第11回流砂・河床変動に関する若手勉強会
日時：2024年3月7日（木）、3月8日（金）場所：琉球大学 工学部2号館 2-504教室

特別講演 15:50-17:35
仲座 栄三（琉球大）「水理学・流体力学で説明されるNavier-Stokes方程式が誤りであることを自らの手で証明し、日本発の基礎方程式を世界に発信しよう」

物理学の鉄則：「導かれた理論の正しさは、実験や観測によって実証される」
本研究による教訓：
そうではない。

「導かれた理論が、実験値や観測値と一致したからといって、その理論が正しいということの証明にはならない」

研究者は、総合職たれ弾性理論のHookeの法則の修正の説明から始め、流体力学の基礎理論Navier-Stokes方程式の修正を説明する。続けて、ニュートンの運動法則の修正を提示する。
以上のことをまとめ、力学の新たな基礎理論を提示したい。

ロバート・フック（Robert Hooke, 1635-1703）
1678年（43歳）、論文＜ばねについて＞が出版された。その内容は弾性体に関するフックの実験結果であり、これが材料の弾性について初めて出版された論文である。
「バネの自然状態よりの変位とか間隙の大きさと、バネを自然の位置にもどそうとする力とは比例する。」この法則はバネについてのみ観測されるというものではなく、金属、木、石、れんが、毛髪、角、絹、骨、筋肉、ガラスなどのすべての弾力性のある物体についていえることである。また曲げを受けた物体の形や曲げる方法によらず、やはりあてはまる。
この力と変形の線形関係はいわゆるフックの法則であり、その後弾性体力学の発展の基礎となった。
地球の中心から遠く離れたとき、物体が地球の中心へ向かう力を失わないかどうかを調べるために、私は天秤を作った。
材料力学史：S.P, ティモシェンコ著、最上武雄＝監訳／川口昌宏＝訳
鹿島出版、431p.、1974。

フックの法則について教室ではまことしやかに、次のように説明されるのが一般的となっている。
右図に示すような材料の一軸圧縮を考えるとき、フックの法則（歪みは応力に線形比例する）は、まず縦方向について、次のように書ける。
𝜎3 = 𝑌𝜀3(1)ここに、 𝜎3 は縦方向の主応力、𝜀3 は主歪み、 𝑌 はヤング率を表す。

𝜀3Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3
𝜀1

横・奥方向については、ポアソン比𝜈を導入して、次の関係式が与えられる。
𝜀1 = 𝜀2 = −𝜈𝜀3(2)何が問題なのか？
我々は、これまで、式(1)及び式(2)の導入を当然としてきた。
𝜀1 = 𝜀2 = −𝜈𝜀3(2)式(2)の導入は、材料の等方性を仮定している。また、 𝜎1 = 𝜎2 =0で（応力に無関係に）等歪みが現れるとしている。
等歪みが応力に無関係に現れるのなら、材料の等方性によって、その効果は縦方向にも現れていなければならない。
よって、応力と歪みが比例し、𝜎3 = 𝑌𝜀3(1)と書けることは当然とはならない。

𝜀3Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3𝜀1

すなわち、式(1)と式(2)とは互いに矛盾している。

さらに、式(1)は力学をなすが、式(2)は力学をなさない、という問題をもはらんでいる。

応力分布図を表示し、歪み分布図を表示する力学文化の問題点

𝜎𝜀

従来の弾性理論では、応力解析の後、応力分布𝜎と歪み分布𝜀を表示するのが、一般的となっている。
このことから、破壊基準や破壊現象の解釈が様々な形に行われている。
しかしながら、それらは従来理論の問題点を取り繕う工夫の必要を余儀なくされており、結果として、木に竹を接ぐ説明となっている。

従来の定義に従う基礎理論では、ポアソン効果によって、応力が存在しなくとも歪みが現れる。
逆に、歪みが生じていてもそこには応力は存在しないとする判断を与える。
すなわち、応力分布図と歪み分布問題点の一切を解決できる新たな図とが互いに相補的になっていない。 弾性理論が希求される。

