超伝導電磁石の基礎
高エネルギー加速器研究機構
超伝導低温工学センター
鈴木 研人

2022/9/6

OHO'22

1

はじめに• タイトルは「超伝導電磁石」と一般化されていますが、本講義スライド/テキストでは「加速器応用」を意識して作成しています。
• しかしながら、これから述べていきますが、超伝導電磁石の構成要素となる超伝導線材（ケーブル）の電磁現象や熱安定性については、加速器以外の他応用分野においても共通の課題となります。
• 講義時間が限られているため、各項目について深く立ち入りません。また、以下の項目についてはこの後の講義でも網羅されていますので、そちらで学習いただけますようお願いします。
- 超伝導電磁石の磁場設計：「5. SuperKEKB 超伝導電磁石システム」- 超伝導電磁石の構造設計：「6. HL-LHC 計画とKEKにおける超伝導磁石開発」• 本講義の位置付けは、この後に続く講義の「入口」と捉えていただければと思います。
• 最後に：講義の途中でも構いませんから、質問がある場合は遠慮なく挙手してください。

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OHO'22

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教科書

訂正

• p. 3-14 キーストーン角式：- 𝛼! = tan"# 1/2 𝑡$ − 𝑡# ⁄𝑤 →𝛼! = tan"# 𝑡$ − 𝑡# ⁄𝑤• p. 3-19 MPZ計算条件：- 「電流密度はJcと一致させている」→ 「なおJ=0.8xJc（at B=6T）としている」- 「ここで求めているMPZおよびMQEは臨界電流Icに匹敵する電流値…」→「ここで求めている
MPZおよびMQEは𝑰＝𝟎. 𝟖𝑰𝒄 (at 6 T)に匹敵する電流値 」• p. 3-24 CLIQのQPHとの併用に関して ：- 「MQXFの場合、遮断時定数を短くする目的でCLIQに加えてQPHも同時使用した保護設計となっている」→「低磁場領域ではクエンチに至るまでのエンタルピーマージンが大きくなり、CLIQのみではコイル全体の常伝導への転移が十分でないため、 MQXFの場合QPHも併用した保護設計となっている。 」

ウェブには修正済のものをアップロード・公開予定です
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本講義の流れ• 実用的な超伝導体の特性- 前講義のおさらい- 磁化モデル- 磁気安定性• クエンチ保護- MPZ・MQE- クエンチ検出と保護• 超伝導ケーブル「NbTi」の特性- 極細多芯線・Rutherford
cable- 超伝導ケーブルの電磁現象

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OHO'224

1. 実用的な超伝導体の特性- 前講義のおさらい- 磁化モデル (Critical state model)- 磁気安定性（Flux jump）

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5

前講義のおさらい ‒ GL方程式• 超伝導状態：巨視的な波動関数Ψ＝秩序変数
自由エネルギー ℱ 𝑀 = ℱ%

+ 𝛼𝑀$ +

𝛽 &
𝑀
2

M

常磁性相

強磁性相

強磁性体の場合T$𝛽ℏℱ |Ψ| = ℱ% + 3 𝛼|Ψ(𝑟)|$ + |Ψ(𝑟)|& 𝑑𝑉 + 3|∇Ψ(𝑟)|$ 𝑑𝑉
∗
2
2𝑚

Tc

<latexit sha1_base64="SlpJSuPq2TtIO8bwoTB+/v/zHSw=">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</latexit>↵ = a(TTc )() ∗磁場が存在する場合、∇→ ∇ −ℏとし、極小条件（𝛿ℱ = 0）を求めればΨの決定方程式が導かれる
ℏ
− ∗
$+

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() ∗
∇−
ℏ

Ψ 𝑟 + 𝛼Ψ 𝑟 + 𝛽|Ψ 𝑟 |$ Ψ 𝑟 =0

OHO'22GL方程式

6

前講義のおさらい ‒ GLパラメータ

第I種• 一次元に帰着したGL方程式で磁場が存在しない場合のψを解くと：<latexit sha1_base64="xfpcZ3II/zIp2s4vxquswfkeNEw=">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</latexit>x(x) = tanh p2⇠<latexit sha1_base64="8VZJmp8Y46qcdyz/U4cULlH6yYA=">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</latexit>

GLコヒーレンス長⇠(T ) =✓~
2m⇤ aTc
2◆1/2 ✓

1

T
Tc

◆ 1/2

超伝導状態はξのスケールで回復s✓◆1/2 ✓⇤⇤mm(T ) ==
1µ0 e⇤2 | |2µ0 ⇤ e⇤2 aTc<latexit sha1_base64="Ndb7F2yiepk81W5crpDm4KUj8YM=">AAADc3ichZHLbhMxFIbPZLiUgdIUNkjdRA1BaaQEz6gChIRUwYZl2iZtpU4TeVwnsTo3ZpwoxZ0X4AWQYMVNCPEYbHgBFn0ExLIgNiw4cxGoFIpHYx8ff//xb9sJXRFLQg61kn7m7LnzMxeMi5dmL8+V569sxME4YrzLAjeIthwac1f4vCuFdPlWGHHqOS7fdPYepOubEx7FIvA7cj/kOx4d+mIgGJWY6s9rszW7HYv6dOmeLak/qtiDiDI1TZQdP4qkshJ7KhKjhn29g4zLB7JeQPbIoVHPSpTl9Rq002dJxY7EcCSXesq8aaWqHDebuaCTqJT6BTUzynbR7i7Nymd75jDWRBPeuE94TzWs5CD1eYDbJcZxGwjaDpe0oBs5/hc/uepUM/1ylbRI1ionA7MIqlC0dlB+CzbsQgAMxuABBx8kxi5QiPHbBhMIhJjbAYW5CCORrXNIwEDtGCmOBMXsHvZDnG0XWR/nac04UzPcxcU/QmUFauQTeUeOyEfynnwmP/5ZS2U1Ui/7ODq5lof9uSfX1r//V+XhKGH0W3WqZwkDuJN5Feg9zDLpKViunzx+erR+d62mbpCX5Av6f0EOyQc8gT/5yt6s8rXnYOADmH9e98lgw2qZt1rLq8vVlfvFU8zAAixCHe/7NqzAQ2hDF5gmtWfaK+116Zu+oC/q13O0pBWaq3Cs6c2ffX7qFA==</latexit>

