RF システム（２）小林 鉄也
高エネルギー加速器研究機構
加速器研究施設2019 年 9 月 12 日
改訂 1：2021 年 03 月 30 日
改訂 2：2021 年 11 月 18 日
改訂 3：2023 年 04 月 26 日
改訂 4：2023 年 05 月 26 日

9

目次
はじめに

1

1

加速空洞システム概要

2Bunch Gap Transient

59

9.1

Bunch Gap Transient の概要. . . . 59

9.2

BGT 効果による加速電圧変化. . . . 61

9.3

ARES 空洞における BGT. . . . . . 63

2
10Transient Beam Loading Simulation

66

RF 共振器の加速モード

3

10.1 単セル空洞／単一モードの場合 . . . . 66

3.1

加速モード（TM010 mode） . . . . .

3

10.2 ARES 空洞（3 連空洞）の場合 . . . . 69

3.2

Transit Time Factor . . . . . . . . .

5

10.3 FB 制御ループとチューナー制御 . . . 71

3.3

Skin Depth と壁面損失 . . . . . . . .

5

10.4 BGT 効果の影響と補償対策

加速電圧と空洞特性パラメータ74.1

加速電圧／ RF パワー／蓄積エネルギー74.2

入力結合度と反射パワー . . . . . . . .

9等価回路による加速空洞の特性

11

3

4

5
5.1

共振回路の入力インピーダンス . . . . 11

5.2共振回路の反射特性 . . . . . . . . . . 13

5.3

過渡的応答 . . . . . . . . . . . . . . . 14
ビーム負荷に対する最適化

17

6.1

ビームの周波数スペクトル. . . . . . 17

6.2

ビーム負荷と Optimum Tuning . . . . 18

6.3

Optimum Coupling と RF パワー . . 22

6結合バンチ不安定性

7

25

7.1

Wakeﬁeld と結合バンチ不安定性 . . . 25

7.2

結合バンチ不安定の評価 . . . . . . . . 26

7.3

結合インピーダンスと Wake Function

7.4

振動するビームの周波数スペクトル7.5

結合バンチ不安定性の Growth Rate . 33

7.6

加速モードに起因する不安定性の評価

7.7

Static Robinson 不安定性

. 29
36

. . . . . . 39

結合バンチ不安定性の抑制システム

8

26

42

8.1

CBI ダンパーシステム概要 . . . . . . 42

8.2

CBI モード・フィルター . . . . . . . 43

8.3

CBI ダンパーの適用例

8.4

Single Sideband Filter . . . . . . . . 47

8.5

Digital Bandpass Filter . . . . . . . . 48

8.6

Digital Filter と z 変換 . . . . . . . . 51

8.7

櫛形 CBI モード・フィルター

8.8

1-Turn Delay Feedback

8.9

Digital Comb Filter. . . . . . . . 45

. . . . 54

. . . . . . . 55

. . . . . . . . . 55

11

おわりに

. . . . . 73
80

テーマにするため、空洞本体のハードウェア製造に

1 はじめに関する詳細は過去のテキスト等を参照するようお願いする。

RF システム（高周波加速）に関する講義は、当然ながらすでに数多く行われ、偉大な先生方によって多くの立派なテキストが書かれている。それぞれの

ここで、用いる変数記号について注釈しておく。まテキストではそれぞれの著者が詳細に式の導出からず、虚数を表す記号は j を用いる。また、周波数を丁寧に説明している。詳しく勉強されたい方は、過表す記号について、以下のようにお断りさせて頂く。

去のテキストを参照して頂くことを強くお勧めする。

ω で表す角周波数と f で表す周波数（ω = 2πf ）と私としては過去のレベルに匹敵するような内容は書があるが、ω で表している場合でも、言葉の説明でけそうにないので（あるいは、ただの踏襲になるだけ

は単に「周波数」と記述する場合が多い。しかし ωなので）、本テキストでは（厳密性を多少欠くかもしの記号が使われてる場合は「角周波数（2πf ）」のこれないが）実際の運転で問題となるポイントや考えとであると判断して頂きたい。また逆も同様である。

方を紹介することに重点を置く。これにより（自分ただし、関係式によっては、どちらにとっても問題なにとっては安易な方法を選んだ言い訳であるが）初い場合も多い。また、具体的な数値を扱う場合は通学者にとっては今後詳しく学ぶための足がかりとし常の周波数 f （Hz）で示すことにご注意願いたい。

て参考になることを期待する。従って、ここでは式の導出などの詳しい説明は省き結果のみ紹介する形が多くなるので、どうしてそうなるの？と気になる方は、ぜひ下記に紹介する過去のテキストを参照して頂くようお願いしたい。
過去の OHO セミナーで、KEKB リングの RF シ
ステムに関しては、[1–7] などがあり、SuperKEKBになっても基本的な問題は変わらない。これら以外にも [8–10] など関連する素晴らしいテキストが多くある。
本講義では、RF 加速において SuperKEKB（大電流ビーム電子陽電子リング加速器）で問題となる主な課題につい取り扱う。RF システム（加速空洞）は加速器に必要不可欠な存在であるが、ビーム電流が大きいと、ビームとの相互作用により加速電圧が影響を受け、また加速システム自身がビームを不安定にしてしまう。そこで大きなビーム電流から加速空洞がどんな影響を受け、またどんな不安定を起こし、それに対して SuperKEKB ではどのように対処をす
るか、を紹介する。ただし、その前に、前提として必要となる RF システムの基本事項について説明を行なう。最後には、過去の OHO でもあまり扱われていない「バンチ・ギャップ・トランジェント」について紹介する。
この講義ではビーム加速における制御上の問題を1

な RF 電力を導波管により伝送し、入力結合器を介

2 加速空洞システム概要

して共振器に投入することで高い加速電界（定在波）RF システムのメインとなるのは高周波加速空洞を得る。入力結合器は、共振器へと RF を投入させである。図 2.1 に加速空洞システムの概念図を示す。

るとともに、大気と真空を仕切る、非常に重要な役

この図は１空洞（１クライストロン）あたりの図を示割を担う。加速するビーム電流が大きいと投入するしている。本テキストもこの図に基づいて１空洞あ（通過する）RF 電力も大きく、大気と真空の境界とたりについて説明する。SuperKEKB はリングに何なるセラミック窓などの（高電界、熱応力負荷に対台も加速空洞が並ぶが、ビームから見て全ての空洞する）耐久性設計が重要となる。そのため KEKB か

位相が揃っていれば、基本的には１台の空洞についてら SuperKEKB へアップグレードにおいても大きく考えれば良い。ただし、SuperKEKB の HER（high増強改造されている [11]。

energy ring：電子リング）では常伝導と超伝導の 2種類の特性の異なる空洞が使われるため多少事情はその他、図 2.1 では省かれているが、共振周波数を異なる。一方、LER（low energy ring：陽電子リン

調整するチューナー機構、真空排気系、冷却システムグ）では常伝導空洞のみ使用され、全空洞ほぼ同じ条（水冷配管系、および超伝導ではヘリウム冷凍機シス

件で運転される。

テム等）等が必要となる。真空を排気する真空ポー
ト（孔）からは RF が逃げ出さない工夫が施される。

また、図 2.1 や本講義の内容は、主に電子陽電子リング加速器（CW 運転）に関するものである（CW ＝余談になるが「空洞（英語では cavity）」という言

連続波のこと。パルス運転と対になる）。従って線形い方はビーム（内側）から見たイメージ（ビームダ

加速器（パルス運転、進行波加速管、マルチセル空洞

クト中に空いた空間）だと思われる。肉月の「空胴」など）や陽子加速器等とは事情が異なる部分も多いが使われる場合もあるようだが、この場合はどちらことに注意願いたい。

かと言うと外側から見た形のイメージかと思われる。
これは加速空洞（例えば J-PARC Linac の DTL 空

加速空洞とは、図 2.1 のように、ビームパイプ中に洞）を「（DTL）タンク」と呼ぶ場合があることに相挿入された円筒形の高周波共振器（＝ pillbox 型空洞

当するだろう、と個人的に勝手な解釈をしている。

という）である。クライストロンで増幅された大きRF増幅器(CW) 100kW~1MW

入力結合器


セラミック窓（大気と真空の境）H単純なアイリス窓の場合もある




E

※図ではチューナー、
�真空ポート等を省いてる

TM010モード
図 2.1

リング加速器における RF 加速空洞の概念図

2

3 RF 共振器の加速モード∇2E + k 2E = 0r

この章では、円筒形共振モードと関連事項についａθ

て説明しておく。ただし前置き的な内容なので、この章はスキップして第 4 章に進んでも良いかもしれ
ない。

3.1

∇2H + k 2H = 0

k 2 = ω 2εµz （真空:k=ω/c）

E

境界条件

H

(完全）導体加速モード（TM010 mode）
L

ビーム加速に利用する共振モード（加速モード）
は、当然、軸対称でビーム軸方向に一様な電界を持つ

図 3.2

ものが良い。この加速モードは円筒形共振器の基底

円筒座標系と共振モード

モードであり TM010 と呼ばれる（詳細は後述参照）。
図 3.1 に TM010 の電磁場分布を示す（左が電場、右ない場合（Hz = 0）、電場の z 軸方向成分がないが磁場）。ただし電場、磁場それぞれが最大強度にな場合（Ez = 0）とで分けられ、それぞれ TM モー

るタイミングは 1/4 周期ずれていることに注意。図

ド、TE モードと呼ぶ（”T”は Transverse）。各軸方のようにビーム軸上の電界がもっとも強く、その周向 (θ, r, z) それぞれの次数 m, n, l を用いて TMmnl

りに磁場が巻かれた（軸上に磁場がない）フィールド

モード、TEmnl モードと書かれる。次数 m, n, l は電分布となり、ビーム加速に好都合である。

磁場分布の節や折り返し点の数に関係する。例えば

θ 方向について m = 0 は monopole（軸対称）モード、m = 1 は dipole モードである。

E

H
もう少し具体的に、例えば TMmnl モード（円筒半
径 a, 長さ L）の Ez 成分のみを書くと次のようになる。

mnl
Ezmnl (r, θ, z) = Ez0
Jm (kcmn r) cos(mθ) cos(kzl z)(3.1a)
lkz = π(3.1b)
L

図 3.1 TM010 モードの電磁場分布。左が電場、右が磁場を示す。それぞれ最大強度になる位相はπ/2 ずれていることに注意。

こ こ で 、Jm は m 次 の ベ ッ セ ル 関 数 、kcmn はpillbox 型共振モードについて、より数式的な取扱

Jm (ka) = 0 の n 番目の解に対応する k の値である。

をしてみる。図 3.2 に示すよう、電場・磁場 (E, H)

例えば m = 0 についてベッセル関数と kc a(n = 1, 2)のヘルムホルツ方程式（波動方程式から伝導率 σ = 0,の関係を図 3.3 に示す。

{E, H} ∝ ejωt としたもの）を円筒座標系 (r, θ, z) で

ここで、共振周波数 ω0 は次式の関係から得ることができる（c は光速度）。

解いた固有モード解ということになる。その際、導体表面において電場は垂直成分のみ、磁場は接線成分のみとなる境界条件を課す。ここで ω(= 2πf ) は

ω0= kc2 + kz2c

RF 角周波数にあたる。
固有モードを得る際に、磁場の z 軸方向成分が(3.2)

これより TM010 モードは、kz = 0 で、半径サイズ

3

だけ（図 3.3 より kc a = 2.405）で共振周波数が決まPFシングルセル空洞（500MHz）る（z 軸に一様なので当然）
。

1.0
0.8

RF入力ポート䜸䞊䝋䝗䝑䜽䝇䛺✵Ὕ
䠄.(.3)䛾ᖖఏᑟ✵Ὕ䠅J0nose cone
HOM吸収体

J1

0.6

E

0.4
0.2

2.405
2

5.520
4

6

8

10

“カットオフ周波数”により加速モードはBeam Pipeへ
は伝搬しない。
＝空洞内に閉じこめられる。

kcr

-0.2
-0.4

kca
(TM01)

kca(TM02)

図 3.4 実際の空洞形状の例（PF 用シングルセル
加速空洞）

図 3.3 ベッセル関数（m = 0）と kc a(n = 1, 2)の関係（TM モード）

1.0

ここまでは、理想的な円筒形での話であるが、実際0.8の空洞は単純な pillbox ではない。図 2.1 から分かる

0.6

ように、ビームが通過する構造があり、入力ポートや

0.4

J0
J1

0.2

チューナー、真空ポートなどもついている。

5.331
2

例として実際の PF で使われてる空洞の例を図 3.4に示す。 ビームパイプがあるため（理想的な TM010

-0.2

1.841

-0.4

kc’a
(TE11)

モードとは異なり）ビーム軸に一様な電場にはなら

4

6

8

10

kc’a
(TE12)

図 3.5 ベッセル関数（m = 1）と kc′ a(n = 1, 2)の関係（TE モード）ず、図に示すような電場分布になる。また、放電や壁面損失などを低減するために適当に角を丸めたりする。加えて、常伝導空洞ではビームパイプとの結合部には nose cone と呼ばれる突起構造を作り、高い加速電圧を得られるような工夫をする場合がある

さて、ここまで TM モードについて示したが、つ（図 3.4 参照）。これらは摂動的な効果として取り扱

いでに TE モードの例についても同様に示しておく。

い、基本は円筒形共振モードであることに変わりはない。ただ当然、実際の設計では、シミュレーション式 (3.1a)(3.2) 同様に、TEmnl モードの Hz 成分とや測定で正確な特性を求めることが必要になる（共共振周波数は

振周波数はチューナーで調整する）。

mnl
Hz (r, θ, z) = Hz0
Jm (kc′mn r) cos(mθ) cos(kzl z)(3.3a)
ω0= kc′2 + kz2(3.3b)c

ちなみに、ビームパイプのカットオフ周波数より

RF 周波数は低い（カットオフより低い周波数の電磁場は伝搬できない）ため、RF 電力（加速モード）はビームパイプへと逃げ出せない（空洞内に閉じ込められる）原理になっている。逆に不要な高次モード′と書ける。ここで、kc′mn は Jm(ka) = 0 の n 番（Higher Order Modes = HOM）は積極的に外に逃′
目の解に対応する k の値である。ただし Jm(x) =がし吸収させる工夫を行なう（参考文献 [3] 等を参

dJm (x)/dx である。図 3.5 に m = 1 についてベッ照）。

セル関数と kc′ a(n = 1, 2) の関係（TE モード）を示

4

す。

である（Ez0 はピーク時の電界）。ここで空洞の長さを g としている。

円筒形の TE モードで一番低いモード（TM010 の次に、実効的な加速電圧 Vc として、ビームが通過

次）は TE111（dipolemode）である。図 3.6 に TE111

する間の変化を考慮すると、ビーム速度が光速度のの電磁場分布を示す。図 3.1 同様、それぞれの最大場合、強度になる位相は π/2 ずれることに注意。

TE111 の共振周波数は、図 3.5 より kc′ a = 1.841、

Z g/2

また kz = π/L であり、式 (3.3a) から計算できる（他

Vc =のモードについても同様に共振周波数は簡単に求め(3.5)

k = ωrf /cられる）。

のように定義される。通常、上式の ejkz は cos(kz)

H

E

−g/2

Ez0 (z)ejkz dz = Tt · V0で計算する。
このように、高周波変化により実効的に電圧が下がる割合、すなわち式 (3.4) と (3.5) の比（＝ Tt ）を「通過時間因子（transit time factor）」と呼ぶ。
例えば、空洞長 g を RF の半波長（g = λrf /2 =πc/ωrf ）とすると、理想的な TM010 の場合、通過時
間因子は、

図 3.6 TE111 モードの電磁場分布。左が電場、右が磁場を示す。それぞれ最大強度になる位相はπ/2 ずれていることに注意。

Tt =

R g/2
E0 −g/2 cos(kz)dz

その他の高次モードについては参考文献 [3] 等に

gE0

詳しく説明されている。また、普通にマイクロ波工=

sin(kg/2)∼ 0.64kg/2(3.6)

学に関する教科書を参照して頂くのが良い（参考文
献例 [12–16]。

となる。

3.2 Transit Time Factor

以上のように、通常、加速電圧は通過時間因子を含んだ実効的な値（式 (3.5)）で空洞特性を表す。

前置きの続きとして、空洞の加速電圧の定義について補足する。加速電圧は、ビーム軸に沿って空洞

3.3 Skin Depth と壁面損失

内（TM010 モード）の電界 Ez (z) を積分したもである。しかし高周波であるが故に、ビームが通過する

後述する通り、運転上、空洞内で消費される電力

間に電界の強さが時間的に（jωrf t で）変化している（Pc ）を知る（測る）ことが重要となる。ここでは、ことを考慮に入れる必要がある。

その空洞内損失とは何かについて、簡単に前置きしておく。

電界が最大点になる瞬間の電圧 V0 は
空洞材質は完全導体ではない（有限の導電率 σ を

Z g/2
V0 =

−g/2

Ez0 (z)dz

持つ）ので電磁波が導体表面に僅かに入り込む（図(3.4)

3.7 参照）。その結果流れる電流によりジュール損失が生まれる。ただし、電磁波は導体内部へは伝搬せ5の関係にある。

壁面
真空

導体（導電率σ）

式 (3.8) より、空洞内の損失は磁場分布と電磁場強度に依存する。従って当然、共振モードが異なれば∂H∇ 2 H = µσ∂t

壁面損失も異なる。すなわち、モード（電磁場分布）が決まり電磁場強度（Vc ∝ E ∝ H ） が決まれば、空洞内損失は決まるということである。逆に言うと、

電磁場強度

壁面損失の量で加速電圧が決まる（Vc2 ∝ Pc ）。

e− x/δ s

超伝導空洞の場合、上記の skin depth とは若干事δs:skin depth

情は異なるが、表面上の僅かな抵抗によるジュールxδs

損失であることは同じで、これ以降の議論は基本的に常伝導空洞の場合と共通である（ただし桁違いに

導体深さ
図 3.7

損失が小さいので運転状況は大きく変わる）[4]。

導体表面に入り込む電磁波と skin depth

改めて繰り返すが、結局のところ、「壁面損失が決
まれば加速電圧が決まる（Vc2 ∝ Pc ）」ということが、この話の最も重要なポイントであり、ビーム加速しず、図 3.7 のように exp で減衰する。

てる場合でもこの関係は変わらない。
図 3.7 で電磁波が導体表面に浸入する深さ（減衰率）δs を「skin depth」と呼び、波動方程式から、

r
δs =

2
ωrf σµ(3.7)となる。ここで µ は透磁率である。たとえば銅（σ ∼6 × 107 [Ω−1 m−1 ]）の場合、RF 周波数を 500MHz とすると、δs ∼ 3[µm] である。
壁面を流れる電流は境界面での磁場強度に比例するので、壁面の電力損失 Pwall（= Pc ）は、次式のように壁面全体 S で磁場強度を積分して得られる。

Z
2|H| dS

Pwall = Pc = Rs

(3.8)

s

ここで Rs は表面抵抗で、skin depth と

1
Rs =
=
δs σ

r

ωrf µ
2σ

(3.9)

6



4 加速電圧と空洞特性パラメータ



Pk



ビーム運転では加速に必要な加速電界を、適切な位相で加速空洞に励起することが必要である。ではPr

どうやって加速電圧を知り、どのように調整（制御）



入力結合器
結合度：β
ω0 = ωrf

するのが良いのか、という話がこの章のテーマであ
る。





Vc

空洞内の加速電圧は MV のオーダーになるが、こ

の高い電界強度を直接測れるようなプローブがある

Pc

わけではない。大電力 RF のパワー（の一部を取り出した信号）を測り加速電圧を求める。そのために予め知っておくべき（空洞特性を評価する）何種類か

図 4.1 RF パワーと加速電圧（加速モード）の励起（ビームがない場合）のパラメータがある。それらのパラメータと測定される値との関係をまず説明する。

4.1

加速電圧／ RF パワー／蓄積エネルギー
この式（4.1) は、単純な関係であるが、最も重要

まず、ビームがない場合を考える。その場合の RF

な空洞パラメータの一つで、ビーム加速していてもパワーの関係を図 4.1 に示す。

（ビーム励起があっても）この関係は変わらない。つクライストロンで増幅された大電力 RF パワー Pk

まり（ビームによる励起も含め）加速電圧 Vc を一定が、導波管を経て空洞へ投入され、加速電圧 Vc （加に保つことは、空洞内消費 Pc を一定に保つことを意速モード）を励起する様子を表している。話を単純味する。

にするため導波管のロスは考えないものとする。Pkの一部 Pc が空洞内で消費され、残りのパワー（Pr ）では、どのように Rsh を得るか？であるが、基本は反射波として戻る（ダミーロードで消費される）。

的には測定して求める（シミュレーションでも求め反射するパワーの量は入力結合度 β に依存する（後られる）。その測定方法については、ここでは詳細は述）。ここで空洞（加速モード）の共振周波数 ω0 は省くが、J.C. Slater の摂動理論 [17] を用いビーム軸

RF 周波数と合っているとする（ω0 = ωrf ）。

に沿って電場強度を測定する方法で「ビード測定法」と呼ばれる [18, 19]。

第 3.3 節で説明したように壁面損失は、モードの電磁場分布および強度で決まるため、空洞内の消費電

ビード測定法についてもう少し具体的に説明する

力 Pc と加速電圧 Vc は一定の関係にある。そこで、と、図 4.2 のように微小導体球（＝ビード）を空洞内に置く（摂動を与える）ことで、電磁場分布が（導体

Rsh =

|Vc |
Pc

2

表面に対し E は垂直、H は平行に）変化し共振周波(4.1)

数が変化する。その周波数の変化量 ∆ω はビードが置かれた電磁場強度に依存し、と定義した時の Rsh をシャント・インピーダンスという。この Rsh を予め求めておくことで、空洞内消2∆ω= −4πr03
ω0

費電力を測定できれば Vc が分かる。

|H|
|E| −
2
2

2

!
(4.2)

また、Rsh はビームが通過した際に励起される電圧を決める（ビームとの結合インピーダンスを表す）。

と求められる（摂動が半径 r0 の球体の場合）。ただ7

ま”R/Q”（アール・オーバー・キュー）と呼ばれる微小な導体球を空洞内に置く（摂動を与える）

H

E

E

（[Ω] の次元を持つ）。

2r0”R/Q”=Rsh /Q0 は空洞損失（常伝導、超伝導）に関係なく、形状デザインだけで決まる値で、空洞特性

r0 <<（空洞サイズ）を表す最も基本的なパラメータと言える。
図 4.2 微小導体球（摂動）によるフィールド（共振周波数）の変化（ただし TM010 モードはビーム
軸上で H = 0）

式 (4.1) と (4.3) から、次式で表される Q0 を測定することで、ようやく Rsh が得られる。

し、ここで E, H は空洞体積全体 V で規格化されたR2

量である（ V |E| dv =

R

Q0 =

2

|H| dv = 1）。
V

ω0 U
Pc

(4.5)

この値は Q 値（あるはキュー・ゼロ）と呼ばれ、空洞

この共振周波数の変化を測定すれば式 (4.2) から電特性を表す（損失に関係する）重要なパラメータのひ磁場強度を得られる。従って微小導体球（ビード）をとつ（無次元量）である。Q 値は RF 測定器（ネット

ビーム軸に沿って移動させて測定することで、軸上ワークアナライザ）で容易に測定できる（後述参照）。

の電波分布を得ることができる（式 (4.2) で、TM010のビーム軸上は H = 0 とする）。得られた電場強度

こ こ で 少 し 、具 体 的 な 数 値 で 見 て み る 。通 常をビーム軸に沿って積分すれば空洞インピーダンス

Rsh /Q0 は 100〜200Ω、Q 値は常伝導空洞の場合が得られる。

104 のオーダーなので、1MV の加速電圧を得るには、
式 (4.1) より、500kW 程度の消費電力が必要になる。

上記のように測定して得られたインピーダンスは、

一方、超伝導空洞の場合、Q 値は 109 のオーダーに

Rsh の値そのものではなく、式 (4.2) の定義からも分なると、10W 程度の消費電力で済む。ただし、これかるように、空洞全体の蓄積エネルギーで規格化さは空洞内消費（Pc ）だけの値なので、実際は（ビームれた値になり負荷も含め）より大きな投入パワーが必要となる（冷

Rsh
=
Q0

R

凍機の電力は考慮していない）
。

e

jkz

Ez (z)dz
ω0 U

2

2

=

|Vc |
ω0 U

(4.3)

Q 値について、もう少し補足しおく。式 (4.5) において、入力パワー（強制振動）がなく自由振動で減衰となる（通過時間因子も含めて計算していることにする場合を考える。その場合は消費電力 Pc は蓄積エ

注意）
。ここで U は、空洞内の蓄積エネルギー（電磁ネルギーの減少率に相当するので、場エネルギーの体積積分）

U=

ε0
2

Z
2

|E| dv =Vµ02

Pc = −

Z2|H| dv

ω0 U
dU
=
dt
Q0

(4.6)

(4.4)

V

従って

U (t) = U0 e− τ0 ∝ |V (t)|tである（電気エネルギーと磁気エネルギーの時間平

2

(4.7)

均は等しく、1/4 周期に入れ替わる）。

τ0 = Q0 /ω0
式 (4.3) の RQsh
は、通常”R/Q”と書かれ、一つの0
空洞パラメータのように扱われる。そして、そのまとなり、Q 値は減衰時（あるいは立ち上がり）の時定

8
数 τ0 に対応する値である（電圧 V は U の 1/2 乗に




比例するので時定数は 2 倍）
。

Pext


入力結合器
結合度：β
もう少し厳密に、共振器の微分方程式によると

ω0 = ωrf
d2 V
ω0 dV
+
+ ω02 V = 0
2
dt
Q0 dt

(4.8)



Vc




の解は

Pc
ω0 t

V (t) = {A0 cos ωt + B0 sin ωt}e− 2Q0 (4.9a)
ω = ω0q
1 − 1/4Q20

図 4.3 入力パワーがない場合の空洞内消費パワーと外部へ出て行くパワー(4.9b)のように得られ、減衰時の周波数 ω は共振周波数 ω0

れに対して Q0 のことを無負荷 Q 値（unloaded Q-

よりずれる。

value）という。

以上を簡単にまとめると、加速空洞の特性を表す

入力結合器は必ず付いているため、計測器で直接パラメータ（シャント・インピーダンス、Q 値）は、測定できる値はこの QL である。後述するように測加速電圧 Vc と消費電力 Pc と蓄積エネルギー U の関定された QL から Q0 を求める。減衰率についても係を（|Vc |2 ∝ Pc ∝ U ) を結びつける係数と言える。

4.2

入力結合器がある状態の値（QL に対応する値）である。また、ステップ関数的に入力があると、exp で

入力結合度と反射パワー

立ち上がり、この時の時定数も減衰率と同じである。

これまでの話は、入力結合器（入力、反射電力な

そのため、この時定数（QL /ω0 ）は ﬁlling time ともど）を考慮していない。しかし実際は、図 4.1 のよう呼ばれる。ただし、電圧は蓄積エネルギーの 1/2 乗に入力結合器を考慮したパワー収支（空洞パラメーに比例するので、電圧で示すと ﬁlling time はこの 2タ）を考える必要がある。

倍、2QL /ω0 になる。どちらで示すかは状況によるが、空洞の時定数（減衰率、ﬁlling time）は電圧の時定数（2QL /ω0 ）で示すのが一般的である。

まず最初は、再び前節のように入力パワーがなく（Pk = 0）自由振動で減衰する場合を考える。この次に、ここで Pext に対応する Q 値（Qext ）時、図 4.3 に示すように、空洞内で消費する電力 Pc
だけでなく、入力結合器から出て行くパワー Pext（図4.1 では Pr に相当）もあり、その分速く減衰する。
Qext =

従って式 (4.6) はPc + Pext = −

dU
ω0 U
=
dt
QL

ω0 U
Pext

(4.11)

を定義すると、式 (4.10)(4.5) から、(4.10)

1
1
1
=
+
QL
Q0
Qext

となり、この時の減衰率 τe = QL /ω0 に対応する Q
値（QL ）を負荷 Q 値（loaded Q-value）と呼ぶ。こ9(4.12)

となる関係式が書ける。この Qext を外部 Q 値（ex-ちなみに、β > 1 の場合を「オーバーカップリン

ternal Q-value）と呼ぶ。これに対応して Q0 は内部

グ」、β < 1 の場合を「アンダーカップリング」といQ 値とも呼ばれる。

う。

この外部 Q 値 Qext を使って、入力結合器の結合以上より、運転（Vc を知るために）に必要なパ度 β が次のように定義される。

ラメータを整理すると、まず反射率 Γ を測定し式(4.15) から β を求める。また、スペクトル幅の測定
β=

Q0
Pext
=
Qext
Pc

（後述）から QL が分かり、Q0 が求められる。こうし(4.13)て、別途ビード測定（式 (4.3)）により測定されている Rsh /Q0 から Rsh が求まり、ようやく式 (4.1) により Vc が求まる。

この入力結合度も、後述するように、ビーム加速を考える上では非常に重要なパラメータである。ここで、

例えば、反射率の関係から

Q0 は式 (4.12) および式 (4.13) から、

Q0 = (1 + β)QL



(4.14)

Pr =

β−1
β+1

2

Pc = Pk − Pr =と表せる。
ここでまた、図 4.1 に戻り、入力パワー Pk が空洞
た入力結合度 β と空洞の反射率 Γc には次式の関係

4βPk(β + 1)2(4.16b)√2 βRsh Pk
Vc =
β+1

がある。

β−1
β+1

(4.16a)なので、投入パワー Pk と Vc の関係は式 (4.1) からに投入されてる場合を考える。この時、上で定義し

Γc =

Pk

(4.15)となる。

この式から分かるように、β = 1 の時は反射は０で、入力パワー Pk がすべて空洞内で消費されることになる。反射率 Γ は RF 計測器で容易に測定できるので β は容易に分かり、容易に調整できる（ような構造が入力結合器には必要、ただし超伝導空洞は事情が異なる）。

β = 1 は式 (4.13) から、自由振動による減衰時（Pk = 0）に空洞内損失と外部に出ていく電力が等しくなる結合度（Pext = Pc ）である。この場合に、入力されるパワーはすべて空洞内で消費できることになる。そうでない場合は反射して無駄なパワーが生まれる。ただし、ビーム加速運転では β = 1 でなく、

