平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

R = T 定理の仕組みとその応用
安田 正大

この講座では, Fermat 予想の証明のために Wiles, Taylor-Wiles が確立した R = T 定理に関する最近の発展と応用についてお話します.
この原稿は数学の専門家でない方を対象にして書かれており, 内容の正確さよりも, 大体の感じをつかん
でもらうことを目標としています. 読者に難解な印象を与えないようにするために, 専門家向けの文章では許されないようなあいまいな表現の仕方をあえてしている部分があります.

1. Fermat 予想
まず Fermat 予想とは何か, ということからお話したいと思います. Fermat はフランス人で, 17 世紀, 今から約 400 年前に生まれた人です. そのころ日本は江戸時代です. 大体同じ時代の人に Descartes (デカルト) とか Corneille (コルネイユ), Milton (ミルトン), Velázquez (ベラスケス), Rembrandt van Rijn (レンブラント), 日本では狩野探幽, 西山宗因, 由井正雪がいます. Fermat 予想とは, Fermat が証明を見つけたと述べた主張で, その証明を Fermat は書かず, 1995 年に Wiles が証明するまで誰も正しく証明することができなかったので Fermat 予想と呼ばれています. 同じ主張を Fermat の大定理とか Fermat の最終定理とか呼ぶ人もいます. ご存知の方も多いかとは思いますが, Fermat 予想というのは次の主張です:
定理 1.1. (Fermat 予想, Wiles の定理) n を 3 以上の整数とするとき, 等式(1.1)

an + bn = cnを満たす 3 つの 0 でない整数は存在しない.
ここで整数とは 1, 2, 3, ... といった, いわゆる数のことをいいます. あと 0 やマイナスの −1, −2,... な√ども整数に含めます. 1/2 や円周率 π, −1 などは整数ではありません. 整数の全体を集合とみなし, 普通Z という記号で書きます. 整数のほかに重要な数の概念として有理数, 実数, 複素数があります. それぞれの全体を通常 Q, R, C という記号で書きます. 有理数とは, 整数を 0 でない整数で割った形の数のことです. 実数, 複素数の正確な定義は少し難しいのでこの講座では与えませんが, 実数の全体 R を図に表すといわゆる数直線に, 複素数の全体 C を図に表すといわゆる複素平面となります.
n = 4 の場合の定理 1.1 の証明は Fermat 自身が知っていたようです. n = 3 の場合は Fermat よりも100 ほど後に生まれた Euler が証明しました. n が, n よりも小さい 3 以上の整数 n0 で割り切れるとき, nに対する定理は n0 に対する定理から従いますから, もともと(*) n は 3 と n − 1 の間にあるどんな整数でも割り切れないという条件を満たす n についてだけ定理を証明すれば十分です. さて重要な整数に素数というものがあります. 2 以上の整数 n であって 2 と n − 1 の間にあるどんな整数でも割り切れないものを素数とよびます. 2 が一番小さい素数で, 素数を小さい順に書いてゆくと 2, 3, 5, 7, 11, ... という具合になります. 素数
は無限にたくさんあります. この素数という概念を使うと, 上の条件 (*) は n = 4 または n は 3 以上の素数, と書くことができます. n = 4 のときは予想は証明されていますから, n が 3 以上の素数の場合に定理1.1 を証明すれば十分です. 素数のことを普通 p や ` といった記号で表します. 以下では ` とかけば素数を表すものとし, n = ` ≥ 3 に対する定理 1.1 を定理 1.1` で表します. n = 3 の場合の予想は Euler が証明しました. 今年生誕 300 年です. 19 世紀には Kummer という人が現れ, かなり多くの ` に対して定理 1.1`
を証明しました.
1

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Kummer の証明は, 今の言葉でいうと円分体の整数論というものを用いる方法です. その後も Fermat 予
想については Kummer の方法の延長線上にある方法で研究するのが主流だったのですが, 1980 年代に入って, Frey [Fr] がまったく違うアプローチを提唱しました. それは Hellegauarch が 1960 年代に思いつき, 現
在 Frey 曲線とよばれているものを用いるやり方です. Frey 曲線とは, 定理 1.1` の反例 a` + b` = c` が与えられるごとに定義されるもので,(1.2)

y 2 = x(x − a` )(x + b` )という式で与えられます. ここで x, y は変数です. これは 2 個の変数 x, y に対する 1 個の関係式で与えられるので, 2 ひく 1 で 1 次元的な対象, 正確にいうと 1 次元の代数多様体というものになります. 1 次元の代数多様体のことを代数曲線というのが普通なので Frey 曲線といういい方をします.
式 (1.2) で定義される代数曲線に無限遠点 ∞ を付け加えたものを Ea,b とおきます. 正確にはこの Ea,bのことを Frey 曲線とよびます. Ea,b は楕円曲線と呼ばれる, 特別なタイプの代数曲線となります. 式 (1.2)の係数がすべて整数, とくに有理数なので, Frey 曲線は Q 上の楕円曲線となります.
ここで考えている反例 a` + b` = c` において, 条件 a, b, c の最大公約数が 1 であり, さらに a + 1 が 4の倍数で b が偶数であると仮定しても一般性を失わないのでそう仮定することにします. このとき楕円曲
線 Ea,b が存在するとすると, 非常におかしなことが起こるということに Frey は気づきました. 一般に有理数体上の楕円曲線 E が与えられると, E の極小判別式と呼ばれる整数 ∆E と E の導手と呼ばれる正の整数 NE とが定まります. E の導手のほうが E の極小判別式の絶対値よりも小さいのですが, E = Ea,b に関しては NE が ∆E と比べて極端に小さくなります. ところが Szpiro の予想1という予想があって, E の導手が E の極小判別式と比べて極端に小さくなることはないと思われているので Ea,b が存在するとするとおかしなことになります.
Fermat 予想は, なぜ式 (1.1) に注目しているのかいまひとつはっきりせず, そういう意味で最近の数学の立場からはそれほど重要な問題であると思われていないのですが, Szpiro 予想に出てくる ∆E と NE とはともに重要な量であり, そのためこの 2 つの量を比較する Szpiro 予想は重要な問題だと思われます. Eの判別式というのは E を y 2 = f (x) に無限遠点を付け加えたものとして記述したとき, f (x) = 0 の根の差
積の 16 倍のことをいいます. 楕円曲線の表示は色々考えられ, 表示によって判別式の値は違います. 判別式の値の絶対値が最小になるような表示に対する判別式を極小判別式といいます. 極小判別式を定義する際には, y 2 = f (x) の形の表示だけではなく, y 2 + a1 xy + a3 y = x3 + a2 x2 + a4 x + a6 (ここで a1 , a2 , a3 , a4 , a6
は整数, 2) という形の表示も本当は考えなくてはいけません. 導手を説明することは極小判別式を説明する
ことよりも多少難しいのですが, 後に出てくる谷山-志村予想や Wiles の証明を理解するために導手をある程度理解しておくことは重要です. 導手というのは, 一般に (十分良い条件を満たす) Galois 表現というものに対して定義される値です. Galois 表現については後ほど説明します. 楕円曲線が与えられるとそれに付随して Galois 表現ができるので, その Galois 表現の導手のことを楕円曲線の導手とよびます. 導手がなぜ重要かというと, 楕円曲線の L 関数というものがあるのですが, それの解析的性質に導手が深く関わるということが谷山-志村予想の帰結としてわかるからです.
Fermat 予想の反例と Frey 曲線とを結びつける発想を一般化して, 0 でない 3 整数 a, b, c に関する等式
a + b = c と, 楕円曲線 y 2 = x(x − a)(x + b) とを結びつけて考えることもできます, このとき Szpiro 予想
が何を意味するのかを考えることによって, Masser と Oesterlé は abc 予想と呼ばれる次の予想に到達しま
した3:1予想の主張は以下の通りです: 任意の実数 ε > 0 に対し, 実数 C(ε) > 0 が存在して, Q 上の任意の楕円曲線 E に対し
6+ε∆E ≤ C(ε)NEが成り立つ.

2a5 が出てこないで a6 が出てくるのですがこれは誤植ではありません

3予想 1.2 の主張中の N 1+² を N 6/5+² に弱めたものが, y 2 = x(x − a)(x + b) の形に表せる楕円曲線 E に制限した Szpiro 予

想と同値になります.
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予想 1.2. 任意の実数 ε > 0 に対して実数 C(²) > 0 が存在して次を満たす: 正の整数 a, b, c が a + b = cを満たし, さらに a と b の最大公約数が 1 であるとき, a, b, c のいずれかを割り切る素数の積を N とす
ると, 不等式(1.3)

c < C(²)N 1+²が成立する.
この予想が正しいとすると Fermat 予想が十分大きな n について正しいことがわかります. この abc 予
想には, 不等式 (1.3) にいくつかのバリエーションがあり, もっと精密な評価を与えるものもあります. この研究所の望月新一さんもこの予想に取り組んでいます.
Fery 曲線と関連させることにより, Fermat 予想は上述の Szpiro 予想だけでなく, 谷山-志村予想とよばれる Q 上の楕円曲線に関する予想と結びつきます. Frey 曲線を考察することにより, 谷山-志村予想から
Fermat 予想が従うのではないかという Frey のアイデアを整備した Serre [Se2] は, 現在では Serre 予想とよばれる予想を定式化しました. その後 Ribet [R] が Serre 予想の一部を解決することによって, 実際にFermat 予想を谷山-志村予想に帰着させました. この谷山-志村予想というのは, Langlands 予想, Langlands
対応, あるいは Langlands 哲学とよばれるより一般的な予想の特別な場合とみなせます. Langlands 予想というのは, たいへん綺麗な形をしている予想で, 広範な応用があり, なおかつ正しいと思われる証拠がたくさんあります.

2. 体, 群, Galois 理論
Frey 曲線を使って Fermat 予想を谷山-志村予想に帰着させるアイデアを説明するために, 代数学の基本的な概念である, 体, 群, Galois 理論について説明する必要があります.
体と群は, 適当な付加構造をもつ集合の呼称です. 体と群について述べる前に, 集合とはどんな感じのものであるかを話します. S を集合とすると, S は S の元と呼ばれるもので成り立っています. x が S の元であるということを x ∈ S で表します. このとき, x は S に属する, ともいいます. 元 x ∈ S と元 y ∈ Sとが等しいことを x = y と書き, 異なることを x 6= y と書きます. 集合 T が 集合 S の部分集合であることを T ⊂ S または S ⊃ T という記号で表します. T ⊂ S のとき, S に属し T に属さない元の全体を S \ T
で表します.
有限個の元からなる集合を有限集合といいます. S を有限集合とするとき, S の元の個数を ]S と書きます. ]S を |S| と書く人もいます. S, S 0 を集合とすると, S と S 0 との直積という集合 S × S 0 が定まります.
定義は S × S 0 = {(x, x0 ) | x ∈ S, x0 ∈ S 0 } です.
S, S 0 を集合とします. S の各元ごとに S 0 の元を割り当てる規則のことを S から S 0 への写像とよびます. S から S 0 への写像 f のことを f : S → S 0 と書きます. f によって x ∈ S に x0 ∈ S 0 が割り当てられているとき, f は x を x0 に送る (またはうつす), とか f は x に x0 を対応させる, などといいます. このとき x 7→ x0 とも書きます. また x0 のことを x の f による像または f の x における値とよび f (x) と書きます. さらに集合 S 00 と写像 g : S 0 → S 00 が与えられると, x ∈ S を g(f (x)) ∈ S 00 に送ることにより S から S 00 への写像ができますが, この写像を f と g との合成とよび g ◦ f : S → S 00 という記号で表します.
f : S → S 0 を写像とします. 部分集合 T ⊂ S に対し f (T ) = {f (x) | x ∈ T } とおきます. これは S 0 の部分集合となります. f (T ) のことを f による T の像と呼びます. T = S のとき, f (S) のことを f の像とよび, Im f と書きます. x0 ∈ S 0 のとき, S の部分集合 {x ∈ S | f (x) = x0 } を f による x の逆像とよび, f −1 (x0 ) で表します. T 0 ⊂ S 0 のとき, S の部分集合 {x ∈ S | f (x) ∈ T 0 } を f による T の逆像とよび,
f −1 (T 0 ) で表します. 写像 f : S → S 0 が単射であるとは, f が (任意の) 異なる S の 2 元を異なる S 0 の 2
元に送ることをいいます. 写像 f : S → S 0 が全射であるとは, Im f = S 0 を満たすことをいいます.
足し算, 引き算, 掛け算, 0 でない割り算が定義されている集合のことを体とよびます. 例えば Q, R, C
は通常の四則演算で体となります. Z は割り算について閉じていないので体にはなりません. 他の体の例と3