従来の弾性歪みエネルギーの定義
我々の一般的な見解は、次の通りである。
１）バネに対して：
バネの伸び量𝑥と作用力𝑓との関係
は、フックの法則より、次のように与えられる。
𝑓 = 𝑘𝑥3
ここに、𝑘はバネ定数である。
弾性バネに蓄えられるエネルギーは、次のように与えられる。
𝑥1 2W = න 𝑘𝑥𝑑𝑥 = 𝑘𝑥
(4)20２）弾性棒について：
図に示す一軸圧縮下の弾性棒に蓄えられる弾性エネルギーは、次のように与えられる。
𝜀W = ‫׬‬0 𝜎𝑑𝜀(5)と定義し、1W = 𝑌𝜀3 2(6)2と与えたなら、それは誤りである。
すなわち、教科書は間違っている。

式(6)の定義はなぜ誤りと言えるのか？
右の図を見ると、材料は縦方向の変形のみではなく、横、奥方向にも変形している。
縦方向の変形に蓄えられる弾性1エネルギーが、 𝑌𝜀3 2 と与えられ𝜀3Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀32るのなら、横や奥方向の変形に蓄えられる弾性エネルギーが、
11𝑌𝜀1 2 や 𝑌𝜀2 2 と与えられるべ22きでないか？という疑問が湧く。
すなわち、11122𝑌𝜀1 = 𝑌𝜀2 = 𝑌 𝜈𝜀3 2222が不足しているのではないか。

𝜀1

しかしながら、 𝜎1 = 𝜎2 = 0であるから、 𝜎1 𝜀1 = 𝜎2 𝜀2 = 0であり、やはり、
1W = ‫𝜎 ׬‬3 𝑑𝜀3 = 𝑌𝜀3 22が与えられる。
しかし、この結論は誤りである。

横及び奥方向の変形は何の応力によるものか？
ポアソン効果は何の応力がなすものか？
従来の弾性理論は、この素朴な質問に答えていない。

𝜀3

Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3𝜀1ポアソン効果を引き起こす応力がミッシングとなっている。
このことは、極めて深刻である。

その結果、

𝜎1 = 𝜎2 = 0
𝜀1 = 𝜎2 𝜀2 = 01W = 𝜎3 𝜀3 = 𝑌𝜀3 22という誤った結果を導いている。

𝜎3

従来の弾性歪みエネルギーのさらなる検討
𝜀1
𝑊 = න 𝜎𝑑𝜀 = 𝑌𝜀3 220𝑌
𝐺=2 1+𝜈1
𝑊 = 2 1 + 𝜈 𝐺 𝜀3 2 = 𝐺𝜀3 2 + 𝐺𝜈𝜀3 22= 𝐺𝜀3 2 + 𝐺𝜈𝜀3 2 + ? ?
縦横
奥なぜ、？？の分が足りないのか？
横と奥の歪みを生じさせた応力が、ミッシングとなっていることによる。

𝜀3

Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3?
𝜀1

その応力は等方応力であるがゆえに、縦方向にも現れている。
すなわち、縦方向の歪み𝜀3 は外力としての応力𝜎3 の作用のみで発生したのではない。

フックの法則の再検討
フックは、「バネの自然状態よりの変位とか間隙の大きさと、バネを自然の位置にもどそうとする力とは比例する。」「この法則はバネについてのみ観測されるというものではなく、金属、木、石、れんが、毛髪、角、絹、骨、筋肉、ガラスなどのすべての弾力性のある物体についていえることである。」
フックの説明はバネ以外の物体については、十分ではなかった。

𝜀3

Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3𝜀1

物体は、一般に横及び奥方向にも変形を見せているので、その変形は何の力によるものかをも説明する必要があった。

𝜎

物体に対するフックの法則の修正（Hooke・Nakazaの法則）「バネの自然状態よりの変位とか間隙の大きさと、バネを自然の位置にもどそうとする力とは比例する。」「この法則はバネについてのみ観測されるというものではなく、金属、木、石、れんが、毛髪、角、絹、骨、筋肉、ガラスなどのすべての弾力性のある物体についていえることである。」
しかし、物体は密度変化に対して一般に等方変形を見せる。また、温度の変化によっても一般に等方的な膨張・収縮を見せる。

