愛知県工業技術センター研究報告第３７号（２００１）

干渉計の参照平面誤差補正による高精度な平面度評価の一手法
伊藤俊治＊ １

山本昌治＊１

Ａ Ｍethod of Ｆlatness Ｅvaluation by Ｉnterferometerusing Ｃompensation of Ｒeference Ｆlatness Ｅrror
Shunji ITO and Masaharu YAMAMOTO

干渉計の参照平面誤差を補正することによって、干渉計を用いた平面度測定の不確かさを向上させる一手法を提案した。本手法は、光軸と垂直な平面内において、直交する２方向に試料平面をシフトさせ、シフト前後の合計３つの干渉計測定データ（以下、測定領域内のCCD画素位置における高さ座標値群を呼ぶ。）から、参照平面誤差を除去した。
評価の拡張不確かさはシミュレーションによって検討され、さらに試料としてオプチカルフラットを選択した測定実験において、タイプＡの不確かさが求められた。その結果、シミュレーションでは、評価の拡張不確かさは、試料平面の想定された形状偏差によって異なるが、段差などの特殊な形状を除けば5nm（k＝2）以下であった。また、測定実験におけるタイプＡの不確かさは干渉計本体の値（ 3nm（2σ））に匹敵した。

１．はじめに位相シフト法を用いたフィゾー干渉計による平面と実験によって求めたので報告する。

２．原理

度測定において、振動や大気の揺らぎを十分に管理し本手法は、シフトに伴うヨーイングやローリングのた条件下では、測定の不確かさは参照平面誤差を主と影響を除去する目的で、干渉計測定データの全体的なする。通常の参照平面誤差は 30nm以下であり、これと傾きとリフトを最小 2乗解として求めた後、前処理で同等の平面度を評価するには、参照平面誤差を除去す除去することを前提とする。また、基本的な測定法は、る必要がある。

光軸に垂直な平面内で直交する 2方向に試料をシフト

このための手段として、従来、参照平面のみを取りし、その前後で通常の測定を合計3回行う。そして、はずし、参照平面誤差を3面合わせ法に準ずる方法でこれらの干渉計測定データを前処理した後、参照平面決定した後に、干渉計に取り付ける方法１ ）が知られて誤差を除去するものである。

いた。しかし、この方法は他の二つの面を用いて、各２．１

干渉計測定データの傾きとリフトの求め方2面同士を向かい合わせて測定する必要があるので、

図１に、干渉計測定データの全体的な傾きとリフト参照平面の取り付け位置の正確さが要求され、姿勢のを最小2乗解として求める方法を示す。図中、光軸は設定に手間がかかるなどの問題があった。

ｚであり、シフトする方向の軸はｘ及びｙである。同

一方、試料を光軸と垂直な平面内でシフトさせる方

図において、任意の平面を下式で表す。

法が、最近報告されている。筆者らは、光軸と垂直な

ｚ＝Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ（１）

平面内において試料を微小角だけ回転させる方法と、

干 渉計測 定結 果
干渉計測定データ一方向にシフトさせる方法を併用する手段を提示し最 小２乗 平面２）た。また、３方向にシフトさせた合計四つの測定かｚＢ

ら参照平面誤差を補正する方法３ ）4) も提案されている。
しかし、これらの方法は、シフトに伴うヨーイングやローリングの影響を考慮していないか 、考慮はしても取り除くには至っていない。
本稿では、完全にはこれらの影響を除去しきれない

ＡｙＣが、実質上ほとんど無視でき、かつ測定数が従来法より少ない手法を提案する。そして、その拡張不確かさとタイプＡの不確かさを、それぞれシミュレーション
*1

機械電子部

Ｏ

図１ｘ

最小２乗平面愛知県工業技術センター研究報告
干渉計測定データＺ（ｘ，ｙ）と任意の平面との差第３７号（２００１）

ｚ
参照 面 のの2乗をεとすると、下式が成り立つ。
2ε＝｛Ｚ（ｘ，ｙ）−Ａｘ−Ｂｙ−Ｃ｝

断 面 曲 線 Ｓ r(x)（２）

そして、この平面がＺ（ｘ，ｙ）の最小２乗平面であるためには次を満足すればよい。
∂ε∂ε∂ε＝＝＝０（３）∂Ａ∂Ｂ∂Ｃ
上記の条件から、次の方程式（データ点数3行2列の例）が成立する。
y1 x1 1z11
y1 x2 1Ｂz12y2 x1 1Ａy2 x2 1

