数理解析研究所講究録
第 1569 巻 2007 年 8-12

8トーリック多様体の$K$理論と凸多面体
西村保三 (Yasuzo Nishimura)

摂南大学教育センター

Education Center,
Setsunan University
トーリック多様体がコンパクト非特異の時, その上のアンプルな直線束に対して, 凸多面体が対応する ([6, Chapter 2] 参照)。

Morelli [4] はこれを, 同変東がアンプルでない場合や一般次元のベクトル束の場合に拡張して,トーリック多様体の同変 $K$ 理論から, 凸多面体で生成される自由加群 (凸鎖) への単射を構成するという形で, その同変 $K$ 理論を明らかにした。

Morelli の写像の構成は, 代数幾何的な手法に拠っているが, 本稿ではこれを組合せ論の範疇で議論を行

1

トーラス多様体の $K$ 理論について考察する。

$A\searrow$

トーリック多様体と扇・凸多面体

定義 1.1 トーラス$T=(\mathbb{C}^{*})^{\mathfrak{n}}$が作用する正規代数多様体は開で稠密な軌道があるときトーリック多様体と呼ばれる。
例 1.2 標準的なトーラス作用のもとで, ベクトル空間$\mathbb{C}^{n}$, 射影空間$\mathbb{C}P^{n}$はトーリック多様体である。
格子$N\cong \mathbb{Z}^{n}$$N_{B}=N\otimes \mathbb{R}$を固定し, 原始整数ベクトル $v_{i}\in N(i\in I)$ に対し,$:= \{\sum_{:\in I}r:v_{i}|r_{i}\geq 0\}$が直線を含まない時, (原点 $O$ を頂点とする)$N$

定義 1.3 原点 $O$ を頂点とする $N$ の凸錘の集まり$\sigma\in\Delta$$\sigma,$

で$\tau\in\Delta$

トー ラス$\tau$

が$\sigma$の時,$T=(\mathbb{C}^{*})^{n}$の面の時,$\sigma\cap\tau$$\Delta$は$\sigma$$\tau\in\Delta$$n$の凸錘という。
$\Delta$は以下の条件を満たす時, 扇と呼ばれる。

,の面。

に対し, その表現群を定理 1.4 や上の扇の圏と扇次元ベクトル空間の部分集合$\sigma=\angle v_{I}$

1.
2.

$n$

$\hat{T}\cong \mathbb{Z}^{n}$, その双対を卵$=Hom_{\mathbb{Z}}(\hat{T}, \mathbb{Z})$と表す。

次元トーリック多様体の圏は同型である。に対応するトーリック多様体を$X_{\Delta}$と表すことにする。 トーリック多様体

パクト性非特異性は扇の言葉で次のように言い換えられる。

$X_{\Delta}$のコン

9
命題 1.5 1.

$X_{\Delta}$

がコンパクトである必要十分条件は,が完備すなわち$\Delta$$| \Delta|:=\bigcup_{\sigma\in\Delta}\sigma=\hat{T}_{R}^{0}$が成り立つことである。

2.

$X_{\Delta}$が非特異である必要十分条件は,$\Delta$の任意の凸錘が各基底で生成されることである。

以下トーリック多様体はコンパクトで非特異の時を考える。 この時, 扇{$\Delta(1):=$$\sigma\in\Delta|$

リック多様体ある$\hat{T}$の$X_{\Delta}$

dim $\sigma=1$ } に整数値を対応させる上の同変直線束$E_{h}$

“台関数”

$h$

:

$\Delta$の 1 次元錘の集合$\Delta(1)arrow \mathbb{Z}$の同型類が一対一に対応する。 また扇に対して,$\Delta$トーと双対関係に(整) 凸多面体 $\mathcal{P}_{h}:=\{x\in\hat{T}_{R}|(v_{i}, x)\leq h_{i}\}$ が定義できる (注 : 潰れたり空集合になることもあり得る)次元錘 $\sigma=\angle v_{I}\in\Delta(r)-$ に対して, 多面体$r$。

$F_{\sigma}:=\{x\in\hat{T}_{R}|(v_{1}, x)=h_{i}(i\in I)\}\subset \mathcal{P}_{h}$命題 1.6 (Demazure) 凸多面体
(単純) 凸多面体であることと,うなものが存在するのは,定義 1.7 格子$N\cong \mathbb{Z}^{n}$$X_{\Delta}$$E_{h}$の$\sigma$に対応する面をと表す。

が $\{F_{\sigma}|\sigma\in\Delta(n)\}$ を互いに異なる頂点とする $n$ 次元がアンプルな直線束であることは同値である。 またこのよが射影的すなわち射影空間に埋め込める時である。

を固定し,$L(N):=$ {$\mathcal{P}_{h}$$\mathcal{P}_{h}$$N_{R}$の整凸多面体の特性関数で生成される自由加群を$\sum_{i=1}^{k}n:1_{P_{i}}|n_{i}\in \mathbb{Z},$: 整凸多面体}\subset Map(NR, )$\mathbb{Z}$$P_{1}$と表す。 また $L(N)$ の平行移動による格子群 $N$ の作用による商群を $\mathcal{L}(N):=L(N)/N$ で表す。
$L(N),$$\mathcal{L}(N)$の元は凸鎖と呼ばれる ([7] 参照)。

整凸多面体 $P,$ $Q$ に対して, Minkowski 和 $P+Q:=\{x+y|x\in P, y\in Q\}$ を用いで,$1_{P}\cdot 1_{Q}=1_{P+Q}$としで $L(N)$ には積が定義される。 また-作用素を $\lambda_{t}(1_{P})=1+1_{P}\cdot t$ によっ$\lambda$て定めることで \mbox{\boldmath $\lambda$}環構造が定義される。

トーリック多様体$X_{\Delta}$

上の同変ベクトル束 $E$ に対してコホモロジー群 $H^{i}(X_{\Delta},E)$ にトーラスが作用し, 重みによる分解成分$\chi_{m}$$H^{i}(X_{\Delta}, E)\underline{\simeq}\oplus_{m\in\hat{T}}H^{:}(X_{\Delta}, E)_{m}$が得られる。 Euler 標数の重み $m$

を $\chi_{m}(E)=\sum_{:}(-1)^{:}$ dim $H^{i}(X_{\Delta}, E)_{m}$ で定義する。

定理 1.8 (Morelli [4]) 次式で定義される写像

用を無視して導かれる写像$I:K(X_{\Delta})arrow \mathcal{L}(\hat{T})$$I_{T}$

は:$K_{T}(X_{\Delta})arrow L(\hat{T})$及び$I_{T}$

からトーラス作-環の単射準同型写像である。

$\lambda$$I_{T}(x)(m/k)=\chi_{m}(\Psi^{k}(x))(x\in K_{T}(X_{\Delta}), m\in\hat{T}, k\in N)$

注意 1.9 $h:\Delta(1)arrow \mathbb{Z}$ に対応するアンプルな直線束

直線束に関して$I_{T}$$I_{T}$:

に対して,の準同型性は容易に確かめられるので,類で生成されている場合は (例えば射影空間) ,像$E_{h}$$K_{T}(X_{\Delta})arrow L(\hat{T})$が構成できる。

$I_{T}([E_{h}])=1_{\mathcal{P}_{h}}$$K_{T}(X_{\Delta})$$I_{T}([E_{h}])=1_{\mathcal{P}_{h}}$である。

がアンプルな直線東のの式から逆に \mbox{\boldmath $\lambda$}環の準同型写

102トーラス多様体の

$K$

理論と凸鎖

まず服部-枡田 [2] で定義されたトーラス多様体と多重扇を紹介する。
定義 2.1 $M$ は向き付け可能かつ滑らかな $2n$ 次元閉多様体で, 効果的なトーラス $T=(S^{1})^{n}$作用があり, 固定点集合 $M^{T}$ は有限個の孤立点とする。 $M$ の余次元 2 の部分閉多様体が表現的とは, ある部分群で各点毎に固定される連結成分であり, 少なくとも一つ固定点を含む$S^{1}$時をいう。 $M$ とその全ての表現的部分多様体$M_{1},$$\cdots,$$M_{d}$に向きが固定された時,$M$をトーラス多様体と呼ぶ。
例 2.2 コンパクトで非特異なトーリック多様体は,

