『経済研究』（明治学院大学）第 145 号

2012 年

剰余位数の分布について

経済学部

§１

村

田

玲

音

剰余位数・剰余指数p を奇素数とする。p を法とする既約剰余類群（Z/pZ）＊は p−1 次の巡回群である。a を p で割れない＊の元となり，この中で巡回部分群を生成する。この群を自然数とすれば，剰余類 a（mod p）は（Z/pZ）〈a（mod p）〉によって表わすことにする。すると次の重要な分解が得られる。なお，[ ： ] は部分群の指数，集合 G の元の個数を |G| によって表わす（以下同様）：
p−1＝［（Z/pZ）＊：〈a（mod p）〉］×|〈a（mod p）〉|
右辺の第一項を剰余指数（residual index）とよび，第二項を剰余位数（residual order あるいは
multiplicative order）という。
p−1 をこのように分解して考察してみたのは有名なガウスである。a＝10 ととれば，a の剰余位数は
分数 1/p を循環小数に展開したときの循環節の長さに他ならない。ガウスは循環小数との関連で剰余位数や剰余指数に注目したようである。彼は p を色々動かしてみて，「p が大きくなると剰余位数の方は大きく変化するのに，剰余指数の方はあまり変化しない」ことに気づいた。天才的な計算能力から研究の糸口を発見したといわれるガウスならではの観察である。高木貞治の『近世数学史談』に「計算家ガウスに於いて著しい特徴は彼が数字的の計算に整数論を応用する点である。
（中略）ガウスは幼児期に200 以下の素数および素数冪の逆数を循環小数に化する表を作成し，後年それを 1000 以下まで継続している。」との文章が見えるので，案外早い時期の発見かもしれない。
ここで幾つかの p に対して，その剰余指数と剰余位数を例示してみよう。a の値はガウスに習って 10ととってある。

55

『経済研究』（明治学院大学）第 145 号（表１）①

素数（100 を超えた直後の 10 個）
101

103

107

109

113

127

131

137

139

149

剰余指数

25

3

2

1

1

3

1

17

3

1

剰余位数

4

34

53

108

112

42

130

8

46

148

②

素数（1000 を超えた直後の 10 個）
1009

1013

1019

1021

1031

1033

1039

1049

1051

1061

剰余指数

4

4

1

1

10

1

2

2

1

5

剰余位数

252

253

1018

1020

103

1032

519

524

1050

212

100057100069100103100109100129100151③

素数（100000 を超えた直後の 10 個）
100003100019100043100049

剰余指数

2

1

2

2

1

1

1

29

4

2

剰余位数

50001

100018

50021

50024

100056100068100102

3452

25032

50075

印象的なのは，素数の大きさが変わっても中段の剰余指数の部分はほとんど変化していない点である。
つまり，素数が大きくなった分は，ほとんど全部剰余位数の方に回っていることになる。従って剰余位数の動きは激しい。これがガウスの見つけた現象であった。
ここで一つ定義を置こう。
定義
剰余指数［（Z/pZ）＊：〈a（mod p）〉］が n で割りきれるとき「a は mod p で n 乗剰余（n-th power residue）である」という。特に剰余指数＝1 のとき，「a は mod p で原始根（primitive root）である」という。
a が mod p で n 乗剰余であるとは，別の剰余類の n 乗になっていることである。なお，原始根である
ことは 他の剰余類の冪乗で書けない ことを意味しているわけではない。他の剰余類 b（mod p）によっ
r＝a（mod p）としたとき，指数の r が p−1 と互いに素になっていればよい。
て b（mod p）

上記のガウスの観察から，次の予想は自然に出てくる。
原始根に関する Artin の予想
a が完全平方数でないなら，a が mod p で原始根になるような素数 p は無限個存在するだろう。
つまり上の表１のようなものをすべての素数 p に対して作れば、剰余指数の行に 1 が無限回出てくるだろうという予想である。これが Artin の予想と呼ばれているのは，20 世紀になって，E. Artin やHeibronn 等によってガウスの予想が再発見され，精密化されたからである。ガウスの観察以来 200 年以上経過したにもかかわらず，未だに完全解決をみていない難問である。ただし，一般リーマン予想56

