高周波加速の基礎 II
1. はじめにOHO セミナーの校長（古屋貴章氏）から本稿の依頼を受けたとき、“基礎的な項目を再確認したい”と話しておられた。最近の OHO セミナーで参加者の方から質問を受ける内容は、専門的な内容もあるが、基礎的な内容も多いそうである。専門的な授業を行うと、あまり基礎的な項目に時間が取れないということである。今回私が担当する
高周波加速の基礎というものを考えたとき、果た
して基礎となるものをどこに置き解説したらいいであろう。電子リングでの高周波加速の基礎と云えばもちろん位相安定性である。これが保証されるからこそ高周波でビームが加速できる。では安定性の概念、つまり“安定“であるということはどういうことであろう。
例えば机の上に卵を置いたとしよう。そっと置けば卵は動かないでじっとしている。ニュートンのように割るのは反則。この静止状態が加速器でいう“安定”と意味が同じだろうか。なにかの拍子に机に足が当たったら、卵は動き始めて机の下に落ちる。つまり外乱があると急に不安定になる。
我々の経験でも卵はそのまま机の上に置いたりしない。例えばお椀の中に入れて机の上に置く。
こうすることで机が多少動いても卵は落ちない。
このお椀と卵をよく見よう。外乱があると卵はお椀の中で振動していることがわかる。外乱で卵は動きだすが、元に戻そうとする力が働き、やがて元に戻る。元に戻ると今度は最初の動きと反対方向へ進もうとするが、やはり元に戻そうとする力が働く。卵はお椀から出ることなく振動している。電子リング加速器は粒子を卵、机をリングと考えると、“安定”であるとは静止していること
よりも振動していることのほうに意味がありそうだ。そして加速する粒子を中心軌道に閉じ込めておくには、粒子が発散しないように復元力を持
たせて制御し、中心軌道の周りに振動させるのが良いということになる。だから本稿も“振動”から解説することにした。
ここでは電子蓄積リングを取り扱うが、加速器の中で粒子がどのように加速されるのか、という問
題を理解する上で重要なことは、複雑な系を単純化すること、つまり簡単なモデルを考えることである。簡単なモデルがイメージできるということは、煩雑な数式を暗記する手間が省け、また“ものごと”の本質を直感的に理解する助けとなる。
各項目には、できるだけイメージ出来る図を載せた。これは別に押し付けているわけではない。直観的な理解の助けになればと思っている。あなた自身のイメージを作ることが最も重要であるからだ。直観的理解とは言うものの、その境地に到達するのは時間がかかり、また直感的に理解できる文章を書くことはなかなか難しいので、必要な数式はそこそこ使わして頂く。そのほうが聞てる
人も理解しやすいと思うし、なにより筆者にとって楽である。
本稿では皆さんが良く知っている、単振動、位相安定性、共振回路などの復習を含めている。これらは本稿で解説する項目を理解する上で重要であると考えているからである。十分理解されている方には釈迦に説法のようであるが少し我慢をお願いする。そののち加速空洞本体の解説、外部
高周波源との接続、ビームと空洞の相互作用について“基礎的”な項目について解説していく。最後に KEKB 加速器のような大電流蓄積リング用の加速空洞設計の注意点をまとめておく。
それでは、我々が良く理解している単振動について少し復習しよう。

2. 基礎的な項目の復習
2.1. 単振動

ここでは単振動をばねのついた重りの運動で考えてみる。図１のように重りは自然長 L0 のばねでつられている。重りに働く重力 mg はばねの伸び
L によって相殺され、ある平衡点で静止する。この重りを少し動かすと、振動を始める。重りの運動は平衡点からの伸び（位置変位量）x だけで考えてよい。重りの運動方程式はニュートンの第二法則から、力 F は加速度 a（ = d x / dt = x ）に
比例し、
2

2

F = maとなる。m は慣性質量である。またフックの法則
から復元力 F は位置変位量 x に比例する、

F = −kx

ｋはばね定数。両者をまとめると、結局、

mx = −kxという２次の微分方程式を解けば重りの運動がわかる。重りは平衡点の周りを角周波数ωで振動し、角周波数とｋ、ｍの関係は、

ω2 = k /mである。このままでは後に記述する加速粒子の運動に対応させにくい。また相対論を考慮した場合
不完全なので、もう少し式を変えてみる。力積は運動量の変化に等しいということを力学で習った。つまり、

F=

位置変位量ｘと運動量ｐをプロットすると図 3 のようになり、軸長はそれぞれ、

x0 =

2E
mω 2

p 0 = 2mEの楕円となる。楕円の面積 2πE/ωも保存される。

dp
= p
dt

この方程式は相対論でも成り立つ。また運動量は速度と慣性質量の積なので、

p = −kxx = p / m
つまり重りの運動を知るには運動量と位置変位量の変数からなる連立微分方程式を解けばよいということになる。運動量、変位量共に時間的に振動し、その角周波数はもちろんω2=k/m である。
運動量の振幅ｐ0 と位置の振幅ｘ0 には、

p0 = mωx0の関係がある。また重りが原点にあるときは運動量が最大になり、運動量が 0 となるときは重りの位置が最大となる。運動エネルギーT とポテンシ
ャルエネルギーU を考えると、

1 2 p2mx =22m
1
U = − ∫ Fdx = kx 22
T=となり、両者の和、つまり全エネルギーE＝T+U
は保存しているので、ポテンシャルエネルギーが最大のときは運動エネルギーが最小、ポテンシャ
ルエネルギーが最小のときは運動エネルギーが最大となる。重りは図 2 のポテンシャルの中に閉じ込められて振動している。

