数理解析研究所講究録903 巻 1995 年 6-10

6p-hyponormal 作用素について
上越教育大学長宗雄\S 1. 準備
初めに, これらの結果は都立三田高校の伊藤益生氏および新潟大学教育学部・古谷野教授との共同研究である.
$H$ を complex Hilbert space とし, $B(H)$ を $H$ 上の有界線形作用素の全体とする. $T\in B(H)$ に対して
$T:p-hyponormal\Leftrightarrow(T^{*}T)^{p}\geq(TT^{*})^{p}$set of all -hyponormal operators とし, $p-HU$ :p-hyponormal
作用素 で polar 分解で が unitary でとれるもの全体とする. $T=U|T|$の polar 分解とする.
を$p-H$ :$\mathrm{P}$

$U$

$T$

$T$

$z=re^{i\theta}\in\sigma_{ja}(T)$$\Leftrightarrow\exists x_{n}$(joint approximate point spectrum): unit vectors such that$(U-e^{i\theta})x_{n}arrow 0$$\sigma_{p}(T),$ $\sigma_{a}(T),$ $\sigma(eT)$and$(|T|-r)_{X}narrow 0$

spectrum, approximate

はそれぞれ $T$ の point

point spectrum, essentiai spectrum を記す.
定理 1.

次に対して

$\mathcal{T}_{0}=$$\tilde{\psi}$$T=U|T|\in \mathrm{P}-\mathrm{H}\Rightarrow\sigma_{a}(T)=\sigma_{j}$$(T)$。

{ :$\psi$$\mathrm{R}^{+}$.

上の単調増加関数で $\psi(0)=0$ } とする.

を次のように定義する.
$\overline{\psi}(re^{i\theta})=e^{i}\psi\theta(r)$および$\overline{\psi}(\tau)=U\psi(|\tau|)$.

$\psi\in \mathcal{T}_{0}$に

7

ただし, $T=U|T|$ での $U$ は unitary とする.
定理 2

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$。とする.

$\psi\in \mathcal{T}_{0}\ \overline{\psi}(T)\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$$\Rightarrow\sigma(\overline{\psi}(T))=\tilde{\psi}(\sigma(T))$

系1.

.

.

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$ $\ r\in\sigma(\tau*\tau)\Rightarrow\exists z\in\sigma(T);|z|=\sqrt{r}$a2. completely -hyponormal 作用素のスペクトル$\mathrm{P}$$T=U|T|\in$ p–HU

定理 3.

き$\mathrm{p}$と $\max\sigma(|T|)$ のどちらの点も$\min\sigma(|\tau|)$$\sigma(|T|)$&completely -hyponormal. このとfinite multiplicity をもつの要素とはならない.

定理 4.

$T_{)}$

completely -hyponormal 作用素とする.
$\mathrm{P}$$z\in\partial\sigma(T)\Rightarrow|z|\in\sigma_{e}(|\tau|)\cap\sigma_{e}(|\tau*|)$系 2.

$T\in \mathrm{p}-\mathrm{H},$$\mathrm{z}\in\sigma(T)\ \overline{z}\not\in\sigma_{p}(T^{*})$$\Rightarrow$

定理 5.
$T$

$\Rightarrow$

こ$arrow\vee$

で定理 6..
する.

$|z|\in\sigma_{e}(|\tau|)\cap\sigma_{e}(|T^{*}|)$$T\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\ (\sigma(TT^{*}))O=\phi$

.

.

.

has a nontrivial invariant subspace,$\mathrm{E}^{o}$は $E$ の内郭を表す.

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$& completely -hyponormal 作用素と$\mathrm{p}$このとき$G$:open disk&\mbox{\boldmath $\sigma$}(T)\cap G $\neq\phi\Rightarrow m_{2}(\sigma(T)\cap G)>0$

8

定理 7 .

