第 1 回スー 1⋆GP

解答例

問 1. 一般に，日付を 8 個の数字で表したとき，月の十の位は 0 か 1，日の十の位は 0 か 1か 2 か 3 であることに注意する．

(1) 本日（2024 年 01 月 21 日）より過去で，2000 年以降の素晴らしい日は存在しない．
なぜなら，そのような日があったとすると，20XY 年の形になることから X = 1 となるが，このとき月の十の位に 0 も 1 も使えなくなってしまうからである．
2000 年より前で最も本日に近く，全ての数字が異なる年は 1987 年であり，そのうち最も本日に近く，全ての数字が異なる年月は 1987 年 06 月である．日は大きいほど本日に近いので，30 日から順に試していくことで，求める素晴らしい日は 1987 年 06
月 25 日であることが分かる．
答：1987 年 06 月 25 日
(2) まず，2XY Z 年の形の素晴らしい日においては，月と日で必ず 0 と 1 を使うことに注意する．これは，月の十の位は 0 か 1 であることと，日の十の位は 2 を使用済みであることから 0 か 1 か 3 であり，3 の場合は一の位が 0 か 1 であることから分かる．
これより，本日（2024 年 01 月 21 日）より未来の素晴らしい日の年は最小でも 2345年であることが分かる．上記の理由から月で 0, 1 の両方を使うことはできないので，ありうる最も本日に近い年月は 2345 年 06 月である．日は小さいほど本日に近いので，01 日から順に試していくことで，求める素晴らしい日は 2345 年 06 月 17 日であることが分かる．
答：2345 年 06 月 17 日

問 2.


123x + 234y = 345···⃝
1において，···⃝2⃝2 −⃝
1 より 333x + 333y = 333, よって x + y = 1. · · · ⃝3⃝⃝⃝
1 − 3 × 123 より 111y = 222, よって y = 2. これを 3 に代入すると x + 2 = 1 よりx = −1 が得られる．
答：x = −1, y = 2

456x + 567y = 678

問 3. 図のように線分を移動させて考えることで，求める長さは一辺が 3cm × 17 = 51cmの正方形の周りの長さと一致していることが分かる．

よって，求める長さは 51cm × 4 = 204cm である．
答：204cm

問 4. 3 で割り切れる自然数の各桁の和は 3 で割り切れるので，各桁の数字が 3 または 4であり，3 も 4 も少なくとも 1 回は現れることから，最も少ない桁数としてあり得るのは3, 4, 4, 4 の並び替えであることが分かる（3 + 4 + 4 + 4 = 15 は 3 の倍数）．3, 4, 4, 4 の並び替えで最も小さい 3444 は 3 でも 4 でも割り切れるので，これが求める自然数である．
答：3444（別解）4 で割り切れる自然数の下二桁はやはり 4 で割り切れる（100 は 4 の倍数であるため）．3 と 4 でできる二桁の自然数のうち 4 で割り切れるのは 44 のみである．下二桁が 44であり，各桁の数字が 3 または 4 であり，3 も 4 も少なくとも 1 回は現れる自然数は順に344, 3344, 3444, . . . となり，このうち最初に 3 で割り切れる 3444 が求める自然数である．
問 5. 図のように正三角形の辺に平行な直線を引く．
正五角形の一つの内角の大きさは 108◦ であるから，ア = 180◦ − 108◦ = 72◦ .
平行線の錯角より，イ = ア = 72◦ . よって ウ = 108◦ − イ = 36◦ .
再び平行線の錯角より エ = ウ = 36◦ .
一方，オは正三角形の内角と等しく 60◦ であるから，x◦ = エ + オ = 36◦ + 60◦ = 96◦ .
答：x = 96

アイ ウエ オ

問 6. 2 つの正四角すいが重なった部分は，1 辺が 3cm の正方形（図の斜線部分）を底面とする高さ 3cm の正四角すいを2 つ合わせた形になる．
()
1
よって，その体積は 3 × 3 × 3 ×× 2 = 18.
3
答：18cm3A

