多重ゼータ値の生成する空間の次元予想について
金子 昌信 (九州大学), 野呂 正行 (神戸大学), 鶴巻 健一 (日本オラクル (株))AC2007 (2007.12) — 多重ゼータの生成する空間の次元予想について – p. 1

多重ゼータ値 (Multiple Zeta Value; MZV)ζ(k1 , k2, . . . , kn) =1

X

k1 k2
kn
m1 >···>mn >0 m1 m2 · · · mn

(k1 , . . . , kn ∈ N, k1 ≥ 2 ← 収束のための条件)
k1 + · · · + kn : ζ(k1 , k2 , . . . , kn ) の weight
MZV は数学, 物理のさまざまな場面に現れる : 幾何学, 結び目理論, 数理物理, 数論幾何, . . .
ここでは, 特に MZV が Q 上生成する線形空間を扱う

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Zagier 予想
Zk : weight k の MZV (全部で 2k−2 個) が Q 上生成する線形空間
MZV の間にはさまざまな関係式がある ⇒ dimQ Zk
は意外に小さい予想 (D. Zagier)dimQ Zk = dk
d2 = d3 = d4 = 1, dk = dk−2 + dk−3 (k ≥ 5).
k14151617181920dk

212837496586

114

2k−24096 8192 16384 32768 65536 131072 262144
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MZV の数値計算プログラム (Zagier)Zagier は, MZV の数値計算結果から, Q 上の線形関係を推測したらしい.
\p 200;zmult(v,l,s)=t=length(v);ze=vector(s,n,1);\b=vector(l,m,0);b[1]=1.;h=-1;\
for(r=1,t,j=v[r];h=h+j-1;z=0.;q=1./sˆh;\for(m=1,l,q=q/s;b[m]=sum(n=1,m-1,\-binomial(h+m,m-n+1)*b[n],b[m])/(h+m);\z=z+b[m]*q);forstep(m=s,1,-1,\z1=z+ze[m]/mˆj;ze[m]=z;z=z1));zmz(v)=zmult(v,100,1000);

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知られている結果
定理 (Goncharov, Terasoma)

dimQ Zk ≤ dk(Mixed Tate Motif を用いた証明)

注意
等号を示すのは当面無理と考えられている (MZV の線形独立性を示す必要あり)
我々の興味どのような関係式の集合が次元の上限を与えるか
どのような MZV の集合が Zk を生成するか
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MZV の積 – 級数表示による分解
MZV の積の級数による分解 = 調和積2

ζ(2) ==

X 12mm>0X

m>n>0+!

X 12nn>0X

n>m>0+!

X1=2 n2mm,n>0m=n>0X!

1m2 n2= 2ζ(2, 2) + ζ(4)AC2007 (2007.12) — 多重ゼータの生成する空間の次元予想について – p. 6

MZV の積 – 積分表示による分解
MZV の積の積分による分解 = シャッフル積

ζ(2)2 = ZZ

dt1 dt2
t1 (1 − t2 )1>t1 >t2 >0=ZZZZZZ



1>t′1 >t′2 >0

dt1 dt2 dt′1 dt′2
t1 (1 − t2 )t′1 (1 − t′2 )dt′1 dt′2 ′ ′
t1 (1 − t2 )1>t1 >t2 >0
1>t′1 >t′2 >0=4ZZZZ

1>s1 >s2>s3 >s4 >0

ds1 ds2 ds3 ds4+2
s1 s2 (1 − s3 )(1 − s4 )ZZZZ

ds1 ds2 ds3 ds4
s1 (1 − s2 )s3 (1 − s4 )

