31

数理解析研究所講究録
第2012巻 2016年 31-40

Maass waveform の数値計算
木村巌*(富山大学理工学研究部 (理学))Iwao KIMURA,The Graduate School of Science and Engineering for Research,

University of Toyama.

本稿では,Maass waveform の数値計算の試みについて論ずる.

Maass waveform の基本事項

1

この節では,Maass waveform の基本事項を,

本橋 [本99, Ⅱ部§17‐18] により概説する.

Maass waveform は,上半平面上の 「実解析的」

関数で,算術部分群 (\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R}) の離散部分群で余体積有限なもの) について不変性をもつものである (正確な定義は後述する). これは正則モジュラー形式の 「実解析的」 類似である.

1.1

上半平面の微分幾何

上半平面を H=\{z\in \mathrm{C}|{\rm Im}(z)>0\} とする.上半平面の通常の正則構造から,Riemann 計量\displaystyle \frac{\sqrt{dx^{2}+dy^{2} {y} が定まる.2次の実特殊線形群 \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R}) は一次分数変換でには \mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R}) が ) H の等長変換群である.また面積要素はである.

\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R}) が(正確H に作用し,d $\mu$(z)=\displaystyle \frac{dxdy}{y^{2}で,これは \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{R}) 不変

全モジュラー群 $\Gamma$=\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z}) による H の商を考え,通常の基本領域を \mathcal{F} と書く. また, \mathcal{F} に1点\grave{}を付け加えて得られる実2次元曲面を \mathcal{F}^{*} と書く.
.

上の Riemann 計量に対する Laplace‐Beltrami 作用素から,双曲的 Laplacian $\Delta$ が定まる

\displaystyle\triangle=-y^{2}( \frac{\partial}{\partialx})^{2}+(\frac{\partial}{\partialy})^{2})
1.2

:

.

Maass waveform\blacksquare $\Gamma$ ‐保型関数

定義1.1. 上半平面 H 上の関数 f が \mathrm{r} ‐保型であるとは, f( $\gamma$(z))=f(z) が任意の $\gamma$\in $\Gamma$ に対して成立すること,つまり,f が曲面 \mathcal{F} 上の関数であることと定義する.

email: iwaoQsci. \mathrm{u} ‐toyama. ac. jp

本研究はJSPS科研費26400008の助成を受けたものです.

32

特に f\in C^{2}(\mathcal{F}) が \mathrm{r} ‐保型なら, \triangle f も \mathrm{F} ‐保型である.
例1.2 (Poincaré 級数Eisenstein 級数). $\Gamma$ ‐保型関数の例として次の Poincaré 級数,Eisenstein 級数がある. $\Gamma$_{\infty} をカスプ \infty の(SL2(Z) の作用に関する) 固定部分群とする.

P_{m}(z, s)=\displaystyle \sum_{$\Gamma$_{\infty}\backslash $\Gamma$}({\rm Im}( $\gamma$(s) )^{s}e(m $\gamma$(z) , (e(z)=\exp(2 $\pi$\sqrt{-1}z)
E(z, s)=P_{0}(z, s)=\displaystyle \sum_{$\Gamma$_{\infty}\backslash $\Gamma$}({\rm Im}( $\gamma$(z) ^{s},,

とおいて,前者を Poincaré 級数,後者を Eisenstein 級数という.
Poincaré 級数は,

m>0, z\in \mathcal{F} のとき,. $\sigma$={\rm Re}(s)>\displaystyle \frac{3}{4} で s について正則かつ P_{m}(z, s)\gg y^{1- $\sigma$}.

Eisenstein 級数は任意の z\in H について s の関数として有理型である.

Eisenstein 級数は,次のような具体的な表示を持つ.

