数理解析研究所講究録
第 1556 巻 2007 年 112-122

112

伝染病モデルにおける相互作用ネットワーク構造の違い
大阪府立大学工学研究科 岩見真吾 (Shingo Iwami)*

Department of Mathematical Sciences, Osaka Prefecture University, Japan
広島大学理学研究科 三倉潤也 (Jyunya Mikura)

Department of Science, Hiroshima University, Japan
早稲田大学理工学研究科 中田行彦 (Yukihiko Nakata)

Department of Mathematical Sciences, Waseda University, Japan
東京薬科大学薬学部 大河内広子 (Hiroko Okouchi)

School of Pharmacy, Tokyo University of Pharmacy and Life Science, Japan概要

本稿では、 古典的な SIR 伝染病モデルにおける相互作用ネットワーク構造の違いに注目したときの終局的な未感染者数の違いを考察する。 また、様々な相互作用ネットワークは対応する伝染病特有の伝播形式を表していると考えられる。従って、 伝播形式が明らかになっていない伝染病に対してどの感染経路を優先的に遮断すべきかを理論的に議論する。

Keywo \gamma &: 伝染病モデル; 平衡点; 競争排除; 共存; 相互作用ネットワーク構造

SIR 伝染病モデルの紹介

1

人類と伝染病の歴史は長い. 人類は, ペストや天然痘など, 生存を脅かす伝染病の流行に幾度となく曝されてきた. しかし人類は, 何万年という歴史を生き抜いてき18 世紀の終わりにジェンナーが種痘ワクチンを開発して以来, 人類と伝染病の戦いは幕を開けた. 1940 年の抗生物質ペニシリンの誕生, 1980 年の世界保健機関にた.

よる天然痘根絶宣言など多大な成果を収めてきた. しかし, エイズ, エボラ出血熱,SARS, インフルエンザ, ウエストナイル熱など未だに世界に大きな影響を与える感染症が存在しており, さらにエマージング感染症と呼ばれる新しい感染症の出現も懸念されている. そこで現在, 感染症の制圧に貢献してきた公衆衛生基盤を見直すことが求められている. ここでは, 公衆衛生対策において多大な貢献をしてきた伝染病伝播を記述する数理モデルについて紹介する.
’shingo@ms.osakafu-u.ac.jp

113
1927 年に Kermack-McKendrick によってボンベイで起こったペストの流行を記述する以下の数理モデルが提案された ;$S’=-\beta SI$ ,$I’=\beta SI-\gamma I$$R’=\gamma I$,.

この数理モデルによる理論値は, 1905 年 12 月 17 日から 1906 年 7 月 21 日の間のペストによる死亡者数に対して見事に適合している. ここで, とは感受性 (Susceptible)の頭文字で未感染者数を表している. また, とは感染した (Infected) の頭文字で感
$S$

$I$

染者数を表しており,$R$とは回復した (Recovered) の頭文字で回復者数を表している.

このように, 各個体は未感染個体 (S)\rightarrow 感染個体 (I)\rightarrow 回復個体 $(R)$ と順番にクラス移行することもあり, Kermack-McKendrick モデルは SI$R$モデルとも呼ばれている. Kermack-McKendrick モデルは, ペストが初期定着に成功して感染者数 $I$ がしだいに増えていくが, やがてピークを迎えてその後は感染者数が減少していき最終的にはペストが絶滅してしまうことを記述している.

Kermack-McKendrick モデル以後, 幾つもの伝染病の伝播を記述する数理モデルが提案され研究されてきた. なかでも 1976 年に Hethcote によって改良された KermackMcKendrick モデルは, 長期の伝染病拡大を考える際の伝染病モデルの基準となっている. Hethcote によって提案された基本 SI
モデルは以下のとおりである.
$R$$S’=b-\beta SI-\mu S$ ,$I’=\beta SI-\gamma I-\mu I$,と $=\gamma I-\mu R$ .

$I$

Kermack-McKendrick モデルに出生や死亡の影響を考慮したのが基本 SIである. 基本 SIとをもつ ;モデルは以下の 2 つの平衡点
$R$

基本 SI

$R$,

モデル

$E_{+}$$E_{0}$$E_{0}=( \frac{b}{\mu},0,0)$$R$$E_{+}=( \frac{\gamma+\mu}{\beta}\frac{b}{\mu+\gamma}-\frac{\mu}{\beta},$$\frac{\gamma}{\mu}$($\frac{b}{\mu+\gamma}$

一$\frac{\mu}{\beta}$

) .
$)$

モデルは Kermack-McKendrick モデルに比べると複雑な振る舞いをする.

