統計数理（2010）
第 58 巻 第 1 号 131–135
c 2010 統計数理研究所
［研究ノート］

平滑化 Nelson-Aalen 推定量の一様収束率
西山 陽一

†

（受付 2010 年 3 月 31 日；改訂 5 月 20 日；採択 5 月 20 日）

要旨

計数過程の積強度モデルにおいて，Ramlau-Hansen（1983, Ann. Statist.）は危険関数に対する平滑化 Nelson-Aalen 推定量の一様一致性を証明した．我々はこの結果を拡張し，一様一致性の収束率が oP (n−1/2 b−1n ) であることを証明する．ただし bn はバンド幅である．証明にはNishiyama（2000a, Ann. Probab.）による ∞ 空間値マルチンゲールの弱収束理論を用いる．
キーワード： カーネル推定量， 平滑化， Nelson-Aalen 推定量， 一様一致性．
1.

序によって導入された計数過程の積強度モデル（multiplicative intensityこの論文は Aalen（1978）
model）を扱う．すなわち，各 n ∈ N に対し，計数過程 {Ntn ; t ∈ [0, T ]} の強度がα(t)Ytnの形をしていることを仮定する．ここで α(t) は非確率的な非負可測関数であり，{Ytn ; t ∈ [0, T ]}は非負予測可能過程である．Y n の一般化逆数 Y n− を
Ytn− =Jtn
Ytnによって定義する．ただしJtn = 1{Ytn ≥ 1}

とおいた上で 00 = 0 と約束する．Ramlau-Hansen（1983）は平滑化 Nelson-Aalen 推定量 Tt−x1
Ytn− dNtnαn (x) =Kbn
0 bnを α(x) の推定量として提案した．ここで K は適切なカーネル関数であるとし， {bn } はゼロに収束する定数列であるとする．彼は E[supx∈[z1 ,z2 ] |αn (x) − α(x)|2 ] → 0 が成り立つための十分条件を提示した．ただし 0 < z1 < z2 < T（Ramlau-Hansen, 1983 の Theorem 4.1.2 を見よ）．
少々異なる条件のもとで Andersen et al.（1993）は，もしも n−1/2 b−1n → 0 であるならば(1.1)

supx∈[z1 ,z2 ]|αn (x) − α(x)| = oP (1)であることを証明した．実際のところ，彼らは本質的には
supx∈[z1 ,z2 ]†|αn (x) − α(x)| = OP (n−1/2 b−1n )統計数理研究所：〒190–8562 東京都立川市緑町 10–3

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第 1 号 2010を証明した（Andersen et al., 1993 の Theorem IV.2.2. の証明を注意深く見ると，そこにおいてNelson-Aalen 推定量の弱収束理論を用いることによってこのことはわかる）．
我々はこの結果を次の形まで拡張する：もしも nb6n → 0 ならば
supx∈[z1 ,z2 ]|αn (x) − α(x)| = oP (n−1/2 b−1n )が α についての緩い条件のもとで成り立つ． Andersen et al.（1993）による（1.1）の証明は単にLenglart の不等式に基づくものに過ぎないが，我々は Nishiyama（2000a, 2000b）による ∞ 空間値マルチンゲールに対する弱収束理論を，極限が退化している場合について適用する．
2.

結果

この論文の主結果は次の通りである．
定理 1. 一様カーネル K(u) = 1[−1/2,1/2] (u) をとる．0 < z1 < z2 < T とせよ．
sup Ytn− = OP (n−1 ),t∈[0,T ]sup |Jtn − 1| →p 0

t∈[0,T ]を仮定する．α は [0, T ] 上で有界で，かつ (0, T ) 上で 2 回微分可能であって 2 次導関数 α が有界であるとする．もしも nb6n → 0 ならば，
supx∈[z1 ,z2 ]|αn (x) − α(x)| = oP (n−1/2 b−1n ).

注意 1．カーネル関数 K を他のものにとってくることも可能であるが，一様カーネルを選ぶと証明が簡単になる．
注意 2．nb6n → 0 という仮定は，例えばいわゆる最適バンド幅 bn = n−1/5 に対しては実際に成り立っている．
証明．


t−x
Jtn α(t)dt,bn0 T
t−x1Kαn (x) =α(t)dtbn0 bnα∗n (x) = T1Kbn

とおく．αn (x) − α∗n (x) は実際には確率積分n1/2 bn (αn (x) − α∗n (x)) = MTn,x =であることに注意せよ．ただし
Htn,x = n1/2 K T0t−xbn

Htn,x (dNtn − α(t)Ytn dt)Ytn− .