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して有限体というものがあります. 有限体とは有限個の元からなる体のことをいいます. 有限体の元の個数
はある素数 p の巾になっています. この p をその有限体の標数とよびます.
割り算を除いた足し算, 引き算, 掛け算の 3 つが定義されている集合のことを可換環とよびます. Z, Q,
R, C はすべて可換環となります. 可換環の可換というのは掛け算が交換法則 xy = yx を満たすという意味
です. 足し算, 引き算, 掛け算の 3 つが与えられているが, 掛け算が交換法則を満たさないようなものを考えることもあります. このようなものを単に環とよびます. 例えば 2 × 2 行列の集合 M2 (Z), M2 (R) なとは可換環でない環となります.
群とは 2 項演算がひとつ定義されている集合 G であって, 2 項演算 G × G → G を (g1 , g2 ) 7→ g1 g2 と書く
ことにしますと, 3 条件 (1) 結合法則: (g1 g2 )g3 = g1 (g2 g3 ), (2) 単位元の存在: 1 ∈ G が存在して g1 = 1g = g
が任意の g ∈ G に対して成り立つ, (3) 逆元の存在: 任意の g ∈ G に対して gh = hg = 1 を満たす h ∈ G が存在する, を満たすもののことをいいます. 群の例をあげます. X を集合とすると, 全単射 X → X の全体には, 写像の合成を演算とすることによって群の構造が入ります. この群を Aut(X) と書きます. また, R を環としますと, R× = {x ∈ R | xy = 1, ∃y ∈ R} は掛け算を演算とすることによって群となります. 群 (Mn (R))×のことを GLn (R) と書きますÃ . R! が可換環のとき, 行列式 det : Mn (R) → R というものが定義されます.
a b
例えば n = 2 のとき det(
) = ad − bc です. このとき GLn (R) = {x ∈ Mn (R) | det(x) ∈ R× } が
c d
成り立っています. 群の他の例として基本群というものもあります. 一般に位相空間 X と点 x ∈ X が与えられると基本群 π1 (X, x) という群が定義できます. これは x を基点とするループ (連続写像 γ : [0, 1] → X
あって γ(0) = γ(1) = x を満たすもの) の適当な同値類の集合に適当な方法で群演算を入れたものです.
群 G の集合 X への作用とは, 群の演算を保つ写像 G → Aut(X) のことをいいます. 群 G が集合 X に作用しているとき, X の空でない部分集合であって, G の作用で閉じている極小のものを X の G 軌道とよびます. X の G 軌道の全体を G\X で表します. 群 G の部分群というのは, 群の演算で閉じている部分集
合 H ⊂ G であって, その演算で H が群になるようなもののことをいいます. 同様に体 K の部分体, 環 Rの部分環という概念が定義されます. 体 K 0 が体 K の部分体であるとき, K は K 0 の拡大体であるといいます. H を群 G の部分群とすると, 群 H は G を集合とみなしたものに h 7→ (g 7→ hg) によって作用します. 集合 H\G が有限集合のとき, H を G の指数有限の部分群であるといい, H\G の元の個数を [G : H]で表します. G, G0 を 2 つの群とするとき, 集合としての直積 G × G0 には自然に群の構造が定まります. この群 G × G0 を群 G と群 G0 との直積と呼びます. 同様に R, R0 を 2 つの環とするとき, 集合としての直積
R × R0 に環の構造が定まります. この環 R × R0 のことを環 R と環 R0 との直積と呼びます. R と R0 がともに可換環のとき, R × R0 も可換環となります. G, G0 を 2 つの群とするとき, 写像 G → G0 であって群の演算を保つものを群の準同型といいます. 同様に R, R0 を 2 つの環とするとき, 写像 R → R0 であって環の演算 (足し算, 引き算, 掛け算) を保つものを環の準同型といいます. f : G → G0 を群の準同型とします. このとき Im f は G の部分群となります. また G0 の単位元の逆像 f −1 (1) のことを f の核とよび, Ker f と書きます. Ker f は G の部分群となります. ある G0 とある f に対して Ker f の形に書ける G の部分群のことを G の正規部分群とよびます. 例えば R を可換環とするとき, 行列式写像 det を GLn (R) ⊂ Mn (R)に制限したもの GLn (R) → R× は群の準同型となります. この準同型の核を SLn (R) とおきます. これは群 GLn (R) の正規部分群となります. H を G の正規部分群とするとき, 集合 H\G には自然に群の構造が入ります. これを G の H による商群とよびます. このとき H\G は通常 G/H という記号で書かれます.
アーベル群とは, 群であって群演算が交換法則を満たすもののことをいいます. たとえば Z, Q, R, C は足し算を演算とするアーベル群となります. このときの単位元は 0 です. アーベル群の群演算は足し算の記
号で書き, 単位元を 0 と書くのが普通です. ただし可換環 R に対する R× のような場合は例外で, 演算を掛け算で書き, 単位元を 1 と書きます. アーベル群の任意の部分群は正規部分群となり, その商群はアーベル群となります. n を整数とすると, n の倍数全体 nZ は Z の部分群となります. このとき商群 Z/nZ には足し算だけでなく掛け算が定義できて, これは可換環となります. p が素数のとき Z/pZ は有限体となりま4平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

す. この体を Fp と書きます. X, X 0 をアーベル群とするとき, 直積 X × X 0 もアーベル群となります. このアーベル群を通常 X と X 0 との直和とよび, X ⊕ X 0 で表します.
体 F であって, 条件 (*): 四則演算を保つ写像 (つまり環準同型) F → C が存在し, かつその個数が有限個, を満たすものを (有限次) 代数体とよびます. 四則演算を保つ写像 F → C の個数を F の Q 上の次数と呼び, [F : Q] で表します. 後の節で体上のベクトル空間という概念が出てきますが, ベクトル空間の用語を用いると, 体 F が代数体であることと, F が Q を含み, かつ F が Q ベクトル空間として有限次元であることとは同値となります. さらに F の Q ベクトル空間としての次元は [F : Q] に等しくなります.
一般に体 K を体 K 0 の拡大体とするとき, K の K 0 ベクトル空間としての次元を [K : K 0 ] で表します.
[K : K 0 ] < ∞ のとき K は K 0 の有限次拡大であるといいます.
C に含まれるすべての代数体の合併を Q と書きます. Q も体となりますがもはや (*) を満たしません.
∼=

全単射 Q −→ Q であって四則演算を保つものの全体を GQ で表し, これを Q の絶対 Galois 群とよびます.
これは写像の合成を演算とすることによって GQ は群となります. Galois の理論という理論があって Q に含まれる代数体 F と GQ の指数有限の部分群 H との間に 1 対 1 対応が存在します. 代数体 F ⊂ Q が部
分群 H ⊂ GQ に対応するとき, H = {σ ∈ GQ | σ(x) = x, ∀x ∈ F }, F = {x ∈ Q | σ(x) = x, ∀σ ∈ H} が成り立っていて, これによって対応が与えられています. 代数体 F ⊂ Q が H ⊂ GQ に対応するとき, [F : Q]
は集合 H\GQ の元の個数に一致します. また H のことを F の絶対 Galois 群と呼び GF で表します. F ,F 0 を Q に含まれる代数体とすると, F 0 が F の拡大体であることと GF 0 が GF の部分群であることとは同値になります. さらに GF 0 が GF の正規部分群であるとき, F 0 は F の Galois 拡大体であるといいます. ここでは代数体についてのみ絶対 Galois 群を定義したのですが, 任意の体 K に対して, K の分離閉包とよばれる体 K をひとつ選ぶことによって, K の絶対 Galois 群という群 GK を導入でき, K の拡大体に
b と書かれるアーベル群で,関する Galois 理論が展開できます. 例えば有限体 k の絶対 Galois 群 Gk は Z
Frobenius 置換と呼ばれる特別な元 Frobk ∈ Gk で (位相的に) 生成されます.

3. 楕円曲線の等分点のなす群
Frey 曲線 Ea,b に話をもどします. Ea,b の存在から矛盾を導くためのアイデアとして Serre は Q 上の楕
円曲線 Ea,b の等分点から得られる GQ 加群に注目しました.
一般の Q 上の楕円曲線 E はある整数係数のモニックな 3 次多項式 f (x) = x3 + Ax2 + Bx + C (A, B,
C は整数) に対し, 式 y 2 = f (x) で定義される代数曲線に無限遠点を付け加えて得られます. f (x) のとり方は一意的ではありません. 逆に f (x) が整数係数のモニックな 3 次多項式のとき f (x) = 0 が重根を持たなければ, 式 y 2 = f (x) で定義される代数曲線に無限遠点を付け加えたものは Q 上の楕円曲線となります.
集合 E(C) = {∞} ∪ {(x, y) | x, y ∈ C, y 2 = f (x)} を考えます. これは Riemann 面となります. Riemann
面とは, 複素平面 C を複素解析的に切り貼りしてできる図形のことです. E(C) はドーナツの表面のような形Rをしています. ∞ を通るループ γ : [0, 1] → C に対し, 積分 γ dx
2y を考えるとこの値は収束し, しかも基本群
π1 (E(C), ∞) における γ の類にしか依存しないことがわかります. さらに得られる写像 π1 (E(C), ∞) → C
は群の準同型になります (ただし C には足し算で群の構造を入れます). この準同型の像を Λ と書くことにRします. P ∈ E(C) に対し, ∞ と P とを結ぶ道 γ を取り, 積分 γ dx
2y を考えるとこの値は収束します. Rさらにこの値の商アーベル群 C/Λ における類は E と P にのみ依存し, γ の取り方に依存しません. P に γ dx
2yを対応させることによって写像 E(C) → C/Λ が得られますが, 実はこれが全単射となります. C/Λ はアー
ベル群なので, この全単射を通じて E(C) にはアーベル群の構造が入ります. ∞ がこのアーベル群の単位元となります.
n個z}|{
整数 n に対し E[n] = {∞} ∪ {(x, y) ∈ E(C) | (x, y) + · · · + (x, y) = ∞} とおきます. これは E(C) の部
分アーベル群となります. E[n] は元の個数が n2 個のアーベル群となります. (x, y) ∈ E[n] のとき, x, y ∈ Q
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であることが分かります. 従って集合 E[n] に群 GQ が作用します. さらに GQ はアーベル群 E[n] に作用していることが分かります.
ここで ` を 3 以上の素数, a` + b` = c` を条件 (1) を満たす予想 1.1 の反例とし, E が Frey 曲線 E = Ea,bの場合を考えます. ここでアーベル群 Ea,b [`] への群 GQ の作用を考えると, 非常に分岐が小さいという不自然なことがおこっています. 最後の文の意味を理解するために, 代数体の分岐の理論というものを知る必要があります. これを説明するために代数的整数論の基本的な概念をいくつか導入します. 4

4. 素点の集合, 局所体, 分岐
代数体の理論は, Riemann 面の理論の類似で捉えられます. 先ほどドーナツの表面の形をした Riemann
面 E(C) が出てきましたが, Riemann 面にはドーナツではなくてもっとたくさん穴の開いたお菓子の表面のような形をしたものがあります. 穴のないものもあります. こういった Rimann 面の間の複素解析的な写像 f : X → Y で, 定数でないものを考えます. その写像は全射で Y の各点の逆像は有限集合になります.
逆像の f −1 (y) 元の個数は有限個を除くすべての点 y ∈ Y で同じで, 残りの有限個の点ではそれよりも少なくなります. f −1 (y) の元の個数が少なくなるような点 y ∈ Y のことを f の分岐点とよびます.
F を代数体とすると, F の素点の集合と呼ばれる無限集合 SF が定まります. F = Q のとき SF は素数全体の集合 {2, 3, 5, 7, . . .} に無限素点とよばれる元 ∞ を付け加えたものです. 2 つの代数体 F ⊂ F 0 に対して写像 SF 0 → SF が定まります. この写像は全射で SF の各元の逆像は有限集合となります. v 0 ∈ SF 0の像が v のとき, v 0 |v と書き, v 0 は v の上にある, または v は v 0 の下にあるといいます. 代数体 F は Q
を部分体に持つことから, F の任意の素点 v に対して, v の下にある Q の素点 w がただひとつ定まります. w = ∞ のとき v を無限素点, そうでないとき v を有限素点とよびます. 有限素点 v に対しては v での剰余体 kv という有限体が定まります. v 0 |v のとき kv は kv0 の部分体となります. 有限個を除くすべてのPv ∈ SF に対して等式 v0 |v [kv0 : kv ] = [F 0 : F ] が成り立ちます. ここで [kv0 : kv ] は [F 0 : F ] と同様の方法で定義されます (v が無限素点のときは kv , kv0 が定義されていませんが, このときは [kv0 : kv ] = 1 と約束します). この等式が成り立たないとき F 0 /F は v で分岐するといいます.
SQ を射影極限 limF SF として定義します. ここで F は Q に含まれる代数体をすべて動きます. 群 GQ←−
が集合 SQ に作用します. 各代数体 F ⊂ Q に対して, 全射 SQ → SF が定まります. この写像が w ∈ SQ をv ∈ SF に送るとき w|v と書くことにします. v ∈ SF に対して w|v となる w ∈ SQ をとり, GF における
w の固定部分群を GFv で表します. この群を F の v での分解群とよびます. GFv は w の取り方に依存するのですが, w を取り替えたときの違いはあまり大きなものではないなので w は省略して書きます. Fの各素点 v に対し, 完備化という操作によって F を部分体として含む体 Fv が定まり, GFv は Fv の絶対
Galois 群と同型になります.
F = Q, v = p のとき Fv = Qp は p 進数のなす体と呼ばれるものになります. 私たちは普段 10 進法を用いて数, 整数や実数を記述しているのですが, 2 進法とか 3 進法とかでも整数や実数を記述できます. このなんとか進法というのと今出てきた p 進数というのは少し関係があります. p を素数としますと, 0 から
p − 1 までの数に文字を割り当てて実数を p 進法で書くことができます. 普通の実数の p 進法による表記
では小数点より上が有限で, 小数点以下が無限に続きうるのですが, p 進数というのは小数点以下が有限で
小数点より上が無限に続きうるような表記をもちます. 通常の感覚と異なり高い位の数字になればなるほど重要でなくなります. 小数点以下がでてこない p 進数の全体は Qp の部分環となります. この部分環を Zpと書きます. 整数 n ≥ 1 が素数でない場合も p 進数と同じようにして n 進数を考えることができます.
その場合は足し算と掛け算が定義でき可換環にはなりますが, n が素数の巾でない場合は割り算の定義が必ずしもできないため体にはなりません. 実数の p 進表記というのは, p をいろいろと取り替えても, 同じ実数の異なる記述の仕方を与えるにすぎないのですが, p 進数のなす体 Qp は p を取り替えるとまったく同型
4より詳しいことは [高木], [ノ], [藤崎-森田-山本] をご参照ください.
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から程遠い体になります. 代数体 F の素点 v が素数 p の上にあるとき, Fv は Qp の有限次拡大体となります. このような体を p 進体とよびます. v が ∞ の上にあるとき Fv は R または C と同型になります.
代数体 F に対し, その整数環と呼ばれる部分環 OF ⊂ F が定まります. 同様に F の有限素点に対し, 局
所体 Fv の整数環と呼ばれる部分環 OFv ⊂ Fv が定まります. v が素数 p の上にあるとき, OFv は Zp を部分環として含みます. また可換環 OFv から Fv の剰余体 kv への全射準同型が定まります. さらに標準的な全射準同型 GFv → Gkv が存在します (ここで v が ∞ の上にあるときは Gkv = 1 と約束します). この核を IFv と書き GFv の惰性群とよびます. ∞ の上ある F の素点 v に対しては, IFv = GFv とおきます. Fの素点からなる集合 S に対し, 全ての v 6∈ S に対する IF,v を含むような最小の GF の (閉) 正規部分群による GF の商を GF,S と書きます. v 6∈ S のとき, 合成 GFv → GF → GF,S は GFv /IF,v ∼= Gk.v を経由します. 誘導される写像 Gkv → GF,S による Frobkv ∈ Gkv の像を Frobv とおきます.

