X線⾃自由電⼦子レーザー理理論論
⽥田中隆次
理理研放射光センター

Outline• レーザー発振の定性的解釈(2節)• 1次元FEL理理論論(3節)• FELにおける回折効果(4節+5節)• SASE型FEL (6節)• シード型FEL (7節)Outline• レーザー発振の定性的解釈• 1次元FEL理理論論• FELにおける回折効果• SASE型FEL• シード型FEL

⾃自発放射とコヒーレント放射(1)•   4⾃自発放射とコヒーレント放射(2)λ自発放射	

コヒーレント放射	5⾃自発放射とコヒーレント放射(3)• ⾃自発放射– バンチ⻑⾧長  > 波⻑⾧長のとき– 光は“光⼦子”として積算：光⼦子数がN倍• コヒーレント放射– バンチ⻑⾧長  < 波⻑⾧長のとき– 光は“電磁波”として積算：電場振幅がN倍– 光⼦子数∝|電場振幅|2としてはN2倍

コヒーレント放射の光強度度は、⾃自発放射のそれの電⼦子数(109~∼1010)倍!
6マイクロバンチによるコヒーレント放射

λ
マイクロバンチ	λ

波長λにおいて	コヒーレント放射	
自由電子レーザとは密度変調した電子ビームから放出されるコヒーレント放射である	

7

マイクロバンチ化の⽅方法

⼀一様分布

エネルギー変調

密度度変調

アンジュレータ：基本波⻑⾧長λ1

1. 電⼦子ビームがアンジュレータを通過するのと同期して波⻑⾧長λ1の光(シード光)を⼊入射する
2. 各電⼦子はシード光と相互作⽤用し（エネルギー交換）、エネルギーの変調が誘起される
3. エネルギー変調は密度度変調へと変換され、コヒーレント光が放出される
8

電⼦子⇔光相互作⽤用
半周期後

xA

B

A

Bz

光（電磁波）

電⼦子ビーム電⼦子軌道9

エネルギー変調から密度度変調へ

光&電⼦子
相互作⽤用

密度度変調

10Outline• レーザー発振の定性的解釈• 1次元FEL理理論論• FELにおける回折効果• SASE型FEL• シード型FEL 光は平⾯面波
1次元FEL理理論論における仮定

Δx, ΔyΔx, Δy 無限⼤大の電⼦子ビームサイズ
 全ての電⼦子は互いに平⾏行行に運動

電⼦子バンチe- e- ee- - eee12

アンジュレータ磁場と電⼦子の運動(1)

磁場  B  を運動する電⼦子の運動⽅方程式

13

アンジュレータ磁場と電⼦子の運動(2) K値
 偏向定数

E=8GeV,K=1,λu=5cm：βxmax=64µrad, xmax=0.5µm
14独⽴立立変数の変換

zに到達する平均時刻
平均時刻からの偏差
平均時刻の変化率率率

アンジュレータの基本波⻑⾧長:リニア:ヘリカル
15 電⼦子は１周期進むたびにアンジュレータ基本波⻑⾧長
λ1の距離離だけ遅れていく
光のスリッページ16

電⼦子位相x,y0zx,y0t17

光電場と電⼦子分布関数18定常状態近似• 定常状態

– シード光は完全単⾊色（無限に⻑⾧長いパルス幅）– 電⼦子ビームは完全DC（無限に⻑⾧長いバンチ⻑⾧長）19•   20

実空間電⼦子密度度γ	

位相空間電⼦子密度度

電⼦子密度度@γ=γ’γ’y	γ	γ’y	21

FEL⽅方程式導出プロセス??
変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)
22

FEL⽅方程式導出プロセス

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)
23

エネルギー⽅方程式
光電場による電⼦子のエネルギー変化
βとEの内積：横波の電磁場とアンジュレータ磁場による偏向24

FEL⽅方程式導出プロセス

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)25

変調振幅の成⻑⾧長
分布関数の連続の式

位相⽅方程式(3-12)エネルギー⽅方程式(3-30)

変調振幅が⼩小さいことを仮定

電場による変調振幅の成⻑⾧長
26

FEL⽅方程式導出プロセス

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)27マイクロバンチによる光電場の成⻑⾧長
波動⽅方程式（3次元）
1次元近似
波動⽅方程式（１次元）