剰余位数の分布について（Dedekind の ζ 関数に関するリーマン予想）を仮定すれば，上の予想より更に精密な結果を証明することができ，それは計算機等による実際の姿をかなり正確に説明するということを，1967 年にイギリスの解析数論学者 C. Hooley が証明した。以下本稿では，一般リーマン予想（Generalized Riemann Hypothesis）のことを GRH と略記する。
まず特殊な定数 C を用意する。定義は C＝

П（1−q（q1−1））≒0.37395…

q：素数定理Ａ（Hooley, 1967［７］） GRH を仮定する。次の漸近式が成り立つ：（

log log x|{ p≦x ; a が mod p で原始根 }| 〜 Ca π（x）＋O π（x） log x），

ただし Ca とは a のみによって定まる正定数で，a が特別な条件（本稿では省略する）を満たさない
場合，Ca＝C になる。
ここでπ（x）とは正数 x 以下の素数の個数である。また〜は，左辺を右辺で割ったものの極限（x→∞）
が１であることを意味する。上の定数 C は原始根を扱った問題にしばしば現れる定数で， Artin の定数と呼ばれることがある。
この定理によれば，通常の a の場合，a を原始根にもつ素数は素数全体の約 37.4%であることが分かる。
例えば上の表１についてみれば，30 個の素数中 12 個について a＝10 が原始根になっているので（40％），
この程度のサンプルでも定理の主張と現状が良く一致していることが分かる。
上の Hooley の定理は，一般の剰余指数 n の場合へ拡張されており，GRH の仮定の下に，どのような頻度で「剰余指数＝ n」が起きるかも分かっている（［８］［10］）。

原始根は次のような基本的な性格をもっている：⑴＊の生成元である。
既約剰余類群（Z/pZ）⑵

既約剰余類群（Z/pZ）＊で，どんな q 乗剰余にもなっていない類である。

⑶

色々な角度から見て，分布にまったく規則性はなさそうである。
原始根というのは，案外色々なところに出てくる重要な数である。最近では，公開鍵暗号の世界でも生成元という名称で使われている。その重要性が⑴の「（Z/pZ）＊の生成元」から来ていることは疑いない。
整数の問題を mod p に reduction すると必然的に（Z/pZ）＊が出てくるが，その元は原始根によって記述できるのであるから，登場する機会が多いのも頷ける。ところがそうした重要な数の分布を調べようとすると，性格の⑶に行き当たる。規則性がないのでシステマティックな研究がしにくく，まずは原始根を取り出して分布等の特徴を見ようとするとき，性格⑴の「生成元」というのは非常に使いにくい条件なのである。そこで我々は仕方なく，性格⑵を活用して原始根を調べていくことになる。たとえば先ほどの Artin 予想の場合のように「x 以下の素数の中から，a が原始根になっている p」を選り出そうとすると，求める個数 ＝ π（x）−|{ a が 2 乗剰余になっている p }|−|{ a が 3 乗剰余になっている p }|＋57

『経済研究』（明治学院大学）第 145 号|{ a が 6 乗剰余になっている p }|−|{ a が 5 乗剰余になっている p }|−…と，たいへん面倒な手続きが必要になる。所謂，篩法を使わざるをえない。
この辺の事情は「素数分布」と似通っている。素数は「素数の自由積が Q＊の元全部になる」という意
味で有理数体 Q の生成元であるが，これを調べようとすると分布の複雑さに行き当たる。そして素数を選り出そうとすると「有理数体の生成元」という条件は使いにくく，結局「x 以下の素数」を選り出すには
x 以下の自然数−|{ 2 の倍数 }|−|{ 3 の倍数 }|＋|{ 6 の倍数 }|−|{ 5 の倍数 }| ＋…
といった手続きが必要であった（エラトステネスの篩）。
原始根の分布が素数分布と違ってくるのはここからで，「a が n 乗剰余になっている素数 p」は「拡大q

