計測自動制御学会東北支部 第 216 回研究集会 (2004.6.22)
資料番号 216-12

循環系におけるモード 遷移ダ イナミクスのカオス的遍歴モデル
Chaotic itinerant model of mode transition dynamics
in human circulatory systems○成田大気 ∗ ，本間 経康 ∗ ，酒井 正夫 ∗ ，吉澤誠 ∗ ，阿部 健一 ∗○ Taiki Narita∗ , Noriyasu Homma∗ , Masao Sakai∗ , Makoto Yoshizawa∗ , and Kenichi Abe∗

*東北大学
*Tohoku University
キーワード : カオス的遍歴 (Chaotic itinerancy), 大域結合写像 (Globally coupled map),
3 要素 Windkessel モデル (Windkessel model)

連絡先 :〒 980-8576 仙台市青葉区荒巻字青葉 05 東北大学大学院工学研究科 電気・通信工学専攻 吉澤研究室
成田 大気

1.

Phone: (022)217-7130, E-mail: narita@abe.ecei.tohoku.ac.jp

はじめに存在し ていることを証明し たカオスの例にならって，複雑なモード 遷移にも比較的簡単な メカニズ

生体における心拍数や血圧など のダ イナミクスは 様々な内的，外的因子および 覚醒や ，睡眠，運動といった生理学的状態（ モード ）により変化する．このようなダ イナミクスの状態依存性を考慮し ，生体制御機構の性質を明らかにするためには，モード ご との信号ダ イナミクスの差異を明確にできるようなモデル構築が有効であると考えられる．
多くのモード を含有する系のモデル化の手法としては，モードごとに専用のモデルを用意し ，モームが 存在し うることを期待し たい．小自由度カオスに代表され る特徴には ，このような期待を満足する振舞いを見出すことは簡単ではなさそうであるが ，大自由度カオスの特徴であるカオス的遍歴（ Chaotic itinerancy ）現象1) は，その候補となりうる．すなわち，そこではすでに自律的に複雑に遷移するモード が 存在し ，モード 間の遷移は一見複雑そうに見えるが ，単純なルールに支配され ている．

ド 遷移に伴ってそれらを何らかの メカニズムで切替える方法が 考えられ る．し かし ，たとえば 生体のように大規模かつ非線形なシ ステムをモードごとに切替える メカニズムは ，非常に複雑なものになることが 予想され る．

本研究では ，複雑系の観点から生体をとらえる意味で ，カオス的遍歴現象を用いて生体のモード遷移を考慮し た新し いモデルを提案する．提案モ
デルは ，大自由度のカオス力学系におけるカオス的遍歴現象のもつ自律的なダ イナミクスの遷移機

一方，複雑なものの中に比較的簡単なルールが構を応用し た，より生体のダ イナミクスに適し た–1–モデルである．さらに ，潜在的な自律的変化能力定状態において，クラスター数 C(t)はある一定値をもつ提案モデルのモード 遷移を外部入力を用いを維持するが ，やがてクラスター数が 要素数に近て制御する手法を開発し ，循環系制御への適用のくなる（ すべての要素が 非同期的に振舞う ）カオ

可能性を計算機シミュレ ーションの結果より考察ス状態を経て，異なる準安定状態（ 異なるクラス

し た．

ター数 ）に自律的に遷移する．

2.

2.2

提案モデル

提案モデル

カオス的遍歴は ，大自由度のカオス力学系にお体温，心拍数，血圧など の生体の特徴量など は，いて幾つかのほぼ 安定な状態（ 準安定状態 ）が 存

睡眠，運動，休息といったモードごとに異なるダ イ

在し ，そのような状態の一つにしば らく滞在し た

ナミクスを示すことが 示唆されている 5) ．このよ

あと別の状態にカオスを経て自律的に遷移し てい

うにダ イナミクスが 異なる複数のモード が 存在す

く現象と定義できる1) ．これまでに，カオス的遍歴る系をモデル化するには ，各モード ご とに個別のを 示すさまざ まな系が 見出され ている 2, 3, 4) ．こ

