数理解析研究所講究録907 巻 1995 年 67-8167複素射影空間内の極小$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体の退化次数について

金沢大学大学院自然科学研究科・後藤亨 (TOHRU GOTOH)

Riemann 多様体の極小部分多様体の退化次数とは, 直感的に言えば, その極小部分\S 1.

多様体の体積を変えないような (法) 変分の自由度である. より正確には次の様に定義される.

$M$

を Riemann 多様体$\tilde{M}$のコンパクト極小部分多様体とする.

の $c\infty$ -sections の空間 $\Gamma(NM)$に作用する三つの作用素$\Delta^{NM},$$M$$\mathcal{R}_{M}$の法バンドル $NM$

および $A_{M}$ を次の様に定義する:$\triangle^{NM}V=\sum(\nabla_{\mathrm{e}_{j}}NM\nabla N\mathrm{e}_{j}\nabla_{\epsilon_{j}j}^{M}MV-\nabla^{N}MV)e$$\mathcal{R}_{M}V=\sum(R^{\overline{M}}(e_{j}, V)e_{j)}NM$$A_{M}V= \sum B(A^{V}ej, e_{j})$

ここで,
$M$

$\nabla^{NM}$のフレイム,’,.

は血の Riemann 接続から誘導される $NM$ の接続 $V\in\Gamma(NM)$$R^{\tilde{M}}$は$\tilde{M}$の曲率テンソル,$B$

は第 2 基本形式,$A^{V}$.

$\{e_{j}\}$はは $V$ 方向のシェイプ作用素である. これらの作用素を使って Jacobi 作用素と呼ばれる楕円型微分作用素$\mathrm{J}_{M}^{\sim}$を$\mathrm{J}_{M}^{\sim}=-\triangle^{NM}+\mathcal{R}_{M}-A_{M}$と定義すれば,$V\in\Gamma(NM)$を変分ベクトル場とする $M=M_{0}$ の変分

分公式$\frac{d^{2}\mathrm{V}\mathrm{o}1(M_{t})}{dt^{2}}|_{t=0}=\int_{M}\langle_{\tilde{\mathrm{J}}_{M}V}, V\rangle dv$$M_{t}$

に対して第 2 変68が成り立つ. 楕円型作用素の–般論により Jacobi 作用素の各固有空間の次元は有限である.
極小部分多様体 $M$ の退化次数は, Jacobi 作用素の 0- 固有空間の次元, 即ちnul$(M)=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{J}_{M}\wedge$と定義される. また, Jacobi 作用素の負の固有値に対応する固有空間の次元の和を $M$ の指数という.
本稿の目的は,$\tilde{M}$が複素射影空間$\mathrm{C}P^{n}$のときにその極小部分多様体の退化次数を調べることである. 具体的には, 退化次数最小の極小部分多様体を決定するという問題を扱いた
いが, まず次の節で,\S 2.

$\tilde{M},$

を表す.

$M$

Simons による退化次数を–般的に評価する方法を説明しよう.

等は \S 1 と同じとする.

$\mathrm{f}(\tilde{M})$で$\tilde{M}$$\mathrm{f}(\tilde{M})NM=\{Z^{NM}\in\Gamma(NM)|Z\in \mathrm{f}(\tilde{M})\}$の Kilhng ベクトル場全体の作る Lie 環

とおく. ここで,$Z^{NM}$は $M$ 上での $Z$の法成分を表す. すると, 次が成り立つ:

THEOREM 2.1 (J.SIMONS).
そこで,$\mathrm{f}(\tilde{M})^{NM}\subset \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{J}_{M}^{\sim}\cdot\square$

nul $K(M)=\dim \mathrm{t}(\tilde{M})^{NM}$ を $M$ の Killing 退化次数と呼んだ. Simons は$\tilde{M}$が球面のとき, その極小部分多様体の Kiling 退化次数を評価した. 彼の方法は–般的には次の様にいうことができる.
$M$の点, 例えば$x$を任意に固定し, 線形写像$\Phi_{x}$:$\mathrm{t}(\tilde{M})^{NM}arrow N_{x}M\oplus \mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}}(T_{x}M, N_{x}M)$を$\Phi_{x}(Z^{N}M)=(Z_{x}^{N}M, (\nabla NMZ^{N}M)_{x})$と定義する. 従って,$\mathrm{n}\mathrm{u}1_{K}(.M)\geq\dim{\rm Im}\Phi_{x}$が成り立つ.

$M$の点

Theorem 2.1 と併せて, 結局 $M$ の退化次数は
(2.2)

nu1

$(M) \geq \mathrm{n}\mathrm{u}1_{K}(M)\geq\max_{x\in M}(\dim{\rm Im}\Phi_{x})$$x$は任意であったので,

69と評価される.
ここで,$\dim{\rm Im}\Phi_{x}$

が点

$x$

に依存しなければ都合がよい. そのための十分条件として次がある:

M の任意の 2 点 $x,$

PROPOSITION 23$f_{*}(T_{x}M)=\tau_{y}M$

PROOF: $x,$

$y$

$y$

を満たすものが存在すれば,に対して,$\dim{\rm Im}\Phi_{x}$$\tilde{M}$の等長変換 $f$ で $f(x)=y$ ,

の値は

$x$

に依存しない.

