数理解析研究所講究録988 巻 1997 年 8-15

8Mandelbrot 集合の外射線の到達性について
東京工芸大学1(Shizuo Nakane)

中根静男

序

本小論では、 Mandelbrot 集合の外射線の到達性についての先駆的な Douady-Hubbard[と Schleicher [Sl の仕事を紹介する。
の仕事と、それを簡略化した最近の Milnor [2 次多項式写像族 $P_{c}(z)=z2+c$ を考える。 それらの充填 Julia 集合、 Julia 集合を次で定義する。
$\mathrm{D}\mathrm{H}|$$\mathrm{M}2|$$K(P_{C})$$=${$J(P_{C})$$=$$\partial K(P_{c})$$z\in \mathrm{C}$; その軌道
.

$\{P_{C}^{n}(z)\}_{n}\geq 0$

それらの族の connectedness locus を Mandelbrot 集合と$M=${$c\in \mathrm{c};J(P_{C})$が有界},$\mathrm{A}\mathrm{a}$

う。

が連結}.

$c\in M$ ならば、 ある等角写像$\varphi_{\text{。}}$:$\overline{\mathrm{C}}-K(P_{C})arrow\overline{\mathrm{C}}-\overline{\mathrm{D}},$$\mathrm{D}=\{|z|<1\}$で$\varphi_{c^{\mathrm{O}}}P_{c}=P_{0^{\mathrm{o}}\varphi}C’\lim_{zarrow\infty^{\varphi_{C}}}(Z)/z=1$を満たすものがただ–つ存在する。 この写像による、偏角 の半直線 $\{re^{2\pi it};r>1\}$ の原像
ぜ Pc を $K(P_{c})$ の外周角 の外射線という。
とおくと、 :
は等角写像で $\lim_{carrow\infty}\Phi(c)/c=1$ を満たすので、 $M$ の外甥線
も同様に定義する。
$M$ のグリーン関数とする。
$G_{M}(C)=c_{\text{。}}(C)$ を、 各々が–点からなるとき、 瑳はその点に到達すると外射線町の集積点の集合鳶いう。 \mbox{\boldmath $\varphi$}。やが等角写像のときは、 Caratheodory の定理により、 $K(P_{c})$ や $M$ が局所連結ならば、 全ての外周曲線は到達する。 Douady-Hubbard [DH] は、 局所連結であるなし
$t$

$t$

$\Phi(c)=\varphi_{\mathrm{C}}(c)$$\Phi$$\overline{\mathrm{C}}-Marrow\overline{\mathrm{C}}-\overline{\mathrm{D}}$$R_{t}^{M}$$G_{\text{。}}(z)=\mathrm{l}\circ \mathrm{g}|\varphi_{\text{。}}(z)|,$$K_{c},$$-R_{t}^{*}$$\Phi$に対しぜ (Pc) 及び謬は到達することを示し、 更に相空
間とパラメータ空間との関係についても考察した。 以下に解説するのは次の結果である。
にかかわらず、 全ての定理 1. 1$t\in \mathrm{Q}$

1. 周期的な外周角 の外射線は放物的な点 に到達する。 このとき、瑳は引値を含む Fatou 成分の支持射線 (その Fatou 成分に隣接するアクセスを通っ$t$$R_{t}^{M}$$c$て放物的周期点に到達するもの) である。

2. 放物的な点
射線$R_{t}^{M}$は、 その相空間で危値を含む Fatou 成分の支持射線の外周角の到達点である。
$c$

$t$

の外

9
3. 前周期的な外周角
$c$

の外射線

$t$

$R_{t}^{M}$

は$Misiurewi_{C}z,\mathrm{I}\backslash \text{、}C\mathrm{g}$に到達する。 このとき瑠はに到達する。

4. Misiurewicz 点$c$は、 その相空間で蔵幅$c$に到達する外周角

$t$

の外射線

$R_{t}^{M}$

の到達

点である。
このテーマが [DH] の主結果ではないかと思われるほどの頁を割いて [DH] は証明を与えたが、 それは決して読み易いものではない。 Schleicher [S] は、 tricorn に対する外射線の理論をも念頭において、 彼らの証明を簡略化した。 それは単なる簡略化ではなく、

