数理解析研究所講究録 1410 巻 2005 年 30-44

30Hall-Littlewood function で定義される
Young 図形全体の上の測度について
九州大学大学院数理学府

松本詔 (SHO MATSUMOTO)

Graduate School of Mathematics,
Kyushu University

1

はじめに

Hall-Littlewood 関数を用いて Young 図形の上に確率測度を定め, その測度の特殊化にお図形の行や列の長さの極限分布を見ていくことがこの講演の目的である.
ける$\mathrm{Y}\mathrm{o}\iota \mathrm{m}\mathrm{g}$1.1$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}-\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{w}\dot{\mathrm{o}}\mathrm{o}\mathrm{d}$

測度の定義

をパラ
を変数の列とし,とする. $X=(X_{1}, X_{2}, \ldots)$ と分割全体ををそれぞれ分割 に対する Hall-Littlewood $P$-関数と Qメータとする.
関数する. この関数の具体的な定義については [Mac, III-2] 参照. これらは次の Cauchy 型恒等式を満たす ([Mac, III-4]).
$t$$\mathrm{Y}=(\mathrm{Y}_{1}, \mathrm{Y}_{2}, \ldots)$$\mathcal{P}$$P_{\lambda}(X;t),$$Q_{\lambda}(X;t)$$\lambda$.

$\sum_{\lambda\in \mathcal{P}}Q_{\lambda}(X;t)P_{\lambda}(\mathrm{Y};.t)=.,\prod_{1j=1}^{\infty}\frac{1-tX_{i}\mathrm{Y}_{j}}{1-X_{i}\mathrm{Y}_{j}}$

この等式により形式的に(1.1)

上の確率測度が定義できる. すなわち,$\mathrm{P}_{\mathrm{H}\mathrm{L},t}(\lambda)=(.\cdot,\prod_{j=1}^{\infty}\frac{1-X_{\dot{\iota}}\mathrm{Y}_{j}}{1-tX_{1}\mathrm{Y}_{j}}.)Q_{\lambda}(X;t)P_{\lambda}(\mathrm{Y};t)$;0,$\lambda\in \mathcal{P}$

これを Hall-Littlewood 測度と呼ぶことにする. 特に, $t=0$ のとき,

とおく.
$\ovalbox{\tt\small REJECT}(X$$\mathcal{P}$$)$$=s_{\lambda}(X)$$Q_{\lambda}(X;0)=$だから, (1.1) は(1.2)$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(\lambda)=.\prod_{1i=1}^{\infty}(1-X_{}\mathrm{Y}_{j})s_{\lambda}(X)s_{\lambda}(\mathrm{Y})$,$\lambda\in \mathcal{P}$は Schur 関数である. この測度は Schur 測度といい, [O2] で定義されとなる. ここで,がた. また (1.1) で $t=-1$ とすると, 各 $r\geq 1$ に対して分割 における の重複度
高々 1 のときに限り $Q_{\lambda}(X;-1)=Q_{\lambda}(X),$ $P_{\lambda}(X;-1)=2^{-\ell(\lambda)}Q_{\lambda}(X)$ となり, そうでなけれ$s_{\lambda}$$m_{r}(\lambda)$$r$$\lambda$

ば $Q_{\lambda}(X;-1)=P_{\lambda}(\mathrm{Y};-1)=0$ であるから,$(1.3)$$\mathrm{P}\mathrm{s}\mathrm{s}$$(\lambda)$$=$$(. \cdot,\prod_{j=1}^{\infty}$$\frac{1-X.\mathrm{Y}_{j}}{1+X_{i}\mathrm{Y}_{j}}.)$$2-l(\lambda)Q_{\lambda}(X)Q_{\lambda}$ $(\mathrm{Y})$,$\lambda$

$\in$

$D$

31

となる. ここで,$Q_{\lambda}$

は Schur の $Q$-関数である ([Mac, III-8]) であり,る; $\ell(\lambda)=\#\{j\geq 1;\lambda_{j}\neq 0\}$$\mathcal{P};l\geq 0,$. また$\lambda_{1}>\lambda_{2}>\cdot\cdot \mathrm{J}>\lambda\iota>0\}$$D$$\ell(\lambda)$

は分割$\lambda$の長さであは strict な分割全体である; $D=\{\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}\ldots, \lambda_{l})\in$. この確率測度は shified Schur 測度と呼ばれ, [TW2]で定義された.

1.2

対称群の Plancherel 測度

対称群 $6_{N}$ の Plancherel 測度とは,

(1.4)

$N$

の分割全体

$\mathrm{P}_{\mathrm{P}1\mathrm{a}\mathrm{n},N}(\lambda)=\frac{(f^{\lambda})^{2}}{N!}$,$\mathcal{P}_{N}$上の確率測度てあり,$\lambda\vdash N$

は で決まる $6_{N}$ の既約表現の次元である. 同じことであるが,と定義される. ここで,は型が の標準 Young 盤の個数てもある. よく知られた等式$f^{\lambda}$$\lambda$$\lambda$$f^{\lambda}$$\sum_{\lambda\vdash N}(f^{\lambda})^{2}=N!$から,における確率は確かに確率測度である. [BOO, J2, Ol] では, この測度
たちの $Narrow\infty$ としたときでの極限分布が得られている. それは次の Airy ensemble$\mathrm{P}_{\mathrm{P}1\mathrm{a}\mathrm{n},N}$$\mathrm{P}_{\mathrm{P}1\mathrm{a}\mathrm{n},N}$

変数により記述される.
$\lambda_{j}$1.3

Airy ensemble

Airy ensemble の定義について述べよう (例えば [BOO] 参照).