𝜀3

Traditional
𝜎3 = 𝑌𝜀3
𝜎1 = 0𝜀1 = −𝜈𝜀3

𝜌, 𝑇𝜀1

すなわち、物体の変形は、外部応力の機械的な作用のみでなく、熱力学的な内部応力（圧力）の作用をも受ける。

新たなフックの法則に基づく、等方弾性体の新たな構成方程式
物体の変形は、外部応力の機械的な作用のみでなく、熱力学的な内部応力（圧力）の作用をも受ける。
すなわち、物体の変形は、圧力の作用と外部応力の作用によるものである。
新たな構成方程式：
物体の歪み <＝ 圧力＋外部応力
or
外部応力＝-圧力＋E×物体の歪み（弾性応力）
E: Elasticity

以下、"弾性定数×物体の歪み"を、弾性応力と呼ぶ。弾性係数を𝐸で表す。

新たなフックの法則に基づく、等方弾性体の新たな構成方程式
以上の議論により、等方弾性体の内部応力の新たな構成方程式は、次のように与えられる。
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝐸𝜀𝑖𝑗(7)
圧力

弾性応力

ここに、 𝜎𝑖𝑗 は応力テンソル、 𝜀𝑖𝑗 は歪みテンソル、 𝑝は圧力、 𝐸は弾性係数、 𝛿𝑖𝑗 はデルタテンソルを表す。
𝑖 ≠ 𝑗 のとき（すなわち、体積変形
or 密度変化・温度変化が無いとき、式(7)は、
𝜎𝑖𝑗 = 2𝐸𝜀𝑖𝑗(8)を与え、応力と歪みが線形比例する。

新たな構成方程式(7)を上の図の一軸圧縮問題に適用すると、次のようになる。
𝜎3 = −𝑝 + 2𝐸𝜀390 = −𝑝 + 2𝐸𝜀1100 = −𝑝 + 2𝐸𝜀211
よって、
𝑝 = 2𝐸𝜀1 = 2𝐸𝜀212
すなわち、ポアソン効果は、圧力𝑝が引き起こす等方変形である。

弾性係数𝐸及び圧力の状態方程式

式(7)の主応力の和をとって、𝜎1 +𝜎2 +𝜎3 = −3𝑝 + 2𝐸 𝜀1 + 𝜀2 + 𝜀3
式(12)と式(1)より、次なる関係が𝜎𝑘𝑘 1𝑝=−− 2𝐸𝜀𝑘𝑘与えられる。
33𝑌𝜀3 = −𝑝 + 2𝐸𝜀3従来の応力歪み関係式より、また、式(12)と式(2)より、
1+𝜈
𝑝 = −2𝐸 −𝜈𝜀3𝜎𝑘𝑘 =2𝐸𝜀𝑘𝑘
1 − 2𝜈
これらより、
よって、圧力の状態方程式の一般式
𝑌𝐸=(13)を得る。
2 1+𝜈
𝑝 = 2𝐸𝜀𝑝(14)すなわち、弾性係数𝐸は、従来のせん
ここに、断弾性係数と等価である（修正ヤング𝜀𝑝 = −𝜃𝜀𝑘𝑘
15率ともいえる）。
𝜈𝜃=16
式(12)は、圧力の状態方程式を成す。
1 − 2𝜈
圧力とそれが引き起こす歪みは弾性係式(15)の𝜃は、ポアソン比の一種とし数𝐸を介して、線形関係で結ばれる。て定義される。 𝜀𝑝 は、圧力が引き起圧力の状態方程式の一般化は、次のこす等方歪みを表す。
ように与えられる（等温状態変化）。

新たな弾性理論による弾性歪みエネルギーの定義

𝜎31 2𝑊 = න 𝜎 + 𝑝 𝑑𝜀 = න 𝐸𝜀 𝑑𝜀 = 𝐸𝜀211122= 𝐸𝜀3 + 𝐸𝜀1 + 𝐸𝜀2 2222𝑝11122∴ 𝑊 = 𝐸𝜀3 + 𝐸𝜈𝜀3 + 𝐸𝜈𝜀3 2222
縦横奥(17)弾性歪みエネルギーは変形箇所に満遍なく蓄えられる。

圧力分布と弾性応力分布を提示する新たな力学文化(18)

Strength , cr ( Mpa )𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝐸𝜀𝑖𝑗

