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数学教師を目指すとはどういうことか―文理学部の「数学」教職志望学生への一メッセージ―
山浦

義彦 1）

大学一年次基礎科目の講義担当，および，三四年次ゼミナールにおける学生指導を通じて，教職志望学生たちの教職に対する考え方や意識に数多く接してきた。その経験に基づいて，筆者個人が考える中学校，高等学校の数学教師として必要な資質について述べてみた
い。
「数学」という科目に対して，公式を器用に使いこなして試験で高得点を取る科目であるという以上の興味，関心をもたないまま数学科に入学する。大学の専門数学に対しても，試験でよい点数をとり，単位を取得することのみを目標とし，それ以上数学の奥底に本来隠されている原理や本質を心から理解する努力をしない。その結果，数学の本当の面白さや魅力にほ
とんど気づくことなく卒業する。そして，今度は自分たちが数学教師になって生徒を指導する立場になる。以上のような学生が最近特に増えているように見受けられる。数学の本当の魅力を知らない教師は数学嫌いか，良くても受験問題解法至上主義，公式暗記主義の生徒を作り出すのが関の山である。最近では，「受験問題はスラスラ解けて点数はとれるが，数学自体は実につまらない科目なので嫌いである」という感想を述べる高校生が増えているとい
うこともまた耳にするようになった。このような「負の連鎖」を断ち切るために教師に求められる資質についての持論を，数学教師を目指す文理学部学生諸君への一教員からのメッ
セージという形で書き記した。
キーワード：数学教育，大学の基礎科目，数学の本質と原理の指導，数学教師の資質
Ϩ．はじめになった。そして，本稿を通じてそれらを「数学」

日本大学文理学部における教職インターンシッ

教職志望の文理学部学生たちへのメッセージといプの仕事を一緒に担当させていただいている体育

う形で書き記したいと考えた。図々しい言い方を学科の青山清英教授からの御依頼により本稿の執許してもらえるのなら，教職志望学生に対して筆を決意した。筆者は，いわゆる教育学を専門的“ 岡目八目 ” の貢献が，本稿を通じてほんのわずに学んだことも研究したこともない。また，高等かでもできたならば，幸甚の至りである。

学校の教員免許をもたないため，いわゆる出前授

本稿は，日本大学文理学部数学科に在籍する一業を除いては，高等学校の現場で教えた経験もな

年生や，現役の教師をしている本学卒業生たちかい。しかし，高等学校のすべての課程を修了した

ら直接，あるいは間接的に聞き取った数多くの教ての大学一年生の学科専門基礎科目を長年にわた職に対する考え方や意識を基にした考察から成りり担当してきた経験から，現行の高等学校での数立っている。わかりやすさのために，あえて極端学教育及び大学における「数学」教員養成についと思われる事例を紹介することもあるが，わずかて，通常とは異なる視点からの意見をもつように

数か月前には現役の高校生だった大学一年生の数

1）日本大学文理学部

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教師教育と実践知第 5 巻，1〜15.

学の学修状況や，教職を目指す学生の様々な意の出発点である「極限」の概念を，多分に文学見，そして現役の教師である卒業生たちの仕事に的，感情的，もしくは時間的な動きを連想させる

対する意識を知ることもまた，教師になるために「限りなく近づく」という表現によって定義するは必要な事であろうと考えて記載した。

ことからすべての議論を出発させているため，数

ところで，本稿で述べる考察に対して「それは学Ⅲは数学を厳密に扱うというより，あくまで雰

机上の理想論に過ぎず，実際の教育現場では教師囲気に慣れ親しむ科目になっていることは否めなには生徒たちを大学受験に合格させるという重大い。つまり，高等学校の数学Ⅲの内容は 18 世紀

な使命があるのだから “ 真の教育 ” とやらに割くの数学者ジョセフ・フーリエ以前の数学である，

時間は皆無であり，到底実現不可能なことであという言い方ができる。解析学の歴史上のまさにる」とのご指摘も多々あろうかと思われる。しか衝撃であったフーリエの論文『熱の解析的理論』

し，教科書の定義の振り返りや受験問題の解説内をきっかけとして，19 世紀に入ってからは著名容に絡めたり，定期試験が終わった直後の授業のな天才数学者たちがこぞって数学の厳密化に取り十五分間を使うだけでも，受験数学にはない数学

組み，百年以上をかけてようやくそれを完成させの本当の原理，面白さ，魅力を伝えることが工夫るに至った。その完成された数学がほぼ，現在の次第ではいくらでも可能なはずではないだろう

大学初年次に教育される微分積分学という科目のか。そのようなちょっとした機会を設けるだけで内容である。そこで筆者は，本学一年生向けのも，受験問題をパターンで解くことに興味を持て「微分積分学」講義では，問題のための問題の解ない生徒に，数学の魅力の一端でも感じてもらえ

法テクニックやノウハウを修得してもらうのではるかもしれない。いかなることも新しい試みを始なく，苦悩の歴史の末に生まれた「19 世紀の数めるためにはある程度以上の困難や苦労を伴うも学」に少しずつ触れる経験をしてもらうことをそのである。始めてみなければ，反省することも実の第一目標としている。高等学校の教科書では証践的な考察もできない。試行錯誤を伴う挑戦や数

明なしに認めて使っている定理についても，タイ学に対する理解を深める自らの努力を，無意識ミングを見計らって背景と意義，そして証明を紹に，あるいは意識的に避け，多くの教育現場で長介している。高等学校であいまいな直感的理解に年行われてきている受験問題解法パターンに終始とどまっていた定理の主張などが鮮明に理解できする教育が正しいと信じて，頑なにそれを踏襲しるようになる，という 18 世紀の数学から 19 世紀

続けることこそが最善の策である，と主張する教の数学への厳密化の変遷を一つの講義の中で経験

育現場の保守主義には警鐘を鳴らしたい。

できるのだから，恩着せがましい言い方が許され最後に，本稿を通じて中学，高等学校におけるるのならば，学生たちはさぞかし目前の霧が晴れ

数学教育に特化した持論を展開するが，そこにはる気持ちがするであろう，と考えていた。しか筆者自身の大学生への「数学教育」に対して当てし，ある受講生から次の指摘を受けたことがあはまることも多く含まれる。その意味で，強い自る。自分は高等学校では「数学」を，試験直前に戒の念を込めて執筆したことを書き添えたい。

暗記した公式や解法パターンをそのまま使って得点する科目であると考えていた。数学は暗記がすϩ．大学初年度専門基礎科目の教育に携わった経験からの考察1．数学の公式

べてであり，何も考えることなく形式的に公式に当てはめるだけで正解にたどり着けるという，まさにその点に数学という教科の魅力と面白さを感

筆者は本務校の大学一年生を対象とする数学科じていた。ところが，大学で公式の「裏側」を詳

専門基礎科目「微分積分学」を長年にわたって担しく講義で聞かされることで，数学が実は頭を当してきた。新入生たちは高等学校の「数学Ⅲ」

使って考える学問であったことを初めて悟り，逆という科目で，すでに一通りの微分積分学を修得に数学が嫌いになった。さて，この学生の発言のしてから入学してくる。しかし，高等学校ではそ中で最も注目すべきことは，高校時代に数学とい3

数学教師を目指すとはどういうことかう科目が好きであった理由が，頭を使うことなくるようである。ここまでの事態を見ると，生徒の問題が解けることにあった，という点ではないだ

