数理解析研究所講究録 1434 巻 2005 年 188-194

188

Box 乱流の大規模 DNS 結果から見た Channel 乱流
名古屋大学大学院工学研究科 石原 卓 (Takashi Ishihara)
Graduate School of Engineering, Nagoya University
名古屋大学大学院工学研究科 長田 將明 (Masaaki Osada)
Graduate Schoo1 of Engineering, Nagoya University
名古屋大学大学院工学研究科 金田 行雄 (Yukio Kaneda)
Graduate School of Engineering, Nagoya University

1

はじめに

乱流中には大小様々なスケールの渦が混在する. コルモゴロフの理論 [1] によると, 最も多くのエネルギーを保有する渦のスケール とエネルギー散逸が支配的となるスケーノレ \eta (コルモゴロフ長) の比はレイノルズ数 $Re$ の 4 分の 3 乗に比例して大きくなり, 乱流の自由度
レイノルズ数$(\sim(L/\eta)^{3})$ がに比例して大きくなることが導かれる. こ面こより,
もしくは自由度が非常に大きいことであると言える.
乱流の特徴のひとつは乱流の他の特徴のひとつとして, 流れの不安定性もしくは誤差への敏感さがある. 実際$L$$\overline{\zeta\Gamma\supset 1\mathrm{r}}$$Re^{9/4}$$L/\eta$

乱流場を表す相空間の軌道は初期の誤差に敏感であることが数値実験により確認されており,
そこでは, 誤差が渦のスケールに依存して, 時聞のあるべき乗にされている [2]. この事実は乱流場の予測の不可能性 (困難さ) を$\text{従}\prime$.
$\overline{\tau\prime\backslash }$って大きくなることが示唆している. 一方, 別の大きいスケールの渦を同化してやると小さいスケールの渦が再生する, すな
わち小スケール渦が大スケール渦に従属的であることが示されており $[3, 4]$ , これは (小ス
数値実験では,ケール渦の) 「予測可能性」 を示唆する事実として大変興味深い.

以上から, 乱流は単純に宇多自由度であるだけではなく, スケールに応じて個性の異なる

渦 (自由度) が混在・相互作用している系であるということもできる. このような乱流の統計的性質を理解・予測するひとつの支えばコルモゴロフ的な普遍性である (乱流にある種の普遍性がない場合, 個別の対応が必要となる) と考えられるが, 残念ながら, そのコルモゴ
ロフ的普遍性は (もしあるとしても) 弟分高い $Re$ , 十分小さなスケール」 にしかありそうになく,

この 「十分」 の定量的意味についても良く分かっていない.

とりあえず 「十分高い $Re$ , 十分小さなスケール] に普遍性があると仮定して, なるべく 「高い $Re$ , 小さなスケール」 のいわば漸近的普遍性をできるだけ大規模
な直接数値計算 (DNS) で追求してみようと考え, Box 乱流の超大規模 DNS(最大格子点数1024) を実施してきた 4$4096^{3})[5,6]$ と Channel 乱流の大規模 DNS (最大格子点数 1024
そこで, 我々は,$\mathrm{x}512\mathrm{x}$本研究では Box 乱流の超大規模 DNS で得られた知見を基に Channel 乱流のデータ解析をした結果について報告する. Channel 乱流のデータ解析では特に 2 点速度相関に着目し, それを特徴つける各種長さスケールのレイノルズ数依存性, 方向依存性, 壁からの距離依存性について詳細に調べた. 以下では, まず第 2 節で Box 乱流の超大規模 DNS で得られた知見について簡単に触れ, 第 3 節では Channel 乱流の DNS 結果を報告し, 最後に第 4 節でまと
めを行う.

189

. The size of-vorticity isosurfaces showing the region where.
, periodic in the vertical and horizontal directions.
the display domain is$R_{\lambda}=732$.
.
(b) Intense vorticity isosurfaces showing the region where, periodic in the vertical and horizontal
The size of the display domain is
directions. From [7]$\omega>\langle\omega\rangle+4\sigma_{\omega}$$\fbox_{\mathrm{i}\mathrm{K}}1:(\mathrm{a})\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{e}-$$R_{\lambda}=94$$367^{3}\eta^{3}$$\omega>\langle\omega\rangle+4\sigma_{\omega}$$(5984^{} \mathrm{x}1496)\eta^{3}$

2

Box 乱流の大規模 DNS

Box 乱流の DNS とは周期境界条件下で行う一様等方性乱流の DNS のことであり, 乱流の本質のみを残して最も簡単化した問題 (カノニカルな問題) としてよく知られている. Box
乱流の DNS を用いて乱流の普遍性を追求した研究はこれまでにも多くなされてきたが, 実現できる $Re$ はあまり大きいものではなかった. 我々のグノ– 7o は 2002 年に格子点数の Box 乱流 DNS を実現し, それ以前の DNS(格子点数 1024 以下) の 512 倍の自由度をもつ乱流場のデータ解析を可能とした $[5, 6]$ . この超大規模 DNS により, 単に量的に自由度数が増えただけではなく, いくつか質的に新しい乱流の性質が見えてきている. 以下では, そのうちのいくつかを紹介する.
図 1 は, 格子点数 $N^{3}=256^{3}(R_{\lambda}=94)$ と $N^{3}=2048^{3}(R_{\lambda}=732)$ の乱流場における渦度と \sigma 、は各々渦度の大きさ
集中領域 (\mbox{\boldmath $\omega$}> \mbox{\boldmath $\omega$})+4\sigma のを可視化したものである. ここでの平均と標準偏差を表す. 図 1(a) では渦集中領域が管状の構造をしており, 「少数の渦管が場を支配している」 という印象を受ける. これは乱流場が少数自由度系として記述できるのではないかという希望を抱かせる. 一方, 図 1(b) では, 拡大してみる (拡大図は省略) と図$4096^{r}.s$$\langle\omega\rangle$$\langle$$\cdot$1(a) で見られたような渦管が観察されるものの場全体のスケールと比べそれらは非常に小さく, 少数の渦管が場を支配しているようには見えない. むしろ, 多数の渦管が集合体 (クラスター) を形成しており,集合体形成のメカニズムと集合体のダイナミクスが乱流理解の鍵の同様な図 (省略) では, 大小を握っているのではないかと思わせる. なお, 格子点数
様々なサイズのクラスターが観測され, それはクラスターの階層構造を示唆するものであっ$4096^{\backslash 3}$190$10^{4}$.

$\circ 0^{\cdot}$$\lambda^{l}\eta|_{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{s}2}^{\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{s}1}\cup\eta \mathrm{s}^{\mathrm{e}\mathrm{r}}\mathrm{S}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{i}.\mathrm{e}\mathrm{s}1|\mathrm{e}(|\mathrm{e}\mathrm{s}2!$,.

’$.’.’.’.’.’.\cdot-\mathrm{O}$,’.,$0^{3}$$\cdot$$\cdot$$0$$\mathrm{s}1\mathrm{o}\mathrm{P}_{-},\mathrm{e}=,3/4_{\wedge}’,\cdot\cdot.\acute{\not\subset}3’.\cdot$$\supset=\overline{\tau}\kappa$$’.’.’.\acute{\acute{\dot{\neq}}}$., ,$\cdot$$.’.’.\prime\prime.’.’.’\acute{\sigma}$$10^{2}$,

slo 暇$’.=1/4-\cdot\sim\cdot\sigma^{-}-’\sim\cdot..-\sigma’’-\cdot-\cdot \mathrm{O}$’$-\cdot-\cdot a$$.arrow.\wedge^{-}-\wedge\cdot-\cdot-\cdot\alpha^{-}.-\cdot$$\{0_{10^{2}}^{1}$$10^{5}$$10^{4}$$10^{3}$${\rm Re}$

図 2: $L/\eta$ and

いずれにせよ, 図 1(b) や 4096

た.

$\lambda/\eta \mathrm{v}\mathrm{s}$. $Re.$ Fronl [7]の DNS による同様の図からは図 1(a) と異なり,

高レ

イノルズ数乱流においては少数自由度系による記述は困難であるという印象を受ける.
図 1(a) と図 1(b) で受ける印象の違いは大小渦のスケール比として定量的にみることがでときる. 図 2 は地球シミュレータで行った一連の DNS で得られた乱流場のデータより,$L/\eta$$\lambda/\eta$

長,

を求め,
$\lambda$

I/イノルズ数 $Re=Lu’/\nu$ の関数として図示したものである.

