マグネシウムを対象とした結晶塑性解析
眞

.

は じめ

山× m(i ))
Lp＝∑·g(i)(s(i )◯に剛(1)i

ここで， Lp と ·g(i) はそれぞれ塑性速度勾配テンソル(10) と変
ここで紹介する結晶塑性解析で用いられている基本的な概形機構 i が活動により生じるせん断ひずみ速度を表す．また

念は，転位論や連続体力学の発展に伴い構築されており，特s(i ) および m(i ) は，それぞれ変形機構 i のせん断方向の単位に集合組織の発達予測に古くから用いられてきた(1)(2)．一方ベクトルおよびせん断面法線方向の単位ベクトルを示し，で最近，様々な金属材料を対象として結晶塑性有限要素法を× m(i ) は s(i ) と m(i ) のテンソル積(10)を表す．したがってs( i ) ◯用いた研究報告が増加している(3)．この理由としては，まず式( 1 )は，塑性速度勾配テンソル Lp が，せん断ひずみ速度計算機能力の著しい向上により，汎用的な解析が可能な結晶× m(i ) の積を活動変形機構全てについて和をとる·g(i) と s(i ) ◯塑性有限要素法を多結晶規模の問題に適用できるようになっことで得られることを表している．この塑性速度勾配テンソてきたことが挙げられる．また，結晶方位分布やひずみ分布

ル Lp の対称および反対称成分(10)は，それぞれ塑性ひずみ速等を実験的に精度良く計測する技術が発達し，実験観察と数度と塑性スピンと呼ばれ，材料の塑性変形と結晶格子の回転値解析を定量的に比較できるようになってきたことも大きなを表現するために用いられる．初期結晶方位が与えられれば要因であると考えられる．

× m(i ) が決まることから，各変形機構のせん断ひずみ速s( i ) ◯純マグネシウムやマグネシウム合金(以下では両者を含め度 ·g(i) がわかれば塑性速度勾配テンソル Lp が得られる．してマグネシウムと呼ぶことにする)を対象とした結晶塑性解

たがって問題はせん断ひずみ速度 ·g(i) をいかに見積るかとい析は，2000年頃から活発化して現在に至っている(4)(7)．本うことである．

稿では結晶塑性解析の基本的な考え方とマグネシウムへの適単結晶を用いた実験結果からも明らかなように，せん断ひ用方法について紹介した後，具体的な解析例として押出集合

ずみ速度 ·g(i) は応力，温度，変形履歴等に依存する．これま組織を持つマグネシウムの単軸変形と双結晶の結晶粒界近傍でに様々な関係式が提案されているが，これまでの研究で比における不均一変形について示す．

較的よく用いられているのは，累乗則型の次式である．

·g(i)＝ ·g(0i)sgn(t(i ))|t(i )/g(i )|1/m

.

結晶塑性解析手法

(2)

ここで t(i ), g(i )および m は，それぞれ分解せん断応力，参照応力およびひずみ速度依存性指数を表す． ·g0 は参照せん断

本章では，現在多くの研究で用いられている Peirce らのひずみ速度であり，式( 2 )から明らかなように，分解せん提案したひずみ速度依存型モデル(8)に基づき単結晶塑性構成

断応力が参照応力と等しい場合におけるせん断ひずみ速度を式の基本的な概念を説明した後，多結晶をモデル化する幾つ表す．ひずみ速度依存性指数がゼロの場合，参照応力 g(i ) がかの方法，およびマグネシウムに適用する際に考慮すべきこ臨界分解せん断応力(CRSS)を意味することになるが，ひずとについて紹介する．大変形を含めた構成式の詳細や数値積

み速度依存性を持つ場合でも参照応力の初期値を近似的に分法等は日本語の解説(9)を参照して頂きたい．

CRSS とみなされることも多い．また，変形機構 i の分解せ

単結晶塑性構成式

結晶塑性構成式において，巨視的塑性変形と微視的変形機構(すべり系，双晶系等)の活動は次式で関係付けられる．

× m(i ) のス
ん断応力 t(i ) は次式に示す応力テンソル s と s(i )◯カラー積(10)より得られる．
× m (i ))t(i )＝s:(s(i )◯(3)

