猫にもわかる
多項式自己同型の「永田予想」

猫 ねえ博士，多項式自己同型の「永田予猫 まず，f に z を掛けて想」って何ですか？

f z = xz − 2(xz + y 2 )yz − (xz + y 2 )2 z 2 .

博士 やあ猫君，数学の勉強をしているのかい？感心だね．教えてあげよう．

博士 そうだね．次に，g を 2 乗すると猫 僕は猫だけど，大丈夫かな？

g 2 = y 2 + 2y(xz + y 2 )z + (xz + y 2 )2 z 2 .

博士 もちろん！まず，多項式
これは，中学校で習う

f = x − 2(xz + y )y − (xz + y ) z
22 2(A + B)2 = A2 + 2AB + B 2

g = y + (xz + y 2 )zという公式を利用すればいいね．A = y,を見てみよう．変数 x, y, z についての多B = (xz + y 2 )z だよ．

項式だね．

猫 f z と g 2 を足すと，確かに xz + y 2 し猫 xz + y 2 という式が，3 か所にでてきてか残らない！

いますね．

博士 だから (1) が成立するんだ．

博士 そう，特徴的な式だね．実は，f , g とz を使って，x と y を表せるんだけど，分

猫 不思議な感じがするけれど，xz + y 2 はかるかな？ xz + y 2 という式をうまく使う

f , g と z を使って表せてしまうんですね．のが鍵だよ．

博士 だから，f , g と z を使って表せる式

猫 ええと · · ·を作るとき，xz + y 2 も使えるんだ．

博士 それじゃ，ヒントを出そう．

猫 さらに，g と z も使えるから，

f z + g 2 = xz + y 2

g − (xz + y 2 )z = y.

(1)が成り立つことを，確認できるかな？

あ，できた！

1

博士 すると今度は，f , g, z, xz + y 2 , y がも多項式自己同型になるんだけど，分か使えるようになる．

るかな．ただし，a は 0 でない定数で，p(f2 , f3 ) は f2 と f3 で表せる多項式だよ．

猫 f の形をよく観察し，猫 どうしてですか？

f + 2(xz + y 2 )y + (xz + y 2 )2 z = x

博士 f2 と f3 を使えば p(f2 , f3 ) を作れる．

ですね．

これを af1 +p(f2 , f3 ) から引けば af1 が残博士 そう，よくできたね．このようにしる．a は 0 でない定数だから，それを a−1て，f , g と z を使い x と y を表せる．

倍して f1 が得られる．

猫 なるほどー．

猫 af1 + p(f2 , f3 ), f2 , f3 を使って，f1 を博士 一般に，x, y, z についての 3 つの多表せるということですね．

項式の組

博士 そう．だから，af1 + p(f2 , f3 ), f2 , f3()
f1 , f2 , f3

から f1 , f2 , f3 ができるわけだ．
猫 (f1 , f2 , f3 ) はもともと多項式自己同型が多項式自己同型であるとは，f1 , f2 , f3だったから，f1 , f2 , f3 を使えば x, y, z をを使って x, y, z を全て表せるときに言う表せますね．

んだよ．

博士 だから結局，af1 + p(f2 , f3 ), f2 , f3

猫 先ほどの例では，(f, g, z) は多項式自己を使い，x, y, z を表せる．そういうわけ同型ということになるんですね．z は使っで，(2) は多項式自己同型になるんだ．ていい式の中にもともとあるから．

猫 なるほどー．それなら博士，同様に博士 その通り．これは，数学者の永田雅(宜氏が考えたので，「永田自己同型」と呼(ばれているんだよ．

f1 , bf2 + q(f1 , f3 ), f3))
f1 , f2 , cf3 + r(f1 , f2 )(3)

猫 でも，このような多項式自己同型をども多項式自己同型になりますね．もちろうやって思いついたのか，僕には見当もつん，b や c は 0 でない定数で，q(f1 , f3 ) はきません．多項式自己同型を作るのは，な

f1 と f3 で表せる多項式，r(f1 , f2 ) は f1

んだか難しそうです．と f2 で表せる多項式です．

博士 実は猫君，多項式自己同型にはと博士 その通り．なかなか鋭いね．ても簡単な作り方があるんだよ．まず，(f1 , f2 , f3 ) が多項式自己同型なら，()
af1 + p(f2 , f3 ), f2 , f3

猫 でも博士，(f1 , f2 , f3 ) と，(2) や (3) の多項式自己同型の間に，大差はないですよ(2)

