令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 1] 流れの⽅程式
京都⼤学数理解析研究所・⽯本 健太

1 August 2022

はじめに⾃⼰紹介

Ø 「⽯本」ということで「⽯」に興味・・・ケイ素⽣物研究︖
Ø 理学部は「新しい学問をつくるところ」と聞いて京⼤理学部へ
Ø 学部では主に化学・物理を学ぶ。「これからは数理」と思い⼤学院から数理研で流体⼒学を研究することにØ 学位取得後、京⼤数理研・オックスフォード・東⼤数理を経て、2019年より現職
Ø 専⾨分野︓応⽤数学・流体⼒学・数理⽣物学（⽣物流体⼒学）

講義の⽅針

Ø 録画されています︕
Ø （なるべく）線形代数・微積分と⾼校物理をスタートラインにして話をする予定
Ø １回の講義は３つの⼩テーマに区切ってやりますØ 各章テーマの間に５分程度⼩休⽌を挟みますØ そのタイミングで質問受けもしてみようと思いますØ チャットは私にしか⾒えませんので、気軽に質問してくださいØ 講義スライドは講義ノートと⼀緒の場所に置きます（右のQRコードを利⽤ください）まあ、とりあえずいい時間ですし、お茶でもいかがですか︖

Ø それでは、お茶とお菓⼦を⽤意してゆったり楽しんでください。

ティーポット効果

YouTube@有限会社井出製茶⼯場

Duez et al. Phys Rev Lett (2010), Scheichl et al. J Fluid Mech (2021)

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「ながれ」と流体⼒学
⽇常の「ながれ」

Ø 例︓川の流れ、雲の流れ
Ø 例︓細胞スケールから地球・宇宙スケールまで
Ø 例︓⼈間社会における流れ・・・⼈の流れ、お⾦の流れ

Fig: wikipedia

細胞スケール(µm-mm)

宇宙スケール

地球スケール(>km)
⽇常スケール(cm-m)
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「ながれ」と流体⼒学
数理モデルとしての流体⼒学

Ø 「流体⼒学」＝流れに関する運動を扱う学問分野
Ø 多くの科学技術分野（物質科学・⽣命科学・地球環境科学などなど）の横串を担う古くて新しい学際分野
Ø 特に、オイラー(18世紀)以降、数理科学としての⼀側⾯をもつ
Ø 例えば、ナビエ・ストークス⽅程式は、⼈類史上最も成功した数理モデルのひとつ𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖𝜕𝑡
Ø 本講義では、数学的な詳細には⽴ち⼊らないØ （⾃然）現象を切り取る「数理科学的なアイデア」を中⼼に紹介したいØ イメージとしては「絵画」

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この講義の⽬標とねらい
⽬標

Ø 流体⼒学を通して数理モデルの楽しさと難しさを知る
Ø ⽬にしているのに「⾒えていない」流体⼒学の奥深さを知る
Ø 新たな視点を⾝につけて、⽇常をより豊かにする︕

講義の予定Ø １⽇⽬︓⽅程式
流れを読む／私たちのNS／忘れられた存在
Ø ２⽇⽬︓解真実はいつもひとつ／いつも⼼に流体⼒学／流体的ビジネスマナー
Ø ３⽇⽬︓渦永遠のシンボル／空想を現実に／信じれば⾶べるØ ４⽇⽬︓粘性
猫=流体説／ドロドロ世界の住⼈／流体⼒学は⽣きている

6令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 1] 流れの⽅程式§1 流れを読む

1 August 2022流れをどう読むか︖（普通の意味での）流れ ＝空間の各場所で速度ベクトルが与えられている

𝑑𝒙= 𝒖(𝒙, 𝑡)
𝑑𝑡

流れの表し⽅ベクトルの⽮印をたくさん書く

𝒙 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)︓位置ベクトル𝒖 = (𝑢, 𝑣, 𝑤)︓流れ、流れ場、速度場