定義 2.3 格子$N\cong \mathbb{Z}^{n}$を固定する。

$\Sigma$

トーラス多様体である。

を唯一の最小元を持つ有限な半順序集合,$I\in\Sigma$に対して格子 $N$ の凸錘 $C(I)$ が対応して, 次の条件を満たすとする。

(1) $C( \min\acute{\Sigma})=\{O\}$ ;(2) $I\leq J(I, J\in\Sigma)$ のとき,(3) 任意の$J\in\Sigma$に対し,このとき $\Sigma^{(k)}:=$ { $I\in\Sigma|$の “ 重み写像 ”

例 2.4$\Delta$$w^{\pm}$;$C(I)$

は $C(J)$ の面;$\{I\in\Sigma|I\leq J\}$

は $C(J)$ の面束と半順序集合として同型。

dim $C(I)=k$ } を$\Sigma^{(n)}arrow \mathbb{Z}\geq 0$

を通常の扇とする時,$k$次元錘の集まりを表す記号として, 上記に 2$’\supset$を加えた 3 つ組 $\Delta=(\Sigma, C, w^{\pm})$ を多重扇と呼ぶ。
$\Sigma=\Delta,$$C=id,$ $w^{+}=1,$ $w^{-}=0$ と考えれば $\Delta=$ ($\Delta$, id,$w^{\pm}$)は多重扇である。
命題 15 に関して, 多重扇の非特異性は扇の時と同様に定義される。 完備性は [2, \S 2] で定義されている (本稿では省略)。 トーラス多様体に対して,るが,完備で非特異な卵の多重扇が対応すトーリック多様体の場合と違い, この対応は一対一ではない。

定義 2.5 完備で非特異な多重扇 $\Delta=(\Sigma, C, w^{\pm})$ と 1 次元錘に対し整数値を定める “ 台関数 ”$h$:$\Sigma^{(1)}arrow \mathbb{Z}$(あるいはこの写像で決まる膿の超平面アレンジメントの組 $\mathcal{P}=(\Delta, h)$$F_{1}=\{x\in N_{R}^{0}|(x,v_{i})=h:\}(i\in\Sigma^{(1)}, C(i)=\angle v_{t})$の組 $\mathcal{P}=(\Delta, F))$ を多重多面体という。

トーラス多様体 $M$ 上の同変直線束 $E$ に対して, その第 lChern 類を使って($\xi_{i}\in H_{T}^{2}(M)$ は表現的部分多様体

めて多重多面体$\mathcal{P}=(\Delta, h)$

通常の完備非特異な扇
プルな場合には多重多面体$\mathcal{P}$$\hat{T}$$M_{1}$のPoincare 双対類) によって台関数$h$$c_{1}^{T}(E)= \sum_{:}h_{i}\xi_{1}$:$\Sigma^{(1)}arrow \mathbb{Z}$を定が対応する。
$\Delta$の場合は, 台関数 $h:\Delta(1)arrow \mathbb{Z}$ に対して同変直線束の整凸多面体に対して, 凸鎖$\mathcal{P}_{h}$$E_{h}$がアンがうまく対応した。 [5] ではこの構成を工夫して, 一般の$\overline{DH}_{P}\in L(\hat{T})$を組合せ論の範疇で構成した。

11
非特異 (完備とは限らない) な多重扇と台関数$\Delta$$h;\Sigma^{(1)}arrow \mathbb{Z}$の組$\mathcal{P}=(\Delta, h)$を固定する。 $I\in\Sigma^{(n)}$ に対し, 対応する $n$ 次元凸錘を $C(I)=\angle v_{I}$ とすると, 多重扇の非特異性から$\{v_{i}\in\hat{T}^{0}|i\in I\}$をは各基底であり, また(ただし$C(I)^{0}=\angle_{i\in I}u_{1}^{I}\subset\hat{T}_{\mathbb{R}}$表し,$F_{I}$$\{u_{i}^{I}\}$$F_{I}$

はは格子丁上の点である。 $C(I)$ の双対錘$:= \bigcap_{i\in I}F_{2}$$\{v_{i}\}$の双対基底すなわち$(v_{j},$ $u_{i}^{I})=\delta_{1j}$を頂点とする凸錘を $U(I):=F_{I}+(-C(I)^{0})$ とおいて, 多重多面体$\mathcal{P}$である)とに対して, 凸錘の特性写像で生成される自由加群の元 (錘鎖) を$\alpha(\mathcal{P})$$:= \sum_{I\in\Sigma^{(\prime*)}}(w^{+}(I)-w^{-}(I))1_{U(I)}$と定義する。 ここで一般的なベクトルの条件を満たす錘鎖(1)$\overline{DH}_{\mathcal{P},\eta}$(2)$\alpha(\mathcal{P})-\overline{DH}_{P,\eta}$$\overline{DH}_{\mathcal{P},\eta}$

