数理解析研究所講究録903 巻 1995 年 57-69

57

シューア積作用素のノルム

大久保

北海道教育大 札幌校(Kazuyoshi Okubo)

和義

1. はじめに$M_{n}$

を $n\cross n$ 複素行列全体からなる線形空間とする。 $M_{n}$ 上には様々なノルムが考えられるが、 ここでは、 次のノルムを考える。

」$\mathrm{L}$スペク トラルノルム:.
$A\in M_{n}$$\cdot$数域半径 :$||A||_{\infty}= \sup_{x|}1_{\frac{Ax}{||x|}}$$w(A)= \sup_{x}\frac{|(\prime 4x|x\}|}{||x||^{2}}$に対して、 $M_{n}$ 上の線形写像 ($\backslash \nearrow_{L}-7$

定義する。 ここで、 $A=(a_{ij})\text{、}B=(b_{ij})$ に対して
ア積、 あるいは アダマール積という)は$S_{A}$$M_{n}$$||\cdot||_{\infty},$$w(\cdot)$を$S_{A}$$A\mathrm{o}B=(a_{ij}\cdot b_{ij})$$S_{A}(B)=A\mathrm{o}B$ で

(

$A$

と

$B$

の

. $-$

$\backslash \grave{/}\Sigma$とする。

上の線形作用素であるから、えられる。 我々は

積作用素)

に関する

$\Lambda l_{n}$$S_{A}$

上の

ノルム

に関して

$S_{A}$の誘導ノルムをそれぞれ、の誘導ノルムが考$||S_{A}||_{\infty},$$||S_{A}||W$で表す。 即ち、$||S_{A}||_{\infty}= \max\frac{||A\circ X||_{\infty}}{||X||_{\infty}}X$$||S_{A}||_{w}= \max\frac{\iota o(A\circ X)}{w(\lambda^{7})}X$で定義する。

本稿では、$\backslash \grave{\nearrow}L^{-7}$積に関して今までに知られている主な結果と、 特に$\backslash \grave{\nearrow}L^{-7}$積作用素に関する誘導ノルムについての概説を行う。

2. シューア積の例
行列の$\sqrt[\backslash ]{}\mathrm{n}-7$積は成分ごとの積で定義されるが、 この積はアダマール積と呼ばれることが多い。 この理由は、 Hadamard が1899 年に出した論文で、 次のことを示したことによる。 即ち、 正の収束半径をもつ 2 つのマクローリン級数$f(z)= \sum_{i=1}^{\infty}\alpha_{n}Zn$に対して、 係数ごとの積を係数とする級数$g(z)$&$g(z)= \sum_{i=1}^{\infty}b_{n}zn$$h(z)= \sum_{i=1}^{\infty}a_{nn^{Z}}bn$を考え$l\iota(z)$が $f(z)$との合成積で与えられるということである。 Hadamard 自身は行列の成分ごとの積に

58

ついては考えていないが、 この結果が解析学のいろいろな分野で使われ、 成分ごとの積に関してHadamard の名前が使われたようである。 行列に関して成分ごとの積に関するすぐれた結果を出しのはSchur であり、 したがって、我々はこの積のことを$\backslash \grave{/}L^{-7}$積と呼ぶ。

シ $\mathrm{L}^{-7}$ 積の例としては、 つぎのようなものがある。

[例 1]Toeplitz 行列$f,$ $g$を連続な周期 2\mbox{\boldmath $\pi$}の関数とする。 このとき、$a_{k}= \int_{0}^{2\pi}e^{ik}f\theta(\theta)d\theta$,$(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$$b_{k}= \int_{0}^{2\pi}e^{ik\theta}g(\theta)d\theta$として、$h( \theta)=(f*g)(\theta)=\int_{0}^{2\pi}f(\theta-t)g(t)dt$$c_{k}= \int_{0}^{2\pi}e^{ik}h\theta(\theta)d\theta$とすると、 $c_{k}=a_{k}\cdot b_{k}$となる。 従って、$T_{f}=(a_{i-j}))_{\text{、}}T_{j*g}=T_{f}\mathrm{o}T_{g}$$[\text{例}2]$

$f$

$A,$

$T_{f}$を$f$のToeplitz 行列とするとき (i.e.

