授業予定（変更されたシラバス）①力学１の確認と力学２の概要②仕事③運動エネルギー④位置エネルギー （小）⑤力学的エネルギーとその保存則⑨単振動３：問題演習 （小）⑩円運動と慣性力１：基礎事項 （小）⑪円運動と慣性力２：問題演習 （小）⑫力のモーメント１：実験的理解と定義 （小）（小）⑬力のモーメント２：問題演習１ （小）⑭問題演習２⑥エネルギーの総合演習 （小）⑦単振動１：定性的な理解と三角関数（＋確認試験２）（＋確認試験１）⑮まとめ⑧単振動２：運動方程式を解く⑯期末試験

力学２≪学習到達目標≫
１）仕事の定義を説明できる。
２）力学的エネルギー保存則を説明できる。
３）単振動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。
４）円運動と，慣性力としての遠心力を説明できる。
５）力のモーメントの定義を説明できる。

（テキスト第18章p.77 ）(7) 三角関数の微分
112223231122

三角関数の微分：，（テキスト第18章p.77 ）(7) 三角関数の微分
112223231122三角関数の微分：，(8) 演習3：問題演習20 の問題20-9に取り組む。
(1)(2)
導関数と 微分係数

三角関数の微分：，（テキスト p.86）

（テキスト p.86）(8) 演習3：問題20-9
(1)

(2)

，

(9) 演習4：次の関数の微分を求めよ。

（テキスト p.84,86）(1)(2)(3)と置く。と置く。と置く。
（ , , は定数）

合成関数の微分の公式：
合成関数：
例：・・・

(9) 演習4：次の関数の微分を求めよ。

（テキスト p.84,86）(1)と置く。

(2)と置く。

(3)と置く。

（テキスト p.43）(10) 演習5：上の演習の関数，の2階微分を計算して，次の重要な性質を導け。（ , , は定数）。

（ 7.10 ）(10) 演習5：2階微分（テキスト p.43）と置く。と置く。

（テキスト p.43）(10) 演習5：上の演習の関数，の2階微分を計算して，次の重要な性質を導け。（ , , は定数）。
三角関数 ,または と，1次関数に関して，その関数を２回微分すると元の関数× （）になる。の合成関数

（テキスト p.43）(11) 次回の単振動を理解する上で必要な定理： 微分の性質(7.10) から次の定理が得られる。
定理：変数 の未知関数が，次の微分を含む関係式（微分方程式）を満たすことが分かったとする。
ただし， は正の定数（
この場合，三角関数の性質（7.10）より，関数ず次の三角関数，）

は必（ , は定数）で表すことができる。[定理終わり]
項目（10）からとして考えよ第8回目 単振動２（運動方程式を解く）
今日の授業の目的
前回から始まり３回分の授業で，ニュートン力学で実際の運動を理解する具体例として，単振動を扱っている。前回には前提知識として必要な三角関数の基礎事項を学んだ。そこで今回の授業の目的は，力学の基本パターン（第6 章の手順）に従って運動方程式を解いて，物体の単振動を理解することである。

（テキスト第10章p.43 ）(1) 状況設定：ばねに結ばれた物体の運動＜テキスト第9章p.43の上図と同様な図を描け＞
0
重力と垂直抗力はつり合っている。
方向の運動には影響しない。

O◍ 初期条件：時刻[s] で，[m/s] ，（時刻[m] （8.1）[s]はゼロにとることも多い。）

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(2) 力学の基本パターン（第6章p.25の手順）の実行：
物体に働く力（p.25 の①，②）：.

運動方程式（p.25 の③）：

O.

ddd

加速度d

（p.25 の④）：より，.

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(2) 力学の基本パターン（第6章p.25の手順）の実行：

O

速度と位置（p.25 の⑤，⑥）：
積分計算では求まらない。ここでは，前回プリント（11）のの解は定理を用いて，.
ただし，かつ ， は積分定数

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(2) 力学の基本パターン（第6章p.25の手順）の実行：

定数 ， の決定：

Oと置く。

.

ちなみに，もう一回微分すれば，三角関数の2階微分にdを導ける。
関する重要な性質d（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(2) 力学の基本パターン（第6章p.25の手順）の実行：

よって，初期条件（8.1）より，，にOを代入して初期条件.

.