$\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}$を Airy 核$\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(x,y)=\int_{0}^{\infty}\mathrm{A}\mathrm{i}(x+z)\mathrm{A}\mathrm{i}(y+z)dz$とする. ただし, Ai(x) は A 廿 関数$\mathrm{y}$Ai(x)$\mathrm{R}$$= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\infty\epsilon^{-\pi \mathrm{v}-/\mathrm{s}}}^{\infty \mathrm{e}^{\mathrm{v}^{r_{-\urcorner/8}}}}.\neg\exp(\frac{z^{3}}{3}-xz)dz$の各有限部分集合 $X=\{x_{1}, \ldots, x_{k}\}$ に対して, その相関関数$\mathrm{R};\#\mathrm{Y}<\infty,$$\mathrm{Y}\supset X\})$が$\rho_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(X)=\det(\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(X:, X_{j}))_{1\leq:\dot{s}\leq k}$.

$\rho_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(X)=\mathrm{P}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(\{\mathrm{Y}\subset$となるような$\mathbb{R}$上の配置における確率変数(configuration) を考える. その配置, すなわち確率測度
を Airy ensemble という. Airy ensemble は Gaussian Unitary Ensembk(GUE) における固有値の極限分布を記述していることが知られている ([TW1]).
$\zeta^{\mathrm{A}\mathrm{i}}=(\zeta_{1}^{\mathrm{A}\mathrm{i}}>$$\mathrm{P}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}$$\zeta_{2}^{\mathrm{A}\mathrm{i}}>\ldots)\in \mathrm{R}^{\infty}$

1.4

Plancherel 測度の極限分布

いま, [BOO, J2, 01] の結果は以下のように述べられる.

32

定理 Ll ([BOO,$\mathrm{J}2$, Ol]). 測度 PPI へ, における確率変数$N$$\frac{\lambda_{j}-2\sqrt{N}}{N^{1/6}}$

は $Narrow\infty$ とするとき,

例えば,$\lambda_{1}$,$j=1,2,$$\ldots$

Airy ensemble に分布収束する.

口の極限分布は$\lim_{Narrow\infty}\mathrm{P}_{\mathrm{P}1\mathrm{a}\mathrm{n},N}(\{\lambda\in \mathcal{P}_{N;}\frac{\lambda_{1}-2\sqrt{N}}{N^{1/6}}<s\})=\mathrm{P}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(\zeta_{1}^{\mathrm{A}\mathrm{i}}<s)=\det(I-\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}})_{[s,\infty)}$という形で述ぺられる. ここて, $F_{2}(s):=\det$ ( -KA。y)[,,-) は ^辻 核 KA。の $[s, \infty)$ 上ての Fredholm 行列式であり, Racy-Widom 分布と呼ばれている ([TW1, J2]).
正の実数 $\xi>0$ に対して,$I$$\mathrm{y}$

,

(1.5)

$\mathrm{P}_{\mathrm{P}\mathrm{P}}^{\xi}(\lambda)=e^{-\xi},\sum_{\mathrm{n}}^{\infty}.\frac{\xi^{N}}{N!}\mathrm{P}_{\mathrm{P}1\mathrm{a}\mathrm{n},N}(\lambda)=e^{-\xi}\xi^{|\lambda|}-(\frac{f^{\lambda}}{|\lambda|!})^{2}$と定める. これを poissonized Plancherel 測度という. ただし,

定理 L2 ([BOO, J2]). 測度$\mathrm{P}_{\mathrm{P}\mathrm{P}}^{\xi}$$|\lambda|=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots$.

における確率変数$\frac{\lambda_{j}-2\sqrt}{\xi^{1/6}}$

は $\xiarrow\infty$ とするとき,$\lambda\in \mathcal{P}$,$j=1,2,$$.$.

Airy ensemble に分布収束する.

口

定理 1.1 は定理 12 から, Johansson による depoissonized technique を使うことで得られる.
Plancherel 測度における たちの分布は, 置換の最長増加部分列の長さの問題と密接に関$\lambda_{j}$

連している. このような組み合わせ的な話題についてはサーベイ [AD] がよい.

1.5

Schur 測度と Plancherel 測度

poissonized Plancherel 測度は Sch
Schur 関数をべき和関数

径度を特殊化することで得ることができる. 実際,の多項式て書くと,$p_{k}(X)=X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdot\cdot \mathrm{r}$$s_{\lambda}= \sum\chi_{\rho}^{\lambda}\prod\frac{p_{r}^{m_{r}(\rho)}}{r^{m_{r}(\rho)}m_{r}(\rho)!}$$r\geq 1$$\rho\vdash|\lambda|$( たちは代数的に独立) によって,と書けるから ([Mac, I-7]), 特殊化
はサイクル
は分割 に対する S 囚の既約指標であり,となる. ここて,はタイプ での値である. よって特殊化 $p_{k}(X)=p_{k}(\mathrm{Y})=\delta_{k,1}fl$ により Schur 測度になる.
poisso 血 Plancherel 濱|J 度$p_{k}(X)=p_{k}(\mathrm{Y})=\delta_{k,1}ae$ における極限分布を述べていると定理 12 は Sch 径 度の特殊化いうことができる. Schur 測度の他の特殊化における極限分布はどうなるか? という問題に$p_{k}=\delta_{k,1}\sqrt\xi$$\xi^{|\lambda|/2}f^{\lambda}/|\lambda|!$$\chi^{\lambda}$$\lambda$$s_{\lambda}=$$p_{k}$$\chi_{\rho}^{\lambda}$$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}$$\rho$$\mathrm{P}_{\mathrm{P}\mathrm{P}}^{\xi}$$\mathrm{e}\mathrm{d}$ついて今回は考えてい$\text{く}\mathrm{c}$33

2Schur 測度の極限定理
Sch

(0)

径 度の次の仮定を満たす特殊化の族を考える.
を正の実数とする.