勉強不足も否定できないものの，暗記ばかりを勧ろうか。数学教師を目指す学生がこのような意識

め，その本当の意味を，折に触れ教え込むことをを変えることなく卒業し，今度は自分が教壇に立しなかった教師側の責任も鮮明になってくる。

つとすれば，これは大変憂慮すべきことである。

正弦関数の極限公式

は高等学

このような負の連鎖が現実にあるのだとすれば，校の検定教科書であれば必ず紹介されている重要

数学に面白さを感じられずに文系を選択した生徒

な公式である。しかし，その意味や背景をきちんの中にさえ，数学自体に興味がもてなかったのでと教わることなく，単に暗記する学生は試験期間はなく，現行教育によって施される問題解法至上が終わるとたちまち記憶があいまいになる。そし主義に興味がもてなかったという生徒が少なからて，いずれ sinɰ[ɰとɰ[ɰɰの分数形の極限は 1 である

ず含まれているであろうことは想像に難くない。

という短絡的，かつ，あいまいな理解になり，つ大学で学ぶ専門数学に興味をもてずに辟易していいにはる教職志望の学生に，数学の教師を目指した理由でするようになる。極限の意味を考えながら考察を聞いたことがある。返答は，自分は部活の顧問

し直すようにアドバイスをしても，これまで公式になりたいのだが，そのためには教員免許を取得

暗記でしか極限をとらえたことのない学生たちはして教師になるしか方法がない。そこで，あらゆ

何をすればよいのかすらわからず，ただ無為に時る教科のうちで最も教えるのが楽である数学の教間を過ごしてしまうことが多い。これこそが公式師を目指すことに決めた，というものであった。

暗記主義の弊害と言えよう。数学の理屈を自分の耳を疑うようなこの学生の発言も，高校時代に数頭で考えようとせず，公式の暗記に頼ろうとする学は単に公式に当てはめて答えを出したり，解法のである。一方，実に興味深い事実がある。それのパターンを暗記する科目である，かのようにすは，高等学校で数学Ⅲを修得することなく数学科

りこまれ，生徒自身も「それこそが数学である」に入学した学生に，極限の意味を教えた直後にと誤認していたのだとすれば，それほど不思議なを出題すると，そもそも公式を知らことではない。おそらくこの学生は，本当の意味ないため，上記のような誤りをすることはない。

で良い数学の教師にこれまで巡り合うことがな

それどころか自らの頭で考え，完璧ではないにせかったのであろう。

よ，分母と分子の挙動を考察して，正解に近い証というような誤りを平気明まで自力でたどり着けることが多い。このこと

2．公式の暗記の弊害から見えてくることは，現行の高等学校の教育で

公式は，それを形式的に適用することで議論のは，公式を紹介するとすぐに問題練習に入り問題

見通しがつけやすい，という点において数学といを解くことを最終目標にしているのではないだろう学問が身に着けた一つの重要な特徴的文化であうかということである。実際，検定教科書では公るという言い方ができる。その一方で，公式の背式を「使って慣れる」問題が列挙されているだけ

景や意味，さらにはその証明を理解することなであり，公式の意味を数学的に熟考したり理解のく，公式自体を鵜呑みにして字面によって丸暗記助けとなるような良問に巡り合うことは，残念なし，単に当てはめる，という姿勢にはどのようながら滅多にない。このため，生徒たちは公式さえ弊害が潜んでいるか，いくつか例を挙げて考察し正しく暗記していれば点数が取れる，という虚偽てみよう。

の安心感のもとに満足してしまうものと考えられ( 左辺のダッシュ記る。極限公式を教える教師の側は，これは試験で号はカッコ内の関数の導関数を意味する ) という

よく使うから暗記しておいて，という教育に終始誤解である。
「教師に暗記することを勧められたするのではなく，タイミングを見計らって，極限の変数ɰ[ɰに忠実に 2 を代の意味や，この極限公式の背景やそれから得られ最初の例は，

微分公式

入しただけだ」という学生の言い分が聞こえてくる事実を解説していくべきではないだろうか。

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教師教育と実践知

等式

が誤りであることは少なく

第 5 巻，1〜15.

た 2a をたすき掛けのように書いて，それらの割とも高等学校で数学を学ぶ以前は誰でも当然，り算をすれば理解していたはずである。しかし近年，これはのである。軸の方程式を求める最も基本的な方法

正しい計算である，と頑なに言い張る大学一年

は「平方完成」という代数テクニックを使う計算

生 が 急 増 し て い る。 そ の よ う な 学 生 に， 等 式手法である。このテクニックは，高校数学の様々(n と m は自然数 ) は正しいと思うな場面で応用されるだけでなく，大学数学でもしかと問うと，これは文字式だから誤りであるが，ばしば使われる重要なテクニックである。2 乗型

最初の例は具体的な数の等式だから紛れもなく正の因数分解の一般化という背景をもち，平方完成

しい，と答える学生も多い。今の学校教育が何故された式は多くの重要な情報を提示してくれる。

このような学生を生み出すのかを考察してみよ

そして，平方完成された式から適切に情報を読みう。当の本人はこの誤りの等式が正しいと信じて取ることは，大切な数学的思考の訓練にもなる。

疑わないから，本人にいくら尋ねても決して勘違上記の方法を生徒たちに教えた教師の言い分は

いの理由は分からない。そのため，あくまで推測「計算ミスをするよりは，短時間で正確に答えらに過ぎないが，高等学校の数学Ⅲの積分の単元でれた方が少しでも点数が伸びるだろう」というこ学ぶ「部分分数分解」という計算テクニックの誤とだったと推測されるが，これが数学の教育と言解からくるのではないだろうか，と筆者は考ええるだろうか，と首をかしげるばかりである。何る。高等学校で数学Ⅲを履修しなかった学生にはの理屈も教えられず，ただ言われた通り公式をひ決して起こりえない誤解であることからも，このたすら暗記し，仮に試験で高い点数がとれたとし

推測の信ぴょう性は高いように思われる。公式がても，その生徒が数学に魅力を感じることはない

どういう目的で作られているのか，さらには，そだろう。そして，いつの日か暗記すべき公式の分

れがこれまで知っていた事実といかなる関係にあ量がその生徒の限界を超えたとき，嫌気がさし，るのか，という関連付けをしっかり自分の頭で考あっさりと数学から離れていくのであろう。生徒

えることなく，計算方法だけを鵜呑みにしてきたの気持ちを考えれば，同じ暗記をしなければならことの弊害と言えよう。そしてこの例に関してないのなら，社会科などの文系科目で暗記をするも，教師が検定教科書の記述の順番を最善のもの

方がまだ楽しい，となっても当然ではないだろうと信じてそれを愚直に守り，教科書通りに積分計か。公式暗記を生徒に勧めることは，生徒たちの算方法を羅列して説明し，計算方法同士の関係

数学における視野を狭め，ひいては数学嫌いを作や，奥底に隠された共通の原理を明確に説明しより出す事にもつながりかねないことは教師側は十うとしない，という学校教育現場における積分教

分に理解しておくべきであろう。

育の課題が見えてくる。

として求まる，という以上のように，公式は短時間で正確に答えを導

最後に，放物線の軸の例を紹介しておこう。平き出せるという意味からすれば非常に便利な道具

方完成という代数テクニックが苦手な学生にどのと言える。しかし，その公式の証明や背景，簡単ようにして放物線を描くのか，と尋ねたことがあな導き方，その他の公式との関係性の理解などをる。すると「自分は高校時代，平方完成という計

怠ると，たちまち思わぬ誤解，あるいは誤用をし算方法を教わることなく放物線の軸を求めていてしまうことがある。もちろん，検定教科書や教た」とのことであった。微分を使うなど，平方

科書傍用問題集では，問題のための問題が並んで完成を使わなくても放物線の軸の方程式は求めいるので，それらを練習している限りにおいてら れ な い わ け で は な い が， 一 体 ど の よ う な ト