DP

B

C6cm

EF

Q6cm

H6cm
G

問 7. 使える数字は 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 の 8 種類で文字が 8 個あるので，全ての数字を用いることに注意する．
SU1 + MATH + K1TA = 9SYU において，百の位に着目すると「S + A + 1+ 十の位の繰り上がり」の一の位は S である．繰り上がりは 0 以上 2 以下なので，9 が使用済みであることと合わせて A = 7, 8 が分かる．
A = 8（十の位の繰り上がりが 1）のとき，SU1 + M8TH + K1T8 = 9SYU で 0 の文字で場合分けする．

• H = 0 のとき，一の位から U = 9 となり不適．
• U = 0 のとき，一の位から H = 1 となり不適．
• T = 0 のとき，U ≦ 7 に注意すると，十の位で繰り上がりが起こらないため不適．
• Y = 0 のとき，一の位の繰り上がりは 1 でなので，十の位に着目すると T + T + U = 9となり，あり得る組合せは T = 2, U = 5 のみである．このとき千の位より K + M = 8であるが，これを満たす組がないため不適．
A = 7（十の位の繰り上がりが 2）のとき，SU1 + M7TH + K1T7 = 9SYU で 0 の文字で場合分けする．
• H = 0 のとき，一の位から U = 8．十の位から T + T + 8 ≧ 22（繰り上がりは 2 で，0,1 は使用済みのため 20, 21 は不可能）となり，T = 7, 8, 9 はいずれも使用済みのた
め不適．
• U = 0 のとき，一の位の繰り上がりは 1 なので，十の位から T + T + 0 ≧ 21 となり
不適．
• T = 0 のとき，十の位は「U + 0 + 0+ 一の位の繰り上がり」となり，十の位で繰り上がりが 2 になることは不可能であるため不適．
• Y = 0 のとき，一の位の繰り上がりは必ず 1 なので，十の位より T + T + U = 19 となり，あり得る組合せは T = 8, U = 3 のみである．このとき S31 + M78H + K187 = 9S03となり，一の位より H = 5，千の位より M = 2, K = 6 または M = 6, K = 2，余ったS は 4 と決まる．
以上より覆面算の解は 431 + 2785 + 6187 = 9403 または 431 + 6785 + 2187 = 9403 であり，特に解答すべき値は 9403 である．
答：9403問 8. 問題文のルールを少し変えて，1 を 0001 のように千の位まで 0 を補って書くことにする．このルールで 0(= 0000) から 1999 までを黒板に書いたとき，一の位に A が書かれるのは 〇〇〇 A の形の数を書いたときで，〇〇〇 は 000 から 199 までの可能性があるのでその回数は 200 回である．
同様に，十の位に A が書かれるのは 〇〇 A 〇 の形の数を書いたときで，やはり 〇〇〇は 000 から 199 までの可能性があるのでその回数は 200 回である．

同様に，百の位に A が書かれるのは 〇 A 〇〇 の形の数を書いたときで，やはり 〇〇〇は 000 から 199 までの可能性があるのでその回数は 200 回である．
千の位には 0 か 1 のみが書かれ，それぞれ百の位以下は 000 から 999 までの可能性があるのでその回数は 1000 回である．
ここまでで，0 と 1 を 1600 回，他の数字は 600 回書いたことになるが，ここで実際のルールに戻すと，0 は少なくとも千の位の 1000 個減ることになるから，結局次のことが分かる．

1 から 1999 までを黒板に書くと，1 は 1600 回，他の数字は 600 回以下書かれる．
残りは 2000 から 2024 までの 25 個で，書く数字は合計 25 × 4 = 100 個しかないので，最終的に最も多く書かれた数字が 1 であることが分かる．
あとは 2000 から 2024 までで 1 が書かれた回数を求めればよい．それは一の位に 2001,2011, 2021 の 3 回，十の位に 2010, . . . , 2019 の 10 回であるから，全て合わせた回数は1600 + 3 + 10 = 1613である．
答：最も多く書かれた数字は 1 で，1613 回
問 9. 57 の正の約数は 1, 3, 19, 57 の 4 つであるから，J は嘘つき村の村人である．A の発言は，A がどちらの村の村人であると仮定しても，それ単独では矛盾しない．
B∼I の発言の正誤について考える．A∼J の中にいる嘘つき村の村人の人数を n（10 以下の自然数），d を n の正の約数のうち 1 以外のものの個数とすると，d は B∼I の中にいる正直村の村人の人数に等しい．n の値と d の値の対応は以下の表のようになる．

