1. はじめに

12023 年 6 月 6 日

一方向の拡大が相似になる曲線
新潟工科大学 基礎教育・教養系 竹野茂治

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はじめに放物線は、すべて相似であることが知られている。すなわち、放物線を y 方向 (または x方向) にのみ拡大しても、元の放物線と相似になる。
本稿では、そのような曲線が他にもないか考えてみる。

2巾乗の相似性

まず、前節で述べた、放物線の相似性について説明する。
放物線は、形を変えずに平行移動するか上下反転することで、

y = ax2 (a > 0)(1)のグラフに変えることができる。この関数のグラフは、

y = x2(2)のグラフを y 方向に a 倍したものになっているが、a ̸= 1 であってもこれが (2) と相似になる。それを以下に示す。まず、

f (x) = ax2とする。(1) と (2) のグラフが相似ということは、(1) のグラフを x 方向と y 方向に等しく k 倍 (k > 0) したものが (2) のグラフに一致するような k が存在する、ということになる。

y = f (x) のグラフを x 方向と y 方向に k 倍すると、それは( )( )2xxy = kf= kakk=a 2xk3. 問題設定と問題の変形2のグラフになるので、k = a とすれば、これは確かに (2) と一致する。
この性質は、放物線だけでなく、巾乗f (x) = xα (x > 0, α ̸= 1)(3)(およびその定数倍) も同様の性質、すなわちグラフの y 方向への任意の拡大が、元のグラフに相似になるという性質を持つ。(3) のグラフを y 方向に A 倍 (A > 0) して、x,y 方向に k 倍 (k > 0) すると、
( )y = kAf( )αxx= Akkk= Ak 1−α xαとなるので、Ak 1−α = 1, すなわち

k = (A−1 )1/(1−α) = A1/(α−1)とすれば、すべての x > 0 に対して
( )kAfx= f (x)k(4)となり、y 方向の A 倍が元のグラフと相似になることがわかる。
なお、これは α = 1、すなわち y = x については言えず、y = Ax は相似拡大してもy = Ax のままなので、y = x に相似にはならない。
本稿では、(4) の性質を持つ f (x) が、xα (α ̸= 1) の定数倍以外にもあるかどうかについて考える。

3

問題設定と問題の変形

まず、問題を明確に設定する。

x > 0 で定義された連続関数 f (x) で、次の性質を持つものを求めることを目標とする:「任意の正数 A に対して、『すべての x > 0 に対して (4) を満たす』ような正数 k (A には依存するが x にはよらない) を取ることができる」

3. 問題設定と問題の変形

3

この『』の部分を「条件 I」と呼ぶことにする。
なお、当然 f (x) ≡ 0 は常に (4) を満たすが、ここではそれ以外の関数を考える。
この問題は、このままでも考察できるが、少し変形して考察しやすくする。まず、

f (x) = xg(x)(5)とすると、(4) は、( )xx
kA g= xg(x)
kk
より、
( )

Agx= g(x)k(6)となり、さらに x > 0, k > 0 より、

g(x) = h(loge x) (h(y) = g(ey ))(7)とすると、(6) は( )()xxAg= Ah loge= Ah (loge x − loge k) = h(loge x)
kkとなるので、p = loge k, loge x − p = y とすれば、「条件 I」は、「すべての実数 y に対してAh(y) = h(y + p)(8)が成り立つこと」に変わる。この条件を「条件 II」と呼ぶことにし、以後しばらくこの条
件 II の形で考える。すなわち、「任意の正数 A に対して、条件 II を満たすような実数 p (A には依存するがy にはよらない) を取ることができる」
ような連続で恒等的には 0 ではない h(y) は何か、を考えることにする。

4. 条件 II を満たす関数

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条件 II を満たす関数

求めたいのは「任意の正数 A」に対して条件 II を満たすような関数であるが、この A の任意性を除けば、条件 II を満たす関数は比較的たくさんある。
まず、A ̸= 1 ならば p ̸= 0 であることに注意する。もし p = 0 だと、(8) はAh(y) = h(y)となるので、A ̸= 1 より h(y) ≡ 0 となるので、よって p ̸= 0 である。
今、

h(y) = Ay/p u(y)(9)とすると、u は A, p に依存するが実数 y に関して連続で、(8) は、AAy/p u(y) = A(y+p)/p u(y + p)となり、よってu(y) = u(y + p)(10)となるので、u は連続な周期関数で、周期 |p| を持つ。逆に u が周期 |p| を持つ周期関数であれば、(10) より (9) は条件 II を満たすことになる。よって条件 II を満たす関数は、周期関数の任意性の分だけたくさんある。
しかし元の問題は、h は任意の A に対して条件 II を満たす必要があるので、そこでかなり制約され、h が決定できるようになる。