は，失敗することはないが，ただ練習問題が解け

リックを教師から教わったのか，と尋ねてみる

るというだけのことである。そのような形式的なと 次 の よ う な も の で あ っ た。 放 物 線 を 表 す 式

ルーチンワークによって生徒たちが数学という科\ɰ=ɰD[ɰ ɰ+ɰE[+ɰFɰのɰD[ɰ の下にɰ[ɰの係数ɰEɰを− 1 倍し目に興味を示すことはないだろう。練習問題が正た− E を，そして，E[ の下に [ɰ の係数ɰDɰを 2 倍し確に解けるだけ，というのは真の意味での数学の

2

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数学教師を目指すとはどういうことか

理解とは大きく異なるものである。

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教えても生徒には難しすぎて理解できないばかりか，混乱を招くだけである。そもそも，受験にはϪ．教職志望学生の教育に携わった経験からの考察

無関係である。これら一つ一つの言い分には一理

1．教職志望学生たちの不安はあるものの，だからと言って，教える教師の側

数学の教職志望学生は，自分に数学の教師が務も生徒と同じレベルで本当の答えを知らなくてよ

まるかだろうか，という不安を大学三年生頃にない理由にはならない。少なくとも教える側の教ると，にわかに口にしだす。自分に大学入試問題

師は，真の答えを知っていなければ，原理に接が解けるだろうか，という危惧であることが多い

近するような本物の説明ができようはずもなが，そのような学生たちの観点には違和感をもい。大学の数学は高等学校の教育現場には不要

つ。受験問題が思うように解けなければ教師といである，と短絡的に切り捨ててしまう人たちの授う仕事が務まらないことだけは断言できる。しか業内容がいかに薄っぺらいものであるかは，容易

し，受験問題をスラスラ解けさえすれば教師が務に想像できる。

まるだろうか。むしろ受験問題の解法の解説を終

具体例を挙げてみよう。高校数学でベクトルのえた時点が，本当の数学を考える出発点になるの内積を学ぶ。ところが検定教科書では内積を余弦ではないだろうか。別解答を準備しておいて，そを用いて「定義」する。これには多くの高校生がれを生徒に考えさせることも意義があるだろう。

初見で「いったいどういう必然性から “ 余弦 ” がまた，大学の専門数学から俯瞰した問題の背景や出てきたのか」というもっともな違和感をもつよ

意図，そして，無関係と思える単元との関連性，うである。この生徒の疑問に対して，多くの教師

さらには，一見全く別のように見える問題も，観が直交射影という幾何学的意味を図を用いて説明

点を変えれば全く同じ発想に基づいている，といしたり，物理学の「仕事量」の計算に役立つということなども適宜指摘することもできる。このよう説明をすると聞く。しかし，これらの説明は内うな本当の意味での問題解説は，入試問題を模範

積の定義を甘んじて受け入れた上でそれを幾何学

解答を参考にしながらそのまま解説してそれで完的に「解釈」した結果論に過ぎず，なぜ余弦を用結させることに比べれば比較にならないほど難し

いて定義するのか，あるいはそれがいかに自然ないし，それを実現するためには時間をかけた綿密ことであるか，という高校生がもつ疑問には何もな事前準備が必要である。自分には大学受験問題答えたことにはなっていない。一方，大学の微分は解けるだろうか，というレベルではなく，原理積分学では，全微分という 2 変数関数の微分の概に基づく，深みある説明ができるだろうか，とい念を学ぶ。 1 変数関数の微分の概念の自然な拡張

う点にこそ不安を感じるべきではないだろうか。

として定義されるのであるが，数学者たちが考案したこの拡張方法を深く理解すれば，内積はベク

2．大学で学ぶ基礎科目の重要性

トルの成分表示による定義を出発点とする方が格

前節で述べたような深みある授業を実現するた段に自然であることに気づくであろう。その結めには，大学初年度で学ぶ微分積分学の理解およ果，幾何学の余弦定理を用いれば，内積は余弦をび知識が不可欠である。高等学校の数学Ⅲの内容用いて「定義する」のではなく，「表現できる」と大学の微分積分学を比較することで，18 世紀

ことがきわめて自然に説明できる。このように，の直感数学がどのようにして厳密化されていった大学で学ぶ微分積分学の深い理解は，高校での数のか，という歴史を知ることもできる。数学教師

学教育の説明に様々な重要なヒントを与えてくれをしている卒業生のほとんどが，教育現場では大る。なお，検定教科書の内容と順番を変えて説明

学の微分積分学の知識は不要の長物であると考えするのであれば，科目全体への影響まで込めて，ている。彼らの言い分は次のとおりである。大学

入念な準備を伴う慎重さが求められることは言いの微分積分学の内容は明らかに文科省指導要領を添えておこう。

超えた内容であり，教えるわけにもいかないし，

もう少し大学の微分積分学の重要性に関する実6

教師教育と実践知第 5 巻，1〜15.

例を挙げよう。媒介変数を含む方程式によって記じるため，正確に 3 にはなり得ないと，考えるか述される直線の通過領域を求める入試問題があらであろう。また，厳密な実数であると答えてる。方程式の解の存在に帰着させることによっも，その根拠を数学的に説明できる学生は極めてて，もちろん高校の数学の範囲で解ける問題であ稀である。この体積の議論は高等学校で学ぶ数学

るが，その根底に大学数学で学ぶ包絡線の考え方

Ⅲの立体の体積の単元で学んでいるはずのことだが隠されている。包絡線の存在を理解するためにから，大学生で答えられないこと自体が恥ずかし

は，大学の微分の集大成ともいえる陰関数定理のいことであるが，実はそれを厳密に議論するため理解が不可欠となる。また，媒介変数で表示されには大学微分積分学の「重積分」の考え方が必要た曲線で囲まれた領域の面積を求める問題の中にになる。言い換えれば，重積分という考え方の背は，大学微積の最終目標とも言えるガウス・グ

景や意義に至るまで十分に理解している必要があ

リーンの公式と密接に関係する問題もある。陰関る。つまり，中学生に円錐の体積を教えるだけで数定理は高等学校で学ぶ中間値定理の高次元拡張

も，少なくともそれを教える側の教師は重積分まであり，ガウス・グリーンの公式は微分積分学ので知識としてもっていなければならないことにな基本定理の高次元拡張である。もちろん，陰関る。本当の答えを知っているのと知らないので

数定理やガウス・グリーンの公式を高校生にそは，説明相手がたとえ中学生であろうと，説明にのまま説明することはさすがに無謀なことでは込められる重みは全く違ってくる。教職を目指す

あるが，教える側は少なくとも，高校で学ぶ定

学生に，あなたは本当の答えを知っている教師と理には高次元版があることまで知識として知っ知らない教師の授業ならどちらの授業を聴きたいていなければならない。以上のように，大学のと思うか，と尋ねると学生たちは異口同音に「答

微分積分学は検定教科書には書かれていないよ

えを知っている先生の方が良い」と答える。教えうな重要な教育的視点を与えてくれる宝庫ともてもらう生徒の立場ならそのように感じるという言える学問である。

のであれば，自らもそのような教師を目指すべき

ここまで触れてきたことは，中学校の数学の教ではないだろうか。筆者が大学一年生に微分積分

育においても往々にして起こり得る。いや，むし学を教えていると，学生たちから多くの実に素朴ろ数学の内容が初歩であればあるほど起こり得るな質問を受ける。それらは決して頓珍漢な質問なことである。円錐の体積が円柱の体積のであどではなく，18 世紀以前の数学者たちが当時のる，という事実がある。この事実を中学生にどの直感数学に対して抱いた問題意識に通じる重要なように説明するか，と教職志望の学生に問題提示疑問であることが多い。フーリエ以降の天才数学

