人工的ビームによる原子核崩壊に最初に成功しはじめにたのは、彼の指導のもとで独自の多段直流整流器

今年の OHO セミナーでは円形加速器の基礎をを開発し、陽子ビームを 800 kV まで加速した、

見直そうということですが、とくに私の講義は「シ同じく Cavendish 研究所の John D. Cockcroft とンクロトロンと蓄積リングの基礎」がタイトルでErnest と T. S. Walton (1932) である [9] [10] [11]。

す。現代の高エネルギー加速器の主流であるシン

高電圧発生については色々な方法が研究されてクロトロンとビーム蓄積リングについては、当然いた。衝撃電圧発生装置（impulse generator）やOHO セミナーにおいても 1985 年開校以来、多く

Tesla coil などが有名であるが、Cockcroft-Waltonのすぐれた講義がおこなわれてきました。そしてのものは整流回路を多段に積む Greinacher の方

それらの内容はすぐれた講義録として全て入手、

式 [12] を改良したものである。高電圧を得ると利用することができます。従って専門にわたる詳いう意味では前者の可能性も捨てがたかったが、細な事項についてはそれらのテキスト [1]、ならび非常に動作が不安定であり結局実用にはならなに標準的な教科書類 ([2] [3] [4] [5] [6] [7] など) をかった。その点で安定な Cockcroft-Walton の回路参考にしてください。この講義では加速器の基本がものになったわけであるが、上の原子核反応が原理を発見し、新しい型の加速器の開発に取り組

1 MeV 以下で起こったことも幸いした。これにはんだ先人の論文をたどりながら、円形加速器の基G. Gamov の予想がすでに存在していた [13]。も礎ならびにその発展の流れに焦点をしぼるつもり

しもこれより高エネルギーであれば、段数が増えです。

ると電圧増加が鈍ってゆく Cockcroft-Walton 回路

なお、引用した参考文献はすべて、KEK 情報資では非常に難しかったであろう。

料室に在庫のもの、および（KEK の）インターネッ

Van de Graaff は同じ頃、絶縁ベルトで電荷を高ト環境で自由にダウンロードできるものに限って

電圧側電極に運ぶ静電圧発生装置を開発しているいます。

[14]。これは交流やパルスを使う上の方式と違い、

第1章

加速器ことはじめ安定な直流ビームが得られ、到達電圧も 10 MV 台が達成された。このいわゆる Van de Graaff 加速器

Ernest Rutherford（英国 Cavendish 研究所）によは Cockcroft-Walton 加速器より数年実用化が遅れる原子核崩壊反応の発見 (1917 ごろ) が衝撃的なたが、そのエネルギー安定性ゆえに同位元素分析

ニュースとして世界中につたわった。これは、窒などに現在でも広く使われている。

素ガスを充填した容器に α 粒子崩壊する放射線源を置いたところ、次のような反応で陽子が生成されたことを確認したものである：

α + 147 N → p + 168 O
この現象をより深く追求する目的で、人工的に高エネルギー粒子ビームを作ろうとする要求が強第2章

Lawrence のサイクロトロン

前章で述べたいずれの加速器でも、ビーム電圧に等しい電位の電極がどこかに実際に存在し、接地電位にある電極とのあいだの絶縁が大きな問題になる。非常に注意ぶかい設計を施しても 20 ∼30 MV あたりが限界である。

まり、欧米で加速器開発競争が始まった。もちろ

これにたいして、小さい電圧でくりかえしビー

んその潮流の中で Rutherford 自身が強力な推進者

ム加速を行う方式、ならびに変圧器と同じ原理ののひとりであった [8]。

電磁誘導で高電圧を得る方式も平行して考えられた。後者はベータトロンの項で述べるとして、ここでは前者の歴史をたどってみる。最初の成果は

子速度に比例して大きくなることである。これはノルウェイ人 Wideröe がもたらした。彼はドイツ

Wideröe が粒子速度に比例した長さのドリフト管で学位論文のための研究をしていたが、スウェー

で高周波との共鳴条件を実現したことに相当する。

デンの G. Ising の提案 [15] を発展させた加速管を

なおビーム軌道についての議論は、ディー電極間製作し、高周波電圧によるくり返し加速が可能な

隙での、軌道に垂直な電場成分の影響に議論がとことを 1928 年に示した [16]。ここで、高周波電

どまっている。ビーム軌道理論にかんする本格的圧が減速位相にあるときに荷電粒子を電場から遮な発展は、次に述べる Kerst のベータトロンから

蔽する、いわゆるドリフト管 (drift tube) を導入し始まる。

ことが Wideröe の重要な貢献である。これによりサイクロトロンは原子核実験にとって有力な加高周波と共鳴した加速という概念が確立された。

速器として直ちに注目され、米欧各地で建設が始Wideröe の加速管はその後の線形加速器（リニアッ

まった。日本においても理化学研究所仁科芳雄博ク）の原形となったばかりでなく、円型加速器に士の指導のもとで既に 1937 年、磁石直径 66 cm

おける高周波加速にも応用されることになる。

のサイクロトロン 1 号機が完成した。磁石直径

Wideröe の仕事に注目したのが、米国の E. O.

152 cm の 2 号機では 1944 年、9 MeV の陽子ビー

Lawrence で、彼は学生の D. H. Sloan とともにこムを得た [20]。当時としては世界有数の高エネルのリニアックの開発をはじめた。しかし当時の電ギー加速器であったが、第二次世界大戦直後に進子管でえられる高周波電力では、加速器がどうし駐した米軍により解体され、東京湾に沈められた。

ても長大になることがわかった彼は、荷電粒子にこれらのサイクロトロンでより高エネルギーへ

静磁場 B の中で円運動をおこなわせ、対向する

向おうとすると相対論効果の壁が立ちはだかった。

2 個の電極（大文字の D に似ているのでディー相対論を考慮すれば上式の m はローレンツ因子（dee）電極と呼ばれる）に高周波電圧をかけ、多数√
γ = 1/ 1 − v 2 /c2 (v は粒子速度、c は光速度) を

回加速をおこなう方式を考案した [17]。これがサ使って mγ としなければならない。これは高周波

イクロトロンであって、シンクロトロンを中心ととの共鳴条件が崩れてくることを示している。陽する円型加速器の原形となる。サイクロトロンは子ビームの場合、約 20 MeV が限界となる。磁場

同じく彼の学生であった M. S. Livingston の学位分布の形や周波数変調によりこれを解決しようと論文の仕事となり、1931 年原理実証試験に成功ししたが、画期的な進展はみられなかった。その突た [18] [19]。

破口となるのが V. I. Veksler と E. C. McMillan の論文 [19] は、理論的には質量 m、電荷 e の粒子の周回周波数がその運動エネルギーに関係なく、
一定値

f=

eB
2πm

(2 -1)

発見（1945 年）になる位相安定性原理である。

第3章

Kerst のベータトロン

高周波技術が十分に発達していなかった時代において、Wideröe のリニアックや Lawrence のサイをとるという式を古典論的に導いているだけで、クロトロンの方式で相対論的エネルギーまで電子

ほとんどの部分は詳細な実験結果と数十 MeV まを加速するには無理があった。高電圧を使わないでの陽子加速の実現可能性の議論で占められてい加速法として、むしろ、交流変圧器と同様な磁気る。しかし、この式で与えられた周波数はその後、誘導による電場を利用することが古くから考えら

サイクロトロン周波数として色々な分野で使われれていた。なかでも Wideröe は当初この型の加速ることになる。サイクロトロン周波数が一定であ器で学位をとろうとしたが中座し、上記リニアッ

るということは、円軌道の半径あるいは周長が粒RF Generatorzlaminated iron core

dee

dee
coil-1coil-1N-poleglass tube
beam

S-poler0

coil-2rn

coil-2rn+1(> rn)
図 2 ベータトロンの概念図

Magnetic Fieldとである。すなわち全磁束の増加分は、円軌道内

Electric Field

側での磁場が一様と仮定した場合の全磁束の丁度2 倍でなければならないということである。
dee

beam

第二は円軌道からそれた電子軌道の、ハミルト

dee

ニアン形式による解析であって、その結果は円軌
道への入射ビーム捕捉に本質的な役割を果たした。

図 1 サイクロトロンの概念図

電荷 q 、静止質量 m の粒子の、スカラーポテンシャ
ル φ およびベクトルポテンシャル A から導かれる

クの研究に転じたのであった [21]。

電磁場中でのハミルトニアンの相対論的一般形はこの方式にはじめて成功したのは General Elec-tric 会社研究所からイリノイ大学に出向していた
D. W. Kerst である [22] [23] [24]。彼は加速装置そのものの開発と並行して、ハミルトニアンによる精密なビーム軌道解析を導入したのが成功のもとである。同大学には、丁度、Oppenheimer のもと

[
]1/2
2
H = c m2 c2 + (p − qA)+ qφ(3 -3)

で与えられる。ここで p は、正準方程式において
ハミルトニアンの偏微分をおこなうための正準運動量であって、通常の意味での運動量 γmv (v は粒子速度ベクトル) とで原子核反応を研究してきた R. Serber が着任したばかりであった。興味をもった彼が理論面で協力

p = γmv + qA

したことも幸いした。なおベータトロンの名称はの関係にある。Kerst-Serber はこのハミルトニア

電子線を意味するベータ線に由来する。

ンで、基準軌道からのずれを表す部分を最低次近

さて Kerst の重要な業績の第一は、加速中つね(3 -4)

似で抽出し、粒子の運動方程式を導いた。

に電子の軌道半径 r0 が一定であるための条件を見図 2 で、N、S 磁極は z 軸にかんし円筒対称で、出したことである。すなわち、時刻 t における軌かつ z = 0 平面に鏡面対称にあるとしよう。円柱

