線形加速器のビーム光学系とバンチ圧縮
1. はじめにX 線 自 由 電 子 レ ー ザ ー （ X-ray Free-Electron
Laser, XFEL）の線形加速器は、蓄積リング入射器として用いられる線形加速器と異なり、十分な
レーザー増幅ゲインを得るため、6 次元位相空間において高密度電子ビームの生成が要求される。

Fig. 1 座標 系の定 義このため電子の加速と同時に、ビーム進行方向の
電子バンチ圧縮が重要な設計のポイントとなる。
またアンジュレータ内で光を増幅する際、電子ビームと光を最適な条件で空間的にオーバーラッ
プさせなければならない。即ち横方向（水平、垂直）の電子ビームエンベロップを、アンジュレー
タ部の収束系にきちんとマッチさせる必要がある。
本講義では、横方向のビーム光学系（収束系）と、縦方向（電子ビーム進行方向）のバンチ圧縮を取り上げ、加速器パラメータの基本設計に必要なモデル化と定式化について解説する。ビーム光学系は線形モデルで取り扱い、バンチ圧縮については 2 次の非線形性まで考慮する。第 5 章ではSACLA を例に、XFEL 線形加速器の立ち上げやビーム調整などについて簡単に紹介する。
実際の加速器や電子ビームでは、空間電荷効果

Fig. 2 𝒙-  𝒙′位相 平面に 射影し た電子 分布とRMS 楕円や wake field、Coherent Synchrotron Radiation（CSR）などの非線形効果が無視できないため、最終的に計算機シミュレーションコードを用い

2. 6 次元位相空間

た粒子トラッキングを行って、設計した加速器パ

RF 場を利用して電子ビーム加速する加速器の場

ラメータを最適化することは必須である。しかし

合、電子ビームは連続ではなく、バンチ（塊）と

XFEL 線形加速器の基本設計は、粒子トラッキン

してパルス的に加速される。加速された電子バン

グを行う際ベースパラメータとして不可欠であチは𝑧方向に動いているので、電子バンチの分布

り、本講義の内容は線形加速器を理解する上でもは、空間サイズの 3 次元のみならず、横方向の角重要である。

度拡がり（𝑥′と𝑦′の 2 次元）と速度（電子運動エ

本講義では Fig. 1 に示すように、電子ビーム進
行方向（ビーム軸方向）を𝑧、水平方向を𝑥、垂直ネルギー）の拡がりを加えた計 6 次元の空間で定義しなければならない。

方向を𝑦とする座標系を用いる。また𝑧に対する微

まず横方向であるが、6 次元電子バンチ分布を分をプライムで表し、𝑧に対する電子軌道の水平𝑥-  𝑥′（水平）と𝑦-  𝑦′（垂直）の各位相平面に射影

角度を

!"
!"

= 𝑥′、垂直角度を!"!"= 𝑦′とする。

した電子分布面積を、各々エミッタンス（𝜀!,! ）Fig. 4 加速 による エミッ タンス の断熱 変化
分布から標準偏差を求め、式(2-1)のようにエネル
ギースプレッド𝜎! として表す。
𝜎!! =

!
!!

!

!! !!! !
!!

(2-1)

𝑁! はバンチ内電子の個数である。
これら 6 次元位相空間において、ビーム電流がFig. 3 電子 ビーム 品質を 表すエ ミッタ ンスという量で表す。エミッタンスは、通常 Fig. 2 のような電子分布の RMS 楕円面積を、𝜋で除したものとして定義する。エミッタンスが小さい電子ビームは、Fig. 3 に示すように空間的に密で平行に進むビームである。反対にエミッタンスが大きいと、空間的に疎で角度分布が大きいビームであると言える。XFEL でレーザー増幅を起こすには、
XFEL 光の波長程度のエミッタンスをもつ電子ビームが必要である。
電子ビームを加減速してビームエネルギーを変化させない限り、線形光学系におけるエミッタ
ンスは保存量である。光学系で電子ビームの空間
サイズを小さくすれば角度拡がりは増え、平行に近いビームを作るには空間サイズを大きくしなければならない。これはちょうどレーザー光のガ
ウスビームを、レンズを用いて輸送する場合と同じである。レーザー光の場合、波長で決まる回折
限界サイズに𝑀 ! を掛けた!! !

高く、エネルギースプレッドとエミッタンスが小さいビームは、高輝度電子ビームと呼ばれる。例
えば SACLA の電子ビームの場合、ビーム電流が3 kA、エミッタンスは 60 pm-rad 程度である。
さて、蓄積リングや電子ビーム輸送ラインなど
電子エネルギーが一定の場合は、横方向の電子ビーム品質を表す指標としてエミッタンスは合理的である。しかし、加速に伴い電子エネルギーが変化する線形加速器では、エミッタンスもビーム
エネルギーとともに変化してしまう。Fig. 4 からわかるように、電子ビームを𝑧方向に加速すると、横方向の運動量を保存したまま𝑧方向の運動量が大きくなるため、𝑥′や𝑦′が電子ビームエネルギーに反比例して小さくなり、エミッタンスもビーム
エネルギーに反比例して減少する。このエミッタ
ンスの断熱変化は、電子ビーム固有の品質や加速器性能によらずビームエネルギー変化に対し一意に決まり、品質の悪いビームでもビームエネル
ギーを上げればエミッタンスは小さくなる。即ち
線形加速器における電子ビームの品質は、エミッが保存量となり伝搬

タンスとビームエネルギーの 2 つを指標として議するが、電子ビームの場合保存量はエミッタンス

論しなければならない。そこでエミッタンスの代となる。

わりに電子ビーム品質を表す指標として、ビーム!!

𝑧方向の電子バンチの長さは電子バンチ長で表エネルギーで規格化した規格化エミッタンスを、され、しばしばバンチ長を光速で割った時間の単線形加速器では一般に用いる。規格化エミッタン位が用いられる。また、𝑧方向の空間分布はそのスは、電子の運動エネルギー（𝐸! ）を電子静止エ

ままビーム電流に対応する。エネルギーの拡がり

ネルギーで割ったローレンツ因子（𝛾）を用いてについては、電子バンチの平均エネルギー（𝐸𝑏 ）定義される。ローレンツ因子は、に対する個々の電子のエネルギー（𝐸! ）の相対値

𝛾=!!
!! ! !

(2-2)+1で与えられ、𝑚! は電子の静止質量、𝑐は真空中の光速である（３章で導入する Twiss パラメータと区別するため、本講義ではローレンツ因子にバーをつける）。電子ビームエネルギーを、加速器でよく用いられる MeV という単位で表すなら、𝛾=!!   (!"#)!.!"" !"#

+1となる。また電子速度（𝑣! ）の光速に対する比を!
𝛽 = ! とすると、特殊相対性理論より𝛽と𝛾には、
!

𝛽=

!

1− !
!

(2-3)

の関係があり、電子の運動エネルギーが大きくなると電子の質量は𝛾倍になり、速度は光速に近づく。ローレンツ因子を用いて規格化エミッタンス（𝜀!!,!" ）は、
𝜀!!,!" = 𝛽𝛾𝜀!,!

(2-4)

で与えられ、ビームエネルギー変化に依存しない
保存量となる。𝛽 ≈ 1で近似できるエネルギー領域
は相対論的エネルギー領域と呼ばれ、本テキスト
では非相対論的な場合を除き𝛽の項を省略する。

3. 線形加速器の電子ビーム光学系
6 次元位相空間をそのまま可視化することはでき

Fig. 5 位相 空間の 電子分 布 RMS 楕円 とTwiss パラ メータ の関係
3.1. Twiss パ ラ メ ー タ の 導 入Fig. 2 の𝑥-  𝑥′位相平面上の電子分布の RMS 楕円（面積𝜋𝜀! ）の式を、右辺がエミッタンス𝜀! となるように係数を決め、
γ x 2 + 2α xx '+ β x!2 = ε x(3-1)と置く。この楕円の面積は
!
!"!
=
!
!"!!

!" !!
! !
!!
! !!

で与えられ、これが𝜋𝜀! に等しいことから、式(3-1)の係数𝛼、𝛽、𝛾の間には、
𝛾=

!!! !

(3-2)

!