1 より大きな値に設定する（後述参照）。

10(4.17)なり、その節（電場の short、磁場は open）となるヶ

5 等価回路による加速空洞の特性

所を基準にすることを意味する。単に共振器の基準

この章では、後にビーム加速による負荷を考える

面の（等価回路上の）定義なので、運転上は実際のシ準備として、共振器のインピーダンス特性（位相／振ステムでどこが detuned short 面か？と考える必要

幅の周波数依存性）について等価回路モデルを用いは通常ない。

て説明する。
このテキストでは省くが、別途、導波管伝送路（分空 洞 の 周 波 数 特 性（ 入 力 イ ン ピ ー ダ ン ス ）は

布定数回路、立体回路）の理論についてもマイクロ波

Maxwell 方程式等の電磁場解析から導き出される

工学の教科書等（OHO テキストでは、文献 [22] なが（過去の OHO テキスト参照）、実用上ほとんどのど）で勉強して頂くことをお勧めする。

場合、等価回路による特徴を知っておくことが有用
になる。

5.1

共振回路の入力インピーダンス

図 5.1 において、Ik は RF ソース（空洞への入良く知られるように、共振器回路は、抵抗、キャパ力）を表し、それにより空洞電圧 Vc が励起される

シタ、インダクタ（それぞれの定数を R, C, L）の並とする。この場合、等価回路で入力側から見た空洞列回路で表せる。ただし、実際のシステムでは、図インピーダンス Zin (ω) = Vc (ω)/Ik (ω) は、普通に4.1 のようにクライストロンからの電力は導波管伝送

R0 , R, 1/jωC, jωL の並列回路のインピーダンスを路を経由し入力結合器を介して接続される。空洞か求めれば良い。

らの反射パワーはクライストロンには影響しないよ
うになっている（サーキュレータによりダミーロー

ここで、空洞パラメータと回路定数とにはドに吸収される）。このような場合、最終的に空洞の等価回路は図 5.1 のように表すことができる。ここ√

Rsh = 2Rで共振周波数は ω0 = 1/ CL である。詳細は参考文
献 [1, 20, 21] 等を参照して頂きたいが、このテキスト

Q0 = ω0 RC = R

ではこの結果を利用して以下の話を進める。

(5.1a)pC/L

β = R/R0(5.1b)(5.1c)

detuned short面

投入RF

空洞

Zc

Zin
Ik

R0

R0 =

図 5.1

R

C

R
β

ω0 =

の関係があり、これらを用いると Zin (ω) は1
CL

Zin (ω) =L

Vc=

Rsh /2Q0


1
ω
ω0
+j
−
QL
ω0
ω
Rsh /2(β + 1)


ω0
ω
−
1 + jQL
ω0
ω

(5.2)

と表すことができる。また、detuned short 面から右空洞共振器の等価回路側を見た共振器のインピーダンス Zc (ω) は、
図 5.1 中の detuned short 面とは、共振器の基準

Zc (ω) =面を定義するものである。これは共振周波数から完
全にずれ全反射している場合、導波管内は定在波と

11

Rsh /2ωω0
1 + jQ0
−
ω0
ω

(5.3)

振周波数に比べてピーク幅が十分に狭い）という条件（∆ω/ω0 ≪ 1）のもと、となる。
ここで、式 (5.1a)(5.1b)(5.1c) の関係について簡単

ω02∆ωω + ∆ω
−∼ω0ω + ∆ω
ω0に補足しておく。その場合、共鳴状態 ω = ω0 を考え

(5.5)

る。
と近似している。
まず、共振器内で消費される電力 Vc2 /2R と、式 (4.1)に示す Rsh の定義（空洞消費電力）から、式 (5.1a)

次に位相 ψ（図 5.2 下）についてである。図のようの関係が分かる。

に共振点で 0 になる（純抵抗に見える）が、共振点からずれると、励起電圧の位相は入力位相に対し ψ ず

次に静電エネルギー CVc2 /2 と、式 (4.5) に示す Q0れる。また、ψ について、式 (5.2) からの定義（蓄積エネルギーと消費電力の関係）から、式(5.1b) の関係になる（微分方程式の関係から導いて
tan ψ = tan(ℑZin /ℜZin )

も良い）
。


= −QL

式 (5.1c) については、入力結合度 β が式 (4.13) より、入力がない時に Pext と Pc の比（R0 と R で消

ω
ω0
−
ω0
ω


(5.6)

費される電力の比）であることから、この関係が分かる。また、後で説明するように反射係数との関係に

Zin (ω )なる。
ではここで、式 (5.2) に従って、空洞インピーダン

1
2

2Δω

スの周波数特性の特徴を簡単に説明しておく。以下Δω =に述べる特徴は、後述するビーム負荷を理解する際に有用になる。
図 5.2 は、励起周波数 ω を横軸にして Zin をプω0

ロットしたものである。図の上側が振幅 |Zin | のプ
ロットで、下側のプロットが位相 ψ = arg(Zin ) =arctan(ℑZin /ℜZin ) であり、tuning 位相（tuning 角）とも呼ばれる。

π2

振点（ω = ω0 ）でピークを示す釣り鐘型の形になる。

√

4

ψ：-90°~90°−π 4数の幅（共振周波数から差）∆ω は Q 値に比例し、

−
ω0
2QL

⎛ω ω ⎞tan ψ = −QL ⎜⎜ − 0 ⎟⎟⎟
⎜⎝ ω
ω ⎟⎠
0

0

そして、ピークの 1/ 2（パワーで半分）となる周波

∆ω =

ω

ψ
π

インピーダンスの大きさは、図 5.2 の上のように共

ω0
2QL

π
2

ω0

ω

(5.4)
図 5.2 共振回路インピーダンスの周波数特性（振幅／位相）の関係がある。ただし、ここで Q 値は十分に高い（共12であることが分かる。従って、全周波数範囲で π/2ンスの大きさ（すなわち励起電圧）は共振点のピーから −π/2 の範囲で変化する。式 (5.6)(5.5) から、

クより cos ψ で小さくなることが分かる。そして、共振点（ω = ω0 , ψ = 0）の周りでは位相変化がほω → 0（ψ → π/2）あるいは ω → ∞（ψ → −π/2）

ぼ直線で、その傾きは Q 値に比例すると言える。更で 0 となる。

に、図 5.2 下のように ω = ω0 ± ∆ω において位相（tuning 角）は ψ = ±π/4 となる。

以上のように、共振点すなわち励起される電圧 Vcの位相が入力信号 Ik の位相と一致する（ψ = 0、すここで、式 (5.6) を用いて式 (5.2) を変形すると

なわち純抵抗に見える）場合に最も効率良く電力が伝わる。また、共振点からずれた場合、Vc の位相はZin は、

入力位相から ψ だけずれて（tuning 角を持ち）、そZin (ω) ==Rsh cos ψ jψ·e2(β + 1)

(5.7a)Rsh· (1 + ejϕ )4(β + 1)

(5.7b)の電圧はピークより cos ψ で小さくなる。これらの点は当たり前の話とも言えるが、後でビーム負荷を考える場合に重要なポイントになる。

5.2となる。ただし、ここで ϕ = 2ψ である。

共振回路の反射特性

ここで、共振回路の反射特性（周波数依存性）について説明する。この講義のテーマにおいては、実用

上式より、ω を変化させた時の Zin (ω) の軌跡を複上あまり必要になることはないが、反射特性に関す

素平面にプロットすると、図 5.3 になる。これは図る記述は他にあまり見ないので、蛇足ながら紹介し

5.2 の２つのプロットを、ω で parametric plot したておく。

ものに相当する。このように周波数を 0 から ∞ まで変化した時に、Zin は時計回りに、原点で Im 軸に接する円を描く。

Im

ω0-Δω

ω
ω=
0 or ∞

Rsh cos ψ
2 (β +1)ψZ in (ω )図 5.4 特性インピーダンス Z0 の伝送線路を負荷
インピーダンス ZL で終端

ω0

φ

Re

Rsh
2 (β +1)

まず一般論として、図 5.4 に示すように、伝送線路（特性インピーダンス Z0 ）が、負荷インピーダンス

ZL で終端されている場合を考える。負荷への入射電

ω
ω0+Δω
図 5.3

圧、電流および反射電圧、電流をそれぞれ Vi , Ii , Vr , IrωΔω = 02QLとすると、反射係数 Γ = Ir /Ii は、

共振回路インピーダンスの複素平面での軌跡Γ=ZL − Z0
ZL + Z0(5.8)

図 5.3 あるいは式 (5.7a) から分かるように、共振である。この式は、以下に示す特性インピーダンス

点からずれると、tuning 位相 ψ に応じてインピーダ

13の定義と、終端における電圧電流の関係から容易に

Im

出てくる。

反射係数Γｃω
Vi = Z 0 I i
Vr = Z 0 I r
Vi + V r = ZL (Ii − Ir )

Γ c (ω )

(5.9)

ψ

φ

Re

θ

ω0

ここで、空洞の等価回路（図 5.1）から Z0 = R0 ,ZL = Zc として式 (5.8) に代入し、式（5.3) から空洞の反射係数 Γc (ω) を求めると、

Γc (ω) ==ω＝0 , ∞：short端�(Γ = -1）

Z c − R0Z c + R0
−1
β
+
· ejϕ
β+1 β+1

図 5.5
共振器の反射係数 Γc (ω) の複素平面プ
ロット（ω 変化による軌跡）(5.10)
パワーがパルス的に変化した場合の応答について簡が得られる [23]。ここで式 (5.1a)(5.1b)(5.1c) の関単な例を（特に反射について）紹介する。

係も当然利用している。式 (5.10) はわりとシンプルな形になっている。しかし、この形を導くのはそう

簡単のために共振周波数は投入 RF 周波数と一致

単純ではないので結果のみを記している。

している場合（ω0 = ωrf ）について示す。また、以下

上記の式 (5.8)(5.10) において、共振点 ω = ω0（ϕ =に示す図は、Q0 = 140000 として、第 10 章で説明す

0）では、式 (4.15) に示す入力結合度 β と空洞反射

る過渡的応答の時間領域シミュレーションによる結の関係になることが分かる（そうなるように等価回果である。RF 周波数は 500MHz で、入力位相を 0

路が定義されている）。

度としている。

式 (5.10) より、複素平面に Γc (ω)（ω 変化による

まず、RF パワーが 0 の状態から、ステップ的に軌跡）をプロットすると、図 5.5 のように円を描く。

空洞入力が立ち上がった場合である。図 5.6 および原点からの距離が反射の大きさに相当する。この図

図 5.7 は、投入 RF の振幅（電圧 Vk ）が t = 0 でからも共振点では反射が最少になることが分かる。

0→1 と変化した場合について示している。それぞ

β = 1 の場合共振点で反射 0 になるが、離調されるとれ、オーバーカップリング（β = 3）、アンダーカッ

反射が起きる。ω → 0 または ω → ∞ では Γ → −1、プリン（β = 0.8）の場合を示す。横軸は時間で、空すなわち全反射で位相が逆なので short 端に相当す

洞電圧 Vc と反射振幅 Vr （左縦軸）、および反射位相る。また同様に、β → 0 で short 端、β → ∞ で open端となる。図中の θ = arg(Γc (ω)) が（入力に対する）（右縦軸）の時間応答を示している。

反射位相である。β < 1（アンダーカップリング）で

ここで、振幅（左縦軸）は電力比に対する（パワーは反射位相が逆になる。

5.3の root に対応する）振幅で、過渡的応答

Vk2 = Vc2 + Vr2

これまでの話では、定常状態になった場合について説明している。ここでは、空洞（共振器）への投入

14(5.11)

Cavity Input
Caviyt Volt.
Reflection

Reflection Phase [deg.]

2.0

一方、反射については、瞬時には空洞にパワーは
180

反射位相

Amplitude

1.5

入力(Vk)

1.0

0.5

0.0

0

90

空洞(Vc)

Vc = Vk 1− Γ 2

反射(Vr)

Γ=

40

80

120

β −1
β +1
160

入らないので、まず全反射する。そこから徐々に（ﬁlling time に従って）反射が下がり（空洞内消費がReflection Phase [deg.]

β=3（オーバーカップリング）

増えて）、最終的には定常状態の反射係数（式 (4.15)）に落ち着く。ただし、オーバーカップリングの場合
は、図 5.6 のように、定常状態になる前に反射が 0になる瞬間がある。これは、最初は空洞内消費電力（Pc ）が小さいためアンダーアップリングのようみ見えて、そこから β = 1 を通過して、定常状態（この例では β = 3）に移行するためである。そのため、反0

射が 0（β = 1）になる点で、反射位相が 180→0 と反転しているのが分かる（図 5.5 参照）。逆に、アンTime [µs]ダーカップリングの場合は β = 1 を通過しないので、

図 5.6 ステップ入力に対する空洞の応答（オーバーカップリングの場合）

図 5.7 のように、反射が 0 にならずに定常状態（この例では β = 0.8）の反射係数に落ち着く。

Cavity Input
Cavity Volt.
Reflection

Reflection Phase [deg.]

2.0

β=0.8
（アンダーカップリング）

入力(Vk)

1.0

90

Vc = Vk 1− Γ空洞(Vc)
0.5

β −1
Γ=
β +1

反射(Vr)
0

50

100

2

150

200

250

図 5.8 および図 5.9 は、t = 800µs で、Vk が 1→0 と変化した場合の立ち下がりの例である。立ち上がり

Reflection Phase [deg.]

1.5

Amplitude

れた場合（入力 RF を oﬀ した瞬間）について示す。

180

反射位相

0.0

次に、定常状態たから、RF 投入パワーが瞬時に切の場合と同様に、それぞれ、オーバーカップリング（β = 3）、アンダーカップリン（β = 0.8）の場合について示している。
図から、空洞電圧 Vc は、立ち上がり同様、ﬁlling

time に従って exp で減衰する。一方、反射について
は、投入 RF パワーが切れた（Vk が 0 になった）瞬0
300

間に跳ね上がっているのが分かる。これは、反射とTime [µs]言うより、空洞の蓄積エネルギー U の一部が結合度

図 5.7 ステップ入力に対する空洞の応答（アンダーカップリングの場合）

β に応じた量で放出されたものである（残りは空洞内で消費される）。
では、この反射の跳ね上がり（蓄積エネルギーの放となるように、シミュレーションで定義している。

出量）はどのくらいになるか考える。第 4.2 節で説従って、他の節で用いる記号と定義が異なるこに注明したように、RF 入力がなくなって自由振動で減衰

意して頂きたい。

する時、空洞内の消費パワー（Pc ）と入力結合器から出ていくパワー（Pext = Pr oﬀ ）の比が、入力結合

図 5.6 および図 5.7 を見ると、空洞電圧 Vc は QL =度になる（β = Pext /Pc ）。ここで、投入 RF パワー

Q0 /(β + 1) に応じた時定数（ﬁlling time= 2QL /ω0 ）Pk が 0(oﬀ) となる瞬間（直前）の Pc について考え

で、exp で立ち上がることが分かる（第 9.2 節も参ると、式 (4.16b) より、

照）
。

15

Cavity Input
Caviyt Volt.
Reflection
2.0

Reflection Phase [deg.]

β=3（オーバーカップリング）

入力(Vk)

1.0

90立ち上がり／立ち下がり

空洞(Vc)

時定数

2QL
τ=
ω

反射(Vr)

0.5

ワー（蓄積エネルギーの放出量）は、オーバーカップ
リングでは元の入力パワー（あるいは立ち上がり時

Reflection Phase [deg.]

Vr _ off
2β
=
Vk
β +1

1.5

Amplitudeである。これより、入力 RF が切れた瞬間の反射パ
180の全反射）より高くなり、逆にアンダーカップリング
では低い。

RF 入力がなくなった後の減衰時の位相を見てみると、空洞から外に出るパワーの位相は（共振周波数が合っていれば）空洞内の振動位相と同じになる。

反射位相

0.0
700

750

そのため、アンダーカップリングの場合（図 5.9）で
800

850

900

0
950

は、定常状態の反射位相が 180 度なので、減衰時には 0 度に反転したように見える。

Time [µs]図 5.8 入力 RF が瞬間的に切れた時の空洞応答（オーバーカップリングの場合）

以上の通り、実際の大電力での RF 運転でも、ス
テップ的に入力 RF を立ち上げ／立ち下げた際の、反射パワーまた反射位相の振る舞い（過渡的応答）か

Cavity Input
Cavity Volt.
Reflection Amp

Reflection Phase [deg.]

2.0

ら、オーバーカップリングかアンダーカップリング
かの判別ができる。また、この時の入力パワーとの180

比を具体的に測定することで、結合度 β も評価でき

反射位相

Amplitude

入力(Vk)

1.0

0.5

空洞(Vc)

Vr _ off
2β
=
Vk
β +1

90

反射(Vr)

る。もちろん、定常状態の反射係数からも β は評価

Reflection Phase [deg.]

β=0.8（アンダーカップリング）

1.5

できるが、立ち下がりの反射ピークを測るほうが精
度は良い。

0.0
0
700 750 800 850 900 950 1000 1050 1100

Time [µs]図 5.9 入力 RF が瞬間的に切れた時の空洞応答（アンダーカップリングの場合）

Pr oﬀ
Pext
βPc
4β 2
=
=
=
Pk
Pk
Pk
(β + 1)2(5.12)となる。従って、振幅比（反射係数）にすると、

Vr oﬀ
2β
=
Vk
β+1

(5.13)
16

最大で、高い周波数では Gaussin（バンチ長の周波数

6 ビーム負荷に対する最適化成分）に従って減衰する。

これまではビームがない状態について説明してきた。しかし、ビームにエネルギーを与えるのが本来

ib ( t )の目的であるので、ビーム加速による負荷を考える
必要がある。いわば、ここまでの話が前置き（準備）で、ここからが本講義のテーマと言える。

⎛ t2 ⎞
i p exp ⎜⎜− 2 ⎟⎟⎟⎜⎝ 2σ ⎟⎠
t

ip
2σt

σt =

σz

c

ビーム負荷とは、ビームに奪われるエネルギーの負担（補償）とも言えるが、ビーム自身による電磁t場の励起で加速電圧が乱されることとも言える。粒子ひとつひとつが空洞に励起するエネルギーは、当Tb

然加速ゲインに比べて十分小さいが（第 7.3.2 節参
図 6.1

照）
、その粒子の数（例えば一つのバンチ内に 1010 〜

Gaussian バンチ・トレイン

1011 個の粒子）、すなわちビーム電流が問題になる。
SuperKEKB のような大電流ビームを加速する場合

ib (ω )

は、必要な加速電圧を得るための電力（すなわち空洞
壁面で消費する電力）より、ビームによる励起の影響

2π
Tb

σω =

2I b

が大きくなり、このビーム負荷（beam loading）を

1
σt

考慮せずに運転はできない。

( >5GHz for SuperKEKB)⎛ ω 2 ⎞⎟⎟
2I b exp ⎜⎜−⎜⎝ 2σ 2 ⎟⎟⎠ω

この章では、ビーム加速による空洞電圧への影響とビーム負荷への対応方法について説明する。まずそのために、等価回路モデル（インピーダンス）で、ビーム電流の周波数領域（ビームが空洞に励起する

図 6.2

周波数成分と大きさ）を考える必要がある。

ω

0Gaussian バンチ・トレインの周波数スペクトル

等価回路上でビーム電流は、RF と同じ周波数成分

図 6.1、図 6.2 ついて、もう少し詳しく説明しておで、その大きさを平均電流の 2 倍とすれば良い（図く。バンチの形は Gaussian（幅 σt ）を仮定し、それ6.4 のようになる）ことを次節で示す。ただし、そのぞれのバンチに違いはないとすると、ビーム電流の結果だけ踏まえれば、次節はスキップして、第 6.2 節

時間変化 ib (t) はに進んでも問題ないかと思う。

6.1

∞
X



(t − nTb )2
ib (t) =ip exp −2σt2n=−∞

ビームの周波数スペクトル

クライストロンからの RF パワーと異なり、ビー√
q = ip πσt 2 = Ib Tb

ムは図 6.1 のようにバンチ（パルス）列となって一(6.1a)(6.1b)

定間隔で周期的に通過する。これを周波数領域に表すと図 6.2 のようになる [20, 21]。図 6.2 のスペクト
ルの周期的なピークは、幅を持たない線スペクトルと書ける。ここで、Tb はバンチの時間間隔、ip はピー

で、全体として comb 関数的であることに注意。まク電流、q はバンチの電荷量、Ib は平均電流（DC 成分）である。また、ib (t) = ib (t + nTb ) である。こた、スペクトルの高さ（包絡線）は平均電流の 2 倍がのように周期的な信号は

17

つ周波数成分は RF 周波数に比べて十分高い。これ

ib (t) =ib (ωn ) =より、ωrf σt ≪ 1 とすると、ビームが空洞内に励起す∞
1 X
ib (ωn )ejωn t
2 n=−∞2Tb

Z Tb /2−Tb /2(6.2a)

ib (t)e−jωn t dt

ωn = 2πn/Tb

る成分は、式 (6.4) より(6.2b)

ib (ωn ∼ ωrf ) ∼ 2Ib exp

2 2
−ωrf
σt
2



∼ 2Ib

(6.2c)(6.5)となる。この式 (6.5) がこの節の結論である。

の よ う に フ ー リ エ 展 開 で 表 せ る 。そ こ で 式(6.1a)(6.1b) と上式の関係から ib (t) は
以上、いろいろと記述したが、結局のところこの節

ib (t) = Ib +∞X
2Ib expn=1−ωn2 σt22

で伝えたい内容はシンプルで次の通りある。

cos ωn t

図 6.4 の等価回路モデルにおいて、ビーム電流は

RF 信号と同じ周波数成分として扱い、その大きさ(6.3)（振幅）は 2Ib （平均電流の 2 倍）とすれば良い。また、ビームの持つスペクトルは、幅のない線スペクトと表せる。ただし、ここで ib (t) は実数関数であり、ルで、バンチ間隔に従って周期的（櫛形スペクトル）

また偶関数として、正の周波数のみで展開している。

になる。

また、式 (6.3)(6.2b) より、ビームの周波数スペクト
ただし、バンチ・トレインが周期パルス的に空洞にル ib (ωn ) は励起するフィールドについては、より一般的な議論−ωn2 σt2
ib (ωn ) = 2Ib exp
2


−ωn2
= 2Ib exp2σω2

があり、詳細は参考文献 [1, 20, 21, 24] などを参照して頂きたい。

(6.4)

6.2

ビーム負荷と Optimum Tuning

まず、図 6.3 ように、synchronous 位相 ϕs で加速σω = 1/σt

されているものとする。ここで空洞電圧 Vc の振幅と位相は変化せずに一定に保たれている（制御されている）とする。ちなみに蓄積リングの場合、ϕs は、ビーとなり、これを図にすると図 6.2 になる。

ムの一周における放射損失 U0 と釣り合うように、自然に決まる電圧位相である。従って U0 = eVc cos ϕs

以上より、ビームの持つ周波数成分は、図 6.2 に示す通り 2π/Tb 間隔の線スペクトル（櫛形スペクトル）

である。

で、その高さの包絡線は 2Ib exp(−ω 2 σt2 /2) である。
ちなみにバンチ間隔は必ず RF 周期の整数倍なので、

ωrf = mωm = 2πm/Tb （m は整数）と書ける。

ビームを加速している場合の等価回路モデルは図6.4 のようになる。前節の結果より、励振するビーム
電流の大きさは、平均電流 Ib の 2 倍である。ただし、

ここで、ビームが空洞内に励起する周波数を考え加速するので加速電圧を打ち消す方向になる。こうる。通常（電子陽電子蓄積リングの場合）空洞イン

して以降の話は、励振周波数は RF 周波数 ω = ωrf

ピーダンスの幅は十分に狭い（Q 値は十分に高い）のとして、励起される電圧は、ωrf に対するインピーダ

で、加速周波数の周りだけを考えれば良い（ここで高ンス応答の大きさ（≥ 0）と位相だけで（複素平面の次モードは考えない）。また、Gaussian バンチの持ベクトルとして）考えることができる。

18

Vc

U 0 = eVc cosφs

0

ムがない場合）である。ここで当然ビームがなけれ

ωrf t

Tail

head

である。これをベクトル図に表したのが図 6.5（ビー

Vbr

bunch

φs

ば Vc = Vkr である。この時の Vc を必要な定格電圧
として、これを（位相も含め）Vref とする。

On - resonance

図 6.3 synchronous 位相 ϕs で加速電圧に乗るバ
ンチビーム

ωrf t

e

jωrf tVc = Vk = Vkr =ωrf t −φs
空洞

入力RF

Ik

ω0 = ωrf

R0

R0 =

R

ビーム励起

Vc

R
β

Vref

-2Ib

L

C

Rsh I k≡ Vref2 (β +1)e

Vrefj(ωrf t−φs )Vc = Vk + Vb
図 6.5 ω0 = ωrf においてビームがなく Vc = Vkrの場合。これを加速に必要な定格電圧と位相（基準
電圧 Vref ）とする。

図 6.4 空洞共振器の等価回路モデル（ビーム加速の場合）

ここで交流電流源から供給できる最大電力を考えそうすると空洞電圧 Vc は、クライストロンからのると Pk = 1/8 · RIk2 /β の関係にあり [20]、これと式投入パワーによる電圧 Vk と、ビームが励起する電圧(6.7) から改めて式 (4.17) すなわち投入電力 Pk と励

Vb の和、すなわち、起電圧の関係が得られる。ここではビームがないので Vc = Vkr として、改めて式 (4.17) の関係を書く

Vc = Vｋ + Vb

と、

(6.6)

である（それぞれの電圧は位相を含むベクトル量）
。

Vkr =

ここでまず、共振周波数が RF 周波数に一致して√
2 βRsh Pk
β+1

(6.8)

である。

いる場合（ω0 = ωrf ）を考える。この共振点（入力位相と同じ、すなわち ψ = 0 の場合）における Vk ,Vb

次に、ビームが励起する電圧の大きさ Vbr についをそれぞれ Vkr ,Vbr とする。

ても同様に、等価回路でビームから見たインピーダ
ンスは Zin と同じなので、式 (5.2) から、

この場合、クライストロンからの投入 RF が励起する電圧の大きさ Vkr は、空洞入力インピーダンス（式 (5.2)）の関係から、

Vkr =

Vbr =
Rsh Ik2(β + 1)

(6.7)

Rsh Ibβ+1(6.9)となる。ただし、synchronous 位相 ϕs の分、Vkr と19

Vb = Vbrは位相が異なる（図 6.3 参照）。ここで Ik が一定

ω0 = ωrf（フィードバック制御なし）であれば、式 (6.6) の通り Vkr との合計（ベクトル和）を考えると、Vc は図

6.6 のようになる。結果 Vc ̸= Vref であり、また Vc

Vbr cos φs

Vc でなす角（αL ）を loading angle と言う。

R I
Vb = Vbr = sh b
β +1

φs

Vc Vbr cos φsφsは定格電圧 Vref より下がってしまう。ここで Vkr と

αL

Vref

Vk = VkrVc

図 6.7 ω0 = ωrf において、ビームに対して Vc を一定（=Vref ）に保つために Ik を制御した場合。

ω0 = ωrf

αL
Rsh I kVref
Vk = Vkr =2 (β +1)

Vref
Vkr cos αL = Vc + Vbr cos ϕs(6.10)であることが分かるので、これと式 (6.8) から

図 6.6 ω0 = ωrf において、RF 投入による電圧
Vkr とビーム励起電圧 Vbr との合計。

2(β + 1)2 Vc + Vbr cos ϕs
Pk =
4βRsh
cos αL

(6.11)

このように、ビーム加速（ビーム負荷）により Vc
が変わってしまう（加速電圧が下がり、位相も変わっとなる。

てしまう）と、結果ビーム位相も変わり（図 6.6 は維持されず）ビーム蓄積ができなくなる（もしくはこの式を αL について見ると、もし αL = 0 であれ別の平衡状態になる）。それは非常に不都合である

ば Pk が最少になる。この点について、等価回路インため、通常フィードバック制御等により、Vc を一定

ピーダンスの話（第 5.1 節）を踏まえると、次のよう（=Vref ）に保つように Ik を制御する。その結果は図にも言える。RF 入力（Ik ）から見ると励起電圧 Vc

6.7 のようになる。この場合、当然、図 6.6 に比べてが αL だけ位相がずれている（ω0 = ωrf にもかかわ大きな Vk （Ik ）となり、その分大きな電力が必要にらず共振点に見えない）ため、入力パワーが効率良くなる。

消費されずに無駄な電力が生じている（力率が低下
している）。これはビーム電流（位相 ϕs ）により無効

ちなみに、図 6.6 や図 6.7 のように、電圧の関係

成分が生まれていることになる。

をベクトルで表したものを phasor diagram と呼んでいる。ただし、通常このような phasor diagram でこれに対し効率化を図る（力率を改善する）ことがは、ビーム電流を基準軸（横軸）に描くのが一般的で必要になる（大電流ビーム加速では高効率化は非常ある。本テキストでは、あえて図のように定格電圧に重要である）。つまり αL = 0 になるような条件にを基準に描いた phasor diagram で説明を試みる。

することである。その方法は、結論から先に言えば、空洞の共振周波数を RF 周波数からずらす（detune

さてここで、図 6.7 の状態において RF 投入パワー

する）ことである。では、どれだけ detune すれば良を求めてみる。それぞれのベクトルの大きさについいか？を以降に示す。

て、この図から、20

ある最適な detune 量 ∆ωopt で共振周波数を変えた（ω0 = ωrf + ∆ωopt とした）場合に、αL = 0 か
つ Vc = Vref になる条件が成立するとする。この場
合の phasor diagram は図 6.8 のよう描くことができる。ここで Vkr を図 6.7 と比較すると、必要な電Vk = Vkr cos ψopt

(6.13a)Vb = Vbr cos ψopt

(6.13b)2
力（Pk ∝ Vkr）はかなり小さくなっていることが分かる（差は小さいように見えても電力の効果は大きの関係にある（cos は偶関数なので ψopt の符号は気い）。この時、ωrf で励振した場合の tuning 角 ψoptにしない）。また、Vc = Vk + Vb （= Vref ）なので、は、式 (5.6) から

図 6.8 を見ると、ベクトル成分から、

tan ψopt = −QL∼ωrfωrf + ∆ωopt−
ωrf + ∆ωopt
ωrf

2QL ∆ωoptωrf

Vc = Vk cos(−ψopt ) − Vb cos(ϕs − ψopt )(6.14a)Vk sin(−ψopt ) = Vb sin(ϕs − ψopt )(6.14b)(6.12)の関係が成り立つ。これらと式 (6.13a)(6.13b) から（三角関数の公式を使って）、である。ここで式 (5.5) と同様の近似を行なっている。ただし位相は反時計回りを正の方向とするので、

tan ψopt = −この図 6.8 では、ψopt が負の方向になっていること

Vbr sin ϕs
Vc(6.15)に注意。
が 得 ら れ る 。こ れ よ り 最 適 な detune 量 は 、式

(6.12)(6.9)(4.14) より

Vb = Vbr cos ψopt

Vb

Vbr

tan ψopt =2QL Δωopt
V sinφs= − brωrfVc

ωrf Vbr sin ϕs
2QL Vcωrf Ib Rsh=−
sin ϕs2Vc
Q0∆ωopt = −

−ψopt

φs

αL = 0Vbr cos φs

−ψopt

Vc

Vkr

Vref

Vbr cos φs(6.16)とすれば良いことになる。このように空洞 detuning
により αL = 0 にして無効成分をなくすことを、

Vk = Vkr cos ψopt
図 6.8

optimum (de)tuning と言う。

Vk

以上の説明では、答えを知っているので、簡単のた

αL = 0 になるように最適に detuning し、め先に αL = 0 の図を示して関係式を出したが、一般

Vc = Vref となった場合。

的には、αL ̸= 0 におけるベクトルの関係から方程式を立てて、αL = 0 の条件から、式 (6.15) を出す。

ここで RF 入力およびビーム電流に対して励起される電圧（ベクトル Vk , Vb ）は、それぞれ図 6.8 のよ式 (6.16) より最適な detune 量はビーム電流に比