以上をまとめると，結晶塑性構成式では式( 1 )で巨視的な塑性変形と微視的変形機構のせん断ひずみ速度が関連付け

熊本大学大学院先端科学研究部准教授(〒8608555 熊本市中央区黒髪 2391)
On Crystal Plasticity Analysis for Magnesium; Tsuyoshi Mayama (Materials Science and Engineering, Kumamoto University,Kumamoto)
Keywords: magnesium, crystal plasticity, twinning, deformation, texture, diffraction, heterogeneity
2017年 4 月20日受理[doi:10.2320/materia.56.484]

ミ ニ 特 集られ，式( 3 )で巨視的な応力と微視的変形機構の分解せんるのである．最近では多結晶を用いたその場回折試験(11) と断応力とが関連付けられている．巨視的な応力と塑性変形の結晶塑性解析の比較から，より直接的に活動変形機構を調べ

関係は，式( 1 ), ( 3 )を介して微視的変形機構における分解る試みも盛んである(11)(15) ．その場回折試験と結晶塑性解せん断応力とせん断ひずみ速度の関係である式( 2 )により

析 の 比 較 は ， 当 初 FCC 金 属(12)(14) を 対 象 と し て 弾 塑 性求まる，という構造である．

Selfconsistent モデルが用いられていたが，その後マグネシ式( 2 )中の参照応力 g(i ) の変化は材料の巨視的な加工硬化を表現するため，その発展則は重要である．1 つの表現として，他の変形機構との相互作用(潜在硬化)を含めた次式がよく用いられている．

ウムを対象とした研究も行なわれ(15) ，現在では結晶塑性有限要素を用いた研究(16)も増加している．
これまでに行なわれてきたマグネシウムを対象とする数値解析では，底面すべり系，柱面すべり系，二次錐面＜c＋a＞·g(i )＝∑h(i j )| ·g( j )|(4)j

ここで，h(i j ) は変形機構 i と j の相互作用を考慮した硬化係すべり系，｛ 101̃2 }双晶系を導入したものが多いが，破壊と関連する現象の解析等では{ 101̃1 }双晶系を含める場合もある(17)．

数行列である． h(i j ) の具体形は現象論的に関数を仮定したものから金属物理に立脚したものまで様々な提案があり，現

在でも最も重要な研究トピックスの 1 つである．しかしな

純マグネシウムおよび多くのマグネシウム合金ではがら，著者のマグネシウムを対象とした解析の経験では，た{ 101̃2 }双晶が頻繁に活動し，変形挙動の異方性や集合組織とえ硬化則に非常に簡単なモデルを仮定した場合でも，初期変化に著しい影響を及ぼす．したがって，結晶塑性解析にお方位と初期参照応力に妥当な値を設定することにより，実験いても双晶変形を適切に導入する必要がある．

双晶変形の導入と双晶回転モデルで得られる挙動を表現できることも多い．このことは各変形双晶変形はすべり変形とは異なり，せん断方向の正負が等機構の幾何学情報と参照応力とで塑性異方性が表現される結価とならない負荷方向依存性を示すと共に，その活動に伴い晶塑性構成式の強力な点であると思う．

局所的に大きな結晶方位変化をもたらす．多くの結晶塑性解

多結晶のモデル化

析では双晶面と双晶によるせん断方向をすべり面とすべり方向と等価であるとし，分解せん断応力の符号により双晶変形

前節の単結晶塑性構成式に基づき多結晶挙動を表現する方の負荷方向依存性を表現している．このようなモデル化では

法は，大きく平均場型手法と Full field 型手法とに分類され結晶塑性構成式の枠組みを用いて，双晶による塑性変形へのる ． 前 者 は 塑 性 ひ ず み 一 定 ( Taylor モ デ ル ) や 応 力 一 定