ないが、ビーム光学系にねじれ磁場成分がない（𝑥の関係が成立する（面積が与えられた任意楕円方向と𝑦方向のカップリングがない）場合、𝑥方向

は、2 つのパラメータで決定することから来る要と𝑦方向の各位相平面は独立に取り扱うことがで請）。RMS 楕円の形状を表す式(3-1)の３つのパラ

きる。SACLA の場合、ソレノイドがある入射部

メータ𝛼、𝛽、𝛾を Twiss パラメータと呼ぶ[1]。

を除いてこの条件が成り立つ。2 章で述べたよう式(3-1)から Twiss パラメータと位相空間楕円に、𝑥-  𝑥′や𝑦-  𝑦′の各位相平面への 6 次元電子バンには、Fig. 5 のような関係がある。電子分布の空チ分布の射影を取ると、𝑥-  𝑥′位相平面の電子分布は Fig. 2 のような RMS 楕円で表され、楕円の面

間 RMS サイズ（𝜎! ）と横方向角度分布の RMS
拡がり（𝜎! ! ）は、𝜎! = 𝛽𝜀! および𝜎! ! = 𝛾𝜀! で

積は𝑥方向エミッタンスにπを掛けたものに等し与えられる。また式(3-2)より、RMS 楕円の傾きくなる。ビームエネルギー一定の電子ビームは、を表す Twiss パラメータ𝛼を用いると、𝜎! と𝜎! ! か𝑥-  𝑥′位相平面上の楕円面積（即ちエミッタンス）

らエミッタンスは式(3-3)で求められることがわを保持しながら、光学系で決まるビームエンベロ

かる。

ップ関数に従い楕円形状を変化させながら光学

𝜀! =系の中を進む。本章ではまずエネルギー一定の電子ビームについて、楕円形状を示す Twiss パラメータを導入する。

!
!!! !

𝜎! 𝜎! !

(3-3)

横方向の電子ビームサイズ𝜎! は、光学系で決まる
ビームエンベロップ関数によって変化するが、エンベロップがビーム軸と平行になるビームウェ
ストの位置では、RMS 楕円が Fig. 6 のように直立し𝛼 = 0となるため、ビームサイズ𝜎! と角度拡がると、𝛽! の𝑧に対する傾き𝛽 !! =!!!
!" !!!!

= 2𝛾! 𝑧! が得られ、𝛽! と𝛼! には次の関係があることがわかる。
𝛼! = −

!!!
!

(3-7)

即ち Twiss パラメータの𝛼は、𝛽の傾きを表す。また、式(3-5)の変換行列の行列式は 1（simplectic行列）であることから、ドリフト空間において楕円の面積、即ちエミッタンスは変化しない。
次に線形光学系のもう一つの要素であるレンズについても、同じように考えてみる。焦点距離

Fig. 6 直立 した RMS 楕円 （𝜶 = 𝟎）の 場合

𝑓の薄肉レンズの変換行列は、
1 0 𝑥!
𝑥!
= −! 1
𝑥′!
𝑥′!
!

(3-8)

で与えられる。添え字 0 と 1 は、レンズ通過前後
り 𝜎! ! の 積 が エ ミ ッ タ ン ス に 等 し く な るの位相平面上の電子座標を示す。レンズ通過前の（𝜀! = 𝜎! 𝜎! ! ）。

初期楕円を式(3-4)とし、式(3-8)の線形変換を施す空間で構成される線形光学系によって、どのようと、レンズ通過後の電子分布楕円(γ 0 + 2α 0 f −1 + β0 f −2 )x12 + 2(α 0 + β0 f −1 )x0 x"0 + β0 x"02 = ε xに変化していくかを考えてみる。まず式(3-4)の初が得られる。即ちレンズを通過することにより期分布（添え字 0）をもつ電子ビームが、長さ𝑧! のTwiss パラメータは、

さて、式(3-1)の RMS 楕円がレンズやドリフト

ドリフト空間を進んだ場合を考える。
(3-4)
γ 0 x02 + 2α 0 x0 x!0 + β0 x!02 = ε x
長さ𝑧! のドリフト空間の𝑥! 、𝑥′! に対する線形変換
は、行列を用いて𝑥!
1 𝑧! 𝑥!
=(3-5)
𝑥′!
0 1 𝑥′!
と書ける。添え字 1 は、ドリフト空間通過後の電子座標である。この線形変換を式(3-4)に対して行
うと、楕円は式(3-6)に変換される。
γ 0 x12 − 2γ 0 z1 x1 x1" + (γ 0 z12 + β0 ) x1"2 = ε x(3-6)

これが距離𝑧! を進んだ後の電子分布を表す楕円である。この楕円の係数を、
𝛾! = 𝛾!
𝛼! = −𝛾! 𝑧!
𝛽! = 𝛾! 𝑧!! + 𝛽!と置きかえたγ1 x12 + 2α1 x1 x1 '+ β1 x1!2 = ε xが新たな電子分布楕円と Twiss パラメータになる。𝑧! は任意に選べることから、𝛽! を𝑧! で微分す

𝛾! = 𝛾! + 2𝛼! 𝑓 !! + 𝛽! 𝑓 !!
𝛼! = 𝛼! + 𝛽! 𝑓 !!
𝛽! = 𝛽!
と変化する。また、式(3-8)の行列式も 1 であるた
め、レンズによってエミッタンスは変化しない。
電子ビームを線形光学系で輸送する時の電子
ビ ー ム サ イ ズ は 、 Fig. 5 か ら わ か る よ う に𝜎! 𝑧 =

𝛽 𝑧 𝜀! に従って変化する。ビームエネル

ギーが一定であればエミッタンスは変化しない
ため、光学系内の電子ビームエンベロップは𝛽 𝑧によって記述される。𝛽 𝑧 はベータ関数と呼ばれ、式(3-7)からわかるように、𝛼 𝑧 がその傾きを表す。
ここまで𝑥方向について議論してきたが、全く同じ取り扱いが𝑦方向についてもでき、ビームエ
ンベロップを表すベータ関数は、𝑥方向と𝑦方向において独立に定義される。

ば、強い磁石を使えば簡単に得られる 1 T の磁場と同じ収束力を得るためには、300 MV/m（1 mに 3 億 V の電圧）の電場が必要であり、電場を使うと明らかに効率が悪い。
レーザー光のガウス光学系では、凸レンズのよ
うに水平垂直両方向とも光を収束させるようなコンポーネントが存在するが、電子ビーム光学系
では凸レンズは一般的でない。ソレノイドを使え
ば両方向の同時収束は可能であるが、ソレノイドの収束力は端部磁場で電子を周方向に回転させ、Fig. 7 四極 磁石の 磁極と 磁場（紙 面手前 から向 こうに 進む電 子に対 し水平方 向収束 、垂直 方向発 散）

この周方向速度と磁場の積で得られるため、ビー
ムエネルギーが高くなると非常に大きな磁場を必要とする。このため、相対論的エネルギーの電子ビーム収束系には専ら四極磁石が用いられ、収束力の強さや極性を容易に調整できることから、磁場を電磁石で発生させる四極電磁石が一般的に使用させる。四極電磁石は、Fig. 7 のように電子ビーム軸に対して対称な 4 つの磁極を配置する
ことで、電子ビームに対し勾配をもつ磁場を発生させ、電子ビームに収束発散力を与える。Fig. 8
は、SACLA アンジュレータ部で使用している四極電磁石である。
四極電磁石の磁場（𝐵!,! ）は中心で 0 であり、中心からの水平および垂直方向の距離に比例して磁場が強くなる。位置(𝑥,  𝑦)における磁場は、磁Fig. 8 SACLA の四 極電磁 石
ビーム光学系に周期性がある蓄積リングでは、場勾配を用いて
𝐵! =
𝐵! =

!!!
!"
!!!
!"

𝑥
𝑦

単電子運動を表すヒルの方程式の解から、Twissで与えられる。コイル電流のない電磁石中心ではパラメータは厳密に定義される[2]。ここでは、位対称性より𝐵! = 0であり、マクスウェル方程式の相平面上の電子分布楕円が、線形光学系によって∇×𝐵 = 0より、磁場勾配にはどう変化するかをより直感的に説明した。

り立つ。即ち Fig. 7 からもわかるように、四極電3.2. 四 極 電 磁 石

磁石では𝑥方向に収束力が働く場合、𝑦方向には同

!!!
!"

=

!!!
!"

の関係が成

じ大きさの発散力が働く。このため電子ビーム光
電子ビームの収束は、ローレンツ力の式（−𝑒は電子の電荷量（C）で𝑒 > 0）
(3-9)
𝐹 = −𝑒𝐸 − 𝑒𝑣×𝐵
からわかるように、電場𝐸（V/m）か磁場𝐵（T）
を用いて行う。相対論的エネルギーを持つ電子の場合、速度がほぼ光速であるため、磁場を用いた方が有利であることが式(3-9)からわかる。例え

学系は、収束と発散を交互に配置し、全体として収束力を得る強収束の原理を用いて構成される。
強収束の原理とは、Fig. 9 のような同じ収束力と発散力を持つレンズを距離を離して置いた場合、全体として収束力が得られるという原理である。
Fig. 9 のレンズの焦点距離を±𝑓とすると、2 枚のレンズの合成焦点距離𝑓!"!#$ は、レンズの公式より

!
!!"!#$

!

!

!

!!

= +

−

!
!(!!)

となる。このとき
𝑓!"!#$ =!!
!

