数理解析研究所講究録
第 80 巻 1970 年 54-63

Burgers モデルに対する Hopf 方程式の解

東大\S 1.

桑原真二

物理まえがき古典統計力学が対象とする力学系は.... ,

理学部$p_{3}N$$q_{1},$$\ldots.q_{3N^{)}}$$N\gamma$の粒子系である。 この系の状態は $6N$ 次元の位相空間 $(p_{1}$ ,の一点によって規定される。 ここで $p_{i},$$q_{i}$

は粒子の運動量成分と座標成分を表わす。 かかる系に統計を導入することは位相空間上に確率密度関数\mbox{\boldmath $\rho$} $(p_{i}, q_{i}, t)$ を定義するのと同等である。そして$\rho$

は確率保存を表わす。

Li ouv lle 方程式$i$(1.1)$\frac{\partial\rho}{\partial t}+[1i, \rho)=0$を満足する。 ここで丑は系の Hamil$t$

on ian, $[ , ]$ は$P\circ i$sson 括弧である。

乱流場の状態は空間の点の関数である速度場 $u$ 0 りによってきまる。 すなわち, 状態は 6 $N$ の可附番個の量 $(p_{i}, q_{i})$ に代って,$x$をパラメターとする連続無限個の量で規定される。統計力学的考察を乱流現象に適用するためには, 位相空間として $u$ (r) 関数空間をとらなげればならない。乱流状態が位相(関数) 空間のー点, すなわち一つの数によって規定さるのは, 統計力学の場合と同じである。 した$\ovalbox{\tt\small REJECT}$がって, 乱流運動を Navier-Stokes

方程式にしたがう deterministic な力学系とみなしこれに統計を導入するためには, 位相 (関数) 空間上の確率分布汎関数 $P[\delta u, t]$ を導入しなければならない。 このような考えにもとずく乱流の取り扱いを統計流体力学という。

統計流体力学では, $P[\delta u, t]$ の代りにその Fourier 変換である特性汎関数 $\Phi[y\mathfrak{U} t]$ ;$\Phi[yN, t]=\int_{\rho^{e^{z\pi i\int y\cdot udx}}}P[\delta u, t]$をもちいる。

$\rho$は全位相空間である。

$\Phi$[ $y$ 伽 0,$t$] に対して Ho pf 方程式が成立つ。 Hopf 方程式は汎関数偏微分方程式である。
$ur$ の Fourier 変換 $V$ 勾〒$\sim e^{arrow\pi ik\cdot x_{du\Omega}}$$P$[$\delta v$

南,$t$

(12)

に対しても全く同じ対応があり, 分布汎関数], 特性汎関数 $\Phi[zr, t]$ および Hopf 方程式か定義かつ, 求められる。

–54–

\S 2.

Burgers モデルに対する解析

Burgers モデルは $u(x, t)$ に対して
(2.1)$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}=\vec{\nu}\frac{\partial^{z}\alpha}{\partial x^{2}}$$u$の Fourier 変換 $v(k, t)$ に対して

(22)$\frac{\partial v}{\partial t}+i/^{\rho\circ}k’varrow\infty(k’)v(k+k’)dk’=(2^{\pi})^{2}\overline{\nu}k^{z}v(k)$とかかれる。 ここで方程式は無次元形で,$\overline{\nu}$

は Reynolds 数の逆数である。 Bu rgers モデルはNavi er-Stokes 方程式の一次元簡単化である。
ここでは $k$ 一空間についてのあつかいに限る。 (2.2) に対する Hopf 方程式は$\frac{\partial\Phi}{\partial t}=/\prime kz(k+k’)\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial zdk\partial zdk}$

ここで$\frac{\partial}{\partial zdk}$i)$\Phi[0$a(2.3)$kdk^{\prime_{arrow}}(2 \pi)^{2}\overline{\nu}\int k^{2}z\frac{\partial\Phi}{\partial zdk}dk$は汎関数微分である。我々を (25) を) $=1$$|\Phi[z]|\leqq 1$$i\dot{|})$

(2.4)
iii)