体Q（a1/ , ζ q）/Q で完全分解する素 ideal（p）」と，代数体の ideal の分解で記述される点である（ζ q は
1 の原始 q - 乗根，すなわち exp（2πi/q）の意味）。こうした p の個数を計算するには素 ideal 定理を使わなくてはならない。素 ideal 定理では主要項の後にかなり大きな剰余項がついてくる。この処理が原
始根を調べる場合一番の障害になるのである。先ほどの篩を先まで進めないうちに，剰余項の総和が主要項を凌駕してしまい，意味のある結果が得られなくなってしまう。
GRH の役割はここにある。これを仮定すると素 ideal 定理の剰余項を低く抑えることができて，篩をかなり先まで実行することができ，場合によってはとてもシャープな結果が得られる。上述の Hooleyの定理がその好例である。こうしたわけで，剰余指数や剰余位数の分野ではしばしば GRH の仮定が必要になる。なお，上の篩の実行で剰余項を抑えることができれば，その主要項は
1
1−
Π
q
（
［Q（a , ζq）:Q］）
q

π
（x）×

1/

：素数

となり，拡大次数［Q（a1/q, ζq）：Q］は通常 q（q−1）になる。これが Artin 定数の出てくる所以である。
原始根・剰余位数といったものは，a と p との組み合わせで決まる性質である。このため，こうしたものの研究には次の 3 つの方向が考えられてきた（p を固定し a を動かして剰余位数を研究する方向は，
まだ問題にされたことがないようである）。
剰余指数の研究
剰余位数の研究a を固定して素数 p を動かす方向
p を固定して a の方を動かす方向
a を固定して素数 p を動かす方向

このうち一番上の「a を固定し p を動かして剰余指数を調べる」方向の代表選手は Artin 予想である。
これがあるため，この方向の研究は先行していて，優れた結果も多い。これ以外の方向は比較的成果も少なく，特に剰余位数の方はほとんど研究がなされていない。
この小論では，§2 で「a を固定し p を動かして剰余位数を調べる」方向について解説したい。§3
では，§2 の一つの発展形として mod pq の場合について述べる。いずれも私がこれまでに行ってきた研究を中心に述べる。

58

剰余位数の分布について

剰余位数の分布―mod p の場合§２

上で例を見たが，剰余位数というのは解析数論の立場からは非常に調べにくい対象である。動きが非
常に激しいことに加えて，剰余位数のように代数的整数論の結果と直接結びついてもいない。これまで，
あまり研究されておらず，知られている結果も少ない。かなり有効な方法としては，次の二つが知られ
ている。
①

n

an≡1（mod p）という条件を，円分多項式 X −1 の X に a を代入した特殊値の，p での可除性の考察に置き換える。
②

p−1＝剰余位数×剰余指数の関係式を用いる。

このうち②については上でも触れたが，長所は剰余指数の部分が代数的整数論と相性が良い点であろう。
以下，自然数 a を固定し，素数 p を動かす。素数集合 P から自然数集合 N への，二つの写像を考え
よう。
写像 Φ：