道上偏向磁場 B(t) と、円軌道内側を通過する全磁座標系 (r, θ, z) を使えば、基準軌道は z = 0 平面

束 Φ(t) の間には、t0 を入射時刻としてにある円で、その半径を r = r0 とする。磁石配置

Φ(t) − Φ(t0 ) = 2 × πr02 × B(t)(3 -2)という関係が成立しなければならない、というこの対称性から基準円軌道の近傍での磁場は z = 0
成分のみとしてよく、それを Bz = B(r, t) と表す。その場合、それを導くベクトルポテンシャル

には θ 成分 Aθ = A(r, t) だけを考えればよい。そすることは容易に導かれる。従って J = const. にうすると B = rotA から

よって

Bz = r−1

ar ∝ (γnr )∂ (rA) /∂r−1/2(3 -8)となる。とくに nr が一定となる磁場分布の場合、という式が得られ、加速電場は

振幅はar ∝ γ −1/2

Eθ = −∂A/∂tとして表される。

(3 -9)のように、加速とともに減衰してゆくことがわ

ここで基準円軌道近傍では Bz はかる。
電子加速器としてのベータトロンは 1960 年代

Bz = B0 (r0 /r)nに電子リニアックに完全に取って代られた。しか言いかえればし Kerst-Serber が注目した加速粒子の横方向振動

−

r0 ∂B
=n
B0 ∂r

(3 -5)の形を仮定する。これが軌道理論において磁場勾はその後ベータトロン振動と呼ばれるようになり、理論と実験両面からの研究が全ての加速器について欠かせないないものになった。

配の指標として常用される n 値というものの始

なおベータトロンの原理そのものは電磁場の基まりである。このようなお膳立てのもとに Kerst-

本法則のひとつである Faraday の誘導法則を具現

Serber は、基準円軌道からのずれ ∆r および ∆zする格好の例である。砂川重信の名著「理論電磁にかんする運動方程式を導く。その詳細は省略す

気学」にはその観点からの解説とともに、電磁気るとして結果だけをしるすと、円軌道を一周する論としても興味深い式 (3 -2) の証明が与えられてあいだの r 方向 (水平方向) 振動数 nr および z 方

いる [26]。

向 (垂直方向) 振動数 nz と、磁場勾配の n 値との関係はそれぞれ

nr = (1 − n)

1/2

および

nz = n1/2

第4章

位相安定性原理

サイクロトロン加速の限界となる、相対論的質(3 -6)

量増加による粒子周回時間遅れの問題は位相安である。従って両方向とも振動数が実数、すなわ

定性原理により解決されるとする論文が、ソ連のち、ずれの振幅が有限であるための条件はVeksler [27] および米国の McMillan [28] により

0<n<1(3 -7)

1945 年、あい次いで発表された。Veksler の論文が投稿されたのは、ソ連軍がオーデル・ナイセ河となる。これは後に強集束法が発明されるまで、に迫っていた 3 月 1 日であり、McMillan の投稿日

軌道安定性のための基本指針となった。

9 月 5 日はミズーリ号上で日米調印が行われた 4

第三の貢献は、ずれの振幅が加速エネルギーの日後である。このような論文が現れたことは、第増大にともない減衰することを明らかにしたこと

2 次大戦が終息に向かうころにはすでに基礎研究である。各方向の微小振動は互いに独立と考えての復活が米露では始まっていた結果であろう。

よいので、断熱不変定理 [25] が適用できる。そのMcMillan の論文では、題名からずばりシンクロ定理によれば振動エネルギーは振動数に比例し、トロン (synchrotron) という言葉で始まる。位相安

その係数である作用量変数 (action variable)J は一

定性原理は同期電動機 (synchronous motor) の原理定である。例えば r 方向の振動で、その振幅を arと軌を一にするところから命名したということでとしよう。その振動エネルギーが γmn2r a2r に比例ある。位相安定性原理の発見が何故それほど画期

的なものとされたのか、現在の眼で見ると不思議ない粒子でも基準位相を中心とする安定な振動をに思われるかもしれない。高周波電圧にゆとりがおこなうことを示す。このようにして、運動量のあれば、色んな粒子をひとくくりにして加速してばらついた多数の粒子群でも、安定に加速されうしまうことはきわめて当然と思われてしまう。同ることが明らかになったわけである。

期電動機でいえば、駆動力を十分にとって負荷の余裕のある高周波電圧という発想は高周波工学

変動に自在に対応することに相当する*1 。しかしが発展したためでもあるが、当時研究がさかんで

高周波技術が十分発達していなかった第 2 次大戦あった量子電磁気学との関連で、加速される電子

以前においては、位相安定性原理を思いつくにはが自己放射（今でいうシンクロトロン放射）によっ

ほど遠い状況であったことが、とくに論文 [27] かて減速されることに注意されはじめたことにもよら読みとれる。

る。これについて McMillan は論文 [28] において、サイクロトロンのディー電極間にかける加速電運動方程式にその項を含めている。それにすぐ続

圧はパルス状の直流、あるいは交流（ピーク値）のく論文 [29] では放射損失の見積もりも行っていどちらでも良かった。実際、電極寸法は使用さる

る*3 。とにかくこれ以降、高周波をそのピーク値

高周波の波長に比べ、はるかに小さいので、間隙だけではなく、その位相も含めた２個の独立なパの電場分布に殆ど差が出てこない*2 。ただ、粒子ラメーターをもつもの、すなわち複素平面上のベが半周するあいだに電圧極性を反転させておくのクトル（phasor）とみなして自在に加速に使うことに高周波が都合がよいという程度であった。高周が本格的に始まった。それには、時を同じくして

波電圧のピーク値を規定加速電圧の何倍にも大き確立されてきた高周波回路理論がなくてはならな

くとるという発想が画期的であったわけである。

いものであった [30] [31]。

ピーク値を十分に高くとった高周波を使えば、電なお論文 [27] には、ベータトロンにおいて加速圧が正規の値に等しくなる基準位相より早く（遅電圧にかかわる磁束を作る磁石と、ビーム軌道のく）到着した粒子では、エネルギー増分が不足（過ための磁石という機能分離の考えが芽生えてきた分）になるが、多数回の加速を経る過程では加速ことが指摘されている。これは位相安定性原理にのされ方が逆転することを、運動方程式で示した

よれば、加速を高周波に置きかえればよいというのが Veksler および McMillan の功績である。このことにつながる。このように、サイクロトロンお逆転は、粒子の周回時間がその速度に反比例する

よびベータトロンの技術が総合されながら、現代

一方、周長が運動量によって変化するという両方のシンクロトロンへの道が開けていったわけであの効果が合わさってうまれる。これは到着時間がる。

同期しない、あるいは、正規のエネルギーをもた4-1*1 同期電動機では、負荷にかかる力はステータ (stator) 磁

場の回転位相角とロータ (rotor ) 磁場の回転位相角の差にほぼ比例する。
*2 筆者が受けた初めての加速器の講義は、サイクロトロンからリニアックまで数々の業績をあげられた熊谷寛夫先生からで、四十数年まえのことである。当時、加速器を専門とすることになるとは夢にも思っていなかったが、先生が静ポテンシャルから導かれる電場とベクトルポテ
ンシャルからの電場の、粒子加速における違いについて言及されたことが、非常に印象深く記憶に残っている。
微分形式のマクスウェル方程式ではなく、積分形式になって明瞭になる電磁場の大局的な性質 (ポインティン
グ・ベクトルなど) にかかわることである。

シンクロトロン振動理論のあらまし

位相安定性原理にもとづく粒子の運動はシンクロトロン振動とよばれる。以下にその運動方程式を、現在使われている形で紹介する [7]。なお

McMillan の論文にある方程式は、シンクロトロン放射によるエネルギー損失や円軌道の内側にある磁束によるベータトロン加速なども含む厳密なも*3 コヒーレントな放射による電子数の 2 乗に比例する放射損失も、この論文ですでに考えられていた。

のであるが、ここでは主要な項である正弦波高周で与えられる。これを、毎回の変化は十分小さい波電圧のみを考慮に入れる。

として微分方程式になおすと初期の論文との大きな違いは、軌道周長の粒子dφ(τ ∆E)= h · 2π · η 2dt
τc Es
d (τ ∆E)= eV0 (sin φ − sin φs )dt

運動量依存性の扱い方である。強集束原理の章で紹介するように、加速方向（縦方向）に垂直な方向（横方向）にビームを集束する方法は、サイクロト(4 -12)ロンに用いられた、いわゆる弱集束法しかなかっとなる。ここで τc は β = 1 のときの τ である。

た。したがって運動量依存性を表す関数は単純な

この 2 式はさらに形ですんだ。しかし、強集束法が導入された後では、各加速器の特性に依存する、やや複雑なものになる。しかしシンクロトロン振動にかんしては、加速された粒子が再び加速間隙に戻ってくる時間

d
dt

(

Es dφ
η dt

)
=

2πh
eV0 (sin φ − sin φs ) (4 -13)
τc2という 2 次微分方程式にまとめられる。

τ の、粒子運動量の差 ∆p = p − ps に比例するず

多くの加速器では、シンクロトロン振動の一周期

れ ∆τ = τ − τs を表すパラメーターを考えるだけ

はビーム周回時間 τ の数百回程度と短いので、そでよい。それは次式のように定義されるずれ係数の間、加速によるエネルギー増加は無視し、Es /η(slip factor) η である。なお下添字 s は位相振動をを一定とみなしてよい。その場合、式 (4 -13) はおこなわない基準粒子の値を示す。

∆τ
∆p
∆E
=η
=η 2
τs
ps
β Es

(4 -10)d22πhη eV0φ=(sin φ − sin φs )2dt
τc2 Es(4 -14)と近似される。

ただしここでこの式から、安定振動をともなう φs（安定位相）

β = v/c,√
E = mc2 / 1 − β 2 = cp/βは η の符号に依存し、の関係をもちいる。その他に大事なパラメーターとしてハーモニック数 h がある。これは粒子周回

0 6 φs < π/2(η < 0)π/2 < φs 6 π(η > 0)(4 -15)周波数に対する加速高周波の周波数の比（正の整のようまとめられる。これはエネルギーの高い粒数）であって、h = 1 もふくめ、加速器によって子がより早く一周するか (η が負)、その逆である