$\theta$$p_{k}(X)=p_{k}(\mathrm{Y})=p_{k}^{\theta}$line。+\sim p\mbox{\boldmath $\tau$}/\mbox{\boldmath $\theta$} $=d_{k}\geq 0$ が存在する.
(1) 各 に対して, ある$\theta$$\epsilon=\epsilon(\theta)>0$と特殊化する. ただし,ここで,$p^{\theta}=(p_{1}^{\theta},p_{2}^{\theta}, \ldots)$が存在して, べき級数

$p_{k}^{\theta}$

は実数であり,とおぐ$f^{\theta}(z):= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{p_{k}^{\theta}}{k}z^{k}$が $|z|<1+\epsilon$

で正則である.

(2)$f(z)= \sum_{k=1\tilde{k}}^{\infty d_{\mathrm{A}_{Z^{k}}}}$

とおく. このとき, 級数$f(1)= \sum_{\mathrm{k}=1k}^{\infty d}\Delta$

は $z=1$ の周りに正則関数として解析接続される.

が収束する. さらに,

$f(z)$

1

このとき, 次の定理を得る.

を上の条件 (0), (1), (2) を満たすような Schur 測度の特殊化とする.
$2f’(1),$ $c_{2}=f’’’(1)+3f’’(1)+f’(1)$ とおぐ このとき,
で, 確率変数定理 2.1.

$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{p}^{\theta}}$$c_{1}=$$\thetaarrow+\infty$$\frac{\lambda_{j}-c_{1}\theta}{(c_{2}\theta)^{1/3}}$は$\mathrm{A}\dot{\mathrm{n}}\mathrm{y}$$j=1,2,$ . .

,ensemble に分布収束する.

ここで,

級数

$\sum_{k=1}^{\infty}d_{k}$や口$\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}d_{k}$がそれぞれ収束するなら,$c_{1}=2 \sum_{k=1}^{\infty}d_{k}$と書くこともできる. 実際,$c_{2}$,$c_{2}= \sum_{k=1}^{\infty}k^{2}d_{k}$について述べると,$c_{2}=f’’’(1)+3f’’(1)+f’(1)= \sum_{k=1}^{\infty}\{(k-1)(k-2)+3(k-1)+1\}d_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}k^{2}d_{k}$となっている.
たち
定理 2H 上 解析的に “ よい” 条件を満たす Schur 測度の特殊化の族においては,の極限分布が Gaussian Unitary Ensemble の固有値たちの極限分布と同じになるということの存在だけでなく, それらの明示的な表示を述べている. さらに, スケーリング定数$\lambda_{j}$$c_{1},$$c_{2}$

が得られることがよい.
同様に,(1’) 各$\theta$$\lambda_{j}’$(Young 図形$\lambda$の第 列の長さ) の分布についても述べることができる.
$j$に対して, ある $\epsilon=\epsilon(\theta)>0$ が存在して, べき級数$|z|<1+\epsilon$$\tilde{f}^{\theta}(z):=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}p^{\theta}}{k}z^{k}$がで正則である.

1 講演て述べた条件ては不足てした. 講演直後にご指摘してくださった名古屋大の落合啓之先生に感謝しま
す.

34

(2’)

$\tilde{f}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}d_{k}}{k}z^{k}$とおぐ このとき, 級数$\sum_{k=1k}^{\infty\underline{d}_{\mathrm{A}}}$が収束する. さら (こ,$\tilde{f}(z)$は$z=1$ の周りに正則関数として解析接続される.

定理 2.2.

$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},\mathrm{p}^{\theta}}$を条件 (0), (1’), (2’) を満たすような Schur 測度の特殊化とする.

$2 \tilde{f}’(1)(=2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}d_{k}),\tilde{c}_{2}=\tilde{f}’’’(1)+3\tilde{f}’’(1)+\tilde{f}’(1)(=\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}k^{2}d_{k})$のとき,$\thetaarrow+\infty$$\tilde{c}_{1}=$とおく. こで, 確率変数$\frac{\lambda_{j}’-\tilde{\mathrm{c}}_{1}\theta}{(\tilde{c}_{2}\theta)^{1/3}}$$j=1,2,$ . .

,は Airy ensemble に分布収束する.
このように一般的な条件のもとで,口Schur 測度の極限定理を述べることができた.

定理 2.1 と定理 2.2 の証明

3定理の仮定の意味を理解するためにも, 定理の証明の概略をここで述べておこう. ます重
要なのは, 次の Schur 測度の相関関数の行列式表示である. 分割
各有限$S(\lambda)=\{\lambda_{j}-j;j\geq 1\}\subset \mathbb{Z}$ とおく、 Schur 測度の相関関数とは,$\ldots\geq 0$ に対して,$\lambda=(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots),$

集合$A\subset \mathbb{Z}$$\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq$

に対して,$\rho_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(A)=\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(\{\lambda\in \mathcal{P};S(\lambda)\supset A\})$で定義される関数のことである.
定理 3.1$([\mathrm{O}2])$. 有限集合$A=\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\}\subset \mathbb{Z}$に対して,$\rho_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(A)=\det(\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(a_{1}., a_{j}))_{1\leq:_{\dot{\theta}}\leq N}$

ここで,$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}$

.

は

(3.1)
$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(r, s)=[z^{r}w^{-e}]\exp(\sum_{k=1}^{\infty}(\frac{p_{k}(X)}{k}z^{k}-\frac{p_{k}(\mathrm{Y})}{k}z^{-k}-\frac{p_{k}(X)}{k}w^{k}+\frac{p_{k}(\mathrm{Y})}{k}w^{-k}))\frac{z}{z-w}$

で定まる$\mathbb{Z}\cross \mathbb{Z}$上の関数である. ただし,$\frac{z}{z-w}=\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}w^{k}\text{と}$して,$[z^{r}w^{-s}]$は $z^{r}w^{-*}$ の係数を表している.