命題1.3. Eisenstein 級数は,任意の z\in H について s の関数として有理型で,次の Fourier 展開を持つ :E(z, s)=y^{s}+$\phi$_{ $\Gamma$}(s)y^{1-s}+(1)\displaystyle \frac{2$\pi$^{8} { $\Gamma$(s) $\zeta$(2s)}\sqrt{y}\sum_{n\neq 0}|n^{s-\frac{1}{2} $\sigma$_{1-2s}(|n)K_{s_{2}^{1} -(2 $\pi$|ny)e(nx)(2),$\phi$_{$\Gam a$}(s)=\displaystyle\sqrt{$\pi$}\frac{$\Gam a$(s-\frac{1}{2})$\zeta$(2s-1)}{$\Gam a$(s)$\zeta$(2s)},K_{s}(z) はBessel 関数で, $\phi$_{ $\Gamma$}(s) については本橋上掲書補題17.2をみよ.また {\rm Re}(s)>\displaystyle \frac{1}{2} s\neq 1 で正,則, s=1 で一意の極を持ち留数は \displayt e\frac{3}$\pi} である.更に,関数等式と微分方程式を満たす :E(z, s)=$\phi$_{ $\Gamma$}(s)E(z, 1-s)

\triangle E(z, s)=s(1-s)E(z, s)

(3)
(4)

,

.

スペクトル理論

1.3

基本領域 \mathcal{F} 上の関数 f に対して \displaystyle \Vert f\Vert^{2}=\int_{F}|f(z)|^{2}d $\mu$(z) と定義する.

L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$):= { f ;fは $\Gamma$‐保型関数で, \Vert f\Vert<+\infty},\mathcal{B}^{\infty}(\mathcal{F}):= { f\in L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$);f の任意階の偏導関数が急減少}.
g が急減少とは,任意に固定した M>0 に対して,き,スペクトル分解が可能である.

\bulletf\in C^{2}(\mathcal{F})\cap L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$) が \displaystyle \triangle f=(R^{2}+\frac{1}{4})f を満たすとき,

R=\displaystyle \frac{1}{2}i なら f は定数関数,(6)g(z)=O(y^{-M}) z\in \mathcal{F} と定義する.
L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$) 上に自己共役作用素に拡張で\triangle はアプリオリには C^{2}(\mathcal{F})\cap L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$) 上の作用素だが,

また,

(5)

33

\bulletR\neq 亭なら次の Fourier 展開を持ち

よって f\in B^{\infty}(\mathcal{F})

,

.

:

f(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n\neq 0}c(n)K_{iR}(2 $\pi$|n|y)e(nx) , z\in H.
\blacksquare $\Delta$ のスペクトル分解

定理1.4 (げ本橋,定理18.1).

$\lambda$_{j}=R_{j}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}, i=1 2,,\bullet.

.

\bullet.

,$\Delta$ をB^{\infty}(\mathcal{F}) に制限すると,固有値は離散集合.これらを; R_{j+1}>R_{j}>0 ,とする.

各 $\lambda$_{j} に対応する固有関数 $\psi$_{j} は正規直交系をなすものとする.このとき

L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$)=\mathrm{C}\oplus \mathfrak{O}\oplus \mathrm{C},
ただし, \mathrm{D} は \{$\psi$_{j}\} で張られる空間,
・つまり,\mathrm{C} は省略.

f\in L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$) は次のように展開できる (ノルム収束の意味で):

f(x)=\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}\langle f, $\psi$_{j}\rangle+\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{E}(t, f)E(z, \frac{1}{2}+it)dt.
$\psi$_{j}(z) をMaass wave cuspform ということにする.

1.4

Hecke 作用素

定義1.5 (Hecke 作用素). $\phi$ を $\Gamma$ ‐保型, z\in H とする. 正整数 n に対して,次のように T_{n}[ $\phi$](z) を\grave{}定義する :

T_{n}[ $\phi$](z)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n} \sum_{ad=n,d>0}\sum_{0\leq b<d} $\phi$(\frac{az+b}{d})このとき T_{n}[ $\phi$](z) も再び $\Gamma$ ‐保型であることが示せる.

を定義すし,

n.

$\phi$\mapsto T_{n}[ $\phi$] により, n 番目の Hecke 作用素 T_{n}番目のHecke作用素という.