Ecalle cylinder のような解析的な道具を, 組み合わせ論的なものに置き換えることによって、 tricorn のような解析的ではない族に対しても適用できるようにしたのである。 –方、Milnor [M2] は [S] とは違った観点から [DH] の結果の簡略化を行なった。

2

Douady-Hubbard の方法

充填 Julia 集合 $K(P_{C})$ の外射線の到達性については、次のようにまとめられる。 以後 ‘を Rt。と書く。
簡単のため、$R_{t}^{K()}P_{C}$

補題 2. 1が連結ならば、 有理角 の外輪線 Rt。は放物山酔は反発的な周期点又は前周期点に到達する。
が連結でないときは、危値 の外周角が $2t,$ $4t,$ $8t,$ でな
ければ、は反発的な周期点心は前周期点に到達する。 $2t,$ $4t,$ $8t,$ のどれかならば、は危値の逆軌道上の点に跳ね返り、到達しない。 逆に、放物的及び反発的な周期点及び前周期点は有限個の有理角の外掛線の到達点になる。
$K(P_{\text{。}})$$t$$K(P_{\text{。}})$$c$$\ldots$。

$R_{t}^{c}$$R_{t}$$\ldots$

パラメータ空間での外射線の到達性を示す際に、 次の補題は重要な役割を果たす。
(前) 周期的な外周角補題 2. 2達し、 全ての $n\geq 0$ に対し$t$に対し、 外射線瑳 o が反発的な (前) 周期点の近傍 $W$ があって、ならば、$P_{\text{。_{}0}}^{n}(z0)\neq 0$$\psi_{t}$:$W\cross[0, \infty)arrow \mathrm{C},$ $\psi(c, S)=\varphi_{\text{。}}-1(e^{S+}2\pi it)$は連続で、 に関して正則。 特に、に十分近い点に到達し、 到達点は C に関して正則である。
$c$$c_{0}$

補題 2. 3 周期的な外周角の外甥線$R_{t}^{M}$$z_{0}$に到$c_{0}$

$c$

に対しても

,

$R_{t}^{c}$は反発的な (前) 周期

は、 ある放物的なパラメータ $c_{0}\in M$ に到達する。 瑳 0 は放物的周期点に到達する。 前周期的な外周角の外射線は放物的なパラメータか又は Misiurewicz 点に到達する。

最初に は周期的とする。
は放を砂の集積点とすると、 補題 2. 1 よりの物的又は反発的周期点に到達する。 今到達点が反発的としてみよう。 補題 2. 2 より
しかし近傍の点 でもはのは反発的周期点に到達する。
の集積点なので近くにをとると危値 が上にある。 今 は周期的故、 補題 2. 1 より
は
証明.

$t$

$R^{0}$$c_{0}$$c_{0}$$c$$R_{t}^{c}$$c_{0}$$c\in R_{t}^{M}$

$c$

$t$

$R_{t}^{c}$$R_{t}^{M}$$c_{0}$$R_{t}^{c}$

到達し得なく、矛盾。 よって理は放物的周期点に到達する。 この周期点の周期と回転数は で規定され、 そのような放物的周期点を持つようなパラメータは有限個しか無い
ことが分かる。
の集積点の集合は有限集合で、 しかも連結でなければならないのでは放物的なパラメータ点からなる。 従ってに到達する。
$t$$R_{t}^{M}$$R_{t}^{M}$$c_{0}$

10が前周期的のときは、 $t’=2^{m}t$ が k 凋期的になるような $m>0$ がとれて、 , はは放物的で放物的又は反発的周期点に到達する。 放物的周期点に到達すれば明らかに
$W$
の近傍
と連続関数
に到達するときは、 補題 2. 2 より、ある。 反発的周期点に収束する点列とすると、 $s_{n}=G_{M}(C_{n})arrow 0$ 故、
を
がとれる。
$t$

$R_{t^{\mathrm{O}}}^{\text{。}}$$c_{0}$$z_{0}’$$c_{n}\in R_{t}^{M}$$c_{0}$$\psi_{t};(_{C_{n},2}ms_{n})$$=$$\varphi_{\text{。}}n(e^{2^{m}(\mathit{2}}S_{n}+\pi it))$$=$$P_{c_{n}}^{m_{\circ\varphi_{\text{。}n}}}-1(es_{n}+2\pi it)$$=$

ここで $narrow\infty$$\psi_{t’}$$c_{0}$.

$P_{\text{。_{}n}}^{m}(C_{n})$

.

とすると、
$z_{0}’=^{\psi t}’(_{C_{0},\mathrm{o}})=P_{c}^{m}(0c_{0}C\mathrm{o})=Pm+1(0)$が Misiurewicz 点であることが従う。 1となり、ここまではさほど難しくはない。 問題は補題 2. 3 の逆、つまり、全ての放物的なパラメータに、 $M$ のしかるべき外射線が到達することを示すことにある。 Douady-Hubbard$c_{0}$[DH] は、 放物的力学系の摂動の理論を用いて次の定理を証明した。
の放物的な -サイクル
は固有値
定理 2. 1} を持つとする。
はに到達を含む Fatou 成分の支持射線の外周角のひとつを とすると、
危値
する。
$k$

$\rho=e^{\mathit{2}\pi ip}/q$$P_{c_{0}}$$\mathrm{f}^{z_{1},\ldots Z_{k}},$$R_{t}^{M}$$t$$c_{0}$$c_{0}$

その証明は直接的ではあるが、 非常に長く読みずらいものであった。 基本になるのの近傍 $W$ 内の点 に対し、 $z=z(c)$ を、は次の Shooting lemma である。
$z(c),$ $Z(C_{0})=Z_{1}$ となるものとする。 $z(c)$ はの連続関数で、特に $q\neq 1$ ならば陰関数定理
より $z(c)$ は正則である。
の小さい円板、 $no>>1_{\text{、}}1<r<r^{*}$ を 1 に充分を、 中心
とおく。 $W$ を小さくとれば、 $y(c)\in\triangle$
近い数として、 $x(c)=P_{\text{。}}n0kq(c),$とできる。
$P_{\text{。}^{}k}(Z(c))=$$c$$c_{0}$$c$$\triangle$$z_{1}$$y(C)=\varphi.\cdot C-.l(re)\mathit{2}\pi it$

補題 2. 4
$N\geq N_{0}$の充分小さい任意の近傍 $W$ に対し、 ある $N_{0}>0$ が存在して、 全てのに対し、 $P_{c}^{Nkq}(x(C))$ $=y(c)$ を満たす $c=c_{N}\in W$ がある。 しかも $Narrow\infty$ の.
となる。
$c_{0}$

とき $c_{N}arrow c_{0}$証明には Ecalle cylinder の素朴な理論を用いる。

ならば、 $s\in I=[s^{*}/2^{kq}, S^{*}),$ $S^{*}=\log r*$ として、 $y(C, s)=\varphi^{-}\text{ }(1eS+2\pi it)$
さて、を定義できる。 この $y(c, s)$ に対し、 Shooting lemma 2. 4 より、。

$s>G_{\text{。}}(\mathrm{O})$$P_{\text{。}^{}Nkq}(x(_{C}))=y(c, s)$

を満たす

,

がある。 $G_{\text{。}}(c)=u=u_{N,s}=s/2^{(n_{0}+)k}Nq$ である。 この をとかくと、は $0<u<u^{*}=s^{*}/2^{(}n\mathrm{o}+N_{0}$ )に対し定義される。 $u_{N,s^{*}/}2^{kq}=u_{N++l,s^{*}}$ に注意する。 やはり Shooting lemma 2. 4 より、 $uarrow 0$ のときが従う。 定理 2. 1 は次の補題から
.
従う。
$c$

$c$

$c_{u}$$c_{u}$$kq$$c_{u}arrow c_{0}$補題 2. 5$c=c_{u},$$0<u<u^{*}$ は$R_{t}^{M}$の先端部分をパラメトライズする。

あとは、周期的な外周角の個数と、放物的なパラメータの個数を比較することにより、定理 1. 1 の 1. と 2. が示される。 そのために、 双曲的成分の根を考える。