寄与をすべりと同様に取り扱うことができる．

(Sachs モデル)等の仮定に基づき各結晶粒の挙動を別々に評双晶による結晶方位変化(双晶回転)については，現時点に価した後にそれらの平均値を多結晶の巨視的挙動とするのにおいても研究ごとに採用されているモデルが異なるが，Van対して，後者は結晶粒の形状や配置を直接表現した解析モデ

Houtte(18) の 提 案 し た Predominant

ルに境界条件を与えて多結晶挙動を評価する．特にマグネシ( PTR )型モデルと Kalidindi

ウムを対象とした研究でよく用いられる多結晶解析手法は，

SchemeTwin(19) の提案したReorientation
MultipleTwin(MTS)型モデルに基づく双晶モデルが比較的広く

平均場手法では Self consistent モデル(4)(6) ， Full field 手法用いられている． PTR 型モデルでは双晶回転が生ずるためでは有限要素法(5) や FFT(7) に基づくものである．ただし，に必要な双晶系せん断ひずみの閾値を設定し，その値に達し対象とする問題によっては両者を組合せた手法や，より洗練た双晶バリアントと母相の方位関係を用いて結晶粒全体の方された均質化手法が用いられることもある．

位を更新する．一方の MTS 型モデルでは，双晶系せん断ひマグネシウムへの適用

マグネシウムの変形機構

ずみに応じて母相と双晶の体積分率を連続的に変化させるため，各結晶粒中に複数の双晶バリアントが存在する状況を表現できる．各手法に利点と欠点があるが， PTR 型モデルの結晶塑性モデルをマグネシウムに適用する場合，単結晶で方が計算コストは小さく，MTS 型モデルの方が実現象によ活動する変形機構を導入し，その初期参照応力と硬化則を与り近い状況を表現できる，という特長を持つ．また，Proustえる必要がある．マグネシウムの変形機構は底面すべり系がら(20) の提案した双晶モデルは MTS 型モデルの拡張と解釈支配的であることは良く知られているが，非底面すべり系やできるが，双晶形成による平均結晶粒径変化が加工硬化に及双晶系の活動について完全には明らかにされていない．これぼす影響を考慮している．さらに最近では，格子欠陥スケーはマグネシウムに限られた状況ではなく，多くの材料においルの物理モデルから双晶形成・成長を表現する試み(21)も報て活動変形機構は必ずしも自明ではない．このような場合，告されている．

単結晶の実験結果が貴重な情報であることは当然であるとし

.て，変形機構を仮定した解析自体が単結晶挙動を調べる手段となり得る．すなわち，様々な負荷履歴における多結晶の応力－ひずみ挙動や集合組織発展を実験的に評価し，それらの挙動を最も良く再現する解析結果を与える変形機構を探査す

ま て り あ 第56巻 第 8 号(2017)
Materia Japan

数 値 解 析 例

解析モデル

本章では結晶塑性有限要素法による解析例を示す．材料挙表1

解析に用いた材料パラメータ．

底面
すべり系

柱面
すべり系

二次錐面
＜c＋a＞
すべり系

{101̃2}双晶系

g/MPa50100150100h/MPa1010010010

図1

解析モデル，(a)初期集合組織，(b)境界条件．

動としては線形硬化則を仮定し，MTS 型の双晶モデルを用いた．各変形機構間の相互作用は全て等価とし，式( 4 )の硬化係数行列 h(i j ) をすべり系 i のみに依存する h(i ) と単純化した．変形機構および材料パラメータ(初期参照応力と硬化係数)は表に示すとおりに仮定した．また初期集合組織として図( a )に示すマグネシウムの典型的な押出集合組織