口を基底とし対称関数全体のなす代数を A とか . 代数 A は Schur 関数全体て定まる involution をもつ ([Mac]). この はべき和関数 [こ対して,てもち,$\omega(p_{k})=(-1)^{k-1}p_{k}$ を満たすのだった.
よって, 定理 3.1 から次を得る.
$\{s_{\lambda};\lambda\in \mathcal{P}\}$$\text{く}$$\omega(s_{\lambda})=s_{\lambda’}$$\omega$$\omega$

35

系 3.2. 有限集合

$A=\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{N}\}\subset \mathbb{Z}$に対して,$\tilde{\rho}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(A)=\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}(\{\lambda\in \mathcal{P};S(\lambda’):)$$A\})=\det(\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}’(a:, a_{j}))_{1\leq i_{\dot{\theta}}\leq N}$

.

こニで,

$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}’(r, s)$$=[z^{r}w^{-s}] \exp(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}(p_{k}(X)z^{k}-p_{k}(\mathrm{Y})z^{-k}-p_{k}(X)w^{k}+p_{k}(\mathrm{Y})w^{-k}))\frac{z}{z-w}$

口Airy ensemble の定義を思い出すと, 定理 2.1 を示すには次の命題が言えればよい.
命題 3.3.

$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},p^{\theta}}$を$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}}$から (0) の特殊化で得られる核とする. そのとき, 任意の実数$x,y$ に対して,$\lim_{\thetaarrow+\infty}(c_{2}\theta)^{1/\mathrm{s}}\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},p^{\theta}}(c_{1}\theta+(c_{2}\theta)^{1/s}x, c_{1}\theta+(c_{2}\theta)^{1/3}y)=\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(x,y)$.

$\text{口}$この命題を証明しよう. 定理 3.1 と仮定 (1) より,$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},p^{\theta}}(r, s)$$=( \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}})^{2}.\int\int_{|z|=1+\epsilon/2},$$\exp(f^{\theta}(z)-f^{\theta}(z^{-1})-f^{\theta}(w)+f^{\theta}(w^{-1}))\frac{z}{z-w}\frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}w}{z^{r+1}w^{-s+1}}|w|=1^{\cdot}$

は仮定 (1) より $|z|<1+\epsilon$ で正則てあり, 積分路は二つの円 $\{z;|z|=1+\frac{}{2}‘\}$と $\{w;|w|=1\}$ である. さらに仮定 (0) と (2) を用いて,

ここで,$f^{\theta}(z)$$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}_{1}p^{\theta}}(r, s)$$=( \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}})^{2}\int\int_{|z|=1+\epsilon/2},$$\exp(f^{\theta}(z)-f^{\theta}(z^{-1})-f^{\theta}(w)+f^{\theta}(w^{-1}))\sum_{k|=0}^{\infty}z^{-k}w^{k}\frac{\mathrm{d}z\mathrm{d}w}{z^{r+1}w^{-s+1}}$$= \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(f^{\theta}(z)-f^{\theta}(z^{-1}))\frac{\mathrm{d}z}{z^{r+k+1}})$$\cross(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(f^{\theta}(w)-f^{\theta}(w^{-1}))\frac{\mathrm{d}w}{w^{s+k+1}})$$\sim\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(\theta(f(z)-f(z^{-1})))\frac{\mathrm{d}z}{z^{r+k+1}})$$\cross(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{I}}\exp(\theta(f(w)-f(w^{-1})))\frac{\mathrm{d}w}{w^{\epsilon+k+1}})$

次の補題を使う.

as$\thetaarrow+\infty$.

36

補題 3.4. $f(z)_{f}c_{1},$$c_{2}$を定理 2.1 のとおりとする.

$I_{\theta}(x):= \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{1\mathrm{r}}\exp(\theta(f(z)-f(z^{-1})))z^{-e_{1}\theta}\frac{\mathrm{d}z}{z^{(e_{2}\theta)^{1/3}oe+1}}$

とおくと,
すると,

$\mathrm{h}.\mathrm{m}_{\thetaarrow+\infty}(\mathrm{c}_{2}\theta)^{1/3}I_{\theta}(x)=\mathrm{A}\mathrm{i}(x)$$\thetaarrow+\infty$

.

口

で,

$\mathcal{K}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{p}^{\theta}}(c_{1}\theta+(c_{2}\theta)^{1/3}x, c_{1}\theta+(c_{2}\theta)^{1/3}y)$$\sim\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(\theta(f(^{1}z)-f(z^{-1})))z^{-\mathrm{c}_{1}\theta}\frac{\mathrm{d}z}{z^{(e_{2}\theta)^{1/S}x+k+1}})$$\mathrm{x}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(\theta(f(w)-f(w^{-1})))w^{-e_{1}\theta}\frac{\mathrm{d}w}{w^{(e_{2}\theta)^{1/3}y+k+1}})$$\sim(c_{2}\theta)^{1/3}\int_{0}^{\infty}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{1\mathrm{r}}\exp(\theta(f(z)-f(z^{-1})))z^{-\mathrm{c}_{1}\theta}\frac{\mathrm{d}z}{z^{(\mathrm{c}_{2}\theta)^{1/S}(x+\zeta)+1}})$$\mathrm{x}(\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(\theta(f(w)-f(w^{-1})))w^{-\mathrm{c}_{1}\theta}\frac{\mathrm{d}w}{w^{(\mathrm{c}_{2}\theta)^{1/S}(y+\zeta)+1}})\mathrm{d}\zeta$$\sim(c_{2}\theta)^{1/3}\int_{0}^{\infty}(c_{2}\theta)^{-1/}$$=(c_{2}\theta)^{-1/3}\mathcal{K}_{\mathrm{A}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{y}}(x,y)$.

よって, 命題を得る.

