特集「金融リスクの統計解析」［研究詳解］

統計数理（2011）
第 59 巻 第 1 号 89–103
c 2011 統計数理研究所


ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討
加藤 宏典

†

（受付 2010 年 9 月 30 日；改訂 2011 年 4 月 11 日；採択 5 月 23 日）

要旨2008 年のサブプライム危機時にヘッジファンドは想定以上の大きな損失を記録し，ヘッジファンドへの投資家もモデルから計測したリスク量を大きく超える損失を被った．本論文では，サブプライム危機前後のヘッジファンドデータを利用し，金融機関で多く利用される損失に i.i.d. を仮定した損失予測モデルから算出したバリューアットリスクと期待ショートフォー
ルのバックテストを行い，ヘッジファンドの投資戦略ごとに結果をまとめた．ヘッジファンドの損失分布としては，正規分布の他に，正規混合分布等のヘッジファンドのリターンの負の歪度や大きな尖度という非正規性が表現可能な確率分布を利用した．

キーワード： ヘッジファンド，リスク管理，バリューアットリスク，期待ショート
フォール．
1.

始めに

ヘッジファンドは 2008 年にサブプライム危機の影響で過去最大のドローダウンを記録した．
しかし，2009 年は，株式（MSCI World）
が 2008 年の大きなドローダウンから回復していないのに対して，ヘッジファンドは高いパフォーマンスを上げ 2008 年の大きなドローダウンから概ね回復した．
表 1 は，投資戦略ごとのヘッジファンド・インデックス及び株式，債券インデックスの年率
リターン，年率ボラティリティ，最大ドローダウン，歪度，超過尖度及び，2007 年 ∼ 2009 年の YTD（年初来リターン）の一覧である．
2008 年のヘッジファンド全体のインデックスである HFRI Weighted Composite を見ると−19.03％下落している．戦略ごとに見ると，株式マーケットへのエクスポージャを持つ Equity
Hedge 戦略がもっとも下落している．また，マーケットの流動性が低下し，市場価格と理論価
格との乖離が広がった影響を受け，Relative Value 戦略も過去最大の大きな損失を記録した．しかし，マーケットの上昇・下落を予測し，ロング
（買い）
・ショート
（売り）ポジションをダイナ
ミックに切り替える Macro 戦略は 2008 年においてもプラスのリターンを記録した． 2009 年のヘッジファンドのパフォーマンスを見ると 2008 年に大きな損失を記録した戦略は，2009 年には良好なパフォーマンスとなっている． 2008 年に多くの機関投資家は，ヘッジファンドのリス
ク管理が機能せず想定外のドローダウンのために，ヘッジファンドを解約した．また，そのために 2009 年の良好なパフォーマンスを享受できなかった投資家も多くあった．これは，金融†総合研究大学院大学 複合科学研究科統計科学専攻：〒190–8562 東京都立川市緑町 10–3

