道路橋の耐震設計における鉄筋コンクリート橋脚の水平力－水平変位関係の計算例（H24 版道示対応）（社）日本道路協会
橋梁委員会
耐震設計小委員会

平成 24 年 5 月

目次

・本資料の利用にあたって ······················································ 1・矩形断面の橋軸方向の水平耐力及び水平変位の計算例 ···························· 2・矩形断面（D51・SD490 使用）橋軸方向の水平耐力及び水平変位の計算例 ·········· 8・矩形断面の橋軸直角方向の水平耐力及び水平変位の計算例 ······················· 14・円形断面の水平耐力及び水平変位の計算例 ····································· 20・小判形断面の水平耐力及び水平変位の計算例 ··································· 26

・中空断面橋脚に対する d’及び ns の設定例 ····································· 32

本資料の利用にあたって
本資料は，平成 24 年に改定された道路橋示方書Ⅴ耐震設計編において，鉄筋コンクリート橋脚の水
平力－水平変位関係の算出方法として，塑性ヒンジの形成メカニズムを踏まえ，軸方向鉄筋の引張ひずみによって定義される限界状態に基づく評価方法が導入されたことを受け，この評価方法を用いて鉄筋コンクリート橋脚の水平力－水平変位関係を算出する際の参考となるように，具体的な計算過程を例示したものである。
本資料では，一般的な５つの鉄筋コンクリート橋脚の断面条件を対象として，その水平力－水平変位関係を算出する過程を例示しているが，ここではあくまでも平成 24 年の改定において変更された水平力－水平変位関係の算出方法の箇所のみを中心に計算例を示したものであり，鉄筋コンクリート橋脚の照査までは含んでいないことに注意が必要である。また，本資料に示した鉄筋コンクリート橋脚の断面条件や計算条件等についても，あくまでも計算過程をわかりやすく示すためだけに設定したものであり，耐震設計として最適化された断面の例を示したものではないことにも注意が必要である。
本資料の利用に際しては，上述の趣旨を踏まえた上で，適切に参考にされたい。

（社）日本道路協会
橋

梁

委

員

会

耐 震 設 計 小委 員会

1

矩形断面の橋軸方向
矩形断面の橋軸方向のの橋軸方向の水平耐力及び
水平耐力及び水平変位の計算例
及び水平変位の計算例
水平耐力及び水平変位の算出の手順

計算条件

慣性力作用方向

軸方向鉄筋径

：D32

横拘束筋径

：D19

横拘束筋間隔：150mm

鉄筋強度：SD345

コンクリート表面から軸方向鉄筋中心までの距離：150mm
橋脚高さ

：10m

慣性力作用高さ：10m

コンクリート基準強度：30N/mm2
鉄筋コンクリート単位体積重量：24.5kN/m3
軸応力：1.0N/mm2

上部構造死荷重：6040kN

・計算を簡単にするため、横梁はない条件とする。

2

1.

塑性ヒンジ長の算出

塑性ヒンジ長は道路橋示方書Ⅴ編 10.3 に従い、次式により算出する。

L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'

ただし， L p ≦ 0.15h
Lp ：塑性ヒンジ長(mm)σsy：軸方向鉄筋の降伏点(N/mm2)
βn ：軸方向鉄筋のはらみ出しに対する抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、断面形状にかかわらず次式
により算出する。
h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)

β n = β s + β co
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

βs =384 E 0 I h
ns d '3 s
E0：横拘束鉄筋のヤング係数(N/mm2)
Ih：横拘束鉄筋の断面二次モーメント(mm4)d’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長(mm)で、耐震設計で考慮する慣性力の作用
方向と平行な方向に配置する横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も大きい値とする。ただし、円形断面の場合においては、最外縁に配置された横拘束鉄筋が囲むコンクリートの直径の 0.8 倍の値とする。
ns ：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置
される圧縮側軸方向鉄筋の本数で、複数段配筋される場合においてはそれらの合計の本数とする。（d’が同じ場合は最も多い本数を ns として用いる。側方鉄筋は計上しない。）
s ：横拘束鉄筋の間隔(mm)βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

β co = 0.01c0
c0：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分の最外縁に配置された軸方向鉄筋の最外面からコンクリートの表面までの距離(mm)φ’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置される軸方向鉄筋の直径(mm)で、40mm 以上の直径の軸方向鉄筋を用いる場合においては 40mm とする。（直径の異なる軸方向鉄筋が含まれている場合、小さい方の直径を用いる。）

3ここで、d’及び ns については d’＝875mm， ns =12 本となる。
なお、軸方向鉄筋が 2 段配筋されており、それぞれの段において等間隔で配置されているため、ns は簡便のため次式により算出している。ここで，1 段目の軸方向鉄筋間隔が 125mm、2 段目の軸方向鉄筋間隔が250mm であるため、次式によれば 1 段目 8 本、2 段目 4 本となる。

ns '=

d'
（小数点以下は切り捨て）ans = ns '+1
a ：軸方向鉄筋間隔(mm)これらより，塑性ヒンジ長を算出すると次のとおりとなる。

βs =384 E 0 I h 384 × 2.0 × 10 5 × 6533=
= 0.416ns d '3 s
12 × 875 3 × 150

β co = 0.01c0 = 0.01 × 134 = 1.34
β n = β s + β co = 0.416 + 1.34 = 1.756
L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'= 9.5 × 3451/ 6 × 1.756 −1/ 3 × 31.8 = 663 ≦1500 = 0.15h以上より、塑性ヒンジ長は 663mm と算出される。

2.

軸方向鉄筋の応力度-ひずみ曲線の算出

軸方向鉄筋の許容引張ひずみは道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、次式により算出する。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
・耐震性能 3ε st 2 = 0.035 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
εst2：耐震性能 2 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
εst3：耐震性能 3 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
Lp：塑性ヒンジ長(mm)（1.で算出した値を用いる。）

φ：軸方向鉄筋の直径(mm)（上限値の設定はない。）
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）
βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）

4

以上の式より軸方向鉄筋の許容引張ひずみを算出すると次のとおりとなる。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.025 × 6630.15 × 31.8 −0.15 × 0.416 0.2 × 1.34 0.22 = 0.0353
・耐震性能 3ε st 3 = 0.035 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.035 × 6630.15 × 31.8 −0.15 × 0.416 0.2 × 1.34 0.22 = 0.0494

3.

