数理解析研究所講究録 1452 巻 2005 年 168-174

168

平方根を持つ作用素環
千葉大学自然科学研究科 山本 宗宏 (Munehiro Yamamoto)0 序論
複素数係数の代数方程式が根を持つことは, 代数学の基本定理としてよく知られている. Gelfandの定理より, 可換るので, 可換環はコンパクト Hausdorff 空間上の連続関数全体がなす環と見ることができ$C^{*}$

環の元を係数とする代数方程式の解がその可換$C^{*}$

環の中に存在するか, という$C^{*}$

問題は代数方程式の係数の連続性と解の連続性という問題の言い換えになる. この問題は数多く研究されており, 良い空間 $X$ 上の可換$C^{*}$

環 $C(X)$ に対して, 代数方程式の解の存在が被覆次元やoehomology 群によって特徴付けできる結果が知られている [10], [11], [18], $[19|)$ .
は平方根を持たないので, この環において同様な問題を考察する. しかし非可換環の問題設定の自然な拡張として, 正規元に対する平方根問題設定はすぐに行き詰まる. 可換$($$C^{*}$$(\begin{array}{l}01\mathrm{o}\mathrm{o}\end{array})\in M_{2}$$C^{*}$

を考える. ここでは, 一般的な代数方程式ではなく平方根を求める (2 次方程式) 話に限定するが,本質的には一般の代数方程式と大きな違いはなく) また

Definition 0.1.

$C^{*}$$n$乗根の話も平方根の話と大差はない.

環 $A$ が平方根を持つ (square root closed) とは, 任意の $A$ の正規元して, $a=b^{2}$ となるような $A$ の正規元$b$が存在するときをいう.

(approximately square root closed) とは, 任意のなるような $A$ の正規元$\epsilon>0,$$A$$C^{*}$$a$に対環 $A$ が近似的な平方根を持つの正規元$a$に対して, $||a-b^{2}||<\epsilon$ とが存在するときをいう.

$b$

この報告集では次の結果を紹介する,(1)$\mathrm{A}\mathrm{I}$

(2)

$A$

(3)

$\mathrm{T}$環は近似的な平方根を持つ,を単位的な$C^{*}$

環とするとき,上の Goodearl 型$C^{*}$$A\otimes M_{2\infty}$は近似的な平方根を持つ,

環 $A$ については, $A$ が近似的な平方根を持つことと, $K_{1}(A)$ が 2 で割れることが同値.

1$\mathrm{A}1$$n\cross n$環
行列環$M_{n}$は, 正規行列をスペクトル分解することによって, 平方根を持つことがわかる.

同様にして, 有限次元とが分かる.

$C^{*}$

環は, ある行列環の有限直和$\oplus_{i=1}^{k}Mb_{i}$f こ同型なので, 平方根を持つこ169$C^{*}$

環の帰納的系列とは,$(A, \{\mu_{n}\})$が帰納的系列$\{A_{n}\}$$(A_{n}, \varphi_{n})$を環の列,$C^{*}$$\varphi_{n}$: $A_{n}arrow A_{n+1}$ を *A 準同型との組である,の帰納的極限であるとは, A が$C^{*}$

環,$\mu_{n}$: $A_{n}arrow A$ が *A 準同型で次の条件をみたすときをいい, $A= \lim_{arrow}(A_{n}, \mu_{n})$ で表す.

(i) 各$n$(ii) もしに対して $\mu_{n}=\mu_{n+1}0\varphi_{n}$ .

環 $B$ , *\sim 準同型$C^{*}$$\lambda_{n}$: $A_{n}arrow B$ が同型 $\lambda:Aarrow B$ が存在して各$n$$\lambda_{n}=\lambda_{n+1}0\varphi_{n}$に対してをみたしているならぼ, ある *\mbox{\boldmath $\varphi$}準をみたす.

$\lambda_{n}=\lambda\circ\mu_{n}$環の列の帰納的極限であるときをいう.
環であるとは, 有限次元0* 環が環の正規元が有限次元部分環の正規元で近似できることは, 見た目より厄介な事実である.
$C^{*}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

直感的には,$\mathrm{A}\mathrm{F}$環は近似的な平方根を持つと考えられる. では,が平方根を持たない例が存在する. 極大な可換部分環が$C(\mathrm{T})$$\mathrm{A}\mathrm{F}$環は平方根を持つかというと,に同型な場合に平方根を持たないことがわかる.
$c.*$

環 $A$ が性質 (FN) を持つとは, 任意の $\epsilon>0,$ $A$ の正規元を持つ $A$ の正規元
$C^{*}$$b$が存在して ||a-&||$<\epsilon$$a$に対しても, 有限個のスペクトルとなることである.

環 $A$ が性質 (FN) を持つならば, 有限なスペクトルを持つ正規元を正規行列のように有限スは平方ペクトル分解ができるので, $A$ が近似的な平方根を持つことが分かる. ところが,根を持つので近似的な平方根を持つが, 性質 (FN) を持たない. したがって近似的な平方根を持つ$C([\mathrm{O}, 1])$という性質は性質 (FN) よりも弱い条件であることがわかる.

H. Lin は, ほとんど可換な自己共役行列の対は可換な自己共役行列の対に近いという問題を解決
環が近環が性質 (FN) をもっことを示した ([14]). このことからし ([13]), その応用として$\mathrm{A}\mathrm{F}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$

似的な平方根を持つことがしたがう.
以下, この節を通して$I$を閉区間$[0_{\neq}1]$とする.

$I$上の$n\mathrm{x}n$行列値連続関数環 $C(I^{l}, M_{n})$ は平方根を持たない.

Example 11. $C(I, M_{2})$ は平方根を持たない. 実際に,$(\begin{array}{ll}1 00 0\end{array})+\mathrm{e}^{6\pi it}(\begin{array}{ll}0 00 1\end{array})$$(0\leq t\leq 1/3,2/3\leq t\leq 1)$$\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 11 1\end{array})+ \frac{1}{2}e^{6\pi it}(\begin{array}{ll}1 -- 1\end{array})$$(1/3\leq t\leq 2/3)$$f(t)=\{$が平方根を持たない.
補題 12, 命題 L3, 系 14 のステップを経て, $C(I, M_{n})$ が近似的な平方根を持つことを示す 4$f$ に対して, 以下のよう$C(I, M_{n})$ が近似的な平方根を持つことの証明の基本的なアイデアは, 上のに $f$ の近似的な平方根を構成するのと同じである.
$0<\theta<1$とし,$u$を$u(t)=I_{2}$$u(t) (\begin{array}{ll}1 00 0\end{array})=\frac{1}{2}($$(t\in[0, \theta/3])$

11$11)u(t)$$(t\in[1/3,1])$

170をみたす $C(I, M_{2})$ のユニタリとする. このとき, $C(I, M_{2})$ の正規元 $h$ を次のように定義する:$t\in[0, \theta/3]$$(\begin{array}{ll}1 00 0\end{array})+e^{3\pi it/\theta}(\begin{array}{ll}0 00 1\end{array})$$t\in[\theta/3,1/3]$$u(t)(\begin{array}{ll}1 00 -1\end{array})u(f)^{*}$$h(t)=\{$$\frac{1}{2}(\begin{array}{ll}1 11 1\end{array})+ \frac{1}{2}e^{3\pi it}(\begin{array}{ll}1 -1-1 1\end{array})$$t\in(1/3,2/3)$$(\begin{array}{ll}1 00 0\end{array})+e^{3\pi i4}(\begin{array}{ll}0 00 1\end{array})$$t\in[2/3,1]$

もし $1-\theta$ が十分小さければ, $||f-h^{2}||$ も十分に小さい.
を $C(I, M_{n})$ の正規元とすると, 各点 $t\in I$ で,$f$$\lambda_{1}(t),$ $\ldots)\lambda_{n}(t)$を $f(t)$ の固有値, $P_{i}(t)$ を$\lambda_{1}(t)P_{1}(t)+\cdots+\lambda_{n}(t)P_{n}(t)$$P_{i}$$\lambda_{i}(t)$$f(t)$

はスペクトル分解できる, つまり,に対応する 1 次元固有射影としたときに,の形に書ける. Rouche の定理より, 各$f(t^{\backslash })=$

は $I$ 上で連続にとれるが,$\lambda_{i}$は必ずしも連続ではない. この不連続な射影を十分近くで連続な射影にとりかえる操作を以下で行う.