⽔水平電場振幅の成⻑⾧長

合成電場振幅の成⻑⾧長
28

FEL微積分⽅方程式
変調振幅の成⻑⾧長

合成電場振幅の成⻑⾧長

FEL微積分⽅方程式

29

FEL微積分⽅方程式

規格化

規格化FEL微積分⽅方程式

30FEL微分⽅方程式
FEL微積分⽅方程式

矩形関数的エネルギー分布

規格化

FEL微分⽅方程式

31

FEL微分⽅方程式の解
FEL微分⽅方程式  解の仮定
FEL分散関係式

初期条件
FEL⽅方程式の解

1)2)→密度度変調無し

3)→エネルギー変調無し

32

FEL分散関係式

振動解

解：

減衰解

増幅解

⾼高ゲイン領領域では＝ゲイン⻑⾧長(光のパワーがe倍に増幅されるアンジュレータ⻑⾧長)33

FEL微分⽅方程式の解(⼀一般)
FEL分散関係式

34

レーザー強度度の飽和•   レーザー強度度の飽和飽和(⾮非線形)状態でのレーザー特性を調べるにはFEL⽅方程式の修正が必要
 特に変調振幅の成⻑⾧長(3-31)35

変調振幅の成⻑⾧長
分布関数の連続の式

位相⽅方程式(3-12)エネルギー⽅方程式(3-30)

変調振幅が⼩小さいことを仮定

電場による変調振幅の成⻑⾧長
36

FEL⽅方程式導出プロセス

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)
バンチ因⼦子の導⼊入位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)37⾮非線形FEL⽅方程式
シミュレーションのための規格化
バンチ因⼦子の導⼊入位相空間における電⼦子の運動⽅方程式
位相⽅方程式(3-12)
位相⽅方程式(3-61)

マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
電場の成⻑⾧長(3-66)
エネルギー⽅方程式(3-30)
エネルギー⽅方程式(3-62)38

シミュレーション結果：ゲイン曲線39バンチ因⼦子の成⻑⾧長とエネルギー幅の増⼤大40

マクロ粒粒⼦子の運動

41

Outline• レーザー発振の定性的解釈• 1次元FEL理理論論• FELにおける回折効果• SASE型FEL• シード型FEL

光の回折を考慮したFEL⽅方程式•   43

⼀一次元FEL⽅方程式導出プロセス

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(3-27)
エネルギー⽅方程式(3-30)44回折効果の考察

変調振幅の成⻑⾧長(3-31)

位相空間における電⼦子の運動⽅方程式

全エネルギーで積分
位相⽅方程式(3-12)
マイクロバンチによる電場の成⻑⾧長(4-3)
エネルギー⽅方程式(3-30)45

回折を考慮した光電場の成⻑⾧長
波動⽅方程式（3次元）

⽔水平電場振幅の成⻑⾧長
周期平均⼀一次元近似による式に空間微分の項が加わるのみ！
⽔水平電場振幅の成⻑⾧長

合成電場振幅の成⻑⾧長
46

回折を考慮したFEL微積分⽅方程式
⼀一次元近似によるFEL微積分⽅方程式(3-40)

回折を考慮したFEL微積分⽅方程式(4-4)

47

円柱ビームに対するFEL微分⽅方程式
回折を考慮したFEL微積分⽅方程式(4-4)

円柱ビーム回折を考慮したFEL微分⽅方程式(4-6)

48増幅解の仮定と規格化増幅解の仮定

増幅解の空間プロファイル⽅方程式(4-7)

49回折パラメータ
電⼦子ビームサイズ〜～光源サイズ

回折限界光の⾓角度度発散

ゲイン⻑⾧長光が1ゲイン⻑⾧長を伝播した
ときに広がるビームサイズ

50

モード展開による解法

モード展開

ベッセルの(変形)微分⽅方程式

51

分散関係式

連続条件

⾏行行列列式＝０

回折を考慮したFEL分散関係式52

分散関係式の数値的解法

m=0m=1m=2m=353

レーザープロファイル(1)モード次数が⼤大きいほど複雑な(節点の多い)形状に変化する
54

レーザープロファイル(2)^^^電⼦子ビームサイズが⼩小さいと、光は回折によってこれよりも⼤大きく広がる

55

増幅率率率56規格化増幅率率率57

光ガイディング
TEM00

TEM01
TEM0258

光ガイディングの例例

59

3次元FEL⽅方程式へ…
•   60Outline• レーザー発振の定性的解釈• 1次元FEL理理論論• FELにおける回折効果• SASE型FEL• シード型FELFELにおけるシード光
光共振器型FEL
アンジュレータ
ミラー(共振器)

