計測自動制御学会東北支部第230回研究集会（2006．7．21）
資料番号230−5

一フ

力るぐlI

LM動●

ロボットマニピュレータのメータの大域的最適設計

Aglobaloptimaldesignof
dynamicparametersofrobot manlpulators
O小笠原 伸二＊，平元 和彦＊，土岐 仁＊ShinjiOgasawara＊，KazuhikoHiramoto＊，HitoshiDoki＊＊秋田大学＊AkitaUniversity
キーワード：線形行列不等式（LinearMatrixInequality），基底パラメータ（BaseParameter），機構設計（Mechanicaldesign），計算トルク法（computedtorqu？method）
連絡先：〒010−8502秋田市手形学園町1番1号 秋田大学工学資源学部機械工学科平元研究室ノト笠原 伸ニ
Tel∴（018）889−2972，Fax∴（018）837−0405，E−mall：Oga触ecb・濾ita−u・aC・jp

1．緒言するのに必要なトルクと目標角加速度と軌道看呉差によって決定されるトルク）を最小化する設計問

ロボットマニピュレータは，一般に強い非線形性題を考える．

を持っている．ロボットマニピュレータを線形モデ

動特性モデルは，マニピュレータの機構パラメー

ルとした場合，非線形項は外乱とみなされる．しタ（リンク長等），各リンクに固有の慣性パラメー

かし，高速動作を実現しようとした場合には，高タ（質量，質量中心の位置等）及び駆動系パラメー

速動作によって生じる遠心力やコリオリカの影響タ（粘性摩擦係数等）の非線形関数となる．そのにより，モデルは妥当では無くなる．これに対しため，マニピュレータの機構パラメータ等を設計て，非線形項を外乱とみなさず，逆動力学計算をパラメータとした場合，大域的に最適なパラメー行って非線形項を推定し，これを打ち消すようなタを効率的に求めることは，非常に困難である．

補償を行って線形化することで，より高精度な制

ここで，ロボットマニピュレータの同定問題につ御を行う計算トルク法1）2）を本論文では取り扱う．

いて考える．動特性モデルを一意に決定するため計算トルク法は，ロボットマニピュレータの動的に必要最小個数のパラメータは，基底パラメータ挙動を，ロボットマニピュレータの持っ物理パラ3）4）と呼ばれている．基底パラメータは，マニピュメータと無関係に指定することができる．本論文
レータの機構パラメータ等の関数となる．また，では，計算トルク法において，ロボットマニピュ動特性モデルは基底パラメータに関する線形関数
レータを動作させるために必要なトルク（線形化となる．そこで，本論文では，基底パラメータをー1一

設計パラメータとした設計問題を考える．基底パ

2．1 計算トルク法

ラメータを設計パラメータとすることにより，動特性モデルは線形関数となり，機構パラメータ等を設計パラメータとした場合よりも，最適なパラメータを求めることは容易になる．ロボットマニ

ピュレータの設計問題を取り扱った研究5）6）では，機構パラメータ等が設計パラメータとして取り扱
われ，基底パラメータを設計パラメータとして取Fig．1Computedtorquemethod

り扱った例は見当たらない．
本論文では，計算トルク法において，運動デーm自由度のロボットマニピュレータの運動方程式タが与えられた場合に，ロボットマニピュレータは，一般的に次式で表される．

を動作させるために必要なトルクを最小化する設〃（q）す＋ん（9，亘）＋ダ（q，射＝丁計問題を考え，LMI（LinearMatrixInequality：線形行列不等式）を用いて，大域的に最適な基底パ（1）

ここで，丁は関節トルク，qは関節角度，〟（頼まマ

ラメータを求める方法を提案する．LMIに基づくニピュレータの慣性行列，九（飢引は遠心力とコリ設計法は，制御理論において，フィードバックコオリ九 ダ（9，頼ま摩擦力である．ロボットの動的ントローラの設計法として確立された手法であり，モデル，すなわち式（1）が事前に正確に求められその計算を行うためのツールも利用可能である，ている場合の制御法として計算トルク接がある．

