数理解析研究所講究録
1536 巻 2007 年 109-121

109

Structure of invariant dynamical systems embedded in
the -vortex motion on sphere with pole vortices$\mathrm{N}$坂上貴之 (Takashi Sakajo), 北海道大学 (Hokkaido University),-mail: sakajo@math.sci.hokudai.ac.jp$\mathrm{L}$1

イントロダクション

本報告では, 球面上にある渦点系の運動を考える. 渦点の従う運動方程式は非圧縮性流体のEuler 方程式において, 渦度が \mbox{\ ldmath$\delta$} 関数的に存在していると仮定した時に得られ, ハミルトン形式で書ける常微分方程式系でもある. また, 渦点系は Euler 方程式の厳密解を与えているだけでなく, 数学的な扱いも比較的簡単であるため, 渦構造に着目した現実の流体運動の記述などにもよく用いられる近似モデルである. 特に我々の考えている球面上の渦点系は地球流体との関係でも用いられている.
今, 地球の回転の効果として球面の北極と南極に渦点 (極渦という) を固定し, それぞれと F2 と仮定する. この時, 同じ強さの強さをを持つ $N$ 個の渦点が球面極座標表示
で位置 (em’\Psi m) にある時, それらの従う方程式は次のようになる.
$\Gamma^{(N)}$$\Gamma_{1}$,$\dot{e}_{m}=-\frac{\Gamma^{(N)}}{4\pi}\sum_{j\neq m}^{N}\frac{\sin ej\sin(\Psi_{m}-\Psi j)}{1-\cos\Theta_{m}\cos\ominus_{j}-\sin\Theta_{m}\sin\ominus_{j}\cos(\Psi_{m}-\Psi j)}$(1)$\dot{\Psi}_{m}=-\frac{\Gamma^{(N)}}{4\pi\sin\Theta_{m}}\sum_{j\neq m}^{N}\frac{\cos\ominus_{m}\sin\ominus_{j}\cos(\Psi_{m^{-\Psi}j)-_{\sin e_{m}\cos\ominus_{j}}}}{1-\cos\ominus_{m}\cos\ominus_{j}-\sin\Theta_{m}\sin\ominus_{j}\cos(\Psi_{m}-\Psi j)}$$+ \frac{\Gamma_{1}}{4\pi}\frac{1}{1-\cos\Theta_{m}}-\frac{\Gamma_{2}}{4\pi}\frac{1}{1+\cos\Theta_{\mathrm{m}}}$.

$m=1,2,$$\cdots$

(2)

, N.

方程式 (1) と (2) の解は時間大域的に存在することが知られている [5] ので, これらの方程
式の右辺をそれぞれ Fm’Gm と表すことにすると, 渦点系の運動は 2N 次元の相空間 PNにおける力学系を定める.
$[0, \pi]^{N}\cross(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})^{N}$$\frac{d\vec{x}}{dt}=\mathrm{F}(\tilde{x})$ただし,$\mathrm{F}:\mathrm{P}_{N}arrow \mathbb{R}^{2N}$は点$\tilde{x}\in \mathrm{P}_{N}$.

に対する写像を定めている.

$\mathrm{F}:(\Theta_{1}, \cdots, \Theta_{N}, \Psi_{1}, \cdots, \Psi_{N})rightarrow(F_{1}, \cdots, F_{N}, G_{1}, \cdots, G_{N})$.

110
また, この方程式はハミルトン系であり, そのハミルトニアンは以下で与えられている [11].
$H=- \frac{(\Gamma^{(N)})^{2}}{4\pi}\sum_{m=1m}^{N}\sum_{<j}^{N}\mathrm{l}\mathrm{o}^{\mathrm{g}}(1-\cos^{\gamma_{m^{j}})}$$- \frac{\Gamma_{1}\Gamma^{(N)}}{4\pi}\sum_{m=1}^{N}\log(1-\cos_{m})-\frac{\Gamma_{2}\Gamma^{(N)}}{4\pi}\sum_{m=1}^{N}\log(1+\cos\Theta_{m})$.

(3)

