休講：10 月 31 日（木）第 5 回授業

補講：11 月 2 日（土）１時限目＠D0311

レポート課題

力学 1（工）・力学（情）（6 回目）

グラフ，直線の傾き，平均の速度

次回からの授業で，前提となる基礎知識を確認する課題である。
テキスト第 17 章の問題演習 17 から，問題 17-3，17-5，17-7 を解答せよ。
基礎セミナテキスト p.63（理科）練習問題 3-3 を解答せよ。直線のグラフの略図も描くこと。
注意：テキストの解答は略解であり，答案として必要な部分が省略されている場合がある。計算式だけでなく，説明文や適切な図を加えて，答案を作成することを心がけよ。答案作成力も見る。
＊提出方法や提出場所・期限は通常通り（第 1 回配布のプリントを見よ。
）※基礎セミナ「理科」ステップ３・ステップ４が基礎となる。必ず身に着けること。

第６回

微分の基礎事項と速度・加速度の定義：テキスト第 4，20 章

1. 今回（および次回以降）の授業の目的
力をベクトルとして正しく扱えること（前回までの内容）を前提に，今回から，ニュートンが 17 世紀に確立した「力学」という理論体系の基礎を身に付けることを目指す。「力学」の目的は次のように言える。
「力学」の目的：物体がどんな条件でどんな運動をするか知ること
物体の運動を知る上で最も重要な知識（法則）は，第 5，6 章で扱う運動方程式である。運動方程式には既に扱ってきた「力」と，今回扱う「加速度」が登場する。この加速度を正しく理解・計算するためには，数学の「微分積分」が必要である。そこで，今回の授業の目的は，①微分の基礎事項を身に付けること，②微分を使った速度・加速度の定義を身に付けることである。
2. 授業の進行：テキスト第 4，20 章とこのプリントを合わせて理解を深める(1) 何を考えるか？：今回の授業で身に付けることは，「速度」＝「位置の時間による微分」，「加速度」＝「速度の時間による微分」，である。加速度を理解するには，物体の位置，速度そして微分が必要だと分かる。
学生には，速度と加速度の意味を理解し，数学の記号を適切に使って書ける・計算できることを要請する。
量と量の関係は関数 y= 𝑓(𝑥)を用いて表す。関数をグラフで表したとき，横軸の量が変化したときの，縦軸の量の変化の激しさ（変化率）を表すものは，グラフの傾きである。「速度」や「加速度」は，変化の激しさを表す量である。関数のグラフの傾きや変化率を求めるには。微分が必要である。
基礎理科セミナ等により，直線（１次関数）のグラフおよび直線の傾きについては，一度学んでいることを前提とする。直線の傾きは 1 次関数の変化の激しさを表す。
テキスト p. 83 の図で，関数 y= 𝑓(𝑥) の曲線のグラフ上で「 𝑥 = 𝑎 の点（変数 𝑥 の値が 𝑎である点）」∆𝑦と「 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑥 の点（𝑥 の値が 𝑎 + ∆𝑥 である点）」の 2 点を通る直線の傾き を，平均変化率とよぶ。
∆𝑥(2) 微分係数（第 20 章 p.83）： テキスト p.83 の図から，微分係数（あるいは微係数）とは，関数 y= 𝑓(𝑥) の曲線のグラフ上で「 𝑥 = 𝑎 の点」における「接線の傾き」であることを理解せよ。
注意：テキストの説明に出てくる記号 ∆𝑥 は（2 つの文字 ∆ と 𝑥 を合わせて一つの記号として使っており）一つの値を代入する記号である。例えば ∆𝑥 = 3 とか ∆𝑥 = −0.7 などである。ここでの ∆𝑥 は決して ∆ と 𝑥 の積という記号ではない。記号の使い方に注意しなければならない。
(2) 微分係数（第 20 章 p.83）： テキスト p.83 の図から，微分係数（あるいは微係数）とは，関数 y= 𝑓(𝑥) の曲線のグラフ上で「 𝑥 = 𝑎 の点」における「接線の傾き」であることを理解せよ。
理解の定着を目指す作業：適当な曲線とその接線をノートなどに描いて，上述のことを確かめよ。
つまり「関数 y= 𝑓(𝑥) のグラフ上の各点ごとの接線の傾き」を与える新たな関数が考えられる。その新たな関数を 𝑓(𝑥) の導関数あるいは微分という。
d𝑓(𝑥)dd𝑦d𝑓(𝑥)関数 𝑓(𝑥) の微分を表す記号は，𝑓 ′ (𝑥)やや𝑓(𝑥)やである。そして微分係数|d𝑥d𝑥d𝑥d𝑥 𝑥=𝑎や𝑓′(𝑎)は，微分の 𝑥 = 𝑎 における値（ 𝑓(𝑥) のグラフの 𝑥 = 𝑎 の点における接線の傾き）を表す記号である。