90

統計数理

第 59 巻

第 1 号 2011

表 1. インデックス統計量（1990/1 ∼ 2009/12）．

危機後にヘッジファンドを解約したり，ヘッジファンドへの投資が見送られたために，金融危
機後のヘッジファンドの高いリターンを享受できなかったことが原因であると考えられる．本
論文では，2008 年，2009 年のサブプライム危機前後の期間を含むヘッジファンドのパフォーマ
ンスデータを利用し，i.i.d. を仮定したヘッジファンドのリスク計測モデルの実証分析を行う．
本論文の次節以降の構成は次の通りである．2 節では，ヘッジファンドのリターンの正規性，
ランダムウォーク検定を行う．3 節では，VaR 及び ES とそれぞれの検定方法及び，本論文で検証を行う損失予測モデルの定義を記述する． 4 節では，3 節で定義した損失予測モデルを利用した VaR，ES の実証分析を行い，ヘッジファンドの投資戦略ごとに実証結果をまとめる．
本論文では，ヘッジファンドの月次リターンは，HFR のヘッジファンドデータベースの 2009年 3 月までのデータを利用した．他のマーケットデータは，Bloomberg から取得したものを利用した．
ヘッジファンド投資戦略の概説）のヘッジファンドデータベースの投資戦略に関本項では，HFR（Hedge Fund Research，Inc．
して記述する．HFR のヘッジファンドデータベースでは，ヘッジファンドの投資戦略を Equity
Hedge，Macro，Relative Value，Event-driven の 4 つの主戦略に分類する．以下では，それぞれの戦略に関しての概説を行う．
Equity Hedge 戦略
主に株式及びそのデリバティブのロング及びショートポジションを持つ．株式市場への一定のエクスポージャを持つファンドが多く，そのリターンは，株式インデックスで多くの部分が説明される．
Macro 戦略
流動性が高い資産に投資をし，マーケットの上昇・下落の予測に基づき投資判断を行う．他の戦略と比較をしても，ロング・ショートポジションを日々ダイナミックに切り替える．そのため，マーケットインデックス等を月次リターンに線形回帰するモデルの説明力は他の戦略と比較して低い．
Relative Value 戦略
リターンの相関の高い資産セットのうち，割安な資産を買い，割高な資産を売るマーケット
ニュートラル戦略である．流動性が理論価格と市場価格の差の原因となるため，流動性リスクをとる傾向があり，金融危機などの流動性リスクが顕在化する際に大きなドローダウンを記録する．リターンに負の歪度や大きな尖度という非正規性や自己相関が見られるという特徴がある．
Event-driven 戦略
企業のコーポレートアクション（買収，合併，増資，企業再生等）に伴う株価や債券価格の変ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

91

動により利益を得る．
2.

パフォーマンス特性

Malkiel and Sara（2005）
は，ヘッジファンドのリターンは他のアセット・クラスと比較すると負の歪度と大きな尖度を持ち非正規性を持つことを示した．また，Getmanky et al.（2004）
やMiura et al.（2008）
では，流動性の低いアセットを保有するヘッジファンドのリターンには，正の系列相関が観測されることを示している．この章では，先行研究の結果を検証するために，個々のヘッジファンドの月次リターンの正規性の検定とランダムウォーク検定を行う．検証を行う期間は，1999 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月の 10 年間，1994 年 4 月 ∼ 2004 年 3 月の 5 年間，2004
年 4 月 ∼ 2009 年 3 月の 5 年間と 2002 年 1 月 ∼ 2006 年 12 月の 5 年間とし，各検証期間ですべての月の月次データが報告されているヘッジファンドを検証の対象とする．1 つ目の期間（1999
年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）は，サブプライム危機の期間を含む．2 つ目の期間は，LTCM 危機後の期間を含む．この期間にヘッジファンドは良好なパフォーマンスを記録した．4 つ目の期間は，LTCM 危機，サブプライム危機前後の期間を含まず，ヘッジファンドのパフォーマンスが他の期間と比較すると安定していた期間である．それぞれの期間での検定結果の比較を行い，ヘッジファンドの投資戦略ごとに特徴があるかの分析を行う．
2.1 正規性，ランダムウォーク検定
個々のヘッジファンドに対して，正規性，ランダムウォーク検定を行う．正規性の検定としては，Shapiro-Wilk 検定，Jarque Bera 検定を行う．両検定とも帰無仮説は以下の通りである．
検定方法は，蓑谷
（2007）を参照した．
(2.1)

H0 : Xi ∼ Φ(µ, σ 2 ) ,Φ(µ, σ 2 ) : 平均 µ，分散 σ 2 の正規分布．

Xt は，ヘッジファンドの月次リターンである．
ランダム・ウォークの検定として Ljung-Box 検定，Breusch Pagan 検定を行う．
Ljung-Box 検定は，以下の検定を行う． p には，1 と 5 を指定し，ヘッジファンドのリター
ンに自己相関，系列相関があるかの検定を行う．
Xt =

p


ρi Xt−1 + εt ,

i=1

(2.2)

εt ∼ Φ(0, σs2 ) ,H0 : ρ1 = · · · = ρp = 0 ,H1 : ∀ρi = 0 ,i = 1, . . . , p .

Breusch Pagan 検定では，以下の通りにヘッジファンドのリターンに不均一分散が見られる
かの検定を行う．帰無仮説が棄却される場合は，不均一分散が見られることとなる．
Xt = Xt−1 + εt ,σt2 = g(α0 + α1 Xt−1 ) ,(2.3)

σt2 : εt の分散 ，H0 : α1 = 0 ,H1 : α1 = 0 .

