令和４年度・数学⼊⾨公開講座

3 August 2022

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 3] 渦
京都⼤学数理解析研究所・⽯本 健太

⾼レイノルズ数の複雑な流れ
複雑な流体運動（ナビエ・ストークス⽅程式の解）の鍵を握るのは渦︖

𝜕𝒖∗1 ∗ ∗∗∗∗∗ ∗+ 𝒖 % 𝜵 𝒖 = −𝜵 𝑝 +Δ𝒖∗𝜕𝑡𝑅𝑒YouTube@Robert S.
https://youtu.be/cM47L5RddsM

YouTube@Jordan Raddick
https://youtu.be/tkFL3_0P0Gk
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令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 3] 渦§1 永遠のシンボル

3 August 2022

古今東⻄ 渦巻き(スパイラル)模様
古代ギリシャ
（紀元前8世紀）

Fig: Wikimedia commons

ゴッホ「星⽉夜」

Fig: Wikimedia commons

Ø 古代ギリシャでは「永遠のシンボル」
ニューグレンジ（旧⽯器時代）Fig: Wikipedia

縄⽂⼟器（縄⽂中期）
Fig: 星降る中部⾼地の縄⽂世界
https://jomon.co/point/detail/12/

どろぼうの⾵呂敷「唐草紋様」 @いらすとや
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渦の発⽣源︖
速度勾配＝渦の源

Fig: Spagnolie, Complex Fluids in Biological Systems
YouTube@F.Xavier Trias, https://youtu.be/c8zKWaxohng

境界層
Ø 固体壁表⾯では速度はゼロ（境界条件）
Ø レイノルズ数が⼤きいと、壁⾯表⾯に渦度がゼロでない薄い層=境界層が⽣じる

Fig: ⽇本機械学会機械⼯学辞典
www.jsme.or.jp/jsme-medwiki/09:1002871
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⾮粘性流
⾮粘性極限

（固体）境界から離れたところ
レイノルズ数が⼗分⼤きい𝜕𝒖∗1 ∗ ∗∗∗∗∗∗+ 𝒖 % 𝜵 𝒖 = −𝜵 𝑝 +Δ𝒖∗
𝜕𝑡𝑅𝑒
ベルヌーイの定理

オイラー⽅程式
𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 % 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝𝜕𝑡
境界条件は滑りありを採⽤
𝒖 $ 𝒏 = 𝒖𝒔 $ 𝒏

Ø エネルギー保存則（エネルギー積分）に対応
Ø 特に、定常流れの場合には

𝜌 "𝐻 = 𝒖 + 𝑝 = ⼀定（流線に沿って）2𝜌 "𝒖 + 𝑝 = ⼀定（全空間で）（渦なし流れの場合には） 𝐻 =
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渦の定理
渦と渦度
𝝎 = ∇×𝒖
渦線 (渦度場の”流線”) 𝑑𝒙 ∥ 𝝎

ケルビンの循環定理(1869年)「渦管は流れに沿って保たれ、粘性がなければ、その”強さ”(循環)は保存される」（渦は流体に凍結される）

渦管 (ある閉曲線𝐶を通る渦線の集合)𝛤 = 7 𝝎 % 𝑑𝑺 = 一定
6𝑆

Fig: Itami (2019) https://www.cradle-cfd.com/media/column/a170

𝜕𝑢" 𝜕𝑢#2次元なら ∇×𝒖 = 0, 0,−𝜕𝑥𝜕𝑦7

渦輪
渦輪 (閉じた渦管)

Gemmel et al. J R Soc Interface (2015)

Fig: Wikipedia

YouTube@ Newsﬂare
https://youtu.be/JXkWSgU-CL08

渦とトポロジー
ヘリシティ

ケルビンのʼʼ渦原⼦論ʼʼ

渦線の絡み具合を表す量＝トポロジー的不変量
⾮粘性流においてℎ = 7 𝒖 % 𝝎𝑑𝑉 = (時間的に)一定

Ø 物質は「エーテルの渦輪」からできているØ 「結び⽬のトポロジー」の発端（参考︓⽯川勝⺒先⽣の講義）

8= 2𝑛Γ9Γ"𝑛 :絡み数𝑛=1𝑛 = −2𝑛=0

Fig: Moffat & Ricca, Proc R Soc A (1992)

