令和４年度・数学⼊⾨公開講座

2 August 2022

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 2] 解
京都⼤学数理解析研究所・⽯本 健太

昨⽇のおさらい
連続体(流体・弾性体)⼒学はミクロと分離された閉じた理論体系（原⼦・分⼦の存在を仮定しない）

ナビエ・ストークス⽅程式 (1845年)

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)(圧⼒)(粘性⼒)
𝜵"𝒖=0𝒖"!"#= 𝒖#Ø 壁⾯で流体の速度は壁⾯の速度に⼀致する（粘着境界条件・滑りなし境界条件・ディリクレ条件）

𝒖 = 𝒖!

Ø 「⽔は⽅円の器にしたがう」
Ø 流体＝ラグランジュ座標（基準配置）の取り⽅によらず応答が決まる物質のモデル
Ø ⽔や空気といった（内部構造を持たない）
流体はNS⽅程式（運動量保存則・運動⽅程式）に従う

𝒙(𝒂, 𝑡)"流体粒⼦”をラベルづけ
𝒂︓ラグランジュ座標（ラベル）2流体の何を理解すれば良いの︖
ナビエ・ストークス⽅程式 (1845年)

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)
(圧⼒)
(粘性⼒)

しかし、 ⽅程式があるからといってすぐに「解ける」わけではない そして、すぐに「分かる」わけでもないYouTube@ Mi Ian K

YouTube@ Susumu Goto
https://youtu.be/9p0f2UHt8pM

By courtesy of Dr Eiichi Sasaki
3令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 2] 解§1 真実はいつもひとつ

3 August 2022

ポワズイユ流れ𝑝"

ハーゲン・ポワズイユ流れ(1840年頃)
Ø 圧⼒駆動による円管内流れ
Ø ナビエ・ストークス⽅程式の厳密解（ストークス、1845）

2𝑎𝒖 = (𝑢, 𝑣, 𝑤)
𝑟$𝑢 =𝑈 1− $𝑎𝑣=𝑤=0𝑝!

ℓ𝑎# (𝑝" − 𝑝! )𝑈=𝜇ℓℓ

𝜋𝑎'(𝑝( − 𝑝$)
𝑄 = . . 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑆 =8𝜇ℓ%#ゴットヒルフ・ハーゲン(1797-1884)

ジャン・ポワズイユ(1797-1869)5

無次元数
レイノルズ数Ø 流れの性質はあるひとつの定数で定まる

𝜌𝑈𝐿
𝑅𝑒 =𝜇𝐿 = 2𝑎

𝑈 = 𝑢4$%&

YouTube @ Fluid Dynamics
https://youtu.be/BBiR6FWmyv4
Reynolds, Proc R Soc Lond A (1883)
6ナビエ・ストークス⽅程式とレイノルズ数⽅程式の無次元化𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 A 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡
𝑈:現象の代表的な速さ
𝐿:現象の代表的な⻑さ

𝒖 = 𝑈𝒖∗𝜵 = 𝜵∗ /𝐿𝜕𝒖∗
1 ∗ ∗∗∗∗∗∗+ 𝒖 A 𝜵 𝒖 = −𝜵 𝑝 +Δ𝒖∗𝜕𝑡𝑅𝑒

レイノルズ数𝜌𝑈𝐿 慣性効果
𝑅𝑒 ==𝜇粘性効果

𝑅𝑒:⼩層流(安定な定常解)

𝑅𝑒:⼤乱流 (解が不安定化しカオスへ)

バッキンガムの𝝅定理
物理次元は基本単位（時間、⻑さ、質量、…）の積で記述できる。
それぞれの変数を代表的なスケールで無次元化すると、独⽴な無次元量のみで系の性質を決めることができる

𝜈=𝜇𝜌

動粘性係数

7

熱対流のパターン
レイリー・ベナール不安定性
𝜕𝒖𝜌#+ (𝒖 A 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖 − 𝒈[1 − 𝛼(𝑇 − 𝑇#)]𝜕𝑡
𝜕𝑇
+ 𝒖 A 𝜵 𝑇 = 𝜅Δ𝒖𝜕𝑡𝒖4)%&𝑇4)%&= 𝒖4= 𝑇&=𝟎)%𝑯𝑇4)%&

𝜵A𝒖=0= 𝑇& + Δ𝑇
Fig: van Dyke, An Album of Fluid MotionØ レイリー数があるところまで⼤きくなると、熱伝導状態から対流状態に遷移する
𝑔𝛼𝛽𝐻 ( Δ𝑇𝑅𝑎 =≈ 1708𝜅𝜈Fig: Doering (2020)8

ローレンツモデル
ローレンツ⽅程式(1963年)
熱対流（⾃由境界）の形成に必要な「最も不安定な項のみに注⽬」して近似モデルを導出𝜈𝑝=𝜅Fig: Wikipedia

プラントル数4𝑏=
1 + 𝑘 $ ℎ$
𝑅𝑎
𝑟=
𝑅𝑎K

エドワード・ローレンツ(1917-2008)

