数理解析研究所講究録 1345 巻 2003 年 31-49

31Endomorphisms of Smooth Projective
3- Folds WithNonnegative Kodalra
Dimension(非負小平次元を持つ 3 次元代数多様体の自己準同型写像)
岐阜大学・教育学部 藤本圭男 (Yoshio Fujimoto) *$\mathrm{C}\mathrm{F}_{\mathrm{A}\mathrm{G}4[\mathrm{e}}\gamma\psi$1

EducaCion$\mathrm{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{t}}$’}$\mathrm{u}$$\cup \mathrm{n}\mathrm{t}v\mathrm{e}\mathrm{r}s\iota*y$)$\ulcorner\neq$

コンパクト解析空間 $X$ から、 自分自身への全射正則写像 $f:Xarrow X$
を自己準同型写像 (endomorphism、 略称 end) と呼ぶことにする。集合

End(X) $:=$ { $f:$ $Xarrow X|f$ は自己準同型写像}、
Aut(X) $:=$ { $X\cong X|g$ は自己同型写像}には共に自然な複素解析空間の構造が入り、 特に後者は複素り一群となる。 以下は良く知られた事実である。
$g:$

Fact

(い)

が射影代数多様体ならば、 は有限射。
(ろ) 更に $X$ が非特異で. 標準束が pseudo-effective、 特に $X$ の
$X$

$f$

$K_{X}$

小平次元が非負 $(\kappa(X)\geq 0)$ ならば、 は有限エタール射。 更に、 $X$ の構造層のオイラー. ポワンカレ標数は
となる。
$f$

$\mathcal{O}_{X}$

(は)

らば、

$f$

$X$

$\chi(\mathcal{O}_{X})=0$が正規コンパクト解析空間で一般型 (i.e. $\kappa(X)=\dim(X)$ ) なは同型写像。

そこで、 自己準同型写像$f:Xarrow X$ が同型写像でないとき、 非自明な自己準同型写像 (nontrivial endomorphism) と定義する。 非自明な自己準同型写像を許す多様体として、 アーベル多様体、 トーリック多様体
又はそれらと別の多様体との直積、 更に適当な有限群にょる商多様体
が挙げられる。 一般的に、 非自明な自己準同型写像を数多く持っ多様体$*\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}$author was partially supported by the sumitomo Foundation.

32
は、 これらとどれ位、 隔たりがあるだろうか ? Fact (は) より、 一般型

多様体はこの範躊から除外される。 次の疑問が自然に生じる。
: 次元非特異射影代数多様体 $X$ は、 $0\leq a:=\kappa(X)<$
Question且、 非自明な自己準同型写像 $f:Xarrow X$ を有すると仮定せよ。 この時、$X$ の適当な有限次不分岐被覆は、 ある非特異射がとれて、影代数多様体 $W(0\leq\dim(W)<n)$ 上のスムースな abelian scheme の構造を持つか ?
$(\mathrm{E}_{\mathrm{n},\mathrm{a}})$

$n$

$n$

$\pi:\tilde{X}arrow X$$\tilde{X}$

論文 [2] の主要結果を述べよう。
主定理 Question $(E_{n,a})$ は $(n, a)=(3,0)$ 又は $(3, 2)$ の時、 肯定的。 更に、 $(n, a)=(3,1)$ で $X_{\min}$ ( $X$ の極小モデルで実は非特異となる) の飯高

ファイブレーション $\Phi:X_{\min}arrow C$ の一般ファイバーが超楕円曲面の場合
は abelian 3-f0ldも肯定的。 いずれの場合も、 $X$ の適当な不分岐被覆
又は $S\cross E$ (但し、は非特異楕円曲線、 は $\kappa(S)=\kappa(X)$ なる非特異代数曲面) のタイプに取れる。
$\tilde{X}$$\mathrm{E}$2$\mathrm{S}$

主定理の証明の概略
本題に入る前に簡単であるが、 n–l, 2 の場合について、 言及する。
$n=1$ の場合、 $X$ は楕円曲線となって明らかに肯定的。
$n=2$ の場合も肯定的。

略証 $X$ は必然的に、 極小 (minimal) となる。 何故なら、 もし第一種例外曲線 が存在すると仮定しよう。 非自明なエタール endomorphism$f:Xarrow X$ の合成によって の逆像をとる操作を繰り返せば、 $X$ の上には、互いに交わらない無限個の (-1)- 曲線が存在し、 ピカール数 $\rho(X)=\infty$
小平先生の楕円曲となって矛盾。 次に Fact (ろ)代数曲面の分類
$e$

$e$

$+$

面論により
(1)

$+$

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\kappa(X)=0$

ならば、 $X$ はアーベル曲面、 又は超楕円曲面のいず$\kappa(X)=1$

ならば、 $X$ の飯高ファイブレーション

れか、

(2)

$\phi:Xarrow C$は、 ザイフエルト楕円曲面、 即ち特異ファイバーとしては、 台が非特異楕円曲線である $mI0$ 型の重複ファイバーのみを許し、 それ以外では楕
円曲線を主ファイバーとするファイバー束の構造を与える。

33
注 1

の場合に別証明を与えておく。 $(n, a)=(3,2)$ の場合のは semi主定理の証明で用いる議論の雛型である。 $X$ は極小なので、: $Xarrow C$ を $X$ の飯高ファイブレーションとする。 以下の議論より、 底曲線 $C$ の自己同型 $g:C\cong C$ が引き起こされて、 $g\circ\phi=\phi\circ f$ が成り立つ。 もし、 の或る特異ファイバーの既約成分に有理曲線 が含まれたとせよ. 非自明なエタール endomorphism $f:Xarrow X$ の十分高い合成
積 : $Xarrow X(k>0)$ を用いて、 の逆像をとる。 すると、 $\phi:Xarrow C$ のファイバー内には、 無限個の有理曲線が含まれることになって、 矛盾が生じる。 故に の特異ファイバーは型重複ファイバーのみ。 $q.e.d$ .
$\kappa(X)--1$$K_{X}$$ample_{\text{。}}\phi$$\phi$$\gamma$$f^{k}$$\gamma$$mI_{0}$$\phi$