様々に異なっている。

か (η が正) を考えれば容易にわかる。図 3 および

これらのパラメーターを使って、n 回目の加速

図 4 は、(∆φ, ∆E) を数値計算した結果の「等高から n + 1 回目の加速にうつるときの位相および線」群と正弦波高周波電圧を重ねて表したものでエネルギーの差分方程式を求める。それは高周波あるが、これらから式 (4 -15) に示される安定領域

加速量のピーク値を eV0 (> 0) としての意味が理解できるであろう。π − φs は不安定位∆τn+1
φn+1 − φn = h · 2π ·τs∆pn+1
= h · 2π · η
ps∆En+1= h · 2π · η 2
βs Es∆En+1 − ∆En = eV0 (sin φn − sin φs )(4 -11)相である。この点を通る等高線の内側が安定な位
相振動領域となる。これは通常、高周波バケツとよばれる。その外側の等高線に乗っている粒子は加速されず、Es からの差が大きくなる一方である。なお時間とともに粒子はそれぞれ固有の等高線に沿って進むが、式 (4 -14) に従うかぎり、決してとなりの等高線に移ることはない。

数を ωsync とすればvoltage√¯¯¯ 2πhη eV0¯¯
ωsync = ¯ 2
cos φs ¯¯
τ
Es

V0
Va

(4 -17)cPSfrag replacementsphase
π − φsφs0となり、シンクロトロン振動の（角）周波数とφπいう。またこれを基準粒子の軌道周回角周波数ωs ≡ 2π/τs を単位として表したもの
νsync ≡ ωsync /ωs(4 -18)をシンクロトロン（振動の）チューンとよぶ。
図3

シンクロトロン振動 1: エネルギーの高い粒子がより早く一周する (η が負) 場合。「等高シンクロトロン振動の周波数はこのように小振線」群の縦軸は ∆E である。粒子はひとつの等幅振動について求められたものであるが、振幅が高線に沿って反時計回りに移動する。高周波電大きくなるにつれ、これからの差が目立ってくる。

圧は正弦波 V0 sin φ であるが、高周波角周波数をその様子をみるために、式 (4 -14) で、φs = 0 とし

ωRF として、φ = ωRF t とする。また基準粒子の加速電圧は Va = V0 sin φs である。

た、最も単純な場合を考えてみよう。すなわち

voltage¯¯¯ 2πhη eV0 ¯d22πhη eV0¯¯ sin φφ=
sin φ = − ¯ 2dt2
τc2 Es
τc Es ¯(4 -19)という式で表される場合である。これを図 3 や図V0Va

4 と同じように等高線グラフで表したのが、図 5

PSfrag replacements0φs

π − φs

π

phase
φ

である。
式 (4 -19) は単振り子で、その振り角を φ としたときの式と同じである。ただし、振り子は糸で1はなく、質量は持たないが撓まない竿に取付けられているとする。そうすると −π < φ < π が安
定振動範囲であり、φ = ±π は不安定点であり、シンクロトロン振動 2: エネルギーの高い

φ = ±π で速度をもてば永久に回転し続けるとい粒子が遅れて一周する (η が正) 場合。粒子はひうふうに、まさに図 5 のシンクロトロン振動をシ

とつの等高線に沿って時計回りに移動する。そミュレートする。粒子の進み具合を観察するための他の条件は図 3 と同じ。

に、t = 0 において横軸上に様々な位相 ∆φ をもっ図4て置かれた粒子群を考える。小振幅のシンクロト
ロン振動では丁度 90 度回転する時間までの軌跡
さて、とくに φs 近傍の小振幅振動を考えてみよう。すなわち式 (4 -14) で ∆φ ≡ φ − φs を 2π にくらべて十分小さいとするわけである。そうすると¯¯¯ 2πhη eV0
¯
d2
¯
¯ ∆φ
∆φ
=
−
cos
φ
s
¯ τ 2 Es¯
dt2

から、小振幅軌道での進み方はほぼ一様といえる
が、振幅が大きくなるにつれ回り方が遅くなり、バケット境界では止まってしまうことがわかる。

(4 -16)cのような単振動式が得られる。この振動の角周波1を表したのが、図 6 および 7 である。これらの図

このように振幅に依存する単振り子振動数は楕
円積分の典型的な問題として有名である*4 。式の*4 入門書には参考書 [32] などがある。

Sfrag replacements∆E

voltage∆E

V0

PSfrag replacementsVavoltageφsV0Va

π − φs
π

φ

π

0

−π

φs
φ

π − φs
π

π0

phase

2π

phase
−π

2π

図5

φs = 0 でのシンクロトロン振動
図7

φs = π での粒子の進み∆Eが、また φ̂ が π に近いところではPSfrag replacements
voltage
V0

ν(φ̂)
π
≈
ν(0)
2| log(π − φ̂)|Vaφs
π − φs −π

π

0

φ

となる。

π

PSfrag replacements
νsync (φ̂)/νsync (0)
1

phase

(4 -22)

ˆ2

1 − φ16

0.8

図6

Va

φs = 0 での粒子の進み00.6φs
π − φs 0.4

導出は参考書にゆずるとして、位相のずれのピー
ク値を φ̂ と表記したとき、その関数としての振動数（チューン）は

π
φ0.2

1

π
ˆ
2| log(π−φ)|

phase
2π
∆E

0.5

1

1.5

2

2.5

3

φ̂

1

図 8 シンクロトロン振動数（チューン）の振幅

ν(φ̂)
π
(
)
=
ν(0)
2K sin φ̂

(4 -20)2

依存性：φ̂ は位相のずれ (φ − φs ) のピーク値であり、ν(0) は式 (4 -18) で与えたチューンである。
鎖線はそれぞれ φ̂ = 0 および φ̂ = π の近傍での*5のように第 1 種の完全楕円積分 K(k) をつかって表される。なお 0 ≤ φ̂ < π とする。数値計算による*6 グラフを図 8 に示す。K(k) の近似式 [32] をK(k) の近似式 [32] にもとづくものである。とくに前者は φ̂ の広い範囲でよい近似になってい
ることがわかる。

使えば φ̂ が小さいときには

φ̂2
ν(φ̂)
≈ 1 −1
+ ···
ν(0)
16

ここまでは、(φ − φs , ∆φ) という位相平面上の(4 -21)

等高線の性質を、Es が一定という近似のもとに論じてきた。次は Es がゆっくり増加する、すなわ加*5 岩波数学公式集の定義
pR
K(k) = 0π/2 dθ/ 1 − k2 sin2 θ を使う。
*6 Mathematica 5.0 による。

速があるときに、ひとつの等高線がどのように変化してゆくか調べてみる。これは式 (4 -13) におい

1

て、左辺の E/η の時間についての 1 次微分も取入

注目すべきは cos

(∫

t

)
Ω(t′ )dt′ + δ にかかる係れることである。問題を単純にするため、φ − φs数である。これは左辺のみにあって、それを 0 とが小さい場合を考える。そうすると式 (4 -13) はおく。そうすると

¯
¯
¯ 2πh
¯
d Es d (φ − φs )= − ¯¯ 2 eV0 cos φs ¯¯ (φ − φs )
dt η
dt
τc
(4 -23)と書きかえられる。この解の一般形は振幅 A と角
周波数 Ω が時間の関数である(∫ tφ − φs = A(t) sinΩ(t′ )dt′ + δ

AΩ

d Es
Es dA Es dΩ
+2 Ω
+
A
=0
dt η
η
dt
η
dt

という関係式がえられる。これは容易に積分できて

Es A2 Ω/η = const.

)(4 -24)(4 -27)となる。この式に、V0 cos φs = const. を仮定して
式 (4 -26) を代入すれば、のように表される。ここで δ は初期位相（任意定A ∝ (η/Es )1/4数）である。両辺へ１回時間微分を施すと

d (φ − φs )
=
dt

(

dA
dt

)

(∫ t
sin

′

)

という関係がえられる。とくに η の変化が Es に

Ωdt + δ(∫ t

+ AΩ(t) cosΩdt′ + δ(4 -28))(4 -25)

くらべて緩やかであれば、ひとつの粒子のシンク−1/4

ロトロン振動の振幅は Esに比例して減衰する（η の符号が途中で変わらないかぎり）と云える。
これはベータトロン振動のところで触れた断熱不が得られる。次いで式 (4 -24) を式 (4 -23) の右辺

変定理のもう一つの例である。

へ、式 (4 -25) を同左辺に代入し、左辺の時間微分を実行する。その際、sin
び cos

(∫

t

)

(∫

t

)
Ω(t′ )dt′ + δ 項およΩ(t′ )dt′ + δ 項にかかる係数それぞれ
t

強集束原理

前章で述べた位相安定性の原理にもとづいて高エネルギーシンクロトロンの建設が米欧で始まっについて左辺と右辺で等しいとおく。

(∫

第5章

)

Ω(t′ )dt′ + δ の係数である

た。しかし式 (3 -6)、(3 -7) で与えられる、安定なが、そのなかで時間微分を含まない項の他には、

ベータトロン振動のための磁場勾配の条件は、高E/η の 1 次微分と A の 1 次微分の積、および E/η

エネルギーを目指すには大変厳しいものとなった。

と A の 2 次微分の積という二つの項が存在する。

n 値が 1 の程度であると、基準円軌道からずれ

しかしそれらは時間微分操作を 2 回施したものでた粒子の横方向振動の振幅は円軌道半径にほぼ比あるので、エネルギーの変化率よりさらに微小な例する。偏向磁石磁場の強さを一定としたとき、量として無視できるので、時間微分を含まない項