ちなみに全エネルギーE をｘとｐの関数 H(p,x)だと考えると、

p2 1 2
+ kx
2m 2
∂H p
= = x
∂p m∂H= kx = − p
∂x

H=

となる。
次に重りに摩擦がある場合を考える。図 4 のように摩擦力は重りの速度 v に比例し、運動方向と反対向きに働くとする。運動方程式は、p = −kx − αvとなり、ｘについて求めると、

mx = −kx − αxとし定数の虚数部をβで表す。 i = − 1 である。
ｋが複素数であっても運動方程式が成り立つとすると、である。この解は、−

αtx ∝ e 2 m cos ω ′tの形をしていて、摩擦がある場合、重りの振動は
時定数 1/τ=α/2m で減衰する。また角周波数も

ω0 =kから少し変化する、mω ′ 2 = ω02 α 
1 − 
2 
2
m
ω
0 


2

mx = −kx − iβxである。位置変位量ｘを x ∝ e
数に注目すると、i ωt

とおいて、周波ω 2 = ω 02 + iβ / mとなる。ωはω0 とわずかしか変わらないとすればω＝ω0+ΔωとしてΔωの１次の項について近似する。このとき、∆ω = iβ2mω 0である。周波数に虚数部が出てきた。ｘは、

x∝e

−

β
2 mω0

t

e iω 0 tとなる。これは減衰定数τが 1/τ=β/2mω0 であることを表している。このようにばね定数の虚数部は摩擦力と同じと理解することが出来る。復元
力－kx と摩擦力－αdx/dt をまとめて複素ばね定数 kc を用いて、摩擦つき復元力を F=－kcx と表すことも可能である。
2.2. 連成振動

摩擦力αが小さければ周波数ωの変化も小さい。
本稿で取り扱う問題では通常この変化は小さいとしω’～ωとする。この式をよく見てみると、摩擦力、つまり外力が dx/dt に比例する場合、振動を減衰させる。後述するが、位相安定性で解説する放射減衰がこの項に当たる。αの符号によっては振動を発散させることも出来る。加速空洞内で起こる wake 場は加速粒子を発散させる項を持っているので加速空洞の設計にはこの項が重要になる。一方、外力が x に比例するならば、フックの比例定数ｋを変えることになるので、角周波数が変化する。最後にｘに依存しない項（重力 mgのような項）は単に平衡位置を変えるだけであり、振動に関与しない。このことはビームローデ
ィングの章で取り扱う。
ここで少し横道にそれてみる。今まではばね定数が実数であると暗黙のうちに考えてきた。この定数が複素数だったら重りの振動はどのように変化するだろうか。ばね定数ｋを、

k → k + iβ

今度は連成振動について少し考えてみよう。図 5のように３個の重りがばねでつながれて振動する場合を考える。ばね定数は全部等しくｋとし、質量も全てｍとする。重りの位置をそれぞれ x1、x2、x3 として運動方程式を求める。

mx1 = −kx1 + k ( x2 − x1 )mx2 = −k ( x2 − x3 ) + k ( x3 − x2 )mx3 = −k ( x3 − x2 ) + kx3
i ωt

ｘを x1、x2、x3 の成分を持つ行列とし、x ∝ e を仮定し x の 2 回微分の項を－ω2 で書き換える。
また ω02＝k/m、λ＝ω2/ω02 とすれば、運動方
程式は、

 2 −1 0  x1  
λ x =  − 1 2 − 1 x , x =  x 2 
 0 −1 2 
x 


 2
とかける。運動方程式はλの固有方程式となり、λは固有値、ｘは固有関数となる。ｘの各要素が全て 0 でない有意な解を取るためには行列式が 0でなければならないので固有値λが定まる。

λ −2

−1

0

−1

λ −2

−1 = 0

0

−1

λ −2

2,

2+ 2

1 / 2   1  1 / 2    x =  1  ,  0  ,  −1     1 / 2   − 1  1 / 2 

ここで x については規格化（x2=1）せず、要素の最大値を１としている。固有値λの小さい順に振動モード 1、2、3 とする。図 6 はそれぞれの振動
モードでの、それぞれの重りの縦振動の振幅を矢印で示したものである。

お気づきと思うが、それぞれの重りの振幅は、μを振動モードの番号、m を m 番目の重りとすると、 x m = sin(

µπ

µπ
M

m)

の形で表せるだろう。それぞれの重りの振動を１つの振幅 x̂ を用いて一般化して、

x = xˆ sin(µπMm) cos ω µ t

ω µ2 = λ µ ω 02と表すことが出来る。この表記は結合バンチ不安定性の章で扱う。
2.3. 位相安定性の復習

λが定まれば、それぞれのλについてｘを求める。結果を示すと、

λ = 2 − 2,sin(m) の形になるとうまくいく。重4りの数 M が多くなれば振幅は、

重りの単振動を復習したので高周波加速の位相安定性についても復習しよう。振動は粒子の進行方向（縦方向）である。単振動で取り扱った変数ｐ（運動量）とｘ（位置）をそのまま使うことも出来るが、多くの教科書が粒子エネルギーE と時間の遅れτを変数に取っているので、ここでもそれに従うことにする。中心エネルギーからのずれをδ=(E-E0)/E0 で表す。高エネルギー電子蓄積リングの場合は電子は殆ど光の速度に加速されているので、電子あるいは陽電子は超相対性粒子として取り扱って構わない。エネルギーE と運動量ｐの関係は光速 c を用いて E=cp となる。また時間遅れと位置の関係はｘ=cτであるので単振動の場合と本質は全く変わらない。電子リングは円形であり粒子を加速する加速空洞はリング中のごく短い場所に設置されている。簡単のため１台の加速空洞でリング全体の加速を担当する場合を考える。単振動の章で行ったようにエネルギー
E、時間遅れτの時間微分を求めることからはじめよう。

2.3.1. エネルギー収支
加速空洞は高周波電力によって角周波数ωrf の加速電圧 Vc を発生さる。この中に図 7 のように同期
位相φs を伴って粒子が飛び込むと加速エネルギーを得る。時間的にτほど遅れた粒子が得るエネ
ルギーは、

T = eVc cos(ω rf τ + φ s )となる。一方で粒子はリング中を運動している間にエネルギーを失う。その１つがシンクロトロン
放射光の放射によるもので、もう一つが wake 場によるものである。Wake 場は後述するのでここ
では放射光損失についてのみ考察する。リング１周した粒子が失う放射エネルギーを U とすると、粒子のエネルギーは１周当たり T－U だけ増加す
る。

