医学部［一般・学士］ 模範解答

英語,数学,理科（物理・化学・生物）

英語問１Ⅰ問２問３問４問１Ⅱ問２153452435231363453745538

3613910Ⅲ

744058441109142910243911244212445

213146614347

7155485164492173501181193202215226231024

325926427

728229830

131332333

5Ⅳ−107−数学
【1】次のにあてはまる答を下の解答欄に記せ。

a とθを実数とし，2 次方程式 x2－ 7 ax＋3a3＝0 の 2 つの解を sinθ，cosθとする。このとき，a の値は⑴（ア） または （イ） である。ただし，（ア） ＜ （イ） とする。さらに，0≦θ≦πであれば，4sinθ＝ （ウ） である。

⑵

x，y，z を 0 以上の整数とする。このとき
ⅰ x＋y＋z＝9 を満たす x，y，z の組の総数は （エ） である。

ⅱ x＋y＋z≦9 を満たす x，y，z の組の総数は （オ） である。
ⅲ x＋y＋z≦9 を満たす x，y，z の組のうち，x，y，z がすべて相異なるものの総数は （カ） である。

⑶

a を 0≦a≦1 を満たす定数とする。直線 y＝1－x と x 軸，y 軸で囲まれた図形を直線 y＝a の周りに 1 回転してできる回転体の体積を V (a) とする。このとき V (a) は，0≦a＜11ならば （キ） ， ≦a≦1 ならば
22（ク） である。また，V (a) のとり得る値の範囲は （ケ） である。

⑷

1 辺の長さが 2 の正四面体 OABC がある。辺 OA の中点を M，辺 OB の中点を N とする。OA＝ a ，OB＝ b ，
OC＝ c とおく。
このとき，cos∠MCN の値は （コ） である。また，頂点 O から平面 MNC に下ろした垂線と平面 MNC の交点を H とするとき，OH を a ，b ，c を用いて表すと，OH＝ （サ） a ＋ （シ） b － （ス） cである。さらに，直線 OH と平面 ABC の交点を F とするとき，OHの値は （セ） である。
HF

解答欄
⑴ (ア)－⑶ (キ)

13(イ)（π a3＋a2－a＋⑷ (コ)56(サ)1213）
311(ウ)⑵ (エ)7 －14(ク)（π －(シ)311(オ)55）

a3＋a23(ス)111(ケ)(セ)−108−(カ)220

42π≦V (a) ≦ π
32756138

【2】AB＝3，BC＝5，CD＋DA＝12 である四角形 ABCD が円に内接している。CD＝x とおく。次の問に答えよ。
AC＝3 6 のとき，x の値を求めよ。

⑴∠ABC＝θとおく。四角形 ABCD がある円に内接しているので，∠CDA＝π－θである。
ABC に余弦定理を用いると，9＋25－30 cosθ＝AC2 …①
また，

CDA に余弦定理を用いると，DA＝12－x，cos (π－θ)＝－cosθなので

x2＋(12－x) 2＋2x (12－x) cosθ＝AC2 …②特に，AC＝ 3 6 のとき，①より，34－30 cosθ＝54， ∴cosθ＝－AC＝ 3 6 と cosθ＝－x2＋(12－x) 2－2を②に代入すると
3234
10x (12－x) ＝54， これを整理して， (x－9)(x－3)＝0
3
3
答⑵3，9x のとり得る値の範囲を求めよ。

①，②より，AC2＝9＋25－30 cosθ＝x2＋(12－x)2＋2x (12－x) cosθ
cosθについてまとめると，｛ 2x (12－x)＋30 ｝cosθ＝34－x2－(12－x)2，すなわち (－2x2＋24x＋30) cosθ＝－2x2＋24x－110 …③0＜x＜12 より cosθの係数は正であり，また 0＜θ＜πより－1＜cosθ＜1 なので－(－2x2＋24x＋30) ＜－2x2＋24x－110＜－2x2＋24x＋30 …④④の左側の不等式から，4x2－48x＋80＝4 (x－2)(x－10) ＜0，これを解いて 2＜x＜10 …⑤
一方，④の右側の不等式は常に成立するので，④を満たす x の範囲は⑤である。
逆に，2＜x＜10 のとき，③を満たすようにθ(0＜θ＜π) の値を定め，∠ABC＝θと定めると，上の議論の逆をたどり，円に内接する四角形 ABCD が構成できることが証明できる。
答⑶

2＜x＜10四角形 ABCD の面積の最大値を求めよ。

四角形 ABCD の面積を S とするとS＝(ABC の面積 )＋(CDA の面積 )＝x (12－x)115
sinθ＋sin (π－θ)＝ (－x2＋12x＋15) sinθ222

③より，sin2θ＝1－cos2θ＝(1－cosθ)(1＋cosθ)＝
∴S 2＝

140
－4x2＋48x－80
140(－x2＋12x－20)
・＝－2x2＋24x＋30 －2x2＋24x＋30(－x2＋12x＋15) 2

1(－x2＋12x＋15)2 sin2θ＝35 (－x2＋12x－20)＝35｛－(x－6) 2＋16 ｝
4x＝6 は (2) の条件を満たしているので，S 2 は x＝6 のとき最大値 35・16 をとり，したがって S は x＝6 のとき最大値 4 35 をとる。

