数理解析研究所講究録
第 80 巻 1970 年 79-93

自由境界層における有限攪乱

\S 1.

京大

理

巽

京大

数研

後藤金英

友正

序

この報告では自由境界層に導入された擁乱の発達を調ぺ 層流から乱流への遷移と, 到達する平衡状態とに関する何らかの知識を得ることを目的とする。
一般に自然遷移では, 非常に多くの mod$e$にわたって掩乱が増幅されるので, その解析には統計的処理が唯一の方法と考えられる。一方実験室では, 層流に含まれる掩乱を予め可能な限り除去し, 浄化した層流に既知の掩乱を導入して遷移を起させ, その機構を調べる芳法が採られる。 これを名付けて,強制遷移と呼ぶことにする。 この場合も遷移に特徴的な現象は勿論実現される。 ここで我々は, 強制遷移を理想化し, 携乱を全く含まぬ層流に既知の掩乱を導入しその発達を調べることにする。勿論この場
合, 遷移は層流から層流へのそれであり, 平衡状態は乱流ではあり得ないが, 遷移機構の特徴は備えていると考える。

層流の非線型安定理論は, 最近の発展にも拘らず遷移の理論的説明としては, はなはだ不満足なものでしかない。 これまでに主要な理論は二つあり, 一つは通常準中立掩乱理論と呼ばれ,十分小さな増幅率をもつ掩乱を対象とする。 今流への feedback は考慮するが,つは準線型理論と呼ばれ,$s$nput としてそこでは input 撮乱の主

higher harmonics の発生は一切省略する。 これらの理論の応用は, 前者に関して平面 poiseuille 流 (Reynolds

Peke ri$i$&Shkolle $r,$ $1967$ ),自由流 (Got oh ,1968

Poi seui 11 ZilF (Me ksyn &St ua $rt,$ $1951$ ), Coue$e$

&Potter , 1967;$tteff_{\text{し}}$a) に, 後者に関して平面(Kuwabar $a,$ $1966$ ) について発表されている。 しかし実験では, 大きな増幅率をもった掩乱が幾つかの higher h a rmo$ics$$narrow$

を伴って発達する。従ってその効果を併せ考慮した理論の展開が必要である。

この論文では, はじめに一般的な解析を三次元撹乱について行うが, 具体的な計算は二次元撹乱についてのみ行う。二次元掩乱を対象とすることは, channel 流あるいは板に沿う流れの境界層のよう$arrow 79arrow$

に壁を伴う流れで実験的に観測される三次元掩乱と相容れない。 自由流では, しかしながら, 導入される乱が二次元的であれば, それが発達して非線型効果が現れるに至っても尚二次元性を保つことが実験的に示されている (Sa $to$ ,1960 ;Sa $to$ &Kur iki, 1961 ;Br owand, 1966)

従って計算を二次元掩乱に限って実行することは,掩乱の追跡に当っては,$a=0$ の mode。

自由流の場合には実質的に制限とはならない。

6 つの異なる波数の mode が考慮される。即ち, 主流の変形を表す波数, 線型理論でほぼ最大増幅率をもつ $\alpha=0.5$ の mod$e$

中立掩乱として知られる $\alpha=1.0$ の mo $de$ , それに 3 つの減衰 mode

, 高い Reynolds 数状態で$\alpha=1.5$

これらの mode は全て位相が揃っているとする。 この仮定は, 全ての higher

,

2.

$0$

と 2. 5 である。

harmoni cs が導入掩乱によって作られるとする強制遷移では現実的であろう。

\S 2

撹乱を伴う場の Fourier 解析

この論文では主流を定常・平行流とみなす。流れに沿って$x$軸, 速度勾配の方向に $y$ 軸をとると, 掩

乱を伴わない流れの場は,
速度$\cup(x)=$圧力$P(X)=$$[U(y), 0, 0]$ ,(2. 1)$P(\alpha)$,と表わされる。

–80–

掩乱は二次元 Fourier 級数で次の形に表されるとする ;速度へ$= \sum_{\mathcal{K}}a_{k}(t)u|k^{(y}$,$t$) $exp[i(k|r)]$ ,(2.2)
エヵ $\wedge p=\sum_{\kappa}b_{k}(t)p_{k}(y t)exp[i(kr)]$$r=[x, 0, z]$ ,ここに,$k=[\alpha, 0, \gamma]$。