うに共振点の時（Vkr , Vbr ）から位相が ψopt ずれて例し、（電子陽電子リングの場合）必ず ωrf より小さいる（第 5.1 節参照）。また、大きさは共振点に対しくなる方向である。また optimum tuning は、後述

cos ψopt で小さくなるので、Vk 及び Vb は、それぞれする結合バンチ不安定性（0 モード）を抑制する効果

21

がある。




しかし実際の運転では、いちいち式 (6.16) を計算し



Pk

てチューナーを動かしているわけではない。チュー

Pr

入力結合器

結合度：β



ナー制御は常に、空洞入力（Ik ）と空洞ピックアップ信号（Vc ）の位相差を 0 に保つように自動制御

Ib（フィードバック制御）を行なっているため、ビーム

電流に応じて自動的に αL = 0 が満たされ、自然と

Vc



Pb



optimum tuning が実現される（ただしビーム不安定

Pb = I bVc cos φs

Pc

性を考慮すると多少 αL < 0 にオフセットしておくのが無難である [25, 26]）。従って、実際の運転中に

optimum tuning を意識することは少ない。しかし、
detuning 量がどのくらいになっているか定量的に知図 6.9 RF 入力パワーとビーム加速における消費パワーの関係。

ることは必要である。
ように見え、β < 1（アンダーカップリング）に相6.3 Optimum Coupling と RF パワー

当する状態になるためである（β の定義式（4.13) 参

効率化は、前節の optimum tuning だけでは不十照）。その結果（Vc すなわち Pc を保つためには）式

分で、更にビーム電流に応じて入力結合度（β ）を最(6.18) より多くの Pk が必要になる。

適化する必要がある。この β の最適化について説明する。

上記のように、RF 入力から見て Q0 、及び β が、
ビーム負荷により Q′0 、β ′ に変わったように見えると

第 4.1 節で述べたように、加速電圧 Vc を維持する

すると、式 (4.5)(4.13) より、ために、最低限の電力 Pc が必要である。
またビームは Vc cos ϕs の加速電圧を受けるので、ビーム（平均電流 Ib ）に与えるパワー Pb は、

Pb = Vc Ib cos ϕs(6.17)Q′0 =ωU
Pc Q 0=
Pc + Pb
Pc + Pb

β′ =

Q′0
βPc
=
Qext
Pc + Pbと書ける。ここでビーム加速時にマッチングする条である。ここで、空洞供給に必要な RF パワー Pk は件、つまり β ′ = 1 になる β を βopt とすると、上の式から

Pk = Pc + Pb + Pr

(6.18)
βopt = 1 +になる（図 6.9 参照）。この時、Pr = 0 であれば、すPbPc(6.19)

なわち必要なパワーが Pk = Pc + Pb だけで済めば理想的である。

が得られる。これを optimum coupling という。この条件は、一般的には式 (6.11) から β をパラメータ

ところが、最初に β = 1（ビームなしの時に反射がにして、RF 投入パワー Pk が最少になる条件

0）に合わせても、ビームを加速した際には反射が生じてしまう。なぜなら RF 入力側から見ると、ビー
ム負荷により Q0 が下がった（Pc が Pb だけ増えた）

22

∂Pk
=0
∂β

(6.20)

空洞パラメータ

常伝導空洞

超伝導空洞

Rsh /Q0 [Ω]

15

93

Q0

1.2 × 10以上の通り、optimum tuning と optimum cou-

Vc [MV]

0.5

1.5

pling の両方を行なうことで、式 (6.18) の最適条件

Pc [kW]

150

0.012

β

5

QL

2 × 10より導かれる。

（反射 0）を満たすことができる。
しかし、空洞の入力カップリング β は通常、運転中

2 × 1095

6 × 1044

表 6.1 SuperKEKB デザイン値における空洞パラ
メータ例

リアルタイムで変更できるパラメータではない。一度調整したら、固定値のまま運転するのが一般的である。従って最初にデザイン電流値に合わせて固定しておく。
一方、ビーム電流（Pb ）は 0 からデザイン電流値となり、非常に大きな結合度が必要になる。また、この場合 β ≫ 1 なので、式 (4.13)(4.14) から、まで長い時間をかけて積み上げていく。また運転状
況に応じて常に変化する。従って、デザイン電流までは optimum coupling が満たされない（反射があQL =る）。それでも Pb が最大になる時に最適化しておく

Q0
Q0∼= Qext1+ββ(6.22)

ほうが都合が良い。
となる。

また、ビーム不安定性の議論からは、このように、超伝導の β は桁が非常に大きくなり

Pb
β>
−1
Pc

扱いずらい（β の値をこの桁の精度で調整できるわけ(6.21)

でもない）ので、結合度は β でなく、式 (6.22) の関係から Qext （〜QL ）で表現するのが一般的である。

に制限されることが知られている [21]。従って、β は大きめにしておくほうが良い。ちなみに、式 (6.19)

ではここで、具体的に SuperKEKB の運転で必要の βopt は常に式 (6.21) を満たす。
RF電力[kW]

SuperKEKB の常伝導空洞では、加速電圧 0.5MV
で Pc = 150kW であり、デザイン電流において、Pb =600kW 程度になるめ、βopt = 5 となる。

HERデザイン電流

800

Pc+Pb

Vc=0.5MV, φs=65°
600
400

一方、超伝導空洞の β に関しては注意が必要である。超伝導空洞の場合、1MV の加速電圧で Pc は

Pk

200

10W 程度である（例えば、Rsh /Q0 = 100, Q0 = 109の場合）。それに対し Pb は、synchronous 位相 ϕs =Pr
0.560◦ で 1A のビーム電流を 1MV で加速したとする

Pb

Pc

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ビーム電流 [A]と、 Pb =500kW 程度である。この場合、optimum

coupling は、

βopt = 1 +

図 6.10 optimum tuning ＆ optimum coupling
条件において常伝導空洞（ϕs = 65◦ ）で必要な RF
パワー（SuperKEKB の HER 運転の例）

Pb
500[kW]=1+∼ 5 × 104
Pc
10[W]
23

RF電力[kW]と仮定して、常伝導空洞で β = 1 の場合を、図 6.12

HERデザイン電流400にプロットした。図を見て分かるように、ビーム電

Vc=1.5MV, φs=85°

流が 0 の時は反射が 0 であるが、デザイン電流に近

300
200

づくにつれ反射が大きくなり, 結果大きな Pk が必要になり、図 6.10 と比べて非常に効率が悪いことが分

Pk

かる。

Pb + Pc

100

また、投入パワー Pk は 1MW 以上必要になり、ク

Pr
0.5

1.0

1.5

2.0

ライストロンの性能を考えても、このような運転は

2.5

3.0

できない。

図 6.11 optimum tuning ＆ optimum coupling
条件において超伝導空洞（ϕs = 85◦ ）で必要な RF
パワー（SuperKEKB の HER 運転の例）。

以上、大電流ビーム加速において、RF パワーの効率化は非常に重要で、また、後述するように、それがビームの安定性にも繋がる。

な RF パワーを見てみる。表 6.1 に主な空洞パラメー

RF電力[kW]タを示す。これに対し、HER の運転における必要なRF パワーを図 6.10、図 6.11 にプロットしてみた。

HERデザイン電流1500

φs=65°

それぞれ常伝導空洞、超伝導空洞の場合で、optimum

tuning、optimum coupling の条件で計算している。

β=1

横軸がビーム電流で、Pk 、Pb 、Pc + Pb 、Pr をそれぞれプロットした。ここで Pk = Pc + Pb + Pr である。
これまで述べたように Vc を一定にするために、Pc は

Pk

1000
500

Pb

Pr

Pc

ビーム電流に関係なく一定である。SuperKEKB で0.5は、常伝導空洞と超伝導空洞で synchronous 位相に

Pc+Pb

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

ビーム電流 [A]20◦ の位相差がつくように運転する（そうする理由はハードウェアの都合上、超伝導空洞のビーム負荷を

図 6.12 図 6.10 に対して optimum coupling でない（β = 1 の）場合。常伝導空洞で必要な RF パ
ワー（ϕs = 65◦ ）。

軽くし、常伝導空洞より投入パワーを低く抑えるためであり、運転・制御における本質的な理由ではない）。
図 6.10、6.11 を見て分かる通り、optimum cou-pling により、デザインビーム電流で反射 Pr がなくなる。また、投入パワーは理想的に Pk = Pc + Pb に近づく。前節で述べたように optimum tuning は自動チューナー制御により常に満たされる。
このように SuperKEKB の常伝導空洞では、ビー
ムパワー Pb は Pc の何倍にもなる。超伝導空洞の場
合は、Pb に比べて Pc が桁違いに小さいので、ほとんどビームに供給するパワーとなる。
では最後に、比較のため optimum coupling を考えない場合を見てみる。ビーム不安定性は起きない

24

Perfect Conductor
完全導体／ビームパイプ

7 結合バンチ不安定性
Cylindrical

円筒座標系
Symmetry

大電流ビーム蓄積リングの加速システムにおいて、必ず考慮しなければならない問題のひとつが結合バ

No
Wakefields Induced
航跡場はできない

ンチ不安定性（coupled bunch instability）である。
この章では、この結合バンチ不安定について紹介すBunched Beam
バンチ・ビーム

図 7.2 導体パイプ中を走るバンチ・ビームが作るフィールドる。特に、加速モードに起因する結合バンチ不安定性について取り扱う。

磁場が励起される。加速空洞にバンチ・ビームが励すでに述べているように、基本的には過去の OHO

起する電磁場のイメージを図 7.3 下に示す。このよ

テキストで多くの偉大な先人たちが詳細を書かれてうに荷電粒子が通過する際に励起されるフィールドいるので、本テキストでは実用上、必要な情報を整理

を航跡場（wakeﬁeld）と言う。

することを主な目的にする。式の導出や証明は、参考文献 [1, 6, 27, 28] などを参照頂きたい。

Dielectric 抵抗損失／誘電体
Wall with a Finite Conductivity
Cylindrical

Symmetry
円筒座標系

7.1 Wakeﬁeld と結合バンチ不安定性
相対論的速度で自由空間を走る荷電粒子（点電荷）が作る電磁場は、図 7.1 のように進行方向に軸対称で前後の広がりが 1/γ に収縮され、光速度（図 7.1 右）の場合は進行方向に垂直な電磁場のみになる [27]。

Wakefields
航跡場（Wake
Field）

Bunched Beam
バンチ・ビーム

完全導体
HOM吸収対加速空洞

完全導体のパイプの中心を走る場合でも（導体中に鏡像電荷が走り）、同様に前後に電磁場を残さない（バンチ・ビームの場合の例を図 7.2 に示す）。

相対論的速度

光速の場合

E

E

図 7.3 ビームが構造体に残す航跡場（wakeﬁeld）のイメージ

このように、バンチ・ビームが励起する wakeﬁeld
1/
v

q

q

により、連続で通過するバンチどうしが相互に影響

v=c

しあい、ビーム振動を増大させてしまう現象を結合
バンチ不安定性という。もちろん実際のビームパイ
プは完全導体ではないが、伝導率の高い導体を使用

r

し、通常その寄与は十分に小さい。
zθ

加速空洞は Q 値が高く（損失が小さく航跡場が長図 7.1 相対論的速度で自由空間を走る荷電粒子（点電荷 q ）が作る電磁場。右は光速度の場合。

く残り）インピーダンスが高いので、バンチ間の相互作用が最も大きい構造体と言える。従って加速空洞は必要不可欠な存在であると同時に、ビーム電流が一方で、ビームパイプ中で大きな損失が起きる物

大きくなると必ず、加速モードによる結合バンチ不質である場合、図 7.3 上のように、電荷が通過した後安定性を起こす存在でもある。

に電磁場が励起される。また、完全導体であっても、空洞のような構造体（不連続部分）があると同様に電一般的に wakeﬁeld の扱いは、ビームに対して、ビー

25

ム軸に平行な力を与える縦方向モード（longitudinal長時間）という。また、その逆数 τg−1 を growth ratemode）とビーム軸に垂直な力を与える横方向モード（成長率）と言う。

（transverse mode）に分けられ、それぞれシンクロト
ロン振動、ベータトロン振動に影響を与える。加速空

一方、ビーム軌道が曲げられる際の放射光には、自洞の加速モード（TM010 モードあるいは monopole

然とビーム振動が減衰する効果がある。この放射光モード）は縦方向だけの力を与えるので、加速モード

で振動が減衰する速さより、不安定性が成長する速による結合バンチ不安定性はシンクロトロン振動のさのほうが遅ければ良いことになる。すなわち、こ増大に繋がる。

−1の放射光減衰率（radiation damping rate）を τrdとした場合、
バンチ・ビームは高い周波数成分を持っているた
め、加速モードだけでなく、空洞共振器の高次モード−1
τg−1 < τrd（HOM）も励起される。これらの高次モードは様々(7.2)

なモード（縦方向成分、横方向成分）があり、結合バ
ンチ不安定性を起こすので、当然、対処する必要が−1であることが基本的な判断条件になる。τrdは軌道ある。通常、高次モードは加速に必要ないので、高光学系からデザイン値が求められる。

次モードのみを空洞から外に逃がす構造を設けたり、吸収体を設置したりして（図 7.3 参照）、高次モード

では、ビーム不安定性の成長率 τg−1 はどのようにのビームへの影響を小さくする（Q 値、インピーダ求められるかであるが、wakeﬁeld を起こす構造体

ンスを下げる）。そのための機構を高次モード減衰器（ここでは加速空洞）の「結合インピーダンス Z(ω)」（HOM Damper）と称する。

（周波数の関数）から評価される。非常に簡単に書くと、

一方、加速に必要な加速モードは減衰させるわけにはいかないので、不安定性を起こす成分のみをキャτg−1 ∝ ℜZ(ωcbi )ンセルさせる必要がある。これが本講義のテーマと

(7.3)

なる。
のような関係にある。ここで ωcbi はビームが持つ周7.2

結合バンチ不安定の評価

波数成分で、不安定性の種類（モード）や振動周波数

結合バンチ不安定性は定量的にどう評価されるか、について先に簡単に言っておく。上記の高次モード

によって決まる。従って、ビームの持つ周波数成分が重要になる。詳細は第 7.5 節で説明する。

減衰器についても、十分な減衰量とはどう判断されるのか？である。それは不安定性が起きた時のビー

次節は、結合インピーダンスについて簡単に説明

ム振動幅（振幅）の「成長の速さ」で評価される。

する。

結合バンチ不安定性が起きると、振動の大きさは7.3

exp で増大する。その場合、振動幅（平衡位相からの具体的な growth rate の評価の前に、wakeﬁeld とズレ）の時間変化 τ̂g (t) は、その時の振動の角周波数

結合インピーダンスの関係について話しておく。

を ω̃s とすると、周波数成分 ω を持つビーム電流 I(ω) により、（空τ̂g (t) ∝ exp

結合インピーダンスと Wake Functiontτg

洞に限らず一般的に）ある構造体に wakeﬁeld が励起

exp (−j ω̃s t)

され、その時の励起電圧の ω 成分 V (ω) について、(7.1)

V (ω) = −I(ω) · Z(ω)

のような形で表せる。ここで、τg を growth time（成

26

(7.4)

r
の関係で表せる場合、この Z(ω) を、この構造体の結合インピーダンスと言う。
Reθ

前節で述べたように、wakeﬁeld はビーム軸方向

q (leading particle)
v=c(test particle)z(r1,θ1,z=ct)(r2,θ2, z=ct-s)（縦方向）とそれに垂直な方向（横方向）の成分に分けられるので、電圧も縦方向成分 V∥ (ω) と横方向成分 V⊥ (ω) とに分けられ、それぞれ対応する結合インs

ピーダンス Z∥ (ω), Z⊥ で次のように書かれる。

V∥ (ω) = −I(ω) · Z∥ (ω)(7.5a)V⊥ (ω) = −I(ω) · Z⊥ (ω)(7.5b)

図 7.4 先行する点電荷（leading particle）が励起した wakeﬁeld を後ろの電荷（test particle）が感じる。

と書ける。ここで ez は z 軸に沿った単位ベクトル、
ここでは加速モードだけを対象としているので、縦方向だけ考えれば良い。

E, B はそれぞれ test particle の位置における電場と磁場（磁束密度）である。

7.3.1 Wake Function

この力を test particle の移動（z 軸）に沿って（時式 (7.4)(7.5a) において励起される wakeﬁeld とイ間の遅れも考慮し）積分すると、test particle のエネ

ンピーダンスの関係（wakeﬁeld の扱い）について、

ルギー変化量が得られる。それを電荷量 eq で割った

よく知られた関係を以下に紹介しておく。

ものを wake function として次のように定義される。
従って縦方向、横方向それぞれの wake function W∥、W⊥ は、

図 7.4 に示すように、先行する点電荷 q（＝ leading

particle）がある構造体を通過した際の wakeﬁeld により、後続する点電荷 e が感じる力を考える。

W∥ (r1 , θ1 , r2 , θ2 , s) =ここで円筒座標系（r, θ, z ）を考え、ビームパイプの中心軸を z 軸とする。２つの点電荷は光速度 v = c

1−eq

で z 軸に平行に走り、leading particle、test particle



Z ∞
−∞

F∥

s+z
r2 , θ2 , z, t =cdz(7.7a)の横方向の位置をそれぞれ（r1 , θ1 )、（r2 , θ2 ) とする。
また test particle は、leading particle より z 方向の
距離 s だけ後方に離れて（遅れて）いるとする。test

particle が後方にある場合が s > 0 である。また、時刻 t における leading particle の z 方向の位置 z をW⊥ (r1 , θ1 , r2 , θ2 , s) =z = ct とする。この時、test particle が感じる力 F
は、縦方向の成分 F∥ 、横方向の成分 F⊥ に分けられ、
それぞれ

1
eq



Z ∞
−∞

F⊥

s+z
r2 , θ2 , z, t =cdz(7.7b)F∥ (r2 , θ2 , z, t) = eEz(7.6a)となる。進行方向に対して後方に蹴られる場合（減F⊥ (r2 , θ2 , z, t) = e(E + cez × B)

速する方向）を正と定義される。式を見ての通り、(7.6b)
27

wake function は、電荷の通る位置と、前後に離れた
２つの電荷の距離 s の関数になっている。因果関係

v(τ )=

を踏まえると W (s < 0) = 0 である。後述するように、この wake function が結合インピーダンスと関

−

係する。

Z ∞
−∞

=−

ここで問題にしているのは加速モード（TM010

W∥ [c(τ − τ ′ )]λ(s = cτ ′ )c · dτ ′Z ∞−∞モード）なので、縦方向のみを考えれば良い。軸対称
モード（monople）の wake function（力の積分）はW∥ [c(τ − τ ′ )]i(τ ′ )dτ ′(7.11)となる。これをフーリエ変換してみると、r, θ に依存しないことが分かっている [27, 28]。従って縦方向の wake function W∥ は任意の r において sZ ∞1v(τ )ejωτ dτ
2π −∞
Z ∞
′′
=−
W∥ [c(τ ′′ )]ejωτ dτ ′′だけの関数となり、

1W∥ (s) = −q

V (ω) =


Z ∞
−∞

Ez

s+z
z, t =c−∞dz (7.8)

1
×
2π

Z ∞

′

i(τ ′ )ejωτ dτ ′(7.12)−∞と書ける。
となるので、電流 i(τ ) のフーリエ変換が次に、leading particle が点電荷でなく、z 方向に電荷分布（線密度）λ(s) で広がりを持つビームになっ1
I(ω) =
2πた場合を考える（ビーム先頭の位置がが s = 0）。た
だし、総電荷量は q とする。電流は電荷密度に光速度を掛けたものになるので、このビームの電流（時間

Z ∞
Z
q=

Z∥ (ω) =(7.9a)i(τ )dτ(7.13)

−∞

′′

−∞

Z ∞

Z
λ(s)ds =i(τ )ejωτ dτ

であることを踏まえると、式 (7.5a) から、変化）を i(τ ) とすると、

i(τ = t − z/c) = cλ(s = cτ )

Z ∞

s

=

(7.9b)W∥ [c(τ ′′ )]ejωτ dτ ′′−∞W∥ (s)ejω cdsc(7.14)の関係が得られる。つまり、結合インピーダンスとの関係になる。

wake function はフーリエ変換の関係にある。

ここで、この電流 i(τ ) により励起される電圧 v(τ )以上は、縦方向（monopole）のみの簡単な場合には（加速の方向を正として）、ついて示したが、横方向についても同様に、

Z ∞v(τ ) =−∞Ez (z, t = z/c + τ ) dz

(7.10)Z⊥ (ω) = −j

であり、この右辺は、縦方向 wake function W∥ と電Z ∞の関係がある [27, 28]。

荷線密度 λ(s) のコンボリューションで表せるので、

28

−∞

s

W⊥ (s)ejω cdsc(7.15)

ここで、wake function は定義から実数であることと、W (s < 0) = 0 であることを踏まえて、式 (7.14)となる [1, 28]。

および式 (7.15) を見ると、インピーダンスには
ここで、点電荷 q が、loss factor k の加速空洞を通過した場合を考える。通過し瞬間、空洞に励起されZ∥ (−ω) = Z∥∗ (ω)(7.16a)∗Z⊥ (−ω) = −Z⊥(ω)(7.16b)る電圧 Vc は（通過前は電磁場がないとして）、上式
より Vc = qW (0) = 2qk と書ける。この時、空洞に励起されるエネルギーと Vc の関係は、式 (4.1)(4.5)
より、という性質があることが分かる。

U=

他にも、結合インピーダンス、wake function に

4k 2 q 2 Q0
Vc2 Q0·=·ω0 Rshω0Rsh(7.20)

は、縦方向と横方向の関係など特徴的な性質を持っているが、本テキストでは省略する。詳細は上記にとなる。これは電荷が失うエネルギー kq 2 に等しい

挙げた参考文献等を参照して頂きたい。

ので、加速空洞の loss factor は、

7.3.2 Loss Factork=

もう一点、wake function に関連して、loss factor と

ω0
4



Rsh
Q0


(7.21)

呼ばれるパラメータがよく使われる。一般的に loss

factor は k の文字で表される。ある構造体の wakeと表すことができる。以上より、電子（陽電子）一個

function が W (s) である場合、式 (7.9b) の電荷分布（1.6 × 10−19 C）が空洞に励起する（空洞で失う）エを持つバンチに対して、その構造体の loss factor を、

ネルギーは加速ゲイン（∼MeV）に比べて無視できるくらい小さいことが分かる。

k=

1
q2

Z ∞Z s−∞−∞W (s − s′ )λ(s)λ(s′ )ds′ ds

ちなみに、一般的な構造体の wake function と loss

factor を知りたい場合、通常は有限差分時間領域法(7.17)

による計算（バンチが通過する際の電磁場の時間発
展シミュレーション）によって求める。また、シミュのように定義する。この構造体をバンチが通過した

レーションで得られた wake function をフーリエ変際に失われるエネルギー ∆Ub は、loss factor を用い換することで、構造体の結合インピーダンス（周波数て、特性）を得ることができる。

∆Ub = kq 27.4振動するビームの周波数スペクトル(7.18)
さて、上記でビームの不安定性はインピーダンス（周波数特性）で評価されると述べた。不安定性に影と求められる。また、式 (7.17) について、バンチ

響するのはビームが持つ周波数成分だけなので、周を無限に短くした場合（点電荷にした場合）の loss回（周期的）ビームが周波数領域でどのような特徴を

facotor は、詳細は省くが、持っているか見ておく。

1
W (s)s→+0 2k = lim

本講義では加速モードによる不安定性をテーマと(7.19)

するので、以降では縦方向の振動ついて扱う。第 6.1

29

節では、振動のない周期的な（まったく同じ）バンチ

すると、式 (7.23) は、が通過する場合の周波数成分について説明した。ここでは、ビーム粒子（ポイント・バンチ）がシンクロ∞
X

I(ω) ∝

トロン振動している場合、個々の粒子がどのようなejωkTrev [1 − jωτ̂ cos(ωs kTrev )]k=−∞

周波数成分を持っているかを考える。

(7.24)

単バンチの場合

7.4.1と近似できる。この第 1 項目は、デルタ関数の逆フー

話を簡単にするために、ポイント・バンチは１つリエ変換に相当するので、であるとする。従ってバンチが１点を通過する周期∞
Xは、リングを周回（revolution）する周期 Trev である。ポイント・バンチが角周波数 ωs でシンクロトロ

ejωkTrev= ωrev∞X

δ(ω − pωrev )

p=−∞

k=−∞

ン振動している場合、周回するビームの信号（図 7.5(7.25)

参照）の時間変化 i(t) は、∞Xi(t) ∝となる。ここで ωrev = 2π/Trev である。また、式(7.24) の第 2 項目は、cos を exp で表すと同様にデδ[t − kTrev + τ̂ cos(ωs kTrev )]ルタ関数の逆フーリエ変換に相当する形になるので、

k=−∞(7.22)−jωと書ける。ここで δ はデルタ関数、τ̂ は微小な（時間

∞

=−

∝

Z ∞

j τ̂ ωrev X[(pωrev − ωs )δ(ω − pωrev + ωs )2 p=−∞+(pωrev + ωs )δ(ω − pωrev − ωs )](7.26)

i(t)ejωt dt

−∞

∞
X

τ̂ cos(ωs kTrev )ejωkTrev

k=−∞の）振動振幅である。これをフーリエ変換するとI(ω) ∝∞
X

exp{jω[kTrev − τ̂ cos(ωs kTrev )]}k=−∞と変形できる。

(7.23)

式 (7.25)+ 式 (7.26)（の大きさ）から、周波数領域
では、周回周波数 ωrev ごとに周期的な線スペクトルとなる。ここで振動は十分微小（ωτ̂ ≪ 1）であるとi(t)τ̂ cos(ω s kTrev )を持ち、その線スペクトルすべての両側（pωrev ± ωs ）にシンクロトロン振動のサイドバンドができる。もTrev

ちろん実際は、ポイント・バンチ（デルタ関数）ではなく、実際の信号は強度に応じた高さを持ち、図 7.6のようになる。ただし第 6.1 節でも示したように、バンチ幅（Gaussian）を考慮すると全体のスペクトルは一定にはならない。

t

ここでは、ビーム（ポイント・バンチ）がシンクロ

図 7.5 縦方向に微小振動するポイント・バンチ１
つが周回してる場合のビーム信号（時間領域）

トロン振動していると、バンチ周期ハーモニクスの両側に ωs のサイドバンドが立つということを簡単に

30

I (ω)
ωrevωs

ビームを（意図的に）詰めることはしないが、以下のpωrev

話の内容（振動モードなど）は、実用上でも最大バ
ンチ数 h を基準にするのが普通なので、すべてのバケットにビームがあると考えて差し支えない。あるpωrev ± ω s

いは意図的にバンチを入れないバケットでも実際には電荷が完全に 0 であるとは言えない、と考えてもも良い。

ω複数（等間隔で）並んで周回しているバンチどうしが wakeﬁeld で結合して振動している場合、「振動の図 7.6 シンクロトロン振動周波数 ωs で振動しているポイント・バンチが１つ周回している場合の周
波数スペクトルモード」が結合バンチ不安定の扱う際の重要な鍵となる。振動モードは、バンチ内の粒子（あるいはポイ
ント・バンチ）の振動が、隣り合うバンチとどれだけ位相がズレているか（バンチ間位相差）により定義示した。ここでは縦方向の振動のみを考えているが、される（トータル的にはモードの重ね合わせになる）

横方向の振動（ベータトロン振動）も同様にサイドバ（図 7.7 参照）。

ンドが出てくる。
例えば、ωs t でシンクロトロン振動している場合に一般的に、周回周波数に比べてシンクロトロン振ついて考える。バンチ間位相差が ∆θb とし、バンチ

動数はかなり小さく（ωs < ωrev /10）、１回振動する

番号を 0 から数えるとする。0 バンチ目を基準とし

間に何 10 周もする。SuperKEKB の例では、周回周て、n 番目のバンチにおける振動位相は ωs t + n∆θb

波数が 100kHz で、シロトロン振動は 2∼3kHz であである（n は 0 から h − 1 までの整数）。一周するとる。つまり 1 回の振動の間に約 30〜50 周する。

自分自身のバンチに戻るので（n = h は 0 番目のバンチになる）ので、h∆θb = 2πµ（µ は整数）の関係

以上ではバンチ１つを仮定しているが、例えば mを持つ。この µ がモード番号に相当する。

個のバンチが等間隔に並び、それぞれ区別ができないとすれば、上記の話は ωrev → mωrev と置き換えれば良い。ただし実際はバンチの個性もあり、必ず振動変位

周回周波数（ωrev ）の周期性があるので、ωrev 間隔でスペクトルが見える。また、以降に説明するように、バンチ間の振動モードを考慮すると、やはり ωrev のµ=0Δθ b = 0bunch#µ =1整数倍の成分が出る。

hΔθ b = µ 2πΔθ b =π4bunch#

7.4.2µ=2

複数バンチの振動モードと周波数成分

以降の話は、話を簡単にするために、すべての RFΔθ b =π2bunch#

バケットにバンチがあるとする。言い換えると、リµ=4ング中を周回しているバンチ数はハーモニックナンΔθ b = πbunch#

バー h と同じであるとする。この場合、当然バンチ
図 7.7

バンチ結合による振動モード（h = 8, µ =0, 1, 2, 4 の場合）。µ はモード番号。縦軸は振動の変位、横軸はバンチ番号を表す。8 番目は元のバンチ（0 番目）と同じ。

は等間隔になる。また、RF 周波数 ωrf はビーム周回
周波数 ωrev の h 倍の関係（ωrf = hωrev ）にある。
実際には、SuperKEKB で全ての RF バケットに

31

では、このモードも含めて周波数成分を考える。
上記の説明を図で表したものが図 7.7 である。縦先に述べたように、一周で µ 回のバンチのうねりが軸は振動の変位、横軸はバンチ番号を表す。h = 8 とあるり、これが周回周波数 ωrev で回転するので、単し µ = 0, 1, 2, 4 について、ある瞬間（t = 0）のバン