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$& completely p-hyponormalとし

isolated point,$a= \inf$ { $s:s\in\sigma(TT^{*}),$ $s\leq r$ and $ifs<r,$ $(s,$ $r)\cap\sigma_{e}(TT^{*})=\phi$ }$b= \sup$ { $s:s\in\sigma(TT^{*}),$ $s\geq r$ and if $s>r,$ $(r,$ $s)\cap\sigma_{e}(TT^{*})=\phi$ },とすると, このとき $a<b$ であり, さらに次のどちらかは成り立つ.

$\mathrm{r}l\mathrm{h}\sigma(TT^{*})\text{の}$$a<r$ and $\{z:\sqrt{a}<|z|<\sqrt{r}\}\subset\sigma_{p}(T^{*})$

or$b>r$ and $\{z:\sqrt{r}<|z|<\sqrt{b}\}\subset\sigma_{p}(T^{*})$ .

定理 8.

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{U}\mathrm{H}$$\mathrm{m}_{1}(\sigma(|\tau|))=0$$A_{n}=$

a3

completely$\mathrm{P}$-hyponormal&とする. このとき, つぎのような互いに素な開集合族{ $z:a_{n}<$ I$\sigma(T)$で$<b_{n}$} $(n=1,2, \ldots)$ が存在する.

is the closure of the $set\cup A_{n}$ and$\cup A_{n}\subset\sigma_{p}(T^{*})$.

angular cutting$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U},$$\Gamma=\{z:|z|=1\}$.

$U= \int_{\Gamma}\lambda dE(\lambda)$$\gamma\subset\Gamma$とスペクトル分解しに対し $E(\lambda)\neq 0$ とする.

$H_{\gamma}=E(\gamma)H,$とするとの sectionとする.

$T_{\gamma}$は$U_{\gamma}=U|_{H_{\gamma}},$$H_{\gamma}$

上の$\mathrm{P}$$T_{\gamma}=U_{\gamma}[E(\gamma)|\tau|^{2p}E(\gamma)]^{1/p}2$-hyponormal 作用素となる.という.

$D_{\gamma}=\{\lambda \mathrm{j}\lambda\neq 0, \lambda/|\lambda|\in D_{\gamma}\}$

この$T_{\gamma}$

を $T$

9

とおく.
定理 9.

$T\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$定理 11.

$T\in$$T$$\sigma(T_{\gamma})\subset D_{\gamma}$.

p–HU &\mbox{\boldmath $\gamma$}:open$\Rightarrow$

定理 12.

&\mbox{\boldmath $\gam a$}\subset \Gam a に対して$\sigma(T_{\gamma})\cap D_{\gamma}=\sigma(\tau)\cap D_{\gamma}$: completely -hyponormal$\mathrm{P}$$\Rightarrow T_{\gamma}$.

: completelyp-hyponormal.

\S 4.

スペクトル分解定理

A を contraction とする.
$A^{n}$$A^{[n]}=\{$,$(A^{*})^{n},$$n\geq 0$,$n<0$ .とし$s- \lim_{\infty narrow\pm}A^{[}-n]TA[n]$が存在するとき, これらの作用素をpolar symbolds という.

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$のとき$S_{A}^{\pm}(T)$$S_{U}^{\pm}(T)$と記し$\mathrm{T}$は存在する.

そこで, $0\leq k\leq 1$ に対して
$T_{[k]}:=U\{(1-k)s_{U}^{-}(|\tau|^{2p})+k\cdot S_{U}^{+}(|\tau|2p)\}^{1/}2p$と記して,$T_{[k]}$を$\mathrm{T}$の general polar symboldsという.のA による

10定理 13.

$T=U|T|\in \mathrm{p}-\mathrm{H}\mathrm{U}$とすると$\sigma(T)=\bigcup_{10\leq k\leq}\sigma(\tau[k])$.

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$\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}_{0}\mathrm{r}\mathrm{s}-\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{i}-\mathrm{h}\mathrm{y}\mathrm{P}^{\mathrm{O}}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}1$

operators, Sci.

[11] D. Xia, Spectral Theory of Hyponormal Operators, Birkh\"auser 1983.