特に n=p 素数の時は (a, d)=(1, p) または (a, d)=(p, 1) だから,

T_{\mathrm{p} [$\phi$](z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{p} (\sum_{0\leqb<p}$\phi$(\frac{z+b}{p})+$\phi$(pz).

(7)

補題1.6 (Hecke 作用素の間の関係).

T_{m}T_{n}=\displaystyle \sum_{d|(m,n)}T(\frac{mn}{d^{2} )特に,Hecke 作用素たちは可換である : T_{m}T_{n}=T_{n}T_{m}.

.

また, \mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(m, n)=1 なら丁伽 =T_{m}T_{n}.

系1.7. 次の再帰式が成立.特に T_{p^{ $\mu$}} はTp の $\mu$ 次整数係数多項式である :T_{p^{ $\mu$+1}}=T_{p}{}_{ $\mu$}T_{p}-T_{p^{ $\mu$-1}}.
補題1.8. Hecke 作用素は L^{2}(\mathcal{F}, d $\mu$) 内の \triangle の固有空間それぞれで Hermite 作用素である.

34

系1.9. 定理1.4の \{$\psi$_{j}\}_{j=1,2},\ldots の元は,それぞれ Hecke 作用素の同時固有関数と仮定して良い :T_{n}[$\psi$_{j}](z)=$\lambda$_{j}(n)$\psi$_{j}(z) $\lambda$_{j}(n) をHecke 固有値という.
,Hecke 作用素の関係式から,Hecke 固有値の間にも次の関係式が成立 :$\lambda$_{j}(m)$\lambda$_{j}(n)=\displaystyle \sum_{d|(m,n)}$\lambda$_{j}(\frac{mn}{d^{2} )$\lambda$(p^{ $\mu$+1})= $\lambda$(p^{ $\mu$}) $\lambda$(p)- $\lambda$(p^{ $\mu$-1})\blacksquare Hecke作用素の明示式

(8)

,

.

(9)

Maass waveform$\phi$(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n\neq 0}c(n)K_{iR}(2 $\pi$|n|y)e(nx) , z\in H
への Tp( p は素数) の作用 (7) を係数で書き下すと,

T_{p}[ $\phi$](z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n\neq 0}b(n)K_{$\iota$'R}(2 $\pi$|n|y)e(nx)としたとき,

b(n)=c(pn)+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p} c(\frac{n}{p})ただし p 恒なら,

(10)c(\displaystyle \frac{n}{p})=0 とする.

Maass waveform を計算する動機

1.5\mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z}) についての,Hecke 固有 Maass wave cuspform (Hecke 作用素の同時固有関数となっているMaass wave cuspform) を計算することを目標とする.動機としては,次のような問についての例の構成数値的な検証が挙げられる :\bulletPoincaré 級数,Eisenstein 級数,Maass による,実2次体の指標に伴うもの以外は具体例に乏しい.例えばH. Maass [Maa49], H. Cohen, [Coh88], [Coh95].
-

Laplacian の最小固有値の評価に関する Selberg の予想 [Se165],-\mathrm{M}\mathrm{a}\mathfrak{X}\mathrm{S} waveform2

ついての Ramanujan 型予想(| % |)<2 ) Hejhal‐Arno [HA93],-

Maass waveform についての Sato‐Tate 型予想,同上,-固有値①のHecke 固有 Maass waveform と2次元偶 Artin 表現の対応 (ただしレベル N>1 ).

Maass waveform の計算法 (Stark による反復法)\blacksquare Maass waveform の数値計算法$\phi$(z) をHecke 固有 Maass wave cuspform とする.

$\phi$(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n=1}^{\infty}c(n)K_{iR}(2 $\pi$|n|y)e(nx)の c(n)(11)を計算することを目標とする.今回は,Stark [Sta84] 他による先行計算例がある反復法を

pari‐gp で実装した結果について報告した.

35\blacksquare 反復法のアイディア (Stark)$\phi$(z) が正規化された (すなわち式 (11) で c(1)=1 である) Hecke

固有 Maass waveform と仮定する.するとすべての n について,

T_{n}[ $\phi$](z)=c(n) $\phi$(z).

