計測自動制御学会東北克郎弟1ア7同研究集金（Ⅲ9乱1〔）・30）
資料衝号177−2

物理モデルによる簡単な非線形最適レギュレータの試み
一化学反応器の温度制御を例にして−
NoIl−1inearOptimalRegulatorbasedollPllySicalModel
0森本洞†t，小原大輔十，鈴木憤†
0．7ullMol・inlOtO†‡，I）aisukeOba．1La†，MutumiSu冗tlki††束北大学院・工、‡三共株式会社第二牡産技術研究所†llbllOkllU11iversity、‡SallkyoCo．，f：ru．1JllOCCS出Develol〕nl・entLaboratories
キーワード：便通レギュレーター（叩ti111alreg111ator），駄犬焼理（nl孔1ilnutltl・l・in（：i圭一叫

連絡先：〒98ロ牒579 仙台市膏薬区荒巻字音柴07東北大学二【二学部大学院工学糊究科化学工学尊攻鈴木研究室
森本潤∴恥1■＝（服串17什7コ叫mx∴（02印17一丁加3，軋mail：jun嘩p邑e・Cll色■t血血−aC・jp

1．緒言

コ．一般解．法2．1 はじめに

現代制御理論が現在のような組胎代数によって確立きれる以前は、昂過レギュレータの問題は変分終端時矧が白山な場合のPo11巾礼giI胡麻大嘩埋

法ヤ最大原理等によって解析きれていたと開いてをrlせ山1elに示す。この性質を用いてl・lal・‖iltoll随仲いる。 このアプローチは非船形システムにも倣え
・】盲山IelIh．nliltoll関数の性質るという点ではすぐれていたが、難解であるうえ

数学的表現

H乱I11ilL口11関数の性質

多変数の問週をこれらの手法で附くことは事実上（a） 極大値で棍適

望竺＝0tb） 極大値はけ〃＝0

不可能であった。化学工学で扱う制御問題は非線形∂Tlなものが大部分であるので、このようなアブロー・団 常に腐大

チはもう」一・鹿見直す佃値がある。そこで識々は化学プラントの最適運拒計画の検討で得たP仙tTy昭in

孟（諾）＝0関数を消去することを考える。1変数系の場合南の最大原理による1変数およびヨ変数の邪法を用い職制御刑を得ることができ、て、軌直レギュレ・一夕問題を状態方程式から直接2変数糸の場合拙作変数の微分形を得ることができる。以■Fにその¶一椚くことを考えた。この手法により制御則を物理

般邪法を示す。

量を用いて掛軸二表現する土とができたので紹介する。

−1m

2．2 1変数系の角軍法であるから、叫（1机に代入して姫理すると（朋−㌦〕の二次式となる。

評価関数を以下のように定義する。

上り

脚m抽′刷一榊（叫2（…＊）2−2（叫（叫一（…ホ｝2＝0（1望）（1）

これを解いて、ここでユ：■，tf♯は目標の定常惜である。状壊方程式（㌦−げヅ＋一叫2 ｛13｝tJ＝址0士が山二ついて線形である時（ヱに関Lては非線形で構わない）、を得る。これが非線形系1変数系の直通レギュレータの式である。線形の場合は、通常行われている

正＝J■1（∬，可＝A（諾）＋坤中（2）

Ricc乱ti方程式の胴と一致することが確認できていである。現在の状態かを維持する操作是をIlOとする。ここで値鞘な場合を検討してみると、P《qのると時tl＝tI一となり、P》qの時叫−1軋。と祝Ⅳ血の1淵・11計t〕aIlg制御となる。

A（ぷ）＋叫∬）tlb＝D ト・丘＝叫（3）となりEq（2）は，叫〔4）のように簡単な形となる○ム＝叫可（旭−tlOI

2．3 2変数其の節法（4）

評価関数の披楷分関数を九（ポ1．ご2，叶状態変数

La・gl・a岬の未定定数法により把q（l），（41を統合すると（昔hエコ1の時間随分を

巨＝ノー

右＝Jlい1，Jr3，−t），嘉∃＝J由1，相可拍＋坤ト」1）坤→ビ加㍗印InJ（与）と置くとtl鋸Tliltoll†朋諌はとなる。Ⅰ−Iami】toll関数朋■および随伴関数plは以下
汀＝一九＋plム＋p2ムのように定義される。