しかしながら基本 SI$R$

モデルの振る舞いは基本再生産数 ;$\mathcal{R}_{0}=\frac{b\beta}{\mu(\gamma+\mu)}$の値によって初期値によらず一意に決定される. すなわち,$E_{0}$が大域的安定であり,$\mathcal{R}_{0}>1$ならば平衡点$E_{+}$$\mathcal{R}_{0}\leq 1$

ならば平衡点が大域的安定である. つまり,

114$\mathcal{R}_{0}\leq 1$

ならば感染者数は$0$になり伝染病は絶滅してしまうが窺 $>1$ ならば感染者数は $b/(\mu+\gamma)-\mu/\beta$ になり伝染病は永続的に存続可能であることを示している.
こで,$\mathcal{R}_{0}$こは基本再生産数とよばれるパラメーター関数で, 単位感染個体が未感染個体群に侵入してきたとき, 感染期間中に感染させることのできる平均個体数を意味している. このように, 伝染病モデルにおいて系の振る舞いを決定する基本再生産数は非常に重要な意味をもつ値である.

2

伝播形式の異なる伝染病と数理モデル
種の壁を越え、 国境を越えて広がる感染症は、 いま世界に大きな脅威を与えている。天然痘撲滅宣言の翌年 1981 年には AIDS が出現し、 その後も次々と新しい感染症が世界各地で発生した。 エマージング感染症の大半はウイルスが原因である。 そのほとんどは野生動物が自然宿主になっている。 っまり人と動物に共通して感染する「人獣共通感染症」である。 これらの感染症は特有のウィルス. 病原菌伝播経路をもっている。 また、 HIV 感染症梅毒淋病などの性感染症も複雑な伝播様式をもつことが知られている。本章では、 これらの伝播経路、 すなわち相互作用ネットワーク構造に注目した数理モデルを構築する。簡単のため全個体数を$I_{2}$$S_{1\text{、}}I_{1\text{、}}S_{2\text{、}}$に分類できると考える。 ここで Sj、ろはそれぞれ社会 $j(j=1,2)$ での未感染者数、 感染者数をあらわしている。 つまり 2 つの人口社会を考える。 人獣共通感染症

なら動物社会と人間社会、性感染症なら男性社会と女性社会というように 2 つの人口社会を考慮することによってある程度一般的な議論が可能であることを注意しておく。 また相互作用ネットワーク構造は図 1 で表される 5 つを考えるとする。 実線

図 1: 相互作用ネットワーク構造

は同じ社会内での感染、 点線は異なる社会間での感染を示している。 それぞれの相互作用ネットワーク構造は特有の感染症伝播経路を表している。

115
2.1

分離社会型

まず、 最も基本的な 2 つの社会間に相互作用がない場合 (図 $1(i)$ ) を考える。 すな
わち、 分離した 2 つの社会でそれぞれ伝染病が発生した状況である。 このとき相互作用ネットワーク構造は図 2 左で特徴付けられる。伝染病の伝播は以下の数理モデ.

$Os_{1}$$Os_{2}$

1$\downarrow$$OI_{1}$$OI_{2}$

図 2: 左: 分離社会型構造、 右: 未感染者数

ルで記述される ;$S_{1}’=b_{1}-\mu_{1}S_{1}-\beta_{1}S_{1}I_{1}$$I_{1}’=\beta_{1}S_{1}I_{1}-\alpha_{1}I_{1}$,$S_{2}’=b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\beta_{2}S_{2}I_{2}$$I_{2}’=\beta_{2}S_{2}I_{2}-\alpha_{2}I_{2}$社会間相互作用がないのでそれぞれのル (1) は以下の 2 つの平衡点をもつ$S_{1\text{、}}I_{1}$$E_{0},$$E_{+}$(1),.
$S_{2\text{、}}I_{2}$は独立に解析できる。 モデ:$E_{0}=(\overline{S}_{1},0,\overline{S}_{2},0)$

