2.1. 円形導波管内での電磁波

ウェイク場、インピーダンスとロス
ファクター

後述するウェイク場を考える前に、ビームチェン
バーや空洞の中での電磁場の様子やその伝播について勉強する。円形加速器のビームチェンバー

1. はじめにや空洞などは円形の形をしていることが多く、まこの講義ノートは加速器科学の初心者の人を対たそれらが円形対称性を持つと仮定する、あるい

象にインピーダンスとウェイク場の問題を解説

は近似したほうが取り扱いが簡単になる場合がしたものである。インピーダンスとウェイク場の多いので、ここでは円形の形をした導波管や空洞問題は今までにも OHO シリーズの中でたびたびのみを考える。境界条件が軸対称性をもつので、取り上げられていて[1、２]、加速器物理を勉強す

円柱座標を使って電磁界を記述するのが便利でる人にとって必修科目である。この講義ノートのある。円形導波管を伝播する電磁波は TM 波（磁内容の多くは OHO９６と０５[2]で講義者が書き界は横波であり、進行方向成分をもたない）と TE残した講義ノートに準拠していている。今回はビ波（電界は横波であり、進行方向成分をもたない）

ーム不安定性の部分は別の講師が行うとのことがある。TE 波は、進行方向に傾きをもたないでで割愛した。一方、ロスファクターについては多直進するビームとは相互作用しないので、円形加少加筆した。

速器のビーム不安定性理論ではあまり取り扱わ

インピーダンス、ウェイク場といった問題はさ
まざまな教科書（Zotter-Kheifets[3]、Chao[4]）で説明され、比較的馴染み易い分野にもかかわらず、実際に加速器を取り巻くさまざまな装置に対し応用しようとすると、なかなかうまくいかないない。ここでは時間の都合で TM 波だけを考える。
時間方向と z 方向(進行方向)空間の一様性のために、電場界は一般的にE z = E r (r ) ⋅ Eθ (θ ) ⋅ exp(iωt − iβ z )(2.1)

ことが多い。これはインピーダンスやウェイク場
は、誘起された電磁場をビーム不安定性理論に取と書ける。また軸回転方向θ に関しても、電磁界り込みやすいように加工したものであるが、肝心の 円 形 導 波 管 一 周 に 渡 る 周 期 性の電磁場に対する直感的で電磁気学（RF）的な理（ Eθ (θ + 2π ) = Eθ (θ ) ）からフーリエ展開がで解がないと、インピーダンスの評価や機器の設計

き、その結果、が難しいからである。結局、マイクロ波工学を多少勉強しないと空洞や導波管中の電磁場の様子
やその伝播の仕方がよくわからない。マイクロ波∞

E z = ∑ E rm (r ) ⋅ exp(imθ ) ⋅ exp(iωt − iβ z ) (2.2)
m = −∞

工学の更なる解説は OHO84 を参照して下さい。
全体の構成は以下のとおりである。まず入門とを得る。ここでｍは整数である。インデックスｍ

して空洞や導波管内での電磁波の様子についてはこの電磁解の軸方向に関する周期性を表して勉強する。次にウェイクの説明に移り、そのフー

おり、モードと呼ばれている（m=0 はモノポール

リエ展開としてインピーダンスを導入する。最後（電磁界は軸対称）、m=1 はダイポール）。これ以にロスファクターについて簡単に説明をする。

降は電磁場のｚ方向成分だけを考え、電磁界の記

2. 空洞や円形導波管内での電磁場インピーダンスとウェイク場を勉強する前に、ま号にもｚのインデックスを省略する。さて、θ=0の原点をどこにとるかは任意なので、簡単のため、式（2.2）をず導波管や空洞内に於ける電磁場とその伝播に関する一般的な知識を学習しよう。

∞

E = ∑ E rm (r ) ⋅ cos(mθ ) ⋅ exp(iωt − iβz ) (2.3)
m = −∞

と書こう。この一般解をマックスウェル方程式にとなる。 図１に E z 0 (モノポールモード)の導波管入れると、 E rm (z ) に関する波動方程式を得る：

内径方向分布の一例を示した。式（2.5）から位相2d E rm 1 dE rm
m2
2
k
+
+
(
−
) E rm = 0 .
c
r dr
dr 2
r2

(2.4)

定数β は

⎛ρ ⎞
β = k − k = k − ⎜ mn ⎟
⎝ a ⎠
2

ここで

k =ω /c(2.5)

k c2 = k 2 − β 2

2
c

2

2

(2.9)

で与えられるので、k < ρ mn / a の時はこの電磁界は導波管中を伝播せず、ｚの方向に指数関数的に減衰していく。つまり、電磁界の周波数がである。
この方程式の解はベッセル関数で表わされる：

E rm (r ) = J m (k c r ) .

ωc = c(2.6)

円形導波管の半径を a とすると、導波管の内壁では電解の接線成分はゼロになるので、E rm (z ) は半
径 a でゼロになる。即ち、

ρ mn(2.10)a以下のとき、式（2.8）で与えられる電磁波は導波管を伝播しない。言い換えれば、周波数が ω c 以下の電磁波を円形導波管に入射することは出来ない。これを遮断周波数（カットオフ周波数）と呼J m (k c a ) = 0 .

(2.7)

つまり k c a は m 次のベッセル関数のゼロ根である。これによって変数β と周波数ω とが関係づけられる。m 次のベッセル関数のゼロ根は無限にあり、表１にその一部を示した。
次数 m のベッセル関数の n 番目のゼロ根をρ mn と書くとすると、 k c = ρ mn / a であるから、ぶ。β の逆数は電磁波の導波管内での波長（管内波長 λ g ）を与えるので、管内波長は

λg =

2π

⎛ρ ⎞
k 2 − ⎜ mn ⎟⎝ a ⎠(2.11)

2となる。遮断周波数で管内波長は無限大になる。

境界条件を満たす電磁場の ｍ 次のモードの ｚ 方
向成分はE zm = J m (ρ mnar ) ⋅ cos(mθ ) ⋅ exp(iωt − iβ z ) (2.8)

r
J 0 ( ρ 01 )aaTable 1nm 次のベッセル関数のゼロ根 ρ mn 。
1

2

3
Fig. 1 円形導波管内での TM01、 E z 0 (モノポー

m
0

2.40

5.52

8.65

1

3.83

7.02

10.17

2

5.14

8.42

11.62

ルモード)の導波管内径方向分布。
その他の電磁場解成分は以下のようになる：

β

E rm = −iEθm = i( y mn / a )cos(mθ ) J m' (ρ mnar ) exp(iωt − iβ z )整数 m,n,l は無限にあるので、空洞の半径 a と長さ L が決まっても、空洞の共鳴モードは無数にある。それらを TMmnl モードと呼ぶ。その幾つかの
ρ mn
1
m
J
r
i
t
−
i
z
θ
ω
β
sin(
)
(
)
exp(
)
m
例を図３に示した。
ra( y mn / a )2mβ

E zm = cos(mθ ) J m (H rm = −iH θm = −iρ mnar ) exp(iωt − iβ z )

mε 0ω

ρ
1
sin( mθ ) J m ( mn r ) exp(iωt − iβz )ra( y mn / a )2

ε 0ω( y mn / a )cos(mθ ) J m' (ρ mnar ) exp(iωt − iβ z )H zm = 0(2.12-17)'

ここで J m ( x) は J m (x) のｘに関する微分である。
この様に導波管内の電磁波は、進行方向成分の有無とθ 方向の依存性を表すモード番号 m、径方向の依存性を表すモード番号 n によって分類することができる。そこで磁場が進行方向成分を持たな
い TM 波はモード番号 m と n によって TMmn モードと書くことにする。例として TM01 モード（モノポールモード）と TM11 モード（ダイポールモ

Fig. 2 円形導波管内の電磁界分布。
（上）TM01 モード）の電磁界分布を図２に示す。

ード（モノポール）、（下）TM11 モード（ダイポール）。

2.2. 円形空洞内の電磁場
次に、この円形導波管の両端に板を置いて短絡してみよう。この時は、電場の径方向と軸方向成分が短絡した面で境界条件（＝完全導体との境界では電場の接線方向成分はゼロ）を満たさなくてはならない。つまり、両端を短絡した導波管（空洞）内では進行方向に完全な定在波ができる。以上の条件は空洞での管内波長の 1/2 の整数倍が空洞の
長さ L と等しい時に満たされる。式（2.11）から

L=l

λg
2

.

(2.18)

これによって空洞内の共振周波数が決まる：
2

ド（モノポール）、（下）TM111 モード（ダイポー2ρ(kc ) = ⎛⎜ mn ⎞⎟ + ⎛⎜ πl ⎞⎟ .
⎝ a ⎠ ⎝L⎠
2

Fig. 3 円形空洞内の電磁界分布。（上）TM010 モー(2.19)ル）。

実際に加速器で使用される空洞はもっと形状の一部が広がることもある。この電磁場の漏れのが複雑であるが、最大の違いは空洞の両端が完全ため、空洞の実効的な空間が広がったように見えに短絡した板があるのではなく、その中心に穴がる。従って空洞内の共振周波数はビームチェンバ

あいており（穴の半径を b としよう）、そこに円ーがない時と比べて若干下がる。

形導波管が繋がっていることである（この円形導波管の中をビームが通る）。その様子を図４に示した。

2.3. 空洞の並列共振回路モデル
最後に空洞共振器を集中定数回路で表現しよう。

s
L

一般に集中定数回路における共振回路は LRC の直列共振回路と LGC の並列共振回路が考えられab

るが、空洞共振器や加速器に於けるその他の多くのインピーダンス源は並列共振回路でモデル化されることが多い。図５は LGC の並列共振回路の一例である。

I(t)Fig. 4 円形空洞とその両端についた円形ビームチ
ェンバー（ピルボックス空洞）。

V(t)

L

C
G

この様に円形空洞の両端に円形ビームチェン
バーを繋げたものをのをピルボックス空洞と呼ぼう（円形ビームチェンバーがなくてもピルボッ
クス空洞と呼ぶが）。さて、円形導波管が両端に繋がっている時の共鳴モードを考えてみよう。前章でこの円形導波管には式（2.10）で与えられる
遮断周波数（a を b に置き換える必要あり）があることを学習した。つまり式（2.19）で与えられる空洞の TMmnl モードの共鳴周波数がこの遮断周波数より低いときにのみ、このモードは空洞内

Fig. 5 空洞共振器と等価回路の LGC 並列共振回路。
並列共振回路では回路に流れる全電流は LGC それぞれの回路要素を流れる電流の和に等しい。つまり、に留まる。言い換えれば、空洞の TMmnl モードの共鳴周波数がこの遮断周波数より大きいときは、I (t ) = C

そのモードは導波管を通じて外へ伝播していってしまう。
次に空洞内にトラップされた共鳴モードを考えよう。このモードの周波数はビームチェンバーの遮断周波数より低いので、空洞内にトラップさ

dV
1+ GV + ∫ Vdt .
dt
L(2.20)

ここで C はキャパシタンス（静電容量）、G はア
ドミッタンス（抵抗の逆数）、L はインダクタンスである。電流と電圧がそれぞれ I (t ) = Iˆ exp(iωt ) 、れているが、減衰する波として、その一部はビー

V (t ) = Vˆ exp(iωt ) の様に振動していると仮定す

ムチェンバーの中にも存在する。モードの共振周ると、式（2.20）は波数がビームチェンバーの遮断周波数と近い時には、ビームチェンバーのかなり遠くまでモード

Iˆ = YVˆ(2.21)

以上で空洞共振器を並列共振回路でモデル化と書け、ここでした。次に実際にビームが空洞を通過した時に、Y (ω ) = iωC + G − i1ωL(2.22)LGC 回路のそれぞれの要素は空洞で起こる何に対応しているか考えよう。図６にその対応を示した。ビーム電流 I b を持ったビームが空洞を通過すであり、Y をアドミッタンスと言う。並列共振回ると、電磁誘導によって空洞内の磁場の変化を妨

路のインピーダンスは Y の逆数である：

げる向き、つまりビームの進行方向と逆向きに誘1
Z (ω ) =.
Y (ω )(2.23)に抵抗があると、更に起電力が生じ、 I R の電流がこのインピーダンスを空洞の特性を表す３つのパラメーターで表現すると以下の様になる：

Z (ω ) =導起電力が生じ、空洞のインダクタンスに比例す
る鏡像電流 I L が空洞の表面に流れる。空洞の材質

Rs
⎛ω
ω ⎞
⎟⎟
1 + iQ⎜⎜ R −⎝ ω ωR ⎠.

ビーム電流の向きと逆向き流れる。空洞のギャッ
プ間には電荷がたまるため、変位電流 I C が流れる。

(2.24)IL + IRIC
ここで ω R は共振周波数

1

ωR =

LC

,

Ib

(2.25)

Fig. 6 ビームが空洞共振器を通過したときに誘起される電流の様子。

Q はクオリティファクター或は Q 値
以上を総合すると、電荷の保存則から

1 C
,
Q=
G L

(2.26)

Rs はシャントインピーダンス

Ib + I L + I R + IC = 0(2.29)

が得られる。この式を回路に誘導される起電力 Vの式として書き換えると

Rs =

1
G

(2.27)である。空洞の特性を評価する時によく使われる
Rs / Q は

Rs
L
=
Q
C

(2.28)VdV
1
Vdt + + C
= −I b∫LR
dt(2.30)となる。ここでアドミッタンス Y を

Y ⋅V = −I b

(2.31)と定義するとアドミッタンスは式（2.22）で表さで与えられ、G によらない。

れ、その逆数である空洞のインピーダンスも式（2.24）で表される。

3. ウェイク場
さて、いよいよビームとそれを取り巻く構造体との間の電磁的相互作用の問題に移ろう。相互作用の結果出来る電磁場をウェイク場と呼ぶ。

まず、どうしてウェイク場ができるのかを考えてみよう。
3.1. ウェイク場
完全導体で出来た真っ直ぐなチェンバーの中心を光速で直進する粒子を考える。チェンバーの外側で電磁場がゼロになる様にチェンバーの内側

Fig. 7

鏡像電流によるウェイク場の発生。

の表面上に鏡像電流が誘起され、粒子との間に電磁場の雲ができる。そして全体がそのまま光速でウェイク場は境界条件付きでマックスウェル

前方に移動していく。境界の効果はこの鏡像電流方程式を解くことによって求められる。 しかしによって置き換えることができるので、以下境界

これは大変な作業であり、ビーム不安定性とインの存在をわすれてもかまわない。さて、チェンバ

ピーダンスの問題を検討するときに最も多くのーの先で口径が急に広がっているとしよう（図７

時間はここに費やされる。 解析的に計算できる

参照）。

粒子はそのまま直進するが鏡像電流は

場合は極めて限られていて、円形のチェンバーがパイプに沿ってその軌道が曲げられるだろう。そ小さく波打っている場合や、真っ直ぐなチェンバの時、鏡像電流はシンクロトロン放射を出す。こーが非完全導体でできている場合などだけであれがウェイク場である。広がったチェンバーの替る。 殆どの場合、ABCI [5]や MAFIA [6]などのりにチェンバーの材質が電気伝導率有限の物質

計算機コードを使って計算する。

になっていたとしよう。 鏡像電流は急に減速され、前方に制動輻射を出す。

これもウェイク場である。つまりウェイク場とは鏡像電流の軌道が3.2. ウェイクポテンシャル

曲げられた時、或は加速、減速された時（つまり、横方向か縦方向に加速が加わった時）に鏡像電流

さて、粒子の作るウェイク場が計算できたとしよが出す輻射なのである。では輻射のエネルギーはう。今度はそのウェイク場が粒子の（ウェイク場

どこから来るのか。もちろん最終的には粒子からを作った粒子だけでなく、周りの他の粒子も含めである。輻射場、粒子、そして鏡像電流と粒子間て）運動にどう影響を与えるかを考えてみよう。

の電磁場、この３つの間でエネルギーのやり取り

これはビーム不安定性の解析をする際の重要ながなされる。こうして、ウェイク場を鏡像電流がインプットになるので、解析に便利な様に結果を出す輻射と考えると、その軌道を考察すること

うまくパラメーター化しておく必要がある。

で、どこでウェイク場が作られ易いかが直感的に理解できる。

粒子の運動方程式を書くためには、ウェイク場が引き起こす粒子の運動量の変化を知らなければならない。粒子がウェイク場の雲の中を通過する間に起きる軌道変化が十分に小さければ、ウェ
イク場による粒子の運動量変化の総量を知れば充分である。
議論を簡単にするために、ウェイク場は軸対象
構造体の中で出来るとする。対称性から電磁場は

軸の周りの角度θに関して cos mθ の形にフーリ

FL = eE z cos mθ ,(3.2)

エ展開できる。次数の低い順に モノポール(m=0)、ダイポール (m=1)と呼ぶ。殆どの場合、

FT = e( E r − c ⋅ Bθ ) cos mθ ⋅ r ≡ FT cos mθ ⋅ r

問題となるビーム不安定性はこの２つの成分を(3.3)

考慮すれば充分である。

.