図2

押 出 材 の 非 対 称 圧 縮 挙 動 ， ( a ) 応 力 ひ ず み 挙動，(b)10変形後の集合組織．

を採用し， 20 × 20 × 20 要素で均一分割された立方体の各要素を 1 結晶として初期方位を割り当てた．この多結晶モデ
ルに対して図 1(b )に示すように押出軸を負荷軸とする単軸引張および単軸圧縮負荷を変位制御で与えた．


解析結果

図( a )に解析により得られた単軸負荷挙動を示す．実験的にもよく知られている(22) ，引張と圧縮の降伏および加工硬化の顕著な非対称性が表現されている．また図 2 ( b )は10 の引張および圧縮負荷後の集合組織を示している．引張時と比べて圧縮時には著しい集合組織変化が生じていることがわかる．これらは負荷方向依存性を持つ双晶の活動度が，引張時と圧縮時では大きく異なるために生じた結果であり，実験観察から得られている知見とよく対応している．な
お双晶を抑制した計算を行うと，このように顕著な非対称挙動が生じないことも結晶塑性解析では確認できる．

図3

圧縮負荷時の格子ひずみ発展．

図は圧縮変形に伴う格子ひずみの変化を示している．圧縮応力の上昇に伴い，結晶面ごとに異なる格子ひずみの発達が生じている．ここで，格子ひずみは放射光や中性子線によで報告されている底面すべり系や双晶系の活動を示唆する格る測定と同様に，軸方向と半径方向に各変形機構のせん断面子ひずみ変化をおおむね再現している．なお前述したとお法線方向が配向した結晶の寄与が平均された量であり，実験り，この格子ひずみ変化を実験と計算で同様になるようフィ結果と直接的な比較が可能である．前述したとおり本研究でッティングすることにより，各変形機構のパラメータを同定は，単結晶挙動を極めて単純化しているが，過去の研究(23)するというアプローチも可能である．



ミ ニ 特 集

本内容の一部は著者が JSPS「頭脳循環を加速する戦略的国際研究ネットワーク推進プログラム」の支援を受けて平成28 年度に約 10 ヶ月間 University of Virginia に滞在した際にAgnew 教授および Bhattacharyya 博士より受けたご助言が反映されています．それぞれのご支援・ご協力に感謝致します．

文図4



1の引張り負荷を受けた双結晶のひずみ分布，( a )解析モデル，( b )対称傾角粒界を持つ場合，(c)ランダム粒界を持つ場合．

不均一変形挙動の解析

平均場型手法を用いた場合でも前節と同様な解析は可能であるが， Full field 型手法を用いた場合にはさらに結晶粒内の不均質変形も評価することができる．図はその一例で，1の引張負荷を受けた双結晶における引張り方向の垂直ひずみ分布を示している．図 4( b ) , ( c )は初期方位の異なる 2種類の解析結果を示しており，いずれの結晶も主すべり系のシュミットファクターが同一であるものの，図 4(b )は対称傾角粒界，図 4 ( c )はランダム粒界を持つ双結晶としている．図 4(b), (c)を比較すると，不均一なひずみ分布が両者で大きく異なることがわかる．これは結晶方位関係に依存して結晶粒界において異なる塑性不適合(24) を持つことに起因して生じている．

.

まとめ

本稿の解析例では，結晶塑性モデルを用いることにより加工硬化則や変形機構間の相互作用を単純化した場合でも，単結晶の塑性異方性に起因したマグネシウムの特徴的な多結晶挙動や不均一変形を定性的に表現可能であることを示した．