$a_{k}$

および$b_{k}$

は,

それぞれ

$u$

靴お・よび

$p_{k}$

を規格化するために導入してある。 (2. 2) の左辺は物理量ゆえに$a_{-k}=a_{\dot{k}}^{*}$,$b_{-k}=b_{k^{*}}$,(2. 3)$u_{-k}=u_{k}^{*}$,$Parrow k=p_{k^{*}}$

でなければならぬ。 ここに,
$u$

$*$

印は複素共役を表す。掩乱を伴う流れの場は結局$(x, t)=\cup(x)+u(x, t)$ ,(2. 4)$p$$(x, t)=P(x)+p$ (

$x$

,

t),

で表される。
流体を非圧縮性流体とすれば, 運動は次の方程式系に従う ;連続の式 :$\nabla u=0$,

(2. 5)

運動方程式 :$\frac{\partial u}{\partial t}+$$(u\nabla)u=$$- \frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}u$.

(2. 6)(2.4) を (2.5) および (2. 6) に代入し, 主流がそれ自身 (2. 5)(2. 6) の解であることを用いると, . 麗乱を支配する方程式系 :$i( ku_{k})+\frac{\partial v_{k}}{\partial y}$($a_{k}$$L_{k}=$a$\frac{\partial}{\partial t}$

uu

$k$

(2. 7)$=0$ ,$k[i\alpha Uu|k^{+}v_{k}\frac{d\cup}{dy}+\nu(k^{2}-\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}})u_{k}]$$P_{k}=\frac{1}{\rho}$(2.8)) $+ L_{k}+P_{k=}-\sum_{\kappa’}.O_{k}k’$ ,$(i \alpha, \frac{\partial}{\partial y}, i\gamma)$$b_{k^{P}k}$,$-81arrow$,a$O_{k}^{1}k’=$$k$ ’

a $karrow k’[iu_{k},$ $( ku_{^{}karrow}k’)+\frac{\partial}{\partial y}(u_{k’}v_{k-k}, ))$$\lrcorner$が得られる。

\S 6.

線型理論

(2. 8) の圧力項 $P_{k}$ を消去すると,渦度方程式 :$[U+ \frac{1}{i\alpha}\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\nu}{i\alpha}(\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}-k^{2})](\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}-k^{2})v_{k^{-\frac{d^{2}U}{dy^{2}}}}a_{k}v_{k}$$= \frac{1}{i\alpha}\sum_{k’}$[$i \frac{\partial}{\partial_{\vee}v}(kQ_{k}k’)+k^{2}Q$

臨 $k’$ : $y$

],

(3.1)

が得られる。 (3. 1) の右辺は掩乱について左辺より一次高次であるから, 掩乱が微弱な場合には右辺を省略してよい。線型化方程式の解を,(0)$a_{k}=a_{k}$として求めよう。

$exp[\sigma(k)t]$ ,$(0)$$a_{k}$

および$\sigma(k)$$u_{k}(y, t)=u$

は定数。

$(0)$

(3.2)

$(y)$

(3.2) を (3. 1) で右辺を$0$$[U+ \frac{\sigma}{i\alpha}-\frac{\nu}{i\alpha}(\frac{d^{2}}{dy^{2}}-k^{2})](\frac{d^{2}}{dy}2-k^{2})v_{k^{o}}^{()}-\frac{d^{2}U}{dy^{2}}v_{k}=(0)0$が得られるが,とした式に代入すると,,(3. 3)

これは線型理論に卦ける Or r-Sommer $fe$ ld 方程式に他ならぬ。

自由境界層の安定性の研究では主流の速度分布を$U(y)=t$ an $hy$(5.4)