さて、 本題に移る。 以下、 $f:Xarrow X$ は,$\kappa(X)\underline{>}0$

なる非特異射影

代数多様体 $X$ の上の自己準同型写像 (必ずしも非自明とは限らぬ) としよう。 によって保存されるデーターとして、 次に着目する。
$\mathrm{f}$1

飯高ファイブレーション –$\Phi:X$$arrow W$ をの飯高 fibration とする。 すると、 底空間 $W$ の上の自己同型写像 $h:W\cong W$ が誘導されて、 $\Phi\circ f=h\circ\Phi$ を満たす。 何故なら \’etale endomorphism $f$ による引き戻し写像): (X,$\Gamma(X, \mathcal{O}(mK_{X}))$ (m は十分大きい自然数) は、単射であるが、 $\Gamma(X, \mathcal{O}(mK_{X}))$の有限次元性より同型写像となる為。
$\mathrm{X}$$f^{*}$

2$\Gamma$$\mathcal{O}(mK_{X})$$arrow$の端射線 -.
$X$ の標準束
でないと仮定しよう。 すると、 \’etale endomorは,-negative extremal ray) 全体の置換を引
phism は、 $X$ の端射線 $R$ (き起こす。 より正確に述べると次の様になる。
$f:Yarrow X$ を非特異射影代数多様体の間の finite surjective morphismから誘導される push-fowardとする。 ノルム写像$N^{1}(Y)arrow N^{1}$ ( X) と記す。 1
サイクルとカルチェ因子とのmap を
交点数を取ることで、(X) の双対と見なせる。 そこで、 引き(X) は$N_{1}(X)arrow N_{1}$ ( Y) を、の随伴射 (adjoint map) として定義
戻し写像する。
$\mathrm{X}$$K_{X}$$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}$$K_{X}$$f$$f_{*}:$$\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}(Y)arrow \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{v}(X)$-$f_{*}:$$N_{1}$$f^{*}:$$N^{1}$$f_{*}$

命題 1$f:Yarrow X$ を、 非特異射影代数多様体の間の有限次エタール被は $nef$覆とする。 更に、 $X$ と $Y$ のピカール数は等しく、 $X$ の標準束でないと仮定する。 すると(1 )ととは、 ソース $Y$ の extremal ray $R’$ 全体の為す集合と.
夕一ゲット $X$ の extremal ray $R$ 全体の為す集合の間の 1-. 1 対応を与$K_{X}$$f_{*}$

える。

$f^{*}$

34\rightarrow X’ をの任意の extremal ray $R$ に対して-.
\rightarrow Y’ を extremal ray $R’:=f^{*}R$ の収縮$R$ の収縮写像.
写像とする。 すると、 全射有限射 $f’$ : $Y’arrow X’$ がとれて、 $\phi\circ f=f’\circ\psi$ ,且(Exc ) が成立する(Exc )(2)$X$$\phi:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R}:X$$\psi:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R},:Y$$f^{-1}$$(\phi)$$f^{\prime-1}(\phi(\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{c}(\phi)))=\psi$$=\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{c}(\psi)$$(\psi)$$\text{。}$略証( X), $f^{*}\overline{NE}(X)=\overline{NE}$( Y)(但は、 $X$ の森錐) を得る。 $K_{Y}\sim f^{*}K_{X}$ より、 $Y$ の森錐 (Moriし、-negative art とは. 1 : 1-negative part と $X$ の森錐のcone) のに対応する。錐体定理 [4] より、森錐は-negative part において局所的$N_{1}(X)\cong N_{1}$ ( Y),に polyhedral. 故に、 線形同型写像(X) により、 森錐の端っこ (尖っている) に相当する端射線どうしは、
ソースとターゲットで 1:1 に対応する。 (2) の証明は容易である。 q.e.d.

Kleiman の判定法より$f_{*}\overline{NE}(Y)=\overline{NE}$$\overline{NE}(X)$$K_{X}$$K_{Y}$$\mathrm{p}$$K_{X}$$f_{*}:$$f^{*}:$$N_{1}(Y)\underline{\simeq}$$N_{1}$

特に、 ソース $Y$ とターゲット $X$ の間に別の同型写像が存在する場合が、
endomorphism $f:Xarrow X$ に相当し、 は $X$ の extremal ray 全体の置換$f_{*}$を引き起こす事が分かる。 又、 $f:Yarrow X$ が分岐被覆の場合でも、 分岐因子の形が明示できれば、 適用できるケースがある。
命題 2$f:Sarrow T$ を相対的極小な有理楕円曲面 $S,$ $T$(共に$\mathrm{P}^{2}$の 9 点ブローアップ) の間の任意の全射正則写像とすると、 $f$ は必然的に同型写像となる。

次に、 $\dim X=\dim Y=3$ 且、 が同型写像でない場合を考察する。 この際、 $X$ や $Y$ の因子収縮写像としては、 森 [4] によって分類された 5 通$f$りの可能性の内、 唯一のタイプしか起こり得ない。

命題 3$f:Yarrow X$ を、 $\kappa(X)=\kappa(Y)\geq 0,$ $\rho(Y)=\rho(X)$ なる非特異 3 次元射影代数多様体 $Y,$ $X$ の間の同型写像でない有限次エタール被覆とす
が $nef$ でないならば、 $X$ の任意の extremal ray
る。 もし、 $X$ の標準束
$R$ 及び $Y$ の任意の extremal ray $R’$ は、 (El)型のみ。 即ち $R$ ( resp. $R’$ ),の収縮写像: $Y$ \rightarrow Y’) は. 非特異(resp.
$K_{X}$$\phi:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R}:Xarrow X’$$\psi^{/}:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R’}$

3 次元射影代数多様体 $X’$ (resp. $Y’$ ) の非特異代数曲線$C$( resp. $C’$ )(いでない) を中心とするブローアップ (の逆) である。 更に、 も$f’$ : $Y’arrow X’$
し $f^{*}R=R’$ ならば、 同型写像でない有限次エタール被覆を満たす.
が誘導されて、 $\phi\circ f=f’\circ\psi$ かつ $f^{\prime-1}(C)=C’$

