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第１部

電磁界シミュレータの基礎
第 1 章 電磁界シミュレータの開発史，OpenMOM と OpenFDTD の動作環境など

アンテナ特性を理解するための電磁界シミュレータの基礎知識
大賀 明夫
Akio Oga

り返り，現在に至る背景について述べたいと思います．

1.1 電磁界シミュレータとは■ 1.2.1 計算機以前

Maxwell

電磁界の現象は，すべてマクスウェルの方程式が支配しています．マクスウェルの方程式を解けばアンテナの特性をはじめ，あらゆる電磁界の特性を知ることができます．マクスウェルの方程式は電界と磁界に関する偏微分方程式の形をしています．これを数式で解くことは容易ではなく，今までに解かれたものは形状の単純なダイポール・アンテナなどだけです．これより複雑な形状になると，近似的な解を得ることも容易
ではありません．
そこで別の手段として，計算機上でマクスウェル方程式を数値的に解くために開発されたのが「電磁界シミュレータ」です．電磁界シミュレータがあれば，ユーザはアンテナ形状等を入力するだけでよく，あとは計算機がアンテナ特性などを計算してくれます．計算機（パソコン）の能力は年々向上しており，今まで解けなかったような大規模な問題や複雑な問題も解けるようになっており，今後ますますその適用範囲は広がっていくものと思われます．
電磁界シミュレータは，電磁気が関係するさまざまな分野で利用されていますが，本特集ではおもにアンテナの解析を中心に説明したいと思います．

19 世紀後半にマクスウェル方程式が提唱され，1888
Hertz
年にヘルツが実験で電磁波の存在を証明し，1895 年にMarconi
マルコーニが電波を使った通信に成功しました．
20 世紀前半には，電波を使った通信と放送に向けた研究が各国で行われました．その間，ダイポール・アンテナに関する深い洞察により，一方向に高い利得を持つ八木・宇田アンテナも発明されました．これらと並行して，理論的な研究も盛んに行われました．
マクスウェル方程式をより解きやすい形に変換し（3）（4），いろいろなモデルを近似的に解く方法が開発されました．しかし任意の形状を十分な精度で解くには20世紀後半の計算機の登場を待つ必要がありました．

■ 1.2.2 モーメント法
図 1.1 は電磁界シミュレータにまつわるできごとを年代順にまとめたものです．
計算機が登場すると，ほとんどあらゆる科学技術の分野で計算機シミュレーションが模索されました．電Mei
磁界の分野では，最初に発表されたのは 1965 年のメイの論文でした（5）．続いて面状アンテナについてワイヤー・グリッド・モデルが提案されました（6）．これらの1.2 電磁界シミュレーションの歴史手法に「モーメント法」という名前を付けて理論的にHarrington整理したのがハリントンです（7）．これによって電磁界ここでは電磁界シミュレーションの歴史を簡単に振シミュレーションが始まりました．「モーメント法」という名称は，アンテナ上の電流分布を重み付きの展

1965
65

1975

1980

1985

1990［年］

メイ（Mei）の論文

モーメント法

FDTD法

1970

6866

ハリントンによるモーメント法の提案

イー（Yee）の論文

81

NECの発表81

マー（Mur）による吸収境界条件
ベレンジャーによる完全整合層（PML） 94〈 図 1.1 〉電磁界シミュレータに関する主なできごと

10No.39

特集

はじめてのアンテナ・シミュレーション

開関数の和で表したことから来ていますが，この名称が使われるのは電磁界の分野だけで，数値解析の手法で分類すると，積分方程式法または境界要素法（8）に分ミュレータの開発が加速されました．同時に FDTD
（15）
（16）
．
法の優れた参考書も出版されました（14）FDTD 法の開発がモーメント法に比べて遅れたのは理論的な問題もありますが，計算機能力の問題もあ類されます．
（7）
モーメント法は基礎方程式を微分形にするか（3），ります．波長オーダの大きさの線状アンテナでもモー（9），展開関数に何をとるか，重み積分形にするか（4）メント法なら昔の非力な計算機でも計算できました．
しかし，FDTD 法は 3 次元の差分法であるために計算量が多く，実用的なモデルの計算ができるようになったのはここ 20 年のことです．そして大規模問題（計算対象の大きさが波長に比べて大きいモデル）では，図1.2 に示すように FDTD 法はむしろモーメント法より有利になります．
FDTD 法はその強力な計算機能により，現在の電磁界シミュレーションの中心的な存在になっています．多くの商用ソフトも販売されており，いろいろな分野で使用されています．

関数に何をとるか，面状導体をどう扱うか，誘電体をどう扱うかなどバリエーションが多い計算手法です．
そ の 後 の 研 究 成 果 を 踏 ま え て 1981 年 に “NEC”（Numerical Electromagnics Code）というフリー・ソフトウェアが公開されました（10）．この後継バージョンは現在でも広く使われています．また現在，多くの商用ソフトウェアも販売されています．

■ 1.2.3 FDTD 法
以上のモーメント法と並行して研究されたのがFDTD 法（Finite−Difference Time−Domain method）です．日本語では「時間領域差分法」と呼ばれます．
電磁波は無限に広がって伝搬しますが，これを有限の領域に限定して差分法で解く手法です．
最初に発表されたのは，モーメント法とほぼ同時期
Yeeの 1966 年のイーの論文です（11）．現在も Yee 格子という名前で残っています．ただし FDTD 法は，研究のMur
進展が遅く，1981 年にマ ーが吸収境界条件を発表して開放領域の計算ができるようになりました（12）．
開放領域の計算はアンテナ解析では必須です．しかし，吸収境界条件の精度はまだ不十分であり，これを改良するために多くの手法が提案され，ついに 1994
Perfectly Matched Layer
年に PML（完全整合層）が発表されました（13）．これは精度が非常に良く，吸収境界条件の問題が解決したことから，安心して FDTD 法が使えるようになり，シモーメント法

1.3 OpenMOM と OpenFDTD の動作環境
OpenMOM（1）と OpenFDTD（2）の動作環境は以下のとおりです．

■ 1.3.1 OS
Windows 10（64 ビット）または Linux で動作します．
Windows 10 より古いバージョンでも動くと思いますが，動作を確認していません．

■ 1.3.2 CPU
CPU が高速であるほど計算は短時間で終わります．
またプログラムは並列化に対応しているので，より多くのコアを持った CPU では計算時間を短縮できます．

■ 1.3.3 メモリ
8 G バイト以上を推奨します．大規模な計算を行うにはより多くのメモリが必要です．4 G バイトでも最低限の動作はします．

log（計算時間）■ 1.3.4 ハード・ディスク
FDTD法

ハード・ディスクにメモリ容量の数倍以上の空き容量があることを確認してください．

■ 1.3.5 ブラウザ
図形出力はウェブ・ブラウザ上に表示されます．
Microsoft Edge，Google Chrome，Firefox，InternetExplorer で動作確認を行っています．
モーメント法が有利

FDTD法が有利

log（大きさ/波長）〈 図 1.2 〉モーメント法と FDTD 法の計算時間

No.39■ 1.3.6 コンパイラ
Windows では添付されている実行プログラムがそのまま動きますので，コンパイラは必須ではありませ11