さて、上手な解析の第一歩はウェイク場を誘起する粒子の集まり（これを誘導ビームと呼ぶ）をどう用意するかにある。
単純に針の様なビームを用意し、それが軸対象構造体の軸からずれたとして話を展開すると、モノ

q

e

b

r0

r

ポールやダイポールだけではなく、全ての高次のモードを一編に考えていかなくてはならない。これでは都合が悪いので、誘導ビームとして

scos mθ の電荷分布をもったリングを考える（図８参照）。リングの半径を r0 とし、リングの中心は構造体の軸上を走る。 そうすると次数 m の電磁場を考えるときは cos mθ の電荷分布をもったリングを用意すればよく、違う次数の電磁場の計算には別のリングを用意して別々に行えばよい。
しかも、リングの電流密度を、電荷 q の点電荷がθ = 0 の方向に r0 のオフセットを持った時と同じ

Fig. 8リング状の誘導ビームと試験粒子との位置関係。

モーメントを持つ様に選んでおくと後で都合がここで、 r は放射方向の単位ベクトルであり、E z 、E r と Bθ はそれぞれ θ = 0 での電場と磁場の良い：

軸方向、径方向と角度方向の成分である。試験粒qcλ=δ ( z − ct )δ (r − r0 ) cos mθ .
πr0 (1 + δ m 0 )子がウェイク場の雲を通過中に受ける運動量変化の総量は試験粒子に乗った系で受ける力を積分すれば求まる：(3.1)∞

ここで c は光速度であり、 δ m 0 はクロネッカーのデルタである。
次にこのウェイク場から力を感じる別の粒子（試験粒子）を考える（図８を参照）。

この粒子は同じバンチの中で誘導ビームを構成する粒子群と一緒に（軸と平行に）動いてる粒子を念頭においている。２つの軸方向における相対的位置がウェイク場を通過中にあまり変わらないとして、誘導ビームが軸方向の位置 z にいる時に試験粒子
は誘導ビームの後方 s のところを走っているとしよう。

試験粒子は軸から r だけ離れた所を走るとする。この試験粒子が時間 t の時、軸方向の位置 z で受ける縦方向、横方向（径方向）のローレ
ンツ力を FL , FT とする：

Δp Z = ∫ dzFL ( z , t =
−∞

z+s
)
c

.

(3.4)

≡ −eqWLm ( s ) ⋅ r0m r m cos mθ
∞Δp T = ∫ dzFT ( z , t =−∞∞= ∫ dzFT ( z , t =
−∞

z+s
)
c
z+s
) ⋅ cos mθ ⋅ rc. (3.5)≡ eqWTm ( s ) ⋅ mr0m r m −1 cos mθ ⋅ r
ここでは証明を省くが、マックスウェル方程式を変換すると、以上の様に定義された W Lm (s ) とWTm (s ) は誘導ビームの半径や試験粒子が構造体

のどこを走っているかによらないことが分かる（つまり運動量変化の r0 や r 依存性は式（3.4）と（3.5）に明確に表現されている）[4]。従って、関数 W Lm (s ) と WTm (s ) は構造体の形状によって一3.3. Panofsky-Wenzel theorem
さて、縦方向と横方向のウェイクポテンシャル
W Lm (s ) と WTm (s ) と の 間 に は Panofsky-Wenzel
theorem と呼ばれる関係がある[7]：

意的に決まる関数で、これをウェイクポテンシャ
ルと言う。 誘導ビームは光速で走っていると仮定すると（これは陽子ビームでは当てはまらない
時もあるが）、ウェイクポテンシャルは誘導ビー
ムの前方でゼロになる：

W Lm ( s ) = WTm ( s ) = 0 ( s < 0) .

(3.6)

試験粒子の運動量変化の式（3.4)と(3.5)をもう少し詳細に調べて見よう。
z モノポール場（m=0）

s

WTm ( s ) = ∫ dsW Lm ( s ) .

(3.7)

0

この関係はこのままでは殆ど役にたたない。なぜなら次数 m の W Lm (s ) を計算できるほどに電磁場解が解かっているならば、同じ次数の WTm (s ) も直接、定義に従って計算できるはずで、
Panofsky-Wenzel theorem に頼る必要はないからである。この関係はむしろモノポール場でのWL 0 ( s ) が計算できるが、ダイポール場の WT 1 ( s )の計算が困難な場合や、ダイポール場の WT 1 ( s ) のウェイクポテンシャルはゼロである。さて、式直接の計算を端折りたいときに、モノポール場のW L 0 ( s ) からダイポール場の WT 1 ( s ) を近似的に求（3.4）から試験粒子の運動量変化は誘導ビームのめるときに用いられる。よく使われる近似式は

この時、当然のことながら対称性から横方向のリングの半径にも、また試験粒子の位置にもよらsない。結局、→試験粒子の運動量変化は誘導ビームと試験2
WT 1 ( s ) ≈ 2 ∫ dsWL 0 ( s )
b 0

(3.8)

粒子の相対距離だけの関数である。
z ダイポール場（m=1)

式（3.5）から、運動量変化は誘導ビームのリングの半径に比例するが、自分自身の構造体の軸からのオフセットの量とその向きにはよらない。
一方、 cos mθ の電荷分布をもったリングはその電流密度の選択より、構造体の軸から θ = 0 の方
向に r0 だけオフセットをもった電荷 q のビームとで、ここで b はビームチェンバーの内径である。

3.4. ウェイクポテンシャルの振る舞い
さて、 Panofsky-Wenzel theorem (3.7)と式（3.6)
より横方向のウェイクポテンシャルは原点ではゼロであることがわかる：

WTm (0) = 0 .

(3.9)

同じモーメントを持っている。結局、→試験粒子の運動量変化の大きさは誘導ビ

一方、縦方向のウェイクポテンシャルの原点近ームのオフセットに比例する。その向きはWTm (s ) が正（負）ならば、誘導ビームのオフセ

傍での振る舞いはどうであろうか。エネルギーのットの向き（逆向き）と同じである。

持つエネルギーは、誘導ビームのエネルギーによ保存法則から誘導ビームの作ったウェイク場がって補われなければならない。従って誘導ビーム
はウェイク場によって減速される力を受ける筈
である。つまり、lim s →+0 WL 0 ( s ) > 0 .

(3.10)った縦方向のウェイク場を感じることができる
のに、どうして横方向の場合はそれができないの

さて ε を微小な量とすると、位置 s = −ε ではウェ
イクポテンシャル W L 0 ( s ) はゼロであり s = ε でかを考えてみよう。 簡単のために誘導ビームのは W L 0 (ε ) の値を持っているとして、 s = −ε とし、ウェイク場は図８に示したような空洞で出来s = ε の間でウェイクポテンシャルを直線で繋ぐと、s = 0 ではウェイクポテンシャルは W L 0 (ε ) / 2

ール場を、横方向の代表としてダイポール場を考の値をもつことがわかる：

るとしよう。
える。

また、縦方向の代表としてモノポ

この章の第２節で説明した様に、ウェイ

ク場は導体の表面を走る鏡像電流からの輻射によって作られる。この輻射は当然前方にでるのW (ε )
W L 0 ( 0) = L 0.
2(3.11)

で、長い距離を走る内に誘導ビームに追い付くことができる。このことは縦方向と横方向の場合でつまり、誘導ビームはそのすぐ後ろの試験粒子が受ける減速力の半分の力を受ける。これを“Fundamental theorem of beam loading”[8]と呼ぶ。

半径はビームチェンバーのそれと等しいと仮定

以上の結果をまとめると、縦方向と横方向のウェイクポテンシャルは一般的に図９でスケッチした様に振る舞う。

変わらない。それではなぜ横方向の場合、誘導ビ
ームは自分が作るウェイク場から力を受けないのか。その鍵は鏡像電流の流れ方の違いにある。
縦方向の場合、鏡像電流はビームチェンバー上を軸対称的に流れるが、横方向の場合、鏡像電流の向きが上下で（ θ = 0 と θ = π とで）逆転していて、違った角度にある鏡像電流からの輻射の差が横方向のローレンツ力を作っている。従って、例