は動粘性係数である. 図 2 よ$Re^{1/4}$ に比例していることが分かる.
2 本の直線で囲まれるはテーラーマイクロスケール,

り $L/\eta$ 及び$\lambda/\eta$

は各々 $Re^{3/4},$は速度成分の rnls,$u’$領域の広さは慣性小領域の広さの目安を与えており,
ケール比が高々 3 程度であるのに対し,ことが分かる. 実際$R_{\lambda}\approx 90$

エネルギースペクトル $E(k)$ が$l/$$Re\approx 300(R_{\lambda}\approx 90)$

$Re\approx 15,$ $\mathrm{O}\mathrm{O}\mathrm{O}(R_{\lambda}\approx 730)$$k^{-5/3}$

では $L$ と$\lambda$のス

では 200 程度になっている程度では慣性小領域は存在しないが,$R_{\lambda}\approx 730$ともなるととなり, エネルギー流東関数 $\Pi(k)$ が一定となる広い波数領域 (慣性小領域) を確認することができる (図省略).
この他, $(\mathrm{I})R\lambda=100\sim 300$ の DNS の結果と質的な違いがあるものとして, 以下のものがある.

$(\mathrm{I}\mathrm{I})R\lambda=400\sim 1200$

.
.
.
.

ここで $L$ は積分(I) 無次元化したエネルギー散逸率近する [6],$\langle\epsilon\rangle L/u^{\prime 3}$(I) 速度の空間微分の skewness が一定,の DNS の結果の間での値がバラバラ, (II) 一定値 $(\approx 0.4)$ に漸$(\mathrm{I}\mathrm{I})Re$の増加関数に転じる,(I) 速度の空間微分の 4 次モーメントを特徴つける 4 つの回転不変量が異なる $Re$ 依存性を持つ,
依存性が似てくる (あるべき則),$(\mathrm{I}\mathrm{I})Re$(I) 圧力のスペクトル P(紛がコルモゴロフの理論 ( $P(k)$ a $k^{-7/3}$ ) に従わない,$k^{-7/3}$に漸近してくる [8],$(\mathrm{I}\mathrm{I})P(k)\propto$

191

.

(I) エネルギー散逸率とエンストロフィーのスペクトル形が異なる, (II) 散逸領域のス
ベクトル形は異なるが慣性小領域では一致してくる (あるべき則)[8].

また, 上記の他, (II) による新たな発見として以下のものがある.

・慣性小領域のエネルギースペクトルが Kolmogorov の理論からわずかにずれる [6],・近散逸領域におけるエネルギースペクトルがある関数形によくフィットし,その関数形を定めるパラメータのレイノルズ数依存性が非常に緩やかである [9].
この他にも, 例えば, エネルギー流速の空間分布とスケール依存性について, コルモゴロフの 1962 年の理論を検証した結果についても新たな知見が得られているがここでは省略する.

これまで行った一様等方性乱流の超大規模 DNS のデータ解析の結果を簡単にまとめたが, 以下では, 我々が最近行った Channel 乱流の大規模 DNS の結果を報告し, 最後に–様等方性乱流の超大規模 DNS のデータ解析の結果による知見を踏まえてまとめと考察を
以上,

行う.

3

Channel 乱流の DNS

3.1

DNS の方法

Channel 乱流の DNS では, Kim ら [10] と同様に, 流れ方向 (x) とスパン方向 (z) に周期性を仮定し, ナヴィエ・ストークス方程式から非圧縮条件により圧力項を消去し, 従属変数
を渦度の壁垂直方向 (y) 成分 と速度の 成分のラプラシアン とした方程式をスペクトル法 (フーリエ・チェビシェフタウ法) を用いて解いた. Moser ら [11] と同様に時間発展には非線形項に 3 段のルンゲクッタ法, 粘性項に陰的オイラー法を用いた. 非線形項の評価では,
方向のエイリアスエラーの除去を行った ( 方向のエイリアスエラーの除去は行っていな
いがエネルギースペクトルなどいくつかの統計量が 方向のエイリアスエラーの有無に依らないことは確認した). 時間刻みは可変とし, Channel 中央の最大速度を考慮した CFL 条件$g$$\phi$$y$$y$$\mathrm{x}z$$y$が 05 以下になるようにした,

大規模な DNS を実行するに先立ち, Moser 等 [11] が Web で公開しているデータとほぼ同一の計算条件 (数種) で DNS を実行し, Web から入手できる統計量がほぼ–致することを確認した. 我々が行った Channel 乱流 DNS におけるパラメータを表 1 に示す. 野中の上添と動粘性係数 で規格化したことを示す. 表 1 において Case 1,
え字 は距離を摩擦速度$+$$u_{\tau}$$\nu$

2, 4 は Moser 等のデータと比較するために行ったものである. また Case 3 は Channel Box
方向の Box サイズだけ 2 倍にしたのサイズの影響を調べるために Case 2 と同じ条件での内, 最も大規模のものである. な乱流
DNS
DNS である. Case 5 が今回行った Channd
お, 以下に示す各種統計データは Case 1, 2, 3 については 10 wash out, Case 4 は 36 wash
out, Case 5 は 10 wash out 分の時間平均を取ったものである. なお, ここで 1wash out とは平均流量が 方向の 1 周期分流れるのにかかる時間である.
$\mathrm{x},\mathrm{z}$