$\Phi[z)^{*}=\Phi[-z]$iv)$-\Phi[e^{2\pi ika}z]=\Phi[z$ )の条件の下に解かなければならない。

$a$$|$: 任意) $-|||$ ) は \Phi の定義より,$|V$) は一様性の仮定より出る。

ここでは直交関数展開による方法によって Burgers, モデルに対する Hopf 方程式を解くことを考える。

$z$が適当な直交関数 $\varphi_{n}(n=0, 1 \infty)$ で展開できるものとする :
(25)

$-$

$z=a_{n}\varphi_{n}(z)$ここで, 又以下に\mbox{\boldmath $\lambda$}‘ いてかさなった下つき符号については和をとるものとする。,$\varphi_{n}$は$\int_{arrow\infty}^{\infty}\varphi_{1}\varphi_{m}^{*}dk=\delta_{\ell m}$$\}$(24)$\varphi_{1}(-k)=\varphi(h^{*}$の性質をもつものとする。 (2.6) の第二条件により$a_{\grave{n}}$$-55arrow$は実数とすることができる。かくして$\Phi\zeta z,$$t$)

は$a_{1}$$a_{\text{。}},$,. .と$t$の関数とみなされる :$\Phi[z, t]=\Psi$ ( $a_{0},$$a_{1},$

そうすると Hopf の方程式 (2.3)$\ldots\ldots$; t)(2.7)

はふつうの偏微分方程式 (ただし無限個の変数 $a_{0},$ $a_{1},$$\ldots\ldots$についての)$\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{1}{i}A_{lmn}$a(2.8)$n \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{l}\partial a}-\overline{\nu}A_{lm}a_{m}\frac{\partial\Psi}{\partial a_{\ell}}m$(2.9)$A_{l^{mn}}=i \iint\varphi_{l}^{*}(k)k’\varphi_{m}^{*}(k’)\varphi_{n}(k+k’)dkdk’$(2.10)$A_{\ell m}=4 \pi^{2}\int k^{2}\varphi_{l}^{*}(k)\varphi_{n}(k)dk$に帰着する。

具体的な問題として初期値問題を考える。

$\varphi_{l}(k)$として Hermiteの多項式によりつくられる直交関数系をとり, 先ず第二項までとると$\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\frac{2\pi)1/4}{i}(\frac{4}{3^{3}/2}(a_{0}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{0}\partial a_{1}}-a_{1}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{0}^{2}})-(2\pi)^{2}\overline{\nu}(a_{0}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{0}^{2}}+3a_{1}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{1^{2}}})$(, 2.11)をうる o$t=0$ で$\Phi[z, 0]=\vec{e}^{\frac{1}{2}\int E(k,0)zz^{*}dk}$(2.12)

が成立つと仮定する。 ここで $E(k, 0)$ は初期のエネルギースペクトルである。 (2.12) は(2.13)$v( \phi v(k)^{*}=\delta_{0)E(k}, 0)=(\frac{1}{2\pi)^{2}i^{2}}\frac{\partial^{2}\Phi[z,0]}{\partial zdk\partial zdk}1z’,z’=k=-k_{0}$を厳密に満足する。初期値としてi)$E(k, 0)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}e^{arrow k^{2}/2}$,ii)$E(k, 0)=\sqrt{\frac{2}{\pi}}k^{2}earrow k^{2}/2$(2.14)をとると, (2.11) に対応する \Psi の初期値は$arrow 2\pi^{3/}2(a_{0}^{2}+\frac{1}{2}a_{1}^{2})$

i)
$\}$

$\Psi(a_{0}, a_{1} ; 0)=earrow\pi^{S}/2(a_{0^{a}}+\frac{3}{2}a_{1}^{2})$ii)$\Psi(a_{0}, a_{1} ; 0)=e$–56–(2.15)

となる。

先ず, 独立変数を$b_{0}=t$anh$\gamma_{1}a_{0}$$b_{1}=t$anh$\gamma_{2}a_{1}$(2.16)

によって, $-1\leqq b_{0}\leqq 1$$b_{0}=X1$,$-1\leqq b_{1}\leqq 1$に変換する。以下プログラムの記法でかく。