となる。

単調行列関数order の単調行列関数 on $(a, b)$ であるとは$B\in M_{n}$ : エルミート, 固有値 $\in(a, b)$ で $A\geq B$ とするとき $f(A)\geq f(B)$ が成り立つ

が$n$ことであると定義する。
$H(t)=[h_{ij}(t)]$を連続微分可能なエルミ $-$ ト行列を値とする関数で、 $H(t)=U(t)\Lambda(t)U*(t)$

とする。
ただし、

$\Lambda(t)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\lambda 1(t), , \lambda_{n}(t))$

また、 実数値関数$f$が$\lambda_{i}(t)$である。

の近傍で微分可能とすると $f(H(t))=U(t)f(\Lambda(t))U^{*}(t)$ で、$\frac{d}{di}f(H(t))=U(t)\{I\{_{f}^{r}((\lambda_{i}(t)))\circ[U^{*}(t)H/(t)U(t)]U*(t)\}$となる。 ここで、$f’(\xi_{p})$$(\xi_{p}=\xi_{q})$$\frac{f(\xi_{\mathrm{P}})-f(\xi q)}{\xi_{p}-\xi_{q}}$$(\xi_{p}\neq\xi_{q})$order

Loewner matrix である。

$f$

が

$0$

となることである。

$n$

は

.

$I\mathrm{t}_{f}’((\xi_{j}))=\{$

で定義される$I\acute{\mathrm{e}}_{f}(\{\lambda_{i}(t)\})$の単調行列関数であるための必要十分条件は$\xi_{1},$$\xi_{2},$$\cdots,$$\xi_{n}$に対して$I\{_{f(}^{\Gamma}(\xi_{i}))\geq$59

これは次のことから示される。

$H(t)=B+t(A-B)$ とおくと、 $x\in C^{n}$ に対して、$x^{*}[ \frac{d}{dt}f(H(t))]x$$=x^{*}U(t)[I\mathrm{f}_{f}(\{\lambda_{i}(t)\})_{0}[U^{*}(t)H’(t)U(t)]]U^{*}(t)x$$=[U^{*}(t)x]*[I1^{r_{J}}(\lambda_{i}(t))0\{U^{*}(t)[A - B]U(t)\}U*(t)x]$となるから、 $A\geq B$ なら間値の定理から、 ある$I\mathrm{f}_{f}(\{\lambda_{\mathrm{i}}.(t)\})\geq 0$$0\leq c\leq 1$のとき、 $\frac{d}{dt}f(H(t))\geq 0$ がいえる。 さらに、 中で$x^{*}f(A)x-x^{*}f(B)x=x^{*}[_{\frac{d}{dl}f((H(}t))|t=c]x$

より、 $f(A)\geq f(B)$ がいえる。

[例 3] Lyapunov equation への応用
$A\in M_{n}$が与えられているとき、 $H\in M_{n}$ に対して

$cA+A^{*}G=H$$(^{*})$

なる方程式を考える。
$(*)$

がただ 1

っの解をもっための必要十分条件は、 $A$ の固有値の集合$\lambda(A)=\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\}$が$\overline{\lambda}_{i}+\lambda_{j}\neq 0(i\neq j)$

さらに、 $A$ が対角化可能なとき$S^{*}GS=L(A)\circ S^{*}HS$を満たすことである。

$(A=Sdiag(\lambda(A))s-1)_{\text{、}}$(ただし、 $L(A)$ は

その解は$L(A)=[. \frac{1}{\lambda_{*}^{-}+\lambda_{j}}]$なるCauchy matrix) とシ $i\mathrm{I}-7$ 積を用いて表される。