⑷

答

4 35

答

7四角形 ABCD の 4 辺すべてが接する円が存在するとき，x の値を求めよ。

内接円が辺 AB，辺 BC，辺 CD，辺 DA とそれぞれ点 P，Q，R，S で接しているとすると
AS＝AP，BP＝BQ，CQ＝CR，DR＝DSが成り立つ。このことから，
AB＝AP＋PB＝SA＋BQ …⑥，CD＝CR＋RD＝QC＋DS …⑦⑥と⑦を加え，AB＋CD＝(BQ＋QC)＋(DS＋SA)，すなわち AB＋CD＝BC＋DA を得る。
したがって，3＋x＝5＋(12－x) が成り立ち，x＝7 が求める解である。

−109−

x2－y 2＝1 に対し，双曲線上の点 P(a，b) における接線を l とする。ただし，a＞0 とする。
2axl の方程式が －by＝1 で与えられることを示せ。
2【3】双曲線⑴⒜

点 P が x 軸上にないとき
双曲線上の P における接線の方程式を y＝n (x－a) ＋b …①とおく。

①を双曲線の方程式

x2－y 2＝1 …②に代入し，定数項を k とおけば
2(1－2n2) x2－4n (－na＋b) x＋k＝0 …③を得る。①が点 P において双曲線に接するので，x＝a は 2 次方程式③の重解になる。
a2n (－na＋b)。これを n について解くと，n＝…④。
2b1－2n22aax④を①に代入し， －b 2＝1 を用いて整理すると， －by＝1 …⑤を得る。
22
よって，a＝⒝点 P が x 軸上にあるときこのとき b＝0，かつ仮定より a＞0，故に (a，b) ＝ ( 2 ，0) 。

双曲線上の点 P における接線の方程式は x＝ 2 。これは⑤において，a＝ 2 ，b＝0 とおいた場合にあたる。

⑵

l に垂直な双曲線の接線 m が引けるための a の条件を求めよ。
m が点 Q (c，d) で双曲線に接しているとする。x 軸と平行な双曲線の接線は存在しないので，b≠0，d≠0 である。

aca cac，m の傾きは。l と m が垂直に交わるので，＝－1，したがって d＝－…⑥。
2b2d2b 2d4bc22
一方，Q は双曲線上の点なので，－d ＝1 …⑦。
2c2a 2c 2⑥を⑦に代入して整理すると，－＝1，すなわち (8b 2－a 2) c 2＝16b 2。
216b 2a4b，∓) ( 複号同順 ) …⑨が成立する。
故に，8b 2－a 2＞0 …⑧，かつ⑥より， (c，d) ＝ ( ±8b 2－a 2
8b 2－a 2⑴の結果より，l の傾きは逆に，⑧の下で，⑨で定めた点 (c，d) は⑦，⑥を満たすので，双曲線上の点 Q (c，d) における接線が l と垂直に交わる。
－a ＝3a －8 なので，a＞0 と合わせ，⑧は a＞と同値。
（ 2 －1）
3a2－b 2＝1 …⑩より 8b 2－a 2＝82a222 62答⑶a＞2 63a が⑵の条件を満たすとする。双曲線上の点 Q (c，d) における接線が l に垂直に交わるように点 Q を定める。
ただし，d＞0 とする。O を原点とするとき， OPQ の面積を最小にする a の値を求めよ。

（4bOPQ の面積を S とする。⑨と仮定 d＞0，a＞0 より， (c，d) ＝ －S＝1a(ad－bc) ＝ ・22a
3a 2－8＋b・2

4b3a 2－8

故に，相加平均と相乗平均の大小関係より，S＝等号は，

3a 2－8＝22
3a 2－8＝a 2＋4b 22

3a 2－8

3a 2－8＋2＝

3a 2－8，。よって⑩より（ 2 －1）＝ 3a －4 ＝ (3a －8) ＋4 。
a2

3a 2－82
3a －82≧222

3a 2－8

3a 2－8・
223a 2－823a 2－8＝2。

，すなわち a＝2 のとき成り立つ。
答【3】⑴ 別解
x2－y 2＝1 の両辺を x について微分すると，x－2yy’＝0。
2xよって，y≠0 のとき，y ’＝ 。
2ya故に，b≠0 のとき，点 P (a，b) における接線の傾きは 。
2ba
したがって，求める接線の方程式は，y－b＝ (x－a)。
2bax
整理してまとめると， －by＝1。
2y を x の関数と考えて，b＝0 のとき，仮定 a＞0 より，a＝ 2 。故に，点 P(a，b) における接線の方程式は x＝ 2 。
これは）2a 2＋42

a3a 2－8ax－by＝1 において，a＝ 2 ，b＝0 とおいた場合にあたる。
2−110−2物理問１問２問３Ⅰ問４問５1728374554615

問１問２Ⅱ
問３2112213239241525926676問４279810問１286問２292301392106119121013214615316617問３問４313

3211336341235

1236122371418638

1219

1205Ⅲ

問５−111−

化学

Ⅰ

生物[1]

121436

5[2]2822374[3]3632381[4]4244398[5]555640

5[6]

6361

41

3[7]

7975429[8]8108843

6⑴

93

94

44

2⑵

10510945

4⑴11311146

10⑵

12

5124

47

6[1]

13

4

13

848

4[2]

14

514749

7[3]

15

415

850

1[4]

16

4162

51

5[5]

17

917

3

52

3[1]

18

2

18

753

3[2]

19

5192

54

1[3]

20

420

1155

4[4]

21

521

856

9[1]

22

7

22

11[2]

23

1

23

7⑴

24

1

24

2⑵

25

3

25

7⑶

26

126

127828729330

3

31632

4

33

1034

3

35

10[1]
Ⅱ[2]Ⅲ

Ⅳ

Ⅴ
[3]

Ⅰ

Ⅱ

−112−

Ⅲ