なお, このハミルトン系には z 軸周りの回転に対する系の不変性に対応した不変量 $I=$$\yen \text{在しているので}$ , 二体渦点の問題は完全可積分である.
「
このような球面上の $N$ 渦点系は非線形のハミルトン力学系として様々な研究が行われている. (そのサーベイについては [11] を参照) たとえば, 極渦のない状況では三体問題は完全可積分であり, その運動の詳細な解析が論文 [5, 6, 14] で行われている. また, 四体問題もある条件下では完全可積分であり, その運動の記述は [18] で最近与えられている. その-方で, N 渦点がその相対的な位置を変えない相対定常状態の分類や, その安定性の研究なども活発である [9, 10, 12]. 中でも今回扱う $N$ 個の渦点が同-緯度に等間隔で並んだ配置 (以後N 焼点環とよぶ) の研究は, そのようなコヒーレントな渦構造が球面上の流体運動において顕著に見られる [4, 13, 15] ことから, 多くの研究が行われている [1, 2, 3, 7, 16, 17]. さらに,
最近ではハミルトニアンの群作用不変性に着目し, 系に現れる周期解の構造を調べる研究なども進んでいる $[8, 21]$
さて, N 論点方程式は球面上の Euler 方程式を定点法によって離散化した時にも得られる. したがって, この Euler 方程式の近似解として渦点系を見る場合, その近似の精度を上げるためには, $N$ の数を非常に大きくとらねばならない. しかし, そのような系の運動を数学的に記述することは-般に困難であるため, 通常は系に特殊な対称性を仮定して, 考える
次元を落として運動を考えることが多い. 実際, 論文 [16] と [17] では, ある対称性を仮定して $N$ 渦点系を二次元系に縮約し, その数学的研究から $N$ 渦点語の安定多様体と不安定多様体の大域的な遷移を明らかにし, 不安定化した N 罰点環の運動の-部を記述することに成功している.
そこで, 本論文では $N$ 渦膏血に埋め込まれた低次元の縮約系を系統的に求める方法について考察する. 第二章では論文 $[16, 17]$ で得られている $N$ 点渦点環の線形安定性解析の結果を概括し, 以後の縮約系の記述の基礎とする. 第三章と第四章ではそれぞれ z 軸まわりの離散 シフト変換と, 北極と南極を 180 度入れ替える極反転変換により縮約系を得る方法について解説し, それらを応用して N=6 から N=12 までに含まれる縮約系のリストを与える. 最後の章では今後の研究の方向について議論する. なお, 本論文の内容は論文 $[19, 20]$で示された結果のみをまとめたものであるが, 証明についてはこれらの原論文を参考にしていただきたい.
$\Sigma^{N}m=1\cos\ominus m\text{が}$

.

$P$

2

線形安定性解析からの準備

ここでは, 論文 $[16, 17]$ で行われた $N$ 渦点本の線形安定性解析の結果を簡単にまとめる.

$N$

渦点環は以下で定義される.
$\Theta_{m}=\theta_{0}$,$\Psi_{m}=\frac{2\pi m}{N}$,$m=1,2,$$\cdots,$

$N$

.

(4)

111
これは, 方程式 (1) と (2) の相対定常解であり -定速度 $V_{0}(N)$ で経度方向に回転している.
$V_{0}(N)= \frac{\Gamma_{1}-\Gamma_{2}}{4\pi\sin^{2}\theta_{0}}+\frac{(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}+2\pi)\cos\theta_{0}}{4\pi\sin^{2}\theta_{0}}-\frac{1}{\mathit{2}N}\frac{\cos\theta_{0}}{\sin^{2}\theta_{0}}$.

この相対定常解に以下のような微少摂動を加える.
$\Theta_{m}(t)=\theta_{0}+\epsilon\theta_{m}(t)$この時, 摂動$\theta_{m}$と$\varphi_{m}$,$\Psi_{m}(t)=\frac{2\pi m}{N}+V_{0}(N)t+\epsilon\varphi_{m}(t)$$B_{N}$$|\epsilon|<<1$.

(5)の線形化方程式は以下のようになる.
$\dot{\varphi}_{m}=\frac{\Gamma^{(N)}}{4\pi\sin^{3}\theta_{0}}\sum_{j\neq m}^{N}\frac{\theta_{m^{-\theta}j}}{1-\cos\frac{2\pi}{N}(m-j)}+B_{N}\theta_{m}\cdot(6)$$.m= \frac{\Gamma^{(N)}}{4\pi\sin\theta_{0}}\sum_{j\neq m}^{N}\frac{\varphi_{m}-\varphi_{j}}{1-\cos\frac{2\pi}{N}(m-j)},$

パラメータ

,

は

(7)

$B_{N}=- \frac{(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}+\Gamma^{(N)}N-\Gamma^{(N)})(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}^{2}\theta_{0})}{4\pi\sin^{3}\theta_{0}}-\frac{(\Gamma_{1}-\Gamma_{2})\cos\theta_{0}}{2\pi\sin^{3}\theta_{0}}$で与えられている. この線形化方程式 (6) の固有値は以下のように与えられる.
定理 1. $m=0,1,$
ただし,$\cdots,$$N-1$ に対して, 線形化方程式の固有値は$\xi_{m}=\frac{m(N-m)}{4\pi\sin\theta_{0}}$,$\lambda_{m}^{\pm}\pm\sqrt{\xi_{m}\eta_{m}}$$\eta_{m}=\frac{m(N-m)}{4\pi\sin^{3}\theta_{0}}+B_{N}$で与えられる.

.

(8)がすぐにわかるので, 渦点の数が偶数すなわち $N=2M$ であ
関係式 (8) からが存在
れば, 二重 固有値, 二重固有値 $\lambda_{m}^{\pm}(m=1, \cdots, M-1)$ と単純固有値$\lambda_{rn}^{\pm}(m=1,\cdots, M)$$N$と二重固有値
し. -方で が奇数 $N=\mathit{2}M+1$ の時, 二重 固有値
なる大小関係が成立しているので,が存在している. また. $i<i$ に対して,
N 渦点の安定性は, 最大固有値 \mbox{\boldmath $\lambda$}\pm M のそれと-致していることに注意する. 次に, この固有$\lambda_{m}^{\pm}=\lambda_{N-m}^{\pm}$$0$$\lambda_{0}^{\pm}=0$$\lambda_{M}^{\pm}$$0$$\lambda_{0}^{\pm}$$(\lambda^{\pm}.\cdot)^{2}<(\lambda_{j}^{\pm})^{2}$値に対する固有ベクトルは具体的に以下のようになる.
定理 2. $m=1,$$\cdots,$$\vec{\psi}_{m}^{\pm}=$$M=[N/\mathit{2}]$$t(\sqrt{\xi_{m}},$$\sqrt{\xi_{m}}\cos^{\frac{2\pi}{N}m},$$\pm\sqrt{\eta_{m}},$$\tilde{\phi}_{m}^{\pm}=$( $[x]$ はガウス記号) に対して,$\tilde{\psi}_{m}^{\pm}$$\cdots,$を次で定義する.

,$\pm\sqrt{\eta_{m}}\cos\frac{2\pi}{N}(N-1)m)$$\ell(0^{\sqrt{\xi_{m}},\cdot\sqrt{\xi_{m}}},\sin^{\frac{2\pi}{N}m}\cdot\cdot,\mathrm{s}\mathrm{i}^{\mathrm{n}}\frac{2\pi}{N}(N-1)m$$\cdots,$$\tilde{\phi}_{m}^{\pm}$$\sqrt{\xi_{m}}\cos^{\frac{2\pi}{N}}(N-1)m$$\cdots,$$\pm\sqrt{\eta_{m}}\cos\frac{2\pi}{N}m,$$0,$ $\pm\sqrt{\eta_{m}}\sin\frac{2\pi}{N}m,$

と

,

(9)

,

$\pm\sqrt{\eta_{m}}\sin\frac{2\pi}{N}(N-1)m)$

.

(10)

この時, これらのベクトルは固有値 \mbox{\boldmath $\lambda$}m\p に対する固有ベクトルである. なお, \mbox{\boldmath $\lambda$}M\pm に対応するのみ, $N=2M+1$ の時は弗と固有ベクトルは, その重複度に応じて $N=2M$ の時はさらに, これらのベクトルはすべて線形独立である.
$\tilde{\psi}_{M}^{\pm}$$\tilde{\psi}_{M}^{\pm}\text{である}$.

112の中に埋め込まれた低次元縮約力
以下で我々は $N$ 渦点系を定める $2N$ 次元の実相空間
学系の特徴付けを与えるのに, これらの固有ベクトルを用いたい. -方で \eta m は BN の値に
よっては負となることがあり, その時は固有ベクトルが複素ベクトルなので, これらは適切ではないように見える. しかし, この二つのベクトルから線形独立な実ベクトルを, それを改めて基底として用いることが可能なので, その点は問題はないことに注意する. また, 上の定理で与えられている線形独立な固有ベクトルの数は $2N$ –2 であり, 2N 次元の相空間を表現するためには, さらに二つの独立なベクトルが必要になる. これらを与えているのが以下の補題である.
$\mathrm{P}_{N}$$(\vec{\phi}_{m}^{+}+\vec{\phi}_{m}^{-})/\mathit{2}$$\text{や}(\vec{\phi}_{m}^{+}-\tilde{\phi}_{m}^{-})/2\mathrm{i}\text{によ_{っ}て再構成して}$補題 3. ベクトル
満たす.

3
まず,

$\zeta^{arrow}\pm=\ovalbox{\tt\small REJECT}_{2N}^{1t}(1,1, \cdots, 1, \pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1)$は$(\vec{\psi}_{m}^{\pm}, \zeta^{arrow}\pm)=0,$$(\vec{\phi}_{m}^{\pm}, \zeta^{arrow}\pm)=0$をシフト変換による縮約$(\Theta_{1}, \cdots, \Theta_{N}, \Psi_{1}, \cdots, \Psi_{N})\in P_{N}$

渦点のラベルの付け替え変換$r_{p}$:$\Theta_{m}’=e_{m}$:$s_{p}$:$s_{p}$,

上の経度方向の角度 $2\pi^{p}/N$ の回転を以下のように定義する.

$\Psi_{m}’=\Psi_{m}+\frac{2\pi}{N}p$$\Theta_{m}’=\Theta_{N-p+m}$$e_{m}’=\Theta_{m-p}$$r_{p}$:$\mathrm{P}_{N}arrow \mathrm{P}_{N}$と$\mathrm{P}_{N}arrow \mathrm{P}_{N}$

,

,

mod

$\Psi_{m}’=\Psi_{N-p+m}$$\Psi_{m}’=\Psi_{m-p}$$\mathit{2}\pi$,

for $m=1,$, for $m=1,$,$\ldots,p$for $m=p+1,$$\ldots,$,$\ldots,$

$N$

$N$

,

.

