2-4 最適化に基づく数理モデルの特異性研究●代表者

山浦義彦（数学科・教授）●分担者

泊昌孝（数学科・教授）

茂手木公彦（数学科・教授）
吉田健一（数学科・教授）
市原一裕（数学科・教授）
下元数馬（数学科・教授）
三村与士文（数学科・助教）
大野晋司（数学科・助教）【研究の目的および概要】
解析学の変分学は , ある物理量を最小にする状態を解析する分野であり , 最適化問題と呼ばれ解析学の重要な一分野である。このような最適化は , 最良な解を求めるという広い意味であらゆる数学の分野においてもまた重要な研究テーマになる。求める解の性質を研究する中で本質的である , 正則性あるいは特異性を研究することを目的とする。以下 , 各分野の研究分担者による目的と概要を述べる。
（泊）複素解析特異点のフィルター付きブローイングアップを用いた例外因子による不変量の評価と分類を行なっている。 特に , 擬斉次特異点の不変量の有限性問題 , 小平特異点のフィルター付き特異点 , そして , 2 次元 2 重点の基本因子と極大因子の同一視可能特異点の判定と , 分岐因子による特異点の分類をテーマとしている。
（吉田）本学部元教授の渡辺敬一氏 , 山形大学の奥間智弘氏と共に , 正規還元種数の概念を用いて，楕円型特異点を可換環論の言葉で特徴付ける。 また，有理特異点の整閉イデアルの概念を抽象化した pg イデアルの類似物（楕円型イデアル , 強楕円型イデアルなど）を見出す研究を行う。
（下元）環的な手法を用いて , 数論的多様体の特異点を調べる , またパーフェクトイド理論における基本的な結果を環論的に分かり易い形に整理し研究に応用する。
（茂手木）結び目の量子不変量である色付きジョーンズ多項式の最高次数と , 結び目外部空間内の本質的曲面のトポロジーが関係していることが , Garoufalidis, Kalfagianni-Tran によって Slope Conjecture, Strong Slope Conjecture として定式化されている。 ホワイトヘッドダブルとよばれる操作と Strong Slope Conjecture の関係を明らかにすることを目的とする。
（市原）3 次元多様体内の結び目に沿った特異的デーン手術の研究に向けて，その基礎となるべき結び目・絡み目に関する性質，および，関連するグラフ理論の研究を行う。
（大野）近年導入された一般化された s 多様体の概念は , 対称空間の概念の一つの一般化である。研究の目的は , 既存のLie群作用に関わる理論を用いて一般化されたs多様体の部分多様体の幾何学的な性質を調べることである。
既存の理論を適用するために一般化された s 多様体の基本的な構造を明らかにすることが必要になる。
（三村）銀河がなぜ回転するのかを数学的な構造から明らかにするために流体の方程式を用いたモデル化と解析を行う。
（山浦）変分流による放物型方程式（系）の弱解の構成及びその正則性の証明を目的とした。変分流による構成方法には二つの方法が主流である。一つは時間変数の離散化による近似方法（離散モース流法）であり , 他は局所的にエネルギー最小化により連続的に変分流を構成する方法（Curves of Maximal Slope 法）である。

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【研究の結果】（泊）有限性問題について元々はゴレンスタイン特異点に関する研究であったが , 拡張として有理三重点について ,標準被覆上に現れる具体例について , 多くの成立する状況を確認した。また , 別テーマとして , 2 次元特異点の幾何種数の標準因子の有限性を仮定しない場合の評価式を得た。
（吉田）本学部元教授の渡辺敬一氏 , 山形大学の奥間智弘氏との共同研究を通じて ,「強楕円型イデアル」の導入に成功した。その概念は正規還元種数 , 正規ヒルベルト係数 , 正規 Rees 代数の言葉で特徴付けられる。また , その概念を用いて , 強楕円型特異点をその整閉イデアルの強楕円性を用いて , 環論的に特徴づけることに成功した。
（下元）・パーフェクトイド付値環に対する概純性定理に対して環論的な証明を与えた。
（伊城慎之介氏との共同研究）.
・Cohen-Macaulay 環を持たない局所環を構成した。
（茂手木）K が Slope Conjecture, Strong Slope Conjecture をみたす結び目のとき , ある条件を課すことで , K のホワイ
トヘッドダブルという操作で得られる結び目も Slope Conjecture, Strong, Slope Conjecture を満たすことを証明した。実際にはホワイトヘッドダブルを一般化した操作の元でも同様の結果が成り立つことを証明した。
（市原）
・ランダム・グラフの 4 つのモデルを考え，各々の場合に，ランダムに選んだグラフが結び目内在的である確率がグラフの頂点数が増加するとき 1 に収束することを示した。
・整数彩色可能なトーラス絡み目の標準的図式について，それが許容する非自明な整数彩色の最小彩色数を決定した。さらに，そのような整数彩色の完全分類も与えた。
（大野）コンパクト半単純 Lie 群と二つの対合的自己同型から得られる一般化された s 多様体と対称空間の対蹠集合との関係を調べた。一般化された s 多様体が等質となるための十分条件を得た。
（三村）
・形式的なハミルトン系としてのモデル方程式に対してディリクレ境界条件下でカシミール元の具体的な導出を行った。またそれをもとにカシミール汎関数を構成し , その極値点の安定性を得た。
・シュレディンガー方程式に対して , 解の有界性の仮定のもとに時間離散化の方法で解を構成し時間大域的な解の存在を示した。
（山浦）
変分流の構成に於いては , 目的に述べた 2 つの方法のそれぞれについて考察することができた。離散モース流法
では , p-Laplacian system の時間発展問題について , 弱解のヘルダー連続性を得ることができた。また , Curves ofMaximal Slope 法では , 古典的に知られた準線形放物型方程式の解の構成を通じて Weissler 指数についての知見を得ることができた。
【研究の考察・反省】（泊）有限性問題に成果物が残せたことは評価できるが , 一般論側の論文はまだ発表されていない。前年度まで得られた , 準備中の論文の中の定理たちの議論の一般化の精査 , そして , ２次元２重点のテーマとしての論文の完成が最重要課題である。また , 小平特異点に関しては幾何種数評価問題で扱った例などを加えた補強が必要である。
（吉田）強楕円型特異点を特徴付ける「強楕円型イデアル」の導入には成功したが , 楕円型イデアルの Rees 代数を用いた特徴付けは証明することが出来なかった。また , 正規還元種数が２の局所環と楕円型特異点の関係については未解決問題として残ってしまった。

