令和４年度・数学⼊⾨公開講座

4 August 2022

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 4] 粘性
京都⼤学数理解析研究所・⽯本 健太

流体とはなんだったのか︖
コーシーの運動⽅程式（連続体の運動量保存則）

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = 𝜵 ' 𝛔
𝜕𝑡𝛔 ︓ストレステンソル（応⼒）※ 隣り合う流体表⾯に働く⼒𝜕σ!"𝜵"𝛔 ! =𝜕𝑥"

Ø ⽔や空気といったニュートン流体

𝛔 = −𝑝𝐈 + 2𝜇𝐄

𝒙(𝒂, 𝑡)"流体粒⼦”をラベルづけ
𝒂︓ラグランジュ座標（ラベル）
ナビエ・ストークス⽅程式

𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)
(圧⼒)
(粘性⼒)

𝜇︓粘性係数2

令和４年度・数学⼊⾨公開講座

4 August 2022

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 4] 粘性§1 猫＝流体説

猫は液体である︖
𝛑𝛂𝛎𝛕𝛂 𝛒𝛆𝛊＝万物は流転するØ 流動体⼀般を扱う学問分野＝レオロジー

boredpanda, 15 proofs that cats are liquids
https://www.boredpanda.com/cats-are-liquids/「⽔は⽅円の器にしたがう」
Instagram@cakes1todough1

イグノーベル
物理学賞 (2017)

Fardin, Rheol Bull (2014)www.instagram.com/p/BgAMlvDhqQ3/?hl=ja&taken-by=cakes1todough1

4

デボラ数
The mountains flowed before the Lord
（⼭々は主の前に流れた、「⼦師記」）
デボラ数

𝜏
𝐷𝑒 =𝑇

𝜏: 緩和時間
𝑇:現象の時間スケール

𝐷𝑒 ≪ 1 : 流体𝐷𝑒 ≫ 1 : 固体（弾性体）
YouTube@ MinuetLaboratory
https://youtu.be/_esC9Rg0SAA

アスファルト Fig: wikipedia「ピッチドロップ実験」

Fig: wikipedia

氷河やマントルの運動も流体⽅程式（ナビエ・ストークス⽅程式）で記述できる
5

粘性とは何か︖
ずり（速度勾配）に対する⼒の応答Ø 圧⼒を除いた応⼒テンソル項に注⽬(シアシックニング)

𝛔 = −𝑝𝐈 + 𝛕Ø ⼀般化ニュートン流体(シアシニング)

𝛕 = 2𝜇(𝐄)𝐄
Fig: クレイドルウェブサイトよりhttps://www.cradle.co.jp/glossary/ja_H/detail0010.html※ 外からの⼒の与え⽅によって物体応答も変わる
ダイラタンシー
Fig: 東京理科⼤学川村研究室ウェブサイトよりhttps://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~elegance/jikkensp10/dairatansi.html

シアシニング
Fig: ⽂具のとびらウェブサイトよりhttps://www.buntobi.com/articles/entry/stationery/007765/

6⾮ニュートン流体の運動⽅程式︖
マクスウェルモデル(1867年)
Ø 粘弾性＝粘性と弾性をもつ物体のモデル

𝛔 = −𝑝𝐈 + 𝛕

λ: 弾性緩和時間
𝜕𝛕λ + 𝛕 = 2𝜇𝐄𝜕𝑡構成⽅程式の原理と数理モデル

λ𝐷𝑒 =𝑇𝐷𝑒 ≪ 1 : 流体𝐷𝑒 ≫ 1 : 弾性体

Ø 多くの⾮ニュートン流体モデルは物質客観性の原理を満たさないØ 物質客観性を満たそうとすると⼀般にモデルは複雑になるØ ⾮ニュートン流体の⽅程式は「物質応答の有効モデル」
Ø 流体とともに変形する座標系における時間微分が必要
例︓上対流マクスウェル流体𝜕𝛕 𝜕𝛕
↦+ 𝒖 : 𝜵𝛕 − 𝜵 ⊗ 𝒖 : 𝛕 − 𝛕 : 𝜵 ⊗ 𝒖 $𝜕𝑡𝜕𝑡
7複雑流体・ソフトマター
複雑流体(complex fluids)
Ø 流体中に他の液体・固体・気体混じった混合流体
Ø 流体状態にこだわらない場合にはソフトマターとも細胞(イラスト)
Fig: Goodsell, The Machinary of Life

