Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノ.
ミック勾配法による計算
橋口博樹, 沼田泰英, 高山信毅, 竹村彰通 .

2012.09.19

arxiv:1201.0427
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橋口博樹, 沼田泰英, 高山信毅, 竹村彰通

Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計Holonomic 関数の例.
1exp(有理式)2(多項式)a .

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計Theorem(D.Zeilberger, 1990) f , ∫g が holonomic function ならば f ± g , fg
も holonomic function. fdxm , f (x1 , . . . , xm−1 , a) も m −. 1 変数のholonomic function.
証明: ワイル代数 D での, holonomic D-加群の理論 (初期J.Bernstein, 1971).
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∫1 I (f ), I (g ) より I (f ± g ), I (fg ), I (fdxm ), I (f (x 0 , a)) のholonomic な subideal を計算するグレブナー基底によるアルゴリズムあり (大阿久, . . . (1990—)).

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計

1

Schwartz distribution f に対して, I (f ) が holonomic ideal であるとき, f を holonomic distribution と呼ぶ.

2

D の左イデアルが holonomic ideal とは多項式環のイデアルσ(I ) の Krull 次元が m であること. ここで σ は主シンボル.
例: σ(x∂ 2 + 1 − x 2 ) = xξ 2 .

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計Holonomic distribution の例.
1ヘビサイド関数 H(多項式).

2| 多項式 |.

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計Γm (a)Γm (c − a)1 F1 (a; c; Y )Γm (c)∫=exp(Tr XY )|X |a−(m+1)/2 |Im − X |c−a−(m+1)/2 dX ,0<X <Im

where ∏
0 < X < Im means that X and Im − X are positive deﬁnite,
dX = i≤j dxij is the Lebesgue measure of the upper triangularelements of X , and()m∏1i −1m(m−1)Γm (a) = π 4
Γ a−.
2i=1

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計()( x) 1m + 1 n + m + 1 x −1nm
−12Pr[`1 < x] = C exp − Tr Σx;; Σ,
1 F12222)(Γm m+12C= 1().
12 2 nm (det Σ) 2 n Γm n+m+12

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計はじめに紹介した Holonomic 関数の一般論より 1 F1 は holonomic
な微分方程式系をみたすはず. 実際,Theorem(Muirhead, 1970) 1 F1 (a, c; X ), X = diag(y1 , . . . , ym ) は次の偏微分方程式系を満す.
Li = yi ∂i2 + (c − yi )∂i +myj
1 ∑(∂i − ∂j ) − a2yi − yj.
j=1,j6=i

Theorem
Pfaﬃan system に現れる行列 Pi は sparsity を持ち, Runge-Kutta法で数値的に解くときの計算量は.
O(m2m ) × (与えられた精度で解くときの RK 法の step数)

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計1.2by hg

10.80.60.40.2005101520Figure: 累積分布関数 Pr[`1 < x], m = 10, n = 12,
Σ−1 = diag(1, 2, . . . , 10)

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計歴史
1Zonal 多項式による 1 F1 の級数展開. Zonal 多項式の研究 (竹村 1984, . . . ,).

2

高次の Zonal 多項式の計算が組み合わせ爆発により困難.
Koev-Edelman (2006) により Pieri 型公式を使いある程度の効率化には成功. x が小さい時には級数展開は有効.

3x が大きい時には tube 法などの方法がある (栗木, 竹村,2001).

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計本格的な勉強のためのガイド

積分アルゴリズム, Pfaﬃan の導出, gradient の計算.

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1

高山信毅, D 加群の積分アルゴリズムと推定理論, 数学セミ
ナー 2012.02, 41–46.

2D.Cox, J.Little, D.O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms,Springer, 1992. 日本語訳あり. グレブナー基底の基礎 1,2 章.

3JST CREST 日比チーム (編), グレブナー道場. 共立出版. 第1 章. Dojo multimedia. グレブナー基底の基礎

4道場, 第 6 章. 微分作用素環のグレブナー基底. 6.1–6.5.

5

大阿久俊則. D 加群と計算数学, 朝倉書店. 道場 6.6–6.10. 積分アルゴリズム

6道場, 6.5 HGD.

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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計.

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Fisher-Bingham 分布の研究
1

Hiromasa Nakayama, Kenta Nishiyama, Masayuki Noro, Katsuyoshi
Ohara, Tomonari Sei, Nobuki Takayama, Akimichi Takemura,Holonomic Gradient Descent and its Application to theFisher-Bingham Integral, arxiv:1005.5273, Advances in Applied
Mathematics 47 (2011), 639–658 HGD の方法論の提案も2T. Koyama, A Holonomic Ideal Annihilating the Fisher-Bingham
Integral, http://arxiv.org/abs/1104.1411

3T. Koyama, H. Nakayama, K. Nishiyama, N. Takayama, Holonomic
Gradient Descent for the Fisher-Bingham Distribution on then-dimensional Sphere, http://arxiv.org/abs/1201.3239

4T. Koyama, H. Nakayama, K. Nishiyama, N. Takayama, The
Holonomic Rank of the Fisher-Bingham System of DiﬀerentialEquations, http://arxiv.org/abs/??

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高次元 で HGD でないもの.
1

K. Kume, A. T. A. Wood, Saddlepoint Approximations for theBingham and Fisher-Bingham Normalising Constants, Biometrika
92 (2005), 465–476.
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Wishart 行列の最大固有値の分布関数のホロノミック勾配法による計Fisher 分布 (HGD), Wishart 分布 (HGM).
1Tomonari Sei, Hiroki Shibata, Akimichi Takemura, Katsuyoshi
Ohara, Nobuki Takayama, Properties and applications ofFisher distribution on the rotation group,
http://arxiv.org/abs/1110.0721

2

Hiroki Hashiguchi, Yasuhide Numata, Nobuki Takayama,
Akimichi Takemura, Holonomic gradient method for thedistribution function of the largest root of a Wishart matrix,
http://arxiv.org/abs/1201.0472.

HGD でないもの.
1R.Butler, W.Ronald, A.T.A.Wood, Laplace approximations for
hypergeometric functions with matrix argument, The Annals ofStatistics (2002), 1155–1177.

2Wishart 分布については, 基本問題のため, その他多数あり. 上記論文の Reference を参照.
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