また，一般に運動方程式は，基底パラメータに関Fig、1に，ブロック線図を示す．この制御法の制御する線形代数方程式になる．従来までに，ロボッ則は次式で与えられる．

トマニピュレータの基底パラメータを，設計パラ
丁＝煎（q）す＊＋姉捏汀十耳（9，豆）メータとして取り扱った例は見当たらず，提案す（2）

る手法は，基底パラメータを設計パラメータと考
百＊＝鮎＋・∬γ（由一豆）＋∬p（qd−q）

えた新しいアプローチである．

（3）

ここで，通（頼まマニピュレータの慣性行列，ん（q，豆）本論文の構成を以下に示す．第二章ではLMIを用いた基底パラメータの設計法について述べる．

は遠心力とコリオリ九腐（9，頼ま摩擦力の動的モ

第三章では2リンクマニピュレータを対象としたデルである．また，9dは目標関節角度である．このシミュレーションを行い，その結果について考察

制御法は，式（2）の右辺第2項，第3項により系をする．第四章で結言を述べる．

線形化し，式（3）により線形化した系に線形サーボ制御補償を施しているとみなすことができる．
すなわち，モデルが正確である場合，次式が成り2．LMIによる基底パラメータの立つ．

設計法

通（q）＝〟（q），ん（q，豆）＝／両，d），卓（9，∂）＝ダ（q，す）（4）

本章では，計算トルク法と基底パラメータについて述べ，基底パラメータの設計法を提案する．

式（2）〜（4）を式（1）に代入すると，非線形項がキャンセルでき次式を求められる．
・7● ・ニ、−2−（5）

ここで，軌道誤差を次のように定義する．

ただし，ウ＝［91，ヴ2］T，T＝h，乃］Tであり，鞘は粘性摩擦凰β（射は動摩擦項を表しており，別，β（豆）e＝qd■9（6）は式（1）のF（曾，紳こあたる．それぞれ，次式のよ
式（5）に式（6）を代入すると次式を得る．
g＋打諦＋∬pe＝0

うに表すことができる．

〟1＋2月cosヴ2 城＋月cosヴ2（7）〟（q）＝S2β．ハUュ

︵﹁﹂ ︶

．〃71

か

Fig．2に示す2リンクマニピュレータを考える．

︶

2n ng gS S

1β（せ）＝︵β1 02．2 基底パラメータn．

月β＝

鞘ぞsl呵2﹈

0哉に設定することにより，eは零に収束する．

−2月融由Sinヴ2り弔ん（曾，￠）＝﹁■■■■■■﹂
2〃ュ

鳩＋月cos仔2したがって，∬γ，Ⅳpを対角正定行列とし適当な値（9）〃1＝ム＋ム＋mlγ至＋m2（エ苦十r宣）

本節の説明は簡単のため，全て2自由度水平マニ

A先＝J2＋m2γ2

ピュレータについて行うが，一般のれ自由度マニ

月＝m2γ2エ1

ピュレータでも議論の本質は変わらない．

次式に表す個々のリンクごとに属するパラメー
タの集合が既知であれば（長さエ1，エ2は既知とする），運動方程式は一意に決定できる．

P＝（Jいち，ml，m2，γいγ2，βいβ2，恥β2）∈月10（10）これは，運動方程式を決定するための十分条件になっている．しかし，運動方程式（8）を一意に決定することができる必要最小限のパラメータ集合は，次式で表される．
鳥＝（〟1，〟2，月，β1，β2，恥β2）∈月7 （11）
このように，運動方程式を一意に決定することができる必要最小限のパラメータ集合は，各リンFig・2 21inkmanlPulators

クがもっているパラメータ（Jlやmlなど）そのもここで，用木圭（宜＝1，2）をそれぞれ，リンク宜のでなく，それらのいくつかが結合されたものにの質量，リンク宜の重心まわりの慣性モーメントなる．このような，与えられたマニピュレータの運