11

補題 2. 6 $M$ の各双曲的成分 $W$ 上、 吸引的サイクルの固有値写像は等角で、相写像に延ばせる。

$\overline{W}$上の同上、 固有値写像が 1 となる点を $W$ の根という。 前補題 2. 6 より双曲的成分は唯っ根を持つ。 根は放物的な点である。
そして放物的なパラメ一 はある双曲的成分の根になっていること、 双曲的成分が根を共有しないことを示す。 前者は固有値写像の解析性から、後者は双曲的成分の境界が滑らかで、 互いに接していることを示すことによって導かれる。 こうして、 双曲的成分と、放物的なパラメータが 1 対 1 に対応ずけられる。
$\partial W$$\text{タ}$補題 2. 7 周期がの約数の周期的な外射線の本数は成分の個数はである。
$n$で、 周期が $n$ の約数の双曲的$2^{n}$$2^{n-1}$

証明.

周期が の約数の外周角は $(2^{n}-1)t\equiv 0$ を満たすので、個ある。 周期が の約数の双曲的成分の中心は $P_{c}^{n}(0)=P_{\text{。}^{}n-1}(c)=0$ を満たす。 これは の次方程式で、 その解は全て単解であることがわかるので、 ちょうど個ある。 よって、双曲的成分もちょうど個ある。 1に到達する $M$ の外面線の外周角は定理 2. 1 の支持射線のそれ以外に
こうして、はないことがわかる。
次に、前周期的な に対しては、は放物的なパラメータか、又は Misiurewicz 点に到達することが補題 2. 3 で示される。 実は、 放物的な点には到達しないことを示すのだが、 この証明も容易ではない。 $t’=2^{j}t$ が周期的になるように $j>0$ をとる。
を, となる。玲が放物的周期点に到達の近くにとると、 $c\in$ 燐で、,をしたとする。 このとき、の近くにとると、 $c\in$ 瑳で、,がとなる。 しかし、 Douady-Hubbard は、 –方で、上にないことを、 Ecalle$2^{n}$$n$$n$$2^{n-1}$$c$$2^{n-1}$$2^{n-1}$$c_{0}$$t$$R_{t}^{M}$$c\in R_{t}^{M}$$P_{\text{。}^{}j}(c)=P_{C^{+}}^{j1}(\mathrm{o})\in R_{t}^{\text{。}}$$c_{0}$$c\in R_{t}^{M}$$P_{\text{。}^{}j+1}(\mathrm{o})=P\text{。}(c)\in R_{t}^{\text{。}}$$c_{0}$$P_{c}^{j}(c)$$R_{t}^{c}$cylinder の方法を用いて証明するのである。
補題 2. 8証明.
で

$R_{t}^{\text{。_{}0}}$$R_{t}^{M}$の到達点$c_{0}$が Misiurewicz 点ならば、 相空間で瑳 o はの到達するとして、 まず全ての $j\geq 0$ に対し、とすると、
$z_{0}$$c_{0}$$P_{c_{\mathrm{O}}}^{j}(\mathcal{Z}_{0})\neq 0$に到達する。
を示す。 ある$j$$P_{\text{。_{}0}}^{j}(Z_{0})=0$$\psi_{2^{j+1}}t(C_{0},0)=P_{c_{0}}^{j1}+(\psi_{t}(_{C_{0}},0))=P_{\mathrm{c}_{0}}^{j1}+(z_{\mathit{0})}=P_{\text{。_{}\mathrm{O}}}(0)=c_{0}$が成り立つ。 今、ると、$c_{0}$の軌道上には$0$は存在しないので、 補題 2. 2 を $z_{0}=c_{0}$ に適用す

$P_{\text{。}n}^{j1}+(C_{n})=^{\psi}\mathit{2}j+1t(c_{n}, 2^{j1}+)S_{n}$で $narrow\infty$

として、$P_{c_{0^{+}}}^{j1}(_{C}0)=\psi_{2t}j+1(_{C}0,0)=c0$,

従って、となり、矛盾。
に適用すると、
よって、 補題 2. 2 を$P_{\text{。}0}^{j+}1(\mathrm{o})=0$$z_{0}$$c_{0}= \lim_{narrow\infty}c_{n}=narrow\infty\lim\psi t(cn’ Sn)=^{\psi t}(C_{0},0)=z0$となり、 補題が従う。 1