（14）と定義され、ⅠⅠ乱1】li】l・Om止準形式はEq（15），（1G）で∬＝一九＋JIlム（6）

pl＝＝入（7）一一

鮎コ 飢：3t（15）（16）

T血1el（b）の条件より︶︵nU

一九＋pIJl＝0∴pl

抑 ＿QU…1＝0・・・pl−pl一

函＝一＝︶

一

盟監九万

11ablelの（a），Mの条件より塞きれる。

几一丁）一ムー抽J2＝nい7）

ー．L址Iel（a）の条件より

このEq（畠），（9）によりplを消去して

有 −∫一＝D∂九 ∂Jl＝l叫（17），（1畠Iよりm（pl）を消去Lてpl（四）について（10）膿即すると、を得る。また

語＝2q（…・ト語＝叫）（■t・B）

Pl（＝1・1）

J山忠一烏哲（1叫ム語一丁2皆2肌J）2＝

岳反応は一次反応とするとJl語一九監（20）′1語−ム認哩Ⅲ ＝l朋A亡プA仇t＋1榊βCβ軸〔26）

TabIelHの条件より

良A＝凡頼叩〔諾〕転＝A押（謡〕

孟（諾〕＝孟〔濯＋擢＋堵）＝ 0（21）（27｝（叫となる。操作変数をジャケット人口温度苅如lとしここで叫（21）の各項を計算し、叫（1軋E【1（叫を代て反応液温度制御削を導く。

人してについて丑射ると郎l＋旦㌍＋e

T上 ＝（22〕芸藷−pl語一扁諦を得る。ここでA，閏，Cは孟（監）い孟〔監ト＿即1∂′1 ∂ム∂ム∂∬1∂朋 ∂ぶ2仇品（≡帥上＋品探〕長∂占∂お ∂烏∂ム∂∬コ∂朋 J池1∂11＋一芸（慧ト一芸〔慧〕脚である。I句（出〕lま頼通レギュレータの操件変数時間変化を微分形で表現したものである。