エi，γi（宜＝1，2）をそれぞれ，リンク宜の長さ，第査動方程式を決定するのに必要かつ十分なパラメー

閲節の中心からリンク宣の重心までの長さとする．

タの集合を基底パラメータと呼ぶ．

また，翫（宜＝1，2）を熟関節の角嵐Ti（乞＝1，2）を新関節に加えられるトルクとする．さらに，Fig．

2．3 LMIによる基底パラメータの設計法

2のように，第1関節の中心から直交座標系（ご，y）を本論文では，基底パラメータを設計するにあた考える．

り，次の仮定が成り立っていることとする．

この場合，運動方程式は次式で記述できる．
〟（q）亘＋わ（q，d）＋β￠＋β（d）＝丁【仮定］全ての作業時問に対して，運動データ（曾（土），拍），綽））が既知である．

（8）−3一計算トルク法を用いた場合，ロボットマニピュそれぞれの時間に対して評価指標彗＞0を考える．

レータの挙動はっ 動的モデルが正確である場合，この時，次式が成り立っとする．

制御系の設計のみに依存し，基底パラメータが変句（±i）T月巾（土ま）＜蔦（宜＝1〜化した場合でも，運動データに影響を与えることは無い．

呵（14）

凡は各時間に対する重みである．月豆の値を調整す

この時，線形化するのに必要なトルク丁。と，目ることによって，運動データのどの部分を重視す

標角加速度と軌道誤差によって決定されるトルクるかを決定することができる．

Tmの2つのトルクを最小化する基底パラメータを評価指標薫を次式のように定義する．

求める問題を考える．式（2）の，第1項が目標角加∧r

J、∑ノ、速度と軌道誤差によって決定されるトルクTmに，

（15）

壱＝1

第2項と第3項が，線形化するのに必要なトルク㌔以上の定義を用いて，本論文では基底パラメータにあたる．Tmは式（3）に依存する．動特性モデルの最適設計問題を，以下のように定義する．とロボットマニピュレータが一致する場合，関節【基底パラメータの最適設計問矧運動データが角度，角速度は目標関節角度，角速度と一致する．

与えられた場合に，評価指標鳥を最小化する基底

このことから，式（3）の第2項と第3項は，第1項パラメータベクトルj㌔を求めよ．の目標角加速度に比べて非常に小さいと考えるこ

基底パラメータの最適設計問題は，式（14）をとができる．よって本論文では，Tmを考える場合基底パラメータを用いて変形することにより，次に，式（3）の目標角加速度のみを考えている．軌

式の基底パラメータに関するLMI問題に帰着する

道誤差が大きく、式（3）の第2項と第3項が無視でことができる．

きない場合でも，運動データから軌道誤差を求め［㌃絆0ることにより，本設計手法を適用することは可能である．本論文では，目標角加速度と軌道誤差に（16）式（16）を全ての時間に関して，連立して解くこ

よって決定されるトルクTmと線形化するのに必要とによりト坑を最小化するような基底パラメータなトルク㌔の和によって表されるトルクちを最小島を求めることができる．

化する問題を考える．

基底パラメータを用いるとトルクちは以下のよ

2．4 作業領域に対する設計

うに示すことができる．

前節では，ある作業の運動データが与えられた〟（q）鮎＋九（ヴ，豆）＋β￠＋β（亘）＝r島＝T。＋Tm＝写
亘1 葺2 713
0 軌＋葺2 丁ち3・飢 0

r＝（12）

場合についての最適設計法について述べた，本節では，作業領域がγ，封平申上に与えられた場合の￡Sg岩す1sg≡。2］

基底パラメータの設計法について述べる．ご，y平7l3＝2qlCOSq2＋q2COSq2−261q2−4宣sinq2面上に与えられた作業領域は，関節角度の上下限

ち3＝qlCOSq2＋￠fsinq2となり，次式で表すことができる．

r島＝［朗㌧・M2月‥・β1β2か1β2］翫（り∈也，融（宜＝1，2），∀f≧0ここで，作業時間f＝±1，．‥，土〃におけるすべての運動データが次式のように与えられたとする．
（射（f）凍（f），銑（り）（壱＝1，2）