これら以外に$\backslash \nearrow_{\mathrm{L}}-\backslash 7$

ステム工学における積に関する応用としては、 統計学におけるcovariance matrix, シ

relative gain array などがあるが、 $[11],$ $[14]$ を参照されたい。

3. Schur の結果
シ$=-7$ 積に関する代数的、 解析的な性質の組織的な研究を最初に行ったのは、 I.Schurであろう。 Schur(1911) は次のことを示している。
$[\text{定理} 1]$$B(\in M_{n})\geq 0$

ならば$(\beta)A,$ $B(\in M_{n})\geq 0$ならば$(_{\alpha})A,$$A\mathrm{o}B\geq 0$$\min_{1\leq i\leq n}\alpha_{i}i\lambda_{\min}(B)\leq\lambda_{\min}$(A$\mathrm{o}B$

)

である。

$\leq\lambda_{\max}$(A$\mathrm{o}B$)$\leq 1\leq i\leq n\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}a_{ii}\lambda_{\max}(B)$60$(\gamma)A=[a_{i^{j}}],$ $B\geq 0$$(\delta)A,$ $B\in M_{n}$ならば、 $||A \circ B||\infty\leq\max_{i}a_{ii}\cdot||B||_{\infty}$$A=X^{*}Y(X, Y\in M_{rn})$ ならば、で$||A\mathrm{o}B||_{\infty}\leq c1(X)c_{1}(Y)||B||_{\infty}$を満たす。 ($(\epsilon)A,$$B\in M_{n}$$A,$ $B\in M_{n}$$f_{}^{arrow}r_{^{\backslash }}\sim\backslash$

し、 $c_{1}(X)$ は、 $X$ の列べク$\text{トルの最大の長さ}$に対して、 $||A\circ B||\infty\leq||A||_{\infty}||B||_{\infty}$

に対して、 $A\otimes B$ で $A$ と B のテンソル積、表すことにする。 このとき、$(\alpha)$$(A\otimes B)^{*}=A^{*}\otimes B^{*}=A\otimes B$$\{1, n+2, \cdots, n^{2}\}$)$\lambda(A)$で$A$の固有値全体の集合をについては、 $\lambda(A\otimes B)=\{\lambda\mu|\lambda\in\lambda(A), \mu\in\lambda(B)\}$ とから$A\otimes B\geq 0$となることが分かり、$A\mathrm{o}B$は$A\otimes B$の行、 列の主部分行列であることから示される。

残りの内容はほとんどこの$(\alpha)$を用いて示すことが出来る。 例えば、 $\lambda_{\min}(B)$ で$\lambda(B)$の最小値を表すとするとき、$A\circ B=A\mathrm{o}(B-\lambda_{\min}(B)I)+\lambda_{\min}(B)(A\circ I)$$\geq\lambda_{\min}(B)(A\mathrm{o}I)$から、 $\lambda_{\min}(A\circ B)\geq(mina_{ii})\lambda_{\min}(B)$ が導かれる。

4. Johnson and Bapat$A\in M_{n}$... ,$\lambda_{n}(A)$$\text{の}$予測についてをエルミート行列として、 その固有値を大きい方から並べたのを$\lambda_{1}(A),$$\lambda_{2}(A)$,とする。 ここでは、 これらの固有値の積に関する不等式について述べよう。 まず、 Oppenhaim(1930) によって次の不等式が示された。
$[\text{定理} 2]A,$ $B=[b_{ij}](\in M_{n})\geq 0$

このことと、

ならば、 $\det A\prod_{i=1}^{n}b_{ii}\leq\det(A\mathrm{o}B)$

Hadamard によって示された次の不等式$0\leq A=[a_{i^{j}}]\in M_{n}$に対して$detA\leq a_{11}a_{2}2\ldots a_{nn}$が成り立つことから、$\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}(AB)=det(AB)=detA\cdot detB\leq detA\prod_{i}^{n}=1b_{i}i\leq det(A\mathrm{o}B)=\prod^{n}i=1\lambda i(A\circ B)$いえる。 また、 別な証明によって左辺の $B$ を$[\text{定理}3]A,$ $B(\in M_{n})\geq 0$のとき、$B^{t}f^{arrow}\llcorner$