Ｃ=z 21

真 の断 面曲 線Ｓ (x)Ｏｘ
測定 され た断 面 曲 線 Ｓ 1(x)（ａ）シフト前ｚΔ

（４）

z22

y3 x1 1z31

y3 x2 1 〜Ｄz32

参照面 の断 面 曲 線 Ｓ r( x)

真の断面曲線Ｓ(x+Δ )

Ｏ
Δ〜Ｆ

測 定された断 面 曲 線 Ｓ2(x)ｘ

ここで、ｘｊ はｊ番目のｘ座標値、ｙｉ はｉ番目のy座標値、ｚｉｊは（ｘｊ，ｙｉ）における干渉計測定デー（ｂ）シフト後タのｚ座標値である。従って、未知数Ａ，Ｂ，Ｃの最小2乗解は次の行列演算から求まる。

図２

基本原理

Ｂ
Ａ

＝（ＤＴ Ｄ） −１ ＤＴ Ｆ

（５）

Ｓ２（ｘ）−Ｓ １（ｘ）
＝ｇ １（４ｘ ３Δ＋６ｘ ２Δ ２＋４ｘΔ ３＋Δ４ ）Ｃ
ここでＴは転置を表す。さらに、この傾きとリフトを＋ｇ２ （３ｘ２ Δ＋３ｘΔ ２＋Δ ３）

除去した干渉計測定データＺ’（ｘ，ｙ）は下式として＋ｇ３ （２ｘΔ＋Δ２ ）定まる。

＋ｇ４ Δ

Ｚ’（ｘ，ｙ）＝Ｚ（ｘ，ｙ）−Ａｘ−Ｂｙ−Ｃ
２．２

ここで、λを次式で定義する。
（６）

基本原理

λ１（Δ，ｘ）＝４ｘ３ Δ＋６ｘ２ Δ ２＋４ｘΔ ３＋Δ ４
λ２ （Δ， ｘ）＝３ｘ ２Δ＋３ｘΔ ２ ＋Δ ３

図２は参照平面誤差を分離する基本原理図である。図２（ａ）はｘ方向シフト前のｘ−ｚ断面を示す。図中、Ｓ（ｘ）は試料平面の真の断面曲線であり、Ｓｒ（ｘ）とＳ １（ｘ）は、それぞれ参照平面の断面曲線と干渉

λ３ （Δ， ｘ）＝２ｘΔ＋Δ ２
λ４ （Δ， ｘ）＝Δ
またＬを評価長さとし、行列Ｈを以下のように定める。
λ １(Δ，0) λ ２(Δ，0) λ３ (Δ，0) λ４(Δ，0)

計測定データの断面曲線を表す。ここでは、下式が成立する。
Ｓ１（ｘ）＝Ｓ（ｘ）−Ｓｒ（ｘ）

（11）

････

Ｈ＝ λ １(Δ, ｘ) λ ２(Δ,ｘ) λ３ (Δ,ｘ) λ ４(Δ,ｘ)
（７）

････

図２（ｂ）は試料をｘ負方 向にΔだけシフトした様

λ １(Δ，L) λ ２(Δ，L) λ３ (Δ，L) λ４(Δ，L)

子を示す。同図において干渉計測定データの断面曲線

以上の関係から、多項式の係数は次の行列演算によるＳ２（ｘ）を下式で定義する。

最小2乗法から求まる。

Ｓ２（ｘ）＝Ｓ（ｘ＋Δ）−Ｓｒ（ｘ）（８）

また、式（７）、（８）から、下式が成り立つ。
Ｓ２(ｘ)−Ｓ１(ｘ)＝Ｓ(ｘ＋Δ)−Ｓ(ｘ)ｇ１ｇ２Ｓ ２（0）−Ｓ １（0）Ｔ＝（Ｈ Ｈ）−１ＨＴ

Ｓ ２（x）−Ｓ １（x） (12)（９）

ｇ３・・・・・・・・・・・・・・

今、試料平面の真の断面曲線を簡単のため４次の多項ｇ４

Ｓ ２（L）−Ｓ １（L）

式で下式のように近似できると仮定する。

ここでは4次の例を示したが、2項定理を用いてｎ次

Ｓ（ｘ）＝ｇ １ｘ ４＋ｇ２ ｘ３ ＋ｇ ３ｘ ２＋ｇ４ ｘ＋ｇ ５の多項式に拡張することは容易である。次に、多項式（10）の最適な次数の決定方法について述べる。今、測定断式（１０）を式（９）へ代入することによって次式を