∆δ =

1
(eVc cos(ω rf τ + φ s ) − U )E0

粒子がリングを１周するのに要する時間（周期）を T0 とする。粒子の縦振動の周期がリングの周回
周期 T0 よりも大きく、ゆっくりと振動している場
合はΔδ/T0 を dδ/dt のように時間の１回微分で近似できるので、1δ =(eVc cos(ω rf τ + φ s ) − U )E0T0
一方放射光損失の項は粒子のエネルギーに依存しているが、同期エネルギーから大きくずれていないとすれば、dU
U (δ ) = U (0) +δ = U 0 + U ′δdδである。ここで U0 はエネルギーE0 の同期粒子が高周波加速によって得るエネルギーeVccos(φs)と同じであり、同期粒子のエネルギー収支はゼロとなる。
2.3.2. 周回時間の遅れ
今度は周回時間の遅れについて考えよう。エネル
ギーE、速度ｖの粒子がリングを一周する時間 T
は、リングの周長を C として T=C/v であるので１周するのに余計にかかる時間ΔT は、∆T ∆C ∆v=−
T
Cvである。ΔC/C は、

∆C
∆p
=α
C
p

で表される。このαを momentum compaction
factor という。
また、

∆v 1 ∆p=v γ2 pであるから上式は、

∆T
1 ∆p
∆p
= (α − 2 )
=η
T
p
p
γ
となり、slippage factor ηで表す。超相対論粒子
はγ>>１なので 1/γ2 の項は無視できてη～αである。１周するのに余分にかかる時間はΔτなので、上記のΔT をΔτに書き換え、振動がゆっくりであるとしてΔτ/T0 をｄτ/dt と近似すると、

∆τ dτ
∆p
≈
= τ = ηT0
dtpを得る。加速粒子は超相対論的粒子なのでδ～Δｐ/ｐとし、

τ = ηδを得る。
単振動の章で復習したように、粒子の運動は連立微分方程式、δ =1(eVc cos(ω rf τ + φ s ) − U 0 − U ′δ )E0T0τ = ηδとかける。この２個の連立微分方程式は、

τ =

η
E 0T0

(eVc cos(ω rf τ + φ s ) − U 0 ) −

1
U ′τ
E 0T0

のように２次の微分方程式にまとめられ、ωrfτ
の項が小さければ、この式は更に

τ = −

ηE 0T0

eVc sin φ s ω rf τ −

1
U ′τ
E 0T0

となる。単振動の章を参考にすると、
質量ｍ： m = ( p 0 / c) / ηηeVc sin φ sω rf
E0T01
摩擦定数α： α / m =U′
E0T0
ばね定数 k： k / m =の重りの減衰振動と同じである。
角周波数は ω s =η
E0T0

eVc sin φ sω rfとなりωs をシンクロトロン周波数と呼ぶ。

1U ′ であるが、もう少し
2 E 0T0
1 dU
具体的に表すと、 1 / τ d =E = E0 となる。
2T0 dE
減衰定数は 1 / τ d =1/ Z = Y =1ω ω(1 + iω c CR ( − c ))
R
ωc ω

と表せる。

3. 空洞共振器

2.4. 共振回路の復習

最後に図 8 のような LCR 共振回路の復習をする。
電子回路の得意な人は回路定数を考えてもよいが、ここでは無理やり単振動の方程式と関連づける。先ず用語の定義と基本の数式から始めよう。
キャパシタに蓄積される電荷 Q とキャパシタ電
圧 V の関係は Q=CV であり、C を capacitanceと呼ぶ。キャパシタを流れる交流電流は I=dQ/dtとなる。またコイルに誘起される電圧 V は電流の時間変化 dI/dt に比例し V=LdI/dt となり、L を
inductance と呼ぶ。抵抗両端の電圧はオームの法則から流れる電流に比例し、V=RI となり、R を
resistance と呼ぶ。今図 8 のようにキャパシタに流れる電流を I とすると、この電流はコイルと抵抗に分配されて流れる。それぞれを図中のように
IL,IR と定める。I=IL＋IR なので、式をまとめると、空洞共振器は LCR 回路と同じと考えられる。何故 そ う な る の か は Feynman の Lectures on
Physics によく示されている（図９）。キャパシタとコイルの回路が変化して最終的に空洞共振器になる様子がよくわかる。空洞のパラメーターを議論するうえで必要な回路の特性を考察しよう。
空洞の共振には色々なモードが存在するが、特殊な場合を除き空洞の共振周波数は最も低次のモードが使われる。この章でも加速に使われる１つのモードだけで議論する。加速空洞の基本は図 10のようなピルボックス空洞で、TM010 モードを用いて中心に加速電場 Eacc を発生させる。

V = Q / C = I / C
I = −V / L − V / Rとなる。IL と IR を I と逆向きの方向に定義したので、電圧の符号が反転していることに注意してほしい。これは単振動の式と全く同じで、m=C、ｋ＝1/L、α=1/R だと思えば、共振周波数や減衰定数が求まる。まとめると、

1
ωc =
LC
τ = 2 RC

抵抗 R が十分大きく、周波数のずれが小さいことを仮定しているので注意してほしい。この回路のimpedance または admittance は、共振回路は LCR で構成されているので抵抗値、インダクタンス、キャパシタンスの値が決まれば回路の特性が決まる。一方空洞にはそのような回路部品で構成されているわけではないので、測定できる、或いは計算できる独立な３個の独立なパラメーターから空洞の特性を決める。その１つは

共振周波数である。この値は精度よく測定できる。LCR 回路での表記はωc2=1/LC である。
次に重要なパラメーターが Q 値である。Q 値の定義は空洞内の電磁エネルギーU に対する空洞壁の損失パワーP の１周期分のエネルギーの比で与え
られる。

Q=

ωU
P

dU
dt

となり、エネルギーの減衰は、

U = U 0 exp(−

ω
Q

t)

