数理解析研究所講究録 1208 巻 2001 年 159-169

159

Scattering by magnetic fields at large separationin two dimensions
伊藤宏
田村英男

愛媛大学工学部
岡山大学理学部

1(Hiroshi Ito)
(Hideo Tamura)序

次のような 2 次元 Schr\"odinger 作用素$H_{d}=(-i\nabla-A_{1}(x)-A_{2}(x-d))^{2}$,$d\in R^{2}$の散乱問題を考える. 各はコンパクトな台をもつ磁場を表すベクトル
ポテンシャルである. $|d|arrow\infty$ のときの散乱振幅の漸近挙動を求めるのがここでの目的である. 磁場として, コンパクトな台をもつ滑らかな磁場または原点だけに台のある \mbox{\boldmath $\delta$}-型磁場を考える.
1 個の -型磁場をもつ Schr\"odinger 作用素の散乱問題は, 磁場を閉じ込めた無限に細長い 1 本のソレノイドによる電子の散乱問題に対応する. 1959 年 Aharonov と効
Bohm は, このモデルの散乱振幅を計算することで, Aharonov-Bohm 効果
果を理論的に導き出した ([2]). このモデルは原点中心の回転に関して不変であり,Bessel 関数を用いた具体的な計算が可能である. 特に, (3) に見るように散乱振幅も簡単な形に表現できる. しかし, \mbox{\boldmath $\delta$}-型磁場が 2 つの場合にはそのようなアプローチは$A_{1},$$A_{2}$$b_{1},$$b_{2}$$b_{j}$$\delta$$=\mathrm{A}\mathrm{B}$

不可能なのでまったく別の方法, 超局所解析など, を用いて解析する.
ここでは, $[10, 11]$ で得られた結果を中心に述べる.

2

散乱振幅, 固有関数

この節では, 散乱振幅の定義や固有関数の性質などについて述べる.

2.1
磁場$b\in C_{0}^{\infty}(R^{2})$$b\in C_{0}^{\infty}(R^{2})$の場合をもつ 2 次元 Schr\"odinger 作用素は$H(A)=(-i \nabla-A)^{2}=\sum_{j=1}^{2}(-i\partial_{j}-a_{j})^{2}$,$\partial_{j}=\partial/\partial x_{j}$,で与えられる. ただし, $A=(a_{1}(x), a_{2}(x))$ : $R^{2}arrow R^{2}$ はベクトノレポテンシャノレで$b=\nabla\cross A=\partial_{1}a_{2}-\ a_{1}$ を満たすものである. たとえば,$A_{b}(x)=(-\partial_{2}\varphi(x), \partial_{1}\varphi(x))$,$\varphi=(2\pi)_{\nearrow}^{-1}\int\log|x-y|b(y)dy$

,

160
とおくと,
となり, 磁場 を表すベクトノレポテンシャノレである. また, このポテンシャルの国
での挙動は,$b$$\nabla\cross A_{b}\ovalbox{\tt\small REJECT}\Delta\varphi\ovalbox{\tt\small REJECT} b$$arrow\alpha$$A_{b}(x)=\alpha(-x_{2}/|x|^{2}, x_{1}/|x|^{2})+O(|x|^{-2})$である. ここに,$\alpha:=(2\pi)^{-1}\int b(x)dx$

は磁場

$b$

の磁束と呼ばれる.

ならであることがわかる.
は遠距離型
Remak. この挙動から,ところで, 磁場 を表すベクトルポテンシャルの選ひ方は無数にある. 実際, ゲージ$\alpha\neq 0$$O(|x\models^{1})$$A_{b}$$b$

変換 $Aarrow A+\nabla g$ だけの不定性がある. しかし, どのようにゲージを選んでもである限り, 磁場 を表すベクトルポテンシャルは短距離型 $O(|x|^{4-\epsilon})$ ,
, には
出来ない.
$\alpha\neq 0$$b$$\epsilon>0$

ここでは次のようなベクトルポテンシャルを採用する.

Lemma 2.1 磁場$b$を表すベクトルポテンシャル$A\in C^{\infty}$

1 においてで $|x|$$A(x)=A_{\alpha}(x)=\alpha(-x_{2}/|x|^{2}, x_{1}/|x|^{2})$となるものが存在する.

しばらくの間, ベクトルポテンシャル は上の補題を満たすものとして $(H(A), H_{0})$に対する散乱振幅の定義について述べる. ただし, $H_{0}=-\Delta$ である. 一般に摂動$H(A)-H_{0}$ は遠距離型であるが, 通常の波動作用素$A$$W_{\pm}(H(A), H_{0})=s- \lim_{tarrow\pm\infty}\exp(itH(A))\exp(-itH_{0})$が存在し漸近完全性

Ran$W_{-}(H(A), H_{0})=\mathrm{L}\mathrm{m}$ $W_{+}(H(A),

H_{0})$.

が威り立つ ([13]). 散乱作用素は,$S(H(A), H_{0})=W_{+}^{*}(H(A), H_{0})W_{-}(H(A), H_{0})$で定義されユニタリ作用素となる.
さて,$\varphi \mathrm{o}(x;\theta, \lambda)=\exp(i\sqrt{\lambda}x\cdot\theta)$,$\lambda>0,$

とおくと, これは H。の一般化された固有関数である,$F:L^{2}(R^{2})arrow L^{2}((0, \infty);d\lambda)\otimes L^{2}(S^{1})$(Fu)$\theta\in S^{1}$,$H_{0}\varphi_{0}=\lambda\varphi_{0}$

. いま,

を

$( \lambda, \theta)=2^{-1/2}(2\pi)^{-1}\int\overline{\varphi}\mathrm{o}(x;\theta, \lambda)u(x)dx=2^{-1/2}\hat{u}(\sqrt{\lambda}\theta)$,

161のスペクトル表現を与える,. すると, 搗と$S(H(A), H_{0})$ が可換であるので (一般論から) 散乱作用素は次の分解をもっで定義すると, これは$H_{0}$$FH\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}\lambda \mathrm{x}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$S(H(A), H_{0}) \simeq FS(H(A), H_{0})F^{*}=\int_{0}^{\infty}\oplus S(\lambda;H(A), H_{0})d\lambda$

ここ [こ, $S(\lambda;H(A), H_{0})$ : $L^{2}(SDarrow L^{2}(S^{1})$ は, エネノレギー $E>0$と呼ばれる. その積分核をで表すと, 入射方向
エネルギー $E>0$ に対する散乱振幅が,$S(\theta’,$$\theta;\lambda\underline{)}$$\omega\in S^{1}$,(1)?こおける散乱行タリ, 散乱方向必$\in S^{1}$,$f(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$f(\omegaarrow\tilde{\omega};E)=c(E)(S(\tilde{\omega},\omega;E)-\delta(\tilde{\omega}-\omega))$で定義される. ここに, $c(E)=(2\pi/i\sqrt{E})^{1/2}$ .
Remark 物理的には, エネルギー $E>0$ , 入射方向$\omega$

をもっ荷電粒子の, ビームが磁で散乱されたとき、 方向に散乱される割合は微分断面積
例する, と考えられている.
場

$b$

2.2

$\tilde{\omega}$$|f(\omegaarrow\tilde{\omega};E)|^{2}$に比1 個の \mbox{\boldmath $\delta$}一型磁場の場合1 個の -型磁場による散乱理論は具体的な計算可能で Aharonov-Bohm 以来多くの結果がある (cf. [1,3, 16]).
$\delta$

ベクトルポテンシャルが$A_{\alpha}(x)=\alpha(-x_{2}/|x|^{2},$ $x_{1}/|x|^{2})=\alpha(-\partial_{2}\log|x.|, \partial_{1}\log|x|)$.

(2)で与えられる場合を考える. このとき, 簡単な計算でであることがわかる. すなわち, A。は原点のみにサポートをもち, 磁束がである磁場を与えていると考えられる.
このポテンシャルは原点での特異性が強くに制限した Schr\"odinger
作用素 $H_{\alpha}:=H(A_{\alpha})$ の自己共役拡張は一意には決まらない. ここでは, H。を次の定義域をもつ自己共役拡張とする.
$\cross A_{\alpha}=2\pi\alpha\delta(x)$$\alpha$$C_{0}^{\infty}(R^{2}\backslash \{0\})$$D(H_{\alpha})= \{u\in L^{2} :H_{\alpha}u\in L^{2}, \lim|u(x)|<\infty\}$.

$|x|arrow 0$

ただし,$H_{\alpha}u$Remark.

$\alpha$(ま $R^{2}\backslash \{0\}$ 上の distributionと考える.

が整数でないなら条件 $\{\lim|x|arrow 0|u(x)|<\infty\}$ をもっと強い条件:$.\{1.!.\mathrm{m}\mathrm{r}\dot{u}(x).

|=0\}|x|arrow 0^{\cdot}$に置き換えても同じ定義域を表す. すなわち, ” 粒子は磁場にふれな 4” といでの境界条件である.

$\overline{.\mathcal{D}}$原点

H。は原点中心の回転と可換であり, 極座標を用いて書き直すことができる. 結
局は、 Bessel の微分方程式の計算に帰着される.

162
実際, H。の一般化された固有関数$\varphi_{\mp}(x;\lambda,\omega),$$H_{\alpha}\varphi_{\mp}(\cdot;\lambda,\omega)=\lambda\varphi_{\mp}(\cdot;\lambda,\omega)$, は$\varphi_{\mp}(x;\lambda,\omega)=\sum_{l\in Z}\exp(\pm i|l-\alpha|\pi/2)\exp(\mathrm{i}\mathrm{l}\gamma(x;\pm\omega))J_{|l-\alpha|}(\sqrt{\lambda}|x|)$は Bessel 関数. また, 通常の波動作用素の存在と漸近完全も前と同様に定義性が成り立つことも知られている ([16]). 散乱振幅されるが、 具体的な計算が可能で,で与えられる. ここで,

$J_{\nu}$$f(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$(3)$f=( \frac{2\pi}{i\sqrt{E}})^{1/2}((\mathrm{c}\mathrm{o}s\alpha\pi-1)\delta(\tilde{\omega}-\omega)-\sin\alpha\pi \mathrm{v}.\mathrm{p}.\cdot..\cdot\frac{ie([\alpha]+1)(\overline{\omega}-\omega)}{\pi(e^{(\tilde{\omega}-\omega)}-1)})$と簡単な形になる ([3, 16]). ここで,
らの
の方位角.

$[\alpha]$は$\alpha$を超えない最大の整数,$\tilde{\omega}-\omega$は$\omega$か$\tilde{\omega}$の ffl 方での漸近挙動を調べる ([3, 4, 15] もH。の一般化された固有関数$\omega=\pmd$の場合の解析に必要になってくる. H。
または、参照). この漸近挙動は、上の有界関数であり,で表わすと,の固有関数を$\wedge\varphi_{\mp}(x; \lambda,\omega)$$\tilde{\omega}\pm\hat{d}$$R^{2}$$\varphi\pm(x;\lambda,\omega, \alpha)$を満たす.
$|x|arrow\infty$ での挙動をについて述べる. 特に、れたい.

$\varphi-(x;\lambda,\omega, \alpha)=$$\overline{\varphi}_{+}(-x;\lambda,\omega, -\alpha)$$\hat{x}=\omega$$\varphi_{+}$

Proposition 2.1 (1)$\varphi_{+}(x;\lambda,\omega)$の近くでの挙動に注意さ$|x/|x|-\omega|>c>0$ のとき、$=\exp(i\alpha(\gamma(x;\omega)-\pi)).\exp(i\sqrt{\lambda}x\cdot\omega)$$+e^{:\sqrt{\lambda}|x|}|x|^{-1/2}( \sum_{j=0}^{N-1}c_{+j}(x)|x|^{-j})+O(|x|^{-(N+1/2)})$,

ここで $c_{+j}(x)$ は $|\partial_{x}^{\beta}c_{+j}|=O(|x|^{-|\beta|})$ を満たす.

(2)$1/2<q\leq 1$とする.

$0<|x/|x|-\omega|<c|x|^{-q}$ のとき、$\varphi+(x;\lambda,\omega)=\cos\alpha\pi \mathrm{x}\exp(i\sqrt{\lambda}x\cdot\omega)+O(|x|^{-\nu})$

ここで、 $\nu=2(q-1/2)/3>0$.

.

32 個の \mbox{\boldmath $\delta$}-型磁壜の場合の散乱理論-型磁場が 2 個の場合には, 1 個の場合のような具体的な計算は不可能であるが, 以
下の Propositons 3.1-3.4 を得ることができる. $A_{j}(x)=A_{\alpha_{j}}(x-ej),$ $j=1,2$ , は$\delta$$\delta-$型磁場$2\pi\alpha_{j}\delta(x-e_{j})$をあらわすベクトノレポテンシャノレである $((2))$ . ただし,

$e_{1}\neq e_{2}$163
Proposition 31(自己共役性) $H(A_{1}+A_{2})$ は$D=\{u\in L^{2} :H(A_{1}+A_{2})u\in L^{2},\varliminf_{|x\mathrm{e}_{j}|arrow 0}|u(x)|<\infty, j=1,2\}$.

を定義域とすると自己共役になる.
以下, $H:=H(A_{1}+A_{2})$ は上で定義された自己共役作用素とする.

Proposition 32(固有値の非存在) $H$ は固有値をもたない.
重み付き$L^{2}$

空間を $L_{s}^{2}(R^{2}):=L^{2}$ ($R^{2}$; x)2sd\rightarrow で定義する.
$\langle$

Proposition 3.3(極限吸収原理) $R(z;H)=(H-z)^{-1},$ $s>1/2$ とする. 各 $\lambda>0$から $L_{-s}^{2}(R^{2})$ への作用素ノルムで存在する :対して, 次の極限が$L_{s}^{2}(R^{2})$.

$R(\lambda\pm i0;H)=\mathrm{h}.\mathrm{m}R(\lambda\epsilon\downarrow 0\pm i\epsilon;H)$

この収束は $\lambda>0$ に関して $(0, \infty)$ 内の任意のコンパクト集合上一様である.

Proposition 3.4(波動作用素の存在と漸近完全性) 波動作用素$W_{\pm}(H, H_{0})=s-\mathrm{h}.\mathrm{m}\exp(itH)\exp(-itH_{0})tarrow\pm\infty$:$L^{2}arrow L^{2}$.

が存在して, 漸近完全性が成り立つ :

Ran

4

主結果

4.1

$b\in C_{0}^{\infty}(R^{2})$

さて, 2 つの磁場
ル

$A_{1}$$b_{1},$$W_{+}(H, H_{0})=\mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{n}$$W_{-}(H, H_{0})=L^{2}$.

の場合$b_{2}\in C_{0}^{\infty}$が与えられたとする. このとき, ベクトルポテンシャ, A2 を Lemma 2.1 のように定めると磁場$b_{1}(x)+b_{2}(x-d)$,$d\in R^{2}$をもつ Schr\"odinger 作用素は
$H_{d}=H(A_{1}+A_{2,d})=(-i\nabla-A_{1}-A_{2,d})^{2}$となる. $(H_{d}, H_{0})$ に対する散乱振幅を$j=1,2$ に対する散乱振幅をする散乱振幅は,$A_{2,d}(x)=A_{2}(x-d)$であらわす. 同様に, $(H(Aj), H_{0})$ ,で表わす. このとき, $(H(A_{2,d}), H_{0})$ に対$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$f_{j}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$f_{2,d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)=\exp(-i\sqrt{E}d\cdot(\tilde{\omega}-\omega))f_{2}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$

164
で与えられる.

$\gamma(x;\omega)$を$x$の $\omega\in S^{1}$ からの方位角とし,$\tau(x;\omega,\tilde{\omega})=\gamma(x;\omega)-\gamma(x;-\tilde{\omega})$.

とおく. ただし, $\omega=x/|x|$ のときは,$\exp(i\alpha\gamma(x;\omega)):=(1+\exp(i2\alpha\pi))/2=\cos\alpha\pi \mathrm{x}\exp(i\alpha\pi)$とする. また,$\alpha_{1},$Theorem 4.1
幅

を各々磁場

$\alpha_{2}$$\omega\neq\tilde{\omega}$$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$は同$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$b_{2}$の磁束とする.

の方向 $\hat{d}=d/|d|$ を固定する. このとき, 散乱振のとき次の挙動を示すを仮定し,$arrow\infty$$b_{1},$$d$$=\exp(i\alpha_{2}\tau(-d;\omega,\tilde{\omega}))f1(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$+\exp(i\alpha_{1}\tau(d;\omega,\tilde{\omega}))f_{2,d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)+o(1)$.

(4)

特に後方散乱に関しては, 次のようになる.
$=f_{1}(\omegaarrow-\omega;E)+f_{2,d}(\omegaarrow-\omega;E)+o(1)$$f_{d}(\omegaarrow-\omega;E)$,$(\omega\neq\pm\hat{d})$$f_{d}(\hat{d}arrow-\hat{d};E)$$=f_{1}(\hat{d}arrow-\hat{d};E)+(\cos\alpha_{1}\pi)^{2}f_{2,d}(\hat{d}arrow-\hat{d}E)+o(1)$,$f_{d}(-\hat{d}arrow\hat{d};E)$$=$$(\cos\alpha_{2}\pi)^{2}f1(-\hat{d}arrow\hat{d};E)+f_{2,d}(-\hat{d}arrow\hat{d};E)+o(1)$.

,Remark 2 つの電場ポテンシャルをもつ Schr\"odinger 作用素$-\Delta+V_{1}(x)+V_{2}(x-d)$について同様の問題を考える. ただし, 各$j=1,2$ , は遠方で非常に速く減衰を各々 $(-\Delta+V_{1}(x), -\Delta),$ $(-\Delta+V_{2}(x-d), -\Delta)$ ,するものとする.
$(-\Delta+V_{1}(x)+V_{2}(x-d), -\Delta)$ に対する散乱振幅とすると, 次の結果が知られてい$V_{j},$$f_{1}^{\mathrm{e}},$$f_{2,d}^{e},$$f_{d}^{\mathrm{e}}$る ([12]):$f_{d}^{e}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)=f_{1}^{\mathrm{e}}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)+f_{2,d}^{\mathrm{e}}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)+o(1)$4.2$\alpha_{j},$主結果$-\delta$.

一型磁場の場合$j=1,2$ , を実数として, 2 点を中心とする \mbox{\boldmath $\delta$}-型磁場$2\pi\alpha_{1}\delta(x)+2\pi\alpha_{2}\delta(x-d)$.
をもつ場合を考える. すなわち, Schr\"odinger 作用素 $H_{d}:=H$$(A_{\alpha_{1}}+A_{\alpha_{2},d})$る. この作用素は, Proposition 3.1 から$D(H_{d})=\{u\in L^{2} :H_{d}u\in L^{2}, |x.|arrow 0\mathrm{h}\mathrm{m}|u(x)|<\infty, |x.d|arrow 0\underline{\mathrm{h}}\mathrm{m}|u(x)|<\infty\}$を定義域として自己共役作用素になる.

を考え

165
Theorem 42 $H_{0}=-\Delta$ とするとき$(H(A_{\alpha_{1}}), H_{0}),$

対する散乱振幅を各々Theorem 4.1 と同じ漸近挙動 (4) を得る.
$f1(\omegaarrow\tilde{\omega};E),$$(H_{d}, H_{0})$$(H(A_{\alpha_{2},d}), H_{0}),$$f_{2,d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E),$$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$

に

とすると,

Remark. ベクトノレポテンンヤノレの形から, スケーリング $xarrow|d|x$ によって,とになる. このことから,はに対する散乱振幅$(H_{d}, H_{0})$ に対する散乱振幅の間に次の関係が威り立つ.

$H_{d}$$(H_{\hat{d}}, H_{0})$$|d|^{-2}H_{\hat{d}}$$f_{\hat{d}}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$f_{\hat{d}}(\omegaarrow\tilde{\omega};|d|^{2}E)=|d|^{-1}f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$

したがって、 $|d|arrow\infty$ での $(H_{d}, H_{0})$ に対する散乱振幅の挙動を調べることは,に対する散乱振幅の高エネルギーでの挙動を調べることと同じことである.

$(H_{\hat{d}}, H_{0})$5

証明のアイデア

ここでは, Theorem 4.1 の証明の概略をべる. 詳しくは, [10] を参照.

$\omega\neq\pm\hat{d},\tilde{\omega}\neq\pm\hat{d},$$\omega\neq\tilde{\omega}$の場合に限って述5.1. 最初に, 磁場が 1 個の場合の散乱振幅の表現を導く. ニこでは、を考える. 以下,はともに十分小さい正の定数とする.
$\delta,$$0\leq\chi\leq 1$

を満たす$f_{1}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$\sigma$,$\chi(s)=1$

for $0\leq s\leq 1$ ,$\chi(s)=0$

for $s>2$を固定し,$\chi\in C_{0}^{\infty}[0, \infty)$$\beta_{0}(\xi)=\chi(2|\xi-\sqrt{E}\omega|/\delta^{2})$とおく. $j_{0}\in C^{\infty}(R^{2})$ [ま, $0\leq j_{0}\leq 1,$
し, さらに$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}j_{0}\subset\Sigma(|d|^{\sigma},\omega, \delta)$,$\tilde{\beta}_{0}(\xi)=\chi(2|\xi-\sqrt{E}\tilde{\omega}|/\delta^{2})$($\partial_{x}^{\beta}j_{0}(x)=O(|x|^{-|\beta|})$,$j_{0}=1$

on$d$[こ関して一様) を満た$\Sigma(2|d|^{\sigma},\omega, 2\delta)$,となるものとする. ここで,$\Sigma(R,\omega, \delta)=\{x :である. 同様に,$\tilde{j}_{0}(x)$$\text{と}\acute{i\mathrm{E}}\ovalbox{\tt\small REJECT} \text{す}$る$R>0$ .

,を$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\tilde{j}_{0}\subset\Sigma(|d|^{\sigma}, -\tilde{\omega}, \delta)$となるようにとる.

|x|>R, |x/|x|-\omega|>\delta\}$$J_{0},\tilde{J}_{0}$,$\tilde{j}_{0}=1$

on$\Sigma(2|d|^{\sigma}, -\tilde{\omega},2\delta)$

,

を

,

$J_{0}$$=j_{0}(x)\exp(\alpha_{1}\gamma(x;\omega))\beta_{0}(D)$$\tilde{J}_{0}$$=\tilde{j}_{0}(x)\exp(\alpha_{1}\gamma(x;-\tilde{\omega}))\tilde{\beta}_{0}(D)$.

[8] と同様に$f_{1}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$=$$-\cdot(ic(E)/4\pi)(T\varphi_{0}(\omega, E),\tilde{J}_{0}\varphi_{0}(\tilde{\omega}, E))$$+$$(ic(E)/4\pi)(R(E+i0;H_{1})T\varphi \mathrm{o}(\omega, E),\tilde{T}\varphi \mathrm{o}(\tilde{\omega}, E))$

(5)

.

166
を得る. ここで,$\varphi_{0}(\omega, E)=\varphi_{0}(\cdot;\omega, E)$,$T=H(A_{1})J_{0}-J_{0}H_{0}=\exp(i\alpha_{1}\gamma(x,\omega))[H_{0},j_{0}]\beta_{0}$,$\tilde{T}=H(A_{1})\tilde{J}_{0}-\tilde{J}_{0}H_{0}=\exp(i\alpha_{1}\gamma(x, -\tilde{\omega}))[H_{0},\tilde{j}_{0}]\tilde{\beta}_{0}$である.

との表象の台は運動量空間でみると共通
必より、擬微分作用素$|d|arrow\infty$部分はない. したがって,のとき, (5) の右辺第 1 項は $o(1)$ となることがわ
かる. また,を磁場の近くとその外側に分ける:$T$$\omega\neq$$\tilde{J}_{0}$$T$$T=\chi(|x|/3|d|^{\sigma})T+(1\cdot-\chi(|x|/3|d|^{\sigma}))T=T_{1}$ 十 $T_{2}$

.

とする.
同様に,
として次の評価が成り立つ.
$k=1,2$
このとき,$\tilde{T}=\tilde{T}_{1}+\tilde{T}_{2}$Lemma 5.1$||\tilde{T}_{k}^{*}R(E+i0;H(A))T_{2}||=O(|d|^{-N})$,$||\tilde{T}_{2}^{*}R(E+i0;H(A))T_{k}||=O(|d|^{-N})$

以上のことから,

Lemma 5.2
$f1(\omegaarrow\tilde{\omega};E)=(ic(E)/4\pi)(R(E+i0;H(A_{1}))T_{1}\varphi_{0}(\omega, E),\tilde{T}_{1}\varphi_{0}(\tilde{\omega}, E))+o(1)$

を得る.

5.2.
次に,

$f_{d}(\omega,\tilde{\omega}, E)$の同様の表現を求める.

$j_{0d}(x)$$\theta_{d}(x;\omega)$

とお

$<$

.

$5.1$

の

$J_{0}$,$\tilde{J}_{0}$$=j_{0}(x-d)$ ,$\tilde{j}_{0d}(x)=\tilde{j}_{0}(x-d)$,$=\alpha_{1}\gamma(x;\omega)+\alpha_{2}\gamma(x-d;\omega)$の代わりに, 各々,$J_{0d}$$=j_{0}j_{0d}\exp(i\theta_{d}(x;\omega))\beta_{0}(D)$$\tilde{J}_{0d}$$=\tilde{j}_{0}\tilde{j}_{0d}\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))\tilde{\beta}_{0}(D)$,を用いて$f_{d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)$$=$$-(ic(E)/4\pi)(T_{d}\varphi_{0}(\omega, E),\tilde{J}_{0d}\varphi_{0}(\tilde{\omega}, E))$$+$$(ic(E)/4\pi)(R(E+i0;H_{d})T_{d}\varphi_{0}(\omega, E),\tilde{T}_{d}\varphi_{0}(\tilde{\omega}, E))$を得る. ここに、
ク $d=H_{d}J_{0d}-J_{0d}H_{0}$ ,$\tilde{T}_{d}=H_{d}\tilde{J}_{0d}-\tilde{J}_{0d}H_{0}$

.

167

原点およひ

$d$

の近傍に対する特性関数を$\chi_{1d}(x)=\chi(|x|/3|d|^{\sigma})$で定義し,$T_{d},\tilde{T}_{d}$,$\chi_{2d}(x)=\chi_{1d}(x-d)$,を各々次のように分解する:$T_{d}=T_{1d}+T_{2d}+T_{3d}+T_{4d}$,$\tilde{T}_{d}=\tilde{T}_{1d}+\tilde{T}_{2d}+\tilde{T}_{3d}+\tilde{T}_{4d}$

.

ここで,

,

$T_{1d}$$=\exp(i\theta_{d}(x;\omega))\chi_{1d}[H_{0},j_{0}]\beta_{0}$$T_{2d}$$=\exp(i\theta_{d}(x;\omega))\chi_{2d}[H_{0},j_{0d}]\beta_{0}$,$T_{3d}=\exp(i\theta_{d}(x;\omega))(1-\chi_{1d})[H_{0},j_{0}]j_{0d}\beta_{0}$$T_{4d}$$=\exp(i\theta_{d}(x;\omega))(1-\chi_{2d})j_{0}[H_{0},j_{0d}]\beta_{0}$$\tilde{T}_{1d}$$=\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))\chi_{1d}[H_{0},\tilde{j}_{0}]\tilde{\beta}_{0}$$\tilde{T}_{2d}$$=\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))\chi_{2d}[H_{0},\tilde{j}_{0d}]\tilde{\beta}0$

,
,

,
,

$\tilde{T}_{3d}=\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))(1-\chi_{1d})[H_{0},\tilde{j}_{0}]\tilde{j}_{0d}\tilde{\beta}_{0}$$\tilde{T}_{4d}$,$=\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))(1-\chi_{2d})\tilde{j}_{0}[H_{0},\tilde{j}_{0d}]\tilde{\beta}_{0}$である. $1\leq j,$ $k\leq 4$ [こたいして,$\gamma jk(d)=(ic(E)/4\pi)(R(E+i0;H_{d})Tjd\varphi \mathrm{o}(\omega, E),\tilde{T}_{kd}\varphi \mathrm{o}(\tilde{\omega}, E))$

とおくと,$f( \omega,\tilde{\omega};E)=\sum_{1\leq j,k\leq 4}\gamma_{jk}(d)+o(1)$.

であるので, 定理の証明には, 次のことを示せばよい.
$\gamma_{33}(d)=o(1)$,$\gamma_{44}(d)=o(1)$,$\gamma jk(d)=o(1)$$(j\neq k)$

(7)

.

(8)

$k=3,4$ , が入っている項は $o(1)$ である. また、は次の補題の最初の評価から $o(1)$ である.

Lemma 52 と同様に,$\gamma_{12},$$\gamma_{21}$(6),$\gamma_{11}(d)=\exp(i\alpha_{2}\tau(-d;\omega,\tilde{\omega}))f1(\omegaarrow\tilde{\omega};E)+o(1)$$\gamma_{22}(d)=\exp(i\alpha_{1}\tau(d;\omega,\tilde{\omega}))f_{2,d}(\omegaarrow\tilde{\omega};E)+o(1)$,$T_{k},,\tilde{T}_{k},$Lemma 5.3 $\sigma>0$ を十分小さくとる. このとき, 任意の$\epsilon>0$に対して,$||\chi_{1d}R(E+i0;H_{d})\chi_{2d}||=O(|d|^{-1/2+4\sigma+}‘)$$||\chi 1d(R(E+i0;H_{d})-R(E+i0;H(A_{1})))\chi_{1d}||$$=O(|d|^{-1+7\sigma+e})$,$||\chi_{2d}(R(E+i0;H_{d})-R(E+i0;H(A_{2,d})))\chi_{2d}||$$=O(|d|^{-1+7\sigma+\epsilon})$.

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さて、 上の補題の 2 番目の評価から$\gamma_{11}(d)=(ic(E)/4\pi)(R(E+i0;H(A_{1}))T_{1d}\varphi_{0}(\omega, E),\tilde{T}_{1d}\varphi_{0}(\tilde{\omega}, E))+o(1)$を得る. ところが,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{1d}$上, $\gamma(x-d,\omega)=\gamma(-d;\omega)+O(|d\models^{1+\sigma})$ であるから,$\exp(i\theta_{d}(x;\omega))=\exp(i\alpha_{2}\gamma(-d;\omega))\exp(i\alpha_{1}\gamma(x;\omega))+O(|d|^{-1+\sigma})$である. 同様 [ニ,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\chi_{1d}$上,$\exp(i\theta_{d}(x;-\tilde{\omega}))=\exp(i\alpha_{2}\gamma(-d;-\tilde{\omega}))\exp(i\alpha_{1}\gamma(x;-\tilde{\omega}))+O(|d|^{-1+\sigma})$.

よって、 Lemm 52 を考慮すると (7) が証明された. 同様に, (8) も示される.

Remark. 上の補題の証明はかなり複雑である。 第一歩は, 積分核が具体的に表現できる $R(E+i0;H_{0})$ の評価である. しかし、摂動が ( に依存する) 遠距離型のた$d$

め $R(E+i0;H_{d})$ の評価には直接には結ひつかない. そのため,$H_{0},$$H(A_{1}),$ $H(A_{2d})--$

からゲージ変換を用いて作った補助作用素を途中に介在させて, 議論を進める. ここでも, 超局所解析の議論が本質的に使われる.

Remark. ($\omega=\pm\hat{d}$または$\tilde{\omega}=\pm\hat{d}$の場合)の固有関数を用いて散乱振幅を表現した. この場合に$\omega=-\hat{d}$
のときには
のときには
の固有関数を用いて表現し,は,Proposition 2.1 を用いる. また, レゾルベントの評価ももつと精密なものが必要になる ([11] 参照)

今までの議論では,$\omega=\hat{d}$$H_{0}$$H_{1},$$H_{2}$

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