統計数理

92

第 59 巻

第 1 号 2011

2.2 検定結果
表 2 ∼ 表 5 は，それぞれ検定期間の戦略別の検定結果の一覧である．表の項目の「ファンド数」は，各戦略に含まれるヘッジファンドの件数である．「平均」，「標準偏差」，「歪度」，「超過尖度」，「自己相関」は，それぞれ各ファンドの月次リターンの平均，標準偏差，歪度，超過尖度，自己相関係数の戦略ごとの平均値である．“Rejected Ratio” は，各検定において帰無仮説が有意水準 95％で棄却されたヘッジファンドの比率である．
平均が最も高い期間は，1994 年 4 月 ∼ 2004 年 3 月であった．これは，LTCM 危機の期間を含
まず，LTCM 危機後のヘッジファンドのパフォーマンスが高い期間を含んでいるためと考えられる．また，サブプライム危機を含む 5 年間
（2004 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）
においても平均はすべての戦略でプラスのリターンとなっていることが分かった．標準偏差を見ると 2002 年 1 月 ∼表 2.

戦略別検定結果（1999/4 ∼ 2009/3）．

表 3.

戦略別検定結果（1994/4 ∼ 2004/3）．

表 4.

戦略別検定結果（2004/4 ∼ 2009/3）．

表 5.

戦略別検定結果（2002/1 ∼ 2006/12）．

ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

93

2006 年 12 月の期間では，どの戦略においてもサブプライム危機を含む期間よりも標準偏差が低く安定したリターンを上げていたことが分かる．歪度を見ると，サブプライム危機を含む期間（1994 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月，2004 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）
では，特に Relative Value 戦略で大きな負の歪度が出ているが，サブプライム危機を含まない期間（1994 年 ∼ 2004 年 3 月，2002 年
1 月 ∼ 2006 年 12 月）においては，Relative Value 戦略においても歪度はゼロに近く，先行研究と異なる結果となった．このことから，LTCM 危機，サブプライム危機時の大きな損失が同戦略の大きな歪度の一因であると考えられる．自己相関係数は，他の統計量とは異なり，サブプ
ライム危機を含む期間と含まない期間とで値があまり変わらず，すべての検証期間で Relative
Value，Event-driven，Equity Hedge，Macro の順に大きな値をとった．
正規性の検定である Shapiro Wilk 検定，Jarque Bera 検定の結果を見ると，すべての戦略でサブプライム危機を含む期間が含まない期間よりも正規性が棄却されたファンドの比率が高かった．Relative Value 戦略，Event-driven 戦略は，サブプライム危機を含む期間ではほとんどのヘッジファンドの正規性が棄却される結果となった．逆に Macro 戦略は，他の戦略と比較をす
ると正規性が棄却されるヘッジファンドが少なかった．
次に系列相関の検定である Ljung Box 検定の結果を見ると，この検定においてもサブプライ
ム危機を含む期間の方が，含まない期間よりも系列相関が見られるファンドの比率が高かった．
また，Relative Value 戦略は他の戦略と比較して系列相関が見られるヘッジファンドの比率が高い．一方で Macro 戦略はどの期間においても系列相関が見られるヘッジファンドが少なかった．流動性の低い資産に投資をし，流動性リスクをとることでリターンを得るヘッジファンドを多く含む Relative Value 戦略に系列相関が見られ，流動性が高い資産に投資を行う Macro 戦
略に系列相関が見られなかったという結果は，Getmanky et al.（2004）の結果と一致した．
Breusch Pagan 検定の結果を見ると，この検定においてもサブプライム危機を含む期間の方が，含まない期間よりも帰無仮説が棄却されるヘッジファンドの比率が高く，不均一分散が見られるという結果となった．これは，サブプライム危機時にマーケットのボラティリティが上昇するため，ヘッジファンドのボラティリティも上昇していることが原因であると考えられる．
3.