面曲線Ｓ1 (x)、Ｓ2 (x)には、偶然誤差ε１ 、ε ２が混入得る。

しているから、次式が成り立つ。

愛知県工業技術センター研究報告第３７号（２００１）

ＺｙＶij
ｉ＝４Ｕij

回転放物面複素周期関数

回転三角関数１段差ｉ＝３ｉ＝２ｘｉ＝１ｊ＝２ｊ ＝３ｊ＝４

図３ 定数の求め方

図４ 試料の真の形状偏差
Ｓ１ （ｘ）＝Ｓ（ｘ）−Ｓｒ（ｘ）＋ε １30

Ｓ２ （ｘ）＝Ｓ（ｘ＋Δ）−Ｓｒ（ｘ）＋ε ２25

従って、次式の左辺を最小化するように多項式の次15ｎｍ数を決定するものである。

標準不確
かさ成分
評価関数
値 E20ｎｍｊ＝１105

ε２−ε１ ＝Ｓ ２（ｘ）−Ｓ１ （ｘ）

00−Ｓ（ｘ＋Δ）＋Ｓ（ｘ）

40040

複素周期関数60

同様の計算をｙ方向の断面曲線群にも適用し、多項式502540

203015ｎｍ（13）ｎｍ小化する次数を求める。

20Ｓ（ｙ）群を求める。ちなみに、ｘ、ｙ方向の真の断00

面曲線群の次数は、それぞれの方向ごとで共通とした。
定数の決定

式（１１）の計算過程で多項式の定数ｇ５は消去されるの105100２．３20多項式の次数回転放物面

具体的には、評価関数Ｅを下式のように定め、Ｅを最Ｅ＝｛ΣΣ（ε ２−ε １） ２／Ｌ２ ｝0.5102030多項式の次数標準不確
かさ成分
評価関数
値 Eｘ
評価関数
値 Eｙ706050403020100

図５2004020多項式の次数多項式の次数

回転三角関数１段差多項式の次数と近似不確かさ成分の関係

１ ０ ０ −１ ０ ０ｇ１5Ｖ１１−Ｕ１１

測定領域内のすべての画素位置において、ｘ、ｙ方向の断１ ０ ０ ０ −１ ０ｇ25

Ｖ１２−Ｕ１２

面曲線ついてｚ座標値の差を求め、その2乗和が最小にな

１ ０ ０ ０ ０ −１

ｇ３5

＝ Ｖ１３−Ｕ１３るように各々の断面曲線のｚ切片を求める。このｚ切片が多０ １ ０ −１ ０ ０

ｇ’１5Ｖ２１−Ｕ２１項式の定数項ｇｉ５、ｇ’ｊ５になる。この概念図を図３に示す。

０ １ ０ ０ −１ ０ｇ’25

Ｖ２２−Ｕ２２０ １ ０ ０ ０ −１ｇ’３5

で、ｇ５を求める目的で、次の操作を演算で行う。すなわち、図において記号は以下のとおりである。

Ｖ２３−Ｕ２３ｉ：画素のｙ方向配列番号

０ ０ １ −１ ０ ０

Ｖ３１−Ｕ３１ｊ：画素のｘ方向配列番号

０ ０ １ ０ −１ ０

Ｖ３２−Ｕ３２０ ０ １ ０ ０ −１

Ｖ３３−Ｕ３３

Ｕｉｊ：ｘ方向断面曲線のｉｊ画素におけるｚ座標値
Ｖｉｊ：ｙ方向断面曲線のｉｊ画素におけるｚ座標値
定数の数学的な求め方を以下に記述する。まず、各画素におけるｚ方向の合致誤差εｉｊは下式となる。
εｉｊ＝Ｕｉｊ−Ｖｉｊ＋ｇｉ５−ｇ’ｊ５
この誤差の２乗和をWとすると、Wを最小にする条件は下40式(12)と同様の行列演算から多項式の定数gi5、g’j5 が求まる。