nd102131425163718392103A が嘘つき村の村人であるとき，正直村の村人は全部で d 人であり，n + d = 10 が成り立つ．これを満たす n は存在しない．一方，A が正直村の村人であるとき，正直村の村人は全部で d + 1 人であり，n + d + 1 = 10 が成り立つ．これを満たす n は n = 6 である．このとき，B∼I の中にいる正直村の村人は，B, C, F である．よって，正直村の村人は A，B，C，F の 4 人である．
答：A，B，C，F
問 10. 図のように各町を白と黒に塗ると，点線で示した道を使ったときを除き，1 回移動するごとに白い町からは黒い町に，黒い町からは白い町に移動することになる．
町 A から点線の道を使わずに 5 回移動すると黒い町に到達するので，町 B に到達するた
めには点線の道を使う必要がある．
点線の道を使えるのは 4 回目の移動のみである．これを右下から左上に通る場合，5 回目の移動は下に決まり，1 回目から 3 回目の移動は（右，右，上），（右，上，右），（上，右，右）の 3 通りである．

点線の道を左上から右下に通る場合，5 回目の移動は左に決まり，1 回目から 3 回目の移動は（右，上，上），（上，右，上），（上，上，右）の 3 通りである．
よって求める移動の方法は合計で 6 通り．
答：6 通りBA2aの形で表される数を「良い分数」ということにする．1 と3b2a 2c2a2cの差が 0.1 未満の良い分数を 3 つ見つけたい．以下では, b , d が b < 1 < d を満たす
3 3332a+c2a 2c
良い分数であるとき，その積 b+d も良い分数であり， b , d の間にあること，すなわち33 32a2a+c2c< b+d < d を用いる．
3b3323 25238
まず，1 にある程度近い良い分数として， 2 , 3 がある．これらは， 2 =< 0.9,3 3395358232
2 22256=> 1.1 で問題の条件を満たさない．しかし，これらの積 2 · 3 = 5 =を考3327
3 3324328
えると, 1 < 5 < 1.1 となる．
323 282112048
211
次に， 2 · 5 = 7 =は，0.9 < 7 < 1 を満たす．
3 332187
3211 28219219
最後に, 7 · 5 = 12 は，0.9 < 12 < 1.1 を満たすことが分かる（1 との大小を調べる
3 333219
必要はないが，0.9 < 12 < 1 である）．こうして，1 との差が 0.1 未満の良い分数を 3 つ3見つけることができた．なお，解答中の良い分数の大小関係は次の通りである：
問 11. 自然数 a, b を用いて

23211
219
28
25
<0.9<<<1<<1.1<3237
312
35
33
答：(8, 5), (11, 7), (19, 12)※他にも (27, 17), (30, 19) など無数にあるがそのうち 3 つを答えればよい
問 12. 折り目は下図の通り，またはそれと左右対称なものになる．できあがった正方形の√一辺の長さが 5 であることと，正方形の頂点は折り紙の辺の上にくることに注意するとよい．

問 13. 並べ替えてできる 7 桁の整数が，自然数 n の 4 乗になるとする．n4 を 9 で割った余りは，その各桁の和 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 7 + 7 = 37 を 9 で割った余りの 1 に等しい．一方で，整数 k を 9 で割った余りと k 2 , k 4 を 9 で割った余りは以下の表のようになる（k 4 がk 2 の 2 乗であることを使うと少し計算を簡単にできる)．