P∋p

［（Z/pZ）＊：〈a（mod p）〉］∋ N

写像 Ψ：

P∋p

〈a
| （mod p）〉|∋ N

Φ は，素数 p に対して剰余指数を対応させるもの，Ψ は剰余位数を対応させる写像である。Φ と Ψの間には，非常に大きな共通点がある。それは両方とも「P から N への全射である」という点である。
これは両方ともかなり深い結果で，Φ の全射性をいうには，まず GRH を仮定して Artin 予想を証明し，これを指数が一般の場合に拡張しなくてはならない。一方 Ψ の全射性は unconditional に得られる。証明は難しくないのだが，結果自体は非常に優れた結果であろうと思われる。
ところが同じ全射でも，Φ と Ψ の間には大きな相違点がある。
自然数 n の Φ による逆像は，GRH を仮定すれば，素数全体の或るパーセンテイジを占めるくらい大きな集合になる。一方，n の Ψ による逆像は，必ず有限集合になる。つまり，同じ全射であっても，Nの覆い方がまるで違うのである。解析数論では，あまり小さな集合は巧く理論に乗せることができない
わけで，このくらい写像の性質が違えば，研究方法も変えないといけないのではないかと思う。そこで我々は剰余位数を調べるにあたって，Ψ の値域集合を大きくとることにする。
剰余位数の性質について，こうした考え方に立って具体的に結果が得られているのは次の二つである。
１）値域を N 内の剰余類ととる（私と知念宏司氏との共同研究，2004 年〜，［１］
［２］
［３］
［11］）
２）値域を素数集合 P ととる（私と Carl Pomerance 氏との共同研究［12］）このうち２）については既に［13］に記事を書いたので，本稿では省略する。
１）についてN 内に任意の剰余類 （v mod k）をとって，集合v）＝{ p≦x；a（mod p）の剰余位数≡v（mod k）}
Q（x；k,
aを考察する。まず取り組まなくてはならない問題は次の二つである。
59

『経済研究』（明治学院大学）第 145 号

１

Q（xa ; k, v）に自然密度は存在するか？

２

密度が存在する場合には，その密度は k や v を変化させたときどんな分布をしているのか？
0）に密度の存在することが示されており，そこの問題には先駆者がいる。v＝0 の場合には Q（x；k,aの密度も具体的に計算されている（Hasse, 1965［５］［６］，並びに Odoni, 1981［14］）。こうした先行結果があるため，我々の研究では v を任意にしておくことが重要であった。
この問題について我々の得た結果は次の通りである。
定理の内容を分かりやすく説明するため，一番単純な場合をあげる。
k＝4 ととる。a を a＝a0×a1（a1 は square-free）と分解する。
定理 1［１］ a1≡1, 3（mod 4）ならv）は v＝0, 1, 2, 3 で自然密度をもつ。ただし，v＝0, 2 の場合，自然密度の存在はⅠ） Q（x；k,aunconditional に得られ，v＝1, 3 の場合は GRH の仮定が必要である。
Ⅱ） その密度は，次で与えられる：|〜|Q（
a x ; 4, 0）

π（x）

1
π
（x）
3

|Q（
| 〜 1π（x）a x ; 4, 1）
6|Q（|〜
a x ; 4, 2）

1
π
（x）
3

|Q（
|〜
a x ; 4, 3）

1
π
（x）
6

本稿では証明は一切省略する。興味ある方は full-paper［１］［２］を参照してください。
v）と書くことにしよう。
以下，Q（xa ; k, v）の自然密度のことを Δ（k,a上でも述べたように，この定理の紹介にあたっては，一番単純な場合を示した。この結果は一般の剰
v mod k）の場合に拡張できている。ただ，k が複雑になると「密度の存在」と「密度計算のアル
余類 （ゴリズム」までは分っているが，密度の具体形は難しくなる。より詳しく言うと，k が素数べきまでなら，一応密度の具体形が求まっている。k が二つ以上の素因子を含む合成数になると，密度はある連立一次方程式の解として得られるが，その方程式を具体的に解くのは相当困難である。
この結果は自然密度の理論値を求めたものであるが，それがどの程度まで実測値と合っているか，少し例をあげてみたい。以下の数値例では x=107 とした。この問題の場合は 107 までの素数を使うと，かなり信憑性のあるデータになるようである。