モデル化を行い，それら複数のモデルを単に切替

こでは，カオス的遍歴を示す代表的なモデルの１える手法が 考えられ る．し かし ，生体の循環系がつであり，本研究で提案するモデルにおいて用い機械的なスイッチの切替を行っているとは考えにる大域結合写像について簡単に説明し ，カオス的くく，潜在的に自律的な切替 メカニズムが 存在し遍歴現象を応用し た生体ダ イナミクスのモード 遷ていると考えたほ うが 自然である．さらに ，モー移制御モデルを提案する．

ド 遷移は完全に自律的ではなく，モード に対応した何らかの入力により制御され ていなければ ，適2.1

切なモード 状態が 安定にならない．たとえば ，睡大域結合写像眠中に突然，運動モード に入るような制御は生体
カオス的遍歴が 見られ る系とし て，以下の式で表され る 大 域 結 合 写像（ Globally Coupled Map:GCM ）4) がある．

的遍歴のように自律的モード 遷移 メカニズムが 内在し ている系において，モード に対応し た何らかNε si (t + 1) = (1 − ε)g (si (t)) +g (sj (t)) .
N j=1

では通常生じ 得ない．そこで ，本研究ではカオス(1)の外部入力により，そのモード 間遷移が 適切に制御可能な新し いモデルを提案する．

ここで，si は i番目の要素の状態，N は要素数，t =0, 1, 2, · · ·は 離散時刻，εは 0 ≤ ε ≤ 1 なる負でない

2.2.1

基本特性

定数，また ，g(s)は任意のカオス写像である．

(1)式で表される大域結合写像に用いるカオス写

この大域結合写像の右辺第１項は ，カオスの初期値鋭敏性により要素間の出力の位相差を拡大し ，また ，右辺第２項は ，全要素の出力の平均化によ像 g(s)に ，時刻 tにおけ るモデルへの外部入力 I(t)を考慮し たロジ スティック写像 6)

り要素間の位相差を縮小し ようとする．これより，

g(s) = 1 − (a − I(t)) s2 ,(2)パラ メータを 適切に設定することで ，N 個の出力が 構成する同期の数（ クラスター数 C(t) ）の時間変化が カオス的遍歴を示す．すなわち，ある準安を考える．入力I(t) = 0に対してカオス的遍歴現象が 観測され るようにパラ メータ ε，aの値を決定す

–2–

10

クラスター数 C(t) の 変化を図 3 に 示す．これ より，

8入力 I(t)を 0.5 → 0.3 → 0.1 → 0.3 と ステップ 状にc(t)64変化させた場合には C(t)が 1 → 2 → 3 → 2 の定ク2ラスター状態に，クラスター数が 要素数 N = 10に00132t

図144近くなる不安定カオスダ イナミクスを経由し なが10ら追随し ていることがわかる．
これらの結果より，クラスター数をモード と定I(t) = 0 時のクラスター数の時間変化

I(t)義した場合，(1)，(2) 式で表されるモデルは，自律0.5的なモード 間遷移を ，外部入力 I(t) の 値によって0.4制御可能であることが 示され た．

0.30.2
0.1
000.5

1

1.52t

2.53

3.5

4
102.2.2

モード 遷移制御モデル

4(1)，(2)式のモデルにおいて各状態量 siが所望の
図2

外部入力の時間変化

デ ータの時間的変化を表現するとは限らず，むしろ，その可能性が 低いことに注意し よう．そこで，

10別のモデルで対象デ ータの時間的変化を表し ，そc(t)8のモード 遷移を (1) 式，(2) 式のモデ ルで 制御する

64

図 4 のような新し い メカニズ ムを提案する．いま，2つぎ のような一般的な n 次元の離散時間制御シ ス

000.5

11.5

22.5t

図 333.54104

テムを 考える．
x(t + 1) = f (x(t), u(t)),y(t) =

図 2 の外部入力によるクラスター数の時間変化

れば ，入力の値が大きくなるにつれてロジ スティック写像のカオス強度が 弱まるため，大域結合写像(3)g(x(t), u(t)),x(t) =[x1 (t) x2 (t) . . . xn (t)]T ∈ n ,(4)u(t) =[u1 (t) u2 (t) . . . ur (t)]T ∈ r ,(5)y(t) =[y1 (t) y2 (t) . . . ym (t)]T ∈ m ,(6)のカオス的遍歴の性質も抑えられて定クラスターf (x, u) =[f1 (x, u) f2 (x, u) . . . fn (x, u)]T ∈ n , (7)状態となり，その クラスター数 C(t) も次第に小さg(x, u) =[g1 (x, u) g2 (x, u) . . . gm (x, u)]T ∈ m .(8)くなることが 予想され る．
State vector

