2-4 低次元 almost Gorenstein 特異点の代数的，解析的，幾何的手法による研究●代表者

吉田健一（数学科・教授）●分担者

市原一裕（数学科・教授）
泊昌孝（数学科・教授）

茂手木公彦（数学科・教授）
森真（数学科・教授）

山浦義彦（数学科・教授）
下元数馬（数学科・准教授）【研究の目的および概要】
Almost Gorenstein 環は近年再定義された概念である。Cohen-Macaulay 環において Gorenstein 性ではないクラスとして興味深い対象であることの証拠があがりつつあるが，まだ十分ではない。2 次元の場合は有理特異点が almostGorenstein であることが知られているが，3 次元ではほとんど結果がない。そのため，3 次元を中心に特徴づけ，応用に焦点をあげて研究したい。その目的の遂行のために，特異点の性質を代数的，幾何的及び解析的に研究し，様々な手法を開発する必要性がある。特に吉田は，可換環論的，代数幾何的側面から，3 次元トーリック環の場合に almost Gorenstein 環を特徴づけることを試みる。また，泊が複素解析的，代数幾何的側面から，茂手木，市原が位相幾何学的，結び目理論から，森がエルゴード論から，山浦が変分論から，下元が整数論から手法の開発に取り組む。
具体的には次のような問題を考える。
（Ａ） 3 次元トーリック特異点がいつ almost Gorenstein であるかを特徴づける。
（Ｂ） 特異点の Hilbert-Samuel 関数から定まる重複度や埋込み次元などと幾何種数・多重種数などの不変量の不等式。正標数の手法による特異性の代数的不変量の評価。正標数の概念を用いて定義された，F-thresholdやテストイデアル等の概念を用いて，特異点の新しい分類理論を作る。特に 2 次元，3 次元の特異点を詳細に研究する。
（Ｃ） 孤立特異点の位相を調べる上で重要な対象である Seifert 多様体が結び目の Dehn 手術でどのように生じるかという側面について考察し，Dehn 手術全体からなるネットワークを構成し，大域的に理解する。
（Ｄ） 力学系のエルゴード的性質に対応するペロンーフロベニウス作用素のスペクトルから生ずる特異点の解析を行う。などである。
【研究の結果】
研究代表者の吉田は明治大学の後藤四郎氏，谷口直樹氏，松岡直之氏と共同研究を行い，2 次元正則局所環上の極大イデアルの巾の Rees 代数が graded な almost Gorenstein 環になることを証明した。これは典型的な 3 次元トーリック特異点の例を多く含む。さらに，対象を 2 次元の Gorenstein 正規特異点内の pg イデアルの場合に拡張し，同様の成果を得た。また，視点を変えて，2 次元正則局所環の contracted イデアルの場合に Rees 環の構造が良いことと，その Rees 代数の almost Gorenstein 性に関する研究を行い , 高次元の広がりを予感させる結果がいくつか得られた。
市原は次の成果を得た：
1. 交代結び目に沿った例外的デーン手術について研究し，交代結び目が例外的デーン手術を許容するならば，それが樹木状結び目であることを示した。この系として，交代結び目に沿った例外的デーン手術の完全分類を与23

えた。
2. 2 成分以上の絡み目の Fox 彩色について研究をし，その最小彩色数の下からの評価を与えた。
3. 絡み目の整数彩色について研究をし，絡み目が非分離的ならばその最小整数彩色数が 4 以上であること，一方で，絡み目が単純整数彩色可能ならば最小整数彩色数は 4 以下であること，また最小整数彩色数が 5 の非分離的絡み目は存在しないことを示した。
泊は以下の成果を得た：
1. n 次元次数付き正規特異点の最小埋め込み座標系の個々の斉次元が被約であることについて，残りの斉次元の次数の GCD が 2 以上であることが十分条件であることを示した。
2. 2 次元次数付き特異点に関して，因子類群 Cl(R) の位数が 2 の超曲面分類が完成し，Brieskorn タイプでないものについても，基本因子と極大イデアル因子の同一視についての中心曲線原理が成立することがわかった。
茂手木は以下の成果を得た：
L- 空間はレンズ空間の Heegaard Floer 理論からの一般化であり，L- 空間を生み出す非自明な Dehn 手術をもつ結び目を L- 空間結び目と呼ぶ。
L- 空間結び目は複素曲面と 3 次元球面の交点集合として現れるトランスバース C 絡み目の特別な場合にもなっており，特異点論とも密接に関係している。
本研究では L- 空間結び目を無限個含む結び目のツイスト族の新しい例を構成するとともに，バンド和では L- 空間結び目が得られないことを証明した。
森は力学系に対応する Perron-Frobenius 作用素のスペクトルについて研究を続けている。今年度は高次元
piecewise linear 変換でその essential spectral radius がその理論的最小値を達成する変換の構成し，これを用いて任意の次元で low discrepancy な疑似乱数を構築に成功した。引き続き，三角形の上の力学系の構築を研究しているが，これについてはほぼ手がかりをつかんだ。これを手がかりにして，自己共役な図形の上の low discrepancy な疑似乱数の構築を研究する予定である。
山浦は，特異性を有するエネルギー汎関数に対するエネルギー勾配流の研究を主に行った。汎関数に内在する特異性により，通常の放物型方程式で記述することができない。この方面の研究ではイタリア学派による「Curves ofmaximal slope」という概念が定式化されており，その構成方法が 2 つ知られている。年度内 10 月にはイタリアピサ大学に Claudio Saccon 教授を尋ねる機会に恵まれ，数日にわたりディスカッションを行い，当理論創設者の認識を知るとともに，テーマとしている有限時間爆発解を含む半線型熱方程式に対する Curves of maximal slope の構成について，いくつかの成果をまとめることができた。Curves of Maximal Slope およびその構成方法である Minimizingmovement 法についての研究を進めた。 その結果，Minimizing movement 法に汎関数近似法である Gamma 収束性理論を適用することにより，正則性を有する Minimizing movement を構成することができた。
下元は，可換環論における長年の懸案であったホモロジカル予想に関していくつかの結果を得た。Faltings らによる概純性定理を用いて big Cohen-Macaulay 代数をある種の条件の下で構成した。ある種の正標数の特異点が，Noether スキームのファイバーに関する半連続性を満たすことを示した。最後に蔵野和彦氏 ( 明治大学 ) との共同研
究において，完備局所環に関する Cohen の構造定理を改良した Cohen-Gabber の定理のより初等的な証明を得た。
【研究の考察・反省】（A）の研究についての研究成果は得られているが，まだ公表できていない。

