平成１２年度大学院入学試験問題 I (3 時間)
注意(1) 問題 I-1 、I-2 、I-3 の解答はそれぞれ別の用紙一枚に記入せよ (裏面を用いてもよい) 。
(2) 各用紙ごとに、左上に問題番号、右上に受験番号と氏名を記入せよ。
|||||||||||||||||||||||||||||||

I-1 (物理定数) (100 点)以下の定数のおおよその大きさ（桁だけでもよい）を書き、それぞれの定数の測定が可能な方法（概数が知れればよい）を１つづつあげ、原理を簡単に述べよ。但し、被測定量以外の定数は知られているものとせよ。また、異なった定数に対して同じ測定法が適用できる場合には、必ず異なった方法を述べること。
(1) プランク定数(2) ボルツマン定数(3) アボガド ロ数(4) 電子の電荷(5) 電子の質量(6) 万有引力定数

I-2 (量子力学) ( 100 点)
最近、磁場を用いて真空中のある空間の中に閉じ込めた（トラップした）アルカリ気体
でボースアインシュタイン凝縮（ BEC) を起すことに成功した。BEC とはある量子状態に多数の粒子が凝縮している状態のことである。アルカリ気体の BEC において気体は十分希薄であり、原子間の相互作用が無視できるとすると、原子が凝縮する状態を表わす波動関
数はシュレデ ィンガー方程式に従う。また、重力の影響は考えないことにする。なお、以下の計算で必要ならば積分公式

Z10

dxe0x =
2

Z1

p=2;

0

p

dxx2 e0x = =42を用いよ。
(1) 最初に一次元の問題を考える。m をアルカリ原子の質量とする。(1=2)m! 2 x2 と近似できるポテンシャルで原子を x = 0 近傍にトラップしているとする。波動関数が従うシュレデ ィンガー方程式および固有値方程式を書け。次に(x) = C exp x 2 !

02 x
1

(x)

(A)

0

と置いて x0 を適当に選べば (A) 式の波動関数は固有値方程式を満足することを示せ。
また x0 を求めよ。ここで C は規格化定数である。C も求めよ。
（ A ）式は節を持たないことから明らかなように基底状態の波動関数である。BEC でアルカリ原子はこの状態に凝縮する。したがって、凝縮した原子の密度分布は
2

C exp

 x 2 !

0 x

(B)

0

に比例する。
(2) （ A ）式をフーリエ変換して基底状態の波数表示(k) を求めよ。次にこのh i を計算せよ。

用いて基底状態での原子の速度 v の二乗平均 v

2(k ) を(3) BEC の観測はトラップ ポテンシャルをゼロにして、アルカリ気体の分布が適当に広がった後行う。トラップ ポテンシャルをゼロにする時間は非常に短いのでその間に波動関数は変化しないものとして、その後の時間発展を考える。時間 t 経過したあとでの波動関数を求めよ。また、気体の広がりを表わす x0 と規格化定数 C はともに時間変化するが、凝縮した原子の密度分布は (B) 式と同じ関数形になることを示せ。

1(4) つぎに二次元のポテンシャル 2 m(!x2 x2 + !y2 y 2 ) でトラップされたアルカリ気体の BECを考える。 ここで!x > !y とする。このとき、原子が凝縮する基底状態の波動関数はどう書けるか。また、トラップ ポテンシャルをゼロにした後、x 方向の気体の広がり x0 と y 方向の気体の広がり y0 は時間とともに変化する。 x0=y0 の時間変化を求めよ。 ポテンシャルにトラップされていたときとポテンシャルをゼロにしてから十分時間がたった後とを比較すると、x0 と y0 の大小関係が変化する。その理由を物理的に説明せよ。

I-3 (電磁誘導) (100 点)
図のように長さが半径に比べて十分長い同軸で中空のふたつの円筒 1 と 2 を考える。円筒の厚さは無視できるとし、それらの半径を R1 と R2 (R1 < R2) とする。1 および 2 の円
筒は単位長さ当りそれぞれ Q と +Q のー様に分布した電荷を持っているが、その電荷は円筒に固定され、円筒とー緒にしか動かないものとする。また、ふたつの円筒ともその軸の周りに摩擦なしで回転できるとし、その慣性モーメントを単位長さ当りそれぞれ I1 および I2 とする。このような円筒の系に、最初、外部からー様な磁場 H0 を回転軸に平行にかけておき、次にその磁場をゆっくりゼロにすると、円筒は回転を始める。このとき、円筒は電荷を持っているためその内部にー様な磁場ができる。

0(1) 最初、内側の円筒の半径 R1 = 0 とする。
a) 外部磁場 H0 をゼロにしたときに外側の円筒の持つ単位長さ当りの角運動量が L2になったとする。L2 が与えられたとして、円筒間の磁場 H2 を求めよ。

b) 磁場が時間的に変化するときにファラデーの電磁誘導則が成立する。この誘導則

から円筒にかかるトルクが求まる。円筒 2 の従う運動方程式を導け。
c) a) 、b) で得られた方程式を解いて、 H2 を求めよ。

2~ = E~ B~ を用いると、電磁場の持つ角運動量は式d ）ポインティング ベクトル SR~ = 12 d3 r~r S~ から計算できる。最初の外部磁場 H0 がかかっている状態での電磁L
c2

場の持つ角運動量を計算せよ。ここで誘電率を " 、 磁率を  とすると 1=c2 = " 、cは光速である。
e) c) の結果を角運動量保存則から説明せよ。

6(2) 次に R1 = 0 とする。外部磁場をゆっくりゼロにした後での円筒 1 、2 の単位長さ当りの角運動量をそれぞれ L1 、 L2 、円筒 1 内部の磁場を H1 、そして円筒 1 と円筒 2の間の磁場 H2 をとする。
a) L1 、L2 、H1 、H2 を決定するための方程式を導け。
b) I1 が無限に大きいときの H1 、H2 を求めよ。(ヒント：角運動量は無限に大きくな

ることはない。)
c) I1 = 0 のときの H1 、 H2 を求めよ。(ヒント： 角速度は無限に大きくなることはない。)

平成１２年度大学院入学試験問題 II (3 時間 30 分)
注意(1) 問題 II-1 、II-2 、II-3 の解答はそれぞれ別の用紙一枚に記入せよ (裏面を用いてもよい)。
(2) 各用紙ごとに、左上に問題番号、右上に受験番号と氏名を記入せよ。

|||||||||||||||||||||||||||||||
II-1 (中性子干渉) (100 点) スピンが s = 1=2 で磁気能率がの中性粒子が、z 方向に向~ = (0; 0; B ) の中にあるときのスピンの時間発展を考える。~s = (sx ; sy ; sz )いている磁場B
をスピンの演算子とするとハミルトニアンは次のように書ける。


H = 0 ~s 1 B~s(1) Heisenberg 表示での~sの運動方程式を書き、それを解いてスピンの歳差運動の周期 Tを求めよ。

(2) Schrodinger 表示での波動関数の時間発展を、スピンの z成分 sz を対角化する基底で表せ。特に、歳差運動の周期 T だけ時間がたつと、波動関数はどう変化するか。

以上の結果をふまえて、次のような実験を考える。図の左上では+y 方向に進む、エネルギーが一定で x 軸の正の向きに偏極した中性子線が入射している。ＢとＣに置かれた物体は中性子を完全に反射するが、ＡとＤに置かれた物体は中性子をちょうど半分透過し、残りを反射するとする。また、反射や透過に際してはスピンの状態が変化することはないとする。
二つの経路ＡＢＤとＡＣＤを通った中性子は干渉し、検出器１または検出器２によって検出される。また、中性子の経路ＣＤをはさむように電磁石が置いてあり、z 方向にいろいろな大きさの磁場がかけられるようになっている。電磁石の磁場がゼロのとき、中性子はすべて検出器１で検出され、検出器２では検出されなかったとする。スピンの演算子を

1 0 1
sx =
2 1 0

!

1 0 0i; sy =
2 i 0

!

1 1 0
; sz =
2 0 01!

と表示することにし、次の問いに答えよ。

(3) 入射してくる中性子のスピン波動関数は、
!
1
1
w=p
2 1
と書けることを示せ。

(4) 中性子がＤを通過したのち検出器に入るまえのある時点における波動関数9を
9=

w1
w2

!

のように表すことにする。ここで、w1 は検出器１に向かう中性子のスピン波動関数を表す２次元縦ベクトルであり、w2 は検出器２に向かう中性子のスピン波動関数を表す２次元縦ベクトルである。9を経路ＡＢＤを通ってきた成分9ABD と経路ＡＣＤを通ってきた成分9ACD の重ね合わせの形9 = 9ABD + 9ACD に書こう。また、9ABDと9ACD をそれぞれ9と同様に、9ABD =

u1
u2

!

v1
v2

; 9ACD =!

