「テンソル繰り込み群による(3+1)次元有限密度Z2ゲージヒッグスモデルの研究」

筑波大学・計算科学研究センター
藏増 嘉伸
＠宇宙史研究センター構成員会議, 2022年6月24日

1

内容

・ テンソル繰り込み群(TRG)­ 2次元Isingモデル
・ 特異値分解(SVD)・ モンテカルロ法との比較
・ TRG法の素粒子物理への応用
・ (3+1)次元Z2ゲージヒッグスモデルの臨界終点
・ まとめχ(L) =

L2 ∂(1/2κ)2!
テンソル繰り込み群(TRG)
Z = DψDψ̄DU e−ψ̄D[U ]ψ−Sg [U ]Levin-Nave
PRL99(2007)120601

D

cut
"
例としてNサイトを持つ2Dイジングモデルを考える
Ti,j,k,l "U(i,j),mσmVm,(k,l)

ハミルトニアンH =

!

!i,j"

Z =

m=1

si sj

si ± 1"
H =
si sj
#i,j$

!

si ± 1exp (−βH)"
分配関数 {Si }Z =exp (−βH)
=

{si }

2
!

Ti,m,n,l Ts,t,i,j
2 Tr,j,k,q Tk,l,o,p · · ·"i,j,k,l,···=1 =Tα,λ,ρ,δ Tσ,κ,α,β Tµ,β,γ,τ Tγ,δ,ν,χ · · ·Z ="α,β,γ,δ,···=1

DU det D({U!}) テンソルネットワーク表現
e−Sg ({U })Z = DU det D({U }) e−Sg ({U })モデルの詳細は初期テンソルのみに依存"−Sg ({U })!O" = DU O({U, D−1! }) det D({U }) e
計算アルゴリズムはモデルと独立#O$ = DU O({U, D−1}) det D({U }) e−Sg ({U })1
勿論，サイト数Nが大きくなれば添字の縮約の完全実行は不可能
g ({U })P =det D({U }) e−S1Z⇒ どうやって分配関数を評価するか？
P =det D({U }) e−Sg ({U })Z
Z=!

i,j,k,...

−S(i,j,k,...)

e

Z=

!

Tijkl TimnoTjpqr
Tksuv Tlwxy · · · .
"−S(i,j,k,...)
i,j,k,...
e=Tijkl TimnoTjpqr Tksuv Tlwxy · · · .

="TRGアルゴリズムの概略
1. サイト上のテンソルTに対する特異値分解2. 古い添字の縮約 (疎視化)
3. 手続きの反復

大きな特異値を持つ部分空間のみを残す

新しい添字を持つテンソル

サイト数は半減4m{j,k},m{l,i},m! √ "√ "Ti,j,k,l ⇒ T{k,l},{i,j}= U ΛV {k,l},{i,j} =U Λ {k,l},m V Λ {i,j},m2Dイジングモデルを使ったテスト
!

t

"

#!

m

#

=
(S2){k,l},m (S4){i,j},mm
アルゴリズムの要諦は特異値分解を用いた低ランク近似
Ti,j,k,l #
$

D#
cut

m=1

U{k,l},mΛmV{i,j},m

%

2
2
2
2
2
∗
∗
4
誤差をコントロールするパラメーターはD
S
=
d
x
|∂
φ|
+
(m
−
µ
)|φ|
+
µ(φ
∂
φ
−
∂
φ
φ)
+
λ|φ|
cut
cont
ρ
2
2

&

転移点近傍での自由エネルギーの厳密解からの相対誤差,
30〜50
XIE, CHEN, QIN, ZHU,
YANG,
AND
XIANG
PHYSICAL REVIEW B 86, 045139 (201
格子サイズ=2, Dcut=24

Z=$

Z(original) =Dφ exp(−S)

$

(a)

(n)
Xie et al.
T
PRB86(2012)045139

z

(b)

(n)

T y'1
x1
x'1
y'2
y1 i
x2
x'2
(n)
T
y2
z'

Onsagerの厳密解との比較
Dφ1Dφ2 exp(−S)
相対誤差：≤10−6
z

(n)

V

(n)

(n)

(n)

S=



#


n

(4 + m2)|φn|2 + λ|φn|4 −

M

2 !
#

ρ=1

U x'

x U


"
y (n)
V
n 

eµδρ,2 φ∗nφn+ρ̂ + e−µδρ,2 φ∗n+ρ̂φ

y'