コンクリートの応力度-ひずみ曲線の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、コンクリートの限界圧縮ひずみを次のように算出する。

・横拘束筋体積比の算出

ρs =4 Ah 4 × 286.5= 0.00873 ≦ 0.018=
sd
150 × 875
ρs：横拘束鉄筋の体積比で、耐震設計で考慮する慣性力の作用方向と平行な方向に配置された横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も小さい値とする。
Ah：横拘束鉄筋１本あたりの断面積(mm2)s：横拘束鉄筋の間隔(mm)d：コンクリートの横拘束効果を考慮するための横拘束鉄筋の有効長(mm)・コンクリートの最大圧縮応力度に達する時のひずみの算出

ε cc = 0.002 + 0.033β

ρ sσ sy
σ ck= 0.002 + 0.033 × 0.4 ×

0.00873 × 345= 0.00333
30

εcc：コンクリートの最大圧縮応力度に達するときのひずみ
β：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.4
σsy：横拘束鉄筋の降伏点(N/mm2)で、上限を 345N/mm2 とする。
σck：コンクリートの設計基準強度(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度の算出

σ cc = σ ck + 3.8αρ sσ sy = 30 + 3.8 × 0.2 × 0.00873 × 345 = 32.3
σcc：横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度(N/mm2)
α：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.25・応力度-ひずみ曲線の下降勾配の算出

E des = 11.2

σ ck 230 2= 11.2 ×= 3347
ρ sσ sy
0.00873 × 345

Edes：応力度-ひずみ曲線の下降勾配(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの限界圧縮ひずみの算出

ε ccl = ε cc +4.

0.5σ cc
0.5 × 32.3
= 0.00333 += 0.00816
E des
3347

水平耐力及び水平変位の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.3 の規定に従い、上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位の関係を、橋脚の各断面における曲げモーメント-曲率の関係を用いて算出する。橋脚躯体基部断面における曲げモー
メント-曲率の関係を示すと次のようになる。
算出における補足事項
・耐震性能 2 又は耐震性能 3 の限界状態における水平耐力を算出する場合には，圧縮側のかぶりコン
クリートは圧縮応力を分担しないと仮定する。
・塑性ヒンジ領域以外の断面に対して曲げモーメント－曲率関係を算出する場合には，塑性ヒンジ長の上限値 0.15h は考慮しなくてよい。
・軸方向鉄筋の段落しのない単柱式の鉄筋コンクリート橋脚のように，塑性ヒンジが柱基部のみに形成されることが明らかな場合には，簡便のため，軸方向鉄筋の許容引張ひずみの算出の際に用いる
塑性ヒンジ長は，塑性ヒンジ領域以外の断面に対しても塑性ヒンジ領域に対して求めた塑性ヒンジ長の値としてよい。

・曲げモーメント-曲率関係の算出
ひび割れ時

Mc=9.588×109 N･mm 、φc=1.121×10-71/mm

初降伏時

My0=3.041×1010 N･mm 、φy0=1.360×10-61/mm

耐震性能 2 の限界状態に達するとき

Mls2=3.449×1010 N･mm 、φls2=2.315×10-51/mm（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mls3=3.446×1010 N･mm 、φls3=3.232×10-51/mm

耐震性能 3 の限界状態に達するとき（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mc：ひび割れ曲げモーメント(N ･mm)

My0：最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls2：耐震性能 2 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls3：耐震性能 3 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)

φc：ひび割れ曲率(1/mm)

6

φy0：橋脚基部断面の最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの曲率 (1/mm)
φls2：橋脚基部断面における耐震性能 2 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
φls3：橋脚基部断面における耐震性能 3 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
・橋脚躯体の上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位関係の算出

δ y 0 = 39.0

φy =M ls 23.449 × 1010
φy0 =× 1.360 × 10 −6 = 1.542 × 10 −6
10M y0
3.041 × 10

Pu = M ls 2 / h = 3.449 × 1010 / 10000 = 3.449 × 106

δy =M ls 23.449 × 1010
δ y0 =
10 × 39.0 = 44.2
M y0
3.041 × 10

δ ls 2 = δ y + (φls 2 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 44.2 + (2.315 × 10 −5 − 1.542 × 10 −6 ) × 663 × (10000 − 663 / 2) = 183

δ ls 3 = δ y + (φls 3 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 44.2 + (3.232 × 10 −5 − 1.542 × 10 −6 ) × 663 × (10000 − 663 / 2) = 241
δy0：初降伏変位(mm)φy：橋脚基部断面における降伏曲率(1/mm)
Pu：終局水平耐力(N)h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)δy：降伏変位(mm)δls2：耐震性能 2 の限界状態に相当する変位(mm)δls3：耐震性能 3 の限界状態に相当する変位(mm)7矩形断面（矩形断面（D51 鉄筋・鉄筋・SD490 使用）橋軸方向
使用）橋軸方向の
橋軸方向の水平耐力及び
水平耐力及び水平変位の計算例
及び水平変位の計算例
水平耐力及び水平変位の算出の手順

計算条件

慣性力作用方向

軸方向鉄筋径

：D51

横拘束筋径

：D29

横拘束筋間隔：250mm

鉄筋強度：軸方向鉄筋 SD490、帯鉄筋、中間帯鉄筋 SD390

コンクリート表面から軸方向鉄筋中心までの距離：160mm
橋脚高さ

：10m

慣性力作用高さ：10m

コンクリート基準強度：30N/mm2
鉄筋コンクリート単位体積重量：24.5kN/m3
軸応力：1.0N/mm2

上部構造死荷重：8154kN

・計算を簡単にするため、横梁はない条件とする。

8

1.