$x$

182

a 1: Param eters in DNS of channel turbulence$\Delta x^{+}$$\triangle z^{+}$$\Delta y_{\mathrm{c}}^{+}$$\frac{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{N}\mathrm{o}.Re_{\tau}L_{x}L_{z}N_{x}\mathrm{x}N_{y}\mathrm{x}N_{z}}{\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{e}11754\pi f_{l}4/3\pi h128\mathrm{x}128\mathrm{x}12817.25.74.3}$

Case 2392
Case 3393
Case 4578
Case 51299$2\pi h$$\pi h$$4\pi h$$2\pi h$$2\pi h$$\pi h$$2\pi h$$\pi h$

256
512
384
1024

$\mathrm{x}256\mathrm{x}512$$\mathrm{x}256\mathrm{x}384$$\mathrm{x}512\mathrm{x}$

1024

4.8
4.8
4.7
4.0

4.8
4.8
7.1
8.0

9.6
9.6
9.5
8.0

$\mathrm{x}256\mathrm{x}256$

DNS の結果

32

Channel 乱流の 2 点速度相関について調べた結果を報告する. 2 点速度相関は,考える速度成分 $(u, v, w)$ , 考える 2 点の方向 $(x, y, z)$ により異なる. 例えば, 主流方向速度
は各々,,成分 の主流方向 , スパン方向 及び壁垂直方向 の 2 点速度相関
ここでは,$R_{uu}^{x}$

$y$

$z$

$x$

$\mathrm{t}t$$R_{uu}^{z}$$R_{uu}^{y}$以下のように定義される.
$R_{uu}^{x}(y, r)= \frac{\langle u(x+r,y,z)u(x,y,z)\rangle}{\langle u(x,y,\underline{*})^{2}\rangle}$,$R_{uu}^{z}(y, r)= \frac{\langle u(x,y,\tilde{4}+r)u(x,y,z)\rangle}{\langle u\langle x,y,z)^{2}\rangle}$$R_{uu}^{y}(y, r)= \frac{\langle u(x,y+r,z)u(x,y,z)\rangle}{\langle u(x,y+\Gamma_{)}z)^{2}\rangle^{1/\underline{9}}\langle u(x,y,z)^{2})^{1/2}}$

ここで,$\langle\rangle$

は壁に平行な $xz$ 面での平均である. 速度の

$y$

成分

$v$

や

$z$

,

.
成分 $w$ についても同様に定義される. これらの 2 点速度相関は壁からの距離及び 2 点間の距離 の関数で Challnelにも依存する.
乱流のレイノルズ数
2 点速度相関を特徴つける長さスケールとしては, 積分長, Taylor マイクロスケールが考$r$$Re_{\tau}$

粘性散逸が支配的になる長さスケールとしてコルモゴロフ長があり, これは壁からの距離の関数となる. 以下では特にこれらのスケールの壁からの距離依存性, 及び,1/ イノルズ数依存性について詳しく調べる. なお, Case 3 以外はどれも Box サイズが大き
くなく, 考える速度成分によっては相関が計算領域の半分 (半周期) で落ちきらないため, 積分長の評価が困難なものが存在した. Case 2 と比較して主流方向とスパン方向の Box サイズが倍である Case 3 ではそのような事はな , Case 1, 2, 4, 5 で相関が小さくならないのは Box サイズが小さいことに起因すると考えられる. Case 2 と Case 3 の同じ 2 点速度相関の比較では, 相関の半値幅 (\sim 31f:相関値が半分になる距離 ) はほぼ一致し, かつ半値幅が積分長の良い近似を与えることが確認できた. そこで, 以下では積分長の代わりに半値幅えられる. また,$\text{く}$$r$に着目することにする.
の関を
図 3 は今回行った Casel, 2, 4, 5 の DNS で得られた主流方向の平均速度が大きくなるにつれ, $U^{+}\propto 1/0.4\log(y^{+})+5.0$
数として図示したものである. 図からが大きい Caseとなる, 慣性低層が広がっている様子が観察できる. 今回の DNS で最も$U^{+}$$Re_{\tau}$$Re_{\tau}$$5(Re_{\tau}\approx 1300)$

では, $30<y^{+}<500$ 位が慣性低層に相当すると考えられる.

