小テスト直し：小テストの間違えた問題，解答できなかった問題を，レポート用紙などに正しく解答（説明・計算も含む）して提出すれば加点する。小テストの答案を直して提出しても加点しない。
力学 2（工）（11 回目）

第 10 回授業 レポート課題(a) 水平な𝑥𝑦平面内を，位置ベクトル𝑟⃗(𝑡) = (0.5 cos(25 𝑡 + 𝜋⁄2) , 0.5 sin(25 𝑡 + 𝜋⁄2) ) [m]で表される等速円運動する物体について，以下の問いに答えよ。
（有効数字 2 桁で答えよ。ただし𝛼 は𝜋を用いて答えてよい。）
a-1) 円軌道の半径𝐴，角速度𝜔，時刻0 [s]での回転角𝛼 を読み取れ。
a-2) 周期𝑇，速さ𝑣（ = |𝑣⃗(𝑡)|），加速度の大きさ𝑎（ = |𝑎⃗(𝑡)|），を求めよ。
a-3) 物体と共に等速円運動する観測者を想定する。この観測者が測る，物体に働く遠心力𝐶⃗(𝑡)を求めよ。

⃗⃗ (𝑡)が物体に与える仕事率（単位時間当たりの仕事）𝑃を求めよ。
a-4) 演習 2 で求めた張力𝐻(b) テキスト問題演習 9 から問題 9-3（p.41）を答えよ。ただし，質量 𝑚 = 2.0 [kg]，自然長ℓ = 0.40 [m]，ばね定数𝑘 = 6.3 × 103 [N/m]，ばねの伸び𝑥 = 0.10 [m]とし，数値でも答えよ（有効数字 2 桁で）(1) 回転の半径𝑟はいくらか。(2) 小球に働くばねの弾性力の大きさ𝐹 はいくらか。(3) 小球の加速度の大きさ𝑎はいくらか。(4) 小球の角速度の大きさ𝜔はいくらか。(5) 小球の速さ𝑣はいくらか。
追加の問い(6) 小球が持つ力学的エネルギー𝐸 を求めよ。（水平面の高さを重力による位置エネルギーの基準とする）
チャレンジ問題（取り組むかどうかは各自の判断）： 以上の問題では，重力の効果が無視できるように水平面上の円運動を考えた。では，鉛直な面内で同様な円運動させた場合，以上の問題で求めた力など様々な量について，重力を考慮した場合としない場合での誤差は，どの程度だと見積ることができるか？
注意 1：計算式だけでなく，説明文（必要なら適切な図も）を加えて答案を作成すること。答案作成力も見る。
注意 2：最初はこの問題がよく解けなかったとしても構わない。しかし，次の確認テストまでに何度も復習し，適切な答案を作れるようにすることを強く勧める。
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提出〆切：答案用紙を，授業と同じ週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

第１１回

円運動と慣性力 2（問題演習）：第 9，17，22 章の応用

1. 今回の授業の目的
前回，等速円運動と慣性力を扱った。様々な製品には回転する部品が多いので，工学系において等速円運動は基礎的で重要な運動である。また，加速運動する観測者が測る『見かけ上の力』である慣性力も，車や飛行機など運動する機械の部品や搭乗者の視点に立つとき，考慮する必要がある。今回の授業の目的
は，等速円運動と関連事項の理解を定着させるための問題演習である。
2. 授業の進行(A) 演習 1： 電車が走る直線状のレールに沿って𝑥 軸をとる。駅ホームに停車していた電車が発車して，15秒のあいだ加速したとする。駅ホームにいる人を観測者 D1（太郎）とし，電車内にいる人を観測者 D2（花子）とする。加速中（0 ≦ 𝑡 ≦ 15 [s]）の電車の運動を，D1（太郎）が測ったときの位置（の𝑥 座標）は，
𝑥(𝑡) = 4𝑡 5⁄2 [m]で表される。D2（花子）の体重は𝑚 = 60 [kg] である。以上の設定で，電車の加速中に D2⃗(𝑡)の𝑥成分を求めよ。
（花子）が測定する，自分自身の身体に働く慣性力𝐶𝐶⃗(𝑡)の𝑥成分𝐶𝑥 (𝑡) =(B) 演習 2 [円錐振り子]： テキスト問題演習 9 の問題 9-4（p.41）に取り組む。ただし設定として，物体を P，天井に固定した糸の端を点 K，質量 𝑚 = 5.0 [kg]，糸の長さℓ = 2.0 [m]，糸と鉛直線のなす角 𝜃 = 𝜋⁄6 [rad]，重力2加速度の大きさ𝑔 = 9.8[m/s ] とする。空気抵抗は無視できる。水平面上に𝑥𝑦 軸をとる。（この水平な𝑥𝑦 面上で物体は等速円運動をする。
）
11 回目-1KK
𝜃