ロンドン侵入長

T
Tc

◆ 1/2

磁場はλのスケールで超伝導に侵入<latexit sha1_base64="H4KMewjk0TVQJrElKR1APZYd++A=">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</latexit>⇤m
GLパラメータ(定数)  ⌘
= ⇤
⇠
e ~
2022/9/6

✓

2
µ0

◆1/2
OHO'22

<
>

1
2
1
2

第II種

: 第I種
: 第II種7

第I種超伝導体 / 第II種超伝導体• 第I種超伝導体の場合- 界面エネルギーが正- マイスナー状態が支配的- 磁場の侵入に伴い自由エネルギーが増加
2022/9/6• 第II種超伝導体の場合- 表面エネルギーが負- マイスナー状態と混合状態（渦糸状態）- 常伝導体との界面が多いほど安定
OHO'22

8

第I種超伝導体 / 第II種超伝導体• 第I種超伝導体の場合- 界面エネルギーが正- マイスナー状態が支配的- 磁場の侵入に伴い自由エネルギーが増加• 第II種超伝導体の場合- 表面エネルギーが負- マイスナー状態と混合状態（渦糸状態）- 常伝導体との界面が多いほど安定
上部臨界磁場Bc2 = 10 T at T=0

臨界磁場Bc = O(10 mT) at T=02022/9/6

OHO'22

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第I種超伝導体 / 第II種超伝導体• 第I種超伝導体の場合- 界面エネルギーが正- マイスナー状態が支配的- 磁場の侵入に伴い自由エネルギーが増加• 第II種超伝導体の場合- 表面エネルギーが負- マイスナー状態と混合状態（渦糸状態）- 常伝導体との界面が多いほど安定
上部臨界磁場Bc2 = 10 T at T=0

臨界磁場Bc = O(10 mT) at T=02022/9/6

OHO'2210

第II種超伝導体の臨界電流密度• 混合状態 (Bc1<B<Bc2) においては磁場が「磁束：φ0=h/2e」という形で侵入• この状態で電流を流すとローレンツ力によって磁束が移動<latexit sha1_base64="0TMN9w7CD4tjHwE+QM/hg8cktYE=">AAADg3ichVFNaxNBGH63sVrjR1O9CCIshkhSSZxdgooQKBVBPKVt0hY6zTK7nWSH7Fd3JyF12Zsn/4AHTwoi6lH/gRf/gIf+BPFYwYsH392slljUWXbmned9nneed8YMHBFJQg6VucKp+dNnFs4Wz52/cHGxtHRpM/JHocW7lu/44bbJIu4Ij3elkA7fDkLOXNPhW+bwfprfGvMwEr7XkQcB33XZwBN9YTGJkLGkXKvQdiSqk1qLSubZKu2HzIonSUyj/VDGekInIilWcK52kOPwvqzmJGqbLOzpSay7vWXWMaxEpaEY2LLWi7Vbeqqa0rX6VNBJ4pT1m1TPWcwJbNZi1U4d0zUEhiwImEr5/kiMfx3mYFN7DH2hH7WVo3hwEvNevJxkZpIZfzo1uUwV7sggyaw1OuZW/OC4EA1sYRB1FdmpRs3yjxKjVCYNkg31ZKDlQRny0fZLr4HCHvhgwQhc4OCBxNgBBhF+O6ABgQCxXYgRCzESWZ5DAkXUjpDFkcEQHeI8wN1Ojnq4T2tGmdrCUxz8Q1SqUCGfyRtyRD6Rd+QL+fHXWnFWI/VygKs51fLAWHx6ZeP7f1UurhLsY9U/PUvow93Mq0DvQYakXVhT/fjxs6ONe+uV+AZ5Sb6i/xfkkHzEDrzxN+vVGl9/DkV8AO3P6z4ZbOoN7XajudYsr6zmT7EAV+E6VPG+78AKPIQ2dMFSnihvlffKh8J84WZBLzSn1Dkl11yGmVFo/QRYCe+Z</latexit>

~ =
E

0B ~

⌘

J η: 摩擦係数- この現象を「磁束フロー」という• 磁束フローが生じると起電力によって抵抗が生じ、ohmicな熱損失を生じる• 磁束フローが生じる電流（密度）＝臨界電流（密度）(depininng critical current)という＊1＊１) 前講義からクーパー対が壊れる電流密度を臨界電流密度(deparing critical current)と定義したかもしれないが、厳密には両者は一致しない。
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OHO'2211

ピン留め効果の実現

常伝導領域• 磁束フロー抵抗の発生は実用上好ましくないので、大電流を通電したとしても磁束が動かないように強くピン留めする必要がある• ピン留め力は渦糸と「系の乱れ」との相互作用によって生じる

超伝導領域

渦芯

渦芯

U

(磁束が常伝導領域に入り込んだ系のエネルギー)< (磁束が超伝導領域に入り込んだ系のエネルギー）
/!
∆/
3#$
3
=> 要素的ピン留め力：𝑓- =
~
∝
𝜉
(1
−
)
∆0 12"
4"
3#$=> 巨視的なピン留め力：𝐹,- = 𝐽- 𝐵 ∝ 𝑁, 𝑓,<latexit sha1_base64="pYfrDG9KMOjxdfhZVmGuYq5eTQY=">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</latexit>

Bc2 =

p

𝑈,

2Bc

2𝑎%

ピン留めが強い場合

Nb3Sn• ピン留めサイト（ピン留め中心）- 不純物、格子欠陥、常伝導析出物、結晶粒界など
NbTi
Nb3Sn

NbTi

ピン留め力が強い超伝導体＝硬い超伝導体
2022/9/6

OHO'22

12

硬い超伝導体＝実用超伝導体
https://nationalmaglab.org/images/magnet_development/asc/plots

2022/9/6

OHO'2213

実用超伝導体のハドロンコライダーへの応用
18
16

建設中止・計画中

FCC-hh含む

超伝導(Nb3Sn, IBS,ReBCO..)