すると「円錐形と円柱形の容器を準備して水を者たちがどのようにしてその素朴な疑問に立ち向使って実験をして実証してみせる」と答える学生

かい，壮絶な論争の末に厳密な数学を生み出し，が意外なほど多い。そのような実験を見た生徒た克服したのか，という歴史を知らなければ，高校

ちは，自分たちの理解レベルで大いに納得はする

生からの素朴な質問を「馬鹿げた質問をしてくだろうから，実験自体の教育効果を否定するつもる」と一笑に付してしまうような教師になるだろりはない。しかし，実験だけで数学的に解決したう。一例を述べてみてみよう。高等学校で積分をかのような印象を生徒たちに与えることは，数学学ぶ。その積分は原始関数のことであるとして定という学問がもつ本当の原理を大きく誤解させる義される。生徒から「どんな関数にも原始関数はことにつながる。実際，大学一年生に「円柱の体存在するのですか ? それが担保されなければ，積積が円錐の体積の 3 倍である」という事実の “ 3 ”

分自体が定義できないこともあるのではないですという値がおよその実数なのか，厳密な実数なのか ?」と質問されたら，皆さんはどのように答えかどちらだと思うか ? と問うと，半数程度の学生るだろうか。
「教科書にそのように書いてあるのはおよその数であると答える。それは，いくら精だから，存在するに決まっている」あるいは「そ密に実験をしても，実験データには必ず誤差が生

ういうことは大学で勉強する。今はそんなことを数学教師を目指すとはどういうことか

7

知らなくても受験問題は解けるように作られていろう，という教科書作成者の配慮であると思われるのだから気にしない方が良い」などと言う返答

る。しかし，それが生徒だけでなく教師にとってはまさに論外と言うべきであろう。実はこの疑問さえも不可解な記述になってしまうのであろう。

は，フーリエが，自らが打ち立てた理論を当時の本学数学科では，入学直後の一年次から始まり四著名な数学者たちから猛烈に批判された際に，彼年間を通じてあらゆる学科専門科目の中で「論自身が考えた問題意識そのものである。当時，理」を徹底的に理解できるように配慮された教育

フーリエは積分の議論を「面積」から出発する

カリキュラムが組まれている。このような環境で「逆転の発想」をはじめて提起したのである。こ数学を学んだ卒業生たちは，高等学校の検定教科

れが大学微分積分学で学ぶリーマン積分の理論に

書におけるあいまいな表現も厳密にわかりやすい

他ならないのである。このような歴史を知ってい形にただちに書き下すことができるはずである。

れば上記のような生徒からの質問に，それはとて

しかし，それが思うように身についていないことも大切な質問である，と答えることはあっても，については，筆者自身の学生への教育の非力を感

余計なことを考える必要はない，という返答になじる。それでも質問をしてくるのだから意識が高るはずがないだろう。

いという言い方もできる。生徒から質問されて，数学科初年次に履修する学科専門基礎科目「線解決できずにそのまま放置していたり，その問題

型代数学」についても述べておきたい。一つ一つ点に気づくことすらなく授業を続けている卒業生の計算は中学生でもできる実に単純な代数計算にがいる可能性が否定できないことを考えると，教過ぎないが，その積み重ねによって完成される理員養成の名の下に学生を育て教育現場に送り出し論には，実に興味深い原理が隠されている。実てきた自分自身の責任を痛感させられる。このよ際，この科目の醍醐味の一つは，平面または空間

うに，教科書に書かれたさりげない一行の真意をの「基底の取り換え」によって，複雑な計算が驚とらえるためにも大学で学ぶ集合論と論理もまくほど簡単な計算に置き換えられる点にある。こた，数学教師にとって非常に重要な科目であり，のことを心から理解すれば，その理論の魅力に取教師である限り学びつねに続けなければならない

りつかれてしかるべきの科目と言ってよいだろ分野の一つと言えよう。

う。このように「見方を変えれば物事が極めて簡単明瞭になる」という一驚を喫する体験に基づい

3．数学の説明に「日常のたとえ」を使うことにて，今度は自分が教師という立場で，生徒の心のついて琴線に共鳴を起こさせるような数学教育を目指す

教職志望の学生に，生徒にわかりやすく説明すことが可能になるだろう。そのために何よりも大るにはどのような工夫が必要か，という質問をす

切なことは，言うまでもなく，まずは自分自身がると，「日常のたとえ話をして，生徒が数学に対

線型代数学を心から理解するという経験をしてみして苦手意識をもたないように配慮しつつ，練習ることである。

問題が解けるようになるような指導する」と答え

現役の数学教師をしている卒業生から，教科書る学生がとても多い。いったんはわかった気にさにどうしても納得できない箇所がある，と質問をせて，生徒に「形式的に数学の問題が解ける」と受けることがある。その多くが「必要十分性」にいう成功体験をさせることは，新しい単元の初期関する検定教科書の記述に対する質問である。高の段階では重要なことではあるが，それだけに終等学校の教科書には論理を学ぶ単元が設けられて始してしまっては，生徒たちが数学の本当の魅力

おり，必要十分性についても教えられることにに気づくことはないだろう。数学は数学を使ってなっている。ところが，論理の単元以外の箇所で説明し，数学本来の美しさ，自然さを生徒に理解は論理的記述はしばしばあいまいな表現にとどめさせてこそ，本当の「数学の授業」と呼べるのでていることが多い。厳密さを優先するがゆえのはないだろうか。たとえば，高等学校で教えられ仰々しさに過ぎると，生徒にはわかりにくいである「数学的帰納法」が良い例であろう。多くの検8

教師教育と実践知第 5 巻，1〜15.

定教科書に「ドミノ倒し」の絵が描かれてあり，

また，それだけで数学的に完全解決したかのよう

生徒のイメージがわきやすいように工夫されていな印象を生徒たちに与えることにも大きな疑問をる。そのこと自体は間違っていない。しかし，教感じる。

える側の教師自身がいわゆる「数学的帰納法の原理」を知らずに，ドミノ倒しのイメージがすべて

4．難しい説明は生徒には無理なのかである，と考えて教えているのだとすれば，それ生徒には専門性の高い説明はしても仕方ない，

は問題であろう。本当の原理を知っている教師なだから自分はそのような説明はしない，という考ら，タイミングを見計らって，耳学問としてでもえ方をもつ教師は多いものと考えられる。数学に良いので「本物の数学への接近」という若者たち

強い興味をもつ生徒から「絶対に理解してみせまにとっては実に新鮮な体験をさせることができる

すので本当の原理を教えてほしい」と強く頼まれのではないだろうか。

たとしよう。普段から専門性の高い解説は大学のもっと初歩的な単元でもこのようなことは起こ役割であり，高等学校ではそのようなことは気にり得る。中学校の最初に学ぶ「正の数，負の数」

せず，受験問題さえ解ければよい，という割りの単元では，多くの教育現場では温度計のプラス

切った教育をし，自らの専門性を高める努力をしマイナスや，お金の貸し借り，利益と損失といっていない教師が，このような生徒に有意義なこと

た「日常のたとえ」を使う説明がなされ，それ以を説明できるだろうか ? 生徒には無理であること

上原理は何も説明されないようである。このようを言い訳にして，指導要領の範囲を超えた専門性な教師側の「配慮」が生徒たちにとんでもない誤を身につける自らの努力を避けて通るのではな

解を生じさせることもあり得ることは，教師は心く，つねに勉強し続ける姿勢が，教師には必要で得ておかなければならないだろう。かえって日常はないだろうか。

のたとえ話が納得できずに数学から離脱する生徒

ところで，専門性の高い説明には大きな課題ががいるとすれば，ほかならぬ「生徒想いの」教師あることを言い添えておこう。筆者は，解析学の自身が数学嫌いの生徒を作り出す事にもなりかね

大家として御高名な藤田宏先生から，数学教育にない。ここでも大学初年次に学ぶ線型代数学が大ついて二つのアドバイスをいただいたことがあきなヒントを与えてくれる。単に「ものの集まる。一つ目は，教育者は「ひな」になる前に卵のり」として定義されるある種無味乾燥な「集合」