5. 圏
Galois 表現について述べる前に, 圏について説明します. 5 圏 C は (1) Obj(C) というクラス, (2) Obj(C)の各元 X, Y に対する集合 HomC (X, Y ), (3) Obj(C) の各元 X に対する元 idX ∈ HomC (X, X), (4) Obj(C)の各元 X, Y, Z に対する写像(5.1)

HomC (X, Y ) × HomC (Y, Z) → HomC (X, Z)

から成ります. これらの間に適当な関係式を要請します. Obj(C) の元を C の対象, 集合 HomC (X, Y ) の元を X から Y への射とよびます. 対象を点, 射を矢印のように思うと圏の感じをイメージしやすいかと思います. f が集合 HomC (X, Y ) の元であるということをしばしば f : X → Y とも書きます. 上の写像
(5.1) は, 2 つの矢印があって, 一方の矢印の終点ともう一方の矢印の始点とが一致するとき, 2 つの矢印をつなげて新たな矢印が得られる, ということを意味します. f : X → Y と g : Y → Z をつなげたものをg ◦ f : X → Z と書きます. 要請する適当な関係式のうち最も重要なものは, この矢印のつなげ方に対する結合法則です. 例えば, G を群とするとき, (1) Obj(C) = {X}, (2) HomC (X, X) = G, (3) idX = 1, (4) 群演算
HomC (X, X) × HomC (X, X) = G × G → G = HomC (X, X) という 4 つのデータは圏を与えます. この圏はすべての射が同型になるという意味で特殊な圏です. 一般に圏 C の射 f ∈ HomC (X, Y ) が同型であるとは,g ∈ HomC (Y, X) が存在して, f ◦ g = idY , g ◦ f = idX が成立することをいいます. このようにすべての射が同型となる圏のことを亜群とよびます. 圏 C の対象 X, Y に対し, 同型射全体のなす HomC (X, Y ) の部分集
合を IsomC (X, Y ) と書きます. また X = Y のとき, HomC (X, X) = EndC (X), IsomC (X, X) = AutC (X)と書きます. 誤解の恐れのないときには HomC , EndC に出てくる C を省略して Hom, End などと書くこともあります. 群 G の圏 C の対象 X への作用とは準同型 G → AutC (X) が与えられていることをいいます. もっと大きな圏の例として集合の圏, 群の圏などが考えられます. 集合の圏というのは Obj(C) を集合全体のなすクラス, HomC (X, Y ) を X から Y への写像全体の集合, (5.1) を写像の合成として定まる圏です.
群の圏というのは Obj(C) を群全体のなすクラス, HomC (X, Y ) を X から Y への準同型写像全体の集合,(5.1) を写像の合成として定まる圏です. 同じように体の圏, 可換環の圏, 代数多様体の圏などいろいろな圏が考えられます. どうしてそうなのか私にはよく分からないのですが, 重要な数学的対象は大抵, 圏の理論の枠組みで考えることができ, またそうすることによって見通しのよい取り扱いができるようになります.
アーベル群とその準同型のなす圏は, 次の点で重要です. X, Y をアーベル群とすると, Hom(X, Y ) は
アーベル群の構造を持ちます. X をアーベル群とすると End(X) は準同型写像の合成を掛け算とすることによって環の構造を持ちます. R を環とするとき, アーベル群 X と, 環の準同型 R → End(X) との組(X, R → End(X)) のことを (左) R 加群とよびます. (X, R → End(X)) のことをしばしば X と省略して書きます. 例えば X = R を足し算を演算とするアーベル群とみなすと, a ∈ R を x 7→ ax で与えられる準同型 X → X に送る写像 R → End(X) は環の準同型となり, これによって X = R を R 加群とみなすこ
5より詳しいことは [河田], [マク] をご参照ください.
7平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)とができます. X, Y を R 加群とするとき, アーベル群としての直和 X ⊕ Y には自然に R 加群の構造が入ります. X ⊕ X = X ⊕2 , X ⊕2 ⊕ X = X ⊕3 , . . . とおくことによって, 任意の整数 n ≥ 0 に対し X ⊕n を定義します. ただし X ⊕0 = {0} とおきます. X, Y を R 加群とするとき, アーベル群の準同型 f : X → Y で
あって,

R


y

−−−−→

End(X)yEnd(Y ) −−−−→ Hom(X, Y )が可換になるもののことを X から Y への R 準同型とよびます. 全単射となる R 準同型のことを R 同型,
または R を省略して同型とよびます. X から Y への R 準同型の全体を HomR (X, Y ) と書きます. これは Hom(X, Y ) の部分アーベル群となります. R が可換環のとき, HomR (X, Y ) は自然に R 加群の構造をもちます. n ≥ 0 を整数とします. R 加群 X が, 階数 n の自由 R 加群であるとは, R⊕n から X への R 同型が存在することをいいます. K を体とすると, K はとくに環になりますが, このとき R 加群のことを K
ベクトル空間と呼び, X, Y を K ベクトル空間とするとき, X から Y への K 準同型のことを X から Yへの K 線型写像とよびます. 階数 n の自由 K 加群のことを n 次元 K ベクトル空間とよびます.

6. Galois 表現
G を群とするとき, アーベル群 X と G の作用 ρ : G → Aut(X) の組 (X, ρ) のことを G 加群とよびます.
しばしば記号を省略して (X, ρ) のことを X と書いたり ρ と書いたりします. R を環とするとき, R 加群 Xと G の作用 G → Aut(X) の組のことを R[G] 加群もしくは G の R 上の表現とよびます. K を体とするとき, 絶対 Galois 群 GK の, (適当な条件を満たす位相) 環 R 上の (連続) 表現のことを K の R 上の Galois 表
現とよびます. あまり一般的ないい方ではありませんが, K の R 上の Galois 表現 (X, ρ : GK → Aut(X))
であって, X が R 加群として階数 n の自由 R 加群となるとき, ρ を K の R 上の階数 n の Galois 表現とよぶことにします. ` を素数とするとき, K の, 標数 ` の有限体上の Galois 表現のことを K の mod `Galois 表現とよびます. F を代数体, v を F の素点とします. Fv の R 上の表現 M が不分岐であるとは
GFv → AutR (M ) が GFv → Gkv を経由することをいいます. F の R 上の表現 M が v で不分岐であるとは, M の GFv への制限が不分岐であることをいいます. S を F の素点の集合とするとき, M が S の外不分岐であるとは任意の v 6∈ S で M が不分岐であることをいいます. M が S の外不分岐であることは
GF → EndR (M ) が GF → GF,S を経由することと同値となります.
F を代数体, K を ` 進体, V を F の K 上の階数 n の Galois 表現とします. v を F の素点であって ∞の上にないものとすると, IF,v 固定部分 V IF,v = {x ∈ V | σ(x) = x, ∀σ ∈ IF,v } は Fv の K 上の階数 n 以
下の不分岐な Galois 表現となります. Fv の剰余体の元の個数を qv とおきます. ` の上にある F の全ての素点 w について V が Fw の de Rham 表現とよばれる表現であることを仮定します. このとき, V の L 関数とよばれる複素数 s についての関数 L(V, s) を Euler 積
L(V, s) =Y

det(1 − Frobv qv−s ; V IF,v )−1v

Y

Lw (V, s)w|`

によって定義します. ここで v は F の素点であって ∞ の上にも ` の上にもないもの動きます. Lw (V, s)の定義は難しいのでこの原稿では省略します. 通常考えるような Galois 表現 V に対しては, 上の Euler 積
は s の実数部分が十分大きいときに (絶対) 収束し, その範囲で s についての正則関数になります. 通常考えるような Galois 表現 V に対する L(V, s) は全複素平面上に有理型に解析接続され, 適当な関数等式を満たすと予想されていますが, そのことが証明されている場合はあまり多くなく, L(V, s) と保型 L 関数との関連が確立されている場合ぐらいしかありません.
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7. 保型形式
H = {x +√−1y | x, y ∈ R, y > 0} とおきます. これを複素上半平面とよびますÃ. Γ を!SL2 (Z) の指a b
数有限の部分群とします. 整数 k ≥ 0 に対し, H 上の正則関数 f であって, 任意の∈ Γ に対しc df ((az + b)/(cz + d)) = (cz + d)−2k f (z) をみたし, さらにいくつかの付加的な条件を満たすものを, Γ に関する重さ k の尖点形式とよびます. Γ に関する重さ k の尖点形式 f の全体を Sk (Γ) とおきます. これは C
ベクトル空間となります. Γ, Γ0 を SL2 (Z) の指数有限の部分群であって Γ0 ⊂ Γ を満たすものとするとき,Sk (Γ) ⊂ Sk (Γ0 ) が成立します.
N ≥ 1 を整数とします.
(Ã
!
)
¯
a b
¯
Γ1 (N ) =∈ SL2 (Z) ¯ N |c, N |(d − 1)c dとおきます (ここで N |c というのは c が N で割り切れる, という意味です. N |(d − 1) についても同様です).
これは SL2 (Z) の指数有限の部分群となります. k ≥ 0, f ∈ Sk (Γ1 (N )) とします. このとき f (z + 1) = f (z)√Pn
2π −1zが成立することなどから, f (z) =で, 各 n に対し
n≥1 an (f )q の形に書けます. ここで q = ean (f ) ∈ C です. これを f の q 展開とびます. C の部分環 R に対し, Γ1 (N ) に属する重さ k の保型形式 fPであって, その q 展開を f (z) = n≥1 an (f )q n としたとき, 任意の n ≥ 1 に対して an (f ) ∈ R を満たすよ
うなものの全体を Sk (Γ1 (N ), R) とおきます. これは R 加群となります. f ∈ Sk (Γ1 (N ), R) とします. Nを割らない素数 p に対し, H 上の関数 Tp f を(Tp f )(z) = f (pz) +p−1Xf ((z + i)/p)

i=0

Ã
!
a b
によって定めると, Tp f も Sk (Γ1 (N ), R) に属します. また d ∈ (Z/N Z) に対し, γ =∈ SL2 (Z)c dであって c mod n = 0, d mod n = d を満たすものが存在しますが, H 上の関数 hdif を×(hdif )(z) = (cz + d)−2k f ((az + b)/(cz + d))
によって定めると, hdif は d にしか依存せず, Sk (Γ1 (N ), R) に属します. Tp (p は N を割らないすべての素数を動く) および hdi (d は (Z/N Z)× の元を動く) を元として持つ End(Sk (Γ1 (N ), Z)) の最小の部分環のことを Hecke 環とよびます. これは可換環となります.
Sk (Γ1 (N ), C) にはレベル N , 重さ k の正規化された新形式と呼ばれる, 特別な性質をもつものがあります.
f (x) を整数係数のモニックな 3 次多項式であって f (x) = 0 が重根を持たないものとします. E を, 式
2
y = f (x) で定義される代数曲線に無限遠点を付け加えた Q 上の楕円曲線とします. 集合{(x, y) | x, y ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, y 2 − f (x) が p の倍数 }を考えます. これは有限集合です. p からこの集合の元の個数を引いた数を ap (E) とおきます. E に対する
f (x) のとり方は一意的ではなく, ap (E) の値は f (x) のとり方に依存しますが, f (x) のとり方を変えたときに ap (E) の値が変化するのは有限個の p についてだけです.
谷山-志村予想とは次の定理 7.1 のことです. これは Wiles [W], Taylor-Wiles [TW] によって特別な場合に証明がなされ, その手法を発展させることによって最終的に [BCDT] によって証明が完成しました.
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定理 7.1. E を Q 上の楕円曲線とする. このとき整数 N ≥ 1 6 および, レベル N , 重さ 2 の正規化されたP
新形式 f =an (f )q n であって, 有限個を除くすべての素数 p に対し, ap (f ) = ap (E) を満たすものが存在する.

