Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
October 18 - 21, 2022, Online (Kyushu University)

PASJ2022 FRP033

高周波構造設計における位相幾何学的手法
TOPOLOGICAL APPROACH TO RF STRUCTURE DESIGN
影山達也#
Tatsuya Kageyama#
High Energy Accelerator Research Organization (KEK)

Abstract
As is well known, circular and square tubes are topologically isomorphic. Furthermore, the overall morphologicalcharacteristics of the electromagnetic modes excited in a tube certainly follow the topological properties of the tube shape.
On the other hand, in terms of structural engineering and manufacturing technology, the circular and square tubes are
sharply distinguished as completely different shapes. However, the fusion of these radically different perspectives may
bring a certain degree of topological freedom in RF structure design and offer a flexible path to solve technical challenges.
This paper presents several specific examples for topological modeling of RF structures, ranging from beam chamberswith radio wave absorbers to a LOM (lower-order mode) -free crab cavity.

1.

はじめによく知られているように、円管と角管は位相幾何学的には同形とされる。また、管内に励振される電磁場モードの大局的様相は管形状の位相幾何学的性質に従う。一方、構造力学的もしくは製造技術的な観点からは、円管と角管は全く異なる「かたち」として峻別される。裏を返せば、高周波構造の設計に位相幾何学的自由度を導入することにより読者諸氏が直面（もしくは、傍観）している技術的諸問題を柔軟に回避・解決する道が開けるであろう。
本論文では高周波構造のデザインにおける位相幾何学的手法の具体例をいくつか紹介する。いずれの例も三次元 CAD・電磁場シミュレーション[1]の助けを借りた。位相幾何学ではお馴染みの例え「コーヒーカップがドーナッツに変身」的なサイバー空間での「土ひねり」を楽しんで頂ければ幸いである。

2.

電波吸収体付きビームチェンバー

Figure 1: Grooved Beam Pipe (GBP) variations evolved
from the original (a), together with the electric field patternof the lowest TE mode on each cross section.

溝付きビームパイプ（GBP: Grooved Beam Pipe）[2]の基本形の一例について、断面図と管内を伝播する最低次 TE モードの電場パターンを図 1(a)に示す。
図中、内径 150 mm の円管の左右に幅 30 mm、深さ85 mm の溝が切られている。これによって、最低次TE 波（この例では垂直方向に偏極した円管 TE11 波）の 遮 断 周 波 数 を 溝 無 し 円 管 の 1.17 GHz か ら Figure 2: Electric field patterns of the lowest TE mode for0.63 GHz まで下げることができる。管内を伝播する vertical and horizontal polarizations in a three-fold
TE 波の遮断周波数を下げるだけであれば、溝の断面 symmetrical GBP. The left pattern is even symmetric with
形状は深さ方向に直線的である必要はなく、図１(b), respect to the vertical mid-plane, and the right is odd.
(c) の様に L 字形に曲げても良い。さらには、図１にそれぞれ示す。なお、両者の遮断周波数は厳密に(d), (e)の様な T 字形分岐構造も可能である。
垂直方向だけでなく水平方向に偏極した TE モー 等しい。それは対称性の観点から明らかである。
次に、図１(a)に示した溝付きビームパイプ基本形
ドの遮断周波数も併せて下げるには、図 2 のように三回対称の溝付き構造とすれば良い。これは図１(e) において、厚さ 20 mm、幅 50 mm、長さ 400 mmの構造を三回対称化したものである。垂直と水平方 の板状の電波吸収体（炭化ケイ素）を溝内部に収め向に偏極した TE モードの電場パターンを図 2(a), (b) る。その三次元構造を図 3 に示す。溝付きビームパ
イプの上・下流には内径 150 mm の円管を接続して、____________________________________________#所謂 2 ポート構造とした。当該構造内を伝播する垂kageyama@post.kek.jp- 997 -

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Figure 5: Variations of GBP dampers, where vacuum andSiC absorbers shown in light blue and black, respectively.
Figure 3: GBP loaded with SiC plates (shown in gray).