円軌道半径と磁極の幅は最高加速エネルギー E

のみを残す。そうするとに比例する。従って磁石に使われる鉄の量は軌道

まず左辺の sin√¯¯¯¯ 2πhη eV0¯
cos φs ¯¯Ω= ¯ 2τEs

周長 (∝ E) と磁石断面積 (∝ E 2 ) の積 (∝ E 3 ) に(4 -26)c

比例ということになり、電磁石は巨大なものになる。この方式での最大のシンクロトロンは、旧ソが結果としてえられるが、これは式 (4 -17) で求め連時代にドブナ (Dubna) 合同原子核研究所で 1952た ωsync と同じものである。すなわち、ゆっくり

年から 5 年かけて建設されたリング直径 66 m の加速されるかぎりシンクロトロン振動数の公式は10 GeV Synchro-phasotron である。筆者も電磁石

エネルギー変化があっても影響を受けないわけでの上をリング一周歩いたことがあるが、トラックある。

やバスが余裕をもって走れるような幅であった。

この限界を打破する新しい集束法の提案が 1952

はなれた 2 点で交わる、中心がわずかずれた同一

年に米国ブルックへブン（Brookhaven）国立研究

半径の二つの円で表される。一方の円を基準軌道

所の E. D. Courant、M. S. Livingston、H. S. Snyderとみなしたとき、他方の円は動徑角を θ 、ずれのによってなされた [33]。しかし同等なアイデアが最大値を ∆r として、近似的に ∆r sin θ のような

電気エンジニア N. Christoﬁlos により、1950 年

ベータトロン振動をする粒子の軌道を表わしていに特許としてすでに申請されていた [34]。しかしる。これは円軌道特有の性質であるが、円柱座標

Christoﬁlos は加速器研究者とは全く無縁であった(r, θ, z) で表した粒子の運動方程式

ため、論文 [33] が出版された時点では、この特許の内容は知られていなかったようである。
論文 [33] では、タイトルが”The Strong-Focusing

Synchrotron – A New High Energy Accelerator”というように強集束という言葉が使われている。以来、従来の方式を弱集束、新しい方式を強集束と区別するようになった。以下の説明で明らかになる
ように、この強集束法をつかえば磁石の寸法は、軌
道半径とは無関係に決められる。したがって鉄の量は軌道周長に単に比例 (∝ E) するのみとなり、高エネルギーシンクロトロンへの道が大きく開けてきた。
強集束の議論に立ち入るまえに、その準備として弱集束における n 値 (式 (3 -6)) の意味について掘り下げてみる。真空中では静磁場であれ静電場
であれ、そのポテンシャル ψ はラプラス方程式∆ψ = 0 を満たさなければならない。それは、考えている領域の内部では ψ は最大値も最小値も持たないことを意味する。したがって、ある方向にポテンシャルの壁をつくって荷電粒子を閉じこめようとすると、それに直交する方向には発散力となる。これを場の勾配 n 値でいえば、それがある方向について正であっても直交する方向には負となることを意味する。これが式 (3 -6) において、r方向には根号のなかの n に負の符号がつくわけである。
さて、それでは同じ根号のなかの 1 という項は何なのか。それは n = 0 での円軌道を考えれば理解できる。n = 0 では磁場はいたるところ一様である。同じエネルギーであるが、水平面上でわずかに位置がずれた 2 個の粒子の軌道はほぼ 180 度()
d(γmṙ) − γmrθ̇2 = q Er + rθ̇Bz − żBθ
dt
)
1 d (
γmr2 θ̇ = q (Eθ + żBr − ṙBz )
r dt
(
)
d
(γmż) = q Ez + ṙBθ − rθ̇Brdt(5 -29)で、r 方向運動のための第 1 式をよく見ればわかdる（なお ˙ 記号は時間微分 dtと等価である）。その左辺の第 2 項 γmr θ̇ 2 が問題の (1 − n) の 1 の由x
) (x << r0 )r0
として第 1 式に代入し、n の定義および q 、Bz 、θ̇来である。すなわち、r = r0 (1 +の符号に注意して 1 次近似をとると

ẍ + ωc2 (1 − n) = 0(5 -30)という式が得られる [35]。ただし ωc はサイクロ
トロン（角）周波数である。
さて強集束の考えは、もう一方の方向での発散力を恐れずに |n| >> 1 の磁石を、n の符号を順次反転させながら並べてゆこうとするものである。
恐らくこれは同じ焦点距離の凸レンズと凹レンズを近接して置くと、全体としては凸レンズの作用をするという幾何光学上の知見を発展させたものであろう。レンズの屈折角は径に比例し、外側ほど大きいからである。
強集束法をもちいたシンクロトロンを AG (Al-ternating Gradient) シンクロトロンとも呼ぶのは、このような磁石配列による。文献 [33] および [34]ではともに図 9 に示したような断面をもつ偏向電磁石を考えている*7 。すなわち旧来の弱集束サイ*7 特許 [34] ではビームパイプの外側に大電流を通す 4 本の導体を貼りつけ、それらが作る 4 極磁場を重ねることクロトロンやベータトロンと同じように、同じ磁クロトロンではこの型の電磁石が採用された。こ石内でビーム偏向磁場と集束磁場を共存させよう

れに対し北垣敏男は 1970 年代以降標準となってとしたわけである。いずれにしても |n| >> 1 のいる、偏向磁場と集束磁場を別々の磁石で発生磁石を使うことは、軌道曲率の効果が全く無視でさせる機能分離型強集束方式の提案を、Courant、きるということである。こうして鉄の量が単にエ

Livingston、Snyder の論文のわずか数ヶ月後に発ネルギーに比例するだけとなったわけである。

表した [36]。そのいきさつは北垣先生ご自身の文章にくわしく述べられている [37]。ビーム集束にかぎれば、機能分離方式では F 型磁石と D 型磁石がある間隔（ドリフト区間）をおいて交互にならぶ

beam
r0


F Magnet(n << 0)rのが標準的である。なおドリフト区間は集束力が0 であるので大文字 O で表し、この配列を FODO
格子 (lattice) としばしば略称する。なお、それま
での磁石はコンバインド型 (combined type) と呼ばれる。ともかく、この機能分離方式では集束磁場の設定が偏向磁場とは独立に行えるので、高エネルギー加速器の設計が飛躍的に容易になった。
強集束法の出現によってビーム軌道を解析する手法、ビーム光学、が急速に発展した。それはCourant、Livingston、Snyder の論文 [33] にある程

beam
r0

D Magnet(n >> 0)r

度述べられているが、1958 年の Courant と Snyder
による論文 [38] で統一された形に完成され、以降のさまざまな研究の原典ともいえるものとなった。

5 - 1 4 極磁石の磁場
集束磁場を発生する磁石は 4 極磁石と呼ばれる。
一方、偏向磁石を 2 極磁石ともいう。両者の関係
を磁場ポテンシャルの観点から調べてみよう。な
図 9 AG シンクロトロンの磁極形状:慣例として

お座標系として、x は水平方向、y は鉛直方向、s

水平方向（鉛直方向）に集束力をもつ磁石は F

は基準軌道上の粒子の進行方向を表す右手系を採(focusing) 型、鉛直方向（水平方向）に集束力をもつ磁石を D (defocusing) 型と呼ばれる、用する。実際の磁石は有限長であり、両端での磁場は極めて複雑な分布になる。それがビーム軌道に与える影響は無視できないが、ここではその議

1960 年代までに建設された高エネルギーシン

論はさしおき、十分長い磁石の内部での、x − y 平
面にのみ成分をもつ 2 次元磁場と簡単化して、話により、水平方向と垂直方向の n 値をわざとずらそうとする。磁石磁場の精度が十分でないと、どちらかの方向のベータトロン振動が他方向の振動を誘起する恐れがあ
るからである。導体は軌道に変化してゆく磁石の n 値に応じるように、ら旋状に巻かれる。これはその後開発され始めた核融合プラズマ装置におけるプラズマ閉じこめ法を予見するようなものと云えよう。

をすすめる。そうすると磁極間の静磁場は x − y平面での複素ポテンシャルから導かれ、その特徴が理解しやすくなる。
まず、N 極と S 極が水平に対向した 2 極磁石の

一様な磁場（大きさを Bd とする）は x − y 平面でyの複素ポテンシャル

W = −Bd z = Bd (x + jy) = φ + jψS

(5 -31)

Nから導かれる (ただし j 2 = −1)。ここで φ は磁位を表し、また一様磁場 By = Bd はx∂ψ
By = −∂yで与えられる。

PSfrag replacements

つぎにz1 = x1 + jy1

SN(5 -32)として
1/2

z = x + jy = z1

(5 -33)

図 10 4 極磁石の磁場パターン：N 極、S 極表面および等磁位線は xy = const. の曲線群、磁力線は x2 − y 2 = const. の曲線群でそれぞれ表さという写像関係を考える。そうするとれる。

x1 = x2 − y 2

およびy1 = 2xy(5 -34)という関係式がえられる。もし z1 面には式 (5 -31)
で考えたような一様場が存在しているとすると、そこで x1 = const. の直線で表される磁力線は z
面では式 (5 -34) により

x2 − y 2 = const.

含む等磁位線は xy = const. の曲線群、磁力線はx2 − y 2 = const. の曲線群でそれぞれ表される。
磁場 (Bx , By ) は式 (5 -37) のポテンシャル ψ の勾配をとって(5 -35)∂ψ= 2Bq y∂x∂ψBy = −= 2Bq x∂y 1

Bx = −という曲線に対応し、また同様に、z1 面での等磁位線である y1 = const. の直線は z 面では

2xy = const.