62

SASE型FELとは？
光共振器⽅方式
SASE⽅方式
⾃自発光放出エネルギー変調

密度度変調 レーザ光63ショットノイズ
電⼦子分布：粗密が混在

光の分布関数 時間
 スペクトル
 空間
 ⾓角度度分布64

SASE型FELにおけるゲイン曲線
指数関数的増幅領領域

飽和領領域

ρ⾃自発光⽣生成領領域

65ρ

⾃自発放射のシード光実効パワー

66

SASE型FELにおけるシード光の実効パワー(定性的評価)(定量量的解析)67

飽和⻑⾧長(1)

実効⼊入⼒力力パワー

飽和⻑⾧長を定める⾮非線形⽅方程式

68飽和⻑⾧長(2)実⽤用的FELでは16~19の範囲

69

ショットノイズ時間構造とスペクトル(1)時間プロファイル

スペクトル70

ショットノイズ時間構造とスペクトル(2)スパイク71

SASE時間構造とスペクトル
FELゲインスペクト
ル関数のフーリエ変換
ショットノイズ時間プロファイル

72

空間プロファイル

増幅73

SASE型FELの光源性能計算例例
電⼦子ビームアンジュレータ

エネルギー

8 GeV

周期⻑⾧長18 mm

有効バンチ電荷

75 pC

K値

2.18

バンチ⻑⾧長(FWHM)

20 fsec

セグメント⻑⾧長

5m

ピーク電流流3.5 kA

セグメント間隔

6.15 m

規格化エミッタンス

0.7 mm.mrad

セグメント総数

18

エネルギー幅10-4

光源パラメータ

平均ベータ関数25 m

FELパラメータ

4.14x10-4

ビームサイズ

30 µm

ゲイン⻑⾧長(1D)

2.00 m

⾓角度度発散1.4 µrad発振波⻑⾧長0.124 nm発振光エネルギー

10 keV

パラメータは全て2011年年10⽉月時点でのもの。
2013年年7⽉月現在では⼤大幅に改善していることに注意。
74

SASE型FELにおけるゲイン曲線
ドリフト部

飽和75

スペクトルと時間構造

76空間プロファイル77コヒーレンス78

Outline• レーザー発振の定性的解釈• 1次元FEL理理論論• FELにおける回折効果• SASE型FEL• シード型FEL

シード型FELとは？
• FELにおけるシード光– 共振器型FEL:(モード選択された)⾃自発放射光– SASE型FEL：⾃自発放射光
ショットノイズ起源の影響
 光ガイディングにより空間的にはコヒーレント
 時間的にマルチモード(不不完全な時間コヒーレンス)


– シード型FEL:コヒーレント光(通常はレーザー)

時間・空間的に完全にコヒーレント(シングルモード)
 “コヒーレントシード”型FEL

80

シード型FELの主要な形式
高出力	
レ	ーザー	

HHG	アンジュレータ	ガ	ス	タ	ーゲ	ット	
分散部	

HGHG	

高出力	
レーザー		

セルフシード	

分光器	

81

各種シード⽅方式の特⻑⾧長• HHG & HGHG
– いずれも外部からのレーザー光を利利⽤用– ⾼高調波による短波⻑⾧長化
ガスとの相互作⽤用(HHG)
 マイクロバンチの⾼高次成分(HGHG)
– 電⼦子ビームとの時間同期と短波⻑⾧長化が課題• セルフシード– SASE光を分光し、シード光として利利⽤用– 時間同期・短波⻑⾧長化への制限無し– ただし、⾮非常に⻑⾧長いシケイン(~30 m)が必要

改良良型セルフシード(透過型結晶の利利⽤用)

82

改良良型セルフシード
セルフシード	

分光器	

セルフシード(改)	

透過光	
回折光	

ダイヤモンド単結晶	

疑問：
透過光に単⾊色成分がふくまれるのか？
83

透過型セルフシード動作原理理
インパルス光⼊入⼒力力による透過光の時間応答

時間窓設定による透過光スペクトルの変化

84

シード型FEL光源性能の計算例例

85