４章２課

えん第２課

せいしつ

えんしゅうかく円の性質・円 周 角〈垈議來嵎･垈巓叔･碗俳叔協尖〉【基本問題】□①

点Ａ、Ｂ、Ｃは円Ｏ上の点で、直線ＤＴは点Ｃにおいて円Ｏと接している。このとき∠ x の大きさを求めよ。

ＡＯx

Ｂ32°
Ｄ

□ ＊②□

③ＴＣ

右図の円において、ＡＢは直径、∠CAB = 25°, ∠BOD = 46° の とき、 ∠ODC の大きさを求めなさい。ただし、点 A、点 B、点 C、点 D は円周上にあり、点 O は円の中心とする。

ＣＡ

Ｂ

ＯＤ

Ａ

右図で、点Ｏは円の中心である。
∠ x の大きさを求めなさい。

65°
xＢＯＣ
□ ＊④

右の図形において∠ x は何度か。

Ｄ80°

ＡxＢ

Ｃ7

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□ ＊⑤

Ａ

図のように、円に内接する四角形 ABCD の対角線の交点を P とする。AB=AD のとき、 ∠ACDを a 度とすると、 ∠BAD は何度か、 a の式で表しなさい。

ＰＢ

ＤaＣ

□⑥

右図のように、△ABC が円Ｏに内接している。直線 AT は、点Ａにおける円Ｏの接線である。
∠TAB＝60°、∠BOC＝104°であるとき、∠ABC の大きさは何度ですか。

Ｂ
Ｃ104°

ＴＯ60°

Ａ
□ ＊⑦

右の図で点ＢとＣは点Ａから円に引いた接線の接点です。図のようにＢとＣの間のＡがない側の適当な場所に点Ｄをとりました。角 BAC を 50 °とすると、角 BDC（図 α ）は何度になりますか。

ＢＯ
Ａ50 oαＤＣ

解答 ① 29° ② 42° ③ 230° ④ 100° ⑤ 180－2 a ° ⑥ 68° ⑦ 65°…………………………………………………………………………………………………………
萩殊臥嚥屎鳩基宛頁倦㌢憲旺壓□嶄亟貧炎芝｡泌惚短嗤諒籾議三,萩俊和栖心【練習問題】｡…………………………………………………………………………………………………………

【解法】①皿匯訳絹廁㌔ OC∠DOC＝∠ x ×2（歌孚鹸楼嶷泣 垈巓叔協尖(1)）
壓△DOC 嶄 ∠DCO＝90°（ＤＣ頁垈議俳㌔）
咀葎眉叔侘議坪叔才頁 180°

2x + 32° + 90° = 180°
∴ x = 29°

→ 2 x = 58別解）高∠OAC＝∠BCD＝∠ x （碗俳叔協尖）∠BCA＝90°（嚥岷抄㌢斤議垈巓叔葎 90 °）壓△ADC 嶄∠ x ＋∠BCD＋∠BCA＋32°＝180°→∠ x ＋∠ x ＋90°＋32°＝180°→ 2 x = 58
∴ x = 29°
8ＡＯ
Ｂ
Ｄx2x32°

ＴＣＡＯx

Ｂ
32°
ＤxＣＴ

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②皿匯訳絹廁㌔ OC
OA＝OC（垈議磯抄） ∴∠OAC＝∠OCA＝25°∴∠COB＝25＋25＝50°(眉叔侘議翌叔)
賜宀
∠CAB＝25°＝∠COB×25°Ｃ

Ａ

1(垈巓叔協尖(1))
225° Ｏ 50°
46° Ｂ

Ｄ

∴∠COB＝50°△COD において OC＝OD（磯抄）∴∠OCD＝∠ODC∴∠ODC＝180 − (50 + 46)= 42°
2Ｃ
Ａ25° Ｏ
46°

Ｄ別解)∠Ｃ＝∠AOD ×1
1= (180 − 46) × = 67°
22Ｂ
Ｃ67°
25°
180°
ＡＯ 46°(垈巓叔協尖(1))
Ｄ壓膨叔侘 ACDO 嶄25＋67＋（180＋46）＋∠ODC＝360°(膨叔侘坪叔才頁 360°)∴∠ODC＝42°③∠BOC=2×65°=130° （垈巓叔協尖(1)）
総翌 ∠BOC＋∠ x =360°∴∠ x =360°－∠BOC=360°－130°＝230°④ 泌夕侭幣皿匯訳絹廁㌔∠AOC（業方弌議叔）＝80×2＝160°（垈巓叔協尖(1)）∠AOC（業方寄議叔）＝360－160＝200°∴∠ x ＝∠AOC（大）×

Ｄ80°

Ａ

1
1＝200× ＝100°
2
2O 200°160°

xＢ別解)高 咀葎泣Ｅ将狛岷㌔ＡＤ議决海㌔，
拝膨叔侘 ABCD 嚥垈坪俳
∠ x ＝ ∠ CDE= 180－ 80＝ 100°賜宀 ∠ x ＋80＝180° ∴∠ x ＝100°

