物性研究所 量子物質研究グループ
押川 正毅
１．はじめに

２．TKNN とトポロジカル量子数

2016 年 10 月 4 日、スウェーデン王立科学アカデミーは、

量子ホール効果は、半導体界面などで実現される 2 次元電

本年のノーベル物理学賞が「トポロジカル相転移と、物質子系が磁場中で示すホール伝導度が e2/h の整数倍、またはのトポロジカル相の理論的発見」について、デイビッド・

分数倍に高精度で量子化される現象である。（標準的な）

サ ウ レ ス (David Thouless) 、 ジ ョ ン ・ コ ス テ ル リ ッ ツ

量子ホール効果の実験では、電子密度は一定であり磁場を(John Kosterlitz)、ダンカン・ハルデン(F. Duncan M.

変化させることになる。このとき、磁場の関数としてホーHaldane)の三名に与えられることを発表した。

ル伝導度が一定となるプラトーが現れる。このプラトー上

トポロジーの概念は現代の物性物理学に必要不可欠なもの

でのホール伝導度が上述のように量子化されるのである。

となっており、その基礎を築いた業績が顕彰されることは、

この量子ホール効果は、さまざまな意味で現代の物性物理

物性物理学にとって、またより広く基礎科学にとっても、学において極めて重要な意味を持つ現象であり、整数量子

大変喜ばしいことである。
「トポロジカル相転移」「トポロ

ホール効果と分数量子ホール効果についてそれぞれノーベ

ジカル相」の例は現在では多岐に渡るが、このような概念

ル物理学賞が与えられている。さらに、以下で述べるようを確立するきっかけとなった先駆的な業績として、特に以に、量子ホール効果の発見は、TKNN を通じて、量子

下の 3 件が今回のノーベル物理学賞の授賞対象として挙げホール効果自体にとどまらないより一般的な状況での「物られている。

理量のトポロジカル量子化」、さらにはトポロジカル量子a) (べレジンスキー)-コステルリッツ-サウレス ((B) KT)

数によって特徴づけられる、物質の「トポロジカル相」と転移いう概念の確立につながったと言える。

b) サ ウ レ ス ・ 甲 元 ・ ナ イ チ ン ゲ ー ル ・ デ ン ニ イ ス(Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs, TKNN)によ量子ホール効果の実際の実験の状況はいったん忘れて、思る、トポロジカル量子数としてのホール伝導度

考実験として、一定の磁場のもとで化学ポテンシャルを変c) 1 次元量子スピン系におけるハルデンギャップ

化させて 2 次元電子系のホール伝導度を測定することを考

この中で、b) のトポロジカル量子数としてのホール伝導

えよう。また、電子間の相互作用はとりあえず無視するこ度という概念の確立には、物性研究所の元所員である甲元とにする。磁場中では 2 次元電子のエネルギー準位はラン眞人が重要な貢献を行った。そこで、ここでは、甲元の貢ダウ準位に量子化されている。したがって、絶対零度では、献にも注目しつつ、本年のノーベル物理学賞の受賞業績に

化学ポテンシャルがランダウ準位のエネルギーを超えるた

ついて簡単な解説を行う。c) ハルデンギャップに関して

びに、そのランダウ準位が電子で完全に満たされる。それも、その後の筆者を含めた多くの研究者によるさまざまなぞれのランダウ準位はホール伝導度に e2/h の寄与をするこ発展も含めて簡単に触れたい。なお、以下の記事中で番号とが知られているので、化学ポテンシャルの関数としてによる引用（[51]など）はノーベル財団提供の解説資料

ホール伝導度は階段状に変化し、ステップ部分を除いて[N2016]の引用文献を指すが、本記事で引用したものは末e2/h の整数倍の値を取ることになる。これは実験的に観測

尾に文献情報を再掲した。それ以外に付け加えた引用文献

されている整数量子ホール効果と類似しているが、考えては、イニシャルと年号による引用（[H1976]など）を行っいる状況が違うため整数量子ホール効果の説明にはなってた。また、本記事中では敬称は全て省略させて頂く。