実際に ，パラ メータを N = 10，a = 1.90 ，ε =0.186 と設定し た場合を考え る 4) ．入力 I(t)をゼロ

x (t )

Inputu (t )Systemf , gとし たときの クラスター数 C(t) の 変化を 図 1 に示

I (t )

GCM状態になりつつ，全体で見ると時間的に変化し ていてカオス的遍歴が 観測され る．

図4

次に，入力I(t)を図2のように変化させた場合の，–3–y (t )The numberof clusters

External input

す．クラスター数は短い時間で見ると定クラスター

Output

提案モデル

C (t )

ただし ，x(t)，u(t)，y(t)はそれぞれ ，時刻tにお方程式を考える．

けるシステムの状態，入力，出力ベクトルであり，fp , gq , p = 1, 2, · · · , n, q = 1, 2, · · · , mはそれ
ぞれ 一般には非線形関数である．このシステムの自律的なモード 遷移を実現するために，(1)，(2)式のクラスター数の変動を利用することを 考える．

−x2 − x3 ,(12)

dx2 /dt =x1 + ax2 ,(13)

dx3 /dt =b + x3 (x1 − c).

(14)

レ スラー方程式は自律系，すなわち入力がなく，出力を状態変数と同じ（ y = x ）とみなせるので ，

ここで ，(7) 式の fp が ，線形関数の場合，i ∈ {1, 2, . . . , n}とし て，fp (x, u) = ap1 x1 + ap2 x2 + · · · + apn xn+bp1 u1 + bp2 u2 + · · · + bpr ur ,(9)とする．各モード j ∈ {1, 2, . . . , N }に対応するシス

f1 (x) =a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,f2 (x) =a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,f3 (x) =a31 + x3 (x1 − a32 ),と書ける．ここで ，(11) 式の関数をテム関数 fpj がfpj (x, u) = ajp1 x1 + ajp2 x2 + · · · + ajpn xn+bjp1 u1 + bjp2 u2 + · · · + bjpr ur ,dx1 /dt =aj11 = 0,

aj12 = −1,

aj13 = 1,

aj21 = 1,

aj22 = a = 0.36, aj23 = 0,aj31 = b = 0.4, aj32 = c = Cj ,(10)jのように 表され たと する ．いま各モード j に 対応と する ．すなわ ち ，a32 以外は 定数で あ る．ここする (1)，(2) 式のクラスター数を Cj とし ，で Cj は (1)，(2) 式の クラスター数であり，本節で

ajpk=hjpk (Cj ),k ∈ {1, 2, . . . , n},bjp

=Hpj (Cj ), ∈ {1, 2, . . . , r},

は 2.2.1 節で説明し た図 2，図 3のような外部入力とクラスター数の変化を用いた．このときの時系列(11)

x1 (t)を 図 5 に ，擬似最大リヤプ ノフ指数 λ(t) の 振のように表され る関数 hjpk ，Hpj が 存在すると仮定

舞いを 図 6 に ，アト ラクタを 図 7 にそれぞれ 示す．

すると ，fp が 生成可能な時系列であれば ，外部入モード 変化に追随し て，時系列の振舞い，擬似最力によってモード が 制御可能なダ イナミクスとし大リアプ ノフ指数の値が 変化し ていることが 分かてモデル化可能である．fp とし てパラメータの組る．また，アト ラクタはモード 変化に追随し て遷移し ていることが 分かる．これらの結果より，本θp = [ap1 , . . . , aini , bp1 , . . . , bpri ]T ∈ ni +ri ,来，自律的に遷移するモデルダ イナミクス，すなを もつ非線形関数 fθp の 場合も同様に 考え ること

わち時系列，擬似最大リアプ ノフ指数，アト ラクが できる．また ，出力関数 g について も同様であタの振る舞いが 外部入力の変化で制御可能なことる．次節におけ るシ ミュレ ーションで具体的な例がわかる．
ここで重要なことは自律的なモード 遷移と ，そを示す．の 外部入力に よる制御が (12)〜(14) 式のレ スラー

3.