>0であるため、全体では収束となっていることがわ
かる。
3.1 節では、薄肉レンズの線形変換を式(3-8)で表したが、ここでは電子ビーム光学系のレンズでFig. 9 強収 束の原 理

ある四極電磁石について、厚さをもった四極電磁石の線形変換を求める。収束発散の方向は四磁極の極性で変わるが、ここではまず磁場の方向がFig. 7 と同じ水平方向収束、垂直方向発散の場合

𝐵 = 𝑥!
で与えられることがわかる。四極電磁石の有効磁を考える。

場長を𝐿とすると、式(3-13)と(3-14)より四極電磁四極電磁石における𝑥方向の電子の運動方程式
は、
!!!
!"

! !!! !"!

=

(3-10)= −𝑒𝑐𝐵!

!"となる。但し𝑝! は𝑥方向の運動量で、相対論的電子エネルギーを仮定し𝛽 = 1とした。
𝐵! =

!!!
!"

𝑥 !! +

!"
!!

= 𝑐、

𝑥より、
!

!!!

!!! ! !"の線形変換となる。
!

!!!

!!! ! !"

同様に𝐾 > 0の場合の𝑦 方向の式(3-12)を解くと置くと式(3-10)は、(3-11)
𝑥!! + 𝐾𝑥 = 0となる。一方𝑦方向の運動方程式は、!"=! !!! !"!
!"

(3-15)
によって与えられ、これが収束方向の四極電磁石

𝑥=0が得られ、𝐾 =!!!

石出口（𝑧 = 𝐿）の電子座標（𝑥! , 𝑥′! ）は、
1
cos 𝐾𝐿sin 𝐾𝐿
𝑥!
𝑥!
=
𝐾
𝑥′!
𝑥′!
− 𝐾 sin 𝐾𝐿
cos 𝐾𝑧= 𝑒𝑐𝐵!

と、解は双曲線関数で表され、初期条件より線形
変換は、
𝑦!
𝑦′!
=

であるため、同様に
𝑦 !! − 𝐾𝑦 = 0(3-12)
が得られる。Fig. 7 の磁場の極性では𝐾 > 0であり、式(3-11)と(3-12)より𝑥方向に収束力、𝑦方向には発散力が働くことがわかる。

cosh
𝐾 sinh

𝐾𝐿
𝐾𝐿

1
𝐾

sinh

cosh

𝐾𝐿
𝐾𝑧

𝑦!
𝑦′!

(3-16)となる。
磁場の極性を反転させれば、𝐾 < 0となって𝑥方

𝐾 > 0の時、式(3-11)の解は積分定数 A、B を用
いて向と𝑦方向の式が入れ替わり、𝑥方向に発散力、𝑦方向に収束力が働く。式(3-15)と(3-16)で示した線形

𝑥 = 𝐴 sin

𝐾𝑧 + 𝐵 cos(3-13)  𝐾𝑧の形で与えられる。式(3-13)を𝑧で微分すると、
𝑥 ! = 𝐴 𝐾cos

𝐾𝑧 − 𝐵 𝐾 sin

𝐾𝑧(3-14)

変換は、いずれも行列式が 1 となっているため、四極電磁石でエミッタンスは保存されることがわかる。

である。四極電磁石入口（𝑧 = 0）における電子座

四極電磁石を薄肉近似で取り扱う場合は、例え

標（𝑥! , 𝑥′! ）を初期条件として与えると、積分定

ば 式 (3-15) に お い て 𝐿 → 0 と す れ ば 線 形 変 換 が!
10で与えられ、𝐾 > 0の場合は焦点距離!!
−𝐾𝐿 1のレンズと等価であることがわかる。

数は
!!
𝐴= !
!

3.3. 電 子 ビ ー ム エ ン ベ ロ ッ プ の 転 送式(3-5)、(3-15)、(3-16)で与えられる線形変換は、各々ドリフト空間、収束方向四極電磁石、発散方
向四極電磁石の線形転送行列と呼ばれる。電子ビ
ーム光学系コンポーネントの配置に沿って、これ
らの転送行列を電子軌道の初期条件に掛け合わせることで、光学系内の単電子の軌道を計算することができる。また電子分布の形状を表すビーム

Fig. 10 加速 による 角度発 散の減 少

エンベロップ関数（ベータ関数）についても、転3.4. 加 速 さ れ る ビ ー ム の Twiss パ ラ メ ー タ

送行列を用いて求めることができる。
まず初期電子分布を表す𝑥-  𝑥′位相平面上の楕円を

3.3 節までの結果を用いれば、蓄積リングや電子ビーム輸送ラインなど、エネルギーが一定の電子

γ 0 x02 + 2α 0 x0 x!0 + β0 x!02 = ε x(3-17)とし、行列式が 1 の任意の転送行列
𝑥!
𝑚!! 𝑚!" 𝑥!
= 𝑚
𝑥′!
𝑥′!
!" 𝑚!!

ビームのエンベロップについては全て取り扱うことができる。しかし線形加速器の場合、電子ビーム加速によってエネルギーが変化するため、加(3-18)

𝑚!! 𝑚!! − 𝑚!" 𝑚!" = 1
によって、Twiss パラメータがどのように変換され る か を 求 め る 。 式 (3-18) を 使 っ て 式 (3-17) を(𝑥! , 𝑥′! )で書き下すと、(γ m − 2α m m + β m ) x + 2 (−γ m m + α m m + α m m − β m m ) x x"+ (γ m − 2α m m + β m ) x" = ( m m − m m ) ε
2
22

0

0

22

21

2
21

0

2
1

0

22

12

0

12

21

0

11

22

0

11

21

1 1

速管の取り扱いを別途考慮する必要がある。第 2章で説明したとおり、ビームエネルギーが変化する場合エミッタンスは保存しない。例えば Fig. 10のような薄肉加速管を考えると、加速によって電子ビームの角度拡がりは小さくなり、転送行列は(3-19)
が得られる。これが転送後の𝑥-  𝑥′位相平面上の電式(3-21)で与えられる。
1 0 𝑥!
𝑥!
= 0 !!
𝑥′!
𝑥′!
!

子分布楕円を表す式である。式(3-19)の右辺は、

但し𝛾!,! は加速前後のビームエネルギーで、𝛽 = 1

転送行列の行列式が 1 であるため、エミッタンスを仮定している。式(3-17)の楕円を式(3-21)でそのに等しい。よって左辺 3 項の係数が転送後のまま転送してみると、式(3-20)の関係を使えば

0

2
12

0

11

12

0

2
11

2

2

1

11

22

21

12

x

Twiss パラメータ𝛼! 、𝛽! 、𝛾! となり、元の楕円の

γ1 = γ 0 ( γγ10 )𝛼! 、𝛽! 、𝛾! と転送行列要素を用いて、式(3-20)の

α1 = α 0 γγ10

ように転送される。
22
γ1 = γ 0 m22− 2α 0 m22 m21 + β0 m21

α1 = −γ 0 m22 m12 + α 0 m12 m21 + α 0 m11m22 − β0 m11m21
β1 = γ 0 m122 − 2α 0 m11m12 + β0 m112

(3-21)!

2

β1 = β0となる。ベータ関数は変化していないがエミッタ
ンスが加速によって減少するため、𝜎! =𝛽𝜀で表されるビームサイズが薄肉加速管前後で不連続(3-20)
このように、線形ビーム光学系を構成するドリに変化し、また式(3-2)の関係も満たしていない。

フト空間や四極電磁石の転送行列を用いれば、光とからもわかるように、電子エネルギーの変化に学系でどのように Twiss パラメータが変化するか

対し、エミッタンスが保存されないことに起因しを計算でき、ビームエンベロップを表すベータ関ている。よって式(3-21)は、𝑥や𝑥′といった実空間

数を伝搬させることができる。

における電子軌道の転送については正しく表記

これは式(3-21)の転送行列の行列式が 1 でないこ

しているが、電子分布楕円やビームエンベロップの伝搬には使えないことがわかる。

そこでビーム加速時のエンベロップ転送を正γ1 = γγ10 γ 0

しく行うため、ビームエネルギー変化に対して保α1 = α 0

存量である規格化エミッタンスを用い、位相平面γ1γ0の電子分布楕円を再定義する[3,4]。式(3-17)の楕
円は、式(2-4)の規格化エミッタンスを用いると、式(3-22)のように書き直せる。

β1 = β0式(3-27)は式(3-2)の関係を満たし、ビームサイズ
も加速管前後で同じである。
𝜎! =1
γ x + 2α 0 x0 x!0 + β x! = ε nx
γ0
2
0 0

2
0 0

(3-22)(3-27)

𝛽! 𝜀 =!

𝛽! ! 𝜀!!