P

8. 保型形式に伴う Galois 表現の構成

N, k ≥ 1 を整数, f = n≥1 an (f )q n ∈ Sk (Γ1 (N ), C) をレベル N , 重さ k の正規化された新形式としま
す. K(f ) を, どの an (f ) をも元にもつような C の部分体のうち最小のものとします. K(f ) は代数体となります. K(f ) の有限素点 λ に対し, Of,λ を K(f )λ の整数環とします. このとき f に伴う Q の Of,λ 上のGalois 表現 (Vf,λ , ρf,λ : GQ → Aut(Vf,λ )) が構成されます. この Galois 表現は以下の 3 性質を満たします.
性質 8.1.
(1) Vf,λ は階数 2 の Galois 表現, すなわち Of,λ 加群として Vf,λ は階数 2 の自由 Of,λ 加群である.
(2) S を f のレベル N を割る素数の全体とすると, (Vf,λ , ρf,λ ) は S の外で不分岐となる.
(3) 任意の p 6∈ S に対し, Frobp の作用 Vf,λ → Vf,λ のトレースは ap (f ) に等しい.

f に付随する Galois 表現 Vf,λ の構成は k = 2 の場合は Eichler [E] -志村 [Sh1] によって, k ≥ 2 の場合は志村 [Sh2], Deligne [De] によって, k = 1 の場合は Deligne-Serre [DS] によって与えられました. ここでは Deligne による k ≥ 2 の場合の構成について説明します.
Riemann 面 Γ1 (N )\H は付加構造つき楕円曲線のパラメータ空間とみなすことができます. モジュライの理論を用いてこの見方を精密化します. 楕円曲線のモジュライとは楕円曲線の同型類の全体の空間に代数多様体の構造を与えたものです. モジュライをきちんと説明するためには関手とその表現可能性のような,圏論の基本的な概念について知っておく必要があります. [C を圏とするとき, C op という圏が自然に定まります. これは C において矢印の向きを逆にしたものです. もう少し正確に述べると, Obj(C op ) = Obj(C), HomC op (X, Y ) = HomC (Y, X) とおくことによって定まる圏のことです.
C, C 0 を 2 つの圏とします. C から C 0 への共変関手とは, (1) Obj(C) に属する各 X に対して Obj(C 0 ) に属する F (X) を与える対応, (2) Obj(C) に属する各 X, Y に対する写像 F : HomC (X, Y ) → HomC 0 (F (X), F (Y ))の 2 つから成り立ちます. これらの間には適当な関係を要請します. 最も重要な要請は g ◦ f が定義可能な
とき F (g) ◦ F (f ) = F (g ◦ f ) が成り立つという要請です. C から C 0 への共変関手 F が与えられていることを F : C → C 0 と書きます. C op から C 0 への共変関手のことを C から C 0 への反変関手とよびます.
群 G に対して F (G) = G, 群の準同型 f : G → G0 に対して F (f ) = f とおくと, F は群の圏から集合の圏への共変関手となります. C を圏, X0 を C の対象とすると, C の対象 X に集合 F (X) = HomC (X0 , X)を対応させ, C における射 f : X → Y に対し g : X0 → X を f ◦ g : X0 → Y に送る写像 HomC (X0 , X) →HomC (X0 , Y ) を与えることによって, 圏 C から集合の圏への共変関手が得られます. この関手を hX0 と書くことにします.
圏 C から圏 C 0 への 2 つの共変関手 F , F 0 が同型であるとは, Obj(C) に属する各 X に対し全単射
F (X) → F 0 (X) を与えて, C における任意の射 f : X → Y に対し
F (X) −−−−→ F (Y )




y
y
F 0 (X) −−−−→ F 0 (Y )が可換になるようにできることをいいます. 2 つの圏 C, C 0 が圏同値であるとは, 関手 F : C → C 0 および関手 F 0 : C 0 → C とが存在して合成関手 F 0 ◦ F が C の恒等関手, F ◦ F 0 が C 0 の恒等関手とそれぞれ同型となることをいいます. 例えば有限集合の圏と, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ... を対象の全体, それらの間の写像を
6この整数 N は実は E の導手 N

E に等しくなります.

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射とする圏とは圏同値になります. 圏同値となるような圏を同一視して考えることが, 見通しのよい数学的考察をするためにしばしば行われます.
圏 C から集合の圏への共変関手 F が表現可能であるとは, C の対象 X が存在して, F が hX と同型になることをいいます. このとき X は同型を除いて一意的に定まります.
C, C 0 を圏, F : C → C 0 を共変関手とします. 共変関手 F 0 : C 0 → C が F の左随伴関手であるとは, C 0 の対
象 X と, C の対象 Y に対して同型 HomC 0 (X, F (Y )) ∼= HomC (F 0 (X), Y ) が存在し, この同型が関手的であopることをいいます. ここで関手的というのは圏 C × C 0 から集合の圏への 2 つの関手の間の同型を与えているという意味です. F の左随伴関手は標準的な同型を除いて一意的に定まります. 共変関手 F 0 : C 0 → C が Fの右随伴関手であるとは, C の対象 X と, C 0 の対象 Y に対して同型 HomC 0 (F (X), Y ) ∼= HomC (X, F 0 (Y ))が存在し, この同型が関手的であることをいいます. F の右随伴関手は標準的な同型を除いて一意的に定まります.
R, R0 を環, R → R0 を環準同型とします. R0 加群 (M, R0 → End(M )) に対して, R → R0 → End(M )を考えることによって R 加群が得られます. これは R0 加群の圏から R 加群の圏への共変関手を与えます.
この共変関手は左随伴関手を持ちます. この左随伴関手による R 加群 M の行き先を R0 ⊗R M と書きます. R0 ⊗R M をもっと具体的に書くこともできるのですが, この原稿では省略します. R 加群 R⊕n の, こ⊕nの左随伴関手による行き先は R0になります. R, R0 がともに可換環の場合には R0 ⊗R M を M ⊗R R0
とも書きます.
代数多様体の代わりにスキーム論の枠組みで考えます. スキームとは, 大まかにいうと可換環を図形のようなものとみなして, それを切り貼りして得られるもののことです. 7 たとえば代数多様体はスキームとなります. 可換環 R を, 切り貼りの操作をせずにそのままスキームをみなしたもののことを Spec R と書きます. S をスキームとするとき, スキーム X とスキームの射 f : X → S との組 (X, f ) のことを S 上のス
キームとよびます. 記号を省略して (X, f ) のことをしばしば X と書きます.
先ほど, f (x) を整数係数のモニックな 3 次多項式であって f (x) = 0 が重根を持たないものに対し
2
y = f (x) に無限遠点を付け加えたものが Q 上の楕円曲線となると述べました. 一般にスキーム S に対して, S 上の楕円曲線という概念が定義されます. S = Spec Q のとき, Spec Q 上の楕円曲線を与えることとQ 上の楕円曲線を与えることとは同等になります. 詳しい定義はここでは述べないのですが, 一般のスキー
ム S 上の楕円曲線は, S 上のスキーム E と, S 上のスキームの圏における射 S → E のなす組 (E, S → E)
であって適当な条件を満たすものです. (E, S → E) と書くのは面倒なので S → E を省略して S 上の楕円
曲線 E とも書きます. 大まかにいうと S 上の楕円曲線とは, S をパラメータ空間とする楕円曲線の族のよ
うな感じのものです. 射 S → E は無限遠点にあたります. (E, S → E) をスキーム S 上の楕円曲線とします. このとき任意の S 上のスキーム T に対し, S 上の射 T → E の全体を E(T ) とおきます. このときE(T ) にはアーベル群の構造が入ります.
N ≥ 1 を整数とします. N が可逆となるスキーム S に対し, S 上の楕円曲線 E とアーベル群 E(S) の元 x であって, 条件 (1) x を N 回足すと単位元になる, (2) 任意の整数 1 ≤ N 0 < N と任意の S の連結成
分 S 0 に対して x を E(S 0 ) に制限したものを N 0 回足しても単位元にならない, を満たすものの組 (E, x)の同型類の集合を対応させることによって N が可逆となるスキームの圏から集合の圏への反変関手が構成されます. N ≥ 5 のときこの関手は表現可能となります. この関手を表現する N が可逆となるスキーム∼ Γ1 (N )\H が成立します. f : E univ → Y1 (N ) を 普遍楕円曲
を Y1 (N ) と書きます. このとき Y1 (N )(C) =線とします. Y1 (N ) は自然なコンパクト化 X1 (N ) を持ちます. 空間 Sk (Γ1 (N )) は X1 (N ) ⊗ Spec C 上のとある直線束の大域切断の空間と標準的に同型になります. ` を素数, k ≥ 2 を整数とし, Y1 (N ) ⊗ Z[1/N `]上の ` 進局所系 Symk−2 (R1 f∗ Q` ) を考えます. これの中間延長の X1 (N ) ⊗ Q 上の中間次元コホモロジー
V1 (N ) には Hecke 環 T と GQ が同時に作用します.

7より詳しいことは [ハ], [マン] をご参照ください.
11平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

P
N, k ≥ 1 を整数, f = n≥1 an (f )q n ∈ Sk (Γ1 (N )) をレベル N , 重さ k の正規化された新形式, λ を ` の上にある K(f ) の素点とします. Hecke 加群の準同型の空間 Vf,λ,Q = HomT ⊗K(f ) (K(f )f, V1 (N )⊗Q` K(f )λ ) は∼=

Q の K(f )λ 上の階数 2 の Galois 表現となります. K(f )λ ベクトル空間としての同型 ι : Vf,λ,Q −→ K(f )⊕2λ⊕2をうまくとると, ι−1 (Of,λ ) は Q の Of,λ 上の階数 2 の Galois 表現となります. この Galois 表現を(Vf,λ , ρf,λ ) とおきます. kf,λ を Of,λ の剰余体とします. Vf,λ ⊗Of,λ kf,λ の半単純化は GQ の kf,λ 上の階
数 2 の Galois 表現となります. この Galois 表現を ρf,λ とおきます.
性質 8.1(3) は, 合同関係式と呼ばれる関係式から従います. これは Hecke 作用素 Tp の作用, Frobp の作
用を, それぞれ代数的対応という概念を用いて幾何的に表したもの間の関係式で, 代数的対応のモジュライ解
釈をすることによって証明がなされます. 性質 8.1(3) は, Galois 表現 Vf,λ の L 関数 L(Vf,λ , s) が, f の保型 L 関数 L(f, s) と, N ` を割る素数での Euler 因子を除いて一致する, とも述べられます. 実は L(Vf,λ , s)と L(f, s) とは, N ` を割る素数での Euler 因子を除かなくても完全に一致することが知られています.
9. 谷山-志村予想を仮定した定理 1.1 の証明
E を Q 上の楕円曲線とします. 整数 n ≥ 1 に対して, アーベル群 E[n] は Q の Z/nZ 上の階数 2 のGalois 表現 (E[n], ρE,n ) を与えます. 素数 ` に対し, E[`n ] の射影極限によって得られる Q の Z` 上の階数
2 の Galois 表現を (T` E, ρE,` ) と書き, E の ` 進 Tate 加群といいます. 谷山-志村予想 (定理 7.1) が E について成立すると仮定します. f を E に対応するレベル N , 重さ 2 の正規化された新形式とします. このとき, K(f ) = Q となります. さらに T` E ⊗Z` Q` は Vf,` ⊗Z` Q` と同型となります.
K を ` 進体, O をその整数環とします. (V, ρ : GQ → Aut(V )) を Q の O 上の階数 2 の Galois 表現とします. このとき ρ が保型的であるとは, ある整数 k ≥ 1, N ≥ 1, 重さ k, レベル N の正規化された新形式 f , K(f ) の素点 λ, および環の (連続) 準同型 Of,λ → O が存在して, V ⊗O K が GQ の K 上の表現として Vf,λ ⊗Of,λ K と同型となることをいいます. κ を K の剰余体とします. (V, ρ : GQ → Aut(V )) を Qの κ 上の階数 2 の Galois 表現とします. このとき ρ が保型的であるとは, ある整数 k ≥ 1, N ≥ 1, 重さ
k, レベル N の正規化された新形式 f , K(f ) の素点 λ, および環の (連続) 準同型 Of,λ → O が存在して,V ⊗O k の半単純化が GQ の κ 上の表現として ρf,λ と同型となることをいいます.
注 9.1. 保型的という概念は総実代数体 F の O または κ 上の階数 2 の Galois 表現に対して一般化されています. ここで代数体 F が総実であるとは, 任意の環準同型 F → C の像が R に含まれることをいいます.

Serre [Se2] は次の予想を立てました:
予想 9.2. κ を有限体, S を素数の有限集合とする. (V, ρ : GQ → Aut(V )) を Q の κ 上の階数 2 のGalois 表現であって, 条件: (1) ρ は絶対既約, (2) ρ は S の外で不分岐, (3) c ∈ GQ を複素共役とすると
き det(ρ(c)) = −1, を満たすものとすると ρ は保型的.