計算機シミュレーション

3.1

レ スラー方程式のモード 制御方程式で生成可能な振舞いに対し て実現できたことである．すなわち，レ スラー方程式の代わりに別のシ ステムを用いれば ，そのシ ステムに表象可連続時間系におけ る 2.2.2 節の 図 4 の対象シ ステ
ム f ，g ，すなわち (3) 式とし て ，つぎ のレ スラー

能な振舞いに 対し て同様な制御が 可能であり，任意のシ ステムに対し ても同様に可能である．

–4–x1 (t)4

果について考察する．図 8のブ ロック線図は，出力2P を用いて入力Qを決定するフィード バックシステ

0ムになっていることに注意し よう．
System ( f, g )

-2-4

0

0.5

1

1.5

2t

2.5

3

3.5

4dPs
1
1=−
Ps + Q,dt
RCaCa
P = ps + rQ

Q

410PWindkessel Model

図5x1 (t)の時系列

HR1T

T

f T (BP )BP
0.00076

Sigmoid function

Time Delay

Gain

Inner ProductSVf SV (BP )Sigmoid function

10 -35図8λ(t)

4

３要素 Windkesselモデル

32

３要素 Windkesselモデルとは，末梢血管抵抗 R，1000.5

図611.52t

2.533.54

動脈コンプ ライアン ス Ca ，および 大動脈特性イン

410ピーダン スrの３要素で表現され ，入力を大動脈流量Q，出力を大動脈圧P とする電気回路モデルで循

擬似最大リアプ ノフ指数の時間変化

環系を近似したものである．この３要素Windkessel
モデルにおいて成立する式は (15) 式および (16) 式である．

0 t<4000

104000 t<12000,16000 t<20000

812000 t<16000

dPs (t)dtx3 (t)64=P (t) =20−

11
Ps (t) +Q(t),RCaCaPs (t) + rQ(t).

(15)
(16)

ただし ，Ps (t)は３要素 Windkesselモデルの状態変-2
420x2 (t)-2-4-6-4-202x1 (t)4数である．

6また ，圧反射の 動作であ る動脈圧 BP から 心周期 T および 一回拍出量 SV の決定には，それぞれ 以下の (17) 式および (18) 式のようにシグ モ イド 関数

図7

アト ラクタ的な非線形曲線を使用し ている．各定数については生理学的に妥当な数値を用いている 7) ．

3.2

生体循環系モデルのモード 制御

T=SV=デル 7) を 2.2.2 節の図 4 の対象シ ステム f ，g ，すなTs=0.66[s],わち (3)式として考えた場合のシミュレーション結Tm=1.2[s],

ここでは ，生体循環系への応用を考え ，クラス
ター数 C(t)の値を用いてレ スラー方程式よりも生fT (BP ) = Ts +(17)BP ,1 + γe−α PnSVmaxfSV (BP ) =, (18)
−k1 + β( BPPv − 1)体モデルに近い，以下で示す３要素 Windkesselモ–5–Tm − TsPn= 89[mmHg],r=52[dyns/cm5]

if C(t) < 3 (mode 1)

120[dyns/cm5]

if C(t) ≥ 3 (mode 2),(19)

α= 31,

γ= 6.7 × 1013 ,とするとき，入力 I(t)を 図 11 のよ うに 変化させた= 86[cm3 ],場合の，クラスター数C(t)を図12に，動脈圧BP をSVmax

図 13に，心拍数 HRを図14に，一回拍出量 SV を図

Pv= 25[mmHg],

β= 72,k= 7.