(n)

z'

M

特異値分解(Singular Value Decomposition)
任意のm×n実行列Aは A=UΣVT と分解できる
U: m×mの直交行列
V: n×nの直交行列
Σ=diag(σ1, σ2, σ3, σ4, …, σn)(σ1≥σ2≥ σ3≥σ4≥…≥σn≥0)

σ1, σ2, σ3, σ4,・・・,σnはAの特異値で非負Uの各列u1, u2, …, unとVの各列v1, v2, …, vnを用いたランク1の行列和に分解,
A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σnunvnT
σiuiviT=

×

×
σi

ui

viT
6

行列の近似行列Aの近似A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σkukvkT+…+σnunvnT

Ak=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σkukvkT(行列k個の和で近似)

近似誤差は||A-Ak||Fで定義||A-Ak||F=(σk+12+σk+22+…+σn2)1/2
ただし, ||A||F=(Tr(ATA))1/2=(ΣiΣj aij2)1/2
情報圧縮の手段として画像圧縮などに利用
7

特異値分解(SVD)を用いた画像圧縮
200x320ピクセルの画像データ ⇒ 200x320実行列A行列を特異値分解
A=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σnunvnT (n=200)

サンプル画像(200x320ピクセル)

特異値の分布(大→小)J. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM 19978

復元画像の品質
Ak=σ1u1v1T+σ2u2v2T+…+σkukvkT (k≪200)

J. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra, SIAM 19979

モンテカルロ法との相違点
モンテカルロ法
確率的手法

テンソル繰り込み群
決定論的手法コペルニクス的転換

・ モンテカルロ法における符号問題および複素作用問題がない
Z=!

Dφ exp(−SRe[φ] + iSIm[φ])$ ! π dϕx,µ $・ LDのシステムサイズに対する計算コスト∝D×log(L)Z=T (ϕx,1, ϕx+1̂,2, ϕx+2̂,1, ϕx,2)
−π 2π
x,µ
x
・ グラスマン数を直接扱うことが可能
・ 分配関数Zそのものを計算可能

T (ϕx,1, ϕx+1̂,2, ϕx+2̂,1, ϕx,2) = exp β cos px + i


θ 
qx
2π



dϕx,µ Z=
exp (−S)x,µ −π 2π
素粒子物理：軽いクォークのダイナミクス，有限密度QCDの相構造解析
'
(
' √ (
Strong CP問題などの研究に応用可能)' √ (t
Ti,j,k,l ⇒ T{j,k},{l,i} = U ΛV {j,k},{l,i} =U Λ {j,k},m V Λ {l,i},m$ ! πm
物質科学：強相関量子系，金属絶縁体転移，高温超伝導などの)=(S1){j,k},m (S3){l,i},m
研究に応用可能 (ハバードモデル)
m

T

⇒T

'

= U ΛV

t

(

=

√ (
U Λ

)'

√ (
V Λ

'

TRG法の素粒子物理への応用(1)2次元モデルCP(1)モデル：Kawauchi-Takeda, PRD93(2016)114503
実φ4理論：
Shimizu, Mod.Phys.Lett.A27(2012)1250035,
Kadoh-YK-Nakamura-Sakai-Takeda-Yoshimura, JHEP1905(2019)184
有限密度における複素φ4理論：
Kadoh-YK-Nakamura-Sakai-Takeda-Yoshimura, , JHEP2002(2020)161
θ項(トポロジカル項)を持つU(1)ゲージ理論：
YK-Yoshimura, JHEP2004(2020)089
Schwingerモデル(2次元QED), θ項(トポロジカル項)を持つSchwingerモデル：
Shimizu-YK, PRD90(2014)014508, PRD90(2014)074503,
PRD97(2018)034502
有限密度におけるGross-Neveuモデル：
Takeda-Yoshimura, PTEP2015(2015)043B01
N=1 Wess-Zuminoモデル(超対称性理論)：
Kadoh-YK-Nakamura-Sakai-Takeda-Yoshimura, JHEP1803(2018)141
符号問題解決の検証，スカラー場・フェルミオン場・ゲージ場の計算手法開発
11