60

剰余位数の分布について

a＝5 の場合の，理論値（上）と実測値（下）
v＝0

v＝1

1
3
0.3333201
60.166771v＝2
1
30.333099v＝31
60.166810

a＝21 の場合の，理論値（上）と実測値（下）― a は合成数
v＝0

v＝1

1
3
0.332836160.166527v＝21
30.333917v＝31
60.166720

上の結果ですぐに目を惹く点は，密度が 1/3 や 1/6 といったきれいな有理数で書けている点であろう。
ただ，これは a の値によって大きく変化し，密度が有理数にならない場合もしばしば起こりうる。参考に a＝2 の場合を挙げておこう。まず，特殊な数δを導入しなくてはならない。
2qΠ
（1−（q ＋1）（q−1））≒ 0.64365
q
mod

δ＝

≡3
（

4）

2

q：素数

この数を用いると，

Δ（4,
0）
＝
2

5
12

≒ 0.41667

Δ（4,
1）
＝
2

7
δ
48− 8

≒ 0.06538

Δ（4,
2）
＝
2

7
24

≒ 0.29167

1

7
δ
Δ（4,
3）
＝ 48 ＋ 82≒ 0.22629

4, 1）| の密度なども得体のしれない数にとなる。δは全く得体のしれない数であるから，従って | Q（x;aなる。ついでに，この場合も理論値と実測値の比較をあげておく：
v＝0

v＝1

v＝2

v＝3

理論値

0.416667

0.065377

0.291667

0.226289

実測値

0.416687

0.065425

0.291481

0.226407

もう一つ，密度の存在を言う際，とった剰余類によって GRH が要ったり要らなかったりするのもちょっと奇異に感じられることであるが，これについてはある程度理由が分っている。これはとった剰
余類の法 k によって決まる加法群（Z/kZ）の構造によるらしい。再び k＝4 の場合を例にとると，加法群（Z/4Z）は真の部分群を二つもっている。その二つからそれぞれ一つずつ，non-trivial な結果が得られるのである。

61

『経済研究』（明治学院大学）第 145 号（Z/4Z）＝{ 0, 1, 2, 3 }|{ 0, 3 }→2, 0）|の密度| Q（x;
a→4, 0）|の密度| Q（x;
a|{0}

そして | Q（x;2, 0）|から | Q（x;4, 0）|を引けば，| Q（x;4, 2）|が得られるわけである。またこれによっaaaて，Hasse-Sherpinski や Odoni の結果が得られた理由もわかる。彼らは（Z/kZ）に必ず存在する，一番易しい真部分群 { 0 } に対応する結果を得ていたのである。
v）の挙動は，かなり複雑なようである。一番の問題は，適当な数論的関数としての密度関数 Δ（k,av）の値が全く予測できないことである。詳しい説明はしないが，実は確率モデルがなく，密度 Δ（k,
a
Δ（2,
1）
＝1/3 になる理由は，比較的簡単な確率的解釈が可能である。ところがこれをどう精密化して
a1）＝1/6 になる確率的解釈が出てこない。つまり，Δ（2,1）＝1/3 がなぜ Δ（4,1）＝Δ（4,
3）
みても，Δ（4,aaaa＝1/6 と半分ずつになるのか，その理由は解らないのである。これが当たり前でないことは，a＝2 の場
v）では，その密度の存在を言うのに GRH が必要であったし，a＝2合の例が示している。一般の Δ（k,aの場合は 1/6 からかなり離れた値になってしまうなど，背景にはかなり複雑な理由が潜んでいるのかも
しれない。
v）は
また，密度関数 Δ（k,a

乗法性も持っていない。ここで言う乗法性とは，以下のような意味

Z/12Z

㲓

である。例に即して説明する。

j（mod12） ←→

Z/4Z

×

j（mod
4） ,
1

Z/3Z
j（mod
3）
2

の対応関係によって，Δ（12,j）＝Δ（4,j1）×Δ（3,j2）
aaaが成立するかどうかを問題にするのである。これが成立すれば，一般の合成数 k を素因数分解すること
により，k として素べきの場合だけを計算すればよくなる（これを乗法性と呼んだ）。しかしこれは成
立しないことが実例によって分かっている。
反例

a＝5 ととる。 1（mod 12）←→１（mod 4）,1（mod 3）であるが
5 21
Δ（12,
D
1）＝ −
5
96 940Δ（3,1）×Δ（4,
1）＝
5
5