15 に，擬似最大リアプ ノフ指数 λ(t)を 図 16 に，アト ラクタの振舞いを 図 17にそれぞれ 示す．３要素

Windkessel モデ ルの 状態変数は Ps のみで あ るが ，これらをグ ラフ上にプ ロット するとそれぞれ 図

BP ，心拍数 HR，一回拍出量 SV を 用いて 描いて9 および 図 10 ような非線形曲線を描く．

いる．アトラクタの再構成法の観点からは，フィー

1.3

T[sec]

図 17のアト ラクタは生理学的に意味のある動脈圧

1.2

ド バックループ に含まれ る非線形写像と遅延素子1.1による時間遅れ 座標への再構成に相当すると考え1

られ る 6, 9, 10) ．

0.9

モード 変化に追随して，動脈圧BP ，心拍数HR，0.8

一回拍出量SV の時系列は周期的振動に変化し ，擬

0.7
0.6

020406080
BP[mmHg]100120

似最大リアプ ノフ指数 λ(t)は 値が 大きくなること

140が 分かる．また ，アト ラクタの振舞いはモード 変
図9

血圧 P と心周期 T 間の非線形関数 fT化に追随し て図 17の細線部（ mode 1 ）から太線部（ mode 2 ）に遷移し ていることが 分かる．

900.5800.4I(t)70SV[ml]

60500.30.2400.1

3000100200300

20400500600

700800700800t[sec]

100

図 1020406080
BP[mmHg]

100120140

図 11

血圧P と一回拍出量SV 間の非線形関数fBP

外部入力の時間変化

108c(t)6

シミュレーションにあたっては時間τ = 2.5だけ遅4れて次の要素に入力されるよう，むだ時間をフィー2

ド バックループ 枝に含めた（ 図 8 ）8) ．

00100200300

400
t[sec]

500600

ここで ，2.2.2 節の (11) 式の関数とし て，

R= 1.2 × 103 [dyns/cm5 ],Ca= 1 × 10−3 [dyns/cm5 ],図 12変化–6–

図11の外部入力によるクラスター数の時間110100

mode2809075807070

mode1850200400600

SV[ml]

BP[mmHg]

120

800

6560

t[sec]

55

図 13501.6動脈圧の時間変化

1.41.2HR[bpm]10.8 70 7580859095100

105

BP[mmHG]

HR[bpm]2

図 171.5

アト ラクタ10.500200

400

600

t[sec]

図 14

ここで 外部入力 I(t) の 変化を 直接 (14) 式および800(19) 式のパラ メータ c および r に反映させる場合との比較について 考察する．今回のシ ミュレ ーショ

心拍数の時間変化

ンの段階では ，両者に明確な差異は無く，モードSV[ml]遷移はいずれの場合も表現可能であろう．しかし ，100

外部入力が ない場合の 振舞いが 決定的に 異なる．

80

すなわち，外部入力がない場合に自律的にモード間を遷移する振舞いと，外部入力がないと１つの60モード に安定する振舞いである．たとえば ，生体
400200400600800において ，正常時に存在する制御が ，病的な何らt[sec]かの原因で正常に働かない状態に陥ると ，ガン 細
図 15

一回拍出量の時間変化

胞増殖やてんかん発作など を引き起こす例が 知られている．し たがって，制御が 働かない場合に自律的な遷移を呈する提案モデルのほ うが ，より自2.2然な メカニズムであると考えられ る．つまり，生λ(t)2.05体系はオープンシ ステムであり，常に外界との イ

1.9ン タラクションが 存在し ，そのような外部入力を1.751.6遮断すると ，基本的には暴走する傾向があると推0200400600t[sec]800

測され る．人工物の代表であるロボットは外部入力がなければ 基本的に安定（ 動かない ）であるこ図 16

擬似最大リアプ ノフ指数の時間変化とと比較すると ，生体系のモデ リング および そのような系の制御には ，提案モデルのようなこれ までと違った観点からのアプ ローチも一考に値するであろう．

–7–

4.

おわりに

Bloch Turbulence, Prog. Theor. Phys. (Supplement) 99, 295/324(1989)

本研究では ，生体の循環系の特徴量のダ イナミ
クスがモードごとに変化する様子をふまえた上で，カオス的遍歴現象を応用し て，潜在的に自律的変化能力をもつモデルの外部入力によるモード 遷移制御手法を提案した．さらに，レ スラー方程式，および 循環系のモデルである３要素 Windkesselモデルに提案手法を適用することで，実際にモード 遷移制御が 可能であることをシミュレ ーション 結果