4．各制御別の導出とシミュレーシ

3．設定した問題

ョン結果

叫原料卜月（掛刷→C（別姓成物）のような逐次4．1計算条件反応をFig．1に示すバッチ反応詳で行うことを考える。ジャケット内は完全混合とし反応熱項を叫71）

計算に川いた物性をTable2に、装置条件，計算で表すと、71、7盲￠川音問微分はml（鋸）、（25）

条件を「hhle3，4に示す。のように表別Lる。ここでl爪＝杭醐111、l哨＝C♪2桝鴨、−Jjl＝仁p押3朋である。

4．2 1変数釆寓＝｛町町和一叫n一期（叫反応液71の変化に対Lてジャケット温臆現の変化は非常に早い事が予想きれるため、7■ら＝けと近ゴ盲＝侮n−7臣

月日（れ一鞘）似Lた1変数弟として考える。評価関数を（25）H′2ノい了−・−7n3＋引払，．一指持）コ押→山1上i・11ul−1
（29〕

u・3−

Table官 物性

Table4 計算条件
e ula V

Parameter

050020■リ︼

1C

3．6xlO14

A月 1／Hr

頻度園子

活性化エネルギー 鞄 亡al／mol

10D

A成分濃度

CA

B成分濃度

C月

mOl／m3 800
mOl／m3 200

最大値

苅Ⅰ−．m瓜∬ ℃

120

最小値

耶血m壷 ℃

−5020

反応瓶比熱

Cplkcal／m3

1

熟媒比熱

Cp2 kcaりm31

反応蔽比重β1 kg／m3
桝 k琶／m3

熱媒比重℃

27000

軸 kcaりmol

反応熱TT

ジャケット人口温度k

月一ナ仁Ⅴ山ue

目標反応液温度
41〇八U仁U﹁ヽノ︼■■■ユm︒舟IalC

反応熱ra

悟性化エネルギー【′ノ頻度図子

H＝りA︒軋現A→月Pa・rame帖r

整理した二次式を解くと1000

指几＝7芸氾土1000侃瑞）2・爪−T）2〔34）を得る。評価関数の重みを、Pノq＝102、P伯＝Table3 装置条件
内容量

伍 m3

5

伝熱面積

A m25の値を上げて行くと制御帽が狭まりban計bang制御に近づいて行く。

︵U2∧U

354u m3／馳︵UT2inhTO 600．5︵U5ジャケット容量 鴨 m3★

300Tl⊥

総括伝熱係数 打 kcal／1n3／℃／Hr

熱媒流速104とした時の制御軌道をFig．2，Fig．3に示す。重みvalueParameterと定義する．ユ熱収支より
Ⅷ2〔nf。一重）＝−A叫れ一端〕 （30）上武を用いてEq（24）より端を消去すると
れ＝月（れ）1．4打明
怖1 Ⅳ1A〔J十び2笹一睾血）（31）となる。ここで乱在の反応液温度を維持するジャケット人口温度を了芯mとすると、

了嵩几＝れ−A打＋Ⅷ2．−1ト■トlご月（n〕

Fig．21変数系制御軌道け伯＝102）（32）

同様に目標反応液温鹿町を維持するジャケット人

口温度を7芯打とすると、
了芯n＝省一4．3 カスケード制御
A〃＋Ⅷ2AU什盲

月（ギ）目標反応液温鹿町に対してまず仮の操作変数と（33）

してジャケット温度苅を考え、最適レギュレータと表すことができる。評価関数の被積分蘭数を尤、を構成する。次に上記レギュレータにより求まるEq（31）をムとおくとEq（10）の関係が成り立ち、操作量苅をぢ−とLて、ジャケット入口温度n血のー4−全く同様にLて
墨血＝指n士侃一指n）2十（了卜椚8∧U（叫nV7を得る。Pl伯1＝1t）2，巧伯ヨ＝1とした時の軌道をFig．4に示す。7盲＝0とした1変数系（Flig・2）と比べ苅の遅れを考慮した制御マップとなっている。
上1／吼＝1叶乃佃2＝】・0とした時の軌道をIlig・4

T2in♭ 60

0・10→1

100
9080

Fig．31変数系制御軌道け伯＝104）70
操作量を決定するカスケード制御を考える。

P60

評価閑散をml（3可。卿先のれを維持する巧，町を50維持する了首はそれぞれⅠ叫3G膵q（37）となる。

40

旬日柑‖3日n30一打）ヨ＋ql（7トぢ）21此」1山一lim11In

2098（：15）

J町J−1）

7晋＝れ−Fi訃4 れスケード制御軌道（叫d打（片桐1＝1が，乃伯2＝1）
叫7T）
Jざ＝一丁−ノ1I．．J（37）に示すい町伯1の値を上げると制御変数の分布幅が狭まり、ヤはりballg−b礼帽制御に近づいているこ

1変数糸の朋拭よりとがわかる。またγ1伯1》巧／￠2とした場合、17七＝丁首土け冒一群＋叩一丁T）2（叫変数系近似に近いマップとなる。

叫呵で得た7ちを新たな日掛由打とLて最適レギュレ」タを構成する。評価関数を批1t叫。現状の鞄を維持する指−‖町を維持するT簑仙はそれぞ

4．4 線形化近似

れEq（4叶E（】（41）となる。
E｛l（24）、町（25）を平衡点近傍でテーラー風聞しIP2閏一丁㌻）2＋q2（r晶．MT㌫．一．円周→nlhli［num て線形化すると、（叫孟＝A諾＋月丁上

指托＝迅一挿一対一JJ（4叫3ソゞi．．

甘一（7ト昔）〔41）5〔43）よって最適レギュレ、∵タの制御削
指古書Id¶亡二＝＝−￣￣旦＋門￣有￣J∫ヨ（46）を得る。Pl＝】U4，巧＝1，侍＝］．における軌跡を1子ig．6に示す。

Tl．

T2in

40320∧U

Fig．占 カスケード制御軌道（Pl佃1＝103，巧伯2＝10）100→1AFig．G 線形近似制御軌道

H／2（44）（Pl＝1叶巧＝1，凸＝1）［芸封4．5 2変数轟評・仙開放の俵碑分関数を評価関数をEq（45）とする。

J。＝Pl同一了T）∃」一巧（7』一丁首）2＋鳥（舘，l㌦了芯，▲）2
J＝【悲1 q譜＋撒廿2］rff→ 1il−ilⅢtI−1（45）（47）とし、叫叫、叫〔叫の各糎分方程式をJl】ムとおいて叫22）を用いて克nを求める。

q＝［甘芸］
山打tlJコ

lticcatiの方程式を解くと、H／11ヰ㌔苗（l帖叫瑚H

p＝［用d＝昔（山叫A2＋乱甘口＋が＋鳥fJl

土2（（躍mノ1坪＋止2巧1−が和書）喜I型

鞄′d2−2上）d一巧

h ＝ 二ご（ 月、P2ガ2乃（：Jも山一指．．）
−1llコ

2月

fも′心2−2仁王卜巧

α ＝＝ 二言（ 、一2醐和端l〕

2A−6一4．6 古制御別の比較

よって

九万昭

n
一織

評価関数としてEq（47）を用いて各制御刑を比粧
r＼J＋つ︼n︺＋奥iする。始点けぃ瑚を（100∴叫、（1叫121）とし、

些町l︑′l■■l＼﹇一⊥叫封l苅l﹂﹁TUAりム

A打明伍ぺ）

T孔ble5の条件での各軌道は琉g．8となる。その時の評価関数の備州、（48）始点（1叫121）の時Fig二川となった。いずれの場合

この】句（叫により、あるロ1，端〕におけ牒け品−を仮も最大原理より求めた制御結果が、評価関数牌を定Lて軌道を計糾 →00で）L、（帯，7首）となる最ノj、とすることができた。

耶血を汚11001・il唱法などの試行錯誤法により探索することができる。しかし購を得るには膨大な計算がT山）le5 各制博Il別の比較計算条件必要となる。そこで（1r．7芸．指，．）から適時抑蜘こ（a）＝ 4．5に示した2変数系

Jl＝1叶巧＝1，鳥＝1

軌道を求める串を考える。しかしこの点はEq（4B）＝ 4．4に示した線形近似の特異点であり、このままでは計算できない。よっ凸＝1叶巧＝1，鴇＝1＝ 4．3に示したカスケーード制御て平衡点近傍を4．4で求めた線形近似により求め、
︐凸／ql＝1叶巧仲2＝1

その点よりEq（4叩二より迎時川的に軌道を算山L＝ 4．2に示したl変数轟た。Fig、7は、♪1＝10ヰ，巧＝1．Jも＝1としたときP／q＝104の軌道と罷i．1の等高線を示している。この凰を状態空間爪，瑚による指†1の制御マップとして利用することができる。

98

99

Ⅰ憮．昌 各制御別による軌跡の比樫

Tl

5．結言
Pol山里．如の最大原理と随伴関数を消去する胴Fig．7 2変数系制御軌道

法により物理モデルより、1変数轟では掛接制御別〔q＝】Lが，Jち＝1，巧＝l）を狩ることでき、2変数系では制御マップを作成できた。また、その抽果は良好であった。

一7一丁

4000

3500
3000
2500
−2000

1500
1000
500
00 0．20．40．60．811．21．41．6
TimtりHr】

Fig．9 各制御別の比較了1＝1郎U指＝−51

0 0．20．40．60．811．21．41．6

TimeIHr］

Fig．10 名刺卸別の比耽れ＝】叫箭＝】2】−8−