塑性ヒンジ長の算出

塑性ヒンジ長は道路橋示方書Ⅴ編 10.3 に従い、次式により算出する。

L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'

ただし， L p ≦ 0.15h
Lp ：塑性ヒンジ長(mm)σsy：軸方向鉄筋の降伏点(N/mm2)
βn ：軸方向鉄筋のはらみ出しに対する抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、断面形状にかかわらず次式
により算出する。
h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)

β n = β s + β co
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

βs =384 E 0 I h
ns d '3 s
E0：横拘束鉄筋のヤング係数(N/mm2)
Ih：横拘束鉄筋の断面二次モーメント(mm4)d’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長(mm)で、耐震設計で考慮する慣性力の作用
方向と平行な方向に配置する横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も大きい値とする。ただし、円形断面の場合においては、最外縁に配置された横拘束鉄筋が囲むコンクリートの直径の 0.8 倍の値とする。
ns ：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置
される圧縮側軸方向鉄筋の本数で、複数段配筋される場合においてはそれらの合計の本数とする。（d’が同じ場合は最も多い本数を ns として用いる。側方鉄筋は計上しない。）
s ：横拘束鉄筋の間隔(mm)βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

β co = 0.01c0
c0：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分の最外縁に配置された軸方向鉄筋の最外面からコンクリートの表面までの距離(mm)φ’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置される軸方向鉄筋の直径(mm)で、40mm 以上の直径の軸方向鉄筋を用いる場合においては 40mm とする。（直径の異なる軸方向鉄筋が含まれている場合、小さい方の直径を用いる。）

9ここで、d’及び ns については d’＝900mm， ns =11 本となる。
なお、軸方向鉄筋が 2 段配筋されており、それぞれの段において等間隔で配置されているため、ns は簡便のため次式により算出している。ここで，1 段目の軸方向鉄筋間隔が 150mm、2 段目の軸方向鉄筋間隔が300mm であるため、次式によれば 1 段目 7 本、2 段目 4 本となる。

ns '=

d'
（小数点以下は切り捨て）ans = ns '+1
a ：軸方向鉄筋間隔(mm)これらより，塑性ヒンジ長を算出すると次のとおりとなる。

βs =384 E0 I h 384 × 2.0 × 10 5 × 32842== 1.258
n s d '3 s
11 × 900 3 × 250

β co = 0.01c0 = 0.01 × 134.5 = 1.345
β n = β s + β co = 1.258 + 1.345 = 2.603
L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'= 9.5 × 4901 / 6 × 2.603−1/ 3 × 40 = 776 < 1500 = 0.15h以上より、塑性ヒンジ長は 776mm と算出される。
なお、ここでは軸方向鉄筋径が D51 であるため、φ’については上限値の 40mm として計算している。

2.

軸方向鉄筋の応力度-ひずみ曲線の算出

軸方向鉄筋の許容引張ひずみは道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、次式により算出する。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
・耐震性能 3ε st 2 = 0.035 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
εst2：耐震性能 2 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
εst3：耐震性能 3 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
Lp：塑性ヒンジ長(mm)（1.で算出した値を用いる。）

φ：軸方向鉄筋の直径(mm)（上限値の設定はない。）
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）
βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）

10以上の式より軸方向鉄筋の許容引張ひずみを算出すると次のとおりとなる。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.025 × 776 0.15 × 50.8 −0.15 × 1.2580.2 × 1.3450.22 = 0.0421
・耐震性能 3ε st 3 = 0.035 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.035 × 776 0.15 × 50.8 −0.15 × 1.2580.2 × 1.3450.22 = 0.0589

3.

コンクリートの応力度-ひずみ曲線の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、コンクリートの限界圧縮ひずみを次のように算出する。

・横拘束筋体積比の算出

ρs =4 Ah 4 × 642.4== 0.01142 ≦ 0.018
sd
250 × 900
ρs：横拘束鉄筋の体積比で、耐震設計で考慮する慣性力の作用方向と平行な方向に配置された横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も小さい値とする。
Ah：横拘束鉄筋１本あたりの断面積(mm2)s：横拘束鉄筋の間隔(mm)d：コンクリートの横拘束効果を考慮するための横拘束鉄筋の有効長(mm)・コンクリートの最大圧縮応力度に達する時のひずみの算出

ε cc = 0.002 + 0.033β

ρ sσ sy
σ ck= 0.002 + 0.033 × 0.4 ×

0.01142 × 345= 0.00373
30

εcc：コンクリートの最大圧縮応力度に達するときのひずみ
β：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.4
σsy：横拘束鉄筋の降伏点(N/mm2)で、上限を 345N/mm2 とする。
σck：コンクリートの設計基準強度(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度の算出

σ cc = σ ck + 3.8αρ sσ sy = 30 + 3.8 × 0.2 × 0.01142 × 345 = 33.0
σcc：横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度(N/mm2)
α：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.2

11・応力度-ひずみ曲線の下降勾配の算出

Edes = 11.2

σ ck 230 2= 11.2 ×= 2558
ρ sσ sy
0.01142 × 345

Edes：応力度-ひずみ曲線の下降勾配(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの限界圧縮ひずみの算出

ε ccl = ε cc +4.

0.5σ cc
0.5 × 33.0
= 0.00373 += 0.01018
Edes
2558

水平耐力及び水平変位の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.3 の規定に従い、上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位の関係を、橋脚の各断面における曲げモーメント-曲率の関係を用いて算出する。橋脚躯体基部断面における曲げモー
メント-曲率の関係を示すと次のようになる。
算出における補足事項
・耐震性能 2 又は耐震性能 3 の限界状態における水平耐力を算出する場合には，圧縮側のかぶりコン
クリートは圧縮応力を分担しないと仮定する。
・塑性ヒンジ領域以外の断面に対して曲げモーメント－曲率関係を算出する場合には，塑性ヒンジ長の上限値 0.15h は考慮しなくてよい。
・軸方向鉄筋の段落しのない単柱式の鉄筋コンクリート橋脚のように，塑性ヒンジが柱基部のみに形成されることが明らかな場合には，簡便のため，軸方向鉄筋の許容引張ひずみの算出の際に用いる
塑性ヒンジ長は，塑性ヒンジ領域以外の断面に対しても塑性ヒンジ領域に対して求めた塑性ヒンジ長の値としてよい。