いない。（実際の実験の状況での量子ホール効果を説明す
るには、不純物を考慮することが必要である [Y1998]。）
しかし、この仮想的な「量子ホール効果」も示唆的であり興味深いものである。TKNN は、この仮想的な「量子1

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■

ホール効果」について、次のような問題を考えた [51]。

トポロジカル不変量は連続変形に対して安定な量であるた

2 次元周期ポテンシャル中（あるいは 2 次元周期格子上）め、トポロジカル不変量によって物理量が与えられるといの電子に磁場をかけた系を考える。たとえば、最も簡単なう事実は、ただちにこの物理量の量子化を示唆する。この正方格子上の強束縛模型についても、エネルギースペクト

ように、トポロジーは量子ホール効果にみられるような物

ルは磁場の関数として「ホフスタッター・バタフライ」と理量の量子化に対して、非常に魅力的で普遍的な理解の可呼ばれる複雑なフラクタル状の構造を示し、極めて非自明能性を与える。また、異なるホール伝導度を持つ整数量子な問題である [H1976]。ポテンシャルが弱い極限でのラホール状態のそれぞれが、チャーン数というトポロジカル

ンダウ準位から出発して考えると、一つのランダウ準位が不変量で特徴づけられることになる。トポロジーの物性物

複数のバンドに分裂することになる。このような状況で、理への応用としては、実空間のトポロジーに基づく欠陥の化学ポテンシャルがバンドギャップの中にあるとき、ホー分類が既に行われていた [M1979]が、量子多体系の相のル伝導度の値はどうなるだろうか？上述のように、（電子分類に、より抽象的なトポロジカル不変量が現れる、といがすべて占有した）ランダウ準位一つあたりホール伝導度

う点でもその後の潮流を作り出した先駆的な成果であった。

に e2/h の寄与をするので、ランダウ準位が分裂して生じた

ただし、先述のように、標準的な量子ホール効果の実験のそれぞれのバンドは e2/h の分数倍の寄与をするように思え

状況（磁場制御）で観測される量子ホール効果は、このよる。しかし、ラフリンのゲージ不変性を用いた議論 [37]

うな考え方で単純に理解することはできない。また、（これも一種のトポロジカルな議論である！）によると、

TKNN が着目したような周期ポテンシャルの影響が重要

自由電子系でフェルミ準位がバンドギャップの中にあれば、になるには、単位胞あたりの磁束が磁束量子と同じオーホール伝導度は常にe2/hの整数倍になるはずである。

ダーであることが要求され、通常の結晶の場合には実験的

TKNN は、周期ポテンシャル中の磁場下の自由電子系にに到達が難しい強磁場が必要になる。このためもあってか、ついて一般に、それぞれの（電子に完全に占有された）バ

TKNN の出版当時は、その価値が十分に認識されていた

ンドはホール伝導度に e2/h の整数倍の寄与をすることを線

わけではなかったように思われる。一方で、TKNN は、

形応答理論に基づいて明確に示した。ただし、上述のよう観測事実としての量子ホール効果に刺激された産物ではあに、TKNN 論文ではこの整数のトポロジカルな意味はあるが、量子ホール効果に新たな視点を導入しただけではな

まり明確にはされていない。TKNN 論文に引き続き、ア

く、より一般に、トポロジーに基づく物性の理解という新ヴロン、ザイラー、サイモンの論文 [5, S1983]、および

たなパラダイムの基礎となった。従って、その真価は発表

甲元の単著による論文 [33]において、「TKNN 整数」のト

後の長年の間に次第に理解されるようになってきたと言えポロジカルな意義づけが行われた。すなわち、ブリルアンるだろう。このような TKNN に端を発する発展の一部を、ゾーン上で定義されるブロッホ波動関数は一般にファイ

以下でもう少し詳しく述べたい。なお、最近では、

バー束としてとらえることができること、ホール伝導度を

TKNN の考察が直接重要になるような、単位胞あたりの与える TKNN 整数は、このファイバー束のトポロジカル（仮想的な有効磁束の場合を含めて）磁束が磁束量子と同不変量であるチャーン数であること、などが明確にされた。