これに対して p シフト変換\mbox{\boldmath $\sigma$}p を \mbox{\boldmath $\sigma$}p=rpo sp で定義する. 具体的に表示すると,$\sigma_{\mathrm{p}}$:$\Theta_{m}’=\Theta_{N-p+m},$$\Theta_{m}’=\Theta_{m-\mathrm{p}}$,$\Psi_{m}’=\Psi_{m-\mathrm{p}}+$のようになる. -方, ベクトル場に対する与える.
$\Sigma_{p}$:等, for $m=1,\ldots,p$ ,for $m=_{P+1N},\ldots,$ .
等,$\Psi_{m}’=\Psi_{N-p+m}+$

$P$

シフト写像

$F_{m}^{m}’=F_{m}^{N}F’=F=_{p}^{p+m},’ G_{m}’=GG_{m}’=c_{m}^{N}=_{p}^{p+m},$$\Sigma_{p}$(11): $(F_{m}, G_{m})\mapsto(F_{m}’, G_{m}’)$ を次で’for $m=1,$$\ldots,p$for $m=p+1,$,$\ldots,$

$N$

(12)

.

この時, 次の補題が成立する.

補題 4. 任意の点次の命題は軌道の$\tilde{X}\in P_{N}$$\sigma_{P}$に対して,$\Sigma_{p}\mathrm{F}(\tilde{x})=\mathrm{F}(\sigma_{p}\tilde{x})$.

不変性が時間保存される関係であることを示している.

命題 5. $N=_{Pq,p,q\in \mathrm{N}}$ とするの解はすべての時刻に対して
この命題で与えられている$\sigma_{\mathrm{P}}$

初期時刻においてを満たす.

$\sigma_{p}x(\neg 0)=_{\tilde{x}(0)}$ならば, 方程式 (1) と$(\rho)$$\sigma_{p}\vec{x}(t)=\tilde{x}(t)$不変な軌道は以下の関係を満たしている ; $k=0,$$\ldots,$$q-1$ かつ $m=1,$ $\ldots,P$ に対して

$e_{k^{p+m}}(\iota)=e_{m}(\iota)$,.

$\Psi_{k^{\mathrm{p}+m}}(t)=\Psi_{m}(t)+\frac{2\pi}{q}k$

(13)

113
この関係 (13) は $(_{k^{p+m}}, \Psi_{k^{\mathrm{p}+m}})(k=1, \ldots, q-1)$ にある渦点の運動が渦点 $(_{m}, \Psi_{m})$ のそれによって自動的に決定されることを意味している. 言い換えれば N 個の渦点を挙動の同じ p個の渦点からなる q 個のクラスタに分割できることになる. したがって, このような \mbox{\boldmath $\sigma$}p 不変な力学系は 2p 次元の縮約力学系を定義しているものと期待できる. しかしながら, 上の命
題は単に \mbox{\boldmath $\sigma$}p 不変性が初期値において満たされていれば, それが時間発展を通じて保持されることだけを主張しているだけなので, 本当に 2p 次元の力学系が定義されるかはわからな
い. そこで, 我々は第二章で与えられた線形安定性解析によって得られた固有ベクトルを用いてこの縮約力学系の相空間を実際に与えることにする. そのためには以下の補題が必要である.

補で題あ .
$\text{る^{}6}.$$N=\text{さらに}$

補題 6 から$\sigma_{P}$$\text{この}s_{p}\text{不変なベク^{}\backslash ^{\backslash }}\text{トルの数}\iota\xi_{2_{P^{\text{て^{}k^{q}}\text{ある}}}^{と^{}\vec{\phi}^{\pm}(\leq k^{q}}}\in \mathrm{N}\text{す}\mathit{1}\mathrm{s}^{\vec{\psi}_{k}^{\pm}}.\leq M$), および \mbox{\boldmath $\zeta$}\rightar ow 士は$S_{p}$

不変

,

不変な

$2^{p}$

次元の$P_{N}$の線形部分空間が以下のように与えられる.

命題 7. $N=_{Pq,p,q}\in \mathrm{N}$ とする. この時,$\sigma_{P}$

不変な$P_{N}$の線形部分空間 ($\mathrm{P}_{N}(\sigma_{p})$と書く) は$\tilde{x}=_{\tilde{x}_{0}+\sum_{\mathrm{k}}(a_{k}^{+}\vec{\psi}_{k^{q}}^{+}+a_{k}^{-\tilde{\psi}_{k^{q}}^{-}+b_{k}^{+}\tilde{\phi}_{k^{q}}^{+}+b_{k}^{-\tilde{\phi}_{k^{q}}^{-})\zeta^{\vee}+c^{-\zeta^{arrow-}}}}}+C^{++}$

で与えられる. ただし t係数である.