で表され、減衰定数τは、

τ = Q /ωとなる。これを LCR 回路のパラメーターで現すと、

1
U = CV 2
2
1V2
P=
2 R

ωcV 2
V2 /R

d /2

−d / 2= E0 ddzE 0 cos(kz )sin( kd / 2)
kd / 2となり、電圧 V0=E0d よりファクターT だけ小さくなる。この T を transit time factor と呼ぶ。加速ギャップは加速周波数で決まる波長の半分が最も効率がよい。KEKB の 509MHz 加速空洞は
大体 250ｃｍのギャップを持っている。
最後に R/Q について解説する。先に取り上げたシャントインピーダンス Rc は空洞電圧 Vc と空洞壁
損失 Pc の比なので空洞単体での測定が出来ない。
電圧 Vc を測定するにはビームを空洞に通してみないと求められない。また Pc は空洞の表面抵抗に依存するので、同じ形状の空洞でも表面抵抗の違いによっては値が異なる。一方 R/Q は蓄積エネル
ギーと加速電圧の比なので、

V2
R/Q =
ωU

なので、

Q=

Vc = ∫= V0 T

単位時間当たりのエネルギー損失が P なので、P=−

ャップｄの間で一定でその他の区間で０となる空洞を考えよう。ビームが受ける加速電圧 Vc は、= ωCRとなりエネルギーの減衰定数はτ=CR である。超電導空洞のように非常に Q 値の高い空洞では空洞エネルギーの減衰から Q 値を測定する。
もう１つの重要なパラメーターはシャントイン
ピーダンス Rc である。空洞の Rc は、

Vc2
Rc =
P

と定義されていて LCR 回路の R とは２倍違う。
これは空洞を通過するビーム電流が周期 T0 のパルスとなっているため、その高周波成分の振幅が２I0 となることに由来する。ビーム電流の高周波成分については後ほど詳しく解説する。混乱を避けるため R の表示は LCR 回路の抵抗 R を示し、Rc の表示は空洞のシャントインピーダンスを示すこととして区別する。
Vc は空洞が作る加速電圧であり、粒子が受ける高周波電場を粒子の進行方向に積分した値となる。

Vc = ∫ dzE z ( z ) e ikz

ここでｋは波数（k=ωrf/c）であり、粒子は光速で空洞を通過している。いま加速電場 E0 が加速ギ

電磁場解析コードを用いて簡単に求めることが出来き、空洞の表面抵抗によらない。空洞の形状を決めると一義的に定まる。常伝導空洞の設計では R/Q を高くして加速電圧の効率を上げることが一般的である。

4. 空洞と外部高周波源との接続

空洞は図 11 のように外部高周波源に入力カプラ
ーを通して接続される。高周波電力源はクライス
トロンであり導波管を通して空洞の入力カプラ
ーに接続される。空洞から反射された高周波電力
は circulator でダミーロードに導かれ全て熱に変換して吸収する。このシステムを回路図で表せば
図 12 のように巻線比 1:n のトランスで接続された回路となる。

QL =

Q0
1+ β

の関係がある。
さ て 図 13 の 回 路 の impedance Z あ る い は
admittance Y は、

1/ Z = Y =ω rf ω c
1+ β(1 + iQ L (−))
Rω c ω rfとかけるので、空洞に発生する電圧 Vg は

Vg =

R
1+ β

Ig
1 + iQ L (ω rf ω c−)ω c ω rfとなる。空洞を励振する周波数は必ずしも空洞の共鳴周波数ωｃと同じ必要はない。むしろ後述する理由でわざと違っている。ここで tuning angle
Ψ を 導 入する と 数 式が簡 素 化 される 。 Tuning
angle は離調度をあらわすパラメーターで、

tanψ = −Q(
このトランスが入力カプラーに相当する。Igo は周
波数ωrf の電流源、Rg0 は導波管の特性インピーダンスである。この回路はトランスを省いて図 13のように表せる。

元の電流や特性インピーダンスは Ig=Ig0/n, Rg=Rg0×n2 と変換される。変換された特性インピー
ダンスとシャント抵抗 R との比βを入力結合定数と呼び Rg=R/βと表記する。外部電流が無く、空洞が自由振動をしているときは、空洞の蓄積エネ
ルギーは空洞内の電力損失のほかに外部に抜け出てダミーロードに吸収される電力損失があり、両者の比がβとなる。そのため減衰定数は変化し、このときの Q 値を loaded Q（QL）と呼ぶ。
無負荷での Q 値は unloaded Q（Qo）と呼び両者は、

ω rf ω c−)ω c ω rfと定義され、これを用いて、

Vg =R
cosψ e iψ I g
1+ β

となる。
さて、実際に問題となるのは空洞電圧 Vg を発生させるにはいくらの入力 RF パワー、Pg が必要かということである。入力パワーPg と空洞電圧 Vcの関係を求めるには伝送線の特性を考慮しなければならない。

図 14 のように空洞方向に進む進行波は空洞と伝送線のインピーダンスの違いで反射を受ける。進行波の電圧、電流の振幅を V+、I+とし反射波のそれを V－、I－とすると、

5. 空洞とビームの相互作用 I（ビームロー
ディング）

V = V + +V −I = I+ −I−となる。ここで V、I は空洞の電圧、電流の振幅である。簡単のためωrf はωc に同調しているとす
れば LC 回路は考える必要が無く、空洞のインピーダンスを R と取ることが出来る。進行波、反射
波のインピーダンスは R/βなので、

I=

2 +
I
1+ β

となり

Pc =

1 2 1
2 + 2+
RI = R(I )2
2 1+ β

5.1. ビーム誘起電圧
空洞の中をビームが通過すると様々な周波数の電磁場を誘起する。これは wake 場と呼ばれている。この章で取り上げるビームローディングは周
波数ωrf のものだけを問題とする。前章で取り扱ったと同じ手法でこの問題を考える。図 16 は空洞中をビーム電流 Ib が通り抜ける場合の等価回路図である。