Ø これらの（有効的な）構成⽅程式は︖
Ø 機械学習(AI)によるモデルのパラメータ推定や流体⽅程式そのものの推定も︖

Figs:

https://macaro-ni.jp/8797
https://www.cotta.jp/special/article/?p=6366
https://www.kurashiru.com/recipes/3d184179e045-4b82-adec-5ef2d7902ac8
https://www.nichireifoods.co.jp/media/14852/

Instagram@cakes1todough1

www.instagram.com/p/BgAMlvDhqQ3/?hl=ja&taken-by=cakes1todough1

8

まとめ[Day 4] 粘性§1: 猫＝流体説
Ø 物体が流体かどうかは現象の時間スケールによる
Ø 内部構造を持たない⽔・空気はニュートン流体に従う
Ø 粘性と弾性を併せ持つ物体の流れも⽇常に多く存在する

9令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 4] 粘性§2 ドロドロ世界の住⼈

4 August 2022

低レイノルズ数の⽣き物%&! '(/*! +%*/,+%*𝑅𝑒 ≈=10%&"! '(/*+,𝑅𝑒 < 1
微⽣物の世界?

mmcm

ストークス⽅程式𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)
(圧⼒)
(粘性⼒)

m

Fig: Gazzola, Nat Phys (2016)

𝜌𝑈𝐿 慣性効果
𝑅𝑒 ==
𝜇
粘性効果

サイズが⼩さい=粘性効果が⼤きい=慣性が⼩さい
11

⾝の回りの⾒えない⽣き物たち

12

泳ぐ微⼩⽣物
真核⽣物︓flagella/cilia (鞭⽑/繊⽑), アメーバ運動

繊⽑⾍ (unpublished)

⽩⾎球(リンパ球) Aoun et al. (2020)

原核⽣物(細菌)︓flagella (バクテリアべん⽑) Fig: Velho Rodrigues et al. PLoS One (2021)

気道 (マウス)
13ストークス流れと時間反転対称性
ストークス⽅程式𝟎 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
(慣性⼒)

(圧⼒)

(粘性⼒)

時間の流れの向きによらない境界の情報のみで運動が決まる

時間反転対称性（⽅程式がもつ性質）

境界条件（形の情報）
流体は物体(生物)の表面にくっついて流れる

YouTube@ UNM Physics and Astronomy (３倍速)https://youtu.be/_dbnH-BBSNo

14

⾶ぶ⽮が⽌まる世界線
アリストテレスの⼒学
⼒ ∝ 速度≈

低レイノルズ数の世界（顕微鏡の中の世界）

10µm

ゼノンの「⾶ぶ⽮のパラドックス」

バクテリア
30µm/s300µm

微⼩世界でのピッチング
⼿を離れた瞬間にボールは⽌まる
⽌まるまでの時間≈10万分の1秒⽌まるまで進む距離 ≈ 1Å=0.1nm
Fig: Filozofy.plウェブサイトより
15パーセルの帆⽴⾙定理
帆⽴⾙定理（scallop theorem)
微⽣物は往復運動では移動できない
往復運動: ⾏きと帰りの形が同じ変形
Purcell (1977), Ishimoto & Yamada (2012)

G. I. Taylor Lecture on Low Reynolds Number Flow
@ National Committee for Fluid Mechanics

Purcell, Am J Phys (1977)

16

帆⽴⾙定理の証明
証明（雰囲気だけ） Ishimoto & Yamada, SIAM J Appl Math (2012)
ストークス⽅程式の線形性を使う
⽣き物の遊泳速度

𝑈(𝑡) = 𝐾 𝑠 𝑠̇
""!

"!

"!