WLm (s )えば θ = 0 の軌道を走る試験粒子は θ = 0 で発せられた輻射のみならず、他の部位（例えば θ = π ）で発せられた輻射がビームチェンバー上を斜めに走ってきて追い付いて始めて横方向のローレs

ンツ力を感じるのである。この場合、 θ = 0 以外
での輻射の軌道は誘導ビームのそれより長くなるため誘導ビームに追い付くことはできない。つまり、誘導ビームは自分が作った横方向ウェイク

WTm (s )場を感じないのである。
最後に指摘しておきたいのは、ウェイクポテン
シャルを定義、導入する過程で、誘導ビームも試験粒子も光速で移動していると仮定したことでsある。低エネルギー（１，２GeV 以下）の陽子ビームの場合、この仮定はあまりよい近似とはいえない。しかし、この章で述べたウェイクポテンシ
ャルの性質の多くはこの仮定の上で成り立つ。また、次章で説明するインピーダンスが、構造体のFig. 9一般的な縦方向と横方向のウェイクポテ

ンシャルのスケッチ。

性質で決まり、ビームのパラメーターによらないためにもこの仮定は必要である。この辺りで多少の不整合が存在するが、理論全体をすっきりさせ

さて、誘導ビームが進行方向に薄いリングのような形状をしている時に、誘導ビームは自分が作るために、必要な仮定（近似）である。

V (ω ) = − Z L (ω ) I (ω ) .

4. インピーダンス(4.4)

ここで、インピーダンスの前に負の符号をつけた

4.1. インピーダンスの定義のは電圧 V を直接作っているのは鏡像電流であ

前章で求めたウェイクポテンシャルは、ビームのり、それは-I で与えられるからである（章 2.3 の振る舞いを時間領域で調べるのに都合が良く、ト図６を思い出そう）。

ラッキング等を行う時に便利である。 しかしビームの振る舞いを解析的に調べようとすると、周I (τ )

波数領域で議論した方が簡単で都合が良いことが多い。

そこでインピーダンスという量を、第r0２章で学習した電気回路や RF での定義に沿うよ
うに定義しよう。以下、説明の簡略化のためにモノポール場での縦方向インピーダンスとダイポsール場での横方向インピーダンスの場合に議論を限る。 実用上、これで十分である。
縦方向の電流分布 I (τ ) を持った誘導ビームを考える(図１０参照)。ビームの横方向分布は任意でよいが、ビーム重心はチェンバーの軸から r0 の
オフセットを持つとする。 この電流のフーリエ変換 I (ω ) を以下の様に定義する。：

Fig. 10 縦方向の電流分布 I (τ ) を持った誘導ビー
ムとその先端から距離 s だけ遅れて走る試験粒子。
ダイポール場での横方向インピーダンスも同

I (ω ) =様に定義できる：∞

1dτI (τ ) exp(iωτ ) .
2π −∫∞(4.1)

VT (ω ) = iZ T (ω ) ⋅ r0 I (ω ) .

このビームの先端から距離 s だけ遅れて走る試験
粒子を考える。この粒子がウェイク場から受ける
軸方向電場の積分値（つまり電圧）はエ変換である。定義（4.5）に虚数 i を導入したのれることが多いのを考慮してあるからである。

(4.2)

で与えられる。この電圧をフーリエ変換して周波数の関数としたものを V (ω ) とする：
∞

1 ds
s
V (ω ) =V ( s ) exp(iω ) .
∫2π −∞ cc

ここで r0 I (ω ) は横方向ダイポール電流のフーリ
は、横方向電圧の位相が電流の位相より 90 度ず∞( z + s)V ( s ) = ∫ dzE Z ( z , t =
)
c
−∞

(4.5)

(4.3)

さて、誘導ビームとして特別に、光速で移動す
る電荷 q 、半径 r0 のリング(i.e., I (τ ) = qδ (τ ) )を考えると、インピーダンスとウェイクポテンシャ
ルとの間の関係が導き出せる。この場合、試験粒子が受ける電圧は、式（3.4）を使ってV ( s ) = −qW L 0 ( s )(4.6)となる。つまりウェイクポテンシャルその物であ
電圧、電流のフーリエ変換が定義されたので、これらを使って縦方向インピーダンス Z L (ω ) を以下の式で定義する：る。この電圧のフーリエ変換は

V (ω ) = −

∞

q ds
s
WL 0 ( s ) exp(iω )∫2π −∞ cc

(4.7)

Z T (−ω ) = − Z T* (ω ) .

(4.12)

縦方向の場合、インピーダンスに周波数を掛けた
り割ったりしたものがビーム不安定性の公式にとなる。また電流のフーリエ変換は現れることが多いので、実際には横方向と同じポーラリティを持つと考えた方が都合が良い。 図∞1qI (ω ) =dτI (τ ) exp(iωτ ) =
.
∫
2π −∞
2π

(4.8)

ンピーダンスを例にとり、その周波数依存性を概で与えられる。式（4.4）、（4.7）、（4.8）から、
Z L (ω ) は縦方向ウェイクポテンシャル W L 0 ( s ) のフーリエ変換に等しいことが分かる：∞

dss
Z L (ω ) = ∫ WL 0 ( s ) exp(iω ) .
cc−∞１１に典型的なインピーダンスとして空洞型イ(4.9)

念的に示した。
第３章で学習した Panofsky-Wenzel theorem を
インピーダンスで表すとZ Tm (ω ) =c

ωZ Lm (ω )(4.13)となる。また同じ章で、m=0 の縦方向ウェイクポ
同様に、横方向インピーダンスと横方向ウェイク

テンシャルと m=1 の横方向ウェイクポテンシャ

ポテンシャルとは

ルを関係づける便利な近似式（3.8）を披露した。
この近似式に対応して、それぞれのインピーダン

Z T (ω ) =

∞

s
1 ds
WT 1 ( s ) exp(iω )∫i −∞ cc(4.10)

ス間の関係も次の式で近似できる：

ZT ≅の関係がある。

2c Z L.
b2 ω(4.14)

ここで注意する必要があるのは、インピーダン
スの定義は式（4.4）と（4.5）であって、式（4.9）と（4.10）はインピーダンスとウェイクポテンシ
ャルの間の関係を示しているにすぎない。つまこの近似式はかなり広く使われている。

Z L (ω )ω

り、インピーダンスはウェイクポテンシャルを知らなくてもその定義から独立に計算できる。むし, Z T (ω )Realろインピーダンスを求めて、それからウェイクポ
テンシャルを関係（4.9）及び（4.10）の逆変換を使って計算することはよくある。次の節でそれら

ωの例を幾つか上げる。
4.2. インピーダンスの性質

Imaginary

その前にビーム不安定性を考える時に役立つ大事な指摘をしておく。周波数 ω が正と負の領域でのインピーダンスの間にはウェイクポテンシャ

Fig. 11 縦方向（ Z L / ω ）と横方向（ Z T ）インピルが実数であるために、次の関係がある：

Z L (−ω ) = Z L* (ω ) ,ーダンスの概念図。
(4.11)

4.3. インピーダンスの種類

1) インダクタンス:

さて、インピーダンスにはどんな種類があるのだ
ろう。典型的な縦方向インピーダンスを書いてみ

WL 0 ( s ) = Lc

るとZ L = −iωL + RW ω + RΩ +

Rc

ω

+...

(4.15)dδ ( s / c) .
ds

(4.18)

2) 純粋な抵抗

W L 0 ( s ) = Rδ ( s / c) .

ここで第１項はインダクタンス、第２項はresistive-wall インピーダンスと呼ばれ、ビームチ
ェンバーが電気伝導率有限の物質でできている(4.19)

3) ローレンツ型(共振空洞)インピーダンスャパシタンスは i/(ωC)の周波数依存性を持つはず⎧⎪0( s < 0)⎪
WL 0 = ⎨( s = 0)
αR L
s
⎪
−α ⎡
ω' s αω' s ⎤( s > 0)− sin
⎪2αRL e c ⎢cos
c
c ⎥⎦
ω'
⎣
⎩

であるが）。もう一つ重要なインピーダンスにロ(4.20)

時に生じるインピーダンス、第３項は純粋な抵抗、そして最後の項は加速空洞の全インピーダン
スの高周波成分である。第１項で L が負の時、加速器ではキャパシタンスと呼んでいる（本当のキーレンツ型インピーダンスがある。第２章の並列共振回路の講義で学習した様に、加速空洞のイン
ピーダンスはこの形で書ける：

Z L (ω ) =Z T (ω ) =RL

1 + iQ (

ωR ω
−
)
ω ωR

RT

ωR
ω

ω
ω
1 + iQ( R −
)
ω ωR

,

(4.16)0⎧⎪s
2
WT 1 = ⎨ RT ω R −α c
ω' s
e
sin
⎪ Qω 'c⎩( s ≤ 0)( s > 0).