補題 3.4 は鞍点法 (saddle point method) ([E] 参照) を使って示せる. 証明の概略だけ述べておこう.
$S(z)=f(z)-f(z^{-1})-c_{1}\log z$ とおくと, $z=1$ のまわりで,$S(z)= \frac{c_{2}}{3}(z-1)^{3}+O((z-1)^{4})$となる. すなわち, $z=1$ は $S(z)$ の 2 位の鞍点となる. このとき積分$I_{\theta}(x) \sim\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_{\mathrm{T}}\exp(\theta(\frac{c_{2}}{3}(z-1)^{3}+O((z-1)^{4})))\frac{\mathrm{d}z}{z^{(e_{2}\theta)^{1/S}x+1}}$の中身の実部が $z=1$ で最大になるように変形することで,積分値が点 $z=1$ の近くての値に集中する. 仮定 (2) を用いることで, 積分が Airy 関数に収は, 積分路を被積分関数の$\mathrm{e}\mathrm{w}$束することがわかる.
定理 22 は系 32 から同様に得られる.

4

定理 2.1 と定理 2.2 の例

定理 2.1 と定理 22 は一般的な形で述べているが,あるが, 新しい例も生まれる.

ここで例を挙けよう. 今までの結果も

37

4.1

Plancherel 測度

15 章ても述べたように, poisso 血$p_{k}(\mathrm{Y})=\delta_{1,k}\sqrt\xi(k\geq 1, \xi>0)$$\mathrm{e}\mathrm{d}$Plan 凸 erel 測度は Schur 測度から特殊化 $p_{k}(X)=$で得られる. 定理 2.1 と定理 22 の記号に合わせると,$p_{k}^{\theta}=\delta_{k,1}\theta$,$\theta=\sqrt{\xi}$という特殊化てある. よって,$f^{\theta}(z)=\tilde{f}^{\theta}(z)=\theta z$,$f(z)=\tilde{f}(z)=z$となる. 条件 (0), (1,1, (2), (1’), (2’) はすべて明らかに満たされる. また, $c_{1}=\tilde{c}_{1}=2$ かつ$c_{2}=\tilde{c}_{2}=1$ .
よって, 定理 2.1 を適用することで定理 L2 を得る. 定理 22 を適用すると同じことがとについていえる. しかし,だから, 定理 22 を適用するまでも無く ,の分布は同じである.
$f^{\lambda}=f^{\lambda’}$$\lambda_{j}’$$\lambda_{j}$$\lambda_{j}’$4.2$\alpha$を$\alpha$ct-specialization
を $0<\alpha<1$ なる実数とする.

と特殊化する. この特殊化
径 度は以下のようになる.

$X=\mathrm{Y}=$-specialization という. このとき Sch$(\hat{\alpha,\ldots,\alpha}, 0n, 0, \ldots)$$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},\alpha,n}(\lambda)=(1-\alpha^{2})^{n^{2}}\alpha^{2|\lambda|}(\frac{\prod_{1\leq i<j\leq n}(\lambda_{\dot{\iota}}-i-\lambda_{j}+j)}{\prod_{k=1}^{n-1}k!})^{2}$

このとき,$p_{k}(X)=p_{k}(\mathrm{Y})=n\alpha^{k}$だから, 定理 2.1 と定理 22 の記号に合わせると,$p_{k}^{\theta}=\theta\alpha^{k}$,$\theta=n$となる. すると,$f^{\theta}(z)=-\theta\log(1-\alpha z)$$\tilde{f}^{\theta}(z)=\theta\log(1+\alpha z)$$f(z)=-\log(1-\alpha z)$ ,,,$\tilde{f}(z)=\log(1+\alpha z)$となる. これらの関数は $|z|<\alpha^{-1}$ で正則だから, 条件 (0), (1), (2), (1’), (2’) はすべて満たはそれぞれされる. よって, 定理 2.1 と定理 22 が適用できる. 定数,$c_{1},$ $c_{2}$$c_{1}= \frac{2\alpha}{1-\alpha},$と与えられる. この結果は$c_{2}= \frac{\alpha(1+\alpha)}{(1-\alpha)^{3}}$$\lambda_{1}$,に対してのみ,$\tilde{c}_{1},\tilde{c}_{2}$$\tilde{c}_{1}=\frac{2\alpha}{1+\alpha},\tilde{c}_{2}=\frac{\alpha(1-\alpha)}{(1+\alpha)^{3}}$[J1] て得られている.

38

principal specialization

4.3$0<q<1$ とする. $X=\mathrm{Y}=(q, q^{2}, q^{3}, \ldots)$ と特殊化する. いわゆる principal specializationである. このとき Schur 測度は(4.1)$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},q}(\lambda)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{n-1}(\frac{q^{|\lambda|+n(\lambda)}}{o\prod_{e\in\lambda}(1-q^{h(x)})})^{2}$となる. ここで,, そして $h(x)=\lambda:+\lambda_{j}’-i-.j+1(x=(i,j)\in\lambda)$の極限分布を得たい.
としたときの度においてである. よって, 定理 2.1 と定理 22$n( \lambda)=\sum_{:>1}(i-1)\lambda_{1}.$は hook-length である.

上の特殊化によりの記号でこの$\mathrm{f}\overline{\mathrm{f}\mathrm{i}}^{1}\mathrm{I}$$q\uparrow 1$$\lambda_{j},$$\lambda_{j}’$$p_{k}(X)=p_{k}( \mathrm{Y})=\sum_{i=1}^{\infty}q^{k}\dot{.}=\pm_{1q}^{k}$$p_{k}^{\theta}= \frac{q^{k}}{1-q^{k}}$

とすれば,

,

“ $q\uparrow 1"\Leftrightarrow$ “ $\thetaarrow+\infty$ ”,$q=1- \frac{1}{\theta}$となる. ます,$f^{\theta}(z)= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k}\sum_{i=1}^{\infty}q^{\dot{\iota}k}=-\sum_{i=1}^{\infty}\log(1-q^{:}z)=\log\frac{1}{(qz\cdot q)_{\infty}}$,となり, これは $|z|<q^{-1}$ で正貝りである. ここで,$(a;q)_{\infty}:= \prod_{\dot{l}=0}^{\infty}(1-aq^{:})$$d_{k}= \lim_{\thetaarrow+\infty}\frac{p_{k}^{\theta}}{\theta}=\lim_{q\uparrow 1}\frac{1-q}{1-q^{k}}q^{k}=\frac{1}{k}$$\text{より}$

. また,

.

