2-4 特異点解消により定まる代数的不変量と，特異点の幾何学的，および解析的な性質の研究●代表者

泊昌孝（数学科・教授）●分担者

茂手木公彦（数学科・教授）
山浦義彦（数学科・教授）
吉田健一（数学科・教授）
市原一裕（数学科・教授）
下元数馬（数学科・准教授）
三村与士文（数学科・助教）
大野晋司（数学科・助教）【研究の目的および概要】
代数多様体に表れる特異点をブローイングアップの合成によって解消する問題は，20 世紀には標数 0 に対して広中平祐が解決をし，今もその手法が極小モデル理論の発展などで応用が顕著である。代表者は，古典的な特異点解消の構成法から，2 次元 3 次元特異点の種々の不変量の関係を研究してきた。極小モデル理論の可換環論への還元としての不変量を固定した際のある種の特異点の有界性が近年に視野に入っており，この機会に，近隣の分野に対しての様々な応用等を模索することは，意義深いのではないかと考えてきた。代数 • 幾何 • 解析の若手研究者と，総合的に関連する数学分野の研究を報告しあうことの重要性が増している。特異点解消問題は，可換環論的色彩が強いテーマである。吉田氏には，特異点上の加群の構造論から，そして，下元氏からは，ホモロジカル予想の研究者としてまた，可換環論の数論的側面からの参加をいただいた。また，茂手木・市原の両氏が位相幾何学的，結び目理論から，大野氏は微分幾何的な観点より研究課題に取り組む。そして，山浦・三村の両氏は変分法的アプローチを試みた。 変分解析は , 研究対象となる現象に対して定義されるエネルギー汎関数を最小にするという物理的背景に基づいている。この原理を「時間発展現象」に適用するためには , エネルギーの勾配流を考える必要があった。 これについては変分解析の最先端をリードするイタリア学派によって多く研究されている。その 1 つとして知られているのが , 一般距離空間上の curves of maximal slope の理論である。エネルギー汎関数に滑らかさ , 凸性がない場合でもこの理論が適用できる。 特に特異性を有する汎関数に対する適用について研究を推し進めてきた。具体的には次のような問題を考えた。
(A) 特異点解消定理の現状と可換環論への応用の現状それらの整理。
(B) 2 次元超曲面特異点の特異点解消過程と不変量の研究。
(C) Ulrich 加群や pg- イデアルなどに代表される，良い性質を持った加群やイデアルによる特異点の性質。
(D) Witt 環，Frobenius 射を使って正標数の特異点を標数 0 と関連づける研究，密着閉包を通じて定義される非Cohen-Macaulay 的な特異点の研究。
(E) 孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという側面について考察し，Dehn 手術全体からなるネットワークを構成し，大域的に理解する。
(F) 特異性を有するエネルギー汎関数の臨界点解析と，モース流の正則性を解析する。
総合的に関連する数学分野の研究を集合させ，大きく発展させるという意味において，構成メンバーが主催者になって行われたセミナーは大変重要な意味を持っている。個別の研究成果を述べる前に，総括として，今年度行われた様々なセミナーの様子を各分野よりいくつか紹介しておくことにする。

151．日大文理

月曜特異点セミナー 開催日と講演数；2019 年 4 月 15 日（講演数 6），5 月 13 日（5），6 月 3 日（5），7 月

1 日（6），9 月 30 日（5），10 月 28 日（6），11 月 18 日（5），12 月 16 日（5），2020 年 1 月 20 日（5）このうち，11 月 18 日 12: 20 - 13:30 に開催された以下のものは，本予算による謝金を受けている。
Vijaylaxmi Trivedi (Tata Institute of Fundamental Researches)；Density function for the second coefficient of the HilbertKunz function on projective toric varieties
2．幾何学グループよりのものとして，次の学科内でのセミナーがあった。
Mini-workshop ``Complexity questions in 3-dimensional topologyʼ ’25, June, 2019, 10:00 –Yo’av Rieck (University of Arkansas)；The unbearable hardness of unknottingThomas Mattman (California State University, Chico)；There are too many knotted graphs!
Kimihiko Motegi (Nihon University, CHS)；Generalized torsion elements
幾何グループは，他に，研究集会「結び目の数理 II 」 2019 年 12 月 18 日（水）〜 21 日（土）も主催した。
3．また，解析学グループからは，総合的な解析学の立場に賛同いただき，以下のセミナーが開催された。
日大文理 解析セミナー 2019 年 6 月 14 日 14:00 より Giuseppe Mingione 氏 ( イタリアパルマ大学 )「Review ofNonlinear Calderon-Zygmund theory」確率統計セミナー

