数理解析研究所講究録
1534 巻 2007 年 93-95

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Order embedding of dimension groups and its
dynamical representation
杉崎文墨 (SUGISAKI, Fumiaki)
Graduate School, Science and Technology,Kumamoto University

熊本大学. 自然科学研究科

本原稿では次元群の埋め込みと力学系表現に関して得られた結果を報告する. 詳細
は [S] を見られたい.
を Cantor 集合,を上で作用する自己同相写像で極小 (minimal) と呼ばれで稠密」 を満たる次の性質 「任意のに対して集合 $\{\psi^{n}(y)|n\in \mathbb{Z}\}$ がを Cantor 極小力学系 (Cantor minimal dynamical
すものとする. これら二組を上の整数値連続関数全に対してsystem) と呼ぶことにする また$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$\psi$$\mathrm{Y}$$y\in \mathrm{Y}$$(\mathrm{Y}, \psi)$$C(Y, \mathbb{Z})$$(\mathrm{Y}, \psi)$

体,とする.
は可換群になり, また$B_{\psi}:=\{f-f\circ\psi|f\in C(Y, \mathbb{Z})\}$

和と定義すれば$C(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})$$C(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})$$B_{\psi}$

は$\mathrm{Y}$上の和を通常の連続関数同士のの部分群になる. そこ$C(\mathrm{Y}, \mathbb{Z})$で順序群 (とその昌昌) を次のように定義する.
$K^{0}(\mathrm{Y},\psi):=C(Y, \mathbb{Z})/B_{\psi}$,$K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)^{+}:=\{[f]\in K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)|f\geq 0, f\in C(Y, \mathbb{Z})\}$の順序単位元と呼ぶことにする.
定数関数 $1\in C(X, \mathbb{Z})$ に対する剰余類 [1] をである単純次元群となるこが acyclic
Herman, Putnam, Skau 等はとと, すべての acyclic な単純次元群が Cantor 極小力学系から作られることを示した. また Giordano, Putnam, Skau 等は次元群の順序単位元を保つ順序同型類がCantor 極小力学系の強軌道同型類の完全不変量であることを示した ([GPSI]). 今後次元群と言ったら (次元群, 正錐, 順序単位元) の 3 組を指すものとする.
でとは順序準同型写像
次元群 $(G, G^{+}, u)$ に対して $G$ 上の state:$\omega(u)=1$ を満たすものをいう. $S(G)$ を上の state 全体を表すことにしよう. $S(G)$はコンパクト凸距離空間になることが知られている. また $G=K^{0}(\mathrm{Y},\psi)$ としたと
(これもコンパクト凸距離空と上の -不変確率測度全体
き,間になる) の間にアファイン同相写像が存在することが知られている. 実際その写像
は:$K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)$$K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)$$(G\not\cong \mathbb{Z})$$([\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{S}])$$\omega$$\omega$$Garrow \mathbb{R}$$G$$S(K^{0}(\mathrm{Y}, \psi))$$\Phi$$\mathrm{Y}$$\mathcal{M}_{\psi}(Y)$$\psi$$\mathcal{M}_{\psi}(\mathrm{Y})arrow S(K^{0}(\mathrm{Y}, \psi))$$\Phi(\mu)[f]:=\int fd\mu$,$f\in C(Y, \mathbb{Z})$で与えられる.
$)(Y,\psi)$
2 つの位相力学系 (X, )の間に factor maP $\pi:Xarrow Y$ (すなわち は連続なが同相写像であったとす
全射でありを満たす) があり, 2 つの写像$([\mathrm{H}\mathrm{P}\mathrm{S}]:\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}5.4)$$\pi$$\phi$$\pi\circ\phi=\psi\circ\pi$

る. ’ このとき写像$\tilde{\pi}$:$\phi,\psi$$\mathcal{M}_{\phi}(X)arrow \mathcal{M}_{\psi}(Y)$を牙 (\mu ): $=\mu\circ\pi^{-1}$ ,$\mu\in \mathcal{M}_{\phi}(X)$.

Propositionsと定義する. すると は連続なアファイン全射準同型写像になり (の端点全3.2, 3.11), は -不変エルゴード的測度全体 (別な言い方をするとに移す. 実際後半にを -不変エルゴード的測度全体体) である
関しては次のようにして確かめられる. まず不変測度全体の凸性と が連続なアフア$[\mathrm{D}\mathrm{G}\mathrm{S}]:$$\tilde{\pi}$$\tilde{\pi}$$\mathcal{M}_{\phi}(X)$$\phi$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathcal{M}_{\phi}(X)$$\psi$$\mathrm{e}\mathrm{x}\mathcal{M}_{\psi}(Y)$$\tilde{\pi}$94
イン全射準同型写像であることから,を -不変 Borel 集合,$E\in \mathcal{B}(\mathrm{Y})$$\tilde{\pi}(\mathrm{e}\mathrm{x}\mathcal{M}_{\phi}(X))\subset \mathrm{e}\mathrm{x}\mathcal{M}_{\psi}(Y)$$\mu\in \mathrm{e}\mathrm{x}\mathcal{M}_{\phi}(X)$$\psi$を示せば十分である.とする. すると$\pi 0\phi\circ\pi^{-1}(E)=\psi 0\pi 0\pi^{-1}(E)=\psi(E)=E$,$\pi 0\phi^{-1}0\pi^{-1}(E)=\psi^{-1}0\pi 0\pi^{-1}(E)=\psi^{-1}(E)=E$,が成り立つことより $\phi 0\pi^{-1}(E)\subset\pi^{-1}(E),$ $\phi^{-1}\circ\pi^{-1}(,E)\subset\pi^{-1}(E)$ が得られ, 結局$\phi\circ\pi^{-1}(E)=\pi^{-1}(E)$ が成り立つ. 従って $\pi^{-1}(E)$ はか不変集合となり,がエルゴー.
ド的であるから $\mu(\pi^{-1}(E))=0$ または 1 となる. これはもエルゴード的である
ことを示している.
さて 2 つの Cantor 極小力学系 $(X, \phi),$ $(Y,\psi)$ の間に factor map : $Xarrow Y$ があっ$K^{0}(Y,\psi)arrow K^{0}(X, \phi)$ をたとしよう. このとき写像$\mu$$\tilde{\pi}(\mu)$$\pi$$\pi^{*}:$$\pi^{*}[f]:=[f\mathrm{o}\pi]$と定義する. このとき型写像で $[f]\in$.

$\pi^{*}$$K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)^{+}$$([\mathrm{G}\mathrm{W}]:\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}3.1)$.

$f\in C(Y,\mathbb{Z})$は順序埋め込み (すなわち順序単位元を保つ単射順序準同と $\pi^{*}[f]\in K^{0}(X, \phi)^{+}$ が同値になる) になることが分かる

ここで almost one-to-one factor の定義を与えよう.

に対して factor map

2 つの位相力学系 (X, ), $(Y, \psi)$$\phi$

が almost one-to-one であるとは, 集合 $\{x\in X||\pi^{-1}\pi(x)|=1\}$が残留集合 (第–類集合の補集合) であることをいう. このとき $(Y, \psi)$ は $(X, \phi)$ almost
one-to-one factor, あるいは $(X, \phi)$ は ( $Y$, th) の almost one-to-one extension という.
が(X, ) が極小の場合には $|\pi^{-1}\pi(x)|=1$ となる点 $x\in X$ が存在しさえすれば,$\pi$$\phi$$\pi$

alomost one-to-one factor map になることが分かる.
を Cantor 極小力学系としよう. 上で述べたこと, 及び比較的簡単な考察から次の定理を得る.
$(\mathrm{Y},\psi)$定理 1. もし $(X,\phi)$ が Cantor 極小力学系であり, almost one-to-one factor map(X, ) $arrow(Y,\psi)$ があれば,は順序埋め込みになる.
(1)の余核はねじれのない群である.
(2)は連続なアファイン全射準同型写像であり,(3):$\pi$:$\phi$$\pi^{*}:$$K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)arrow K^{0}(X, \phi)$$K^{0}(X, \phi)/\pi^{*}(K^{0}(\mathrm{Y}, \psi))$$\pi^{*}$$\tilde{\pi}$$\mathcal{M}_{\phi}(X)arrow \mathcal{M}_{\psi}(Y)$$ex\mathcal{M}\psi(\mathrm{Y})$$\tilde{\pi}(ex\mathcal{M}_{\phi}(X))=$となる.

(3) は次の (3’) と同値ある.
(3’) : $S(K^{0}(X, \phi))arrow S(K^{0}(\mathrm{Y}, \psi)),\hat{\pi}(\mu):=\mu\circ\pi^{*}$ は連続なアファイン全射準同型写像となり, $\hat{\pi}(exS(K^{\mathit{0}}(X, \phi)))=exS(K^{0}(Y, \psi))$ を満たす.
$\hat{\pi}$

もし が almost one-to-one factor でない factor map であるときでも主張 (1),(3) がなりたつ. almost one-to-one factor が関係してくるのは主張 (2) である. こうして定理 1 は Cantor 極小力学系の almost one-to-one factor が次元群にどのような作用をもたらすかを示しているわけだが, 次にこの定理の逆の立場から見直せるかどうか考えたい. つまり次のような問題が考えられる. (この問題を次元群埋め込みの力学系表現$\pi$問題と呼ぶことにしよう.)
問題 2. Cantor 極小力学系 $(Y, \psi)$ と単純次元群 $G$ が次の条件を満たすものとする.
(i) 順序埋め込み : $K^{0}(Y, \psi)arrow G$ がある.
(ii) の余核 $G/\iota(K^{0}(Y, \psi))$ はねじれのない群.
$\iota$$\iota$95(iii)