・曲げモーメント-曲率関係の算出
ひび割れ時

Mc=1.685×1010 N･mm 、φc=9.167×10-81/mm

初降伏時

My0=1.065×1011 N･mm 、φy0=1.700×10-61/mm

耐震性能 2 の限界状態に達するとき

Mls2=1.258×1011 N･mm 、φls2=2.411×10-51/mm（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mls3=1.250×1011 N･mm 、φls3=2.888×10-51/mm

耐震性能 3 の限界状態に達するとき（コンクリートの限界圧縮ひずみで決定）
Mc：ひび割れ曲げモーメント(N ･mm)

My0：最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls2：耐震性能 2 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls3：耐震性能 3 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)

φc：ひび割れ曲率(1/mm)

12

φy0：橋脚基部断面の最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの曲率 (1/mm)
φls2：橋脚基部断面における耐震性能 2 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
φls3：橋脚基部断面における耐震性能 3 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
・橋脚躯体の上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位関係の算出

δ y 0 = 53.5

φy =M ls 2
1.258 × 1011
φ y0 =
× 1.700 × 10 −6 = 2.008 × 10 −611M y0
1.065 × 10

Pu = M ls 2 / h = 1.258 ×1011 / 10000 = 1.258 × 10 7

δy =M ls 2
1.258 ×1011
δ y0 =
× 53.5 = 63.2
M y0
1.065 ×1011

δ ls 2 = δ y + (φls 2 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 63.2 + (2.411× 10 −5 − 2.008 × 10 −6 ) × 776 × (10000 − 776 / 2) = 228δ ls 3 = δ y + (φls 3 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 63.2 + (2.888 × 10 −5 − 2.008 × 10 −6 ) × 776 × (10000 − 776 / 2) = 264
δy0：初降伏変位(mm)φy：橋脚基部断面における降伏曲率(1/mm)
Pu：終局水平耐力(N)h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)δy：降伏変位(mm)δls2：耐震性能 2 の限界状態に相当する変位(mm)δls3：耐震性能 3 の限界状態に相当する変位(mm)13矩形断面の橋軸直角方向の水平耐力及び
矩形断面の橋軸直角方向の水平耐力及び水平変位の計算例
及び水平変位の計算例
水平耐力及び水平変位の算出の手順

計算条件

慣
性
力
作
用
方
向

軸方向鉄筋径：D32、D29

横拘束筋径

：D19

横拘束筋間隔：150mm

鉄筋強度：SD345

コンクリート表面から軸方向鉄筋中心までの距離
橋脚高さ

：10m

慣性力作用高さ：10m：150mmコンクリート基準強度：30N/mm2
鉄筋コンクリート単位体積重量：24.5kN/m3
軸応力：1.0N/mm2

上部構造死荷重：6040kN

・計算を簡単にするため、横梁はない条件とする。

14

1.

塑性ヒンジ長の算出

塑性ヒンジ長は道路橋示方書Ⅴ編 10.3 に従い、次式により算出する。

L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'

ただし， L p ≦ 0.15h
Lp ：塑性ヒンジ長(mm)σsy：軸方向鉄筋の降伏点(N/mm2)
βn ：軸方向鉄筋のはらみ出しに対する抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、断面形状にかかわらず次式
により算出する。
h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)

β n = β s + β co
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

βs =384 E 0 I h
ns d '3 s
E0：横拘束鉄筋のヤング係数(N/mm2)
Ih：横拘束鉄筋の断面二次モーメント(mm4)d’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長(mm)で、耐震設計で考慮する慣性力の作用
方向と平行な方向に配置する横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も大きい値とする。ただし、円形断面の場合においては、最外縁に配置された横拘束鉄筋が囲むコンクリートの直径の 0.8 倍の値とする。
ns ：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置
される圧縮側軸方向鉄筋の本数で、複数段配筋される場合においてはそれらの合計の本数とする。（d’が同じ場合は最も多い本数を ns として用いる。側方鉄筋は計上しない。）
s ：横拘束鉄筋の間隔(mm)βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

β co = 0.01c0
c0：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分の最外縁に配置された軸方向鉄筋の最外面からコンクリートの表面までの距離(mm)φ’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置される軸方向鉄筋の直径(mm)で、40mm 以上の直径の軸方向鉄筋を用いる場合においては 40mm とする。（直径の異なる軸方向鉄筋が含まれている場合、小さい方の直径を用いる。）

15ここで、d’及び ns については d’＝750mm， ns =11 本となる。
なお、軸方向鉄筋が 2 段配筋されており、それぞれの段において等間隔で配置されているため、ns は簡便のため次式により算出している。ここで，1 段目の軸方向鉄筋間隔が 125mm、2 段目の軸方向鉄筋間隔が250mm であるため、次式によれば 1 段目 7 本、2 段目 4 本となる。

ns '=

d'
（小数点以下は切り捨て）ans = ns '+1
a ：軸方向鉄筋間隔(mm)これらより，塑性ヒンジ長を算出すると次のとおりとなる。

βs =384 E0 I h 384 × 2.0 × 105 × 6533=
= 0.721ns d '3 s
11 × 7503 × 150

β co = 0.01c0 = 0.01× 135.5 = 1.355
β n = β s + β co = 0.721 + 1.355 = 2.076
L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'= 9.5 × 3451/ 6 × 2.076 −1/ 3 × 28.6 = 564 < 1500 = 0.15h以上より、塑性ヒンジ長は 564mm と算出される。
なお、ここでは軸方向鉄筋径は D32 及び D29 であるが、φ’については小さい方の鉄筋径である 28.6mm を用いて計算している。

2.

軸方向鉄筋の応力度-ひずみ曲線の算出

軸方向鉄筋の許容引張ひずみは道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、次式により算出する。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
・耐震性能 3ε st 2 = 0.035 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
εst2：耐震性能 2 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
εst3：耐震性能 3 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
Lp：塑性ヒンジ長(mm)（1.で算出した値を用いる。）

φ：軸方向鉄筋の直径(mm)（上限値の設定はない。）
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）
βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）

16

以上の式より軸方向鉄筋の許容引張ひずみを算出すると次のとおりとなる。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.025 × 564 0.15 × 28.6 −0.15 × 0.7210.2 × 1.355 0.22 = 0.0392
・耐震性能 3ε st 3 = 0.035 ⋅ L p φ −0.15 β s β co
0.15

0.2

0.22

= 0.035 × 5640.15 × 28.6 −0.15 × 0.7210.2 × 1.3550.22 = 0.0548

3.