TRG法の素粒子物理への応用(2)4次元モデル
Isingモデル：
Akiyama-YK-Yamashita-Yoshimura, PRD100(2019)054510
有限密度における複素φ4理論：
Akiyama-Kadoh-YK-Yamashita-Yoshimura, JHEP2002(2020)161
実φ4理論：
Akiyama-YK-Yoshimura, PRD104(2021)034507
有限密度におけるNambu−Jona-Lasinio(NJL)モデル：
Akiyama-YK-Yamashita-Yoshimura, JHEP2101(2021)121⇒ 研究の重心は2次元モデル・理論から4次元モデル・理論へ移行
4次元スカラー場の理論，フェルミオン場の理論への応用は成功
4次元ゲージ理論は？
有限密度におけるZ2ゲージヒッグスモデル：
Akiyama-YK, JHEP2205(2022)102
12

n

(2.1)

ν

2 有限密度におけるZ
Formulation and numericalalgorithm
ゲージヒッグスモデル(1)2022)102d+1µ. n∈Λ
Section
4 is devoted to summary and outlook.
#!!"µδν,d+1−µδν,d+1−ηe
σ(n)Uν (n)σ(n + ν̂) + e
σ(n)Uν (n − ν̂)σ(n − ν̂) ,where β is the inverse gauge coupling, η is2the gauge-invariant spin-spin coupling and µ
Akiyama-YK,JHEP2205(2022)102
2.1 (d+1)-dimensional
Z2 gauge-Higgs
model
at finitedensityis the chemical
potential. This parametrization
followsref. [37].
We employthe periodic boundary
conditions
for both thegaugeofandfields in allmodelthe directions.
The on an
We consider
the partition
functionthematter
Z2 gauge-Higgs
at finite density
有限密度Z
ゲージヒッグスモデル(最も簡単な4次元ゲージ場+物質場の系)
2ispartitionfunctionthen givenby Λ
isotropic hypercubic
lattice= {(n , . . . , n ) |n = 1, . . . , L} whose volume is equal
d+1= Ld+1 .

1

ν

d+1

 spacing a is set to a =1 without loss of generality. The gauge
to V
The lattice& !
& !
−S matter fields σ(n) are on the sites.
 ethefields Uν (n) (ν = Z1, =. . . , d+1) reside on the links and,(2.2)

n,νσ(n)n valuesUν (n)=±1
σ(n)=±1on Z2 = {±1}. The action S is defined as
Both variables Uν (n) andtake their!

!

where the sum
taken over all
configurations.
Since σ(n) ∈ Z2 , one is alS =is−βUνpossible(n)Uρ (n field+ ν̂)Uν (n + ρ̂)Uρ (n)lowed to choose the so-called
unitary gauge [28], which eliminates the matter field σ(n) byn∈Λd+1 ν>ρ
"#! ! U (n) via
redefining the link variableµδ−µδν,d+1
ν ν,d+1−ηe
σ(n)Uν (n)σ(n + ν̂) + e
σ(n)Uν (n − ν̂)σ(n − ν̂) ,
n

(2.1)

ν

σ(n)Uν (n)σ(n + ν̂) #→ Uν (n).
(2.3)
where β is the inverse gauge coupling, η is the gauge-invariant spin-spin coupling and µ𝑈
2={±1}! (𝑛)：格子点𝑛におけるリンク変数，ZWith theisunitarygauge,eq.
(2.1) is reduced
to be
the chemical
potential.
This parametrization
followsref. [37]. We employ the periodic
conditions for both the gauge andfieldsin all the directions. The!boundary!𝜎(𝑛)：格子点𝑛における物質場(スピン)，Z!matter!
2={±1}
S = −βpartition functionUν (n)Uis+ ν̂)U+ ρ̂)Uρ (n) − 2ηcosh (µδν,d+1 ) Uν (n), (2.4)ρ (nν (n bythen
given
𝛽：逆ゲージ結合定数nn∈Λd+1 ν>ρ

ν




𝜂：ゲージ不変スピン-スピン結合定数& !
& !
whose partition function is e−S ,Z =
𝜇：化学ポテンシャル(密度をコントロール)n,ν U!
&
ν (n)=±1 −S n σ(n)=±1

e ,
Z=

(2.2)

(2.5)
Uν (n)=±1field configurations. Since σ(n) ∈ Z , one is alwhere the sum is taken over all possible2
to choose the so-called unitary gauge [28], which eliminates the matter field σ(n) by
instead oflowedeq. (2.2).