式(3-26)は、エネルギーで規格化した位相空間

右 辺 が 𝜀!" と な る よ う 𝛾! を 両 辺 に 掛 け る と 式

における電子軌道を転送する行列であり、式(3-23)が得られる。

(3-26)の行列を用いて実空間の電子軌道(𝑥, 𝑥′)を

γ0

2

2

( γ x ) + 2α ( γ x ) ( γ x! ) + β ( γ x! ) = ε
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

nx

(3-23)
ここで、計算することはできない点に注意する必要がある。
3.5. 厚 肉 加 速 管 に よ る ビ ー ム 加 速 の モ デ ル 化"$ X = γ x00 0#$% X 0! = γ 0 x!0(3-24)

3.4 節では、加速時のビームエンベロップを転送させるため、電子エネルギーで規格化した位相空と置き、楕円の式を𝑋と𝑋′を使ってγ 0 X 02 + 2α 0 X 0 X 0! + β0 X 0!2 = ε nx

間を導入し、薄肉加速管の例を示した。本節では、(3-25)

実際に厚さのある厚肉加速管でビームを加速すと再定義する。式(3-25)は、ビームエネルギーでる場合について定式化する。まず、加速管内の実規格化した位相平面𝑋-  𝑋′上の電子ビーム分布の位相平面𝑥-  𝑥′における電子の運動を考える。電子楕円である。注目すべきは、式(3-25)の楕円形状

は相対論的エネルギーを持っていると仮定しを表す Twiss パラメータが、実位相平面𝑥-  𝑥′上の（𝛽 = 1）、加速管は電子を加速電場𝐸! (V/m)で𝑧方楕円の式(3-17)と等しいことである。即ち、𝑋-  𝑋′位

向（ビーム軸方向）にのみ加速するものとする。

相平面上の楕円と𝑥-  𝑥′平面上の楕円は、面積が𝛾!

このとき加速管内の電子の運動方程式は、𝑥方向倍異なるもののお互い相似であり、楕円形状を表と𝑧方向で各々2
dpx d (γ mec x!)
=
=0
dt
dz

す Twiss パラメータが同じになる。よって規格化
エミッタンスが保存される𝑋-  𝑋′位相空間の転送
行列を用いることにより、電子分布楕円や Twiss
パラメータを転送することができる。
規 格 化 位 相 平 面 𝑋 -   𝑋′ 上 で の 転 送 行 列 は 、 式(3-24)を使って式(3-21)を書き直すことにより
𝑋!
=
𝑋′!

!!
!!

0

0
!!

𝑋!
𝑋′!

2

(3-28)となる。但し𝑝! と𝑝! は、𝑥方向と𝑧方向の電子の運動量である。垂直方向については水平方向と同じ取り扱いで解けるため、ここでは省略する。

(3-26)!!

で与えられる。式(3-26)の行列式は 1 になっており、規格化エミッタンスが保存されていることがわかる。この転送行列と式(3-20)の関係を用いると、Fig. 10 の薄肉加速管で加速後の Twiss パラ
メータは、次のように求められる。

dpz d (γ mec )
=
= eEz
dt
dz

式(3-28)の𝑥方向の式を𝑧で積分すると、(3-29)
γ x '+ A = 0
が得られる。A は積分定数である。加速管入口のパラメータを添え字 0 で示し、初期条件𝑥! 、𝑥′! 、𝛾! を使うと、 A = −γ 0 x '0 となる。これを式(3-29)に入れて、もう一度𝑧で積分する。
z1
x = γ 0 x '0 ∫ dz + B
z0 γ(3-30)

再び初期条件より、𝐵 = 𝑥! 。また式(3-28)の𝑧方向

γ1 = γγ10 γ 0の式を使うと、式(3-31)が得られる。

α1 = − γγ0! ln ( γγ10 ) γ 0 + α 0

eE (z − z )γ = γ 0 + z 2 0 = γ 0 + γ '(z − z0 )
me c
eEz
γ '=
me c 2(3-36)

2

β1 = γγ0!γ21 ( ln γγ10 ) γ 0 − 2 γγ1! ln ( γγ10 ) α 0 + γγ10 β0(3-31)式(3-36)は、厚肉加速管内のビーム加速に対す
る𝑥方向のビームエンベロップの伝搬を表し、加𝛾′はローレンツ因子で表した加速勾配で、加速管全体にわたって一定である。式(3-31)の  𝛾 ! =式(3-30)に用いると、
γ γ 1
γ
γ
x = x0 + x '0 0 ∫ dγ = x0 + x '0 0 ln
γ ' γ0 γ
γ ' γ0!!
!"を(3-32)

速管は軸対称であることから、垂直方向についても同様に式(3-36)が成り立つ。
3.6. 加 速 管 端 部 の 収 束 発 散 効 果
3.5 節では、加速によるビームエネルギー変化にとなる。式(3-32)を𝑧で微分し、角度拡がり𝑥′を求

対する転送行列を求めたが、実際の加速管には出めると、式(3-33)が得られる。
γx ' = x '0 0γ

入口に収束発散効果が存在する[5]。本節では、進(3-33)

行波加速管端部効果の定式化を行う。詳しく述べないが、加速管端部の収束発散効果は、電子が受加速管出口のパラメータを添え字 1 で表し、式

ける加速電場の変化率に比例する。加速電場は加(3-32)と(3-33)をまとめると、𝑥-  𝑥′位相平面の加速

速管の外では 0 であるため、加速電場が大きく変管の転送行列は式(3-34)で与えられることがわか化する加速管の端部において顕著に現れる。厳密る。

には加速管内においても加速電場は変化するた

!!

1

𝑥!
=
𝑥′!
0

!!

!

𝑙𝑛 !
!!

𝑥!
𝑥′!

!!

!!

(3-34)式(3-34)は、厚肉加速管内の𝑥-  𝑥′実位相平面の電子軌道に対する転送行列であるが、式(3-34)の行列式は 1 にはならず、𝑥-  𝑥′平面でエミッタンスが保存されないため、式(3-34)をそのままビーム
エンベロップの転送には使えない。そこで薄肉加速管の例で行ったように、𝑋-  𝑋′の規格化位相平面
における転送行列を求める。式(3-24)の変数変換を使って式(3-34)を𝑋と𝑋′で書き直すと、𝑋-  𝑋′規格
化位相平面における転送行列
𝑋!
=
𝑋′!

!!

!! !!

!!

!!

0

!!

!!

るが[6]、𝑧方向で平均すると 1 次の項は 0 になる
ため、相対論的エネルギー領域では通常無視できる。
加速管端部の収束力は、加速管の回転対称性より半径方向の距離𝑟に比例し、半径方向の運動量
変化（

!!!
!"

）を用いると、式(3-37)で与えられる。

e ∂E
dpr
≈ − r z cos(ω t − kz z)
2c ∂ zdz(3-37)

𝜔と𝑘! は進行波加速管 RF の角周波数と𝑧方向の波
数、𝐸! は加速管 RF 電場の振幅で、𝜔𝑡 − 𝑘! 𝑧が RF
電場に対する電子の位相である。加速管の軸対称

!

𝑙𝑛 !

め、収束発散効果（ponderomotive 力）が存在す

𝑋!
𝑋′!

(3-35)!!

が得られる[3]。式(3-35)は行列式が 1 であり、規格化エミッタンスが𝑋-  𝑋′位相平面上で保存されていることを示している。式(3-35)と(3-20)の関係
を用いて、厚肉加速管前後の Twiss パラメータの転送を求めると、式(3-36)となる。

性と∇ ∙ 𝐸 = 0より、式(3-37)は加速管端部に半径方向の電場が存在することを示唆しており、これが収束や発散効果を生み出している。加速管入口では、加速管 RF 電場の振幅が 0 から次第に増加す
るため

!!!
!"

> 0となり、電子が加速位相にある場合

は𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 − 𝑘! 𝑧 > 0となって電子ビームは収束される。逆に加速管出口では、加速電場振幅が次第に減少するため
散力を受ける。

!!!
!"< 0となって、電子ビームは発て上下流のビームエンベロップを計算すればよい。ドリフト空間や四極電磁石、加速管など光学系を構成するコンポーネントを分割して細かく
エンベロップを計算したい場合は、各転送行列を分割して計算する。
粒子トラッキングには PARMELA というコードを用い、加速管を含んだ FODO ラティスについて、線形転送行列モデルで得られるベータ関数
Fig. 11 線形 転送行 列モデ ルとト ラッキ ン
グの 比較と粒子トラッキングの電子分布から計算したベータ関数を比較した。FODO ラティスは、収束と発散の四極電磁石を交互に並べた光学系で、Fig.

𝜃 = 𝜔𝑡 − 𝑘! 𝑧と置いて、薄肉近似で加速管端部

11 の例では四極電磁石の間に加速管を挟んでいの転送行列を式(3-37)より求めると、加速管入口

る。加速管がない場合の FODO ラティスの解は、は、
1𝑥!
= − !!! 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑥′!
!! ! ! !