および $f$ は主張にあるものとする. すると, 写像$F:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\tau_{x}M, N_{x}M)arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T_{y}M, N_{y}M)$を$F(\omega)=f_{*^{\mathrm{O}\omega\circ}}f^{-}*1$,$\omega\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T_{x}M, N_{x}M)$と定義できる.

このとき,図式$\mathrm{f}(\tilde{M})^{NM}rightarrow\Phi_{l}N_{x}M\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\tau_{x}M, N_{x}M)$$\downarrow(f_{*\mathrm{I}}NxM)\oplus F$$f_{*}\downarrow$$\mathrm{f}(\tilde{M})^{NM}rightarrow\Phi_{y}N_{y}M\oplus \mathrm{H}_{0}\mathrm{m}(T_{y}M, N_{y}M)$の可換性を示すことができる. この図式で縦方向の写像はいずれも線形同型なので,$=\dim{\rm Im}\Phi_{y}$$\dim{\rm Im}\Phi_{x}$となる. 1

この Proposition の条件はかなり厳しいと思われるが,射影空間の極小$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\tilde{M}$が球面の場合や後で扱う複素部分多様体の場合には満たされている (Proposition 4.2).

例を挙げよう.

EXAMPLE 2.4( .SIMONS).
$\mathrm{J}$$\tilde{M}=S^{n}$. この場合$\Phi_{x}$は全射である. 従って,$\dim M=m$とすればnu1 $(M)\geq\dim(N_{x}M\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(T_{x}M,N_{x}M))=(m+1)(n-m)$ .
EXAMPLE 2.5( .GOTOH).
$\mathrm{T}$$\tilde{M}=\mathrm{C}P^{n}$

で $M$ が実超曲面.

従って, 上と同様

nul $(M)\geq 2n=\dim M+1$ .

この場合も$\Phi_{x}$は全射である.

70

EXAMPLE 2.6( .KIMURA).

$\tilde{M}=\mathrm{C}P^{n}$$\mathrm{Y}$ではない.

で $M$ が複素部分多様体.

${\rm Im}\Phi_{xx}=NM\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{c}(\tau xM, N_{x}M)$nu1となる. 従って,

この場合は$\dim_{\mathrm{C}}$$\Phi_{x}$は全射$M=m$ とすれば,$(M)\geq\dim_{\mathrm{R}}(N_{x}M\oplus \mathrm{H}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{C}}}(\tau_{x}M, N_{x}M))=2(m+1)(n-m)$.

ここに挙げた 3 つの例で得られた評価は, 考えている極小部分多様体のクラスではどれもシャープなものであり,

さらに等号を実現する $M$ も決定されている. 即ち, 等号成立は,Example 24 では,$M=S^{m}$ (全測地的)

Example 25 では,$M=M_{0,n-}^{\mathrm{C}}1$に限る,(極小測地球) に限る,

Example 26 では, M=CPm(全測地的) に限る,
となる.

\S 3.
写像

$M=M_{0,n-}^{\mathrm{C}}1$

についてはこの後,\S 2 で述べた方法は,$\Phi_{x}$\S 5 でも触れる.

が対称空間のときうまく適用できる. それはこのとき, 線形$\tilde{M}$を Lie 環の言葉で表せるからである.

対称空間$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\tilde{\mathrm{m}}$$\tilde{M}$が Lie 群 $G$ とその閉部分群 $H$ によりを標準分解とする.

$Z\in \mathfrak{g}$で生成される$Z_{x}^{*}= \frac{d(\exp tZ)x}{dt}|_{t=0}$

すると,$\tilde{M}$の原点$\mathit{0}=H$

において$\tilde{M}$(3.1)$Z\in\tilde{\mathrm{m}}$$\Rightarrow$(3.2)$Z\in \mathfrak{h}$$\Rightarrow$

ここで,

さて,

写像

$\Psi_{1}$$T_{o}\tilde{M}$$M$:$\tilde{M}$,$\tilde{M}=G/H$と表されているとし,の (Killing) ベクトル場を $z*$ で表す:

$x\in\tilde{M}$.

の共変微分は次のように計算される.

$(\nabla^{\overline{M}}Z^{*})_{\mathit{0}}=0$,$(\nabla^{\tilde{M}}z*)o\mathrm{a}\mathrm{d}=(Z)$.

と而を自然に同–視している.

は原点$\mathit{0}$$\mathfrak{g}arrow \mathrm{m}^{\perp}$を含んでいるとしてよく,と$\Psi_{2}$$\Psi_{1}(Z)=Z^{\perp}$:,$T_{o}M\subset$$\mathfrak{g}arrow \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}, \mathrm{m})\perp$

命とみて $\mathrm{m}=\tau_{o}M$ とおく. 線形を$\Psi_{2}(Z)(X)=(\mathrm{a}\mathrm{d}(z^{;})X)\perp-B(X, z/’)$71と定義する.
$Z”$

とは,

ここで,

それぞれ

の分解

$\mathfrak{g}$ことである. また,における$\tilde{\mathrm{m}}$$\mathrm{m}$の直交補空間を$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\mathrm{m}+\mathrm{m}^{\perp}$

は,$B:\mathrm{m}\mathrm{x}\mathrm{m}arrow \mathfrak{m}^{\perp}$

対応する写像である. さらに,垣:$\mathrm{m}^{\perp}$と表し,に関する $Z$ の$\mathrm{m}^{\perp}$$Z\in \mathfrak{g}$に対して$Z^{\perp}$

.