0<𝑟<1
1 < 𝑟 < 24.74
𝑟 > 24.74

熱伝導状態
対流状態
カオス状態
9

ローレンツモデル
ローレンツ⽅程式(1963年)

0<𝑟<1
1 < 𝑟 < 24.74
𝑟 > 24.74

熱伝導状態
対流状態
カオス状態

restart @9:05

YouTube@Ross Schoolhttps://youtu.be/CeCePH_HL0g10

⼒学系(連続)⼒学系
時間・状態空間・時間発展ルールの３つ組𝑑𝑿= 𝑭(𝑿, 𝑡)
𝑑𝑡

Fig: Manneville, Mech Eng Rev (2016)(流体⽅程式のある時刻の)解＝流れ場

𝑿∈𝑋
𝑭: 𝑋×[0, 𝑇] → 𝑋

解軌道解の分岐構造や⼒学系の構造を調べる
流体ダイナミクスを解空間(無限次元)の軌道として捉える
Kawahara & Kida, J Fluid Mech (2001)
11

ポワズイユ流れ -再考乱流へのルート︖
Ø 放物型の層流は低レイノルズ数では唯⼀解
Ø 任意のレイノルズ数で線形安定（と考えられている）

局所的な乱流構造

Avila et al, Science (2011)

Sano & Tamai, Nat Phys (2016)

Ø 局所的な渦構造の⽣成・消滅・分裂と全体への伸張
Ø 乱流転移とパーコレーション（浸透）モデルの類似性（統計⼒学における臨界現象のユニバーサリティクラス）12

まとめ[Day 2] 解
§1: 真実はいつもひとつØ 複雑な流れを⼒学系の軌道として⾒るアプローチがあるØ 無次元化により現れるレイノルズ数を⽤いて⼒学系の構造を分類できる
Ø ナビエ・ストークス⽅程式の限らず多くの⾮線形系で⽤いられる⼿法である

13令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 2] 解§2 いつも⼼に流体⼒学

3 August 2022

ポワズイユと⽣物流体⼒学
ポワズイユ流れ
Ø ⾎流の研究が発端
Ø ⽣物に関わる流体⼒学＝⽣物流体⼒学𝑟$𝑢 =𝑈 1− $𝑎𝑝"

𝑎# (𝑝" − 𝑝! )𝑈=𝜇ℓ𝑝!

2𝑎ℓ

ジャン・ポワズイユ(1797-1869)

YouTube@ Society for Industrial and Applied Mathematics
https://youtu.be/gE8qms8P4jg
15

⾎流のフラクタル構造

⼀般社団法⼈ ⽇本緑化センターウェブサイトより
http://www.jpgreen.or.jp/kyoukyu_jyouhou/
gijyutsu/sentei/index.html
時事メディカルウェブサイトよりhttps://medical.jiji.com/medical/003-0011-11

ヒトの網膜フラクタル次元𝐷 (1 < 𝐷 < 2)
Matsuo & Ohno-Matsui, Med Imag Tech (1997)16⾎管分岐の３乗則
マレーの法則（1926年）

Fig: Moreau & Mauroy (2015)

Ø ⾎管の分岐前と分岐後の⾎管半径に関する法則
Ø 輸送に関わるエネルギー損失を最⼩にする

𝑟 " = 𝑟#" + 𝑟$"Ø ⻑さℓ、半径𝑟の⾎管に流れを輸送するための（単位時間あたり）エネルギーØ ⾎管表⾯でのエネルギー損失＋体積に⽐例する⾎液の維持に必要なエネルギー

8𝜇ℓ𝑄 $$ℓ
𝑃=+𝐶𝜋𝑟𝜋𝑟 '𝑄 = X 𝑄Z
Z𝑑𝑃=0𝑑𝑟]

𝑄='𝑟 Y = X 𝑟ZY^ Y𝑟_

マウスの網膜
Iizuka et al, PLoS ONE (2020)

Z
17

クライバー則クライバー則(1947年)"𝐵 ∝ 𝑀%

𝐵 ︓基礎代謝（単位時間のエネルギー消費）
𝑀 ︓質量異なるサイズに⽣物における統⼀的な法則を⽬指してべき乗則＝アロメトリー

Hemmingsen (1960)$
エネルギーの必要量が表⾯積に⽐例するなら（表⾯から熱が逃げるため）𝐵 ∝ 𝑀 "18⾎流のフラクタル構造による説明
WBE理論 (1997年)
Ø （仮定）ネットワークはフラクタル構造
Ø （仮定） Volume-filling (直線部分を含むような球の体積は分岐前後で不変)Ø （仮定）最終サイズは⽣き物の⼤きさによらない（例︓⽑細管による拡散現象）
Ø （仮定）エネルギーが最⼩になるようにネットワークは決まる（流体抵抗が最⼩になる）
𝑛+ =: 𝑛枝分かれの数𝑟+,"𝛽+ ==: 𝛽𝑟+𝛾+ =ℓ+,"=: 𝛾ℓ+𝐵 ∝ 𝑄& ∝ 𝑀'
log𝑛𝑎=−log 𝛾𝛽!