バンチの場合に、µωrev の周波数成分が追加されるこチ間の位相関係を示している。8 番目は元のバンチとは類推できるだろう。これについて、単バンチのつまり 0 番目と同じになる。

場合から対応させて書いてみる。モード µ に対して、
式 (7.22) に対応する時間領域でのビーム電流、

図 7.7 から、一周で µ 回のバンチのうねりがあるのが分かる。ここで p を整数とすると、モード µ は(ph + µ) の場合と振動の区別はつかないので、モード

iµ (t) ∝番号は 0 ≤ µ ≤ h−1 の整数だけに限って良い。ただし便宜上、µ は負の場合も含め、−(h−1) ≤ µ ≤ h−1の範囲の値を取るものとする。この場合、µ = h − mと µ = −m のモードは同じであることに注意（m は

∞ h−1
X
X 
nTrev
δ t − kTrev +hk=−∞ n=0n  2πµn+τ̂ cos ωs Trev k −−hh(7.27)

0 ≤ m ≤ h − 1 の整数）。
また、図 7.7 のように µ/h = 0, 1/4, 1/2 の場合、
位相差 ∆θb に対応させて、それぞれお 0 モード、π/2と書くことができる。n はバンチナンバー、k は周回数である。このフーリエ変換は、式 (7.24) に対応させて書くと、

モード、π モードのように呼ばれる場合もある。
図 7.7 をリング上に示したものが図 7.8 である。

µ = 1, 4 の場合について、図 7.7 と同様に、ある瞬Iµ (ω) ∝hn i
exp jωTrev k −hk=−∞ n=0n  2πµn
× 1 − jωτ̂ cos ωs Trev k −−hh(7.28)∞ h−1
XX

間の位相関係を示している。
、図 7.7 および図 7.8 は、
分かりやすいように横に変位してるようなイメージで表現しているが、シンクロトロン振動の場合は縦方向（進行方向）の振動なので、疎密波のようなイ
メージになる。また図では、静止した状態でしか表せないが、ビームは振動しながら（バンチ間位相差は変わらず）周回する。

となる。ここでまた式 (7.26) と同様にサイドバンドの項について見ると、

−jωτ̂

µ =1

µ=4
∝

h

n i
exp jωTrev k −hk=−∞ n=0n  2πµn
× cos ωs Trev k −
−
h
h
∞ h−1
X
X

∞
X

[ωp(+) δ(ω − ωp(+) ) + ωp(−) δ(ω − ωp(−) )]p=−∞(7.29)

図 7.8

図 7.7 を リ ン グ 上 に 示 し た も の（h =8, µ = 1, 4 の場合）。図では、分かり易くするた
めに横方向の変位で表している。

となる。ここで、32と表すとする。ここで s は軌道座標系におけるバンチ（振動中心）の位置である。Ω は一般的に複素数で、

ωp(+) = phωrev + µωrev + ωs

Ω の実部は振動周波数、虚部が振幅の増大率（τg−1 ）(7.30)を与える。

ωp(−) = phωrev − µωrev − ωsこの場合、振動モード µ の Ω（= Ωµ ）とシンクロである。この結果は、図にするとやはり図 7.6 と同トロン振動数 ωs との関係について、縦方向結合インじになるが、phωrev から数えて ωrev の µ 倍の周波

ピーダンス Z∥ (ω) を用いて表すことができる。先に数がモード µ の振動に対応する。

結果を示すと、

また hωrev = ωrf であることを考えると、RF 周波

je2 hNb αpΩ2µ − ωs2 =2
E0 Trev
" ∞
#
∞
X
X
×
ωp(µ) Z∥ (ωp ) −hpωrev Z∥ (hpωrev )数の整数倍（pωrf ）の周りに、モード振動のサイドバ
ンド（±µωrev ）が並び、またそれらの両サイドにシンクトロン振動のサイドバンド（±ωs ）があるとも言える（あるモードについて対応する ωs のサイドバン

p=−∞

p=−∞

(7.32)

ドは、pωrf を挟んで対称の位置にある）。
このように、ビーム信号は強い周期性を持つたとなる（ [1, 27, 28] など）。ただし、

め、周波数領域では跳び跳びの周期的な線スペクト
ルとなる。この跳び跳びにある周波数成分のみが結合バンチ不安定性に対して意味を持つ。不安定性のωp(µ) = (hp + µ)ωrev + Ωµ(7.33)

growth rate を評価する場合、モード毎に対応するの周波数成分（インピーダンス）が重要となる。
である。ここで、すべてのポイント・バンチが等し

7.5

く eNb の電荷量を持つとしている（e は電荷素量）。

結合バンチ不安定性の Growth Rate

また、αp は momentum compaction factor、E0 は

第 7.2 節で簡単に触れたように、結合バンチ不安

ビームエネルギーである。

定性を定量的に扱うためには、振動の大きさの成長の速さ（growth rate) を結合インピーダンスを使っ式 (7.32) を導くために真面目に説明すると非常にて評価する。本節では、不安定性の具体的な評価方

骨が折れるので、詳細は他の文献を参照して頂きた法（定量的な扱い）について紹介する。

い。ここでは一応、導出の流れだけを簡単に示しておく。ただし実用上は、この結果だけを用いれば良

前節で前置きしたように、簡単のために、すべてのい。

RF バケットにバンチがある（バンチの数は h）とする（以降の節でも同様）。

ビームのエネルギー変動と到達時間の関係、および wakeﬁeld によるエネルギー収支（wake function

n 番目のバンチ粒子（ポイント・バンチ）についW∥ (s)）を考慮すると、τ̂n (s) に関する運動方程式はて、微小な縦振動の時間的変位量（理想位置からの遅れ時間）τ̂n を、

τ̂n (s) = τ̃n exp (−jΩs/c)

e2 Nb α pd2 τ̂n (s)  ωs0 2
+
τ̂
(s)
=
−
n
ds2
c
E0 c2 Trev
X h−1
X
(7.34)×W∥ [c{τ̂n (s) − τ̂k,n′ −n }](7.31)

k n′ =033

と書くことができる。ここで、が得られる（これを導く際、Poisson の和公式が利用される）。これは固有値問題に帰着される。詳細は省

くが、モード µ の振動 Ωµ について、解としてc(n′ − n)Trevh′c(n − n)Trev−ckTrev −(7.35)hτ̂k,n′ −n = τ̂n′s − ckTrev −τ̃n(µ) = τ̂ (µ) exp

j2πµn
h


(7.38)である。また ωs0 は、摂動のない（wakeﬁeld の影響がを仮定する（隣り合うバンチの振動位相差が 2πµ/hない）場合のシンクロトロン周波数である。式 (7.34)である）と、µ 番目の固有解として式 (7.32) が得らにおいて W∥ はリング一周の縦方向 wake functionれる。

で、k についての和は周回ごとの wakeﬁeld の積算を意味する。

さて、この結果から、具体的に growth rate を計算する式が次のように得られる。

ここで振動が微小（wakeﬁeld の変動周期に比べてτ̂n − τ̂n′ が十分小さい）として、W∥ を ckTrev +c(n′ −式 (7.32) において、Ωµ と ωs の差が小さいとするn)Trev /h の周りで展開すると、と、

W∥ [c(τ̂n (s) − τ̂k,n′ −n )] ≃

Ω2µ − ωs2 = (Ωµ − ωs )(Ωµ + ωs )c(n′ − n)Trev
W∥ ckTrev +
+
h



c(n′ − n)Trev
τ̂n (s) − τ̂n′ s − ckTrev −h′c(n − n)Trev
×W∥′ ckTrev +(7.36)
h(7.39)≃ 2ωs (Ωµ − ωs )と近似できる。growth rate は Ωµ の虚部に相当する
ので、モード µ に対する growth rate を τµ−1 とすると、式 (7.32)(7.39) から、と近似できる。ここで、W∥′ (s) = dW∥ (s)/ds である。次に、式 (7.31) に従ってバンチが振動してるτµ−1 = ℑΩµ = ℑとし、wake function とインピーダンスの関係（式(7.14)）を利用すると、 式 (7.34) の運動方程式（式eIb αp×
2E0 Trev ωs
" ∞
#
∞
X
X
(µ)
ℜ
ωp Z∥ (ωp ) −hpωrev Z∥ (hpωrev )je2 Nb αp(Ω2 − ωs2 )τ̃n = −2
E0 Trev
"
h−1
∞
X
X
×
τ̃n
pωrev Z∥ (pωrev )
−τ̃n′

p=−∞
∞
X

ωp Z∥ (pωp ) expp=−∞ωp = pωrev + Ω



!

=

(7.36) の近似を適用）から、

n′ =0Ω2µ − ωs2
2ωs

p=−∞

p=−∞

(7.40)′j2πp(n − n )hが得られる。ここで Ib = ehNb /T rev と置き換えて#いる。
更に、インピーダンスについて、Z∥ (−ω) = Z∥∗ (ω)
である性質を利用すると、式 (7.40) の第 2 項の実部

(7.37a)(7.37b)はキャンセルされ、第 1 項は

34

µ=3
µ =1

µ=0

µ=0

µ=3

µ =1

µ=3
µ =1

excite

µ=0

i

µ=0

µ =1

ωp(µ+) ℜZ∥ (ωp(µ+) ) − ωp(µ−) ℜZ∥ (ωp(µ−) )

damp

∞ h
X

eIb αp×
2E0 Trev ωsµ=3τµ−1 =

µ=2
µ=2

ωrev

Re[Z(ω )]ωsp=0(7.41)(= ωrf )と変形できる（p は 0 から数えられてることに注意）。

ω

2hωrev

hωrev

図 7.9

各振動モード µ とインピーダンス（exicte,damp）の関係。h = 4 の場合の例。式 (7.42) で
p = 1 の周りを示している。矢印の上向きが exite、
下向きが damp を表す。

ここで、

ωp(µ+) = phωrev + µωrev + ωs
(7.42)
ωp(µ−) = (p + 1)hωrev − µωrev − ωs

式 (7.41)(7.42) により不安定性を励起させる周波数成分は決まるので、そこのインピーダンスをいかに小さくできるかが鍵となる。逆に、不安定性を抑である。ただし、ここでは Ωµ ≈ ωs とみなしている
ので、式 (7.33) において Ωµ = ωs としている。また

える周波数成分は利用できるなら利用したほうが良

モード番号 µ は 0 ≤ µ < h − 1 である。

い。

以上より、ビームパイプ中の構造体の結合インピー

以上から、結合バンチ不安定性を考える場合、式ダンス（周波数特性）が具体的に分かれば、結合バ(7.41)(7.42) が実用的であり、最も重要な関係式と言ンチ不安定性の growth rate が計算できる。ここでえる。別の言い方をすれば、これまでの話は気にせは縦方向に関してのみ示しているが、横方向振動ず、この関係式だけを知っていれば実用上ほとんどの growth rate についても横方向のインピーダンス

困らない。

Z⊥ (ω) を用いて類似した関係式になる。

次に、Ωµ の実部について触れておく。上述したように Ωµ の実部は振動周波数を与える。再度、式式 (7.41) から分かるように、とびとびの周波数成分（式 (7.42)）に当たるインピーダンスにより、(7.39) の近似式を利用すると、式 (7.32) から、

growth rate が与えられる。また、この式 (7.41) を見ると、第 1 項が不安定性を励起（excite) する効果

∆ωs(µ) = ℜΩµ − ωs = ℜに相当し、第 2 項は逆に不安定性を抑える (damp させる) 効果があることが分かる。

=

各振動モード µ とインピーダンス（exicte, damp）Ω2µ − ωs22ωs!

eIb αp×
2E0 Trev ωs∞ hXの関係を図にしたのが、図 7.9 である。例として

ωp(µ+) ℑZ∥ (ωp(µ+) ) + ωp(µ−) ℑZ∥ (ωp(µ−) )i

p=0

h = 4 の場合である。式 (7.42) で p = 1 の周りに(7.43)

ついて示している。各モードの excite と damp が

phωrev （= pωrf ）の周りで対称的な位置になり、また、hωrev ごとに、その位置が繰り返される（効果はが得られる。これよりバンチ間結合による振動周波

インピーダンスに従う）。

数の変化量 ∆ωs(µ)

35が求められる。

7.6

Re ⎡⎣ Z a (ω )⎤⎦加速モードに起因する不安定性の評価

Δω =定性を問題にしているので、今までの式に加速空洞

12のインピーダンスを適用する。

2Δω

本講義のテーマでは、加速モードに起因する不安

7.6.1

ω0
2QL

空洞インピーダンスによる Growth Rateω0

ここで、加速空洞（加速モード）の結合インピー
ダンスを Za (ω) とする。詳しい導出は省くが、バωIm ⎡⎣ Z a (ω )⎤⎦ンチが通過した際に空洞に励起する電磁場を考え、

wake function の定義に従って求めると、Z∥ (ω) =∗Za (ω) = Zin(ω) の関係が得られる（詳細は [1,27,28]

図 7.10 空洞（共振器）インピーダンスの実部（実線）と虚部（破線）をそれぞれプロット

等を参照）。Zin (ω) は、等価回路モデル（図 6.4）のインピーダンス（式 (5.2)）である。従って、∗
Za (ω) = Zin
(ω) =

=

τµ−1 =

Rsh /2(β + 1)ωω0
1 − jQL−ω0ω

Rsh /2(β + 1)
ω0
ω
1 + jQL−ωω0eIb αp×
2E0 Trev ωs[(ωrf + µωrev + ωs )ℜZa (ωrf + µωrev + ωs )(7.44)−(ωrf − µωrev − ωs )ℜZa (ωrf − µωrev − ωs )](7.45)である。これは共振器回路は、wakeﬁeld によるビーとなる。この式により加速モードに起因する結合バ

ム間の結合では位相回転が逆に見えると解釈できる

ンチ不安定性（growth rate）が評価される。モードだろう。

µ ごとに、それぞれの growth rate を求めることに注意。

先に述べたように、インピーダンスの実部が不安
定性の growth rate、虚部がシンクロトロン振動の

ここで、µ について −(h − 1) ≤ µ ≤ h − 1 の範周波数シフト（tune shift）に関係する。図 7.10 に、

囲で、RF 周波数を中心にその前後だけ考慮する。

Za (ω) の実部と虚部のプロットを示す。第 5.1 節の

ただし、図 7.9 からも分かるように、µ = −m と共振器のインピーダンスを複素平面にプロットしたµ = h − m は同じモードである（m は 0 から h − 1◦円（図 5.3）を見ると分かるように、ψ = 45 となるの整数）。この場合、インピーダンスと振動モード µ

周波数、すなわちピークの 1/2 で実部と虚部が同じ（excite,damp）の関係は図 7.11 及び図 7.12 のよう値になる（交差する）ところが ω = ω0 + ∆ω にあたになる。ここで、第 6.2 節で説明したよう、ビームる。ここで ∆ω = ω0 /2QL である。

加速する空洞は optimum tuning のため、共振周波数は RF 周波数より引く周波数へ detuning される。

図 7.10 を見ると分かる通り、空洞のインピーダ

図 7.11 および図 7.12 はそれぞれ µ = 0, +1, +2 のンスは共振周波数（≈ ωrf ）で高いピークを持つた

場合、µ = −1, −2, −3（µ = h − 1, h − 2, −3）の場

め、RF 周波数の周りだけ考えれば良い。従って、式合を示す。

(7.41) において p = 0, 1 だけになる。結果として、
式 (7.41) は、hωrev = ωrf なので、

図 7.11 を見ると分かるように、空洞が負の方向

36

（ω0 < ωrf ）に detuning されてれる場合、インピートで、最もインピーダンスが大きい 0 モードについ

ダンスは共振点で対称なので、µ = 0 モードおよびて、optimum tuning は単に電力の効率化だけでなµ が正のモードに関しては、damp の効果が excite

く、同時に結合バンチ不安定性を抑えるという重要より大きくなる（ωrf の周りでインピーダンスにかるな役割を果たしている。この条件を最初に示したの係数はほぼ同じとして）。すなわち、これらのモード

Robinson で [29]、Robinson criterion などと言われについては安定な条件にある。逆に、正の方向へのる。ただし、最初に Robinson が示したものはバン

detuning は不安定領域になる。ここが重要なポイン

チ１つの場合で、導出の仕方もこれとは異なる（厳密には多バンチの 0 モードとは異なるかもしれないが、growth rate に関しては 0 モードの場合と同じでRe ⎡⎣ Z a (ω ) ⎤⎦空洞はマイナス方向へdetune(optimum tuning)される

ある）
。

µ=0
ωrev

一方、µ < 0 の場合、図 7.12 に示すように、イω

ンピーダンスは excite の効果が大きくなる。従ってµ = +1

バンチ不安定性（特に µ = −1 モード）が励起されや

detuning 量（ビーム電流）が大きくなるほど、結合すくなる。上記の 0 モードの安定性も含め optimumωµ = +2(h − 2) ωrev

hωrev
= ωrf

(h + 2) ωrev

ωtuning は必須であるので、この問題は避けられない。特に、ビーム電流が増えるにつれて、detuning（|∆ωopt |）が周回周波数 ωrev と同程度になる（あるいは超えてしまう）と、growth rate は桁違いに大きくなり（成長が非常に速くなり）結合バンチ不安定性を抑えるのは困難になってくる。そのため、この問図 7.11 空洞インピーダンス（optimum tuning時）とモード µ（excite, damp）の関係。 µ =0, +1, +2 の場合を示す。

題を克服するために、まず、optimum tuning による
空洞 detuning|∆ωopt | が出来るだけ小さくなるように空洞を設計することである。

Re ⎡⎣ Z a (ω ) ⎤⎦空洞はマイナス方向へdetune(optimum tuning)される

optimum tuning に対して、空洞 detuning を小さくすることを考える場合、∆ωopt を与える式 (6.16)µ = −1を見ると、Q0 が高いほうが良いことが分かる。式

ω

ωrev

(6.16) からは、加速電圧 Vc を高くしたり、シャント
インピーダンス Rsh を下げても、|∆ωopt | は小さくなるが、効果があるほど Vc , Rsh を変えると供給電力効µ = −2率など別の問題が起き、現実的な解でなくなる。やω

はり Q0 を高くするのが望ましい。

µ = −3(h − 2) ωrev

hωrev
= ωrf

(h + 2) ωrev

そのために Q 値が非常に高い超伝導を用いるの

ω

図 7.12 空洞インピーダンス（optimum tuning時）とモード µ（excite, damp）の関係。 µ =−1, −2, −3 の場合を示す。

は理に適っている。しかし QL が高すぎたり加速電圧が高いと、異なるビーム不安定性の問題（後述）等があり、超伝導だけで運転するのはリスクがある。そのため KEKB 加速器（SuperKEKB）では常伝導空洞も併用される。ところが通常の常伝導空洞（Q0 = 10000 ∼ 20000）では、空洞 detuning 量が数37

(a) Growth rates for HER

100 kHz になってしまう。KEKB（SuperKEKB）のDesign Beam Current

周回周波数は 100kHz なので、µ = −1, −2 モードを跨ぐことになり、そのままでは結合バンチ不安定性(a) Growthµ=-1
rates for HER

が致命的な問題になりうる。

Dashed line:
one SCC parkedµ=-2
そこで KEKB 加速器で考案されたのが「ARESµ=-3空洞」である [6, 30–32]。ARES 空洞は、RF 蓄積

ΔfSCC ~ -44 kHz @ 2.6A

エネルギーを大きくした「貯蔵空洞」を加速空洞に

HER (8 x ARES + 8 x SCC)

結合させることにより、実効的に Q0 を高くしている（図 9.6 参照）。その結果、|∆ωopt | を 1/10 に抑えることができる（参考文献、もしくは第 9.3.2 節(b) Growth rates for LER

図 7.13 加速モードに起因する結合バンチ不安定性の growth rate の計算値（HER）

参照）。SuperKEKB のデザイン電流では、detunig
は約-30kHz になる。これは超伝導空洞と同程度のdetunig 量である。表 6.1 における常伝導空洞のパラメータは ARES 空洞の値である。ARES 空洞に関し(b) Growth rates for LERて詳細は参考文献を参照して頂きたい。
Design Beam Currentµ=-1

このように超伝導空洞と ARES 空洞により、de-tunig 量はかなり小さく抑えることができるが、それRad. Damping Rate

でも以下に示すように SuperKEKB の場合では結合µ=-2

バンチ不安定性を完全に抑えることができない。

µ=-3

Figure 2: Calculation results of growth rates for HER (a) and LER (b). Solid curves
式 (7.45) を使って具体的に growth rate を計算しindicate the results under RF worked ideal, and dashed curves indicate the results under

LERcavity(22 xdetuned
ARES)た結果を図 7.13、7.14 に示す [33, 34]。SuperKEKB
a superconducting (HER) or normal conducting (LER)
manually.
のデザインに対する評価である。図 7.13 が HER、図7.14 が LER について示している。全加速空洞（リング一周分）のインピーダンスを合計して growth
Figure 2: Calculation
resultsof growth
rates for HER (a) and LER (b). Solid curve
図 7.14
LERについて加速モードに起因する結indicate the results under RF worked ideal, and dashed curves indicate the results underate を求めている。水平な直線が radiation damp合バンチ不安定性の growthrate の計算値（LER）
10
a superconducting (HER) or normal conducting (LER) cavity detuned manually.

ing rate を示す。この radiation damping rate が不安定が起きる閾値に相当する。破線は、空洞１台（LER は ARES 空洞、HER は超伝導空洞）が休止（スタンバイ）状態にある場合の growth rate を示す。

図 7.13、7.14 から分かるように、SuperKEKB では

休止（スタンバイ）状態というのは、RF システムにデザイン電流までに growth rate が閾値（radiation

トラブルが起き、空洞に RF パワーを供給できない

damping rate）を超え、µ = −1 と −2 モードの場合に、休止させておく状態である。休止させる場

結合バンチ不安定性が起こると予想させる。また、合、ビームに直接影響しないよう、空洞の共振周波数µ = −3 モードも条件によっては起こることが心配

は RF 周波数より-150kHz（µ = −1 と −2 の間）にされる。従って、フィードバック制御等で強制的にdetuning させておく。2 台休止させる場合は、それ不安定性を抑える（不安定性モードに対応する周波

ぞれ-150kHz と +150kHz に detune させ、結合バン

数成分のインピーダンスを実効的に下げる）ことが

チ不安定性を正負のモードでキャンセルさせる（図必要になる。その対処方法の詳細については第 8 章

7.11、7.12 参照）。

で紹介する。

38

10

7.6.2

シンクロトロン振動数の変化
一方、µ = 0 については、1kHz 以上高くなる計算

ここで、改めて Ωµ の実部（式 (7.43)）について考結果となっている。（摂動のない時は fs ∼2.7kHz）。

える。加速モードのインピーダンス（RF 周波数の周

ただし、実際にはこのような周波数の上昇は観測り）だけを考慮すると式 (7.43) は、式 (7.45) と同様されていない。これは µ＝ 0 モードは (マイナスのに

detuning により）十分に減衰しているとも考えられ∆ωs(µ) =るが、後述するコヒーレント振動の効果（周波数を下

eIb αp×
2E0 Trev ωsげる）や、RF フィードバック制御の効果など様々な要因が絡むので、実際の観測結果を定量的に評価す[(ωrf + µωrev + ωs )ℑZa (ωrf + µωrev + ωs )るには様々な条件を考慮する必要がある。

+(ωrf − µωrev − ωs )ℑZa (ωrf − µωrev − ωs )](7.46)

いずれにしても、今のところは、Ωµ 実部（ωs の周
波数シフト）の寄与でビーム電流が制限されることはなさそうである。

となる。これは、バンチ間結合によるシンクロトロ

7.7 Static Robinson 不安定性

ン振動の周波数変化（tune shift）を表す。

もうひとつ、これまでの結合バンチ不安定性とは
空洞インピーダンスの虚部（図 7.10 を参照）の特

少し異なる別の不安定性について紹介しておく。こ徴を考慮すると、optimum tuning（ω0 < ωrf ）の場

れも SuperKEKB（大電流ビーム負荷）で大きな問(µ)

合、式 (7.46) に従う周波数変化（∆ωs ）は、µ = 0

題になりうる不安定性のひとつである。

モードでは必ず正になる。つまり ωs が高くなる方向に変化する。
一方、他のモードについては、空洞インピーダ

シンクロトロン振動は、加速電圧の時間的変化（Vc (t) の傾き）が復元力となり、位相安定性の原理に従って、安定にバンチ（RF バケット）内を振動す

ンスの幅 ∆ω と周回周波数 ωrev の大きさ、およびることができる。その加速電圧 Vc は、式 (6.6) に示

空洞 detuning 量に依存する。SuperKEKB の場合（∆ω ∼ ωrev /10）における運転の範囲では、下がる

Δfs(µ) [Hz]方向に変化する。

1500
今のところ SuperKEKB で、この周波数変化が問題になることはないと考えられている。一応、例1000として SuperKEKB の HER について、バンチ間結

µ=0

500

合に起因するシンクロトロン振動の周波数変化を図µ=-37.15 にプロットした。図の縦軸は振動周波数の変化
0

(µ)
(µ)
量（∆fs = ∆ωs /2π, µ = 0, −1, −2, −3 ）、横軸

-500
0.0

電流における運転条件（optimum tuning 込）で、超伝導空洞 8 台＋ ARES 空洞 8 台のインピーダンスに

µ=-2

µ=-1

はビーム電流である。式 (7.46) に従って、デザイン

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Beam Current [A]ついて計算している。µ = −1, −2, −3 モードについ図 7.15 バンチ間結合に起因するシンクロトロン
振動の周波数変化（tune shift）。SuperKEKB のHER デザインにおける計算値ては、ビーム電流が増えるに従って周波数が下がるのが分かる。より詳細な評価について参考文献 [35]を参照して頂きたい。

39

Vb

Vbr

元力であった場合から、Vk だけの寄与になり ωs′ へと周波数が変わったとする。この場合、これらの関

θk

−ψopt

φs

係は、

Vc

αL = 0

φs

Vkr



−ψopt
θk

ωs′
ωs

2

Vk = Vkr cos ψopt

Vk=

Vk sin θk
Vc sin ϕs=

Vkr cos ψopt sin(ϕs + ψopt )(7.47)
Vc sin ϕsと 書 け る 。こ の 式 は 、シ ン ク ロ ト ロ ン 振 動 数

図 7.16 Vk だけがシンクロトロン振動の復元力として寄与する場合、θk が実効的な synchronous
位相と見做す。

は√Vc sin ϕs に 比 例 す る こ と を 利 用 し て いる 。更 に 、optimum tuning の 条 件 を 考 慮 し 、式(6.15)(6.13a)(6.13b) 等 の 関 係 を 利 用 す る と 、式(7.47) は、

すように、クライストロンからの投入パワーによる

電圧 Vk とビーム電流自身が励起する電圧 Vb のベクトル合成である。
すべてのビーム粒子が同じ位相で揃った（コヒー

ωs′
ωs

2
=

1 − [(Vbr /Vc ) cos ϕs ]2
1 + [(Vbr /Vc ) sin ϕs ]2(7.48)と、わりとすっきりした形に変形できる [36, 37]。シレントな）振動をしている（バンチ重心が 0 モード

ンクロトロン振動が安定であるためには ωs′ > 0 であで振動する）場合、Vb がビームと同期して変動するる必要があるので、これよりことになり、ビームから見ると加速電圧 Vc の時間的変化（傾きが）が小さくなったように見える。すなわ

Vbr cos ϕs < Vc

ち Vc のうち Vb は復元力として寄与しなくなる。蓄(7.49)

積電流が増大し振動の復元力が小さくなると、振動が止まり不安定になってしまう（位相安定性の原理という安定条件が得られる。

が働かなくなる）。これを static Robinson 不安定性という。

一般的には、この条件は、図 6.3 に示すように（transition energy より高い場合は）加速電圧の右この場合、どのくらいシンクロトロン振動の周波

肩下がりにバンチが乗っていると安定である、と数が小さくなるか考える。optimum tuning の条件

いう条件から得られる。つまり、復元力が Vk だけは満たされているとして、図 6.8 の phasor diagram（synchronous 位相が θk に相当）となった場合、を改めて図 7.16 に示す。ここで、上記のようにビー
ムのコヒーレント振動により、Vb が復元力として寄与しなくなると、Vk だけが実質的なシンクトロン
振動の復元力となる。この場合、図 7.16 において、

dtVk cos θk= −ωrf Vk sin θk < 0dt(7.50)

θk が実効的な synchronous 位相と見做すことができる。また図から、θk = ϕs − (−ψopt ) = ϕs + ψopt での条件から、同様に式 (7.49) を得ることができる。

ある。
また更にここで、式 (6.9)(6.17)(4.1) 等の関係を利用すると、式 (7.49) の安定条件は、シンクロトロン振動の周波数 ωs が、元々 Vc が復40

(coherent)fs= ωs′ /2π である。HER の運転条件について計算している。HER は超伝導空洞、ARES 空洞

Pb
<β+1
Pc

(7.51)

それぞれ 8 台づつで運転される。従って、式 (7.48) を適用するにあたり、平均的な（合計された）空洞が１台と変形でき、すでに述べた式 (6.21) の入力結合度 βあると仮定した単純な評価である。図では、比較のたに関する条件が得られる。optimum カップリングでめ異なる 4 種類の超伝導空洞の QL についてプロッ

あれば、必ず上式の条件は満たされる。

トしている。実際の空洞では、QL = 50000 ∼ 60000
である。

これらの条件は、単純な式による最低限必要な条件であり、十分条件とは言えない。実際にはこれよ

図 7.17 を見て分かるように、Q 値が高いほど影響り十分に離れた安定条件で運転する必要がある。まが大きい。また、数 100mA のビーム電流でもコヒーた、上記の説明は、加速電圧の RF フィードバック

レント振動が大きな影響することが分かる。実際に制御等、安定化（不安定性抑制）システムがまったく

このようなシンクロトロン振動数の低下が観測されない場合についていである。実際はダイレクト RFている。従って十分な対策がないとデザイン・ビー

フィードバック制御（図 8.1 参照：変動を逆位相でム電流（2.6A）では static Robinson 不安定性が起きダイレクトに戻しキャンセルさせる制御 [8, 38, 39]）

る可能性が大きい。従って、コヒーレント振動の影

や、強制的に不安定性を抑える抑制システムなどを響を抑えるダイレクト RF フィードバック制御、あ適用することで、コヒーレントなビーム振動の影響

るいは帯域の広い（速い）フィードバック制御システを小さくする（安定領域を広くする）ことができる。

ムが必要である。

では具体的に SuperKEKB の場合について、フィードバック制御（不安定性の抑制制御）等がないとして、コヒーレント振動による影響がどの程度か、
式 (7.48) を使って評価してみると、図 7.17 のようになる。横軸がビーム電流、縦軸がシンクロトロン
振動の周波数（コヒーレント振動による fs の減衰）

fs(coherent )2.5
2.0

QL~4×104

1.5

QL~5×104

1.0
0.5
0.0
0.0

QL~6×104
QL~7×104

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Beam Current [A]
図 7.17 復元力が Vk だけの場合に、シンクロト
ロン振動周波数が下がる効果を評価（HER の例）。