Beam energy vs. B
𝐵𝜌 𝑇𝑚 ~3.3356 P

𝑝[𝐺𝑒𝑉]
𝑞

Dipole field (T)

14

SPPC

12
10

LHC

8

SSC

6

RHIC

HERA

超伝導 (NbTi)

TEVATRON

4
2

常伝導

0
10

100

1000

10000

100000Beam energy (GeV)

加速器応用という観点からはB = 5-10Tの磁場を達成できる超伝導体が実用的といえる 私見ですが。。
B > 10Tを見据えた高磁場化はさらにその次の展開
2022/9/6

OHO'2214臨界面 (Critical surface)

NbTi (46.5
in weight %)• 臨界温度（転移温度）: 𝑇5 at 0 T- NbTi : 9.2 K- Nb3Sn : 18.3 K• 上部臨界磁場：𝐵51 at 0 K- NbTi : 14.5 T- Nb3Sn : 28 T

Nb3Sn

• 臨界電流密度 : 𝐽5 at 4.2 K- NbTi : ~3000 A/mm2 at 5 T- Nb3Sn : ~1500 A/mm2 at 16 T
←FCC-hh target
2022/9/6

OHO'22

P. Ferracin,
EUCAS201715

1. 実用的な超伝導体の特性- 前講義のおさらい- 磁化モデル (Critical state model)- 磁気安定性（Flux jump）

2022/9/6

OHO'2216

ピン留め効果の磁化への影響 B = µ0 (H + M )<latexit sha1_base64="+pmlmh6lZzC+Qbc83YI8/6ktsMg=">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</latexit>

ピン留め効果あり(硬い超伝導体)

ピン留め効果なし

不可逆可逆• B < Bc1：
- マイスナー状態。磁場の内部への侵入を完全に排斥（𝑀 ∝ 𝐵）
• Bc1 < B < Bc2 :- 磁束が侵入するため磁化は減少
2022/9/6• Bc1 < B < Bc2 ：- ピン留めの影響で渦糸は自由に動くことができず磁束密度は緩やかな立ち上がり- 磁場を下げたとしても、ピン留めの影響
によって磁束は内部にトラップされる（残留磁化の発生）
OHO'2217

硬い超伝導体の磁化メカニズム- 臨界状態モデル (Bean-London model)
Critical-state model• 前提条件- マイスナー状態は無視する。
- 外部磁場は超伝導内部に流れる遮蔽電流によって遮蔽される。
𝐄 = 0のため、遮蔽電流密度は臨界電流密度𝑱𝒄 に一致する。
- 𝑱𝒄 は磁場や温度によらず一定とする
𝐵0

• モデル

磁場勾配=±𝜇& 𝐽'- 厚み2𝑎の超伝導体の平板(slab)を考え、外部磁場𝐵)/! = (0, 𝐵0 , 0)を加えると<latexit sha1_base64="bPgeISsleC0WWMESkMb6dEmT/UQ=">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</latexit>

1
1 @By
~
~
r ⇥ B = Jc !
~ez = Jc~ez
µ0
µ0 @x

2022/9/6

OHO'22𝐽−𝐽-臨界状態モデルが示す磁化履歴
増磁<latexit sha1_base64="ekIoiBcl21j7K3lIoji3W242MWo=">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</latexit>

By
M=
µ0

✓

減磁

By
2Bp

M=
2022/9/6

◆
1

1
Jc a
2

増磁

(0  By  Bp )(ByBp ) 磁化はslabのサイズaに比例
OHO'22<latexit sha1_base64="+pmlmh6lZzC+Qbc83YI8/6ktsMg=">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</latexit>

B = µ0 (H + M )中心到達磁場（Penetration field）:
𝐵, = 𝜇% 𝐽- 𝑎
19

通電時の磁化の振る舞い

自己磁場

𝐽'
𝑎 = 𝑀&
2𝐽'
1
𝑀 = − 𝑎 = 𝑀&42𝑀=−

磁化は通電電流を上げるに従って減っていく
2022/9/6

OHO'22

𝑀=0

𝐼! = 0
𝐼! =𝐼'
2

𝐼! = 𝐼'20丸芯線の臨界状態モデル
arXiv.1501.07159

-Jc

+Jc

Fully
penetrated
4𝑏$𝑀=−
𝐽 1 − $ 𝑎. 0 ≤ 𝐵()! ≤ 𝐵*
3𝜋 '
𝑎
4
𝑀=−
𝐽 𝑎. 𝐵()! > 𝐵*
3𝜋 '2𝜇& 𝐽' 𝑎𝐵* =𝜋
2022/9/6

Fully
penetrated

OHO'22Fully
penetrated

21補足) 臨界面 - Critical surface• 臨界状態モデルでは遮蔽電流密度は一定の臨界値Jcをとるとした• 実際にはJcは温度と磁場に依存する- Kim-Anderson model : 𝐽- (𝐵, 𝑇) =

1(3)
565"

定数として扱っているケースが多い+(,

𝐽' 𝑐& 𝐵 -"#𝐵
1−- By Bottura (NbTi) : 𝐽' 𝐵, 𝑇 =
𝐵' 𝑇
𝐵' 𝑇
𝐵# 𝑇 = 𝐵# 𝑇 = 0

𝑇 $.&
1−
,
𝑇#

'()

𝐽#

.