となる。一方Pg =1 R +2
I
2β

なので

Pc =

4β
Pg
(1 + β ) 2となる。このときの空洞電圧 Vgr は、入力パワー、
空洞のシャント抵抗 Rc（=2R）を用いて、

Vgr = Rc Pc =

2 β
1+ β

Rc Pg

となる。detune 時の空洞電圧のは、tuning angle
を用いて、

~
~
V g = V gr cosψ e iψ

簡単のため外部電力の供給はないとする。ビーム
電流は周回周期 T0 を持つパルスなので、デルタ関数を用いると、∞と表せる。ここで phasor 表記を導入した。phasor~ iω t~iω tは振動を V = V e rf と表記したとき V は e rf の項の振幅と位相を表すもので phasor と呼ばれてiω tいる。変数が全て e rf なる項で振動するときはphasor だけで議論出来るので便利である。Vg のphasor 表記は Ig の位相を 0 に取ると Vgr は Ig と同位相なので図 15 のようになる。

I (t ) = q ∑ δ (t − kT0 )k = −∞と表すことが出来る。ここでｑはビームバンチの全電荷である。この電流は周期 T0 の周期関数なので cos 関数展開できる。
∞

I (t ) = I 0 + 2 I 0 ∑ cos(nω 0 )n = −∞

ωo は周回周波数（2π/To）、I0=q/T0 は直流電流表
記であり、各周波数成分の振幅は２I0 となっている。この中でビームローディングに寄与するもの
は n がハーモニック数 h と一致するとき、すなわ
ち hω0=ωrf であるので、電流を、
iω t

I b = 2 I 0 e rfと表す。前章と同じ取り扱いをすれば、

Vb =R
cosψ e iψ I b
1+ βとなり、ビームによって誘起される電圧が求まる。ビーム電流 Ib の位相を 0 として phasor 表記
にすると、

~ ~
Vb = Vbr cosψ e iψVbr = −と近似できる。この項が大きいので補正項αは無視できて、Rc I 01+ βとなる。phasor 表記の場合 Vbr の方向は必ず Ibと逆向きである。
上記のモデルは簡単かつ明瞭であるが、パルス状のビーム電流を交流として取り扱うので少し理解し難いかも知れない。ビーム電流による誘起電
圧をもう少し直感的に求めてみたい。
いま、全電荷ｑの電流が瞬時に図 16 の回路に流れたとするとキャパシタに電荷ｑが蓄積され電圧 Vb0=q/C が発生する。蓄積されるエネルギーは1/2CVb02 である。一方ビームが感じる電圧を Vsとすると、ビームはこの電圧で減速されるので
qVs の エ ネ ル ギ ー を 失 う 。 両 者 は 等 し い の で
Vs=1/2Vb0 となりビームは自分が作る電圧の半分で減速される。このことは fundamental theoremof beam loading と呼ばれている。
さて、この電圧 Vb0 は周波数ωc で振動しながら減衰定数 Tf で減衰していく。電圧の減衰なので
T f = 2Q / ω c となる。周期 Tb 後にはまたビームバ
ンチが来て、瞬時に電流が流れるので、新たに電圧 Vb0 が誘起される。これらの電圧を加えていけばビーム電流による誘起電圧が求まる。これをphasor 表示で表すと、~ ~ ∞ −nTd / T f i (ωc −ωrf ) nTd
Vb = Vbo (∑ e
e
+α)
n =1

ここで、はじめの exponential 項は振動の減衰を表し、２番目の項は振動の周波数がωc でありωrfと少し違うためどんどん位相がずれていくことを表している。またαは、ビーム通過直後は１で通過直前だと０となるバンチ通過タイミングでの補正項を示している。一方ビームが通過中に感じる自分自身の誘起電圧は 1/2Vb0 である。減衰定
数 Tf とバンチ周期 Td の比をτ=Td/Tf とし、
ωc－ωrf も tuning angle で表すと、

ωc − ω rf =ωc2Qtanψ =~~ Vb 0Vb =cosψ e iψτとなる。Vbr を

Vbr =

Vb 0

τ

=

q 2QL
2R
= Ib
Td Cω c1+ βとすると Vbr と Ib とは逆向き、つまり位相差 180°をもっているので、~ ~Vb = Vbr cosψ e iψVbr = −

Rc I b1+ βとなる。phasor 図を図 17 に示す。

5.2. 空洞の電圧
前の２つの章で解説したように空洞の電圧は駆動電圧 Vg とビーム電流による誘起電圧 Vb の和によって決まる。等価回路で示すと図 18 になる。

tanψ
Tf

となるので、∑の項は1∑ → 1 − e τ e τ ψ −1
−

i tan

となる。バンチ周期 Tb が減衰定数 Tf より十分小
さいならば、この項はさらに、

111≈= cosψ e iψiτ tanψτ (1 − i tanψ ) τ
1− e e−τ

このことを phasor で解説する。図 19 を見ていた
だきたい。ビーム電流の phasor 位相を０に取ると tune 時のビーム誘起電圧 Vbr は位相 180°の位置にある。detune したときの誘起電圧 Vb はそれより tuning angle 分ずれたところにあり、振幅もcosψほど小さい。電子蓄積リングでは tuningangle を負に取るので、図中のような誘起電圧となる。一方駆動電圧はビーム電流と適切な位相差を持ち駆動される。ここで tune 時の駆動電圧 Vgrと空洞の電圧 Vc との位相差を loading angle、ΦLで定義する。detune 時の駆動電圧 Vg は位相差ψの位置にあり、振幅 cosψだけ小さい。両者の和で空洞の電圧 Vc が決まる。また空洞の電圧 Vc はビーム電流と同期位相Φs を持っている。運転に際し実際に制御するものは同期位相、loading angle、Vc なので必要な関係式を求めてみよう。まず 電圧の和の式は、

Vc cos φ s = Vb cos(π +ψ ) + Vg cos(φ s − φ L +ψ )Vc sin φ s = Vb sin(π +ψ ) + Vg sin(φ s − φ L +ψ )ここで全体の位相を − (φ s + ψ ) だけ回転させると、