ずれも$\mathrm{P}^{1}$

35
略証 命題 1 より. 初め力ゝら$f^{*}R=R’$ と仮定してよし) \psi (r。$sp$ . )の例外因子を、 $E’$ (resp. $E$ ) とおく。 命題 1 より、 $f^{-1}(E)=E’$ を得る。
森 [4] による端射線の分類 (因子収縮写像の場合は 5 通り) の内、 (E1)型のみが起こり得る事を示す。 $R$ が、 (E1) 型でないとすると、 $E$ は一点につぶれ、 単連結である。 は同型写像でないから、 $E’=f^{-1}$ (E) は、 2個以上の連結成分に分解する。 一方、 $\psi:Y’arrow Y$ は因子収縮写像だから、$E’$ は既約でなければならず、 矛盾。
q.e.d.
$\phi$$\text{。}$$f$次の定理は主定理の証明において中核を為す。
$f:Xarrow X$ は、 $\kappa(X)\underline{>}0$ なる非特異 3 次元射影代数多様体 $X$ の定理 4

が $nef$ でなければ、 $X$ の上の非自明な endomorphism とする。 もし、は、 $X’$
任意の端射線 $R$ は (El) 型であり、 $R$ の収縮写像の非特異楕円曲線 $C$ を中心とするブローアップ (の逆) と一致する。
$K_{X}$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R}:Xarrow X’$

略証

$X$

は非特異 3 次元射影代数多様体なので、 ffipping contraction

は起こらない。 森 [4] の端射線の分類結果と合わせると、 $X$ 上に端射線は高々、有限個しかない事が分かる。命題 1 より、 endomorphism $f:Xarrow X$
を、で置き換える事にの適当な (>O) 回の合成写像 $f^{k}=f\circ$
は、 $X$ の端射線全体の為す有限集合のより、 の push-forward map
上に、 恒等置換を引き起こすとしてよい。 命題 3 より、 $X$ の任意の端射\rightarrow X’ は $X’$ の非特
線 $R$ は (E1) 型、 即ち $R$ の収縮写像
でな
異代数曲線 $C$ を中心とするブローアップ (の逆) である。 $C$ はい。 $X’$ の上に、 非自明な endomorphism $f’$ : $X’arrow X’$ が引き起こされて、$f’\circ\phi=\phi\circ f$ を満たす。 $C$ の種数 $g(C)\geq 2$ と仮定しよう。 フルヴイッツの公式より、 $f’|$ c: $C\cong C$ は自己同型。 それと $f^{\prime-1}(C)=C$ を合わせると. $\deg(f’)=\deg(f’|_{C})=1$ だから、 $f’:X’\cong X’$ は同型写像となり、 $f’$の非自明性に矛盾する。 故に $C$ は、 非特異楕円曲線である。 q.e.d.
$k$

$f$

$f$

$\circ f$$f_{*}$$\phi:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R}:X$$\mathrm{P}^{1}$

注 2(1) 命題 1 より、 因子収縮写像でつぶれる例外因子は、 endomor-

phism によって保存され、 その帰結として、 ’ 非自明なエタール end を許す代数曲線は、 楕円曲線に限る ’ という性質が、 ブローアップの中心にまで遺伝するのである。
(2) 定理 4 は、 endomorphism (即ち、 ソース $Y$ とターゲット $X$ が同型) という仮定を少し弱めた状況においても、 成立する :$f:Yarrow X$ は、小平次元が非負の、非特異 3 次元射影代数多様体 $X,$ $Y$の間の同型でないエタール被覆、 且、 $X$ と $Y$ の間には、 余次元 1 で同型

36(例えば、 フロップ) が存在すると$arrow Y$
である別の双有理写像 $u:X$
が $nef$ でなければ、 定理 4 と全く同様の主張が従う。
せよ。 もし、$K_{X}$

さて、 主定理の証明の大雑把な方針を述べる。

Stepl. minimal reduction の構成
小平次元が非負な非特異 3 次元射影代数多様体 $X$ の上に、 非自明な
endomorphism $f:Xarrow X$ が与えられているとしよう. $X$ は必ずしも極小ではない. そこで、 $f:Xarrow X$ に endomorphism をも. 込みにして MMP(極小モデルプログラム) を適用する。 $X$ の標準束 $K_{X}$ がでないと仮$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}$定しよう。 $f$ を適当な合成写像 $f^{k}(k>0)$ で置き換える事によって、$X$$f_{*}$は、上の extremal rayR 全体の恒等置換を引き起こすとしてよい。定理 3 より、各 $R$ は (E1) 型であり、 $R$ の収縮写像
異 3 次元射影代数多様体$X_{1}$の$-\mathrm{b}_{\wedge}$: $Xarrow X_{1}$ は、非特の nontrivial endomorphism: $X_{1}arrow X_{1}$$\pi:=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}_{R}$$f_{1}$でがを誘導し、 $f_{1}\circ\pi=\pi\circ f,$ $\rho(X_{1})=\rho(X)-1$ を満たす。 もし、なければ、 全く同様の論法より、 再び を、 (従って、 元来の $f$ をも) 適
上の extremal ray
は全体に.
当な合成写像で置き換えると、恒等置換を引き起こすとしてよい。 以下、 同様の作業を続行する。 (E1)型端射線の収縮写像によって、 多様体のピカール数は 1 だけ減少するのので、 この作業は有限回で停止し、 ついには、 $X$ の非特異極小モデル
上の、 非自明な endomorphism: Xn\rightarrow X。を得る これを、 $f:Xarrow X$の minimal reduction と呼ぶ。
$K_{X_{1}}$$\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{f}$$f_{1}$$(f_{1})_{*}$$X_{1}$$R_{1}$$X_{n}$$f_{n}$$\circ$

要約すると、 各 $(0\leq i\leq n)$ に対して、(1 )Xi(但し $f_{0}:=f,$ $X$0 $:=X$ とおく) は、 小平次元が非:の上の非自明な endomorphism。
負の非特異 3 次元射影代数多様体(2)を中心とするブ上の非特異楕円曲線-1: $X_{i-1}arrow X_{i}$ はが成立する。
ローアップ (の逆) であり、
(3) $f_{i}^{-1}(C_{i})=C_{i}$ が set,-theoretic な意味で成り立つ.
$f_{i}$$\lambda_{\dot{l}}^{7}arrow$$X_{i}$$\gamma_{1}i$$X_{i}$$C_{i}$$\pi_{i}\circ f_{i}=f_{i+1}\circ\pi_{i}$(4)$X_{n}$