形状パラメータ: 𝑠 ∈ [0, 1]

はじめ

⾏きと帰りの時刻の対応付け:
𝑔: [𝑇! , 𝑇] → 0, 𝑇!
𝑔 𝑇! = 𝑇! , 𝑔 𝑇 = 0𝑠 𝑡 = 𝑠 𝑔(𝑡)𝑋 = : 𝑈 𝑑𝑡 = : 𝑈 𝑑𝑡 + % 𝑈 𝑑𝑡!
"!

"!

"!

"!

!

!

"!

= % 𝐾 𝑠 𝑡 𝑠(𝑡)̇ 𝑑𝑡 + % 𝐾 𝑠 𝑡𝑠(𝑡̇ #)

𝑑𝑔
𝑑𝑡𝑑𝑡

（𝑡 # = 𝑔(𝑡)と書いた）= % 𝐾 𝑠 𝑡 𝑠(𝑡)̇ 𝑑𝑡 + % 𝐾 𝑠 𝑡 # 𝑠(𝑡̇ # ) 𝑑𝑡′ = 0

おわり
17帆⽴⾙定理はRe<<1でのみ成り⽴つ

注意︓実際の帆⽴⾙は泳げます
Youtube@benthiccanadaʼs channel
https://youtu.be/_2iXHBuSIJY

18

微⽣物の遊泳術

クラミドモナス（藻の仲間）
YouTube@Guasto Lab @Tufts

精⼦（ヒト）
Ishimoto et al. Phys Rev Lett (2017)

微⽣物は帆⽴⾙定理の制約を上⼿に避けている

⼤腸菌

H. Berg Lab.

Fig: Purcell (1977)

⼤腸菌のラン・アンド・タンブル運動
・・・帆⽴⾙定理だとどこにも進めない︖

柔らかい「フック」に⾃由度がある19

まとめ[Day 4] 粘性§2: ドロドロ世界の住⼈Ø レイノルズ数が⼩さな状況ではストークス⽅程式が現象をよく記述する
Ø 流れの時間反転対称性から帆⽴⾙定理が成り⽴つØ 微⽣物の運動は周囲の流体⽅程式から強い制限を受けている

20令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 4] 粘性§3 流体⼒学は⽣きている

4 August 2022

アクティブ流体
ムクドリの群れアクティブマター
Ø エネルギーを運動に変換する物質、あるいはその集合体の総称
Ø 例︓⾃⼰推進粒⼦
Ø 特に流体的に振る舞うもの＝アクティブ流体
⿂群
Fig: Wikipedia

Fig: diver-onlineウェブサイトよりhttps://diver-online.com/archives/go_to_diving/5063

Fig: Bees (2020)
⽣物対流(微⽣物集団のつくるパターン)

Instagram@cakes1todough1

www.instagram.com/p/BgAMlvDhqQ3/?hl=ja&taken-by=cakes1todough122

ストークス極と微⽣物周りの流れ
ストークス極Ø ストークス⽅程式の基本解
Ø 点⼒によって駆動する流れ−𝛁𝑝 + 𝜇∆𝒖 = −𝒈 𝛿(𝑥 − 𝑥0)
ストークス極ストークス⼆重極

ストークス三重極*

𝑢1 (𝒙) = 𝐺12 𝒙, 𝒙0 𝑔2
7#$
8# 8$
3
𝐺12 𝒙, 𝒙0 = 456 8 + 8!
𝑟$ = 𝒙 − 𝒙! $ , 𝑟 = |𝒓|

ボルボックス*（藻の仲間）*Drescher et al., Phys Rev Lett (2010), **Drescher et al., PNAS (2011)

⼤腸菌**

クラミドモナス*23

バクテリア超流動
ストレスレット

懸濁液の粘性Ø ⼒の１次モーメントの対称成分
Ø ⽣物周りの流れの遠⽅での⽀配項
Ø 流体⼒学的な遊泳型puher/puller(プッシュ型/プル型)を決める

𝑆12 = sym V 𝑔1 𝒙0 𝑥0? d𝑆𝒙%

Ø ⽣き物の⽣み出すストレス
レットによって有効粘度が変化する

pusher=粘性下がる
puller=粘性上がる

バクテリア超流動>

pusherpullerLopez et al, Phys Rev Lett (2015)24

バクテリア乱流
バクテリア乱流
Ø 集団として乱流のような乱れた流れ
Ø ⾃ら⽣み出す流れによって集団的な流れを作り出す枯草菌（準２次元）

シミュレーション
Ishimoto et al. Phys Rev Fluids (2020)