Figure 6: 3D view of three-fold symmetrical GBP shrinkfitted inside a single SiC cylinder (shown in gray).
Figure 4: Simulation results for the structure in Fig. 3:
When stimulated at one port (0.5 W constant), the power
loss in the SiC plates and the power escaping from thestructure are plotted as a function of frequency.
直偏極 TE11 波の減衰について電磁場シミュレーションを使って調べた。なお、炭化ケイ素の物性値（比誘電率、誘電正接）としては、クアーズテック株式会社（旧社名：東芝セラミックス）から供給されている炭化ケイ素セラミックス（商品名：CERASIC-B）についての測定値 [3]を採用した。図4 にシミュレーション結果を示す。グラフ横軸の周 Figure 7: Simulation results for Fig. 6. When stimulated at
波数下限は内径 150 mm 円管の TE11 遮断周波数 one port (0.5 W constant), the power loss in the SiC
1.17 GHz より高い 1.3 GHz とし、上限は 2 GHz とし cylinder and the power escaping from the structure areた。縦軸は電力の収支を表し、入射（0.5 W 一定）、 plotted as a function of frequency.
誘電体での吸収電力、吸収されずに上下流のポートから出て行った電力（透過波・反射波電力の合計） 図 3 と同じく 400 mm とし、上・下流に内径 150 mmをプロットした。当該構造では 80%（1.3 GHz）から の円管を取り付けて 2 ポート構造とした。当該構造60％（2 GHz）の電力吸収率が得られた。
内を伝播する垂直偏極 TE11 波の減衰についてのシ電波吸収体を装荷した溝付きビームパイプの進化 ミュレーション結果を図 7 に示す。周波数帯域は先の一例を図 5 に示す。図中、アルファベット順にの基本形の例と同じにとった。当該構造での電力吸(a) 直線状の溝に板状の吸収体を装荷した基本形。 収率は 95%（1.3 GHz）から 60％（2 GHz）であり、(b) T 字分岐した溝の先を弧状に曲げ、その曲面 基本形以上の減衰率が得られた。水平偏極の場合にに合わせて扇形断面の吸収体を左右それぞれ ついても調べたが、垂直偏極と同様の減衰率が得らの溝に装荷した構造。
れ、両者に有意な差は認められなかった。
(c) 先の二つの扇形断面の吸収体を一体化して円筒形状とした構造。この場合、真空チェン 3. 一対の矩形導波管を一本の同軸管にバーの金属部品を吸収体円筒の内側に冷やしトポロジカルな構造変形の二例目を図 8 に示す。
嵌めで組み込む。さらに、吸収体円筒の外側 図 8(a)は円筒空洞に扁平な矩形導波管を６本取り付には冷却水路付きの金属円筒を焼き嵌めで装 けた高次モード減衰空洞である。円筒の軸に垂直な着できる [4]。
中央断面について鏡面対称となるように配置された(d) 垂直・水平方向の両偏極モードに対応すべく、 ２本の導波管を対として、計３対の導波管が円筒の電波吸収体円筒の内部の溝付き構造を三回対 軸周り 120 毎に配置されている。変形手順は以下の称とした構造。
通り。一対の矩形導波管のそれぞれの断面を向かい
図 5 (d)の断面形状を有する電波吸収体円筒を装荷 合う内側が凹となるようにアーチ状に曲げる。するしたビームパイプの三次元構造を図 6 に示す。吸収 と、一対の C 字形の断面が中央面を挟んで鏡面対称体円筒（内径：180 mm、外径：210 mm）の軸長は- 998 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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Figure 8: Transforms from three pairs of flat rectangular
waveguides facing each other across the mid-plane into
three coaxial ones with septum walls at each entrance.

Figure 9: By limiting the dipole mode polarization to thevertical direction, the structures in Fig. 8 can be simplifiedand split in half at the mid-plane for simulation.に向かい合う形となる。そして、トポロジカルな変形としては禁じ手であるが、一対の向かい合う C 字形断面を合体させて円環断面とする。即ち、一対の矩形導波管を一本の同軸管に統合する。その結果、
図 8(b)のように同軸管を円筒空洞の軸周り 120 毎に計３本配する高次モード減衰構造が得られる。
ここで矩形導波管を伝播するモードは TE10 に限定する。さて、鏡面対称に配置された一対の矩形導波管のそれぞれを伝播する TE10 波の位相関係であるが、その源の円筒空洞の高次モードの対称性が反映される。即ち、円筒空洞の軸に垂直な中央断面において磁気短絡か電気短絡かによって、一対の矩形導波管の電場パターンの偶奇性が決まる。そして、統合された一本の同軸管においては、偶の場合はTEM 波、奇の場合は TE11 波となる。後者の同軸TE11 波の遮断周波数は矩形 TE10 波と同様に加速モード（TM010）の周波数より高く設定できる。一方、前者の TEM 波は遮断周波数が無い。これが先に述べたトポロジカル変形での禁じ手を使った副作用である。構造が中央断面について鏡面対称である限り、加速モードの TM010（対称性：奇）は同軸管のTEM（対称性：偶）には結合しない。しかし、現実には鏡面対称性の破れに因り加速モードが同軸管から漏れ出して減衰されてしまう可能性がある。これを防ぐべく、同軸管の入口から奥行き 200 mm の範囲に隔壁を設ける。
変形前後の高次モードに対する減衰効果をシミュレーションで調べるべく、先のモデルを以下の様にFigure 10: Simulation results for Fig. 9(a). Transmissioncoefficients from the upper waveguide port to the lower areplotted as a function of frequency for electrical- andmagnetic-short boundary conditions on the mid-plane,respectively.