初めに, 連続な固有値関数$\lambda_{n}$$\lambda_{1},$$\ldots,$が $I$ 上でいくつかの束に分けられている場合を考える. このとき, 次の補題が証明できる.

Lemma 12.

$\epsilon>0$とし,$f= \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$連続なチューブで, 各点 $t\in I$ で域の内部とする. もしが存在して$f(\mathcal{E})$$C_{j}(t)$$I$が直径 6 以下ののスペクトルが$\bigcup_{j}D_{j}^{\mathrm{o}}(t)$$\mathbb{C}$$C_{j}$の単閉曲線,を$I\mathrm{x}\mathbb{C}$$D_{[mathring]_{j}}(t)$に含まれるならば,の互いに交わらないを閉曲線 $C_{j}(t)$ の閉領$Q_{1},$$\ldots,$$Q_{n}\in C(f_{:}NI_{a},)$をみたす.

$||f- \sum_{i=1}^{n}\lambda_{\dot{f}}Q_{i}||<2\epsilon$

一般の場合,を $C(IM_{n})\}$ の正規元,の開被覆で各近傍の閉包 (閉区間) を直前の補題の設定になるようにとることによって, 次の命題が成り立つ,

Proposition L3. $\epsilon>0$ とし,$Q_{1},$$\ldots,$$Q_{n}\in C(I, M_{n})$$f= \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}P_{i}$が存在して$||f$-\Sigma 搬 1

を $C(I, M_{n})$ の正規元とする.

$\lambda_{i}Q_{i}||<\epsilon$

このとき,をみたす.

Corollary 1.4. $C(I, M_{n})$ は近似的な平方根を持つ.
$c*$ 環が$\mathrm{A}\mathrm{I}$環であるとは, 閉区間$I$

上の有限次元$C^{*}$

環値連続関数環の列の帰納的極限であるときをいう.
$\mathrm{A}\mathrm{I}$環 $A= \lim_{arrow}A_{n}$ (A。は閉区間にある$A_{n}$

単位的な$I$上の有限次元$C^{*}$環値連続関数環) の任意の正規元の十分近くの正規元が存在することをいうために, 以下の Loring の結果を用いた.
$C^{*}$

環 $A$ が安定階数 1 であるとは, 任意の $\epsilon>0,$ $a\in A$ に対して, $||a-b||<\epsilon$ となるような $b\in GL(A)$ が存在することである. ただし, $GL(A)$ は $A$ の可逆元の集合
先ほどあげた H. Lin の結果 ([13]) の証明のテクニックを, Friis-Rordam([7]) や T. A.

171

Loring([16]) によって拡張されて, 次の結果が得られている.

Theorem L5 (Loring, Theorem 1927[16]).
合とする.

$\mathfrak{B}$を安定階数 1 である単位的なの元の列 $\{B_{n}\}$ に対して, $\prod_{n=1}^{\infty}B_{n}=\{(b_{1}, b_{2_{\rangle}}\ldots) : \sup_{i}||b_{i}||<+\infty\}$$\{(b_{1}, b_{2}, \ldots) :とおく.

\lim_{iarrow\infty}||b_{i}||=0\}$$\mathrm{D}=\{z\in \mathbb{C} :関して弱半射影的である, つまり, 任意の *B 準同型*準同型$\mathfrak{B}$$\overline{\varphi}:\mathrm{C}(\mathrm{D})arrow \mathrm{H}_{n=m}^{\infty}$$\prod_{n=1}^{\infty}B_{n}/\oplus_{n=1}^{\infty}B_{n},$$B_{n}$が存在して,|z|\leq 1\}$とするとき,となる.

ただし,$\oplus_{n=1}^{\infty}B_{n}=$$C(\mathrm{D})$.