かえて、

が

61

$\prod_{i=1}^{n}\lambda_{i(}AB)\leq\square i=1n\lambda i(A\mathrm{o}B)$$n$れ$\prod_{i=1}\lambda_{i}(ABt)\leq\prod\lambda i(Ai=1\circ B)$が示される。
–

方、 $0\leq A,$ $B\in M_{n}$ に対して$\lambda(AB)\in[\lambda\min(A), \lambda\max(A)][\lambda\min(B), \lambda\max(B)]$がいえるから、$\lambda_{\min}$$(AB)\geq\lambda_{\min}(A)\lambda_{\min}(B)$が成り立ち、 さらに$\lambda(A\otimes B)=\{\lambda\mu|\lambda\in\lambda(A), \mu\in\lambda(B)\}$がいえることから、$\lambda_{\min}(A\circ B)\geq\lambda_{\min}(A)\lambda_{\min}(B)$が成り立つ。 $A,$ $B\geq 0$ のとき$\lambda_{\min}$(AB) と$\lambda_{\min}(A\circ B)$の関係として、 Fiedler $(1983)\text{、}$Johnson and Elsner(1987) によって、 次のことが示された。
$[\text{定理}4]A,$ $B(\in M_{n})\geq 0$

(a)
(b)

のとき、

$\lambda_{\min}(A\circ B)\geq\lambda_{\min}(AB^{i})$$\lambda_{\min}(A\circ B)\geq,$$\lambda_{\min}$(AB)

定理 3 と定理 4 を合わせて考えることにより、[Johnson and Bapat a conjecture(1988)]$X\in M_{n}$をエルミート行列として、 $\lambda_{1}(X)\geq\lambda_{2}(X)\geq\cdots\geq\lambda_{n}(X)$ とするとき、$(AB) \leq ki=\prod\lambda 1kn-i+1$$i=1\square \lambda_{n-i1}+$(A$\mathrm{o}B$) $(k=1,2, \cdots, n)$が与えられた。 これに対して、 Ando, Visick が独立に肯定的に解決した
この証明でAndo は、 $0<A,$ $B\in M_{n}$ に対して、$\log(A\mathrm{o}B)\geq(\log A+\log B)\mathrm{o}I$$(\text{共に}1994)$ 。

62と$\sum_{i=k}^{n}\lambda i(\mathrm{l}\circ \mathrm{g}A+\log B)\geq\sum\lambda_{i}(\log A^{1/}2BA1/2)(k=1,2i=kn, \cdots , n)$が成り立つというこのこと自体も興味のある結果を用いている。 さらに、 この証明方法を利
用して、
$k$

$k$

$\prod_{i=1}\lambda n-i+1(ABt)\leq\prod_{i=1}\lambda n-i+1$(A$\mathrm{o}B$) $(k=1,2, \cdots, n)$という結果も示した。

5. Marcus, Kidman and Sandy

conjecture について
[Marcus, Kidman and Sanday conjecture (1984)]
を上の unitarilly invariant norm とするとき、$\text{の}$$\text{の}$$M_{n}$$||\cdot||$$||A\mathrm{o}B||\leq||A||||B||(A, B\in Mn)$.

majorization で肯定的に解決された。 即ち、をdecreasing order の特異値 (はの eigenvalue で、...
とするとき、 Horn and Johnson
Bapat (1987)
Zhang (1988) によって[定理 5] $B\in M_{n}$ に対して、
これは、 次の特異値に関する$\{\sigma_{i}(A)\}$$\mathrm{i}.\mathrm{e}.$$\sigma_{2}(A)\geq$$\sigma_{i}(A)$$(A^{*}A)^{1/2}$$\geq\sigma_{n}(A))$$\sigma_{1}(A)\geq$$(1987)\text{、}$$\text{、}$$\mathrm{O}\mathrm{k}\mathrm{u}\mathrm{b}\mathrm{o}(1987)\text{、}$$A,$$\sum_{i=1}^{k}\sigma_{i}$が示された。 より–

般的に$[\text{定理}6]A,$$B.,\in M_{n_{k}}$で$\sum_{i=1}\sigma_{i}$が成り立$\vee\supset$($\text{た}r_{}^{\wedge^{\backslash }}\backslash$(A$\mathrm{o}B$) $\leq\sum^{k}\sigma i(A)\sigma_{i}(B)i=1(k=1,2, \cdot’\cdot, n)$Ando, Horn and Johnson(1987) により、

$A=X^{*}Y(.X, Y\in M_{rn}.)k$ ならば(A$\mathrm{o}B$) $\leq\sum_{=i1}C_{i}(X)_{C(Y}i)\sigma_{i}(B)(k=1,2, \cdots, n)$

し、 $\{c_{i}(X)\}$ は$X\text{の}$decreasing order の列$\mathrm{A}$ク$\text{トルの長_{さ}}$)。

が示された。
このことから、 $\{r_{i}(X)\}$ は$X^{\text{の}}$ことがいえる。
$1\text{定理}7]A,$ $B\in M_{n}$に対して、decreasing order の行ベク トルの長さとするとき、 次の63$\sum_{i=1}^{k}\sigma_{i}$

]

[Open

$(A \circ B)\leq\sum_{=i1}^{k}$$0\leq\alpha\leq 1,$$\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}_{k}$[ci $(A)ri(A)$ ] $1/2(\sigma iB)(k=1,2, \cdots, n)$$A,$$B\in M_{n}k-$に対して、$\sum_{i=1}\sigma_{i}(A\circ B)\leq\sum_{i=1}C_{i}(A)^{\alpha}ri(A)^{1\alpha}-\sigma_{i}(B)(k=1,2, \cdots, n)$6.

積作用素ノルム$\backslash \nearrow Z^{-7}$

シ $\mathrm{L}^{-7}$定理

積の作用素ノルムについて述べよう。

6 のことより、 $A\in M_{n}$ に対して、 $A=X^{*}Y$ とするとき、$||S_{A}||_{\infty}\leq C1(X)c_{1}(Y)$であることがわかる。 このことに関連することとして、Haagerup $(1986)$ により

作用素$S_{A}$

は$(M_{n}, ||\cdot||_{\infty})$bounded norm が上の$||S_{A}||_{\infty}$$\backslash \grave{\nearrow}=-7$

積

completely bounded map であって、 その completelyであり、 かつ、$||S_{A}||_{\infty}= \min\{c_{1}(S)_{C_{1}}(R)|S^{*}R=A\}$

で与えられることが示された。 さらに$[\text{定理} 8]$$A=(a_{ij})\in M_{n}$(1)$||S_{A}||_{\infty\leq}1$

(2)

$A$

$||S_{(\cdot)}||\infty$の特徴付けとして次の定理を示した。

に対して次は互いに同値である。

$C^{*}C\circ I\leq I$
は $A=B^{*}C$ と表示できる。ただし、 $B,$ $C\in M_{n}$ は $B^{*}B\circ I\leq I$ で、である。

(3) $a_{i^{j}}=\langle x_{j}|y_{i}\rangle(i, j=1,2\cdots, n)$ と表示できる。 ただし、$||x_{i}||\leq 1,$ $||y_{i}||\leq 1$を満たす $(i.=1, \cdot\cdot\iota, n)$$x_{i},$$y_{i}\in Cn$

は

。

(4)

$\geq 0$を満たし、. かっ$R_{1}\circ I\leq I,$ $R_{2}\mathrm{o}I\leq I$となる$(0\leq)R_{1},$ $R_{2}\in M_{n}$が存在する。

Ando と Okubo(1991) は数域半径に関するシューア積作用素ノルムについて Haagerup型の特徴付けを行い、 その結果として Haagerup による 定理 7 の特徴付けが導かれることを示した。