,
$f(z)= \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k^{2}}=:\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(z)$であるが, これはよく知られているように $z=1$ で正則になるように解析接続することはできない. したがって, 仮定 (2) は満たされす, 定理 2.1 は適用てきない !
しかしながら, 定理 22 は適用できる. 実際,$\tilde{f}^{\theta}(z)=\log(-qz;q)_{\infty}$となるが,$\tilde{f}^{\theta}(z)$,は $|z|<q^{-1}$ て正貝 1 であり, また$\tilde{f}(z)=-\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(-z)$$\tilde{f}(z)$は $z=1$ のまわりに正貝りになるよう [こ解析接続できる. したがって, 仮定 (0), (1’), (2’) は満たされ, 定理 22 が適用てきる.

(4.2)$\tilde{c}_{1}=2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=2\log 2$となるから, 次を得た.

and$\tilde{c}_{2}=\tilde{f}’’’(1)+3\tilde{f}’’(1)+\tilde{f}’(1)=\frac{1}{4}$.

39

系 4.1. (4.1) で定まる測度$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},q}$において, 確率変数$\frac{\lambda_{j}’-(21\mathrm{o}\mathrm{g}2)\theta}{(\frac{\theta}{4})^{1/3}}$

は$q\uparrow 1$,$j=1,2,$$\ldots$,$\theta=\frac{1}{1-q}$

で Airy ensembIe に分布収束する.

口においては,
この結果は新しい. 以上のように測度は) 見えないが,の極限分布は得られるのである.
$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},q}$$\lambda_{j}$の極限分布は (この方法で$\lambda_{j}’$4.4principal specialization with parametersと はと特殊化する. ただし,
系 4.1 はもう少し一般化した形でかける.
$0\leq b<a<1$ として固定し, $0<q<1$ とする. $a=q,$ $b=0$ とすると, principal
specialzation に他ならない. そうすると, Schur 測度は [Mac, I-3, Example 3] 1 こよると,$p_{k}=\neg a^{k}-b^{k}1-q$

(4.3)
となる

$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},q,a,b}(\lambda)=\prod_{n=0}^{\infty}(\frac{(1-abq^{n})^{2}}{(1-a^{2}q^{n})(1-b^{2}q^{n})})^{n}$

ただし,

$b$

$(q^{n(\lambda)} \prod_{x\in\lambda}\frac{a-bq^{e(x)}}{1-q^{h(x\}}})^{2}$$c(x)=c(i,j)=j-i$ は $x=(i,j)$ の content. 先ほどと同じように,$p_{k}^{\theta}:= \frac{a^{k}-b^{k}}{1-q^{k}}\sim\frac{a^{k}-b^{k}}{k}\theta$

となる.

$a$

as

,

$\theta=\frac{1}{1-q},$$q\uparrow 1$.

さらに$f^{\theta}(z)= \log\frac{(bz,q)_{\infty}}{(az\cdot q)_{\infty}}.,$$\tilde{f}^{\theta}(z)=\log\frac{(-az,q)_{\infty}}{(-bz\cdot q)_{\infty}},\cdot$’$f(z)=\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(az)-\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(bz)$,,$\tilde{f}(z)=\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(-bz)-\mathrm{L}\mathrm{i}_{2}(-az)$となることがすぐにわかる. これらは, 仮定 (1), (1’), (2), (2’) を全て満たすから定理 2.1 も定理 22 も適用できる.
$c_{1}=2 \log\frac{1-b}{1-a},$$c_{2}= \frac{(a-b)(1-ab)}{(1-a)^{2}(1-b)^{2}}$and$\tilde{c}_{1}=2\log\frac{1+a}{1+b},\tilde{c}_{2}=\frac{(a-b)(1-ab)}{(1+a)^{2}(1+b)^{2}}$.

となるから, 次を得た.

系 4.2. (4.3) で定まる測度 P あ$hur,q,a,b$ において, 確率変数$\frac{\lambda_{j}-c_{1}\theta}{(c_{2}\theta)^{1/3}}$,$j=1,2,$は $q\uparrow 1$ で Airy ensemble に分布収束する.
る.

$\ldots$,

ここて,$\theta=\frac{1}{1-q}$$c_{1}=2 \log\frac{1-b}{1-a},$$c_{2}=$

であ
口

40

は発散してしまう. これは 4.3 章での 「
分布が見えない」 という事実と compatible である.
ここで,

$a=qarrow 1,$$b=0$ とすると,

系 4.3. (4.3) で定まる測度$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{u}\mathrm{r},q,a,b}$$\frac{\lambda_{j}’-\tilde{c}_{1}\theta}{(\tilde{c}_{2}\theta)^{1/3}},$は$q\uparrow 1$

で$\mathrm{A}\dot{\mathrm{n}}\mathrm{y}$$-\sim$$c_{1},$$\mathrm{c}_{2}$$\lambda_{j}$のにおいて, 確率変数

$j=1,2,$ensemble I こ分布収束する.

$\ldots$,

ここで,$\theta=\frac{1}{1-q}$$\tilde{c}_{1}=2\mathrm{I}\mathrm{o}\mathrm{g}\frac{1}{1}\pm\subseteq+b$,$\tilde{c}_{2}=$

る.