$\vec{x}_{0}=(\theta_{0}, \theta_{0}, \cdots, \theta_{0},0, \frac{2\pi}{N}, \cdots, \frac{2\pi}{N}(N-1))$であり,$a_{k}^{\pm},$$b_{k}^{\pm},$$c^{\pm}$は実不変な線形部分空間の中心 は任意の位置 にある $N$ 渦点環配置に対して定義できることに注意する. 論文 [16] では, 直感的な考察に基づいて 不変な四次元縮約力学系を扱っているが, これがどんな \theta o に対しても考えることができた理由はこのことによる.
命題 7 よりに対する包含関係も明らかになる.
この$\theta_{0}$$x_{0}$$\sigma_{p}$$\sigma_{2}$$\mathrm{P}_{N}(\sigma_{P})$系 8. 自然数 と がともに $N$ の約数であり, さらに が不変な部分空間は 不変空間に含まれる. すなわち$P$$\sigma_{p}$

$p$

$q$

$q$

を割り切るとする. このとき,が成立する.

$P_{N}(\sigma_{p})\subset \mathrm{P}_{N}(\sigma_{4})$$\sigma_{q}$以上から, \mbox{\boldmath $\sigma$}p 不変な縮約力学系のハミルトニアンが得られる.

定理 9. $N=_{Pq},$とする.
を持つ 渦点によって定不変な縮約力学系は強さ義された以下のような平均化ハミルトニアンを持つハミルトン力学系である.
$p,$ $q\in \mathrm{N}$$\Gamma^{(\mathrm{p})}$$P$$\sigma_{p}$$\ominus_{j},$ $\Psi_{mj}\Psi-\frac{2\pi}{q}l)$$H=- \frac{(\Gamma^{(p)})^{2}}{4\pi}\sum_{m=1m}^{p}\sum_{<j}^{p}\frac{1}{q}\sum_{l=0}^{-1}h(q-_{m},$$- \frac{\Gamma_{1}’\Gamma^{\mathrm{t}\mathrm{p})}}{4\pi}\sum_{m=1}^{p}1\mathrm{o}^{\mathrm{g}}(1-\cos\Theta_{m})-\frac{\Gamma_{2}’\Gamma^{\mathrm{t}\mathrm{p})}}{4\pi}\sum_{m=1}^{p}\mathrm{l}^{0^{\mathrm{g}}}(1+\cos\Theta_{m})$ただし,$\Gamma^{(\mathrm{p})}=\Gamma^{(N)_{q}}$であり, 職と$\Gamma_{2}’$

.

(14)

はそれぞれ以下のような修正された極渦である.

$\Gamma_{1}’=\Gamma_{1}+\frac{1}{2}\Gamma^{(p)}(1-\frac{1}{q})$,$\mathrm{r}_{2}’=\Gamma_{2}+\frac{1}{2}\Gamma^{(p\rangle}(1-\frac{1}{q})$

.

(15)

114
このような \mbox{\boldmath $\sigma$}p 不変性から得られる縮約力学系でもっとも簡単なものは, N が偶数の場合である. この系は不変量 が存在するために完全可積分系であり, 解の四次元力学系$I$$\mathrm{P}_{N}(\sigma_{2})$の挙動は上の定理で与えられた縮約ハミルトニアンの等高線をプロットすることによって理であり, 実際に$\text{二次元に落とすと}\tilde{\psi}_{M}^{\pm}\text{の張る二次元面内で運動が定義されるが}$, ここで,解できる. また, この不変力学系を張る固有ベクトルは$\vec{\psi}_{M}^{\pm}$と$I$$\zeta^{\pm}$

で系を$\tilde{\psi}_{M}^{\pm}\text{が}N\text{渦点環の}$安定性を定める単純固有値に対応する固有ベクトルであることを思い出すと, この縮約系は
N 渦点環が不安定化した時に現れる安定多様体および不安定多様体を含んでおり, その挙動の様子はこの縮約系の研究によってある程度わかる. この縮約系の詳細な研究は論文 [16] で行われているが, ここでは N=6 と N=10 の時の P6(\mbox{\boldmath $\sigma$}2) および PIO(\mbox{\boldmath $\sigma$}2) の縮約ハミルトニ
アンの等高線を図 1 にプロットしておく. N 渦点環の安定多様体と不安定多様体の作るセパ
ラトリックスの大域的構造が極渦の強さの変化に応じて遷移していく様子がわかる. なお,
この二次元系の軌道のほとんとは周期軌道であるが, これは論文 [21] で求められた周期軌道の–部に–致している.

4極反転変換による縮約

ここでは球面の北極と南極を入れ替えるような極反転変換を導入し, その変換に対して不変な縮約力学系を構成する. まず, N=2M+1 が奇数の場合について 1 番目の渦糸の位置ベ
クトルを回転の軸とした極反転変換 。:
を以下の三段階で定義する.
$(\Theta_{1}, \Psi_{1})$$P_{N}arrow \mathrm{P}_{N}$$\pi$(1) すべての渦点を経度方向にように移動させる:$-\Psi_{1}$だけ回転させ,$(\Theta_{1}, \Psi_{1})$にある渦点 1 が $xz$ 平面に来る.