$y^{+}$

193$’\}^{+}$

重 3: Mean flow$U^{+}$

as a function of$y^{+}$の関数として図示したものか
上で定義した各種速度相関から求めた半値幅 rhalf をのべき則に従う様子が観察できた. また, 縦速度相関
らは,が慣性低層において$y^{+}$$y^{+}$$r_{\mathrm{h}\mathrm{a}1\mathrm{f}}$R 島,$R_{vv}^{8\prime}.R_{ww}^{\tilde{\mathrm{A}}}$から求まる$r_{\mathrm{h}\mathrm{a}1\mathrm{f}}$の大きさを慣性低層において比較すると例えば $y^{+}=200$ に: 024 :028 であり, 主流方向の長さスケールが他の::方向に比べて大きい (約 4 倍程度) であることが分かった.
依存性を調べ次に各種 2 点速度椙関から Taylor マイクロスケール を定義して, そののべき則に従う様子が観察できた. 縦た結果, 半値幅のときと同様に慣性低層においておいて,$7^{\cdot}\mathrm{h}\mathrm{a}1\mathrm{f}_{\tau\iota u}^{x}$$r\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{I}\mathrm{f}_{vv}y$$r\mathrm{h}\mathrm{a}1\mathrm{f}_{1lw}^{z},=1$$y^{+}$$\lambda$$y^{+}$:\lambda vy, 嫁, R 論から求まるの大きさは慣性低層 $(y^{+}=200)$ において,: 055 :066 となり, 半値幅と比べて非等方性の度合いが小さくなっている様子がわかる. また, 同じ速度成分で 2 点の変位の向きを変えたものの比較では, 例えば について,: 086 :089(他の速度成分についても同様) となり, 変位の方向によ
:
:

速度相関

$R_{uu}^{x},$$\lambda_{uu}^{x}$$R_{\iota’ v}^{l/}$$\lambda_{urL^{1}}^{z}.=1$$u$$\lambda_{uu}^{x}.\cdot$$\lambda_{uu}^{y}$$\lambda_{vu}^{z}=1$

る非等方性が比較的弱いことがわかった, また, コルモゴロフ長$\eta$の $y$ 依存性については,に近づいていく様子が観察できた.
も と同様にを評価してみた.
考える速度成分, 考える変位の向き, 壁からの距離に依存する. 今回行った, 最も大規模なが最も大きくなるのは速度は 1300 程度である. Case 5 において
DNS は Case 5 で点縦速度相関に基づくもので, $y^{+}\approx 600$ 程度におけの成分として主流方向の変動成分
2.

$Re_{\tau}$

が大きくなるにつれて, 慣性低層で$\eta\propto(y^{+})^{1/4}$

次に, 上で求めた Taylor マイクロスケールを基に$R_{\lambda}$$R_{\lambda}$$\lambda$$R_{\lambda}$$Re_{\tau}$$u$る$R_{\lambda_{uu}}^{x}\sim 170$

4まとめであった 4

前節で Channel 乱流の大規模 DNS について, 2 点速度相関を特徴つける各種長さスケーの値は $Re_{\tau}\sim 1300$ で高々 170 程度であっルに着目したデータ解析結果を報告したが,た. $L/r$ } や \lambda /?/- 等の値から判断して, これは– 様等方性乱流 (Box 乱流) における格子点数$R_{\lambda}$

184

256 程度の DNS に相当する. 現在 Jimenez らのグループが $Re_{\tau}\sim 4000$ 程度の Channel 乱流の超大規模 DNS を行っているという話があるが, 我々の Channel 乱流の DNS データかの値は高々 170 の 2 倍程度にしかならない.
ら外挿すると, それでも一様等方性乱流の超大規模 DNS を行ってきた知見からは, 高レイノルズ数乱流の漸近的の値が 400 弱な振る舞いは $R_{\lambda}=400\sim 1200$ の DNS で初めて見えてきたものであり,( $Re_{\tau}\sim 4000$ 程度) では, Channel 乱流の高レイノルズ数における漸近的な振る舞いを議論するにはまだ十分に高いとはいえない. また, 今後, 工学的な要求に応えるような Channel
乱流のデータを DNS で構築するためには, より高速・大容量のスーパーコンピュータが必$R_{\lambda}$$R_{\lambda}$

要であることが分かる.

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L21.

[7]

$\mathrm{Y}$

Kaneda and T. Jshihara: J. Turbulence (2005) (to appear).

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[9] T. Ishihara, Y. Kaneda, M. Yokokawa, K. Itakura and A. Uno: J. Phys. Soc. Jpn.,
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