は $X$ の非特異な極小モデルである。

注 3 この段階では、 $X$ の極小モデルの一意性までは云えないが、 川又-Kolldr の結果より、 全ての極小モデルはフロップでつながっているので、非特異である事は従う。 $\kappa(X)=0,2$ の場合、極小モデルの一 d\leq R\mu L 性は、 Step2の minimal reduction の分類の副産物として云える oStep2. minimal reduction の分類

37
は se 面-am le 。よ宮岡-川又による 3 次元アバンダンス定理より、の飯高ファイブレーション $\Phi:X_{n}arrow W$ の構造を $\kappa(X_{n})=0,1$ ,って、$K_{X_{n}}$$2$$X_{n}$に応じて個別に解析していく。
(い) $\kappa(X_{n})=2$ の場合には、 中山 [5] による 3 次元楕円ファイバー空間の standard fibration theorem を、(ろ)$\kappa(X_{n})=0$(は)$\kappa(X_{n})=1$ で、 $\Phi$の場合には、 Bogomolov 分解定理をの一$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{J\mathrm{L}}$ファイバーが超楕円曲面の場合には、 藤木 [1] による’generic quotient theorem’ を本質的に用いる。

Step3. 楕円曲線を中心とするブローアップのプロセス\rightarrow X,
Stepl の逆の操作、即ち、 Step2 で得た minimal reduction :からスタートして、順次、非特異楕円曲線 に沿ってブローアップを施し、元来の非自明な endomorphism $f:Xarrow X$ を回復させる作業を実行する.
$f_{n}$$X\text{。}$$C_{i}$

ここで、 各ブローアップの中心となるべき楕円曲線$C_{i}$

は、 $f_{i}^{-1}(\mathrm{Q})=C_{i}/$(Stepl (3) 参照) なる、 非常に強い制限条件を満足せねばならない。 これを、 手掛かりにの配置を探索して、 ブローアップを繰り返していく。
の飯高
例えば、 $\kappa(X)=2$ の場合では、 Step2 の分類より、極小モデル
ファイブレーションは、 Seifert elliptic fibration の構造を与えるが、 この各の場合が最も面倒
ファイバーに沿って、順次ブローアップしていく。
である。 かくして、 この作業が完了した段階で、 非自明な endomorphism$C_{i}$$X_{n}$$\kappa--1$$f:Xarrow X$ の構造が判明し、 主定理が副産物として得られる。

3

minimal reduction の分類
この節では、 Step2 の minimal reduction の分類について述べる o

先ず、 状況を設定する。 end のカテゴリー内で極小モデル理論を使用す
るのは窮屈なので、 以下では、 end より少しだけ枠組みを広げておく。 こ
うしても、 証明は全く同様に機能する。
条件 (MR) (い) $f:Yarrow X$ は、 非特異、 極小かつ小平次元が非負な
3 次元射影代数多様体 $X,$ $Y$ の間の同型写像でないエタール被覆。
(ろ) $X$ と $Y$ は、 双有理型同値、 即ち、 有限回のフロップによってつながっている。
ここで、 以下、 必要な概念を定義しておく。

38
定義 5 $V$ を非特異 次元射影代数多様体とする。 正規多様体 上の楕円ファイバー空間 $f:Varrow S$ は以下の条件を満たすとき、 ザイフェルトであ
$S$

$n$

るという。
(1)

$f$

(2)

$K_{V}$は、 equidimensiona$f$$\circ$は数値的に f- 自明。
(3) $V$ は $S$ の特異点と の discriminant locus $D$ を除いた所では. 主ファイバー束. 更に.
ならば、 $V$ は $D$ に沿って、 generalには型重複ファイバーを持つ。即ち、 $D$ の general な点 と横断的に交わる局所解析的な 上の曲線 $C$ をとると、 $f^{-1}(C)arrow C$ は $C$ 上の非特異極小楕円曲面であり、(x) は、 台を非特異楕円曲線とする m 型の重複ファイバー。
$f$$\mathrm{c}\mathrm{o}\dim(D)=1$$m0^{-}I$

$x$

$S$

$f^{-1}$$I_{\mathit{0}^{-}}$

注 4 実は、 以下の中山の定理より、 $f$ の全てのファイバーは非特異楕円曲線である事が従う。

次の中山の定理は基本的である。
定理 (N)[6]

多様体

$S$

(1)

ない。
(2)

$f:Varrow S$ は $n$ 次元非特異射影代数多様体 $V$ から、 正規

への楕円ファイバー空間とし、 以下を仮定する。
$\mathrm{c}\mathrm{o}\dim f(\triangle)\underline{>}2$$\mathrm{c}\mathrm{o}\dim f(\triangle)=1$となる $V$ 上の如何なる素因子$\triangle$

は uniruled でなる $V$ 上の如何なる素因子 $D$ も $f$ のファイバーに含まれる有理曲線の族で覆われない。
(3)

は数値的に f- 自明。
すると、 適当な generically finite な全射 $Tarrow S$ がとれて、 以下を満たす。
(1)

$K_{V}$$T$

は非特異射影代数多様体。

(2) ファイバー積 $V\cross_{S}T$ の主成分 $W$ に対して、 誘導される正則写

像 $Warrow V$ は有限次エタール被覆。
(3)

$W$

は、 $T$ 上、 $T$ と楕円曲線 $E$ との直積 $T\cross E$ と同型。

定理 6
$f$

条件 (MR) の下で, 更に $\kappa(Y)=\kappa(X)=2$ を仮定する。 すると、
(1) ソース $Y$ とターゲット $X$ との間に同型写像が存在して、 これととを合成する事で. $f$ は $X$ 上の endomorphism と見なす事が出来る(2) $X$ は高々、商特異点のみを許す正規代数曲面 $T$ の上の、ザイフェル$\circ$

ト楕円ファイバー空間 $\phi:Xarrow T$ の構造を持っ。
力旬 1 き起こされて、を満たす。
$\phi\circ f=\lambda 0\phi$$T$