d𝑓(𝑥)lim 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)関数𝑓(𝑥)の微分（導関数）の定義：=∆𝑥 → 0d𝑥∆𝑥
6 回目-1（6.1）

力学 1（工）・力学（情）（6 回目）
注意 0：レポートや試験の答案で微分を含む式を書く場合は，𝑓や𝑓′(𝑎)のような“ ′ ”を用いた書き方でなく，d𝑓 ⁄d𝑥 のように“d”を用いた書き方で記す。
“ ′ ”を用いた場合，減点か不正解とみなす。
′ (𝑥)注意 1（関数への代入）：例えば 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 + 7 のとき，𝑓(1 + 4)，𝑓(𝑎 + 2)，𝑓(𝑥 + ∆𝑥) は次のように代入される。

𝑓(1 + 4) = 3(1 + 4)3 − 2(1 + 4) + 7 ←［𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 2𝑥 + 7 の右辺の 𝑥を(1 + 4)に置き換える。］
𝑓(𝑎 + 2) = 3 ×−2 ×+7 ←［上の例と同様に空欄を埋めよ。］

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) =←［上の例と同様に代入せよ。］

注意 2（記号の意味）：d𝑓(𝑥)limで定義されるので，記号の中の記号 d𝑥 は「変数 𝑥 のすごくすごく小さな∆𝑥 → 0d𝑥変化量」，記号 d𝑓(𝑥) は「すごくすごく小さな d𝑥 だけ 𝑥 が変化したときの，関数 𝑓(𝑥) の変化量
𝑓(𝑥 + d𝑥) − 𝑓(𝑥) 」（これもすごくすごく小さな値）というニュアンスである。
微分は極限

注意 3（記号の使い方）：
d𝑥 や d𝑓(𝑥)は，2 つ以上の文字を合わせて一つの「すごくすごく小さな値」を表す記号として使っており， d𝑥 は決d𝑓(𝑥)して dと 𝑥の積ではないし，d𝑓(𝑥)も dと 𝑓(𝑥)の積ではない。従って，「の dを約分する」というのは不可能
d𝑥である。
注意 4（微分の単位）：
例えば変数𝑥 の単位が時間［s］，関数 𝑓(𝑥)で計算される値の単位が距離［m］のとき，微分 d𝑓(𝑥)/d𝑥 の単位は［m/s］であることが，微分の定義（6.1）から導ける。 [ 微分d𝑓(𝑥)d𝑥の単位]＝[ 𝑓(𝑥)の単位 ][ 𝑥の単位 ](4) 微分（導関数）の意味： テキスト p.77 微分係数も参照して，微分の定義（6.1）から，微分 d𝑓(𝑥)/d𝑥 は変数𝑥の値の変化に応じて関数 𝑓(𝑥)の値が変化する割合（あるいは比）だと言える。これを，微分 d𝑓(𝑥)/d𝑥とは変数 𝑥 に対する関数 𝑓(𝑥) の変化率であるという。微分は「変化率を計算するための計算テクニック」である。
注意：理工学では，「位置の変化率（速度）」，「電流の変化率」，「温度の変化率」，「加えた力に対する材料の変形率」など，様々な量が変化する様子を，微分を使って扱う（計算する）。微分（そして積分）の考え方は，前回までに学んだベクトルと並んで，理工系の学生が身に付けるべき重要項目である。
(5) べき関数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑏 （𝑎，𝑏 は定数）の微分（導関数）： 定義から導く。
◍ 𝑎 = 1，𝑏 = 2 の場合 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 の微分（導関数）

d𝑓(𝑥)
d𝑥
==d[𝑥 2 ]d𝑓(𝑥)← [ 注意：d𝑥d𝑥の𝑓(𝑥)に具体的な関数を代入するときはカッコで囲 む。]lim 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)lim=∆𝑥 → 0∆𝑥→0∆𝑥lim=(∆𝑥 → 0←［分子を計算せよ。］∆𝑥d[𝑥 2 ]∆𝑥) = 2𝑥 ←［下線部分を埋めて，= 2𝑥となることを確かめよ。］
d𝑥+◍ 𝑎 = 1，𝑏 = 3 の場合 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 の微分（導関数）：：以下の空欄を埋めよ

d𝑓(𝑥)

=

d[𝑥 3 ]d𝑥d𝑥
lim=(∆𝑥 → 0=lim 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)lim=∆𝑥 → 0∆𝑥 → 0∆𝑥+∆𝑥 +(∆𝑥)2 ) = 3𝑥 2

6 回目-2∆𝑥

力学 1（工）・力学（情）（6 回目）
𝑏d[𝑎𝑥 ]
𝑏 ′𝑏−1◍ 𝑎，𝑏 の値が任意の定数の場合：べき関数 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑏 の微分 (𝑎𝑥 ) == 𝑎𝑏𝑥d𝑥
理工学では関数の変数として時間 𝑡 を考えることも多いので，変数を 𝑥から 𝑡に置き換えておく。
べき関数 𝑎𝑡𝑏 の変数 𝑡による微分：(𝑎𝑡 𝑏 )′ =d[𝑎𝑡 𝑏 ]= 𝑎𝑏𝑡 𝑏−1d𝑡
べき関数の微分（6.2）を覚えて，使いこなせるようになることを学生には要請する。

（6.2）

微分（6.2）にまだ慣れていない人 → 問題演習 20（p.85）の問題 20-3 に取り組む。
微分（6.2）を既に使いこなせる人 → 𝑏が整数の場合で，微分（6.2）を定義から導け。
微分（6.2）を定義（6.1）から導くヒント： 以下の一連の計算を理解できることが大切，(𝑥 + 𝑦)𝑏 = (𝑥 + 𝑦) × (𝑥 + 𝑦) × ⋯ × (𝑥 + 𝑦) ←𝑏個の(𝑥 + 𝑦)の積𝑏(𝑏−1) 𝑏−1 2𝑏(𝑏−1) 2 𝑏−1= 𝑥 𝑏 + 𝑏𝑥 𝑏−1 𝑦 +𝑥 𝑦 + ⋯+𝑥 𝑦+ 𝑏𝑥𝑦𝑏−1 + 𝑦𝑏 ← (𝑏 + 1)個の和22(6) 演習 1：

𝑏 個の(𝑥 + 𝑦)のうち(𝑏 − 2)個の(𝑥 + 𝑦)から 𝑥を選んで，残りの 2 個の (𝑥 + 𝑦)から𝑦 を選べば𝑥 𝑏−1 𝑦 2 になる。そして，そのような選び方は 𝑏(𝑏 − 1)⁄2 通りだけ可能。
この計算を，𝑥 を 0 個選ぶ場合，1 個選ぶ場合，・・・ ，𝑏個選ぶ場合，と繰り返す。
よって，(𝑡 + ∆𝑡)𝑏 − 𝑡𝑏 = 𝑏𝑡𝑏−1 ∆𝑡 + ○𝑡 𝑏−2 (∆𝑡)2 +□𝑡 𝑏−3 (∆𝑡)3 + ⋯ + (∆𝑡)𝑏 （○，□は定数）
ここまでの計算を基に，べき関数の微分（6.2）を定義（6.1）から導いてみよ。
(7) 位置と変位（第 4 章 p.16）： 次の点に注意せよ。
注意 1：物体が 𝑥 軸上で直線運動する場合を考えると，時刻 𝑡 での物体の位置（座標）は，何らかの関数𝑥(𝑡)で表せる。
（例えば，𝑥(𝑡) = −2𝑡 2 + 7𝑡 + 1［m］など。𝑥 = 𝑓(𝑡)と書かないで，𝑥(𝑡)と書く。）
注意 2：変位とは［ある時刻 𝑡1 から次の時刻 𝑡2 （𝑡2 > 𝑡1 ）の間の］物体の位置の変化量∆𝑥 = 𝑥(𝑡2 ) − 𝑥(𝑡1 ) = 𝑥2 − 𝑥1

である。位置と変位という用語の意味を正しく理解し，正確に使い分けること。
(8) 平均速度と速度（p.16）： 項目(7) を踏まえて，次の点に注意せよ。
注意 1：物体が 𝑥軸上で直線運動する場合の位置𝑥(𝑡)の 𝑥- 𝑡 グラフ（適当な曲線）において，グラフ上で時刻 𝑡1 と 𝑡2 に対応する 2 点を通る直線を作図せよ。その直線の傾きが平均速度 𝑣̅ である。
∆𝑥𝑣̅ =→ テキスト p.17 の例題 4.1 で計算を確認（グラフも描く）。
∆𝑡
注意 2：𝑥軸上を運動する物体の位置を表す関数を 𝑥(𝑡) とすると，物体の速度（瞬間の速度）はその微分である。
d𝑥(𝑡)確実に覚えて微分が計算
物体の速度の定義：𝑣(𝑡) =… できることを要請する！
（6.3）
d𝑡
位置𝑥(𝑡) の 𝑥- 𝑡 グラフにおいて，速度 𝑣(𝑡) は接線の傾きを与える関数であることが分かる。さらに，項目(4)より，速度とは位置の時間的な変化率であることが分かる。
注意 3：項目(3)の注意 4 から，速度 𝑣(𝑡) の単位が計算できる。国際単位系（SI，テキスト第 14 章 p.62）
では，速度 𝑣(𝑡) の単位は［m/s］である。
注意 4：任意の時刻の速度 𝑣(𝑡) の値は，プラスにもマイナスにも（ゼロにも）なり得る。「速度」という用語の意味は，「符号も含めて［m/s］という単位を持つ値」である。一方，「速さ」という用語の意味は，「速度の絶対値 |𝑣(𝑡)|」である。
（さらに，物体が平面上や空間内を運動する場合には，「速度」とはベクトルとしであり，その向きは物体の移動方向，大きさは「速さ」である。）(9) 力学における微分の必然性： テキスト p.16 の，物体が𝑥軸上を運動している状況の図を使って説明する。
平均速度 𝑣̅ = (𝑥2 − 𝑥1 )⁄(𝑡2 − 𝑡1 ) は，時刻 𝑡1 で位置 𝑥1 を通過し，時刻 𝑡2 で位置 𝑥2 を通過しさえすれば（時刻 𝑡1 ～ 𝑡2 の運動がどんな運動であっても）必ず同一の値 (𝑥2 − 𝑥1 )⁄(𝑡2 − 𝑡1 )である。つまり，平均速度を考えている限り，時刻 𝑡1 ～ 𝑡2 の運動を区別することが不可能であり，力学の目的「物体の運動を知る」が達成できない。このように運動の区別ができなくなる原因は，時刻差 𝑡2 − 𝑡1 (≠ 0) がある
6 回目-3力学 1（工）・力学（情）（6 回目）ことである。
そこで，時刻 𝑡2 を 𝑡1 にどんどん近づけていく（極限 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 → 0を考える）ことで，時刻差をなくすことを考える。時刻差がなくなれば，運動が区別できないという問題が解消され，力学の目的に沿うことができる。つまり，極限 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1 → 0 を考えればよい。そして，平均速度𝑣̅ に対して極限 ∆𝑡 → 0を考えれば，自然と微分で与えられる速度（6.3）が得られる。
このように，物理学（の一つである力学）では必然的に微分が登場する。実際，人類の科学史上の事実として，まさにニュートンが力学という理論体系を作り上げるために，必要に迫られて微分積分という数学を発明した。
（ライプニッツもニュートンと同時期に微分積分を作ったが。）ニュートンは，微分積分という新しい数学と，力学という物理学の新理論を作り上げた凄まじい天才だった。
(10) 平均加速度と加速度（p.16～17）： 平均速度と速度が理解できていれば，加速度は理解しやすい。
注意 1：平均加速度 𝑎̅ は，平均速度 𝑣̅ の分子の変位を，速度の変化量に置き換えたもの。
速度変化 ∆𝑣 = 𝑣(𝑡2 ) − 𝑣(𝑡1 ) = 𝑣2 − 𝑣1∆𝑣𝑎̅ =→ テキスト p.18 の例題 4.2 で計算を確認（グラフも描く）。
∆𝑡
注意 2：速度（6.3）は位置の時間変化率であった。それに対して，加速度 𝑎(𝑡) は速度 𝑣(𝑡) の時間的な変化率であり，（変化率を計算するテクニックが微分なので）次のような微分で定義される。
d𝑣(𝑡)
物体の加速度の定義：𝑎(𝑡) =… 確実に覚えて微分が計算（6.4）
できることを要請する！
d𝑡
注意 3：項目(3) 「微分・導関数」の注意 4 から，速度 𝑎(𝑡) の単位が計算できる。国際単位系（p.68）
では，加速度 𝑎(𝑡) の単位は次のように計算できる単位の計算法則は分数計算(m⁄s)［加速度の単位］==［m⁄s2 ］…と同じであるに注意s注意 4：関数 𝑓(𝑥) の変数 𝑥 による微分を立て続けに 2 回行うこと（これを関数 𝑓(𝑥) の 2 階微分という）を，次のような記号を使って書き表す。
d2 𝑓(𝑥)d2′′ (𝑥)𝑓(𝑥)の 2 階微分の記号：𝑓==𝑓(𝑥) など。 ←“2”を書く場所に注意！
d𝑥 2
d𝑥 2
速度の定義（6.3）と加速度の定義（6.4）から，加速度は物体の位置 𝑥(𝑡) の 2 階微分であることが分かる。
d𝑣(𝑡)d2 𝑥(𝑡)𝑎(𝑡) ==（6.5）
d𝑡d𝑡 2(11) 演習 2： テキスト p.19 の例題 4.3 に取り組む（グラフも描く）。
(12) 運動の簡単な例，等速直線運動（テキスト p.16）： 速度が一定の（時間によって変化しない）運動を等速直線運動（等速度運動）という。
具体例：物体が 𝑣(𝑡) = −3［m/s］の等速直線運動を行っているとする。速度の定義（6.3）から，物体の位置𝑥(𝑡)は微分したら一定値 −3 になるような関数でなければならないので（べき関数の微分(6.2) を踏まえると），d𝑥(𝑡)𝑣(𝑡) == −3［m/s］ ⇔ 𝑥(𝑡) = −3𝑡 + 𝐶 ［m］ （ 𝐶 は任意定数）d𝑡となることが分かる。右側の 𝑥(𝑡) を微分して，𝑣(𝑡) = −3［m/s］となることを確かめよ。
(13) 演習 3： 項目 2-(12) の具体例で，時刻 𝑡 = 0［s］での物体の位置 𝑥(0) = 50［m］だとする。この場合の定数 𝐶 の値を，単位も付けて求めよ。また，この物体の加速度 𝑎(𝑡) の式も求めよ。
＜時間があれば行う＞(14) 演習 4： テキスト p.85 の問題演習 20 の問題 20-1，20-5 に取り組む。

6 回目-4