41

Vc制御FBループ（チューナー制御等は省略）

8 結合バンチ不安定性の抑制システム

Kly制御FBループ

RF基準信号

避けられない結合バンチ不安定（coupled bunch

instability, CBI）は、強制的に押さえ込むしかない。

LLRF
制御システム+

frf = 508.9 MHz

この節では、フィードバック（以降”FB”と記す）制

ダイレクトRF-FBループ

Gain調整御において、加速空洞に起因する CBI を具体的にどのように抑制するか、実際の抑制システム（CBI ダ

G

ビーム

位相(delay)

ンパーシステム）について説明する。

加速空洞

クライストロン調整

モードフィルター

Pickup信号

狭帯域ビーム

バンドパスフィルター

本来であれば、FB 制御の解析的手法（不安定性の抑制効果や FB ループ安定性の定量的評価など）について扱うべきかもしれないが、それらに関しては、

図 8.1 結合バンチ不安定性を抑える FB ループ（CBI ダンパーシステム）の基本構成ブロック図

多くの文献や論文（例えば [35, 40, 41] など）がある
モードフィルター（µ=-1 modeの例）

ので他に譲るとする。

frf − frev + fs

一方、KEKB ／ SuperKEKB で使われている CBI

通過帯域

ダンパーについては、ハード・ウゥエアの詳細を説

frev − fsビーム

明している文献があまりないので、本講義では主にPickup信号

CBI ダンパー構成機器の原理について詳しく紹介する。
excite

frf

damp

f

狭帯域バンドパスフィルター

図 7.13、7.14 で示したように、SuperKEKB では µ = −1, −2, −3 モードの不安定性が心配されるため、これらのモードを主な対象とする。また、

KEKB、SuperKEKB の CBI ダンパーに関する他の

frf = 508.9 MHz

frev = 100 kHz

fs = 2~3 kHz

図 8.2 結合バンチ不安定性モードを通過させる狭帯域バンドパスフィルター：CBI ダンパー

文献としては、それぞれ [2, 42–44]、[33–35] を参照
して頂くのも良い。

8.1 CBI ダンパーシステム概要

からの信号が Low Level RF（LLRF）制御システムを経て、クライストロンで増幅され、空洞に RF パ

改めて、式 (7.45) や図 7.11 の話に戻る。加速モーワーが投入される。LLRF 制御システムは、空洞のド自体は加速のために必要なので、ωrf に影響を与え

pickup 信号を見て加速電圧 Vc を一定に保つためのずに、結合バンチ不安定性を起こす（excite する）周FB 制御ループ（Vc-Loop）を担う（図では省いてい波数だけをいかに抑えるか、がポイントになる。先るが、他にもチューナー制御等、多くの運転に必要なに述べたように、各モードについて excite する周波制御を担っている）。

数成分は分かるので、ビーム信号からその周波数成分だけをキャンセルする（インピーダンスを下げる）

一方、CBI ダンパーシステムについては、図 8.1 のようにフィードバック（FB）すれば良い。

ように、ビーム pickup 信号を、Vc-Loop の信号と合成させて空洞に投入する（FB する）。その際、ビー

図 8.1 に、結合バンチ不安定性を抑えるための FB

ム pickup 信号はモード・フィルターを通し、結合バループ（CBI ダンパーシステム）の基本ブロック図を示す。まず、RF 基準信号（マスターオシレータ）

42

ンチ不安定に対応する特定の周波数のみを通過させ、また、結合バンチ不安定を抑えるように FB 信号のゲ

イン、位相 が調整される。同時に、Vc-Loop が CBI

域が 100kHz 程度（∼ frev ）で、かなり狭く、複数のダンパーに影響しないよう（あるいは制御が不安定

モード (µfrev ）に対してゲイン・位相が大きく変わにならないよう）、Vc-Loop の帯域／ゲインなどに注るため（図 10.2 参照）、モード毎に独立した調整が不意する必要がある。

可欠になる。そのため、図 8.2 をモード別に並列に組み和せる構成（parallel comb ﬁlter 方式）になる。

図 8.2 にモード・フィルターの通過特性について示

クライストロン特性は予め測定して分かっていれば、す（µ = −1 の例について示している）。特定のモーそれに対し補正することも可能であるが、通常クラドの周波数のみを通過させるこのバンドパスフィル

イストロンごとに個体差が大きく、また運転条件（カターが、CBI ダンパーシステムにとって最も重要な

ソード電圧など）によっても大きく変わる（帯域が狭役割を担う。そのため CBI ダンパーとは、このモー

いと特に変化が大きい）。

ド・フィルターを指す場合が多い。そして、図 8.2 に示すような非常に狭帯域な通過特性をどのように実ところで、fs が数 kHz であることを考えると、他現するかが、このシステムの最も重要なノウハウでの振動（周波数成分）に影響を与えないようにするあり、この章のテーマである。

は、この BPF の帯域は（モード毎に）1kHz 程度が要求される。RF 周波数が 500MHz に対してバンド幅

次節以降、周波数に関して具体的な数値も示してが 1kHz の BPF というのは極端に狭いと言える（Q

説明するので、、周波数の記号は角周波数 ω より主に

値 ∼ 106 程度の超伝導空洞に相当）。また、BPF の

f を使って表す。

中心周波数を 1kHz に対して十分な精度で任意に調整できる必要がある。普通のアナログ回路や共振器

8.2 CBI モード・フィルター

等で直接このバンド幅と中心周波数の精度を実現するには非常に困難である（仮にできたとしても不安

この節では、KEKB ／ SuperKEKB で採用されて定で調整が難しく使い物にならいであろう）。以上よいる CBI モード・フィルターについて構成機器の詳り、このモード・フィルターには少し工夫した構成が細を説明する。

必要になる。
図 7.11 に示すように、結合バンチ不安定性の各

では、具体的にどのような方法で、図 8.2 のようなモードには excite させる周波数成分と、damp させる周波数成分がある。µ = −1 モードを例にすると、excite させる周波数は frf − frev + fs （それぞれ RF

透過特性を実現するかを、以下に説明する。

周波数変換（frfをさっぴく）

周波数、周回周波数、シンクロトロン周波数）である。この excite させる周波数成分だけ FB させて

(f

beam

キャンセルさせる。また damp させる効果の周波数

fbeam

成分（f > frf 側のサイド）は残したほうが良い。

+ frf) frev − fs

(f + f − f )fbeam − frf

rf

rev

frf − frev + fs

そこで、CBI モードフィルタは、図 8.2 のようBand Pass

なバンドパスフィルター（BPF）になる。この図は

frfµ = −1 モードの場合を示しているが、これをモーDown Conv.

frf
Up Conv.

ド毎に並列に組み合わせる。一般的には（後述する
図 8.3 特定の周波数を通す狭帯域 BPF の基本的な考え方。RF 周波数の差分（fbeam − frf ）に周波数を変換（down-convert）して BPF を通した後にRF 周波数を加えて戻す。ただし、これだけでは不十分。

ように）複数のモードを一斉にフィルターする櫛形フィルター（間隔が frev ）を用いるが、モード毎に独立にゲイン調整や位相調整できるほうが柔軟に対応できる。特に SuperKEKB ではクライストロン帯43sまず、基本的な考え方を図 8.3 に示す（信号の流れ

I/Q復調の向きは左から右であることに注意。以降も同じ）。

Down Conv.

-90°

図のように、ビーム pickup 信号の周波数（fbeam ）

frf

fbeam

を、ミキサー（信号の掛け算→周波数の引き算、足しI/Q変調

DigitalBPFµ=-1

lowpass
filterUp Conv.

-90° -90°

-90°

µ=-2

fbeam − frf算）を用いて低い周波数に変換（down-convert）すfrf

fbeam < frfµ=-3

る。この場合は、frf を引き算して、frf のサイドバ
ンドのみを残す。このように周波数変換された信号

SSBF（fbeam − frf ）に対して BPF を適用する。この BPFの中心周波数を fref − fs （µ = −1 の場合）とする。
そして、また逆に frf を足し算して高い周波数に戻

図 8.4 実際の CBI モード・フィルターの構成ブ
ロック図す（up-convert する）ことで元の周波数帯に戻る。
このようにして、特定の狭い帯域の BPF を実現することができる。SuperKEKB では、µ = −1, −2, −3
モード（∼ −3frev ）を考えているので、fbeam − frf

透過率は 0∼500kHz 程度の範囲で考えれば良い。

1

fbeam < frffbeam

しかし、これだけでは、frf のサイドバンドの両側（frf より高いか低いか）が区別されず、up-convet で元の信号が正しく復元されない（不要な成分が出て

frf − frev + fsくる）。また、三角関数の公式を考えれば分かるように、正弦波信号の積は周波数の足し算と引き算の両

frff

図 8.5 Single Sideband Filter の透過特性：RF周波数より低い周波数だけを通過し、RF 周波数より高い成分は阻止する。

方が出てくるため、これらが混在してしまう（図 8.2のような特性にはならない）。従って、もう一工夫必要である。
実際に使用されている CBI モード・フィルターの伝送特性と模擬空洞を用いたループ特性

構成ブロック図を図 8.4 に示す。図の破線で囲まれ１

フィルター特性になり、図 8.5 に示すような透過特10-1性を持つ（詳細は後述する）。SSBF は図のように、

10-2

frf より高い周波数を阻止し、frf より低い周波数だ

10-3

透過率

た部分は、sinle sideband ﬁlter (SSBF）と呼ばれるけを通過する特性を示す。SSBF では、frf においてステップ関数的な特性を示す必要がある。

10-4

µ=-3

µ=-2

µ=-1

frf =508.9MHz

frf − 2 frev + fs

frf − 3 frev + fs

frf − frev + fs

10-5
10-6

SSBF の機能が、同時に down-converter と up-

10-7

converter（図 8.3）の役割をする。SSBF の間に各750 kHz

周波数

モードに対応する BPF が並列に接続され、挟まれている形になっている。この BPF は後述する通りデジ

図 8.6 実際の CBI モード・フィルターの透過特性（測定結果）タル・フィルターを用い、各不安定性モードの exciteに対応する周波数のみを通過させる。

44

ループゲイ

実際の CBI モード・フィルターの透過特性を測定した結果を図 8.6 に示す。横軸が周波数（中心がRF 周波数）で、縦軸が透過率である。縦軸は log ス
ケールであることに注意。この測定の時は、デジタル BPF がひとつで、モードを変えて測定したものを重ねている。このように、RF 周波数より高い成分は完全に遮断され、µ = −1, −2, −3 モードに対応した周波数成分だけ通過しているのが分かる。図 8.1 に示すように、ビーム pickup 信号は、このフィルターにより CBI モードに対応する周波数成分だけ残され、空洞にフィードバックさせる。
では何故、図 8.4 に示すブロック図から、図 8.5 に示す（ステップ関数的な）SSBF の透過特性が得られ

図 8.7 SuperKEKB 用 CBI ダンパーの性能評価
試験のセットアップ。模擬空洞（Q ∼ 9000）を用い、µ = −1, −2, −3 モードの周波数について並列にフィルターして FB ループを構成。

るのか、この動作原理については後で詳しく説明する。

8.3 CBI ダンパーの適用例
モード・フィルターの詳細を説明する前に、Su-

perKEKB 用に新たに開発された CBI ダンパーを実際に適用してみた結果を紹介する。
まず、テストベンチにおける CBI ダンパーの性 Figure 7: Block diagram for the FB loop evaluation (Top),

能評価試験結果を示す。図 8.7 が評価試験のセッ and the damping characteristics for the FB loop (Bottom).
トアップ、図 8.8 がネットワークアナライザによる測定結果である [33]。図 8.7 に示すように、模擬

beam pickup
signals, but we plan to use cavity pickup signals
Figure 14: The result of damping test for cavity impedance in a bench test using a
空洞（Q ∼ 9000）を用いて FB ループを組んでいsimulant(Q = gain9000). in Phase-2
largerActual
図 8.8cavity
SuperKEKB用 CBI commissioning.
ダンパーの特性評価
Figure 5: Pictures of LCBI dampers. The top figure is for getting
る。
CBI
モード・フィルターは、
SSBF
において
3
beam
test
in
Phase-2
is
also
the
test
for
confirming
effective結果（ネットワークアナライザによる測定結果）。
internal circuit of SSBF, and the bottom figure is BPF.
pickupsignals.
= −1,cavity−2, −3
モードについて期待通り模擬空洞
つのデジタル BPF（DF）を並列に接続し、それぞ ness ofµusing
For
next
step
of
this
damper,we consider thatFB
allでdigitalのインピーダンスが下がっている（励振がれ µ = −1, −2, −3 に対応するを周波数を並列に
ized LCBI
damperwhich
isperformed
by
FPGA.
Figure 10
キャンセルされる）。
フィルターする。この結果、図 8.8 に示すように、
shows design of LCBI damper for the next version. Bandµ = −1, −2, −3 モードについて期待通り模擬空洞の pass filters and main structure of system are kept from latest
25
インピーダンスが下がる（空洞励振が FB ループによ version, and SSBF is provided by Hilbert transformer. If it is
ム運転で、
HER
700mAfor程度のビーム電流
we willuseにおいてdirect sampling
analog-digital conりキャンセルされる）ことが確認できた。図の横軸 possible,
version.
For
SuperKEKB
RF
system,BPF
is full digitalizedを蓄積した状態で、CBI ダンパーを適用し、µ = −2は周波数（中心が RF 周波数）、縦軸がゲイン（空洞damperiseasierto
produce
additionally,soitisimportant
入力に対してに励起されるパワーの比）を表す。縦 for モードを抑制する試験を行なった。この電流では通high luminosity accelerators.
常 µ = −2 モードの不安定性は起きないため、超伝軸の単位は [dB]（log スケール）である。[dB] 単位
導空洞の共振周波数を-200kHz ずらして、意図的には 10 ごとに一桁パワーが異なる。
CONCLUSIONµ = −2 モードを励起させた。
Developed new LCBI damper performance satisfies our
次に、実際にビーム運転で、結合バンチ不安定性を required specifications. According to results of characterisµ = −2 the
モードの結合バンチ不安定性をダ
new SSBF provides an 80-dB CBI
reduction
抑制した結果を紹介する [45]。SuperKEKB のビー tic evaluation,
for ンパーにより抑制した結果を図
stopbands, and passbands exhibit8.9
goodflatness. SSBFに示す。この図
Figure 6: Frequency characteristics of SSBF transmission and digital BPF was improved and their characteristics isvery well. In the feedback loop characteristics, impedance
and that of KEKB damper.
45
damping is confirmed at the respective LCBI modes. In
calculation of LCBI growth-rate (especially µ = 1 mode),
amplitude of bunch oscillation with beam current increase

が確認できている。以上により、SuperKEKB 用に(a) Beam pickup signals without damper for µ = −1 and µ = −2 modes

frf-2frev

frf-2frev+fs

新たに開発された CBI ダンパーが正常に機能するこが確認できた。

sync. osc.

HER では、蓄積電流 700mA 以上で µ = −1 モードの結合バンチ不安定性が起きるので、すでにこのCBI ダンパーは不安定性を抑えるために実用してい10 kHz (@µ=-2)

る。CBI ダンパーがないと結合バンチ不安定性によりビーム電流が制限されるため必要不可欠なものと(b) Beam pickup signals with damper for µ = −1 and µ = −2 modes

なっている。

CBI ダンパーの適用で実際に行なっていることは、
図 8.1 に示すように FB ループを構成し、モード・フィルター（DBPF）の中心周波数を frf − 2frev + fsに設定する。そしてゲインと位相をスキャンして、図8.9 の下のようにサイドバンドが小さくなるところを探す。あるいは、不安定性が起きる前に CDBI ダン

Figure 16: Spectrum of beam pickup signals without feedback(a) and with feedback(b)for 図µ = −2 mode.
用
ダンパーの特性評価

8.9

SuperKEKB

CBI

パーを適用する場合は、不安定性を励起させるゲイ

結果（ネットワークアナライザによる測定結果）。
µ = −1, −2, −3 モードについて期待通り模擬空洞
28のインピーダンスが下がっている（励振がFB でキャンセルされる）。

ン、位相を探して、位相を 180 度反転させるという方法もある。
よりシステマティックに調整する場合は、予めオー
プン・ループの特性を評価しおく必要がある。例えは、ビーム pickup 信号をスペクトル・アナライザ

ば、CBI ダンパー側から強制的に信号を出し（ビーム（周波数成分分析器）で測定したものである。横軸振動を励起し）、ビーム pickup 信号がどう見えるか、が周波数で、縦軸はビーム pickup 信号の周波数成周波数をスキャンしながら応答の特性を測定（ネッ

分（その周波数の信号パワー）を log スケールで表

トワーク・アナライザ測定）する。その結果から、シしている。上の図が結合バンチ不安定性が励起されステムの特性（抑制効果、安定性）を評価するともにている様子を示す。下の図が CBI ダンパー適用に最適なゲインと位相も求める。これを行なう場合は、より不安定性が抑制された様子を示す。図の中心周

そのための測定機能をシステムに組み込み、ビーム

波数が frf − 2frev 、その右側にあるサイドバンドが運転によるスタディを要する。

frf − 2frev + fs で、µ = −2 モードの excite 効果に当たるシンクロトロン振動の周波数である（この時、ここで一つ補足しておくと、上記の適用例では、一つの空洞（片リング 15 程あるクライストロンのfrf = 508.9MHz, f rev = 100kHZ, fs = 2.5kHz）。

１ヶ所）だけに適用している。しかし、SuperKEKB
図 8.9 の上で、励起された µ = −2 モード（frf −のデザイン電流では、図 7.13、7.14 で示したよう

2frev + fs ）が、CBI ダンパーを適用した結果、下のに、µ = −1 モードの growth rate は（KEKB に比

図ではほとんどサイドバンドが見えなくなっているべて）非常に大きくなる。そのため、１空洞だけでのが分かる。

は抑制するゲインが足りない可能性も指摘されている [35,46]。そのため、複数の空洞（クライストロン）µ = −2 モードの例を示したが、µ = −1 モード

に対して本 CBI ダンパーを適用する必要があると考（frf − frev + fs ）についても、同様に抑制されること

えている。

46

fbeam − frf > 0-90°

fbeam − frf < 0

8.4 Single Sideband Filter
ここでまた図 8.4 に戻る。このブロック図から、図

I/Q復調

I/Q変調

Down Conv.

Up Conv.

sin成分 -90°

8.6 に示すモード・フィルターの特性が得られる理由について、詳細を以下で説明する。まず、Single

simulation. These plots show the frequency characteristicsof the polyphase filter that we-90°
f -90°-90° frf
fbeam Therffilter performance calculated using Eq. (4) agrees with the results of the
adopted.

Sidband Filter（SSBF）についてである。

circuit simulation. The resulting
beamresonancerf points of each polyphase filter (= 1/RC) weref

−f

20 kHz, 40 kHz, 80 kHz, 160 kHz, 320 kHz, and 900 kHz.

fbeam < frf

cos成分

SSBF の原理を簡単に示したものが、図 8.10 である。まず入力信号を 2 つに分け、それぞれ frf でdown-convert する際に、互いに 90 度ずれた成分（sinfbeam − frf < 0

成分と cos 成分）に変換する。このように、ある周
図 8.10波数（この場合 frf ）をベースにして sin 成分と cos

Single sideband ﬁlter の原理

Figure 8: The functional block diagram of the single side-band filter.

成分のベースバンドに落とすことを I/Q 復調という（I: inphase, Q: quadrature）。

sin 成分と cos 成分（それぞれ I 成分、Q 成分とも言う）を得ることで、frf より高い周波数成分と低い周波数成分に分離できる。言い換えると、frf に対して
位相が左回転に見える成分と、右回転に見える成分とが得られる。逆に言うと、このように直交 2 成分に分離しないと、正負の周波数が分離されず、正しい

Figure 9: The circuit of the 90-degree polyphase filter of our dampers.

図 8.11up/down-convert にならない。

3.4

そして次に、sin 成分のほうの位相を-90 度シフトさ

90◦ polyphase ﬁlter の回路図（6 段の例）

Digital bandpass filter

frf

The DBPF described in section 3.2 is implemented
in a field programable gate array=508.9MHz(FPGA).１
It transmits signals only within a frequency range centered on the frequency

せると、ベースより高い周波数成分については、cos

10-1

ついては cos 成分と同じ位相に揃う。従って、この10-2

2 つを合成すると、高い周波数成分はキャンセルし、低い周波数成分は 2 倍となる。

透過率

成分と比べて 180 度ずれて、逆に低い周波数成分に

19

10-3
10-4
10-5

これをまた逆に sin 成分と cos 成分に分け、それぞれ

10-6

1 MHz

周波数

を up-convert（I/Q 変調）すれば、高い周波数成分25がなくなった元の周波数帯が得られる。このように
図 8.12して、図 8.5 の透過特性が得られる。逆に、高い周波

SSBF 単体の透過特性（測定結果）

数成分を通過させたい（低いほうを阻止したい）場合
は、sin 成分／ cos 成分を逆にすれば良い。
フラットな特性が必要）。そのような特性を passive
ここで、sin 成分について「-90 度シフトする」ことな回路で実現する場合、図 8.11 に示すように、抵抗が重要であるが、frev − frf のすべての周波数についR とキャパシタ C の並列回路の組み合わせで実現て（周波数に関係なく）90 度シフトする必要がある

する [34, 47, 48]。このような回路を 90◦ polyphase（最低でも、ここで考えている 0∼500kHz の帯域でﬁlter と言う。

47

図 8.11 は SuperKEKB 用 の CBI ダ ン パ ーarray）を用いて構成する。FPGA は現代のデジタ（SSBF）に 使 用 さ れ て る 回 路 と 回 路 パ ラ メ ー タ

ル・デバイスでは当たり前のように使われているも(R, C ）を示している。図のように RC 並列回路をので、ロジック回路をソフトウェアのようにプログ6 段組み合わせている。それぞれの段で、ω = 1/RC

ラム可能（書き換え自由）で、ハードウェアと同等にの周波数において pole を持ち 90 度位相が回る。多高速動作を可能にするものである。

段であるほど広い帯域でフラットな特性が得られる。

R, C のパラメータの最適化は回路シミュレータを用

8.5.1 DBPF 概要

いて行なっている [49]。SSBF 単体の透過特性（測定本 CBI ダンパーで使用している DBPF のブロッ結果）を図 8.12 に示す。縦軸が周波数（中心が RF

ク図を図 8.13 に示す。この透過特性を図 8.14 に示周波数）、横軸が透過率（log スケール）である。図す。モード µ = −1, −2, −3 の場合の例を示していのように非常に良好な特性（通過帯域、阻止帯域それる。この BPF は、図 8.4 に示すように、I/Q 復調さ

ぞれのフラット性）が得られている。frf で完全にスれた信号（fbeam − frf ）に対し、CBI モードに対応

テップ関数的な特性ではないが、各モードの BPF でした周波数 −µfrf − fs のみ通過させる機能を担う。

フィルターされるので、実用上は問題ない。

図 8.13 の機能について詳細を以下に説明する。

ちなみに I/Q 変調、I/Q 復調について、図 8.10 のAD 変換された信号（デジタルデータ）は、sin 成

ブロック図は原理的な説明にすぎない。図のように

分、cos 成分に変換（down-covert、I/Q 復調）され普通にミキサーを使った単純な回路では、なかなかる。ここは SSBF と似ているが、−µfrf −fs の周波数

理想的な特性は得られない（振幅・位相の依存性が大きい）。これらの特性は SSBF の透過（片側阻止）
特性に大きく影響する。幸いなことに、I/Q 変調器、復調器は現代の通信機器（伝送情報の多重化等）でをベースに down-covert される。また、down-covert
はデジタル演算（信号データを正弦波のデータと掛け算）で行われる。図中の NCO（numerical controlledも重要で欠かせない技術であり、市販品として非常

ωµ = −µωrev + ω sに優れた特性のデバイスが容易に入手できる。そこ

fbeam − frf− µ f0 + f s

で SuperKEKB 用の SSBF でも市販の I/Q 変調器、

I/Q 復調器を使用している。
8.5 Digital Bandpass Filter

Figure 11: The functional block diagram of the digital bandpass filter on FPGA.

では次に、デジタル bandpass フィルタ（DPBF）

図 8.13 CBI ダンパーで使われているデジタル
BPF の機能的ブロック図について説明する。DPBF は、図 8.4 に示すように、

down-convert された信号に対して各モードの周波数

透過率（−µfrev − fs , µ = −1, −2, −3）のみを通す BPF で− µ frev − fs

ある。
通過帯域

低い周波数に down-convert されたとはいえ、帯域 1kHz はかなり狭帯域の BPF と言える。また、不22安定性モードに対し、周波数および位相を精度良くf調整する必要があり、かつ遠隔操作（状況に合わせ

0ていつでも変更）が要求されるパラメータであるため、ここではデジタルフィルターを用いている。デジ

図 8.14

タルフィルターは FPGA（ﬁeld programmable gate

デ ジ タ ル BPF の 透 過 特 性（µ =−1, −2, −3 の例）

48

oscillator の略）が、−µfrf − fs の信号を生成するも波成分に注意する）必要がある。本システムでは RF

ので、動作クロックおきに正弦波データを出力する。

信号を 5 分周した信号（frf /5 ∼100MHz）をクロッ

down-covert は、この NCO 周波数成分を取り出すイ

ク信号として用いている。また、ADC および DAC

メージである。

は 16-bit（内部処理は 24-bit 以上）である。

互いに位相を 90 度ずらした 2 つの NCO データにここで補足しておくが、NCO で down-covert せず

より、信号データを sin 成分、cos 成分に変換できる。

に（LPF ではなく）、ダイレクトに BPF 特性を実現

この 2 つの成分に対して（デジタルの）ローパス・するデジタル・フィルターも当然可能である。このフィルター（LPF）で高い成分を落とす。これらを合場合は 2 成分に分離する必要はない。しかし、NCO

成し、再び NCO で up-convert（I/Q 変調）、そしてを用いたほうが、BPF の中心周波数が高い精度で容DA 変換出力することで、BPF の機能が実現される。

易に設定可能である。また、上述のように、NCO の

BPF の帯域は LPF の通過帯域（詳細は後述）に相当

位相変更により、容易に FB 位相の調整が各モード独する。up-convert の際、NCO の位相を down-covert

立にできることも、この方式の大きな利点のひとつ側と変えることで、FB ループ位相の変更が各モードである。帯域幅もこの方式のほうが容易にパラメー

独立に簡単に実現できる（図 8.13 参照）。また、図でタひとつで設定できる。精度はクロック周波数と扱は省いているが、AD 変換後もしくは DAC 出力前にう bit 数にも依存するが、本システムは、周波数の分

おいて係数を掛けることによりゲイン調整も可能と解能が約 10Hz、位相は約 0.5 度程度である（実用上、なっている。

位相１度の精度があれば十分である）。

sin 成分と cos 成分に分ける理由は、SSBF と同様

8.5.3 Digital Lowpass Filter (DLPF）に、ベース周波数より高い周波数成分と低い周波数成分（位相の左周りと右回り）に分離するためである。
このように直交 2 成分に分離しないと正しい BPF

次に、図 8.13 にあるローパス・フィルター（LPF）
について説明する。本システムで行なっているデジタル LPF のブロック図を図 8.15 に示す。これはにはならない（理由を考えてみると良い）。

IIR（inﬁnite impulse response）フィルターの１種で、１次遅れの（図 8.16 の回路と同等の）最も基本

8.5.2 Numerical Controlled Oscillator (NCO)

的な LPF である。n 番目の入力データ xn に対する

NCO は信号発振器のように、正弦波データ（毎出力が yn である。WL が LPF の帯域を設定するパクロックが位相の進みに相当）を出力し続ける機

ラメータである。z −1 はひとつ過去（ここでは n − 1

能である。これを DA 出力すると、Direct Digital番目）のデータを参照する（保持する）ことを意味す

Synthesizer（DDS）になる。通常、NCO の正弦波る（後述参照）。本システムは、これを 2 段にして、データは、三角関数の lookup table（LUT）を用いより帯域を狭くしている。

て作られる。LUT（配列）の参照アドレスが位相に対応する。本システムの NCO では LUT に加え、直IIR
Lowpass Filter

線補間（線形内挿）を行なって三角関数の精度を上げている。近年では三角関数を扱う FPGA 用パッ

xn + +

ケージ（CORDIC と呼ばれる関数的機能）も利用できる。CORDIC のほうが精度は良くなるが、演算処-理に時間が必要なので、NCO 周波数と動作クロック

WL = ω1/2Δt

+

+

+

yn
z-1

（速さ）に依存する。この NCO により、任意の周波数の正弦波データが作れる。ただし、動作クロック

図 8.15 デジタル LPF のブロック図。もっとも
1
基本的な LPF。

は NCO 周波数より十分に高い（エイリアスや高調

49

R

1
τ=
= RC
ω1/2

x

C

と、計算すべき漸化式が得られる。これをブロックy

図にしたものが図 8.15 である（ただし、一般的には
図 8.17 のように書かれる）。ここで、LPF の帯域設
定は、WL = ω1/2 ∆t とパラメータを与えれば良い。

図 8.16 抵抗とコンデンサによる最も基本的なローパス・フィルターの回路

このような単純なフィルターであれば、演算処理
は（ADC 変換の値に対して）整数で処理することになる（これだけなら浮動小数点演算をするまでもな

一般的に、デジタル・フィルターの設計は z 変換
（離散化データを扱う伝達関数）なるものを考えるが、
図 8.16 に示す単純な LPF では RC 回路の微分方程い）。従って WL についても整数（固定小数点）として扱うので、bit 長と小数点（桁）の関係に注意が必要である。また、サンプル間隔に比べて帯域幅を非式を考えれば容易にフィルター処理（離散化）の計算

常に狭くする（∆t も ω1/2 も非常に小さい）と、WL式を得られる。あるいは、この回路の伝達関数 H(s)が小さくなりすぎて精度がなくなる。従って、欲しい（狭い）帯域幅に対してはサンプル間隔（クロック1
1
H(s) ==
1 + s/ω1/2
1 + τs周波数）を適切に選ぶか、bit 長を十分大きくするこ(8.1)とが必要である。

から s = d/dt と置き換えても（ラプラス変換から考ここで少し補足しておくと、図 8.15 に示した LPF

えても）同じである。ここで ω1/2 は、LPF の帯域のブロック図は、一般的には図 8.17 のように書かれ（電力で半分になる周波数）で、ω1/2 = 1/τ = 1/RC