$(\Theta_{1}, \cdots, \Theta_{N}, \Psi_{1}, \cdots, \Psi_{N})rightarrow(\Theta_{1}, _{2}, \cdots, e_{N}, 0, \cdots, \Psi_{N}-\Psi_{1})$(2) それから$x$軸を中心に系を$\pi$

だけ回転させる. (この変換で南極は北極に北極は南極になる)$(\Theta_{1}, \Theta_{2}, \cdots, e_{N}, 0, \Psi_{2}-\Psi_{1}, \cdots, \Psi_{N}-\Psi_{1})$.

$rightarrow(\pi-\Theta_{1}, \pi-e_{N}, \cdots, \pi-\Theta_{2},0, \Psi_{1}-\Psi_{N}, \cdots, \Psi_{1}-\Psi_{2})$(3) 最後に系を緯度方向に$\Psi_{1}$だけ移動させる.

$(\pi-e_{1}, \pi-e_{N}, \cdots, \pi-e_{2},0, \Psi_{1}-\Psi_{N}, \cdots, \Psi_{1}-\Psi_{2})$$rightarrow(\pi-\Theta_{1}, \pi-e_{N}, \cdots, \pi-e_{2}, \Psi_{1},\mathit{2}\Psi_{1}-\Psi_{N}, \cdots, 2\Psi_{1}-\Psi_{2})$.

以上より, 奇数個渦の極反転変換\mbox{\boldmath $\pi$}。:(em’\Psi m)\rightarrow (e’m’\Psi 分は以下のように書ける.
$\Theta_{1}’=\pi-\Theta_{1}$,$\Psi_{1}’=\Psi_{1}$$\Theta_{m}’=\pi-\Theta_{N-m+2},$

この変換に付随したベクトル場の変換$F_{1}’=-F_{1}$,$F_{m}’=-F_{N-m+2},$,$\Psi_{m}’=2\Psi_{1}-\Psi_{N-m+2}$$\mathrm{n}$,for $m\neq 1$ .

(16)。: $(F_{m}, G_{m})arrow(F_{m}’, G_{m}’)$ を以下のように与える.

$G_{1}’=-G_{1}$,$G_{m}’=-G_{N-m+2}$,

for $m\neq 1$ .

これらの変換に対して, もし北極と南極の渦が等しい場合には以下の事実が成立する.

115$\mathrm{N}=10$$\mathrm{N}=6$

Figure 1:

に対する平均化ハミルトニアン (14) の等高線プロットと系のセパラトリックスの構造の遷移. 白丸は N 渦点環に対応する点を表している. (a-d) は N $=6$ , (e-h) は N $=10$の場合. なお両極の極渦の強さはともに同じとしており, それぞれの場合の極渦の強さは (a)$0.6\pi,$$\sigma_{2}$$(\mathrm{b})0.2\pi,$$(\mathrm{c})-0.2\pi,$$(\mathrm{d})-0.6\pi,$$(\mathrm{e})1.5\pi,$$(\mathrm{f})0.6\pi,$$(\mathrm{g})0.0,$$(\mathrm{h})-0.6\pi$

である.

116
補題 10. $N=2M+1$ とする. もし対して成立する.

$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$ならば,$\Pi_{\mathrm{O}}\mathrm{F}(\tilde{x})=\mathrm{F}(\pi_{O}\tilde{x})$が任意の$\vec{x}\in P_{N}$にこの補題から \mbox{\boldmath $\pi$}。不変な初期値に対する軌道は, その不変性を維持し続けることがわかる.

補題 11. $N=\mathit{2}M+1$ かつ
すべての時刻に対して$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$$\pi_{\text{。}}\tilde{x}(t)=\tilde{x}(t)$なお,$\pi_{\mathrm{O}}$とする. もし初期時刻においてが成立する.

$\pi_{\mathrm{o}}\vec{x}(0)=\vec{x}(0)$ならば,不変な軌道は以下の関係式を満たすことに注意する.

$e_{1}= \frac{\pi}{2}$$\Psi_{1}=0,$

前章と同様, \mbox{\boldmath $\pi$}。不変な$\Theta_{m}+e_{N-m+2}=_{\pi},$$\Psi_{m}+\Psi_{N-m+2}=0$, for $m\neq 1$ .

(17)の線形部分空間の存在が以下の補題により保証される.

$\mathrm{P}_{N}$補題 12. $N=2M+1,$
る. この時 2M 次元の集合$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$かつ$\vec{x}_{0^{=}}(\frac{\pi}{2}, \cdots, \frac{\pi}{2’}0, \frac{2\pi}{N}, \cdots, \frac{2\pi}{N}M, -\frac{2\pi}{N}M, \cdots, -\frac{2\pi}{N})$$\vec{x}=\tilde{x}_{0}+\sum_{k=1}^{M}(b_{k^{\tilde{\phi}_{k}^{+}}}^{+}+b_{k}^{-\dot{\phi}_{k}^{-)}},$は \mbox{\boldmath $\pi$}。不変な部分集合である. これを$\mathrm{P}_{N}(\pi_{o})$$b_{k}^{\pm}\in \mathrm{R}$

,

とす

(18)

と書く.