Vc cosψ = −Vb cos φ s + Vg cos φ L
Vc sinψ = −Vb sin φ s + Vg sin φ L
これより、

Vc = −Vbr cos φ s + V gr cos φ Ltanψ =− Vb sin φ s + V g g sin φ L

Vc cosψ
V gr
V= − br sin φ s +sin φ L
Vc
Vc

を得る。

で与えられる。あるビーム電流を加速する場合、結合定数βを適切に取れば入力パワーを最小に出来る。これは dPg/dβ=0 によって与えられる。
loading angle を 0 とした場合はβ=1+Pb/Pc のとき
最も入力パワーが小さい。加速電圧、加速電流が決まると結合定数は最小入力パワーとなるよう設計されるのが一般的である。結合定数をこのよう に 取 っ た 場 合 、 tuning angle は
tanψ=－(Vbr/Vc)sinΦs となり、detune 量Δf は
ω c − ω rf
I sin φ s
P tan φ s∆f ==− b
( R / Q) f rf = − b
2π
2Vc
4πU
となる。ビームパワーが大きい加速器は通常空洞
を detune し、入力パワーを最小にして運転している。ビーム電流が大きくなると detune 量も増
えていき、ついには周回周波数 f0=ω0/2πを越えてしまう。周回周波数を越えると次に解説するビーム不安定性を起こすようになるので detune 量はあまり大きく出来ない。特に大電流運転を行う
KEKB 加速器では問題となる。detune 量を押さえるためには R/Q または Vc/U の比を小さくする必要がある。この比が小さいとビーム電流が誘起する電圧が小さくなるからである。KEKB 加速器
では常伝導空洞 ARES と超伝導空洞 SCC の２種類のタイプの加速空洞が存在する。超伝導空洞は
もともと高電圧で蓄積エネルギーも大きい。
KEKB 運転に際しても detune 量は 17ｋH 程度である。一方 ARES 空洞も加速空洞とエネルギー貯蔵空洞を組み合わせて大蓄積エネルギーを可能にしている。

6. 空洞とビームの相互作用 II（結合バン
チ不安定性）

Vc を駆動するに必要な入力パワーは

1(1 + β ) 2 (Vc + Vbr cos φ s ) 2
Pg =Rc
cos 2 φ L 4 β

ビームと空洞の相互作用でもう一つ重要なこと
はビーム不安定性の問題である。ビームが空洞のような構造を持つものの中を通過すると wake 場を作る。この wake 場はビームに影響し、余分な運動を与えるので出来る限り余計な構造物は導入しないほうがよい。実際にはリング中の最も大きな構造物は空洞本体である。更に空洞には加速モードだけでなく様々な高周波モードがあり、ビームにより簡単に励起され、ビーム不安定性の原因となる。また wake 場は最終的に構造体のどこかに吸収され発熱する。この発熱を取り除かない
限り大電流運転は出来ない。この章では空洞に関係するビーム不安定性について解説する。ビームが wake 場を作り粒子の運動に影響を与えると

き、粒子はビームが作り出す電圧によって加速される。この電圧が求まれば運動方程式を解ことが可能となる。

∞

I (ω ) = I 0 ∑ [δ (ω − pω 0 ) − iωτˆδ (ω − Ω − pω 0 )]p = −∞

I0 =6.1. 単バンチ
ビームが作る電圧はビーム電流と空洞のインピーダンスの積によって与えられる。空洞は LCR
回路と同じであるから周波数成分で解析するほうが取り扱いは簡単になる。空洞のようにインピーダンスが解っている場合、電流、電圧を周波数成分に Fourier 変換して計算する。先ずビームバ
ンチが q=Ne の電荷を持つ１つの粒子として取り扱える場合を考える。バンチ電流は図 20 のように周回周期 T0 と時間遅れτを用いて、

Ne
T0となる。I0 は直流ビーム電流である。τがΩで振動しているので sideband：pω0+Ωの成分が出てくる。この成分はτの振幅と周波数に比例する。
電圧は電流と空洞のインピーダンスの積 V=－IZである。この電圧を Fourier 逆変換し電圧の時間依存性を求める。

V (t ) = ∫ dω e iωtV (ω )ここで電圧をτに依存しない項 V1 と依存する項
V2 に分離する、V (t ) = V1 (t ) + V2 (t )∞V1 (t ) = − I 0 ∫ dω e iωt Z (ω ) ∑ δ (ω − pω 0 )p = −∞∞V2 (t ) = iI 0 ∫ dω e iωt Z (ω )ωτˆ ∑ δ (ω − pω 0 − Ω)
p = −∞となる。V2 についてさらに計算すると、∞∞I (t ) = Ne ∑ δ (t − kT0 − τ k )k = −∞と表せる。その Fourier 変換は、

I (ω ) =1
dt e -iωt I (t )
∫
2π

なので、

となる。ここで時間遅れτは振幅を τˆ 、周波数を
Ωとして、
iΩt

= iI 0 ∑ ( pω 0 + Ω)e ipω0t e iΩtτˆ Z ( pω 0 + Ω)
p = −∞∞= iI 0 ∑ e ipω0t ( pω 0 + Ω) τ Z ( pω 0 + Ω)
粒子が受ける電圧は時間が t=nT0 の時なので V1と V2 は結局∞

V1 = − I 0 ∑ Z ( pω 0 )p = −∞∞のように振動しているとする。この時間遅れが小さいとすると、近似的に、

I (ω ) =p = −∞∞

p = −∞Ne ∞ −ikT0ω −iτ kω
I (ω ) =∑e e
2π k =−∞

τ = τˆeV2 (t ) = i ∫ dω e iωt I 0ωτˆ ∑ δ (ω − pω 0 − Ω)Z (ω )∞Nee −ikT0ω (1 − iτˆωe iΩkT0 )∑2π k =−∞と表せる。また poisson の和公式∞∞

k = −∞

p = −∞∑ e −ikT0ω = 2π ∑ δ (T0ω − 2πp)=

2π ∞∑ δ (ω − pω 0 )T0 p = −∞を用いれば結局 Fourier 変換は

V2 = iI 0 ∑ ( pω 0 + Ω) τ Z ( pω 0 + Ω)
p = −∞と書ける。このうち V1 は粒子エネルギーにも時間遅れにも依存しない項で、単に振動の平衡点が変化するだけである。また pω0=ωrf の時は beamloading の章で取り上げた誘起電圧そのものである。第２項は時間遅れτに依存し、振動を変化させる。ここで位相安定性の復習を思い出そう。VWをいま求めた wake 電圧とし、運動方程式を書く
と、

