時間結晶 (time crystal) は存在するか

東京大学大学院工学系研究科 物理工学専攻

渡辺 悠樹

物性研究所 量子物質研究グループ

押川 正毅

１．はじめにツ対称性）があるため、空間方向に可能なことは時間方向にも可能であるように思えます。

私たちの身の回りは対称性の自発的破れで満ち満ちています。例えば結晶は空間の並進対称性を自発的に破っている

ノーベル賞物理学者による新しい物質相の理論提案というと言われます。もともと結晶がなければ、空間自体は完全話題性から、ウィルチェックのこの研究は多くのポピュに滑らかで、どの点に注目しても全く等価です。そのためラーサイエンスの記事で取り上げられました。また時間結結晶を構成する原子の一つ一つの運動法則は空間の位置に晶に関するさらなる研究のきっかけとなり、ウィルチェッよりません。これが空間の連続的並進対称性です。ところクの論文はすでに 100 回以上も引用されています。実際にがひとたび結晶ができると、結晶内部の原子は周期的な配時間結晶を実現するための実験をデザインする論文も書か列をなし、空間の「原子がある点」と「ない点」が明確にれましたが[2]、その一方で最初の論文中で議論された模区別されます。したがって空間の各点の等価性が壊れてお型の誤りを指摘する論文も書かれるなど、時間結晶の実現り、並進対称性が破れたことになります。結晶ができた後可能性は物議を醸しました[3]。研究者の間で合意が得らも、結晶の単位胞は全て等価なので、結晶は基本並進ベクれず混乱が続いていた一因は、以下で議論するように、時トルの整数倍の重ね合わせによる並進操作のもとで不変で間結晶を理論的に明確に定義することは意外に難しいといす。すなわち、結晶においても、離散的並進対称性は保たうことにあります。

れることになります。結晶の持つこの特徴に着目して抽象化・一般化すれば、結晶とは元々の「連続的空間並進対称２．
「自発的」時間並進対称性の破れ性」を「離散的空間並進対称性」へと自発的に破るものである、と特徴づけることができます。

仮に「時間結晶」が本当に存在したとして、それはどのようなものでしょうか。通常の結晶の場合には、空間のある

この空間並進対称性の他にも、物理には様々な対称性が登軸に沿って見たとき、原子の密度が振動します。これから場し、その自発的破れが議論されます。それでは、果たし類推すれば、時間結晶では、空間軸ではなく時間軸に沿って全ての対称性が自発的に破れ得るのでしょうか。てみたときに何らかの物理量が振動することになります(図 1)。しかし、ただ時間的に振動すれば良いのであれば、フランク・ウィルチェック教授（Frank Wilczek、マサ

単純なバネ振り子なども含むあらゆる振動現象が時間結晶チューセッツ工科大学教授、2004 年ノーベル物理学賞受ということになってしまいます。ここで重要になるのが賞）は、2012 年に、空間ではなく時間の並進対称性を破「自発的」というキーワードです。例えばバネ振り子の場る「時間結晶」の可能性を理論的に提案しました[1]。空合であれば、バネを自然長からさらに伸ばした状態で手を間の並進対称性と同様に、時間も一様に流れており、特に離せばもちろん振動を開始しますが、これでは「自発的」どの時刻が特別ということはありません。この「連続的時に振動し時間並進対称性を破ったことにはならないわけで間並進対称性」を「離散的時間並進対称性」へと自発的にす。しかしこの「自発的」という概念を数学的に定式化す破る非自明な基底状態もしくは平衡状態が存在するのではることは実は簡単ではありません。

ないか、という提案です。我々の知覚としては空間と時間は全くの別物ですが、数学的には空間も時間も座標の一成分に過ぎず、3 次元空間と時間を合わせて「4 次元時空」という捉え方をすることができます。さらに特殊相対性理論によると時間と空間の間にはある種の対称性（ローレン■ ■■ ■ ■■ ■物性研だより第 56 巻第 3 号

10

です。ウィルチェックは、多粒子系に特有の特異性によってこの困難が回避されているのだと主張しましたが、果たして本当にそのようなことが起こり得るのでしょうか。
通常の結晶の場合は、外から手で空間の並進対称性を破らなくても、系が平衡状態に達するまで待っていれば「自発的」に結晶が生じ、並進対称性を破るだろうとナイーブには期待されます。しかし現実には完全に対称性があるとい
図 1：仮に時間結晶が実現した場合に期待される振る舞い。物理量の期待値が時間的に振動する。

うことはなく、元々わずかに空間の不均一があり、そこが種になって結晶が成長します。これに対応して、理論的に自発的対称性の破れを議論する際にも、わずかに対称性をウィルチェックが最初に提案した例は、超伝導体でリング破る場を外からかけておいてその外場の下で平衡状態をつを作り、その穴に磁束を通すというものでした[1]。超伝くり、体積を無限大の極限を取った後に外場を切るという導リングに磁束を通すと、その磁束を打ち消すように基底トリックがよく用いられます。このようにしないと、例え状態・平衡状態においても超伝導電流が流れます。しかし

ば絶対零度を記述する基底状態は、結晶の位置に関する重このままではリングの各点における電流は時間的に一定なね合わせ状態（非物理的な「シュレーディンガーの猫」状ので、時間並進対称性を破ったことになりません。ウィル態）になり、平均密度としては原子が特定の位置に周期的チェックのアイディアは、空間的に不均一な超伝導体を使に並ぶことになりません。有限温度の平衡状態を記述するうことにありました。超伝導ギャップが空間的に変化する

ボルツマン分布においても、結晶の位置についてのあらゆ

Fulde-Ferrell-Larkin-Ovchinikov (FFLO)状態のようなる状態を足しこんでしまえば、同様に原子密度の周期的な超伝導体を用い、それでリングを作り磁束を導入すれば、構造は互いに打ち消し合ってしまいます。つまり「自発的」その不均一性も超伝導電流とともにぐるぐる回ると主張し対称性の破れとはいうものの、それをきちんと定式化するたのです[図 2(a)]。その結果、リングの各点における電流には、まず外から対称性を破る場を予めかけた上で平衡状密度は時間的に振動することになるはずです。

態を用意しておいて、その外場を切った後も対称性の破れが残るかどうかを議論するのです。
すると、時間結晶についても、通常の結晶についてのこのような標準的な定式化を適用すれば良さそうです。しかし、これはすぐに根本的な問題に直面します。時間結晶の定式化に必要な外場は、時間並進対称性を破る、すなわち時間に依存することになります。そのような外場のもとでは、図 2：ウィルチェックが考案した時間結晶の例。(a)超伝導リング「基底状態」や「平衡状態」といった概念は意味をなさなに磁束を通すと平衡状態でも超伝導電流が流れる。空間的に不均くなってしまいます。この点において「時間並進対称性の一な超伝導体を用いたとき、不均一性も超電流と一緒にクルクル自発的破れ」は、やはり他の対称性の破れとは一線を画し回ると仮定すると、空間の各点における超電流は時間的に振動し、時間並進対称性を破る。(b)その結果、超電流の相関関数も時間差の関数として振動すると期待される。ており、その定義から見直す必要が生じるのです。我々の研究が出るまでは、この「時間並進対称性の自発的破れ」の定義がきちんとなされないままになっていたため、果た

この例は一見もっともらしく聞こえるのですが、基底状して時間結晶は可能か不可能かという議論に決着がつかな態・平衡状態において物理量が振動するという常識に反すいままになっていました。

ることが起こっています。そもそも量子力学によれば、ハミルトニアンの固有状態は定義により位相因子を除いて時３．長距離秩序に基づく定式化間によらず、物理量の期待値も当然振動しません。従って基底状態はもとより、固有状態での期待値をボルツマン分

この状況を踏まえ、私たちは、まず「長距離秩序」という布に従って足しあわせた平衡状態では振動が起き得ないの観点から「自発的時間並進対称性の破れ」を数学的にきち

11

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■

んと定式化することから始めました。この長距離秩序を調「定義」することにしました。そして、Horsch-von derべることの利点は、対称性を破る外場をかけずに自発的対Linden[5]によって導入された二重交換子を使う数学的ト称性の破れを議論できる点にあります。

リックを用いて、このように定義された時間結晶が存在しないことを証明することに成功しました[6]。その議論は、例を用いて説明するために、よく知られているイジング模「ハミルトニアンの局所性」と「離散的空間並進対称性」

zのスピン S iしか用いておらず、非常に一般的なものとなっています。

型を考えましょう。この模型には各サイト iを一斉にひっくり返す対称性がありますが、スピンが特定の向きに揃う強磁性相ではこの対称性が自発的に破れます。

最初に述べたように、時間結晶を考える一つの動機は、空間並進対称性を自発的に破る結晶が存在するならば、時間対称性を破る外場を用いるアプローチでは、例えば+z 方並進対称性が自発的に破れてもよいのではないかというこ

向に磁場をかけておき、スピンが+z 方向へ揃った状態がとでした。我々の結果は（基底状態・平衡状態において）安定となるようにしておきます。このときの平衡状態を用これを否定するもので、一見すると相対性理論（ローレンzS i を計算すると、正の有限の値が得られます。このツ不変性）と矛盾するようにも見えます。しかし、そもそまま、まず体積を無限大にした後に z 軸方向への磁場を切も量子統計力学では、基底状態・平衡状態はハミルトニアzる極限をとると S i の期待値は有限の値 m に収束し、自発ンを用いて定式化されているため、ハミルトニアン自身に的に対称性が破れたことになります。実際、転移温度よって生成される時間並進対称性は特別で、基底状態・平（キュリー温度）以下のイジング模型ではこのようなこと衡状態で自発的に破れることがない、というのはある意味が起こり、強磁性相が実現することが知られています。