で近似することにより, 理論的解析が可成り簡単化されることが知られている。事実この速度分布を用いていくつかの研究が行われた (Be$t$chov &Sz ewc $zyk,$ $1963$ ;Mi cha lke , 1964 ;Tatsumi , Gotoh &Ayukawa, 1964 ;Go toh, 1965)
乱のみが取扱われているが,。

これらの研究では二次元握それは Squire の変換でこれから容易に三次元掩乱の安定特性が得ちれるからである。 (3. 4) に対する二次元擁乱の線型安定特性を要約すると次のようになる。
(1)

すべての

$\alpha$および

Reynolds 数

$R$

に対して,

して反エルミート対称性をもつ。

–82–$\sigma$(\emptyset ) は実数値をとる。 その結果

$v^{(o)}\alpha$は $y$ に関(2)すべての $R$ に対して,$\alpha$に臨界値$a_{c}$があり,$\alpha<\alpha_{C}$て減衰する。従って, いわゆる臨界

Reyno 1ds 数$R_{C}$

は $R_{c}=0$ であ

るo
(31
$0$

$\alpha_{c}$

から

$R$

は $R=0$ に対する$\alpha_{c}=$と共に単調に増大し,=\infty で有限値$\alpha_{c=1}$$R$に漸近する。

$R>1000$ に対しては, 安定特性
は殆んど

$R$

に依らない。 これらの結果は図 2, 3 に示される。

$-8$ ろ一の掩乱は増幅し,$\alpha>a_{c}$の握乱はすべ\S 4.

エネノレギー方程式と振幅方程式(2.8) にをかげ, その複素共役をとり,$a_{k}^{*}w_{k^{*}}$

両者を加え,$y$について一\infty から \infty まで積分すると次の式が得られる ;$\frac{d}{dt}E(k)+L_{1}(k)=$$- \sum_{k}\prime Q_{1}(k, k’)$,(4. 1)$E(k)=|a_{k}|^{2}F(k)$ ,,$F( k)=\int_{-\infty}\infty|u_{k}|^{2}dy$$L_{1}(k)=|a_{k}|^{2}M(k)$ ,$\infty$$M( k)=\int_{arrow\infty}$$dU$$[\overline{\cdot dy}(u_{k}v_{k^{*}}+u_{k}^{*}v_{k}$$+2 \nu(|\frac{\partial u_{k}}{\partial y}|^{2}+k^{2}|u_{k^{1^{2}}})]$$dy$(4. 2)$Q_{1}(k, k’)=a_{k}^{*}a_{k’}a_{k-k’}$$G( k, k^{*})=\int_{arrow\infty}\infty[i(u_{k^{*}}u_{k^{i}})$$-( \frac{\partial u_{k}^{*}}{\partial y}u_{k’})$

ここで C.

.

$G(k, k’)+C$ C. ,(ku)$k-k’$$v_{k-k’}$]$dy_{0}$C. はその前に現れた項の複素共役をとった項を意味する。

(4. 1) は二次元波数 $k$ についてのエネ’ ギー均衡を表す。 $\frac{1}{2}E(W$ をエネルギースペクトノ と呼蕊$Mk)$ の第一項は主流から掩乱のこの$k’)$ は異なる波数の$Q_{1}$

mode へのエネ’\iota \acute ギー流入を, 第二項は粘性消散を表す。 $G(k$ ,mode 間のエネルギーの流れを表し, エネルギー輸送函数と呼ばれる。

$(k, k’)$ が対称性 :$Q_{1}$$(k$ ’.,$k)=-Q(1k, k’)$をもつから,$arrow 84-$

$\sum_{k}\sum_{k’}Q_{1}(k, k’)=\frac{1}{2}\sum_{k}\sum_{k’}[Q_{1}(k\cdot, k’)+Q_{1}(k’, k)]$

$=$

$0$

,

となり, 全波数にわたるエネルギーの増減には此の項は関与しない。 この事は一様乱れの理論で既によく知られた事実である。又 (4. 1) に圧力項がないのは, これも一様乱れの理論で知られた結果であって,$u_{\{k}$の異なる方向成分の間のエネルギー輸送にのみ圧力が関与して, 波数 $k$ の mode に属するエネ

ルギーを保持するからである。
(4. 1 ) 式をもっと簡単にする目的で,

ここで我々は $u_{k}(y, t)$ に線型方程式の解$u_{k}^{(0)}$(y) を用い

これを準線型近似と呼ぼう。 (4. 1) はこの近似のもとで,るという近似を採用し,$F^{(0)}( k)\frac{d}{d\iota}|a_{k^{|^{2}+M^{(0)}(k)|a_{k}}}|^{2}$$=- \sum[a_{k}^{*}a_{k’}a_{k-k’}G^{(0)_{(}}k, k’)+c$
$k’$

. .)