じオーダーになるような実験的状況も多数つくりだされてここに、観測可能な物理量であるホール伝導度が、トポロ

おり [TOYNT2001, GJOS2014]、この点でも TKNN の重ジカル不変量で与えられるという著しい関係が確立した。

要性が高まっている。

なお、興味深いことに、素粒子論（格子ゲージ理論）にお

ちなみに、「ホフスタッター・バタフライ」に代表される、

いて、カイラルフェルミオンを格子上で定義する困難性を磁場下における 2 次元周期ポテンシャル中の自由電子系の明確にしたニールセン・二宮の定理 [NN1981]が TKNN

問題は、数学的には 1 次元準周期ポテンシャル中の電子のの少し前に発表されている。ニールセン・二宮の論文は空問題に等価となる。甲元は、TKNN とほぼ同時期に、準間 3 次元の系を対象としており、もちろんホール伝導度を

周期ポテンシャル中の電子スペクトルの問題についても非直接議論したわけではないが、格子上、あるいは周期ポテ

常に重要な業績を挙げている [KKT1983]。甲元自身の回

ンシャル中の自由電子系のトポロジカルな構造という点で

想 [K1989]によれば、TKNN の元になる着想は準周期ポ密接に関係しており、TKNN はニールセン・二宮の「次テンシャル中の電子の研究から得たと言うことであり、

元縮約」にあたる[O1994,B2013]。量子ホール効果と素粒

TKNN 論文においても単にサウレスの 3 名の共同研究者

子論・場の理論の関係はその後もしばしば顔を出し、両者の一人であるというわけではなく、発端となったアイデアの豊かな発展を生み出すこととなる。

の面でも重要な貢献をしたと言えるだろう。

■ ■■ ■ ■■ ■物性研だより第 56 巻第 3 号

2３．運動量空間の仮想ベクトルポテンシャル

けるホット・トピックの一つとなっている [YLR2011]。
このように、運動量空間におけるベリー曲率およびそれに先述のように、甲元の論文 [33]では、「TKNN 整数」がブ起因する仮想磁場は物性物理学の基礎概念として重要な地

リルアンゾーン上の U(1)ファイバー束のトポロジカル不位を占めているが、その原点は TKNN であり、甲元の論変量であるチャーン数に他ならないことを示している。こ文 [33]に至って概念が確立されたといって良いだろう。

の議論は数学的であるが、同時に、甲元は TKNN 整数になお、筆者も論文 [33]を学生時代に何ページに何が書いついて非常に物理的な描像も与えている。すなわち、線形てあるか覚えてしまう程度に何度も読んだが、今見返して応答理論によるホール伝導度は、ブリルアンゾーン上の、も全く古さを感じない、非常に美しくまた教育的な論文であるベクトル場の回転を積分したもので与えられる。このある。ファイバー束のトポロジーについての物理学者向け

ベクトル場は、ブロッホ関数の微分によって与えられ、現の解説としても秀逸であり、この分野に興味のある若手に

在ではしばしば「ベリー接続」と呼ばれるものである。こは必読の文献として薦めたい。

のベリー接続は、ブリルアンゾーン上の仮想的なベクトル

甲元は物性研着任後もトポロジー的な観点からの量子物性

ポテンシャルとみなすことができ、すると、ホール伝導度物理の研究を推進した。たとえば、3 次元系への TKNN

は対応する仮想的な磁場をブリルアンゾーン全域で積分しの一般化 [KHW1992]は最近のトポロジカル相の研究の観たもの（仮想的な全磁束）である。ブリルアンゾーン全域

点からも興味深い。今でこそ、このような研究は当然のもは閉曲面である 2 次元トーラスであり、これを貫く「全磁のとされている（むしろ流行し過ぎている？）が、最近ま束」は磁束量子の整数倍に量子化される。これが、で、特に日本国内では比較的マイナーな分野だったと言え