解析的に求めることができるが[2]、加速管が入る!

!

加速管出口では、
1
𝑥!
!!!
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑥′!
!! ! ! !
!

!

0
1

𝑥!
𝑥′!

(3-38)と解析解を求めることは困難である。
Fig. 11 の例では、水平と垂直のベータ関数が対称になるように、転送行列モデルを使って初期

0
1

𝑥!
𝑥′!

(3-39)

Twiss パラメータと四極電磁石の磁場パラメータを simplex 法で求めた。転送行列で計算した結果となることがわかる。これらは収束発散のみで、が Fig. 11 の実線で、赤線が水平方向、青線が垂電子エネルギーの変化を伴わないため行列式が 1

直方向のベータ関数を示す。黒の実線は電子ビーとなり、エミッタンスは保存される。式(3-38)、

ムエネルギーの変化である。転送行列モデルで用(3-39) か ら わ か る よ う に 、 加 速 RF 位 相

いた初期電子分布と四極電磁石のパラメータを（−𝜋 < 𝜃 < 𝜋）では、加速管入口で収束レンズ、そのまま PARMELA に与え、粒子トラッキング

加速管出口で発散レンズと等価な線形変換となの結果得られたビームサイズからベータ関数をる。また加速管は軸対称であるので、式(3-38)と求めた結果が、Fig. 11 の丸点である。両者は非常(3-39)はそのまま𝑦方向にも適用され、加速位相のによい一致を示しており、線形転送行列モデルが場合加速管入口では𝑥、𝑦両方向とも電子ビームは有効であることがわかる。

収束される。
3.7. ト ラ ッ キ ン グ と の 比 較

4. 電子バンチ圧縮
XFEL 発振に必要な高密度電子ビームの生成に3 章でこれまで導出した線形転送行列を用いて、は、ビーム進行方向（𝑧方向）の電子バンチ圧縮

加速管を含む電子ビーム光学系のビームエンベが不可欠である。XFEL 線形加速器では、電子ビロップを計算し、粒子トラッキングの結果と比較

ー ム の 加 速 と と も に 、 速 度 変 調 や Bunchする。蓄積リングの場合、周期性のあるビーム光Compressor（BC）と呼ばれるシケインを用いた学系内を電子は周回するため、ビームエンベロッ

バンチ圧縮を行う。いずれの圧縮も、バンチ内電

プは初期条件によらない安定解（周期解）として子の𝑧方向位置に相関したエネルギー変調を、RF求められる。しかし線形加速器の場合、電子ビー

電場を用いて電子バンチに付けることによりバ

ムは光学系を 1 回通過するのみであるため、ビー

ンチ圧縮を行う。バンチ圧縮システムの設計で重ムエンベロップの計算は初期値問題となる。実際

要な点は、非線形性の補正である。Fig. 12 上図にには、線形加速器のある地点における Twiss パラ

示すように、エネルギー変調を含めバンチ圧縮シ

メータを求め（または仮定し）、転送行列を使っFig. 13 電子 エネル ギーと 速度の 関係

Fig. 12 バン チ圧縮 におけ る非線 形性
ステムが全て線形であれば、電子分布は𝐸-  𝑧位相平面で直立し、初期エネルギースプレッドで制限される限界まで𝑧 方向に電子バンチを圧縮できる。しかし、RF 電場やバンチ圧縮過程に非線形性があると、Fig. 12 下図のように、圧縮できるバ
ンチ長の下限(∆𝑧)が非線形性によって決まってしまい、それ以上バンチを圧縮することができな
い。速度変調バンチ圧縮と BC を用いたバンチ圧
縮、いずれの場合も非線形の補正を行わないと、
キロアンペアオーダーのピーク電流を得ることは難しい。XFEL のバンチ圧縮における非線形補正は、2 次までの補正が一般的である。本章では、2 次までの非線形補正を含めた電子バンチ圧縮の定式化を行う。
4.1. 速 度 変 調 に よ る バ ン チ 圧 縮Velocity bunching とも呼ばれ、電子速度の差を用いたバンチ圧縮方式で、電子ビームエネルギーが相対論的領域に達する前の低エネルギー部で行われる。XFEL 加速器入射部の構成によって差があるが、SACLA のようにカソードからのビー
ム電流が 1 A 程度と小さい熱電子銃を採用している入射部では重要である。RF フォトカソード電子銃の場合は、カソードから放出された電子は直ちに RF 加速電場で加速されるため、大きな圧縮率は期待できない。しかし一方で、RF フォトカ

Fig. 14 速度 変調バ ンチ圧 縮の配 置
ソード電子銃のビーム電流は数 10 A と、熱電子銃に比べ大きな値が得られている。
電子エネルギーと速度の間には式(2-3)の関係があり、例えば SACLA 電子銃から放出される
500 keV の電子は𝛽~0.86となり、速度が光速の約86 %である。よって電子バンチ内前方の電子のエネルギーを低く、後方の電子のエネルギーを高くすることにより、ドリフト空間進行時に後方の電子が前方の電子に追いつき、電子バンチ長を圧縮することができる。
Fig. 13 に電子エネルギーと速度（𝛽）の関係を示す。Fig. 13 からわかるように、電子エネルギーと速度の関係は線形ではなく、強い非線形性をもつ。また RF 加速電場は sin 波なので、電子バン
チのエネルギー変調も線形ではない。速度変調バ
ンチ圧縮では、電子エネルギーの速度に対する非線形性と RF 電場の非線形性の 2 次の項が、互いにキャンセルする条件でバンチ圧縮を行う。ここでは Fig. 14 のような配置で、電子銃から出た電子バンチに RF 電場でエネルギー変調を与え、長さ L (m)のドリフト空間を進んだ後のバンチ圧縮について定式化する。

次に、式(4-4)を  𝛽 = 𝛽! のまわりで𝛾について同
じく 2 次まで展開すると、𝛽 ≈ 𝛽! +!!
!! !!!

! !!!

∆𝛾 +

!

! !! ! !!!

∆𝛾 ! (4-8)

!

!

! !!
!
= ! 1− !
=!!
!!
!! !!!
!! !!!
!

!!

Fig. 15 速度 変調バ ンチ圧 縮

!

3
1
𝑑! 𝛽
=− ! 1− !
𝑑𝛾 ! !!!
𝛾!
𝛾!

!

!
!

!

まず Fig. 15 のように、電子バンチ中心の電子
を基準電子（Δ𝑧! = 0）とし、基準電子に回りの電数を𝐸! (V)と𝑘! (1/m)と置く。RF 空洞を出てドリ
フト空間入口における基準電子のエネルギー（𝛾! ）は、RF 電場の位相を𝑘! 𝑧! とすると、!"
𝛾! = 𝛾!"!# + !! 𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! )
(4-1)
!! !

となり、基準電子の速度（𝛽! ）は
𝛽! =

!

(4-2)

1− !
!!

!

!
!

3
1
−
𝛽! 𝛾!! 𝛽!! 𝛾!!

=−

式(4-7)を式(4-8)に代入する。
𝛽 ≈ 𝛽! +子がどのように集まってくるかを考える。電子バ
ンチの初期エネルギーを𝛾!"!# 、RF 電場の振幅と波

1
1− ! 1− !
𝛾!
𝛾!

1
1
!
! 𝛾′Δ𝑧! + 2 𝛾′′Δ𝑧!
𝛽! 𝛾!
1
1
3
−
+
2 𝛽! 𝛾!! 𝛽!! 𝛾!!

!
1
𝛾′Δ𝑧! + 𝛾′′Δ𝑧!!
2

そしてΔ𝑧! の 2 次まで残すと、𝛽 ≈ 𝛽! +!

!! !!!

𝛾 ! Δ𝑧! +!

!

𝛾 !! −! !! !!!

!

!! !!!

𝛾′! −!
!!! !!!

𝛾′! Δ𝑧!!

(4-9)となる。式(4-9)を用いて式(4-5)を書き直すと、
Δ𝑧! ≈ 1 +!
!!! !!!

𝛾 ! Δ𝑧! +!
!!!! !!!

𝛾 !! −

!
!!

𝛾′! −

!
!!! !!!

𝛾′! Δ𝑧!!

(4-10)
が得られる。
式(4-10)右辺第 1 項は線形のバンチ圧縮を表し、で与えられる。
一方、バンチ内で基準電子に対して初期相対距

バンチ前方のエネルギーが低い場合は𝛾 ! < 0とな

離Δ𝑧!（Δ𝑧! の符号はΔ𝑧! > 0でバンチ前方）の位置

りバンチは圧縮される。このとき速度変調バンチにある電子のエネルギー（𝛾）と速度（𝛽）は、圧縮の線形圧縮率𝐶!" は、

𝛾 = 𝛾!"!# +𝛽=!"!
!! ! !

𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! + 𝑘! ∆𝑧! )

!

(4-3)
(4-4)

1− !
!

であるため、長さ L (m)のドリフト空間を進むと基準電子との距離（Δ𝑧! ）は、
Δ𝑧! = Δ𝑧! − 𝐿(1 −

!
!!

(4-5)

)

𝐶!" =

!!!
!!!

= 1+

!
!!! !!!

𝛾!

!!

(4-11)  で表される。
式(4-11)を見ればわかるように、電子バンチのエネルギーチャープ（1 次のエネルギー変調𝛾 ! ）を変えることにより、線形の範囲ではバンチ長を０にし、圧縮率を無限大にすることができる。しに変化し、バンチ前方（Δ𝑧! > 0）の電子の速度がかし現実には、式(4-10)の右辺に第 2 項があるこ

基準電子より遅ければ、Δ𝑧! < Δ𝑧! となって電子バとからもわかるように、高次項によってバンチ圧

ンチは圧縮される。

縮は制限されるため、高圧縮率を達成するには高2 次の項の補正条件を導出するため、まず式(4-1)を𝑧 = 𝑧! において 2 次の項まで展開し、エネ
ルギー変調の式(4-3)を近似する。
!

𝛾 ≈ 𝛾! + 𝛾′Δ𝑧! + 𝛾′′Δ𝑧!!
!
!!
!"
𝛾! =
= −𝑘! !! 𝑠𝑖𝑛(𝑘! 𝑧! )!" !!𝑧!
!! !
!!!
!"= −𝑘!! !! 𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! )𝛾′′ = !
!! !!𝑧!
!! !

(4-6)

よって基準電子とのエネルギー差∆𝛾は、!
∆𝛾 = 𝛾 − 𝛾! ≈ 𝛾′Δ𝑧! + 𝛾′′Δ𝑧!!
(4-7)!

で近似することができる。

次項の補正が必要である。2 次の項を示す式(4-10)
右辺第 2 項を補正するための条件は、𝛾 !! −!
!!

+!
!!! !!!

𝛾′! = 0(4-12)

である。式(4-12)を満たすには、𝛾 !! > 0でなければならない。一方バンチ圧縮を行うためには
𝛾 ! < 0が必要なので、RF 電場に対する電子バンチ!

位相𝑘! 𝑧! は、Fig. 16 に示すように𝜋 < 𝑘! 𝑧! < 𝜋!

の範囲になければならないことがわかる（注: RF!

電場の横軸を時間にした場合、位相は− 𝜋~ − 𝜋!

Fig. 17 Bunch Compressor シケ イン

Fig. 16 速度 変調バ ンチ圧 縮にお ける RF 電場の 位相Fig. 18 1 段の BC モデ ルの範囲となる）。従って、速度変調バンチ圧縮には、下流のビーム軌道のエネルギー依存性（エネ

おいて 2 次補正を行うには、必然的に電子ビーム

ルギー分散関数）が高次項まで全て 0 であり、アを減速しなければならない。

ライメントが容易であるという利点がある。

速度変調バンチ圧縮は、ドリフト空間のみなら

速度変調バンチ圧縮と同様、RF 電場や BC シ

ず RF 加速管内でも、RF 加速と同時に行うこと

ケインには非線形性があるため、非線形補正はができるがここでは割愛する[7]。

BC を用いたバンチ圧縮においても重要である。

4.2. BC を 用 い た バ ン チ 圧 縮電子ビームエネルギーが相対論領域に達すると、

ここでは Fig. 18 のような 1 段の BC について、
4.1 節と同じように基準電子に対するバンチ圧縮と 2 次項の補正について定式化する。

電子速度がほぼ光速になるため速度変調バンチ

シケイン電子ビーム軌道長の電子エネルギー

圧縮は使えない。そこで Fig. 17 に示すような、に対する依存性を計算するため、まず基準電子の偏向電磁石 4 台で構成されるシケインを用いて電シケイン軌道長と、シケインで偏向されない場合

子バンチを圧縮する。垂直方向磁場を用いて電子の直線軌道との差（s! ）を計算する。Fig. 18 の配を水平方向に偏向させると、電子軌道の曲率半径置で基準電子の偏向角を𝜃! 、偏向電磁石間の距離は電子エネルギーに比例する。従って Fig. 17 のをL、偏向電磁石の長さをL! と置くと、偏向電磁

偏向電磁石の偏向角はエネルギーに反比例し、エネルギーの高い電子は内側の短いビーム軌道を石間における斜行軌道と直線軌道の長さの差は、!
!
− 𝐿 ≈ 𝜃!! 𝐿

通り、エネルギーが低い電子は外側の長い軌道をである。次に偏向電磁石内での軌道長の差は、通る。速度変調バンチ圧縮の場合と同じく、電子バンチ内に RF 電場でエネルギー変調を付け、バ

!"#!!

!

𝜌! 𝜃! − 𝐿! =

!!
!"#!!

𝐿! − 𝐿! ≈ 𝐿!

!!

!!
!! ! !!

−1 ≈

!!!
!

𝐿!

ンチ前方の電子エネルギーを低くすれば、シケイとなる。但し𝜌! は、偏向電磁石内における基準電ンを用いてバンチを圧縮することができる。

子軌道の曲率半径である。シケインには斜行部分

XFEL 加速器では、空間電荷や CSR などの非線

が 2 カ所、偏向電磁石は 4 台あるので、これらを形効果を緩和するため、複数段の BC を用いてビ合わせたシケイン軌道と直線軌道との軌道長差

ームエネルギーを上げながら徐々にバンチを圧は、縮することが多い。
バンチ圧縮はシケインを用いずとも、ドッグレ
ッグ（シケイン前半の偏向電磁石 2 台を用いてビーム軌道を平行移動させる配置）や FODO ラテ
ィスを用いても可能である。しかしシケインに!

𝑠! ≈ 𝜃!! 𝐿 + 𝐿!
!

(4-13)

で与えられることがわかる。
次に基準電子のエネルギーを𝛾! とし、エネルギ
ーがΔ𝛾異なる電子に対してシケイン軌道と直線

軌道との軌道長差（𝑠）を求める。式(4-13)の偏向角が𝜃 = 𝜃!

!!
!! !!!
!

となるので、軌道長差は!

𝑠 ≈ 𝜃 ! 𝐿 + 𝐿! = 𝜃!! 𝐿 + 𝐿!
!

1+

!

!!

!! !!
!!

である。これを について 2 次の項まで展開する
!!

と、
!

𝑠 ≈ 𝜃!! 𝐿 + 𝐿!

1−2

!

!!
!!

+3

!! !
!!

が得られる。よってシケインにおける電子軌道長
は、基準電子とのエネルギー差Δ𝛾に対し、式(4-14)の依存性をもつことがわかる。
𝑠−𝑠! ≈ 𝑅!"

!!
!!

!! !

+ 𝑇!""(4-14)!!

!

𝑅!" = −2𝜃!! 𝐿 + 𝐿!
𝑇!"" = 3𝜃!!

!

!

𝐿 + 𝐿!
!

!!

Fig. 19 3 次高 調波補 正空洞 を用い た非線 形
補正 、赤線 が主加 速器 RF 電場 、青線 が 3次高 調波 RF 電場 、黒線 はそれ らの和 。

相対エネルギー偏差（ ）の 1 次の係数はR !" とFig. 18 において基準電子の初期エネルギーを呼ばれ、BC の重要なパラメータである。R !" は、𝛾!"!# とすると、主加速器 RF 電場（振幅𝐸! 、位相

!!

!

!

∆!

に対するシケイ𝑘! 𝑧! ） と 補 正 空 洞 RF 電 場 （ 振 幅 𝐸!! 、 位 相

ンの転送行列（6 行 6 列のR行列）の 5 行 6 列目

𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙 ）で加減速を受けた後、シケイン入口の要素であることを意味し、1 次の相対エネルギー
偏差が、シケインによって𝑧方向位置変化に変換

基準電子のエネルギー𝛾! は、!"!"
𝛾! = 𝛾!"!# + !! 𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! ) + !"! 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙)
! !
! !

される係数を表す。Fig. 17 や 18 のような一般的で与えられる。また、基準電子から距離Δ𝑧! 離れなシケインの場合、式(4-14)からわかるようにた電子のシケイン入口におけるエネルギー𝛾は、𝑒𝐸!
𝑒𝐸!"𝛾 = 𝛾!"!# +𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! + 𝑘! ∆𝑧! ) +𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑘! 𝑧!
𝑚! 𝑐 !
𝑚! 𝑐 !

電子の 6 次元座標 𝑥, 𝑥 , 𝑦, 𝑦 , 𝑧,!

