2-6 作用素平均と相対作用素エントロピーに関する基礎研究とその応用●代表者

古市茂（情報科学科・教授）●分担者

斎藤明（情報科学科・教授）

森山園子（情報科学科・教授）【研究の目的および概要】
日本数学会の 1 つの分科会に函数解析学というものがありその中の一部の研究者たちが，作用素論について研究を行っている。数学会の年会などでは通例少なくて 4 − 5 件，多くても 7 − 8 件の発表件数で，京都大学の数理解
析研究所の研究集会には例年 40 〜 50 名前後の参加者がある。作用素論の研究をされている方たちの 1 つの関心は，作用素平均や作用素単調関数や作用素凸関数の特徴付けであり，特に，近年は，3 つ以上の作用素の幾何平均の定義に関して多くの議論がなされ，幾つかの困難な問題を残してここ数年は，落ち着いている。
さて，本題の作用素平均に関する研究では，基礎的な算術平均，幾何平均，調和平均，対数平均やそれらを補完する Heron 平均や Heinz 平均など様々な作用素平均の性質について考察することが目的であった。特に，算術平均と幾何平均の大小関係はスカラーの場合は相加・相乗平均として高校生から学修する基礎的なものであるが，この少し一般化したものを Young の不等式と呼び，主に代表者はその改善や逆不等式の研究に時間を割いてきた。また，Young の不等式は凸関数に対する Jensen の不等式の特別なものと見做すことができるので，Jensen の不等式に関する研究についても当初から本研究目的の一つであった。
一方で，情報科学，特に情報理論においては，エントロピーやダイヴァージェンス（相対エントロピー）が基本的かつ重要な情報量を与えており，情報理論も専門の一つとしている代表者はこれらに関わる数学的基礎研究に日頃より興味を抱いていた。1865 年にクラウジスが熱力学にエントロピーという概念を導入し，その後，ボルツマンやギブスらによって微視的な物質の性質を統計学を利用して巨視的な視点からの研究対象とする統計力学においてもエントロピーは重要な役割を演じてきた。たとえば，エントロピー最大化原理などがそれである。その後，1948
年に Shannon がエントロピーと情報を結び付け，今日では，Shannon エントロピーが情報量の単位であるビット／記号を与えていることは周知の事実となっている。一方で，1930 年代のフォンノイマンによる量子力学の数学的基礎と題した著書により関数解析の発展が加速し，数学と物理学と両輪で多くの学者によって多大な業績が上げられてきた。そのなかでも，フォンノイマンによって定式化された量子力学的エントロピーは微視的な物質の性質を研究する上で不可欠なものとなって多くの研究者によって利用されている。1960 年代にはこの相対エントロピーが梅垣によって定式化されている。そして，これらの量は量子系における情報源符号化定理や通信路符号化定理にて意味のある役割を演じることが 1995 年〜 1997 年にかけて証明され，量子情報理論という分野が 1994 年の Shor の量子アルゴリズムを用いた量子コンピュータの発想と共に大きな注目を集め，数学者，物理学者，情報理論の研究者と多くの分野を巻き込んで学際的分野を構成していった。従って，フォンノイマンのエントロピーや梅垣の相対エントロピーは量子系の情報量と考えても良いわけである。それらの情報量は，エントロピー関数に密度作用素（正の自己共役作用素でトレースが 1 のもの）を用いて，トレースを取って定義される。作用素論を研究されている藤井・亀井によって 1989 年にトレースを取る前の作用素そのものについての研究がなされた。そこでは，相対作用素エントロピーと名付けられた。一方，統計物理の分野でフラクタル解析を目的として 1998 年にブラジル人物理学者
C.Tsallis によって，Shannon エントロピーを 1 パラメータ拡張した Tsallis エントロピーというものが導入され，その導入から 20 年弱で多くの物理学者が研究を惹きつけてきた。代表者も 2004 年ごろからその数学的基礎研究を始め多くの結果を得てきた。代表者は 2005 年に Tsallis 相対作用素エントロピーを導入し，作用素論的にも幾つかの成果を上げてきた。この Tsallis 相対作用素エントロピーの定義には 2 つの正作用素に対する重み付きの作用素幾何平均が用いられるので，作用素平均との親和性が高く研究上の結びつきが大きい。そこで，本研究課題にあるような

35タイトルで，作用素平均と Tsallis 相対作用素エントロピーを含む相対作用素エントロピーに関する数学的基礎研究を目的とした。具体的には，相対作用素エントロピーの 1 つとしてあげられる古田によるパラメトリック相対作用
素エントロピーも含めて，これら 3 つに関するタイトな上界や下界の導出などが主な目的である。これまでも幾つかの成果を得てきたがそれらを改善すべく本研究課題を遂行することが主な目的である。
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研究課題に関する成果として下記の結果が得られた。それぞれの成果について記載するが，番号（1）〜（15）は研究成果物の出版論文の番号 [1] 〜 [15] に対応している。
（1）凸関数でない関数であっても凸化可能な関数があるが，そのような関数に対して Jensen の不等式を証明した。
当然，凸関数に関する Jensen の不等式の一般化である。
（2）2 回微分可能な実数値関数と自己共役作用素，単位正値線形写像に対する Jensen の不等式のいくつかの補足的不等式を証明した。Mond-PeĀariþ の手法の改善によって新しい改善された不等式を得た。これらの結果は，疑似的な算術平均を用いた幾つかの不等式の導出に応用された。
（3）作用素平均不等式に対する逆不等式に対する商型の幾つかの新しいシャープな不等式を証明した。直接の結果として，任意の作用素平均に対する作用素 Pólya-Szegö 不等式の拡張を得た。さらに，Tsallis 相対作用素エントロピーに対して新たな上界・下界の導出に成功した。
（4）作用素減少関数と作用素平均を含むいくつかの不等式を証明した .

これらの不等式の結果として作用素 Aczélの不等式の逆不等式の導出に成功した。
（5）統計力学において有名な Golden-Thompson 不等式の補足的不等式の逆不等式を証明した。従来の逆不等式として 2008 年の瀬尾の不等式が知られていたがそれを改善する結果が得られた。
（6）作用素を特別な場合として含む凸解析における汎関数的手法を用いて，古田のパラメトリック相対作用素エントロピーについて研究した。幾つかの関数不等式が考察られた。我々の手法によって得られた理論的結果は，作用素版を簡潔かつとても綺麗に導くことが示された。
（7）Hermite-Hadamard の不等式を用いて Tsallis 相対作用素エントロピーのより精密な見積りを行った . その過程でTsallis 相対作用素エントロピーの別の上界・下界を導いた。また，非常に意義のある結果として，Tsallis 相対作用素エントロピーと 古田のパラメトリック相対作用素エントロピーの積分公式による関係式を発見した。これにより両者間に存在する幾つかの不等式を導いた。また，これらの相対作用素エントロピーのパラメータに関する単調性，更には，重み付き作用素平均の重みに関する単調性について研究した。
（8）凸性と Mond-PeĀariþ の方法を用いて Hilbert 空間上の作用素と正値線形写像に対する指数型不等式を示した。
得られた結果はこれまでによく知られていた結果を改善するものとなった。1 つの応用として，作用素幾何平均と作用素調和平均に対する不等式の拡張を得た。
（9）凸性を仮定しないで，Choi-Davis-Jensen 型の不等式を導出した。 この結果を使って，これまで知られていた結果の改善を与えた。特に，相対作用素エントロピーと梅垣の相対エントロピーの間に成り立つ幾つかの不等式を示した。
（10）正値線形作用素を含む Tsallis 相対作用素エントロピーの逆不等式を確立した。加えて，各パラメータに対して安藤の逆不等式を示した。また，これまでに知られていた古田の結果と瀬尾の結果と我々の得た結果を比較し，我々の結果に利する場合があることを示した。また，ある条件の下で，Löwner-Heinz の逆不等式を示した。興
味深い結果として，内積空間における抽象的不等式およびノルム不等式の幾つかを示した。
（11）差型および商型の両方において，作用素に対する Young の逆不等式を示した。応用の 1 つとして Heron 平均に36関する結果を得た .
（12）通常の区間を超えた範囲における重みのパラメータに対して Young の不等式と Heinz の不等式の更なる改善を行った。これらの結果は直ちに Hilbert 空間作用素に対する不等式に適用された。
（13）Young の不等式を改善する定数で最良のものを与えた。
（14）S.S.Dragomir によって示された Young の不等式の改善と逆不等式の定数には指数関数が使われているが，それを一般化し更にタイトな定数を得た .
（15）作用素に対する Kantorovich 型の不等式を証明した。この結果は既出の結果 [H.R. Moradi, I.H. Gümüü, Z.
Heydarbeygi, A glimpse at the operator Kantorovich inequality, Linear Multilinear Algebra, 67（5）（2019），pp.10311036 の内容を改善するものとなった。
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研究課題の基礎研究の部分については想定を超える成果が出せた思う。共著者のアイデアやアクティビティの高さに依るところも大きいが，代表者によってこれまで蓄積されてきた，不等式の証明に関するテクニックと行列解析およびエントロピー周りの知識が功を奏したと自負している。応用部分についてであるが，もちろん，工業的な分野などへの直接的なものはないが，数理に関する応用としては，それぞれの論文で示されており，本研究課題の目的を十分に果たせたと思っている。
一方，反省点としては，代表者自身の着想による研究課題が幾つかあったが，その幾つかは，代表者自身で解決
し論文発表しているが，幾つかについては，他論文の共著者に相談もせずに，進展していない部分がある。それも，複数いる共著者達からの質問や次の研究テーマがシームレスにメールで送られてきて，ゆっくり自分自身の課題に対応することが難しかったことが理由である。その点については，反省して，なるべく時間を上手に作って自分自身の問題解決のために時間を取りたいと思っている。
なお，代表者自身がここわずか数年で発表した論文数が 30 篇程度に急増したことも有り，最近の主な共著者である H.R.Moradi 氏から誘われ，現在，Advances in Mathematical Inequalities と題した著書を書き始めており，出版予定である。その中で，これまでの研究成果をまとめていく過程でやり残したことや複数の結果の関連性などさらなる研究対象が見えてきており，今後の研究の指針となり得ると考えている。
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[1]S.Furuichi, F.C.Mitroi-Symeonidis and E.Symeonidis, Mathematical properties of the hypoentropy and maximum
hypoentropy principle, Entropy 2018, Barcelona, Spain, 2018/05/15.
[2]S.Furuichi, Refinements and reverses for some classical inequalities, Mathematical Inequalities and Applications
2018, Zagreb, Croatia, 2018/07/07.
[3]S.Furuichi, On some results for classical inequalities, Ninth International Conference on Information, Ichigaya,
Tokyo, 2018/12/08.
[4] 古市 茂，Karamata 型の不等式とそのエントロピーへの応用，日本応用数理学会環瀬戸内応用数理研究部会第 22回シンポジウム，香川県高松市，2018/12/22[5] 古市 茂 , and V. Kaleibary, Golden-Thompson 型の逆不等式について , 日本数学会 2019 年度年会函数解析学分科会 ,東京工業大学大岡山キャンパス，2019/03/19.

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【研究成果物】（有査読論文のみ記載。現時点でオンラインのみで出版されている論文には DOI 情報を記載。
）[1]H.R.Moradi, S. Furuichi, F.-C. M.-Symeonidis and R. Naseri, An extension of Jensen’s operator inequality and its
application to Young inequality, RACSAM, 10.1007/s13398-018-0499-7.
[2] J. Miþiþ, H.R. Moradi, S. Furuichi, Some complementary inequalities to Jensen’s operator inequality, Journal ofInequalities and Applications, 2018（25）（2018）, pp.1-20.
[3] S. Furuichi, H.R.Moradi and M. Sababheh, New sharp inequalities for operator means, Linear and Multilinear
Algebra, 67（8）（2019），pp.1567-1578．
[4] V. Kaleibary and S. Furuichi, Reverses of operator Aczél inequality, Comptes rendus – Mathématique, 356（5）（2018）,
pp.475-481[5] M. B. Ghaemi, V. Kaleibary and S. Furuichi, On reverses of the Golden-Thompson type inequalities, Journal ofMathematical Inequalities, 12（2）（2018）, pp.315-323.
[6] M. Raïssouli and S. Furuichi, Functional version for Furuta parametric relative operator entropy, Journal of Inequalities
and Applications, 2018（212）（2018）, pp.1-10.
[7] S. Furuichi and N. Minculete, Inequalities for relative operator entropies and operator means, Acta Mathematica
Vietnamica, 43（4）（2018）, pp.607-618.
[8] M. Sababheh, H. R. Moradi, and S. Furuichi, Exponential inequalities for positive linear mappings, Journal of Function
Spaces, 2018（2018）Art.5467413, pp.1-7.
[9] J. Miþiþ, H. R. Moradi and S. Furuichi, Choi-Davis-Jensen’s inequality without convexity, Journal of Mathematical
Inequalities, 12（4）（2018）, pp.1075-1085.
[10] H. R. Moradi and S. Furuichi, A complementary inequality to the information monotonicity for Tsallis relative operator
entropy, Linear and Multilinear Algebra, 10.1080/03081087.2018.1549532.
[11] S. Furuichi and H. R. Moradi, Some refinements of classical inequalities, Rocky Mountain Journal of Mathematics,
48（7）（2018）, pp.2289-2309.
[12] S. Furuichi, M. B. Ghaemi and N. Gharakhanlu, Generalized reverse Young and Heinz inequalities, Bulletin of theMalaysian Mathematical Sciences Society, 42（1）（2019）, pp.267-284.
[13] S. Furuichi and H. R. Moradi, On further refinements for Young inequalities, Open Mathematics, 16 (1) (2019),
pp.1478-1482.
[14] S. Furuichi, Further improvements of Young inequality, RACSAM, 113（1）（2019）, pp.255-266.
[15] H. R. Moradi, S. Furuichi and Z. Heydarbeygi, New refinement of the operator Kantorovich inequality, Mathematics, 7（2）（2019）, pp.1-7.

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