ね．このようことのを考えて，意味がある2んですか？

表せる多項式だ．同様に，

博士 いい質問だね．「塵も積もれば山とな(x + yz 3 , 2y + (x + yz 3 )3 z 2 + z, z)(猫 はい．ごくわずかなものでも，数多く積み重なれば高大なものになるということÃる」という諺を知っているかい？

x + yz 3 , 2y + (x + yz 3 )3 z 2 + z,)のたとえですよね．

z − (x + yz ) (2y + (x + yz ) z + z)

博士 その通り．(f1 , f2 , f3 ) と (2) や (3)のようにすることもできる．このようにしの形の多項式自己同型の間には，確かにあて，次々に多項式自己同型を作っていくこまり差がないかも知れない．けれど，このとができるんだ．

3 2

ような小さな差も，積み重なればとても大

3 3 2

猫 手順は簡単だけど，作られる多項式自己きな差になり得るんだ．

同型はとても複雑になってしまいますね．

猫 ふーん．

博士 (x, y, z) から出発して，このような手

博士 試しに，最も簡単な多項式自己同型順で構成できる多項式自己同型は，順であ(x, y, z) から出発して，ずいぶんと分かりるというんだ．英語では tame（テイム）にくい多項式自己同型を構成して見せよだよ．

う．まず，

猫 “tame”というのは「飼いならされている」という意味ですね．“tame cat”は「飼(x, y, z) Ã (x + yz 3 , y, z)い猫」ですから．
博士 猫君が質問した，多項式自己同型の永田予想というのは，「永田自己同型 (f, g, z)により，多項式自己同型 (x + yz 3 , y, z) をは順でない」という予想なんだよ．

作る．今度は，この多項式自己同型から出猫 (x, y, z) か ら 出 発 し て ，上 の 手 順 で発して，(f, g, z) にたどり着けないだろうということですね．
3(x + yz , y, z)

博士 逆に，(f, g, z) から出発して，(x, y, z)Ã

3にたどり着けないといってもいい．
3 3 2(x + yz , 2y + (x + yz ) z + z, z)

猫 難しいんですか？
博士 非常に！どのようにしても，絶対にでとしてみよう．下線部は，x + yz 3 と z できないことを言わなければならないから，3数学では不可能性の証明は難しいことが多て，順な多項式自己同型が必ず持つ特徴をいんだよ．

見つけることに成功したんだ．

猫 5 次方程式が代数的に解けないことの猫 その特徴を，永田自己同型が持ってい話は有名ですね．

なかったというわけですか？

博士 永田予想は 1970 年頃に公表され，広博士 その通り．でも，それを確かめるこく知られていたけれど，なかなか解決しなと自体は全然難しくないんだよ．難しいのかった．しかし，2004 年に I. Shestakov

は，彼らの理論の証明の方なんだ．

氏と U. Umirbaev 氏の共同研究によって，

猫 ふーん．

ついに永田自己同型が順でないことが証明
博士 最近，僕が Shestakov-Umirbaev 理

されたんだ．

論の改良版を作ったんだけど，とても丁寧
猫 解決まで 30 年もかかったんですね．に書いてあるから，少し準備をすれば猫君博士 順でない自己同型の存在が証明されでも読破できると思うよ．

たのも，これが初めてだったんだ．そうい

猫 本当ですか？とても興味があります．

う意味でも，とても画期的な進展だったん

ぜひ，また教えてください！

だよ．この業績で，2 人はアメリカ数学界

参考文献から受賞したし，Umirbaev 氏は祖国のカザフスタンからも受賞したんだ．

[1] S. Kuroda,

猫 どうやって解いたんですか？

A generalization of

the Shestakov-Umirbaev inequality, J.
Math. Soc. Japan 60 (2008), 495–510.

博士 証明は，長くて複雑で難しい．僕も[2] S. Kuroda, Shestakov-Umirbaev re-

論文を読み終えた時，よく最後まで理論をductions and Nagata’s conjecture on完成させたものだと脱帽したよ．

a polynomial automorphism, Tohoku
猫 確かに，f と g の式をいくら眺めてみ

Math. J. 62 (2010), 75–115.ても，全然見当がつきません．

[3] I. Shestakov and U. Umirbaev, Pois-

博士 猫君，まさにその通りなんだよ！永son brackets and two-generated sub-田予想が解けたのは，永田自己同型を詳し

algebras of rings of polynomials, J.

く調べたからじゃないんだ．

Amer. Math. Soc. 17 (2004), 181–196.
[4] I. Shestakov and U. Umirbaev, The

猫 へえ？

tame and the wild automorphisms of

博士 実は，Shestakov 氏と Umirbaev 氏

polynomial rings in three variables, J.

は，順な多項式自己同型を徹底的に分析しAmer. Math. Soc. 17 (2004), 197–227.
4