Fig: Wikipedia𝒖(𝒙, 𝑡)流線

流速ベクトルが接線となる曲線群
𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧=== 定数𝑢𝑣𝑤

球の周りの流れIshimoto et al. Phys Rev Fluids (2020)8

ぐっと引いて流れを⾒る
流れの表し⽅ベクトルの⽮印をたくさん書く、他には流線
流速ベクトルが接線となる曲線群
Fig: ⼭下化成ウェブサイト

トhttps://www.yamahisa-net.co.jp/02product/06mcfan/061mcfan.html

流跡線
流体に沿って流れる粒⼦の軌跡（笹⾈）流脈線ある点から粒⼦を流し続けたときの粒⼦のなす集合（墨流し）Fig: van Dyke, An Album of Fluid Motion※ 流れが⾮定常(𝒖(𝒙, 𝑡)が𝑡に陽に依存する)とき、これらは⼀般に異なる
9流れの局所的な運動
テイラー展開𝒖 𝒙, 𝑡 = 𝒖 𝒙/, 𝑡 + 𝒙 − 𝒙/ ( ∇𝒖 + ⋯ひず

歪み速度
𝐄 = sym 𝜵⨂𝒖 $1 𝜕𝑢# 𝜕𝑢"𝐸"# =+2 𝜕𝑥" 𝜕𝑥#

ナブラ記号Ø 各成分が空間座標の偏微分になっているベクトル(微分演算⼦)
𝜕 𝜕
𝜵=,
𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜕𝑓 𝜕𝑓
𝜵𝑓 =,
= 7𝑥, 3𝑦 + 3𝑦 !
𝜕𝑥 𝜕𝑦

3次元なら 𝜵 =𝜕 𝜕 𝜕, ,𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧𝜵𝑝 =𝜕𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑝, ,𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

︓歪み速度テンソル（変形速度テンソル）

回転速度𝝎 = 𝜵×𝒖: 渦度

𝜕𝑢!
𝜵⨂𝒖 !" =𝜕𝑥"
𝝎 = 2𝜴
𝜴 ︓局所的な回転速度

Fig: Spagnolie, Complex Fluids in Biological Systems
10渦による流れの表現
ヘルムホルツ分解𝒖 = 𝒖ABB + 𝒖CDE
⾮回転場（渦なし場）と⾮発散場に分解できる𝜵 ( 𝒖ABB = 𝑞

𝜵 ( 𝒖CDE = 0

𝜵×𝒖ABB = 𝟎

𝜵×𝒖CDE = 𝝎

渦なし流れとポテンシャル流
𝒖%&& = 𝜵𝜙となるポテンシャル𝜙(𝒙, 𝑡)を⽤いて流れが書ける

マクスウェル⽅程式（静電磁場）
𝜵 ( 𝑬 = ε/𝜌𝜵(𝑩=0𝜕𝑩
𝜕𝑬
𝜵×𝑬 = −𝜵×𝑩 = 𝜇/𝒋 + ε/𝜇/𝜕𝑡
𝜕𝑡
⾮圧縮流れ 𝑞 = 0
Ø ⾮圧縮条件（質量保存則による）Ø ⾳速より⼗分遅い⽇常現象では成り⽴つ※ 流れはどのように変化していくのか︖はこの段階ではまだわからない
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まとめ[Day 1] 流れの⽅程式§1: 流れを読むØ 「流れ」は(２次元or)３次元のベクトル場である
Ø 流れを全体像や局所的な振る舞いを表す表現を紹介した
Ø 渦度は局所的な流れの回転を表す

12令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 1] 流れの⽅程式§2 私たちのNS

1 August 2022

流体⼒学の始まり
オイラー⽅程式 (1750年頃)

ニュートン⽅程式𝑑𝑼
𝑚=𝑭
𝑑𝑡 (物体に働く⼒)(その他の外⼒)𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝒇
𝜕𝑡

(慣性⼒)
=(質量)x(加速度)

粒⼦の運動
𝑼(𝑡)

流体(⽔や空気)の運動
𝒖(𝒙, 𝑡)

(慣性⼒)

(圧⼒)

Ø オイラーによって流体⼒学は数理科学としての第１歩を踏み出した
Ø 実はニュートンのプリン
キピア第II編は流体に関する記述
レオンハルト・オイラー(1707-1783)14流体の⽅程式
オイラー⽅程式

𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝𝜕𝑡(慣性⼒)𝜌𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑝+𝑢+𝑣+𝑤
=−
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑥

𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑝
𝜌+𝑢+𝑣+𝑤
=−
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑝
𝜌+𝑢+𝑣+𝑤
=−
𝜕𝑡
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑧

(圧⼒)

𝒖(𝒙, 𝑡)︓流速ベクトル(流速場、速度ベクトル)𝑝(𝒙, 𝑡)︓圧⼒ (圧⼒場)𝜌 ︓流体の質量密度 (物質定数)𝒙 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝒖 = (𝑢, 𝑣, 𝑤)

𝒖I𝜵 =𝑢

𝜕
𝜕
𝜕
+𝑣+𝑤
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧

流体⽅程式は偏微分⽅程式= 多変数関数が未知関数
15流体粒⼦とラグランジュ微分
オイラー⽅程式

𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝𝜕𝑡(慣性⼒)

𝑑𝒖𝜌
=𝒇𝑑𝑡

(圧⼒)

𝒖(𝒙, 𝑡)︓流速ベクトル(流速場、速度ベクトル)𝑝(𝒙, 𝑡)︓圧⼒ (圧⼒場)𝜌 ︓流体の質量密度 (物質定数)
連続体(流体・弾性体)⼒学はミクロと分離された閉じた理論体系（原⼦・分⼦の存在を仮定しない）

流体粒⼦の速度= その場所の速度場

𝒙(𝒂, 𝑡)𝑑𝒙(𝒂, 𝑡)𝒖(𝒙(𝒂, 𝑡), 𝑡) =𝑑𝑡
流体粒⼦の加速度𝑑𝒖 𝜕𝒖 𝑑𝒙𝜕𝒖=+I 𝜵𝒖 =+ 𝒖 I 𝜵𝒖
𝑑𝑡
𝜕𝑡 𝑑𝑡
𝜕𝑡

"流体粒⼦”をラベルづけ
𝒂︓ラグランジュ座標（ラベル）16ナビエ・ストークス⽅程式
オイラー⽅程式 (1750年頃)

ナビエ・ストークス⽅程式 (1845年)

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝𝜕𝑡𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 +𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)
(圧⼒)
(粘性⼒)

(慣性⼒)(圧⼒)粘性: 流速の不均⼀性を無くそうとする流体の性質
𝜇: 粘性係数 = 粘性の度合いの強さ(物質定数)Δ= 𝜵𝟐 =(!

(!

(!

()

(*(+ !

!+!+(ラプラシアン、ラプラス演算⼦）(参考︓梶野先⽣の講義）

ジョージ・ストークス(1819-1903)
17ナビエ・ストークス⽅程式
ナビエ・ストークス⽅程式 (1845年)

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)(圧⼒)(粘性⼒)
𝜵 " 𝒖 = 0 (⾮圧縮条件)
流体(⽔・空気)の運動をほぼほぼ完璧に記述する⽅程式

ジョージ・ストークス(1819-1903)

⼈類史上屈指の数理モデルの成功例
しかし、 ⽅程式があるからといってすぐに「解ける」わけではない18

ミレニアム問題「ナビエ・ストークス⽅程式の解の存在と滑らかさ」

クレイ数学研究所が2000年に100万ドルの懸賞⾦をかけた７つの問題のひとつ
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流体の何を理解すれば良いの︖
ナビエ・ストークス⽅程式 (1845年)

𝜕𝒖𝜌
+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)
(圧⼒)
(粘性⼒)

しかし、 ⽅程式があるからといってすぐに「解ける」わけではない そして、すぐに「分かる」わけでもないYouTube@ Mi Ian K

YouTube@ Susumu Goto
https://youtu.be/9p0f2UHt8pM

By courtesy of Dr Eiichi Sasaki
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まとめ[Day 1] 流れの⽅程式§2: 私たちのNS
Ø ⽇常の⽔や空気の流れはナビエ・ストークス⽅程式に従う
Ø 流体には速度場の拡散に対応する粘性が存在する
Ø ⽅程式が数値的に解けても、複雑な流れが分かるわけではない

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令和４年度・数学⼊⾨公開講座

⽇常を彩る流体⼒学︓「ながれ」の数理モデル[Day 1] 流れの⽅程式§3 忘れられた存在

1 August 2022

流体とはなんだったのか︖
コーシーの運動⽅程式（連続体の運動量保存則）

ナビエ・ストークス⽅程式

𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖
𝜕𝑡 (慣性⼒)(圧⼒)(粘性⼒)
Ø 流体粒⼦の表⾯に働く⼒※ 隣り合う流体表⾯に働く⼒𝒕Ø コーシーの応⼒原理

𝒕 = 𝒕(𝒏 𝒙 , 𝒙)𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = 𝜵 ' 𝛔
𝜕𝑡𝛔 ︓ストレステンソル（応⼒）𝒕𝒏𝜕σ!"
𝜵(𝛔 ! =𝜕𝑥"

Ø コーシーの基本定理

微⼩領域における⾯積⼒のつりあい

𝒕 = 𝛔𝒏𝑡! = σ!" 𝑛"23流体とは︖
構成則（構成⽅程式）
Ø 流体や弾性体など「どんな物質か」を指定する関数系
Ø 「物質」の数理モデル
Ø ⽔や空気といった(NSに従う)ニュートン流体では

𝛔 = −𝑝𝐈 + 2𝜇𝐄
ストークスの流体公理
Ø 𝛔 = 𝛔(𝐄)
Ø 空間⼀様性（𝛔(𝐄)は𝒙に陽には依存しない）
Ø 空間等⽅性（どの⽅向も等価である）
Ø 𝐄 = 𝟎のとき、𝛔 = −𝑝𝐈

Fig: WikipediaØ さらに、 𝛔は𝐄の線形関数という条件（＋⾮圧縮）で

𝛔 = −𝑝𝐈 + 2𝜇𝐄

24流体とは︖-再考⼒学の公理化の夢Ø 1960年代に興った連続体⼒学の公理化の試み（トゥルースデルやノルによる）
Ø ニュートンのrational mechanics(有理⼒学) とヒルベルトの第六問題（物理学の公理化）を強く意識

有理⼒学における構成⽅程式の公理（原理）Ø 応⼒決定の原理︓ 𝛔は物体の運動履歴で決まる
Ø 局所作⽤の原理︓ラグランジュ座標𝒂の点における𝛔はその近傍の運動のみで決まる
Ø 物質客観性の原理︓構成則は観測者の座標系によらない有理⼒学からの解答Ø 「⽔は⽅円の器にしたがう」
Ø ラグランジュ座標（基準配置）の取り⽅によらず応答が決まる

𝛔 = −𝑝𝐈 + 𝛕[𝐄 𝑡 − 𝑠 D]

PQ/
ただし、𝐄 = 𝟎のとき、𝛔 = −𝑝𝐈25

初期条件と境界条件
流体⽅程式の完全な形𝜕𝒖𝜌+ (𝒖 ' 𝜵)𝒖 = −𝜵𝑝 + 𝜇Δ𝒖𝜕𝑡
𝜵"𝒖=0𝒖DUV/

Ø 流体間の境界条件は⼀般には複雑Ø （⽔の場合）表⾯張⼒
Ø 滑りあり境界（𝒖 I 𝒏 = 𝒖- I 𝒏）

= 𝒖/

Ø 壁⾯で流体の速度は壁⾯の速度に⼀致する（粘着境界条件・滑りなし境界条件・ディリクレ条件）

𝒖 = 𝒖#※ミレニアム問題は境界がない（ℝ, or 𝕋, ）Duez et al. Phys Rev Lett (2010),
Scheichl et al. J Fluid Mech (2021)“God made the bulk; surfaces were invented by the devil”
ウォルフガング・パウリ
26まとめ[Day 1] 流れの⽅程式§3: 忘れられた存在Ø 流体はラグランジュラベルによらない応答を⽰す連続体のモデルである
Ø ナビエ・ストークス⽅程式に従うのはニュートン流体である
Ø ⽅程式を解くためには、初期条件に加えて適切な境界条件が必要である

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