よりで， 秒あたり回転するcos
600 cos 3, sin
10cos, 600 sin 310m

600 cos 310, 600 sin 3

10m

d dd dd d・・・

sin

ので，ddd,sin

で， 秒あたり回転するcos
600 cos 3, sin
10cos, 600 sin 3

10m

600 cos 3

10, 600 sin 3

10m

・・・

sin

・・・

cos

ので，

ddd dd dd dd ddd,sin,
sin
18 sin 3ddd,
10cos,18 cos 3

10,18 cos 3

18 sin 3

10d dd dd d・・・

cos

・・・

cos

m/s
10m/s

10, 600 sin 3・・・

sin・・・

cos

600 cos 3ddd dd dd dd ddd10m,sin
18 sin 3,1018 sin 3ddd dd dd dd dddcos,18 cos 310,18 cos 3m/s
10m/s

sin
, 0.54 sin 3

10m/s20.54 sin 3

10m/s2

10・・・

cos

・・・

cos,
cos
0.54 cos 3,
100.54 cos 310,

運動方程式4より100.54 cos 3
2.2 10 cos 3 1010,, 0.54 sin 3
2.2 10 sin 31010[N]

2.210 cos 310

周期 は，,が2.210 sin 3

10[N]

中心向きだけ変化する時間なので，[s]から[s]車両Pに働いている向心力はレールから作用する。レールには向心力と同じ大きさの反作用が作用する。この力が 10 [N]を超えると脱線する。
[N]から，向心力が最大となる条件.

[rad/s][s]車両Pに働いている向心力はレールから作用する。レールには向心力と同じ大きさの反作用が作用する。この力が 10 [N]を超えると脱線する。
[N]から，向心力が最大となる条件[rad/s].

[m/s][m/s]（ 140[km/h] ）[km/h][m/s]

で走れる最小の半径は，[N]から，

スピードを出しすぎると曲がれない（西日本新聞）（時事通信）

脱線事故（2005年福知山線）⇒時速70km制限を時速116kmでカーブに進入≒2.7倍の力が必要

授業予定（変更されたシラバス）①力学１の確認と力学２の概要②仕事③運動エネルギー④位置エネルギー （小）⑤力学的エネルギーとその保存則⑨単振動３：問題演習 （小）⑩円運動と慣性力１：基礎事項 （小）⑪円運動と慣性力２：問題演習 （小）⑫力のモーメント１：実験的理解と定義 （小）（小）⑬力のモーメント２：問題演習１ （小）⑭問題演習２⑥エネルギーの総合演習 （小）⑦単振動１：定性的な理解と三角関数（＋確認試験２）（＋確認試験１）⑮まとめ⑧単振動２：運動方程式を解く⑯期末試験

力学２≪学習到達目標≫
１）仕事の定義を説明できる。
２）力学的エネルギー保存則を説明できる。
３）単振動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。
４）円運動と，慣性力としての遠心力を説明できる。
５）力のモーメントの定義を説明できる。

第12回目 力のモーメント1（実験的理解と定義）
今日の授業の目的
先の2 回の授業で円運動を扱った。様々な機械製品の部品には回転するものが多いので，円運動は工学系にとって基礎的で重要な運動である。ところで，あらゆる物体の運動に対して成立する運動方程式より，速度変化（加速度）は物体に働く力で決まる。つまり，回転運動の速度が変化する場合（回転角の加速度がゼロでない場合）は必ず何らかの力の作用が存在する。物体に働く力が『物体の回転を引き起こす作用』を力のモーメントという。工学系にとって回転運動が重要だということは，力のモーメントを理解することも極めて重要であることを意味する。そこで，今回の授業の目的は，力のモーメントの定義と意味を理解することである

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：
P

C

実験装置：
おもりを棒上の点P に吊るす。
端点C（フック）から測る点Pの位置ベクトルを ，おもりに働く重力を ，ベクトル と の間の角を とする。
図は[rad] の状況である

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：
棒の回転を引き起こす作用を測る

P

C

手順1：
おもりの質量をある値 に決める。この重力を とする。
そして，点Pを点Cに近い位置から徐々に離していき，棒の静止状態を保てるギリギリの所に点Pを固定する。
（点P をその位置より少しでも点Cから遠い側に離すと，棒が に引かれて台から落ちてしまう。）
CP 間の距離は である。 CP 間の距離を測定

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：PC

手順2：
おもりの質量を（）に変える。など。）（例えば，
この重力はである。
手順1と同様に，点Pの位置を点Cから徐々に離していき，棒の静止状態を保てるギリギリの所に点Pを固定する。
CP 間の距離は である。 CP 間の距離を測定

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：PC？
この実験を行うと，次の関係が成立することが分かる。
実験事実（の場合）：⇔これを言い換えると，実験事実（の場合）：
回転を引き起こす作用

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：
PC

⊕

手順3：
点Pの位置を手順1 と同じ位置ベクトル の位置に戻す。
滑車（図中の⊕）などを使って，物体を吊るす糸の向きを変えた力 を棒に加える。
手順1 の重力の 倍とする（）ただし，。
を徐々に大きくし，棒のつり合いを保てるギリギリの状況にする。 このときの角 （棒と斜めの糸の角）を測定