𝑇 #.0
1−
𝑇'

1

= 𝐽# (5𝑇, 4.2𝐾)

α(T)

Y.B.Kim et al., Phys.Rev.Lett 9.(1962) p306-309
2022/9/6

OHO'2222

超伝導体の磁化損失(Hysteresis loss)
I<latexit sha1_base64="xM01+iI7mHfegHjnB+XXrwoNW6g=">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</latexit>

積分領域

Z

~
dB
~
· dS
dt
! (E(x) + E(a)) = Ḃx~r ⇥ E(x)· d~l =$ E(x) = Ḃx (E(a) = 0)𝐵0

長手方向単位長あたりの積分としたδxのスライス部分で発生する熱損失：<latexit sha1_base64="0m+7XJVB2pwBKLk7/ZcWCovdwgk=">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</latexit>

p(x) = E(x)Jc x = ḂxJc x

δx
x=0

a

x

2a

Slabの単位体積あたりの熱損失：
Z
Z a
1 a
1
Jc a
P =
p(x)dx = ḂJc
xdx = Ḃ
a 0
a
2 =M
0
<latexit sha1_base64="ULWto1aoB4nwa4sBhCZDW6lSE5Q=">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</latexit>M<latexit sha1_base64="PjblcwflQxO6UTB5VA+S3LFZbl8=">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</latexit>

単位時間あたりの熱損失(Wm-3)：

Bp

B

P = ḂM← 磁化の大きさに比例

ZZ
励磁で発生する熱損失(Jm-3)： P dt = M Ḃdt = M B<latexit sha1_base64="WJyVNGNo9hQvO2MCXt3RfQHh1V8=">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</latexit>← 励磁速度に依存しない

2022/9/6

１サイクルであれば磁化曲線の面積に相当する

23

1. 実用的な超伝導体の特性- 前講義のおさらい- 磁化モデル (Critical state model)- 磁気安定性（Flux jump）

2022/9/6

OHO'2224

磁束跳躍 (Flux jump)
𝐽

1. 熱擾乱による温度上昇: 𝑇 → 𝑇 + ∆𝑇a2a

𝐽! (𝑇)
𝐽! (𝑇 + ∆𝑇)

2. 遮蔽電流密度の減少: 𝐽- 𝑇 → 𝐽- 𝑇 + ∆𝑇 = 𝐽- 𝑇 − Δ𝐽-O

3. 磁束のさらなる侵入: 𝐵)# 𝑥 → 𝐵)$ 𝑥 = 𝐵)# 𝑥 − ∆𝐵) (𝑥) −𝐽! (𝑇 + ∆𝑇)∆𝐵( 𝑥 = 𝜇& ∆𝐽' 𝑥−𝐽! (𝑇)𝐵0∆5 /4. 電場の発生： ∫(∇×𝐸) P 𝑑 𝑆⃗ = − ∫ * P 𝑑 𝑆⃗
∆!

#

8

∆𝐽' 1 $
𝐸 𝑥 = −𝜇&𝑎 − 𝑥$∆𝑡 2

𝐵"

5. ジュール熱の発生：∆𝑔 = ∫% −𝐽- 𝐸 𝑥 ∆𝑡𝑑𝑥
8

𝐵($ (𝑥)

𝐵(# (𝑥)O∆96. 温度上昇：∆𝑇 = :2022/9/6

OHO'2225

磁束跳躍 (Flux jump)
𝐽

1. 熱擾乱による温度上昇: 𝑇 → 𝑇 + ∆𝑇a

𝐽! (𝑇)
𝐽! (𝑇 + ∆𝑇)

2. 遮蔽電流密度の減少: 𝐽- 𝑇 → 𝐽- 𝑇 + ∆𝑇 = 𝐽- 𝑇 − Δ𝐽-∆𝑇O

3. 磁束のさらなる侵入: 𝐵)# 𝑥 → 𝐵)$ 𝑥 = 𝐵)# 𝑥 − ∆𝐵) (𝑥) −𝐽! (𝑇 + ∆𝑇)∆𝐵( 𝑥 = 𝜇& ∆𝐽' 𝑥

4.

∆5 /
電場の発生： ∫(∇×𝐸) P 𝑑 𝑆⃗ = − ∫ *
∆!
#

8

2a

P 𝑑 𝑆⃗∆𝐽' 1 $
𝐸 𝑥 = −𝜇&𝑎 − 𝑥$∆𝑡 2∆𝐵Feedback( 𝑥 = 𝜇& ∆𝐽' 𝑥−𝐽! (𝑇)∆𝑄

𝐵"

5. ジュール熱の発生：∆𝑔 = ∫% −𝐽- 𝐸 𝑥 ∆𝑡𝑑𝑥
8

loop

𝐵0

-∆𝐽!

𝐵($ (𝑥)∆𝐽' 1 $
𝐸 𝑥 = −𝜇&𝑎 − 𝑥$∆𝑡 2
𝐵(# (𝑥)∆𝐵O∆9

6. 温度上昇：∆𝑇 = :2022/9/6

OHO'2226

磁束跳躍 ‒ Adiabatic stability condition∆𝑄 + ∆𝑔 = 𝐶∆𝑇
他熱損失等

断熱条件下

Flux jumpによるジュール熱損失• 超伝導Slabの場合:∆𝑄 = 𝐶∆𝑇 − ∆𝑔 ↔ ∆𝑄 = 𝐶 − 𝜇& 𝐽'$ 𝑎$

1∆𝑇

3 𝑇' − 𝑇2*< 0 : 不安定

- Slabサイズ(𝑎)に課せられる条件: 𝑎 <• 超伝導丸芯線の場合- ワイヤー半径に課せられる条件:
2022/9/6

3𝐶 𝑇' − 𝑇2*
𝜇& 𝐽'$

𝜋 𝐶 𝑇' − 𝑇2*r<4
𝜇& 𝐽'$
オーダー 数10 µm
OHO'2227

磁束跳躍 ‒ Dynamic stability condition
常伝導体内部の磁場（磁束）の拡散速度はMaxwell方程式（∇×𝐸 = −45

𝐷3 ∇$ 𝐵 = 4!