ここで、と,$E_{+}=(S_{1}^{+}, I_{1}^{+}, S_{2}^{+},I_{2}^{+})$.の未感染者数畠, $S_{j}^{+}(j=1,2)$ はそれぞれ$S_{1}= \frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}},$$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}$$S_{2}= \frac{\alpha_{2}}{\beta_{2}},$$S_{2}= \frac{b_{2}}{\mu_{2}}$(2)の交点で表されている (図 2 右$\bullet$)。 図 2 右延している状態を示している。 また、$\blacksquare$$I_{1\text{、}}I_{2}$はどちらか一方の社会でのみ感染が蔓の単位感染個体の社会 1、社会 2 内での基本再生産数はそれぞれ$R_{1}= \frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}$,$R_{2}= \frac{b_{2}\beta_{2}}{\mu_{2}\alpha_{2}}$116で表される。 モデル (1) の大域的挙動は$R_{1\text{、}}R_{2}$の大きさによって完全に明らかにされている [1]。

2.2

人獣共通感染症型 I

次に、社会間の相互作用において一方の社会は他方の社会からのみ影響を受ける
場合 (図 l(ii)) を考える。例えば、一方を動物社会、他方を人間社会と考えれば、人lhrrvan$m$

図 3: 左: 人獣共通感染症型 I 構造、 右: 未感染者数

獣共通感染症の伝播形式を特徴づける相互作用ネットワーク構造になっている。鳥インフルエンザなどの感染症は自然宿主から直接ヒトに感染するが感染者は未感染者に感染させることは出来ない [2]。このような相互作用ネットワーク構造は図 3 左で特徴付けられる。伝染病の伝播は以下の数理モデルで記述される ;$S_{1}’=b_{1}-\mu_{1}S_{1}-\beta_{1}S_{1}I_{1}$,,$I_{1}’=\beta_{1}S_{1}I_{1}-\alpha_{1}I_{1}$$S_{2}’=b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\omega_{1}S_{2}I_{1}$$I_{2}’=w_{1}S_{2}I_{1}-\alpha_{2}I_{2}$

(3)

,.

モデル (3) は以下の 2 つの平衡点をもっ :$E_{0}=(\overline{S}_{1},0,\overline{S}_{2},0)$

ここで、$E_{0},$$E+$の未感染者数$\overline{S}_{j},$$E+=(S_{1}^{+}, I_{1}^{+}, S_{2}^{+},I_{2}^{+})$$S_{j}^{+}(j=1,2)$$S_{1}= \frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}},$

.

はそれぞれ

$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}$(4)$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{\mu_{1}\omega_{1}}\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}}{S_{2}}$117の交点で表されている (図 3 右$\bullet$)。 また、$I_{1}$

単位感染個体の社会 1 内での基本再生

産数は$R_{1}= \frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}$で表される。 モデル (3) の大域的挙動は$R_{1}$の大きさによって完全に明らかにされている [2]。

2.3

人獣共通感染症型 II

次に、社会間の相互作用において一方の社会は他方の社会からも影響を受ける場
合 (図 l(iii)) を考える。例えば、一方を動物社会、他方を人間社会と考えれば、違っ

$m$

bmrn
図 4: 左: 人獣共通感染症型 II 構造、 右: 未感染者数

た人獣共通感染症の伝播形式を特徴づける相互作用ネットワーク構造になっている。
エボラ出血熱や SARS などの感染症は自然宿主から直接ヒトに感染して、 さらに感染者は未感染者に感染できる。 このような相互作用ネットワーク構造は図 4 左で特徴付けられる。伝染病の伝播は以下の数理モデルで記述される ;$S_{1}’=b_{1}-\mu_{1}S_{1}-\beta_{1}S_{1}I_{1}$$I_{1}’=\beta_{1}S_{1}I_{1}-\alpha_{1}I_{1}$,,$S_{2}’=b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\beta_{2}S_{2}I_{2}-\omega_{1}S_{2}I_{1}$$I_{2}’=\beta_{2}S_{2}I_{2}+\omega_{1}S_{2}I_{1}-\alpha_{2}I_{2}$

(5)

,.

モデル (5) は以下の 2 つの平衡点をもつ :$E_{0}=(\overline{S}_{1},0,\overline{S}_{2},0)$$E_{+}=(S_{1}^{+}, I_{1}^{+}, S_{2}^{+},I_{2}^{+})$

.