上の自己同型 $\lambda:T\cong T$

$\sim$(3)がとれて、 同型の適当な有限次エタール被覆
E$E$ は非特異楕円が存在する (但し、 は一般型の非特異極小代数曲
$X$$\tilde{X}\cong\tilde{T}\cross$$\tilde{X}$$\tilde{T}$$\text{面}\eta$

、

曲線)

。

次の簡単な補題は、 endomorphism のモデルを取り替える際、 有効である。

補題 7 $u:X|$ . $arrow X’$ を 次元非特異射影代数多様体 $X,$ $X’$ の間の双有理写像で、余次元 1 で同型、更に $f:Yarrow X$ を、 同型写像ではない有限次$arrow Y’$
エタール被覆とせよ。すると、余次元 1 で同型な双有理写像 $v:Y$と、同型写像でない有限次エタール被覆 $g:Y’arrow X’$ がとれて、 $u\circ f=g\circ v$
を満たす。
$n$

3 次元アバンダンス定理より、 十分大なる自然数

定理 6 の証明$m$に対して $|mK_{X}|$ は、 base point free で、 飯高ファイブレーション $\phi:Xarrow S$を与える。 ( $S$ は高々、 商特異点のみを持つ正規代数曲面.)(L は $S$ 上の非常に豊富な直線束) とかけ、 特に$mK_{X}\sim\phi^{*}L$$K_{X}$

は楕円ファイバー空間 $\phi:Xarrow S$ は必ずしも equinumericallydimensional でない事に注意する。 そこで、 中山 [5] による 3 次元楕円ファイバー空間の standard fibration theorem を適用して、 モデノレを取り替える。 全空間 $X$ に有限回のフロップを施し、 底空間を双有理正則写像
上に、 equidimensional な楕円ファイバー空$\mu:Tarrow S$ で底変換すると、
間 $\psi:X_{1}arrow T$ が構成できる。 フロップは特異点のレベルを変えないので、も又、 numericallyも非特異。 $mK_{X_{1}}\sim(\mu\circ\psi)^{*}L$ 故、$f- \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}1_{\text{。}}$$\text{、}$$T$$X_{1}$$K_{X_{1}}$$\psi- \mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{a}1_{\text{。}}$

claim $\psi:X_{1}arrow T$ はザイフエルト楕円ファイバー空間。
上に、 同型写像でない有限proof. ここで、 補題 7 を適用すると、で、 元の $f:Yarrow X$ と双有理なものが取れ
次エタール被覆 :$X_{1}$$g_{2}$る。

$X_{2}$$X_{2}arrow X_{1}$

も $X$ とフロップでつながっているので、 同様の論法を繰り返すと、 同型写像でない有限次エタール被覆の無限上昇列 (tower)$arrow Xnarrow^{g_{n}}X_{n-1}arrow$$arrow X3arrow^{g\mathrm{s}}X_{2}arrow^{g_{2}}X_{1}\sim_{bir}X$を得る。但し、各 X。は非特異で、 $X$ とフロップ $v_{n}:X$ている。

$K_{\lambda_{n}^{r}}\sim$$(g_{2^{\circ}}\cdot.\mathrm{o}g_{n})^{*}K_{X_{1}},$$K_{X_{n}}\cong K_{X}$

立し、 $mK_{X_{1}}\sim\psi^{*}\mu^{*}L$ を満たす。故に、$\mathrm{I}^{\neg}$($X_{1},$$m$が任意の自然数$(g_{2}\circ\cdot.\circ g_{n})^{*}$

KX1) の線型同型写像を引き起こす。よって$)$\rightarrow X。で結ばれ
$n$

に対して成

は F(X。’ $mK_{X_{n}}$ )$\mu\circ\psi\circ\cdot$$.\circ g_{n}$$(^{\underline{\simeq}}$: $X_{n}arrow S$

も X。の飯高ファイブレーションであり、 $\psi_{n}:=\psi\circ g_{2}\circ||\circ g_{n}:X_{n}arrow T$

40
も $T$ 上の equi 市 mensional な楕円ファイバー空間である。 更に、 フロツプ
$h:X_{n}$ .

$arrow X_{1}$$arrow T$ がに対して、 同型 $u:S\cong S$ と、 双有理同型, $u\circ\mu--\mu\circ u$ を満たす。実は は同型である。何$\iota/:T\tau$

存在して、
内
故なら、 $T$ 上の任意の曲線 $C$ 上の楕円曲面は、 フロップ によっては $S$ のの曲面に移されるが、 は equi-dimensional だから.
曲線にならざるを得ないからである。そこで、 $\psi:X_{1}arrow T$ がザイフエルト
でないと仮定しよう。 の特異ファイバーとしては、 $T$ 上の prime divisorに沿って、 有理曲線の 1 パラメーター族が登場する。そこで、 を無限\rightarrow T の特異ファイバー
大に飛ばすと、 注 1 と同様の論法により:に沿って、 無限個の有理曲線が現われる
内には、 $T$ 上の prime divisor$arrow X1$ は余次元 1 で同型、 且ことになる。 一方、 $\nu:T\cong T,$ :は equi 市 mensional だから、 同様の結論が元の $\psi:X_{1}arrow T$ についても云える。 これは、 矛盾。 ここで、 中山の定理 (N) を適用すれば、 クレームが$\psi \mathrm{o}h=\nu 0\psi_{n}$

$u$

$h$

$\nu_{*}C,$$\psi$$X_{1}$$(\nu^{-1})_{*}C$$\psi$$n$$\triangle$$\psi_{n}$$X\text{。}$$\triangle$$h$$X_{n}’$$\psi$

云える。

とフロップでつながっている。 ここで、 フロップ
は rigid な有理曲線に沿って為されることを思い出す。
の適当なエタール被覆は、 一般型極小代数曲面と楕円曲線との直積に分解するので、の有理曲線は動く。 よって、 フロップの施し様がなく、 $h:X_{n}\cong X_{1}$ は同型写像にならざるをえない。 後の証明は容易である。 (証明終)
さて、 元の $X$ は$X_{1}$$X_{1}$$X_{1}$

次に $\kappa=0$ の場合を扱う。

命題 8 $T$ は複素トーラス、 コンパクト複素多様体 $X$ は、 $b_{1}(X)=0$ な
る藤木のクラス 多様体とする。 $X\cross T$ 上の、 任意の自己準同型写像
は、 $f=g\cross h$ (J Y ま各々、 $X,$ $T$ 上の自己準同型写像) の形に分解する。
$f$$\mathrm{C}$$h$