TKNN が見出したホール伝導度の e2/h の整数倍への量子るだろう。そのような時代に、甲元による先駆的な研究が化を与えることになる。

物性研究所で行われたことには意義があったものと思われこのような描像を得ると、ホール効果について新たな考える。たとえば、物性研究所の甲元研究室には助手・助教と方が可能となる。すなわち、磁場によるローレンツ力に起して初貝安弘、白石潤一、佐藤昌利の 3 名が在籍した。当因する古典的なホール効果を離れて、運動量空間における時はトポロジカルな量子物性物理の研究者人口が少なかっ

ベリー接続に起因する仮想的な磁場があればホール効果がたこともあり、自然と分野外からの採用となったが、これ起きることになる。後にトポロジカル絶縁体の理論でも重が現在の日本でのこの分野の研究の発展に大きく寄与して要な役割を果たす、「ハルデン・モデル」における量子いることは異論のないところであろう [S2011b]。

ホール効果 [22]も、この一つの実現と言える。時間反転
対称性は破るものの単位胞あたりの全磁束がゼロである

４．トポロジカル絶縁体と TKNN

「ハルデン・モデル」のように、古典的なホール効果よりも TKNN 量子数によって理解できる量子ホール効果を示

近年の物性物理学の重要なトピックに、トポロジカル絶縁

す系は現在では（整数）チャーン絶縁体と呼ばれ、その体・トポロジカル超伝導体があげられる [A2014, B2013]。

「分数版」も含めて盛んに研究が進められている。

トポロジカル絶縁体とは、バルクの性質は「自明な」バン

現実の物質で観測されるホール効果のうち、外部磁場に依ド絶縁体と同じであるが、量子ホール状態と同様にギャッ

存しない寄与を指す「異常量子ホール効果」の一部も、こプレスな端状態（もしくは表面状態）を持つような絶縁体

こで述べた運動量空間における仮想磁場の効果として理解である。この端状態（表面状態）は時間反転対称性によっすることができる。実はこの効果は、TKNN 以前にカーて保護されるので、時間反転対称性がある限りトポロジカ

プラスとラッティンジャーによって指摘されていた

ル絶縁体を明確に相として定義することができる。ここで[KL1954]。しかし、その重要性や意義は、TKNN からのはその詳細には立ち入らないが、トポロジカル絶縁体は、研究の発展によって認識されるに至り [CN1996]、近年の