20c = 28 Mpa

15c = 43 Mpa

105050-5-10

Mean Pressure (MPa)-15-20材料の強度と圧力の関係
圧力分布

弾性応力分布従来の弾性理論のまとめ
従来の弾性理論は、ヤング率とポアソン比を用いて、次のように与えられる。式(1)の一般化、
𝜀1 = 𝜎1 − 𝜈 𝜎2 + 𝜎3 /𝑌
𝜀2 = 𝜎1 − 𝜈 𝜎3 + 𝜎1 /𝑌
𝜀3 = 𝜎1 − 𝜈 𝜎1 + 𝜎2 /𝑌構成方程式は、次のようにも与えられる。
𝜎𝑖𝑗 = 𝐾𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝐺 𝜀𝑖𝑗 − 𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3
これは、Stokesの構成方程式である。
以上に示す従来の構成方程式はすべて、先に一軸圧縮の例で取り上げた問題を内在している。

また、従来のフックの法則によって、すなわち、ポアソン効果を説明す
𝜎𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝜀𝑘𝑙
る応力がミッシングとなっている。
弾性歪みエネルギーが正しく求めらとおき、等方弾性体に対して、れない。応力が存在しない箇所にも
𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝐺𝜀𝑖𝑗歪みが現れる。逆に、歪みが現れてを得る。これは、ラメの構成方程式ともそこに応力が存在するとは限らな呼ばれる。𝜆及び𝐺は弾性係数。
い。すなわち、応力分布図と歪み分布図とが相補的になっていない。

新たな弾性理論のまとめ
材料に作用する外部応力と材料の歪みとの線形関係のみを規定する従来のフックの法則を修正し、材料の密度変化や温度変化に伴って材料内部に生じる圧力変化による材料の歪みの存在を明示した。
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝐸𝜀𝑖𝑗
これによって、従来の弾性理論においてミッシングとなっていた応力が内部圧力𝑝であったことが示された。
等温状態変化を仮定するとき、圧力の状態方程式は、
𝑝 = 2𝐸𝜀𝑝と与えられる。ここに、 𝜀𝑝 は圧力が引き起こす等方歪みを表す。

以上より、等方弾性体の弾性定数はただ一つと結論される。それは係数𝐸(Elasticity)として現れている。
新たな構成方程式によって、弾性歪みエネルギーが正しく定義された。
新たな弾性理論では、応力分布として圧力分布と弾性応力分布とが与えられ、それらは応力評価に対して相補的となる。
これまでの説明では、従来の弾性理論によるヤング率やポアソン比を適宜用いている。しかし、それらは単に実験等で求めやすい経験定数としての位置付けにある。
温度変化を伴う場合の圧力の状態方程式については、「仲座栄三：新弾性理論、ボーダーインク、97p.、2010」を参照して頂きたい。

おおよそ350年の時を経て、Hookeの法則は修正された。

これによって、Naiver(1821)から始まった等方弾性体の弾性係数論争は解決された。
弾性係数はただの１つであった。

なぜ人は、かくも簡単に思考停止になってしまうのか？
違いは、見ようとする意志が無ければ見えない。また、聴こうとする意志がなければ聞けない。

教訓：
数値モデルの構築は、物理的に理に適っている必要がある。
実験や観測による検証のみでは不十分である。推敲に推敲を重ねる必要がある。

流体力学の基礎理論
Navier-Stokes方程式の誤りを証明する

等方弾性体の構成方程式と粘性流体の構成方程式の比較
仲座（2005）の構成方程式は、次のとおりである。
１）等方弾性体
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝐸𝜀𝑖𝑗
２）粘性流体𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝐸𝜀𝑖𝑗
Stokes(1945) の構成方程式は、次のとおりである。
１）等方弾性体
𝜎𝑖𝑗 = 𝐾𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝐺 𝜀𝑖𝑗 − 𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3２）粘性流体
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿
ҧ 𝑖𝑗 + 2𝜇 𝜀𝑖𝑗 − 𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3

せん断応力を定義されているところが特徴である。

𝐾: 𝑏𝑢𝑙𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑢𝑠, 𝐺: 𝑠ℎ𝑒𝑎𝑟 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑢𝑠𝑝ҧ ∶ mean pressure
𝜇: viscosity 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡Eulerの運動方程式
Euler（1755）は、流体に対して、質量保存則及び運動方程式を次のように与えている。但し、現代的な表記としてある。