であ
口

ここで, $a=qarrow 1,$ $b=0$ とすると, 系 4.1 を再ひ得る.

4.5

その他の例

と特殊化する. ただ
やや人工的ではあるがもうひとつ例を与えておこう.
し, $\sigma>0$ かつ $0<q<1$ . 第 43 章での特殊化は $\sigma=1$ のときである. すると,
$p_{k}=(_{1}\pm_{q}^{k})^{\sigma}$,$q=e^{-1/\theta^{\sigma}}$$p_{k}^{\theta}=( \frac{q^{k}}{1-q^{k}})^{\sigma}\sim\frac{\theta}{k^{\sigma}}$

てある.

さらに,

, \mbox{\boldmath $\theta$}\rightar ow 科科$\tilde{f}^{\theta}(z)=\sum_{k=1}^{\infty}(_{1}\pm_{q}^{k})^{\sigma}\frac{z^{k}}{k},\tilde{f}(z)=-\mathrm{L}\mathrm{i}_{\sigma+1}(-z)$

は満たされる. ただし,,となり, 仮定 (0), (1’), (2’)

43 章と同様に仮定 (1), (2) は満たされない.

$\text{さ}-c$$\tilde{\zeta}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{-\epsilon}}$

とおく.
から,

,

${\rm Re}(s)>0$とすると, これは $\tilde{\zeta}(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ だ
リーマンゼータ関数をは 全体に正則関数として解析接続できる. このとき,$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-\epsilon}$$\tilde{\zeta}(s)$$\mathbb{C}$$\tilde{c}_{1}=2\tilde{\zeta}(\sigma),\tilde{\mathrm{c}}_{2}=\tilde{\zeta}(\sigma-2)$となる. 以上より,Schur 測度から特殊化.

$p_{k}=(_{1}\pm_{q}^{\mathrm{k}})^{\sigma}(\sigma>0)$で定まる測度において, 確率変数$\frac{\lambda_{j}’-2\tilde{\zeta}(\sigma)\theta}{(\tilde{\zeta}(\sigma-2)\theta)^{1/3}}$

は$q\uparrow 1$,$j=1,2,$で Airy ensemble に分布収束する.

$\ldots$,$\theta=(\frac{1}{\log\frac{1}{q}})\frac{1}{\sigma}\sim(\frac{1}{1-q})^{\frac{1}{\sigma}}$

41

5

重さ

$|\lambda|$のモーメント

ここでは Hall-Littlewood 測度 (1.1) において, 分割の重さ$| \lambda|=\sum_{j}\lambda_{j}$を確率変数と思い,そのモーメント$\mathrm{E}(|\lambda|^{n})=\sum_{\lambda\in \mathcal{P}}|\lambda|^{n}\mathrm{P}_{\mathrm{H}\mathrm{L},t}(\lambda)=(_{\dot{l}}\prod_{\dot{\mathit{0}}=1}^{\infty}\frac{1-X.\mathrm{Y}_{j}}{1-tX\dot{.}\mathrm{Y}_{j}}.)\sum_{\lambda\in \mathcal{P}}|\lambda|^{n}Q_{\lambda}(X;t)P_{\lambda}(\mathrm{Y};t)$を計算しよう.

$\lambda_{j}$,$n=0,1,2,$$.$.

たちの分布を見るよりも易しい.

定理 51. Hall-Littlewood 測度において, 確率変数$|\lambda|$の cumulant は,$\phi_{r}=\phi_{r}(X,\mathrm{Y};t)=\sum_{k=1}^{\infty}k^{r-1}(1-t^{k})p_{k}(X)p_{k}(\mathrm{Y})$て与えられる. すなわち,$|\lambda|$$r=1,2,$ . .

,のモーメント母関数は$\mathrm{E}(e^{|\lambda|z})=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{E}(|\lambda|^{n})\frac{z^{n}}{n!}=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}\phi_{r}\frac{z^{r}}{r!})$てある.

より明示的に,$\mathrm{E}(|\lambda|^{n})=n!\sum_{+n}\prod_{r\geq 1}\frac{1}{m_{r}(\rho)}(\frac{\phi_{r}}{r!})^{m_{r}(\rho)}$

とかける.

たとえば,
$\mathrm{E}(|\lambda|)=\phi_{1}$,

例 5.1. 前章での特殊化における$\mathrm{E}(|\lambda|^{2})=\phi_{1}^{2}+\phi_{2}$$\mathrm{E}(|\lambda|)$$\mathrm{V}_{\mathfrak{N}}(|\lambda|)=\phi_{2}$$\alpha,$$\mathrm{E}(|\lambda|)=\xi$$0,0\ldots$.

) において,3. 第 43 章の特殊化 $X=\mathrm{Y}=(q, q^{2}, q^{3}, \ldots)$ において,$\mathrm{h}.\mathrm{m}_{q\uparrow 1}(1-q)^{2}\mathrm{E}(|\lambda|)=\zeta(2)=\frac{\pi^{2}}{6}$$\Delta_{X}$$\mathrm{E}(|\lambda|)=-\neg 1\alpha n\alpha^{2}2$

さらに,口とおく. 対称関数全体のと定義する. $\Delta_{X}(p_{k}(X))=kp_{k}(X)$ であり$Z= \sum_{\lambda\in \mathcal{P}}Q_{\lambda}(X;t)P_{\lambda}(\mathrm{Y};t)$$\Delta_{X}=\sum_{k=1}^{\infty}X_{k}\frac{\partial}{\partial X_{k}}$.

$\mathrm{E}(|\lambda|)=\sum_{k=1}^{\infty}(_{1}\pm_{q}^{k})^{2}$となる.

定理 5.1 の証明は以下のようである.
を代数の上の微分作用素.

の例をいくつか見てみよう.