コンクリートの応力度-ひずみ曲線の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、コンクリートの限界圧縮ひずみを次のように算出する。

・横拘束筋体積比の算出

ρs =4 Ah 4 × 286.5== 0.01019 ≦ 0.018
sd 150 × 750
ρs：横拘束鉄筋の体積比で、耐震設計で考慮する慣性力の作用方向と平行な方向に配置された横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も小さい値とする。
Ah：横拘束鉄筋１本あたりの断面積(mm2)s：横拘束鉄筋の間隔(mm)d：コンクリートの横拘束効果を考慮するための横拘束鉄筋の有効長(mm)・コンクリートの最大圧縮応力度に達する時のひずみの算出

ε cc = 0.002 + 0.033β

ρ sσ sy
σ ck= 0.002 + 0.033 × 0.4 ×

0.01019 × 345= 0.00355
30

εcc：コンクリートの最大圧縮応力度に達するときのひずみ
β：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.4
σsy：横拘束鉄筋の降伏点(N/mm2)で、上限を 345N/mm2 とする。
σck：コンクリートの設計基準強度(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度の算出

σ cc = σ ck + 3.8αρ sσ sy = 30 + 3.8 × 0.2 × 0.01019 × 345 = 32.7
σcc：横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度(N/mm2)
α：断面補正係数で、矩形断面の場合においては 0.2

17・応力度-ひずみ曲線の下降勾配の算出

Edes = 11.2

σ ck 2302= 11.2 ×= 2867
ρ sσ sy0.01019 × 345

Edes：応力度-ひずみ曲線の下降勾配(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの限界圧縮ひずみの算出

ε ccl = ε cc +4.

0.5σ cc
0.5 × 32.7
= 0.00355 += 0.00925
Edes
2867

水平耐力及び水平変位の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.3 の規定に従い、上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位の関係を、橋脚の各断面における曲げモーメント-曲率の関係を用いて算出する。橋脚躯体基部断面における曲げモー
メント-曲率の関係を示すと次のようになる。
算出における補足事項
・耐震性能 2 又は耐震性能 3 の限界状態における水平耐力を算出する場合には，圧縮側のかぶりコン
クリートは圧縮応力を分担しないと仮定する。
・塑性ヒンジ領域以外の断面に対して曲げモーメント－曲率関係を算出する場合には，塑性ヒンジ長の上限値 0.15h は考慮しなくてよい。
・軸方向鉄筋の段落しのない単柱式の鉄筋コンクリート橋脚のように，塑性ヒンジが柱基部のみに形成されることが明らかな場合には，簡便のため，軸方向鉄筋の許容引張ひずみの算出の際に用いる
塑性ヒンジ長は，塑性ヒンジ領域以外の断面に対しても塑性ヒンジ領域に対して求めた塑性ヒンジ長の値としてよい。

・曲げモーメント-曲率関係の算出
ひび割れ時

Mc=1.864×1010 N･mm 、φc=5.609×10-81/mm

初降伏時

My0=5.084×1010 N･mm 、φy0=6.431×10-71/mm

耐震性能 2 の限界状態に達するとき

Mls2=6.890×1010 N･mm 、φls2=1.224×10-51/mm（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mls3=6.780×1010 N･mm 、φls3=1.730×10-51/mm

耐震性能 3 の限界状態に達するとき（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mc：ひび割れ曲げモーメント(N ･mm)

My0：最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls2：耐震性能 2 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls3：耐震性能 3 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)

φc：ひび割れ曲率(1/mm)

18

φy0：橋脚基部断面の最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの曲率 (1/mm)
φls2：橋脚基部断面における耐震性能 2 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
φls3：橋脚基部断面における耐震性能 3 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
・橋脚躯体の上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位関係の算出

δ y 0 = 17.7

φy =M ls 26.890 × 1010
φ y0 =
× 6.431 × 10 −7 = 8.715 × 10 −7
10M y0
5.084 × 10

Pu = M ls 2 / h = 6.890 × 1010 / 10000 = 6.890 × 106

δy =M ls 26.890 × 1010
δ y0 =
× 17.7 = 24.0
M y0
5.084 × 1010

δ ls 2 = δ y + (φls 2 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 24.0 + (1.224 × 10 −5 − 8.715 × 10 −7 ) × 564 × (10000 − 564 / 2) = 86

δ ls 3 = δ y + (φls 3 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 24.0 + (1.730 × 10−5 − 8.715 × 10 −7 ) × 564 × (10000 − 564 / 2) = 114
δy0：初降伏変位(mm)φy：橋脚基部断面における降伏曲率(1/mm)
Pu：終局水平耐力(N)h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)δy：降伏変位(mm)δls2：耐震性能 2 の限界状態に相当する変位(mm)δls3：耐震性能 3 の限界状態に相当する変位(mm)19円形断面の水平耐力及び
円形断面の水平耐力及び水平変位の計算例
及び水平変位の計算例
水平耐力及び水平変位の算出の手順

計算条件

軸方向鉄筋径

：D32

横拘束筋径

：D19

横拘束筋間隔：150mm

鉄筋強度：SD345（１段目 64 本 2 段目 32 本）

コンクリート表面から軸方向鉄筋中心までの距離
橋脚高さ

：10m

慣性力作用高さ：10m：150mm（１段目 150mm、2 段目 250mm）

コンクリート基準強度：30N/mm2
鉄筋コンクリート単位体積重量：24.5kN/m3
軸応力：1.0N/mm2

上部構造死荷重：5338kN

・計算を簡単にするため、横梁はない条件とする。

20

1.