殻を割るようなことをしてはならない，というこに対して「演算という構造」が入るときその集合とである。つまり，生徒の数学に対する理解度，のことを特に “ 線型空間 ” とよび，その元のこと

達成度，興味の度合いを無視した専門教育の一方を「ベクトル」と名付けるという，学生がこれま的な押しつけは避けるべきである，という教訓ででの人生で経験したことのない，全く逆の発想にある。二つ目は，猫の生物学的な定義を理解してよる「驚きの数学」がそこにある。線型空間の定から猫を飼う人はいない，ということである。こ義を心から理解できたならば，このことは学生にれは，数学の概念の理解には，厳密な定義の前にとっては青天の霹靂ともいうべき人生史上の大事「柔軟な理解」も必要であり，大雑把にとらえて件のはずである。このように，線型空間について理解するという段階もまた不可欠であることを述深く理解したという体験をもってすれば，「正のべている。このように，原理的な説明をする際に数，負の数」の単元においても，日常のたとえでは生徒の理解度の十分な見極めが必要である。しは到底語ることのできない，本物の数学による魅かし，クラスのすべての生徒の理解度の足並みを力ある説明もまた，工夫によっては中学生向けにそろえることは不可能であろう。そうなれば，最も可能なはずである。日常のたとえ話もタイミン

良の方法はプリントにして渡すことではないだろ

グによっては奏功することもあるだろうが，生徒

うか。生徒一人ひとりが，その説明が自分にとっ全員が阿吽の呼吸でそのたとえだけでわかりやすてふさわしくなった時点でそのプリントを読み返い，と「理解」できるかどうかは不透明である。

し，数学に対する理解を深めていけばよいだろ数学教師を目指すとはどういうことか9う。受験問題とその模範解答をプリントにするこ

元で何が最も重要なことであり，他の単元との関とはさほど困難なことではない。何故なら，参考係はどうなっている，ということが深く理解でき

書の模範解答をほとんどそのまま写すだけでも作ていれば，指導案や授業での話術は自ずとそれにることができるからである。一方，教科書や参考追随してくる。逆に，数学的な理解が表面的なら書には書かれていないような，生徒が純粋な気持

ばいくら完璧な指導案を作成しても，あるいは，

ちで興味をもつような数学的に気の利いたこと

どんなに上手に話をしても，生徒に「結局，あのを，自分のオリジナルとして書くことは，単なる先生は何が言いたかったのだろうか」と言わしめ

模範解答作成とは比較にならないほど難しい。そる，中身のない授業になってしまうだろう。

れを実現するためには，深い数学の理解と知識が話術に関してもう一つ重要なことがある。話術必要になるからである。学生たちは大学でも「卒に長けた教師がその「圧巻の」話し方と迫力で数業論文」として数学的文章を作成する経験をす

学を解説すれば，論点がわずかにずれていたり，る。しかし，それを審査するのは数学を専門的に最悪の場合として間違ったことを教えてしまった

知っている大学教員である。ところが，教育現場としても，生徒はその場の雰囲気にのまれ，内容で配布するプリントの読者は，まだ数学の理解にを鵜呑みにして深くうなずき「わかりやすい」とおいて成熟しきれていない生徒たちであることを感想を述べてしまうこともある。しかし，そのよ

忘れてはならない。内容が難しすぎたり，わかりうな生徒の反応を，教師はそれこそ鵜呑みにすべにくかったりするとたちまち「あの先生のプリンきではない。授業を終えたときには毎回必ず，自トは難しくて理解できないから読んでも仕方な分がした説明を客観的に振り返って反省することい」と，プリント作成者側の苦労が，にべもなくが大切である。生徒からの質問に答えたときもし一蹴される羽目になるだろう。自分の数学専門性かりである。生徒の質問に本当に数学的に的を射をつねに高める努力をし，知識をつけておかなけ

たことを答えただろうか ? 生徒のわからない事のれば，わかりやすいプリントは作れるはずもない。

本質を自分は本当に理解していただろうか ? と自問自答をすべきである。生徒のわからないポイン

5．授業での話術

トはまさに十人十色である。筆者自身の反省から

教育実習を目前に控えた大学四年生から教育実

書くのであるが，事後に学生の質問の意味を深く

習での授業方法についての相談を受けることがあじっくりと考え直してみると，論点がわずかにずる。相談内容のほとんどは「指導案の作成方法」

れていた，ということは意外なほど多い。そのよと「授業内での話術」についての相談である。たうな場合には，素直に訂正をするべきである。以だし，本稿で言う「話術」とは，生徒にとって親上のことはベテラン教師であっても，全く同じこ

しみやすい雰囲気をもつ「流暢で上手な」話し方とが言えると考える。教師自身の数学の理解が進のことを指す。このような相談は多くの場合「問めば進むほど，また新たな問題点が出てきてしか

題のすり替え」に過ぎない。つまり，奥底に潜むるべきである。ベテランだから教え方が上手であ真の問題はその学生の数学に対する理解不足にある，というおごりはもたない方が良い。話術はぎる場合がほとんどである。多くの学生が「数学はこちないよりは流暢な方が良いことは確かであ

答えが一つだから勉強しやすい」という。前述のる。しかし，あまりの流暢さ故，数学的に不適切

とおり，問題は解いた後の考察の方が重要であなことを言っても自ら気づかないで素通りしてしる。定石やパターンに従って解けたが，他の方法

まう教師になることは絶対に避けるべきであろでは解けないのか，別の問題とのかかわりはあるう。数学は深く理解していなければ決して良い説のだろうか，問題の奥底にある真理は何なのか，

明はできない。迫力ある話しっぷりの教師を目指など多くのことを考えて詰める必要がある。しかすのではなく，迫力ある数学の話ができる教師をし，上記の相談をしてくる学生たちは，そこまで目指してほしい。

の数学の理解が出来ていないことが多い。その単10

教師教育と実践知6．塾講師のアルバイトについて

第 5 巻，1〜15.

るが，単にそれだけのことである。教師ならば，学習塾で講師のアルバイトをする教職志望の学解法を詳細に教えすぎたり，模範解答の解法がた生は多い。学生たちからそこにおける授業形態をだ一つの方法であるかのように指導することが，聴いてみると，多くの学生が一二名の生徒を相手

その生徒の数学的理解の成長を阻害することすらにし，質問に応じたり，問題の解法を教えたりす

あり得る，ということもまた忘れるべきではな

るいわゆる個人指導をしていると聞く。そして，い。ときにはヒントだけ与えてあとは自力で考え多くの学生たちが，受講生たちからわかりやすい

よ，あるいは，模範解答とは別の解法を自分であ説明である，と大変感謝されるようである。そのみだしてみよ，と課題を出し生徒の反応や理解にような経験を通じて生徒とのコミュニケーション

応じて適切なアドバイスを出すことで，生徒の能能力と話術という点について自信をもって良いで力を引き上げるといった工夫も必要になるだろあろう。一方で，そのことで自分には本物の数学う。大学受験問題を器用に解くだけの高校生が，を教える力があると過信することは禁物である。

他人に数学の本当の魅力を伝えたり，数学という実際，過大な自信をもつことにより大学数学の勉科目を通して，聞き手の人生を豊かにすることは強を軽視し，数学を学ぶ姿勢まで失ってしまう学

ほぼ不可能に近い。教師は，長い目で見てその生生をこれまで実に多く目にしてきた。また，塾の徒の成長を促す存在であってほしい。受験問題のアルバイトに熱心になるあまりに大学の専門数学

解法パターンを教えることで生徒から感謝されたの勉強がおろそかになる，ということは本末転倒い，ということが教師になりたい唯一の動機であの極みである。塾講師という仕事は生徒たちを合るならば，教師になること自体を考え直した方が格に導くという責務に基づく立派な職業である。

良いかもしれない。

しかし，塾講師の「アルバイト」は全くの素人でできてしまうことである。一方，将来就くであろ7．現場に立てば，いつしか立派な教師になれる?

