講義の目標

ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

結び目の数学鈴木咲衣

RIMS 公開講座, 2016 年 8 月 1 日 〜 4 日

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究

演習問題

講義の目標

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究

演習問題

講義の目標

１日目：結び目理論の研究対象と研究方法を理解する．
２日目：ジョーンズ多項式の定義を理解する．
３日目：ジョーンズ多項式を研究する．
４日目：量子トポロジーの最先端の研究を垣間見る．

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

絡み目不変量を作るレシピ（復習）

1:1

✓

→

I
ここを作る→↔

絡み目不変量 f : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII
レシピ(i) 絡み目図式に対して値を対応させる.

✏f : { 絡み目の図式 } → I(ii) ライデマイスター移動での不変性を示す．

✒✑

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

絡み目不変量を作るレシピ（復習）1:1✓→ Z[A, A−1 ]ここを作る→↔

ジョーンズ多項式 V : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII✏

レシピ(i) 絡み目図式に対して値を対応させる（昨日）.
V : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ](ii) ライデマイスター移動での不変性を示す（今日）．

✒✑5 / 44

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ジョーンズ多項式（復習）(a) カウフマン括弧⟨ ⟩ : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ]を定義する．
(b) カウフマン括弧を補正する．

VD (t) = (−A3 )−w(D) ⟨D⟩|A2 =t−1/2
ただし D は絡み目の図式で，w(D) = (D の正交点の数) − (D の負交点の数).
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ジョーンズ多項式（復習）(a) カウフマン括弧 ⟨ ⟩ : L → Z[A, A−1 ] を以下の性質で定義する．

(K1) ⟨⟩ = A⟨⟩ +A−1 ⟨⟩交点が帰納的に減り，いくつかの円周のみが残る．

(K2) ⟨D ⃝⟩ = −(A2 + A−2 )⟨D⟩

円周が帰納的に減り，一つの円周が残る．

(K3) ⟨⃝⟩ = 1

最後に残った円周を 1 にすれば Z[A, A−1 ] の元が得られる．
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式(K1)

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式(K1)

A

A−19 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式
(K1)
A−1

A
A−1A
A

A−19 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式(K2,K3)

A−1

A
A−1A
A

A−1

−(A2 + A−2 )A3 + 1 · A + · · ·10 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題最先端の研究

演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式(K2,K3)A−1A
A−1A
AA−1−(A2 + A−2 )A3 + 1 · A + · · ·11 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目のジョーンズ多項式
A2 = t−1/2 と置いてV() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )= (−t−3/2 )−3 (−t−5/2 − t3/2 + t7/2 )12 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

絡み目不変量を作るレシピ（復習）1:1✓→ Z[A, A−1 ]ここを作る→↔

ジョーンズ多項式 V : { 絡み目 }/ ∼{ 絡み目の図式 }/ ∼RI, RII, RIII✏

レシピ

(1) 絡み目図式に対して値を対応させる（昨日）.
V : { 絡み目の図式 } → Z[A, A−1 ](2) ライデマイスター移動での不変性を示す（今日）．

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三日目の目次(1) ジョーンズ多項式が不変量であることの確認(2) ジョーンズ多項式の性質(3) 未解決問題(4) 最先端の研究（量子トポロジー）

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(1) ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ジョーンズ多項式が RII で不変であることの確認

V!

"?
!
= V"

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

カウフマン括弧の性質 (K1) より左辺は次のようになる．
A−1A

A−1A

AA−1すなわち⟨⟩ = A2 ⟨⟩+⟨⟩+⟨

⟩ + A−2 ⟨⟩17 / 44

講義の目標⟨ジョーンズ多項式が不変量であることの確認⟩ = A2 ⟨= A2 ⟨=⟨

⇒ V!

未解決問題

最先端の研究演習問題⟩+⟨⟩ + A−2 ⟨⟩⟩ −(A2 + A−2 )⟨⟩ + A−2 ⟨⟩⟩+⟨⟩+⟨⟩

ジョーンズ多項式の性質

"= V!

"

[RII での不変性の証明終了]
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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(2) ジョーンズ多項式の性質

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(a) スケイン関係式(b) ジョーンズ多項式と絡み目の幾何学的性質

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(a) スケイン関係式

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

スケイン関係式

2−1/2A =t#と置くと，t−1 VL+ (t) − tVL− (t) = (t1/2 − t−1/2 )VL0 (t),VUnknot (t) = 1.

ただし L+ , L− , L0 は以下の点線で囲まれた部分以外は同じであるような３つの絡み目（図式ではなく３次元的）．

L+

L−L0
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ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

スケイン関係式= L+L− == L 0 = L+

L− =〜〜〜講義の目標= L0

カウフマン括弧と違って３次元的に計算できる．
w(L) を計算する必要もない．
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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質未解決問題

最先端の研究演習問題（証明）カウフマン括弧の性質 (K1) を２回使うと⟩ + A−1 ⟨⟩(1)⟩ + A−1 ⟨⟩$%{(1) × A} − (2) × A−1 ：(2)⟨⟨⟩ = A⟨⟩ = A⟨A⟨⟩ − A−1 ⟨w() = w(⟩ = (A2 − A−2 )⟨) − 1 = w(

A4 (−A3 )−w()⟨⟩) + 1 に注意すると⟩ − A−4 (−A3 )−w(= −(A2 − A−2 )(−A3 )−w())

⟨⟨

⟩
⟩

[証明終了]
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(b) ジョーンズ多項式と絡み目の幾何学的性質

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

リボン絡み目と境界絡み目のジョーンズ多項式

リボン絡み目

境界絡み目

L : n 成分リボン絡み目 or 境界絡み目⇒

VL (t) ∈ (t1/2 + t−1/2 )n−1 Z[t1/2 , t−1/2 ]⇒“リボン絡み目と境界絡み目は自明な絡み目に近い”
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ボロミアン絡み目のジョーンズ多項式V!