R !" < 0、T!"" > 0となる。
式(4-14)を使って 4.1 節と同様に、シケイン上流における基準電子からバンチ内電子までの初期相対距離Δ𝑧! （Δ𝑧! の符号はΔ𝑧! > 0でバンチ前方）が、シケイン通過後どのようになるかを求めてみよう。Fig. 18 のモデルでは、電子バンチはシケイン上流の主加速器 RF 電場で加速およびエネ
ルギー変調を受けた後、n 倍の RF 周波数をもつ!

+ 𝑛𝑘! ∆𝑧! + 𝜙)

(4-15)となる。式(4-15)を𝑧! のまわりで展開し 2 次の項まで残すと、式(4-16)が得られる。
!

𝛾 ≈ 𝛾! + 𝛾′Δ𝑧! + 𝛾′′Δ𝑧!!
𝛾! =がらエネルギー変調を受ける。後で明らかになる

𝛾′′ =場と 3 次高調波補正空洞の RF 電場を用いて、電子バンチを加速する部分の RF 電場を線形化した=−(4-16)!" !!𝑧!

=−要素である。Fig. 19 は、主加速器の基本波 RF 電!

!!

高調波補正空洞の RF 電場においても減速されなように、高調波補正空洞は 2 次補正には不可欠な!

𝑒
𝐸 𝑘 𝑠𝑖𝑛(𝑘! 𝑧! ) + 𝑛𝐸!" 𝑘! 𝑠𝑖𝑛(𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙)𝑚! 𝑐 ! ! !
!!!

!! ! !!𝑧!

𝑒
𝐸 𝑘 ! 𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! ) + 𝑛! 𝐸!" 𝑘!! 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙)𝑚! 𝑐 ! ! !

よって式(4-16)より
1
2

  ∆𝛾 ≈ 𝛾′Δ𝑧0 + 𝛾′′Δ𝑧20例である。Fig. 19 からわかるように、基本周波数となり、これを式(4-14)に代入するとシケイン出

と整数倍周波数の 2 種類の RF 電場を組み合わせ

口における基準電子からの距離Δ𝑧! は、ることで、RF 電場や BC の 2 次の非線形項の補Δ𝑧! ≈ Δ𝑧! − 𝑅!"

正が可能になる。

𝛾′
𝛾′
𝛾 !!
𝛾′′
Δ𝑧 +
Δ𝑧 ! − 𝑇!""
Δ𝑧 +
Δ𝑧 !
𝛾! ! 2𝛾! !
𝛾! ! 2𝛾! !

(4-17)!

となる。Δ𝑧! について 2 次の項まで残すと、式(4-17)
は、
𝛾′
𝛾′′
𝛾′
Δ𝑧! ≈ 1 − 𝑅!"
Δ𝑧! − 𝑅!"
+ 𝑇!""
𝛾!
2𝛾!
𝛾!

!

Δ𝑧!!

(4-18)となり、BC の線形バンチ圧縮率𝐶!"
𝐶!" = 1 − 𝑅56

𝛾′

−1

𝛾0

(4-19)が求められる。また 2 次補正の条件は、
𝑅!"

!!!
!!!

+ 𝑇!""

!! !
!!

=0

(4-20)であることがわかる。
式 (4-20) の 符 号 を 見 て み る と 、 式 (4-14) よ り
𝑅!" < 0、𝑇566 > 0なので、2 次補正には𝛾′′ > 0が必要になる。この条件は、式(4-16)の𝛾′′の式より、
𝐸! 𝑐𝑜𝑠(𝑘! 𝑧! ) + 𝑛! 𝐸!" 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙) < 0(4-21)であることを意味する。式(4-21)の第 1 項は主加

Fig. 20 バン チ圧縮 による 高調波 補正空 洞
RF 周波 数の実 効的な 増大、青 点線は 圧縮 前のエ ネルギ ー変調 、赤実 線は圧 縮後の エネ
ルギ ー変調 。

速器 RF 電場であるため、電子を加速するには正も、式(4-20)に対応する多段 BC の 2 次補正条件

でなければならない。故に必然的に式(4-21)の第 2を満たすよう、1 カ所の高調波補正空洞で行うこ項の高調波補正空洞の RF 電場は負となり、電子とができる。このとき高調波補正空洞は、1 段目の減速が必要になる。このとき、補正空洞に主加の BC 上流に設置すると電子の減速が小さくなる

速器と同じ RF 周波数を使った場合は𝑛 = 1となる

ため最も効率がよい[8]。これは Fig. 20 で示すよ

ため、式(4-21)を満たすためには主加速器で加速

うに、バンチ圧縮によって補正空洞で与えるエネ

した分以上に減速することが必要となり、電子を

ルギー変調の周波数が実効的に𝐶!" 倍になるから加速することができない。よって 2 次の非線形補である。即ち 1 段目 BC 下流の 2 次補正において、正には、高調波補正空洞が必須となる。高調波の式(4-21)の𝑛が𝑛×𝐶!" となって働くため、補正空洞

次数𝑛が大きいほど電子を減速する補正空洞電場の電場を小さくできる。

𝐸!" を小さくすることができるため、加速器全体の加バンチ圧縮システムの基本設計では、速度変調

速効率を上げることができる。また補正空洞の位相

バンチ圧縮や多段 BC を組み合わせたバンチ圧縮

は式(4-21)の𝜙で決まるが、振幅𝐸!" が小さくなるよ

システム全体で、目的とするバンチ長までのバンう位相を𝑛𝑘! 𝑧! + 𝜙 = 𝜋として、式(4-20)の条件を満チ圧縮と 2 次の非線形性補正が達成できるよう、たす場合が多い。  

機器配置とパラメータを決定する必要がある。

本節では 1 段の BC について定式化を行ったが、多段の BC を用いる場合は、各 BC 間におけ5. XFEL の運転

る基準電子に対する距離とエネルギー変調を式

本章では SACLA を例に、XFEL 加速器の立ち上(4-16)のように表し、式(4-17)を漸化式として順に展開していけばよい。多段 BC の場合の 2 次補正

げとパラメータ調整について簡単に紹介する[9]。

Fig. 21 XFEL 施設 SACLA の概 要5.1. XFEL 施 設 SACLA

ンチングのためのエネルギー変調は、238 MHz
RF 空洞で電子を減速することによって与えらFig. 21 に SACLA の概略図を示す。SACLA は実れ、𝛾と𝛽の 2 次の非線形性を打ち消している。そ験ホールまで含めた全長が約 700 m、そのうち加の後 476 MHz RF 空洞で約 1 MeV まで加速し、速器部分が約 400 m、アンジュレータホールが約

空間電荷効果によるエミッタンス悪化を避けつ

200 m である。施設全体をなるべくコンパクトにつバンチ圧縮を行う。圧縮した電子バンチは、するため、周期長 18 mm の短周期真空封止アン

L-band 加速器でエネルギー変調を受けながら約ジュレータを使用し、8 GeV 電子ビームを用いて40 MeV まで加速される。L-band 出口におけるビ

波長 0.1 nm 以下の X 線の発生を可能にしている

ーム電流は約 25 A である。

[10]。また主加速器の RF 周波数として C-band

電子バンチは、入射部下流の BC1 で更にビー（5.712 GHz）を採用することにより、加速電場をム電流 70 A 程度にまで圧縮された後、S-band 加

従来の S-band（2.856 GHz）の 2 倍に上げ、加速

速器でエネルギー変調を受けるとともに約 400

器の長さを短縮している。アンジュレータホール

MeV まで加速される。その後更に 2 箇所の BC をには 5 本のアンジュレータビームラインが設置可

用いて、最終的にビーム電流 3 kA 以上、バンチ

能で、SACLA から SPring-8 蓄積リングへの低エ

長 20-30 fs(FWHM)までバンチを圧縮する。3 段

ミッタンスビームの入射や、SPring-8 放射光との BC の非線形性は、入射部の L-band 補正空洞

SACLA の XFEL の同時利用なども視野に入れたおよび BC1 上流に設置された C-band 補正空洞で施設デザインとなっている。

補正する。最終段の BC3 下流には Deflector 空洞

単結晶 CeB6 カソードを用いた 500 kV 熱電子銃から出た電子ビームは、chopper で長さ 1 ns 分が設置され、電子バンチ長の測定および確認が行えるようになっている。

が切り出され、入射部（injector）で速度変調バ

BC3 下流の主加速器部には 104 本の C-band 加

ンチングによってバンチ圧縮される。電子銃から速管が設置され、電子バンチを最大 8.5 GeV までの初期電子ビーム電流は 1 A である。速度変調バ加速した後、全長約 100 m のアンジュレータへ入射し、X 線レーザーを発振させる。
5.2. SACLA 立 ち 上 げ 時 の ビ ー ム 調 整
SACLA は X 線レーザー光の利用施設であるため、最も重要なパラメータはレーザー光強度である。いったんレーザー光が得られれば、その強度を最大化するように加速器パラメータを調整すればよい。しかし、放射光と異なり FEL 発振は、

