2-4 スペシャルマッカイ対応と，特異点の代数的，解析的，幾何的手法による研究●代表者

吉田健一（数学科・教授）●分担者

市原一裕（数学科・教授）
泊

昌孝（数学科・教授）

茂手木公彦（数学科・教授）
森真（数学科・教授）

山浦義彦（数学科・教授）【研究の目的および概要】
有理特異点を持つ正規環上の Cohen-Macaulay 加群とイデアルの研究は，古典的マッカイ対応を通じて，特異点解消の交叉理論を通じて行うことができる。本研究では，スペシャルマッカイ対応を用いてより広い特異点をもつ場合に Cohen-Macaulay 加群の研究を行った。特に吉田は渡辺教授と協力して，可換環論的，代数幾何的側面から，有理特異点のイデアルの理論を参考にして，good イデアルの理論を構築した。また，泊が複素解析的，代数幾何的側面から，茂手木，市原が位相幾何学的，結び目理論から，森がエルゴード論から，山浦が変分論から，手法の開発に取り組んだ。具体的には次のような問題を考えた。
（A）good イデアルと反ネフサイクルの対応による新しいイデアル論を構築する。
（B）特異点の Hilbert-Samuel 関数から定まる重複度や埋込み次元などと幾何種数・多重種数などの不変量の不等式。
正標数の手法による特異性の代数的不変量の評価。正標数の概念を用いて定義された，F-threshold やテストイデアル等の概念を用いて，特異点の新しい分類理論を作る。特に 2 次元，3 次元の特異点を詳細に研究する。
（C）孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという側面について考察し，Dehn 手術全体からなるネットワークを構成し，大域的に理解する。
（D）力学系のエルゴード的性質に対応するペロンーフロベニウス作用素のスペクトルから生ずる特異点の解析を行う。
【研究の結果】
吉田は Wunram による 2 次元の商特異点（もしくは有理特異点）のスペシャルマッカイ対応を用いて，イデアルに付随するスペシャル加群の理論を構成し，その応用として，2 次元の Gorenstein 有理特異点の Ulrich イデアルの分類と Ulrich 加群の完全な分類を与えた（後藤四郎氏，大関一秀氏，高橋亮氏，渡辺敬一氏との共同研究）。また，2 次元の有理特異点の Ulrich イデアルの特徴付けを研究し，その手法を拡張して，2 次元の正規特異点における p_gイデアルの理論を構築し，その存在証明を与えた（奥間智弘氏 , 渡辺敬一氏との共同研究）。
泊は，複素解析的擬斉次超曲面特異点であって重みの総和が方程式の次数と一致するという仮定の下で，原点以外での特異性が有理特異点になるようなものが存在する重みのタイプを特徴づけた。また，単項式の作る凸体が最高次元になり相対内部に（1,1, ...,1）が含まれることで特徴づけられる。泊は 1991 年にこの条件が必要条件であることを示していたが，今回逆方向の命題を証明した。これは simple K3 特異点を含むクラスに対応する。
さらに，泊は，２次元星型特異点解消をもつ特異点について，極大イデアル因子と基本因子の同一視定理を，既に得られている次数付き特異点との比較にてフィルター付き特異点の理論を用いて拡張した。センターが有理曲線であるにも関わらず同一視問題へ等号不成立となる新たな例を発見した（都丸正氏との共同研究）。
茂手木は，孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の手術でどのように生じるか，という問題を Dehn 手術全体からなるネットワークの視点から研究した。また，基本群が左不変順序をもつ非L- 空間のみを生み出す双曲結び目の構成法を与え，そのような結び目が豊富に存在することを示した。これは L-20

空間予想を支持する結果になっている。大学院生の陶器氏との研究では Seifert 多様体を生み出す手術を許容しな
い L- 空間結び目の存在を明らかにした。
市原は，Nemethi によって特異点との関係が明らかになった L- 空間と密接に関係していることが期待される（L空間予想）左不変順序付け不可能な基本群をもつ多様体を生成する Dehn 手術について，結び目がそのような手術をもつためのある十分条件を与え，その応用として，ねじれトーラス結び目のあるクラスがそのような手術を許容することを示した。また更に新たな条件を得る為の基礎研究として，結び目補空間に埋め込まれた本質的曲面の境界スロープを研究し，任意に差の小さい境界スロープの組を許容する結び目が存在することを示した。
森は，高次元の力学系に対して，Perron-Frobenius 作用素の essential spectrum 半径が，力学系のリアプノフ数に対応する円の半径に等しくなる新しい例を作ることに成功した。この力学系を用いて，あらゆる次元の lowdiscrepancy な疑似乱数の生成が可能になった。しかし，高次元の力学系の一般論，とくにその essential spectrum
半径の決定には道筋すら見えていない。そこで今回は，微分可能関数 C^r 関数の族に定義域を制限し，再生方程式を構築することで essential spectrum 半径および essential spectrum 半径より大きな固有値を具体的に求めることに成功した。
山浦は，特異性を有するエネルギー最小化問題の解析的研究に取り組んだ。特に，その時間発展問題について，次の 2 つの方向での研究を行った。1 つ目は p-Laplacian 放物型方程式系の弱解の構成であり，2 つ目は自由境界問題に対するエネルギー汎関数の最速降下曲線（curves of maximal slope）の構成である。
いずれも，時間変数を差分化する Discrete Morse Flow 法に基づく。前者に関しては，p が 2 の場合の内部正則性の結果は，加藤伸幸氏との共同論文として投稿中である。一般の p についての研究は時間差分方程式系に対する Poincare 不等式の導出まで成功した。後者に関しては，時間変数離散化パラメータの極限により，Minimizingmovement の構成を論文として作成し，投稿中である。今後は 1 次元の場合について，それが最速降下曲線であることを追究する計画である。
【研究の考察・反省】（A）の研究についての研究成果は得られているが，まだ公表できていない。
【研究発表】
市原一裕，正井秀俊，Exceptional surgeries on alternating knots, Algebra/Geometry/Topology Seminar, University ofMelbourne, Room 213 Richard Berry, 2014/8/8.
市原一裕，鄭仁大，正井秀俊，Complete classifications of exceptional surgeries on Montesinos knots and alternatingknots, International Congress of Mathematicians 2014, Coex, Seoul, Korea, 2014/8/18.
市 原 一 裕，Neil Hoffman， 柏 木 雅 英， 正 井 秀 俊， 大 石 進 一， 高 安 亮 紀，Verified computations for hyperbolic
3-manifolds, Knots and Low Dimensional Manifolds: a Satellite Conference of Seoul ICM 2014, BEXCO Convension &Exhibision Center II, Busan, Korea, 2014/8/22.
市原一裕，天摩由貴，Non left-orderable surgeries and generalized Baumslag-Solitar relators, 東北結び目セミナー
2014, カレッジプラザ（秋田県秋田市）, 2014/10/19.
市 原 一 裕 , 天 摩 由 貴，Non left-orderable surgeries and generalized Baumslag-Solitar relators, The Tenth East Asian
School of Knots and Related Topics, the Science Building A in the North Zhongshan Road Campus, East China Normal
University, 2015/1/28.
泊昌孝，Classification of singularity by the theory of filtered rings and normal graded rings --based on Prof. K.-i.