$Z’$

,

-成分, h-成分, m-成分の同–視 $\mathrm{m}=T_{O}M$ により $M$ の第 2 基本形式に$\mathfrak{g}arrow \mathrm{f}(\tilde{M})^{NM}$を $\mathrm{I}\mathrm{I}(Z)=Z*NM$ と定義すれば, (3.1) および (3.2) より図式$\underline{\Psi=\Psi_{1}\oplus\Psi_{2}}$$\mathrm{m}^{\perp}\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}, \mathrm{m}^{\perp})$$\mathfrak{g}$(3.3)$\downarrow\underline{\simeq}$$\Pi\downarrow$$N_{o}M\oplus \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\tau_{O}M, N_{o}M)$$.\mathrm{t}(\tilde{M}.)^{NM}$$arrow\Phi_{\sigma}$.

は可換である. 従って, II は全射であるから, 適当な同–視のもとに${\rm Im}\Phi_{o}.=-{\rm Im}\Psi$が成り立つ. 故に, (2.2) から退化次数は

nu1

(3.4)

$(M)\geq \mathrm{n}\mathrm{u}1_{K}(M)\geq\dim{\rm Im}\Psi$と評価される. そこで, この右辺を調べる.

THEOREM 35.

$M$を対称空間 $\tilde{M}^{-}=G/H$ のコンパクト極小部分多様体とする.

き, 上の記号を使うと${\rm Im}\Psi=\mathrm{m}^{\perp\perp}\oplus{\rm Im}\Psi_{2}|(\mathfrak{h}+\mathrm{m})\supset \mathrm{m}\oplus{\rm Im}\Psi_{2}|\mathfrak{h}$が成り立つ.

とくに,$M$の退化次数はnulと評価される.

$(M)\geq \mathrm{c}\mathrm{o}\dim(M)+\dim{\rm Im}\Psi_{2}|\mathfrak{y}$

このと

72

PROOF:$\Psi_{1},$の定義より$\Psi_{2}$$\Psi_{1}(\mathfrak{h})=0,$$\Psi_{2}(\mathrm{m})=0,$$\Psi 1(\tilde{\mathrm{m}})=\mathrm{m}^{\perp}$$\Psi_{2}(Z)(x)=-B(X, Z),$ $X\in \mathrm{m},$$\Psi_{2}(Z)(X)=(\mathrm{a}\mathrm{d}(Z)(X))^{\perp},$

がわかる.

\S 4.
まず,

$Z\in \mathfrak{h}$.

部分多様体に対して適用する.

$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体の定義を述べておこう.

を Hermite 多様体, $M$ をその (複素とは限らない) 部分多様体とする.

$(\tilde{M}, J)$

れるとき,

$M$

は

$\tilde{M}$の$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体と呼ばれる:(1)$\dim_{\mathrm{R}}(T_{x}M)_{H}$(2)

分布 $M\ni x\mapsto(T_{x}M)_{H}$ は滑らか.

(3)$J(T_{x}M)R\subset N_{x}M$は $x\in M$ に依存しない.

.

例えば, 複素部分多様体や全実部分多様体のクラスはある. 以下, 複素射影空間

その極小

LEMMA 4.1.
$V=V_{H}+V_{R}$$(T_{x}M)_{H}=$とおき, その $T_{x}M$ での直交補空間を $(T_{x}M)_{R}$ とかく. 次の条件が満たさ$T_{x}M\mathrm{n}J(TxM)$$V$$\mathrm{C}\mathrm{R}$$\mathrm{C}P^{n}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体の典型的なものでには正則断面曲率 4 の Fubini-Study 計量が与えられてい部分多様体 $M$ について考える. 次の補題は線形代数である:を複素 Euclide 空間

を直交分解とし,

ける $V$ の直交補空間とする.

$\mathrm{C}^{n}$の実線形部分空間とし,$h=\dim_{\mathrm{C}}V_{H},$

このとき,$r=\dim_{\mathrm{R}}V_{R}$$J(V_{R})\subset V^{\perp}$$V_{H}=V\cap JV$とする. また,$V^{\perp}$

ここで,

,

$e_{j}=(0, \ldots,\check{1}’-^{j}n\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{m}0,\ldots, 0\mathrm{e}\mathrm{S}),$$u(V_{R})=\mathrm{R}e_{h+1}\oplus\cdots\oplus \mathrm{R}e_{h+r}$$j=1,$$\ldots,$をとおく.
$\mathrm{C}^{n}$におを仮定すれば, 適当なユニタリ行列

により,$u(V_{H})=\mathrm{c}e_{1}\oplus\cdots\oplus \mathrm{C}e_{h}$

とできる.

,

これから主張は直ちに従う. I$\mathrm{C}\mathrm{R}$$u\in U(n)$$Z\in\tilde{\mathrm{m}}$$X\in \mathrm{m},$

この節では, 前節の結果を複素射影空間の極小

るとし,

,

$n$

. 口

,

73

さて, $\mathrm{C}P^{n}=U(n+1)/U(1)\mathrm{x}U(n)=G/H$ と表す.