(𝐷3 = 𝜇& ⁄𝜌 );5 <, ∇×𝐵 = 𝐸 ）より、;! ="ρ: 抵抗率46

一方で熱の拡散速度は 𝐷! ∇$ 𝑇 = 4! (𝐷! = 𝑘⁄𝐶) k: 熱伝導率
NbTi

CopperNormal state

B=0 T

B=6 T

Dt

2 x 10-5

1.1

0.3

Dm

0.5

8 x 10-5

3 x 10-4

熱拡散

遅

磁束拡散

速

熱拡散

速

磁束拡散
𝑫𝒎 ≫ 𝑫𝒕 (~断熱近似)
2022/9/6

Flux
jump

Cu

NbTi

→ Flux jump

𝑫𝒎 ≪ 𝑫𝒕

遅NbTi

Cu NbTi Cu NbTi

熱伝達がよく、
磁束の拡散が抑えらる𝑫𝒎 ≪ 𝑫𝒕 と併用
28→ Dynamic stability

実用超伝導”線”の必要条件• 硬い超伝導体であること- 十分なピン留め力 → High Jc• （丸芯線あれば）ワイヤー径を小さくすること- 磁化・磁化損失の影響を最小限に → Field quality, Stability- Flux jump（Adiabatic stability）の要求→ Stability• 熱伝導の良い（抵抗の小さい）物質と併用すること- Flux jump ( Dynamic stability) からの要求→ Stability
2022/9/6

OHO'2229

2. 超伝導ケーブル「NbTi」の特性- 極細多芯線 (素線、Strand)- Rutherford cable

2022/9/6

OHO'2230極細多芯線 (Multifilamentary wire) - NbTi
<latexit sha1_base64="PlJa81BQlTD43Thwws2H6ajytV0=">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</latexit>

~1 mm

M=

4
Jc r
3⇡

NbTi フィラメント(φ~5 µm)

銅母材 (Copper matrix)
https://lhc-machineoutreach.web.cern.ch/components/cable.htm

1Strand filling factor : ⌘SC =1+<latexit sha1_base64="Z/gHl2Rn6471kqMPfhlR+s58RDQ=">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</latexit>

超伝導素線（Strand)
2022/9/6

Copper to SC area ratio :<latexit sha1_base64="RuKT39Mk4zECwiuNNIsn3rsOlx4=">AAACp3ichVFNS+NAGH4aXXW7q0b3suClWLooQpmIqAiCtJe9+VFbC0bKJE5rME1CMi1oyB/YP+DBk8KyK/4ML568ifoTxKPCXjz4Ng0rKru+ITPPPO/7vPPMjOHZViAZu0kpPb0f+voHPqY/fR4cGlZHRiuB2/JNUTZd2/WrBg+EbTmiLC1pi6rnC940bLFh7BY7+Y228APLddblnie2mrzhWHXL5JKomlrI6ULyWlgqRpnFjF73uRlqUahN6TY12eaRrqcT+DdP5cVWFIVdWVRTsyzP4si8BVoCskhixVV/Qcc2XJhooQkBB5KwDY6Avk1oYPCI20JInE/IivMCEdKkbVGVoApO7C6NDVptJqxD607PIFabtItNv0/KDHLskp2we3bOTtkte/xnrzDu0fGyR7PR1QqvNvzja+nPu6omzRI7z6r/epaoYz72apF3L2Y6pzC7+vb+wX1pYS0XfmPH7I78H7EbdkYncNoP5s9VsXaIND2A9vq634LKdF6bzc+szmSXCslTDGAM45ig+57DEr5jBWXa9zcucIVrZVJZVipKtVuqpBLNF7wIhT8B4KujPg==</latexit>

aCu
=
aSC

31

NbTi 極細多芯線 製造工程

P. Ferracin,
EUCAS20172022/9/6

OHO'2232極細多芯線の結合電流(Coupling current)
ツイストすることで電磁特性が改善される

twist pitch

M.N. Wilson, Cryogenics 48 (2008) p381-395

Bext

NbTi Cu

ツイストなし

しかし

NbTi Cu

Flux jumpに対しても安定(磁束の侵入量を抑制）

ツイストあり時間的に変動する磁場下では銅母材を横切る形
でフィラメント間と結合する電流が流れる= Inter-filament coupling current (IFCC)
OHO'2233

IFCCの磁化特性• 結合電流によって生じる磁化特性]! 14"- 結合時定数：𝜏Z[ = 1\
Lp: ツイストピッチ-.. 1^
1 _3/- 磁化：𝑀Z[ = 4 _` 𝜏Z["
̇ $ ]! 1
3- 交流損失 (Wm-3)：𝑃Z[ = 𝑀Z[ 𝐵̇ = \1^

高抵抗(poor contact)
1 + ⌘SC⇢ef f = ⇢Cu
1 ⌘SC

低抵抗
(good contact)<latexit sha1_base64="0Fcr9oMVBb6/d3qnuJ7OxVVniWA=">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</latexit><latexit sha1_base64="0bAFvjlaiLiBbITMNGfdl3dRCXk=">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</latexit>⇢ef f = ⇢Cu

1 ⌘SC
1 + ⌘SC-..

M.N. Wilson, Cryogenics 48 (2008) p381-395→磁気不安定性の議論とは逆で熱損失を減らすには抵抗率を上げる必要がある←IFCCが横切る際に感じる抵抗だけを高くする工夫

2022/9/6

CuNi Barrier

OHO'2234

2. 超伝導ケーブル「NbTi」の特性- 極細多芯線 (素線、Strand)- Rutherford cable

2022/9/6

OHO'2235極細多芯線を用いた超伝導ケーブル• 用途：大電流化- 多芯線１本あたりの臨界電流値 (4.2K, 5T) : Jc x A x λ = 1 kA
- 加速器利用では（せっかく超伝導体を使うなら）低インダクタンス化
ü シンクロトロン電源の電力消費 (P=LdI/dt x I)
ü 熱保護（クエンチ保護）の観点では遮断時定数 (τ=L/R)- → 多芯線（素線）を寄せ集めた「ケーブル」を使う
Cable-in-conduit
conductor (CICC)

核融合炉
利用

多芯線
(素線、
Strand)Rutherford cable

多芯線
(素線、
Strand)

加速器
利用

~20kA
K. Kizu, et al., Fusion Engineering and design
84 (2008) p1058-1062~10kA
OHO'2236

NbTi Rutherford cable

2022/9/6

OHO'2237

NbTi Rutherford cable

2022/9/6

OHO'2238

NbTi Rutherford cable 幾何形状

ds

t1

t2
Thick edgeThin edge• コイル成形のためのキーストーン角 ~ 1 - 2- Compaction factorの導入。口径が小さいほど技術的に難しくなる