また，関節角速度，角加速度の上下根が既知であるとする．
（13）

−4…

（17）

3．1 運動データ

抽）∈也，豆壱J（ま＝1，2），∀f≧0（18）紳）∈垣壱滅］（宜＝1，2），∀±≧0（19）本節では，運動データを定義する．リンク長さ
エ1，エ2＝1とし，∬，y平面上を座標（0・2，0・2）から座標（1．2，1．2）に手先を移動させる作業を考えある作業領域を評価する場合に，最も単純な方法る．運動データを定義するために，まず，ご方向には，関節角度、角速度，角加速度の上下限の間を対する手先の速度γを定義する．作業時間は，乃と適当な数に分割し，その有限個の連立方程式を解し，速度は時間により，分割した式を組み合わせくことによって，その作業領域内の最適な基底パ作成することとする．分割する時間は壬1，￡2，わ，f4ラメータを求める方法である．この方法を用いるとする．また，最大速度をγpとする・手先速度uは事により，ある作業領域における最適な基底パラ次式で表される．

メータを求めることができる．
u＝たJ2（0≦f≦壬1）
γ＝−た2（壬−f2）2十γp（土1≦t≦f2）

2．5 トルク変化に関する制限

γ＝γp（ま2≦f≦f3）（22）

γ＝−た3（ト土3）2＋γp（f3≦t≦f4）

急激なトルクの変化は，モータに与える影響な

γ＝た4（ト乃）2（ま4≦≠≦乃）どを考えた場合には，望ましくない．本節では，急

ここで，激なトルク変化を制限する設計法について述べる．
た1＝一望−評価指標。軋＞0を考える．この時，次式が成り≠1≠2毎＝立つとする．

−l、J−f2（￡1−f2）

た3＝

十・ト（±4一子3）（れ−わ）

人t．l＝（20）γp（亡3一帯）（f4一石）とする．

㌔＝句（吉江1）−ち（り（壱＝1〜Ⅳ）

最大速度γpと作業時間中に進む距離は比例する
式（20）は，次式のように変形できる．

ことから，最大速度γpは，進む距離に依存することとする・本設計例では，諾＝0・2［m］〜1・2［m］に［与芸か0（21）

手先を移動させる作業を考え，進む距離は1［m】で式（21）を用いることにより，トルクの急激な変ある．手先加速度は，式（22）を微分することによ化に対して，制限を与えた基底パラメータを設計

り，求めることができる．y方向も同様に，運動すすることができる．

ることとする．運動データは，Fig．3に示す手先速度となる・作業時間は乃＝10［sec］，分割時間は3．設計例

fl＝2，f2＝4，わ＝6，f4＝8とした．関節角度，角速度，角加速度は，手先位置，速度，加速度から，

本章では，Fig．2で示す2リンクマニピュレータの基底パラメータの設計を行う．本設計例で取りヤコピ行列を用いることにより，求めることができる．関節角度をFig．4に示す．

扱う動特性モデルは，ロボットマニピュレータと完全に一致するものとする．

￣ ∂ ￣091︵Uとなる．Fig．5〜Fig．9に，与えられた運動データ′bO14n︺に対して，最適な基底パラメータと最小の基底パ01

目標角加速度と軌道誤差によって決まるトルクの12乗，線形化するのに必要なトルクの2乗，ロボッ

02．
．

r⊥

ヽ■ヽ

﹇U山S＼E ﹈ A

ラメータを比較した結果を示す．それぞれの図は，▲

n0

トマニピュレータを動作させるために必要な第1関節のトルクと第2関節のトルク，その和の2乗を246

縦軸とし，横軸を時間とする．また，Tablelに最108t【sec］

適な基底パラメータと最小の基底パラメータの評

価指標蔦の値を示す．Fig．5より，最適化した基Fig・3 endeffcctorvelosity

底パラメータのトルクが全ての時間において，基底パラメータを最小とした場合よりも小さくなっていることがわかる．Fig．6では，最適な基底パラメータと基底パラメータを最小化した場合との差が，ほとんどない．これは，最適化した基底パラメータの1列目以外のパラメータが設計範囲内で最／トの値になっているためであると考えられる．