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Watanabe's idea and hope, Commutative Algebra and Singularity Theory 2014, 立山国際ホテル（富山県高山市），
2014/7/31.
泊昌孝，都丸正，2 次元次数付き特異点，および星型特異点の極大イデアルサイクルと基本サイクルについて，
日本数学会秋季総合分科会関数論分科会，広島大学東広島キャンパス（広島大学東広島市），2014/9/26.
昌孝，擬斉次 2 次元正規特異点および星型特異点の極大イデアルサイクルと基本サイクルについて（都丸正と泊の共同研究），東大数理・複素解析幾何セミナー，東京大学駒場キャンパス（東京都目黒区），2014/12/8.
昌孝，擬斉次 2 次元正規特異点および星型特異点の極大イデアルサイクルと基本サイクルについて（都丸正氏泊との共同研究），野田代数幾何学シンポジウム，東京理科大理工学部（千葉県野田市），2015/3/17.
Neil Hoffman and Kimihiko Motegi, Verified computations, L-space surgeries, and exceptional fillings, Knot Theory:algorithms, complexity and computation, NII Shonan Meeting, 湘南国際村，2014/4/30.
Kimihiko Motegi, L-space knots and twisting operation, A Satellite Conference of Seoul ICM 2014, Knots and Low
Dimensional Manifolds（plenary talk）, BEXCO Convention & Exhibition Center II, Busan, Korea, 2014/8/25.
Kimihiko Motegi, Twisted families of L-space knots, Math Department Colloquia, University of Miami, 2014/9/10.
Kimihiko Motegi, Twisted families of L-space knots, Topology and Geometry of Low-dimensional Manifolds（invitedspeaker）, Nara International Seminar House, 2014/10/29.
Kimihiko Motegi, L-space surgeries and Seifert surgeries on knots, East Asia School of Knots and Related Topics（plenarytalk）, East China Normal University, 2015/1/27.
Makoto Mori, Spectra of Perron--Frobenius operator on piecewise continuous functions, Schools on information andRandomness, Puerto Varas, Chile , 2014/12/11.
山浦義彦，自由境界問題とそのエネルギー勾配流について，金沢解析セミナー，金沢大学（石川県金沢市），2014/4/24.
奥間智弘，渡辺敬一，吉田健一，Integrally closed ideals of 2-dimensional normal singularities, 第 36 回可換環論シンポ
ジウム，IPC（神奈川県葉山市），2014/11/24.
吉田健一，Almost Gorensteinness of Rees algebras of p_g-ideals, 第 25 回可換環論セミナー，静岡大学理学部（静岡県静岡市），2015/1/26.
【研究成果物】
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K. Ichihara（with Yuki Temma）, Non left-orderable surgeries and generalized Baumslag-Solitar relators, J. Knot TheoryRamifications, 24（2015）, no. 1, 1550003（8 pages）.
泊昌孝，On Demazure’s construction of finite Abelian coverings of normal graded rings，数理解析研究所講究録（第35 回，可換環論シンポジウム報告集），出版中

Kimihiko Motegi and Masakazu Teragaito, Left-orderable, non-L-space surgeries on knots, Comm. Anal. Geom. 22（2014）, 421-449.
Arnaud Deruelle, Katura Miyazaki and Kimihiko Motegi, Networking Seifert surgeries on knots III, Algebr. Geom. Topol.
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Kimihiko Motegi and Kazushige Tohki, Hyperbolic L--space knots and exceptional Dehn surgeries, J. Knot Theory
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Naoki Terai and Ken-ichi Yoshida, Multiplicity and Castelnuovo-Mumford regularity and Stanley-Reisner rings, to appear
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