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{C}}\mathrm{e}\mathrm{s}$(in Japanese), Kyoritsu-Schuppan, Tokyo,

1952.
[13] H.Umegaki, Conditional expectation in an operator algebra II, Tohoku

Math. J., 8(1965), 86-100.