バリューアットリスク，期待ショートフォールとそれぞれの検定方法（以下 ES）の定義と 4
本節では，バリューアットリスク（以下 VaR）と期待ショートフォール
節で行う VaR，ES の計測モデル及びバックテスト手法に関しての記述を行う．本節での VaR，
ES の定義及びバックテストの手法は，McNeil et al.（2005）
や山下（2000）を参照した．
3.1 バリューアットリスク（VaR）とは
VaR は金融機関で最も広く利用されているリスク尺度である．VaR とは，保有資産もしくは保有ポートフォリオに対して，ある期間後に，ある一定の確率で想定される最大損失額あるいは最大損失率のことである．
VaR の数学的定義は次の通りとなる．ある α（α は 0 から 1 の任意の値）が与えられたとき，当該資産に対する信頼水準 α の VaR は，損失 L が l を超える確率が 1 − α 以下となる最小の lの値と定義される．
(3.1)

VaRα ≡ inf{l ∈ R : P (L > l) ≤ 1 − α} = inf{l ∈ R : FL (l) ≥ α} .

L の分布を損失分布と呼び，損失分布は期間中一定であると仮定される．α の典型的な値は0.95 もしくは 0.99 である．本論文では，α = 0.95 として VaR 計測モデルの検証を行う．
3.2 期待ショートフォール（ES）とはES とは，将来のある保有期間後に VaR を超える損失が発生するという条件の下での損失の

統計数理

94

第 59 巻

第 1 号 2011

期待値である．テイル部分のリスクを捉えられることや劣加法性を満たすことなどから，実務において多くのリスクマネージャーが VaR よりも ES をより好んでいる．
ES の定義を行うために，一般化逆関数と分位関数を以下のように定義する．
（i）増加関数 T : R → R に対して，T の一般化逆関数は T ← (y) ≡ inf{x ∈ R : T (x) ≥ y} で定義される．ただし，慣行により空集合の加減は ∞ とする．
（ii）分布関数 F に対して，その一般化逆関数 F ← を F の分位関数という． α ∈ (0, 1) に対して，F の α 分位点はqα ≡ F ← (α) = inf{x ∈ R : F (x) ≥ α}(3.2)

で与えられる．
式（3.2）を利用すると信頼水準 α の ES は，以下のように定義される．
損失 L が E(|L|) < ∞ を満たし，分布関数 FL を持つとき，
 1
 1
1
1
(3.3)
ESα ≡
qu (FL )du =VaRu (L)du
1−α α
1−α α
ただし，qu (FL ) = FL← (u) は FL の分位関数である．
本論文では，VaR と同様に，α=0.95 として ES 計測モデルの検証を行った．
3.3 VaR，ES 計測モデル
本項では，4 章で実証分析を行う VaR 及び ES 計測モデルの定義を記述する． VaR，ES の計測モデルとして，デルタ法，Cornish Fishser 法，ヒストリカル法，及びモンテカルロ法を使用する．本節で利用したヘッジファンドの損失予測モデルは，ヘッジファンドのリターンに見られるような非正規性や系列相関がある資産のポートフォリオ構築に関して記述された Hakamada
et al.（2007）やヘッジファンドリターンの確率分布の複製手法を提案している Takahashi andを参考にした．
Yamamoto（2009, 2010）
デルタ法による VaR，ES
以下の通りに VaR 及び ES の計測を行う．
VaRiα = −µi + σi Φ−1 (α) ,(3.4)

ESiα = −µi + σiφ(Φ−1 (α)),
1−αµi : リターンの平均，σi : リターンの標準偏差．

ヒストリカル法による VaR，ES
以下の通りに VaR 及び ES の計測を行う．
k は，T と α を与えた際に以下の通りに定まる整数である．

(3.5)

k
k−1
<1 − α≤ ,TT ik−1 − Lik ){T (1 − α) − (k − 1)} ,Histrical VaRiα = Lik−1 − (Lk−1  i Ltk−1
Lik ,+ 1−
Histrical ESiα = t=1(1 − α)T(1 − α)TLit : 第 t 期のファンド i の損失，
 i1 , . . . ,LiT } : {Li1 , . . . , LiT } を降順に並べたものとする．
{L

ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

95

Cornish Fisher 法による VaR，ES
以下は，Zangari（1996）を参照した．
q = Φ−1 (1 − α) ,(q 3 − 3q)Ki(2q 3 − 5q)Si2(q 2 − 1)Si
+
−
,
6
24
36
i
i
Cornish Fisher VaRα = −µi − σi Zcf ,
i
Zcf
=q +