(5 -38)(5 -36)で表される。これをつかえば、速度 v で走る電荷の曲線に対応することがわかる。すなわち式 (5q の粒子にはたらく力 F = qv × B が求まる。ここ-31) の複素ポテンシャルは、適当な定数 Bq をつ

で v = |v| とし、粒子の横方向速度成分は無視す
ればかってF = 2qvBq (−x, y, 0)()
φ = −Bq x2 − y 2
ψ = −Bq (2xy)(5 -37)(5 -39)という式がえられる。この力は q が正であれば粒子を x 方向には引戻す一方、y 方向には遠ざけるで与えられることになる。これらがポテンシャル

ので、この磁石は F 型ということになる。ここで場であることは、ラプラシアン

ψ → −ψ

∂2
∂2
+ 2
∆=
2
∂x
∂y

とすれば、力の方向が反転するので D 型磁石となを施せば 0 になることで証明される。これをグラる。力の成分はすべてその方向についての s 軸か

フに示したのが図 10 であって、N 極、S 極表面をらの距離に比例しており、光学レンズと同等である。4 極磁石に相当する光学レンズのモデルを図11 に示す。

x
L

L

L

L

x

0

s

s

図 12

F 型 4 極磁石列

PSfrag replacements

ちいる。単位区間については、半レンズ貼り合わ

y

せ面の位置を基準にとる。たとえば図 12 の s = 0
図 10 の 4 極磁石に相当する光学レンズ：から s = L までの区間は、s = 0 にある右側の半

座標は右手系とし、x は水平方向、y は鉛直方向、レンズの左面から始まり、長さ L のドリフト区間

s は基準軌道上の粒子の進行方向を表す座標をそが続き、s = L にある左側の半レンズの右面で終図 11

れぞれ表す。この例は水平方向にとって凸レン
ズ作用、鉛直方向にとって凹レンズ作用をおこなう、いわゆる F 型 4 極磁石に相当するレンズでわることになる。
点 s0 におけるある粒子の軌道をベクトル(ある。

X (s0 ) =機能分離型シンクロトロンではこの 4 極磁石を、極性を入れ子にしてならべ、ビームを集束する。
以下では直線上に周期的に置かれた 4 極磁石の列で粒子が描く軌道がどのようなものか見てゆこう。
それには先ず、図 12 のように F 型 4 極磁石だけがx (s0 ))x′ (s0 )(5 -40)で表す。その下流にある任意の点 s1 でのベクトル

X (s1 ) は、軌道上の磁石類が x および x′ にたい
して線形変化を与えるものであればX (s1 ) = M (s1 |s0 ) = X (s0 )(5 -41)s 軸上に周期長 L で置かれている場合（先に述べた FODO 格子という略称の流儀でいえば、FOFOのように、適当な変換行列 M を X (s0 ) に乗じた格子）について、水平面 (y = 0) 上の x 方向のベー形となる。
この変換行列を s = 0 から s = L の単位

タトロン振動をしらべてみよう。

区 間 に つ い て 求 め て み る 。こ こ で s± ≡ s ±5 - 2 FOFO 格子でのベータトロン振動
図 12 では 4 極磁石を凸レンズで表す。4 極磁石の s 軸にそっての磁場分布は中心にたいして左右1対称である。したがって凸レンズも、その焦点距
離を f としたとき、図 12 のように焦点距離 2f の半レンズを貼り合わせたものと考える。さらに簡(レンズ厚み → 0) のような表記法をもちいて、
まず s = 0 右側半レンズの出口面（右面）の位置

s = 0+ までの変換行列を求める。
)
(
1
0
( + )
M0 0 | 0 =
1
1
− 2f

(5 -42)単のために、以下の議論ではレンズの厚みを限りである。次いでレンズ出口面からドリフト任意のなく薄いとする、通常の光学で使われる近似をも

点 s（0+ < s < L− ）までの変換行列を Ms 0 とす

れば、それはという結果がえられる。また第 n 区間の終点 s =()
Ms 0 s | 0+ =

( 1

s )

0

nL では、単位区間変換行列を次々にかけ算して(5 -43)

1

X (nL) = MLn X (0)である。また下流半レンズの変換行列が()
M1 L | L− = M0

(5 -49)となるのは明らかである。

(5 -44)

これを n = 6 まで各区間の終点での、位相空間での粒子の位置座標を数値計算した例を図 13 にとなるのも明らかである。
これらの行列を使えば、単位 FOFO 格子での変示す。なおこの例では f /L = 1.6 とした。この図

換行列（ML とする）が

x0 /k

ML = M1 ML 0 M0
(
)(
)(
)
1
0
1
0
1 L
=
1
1
1
1
− 2f
− 2f
0 1
PSfrag replacements#4L
1 − 2fL-1

(5 -45)=L− f1 + 4fL2 1 − 2fと表される。なお s = 0 からドリフト区間の任意

0

#0

0
-0.5

1

0.5

#3

の点 s までの変換行列（Ms とする）は

Ms = Ms 0 M0
( 1 s )( 1
=
1
− 2f
0 1


s
1 − 2f
s

=
1
− 2f
1

#6

#5

#1

#2

)

図 13 6 番目の単位区間までのビーム座標の移動

1を眺めると各点は、原点を中心にもつ楕円にのっ(5 -46)ているように見える。そこで点 #0 と点 #1 がそのような楕円上にあると仮定し、式 (5 -47) およびであるが、これは後に、ドリフト区間中のビームの太さ（包絡線）を計算するときにつかわれる。
ここで点 s = 0 において x = x0 で s 軸に平行式 (5 -48) を使って楕円の方程式を求めると

x′2
x2 + 2 = x20
k

√
ただし

1
k=
L

L
f

な速度ベクトルをもつ粒子を代表例にとって、それが下流へ進むときの軌道を追跡してみよう。これは0というベクトルが変わってゆく様子を、単位区間変換行列 (5 -45) を使ってたどることである。まず
第 1 区間の終点 s = L では

X (L) = ML X (0) = x0 

)
L
1−
4f
(5 -50)となることがわかる。

(5 -47)0(

この式から、k が実数であるために( x )X (0) =

x/x0

L
1 − 2f− f1 + 4fL2



(5 -48)f≥L
4(5 -51)

1

でなければならない、という大事な結論が導かれる。すなわち凸レンズの強さには上限があるということである。
さらに、この楕円上の任意の点は、一つの単位区間を通過したのちもまた同じ楕円上にあることが簡単な計算で示される。こうしてすべての点がPSfrag replacements

同じ楕円にのることが証明された。図 13 にこの#0#1

楕円をかさねたものが図 14 である。この結果は、

#2

x0 /k

s = L− + nL = 0− + (n + 1)L

#3
#4
#5
#6

x0 /k

xe /x0
s=0

#0
#1
#2
#3

0
-1

ments

0
-1

x/x0

0.5

0.5

-0.5

0.5

1

x/x0

s = L2s = L41
s = 0+

s = 0 + nL

s = 0+#4#5+

s = 0 + nL

s/L

#6

f = 1.6L

図 15
図 14

6 番目の単位区間までのビーム座標の移動に楕円を重ねたもの

破線で示した s = 0 + nL での楕円はレンズ出口面 s = 0+ + nL で右下がり楕円に変換されれ、次のレンズ入口面 s = L− + nL =0− + (n + 1)L では右上がりの楕円となる。右下
がり楕円上の粒子は水平に移動して右上がり楕円に載る。また、ひとつのレンズの入口から出口

始点 s = 0 においてこの楕円の任意の点にある粒まででは、右上がり楕円から左下がり楕円にうつ子は、任意の区間の終点 s = nL においても、同る。右上がり楕円上の粒子は垂直に下がり右下

じの楕円上で位置がずれるだけである、というこがり楕円に載る。

とを示す。
さ て ド リ フ ト 区 間 で の (x(s), x′ (s)) は(x(0), x′ (0)) の線形変換であるので、s = 0 の∆s = L の周期性によって、右上がり楕円から右楕円は中心を共有する、別の楕円に変換される。

1
下がり楕円で表される。レンズの中では
x は変化

長軸、短軸は傾き、その角度は s の関数である。

しないので、右上がり楕円の任意の点に載る粒子

また s = 0 の楕円形が nL でも同じになることは垂直に下降して右下がり楕円に載る。破線とのから、任意の s の楕円は ∆s = L の周期で同交点はその中点になる。

形に戻る。とくにあるドリフト区間のレンズ出

次にドリフト区間でのビーム太さ、いいかえれ

1+ nL)、および次のレンズ入口面

ば包絡線 (envelope curve) の形を求めよう。それ(s = L− + nL = 0− + (n + 1)L) での楕円を示

は図 15 において、楕円に接する x′ /k 軸に平行なしたのが図 15 である。レンズ中心での楕円は破直線の x/x0 座標を求めることである。s における+

口面 (s = 0+線で示す。出口面 (s = 0 + nL) の楕円が右下が包絡線のベクトルをりとなるのは、凸レンズを通過するからである。
ドリフト区間でこの右下がり楕円は x 軸に対称な右上がり楕円へ連続的に変換される。なお、ド(Xe (s) =xe (s)
x′e (s0 ))(5 -52)

リフト区間で粒子の x′ は変化しないので、レンズ出口面 (s = 0+ + nL) の楕円の任意の点に載と表す。xe (s) を通る直線の、出発点 s = 0 でのる粒子の軌跡は水平に左へ移動し、レンズ入口面

x 座標値を dx だけ微小変化させたときの、接点位(s = L− + nL = 0− + (n + 1)L) の楕円に載る。

置の x 座標値が変わらない、すなわち dxe = 0 とひとつのレンズの入口面・出口面間の変換は、なることが包絡線の定義である。まず xe (s) を通PSfrag replacements

る直線の方程式は、式 (5 -46) によって()
sxe (s)
cos t + sk sin t
= 1−
x0
2f
x′e (s)1=−
cos t + k sin t(5 -53)
x0
2f

#0
x /x
#1 e 01#2

f = 1.6L

#3
#40.8
#5
#60.6
x/x0

0.4
x0 /k

となる。ここで式 (5 -50) を使い、s = 0 での座標 s = 0+ + nL0.2
s = L− + nL = 0− + (n + 1)L

値を

0.2

x (0)
= cos tx0
x′ (0)= k sin t
x0

図 16

0.6

1

0.8

s/L

今までの数値計算に使った f = 1.6L の場合の包絡線。

(5 -54)