定理 9 条件 (MR) の下で更に $\kappa(X)=\kappa(Y)=0$ を仮定する。 すると、
(1) ソース $Y$ とターゲット $X$ との間に同型写像が存在して、 $f:Xarrow$$X$

は $X$ 上の非自明な自己準同型写像と見なせる。

は、 abelian 3-fold 又は、 非の適当な有限次エタール被覆
曲面と楕円曲線 $E$ との直積
特異なE に同型である。
(3) 後者の場合、 $X$ はの有限群 $G$ による商空間 $W:=\tilde{T}/G$ 上のザイフエルト楕円ファイバー空間であり、 はそれと両立して、 底曲面$W$ の自己同型を引き起こす。 同時に、 $X$ は $E$ の有限群 $G’$ による商曲線$C:=E/G’$ 上のザイフエルト K3、 又はエンリケス・ファイバー空間でもあり、 はそれと両立して、 底曲線 $C$ の自己準同型写像を引き起こす。

(2)

$X$

$K\mathit{3}$$\tilde{X}$$\tilde{T}\cross$$\tilde{T}$$\tilde{T}$

$f$

$f$

41
証明
$c_{1}$$X$

3 次元アバンダンス定理より、(X)R=0。 最初に、 $X$ の基本群

Pic(X) は有限位数、 特に$I\mathrm{f}_{X}\in$( X) は無限群である事を示そう。

$\pi_{1}$と $Y$ は、 余次元 1 で同型だから、 その基本群は同型。 もし、 有限群

だと仮定すると、 単射群準同型写像$\deg(f)=$ [$\pi_{1}($X):$\pi_{1}(Y)$$f_{*}:$] $=1$ となり、

$f$$\pi_{1}(Y)arrow\pi_{1}$(X) は同型。 故に、は同型写像となる。 これは、 仮定に反する。

故に、ボゴモロフ分解定理より、適当な $X$ のエタール被覆 は、 abelianに同型。 前者の場合
3-fold 又は、 K3 曲面 と楕円曲線 $E$ との直積$\tilde{X}$$\tilde{T}\cross E$$\tilde{T}$は有理曲線を含まない。 後者の場合は、 いかなる有理曲線も、 第 2成分への射影 :のファイバーに含まれるが、 これは rigid でない。
何故なら、 $E$ は 上の平行移動として に作用するからである。 よって $X$
上のいかなる有理曲線も又、 rigid でない。故に、定理 6 の証明と同様の理由で. 同型 $X\cong Y$ が従う
は而 nimal split covering
即ち、 は有限次 Galois エタール被覆であり、 Galois 群
が、の形の元を含まない (但し、 $0\neq\tau\in E$ は楕円曲線 $E$ の平行移動の意味) とする q の最小性より、 合成写像 $f\circ q:\tilde{X}arrow X$ は $q:\tilde{X}arrow X$
を経由する。故に自己準同型写像が存在してを満たす。 K3 曲面の単連結性と命題 8 より、適当な自己準同型写像 $u:Earrow E$と自己同型が存在して、
u を満たす。 同様に任意のは、 $g=g_{1}\cross$ g2,
自己同型$(E)$ と分解する。 群準同型写像 :Aut
を、
:Aut
’
$G$
各々. $\tau(g)=g_{1},$ $\rho(g)=g_{2}$ と定義してとおく。
第一成分への射影 :により、 $X$ 上にザイフェルト楕円ファイ
バー空間 $\psi:X=\tilde{T}\cross E/\tilde{G}arrow W:=\tilde{T}/G$ の構造が入る。
はによって誘導されるのはで、の作用と両立する。 従って、 も $G$ の作用と両立して、 底空
間 $W$ の自己同型 $v’:W\cong W$ を誘導する。 同様にして、 第二成分への射影により、 $X$ 上にザイフエルト K3、 又は Enriques ファイバー:
空間 $X:=\tilde{T}\cross E/\tilde{G}arrow C:_{-}^{-}E/G’$ の構造が入り、は、 底曲
線 $C$ の自己準同型写像 $u’:C$ \rightarrow C を誘導する。 (証明終)は$\tilde{X}$$\tilde{X}arrow E$$p_{2}$$\tilde{T}$$\tilde{X}$$q:\overline{X}:=\tilde{T}\cross Earrow X$$\text{。}$$\tilde{G}:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(\tilde{X}/X)$$q$$(\mathrm{i}\mathrm{d}_{\tilde{T}}, \tau)$$\circ$$q\circ\tilde{f}=f\circ q$$\tilde{f}:\tilde{X}arrow\tilde{X}$$\text{、}$$v:\tilde{T}\cong\tilde{T}$$\tilde{f}=v\cross$\tilde$\tilde{g}:X$$\cong\tilde{X}$$g_{1}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}$ $(\tilde{T}),$$\tau$$(\tilde{X})arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\tilde{T}),$$g_{2}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}$$(\tilde{X})arrow \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(E)$$\rho$$G:_{-}^{-}\tau(\tilde{G}),$$:=\rho(\tilde{G^{\gamma}})$$\tilde{X}arrow\tilde{T}$$p_{1}$$f\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X)$$\tilde{f}=v\cross u\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(\tilde{X}),$ $(v\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(T), u\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(E))$$\tilde{f}$$\tilde{G}$$v$$\tilde{X}arrow E$$p_{2}$$f\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X)$

命題 10$f:Yarrow X$ は、 双有理同値な非特異 $n$ 次元射影代数多様体 $X,$ $Y$の間の、 同型でない有限次エタール被覆とする。

飯高ファイブレーション $\phi:X$$arrow Z$の一を $F$ とおく。 すると、 $\chi(\mathcal{O}_{F})=0$ を得る。

$\mathbb{R}^{\mathrm{n}}$$\kappa(X)\underline{>}0$と仮定しで-.