(3.6)
Cornish Fisher ESiα = −µi − σi

i
φ(Zcf
)
,
i
φ(Zcf
)

Si : ファンド i のリターンの歪度 ，Ki : ファンド i のリターンの超過尖度 ．

図 1 は，Macro 戦略のヘッジファンドの月次リターンの平均値のヒストグラムと Cornish
Fisher 展開を行った場合の密度関数を表示した図である．
正規混合分布を利用したモンテカルロ法による VaR，ES
以下は，正規混合分布の定義である．
X∼
(3.7)

p


πj Φ(µj , σj2 ) ,

j=1
p


πj = 1 .

j=1

パラメータ推定は，EM アルゴリズムにより行う．レジーム数 p は，Papageorgiou et al.（2008）の適合度検定に基づいて選択する．推定した分布を利用し，モンテカルロ法により VaR 及びES を算出する．図 2 は，Relative Value 戦略のヒストグラムと正規混合分布の密度関数である．

図 1. Cornish-Fisher 密度関数（Macro 戦略）．

統計数理

96

図 2.

第 59 巻

第 1 号 2011

正規混合分布密度関数（p = 5）
（Relative Value 戦略）．

Johnson 分布を利用したモンテカルロ法による VaR，ES
Johnson 分布は，非正規性を持つヘッジファンドの分布の推定手法として Kaplan and Knowles（2004）や Perez（2004）で利用されている．以下は，その定義である．

(3.8)

F (X) = Φ(Z) ,X − ξ ,
Z =γ + δ ·g
λX : ヘッジファンドリターン ．

関数 g は，以下の何れかを利用する．
⎧⎨ ln(y + y 2 + 1) , SU unbounded distribution
 y 
(3.9)
g(y) =⎩ ln,
SB bounded distribution1−yパラメータ推定は，Z が標準正規分布に従うことを利用してモーメント法により行い，モデ
ル選択は，Papageorgiou et al.（2008）の適合度検定に基づいて行う．推定した分布を利用し，
モンテカルロ法により VaR 及び ES を算出する．図 3 は，Relative Value 戦略のヒストグラムと Johnson unbound 分布による密度関数である．
3.4 VaR 計測モデルのバックテスト
推定した VaR の検証方法として，ヘッジファンドの月次の損失が VaR を越えることが各月独立であるという仮定をおき，検証期間（2006 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）の 36 ヶ月の間の VaR の超過回数が適切な範囲内であったかの検証を行う．表 6 の（a）列は，95％VaR をヘッジファン
ドの損失が超過する各回数の確率である．（b）列は，対応する超過回数をモデルの棄却基準とする場合に第 1 種の過誤が起こる確率である．検証期間が 36 ヶ月であった場合には，VaR 超
過回数が 5 回もしくは 6 回を超える場合は，推定した VaR が棄却される水準にあるといってもよさそうである．今回の検証においては， 5 回以上 VaR を超過した場合に推定した VaR が真の VaR よりもリスクを小さく推定したとし，VaR 計測モデルを棄却する．

ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

図 3.

表 6.

97

Johnson unbound 分布密度関数（Relative Value 戦略）．

VaR 超過回数の確率と第 1 種の過誤が起こる確率．（a）各信頼水準モデルに対して 36回のうち対応する超過回数が起こる確率，（b）対応する超過回数をモデルの棄却基準として設定した場合に第 1 種の過誤が起こる確率．

VaR の計測には，2001 年 4 月 ∼ 2006 年 3 月，1996 年 4 月 ∼ 2006 年 3 月の 2 つの期間を利用する．後者は LTCM 危機の際のパフォーマンスを含む．本論文では，1996 年 4 月 ∼ 2009 年
3 月のすべての月の月次リターンが登録されているヘッジファンドを検証対象とする．
3.5 ES 計測モデルのバックテスト
本項では，ES のバックテストの手法を示す．
まず，以下の確率変数を定義する．
(3.10)

It ≡ I{Lt >VaRα } ,Rt ≡ (Lt − ESα )It .