118
ここで、

$E_{0},$$E+$の未感染者数$S_{1}= \frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}},$$\overline{S}_{j},$$S_{j}^{+}(j=1,2)$ はそれぞれ$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}$(6)$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{\mu_{1}w_{1}}\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\beta_{2}S_{2^{\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}}{\alpha_{2}}}}}{S_{2}}$の交点で表されている (図 4 右している。 また、$I_{1\text{、}}I_{2}$$\bullet$)。 ただし、 $O$ はの単位感染個体の社会$1_{\backslash }$$\mathbb{R}_{+}^{4}$内に存在し得ない平衡点を表

社会 2 内での基本再生産数はそれ

ぞれ$R_{1}= \frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}$,$R_{2}= \frac{b_{2}\beta_{2}}{\mu_{2}\alpha_{2}}$で表される。 モデル (5) の挙動を解析することは今後の課題である。

2.4

媒介生物感染症型

次に、 社会間の相互作用において 2 つの社会は互いに他方の社会からのみ影響を受ける場合 (図 1(iv)) を考える。例えば、一方を媒介生物社会、他方を人間社会と考

$vm$

Huwn
図 5: 左: 媒介生物感染症型構造、 右: 未感染者数

えれば、媒介生物感染症の伝播形式を特徴づける相互作用ネットワーク構造になっている。

マラリア、 デング熱、 ウエストナイル熱などの感染症はウィルスや病原体を媒介生物である蚊が伝播する。 感染者、 感染蚊はそれぞれ未感染蚊、 未感染者にのみ感染させることが出来る。 このような相互作用ネットワーク構造は図 5 左で特徴付け

119られる。 伝染病の伝播は以下の数理モデルで記述される ;,$S_{1}’=b_{1}-\mu_{1}S_{1}-w_{2}S_{1}I_{2}$$I_{1}’=\omega_{2}S_{1}I_{2}-\alpha_{1}I_{1}$,$S_{2}’=b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\omega_{1}S_{2}I_{1}$$I_{2}’=w_{1}S_{2}I_{1}-\alpha_{2}I_{2}$

(7)

,.

モデル (7) は以下の 2 つの平衡点をもつ :$E_{0}=(\overline{S}_{1},0,\overline{S}_{2},0)$

ここで、$E_{0},$$E+$の未感染者数$\overline{S}_{j},$$E_{+}=(S_{1}^{+},I_{1}^{+}, S_{2}^{+},I_{2}^{+})$.

$S_{j}^{+}(j=1,2)$ はそれぞれ$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{\mu_{1}w_{1}}\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}}{S_{2}}$(8)$S_{2}= \frac{b_{2}}{\mu_{2}}-\frac{\alpha_{2}}{\mu_{2}\omega_{2}}\frac{b_{1}-\mu_{1}S_{1}}{S_{1}}$の交点で表されている (図 5 右$\bullet$)。 また、$I_{1}$

または$I_{2}$の単位感染個体による 2 つの社会間での基本再生産数は次世代行列理論 [3] より$R_{12}=\sqrt{\frac{b_{1}b_{2}w_{1}w_{2}}{\mu_{1}\mu_{2}\alpha_{1}\alpha_{2}}}$で表される。 モデル (7) の挙動を解析することは今後の課題である。

2.5

性感染症型
$r$

次に、社会間の相互作用において 2 つの社会は互いに他方の社会からも影響を受ける場合 (図 $1(v)$ ) を考える。例えば、一方を男性社会、他方を女性社会と考えれば、性感染症の伝播形式を特徴づける相互作用ネットワーク構造になっている。
HIV、梅毒、 クラミジアなどの感染症は性的接触や薬物投与などといった行為がウィルスや病原体伝播の原因となっている。 また、性感染症は同性者間・異性者間で相互作用することにより社会の壁を越えて伝播することが知られている。 感染者は、 同性異性の未感染者に感染させることが出来る。 このような相互作用ネットワーク構造は図 6 左で特徴付けられる。伝染病の伝播は以下の数理モデルで記述さ120

Femele

Md$\bullet$

図 6: 左: 性感染症型構造、 右: 未感染者数
れる ;$S\text{\’{i}}=b_{1}-\mu_{1}S_{1}-\beta_{1}S_{1}I_{1}-w_{2}S_{1}I_{2}$$I_{1}’=\beta_{1}S_{1}I_{1}+w_{2}S_{1}I_{2}-\alpha_{1}I_{1}$,$S_{2}’=b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\beta_{2}S_{2}I_{2}-w_{1}S_{2}I_{1}$$I_{2}’=\beta_{2}S_{2}I_{2}+w_{1}S_{2}I_{1}-\alpha_{2}I_{2}$

,
(9)

,.

