計測自動制御学会東北支部 第 348 回研究集会(2024.5.31)
資料番号 348 - 4

四節リンク・回転対偶機構をもつ無段変速機の構造解析
Structural analysis of CVT consisting of four-bar linkage androtating pair mechanism〇田丸 公太郎*，小口 輝久*，湯川 俊浩**
〇 Kotaro Tamaru，Teruhisa Koguchi，Toshihiro Yukawa*岩手大学大学院，**岩手大学
Graduate School of Iwate University，Iwate University
キーワード：

無段変速機 (Continuously Variable Transmission)，リンク機構 (Link Mechanism)，変速比 (Gear Ratio)

田丸

連絡先： 〒 020-8551 岩手県盛岡市上田4-3-5 岩手大学 システム創成工学科
公太郎，Tel : 019-621-6403，Fax : 019-621-6403，E-mail : g0324127@iwate-u.ac.jp

1. 緒言
動するてこである．リンク d と出力軸の連結部である D に無段変速機 (CVT, Continuously Variable Transmission)ははワンウェイクラッチが組み込まれており，リンクd の揺回転入力を無段階に変速して出力することができる．無段動のうち一方向の運動を D の出力軸に伝達し，逆方向の運変速機を自動車に用いることで，エンジン効率の良い回転動時に D の内輪は空転する機構となっている．このてこク数を維持しながら車輪に出力できる．これまでに様々な方ランク機構を複数組用いることで連続的な回転出力を得式の CVT が提案されているが，現在，特に普及しているることができる．さらに，いずれかのリンクを伸縮させるのはベルト式やトロイダル CVT である ．これら CVT は，ことで，リンクd の揺動速度を連続的に変化させることが入出力軸のプーリにベルトが巻き付いている構造であり， できる．これによって入力の回転と出力の回転の速度比をプーリとベルトの実効径(接触位置)を変化させることに無段階に変える．これに対し本研究では，両クランク機構より無段変速する．これらの従来の CVT は，摩擦によるを用いた L-CVT を提案する．これは，入出力軸をそれぞ動力伝達方式であり，油圧機構による伝達要素間の押付力れ中心とする両リンクが回転し，クランクとなる機構であが必要であるため，動力損失が発生する1)-3)．そこで，本論る．この方式の L-CVT は変速比無限大を実現でき，変速比
文では，摩擦による力伝達や油圧機構を用いない，リンク幅も拡大できる．
機構を用いた無段変速機(以下，L-CVT )を提案する4)．現行の L-CVT の構造では，四節リンク機構である，てこクランク機構を用いており，一方向の駆動要素(ワンウェイ3．四節リンク機構の概要クラッチ，ラチェット)を含んでいるため，入出力双方向駆動ができない．すなわち，バックドライブが不可能であり， 3.1 てこクランク機構
入力軸から出力軸への動力伝達は可能であるが，出力側かてこクランク機構が実現するためには，四つのリンクのら負荷動力を伝達して入力軸を回転させることはできな長さにおける限定条件が必要となる．リンク a を固定し，い5)-7)．本研究では両クランク機構を用いるため，この L 入力軸Aを中心にリンク b が回転すると，リンクd は回転CVT を動作させる制御システムを図1 に示す．これら二種軸 D を中心に揺動して動力を出力軸に伝える．図3(a)の状類の機構は，同じような基本構造をもっている．両クラン
態，つまりリンク d が右に最大に振れたときについて，各ク機構の固定されている一番短いリンクを解放し，回転しリンクの長さについて，△AC1Dにおいてていた入力軸に繋がっているリンクを固定することによ𝑏+𝑐 < 𝑎+𝑑(1)り，てこクランク機構ができる．そこで，同じリンク長さが成り立つ．リンク d が左に最大に振れたとき，△AC2Dにの条件において，両者の出力角速度の安定性，変速比や出おいて力角を解析し比較することで変速機構としての機能性を𝑐−𝑏+𝑑 > 𝑎(2)考察し評価する．これらのリンク機構以外にも，四節リン8)9)
すなわちク機構の両てこ機構 や，スライダクランク機構 等がある．
𝑏+𝑎 < 𝑐+𝑑(3)2. リンク機構を用いたCVTの特徴が成り立つ．図3(b)では，△BCDにおいて従来機に搭載したてこクランク機構を図2 に示す.リン
ク a は固定リンクであり，A は入力軸，D は出力軸である．
𝑎−𝑏+𝑐 > 𝑑(4)リンク b は A を中心として回転するクランクであり，そすなわちの回転力を受けながら，リンクc を介して力をリンクd へ伝
𝑏+𝑑 < 𝑎+𝑐(5)える連結リンクである．リンク d は出力軸を中心として揺1Fig. 1 The double-crank mechanism model in Matlab-Simulink software