Keystone
angle

wc
2
N
⇡(d
/2)
s
s
Cable packing factor ⌘f =2wc (t1 + t2 ) cos
or filling factor:<latexit sha1_base64="JGi1cmu8OdPxzWQWsumF++POkEc=">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</latexit>• 電磁特性向上のため撚り合わせられる（Transpose）。ピッチ長 = 60 - 100 mm

Compaction factor:• JE ~ 500 - 1000 A/mm2

Engineering
current density :t1
fc =2ds > 0.75<latexit sha1_base64="DibpykLaPi7T1HN83qWDS/L6nQ0=">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</latexit>

t

ピッチ角

ケーブル面積に占める絶縁の割合

JE = ⌘f · ⌘SC · ⌘i · Jc
<latexit sha1_base64="nXanYiYG81qmZz0Q6XcymISA8qk=">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</latexit>~0.3

Rutherford cableの結合電流• ケーブルとして組んだ場合、変動磁場に対して素線間の結合電流が生じるが、これはInter-strand Coupling Current(ISCC)とも呼ばれる- 隣接抵抗 Ra
1-10 µΩ- 交差抵抗 Rc
電磁解析のためのネットワークモデル例

2022/9/6

OHO'2240

ISCCの磁化特性 解析的な導出 by M.N.Wilson• 交差抵抗Rcを介した結合の場合
c _30
g
5
- 磁化：𝑀b = − c1de _` 𝐿-5 𝑁f (𝑁f − 1) `#Ns: 素線数
w: ケーブル幅
t: ケーブル厚
Lpc: ツイストピッチ

c
g
5
1
̇
̇
Zf,b = 𝑀b 𝐵 = c1de 𝐵 𝐿-5 𝑁f (𝑁f − 1) `- 交流損失(Wm-3)：𝑃#• 隣接抵抗Raを介した結合の場合
c _30
g
𝐿
-5 `
1 _`

- 磁化：𝑀b2 = − he

c
g
5
1
̇
̇
Zf,2 = 𝑀2 𝐵 = he 𝐵 𝐿-5 `1- 交流損失(Wm-3)：𝑃
2022/9/6

OHO'22

M.N.Wilson, JUAS 2017

結合電流による磁化の比較
IFCC

ISCC

BICC*

結合時定数 [s]0.01

0.1 ‒ 110 - 105

磁化 (x𝐵̇ [T])0.01

0.1 ‒ 1-

実運⽤による影響

交流損失

交流損失
磁場精度
磁場精度
( Decay(Ramp rate dependence) and snapback)̇
𝐵:磁場の掃引速度2022/9/6(*) Boundary-Induced Coupling Current

OHO'2242

Decay andsnapback

磁場精度への影響
SSC Dipole magnet

T. Ogitsu et al., Particle Accelerator 57 (1997)

2022/9/6

OHO'2243

3. クエンチ保護- MPZ・MQE- クエンチ検出と保護

2022/9/6

OHO'2244

常伝導転移 (Quench)

クエンチ時

安全弁発動

熱擾乱により温度上昇→臨界面を超える→クエンチ（不可逆過程）
適切な処理を怠ると#$蓄積エネルギー：𝐸 = 𝐿𝐼 $加速器用超伝導電磁石の場合: E~ 1‒ 10MJ

制御室からの眺め

ジュール熱 : 𝐺 = 𝑅𝐼 $ΔT = G/C ~ 3000-30000 K for Cu 1kg
導体の急激な温度上昇による焼損 (> Cuの融点 1356 K)
冷媒( e.g. 液体ヘリウム)気化の圧力上昇に伴う設備破壊
2022/9/6etc
ヘリウム：液体→気体の体積膨張率=74845

Quench時ケーブル内部の分流過程
Tcs: 分流温度 (Current sharing temperature )Coppermatrix
NbTi

分流

分流を考慮したクエンチによる超伝導体の振る舞いを正確に把握するには数値解析 (numerical)が必要
以降では、解析的なアプローチによってNbTiのクエンチ保護に必要な情報を集めていこう熱バランス方程式𝑑𝑇𝐶= ∇ - 𝑘∇𝑇 + 𝜌𝐽" + 𝑔 − 𝑔#𝑑𝑡
C : 単位堆積あたりの超伝導ケーブルの熱容量 ( Volumetric Heat Capacity) [J/m3/K]
k : ケーブル熱伝導率 ( Thermal conductivity ) [W/m2/K]
ρ : ケーブル抵抗率 (Electrical resistivity) [Ωm]
J : 電流密度 (Current density) [A/m3]
g : ジュール熱以外の発熱 (Heat generation other than joule heat)[W/m3]
gq: 冷媒による除熱 (Cooling power) [W/m3]
2022/9/6

OHO'2247最小伝播領域 (MPZ : Minimum propagation zone)
𝜌𝐽1𝐴𝑙

𝑇5 − 𝑇jk+ ℎ𝑝𝑙bi 𝑇5 − 𝑇jkbi = 2𝑘𝐴𝑙bi

Normal zone

A: Cable cross section
P : Perimeter𝑙l-i =

2𝑘 𝑇5 − 𝑇jkℎ𝑝+
𝑇5 − 𝑇jk
1
𝜌𝐽𝐴
2𝑘 𝑇5 − 𝑇jk
𝜌𝐽1

断熱条件時
Quench に至るNormal zone (常伝導部)の最小領域 ＝ MPZ

周辺導体からの伝導冷却が間に合わない2022/9/6

転移温度

OHO'2248

NbTi Rutherford cableのMPZ
１次元計算<latexit sha1_base64="8J4UpR1bdH6CJl7f3epSEwVjWjI=">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</latexit>lM P Z =s

2k(Tc THe )⇢(RRR, B, Tc )J 2

J= ~0.8 x Jc at B=6T

断熱近似

𝑅𝑅𝑅 = 𝜌 293𝐾 ⁄𝜌 10𝐾
0.01

1.6
MBXFP1_RRR054

0.00719Ω

0.008

0.007189 Ω

Coil resistance (ΩΩ)