(4.3)

$c$

となる。 ここに, 肩文字 (のは各表現の $u_{k}(y, t)$ を $u_{k}^{(0)}(y)$ でおおきかえた表現を意味する o$exp[\sigma(k)t]$ uu$(0)k$

が線型方程式の解であるから,( $\sigma(k)+\sigma(arrow k)$]$F^{(0)}(k)+M^{(0)}(k)=0$ 。

(4.4)

従って, (4. 5) 式は (4. 4) を用いて,$\frac{d}{dt}|a$盤$|^{2}=(\sigma(k)+\sigma(arrow k))|a_{k}|^{2}$

,

(4.5)

-( 4.5) の右辺は各 mode の振幅のみならずその位相をも含んでいるから,(4.5) ばそれ自身閉$- \frac{1}{F^{(0)}\Theta}.\sum_{k’}$$[a_{k}^{*}a_{k’}.a_{karrow k’}G^{(0)}(k, k’)+C. C]$となる。

じていない。 しかし強制遷移では,て発生し,higher harmo nics は全て input mode の励起によinput mode と同位相であるか或は位相差 をもつ。 input mode のを失うことなく実数にとり得るから,$\pi$higher harmonics の

$a$

は一般性

徽も実数としてよい。 この論文ではこの位相関係が遷移の全過程を通じて成立すると仮定し, これを real$arrow 85arrow$$a_{k}$

っamp 1 it ude の仮定と呼ぶことにする。 この仮定のもとに (4. 5) は,$\frac{d}{d\iota}a_{k}=\frac{1}{2}$$[\sigma(k)+\sigma(arrow k)]a_{k}$$- \frac{1}{2F^{(0)}k)}\sum,ka_{k’}a_{karrow k’}[G^{(0)}(k, k’)+c.

C.]$

,

(4.6)

となる。 この式は振幅のみを含み, 振幅方程式と呼ぶことにする。 (4. 6) は初期条件 :$a_{k}=\{\begin{array}{l}Ik0\text{その}ffl \text{の場合}\end{array}$のもとに解かれる。但し,\S 5.

$k_{o}$

は$i$

npu tmode の波数を表す。

二次元撹乱
$k=$

$(\alpha, 0$

・$, 0)$ ,(5. 1)$u_{\alpha}=(u\alpha, v\alpha, 0)$で定義される二次元掩乱に対しては, 連続式 (2.7) から$u_{\alpha}$は流れ函数$\Phi$(厳密には流れ函数の Fo-urier 振幅函数) を用いて
$u\alpha=d\Phi_{\alpha}/dy$$v\alpha=-i\alpha\Phi_{\alpha}$,(5. 2)と表される。 (5. 2) を (4.2) に代入すると, F\otimes および $G(k, k’)$ は幾分か簡単になる ;$F( \alpha)=\int_{-\infty}[|d\Phi_{\alpha}/dy|^{2}\infty+\alpha^{2}|\Phi_{\alpha}|^{2}]dy$,(5. 3)$G( \alpha, \alpha’)=-i\int_{-\infty}^{\infty}[\alpha d\emptyset_{\alpha^{*}}/dy(d^{2}\Phi_{\alpha’}/dy^{2}+\alpha’2\Phi_{\alpha’})$

.