ここでポイントは,$\phi$(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n=1}^{\infty}c(n)K_{iR}(2 $\pi$|n|y)e(nx)のBessel‐K 関数が, y が大きいと非常に早く減衰することから,数値計算の際には上の和を N までで打ち切って良い,という点である.
\blacksquare 反復法

これらを組み合わせて,アルゴリズム 1のような 「反復法」 による数値計算ができる.

アルゴリズム 1反復法によるMaass waveformの計算

Require: Laplacian の固有値 $\lambda$.=\displaystyle \frac{1}{4}+R^{2} の近似値.

c\mathrm{o}=(c0(1), c_{0}(2), \ldots, c_{0}(N))=(1.0z=z_{0}

初期値を設定する.

,を適切に選ぶ.

$\phi$^{(N)}(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n=1}^{N}c(n)K_{iR}(2 $\pi$ ny)\cos(nx) と書く (有限和).
while c_{n} が安定するまで繰り返す :doc_{n+1}=(c_{n+1}(1), c_{n+1}(2), \ldots, c_{n+1}(N)) を

c_{n+1}(m)=\displaystyle \frac{T_{m}[ $\phi$]^{(N)}(z_{0}) {$\phi$^{(N)}(z_{0})で計算する.
end while\blacksquare 反復法の改良

Hecke 作用素と Hecke 固有値の関係式(下記補題2.1) から,僅かに改良したアル

ゴリズム 2が考えられる.

c(p^{2})=c(p)^{2}-1,-c(p^{3})=c(p)^{3}-2c(p)-c(p^{4})=c(p)^{4}-3c(p)^{2}+1,c(p^{5})=c(p)^{5}-4c(p)^{3}+3\mathrm{c}(p) (式 (9) から).

補題2.1 (係数の関係式)\bullet,\bullet命題2.2. T_{\mathrm{p} [ $\phi$](z) の係数 b(n) を計算するのに,\bulletp $\dagger$ n なら b(n)=c(np)=c(n)c(p)\bulletp||n なら n=pn', p $\dagger$ n' として\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p} )c(n')\bullet,b(n)=c(p^{2}n')+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p} c_{$\eta$'}=(c$\omega$^{2})+\frac{1}{\sqrt{p} ) c(n')=(c $\omega$)^{2}-1+.

p^{2}||n なら n=p^{2}n', p $\dager$ n' として b(n)=c(pn)+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p}}c(pn')=(c(p)^{3}+(\frac{1}{\sqrt{p}}-2)c(p)+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p} )c(n').

36

アルゴリズム 2反復法によるMaass waveformの計算(Hecke固有値の関係式を使う)

Require: Laplacian の固有値 $\lambda$=\displaystyle \frac{1}{4}+R^{2} の近似値.
c_{0}=( c0(1), c0(2),\ldots,co(N)) =(1.0

初期値を設定する.

,

z=z_{0} を適切に選ぶ.

$\phi$^{(N)}(z)=\displaystyle \sqrt{y}\sum_{n=1}^{N}c(n)K_{iR}(2 $\pi$ ny)\cos(nx) と書く (有限和).
while \mathrm{c}_{n} が安定するまで繰り返す :do
砺+ 1=(c_{n+1}(1), c_{n+1}(2), \ldots, c_{n+1}(N)) の素数番目を

c_{m+1}(p)=\displaystyle \frac{T_{p}[ $\phi$]^{(N)}(z_{0}) {$\phi$^{(N)}(z_{0})で計算する.
c_{n+1} (pr), c_{m+1} (m).を Hecke 固有値の漸化式,関係式で計算する.

end while\blacksquare 今回の数値計算例て計算した.この場合に,て c(n) ,R=13.7797513519*I の場合を, N=19 としStark の論文 [Sta84] にある,

T_{p}[ $\phi$](z) の各係数 b(n),1\leq n\leq 19 を p=2 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19につい,1\leq n\leq 19 の式で表し,cp0)近似値
を p=2 3,,.