,

,

12

補題 2. 9$c_{0}$が Misiurewicz 点で岬が$c_{0}$に到達するならば、$R_{t}^{M}$は$c_{0}$に到達する。

証明. $z_{0}=c_{0}$ に対して補題 2. 2 を適用すると、 $s\geq 0$ に対し、 $H_{s}(c)=\psi_{t}(C, S)-c$ はの $c=c_{0}$ での零点の位数 $m$ とする。
を満たす。の近傍 $W$ で正則で、$(c)=e^{2\pi it}$ , 従って、$\varphi$$H_{0}$$H_{0}(c_{\mathit{0}^{)}}=0$$\text{。_{}0}$。

$\varphi_{\text{。}}(P^{k+m}(\text{。。}))=e=e^{2}=\mathit{2}\pi i\mathit{2}^{k+}mt\pi i\mathit{2}^{m}t\varphi\text{。}(P^{m}(\text{。})c)$.

, これは矛盾。こうして $m<\infty$ が従う。更に十分小さい$H_{s}(c)=0$ は $c=c_{0}$ の近くに $m$ 個の解を持つ。 その–つを。s とすると、
故、
故、
となる。
で\Phi (cs)に到達することが従う。
1
が。o
よって

$P_{\text{。}^{}k+m}(C)$$\equiv P_{c}^{m}(\text{。})$

$s$

に対し、

$c_{s}=\psi_{t}(c_{s}, S)\not\in$$C_{S}\in R_{t}^{M}$$=\varphi_{\text{。_{}S}}(C_{S})=e^{S+\pi it}\mathit{2}$$c_{S}\not\in M$$K_{\text{。_{}s}}$$\lim_{sarrow \mathit{0}}c_{S}=c_{0}$から、$R_{t}^{M}$

3

Schleicher の方法

Schleicher [S] は定理 2. 1 の証明を簡単にするために、組み合わせ論的方法を用いた。彼はまず補題 2. 3 を精密化して、放物的なパラメータに到達する $M$ の外寸線の外周角は、 定
理 2.
に述べられた相空間における外周角以外にはないことを示した。 (Douady-Hubbardの方法では、 この事実は定理 2. 1 と数え上げの補題 2. 7 とから示されるのである。) そ$1^{-}$のために次が必要である。

補題 3. 1 その各国に 2 本以上の外射線が到達するような反発的又は放物的なサイクルを考える。 そのサイクルの各点は他の点と、 2 本の外壁線とその共通の到達点である反発的周期点で分離される。
放物的なパラメータ
を \Theta 。とおく。

$c$に対し、 周期的な補題 3. 2t\in O- 。ならば、$R_{t}^{c}$

は危値

$c$

$t$

で

$R_{t}^{M}$が$c$に到達するようなものの全体を含む Fatou 成分の根に到達する。

証明.
の近くには
上に危値 を持つようなパラメータが無数にある。 -方、補題 3. 1 より、 放物的周期点達は外射線達で分離されるが、 それらの到達点が反発的故、$c’$$R_{t}^{\text{。^{}\prime}}$

$c$

$c’$

補題 2. 2 よりそれらで得られる分割は の近くで安定なので、の到達点は危値に最も近い点でなくてはならない。 1
以下に、 放物的な点 に対し $\neq 0-_{c}=2$ であることを、 瓦の放物的サイクルの周期に関する帰納法で示す。 $n-1$ までは正しいとする。 周期 $\leq n-1$ の $M$ の外電線とその到達点はを有限個の部分に分ける。 この分割をと書く。 周期 の外射線とその到達点はの境界とは交わらない。
$c$$R_{t}^{c}$$c$$S_{n-1}$$\mathrm{C}$$n$$S_{n-1}$

補題 3. 3$\#\mathrm{O}-$

。

$>1$

ならば

$\#\mathrm{O}-$

。

$=2$

で、 O-。は危値を含む Fatou 成分の根に、 その成分に隣接するアクセスを通って到達する外射線の角の全体に等しい。
証明.
$\bullet$.

補題は次の事実から従う。

の各連結成分内の外射線の kneading sequence の始めの $n-1$ 項は全て–致する。特に周期 の異なる kneading sequence を持つ外物線は同じ点には到達しない。

$S_{n-1}$

$n$

13

$\bullet$

を危値を含む Fatou 成分の根とすると、 に到達する二二線のを放物的な点、なかで、引値を含む Fatou 成分に隣接するアクセスを通る 2 本のみが同じ kneading
sequence を持つ。
$c$$z_{1}$$z_{1}$

1

よって $n$ のときに$\neq\Theta_{c}\leq 2$が示された。 定理 2. 1 をいうためには、$\neq \mathrm{O}-_{C}=2$をいえばよい。 そのために、周期 の外周角の個数と放物的な点の個数を比較する。 前節の、個しかないことが補題 2. 7 を用いて、 周期が の約数の放物的パラメーダは高々本の外射線が高々示される。 (双曲的成分が根を共有するかもしれないので。) しかし個あり、 そ個の点に高々 2 高ずつ到達することから、実は放物的パラメータは$=2$の各々にちょうど 2 本の外壁線が到達せねばならない。 こうして、 のときにもが示され、 帰納法が完結する。 同時に、 双曲的成分の個数に関する命題とそれらが根を共.
.
有しないことも示される。
$n$$2^{n-1}$$n$$2^{n}$$2^{n-1}$$2^{n-1}$$n$$\#\Theta$。

系 3. 1 放物的な点 は、 その相空間で即値を含む Fatou 成分に隣接して到達する外射
線と同じ外周角の $M$ の外射線の到達点である。
$c$

は Misiurewicz 点に到達することを示す。 Schleicher [S] は、
次に前周期的な外射線は放物的な点には到達しないこ
kneading sequence の議論を用いて、 まずそのような$R_{t}^{M}$$R_{t}^{M}$とを示した。

補題 3. 4 前之期的な

に対し、

$t$

$R_{t}^{M}$

は放物的な点には到達しない。

前周期的な の kneading sequence は前周期的で、 の前周期とその kneading
が放物的弓。に到達したとす
sequence の前周期は–致することに注意する。 さて、る。 上の議論より、 には 2 本の周期的な外射線型、$t=1,2$ が到達する。 $K(t)$ と $K(t_{i})$とはの同じ成分には属し得ない。 よって矛盾。 1は第 項で異なるとすると
は前
の点列を
とすると、
より、
に集積する
の集積点を
$narrow\infty$とすると、としよう。 の集積点をに到達する。
周期点$G_{\text{ _{}n}}(C_{n})=\log\Phi(c_{n})arrow 0$となる。 今、とすることにより、
証明.

$t$

$t$

$R_{t}^{M}$$c$$R_{t}^{M}$$j$$R_{t}^{M}$$S_{j}$$R_{t_{i}}^{M}$$R_{t}^{M}$$c_{0\text{、}}c_{0}$$f_{\text{。_{}n}}^{k+m}(Z)n=f_{\text{。_{}n}}^{m}(z)n$$z_{n}$$c_{n}\in R_{t}^{\text{。}n}$$\text{。_{}n}$$z_{n}$$z_{0}$$c_{n}\in R_{t}^{c_{n}},$$f_{C_{\mathrm{O}}}^{k+}m(\mathcal{Z}_{0})=f_{\text{。}0}^{m}(z_{0})$$R_{t}^{\text{。_{}n}}$。

故、 $c_{n}-z_{n}arrow 0$ が従う。 すると、$|c_{0}-z\mathit{0}^{1}\leq|c_{0}-Cn|+|cn-Z_{n}|+|_{Z_{n}}-z\mathit{0}^{1}arrow 0$

よって$z_{\mathit{0}}=c_{\mathit{0}}\text{、}$故に$c_{0}$

は Misiurewicz 点である。 更に、補題 2. 2

,

より理は

$c_{0}$に到達する。

Misiurewicz 点$c_{0}$

に対し、$R_{t}^{\text{。_{}0}}$が$c_{0}$に到達したとき、$R_{t}^{M}$が$c_{0}$に到達することを、前節の方法で示す。

4

Milnor の方法

方、 Milnor [M2] は orbit portrait を分類することにより、 周期的な外射線の到達性を論じた。 それを紹介する。
に到達する $K(P_{c})$ の.
P。の周期 の周期軌道 $O=\{z_{1}, \ldots, z_{p}\}$ を考える。 んを$O$の orbit portrait とい
外射線の外周角の全体とする。 $P=P(o)=\{A_{1)}\ldots, A\}p$ を軌道う。 Milnor は、 まず orbit portrait の特徴付けを与え、 次に、 与えられた orbit portrait$P$$z_{i}$

14を持つ反発的軌道を持つような瓦の全体を考えた。 パラメータ空間でのそのような領域
は、 $P$ から定まる外周角の $M$ の 2 本の外射線とその到達点である放物的な点。
で囲まれる。 馬は orbit portrait $P$ の放物的軌道を持つことが示される。 故に、 放物的なパラメータに対し、 その放物的軌道の orbit portrait $P$ を考えると、
の境界であ
$M$
る
の 2 本の外射線はに到達しなければならない。 こうして定理 2. 1 が示される。
さて、 $\neq A_{i}=v$ は によらず–定である。 各とそれに到達する隣り合う外射線で$P$$W_{P}$$W_{P}$$c_{0}$$c_{0}$$i$$z_{i}$

囲まれる領域をセクターと呼ぶ。卿個のセクターのなかで角度が最小のものが唯–っある。 その外周角蔓を特性角、 その到達点を特性点、 $I(P)=[t_{-}, t_{+}]$ を特性区間という。

が放物的軌道の orbit portrait ならば、 その特性角は危値を含む Fatou 成分の支持射線の外周角に–致することがわかる。
の中で、 無限円周を $O$ と結ぶ全ての外射線を描いたものをとかく。
orbit diagram といい、$P$$\overline{\mathrm{C}}=\mathrm{C}\mathrm{u}\{e^{\mathit{2}}\cdot t\pi it\}\in[0,1)\}$$D(\mathcal{O})$

補題 4. 1 全ての $v\geq 2$ の orbit diagram $D=D(O)$ は次の性質を持つ。

1.

での危セクター $S$ の角度$z_{i}$$\alpha(S)$は 1/2 より大きい。

2. 局所的には、 P。は の近傍をの近傍に同相に写す。 での各セクターはのセクターに、順序を保ちながら写される。危セクターは危値セクターに写される。
$z_{i+1}$$z_{i}$

3. 大域的には、 での非危セクター$z_{i}$$S$は$z_{i}$$z_{i+1}$

でのセクター $P_{c}(S)$ に写され,が成り立つ。 での危セクターは全平面を覆い、重に覆う。 他は 1 重に覆う。
$2\alpha(S)$証明.

$z_{i+1}$$z_{i}$$z_{i+1}$$\alpha(P_{\text{。}}(s))=$での危値セクターを 2$0\leq j\leq v$ をでのセクターとする。
のある
ならば瓦は
から
近傍の上で同相だから、 はでのセクターの上への同相になる。 $P$
は危点 を持つので、 この議論は全てのセクターには適用できない。 よって、を満たす が唯–つあり、
である。
$S’$
を
での危セクタでの危値セクターとする。 危値 の $S’$ 内の近傍をの瓦による原像は に入るので、 での 以外のセクターは瓦で $S’$ 以外のセクターに写る。 よって、 が $S’$ に写る唯–のセクターである。 1$S_{z_{i}}^{j},$$\alpha(S_{z_{i}}^{j})<1/2$$z_{i}$$P_{c}$$S_{z_{i}}^{j}$$\partial S_{z_{i}}^{j}$$P\text{。}(s_{z_{i}}^{j})$$z_{i+1}$。

$0$$\alpha(S_{z_{i}}^{k})>1/2$

$k$

$S$

$0\in S_{z_{i}}^{k}$$-\text{、}$$z_{i}$$S$$z_{i+1}$$z_{i}$

$c$

$S$

$S$

補題 4. 2の各点での $pv$ 個のセクターの中で角度が最小のものがただ一つある。 この$\mathcal{O}$

セクターは

$c$

を含み、他のどのセクターも、 $O$ のどの点も含まない。

証明. $S$ をでの非危値セクターとすると、 前補題 4. 1 よりでのセクター $S’$ があって $S=P\text{。}(s)$ となる。 故に\alpha (S) $=2\alpha(S)>\alpha(S’)$ となり $S$ は角度最小でない。 よっ$z_{i}$$z_{i-1}$て角度最小のセクターは危値。を含むものである。 1
補題 4. 3$d\leq 2$