時間反転対称性の存在下においてブリルアンゾーン上で定研究の隆盛につながったと言えるだろう [NSOMO2010]。

義される「Z2 トポロジカル量子数」によって定義できる。

ま た 、 最 近 注 目 さ れ て い る ワ イ ル 電 子 系 [NN1983,

もちろん、具体的な性質や応用は大きくことなるが、思想

WTVS2011]においては、「ワイル点」が運動量空間におとしては、TKNN を一般化したものがトポロジカル絶縁

けるモノポールに対応 [V1987, M2007, O1994]し、その体の理論だと言えるだろう。

ためにワイル点の周囲に仮想磁場が集中することになる。

たとえば、以下は、トポロジカル絶縁体の概念を最初に明

この仮想磁場のさまざまな効果は、現在の物性物理学にお確に提唱したケーンとメレの論文 [KM2005]の冒頭の段

3

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■

落の引用である。この段落すべてが TKNN 論文[51]とその５．ハルデン予想

一般化についてのレビューに当てられており、トポロジカ
ル絶縁体の提案に至った背景として TKNN が重要であった

ハルデン予想とは、1 次元のハイゼンベルグ反強磁性体のことがよくわかる。

基底状態の性質が以下のようにスピン量子数 S によって定性的に異なる、というハルデンによる理論的予想 [21,23]を指す。
・半奇数スピン(S=1/2, 3/2,….)：励起ギャップなし、相関関数がベキ的に減衰・整数スピン(S=1,2,….)：励起ギャップあり、相関関数
が指数関数的に減衰
1 次元ハイゼンベルグ反強磁性体のうち、S=1/2 についてはベーテ仮設による厳密解などから、励起ギャップがなく相関関数がベキ的に減衰することが古くから知られていた。
ハルデン予想の当時まで S>1/2 の場合はあまり議論されて来なかったようであるが、おそらくスピン量子数によらず定性的には同様の性質を示すと思われていたであろう。ハ
ルデンの予想は、当時としては見慣れない場の理論のトポ
ロジカル項に基づいていた[HOO2016]だけではなく、予想の内容自体も極めて唐突であり、当初、多くの研究者はトポロジカル絶縁体の研究の爆発的な進展は、TKNN の信じなかったようだ。そのためか、物理の理論としては珍意義が再認識されるきっかけともなった。TKNN 論文のしく「予想」(conjecture)という名前で呼ばれている。（理各年の被引用件数を図 1 に示す。2005 年まで発表から 20

論物理におけるほとんど全ての結果は、「定理」と呼ばれ年以上の間、被引用件数にほぼ減衰が見られなかったことているものを含めて数学的には予想にすぎないのだが。）

も TKNN の重要性のあらわれと言える。しかし、より驚しかし現在では、元の予想に関する数学的に厳密な証明は嘆すべきことは、2005 年のトポロジカル絶縁体の理論的ないものの、多数の解析的・数値的・実験的な証拠により、発見以来、被引用件数が（論文刊行から 30 年以上経過しほぼ確立したと言って良いだろう[A1989]。場の理論とそても）毎年伸び続けていることである。このことは、れに付随するトポロジカル項に基づく抽象的な理論が、ハ

TKNN の先駆性をよく示している。

イゼンベルグ反強磁性体という物性物理学における基本的な模型の驚くべき性質を予言したという事実は、その後の物性理論の研究スタイルに大きな影響を与えた。これはたとえば、ハルデン予想の前後に書かれた、物性物理向けの場の量子論の代表的な教科書 [AGD1963,19]を比較してもわかるだろう。

６．ハルデン予想の波及効果
ハルデン予想は、1 次元のハイゼンベルグ反強磁性体という重要ではあるが限定的な問題や、ハルデンが活用した場の理論におけるトポロジカル項という定式化を超えて、その後のいくつもの研究の潮流を作り出した。筆者個人も若干の関りがあるので、我田引水のきらいもあるがハルデン
図 1：TKNN 論文 [51]の各年の被引用件数(Web of Science によ

予想に端を発する研究の発展について簡単に述べたい。

る)。論文刊行から 20 年以上後の 2005 年のトポロジカル絶縁体

当初は信じる人が少なかったと思われるハルデン予想の理論的発見の後、急増していることがわかる。

が多くの研究者に注目される一つの大きなきっかけは、■ ■■ ■ ■■ ■物性研だより第 56 巻第 3 号

4アフレック・ケネディ・リーブ・田崎(Affleck-Kennedy-[45]を引用し言及して頂いたことは大変感慨深い。SPT 相

Lieb-Tasaki, AKLT)による AKLT 模型であった [1,2]。

は自由電子系のトポロジカル絶縁体を相互作用する量子多AKLT 模型は、たとえば S=1 の場合には、標準的な 1 次

体系に一般化した概念であるが、その典型例であるハルデ

元ハイゼンベルグ反強磁性体に双二次相互作用を加えたもン相自体はトポロジカル絶縁体に先んじて見出されていたのになっている。このハミルトニアンの基底状態は厳密にことになる。SPT 相は、一般の次元での数学的な分類や、求めることができ、AKLT 状態と呼ばれる。この模型は基

実験的な実現など、多くの側面から現在活発に研究が行わ底状態の上にゼロでない励起ギャップを持つこと、また基れている。

底状態（AKLT 状態）におけるスピン相関関数が指数関数

なお、1 次元の AKLT 状態は、その後行列積状態(Matrix

的に減少することが厳密に証明されている。すなわち、

Product State, MPS)へ一般化された [FNS1992, KSZ1993]。

S=1 に関するハルデン予想が、当初の模型を若干変更した

MPS は、量子情報理論との関係[V2003]からも、また密度ものについては厳密に証明されたことになる。

行列くりこみ群を含む、1 次元量子多体系に対する強力なスピン相関関数の振舞いからは、AKLT 状態は量子揺らぎ

数値計算手法の基礎[S2011a]としても非常に重要となっによって秩序が乱された状態だと解釈できる。しかし、ている。さらに、AKLT の論文で与えられた 2 次元の