この場合, 標準分解$\mathfrak{g}=\mathfrak{h}+\tilde{\mathrm{m}}$は $\tilde{\mathrm{m}}=\{\in \mathrm{u}(n+1)|\zeta\in \mathrm{c}^{n}\}$ で与えられるが, 行列視することにより$\tilde{\mathrm{m}}=\mathrm{C}^{n}$$U(1)\mathrm{x}U(n)arrow GL(\mathrm{c}^{n}),$$M$を$\mathrm{C}P^{n}$の$\dim(T_{x}M)_{R}=r$

視により$uarrow u_{*}$

は

$u=$

$\mathit{0}$における線形イソトロピ一表現

に対し$u_{*}(\zeta)=\overline{\lambda}F\zeta$

次元コンパク ト極小 CR 部分多様体とし,

$m$

とする.

$M$

$T_{o}M=\mathrm{m}\subset\tilde{\mathrm{m}}=\mathrm{C}^{n}$

(4.2)

は

$\mathrm{C}P^{n}$

の原点

とみると,

$\mathit{0}$で与えられる.

dimc $(T_{x}M)_{H}=h$ ,を含んでいるとしてよい. すると, 同–

Lemma 4.1 により$\mathrm{m}=\mathrm{C}e_{1}\oplus\cdots\oplus \mathrm{C}e_{h}\oplus \mathrm{R}e_{h+1}\oplus\cdots\oplus \mathrm{R}e_{h+r}$

Proposition 22 より次が従う:と仮定してよい. 従って,

PROPOSITION 4.3.
$x\in M$と考える. すると, 原点$M$に依存しない

そこで,

この場合に

$={\rm Im}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)$が$\mathrm{C}P^{n}$のコンパクト極小 $CR$ 部分多様体ならば,$\dim{\rm Im}\Phi_{x}$口${\rm Im}\Psi_{2}|\mathfrak{h}$となるから,の次元を計算する.

${\rm Im}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)$$\mathfrak{h}=\mathrm{R}\sqrt{-1}\oplus \mathrm{u}(n)$であるが,${\rm Im}\Psi_{2}|\mathfrak{h}$の次元を計算すればよい.

LEMMA 44.
$\dim{\rm Im}\Psi 2|\mathfrak{y}=\dim{\rm Im}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)$$=-4h^{2}+(4m-2n-1)h- \frac{3m^{2}-4mn-m}{2}$ .

PROOF:$F\in \mathrm{u}(n)$に対し$\Psi_{2}(F)=0\Leftrightarrow\langle F(\mathrm{m}), \mathrm{m}^{\perp}\rangle=0$

であるから

(4.5)

は

$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)=\{$$S\in \mathrm{u}(h),$$T\in \mathrm{u}(n-h-r),$ $W\in \mathrm{o}(r)\}$74となる. 故に,$\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)=\dim \mathrm{u}(h)+\dim \mathrm{o}(r)+\dim \mathrm{u}(n-h-\Gamma)$$=4h^{2}+(2n-4m+1)h+ \frac{3m^{2}-4mn-m+2n2}{2}$ .

従って,$\dim{\rm Im}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)=\dim \mathrm{u}(n)-\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)$$=-4h^{2}+(4m-2n-1)h- \frac{3m^{2}-4mn-m}{2}$ . I

Theorem 3.1 と (4.3) より次を得る:
THEOREM 4.5.

$M$を$\mathrm{C}P^{n}$の $m$ 次元コンパクト極小 $CR$ 部分多様体とし,分バンドル $(TM)_{H}$ の複素階数を

nu1

$h$

とすれば,

$M$

の退化次数は次の不等式を満たす:$(M)\geq \mathrm{n}\mathrm{u}1_{K}(M)$$\geq-4h^{2}+(4m-2n-1)h+\frac{4n+4mn-3m-2m}{2}$ . 口

この Theorem にある退化次数の下限を $L_{n,m}(h)$とおく:$L_{n,m}(h)=-4h^{2}+(4m-2n-1)h+ \frac{4n+4mn-3m-2m}{2}$ .

ここで,

$h$

は $\max\{0, m-n\}\leq h\leq[\frac{m}{2}]$ の範囲の整数を動く.

LEMMA 46.

$h$の 2 次関数 $L_{n,m}$ が最小になるのは以下の通り:(1) $m$ が偶数のとき:$L_{n,m}$

その正則部

は $h=[ \frac{m}{2}]=\frac{m}{2}$ のみで最小になり, 最小値は

$L_{n,m}( \frac{m}{2})=2(n-\frac{m}{2})(\frac{m}{2}+1)$.

75(2) $m$ が奇数で $m=n$ のとき:

$L_{n,m}$

は $h=0$ のみで最小になり, 最小値は

$L_{n,n}(0)= \frac{n(n+3)}{2}$(3) $m$ が奇数で $m\neq n$ のとき:

$L_{n,m}$.

は $h=[ \frac{m}{2}]=\frac{m-1}{2}$ のみで最小になり, 最小

値は$L_{n,m}( \frac{m-1}{2})=m+1+2(n-\frac{m+1}{2})(\frac{m+1}{2}+1)$

Theorem 4.5 と Lemma 46 より, 複素射影空間のコンパクト極小$\mathrm{C}\mathrm{R}$. 口部分多様体の退化次数の評価が得られた:

COROLLARY 4.7.