1>s1 >s2>s3 >s4 >0= 4ζ(3, 1) + 2ζ(2, 2)
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複シャッフル関係式
MZV の積 : 2 種類の方法で, MZV の線形和に書ける
一般に, シャッフル積 6= 調和積なので, MZV の関係式が得られる
ζ(2)2 = 2ζ(2, 2) + ζ(4) = 4ζ(3, 1) + 2ζ(2, 2)
ζ(4) = 4ζ(3, 1)⇒ (有限) 複シャッフル関係式 (Finite Double ShuffleRelation; FDS)
⇒ FDS だけでは dim Zk ≤ dk を達成できない
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Hoffman による代数化
H = Qhx, yi : 非可換 2 変数多項式環
H1 = Q + Hy
(y で終る単項式で生成される部分環)
H0 = Q + xHy(x で始まり y で終る単項式で生成される部分環)
evaluation map Z : H0 → R を次で定義する:
Z(xk1 −1 yxk2 −1 y · · · xkn −1 y) = ζ(k1 , k2 , . . . , kn ).
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積∗zk = xk−1y とおき, H1 における積 ∗ を
1∗w = w∗1=w
zk w1 ∗ zl w2 = zk (w1 ∗ zl w2) + zl (zk w1 ∗ w2)+ zk+l (w1 ∗ w2)
で定めると, H1 は ∗ に関して可換環

Z(w1 ∗ w2) = Z(w1 )Z(w2 )0(w1, w2 ∈ HX )AC2007 (2007.12) — 多重ゼータの生成する空間の次元予想について – p. 10

積xH における積 x を
1xw = wx1 = w
uw1 xvw2 = u(w1 xvw2 ) + v(uw1 xw2 )で定めると H は x に関して可換環 (HX と書く) で,Z(w1 xw2 ) = Z(w1 )Z(w2 )(w1 , w2 ∈ H0X )H1 と H0 はこの積に関して部分環 (H1X , H0X と書く)
⇒ H1X ≃ H0X [y]AC2007 (2007.12) — 多重ゼータの生成する空間の次元予想について – p. 11

一般複シャッフル関係式
正規化写像

regX : H1X → H0X を次で定義:
regX:nX

wi X y X i 7→ w0i=0

⇒ Z regX (w1 X w0 −w1 ∗w0 ) = 0(w1 ∈ H1 , w0 ∈ H0 )(一般複シャッフル関係式; Extended DSR (EDS))
EDS は FDS を含む
Z(y X w0 − y ∗ w0 ) = 0 (Hoffman の関係式)
Z(y) = ζ(1) ⇒ 発散級数を用いた関係式
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予想
予想 1 (Ihara,Kaneko,Zagier)weight k の EDS 全体が, Zk の全関係式を与える.
予想 1’ (Minh, Petitot)

FDS と Hoffman の関係式で, dim Zk ≤ dk が示せる.
Minh, Petitot : k = 16 まで確かめた
Espie, Novelli, Racinet : k = 19 まで確かめた (ただし, k が偶数の場合には modulo π 2 の冪で)ここでは, さらに k = 20 まで確かめた. その過程で,より精密な予想を得た (後述).
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実装 1 : Qhx, yi の Asir への組み込み
データ型
単項式はビット列として表現 (x = 1, y = 0) ⇒ 積
は結合, 比較も容易.
入力
入力式を木構造として保持できる QUOTE 型から変換する関数 qt to nbp(f ) を用意
演算加減乗算, シャッフル積 shuffle mul(f ,g ), 調和積 harmonic mul(f ,g ), その他, 単項取り出
しなど.
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実装 2 : EDS, 行列の生成, rank 計算
EDS
組み込み関数を用いて, Asir 言語により生成行列生成

H0 中の weight k の単項式を辞書式順序でならべたものを基底とし, EDS の各関係式の係数を取り出して行列化
rank 計算
単なる Gauss 消去だが, k が大きくなるとサイズが指数的に増える⇒ 種々のテクニックが必要
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前処理 1 : 行列サイズの縮小
weight k の FDS は次の集合で構成される :(k)Fi = {w1 X w2 − w1 ∗ w2 | w1 ∈ M0i , w2 ∈ M0k−i }(M0i は, weight i の単項式 ∈ H0X 全体)
weight k の FDS+Hoffman の行列 : 横幅 2k−2 の縦長
行列 (k が大きいと縦に伸びる)⇒ できれば関係式を減らして正方行列にしたい(k)(k)⇒ 実験の結果 FDS としては, F2 , F3 で十分そう

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新たな予想weight k の Hoffman の関係式全体 (2k−3 個ある) をE (k) と書く.
予想 2(k)(k)(k)(k)∪ F2 ∪ F3 により,

R =Edim Zk ≤ dk が示せる.

|R(k) | = 2k−2 なので, 行列は正方行列となり都合よい (dk が小 ⇒ これ以上減らすのは無理そう)
ζ(1), ζ(2), ζ(3), ζ(2, 1) をかけて得られる EDS がR(k) である (しかも ζ(3) = ζ(2, 1)).
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前処理 2 : E(k)による前処理E (k) の各元の項数は k − 1 で, 係数は ±1
辞書式順序での単項式基底のもとでは左半分が上三角⇒ sparse elimination により前処理して, 行列サイズを 2k−3 × 2k−3 にできる
この行列を S (k) と書くと, 示したいことは(k)k−3rank(S ) ≥ 2− dk

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有限体上での計算
もとの行列の成分は 1 ワード整数で収まるが, 結果は多倍長知りたいのは rank の下限⇒ 素数 p に対しrank(S (k) ) ≥ rank(S (k) mod p) だから, 有限体上で rank 計算すれば大抵 OK⇒ p = 31991, 16381 (2 バイト整数) で行う.
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さらに前処理k = 20 の場合, 有限体上でも S (20) を保持するのに 32GB のメモリが必要つらいので, さらに前処理を試みる

S (k) を見ると, ある 1/4 · 2k−3 行が sparse
で, 左 1/4 が上三角

⇒ これで掃き出すとサイズが3/4 · 2k−3 × 3/4 · 2k−3 の行列が残る
k = 20 の場合, 18GB
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実装 3 : MPI による分散並列計算
サイズからみて, 1 CPU でやるのは無謀⇒ ScaLAPACK は有限体をサポートしていないので, 自前で MPI プログラムを書いた(ブロック化をしない, ごく簡単なもの)
野呂版 : 1 次元 cyclic 分割
行を順に分散 ⇒ やさしい
鶴巻版 : 2 次元 cyclic 分割
列方向にも分散 ⇒ むずかしい
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計算環境
1. Linux PC クラスタ
(3 GB +古い Athlon 2 個) × 6 台
2. SPARC SMP (木村欣司氏のご協力による)512GB+SPARC 32CPU

3. Macintosh
16GB+Intel XEON 5160 ×2 (4core)
4. Linux SMP (横山和弘氏のご協力による)
32GB+Intel XEON X5355 ×2 (8core)
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計算結果 (環境 4. による)k

161718

1920

dk

3749

65

86114

2k−38192

16384

32768

65536

131072rank(S (k) mod p)

8155

16335

32703

65450

1309582k−3 − rank(S (k) mod p)37496586114

EDS 生成 (1CPU)

22sec

85sec

4.5min

11min

30min

前処理 (1CPU)

5sec

19sec

1.5min

9min

57min

rank 計算 (8CPU)

2min

13min

1.3hour

9hour

67hour

所要メモリ量

72MB

288MB

1.2GB

4.6GB

18GB

以上により予想 2 が (したがって予想 1’ も) k = 20まで検証できた.
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文献
A. B. Goncharov, Periods and mixed motives, preprint (2002).
M. Hoffman, M., The algebra of multiple harmonic series, J.
Algebra 194 (1997), 477–495.
K. Ihara, M. Kaneko and D. Zagier, Derivation and double
shuffle relations for multiple zeta values, Compositio Math.
142-02 (2006), 307–338.
M. Kaneko, M. Noro and K. Tsurumaki, On a conjecture forthe dimension of the space of the multiple zeta values, toappear in Software for Algebraic Geometry, IMA Volumes inMathematics and its Applications 148, Springer.

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文献 (つづき)
M. Espie, J-C. Novelli, and G. Racinet, Formal computations
about multiple zeta values, in “From Combinatorics toDynamical Systems” (Strasbourg, 2002), IRMA Lect. Math.
Theor. Phys. 3, F. Fauvet and C. Mitschi (eds.), de Gruyter,Berlin, (2003), 1–16.
T .Terasoma, Mixed Tate motives and multiple zeta values,Invent. Math. 149 (2002), 339–369.
D. Zagier, Values of zeta functions and their applications, in
ECM volume, Progress in Math., 120 (1994), 497-512.

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