Serre はさらに予想 9.2 の (1)–(3) を満たす ρ に対し, 整数 k(ρ), N (ρ) を定義し, 8 予想 9.2 を精密化した次の予想を提唱しました.
予想 9.3. κ を有限体. S を素数の有限集合とする. (V, ρ : GQ → Aut(V )) を Q の κ 上の Galois 表現であって, 予想 9.2 条件 (1), (2), (3) を満たすものとする. このときレベル N (ρ), 重さ k(ρ) の正規化された新形式 f , K(f ) の有限素点 λ, および環準同型 Of,λ → κ が存在して, ρ は Vf,λ ⊗Of,λ κ の半単純化と同型になる.

Ribet [R] は Jacobian の Neron モデルを計算する Mazur のアイデアを用いて, とある条件を満たす重さ 2, レベル N の正規化された新形式 f , N を一回だけ割る素数 p, および N の約数でない素数の上にある K(f ) の素点 λ に対し, ρf,λ が p で不分岐ならば, ρf,λ ∼= ρf 0 ,λ0 を満たすようなレベル N/p の正規化さ8k(ρ), N (ρ) の他に, Serre は準同型 ε : (Z/N (ρ)Z)× → C× を定義していますが, この稿ではその説明を省略します.
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れた新形式 f 0 および K(f 0 ) の素点 λ0 が存在することを証明しました. この結果を適用することにより, 予想 9.2 の 3 条件のほかにいくつかの技術的条件を満たす ρ に対し, ρ について予想 9.2 が成り立てば ρ について予想 9.3 が成り立つことを示しました. この種の議論をレベルの引き下げとよびます.
その後, レベルの引き下げに関する結果は多くの人たちによって改良され, 任意の ρ に対し, ρ について
予想 9.2 が成り立てば ρ について予想 9.3 が成り立つことが現在では証明されています. また予想 9.2 も,
昨年 Khare と Wintenbeger によって証明されました ([KW1], [KW2]). このように現在ではいろいろと結果に進展があるのですが, Fermat 予想を谷山-志村予想から導くためには前述の Ribet の結果で十分です.
谷山-志村予想 (定理 7.1) を仮定した下での定理 1.1 の証明は以下のようになります. ここで ` を素数,a` + b` = c` を条件 (1) を満たす予想 1.1 の反例とし, Frey 曲線 Ea,b を考えます. 谷山-志村予想を Ea,b に適用すると Ea,b は保型的となります. Q の F` 上の Galois 表現 Ea,b [`] を ρ とおくと, ρ は保型的となります. この ρ に対しては Ribet の結果が適用できるため, 予想 9.3 が ρ に対して成り立つことが分かります. ところが計算してみると N (ρ) は 1 または 2, k(ρ) は 2 になります. 特にレベルが 1 または 2, 重さが2 の正規化された新形式が存在することになります. ところが S2 (Γ1 (1)) = S2 (Γ1 (2)) = {0} であることが知られているのでこれは矛盾です.

10. 谷山-志村予想の証明
この節では, 谷山-志村予想 (定理 7.1) の証明の方針を述べます. 証明は主に保型性持ち上げ定理 (MLT),
Langlands-Tunnell の定理, (3, 5) trick という 3 つの部分から成りたっています. このうち MLT を証明す
るさいに R = T 定理を用います.
`−1
MLT とは, ρE,` が保型的かつ ρE,` を GQ(√`∗ ) (ここで `∗ = (−1) 2 `) に制限したものが絶対既約ならρE,` も保型的であるという定理です. ここでは, Kisin [Ki1] によって改良された形の MLT (定理 14.1) を用います.
Langlands-Tunnell の定理とは, ρE,3 が既約ならば保型的である, という主張です. MLT と合わせて,
ρE,3 を GQ(√−3) に制限したものが絶対既約なら E は保型的であることが分かります. ρE,3 を GQ(√−3) に制限したものが絶対既約でない場合, とある楕円モジュラ曲線の有理点の数え上げを行うと, 例外的な E を除いて, ρE,5 を GQ(√5) に制限したものが絶対既約であることがわかります. 例外的な E については E が保型的であることが容易に証明できるので, ρE,5 を GQ(√5) に制限したものが絶対既約の場合に E が保型的であることを示せば十分です. MLT を用いることによって, この場合には ρE,5 が保型的であれば E は保型的となります. ここで (3, 5) trick を用いると, Q 上の楕円曲線 E 0 が存在して ρE,5 ∼= ρE 0 ,5 かつ ρE 0 ,3
0√を GQ( −3) に制限したものが絶対既約となることが分かります. これより E が保型的になり, したがって
ρE,5 は既約かつ保型的になります. 以上で谷山-志村予想が証明できました.

11. Langlands 予想
R = T が成り立つということの根拠に Langlands 予想があります. Langlands 予想は類体論を一般化するものです.
類体論について簡単に説明します. 9 アデール環という可換環があります. アデール環とは, 通常 A ま
たは AQ という記号で書かれ, 実数体 R と有限アデール環と呼ばれる環 Af との直積になっています. 標
準的な環の準同型 Q → A があります. 代数体 F に対し, AF = A ⊗Q F とおき, これを F のアデール環とよびます. AF は可換環で, 標準的な環の準同型 F → AF が定まります. AF の可逆元全体 A×
F を F のイデール群とよびます. これは位相群となります. 類体論とは, F のイデール類群 F × \A×
の
1
次元表現と
F
GF の 1 次元表現との間の対応を与える理論です.
G を代数体 F 上の簡約代数群とします. 簡約とは巾単正規部分群が存在しないことをいいます. AF を
F のアデール環とします. G(F )\G(AF ) 上の C 値関数であって適当な条件を満たすものを G(AF ) 上の保9より詳しいことは [加藤-黒川-斎藤], [ノ] をご参照ください.
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型形式といいます. G(AF ) 上の保型形式のなす C ベクトル空間を用いて, 群 G(AF ) の C 上の表現が得られます. この表現空間に適当な意味で現れる G(AF ) の C 上の既約表現を G(AF ) の保型表現といいます.
Langlands 予想は G(AF ) の保型表現と F の Galois 表現との間の対応を予想するものです.
C 上の単純 Lie 代数の同型類が単純ルートを頂点とする Dynkin 図形で分類されることはよく知られていますが, Q 上や C 上の連結簡約代数群の同型類は, それを一般化したルートデータというもので分類されます. ルートデータとはとある 4 つ組 (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) のことです. ルートデータ (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) に対し,
(X ∨ , Φ∨ , X, Φ) もルートデータとなります. これを (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) の双対ルートデータとよびます. F を代数体または p 進体とします. F の Weil 群という群があります. これは GF に近い群で, 準同型 WF → GFがあります. これは同型ではありませんが, 同型に近いとみなすことにします. G を F 上の簡約代数群としb を双対ルート
ます. G を F の分離閉包 F に制限したもののルートデータを (X, Φ, X ∨ , Φ∨ ) とします. G∨∨
b には群 GF が作用します. こ
データ (X , Φ , X, Φ) に対応する C 上の簡約代数群とします. このとき Gbbの作用を WF に引き戻すことで WF が G に作用します. 半直積 G(C) o WF のことを L G と書き, G の L
群とよびます. 10 例えば F を代数体, n ≥ 1 を整数とするとき, GLn,F という F 上の連結簡約代数群を考えることができます. このとき, GLn,F の L 群は直積 GLn (C) × WF となります.
Langlands 予想を述べるために, WF を大きくした群 LF を導入します. F が代数体のとき LF は F のLanglands 群とよばれる群です. F が p 進体のとき LF は F の Weil-Deligne 群とよばれる群です. F が
p 進体のとき LF は WF から簡単に構成できますが, F が代数体の時には LF の構成はできておらず, 群
LF は存在が予想されている状態にとどまっているのですが, ここでは LF が構成されたとして話を進めます. 標準的な準同型 LF → WF が存在します. F が代数体のとき, G(AF ) の保型表現の同型類の集合をA(G) とおきます. F が p 進体とき, G(F ) の既約許容表現とよばれる表現の同型類の集合を A(G) とおき
ます. このとき Langlands 予想は, A(G) (のパケット) が, 適当な条件を満たす群の準同型 LF → L G であって, 図式
LF −−−−→ L G




y
y

WF
WF
が可換となるものを用いて分類されるという予想です.
この予想に加えて, さらに関手性原理とよばれる予想があります. Langlands の関手性原理とは, G, H
を F 上の連結簡約代数群, L H → L G を適当な条件を満たす群の準同型 であって, 図式
H −−−−→ L G




y
y

L

WF

WF

が可換となるものとするとき, A(H) から A(G) への対応が存在するという予想です. この関手性原理の対応は必ずしも 1 対 1 ではなく, また必ずしも写像になっているわけではありません. この対応のより精密な予想もあるのですが, この稿では触れないことにします.
Langlands の関手性原理が確立され, 対応がどうなるかが完全に分かっている場合に Jacquet-Langlands
対応と巡回的基底変換があります. 前者は代数体または p 進体 F 上の GLn と, その inner form である F
上の中心的斜体の乗法群のなす群との間の関手性原理 (ともに L 群は GLn × WF ) で, 後者は代数体または局所体の巡回拡大 F 0 /F , つまり連続準同型 χ : GF → Q/Z が存在して, GF 0 = {σ ∈ GF | χ(σ) = 0} を満たすような F の有限次拡大 F 0 , に対する F 上の 2 つの代数群 GLn,F と ResF 0 /F GLn,F 0 11 との間の関手性原理です.
10一般に群 H が群 G に作用するとき, G と H との半直積 GoH とよばれる群が次で定義されます: (1) 集合として GoH = G×H,

(2) H の G への作用を α : H → Aut(G) で表すと, G o H の群演算は (g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 α(h1 )(g2 ), h1 h2 ) で与えられる.
11ここで Res 0
F /F は Weil 制限を表します.
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12. 保型形式と GL2 (A) の表現
部分群 Γ1 (N ) ⊂ SL2 (Z) に対応して, アデール群 GL2 (Af ) のコンパクト開部分群 K1 (N ) が定まり,
K1 (N ) ∩ SL2 (Q) = Γ1 (N ) となります. コンパクトとか開とかいうのは位相空間論の用語です. GL2 (A) はただの群ではなく, 群であると同時に位相空間の構造を持っています. より正確にいうと GL2 (A) は位相群となっています. この講演では位相空間論については詳しく説明しないので, ただの部分群と思ってくださって結構です. このとき, GL2 (A) = GL2 (Q)GL2 (R)+ K1 (N ) が成立しています. ここで GL2 (R)+ = {g ∈GL2 (R) | det(g) > 0} です.
空間 GL2 (Af ) × (C \ R) を考えます. この空間には群 GL2 (Q) が, γ ∈ GL2 (Q), g ∈ GL2 (AF ), z ∈ C \ Reに対し, γ · (g, z) = (γg, az+b
cz+d ) とおくことによって作用します. GL2 (Af ) × (C \ R) 上の C 値関数 f であって, 3 条件 (1) 任意の g ∈ GL2 (Af ) に対して C \ R 上の関数 z 7→ fe(g, z) は z について正則関数となる,(2) あるコンパクト開部分群 K ⊂ GL2 (Af ) が存在して(g, z) ∈ GL2 (Af ) × (C \ R), h ∈ K に対し
Ã , 任意の!
a bて fe(gh, z) = fe(g, z) が成り立つ, (3) 任意の γ =∈ GL2 (Q), (g, z) ∈ GL2 (Af ) × (C \ R) に対しc dて fe(γ · (g, z)) = (cz + d)k fe(g, z) が成り立つ, およびこの稿では省略する適当な条件を満たすもののなす空間を A0 (k) とおくと, A0 (k) は群 GL2 (Af ) の滑らかな表現とよばれる表現になります. f ∈ Sk (Γ) に対し,
GL2 (AfÃ) × (C!\ R) 上の C 値関数 fe を, 各 (g, z) ∈ GL2 (Af ) × (C \ R) に対し, (g, z) = γ · (h, z 0 ) を満た
すγ =

a b
c d

k
∈ GL2 (Q), h ∈ K1 (N ), z 0 ∈ H を取り, fe(g, h) = | det(γ)|− 2 (cz 0 + d)k f (z 0 ) とおくことによって定めると, これは well-deﬁned で, fe ∈ A0 (k) が成り立ちます. f を fe に対応させることによる C-ベクトル空間の準同型 Sk (Γ1 (N )) → A0 (k) は単射で, Sk (Γ1 (N )) と A0 (k) の K1 (N )-不変部分 A0 (k)K との同型を誘導します.
Ã!
abfe ∈ A0 (k) に対し, GL2 (A) 上の C 値関数 φfe を, g ∈ GL2 (Af ), h =∈ GL2 (R) に対して
c d

√
µ
¶
√
k
a −1 + b
φfe(gh) = | det(h)| 2 (c −1 + d)−k fe g, √c −1 + d
とおくことによって定めると, これは well-deﬁned で, φfe は GL2 (Q)\GL2 (A) 上の関数となります. fe を
φfe に送ることによって A0 (k) は GL2 (A) 上の尖点的保型形式のなす空間に埋め込まれます.
一般に 群 G と部分群 H があるとき, Ind という関手が, G の作用を H に制限することによって得られる, G 加群の圏から H 加群の圏への共変関手の左随伴関手として定まります. Z を自明な H 加群とします. これはアーベル群としては Z で, H の作用が H → Aut(Z) = {±1} はすべての h ∈ H を 1 に送る写像として定義されたものです. End(IndZ) という環を考えます. X を G 加群とすると, X の H 不変部
分 X H = {x ∈ X | h(x) = x, ∀h ∈ H} は End(IndZ) 加群となります. X に X H を対応させることによって, 適当な条件を満たす End(IndZ) 加群と, 適当な条件を満たす G 加群との間に 1 対 1 の対応が得られます. G = GL2 (Af ), H = K1 (N ) とすると, Sk (Γ1 (N )) は G 加群 A0 (k) の H 不変部分とみなせるため,
End(IndZ) 加群となります. 7 節で現れた Hecke 環は準同型 End(IndZ) → EndC (Sk (Γ1 (N ))) の像の部分
環となります.

13. 志村多様体のコホモロジー
正規化された新形式 f に伴う Galois 表現 Vf,λ の構成を一般化して, 志村多様体とよばれる特別なタイ
プの代数多様体上の ` 進局所系のコホモロジーを用いて, より一般の代数群の保型表現に付随する Galois
表現が構成されます.
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志村多様体とは, 志村データとよばれる, Q 上の簡約代数群 G と R 上の代数群の射 h : S → G ⊗Q R の組 (G, h) であって, 適当な条件を満たすものに対して定義されます. ここで S は Deligne トーラスと呼ばれる R 上の代数群です. 志村多様体は, h のリフレックス体と呼ばれる代数体上の代数多様体の射影系です.
[HT] では Kottwitz 型の志村多様体という特別な形の志村多様体を用いて, 保型表現に伴う Galois 表現を構成します. その方法は, Lefschetz トレース公式と Selberg トレース公式とを用いて, 計算を志村多様体の還元の上の点の個数と Selberg トレース公式の幾何項に現れる軌道積分との比較に帰着させるというものです. この方法は伊原 [I], Langlands [L] によって始められました. 点の個数と軌道積分との比較には基本補題という公式が用いられますが, 一般にはこの公式は予想であって証明がなされていません. ごく最近
Ngo によって基本補題はかなり解決に近づいたみたいです. こういった最近の進展により, 保型表現に伴う
Galois 表現をより一般の志村多様体を用いた構成が実現に近づきつつあります.

14. MLTR = T 定理は, 保型性持ち上げ定理 (MLT) と呼ばれる主張を証明するために使わます.
ます MLT について説明します. F を総実代数体とします. K を ` 進体, O を K の整数環, κ を K の剰余体とします. ρ を F の O 上の階数 2 の Galois 表現とし, ρ = ρ ⊗O κ とおきます. MLT とは, ρ が適
当な技術的条件を満たすとき, ρ が保型的であれば ρ は保型的である, という主張のことをいいます.
この形の主張は Taylor-Wiles [TW] の結果を用いて, Wiles [W] が最初に証明しました. Wiles が証明した場合は F = Q であり, ρ に複雑な技術的条件が課されていました. 現在では MLT の主張中の技術的条
件は, かなり改良されました. 比較的最近の MLT の主張として, 論文 [Ki1] にある次の結果を紹介します.
q`−1
定理 14.1. F = Q, ` > 2 とし, ρ, ρ が条件: (1) ρ を Q( (−1) 2 `) に制限したものは絶対既約, (2) ρは有限個の素点を除いて不分岐, (3) ρ を GQ` に制限したものは潜在的に Barsotti-Tate, 12 を満たすとする. このとき ρ が保型的ならば ρ も保型的.
Khare-Wintenberger による Serre 予想の証明では ` = 2 の場合も使います. また 条件 (3) により, 上の定理の ρ について ρ ⊗O K ∼= ρf,λ ⊗Of,λ K を満たす f の重さが 2 となりますが, Serre 予想の証明では fの重さがもっと高くなるような場合も ρ に対する MLT も必要です.
ρ を与える保型形式 f を一つ取ります. F を総実代数体であって Q 上 Galois かつ Gal(F/Q) := GQ /GF
が可解なものとします. 巡回的基底変換を繰り返し用いると, ρ が保型的であることを示すには, ρ を GFに制限したものが保型的であることをいえば十分です. うまく F を選び GF に制限することによって, 次の 2 条件が成立するようにできます: (1) ` の上にない有限素点で ρ が不分岐, かつ ` の上にある素点で ρの分岐が十分良い条件を満たす. (2) Skinner-Wiles による弱いレベルの引き下げを用いて f として ρ よりも分岐が少ないものが取れる.
定理 14.1 を証明する際にはこのような F を取り, ρ を F のガロア表現に制限してから, MLT の証明の中核的部分をなす R = T 定理を適用します.
15. Galois 表現の変形の理論
R = T 定理の R というのは Galois 表現 ρ の普遍変形環とよばれる環です. Galois 表現の変形の理論はMazur によって始められ, そのとき以来 Galois 表現の普遍変形環は R という記号で書かれつづけています. Mazur は様々な視点から R の研究へのアプローチを提唱しましたが, その中に R → T という写像を用いるという発想がすでに現れています. 冒頭で R = T 定理は Wiles と Taylor-Wiles が確立したと書き
12Q 有限次拡大体 K の絶対ガロア群に ρ を制限すると, K の整数環上の Barsotti-Tate 群から得られる Galois 表現に同型と`なるという意味です. Barsotti-Tate 群を扱うさいには, 素数 ` を p と書くことが多く, そのとき Barsotti-Tate 群は p 可除群ともよばれます.
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ましたが, R → T という写像を考えると, それが同型になることが証明できる場合があるという発想も既にMazur の論文中にも現れています.
Galois 表現の変形の理論とは, モジュライの局所理論の考え方の枠組みを Galois 表現に適用したものです. 先ほど楕円曲線のモジュライについて触れましたが, これは楕円曲線の全体の空間を代数幾何的に捉えるために有効なものでした. 体上の楕円曲線はこのモジュライ空間の点を与えますが, モジュライ空間全体ではなく, その点の周りでのモジュライ空間の局所的な様子だけを詳しく調べる際にこのモジュライの局所理論というものが重要です.
楕円曲線のモジュライの場合と同様に, 一般に何かのモジュライ空間は, 適当な空間の圏から集合の圏への, 空間 S に対し S をパラメータ空間とする「何か」の族の同型類の集合を対応させる関手を表現する空間として与えられます. Galois 表現の普遍変形環とは Galois 表現の変形の理論における形式的モジュライ空間の座標環のことです.
Galois 表現の変形の理論では, 小さい空間, 1 点の周りの微小な近傍のような空間にパラメータの空間を制限して考えます. 13 K を ` 進体, O を K の整数環, κ を K の剰余体とします. パラメータ空間を小さい空間に制限するというのは, Artin O 可換代数とよばれる特別なタイプの可換環であって剰余体が κ となるもののなす圏 AR にスキームの圏から移行することを意味します. F を大域体または局所体とします.
(V, ρ) を F の κ 上の階数 2 の Galois 表現とします. このとき AR の対象 A に対して, F の A 上の階数
2 の Galois 表現 (W, ρ) と GF の作用を保つ同型 W ⊗A κ ∼= V との組の同型類を対応させる関手を考えます. ρ が絶対既約の場合にはこの関手は表現可能 (正確にはプロ表現可能) となります. この関手を表現する
環を R と書きます. F が局所体のときはさらに枠つき変形というものも考えます. このためには κ ベクト
ル空間としての同型 V ∼= κ⊕2 を固定し, ρ を準同型 GF → GL2 (κ) とみなします. このとき AR の対象 Aに対して, 準同型 GF → GL2 (A) であって GL2 (A) → GL2 (κ) と合成すると ρ となるもの全体の集合を対応させる関手を考えます. この関手は ρ が絶対既約でなくてもつねにプロ表現可能となります. 表現する環を R と書きます. 枠つき変形の関手は, AR の対象 A に対し, F の A 上の Galois 表現 (W, ρ) と GF の作用を保つ同型 W ⊗A κ ∼= V と A 加群としての同型 W ∼= A⊕2 であって, 誘導される同型 W ⊗A κ ∼= κ⊕2が合成 W ⊗A κ ∼=V ∼= κ⊕ に一致するもの, の 3 つ組の同型類のなす集合を対応させる関手とみなすこともできます.
F を大域体, S を F の素点の有限集合であって ∞ または ` の上にある素点をすべて含むものとします. ρ を F の κ 上の Galois 表現であって, ` の上にない F のすべての有限素点で不分岐なものとします.
Σ ⊂ S を部分集合であって ∞ または ` の上にある素点をすべて含むものとします. さらに, 各 v ∈ S \ Σ
に対し, 条件(1 − qv )((1 + qv )2 det ρ(Frobv ) − qv (trρ(Frobv ))2 ) ∈ κ×を仮定します. Σ に属する各素点上で局所的に枠をつけた変形問題というものを考えます. これは AR の対象
A に対し, S の外で不分岐な F の A 上の階数 2 の Galois 表現 (W, ρ) と GF の作用を保つ同型 W ⊗A κ ∼
=V
⊕2
⊕2
∼
∼
と, 各 v ∈ Σ に対する A 加群としての同型 W = A であって, 誘導される同型 W ⊗A κ = κ が合成
W ⊗A κ ∼=V ∼= κ⊕ に一致するものの組の同型類のなす集合を対応させる関手です. この関手は ρ が絶対
既約のときプロ表現可能となります. 表現する環を RF,Sと書きます.
これらの変形問題にさらに行列式条件を課したものを実際には考えます. 行列式条件というのは A ∈Obj(AR) 上の階数 2 の Galois 表現 (W, ρ) の行列式表現 det ◦ρ が与えられた O 上の表現 ψ に一致する
,ψという条件です. 行列式条件 ψ を課した普遍変形環を Rψ , R,ψ , RF,Sなどと書きます.
局所モジュライ空間には相対接空間という概念があります. これは Galois コホモロジーというものを用いて計算されます. 一般に群 G と G 加群 M が与えられると, 各整数 i に対し H i (G, M ) と書かれるアーベル群が自然に定義されます. 各 i に対し, M に H i (G, M ) を対応させることにより G 加群の圏からアーベル群の圏への関手が得られます. また H → G を群の準同型とすると, アーベル群の準同型
13そうでない場合にはよいモジュライの問題設定がよくわかりません.
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H i (G, M ) → H i (H, M ) が標準的に定まります. このアーベル群の重要性を述べるためには, ホモロジー代
数というものについて知る必要があります. 14 この項ではホモロジー代数について詳しく説明しませんが,ホモロジー代数の理論で重要な完全系列というものについてここで少しだけ触れておきます. 完全系列というのはアーベル群と準同型からなる図式
f−2

f−1

f0

f1

· · · −−→ M−1 −−→ M0 −→ M1 −→ · · ·であって, 任意の整数 n について Im fn−1 = Kerfn が成立するもののことをいいます. 完全系列には無限に続いているものも有限個で終わっているものもあります. 0 → Mm → · · · → Mn → 0 が完全系列であっQniて, Mm , . . . , Mn がすべて有限アーベル群のとき, 等式 i=m (]Mi )(−1) = 1 が成立します. 代数体 F の絶対 Galois 群 GF や分岐を制限した GF,S や, 素点 v ∈ SF での分解群 GFv はただの群ではなくて副有限群と呼ばれる特殊な位相群です. G を副有限群とすると, 離散的 G 加群というものが考えられます. 離散的G 加群とは, G 加群 X であって写像 G → G\X による G\X の各元の逆像が有限集合となるようなもののことです. Galois コホモロジーというのは, 離散的 GF 加群 X や離散的 GFv 加群 X に対する, 群のコホモロジーの一変形で, H i (F, X), H i (Fv , X) といった記号で書かれます. 離散的 GF,S 加群 X に対する
Galois のコホモロジーをこの稿では H i (GF,S , X) と書きます. 15
M = {x ∈ Endκ (V ) | tr(x) = 0} とおきます. ρ の変形に関する, 各 v ∈ S における局所条件は部分空間
Lv ⊂ H 1 (Fv , M ) で統制され, RF,S の O 上の相対接空間は Galois コホモロジーを用いて"#Y(15.1)
Ker H 1 (GF,S , M ) →H 1 (Fv , M )/Lvv∈Sと書けます. 一般に GF,S のガロア表現 M に対し, 式 (15.1) のような形のアーベル群を M の Selmer 群といいます.
相対接空間 (15.1) の次元の計算には大域双対定理というものが用いられます. 以下, この大域双対定理について説明します. 16 代数体, 正確には代数体の整数環に対応するスキームが 3 次元多様体と似ているという指摘がありますが, この大域双対定理の存在はその指摘を裏付けるものです. 大域双対定理の説明の前に局所双対定理について説明します. K を p 進体とします. M を GK 加群であって, 有限個の元からなるものとします. このとき i ≥ 3 に対し H i (K, M ) = 0 となります. また i = 0, 1, 2 に対し, H i (K, M ) は有限群となります. Q/Z(1) を 1 の巾根のなす GK 加群とします. 局所体の Brauer 群の計算から H 2 (K, Q/Z(1)) は標
準的に Q/Z と同型になります, M ∗ (1) = Hom(M, Q/Z(1)) とおきます. ただし右辺の Hom は GK 加群としてではなくアーベル群としての準同型を表すものとします, M ∗ (1) には自然に GK 加群の構造が入ります.
このときカップ積というものを使うと, アーベル群の準同型写像 H i (K, M ∗ (1)) → Hom(H 2−i (K, M ), Q/Z)が得られます. 局所双対定理とはこの準同型が全単射であることを主張するものです.
大域双対定理は通常 Tate-Poitou の完全系列の形で書かれます. F を代数体, S を F の素点の有限集合であって ∞ の上にある素点をすべて含むものとします. M を GF,S 加群であって, 有限個の元からなり,]M を割る素数の上にある F の素点はすべて S に含まれるものとします. このとき, 任意の整数 i について H i (GF,S , M ) は有限アーベル群であり, 完全系列

L
0 → H 0 (GF,S , M ) → v∈S H 0 (Fv , M ) → H 2 (GF,S , M ∗ (1))∨
L→ H 1 (GF,S , M ) → v∈S H 1 (Fv , M ) → H 1 (GF,S , M ∗ (1))∨
L→ H 2 (GF,S , M ) → v∈S H 2 (Fv , M ) → H 0 (GF,S , M ∗ (1))∨ → 0
14より詳しいことは, たとえば [河田] をご参照ください.
15通常の群のコホモロジーと同じ記号になってしまうのですが, この稿では Galois コホモロジーのほうしか出てこないので誤解は生じないはずです.
16より詳しいことは, たとえば [NSW] をご参照ください.
18平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)が存在します. ここでアーベル群 A に対し A∨ = Hom(A, Q/Z) と書くことにしました. この完全系列がTate-Poitou の完全系列です.