5補題

本節では、h を決定するのに使用する補題を紹介する。

5. 補題5

補題 1
T (x) を実数 x の小数部分 (0 ≤ T (x) < 1) とするとき、任意の無理数 r に対し、{T (nr) | n は整数 }は、0 ≤ x < 1 の範囲で稠密となる。

「稠密」とは 0 ≤ x < 1 内に有理数のように隙間なく埋まる、ということであり、言いかえれば、0 ≤ x < 1 なる任意の実数 x に対して、

lim T (nj r) = x(11)j→∞となるような自然数列 {nj }j = n1 , n2 , . . . が存在すること、となる。
この補題 1 は、「クロネッカーの稠密定理」(Kronecker’s density theorem) と呼ばれることもあるようだが、古い数学辞典 [1](187 H.) では Jacobi の名前がついていて、クロネッカーが証明したのはこの補題の多次元版のものらしい ([2] 202 E.)。証明は省略するが、例
えば [3] など、インターネットで「クロネッカーの稠密定理」で検索すればいくつか証明が見つかるだろう。
この補題を用いると、次のことが示される。

補題 2u = u(x) が連続な周期関数で、周期 p(> 0), q(> 0) を持つ、すなわちすべての x に対してu(x) = u(x + p) = u(x + q)(12)を満たすとき、p/q が無理数ならば、u(x) は定数である。

証明

0 < p < q と仮定して構わない。0 < y < q となる任意の y に対して、u(y) = u(0) となることを示せばよい。補題 1 により、
(plim T njj→∞q)(= limj→∞pnj + mjq)=yq(13)6. 関数の決定6となる整数列 {nj }j , {mj }j が存在することになる。このとき、nj p + mj q → yであり、u(x) は連続なのでu(nj p + mj q) → u(y)となるが、u(x) は p, q を周期に持ち、nj , mj は整数なので

u(nj p + mj q) = u(0)となり、よって u(0) = u(y) となる。

6関数の決定

本節で、任意の正数 A に対して条件 II を満たす正数 p が存在するような関数 h(y) を決定する。
まず、A の任意性から、1 ではない正数 A1 , A2 に対して、0 でない実数 p1 , p2 が存在して、任意の y に対して

h(y) =

11h(y + p1 ) =h(y + p2 )A1A2(14)が成り立つ。よって、(9) より、
y/p1h(y) = A1

y/p2

u1 (y) = A2

u2 (y)(15)と書け、u1 は周期 p1 を、u2 は周期 p2 を持つ連続な周期関数となる。 よって、(1/p1A1)−1/p2 yA2

u1 (y) = u2 (y)となるが、u1 , u2 は連続な周期関数なので有界で、
1/p1

A1

−1/p2

A2>1(16)

6. 関数の決定

7ならば y → ∞ を考えれば (16) は u1 , そして u2 が恒等的に 0 でなければならず、よって h(y) ≡ 0 となってしまう。
1/p10 < A1

−1/p2

A2<1の場合も y → −∞ を考えれば u1 , u2 が恒等的に 0 となり h(y) ≡ 0 しかありえないので、よって1/p1A1−1/p2A2=1

すなわち1/p1

A11/p2= A2(17)となり、そして (16) より任意の y に対し

u1 (y) = u2 (y)(18)が成り立つことになる。(17) より、

11loge A1 =loge A2p1p2
よってp2loge A2=p1loge A1(19)となるので、A の任意性より、この右辺が無理数になるように A1 , A2 を選ぶことができ、その場合 p2 /p1 は無理数になり、(18) より u1 は周期 p1 , p2 を持つので、補題 2 より u1は定数となる。
よって、(15) より h はh(y) = CAy/p = CB y (B > 0, B ̸= 1)の形になることがわかる。

(20)

7. 最後に

8

このとき f (x) は、(5), (7) より、

f (x) = xh(loge x) = CxB loge x = Cxα ,α = 1 + loge B (̸= 1)(21)(22)となるので、結局、任意の正数 A に対して条件 I を満たす正数 k が存在するような関数
は、2 節で紹介した巾乗 (の定数倍) しか存在しないことになる。

7

最後に

本稿では、y 方向の拡大が相似になる関数、すなわち (4) を満たす関数について考察したが、正確には、y 方向の拡大が元の関数と相似、という条件は、平行移動や回転も含まれなければいけない。
ただし、y 方向の平行移動は多分今回の話に含まれるだろうし、逆に x 方向の平行移動や回転も考察するとなると、y = f (x) のような形での考察ではかなり不十分で、より一般の曲線に対する問題設定や考察が必要になり、ちょっと私には無理そうな気がする。

参考文献[1] 日本数学会編、「岩波 数学辞典 第 3 版」(1985)、岩波書店[2] 日本数学会編、「岩波 数学辞典 第 4 版」(2007)、岩波書店[3] 高校数学の美しい物語「クロネッカーの稠密定理とその証明」
https://manabitimes.jp/math/781+