と表すことにする。9 の上下の成分の位相を適当に選ぶと、u1 = 12 w 、u2 = 21 w と書けることを示せ。ここで、wは前問で与えられたものとする。

(5) 9ABD と9ACD は互いに直交しているはずであるが、これはなぜか説明せよ。この事
実と9 = 9ABD + 9ACD が検出器１に向かう状態を表していることに注意して、上の位相の選び方のもとで、v1 = 21 w 、v2 = 0 21 w となっていることを示せ。
(6) 磁場の大きさを調節して中性子が磁場のあるところを通過する間に、スピンが z軸のまわりを右向きににちょうど一周期だけ歳差運動するようにした。このとき、中性子は各検出器によってどのように検出されるか。

(7) 磁場の大きさを半分にして、中性子が磁場のあるところを通過する間に、スピンがちょうど２分の１周期だけ歳差運動するようにした。このとき、中性子は各検出器によってどのように検出されるか。また、各検出器によって検出される中性子は、どの向きに偏極しているか。磁場の向きを逆にするとどうなるか。

A

B

中性子線

z
x

C

D
検出器１
電磁石
検出器２

y

II-2 (統計熱力学) ( 100 点)
統計熱力学を学ぶ際、系と熱浴を分ける考え方やその設定方法にとまどう場合がある。
ここでは分布関数の導出を行ないながら、系と熱浴の設定の重要性を再確認する。 相互作用のない、同一粒子が N0 個ある状態を考える（全エネルギーを U0 とする）
。この状態を
以下のように熱浴と系に分ける。すなわち、系には N 個の粒子があり（熱浴には N0 N個）、系はエネルギー ES の量子状態 S にあるとする（熱浴のエネルギーは U0 ES ) 。系と熱浴は粒子の移動を許す熱平衡状態にあるものとする。以下でボルツマン定数を kＢ とし、系のエネルギーの原点を 0 とする。

00

系がこの特定の量子状態 S をとる確率 P (N; ES ) を考える。P (N; ES ) は、系と熱浴がとりうる状態数の積に比例するが、上のように系の粒子数と量子状態を決めた場合、系のとりうる状態数は１である。したがって P (N; ES ) は熱浴がとりうる場合の数に比例する。
(1) 熱浴のエントロピー (N0

比例定数を C とする。

ここで N00 N; U 0 ES ) を使って注
0

1)

P (N; ES ) を書き下せ。ただし

 N かつ U  ES なので、(１) で求めた右辺を N と U の周りで展開すると、
000

P (N; ES ) = C exp ( (N0; U0 )) exp (0N (@=@N0 )U0 0 ES (@=@U0 )N0 )となる。
(2) 温度 T と化学ポテンシャル  の定義を使い、P (N; ES ) を大きな分配関数 Z（ギブス

和、大きな状態和とも呼ばれる）、T および  を用いて書け。その際、導出過程も書くこと。ここで P (N; ES ) は全ての粒子数 N と量子状態 S について和をとると１になることを用いよ。また Z は次式のように定義されており、和は全ての粒子数 N (0も含む）と量子状態 S とについて実行するものとする。

Z=

XX
N S

exp ((N 

0 ES )=kB T )フェルミ粒子の分布関数を導出する。今までは N 粒子系の量子状態を考えたが、以下では系のエネルギーは、１粒子エネルギー準位を占有する粒子数 N と、その準位のエネルギー"との積で書けるものとする（このように系をとることで Z の計算が非常に簡単になる）。
フェルミ粒子の場合、ある準位 " を占有する粒子数は、0 または１個（ここではスピン量子数については考えない）なので、それに対応した系のエネルギーはそれぞれ 0 と " になる。
(3) フェルミ粒子系の Z を求めよ。
(4) 分布関数 f (") の定義を２５字以内で述べ、フェルミ粒子系の分布関数を定義式から導け。

(5) 同様の方法でボーズ粒子系の分布関数を導出せよ。その際、導出過程も書くこと。熱浴は充分大きく、実質的に N0 を無限大にしてもよいとする。

注１）通常のエントロピーは S = kB  で定義される場合が多い。

II-3 (磁気レンズ) (100 点)
図のように４つの四角形のコイルが組み合わされた磁気回路がある。これについて以下の問いに答えよ。xy 平面上のそれぞれの導線の座標が (a; b); (a; b); ( a; b); ( a; b) にある
ものは紙面に向かって入って行く方に電流が流れ、座標が (b; a); (b; a); ( b; a); ( b; a)にあるものは紙面から出てくる方向に電流が流れている。また、a > b > 0 である。また
磁気回路の中央部（ z = 0 ）ではそれぞれのコイルは反平行に電流 I の流れる無限に長い２本の導線で近似できると考えてよい。

0

0
0

0 0
0
0 0

(1) xy平面上 (z = 0) での磁力線の様子を定性的に図示せよ。
(2) 原点付近での x 軸上の磁場(a) x 軸上の磁場はB( 0 0) を求めたい。
x;;

By 成分しか持たないことを示せ。

B ( 0 0) を 座標の一次までの関数として求めよ。
(c) 同様に 軸上の磁場B (00) も求めよ。

(b)

x;

;

x

y

; y;

(3) この磁気回路は電荷を持った z 軸方向に運動する粒子に対して、有効長が L の磁気レンズとして働く。この事実を確認してみよう。コイルの z 方向終端での磁場の乱れを無視できるとすると、コイルに囲まれた空間では、

B(

x; y; z ) =でそれ以外では

B(x; y; 0)B(x; y; z ) = 0

jj

(z

jj

(z

>

L

2

<

L

2

)

)

が成り立つと考えることができる。次にレンズとしての厚み L は運動する粒子にとっては十分薄いとすると、粒子はレンズを通過するときその座標を変えず、磁場によって方向のみ変えると近似することができる (薄いレンズの近似法) 。正の電荷 e と運動量 p を持った粒子を、xz 平面上を z 軸の負の方向から z 軸に平行にレンズに入射した場合を考察し、焦点距離 fx を求めよ。また同様に yz 平面上に入射したときの焦点
距離 fy をもとめよ。但し、凹レンズの焦点距離は負の値を取るとせよ。
(4) 同様なもうひとつの磁気回路を z 軸の回りに９０度回して、中心距離 D だけ離しておいたとする。この複合磁気回路のレンズとしての働きを前問と同様に考察し焦点距
離 Fx 、Fy を求めよ。ただし fx >> D 、 fy >> D としてよい。

j j

j j

平成１２年度大学院入学試験問題 III (3 時間)
注意(1) 問題は III-1 から III-7 まで７問ある。これから３問選択せよ。
(2) 選択した問題の解答はそれぞれ別の用紙一枚に記入せよ (裏面を用いてもよい) 。
(3) 各用紙ごとに、左上に問題番号、右上に受験番号と氏名を記入せよ。

III-1 (選択) (解析力学) (100 点)

1 1 1 ; q ; q_1; q_2 ; 1 1 1 ; q_ ; s) で与えられる力学系を考える。ここで、fq1 ; q2; 1 1 1 ; q g
1 1 1 ; n) は一般速度で、q の上につけられたドットは、時間 s による微分を表す。qラグランジアンが L(q1 ; q2 ;は一般座標、q_i ; (i = 1;nniに正準共役な一般運動量を pi とする。
そこで次のような作用積分

W=

Zt
0

n

i

L(q1 (s); 1 1 1 ; qn(s); q_1(s); 1 1 1 ; q_n(s); s)ds(A)1を考える。ここで、qi (s) は、オイラー ラグランジュ方程式を解いて、実現される運動である。W は、時間 t のほかに、qi (t); (i = 1;

11 1 ; n) および初期値 q0 = q (0); (i = 1; 1 1 1 ; n) に依存すると考えられる。
ii

W = W (q1; 1 1 1 ; qn ; q10 ; 1 11 ; qn0 ; t)(B)

ここで qi (t) をあらためて qi と書いた。
(1) このようにして作られたW について@W= pi ;@qi@W0= 0pj ;
@qj0

i; j = 1; 1 1 1 ; n)

(C)


@W
@W
@W 
+ H q1 ; 1 1 1 ; qn ;;111;
; t =0
@t
@q1
@qn

(D)

(

が成り立つことを示せ。ここで、p0j = pj (0).
(2)

W がハミルトン1ヤコビの方程式

1 1 1) はハミルトニアンである。
0(3) W は、正準変換 (q1 ; 1 1 1 ; q ; p1 ; 1 1 1 ; p ) 0! (q10 ; 1 1 1 ; q0 ; p0
1 ; 11 1 ; p ) の母関数になっていることをを満足することを証明せよ。ここで、H (
n

n

n

n

証明せよ。
(4) 1 次元調和振動子のハミルトニアンが
1

1

2

2

H (q; p) = p2 + ! 2q2(E)で与えられているとき、W は

W=

!