３．シミュレーション
本手法による評価の拡張不確かさを検討する目的
で、以下のシミュレーションを行った。
３．１多項式の次数と近似標準不確かさ成分の関係式となる。

試料平面の真の形状偏差を 図４とし、形状偏差のＰ∂W∂ｇｉ５

Ｖ値をそれぞれ30nmと定める一方、参照平面誤差を幾∂W＝＝０∂ｇ’ｊ５上の条件から、次式（データ点数3行3列の例）が導かれる。

何学的な平面と仮定する。このときシフト量を測定領域辺長さの10％としたうえで，本手法の適用をシミュレーションした。そしてもともとの真の形状偏差と計算結果との合致度を標準不確かさ成分として求めた。

愛知県工業技術センター研究報告

参照平面の形状偏差1009080706050403020100

標準不確かさ成分 ｎｍ(nm)

真の形状偏差第３７号（２００１）

傾き有り
リフト有り
ＬＳにより傾き除去
ＬＳによりリフト除去

02040

傾き ｎｍ／100p，リフト ｎｍ角関数１を選択し、参照平面誤差として複素周期関数を選んだ場合のシミュレーション結果を図６ に 示 す 。
同図において左下の数値は ＰＶ値を示しており、良好に参照平面誤差が除去されていることが分かる。
３．２

標準不確かさ成分 ｎ(nm)ｍ

また、試料平面の真の形状偏差として図４の回転三差数
関段

２１角

図8えば24次で標準不確かさ成分が大きいのは、行列Ｈのる除算が生じた結果と考えられる。

三転回

複妥当であることが明らかになった。同図において、例
正則性が脅かされ、逆行列の計算時に零に近い値によ関

関期素周る。従って、Ｅを最小とする次数が、最も真の形状偏差をよく近似できることが示され、次数決定の方法が数数も併記しており、両者には強い相関があることが分か

5%
10%
15%

転多項式の次数とこの標準不確かさ成分との関係を図５に示す。図中には、式(13)で求まる評価関数値Ｅシフト量回

シミュレーション結果

109876543210角

図6形状偏差（計算結果）

傾きとリフトの影響

三シフト前測定データ(n m )
標準不確かさ成分 ｎｍ

図7

シフト量の影響3.532.521.510.50複素周期関数
回転三角関数１0 6 10 14 18 22
ランダムノイズ ＰＶ ｎｍ

シフト時のヨーイングとローリングに伴う標準不確かさ成分

図9

本手法では、干渉計測定データを前処理することにランダムノイズの影響よって、試料をシフトする際に生ずるヨーイングとローリングの影響を除去している。仮に、生の干渉計測シフト量を測定領域辺長さの 5，10，15％としたと定データに傾きとリフト量が混入しており、前処理をきの標準不確かさ成分を図８に示す。図中、回転三角施さなかった場合に、どの程度の標準不確かさ成分が関数2は1山の正弦波を原点中心に回転させた形状偏生ずるかを図７に示す。ちなみにシフト量は測定領域差である。同図から、試料平面の真の形状偏差が異な辺長さの10％である。同図から、傾きあるいはリフトると最適なシフト量も相違するが、これらの範囲ではの影響は大変大きいことが分かる。また、同図には示大差ないことが分かる。

さなかったが、干渉計測定データに傾きがある場合、３．４

ランダムノイズに伴う標準不確かさ成分

本測定結果には２次成分（放物面）が現れ、シフト前シフト量を測定領域辺長さの10％とし、ランダムノイズを後で干渉計測定データがリフトする場合には１次成三つの干渉計測定データに混入させた場合の標準不確分（傾き）が生ずることが明らかになった。干渉計測

