計測自動制御学会東北支部 第 247 回研究集会 (2008.12.19)
資料番号 247-8

近接場領域での定在波のFDTD シミュレーション
FDTD simulation for standing wave in near-field region○渡邉兼介 ∗ , 大坊真洋 ∗○ Kensuke Watanabe∗ , Masahiro Daibo∗*岩手大学*Iwate University
キーワード : 表面プラズモン (Surface plasmon)，干渉 (interference),
FDTD 法 (Finite Difference Time Domain method)，負の屈折率媒質 (Double Negative Medium)
近接場 (near-field)

連絡先 : 〒 020-8551 盛岡市上田 4-3-5
岩手大学 工学部 電気電子工学科 大坊研究室
大坊真洋 Tel.: (019)621-6983，E-mail: daibo@iwate-u.ac.jp

1. 序論

値を持ち，Ez = 0，Hx = 0，Hy = 0であるTM波に

1966 年， K.S.Yee によって FDTD 法は電磁界解析に初めて利用された．FDTD 法は電磁界の散乱問題ばかりではなく，アンテナや平面回路など数多くの複雑な問題に適用されてきついて FDTD シミュレーションを行う．

Yeeのアルゴリズム[1]に従い，２次元解析領域を微小正方形に分割する．マクスウェルの方程式を中心差分によって，時間的に差分化し，磁界と電界を交互に配置する．中心差分た．近年では, 計算機の機能向上によって光の化されたマクスウェルの方程式は次のように波長領域の問題にも利用されている．
これらの背景から，本研究では近接場領域に表される．

おける定在波のFDTDシミュレーションを行う．
nE =2. FDTD 法

1 − σ2△tε1 + σ2△tε1

En−1△t1ε+∇ × H n− 2σ △t1 + 2ε(1)△t∇ × Enµ(2)1

H n+ 2 = H n− 2 −FDTD法とは，マクスウェルの微分方程式を差分化(Finite Difference)し，時間領域(Time Do-また，空間的にも電界と磁界は交互に配置main) で解く方法である．実際の電磁界では３することで差分化を行う．基本的に電界はセ次元モデルであるが，物体も波源もz 軸方向にルの各辺に沿って，磁界は垂直に割り当てら変化することがない場合には２次元で考えるれ，空間的，時間的に差分化されたマクスウェことができる．本研究では，Ex , Ey , Hz 成分のみルの方程式から電磁界を計算する．

–1–

計算領域外から起こる反射等の影響をなく

3.1.1 シミュレーション条件

すために吸収境界条件は，BerengerのPML (per-fectly matched layer)[2] を用いた．

本研究では，図2のように計算領域を配置し，表面プラズモンの数値解析シミュレーションを行う．

3. 表面プラズモン
表面プラズモンとは金属中の電子密度が粗密波となって伝搬する現象であり，その励起方法にはいくつかの種類がある．
まずはKretschmann配置によって励起される
表面プラズモンに対するFDTD シミュレーションを行い，ホログラフィの作成に必要な干渉縞

Fig. 2が得られるかどうかをシミュレーションする．

計算領域モデルガラス (ε p = 2.25) と真空 (εs = 1.0) を配置す

3.1 Kretschmann 配置ることで条件 ε p > εs を満たす．挿入する金属には銀を用いた．銀は分散性媒質であるため，表面プラズモンはKretschmann配置(図1)によDrudeモデルによって近似することが可能であって励起される [3]．

る．
2ω pe(3)ω (ω + iγ )ここでγ は衝突周波数，ω pe はプラズマ振動数，εr = 1 −ω は光源の振動数である．
光源及び銀のパラメータなどのシミュレー

Fig. 1

ションの条件について表 1 に示す．表 1 に示さKretschmann 配置れる光源の振動数では，式 (3) より銀は負の誘Kretschmann配置とは，全反射減衰法(ATR法)電率を有することがわかる．銀の厚さ，入射を利用して表面プラズモンを励起する光学配角度は実験で表面プラズモンが最も誘起され置である．この方法は，金属に向かってTM 波た値にした．

