2-4 古典的マッカイ対応と，特異点の代数的，解析的，幾何的手法による研究●代表者

吉田健一（数学科・教授）●分担者

市原一裕（数学科・教授）
泊 昌孝（数学科・教授）
茂手木公彦（数学科・教授）
森真（数学科・教授）

山浦義彦（数学科・教授）
渡辺敬一（数学科・教授）【研究の目的および概要】
ある種の特異点（有理特異点など）を持つ正規環上の Cohen-Macaulay 加群とイデアルの研究を，古典的マッカイ対応と，特異点解消の交叉理論を通じて行うことが主たる目的である。その目的の遂行のために，特異点の性質を代数的，幾何的及び解析的に研究し，様々な手法を開発する。
可換環論の視点から，リッマン・ロッホ型定理，McKay 対応を利用して，有理特異点，または楕円特異点上のCohen-Macaulay 加群 , とりわけ Ulrich 加群と対応するイデアルの研究に取り組み，有理二重点上の Ulrich 加群 ,Special 加群及び Ulrich イデアルの分類を行う。また，重複度や埋込み次元などと幾何種数などの不変量の不等式を用いて，新たなイデアル論を展開する。正標数の手法による特異性の代数的不変量の評価，正標数の概念を用いて定義されたテストイデアルや F-threshold 等の概念を用いて，特異点の新しい分類理論を作る。
幾何学的視点からは，孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという側面について考察し，Dehn 手術全体からなるネットワークを構成し，大域的に理解する。
解析学的視点からは，力学系のエルゴード的性質に対応するペロンーフロベニウス作用素のスペクトルから生ずる特異点の解析を行う。力学系のエルゴード性の研究に欠かせないペロンーフロベニウス作用素のスペクトル半径は 1 に等しく，固有値 1 の固有空間により力学系の不変測度をあたえ，絶対値 1 の固有値が 1 以外に存在しないことが力学系の混合性を決定する。しかし，L^1 の上ではペロンーフロベニウス作用素の essential spectrum radius は 1に等しくなり，混合性の収束のオーダーを決定することができない。高次元の場合も含めて，この問題を解決することが目的の 1 つである。
【研究の結果】
代数学の視点から，吉田・渡辺はリーマン・ロッホ型定理とマッカイ対応を用いて，2 次元の有理二重点における Ulrich イデアルの分類定理を証明した。また，Ulrich イデアルは good イデアルの特別な場合として解釈し，2 次元 Gorenstein 正規特異点におけるgood イデアルの存在定理を証明した。また，幾何種数を用いた新たなイデアルの概念を導入し，（単純）楕円特異点における Ulrich イデアルの決定問題に取り組み，分類に関する成果を得た。
渡辺は正標数で Frobenius 写像によって定義される特異点の族に関する研究も行った。泊は分岐被覆理論の観点か
ら，因子類群 Cl（R）に関する次数付き環の表現定理に現れる有理因子による考察を進め，中心部分に特化した分岐被覆に対応する部分群を導入した。それにより，次数付き特異点の有限アーベル被覆の Pinkham-Demazure 表示を与える簡明な方法を発見した。
幾何学的視点から，市原は孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという問題について，結び目のラスムッセン不変量を用いて，与えられた結び目が Seifert多様体を生じる手術を許容するための新しい必要条件を得た。また更に新たな条件を得る為の基礎研究として，結び目の橋分解の Hempel 距離不変量を研究し，与えられた 3 次元多様体内に任意に高い Hempel 距離をもつ橋分解を18許容する結び目が存在することを証明した。
一方，茂手木は Seifert 手術の発生の仕組みを明らかにするために Dehn 手術全体からなるネットワークを構成し，大域的な理解を目指しているが，Eudave-Munoz 氏 , Jasso 氏 , 宮崎氏との共同研究で primitive/Seifert 構成で得られない新たな無限列を構成し，ネットワーク内での位置を特定した。
解析学の視点から，一般には困難である力学系の混合性の収束の問題に取り組んだ。1 次元の場合には有界変動関数全体に定義行きを制限するのが自然であることが知られていて，混合性の収束のオーダーを定める unessentialspectra は森らにより既に決定されている。森は理論上最低の値をとる力学系の構成とそれを用いた乱数の生成を研究し，その応用としてよい力学系の構成に成功した。山浦は，エネルギー勾配流を意識し , エネルギー汎関数から出発し , 時間変数を離散化することにより , 逐次最小化関数を定義することにより , 近似解を構成する手法により，一様連続な Legendre-Hadamard 条件をみたす係数の方程式系に対する , 正則な弱解を構成した。
【研究の考察・反省】与えられた幾何種数に対する 2 次元特異点の可換環論，イデアル論は今後の発展が期待されるので，続けて行きたい。また，高次元のトーリック環に対する Ulrich イデアル・加群の調査も十分に手が回らなかった。幾何学的な視点として，Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという問題に関する上記の研究を基に，3次元球面内の結び目のいくつかのクラスについて，Seifert 多様体の完全分類を目指し研究を進めている。今後はNémethi によって特異点との関係が明らかになった L- 空間と結び目の Dehn 手術についても研究を進めていきたい。
また L- 空間は基本銀の左不変順序と密接に関係していることが期待され（L- 空間予想），さらに左不変順序は環論での零因子問題とも関係しているので，環論からのアプローチも視野に入れて共同研究を展開していきたい。解析学の視点からは，区分的に連続な関数族に焦点をあて，その上での essential spectrum radius の決定と unessentialspectra の決定に方向を変え，一定の成果をあげることができた。現在，その成果を論文にまとめている。山浦が得た，領域についての弱い仮定の下で内部正則な弱解を得る手法を p-Lapalacian 方程式に適用したい .
本研究費の一部は，特異点セミナー，トポロジーセミナーの講演者の招聘に利用した。今後もこれらのセミナーの発展を促していきたい。
【研究発表】
市原一裕 , 牛島顕，双曲錐台の高さと体積，東京女子大学トポロジーセミナー , 東京女子大学 , 2013/6/8.

市原一裕 , 斎藤 敏夫，Knots with arbitrarily high distance bridge decompositions, 東京工業大学トポロジーセミナー，
東京工業大学 , 2013/6/18．
市原一裕 , 斎藤敏夫，任意に高いヘンペル距離の橋分解をもつ結び目，日本数学会 2013 年度秋季総合分科会，愛媛大学 , 2013/9/24.
市原一裕，Pairs of boundary slopes with small differences，東北結び目セミナー 2013, 東北大学 , 2013/10/25.
泊昌孝，藤本光史，ルービックキューブ上の位数11の操作を求める冒険, 第22回日本数式処理学会大会，防衛大学,2013/6/8.
泊昌孝，藤本光史，数式処理を用いたルービックキューブの素数位数操作の探求 , 研究集会「数式処理研究と産学連携の新たな発展」，九州大学 Math-For-Industry 研究所 , 2013/8/22.
泊昌孝，Normal graded ring の有限アーベル被覆の Demazure 表現について，日本数学会秋季総合分科会代数分科会，愛媛大 , 2013/9/25.

泊昌孝，Normal graded ring の有限アーベル被覆の Demazure 表現について，第 35 回可換環論シンポジウム，京19

都大学数理解析研究所 , 2013/12/4.
茂手木公彦 , Hyperbolic knots with left-orderable, non-L-space surgeries, Intelligence of Low-dimensional Topology, 京都大学数理解析研究所 , 2013/5/22.
茂手木公彦 , Left-orderable, non-L-space surgeries on knots, 東京大学トポロジー火曜セミナー , 東京大学 , 2013/6/18.
茂手木公彦 , Left-orderable, non-L-space surgeries on knots, Low dimensional topology, knots, and orderable groups,CIRM（Centre International Recontres de Mathematiques）, Marseille, France, 2013/7/3.
茂手木公彦, Seifert fibered surgeries on strongly invertible knots without primitive/Seifert positions, International
Conference on Topology and Geometry 2013 joint with the Sixth Japan-Mexico Topology Symposium, 島根大学,2013/9/3.
茂手木公彦 , Seifert surgery network and chain links, Seminari di Geometria, Universita di Pisa, Italia, 2013/9/18
茂手木公彦 , Dehn surgery, branched covering and L-spaces, Topology mini workshop, 日本大学文理学部 , 2014/3/20.
森真 , ʻNew Construction of higher dimensional low discrepancy sequencesʼ，MCM2013, Annecy, France, 2013/7/18.

森

真 , On the essential spectrum of Perron-Frobenius operator，日本数学会，愛媛大学 , 2013/9/25.

森真，On the spectra of Perron-Frobenius operator on continuous functions，Workshop 数論とエルゴード理論，金沢大学 ,2014/2/10.
吉田健一 , 単純特異点上の Ulrich 加群と Ulrich イデアル , 第 58 回代数学シンポジウム , 広島大学 , 2013/8/27.
吉田健一 , 渡辺敬一，後藤四郎，大関一秀，高橋亮，Ulrich ideals on hypersurfaces, RIMS 研究集会 , 京都大学数理解析研究所 , 2013/12/2.
吉 田 健 一 , Ulrich ideals and modules of simple singularities, International conference on COMMUTATIVE ALGEBRA
and its Interaction to Algebraic Geometry and Combinatorics, University of Hanoi, Vietnam, 2013/12/19. .
渡 辺 敬 一 , Good ideals of 2-dimensional normal singularities, COMMUTATIVE ALGEBRA AND ITS INTERACTION
WITH ALGEBRAIC GEOMETRY, CIRM, 2013/12/16.
渡辺敬一 , Introduction to Commutative Algebra of Singularities, RIMS 研究集会 , 京都大学数理解析研究所 , 2013/12/4.
渡辺敬一 , 奥間智弘 , 吉田健一 , Good ideals on 2-dimensional normal Singularities, RIMS 研究集会 , 京都大学数理解析研究所 , 2013/12/4.
【研究成果物】， Seifert fibered surgery and Rasmussen invariant, Contemporary Mathematics, vol. 597,
K. Ichihara（with In Dae Jong）
Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, pp. 321-336.
K. Ichihara（with Toshio Saito），Knots with arbitrarily high distance bridge decompositions, Bull. Korean Math. Soc. 50（2013），No. 6, 1989-2000.
M. Tomari，2 次元次数付き特異点の Universal Abelian Covering について，報告集「特異点と多様体の幾何学 2012」（2013）pp.76-85.
M. Tomari（with 藤本光史），数式処理を用いたルービックキューブの素数位数操作の探求，研究集会「数式処理研究と産学連携の新たな発展」，九州大学 Math-For-Industry 研究所 COE Lecture Note シリーズ No.49（2013）69-77.
K. Motegi（with Arnaud Deruelle, Mario Eudave-Munoz and Katura Miyazaki），Networking Seifert surgeries on knots
IV: Seiferters and branched coverings, Contemp. Math. Amer. Math. Soc. 597（2013），235-262.
K. Motegi（with Masakazu Teragaito），Hyperbolic knots with left-orderable, non-L-space surgeries, 京都大学数理研究所講究録 1866（2013），17-29.

20

M. Mori, 力学系のエルゴード性と疑似乱数，京都大学数理研究所講究録 1852（2013），225-234.
Y. Yamaura（with Nobuyuki Kato, Motoaki Watanabe），A construction method of solutions of parabolic systems with local
Hoelder continuity, Department of Mathematics, College of Humanities and Sciences, Nihon University, 49.
K. Yoshida（with Kyouko Kimura, Naoki Terai），Licci squarefree monomial ideals generated in degree two, J. Algebra 390（2013），264-289
K. Yoshida, K.Watanabe（with Daisuke Hirose），F-thresholds vs. a-invariants for standard graded toric rings, Comm. inAlgebra 42（2014），2704-2720.
K. Watanabe（with Craig Huneke），Upper bound of multiplicity of F-rational rings and F-pure rings, Proc. AMS（出版受理）．
K. Watanabe, Classification of 2-dimensional normal graded hypersurfaces with a（R）≦ 6, To appear in the Proceedingsof the 2012 Conference at IMPA, arXiv:1401.0789.
K. Watanabe（with 高木俊輔），F 特異点 -- 正標数の手法の特異点論への応用，「数学」（日本数学会），66（2014），
1-30.

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