授業予定（変更されたシラバス）①力の合成・分解の実験的理解②ベクトルの基礎事項と力③基本的な力：有効重力，バネの力，摩擦力 （小）④力の合成・分解，力のつり合い （小）⑤ベクトルと力の総合演習 （小）⑥微分の基礎事項と速度・加速度の定義⑦積分の基礎事項と位置･速度･加速度の関係 （小）⑧微分積分と位置･速度･加速度の総合演習 （＋確認試験１）⑨平面運動の位置･速度･加速度とベクトル・微分積分⑩力学の３つの基本法則１：導入 （小）⑪力学の３つの基本法則２：問題演習 （小）⑫放物運動１：運動方程式を解く （小）⑬放物運動２：問題演習１ （小）⑭（確認試験２＋）問題演習２
⑮まとめ
⑯期末試験

力学１≪学習到達目標≫
１）力の合成・分解をベクトルを使って説明できる。
２）基本的な力の法則（重力，ばねの力，摩擦力）の法則を説明できる。
３）速度，加速度の定義を説明できる。
４）力学の３つの基本法則を説明できる。
５）放物運動の運動方程式を解き，その運動を説明できる。

力学１ 9回目

第9回目 平面運動の位置・速度・加速度とベクトル・微分積分
今日の授業の目的
前回の授業までは，直線上を運動する物体の位置・速度・加速度を，微分積分を使って正しく理解・計算することを扱ってきた。しかし現実の物体は，直線上だけでなく，平面上で曲線軌道を描く運動を（さらに空間内で立体的な曲線軌道を描く運動も）行う。物体が曲線軌道を描く運動を行う場合には，位置・速度・加速度の全てはベクトルで表されることが知られている。そこで，今回の授業の目的は，①平面運動する物体の位置・速度・加速度をベクトルで表し，②それらの微分積分による関係や幾何学的な意味を理解することである。

（テキスト第1 章）（１）ベクトルの復習：◍「向き」と「大きさ（値）」を兼ね備えるものは，数学のベクトルで表される。図には矢印で描き表す。
→ 例：力のベクトル ［N］→ 今回は物体の位置・速度・加速度もベクトルである。
◍力のベクトルの矢印を作図する上での注意点(a) 作用点に矢印の始点を置く。
(b) 力が働く向きに矢印を描く。
（9.1）(c) 矢印の長さで力の強さを表す。
（始点）
作用点

作用線
（終点）

（１）ベクトルの復習：◍ベクトルの合成・分解（あるいは和・差）は，平行四辺形の法則に従って考える◍ベクトルの成分,ベクトルの和y)Ox（テキスト p.4）
確認演習：問題演習１から問題1-6 (1)(2)に取り組む。
2.0, 1.0 N ，0.0, 1.0 N ，1.0, 3.0 N(1) 3つの力を図示せよ。ただし，作用点を座標3, 2 の位置とせよ。

(2) 合力を図示せよ。
追加問題：◌力 の作用点の座標を（2, 3）◌力 の作用点の座標を（4, 4）◌力 の作用点の座標を（ 3, 1）

２分
３yOx◇ 問題演習１から問題1-6 (1)(2)に取り組む。

（テキスト p.4）

y2.0, 1.0 N ，0.0, 1.0 N ，

21.0, 3.0 N(1) 3つの力を図示せよ。
(2) 合力図示せよ。

3をOx（授業プリント p.2）（２） 状況設定：平面上で曲線軌道を描いて運動する
物体A

AO

（授業プリント p.2 ）（３）位置ベクトル
時刻 における物体 の位置ベクトル◍位置ベクトルの作図(a) 原点O に矢印の始点を置く。
(b) 原点Oから物体Aの位置に向かう矢印を描く。
(c) 矢印の長さは原点から物体までの距離を表す。
（9.2の図）AAAO

（授業プリント p.2 ）（３）位置ベクトル◍位置ベクトルの意味：の終点は，位置ベクトル
時刻 の物体A の位置を表す。
が指し示
位置ベクトル
す物体の位置を，「位置」と呼ぶ。

AO

（授業プリント p.2 ）（３）位置ベクトル◍位置ベクトルの成分：位置ベクトルの矢印の始点は常に原点にあるの成分：
その矢印の終点の位置の座標（物体A の座標）［m］
（9.2の成分）
原点と物体の距離：

AO［m］（9.2の大きさ）

（授業プリント p.2）

◇確認演習1：

平面上を運動する物体の位置ベクトルが，［m］だとする。この物体の軌道曲線を描け。
また位置ベクトル，，を求め，作図せよ。

２分３

（授業プリント p.2 ）◇確認演習1

［m］

［m］
［m］
［m］・・・・・・

［m］
［m］

y4

5428O

24x

（授業プリント p.2）（４）速度ベクトル◍速度速度の成分：
は，位置の時間 による微分（9.3の成分）［m/s］

速度ベクトルの大きさ：［m/s］（9.3の大きさ）

（４）速度ベクトルの作図：（授業プリント p.3）

◍速度ベクトルの矢印を作図する上での注意点(a)物体Aの位置（近く）に矢印の始点を置く。
A(b)物体Aの位置における，軌道曲線の接線方向に矢印を描く（向きの説明参照）(c)矢印の長さは時刻 での速さ（♢大きさ）を表す。
O（ 9.3の図）（授業プリント p.3）

◇確認演習2： 物体の位置ベクトルが，［m］を求めよ。（成分を求める。）のとき，この物体の速度(a) 速度，，を求め，確認演習1の図に作図せよ。速度の矢印の始点は物体の位置，1目盛りを［m/s］。
(b) 速度，，は，軌道曲線の接線方向か？
(c) 速度，，［m/s］の「速さ」の大小関係を，不等号を使って示せ。（描いた速度の矢印の長さを比べる。）

２分３

（授業プリント p.2 ）◇確認演習2［m］

速度［m/s］
成分ごとに計算してもよい。
［m/s］
［m/s］

（授業プリント p.2 ）◇確認演習2［m/s］
［m/s］
［m/s］
［m/s］
y5

424O

x248

（４）速度ベクトルdd（授業プリント p.3）の向きの説明：
lim
∆ →0∆
∆

平均の速度定義(♯)
ℓ接線A

∆ /4

∆ /∆ /2∆ /∆∆∆O∆

平均の速度の向き∆(9.4)以下の式は，「ベクトルの微分は，各成分を微分」
すればよいことの証明

（授業プリント p.4）

（５）加速度ベクトル◍加速度
加速度の成分：は，速度の時間 による微分（9.5の成分）［m/s2］

加速度ベクトルの大きさ：［m/s2］（9.5の大きさ）

（５）加速度ベクトルの作図：（テキスト第1 章）◍加速度ベクトルの矢印を作図する上での注意点(a)物体Aの位置（近く）に矢印の始点を置く。
(b)物体Aに働く合力 の向きに矢印を描く（9.5の図）（次の補足参照）(c)矢印の長さは加速度の大きさ（♡大きさ）を表す。

（始点）

◍加速度
加速度の向きの補足：の向きは，物体に働く合力と同じ向き（授業プリント p.4）

◇確認演習3： 物体の位置ベクトルが，［m］を求めよ。（成分を求める。）のとき，この物体の加速度(a) 加速度，，を求め，確認演習1，2の図に作図せよ。加速度の矢印の始点は物体の位置に，1目盛りを［m/s2］。
(b) 加速度，，の向きから，各時刻で物体に働く力（合力）の向きを確認せよ。

２分
３（授業プリント p.4 ）◇確認演習3［m/s］

加速度［m/s ］
成分ごとに計算してもよい。
［m/s ］［m/s ］

（授業プリント p.4 ）◇確認演習3［m//s ］
［m/s ］［m/s ］［m/s ］y

力（合力）の向きは，加速度 の向きと同じ⇒力は常にy軸の負の向き
力の向きは，運動の向きと直接関係ないことを，肝に銘じよ。

54O42824x（７）位置・速度・加速度の関係（授業プリント p.4）

（9.6）

「ベクトルの積分は，各成分を積分」すればよい。

第9回授業 レポート課題
今回はテキストに載っていない問題である。第9回の授業プリントに加えて，第6回の授業プリン
トおよびレポート問題（問題4-7など）の答案例も参考にして取り組むとよい。
21,3 ［m］だとする。
問 平面上を運動する物体Aの位置ベクトルが，1 ， 0 ，(1) (a) 物体Aの軌道曲線を時刻 1［s］～3［s］の範囲で描け。また位置ベクトル
1 ， 2 ， 3 を求め，作図せよ（矢印だけでなく記号も）。
(b) 時刻3［s］のときの，原点Oと物体Aの距離を求めよ。
(2) (a) 物体Aの速度を求めよ。（ベクトルを求めるとは，その成分を求めることである。）(b) 速度 0 ， 1 ， 2 を求め，(1)(a)で描いた図に加えて作図せよ（矢印だけでなく記号も）。速度の矢印の始点は各時刻の物体の位置に置き，1目盛りを1［m/s］とする。
(c) 時刻2［s］のときの，物体の速さ 2 を求めよ。
を求めよ。（ベクトルを求めるとは，その成分を求めることである。）(3) (a) 物体Aの加速度(b) 加速度 0 ， 1 ， 2 を求め，(1)(a)で描いた図に加えて作図せよ（矢印だけでなく記号も）。速度の矢印の始点は各時刻の物体の位置に置き，1目盛りを1［m/s2］とする(c) 時刻1［s］のときの，物体の加速度の大きさ 1 を求めよ。

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提出〆切：答案用紙を，次週の水曜日（１３：００）までに提出
提出場所：Ｄ０３０８（原科）研究室前のレポート提出用の木箱
注意事項：自分の答案をノートに記入するか，コピーをとって，次の授業に持ってくる。

・レポート解答用紙
・次回の授業プリント（これに今週のレポート課題も記してある。）

を必ず持って帰ること