Figure 11: Simulation results for Fig. 9(b). Transmission
coefficients from the upper coaxial port to the lower areplotted as a function of frequency for electrical- andmagnetic-short boundary conditions on the mid-plane,respectively.

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単純化した。円筒空洞の双極モードの偏極は垂直方向に限定し、空洞の上下に２対４本の矩形導波管（変形前）、もしくは２本の同軸管（変形後）を配する。さらに、図 9 に示したように、構造を円筒空洞の軸方向中央面で半割とする。そして、中央面において磁気短絡か電気短絡かに場合分けをして、円筒空洞の高次モードを介しての上方から下方ポートへの透過係数の周波数応答を調べた。なお、加速モード周波数は 0.5 GHz とし、矩形導波管 TE10 波と同軸管 TE11 波の遮断周波数は 0.62 GHz に揃えた。
シミュレーションの結果を図 10、図 11 に示す。空洞中央面が電気短絡、即ち高次モードの対称性が奇の場合は、前者の矩形導波管方式と後者の同軸管（TE11 波に結合）方式の双方ともに強い減衰特性が得られている。一方、中央面が磁気短絡、即ち高次モードの対称性が偶（電場が中央で節を有する）の場合は、前者に比べて後者（同軸管 TEM 波に結合）の減衰効果が若干弱い。これについては、同軸管の内導体先端の空洞内への突き出しなどについて検討の余地が残る。

4.

Figure 12: Flat rectangular cross-section (cutoff frequency
adjusted to 1.0000 GHz) swept along a circumference
while twisted in half to form a Möbius toroid.