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（下元）パーフェクトイド理論に関わる基礎理論はまだ完全には整理されておらず , 今回の研究では専門外の研究者でも近づきやすい形で新しい証明を得た。反省点として理論の適用範囲がまだ限られており , そこの部分を改善したい。
（茂手木）本研究で得られた主結果を torus knot, adequate knot に適用することで , 広いクラスの結び目に対して ,Slope Conjecture, Strong Slope Conjecture を証明できたことは大きな成果であった。証明は色付きジョーンズ多項式の最高次数の計算と本質的曲面の構成からなり，Strong Slope Conjecture の本質的な解明には程遠いもので，理論的なアプローチができればと考えている。
今後 , 反例を見つけることも視野に入れた研究を進めていきたい。
（市原）研究結果は直接に特異的デーン手術研究に関するものではないが，関連する結び目理論・グラフ理論において有用な結果である。今後，これらを踏まえて，結び目に沿った特異的デーン手術の分類問題に取り組んでいきたい。
（大野）得られた十分条件を満たさない一般化された s 多様体も存在することから , 非等質な一般化された s 多様体が存在することが示唆される。また , 一般に与えられた一般化された s 多様体に対して , 一般化された s 多様体の構造はただ一つに定まるとは限らない。複数の構造に関してその関係を調べることも今後必要となる。
（三村）
・銀河のモデルの現状において回転構造は今回得られたカシミール元に起因していると考えられるが ,これは偏微分作用素によって決まるものであり , モデル方程式に付随する汎関数によらない点にモデルとしての妥当性に疑念が残る。この疑念を払拭できるように引き続き数学的理解とモデルの妥当性を探究したい。
・シュレディンガー方程式の解の構成について解の有界性については仮定に止まったが , 構成法から先験的に得られることを示したい。
（山浦）
p-Laplacian system の正則性を有する近似解とその極限移行による弱解の構成は , 通常の弱解の正則性理論より優位性を持つと考えている。研究については今後 , p の指数が 1 と 2 の間にある非退化型の場合の研究に進めたい。
また, Curves of Maximal Slope 法については Wassertein 距離空間上での変分流の構成を目指して研究を進めたい。
【研究発表】
Kazuhiro Ichihara, A note on knots in lens spaces determined by their complements, The 16th East Asian Conference onGeometric Topology, ONLINE conference, 2020 年 1 月 27 日 .
大野晋司 , 部分多様体幾何とリー群作用 , 一般化された s 多様体とコンパクト対称三対 , (Zoom) 2021 年 3 月 20 日 .
Kimihiko Motegi, The Strong Slope Conjecture for Whitehead doubles, Intelligence of Low-dimensional Topology, 京都大学数理解析研究所 オンライン 2020 年 5 月 14 日 .
Ken-ichi Yoshida, Two normal reduction numbers, 東大可換環セミナー（Zoom), 2020 年 5 月 25 日 .
市原一裕 , A note on knots in lens spaces determined by their complements, 研究集会「拡大 KOOK セミナー 2020」,
Zoom によるオンライン開催 , 2020 年 9 月 10 日 .
Kimihiko Motegi, Slope Conjecture and Strong Slope Conjecture for knots, 拡大 KOOK セミナー 2020, オンライン 2020
年 9 月 11 日 .
市原一裕 , 結び目に沿った矯飾的手術について , 第 67 回

トポロジーシンポジウム・オンライン , Zoom によるオンライン開催 , 2020 年 10 月 13 日 .
Ken-ichi Yoshida, Lower bound on Hilbert-Kunz multiplicities and some related results, IIT Bombay Virtual Commutative28