64$[\text{定理} 9]$$A=(a_{ij})\in M_{n}$(1)$||S_{A}||_{w}\leq 1$

(2)

$A$

は $A=B^{*}WB$$||W||_{\infty}\leq 1$(3)に対して次は互いに同値である。

と表示できる。 ただし、 $B,$ $W\in M_{n}$ は $B^{*}B\mathrm{o}I\leq I$ で、である。

$a_{ij}=\langle Wx_{j}|x_{i}\rangle(i, j=1,2\cdots, n)$$||W||_{\infty}\leq 1$, かっ、$x_{i}\in C^{n}[]\mathrm{h}||x_{i}||\leq 1$と表示できる。 ただし、 $W\in M_{n}$ は

を満たす。

(4)

$\geq 0,$$0\leq R\in M_{n}$を満たす$R\circ.I\leq I$が存在する。

また、 スペク トラルノルムによるシューア積作用素ノルムは、 数域半径によるのを使って次のように表される。

[定理 10] $\mathrm{A}=$ とすると、
この結果と定理
さらに、 定理$||S_{A}||_{\infty}=||S_{\mathrm{A}}||W$$(A\in M_{n})$となる。

9 から Haagerup の定理 8 の (1) から (4) を導くことができる。

9 からは次のことがいえる。

[定理 11]$||S_{A}||\infty\leq||sA||_{w}\leq 2||S_{A}||\infty$$(A\in M_{n})$.

[定理 12]$||S_{A}||_{w}\leq||A||_{\infty}$$[\text{定理}13]A$$A$$(A\in M_{n})$.

がエルミ一.\vdash 行列、 またはユニタリ行列のとき、が正規行列のときに$A=$$||S_{A}||_{\infty}=||S_{A}||_{w}$

とすると

$A$

$||S_{A}||_{\infty}=||S_{A}||_{w}$である。

は $-$ 般的に成り立たないことが次の例からわかる。

は正規である。

C.Cowen らの結果 [9] を用いると、$||S_{A}||_{\infty}=\sqrt{10}$となることがわかる。

また、 $w(\mathrm{I}^{--1f}arrow^{\backslash }$ から $||S_{A}||_{w}\geq w(A\circ.)\geq 1+\sqrt{5}\geq\sqrt{10}$ となる。

また、

R.Mathias によって、$||S_{A}||_{\infty}$の次の下からの評価が与えられた。

65$[\text{定}\dot{\text{理}}14]A\in M_{n}$に対して、$\frac{1}{n}||A||_{1}\leq||SA||_{\infty}$

ただし、 $||A||_{1}$ はtrace norm とする。

さらに、 この不等式で等号が成り立つ条件は、 $|A| \circ I=|A^{*}|\circ I=\frac{1}{n}(\mathrm{t}\mathrm{r}|A|)I$ である。

7.

$||S_{A}||_{\infty}=||S_{A}||W$が成り立つ条件についてMathias は I$C=(_{Z}^{0}00$$01.0^{\cdot}$$00011$$..01..\cdot.\cdot$.

$=1.\text{として}$$0.\cdot$.
$z- \mathrm{C}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}_{\text{、}}A=\sum_{i=}^{l}1\alpha_{i}$

C

となる

$A$

とするときに、 この行列を

を

–

$.$

般化された

$z- \mathrm{C}\mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$と呼んだ。 このとき、 次が示される。
$[\text{定理}15]A$

が

–

般化された

$z- \mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}(|z|=1)$のとき、$||S_{A}||_{\infty}=||s_{A}||A||_{1}$が成り立つ。
$[\text{定理} 16]\mathrm{A}=(A, 0\in M_{n})$ とすると、$||S_{\mathrm{A}}||_{\infty}=||S_{\mathrm{A}}||W$となる。

一般的に シューア積作用素ノルムを計算することは難しい。 ここでは特別な行列についての計算を行う。

を全ての成分が 1 の行列、 $S=[sgn(i-i)\mathrm{I}\in M_{n},$ $T=S+I$ とする。 このとき、$J\in M_{n}$$J-I,$