Fig: ケルビンのスケッチ
9渦の運命は・・・
ラグランジュの渦定理
Ø ⾮粘性流において「渦は不⽣不滅」
Ø 渦なし流れは永遠に渦なし流れØ 実際には粘性により渦が発⽣する（境界層）

Frisch, Turbulence

⼤⼩さまざまな渦Ø 作られた渦はより⼩さな渦を⽣み出しØ ⼩さい渦は流体の粘性によって消える（散逸）YouTube@ Susumu Goto
https://youtu.be/9p0f2UHt8pM

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まとめ
[Day 3] 渦§1: 永遠のシンボル
Ø ⾮粘性流において「渦は流体とともに動く」
Ø 固体壁付近の境界層で渦は⽣じる
Ø 渦運動は流体運動の⾻格をなす

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3 August 2022

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 3] 渦§2 空想を現実に

流体⼒学と⾔えば、やっぱり⾶⾏機
Ø 空を⾶びたいという⼈類の夢Ø 仮定法の例⽂「I wish I were a bird」
Fig: トウシルウェブサイトよりhttps://media.rakuten-sec.net/articles//21638Fig: wikipedia

Fig: Leonardoʼs rotocraft,
Paris Ms. f.83b

Fig: Canon野⿃写真図鑑

https://global.canon/ja/environment/bird-branch/photo-gallery/tobi/index.html

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翼の周りの流れ
翼周りは渦なし流れ︖
Ø 迎⾓が⼩さいときは流れは乱れないØ ⼤きな迎⾓で流れが剥離＝⼤きな渦が⽣じるʻ0ʼʼ53〜

YouTube@Francis Villatoro
https://youtu.be/6UlsArvbTeo?t=53

Ø 実際には⾮常に薄い境界層が存在する

YouTube@Linné FLOW Centre

ʻ1ʼʼ40〜 https://youtu.be/aR-hehP1pTk?t=10014

流体⼒学と複素解析
コーシー・リーマンの関係式と複素速度ポテンシャル
Ø ２次元の渦なし流れ

𝒖 = (𝑢, 𝑣, 0)𝜕𝜓𝑢=𝜕𝑦𝜕𝜓𝑣=−𝜕𝑥

𝜓: 流れ関数𝜙: 速度ポテンシャル

Ø 複素速度ポテンシャル

𝑊 = 𝜙 + 𝑖𝜓
Ø 正則関数 𝑊(𝑧) が流れ場を決定する

𝑑𝑊= 𝑤 = 𝑢 − 𝑖𝑣︓複素速度𝑑𝑧𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Ø コーシー・リーマンの関係式

𝜕𝜙 𝜕𝜓=𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝜙𝜕𝜓=−𝜕𝑦𝜕𝑥Fig: Acheson, Elementary Fluid Dynamics
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揚⼒の起源クッタ・ジューコフスキーの定理(1906年)
Ø ⾮粘性渦なし流れØ 速さ𝑈の⼀様流中の静⽌物体に働く⼒

Ø 翼の各場所での⼒の和＝線積分
Ø 留数定理により流れ場の⼀位の極が拾われる
Ø 点渦（渦線の断⾯）がそれに対応

𝐷=0
揚⼒︓ 𝐿 = −𝜌𝑈Γ

抗⼒︓

Ø 循環Γは境界条件だけでは決まらない

ダランベールのパラドックス(1743年)
Ø 定常渦なし流れでは抗⼒がゼロ・・・現実と⽭盾︖
Ø 粘性によって渦が（流体内に）⽣じることが必要

Fig: Acheson, Elementary Fluid Dynamics

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翼の周りの流れ
クッタの条件Ø 循環Γを決めるための現象論的な条件
Ø 流れが翼後端で離れる（観測結果）
Ø 淀み点（＝速度のゼロ点）の位置を仮定

Fig: Bertin, Aerodynamics for Engineers等⾓写像
Ø 正則関数𝑍 = 𝑓(𝑧)は等⾓写像
Ø 任意翼形状周りの流れの問題を円柱周りの流れに置き換える（リーマンの写像定理）