Fig．7とFig．8をみると，乃は，最適な基底パラ
0246108メータと最小の基底パラメータの結果が一致してt［sec〕いる．しかし，Tlをみると，作業時間の前半では，Fig. 4 Joint angle

最適な基底パラメータのトルクが大きく，作業後半ではトルクが小さい．Fig．9をみると，最適化

3．2 基底パラメータの最適設計した基底パラメータのトルクが2秒前後では，最小前節の運動データに対して，提案した設計手法化した基底パラメータのトルクよりも大きくなっを用いることにより，最適な基底パラメータ鳥をている．しかし，8秒前後では，最適化した基底パ求める．このとき，以下のような条件を与えるこ

ラメータの方が，最小化した基底パラメータよりととする．

も小さくなっている．これは，Tmと㌔の相殺による現象であると考えられる．また，最適化した基底パラメータの方が，最小化した基底パラメータ

1≦凡才い〟2，月≦100・1≦月1，β2，β1，β2≦1の場合と比べて，トルクの総量が小さくなってい（23）

凡＝坤＝1〜Ⅳ）ることが，Tablelからもわかる．
また，作業時問0〜10［sec］を0．1刻みで変化させ、Ⅳ＝101とする．

以上の条件の下で，式（16）を解くことにより，最適な基底パラメータ薫は，

鳥＝［21…10・10・10・1］

γ−6−

0．018

0．016

0．014

0．012
N ∈P

O．010．008

0．DO60．004

0．002

002

4

6810

4t［sec］

68t［sec］

Fig．5 TmtOrque4Fig・8 7b2tOrque64t［sec〕

6t［sec］

Fig．6 TctOrqueFig・9 7btOrque

4．結言
本論文では，計算トルク法において，ロボットマニピュレータを動作させるために必要なトルクを最小化する設計問題を考えた．また，この問題が，基底パラメータに関して線形の方程式となることから，LMIによる設計法を提案した．これにより，大域的に最適な基底パラメータを求めた．本論文
46810の内容を要約すると以下のようになる．

t亡SeC〕●基底パラメータを設計変数とする設計手法

Fig17 7bltOrqueを提案した．

・基底パラメータに関して運動方程式が線形代数方程式になることから，LMIによる設計
ー7−10法を提案した．
●2リンクマニピュレータを制御対象としたシミュレーションを行い，本設計手法の有効性を示した．

文 献
参考文献
1）中村，ロボットの基礎工学，コロナ社，（2000），
pp．165−170

2）吉川，計算トルク法によるディジタル制徴
日本ロボット学会誌 ，7，3，（1989），pp．237−242
3）小林，増軋小森谷，神徳，大須賀，岩月，田所，宮崎，北垣，岩晩藤田ノ」、野，熊谷ノJ、菅，福田，荒川，松日楽，ロボット制御の実際，計測自動制御学会，（1997），pp．64−71

4）吉田，池勘前軋∂自由度マニピュレータに対するパラメータ同定法の実証的研究， 日本ロボット学会誌 ，11，4，（1993），pp．564−573
5）甲斐，風横川，横川，精密はめ合い作業達成条件に基づくマニピュレータの運動学的機構設軋
日本機械学会論文集（C編） ，64，626，（1998），
pp．3868−3873

6）吉村，濱田，由良，野池，人見，機械構造システムの多層最適設計， 日本機械学会論文集（C編） ，50，452，（1981），pp．724−732−8−