とおいている。式 (5 -53) で楕円についてもいえる。この場合は横軸に平行なdxe (s)=0dt

直線 (|x′ /k| ≤ 右上がり楕円の最大値) と楕円との交点について、その間隔を見るわけであるが、式を計算すれば(5 -43) によれば、間隔は一定となる。このように

(
)2
s
1−
2f
cos2 t = (
)2
(
)
s
s2
L
1−
+
1−
2f
Lf
4f
という解がえられ、これから s = 0 での座標が導

√
1
Lf

(

L
s−
2

)2

(

L
+ 1−
4f

していかなる s においても面積は保存されるわけである。

5 - 3 FODO 格子でのベータトロン振動
この節では、実際の加速器における標準的集束である FODO 格子ビーム光学系について述べる

かれる。これを式 (5 -53) に代入すれば

xe (s)=x0

0.4

が、その主な特徴は前節で紹介した手法で同様に)

1(5 -55)という包絡線の方程式に到達するわけである。こ調べることができる。ここでは最も単純な構成として図 17 のような、D 磁石を F 磁石間の中央

s = (n + 1/2)Lの式から s = nL で xe /x0 = 1、s = (n + 12 )L で最小値 xe /x0 = 1 − L/4f をとることがわかる。

に置き、さらに凹レンズとしての焦点距離の絶対

また s = nL での xe /x0 の勾配の絶対値は 1/2f

値は凸レンズの焦点距離 f に等しい場合を考えである。今までの数値計算に使った f = 1.6L のる。また凹レンズは厚みが 0 で、その半分の強さ場合の包絡線を図 16 に示す。

(2f ) のものを 2 枚貼合せたものとして考える。

最後に、楕円の形は s とともに変形するが、その面積は一定であるということを指摘しておく。そそうするとドリフト区間 0+ ≥ s ≥ L
2もつ。凸レンズ中の x′ の変化は、式 (5 -42) によれば x′ の値に依らない。従って 2 個の交点の間隔
は図の 3 個の楕円で異ならない。したがってその面積も同じになる。同様なことがドリフト区間のの行列は式 (5 -43) と同じ( 1

れには図 15 で縦軸に平行な直線（|x/x0 | ≤ 1）と楕円の交点をみる。それぞれの楕円は交点を 2 個−

Ms 0 =s )(5 -56)0 1である。半凹レンズの行列はそれぞれ(
ML/2 =

1

0

1
2f

1

)
(5 -57)のように、式 (5 -42) で f の符号を反転したもの

図 19 は、凸レンズと凹レンズの間でどう変遷すで表わされる。その下流のドリフト区間の行列は、るか示したものである。前節と同じ議論をたどれ

式 (5 -56) で s の原点を L/2 ずらした

ば、すべての楕円の面積は等しいことが示される。

(

Ms L/2 =)L

1 s− 20

また楕円の最大 |x/x0 | を追跡すれば包絡線がもと(5 -58)まる。具体的な式は省略するが、FOFO 格子の場

1

合とかさねて図 20 に表示する。FOFO 格子の場で与えられる。

合にくらべ s = L/2 で小さくなっているのは、図18 で示したように楕円がより扁平になったからで

x
L

L

L

L

ある。いいかえれば、実空間である点を通る粒子
ビームは様々な角度分布をもっているが、FODO
系を通過できるビームの角度幅が FOFO 格子にく0s

らべ狭まることを示す。

PSfrag replacements
#0
#1

図 17

PSfrag replacements

x0 /k

#2
#3

L
2

L
2

s = L2#4#5

FODO 基本型。

#6#0xe /x0

s=0

#1
0

#2
#3

-1

-0.5

0.5

1

x/x0

0

x /k

#4
#5

s = 0++

s = 0 + nL

#6xe /x0

0
-1

-0.5

0.5

s = L− + nL = 0− + (n + 1)L
s/L
x/x0

1

s = L2

f = 1.6L

s = 0+ + nL
L− + nL = 0− + (n + 1)L
s/L

図 19

f = 1.6L−

s = L4

凸レンズ位置での楕円（図 18）が s = L/2にある凹レンズ中央面に達するまでの変形の様
図 18

基本型（図 17）で、凹凸とも同じ強さのレンズとし、かつ f = 1.6L とした場合の凸レンズ位置での楕円。点は s = 0 で (1, 0) から出発したものを s = 16L まで追跡した。

まず前節と同様に f = 1.6L として、s = 0 で座子。s = 0+ の楕円は凸レンズ位置出口表面のもの、s = L
2−の楕円は凹レンズ入射面でのもの。

s = L2 から次の凸レンズがある s = L までの楕
円は、この図の縦軸に対称な楕円で表わされる。

5-4

偏向磁石の効果を入れる

標 (1, 0) にある粒子が、16 個目までの凸レンズ中

ここまでは、リング径が非常に大きく標準軌道

心でどの位置にくるか、およびそれらが載る楕円は直線であると仮定して議論を進めてきた。実際を示したのが図 18 である。凹レンズが入って凸の円型加速器では、s 軸は s の関数として向きをレンズの力を弱めた効果は、FOFO にくらべて楕

変わり、それは一周で 2π になるわけである。しか円上の進み具合が小さくなることからわかる。まし偏向磁石中では円軌道となる影響を入れる必要

た縦軸のスケールは図 13 と同じにとってあるが、がある。粒子運動量のことなると曲率 ρ がことな

その楕円にくらべ扁平な楕円になっていることもるので、水平面上の標準軌道がずれてくる。また

凹レンズ挿入の効果である。

ベータトロン振動がある場合、Q 磁石での偏向角11

PSfrag replacements#0#1xe /x0
1
#2
#3
#40.8

メーターで表す。粒子の水平振動位相空間のベク
トルは運動量のずれも入れて x 

f = 1.6L

#5
#60.6



X =  x′ 

x/x0

0.4

(5 -59)δx0 /ks = 0+ + nL0.2−+ nL = 0− + (n + 1)Lのように 3 次元になる。
s/L

0.2

0.4

0.6

0.8

1

さて曲率半径は δ に比例して大きくなる。点s = 0 で接する 2 個の円は、s << ρ では s2 /(2ρ)
図 20 凹凸同じ強さのレンズによって構成した FODO 格子の場合の包絡線。凹レンズは s =L/2 に置く。なお点線は図 16 に示した FOFO の場合の包絡線。

でずれてゆく。したがって式 (5 -59) の位相空間ベクトルは、区間 0 ≤ s ≤ L/2 で行列

MDBF =がことなるので振動数（水平、鉛直方向とも）がずれることになる。
この節では特に偏向磁石における曲率 ρ の差が

 1
 1


 2f
0


0 0  1
1 0 

 0

0 1
0

もたらす効果について考察しよう。最も単純化して図 21 のように、前節で例にした FODO 格子の

L
2
1
0


L2
 1
0 0 
8ρ 



1

−
1
0

L 

  2f


ρ 
0
0 1
1
(5 -60)によって変換されることになる。

ドリフト区間を偏向磁石 B でおきかえたものを考

ここで興味があるのは、凸レンズの中心 s = 0

える。実際は偏向磁石 B の区間の軌道は円弧であおよび凹レンズの中心 s = L/2 で x′ = 0 となる

るが、問題は標準軌道からのずれにあるので、図解を見つけることである。もしもある与えられたでは s 軸を直線としている。

δ にたいして解である曲線 x = f (s) が存在すれば、区間 L/2 ≤ s ≤ L では x′ 軸に対称な曲線に

x

1

L

L

L

L

なることが容易にわかる。そしてこの曲線は周期

L で繰りかえされることになる。したがってこの
B

B

B

0

軌道は運動量ずれが δ の粒子にたいする標準軌道

Bsとなる。そこで δ = 1 としてその軌道を求めてみる。それには F 磁石および D 磁石での x をそれぞれ ηF 、ηD とし、式 (5 -60) をつかって

L
2

L
2

 η

D

図 21 偏 向 磁 石 B を ド リ フ ト 区 間 に 入 れ た

FBDB 格子。



 η

F





 0 
 = MDBF  0 
1(5 -61)1という式を解けばよい。そうすると
以下では、偏向磁石 B は長さを L/2、そこでの標準軌道の曲率半径を ρ とする。なお L/2 << ρのように、曲率半径は十分に大きいとする。運動量のずれ ∆p = p − p0 を δ ≡ ∆p/p0 というパラ

(
)
4f 2
L
ηF =
1+
ρ
8f
(
)
2
L
4f
1−
ηD =
ρ
8f

(5 -62)

PSfrag replacements#0#1という解がえられる。また B 区間での曲線が

(
)
s
s2
η = ηF 1 −+2f2ρ

(5 -63)となることは容易に導ける。この η は長さの単位をもつ量で、δ = 1、すなわち運動量が 100% ずれ

#2
#3
η (m)
#4
1
#5
#6
x/x0
xe /x0た粒子の基準軌道の、本来の基準軌道からのずれ

s=0
s = 0 + nL
s = L2を s の関数として表している。式 (5 -64) で η は

s = L4f 2 /ρ の程度の大きさであって、通常は円軌道の大

0.8

x0 /k

s = 0+ + nL
s=0

0.6

ρ = 50 m
L=2m
f = 1.6L

0.4+

s = 0+

きさに独立に選べる。一方 f ∼ L ∼ ρs という極= L− + nL = 0− + (n + 1)L
端に集束力が弱い場合をとると、η ∼ ρ となるこ

s/L

0.2

とがわかる。これから強集束法が運動量のばらつきに対しても大変有効であることがわかる。図 22には半径 50 m のリングで、F 磁石の間隔を 2 m、

s (m)

0.5

1

1.5

2

図 22 FBDB 格子での η 関数の例。

焦点距離を 3.2 m としたときのグラフを示す。
さて、この η(s) の軌道一周 C0 にわたる平均をη とする。そうすると ηC は δ = 1 の粒子の軌道であこと、放射電力はある時間幅 ∆t のなかでの長の増加分 ∆C である。それを

