検定・推定χ2分布を用いた検定・推定(母分散検定と区間推定)

母分散検定（両側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0H0 :σ = σ20H1 : σ ≠ σ202とすると、両側検定の対立仮説H1では2α/2となり、有意水準αでS
S22> χ ( n −1, α / 2 )< χ ( n −1,1 − α / 2 )22σ0σ02χ (n−1,1−α/2)

α/2
χ (n−1,α/2)2のとき、仮説H0は棄却される。 ここで、Sは平方和である。χ2の関数値はχ2分布表から求める。

母分散検定（右片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0H0 :σ = σ20H1 : σ > σ202とすると、右片側検定の対立仮説H1では2となり、有意水準αでS2>
χ( n − 1, α )2σ0α
χ 2(n−1,α)のとき、仮説H0は棄却される。 ここで、Sは平方和である。χ2の関数値はχ2分布表から求める。

母分散検定（左片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0

H0 :σ = σ20H1 : σ < σ202とすると、左片側検定の対立仮説H1では2となり、有意水準αでS
2< χ ( n − 1,1 − α )2σ0α
χ 2(n−1,1−α)のとき、仮説H0は棄却される。 ここで、Sは平方和である。χ2の関数値はχ2分布表から求める。

母分散区間推定信頼度(1-α)で、母分散σ2はS
S2<σ < 22χ ( n −1, α / 2 )χ ( n −1,1 − α / 2 )の範囲内にある。 ここで、Sは平方和である。χ2の関数値はχ2分布表から求める。

例題
熟練者は製品のばらつきが小さい
新人A君の熟練度チェック
5.9 5.1 5.8 5.9 5.0 5.7 5.4 5.2(0.2)2未満であれば熟練者になっていると判断できるとする。有意水準0.05で検定しなさい。

母分散検定（右片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0H 0 : σ = ( 0.2 )22とすると、右片側検定の対立仮説H1ではH 1 : σ > ( 0.2 )22となり、有意水準0.05でS
22 > χ ( n − 1, 0.05 )( 0.2 )αχ 2(n−1,α)のとき、仮説H0は棄却される。 ここで、Sは0.96で、nは8である。χ2の関数値はχ2分布表から求める。

S( 0.2 )

2=0.96( 0.2 )

2= 24.0

χ ( n − 1, α ) = χ ( 7, 0.05 ) = 14.07
2224.0>14.07なのでH0は棄却され、A君は熟練者とは言い難い。

t分布を用いた検定・推定(母平均検定と区間推定)

母平均検定（両側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0H 0 : µ = µ0とすると、両側検定の対立仮説H1では

H1 : µ ≠ µ0となり、有意水準αでx − µ02> t ( n − 1, α )α/2
- t(n-1, α)α/2t(n-1, α)s /nのとき、仮説H0は棄却される。ここではxは標本平均、s2は標本分散で、nは標本データー数である。tの関数値はt分布表から求める。

母平均検定（右片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0H 0 : µ = µ0とすると、右片側検定の対立仮説H1では

H1 : µ > µ0となり、有意水準αでx − µ0> t ( n − 1, 2α )2s /nαt(n-1, 2α)のとき、仮説H0は棄却される。ここではxは標本平均、s2は標本分散で、nは標本データー数である。tの関数値はt分布表から求める。

母平均検定（左片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0

H 0 : µ = µ0とすると、左片側検定の対立仮説H1では

H1 : µ < µ0となり、有意水準αでx − µ0< −t ( n − 1, 2α )2s /nα- t(n-1, 2α)のとき、仮説H0は棄却される。ここではxは標本平均、s2は標本分散で、nは標本データー数である。tの関数値はt分布表から求める。

母平均区間推定信頼度(1-α)で、母平均μはx − t ( n − 1, α )22ss< µ < x + t ( n − 1, α )nnの範囲内にある。 ここでxは標本平均で、s2は標本分散で、nは標本データー数である。tの関数値はt分布表から求める。

例題
ある大学の男子水泳部員の肺活量（標本）３７４０、３６８０、３８００、４１００
３７２０、３９００、３７００、４５００
３７８０、３８８０
肺活量が男子成人平均３７００mlより多いか？有意水準０．０５で判断せよ。

母平均検定（右片側検定）
母分散と母平均が未知であり、仮説H0

H 0 : µ = 3700とすると、右片側検定の対立仮説H1ではH 1 : µ > 3700となり、有意水準αでx − µ0> t ( n − 1, 2α )2s /nαt(n-1, 2α)のとき、仮説H0は棄却される。ここではxは標本平均3880、s2は標本分散251.02で、nは標本データー数10である。tの関数値はt分布表から求める。

x − µ02s /n=3880 − 3700
251.0102= 2.267

t ( n − 1, 2α ) = t ( 9, 0.1) = 1.833

２．２６７＞１．８３３なのでH０は棄却され、水泳部員の肺活量は一般人よりも大きいと思われる。

F分布を用いた検定・推定(等分散検定)