$(b_{m}, b_{m+1}, \ldots)\mapsto(0,$ $-\cdot, 0, b_{m}, b_{m+1}, \ldots)+\oplus_{n=1}^{\infty}B_{n}$

:

環の集

$,$

$\varphi:C(\mathrm{D})arrow\prod_{n=1}^{\infty}B_{n}/\oplus_{n=1}^{\infty}.B_{n}$$p_{m}\circ\overline{\varphi}=\varphi$$C^{*}$

は$\mathfrak{B}$にに対して,$\mathrm{H}_{n=m}^{\infty}$$B_{n}arrow$$C(\mathrm{T})\otimes l\mathrm{t}/I_{2}$に標準$\rho_{m}$.

定理 15 と系 14 をあわせて, 次を得る.

Theorem 16.
Remark 17.

2$K_{1}$$\mathrm{A}\mathrm{I}$$\mathrm{A}\mathrm{F}$環は近似的な平方根を持つ.
環は$\mathrm{A}\mathrm{I}$環のクラスに入っている.

群による平方根の特徴付け$C(\mathrm{T})\otimes M_{2}$は平方根を持たない.

$C(\mathrm{T})$

的に埋め込むと, 埋め込んだところでは平方根を持たないが,$f\otimes 1_{2}$$f\in C(\mathrm{T})$をが平方根を持つようにできる. $f\in C(\mathrm{T})$ に対して,$(\begin{array}{ll}\mathrm{O} f1 0\end{array})=(\begin{array}{ll}f 0\mathrm{o} f\end{array})$であるが, $(_{10}^{0f})\in C(\mathrm{T}, M_{2})$ は正規元でないので, 少し工夫が必要である. そこで極分解を用いて,$f=e^{i\arg f}|f|=e^{i\arg f}|f|^{\frac{2}{2}}|f|^{\frac{1}{2}}$とできるので,$y= \mathrm{C}_{|f|}^{0}\frac{1}{2}$

とおくと,

$y$

$-|f|^{\frac{L_{1}}{2}})0\in C(\mathrm{T}, M_{2})$は正規元で, $y^{2}=f\otimes 1_{2}$ である.

一般には次が成り立つ.

Lemma 2.1.
$x\otimes 1_{n}=y^{n}$

$A$

$x$

$C^{*}$

環 $A$ の正規元とする.

このとき, ある $A\otimes M_{n}$ の正規元

$y$が存在して,

.

を単位的な

$A\otimes M_{2^{\varpi}}$をは,$C^{*}$

環, 準同型写像 $\varphi:A\otimes M_{2^{n}}arrow A\otimes M_{2^{n+1}}$ を $\varphi(a)=(_{0a}^{a0})$ とすると,の帰納的極限である.

$A\otimes M_{2}arrow A\varphi 1\otimes M_{4}arrow A\varphi 2\otimes M_{8}arrow\varphi \mathrm{s}\ldotsarrow A\otimes M_{2^{\infty}}$

Lemma 21 から, すぐに次がしたがう.

Theorem 22.

$A$を単位的な$C^{*}$環とする. このとき,$A\otimes M_{2}\infty$は近似的な平方根を持つ,$C^{*}$環

172$A$を$C^{*}$環とする,

分とすると,

は $U_{n}(A)$ の開かっ閉な正規部分群となる.

$U_{n}^{0}(A)$$(_{0I}^{A0})\in U_{n+1}(A)$を $M_{n}(A)$ のユニタリ群とし, $U_{n}^{0}(A)$ を $M_{n}(A)$ の単位元の連結成$U_{n}(A)$が, $U_{n}(A)/U_{n}^{0}(A)$ から $U_{n+1}(A)/U_{n+1}^{0}(A)$ への的極限 $\lim_{arrow}U_{n}(A)/U_{n}^{0}(A)$ を $K_{1}(A)$ と表し, $A$ の$A$を$C^{*}$$y\in K_{1}(A)$

単位的な自然な埋め込み $U_{n}(A)\ni A\mapsto$

環とする.