ここで，E[Rt ] = 0 であり，また L が i.i.d. であると仮定をすると確率変数 R も i.i.d. となるため，ブートストラップ検定を行うことができる．確率変数 R の分布は，非対称な分布となる

98

統計数理

第 59 巻

第 1 号 2011

ため，BCa 法を利用する．ブートストラップ検定の手法は，汪・田栗（2003）
及び小西 他（2008）
を参照した．BCa 法の手順は，補論に記述した．
検証期間は，VaR の検証と同様に（2006 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）の 36 ヶ月のデータを利用し，有意水準 5％の両側検定を行う．
4.

リスク計測モデルの実証分析

本節では，3 節で示したリスク計測モデル及びそのバックテストの実証分析結果を示す．表 7 ∼
表 11 は，ヘッジファンドの投資戦略ごとの実証結果の一覧表である．表内の「VaR」，「ES」
は，各算出期間（1996 年 4 月 ∼ 2006 年 3 月もしくは 2001 年 4 月 ∼ 2006 年 3 月）のデータを利用し，それぞれの手法で計測した各リスク量である．そして，「VaR を超過した損失の回数」，「VaR を超過した損失の平均」，「VaR が棄却されたファンドの比率」，「ES が棄却されたファン
ドの比率」は，それぞれ検証期間（2006 年 4 月 ∼ 2009 年 3 月）での VaR 超過回数の平均，VaRを超えた損失の平均値の平均，VaR 計測モデルが棄却されたヘッジファンドの比率， ES 計測
モデルが棄却されたヘッジファンドの比率である．
表 7 は，各算出期間においてデルタ法により計測した VaR の検証結果である．Equity Hedge
戦略，Event-driven 戦略，Relative Value 戦略では，LTCM を含む長い期間で計測した VaR の方が値が大きかった．但し，Relative Value 戦略では，LTCM 危機を含むデータを利用しても各ファンドの VaR 超過回数の平均値が 5.64 回と多く，VaR 計測モデルが棄却されたヘッジファ
ンドの比率が高かった．一方で，Macro 戦略を見ると LTCM 危機を含む期間，含まない期間においても各ファンドの VaR 超過回数の平均値が 2 より小さく，VaR 計測モデルが棄却された
ヘッジファンドの比率も低かった．これは，Macro 戦略がマーケットの上昇・下落を予測し，ポジションを決定しているため，金融危機の際にも一定のパフォーマンスを上げているためと考えられる．また，このことは 2 節で行った Macro 戦略の正規性，ランダムウォーク検定が棄却された比率が低かった結果とも一致する．ES の値と検証期間に VaR を超えた場合の平均値を比較すると，LTCM 危機を含むデータを利用しても Relative Value 戦略，Event-driven 戦略
では，ES の値を大きく上回っており，VaR 計測モデルと同様に，ES 計測モデルが棄却された比率が高かった．一方で，Equity Hedge 戦略，Macro 戦略では，ES の値と検証期間の値が近い値となり，ES 計測モデルが棄却された比率が低かった．
表 8 はヒストリカル VaR による検証結果である．デルタ法と比較すると Macro 戦略以外では，ES の平均が高い値となった．これは，Macro 戦略以外は，負の歪度もしくは大きな尖度という特徴が見られることと符合する．Relative Value 戦略では，VaR 超過回数が 6 回を超えており，また VaR 計測モデル，ES 計測モデルが棄却された比率が高く，デルタ法を利用した場
合と同様の結果となった．一方で，Equity Hedge 戦略と Macro 戦略は，VaR 超過回数が 5 回を下回った．
表 9 は，Cornish Fisher 法による VaR の検証結果である． Cornish Fisher 法においても，
Relative Value の超過回数は 6 回を超えた．
表 10 は，正規混合分布による VaR の検証結果である．Relative Value 戦略では，VaR の値
はデルタ法よりも小さく，VaR 超過回数が 6.47 回とデルタ法よりも多かった．しかし，ES の値はデルタ法よりも大きく， ES 計測モデルが棄却された比率もデルタ法よりも低かった．これは図 3 からも推測できるが，正規混合分布では，テイル部分のリスクを正規分布よりも的確に捉えることができる一方で分布の中心部分も的確に捉えているために，95％VaR ではデルタ法よりもリスク量が小さくなり，逆に ES はデルタ法よりも大きな値になったと考えられる．
今回の検証では 95％VaR の検証を行ったが，99％VaR などより大きな損失の検証をすれば，デヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