∆C
∆p
= αp
C0
p0

(5 -64)エネルギー変化 ∆E であるが、ともに 4 元ベクトルの成分として、ローレンツ変換では同様に変換と表し、その比例係数 αp を圧縮係数（compaction

されるものであること、から出発する。これらのfactor）と呼ぶ。運動量によるこの軌道長の差に速帰結は、ラーモアの公式をローレンツ変換にたい

度差を加味して定義したパラメーターが式 (4 -10)し不変な形に書きなおすことである。

で導入したずれ係数 (slip factor) であったわけであ

一旦、不変式がわかれば、あとは各時刻の軌道

る（同じ記号 η を使うので区別に注意すること）。

曲率半径 ρ から加速度を求め、それをラーモアの第6章

シンクロトロン放射1

公式に代入すればよい。まず円軌道について、第 2種変形ベッセル関数をたくみに使いこなした、鮮高エネルギー加速器によって実現されるように

やかな式展開で、シンクロトロン放射の主要な性なったシンクロトロン放射は、強力な X 線源とし質が導かれる。ついで一般論を経て、放射光の量て非常に有益なものであるが、同時に X 線放射の子論的性格を詳述する。このように放射光の基本反作用として荷電粒子の軌道が非可逆的に乱れる性質すべてが、解析式で整理された古典的名論文という、加速器にとって深刻な問題もひきおこす。

であると云える。

まさに両刃の剣である。

シンクロトロン放射では、ラーモアの公式が重シンクロトロン放射は、1940 年代、量子電磁気

要な役割を果たしている。さらにその背景には、学発展のなかで認識されるようになった。電子シリエナール (A. M. Liénard) が 1898 年に、ヴィー

ンクロトロンを想定して、その様々な性質を最初

ヒェルト (J. E. Wiechert, 1861-1928) が 1900 年にに定式化したのが有名な J. Schwinger の論文 [39]それぞれ提出した遅延ポテンシャル [40] の公式である。

がある。いずれも 1905 年の相対性理論が発表さ彼の論文は、放射は電子の静止系でみればラーれる数年前のものであるが、相対性理論には正確

モア (Larmor) の公式で記述される電気双極子放射に整合していた。これらの理論のくわしい解説は

電磁気学の代表的な教科書 (例えば、ジャックソ
ン [41]、パノフスキー・フィリップス [42]、砂川[43] など) に詳しい。とくに [42] には、遅延ポテ
ンシャルのユニークな説明や、他の教科書ではなかなか見当たらない電気双極子放射パターンの図などがあって興味深い。またラーモア (Larmor) の
公式は、光子放出にともなう電子の反跳という量
子電磁気学の根幹の問題につながるが、その詳し
い議論がしめくくりとなるジャックソンの教科書
最後の数章も、この機会にぜひ熟読されたい。
図 23 に、数値計算による電気双極子放射の電気
力線パターンを示す。双極子ベクトルは座標原点にあって z 軸を向いている。力線の渦は双極子振動の半周期に相当し、渦の回転方向は隣どうしで逆転する。また渦の間隔は、原点から十分に遠いと自由空間の半波長 λ/2 に等しい。

で与えられる。ただし

re ≡

e2
= 2.82 × 10−15 m
4πε0 me c2は電子の古典半径である。
ここで P は単位時間中に放射されるエネルギーであるが、時間とエネルギーはともにローレンツ
変換で同じ変換を受ける、すなわち P は不変量である。そうすると式 (6 -65) で右辺の ( )2 は次のような不変形をとる。

(dp/ds) − c−2 (dE/ds)
2

2(6 -66)

ここで ds は個有時間の微分である。

ds =√dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 ) /c2= dt/γ
この式で、円形加速器のように粒子の加速度ベクトルが速度ベクトルに直交する場合、実験室系で見た放射電力の式は2re me 2
P =
γ
3c

{[

d (γv)dt]2[d (γc)−dt]2 }(6 -67)*8という式で与えられる 。この式をもちいて半径ρ のリングを一周するときに電子が放出するエネ
ルギー ∆E を計算すと、∆E
4π re 3 4
=
β γ
2
me c
3 ρ

(6 -68)となる。とくに実用上は、∆E(keV), E(GeV) andρ(m) として
4∆E(keV) ≈ 88.5 [E(GeV)] /ρ(m)図 23 電気双極子放射の電気力線パターン。

(6 -69)が便利な式である。このように放射電力が γ のべき乗で急激に増加することが、電子リングの高エ
ネルギーエネルギー化を阻むわけである。一方、シンクロトロン放射理論のあらまし

リニアックでの放射電力は γ に依存しないので荷電粒子が加速されているとき、粒子の静止系[41]、リニアコライダーが選択されるわけである。

6-1

でみた電気双極子放射電力は、次のラーモアの公式

2re me
P =
3c

(

dv
dt

)2

2re
=
3me c

(

dp
dt

)2
(6 -65)*8 リニアックの場合、両ベクトルは平行である。加速度を速度に平行な成分と垂直な成分にわけて放射電力を表した式は、すでに 1898 年 Liénard により与えられている[41]。

今度はシンクロトロン放射の電磁場パターンを
′

′

′

′

調べてみよう。電子の静止系（x , y , z , ct ） で

節ではシンクロトロン放射光の特色を活かした典型的な２つの加速器の例を紹介するにとどめる。

の電気双極子放射パターン（Ω は立体角、θ は z ′軸となす角度として）は、絶対値はともかくとして

dP/dΩ ∝ sin2 θ(6 -70)で与えられる。これをこれを実験室系で見れば

x′ = x,y ′ = y,

これは、放射光によるビーム横方向運動量減衰の効果を利用した極低エミッタンスビームを実現した貯蔵リングである。
エミッタンスとはベータトロン振動の章で調べ

z ′ = γ (z − vt) ,ct′ = γ (ct − vz/c)

6 - 2 - 1 KEK の ATF(6 -71)た楕円の面積に比例する量である。ビームに含まれる様々な粒子のベータトロン振動の楕円の平均′′という式になる。実験室系で x 軸および y 軸が的な大きさをエミッタンスといい、エミッタンス

z 軸となす角度は ∼ 1/γ であるので、粒子前方への小さいビームほど、平行度が揃った良質なビーの放射電力は全角 ∼ 2/γ のコーン内に集中される

ムである。

ことになる。したがって、円弧の一点を正視した
とき、電子が見える円弧の長さは∼ 2ρ/γ

放射光は殆どビームの進行方向に放出されるので、粒子の運動量は方向が変わらず、その大きさだ(6 -72)

けが縮小される。しかし加速空洞により、進行方向の運動量は絶えず復元される。したがって、横である。そしてこれは、この円弧長の 2 倍の波長方向の振動は減衰する。とくに鉛直方向の運動量をもつ電波の半波部分だけを見ていることに相当は原理的に 0、従って鉛直方向にかんするエミッする。これにドップラー効果による波長短縮

タンスは 0 になる。ただし、水平方向にについて(1 − v/c) ∼ 1/2γ 2は、放射光を出した瞬間に運動量の絶対値が変っを考慮すれば、波長 γ −3 を主な成分にもつ光パ動が誘起される。従って上の減衰とこの誘起がつルスを、実験室系では観測することになるわけ

りあった有限の水平方向運動量を維持する。

て η 関数の変化が発生するので、ベータトロン振である。もっと厳密な計算にもとづく Schwinger-

Jackson 流の定義 [39] [41] によれば
λc ≡ 4πρ/3γ 3

しかし、Q 磁石などの設置誤差があると、水平方向振動の鉛直方向振動への回り込みが生じ、鉛(6 -73)

直方向エミッタンスは 0 にならない。その回り込
みの程度をカップリングといい、これを極限までとなり、この λc を臨界波長、2πc/λc = ωc と臨界小さく調整し、極小エミッタンスを達成したのが、(角) 周波数と呼ぶ。低周波から ωc まで、周波数にKEK ATF の減衰リングである。このリングではしたがって電力は増加するが、ωc を境に急激に減また、放射光を発生する部分である偏向 (B) 磁石

少する。そして放射光の量子的側面が顕著になる。

において η 関数を小さくするため、D 型 Q 磁石をもちいず、偏向磁石に D 型 Q 磁石の磁場成分を持

6-2

シンクロトロン放射と加速器

たせた、旧来 (combined function 型) の B 磁石を電子・陽電子の高エネルギー加速器ではビーム

わざわざ採用する。このような減衰リングは、極の性質へのシンクロトロン放射の影響が極めて大低エミッタンスビームを必要とするリニアコライ

きく、加速器設計には独特の考慮を払わなければダーには不可欠は加速器要素である [5]。図 24 にならない。その具体的な中身は本稿の範囲を越えそのレイアウトを示す。

るので、教科書 [2] [5] などを参考されたい。このクライストロン

特殊な電子銃で生成され、加速後リングに入射される。しかし放射光量子の反作用により個々の電子の運動量、したがって 3 次元的バンチ寸法が時間とともに統計的に拡がってゆくので*9 、物性実
験の目的にはそぐわなくなる。そこで電子バンチ
はリングを一周すれば元のリニアック下流側に入射され、減速をうける。減速により発生するマイビーム取出しライン

変調器

1.54GeV Sバンド2856MHzリニアック

RF 電子銃

偏極電子源

電子ビームは図 25 のリニアック最上流部にある

クロ波エネルギーを新しいバンチの加速に使うという意味で ERL と名付けられたわけである。

第7章

27.6m

蓄積リングと衝突リング

的に当てて素粒子反応を観測することにくらべ、
ビームどうしを正面衝突させて反応を起こすほう
ウィグラー磁石列

53.4m

ビーム入射ライン

ウィグラー磁石列

磁石電源
平均半径 13.8m
高周波源

714MHz 加速空洞

加速器の高エネルギービームを実験室の固定標が、後ほど式で示すように（そして常識で考えて当然）ビームエネルギーを 100% 利用できるので、はるかに望ましい。しかしビームどうしの衝突確率ははるかに小さいので、長時間のビーム蓄積と周回ごとの衝突を可能にするリングの実現が必要条件である。この意味で蓄積リング (storage ring、
貯蔵リングともいう) と衝突リング (ring collider)は 1 セットの加速器技術として考えなければならない。
衝突リングの歴史は、第 2 章に登場した Wideröe