Coil resistance (ΩΩ)

MBXFP1_RRR054

0.006

0.004

0.002

1.58

1.5572Ω
1.5572 Ω

1.56

1.54

1.52

0
4

6

8

10

12

14

Average of yoke temperaure (K)2022/9/6

1.5
280

285

290

295

300

Average of yoke temperaure (K)

HL-LHC D1磁石: RRR~216

MPZ 大 → 熱擾乱に対して安定
Rutherford cable : MPZ ~ 1 ‒ 10 mm

OHO'22

最小クエンチエネルギー(MQE : Minimum Quench Energy)
A.K. Ghosh et al.,IEEE TASC 9 (1999)

MPZを形成するのに必要なエネルギーk#

𝑀𝑄𝐸 = 𝐴 & 𝐿hij & 𝐶 𝑑𝑇𝑑𝑧k!"

J= ~0.8 x Jc at B=6T

計算値

2022/9/6

NbTi Rutherford cableの場合：
OHO'22
MQE = 10 µJ - 1 mJ

実測値

50

入熱 > MQE ?

Various heat sources• AC losses, Wire motion, Flux jumping- 超伝導電磁石の特性に依存（Intrinsic)
ü AC losses (交流損失)• ヒステリシス損失• IFCC（フィラメント間結合）損失• ISCC（素線間結合）損失
ü Flux jump• フィラメント径 5µm → 0.1mJ/cm3

ü Wire motion (機械擾乱)• ローレンツ力の影響→高磁場・大電流運用で問題化

L. Bottura,
CERN Yellow report CERN-2014-005

素線面積1 mm2 の長さ1 mmにわたって → 40 mJ/cm3 (or 40 µJ)
51
4kN/m (10T, 400A/mm2)の力が働く場合
高磁場運用~10T MQEに匹敵

クエンチ伝播速度- Quench Propagation Velocity
NbTi rutherford cable𝑑𝑇𝐶= ∇ B 𝑘∇𝑇 + 𝜌𝐽1 + 𝑔 − 𝑔m𝑑𝑡
gq=g=0 (断熱近似)
1次元に帰着𝜕𝑇⁄𝜕𝑡 = −𝑣 𝑑𝑇⁄𝑑𝑥

𝑑1𝑇 𝑣𝐶 𝑑𝑇 𝜌𝐽1
+
+
=0
1
𝑑𝑥
𝑘 𝑑𝑥
𝑘
Tについて解く
初期条件

T>Tcのフロント𝐽𝜌𝑘𝑣=
𝐶 𝑇5 − 𝑇jk
2022/9/6

J= ~0.8 x Jc at B~6T

NbTi の場合 ~ O (10 m/s)
OHO'2252

3. クエンチ保護- MPZ・MQE- クエンチ検出と保護

2022/9/6

OHO'2253

クエンチ検出 ‒ バランス電圧検出法

バランス電圧:Vbalance• 磁石の両端と中点（コイル２個で構成されている場
合は連結部）のバランス電圧の立ち上がりをブリッジ回路によって検出

2022/9/6• ノイズによる誤検出を防ぐため、検出閾値と判定時間を設ける- NbTi magnet: Vthreshold=0.1 V, tvalid=10 ms

MIITsMIITsとホットスポット温度の関係
エネルギーバランスの式より：
1𝐶
𝐶𝐴
𝐽1𝑑𝑡 = 𝑑𝑇 ↔ 𝐼 1𝑑𝑡 =𝑑𝑇𝜌𝜌

両辺を時間積分：`k

𝑀𝐼𝐼𝑇𝑠 = Fdq314

𝐼 1 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐴1 F

q2-

𝐶 𝑇
𝑑𝑇
𝜌 𝑅𝑅𝑅, 𝐵, 𝑇
RRR=150

単位: MAAs, kA2s, 106 As

2022/9/6

OHO'2255

MIITsを用いた磁石保護の考え方
遮断時間(時定数：τ)クエンチ検出時間

電流 IopCoil voltage(Thermal)

VoltageThreshold

クエンチ• 電流遮断：𝐼 𝑡 = 𝐼r- 𝑒

遮断 (t=0)

Time

5

s6

`k 1
1 𝜏⁄2
• MIITs = ∫d 𝐼 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐼r-• Iop=13 kA とした場合：MIITs (t >0) < 30 → τ < 350 ms
2022/9/6

OHO'2256

超伝導電磁石の保護 ‒ 保護抵抗
• 磁石のインダクタンス L=25 mH とした場合
0

1 ~2 MJ at I =13 kA）- 蓄積エネルギー : 𝐼23
op1• 電流をτ=L/R <350 msで遮断したい- 保護抵抗 Rdumpを並列に接続- Rdump > 72 mΩ → 最大電圧~1kV at 13 kA

🤔

遮断電流

遮断時に電磁石にかかる電圧
57

Simulation w/ Rdump=75 mΩ

Rdump

Top coil
Bottom coil

Total voltage

I
Top coil

Bottom coil

Voltage (V)

超伝導電磁石内部の電圧の発展

Total
voltageTime (s)I =12 kA
L~25mHTop coil

Bottom coil58

超伝導電磁石の保護 ‒ 保護ヒーター(QPH)
HL-LHC D1磁石の例

Active protection !!