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【研究発表】1. 市原一裕 , “On Cosmetic Surgeries on Knots, Seminar of Department of Mathematics”, The Chinese University ofHong Kong (Shatin, N.T., Hong Kong), 2016/4/25.
2. 市原一裕 , “Jones polynomial and cosmetic surgery”, 研究集会「拡大 KOOK セミナー 2016」（大阪電気通信大学寝屋川キャンパス），2016/8/22．
3. 市 原 一 裕，“Minimal coloring number for ?-colorable links”, International Conference “KOOK-TAPU Workshop ofKnots in Tsushima Island”（対馬市交流センター），2016/9/7.
4. 市原一裕 , Hyperbolic small knots in lens spaces，東北結び目セミナー 2016（東北大学片平キャンパスさくらホール），2016/10/16．
5. 市原一裕 , The SL ( 2, C) Casson invariant and cosmetic surgeries, 研究集会「Fundamental Groups, Representationsand Geometric Structures in 3-Manifold Topology」（広島大学東広島キャンパス）, 2016/11/22.
6. 市原一裕，Generalizations of the Casson invariant and their applications to the cos- metic surgery conjecture, RIMS
研究集会「Casson 不変量に関わる 3 次元多様体の不変量」（京都大学数理解析研究所），2017/1/26。
7. 泊昌孝 , n 次元 weighted homogeneous 正規特異点の座標系が被約元を与えるひとつの条件について，日大文理特異点セミナー，日本大学文理学部百周年記念館，2016/4/25.
8. 泊昌孝，2 次元正規小平特異点の正規化接錐の被約性による特徴づけと，特異点解消および極大イデアル因子の性質，東大数理・複素解析幾何セミナー，東大数理（駒場キャンパス）128 教室，2016/5/16.
9. 泊昌孝，因子類群が小さい位数の 2 次元次数つき特異点についての，極大イデアル因子と Artin 基本因子の同一視問題について，日大文理特異点セミナー，日本大学文理学部百周年記念館，2016/10/24.
10. 茂 手 木 公 彦，2016 International Conference on Low-Dimensional Topology, Non-characterizing slopes for knots,Southwest Jiaotong University Emei, Sichuan, China, 2016/6/14.
11. 茂手木公彦，拡大 KOOK セミナー 2016，L-space knots in twist families, their genera and Seifert surgeries 大阪電気通信大学寝屋川キャンパス , 2016/8/24.
12. 茂手木公彦，東北結び目セミナー 2016，Knots with infinitely many non-characterizing slopes，東北大学片平キャンパス，2016/10/15.
13. Makoto Mori, Pseudo random numbers generated by dynamical systems, NOLTA2016, 湯河原 ,2016/11/27.
14. Makoto Mori, On random numbers generated by dynamical systems, Analysis and Graphs Workshop at TSIMF, 中国，海南島 , 2016/12/28.
15. 森真，三角形の上の変換について，数論とエルゴード理論，金沢大学，2017/2/11.