1. 第 4.1 章の特殊化 $p_{k}=\delta_{k,1}fl$ において,

2. 第 42 章の特殊化 X=Y=(\mbox{\boldmath $\alpha$}, プー,42$\Delta_{X}Q_{\lambda}(X;t)=|\lambda|Q_{\lambda}(X;t)$だから,$\mathrm{E}(|\lambda|^{n})=\frac{1}{Z}\Delta_{X}^{n}(Z)=\frac{1}{Z}\Delta_{X}(Z\frac{1}{Z}\Delta_{X}^{n-1}(Z))$$= \frac{1}{Z}\{\Delta_{X}(Z)\frac{1}{Z}\Delta_{X}^{n-1}(Z)+Z\Delta_{X}(\frac{1}{Z}\Delta_{X}^{n-1}(Z))\}$$=\mathrm{E}(|\lambda|)\mathrm{E}(|\lambda|^{n-1})+\Delta_{X}(\mathrm{E}(|\lambda|^{n-1}))$となる. それゆえ,$\mathrm{E}(|\lambda|)=\phi_{1}$から漸化式$\mathrm{E}(|\lambda|^{n})=(\phi_{1}+\Delta_{X})(\mathrm{E}(|\lambda|^{n-1})(n\geq 1)$

を得る.

すなわち,
$\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{E}(|\lambda|^{n})\frac{z^{n}}{n!}=\exp(z(\phi_{1}+\Delta_{X}))(1)$.

CampbeU-Hausdoffi の公式と関係式$\Delta_{X}(\phi_{r})=\phi_{\mathrm{r}+1}$,$[\Delta_{X}, \phi_{r}]=\phi_{r+1}$$(r\geq 1)$

から$\exp(z(\phi_{1}+\Delta_{X}))\exp(-z\Delta_{X})(1)=\exp(\sum_{r=1}^{\infty}\phi_{f}\frac{z^{r}}{r!})$

を得る.

6

$\Delta_{X}(\mathrm{D}=0$だから, 定理を得る.

終わりに

第 2 章の内容は shifted Schur 測度 (1.3) でも同様にできる. それには, [M2] で得られた
shifted Schur 測度の相関関数のパフイアン表示が重要である.
$Q_{X}(z)= \prod_{j=1}^{\infty}\frac{1+X_{j}z}{1-X_{j}z}$とお$\text{く}$.

定理 6.1([M2]). 有限集合

$A=\{a_{1}, \ldots, a_{N}\}\subset \mathbb{Z}_{>0}$に対して,$\mathrm{P}_{\mathrm{S}\mathrm{S}}(\{\lambda\in D;\lambda\supset A\})=\mathrm{p}\mathrm{f}(\mathcal{K}(a_{i}.’とかける.

ここで, 各$\mathcal{K}(r, s)$は2$\mathrm{x}2$a_{j}))_{1\leq:\dot{\mathit{0}}\leq N}$

行列$\mathcal{K}(r, s)=(\begin{array}{ll}s)\mathcal{K}_{00}(r s)\mathcal{K}_{01}(r\mathcal{K}_{10}(r,s) \mathcal{K}_{11}(r,s)\end{array})$43

でその各威分は以下で定まる.
$\mathcal{K}_{00}(r, s)=\frac{1}{2}[z^{r}w^{\epsilon}]\frac{Q_{X}(z)Q_{X}(w)}{Q_{Y}(z^{-1})Q_{\mathrm{Y}}(w^{-1})}\frac{z-w}{z+w}$

ここて,$[z^{r}w^{s}]$は$z^{r}w^{\epsilon}$の係数を表し,,$\frac{z-w}{z+w}=1+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}z^{-k}w^{k}\text{と}$展開する.

$\mathcal{K}_{01}(r, s)=-\mathcal{K}_{10}(s,r)=\frac{1}{2}[z^{r}w^{\epsilon}]\frac{Q_{X}(z)Q_{\mathrm{Y}}(w)}{Q_{\mathrm{Y}}(z^{-1})Q_{X}(w^{-1})}\frac{zw+1}{zw-1}$

ここで,$\frac{zw+1}{zw-1}=-(1+2\sum_{k=1}^{\infty}" w^{k})$. そして,$\mathcal{K}_{11}(r, s)=\frac{1}{2}[z^{r}w^{s}]\frac{Q_{Y}(z)Q_{\mathrm{Y}}(w)}{Q_{X}(z^{-1})Q_{X}(w^{-1})}\frac{w-z}{w+z}$

ここで,

,

$\frac{w-z}{w+z}=-(1+2\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}z^{-k}w^{k})$

,

.

口

この定理は, あるハイゼンベルグ代数の外積代数上での表現を通じて得られた. また最近,
より直接的な線型代数的証明も得た ([M4, 松本 2, 松本 3]) shifted Schur 測度の極限分布については [松本 2] でくわしく述べられる.

を思い出そう. いままで述べてきたように Schur 測度
を適当にスケー
径 度( $t=-1$ のとき) のいすれも,リングして極限分布を考えると, Airy ensemble に収束することがわかった. それは相関関数の行列式表示 (定理 3.1, 系 32) またはパフィアン表示 (定理 6.1) から得られる. てはの極限分布はどのようになるだろうか ? すなわち,一般の における
さて, Hall-Littlewood 測度( $t=0$ のとき) およひ shifted Sch$\mathrm{P}_{\mathrm{H}\mathrm{L},t}$$t$$\lambda_{j}$$\lambda_{j}$問題. Hmll-Littlewood 測度(の特殊化) における$\lambda_{j}$の極限分布はどうなるか?

Hall-Littlewood 関数は特に行列式 (またはパフィアン) による表示があるわけてもなく,-Littlewood 測度の相関関数を求めることは困難である. 相関関数がとういう形で与えら$\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{U}$れるのか, それを求めていくことは今後の研究の課題の一つである.

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