δ =

1
(eVc cos(ω rf τ + φ s ) + eVw )E0T0τ = ηδ
放射損失の項は本質的ではないので今は考えない。また wake 電圧 V1 も考えないことにする。τ
の微小振動に着目して２次の微分方程式にまとめるとτ = −ω s2τ +

η
E0T0

eV2

今τの振動数Ωがωs とあまり変わらない、つまり
Ω=ωs+ΔΩと考えると、ΔΩは、

ηe∆Ω = −

2ω s E 0T0

= −i

V2

∞
ηeI 0
∑ ( pω 0 + ω s )Z ( pω 0 + ω s )2ω s E 0T0 p = −∞と表せる。τの振動は exp(iΩt)なので Z の実数部が減衰項または発散項を与える。この項を growthtime τg で表す。

1/τ g =∞
ηI 0[
ω p+ Zr (ω p+ ) − ω p− Zr (ω p− )]∑4πν s E 0 / e p =1

ω = ( p − 1)ω 0 + ω s+pω p− = pω 0 − ω s
こ の 式 を 見 て 分 か る よ う に synchrotron sideband の高い方が発散に寄与し、低いほうが減衰に寄与する。図 21 のようにインピーダンスが急激に変わると growth rate が大きくなる場合があり、不安定性を引き起こす。空洞の共鳴モードのインピーダンスがこれに相当する。

6.2. 多バンチ
大電流電子蓄積リングでは電流を多く積み込む
ため多バンチで運転される。次に多バンチの効果を解説する。この場合先行するバンチが作る
wake 場が後方のバンチに影響を与え、バンチ全体が振動することになる。
今リングを周回するバンチ数が M 個あったとする。M 個のバンチは互いに影響しあい、バンチ全体の運動は丁度ばねで連結された M 個の質点の運動と考えることが出来る。全体の振動は M 個の振動モードに区別され、μ番目のモードの振動子間の位相差は 2πμ/M である。これは両端を固定した連成振動と違って、M 個目のバンチと１番目のバンチも結合しているので連続性から位相は 2πの整数倍となるためである。ちょうどボーアの量子条件に相当する。
前章で解説した単バンチの計算をそのまま多バンチに応用できるが、多バンチの場合はバンチ間の連成振動を考慮する必要がある。ビーム電流はバンチの電荷を Ne として、∞

M

I (t ) = Ne ∑ ∑ δ (t − kT0 − mT0 / M − τ µ ,m ,k )k = −∞ m =1と表される。ここでτμｍｋはμ番目のモードで、振動数をΩμとする、ｋ番目の周回の m 番目のバ
ンチの時間遅れを表す。τは、iΩ tτ = τˆµ e i 2πµm / M e µのようにΩμで振動している。単バンチの場合で計算した方法と同じ様に計算していく。この電流の Fourier 変換は単バンチと同様にτが小さいとして、I (ω ) =Ne ∞ M −iω ( Mk + m ) M0
(1 − iωτ µ ,m ,k )∑ ∑e
2π k =−∞ m=1
Tと近似できる。一方τの項は、

τ µ ,m ,k = τˆµ e i 2πµm / M e

TiΩ µ ( Mk + m ) 0
M

振幅の位相は、

e i 2πµm / M = ei 2πµ (Mk + m
−k )
M

=e

T
iµω0 ( Mk + m ) 0
Mとなり、τの振動は、

τ µ ,m,k = τˆµ e

Ti ( Ω µ + µω0 )( Mk + m ) 0
Mで表せる。単バンチの場合と比較すると、図 22のように、周期 T0 はバンチが M 個になったので
T0/M になったように見える。またτの振動数Ω
は、T0/M の間に次のバンチの位相差、2πμ/M ほど位相が変わるのでΩ+μω 0 ほど高くなったように見えることになる。二重の∑は Mk+m を新たに k’とすることで１重にできる。

I (ω ) =i ( Ω µ + µω0 ) k ′ 0
Ne ∞ −iωk ′ M0
M
ˆ
e
(
1
−
i
ω
τ
e
)
∑
µ
2π k ′= −∞T

TPoisson の和公式を用いて、∞
 T
I (ω ) = Ne ∑ δ ( 0 ω − 2πp )M
p = −∞ T
− iωτˆµ δ ( 0 (ω − (Ω µ + µω 0 )) − 2πp )Mと書ける。さらに、

MNe ∞I (ω ) =∑ [δ (ω − Mpω0 )T0 p = −∞− iωτˆµ δ (ω − Ω µ − µω 0 − Mpω 0 )]と書ける。さて wake 電圧 V は単バンチの時と同様にして、V1 と V2 に分けると、V (t ) = V1 (t ) + V2 (t )∞V1 (t ) = − I 0 ∑ e iMpω0t Z ( Mpω 0 )p = −∞∞V2 (t ) = iI 0 ∑ e i (( Mp + µ )ω0 )t ω p+µτ Z (ω p+µ )p = −∞

ω p+µ = ( Mp + µ )ω 0 + Ω µである。バンチの感じる電圧は、∞

V1 = − I 0 ∑ Z ( Mpω 0 )p = −∞∞

V2 = iI 0 ∑ ω p+µτ Z (ω p+µ )p = −∞となる。この電圧を運動方程式に入れて growthrate を求める。このときもΩμはあまりωs と変わらないとする。

1/τ g =∞
ηI 0[
ω p+ Zr (ω p+ ) − ω p− Zr (ω p− )]∑4πν s E 0 / e p =1

ω p+ = ( M ( p − 1) + µ )ω 0 + ω sω p− = ( Mp − µ )ω 0 − ω sとなる。growth rate には M 個（μ=1～M）の独立なモードが存在する。

