数学クイズ 2015担当

2015 年 7 月 29 日 (水), 30 日 (木)深谷友宏
東北大学理学部数学科オープンキャンパス

1 内接および外接する正多角形で近似する．
アルキメデスの方法は，円に内接する正多角形と，外接する正多角形で円周の長さを近似することです．以下
では，半径 1 の円を考えます．この円の周の長さは 2π です．この円に内接する正 n 多角形の周の長さを pn とし，外接する正 n 角形の周の長さを qn とします．

1

次の不等式が成り立つことを示せ．（注意：pn < 2π は簡単．2π < qn は少し工夫が必要．）

pn < 2π < qn .

(1)

答. 半径 1 の円に内接する正 n 角形の頂点を，（反時計回りに）順に P1 , P2 , . . . , Pn とします．ただし，便宜上Pn+1 = P1 と約束します．このとき，Pi Pi+1 < (弧 Pi Pi+1 の長さ)ですから，直ちに pn =∑n（反時計回りに）順i=1 Pi Pi+1 < 2π を得ます．次に，外接する正 n 角形の頂点を，に Q1 , Q2 , . . . , Qn とします．先ほどと同様に Qn+1 = Q1 と約束します．外接する正 n 角形の場合，内接する場合のような，辺の長さと弧の長さの比較を直接使うことはできません．その代わりに面積の比較を用います．

(半径 1 の円の面積) < (外接する正 n 角形の面積).
ここで，△OPi Pi+1 の面積は，Pi Pi+1 /2 ですから，π < (外接する正 n 角形の面積) =∑ni=1 Pi Pi+1 /2 = qn /2を得ます．
不等式 (1) より，pn および qn の値が求まれば，円周率 π の近似値が得られることになります．pn , qn の値を計算するために，n を二倍して 2n に変えた時に，これらの値がどのように変化するか考察します．
図 1 において，θ = 360◦ /n とし，BD = a, AB = a′ , AE = b, AF = b′ とおきます．このとき

b′ =2ab,a+ba′ =√ab′(2)となることを示します．

EB

FGb′aθ/2Ca′θOD

図1(2) の最初の等式は，次の等式と同値です（各自で確かめてください）．
1Abbb − b′=.
′b −aa(3)円周角と中心角の関係から，∠OCB = OBC = θ/2 です．

2∠F BG = ∠EBF = θ/2 を示せ．

答. 辺 BG と CA は平行なので，∠F BG = ∠BCA = θ/2．同様に ∠EBG = ∠BOA = θ ．よって ∠EBF =∠EBG − ∠F BG = θ/2.
三角形 △EBG を図 2 に拡大して描きます．

EHFθ/2θ/2BG

図23

図 2 に着目して，等式EFBE=FG
BG(4)を示せ．
答. 三角形 △BEF の面積を |△BEF | と表すことにします．

|△BEF | =11
EF × BG = BE × F H.
22

また，三角形 △F HB と △F GB は合同なので，F H = F G．よって (4) を得ます．

a, a′ , b, b′ の定義より，EF = b − b′ , F G = b′ − a なので， (4) よりb − b′BE=′b −aBGとなります．

4三角形の相似に着目して，BEAEb==aBGDBを示せ．

2(5)答. 三角形 △BEG と △OBD は相似なので，等式BEOB=BG
ODが成り立ちます．同様に三角形 △OAE と △ODB は相似なので，等式OA
AE=ODDBが成り立ちます．OB = OA なので，上の二つの等式をつなげて， (5) を得ます．
以上より，等式 (3) （従って (2) の最初の等式）を示すことができました．次に (2) の二番目の等式を示します．

5

図 1 に表れる，相似な三角形に着目して次の等式を示せ．

aa′=a′b′
答. ∠ABD = ∠BAG．また ∠ABC が直角なので，∠ABF も直角．従って ∠ABF = ∠BDA である．よって三角形 △ABD と △F AB は相似．以上より a/a′ = a′ /b′ ．
以上により a′ =√ab′ が得られました．

漸化式式 (2) を使って，pn と qn が次の漸化式を満たすことを示しましょう．

q2n =2pn qn,pn + qn

p2n =√pn q2n .