$M$を$\mathrm{C}P^{n}$の $m$ 次元コンパクト極小 $CR$ 部分多様体とすると,その退化次数は次の不等式を満たす:’2 $(n- \frac{m}{2})(\frac{m}{2}+1)$ ,nu1 $(M)\geq$$\frac{n(n+3)}{2}$

即ち,

$m$

が偶数のとき,$m=n$ で奇数のとき,,$m+1+2(n- \frac{m+1}{2})(\frac{m+1}{2}+1)$ ,

実は,

$m$

これらの評価は全てシャ–$m\neq n$

フ o であるのが以下で解る.

で奇数のとき. 口

この Corollary の初めの 2 ウ,が偶数の場合および $m=n$ で奇数の場合について, 等号を実現する $M$ を決定しして本節を終えよう. 以下で, Theorem 48 は木村良夫氏による K\"ahler 部分多様体のクラスに対する結果 (cf. Example 26) の, また, Theorem 410 は大仁田義裕氏による全実部分多様体に対する結果の, それぞれ

THEOREM 48.

$M$を$\mathrm{C}P^{n}$$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体のクラスへの拡張である.

の $m$ 次元コンパクト極小 $CR$ 部分多様体で,るとする. このとき, 不等式

nu1 $(M) \geq 2(n-\frac{m}{2})(\frac{m}{2}+1)$

$m$

が偶数であ

76

が成り立つ. さらに等号は M=CP 号 (全測地的) のときに限る.

PROOF:

不等式は Corollary 47 より従う. そこで, 以下, 等号が成立している場合を考

える.

この場合,

Lemma 46(1) から$h= \frac{m}{2}(\Leftrightarrow r=0)$

.

即ち,

$M$

は複素部分多様体である.

(4.2) より $T_{o}M=\mathrm{m}=ce_{1}\oplus\cdots\oplus Ce_{h}$ としてよい. また, (4.5) より$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\Psi_{2}|\mathrm{u}(n)=\{|S\in \mathrm{u}(h),$$\cong \mathrm{u}(h)\oplus \mathrm{u}(n-h)$

そこで,

とき,

Lie 部分環として自然に$\mathrm{u}(h)$$T\in \mathrm{u}(n-h)\}$.

$\mathrm{u}(h)\oplus \mathrm{u}(n-h)\subset \mathrm{u}(n)\subset \mathrm{u}(1)\oplus \mathrm{u}(n)\subset \mathrm{u}(n+1)$で生成される $U(n+1)$ の Lie 部分群を

$U_{h}$とみたとかくことにすれば,$U_{h}=\{|u\in U(h)\}$ .

である.

ここで,

$I_{k}$

は k 次の単位行列を表す.

nu1 $(M)=2(n- \frac{m}{2})(\frac{m}{2}+1)$ ならば,

CLAIM 4.9.

$U_{h}$

は $M$ を不変にする.

実際, $Z\in \mathrm{u}(n)$ に対し $\Psi_{1}(Z)=0,$ $\Psi_{2}(z)=0$ が成り立つから, (3.3) より
ところが,
ている.

さて,

退化次数の条件から \Phi 。は単射なので $Z^{*NM}=0$ . 即ち,ゆえに,$U_{h}$の$\mathrm{m}$$U_{h}(M)\subset M$の単位球面に推移的である. –方, Claim 49 により,

$M$

$X,$ $\mathrm{Y}\in \mathrm{m},$ $||X||=||\mathrm{Y}||=1$

は極小なので $B=0$ , 即ち,$(Z^{*NM})=0$ .

。

は $M$ 上 $M$ に接し.

への線形イソトロピー作用は $U(h)$ のして作用する. よって,$z*$$\Phi$$M$

全く同様にして次も証明できる:$C^{h}$$U_{h}$

への自然な作用であるから,$\mathrm{m}$は $CP^{n},$ $M$ の両方に等長変換とならば $B(X, X)=B(\mathrm{Y}, \mathrm{Y})$ となるが,は全測地的である. 1

77

THEOREM 4.10.
るとする.

$M$

を

$\mathrm{C}P^{n}$の $n$ 次元コンパクト極小 $CR$ 部分多様体で,

$n$

が奇数であ

このとき, 不等式

nu1 $(M) \geq\frac{n(n+3)}{2}$が成り立つ. さらに等号は M=RPn(全測地的) のときに限る.

口

次元が上の 2 つの場合には退化次数最小のコンパクト極小

この様に,$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体を”決定することができる. 実は, 残りの ” $m$ が奇数で $m\neq n$ の場合も Corollary 47 で得られた評価がシャープであるのが解る. 次の節で等号を実現する例を挙げる.

本節では以下の記号を使う : $M$ を\S 5.

$\triangle_{M}:M$のの$\lambda-$$\nabla^{N(M,\tilde{M}}):N(M,\tilde{M})$$\mathrm{J}_{M,\tilde{M}}$

:

の法接続,
に関する粗 Laplacian,$\nabla^{N(M,\tilde{M})}$$Marrow\tilde{M}$固有空間,の法バンドル,$N(M,\tilde{M}):Marrow\tilde{M}$:の極小部分多様体とするとき,(非負) Laplacian,$E(\lambda;\triangle_{M}):\triangle_{M}$$\Delta^{N(M,\tilde{M})}$$\tilde{M}$の Jacobi 作用素,

nu1 $(M,\tilde{M}):Marrow\tilde{M}$ の退化次数,$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(M,\tilde{M}):Marrow\tilde{M}$さて.
$\mathrm{C}P^{l}$$p+q=l-1$ なる

$0$

の指数.