16. 山浦義彦，「On a Curve of Maximal Slope」，静岡大学「浜松偏微分方程式研究集会」，2016/12/25.
17. 吉田健一，Almost Gorenstein property of Rees algebras of powers of maximal ideals, Commutative Algebra Day inTokyo，東京大学（東京都），2016/5/2.
18. 吉田健一，Introduction to Ulrich modules and ideals，RIMS 研究集会，Non-commutative crepant resolutions, Ulrich
modules and generalizations of the McKay correspondence，京都大学数理解析研究所（京都府京都市 )，2016/6/16.
19. 奥間智弘，渡辺敬一，吉田健一，Geometric genus of cone singularities，第 38 回可換環論シンポジウム，IPC（神奈川県葉山市），2016/11/21.
20. 吉田健一，Dao's question and strong Rees property，第 29 回可換環論セミナー，山口大学（山口大学吉田キャンパス大学会館），2017/2/2.
21. 下元数馬，Almost Ring theory の観点からのホモロジカル予想，佐賀大学，第 61 回代数学シンポジウム，25

2016/9/10.
22. 下元数馬，Bertini theorems for graded rings and schemes，明治大学，Japan-Vietnam Workshop on CommutativeAlgebra (2016), 2016/9/20.
23. 下元数馬，蔵野和彦，deal-adic completion of excellent rings after Gabber，第 38 回可換環論シンポジウム，IPC（神奈川県葉山市），2016/11/20.
24. 下元数馬，Direct Summand Conjecture の証明とその証明，第 9 回多項式環セミナー，2017/2/15，2017/2/17.
【研究成果物】
1. Kazuhiro Ichihara and Hidetoshi Masai, Exceptional surgeries on alternating knots, Communications in Analysis andGeometry, 24 (2016), 337-377.
2. Kazuhiro Ichihara and Eri Matsudo, A lower bound on minimal number of colors for links, Kobe Journal ofMathematics, 33 (2016), 53-60.
3. Kazuhiro Ichihara and Eri Matsudo, Minimal coloring number for Z-colorable links, Journal of Knot Theory and Its
Ramifications, Online Ready (2017).
4. Kimihiko Motegi, L-space surgery and twisting operation, Algebr. Geom. Topol. (2016), 1727-1772
5. Kimihiko Motegi, The slope conjecture for graph knots (with Toshie Takata), to appear in Math. Proc. Camb. Phil.
Soc.
6. Kimihiko Motegi, A note on L-spaces which are double branched covers of non-quasi-alternating links, to appear inTopology Appl.
7. Kimihiko Motegi and Kenneth L. Baker, Tight fibered knots and band sums, to appear in Math. Z.
8. Kimihiko Motegi, On L-space twisted torus knots (with Kazushige Tohki), to appear in Proceedings of the Instituteof Natural Sciences, Nihon University.
9. Kimihiko Motegi and Masakazu Teragaito, Generalized torsion elements and bi-orderability of 3-manifold groups, toappear in Canad. Math. Bull.
10. Makoto Mori, Spectra of Perron--Frobenius operator on piecewise continuous functions，to appear in Proceedings ofthe Institute of Natural Sciences, Nihon University No.51.
11. Makoto Mori,Spectra of Perron-Frobenius operator on piecewise continuous functions, Proceedings of the Instituteof Natural Sciences, Nihon University, 51(2016), 299-315.
12. Yoshihiko Yamaura, A construction of a uniform continuous minimizing movement associated with a singularfunctional, to appear in Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova.
13. Nobuyuki Kato and Yoshihiko Yamaura, Uniform Hoelder continuity of approximate solutions to parabolic systems
and its application, Communications in Partial Differential Equations, 42 (2017), 1-23.
15. Shiro Goto, Kazuho Ozeki, Ryo Takahashi, Kei-ichi Watanabe, Ken-ichi Yoshida, Ulrich ideals and modules over twodimensional rational singularities, Nagoya Mathematical Journal 221 (2016), 69-110
16. Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe and Ken-ichi Yoshida, Good ideals and p_g-ideals in two-dimensional normalsingularities, manuscripta mathematica, 150 (2016) 499-520.
17. Shiro Goto, Naoyuki Matsuoka, Naoki Taniguchi, Ken-ichi Yoshida, The almost Gorenstein Rees algebras ofparameters, Journal of Algebra 452 (2016), 263-278.
18. Shiro Goto, Naoyuki Matsuoka, Naoki Taniguchi, Ken-ichi Yoshida, The almost Gorenstein Rees algebras over two-26

dimensional regular local rings, Journal Pure and Applied Algebra 220 (2016), 3425-3436.
19. Tomohiro Okuma, Kei-ichi Watanabe and Ken-ichi Yoshida, Rees algebras and p_g ideals in a two-dimensional normal
local domain, Proc. Amer. Math. Soc. 145 (2017), 39-47.
20. Satoshi Murai, Isabella Novik,Ken-ichi Yoshida, A Duality in Buchsbaum rings and triangulated manifolds, to appear
in Algebra and Number Theory.
21. Kazuma Shimomoto, An application of the almost purity theorem to the homological conjectures, J. Pure and Applied
Algebra 220 (2016), 621-632.
22. Kazuma Shimomoto, On the semicontinuity problem of fi bers and global F-regularity, Communications in Algebra 45(2017), 1057-1075.
23. Kazuma Shimomoto, Kazuhiko Kurano, An elementary proof of Cohen-Gabber theorem in the equal characteristicp>0 case, to appear in Tohoku Math. J.

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