(4.21)
ここで,.

(4.17)

ここで R L と RT は縦方向と横方向のカップリン

α = ω R /(2Q) ,(4.22)

ω ' = ω R2 − α 2(4.23)である。
以上の様な形式的な説明では、インピーダンス

グインピーダンス、 Q はＱ値で ω R は共振周波数の種類とその名前はわかっても、実際にどういっである。

た構造体がどういうインピーダンスを作るかは

これら代表的なインピーダンスに対応するウェイクポテンシャルは、式（4.9）と(4.10)の逆変

よくわからない。そこでいくつかの重要なインピーダンスを簡単に求めてみよう。

換をすれば求まる。ここではインダクタンス、純粋な抵抗とローレンツ型インピーダンスのウェ
イクポテンシャルを列記するに留めよう：

4.4. インダクタンス
まずインダクタンスの説明から始めよう。ビーム
チェンバー上に図１２で示した様な小さな空洞

のような構造体があり、このビームチェンバーの中心軸上をビームが通過するとする。

Bθ

Es

μ0 I
2πb

(4.26)

で与えられる。すると式（4.24）の右辺は

EW=0

b

Bθ =

−

I ∝ exp(−iωt )μ gh∂
B ⋅ dS = i ω 0 I
∫
2πb
∂t

(4.27)となる。ここで μ 0 は真空の透磁率である。式（4.25）、（4.26）、（4.27）よりギャップ間電圧が求
まる：

g

h

V = iω

μ 0 ghI.
2πb(4.28)

Fig. 12 小さな空洞の作るインダクタンス。
インピーダンスの定義よりこの小さな空洞が作
ビームと一緒に走る電磁場の中で、電場はビー

るインピーダンスは以下の式で与えられる：

ムチェンバーの近傍では殆どゼロであるから、空μ 0 ghZ gh= −iω 0 .
2πb2πbc

洞の中では磁場だけを考えればよい。今知りたいのはギャップ間に立つ電場 E s である。そこで点Z L = −iω線で示した積分路を考える。 この積分路にそって電場の積分を行うと、それは空洞内の磁場の時

これはインダクタンスである。ここで Z 0 = cμ 0 は間変化の反対符号に等しい（ファラデーの法則）：

真空のインピーダンス（=120πΩ)である。 円形(4.29)

加速器では、ビームは円形加速器の回転周波数の∂∫ Edl = − ∂t ∫ B ⋅ dS .

(4.24)

整数倍の周波数でしかインピーダンスを誘起しない。従ってこのインピーダンスを、ω = nω 0（ ω 0は円形加速器の回転周波数、 n は整数）を使ってビームチェンバーが完全導体で出来ているとす
ると( E w = 0 )、左辺はギャップ間電圧そのものである：

V = ∫ E s ds .

(4.25)

gap

次の様に書く：Z gh
ZL= −iω 0 0n2πbc.
Z 0 gh= −iβ2πbR(4.30)

さて問題は右辺である。ビーム電流を I とし、exp(−iωt ) の様に時間変化するとする。 すると

ここでβ は粒子の速度を光速で割った量であり、空洞内の磁場は（ギャップの深さはパイプの半径ャップ間電圧が空洞内に立つ磁場の誘導起電力に対し充分小さいとして、磁場が一定と見なせる

によることを考えれば（つまりギャップはコイルと仮定）の役割をする）容易に理解できる。バンチが長い

R は円形加速器の平均半径である。この結果はギ

陽子ビームでは殆どの構造体はこの様にインダクタンスに見える。

4.5. Resistive-wall インピーダンス

によって定義されている。ここで σ c = 1 / ρ c は導次にこの空洞の中が電気伝導率が大きいが有限である物質で満たされているとしよう。 この場

体の電気伝導率である。電気伝導率が十分大きいと仮定すると( σ c >> ε 0ω )、表面インピーダンス

合、電磁場はスキンデプス以上にはこの物質の中は以下の式で近似できる：に入っていかない。ここでスキンデプスは

δs =

2ρ c

ωμ 0

iωμ 0

ς≈

σc

(4.31)=(1 + i ) ωμ 0 .
2

σc(4.36)

この式を Leontovich 条件（4.33）に入れて、磁で与えられる（ ρ c = 1 / σ c は体積抵抗率）。従って

場を Bθ で表すと、変換の末、空洞の深さがスキンデプス以上であれば、結果は空洞の深さによらないはずである。そこで、いっそ空洞の深さをスキンデプスにとってしまおう。

h = δsEw =ω2

δ s (1 + i) Bθ

(4.37)(4.32)が求まる。この電場の寄与を式（4.24）の左辺に足して前節と同じ様に式を展開すると（ h = δ s と空洞の中が電気伝導率有限の物質で満たされて設定したことを忘れないで）、ギャップ間電圧がいる効果は、式（4.24）の左辺（電場の線積分）

次の様に求まる：に現れる。図１２で示した積分路のうち、空洞の両端の壁を径方向に走る電場は対称性からゼロである（電場は径方向を向いている)。従って空洞の奥の内壁で進行方向の成分を持つ電場 E w の寄与だけを考えれば良い。この電場を正確に求めるのは実は簡単でなく、Leontovich 条件と呼ばれる関係が電場 E w と磁場は H θ の間にあることを使∂B ⋅ dS − ∫ E w ds
∂t ∫
μ gδ
μ I
ω
= iω 0 s I − δ s (1 + i ) g 0 .
2πb
2
2πb
Z 0 gδ sω= − (1 − i )
I
2
2πbc

V =−

(4.38)って求める：
インピーダンスは定義から

Ew =

μ0
Hθ .
εc

(4.33)

ここで表面インピーダンス

μ0
ς=
εc

ω
2

(1 − i )Z 0 gδ s
2πbc(4.39)となる。 前節同様にこのインピーダンスを円形(4.34)

加速器の回転周波数の整数倍の周波数（ ω = nω 0 ）での形に書き換えると、次のようになる：

ZL⎛1− i ⎞ δ s g.
= Z0β ⋅ ⎜⎟n
⎝ 2 ⎠ b 2πRは複素誘電率εc = ε0 +

ZL =

σc
iω

(4.35)(4.40)

これが縦方向の resistive-wall インピーダンス

これは式（4.39）の第１項と同じである。つまり、[9]である。 ビームチェンバーが非完全導体でで式（4.39）の第１項はこの物質の抵抗そのものなきているときのインピーダンスを与える。

のである。次に式（4.39）第２項を見てみよう。

横方向の resistive-wall インピーダンスは縦

この項はインダクタンスを与えている。この項を方向の resistive-wall インピーダンスから式導出するために図１３の円筒形パイプの両端に（4.14）を使って以下の様に求まる：

内径 b の完全導体のビームチェンバーに繋がっていると考えよう。また円筒形パイプの外側は完全

Z T = Z 0 (1 − i )gδ s.
2π b 3(4.41)

導体で囲まれているとする（電磁場はスキンデプ
ス以上に入らないので外側の完全導体の効果はない）。その断面の様子を図１４に示した。するδ s ∝ 1 / ω の周波数依存性のために、横方向のと非完全導体の円筒形パイプは一種の空洞を構

resistive-wall インピーダンスは低周波で急激成する。磁場はこの空洞内部で指数関数的に減衰に増大する。そのため、大電流陽子加速器では横するから、空洞の外半径での磁場をゼロと近似す

方向の resistive-wall インピーダンスが最も深ると、実効的な磁場は内部が真空の時の磁場

刻な横方向インピーダンスになることが多い。

（4.26）の約半分ぐらいになる：

さて、縦方向の resistive-wall インピーダン
スの式（4.39）の物理的意味合いを考えて見よう。
第１項、インピーダンスの実部は抵抗を表しているが、これは次の様にしても求まる。この空洞は
図１３の様な体積抵抗率 ρ c の円筒のパイプ（半径b 、厚さ δ s 、長さ g ）と考えてよく、その電気回路的な抵抗値は下の式で与えられる：Bθ ≈1 μ0 I×.
2 2πb(4.45)

後は前節のインダクタンス計算の手順通りに式を展開すればよく、結局インピーダンスの虚部は式（4.27）で h = δ s と置き、全体を２で割った量で与えられる：

Re Z L =ρc g.
2πbδ s(4.42)

この中で ρ c / δ s は次の様に変換できる：

ρc
=
δs
=

ρc
ωμ 0 2 ρ c
=
2
ωμ 0
2ρ c
ωμ 0
ωμ 0
2

δs =

ω Z0
2 c

Im Z L = −i

ω Z 0 gδ s.
2 2πbc(4.46)

実部（4.44）と虚部（4.46）を合わせると式（4.39）になる。

.