を角度 θ で入射し，プリズム底面で TM 波を全表1反射させる．その際に発生するエバネッセン
ト光が真空と金属の境界面で共振し，金属に沿って光源の数倍の電界強度を持った表面プラズモンが励起される．
表面プラズモンを誘起する条件としてε p > εsであり，金属は負の誘電率(εm < 0) である必要がある．

–2–

シミュレーション条件

光源の振動数 ω
プラズマ振動数 ω pe
衝突振動数 γ複素比誘電率 εr
セルサイズ
計算領域
タイムステップ △t
銀の厚さ
入射角度 θ3.86×1015 rad/s
9.87×1015 rad/s
2.09×1014 rad/s−5.545 + i0.057
5 nm
500 × 500 cell
5.0×10−17 s
56 nm
44.17 deg.

結果

3.1.2

次に光源を左側と右側に配置した場合の表

FDTD法によるt = 15000△t の定常状態となった電界強度分布を図3に示す．計算領域の光源から銀に対して光が照射され，銀の裏側（図3の下側）で強い光が存在していることが分かる．表面プラズモンは金属表面に局在化する光であるため， y 軸方向に伝搬していない．

面プラズモンに対する数値解析シミュレーションを行った．等しい周波数の光を照射した場合の電界強度分布を図 5 に示す．
銀表面の中心部分で強い電界強度が得られていることがわかる．これは左側と右側より照射された光からプラズモンがそれぞれ銀の表面で励起され，その結果表面プラズモン同士の干渉が起こっているためである．

Fig. 3

電界強度分布 t = 15000△t表面プラズモンが励起される銀表面 y = 132

Fig. 5

電界強度分布 t = 15000△tcell の位置である電界の時間平均分布を図 4 に
銀表面 y = 132 cell を観測点とした電界強度示す．光源と比較すると，銀表面の電界は増の時間平均分布を図6に示す．図4と図6を比べ強している．一番強く増強しているのはx軸のると，図6では一定の周期で電界強度が増減し315セルあたりであり，そこからは徐々に減少ており，表面プラズモンが干渉しあうことでしていっている．これは表面プラズモンには伝定在波を作り出していることが確認できる．

搬距離があり，その伝搬距離を越えた場所か3.0

ら表面プラズモンが減衰していくためである．

2.5

electric intensity V/melectric intensity V/m

2.01.5

1.0

2.0
1.5
1.0SP

0.50.5SPsource

0source

000100200300x-axis cell

400500Fig. 6Fig. 4

金属表面の電界の時間平均分布–3–100200300x-axis cell400

金属表面の電界の時間平均

500

3.2 グレーティング構造
表面プラズモンは図7で示されるグレーティング構造によっても励起が可能である [3]．

Fig. 7

グレーティング構造

Fig. 8電界強度分布 t = 15000△t

この方法は入射波をグレーティング構造によって回折させることで表面プラズモンを励15起する．銀を使用した場合，どのような角度

SPelectric intensity V/m

でも平坦な場所に入射された光では表面プラズモンの波数と一致することはない．しかしグレーティング構造によって回折されること

source105で表面プラズモンの波数と一致させることが可能となる．ここで，表面プラズモンを励起

00100200300

400500x-axis cell

するもっとも重要な条件はグレーティング構造の周期 a である．

Fig. 9金属表面の電界の時間平均分布

本研究では前述した図2の銀をグレーティング構造にした計算領域を作り，表面プラズモ

電界強度分布を見ると，グレーティング構ンの数値解析シミュレーションを行う．また，造によって回折された入射光が強い電界強度グレーティング構造の周期a = 5 nmであり，光を持って伝搬している．また，図9を見ると入源などのシミュレーション条件は表1と同じと射光と比べて最大で8倍程度まで増強されていする．

るのがわかる．これはKretschmann配置による表面プラズモンと比べても高く増強されてい3.2.1

る．その理由として，FDTD によるシミュレー

結果

ションでは異なる媒質間の境界面の誘電率を片側からのみ光をグレーティング構造に入平均化していることやKretschmann配置による射した電界強度分布を図 8 に示す．