る。この図に合わせると、式 (8.4) は、である。

yn = ω1/2 ∆t · xn + (1 − ω1/2 ∆t)yn−1 (8.5)

そうすると、入力 x に対して出力 y は、dy+ ω1/2 y = ω1/2 xdtと書かれることになる。もちろん式の上では、式(8.2)(8.4) と (8.5) はまったく同じである。しかし、上で述べたように、整数演算する場合、精度が問題になという関係になるので、離散化データを扱うためにる。帯域を狭くして WL が小さくなる場合は、先に差分式にすると、

yn − yn−1+ ω1/2 · yn−1 = ω1/2 · xn∆t示した図 8.15 のほうが精度が保てるので、実用的には図 8.15 のように処理するのが良い [50]。

(8.3)

Lowpass Filterとなる。ここで ∆t は離散化のサンプル時間間隔でxnある。ここで n の定義（数え方）によっては（ xn , yn

WLとするか xn−1 , yn−1 とするか）で若干異なる式になz-1

るが、通常デジタル LPF では、上記のようにする（∆t が十分小さければ、どちらでも近似的に同じ）。
これより、

WL = ω1/2Δt
図 8.17yn = yn−1 + ω1/2 ∆t(xn − yn−1 )

yn

+

(8.4)
50

1-WL

基本的なデジタル LPF のブロック図

8.6 Digital Filter と z 変換の係数 ak , br を求める、ということになる。ちなみに、ak = 0 の場合は FIR（ﬁnite impulse response）

少し話が逸れるが、ついでにデジタル・フィルター

フィルターとなる。

と z 変換について簡単に説明しておく。この後に説明する comb フィルターにも関係する。また、別の

ここで、z 変換という離散化データの（サンプル間

章で扱う時間領域シミュレーションにも関係する。

隔を基準にした）周波数領域のようなもの（z 領域）が利用される。

デジタル・フィルター（あるいは数値シミュレーション）は、基本的に線形システムであれば、離散化

z 変換による定義においては、xn−r = z −r xn 、されたデータ（過去に処理したデータを含む）に対

yn−k = z −k yn と書くことができる（k, r は 0 以上のして順次、係数を掛けて足し引きするしかない。そ整数）。つまり z −n は、n サンプル過去のデータを参の演算処理をブロック図にすると図 8.18 のように表照するための演算子の役割をする。そうすると、式せる。ここで、図 8.13 同様に、n 番目の入力データ(8.6) から（z 領域における）伝達関数 H(z) は、

xn に対する出力が yn である。n はデータ羅列の順
番を表すもので、クロックの（時間的な）同期タイミ
ングを意味するものではないことに注意。z −m は m

M
X個過去のデータ（m 回保持したデータ）を参照する

yn= H(z) =xn

ことを意味する。

br z −r

r=0
N
X

1−

(8.7)
ak z −kk=1

図 8.18 を式で表すと、と表すことができる [51]。

yn =

N
X

ak yn−k +MX

br xn−r(8.6)

もう少し、z 変換とその伝達関数について補足する

r=0

k=1

と、それぞれの定義は、フーリエ変換などに類似して、となる。デジタル・フィルター（あるいは時間領域の数値シミュレーション）で具体的に処理するのは、このように次のステップの値を得るための漸化式の形

X(z) =である。従ってデジタル・フィルターの設計というのH(z) =yn+z-1

hn z −n(8.8b)

時 1 回だけ”1”が入ったときの出力）である。

a1

z-2

z-2
b2

∞
X

である。ここで hn は系のインパルス応答（n = 0 の

z-1
b01
b

(8.8a)n=−∞

Digital Filterb0

xn z −nn=−∞は、必要なフィルター特性が得られるように、式 (8.6)

xn

∞
X

式 (8.8a) で、z = ejω と置くと、離散化データ xna2に対するフーリエ変換になることが分かる。これよ
z-Ｎ

z-M
bN

り、伝達関数 H(z) において、z = ejω を代入するこaMとで、デジタル・フィルターの周波数特性が得られる（ただし、サンプリング周波数 1/∆t が 1Hz に相図 8.18 デジタル・フィルターの一般的な処理を示すブロック図

当する）
。

51

また、n ≥ 0（t ≥ 0）だけで定義し（n < 0 でら得られるのが興味深い。式 (8.12b) の形を見ると

xn = 0 として）、z = es∆t と置けば、同様に xn のIIR フィルターのようにも見えるが、移動平均は当

ラプラス変換に対応する（∆t は離散化のサンプル時然（式 (8.12a) からも）FIR フィルターの一種である間間隔）。ちなみに、es∆tは連続系（s 領域）におけ（この周波数特性がどうなるかプロットしてみるのもる遅延時間 ∆t の伝達関数に相当する。

良い）。

さて、前節の LPF（式 (8.4)）について、式 (8.6)(8.7)

デジタル・フィルターの設計では、欲しいフィルの関係に従って z 変換の伝達関数で表すと、ター特性を持つ伝達関数 H(z) を求めることができれば、式 (8.7) と式 (8.6) の関係から、具体的に処理

HDLPF (z) =WL
1 − (1 − WL )z −1

する演算式（式 (8.6) の係数）を求めることができ(8.9)

る。しかし、普通は求める周波数特性からダイレク
トに H(z) が分かるわけではないので、アナログ回路（連続系）の伝達関数 H(s)（s 領域）から H(z)（zとなる。

領域）に変換対応させるのが素直な方法である。
他に簡単な例として、N 回の移動平均を考える。

s 領域と z 領域は、

基本的な移動平均の演算処理は

yn =

xn + xn−1 + ... + xn−(N −1)
N

z = es∆t , s =(8.10)ln(z)∆t(8.13)という関係にある（∆t はサンプリング間隔）。これである。また移動平均（式 (8.10)）は、

より、ln(z) を近似した形（オイラー展開）を利用す

yn =

る。

N yn−1 − xn−N + xn
N

= yn−1 +xn − xn−NNln(z) = (z − 1) −(8.11)(z − 1)3(z − 1)2
+
− ...
2
3
(8.14)と処理（変換）することもできる。ここで xn−m =z −m xn と書けることを踏まえると、移動平均の伝達なので、一次の項だけ考えると、

関数 HMA (z) は、s≈yn
HMA (z) =xni
1 h
1 + z −1 + z −2 + ... + z −(N −1)
N(8.12a)
−N
1 1−z
=
·
(8.12b)
N 1 − z −1

z−1∆t(8.15)と近似できる。これは前進差分近似と言われる。通=常は、次の後退差分近似（z −1 を掛けて１つ後ろにずらした形）が用いられる。

s≈となる。上の式 (8.12a) と式 (8.12b) は恒等変換であ1 − z −1∆t(8.16)

り、前者は式 (8.10) の処理に相当し、後者は式 (8.11)に相当する。このように、どちらの場合も z 変換か

この後退差分近似は、他にも１次ホールド法や三角52近似などの呼び方がある。

あろう。

別の近似方法として、

ちなみに、前節の LPF の伝達関数 Z(s)（式 (8.1)）
について、後退差分近似で z 領域に変換すると、


z−1
z+1
"
#

3

5
z−1 1 z−1
1 z−1
=2
+
+
+ ...
z+1 3 z+1
5 z+1

ln(z) = 2 tanh−1WL
1 + WLHLPF2z (z) =z −1
1−
1 + WL

(8.21)(8.17)となる。ここで WL ≪ 1 として近似すると、式 (8.9)になる。
という展開式から、
ついでに、ここでデジタル・フィルター（z 変換）s≈

2 1 − z −1·
∆t 1 + z −1によるバンドパス・フィルター（BPF）を考えてみ(8.18)る。BPF の特性を実現する形はいくつか（ハイパスとローパスの組み合わせなど）種類はあるが、鋭いと、近似する方法がある。これは、双一次変換あるい

ピークを持つ１例として共振器のような特性を考えは Tustin 変換と呼ばれる。

ると、BFP の伝達関数（s 領域）は、

後退差分近似は、y = sx = dx/dt について、yn =xn − xn−1(1 − z −1 )xn=∆t∆t

HBPF (s) =(8.19)

ω1/2 s2
1/2 s + ω0s2 + ω

(8.22)と表せる。ここで ω0 は BPF の中心周波数（共振周
波数）、ω1/2 は帯域幅である。これに対して双一次変と離散化すると、式 (8.16) の関係が得られる。一方、換を利用して z 領域への変換を行なうと、双一次変換は、同様に y = sx = dx/dt について、

HBPF (z) =yn + yn−1
xn − xn−1=2∆t(1 − z −1 )xn(1 + z −1 )yn
=
→
2
∆t

b0 − b2 z −2
1 − a1 z −1 + a2 z −2

(8.23)の形が得られる。ここで、各係数は、(8.20)a1 =1 − A2
1 + B + A2

(8.24a)a2 =1 − B + A2
1 + B + A2

(8.24b)と離散化すると、式 (8.18) の関係が得られる。こう見ると、双一次変換は中央差分近似と言っても良さそうである（が、そういう記述は他に見られない）。

b0 = b 2 =いずれにせよ、これらは近似なので条件によってB
1 + B + A2

(8.24c)

期待する特性が得られない場合もある。精密なフィルター設計をしたい場合は、結局 MATLAB 等のシとなる。ただし、A = ω0 ∆t/2, B = ω1/2 ∆t/2 であミュレータや専用計算機ソフトに頼ることになるでる。これより、式 (8.23) と式 (8.7) を対応をさせる

53

透過率

と、式 (8.6) によりフィルター計算式を得ることがで

frev

通過帯域

きる。
しかし、式 (8.23) に従って得られた BPF の特性を計算してみると、中心周波数が ω0 からずれることが分かる。サンプル間隔を十分小さくすれば一致してくるが、その場合、上述したように帯域幅によっ

図 8.19 CBI ダンパー用 FB ループにおける櫛形フィルターの透過特性

適当なサンプル間隔で、特定の周波数（ここでは ω0 ）において整合性を良くするには、

I/Q復調(8.25)

f pickupという近似を用いると、うまく合わせることができ

frf

I/Q変調

lowpass
filterADC

Down Conv.

DigitalFilterUp Conv.

DAC

ω0
z−1
s≈
tan(ω0 ∆t/2) z + 1

ffrfては bit 長の精度が足りなくなる。このような場合、

-90°

-90°

frf

nfrev

fbeam − frf

位相補正

以上のように、デジタル・フィルターで直接 BPFの特性を作ることも十分可能であるが、求めるパラ

DigitalFilterメータ（係数）も単純ではなく、また中心周波数を精度良く合わせるためには注意が必要となる。中心周

図 8.20=Comb
FilterDigitalFilter

+

DAC

ADC

る [52]。

1-Turn
Delay

Phase

+ Equalizer

一般的な CBI ダンパーのフィルター構成

波数、帯域幅、位相について、それぞれ独立に精度良く調整することを考えると、やはり NCO と LPF の組み合わせ方式のほうがパラメータ（係数）も少なくが一般的である。通常、comb ﬁlter と”1-turn-delay”

すっきりして簡単である。

方式（後述）を組み合わせて、FB 制御ループを構成する [41, 53–56]。その際、文献にあるように、ビー

以上、デジタル・フィルターに関して（主に IIRム pickup 信号ではなく、加速空洞の pickup 信号をについて）紹介したが、これはほんの１部にすぎな使用して（ダイレイクト RF-FB ループと併用して）い。ヒルベルト変換や CIC（cascaded integration-

FB するのが一般的である（本質的にはどちらでも良comb）フィルターなど、FIR にも重要な役割を果たい）。これらの方式は、主に CERN の SPS や SLAC

すフィルターが多くある。IIR にしろ FIR にしろ、の PEP-II 加速器などで発展し、現在の LHC の運転

まだまだ奥が深くておもしろいので，別途、勉強してでも用いられている [57, 58]。

頂くことをお勧めする。

8.7

図 8.19 の comb ﬁlter 特性を得るための基本的

櫛形 CBI モード・フィルターな構成ブロック図を、図 8.20 に示す。第 8.4 節でこれまで SuperKEKB の CBI ダンパーシステムの SSBF と同様に、RF 周波数をベースに周波数を（parallel comb ﬁlter）について紹介したが、どちらdown-conver し、その際 sin 成分と cos 成分を得る

かというと、これらは特殊なフィルター方式である。

（I/Q 復調する）。その 2 成分に対して comb ﬁlter を適用し、再び up-convert（I/Q 復調）して周波数帯

歴史的には、図 8.19、8.20 に示すように、普通のを戻す。この comb ﬁlter もデジタル・フィルターに（直接的な）櫛形フィルター（comb ﬁlter）を用いるのより実現する（後述参照）。デジタル・フィルターは、

54

1-turn delay 機能と位相補償機能が含まれる。
∆θµ± = ±2πfrev td

図 8.19 を見ての通り、この方式は、周回周波数（frev ）の整数倍の成分（各モード、シンクロトロン振(8.26)である。従って、td = Trev として置けば、必ず隣り動のサイドバンド µfrev ± fs を含む範囲）すべてに対してフィードバックする形となる。このような FB合うモードの位相は 2π だけずれる、すなわち同じ

ループは、frev が低い（モードの間隔が狭い）場合や、位相に揃うことになる。従って、FB ループ遅延を

Trev として、あるモードで位相調整しておけば、どfrev に比べて空洞 detuning（optimum tuning）が大きい場合など、広い範囲のモードを一斉に抑えたいのモードに対しても、同じ位相で FB されることに場合に効果的である。ただし、この場合、不安定性をなる。ただし、上記のようにクライストロンを含む

damp させる効果まで抑制してしまう。また、モーFB システム全体の位相特性が、広い周波数帯域で補ド毎に独立なゲイン・位相調整が難しいため、RF シ

償されていることが前提である。

ステム（クライストロンなど）は広い帯域（広い周波数範囲で振幅・位相特性がフラットであること）が好このように、comb ﬁlter による CBI ダンパーでましい。それでもクライストロン特性（位相変化等）

は、1-turn delay FB を行なうのが一般的である。遅が影響してしまう場合は、予めクライストロン等の延機能は、基本的に遅延できればどんな方法でも良振幅・位相特性（open loop 特性）を評価しておき、

いが、通常はデジタル・フィルターの中に組み込む。

それを周波数に対して補正する機能を挿入する（先データを遅延させるということは、遅延分だけデーに述べたように SuperKEKB の場合はクライストロ

タを保持することになるので、遅延時間÷サンプル

ン帯域がかなり狭いので補正が難しい）。クライスト

間隔（td /∆t）の数のメモリが必要になる。サンプル

ロン等の位相補償機能（phase equalizer 等）につい間隔を短くすれば、遅延時間の調整分解能は良くなては、個々のシステムに依存するフィルター設計のるが、それだけ大きなメモリが必要になる。

話になるので、本テキストでは割愛する。
これより、1-turn delay を含めた FB ループの伝達関数は、s 領域では e−sTrev 、z 領域では z −Trev /∆t

ここで補足すると、本来 FB したい周波数は、µfrev

を掛けたものとなる。

ではなく、シンクロトロン振動の周波数成分（µfrev ±fs ）である。従って、図 8.19 のような単純な（µfrev

SuperKEKB のように、モード毎に独立に位相の）櫛形ではく、µfrev の両サイドに fs に対応する

2 つのピークを持つ comb ﬁlter（double peak comb

（delay）を調整できる場合は（parallel comb ﬁlter で

ﬁlter、図 8.29 参照）にする場合もある [41, 55]。詳は）、1-turn delay 方式は重要ではない。

細は後述する。

8.9 Digital Comb Filter
8.8 1-Turn Delay Feedback

一般に櫛形フィルター（comb ﬁler）は、デジタル・

CBI ダンパーの FB ループに対おいて、ループ遅フィルターで作るのが容易な方法である。この節で延をビームの周回周期（Trev = 1/frev ）に合わせて

は、デジタル・フィルターで、どのようにして櫛形おくことを 1-turn delay feedback と言う [2, 41, 53]。

のフィルター特性を得るかを説明する。また、先に述べた double peak comb ﬁlter を作る方法も紹介する。ここでまた第 8.6 節で説明した z 変換が登場

例えば、あるモード µfrev におけるループ遅延をする。特に図 8.18 と式 (8.6)(8.7) の関係が重要であ

td とした場合、隣のモード（(µ ± 1)frev との周波数る。

差は ±frev なので、FB ループの位相差 ∆θµ± は、以下の説明は、すでに離散化（AD 変換）された

55

xn

WL

|HDLPF(ej2πf)| （透過率）

Lowpass Filter

yn

+
z-1

WL = ω1/2Δt
図 8.21

1-WL

1.0
0.8
0.6
0.4

WL=0.40.2

WL=0.2

0.0
0.0

0.5

WL=0.1
1.0

1.5

2.0

周波数 [fclk][=1/Δt]

基本的なデジタル LPF のブロック図

図 8.22
デジタル LPF の周波数特性（伝達関数 HDLPF (ejω ) ）のプロット（WL = 0.1, 0.2, 0.4の例）

データについて扱うものである。また、周波数特性を示す場合は AD/DA 変換された場合の入出力特性

Arg[HDLPF(ej2πf)] [deg.]を表す。
まずは基本として、lowpass ﬁlter（LPF）の話に戻る。改めて、デジタル・フィルターにおける LPFの演算処理（ブロック図）を図 8.21 にを示す。また

z 領域の伝達関数を改めて書くと、

HDLPF (z) =WL
1 − (1 − WL )z −1

60
40
20
0

0.5

-20

1.0

1.5

2.0

-40
-60

周波数 [fclk][=1/Δt](8.27)
図 8.23

図 8.22 における伝達関数の位相特性である。z = ejω と置き変えることで周波数特性（ただし 1Hz がサンプル周波数に相当）が得られるので、HDLPF (ejω ) をプロットすると、図 8.22 のようになな成分を落とす場合と、AD 変換後にデジタル的に処理する場合がある。デジタル的に処理する場合は、る。図は、WL = 0.1, 0.2, 0.4 の場合について重ねてプロットしている。その位相特性を図 8.23 に示す。
横軸はサンプル周波数（1/∆t = fclk ) が 1 単位となる。通常は、この図の 0.5（fclk /2）より低い周波数）に対して LPF として使う（それより高い周波数はそ

サンプル周期の変換が必要になるので、データを間引いてから再び補間して戻す方法（CIC フィルター）などがある。
一方、この周期性を利用するのが、comb ﬁlter での前に落とされているものとする）。

ある。LPF では 1 つ過去のデータ z −1 を保持しているが、これを N サンプル過去のデータ z −N に変え

このように、LPF に限らず、fclk /2 より高い成分
は nfclk （n は整数）の差分の周波数として見えるた

Comb Filter

め、fclk ごとに周期的な特性になる。また、サンプ
ル周波数 fclk の整数倍の周波数成分は DC 成分と同xn

じに見える。LPF の場合、図 8.21 からも DC 成分

WL

yn

+
z-N

（変化のないデータ）はそのまま出力されることが分かる。このように fclk ごとに周期的な特性になって1-WLしまうため、通常は、fclk /2 以上の不要な高調波成分（エイリアス）が含まれないよう予め落としてお図 8.24

く。その場合、AD 変換前に（アナログ回路）で不要

56

基本的なデジタル comb ﬁlter のブロック図|HCF(ej2πf)| （透過率）

櫛形Notch Filter

N=4

1.0

xn

+

1-WL

0.8

yn
z-N

z-N

0.6

1-WL

-(1-WL)

0.4

WL=
0.4

0.2

0.2

0.0
0.0

図 8.27 comb ﬁlter を逆特性にした櫛形 notchﬁlter のブロック図

WL=0.1
0.5

1.0

1.5

2.0

周波数 [fclk][=1/Δt]

以上より、comb ﬁlter のピーク周波数は、サンプ

図 8.25 デジタル comb ﬁlter の周波数特性（伝達関数 HCF (ejω ) ）のプロット（N = 4, WL =0.1, 0.2, 0.4 の例）

ル周波数と何回データを遅延させるか、で決まる。
例えば、10MHz のサンプル周波数で、N=100 とす
ると、100kHz 間隔の comb ﬁlter になる。ちなみに、
遅延回数 N だけデータを保持するメモリの数が必要

Arg[HCF(ej2πf)] [deg.]

N=4

なにる。

60
40

では、これを応用して、櫛形の notch ﬁlter を考20える。comb ﬁlter の通過と阻止を逆にすれば良いの

0

0.5

-20

1.0

1.5

2.0

で、櫛形 notch ﬁlter の伝達関数は、

-40
-60

HNF (z) = 1 − HCF (z)周波数 [fclk][=1/Δt]=
図 8.26

図 8.25 における伝達関数の位相特性(1 − WL )(1 − z −N )1 − (1 − WL )z −N(8.29)のように得られる。これをブロック図にすると図る。つまり図 8.24 のようにする。こうすることで、|HNF(ej2πf)| （透過率）

comb ﬁlter が得られる（周期性が N 倍になる）。この場合の伝達関数は、

HCF (z) =WL
1 − (1 − WL )z −N(8.28)である。これにおいて、N = 4 の場合について周波数特性をプロットすると、図 8.25 のようになる

1.0

WL=0.2

N=4

0.8
0.6
0.4
0.2
0.0

0.5

1.0

1.5

周波数 [fclk][=1/Δt]（WL = 0.1, 0.2, 04 の例を重ねてプロット）。その位相特性を図 8.26 に示す。図を見て分かるように、サンプル周波数の間に N 回の周期性が得られる。この

図 8.28ようにデジタル・フィルターでは、comb ﬁlter の特HNF (e性が容易に得られる。

57

jω

2.0

櫛形 notch ﬁlter の周波数特性（伝達関数) ）のプロット（N = 4, WL = 0.2 の例）

8.27 になる。また、同様に周波数特性をプロットすcomb ﬁlter と notch ﬁlter の伝達関数の掛け算（HCF ·ると、図 8.28 のようになる（N = 4, WL = 0.2 の場

HNF ）になるので、それぞれのピーク帯域幅のパラ合）。

メータを WC , WN とすると、

この comb ﬁlter と notch ﬁlter を組み合わせると、HDPCF (z) = HCF (z) · HNF (z)上記に述べた double peak comb ﬁlter を得ることができる。その周波数特性の例を図 8.29 に示す。同様=にその位相特性を図 8.30 に示す。comb ﬁlter 側の幅を広めにして、それより狭い notch ﬁlter を組み

WC (1 − WN )(1 − z −N )[1 − (1 − WC )z −N ][1 − (1 − WN )z −N ](8.30)

合わせると、このように comb ﬁlter の中心に notchﬁlter で阻止帯域ができ、comb ﬁler のピークの両側と な る 。こ の 分 母 を 展 開 し た 式 に す れ ば 、式に double peak が作られる。

(8.6)(8.7) に従ってフィルター処理における計算式

double peak comb ﬁlter の伝達関数 HDPCF (z) は、（漸化式の係数）が得られる。

|HDPCF(ej2πf)| （透過率）

このように得られた double peak comb ﬁlter を
1.0

N=4

CBI ダンパー（FB ループ）のモード・フィルターに

WC=0.4, WN=0.05

適用する。その場合、comb ﬁlter および notch フィ

0.8

ルターの各ピークが frev の整数倍（frev = fclk /N ）0.6になるように fclk と遅延回数 N を選ぶ。また comb

0.4

ﬁlter と notch ﬁlter の帯域幅について、シンクロトロ

0.2

ン振動のサイドバンド ±fs に相当する double peak

0.0
0.0

が得られるようにパラメータを決める。ただし、先
0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

に述べたように、このようなモード・フィルターの場
合、不安定性を damp させる周波数成分も抑制して周波数 [fclk][=1/Δt]しまう。

図 8.29 double peak comb ﬁlter の周波数特性（伝達関数 HNF (ejω ) ）のプロット（N = 4, WC =0.4, WN = 0.05 の例）

comb ﬁlter のピーク周波数はサンプル周期に依存するので、parallel comb ﬁlter に比べて、ピーク周波数を精度良く調整することは難しい。といっても、

Arg[HDPCF(ej2πf)] [deg.]

N=4

最近のデジタル技術の発展は目覚ましく、かなり複WC=0.4, WN=0.05

雑なことが FPGA で実現できるようになってる。よ60

り進んで柔軟に高精度な調整できるシステムも考え40られている [59–61]。

20
0
-20

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

-40
-60

周波数 [fclk][=1/Δt]
図 8.30

図 8.29 における伝達関数の位相特性58Bunch #0

#639

#640

#1279

9 Bunch Gap Transient
この章では、RF システム（加速電圧）の安定性に係わる問題の一つとして、bunch (train) gap transient（BGT）について紹介する。
これまでの話では、どちらかというと周波数領域（インピーダンス）で考えるものが多かったが、BGT
は transient と言う通り、主に時間領域で取り扱われ

Abort Gap#4480

る問題で、一般的には過渡的なビーム負荷（transient

beam loading）と呼ばれる。

#5119

図 9.1 Bunch 電流モニターパネル：全バケット（#0 ∼ 5119）のバンチ電流を表示している。バンチ #4840 ∼ 5119 あたりがアボート・ギャップ

BGT は、SuperKEKB のように大強度ルミノシ
ティを目指す衝突型加速器にとって無視できない現象である。今のところ致命的とまでは言えないが、ルミノシティ低下を招く問題として、注意すべき大ンによってビーム不安定性が起こりやすいことも知きな課題のひとつと言える。

られている [63]。バンチ・ギャップはイオン除去の効果があり、イオン不安定性を抑える役割も果たす。

9.1 Bunch Gap Transient の概要
このように、一般的にバンチ・ギャップはリング加

ビームのバンチは、リング一周に渡り均等に入れ速器にとって必要とされるものであるが、加速空洞るのが基本である（等間隔のバンチ・トレインにすにとっては加速電圧を変動させる要因となる。通常る）が、通常、図 9.1 の右下のように、一部の領域のバンチ間隔は、空洞の時定数（ﬁlling time ∝ QL ）（一周の数 %〜10%）にバンチがない（トレインが途に比べて十分に狭いので、一定電流と見做せるが、ア

切れる）区間（バンチ・ギャップ）を作る。この図

ボート・ギャップのように、バンチ電流が大きく（速は、バンチ毎の電流を表示しているモニターパネルく）変わるところがあると、空洞の加速電圧に変調がである。h=5120 なので、バンチ No.0 ∼ 5119 につかかる。これを transient beam loading と呼ぶ。

いて、640 ずつ 8 段に分けて、各バンチの電流値を表示している。この図ではバンチ No.4840 ∼ 5119 あアボート・ギャップにより加速電圧が変動する様たり（右下）がバンチ・ギャップになっている。

子を図 9.2 に示す。横軸時間で、上側がビーム電流
このバンチ・ギャップは、アボート・ギャップと呼（バンチ・トレイン）下側が加速電圧（振幅、位相）を表している。図のように、バンチ・ギャップがある

ばれ、アボート・キッカー電磁石を立ち上げるためと、加速電圧が周回周期で変調され、加速電圧の振の猶予を与える隙間である。ビーム・アボートとは幅・位相がバンチ・トレインに沿って変化する。これ

異常時に大電流から装置を保護するためにビームをが bunch gap trainsient（BGT）効果である。

外に蹴り出し安全に捨てることである。ビーム・ア
ボートさせる時に、アボート・ギャップ（ビームがな
い隙間）のタイミングに合わせてキッカー電磁石をSuperKEKB の周回周期 Trev = 1/frev は約 10µs

立ち上げ、立ち上げ途中でビームを蹴ってしまわなである。ギャップ幅は、デザイン値は 2% である

いようにする [62]。

ので、時間にして ∆tg = 200ns になる。空洞の時定数（ﬁlling time, Tf ）は常伝導空洞（ARES 空洞）の場合（入力結合度にもよるが短いもので）Tf =また、ビームが一様に入っていると、真空中のイオ

2QL /ωrf ∼ 14µs程度であり、それに対してギャップ
59

Trev = 10 µ s

ib (t)

Vc , φc

これは、加速電圧の変調という現象においては、BGT

ビーム電流

Δt g

加速電圧（振幅・位相）

ΔV, Δφc

ΔV ω rf I b ⎛ R ⎞
=
Δt g
Vc
2Vc ⎝⎜ Q ⎠⎟

ω I sin φs ⎛ R ⎞Δφc = rf b
Δt g⎝⎜ Q ⎠⎟
2Vと同じと言って良い [64]。J-PARC リニアックの場
合は、RF 周波数が 324MHz と 972MHz（バンチ間t

隔は 324MHz の周期）で、ビームパルス幅 500µs の中に約 1µs 周期でバンチ・ギャップを持つ（chopped

Gap幅 << filling timecされた）ビームを加速する。ギャップ幅は約 500nstなので、定量的な評価は SuperKEKB と似たような条件になる。

図 9.2
Bunch gap transient の様子。バンチ・
ギャップがあることにより、加速電圧（振幅・位相が周回周期で変調される。

BGT 効果による加速電圧（振幅、位相）の変化量（∆V /Vc , ∆ϕc ）を定量的に求める場合、解析的な式では、幅がたった 200ns と言えど、バンチ電流が急激に 0になり元に戻るので、BGT 効果の影響は小さくない∆V
ωrf Ib=Vc
2Vc（定量的な評価は後述する）
。



Rsh
Q0

ωrf Ib sin ϕs
∆ϕc =
2Vc

この加速電圧の変動が問題になるのは、衝突点に


∆tg


Rsh
Q0

(9.1a)
∆tg(9.1b)

おいてである。加速位相が変わるということはビームのシンクロトロン振動の中心位置（縦方向の位置）から得られる [65, 66]。ただし、ギャップが空洞のが変わることになるので、衝突点において、ビーム軸

ﬁlling time に比べて十分短いこと（∆tg ≪ /Tf ）が方向の位置がずれることになる。SuperKEKB は衝前提である。これより、加速電圧の変動量はギャッ

突点で交差角があるので、相対的に相手のビーム衝

プ幅とビーム電流に比例することが分かる。

突点の位置がずれるとルミノシティが低下することになる。

実際、これまでの測定においても、上記の式から得られる値と大きく違いはない。しかし、後述するが、BGT の影響が両リング（HER と LER）まったくARES 空洞の場合は更に上記の式だけでは評価でき同じで位相変化もまったく同じであれば、衝突でのない特殊な変動がある。そのため、SuperKEKB の

ズレは起こらず問題にならない。しかし、HER と条件において、より正確に BGT 効果の影響を評価

LER とでは、RF システムの構成（空洞の種類と数）する手段が必要になる。

や運転条件がまったく異なり、非対称である。特にARES 空洞は特殊な構造を持っているため、BGT

ところで、もし変動量が前もって分かるなら、一の影響が大きい（詳細は後述する）。従って、BGT定になるように RF 入力を変えて補正（フィード・

効果がルミノシティを低下させる可能性が大きい。

フォワード制御：FF 制御）すれば良い、と考えらSuperKEKB の前身である KEKB 加速器では、幸いれる。たしかにその通りである。しかし残念ながら、

BGT のルミノシティへの影響は見られなかったが、SuperKEKB の場合はクライストロンの性能（帯域）SuperKEKB は衝突方式が KEKB とまったく異なで制限されて、FF 制御による補償は非常に困難と言ることと、ビーム電流が KEKB の約 2 倍になることえる。その理由を簡単に言うと、ある変動を補償すを踏まえれば、まったく安心はできず、BGT 効果のる（キャンセルさせる）FF 制御は、基本的にその変影響を正確に評価する必要がある。