(5.4)

$+\alpha’d\Phi_{\alpha’}/dy(d^{2}\Phi_{\alpha}^{*}/dy^{2}+\alpha^{2}\emptyset_{\alpha^{*}})]\Phi_{\alpha-\alpha’}dy$\S 3(3}で注意したように, 線型理論の結果は高 Reynolds 数状態では殆んど(5. 3) および (5. 4) のとすると,$\emptyset_{a}$$\emptyset_{\alpha}$に非粘性の極限での$\Phi_{\alpha}$$R$によらないから,を近似的に用いてよかろう。 (3.3) で$\nuarrow 0$を支配する方程式は,$(U-c)(d^{2}/dy^{2}-\alpha^{2})\Phi_{\alpha^{-}}d^{2}U/dy^{2}\Phi_{\alpha}=$$0$,となる。 ここに $c=-\sigma/i\alpha_{o}(3.3)$ から (5. 5) への極限移行の有効範囲は, 複素–86–(5. 5)$z$

面の虚軸の$z>c$ の部分を含む内部摩擦層の外側であること力\sim$\Phi_{\alpha}$

既に線型理論で知られている。

の境界条件は勿論,$\Phi_{\alpha}(\infty)=\Phi_{\alpha}(-\infty)=0$.

(5. 6)(5. 6 ) の解は, 数値的には割に容易に求め得る。 ここでは解法は省略し,(5. 5)

についての結果のみ表 1 と図 3 に示す。解法については,又は Gotoh (1968, b)に従う$\Phi_{\alpha}$

$c$

の固有値

この研究の本論文, 或は Michalke(1964)を表照されたい。固有値が定まれば,$y$の実数値に対して (5.5) $\cdot(5.6)$を求めることは容易である。

Eigenvalues

表1

0.5

1.0

037502$0$$\alpha$$c_{i}$

ここで $\alpha=0$ のof$c_{i}$

1.5

2.0

2.5

$-O.28686$$-0.53439$$-0.76159$

mode について述べねばならない。 $\alpha=0$ に対しては (3. 3) 式は解$\phi_{o}\equiv 0$しか許さない。 しかるに平均流の速度分布が主流のそれと異ることは実験的に知られた事実で, 何らかの形
で$u_{0}$

を考慮に入れる必要がある。 そこで,互作用で$u_{0}$の函数形を決めるのに,$u_{0}$

input 撹乱自体の非線型相が出来ると考える。 この事は題 o の発生の初期では確かに事実である。 (2.8) の右辺非線型項の中の input

mo de だけを残すと,$[\sigma(\alpha_{0})+\sigma^{*}(\alpha_{o})]u_{o-}^{(0)}$$u_{0}^{(0)}$を決る式が次のように求まる。

$\nu d^{2}u_{O}/dy^{2}(0)$$=-Nd(ua_{o}v^{*}\alpha_{0}+C. C.)/dy$ ’(5. 7)$(0)$

ここに $N$ は $u_{O}$ の規格化定数。 (5. 7) は非粘性の場合には,$\Phi_{0}=(N^{r_{2c\cdot\downarrow\alpha_{o}}}J)(\Phi_{\alpha_{o}}^{*}d\Phi_{\alpha_{o}}/dy-\Phi_{\alpha_{\overline{o}}}d\emptyset_{\alpha_{o}}^{*}/dy)$となる。 (5. 7 ) あるいは (5. 8 ) の$\Phi_{\alpha_{o}}\dot{\text{の}}\phi_{o}$

への

(5.8)

feedback の形は, 準線型理論で使用された

それと同形である。
以上のようにして求めた$\alpha’)$$\Phi_{\alpha}$

を (5.3)(5. 4) に代入し数値積分を実行すると F $()$ および $G(a$,が表 I に示すように求まる。但し $\alpha_{o}=0.5$ とし, それに応じて $N=0.4782$ である。積分に際して, 内部摩擦層は $y=0$ に収縮し積分には寄与しないとした。