16. R = T
Mazur は R を考えるアイデアを創始し, いろんなアプローチによる R の研究方法を提唱しました. そのうちの一つとして, 上の設定とは少し異なるモジュライ問題の下で, 写像 R → T を考え, それが同型である
ことを肥田の変形というものを用いて示しました. Wiles [W] と Taylor-Wiles [TW] は, 上に設定したような状況の下での同型 R → T の証明の基本戦略を開発し, それを用いて特別な場合の谷山-志村予想を解決しました. その後, Diamond [Di], 藤原 [Fu] による Taylor-Wiles の方法の改良があり, T の形が巾級数環でない場合にも Taylor-Wiles の方法が適用できるようになりました. 同じ [Fu] で藤原は総実代数体の階数 2の次元 Galois 表現に Wiles, Taylor-Wiles の方法を拡張しました. 現在では R = T 定理は Kisin [Ki1] に
よってさらに改良されて使いやすいものになっています.
R = T 定理の基本戦略を順を追ってお話します. F を総実代数体とします. R は前節で出てきた, F の
Galois 表現 ρ の普遍変形環です. モジュライ問題の設定の仕方によって, R には RF,S
, RF,Sなど色々なオプションが考えられますが, 以下では大変大雑把な話しかしないので, 煩雑さを避けるためにオプションを書くのを無視して R と書くことにします.
R = T 定理の T を局所化された Hecke 環として構成します. R がレベル N , 重さ 2 の正規化された
新形式 f から得られる Galois 表現 ρf,λ の (適当な分岐条件をみたす変形問題の) 普遍変形環のとき, T はHecke 作用素の生成する End(S2 (Γ1 (N ), Z)) の部分環を ρf,λ に対応する極大イデアルで局所化した環です.
最近では T の構成の際に, 総実代数体 F 上の定符号 4 元数環の乗法群と呼ばれる F 上の代数群 G 上の保型形式を用いるのが普通です.
次に, Diamond [Di], 藤原 [Fu] によって改良された Taylor-Wiles のパッチング構成を適用するために,
T の作用する加群を作らないといけません. 上の段落の代数群 G を用いると, G(F ⊗ R) がコンパクトになるため, G(AF ) 上の保型形式の解析的な取り扱いが容易となり, T の作用する空間の構成が容易になります. G を用いて T を構成するためには途中で用いる Jacquet-Langlands 対応からの要請として ρ に条件が必要なのですが, F を F の適当な可解 Galois 拡大であって総実代数体となるものに置き換えることによってこの条件をクリアします.
さらに F の T 上の Galois 表現を作ることによって, R の普遍性から準同型 R → T が得られます. 多くの場合 T 上の Galois 表現の構成には, 志村曲線の ` 進コホモロジーというものを用います. 志村曲線というのは F 上の定符号でない 4 元数環の乗法群と呼ばれる別の F 上の代数群 G0 から作られる志村多様体です.
最後に準同型 R → T が同型 (に近い) ということを証明します. R → T が同型に近いことには 2 つの根拠があります. 一つは, T を保型形式と対応するような ρ の変形のモジュライ空間の座標環みなせば,
R = T が成り立つのは Langlands 予想から従うはずだ, というものです. もう一つの根拠は, Hecke 環 Tの接空間の大きさが保型形式の随伴 L 関数の特殊値と関係するという証拠がいろいろと知られており, 一方で Bloch-加藤の玉河数予想というのがあり, R の接空間である Galois 表現の随伴表現の Selmer 群の大きさが Galois 表現の随伴表現の L 関数の特殊値と関係すると予想されているので, R と T の両者に関係があってしかるべきだというものです.
準同型 R → T が同型 (に近い) ということを実際に証明する際に, Taylor-Wiles のパッチング議論というものを用います. その際 Kisin [Ki1] の方法を用いると, 分岐が極小でないの場合にも Taylor-Wiles のパッチングが直接適用できて, Wiles [W] がしていたような, レベルの引き上げを用いた分岐極小の場合との差の評価をすることなく R = T が証明できるようになりました. [Ki1] の方法以前には, 分岐極小でない場合に伊原の補題というものを用いていて, それを GL2 以外の群に拡張することが困難だったのですが, 伊19平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

原の補題が不要になったことにより, GL2 以外の群に対しても R = T 定理が証明できるようになり始めています. その成果のひとつに, 後で紹介する佐藤-Tate 予想に関する最近の進展があります.
Taylor-Wiles のパッチング議論のおおまかな感じを説明します. Spec R は空間として激しく特異点を持ちます. もともと知りたい準同型 R → T だけでなく, 分岐条件を緩めたモジュライ問題をいろいろ考える
ことによって, いろいろな R, T , R → T ができます. 重要なのは, R の相対接空間の大きさが変化しないよ
うな分岐条件がたくさん存在するということです. 分岐条件を変えた R の相対接空間は, 分岐条件を変えた
Selmer 群で書けます. Bloch-加藤の玉河数予想の立場からは, 分岐条件を変えた Selmer 群は局所因子を取り除いた Galois 表現の L 関数と関わります. したがって分岐条件を付け加えた時の R の相対接空間の変化は, 分岐条件を付け加えた素点での局所 L 因子 の特殊値と関わるはずです. このことは Tate-Poitou の完全系列を用いて実際に確かめられます. 17
Taylor-Wiles のパッチング議論というのは, 相対接空間の大きさが変化しないような分岐条件の元でのR, T , および R → T の, 不自然な極限を無理やり考えることによって, 激しい特異点を持っていた普遍変形空間 Spec R を, 滑らかな空簡に埋め込み, R と T との比較を容易にする手法です. この滑らかな空簡というのが, もともとの Taylor-Wiles のパッチング議論では O 上滑らかな空間にならなければいけなかったのですが, Kisin [Ki1] によって改良が加えられた方法に基づくと, 局所ガロア表現の普遍変形環 RΣ 上の相
対的に滑らかにあれば議論を進めることができるようになり, 議論の適用範囲が広がりました. その代わり
Kisin の方法ではパッチング議論を適用すれば直ちに R = T が分かるいうわけではなく, 適用後に局所ガロア表現の普遍変形環の次元を計算して, また局所ガロア表現の普遍変形環が整域であることを示す必要が出てきます. 整域であることを示すのが難しく, その際に ` 進体の平坦変形問題の普遍変形環を直接調べるかわりに, ` 進体の整数環上の有限平坦群スキームの形式的モジュライを調べます. より正確には Breuil[Br] の理論を用いて, 有限平坦群スキームそのものではなく, Frobenius と呼ばれる半線型作用素とフィル
トレーションがついている適当な加群の形式的モジュライ空間を実際には考えます. ρ の局所体への制限が絶対既約でない場合も枠付き変形を考えることによって普遍変形環を扱うことができます.
局所 Galois 表現の変形環を調べるための予備知識についてお話します. ρ を ` を割る F の素点での分解群に制限した Galois 表現の変形環を調べることが問題となります. 以下この段落では気分を出すため `のことを p と書きます. 集合 G と演算 G × G → G とが与えられ適当な条件を満たすと群が定まるのと同様に, S 上のスキーム G と射 G ×S G → G とが与えられ, 適当な条件を満たすと S 上の群スキームが定まります. 標数 p の完全体上の p 巾トージョン可換群スキームは Dieudonne 加群の理論を用いて分類することができます. この分類をもとにして, p 進体の整数環上の p 巾トージョン可換群スキームを分類する理論
を Fontaine が始めて Breuil [Br] が完成させました. このような長い研究の歴史があって p 可除群から来る p 進体の Galois 表現のことがよく分かっているため, 行列式が円分指標となるような変形問題の場合には ρf,λ の局所変形空間を調べることができます. そうでない場合, 特に重さが 2 より大きい保型性を示したい場合には, p 可除群の理論ではうまくいかず, より一般の p 進表現を扱わなければなりません. p 進表
現を扱う道具を Fontaine は色々と開発しました. Wiles [W] が用いた Fontaine-Laﬀaille 理論 [FL] もそのようなものの一つです. Fontaine の開発した道具のいくつかは p 進 Hodge 理論という大きな理論に発展しました. Fontaine の開発した道具のいくつかは Qp 係数の Galois 表現を扱うのには適していますが, p 巾
トージョン係数の Galois 表現を扱うことが難しく, それが 重さが 2 でない保型性を示すために R = T 定
理を確立する際の困難となっています. 最近では, Fontaine の開発した道具の一つである (ϕ, Γ) 理論 [Fo]を用いた, p 巾トージョン係数の Galois 表現を取り扱う方法に進展がみられ, 新しい分野である p 進係数局
所 Langlands 対応の理論と関わりを持ちつつ発展しています.

17これを確かめる際に mod ` 表現 ρ にある種の絶対既約性の条件が必要になります.
20平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

17. 応用 1. Serre 予想
最後に R = T 定理の Serre 予想および佐藤-Tate 予想への応用について述べます.18
Serre 予想の主張は先ほど述べました. 予想 9.3 がそうです. すでに述べたように, この予想はより弱い
予想 9.2 と同値であることが示されていました. 予想 9.2 は Khare-Wintenberger によって証明されました. 以下その証明の方針を述べます. 証明には次の 2 つの主張 (A), (B) を用います.
(A) は MLT です. Khare-Wintenberger では Kisin [Ki1] によって証明された形の MLT (定理 14.1) だ
けでなく, 重さが 2 と ` + 1 の間にある表現を (定理 14.1 よりも強い条件を課す必要があるものの) 扱える
ような MLT を証明して用います. 定理 14.1 では ` 6= 2 を仮定していますが, ρ が 2 で分岐する場合の 9.2の証明には ` = 2 に対する MLT も必要で, Kisin の別の論文 [Ki2] で証明された ` = 2 の場合の適当な技
術的条件を仮定した MLT を用います.
(B) は, (比較的緩い条件を満たす) mod ` 表現は常に強い意味での compatible system に持ち上がる, というタイプの主張です. これは以下のような方針で, Khare-Wintenberger [KW2] で証明されています. 普遍変形環の構造に関する Böckle [Bö] の結果と Taylor [T2] の潜在的保型性の結果を用いて, ρ は O 上の
Galois 表現 ρ に持ち上がります. ρ は 保型的 かどうか分かりませんが, Taylor の潜在的保型性の結果を用いると, Q 上 Galois な総実代数体 F が存在して, ρ を GF に制限したものは保型的です. Carayol [Ca],Taylor [T1], 斎藤 [Sa], Kisin [Ki5] の結果を使うと Hilbert モジュラ形式に伴う ` 進表現と局所 Langlands
対応とが, 全ての素点で整合的となり, したがって ρ を GF に制限したものは強い意味での compatible
system に延ばせます. Brauer 誘導の理論を用いて ρ は強い意味での compatible system に延ばせることがわかります.
(A), (B) を用いた 9.2 の証明の方針を述べます. 最初に ρ からスタートします. まず (B) を用いて, ρを 強い意味での compatible system に持ち上げます. 次に素数 `0 をひとつとり, 今持ち上げた compatible
system の mod `0 還元をとることによって mod `0 表現を作ります. どの素数 `0 で還元をとることもできるのですが, 後のことを考えて賢く `0 を選ばなければいけません. この操作を繰り返してゆきます. (B) を用いて持ち上げては還元をとり, (B) を用いて上っては降りることを繰り返し, 帰納法の仮定によってすでに保型的だと証明されている場合に持ってゆきます. そうして今度は今来た道を引き返します. 行きに還元だったところは帰りには持ち上げになるのですが, (A) を用いて保型的であるという性質を保ったまま持ち上げることができます. ただし (A) の主張には p 進体の p トージョン係数の Galois 表現を p 進 Hodge 理論を用いて扱う際の技術的困難からくる制約がついています. このため保型的であるという性質を保ったま
ま持ち上げためには, 行きの還元の際に, 素数を注意深く選ぶ必要があります. Khare-Wintenberger の用いた MLT に付いている技術的制約は, この制約は [Ki3] や [Ki4] によって改善されつつあるように思われるので, 近い将来, 現在得られているものよりも見通しの良い, Serre 予想の証明が得られるのではないかと思います.