AKLT 状態は、開放端において S=1/2 の「端状態」スピン

AKLT 状態を含め、MPS の拡張として様々なテンソルを持つこと [K1990]、また、非局所的なストリング秩序

ネットワーク状態が議論されている[O2014]。このようなパラメータによって検出できる隠れた秩序を持つことテンソルネットワーク状態は高次元量子多体系に対する数[16]が見出された。端状態とストリング秩序は、一見全く値計算手法としても将来性が期待されており、また弦理論

関係のない独立な性質であるように見えるが、ケネディとで見出されたゲージ・重力対応(AdS/CFT 対応)を具体化

田崎は、これら 2 つが「隠れた対称性の破れ」の帰結としするもの[S2012]としても注目されている。

て理解できることを示した [30]。これらの研究により、ハルデン予想を支持するもう一つの理論的な証拠として、

AKLT 状態を含む新しい物質相として「ハルデン相」の概

リーブ・シュルツ・マティス(Lieb-Schultz-Mattis, LSM)

念が成立した。ただし、そのより深い意味は、以下に述べ

定理 [LSM1961]と、そのアフレック・リーブによる一般

るように 17 年後になってようやく解明されることになる。

化 [AL1984]があった。これによると、S=1/2 を含む半奇

なお、ハルデン相における端状態スピンは実験的に検出さ数スピン鎖では並進対称性等の対称性を保つ限り、ギャッ

れており[Y2005]、また非物理的に見えるストリング秩序

プレスになるか、並進対称性が自発的に破れて基底状態がも最近の冷却原子系の実験で検出されている [E2011]。

二重（以上）に縮退するか、のどちらかになる。すなわち、筆者は 1990 年の「第 35 回物性若手夏の学校」で田崎に単一の基底状態が励起ギャップを持つ可能性は排除される。

よる講義 [T1992]に出席したことをきっかけに、ケネ

LSM 定理は整数スピン鎖については何の制限も与えない

ディと田崎による S=1 スピン鎖の「隠れた対称性」を、ので、ハルデン予想そのものの証明にはならない。しかし、一般の整数スピンに拡張した。これが最初の出版論文

整数スピン鎖では単一の基底状態がゼロでない励起ギャッ[O1992]になった。このとき、元のハルデン予想では全てプを持つことがでることになり、確かにハルデン予想と矛の整数スピン鎖は等価に見えるが、隠れた対称性は奇数ス

盾しない。このように、半奇数スピンと整数スピンの違い

ピンの AKLT 状態でのみ自発的に破れており偶数スピンについて示唆的な結果が得られていた。再び筆者の個人的の場合には破れていないことも見出した。この当時はそのな話になるが、論文 [O1992]の中で部分的に磁化した意義がよくわからなかったのだが、17 年後にこの問題に

AKLT 状態の一般化を構成したが、この物理的な意義もそ戻ってきてポールマンらと共同で新しい視点から再び取りの当時は不明だった。後にポスドクとしてブリティッ組むことになった。その結果、グーとウェンの提案[54]に引シュ・コロンビア大学に着任した際にアフレックにこれをき続き、（奇数スピン鎖の）ハルデン相が「対称性によって説明したところ、LSM 定理との関連を指摘され、磁化を保 護 さ れ た ト ポ ロ ジ カ ル 相 (Symmetry-Protected

持つ状態に LSM 定理を一般化した [OYA1997]。この一Topological, SPT 相)」であることを示した [45, PBTO2012]。

般化された LSM 定理は、量子スピン系を多粒子系として

一方、偶数スピン鎖の「ハルデン相」は本質的には自明な捉えなおすと、粒子密度の格子との整合性を反映したもの

相であることがわかり、17 年前の疑問に一応の回答を与と解釈でき、フェルミ粒子系でよく知られたラッティンえることとなった。この経緯の詳細は[O2012]に記したが、ジャーの定理にも対応する [YOA1997]。粒子密度の整合