(6)

図 3, 4 に n = 6 の場合の図を描いておきます．内接する正 n 角形の一辺の長さが BB ′ = 2a なので，周の長さは pn = 2na となる．同様に，外接する正 n 角形の一辺の長さは F A = b なので，その周の長さは qn = 2nbとなります．また，内接する正 2n 角形の一辺の長さは AB = a′ なので，周囲の長さは p2n = 2na′ です．

BθOBEθ/2AbODbDFAB′ F ′B′ E′

図3

図436

外接する正 2n 角形の一辺の長さは F A = b′ であることを示せ．（やや難）(ヒント：n = 3 の場合に図を描いてみよ)
答. 先ほどと同様に，内接する正 2n 角形の頂点を，反時計回りに順に P1 , . . . , P2n とし，外接する正 2n 角形の頂点を，反時計回りに順に Q1 , . . . , Q2n とします．三角形 △P1 F Pn+1 と △Q1 Q2 Qn+2 が合同であることを示せば，Q1 Q2 = F P1 = F A = b′ を得ます．以下に n = 6 の場合の図を描きます．

Q4P4Q5 P5bQ3bbP3bbbQ2P2P6Q6b bFb bQ1P7b bbb bP1Q7P8b bb bQ8P9bbbbP10Q12bP11 Q11bQ9F′P12Q10

正 2n 角形の対称性より，辺 Q1 Q2 と Qn+1 Qn+2 は平行です．さらに，直線 Q1 Qn+2 は辺 Q1 Q2 及びQn+1 Qn+2 と垂直に交わります．よって辺 Q1 Qn+2 は直径に等しく，Q1 Qn+2 = P1 Pn+1 となります．
ま た ，∠Q2 Qn+2 Q1 = (1/2)∠Q2 OQ1 = 360◦ /4n で す ．（O は 円 の 中 心 ），一 方 で 円 周 角 の 定 理 よ り∠F Pn+1 F ′ = (1/2)∠P2 OP1 = 360◦ /2n．ゆえに ∠F Pn+1 P1 = 360◦ /4n = ∠Q2 OQn+2 ．以上で直角三角形 △P1 F Pn+1 と △Q1 Q2 Qn+2 が合同であることが示されました．
以上より，q2n = 2nb′ だと分かりました．従って (2) を使えば， (6) が成り立つことが直ちに分かります．

(6) を繰り返し使えば，(pn , qn ) → (p2n , q2n ) → (p4n , q4n )というように，次々と計算していくことができます．

7

p6 , q6 の値を直接求めよ．また，それを用いて p12 , q12 の値を求め，円周率 π の近似値を計算せよ．

答. 内接する正 6 角形の一辺の長さは明らかに 1 です．外接する正 6 角形の一辺の長さを求めるには，図 3 の相似な三角形 △OBB ′ と △OEE ′ を利用します．OD =EE ′ = BB ′ ×√

3/2, BB ′ = OA = 1 より，

OA2=√OD3√を得ます．従って q6 = 4 3 です．これより次の近似を得ます．

√3 < π < 2 3(= 3.464 · · · )4√√ √3), p12 = 6 2( 3 − 1) を得ます．従って√ √√3.1058 < 3 2( 3 − 1) < π < 12(2 − 3) < 3.2154

漸化式 (6) を用いれば，q12 = 24(2 −という近似を得ます．

2 微積分を使った手法
アルキメデス以後，正多角形を使うというアイディアから抜け出せたのは，彼が生きた時代から千数百年もたった，17 世紀の事でした．ここでは微積分を習った人向けに，円周率を単純な有理数の無限和として表す公式について学んでみましょう．

8x = tan θ の逆関数を θ = Arctan x と表す．ただし，−π/2 ≤ θπ/2 とする．合成関数の微分法則を用いて，

d1
Arctan x =dx
1 + x2(7)であることを示せ．
答. Arctan ◦ tan θ = θ なので，合成関数の微分法則より

ddd1
Arctan x ×tan θ =Arctan x ×
= 1.
dx
dθdx
cos2 θ
よって (7) を得ます．

等比級数の公式より次を得ます．

∑1(−1)n+1 u2(n+1)=(−1)k u2k +.
21+u1 + u2n(8)k=0x を −1 ≤ x ≤ 1 を満たす実数とします．式 (8) の両辺を 0 から x まで積分してArctan x =n∑(−1)kk=02k + 1∫ xx

2k+1+0(−1)n+1 u2(n+1)
du.
1 + u2(9)式 (9) の最後の積分を Rn (x) と書くことにします．

9

極限 limn→∞ |Rn (x)| = 0 を示せ．

答. −1 ≤ x ≤ 1 の範囲で，∫ x|Rn | =0(−1)n+1 u2(n+1)
du ≤1 + u2

∫ |x|2n+3u2(n+1) du =0|x|→02n + 3(n → ∞ のとき).

以上より Arctan x の x = 0 の周りでのテーラー展開

11111Arctan x = x − x3 + x5 − x7 + x9 + · · · + (−1)kx2k+1 + · · ·357
92k + 1(10)式 (10) において x = 1 を代入すれば，

1 1 1 11π
= 1 − + − + + · · · + (−1)k+ ···43 5 7 92k + 15(11)を得ます．ただし，この公式の収束は非常に遅いです．tan の加法定理をうまく組み合わせることにより，ずっと早く収束する公式を見つけることができますので，興味を持った人は自分で考えてみるか，調べてみてください．

参考文献[1] 小林昭七. 円の数学. 裳華房, 1999.

6