3
1 1
× ＝
8
6 16

となって，この両者は一致していない。ここで D とは mod 6 の non-trivial character χ を用いて定義される次の数である：
62

剰余位数の分布についてΠ

D＝q3−q2−q−（x q）≒ 0.86989

2

x q））
（q −（
q：素数（q−1）
q 2, 3v）はどのようにして決まるのか，それを与える式を簡単に見てみたい。何度か最後に，密度 Δ（k,a
触れたように，これには関係式「p−1＝剰余位数×剰余指数」を用いるのである。まず，次の集合を導入する：st））＝{ p≦x ; a の剰余位数＝n, p≡s（mod t）}
N（xa ; n, （mod
これは一見して分かるように， 原始根に関する Artin 予想 で研究の対象になった集合である（Artin予想が問題にした集合を上の形に習って書けば { p ≦ x ; a の剰余位数＝1} となる）。そしてこの形の集合は，GRH を仮定すれば計算が可能になっていた。
| を変形していって，次の式を証明する：
まず |Q（xa ; 4, １）f|N（
2 f, 1＋2（mod 2 f＋2 ）|＋（同じ形の無限級数）
a x ;（4ℓ＋1）
Σ
Σ
f
ℓ
（

|Q（
|＝
a x ; 4, 1）

）

≧1 ≧0

ここに Artin 予想で使われた Hooley の方法（篩法）を適用するのである。すると次のような式が得られる。上の式は素数の個数を分解した式であるのに対し，下の式は密度を分解した式になっている。
この間に GRH を用いて，誤差項の処理を行なったのである。
∞（1）μ（n）c （k, n, d）
μ（d）
k0＋（同じ形の無限級数）〜d（k0）d | kf ≧1 ℓ≧ 0 φ
n＝1 ［Gk, n, d：Q］

ΣΣ

Δ（4,
1）＝
a

Σ

Σ

0

ただし k＝（4ℓ＋1）2 f, k0＝

Πである。この式を使って密度を計算するのだが，その際重要な

q|k, q : 素数（k, n, d）といった数である。これは次のよのは最後の項の分母分子に出てきている［G̃ k, n, d : Q］や c（1）うな代数体の量として定義される：〜

Gk, n, d

σ σ
＊
1 ,

＊
3

Gk, n, d＝Q（a1/nk, ζn, ζkd）
Q（ζ2 f＋2）
σ1, σ3Q
σ1, σ３は，次の作用で定まる拡大体 Q（ζ2 f＋2）/Q の自己同型群の元であり：
f

σ1：ζ2 f＋2 （ζ2 f＋2）1＋2 ，f

σ3：ζ2 f＋2 （ζ2 f＋2）1＋3・2 ，63

『経済研究』（明治学院大学）第 145 号

係数 c（1）（k, n, d）は，σ1 が σ1＊ ∈ Aut（Gk, n, d /Gk, n, d）に拡張できるなら１，そうでない場合は０と定義1）の式に代入して無限級数を計算するとする。これらの数を代数体 Gk, n, d ごとに決定し，上の Δ（4,a
前掲の定理１が得られる。
こうしたことを証明なしで長々と書いたのは，我々の目的とする密度が，いかに強く代数体の数量に依存しているかを述べたかったのが一つ，それと剰余指数を経由して剰余位数の結果を得ようとするといかに手間がかかるか，それを説明したかったからである。

§３

剰余位数の分布―mod pq の場合

この章では，§2 で論じた問題を（Z/pqZ）＊で考えたときの結果を略述する。p, q は互いに異なる素数＊＊との一番の違いは，（Z/pqZ）が巡回群にならない点である。原始根とはである。前の（Z/pZ）