この補題が示すように, $2M$ 次元の縮約力学系が定義できるのは, 極渦がともに等しい場
合のみである. また線形部分空間は赤道にある $N$ 渦点環配置を中心に持つ時のみ不変である. これは任意の極渦の強さおよび任意の緯度にある N 渦点環に対して PN(\mbox{\boldmath $\sigma$}p) が定義できた状況とは異なっている.
次に総点の個数が偶数の時の極反転変換:
を奇数の場合と同様$\pi_{\mathrm{e}}$に,$(\Theta_{m}, \Psi_{m})arrow(\Theta_{m}’, \Psi_{m}’)$

1 番目の渦点に対する回転として定義すると以下のように与えられる.
$e_{1}’=_{\pi}-e_{1}$,$\Psi_{1}’=\Psi_{1}$$\Theta_{m}^{j}=\pi-\Theta_{N-m+2},$

この変換に付随するベクトル場の変換$F_{1}’=-F_{1}$,$\Psi_{m}’=2\pi+2\Psi_{1}-\Psi_{N-m+2}$,$\Pi_{\mathrm{e}}$; $(F_{m}, G_{m})arrow(F_{m}’, G_{m}’)$ も同様に

$G_{1}’=-G_{1}$$F_{m}’=-F_{N-m+2},$

for $m\neq 1$ .

,,$G_{m}’=-G_{N-m+2}$ ,for $m\neq 1$ .

と与える. これは奇数の場合に定義した 供 汎瑛佑任△. これらの変換に対して, これまでと同様の補題が成立する.

補題 13. $N=2M$ とする. もしが成立する.

$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$ならば, すべての$\vec{X}\in \mathrm{p}_{N}$補題 14. $N=2M$ かつとする. もし初期時刻においてがすべての時刻で成立する.
$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$$\pi_{\epsilon}\tilde{x}(t)=_{\tilde{x}(t)}$に対して$\Pi_{e}\mathrm{F}(\tilde{x})=\mathrm{F}(\pi_{\epsilon}\tilde{x})$$\pi_{\epsilon}\vec{x}(0)=\vec{x}(0)$が成立すれば,

117$\pi_{e}$不変な軌道は以下の関係式をみたす.
$_{1}= \frac{\pi}{2}$,$\Psi_{1}=0$,$_{m}+\Theta_{N-m+2}=\pi$,$\Psi_{m}+\Psi_{N-m+2}=\mathit{2}\pi$,

for $m\neq 1$ .

これは \mbox{\boldmath $\pi$}。不変な軌道の満たす関係式 (17) と若干異なるように見えるが, 変数$\Psi_{m}$が(19)$(\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z})$で定義されているので, 実は同じ関係式を与えていることに注意する. -方で, 以下の補題
で与えられるように 不変なの線形部分空間の次元は $2(M-1)$ となり奇数の場合と異なっている.
$P_{N}$$\pi_{\mathrm{e}}$補題 15. $N=2M,$
次元線形部分空間$\Gamma_{1}=\Gamma_{2}$かつ$\vec{x}_{0}=(\frac{\pi}{2}, \cdots, \frac{\pi}{2},0, \cdots, \frac{2\pi}{N}(N-1))$$\tilde{x}=\vec{x}_{0}+\sum_{k=1}^{M-1}(b_{k}^{+}\vec{\phi}_{\mathrm{k}}^{+}+b_{k}^{-}\tilde{\phi}_{k}^{-})$

は$\pi_{\epsilon}$に対して不変である, これを$P_{N}(\pi_{\mathrm{e}})$,とする. この時, $\mathit{2}(M-1)$$b_{k}^{\pm}\in \mathbb{R}$と書く.

以上の補題をすべてまとめると以下の定理を得る.
定理 16. 両極に固定された渦の強さが等しいと仮定する. この時, 極反転変換\mbox{\boldmath $\pi$}。によって不変な縮約力学系が存在する.

$\pi_{\mathrm{e}}$あるいはさらに, 前章の結果と本章の結果を同時に用いると, 合成写像 \mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}6や \mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}。に対して不変な縮約力学系も定義できる.

系 17. 極渦の強さが等しいとし, 渦点の数 $N$ が偶数かつ を約数に持つと仮定する. この時, もし \mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}\epsilon f(0)=f(0) ならば, すべての時刻に対して \mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}ex\rightar ow (t)=5(t) が成立し, 合成変と書く) は以下で与えられる.
の線形部分空間 (これを換\mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}。に不変な$p$$P_{N}$$P_{N}(\sigma_{p}\pi_{e})$$\tilde{x}=\tilde{x}_{0}+\sum_{k}(b_{k}^{+}\tilde{\phi}_{kq}^{+}+b_{k}^{-}\tilde{\phi}_{kq}^{-})$,$b_{k}^{\pm}\in \mathbb{R}$.