動の要因である変化と同等の応答の速さが必要ということである。つまり、ギャップ幅 ∆tg = 200ns で

ちなみに、J-PARC リニアックでも chopped ビー
ム

ステップ関数的に上下する変動に対応するには、最により加速電圧が変調されてしまう問題がある。

60

低でも 1/∆tg =5MHz（ステップなのでこの数倍）の帯域が必要ということである。これに対しクライス

間変化を表ものとする。また、Vc (t) = Vk (t) + Vb (t)トロンの帯域は、すでに述べたように約 100kHz であである。

る。また、大電流ビームに対して補償する（ギャップを埋める）には、それだけ出力パワーが必要になる。

そこでまず、加速空洞（共振器）の過渡的応答に定常状態でさえ大電流ビーム負荷を補償するために、ついて考える。t < 0 で空洞電圧が定常状態にあり、クラストロンはほぼ最大出力で運転するので、パワー

t = 0 でステップ関数的に入力追加（あるいは減衰）に関しても無理がある。また空洞の入力結合器が耐が起きた場合、Vg の応答は、えられない可能性も高い。以上より、SuperKEKB
において BGT が問題になる場合は、FF 制御による補償は現実的とは言えず、他の方法で対策する必要

Vg (t) = Vg (0) +

がある。

h
i
[Vg (∞) − Vg (0)] 1 − e−t/Tf (1−j tan ψ) (9.3)

また同様に、FB 制御ではバンチ・ギャップに応答できない（FF 制御で対応できないものを FB 制御がと表せる [65]。ここで Vg (∞) は十分時間が経過しできるわけがない）ので、バンチ・ギャップに対して定常状態になった電圧を表す。空洞の時定数（ﬁlling

FB 制御は平衡状態の平均的な Vc を一定に保つことtime）Tf に従って exp で応答し、また、空洞の tuningになる。

位相 ψ により位相が時間的に変化することになる。

その他、バンチ・トレインに沿ったビーム電流密度（ﬁll パターン）を変えて補正する方法もある [67,68]。

まず、ここでは、投入 RF パワー Vk (t) は常に一定（FB 制御にはバンチ・ギャップに応答できる帯域がこの方法も、バンチ・トレインの中で大きな電流密度ない）とする。

変化を与える必要があり、極限のルミノシティを目指す SuperKEKB にとってビーム電流密度は無駄にビームがない状態（t < 0）から、t = 0 でビーム電できないので、現実的な対策にならないと思われる。

流がステップ関数的に空洞を励起したとすると、Vbの時間変化は、Vb = 0 として、

9.2 BGT 効果による加速電圧変化hi
Vb (t) = Vb (∞) 1 − e−t/Tf (1−j tan ψ) (9.4)

具体的な話の前に、式 (9.1a)(9.1b) の導出について簡単に説明しておく。
ここでは、振幅・位相の時間的変化（変調）を問題となる。ここで Vb (∞) は定常状態の電圧（一定ビーにするので、空洞電圧のエンベロープ（ベースバン

ム電流が励起する電圧）なので、第 6.2 節の話から、ド）の時間変化を扱う。そこで、空洞電圧は RF 周波数 ωrf で振動しているとして、次のように変数分離

Vb (∞) = Vbr ejψ cos ψ

されているとする。

Ṽg (t) = Vg (t)ejωrf

(9.2)

(9.5)

である。

ここで、g はこれまで空洞電圧で用いた添字 k, b,

次に、このビーム電流のステップ立ち上がり直後

c のいずれかを意味し、それぞれ投入 RF による電（∆T 後）について電圧の変化 ∆Vb を考える。∆T

圧、ビーム励起電圧、加速電圧を表す。このように、が空洞 ﬁlling time に比べて十分短い（∆T /Tf ≪ 1）

Vk (t), Vb (t) は複素数で、それぞれの振幅・位相の時として、式 (9.4) の exp を１次の項で近似すると、

61∆Vb = Vb (∆T ) は、

±ΔVb

∆Vb = Vb (∆T ) − Vb (0) =Vb (∆T ) = Vb (∞) ·

Vbr

Vb
−ψopt

φs

∆T
(1 − j tan ψ)
Tf

Δφ

(9.6)

φs

ΔVb

Vkr

Vc

−ψopt
となる。1 − j tan ψ = e−jψ / cos ψ なので、これとVk

式 (9.5) とで、
図 9.3 バンチ・ギャップによる電圧変化 ∆Vb と加速電圧の位相変化 ∆ϕ∆Vb = Vb (∆T )= Vbr ejψ cos ψ ·∆T e−jψ
Tf cos ψ

∆T
= Vbr
Tf

となる。ここで Vk は一定であるので、上述のように

tuning 角の影響がないとすると、図 9.3 のように、(9.7)

この ∆Vb がそのまま Vc の変動となる。このように、定常状態の平均的な Vbr から ±∆Vb /2 の上下変動が得られる。これよりパルス立ち上がり（立ち下がになる。この図は optimum tuning の場合を描いてり）直後は、tuning 位相（detuning）は影響しない

いる（分かりやすく先に使われた図を使用している）

ことが分かる。

が、ここでの話は optimum tuning である必要はな
い。

では次に、このビーム電流が周期的なパルス波形
である場合を考える。このパルス周期は、バンチ・位相変化に関しては、加速電圧の大きさ Vc に比べギャップの問題においてはリングの周回周期 Trev でて ∆Vb が微小である（バンチ・ギャップが十分短い）ある。Trev が空洞 ﬁlling time に比べて小さい場合とすれば、（Trev < Tf ）は、図 9.2 に示すように、電圧は周期的な上下変動で定常状態になる、すなわちパルス先頭や後尾でそれぞれ同じ振幅・位相に戻り、それが繰りVc ∆ϕ ≈ ∆Vb sin ϕs

返されるはずである。
この場合、ビームがないバンチ・ギャップにおいて(9.9)

であるので（図 9.3 参照）、

は、パルス・ステップ同様に（ギャップ先頭を t = 0と考えれば）、電圧変化は、式 (9.3) に従うことになる。ただし、変化の方向は逆である。そうすると、∆ϕ ≈ギャップ幅 ∆tg が十分短い（∆tg << Tf ）場合、電Vbr sin ϕs ∆tg
Vc
Tf

圧の変化量は式 (9.6) と同じことになる。従って、周期的なパルス・ビーム電流による電圧変動幅は、となる。

∆Vb = Vbr

∆tg
Tf

(9.8)

以上より、式 (9.8)(9.10) について、

62(9.10)

HER: 470mA

Rsh IbVbr =1+β(9.11a)2QL
ωrf(9.11b)Q0 = (1 + β)QL

(9.11c)Tf =の関係式を用いると、式 (9.1a)(9.1b) が得られる。

図 9.4 KEB 運転におけるバンチ毎のビーム位相の測定例（HER）

9.3 ARES 空洞における BGT
9.3.1 KEKB 運転における実例
ここで、BGT 効果による加速電圧の変化について、KEKB/SuperKEKB の運転における実例を紹介する。

LER:660mA

KEKB の運転において観測された BGT によるビーム位相変化が文献 [69–72] などに報告されている。そのうちの例を図 9.4 と 9.5 に示す。それぞれ

HER と LER の場合である。横軸がバケット ID で、縦軸は”Bunch-by-Bunch Gated Beam Monitor（上図 9.5 KEB 運転におけるバンチ毎のビーム位相の測定例（LER）

記文献を参照）”による各バケットの（バンチ・トレ
インに沿った）ビーム位相である。バケット ID は

図 9.4、9.5 におけるバンチ・トレイン先頭の速い位

0∼5000 までプロットしている。実線はシミュレー

相変化は、ARES 空洞に起因していることが分かっ

ションによる計算値である。

ている。それは後で説明するように、ARES 空洞の特徴を考慮したシミュレーションによって明らかに

ID 番号 0 がバンチ・トレインの先頭にあたり、トレなった。では、何故 ARES 空洞が、このような位相

イン後尾にギャップがある。この時はバンチ・ギャッ

変化を作るかを説明する。

プが 10% であり、後ろ側の約 510 バケットがギャッ
プになっている。

9.3.2 ARES 空洞の特徴と BGT
図 9.4、9.5 が示す通り、BGT による加速電圧の位

第 7.6.1 節でも述べたように、結合バンチ不安定性

相変調が原因で、このようにトレインに沿ったビーの対策として、空洞 detuning を小さく抑える（Q0

ム位相の変化が見られる。しかし、この図では更に、を高くする）ために、ARES 空洞は図 9.6 に示すよ

バンチ・トレインの先頭にステップのように速い変化

うな構造となっている [6, 30–32]。このように、RFが見られる。特に LER で顕著である。通常の BGT

蓄積エネルギーを大きくした「貯蔵空洞」を加速空。
効果では、このような変化は起きない（図 9.2 参照）

洞に結合させることにより、実効的に Q0 を高くして

ただし、この速い変化を除き、直線的に変化しているいる。また、加速空洞と貯蔵空洞の間は「結合空洞」

部分に関しては、式 (9.1b) による評価に従い、またによって結合されている。それぞれ大きさが異なる

シミュレーションとも良く一致している。

が、共振周波数はいずれも同じである。入力結合器
は貯蔵空洞にあり、RF パワーは貯蔵空洞から投入さ

63

Storage Cavity(S-cav)Qs , ω sに従って軽減される [30]。ここで Utot は ARES 全

Coupling Cavity
Accelerating Cavity(C-cav)(A-cav)kk

Input Coupler

Qc , ω cβs体（π/2 モード）の蓄積エネルギー、Ua は加速空洞asQa , ω aの蓄積エネルギーである。π/2 モードでは、C 空洞

Beam Axisにフィールドがほとんどないため、C 空洞の蓄積エParasitic Modes(0 & π mode)
to damper

RF Power

ネルギーは小さい。そのため、Us を貯蔵空洞の蓄積
エネルギーとすると、Utot ∼ Ua + Us であり、

U s /U a = ka 2 / ks 2 for π/2 mode
Δfπ /2 = Δfa / (1+ U s /U a )

図 9.6

Ua
Ua
1
≈
=
Utot
Ua + Us
1 + Us /Ua

ARES 空洞の構成図=
ARES 空洞パラメータ
Q-value of A-Cav (Qa )26000

Q-value of A-Cav (Qc )100

Q-value of A-Cav (Qs )180000A-C coupling factor (ka )5%

S-C coupling factor (ks )

1.6%

表 9.1

1
1 + (ka /ks )2(9.13)となる。ここで ka , ks は、それぞれ加速空洞と結合空洞の間の結合度、貯蔵空洞と結合空洞の間の結合度である。（図 9.6 参照）。ここで Us /Ua = (ka /ks )2 ∼ 9となるように設計されている。これにより optimum

tuning での空洞 detuning が ∆fπ/2 = ∆fa /10 に抑えられる。こうして結合バンチ不安定性が励起されARES 空洞パラメータ例

にくい仕組みとなっている。
れる。表 9.1 に ARES 空の各空洞パラメータの例を

ちなみに、第 7.6.1 節で、ARES 空洞はデザイン電示す。

流において約-30kHz の detuning（optimum tuning）になると述べたが、これは ∆fπ/2 のことである。つ

このように共振器を複数結合させると、全体で一まり、ビーム負荷に対する detuning なので、これはつの共振器として振る舞い、結合されてる共振器の数

加速空洞の detuning を ∆fa ∼ −300kHz にするこだけ共振モードが存在できる。ARES 空洞のようにとを意味する。

3 空洞が結合された場合のモードは、0 モード、π/2
モード、π モードの３つとなる。このモードは、結合

一方、0 モード、π モードの共振周波数について

バンチ不安定性に類似していて、隣合う共振器の位は、ARES 空洞の場合それぞれ、π/2 モードから約相差に相当する。また、それぞれのモードは共振周±4MHz 離れている。従って、結合バンチ不安定性

波数が異なる。

の振動モードを除けば、基本的にこれらのモードを励起するものはない。しかし、過渡的なビーム電流

ARES 空洞は π/2 モードを使用する（理由は参考（過渡的な周波数成分）は、この 0 モード、π モード

文献を参照）。言い換えると π/2 モードの共振周波数を大きく励起させることになる。

fπ/2 が RF 周波数 frf と一致するよう、設計されている。そして、加速空洞の detuning 量 ∆fa に対して、

それでも励起された 0, π モードは、結合空洞からARES 空洞全体（π/2 モード）としての detuning 量

外に取り出しダンプさせる構造（結合空洞減衰器）が∆fπ/2 は、あるので、長く 0, π モードの励振が続くことはない。
もう少し正しく言うと、結合空洞に励起される電磁∆fπ/2 = ∆fa

Ua
Utot

場は、すべて結合空洞減衰器によってダンプされる。
そのため結合空洞の Q 値は 100 程度（Qc ∼ 100）で(9.12)
64

ある。しかし、π/2 モードは結合空洞（中央の空洞）には電磁場がほとんど立たないモードなので、ダンプ

Measured Phase @D5F
Simulation

2.0

D5F (LER) Gap 5.5%

A-Cav Phase@D5F [deg.]

されることはない。こうして π/2 モードだけが励振される仕組みになっている。この点も π/2 モード使う理由のひとつである（ただし主な理由ではない）。
以上から、BGT により、ARES 空洞に 0 モード、

π モードが励起されることで、加速空洞が大きく変動することになる。しかし、結合空洞減衰器により、0 モード、π は減衰するので長くは続かない（時定数2Qc /ωrf ∼ 60ns で減衰する） 。これがバンチ・トレ
イン先頭における速い位相変化の原因となっている。

Bunch Gap
(5.5%)

0.0-1.0
φacc=81ºΔf=-10.6kHz (A-cav : -106kHz)-2.0

Trev = 10μs
-3.0

従って、超伝導空洞（単セル空洞）では、このような

Ib=840mA
Vc=0.3MV
Pb(@D5F)=40kW

1.0

0

2

4

6

8

10

Time [µs]位相変化は起きない。LER は ARES 空洞だけで運転しているので、図 9.5 のように、バンチ・トレイン

図 9.7 SuperKEKB のデジタル RF 制御システ
ムで観測された ARES 空洞の RF 位相変化。実線が測定値で、破線がシミュレーション結果。

先頭で速い変化が顕著に表れる。一方、HER は超伝
導空洞と ARES 空洞を併用しており、超伝導空洞のほうが電圧が高く影響が大きいため、ARES 空洞の速い位相変化はビーム位相に大きく影響しない。

図 9.7 の横軸は時間で周回周期（Trev ）の１周期をちなみに、0 モード、π モードに起因する結合バン

プロットしている。縦軸は、ある ARES 空洞 pickup

チ不安定性については、π/2 モード（RF 周波数）を信号の位相である。バンチ・ギャップの幅は 5.5%

挟んで 0 モード、π モードのインピーダンスはほぼ（約 550ns）である。バンチ・トレインにそって約 2対称的な形をしているので、結合バンチ不安定性を度の位相変化が見られる。またトレインの先頭では、互いにキャンセル方向に働き、大きな問題にならな

1.5 度くらいの速い変化が見られる。これが上記のい [6, 73]。

ARES 空洞の 0 モード、π モードに起因する位相変化である。バンチ位相の測定では分からなかった、

9.3.3 SuperKEKB における実例

ギャップ内の位相変化もしっかり測定されているのが分かる。

次に、SuperKEKB の運転における BGT 効果の例を示す。

図 9.7 の破線は、この時の条件に合わせたシミュ
レーション結果を示している。このシミュレーショKEKB 時代には、過渡的な（速い変化の）RF 位相

ンは、ARES 空洞の 3 連空洞の特徴を考慮に入れたを直接は正確に測られていないようなので、上記ではバンチ位相をバンチ毎に測定した例を示した。一方、ものである。その結果、シミュレーションにより測定結果（速い位相変化）を良く再現することができSuperKEKB 用に開発された高速デジタル RF 制御

た。バンチ・ギャップ内の位相変化も測定とシミュシステム [74] では、位相の速い変化を直接、しかもレーションがよく合っている。これにより、バンチ・

0.1 度の精度で容易に測定可能となっている。そのたトレイン先頭の速い位相変化は ARES 空洞の 0 モー

め、ARES 空洞の pickup 信号から、BGT 効果によド、π モードに起因していることが明確になった。

る位相変化が直接観測できる。その１例を図 9.7 に示す。

ただ、 図 9.7 で、シミュレーション結果（破線）には、バンチ・トレイン先頭に速い位相振動が見られ

65

るが、これは測定結果（実線）には見られていない。

10 Transient Beam Loading Simulation

このトレイン先頭の速い振動の振る舞いは、結合の空洞の Q 値（Qc ）に強く依存する。この Qc が実際過渡的なビーム負荷（transient beam loading）をの空洞と合っていない可能性がある。もしくは測定

定量的に評価する場合、システムの伝達関数（周波数系の問題（帯域特性）で、この速い変化を捉えきれて応答）からラプラス変換する方法（ [67, 75, 76] など）

いない可能性もある。

もあるが、ここでは、ARES 空洞のような特殊な例を評価するために、時間領域でのシミュレーション

次の章では、BGT による加速電圧の変調を、時間方法について説明する。また、様々なバンチ・トレイ

領域でシミュレーションする手法について紹介する。

ンの形（電流密度変化、ﬁll pattern）に柔軟に対応す

特に、図 9.7 に示した ARES 空洞（3 連空洞）の場

る場合も有効である。Simulink 等の汎用シミュレー

合について、具体的な計算方法を説明する。

ション・ソフトを利用できる場合も多いと思うが、こ
こでは、直接シミュレーション・コードを書く場合について基本的な手法について紹介する。
単セル空洞／単一モードの場合

10.1

まず、空洞の応答について、通常の単セル空洞の場
合、あるいは多セルでも単一モードだけ扱う（ひとつの共振器と見做す）場合を考える。
図 6.4 示すような共振器回路について、入力電流 I
に対する電圧 V の応答を、微分方程式で表すと、

ω0 dV (t)ω0 R
d2 V (t)++ ω02 V (t) =
I(t)
dt2
QL dt
Q0
(10.1)のように書ける。ここで、R は回路定数（R = Rsh /2）√

であることに注意が必要である。また、ω0 = 1/ CLである。
次に、V (t), V (t) について以下のように変数分離する。

V (t) = [Vr (t) + jVj (t)] · ejωt
(10.2)
I(t) = [Ir (t) + jIj (t)] · ejωt

ここで、変数の添字 r と j はそれぞれ実部と虚部を表すものとする（以降も同じ）。これを式 (10.1) に代入し、2 階微分を落とす（d2 /dt2 =）などして、１次の項だけ残すと、66

式 (10.3) の右辺（励起項）における電流 I は、クライストロンからの投入 RF パワーに相当する電流

dVr (t)+ γω1 /2 Vr (t) + ∆ωVj (t) = ω1/2 RIr (t)dt

Ik と、ビーム電流 Ib がある。ビーム電流が加速位相にある場合、I = Ik − Ib とする。投入 RF パワー

dVj (t)+ γω1/2 Vj (t) − ∆ωVr (t) = ω1/2 RIj (t)dt(10.3)

は Pk = 1/8 · RIk2 /β の関係にあるので [20]、これより投入パワーから Ik に換算できる。
これより、式 (10.3) を用いてシミュレーションすのように、Vr (t), Vj (t) に関して連立方程式が得られることになる。この式は、主にパルス運転する線形

る [77]。ここで、加速器の RF 制御の評価で（特に超伝導空洞制御に対して）使われている。

ω02Q0(10.4a)∆ω = ω0 − ωrf(10.4b)γ =1+β(10.4c)ω1/2 =

式 (10.3) から（デジタル LPF と同様に）数値演算できる形（差分式）にすると、

と置いている。ここでは ω1/2 を Q0 で定義していることに注意されたい（通常は QL で定義される）。

   n
Vrn+1
Vr
1 − γWL
−DL
n+1 =
Vjn
D
1
−
γW
Vj
L
L


 n
p Vn
Vbr
Fr
+ 2WL βnn − γWL
Vbj
VFj

このように定義しているのは、後の ARES 空洞を(10.5)

扱う場合のためである。また、式 (5.5) と同様の近似を用いている。他にも、式 (10.3) を得る際には、と書くことができる。ここで、1/Q2L ≈ 0 など、かなり近似を行なっていため（詳細は [77] を参照）注意が必要である。例えば、式 (10.3)
利用する場合、Q 値がある低度大きく（QL > 1000）、

WL = ω1/2 ∆t,

DL = ∆ω∆t(10.6)

detuning は小さい場合（∆ω ≪ ω0 ）に限られる。
と置いている。また、γ = 1 + β である。n は計算の式 (10.3) の、左辺の第 3 項を見ると、虚部と実部がステップ index を表す。

結合している（入れ替わっている）。この係数（∆ω ）すなわち detuning が位相変化に相当することが、こ式 (10.5) の励起項に相当する部分について、VF はの式からも分かる（∆ω = 0 なら虚部と実部の結合

投入 RF パワーに相当する（いわば伝送路の）電圧がない）。

である。シミュレーションで扱う数値は任意単位のほうが都合が良い（空洞電圧にスケールを合わせる

ちなみに、式 (10.3) のような形は状態方程式と呼ほうが良い）ので、Pk = 1/2 · VF2 /R として、ばれている。
以降、実部と虚部を合わせたベクトル、あるいはエRIk = 2

ンベロープ（振幅・位相）を表す複素数を、イタリッpβVF(10.7)

クの bold 体の変数で表す。例えば、X = (Xr , Xj )又は X = Xr + jXj である。Xr , Xj はそれぞれ Xのように、励起項を投入電圧 VF に置き換えているの I 成分、Q 成分と言っても良い。

（先に出ている Vk とは異なることに注意）。

67一方、式 (10.5) の Vb は、ビーム電流による励起電えると、圧（今までの話では Vbr ）に相当する。従って、これまでの Vb とは異なることに注意。シミュレーショ

s·y =A·y+B·x

ンでは Vb は、加速電圧 Vc で規格化した値になるよ(10.10)

うにして、と書きかえられる。ここで、

R |Ib | = |Vb | =
=

Ib QL
Vc



Rsh
Q0



Rsh IbVc (1 + β)=
Vr (s)y=,Vj (s)
−γω1/2
A=
∆ω

1
Pb
·
(10.8)
1 + β Pb ϕs =0と与える。このように、加速電圧に対するビーム負
RIr (s)x=
RIj (s)



−∆ω
1 0
, B = ω1/2
−γω1/20 1(10.11)荷の比率でパラメータを与えることで、具体的な RF
パワーは気にせず、任意単位の数値で演算処理することができる。ただし、後で少し触れるが、空洞電である。これより、

圧 Vc はシミュレーション上でも FB 制御の効果を入れて（平均的に）一定であるとする。それに対して、

y(s) = Hcav (s) · x(s)ϕs の位相差をつけて Vb を与える。あるいは逆に Vb(10.12)と −ϕs の位相差がつくように、Vc を（平均的に）一定になるようにする。

の形にすると、空洞の伝達関数 Hcav (s) が、以上より、式 10.5 でバンチ・ギャップに対応する
よう、Vbn をステップ的にに変化させる（ギャップのHcav (s) =ところは Vbn = 0 とする）
。こうしてギャップに対すγω1/2
s + γω1/2∆ω∆ω 2 + (s + γω1/2 )2る加速空洞の応答をシミュレーションできる。

−∆ωs + γω1/2

(10.13)

また、反射電圧を VR とすると、伝送路終端（終端
負荷＝空洞）で V = VF + VR であるので、次のよ
うに反射信号もシミュレーションで得られる。

VRn = V np
β − VFnと得られる。この Hcav (s) を使って、空洞を含むシ
ステムの周波数特性や FB ループの安定性などを評価することができる。

(10.9)

ここでも ∆ω = 0 とすると、実部、虚部（I,Q 成

ここでは、VF に対して電力比で整合性が取れるよう
にV に

√

β=

p

分）の結合がなくなり、ローパス・フィルターと同じ

R/R0 がかかっている。

伝達関数

以上の話は、先に述べたように、J-PARC リニアッ
クの chopped ビームに対しても同様にシミュレート

Hcav (s) =

できる。



1
1 0
1 + s/γω1/2 0 1となることが分かる。

ところで、時間領域の話から逸れるが、式 (10.3)
についてラプラス変換（s = d/dt の置き換え）を考68(10.14)

10.2 ARES 空洞（3 連空洞）の場合の連立方程式を得たいわけであるが、これを上記のでは、次にこれまでの話を ARES 空洞（3 連空洞）の場合に拡張させる。

3 つの式に適用させて真面目に計算すると、6 つの式が絡むのでかなり複雑になる。そこで式 (10.5) に類似したシンプルな形になるように項を残すと、ARES 空洞は図 9.6 に示すように、加速空洞（ac-celerating cavity）に結合空洞（coupling cavity）を介して貯蔵空洞（storage cavity）が結合されている。
以降では、それぞれの空洞を A 空洞、C 空洞、S 空洞とする。また、それぞれの空洞に関する変数記号には a,c,s の添字を付けて、これまでの式（記号）に対応させるものとする。
ここで、式 (10.1) に対応する微分方程式は、ARES
空洞の場合、各空洞電圧を Va , Vc , Vs とすると、

 
 n
n+1
Var
Wa −Da Var
n+1 =
n
Vaj
D a WaVaj  n
 n
Vbr0
Kaa Vcr+(10.16a)
−
B
n
Vbj
Vcjn
−Kaa
0
  n
 n+1  
Vcr
Wc −Dc Vcr=
Vcjn
D c WcVcjn+1 n   n
0
Kac Var0
Ksa Vsr
+
n +
Vaj
Vsjn
−Kac
0
−Ksa
0


n+1
Vsr
Vsjn+1

d2 Va (t)ωa dVa (t)++ ωa2 Va (t)
2
dt
Qa dt
ka d2 Vc (t) ωa Ra=−+
Ib (t) (10.15a)
2 dt2
Qa

+




=

0
−Kss



(10.16b)



Ws −DsD s Ws n  n
V
Kss Vcr+ F Fr
n
VFj
Vcjn
0
n
Vsr
Vsjn

(10.16c)が得られる。このように、各空洞（上から A 空洞、C

d2 Vc (t)ωc dVc (t)++ ωc2 Vc (t)
2
dt
Qc dt
ka d2 Va (t) ks d2 Vs (t)(10.15b)
=−
−
2 dt2
2 dt2

空洞、S 空洞）について、それぞれ式 (10.5) に対応する式であり、また、それぞれ結合項で隣の空洞と結合している。この時、実部と虚部を逆にして（−jで）結合している。ここで各係数は、

ωs dVs (t)d2 Vs (t)+ ωs2 Vs (t)+ (1 + βs )
dt2
Qs dt
ks d2 Vc (t) ωs Rs=−+
IF (t) (10.15c)
2 dt2
Qs

∆ωµ = ωµ − ωrf ,F = 2ωs/2 ∆tとなる。上からそれぞれ A 空洞、C 空洞、S 空洞に対応する微分方程式である。ここで、ωµ 、Qµ 、Rµ

p

βs ,

Wa = 1 − ωa/2 ∆t,（µ は a, s, c を表す）は、それぞれ各空洞に対応する共振周波数、Q 値（Q0 に相当）、等価回路上の抵抗ωµ/2 =

B = ωa/2 ∆t,
Wc = 1 − ωc/2 ∆t,

Ws = 1 − (1 + βs )ωs/2 ∆t,である。また、ka , ks は、それぞれ A-C 空洞間、S-C
空洞間の結合度である。この結合度を介して、上記

Kµν =の 3 つの式が結合されている。ビームは A 空洞を通過するので、A 空洞の励起項として Ib がある。また

ωµ
,
2Qµ

Dµ = ∆t∆ωµ ,kµ Qν ων/2 ∆tkµ ωµ ∆t=2
4µ, ν : a, c, s

(10.17)

RF パワーは貯蔵空洞から投入される（入力結合器は貯蔵空洞にある）ので、S 空洞の励起項として IF がである。ここで、βs は、入力結合器の結合度である。

ある。

ただし、S 空洞における結合度である。従って ARES
空洞全体を１つの共振器とした場合（π/2 モード）の

ここで、前節に従うと、式 (10.2) により変数分離

結合度 βπ/2 とは異なる。これらは、させて、式 (10.3) のような実部、虚部に関して１次

69

βs =



n+1 
Var
n+1 
Vaj
 n+1 
Vcr 
 n+1  =
Vcj 
 n+1 
Vsr 
Vsjn+1

Wa
−Da
 Da
Wa

Kac
 0
−K
0

ac
 0
0
0
0

Qs
Qtot
, βπ/2 =,Qext sQext tQext t
Utot
Ua
∼1+
=1+
=
Qext s
Us
Us



ks
ka

2
(10.18)


0
Kaa
0
0
−Kaa
0
0
0 

Wc
−Dc
0
Ksc 
Dc
Wc −Ksa
0 

0
Kss
Ws
−Ds 
−Kss
0
Ds
Ws
 n nVar−B · VbrnnVaj −B · Vbj n 

V
0
  

(10.20)×  crn  + 0 Vcj  V n   F · V n srFrn
F · VFj
Vsjnの関係にある [30]。ここで Qext s , Qext t はそれぞれ

S 空洞および ARES 全体に対する入力結合器の外部
Q 値、Qtot は ARES 全体（π/2 モード）の無負荷 Q
値（Q0 に相当）である。シミュレーションでは、これに従って βs を設定する。例えば optimum couplingはデザイン電流で βopt = 5 = βπ/2 なので、シミュレーションのパラメータを βs = βπ/2 × (Qs /Qtot ) ×(1 + ks2 /ka2 ) とする。ここで Qtot は、文献 [30] に従い求めると、表 9.1 に対して Qtot = 113000（＝典型
的な ARES の Q0 ）であり、βs ∼ 9.16 となる。

と書くことができる。これを用いて ARES 空洞の応答を時間領域でシミュレートする。

式 (10.16a) の、A 空洞におけるビームの励起電圧（Vb ）は、ARES 空洞の場合、以上の計算式は、かなり近似されたものなので、計

Ib Qa|Vb | =
Vc
=

Ib Qa
Vc




R
Q

算条件には注意が必要である。先に述べたように、



Rsh
Q0

detunig 量は RF 周波数（共振周波数）に比べて十分小さい必要がある（∆fπ/2 ≪ fπ/2 ∼ frf ）。また、

a



Utot
Ua

トータルの Q 値（Qtot ）はある程度大きい必要があ(10.19)る。一方、実際の C 空洞の Q 値は 100 程度であるが、これを他の空洞と同程度（例えば 10000）にする