う教師という職業は免許制の下の教育専門職であ「採用試験に合格して教師として現場に立ってり，生徒たちに数学の魅力を伝えるべき仕事であ経験を積めば，いつしかなんとかなるものだ」とる，ということを忘れてはならない。より極端ないう考え方を耳にすることがある。しかし筆者

例でいえば，高校時代に隣の席の友達に問題の解は，教師になってなんとか「なること」と「ならき方を教えたところ，とても分かりやすいと深くないこと」があって，それらの間には厳然とした感謝されたので教師を目指したいと思ったという壁が存在すると考える。教師になり経験を積むこ学生も多い。教師を目指す動機づけとしてこれをとでいつしか自然にできるようになることは，生否定するつもりは全くないが，そのことによって徒とのコミュニケーションと話術であろう。従っ

自信をもちすぎる事には警戒しなければならなて，これらは就任時点で多少ぎこちなくても，いい。もしもその程度のことで優れた教師になれる

ずれは自然に上手になっていくことである。一方のであれば，国は教員免許制度を廃止し，塾講師

で，本稿の主題でもある真の数学教育力は，教職アルバイトで「活躍」する学生を直ちに教師としに就く時点でその素地をもち，それをさらに伸ばて登用すればよい。さらに言えば，隣の席の友達していこうという高い意識がなければ，何年教師に解法を教えることのできる高校生なら，高校をを続けても決して身につくものではないだろう。

卒業してすぐに教師になれる制度があってもよい

教育力の基礎を定着させることができる最も重要ことになる。しかし，以上のような仕組みが全くな時期は大学時代である。先輩の現役教師たちのナンセンスであろうことは，誰の目にも明らかが，大学の数学は勉強しても教育現場では役に立ではないだろうか。問題解法を知りたい相手にしたない，というのであれば，あえて自分は大学のてみれば，答えを家庭教師のように手取り足取り

微分積分学，線型代数学，集合論と論理を勉強し解説してくれる相手は，実に都合の良い存在であ続けるくらいの意地をもってほしい。

あっても，答えを見ながら推測程度でもどうにか数学教師を目指すとはどういうことか

8．ICT 教育の光と影

11

数学的概念の理解の最も重要な箇所で，安易に筆者が学生や卒業生たちから耳にする「学校教ICT 機器によるお仕着せの教育をしてしまって育現場における ICT 数学教育」は，電子黒板やタは，人間が本来もっている能力を引き出し，将来

ブレットに画像を映し出して行う授業形態であに向けた可能性を育むことは，できようはずもなる。ここでは，そのことについて考察をしてみた

い。

い。数学における概念図や関数のグラフを適切に小学校の教諭は物語の内容を知りたいという児

描けない学生がここ数年で劇的に増加しているよ

童たちに，映像化された作品を見るよりも原作のうに感じられる。たとえば，関数のグラフにおけ小説を読むことを勧めるだろう。映像を受動的にる「変曲点」は，画像を見ればなんとなく理解で鑑賞することに比べると，小説を一ページごとにきるが，正確にイメージして，自らの手を使って能動的に読み進めることは，地道な作業であり努

それを描画することができないのである。そうい力も必要である。しかし，文章を通じて物語を理う学生たちに話を聞いてみると，高校のとき数学

解することにより映像鑑賞では得られない深い感の授業中に自分の手でグラフを描いた経験がほと動を得ることができることもまた事実である。そんどない，ということである。要するに描き慣れれだけでなく，読書を通じて未知の言葉や表現にていないのである。同様に，立体を想像したりそ

出会い，その意味を調べて身につけることによりれを頭の中でそれを動かすことができない学生も豊かな言葉の表現が可能になる。さらに，文字を顕著に増加している。たとえば，大学の微分積分

通して理解したことを自分の頭で考えることで想学で学ぶ 2 変数関数の偏微分の概念は，その幾何像力が育まれ，独自のオリジナルな想像の世界を学的意味と関連付けて理解することが大切であ膨らませることができるのである。

る。端的に言えば曲面を平面で切断したときの切以上のことは，数学の勉強においてもまさに同断面を考察するのであるが，このことが全く想像じことであるように思われる。例えば，三次元のできないという事態になっている。さらには，大立体を想像してそれをある平面で切断して，その学初年度で学ぶ「写像」という概念を頭の中で図

切断面を想像したり，立体を頭の中で回転させて的イメージを伴って理解することができない学生

見えない裏側の状態を想像することはとても大切

もまた急増している。筆者はこのような現状の一なことである。自分の頭で考えさせることなくす因として，昨今注目され，取り入れることが革新

ぐに完成された画像を見せてしまうことは，機械的な教育方法であるかのように思われている的に問題の解法パターンだけを教え，分かった気“ICT 教育 ” が深く関係しているものと推測する。

にさせるお仕着せ教育と全く同じである。数学的数学における ICT 教育を全面的に否定するつもりに深く理解していれば，コンピュータ画像よりむはないが，それが若者の数学における幾何学的想しろ重要なポイントが強調された映像イメージが像力の貧困化の一因になっている可能性もあると頭に鮮明に浮かぶようになるものである。これこ考える。大学微分積分学でも，テイラー級数展開

そが数学の理解に於いて最も重要なステップではやフーリエ級数展開が具体的な関数に対してどのないだろうか。なお，映像を見せることによってくらい良い近似を与えるか，ということについて

わかりやすくなり，生徒の数学への興味関心を引

は数学的な理論の後にコンピュータグラフィック

くことくらいはできるだろう，と考える向きもあスで見せることは，あくまで「参考」という位置

ろうかと思われる。しかし，上記の小説の話題でづけではあるが，効果的であろう。しかし，人間もそうであるが，いったん映像によって受動的ににできてコンピュータにできないことがたった一理解するという経験をした生徒が，苦労して原作つだけあることを忘れてはならない。それは「無を一字一句読んでみよう，となることはほとんど

限 」 を 想 像 ( イ メ ー ジ ) す る こ と で あ る。 し か

期待できない。この状況は，数学においても同じし，そのような人間の能力も，訓練をしなければであろう。数学はその本質，原理を自分の頭で苦活用することはできない。イメージを必要とする

労して考え抜いて，心から理解できた瞬間に，魅12

教師教育と実践知第 5 巻，1〜15.

力を感じるものではないだろうか。高校生に完成な本当の答えを自分自身が明確に理解していない

された解答である画像や動画を安易に見せてしまために返答に窮し，思わず「これは受験問題解法

うのではなく，授業ごとに徹底的に図を描く練習の定石だから，余計なことを考えずに覚えてしまをし，静止画を描いてそれを頭の中で動画にするいなさい」と指導した，という経験をもつ学生は訓練をさせる必要がある。たとえば，立方体を少なくないだろう。学校教育現場ですら，このよ使ったベクトルの問題を解く場合は，電子黒板でうなことは多いと聞く。最悪な状況は，そのよう表示させた図形を見せながらスマートに説明するに指導することが生徒の偏差値向上のための最善のではなく，教師自身が黒板を使ってフリーハンの策であると教師側が盲信しているケースであドで生徒たちの前で模範的な図を描いて見せ，そる。生徒から説明困難な質問をされた場合は，教れに倣って，生徒たちも正確な図を描けるように師は事後に専門書にかじりついてでも猛勉強しする教育が重要である。図を描くことも，教育的て，それを解決すべきであろう。試験で高得点をな意味からとても大切なことである。授業内で生とる生徒より，いわゆる数学が苦手な生徒の方