系 18. 極点の強さが等しいとし, 渦点の数 $N$ が奇数かつ を約数に持つと仮定する. この時,, すべての時刻に対して \mbox{\boldmath $\sigma$}p\mbox{\boldmath $\pi$}。f(t)=xlE(t) が成立し, 合成変と書く) は以下で与えられる.
換に不変なの線形部分空間 (これを$P$$\text{もし}\sigma_{p}\pi_{o}\tilde{x}(0)=\vec{x}(0)\text{ならば}$$\mathrm{P}_{N}$$P_{N}(\sigma_{\mathrm{p}}\pi_{\text{。}})$$\sigma_{\mathrm{P}}\pi_{\text{。}}$$\vec{x}=\vec{x}_{0}+\sum_{k}(b_{k}^{+}\vec{\phi}_{kq}^{+}+b_{k}^{-}\vec{\phi}_{kq}^{-})$,$b_{k}^{\pm}\in \mathbb{R}$.

なお, これらの極反転変換によって得られた縮約力学系に対しては, \mbox{\boldmath $\pi$}。および\mbox{\boldmath $\pi$}e 不変な
軌道の満たす関係式 (17) と (19) から積分 は自動的に となっていることに注意する.
最後にこれらの結果を用いて, 両極に固定された極渦の大きさが等しい時の N=6 からN=12 までの不変な縮約力学系と, その力学系を定義する線形部分空間を張る基底の–覧
を表 1 に与え, それらの縮約力学系の包含関係を図 2 に示す.
$I$

$0$

118

Table 1: 両極渦の強さが等しい場合に得られる, 渦点の個数が $N=6$ から 12 の時の縮約力
学系の–覧と, それらが定義されている線形部分空間を張る基底の–覧.

119
5

まとめ

本論文では極渦を持つ球面の上にある同じ強さを持つ N 渦点系方程式を考え, その中にある低次元の縮約力学系を系統的に構成する方法を与えた. どのような縮約力学系が存在する
かは整数としての N の性質が重要な役割を果たす. N が P という約数を持てば 2p 次元の縮約系が存在し, また個数が奇数か偶数かに応じても低次元の縮約系が得られる. これらの縮約系はもとの力学系の中に埋め込まれた制限系であるので, これらの縮約系を研究することで元の $N$ 点渦点系の軌道の性質の多くが明らかになることが期待できる.

ここで定義された シフト変換および極反転変換は球面に対する二面体群を構成していることに注意する. こうした系の持つ群作用不変性によって周期軌道を得ることは論文 $[8, 21]$
によってなされているが, 本結果では単に周期軌道だけにとどまらず, より複雑な軌道を含む縮約系を与えている. それは N 渦点環の線形安定性解析によって得られた固有ベクトルを使ってこれらの縮約系の相空間が実は線形部分空間であることが重要な役割を果たしている.
今後はこうした縮約系の研究を通じて, 不安定化した N 門門環の挙動の詳細な記述を試みる予定である. 二次元縮約系は完全可積分なので, その挙動を調べるのはハミルトニアンの等高線を調べるだけで十分である. 次に簡単なのは四次元系である. 既に述べたは積分 の存在のために完全可積分であるが, その–方で, PN(\mbox{\boldmath $\sigma$}6\mbox{\boldmath $\pi$}e) や PN(\mbox{\boldmath $\sigma$}5\mbox{\boldmath $\pi$}o), PN(\mbox{\boldmath $\sigma$}5\mbox{\boldmath $\pi$}6)などの四次元系では I=O を自動的に満たすので可積分でない. この系の挙動は複雑になるが, その解析は現在進行中である.
$P$$P_{N}(\sigma_{\mathit{2}})$$I$

Acknowledgment
本研究は日本学術研究会科学技術研究費 若手研究 (A) #176840022006, 萌芽研究幸 17654018
2006 および北海道大学 COE 活動プログラム「特異性から見た非線形構造の数学」の補助を受けて行われた.

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121

(a)

(b)

(f)
$\mathrm{P},(\pi_{0})\mathrm{p}_{7}\downarrow$$\mathrm{p}_{11}\downarrow$$\mathrm{P}_{||}(\pi_{0})$(C)$\mathrm{P}v(\sigma 4\pi\circ)$(d)$\mathrm{P}\circ(\mathrm{o}\mathrm{s})\mathit{1}_{\backslash }^{\backslash _{\mathrm{P}_{9}(\pi)}}\mathrm{p}_{9}1^{\mathrm{o}}$$\mathrm{P}_{9}(\sigma_{3}\pi_{\text{。}})$

Figure 2: 縮約力学系の間の包含関係 (a) $N=6,$ $(\mathrm{b})N=7,$ $(\mathrm{c})N=8,$ $(\mathrm{d})N=9,$$N=10,$ $(\mathrm{f})N=11$ and (g) $N=12$ . 矢印 $Aarrow B$ は $B\subset A$ を表している.

$(\mathrm{e})$