(4.43)

δs
b

δs

ｇ

従って、式（4.42）は以下の様に書き換えること
Fig. 13ができる：

Resistive-wall インピーダンス計算のために想定する円筒形パイプ。

Re Z L =ω Z 0 gδ s.
2 2πbc(4.44)

ｇbb

EW

Er (s )δs

Er ( s + Δs )

Es

a

Δs
Fig. 14 非完全導体の円筒形パイプが構成する空洞。

Fig. 15

実は、ここで求められた resistive-wall インピ
ーダンスの公式はスキンデプスがチェンバーの壁の厚みより小さい高周波の領域でしか有効ではない。スキンデプスがチェンバーの壁の厚みより大きい低周波の領域を含めた正しい取り扱いについては参考文献[10]を参照されたい。
4.6. 縦方向スペースチャージインピーダンス
最後に縦方向のスページチャージ（これを空間電荷とも呼ぶ）インピーダンスを求めよう[11]。 ビーム内の粒子は他の粒子からクーロン反発力を受ける。縦方向（進行方向）には、前方の粒子はバンチの中心から前方に押し出される様な力を受け、後方の粒子は後方に押し戻される。この力はインダクタンスの効果と逆の方向である。求め方はインダクタンスの場合と似ている。ビームチ

縦方向スページチャージ（空間電荷）イ

ンピーダンス計算のための積分路の取り方。
さて、円筒形ビームの半径を a とし、ビームの進
行方向線密度を λ とした時に、横方向の電磁場は⎧ eλ 1⎪⎪ 2πε r0
Er = ⎨eλ r⎪
2⎩⎪ 2πε 0 a⎧ eλβ c 1⎪
H θ = ⎨ 2π reλβ c r⎪⎩ 2π a 2で与えられる。

(r ≥ a),(4.47)(r < a)(r ≥ a)(4.48)(r < a)ここで、 ε 0 は真空の誘電率を、

ェンバーは完全導体で出来ているとして、その半βc は粒子の速度を表す。 インダクタンスの場

径を b とする。積分路は図１５のようにビームの合と同様に図１５で示された積分路にそって電中心軸を沿って走るものを考える。ビームチェン
バー表面上の接線方向電場 E w は境界条件よりゼ場の積分を行うと、それは空洞内の磁場の時間変ロである。インダクタンスの場合との違いは積分路がビームの内部まで入っているので、ビームが在る時のビームチェンバー内の電磁場をちゃんと求めておく必要があることである。 また電場の径方向成分も自由空間上なのでゼロではなく、結果に大きく寄与する。また、結果はビームの横化の反対符号に等しい（ファラデーの法則）：∂∫ Edl = − ∂t ∫ B ⋅ dS .

(4.49)

まずこの式の左辺から片付けよう。ビームチェン
バーが完全導体で出来ているとすると E w = 0 で簡単のため、ビームは円ある。位置 s + Δs と s での電場の径方向の積分を筒形をしていて、粒子は横方向に一様に分布して式（4.47）を使って実行すると、式（4.49）の左いると仮定しよう。後で参考のためパラボラ分布

辺は以下の様になる：

方向分布に依存する。

の時の結果も記す。

I = eβcλ(4.56)e ⎛b⎞⎜1 + 2 ln ⎟(λ ( s + Δs ) − λ ( s ) )a⎠
4πε 0 ⎝
で与えられので、更にジオメトリカルファクターe ⎛b ⎞ ∂λΔs= E s Δs +⎜1 + 2 ln ⎟a ⎠ ∂s4πε 0 ⎝
b(4.57)
g 0 = 1 + 2 ln
(4.50)a∫ Edl = E s Δs +式（4.49）の右辺も同様に計算でき、−を導入して式(4.53)を書き改めると、

μ eβc ⎛∂b ⎞ ∂λB ⋅ dS = − 0(4.51)⎜1 + 2 ln ⎟Δs∫∂ta ⎠ ∂t4π ⎝となる。ここで、式（4.50）と（4.51）を式（4.49）に挿入し、関係式∂λ∂λ= − βc∂t∂s(4.52)

を使って全体を書き改めると以下の式を得る：

V = E s ⋅ 2πR = −g∂I
Z0R 0 2∂s
2 βγ

(4.58)となる。電流 I の位置 s 依存性を⎛n⎞
I = I 0 + I 1 exp i⎜ s − ωt ⎟⎝R⎠

(4.59)

として、式（4.58）に入れ整理すると、以下の式を得る：

Es = −b ⎞ ∂λ⎛1 − β ) ⋅ ⎜1 + 2 ln ⎟ ⋅
(
a ∂s
4πε
e

2

⎝

0

b ⎞ ∂λ⎛⋅ ⎜1 + 2 ln ⎟ ⋅a ⎠ ∂s4πε 0 γ ⎝eZ c ⎛b ⎞ ∂λ= − 0 2 ⋅ ⎜1 + 2 ln ⎟ ⋅a ⎠ ∂s
4πγ ⎝
e

=−

2

⎠

V = −in ⋅ Z 0.

2 βγ 2

I1 .

従って、縦方向のスページチャージインピーダン
スは定義から以下の式で与えられる：

Z g
ZL= i 0 02 .
n2βγ

1ε 0c 2(4.60)(4.53)

ここで

μ0 =

g0

(4.54)(4.61)

ジオメトリカルファクターはビームの横方向の分布関数によって変わる。以下の関数で与えられるパラボラビームの場合、とZ 0c =

1ε0⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
ρ (r ) = 2 2 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥π a R ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦Np

(4.55)の関係式を使った。加速器リング一周に渡る電圧

ジオメトリカルファクターは

は式（4.53）の両辺に 2πR をかけることで得られる。ビーム電流 I は(4.62)

g 0 = 1.5 + 2 lnba(4.63)

となる。
式（4.61）をよく見ると縦方向のスページチャ

Bθ =

μ0 I
2πb

(4.65)

ージインピーダンスはインダクタンスと逆の符号を持っていることに気がつくだろう（つまり、で与えられる磁場を作り、この磁場は空洞の中をキャパシタンスの様に働く）。また γ ファクター

トロイダルの様に回転する磁束を作る：

2のため高エネルギーでは効かなくなることもわかる。 このファクターは電場と磁場の寄与が高エネルギーでは打ち消し合うために起こる（電場Φ m = ∫ B(r )dS .

(4.66)

S

は押し出そうとし、磁場は押し戻そうとする）。
横方向のスページチャージインピーダンスはここで積分は図１２で示された様に空洞の断面に渡っての面積分である。空洞が十分小さければ結果だけを書くに留める：

磁束は

ZT = iZ0R ⎛ 11 ⎞− 2 ⎟.
2 2 ⎜ 2β γ ⎝ab ⎠(4.64)

Φ m ≈ Bθ S

(4.67)

で近似できる。ここで4.7. 穴やスロットのインピーダンス
インピーダンスの最後の例として、穴やスロット

S = gh

(4.68)のインピーダンスを学習しよう。加速器のビーム
チェンバーには真空を引くための穴や、フィンガ

はこの空洞の断面の面積である。ファラディーのー形式のベローなど、さまざまな理由でさまざま法則から、この磁束の時間変化は電磁誘導によっな形状の穴があいている。これらは殆ど小さなイて起電力を作る：

ンダクタンスを作るが、穴の数が膨大になり、総量ではその効果を無視できなくなることがある。
穴のインピーダンスは、加速器では教科書にもあまり記述のない、一見馴染みのない分野に見える

V = iωΦ m .