は連続なアファイン全射準同型写像であり,を満たす.
このとき次の各条件を満たす Cantor 極小力学系 $(X,\phi)$ が存在するだろうか.
(a) almost one-to-one factor map $\pi:(X, \phi)arrow(Y, \psi)$ が存在する.
が存在してを満たす.
(b) 順序単位元を保つ順序同型写像$\iota^{*}:$$S(G)arrow S(K^{\mathit{0}}(Y,\psi)),$$\iota^{*}(\mu):=\mu\circ\iota$$\iota^{*}(\mathrm{e}\mathrm{x}S(G))=\mathrm{e}\mathrm{x}S(K^{0}(Y,\psi))$$\alpha\circ\pi^{*}=\iota$$\alpha:K^{\mathit{0}}(X,\phi)arrow G$

ここで条件 (iii) に関してコメントしておく. 一般に単純次元塁間の順序埋め込み: $Harrow G$ が与えられとき, それに付随して定義される写像: $S(G)arrow S(H)$ ,は連続なアファイン全射準同型写像になることが知られている. そのため条件 (iii) の本質的な条件は後半部分にある 実際を満たす$\iota^{*}$$l$$\iota^{*}(\mu):=\mu\circ\iota$$\iota^{*}(\mathrm{e}\mathrm{x}S(G))\neq \mathrm{e}\mathrm{x}S(H)$次元群$G,$ $H$の例を作ることができる$([\mathrm{S}])$.

Giordano, Putnam, Skau 等は問題 2 の条件 (i), (ii) の他に順序稠密条件を加えた元で (a), (b) を満たす Cantor 極小力学系 (X, ) を構成した. ここで順序稠密
条件とは次のように定義する. 次元群間の順序埋め込み : $Harrow G$ に対してが内で順序稠密とは $g<g’$ を満たす任意の $g,g’\in G$ に対して, ある $h\in H$ があって$([\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}2])$$\phi$$\iota(H)$$\iota$$G$$g<\iota(h)<g’$ を満たす.

が $G$ 内で順序稠密であることと〆が単射であるこ実はとは同値であることが知られいる. このことから順序稠密条
件は条件 (iii) を満たすため, Giordano 達は強い仮定の下で次元群埋め込みの力学系表現問題に回答を与えたいうことになる.
さてこの予報では問題 2 が解決されたことを報告する. つまり次の定理を得た ([S]).
$\iota(H)$$([\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{S}2]:\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}1.1)$

定理 3. 問題 2 の条件 (i), (ii),(iii) の元で, (a), (b) を満たす Cantor 極小力学系 (X, )が存在する.
$\phi$意エルゴード的 Cantor 極小力学系において, その次元群の state は l つしかなく,それ自体が端点でもあるので, 定理 3 の系として次の結果も得られる.
系 4.
を–意エルゴード的 Cantor 極小力学系, $G$ は単純次元群でこれらは問題 2 の条件 (i),(ii) のみ満たすとする. このとき (a), (b) を満たす Cantor 極小力学系$(X, \phi)$ が存在する.
$(\mathrm{Y}, \psi)$

なお Cantor 極小力学系間において almost one-to-one factor でない factor map であるとき, それに付随して作られる次元群順序埋め込みの余核はねじれ元を持つ.

この場合における次元群埋め込みの力学系表現問題はまだ解決されていない.

REFERENCES[DGS] M. Denker, C. Grillenberg and K. Sigmund, Ergodic Theory on Compact Spaoes, Lecture Notes
in Math. 527 (1976).
[GPSI] T.Giordano, I.F.Putnam and C.F.Skau, Topological orbit equivalence andcrossed pmducts,
J. Reine Angew. Math. 469 (1995), 51-111[GPS2] T.Giordano, I.F.Putnam and C.F.Skau, $K$ -theory and asymptotic index for cenain dmost
one-to-one factors, Math. Scand. 89 (2001), no. 2, 297-319[GW] E. Glasner, B. Weiss, Weak orbit equivdenoe of Cantor minimal systems, Internat. J. Math.
6 (1995), 569-579.
[HPS] R.H.Herman, I.F.Putnam and C.F.Skau, Ordered Bratteli diagrams, dimension gmups, andtopologicd dynamics, Internat.J.Math. 3 (1992), 827-864[S]F.Sugisaki, Almost-one extensions of Cantor minimal systems and order embeddings
simplegroups,preprint
dimensionof$C^{*}$$onearrow to$