メビウスの帯からの展開

最後の例は、トポロジーと云えば外せない「メビウスの帯」からの展開である。電気部品への応用例
としては、自己インダクタンスの無いメビウス抵抗 Figure 13: Contour plot of the electric field distribution forthe lowest TE10 mode (left), and that for the second lowest
器[5]、メビウスキャパシタ[6]が知られている。
今回、帯（band）の代わりに捻るのは導波管であ (right). Both are half-wavelength resonances.
る。導波管が帯の位相幾何学的性質を反映するための必要条件は、縮退の無い偏極モードが管内を伝播することである。その最も簡単な例は扁平な矩形導波管であり、その基本波 TE10 の電場パターンを使って導波管の上面（表）と下面（裏）の区別（方向付け）が出来る。
扁平矩形導波管を捻ったメビウス帯様の環状空洞（toroidal cavity）の一例を図 12 に示す。この例では、元の矩形導波管（直管）の TE10 波の遮断周波数を1.0000 GHz に合わせた。環状空洞に励振される固有モードのうち、矩形導波管 TE10 波の系統の最低次と二番目に低いモードの電場強度分布を図 13 に示 Figure 14: Contour plot of the electric field distribution for
す。両モードとも TE10 波が半波長で一周して閉じ the lowest TE20 mode with an infinite wavelength.ている。半波長の奇数倍の定在波が可能な理由は、導波管を捻ることにより TE10 波の位相が 180 進む いる。この少し直感に反する事実について、先のからである。図中、最低次モード（1.0039 GHz）の TE20 波の電場分布の対称性から紐解いてみるのも一
電場の腹は矩形導波管の H ベンド様な箇所にあり、 興であろう。
二番目に低いモード（1.0054 GHz）のそれは E ベン
矩形導波管を捻って造ったメビウス帯様の環状構
ド様な箇所にあることに留意されたい。
造を以下「メビウス環」と呼ぶ。メビウス環の最低続いて、矩形導波管 TE20 波の系統の最低次モー 次の固有モードであるが、その電場分布は腹が一つドの電場強度分布を図 14 に示す。興味深いことに、 で単極モード的である。一方、その電場を取り囲むTE20 波系統の固有モードの電場パターンは、通常の 磁場は、環に沿って半周廻った反対側（電場の節の捻り無し環状空洞の定在波と同様、波長の整数倍 位置）で合流して環を横切る。その分布は双極モー（0, 1, 2, …）となる。理由は、矩形導波管断面にお ド的である。即ち、メビウス環の最低次の固有モーいて TE20 波の電場パターンが断面中心に関して ドは単極モード的な電場分布と双極モード的な磁場180 回転対称だからである。この場合、捻りによる 分布を併せ持つ。そのようなメビウス環の応用例と位相の進みは無い。余談だが、メビウスの帯に沿っ して、最低次モードの双極モード的磁場を使ったて鋏で帯の中央を切り進むと、二本の帯ではなく、 ビーム偏向器が考えられる。例えば、衝突点でバン二回ひねった一本の半幅の帯になることが知られて チをクラブ交差（crab crossing）[7]させるための偏- 1000 -Proceedings of the 19th Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan
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向器、所謂クラブ空洞である。しかも、低次モード（ LOM: Lower Order Mode ） が 無 い ク ラ ブ 空 洞（LOM-free crab cavity）である。
しかしながら、図 12 に示した形状のままではメビウス環の周長が長すぎて、電場の節の位置での磁束密度が薄まってしまい、効率が悪い。まずは、メビウス環の周長を極力短くする必要がある。そのためには、環の断面形状に外接する円の半径を極力小さくすれば良い。何故ならば、メビウス環の断面中心が描く軌道を円とした場合、その軌道半径を先の外接円の半径以下には小さく出来ないからである。
上述の最適化指針に従いつつ試行錯誤を繰り返している途上ではあるが、メビウス環 LOM-free クラブ
空洞の一例を図 15 に示す。亜鈴形状断面（外接円半径：65 mm、断面の遮断周波数：0.978 GHz）の中心を円軌道（半径：80 mm）に沿って捻りながら掃引してメビウス環をつくる。この段階では、最低次と二番目の周波数はそれぞれ 1.040 GHz、1.041 GHz であり、その差は小さい。次にメビウス環を縦割りにして左右に分割し、上側には同じ亜鈴形状断面の直管（長さ：80 mm）を挿入する。一方、下側にはビームと相互作用する領域の磁場分布を整えるべく、レーストラック断面の直管を挿入する。そして、そ Figure 16: 3D vector visualization of the magnetic field ofの前・後の側面中央にビームパイプ（内径：50 mm） the lowest mode (1.013 GHz) for the structure in Fig. 15,を取り付ける。このように上側と下側で挿入する直 together with the 2D plot on the vertical cut-plane
管の断面形状を変えると、磁場の腹が下側に来る最 including the beam pipe axis.
低次モードの周波数は低くなる。一方、其処に電場の腹が来る二番目のモードの周波数は高くなる。即 の半波長奇数倍のモードでは、電場の腹の半周反対
ち、最低次と二番目のモードの周波数差をより大き 側に磁場の腹が来る。メビウス環に対する高次モード減衰方式を設計する場合、この電磁場分布の規則くとれるという目論見である。
図 16 にメビウス環クラブ空洞（図 15）の最低次 性を利用しない手はない。
固有モードの磁場分布を三次元ベクトル場形式と二次元形式（ビーム軸を含む縦割り断面上）で示す。 5. むすび
ビーム軸を横切る磁束密度であるが、電場の腹の両表題負けの感は否めないが、「位相幾何学的手法」側（亜鈴断面の両側）のそれに比べて、まだ 1/4 程 と銘打って、いくつかの設計例を紹介した。最後は、度と低く、改善の余地が残る。一方、周波数的には、 文字通りに「土ひねり」の世界に没入した感がある。
最低次モードの 1.013 GHz に対して二番目のモード 三次元 CAD、そして、仮想空間での「かたち」を現
は 1.050 GHz と、先の目論見どおりに周波数の差を 実世界に出力する三次元プリンタによって、高周波拡げることが出来た。
構造の設計・製作の現場においても「土ひねり」的以上、設計途上ではあるが、メビウス環のクラブ な手法は日常になりつつある。ともあれ、先例に囚空洞への応用例について紹介した。一方、メビウス われない自由で柔軟な発想を養うべく、土をひねり環は、電場の腹をビームパイプ側に持って来れば、 ながら頭をひねるのも此れまた一興であろう。
加速空洞として使える。メビウス環の TE10 波由来

参考文献

Figure 15: 3D cutaway view of a Möbius toroidal structure
proposed for the LOM-free crab cavity, split at the vertical
mid-plane including the beam pipe （ inner diameter:50mm）axis.

[1] CST Studio Suite.
[2] T. Kageyama, “Damped Cavity 用ビーム・ダクト形状のデ ザ イ ン ”, Proceedings of the 15th Linear Accelerator
meeting in Japan, 1990, pp. 79-81.
[3] Y. Takeuchi et al., “HOM 吸収体で使用する SiC セラミックスの高周波誘電特性の制御”, Proceedings of the 8th
Annual Meeting of Particle Accelerator Society of Japan,Tsukuba, Japan, Aug. 1-3, 2011, pp. 1290-1294.
[4] M. Izawa et al., “Beam Test of a SiC Duct Developed for an
RF Damped Cavity”, Proceedings of the 5th EuropeanParticle Accelerator Conference, Sitges, Spain, Jun. 10-14,
1996. WEP053L.
[5] U. S. Patent 3,267,406.
[6] U. S. Patent 4,599,586.
[7] R. B. Palmer, SLAC-PUB-4707, 1988.

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