$K_{1}(A)$が 2\check c‘‘ \Pi IJ れるとは,$K_{1}$$\text{準^{}\backslash }\Pi\overline{\mathrm{R}}$型. このとき漏納$\text{を}\Phi*\text{く}$群という.

ff ‘の $x\in K_{1}(A)$ に対し, $x=2y$ となるようなが存在するときをいう.
$C^{*}$

環 $A$ が安定階数 1 のとき, $M_{n}(A)$ も安定階数 1 で, この場合, $U(A)arrow K_{1}(A)$ 力 S

全射となることが知られている. [20] を参照

次の命題がしたがう.

Proposition 23.

$A$を安定階数 1 の$C^{*}$

環とする.

(1) 孟が近似的な平方根を持つならば, $K_{1}(A)$ は 2 で割れる.
は近似的な平方根を持つ.
(2) 孟が可換で $K_{1}(A)$ が 2 で割れるならぼ,$A$

命題 23 は, 安定階数 1 である可換$C^{*}$

環 $C(X)$ ならば, $C(X)$ が近似的な平方根を持つことと,2 で割れることが同値であると言っている. ( 乗根を考えても全く同様の議論であが安定階数 1 であることと, $X$ の被覆次元が 1
環 $A\cong C(X)$ について,る) 単位的な可換$K_{1}(C(X))$ が$n$

$A$$C^{*}$以下であることが同値であることが知られている. また空間 $X$ の次元が低い場合, c.ohomology 群群が対群と可換環の first ec.h cohomology
はだいたい基本群 $\pi_{1}(X)$ なので, 非可換環の$\check{H}^{1}$$\check{\mathrm{C}}$$K_{1}$応していると思える, [3] では first Cech cohomology

的な$n$$\check{H}^{1}$群を用いて上記と同様な $C(X)$ の近似乗根の特徴付けが得られている.

Definition 24. $X$ をコンパクト Hausdorff 空聞,単調増加数列で, 各$n$で$k_{n}$が $k_{n+1}$ を割るとする.

$\{x_{n}\}$を $X$ の可算部分集合, $\{k_{n}\}$ を正整数の*k 驚同型写像$\varphi_{n}$: $C(X, M_{k_{n}})arrow C$ ($X_{7}$j{/鰍+l)を$(f\in C(X, M_{k_{n}}),$ $x\in X)$$\varphi_{n}(f)(_{X\grave{)}}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(f.(x), \ldots, f(x)f(x_{n}), \ldots, f(x_{n}))\infty’$$s(n)$とする. このとき, 帰納的系列 $(C(X, M_{k_{n}}.),$Goodearl 型
上の定義で$\mathbb{T}$$C^{\mathrm{v}}$$\varphi_{n})$の帰納的極限として得られる

環 $A$ を, $X$ 上の環とよぶ,$\{x_{n}\}$が $X$ で稠密のとき, $A$ は単純になり, Goodearl 環 [8] とよぼれている.

上の Goodeml 型$C^{*}$

環$\lim_{arrow}(C(\mathrm{T}, M_{k_{n}}\rangle, \varphi_{n})$の場合は,質を持つが, 下の空間が下なので十分先の*準同型写像$\varphi_{n}$ければ, $A$ が平方根を持たないことが観察できる. また, 各$K_{1}(A)= \lim_{arrow}K_{1}(C(\mathrm{T}, M_{k_{n}}))$$\mathrm{A}\mathrm{I}$環$\text{と}\Pi\overline{\circ}$

様に弱半射影的である性が平方根を持つような埋め込みでな$K_{1}(C(\mathrm{T}, M_{k_{n}}.))$が 2 で割れる性質も, 十分先の*T 準同型写像

丁上の Goodearl 型$A$$C^{*}$

環については, 次の結果が得られた.

を下上の Goodearl 型$C^{*}$

は$\varphi_{n}$とが推察できる.

Theorem 25.

$C^{*}$

環とする. このとき, 次は同値.

$\mathbb{Z}$と同型なので,の影響を受けるこ

173

(1)

$A$が近似的な平方根を持つ.

(2) 任意の自然数$n$に対して, $s(m)$ が偶数となるような自然数 $m\geq n$ が存在する.

(3) $K_{1}(A)$ は 2 で割れる.

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