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：PC？
⊕

この実験を行うと，次の関係が成立することが分かる。
実験事実（の場合）：⇔
したがって，実験事実（の場合）：
回転を引き起こす作用

（テキスト第3章）(1) 力が物体の回転を引き起こす作用（実験）：PC⊕

実験事実のまとめ⇒力のモーメント（物体の回転を引き起こす作用）の値

（テキスト第3章 p.11）(2) 力のモーメントの定義と意味『点O のまわりの力 のモーメント』
力のモーメント の定義：
P
大きさ：
O
符号：
ベクトル と で張る平面上で右回り（時計回り）回転を引き起こす場合を正あるいは左回り（反時計回り）回転を引き起こす場合を正どちらか定めた上で， の符号を決める。
左回り（反時計回り）を正にとる専門分野が多いがそうでない専門分野もある。

（テキスト第3章 p.11）(2) 力のモーメントの定義と意味『点O のまわりの力 のモーメント』
力のモーメント の定義：
大きさ：
符号：左回り（反時計回り）を正O
右回り（時計回り）を負（逆の定義もある）
２つ以上の力が作用している場合
点Oを通る同じ回転軸のまわりで回転させる力のモーメントであれば，符号も含めて足すことで，力のモーメントの和を求めることができる。
この授業では，すべての とがを考える。

が同一平面内にある場合だけ

（テキスト第3章 p.11）(2) 力のモーメントの定義と意味から考えて力のモーメント の単位：
[N・m]

PO

注意：仕事，エネルギーの単位 [J] ＝ [N・m]と同じ成り立ちをしているが，力のモーメントに [J] は使用せず， [N・m] を用いる。
[J]はあくまでも，仕事，エネルギーの単位に付けられた名称である。単位の成り立ちは同じでも，力のモーメントとエネルギーは，物理的意味が全く異なる量である。

（テキスト第3章 p.11）(2) 力のモーメントの定義と意味
意味：力 を次のように分解しよう。
∥P∥ ： に平行な方向の分力： に直交する方向の分力

O分力F∥ の役割： 物体を 方向に伸び縮みさせるようとする。
分力 の役割： の向き，つまり物体の向きを変えようとする。

力のモーメントの大きさを次のように考える：（）

力のモーメントとは作用点の位置ベクトル に直交する分力によって物体の向きが変わる作用∥（テキスト第3章 p.12）(3) 物体の重心
重力は物体を構成する要素（原子など）それぞれに働く。
そして，一つ一つの構成要素に働く重力の和が，物体全体に働く重力（大きさ ）である。
物体全体に働く重力の作用点 ⇒ 重心G一様で対称性のよい形の場合（長方形の板，円板，球など）は，図形的な中心が重心GO(4) 演習1：（テキスト p.14）

演習問題3 の問題3-5 (1)(4)に取り組む。
ここでは，力のモーメントの符号は，左回り（反時計回り）の回転を引き起こそうとするとき正とする。
力のモーメントの和：
追加問題： 板は右回りあるいは左回りのどちらに回転しようとするか，理由を付けて答えよ。（ヒント：力のモーメ
ントの和の符号の意味に注意すること。）

２分
３（テキスト p.14）(4) 演習1：

演習問題3 の問題3-5 (1)(4)に取り組む。
左回り（反時計回り）回転を引き起こそうとするとき正。
力のモーメントの和：

mN
O

大きさは？
m

N
N m

N m

符号は？
右回り（時計回り）だから負∴N m
右回りに回転しようとする。

（テキスト p.14）(4) 演習1：

演習問題3 の問題3-5 (1)(4)に取り組む。
左回り（反時計回り）回転を引き起こそうとするとき正。
力のモーメントの和：mO
N

Nmの符号は？
右回り（時計回り）だから負mN
N mの符号は？
左回り（反時計回り）だから正m
N
N m
N m
N m∴N m
左回りに回転しようとする。

（テキスト第3章 p.11）(5) 物体の大きさも考慮した上でのつり合い物体が全体として運動せず（重心が静止して），かつ物体が回転（自転）しない場合が，物体の大きさも考慮した上でのつり合い状態である。
…
↑合力がゼロ
自転しない条件：…
↑力のモーメントの和がゼロ
重心静止の条件：

力のモーメント を計算するとき
原点Oはどこにとってもよいが，すべての力 で共通とすること。

GO(6) 演習2：（テキスト p.12）

テキストp.12の例題3.1に取り組む。
質問：回転軸Oが固定されていない場合，(3)で求めた で，物体のつり合い条件は成り立っているか？

２分３（テキスト p.12）(6) 演習2：
テキストp.12の例題3.1に取り組む。
左回りを正とする。
Nは正m
Nm
N m
O m
は正m
N
N m
(3)
∴
N m
N m
N mmだから，Nのモーメントは右回りだから，は図の向きになる。

N(6) 演習2： テキストp.12の例題3.1に取り組む。
質問：回転軸Oが固定されていない場合，(3)で求めた で，物体のつり合い条件は成り立っているか？

NmO mN
回転軸Oが固定されていない場合はつり合っていない。
例題3.1では，固定回転軸OからNの力が働いてつり合っている。

（テキスト p.12）

N第12回授業 レポート課題
テキスト問題演習3 の，問題3-1，3-2，3-4，3-5，3-6（p.13，14）を解け。
問題3-5では力のモーメントの符号は時計回りを正として答えよ。
問題3-6は力のつり合いと，力のモーメントのつり合いを考える。
注意1：計算式だけでなく，説明文（必要なら適切な図も）を加えて答案を作成すること。答案作成力も見る。
注意2：最初はこの問題がよく解けなかったとしても構わない。しかし，次の確認テストまでに何度も復習し，適切な答案を作れるようにすることを強く勧める。
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提出〆切：答案用紙を，今週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次週の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること