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Maxima を活用したPDF スライ ド教材の作成について

木更津高専

基礎学系

山下哲

Satoshi Yamashita, Division of Natural Sciences,

National Institute of Technology, Kisarazu College
工学院大学 基礎教養教育部門 北原 清志
Kiyoshi Kitahara, Division of Liberal Arts , Kogakuin University
東邦大学理学部 高遠 節夫
Setsuo Takato, Faculty of Science, Toho University

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KETpic から KETCindy へ\Psi X 文書に正確で美しい図表を挿入するために,2006年から \iota\Phi j\Gamma pic を開発し,2011
年に数値計算ソフト Scilab 版 I\Phi j\Gamma pic でほぼ全機能が完成した [1]. ところが,Scilab の描画ツールは貧弱なため,図の全体像が把握しづらく,図の微調整が難しいという欠点を指摘されるようになり,岨rpic のGUI が待望された.動的幾何ソフト Cinderella は固有のプログラミング言語 CindyScript をもち,この編集画面 SciptEditor を \iota\Phi j\Gamma pic プ
ログラミングに利用できることがわかり,2014年に動的幾何ソフト Cinderella と連携して I\Phi j\Gamma Cindy へと進化した.この結果, I\Phi\Gamma Cindy はCinderella の主画面に図表を表示させることにより,図表の全体像を把握しながら I\Phi j\Gamma pic の機能を使えるよう改善された (図1参照) [2].

図1. Cinderella 主画面 (左) と編集画面 ScriptEditor (右)\iota\Phi j\Gamma Cindy への進化は GUI の装備だけでなく,操作面でも簡便化を図った. \iota\Phi j\Gamma pic
では,Scilab, TeX と複数のソフトを開き,行き来しながら操作しなければならなかっ156
た.しかし, \iota\not\in j\Gamma Cindy では,sh ファイル (Windows ではbat ファイル) を用いて,図表用 BX ファイルの作成から T\Phi のコンパイルまで一括して自動で行い,結果の PDFファイルを表示できるようにした.つまり,Cinderella だけ開いておけばよいのである.
このような一括処理による操作の簡便化は,スライド作成にも役立った.短い行数のス
ライ ド原稿用テキストファイルを書いておけば,Cinderella 上で読み込み, BX ファイルの生成からコンパイルまで一括処理を行い,一気に PDF スライドを自動生成できる.
さらに機能を拡張し,2017年には音声付きアニメーションやパラパラ動画を自動で挿入できるようにした [3, 4].
I\Phi j\Gamma Cindy に移行しても処理本体は Scilab を使用していたため,計算量が多いと処理時間がかかること,Scilab がアップデートすると挙動が安定しないことなどの問題点が挙がっていた.これらを改善するために,2018年から処理本体を統計処理ソフト R へ完全に移行した.現在では,計算量が多い処理でも短時間でこなすことができるようになった.

また,処理本体の移行で得られた技術を駆使して,数式処理ソフト Maxima, 数値計算ソフト Scilab, 統計処理ソフト R, C 言語によるプログラムなどを呼び出して活用し,得られた結果をテキストファイルとして保存できるようにした [5].
新機能の詳細については,ketcindy フォルダ (I\Phi j\Gamma Cindy をインストールすると生成される) 内にある KeTCindyReferenceJ.pdf に記載されている.また,2018年に I\Phi j\Gamma Cindy
はCTAN (Comprehensive 罫入 Archive Network) に登録された [6]. I\Phi j\Gamma Cindy のCTAN
登録ページヘ行き,Documentation にある Package Documentation (japanese) をクリックすると,「 I\not\in j\Gamma Cindy レファレンスマニュアル」 が開ける.ちなみに, I\Phi\Gamma Cindyのインストール用一式は web サイト ketpic.com から入手できる.

2

PDF スライドの動画による教育効果

I\Phi j\Gamma Cindy によるPDF スライドの作成方法については参考文献 [4] を参照してもらいたい.本稿では,動画の使用目的及びその教育効果について述べる. I\Phi j\Gamma Cindy 開発グ

ループでは,以下の理由で PDF スライドによる講義を推奨している.
\bullet

板書では表せない動的な現象を見せられる.

\bullet

空間で視点を変えた図を見せることにより,学生に空間図の全体像を理解しやす

くする (空間図の把握については参考文献 [7] を参照) .
\bulletネット上にあげることで,学生は必要な時に繰り返し確認できる.

これらに留意して,プリントと併用しながら PDF スライドで講義することにより,板書では行き届かなかった教育効果を期待できる.

では,PDF スライドによる講義の授業計画について検討しよう.本稿では,具体的に,ケプラーの法則による惑星の動きに関する講義で説明する.まず,次の点を確認すべきである.

(1) 講義内容の決定 : ケプラーの法則による惑星の動きについて理解させる.

157(2) 講義目的の検討 : ケプラーの法則に従うと,惑星の動きの特徴を把握させる.
(3) 動画の選択 (アニメーションかパラパラ動画か) : パラパラ動画を選択する.
PDF スライドを使う以上,(2) では動画の使11/20用を前提に目的を立てる必要がある.具体的

ケプラーの法則 1には,惑星の軌道が楕円になることだけでな\langle , 惑星の速度や加速度もベクトル (矢印)として表示させることにより,これらの向き

e=0.6

Poe.

や大きさについて見せる動画教材を目指すべ(0.377,0.926)

Accel. 0S02

T\dot{i}me0.2v_{e10.IS88}

きである (図2参照) . また,(3) では,どのような意図で学生に見せるかを検討すべきで|\overline{|k|\mu|\triangleleft|\triangleright|\triangleright| \triangleright| |}s/4.
ある . アニメーションは,一括してスムーズに流れるから,動きの全体像を学生に把握させることに適している.一方,パラパラ動画
図2. 惑星の動きを示したスライド
は,教師のさじ加減で動きのスピードを変えたり,止めたりできるため,詳細な動きの変化を学生に観察させることに適している .

今回は,(2) で記したように,動きの特徴を観察するという目的があるため,パラパラ動画が適しているといえる.

3

数式処理ソフトMaxima の呼び出し
正確な図を作成するためには,数式処理を行い,図を描くために必要な数式を得る必要がある.本章では,ケプラーの法則に従った惑星の軌道を動画で表示するために,Maxima を用いてどのように数式処理すべきか問題を提起する.

惑星の軌道を動画で表示するには,ケプラーの3法則のうち,第1法則 (太陽を焦点とした楕円軌道) と第2法則 (面積速度一定) が重要である.とくに,第2法則から移動時間を求める数式を作らなければならない.具体的には,楕円

L= \frac{b^{2} {a} とすると楕円の極方程式
r= \frac{L}{1+e\cos\theta}\frac{x^{2} {a^{2} +\frac{y^{2} {b^{2} =1 の離心率を e(0\leqq e<1) , 半直弦を面積速度\frac{1}{2}T^{2}\frac{d\theta}{dt}=\frac{L^{2} {2(1+e\cos\theta)^{2} =一定だから,偏角 \theta に至るまでに要した時間を表す関数 ct(\theta) はct( \theta)=\frac{L^{2} {2}\int_{0}^{\theta}\frac{1}{(1+e\cos\theta)^{2} d\theta=\frac{L^{2} {2}ect(\theta)ect( \theta)=\int_{0}^{\theta}\frac{1}{(1+e\cos\theta)^{2} d\theta\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e} \tan\frac{z}{2}ガウスは,ガウスの公式を用いると

図3. 楕円の極方程式

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ect( \theta)=\frac{z-s\dot{ \imath} nz}{(1-e^{2})\sqrt{1-e^{2} }と計算できることを示した.天才ガウスの計算を数式処理ソフトMaxima で実現できるか試してみると, I\Phi j\Gamma Cindy からMaxima を呼び出し,Maxima コマンドratsimp を用いてect(\theta)=\frac{\sqrt{1-e^{2} (2e\cos\theta+2)\arctan(\frac{\sqrt{1-e^{2} \sin\theta}{(e+1)\cos\theta+e+1})+(e^{3}-e)\sin\theta}{(e^{5}-2e^{3}+e) \cos\theta+e^{4}-2e^{2}+1}と計算できる. I\Phi j\Gamma Cindy の動的幾何画面に表示された式を眺めながら式変形を施せば,ようやくガウスの計算結果に辿り着ける (図5参照) . すなわち,数式処理ソフトは万能ではなく,その結果は複雑な式として表示される. \mathbb{E}^{\Gamma Cindy} のように,教師が表示された式を眺めながら式変形を施せば,ようやく求める式に辿り着ける.数式処理ソフ
トを有効に利用するには,教師の数学的素養が必要不可欠である.

図5. Maxima による計算

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4

まとめと今後の課題

現在, I\Phi j\Gamma Cindy はプリントだけでなく,アニメーションやパラパラ動画などを挿入したスライドも作成できるようになっており,PDF 教材作成支援システムとしてほぼ確立されている.さらに,Maxima や R などの数学ソフトを外部から呼び出して実行し,処理結果をテキストファイルで保存し, I\Phi j\Gamma Cindy に読み込むことができるようになっている.この機能を用いると,Cinderella 上で Maxima が使えるようになり,動画に必要な数式を得ることができる.

今後の課題としては,図5の作業をスムーズに行えるよう,定型的な作業をマクロバッケージ化することである.また,図5のような数学ソフト呼び出し機能を有効利用すれば,カレッジ級数学の求解手続きを探究させる教材の開発に結びつけられる可能性がある.

参考文献[1] CASTeX 応用研究会 \#f_{F_{f\#} :\ovalbox{\t \smal REJECT}\iota\Phi j\Gamma pic で楽々 \Psi X グラフ』,イーテキスト研究所,2011年.
[2] 高遠節夫, I\Phi j\Gamma Cindy 開発チーム : 「 I\Phi j\Gamma Cindy の開発について」 , 京都大学数理解
析研究所講究録1978, pp.173‐182, 2015年.

[3] 山下哲 : 「 I\Phi j\Gamma Cindy による図入り PDF 教材の作成」 , 京都大学数理解析研究所講究録2022, pp.59‐64, 2017年.

[4] 山下哲,小林茂樹,牧下英世,高遠節夫 : 「 I\Phi j\Gamma Cindy で作成した PDF スライド教材による授業実践について」 , 京都大学数理解析研究所講究録2067, pp.47‐54,2018年.

[5] 小林茂樹,高遠節夫 : 「 I\Phi j\Gamma Cindy とMaxima, Risa/ Asir との連携」 , 京都大学数理解析研究所講究録2022, pp.128‐134, 2017年.

[6] I\Phi j\Gamma Cindy のCTAN 登録ページ https://ctan.org/pkg/ketcindy[7] 濱口直樹,高遠節夫 : 「 l\Phi j\Gamma Cindy による 3D モデル教材の作成」 , 京都大学数理解
析研究所講究録2022, pp.112‐127, 2017年.