(4.69)

一 方 、 磁 束 Φm が あ る 時 の 磁 極 の 大 き さ はが、ジャクソンの教科書やベーテの論文にも載っΦ m / μ 0 であるから、空洞一周の磁気ダイポールている電磁気学ではきわめて古典的な問題であモーメント M はる。穴のインピーダンスの定式化には、以前学習した小さな空洞のインピーダンスなども含めて、
ビームチェンバー上の摂動(突起物、溝、穴など)

M =2πbΦ mμ0(4.70)

が古典電磁気学でどう処理されるかの面白い考察がある。これを学習することは、インピーダンとなる(図１６参照)。更に単位長さ当りの磁気ダスの生成のメカニズムを理解する上で重要であイポールモーメントはる。
4.7.1. 小さな空洞の作る電磁気ダイポール
まず、小さな空洞が作るインダクタンスを別の観点から考え直そう[12]。図１２の様な小さな空洞を考える。ビーム電流はこの空洞の中に

m=

Φ
M
= m
2πb μ 0(4.71)

で与えられる。つまり、空洞の近くに磁場 H θ があると式（4.71）で与えられる磁気分極が起きる

わけである。そこで磁気分極率を以下の様に定義
すると、

m = α m H θ (b) ,MHθ

(4.72)

磁気分極率は式（4.71）から

αm =

Φm
(μ 0 H θ (b) )(4.73)

で求められる。因みに、小さな空洞の場合、これは面積 S と一致する：

α m = S = gh .

(4.74)

極が作る縦方向インピーダンスはダイポールモーメントの他に、ビームが作る電場
摂動(小さな空洞)によって乱されることによって出来る電気ダイポールモーメントもある。磁気モーメントの場合は磁場の時間的変化が電磁誘導によって起電力を生じ、それがビームに力を及ばしたが、電場の場合は時間的変化は関係ないの(4.75)

で与えられる。結局この式は以前求めた式（4.29）と同じであるが、考え方が微妙に違う。以前は空洞内にビーム電流が作った磁場が進入し、その磁場の時間的変化が電磁誘導によって空洞のギャップ間に起電力を作り、それがインピーダンスを作ると考えた。今回は空洞の近傍に磁場をかけた
ときに、その磁場が空洞内に磁気分極を引き起こし、その磁気分極場の中を試験粒子が走るときに力を受けて、それがインピーダンスになると考えている。空洞の場合は軸対象構造体であるから、内部の磁場は軸方向に一様で簡単に求まり、その磁場のインピーダンスへの寄与も簡単に計算できる。パイプ上の穴の場合、軸方向に局所的な磁場を作るので、こういった方法は使えない。しかし、この節で紹介した方法を使うと、ビームチェ
ンバーの形状に摂動がある時にどういう磁気分極が起きるかが分かればインピーダンスは計算できる。磁気分極率 α m を摂動法を使って求められる場合はこの方法が適している。

以上に述べたトロイダル中の磁場が作る磁気(或は電気ポテンシャル)がビームチェンバー上の式（4.65）、（4.69）と（4.73）より、この磁気分

ZαV
Z L ( m ) = − = −iω 0 m
I
2πbc

Fig. 16 空洞一周の磁気モーメント M。

で、電磁場の時間的変動を無視する。そうすると電場はスカラーポテンシャル φ ( z ) によって表現でき、その z-方向の微分が電場の z-方向成分を与える：

Ez = −∂φ ( z ).
∂z(4.76)

この E z が作るインピーダンスを計算しよう。その前に式（4.2）と（4.3）、及び（4.4）を合体させて、 E z から直接インピーダンスを計算する式を作ろう。ビーム電流がI ( z , t ) = I 0 exp(−iωt )(4.77)の様に時間的に変化をしていると仮定すると、全ての電磁場もこれに従う。そこで E z も exp(−iωt )の様に時間的変化をするとして、これを式（4.2)の中の E z に応用し、式（4.3）と（4.4）を使うと、
縦方向インピーダンスは以下の式で与えられる：Z L ( e ) (ω ) = −V (ω )I0

φ ( z ) = φ∞ +1 ∞ω= − ∫ dzE z ( z , r ) exp(−i z )
−
∞
I0
c

. (4.78)≈iωdz exp(−i z )(φ ( z ) − φ ∞ )I 0 c ∫−∞cω∞dz (φ ( z ) − φ ∞ )I 0 c ∫−∞

(4.80)

x = r −b(4.81)

であり、p は空洞の周方向単位長さあたりの電気

ω

∞

px
2πε 0 x + z 22で与えられる。ここで式（4.76）を上の式に入れて、偏積分を行うとZ L ( e ) (ω ) = i

1

ダイポールである。この電気ダイポールを求める.

(4.79)

ことは簡単ではないので、ここでは求めない。以後は分かっているとして話を進める。式（4.80）
を式（4.79）に挿入して積分を実行すると、x<0の領域でここでスカラーポテンシャル φ (z ) は原点近傍（z=0）に局所的に存在し、考えている波長がギャップの距離よりずっと長いと仮定し、exp(−iωz / c) ≈ 1 の近似を行った。スカラーポテ
ンシャル φ (z ) は径方向の位置によるが、積分はr=b のパイプの半径上で行うとしよう。そうすると積分の寄与は空洞の近傍だけとなる。
さて、ビームが作る電場は径方向を向いているが、空洞近傍では電場はどうなるか。図１７はその様子を示している(図１９の穴の場合も参照し

Z L ( e ) (ω ) = −iωpI 0 c 2ε 0(4.82)となる。ここで電気ダイポールモーメント p を電気分極率 α e を使って表現しよう：

p = α eε 0 Er

(4.83)

ここで E r は r=b での径方向電場であり、て下さい)。

Er =p-p

I0 / c2πε 0 b(4.84)

で与えられる。電気分極率 α e は磁気分極率 α m の類推から面積の次元を持っていると思われる。式Er（4.83）と式（4.84）をインピーダンスの式（4.82）に入れると最終的に以下の式に到達する：

Fig. 17 空洞に誘起される電気ダイポールモーメ
ント。
この電場の様子は場所 z=0、r=b のところに２つの電気モーメントが径方向を逆に向いて存在しているのと同等である。するとスカラーポテンシャル φ (z ) は

Z L ( e ) (ω ) = −iωZ 0α e.
4πbc(4.85)

この電気ダイポールは空洞の入り口から外では径方向の正の方向を向いており空洞の入り口か
ら内では負の方向を向いている（つまり α e < 0 ）。
従ってこの電気ダイポールの効果は磁場とは逆に負のインダクタンスを作る。実は、以前小さな空洞の作るインピーダンスを導いた時、この電気ｐ

ダイポールの寄与は考えていなかった。因みに
g<h の時の電気分極率 α e は-ｐ

αe = −

g2(4.86)

πFig. 19 穴による電気ダイポールモーメント。
で与えられる。電気ダイポールの寄与は磁気ダイポールの寄与よりファクター 2πh / g だけ小さい。

以下に幾つかのケースについて磁気分極率と電気分極率の例を示す：

4.7.2. 穴やスロットのインピーダンス
さて、ビームチェンバー上に小さな空洞などの摂1.

半径 a の丸い穴

動がある時、それらが作る磁気ダイポールモーメ
ントや電気ダイポールモーメントを計算することでインピーダンスを計算できることが分かった。チェンバー上に穴やスロットがある場合も同様にそれらが作る電気磁気ダイポールモーメン

43

αm = a3,2
αe = − a3
3.

(4.88)

トを計算すればインピーダンスを計算できる。
ビームチェンバー上に一つの穴、或はスロット

2.

ビームの進行方向に長い幅ｗ、長さ l の長方形スロット（ x = w / l ≤ 1 ）があると仮定しよう。小さな空洞のインピーダン
スの計算ではダイポールモーメントはチェンバーの周上に一様に存在したが、今回はチェンバーの周上に一つしかないので、そのインピーダンスへの効果は 2πb だけ小さくなる。一般に穴やスロットが作る縦方向インピーダンスは以下の式で

αm =

π
16

αe = −(

w 2 l 1 + 0.3577 x − 0.0356 x 2

π
16

(

w l 1 − 0.5663 x + 0.1398 x
2

)
2

)

.

(4.89)

与えられる[13]：Z L (ω ) = −iZ 0ω (α m + α e )
c

4π b
2

2

3.
.

ストラック形スロット（ x = w / l ≤ 1 ）(4.87)

ここで α m と α e は穴やスロットの磁気分極率と電気分極率である。穴が作る磁気、電気ダイポー
ルモーメントの様子を図１８，１９に示した。

αm =

M

Fig. 18 穴による磁気ダイポールモーメント。

π16αe = −
4.

-M

ビームの進行方向に長い幅ｗ、長さ l のレー(

w 2 l 1 − 0.0857 x − 0.0654 x 2

π
16

(

w l 1 − 0.7650 x + 0.1894 x
2

)
2

)

.