を任意に固定すると, [7, Theorem 1] により次$\eta\in p_{\mathbb{R}}\wedge$が一意に決まり,$\alpha(\mathcal{P})$を生成する任意の凸錘 $C$ にっいて,簡約表現$\overline{DH}_{\mathcal{P}_{*}\eta}$

る) こと, 及び$\Delta$$\eta|C$の$\eta$に関する簡約表現と呼ばれる。

は頂点で最小値を取る ;は直線を含む錘の特性関数で生成される錘鎖である。
が$\eta$の取り方に依らないこととそれが有限な台を持つ (すなわち凸鎖になが完備であることは同値である ([5, Proposition 3.4] 参照)。

定義 2.6 多重多面体$\mathcal{P}=(\Delta, h)$に対して決まる凸鎖($\overline{DH}_{\mathcal{P},\eta}$$\eta$に依らない) を$\overline{DH}_{\mathcal{P}}$と表し,Duistermaat-Hrkmt 関数と呼ぶ。
注意 2.7 1.

プルのとき,$\Delta$が完備非特異な扇, 台関数 $h:\Delta(1)arrow \mathbb{Z}$ で決まる同変直線束」臨がアン$\mathcal{P}=(\Delta, h)$を多重多面体と考えると$\overline{DH}_{\mathcal{P}}=1_{\mathcal{P}_{\hslash}}=I_{T}([E_{h}])$である。

2. Karshon-Tolman [3] では, 多様体に同変閉 2-形式 が存在するが潰れてもよい (潰れていない場合は Delzant の結果よりトーリック多様体になる) プレシンプレクティック・トー$\omega$

リック多様体の場合に, 同変直線束に対して, モーメント写像を拡張して凸鎖$\overline{DH}_{\mathcal{P}}\in L(\hat{\text{丁}})$と同様の概念を定義し 「振れ多面体」 と呼んでいる。
$\mathcal{P}$がトーラス多様体 $M$ 上の同変直線束 $E$ で決まる多重多面体とする。 Duistermaat-Heckman

関数は, $K_{T}(M)$ の演算と可換なので, $K_{T}(M)$ が同変直線束の類で生成されていれば,張して -環準同型写像$\lambda$$I_{T}$:$K_{T}(M)arrow L(\hat{\text{丁}})$およびトーラス作用による商から$\overline{DH}$を拡$I:K(M)arrow \mathcal{L}(\hat{\text{丁}})$が構成できる。
トーラス多様体 $M$ が次の条件 $(*)$ を満たすときを考える。
$(*)$

トーラス多様体 $M$ のコホモロジー環 $H^{*}(M)$ は次数 2 の元で生成される。

このとき, $M$ の同変コホモロジー環は,$\Delta$の Stanley-Reisner 環 $\mathbb{Z}[\xi_{1}, \cdots,\xi_{d}]/(\prod_{:\in I}\xi_{i}|I\not\in\Sigma\rangle$と同型になる ([2, Proposition 92] 参照)。 またこのとき,$M_{i}$に対応する標準同変直線束の類$\nu_{i}$

12
(s.t.
$L(\hat{T})$$c_{1}^{T}(\nu_{i})=\xi_{i}$及び$I$:) は $K_{T}(M)$ を生成することがわかるので,$K(M)arrow \mathcal{L}(\hat{\text{丁}})$$\lambda$-環の準同型写像$I_{T}$: $K_{T}(M)arrow$が構成できる。 さらに Morell による定理 18 の単射性の証明もほぼそのまま適用でき, 次の定理が成り立つ。

定理 2.8 トーラス多様体 $M$ は条件 $(*)$ を満たすとする (例えば擬トーリック多様体 [1])のとき-環準同型写像$\lambda$$I_{T}$:$K_{T}(M)arrow L(\hat{\text{丁}})$。

こ及び $I:K(M)arrow \mathcal{L}(\hat{T})$ は単射である。

注意 2.9 擬トーリック多様体の $K$ 理論は, コホモロジー環と同様の ($\Delta$の Stanley-Reisner 環をあるイデアルで割るという) 表示ができることが [8] で証明されている。

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