で 与 え ら れ る 。こ こ で 、(R/Q)a は 、A 空 洞と、計算が不安定になりやすい（∆t にもよる）。実単 体 の”R/Q”で あ る 。Rsh /Q0 は ARES 空 洞 全は、上記の近似モデルでは、0 モード、π モードが C

体 の”R/Q”で あ る 。ま た 、先 に 述 べ た よ う に

空洞で減衰される（単一モードになる）ことで計算がUtot /Ua ≈ 10 である（式 (9.13) 参照）。このよう安定になる。ただ、その減衰されるまでの 0 モード、に、式 (10.8) 同様、Vc で規格化するように Vb を与π モードが BGT の効果として影響することになる。

える。
また、空洞間の結合度 ka , ks を大きくすると計算
そして先に述べたように、Vbn をバンチ・ギャップが不安定なる。これは ∆t（ステップ時間間隔）に依に応じてステップ的にに変化させて（ギャップのと存し、∆t を十分小さくすると安定になる（ただし、ころは Vbn = 0 として）空洞の応答をシミュレート

より計算時間が必要になる）。これは、各空洞間を移する。

動するエネルギーの速度（群速度）が関係していると思われる。群速度 Vg は、モードの分散関数を微分した傾きに相当し、空洞間の結合度に依存する。ARES

ここで更に、式 (10.16a)(10.16b)(10.16c) をまと

空洞の 3 つのモードに関して分散関数は、

めて、一つにすると、70

ARES cavitypωϕ = ωπ/2

1+ka2 + ks2
cos ϕ
2

!1/2

Ref. Set
Vref+

LLRF Control

PI Cont. IIR

Vk

Klystron Delay

Vs

S

Vc

Va

Beam

C

A

Vb

Δωa

Loop Delay: total ~2µs

Delay(10.21)

図 10.1 ARES 空洞における FB 制御とチューナー制御のブロック図と 表 せ る [30]。こ こ で ϕ は 各 モ ー ド 位 相（ϕ =0, π/2, π ）を表す。また、この場合、ωπ/2 = ωrf で
図 10.1 に、ARES 空洞の場合について、FB 制御ある。これより π/2 モードの群速度 Vg は、

ループとチューナー制御を表すブロック図を示す。

pωπ/2 ka2 + ks2
dωϕ
vg =
=
dϕ ϕ=π/24

図中の”PI Cont”は比例（P）制御と積分（I）制御を合わせた FB 制御を表す。A 空洞の電圧を Ref 設定(10.22)（Vref ）と比較し、その差分（エラー）を PI 制御で補正する。PI 制御を式にすると、と得られる。これに対して、

PI-control out =nPgain (Vref− Van ) + Igain

vg ∆t > 1

∞
X

n−k
Vref
− Van−k

k=0(10.23)(10.24)の場合は、計算が不安定になるようである。定性的かと表せる。Pgain , Igain はそれぞれ P 制御、I 制御のつ経験則に基づく話であるが、これより、ka , ks が大ゲインである。I 制御は過去すべての積分になるが、きい場合は、∆t を小さくする必要があると言える。

実際には単純に accumulate すれば良いだけである。
これは実際のデジタル FB 制御システムでも行なっ以上で述べた計算方式は、空洞１台における加速ている計算である。

電圧のシミュレーション方法である。実際のリングは多くの空洞があり、その合成としてビーム位相の一般的に P 制御は Ref 設定に対して 1/Pgain のエ

変化が決まる。ただし、すべての空洞が同じ条件、つラーが必ず残る。I 制御は過去のエラーを積分するのまり同じ加速電圧で、ビームの加速位相（ϕs ）が同じで、P 制御で残ったエラーも I 制御で補正される。

であるとすれば１台分の計算で良い。しかし、HER
は超伝導空洞と ARES 空洞の 2 種類の空洞（異なる図 10.1 の”IIR”はループ帯域を決めるデジタル

運転条件）があるので、それぞれについて計算し、合LPF を示している。基本的に空洞自身が LPF の役

成させる必要がある。超伝導空洞は単セル空洞なの割をしてるため、ここでループ帯域を制限しなくてで、式 (10.5) を使用してシミュレートする。

も FB 制御自体は安定である [78]。ただ、大電力 RFから装置を保護するため帯域を制限して運転する場

10.3 FB 制御ループとチューナー制御

合がある。

実際の運転条件に合わせるためには、空洞の応答に加え、クライストロン特性を含む空洞 FB 制御ループ

SuperKEKB のデジタル RF 制御は、RF 信号を Iの効果も入れる必要がある。また、optimum tuning

成分（実部）と Q 成分（虚部）の直交 2 成分に分けのため、チューナー（detunig）制御も必要である。

た制御を行なうので [74]、前節で示したシミュレーション方式（実部と虚部に分けた差分式）は、このデ71

ジタル RF 制御を模擬するのに相性が良い。シミュ

す。図は、変調信号（入力の振幅・位相変化）に対

レーションでも実際と同じ計算式（式 (10.24)）を同するクライストロンの応答特性（周波数特性：伝達

じ FB ゲインを与えて計算することになる。デジタ関数）を示す。上が振幅特性（縦軸の単位は dB ＝ル RF 制御（I/Q 成分の扱い）についての詳細は文

電力ゲインの log スケール）、下が位相特性である。

献 [79–81] 等を参照して頂くと良い。

この通り、クライストロンのフラットな帯域幅は約100kHz である。
FB 制御のシミュレートでは、ループ遅延 Td も考慮する必要がある。これは単純にデータをシフトさ

このデータをフィットしてクライストロンの伝達せれば良いが、Td /∆t の数のメモリ確保が必要にな関数が得られる。例えば、この図では、丸い点が測定る。

データで、2 次特性を持っているので、クライストロンの伝達関数 Hkly (s) として、

こうして、シミュレーションでも Vc が（平均的に）一定になるようにして、Vb と相対的に ϕs の位相差

Hkly (s) =がつくようにする。

e−s·Td
1 + s/ωkly + s2 /αk(10.25)

この FB 制御のシミュレートにおいて、クライスの形を仮定して、フィットした結果を実線で示してトロン特性も考慮に入れる。その方法は、第 8.6 節いる。これより ωkly /2π ∼ 130Hz、αk ∼ 2.1 × 1012

で述べたように、デジタル・フィルターを設計する要である。これに対して、第 8.6 節で説明したように、領で、クライストロンの周波数特性（伝達関数）から

s 領域から z 領域の変換を行なえば時間領域のシミュ

演算処理の差分式を求める。

レーション計算式（漸化式）が得られる。ちなみに、

e−sTd は遅延を表す伝達関数で、 z 領域では z −Td /∆t
図 10.2 にクライストロン応答特性の測定例を示であるので、Td /∆t だけデータをシフトさせれば良い。

Amplitude [dB]10

応答Gain [dB]

10

100k

1M

Frequency [Hz]その他の機器に関しては、クライストロンに比べ00て十分広い帯域幅（フラットな特性）を持っているた
め、それほど考慮する必要はなく、ループ遅延の一部

-10
-10

-20
H kly (s) =
-20

-30
-30

Phase[deg.]180

応答位相変化 [deg.]

10k

180

90
90

1
1+ s / ω kly + s / α k
2となるだけである。

i e− s⋅Td

10k

100k

1M

10k

100k

1M

ωkly/2π = 130kHz

次に、再び図 10.1 に戻って、チューナー制御について説明する。

Frequency [Hz]αk=2.1x1012

ARES 空洞では S 空洞と、A 空洞にチューナーがTd=650ns

あり、それぞれ独立に制御される。C 空洞はチュー

00

ナーがなく RF 周波数（ωc = ωrf ）で固定されてい

-90
-90

-180
-180

1k

る（Q 値が低いので誤差は無視できる）。S 空洞の
10k

100k

チューナーの制御は、入力 RF と S 空洞の pickup 信

1M号の位相差で共振点に合わせる。こうして S 空洞の変調周波数 [Hz]（logスケール）

共振周波数は常に RF 周波数に合わせられる。一方、A 空洞のチューナー制御は、C 空洞の pickup 信号

図 10.2 クライストロンの変調信号に対する周波数特性（伝達関数）。上が振幅特性、下が位相特性。

と、A 空洞の pickup 信号の位相差で共振点を得る（図 10.1 参照）。従ってビーム負荷による detuning72

（optimum tuning）は A 空洞の detuning となる。たParamter

LER

HER

だし、ARES 全体（π/2 モード）の detuning 量は式

Beam energy [GeV]

4.0

7.0

Beam current [A] (Ib )

3.6

2.6

Bunch gap length [%]22Bunch length [mm]6(9.12) に従って A 空洞の 1/10 程度になる。

5

本シミュレーションにおいては、S 空洞と C 空洞

RF freq. [MHz] (frf )508.876の共振周波数は RF 周波数に固定し（∆ωs = ∆ωc =Harmonic number (h)51200）、A 空洞のビーム負荷に対するチューナー制御

Revolution freq. [kHz] (frev )99.4（optimum tuning）を模擬する。つまり、C 空洞とCavity type

ARES

SCC/ARES

Rsh /Q0 [Ω]15

93

Loaded Q [10 ] (QL )2.4

7.0/2.0

A 空洞の位相差が一定になるように ∆ωa を変える。
実際のチューナーがバンチ・ギャップの変化に応答

4Coupling factor (β)

4.3

-/5

できるほど速く動くわけではないので、それを考慮

Number of cavities

22

8/8

して反応を十分遅くする。あるいは実際の運転でもTotal RF Volt. [MV]

10∼11

15∼16

行なっているように位相差が一定量を超えない場合

RF volt./cav. [MV] (Vc )0.5

1.5/0.5は制御しない。こうして、平均的なビーム負荷に対Wall loss/cav. [kW] (Pc )

150

-/150

Beam power/cav. [kW]460

400/600

するチューナー制御（通常の optimum tuning）となる。

Cav. detuning [kHz] (∆f )

-28

44/18

Number of kly.

18

8/8

Kly. power/cav. [kW]∼600∼450/∼800

ここでは、1 台の空洞を FB 制御する例を示した
表 10.1

が、クライストロン 1 台で 2 空洞（以上）を駆動す

RF に関する運転パラメータ

る場合もある。このような場合でも、上記の方法を容易に拡張してシミュレートできる。通常、2 台以上の空洞を 1 つの FB ループ（１クライストロン）

対し、以降で示す結果は、簡単のために、ちょうどTrev = 10µs（frev =100kHz）としてシミュレーショ

で FB 制御する場合は、各空洞の pickup 信号を合成（vector sum）した値で FB 制御（PI 制御）する。
従って、式 (10.24) の Va を vector sum した値にすンしたものである。

10.4.1 BGT 効果のシミュレーション結果れば良い。また、空洞電圧 VF を各空洞に与える。その際、空洞ごとに振幅の比率を変えたり、位相に差違SuperKEKB のデザイン電流の運転条件について、をつける場合も容易にシミュレートできる。ビーム

BGT 効果をシミュレートした結果を紹介していく。

の加速位相に差違がある場合も同様である。
まず、LER の例を示す。LER はすべて ARES 空

10.4 BGT 効果の影響と補償対策

洞で、全空洞が同じ条件で運転されてるものとする。

ここで、上記で説明したシミュレーション方式
により、BGT 効果を評価した例を紹介する [82]。

図 10.3 と図 10.4 に BGT のシミュレーション結果を示す。それぞれ振幅変調と位相変調を示していSuperKEKB のデザイン電流における計算結果を示る。横軸は時間で、１つの周回周期（Trev = 10µs）

す。計算条件として RF に関する主な運転パラメー

分をプロットしている。横軸 t = 0 のところがバン

タを表 10.1 に示す。バンチ・ギャップ幅は 2% であチ・トレインの先頭にあたる。また、バンチ・ギャッ

る。ARES 空洞に関しては、表 9.1 も参照のこと。

プ 2% なので、バンチ・トレイン後尾 200ns 間（横軸t = 9.8 ∼ 10）がバンチ・ギャップに相当する。以降

ここで一つ注釈しておく。表 9.1 にある通り、実も同じである。

際の周回周波数 frev = frf /h は 99.4kHz なので、この周期は Trev = 1/frev ∼ 10.06µs である。これに位相変調については、振幅変化（∆V /Va ）の影響

73

4.0

Revolution Period
2% Bunch Gap

0.515

A-Cav Phase [deg]A-Cav Amplitude [MV]

LER
0.520
(ARES)

Δfa = -280kHz

0.510

φacc = 74.5º

0.505
A-Cav Amp

0.495

-2

0

2

4

6

8

10

2% Bunch Gap

0.0

End of Train-2.0

Δfa = -280kHz
φacc = 74.5º

-6.0
-1.5

12

A-Cav Phase (eff) [deg.]

2.0

-4.0

0.500

LER
(ARES)-1

Leading Bunch
-0.5

1.5

空洞の 0 モード、π モードに起因する振動である。一

Revolution Period

方、バンチ・トレインに沿った緩やかな変化が通常

2% Bunch Gap

A-Cav Phase [deg]1

図 10.5 LER の ARES 空洞における BGT による位相変調（ギャップ前後を拡大）

図 10.3 LER の ARES 空洞における BGT による振幅変調

Δfa = -280kHz

2.0

0.5

Time [µs]Time [µs]LER(ARES)
4.0

0の BGT 効果による変調である。この位相シフトは

φacc = 74.5º±1 度 程度で、式 (9.1b) による評価と合う。KEKB

0.0と比べてビーム電流は 2 倍程度になるが、ギャップ-2.0
Δφeff = Δφ +幅を 2% に小さくしてるため、それほど大きな位相

ΔV
1
V tan (φ s )変化にはなっていない。

-4.0

問題となるのは、バンチ・トレインの先頭部分の位

A-Cav Phase (eff) [deg.]
-6.0

-2

0

2

4

6

8

10

相のズレである。図 10.4 のギャップ前後を拡大した

12ものを図 10.5 に示す。この図を見ると、バンチ・ト

Time [µs]

レインの先頭では４度のズレが生じている。その直図 10.4 LER の ARES 空洞における BGT による位相変調

後の振動を含めると pk-pk で 6 度の変動幅となり、大きな問題となる可能性がある。

も含め、次のように実効的な位相変化（∆ϕeﬀ ）にし一方、HER の超伝導空洞の場合を図 10.6 と図 10.7ている。

に示す。LER と同様に、それぞれ振幅変調と位相変調を示している。この図のように、超伝導空洞は単∆ϕeﬀ = ∆ϕ +∆V
1·
Va tan ϕs

セル空洞なので、バンチ・トレインの先頭で速い位相(10.26)

変化は見られない。

ここで ∆V /Va は、振幅の絶対値（|Va |）の変化率でHER には ARES 空洞もあるため、ビーム位相はある。ちなみに、図中の ϕacc は ϕs のことである。加

両者の vector sum になる。HER について、超伝導

速空洞の位相を 0 度とし、ビームが ϕacc の位相で加空洞と ARES 空洞の BGT 効果を vectro sum した

速されているとしている。

場合の位相変化を、図 10.8 に示す（HER の ARES
空洞単体の結果は省略する）。ここで、HER に複数図を見て分かる通り、振幅、位相ともにバンチ・ギ

ある ARES 空洞、超伝導空洞について、それぞれ同ャップのところで大きな変化がある。これは ARES

じ種類の空洞は同じ条件で運転されていると仮定し74

Vector-Sum Phase of NC & SC [deg]1.53

Revolution Period

SCC Amplitude [MV]HER-SCC
1.52

2% Bunch Gap
1.51
SC-Cav Amp
1.50

Δf = -44kHz
φacc = 84º

1.49

1.48

-2

0

2

4

6

8

10

12

3.5

Revolution Period
3.0

HER

2.5

SC(Vc=1.5MV) x 8

2% Bunch Gap

2.0+ NC(Vc=0.5MV) x 8
1.5
1.0
0.5

Δφeff = Δφ +

0.0

ΔV
1
V tan (φ s )VS-Phase (eff)
-0.5

-2

0

2

4

6

8

10

12

Time [µs]Time [µs]図 10.8 HER トータルの BGT 効果による位相変調（超伝導空洞と ARES 空洞の vector sum）

図 10.6 HER の超伝導空洞における BGT によ
る振幅変調

8.0

2.0

Revolution Period

HER-SCC

1.0
SC-Cav Phase
0.5
0.0
-0.5

Δf = -44kHz
φacc = 84º

-1.0
-1.5

6.0

Revolution Period

4.0

LER Phase Shift
HER Phase Shift
Phase Difference btwn LER & HER

2% Bunch Gap

Phase Shift [deg]

SCC Phase [deg]

1.5

-2

0

2

4

6

8

10

2.0
ΔφHER-ΔφLER

0.0
-2.0

12

Time [µs]-4.0

図 10.7 HER の超伝導空洞における BGT によ
る位相変調

-6.0

0

2

4

6

8

10

Time [µs]図 10.9 HER と LER の位相変化の相対的なズレ（∆ϕHER − ∆ϕLER ）ている。このように、HER では超伝導空洞の電圧が高く、ARES 空洞の 0、π モードの影響が小さいことが分かる。しかし、これにより LER と差が生まれることになる。

バンチ長の半分程度、衝突点の位置がズレることになる。

ルミノティシに影響するのは２つのリングの相対的な位相差でる。HER と LER の位相変化の相対的

このように、ビーム位相の相対的な位相差（衝突な差違（∆ϕHER − ∆ϕLER ）をプロットしたものを、位置のズレ）が、未踏のルミノシティを目標とする

図 10.9 に示す。図の実線が相対的な位相差である。

SuperKEKB にとって障壁となる可能性がある。単また、バンチ・ギャップ前後を拡大したプロットを図

純な位相のずれの効果（ルミノシティの低下）だけで10.10 に示す。図 10.9 を見ると、バンチ・トレインになく、ビーム交差位置のずれにより、ビーム間の相互沿った位相のズレは ±0.5 度程度で比較的小さい。一作用で後続ビームを不安定性にする可能性も考えら

方、図 10.10 を見ると、トレインの先頭では、pk-pk

れる。具体的に位相差がどうルミノティシに影響すで約 5.5 度の位相差が生じることが分かる。これはるかはビーム・ダイナミクス専門の方に任せるとし

75

Phase Shift [deg]6.0

2% bunch gap
Leading bunch(Start of collision)

4.0

ΔφHER-ΔφLER

2.0
0.0

Beam current

8.0

dg
ws
gL

HER beam currentbsgH

5.5 deg

End of bunch train(End of collision)

Time ( along bunch train )-2.0

図 10.11 衝突点で BGT 効果の影響を避けるための対策案（HER ギャップの遅延と LER の立ち上げ形状の最適化）

LER Phase Shift
HER Phase Shift
Phase Difference btwn LER & HER

-4.0
-6.0
-0.5

LER beam current

No Collision

0

0.5

1

Time [µs]を考える。

図 10.10 HER と LER の位相変化の相対的なズレ（∆ϕHER − ∆ϕLER ）。バンチ・ギャップ前後を拡大。

もちろん上記の方法は、衝突点においてギャップ
幅が広くなる（衝突しない時間が増える）ことを意
味するので、その分（数 %）、ルミノシティの低下にて、RF システムとしてできる対策を検討する必要が繋がる。それでも致命的な不安定性がおきる場合は、ある。

この方法で、避けることができる。

10.4.2 BGT 効果の軽減対策

この場合、調整できるパラメータは、図 10.11 に示

BGT による位相変化を補償する場合、RF のフ

す通り、HER ギャップの遅延時間（dg ）、HER,LER

ィード・フォワード（FF）制御でキャンセルさせる方のギャップ幅（gH , gL ）、トレイン立ち上がりのステッ法がある。しかし、先に述べたように、SuperKEKB

プ高さ（bs ）と幅（ws ）の 5 つが考えられる。これらの場合はビーム電流が非常に大きいこともあり、ク全てについて最適化するのは困難なので、簡単のた

ライストロン特性を考えると、FF 制御は現実的な対

め、立ち上がりステップは半分ずつ（bs はピーク電策にはならない。そのため、別の方法として、バン

流の半分）とする。また、ギャップ幅は可能である最チ・トレイン先頭の大きな位相変化を避ける対策案

短の 2%（gH = gL = 200ns）で考える。

を示す。
以上のように、ギャップ遅延 dg の変更と、トレイ

ARES 空洞（LER）の 0 モード、π モードにより、ンの立ち上がりステップ幅 ws の調整は、大電流ビー

バンチ・トレインの先頭に速く大きな位相変化が生

ムでも、実際の運転において十分可能な対策と思わじる。そこで、トレイン先頭部分での衝突を避けるれる。

ために、図 10.11 に示す方法を考える。図のように、
バンチ・ギャップのタイミングを HER と LER でず

シミュレーション上で、dg と ws を最適化した結果らす。この場合、HER のギャップを LER より遅延の例を、図 10.12 に示す。図は、dg =160ns、ws =140ns

させるとする。それに加えて、バンチ・トレインのとした場合である。また、バンチ・ギャップの前後立ち上がりのビーム電流の形（バンチの ﬁll パターをプロットしている。太い実線が両リング間の相対ン）を変えて、トレイン先頭の位相変化を軽減させ的な位相差（∆ϕHER − ∆ϕLER ）である。階段状のる。トレインの立ち上がりは、実現できそうな案と実線が LER のビーム電流を表している。この結果、して、図のように単純な 2 回ステップの ﬁll パターン

ギャップの中（衝突していないところ）では位相変化

76

8.0
Gap 2%

8.0 2%
Gap

Collision
6
LER Phase Shift
HER Phase (Gap Delayed)Phase Difference btwn LER & HER
5
Beam Current [A]LER HER
gap gap
End of HER train

4.0

4Beam Current of LER

2.0

3

ΔφHER-ΔφLER

0.4 deg

0.02

End of LER train(End bunch of colli.)

-2.0

LER
gap

1

Leading bunch of HER train(Start bunch of collision)

-4.0

0

0

0.5

1

4.0

ΔφHER-ΔφLER

2.0
0.5 deg
0.0-2.0
LER Phase Shift
HER Phase (Gap Delayed)

-4.0
-6.0

Leading bunch of LER train

-6.0
-0.5

Revolution Period

6.0

Beam Current [A]Phase Shift [deg]6.0

No collision

Phase Shift [deg]Collision

Phase Difference btwn LER & HER

0

-1

2

4

6

8

10

Time [µs]Time [µs]図 10.13 dg と ws を最適化した結果（バンチ・ト
レイン全体）：dg =160ns、ws =140ns

図 10.12 dg と ws を最適化した結果（ギャップ前後を拡大）：dg =160ns、ws =140ns

る方法も行なわれている [67, 68]。この場合、ﬁll パ
ターン全体に変調をかけたり、バンチ・トレインの後が大きが、衝突の開始の部分（HER のバント・トレ

尾で高いバンチ・カレントにする方法がある。BGT

イン先頭）で位相差が十分小さく（約０.4 度に）抑えを補正するには ﬁll パターン全体に大きな変調が必要られている。

になる。SuperKEKB は可能な限りのビーム電流を蓄積しないと目標のルミノシティを達成できないた

この時のバンチ・トレイン全体の位相変化を図

め、ﬁll パターン全体を大きく変調できるほどの余裕

10.13 に示す。このように、トレインに沿った全体のはまったくない。

位相変化も十分小さく（pk-pk で約 0.5 度に）抑えられていることが分かる。この場合の例では、ルミ

10.4.3 FF 制御による BGT 効果の補償

ノシティの低下（ギャップ遅延による損失割合）は最後に、参考として、フィード・フォワード制御

1.6% に相当する。

（FF 制御）により Transient Beam Loading を補償する場合のシミュレーション例を示す。

以上、時間領域のシミュレーションにより、Su-

perKEKB デザイン電流における BGT 効果の影響を評価し、バンチ・トレイン先頭で ARES 空洞の 0

何度か述べてるように、SuperKEKB ではクライ

モード、π モードの影響が大きいことを示した。まストロンの帯域が 100kHz 程度なので、BGT を FF

た、バンチ・ギャップの遅延と ﬁll パターンの調整制御で補償することはできない。このクライストロ

により、この大きな位相変化を十分に軽減できる可ン帯域を 100kHz に制限してシミュレーションする能性を示した。ただし、シミュレーションはある条と、まったく補償できないことが分かる。前節で示件を仮定したものに過ぎない。もし BGT が問題にしたシミュレーション結果と違いがほとんど見られなった際には、実際の運転条件に合わせて、図 10.11

ないので、それを示すのは省略する。

に示すようなパラメータを調整する必要がある。
では、クライストロンの特性は無視して、理想的に空洞入力パワーを制御できると仮定した場合のシ先に述べたように、他の加速器では、バンチ・トレ

ミュレーション結果を示す。

イン全体の電流密度（ﬁll パターン）を変えて補正す

77

LER
4.0
(ARES)
A-Cav Phase (eff) [deg.]SuperKEKB の デ ザ イ ン 電 流 に お け る LER のARES 空洞の場合（図 10.4）に対して、FF 制御で補償した場合を図 10.14 に示す。ビーム電流と加速位相（ϕs ）から、逆にそれらをキャンセルする FF 制御の振幅と位相は決まる。この時の空洞入力パワーと位相を図 10.15 に示す。

Revolution Period

2.0

2% Bunch Gap
0.0

Δfa = -280kHz
φacc = 74.5º-2.0Δφeff = Δφ +

-4.0

ΔV
1
V tan (φ s )A-Cav Phase (eff) [deg.]

この結果を図 10.4 と比べると、バンチ・トレインに沿った全体はフラットになっていることが分かる。

-6.0

しかし、逆に、トレイン先頭（ギャップ直後）の速

-2

0

2

4

6

8

10

12

Time [µs]い変化（振動）は大きくなっている。これは、RF パ

図 10.14 LER の ARES 空洞場合（図 10.4）において FF 制御により BGT を補償した場合

ワーは貯蔵空洞（S 空洞）から投入されるため、ビーム負荷を受ける加速空洞（A 空洞）への補償が直接伝わらない（Q 値の大きい S 空洞と結合空洞が間に

LER
3500
(ARES)

ある）ためと思われる。あるいは、ビーム負荷による0 モード、π モードの励起と、RF 投入による励起とCav-IN Phase [deg.]
60

Revolution Period

3000

Cav-IN Power [kW]られる。FF 制御の振幅と位相によっては、このバン
チ・トレイン先頭の振動をキャンセルできる条件があると思われるが、その場合は逆に、トレイン全体の変調が大きくなるであろう。
これをバンチ・トレインの ﬁll pattern 変調により

50

2% Bunch Gap
2500

40

Δfa = -280kHz
φacc = 74.5º

2000

30

1500

20
Cav-IN Power [kW]

1000

10

500

0

Cav-IN Phase [deg.]では異なるため A 空洞でキャンセルできないと考え補償を行なったとしても同様の問題になる。この場
0

合、速く大きな ﬁll pattern 変調が必要になり、バン
チ・トレイン全体（中央）は平坦にできたとしても、

-2

0

2

4

6

8

10

-10
12

Time [µs]変調する時の速い変化が 0 モード、π モードを励起
図 10.15 FF 制御により BGT を補償する場合（図 10.14）の空洞入力パワー（縦軸左）と位相（縦軸右）することになり、結局その部分の（局所的な）速い位
相変化を避けることができない。
もう一点、図 10.15 に示す、FF 制御における空洞
入力パワーと位相についていである。実線が空洞入に個性があるため、空洞ごとに FF 制御の振幅・位相

力パワー（縦軸左）で、破線がその位相（縦軸右）での最適化（ある程度スキャンして探す、あるいは反ある。バンチ・ギャップに合わせて急激にパワーと復学習による自動化等）が必要になるだろう。また、位相を変化させていることが分かる。また、必要なFF 制御の delay も空洞ごとに厳密に調整する（最適入力パワーは約 3MW となる。500MHz-CW 運転のな delay をスキャンして探す）必要がある。

クライストロンで 3MW 出力（かつこの応答速度）は、現状では非現実的と言える。

ちなみに、ビームがない時の必要な RF パワー（FF制御出力）は、当然だが optimum tuning でない場

仮に、上記の FF 制御が可能だとした場合、実際合のほうが小さく済む。そのため、バンチ・ギャッの運転では個々の RF システム（クライストロン等）

プが長い場合は、敢て optimum tuning にせず、平78

均的なパワーが小さくなるように空洞を detuning す
る場合もある [83]。SuperKEKB ではギャップは短く、大きなビーム負荷を補償する必要がある（クライストロン出力は最大に近い）ので、この方式は採用できない。
以上、SuperKEKB における BGT 効果は、通常の位相変調に加え、ARES 空洞の 0 モード、π モードに起因する速い位相変化があり、特殊な状況にある。これを FF 制御、あるいは ﬁll pattern 変調により補償するのは非常に困難であると言える。従って、前述したようなバンチ・ギャップの delay 調整等で、速く大きな位相変化を避ける対策が必要である。

79

11 おわりにSuperKEKB は未踏のルミノシティ達成を目指す、
衝突型リング加速加速器で、その蓄積ビーム電流は非常に大きなものとなる。この大きなビーム電流を加速する RF システムにとって、ビーム負荷の問題は避けられない。
懸念される主な問題のうち、ここでは、結合バン
チ不安定性（CBI）と Bunch Gap Transient（BGT）
効果について紹介させて頂いた。
まず前半のビーム負荷に対する最適化と、結合バンチ不安定性については、これまでも多くのテキス
トで書かれている。参考文献の年代を見ると、その歴史はかなり古いが、今もなお RF 運転に必要な基本的な事項である。これからの大強度加速にとっても更に重要性が増すのではないだろうか。本稿でも、これらについて、できるだけ他の踏襲にならないよ
う自分なりの説明を試みたが、説明の流れをどうするか苦労し、結局これが適切かどうかは自信がない。
却って分かりにくい部分も多いのではないかと心配である。やはり過去のテキストや論文と合わせて見て頂くのが良いであろう。
一方、KEKB の CBI ダンパーと BGT について
は、過去に詳細が書かれテキストはないかと思うので、良い機会だと思い詳しい説明を試みた。その結果、言いたいことを言いたいがために、冗長だったり
厳密性に欠けたりで、ただの自己満足になっている可能性が大きい。また、SuperKEKB の特殊な例（自分の分かる範囲）が中心で、デジタル・フィルター以外は一般性も少し欠けると思われる。そのため、紹介している論文等を見て頂いて、ここから更に広い認識を持って頂くようお願いする。
最後に、これを機に少しでも RF システムあるいはビーム不安定性に関する多くの課題に興味を持ってもらい、SuperKEKB そして将来の大強度加速器に係わる人が増え、その成功に繋がれば幸いである。

80

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