kk2k400011124730047457460074
78
11

よって，n を 9 で割った余りは，1 または 8 であることが分かった．そのような自然数を小さい方から列挙すると以下のようになる．

1, 8, 10, 17, 19, 26, 28, 35, 37, 44, 46, 53, 55, 62, 64, . . .
4, 4, 4, 5, 6, 7, 7 を並べ替えてできる 7 桁の整数のうち，最小のものは 4445677，最大のものは 7765444 であるから，4445677 ≦ n4 ≦ 7765444 である．ここで,444 = 19362 < 20002 = 4000000 < 4445677,534 = 28092 > 28002 = 7840000 > 7765444
より，n = 46 以外の場合は除外される．
最後に，464 を計算すると，464 = 21162 = 4477456 となり，これが 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7 を並べ替えてできる唯一の 4 乗数である.
答：4477456
4（補足解説）可能な限り n を具体的に計算することなく，n の候補を絞り込むことがこの問題のポイントである．上の解答中では，(1) 4445677 ≦ n4 ≦ 7765444 から n の範囲を絞り込む，(2) n を 9 で割った余りを考えるという 2 つのアイデアを用いていた．他に有効な方法として，(3) n の下一桁が 1, 3, 7, 9 のとき n4 の下 1 桁が 1 になり，n の下一桁が 5 のとき n4 の下 2 桁が 25 になることから，n が奇数の場合を除外できる（n が偶数と分かる）という方法もある．(2) で 9 で割った余りではなく，3 で割った余りを考えることもできる
が，n が 3 の倍数である場合のみしか除外されないので，9 で割った余りを考えた方がよりn を絞り込めている．
問 14. この解答中では丸を記号の◯で表す．図のように，上から第 1∼4 行，左から第 1∼4列と呼ぶ．
第第第第1 2 3 4列列列列
第1行
第2行
第3行
第4行

行ごとに◯の数を足すことで，全体の◯の数が，1 + 1 + 1 + 1,3 + 1 + 1 + 1,

3 + 3 + 1 + 1,

3 + 3 + 3 + 1,3+3+3+3のいずれかであることが分かる．それぞれの場合について，◯の書き込み方が何通りあるか求める．各列にある◯の個数も同じ足し算の形に分解されることに注意する（例えば，◯の個数が 3 + 3 + 1 + 1 個ならば，行だけでなく列についても◯が 3 個の列が 2 つ，◯が 1個の列が 2 つとなる）．

(1) 1+1+1+1
第 1∼4 行について，順にどの列に◯を書き込むかを考えればよい（各列が 1 度ずつ選ばれる）．書き込み方は，4 × 3 × 2 × 1 = 24 通りである．
(2) 3+1+1+1
まず，◯が 3 つの行の選び方は 4 通り，◯が 3 つの列の選び方が 4 通りある．簡単のため，以下では◯が 3 つの行が第 1 行，◯が 3 つの列が第 1 列の場合を考える．行や列を入れ替えることで，他の場合も同じ通りだけ書き込み方があることが分かる．
(2-1) 左上のマス（第 1 行第 1 列のマス）が◯でない場合，すべての◯の位置が決まる（4 × 4 = 16）．
(2-2) 左上のマス（第 1 行第 1 列のマス）が◯の場合，図の太枠の四角 2 つの中で，◯のないマスを 1 つずつ選ぶことで，すべての◯の位置が決まる．
(2-1) の場合は 1 通り，(2-2) の場合は 3 × 3 = 9 通りであるから，合計は 10 通り．◯
が 3 つの行が第 1 行，◯が 3 つの列が第 1 列以外の場合も考えると，4 × 4 × 10 = 160通りである．
(3) 3+3+1+1
まず，◯が 3 つの行の選び方は，4 つの行から 2 つの行を選ぶ方法で，6 通りである．
◯が 3 つの列の選び方も，6 通りである．簡単のため，以下では◯が 3 つの行が第 1行と第 2 行，◯が 3 つの列が第 1 列と第 2 列の場合を考える．行や列を入れ替えることで，他の場合も同じ通りだけ書き込み方があることが分かる．
この場合の書き込み方は，図のように決まる．ここで太枠の四角 2 つについては，それぞれの中で，◯を隣り合わないよう 2 つ書き込む．太枠の四角それぞれで 2 通りのパターンがあるので，書き込み方は 2 × 2 = 4 通りである．◯が 3 つの行，◯が 3 つの列について全ての場合を考えると，6 × 6 × 4 = 144 通りである．

(1)