$a’)$ は実数値をとる。
$-87arrow$$\emptyset_{\alpha}$のエルミット対称性の故に, $c(\alpha$,表 I

Values of

0.5
2.07050.0
1.6402$\alpha$$F(\alpha)$

1.5052668

1.0

26667
Values of

0.0
0.54628049550069034$oe\backslash ^{\alpha}$

25
2.0
1.5

1.0
0.5

1.0

$arrow 69602$$arrow 0.37064$$-5.8856$

01065221541$arrow 0.84538$$0$$arrow 0.64309$

0.0

0.690340495500.34628$-1.5$$arrow 2.0$$-2.5$

振幅スペク$\alpha=0$

,

0.5,

1.5
5.0943
94522

2.0
14742

$**$

$arrow 94522$$-2.1541$$-010652$

48286

$**$

2.5
0053851

2.5$***$$arrow 14.742$$arrow 5.0943$

0370645885669602$-059550$$-0.50237$

0.14933

037842$**$$-0.096960$

050237$0$014748$arrow 0.69034$

$0$

$**$

20

$G(\alpha, \alpha’)$0.84538

0.64309$-0.64309$$-1.0$

$**$

$**$

$**$

$-O.5$

\S 6

0.5

48286

$F(\alpha)$$arrow 0.34628$

0.096960$-O.1493^{\cdot}3$$=0.37842$

トル

1. , 1. 5, 2.
$0$

$0$

および 2.5 の 6 つの mode の追跡に, 方程式系 (4.6) のはじめの 6 式が用いられる。表 I の $F(\alpha)$ ,$e(\alpha, \alpha’)$をこれらの式に代入すると$arrow 0.20193a^{2}$$da_{O}/dt0.\ulcorner$$da$018751$=0.37502a_{15}^{2_{2}}0.\cdot 50.5_{5_{2.0}^{arrow 0.\cdot 40256}}0.510$$a$$\prime dt=$$+0.2$$arrow 06494.8$

0415$+1.4574$

$a$

$a$

$a$

$a$

aa

$a_{1.5_{2.02.5}}0^{2}0_{1015}^{-0.28.894}5.a_{2.0}^{2}$$+1.0447$$+1.7722$–88–$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

a

$a$

$a$

a

(6. 1)となる。 ここで $\alpha\geq 3.0$ の波数の higher$-$(6. 1) は input

め $de$

harrr$\mathfrak{v}ni$

cs は, 全部無視した。

の初期値に種々の値を用いて解かれたが,代表的な次の 3 つの場合をここに呈示する。 即ち,$\iota=$0.007,

或は $E(0.5)=$0.0001,

0. $02$ ,$0.001$ ,$0.07$ ,$0.01_{O}$(6.2)

数値積分は Runge-Kutta-Gi 11 法で行い, 京大数理研の電算機 TOSBAC3400 を使った。
結果を図 5 に示す。 この図から, 次の諸点が指摘され得る。
(1]

すべての mode が初期段階で増幅する (図 4a) 。線型理論では減衰する筈の mode でさえ増幅するのは, 導入掩乱の存在に依りその安定特性が影響されるからである。 このことは (6. 1) の$a_{o}$

を含む非線型項の寄与を見れば明らかである。
(2)

非線型効果が現れて, 各 mode の増幅が止まったあとで振幅に振動が現れる (図 4b) 。この計算では higher harmonics の列を有限個で切りすてているから, その端で起るエネルギーの反射がこの振動を生ずると見られる。 input mode から higher
流れは直ちに平衡状態に達するのではなく,

harmoni cs へのエネ々ギーのエネルギー再配分のための低い mode’ のエネルギーの$\backslash$$arrow 89-$図

図

4 $(a)$

4 $(b)$-? $0-$

図

5

図

6

流れが生じ, 高い mode の振幅に振動が発生する。
(3)$\ovalbox{\tt\small REJECT} 4)$$t2$) でのべた振動は割に短時間で消失し,

図 5 に示すような

平衡振幅スペクトルに到達する。

hi gher harmonics の成長および振動の発生も含めて全て平衡状態の振幅のみならず,

input の初期値には依存しない。
(5).