モデル (9) は以下の 2 つの平衡点をもつ :$E_{0}=(\overline{S}_{1},0,\overline{S}_{2},0)$

ここで、$E_{0},$$E_{+}$の未感染者数$\overline{S}_{j},$$E_{+}=(S_{1}^{+}, I_{1}^{+}, S_{2}^{+},I_{2}^{+})$.

$S_{j}^{+}(j=1,2)$ はそれぞれ$S_{1}= \frac{b_{1}}{\mu_{1}}-\frac{\alpha_{1}}{\mu_{1}\omega_{1}}\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}-\beta_{2}S_{2^{\frac{b_{2}-\mu_{2}S_{2}}{\alpha_{2}}}}}{S_{2}}$(10)$S_{2}= \frac{b_{2}}{\mu_{2}}-\frac{\alpha_{2}}{\mu_{2}w_{2}}\frac{b_{1}-\mu_{1}S_{1}-\beta_{1}S_{1^{\frac{b_{1}-\mu_{1}S_{1}}{\alpha_{1}}}}}{S_{1}}$の交点で表されている (図 6 右している。 また、$I_{1}$

または$I_{2}$$\bullet$)。 ただし、 $O$ は$\mathbb{R}_{+}^{4}$内に存在し得ない平衡点を表の単位感染個体による 2 つの社会間での基本再生産数

は次世代行列理論 [3] より$R_{12}= \frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}+\frac{b_{2}\beta_{2}}{\mu_{2}\alpha_{2}}+\sqrt{(\frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}-\frac{b_{2}\beta_{2}}{\mu_{2}\alpha_{2}})^{2}+4\frac{b_{2}w_{1}}{\mu_{2}\alpha_{1}}\frac{b_{1}w_{2}}{\ovalbox{\tt\small REJECT}\mu_{1}\alpha_{2}}}2$で表される。特に、$\beta_{1}=\omega_{1}$

かつ $\beta_{2}=w_{2}$ のとき、基本再生産数は$R_{12}= \frac{b_{1}\beta_{1}}{\mu_{1}\alpha_{1}}+\frac{b_{2}\beta_{2}}{\mu_{2}\alpha_{2}}$となる。 モデル (9) の挙動を解析することは今後の課題である。

1213

伝染病拡大防止に対する理論的考察

相互作用ネットワーク構造の違いによる未感染者数を考慮することにより、伝播経路が未知の感染症が蔓延した場合優先的に遮断すべき感染経路を検討する。平衡状態がパラメーターで厳密に求められなくても$S_{1\text{、}}S_{2}$

平面で伝染病が蔓延している状態を相互作用ネットワーク構造の違いによって比較できる。
まず初めに (i) 分離社会型、 (iii) 人獣共通感染症型 $II$、$(v)$性感染症型を比較する。

未感染者数は、 $(i)>(iii)>(v)$ という順番である (図 7 参照)。 (i) (iii) (v) を比べたとき、

図 7: 伝染病拡大防止対策 (1)もっとも未感染者数が多くなるのは 2 つの社会が分離した (i) 分離社会型である。社会内の伝播経路よりも社会間の伝播経路を遮断することを優先すべきであると解釈できる。 また、 一般的に相互作用ネットワークが多いほど未感染者数が少なくなることがわかる。次に、 (i) 分離社会型、 (ii) 人獣共通感染症型$I$、(iv) 媒介生物感染症

図 8: 伝染病拡大防止対策 (2)型を比較する。 (ii) や (iv) の相互作用ネットワーク構造は (i) の分離社会型よりも未感染者数が多くなる可能性がある (図 8 参照)。 つまり闇雲に 2 つの社会を分離させ122
ればよいという訳ではないことがわかる。
どういった状況下でどの相互作用ネットワーク構造がもっとも未感染者数を多く出来るか ? また、 どのパラメーターに未感染者数が敏感に変動するかを調べるのが今後の課題である。

参考文献[1] Shingo Iwami, Tadayuki Hara, Global property of an invasive disease with nstrains, In Review[2] Shingo Iwami, Yasuhiro Takeuchi, Xianning Liu, Avian-Human influenza epi-demic model, Mathematical Biosiences, In Press[3] P.van den Driessche and James Watmough (2002) Reproduction numbers andsub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission, Mathematical Biosciences, 180, 29-48