等分散検定仮説H0, H1を

H 0 : σ = σ , H1 : σ ≠ σ212221とすると、有意水準αで22α/2F ( n1 − 1, n2 − 1;1 − α / 2 )= 1 / F ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 )2122s1<sF ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 )α/2F ( n1 − 1, n2 − 1; α / 2 )2122s> F ( n1 −1, n2 −1; α / 2 )sのとき、仮説H0は棄却される。ここでs2は標本分散である。Fの関数値はF分布表から求める。
→等分散と判断された場合、母平均差の議論へ

F分布の公式
1F ( n1 − 1, n2 − 1;1 − α / 2 ) =F ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 )母平均差区間推定信頼度(1-α)で、母平均差μ1ーμ2はx1 − x2 − t ( n1 + n2 − 2, α )⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S1 + S2 ⎞+<⎜⎝ n n ⎟⎠ ⎜⎝ n + n − 2 ⎟⎠121µ1 − µ2 < x1 − x2 + t ( n1 + n2 − 2, α )2⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S1 + S2 ⎞⎜⎝ n + n ⎟⎠ ⎜⎝ n + n − 2 ⎟⎠121で与えられる値の範囲内にある。 ここでxは標本平均で、Sは平方和で、 nは標本データー数である。 tの関数値はt分布表から求める。

2

例題

A社のバッテリー（標本）３．６、３．４、３．７、３．３、３．０
B社バッテリー（標本）１．８、１．６、１．９、１．４、１．３
その差はいかなるものか？

等分散検定仮説H0, H1を

H 0 : σ = σ , H1 : σ ≠ σ212221とすると、有意水準αで2s11<2s2 F ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 )22α/2F ( n1 − 1, n2 − 1;1 − α / 2 )2122= 1 / F ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 )α/2F ( n1 − 1, n2 − 1; α / 2 )s> F ( n1 −1, n2 −1; α / 2 )sのとき、仮説H0は棄却される。ここでs2は標本分散である。Fの関数値はF分布表から求める。
n1 = 5, n2 = 5x1 = 3.4, x2 = 1.6
s = 0.075, s = 0.065
S1 = 0.3, S2 = 0.26
21222122

s= 1.154s1
11=== 0.104
F ( n2 − 1, n1 − 1; α / 2 ) F ( 4, 4;0.025 ) 9.60
F ( n1 − 1, n2 − 1; α / 2 ) = F ( 4, 4;0.025 ) = 9.60

０．１０４＜１．１５４＜９．６０なのでH０は棄却されず、母分散は等しいと考えられる。
そこで、両者の母平均の比較は意味を有する。

信頼度(1-α)で、母分散差μ1ーμ2はx1 − x2 − t ( n1 + n2 − 2, α )⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S1 + S2 ⎞⎜⎝ n + n ⎟⎠ ⎜⎝ n + n − 2 ⎟⎠ <1212

µ1 − µ2 < x1 − x2 + t ( n1 + n2 − 2, α )⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S1 + S2 ⎞⎜⎝ n + n ⎟⎠ ⎜⎝ n + n − 2 ⎟⎠1212で与えられる値の範囲内にある。 ここでxは標本平均で、Sは平方和で、 nは標本データー数である。 tの関数値はt分布
表から求める。
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S + S2 ⎞2 ⎛ 0.3 + 0.26 ⎞2 ⎛ 0.3 + 0.26 ⎞x1 − x2 − t ( n1 + n2 − 2, α ) ⎜ + ⎟ ⎜ 1
=3.4−
1.6−
t8,0.05=1.8−2.306()⎜⎟⎠⎜⎟⎠ = 1.415⎝
85⎝8⎝ n1 n2 ⎠ ⎝ n1 + n2 − 2 ⎟⎠⎛ 1 1 ⎞ ⎛ S + S2 ⎞2 ⎛ 0.3 + 0.26 ⎞2 ⎛ 0.3 + 0.26 ⎞x1 − x2 + t ( n1 + n2 − 2, α ) ⎜ + ⎟ ⎜ 1=
3.4−
1.6+t8,0.05
=
1.8+
2.306
()
⎜⎟⎠⎜
⎟⎠ = 2.19
5⎝85⎝
8⎝ n1 n2 ⎠ ⎝ n1 + n2 − 2 ⎟⎠1.41 < µ1 − µ2 < 2.19