$b_{1}=X2$$\gamma_{0}=GAMMA$

1 ,$\gamma_{1}=G$(2.17)AMMA 2対称性から $(X 1 X2)$ の第一象限だけ考える。 $X1$
$N2$

, 時間のメッシ間隔を T$A$, 時間のステップ数を N$X2$ を等間隔のメッシに分け, その数を $N1$ ,$T$とする。

最後の計算は$N1=N2=20$
G AMMA $1=GAMMA2=1.0$(2.18)$R\geqq 100$ に対して$\triangle t=TA=0.01$,$NT=15$$R\leqq 100$ に対して

$100\overline{\nu}\triangle t=TA=0.1$$NT=30$において行った ( $R$ は Reyno 1 $ds$ 数) 。境界条件は第 1 回のようになる。
エネルギー

スペクトルも$\varphi_{n}$で展開し(2.19)$E(k, t)=c_{00}(\iota)\varphi_{0}(k)^{2}+c_{11}(t)\varphi_{1}(k)\varphi_{1}(k)^{*}$

により 9 計算される。 ただし$C_{00}=- \frac{1}{4^{\pi}}3/2(3\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{0}^{2}}a_{0},a_{1}=0^{-}2\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{1}^{2}}a_{0},$$a_{1}=0$(220)$c_{11}=- \frac{1}{2^{\pi^{3}}/2}(\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial a_{0^{2}}}0-2\frac{\partial^{2}\Psi^{\subset}}{\partial a_{1}^{2}}0)$$-$である。 全エネルギーは$\overline{E}(\iota)$1$\overline{E}(t)=\int_{0}E(k\infty, t)dk=(e_{00}+c_{11}\overline{2})$となる。

数値計算による結果は第 2\sim 4 図に示されている。

-57-$(2_{:}21)$

その結果, 明らかになったことを二, 三記すと,i)$N1,$ $N2$ を大きくすると numericalii)

GAMM $A1$ を小さくすると stable になるが, 精度がわるくなる。

iii)

スペクト

$J\triangleright$

instability が出やすい oをながめて, この近似では尺\geqq 1O0 で $t<0.15,$ $R\leqq 10$ で $100\overline{\nu}t<0.3$ において, 大体数値計算がうまくいっているものと思われる。

$R=10\sim 100$ でスペクトノレの特性がかわり, $R\leqq 10$ では $E(k, t)=E(k, 0)e$$arrow\pi^{2}\overline{\nu}k^{2}t$$iV)$が大体成立し, $R\geqq 100$ ではエネルギー伝達の効果が大きく, 直交関数二項ではよい近似になっていないよ うである。

参考文献

1)

Batchelor, G. K.: The theory of homogeneous turbulence, 1953 Cambridge V. P.

2)

Hopf, B.: J. Rat. Mech. Anal. 1 (1952) 87-123.

3)

Hopf, B. &E. W. Titt: J. Rat. Mech. Anal. 2 (1953) 587-91.

4)

桑原真二

: 数理解析研講究録 23 (1967) 39-55.

5)

桑原真二

:6)

巽友正

:

数理解析研講究録乱流,1962

槙書店

47 (1968) 30-37.

.

–58-$ri(/.\underline{\cdot)}C1_{t(1lt(\prime}()\prime l^{\gamma},’|’\cdot r(\prime ys_{l^{(’(\prime\iota(m()}}\cdot\cdot\prime l_{(}’/ls\cdot\prime_{i\prime l\prime)}\cdot$$(l)lt=()$$//t\prime\prime\prime$$-S9-$

$c/R=l()/1$$k$$’/1i=$–60–

$I^{i}iq$

.

$./$

. Change of $Enct\cdot/y$ Spcr frum

$0\int$$(l)R=()$/$)^{}$$k$$-6|-$

Double Bell Shape$(|R=1’)()$$(lR=$–62–Fig 4$aI$

Decay Curt

$CS$

$f$

Total Turbulen

Bell Shape Spectrum$100\overline{\nu}^{-}l$$100\nu^{arrow}t$-65–$f$

En’ $r’ y$