この連立方程式を解けば， ， が得られる。

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(3) 演習1： （（）と の連立方程式）と の連立方程式
Oを解け。

1 Pであるので，両辺を で割ると，・・・①・・・②①の解を単位円を作図して求める。
∴②に代入して，10.3
11 P’（どちらを選んでも等価な解になる）⇒∴

（テキスト第10章p.43 ）(4) 単振動の特徴：
かつ ， を積分定数として[m]である。
「想像上の円運動」
半径 ，回転角の 座標が単振動に対応
単振動では[m] ： 振幅[rad] ： 位相O（テキスト第10章p.43 ）(4) 単振動の特徴：
単振動[m]「想像上の円運動」
半径 ，回転角：角速度
単振動では[rad/s]：角振動数O（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(4) 単振動の特徴：
単振動[m]「想像上の円運動」：１秒間あたりの回転数：１回転に必要な時間
単振動では[Hz]：振動数[Hz]=[1/s][s]：周期O（テキスト第10章p.43 ）(4) 単振動の特徴：
単振動の基本的な関係式：「想像上の円運動」のO
１周＝ [rad]１秒あたりの回転角 [rad/s]に１周する時間 [s]を掛けると，１周分の回転角に等しい。
１秒あたりの振動回数である振動数 は，「想像上の円運動」の１秒あたりの回転角 [rad/s]が何周分に相当するか（ の何倍か），に等しい。
または

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(5) 演習2：[m]
O

この単振動の，位相周期 を求めよ。

，振幅，角振動数 ，振動数 ，さらに時間があれば，この単振動の速度を求めよ。と加速度

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(5) 演習2：
[m]
O

位相
振幅
角振動数
周期は （）の中が振動数[rad]，，[rad/s]，変化する条件

から，，周期
速度と加速度については省略。

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(6) 演習3：O

この単振動の - グラフを描け。（振幅と周期が分かると描きやすい。）

（テキスト第10章p.43,第6章p.25 ）(6) 演習3：

振幅

O，

周期

332

第8回授業 レポート課題
問１ 次の三角関数の1階微分と2階微分を求めよ。
(1)

3 sin 2

(2)

5 cos 3問２ 水平な 軸に沿ったばね（ばね定数10 [N/m]）に物体（質量5.0 [kg]）が結ばれている。ばねの自然長の位置で0，バネが伸びたとき0，縮んだとき0とする。物体の運動は常に 軸に沿った方向なので，ベクトルは全て 成分だけ考えればよい。
時刻 [s]での位置（ベクトルの 成分）を，速度（の 成分）をとする。
初期条件は，時刻0 [s]で 位置 00 [m] , 速度 08.0 [m/s]とする。摩擦力，空気抵抗は無視できる。
(a) 時刻 [s]で物体に作用する力（の 成分）(b) 時刻 [s]での物体の加速度（の 成分）をで表せ。
をで表せ。

第8回授業 レポート課題(c)sin[m] （ ， ， は定数）として，下の三角関数の2階微分の重要な性質を導け。
ddsinsinすなわち
dd(d) 問(b)の結果と問(c)三角関数の2階微分の性質を比べると，は三角関数sinを使って次のようになる：
sin[m] （ ， は積分定数）d-1) 上の式のカッコの中の値を計算し，解答用紙のカッコに代入せよ。
d-2) ， を含んだままで，物体の速度を単位を付けて求めよ。 （計算は問(c)を導く過程よりでもよい。）(e) 問(d) と初期条件より，次の連立方程式が得られる：
sincose-1) 上の連立方程式のカッコの中の値を求め，解答用紙のカッコに代入せよ。

第8回授業 レポート課題e-2) 連立方程式を解いて， ， の値を求めよ。
前回学んだ三角関数の定義で示したような半径1 の円周上の点を適切に作図して，その図を使って三角関数を考えること。

e-3) 以上のように求められたを単位を付けて書け。
(f) 物体の振動の周期 を求めよ。
(g) 物体の位置の - グラフを描け。ただし，グラフの特徴的な点（ , 軸を通る点，グラフの山や谷の位置）も分かるよう作図せよ。
注意1：計算式だけでなく，説明文（必要なら適切な図も）を加えて答案を作成すること。
答案作成力も見る。
注意2：最初はこの問題がよく解けなかったとしても構わない。しかし，次の確認テストまでに何度も復習し，適切な答案を作れるようにすることを強く勧める。

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提出〆切：答案用紙を，今週の金曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・次週の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること