平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)

大気と海の流体力学
山田 道夫

1

はじめに —大きなスケールの流体現象—

ここでは大気や海の運動を対象として、それらの記述の基礎となる流体力学についてお話しします。大気や海の運動が、日常目にする流体運動とはかなり違った性質を持つことに触れたいと思います1 。
地球を覆う大気の運動や海洋における海水の運動は、空気や水が流体であるため、流体力学の法則に従います。その意味では、大気や海の運動も、車のまわりの気流やプールの水の動きと、基本的には何も変わるところがありません。一括
して流体力学という名前で呼ばれている分野の運動の一例に過ぎない、と言うこともできるでしょう。
もともと流体力学は、身の回りの空気や水の流れを理解しようとするところから始まりました。学校で習わなくても、我々は、流体の運動について、日々の経験を通して非常に多くのことを知っています。泳いだり模型ボートを作ったりすることで、利用することさえ少なくありません。そのため流体力学では、提起される問題が、知っていることをどうやって説明するか、という形になる場合が少なくありません。ミクロの物理学では現象そのものをほとんど見ることができな
い、というのとは大違いです。
しかし残念なことに、あるいは面白いことに、現象そのものを良く知っているにもかかわらず、基礎方程式から論理的に説明する、ということになると、意外に不完全なことしかできない、というのも、現在の流体力学の性格の一つです。一番簡単な例はおそらく、水道管の中の水の流れをきちんと数式で記述する、という問題でしょう。我々は、水の流れを記述する方程式を知っています。それはナ
ビエ・ストークス (Navier-Stokes) 方程式と呼ばれる偏微分方程式で、１００年以
上も前に発見されたものです。この方程式については、これまで膨大な実験的／
数値的検証が行われ、現在のところ、ある程度自然で基本的と考えられる流体の運動なら、この方程式が高精度の記述を与えると考えられています。その意味で、この方程式には深刻な欠陥はない、と言えます2 。ここでそのナビエ・ストークス

1

ここではカオスには触れません。むしろ明瞭な流れパターンを話題にします。
本当を言うと、深刻な欠陥が残っている数学的可能性はゼロではありません。この方程式に対するなめらかな解の大域存在は証明されていません（クレイ研究所の百万ドル問題です）。
2

1

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方程式を書いておきましょう。記号の意味は後で述べます。

ρ(∂u+ u · ∇u) = −∇p + µ∆u∂t(1)

さて、例えば水道管の中では、流れが速くなると、激しい乱れが発生するようになります。この乱れた状態は乱流と呼ばれ、蛇口に近い水道管の中などは、ほとんどの場合この乱流状態になっています。しかし、我々はこの乱流状態の性質
を、ナビエ・ストークス方程式から出発して論理的飛躍なしに導くことができません3 。例えば、理論的にも実用的にも重要な、乱流速度の平均（平均流）や低次モーメント（平均的な運動量輸送）をきちんと求める手段はまだ見つかっていません。現在の自然科学／数学の水準ではまだまだ不可能なのかもしれません。いずれにせよ、方程式は知っているけれど、その解の性質、特に、複雑な解の性質（平均的性質）をどのようにして導いたらよいのか分からない、というのがこの分
野の現状で、膨大な研究と状況証拠にもかかわらず、乱流現象の論理的記述方法の開発は２１世紀の問題として残されています。
水道管内の流れは、断面が円形ということもあり、流体運動では最も簡単な部類に属します。しかし、そのような流れでさえも記述不能ということであれば、ほとんどすべての流れは記述不可能、ということになります。実際、ここで話題にしようとしている大気や海の中の流れなどは、その全てが乱流状態と言ってもよ
く、そうである以上、基礎方程式から出発する厳密で論理的な記述は殆ど絶望的、といっても間違いではありません。
しかし奇妙なことに、現実には方程式を用いた記述がある程度可能で、実際、天気の数値予報や津波の予報が行われ、実用に供されています。このことは少し説明が必要でしょう。
数値予報や波浪予報が対象にするのは、大きなスケールでみた時の流れです。大気も海も乱流になっていて、非常に小さなスケール（1mm 程度まで）の運動が共存しています。このスケールから地球を覆う 1 万 km のスケールの運動までを一挙に扱おうとするなら、上に書いたナビエ・ストークス方程式を使えば OK です。方程式に未知な部分はありません。しかしこのような記述は、事実上不可能です。厚さ 10kmの大気ではこの運動の自由度はおよそ (1 万 km/1mm)2 × (10km/1mm) = 1027 と見積もられ、テラ（1012 ）バイトのメモリをテラの個数分用意しても、まだ足りません。しかし、この場合我々が知りたいのは、1mm スケールの細かな運動などではなく、10km〜1 万 km のスケールの大きな流れの様子です。ちょうど統計力学や熱力学で、個々の分子の運動などではなく、物質全体としての性質を知りたいの
3

方程式を数値的に解いて乱流解を得ることはできますが、これは実験と同じことです。乱流解の性質を理論的に導くことは、未だ誰も成功していません。

2

平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)と同じことです。我々の場合には、まずは、平均的な流れを知ることが目標です。
そこで、細かな運動までを記述するナビエ・ストークス方程式を「平均化」して、平均流に対する方程式を作ります。いわば乱流の細かな振る舞いを塗りつぶしてしまった方程式です。平均量を u, p と書くと、この方程式は∂u+ u · ∇u) = −∇p + µ∆u + ∇R
(2)∂tとなります（面倒なので「密度」ρ は一定としました）。元の Navier-Stokes 方程式と異なるのは右辺の最後の項だけですが、これがすべての困難の原因であり、どのような性質を持つ項なのか、現在のところ理論的に導くことができません。しかしそうはいっても、理工学の広い分野においてこの方程式を解くことが要求されているため、この項を「適当に仮定」することが日常的に行われています。
ρ(

例えば、ある最も簡単な仮定の場合には、方程式の形は結局元の (1) 式と同じでパラメータ µ の値を（何桁も！）大きくしたものが得られるのですが、面白いことに、このような方程式でも本当の平均流をなんとなく再現することが出来ます4 。
つまり、乱流の効果といってもこの場合は単に１つの係数の値に帰着されてしまうのです。もちろん、もっと精密に合わそうとして複雑な仮定を導入することも多く行われ、その場合は、乱流の性質をうまく再現するように何個もの係数の値が調整されます5 。例えば、毎日の天気の予想に使われる数値予報には、このようなパラメータがいくつも入っていて、微妙な調節が行われているわけです。数値
予報の場合この調節は、もちろん、「地球の気象現象を再現するように」行われていますが、そのため、少なくともそのままでは、例えば火星の天気の予報には使えません。計算に用いる方程式が「理論式＋経験則」という組み合わせで作られているためです。
とはいえ、たとえ乱流になっていても、難しい部分は方程式のごく一部分（例
えばある種の係数の値など）に凝縮することができるため方程式の形は元の (1) 式に近い、ということは重要です。このことは、大気や海の運動の少なくともおお
まかな部分は、流れがあたかも乱流ではないように考えてもよい、ということを示唆するからです。また、このことは、大気や海の流れの特徴を、室内実験によって再現できる、という可能性も示唆しています。ここでお話しする内容や数式は、このような事情の上に立って用いることになります。
大気や海の運動について、もう一つの性格を確認しておきます。先に、流体力
4

これは「なんとなく」に過ぎずちゃんとした工学的な要求を満たそうとするような場合にはお勧めできません。
5
たくさんの係数を導入すればいくらでも精密に合わせられる、ということはありますが、工学的には、できるだけ少ない係数でたくさんの流れを正しく再現することや、「仮定」のもっともらしさ、が問題になります。実際にはこのような方法は高度に発達していて多くの工学的用途に用いられています。基礎方程式から完全に論理的に導かれるわけではありませんが、多くの実験や経験によってそれなりに妥当な係数値が選ばれているわけです。

3平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)

学は、日常経験で知っていることの説明、という性格が強い、と書きました。しかし、これは大気や海の運動についてはあまり正しくない、ということも強調した
いと思います。大気や海の運動は、日常生活の中の流体運動とは異なり、自分の目で見る、という経験が実は最近までほとんどありませんでした。もちろん、目の前の海水や空気の動きを見ることはできます。しかし、何百キロ、何千キロという大きなスケールで見たとき、大気や海の運動がどのように見えるのか、とい
うのは、もはや直観的には捕らえがたい領域に属します。近年、気象衛星が打ち上げられるようになって、雲の動きを通して大気運動の様子が分かるようになってきましたが、それでも、運動が何週間、何ヶ月もの時間をかけて変化していく、というような現象は、日常的に親しんでいるとはとてもいえません。大気や海の運動は、むしろ、日常経験では知らない流体運動、と言った方が良いでしょう。こ
こでは、そのような大規模スケールの流体運動についてお話ししたいと思います。

2

Navier-Stokes 方程式とにかくも流体運動の基礎方程式です。
時刻 t で x = (x, y, z) という点における流体の状態は、各点における流体の密度、速度（３成分）、圧力の合計５つの量を指定することで決まります。従って、流体運動の方程式はこれらの量の時間変化を記述するもので、通常、質量、運動量、エネルギー、の３つの保存則から導かれます。
流体の密度を ρ(t, x)、速度を u(t, x) = (u(t, x), v(t, x), w(t, x))、圧力を p(t, x)とします（以下ではしばしば t や x の一方あるいは両方を省略することがあります）。これらの量を用いると、質量保存則は連続方程式∂ρ+ ∇ · (ρu) = 0∂t(3)

運動量保存則は Navier-Stokes 方程式

ρ(∂u+ u · ∇u) = −∇p + µ∆u∂t(4)になります。ここで ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)、 ∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 です。この Navier-Stokes 方程式に現れる係数 µ を粘性係数と呼びます。以下では、簡単のため密度 ρ が一定の場合を中心に扱うので、エネルギー方程式は考えない
ことにします。
上の方程式は慣性系における流体の運動方程式です。座標系が、慣性系ではな
く、地球のように（あまり大きくない）回転角速度ベクトル Ω で一定回転している場合には、方程式が次のように少し変形されます。

ρ(∂u+ u · ∇u + 2Ω × u) = −∇p + µ∆u
∂t
4

(5)

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この 2Ω × u の項はコリオリ力を表しています。

3

薄い流体層が回る

大気や海の特徴は、まず、とにかく非常に薄いことです。大気（対流圏）ならばおよそ 10km、海ならば平均海深は 4km 弱に過ぎません。一方、横の広がりは、
地球一周が 4 万 km、太平洋の幅でも約 1 万 km。幅と深さの比が 1m 対 1mm 程度の非常に薄い層です。このような薄い層の中の運動なので、殆ど横方向だけの２次元運動 u(x) = (u(x, y), v(x, y)) と考えることにします。簡単のため密度 ρ も一定とおきますが、層の厚さ H は変化し得るので、連続方程式は、流体が集まると層が厚くなる、という方程式になります。また運動方程式は、線形部分のみを考え、粘性を無視します。
（なお、これらの方程式は本当は球座標で書くべきですが、以下概念的な話なので平面座標で書くことにします。）∂H+ ∇ · (Hu) = 0∂t∂u+ f k × u = −g∇H
∂t

(6)
(7)

さて問題は、流体の運動がこの方程式に従って時間発展すると何が起こるか、です。このような方程式は、フーリエ変換（フーリエ級数展開）を使う、という一般的処方がありますので、ここでもそれに従います。簡単に行うには平均の深さをH0 としてH = H0 + ĥ(k) exp(i(kx − ωt)),u = û(k) exp(i(kx − ωt))(8)とおき、方程式に代入すると、次の式（分散関係式）が得られます。

ω(ω 2 − f 2 − gH0(kx2 + ky2 )) = 0(9)

この式は、振動数 ω として

ω = 0,

ω = ± f 2 + gH0(kx2 + ky2 )(10)の２種類のものがあることを示しています。この意味はとても重要です。なぜな
ら、波数 k がゼロでない解は、時間が経つと波動として遠くへ飛び去っていく、と期待されるからです。この結果、後に残されるものは、• k = 0 で振動数が ±f の運動• 振動数がゼロの運動

5平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)の 2 種類です。前者の運動は、全体が系の回転角速度と同じ角速度で一様に回転する運動で「慣性振動」と呼ばれます。k = 0 なので構造は持ちません。ところが後者の運動は、あらゆる波数 k を持つため、構造を持つことができます。この運動は、

f k × u = −g∇H

(11)

すなわち

u=−

g ∂H
,
f ∂y

v=

g ∂H
f ∂x

(12)

と関係を満たしていて、コリオリ力と気圧傾度力が釣り合った形をしています。これを地衡風平衡といいます。
つまり、回転系の薄い一様な流体層は、最初かき乱されいても、時間とともにこの地衡風平衡に近づく、という基本的性質を持っています。天気図に等圧線が書かれ、天気を「気圧配置」で解説するのはこのため、つまり、回転系の薄い流体層では地衡風平衡が運動の第一近似だからです。これは回転していない系とは大きく違う点です。
実際の気象現象は、この地衡風平衡の周辺をうろうろしながら時間変化しているわけです。一方、地衡風平衡の方程式は、大変便利なのですが、時間微分を含
まず、従って、現象の時間発展を記述することはできません。といって、もとの「フルセット」の方程式は複雑すぎて扱いが面倒です。そこで、「地衡風平衡から少しだけはずれた現象の時間発展を記述するのに便利な方程式」が望まれるわけです。もとの「フルセット」の方程式からそのような方程式を得るためには、現象の中にある小さな量（それを  と書くことにします）に着目し、速度などの変数を  で展開します。この小さな量は、現象の非線形性を特徴づける量、すなわ
ち非線形項 u · ∇u の大きさとコリオリ項 f k × u の大きさの比を選びます。代表
的な長さ L、代表的な速度の大きさ U を用いるとこの比は=U|u · ∇u|∼≡ Ro|f k × u|fL(13)となり、重要な量であるためロスビー (Rossby) 数という名前がついています。すべてをこの Ro で展開する、というのが基本的思想です。しかしその前に、地球は丸い、ということをちゃんと考慮しておかなければなりません。

4

地球は丸い

地球が球形であることの効果は、まず表面積が有限であること、つぎに地球自転の影響の強さが緯度によって異なることです。北極や南極では自転の効果は明6平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)

瞭ですが、赤道上ではコリオリ力はゼロになります。しかしこのことは、赤道上では自転効果が全くない、ということになりません。むしろその逆であるとも言える、というのがこの節の話です。
地球自転効果を反映するコリオリ項 f k × u の係数 f の緯度依存性を、最も簡単な形で考慮するには、y 軸を南北方向に取って、f = f0 + βy とおくことです。
もちろん、これでは「球形」であることを正しく反映できませんが、とにかくも
f が緯度によって変化することが何をもたらすかを、少なくとも定性的に見ることができます。このような近似はベータ面近似と呼ばれます。
方程式 (6)(7) にこの近似を適用し、速度 u が小さい、と仮定すると、次のような近似解が得られます。








u
û(k)




 v  =  v̂(k)  exp[i(k · x − ωt)],




h
ĥ(k)

βkx
ω=− 2
2
kx + ky + (1/λ2 )(14)√
ここで λ = gH0 /f0 とおきました（ロスビーの変形半径）。この解は、ロスビー
波と呼ばれ、β > 0 ならば x 方向に負の位相速度を持つ波を表しています。
ロスビー波が面白いのは β = 0 では存在しないこと、つまり、一様回転では存在しない波だという点です。また β は、コリオリ効果が消滅する赤道において最も大きな値をとることにも注意してください。回転効果そのものではなく、回転効果の位置依存性がロスビー波の原因となっています。またロスビー波は、その他の波と異なり、流体層の表面にふたをしても（つまり表面変位がゼロであっても）波が存在し得ることです。このときロスビー波の分散関係式はより簡単な式になります。
βkx
ω=− 2
(15)
kx + ky2
一般に波動現象が重要なのは、波動は流れによりも速く遠くにエネルギーや運動量を運んでゆくからです。ロスビー波も例外ではありません。そのため地球規模の流体運動を考えるときには、ロスビー波、つまり回転効果の緯度による変化を無視することはできません。
このようなロスビー波によって流れはどうなるのでしょうか。実際の地球大気や海洋では、ロスビー波以外にもさまざまな事が起こっているため、現象を解剖することが容易ではありません。そこで、波としてはロスビー波しかない、という状況を作ってやれば、話は単純になります。極端な例は、一定回転する球面上に２次元の流体が乗っている、という場合です。このような「大気」では厚さがな

7

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いので、ふたをしたのと同じことになり、ロスビー波だけが生き残っています6 。
このように簡単な状況でも、どんな「大気」の流れが実現されるのかを理論的に知ることは、現在のところ、殆ど不可能です。不可能の原因はいくつかありま
すが、一番大きなものは、基礎方程式であるナビエ・ストークス方程式が散逸系の非線形方程式であり、解を求めるための一般的処方が存在しないことにあります。現在の段階でなんとか理論的に扱えるのは、せいぜい、線形現象（これも場合によっては大変難しいものですが）か弱非線形現象（非線形相互作用の「最低次」のみ考慮する）に限られ、強い非線形性を伴う現象については有効な手段が存在しません。従って、解の様子を調べるためには、コンピュータで方程式を数値的に解く、という方法しかないのが実情です。
数値的方法は実験と同じです。多くの場合を試してみれば、大体の見取り図を作ることが出来ますが、理論的な検討なしでは、大事な場合を落としている危険が常につきまといます。とはいえ、一つの実験／数値実験が理論よりもずっと多くのことを教えてくれる場合も、しばしば起こります。解を具体的に見る、ということは、それ自身面白いものでもあり、アイデアの源にもなります。それまで予想していなかった結果を得ることさえ、まれではありません。
そこで、ここでも数値実験をしてみます。回転球面上に２次元流体を乗せて、流れを十分かき回して乱しておいてからスタートさせます。平面上の２次元流体運
動では、このような場合、だんだんと大きな渦が発達していくことが知られています。これは、３次元流体の場合、渦がどんどん壊れてたくさんの小さな渦になってゆくのとは対照的です。さて回転する球面上では流れはどのようになると思わ
れますか？

5

海岸の効果

前節で述べたことは、流体が球面上全部を動くことができるとき、つまり「大気」のような場合に相当しています。もし「岸」があったら、つまり「海」のような場合は、流れはどうなるのでしょうか。
「岸」つまり境界では、流れはなくなる、つまり u = 0 という条件を満たさなければなりません（ナビエ・ストークス
方程式の境界条件）。この条件は、第一に、流れに境界を越えることはできない、という制約をもたらします。いわば幾何学的な制約です。
最も簡単な形の境界として、ちょうど回転球面の縦半分が「海」であるような場
6

実を言うと、この「大気」では球面調和関数＝ロスビー波となるため、「大気運動」はすべてロスビー波から出来ています。なお、ここでは直観的にイメージするため「大気」という言葉を使っていますが、このような流れと本当の大気の隔たりは相当大きいことは注意しておきます。そもそも大気運動の重要な要素である熱が、ここでは全く考慮されていません。

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合を考えて見ます。まずこのような海はどんな運動を行うのでしょうか。適当に初期条件を与えて数値実験をすると図 1 のような流れパターンが表れます7 。これ
t=0.003

0.006

0.009

0.012

t=0.015

0.018

0.021

0.024

図 1: 流れ関数の時間発展。実線は正、点線は負。

は東から西に渦が次々と移動していくことを表していて、回転球面上のロスビー波（位相速度は西向き）に対応しています8 。
この数値実験では流体を動かす主な力はコリオリ力だけですが、エネルギーの点から言えばコリオリ力は全く役に立たず、時間が経てば粘性の効果によって、流れは次第に弱くなりゼロに近づきます。そこで、流体が動き続けるためには、外からエネルギーを与えるような力が必要です。実際の海でまず大事な要素は風です。風は海の表面に作用し海水を動かします。ここでもこの風を模して、東西方向の力を与えてみます。
このような力がかかったまま時間が経つと、東から西への渦の移動はしだいに収まり、定常な流れパターンが現れてきます。これは、海の西側での狭い流れと、それ以外の領域での反対方向の流れからなる、特徴的なパターンを持っています（西岸強化流）。黒潮やメキシコ湾流を彷彿とさせますが、実際、それらが海の西の岸で強い流れを持つ機構は本質的にこのような簡単なモデルと同じと考えられています。
ところでこの境界は北極と南極を結んでいるため、極域を巡る流れは存在できません。そこで、再び外力をゼロとして、同じ回転半球面でも赤道を境界に選んで、南半球を流れの領域とする場合を考えて見ます。この場合、流れは回転全球面の場合に近くなると期待されますが、実際に数値実験を行うとどんな結果にな
7
8

Y.Taniguchi, M.Yamada and K.Ishioka: Theor. Appl. Mech. 51(2002)217-223
本来ロスビー波は全球で考える波ですが、この場合のように境界があるときにも存在します。

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るでしょうか?
このような数値実験は、流体力学としては最も単純な部類に属します。しかしそれによって得られた結果は、かならずしも容易に説明できるわけではありません。それは、非線形効果の強い現象であること、より具体的に言えば、波と流れの非線形相互作用が現象を作り上げているからです。回転球面系では、ロスビー
波を代表とする波が存在し、それらの波は、流れからエネルギーや運動量を抜き取り、別の場所に運び、新しい場所に流れを作り出します。波が流れを作り出す、という現象は日常生活の中ではあまり目にすることがなく、不思議な印象さえ受けますが、大気や海では、この効果は流れの形態を決定するほどの力を持っています。

6

準地衡風方程式

フルセットのナビエ・ストークス方程式から出発して簡単化した方程式を導く話の続きです。この手続きをきちんと記述するとページがたくさん必要になりま
すので、ここではアウトラインにとどめます。以下では大気（従って流体としては空気）の場合を考えることにします。
方程式の簡単化には２つの段階があります。第一の段階は、静力学平衡と呼ばれる近似で、これは、気圧の縦方向の変化は空気の重さだけで決まる、とするものです。式で書けば次のようになります。

∂p
= −ρg
∂z

(16)

この関係は、運動の水平スケールが鉛直スケールよりもずっと大きい場合に良く成り立ちますが、現象の水平スケールが小さくなると必ずしも良くなく、例えば積乱雲などにおいては注意する必要があります。静水圧平衡を認めれば、あとはこの近似と矛盾しないように方程式を簡単化します。便利なように、鉛直座標をz から圧力 p にしたり、高さ z の代わりに重力ポテンシャル Φ を使ったり、というような細かなことをいろいろやると、次のような方程式のセットにたどり着きます。故あって、この方程式系はプリミティブ（primitive、原始的）方程式と呼ばれます。諸量の定義などは省略しますが、ここでは u = (u(x, y, t), v(x, y, t)) であることを注意します。

∂u∂u= −u · ∇u − ω− ∇Φ − f k × u
∂t
∂p

(17)

ω = −

∇ · u dp

(18)

α dp

(19)

 p
0

Φ = ΦG +

 pG
p

10

平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)∂θ∂θθ
= −u · ∇θ − ω+Ḣ∂t∂p cp T
θR p R/cp
( )
α =
p p00
∂pG
= ωG − ρG [u · ∇(Φ − ΦG )]G
∂t

(20)
(21)
(22)

第二段階は、地衡風平衡に近いという条件です。このためには前にも述べたよ
うに、非線形効果とコリオリ力の比であるロスビー数 Ro が小さいとし、すべての量を Ro で展開します。技術的には、まず、速度のスケール U と長さのスケー
ル L を用いて無次元化して変数の大きさを整えた後、展開を行います。このとき、コリオリパラメータは f = f0 (1 + Ro βy) のように、また例えば速度は

u = u0 + Ro u1 + Ro2 u2 + · · ·(23)のように展開されます。この展開を上のプリミティブ方程式に代入すると最低次で、

u0 = −

∂Φ0
,
∂y

v0 =

∂Φ0
∂x

(24)

が得られますが、これは地衡風平衡そのものです。前にも言ったようにこのオーダーの方程式は時間変化を決めません。そこで、次のオーダーの式を整理すると

∂
∂ ∂Φ
∂
+ u0
+ v0 )+ ω1 σ(p) = 0
∂t
∂x
∂y ∂p
∂ω1
∂ζ0
∂ζ0
∂ζ0
+ u0
+ v0 (β +
)−
=0
∂t
∂x
∂y
∂p
∂v0 ∂u0−= ∇2 Φ0
ζ0 =
∂x
∂y
(

(25)
(26)
(27)

という閉じた方程式が得られます。方程式の詳細は述べませんが、いずれにせよ、
これは地衡風平衡に近い流れの時間発展を記述する方程式で、準地衡風方程式と呼ばれます。
これらの方程式は、元のフルセットの方程式よりもずっと取り扱いやすい、という特徴があるため、研究や天気予報に利用されてきました。数値予報は 1922 年のリチャードソンの著書から始まるのですが、1950 年頃は準地衡風方程式が用いられていました。しかし、その導き方からも分かるように、準地衡風方程式はロスビー数 Ro が小さな場合しか有効ではありません。例えば、赤道近くの熱帯ではコリオリ力が小さくなるため Ro が大きくなります。熱帯は地球大気のエネル
ギー供給場所として非常に重要であるため、大気全体を考える場合にはこれは深刻な欠点となります。結局、準地衡風方程式は次第に使われなくなり、元のプリ
ミティブ方程式が使用されるようになりました。このプリミティブ方程式にして11平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)

も、元のフルセットの方程式から比べると相当な簡単化になっていることは言うまでもありません9 。

7

複雑なシステム：水と水蒸気

普通の流体現象と比べたとき、大気現象の顕著な特徴は、水の相転移過程が含まれる、ということです。水の相転移は、主として２つの働きをします。一つは潜熱の放出と凝結熱の吸収で、これは、穏やかに言えば大気の温度変化を和らげる効果ですが、夏の積乱雲や台風のエネルギー源でもあります。もう一つは、水蒸
気が水粒になる効果で、これはまず大気の気体部分の密度を増大させ、水粒が雲を作ることで日射や赤外線の放射に多大な影響を与え、更に雨となって（時には氷となって！）落ちるときには大気を引きずる、というように、普通の流体運動にはない多様な結果をもたらします。地球の天気が変化に富んでいるのは水の相転移が含まれているからです。
このように複雑な効果を引き起こす相転移は、他方では理論的に非常に取り扱いにくいものです。その一番の原因は、相転移が一瞬で起こってしまうことにあります。つまり大気の運動の時間スケールに比べて、ずっと短い時間スケールで相転移が起こるため、方程式や解に不連続的な、つまり非常に強い非線形性が入ります。解析はやりにくく、数値計算は不安定になりがちです。
しかし、このような流体系では単純な理解は不可能で、ただただ複雑な数値解を漠然と眺めるしか方法がないのか、と言うと、必ずしもそうではないようです。
最後に、そのような例に触れることにします。
熱帯の天気の変化は、日本のような中緯度とはかなり異なります。1960 年代の終わり頃から、熱帯の天気の変動には 30 日〜60 日程度の周期があるのではないか、という指摘がなされるようになりました。実際、アフリカやインドの風の時
系列をフーリエ分解すると、40 日前後の周期を検出できます。これは季節変化に比べるとずっと早い変化なので「季節内変動」と呼ばれます。図２はその様子を示したもので、明らかな周期的変動を見ることができます10 。そこで、赤道上の雲の分布を、横軸を経度、縦軸を時間（時間は上から下に進む）にとってプロットしたものが図３です11 。横軸は地球一周分なので、ここで見えている雲の一つ一つ
は、それ自身が雲の集団（クラウドクラスター）を表しています。図を良く見ると、これらのクラウドクラスターは西向きに動いていることが分かります。一方、
これらクラウドクラスターが何個か何十個か集まった集団は、反対に東向きに動いているように見え、これはスーパークラスターと呼ばれます。図４は、時間軸9静水圧平衡の仮定をはずす、という研究は近年盛んに行われています。
村上多喜雄、モンスーン、東京堂出版、1986（図５とも）。
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中澤哲夫、スーパークラスターと熱帯大規模対流活動、天気、37-4(1990)215-220（図４とも）。
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図 ２: ケニア付近 850mb 南北風、インド中部 850mb 東西風、
西太平洋 850mb 東西風の日々変動を引き伸ばしたもので、スーパークラスターの様子を明瞭にみることができます。
さらに、このスーパークラスターも何個か集まって一つの集団を構成しているよ
うに見えます。この一番大きな集団の「周期」が数十日で、これが上に述べた季節内変動に対応すると考えられます。このような雲集団の形成の原因は何でしょう

図 ３: 赤道上の雲の分布の時間変化か。図３からも分かるように、これらの雲集団が発生する経度はインド洋から日付変更線にかけてです。そこで、当然のことながら、雲集団の形成と大陸の配置
や気候分布との関連、つまり雲集団を生む地理的条件が問題となりました。
ところが、この問題のブレイクスルーは全く異なる視点からの数値実験によって与えられました。雲、すなわち赤道対流活動をシミュレートするためには、前節のプリミティブ方程式に水の相転移を含んだ対流効果を組み込まなければなりません。先に述べたようにそれは簡単なことではありませんが、いくつかのもっと

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もらしい処方（「パラメタリゼーション」と呼ばれます）は存在しています。このような処方の正しさは、現在のところ、結果の妥当性のみが判定基準であり、基礎方程式から根拠づけるという問題は乱流の問題と同様の困難を抱えています。しかし、ともかくも一応の処方はあり、その一つ（「Kuo のパラメタリゼーション」）
を用いた数値実験が実行されました。この数値実験の価値はその発想にあります。

図 ４: 赤道上の対流活動（雲）の分布の時間変化

それまでの地理的条件へのこだわりを捨てて、アクアプラネット（「水惑星」と訳されます）、つまり地球全体が海だったらどうなるか、という計算が行われました。
図５がその結果の一例です。東向きに進むスーパークラスターの形成が見事に再現されています12 。本当は、この計算は、上に述べたことよりもさらに価値があり

図 ５: 水惑星の赤道上の雲の分布の時間変化ました。実は計算以前には東進するスーパークラスターは知られていませんでし12

オリジナルの図は、Y.-Y.Hayashi and A.Sumi, J.Meteor.Soc.Jpn, 64(1986)451-467 、による.

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た。東進するスーパークラスターの存在は「理論的」に予言され、その後の観測データ解析で発見・発表されたものです。
いずれにせよ、天気変動という日常生活と関わるものが、水惑星という架空の惑星の大気現象として存在することは大変印象的です。気象現象は強く地理的条件の影響を受けるのが普通ですが、それにもかかわらず気象変動の根本を支配している機構には大きな「普遍性」があり得る、という発見は、基本的状況の流体力学的研究が、基礎的である故に、直接に現象と関わる可能性を示唆しています。

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おわりに

今日では、大気・海洋の現象について、膨大な観測と膨大な数値シミュレーショ
ンが行われています。ここでお話した内容はそのプロローグにすらなりません13 。
地学的・観測的事実の蓄積は莫大なもので、その全体像の構築は巨大科学というべきものであり、もはや個人の零細研究者の及ぶところではありません。また、数値シミュレーションは、観測事実の忠実な再現をめざし、巨大な計算機資源を投入して実行され地球の大気海洋現象の再現技術は急速に進展しています。
しかしこの膨大な量の現象を「理解／解釈」するための理論概念の整備は、残念ながら十分ではありません。そもそも、ここでお話したようなごく単純な状況ですら、それを理論的・数理科学的に記述する有効な枠組みはまだできていません。多様な要素を含む現実に近い状況の研究はもちろん重要ですが、その一方で、理論的に（流体力学的に）簡単化されたシステムの基本的な運動は何か、をきちんと押さえるという研究も必要です。システムが簡単な分、結論も明瞭であることが期待されますが、実際は、それでも十分複雑で興味深い性質を示します。地
球大気や地球海洋の地学的再現を巨大科学とすれば、これはいわば縮尺の粗い見取り図を造ろうとする研究です。
別の観点から述べてみます。地球の大気・海洋現象が、一般の惑星の大規模流体現象の中でどのように位置づけられるのか、ということは、今なお、将来の問題として残されています。外部からのエネルギー流入量（日射量）、自転や公転の周期、惑星半径、大気や海洋の組成や厚さ、大陸の分布、などをパラメータと考えると、現在の地球はこのパラメータ空間のある一点にすぎません。大気海洋の運動構造を理解するためには、パラメータ空間の上で大気や海の大規模流れの形
態がどう変化するのか、を考えることが必要になります。
これは言ってみれば、存在しない無数の惑星を想定し、それらの惑星の大気海
洋運動を調べる、という課題です。ある意味では我々は必要な方程式のフルセット
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この講義での題材の選択は、気象学的・海洋学的あるいは地学的では全くありません。

15平成15年度(第25回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成15年8月4日～8月7日開催)をすでに持っています。しかし先に述べたように、フルセットの方程式を解くことは（例え数値的にせよ）百年経っても不可能と思われます。可能なのは、ある種の簡単化を行った方程式系を巧妙に使って、このパラメータ空間の探索を行うことです。簡単化の理論的プロセスを考えても、また、物を使った実験がほぼ不可能であることを考えても、この探索はまさに数理科学的な作業になります。これまでの研究は、系を極端に簡単化しても、その流体力学的内容には未知の部分が多いことを示しています。まして複雑な系では、どのようなことが起こるのかを知ることは、大変困難です。宇宙のどこかの惑星には、我々の予想もしない大気と海の流れがあるのは確実だろうと思います。

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