2020 年 1 月 11 日 13：30―

久門正人（野村ホールディングスグループリスク管理部）；情報カスケードと相転移【研究の結果】
泊は，研究代表者として，特異点論を上記個別の問題に限定せず広く感心を持ち続け，各種の研究集会および，渡辺敬一氏，石井志保子氏を中心メンバーに加えての日大文理学部・月曜特異点セミナーを主宰する立場で，各分野の最新研究にコメントを与えるなどの活動を続けた。本セミナーは，上で開催日と講演数のみを掲示したが，世界的な規模で考えても特異点理論の有数の拠点でありつづけている。
まず，代表者泊は，冒頭に述べた特異点の不変量に関する結果として次を示した。
1. 2 次元 2 重点の Laufer 型成分を定める分岐因子を与える方程式のピュイズー展開表示と特異点解消過程，そして，新たに定義式の係数を含めての逐次ニュートンペア式の方程式表示の対応を確立した。分岐因子の重複度が小さい時，基本次数 Z^2= − 1 の分類表が提示可能となった。
2. 斎藤恭司の regular system of weights を持つ高次元特異点の一般式が正規であること，ならびに原点以外の部分が有理特異点である事を証明した。特に，固定された幾何種数に関する重みの有限性が泊の前年までの結果より示された。分類計算の中で，regular system of weights であるが，孤立特異点にならない重みが大量に見つかった。
これは，イブレフの例が発見されて以来の 40 年振りの新発見であった。
3. 2 次元正規重み付き超曲面特異点の非負の後藤渡辺不変量 a(R) を固定した有限性を上記 2 の成果と平行して精密化し，有限性の新たな証明を得た。これは計算機での対応に有効なものであり，前年の計算を大きくリストの成長を込めて進展させることができた。
以下は，個別の研究結果に関する報告をする。具体的なテーマの順序に基本的に則して，分野別に分担者の個々の立場での研究結果を述べたい。

16

吉田は以下の研究結果を得た。
共同研究者，奥間智弘氏（山形大学）, 渡辺敬一氏と共に見出した pg イデアルの理論を広げるために , 整閉イデアルの「2 通りの normal reduction number」に注目して , 特異点の理論を駆使した新しいアプローチを開発した。特に , Brieskorn 型の超曲面の極大イデアルの場合にその具体的な計算方法を提供することに成功した。
下元は以下の研究結果を得た。
1. Tate 環と Banach 環の構造を系統的に詳しく調べた。古典的な概純性定理に対して p- 進完備性を除いたバージョンに対して見通しの良い証明を与えた（仲里渓氏（名古屋大学）との共同研究）。
2. Andre によるパーフェクトイド Abhyankar 補題から p- 進完備性の仮定を除くことに成功した（仲里渓氏（名古屋大学）との共同研究）。
茂手木は以下の研究結果を得た。
結び目の構成法として twist と並んで重要なサテライト結び目の構成と L- 空間手術の関係について考察を進め，サテライト L- 空間結び目のパターンがブレードであるという Baker-Hom の予想を目指して研究を進めた。Hom の結果から，この予想の解決に L- 空間結び目の twist 族の特徴付けが深く関わっていることが示唆されており，本研
究では Baker 氏（Univ. Miami）との共同研究で L- 空間結び目の twist 族の精密な特徴付けを行なった。その応用として，上記予想を完全に解決することができ，論文として発表した。また，サテライト L- 空間結び目のパターン結び目とコンパニオン結び目の種数に強い制限が付くことを証明した。
市原は以下の研究結果を得た。
1. 3 次元閉多様体が分離的圧縮不可能曲面を含み，かつ強既約ヒーガード分解を許容するとき，そのヒーガード曲面の部分曲面として圧縮不可能曲面が見つかることを示した。
2. 3 次元球面内の双曲的結び目について，その結び目群の任意の非自明な元に対し，その元を自明化するデーン手術が高々有限個であることを示した。
3. 3 次元球面内の結び目に沿ったデーン手術によって，向きまで込めて同相な 3 次元多様体が生成されないための，結び目のジョーンズ多項式を用いた条件を得た。
大野は以下の研究結果を得た。
1920 年代に Cartan によって導入された多様体のクラスである対称空間の研究は，変換群の諸相を表現する重要な対象であり，特異点の幾何学の研究対象として長い歴史を持つテーマである。Chen-Nagano 理論での対称空間に対する様々な不変量の考察の一般化として，大野は s 多様体を導入し研究している。今回は，s 多様体の一例である旗多様体に関して，その対蹠数を決定した。結果は，旗多様体の定義に関係するデータより算術的に表現されるものである。
山浦は以下の研究結果を得た。
今 年 度 は Curves of Maximal slope ( 変 分 流 , 以 下 CMS と 略 記 ) に 関 す る 研 究 を 行 っ た。 か つ て Saccon はRestriction テクニックを用いて , 非凸項つき汎関数に対する CMS の構成 , さらには , それが放物型偏微分方程式の解であることを意味する Strong Evolution Curve であることを証明している。 本研究では , 汎関数の下からの大局的有界性に着目し , 補間定理によりそれが成り立つ場合に限って考察を行った。 その結果 , 大局的有界性が得られるための積分指数に関する条件が , いわゆる古典的な結果である Weissler 指数と一致することが検証できた。 これによって , Weissler 指数に対して変分流構成の視点からの意味付けを与えることができた。
三村は以下の研究結果を得た。
1. 銀河がなぜ回転するのかを数学的な構造から明らかにするために流体の方程式を用いたモデル化を行った。モデル方程式は形式的にはハミルトン系として解釈でき，ヘリシティを表す汎関数がカシミール元になっていること