!t)

2 sin([(

q2 + (q 0)2 ) cos(!t) 0 2qq 0 ](F)で与えられることを示せ。ただし、q 0 = q(0) 。
(5) 表式 (F) で与えたW を t で微分し、0@W=@t が (E) で与えられているハミルトニアン H になっていることを示せ。

III-2 (選択) (等角写像) (100 点)
比抵抗の一様な材質でできている半径 a 、厚み d の薄い円板の周上に小電極を４つ付ける。
電極Ａと電極Ｂを定電流電源につなぎ、円板を通って電極Ａから電極Ｂに流れる電流が Iになるようにした。また、電極Ｃと電極Ｄでは外部との電流の出入りはないとする。このときの電極Ｃと電極Ｄの間の電位差 V を求めたい。
まず、円板の中心を原点とする極座標 r; を考え、それぞれの電極の 座標をA 、B 、C 、
D とする。電位差 V を 、a 、d 、I 、A 、B 、C 、D の関数として表したとき、V は 、a 、
d 、I にどのように依存するか考えよう。
(1) V はと I に比例し、d には反比例すること、すなわち、a 、A 、B 、C 、D だけに依存する関数 f があって、


V = I f (a; A ; B ; C ; D )dと書けることを示せ(2) 上式右辺の f が無次元量であることを示し、そのことから V が a にはよらないことを説明せよ。
V が a に依存しないことがわかったので、以下では a = 1 とし、円板を複素平面 z = rei 
上の単位円板 z
1 とみなし、V を zA = ei A 、zB = ei B 、zC = ei C 、zD = ei D で表す

j j

j j

f

 g

1 を等角写像によって上半平面 w; Im w
0
ことを考える。そのために、単位円板 zに写し、その写像で、zA 、zB 、zC 、zD はそれぞれ wA 、wB 、wC 、wD に写るとする。

I

D

A

V

等角写像
C
A

B

I z 平面

B

C

D

w平面

(3) 知りたい電位差 V を求めるためには、円板と厚みが同じで同じ材質からなる上半平f g

面 w; Im w 0 に、４つの電極Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄが wA 、wB 、wC 、wD のところに付いているとして、円板のときと同様の設定で、電極Ｃと電極Ｄの間の電位差を求めればよい。これはなぜか説明せよ。

(4) 上半平面でもし電極Ｂがなくて、電極Ａから流れ込む電流が無限遠まで流れていくと仮定すると、座標が w である点における電位A (w ) は、
A (w ) =0I d 1 log jw 0 wA j + const:と書けることを示せ。同様に、もし電極Ａがなくて、無限遠から流れてきた電流が電極Ｂから出て行くと仮定したときの wにおける電位B (w) はどう書けるか。
(5) 今考えたい場合、すなわち電極Ａから流れ込んだ電流が電極Ｂから出て行く場合の w

における電位は、上のA (w) とB (w) の和で与えられる。これはなぜか。このことか
らVはV =0I d 1 log j ((wwC 00 wwA)()(wwD 00 wwB )) j
C

B

D

A

と書けることを示せ。
最後に、上で得られた結果を zA 、zB 、zC 、zD で書きなおすことを考える。一般に、複素平面上の４つの点の座標を z1 、z2 、z3 、z4 としたとき、次の量をその４点の非調和比と呼んでいる。
u=(6) 非調和比は分数一次変換 zを示せ。

0 z1)(z4 0 z2 )(z3 0 z2 )(z4 0 z1 )(z3

7! azcz++db (ad 0 bc 6= 0) をほどこしても不変に保たれること(7) 単位円から上半平面への等角写像の一例を示し、それが分数一次変換であることを確かめよ。
(8) これらのことを使って V を zA 、zB 、zC 、zD で表せ。