で自然な結論と言えます。

いてz一方、対称性を破る外場をかけない場合には S i の期待は４．最後にゼロになります。どんなに低温でも、有限系の平衡状態にはスピンが+z の方を向いた状態と、この状態のスピンを我々の研究では基底状態・平衡状態において「連続的時間z反転した状態が同じ確率で寄与するので、S i の期待値は並進対称性」を「離散的時間並進対称性」へと自発的に破打ち消し合ってしまうのです。ところが 2 つの異なるサイる時間結晶の非存在性を議論しましたが、これで時間結晶zz
トにおけるスピンの積 S i S j の期待値（相関関数）は、ス（時間並進対称性の自発的破れ）というアイディアが完全ピンが+z 方向に揃った状態でも-z 方向に揃った状態でもに否定されてしまったわけではありません。基底状態・平正の値を持つので、平均を取っても打ち消し合いません。

衡状態という条件を外せば、我々の結果は適用できず、時特に自発的対称性の破れが起こると、系に長距離秩序が生間結晶の可能性が残されます。ただし、基底状態・平衡状

z
じ、S i

S j の期待値がサイト i とサイト j を十分遠くに引態以外で「自発的に」時間並進対称性が破れる、というこき離した極限で一定値 σ 2> 0 に近づきます。簡単のためにとを意味のある形で定義する必要があります。たとえば、

ここでは古典的なイジング模型を例に説明しましたが、熱周期 T の時間依存外場によって駆動されている系が、周期揺らぎのかわりに量子揺らぎが重要となる量子力学系でも2T の発振を示せば、それは系の離散的時間並進対称性を同様の議論が成立します。先行研究から「対称性を破る外半分に破っていると考えることができます。これは格子の場をかけずに計算した長距離秩序 σ」と「対称性を破る外周期を 2 倍に破る電荷密度波の時間版です。このような離場を用いて計算した秩序パラメータ m」の間には密接な散から離散への時間並進対称性の破れは多体局在(many-関係があることが知られており、多くの物理系で片方がゼbody localization)を示す系において安定に実現可能であロでなければもう片方もゼロでないことが確認できます。

ることが最近の研究によってわかってきました[7]。今後、

実際 Koma-Tasaki の論文[4]によると、かなり一般的にさらなる研究を経て量子状態の時間依存性や非平衡状態、m ≧C σ（ただし C は 1 のオーダーの定数）という関係が多体局在に関する理解が深まることが期待されます。

z

数学的に厳密に成り立ちます。
時間並進対称性に対しては、先に議論したようにそもそも外場をかけて秩序パラメータ m を定義することができないので、我々はマクロな物理量の時間方向における長距離秩序 σ [図 2(b)]を用いて時間並進対称性の自発的破れを■ ■■ ■ ■■ ■物性研だより第 56 巻第 3 号

12参考文献[1] F. Wilczek, Quantum Time Crystals, Phys. Rev. Lett.
109, 160401 (2012).
[2] T. Li, Z.-X. Gong, Z.-Q. Yin, H. T. Quan, X. Yin, P.
Zhang, L.-M. Duan, and X. Zhang, Space-Time
Crystals of Trapped Ions, Phys. Rev. Lett. 109, 163001(2012).
[3] P. Bruno, Comment on Quantum Time Crystals, Phys.
Rev. Lett. 110, 118901 (2013). F. Wilczek, Wilczek
Reply, Phys. Rev. Lett. 110, 118902 (2013). P. Bruno,
Comment on Space-Time Crystals of Trapped Ions,
Phys. Rev. Lett. 111, 029301 (2013). P. Bruno,
Impossibilityof

Spontaneously

Rotating

Time

Crystals: A No-Go Theorem, Phys. Rev. Lett. 111,070402 (2013). F. Wilczek, Superfluidity and SpaceTime Translation Symmetry Breaking, Phys. Rev.
Lett. 111, 250402 (2013).
[4] T. Koma, H. Tasaki, Symmetry breaking and finitesize effects in quantum many-body systems, J. Stat.
Phys. 76, 745 (1994).
[5] P. Horsch and W. von der Linden, Spin correlations
and low lying excited states of the spin-1=2
Heisenberg antiferromagnet on a square lattice, Z.
Phys. B 72, 181 (1988).
[6] H. Watanabe and M. Oshikawa, Absence of Quantum
Time Crystals, Phys. Rev. Lett. 114, 251603 (2015).
[7] D. V. Else, B. Bauer, and C. Nayak, Floquet Time
Crystals, Phys. Rev. Lett. 117, 090402 (2016).
N. Yao et al. Discrete time crystals: rigidity, criticality,and realizations, arXiv:1608.02589．
J. Zhang et al. Observation of a Discrete Time Crystal,arXiv:1609.08684.

13

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■