塑性ヒンジ長の算出

塑性ヒンジ長は道路橋示方書Ⅴ編 10.3 に従い、次式により算出する。

L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'

ただし， L p ≦ 0.15h
Lp ：塑性ヒンジ長(mm)σsy：軸方向鉄筋の降伏点(N/mm2)
βn ：軸方向鉄筋のはらみ出しに対する抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、断面形状にかかわらず次式
により算出する。
h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)

β n = β s + β co
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

βs =384 E 0 I h
ns d '3 s
E0：横拘束鉄筋のヤング係数(N/mm2)
Ih：横拘束鉄筋の断面二次モーメント(mm4)d’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長(mm)で、耐震設計で考慮する慣性力の作用
方向と平行な方向に配置する横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も大きい値とする。ただし、円形断面の場合においては、最外縁に配置された横拘束鉄筋が囲むコンクリートの直径の 0.8 倍の値とする。
ns ：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置
される圧縮側軸方向鉄筋の本数で、複数段配筋される場合においてはそれらの合計の本数とする。（円形断面の場合には全本数の 0.3 倍の値を小数点以下切り捨てとした値とする。）
s ：横拘束鉄筋の間隔(mm)βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

β co = 0.01c0
c0：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分の最外縁に配置された軸方向鉄筋の最外面からコンクリートの表面までの距離(mm)φ’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置される軸方向鉄筋の直径(mm)で、40mm 以上の直径の軸方向鉄筋を用いる場合においては 40mm とする。（直径の異なる軸方向鉄筋が含まれている場合、小さい方の直径を用いる。）

21

ここで d’及び ns については d’＝ 2160mm 及び ns＝28 本となる。

なお、軸方向鉄筋の全本数は 96 本であり、これを 0.3 倍し、小数点以下を切り捨てることにより、ns を求めている。

ns = 96 × 0.3 = 28.8 （小数点以下は切り捨て）

これらより，塑性ヒンジ長を算出すると次のとおりとなる。

βs =384 E 0 I h 384 × 2.0 × 10 5 × 6533
= 0.012=28 × 2160 3 × 150
ns d '3 s

β co = 0.01c0 = 0.01 × 134 = 1.34
β n = β s + β co = 0.012 + 1.34 = 1.352
L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'= 9.5 × 3451/ 6 × 1.352 −1/ 3 × 31.8 = 724 < 1500 = 0.15h以上より、塑性ヒンジ長は 724mm と算出される。

2.

軸方向鉄筋の応力度-ひずみ曲線の算出

軸方向鉄筋の許容引張ひずみは道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、次式により算出する。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
・耐震性能 3ε st 2 = 0.035 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
εst2：耐震性能 2 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
εst3：耐震性能 3 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
Lp：塑性ヒンジ長(mm)（1.で算出した値を用いる。）

φ：軸方向鉄筋の直径(mm)（上限値の設定はない。）
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）
βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）

22

以上の式より軸方向鉄筋の許容引張ひずみを算出すると次のとおりとなる。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.025 × 724 0.15 × 31.8 −0.15 × 0.012 0.2 × 1.34 0.22 = 0.0176
・耐震性能 3ε st 3 = 0.035 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.035 × 724 0.15 × 31.8 −0.15 × 0.012 0.2 × 1.34 0.22 = 0.0246

3.

コンクリートの応力度-ひずみ曲線の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、コンクリートの限界圧縮ひずみを次のように算出する。
・横拘束筋体積比の算出

ρs =

4 Ah
4 × 573= 0.00566 ≦ 0.018=
sd
150 × 2700
ρs：横拘束鉄筋の体積比で、耐震設計で考慮する慣性力の作用方向と平行な方向に配置された横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も小さい値とする。
Ah：横拘束鉄筋１本あたりの断面積(mm2) （円形断面で帯鉄筋が多段配筋されている場合には配置される帯鉄筋の本数分考慮できる。）
s：横拘束鉄筋の間隔(mm)d：コンクリートの横拘束効果を考慮するための横拘束鉄筋の有効長(mm)・コンクリートの最大圧縮応力度に達する時のひずみの算出

ε cc = 0.002 + 0.033β

ρ sσ sy
σ ck= 0.002 + 0.033 × 1.0 ×

0.00566 × 345= 0.00415
30

εcc：コンクリートの最大圧縮応力度に達するときのひずみ
β：断面補正係数で、円形断面の場合においては 1.0
σsy：横拘束鉄筋の降伏点(N/mm2)で、上限を 345N/mm2 とする。
σck：コンクリートの設計基準強度(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度の算出

σ cc = σ ck + 3.8αρ sσ sy = 30 + 3.8 × 1.0 × 0.00566 × 345 = 37.4
σcc：横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度(N/mm2)
α：断面補正係数で、円形断面の場合においては 1.0

23・応力度-ひずみ曲線の下降勾配の算出

E des = 11.2

σ ck 230 2= 11.2 ×= 5162ρ sσ sy
0.00566 × 345

Edes：応力度-ひずみ曲線の下降勾配(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの限界圧縮ひずみの算出

ε ccl = ε cc +4.

0.5σ cc
0.5 × 37.4
= 0.00415 += 0.00777
E des
5162

水平耐力及び水平変位の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.3 の規定に従い、上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位の関係を、橋脚の各断面における曲げモーメント-曲率の関係を用いて算出する。橋脚躯体基部断面における曲げモー
メント-曲率の関係を示すと次のようになる。
算出における補足事項
・耐震性能 2 又は耐震性能 3 の限界状態における水平耐力を算出する場合には，圧縮側のかぶりコン
クリートは圧縮応力を分担しないと仮定する。
・塑性ヒンジ領域以外の断面に対して曲げモーメント－曲率関係を算出する場合には，塑性ヒンジ長の上限値 0.15h は考慮しなくてよい。
・軸方向鉄筋の段落しのない単柱式の鉄筋コンクリート橋脚のように，塑性ヒンジが柱基部のみに形成されることが明らかな場合には，簡便のため，軸方向鉄筋の許容引張ひずみの算出の際に用いる
塑性ヒンジ長は，塑性ヒンジ領域以外の断面に対しても塑性ヒンジ領域に対して求めた塑性ヒンジ長の値としてよい。

・曲げモーメント-曲率関係の算出
ひびわれ時

Mc=9.340×109 N･mm 、φc=7.498×10-81/mm

初降伏時

My0=2.796×1010 N･mm 、φy0=9.090×10-71/mm

耐震性能 2 の限界状態に達するとき

Mls2=3.888×1010 N･mm 、φls2=7.797×10-61/mm（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mls3=3.923×1010 N･mm 、φls3=1.076×10-51/mm