Fig. 22 SACLA の電 子ビー ムエン ベロッ プ（設 計値）

ただアンジュレータに電子ビームを通しただけでは得られない。エミッタンスやピーク電流、ビ定する手法である。入射部以外の加速管についてーム軌道、ビームエンベロップなどがある程度最は、ビーム誘起位相法とともに各 BC やシケイン

適化されていないと、レーザー増幅を起こすこと

部でビームエネルギーを測定できるため、入射部ができないのである。故に加速器の基本設計、おの RF 空洞に比べ位相の設定は容易である。

よび CSR や wake field を含んだ 3 次元トラッキ

RF 空洞および加速管のパラメータ設定終了

ングの結果から、加速器の設計をできるかぎり最後、各 BC 出口におけるバンチ長を確認する。バ

適化しておく必要がある。また各機器にはアライ

ンチ長は、各 BC の中央に設置されたスクリーン

メントやパラメータのエラーが必ずあるため、エを用いて、RF ゼロクロス法[11]やエネルギーチャ

ラーの許容値を明確にし、いかに実機のパラメーープの測定結果から間接的に求める。またタを設計パラメータに近づけるかは重要な点でSACLA の BC2 と BC3 には、シケインをバイパある。

スして電子ビームをストレートに通すことがで蓄積リングと異なり線形加速器は、電子銃が電きる真空ダクトが設けられており、BC3 下流の子ビームの初期条件となり、最終的にビームダンDeflector を用いて各 BC のバンチ長を確認する

プで電子ビームは廃棄される。よって加速器の調こともできる。これらバンチ長測定は、分解能が整は必然的に上流から行わなければならない。入

10 fs 程度であるため、バンチ圧縮率や非線形補正

射部 L-band 加速管上流では、電子ビームエネルの最終的な微調整は、レーザー出力が最大になる

ギーが 1 MeV 以下であるため、空間電荷効果がように行う必要がある。

顕著に表れ、横方向のビームサイズが増大する。
空間電荷効果によるビームの発散を、離散的に配5.3. 電 子 ビ ー ム エ ン ベ ロ ッ プ の 調 整置した磁気レンズ（短いソレノイド）で抑え、エ

線形転送行列を用いた電子ビームエンベロッ

ミッタンスを悪化させないようにバンチを圧縮

プのモデルは、実際に SACLA のビーム光学系のする。磁気レンズのパラメータは、蛍光スクリー

設計や調整に利用している。Fig. 22 は、SACLA

ンで測定したビームサイズと設計パラメータののビームエンベロップを表すベータ関数と水平サイズを比較し、確認と調整を行う。

エネルギー分散関数（いずれも設計値）である。

入射部では電子ビームエネルギーを直接測定

加速管部とアンジュレータ部のビーム光学系はすることができないため、RF 空洞の位相は電子

FODO で構成され、CSR によるエミッタンスのビーム誘起位相法を用いて決定する。これは RF悪化を防ぐため、3 カ所の BC とアンジュレータ

空洞の RF 源を OFF にした後、電子バンチを空上流のシケインでは水平ベータ関数をできるだ

洞に通し、電子バンチ電荷が空洞内に誘起する

け小さくしている。

RF 場の位相を基準タイミング信号に対して測定

蓄積リングのように周期的な安定解をもたなすることにより、RF 空洞の電子バンチ位相を決い線形加速器では、ビームエンベロップは電子バ
ンチの初期分布を測定し、それを転送することで求めなければならない。3 章で導出した線形ビー

で水平方向の角度変位を電子ビームに与え、下流

ム光学系の転送行列は、いずれもエミッタンスをの軌道変位を RF cavity BPM で測定した（Fig. 24

保存し行列式が 1 であるため、逆行列は容易に求赤丸線）。Fig. 24 上図の青実線は、線形転送行列

めることができる。よって初期電子分布は必ずしで軌道変位を計算した結果であるが、明らかに測も加速器の最上流で測定する必要はなく、下流で定結果とずれている。加速管端部に四極成分があ測定した電子分布を使って、上流のビームエンベると仮定し、転送行列モデルを補正して再計算しロップを計算してもよい。

た結果が Fig. 24 下図の青線で、実際のビーム軌

実際の初期電子分布は、Q スキャン法で測定す

道変位をほぼ正しく表していることがわかる。

ることができる。Q スキャン法は、特定の四極電

このように、ビームエンベロップを正しく評価

磁石の強さを変化させながら下流にあるスクリするためには、転送行列の他にも RF 位相や振幅、ーン上のビームサイズを測定し、四極電磁石にお電子ビームサイズを測定するスクリーンなどのける Twiss パラメータとエミッタンスを求める方

精度を向上させる必要がある。SACLA のスクリ法である。四極電磁石の強さを変化させると、四ーンモニターは、BC1 より下流では OTR（Optical

極電磁石強さとスクリーン上のビームサイズの 2

Transition Radiation）を利用した薄膜 SUS のス乗の関係は、Fig. 23 のように 2 次関数となる。初

クリーンを用いているが、BC3 で圧縮後の電子バ期電子分布の Twiss パラメータとエミッタンスがわかれば、四極電磁石の強さに対しスクリーン上のビームサイズは一意に決まるが、この場合初期分布がわからないので、測定したビームサイズから逆に初期分布を求める。未知のパラメータは、
２つの Twiss パラメータ（式(3-2)から 3 つ目は求められる）とエミッタンスの計 3 つであるので、測定点が 3 点あれば 2 次関数が一意に決まり、スキャンする四極電磁石における Twiss パラメータ

Fig. 23 Q スキ ャン法 の測定 例とエミッタンスを求めることができる。実際にはビームサイズの測定エラー等を小さくするため、3 点以上の測定点から 2 次関数を fit して求める。
線形転送行列モデルは Fig. 11 で示したように、
粒子トラッキングとはよい一致が得られている
ものの、実機のビームエンベロップの調整では、蓄積リングほどの精度は得られていないのが現状である。例えば、粒子トラッキングでは考慮されていない進行波加速管端部の四極電磁場などの影響などが原因である。進行波加速管端部の四極成分は、加速管に RF 場を供給するカプラーセ
ルと呼ばれる加速管端部の構造に依存し、SACLA
加速管のように加速電場が大きい場合に顕著に表れ、かつ RF 位相に依存する。Fig. 24 は、進行波加速管の転送行列を確認するために行った電子ビーム軌道変位の測定例である。Fig. 24 では、
BC3 下流（𝑧=154 m）にあるステアリング電磁石

Fig. 24 BC3 下流（𝒛=154 m）で電子 ビーム に
角度 変位を 与えた 場合の 軌道変 化の測 定値（赤 丸線） と線形 転送行 列モデ ルの計 算値（青 線）。上図 は加速 管端部 四極成 分を補 正
しな い場合 、下図 は四極 成分を 補正し たモ
デル を使用 した場 合。

ンチからは強烈なコヒーレント OTR が発生し、最適化しなければならない。しかしながらスライ

ほとんどのスクリーンで正しくビームサイズをスパラメータの直接測定は難しく、レーザー出力評価することができない。現状のビームエンベロが最大になるようにビームエンベロップやビー

ップ調整の精度は、設計値に対しベータ関数換算

ム軌道を微調整しているのが現状である。

で数 10 %から 100 %程度であろうと思われる。
また Q スキャンで得られるパラメータは、電子

5.4. ま と め

バンチ全体を投影したパラメータであるが、SACLA は 2011 年 2 月のビームコミッショニング

XFEL では電子バンチ内で密度の高い部分のみが以降、約 4 ヶ月でレーザー発振を達成し、2012

レーザー発振するため、電子バンチを𝑧方向に輪

年 3 月よりユーザー供用を開始するなど、順調に切りにしたスライスパラメータが重要になる。

施設は稼働している。また各機器の安定化や調整

XFEL 線形加速器では、電子バンチにエネルギーの効率化によって、レーザー出力の増強やポイン

変調を与えバンチ圧縮を行うため、磁気レンズやティングスタビリティなどの改善が進み、レーザ

四極電磁石の収束力のエネルギー収差（レンズのー供給率もユーザータイム枠に対し 90 %以上を色収差と等価）が無視できない。エネルギー収差

達成している。しかし一方で 5.3 節で述べたようがあると、横方向のビームサイズがバンチ内で変に、ビームエンベロップなど線形加速器の電子ビ化するため、投影パラメータとスライスパラメー

ームのパラメータを完全に制御しきれている状タが一致しなくなる。また CSR などにより、バ態にあるとはまだ言えない。モニターの開発を含

ンチ内スライスの重心がずれる（バンチがねじれ

め 2013 年現在、電子ビームの精密制御は XFELる）こともある。これらの場合、電子バンチ内で線形加速器の課題として未だ残っている。

レーザー発振しているスライスのパラメータを

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