既約剰

余類群の生成元 であるところに重要な意味があった。今度は群が巡回群でないので，生成元はなくなってしまう。その意味では原始根に関する問題を剰余群（Z/pqZ）＊で考える場合，定義から大きく考え直さなくてはならない。例えば Pomerance 氏などは原始根の定義を拡げて，Artin 予想の類似等を考えている（［９］）。しかし剰余位数の方は群構造が変わっても意味はそのまま保たれる。更に我々の頭の中にあったのは，
mod pq が公開鍵暗号 RSA 暗号の中で非常に重要な使われ方をしていることであった。
v mod k）をとり，次を導入する：§2 で始めたのと同様，剰余類 （R（x＝{（p, q）;p ≦ x, q ≦ x, a（mod pq）の剰余位数≡v（mod k）}
a ; k, v）−2
lim π（x）
k, v）|を考察するのである。
|R（x;そして x→∞
a

得られた結果を下に挙げる。前回同様 k＝4 ととってあるが，前回と違って mod pq では計算できているのが，まだこの場合だけなのである。
定理２［４］ a1≡1, ３（mod 4）ならⅠ） R（xa ; k, v） は v＝0, 1, 2, 3 で 自 然 密 度 を も つ。 た だ し，v＝0, 2 の 場 合， 自 然 密 度 の 存 在 は
unconditional に得られ，v＝1, 3 の場合は GRH の仮定が必要である。
Ⅱ） その密度は，次で与えられる：|〜|R（
a x ; 4, 0）

5
π
（x）2
9

|R（
|〜
a x ; 4, 1）

1
π
（x）2
18

|R（
|〜
a x ; 4, 2）

1
π
（x）2
3

|R（
|〜
a x ; 4, 3）

1
π
（x）2
18

π（x）2

ここでも証明は一切省略する。詳しくは［４］を参照。

64

剰余位数の分布について11やになり， 分布に大きな差―偏り のあるこ36とが分ったが，mod pq の場合，この偏りはもっとひどくなった。v＝0 の場合と v＝1, 3 の場合は，分定理 1 でも，mod 4 の剰余類によって密度が布密度に実に 10 倍の開きがあるのである。
a（mod pq）の剰余位数は，a（mod p）の剰余位数と a（mod q）の剰余位数の最小公倍数になる。 最小公倍数という乗法的に定まる量を４で割った余りという加法的なものによって分類するところが，定理２の難しさと面白さである。
章末に数値例との比較を挙げておいた。理論値と実験値は非常に良い一致を示している。
上にも書いたが，mod pq の場合の計算はむつかしく，現在までにできているのは k が 4 で a にも 一番計算しやすい仮定を置いた場合のみである。数値計算の方は a＝2 の場合もできているので載せてみたが，この理論値がどんな形になるのかは分かっていない。
| の計算を |Q（x
| に帰着できた点
我々の与えた証明はかなり複雑であるが，要点は |R（xa ; 4, v）
a ; k, v）にある。鍵になった式は|R（| ＝ |Q（|2 ＋ |Q（|2
a x ; 4, 1）
a x ; 4, 1）
a x ; 4, 3）
＋

2ω
Σ
D x

（D1）
−1

{|Q（
|−|Q（
|}2 ＋（右辺第 3 項と同じ形の無限級数）
a x ; 4D, D）
a x ; 4D, 3D）＜D≡1（mod 4）
D0＝1, D1＞1