数値計算は全て積分の時間間隔のとり方に依存しない。 このことは振動部分についても成立する。

つまりこの振動は Runge-Kutta-Gi 11 法の不安定性に依るのでなく, 方程式系 (6.1) の解の真の振舞を示していると思われる。
以上の特性は,(6.1 ) に考慮した mode の数には無関係であると思われる。方程式系に $( 6, 1 )$の初めの 5 つをとり,$a_{25}\equiv 0$とした 5 成分系の場合の解にも, 定性的に上記 1}\sim (5) の特性が再び見られる。 図 6 の平衡状態の振幅スペクトルは, 従って,

6 成分系のそれと量的に異なる。 この特性を更に確認し, 且つ何か平衡状態での振幅スペクトルの決定版を得るには, 更に一つ higher harmon$ics$を入れた計算をするのが常道である。

しかしその系には, 新しく加った $G(\alpha, \alpha’)/F(\alpha)$のいくつかが大きな値をもって入ってくるので数値積分は困難となり平衡スペクトルは得られなかった。

$arrow 91-$

$G/F$ の値が大きいので, 追加された mo de の振幅は小さいと思われるが,

lower mode の振幅

スペクトルは多少とも影響を受けるかもしれない。

\S 7

議論

エネルギースペクトルは \S 4 $oe\Xi$ 義により$\frac{1}{2}E(\alpha)$

ニ)$F_{(}\alpha$$\frac{1}{2}$$a_{\alpha^{2}}$で与えられるから, 平衡状態のそれは図 6 の数値を用いて表皿に示すようになる。

掩乱速度の二乗平均 $u_{m}s$$u_{m.s}$.は. $=<u^{2}>$a$= \frac{F_{O}}{2Y}$$= \sum_{-\infty}^{\infty}\frac{p_{\alpha}}{2Y}a_{\alpha^{2}}$$o^{2}+ \sum_{1}^{\infty}\frac{F_{a}}{Y}a\alpha^{2}$>は $x$ ,で与えられる o 但し $<$$y$(7. 1 ),

についての平均を意味し, 掩乱が実質的な値をもつのは $|y|<Y$の範囲とする。 そうすると二乗平均スペクトルの平方根 $u_{r.m.s}.(\alpha)$ は$u_{r.m.s}.(\alpha)=\{\begin{array}{l}\sqrt{F_{o}/2Y}a_{o}\sqrt{F_{\alpha}/Y}a\alpha\end{array}$(7. 2)$\alpha^{;}$

その ffl のとなる。 $Y=2$ ととり, 統計的等方性 $u_{r.m.s}$,$(\alpha)=v_{r.m.s}.$ ( のを仮定すれぱ’$u_{r.m}$.s. は無次元形で$\frac{u_{r.m.s.(\alpha)}}{U(\infty)-U(arrow\infty})$$=$$\{\sqrt{F_{\alpha}}a\alpha/4\sqrt{F_{o}/2}a_{o}/4$$(7.3)$,$\alpha^{;}$

その ffl のと表され, その値は表

表I

$N$

,

のようになる。

Equilibrium enerqy $- spectr\iota un$ in six modes system$E(\alpha)/2$

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0080000003

0250

00000

00002

00000

–92–

表 IV

Spectrum ofa$\frac{u_{r.m.s}}{U(\infty)arrow U(arrow\infty)}$$u_{r.m.s}/[U(\infty)arrow U(-\infty)]$

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

25

0023

0.006

0170

ODOI

0005

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この研究の 1 つの動機に Br owand の実験があった。 しかし彼の実験では導入掩乱の半分の波数のmode (通常 subharmonic と呼ばれる) が higher harmonics の成長に本質的役割を演じているように見える。従って,

この論文の結果と比較すべき意味をもたない。 subharrmnics の発生については幾つかの論文がある力\searrow 我々は subharmonics は初期値を与えられた時に限って発達し得るものであり, 且つ, 遷移の過程に本質的ではないと信じる。

ubharmon i cs を伴わない実$\cdot$$s$

験が望まれる。

subharmonic$G(\alpha, \alpha’)/F(\alpha)$$h$$a_{0.25}$.

とその higher

harmo nics を含む方程式系を解く試みも,再びに大きな値が現れて, 結果は得られなかった。 この論文で考慮しなかった高い

a rmon $ics$ をうまく採り入れる仕事が残された課題であろう。

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