１）質量保存方程式𝑑𝜌+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝒗
𝑑𝑡=0𝒗 : velocity vector, 𝜌 : density２）運動方程式
𝜌𝑑𝒗= 𝐗 − gradp ,𝑑𝑡𝜌 : pressure

Navierの運動方程式
1821-1824年頃、Navierは、等方弾性体及び流体に対して次のつり合い方程式及び運動方程式を与えている。但し、以下では現代的な表記としてある。
１）等方弾性体について𝑿 + ∇2 𝒖 + 2𝑐𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒖 = 0
すなわち、𝜎𝑖𝑗 = 2𝑐 𝜀𝑖𝑗 + 𝜀𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗

𝒖: displacement vector

２）流体の運動について𝜌𝑑𝒗= 𝐗 − gradp + μ ∇2 𝒗
𝑑𝑡𝒗 : velocity vector

単一定数理論Navierの後の運動方程式

１）Poissonの運動方程式
𝜕𝒗
𝜌= 𝐗 − gradp + μ ∇2 𝒗 + 𝜆 + 𝜇 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝜕𝑡すなわち、𝜎𝑖𝑗 = 𝜆𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗

２定数理論
𝜇: viscosity 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡
𝜆: second viscosity 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡２）Stokesの運動方程式
𝑑𝒗12
𝜌= 𝐗 − grad𝑝ҧ + 𝜇 ∇ 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡3
すなわち、𝜎𝑖𝑗 = 𝑝𝛿ҧ 𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3

Navier-Stokes equation𝑝ҧ ∶ mean pressure

Stokesの仮説

なぜ、第２粘性係数や平均圧力が現れたか？
ニュートンの粘性法則(1687、プリンキピア)
流体の部分で、滑かさの欠如から起こる抵抗は、他のことが同等なら、流体の部分が互いに分離される速度に比例する。

すなわち、𝜏𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑒𝑘𝑙

𝜏𝑖𝑗 : 粘性応力テンソル viscosity stress tensor
𝑒𝑘𝑙 : 歪み速度テンソル rate of strain tensor
𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 : 係数テンソル coefficient tensor

等方性、対象条件より、 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 の係数が2個になり、今井功著：流体力学（前編）、pp.270-284を参照

粘性応力
𝜏𝑖𝑗 = λ𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗
２定数理論

ここに、粘性係数𝜇に加えて、第２粘性係数𝜆が現れる。

Stokesは運動流体の圧力とは何かを考えた

Stokesの展開

𝜎𝑘𝑘 = −3𝑝 + 3𝜆𝑒𝑘𝑘 + 2𝜇𝑒𝑘𝑘

粘性応力
𝜏𝑖𝑗 = λ𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗𝜏𝑘𝑘 = 3λ𝑒𝑘𝑘 + 2𝜇𝑒𝑘𝑘

内部応力の構成方程式
静止流体
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝑠 𝛿𝑖𝑗
𝑝𝑠 ：静水圧
運動流体
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜆𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗
𝑝：運動流体の圧力

12𝑝 = − 𝜎𝑘𝑘 + 𝜆 + 𝜇 𝑒𝑘𝑘
33

圧力は、流体の変形速度𝑒𝑘𝑘 に依存しないと考えた。
これを、ストークスの仮説と呼ぶ。
したがって、
2𝜆+ 𝜇=03が与えられる。
1∴ 𝑝 = − 𝜎𝑘𝑘3

平均圧力と呼ばれるゆえんがここにある

Stokesの構成方程式
Navier-Stokes方程式
粘性応力
𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 /3

ストークスの仮説

𝜆 = −2𝜇/3

内部応力の構成方程式
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿
ҧ 𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3
𝑝：平均圧力ҧ
Navier-Stokes方程式𝑑𝑣𝑖𝜕𝜌
=𝑿−𝜎𝑗𝑖𝑑𝑡

𝜕𝑥𝑗

Cauchyの運動方程式

𝑑𝒗12𝜌
= 𝐗 − grad𝑝ҧ + 𝜇 ∇ 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡
3

ニュートン・ストークスの粘性法則

Schlichtingの議論
in his Boundary-Layer Theory

球対称な流体運動を考えた

流体運動
13𝑒𝑖𝑗 = 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗
粘性応力
𝜏𝑖𝑗 = 𝟎粘性の作用は無い内部応力の構成方程式
𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿
ҧ 𝑖𝑗𝑝：平均圧力ҧ（完全流体の圧力）
Navier-Stokes方程式
𝑑𝒗
𝜌 = 𝐗 − grad𝑝ҧ𝑑𝑡

球対称流体運動に対して、永久運動を許すことになる！
したがって、Stokesの仮説は受け入れ難い。

Stokesの仮説を受け入れず、第二粘性係数を導入する考え方
𝜏𝑖𝑗 = λ𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗= 𝜆′ 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3
圧力緩和に拘わる粘性項

粘性係数𝜇に加えて、第２粘性係数𝜆′ が導入される。

普通の粘性応力項

Navier-Stokes方程式𝑑𝒗
𝜌= 𝐗 − grad 𝑝ҧ − 𝜆’ 𝑑𝑖𝑣𝒗𝑑𝑡
12+𝜇 ∇ 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
3

第２粘性係数𝜆′ は、単原子気体については、Stokesの仮説が成立しゼロとなる。
しかし、空気など多原子気体からなる流体の運動に対しては、ゼロとならない。常に実験的に求める必要がある。
実験によれば、 𝜆′ ~𝜇 が得られている。

仲座の運動方程式

流体力学の運動方程式は、先に見た従来の弾性理論の支配方程式構築と同じ過ちを犯している。

ニュートンの粘性法則(1687、プリンキピア)
流体の部分で、滑かさの欠如から起こる抵抗は、他のことが同等なら、流体の部分が互いに分離される速度に比例する。
すなわち、𝜏𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 𝑒𝑘𝑙➀流体の滑かさの欠如は、歪み速度テンソル𝑒𝑖𝑗をもって十分に表される。

等方性、対象条件より、 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 の係数が2個になり、
𝜏𝑖𝑗 = λ𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 + 2𝜇𝑒𝑖𝑗

粘性応力
運動方程式

∴

𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇𝑒𝑖𝑗➀の理由により、 𝑒𝑖𝑗 のみの項が残る。
Newton・Nakazaの粘性法則 と呼ぶことができる。

𝑑𝒗𝜌= 𝐗 − grad𝑝 + 𝜇 ∇2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡新たな流体運動の基礎方程式

Eulerの質量保存方程式𝑑𝜌+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝒗
𝑑𝑡=0

粘性応力

𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇𝑒𝑖𝑗

運動方程式

𝑑𝒗
𝜌= 𝐗 − grad𝑝 + 𝜇 ∇2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡

運動エネルギーの散逸関数

1𝜙 = 𝜇𝑒𝑖𝑗 22

従来の流体運動の基礎方程式

Eulerの質量保存方程式𝑑𝜌+ 𝑑𝑖𝑣 𝜌𝒗
𝑑𝑡=0

粘性応力

𝜏𝑖𝑗 = 2𝜇 𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 /3

運動方程式

𝑑𝒗
12
𝜌
= 𝐗 − grad𝑝ҧ + 𝜇 ∇ 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡3𝑝ҧ は、熱平衡圧として取り扱われる。

運動エネルギーの散逸関数

1𝜙= 𝜇222𝑒𝑖𝑗 − 𝑒𝑘𝑘 23

球対称な流体運動に対して、エネルギー散逸が生じない。

7060

新たな理論と実験値との比較（音波の減衰率）

proposed eq.

 (cm-1)

5040

Zmuda
30
20

Stokes-Kirchhoff

100020406080100120

f/p (Mc/atm)
Fig.-1 Comparison between Nakaza’ theory and experiment
for the attenuation of sound in N2 gas at 29℃. Attenuation α isplotted against frequency-pressure ratio in MC./at. (seeZmuda16)), Table I, 1951). Stokes-Kirchhoff shows the result
from the Navier-Stokes equation.