.

この Hecke.,=\displaystyle\frac{T_{p}[$\phi$]^{(19)}(z)}{$\phi$^{(19)}(z)}=\frac{\sqrt{y}\sum_{n-1}^{19}b(n)K_{iR}(2$\pi$ny)\cos(2$\pi$nx)}{\sqrt{y}\sum_{n=1}^{19}c(n)K_{iR}(2$\pi$ny)\cos(2$\pi$nx)}

19について計算し,アルゴリズム 2に従い c_{n} を計算した.

固有 Maass waveform は,LMFDB* 1

だと http: / \mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}.

lmfdb. org/ModularForm/\mathrm{G}\mathrm{L}2/\mathrm{Q}/\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}/4\mathrm{c}\mathrm{b}8503\mathrm{a}58\mathrm{b}\mathrm{c}\mathrm{a}91458000000 に相当するものと思われる.
実装に際しては,Hecke 固有 Maass waveform を係数を並べたベクトルとし,Hecke 作用素 Tp を作用させた Maass waveform の係数の計算を,補題2.1により実装する.例えば乃の作用はリスト1のようになる.考えている Maass waveform と,Hecke 作用素を作用させたものとそれぞれの関数
値を計算し (リスト2),

その比を計算する.
リスト 1

pari‐gp で実装した乃の作用*1L-‐functions and Modular Forms Data Base

37

リスト 2

Maass waveform の値

リスト3

デモ用のドライバ関数

38\mathrm{c}\mathrm{s}=\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w} ;print (\mathrm{n},‐th iteration

print (''\mathrm{c}\mathrm{s}(2)=,\mathrm{c}\mathrm{s}[2] );print (''\mathrm{c}\mathrm{s}(3)=``` cs[3]);,print (^{\prime 1}\mathrm{c}\mathrm{s}(5)=\subset \mathrm{s}[5])_{1}.

print

return(cs);

\}
リスト4

Stark の例/* initial values at $\rho$ rime−th coeffs. */csl =1.0;' cs2=1.549304 ; cs3=0.246899 ; cs5 =0.737060_{1}\cdot \mathrm{c}\mathrm{s}7=-0.261420 ;csll =-0.953564 cs13=0.278827 cs17 =1.307341_{1} cs19 =0.092558,,,/* initial values at composite-th coefTTs. */cs4 =\mathrm{c}\mathrm{s}2^{\wedge}2-1_{1}C56=\mathrm{c}\mathrm{s}2*\mathrm{c}\mathrm{s}3 ; cs8 =\mathrm{c}\mathrm{s}2^{\sim}3-2*\mathrm{c}\mathrm{s}2 ;cs9 =\mathrm{c}\mathrm{s}3^{\wedge}2-1 ; cslO=\mathrm{c}\mathrm{s}2*\mathrm{c}\mathrm{s}5 ; cs12 =\mathrm{c}\mathrm{s}4*\mathrm{c}\mathrm{s}3 ;cs14 =\mathrm{c}\mathrm{s}2*\mathrm{c}\mathrm{s}7 ; cs15 =\mathrm{c}\mathrm{s}3*\mathrm{c}\mathrm{s}5 cs16 =\mathrm{c}\mathrm{s}2^{\wedge}4-3*\mathrm{c}\mathrm{s}2^{x}2+1 ;,cs18 =\mathrm{c}\mathrm{s}2*\mathrm{c}\mathrm{s}9,

39

cs

[csl, cs2. cs3, cs4, cs5, cs6. cs7, cs8. cs9, cslO, csll, cs12,
cs13, cs14, cs15, cs16, cs17, cs18, cs19];=\blacksquare demonstration上の demo‐stark ()を,例えばniter =30 等として呼び出せば,30回の反復によりMaass waveform の計算を近似計算する.結果は
リスト5(15:01)

計算例

demo‐stark(30)[1.00000000000, 154930400000, 0.246899000000, 1.40034288442, 0.737
060000000, 0.382521608296, -0.261420000000 0.620252832197, −0.9.39040883799, 1.1
gp >initial cs=,