III-3 (選択) (行列式の計算) (100 点)(1) N 次複素正方行列 L が N 個の固有値 `1 ; `2 ;exp L の固有値は、exp `1 ; exp `2 ;1 1 1 ; ` を持つとき、行列 L の指数写像
N

1 1 1 ; exp ` と書けることを示し、さらに 次の公式
N(A) が成り立つことを証明せよ。
det(exp L) = exp(TrL)(A)

ここで、det(exp L) は行列 exp L の行列式を表し、TrL は行列 L の跡（トレース）で

X
N

TrL =

k

Lkk

=1

によって定義される。
（行列 L は対角化可能として証明してよい。）(2) 上記公式 (A) を利用して行列式
det(I0 gM )(B)

を TrM k ; (k = 1; 2; 3; 4) などを用いて展開し、g の 4 次の項まで計算せよ。ただし、I は N 次単位行列、M は N 次複素正方行列 (N > 4) 、g は定数で、gM のノルム
gM
は
N
X
1=2

k

k

k gM k= jgj

i;j

=1

jM 2 jij<1(C)

なるものとする。
(3) M が 3 次の複素正方行列であるとき
1
6

3(TrM )

0 12 (TrM )(TrM 2) + 13 TrM 3 = det M(D)が成り立つことを証明せよ。
(4) 一般に、行列 M が N 次の正方行列、I が N 次の単位行列であるとき、行列式 (B)を g で展開すると g N の項の係数は ((5) I01) det M となることを証明せよ。
N

0 gM が 4 次の正方行列で、M の成分がMi4 =0M 4 = E ; M =  B
i

i

0

jk

ij k

i

(i; j; k = 1;

1 1 1 ; 3)

(E)で与えられるとき、行列式 det(I gM ) を計算せよ。ここでij k の値は、添字 ijk が123 の偶置換ならば 1 、奇置換のときは 1 なるものとする。

0

III-4 (選択）(ー次元スピン系) (100 点)
量子スピン (大きさ 1) が 1 次元的に並んだ系を考える。そのハミルトニアンを次式で与
える。

N
N
X
X
H J SixSi+1 x Si y Si+1 y Si z Si+1 z D Si2z
=

i=1

(

+

+

)+

(A)

i=1

第 1 項はスピン間の結合のエネルギーであり、隣りあうスピンどうしだけが相互作用するとした。また、第 2 項のため、各サイト i で Siz = 1 の状態と Si z = 0 の状態のエネJ であると仮定する。
ルギーが異なっている。以下では Dj jj j

j

6i

j

i

D > 0 の場合:
D  jJ j では（ A) の第 1 項が近似的に無視でき、ハミルトニアンは次式のようになる。

H0 = DXN Si2z(B)i=1(1) (B) 式で与えられるスピン系の分配関数 Z と自由エネルギー F を求めよ。さらにエントロピーと比熱を計算し、それらの温度変化の概略を図で示せ。
(2) つぎにこの系に磁場をかけその磁気的性質を調べる。
a) z 方向に磁場 H をかけたときのハミルトニアンは

H00 = DXN Si2z 0 H XN Si z
i=1

(C)

i=1

b) x 方向に磁場 H をかけたときのハミルトニアンは

H00 = DXN Si2z 0 H XN Si x
i=1

(D)

i=1

0

となる。ここで  はスピンが持つ磁気モーメントである。帯磁率  = d2 F=dH 2 をa) と b) のそれぞれの場合に計算せよ。また、その温度変化の概略をひとつの図に
描け。
ヒント：

q

S 6 = Sx 6 iSy についてつぎの関係式が成立する。

q

S +jSz i = S (S + 1) 0 Sz (Sz + 1)jSz + 1i, S 0jSz i = S (S + 1) 0 Sz (Sz 0 1)jSz 0 1i

D < 0 の場合:
(３) 温度 T に対して kB T

 jDj の条件が成立する低温において (A ）のミルトニアンは次式のようなイジングスピンのハミルトニアンで近似できることを示せ。ここで kBはボルツマン定数である。

HIsing = J

XN Si zSi+1 z
i=1

(E)

 1 のときには Z = (2 cosh(J=kB T ))N と求められている。この結果を用いてエントロピーの温度変化を計算せよ。また jJ j 
kB T  jD j の温度領域ではエントロピーが NkB ln2 になることを示し、その物理的(４) 1 次元のイジングスピンの分配関数は N