かさ成分を図９に示す。同図から、ランダムノイズのＰＶ値定データに２．１節の前処理を施し、これらの影響をが大きいほど、標準不確かさ成分は劣化することが分かる。

除去すると、図７に示すように標準不確かさ成分は大

ただし、実際の干渉計のランダムノイズ（６nmＰＶ）では、式幅に低減することが分かる。

（１２）の最小2乗法の効果から、その影響は0.2nm程度と３．３小さいことが示された。

シフト量の違いに伴う標準不確かさ成分

第３７号（２００１）

図12
図10 干渉縞の影響

０度

試料平面PV ｎｍ
タイプAの不確かさ ｎｍ
参照平面

９０度

参照平面

9.88nm

ＰＶ：５回測定の平均
タイプAの不確かさ：
５回の繰り返し９０度：試料を９０度回転
０度＋９０度：１０回測定
０度：試料を０度回転

試料平面2015ｎｍ 10（nm)50参照平面愛知県工業技術センター研究報告

０度＋９０度

ＰＶ値とタイプＡの不確かさ

ト量を測定領域辺長さ（30mm）の10％とした実験を行った。光軸に対して垂直な面内で、同一試料の０，90度設置の２種類をそれぞれ５回ずつ繰り返し測定した。本手法で求めた試料平面の形状偏差（画素数60×60）を干渉計測定データから減算することによって参19nm

15nm

１５ｎｍ

照平面誤差を求め、図11に示す。同図(a)は０度設置であり、同図(b)は90度設置の場合である。使用した

１９ｎｍ（ａ）０度設置

図11（ｂ）９０度設置

実験で求めた参照平面誤差

参照平面は同じだから、(a)、（b）の結果が合致するほど不確かさが少ないといえる。図11において、両者はよく合致している。

３．５

干渉縞濃淡に伴う標準不確かさ成分

図12に本手法で分離された試料平面と参照平面のＰＶ

図10に、故意に試料を傾けて設置し、干渉縞を4本発値とタイプＡの不確かさを示す。同図から、本手法の繰り生させた状態で獲得した干渉計測定データを示す。同

返し実験におけるタイプＡの不確かさは3nm程度であり、図から、干渉縞の濃淡による測定誤差が干渉縞１本に干渉計本体の値に匹敵することが分かった。また、設置方つき、二つの筋（深さ3nm 程度）として、干渉計測定位によって試料の測定領域が異なるので、0度と90度設置データに生ずることが分かる。これから、もし干渉縞の繰り返し測定では、タイプＢの近似不確かさが相違する。

を0.5本以内に傾き調節すればＰＶ値3nm程度の放物

従って、両者を合計した10回の繰り返し測定から統計的処面が干渉計測定データに現れることが予想される。本理で求めた不確かさは、純粋にタイプＡの不確かさではな

稿では示さないが、この干渉縞の濃淡の影響は、シフく、やや大きめの5nmになった。

ト量10％の本手法による評価結果に、ＰＶ値 4nm程度５．結びの3次成分として現れることがシミュレーションによ

本手法は、３回の干渉計測定データから参照平面誤り確かめられた。

差を除去し、多項式で真の形状偏差を近似する方法で

３． ６ 拡 張 不 確 か さある。この方法を、そのまま適用すると、 試料のシフ3.1節から 3.5節においてシフト量を測定領域辺長さのトに伴うヨーイングとローリングによって、評価の不10％としてシミュレーションすると、多項式による近似、シフ確かさが大変大きくなるという欠点がある。しかし干ト時の運動誤差( 零から20nm,20nm/100pまでの増分値)、

渉計測定データから、最小 2乗解としての傾きとリフランダムノイズ（零から6nmＰＶまでの増分値）、干渉縞の濃トを前処理で除去することによって、評価の拡張不確

淡（4nmＰＶ）に関する標準不確かさ成分は、それぞれ2.3、かさを5nm（k＝2）まで低減でき、参照平面誤差を良0.3、0.2、1ｎｍと見積もられるから誤差伝搬の法則で求ま好に除去できるという事実がシミュレーションからる総合的な合成標準不確かさは次式から2.5nmと定まる。

明らかになった。

（2.32＋0.3２＋0.2２＋1２）0.5＝2.5 （nm）

参考文献

ただし、試料平面の真の形状偏差として、段差などの特殊

1) G.Schulz and J.Schwider：Appl.Opt,6(6),1077 (1967).

な形状は除いた。また、ｋ＝２としたときの拡張不確かさは２2) 伊藤、日名地、堀内、成清：精密工学会誌､58(5)、×2.5nm＝５nmになった。参照平面誤差の大きさを30ｎｍ

883(1992).

程度と考えれば、この値はかなり良好であるといえる。

3) 清野、孫、高：精密工学会誌、64(8)、1137(1998)．

４．実験4) 清野、孫、強、高：1999度精密工学会秋期論文集、試料として、オプチカルフラットを選択して、シフ457(1999)．