Fig: Acheson, Elementary Fluid Dynamics
17翼理論を振り返る
翼理論からわかること
Ø 流線型の翼周りの流れ（観測結果）が⼟台
Ø ⾮粘性渦なし流による単純化された数理モデル
Ø 渦の剥離位置に関する付加条件

⾶⾏機が⾶べる理由︖＝⼗分な揚⼒が発⽣するメカニズム︖
Ø ベルヌーイの定理による圧⼒差による説明
Ø 作⽤反作⽤の原理による反⼒による説明
Ø クッタ・ジューコフスキーの定理による循環による説明

YouTube@Cambridge University
https://youtu.be/UqBmdZ-BNigキレイに⾶んでるときの説明
実際にどういう流れになっているのか︖
やってみないとわからない

Ø ⼒学研究における「メカニズム」の理解は、いくつもの階層を有する
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まとめ[Day 3] 渦§2: 空想を現実に
Ø 流体⼒学の発展と⾶⾏機は切っても切り離せないØ 翼理論は複素解析の応⽤としても華々しい成果を上げた
Ø ⼒学現象のメカニズムの理解は階層的である

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令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 3] 渦§3 信じれば⾶べる

3 August 2022

マルハナバチのパラドックス

Fig: animal dynamicsのウェブサイトよりhttps://www.animal-dynamics.com/how-do-bumblebees-fly/Simon & Schuster (2010)「流体⼒学の理論によればマルハナバチは空を⾶べない」(1930年代、ゲッチンゲン)
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⽻ばたき⾶⾏のメカニズム
キーワードは「渦」
Ø 打ち下ろしによる反⼒＋前縁渦(LEV)による揚⼒

YouTube@APS Physics
https://youtu.be/b4sv8xLqNc8?t=27

Fig: Liu et al, Acta Mechanica Sinica (2017)22

レイノルズ数と⾶⾏形態
プテラノドン

⽻ばたきvs滑空Ø ⼤きな翼があれば滑空も可能

メガネウラ

Fig: wikipedia

Fig: 恐⻯図鑑ウェブサイトよりhttps://kyouryu.info/pteranodon.php

絶滅した⽣物の⽣態を流体⼒学的に明らかにできないか︖
⽣き物のデザインは流体⼒学的に洗練されているのか︖
Fig: 飯間(2001)23

流体インパルスと渦渦による⼒積＝インパルス
Ø 渦インパルス

1
𝑰 = 7 𝒙×𝝎 𝑑𝑉
2 8
Ø 渦による物体に働く⼒𝑑𝑰
𝑭 = −𝜌
𝑑𝑡
⽣き物の動きによって⽣じた運動量は周りの渦が抱えている

Fig: Fu et al, Nature (2003)24

カルマン渦列
カルマン渦列定常な渦の無限列は不安定な配置(巧妙な複素関数論の理論)

ʻ0ʼʼ16〜

YouTube@ Physics Graphics
https://youtu.be/f3LmjJ1N7YE?t=16

Fig: Ito & Niino (2016)
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渦と物体の相互作⽤

Beal et al. J Fluid Mech (2006)

YouTube@ﬁsh code studios
https://youtu.be/aRWgqDi-ihs?t=82

Fig: Shelly & Zhang, Annu Rev Fluid Mech (2011)
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⿂の遊泳
逆カルマン渦列

Fig: Smiths, J Fluid Mech (2019)ʼ1ʼʼ00~Fig: Eloy, J Fluid Struct (2012)

YouTube @ Ren et al.
APS Physics 2015 Gallery of Fluid Motion
https://youtu.be/I5Phg4q5EBU?t=60
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レイノルズ数と遊泳のスケーリング
ストローハル数𝑓𝐴
0.2 < 𝑆𝑡 =< 0.35𝑈𝑓:遊泳振動数[Hz]𝐴:遊泳の振幅[m]波動遊泳は多くの⽣物で⾒られる
Fig: Gazzola, Nat Phys (2016)

Fig: Smiths, J Fluid Mech (2019)28

まとめ[Day 3] 渦
§3: 信じれば⾶べる
Ø 数値流体⼒学の発展により⽣物の⾶翔・遊泳が定量的な研究が進んでいるØ 遊泳・⾶翔は物体と流体の相互作⽤
Ø ここでも渦は流れを読み解く鍵となっている

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