ファイバーの非特異モデル

42
系 10.1 条件-l を仮定する。 すると、
(MR) の下で更に $\kappa(Y)=\kappa(X)-$の飯高ファイブレーション $\phi:Xarrow C$ の一般ファイバーは、 アーベル
曲面又は超楕円曲面のいずれかと同型である。

$X$

ここで、 超楕円曲面に関する基本的事実を思い出しておく。

Basic Facts

を超楕円曲面とする。
(1 ) $S$ は T 度 2 通りの、 同型でない楕円曲面の構造を持つ。
により、 $S$ は楕円曲線
タイプ (A): アルバネーゼ写像 ps:
Alb(S) 上の、 ファイバーを楕円曲線とする正則ファイバー束になる。
タイプ (B) -. 楕円曲線
( S) の. への作用は自由でなく、 自然
な射影 $qs:Sarrow C_{S}:=S/E\cong \mathrm{P}^{1}$ により、 ザイフエルト楕円曲面の構造を$S$$Sarrow \mathrm{A}1\mathrm{b}(S)$$E:=\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}^{0}$

$S$

持つ。
(2)

の一
ファイバーによって張られ、(S) は、は、 各々、 底曲線 Alb(S),の自己準同型写像を誘導する。
$\overline{NE}$$\text{般}$$p_{S},$$q_{S}$$f\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(S)$$C_{S}$

次の補題は、 定理 6 の証明と同様、 同型でない有限次不分岐被覆の無限個のタワーを $X$ 上に構成する議論から従う。
補題 11

条件

$(\mathrm{M}\mathrm{R})$の下で、 更に $\kappa(X)=1$ と仮定し、 $\phi:Xarrow C$ をの飯高ファイブレーションとする。 このとき、各既約成分の非特異モデルは有理曲面でない。

$X$

定理 12

$\phi$の特異ファイバーのの下で、更に $\kappa(X)=1$ 且、 飯高ファイブレーショ
条件
ン $\phi:Xarrow C$ の一般ファイバーは超楕円曲面とする。 すると(1) ソース $Y$ とターゲット $X$ の間に別の同型写像が存在し、 $f$ は $X$
上の非自明な自己準同型写像と見なせる。
$(\mathrm{M}\mathrm{R})$(2)ファイバー空間の分解 $Xarrow^{\pi}T-^{q}C$がとれる -. 但し、 $\pi:Xarrow T$ は、 高々、 商特異点のみを許す正規曲面 $T$. ファイバー空
上のザイフエルト楕円ファイバー空間、 $q:Tarrow C$ は$\mathrm{P}^{1}.$間、 且、 $\phi=q\circ\pi$ を満たす。
(3)
は、 $T$ の自己準同型写像、 及び $C$ の自己同型写像を$f\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X)$

誘導し、 上の分解と両立する。
(4) $X$ の適当な有限次不分岐被覆$\tilde{X}$は直積$\overline{T}\cross E$(但し$\tilde{T}$は $\kappa(\tilde{T})=1$なる非特異極小代数曲面、 $E$ は楕円曲線) と同型。
藤木 [1] の’generic quotient theorem’ を用いて、 超楕円曲面のタイプ (B) 型の effiptic fibration を相対化する事が肝要である。 即ち、 次の略証

ファイバー空間の分解が存在する : $X$$arrow S\pi’-^{p}$C。

43
ここで、 $p$ の一般ファイバーは Pl、 且の一般ファイバーは楕円曲線、の不確定点を解消して、
ブローアツプ $\mu:\hat{X}arrow X$ により且$S$ 上の楕円ファイバー空間 $g:=\pi’\circ\mu:\hat{X}arrow S$ を得る。 これに、 相対的極小モデルプログラ を走らせて、 楕円ファイバー空間 $h:X’arrow S$ で以下$\pi’$$\pi’$$\phi=p\circ\pi_{\text{。}^{}\prime}$$\text{ム}$を満たすものがとれる。
(1) それは、 $g:\hat{X}arrow S$ と双有理同値。

は高々、 Q-分解的ターミナル特異点しか持たない。

(2)

$X’$

(3)

$K_{X’}$

は h- ネフ。

更に中山 [5] による equidimensional モデル定理より、 $X’$ に有限回のフロップを施し、 底空間を双有理射 $u:Warrow S$ で底変換すると、 以下を満たす楕円ファイバー空間 $h’:X”arrow W$ を得る.
(1)は equidimensional。

$h’$は高々、 Q-分解的ターミナル特異点しか持たない。
(3) $W$ 上に有効 Q- 因子 がとれて、は対数的ターミナル対、
(2)

$X”$

$(W, \Lambda)$$\Lambda$

且 $K_{X’’}\sim_{Q}f^{\prime*}(K_{W}+\Lambda)$ となる。
ここで、 ’ $K_{X},$ ’ がネフ $\mapsto K_{W}+\Lambda$ が $W$ 上ネフ’に注意する。 曲面 $W$ 上の対数的 MMP と、 3 次元 MMP、 及び中山のstandard fibration 定理を組み合わせると、 双有理射 $u’:Warrow T$ 及び. 楕
円ファイバー空間 $\pi:Zarrow T$ がとれて、(1) $u’\circ h’$ は と双有理同値。
$\pi$

(2)

$\pi$

は

$\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}1_{\text{。}}$は高々、 Q-分解的ターミナル特異点のみを持つ。
(4) $T$ 上の有効 Q- 因子 が取れて、は対数的ターミナル対且、
(3)

$Z$

$(T, \Gamma)$$\Gamma$KZ\sim \pi \sim KT+F)。
(5)$K_{Z}$

はネフ、 即ち、 $Z$ は $X$ の絶対的極小モデル。

川又-Koll\’ar より、 $Z$ は元の $X$ と有限回のフロップで結ばれているから、 非特異。 補題 7 より、 $Z$ 上の非同型な有限次エタール被覆の無限個のタワー$X\sim_{bir}Z\underline{g_{1}}Z_{1}\underline{g_{2}}Z_{2}arrow$(但し$Z_{n}$$arrow Z_{n}arrow$

は全て $X$ の非特異極小モデル) を得る。 $Z$ の飯高ファイブ: $Zarrow C$ の一般ファイバーは超楕円曲面であり、 適当なファイバー空間 $q:Tarrow C$ がとれて、 $\phi’=q\circ\pi$ と分解する。 すると、$\pi:Zarrow T$ はザイフエルト楕円ファイバー空間である。 そうでなければ、$T$ 上の素因子がとれて、 一般の点上のファイバーの既約成分はの一般ファイバーは超楕円曲面だから、全て、 有理曲線となる。 一方、
レーション$\phi’$$\mathrm{P}^{1}-$$p\in\triangle$$\triangle$$\phi’$