解釈を述べよ。
(５) kB T jDj のときには (A) のハミルトニアンにもどって考える必要がある。この高温の極限ではエントロピーが N kB ln3 になる。
（４）で議論したイジング模型で近似できるときの高温の極限と比較してその違いの理由を説明せよ。

III-5 (選択)(電送線) (100 点)
平行２線の電送線と同軸ケーブルをつないでパルス信号を送りたい。これに関して以下の問いに答えよ。光速 c は 3 108 m/sec であり、真空の透磁率0と誘電率0 の間には0 0 = 1=c2 、0 = 41007 [H/m] の関係がある。

22(1) 平行２線の電送線の場合、媒質は空気と考えられる。導線の半径を d 、相対距離を Dとしたとき 特性インピーダンスと信号の伝搬速度を求めよ。いま、d ＝１ mm 、D ＝7.39mm である。特性インピーダンスと伝搬速度を数値的に求めよ。なお、単位長さあたりのインダクタンスとキャパシタンスは平行 2 線の場合それぞれL=と近似できる。必要ならば e20loge (Dd) 、C =

 7:39 を用いよ。

0 

D

loge ( d )(2) 同軸ケーブルの場合媒質があり、比透磁率 、比誘電率をもつ。芯線の半径を r 、外皮の半径を R としたとき特性インピーダンスと信号の伝搬速度を求めよ。いま、r ＝
1mm 、R ＝ 7.39mm であり、媒質の比透磁率は 1 、比誘電率は 4 である。特性イン
ピーダンスと伝搬速度を数値的に求めよ。なお、単位長さあたりのインダクタンスとキャパシタンスは同軸ケーブルの場合それぞれ
L=

0
2

loge (Rr) 、C =

20 

R

loge ( r )で近似できる。
(3) 直接ケーブルをつなぐと接続部で反射がおこる。図で示されたように出力インピーダ

ンスが平行 2 線の電送線の特性インピーダンスに等しいパルス発生装置をつなぎ、幅50nsec 、波高１ V の矩形波を発生した。30m 先で無限に長い同軸ケーブルに接続してある。接続部での反射係数を数値的にもとめ、パルス発生装置出力につないだオシ
ロスコープで観測される波形を図示せよ。図には縦軸と横軸に数値および単位を記す
こと。時間軸の原点はパルス発生装置から出た矩形波の立ち上がる時間にとること。
(4) 反射は接続部にトランスを挿入することによって防ぐことができる。トランスの巻き線比 n1 =n2を数値的に求めよ。ここで n1は平行 2 線側の巻き数であり、n2 は同軸側の巻き数である。
(5) 平行２線と同軸ケーブルのどちら側から信号を送っても反射が起らないように抵抗だけを使って接続したい。抵抗のみの回路を設計せよ。抵抗値には数値を与えること。

III-6 (選択) ( 線) ( 100 点)
波長を自由に変えられるγ線光源として以下のようなものを考えよう。
エネルギー Ee 、質量 me (me c2 = 0:51 MeV) の電子が蓄積リングの中を周回している。
これにレーザーからの光子 (エネルギー E! ) を正面衝突させ、電子の進行方向から角度
 の方向に弾性散乱させる。レーザー光は電子から運動エネルギーをもらい波長が短くなる。
(1) このとき散乱された光子のエネルギーを  の関数として求めよ。

すなわち散乱された光のエネルギーを変えることは電子のエネルギー、レーザー光の波長、あるいは散乱角を変えることで実現できる。
(2) (1 ）で求めた式では散乱される光子のエネルギーは = 0 で最大になる。レーザー光の波長を 500 nm とし、周回している電子の全エネルギー Ee を 260 MeV にしたとき、散乱される光の最大のエネルギーは約何 MeV になるか？
NaI(T`) シンチレーション検出器及び光電子増倍管を用いて 1 MeV の単色ガンマー線のエネルギースペクトルを測定したい。
(3) シンチレーション検出器からの出力信号は通常増幅器を通して増幅、整形されて波高分析器にいれられる。増幅器には一定の増幅度を得るために、通常演算増幅回路が用いられている。以下の (a) と (b) のどちらが正しい回路か？ そしてその場合の増幅回
路の増幅度はいくらか？ 図で R1; R2 は抵抗を示し、演算増幅器の入力端子の＋（ ）の意味は出力に対して入力が同（逆）位相であることを示す。