Ｃ

ＤＥ80°

Ａx
Ｂ

Ｃ

9

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⑤∠ACD＝∠ABD＝∠ a (垈巓叔協尖(2))
壓△ABD 嶄 AB＝AD∴∠ABD＝∠ADB＝∠ a∴∠BAD＝180－2×∠ a＝180－2 a (°)

ＡＢa Ｐ

ＤaＣ⑥
泌夕侭幣皿匯訳絹廁㌔
喇噐岷㌔ AT 頁垈 O 議俳㌔，
∠OAT＝90° ∴∠OAB＝90－60＝30°
OA＝OB（垈議磯抄） ∴∠OBA＝30°

ＢＣ104°ＯＴ壓△OCB 嶄OB＝OC（垈議磯抄）∴ ∠OBC =60°

180 − 104= 38°
2Ａ∴∠ABC＝30＋38＝68°

Ｂ別解) 高∠CAB =

1× ∠COB = 52°2(垈巓叔協尖(1))

喇噐岷㌔ AT 頁垈Ｏ議俳㌔,∠BCA = ∠TAB = 60° (碗俳叔協尖)壓△ABC 嶄Ｃ104°60°

ＴＯ52°60°∠ABC = 180° − ∠CAB − ∠BCA

Ａ= 180° − 52° − 60° = 68°⑦ 咀葎岷㌔ AB 嚥 AC 蛍艶嚥垈Ｏ㌢俳，Ｂ∠ ABO 才 ∠ ACO 蛍艶葎 90o（歌孚鹸楼嶷泣・垈議碗參式垈俳㌔③）
膨叔侘議膨倖坪叔議才葎 360o
∴ ∠ BOC = 360 − 50 − 90 − 90 = 13011∠ α = × ∠ BOC = × 130 = 65o22…(垈巓叔協尖(1))

o

Ａ50°

Ｏ

αＤＯαＤＣＢ別解）高
AB=AC （歌孚鹸楼嶷泣・垈議碗參式垈俳㌔③）∴△ABC 頁吉劈眉叔侘180o − 50o= 65o2
功象碗俳叔協尖 ∠ ACB= ∠ BDC= 65o

Ａ50°∴ ∠ ABC= ∠ ACB=10Ｃ

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復習のポイント 〈鹸楼議嶷泣〉
えんげん

せっせん

★円の弦と接線 〈垈議碗參式垈議俳㌔〉① 垈議碗瓜嚥凪㌢換岷議磯抄屈吉蛍。

O・弦→② 垈議俳㌔嚥銭俊俳泣議磯抄㌢換岷。

O接線③ 參垈翌議蝶匯泣恬葎軟泣議揖匯垈議曾訳俳㌔議海業㌢揖。

ＯＰ

えんしゅうかくてい り★円 周 角の定理〈垈巓叔協尖〉（１）1垈巓叔葎垈伉叔議
2

円周角

Ｏちゅうしんかく中 心角※嚥岷抄㌢斤議垈巓叔葎 90 °

11

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★円周角の定理〈垈巓叔協尖〉（２）嚥揖匯訳察㌢斤議曾倖垈巓叔葎吉叔

こ弧ないせつＡ高 ★円に内接する四角形Ｄ〈了噐垈坪,拝膨倖叔壓垈巓貧議膨叔侘〉∠A ＝∠DCE※斤叔議才吉噐 180°

∠A+∠DCB ＝180°∠B+∠D ＝180°

Ｂ

Ｅ

Ｃ

せつげんてい り

高 ★接弦定理〈碗俳叔協尖〉∠A=∠CBE

ＡＣＤ
Ｂ

Ｅ……………………………………………………………………………………………………………………

【練習問題】①∠ x の大きさを求めなさい。
(1)

(2)

x60°

38°

12x

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(3)

(4)
50°
ＣＯx105°

xＢ

Ａ

(6)

(5)

25°
ＡＤ60°

x40°

Ｏx115°

ＣＢ② 右の図のように、円に内接する四角形 ABCD がある。
AD//BC のとき、 ∠ x と ∠ yの大きさを求めなさい。

Ｄ

Ａ32°

80°

xyＣ

Ｂ

③ 右の図で、四角形 ABCD は線分 BD を直径とする円Ｏに内接し、AC=AD である。∠ACD=70°のとき、∠BDC の大きさは何度ですか。

Ａ
Ｂ
Ｏ70°

ＤＣ
④ 右図で、四角形 ABCD は円に内接している。また、点Ｐは直線 AD と BC との交点である。
∠Ａ＝60°、∠Ｐ＝20°のとき、∠ADCの大きさを求めなさい。

Ａ
Ｄ

60°

20°

Ｂ

ＰＣ

13

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⑤ 右図で、点Ａ,Ｂ,Ｃは円Ｏの円周上の点で、AB＝BC、∠ABC=100°である。
線分 CB の延長と点Ａにおける円Ｏの接線との交点をＤとする。このとき、∠BAD の大きさを求めなさい。

ＣＯ

Ａ

解答

14

100° ＢＤ①(1)120° (2)64° (3)150° (4)40° (5)110° (6)65°→盾瞥諒籾議圭隈萩心 75 匈
② x = 32 ° y = 48 ° ③50° ④80° ⑤40°