以上の整数 $p,$のコンパクト極小実超曲面$M^{\mathrm{C}}$

$p,q$

$q$

に対して $r_{p}= \frac{2p+1}{2l},$ $r_{q}= \frac{2q+1}{2l}$ とおくとき,

が次の図式により定義された:$s^{2_{\mathrm{P}}+1}(_{\Gamma}p)\cross S^{2}q+1(r_{q})arrow S^{2l+1}(1)$$\downarrow$$\downarrow$$M^{\mathrm{C}}$

$p,q$

ここで,

$S^{1}(1)arrow S^{2l+1}(1)arrow \mathrm{C}P^{l}$$CP^{l}\subset \mathrm{C}P^{n}$$arrow$$CP^{l}$.

は Hopf ファイブレーションである.

を全測地的な埋め込みとするとき,$M_{p,q}^{\mathrm{C}}$は自然に$\mathrm{C}P^{n}$の極小部分多様体と考えられる. その退化次数を計算するのがこの節の目的である. 結果は次の様になる:78$\mathrm{P}\mathrm{R}\dot{\mathrm{O}}\mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{I}\mathrm{T}\mathrm{I}\mathrm{O}\mathrm{N}5.1$.

$m=2l-1$ とおくと,

nu1 $(M^{\mathrm{C}} \mathrm{C}P^{n}p,q’)=2(p+1)(q+1)+2(\frac{m+1}{2}+1)(n-\frac{m+1}{2})$ .
PROOF:

まず,$S_{p,q}=S^{2}p+1(r)p\cross S^{2+}q1(r_{q})$とおくと, 各法空間 $N_{z}(S_{p,q}, S^{2}n+1),$ $Z\in S_{p,q}$

は Riemann 沈め込み $S^{2n+1}arrow P^{n}C$ に関して水平であるから,はベクトル空間として同型である. ただし,

$N_{x}(M_{p}^{\mathrm{c}},’ {}_{q}CPn)$

する. そこで,$\theta\in \mathrm{R}$に対し等長写像$z$: $S^{2n+1}arrow S^{2n+1}$ を$\tau_{\theta}$

自然に $N_{z}(s_{p,q}, s^{2n+1})$ とは$x$上のファイバーの点と$\tau_{\theta}(z)=ze^{\sqrt{-1}\theta}$と定義し,$\Gamma(N(ss2n+1)p,q’)_{S}1=\{\xi\in\Gamma(N(SS^{2n}+1)p,q’)\otimes \mathrm{c}|\tau_{\theta*}\xi=\xi, \forall\theta\in \mathrm{R}\}$とおけば,$\Gamma(N(Sp,q’ s2n+1))S1$型である.

Jacobi 作用素

我々は.

nu1

$(M_{P}^{\mathrm{c}n},\mathrm{C}q’ P)$と $\Gamma(N(M_{p}\mathbb{C},, {}_{q}CPn))\otimes C$ はベクトル空間として自然に同$\mathrm{J}_{M_{\mathrm{p}}^{\mathrm{c}_{9}},\mathrm{C}P},n$は $\Gamma(N(M_{p}\mathrm{C},’ {}_{q}CPn))$ に作用する微分作用素であるが,を計算するために$\mathfrak{J}_{M_{\mathrm{p}}^{\mathrm{c}}},,{}_{q}\mathrm{C}Pn$に対応する $\Gamma(N(Ss^{2}n+1)P,q’)s1$の微分作用素を考える.
$S^{2n+1}\subset \mathrm{c}^{n+1},$ $s^{\iota}\subset C^{l+1}$

とし,

ここで,

$C^{l+1}=\mathrm{C}^{l+1}\cross\{0\}^{n-l}$

自然な複素基底 $e:=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0),$ $i=1,$$\sqrt{-1}e\iota+1+k,$ $k,\overline{k}=1,$みなせる. -方,$n+1$ に対し

$n-l$ とおく. すると, 自然に$M_{p,q}^{\mathrm{C}}arrow \mathrm{C}P^{1}$$\Gamma(N(SP,q’ s^{2}\iota+1))$

LEMMA 52 .

$\ldots,$$\ldots,$$\nu_{k},$と考える .

$C^{n+1}\text{の}$$\nu_{k}--.e_{\mathrm{t}+1+}k,$$\nu_{\overline{k}}=$$\nu_{\overline{k}}\in\Gamma(N(SS^{2n}+1)p,q’)$のグローバルな単位法ベクトル場の水平リフトを$\nu_{0}\in$とかく. このとき, 次が成り立つ:$\nu 0,$ $\nu_{1},$$\ldots,$$\nu n-l,$$v_{\overline{1}},$$\sigma\cdot$.