18. 応用 2. 佐藤-Tate 予想
E を Q 上の楕円曲線とします. E の表示 y 2 = f (x) をとることによって, 部分アーベル群 Λ ⊂ C, およ√√び有限個を除いた素数 p について, 整数 ap を定義しました. 実は ap は不等式 −2 p < ap < 2 p を満たすことが知られています. 集合 {x ∈ C | xΛ ⊂ Λ} が Z よりも真に大きいとき E は虚数乗法をもつといいます. E が虚数乗法をもつ場合は特殊な場合であり, 虚数乗法をもたない場合と比べて物事がいろいろと簡単になっています. 佐藤-Tate 予想は虚数乗法をもたない E に対する予想です. 予想を述べるために少し準備をします.
!
)(Ãx y ¯¯22
SU (2) =¯ x, y ∈ C, |x| + |y| = 1−y x
18R = T 定理の応用としてはほかにも Fontaine-Mazur 予想, Artin 予想への応用, GL

2 type のアーベル多様体の保型性への応用などがあります.
21

平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)とおきます. ここで x, y はそれぞれ x, y の複素共役を表します. これは SL2 (C) の部分群となります.
SU (2) には Haar 測度という測度が入り, これを用いて SU (2) 上の連続関数の積分を考えることができます. トレース写像 M2 (C) → C は連続写像 α : SU (2) → [−2, 2] を与えます.
予想 18.1. E を虚数乗法をもたない Q 上の楕円曲線とする. このとき, 任意の閉部分区間 I = [a, b] ⊂ [−2, 2]
に対し, 極限√
ap が定義され, ap / p ∈ I を満たすような N 以下の素数の個数lim
N →∞N 以下の素数の個数が存在し,α−1 (I) の体積
1=
SU (2) の体積
2πZ bp
4 − t2 dt
aに等しい.
体 K 上の楕円曲線 E に対し, E の j 不変量と呼ばれる量 j(E) ∈ K が定まります. E が式 y 2 =x3 + Ax2 + Bx + C で与えられているとき, j(E) = −32(A2 − 3B)3 /(4A3 C − A2 B 2 − 18ABC + 4B 3 + 27C 2 )が成り立ちます. Harris-Shepherd-Barron-Taylor [HSBT], Taylor [T3] は次のことを証明しました.
定理 18.2. E を Q 上の楕円曲線であって, j(E) が整数でないものとする. (このとき自動的に E は虚数乗法をもたないことが分かります). このとき予想 18.1 は E について正しい.
佐藤-Tate 予想は Serre によって対称テンソル積の L 関数についての予想に帰着されていました ([セ]参照):
定理 18.3. E を Q 上の虚数乗法をもたない楕円曲線とする. ` を素数, V を Q の Q` 上の階数 2 の Galois
表現 T` E ⊗Zp Qp とする. このとき, もし任意の整数 n ≥ 1 に対して, Q の Q` 上の階数 n + 1 の Galois
表現 Symn V の L 関数 L(Symn V, s) が Re(s) ≥ 1 + n/2 に正則に解析接続され, この範囲に零点をもたないならば, E に対して予想 18.1 は正しい.
代数体 F が CM 体であるとは, 条件 (1) 環準同型 F → R が存在しない, (2) F の部分体 F + であって,F + が総実かつ [F : F + ] = 2 となるものが存在する, を満たすことをいいます. F + は F から一意的に定まります.
F を総実代数体 (ないし CM 体) とします. [CHT] は GLn (AF ) の RAESDC 表現 (ないし RACSDC 表
N0現) という概念を導入しました. GLn (AF ) の RAESDC 表現 (ないし RACSDC 表現) π = v πv であって,ある有限素点 v で πv が 2 乗可積分表現となるものに対し, F の Q` 上の階数 n の Galois 表現 ρπ およびF` 上の階数 n の Galois 表現 ρπ が, 本質的に 13 節で触れた方法を用いて Clozel [Cl], [CL], Harris-Taylor[HT] によって構成されています. ρ を F の Q` 上の階数 n の Galois 表現とします. ρ が保型的であるとは, GLn (AF ) の RAESDC 表現 (ないし RACSDC 表現) π (であって, ある有限素点 v で πv が 2 乗可積分表現となるもの) が存在して, ρ が ρπ と同型になることをいいます. F の F` 上の階数 n の Galois 表現 ρが保型的であるということも同様に定義します.
Harris-Shepherd-Barron-Taylor [HSBT] は, この定理 18.3 を用いて定理 18.2 を下の定理に帰着させることにより証明しました (この帰着のポイントは Brauer の定理とよばれる有限群の C 上の表現に関する定理を用いることにありますが, この原稿では詳細を省略します).
定理 18.4. E を Q 上の楕円曲線であって, j(E) が整数でないもの, ` を素数, n を整数とする. このとき総実代数体 F であって, Q 上 Galois なものが存在して, 任意の奇数 m ≤ n に対し, Symm T` E を GF に制限したものは保型的となる.

[CHT] で確立した R = T 定理に Kisin [Ki1] の方法を用いた改良を加えることによって, Taylor [T3] は
MLT の高次元化となる次の定理を証明しました.
22平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

定理 18.5. F を CM 体, n ≥ 1 を整数, ` > n を F/Q で不分岐な素数, ρ を F の Q` 上の階数 n のGalois 表現であって条件

ESD: ρσ ∼= ρ∨ ²1−n ,RAM: ρ は有限個の素点を除いて不分岐.
FL: ` の上にある F の各素点に対し, ρ の GFv への制限が Fontaine-Laﬀaille [FL] の理論が適用できるための条件を満たし, かつ各 Hodge-Tate 数が 1 以下.
DS: ` の上にない, F のある有限素点 v において, ρv の Frobenius 半単純化は直既約であり, さらにいくつかの技術的条件を満たす.
を満たすとする, このとき ρ の mod ` 還元 ρ が既約性等の適当な技術的条件を満たし, かつ ρ が保型的ならば, ρ も保型的である.
この定理の帰結として, 総実代数体の Galois 表現に対する MLT の高次元版が得られます.
系 18.6. F を総実代数体, n ≥ 1 を整数, ` > n を F/Q が ` で不分岐となる素数, ρ を F の Q` 上の階数n の Galois 表現であって条件

ESD: ある GF の指標 χ であって, χ の GFv への制限が ∞ の上にある F の素点によらないものが存在し, ρσ ∼= ρ∨ ²1−n が成立する,
RAM: ρ は有限個の素点を除いて不分岐.
FL: ` の上にある F の素点 v に対し, ρ の GFv への制限は Fontaine-Laﬀaille [FL] の理論が適用できるための条件を満たし, かつ各 Hodge-Tate 数が 1 以下.
DS: ` の上にない, F のある有限素点 v において, ρv の Frobenius 半単純化は直既約であり, さらにいくつかの技術的条件を満たす.
を満たすとする. このとき, ρ の mod ` 還元 ρ が既約性等の適当な技術的条件を満たし, かつ ρ が保型的ならば ρ も保型的である.
定理 18.5 の証明の方針を簡単に説明します. Kisin [Ki1] に倣い, 局所的に枠をつけた変形問題を考え,G(F + ⊗Q R) がコンパクトとなる F + 上のユニタリ群 G を使って保型形式の空間を定義し, その空間への Hecke 作用素の作用を用いて, R = T 定理に現れる環 T を構成します G(F + ⊗Q R) のコンパクト性から, Taylor-Wiles のパッチング議論で必要になる T の作用する加群は比較的容易に構成できます. 準同型 R → T を得るために, T を係数環とする Galois 表現を構成します. T は 1 次元局所環となることに注意しておきます. T を定義する際に用いたユニタリ群とは違うタイプのユニタリ群を用いて, 既に触れた
Kottwitz 型の志村多様体が作れ, それを用いることによって, T の各素イデアル ℘ に対して, F の ℘ での剰余体の代数閉包上の Galois 表現が構成されます. この Galois 表現のトレースを見る議論によって ([CHT,
Chapter 1]), T 上の Galois 表現を得ることができます. R の普遍性により準同型 R → T が得られます.
Kisin [Ki1] によって改良された Taylor-Wiles のパッチング議論を用いて R = T 定理を確立することにより, 定理 18.5 が証明されます.
最後に, Q 上 Galois な総実代数体 F と素数 ` が存在して, 各奇数 m ≤ n に対して Q の Galois 表現
Symm ρE,` を F に制限したものが保型的となる, ということを証明することによって, 定理 18.4 の, 従って
定理 18.2 の証明が完成します. この最後の部分には (3, 5) トリックと似た手法が用いられます. その際に,とある代数多様体上の F 有理点が必要となるのですが, Moret-Baily [MB] の結果を少し拡張したものを用いてこのような有理点の存在が証明されます.
以上で私の話は終わりです. 皆様最後までお付き合いくださりどうもありがとうございました.
23平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)

19. 謝辞草稿段階の本原稿に目を通してくださり, たくさんの有益な助言を下さいました山下剛さんに感謝いたします. 19References

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Khare, C., Wintenberger, J.-P.: Serre’s modularity conjecture: The case of odd conductor (I), preprint (2006)
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Mazur, B.: Deforming Galois representations, in Y. Ihara, K. Ribet, J.-P. Serre (ed.): Galois group over Q, MSRI
Publications 16, 385–437. Springer Verlag (1989)

19せっかく有益な助言をいただいたにも関わらず, それを生かしきれていない箇所がこの原稿には数多くあります. 大変申し訳なく思います.
24平成19年度(第29回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成19年7月30日～8月2日開催)[MB]

Moret-Bailly, L.: Groupes de Picard et problèmes de Skolem, II, Ann. Sci. École Norm. Sup. 22, 181–194 (1989)[L]

Langlands, R. P.: Modular forms and `-adic representations, in Modular functions of one variable II, Proc. internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972, Lect. Notes Math. 349, 361–500. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-[R]

New York (1973)
Ribet, K.: On modular representations of Gal(Q/Q) arising from modular forms. Invent. Math. 100, 431–476[Sa](1990)
Saito, T.: Hilbert modular forms and p-adic Hodge theory, preprint

[Se1]
[Se2]

Serre, J.-P.: Points d’order ﬁni des courbes elliptiques, Invent. Math. 15, 259–331 (1972)
Serre, J.-P.: Sur les representations modulaires de degré 2 de Gal(Q/Q), Duke Math. J. 54, 179–230 (1987)[Sh1]

Shimura, G.: Correspondances modulaires et les fonctions ζ de courbes algébriques, J. Math. Soc. Japan 10,
1–28 (1958)[Sh2]

Shimura, G.: An `-adic method in the theory of automorphic forms, the text of a lecture at the conference
Automorphic functions for arithmetically deﬁned groups, Oberwolfach, Germany, July 28-August 3, 1968, in[T1]

Collected Papers Vol. II, 237–272
Taylor, R.: Galois representations associated to Siegel modular forms of low weight, Duke Math. J. 63, 281–332[T2](1991)
Taylor, R.: On the meromorphic continuation of degree 2 L-functions, preprint (2001)

[T3]
[TW]

Taylor, R.: Automorphy for some l-adic lifts of automorphic modl Galois representations II, preprint (2006)
Taylor, R., Wiles, A.: Ring theoretic properties of certain Hecke algebras, Ann. of Math. 141, 553-572 (1995)[W]

Wiles, A.: Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Ann. of Math. 141, 443-551 (1995)

教科書 (英語)[Book]

Cornell, G., Silverman, J. H., Stevens, G. (ed.): Modular forms and Fermat’s last theorem,[NSW]

Neukirch, J., Schmidt, A., Wingberg, K.: Cohomology of number ﬁelds, Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften 323. Springer-Verlag, Berlin Heiderberg (2000)

教科書 (日本語)[河田]
ホモロジー代数 I, II, 岩波講座基礎数学. 岩波書店 (1976, 1977)[加藤-黒川-斎藤] 加藤和也, 黒川信重, 斎藤毅: 数論 2 類体論とは, 岩波講座現代数学の基礎 10. 岩波書店 (2000)
[コ]
[斎藤]

コブリッツ, N.: 楕円曲線と保型形式 (上田勝, 浜畑芳紀訳). シュプリンガー・ジャパン (2006)

[シ]
[シ-テ]

J. H. シルヴァーマン: 楕円曲線論概説 上, 下 (鈴木治郎訳). シュプリンガーフェアラーク東京 (2003)
J. H. シルヴァーマン, J. テイト: 楕円曲線論入門 (足立恒雄, 木田雅成, 小松啓一, 田谷久雄訳). シュプリンガーフェア

斎藤毅: Fermat 予想 1, 岩波講座現代数学の展開 11. 岩波書店 (2000)

ラーク東京 (1995)

[セ]
[高木]

高木貞治: 代数的整数論 第 2 版. 岩波書店 (1971)

J.-P. セール: 楕円曲線と l 進アーベル表現 (鈴木治郎訳), ピアソン・エデュケーション (1999)

[ノ]
[ハ]

J. ノイキルヒ: 代数的整数論 (足立恒雄監修, 梅垣敦紀訳). シュプリンガーフェアラーク東京 (2003)
R. ハーツホーン: 代数幾何学 (高橋宜能, 松下大介訳). シュプリンガーフェアラーク東京 (2004, 2005)[藤崎-森田-山本] 藤崎源二郎, 山本芳彦, 森田康夫: 数論への出発 増補新版. 日本評論社 (2004)[マク]マクレーン, S.: 圏論の基礎 (三好博之訳). シュプリンガーフェアラーク東京 (2005)
[マン]
[辞典]

マンフォード, D.: 代数幾何学講義 (前田博信訳). シュプリンガー・ジャパン (2006)
岩波数学辞典 第４版, 岩波書店 (2007)25