徒の一時的な興味を引くことを目的とするのではが，真摯に答えようとすると返答に窮するようななく，将来にわたり長い目で見て生徒たちの成長

素朴，かつ原理的な疑問を投げかけてくるものでに繋がる教育が必要である。事前事後の綿密な検ある。教師はそういう瞬間を決して見逃してはな

証と共に，細心の注意を払いながら ICT 教育を導らない。そして，どうせこの生徒は数学をまるで入すべきであろう。学校教育から離れ，ひとたび分かっていないのだから，そのような頓珍漢な質社会に出れば今の時代はコンピュータ無しでは何問にはまじめに答える必要はない，などと考えてもできない時代である。だからこそ，学校教育現はならない。とことんまで疑問点を聞き出し，適場では「自らの頭でイメージを膨らませる」とい切な答えがでるまで自分自身で考え抜いて，それう，いわゆるローテクを数学教育を通じて生徒たをかみ砕いて説明すべきである。その場で解決がちに体験してもらうことが大切ではないだろうか。

つかなければ，事後に勉強し，その結果をわかりやすくプリントにして渡すのもよい。以上のこと

9．謙虚な姿勢は結局は，教師としての謙虚さが重要である，と「あの先生は聡明すぎて自分とはかけ離れた存いうことに帰結されるだろう。教師である限り大在だ」という生徒による評判は，教育者にとって学の微分積分学や線型代数学，そして，集合論とは決して名誉なことではない。生徒たちは，あま

論理は学び続けなければならない。それは謙虚さ

りにも生徒目線から外れた皆目理解不可能な説明がなければ決してできることではない。そして，を自己満足のもとにひたすら続ける教師に対してたびたび話題に出しているような数学の歴史を知

そのような評価を下すのである。従って，この評り，過去の大数学者たちの偉大な業績に畏敬の念

判は教育者にとってはむしろ大変な不名誉であを抱けば，大学受験問題をスラスラ解く程度で自り，それを聞いて得意になることほど滑稽なこと分が優れた教師であると得意になることもなくなはない。生徒からこのような評価を受けたとしたるだろう。本当に数学的に魅力ある授業をする教ら，大いに反省し授業方法を根本的に見直すべき師のことを生徒たちは「あの先生は頭が良すぎである。現役教師である卒業生たちから「うちのる」ではなく，「あの先生の授業は本当にために学校の生徒は文字式への数の代入もできない」となる。聞いた後は必ず勉強をしようという気持ちいうような嘆きを耳にすることが多い。嘆く暇がが沸き起こってくる」と評するだろう。

あったら，代入という操作の数学的本質は何なの

なお，教職に就いてすぐに本物の数学を教えた

か，何故その生徒は躓くのか，そして，どのようり，魅力を伝えられるようになれるほど数学は甘にして教え直すべきか，という課題に真摯に取りいものではない。しかし，謙虚な姿勢で自らの勉組むべきである。塾の生徒から，自分が疑問に強を続け，原理の追究を続けていればいつの日か思ったこともない素朴な質問をされ，その数学的きっと有意義な授業ができるようになるに違いな数学教師を目指すとはどういうことか13

い。文理学部の数学教職志望の学生たちには，是教師を目指すのであればなおさら，大学数学の初非，将来そのような努力ができる教師になってく歩である，微分積分学，線型代数学，集合と論理れることを期待する。

の勉強と理解は不可欠になるだろう。

10．中学校での数学教育は「楽」なのか ?

11．学生時代に経験しておくべきこと中学校の教師を志望する学生から，中学校の数「学生時代には色々な経験しておいた方が良い」

学の内容は高等学校のそれに比べて易しいのでそと多くの本学卒業の先輩教師たちが後輩の教職志の分，教えるのも楽である，という学生の意見を望学生たちに「親切な」アドバイスをする。生徒

しばしば耳にする。しかし，それは果たして本当からの相談に対して，自分もそれと同じ経験をしだろうか。数学教育は教える対象の学年が下がれたことがあれば適切な助言ができるから，というば下がるほど難しくなる。繰り返しになるが，円のがその理由である。もっともな意見ではある錐の体積や，負の数同士の積が正の数になることが，いくら様々な経験をしても，長い期間教師をなどを適切に教育することは，初等的な事実を認していれば，自分が経験していないことに対してめた上で進められる高等学校の数学の教育に比べアドバイスをしなければならない場面にもたくさ

格段に難しい。むしろ，原理を知らなければ本来ん遭遇することになるはずである。たった一つのはとても教えられることではない。

事でもそれに真剣に取り組み，その中で様々な苦学修レベルの低い生徒を相手にするのなら，教しみや喜びを経験すれば，未経験のことに対して師自身も専門的な数学の知識は不要である，といも適切なアドバイスができるようになるものではう学生たちの意見もまたしばしば耳にする。これないだろうか。

についてもまた，筆者はかなり否定的な見解をところで，「色々な経験」の中で最も大切なこもっている。数学が理解できない生徒たちは，意とが「大学数学を学ぶことで本物の数学を経験す

外なほど純粋で素朴な原理の段階での疑問に躓いることである」と説諭する卒業生は，実に残念なて先に進めないでいることが多いからである。そことにほとんどいない。数学を心から理解しようの生徒の躓きのポイントを的確に判断し，それにと真剣に取り組めば，そこには多くのドラマがあ応じて適切な説明をすることは，かえって学修レる。自分が正しいと思っていたことが完全に間ベルの高い生徒たちを指導することよりも高度な違っていることに自ら気づいたり，理解できなく数学が必要とされると考えるからである。中学数て苦しい時間を過ごし，それでも理解しようと必学の花形ともいえる平面幾何学を教えるためには

死に努力を重ねているうちにある時突然目の前が教師自身が，少なくとも，ユークリッド幾何学の明るく開けてくる，あるいは，突然ひらめいた別公理の内容とその存在意義は十分に理解しておくの見方で今まで考えてきたことを眺め直してみる必要があるだろう。また，中学数学には高等学校と信じられないほど深く明快に理解出来たりす

で習う「極限」の概念は使われないから，中学校

る，といった経験である。やっとのことで心から教師を目指す自分には関係のない単元である，と数学を深く理解した瞬間は，それを作り出した過考えるのは大きな間違いである。中学校の数学で去の偉大な数学者たちに頭の下がる思いがするもも極限の考え方は多く登場する。反比例のグラフのである。このような数学という科目に特有の貴に対する，いわゆる漸近線はすでに極限の考え方

重な経験こそ，将来数学教師を目指す学生たちはを示唆する重要な学習対象である。さらに，無限大学時代にしておくべきであろうと筆者は強く感に続く小数も極限そのものである。この，極限にじる。学生時代には科目単位を取得することに終つながる大切な話題を有意義に活用するために始し，本当の意味での数学を経験をしたことがな

は，少なくとも教師は公理から始まる実数論を知い教師が，想像だけで生徒たちに数学の本当の魅識としてもち，その概要を俯瞰できるように頭に力を伝えることは，それこそ不可能なことであろ

入れておく必要があろう。このように，中学校のう。大学を卒業して学校教育現場に出れば，学生

14

教師教育と実践知第 5 巻，1〜15.