ただし，D は奇数で，D の素因子のうち mod 4 で 1 に合同な素因子のみの積が D0，mod 4 で 3 に合同な素因子のみの積が D1 である。またω（n）とは n を割り切る異なる素数の個数を表す。
| であるのに対し，右辺が |Q（x| の和で書けてしまっていこの式の特徴は，左辺は |R（xa ; 4, 1）
a ; k, v）
る点である。つまり，mod pq の問題が mod p の問題に書き換えられたことを意味する。しかしその計| の方の剰余類は≡D（mod 4D）等と複雑になり，しかもその D がすべての奇数
算に必要な |Q（xa ; k, v）
を動くという状況になった。
これを計算するにあたって問題になるのは，右辺第３項と４項の厄介な無限級数である。ところが a|＝|Q（x| となって，むつかしい項について定理 2 に置いた仮定を置くと，実は |Q（xa ; 4D, D）
a ; 4D, 3D）が消えてしまうのである。定理２が最初に得られたのはこうした事情による。a がもっと複雑になると第３項や第４項からも密度に寄与する部分が出てきて，計算は飛躍的に面倒になるだろう。
以上，剰余位数についてこれまで分かってきたことを略述してきた。こうして解説記事を書いてみても，まだ周辺的なことしか分かっておらず，本当に知りたい部分へはかなり距離がある感が強い。ただ，剰余類の位数というのは非常に魅力的でかつ重要なものであることは確信できる。今後もこの方向の研究を続けていきたい。

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『経済研究』（明治学院大学）第 145 号

理論値と実験値との比較（mod pq の場合）
a＝5 の場合の，理論値（上）と実測値（下）
v＝0

v＝1

v＝2

v＝3

5
9
0.5555381
180.055638

1
30.333186

1
18
0.055638

a＝12＝22・3 の場合の，理論値（上）と実測値（下）
v＝0

v＝1

v＝2

v＝3

5
9
0.555667

1
180.055590

130.3331541
180.055590

a＝2 の場合の実測値（理論値はまだ計算できていない）
v＝0

v＝1

v＝2

v＝3

0.659746

0.050637

0.255088

0.034528

参考文献［１］ Koji Chinen-Leo Murata, On a distribution property of the residual order of a（mod p）, J. of Number
Theory 105（2004）60‑81.
［２］ Koji Chinen-Leo Murata, On a distribution property of the residual order of a（mod p）III, J. Math. Soc. Japan 58‑3（2006）693‑720.
［３］ Koji Chinen-Leo Murata, On a distribution property of the residual order of a（mod p）IV, “Number
Theory-Tradition and Modernization” Springer Science,（2006）11‑22.
［４］ Koji Chinen-Leo Murata, On a distribution property of the residual order of a（mod pq）,（pre-print）.
［５］ H. Hasse, Über die Dichte der Primzahlen p, für die eine vorgegebene ganzrationale Zahl a≠0 von durcheine vorgegebene Primzahl l≠2 teilbarer bzw. Unteilbarer Ordnung mod p ist, Math. Ann. 162（1965）74‑76.
［６］ H. Hasse, Über die Dichte der Primzahlen p, für die eine vorgegebene ganzrationale Zahl a≠0 von gerader bzw. ungerader Ordnung mod p ist, Math. Ann. 166（1967）19‑23.
［７］ C. Hooley, On Artinʼs conjecture, J. Reine Angew. Math., 225（1967）209‑220.
［８］ H.W. Lenstra Jr., On Artinʼs conjecture and Euclidʼs algorithm in global fields, Inventiones Math. 43（1977）201‑224.
［９］ S. Li-C. Pomerance, On generalizing Artinʼs conjecture on primitive roots to composite moduli, J. Reine
Angew. Math., 556（203）,205‑224.
［10］ Leo Murata, A problem analogous to Artinʼs conjecture for primitive roots and its applications, Arch.
Math.,（1991）555‑565.
［11］ Leo Murata-Koji Chinen, On a distribution property of the residual order of a（mod p）II, J. of Number
Theory 105（2004）82‑100.
［12］ Leo Murata-Carl Pomerance, On the largest prime factor of a Mersenne number, CRM（Centre de Recherches Mathématiques）Proceedings and Lecture Notes, Vol. 36（2004）209‑218.
［13］ 村田玲音，a（mod p）の剰余位数が素数になっているような素数 p の分布について，明治学院論叢 第 700号

総合科学研究第 70 号，2004 年３月，121‑131。

［14］ R.W.K. Odoni, A conjecture of Krishnamurty on decimal periods and some allied problems, J. Number
Theory 13（1981）303‑319.
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