4) K. Kaneko: Clustering, coding, switching, hierarchical ordering, and control in network of chaoticelements, Physica D, Vol. 41, 137/172(1990)
5) 成田大気，本間経康，酒井正夫，吉澤誠，阿部健
一：循環系におけ るモード 遷移ダ イナミクスのカオス的遍歴モデル，東北大学医学部保健学科紀要，
13-2，(2004, 印刷中)
6) 合原一幸：カオス時系列解析の基礎と応用，産業
図書 (2000)
7) S. Cavalcanti and E. Belardinelli: Modeling ofcardiovascular variability using a diﬀerential delay equation, IEEE Trans Biomed Eng., 43(10),982/989(1996)
8) 井田智剛：循環系の動特性推定に 関する研究，東北大学工学部電気工学科学士学位論文 (1996)

より確認し た．
生体ダ イナミクスのモード 遷移をこのように捉えたモデ ルはこれ までに 提案され ていな いため ，たとえば 従来の循環系モデルに基づく人工心臓制御では，モード 遷移は考慮されていない．とくに，従来の人工心臓の制御では ，安静時における制御を目的とし たものが 多い．安静時の場合でも，多くの場合，中心動脈圧の上昇など 種々の循環動態の異常が 出現し ている．また，現存する制御方法の中で ，運動による必要拍出量の変化など ，刻々と変化する生体の要求に充分な応答速度で対応できるものは 存在し ない．そ ういった意味では ，今回提案し たモード 遷移を考慮し たモデルは人工心臓の制御における新し い方針とし て興味深いものである．し かし ，生体の状態量におけ るモード ごとの振る舞いや状態量間の関係はまだあまり解明され ておらず更なる解析が 必要である．この解析が 進めば 今回の提案モデルと組み合わせることで自律的にモード 遷移を行い，かつモード 選択可能

9) F. Takens: Detecting strange attractors in turbulence, In D. A. Rand and B. S. Young, editors,
Dynamical systems of turbulence, Vol. 898 of Lecture Notes in Mathematics, Berlin, 366/381(1981)
10) M. Yano, N. Homma, M. Sakai, and K. Abe:
Phase-space reconstruction from observed timeseries using Lyapunov spectrum analysis, Proc.
SICE Annual Conference 2002 (2002.8)
11) 吉澤誠，田中明，阿部健一，竹田宏，山家智之，仁田新一，阿部裕輔，井街宏：人工心臓の制御，計測と制御，38-5，328/333(1999)
12) 阿部裕輔，鎮西恒夫，磯山隆，満渕邦彦，松浦弘幸，馬場一憲，河野明正，小野俊哉，望月修一，孫艶萍，今西薫，吉澤誠，田中明，内山賢一，藤正巖，渥美和彦，井街宏：完全人工心臓 1/R 制御に よる
532 日生存ヤギ の血行動態と病体生理，人工臓器，26，21/26(1997)
13) A. Wolf, J. B. Swift, H. L. Swinney, and J. A.
Vastano: Determining Lyapunov exponents from atime series, Physica D, Vol. 16, pp. 285/317(1985)
14) 合原一幸：カオスの数理と技術−カオス，そし てフラクタル ，複雑系への序章−，放送大学教育振興会 (1997)
15) J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle, andS. Ciliberto: Liapunov exponents from time series,
Phys. Rev. A, Vol. 34, 4971/4979(1986)16) M. Sano and Y. Sawada: Measurement of the Lyapunov spectrum from a chaotic time series, Phys.
Rev. Lett., Vol. 55, 1082/1085(1985)

ではない．

17) S. Sato, M. Sano, and Y. Sawada: Practical methods of measuring the generalized dimension andthe largest Lyapunov exponent in high dimensional chaotic systems, Prog. Theor. Phys., Vol.
77, 1/5(1987)

参考文献

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朝倉書店 (1996).

19) G. Nicolis and I. Prigogine: Self-organizationin nonequilibrium sysytem, John Wiley, NewYork(1977)

な生体の振舞いに近い生体モデルの構築も不可能

2) I. Tsuda: Chaotic itinerancy as a dynamical basis of Hermeneutics in brain and mind, World Futures, 31, 105/122(1991)
3) K. Ikeda, K. Otsuka, and K. Matsumoto: Maxwell–8–20) 矢野操：時系列信号のリヤプ ノフスペクトル解析に関する研究，東北大学大学院工学研究科修士学位論文 (2001)