3𝑎=4West et al. Science (1997)

⾎管が剛体のパイプだとすれば
19

粘菌の⾒つける解Nakagaki et al. Science (2000)
イグノーベル
認知科学賞 (2008)

Tero et al. Science (2010)
イグノーベル
交通計画賞 (2010)20

粘菌ネットワーク
流体モデル
Ø 粘菌を⾎管網と同様にモデル化
Ø よく流れるところは太く、使われないところは消える

𝜋𝑟 '(𝑝e − 𝑝f ) 𝐷ef (𝑝e − 𝑝f )𝑄ef ==8𝜇𝐿ef
𝐿efg 𝑄"- = 𝐼&
-g 𝑄!- = −𝐼&-𝑑𝐷ef= 𝑓 𝑄ef𝑑𝑡
Tero et al. Science (2010)

g 𝑄.- = 0-𝑖≥3− 𝐷ef𝑥m
𝑓 𝑥 =1 + 𝑥m
21

学術変⾰領域「ジオラマ⾏動⼒学」
Ø ⽣き物（原⽣⽣物）の環境適応能⼒とアルゴリズム
Ø 「⼒学」の名の下に定式化し原⽣知能を明らかにする

代表︓中垣俊之⽒（北⼤）2021年度〜2025年度
https://diorama-ethology.jp/22

まとめ[Day 2] 解§2: いつも⼼に流体⼒学
Ø ⽣物現象の流体⼒学も古くから研究が進められてきた
Ø ⾃然の形のデザインも流体⼒学の制限を強く受けている
Ø ⽣命は⻑い進化の中で最適な解を⾒つけているのだろうか

23

令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 2] 解§3 流体的ビジネスマナー

3 August 2022

英国式アカデミックマナー・・・

セントメアリー教会からの眺望

クライストチャーチカレッジ

25

数学研究所 アンドリュー・ワイルズ・ビルディング“Let no one ignorant of geometry enter!”プラトン／アカデメイア“A mathematician is a device for turning coffee into theorems”
アルフレード・レーニ
26

なぜコーヒーはこぼれるのか︖

Mayer & Krechetbikov, Phys Rev E (2012)

イグノーベル
流体⼒学賞 (2012)@いらすとや27

⽔⾯波とスロッシング
Ø スロッシングØ 渦なし・⾮粘性・微⼩変形
Ø 円柱タンク(⾼さ𝐻, 半径𝑅)、重⼒(𝑔)、表⾯張⼒(𝜎)Ø ラプラス⽅程式+⾃由境界条件

𝒖 = 𝜵𝜙𝜵$ 𝜙 = 01
𝐽/𝜖/0 = 0
Ø 基本振動数（固有振動数）
𝑔𝜖/0𝜖/0 𝐻
𝜎 𝜖/0 !
!
𝜔/0 =tanh
1+
𝑅𝑅
𝜌𝑔 𝑅

Mayer & Krechetbikov, Phys Rev E (2012)

YouTube@ JSME FED
https://youtu.be/wk4UhP3cTs4?t=30
28

歩⾏のバイオメカニクス
Ø 表⾯張⼒は効かない
Ø 表⾯張⼒波＝さざ波（波⻑2cm以下が⽬安）
Ø もっとも低振動のモード=2.6-4.3Hz
Ø 歩⾏の振動数 ≈ コーヒーカップの振動数 ≈ 1-2.5 HzØ 共鳴振動数と近くなってしまうØ 前後揺れとピッチング揺れが問題
Ø 縦揺れ・横揺れは問題ない
Ø 加速度が⼤きくなるとこぼれるØ 歩⾏に現れるノイズが旋回流を⽣み出す
Ø 球⾯振り⼦の数理モデル
Mayer & Krechetbikov, Phys Rev E (2012)29

じゃあ結局どうすれば良いの︖
流体⼯学の観点から
Ø 柔らかい⼊れ物
Ø バッフル（波を消すもの）
Mayer & Krechetbikov (2012)

YouTube@CouchToons

https://youtu.be/-qHzwPjazfk

再検討

30

じゃあ結局どうすれば良いの︖
Ø 後ろ向きに歩く、鷲掴みをする

後ろ向きに歩く

鷲掴みで歩くHan, Ach Life Sci (2016)

イグノーベル
流体⼒学賞 (2017)31まだまだある流体的ビジネスマナー
ワインの涙Ø マランゴニ効果
Ø 表⾯張⼒の不均⼀性による流れ
国際会議＠ポルトガル (2013)

ビールの泡YouTube@Las Vegas Review-Journal
国際会議@アイルランド (2018)https://youtu.be/J27_xI0sPAg?t=27

Fig: Wikipedia

Venerus & Simavilla, Sci Rep (2015)

Watamura et al, Sci Rep (2019)32

まとめ[Day 2] 解§3: 流体的ビジネスマナー
Ø ⾝近な現象は意外と難しいØ 波や泡・表⾯張⼒なども流体⼒学の主要なテーマ
Ø それでは素敵なアフターファイブを

33