$,$$\nu_{n-}\overline{\iota}$

は法バンドル $N(s_{p,q}, s^{2}n+1)$ のフレイムであって, 次を満たしている:(i)

各 v」は法接続(ii)

各$v_{j}$$\nabla^{N(S_{\mathrm{p},q},s}2n+\iota_{)}$$\tau_{\theta*}\nu_{0}(Z)=v_{0}(\tau_{\theta}(z)),$(iv)$\tau_{\theta*}\nu_{k()}Z=v_{k}(Z)e^{\sqrt{-1}\theta},$$\nu_{0}$に関して平行,は Riemann 沈め込み $S^{2n+1}arrow P^{n}\mathrm{C}$ に関して水平,

(iii)

従って,

と

$\forall z\in S_{p,q},$$\forall\theta\in \mathrm{R}$,$\tau_{\theta*}\nu_{\overline{k}(Z})=v_{\overline{k}}(z)e^{\sqrt{-1}\theta},$$\forall z\in S_{p,q},$$\forall\theta\in$R.

口以外は $\Gamma(N(sp,q’ s^{2n}+1))s1$ の元ではないが,$C^{\infty}(S_{p,q})_{S^{1}}=\{f\in C\infty(s_{p,q})\otimes \mathrm{c}|f(ze^{\sqrt{-1}\theta})=f(z), \forall z\in S\forall\theta\in \mathrm{R}\}p,q$”,$C^{\infty}(s_{p,q})S1\{=f\in C\infty(s_{p,q})\otimes C|f(ze)\sqrt{-1}\theta=f(z)e^{\sqrt{-1}\theta}, \forall z\in s_{p,q},\forall\theta\in \mathrm{R}\}$

79とおけば, Lemma 52, (iii), (iv) により $\Gamma(N(S_{p},s^{2+}q’ n1))_{S^{1}}$ は次の様に記述される:$\Gamma(N(S_{p,q}, s^{2+}n1))s1=\mathrm{t}\xi=f\mathrm{o}\nu 0+\sum fk\nu k+\sum f_{\overline{k}}\nu\overline{k}\in \mathrm{r}(N(SS2n+1))p,q’\otimes C$$|f_{0\in c^{\infty}}(S_{p},)_{S,f}q1k,$

次に,Jacobi 作用素$f_{\overline{k}}\in c^{\infty}(Sp,q)s^{1},$の $\Gamma(N(S_{p},s^{2n}q’+1))S^{1}$$\tilde{\mathrm{J}}_{M_{\mathrm{p}}^{\mathrm{C}},\mathrm{C}Pq},n$$k,\overline{k}=1,$$z\in S^{2n+1}$

LEMMA 53 .
(i)
(ii)

$\xi\in\Gamma(N(sp,q’ s^{2n+1}))S^{1}$を

これは, $V(z)=$,$\nabla_{V}^{N(S_{p}}’ q’ s^{2}n+1)\nabla_{V}\xi=N(s_{p,\mathrm{c}},g_{n}^{2}+1)-(\xi-(\xi, v_{0})\nu_{0})$$\hat{L}$$V$

に対し, 次が成り立つ:$\nabla_{V}^{N(S_{\mathrm{p}}}’ q’ s^{2}n+1)\xi=\sqrt{-1}(\xi-\langle\xi, v_{0}\rangle\nu_{0})$

. 即ち,

.

と定義される.

$\Gamma(N(Mp\mathrm{C},’ {}_{q}\mathrm{C}Pn))$$\langle$$n-\iota\}$

への持ち上げを計算しよう.

Riemann 沈め込み $S^{2n+1}arrow CP^{n}$ に関する垂直単位ベクトル場とする.
$\sqrt{-1}z,$$\ldots,$.

$\square$コの作用素 $L$ に対し, 対応する $\Gamma(N(S_{p},s^{2+}q’ n1))_{S}1$ の作用素を$\hat{L}$とかは可換な図式$\wedge L$$\Gamma(N(ss2n+1)p,q’)_{S}1arrow \mathrm{r}(N(s_{p,q}, s^{2n+1}))_{S}1$$\downarrow\underline{\simeq}$$\underline{\simeq}\downarrow$$\Gamma(N(M_{p}\mathrm{c},’ CPn)q)$により定義される.

$\hat{L}$$\Gamma(N(Mp\mathrm{C},q’ \mathrm{C}Pn))$$arrow L$

を $L$ のリフトと呼ぶ. Lemma 5.5 は粗 Laplacian$\triangle^{N(M^{\mathrm{c}}\mathrm{C}}\mathrm{p},q’ P^{n}$) のリフトの計算に使われる:

LEMMA 54.
(i)$\triangle^{N(M_{p}^{\mathrm{C}}},,{}_{q}\mathrm{C}Pn$

),

および

$\mathcal{R}M_{p,q}\mathrm{c},\mathrm{C}pn$$A_{M_{p}}\mathrm{c},,{}_{q}\mathrm{C}P^{n}$$\xi\wedge N(M_{\mathrm{p}}\mathrm{c}{}_{q}\mathrm{C}P^{n})=\triangle^{N(ss+1}p,q’2n)\xi+\xi-\langle\xi,$”$\triangle$(ii)$\hat{\mathcal{R}}_{M_{p}{}_{q}\mathrm{C}P}\mathrm{c},’ n(\xi)=-(2l-1)\xi-3\langle\xi,$(iii)$\hat{A}_{M_{p,q}^{\mathrm{c}n}},\mathrm{c}P(.\xi)=2(\iota-1)\langle\xi, \nu_{0}\rangle \mathcal{U}_{0}$,$\nu 0)\mathcal{U}_{0}$$v_{0})\nu_{0}$のリフトは次で与えられる:,,$\xi\in\Gamma(N(sp,q’ s2n+1))_{S}1$

.

口

80

従って,

Jacobi 作用素(5.5)$\mathrm{J}_{M_{p,q}^{\mathrm{C}},\mathrm{C}p}n$のリフトは次の様になるのが解った:$0_{M_{\mathrm{p}}{}_{q}\mathrm{C}P^{n}}\mathrm{C}\xi=-\triangle N(S_{p,q},S^{2+}n1)\xi-\wedge,’(2\iota\xi+(\xi, v_{0}\rangle v_{0})$さて,Lemma 52, (i) より,$f\in C^{\infty}(S_{p,q})$.

に対し$-\Delta^{N(S_{p},S^{2+}}q’ n1)(f\nu\alpha)=(\Delta s_{p},fq)v_{\alpha}$となるので, (5.5) より$\xi=f_{\mathrm{o}v}\mathrm{o}+\sum f_{k}\nu_{k}+\sum f_{\overline{k}}v_{\overline{k}}\in\Gamma(N(Sp,q’ S2n+1))S^{1}$に対し$\tilde{\mathrm{J}}_{M_{p}{}_{q}\mathrm{C}P}\mathrm{c},n\xi=\wedge,(\Delta s_{p,q}f0^{-4}lf0)\nu 0$$+ \sum_{k,\overline{k}}\{(\triangle s_{p,q}fk-2lf_{k})\nu_{k}+(\triangle s_{p,q\overline{k}^{-}}f2\iota f\overline{k})\nu_{\overline{k}}\}$と計算される. 故に,$E(\lambda;\Delta sp,q)s1=E(\lambda;\triangle Sp,q)\otimes \mathrm{c}\cap c\infty(s_{p},)_{S}q1$,$E(\lambda;\Delta gp,q)^{s}1=E(\lambda;\triangle_{S^{\mathrm{p}}},q)\otimes c\mathrm{n}C^{\infty}(sp,q)^{s^{1}}$とおけば,$\triangle s_{p,q}$同型$\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathfrak{J}_{M_{p}^{\mathrm{c}p}}\wedge,,{}_{q}\mathrm{C}n\cong E(4l;\triangle s\mathrm{p},q)_{S^{1}}\oplus(E(2l;\Delta sp,q)^{S})12(n-l)$が成り立つ.

のスペクトルを調べることによりdimc $E(4\iota_{;\triangle)_{S}}sp,q1=2(p+1)(q+1),$ dimc

$E(2\iota_{;}\triangle s\mathrm{p},q)^{S^{1}}=l+1$が解るから,nu1$(M_{p}^{\mathbb{C}},’ {}_{q}CP^{n})=\dim \mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\tilde{\mathrm{J}}_{Mp^{\mathrm{C}}q}$,$=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{K}\mathrm{e}\mathrm{r}\tilde{\mathrm{J}}\wedge M_{p^{\mathbb{C}}},\mathbb{C}Pq’ n$$=2(p+1)(q+1)+2( \frac{m+1}{2}+1)(n-\frac{m+1}{2})$ .

よって,Proposition 5.1 が証明された. I

81

REMARK 56.

$M_{p,q}^{\mathrm{C}}arrow \mathrm{C}P^{n}$の指数も同様に計算される. 結果は$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}(M_{p}^{\mathrm{C}},’ {}_{q}\mathrm{C}P^{n})=2(n-\iota)+1=\mathrm{c}\mathrm{o}\dim(M_{p}^{\mathbb{C}},\mathrm{C}P^{n}q’)$

さて,.

Proposotion 51 で特に $p=0,$ $q=^{\iota}-1= \frac{m-1}{2}$ ならば, 退化次数は

nu1 $(M_{0}^{\mathrm{C}}, \frac{m-1}{2}, \mathrm{c}P^{n})=m+1+2(\frac{m+1}{2}+1)(n-\frac{m+1}{2})$
となる.

この値は,

Corollary 47 で得られた退化次数の評価の下限に等しい. この様に, 次

元 $m$ が奇数で $m\neq n$ なる$M^{\mathrm{C}}$$0, \frac{m-1}{2}$$\mathrm{C}P^{n}$のコンパクト極小$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体というクラスの中では,の退化次数は最小である. そこで, 残された問題は,そのクラスの中で, 退化次数最小のものは$M^{\mathbb{C}}$$0, \frac{m-1}{2}$にかぎるか?

となった.

ごく最近, この問題を肯定的に解決することができた. 複素射影空間の$\mathrm{C}\mathrm{R}$部分多様体に対する –種の余次元還元定理 (codimennsion reduction Theorem) を導くのが 1 つの鍵である. 詳細についての報告は別の機会に譲る.

REFERENCES

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J. Math. Soc. Japan 29 (1977), 561-580.

2. T.Gotoh, The nullity of compact minimal real hypersurfaces in a complex projective
space, Tokyo J. Math. 17 (1994), 201-209.

3. Y.Ohnita, Stable minimal submanifolds in compact rank one symmetric spaces, T\^ohoku Math. J. 38 (1986), 199-217.

4.

, On stability of minimal submanifolds in compact symmetric spaces, Compositio Math. 64 (1897), 157-189.

5. J.Simons, Minimal varieties in Riemannian manifolds, Ann. Math. 88 (1968), 62-105.