Wensink et al. PNAS (2012)

Ishimoto, unpublished

流体相互作⽤あり

流体相互作⽤なし
25

集団運動の「ながれ」⼀般化ナビエ・ストークス⽅程式

𝒗︓集団的な運動の流れØ コーシーの運動⽅程式
Ø 負の粘性と各個体の相互作⽤による向きをそろえる⼒Ø ランダウ速度ポテンシャル𝜕𝒗
𝛿𝑉 𝒗
𝜌+ (𝒗 : 𝜵)𝒗 = 𝜵 : 𝝈 −𝜕𝑡𝛿𝒗
𝛔 = −𝑝𝐈 −𝛤@ + 𝛤A𝜵𝟐 𝑬 − 𝑆𝛽𝑉𝒗 =𝒗 @ − 𝑣0 𝒗 @2
特徴的な渦ダイナミクスが再現できる𝑰 @𝒗⊗𝒗− 𝒗
3Dunkel et al. Phys Rev Lett (2013)26

流体⼒学は⽣きている –まとめに代えて歩きスマホの群衆実験
Ø ミクロの詳細にこだわらない、マクロ変数で閉じた数理モデル
Ø 各粒⼦（原⼦・分⼦・⽣物など）の振る舞いから⽣じる集団としての「ながれ」を記述する理論的な枠組み＝流体⼒学
Ø 原⼦核から、銀河・ブラックホールまで
Ø 各時代、社会に合わせて流体⼒学は常に変化している。これからもきっとそうであろう。
イグノーベル
動⼒学賞 (2021)

Murakami et al., Sci Adv (2021)27

令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル

エピローグ
4⽇間を振り返って

4 August 2022

まとめ「⽅程式」「解」「渦」「粘性」
Ø ⽇常スケールの流体現象の数理モデルとして、⾮圧縮流体⼒学のさまざまな表情を紹介した

Ø 古くて新しい学問「流体⼒学」
Ø その理論的枠組みは、あらゆる「ながれ」を数理科学に変えてゆく⽬標

Ø 流体⼒学を通して数理モデルの楽しさと難しさを知る
Ø ⽬にしているのに「⾒えていない」流体⼒学の奥深さを知る
Ø 新たな視点を⾝につけて、⽇常をより豊かにする︕

29

参考⽂献
流体⼒学全般についてØ 巽友正「流体⼒学」（培⾵館, 1982）
Ø A.J. Acheson「Elementary Fluid Dynamics」 (Oxford University Press, 1990)
Ø ⼭⽥道夫「流体⼒学-まだこんなことがわからない」（数学⼊⾨公開講座テキスト, 2019）Ø フィリップ・ボール「流れ」（ハヤカワ⽂庫、2016）

⽣物流体⼒学について
Ø ⽯本健太「微⽣物流体⼒学への招待」数理科学（サイエンス社）連載全19回（2020-2022）
Ø T. Shinbrot「Biomedical Fluid Dynamics」 (Oxford University Press, 2019)Ø S. Vogel「Life in Moving Fluids」 (Princeton University Press, 1983, 1994)30

謝辞
研究助成
Ø JSTさきがけ「数理構造活⽤領域」
Ø 科研費・学術変⾰A「ジオラマ⾏動⼒学」
Ø 数理解析研究所・訪問滞在型研究「Mathematical Biofluid Mechanics」

数理研「流体⼒学」分野
Ø ⼭⽥道夫
Ø ⼤⽊⾕耕司Ø ⽵広真⼀Ø 蛭⽥佳樹Ø 安⽥健⼈Ø Clément Moreau

Special Thanks – 4⽇間の連続講義お疲れさまでした31