で、 $d=2$ となるのは $v=2$ かつ回転数が$0$のときに限る。

定理 4. 1
を放物的な点、 $P$ をの放物的な軌道の orbit $portrait_{\text{、}}t_{\pm}=t_{\pm}(P)$ を特性角とすると、はともに Co に到達する。
と $\mathrm{C}-W_{P},\ni 0$と。は c\rightarrow 平面をに分ける。
$c_{0}$$P_{\text{。_{}0}}$$R_{t}^{M}\pm$$R_{t}^{M}\pm$$W_{P}$

15

証明. $c\in W_{P}-M$ とすると、 補題 4. 2 よりる) 外周角は特性区間 $(t_{-}, t_{+})$ に含まれる。

R 謹ならば$c$の K。に関する

(従って

$c$

の $M$ に関すが従う。 よって、はある前危点で跳ね返るので$\partial W-M=R_{t_{-}}M\cup R_{t_{+}}^{M}$ である。の角の周期、 $F_{n}\subset M$ をを $P$ の角の全体、 $n=pv$ を$A_{P}=A_{1}$ U...
が、 固有値 1 の不動点を持つような の全体とする。 補題 2. 2 より、 $c\in M-F_{n}$ なら
または$t\in A_{P}$ はの近傍で安定的に反発的周期点に到達する。 よってば、がわかる。
凡は有限集合なので、となり、–WP、従って。
に到達しなければならない。
内の同じ点\partial WP=Ry\cap {Cl}\cap R 理が示され
R 理は
.
た。 1
$c\in$$R_{t}^{M}\pm\subset \mathrm{C}-W_{P}$$R_{t}^{c}\pm$$’\rho$$\cup A_{p}$$P_{c}^{n}$$c$$c\in W_{\mathcal{P}}$$c$$R_{t}^{c},$$\partial W_{P}\cap M\subset F_{n}$$\not\in\partial W_{P}$$\text{。}\in \mathrm{C}$$F_{n}$$c_{1}$

補題 4. 4 すべての

$c_{\mathit{0}}\in W_{P}$に対し、$P_{c_{\mathrm{O}}}$は portrait $P$ の反発的軌道を持つ。

の近傍で
は反発的な
を除けば、
前定理 4. 1 より $c\in F_{n}$ としてよい。
周期点に到達する。 この周期点が偽で非反発的とすると、 この周期点は摂動で吸引的にでも反発的である。 1
なり矛盾。 よって、次を示した。
は放物的な力学系の摂動を考察することにより、更に Milnor
証明.

$c_{0}$$P$$R_{t}^{c}\pm$$c_{0}$$c_{0}$

を放物的な点、 $P$ を瓦。の放物的サイクルの orbit porirait とすると、 の補題 4. 5の根であり、の軌道を持たない がある。 つまり、 はどの近傍にも portrait$c_{0}$$\text{。_{}0}$$7^{\supset}$$c$$c_{0}$$W_{P}$$r_{P}$には R 理が到達する。

$c_{0}$の放物的軌道に到達する外心線の、摂動後の到達の仕方を見ることによる。
こうして、放物的な点には少なくとも 2 本の湯汲線が到達することが示された。 Schleicher とは逆の評価であることに注意する。 ちょうど 2 本であることをいうためには、 や
はり外周角と放物的点の個数を比べる。 双曲的成分が根を共有しないことも示される。
証明は、$P_{\text{。_{}0}}$

References[DH] A. Douady and J. Hubbard: Etude dynamique des polynomes quadratiques compartie).
plexes. Publ. Math. Orsay 84-02 (1984) (ler partie) and 85-02 (1985) ($2\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{e}$[M1] J. Milnor: Dynamics in one complex variable: introductory lectures. Stony Brook
Preprint, 1990/5.
[M2] J. Milnor: Periodic orbits, external rays and the Mandelbrot set; An expository
account. Manuscript, 1995.

[S]

D. Schleicher: Internal addresses in the Mandelbrot set and irreducibility of polynomials. Thesis at Cornell Univ. 1994.