励起に比べてグレーティング構造による励起

また，表面プラズモンが励起されている境の方が角度依存性がないためと考えられる．

界面 y = 120 cell を観測点とした電界強度の時間平均分布を図 9 に示す．

次に図5と同じように両側から光を照射した場合の表面プラズモンの数値解析シミュレーションを行う．

–4–

シミュレーション結果である電界強度分布と表せる．一般の媒質に対しては，εr と µr は共に正の値をとる．しかし，適当な条件下ではを図 10 に示す．

これらの値も負になりうる．εr とµr が同時に負になる場合，負の屈折率媒質特性を持つ．このような媒質を負の屈折率媒質または，DNG媒質 (Double Negatibe Medium) という [4]．
一般に波動が伝搬する場合，位相速度 v p と群速度 vg の方向は同じである．しかし負の屈折率媒質中では，図 12 に示すように位相速度と群速度の方向が異なる特性，つまり後退波特性を示す．表面プラズモンは入射光の波数Fig. 10

電界強度分布 t = 15000△tそして，図 11 が境界面 y = 120 cell を観測点とした電界強度の時間平均分布である．
15SP

electric intensity V/msource

10Fig. 12

負の屈折率媒質を進む光によって励起されるため，負の屈折率媒質中5の光によって励起される場合，銀表面に沿って通常とは逆方向に励起される．このことを利00100200300400500

用し，表面プラズモンによる定在波をシミュ

x-axis cellFig. 11

レーションしていく．計算領域を図13とし，光金属表面の電界の時間平均分布源などのシミュレーション条件は表 1とする．
このグラフを見ると表面プラズモンが干渉しあうことで定在波が生じていることが確認でき，最大で 10 倍もの電界強度の増強が見られる．

3.3 負の屈折率媒質の利用
媒質の屈折率 n(ω ) は，それぞ比誘電率 εr =ε /ε0 ，比透磁率 µr = µ /µ0 を用いてn(ω ) =pεr (ω )pµr (ω )Fig. 13(4)–5–

計算領域

結果

3.3.1ているため波形が崩れてしまい，その結果表

シミュレーション結果として，時間t = 10000△t における電界強度分布を図 14 に示す。

面プラズモンが最も励起する条件からずれてしまっているからと考えられる．

4. 結論
FDTDシミュレーションによってKretschmann
配置とグレーティング構造による表面プラズモンの励起及び干渉を確認することができた．
また，Kretschmann配置とグレーティング構造を比較した結果グレーティング構造による励起の方が効果が大きいことがわかった．
また，負の屈折率を利用することで光源が一つでも定在波を作れることが確認された．これらのことから，負の屈折率による表面プラFig. 14

ズモンと正の媒質による表面プラズモンの干

t = 10000 △ t の電界強度分布

渉によって光源を一つにした極微小領域にお前述したKretschmann配置による表面プラズける干渉縞の作成，及び表面プラズモンによモンと同様な電界強度の増強が得られているるホログラフィの作成の可能性を示した．

ことがわかる．また，表面プラズモンが現れている y = 132 cell における電界強度の時間平均を図 15 に示す．

参考文献
1) K.S.Yee:Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell’s equations in isotropic media，IEEE Trans．Antennas
Propagete，14，4，pp．302-307，1996

3

electric intensity [V/m]

2.5SP
optical source22) J.P.Berenger : A perfectly matched layer for tne
absorption of electromagnetics waves，Journal ofComput Phys 114，1，pp.185-200，1994

1.53) 大津 元一，“ナノ光工学ハンドブック”，朝倉書店，2002

10.5
00100Fig. 15200300x-axis cell400500

電界強度の時間平均

このグラフから，負の屈折率媒質を利用することで光源が一つでも定在波が得られることが確認できる．
前述した図 6 と比べて電界強度が低いのは，負の屈折率媒質には銀からの反射光を利用し–6–4) Richard W.Ziolkowski : Pulsed and CW Gaussian
beam interactions with double negative metamaterial slabs，OPTICAL EXPRESS，Vol.11 No.7，
pp.662-681，2003