論文や教科書でみる従来の説明推奨される説明非圧縮流体運動の解析は、次に示す基礎方程式による。

流体運動の支配方程式は、次に示す質量保存方程式及び運動方程式からなる。

∇∙𝒗=0

Eulerの質量保存方程式𝑑𝒗𝜌= 𝑿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝒗 + 𝜇∇2 𝒗𝑑𝑡

1 𝑑𝜌= −𝑑𝑖𝑣𝒗
𝜌 𝑑𝑡

これらの説明は、誤りである。

非圧縮流体運動の運動方程式は、次に示すNavier-Stokes方程式で与えられる。

𝑑𝒗
𝜌= 𝑋 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝒗 + 𝜇∇2 𝒗𝑑𝑡
この説明は、誤りである。
非圧縮流体運動の運動方程式というのは存在しない。

Nakazaの運動方程式

𝜌𝑑𝒗= 𝑿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 + 𝜇∇2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡

非圧縮流体運動に対しては、これらの基礎式が非圧縮条件（𝑑𝑖𝑣𝒗 =0）の下に解かれる。

Stokesの言葉（1945）
ストークスの仮説をもって提示した運動方程式に対して、Stokes自身は、「私の理論による解析結果が、実験値と一致したからといって、私の仮説が証明されたことにはならない。なぜなら、我々の身近にある流体運動は、非圧縮的であるからである」とする旨の説明を与えている。

ニュートンの運動法則の修正
従来のニュートンの運動法則

新たな運動法則

ニュートンの運動法則は，一般に，以下のように説明されている．

運動法則は，静止している物体が動き始める瞬間のみに適用される。

１ 慣性の法則
物体に力が作用しない限り，静止している物体は静止続け，一定速度で運動している物体はその運動状態を保つ．
2 運動方程式
質量𝑚の物体に力が作用するとき，物体の受ける加速度𝑑𝑣/𝑑𝑡は作用する力の大きさ𝑓に比例し，質量に反比例する．
𝑚𝑑𝑣/𝑑𝑡 = 𝑓(1)
３ 作用・反作用の法則
物体に力の作用があるとき，同時にその力と反対方向に同じ大きさの力の作用（反作用）が存在する．

１ 慣性の法則
静止している物体は、それに力が作用しない限り静止続ける慣性を有している．物体の慣性の大きさは、質量𝑚によって計られる。
2 運動方程式
静止している質量𝑚の物体に力𝑓が作用するとき，微小時間𝑑𝑡内に物体が得る微小速度𝑑𝑣は、運動方程式、𝑚𝑑𝑣 = 𝑓𝑑𝑡(1)で与えられる。
３ 作用・反作用の法則
物体に力の作用があるとき，同時にその力と反対方向に同じ大きさの力の作用（反作用）が存在する．

運動している物体の運動の取り扱い
ガリレイの相対性理論

例えば、ガリレイの相対性理論を流体運動に適用すると運動方程式１、相対性原理
２者の内で、何れが絶対的に静止し、いずれが絶対的に運動しているものかを決めることはできない。
２、ガリレイ変換𝑡 ′ =t𝑥 ′ = 𝑥 − 𝑣𝑡
𝑦′ = 𝑦𝑧′ = 𝑧𝑑𝒗
𝜌= 𝑿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 + 𝜇𝛻 2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝑑𝑡 0𝜌0𝜕𝒗+ 𝒗𝛻𝒗 = 𝑿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 + 𝜇𝛻 2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗
𝜕𝑡00∆𝒗 0 = ∆𝑡 𝑿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑝 + 𝜇𝛻 2 𝒗 + 𝜇𝑔𝑟𝑎𝑑𝑑𝑖𝑣𝒗 − 𝜌𝒗𝛻𝒗 0 /𝜌𝒗𝑛𝑒𝑤 = 𝒗𝑜𝑙𝑑 + ∆𝒗 0３．速度の合成則
𝑑𝑥𝑑𝑥 ′=𝑣+ ′𝑑𝑡
𝑑𝑡

0 の下添字は、着目している流体粒子の速度に対する相対量表す。すなわち、Euler的な速度観測となっている。

運動している物体や、運動している流体を、静止した観測者の立場で、運動している現象として直接取扱う場合、相対性理論が必要となる。そのような取り扱いについては、新相対性理論ー物理的思考編ー（仲座栄三、ボーダーイン
ク、2023）を参照して頂きたい。

最後に、出来上がったものを見ると、すべてが単純に、そして当たりまえに見える。
しかしながら、その創出は、想像を超える努力と執念、そして思考に思考を重ねたことによるものである。

新たな理論体系が、様々な分野に多元的に応用されて、新しい知見が創出されることを期待する。