( 1 ) 関根和喜日本金属学会セミナーテキスト，多結晶の結晶方位分布の制御と材料特性，(1992), 1324.
( 2 ) 後藤 学塑性と加工，37(1996), 460469.
( 3 ) F. Roters, P. Eisenlohr, L. Hantcherli, D. D. Tjahjanto, T. R.
Bieler and D. Raabe: Acta Mater., 58(2010), 11521211.
( 4 ) S. R. Agnew, M. H. Yoo and C. N. Tom áe: Acta Mater., 49(2001), 42774289.
( 5 ) A.Staroselsky and L. Anand: Int. J. Plasticity, 19(2003), 1843
1864.
( 6 ) H. Wang, P. D. Wu, C. N. Tom áe and Y. Huang: J. Mech. Phys.
Solids, 58(2010), 594612.
( 7 ) M. A. Kumar, A. K. Kanjarla, S. R. Niezgoda, R. A. Lebensohn
and C. N. Tom áe: Acta Mater., 84(2015), 349358.
( 8 ) D. Peirce, R. J. Asaro and A. Needleman: Acta Metall., 31(1983), 19511976.
( 9 ) 黒田充紀，志澤一之塑性と加工，43(2002), 299309.
(10) 久田俊明テンソル解析の基礎，丸善，(1992).
(11) 友田 陽まてりあ，56(2017), 296301.
(12) B. Clausen and T. Lorentzen: Metal Mater. Trans. A, 28(1997), 25372541.
(13) B. Clausen, T. Lorentzen and T. Leffers: Acta Mater., 46(1998), 30873098.
(14) T. M. Holden, C. N. Tom áe and R. A. Holt: Met. Mater. Trans.
A, 29(1998), 29672973.
(15) S. R. Agnew, C. N. Tom áe, D. W. Brown, T. M. Holden and S.
C. Vogel: Scripta Mater., 48(2003), 10031008.
(16) H. Abdolvand, M. Majkut, J. Oddershede, S. Schmidt, U.
Lienert, B. J. Diak, P. J. Withers and M. R. Daymond: Int. J.
Plasticity, 70(2015), 7797.
(17) K. Yoshida: Int. J. Plasticity, 84(2016), 102137.
(18) P. Van Houtte: Acta Metall., 26(1978), 591604.
(19) S. R. Kalidindi: J. Mech. Phys. Solids, 46(1998), 267290.
(20) G. Proust, C.N. Tom áe and G. C. Kaschner: Acta Mater., 55(2007), 21372148.
(21) J. Cheng and S. Ghosh: J. Mech. Phys. Solids, 99(2017), 512
538.
(22) Y. Chino, K. Kimura, M. Hakamada and M. Mabuchi: Mater.
Sci. Eng. A, 485(2008), 311317.
(23) B. Clausen, C. N. Tom áe, D. W. Brown and S. R. Agnew: Acta
Mater., 56(2008), 24562468.
(24) R. E. Hook and J. P. Hirth: Acta Metall., 15(1967), 1099
1110.
(25) N. Bertin, C. N. Tom áe, I. J. Beyerlein, M. R. Barnett and L.
Capolungo: Int. J. Plasticity, 62(2014), 7292.
(26) J. J. Bhattacharyya, F. Wang, P. D. Wu, W. R. Whittington, H.
El Kadiri and S. R. Agnew: Int. J. Plasticity, 81(2016), 123151.
(27) M. Ardeljan, I. J. Beyerlein, B. A. McWilliams and M.
Knezevic: Int. J. Plasticity, 83(2016), 90109.

しかしながら，様々な負荷履歴に対して，より定量的な記述★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★
2001年 北海道大学大学院工学研究科修士課程修了
2001年 北海道大学大学院工学研究科 助手
2008年 熊本大学大学院先導機構 特任助教
2017年 4 月～現職
専門分野材料力学◎実験観察に基づき弾塑性変形解析手法を構築し，構造材料の変形機構をより深く理解することを目指しています．

を可能とするためには硬化則の精密化が不可欠である．最近の研究では，転位間相互作用(25)，各種強化機構の寄与(26)および転位密度変化(27)等の材料科学的な要素の導入が盛んである．今後はさらに電子・原子・転位レベルの数値解析や電子顕微鏡等による直接観察で得られる知見の導入が，より活発になるものと考えられる．

ま て り あ 第56巻 第 8 号(2017)
Materia Japan献眞山

剛★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