今回、ノーベル財団によるノーベル物理学賞の解説資料で性は次元に特に依存する概念ではないため、高次元にも拡5

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■

張できる方が自然である。技術的には 1 次元の LSM 定理

貢献したわけではない。今回のノーベル物理学賞が、旧ソの議論をそのまま用いることはできないが、ラフリンによ連のべレジンスキー（故人）[A1981]や甲元など、受賞者

るゲージ不変性の議論を応用することで高次元に拡張した以外による重要な科学的貢献が再認識される機会にもなれ議論を行うことができた[O2000, O2003]。これは、後にばと考えている。ささやかであるが、本記事がその一助に厳密な証明が与えられ[H2004, NS2007]、量子多体系に関なれば幸いである。本記事の執筆にあたって、多くの方にする基礎的な結果の一つとなっている。拡張された LSM

有益なコメントを頂いたことを感謝する。

定理は、トポロジカル相などの非自明な相を持つ模型を構成する際にも一つの指針になるため近年再び注目を集めており、時間反転対称性や映進対称性などの対称性を持つ系への拡張などが最近盛んに議論されている（たとえば、[PTAV2013,WPVZ2015]など）。
このように、ハルデン予想は、予想そのものの適用範囲にとどまらず、いくつもの新たな研究の潮流をつくりだし、
それらはいずれも現在の物性物理学・統計力学において非常に重要なものとなっている。

７．おわりに本記事では BKT 転移についての議論は他に譲ることとして省略するが、これはもちろん BKT 転移が重要でないという意味ではなく、おそらく今回の 3 つの主要な受賞業績

図 2: 2013 年 6 月コルシカ島カルジェーズのワークショップにて。

の中でも最も重要と言っても良いであろう。実際、BKT

左から 押川、ポアルブラン (D. Poilblanc)、ハルデン夫妻、

転移は、ハルデン予想を含む 1 次元量子スピン系の理解に

シュッフ (N. Schuch)も必要不可欠な概念となっている。他の 2 件についても、
もちろんその意義や波及効果の全てを紹介できたわけでは全くないが、本記事で紹介できた範囲でも、今回の受賞業
績が、新しい研究の潮流を作り出した、極めて波及効果の大きなものであったことをご理解頂けるかと思う。
近年のメディア等の下馬評では、トポロジカル絶縁体がノーベル賞の候補としてしばしば取り上げられていた。もちろん、トポロジカル絶縁体は重要な発見であり、工学的な応用への期待も含めて今後もノーベル物理学賞の有力な候補であり続けるだろう。しかし、ここで述べたように、
トポロジカル絶縁体の研究も、TKNN などの「トポロジカル相」「トポロジカル相転移」に関する先駆的な研究を基礎にしたものである。今回、ノーベル賞がまずこれらの先駆的かつ基礎的な業績に与えられることは、ノーベル賞委員会の高い見識を示したものと言えるのではないだろうか。
ノーベル賞に限らないことだが、特にノーベル賞については、その反響の大きさと受賞者が存命の 3 名までという制限にまつわって、さまざまな議論が起こることが多い。今

図3: 甲元眞人元所員（2015年3月 退職記念祝賀会にて）回の受賞者の選択についてはおそらく異論は少ないものとは思うが、もちろん受賞者のみが受賞対象となった業績に■ ■■ ■ ■■ ■物性研だより第 56 巻第 3 号

6

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[E2011] M. Endres, M. Cheneau, T. Fukuhara, C.

[23] F.D.M. Haldane, Nonlinear Field Theory of Large-

Weitenberg, P. Schauss, C. Gross, L. Mazza, M.C. Banuls,

Spin

L. Pollet, I. Bloch, S. Kuhr, Observation of Correlated

Heisenberg

Antiferromagnets:

Semiclassically

Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis

Particle-Hole

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[HOO2016] ハルデン予想は 1 次元量子スピン系の非線形

Dimensional Periodic Potential, Phys. Rev. Lett. 49, 405

シグマ模型による記述により見出されたというのが一般に(1982).

