「第3回若手研究者フォーラム：音声言語処理について語ろう」
2011年10月8日

非負値行列因子分解とその発展形
亀岡弘和
東京大学 大学院情報理工学系研究科
kameoka@hil.t.u-tokyo.ac.jp
NTTコミュニケーション科学基礎研究所
kameoka.hirokazu@lab.ntt.co.jp

Frequency「行列の積」としてのスペクトログラム

time「行列の積」としてのスペクトログラム
各基底の「アクティベーション」

Frequency「基底スペクトル」

timeFrequency「行列の積」としてのスペクトログラム

2040

60

80

time

100120目次
1. 非負値行列因子分解（NMF）とは–何に使えるのか（音響信号処理を題材として）–どのような性質があるのか–どのように求めるのか–統計モデルとしての解釈

2. NMFの改良・拡張モデル–スパースNMF, NMFD, NMF2D, ソースフィルタNMF,
アクティベーション連続性規準入りNMF,ハーモニックNMF, 板倉齋藤距離規準NMF,
複素NMF, 状態遷移NMF,
ノンパラメトリックベイズNMF, etc…

非負値行列因子分解 (NonnegativeMatrixFactorization) とは• 非負値行列を２つの非負値行列の積で表現• 行列因子分解の応用場面– ブラインド信号分離(Blind Signal Separation)– 次元圧縮NMFが生まれた背景•画像処理分野で生まれた技術 [Lee1999]–顔画像から顔パーツを抽出するのが目的–概念自体は９０年代前半に登場 [Paatero1994]•音のスペクトルを画像と見なして適用（後述）音声分離・自動採譜等[Smaragdis2003]以降極めて多数…

•効率的な反復アルゴリズム[Lee2000]

なぜ非負値なのか？その意図は？
• データ行列の非負性– 実世界には非負値データが多い（例） パワースペクトル，画素値，度数，• 基底行列の非負性– 「非負値データの構成要素もまた非負値データであるべき(でないと物理的に意味をなさない！)」という考え方（例）負の値をもったパワースペクトルなんて解釈のしようがない• 係数行列の非負性– 構成要素の混ざり方は「足し算」のみ– 係数行列をスパースに誘導  基底の情報量をアップ

係数行列の非負性について• 係数が負の値を取っても良い場合
基底ベクトル

観測データ+)係数

係数行列の非負性について• 係数が負の値を取ってはならない場合
基底ベクトル

観測データ+)係数

係数行列の非負性について• 係数が負の値を取ってはならない場合
基底ベクトル

観測データ

係数

（+)

(？）

)

引き算できないんだった・・・

係数行列の非負性について• 係数が負の値を取ってはならない場合
基底ベクトル

観測データ

係数+)
スパース

別の見方から...
• Frobeniusノルム規準のNMF

データ数とが張る「凸錐」

基底数

斜交基底だから係数はスパースになりやすい？
凸錐とのなす角を大きくした方がお得！とが張る部分空間

陽に制約を入れていないのに基底が直交化される傾向にスパース性がもたらす効果• HがどうなればUはスパースになる？

これがスパースになるよう誘導される– 共起するパーツがあればひとまとめにした方がスパースに!

共起している

こっちの方がスパース– 共起頻度が高いパーツのペアをひとまとめにした方がスパースに!
（上のひとまとめ操作ではを３つ分減らせている）

頻出するひとまとまりのパーツが各基底ベクトルとして得られる傾向になる

NMFで音声スペクトログラムを分解してみる
周波数→

•音響信号
短時間フーリエ変換（時間周波数分解）

音声スペクトログラム：時刻 に周波数 の成分がどれほど含まれているか

各基底のアクティビティ絶対値をとる

時刻→

周波数→

基底スペクトル

低ランクスペクトログラム

基底数10
基底数30

頻出するスペクトル
パーツが獲得される
時刻→

何に使えるのか？（1/3）• 自動採譜 [P. Smaragdis et al., 2003]
J.S. Bach: Fuge #16 in G minor

何に使えるのか？（2/3）• 教師ありモノラル音源分離 [P. Smaragdis et al., 2007 ]音声（学習データ）
混合信号（テストデータ）

チャイム（学習データ）

固定

何に使えるのか？（3/3）•音の「超解像」

低サンプリングレートの信号[P. Smaragdis & B. Raj, 2007 ]高サンプリングレート信号の学習データ（固定）
高周波帯域が復元された信号

NMF の基本問題••

個の観測データ(非負値ベクトル)個の非負値基底ベクトルの非負結合でどの観測データも良く表現できる基底セットを求めたいとの乖離度を表す規準

どうやって求めるのか• NMFにおける代表的な最適化規準– Frobeniusノルム（二乗誤差）– Iダイバージェンス（一般化KLダイバージェンス）• 押さえておくべき基本原理– 補助関数法– 凸不等式（Jensenの不等式）