耐震性能 3 の限界状態に達するとき（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mc：ひび割れ曲げモーメント(N ･mm)

My0：最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls2：耐震性能 2 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls3：耐震性能 3 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)

φc：ひび割れ曲率(1/mm)

24

φy0：橋脚基部断面の最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの曲率 (1/mm)
φls2：橋脚基部断面における耐震性能 2 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
φls3：橋脚基部断面における耐震性能 3 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
・橋脚躯体の上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位関係の算出

δ y 0 = 25.7

φy =M ls 2
3.888 × 1010
φy0 =× 9.090 × 10 −7 = 1.264 × 10 −610M y0
2.796 × 10

Pu = M ls 2 / h = 3.888 × 1010 / 10000 = 3.888 × 106

δy =M ls 2
3.888 × 1010
δ y0 =
× 25.7 = 35.7
M y0
2.796 × 1010

δ ls 2 = δ y + (φls 2 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 35.7 + (7.797 × 10 −6 − 1.264 × 10 −6 ) × 724 × (10000 − 724 / 2) = 81

δ ls 3 = δ y + (φls 3 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 35.7 + (1.076 × 10 −5 − 1.264 × 10 −6 ) × 724 × (10000 − 724 / 2) = 102
δy0：初降伏変位(mm)φy：橋脚基部断面における降伏曲率(1/mm)
Pu：終局水平耐力(N)h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)δy：降伏変位(mm)δls2：耐震性能 2 の限界状態に相当する変位(mm)δls3：耐震性能 3 の限界状態に相当する変位(mm)

25

小判形
小判形断面の橋軸
断面の橋軸直角の橋軸直角方向
直角方向の方向の水平耐力及び
水平耐力及び水平変位の計算例
及び水平変位の計算例
水平耐力及び水平変位の算出の手順

計算条件

慣性力作用方向

軸方向鉄筋径

：D32

横拘束筋径

：D19

横拘束筋間隔：150mm

鉄筋強度：SD345

コンクリート表面から軸方向鉄筋中心までの距離：150mm
橋脚高さ

：10m

慣性力作用高さ：10m

コンクリート基準強度：30N/mm2
鉄筋コンクリート単位体積重量：24.5kN/m3
軸応力：1.0N/mm2

上部構造死荷重：6901kN

・計算を簡単にするため、横梁はない条件とする。

26

1.

塑性ヒンジ長の算出

塑性ヒンジ長は道路橋示方書Ⅴ編 10.3 に従い、次式により算出する。

L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'

ただし， L p ≦ 0.15h
Lp ：塑性ヒンジ長(mm)σsy：軸方向鉄筋の降伏点(N/mm2)
βn ：軸方向鉄筋のはらみ出しに対する抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、断面形状にかかわらず次式
により算出する。
h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)

β n = β s + β co
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

βs =384 E 0 I h
ns d '3 s
E0：横拘束鉄筋のヤング係数(N/mm2)
Ih：横拘束鉄筋の断面二次モーメント(mm4)d’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長(mm)で、耐震設計で考慮する慣性力の作用
方向と平行な方向に配置する横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も大きい値とする。ただし、円形断面の場合においては、最外縁に配置された横拘束鉄筋が囲むコンクリートの直径の 0.8 倍の値とする。
ns ：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置
される圧縮側軸方向鉄筋の本数で、複数段配筋される場合においてはそれらの合計の本数とする。（d’が同じ場合は最も多い本数を ns として用いる。側方鉄筋は計上しない。）
s ：横拘束鉄筋の間隔(mm)βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2)で、次式により算出する。

β co = 0.01c0
c0：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分の最外縁に配置された軸方向鉄筋の最外面からコンクリートの表面までの距離(mm)φ’：塑性ヒンジ長を算出するための横拘束鉄筋の有効長 d’が最も大きいコンクリート部分に配置される軸方向鉄筋の直径(mm)で、40mm 以上の直径の軸方向鉄筋を用いる場合においては 40mm とする。（直径の異なる軸方向鉄筋が含まれている場合、小さい方の直径を用いる。）

27

ここで d’及び ns については d’＝1360mm 及び ns＝21 本となる。

なお、両側面の半円部分に配置される軸方向鉄筋の合計本数は72 本であり、円形断面の場合と同様にこれを 0.3 倍し、小数点以下を切り捨てることにより、ns を求めている。

ns = 72 × 0.3 = 21.6 （小数点以下は切り捨て）

これらより，塑性ヒンジ長を算出すると次のとおりとなる。

βs =384 E0 I h 384 × 2.0 × 105 × 6533
= 0.0633=
21 × 1360 3 × 150
n s d '3 s

β co = 0.01c0 = 0.01 × 134 = 1.34
β n = β s + β co = 0.0633 + 1.34 = 1.403
L p = 9.5σ sy β n1/ 6−1 / 3φ'= 9.5 × 3451/ 6 × 1.403−1/ 3 × 31.8 = 715 < 1500 = 0.15h以上より、塑性ヒンジ長は 715mm と算出される。

2.

軸方向鉄筋の応力度-ひずみ曲線の算出

軸方向鉄筋の許容引張ひずみは道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、次式により算出する。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
・耐震性能 3ε st 2 = 0.035 ⋅ L p 0.15φ −0.15 β s 0.2 β co 0.22
εst2：耐震性能 2 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
εst3：耐震性能 3 の軸方向鉄筋の許容引張ひずみ
Lp：塑性ヒンジ長(mm)（1.で算出した値を用いる。）

φ：軸方向鉄筋の直径(mm)（上限値の設定はない。）
βs：横拘束鉄筋の抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）
βco：かぶりコンクリートの抵抗を表すばね定数(N/mm2) （1.で算出した値を用いる。）

28

以上の式より軸方向鉄筋の許容引張ひずみを算出すると次のとおりとなる。
・耐震性能 2ε st 2 = 0.025 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.025 × 7150.15 × 31.8−0.15 × 0.06330.2 × 1.340.22 = 0.0245
・耐震性能 3ε st 3 = 0.035 ⋅ L p

φ −0.15 β s β co

0.15

0.2

0.22

= 0.035 × 7150.15 × 31.8−0.15 × 0.06330.2 × 1.340.22 = 0.0343

3.