7. 大電流運転用の加速空洞設計の注意点
以上解説したように大電流電子リングにおける加速空洞の設計にはいくつかの注意点がある。列
挙すると、
１） ビームローディング（detune）
２） 結合バンチ不安定性（加速モード、HOM）
３） HOM パワーである。
detune 量については先に述べたが、detune 量が大きくなって周回周波数を越えると(h－1)ω0 次の sideband の excite 項が加速モードに当たり強いビーム不安定性を引き起こす。detune 量は周回
周波数を越えられない。
空洞は加速モードだけでなく、さまざまな高周波モードを持っている。高周波モードの impedance
が高いと結合バンチ不安定性の excite 項が大きくなり、やはりビーム不安定性を引き起こす。今までは縦振動のみについて解説してきたが空洞の高周波モードには横振動を励起するモードも存在する。同様に横振動結合バンチ不安定性も存在する。例えば TM110 モードはビームをキックするモードで R/Q も高い。結局大電流運転で使用される加速空洞は、加速モード以外のモードについて impedance あるいは Q 値を十分下げて、結合バンチ不安定性を起こさないように設計することが重要である。空洞の高周波モードのＱ値を下げるため、遮断周波数の低い大きなビームパイプ
をつけることや、ＷＧを取り付けて空洞から高周波寄生モードを取ることが行われる。これらのモードは最終的にＲＦ吸収体によって吸収され、モードのＱ値を下げている。ＫＥＫＢ加速器に使われる空洞の高周波寄生モードのＱはおよそ 100 程度である。
最後にもう一つ重要なことはＨＯＭパワーの吸収である。ビームが空洞を通過すると wake 場を発生するが、高い周波数成分のＲＦパワー（ＨＯＭパワー）が多くを占めており、バンチが短くなるほど大きい。ビーム電流値 I に対するＨＯＭパ
ワーの値は loss factor、k で与えられ、全ＨＯＭ
パワーＰはバンチ電荷を q として

P = kqIとなる。ＨＯＭパワーは放置すると機器の温度を上昇させ、やがて熱的破壊に到るので、ＲＦ吸収体によって吸収させる。ＫＥＫＢ加速器のような
短バンチ運転の場合、バンチ長 6mm で超伝導加速空洞の loss factor は約 1V/pC となる。ビーム
電流１Ａ、1000 バンチ運転を仮定するとＨＯＭパ
ワーは 10kW となる。このＨＯＭパワーはビーム
パイプに取り付けられた水冷のＨＯＭダンパー
によって吸収される。電流増強を行う場合ＨＯＭ
パワーの吸収が電流制限を与える場合もある。

8. 終りに本稿は高周波加速の基礎、特に電子蓄積リングについてまとめた。要点を絞って論じたつもりである。ここで取り上げている項目が全てではないので、セミナー参加者の方には参考文献を紹介しておく。
文献[1]は皆さんよくご存じの Feynman 物理である。本稿では LC 共振回路から空洞共振器への変形図をそのまま使わせて頂いた。電磁気学の一般的な教科書なので、ご存じない方は１度読まれてみてはどうだろう。文献[2]は Berkeley physics
course 教科書シリーズの振動について取り扱ったものである。振動だけを論じて１冊の厚い本になっているところに驚くと同時に学問の深さを感じる。内容は決して難解ではないが多くの示唆に富む教科書である。このコースには力学の教科書もある。
高周波加速の“基礎的”な項目は、今まで多くの諸先輩方が OHO セミナーで講義されている。特に参考にさせて頂いた講義を紹介していこう。文献[3]は高田先生の緻密な講義である。本稿では等価回路で全てを論じているが、高田先生の原稿には、なぜ等価回路として考えてよいのか、ということが電磁気学や数学を駆使して丁寧に論じてある。もっと深く知りたい方は読まれるとよい。
文献[4]は影山先生の講義である。振動を扱っていて示唆に富む内容である。本稿では紹介できなかったが大電流加速を可能にした KEKB－ARES
空洞の基礎が載っている。文献 [5]は陳先生のwake 場に関する講義である。本稿の結合バンチ
不安定性の章をまとめるのに参考にした。wake

場の導出の仕方や、様々な不安定性について論じてある。
OHO セミナー以外でも諸先輩方の講義のまとめを見ることができる。文献[6]は中国で開催されたアジア加速器スクールでの赤井先生の講義で、電子蓄積リングの高周波システムの全てのことが論じられている。本稿ではほとんどの項目について参考にさせて頂いた。文献[7]も同じスクールでの古屋先生の講義である。大電流加速用の加速空洞、特に KEKB の超電導加速器について詳しく論じられている。
そのほかにもいろいろな教科書があるが文献[8]はこれまた有名な Slater の高周波電磁気学の教科書である。諸先輩方も皆さん参考にしておられる。最後に、文献[9]は総研大の本部がある葉山で開催された、米国－CERN－日本合同加速器スクールの講義録である。高周波に限らずいろいろな講義が集められている。
参 考 文 献[1] The Feynman Lectures on Physics, Vol. II,
Addison Wesley Pub. Co. (1965), P. 21-1.
[2] Frank S. Crawford, Jr., “Waves”, Berkeley
Physics Course, Vol. 3, Mcgraw-Hill Book Co.,
1968.
[3] 高田耕治、“高周波加速”、OHO1997.
[4] 影 山 達 也 、“ 高 次 モ ー ド 減 衰 型 空 洞 ”、
OHO1994.
[5] 陳栄浩、“ウェイク、インピーダンスとビーム不安定性”、OHO1996.
[6] K. Akai, “RF System for Electron Storage Rings”,
Physics and Engineering of High-PerformanceElectron Storage Rings and Application ofSuperconducting Technology, World ScientificCo., 2002.
[7] T. Furuya, “Superconducting Cavity”, Physics
and Engineering of High-Performance Electron
StorageRings
andApplicationofSuperconducting Technology, World ScientificCo., 2002.
[8] J. C. Slater, “Microwave Electronics”, Van
Nostrand, 1950.
[9] “Frontiers of Accelerator Technology”, Proc. Of
he Joint US-CERN-Japan International School,
Ed. S. I. Kurokawa, M. Month and S. Turner,
World Scientific Pub. Co., 1999.