図 24 KEK ATF (Accelerator Test Fascility) の極(ヴィデレー) とまた深い関係がある。彼はその後、

低エミッタンス電子リング。

重電機メーカー BBC (Brown Boveri Company) のハンブルグにある工場でベータトロンの開発に従事した。第 2 次大戦中に建設に成功した 15 MeV

6 - 2 - 2 ERL

ベータトロンは当時として世界有数のものであっこれは、放射光によるベータトロン振動誘起がた。1945 年に進駐した米軍はこれを撤去しよう

成長しない短時間の間だけ、鋭い放射光を取だすとしたが、英軍のとりなしで事無きを得たほどでことを目的にした次世代放射光リングである [?]。

ある。

ERL は Energy-Recovery Linac (エネルギー回収型

彼はベータトロンの開発の過程で加速器技術に

リニアック) の略称であるが、これはこの加速器のかんする色々な着想をえるが、その一つが衝突リ

最も基本といえる性質を表していない。

ングである。その辺の事情を彼の手記 [21] からた

ERL の目的は、1 µm 程度という非常に短い電子バンチからの短パルス状シンクロトロン放射光を物性実験に使おうとするものである。短バンチ*9 通常の放射光リングのように定常状態に達したバンチの

長さは 1 cm 程度である。

す。しかし Touschek はそんな「小学生でも」思
いつく考えは、論文はおろか特許にする値打ちもないと一蹴する。それでも Wideröe はあきらめ切
れず、長年の友人で特許事務所を経営していた E.

Sommerfeld (著名な物理学者 A. Sommerfeld の息子*10 ) と共同で 1943 年 8 月 8 日に特許申請する。
しかし「秘密特許」として扱われ、公開は 1953 年であった。
さて Touschek は母親がユダヤ人であったため、BBC の同僚の努力もむなしく、遂に収容所に送られる。そこで九死に一生という経験をするが、戦後ついにローマ近郊の国立 Frascati 研究所に職をえる。そこにおいて彼は 1960 年初頭、電子・陽電子衝突リングの提案を行うが、それは研究所のプ
ロジェクトとして認められる。彼の主導で建設がはじまった電子・陽電子衝突リング AdA はわずか

1 年以内に電子・陽電子を蓄積し、世界初の衝突リングとなったわけである。
衝突リング AdA 建設・運転の過程と Touschekのかかわりについては、E. Amaldi の著書 [44] に詳しい。衝突リングは 1950 年代中ごろに米国およびソ連からの提案があり、建設も先んじて始まっていた [45] [46] [47]。それらはいずれも同種粒子のリングを 2 台接して並べるものであった。しかし Touschek の提案は、電子・陽電子という電荷の正負のみが異なるが、同じ質量の粒子・反粒子を
図 25

KEK で計画されている ERL 型放射光施設。

単一リングでまわそうとする大変ユニークなものであった。これにより、粒子の速度方向は逆転す
るが軌道は同一という、加速器として大変調整がどってみよう。大戦中の 1943 年秋、休暇をえて簡単なものになる。さらに重要なことは、電子・

故国ノルウェイに帰ったときのことである。丘の陽電子という粒子・反粒子の衝突では、素粒子反上の草むらに寝ころんで空を眺めていると、たま応が同一粒子の衝突にくらべ、はるかに豊富にな

たま二つの雲が接近するのが見えた。これが自動ることである [48]。このような理由から、以降こ

車の正面衝突に連想が飛び、ついでエネルギーがの型が高エネルギー衝突リングの標準となった。

100% 利用できる衝突リングの構想に行着いたそ

AdA は直径 160 cm、磁石重量 8.5 t のリングでうである。
ハンブルグに帰るや、ウィーン大学物理学科の学生としてベータトロンに従事していた同僚のBruno Touschek (トゥシェック) にこのことを話*10 Wideröe が A. Sommerfeld と面識をもつのはずっと後のことである。そうでなければヨーロッパの加速器の歴史が変わっていたかもしれない。

それぞれ 200 MeV の電子・陽電子をたくわえるもとなる。一方、同じエネルギー γmc2 の粒子どうのである。Touschek の数々のすぐれたアイデアをしの衝突での重心系エネルギーは設計におりこんだこの加速器は、Frascati 研究所

ECM = ET = γm0 c2の総力をあげて建設された。彼の所内セミナーで(7 -75)の提案は 1960 年 3 月 7 日であったが、運転がは衝突リングでもう一つの重要なパラメーターはじまったのは翌年 2 月 27 日ということである*11 。

ルミノシティ (luminosity) である。素粒子反応断ビーム源として、Frascati 研究所電子シンクロトロ

面積を σ 、衝突点でのビームの断面積を S としたンからの制動 γ ビームを AdA 磁石間隙にある真とき、反応が起こる割合は

空容器壁に照射して発生する電子・陽電子対をつσ/Sかった。電子をまず閉軌道に捉え 200 MeV まで加速する。その後、加速器全体を反転させる、しである。そうすると N+ 個 と N− 個の粒子が毎秒たがって磁場も正確に反転されると陽電子が同様

f 回衝突したときの反応頻度はに捕捉、加速されるわけである。
この成功は、真空容器が 10−9 Pa と当時としては極めてよい真空度に保たれたことである*12 。これによって残留ガス分子による散乱で電子・陽電fN+ N− σSになる。ここで σ にかかる係数子が失われる時間が数時間以上になった。貯蔵粒

L=f

子数はシンクロトロン放射を光電子増倍管で受け

N+ N−
S

て計数したが、前夜の運転で貯まった 80 個の電を ルミノシティ L という。ルミノシティ向上は子・陽電子が、翌朝 7 時には 18 個なったという記衝突リングの至上課題である。そのために衝突点

録がのこっている [49]。

でのビーム断面積 S をとりあえず極小にする努力がなされる。その際、各粒子が衝突点において相7-1

手ビーム電荷の巨視的電磁場から受ける偏向力と、蓄積リングにかんする基本式

素粒子反応エネルギー依存性は、2 粒子の重心
系エネルギー ECM で決定される。簡単のために、その結果生じるベータトロン振動の解析を十分に行うことが肝要となる。

同じ静止質量 m をもつ粒子どうしの衝突を考える。実験室系におかれた標的にビームを当る固定標的実験では、ビームの粒子エネルギーを γmc2

7-2

衝突リングと Livingston 線図

Livingston 線図 (chart) とは、Livingston がその著書に載せた図で、加速器が到達した最高ビーとするとET /m2c = (γ + 1)

ムエネルギー（の対数）を年代を横軸にとってプロットしたものである [50]。それは、ビームエネ

が、実験室系での 2 粒子系の全エネルギーである。

ルギーの指数関数的増大という、極めて楽観的な

これと E 2 − c2 p2 が Lorentz 不変量であるのこと

展望を強調するきらいがある。それ以降、加速器を考えると、2 粒子の重心系エネルギーはの進歩にあわせ、様々に更新された図がでまわっ

ECM =

√

√
2γ + 1m0 c2 ≈ 2γm0 c2(7 -74)ている。しかし共通しているは、Livingston の原図の時点では間に合わなかった衝突リングの取入*11 Touschek の伯母の名は Ada であり、その数年前のこの日に亡くなったそうである [49]。
*12 1960 年当時の日本では、このような極高真空を達成す
ることは不可能であった。

れ方である。
式 (7 -74)、(7 -75) に示したように、ビームエ
ネルギーの重心系エネルギーへの利用のされかたは、ビームエネルギーの平方根に比例する固定標あろう。しかし見方によれば、大勢の加速器研究的の場合にくらべ、衝突リングではビームエネル

者が日夜営々と努力を積み重ねていることをまさギーそのものとなる。そこでどの Livingston 線図に表現しているともいえる。これが次世代の加速にも、衝突リングのビームエネルギーを 2 乗した器発展になくてはならない礎となるであろう。

もの（の対数）を最高ビームエネルギーと読み直それでも、加速器が極めて大規模になってゆく

してプロットする。そうするとエネルギーが現在につれ、社会的制約も厳しいものとなる。これかでも同じ直線上にあり、加速器の進歩は続くよう

らの加速器はビームエネルギーだけではなく、ビーにみえる。その一例を図 26 に示すが、衝突リング

ムの多様な性質を活かすようなものになってゆくの威力の大きさが良くわかる。

であろう。そして、Livingston 線図もそれを反映するような多元的な線図に変容してゆくことであ
ろう。

17

10

16

10

15

10

1PeV

Collider(Equivalent Energy)

14

Ac c e l er a t o r E n e r g y ( e V )

10

13

10

12

10

Proton Synchrotron

1TeV

11

10

Electron Linac
10

10

10

9

10

8

10

7

Electron Synchrotron
Synchro-cyclotron

1GeV

Proton Linac
1MeV

10

6

1930

Electrostatic Accelerator
Betatron
Cyclotron
DC Generator

1940

1950

図 26

1960

1970

1980

1990

2000

2010

Livingston 線図の例。

しかし、加速器の型ごとの曲線に注目すると、いずれの型でも割合はやく成長のかげりが訪れている。おそらく Livingston 線図で表されるような「進歩」は、新しい型の加速器が続々と生まれていったた時代にのみ、当てはまったものであろう。
とくに衝突型加速器の世代となった近年では、革新的な加速器のアイデアがなかなか現れてこないようである。むしろ、ビーム軌道を中心とした装置全体の精密化をとおして、加速器の大規模化をはかり、より高エネルギーへ向かおうとしている。
成長曲線が緩やかになっているのは、このせいで参考文献[1] http://accwww2.kek.jp/oho/index.html.
[2] H. Wiedemann, Particle Accelerator Physics I,
II (2nd. ed.), (Springer-Verlag, 1999).
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