M. Sugano et al., IEEE TASC (2022)59

超伝導電磁石の保護 ‒ 保護ヒーター(QPH)

60

Quench simulation w/ QPHITop coil
QPH
circuitTop coil
Bottom coil

Bottom coil

超伝導電磁石内部の電圧の発展
Top coil

Bottom coilK. Suzuki et al.,IEEE TASC 30 (2020)

61

MIITs summary, I=13000A, 7m magnet

Success

Case1

Case2

Case3

Case4

Case5

Failure mode
MIITs counted from the end of tvalid(quench integral)
Success

23.9

Failure case1

25.0

Failure case2

25.0

Failure case3

26.6

Failure case4

26.7

Failure case5

27.8
62

QPH design technique
Heater station• ヒーター面積 (長さ)の決定：- MPZ- Rutherford twist pitch

X (m)MBXFS01

0
−0.02
−0.04

−0.08
−0.1

−1

−0.5

Stair (2) −0.1 −1

−0.5

0

0.5

1
Z (m)

−0.5

0

0.5

1
Z (m)63X (m)Slalom Pattern1• ヒーター熱エネルギー密度：
- MQE

🤔

−0.06

0

0.5

1
Z (m)

0
−0.02
−0.04
−0.06

• ヒーター位置：- Quench velocity

X (m)

−0.08

0

🤔

−0.02
−0.04
−0.06

これまで説明してきたanalytic approachのノウハウが生きてくる−0.08

OHO'22

−0.1

−1

🤔

最近のクエンチ保護技術：CLIQ
E. Ravaioli Ph.D. Thesis• Nb3Snを用いた高磁場磁石では蓄積エネルギーはより高くなるため、いかに早く電流を遮断できるか、が重要• CLIQ（ Coupling-loss Induced Quench）を用いたクエンチ促
進技術- HL-LHCのNb3Sn 4極磁石 (MQXF)に採用

2022/9/6• 低磁場領域ではクエンチまでのエンタルピーマージンが大きい- CLIQによる結合損失では不十分のため、実際にはクエンチ保護ヒーターとの併用がなされている

Quench diagnostics‒ Localization technique

Vbalance
Vbalance• バランス電圧の極性- Rough estimation (コイル単位)

電圧タップ配置• 電圧タップ- Fine segmented (ターン単位)

B-44-La

B-25-Ra

B-13-La
B-14-La

B-13-Ra
B-12-Ra
B-05-Ra-1

B-08-La
B-05-La-1
B-03-La
B-02-La• クエンチアンテナ- 磁石ボアに設置されるピックアップコイルの信号解析- 非常に良い精度で周方向同定が可能- 長手方向にセグメント化する必要あり• アコースティックエミッション- 超音波解析による位置同定法- 含浸コイル(Nb3Sn）の樹脂クラック検知- 設備投資が大変。。？
2022/9/6

B-35-Ra

B-26-La

B-27-La

B-07-Ra

B-01-La
B-01-Ra

B-01-Rb
B-01-Lb
B-05-Lb
B-05-Rb-2

B-13-Lb
B-25-Lb

B-13-Rb
B-25-Rb
B-44-Rb

B-44-Lb-4

クエンチアンテナ

OHO'2265

まとめ• 超伝導電磁石の特性の理解＝Multiphysics- 電磁気、熱力学、構造力学。。
• NbTi 線材は加速器の高性能化に大きく貢献してきたü Fermilab -> HERA -> RICH -> LHC• 日本で開発してきた/している 超伝導磁石についてはこの後の講義を聞きましょう！！
• 超伝導電磁石開発は実は今現在転換期に来ている（のだと思う）- Nb3Sn磁石の初めての運用 in HL-LHC- REBCOといった高温超伝導体の実用化（まだできていない）- MgB2の実用化（R&Dははじまったばかり）
2022/9/6

OHO'22

パラダイムシフトには新しいアイデアや力がもっともっと必要。
一緒にはじめてみません
か？？？
66

補足

2022/9/6

OHO'2267

前講義のおさらい ‒ 秩序変数の導入
M• 系の状態の決定＝自由エネルギー𝓕が最小- 低温における強磁性相の安定：スピン方向が同じ向き (秩序がある)- 強磁性体の場合：秩序変数 ＝ 磁化 M
𝛽 &$ℱ 𝑀, 𝑇 = ℱ 0, 𝑇 + 𝛼𝑀 + 𝑀
2

常磁性相

強磁性相

T
Tc

𝓕

- 相転移を起こすためには：𝛼 𝑇 = 𝑎(𝑇 − 𝑇- )𝑇 > 𝑇- ∶ ℱ = 0 𝑎𝑡 𝑀 = 0（無秩序相)

𝑇 < 𝑇- ∶ ℱ = 0 𝑎𝑡 𝑀$ = −8(3"3+ )>2022/9/6(秩序相)

OHO'22

T >T c

T <Tc
M

68

ロンドン侵入長とGLコヒーレンス長
Material
In
Pb
Sn
Nb

2022/9/6

λ (nm)
24
32
~30
32

OHO'22

ξ (nm)
360
510
170
39

69

代表的な超伝導材料
Type

Tc
(K)

Bc1
(T)

Bc2
(T)

特徴

Pb

I

7.2

-

0.08

-

Nb

II

9.25

-

0.4

-

NbTi

II

9.5

-

11.5

合金•展性があり使いやすい

Nb3Sn

II

18

-

22.5

REBa2Cu3O7

2022/9/6

II92

低温超伝導体LTS-

35 (B//ab)

高温超伝導体HTS

化合物のため脆いWind-and-react
脆い•配向性が重要

印加磁場の向きに対して臨界
磁場（電流）が変化

OHO'22

X70

NbTi E-J 曲線

2022/9/6

OHO'2271

Maddockの安定化条件‒ equal-area theorem
除熱2022/9/6

発熱

OHO'2272

安定化材

2022/9/6

OHO'2273

Estimation of the maximum voltage to groundfor the 7m-long magnet
Resistance and mutual inductance are computed for each turn(Rk, Lk: k=turn#, 88 turns in total)
Bottom coil (44 turns)

I

Top coil (44 turns)

•••

•••

ΔVk = RkI ‒ LkdI/dt
Then sum the voltage
drops (ΔVk) until X turns :Vto ground (X) =

k=X
X

Vk

Voltageto ground

k=1 index k : turn# (1-88)

L predominate

R predominate
Turn#
Peak voltage at a certain turn#

L predominate

We can seek the maximum V by sweeping X for each time step74
We define the highest Vto ground (X) as the maximum voltage to ground at quench

NbTi Rutherford cableの製造工程

https://indico.cern.ch/event/1077978/

2022/9/6

OHO'2275

2022/9/6

OHO'2276