0(4) 波高分析器ではγ線と NaI(T`) の相互作用を反映したエネルギースペクトルが得られる。得られたガンマー線のエネルギースペクトルはどのようになるか図示せよ。エネルギースペクトルのどの部分に主にどの相互作用が効いているかを明示すること。

(5) エネルギースペクトル中に見られる全エネルギーピークの幅について考えよう。1MeVの 線はその全エネルギーが NaI(T`) 結晶中で吸収されたとすると、平均約 25 eVのエネルギー損失に対して１つのシンチレーション光の割合で発光する。このシンチレーション光の数が電気信号の波高に対応している。NaI(T`) 結晶を図に示すように、光電子増倍管 ( Photomultiplier ) に接続したとしよう。シンチレーション光の数
は光電子増倍管で電気信号になるまでに各種の効率のために減少していく。それゆえ電気信号の波高はゆらぐことになる。この揺らぎが全エネルギーピークの幅に対応している。考慮すべき各種の効率としてはどのようなものが考えられるか？ この幅は全エネルギーピークの波高の約何パーセントになるか？

III-7 (選択) (磁化率測定) ( 100 点)
ピエール・キュリーは約 100 年前に、さまざまな物質の磁化率を広い温度範囲で測定し、常磁性体でのキュリーの法則を見つけた。彼の用いた方法は、磁場勾配の中では、磁性体に力が作用することを利用したもので、その力による測定試料の僅かな変位を測定し、磁化率を求めるものである。この実験に関する以下の問に答えよ。
同一の電磁石 2 台を図のように配置する。各電磁石の N と S 極を向かい合うようにコイルに電流を流し励磁すると、原理的には y 軸上の y方向の磁場成分 H y を 0 にすることができる。z 方向（紙面に垂直）の磁場成分は、磁極の中心では無視でき、さらに x = 0 の近傍での磁場勾配、@H x =@x および@H x =@z も無視できるとする。

図の説明
測定系を真上から見た図。同一の電磁石２台が図の y 軸からそれぞれ角度 だ
け傾いている。(ただし電磁石の中心軸
は xy 平面内にあるものとする) 。コイルに流す電流の向きを図の矢印の方向で示してある。測定試料は y 軸上に設置する。
(1)

H x と@H x =@y の y 依存性の定性的なグラフを描け。縦軸は任意のスケールでよい。また図の電磁石の傾き角 を小さくするとこれらのグラフはどのように変化するか。２つの電磁石の磁極の中心間隔を固定した場合について、定性的に述べよ。

(2) 磁場と常磁性体の相互作用エネルギーを考えて、測定試料に働く力の大きさを磁場の強さ、磁場勾配および単位質量当たりの磁化率と試料の質量 m であらわせ。

(3) 実際に磁化率を測定する場合、有限の大きさの試料は、どの場所に配置するのがよいか、またその理由を述べよ。

(4) 高温での磁化率を測定するために、キュリーは下のような電気炉を用いた。金属線（直径 0.25mm ）をヒーターとし、セラミックスの円筒の外周に巻いていく。100V の直流電圧を加える場合に、必要なヒーター線の長さを、金属の電気抵抗率の常識的な値を用いて計算せよ。必要とする発熱量は 1500W である。ただし抵抗率の温度変化を考える必要はない。

(5) キュリーはヒーター線を巻く場合に、必要な長さを二つ折りにし、その二重線を互いに接触しないようにして外周に巻いた。その理由としてどんなことが考えられるか。
また円筒の内部に置かれた有限の大きさの試料の垂直方向の温度不均一を小さくするために、彼はヒーター線の巻き方を工夫した。どんな工夫をしたと考えられるか、その理由と共に答えよ。
(6) 試料の温度を測定するのに、熱電対が利用された。熱電対の原理とそれを用いて温度を測定する場合の測定系（必要な装置、接続方法など）を書け。またよく利用される
熱電対の具体例を一つあげよ。

図の説明
装置を横から見た断面図を示している。
測定試料はガラスのアンプルの中に入れてある。耐熱磁器パイプの外側にヒー
ター線が巻かれ、外側は断熱材で覆ってある。試料の温度は熱電対で測定する。
電気炉全体が２つの電磁石の磁極間に設置される。試料は可動棒に取り付けられ、磁場による微小変位を先端のね
じればかり (省略) に伝えて測定する。