4193000624, -0.953564000000 0.345743257819, 0.278827000000_{1}-0.405019051680 O.
,,

181979376940, -0.439382690481 1.30734100000, -1.45485979743 0.0925580000000 ],,1‐th iteration:\mathrm{c}\mathrm{s}(2)=1.05549447938+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(3)=0.637292490241+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(5)=0.891667093955+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}
2 −th iteration:\mathrm{c}\mathrm{s}(2)=0.948054159276+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(3)=0.907686201484+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(5)=0.965314012332+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}3 −th iteration:\mathrm{c}\mathrm{s}(2)=0.898344007504+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(3)=0.985058403260+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}\mathrm{c}\mathrm{s}(5)=0.989768800366+0.\mathrm{E}-68*\mathrm{I}(snip)\cdots***\cdotsfinal output **.*

iteration =30, \mathrm{R}=13.779751351890700000000000000000000000*\mathrm{I},\mathrm{z}=O. 10000000000

000000000000000000000000000+1.0050000000000000000000000000000000000*\mathrm{I}[1.0000000000000000000000000000000000000, 0.866218596025455537360672212370103006
91+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 1.0049516436405823762052036087261191719+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} -0.2496653438,,

9968866433337795678679050314+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 1.0000005209080303828089335580629842902,+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0.87050780182781917864917706986073198136 + 0. \mathrm{E}-86*\mathrm{I} 1.000000000001,

1932466986212781046558902+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I},,-1.0824833596944\backslash 5638250594974305. 51675420+

O. \mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0.0099278060559080722988727241823902041424 + 0. \mathrm{E}-86*|,67827394276300417647447000 + 0. \mathrm{E}-86*\mathrm{I},0.866219047245,

0.99999999999999994069870331745289095298+0.\mathrm{E}-86*| −0.25090159771208336966165557721387352125 + 0. \mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0.999999999999
,

,

40

99997810849975064417281477 + 0. \mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0.86621859602648914984066394576156082587,+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I}. 1.0049521671279636949874642299714949935+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} −0.6880018721557,

6152790917300262360540599+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 1. 0000000000000000093294612778997859927+,

0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0. 0085996502233617055297616993011335912230+0.\mathrm{E}-86*\mathrm{I} 0.9999999999999,,

9997245422836217771920834 + 0. \mathrm{E}-86*\mathrm{I}]のようになる.計算結果が収束してはいるが,先行する計算例Stark [\mathrm{S}\mathrm{t}\mathrm{a}84][Table 1] Hejhal‐Arno,[\mathrm{H}\mathrm{A}93][ Example 3]のc(2)=1.5493\ldots, c(3)=0.2468\ldots,

c(5)=0.7370\ldots と一致していない.

データは省くが,上のルーチンで計算してみると,Hecke作用素の可換性が数値的に成立していな
いことが観察され,それが一つの原因であるかもしれない.
また,c_{2}=T_{2}[ $\phi$](z)/ $\phi$(z)=T_{6}[ $\phi$](z)/T_{3}[ $\phi$](z) が数値的に成立しないので,上掲の Hejhal‐Arno

論文では,これらのうち最小のものをとる,といった戦略も検討している (同論文 §5参照).

3

まとめ
本稿では,Stark, Hejhal‐Arno らの提案による,反復法による,全モジュラー群 \mathrm{S}\mathrm{L}_{2}(\mathrm{Z}) についてのHecke 固有 Maass waveform の展開係数の数値計算を試みたが,残念ながら先行する計算結果を再現できなかったことを報告した.更に全体的な再検討,実装の改良を試み,先行する計算結果の再現,更には計算範囲を広げることなどを目指したい.

参考文献[Coh88] H. Cohen, q ‐identities for Maass waveforms, Invent. Math. 91 (1988), no. 3, 409‐422.
MR 928490 (89\mathrm{f}:11072)[Coh95]—,

no.

Corrigendum:{}^{t}q ‐identities for Maass waveforms lInvent. Math. 91 (1988),

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