コンクリートの応力度-ひずみ曲線の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.4 に従い、コンクリートの限界圧縮ひずみを次のように算出する。

・横拘束筋体積比の算出

ρs =

4 Ah
4 × 573== 0.00899 ≦ 0.018
sd 150 × 1700
ρs：横拘束鉄筋の体積比で、耐震設計で考慮する慣性力の作用方向と平行な方向に配置された横拘束鉄筋によって分割されたコンクリート部分の中で最も小さい値とする。
Ah：横拘束鉄筋１本あたりの断面積(mm2)s：横拘束鉄筋の間隔(mm)d：コンクリートの横拘束効果を考慮するための横拘束鉄筋の有効長(mm)・コンクリートの最大圧縮応力度に達する時のひずみの算出

ε cc = 0.002 + 0.033β

ρ sσ sy
σ ck= 0.002 + 0.033 × 1.0 ×

0.00899 × 345= 0.00541
30

εcc：コンクリートの最大圧縮応力度に達するときのひずみ
β：断面補正係数で、小判形断面直角方向の場合においては 1.0
σsy：横拘束鉄筋の降伏点(N/mm2)で、上限を 345N/mm2 とする。
σck：コンクリートの設計基準強度(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度の算出

σ cc = σ ck + 3.8αρ sσ sy = 30 + 3.8 × 1.0 × 0.00899 × 345 = 41.8
σcc：横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの最大圧縮応力度(N/mm2)
α：断面補正係数で、小判形断面直角方向の場合においては 1.029・応力度-ひずみ曲線の下降勾配の算出

Edes = 11.2

σ ck 230 2= 11.2 ×= 3250ρ sσ sy
0.00899 × 345

Edes：応力度-ひずみ曲線の下降勾配(N/mm2)・横拘束鉄筋で拘束されたコンクリートの限界圧縮ひずみの算出

ε ccl = ε cc +4.

0.5σ cc
0.5 × 41.8
= 0.00541 += 0.01184
E des
3250

水平耐力及び水平変位の算出

道路橋示方書Ⅴ編 10.3 の規定に従い、上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位の関係を、橋脚の各断面における曲げモーメント-曲率の関係を用いて算出する。橋脚躯体基部断面における曲げモー
メント-曲率の関係を示すと次のようになる。
算出における補足事項
・耐震性能 2 又は耐震性能 3 の限界状態における水平耐力を算出する場合には，圧縮側のかぶりコン
クリートは圧縮応力を分担しないと仮定する。
・塑性ヒンジ領域以外の断面に対して曲げモーメント－曲率関係を算出する場合には，塑性ヒンジ長の上限値 0.15h は考慮しなくてよい。
・軸方向鉄筋の段落しのない単柱式の鉄筋コンクリート橋脚のように，塑性ヒンジが柱基部のみに形成されることが明らかな場合には，簡便のため，軸方向鉄筋の許容引張ひずみの算出の際に用いる
塑性ヒンジ長は，塑性ヒンジ領域以外の断面に対しても塑性ヒンジ領域に対して求めた塑性ヒンジ長の値としてよい。

・曲げモーメント-曲率関係の算出
ひび割れ時

Mc=2.306×1010 N･mm 、φc=4.466×10-81/mm

初降伏時

My0=7.081×1010 N･mm 、φy0=5.349×10-71/mm

耐震性能 2 の限界状態に達するとき

Mls2=1.112×1011 N･mm 、φls2=6.264×10-61/mm（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mls3=1.120×1011 N･mm 、φls3=8.656×10-61/mm

耐震性能 3 の限界状態に達するとき（軸方向鉄筋の許容引張ひずみで決定）
Mc：ひび割れ曲げモーメント(N ･mm)

My0：最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls2：耐震性能 2 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)
Mls3：耐震性能 3 の限界状態における橋脚基部断面の曲げモーメント(N･mm)

φc：ひび割れ曲率(1/mm)

30

φy0：橋脚基部断面の最外縁にある軸方向引張鉄筋が降伏するときの曲率 (1/mm)
φls2：橋脚基部断面における耐震性能 2 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
φls3：橋脚基部断面における耐震性能 3 の限界状態に相当する許容曲率 (1/mm)
・橋脚躯体の上部構造の慣性力の作用位置における水平力-水平変位関係の算出

δ y 0 = 15.2

φy =M ls 2
1.112 × 1011
φy0 =× 5.349 × 10 −7 = 8.400 × 10 −710M y0
7.081 × 10

Pu = M ls 2 / h = 1.112 × 1011 / 10000 = 1.112 × 10 7

δy =M ls 2
1.112 × 1011
δ y0 =
× 15.2 = 23.9
M y0
7.081 × 1010

δ ls 2 = δ y + (φls 2 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 23.9 + (6.264 × 10 −6 − 8.400 × 10 −7 ) × 715 × (10000 − 715 / 2) = 61.3

δ ls 3 = δ y + (φls 3 − φ y ) L p (h − L p / 2)
= 23.9 + (8.656 × 10 −6 − 8.400 × 10 −7 ) × 715 × (10000 − 715 / 2) = 77.8
δy0：初降伏変位(mm)φy：橋脚基部断面における降伏曲率(1/mm)
Pu：終局水平耐力(N)h：橋脚基部から上部構造の慣性力の作用位置までの距離 (mm)δy：降伏変位(mm)δls2：耐震性能 2 の限界状態に相当する変位(mm)δls3：耐震性能 3 の限界状態に相当する変位(mm)31中空断面橋脚に対する及び ns の設定例
中空断面橋脚に対する d’及びの設定例
中空断面橋脚における中空部及び充実部の断面をそれぞれ例として示す。
ここに示す例においては、横拘束筋配置は中空部、充実部で同様であるため、有効長 d’及び圧縮側軸方
向鉄筋本数 ns もこれらの断面で同じとなる。
橋軸方向： d’=1000mm ns=6 本

橋
軸
方
向

AA’断面

BB’断面

中空断面部を有する橋脚の側面図

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