(4.90)

ビームの進行方向と直角方向に長い幅ｗ、長さ l の長方形スロット（ 0.1 ≤ x = w / l ≤ 1 ）

αm =

0.132
l3.
ln(1 + 0.66 / x)(4.91)

5.

ビームの進行方向と直角方向に長い幅ｗ、長さ l のレーストラック形スロット（ 0 .1 ≤ x = w / l ≤ 1 ）0.187 + 0.052 x(1 − x) 3l .
αm =ln(1 + 2.12 / x)(4.92)

2∞

1
k L (σ ) =dω Re Z L (ω ) ρˆ (ω , σ ) .
2π −∫∞(5.3)

ここで、σ は時間で測ったバンチ長である（バンチ長が σ s の時、 σ = σ s / β c ）。
ビームの進行方向線密度がガウシアン分布をビームの進行方向と直角方向に長いスロットの場合、電気分極率は磁気分極率に比べて十分無視している場合、ロスファクターは∞できるくらい小さい。

1k L (σ ) =dω Re Z L (ω ) exp(−ω 2σ 2 )∫2π −∞5. ロスファクターで与えられる。ロスファクターはプログラム

最後にロスファクターについて触れておこう。ロ

ABCI などを使って任意の軸対象構造体の場合にスファクターには縦方向と横方向があり、それぞ計算できる。一旦ワンパスのロスファクターが計れの方向でビームが自分が作ったウェイク場か算できれば、リングの様に、同じ構造体を周回のら受けるキックの大きさを表す。ウェイク場の大度に通過する場合の単位時間あたりのエネルギ

きさを評価する時に便利な量である。

ー損失、つまりパワー損失を以下の式で計算でき

(5.4)

る：
5.1. 縦方向のロスファクター
ビームがインピーダンスを持つ構造体を通過す

Ploss = 1.6 × 10 −19 ⋅ N p ⋅ I b ⋅ k L .

(5.5)

るとき、幾ばくかのエネルギーを損失する。損失の量はビームの進行方向の形状に依存する。ビー

ここで N p は一バンチ中の粒子の数であり、 I b はムの総電荷を q としたとき、構造体を一回通過し総ビーム電流（多バンチの場合はバンチ電流の総た時のエネルギー損失は以下の式で与えられる：和）である。

ΔE = − q 2 k L .

(5.1)

ρ (τ )
ここで量 k L はロスファクターと呼ばれ、

β ct
∞

∞

k L = ∫ dτρ (τ ) ∫ dt ρ (τ − t )WL 0 ( β ct )
−∞

∞

(5.2)

∫ dtρ (τ − t )W−∞で定義される。これは進行方向に線密度 ρ (τ ) を持ったビームがウェイクポテンシャルを作った時、そのウェイクポテンシャルをビーム自身が感じてビームがエネルギーを損失する割合を示している(図２０参照)。線密度 ρ (τ ) のフーリエ変換ρˆ (ω ) を使うと、ロスファクターはインピーダン
スを使っても表現できる：

L0( βct )−∞

Fig. 20

線密度 ρ (τ ) を持ったビームが作るウェ

イクポテンシャル。
式(4.16)で表される加速空洞のインピーダンスによるロスファクターの近似公式[14]を表２にまとめた。

Table 2

加速空洞のインピーダンスによる縦方

向ロスファクターの近似公式。

∞

1=dω Im Z T (ω ) ρˆ (ω , σ )2π −∫∞kL ≈場合
Q が大きい（>10）

ω R RL2Q

短 い バ ン（ ω Rσ << 1 ）チ

Q が小さく長いバンexp(−ω 2σ 2 )ω R RL ⎡2 ω Rσ ⎤1−⎢
2Q ⎣ π Q ⎥⎦RL
4 πQ ω σ
2

チ

2

∞

1
k T (σ ) =dωZ T (ω ) ρˆ (ω , σ )2πi −∫∞

2
R

チェンバーの半径よりも小さい開口部を持った加速空洞のような構造物を、やはりチェンバーの半径よりも短いバンチが通った場合のロスフ

.

(5.7)

ビームの進行方向線密度がガウシアン分布をしている場合、キックファクターはk T (σ ) =

3

2

∞

1
dω Im Z T (ω ) exp(−ω 2σ 2 )
∫
2π −∞

(5.8)

で与えられる。 キックファクター k T によるビー
ムのコヒーレントなベータトロン周波数のずれは以下の公式から計算できる：

ァクターは、構造体の精確な形状によらず、開口部のサイズ、チェンバーの半径とバンチ長の三つがわかれば、かなりの精度で計算することができΔν β ≈

1.6 × 10 −19 ⋅ N p ⋅ β T ⋅ k Tる[15]。これは構造体への一回の通過ではバンチは構造体の形状の詳細を見る時間がなく、ウェイ
ク場は主にバンチと構造体の開口部との間の相4πE 0 / e

.

(5.9)

ここで β T はビームにキックを与える構造体での互作用で生じるからである。この場合のロスファベータ関数で、 E 0 はビームのエネルギーである。

クターの計算公式は参考文献[15]に与えられてい図１１の横方向インピーダンスの概念図から見て取れるように、横方向インピーダンスの虚部る。
5.2. 横方向のロスファクターまたはキックファ
クター

は低い周波数で負であることが多いので、キックファクターは通常負になる。結果として、ビームのコヒーレントなベータトロン周波数はインコ

横方向のロスファクターはキックファクターとヒーレントなベータトロン周波数よりも通常低も呼ばれ、ビームが自分が作ったウェイク場からくなる。

受ける横方向キックの大きさを表し、ビームのコ

縦方向同様、式(4.17)で表される加速空洞のイヒーレントなベータトロン周波数を決定する。キンピーダンスによるキックファクターの近似公

ックファクターは以下の式で定義される：

式[14]を表３にまとめた。

∞∞

k T = ∫ dτρ (τ ) ∫ dt ρ (τ − t )WT 1 ( β ct ) .
−∞

(5.6)

−∞

Table 3

加速空洞のインピーダンスによる横方向キックファクターの近似公式。

kT ≈式(4.10)の逆フーリエ変換を使ってウェイクポテ

場合ンシャルをインピーダンスに置き換えると、キッ

短 い バ ン（ ω Rσ << 1 ）チω R RT ω RσQπ

長 い バ ン（ ω Rσ >> 1 ）チRT
1
Q 2 πσクファクターをインピーダンスからも計算できるようになる：[13] S.S. Kurennoy, Particle Accelerators 39, 1 (1992).
参 考 文 献[1] 鈴木敏郎（OHO86）, 久保浄（OHO91）, 赤
井和憲（OHO94）, 阿部哲郎（OHO04）、菖蒲
田義博（OHO10）[2] 陳

栄浩、OHO96, OHO05.

[3] B. W. Zotter, S. A. Kheifets, “Impedances andWakes in High-Energy Particle Accelerators”,(World Science Publishing Co. Pte. Ltd.,Singapore, 1998).
[4] A. W. Chao, “Physics of Collective Beam
Instabilities in High Energy Accelerators” (John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1993).
[5] Y. H. Chin, “User’s Guide for ABCI Verion 8.8”,
LBL-35258 (1994).
[6] T. Weiland, Particle Accelerators 15, 245 (1984).
[7] W. K. H. Panofsky and W. A. Wenzel, Rev. Sci.
Instrum. 27, 967 (1956).
[8] Perry B. Wilson, AIP Proc. 87, Phys. High Energy
Accelerators (Fermilab, 1981), p. 450.
[9] V. K. Neil and A. M. Sessler, Rev. Sci. Instrum.
36, 429 (1965).
[10] A. Burov and V. Lebedev, in Proceedings of the
8th European Particle Accelerator Conference,
Paris, 2002), p. 1452.; E. Metral, B. Zotter, and B.
Salvant, in Proceedings of the 2007 Particle
Accelerator Conference, Albuquerque, New
Mexico, 2007 (IEEE, Albuquerque, New Mexico,2007), p. 4216.
[11] A. Hofmann, “Theoretical Aspects of the
Behavior of Beams in Accelerators and Storage
Rings”, CERN 77-13 (1977), p.139.
[12] S. S. Kurennoy and G. T. Stupakov, Particle
Accelerators 45, 95 (1994).

[14] A. W. Chao and M. Tigner, “Handbook of
Accelerator Physics and Engineering” (World
Science Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore,1998).
[15] Y. Shobuda, Y, H, Chin and K. Takata, “Coupling
Impedances of a Gap in Vacuum Chamber”, Phys.
Rev. ST Accel. Beams 10, 044403 (2007).