時代とは比較にならないほど自由な時間は減る。

Ϭ．最後にだからこそ今のうちに勉強以外のことを色々経験「自分は無理をしてまで “ 良い数学教師 ” になりしておこう，ではなく，だからこそ今のうちに生たいとは思わない。教科書を教科書通り忠実に教涯の教育の基礎となり得る数学の経験を可能な限えられるごく普通の平凡な教師になって，部活指りたくさんしておこう，となるべきではないだろ

導に力を注げればそれで十分である。だから大学うか。日々「少年老い易く学成り難し，一寸の光の数学を学び続けるなどという特別な努力は自分

陰軽んずべからず」を肝に銘じて，努力を続けてには不要である」と主張する学生もいる。そのよほしいと願う。

うな学生に是非，知っておいてほしいことがある。それは，検定教科書が，数学を知り尽くしたϫ．結論

数学の専門家たちが極めて巧みに難点を回避する

数学の教師の果たすべき重要な役割は，生徒たことによって執筆されている，という事実であちに本当の意味での数学の魅力を伝えることである。例えるならば，一歩踏み外すと深い崖下に転り，また，試行錯誤の末に苦労して本物の数学を落するようなきわどい山の斜面に，安全第一を理解し，さらには，視点をわずかに変えるだけでモットーとして敷かれているレールの上を走る電全く異なる物の見方ができる，という体験の機会

車のようなものである。真の意味で教科書を教科を与えることにあると考える。その実現のために

書通り教えるには，専門数学まで込めた数学に対教師には，大学で学ぶ微分積分学，線型代数学，する相当深い理解，知識と見識が必要である。そ

集合論と論理を中心とする教師自身の数学の深いして生徒たちは，試験の点数によって測られる，

理解と知識が不可欠である。数学の理解と教育力

いわゆる偏差値とは無関係に，意外なほど素朴なは決して一朝一夕に身につくものではない。本稿

教科書の「回避」を教師に質問してくる。教科書で述べてきたような現行教育を変えるような，あの記述から一切逸れることなく忠実に説明し，生るいは本来あるべき教育ができる本物の数学教師

徒からの素朴な疑問を「教科書にそのように書いを目指すのであれば，専門数学を勉強する最適なてあるのだから，そういうものだと思って覚える

環境に身を置いている今から意識を高くもち，一しかない。それで受験には影響ないだろう」とつでも多くの数学的内容を少しでも深く理解する

言ってその場を巧みにごまかす教師ではなく，そ努力を重ねるべきであるし，卒業後もそれを継続のような疑問をもった生徒に真摯に向き合い，わ

していかなければならないだろう。そのために最かりやすい言葉を使って裏の裏まで説明できる教も重要なのは大学卒業時点で，数学の理解と教職師を目指してほしい。闇雲に暗記を勧めるようなに対する意識を最大限に高めておくことである。

教育を施すことは，教師自らが生徒たちの成長の同じ十年でも意識をもって学び続ける姿勢をもつ

芽を摘んでしまうことに繋がるだろう。

十年とそうでない十年ではとてつもない差が生じ

最近の教育界では「生徒の心に火をつける」とる。一歩一歩，着実に不断の努力を続けていれいう言葉がはやっていると聞く。良い言葉だとはば，いつの日か必ず本当の意味で生徒の魂を揺さ思うが，数学教育に関する限り，ただ火をつけさぶる数学教育ができる教師になっていくであろう。

えすればよいということではない。普段から教師

本物の数学の授業とは，理系志望の生徒が受験自身が高い意識をもち続け，より質の高い火をつ問題解法テクニック以上の数学の原理，本質の前けることが第一義として求められることではないに思わず感銘を受け，また文系志望の生徒たちだろうか。それは，受験が終わればあっさりと消に，数学は興味深い学問だから受験勉強でいった

えてしまうような頼りない火などでは決してなん遠ざかるが，またいつの日か学んでみたい，とく，生徒の心に生涯にわたり細々とでも燃え続言わしめる，そんな授業ではないだろうか。

け，いつの日かまた激しく燃えるような火である
べきである。教師として生徒にそのような火をつけることができたならば，受験に向けた勉強に対数学教師を目指すとはどういうことかする熱意という火は生徒自らが自分に対してつけるであろうし，本来そうあるべきものである。
本稿で述べてきたことは，大学教員という立場

15【文献補足】［3］は日本全国の数学の教師を対象とした2019年度教育セミナー（金沢，名古屋)において木内保先生が発表された内容に関する記事である。［4］は，本文で述べた18で学生たちに上から諭すつもりは毛頭ない。実

世紀の直感数学から，フーリエの論文提出を機に始まっ際，大学生からの数学に関する素朴な質問に真摯た，19世紀の数学の厳密化の歴史が極めて明快に解説さな態度で答えようとすると，意外なほどに，専門れている見事な力作である。全体的に大学生には少し難

数学まで踏み込んで議論する必要が生じること

易度が高い記述が多いが，解析学の歴史的背景を読み解を，筆者自身がしばしば経験しているからである。また，本稿は現行の中学校，高等学校の教

くには最適な書籍である。高校数学教師なら，書棚につねに置き折に触れ読み続けたい一冊である。
［5］は高等
学校で普通に行われている数学教育と，その裏に隠され育，および教育方法に対する持論を展開する記述ている本物の数学が対比的に紹介されている，高等学校になったが，大学での数学教育にも多くの問題点の数学教師には，実に恰好な良書と言える。教師を目指があることもまた事実である。高等学校で「そのす学生には是非一読をお勧めする。
［6］の“TECUM”と内容は高度だから大学で学ぶことである」と言われた生徒が，大学入学後に学科専門科目の勉強をしていてそのことに気づくことは，現状ではまれ

は，現行の学校現場における数学教育を変えることを目指して長岡亮介先生が立ち上げた団体（NPO法人)である。
謝辞

なことではないだろうか。それは大学教員が高等

筆者が本学において真剣に学生の教員養成に力を注ぐ

学校での数学教育の現状を正しく把握していない

ようになったのは，わずか十年ほど前からであるから，ことが原因であると思われる。どのような項目を説明する場合でも，中学校，高等学校の数学との関係を述べることが大切であろう。また，言葉使

比較的最近のことである。ところが，本物の良い教師を育てようと思えば思うほど理想と現実のはざまで名状しがたい違和感がつのり，ここ数年は教職志望学生に対してまさしく隔靴掻痒の感を強めていた。

いや記号法あるいは習慣が異なれば逐一解説を加まさにそのような折に，日本大学附属櫻丘高等学校にえるべきであろう。中学校，高等学校の教育は原赴任されたのが文理学部数学科卒業生でもある木内保先理の解説という新しい方向を目指し，大学の教育
は，中学校，高等学校での数学からのスムーズな生である。同先生の授業は，幾度か拝見したが，いわゆる原理に基づく本物の数学教育である。私的な形ではあるが，数学教育の観点からの高大連携について多くの議接続を強く意識することが大切であろう。そし論をさせていただいている。本稿はそれに基づく考察もて，そういうことこそが真の意味での高大連携へ多く含まれる。しばしばゼミナール学生への直接指導のの模索なのではないだろうか。

機会もいただいている木内保先生には心からの御礼を申し上げたい。
2018年度文理学部数学科サマースクールで，長岡亮介

参考文献
［1］木内

保「数学教室」（国土社）“なぜ，どうして〜原

理・原則を体験させよう！”，No.753（2014）pp.1619.
［2］木内保「数学教室」（国土社）“選んで並べる”，

No.774（2016）pp.46-47．
「第6回夏の教育セミナー」日本教育新聞2019年9月16
［3］
日発行記事
［4］岡本

久・長岡亮介「関数とは何か．近代数学史からのアプローチ」（近代科学社）［5］長岡亮介「数学の二つの心」（日本評論社）「TECUM letter」TECUM定期刊行誌［6］

先生のご講演を拝聴する機会を得た。ご講演内容は，いみじくも現行の学校教育現場における数学教育が内包する慢性的問題点を数学の歴史や数学の原理，そして，独自の明快な理論のもとに喝破するものであり，筆者は大いに留飲の下がる思いがした。この長岡先生との衝撃的な邂逅は，筆者の教員養成に対してもっていた考え方を振起せしめるには十分過ぎるものであった。本稿で述べた数学教育に対する考え方は，長岡亮介先生との会話と参考文献に挙げさせていただいた高著の拝読に負うところも非常に大きい。本稿執筆を終え，長岡亮介先生に心からの深い感謝の意を表したい。