二乗誤差と I ダイバージェンス•：のからの近さの度合い
二乗誤差
I ダイバージェンス

板倉齋藤距離NMFにおける代表的な最適化規準• Frobeniusノルム規準

なんとかしたい部分• Iダイバージェンス（一般化KLダイバージェンス）

なんとかしたい部分

いずれものとき ０ になる押さえておくべき基本原理（1/2）• 補助関数法–を満たす– 反復アルゴリズム

を補助関数と定義
補助関数

目的関数

[1]
[2]

[1]

– 収束性
[2]

目的関数を直接最小化するのが難しいなら、とりあえずその上限関数を作ってみよう！

押さえておくべき基本原理（2/2）• Jensenの不等式
––

：凸関数

例えば，の場合：

右辺左辺

Frobeniusノルム規準のNMFアルゴリズム• 目的関数• 下線部に対してJensenの不等式を立ててみる

適用• 補助関数が完成またはごとの二次関数の和になっている

Frobeniusノルム規準のNMFアルゴリズム• 補助関数が完成したらあとはステップ１とステップ２を導出すればOK!

[1]

[2]

代入

Iダイバージェンス規準のNMFアルゴリズム• 目的関数• 下線部に対してJensenの不等式を立ててみる

適用• 補助関数が完成

Iダイバージェンス規準のNMFアルゴリズム• 補助関数が完成したらあとはステップ１とステップ２を導出すればOK!

[1]

[2]

代入

統計モデルとしての解釈• NMFは以下を仮定した最尤推定問題と等価– Frobeniusノルム規準
正規分布– Iダイバージェンス規準
Poisson分布

NMFの改良・拡張モデル
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Smaragdis

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Hoyer

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スパースNMF [Hoyer2004]• アクティベーションを強制的にスパース化

スパース性尺度（1のときスパース，0のとき非スパース）

P. O. Hoyer, “Non-negative matrix factorization with sparseness constraints,” J. Mach. LearningRes., vol. 5, pp. 1457–1469, 2004.

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Nonnegative Matrix Factor Deconvolution [Smaragdis2004]• スペクトログラム素片パーツを時間方向に畳み込んで楽音スペクトログラムを表現
オンセット

オンセット

Frequency

スペクトログラム素片

スペクトログラム
素片パーツ
time
P. Smaragdis, “Non-negative matrix factor deconvolution; extraction of multiple sound sourcesfrom monophonic inputs,” in Proc. ICA2004, pp. 494–499, 2004.

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Dhillon
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Bregmanダイバージェンス規準NMF [Dhillon2005]• Bregmanダイバージェンス [L.M. Bregman, 1967]（と が近いほど小さい•
1.

は任意の微分可能な凸関数）



：二乗誤差誤差：I ダイバージェンス：板倉齋藤距離を満たすクラス （はこのタイプ）

Uの更新式も同様に解析的に求まる

2.

を満たすクラス （はこのタイプ）

I.S. Dhillon and S. Sra, “Generalized nonnegative matrix approximations with Bregman
divergences ,” Proc. NIPS 2005, pp. 283-290, 2005.

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DhillonHoyer
Schmidt

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Nonnegative Matrix Factor 2D Deconvolution [Schmidt2006]• 楽音の調波構造が対数周波数軸上でシフト不変であると仮定（ピッチが変わっても倍音パワー比は不変という仮定）• スペクトログラムパーツの対数周波数-時間平面での２次元畳み込みで楽音スペクトログラムを表現

f0

log frequency

f0log frequency

M. N. Schmidt andM.Mørup, “Nonnegative matrix factor 2-D deconvolution for blind single
channel source separation,” in Proc. ICA2006, pp. 700-707, 2006.

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ソースフィルタモデルに基づくNMF [Virtanen2006]•

番目の基底スペクトルを番目のソーススペクトルと番目のフィルタの積で表現

frequency
20

従来NMF：

4060

80

100120

ソースフィルタNMF：

T. Virtanen and A. Klapuri, “Analysis of polyphonic audio using source-filter model and nonnegative matrix factorization,” in Proceedings of the Advances in Models for Acoustic Processing,
Neural Information Processing Systems Workshop, 2006.

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βダイバージェンス規準NMF [Kompass2007]• βダイバージェンス[Eguchi2001]を局所最小化するアルゴリズム

： 板倉齋藤距離： I ダイバージェンス： 二乗誤差の場合しか収束性が保証されない
R. Kompass, “A generalized divergence measure for nonnegative matrix factorization,” NeuralComputation, 19(3), pp. 780–791, 2007.

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アクティベーションの連続性規準入りNMF [Virtanen2007]• 楽器音のパワーエンベロープは滑らかという仮定
Source 1

Source 2

そこで，アクティベーションの連続性規準を導入・・・
Mixed signal

NMF component 1

NMF
音源のストリームが分断されてしまっている！

別音源のストリームが混入してしまっている！

• アクティベーションが滑らかなほど小さい値をとるコスト関数• この項を含めて最適化を行う
ことで，左図のようなことが起こりにくくなる

T. Virtanen, “Monaural sound source separation by nonnegative matrix factorization withtemporal continuity and sparseness criteria,” IEEE Trans. on Audio, Speech and Language
Processing, vol. 15, no. 3, pp. 1066–1074, 2007.

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RaczynskiSmaragdis

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Schmidt

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ハーモニックNMF [Raczynski2007]• 調波構造形の基底スペクトル• アクティベーションの無相関規準

基本周波数・高調波周波数以外の成分を0に初期設定

音名に対応する分だけ基底スペクトルを用意

Stanislaw Andrzej Raczynski, Nobutaka Ono, Shigeki Sagayama, “Multipitch analisys with
Harmonic Nonnegative Matrix Approximation,” Proc. of ISMIR, pp.381-386, 2007.

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Raczynski
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Smaragdis
Raczynski
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Vincent
Virtanen

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Kompass
Schmidt

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ハーモニックNMF [Vincent2008]• 調波構造形の基底スペクトル
スペクトル包絡が異なる同一ピッチの基底スペクトルのサブセット

これらの重ね合わせでさまざまなスペクトル包絡形状を表現
E. Vincent, N. Bertin, and R. Badeau, “Harmonic and inharmonic nonnegative matrix
factorization for polyphonic pitch transcription,” in Proc. ICASSP’08, pp. 109-112 , 2008

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Schmidt

Cemgil2009

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ベイジアンNMF [Cemgil2008]• Iダイバージェンス規準NMFを生成モデルの観点から解釈

A.T. Cemgil, “Bayesian inference for nonnegative matrix factorization models,” Technical Report
CUED/F-INFENG/TR.609, University of Cambridge, 2008.

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Smaragdis
Raczynski
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Virtanen
DhillonVincent
Virtanen

Hoyer

Kompass
Schmidt

CemgilFévotte20092010

板倉齋藤距離規準NMF [Févotte2008]• 観測信号をガウス性信号の重ね合わせとしてモデル化• パワースペクトル密度がNMF型の構造をもつと仮定
ここでのとは複素スペクトル成分（複素数値）であることに注意。との独立性を仮定

C. Févotte, N. Bertin, and J.-L. Durrieu, “Nonnegative matrix factorization with the Itakura-Saito
divergence. With application to music analysis,” Neural Computation, vol. 21, no. 3, Mar. 2009,

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Virtanen

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CemgilFévotte

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KameokaRaczynski
Smaragdis

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DhillonVincent
Virtanen

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Kompass
Schmidt

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複素NMF [Kameoka2008]• パワースペクトルも振幅スペクトルも本来は非加法的• 複素スペクトル領域モデルでNMFと同様のスペクトルパーツ獲得機能が実現できないか？

(STFT)

要素信号の複素スペクトログラムの振幅成分が“rank1”構造をもつように混合信号をモデル化(magnitude)

NMFにおけるモデルが厳密には不適切であることを示している

ここでのとも複素スペクトル成分（複素数値）であることに注意。

亀岡, 小野, 柏野, 嵯峨山, “複素NMF: 新しいスパース信号分解表現と基底系学習アルゴリズ
ム,” 日本音響学会2008年秋季研究発表会講演論文集, 2-8-13, pp. 657-660, 2008.

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SmaragdisVirtanen
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Schmidt

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CemgilFévotte2010

MusicFactorizer [Kameoka2009]• 音楽信号は限られた種類の音価の音だけで構成される→NMFのアクティベーションもまたパーツベースド表現ができる？
• アクティベーションをエンベロープパーツの畳み込み混合でモデル化
エンベロープパーツのアクティベーション（ノートのオンセットに対応）「畳み込み混合」

アクティベーションもいくつかのパーツだけで構成されている？

亀岡, ルルー, 大石, 柏野, "Music Factorizer: 音楽音響信号をノート単位で編集できるインタフェース," 情報処理学会研究報告, 2009-MUS-81-9, Jul. 2009.

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Virtanen

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Kameoka
CemgilFévotte2010

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Schmidt

Vincent

MysoreVirtanen

Ozerov

Kompass

Kameoka
CemgilFévotteNakano状態遷移NMF [Ozerov2009,Nakano2010,Mysore2010]
周波数• NMF：スペクトログラムをrank1行列の和に分解していることに相当
観測振幅
スペクトログラム

行列YHU

rank1行列rank1行列（ある特定音のみの振幅スペクトログラム）（ある特定音のみの振幅スペクトログラム）

時間– 楽音のスペクトログラムは実際にはrank1にならない（ピアノ音にattack/decay/sustainなどの複数状態があるように，通常，楽音スペクトルの形は発音中に多様に時間変化する）• 各楽音スペクトログラムをrank1行列でモデル化する代わりに非負値を出力する隠れマルコフモデル（HMM）でモデル化→Factorial HMM [Ghahramani1997]と同形のモデルになる
A. Ozerov, C. Févotte, M. Charbit, “Factorial scaled hidden Markov model for polyphonic audio
representation and source separation,” in Proc. WASPAA'09, 2009.
中野, 北野, ルルー, 亀岡, 小野, 嵯峨山, "可変基底NMFに基づく音楽音響信号の解析," 情報処理学会研究報告, 2010-MUS-84-10, Feb. 2010.

G. J. Mysore, P. Smaragdis, B. Raj, “Non-negative hidden Markov modeling of audio withapplication to source separation,” in Proc. LVA/ICA'2010. pp.140-148, 2010.

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DhillonHoyer
Schmidt

Vincent

MysoreVirtanen

Ozerov

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Kameoka
CemgilFévotteNakanoNMFの改良・拡張モデル
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Smaragdis

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Smaragdis

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DhillonHoyer
Schmidt

Vincent

MysoreVirtanen

Ozerov

Kompass

Kameoka
CemgilNakanoFévotteNakanoβダイバージェンス規準NMF [Nakano2010]• すべてのβで収束性が保証された乗法更新アルゴリズム

凸/凹

凸/凹–補助関数の設計方針•Jensen不等式

凸関数•接線不等式

凹関数

凸関数項の上限を凸不等式，凹関数項の上限を接線不等式を使って設計し，補助関数を設計[Kameoka2006]
M. Nakano, H. Kameoka, J. Le Roux, Y. Kitano, N. Ono, S. Sagayama, “Convergence-guaranteedmultiplicative algorithms for non-negative matrix factorization with beta-divergence,” In Proc.
MLSP 2010, in CD-ROM, 2010.

NMFの改良・拡張モデル
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DhillonHoyer
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CemgilNakanoFévotteNakanoNMFの改良・拡張モデル
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Smaragdis

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Kameoka
Raczynski

Smaragdis

Virtanen
DhillonHoyer
Schmidt

HoffmanVincent

MysoreVirtanen

Ozerov

Kompass

KameokaNakanoCemgilNakanoFévotteNakanoノンパラメトリックベイズNMF [Hoffman2011, Nakano2011]• NMFにおける基底数をデータから推論できるようにしたい→ Gamma Process (GaP) NMF [Hoffman2011]– スペクトログラムの生成モデルが大きいほど急峻になる

ここがポイント！
→FévotteのIS-NMF方式–の意味•
をスパースにする＝不要なコンポーネントはできるだけ使わない• 状態遷移NMFにおけるコンポーネント数と状態数をデータから推論できるようにしたい→ Infinite Factorial infinite Hidden Markov Model(iFiHMM) [Nakano2011]

まとめ
1. 非負値行列因子分解（NMF）とは–何に使えるのか（音響信号処理を題材として）–どのような性質があるのか–どのように求めるのか–統計モデルとしての解釈

2. NMFの改良・拡張モデル–スパースNMF, NMFD, NMF2D, ソースフィルタNMF,
アクティベーション連続性規準入りNMF,
ハーモニックNMF, 板倉齋藤距離規準NMF,
複素NMF, 状態遷移NMF,
ノンパラメトリックベイズNMF, etc…

参考文献
[1] D. D. Lee and H. S. Seung, “Learning the parts of objects with nonnegative matrix
factorization,” Nature, vol. 401, pp. 788–791, 1999.
[2] P. Paatero and U. Tapper, “Positive matrix factorization: A non-negative factor model withoptimal utilization of error estimates of data values,” Environmetrics 5: 111–126, 1994.
[3] P. Smaragdis and J. C. Brown, “Non-negative matrix factorization for music transcription,”
Proc. WASPAA 2003, pp. 177–180, 2003.
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