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はじめよう経済学 Plus

第10講 経済成長論入門
講師：加藤 真也

今回(第10講)は…
（第10講）
・資本蓄積
・コブ＝ダグラス型生産関数
・ソロー・モデルの構造・ソローの基本方程式①・ソローの基本方程式②© 2022 Shinya Kato1

経済成長論：経済成長の要因を探る分野
長期的な(1人あたり)GDPの増加⇒ 長期的には人口も変化するので、１人あたりGDPに着目する© 2022 Shinya Kato2

IS-LM分析 ：短期（物価𝑷、資本𝑲は一定）

AD-AS分析 ：長期中期でもOK（𝑷は変化、𝑲は一定）

経済成長論 ：(超)長期（𝑷は考慮せず、𝑲は変化）
古典派の二分法© 2022 Shinya Kato

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資本蓄積
：資本𝑲が増えていくこと（蓄積する）

機械や工場 Kapital(独)「どうすれば資本𝑲が増えるか？」
結論：企業が投資𝑰をすればいい© 2022 Shinya Kato

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投資𝑰
：資本𝑲を購入すること（例）企業が工場を建てる、新しい機械を導入する（数値例） 2020年に日本全体では工場が100か所

𝑲𝟐𝟎𝟐𝟏 = 𝑲𝟐𝟎𝟐𝟎 + 𝑰𝟐𝟎𝟐𝟎
2021年に工場は110か所© 2022 Shinya Kato

(注意) 資本の減価償却は無視している

2020年に新たに10か所の工場が新設
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𝑲𝟐𝟎𝟐𝟏 = 𝑲𝟐𝟎𝟐𝟎 + 𝑰𝟐𝟎𝟐𝟎
𝑲𝟐𝟎𝟐𝟏 − 𝑲𝟐𝟎𝟐𝟎 = 𝑰𝟐𝟎𝟐𝟎
デルタ∆𝑲𝟐𝟎𝟐𝟎 = 𝑰𝟐𝟎𝟐𝟎
変化分を表す時間を省略して表記すると、∆𝑲 = 𝑰 ：資本蓄積式© 2022 Shinya Kato6

ソロー＝スワン・モデル

ソロー・モデル(新古典派成長理論)：新古典派の経済成長モデルで最も基本的なモデル
𝑳, 𝑲を定数のように扱う新古典派なので…
・労働𝑳と資本𝑲は完全雇用 貨幣市場は・古典派の二分法(貨幣の中立性) 考慮せず
(ただし、時間を通じて変化する)⇒ 貨幣は物価𝑷に影響をするだけ© 2022 Shinya Kato7

単純化の仮定
・政府、外国は存在しない⇒ 政府支出𝑮, 租税𝑻, 輸出𝑬𝑿, 輸入𝑰𝑴はなし・貯蓄率𝒔は一定⇒ 家計の効用最大化を考えない

𝑪 = 𝒄𝒀 + 𝑪𝟎
消費関数
𝑪= 𝟏−𝒔 𝒀
𝑪 = 𝒀 − 𝒔𝒀
© 2022 Shinya Kato

𝒀 − 𝑪 = 𝒔𝒀𝟎<𝒔<𝟏
𝑺 = 𝒔𝒀 ：貯蓄関数
限界貯蓄性向＝平均貯蓄性向(貯蓄率)8コブ＝ダグラス型生産関数
𝜶 𝟏−𝜶

𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳

𝒀：国民所得(GDP, 付加価値総額, 生産量)
Total Factor Productivity
𝑨：技術水準(全要素生産性TFP) 𝟎 < 𝜶 < 𝟏
𝜶：資本分配率
𝑲：資本𝑳：労働𝟏 − 𝜶：労働分配率
生産要素(資本𝑲と労働𝑳)は代替可能© 2022 Shinya Kato