Fig. 2 The fundamental structure of the lever-crankmechanism(a) In the case when the arrangement of four links forms
triangle AC1Dの関係が成り立つ．
図3(b)において点Bが点Aに対して反対側にきたときも，式(3)が成り立つ．式(1)～(5)より，最短リンクが他のリンクと関与して完全に回転できるためには，最短リンクと他の一つのリンクの和が，それ以外のリンクの和より小さいことが必要条件となる．式(1)，(3)，(5)はグラスホフの定理と呼ばれ，回転要素をもつ四節リンク機構を実現するための必要条件である10)．

3.2 両クランク機構
図4に両クランク機構を示す．四節リンク機構がグラスホフの定理を満たし，かつ最短リンク b が固定されることで，リンク a とリンク c がクランクとなり，それぞれが軸Aと軸Bを中心として回転する機構となる．これを両クランク機構という11)．とくに，二組の対辺がそれぞれ等しいケースが平行クランク機構(図5)である．

(b) In the case when the arrangement of four links forms
triangular BCD
Fig. 3 The motion of the lever-crank mechanism as one of
the four-bar linkage mechanism

2(a) 0 ≤ 𝜃 < 𝜋Fig. 4 The double-crank mechanism

Fig. 5 The parallel-crank mechanism(b) 𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋

4．理論モデルの設計

Fig. 6 Typical two patterns for the posture of the double
crank mechanism in the case when link b is fixed

4.1 両クランク機構における理論モデル
図6に示すように，点Aまわりの入力角 θ と点 B まわりの出力角 φ は α1 ，α2 ，α3 および α4 により表すことができる．
ここに示されているのは両クランク機構であるため，最短リンク AB を固定している．点 B と点 D の頂点間の長さをL として，△ABD，△CBD に対して余弦定理を用いること
で次式が得られる．

𝛼1 = cos−1 (√𝑎2
𝛼2 = cos −1 (+𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃)

𝑎2 +𝑏2 −𝑐 2 +𝑑2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃
2𝑑√𝑎2 +𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃

𝛼3 = cos −1 (√𝑎2
𝛼4 = cos −1 (𝑎−𝑏 cos 𝜃𝑏−𝑎 cos 𝜃+𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃)2𝑐√𝑎2 +𝑏 2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃

4.2 回転行列による座標変換
両クランク機構をてこクランク機構に変換するために次の手順を経る．両クランク機構における最短リンクを解放し，その隣のリンク a を固定するため，リンクの各接続点に対して入力角度 θ を用いて，時計回りの回転行列

(7)

(8)
𝛾(𝜃) = ()(11)

得られた角度 φ を時間 t で微分することで，出力角速度dφ/dt を算出する．

(6))

𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2 −𝑑2 −2𝑎𝑏 cos 𝜃

𝜑 = 𝜋 + 𝛼3 − 𝛼4(9)cos 𝜃−sin 𝜃sin 𝜃)cos 𝜃(12)を乗算する．それぞれの機構の位置関係を揃えるため，点B，Cの y 座標の正負を反転する．この過程を図7 に示す．
これらの機構の入力軸は同じであるが，出力軸は異なるため，座標変換後の，てこクランク機構における出力角をΨとする．出力角Ψ は次のように表すことができる．

出力角度 φ は入力角度 θ の大きさによって，以下のパターンに分けることができる．
0 ≤ 𝜃 < 𝜋のとき，

𝜑 = 𝜋 − 𝛼3 − 𝛼40 ≤ 𝜃 < 𝜋のとき

(10)

𝜓 = 𝜋 − 𝛼1 − 𝛼2𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋のとき，3(13)4.3 理論モデルによるシミュレーション
数値シミュレーションソフトウェア(MATLAB Simulink)
を用いて，両クランク機構とてこクランク機構の運動シミュ レ ー シ ョ ン を お こ な う 12) ． 入 力 回 転 数 dθ/dt を 一 定(π/3[rad/s]) にして，いくつかのリンク長さの組み合わせについて，出力角と出力角速度の変化量を調べる．出力軸の回変速をおこなうには，リンクの伸縮幅を大きく変化させる必要があり，伸縮幅を大きく変化させるとグラスホフの定理を満たさなくなる可能性がある．グラスホフの定理を満たさない場合には，限られた区間における入出力軸の回転運動は可能であるが，完全な入力角 θ 一周分の回転は不可能である．二組の対辺(入出力リンク間(aとc)，固定したリンクと連結リンク(bとd))が異なる両クランク機構を基準とした．はじめに，表1 に示すリンク長さの組み合わせを用い，これを基準としてグラスホフの定理を満たし続けるように，リンクa とc の長さの組み合わせを徐々に変化させていく．ここでいうリンクa とc は，両クランク機構では入出力リンクであり，てこクランク機構では固定リンクと連結リンクである．解析結果を図8に示す．

𝜋 ≤ 𝜃 < 2𝜋のとき
𝜓 = 𝜋 + 𝛼1 − 𝛼2(14)である．
得られた出力角ψも，φと同様に時間 t で微分することで出力角速度dΨ/dtを算出することができる．

Table 1 Each link lengthLinksabcdLengths([mm])

220

200210220(a) Before rotation matrix transformation with ɤ(b) After rotation matrix transformation with ɤ(Double crank)(Lever-crank)(a) The output angle of the link d(c) Inversion of coordinate with link a as the axis

(Double crank)(Lever-crank)(b) The output angular velocity of link dFig. 7 The process of transformation which the doublecrank mechanism to the lever-crank mechanism

Fig. 8 The comparison between the double-crankmechanism and the lever-crank mechanism

4

両クランク機構とてこクランク機構の出力角速度を比べたところ，角速度変動が小さい区間(平滑区間)は両者ともに同じ時間にあった．
リンク長さbとdを，表1と同様の値で固定した場合，リンク長さaとcに与えられる条件はグラスホフの定理式(1)，(3)，(5) より，
𝑎 − 20 < 𝑐 < 𝑎 + 20
420 < 𝑎 + 𝑐
条件式(15)，(16)より，さらに，リンクa の長さを275 [mm]，440 [mm]と伸長し，リンクc の長さを a – 19 [mm]，a [mm]，a + 19 [mm]の場合で比較したときの結果を図10，図11に示す．

(15)
(16)

200 < 𝑎(17)となる．
つぎに，リンクa の長さを表1と同じ長さに設定し，リンクc の長さを，1ミリ単位でグラスホフの定理を満たす最短の長さ201 (mm)と，最長の長さ239 (mm)にしたときの出力角速度を比較する．それぞれの結果を図9に示す．
両クランク機構は，角速度の平滑な時間がてこクランク機構とほぼ同じである．また，てこクランク機構と両クランク機構も角速度の平滑な時間での出力角速度はほぼ同じ大きさである．

(Double crank)(Lever-crank)(a) [ a : b : c : d ] = [ 275 : 200 : 256 : 220 ](Double crank)(Lever-crank)(b) [ a : b : c : d ] = [ 275 : 200 : 275 : 220 ](Double crank)(Lever-crank)(a) [ a : b : c : d ] = [ 220 : 200 : 201 : 220 ](c)(Double crank)(Lever-crank)(b) [ a : b : c : d ] = [ 220 : 200 : 239: 220 ](Double crank)(Lever-crank)[ a : b : c : d ] = [ 275 : 200 : 294 : 220 ]Fig. 10 The comparison of the output angular velocity
between the double-crank mechanism and the lever-crankmechanism in the case when length a is set to 275[mm]Fig. 9 The comparison of the output angular velocity
between double-crank mechanism and lever-crankmechanism in the case when length a is set to 220[mm]5両クランク機構は，角速度が平滑化するのがてこクラン
ク機構に比べて少々早い．また，てこクランク機構は，両クランク機構よりも角速度が平滑化した時の出力角速度が小さくなる．

5. 結言
両クランク機構とてこクランク機構を用いたL-CVT の理論モデルを解析した.両クランク機構とてこクランク機
構をいくつかのリンク長さの組み合わせを用いて出力角速度をシミュレートした．
今後は，理論モデルにおいて，滑らかに変速できるリンク長さの組み合わせを解析する予定である．その後，両クランク機構を用いた機械装置を製作し，実験値と理論モデ
ルによる解析結果と比較する予定である．

(Double crank)(Lever-crank)(a) [ a : b : c : d ] = [ 440 : 200 : 421 : 220 ]謝辞
本研究は，公益信託エスペック地球環境研究・技術基金の助成を受けた．

参考文献
1) Nilabh Srivastava, Imtiaz Haque ： “A review on belt and chain
continuously variable transmissions (CVT): Dynamics and control”,
44(1):19-41, (2009)2) Ichiro Tarutani, Hirofumi Tani, Yuji Nagasawa：“Analysis of thePower Transmission Characteristics of a Metal V-belt Type CVT”,(2005)
3) Florian Verbelen, Stijn Derammelaere, Perter Sergeant, Kurt
Stockman：“A comparison of the full and half toroidal continuouslyvariable transmissions in terms of dynamics of ratio variation andefficiency, (2018)4) 湯川：“四節リンク機構を用いた無段変速機の検討”,日本機械学会, ロボティクス・メカトロニクス講演会講演概要集,2P1A21,(1)-(2),(2008)
5) “ワンウェイクラッチ”NTN株式会社
http://www.ntn.co.jp/japan/products/catalog/pdf/2900.pdf
6) Amjad AI-Hamood, Hazim U. Jamali, Oday I. Abdullah, JSchlattmann：“The Performance of One-Way Clutch in a CamBased Infinitely Variable Transmission, (2020)
7) Ankita Mangaonkar, Siddhi Kamat, Chaitanya Kudapkar, MakarandNaik, Mr.S.S.Kulkarni：A Review on Application based on Crankand Slotted Lever Quick Return Mechanism, (2021)
8) Cheng-Yuan Hsieh, Win-Bin Shieh, Ching-Kong Chen, Jyh-Jone
Lee ： “Synthesis of Double-Rocker Mechanisms for Motion
Generation Using Fourier Descriptor”,(2019)9) Jih-Lian Ha, Rong-Fong Fung, Kun-Yung Chen, Shao-Chien Hsien：
Dynamic modeling and identification of a slider-crank mechanism,(2006)
10) 原洋一 四節回転連鎖におけるグラスホフの定理の検討
Fukui University of Technology , 日本機械学会[No.007-1] 北陸
信越支部 第37期総会・講演会論文集
11) 稲田, 森田:“大学課程機構学”，オーム社， (1984) 39
12) “Simulink”，MathWorks社，https://jp.mathworks.com/products/simulink.html, (20181025)(Double crank)(Lever-crank)(b) [ a : b : c : d ] = [ 440 : 200 : 440 : 220 ](Double crank)(Lever-crank)(c) [ a : b : c : d ] = [ 440 : 200 : 459 : 220 ]Fig. 11 The comparison of the output angular velocity
between the double-crank mechanism and the lever-crankmechanism in the case when length a is set to 440[mm]6