講義の目標

絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式演習問題

結び目の数学鈴木咲衣

RIMS 公開講座, 2016 年 8 月 1 日 〜 4 日

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講義の目標絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式

演習問題

講義の目標

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講義の目標絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式

演習問題

講義の目標

１日目：結び目理論の研究対象と研究方法を理解する．
２日目：ジョーンズ多項式の定義を理解する．
３日目：ジョーンズ多項式を研究する．
４日目：量子トポロジーの最先端の研究を垣間見る．

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2 日目の目次(1) 絡み目の図式(2) 図式を用いて結び目の不変量を作る（レシピ）(3) ジョーンズ多項式

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講義の目標絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式演習問題(1) 絡み目の図式

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絡み目の図式

絡み目を平面に射影し，線が交差しているところに上下の情報をつけたものを絡み目の 図式 という．

図式の中の交差部分を絡み目図式の 交点 と呼ぶ．
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ダメな例(I) とがった部分．

これはダメ

これはOK

これはダメ

これはOK

これはダメ

これはOK

(II) 線と線が接する部分．
(III) 三重点．

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図式を使って絡み目を調べるポイント
絡み目はイソトピーで移り合うとき “同じ” とみなした．

∼
３次元の中の絡み目は考えにくいので、絡み目図式を用いて絡み目を調べたい．

?
←→
どんな関係？
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３次元空間の連続変形（イソトピー）↑３次元的操作̸∼
２次元空間のイソトピーでは動かせない！

⇒ ３次元的操作に対応する図式変形が必要．

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ライデマイスター移動 RI, RII, RIII

ダメな例 I, II, III を離散的に回避
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ライデマイスター移動 RI, RII, RIII

定理 (絡み目と図式の関係)
絡み目をイソトピーで割った集合と，図式をイソトピーとライデマイスター移動で割った集合は一対一対応する．
1:1 対応{ 絡み目 }/ ∼←−−−→ { 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII
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証明のあらすじ
1:1 対応{ 絡み目 }/ ∼←−−−→ { 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII(→) ：絡み目の射影をつくる．well-defined を示すにはイ
ソトピックな絡み目から得られる異なる図式がイソトピーとライデマイスター移動で移り合うことを確認．

∼(←) ：図式から絡み目を復元．well-defined を示すにはライでマイスター移動の両辺から復元した絡み目がイソトピックであることを確認．
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講義の目標絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式演習問題(2) 図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）13 / 28

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図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）1:1✓→I
ここを作れば良い→↔

絡み目不変量 f : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII✏

レシピ(i) 絡み目図式に対して値を対応させる.
f : { 絡み目の図式 } → I(ii) 図式のイソトピーとライデマイスター移動での不✒変性を示す．

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講義の目標絡み目の図式図式を用いて絡み目の不変量を作る（レシピ）ジョーンズ多項式演習問題(3) ジョーンズ多項式15 / 28

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ジョーンズ多項式(a) カウフマン括弧⟨ ⟩ : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ]を定義する．
(b) カウフマン括弧を補正する．

VD (t) = (−A3 )−w(L) ⟨D⟩|A2 =t−1/2
ただし D は絡み目の図式で，w(L) = (D の正交点の数) − (D の負交点の数).
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ジョーンズ多項式(a) カウフマン括弧 ⟨ ⟩ : L → Z[A, A−1 ] を以下の性質で定義する．

(K1) ⟨⟩ = A⟨

⟩ +A−1 ⟨⟩交点が帰納的に減り，いくつかの円周のみが残る．

(K2) ⟨D ⃝⟩ = −(A2 + A−2 )⟨D⟩

円周が帰納的に減り，一つの円周が残る．

(K3) ⟨⃝⟩ = 1

最後に残った円周を 1 にすれば Z[A, A−1 ] の元が得られる．
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ジョーンズ多項式(K2) ⟨D ⃝⟩ = −(A2 + A−2 )⟨D⟩
(K3) ⟨⃝⟩ = 1⇒ ⟨⃝n ⟩ = (−1)n−1 (A2 + A−2 )n−1

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三葉結び目のジョーンズ多項式(K1)

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三葉結び目のジョーンズ多項式
(K1)

A

A−1

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三葉結び目のジョーンズ多項式
(K1)
A−1

AA−1

A
A

A−1

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三葉結び目のジョーンズ多項式(K2,K3)

A−1

A
A−1

A
A

A−1−(A2 + A−2 )A3 + 1 · A + · · ·20 / 28

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三葉結び目のジョーンズ多項式(K2,K3)A−1AA−1AA

A−1−(A2 + A−2 )A3 + 1 · A + · · ·21 / 28

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絡み目不変量を作るレシピ（復習）1:1✓→ Z[A, A−1 ]ここを作る→↔

ジョーンズ多項式 V : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII✏

レシピ(i) 絡み目図式に対して値を対応させる（今日）.
V : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ](ii) ライデマイスター移動での不変性を示す（明日）．

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絡み目不変量を作るレシピ（復習）1:1✓→ Z[A, A−1 ]

ここを作る

→

↔

ジョーンズ多項式 V : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII

✏レシピ(i) 絡み目図式に対して値を対応させる（今日）.
V : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ](ii) ライデマイスター移動での不変性を示す（明日）．

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演習問題２24 / 28

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演習問題２!

次の 2 つの図式が表す結び目はイソトピックであった．図式のイソトピーとライデマイスター移動で左の図式を右の図式に変形してみよう．

∼!

三葉結び目のジョーンズ多項式を計算してみよう．
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三葉結び目の図式移動

RII

RI

RIII
RIIIRI４回の変形で済む方法もある（ヒント：RI → RIII → RIII → RI）

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三葉結び目のジョーンズ多項式w(⟨) = 3,⟩ = −A5 − A−3 + A−7

よりV() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )27 / 28

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２日目お疲れさまでした

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