𝑎：格子間隔(𝑎=1)n,ν有限密度におけるZ2ゲージヒッグスモデル(1)Akiyama-YK, JHEP2205(2022)102

Z2ゲージヒッグスモデルはQCDと同様に臨界終点が存在
Z2ゲージヒッグスモデルで期待されている相図

Higgs

㗰

Triple point

Ising
Free Charge㗯>gure 1. Schematic phase diagram of (3+1)d Z2 gauge-Higgs model at µ = 0. The existence
the critical endpoint is established analytically [25–27] and numerically [28–31]. β-axis denotes
e inverse gauge coupling and η represents the spin-spin coupling. Solid lines show the first-orderase transition and dotted line is the second-order transition line [32]. The pure Z2 gauge theory
characterized by η = 0 and the limit β → ∞ is equivalent to the Ising model.

JHEP05(202Confinement

0

MC計算

一次相転移

Critical endpoint

QCDで期待されている相図

臨界終点をうまく決定できるか？

The partition function of eq. (2.5) is evaluated using the parallelized ATRG algorithm onlattices with the volume V = L3 with the periodic boundary condition in all the directions.
In the following, all the results are calculated setting D = 48 on a lattice whose volume is10243 . Up to V = 10243 , the TRG computation converges with respect to the system size
Akiyama-YK, JHEP2205(2022)102
and allows us to access the thermodynamic limit.
We determine the critical endpoint (βc , ηc ) at µ = 0, where the first-order phasetransition line terminates.
We employ the average link defined by
リンク期待値の不連続性(トビ)で一次相転移を同定

ゼロ密度(𝜇=0)における臨界終点の決定(1)

!L" =

1
∂ ln Z(d + 1)V ∂(2η)(d=3, V=324, Dcut=48)

(3.1)

1.0

0.7

0.6

–5–

0.5
0.4
0.168

0.170

0.172

0.174

η

0.176

0.178

Figure 8. η dependence of !L" at µ = 0 for β ∈ [0.305, 0.315].

0.180

𝐿 の不連続性が消える点(𝛽" ,𝜂" )が臨界終点
0.5

JHEP05(20Average Link <L>

to detect the first-order phase transition. The factor (d + 1)V corresponds to the number
β = 0.305
of links in Λd+1 with theperiodic
boundary condition. We evaluate !L" with the impurity0.9
β = 0.306
β = 0.307 representation of !L" is presented in appendix A.
tensor method. The tensor network
β = 0.308
Figure 3 shows the η0.8dependenceof the average link with the several choices of β ∈β = 0.310
β =gaps0.315 of !L" with β ∈ [0.701, 0.710], though it is difficult[0.700, 0.710]. We observe clear

Averag

ゼロ密度(𝜇=0)における臨界終点の決定(2)0.5

JHEP05(2022)102

0.6

Akiyama-YK, JHEP2205(2022)102

0.4
0.168

0.170
0.172
0.174
0.178
0.180
0.176
Δ⟨𝐿⟩(リンク期待値のトビ)がゼロになる点を外挿で決定η$Figure8. η 𝐴(𝜂dependence
0 for β ∈ 𝐵(𝛽[0.305, −0.315].
Δ⟨𝐿⟩=− 𝜂"of) !L" at µ =Δ⟨𝐿⟩=
𝛽" )

#

0.5
TRG
Fit
0.4

∆<L>

0.3

0.2

0.1

0.0
0.168

0.172

0.176

η

0.180

0.304

0.308

0.312

0.316

β

Figure 9. (Left) Fit 臨界終点：(𝛽of ∆!L" at µ = 0 as
function of η. (Right) Fit of ∆!L" at µ = 0 as a,𝜂a" )=(0.3051(2),0.1784(2))"
function of β.

critical endpoint. Additionally, it may be worth emphasizing that the current TRG compu-

A
0.5
0.4
0.154

HEP05(2022)102

β = 0.307
β = 0.308
β = 0.309
β = 0.310
β = 0.311

有限密度(𝜇≠0)における臨界終点の決定(1)

0.155

0.156

0.157

η

0.158

0.159

0.160

0.161

Figure 10. η dependence of !L" at µ = 1 for β ∈ [0.306, 0.311].

Akiyama-YK, JHEP2205(2022)102

𝜇 = 0の計算を𝜇 = 1,2でも実行して(𝛽" ,𝜂" )を決定
0.5

1.0

0.8

0.4

0.3

∆<L>

0.9

Average Link <L>

𝜇=1

β = 0.298
β = 0.299
β = 0.300
β = 0.301
β = 0.302
β = 0.303

0.7

0.2
0.6

0.1
0.5
0.4
0.122

0.0
0.123

0.124

0.125

η

0.126

1.0Figure 11. η dependence of !L" at µ = 2 for β ∈ [0.298, 0.303].