これから Nishiyama（2000a）の Theorem 3.2 を supx |MTn,x | →p 0 を示すために適用していく．まず M n,x T →p 0 であることは容易にわかるから，Lenglart の不等式より任意の有限次元マージナルが退化極限に確率収束することが従う：MTn,x →p 0．
次に Nishiyama（2000a）の条件 [PE] をチェックしよう．各 ε > 0 に対し，z1 = xε0 < xε1 < · · · <εεεxN(ε) = z2 を xk − xk−1 ≤ ε2 となるように選ぶ．このことは N (ε) ≤ constant · ε−2 を満たし

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1
つつ可能であるから，エントロピー条件 0 log N (ε)dε < ∞ は実際に満たされている．もしε2 ≤ bn ならば T
sup|Htn,x − Htn,y |2 α(t)Ytn dt
0x,y∈[xε,xε ]k−1 k≤ n sup α(t)Ytn− ·t∈[0,T ] T0{1[xεk−1 −bn /2,xεk −bn /2] (t) + 1[xεk−1 +bn /2,xεk +bn /2] (t)}dt≤ n sup α(t)Ytn− · 2ε2 .
t∈[0,T ]

2他方，もし ε > bn ならば T
sup0x,y∈[xε,xε ]k−1 k|Htn,x − Htn,y |2 α(t)Ytn dt≤ n sup α(t)Ytn− ·t∈[0,T ] T0

1[xεk−1 −bn /2,xεk +bn /2] (t)dt≤ n sup α(t)Ytn− · (ε2 + bn )t∈[0,T ]≤ n sup α(t)Ytn− · 2ε2 .
t∈[0,T ]よって Nishiyama（2000a）の条件 [PE] は満たされている．Lindeberg 条件 [L1] をチェックするのは易しい．実際 Lyapunov 条件，すなわちある δ > 1 に対して Nishiyama（2000a）の記号nでいえば |W |δ ∗ ντnn →p 0 が満たされていることが，例えば δ = 3 に対してチェックできる．
よって supx n1/2 bn |αn (x) − α∗n (x)| →p 0 であることが証明できた．
n仮定 supt |Jt − 1| →p 0 により P (supx |α∗n (x) − αn (x)| > 0) → 0 を得る．最後に，テイラー展開により


 1/2
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

1/2
n1/2n bn |α (x) − α(x)| = n bn K(u)(α(x + bn u) − α(x))du −1/2 1/2≤ n1/2 bnK(u)|α (x + bn ũn )||bn u|2 du−1/2≤ n1/2 b3n

 1/2−1/2= O(n1/2 b3n )u2 K(u)du · sup |α (y)|yx に関し一様にが成り立つ．ただし ũn は [−1/2, 1/2] の中の点である．これで証明が終わった．2

謝辞

匿名査読者には，初稿に含まれていた誤りを指摘していただいた．この研究は日本学術振興会からの科学研究費補助金・基盤研究（C），21540157 によって支援されたものである．

参 考 文 献Aalen, O. O.（1978）. Nonparametric inference for a family of counting processes, The Annals ofStatistics, 6, 701–726.

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第 1 号 2010

Andersen, P. K., Borgan, Ø., Gill, R. D. and Keiding, N.（1993）. Statistical Models Based on Counting
Processes, Springer-Verlag, New York.
. Weak convergence of some classes of martingales with jumps, The Annals ofNishiyama, Y.（2000a）
Probability, 28, 685–712.
. Entropy Methods for Martingales, CWI Tract, 128, Centrum voor Wiskunde
Nishiyama, Y.（2000b）
en Informatica, Amsterdam.
Ramlau-Hansen, H.（1983）. Smoothing counting process intensities by means of kernel functions, The
Annals of Statistics, 11, 453–466.

Proceedings of the Institute of Statistical Mathematics Vol. 58, No. 1, 131–135 (2010)135

Uniform Rate of Convergence of Smoothed Nelson-Aalen Estimator
Yoichi Nishiyama
The Institute of Statistical Mathematics

In the multiplicative intensity model for counting processes, Ramlau-Hansen (1983,Ann. Statist.) derived the uniform consistency of the smoothed Nelson-Aalen estimator
for the hazard function. We extend this result to the case where the rate of uniform
consistency is oP (n−1/2 b−1n ) where bn is the bandwidth, by using the weak convergence
theory for ∞ -valued martingales given by Nishiyama (2000a, Ann. Probab.).

Key words: Kernel estimator, smoothing, Nelson-Aalen estimator, uniform consistency.