$S,$

$T$

は

–

般化された

$\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}|\cot(2j-1)\pi/2n|,$$\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{C}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{t}$行列だから、 $||S_{J-I}||\infty=2(n-1)/n,$ $||Ss^{||_{\infty}}=$$||S_{T}||_{\infty}= \frac{1}{n}\sum^{n}j=1|\csc(2\mathrm{j}-1)\pi/2n|$となることが証明できる。

( $J-I$ のノルムについては Bhatia, Choi and Davis (1989) によって示されている。 )さらに、 $R_{n}=[r_{ij}]\in M_{n}$ を truncation matrix (i.e. $r_{ij}=1(i\leq j),$ $=0(i>j)$ ) とす
るとき、$\frac{n+1}{2n}\sum_{j=1}^{n}|\csc(2j-1)\pi/2n|\leq||S_{R}||_{\infty\leq}\frac{\Sigma_{j=1}^{n}|\csc(2j-1)\pi/2n|+1}{2}$が示される。 また、 このことから、$n arrow\infty 1\mathrm{i}\ln\frac{||S_{A_{r}}.||_{\infty}}{\log n}=\lim_{narrow\infty}\frac{||S_{A_{n}}||_{w}}{\log n}=\frac{1}{\pi}$66がわかる。 このことは、Mathaias [21], Angelos, Cowen and Narayan [6] によって示された。
なお、 $n=2$ のときは、$||S_{A_{2}}|| \infty=||S_{A_{2}}||_{W}=\frac{2}{\sqrt{3}}$となることが計算できる。 さらに、 $n=2$ のとき、 $A$。

$=$ for any$z\in C$ とする

とき、 $||S_{A_{z}}||_{w}=||S_{A_{z}}||_{\infty}$ である。 特に、 $z=a\in R$ のときには、$||S_{A_{a}}||_{\infty}=$が計算できる。

8. テンソル積と$.\sqrt[\backslash ]{}\mathrm{p}-7$積作用素ノルム

行列のテンソル積に関しては(A$A,$ $B\in M_{m},$$\mathrm{o}B$$C,$ $D\in M_{n}$に対して) $\otimes(C\mathrm{o}D)=(A\otimes C)\circ(B\otimes D)$が成り立ち、 また、 次の不等式がいえることは容易にわかる。
$w(A)w(B)\leq w(A\otimes B)\leq||A||\infty w(B)$

このことから次の定理がいえる。
$[\text{定理}17]A\in M_{m}$と$B\in M_{n}$に対して、$||S_{A\otimes B}||_{\infty}=||s_{A}||\infty||s_{B}||_{\infty}$と$||S_{AB}\otimes||_{w}\leq||s_{A}||w||s_{B}||_{w}$.

が成り立つ。かっ、ユニタリ行列 $X$ が存在して $||S_{A}||_{w}=w(A\circ X)$ (or $||S_{B}||W=w(B\mathrm{o}X)$ ),を満たすならば$||S_{AB}\otimes||_{w}=||s_{A}||w||s_{B}||_{w}$が成り立つ。

67$[\text{系}18]A$

またはがエルミート、 または、 ユニタリ行列ならば$B$$||s_{A\otimes B}||w=||S_{A}||w||SB||_{w}$となる。 特に、 $||S_{J_{k}\otimes A}||_{w}=||S_{A}||_{W}$ が成り立つ。

$||S_{A\otimes}B||w$の下からの評価は次で与えられる。

$[\text{定理} 19]A\in M_{m},$$B-\in M_{n}$に対し、$||s_{A\otimes B}||w \geq\frac{1}{2}||S_{A}||w||SB||_{w}$$\text{が成り立_{つ_{。}}}$.

また、 定数$\frac{1}{2}$.

は最良である。

REFERENCES
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Hadamard prodttct, Linear Algebra Appl. 26 (1979), 203-241.
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