99

ルタ法よりも棄却される比率が下がると考えられる．
表 11 は，Johnson 分布による VaR の検証結果である．LTCM 危機を含む期間の Relative
Value 戦略の VaR，ES の値を見るとデルタ法のときよりも高い値となった．このモデルも，
VaR 超過回数が 5 回を超え，VaR 計測モデルが棄却されたヘッジファンドの比率が高かった．
以上をまとめると，Macro 戦略では，金融危機の際のリスク量を計測する場合でも，過去の金融危機の期間のデータを含んでいてもいなくても i.i.d.，正規性を仮定した手法のリスク計測モデ
ルが棄却されるヘッジファンドの比率が低いことが分かった． Equity Hedge 戦略，Event-driven
戦略は，過去の金融危機（LTCM 危機）時のデータをリスク量計測時に利用すれば，サブプライ
ム危機の期間においてもリスク計測モデルが棄却される比率が低いという結果となった．一方で，Relative Value 戦略は，ヒストリカル法やヘッジファンドの非正規性を表現できる確率分
布を利用しても，損失に i.i.d. を仮定するとリスク計測モデルが棄却される比率が高いことが
分かった．
表 7.

表 8.

デルタ法による VaR 検証結果．

ヒストリカル VaR による検証結果．

統計数理

100

表 9.

第 1 号 2011

Cornish Fisher 法による VaR 検証結果．

表 10.

表 11.

第 59 巻

正規混合分布による VaR 検証結果．

Johnson unbound 分布による VaR 検証結果．

ヘッジファンド運用戦略の事後評価とリスク計測モデルの検討

5.

101

結論

本論文では，i.i.d. を仮定した損失予測モデルから計測した VaR 及び ES の実証分析をサブ
プライム危機前後のデータを利用して行った．
ヘッジファンドの損失分布として正規分布の他に，正規混合分布や Johnson 分布等のヘッジファンドの非正規性が表現可能な確率分布を仮定したリスク計測モデルの検定を行った．Macro
戦略は金融危機の期間を通しても正規性，独立性があり，i.i.d. と正規性を仮定したリスク計測
モデルにおいても，モデルが棄却されたファンドの比率が低かった．一方で，Relative Value
戦略はすべての VaR 計測モデルで，棄却されたヘッジファンドの比率が高かった．
また，サブプライム危機時のような大きな損失が発生した場合においても，i.i.d. を仮定したモデルでは，VaR と ES の実証結果に大きな違いはなく，今回のモデルでは，ES の利点であるテイルリスクを捉えられるという特徴は見られなかった．
今後の研究課題として，Relative Value 戦略の損失予測を改善するために，同戦略の運用戦
略を考慮した新しい損失予測モデルの構築を試みたい．
補 論
A.

ES 計測モデルのバックテスト

以下の BCa 法の手順を示す．
r1 , . . . , rT を，i.i.d. 確率変数 R1 , . . . , RT の 1 組の実現値とする．
（i）r1 , . . . , rT からの独立な復元抽出により，ブートストラップ標本 R1∗ , . . . , RT∗ を構成する．
（ii）ブートストラップ推定値を，以下により計算する．
µ̂∗ (b) =

(A.1)

1 ∗
R (b) .
T i=1 tT

これを B 回繰り返し，µ∗1 , . . . , µ∗T を求める．
（iii）偏り修正推定量 ẑ0 及び加速定数推定量 α̂ の値を，以下により計算する．
n∗3
1i=1 (µ̂(·) − µ̂(i) )(A.2)
z0 = Φ−1{µ̂∗b < µ̂} , α̂ = 
3 .
n
B
∗
2 2
6
(µ̂
−
µ̂
)
(i)
i=1
(·)
ただし，
x∗ (b) = {R1∗ (b), . . . , RT∗ (b)} ,
µ̂ =

T


1
ri ,
T i=1

µ̂∗ (b) =T1R∗ (b) ,T i=1 iµ̂(i) =

b = 1, 2, . . . , B ,n
1 Rj · I{i=j} ,n − 1 j=11µ̂(i) ,n j=1nµ̂(·) =

である．
（iv）1 − 2α の両側の信頼区間は，以下の通りとなる．
(A.3)(Ĝ−1 {α̂(α)}, Ĝ−1 {α̂(1 − α)}) .