17を示した。また，モデル方程式において，ディリクレ境界条件，ノイマン境界条件，周期境界条件などを考察したが，ディリクレ境界条件でない限り回転構造は現れないことがわかった。
2. ハミルトン系において，ハミルトニアンの同次部分の次数が 2 以下である条件のもとで，変分的な方法による時間大域解の構成法を考案した。
3. 勾配流を包括する散逸系の方程式として，勾配流部分とハミルトン系部分の和の形からなる微分方程式を考え，ハミルトニアンの同次部分の次数が 2 以下である条件のもとで，変分的な方法による時間大域解を構成した . ま
た , この解において，勾配流部分に関係性のある汎関数がリヤプノフ汎関数となることを示した。
【研究の考察・反省】
具体項目として掲げた (A) 〜（F）それぞれについて考えるとき，(B) 以降の部分については，ご覧の通り非常に豊富な結果が得られた。全メンバーは，それぞれの分野にて多くの結果を示すことができ，大変良好な状況である。
成果物も多くが出版された。そして，分担者および隣接の研究者が数学科内にて多くのセミナー発表を行った。これは，月曜特異点セミナーを始め，大変活発な様相であった。これらの報告物を総括する代表者の業務は，まだこれからの責務といわざるを得ない。今後，メンバーの成果を土台にあらたな総括の機会を持ちたいと思っている。
【研究発表】
1．泊昌孝；On the finiteness of Goto-Watanabe’s a-invariant and weight types of complex weighted homogeneous

singularities of dimension greater or equal than 2 for a fixed positive geometric genus, Workshop: Singularities andrelated topics, 東京大学数理科学研究科 2019/07/30
2. 泊昌孝；On weighted homogeneous hypersurface singularities with Saito’s regular system of weights, Workshop:Singularities and related topics, 東京大学数理科学研究科 2019/07/31
3. 泊昌孝； 高い次数を持つ Saito’s regular system of weights の孤立特異点性について

日本数学会秋季総合分科会関数論分科会，一般講演，金沢大学理学部 2019/09/18
4. 泊昌孝；有限性と孤立特異点判定と分類に関する最近の研究，正規複素解析空間上の擬斉次特異点，第 62 回

函数論シンポジウム，招待講演，大同大学 2019/11/04
5. 吉田健一 , Ulrich module と正標数の不変量 , 第 64 回代数学シンポジウム , 東北大学大学院情報科学研究科（宮城県仙台市）, 2019/9/4.
6. 吉田健一（奥間智弘 , 渡辺敬一と共同）； Normal reduction numbers of integrally closed ideals in a 2-dimensional
cone-like singularities, 第 41 回可換環論シンポジウム , 倉敷シーサイドホテル（岡山県倉敷市）, 2019/11/26.
7. 下元数馬 (joint with K. Nakazato)，Decompleting perfectoid Abhyankarʼ s lemma and almost Cohen-Macaulay algebras,
第 41 回可換環シンポジウム，倉敷シーサイドホテル 2019/11/27
8.下元数馬 (joint with K. Nakazato)，Decompleting perfectoid algebras and the almost purity theorem, Morgantown
Algebra Days, West Virginia, USA, 2019/04/14
9. Kimihiko Motegi; Ordered Groups and Rigidity in Dynamics and Topology, Generalized torsion in 3-manifold groups andnormal closures of slope elements, Banff International Research Station for Mathematical Innovation and Discovery(BIRS) of Casa Matematica Oaxaca (CMO), メキシコ 2019/06/18
10. 茂手木公彦；Seifert vs. slice genera of knots in twist families and a characterization of braid axes, 東京大学トポロ
ジー火曜セミナー，東京大学，2019/07/16
11. 茂手木公彦；共役ねじれ元と 3 次元多様体の分解 , 北陸結び目セミナー 2019，金沢大学サテライト・プラ

18ザ , 2019/10/05
1 2 . K i m i h i ko M o t e g i ;D e h n f i l l i n g s o n k n o t g r o u p s , O b e r w o l f a c h Wo r k s h o p - L o w - d i m e n s i o n a lTopology, Mathematisches Forschungsinsitut Oberwolfach, ドイツ , 2020/02/19
13. 市原一裕 ; Complete exceptional surgeries on two-bridge links，研究集会「拡大 KOOK セミナー 2019」，神戸大学六甲台第 1 キャンパス，神戸市灘区，2019/8/21．
14. Kazuhiro Ichihara; Minimal coloring numbers on minimal diagrams of torus links, International Workshop “Knots inTsushima 2019’’, 対馬市交流センター , 長崎県対馬市，2019/9/07.
15. 市原一裕 ; デーン充填によるカスプ付き双曲多様体の基本群の元の自明化について，対称性と幾何セミナー，早稲田大学早稲田キャンパス，東京都新宿区，2020/1/21.
16. Kazuhiro Ichihara; Two-bridge knots admit no purely cosmetic surgeries, The 15th East Asian Conference onGeometric Topology, RIMS, Kyoto University, Kyoto, 2020/2/12.
17. 大野晋司；一般化された s 多様体の対蹠集合，対称空間の部分多様体の微分幾何と関連する問題 , 東京理科大学，
2019/07/12
18. Shinji Ohno; Antipodal sets of generalized s-manifolds, The 22nd International Workshop on Differential Geometry ofSubmanifolds in Symmetric spaces & Related Plobrems, Kyongpook National University. Daegu, Korea ,2019/08/01
19. Yoshihiko Yamaura; A convergence of the approximated free boundary of regularized functionals via Gammaconvergence The 2nd International Conference on Numerical Modelling in Engineering (NME 2019), Bejing, China,
2019/08/19
20. Yoshihiko Yamaura ; On a convergence for the approximation of the gradient flow curve to the non-convex and singularfunctional, International Conference on Machine Learning and Intelligent Systems (MLIS 2019), National Dong Hwa
University, Hualien, Taiwan, 2019/11/19
21. 三村与士文；不変集合上における離散勾配流法と走化性モデルへの応用 , 応用解析研究会 , 早稲田大学早稲田キャンパス , 2019/6/15
22. 三村与士文；Wasserstein 距離と偏微分方程式への応用 ,「発展方程式論の新展開：数理理論と現象解析の協働」,
京都大学 数理解析研究所，2019/10/10【研究成果物】
1. Ken-ichi Yoshida (joint with Chihiro Enomoto);Cleanness of Cohen-Macaulay ideals generated by at most fivemonomials, Rendiconti del Seminario Mathematico della Universita de Padova 141 (2019), 243-268.
2. Ken-ichi Yoshida (joint with Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe); The normal reduction numbers for hypersurfaces ofBrieskorn type,Acta Mathematica Vietnamica 44-1, (2019), 87-100.
3. Ken-ichi Yoshida (joint with Shiro Goto, Naoyuki Matsuoka, Naoki Taniguchi) The almost Gorenstein property in Rees
algebras of contracted ideals,Kyoto Math. J. 59-4, (2019), 769-785.
4. Kazuma Shimomoto (joint with T. Ochiai)，Specialization method in Krull dimension two and Euler system theory overnormal deformation rings，Annals mathematiques du Quebec 43 357-409 (2019).
5. Kimihiko Motegi(joint with Kenneth L. Baker); Twist families of L-space knots, their genera, and Seifert
surgeries,Comm. Anal. Geom. 27 (2019), 743-790.
6. Kazuhiro Ichihara and Kimihiko Motegi (joint with Masakazu Teragaito); Vanishing nontrivial elements in a knot groupby Dehn fillings. Topology Appl.264 (2019), 223-232.

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7. Kimihiko Motegi (joint with Tetsuya Ito and Masakazu Teragaito); Generalized torsion and decomposition of 3-manifolds
Proc. Amer. Math. Soc. 147 (2019), 4999-5008.
8. Kimihiko Motegi (joint with Kenneth L. Baker); Seifert vs slice genera of knots in twist families and a characterizationof braid axes,Proc. London Math. Soc. 119 (2019), 1493-1530.
9. Kimihiko Motegi (joint with Tetsuya Ito and Masakazu Teragaito); Nontrivial elements in a knot group which aretrivialized by Dehn fillings Int. Math.Res. Not.，出版受理 .
10. Kimihiko Motegi;Dehn surgery on knots -- tracing the evolution of research,Sugaku Expositions, Amer. Math. Soc. 出
版受理 .
11. Kazuhiro Ichihara (joint with Makoto Ozawa and J. Hyam Rubinstein); Decomposing Heegaard splittings along
separating incompressible surfaces in 3-manifolds, Topology and its Applications, Vol. 264, pp.21-26.
12. Kazuhiro. Ichihara (joint with Zhongtao Wu); A note on Jones polynomial and cosmetic surgery, Communications inAnalysis and Geometry, Vol. 27, no.5, pp.1087-1104.

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