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投資の二面性

投資𝑰は生産を増加させる：供給面① 投資𝑰 → 資本𝑲 ↑ → 𝒀 ↑生産関数：𝒀 = 𝑨𝑲𝜶 𝑳𝟏−𝜶
投資𝑰 ↑ は総需要を増加させる：需要面

ቐቄ② 財市場：𝒀 = 𝑪 + 𝑰
総供給𝒀𝑺 総需要𝒀𝑫

IS-LM分析は②しか考慮していない© 2022 Shinya Kato

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１人あたり生産関数
𝜶 𝟏−𝜶

𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳

両辺を労働𝑳で割ると、
𝜶𝟏−𝜶𝑨𝑲 𝑳

𝒀
𝜶𝟏−𝜶−𝟏== 𝑨𝑲 𝑳
∙𝑳𝑳𝑳𝜶𝑲𝜶𝟏−𝜶−𝟏𝜶−𝜶= 𝑨𝑲 𝑳= 𝑨𝑲 𝑳 = 𝑨 ∙ 𝜶𝜶
𝑳𝑲=𝑨∙𝑳© 2022 Shinya Kato

11𝒀
１人あたり生産量𝒚 = 𝑳（１人あたりGDP）
𝑲
１人あたり資本𝒌 = 𝑳（資本労働比率、資本装備率）

𝒀
𝑲=𝑨∙𝑳𝑳𝒚© 2022 Shinya Kato

𝜶𝜶𝒚 = 𝑨𝒌 ：１人あたり→（例）生産関数

𝒅𝒚= 𝟎. 𝟓 ∙ 𝑨𝒌−𝟎.𝟓
𝒚 = 𝑨𝒌→ 𝑴𝑷𝒌 =𝒅𝒌𝑨
𝟏 𝑨= 𝑨 𝒌 (１人あたり)==∙𝟎.𝟓
𝑴𝑷𝒌 逓減𝟐 𝒌
資本の限界生産力
𝟐 𝒌12𝒌𝟎.𝟓

（参考）𝑴𝑷𝒌 = 𝑴𝑷𝑲
𝜶・ 𝒚 = 𝑨𝒌 より、

𝑲
𝜶−𝟏
𝑴𝑷𝒌 = 𝜶𝑨𝒌= 𝜶𝑨𝑳
𝜶𝟏−𝜶より、・ 𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳

𝜶−𝟏等しい𝑲
𝜶−𝟏𝟏−𝜶𝑴𝑷𝑲 = 𝜶𝑨𝑲
𝑳= 𝜶𝑨
𝑳
𝑳𝟏−𝜶 = 𝑳− 𝜶−𝟏© 2022 Shinya Kato

𝟏=
𝑳

𝜶−𝟏

𝜶−𝟏

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両辺の変化率をとる∆𝒙：𝒙の増加率𝒙∆𝑳：𝑳の増加率
𝑳 （人口成長率𝒏）∆𝑲：𝑲の増加率
𝑲© 2022 Shinya Kato

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𝑩
𝑨=𝑪
両辺の変化率をとると、

ቄ∆𝑨 ∆𝑩 ∆𝑪=−𝑨𝑩𝑪左辺© 2022 Shinya Kato右辺

例①

今期

次期 ∆𝒙Τ𝒙 左辺

右辺誤差

𝑨

10120.20.20.30.1

𝑩100

1800.8𝑪

10150.5

例②

今期

次期 ∆𝒙Τ𝒙 左辺右辺

誤差

𝑨109.18 -0.08 -0.08 -0.09 0.01

𝑩100

101 0.01

𝑪10110.1

15ソロー・モデルの構造 𝑲, 𝑳は完全雇用
すべて定数

決定

𝜶𝟏−𝜶
𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳

今期

𝑪 = 𝒄𝒀
総供給𝒀𝑺 総需要𝒀𝑫⇒ 供給が需要を決める(古典派)

次期 決定© 2022 Shinya Kato

ቐ

セイの法則

ቄ

財市場： 𝒀 = 𝑪 + 𝑰

決定∆𝑲 = 𝑰

𝜶𝟏−𝜶
𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳

𝑲, 𝑳は定数(時間を通じて変化)𝑨, 𝜶は定数(時間を通じて一定)

𝑺 = 𝒔𝒀
𝑺= 𝑰決定∆𝑳=𝒏𝑳 (定数)

次期の𝑳は 𝟏 + 𝒏 倍（例）𝒏 = 𝟎. 𝟏 𝟏𝟎% ↑⇒ 𝑳は1.1倍16ソローの基本方程式
財市場均衡条件①ቊቊ𝑲∆𝒌 ∆𝑲 ∆𝑳𝒌= →=−⋯ ∗𝑳𝒌𝑲𝑳②貯蓄関数

𝒚 = 𝑨𝒌𝜶𝒀∆𝑲 𝑰
𝑺 𝒔𝒀 𝒔 ∙ 𝑳 𝒔𝒚=== = =①：𝑲𝑲𝒌
𝑲 𝑲 𝑲𝑳
∆𝑳=𝒏②：𝑳© 2022 Shinya Kato17

これらを ∗ 式に代入すると、
∆𝒌 𝒔𝒚
=−𝒏𝒌𝒌
両辺に𝒌をかけると、∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌 ：ソローの基本方程式（ソロー方程式、資本蓄積の基本方程式）
𝒔：貯蓄率 (定数)𝒚：１人あたり生産量 𝒚 = 𝑨𝒌𝜶𝒏：人口成長率 (定数)𝒌：１人あたり資本© 2022 Shinya Kato18∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌𝒚 = 𝑨𝒌𝜶𝑿 = 𝒔𝒚とおくと、𝒔𝒚𝑿