ただし，

ẑ0 + zαα̂(α) = Φ ẑ0 +1 − α̂(ẑ0 + zα ),Φ(zα ) = α ,Ĝ−1 (α) ≈ {大きさの順に並べた B 個の µ̂∗ (b) の中で Bα 番目の値} ,

統計数理

102

第 59 巻

第 1 号 2011

である．
謝

辞

本論文の作成にあたり，研究全般に渡ってご指導下さいました統計数理研究所データ科学
研究系准教授の佐藤整尚氏に深く感謝致します．一橋大学大学院国際企業戦略研究科金融戦略コース名誉教授の三浦良造氏にも，修士論文の指導を通して多くのアドバイスを頂いたことを心より感謝致します．東京大学大学院経済学研究科教授の高橋明彦氏，GCI アセットマネジメ
ントの山本匡氏にも多くのアドバイス等を頂いたことを深く感謝致します．

参 考 文 献Getmansky, M., Lo, A. and Makarov, I.（2004）. An econometric analysis of serial correlation andilliquidity in hedge-fund returns, The Journal of Financial Economics, 74, 529–609.
. Selection and performance analysis of AsiaHakamada, T., Takahashi, A. and Yamamoto, K.（2007）（3）, 7–29.
Paciﬁc hedge funds, Journal of Alternative Investments, 10
Kaplan, P. D. and Knowles, J. A.（2004）. Kappa: A generalized downside risk-adjusted performancemeasure, Journal of Performance Measurement, 8, 42–54.
小西貞則，越智義道，大森裕浩（2008）. 『計算統計学の方法 ブートストラップ・EM アルゴリズム・
MCMC 』, 朝倉書店，東京．
McNeil, A. J., Frey, R. and Embrechts, P.（2005）. Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools, Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
蓑谷千凰彦（2007）. 『計量経済学大全』，東洋経済新報社，東京．
Miura, R., Aoki, Y. and Yokouchi, D.（2008）. A note on statistical models for individual hedge fundreturns, Mathematical Methods of Operations Research, 69（3）, 553–577.
汪 金芳，田栗正章（2003）. 『ブートストラップ法入門，計算統計 I：確率統計の新しい手法』，1–64, 岩
波書店，東京．
Papageorgiou, N., Remillard, B. and Hocquard, A.（2008）. Replicating the properties of hedge fundreturns, The Journal of Alternative Investments, 11（2）, 8–38.
. An approach to the non-normal behavior of hedge fund indices using Johnson
Perez, P. G.（2004）
distributions, presented to Finance Department, ESSEC in Paris and submitted for publication.
Takahashi, A. and Yamamoto, K.（2009）. Hedge fund replication. The Recent Trend of Hedge Fund
Strategies, Nova Science Publishers (forthcoming).
. Generating a target payoﬀ distribution with the cheapest
Takahashi, A. and Yamamoto, K.（2010）
dynamic portfolio: An application to hedge fund replication, 22nd Australasian Finance andBanking Conference 2009, Available at SSRN: http://ssrn.com/abstract=1420154.
山下智志（2000）. 『市場リスクの軽量化と VaR』
, 朝倉書店，東京．
Zangari, P.（1996）. A VaR methodology for portfolios that include options, RiskMetrics Monitor, 1stquarter, 4–12.

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 59, No. 1, 89–103 (2011)

103

Backtesting and Studying Risk Measure in Hedge Funds
Hironori KatoThe Graduate University for Advanced Studies

This paper provides empirical analyses of value at risk and expected shortfall calculated by various models which assume i.i.d. with the hedge fund’s losses. We use hedge
funds’ monthly returns, which include before and after the subprime crisis of 2008.
We use the normal distribution as the hedge fund’s loss distribution and also Gaussian
mixture, Johnson distribution, which can express negative skewness and large kurtosis of
the hedge fund’s return.
We conclude that the ratios rejecting risk measure models for the global-macro arelow. On the other hand, all risk measures for the relative-value are mostly rejected.

Key words: Hedge fund, risk management, value at risk, expected shortfall.