(2-1)
11
111 1 1 1(2-2)
31
113 1 1 1(3)31113 1 1 133113 3 1 1

(4) 3+3+3+1
各行と各列について◯が 1 個または 3 個あるという条件は，◯のないマスが 1 個または 3 個あると言い換えることができる．よって，各マスについて◯のある・ないを入れ替えれば，この場合の数は，◯の数が 3 + 1 + 1 + 1 個の場合と全く同じになる．
よって，(2) の結果から，160 通りである．
(5) 3+3+3+3(4) と同様に，◯のある・ないを入れ替えて，(1) の場合と同じ数あることが分かる
から，24 通りである．
以上の結果を合計すると，24 + 160 + 144 + 160 + 24 = 512 通りである．
答：512 通り
（別解）各行・各列について，◯が 1 個または 3 個あることは，◯が奇数個あることと言い換えることができる．各行・各列について，4 つのマスのうち 3 つについて◯のある・なしが決まっていると，残りの 1 マスの書き込み方（◯のある・なし）の一方については◯の数が奇数個，もう一方については偶数個となる．
そこで，左上の 3 × 3 のマス目（第 1∼3 行，第 1∼3 列）の書き込み方を自由に決めると，上で述べた事実を第 1∼3 行と第 1∼4 列に順に適用することで，図の A∼G の◯のある・なしが 1 通りに決まることが分かる．
ここで実は，第 4 行（D∼G）についても◯が奇数個になる．なぜなら，第 4 行の◯の個数は（第 1∼4 列にある◯の個数の合計）−（第 1∼3 列にある◯の個数の合計）であり，これは（奇数 4 つの和）−（奇数 3 つの和）より奇数となるからである．
結局，左上の 3 × 3 の各マスについて自由に◯のある・なしを定める方法だけ書き込み方があることが分かるので，答えは 29 = 512 通りである．

ABC
D E F G問 15. 正方形 ABCD の一辺の長さを a，P から直線 AB, BC, CD, DA に下ろした垂線の長さを順に x, y, z, w とおくと，x + z = y − w = a である. このことから，

1111ax + az = a(x + z) = a2 ,22221111△PBC − △PDA = ay − aw = a(y − w) = a22222△PAB + △PCD =である（計算式中の △PAB などは，その面積を表す）．△PBC = S, △PDA = T とおくと,1S − T = a2 = △PAB + △PCD = 21 + 4 = 252···⃝1となる.
S, T の関係式をもう 1 つ得るために，次の事実を用いる：2 つの辺の長さが p, q でありそ1の間の角度が 45◦ または 135◦ の三角形の面積は √ pq である（長さが p の辺を底辺にす2 21ると，高さが √ q になることから分かる）．円周角の定理より，∠APB = ∠ADB = 45◦ ．
2同様に, ∠BPC = 45◦ , ∠CPD = 45◦ であり，さらに 3 つの和をとって，∠DPA = 135◦ ．
よって,1△PAB = √ P A · P B,
2 21△PBC = √ P B · P C,
2 21△PCD = √ P C · P D,
2 21△PDA = √ P D · P A
2 2となるので，特にST = △PBC · △PDA = △PAB · △PCD = 4 · 21 = 84···⃝2を得る．
⃝1 より T = S − 25 なので，これを ⃝2 に代入して，S 2 − 25S − 84 = 0 すなわち (S −28)(S + 3) = 0 を得る．S > 0 なので，S = 28 である.
答：28cm2（別解）問題文中の円の中心を O，半径を r，正方形 ABCD の一辺の長さを a とおく．本
√11解と同じ方法で， a2 = 21 + 4 = 25 が分かる．a = 5 2, r ＝ √ a = 5 である． O を通22り，直線 BC に平行な直線を m とおき，P から m に下ろした垂線の足を H とおく．
OH = x, PH = y とおくと，三平方の定理より

x2 + y 2 = r2 = 25···⃝1である. また,()()
1 a1 a⃝△PAB = a−x··· 2 ,△PBC = a+y···⃝32 22 2√171 よりである．⃝
2 に a = 5 2 と △PAB = 4 を代入して，x = √ を得る．これと ⃝5 231y = √ ．これを ⃝3 に代入して，△PBC = 28 を得る．
5 2PADH

BOC