"= −t3 − t−3 + 3t2 + 3t−2 − 2t − 2t−1 + 4⇒ ボロミアン絡み目はリボンでも境界でもない．

⇒ リボン絡み目や境界絡み目より自明な絡み目から遠い．
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(3) 未解決問題

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究

演習問題

未解決問題
!

!

ジョーンズ多項式は自明な結び目を判定できるか？
VL (t) = 1 ⇒ L = O?

ジョーンズ多項式の像となるような Z[t1/2 , t−1/2 ] の部分集合を決定せよ．
素な結び目の像は？ 連結和との関係は？

!

ジョーンズ多項式の３次元的な解釈？
他の幾何学的不変量との関係は？

!

ジョーンズ多項式 v.s. 双曲体積（体積予想）

絡み目の補空間の双曲体積がジョーンズ多項式から得られる？

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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題(4) 最先端の研究（量子トポロジー）

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

最先端の研究（量子トポロジー）!

ジョーンズ多項式（1984 年〜）
量子トポロジーの起源!

色付きジョーンズ多項式（1980 年代後半〜）
ジョーンズ多項式の R 行列を一般化!

普遍量子 sl2 不変量（1980 年代後半〜）
色付きジョーンズ多項式を１つの不変量に統一!

数理物理の枠組みを用いた理解（1980 年代後半〜）
チャーン-サイモンズ理論!

ジョーンズ多項式の圏化（1990 年代後半〜）

オイラー数がジョーンズ多項式となるようなホモロジー不変量
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

演習問題３32 / 44

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

演習問題３!

!

!

!

ジョーンズ多項式が RI, RIII で不変であることを示してみよう
ある結び目 K のジョーンズ多項式とその鏡像 K̄ のジョーンズ多項式にはどんな関係があるだろう．
ある結び目 K のジョーンズ多項式と向きを逆にした⃗ のジョーンズ多項式にはどんな関係がある
結び目 Kだろう．
ある結び目 K と K ′ の連結和のジョーンズ多項式をK と K ′ のジョーンズ多項式を用いて表してみよう．
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ジョーンズ多項式の RI での不変性

RI の左辺で交点を減らすと⟨⟩ = A⟨

ここでw(よりV(⟩ + A−1 ⟨⟩ = −A3 ⟨) = −A3 w())=V(⟩)が従う.

[証明終了]
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

ジョーンズ多項式の RIII での不変性

RIII の両辺の交点を一箇所減らすと⟨⟩ = A⟨⟩ + A−1 ⟨⟩⟨⟩ = A⟨⟩ + A−1 ⟨⟩ここで，右辺同士は RII で移りあい，RII でカウフマン括弧は不変なので両者は等しい．

[証明終了]
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

鏡像のジョーンズ多項式定理
L: 絡み目， L̄: 絡み目 L の鏡像
VL̄ (t) = VL (t−1 )（証明）絡み目 L の図 D と鏡像 L̄ の図 D̄ は交点のひもの上下が逆になっているのでカウフマン括弧の性質 (K1)
で A と A−1 を逆にした関係式が成り立つ．
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

鏡像のジョーンズ多項式すなわち⟨⟩ = A⟨⟩ + A−1 ⟨

⟩

(1)

⟨

⟩ = A⟨⟩ + A−1 ⟨⟩(2)(1), (2) より，⟨D̄⟩(A) = ⟨D⟩(A−1 ) が従う．
さらに w(D) = −w(D) より VL̄ (t) = VL (t−1 ) も従う．
[証明終了]
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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

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三葉結び目とその鏡像のジョーンズ多項式

V() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )V() = (−A−3 )−3 (−A−5 − A3 + A7 )三葉結び目とその鏡像はイソトピックでない！
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最先端の研究演習問題

逆向きの結び目のジョーンズ多項式定理⃗ L の向きを逆にした絡み目
L: 絡み目， L:
VL⃗ (t) = VL (t)（証明）⃗カウフマン括弧は向きに依らない．また，w(L) = w(L)より主張が従う．

[証明終了]
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ジョーンズ多項式の性質

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三葉結び目とその逆向きのジョーンズ多項式

V() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )V() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )（この場合は２つがイソトピックだから当然．）
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最先端の研究演習問題

結び目の連結和とジョーンズ多項式定理
K, K ′ : 結び目， K#K ′′ : K と K ′ の連結和
VK#K ′′ (t) = VK (t) × VK ′ (t)（証明）K と K ′ を隣においた絡み目を K + K ′ とおくと，V(KK’ ) = −(t1/2 + t−1/2 )V (K)V (K ′ )41 / 44

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ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

結び目の連結和とジョーンズ多項式（証明続き）スケイン関係式より(t1/2 − t−1/2 )V ( KK’K= −(t − t−1 )V (したがってV() = t−1 V (KK’K’) − tV (KKK’)

1) = − 1/2
V( Kt + t−1/2K’)

K’)= V (K)V (K ′ )[証明終了]
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講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

三葉結び目と鏡像の連結和のジョーンズ多項式
V() = (−A3 )−3 (−A5 − A−3 + A−7 )V() = (−A−3 )−3 (−A−5 − A3 + A7 )V() = (−A5 − A−3 + A−7 )× (−A−5 − A3 + A7 )43 / 44

講義の目標ジョーンズ多項式が不変量であることの確認

ジョーンズ多項式の性質

未解決問題

最先端の研究演習問題

３日目お疲れさまでした

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