⃗𝑆
𝜃

𝑦O

P𝑥O

𝐹⃗ (𝑡)P𝐺⃗

力学 2（工）（11 回目）(1) 物体には重力𝐺⃗ と糸の張力𝑆⃗が働く。前ページ右側の△OKP の図にベクトル𝐺⃗ と𝑆⃗を表す矢印を描け。
ただし，𝐺⃗ と𝑆⃗の向きだけでなく，長さの関係も分かるように作図し，補助線も残すこと。作図を参考に糸の張力の大きさ𝑆を求めよ。

𝑆 cos 𝜃 − 𝑚𝑔 = 0𝑆=𝑚𝑔= 56.6[N]cos(𝜋⁄6)
𝑆=57[N](2)次の手順で求める。
(2-1) 問い(1)で描いた図に，合力𝐹⃗ (𝑡)を作図せよ。また，合力の大きさ𝐹 を求めよ。この𝐹⃗ (𝑡)が向心力となって，物体 P は等速円運動をする。

𝐹 = 𝑆 sin 𝜃 =𝑚𝑔 sin(𝜋⁄6)= 28.3[N]cos(𝜋⁄6)(2-2) 図を参考に，回転の半径𝑟を求めよ。

𝑟 = ℓ sin 𝜃 = ℓ sin(𝜋⁄6) = 1.0[m](2-3) 問い(2-1)，(2-2)の答えを用いて角速度𝜔を求めよ。

𝐹 = 𝑚𝑟𝜔2 より 𝜔2 =𝐹𝑚𝑟

1.0[m]

𝑟=𝐹𝑚𝑔 sin 𝜃𝑔𝜔=√=√=√= 2.38[rad/s]
𝑚𝑟𝑚ℓ sin 𝜃 cos 𝜃ℓ cos 𝜃(3) 周期𝑇を求めよ。

𝑇=28[N]

𝐹=2𝜋ℓ cos 𝜃= 2𝜋√= 2.64[s]𝜔𝑔𝜔=

2.4[rad/s]

𝑇=

2.6[s]

追加(4) 時刻0 [s]での回転角を1⁄7 [rad]とする。時刻𝑡 [s] における物体 P の位置ベクトル𝑟⃗(𝑡) [m] の𝑥𝑦成分を表せ。

cos(2.4𝑡 + 1⁄7)𝑟⃗(𝑡) =（sin(2.4𝑡 + 1⁄7)，）[m]

追加(5) 時刻𝑡 [s] における物体 P に働く向心力𝐹⃗ (𝑡)の𝑥𝑦成分を表せ。

𝐹⃗ (𝑡) =（−28 cos(2.4𝑡 + 1⁄7)，

− 28 sin(2.4𝑡 + 1⁄7)）[N]

追加(6) 物体 P と共に運動する観測者を想定する。この観測者が測る，物体 P に働く遠心力𝐶⃗(𝑡)を求めよ。

28[N]，向き 回転中心から外へ向かう向き(C) 演習 3： ばね定数𝑘 [N/m]，自然長𝐿 [m] のばねに質量𝑚 [kg] の物体を結び付けて，角速度𝜔 [rad/s]の等遠心力𝐶⃗ (𝑡)：大きさ速円運動をさせる。空気抵抗と重力は無視できる。

𝑦(a) 等速円運動をしている間のばねの長さ 𝐴 を，𝑘 ，𝐿，𝜔，𝑚 の中から必要なものを使って表せ。

𝐴𝜔

ばねの弾性力が向心力だから，運動方程式より，

𝑘(𝐴 − 𝐿) = 𝑚𝜔2 𝐴𝐴=⇒𝐴=𝑘𝐿𝑘 − 𝑚𝜔 2(b) この等速円運動は，ある角速度𝜔max 以上に速い回転をさせることが出来ない。この角速度の上限値𝜔maxを，𝐿，𝑘 ，𝑚 の中から必要なものを使って表せ。
（ヒント：角速度𝜔 を小さな値から増やしていくと𝐴 がどうなるか，𝐴- 𝜔グラフを描いて考えてみよ。
）
2𝑘 − 𝑚𝜔 = 0 とき
𝑘𝐿
𝐴=の分母がゼロ
𝑘 − 𝑚𝜔 2⇒ 𝜔𝑚𝑎𝑥 = 𝑘⁄𝑚のとき 𝜔max =𝐴が発散的に増大する 11 回目-2−𝐴O𝐴𝑥−𝐴𝐴
伸ばびねるが𝐿O

回転速く𝜔𝑘⁄𝑚 = 𝜔max