知られている（出版論文からたどることのできる）歴史だ[54] Z.-C. Gu and X.-G. Wen, Tensor-entanglement-

が、ハルデン本人の回想によると実際に着想に至った経緯

filtering renormalization approach and symmetry-

はこれとは異なるということである。これについては、以7

物性研だより第 56 巻第 3 号

Pairs

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下に出版予定である。

(II). Intuitive topological proof, Nucl. Phys., B193, 173

F. D. M. Haldane, H. Ooguri, M. Oshikawa, Round-Table(1981).

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Fermi Surface of a Kondo Lattice. Phys. Rev. Lett. 84,

Matrix-product-groundstates

3370 (2000).

forone-dimensional

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symmorphic crystals. Nature Phys. 9, 299 (2013)

es/2016/advanced.html (revised version)[S1983] B. Simon, Holonomy, the Quantum Adiabatic[NN1981] H. B. Nielsen and M. Ninomiya, Absence ofTheorem, and Berry’s Phase. Phys. Rev. Lett. 51, 2167

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Matrix

Product

StatesandProjected

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8

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[S2011b] たとえば、もともとは素粒子論の研究者であっ[YOA1997] M. Yamanaka, M. Oshikawa, and I. Affleck,

た元助手・助教の佐藤昌利がトポロジカル量子物性の分野

Nonperturbative Approach to Luttinger's Theorem inで活躍するようになるまでの経緯について：佐藤昌利「第One Dimension. Phys. Rev. Lett. 79, 1110 (1997).

8回物性研究所所長賞学 術奨励賞所感 」物性研だより
51(2), 19 (2011).
[S2012] B. Swingle, Entanglement renormalization andholography. Phys. Rev. D 86, 065007 (2012).
[T1992] この夏の学校での講義に基づく講義ノートが以下に収録されており、解説として今も価値が高い：田崎晴
明 「 講 義 ノ ー ト 量 子 ス ピ ン 系 の 理 論 Haldane Gap,
Disordered Ground States, Quantum Spin Liquid and All
That in Quantum Spin Systems」 物性研究 58(2), 121(1992).
[TOYNT2001] スピンのカイラル構造が有効的な強磁場を生む例として: Y. Taguchi, Y. Oohara, H. Yoshizawa, N.
Nagaosa, Y. Tokura, Spin Chirality, Berry Phase, andAnomalous Hall Effect in a Frustrated Ferromagnet,
Science 291, 2573 (2001).
[V1987] G. E. Volovik, Zeros in the fermion spectrum insuperfluid systems as diabolical points. JETP Lett. 46,
98 (1987).
[V2003] G. Vidal, Efficient Classical Simulation of
Slightly Entangled Quantum Computations. Phys. Rev.
Lett. 91, 147902 (2003).
[WPVZ2015] H. Watanabe, H. C. Po, A. Vishwanath, M.
P. Zaletel, Filling constraints for spin-orbit coupledinsulators in symmorphic and non-symmorphic crystals,
Proc. Natl. Acad. Sci. 112, 14551 (2015)[WTVS2011] X. Wan, A. M. Turner, A. Vishwanath, andS. Y. Savrasov, Topological semimetal and Fermi-arc
surface states in the electronic structure of pyrochlore
iridates. Phys. Rev. B 83, 205101 (2011).
[Y1998] 教科書として、たとえば 吉岡大二郎「量子ホール効果」岩波書店 新物理学選書 (1998).
[Y2005] 初めての実験的検出ではないが、印象的な実験の例として: M. Yoshida, K. Shiraki, S. Okubo, H. Ohta, T.
Ito, H. Takagi, M. Kaburagi, and Y. Ajiro, Energy
Structure of a Finite Haldane Chain in Y2BaNi0.96Mg0.04O5
Studied by High Field Electron Spin Resonance. Phys.
Rev. Lett. 95, 117202 (2005).

9

物性研だより第 56 巻第 3 号■■■ ■ ■ ■■