𝑿 = 𝒔𝒚 (例) 𝜶 = 𝟎. 𝟓
= 𝒔𝑨𝒌𝟎.𝟓= 𝒔𝑨 𝒌𝒔𝒚𝟎𝒔 𝑨 𝒌𝟎𝒚𝟎
© 2022 Shinya Kato𝒌𝟎

𝒌19

∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌
𝒀 = 𝒏𝒌とおくと、𝒏𝒌 𝒀

𝒀 = 𝒏𝒌𝒏𝒌𝟎© 2022 Shinya Kato

𝒏𝒌𝟎

𝒌20

資本蓄積のイメージ
𝒔𝒚, 𝒏𝒌∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌

∆𝒌𝟎 = 𝒔𝒚𝟎 − 𝒏𝒌𝟎∆𝒌𝟏∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌 = 𝟎

𝒔𝒚𝟎

時間の経過とともに、１人あたり資本は𝒌∗ に向かう

𝒏𝒌𝟎
初期値
© 2022 Shinya Kato𝒏𝒌𝒔𝒚

𝒌𝟎 𝒌𝟏 𝒌𝟐 𝒌∗𝒌定常状態における𝒌21

定常状態

１人あたり資本：経済が一定の𝒌に収束した状態
定常状態では𝒌は一定値であるので…
∆𝒌 ∆𝑲 ∆𝑳
∆𝑲 ∆𝑳=−==𝟎 →①𝒌𝑲𝑳𝑲𝑳
𝒌が一定なら𝒚も一定∆𝒚𝜶=𝟎② 𝒚 =（𝑨𝒌→𝑨 , 𝜶：定数）𝒚© 2022 Shinya Kato

𝑲と𝑳がバランス良く成長する
𝒚の成長が止まる22

ポイント(ソロー・モデル)
長期的には、① 資本の成長率＝労働の成長率② １人あたりGDP(𝒚)の成長が止まってしまう １人あたり生産量© 2022 Shinya Kato

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定常状態において…
∆𝒌 = 𝒔𝒚 − 𝒏𝒌 = 𝟎𝒔𝒚 = 𝒏𝒌
よって、が成立する© 2022 Shinya Kato

𝒔𝒚=𝒏𝒌

覚え方

キスはノー𝒔𝒚=𝒏𝒌

定常状態の𝒌∗ が求まる
24

①人口成長率𝒏の上昇
𝒔𝒚, 𝒏𝒌𝒏↑𝒏𝒌© 2022 Shinya Kato

∗𝒏𝒌𝒔𝒚𝒌ポイント

人口が増えるので、定常状態における１人あたりの資本𝒌∗は減少する⇒ 𝒚 = 𝑨𝒌𝜶 より𝒚∗ ↓25

②貯蓄率𝒔の上昇
𝒔𝒚, 𝒏𝒌, 𝒚𝒚𝒏𝒌

𝒚 = 𝑨𝒌𝜶
高さが𝒔倍ポイント𝒔↑𝒔𝒚（例）𝒔 = 𝟎. 𝟒𝒌© 2022 Shinya Kato∗𝒌

貯蓄率𝒔の上昇による貯蓄𝑺の増加が投資𝑰の増加に繋がり、資本蓄積によって𝒌∗ が増加する⇒ 𝒚 = 𝑨𝒌𝜶 より𝒚∗ ↑26

例題
ソロー・モデルにおいて、生産関数を𝟎.𝟓𝟎.𝟓
𝒀 = 𝑨𝑲 𝑳とする。ただし、𝑨 = 𝟏である。
人口成長率𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟓、貯蓄率𝒔 = 𝟎. 𝟐とし、技術進歩や資本減耗がないとすると、∗定常状態における１人あたり資本𝒌 の値を求めなさい。
© 2022 Shinya Kato27

解答
生産関数より𝑨 = 𝟏, 𝜶 = 𝟎. 𝟓であるので、
𝜶𝒚 = 𝑨𝒌
キスはノー𝟎.𝟓𝟎.𝟓=𝟏∙𝒌 =𝒌𝒔𝒚
= 𝒏 より、𝒌
𝟎.𝟓
𝟎. 𝟐 ∙ 𝒌𝟎. 𝟐
𝒔𝒚= 𝟎. 𝟎𝟓 → 𝟎.𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟓=𝒏 →𝒌𝒌𝒌𝟎.𝟓𝟎.𝟓
𝒌𝒌=𝒌 ∙𝒌𝟎.
𝟐𝟎.𝟓∗→ 𝒌 = 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟒 → 𝒌 = 𝟏𝟔
© 2022 Shinya Kato

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最後に…
・面白くなってきましたか？
・身近な経済現象への理解は深まってきたはず・新シリーズで会いましょう！
© 2022 Shinya Kato

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