𝜇=2

A

βc

p

B

ηc

q

2.7(4)

0.3051(2)0.44(3)3.0(6)

0.1784(2)0.43(4)

µ=1
A

βc

p

B

ηc

q

1.1(2)

0.3053(2)0.26(4)

1.6(6)

0.1595(3)0.30(7)

𝜂!A = 0.1264(1)βcp1.6(2) 0.124
0.2969(2)
0.123
0.125

µ=2

0.33(3)
0.126

η

B

𝛽! =ηc0.2969(2)q2.0(4)0.2980.1264(1)0.300
β0.33(4)
0.302
0.304

Table 4. Fit results for ∆!L". All the results are obtained with D = 48 in the TRG method.
Figure 13. 0.5(Left) Fit of ∆!L" at µ = 2 as a function of η. (Right) Fit of ∆!L" at µ = 2 as afunction of β.
TRG
Fit
0.4

𝜇=2

0.8

0.3investigated the critical endpoints of the higher-dimensional (more than twoWe havedimensional) Z2 gauge-Higgs model at finite density. To locate them, we have employed theβ = 0.306
average link0.2!L" as an indicator: the critical endpoint is determined by vanishing ∆!L". In
β = 0.307
the (2+1)d model, it has been confirmed that the resulting location of the critical endpointβ = 0.308
β = 0.309
at vanishing0.1
density is consistent with the recent result provided in ref. [34]. Also, we find
β = 0.310
that the first-order transition points located by the TRG!method are in excellent agreement
β = 0.311!
with the self-dual line. In the (3+1)d model, the critical endpoints at µ = 0, 1, 2 are deter0.0
0.160
0.161
0.310
0.312 inverse
0.158 D = 48. 0.160
mined
by the TRG0.156
calculation withCurrent0.306
results 0.308
show thatthe criticalηβgauge coupling βc has little µ dependence, while the critical spin-spin coupling ηc is sizably∆<L>– 12 –
0.7
0.6
0.5
0.4
0.154

JHEP05(20Average Link <L>

0.9

TRG
Fit

𝜇 = 1µ=0

𝜂 = 0.1595(3)

0.155

0.156

0.157

η

0.158

0.159

Figure 10. η dependence of !L" at µ = 1 for β ∈ [0.306, 0.311].

𝛽 = 0.3053(2)まとめ・ モンテカルロ法における符号問題および複素作用問題がない
Z=!

Dφ exp(−SRe[φ] + iSIm[φ])$ ! π dϕx,µ $・ LDのシステムサイズに対する計算コスト∝D×log(L)Z=T (ϕx,1, ϕx+1̂,2, ϕx+2̂,1, ϕx,2)
−π
x,µ
x
2π
・ グラスマン数を直接扱うことが可能
・ 分配関数Zそのものを計算可能

T (ϕx,1, ϕx+1̂,2, ϕx+2̂,1, ϕx,2) = exp β cos px + i


θ 
qx
2π



dϕx,µ Z =  −πexp (−S)x,µ2π
素粒子物理：軽いクォークのダイナミクス，有限密度QCDの相構造解析
'
(
' √ (
Strong CP問題などの研究に応用可能)' √ (t
Ti,j,k,l ⇒ T{j,k},{l,i} = U ΛV {j,k},{l,i} =U Λ {j,k},m V Λ {l,i},m$ ! πm
物質科学：強相関量子系，金属絶縁体転移，高温超伝導などの)=(S1){j,k},m (S3){l,i},m
研究に応用可能 (ハバードモデル)
m'Ti,j,k,l ⇒ T{k,l},{i,j} = U ΛV

t

(

=

' √ (
√ (
U Λ {k,l},m V Λ {i,j},m

)'

m
現段階：
)
=
(S2){k,l},m (S4){i,j},mm4次元理論(スカラー，フェルミオン，ゲージ)の計算が可能になった
有限密度Z2ゲージヒッグスモデルの計算に成功)(new)
To,n,m,p=(S4){l,k},o (S3){k,j},n (S2){j,i},m (S1){i,l},p⇒i,j,k,l連続群(U(1))・非可換群(SU(2),SU(3))への応用{k,l},{i,j}