44
ファイバー空間 $q:Tarrow C$ のファも有理曲線で、(\Delta ) の非特異モデルはイバーに含まれる。 よって、有理曲面となる。 これは、 補題 11 に反する。 従って、 定理 (N) を適用して、 証明が完了する。
.
有理曲線を持たない。 故に、$\triangle$

は、$\mathrm{P}^{1}-$$\pi^{-1}$$\triangle$$\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}$4主定理の略証明
証明の最終段階 Step 3 では. minimal reduction$f_{n}:X\text{。}arrow X_{n}$からスタートして、 逐次、楕円曲線を中心とするブローアップにより、元の非自明自己準同型写像 $f:Xarrow X$ を復元する。 2 節、 Stepl の記号を用いる。
ます、 簡単な補題を用意する。
次元射影代数多様体 $X$ から正規多補題 13 $f:Xarrow T$ は非特異様体 $T$ へのザイフエルト楕円ファイバー空間とする。 $f$ の任意のファイバーに沿って $X$ をブローアップしても、 得られた多様体 $X’$ ま再び、 ザ$n(\underline{>}3)$

イフェルト楕円ファイバー空間の構造を持つ。

(a)

の場合
を誘導し、 $f_{n}^{-1}(C_{n})=$は、底曲面の自己同型 :より、: $C_{n}arrow C_{n}$ は非自明な自己準同型であることに注意する。
は、 ザイフエル
ブローアップ\pi ユー 1:X ユー。の中心となる楕円曲線のファイバーでなければならない。何ト楕円ファイバー空間 \phi 。:
故なら、 もし( Cn) の mapping:(Cn) が の曲線ならば、が云えて、 矛盾が生じる。 補題:
degree の考察より、 同型$\kappa(\mathrm{X})=2$$f_{7l}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(X_{n})$$C_{n}$$\rho_{n}$$X\text{。}\cong X_{n}$$f_{n}|_{C_{n}}$$C_{n}$$\mathit{1}arrow X$$X\text{。}arrow T_{n}$$\phi_{n}$$T_{n}$$\phi_{n}|_{C_{n}}$$f_{n}|_{C_{n}}$$C_{n}arrow\phi_{n}$$C_{n}\cong C_{n}$: X。-l\rightarrow T,-lを得る。 同様の考察により、ザイフエルト楕円ファイバー空間 :13 を適用すると、 ザイフエルト楕円ファイバー空間$\phi_{n-1}$$\phi_{i}$$X_{i}arrow T_{i}$を中心とするブローアップを続行する。 最終的に、 元の$X$ がザイフエルト楕円ファイバー空間の構造を持つことが示せる。
のファイバー(b)$C_{i}$の場合
先ず、 特別の場合を考察する。
$\kappa(\mathrm{X})--0$

命題 14 $V$ は 3 次元アーベル多様体と双有理同値であるが、 同型でない
非特異 3 次元射影代数多様体で、 非自明な自己準同型写像 $f:Varrow V$ を持つと仮定する。 すると、
(1) $V$ はアーベル曲面と双有理同値な代数曲面 $S$ 上の楕円束 $p:Varrow S$(即ち、 構造群及び典型ファイバー共に楕円曲線の主ファイバー束) の構
造を持つ。

45
(2)

$f$

(3)

$V$

は

$p$

と両立して、 底空間の自己同型 $g:S\cong S$ を引き起こす。

の適当な有限次不分岐エタール被覆 は、 直積 $S’\cross E$ (但し、$S’$ はアーベル曲面と双有理同値な非特異代数曲面、 $E$ は楕円曲線。)と同型。
$\tilde{V}$$f$ の適当な合成積をとって、 $f:Varrow V$ の而 nimal reduction
略証: $V_{n}-+$は、 非単純な 3 次元アーベル多様体である。
を構成する。 仮定より
$f_{n}^{-1}(C_{n})=C_{n}$ より、において、 不: $C_{n}arrow C_{n}$ は平行移動でなく、$C$
動点 を持つ。
を単位元とする代数群の構造が入り、n には共に、はの部分アーベル多様体となる。 商写像: $V_{n}arrow T_{n}:_{-}^{-}V_{n}/C_{n}$は底曲面の自己同型はアーベル曲面上の楕円束の構造を与え、を誘導する。 $\kappa=2$ の場合と全く同様の理由で、 楕円束の:$f_{n}$$V_{n}$$V_{n}$$C_{n}$$f_{n}|_{C_{n}}$$V_{n},$$\mathit{0}$$C_{n}$$\mathit{0}$$V_{n}$$p_{n}$$T_{n}$$g_{n}$$f_{n}$$T_{n}\cong T_{n}$ファイバーを中心とするブローアップを続行して、 最終的には、 元の $X$
自身が楕円束の構造を持つ事が示せる。
命題 15 $V$ は K 3 曲面と楕円曲線の直積に双有理同値な非特異 3 次元射
影代数多様体であり、 非自明な自己準同型写像 $f:Varrow V$ を持つと仮定する。 すると、(1) V\cong S$\cross$

E、 但し $S$ は$\mathrm{K}$$3$曲面と双有理同値な非特異代数曲面、

は楕円曲線。
(2) 自己同型写像 $g:S\cong S$ が存在して、は第一成分への射影。

$E$

略証

$f:Varrow V$ の minimal reduction$f_{n}$:$p\circ f=g\circ p\text{、}$$V_{n}arrow V_{n}$9 より、 命題は正しい。 (2) が云えているので

但し $p:Varrow S$

については、 定理の場合と同様の理由により、 ザイフェルト楕円ファイバー空間の各ファイバーを中心とす
るブローアップを繰り返して、 $X$ を復元できる。 q.e.d.
$\kappa--2$$f:Xarrow X$ を $\kappa(X)=0$ なる非特異 3 次元射影代数多様体 $X$ 上の非自明な自己準同型写像とする。必要ならば を適当な合成積 $f^{k}(k>0)$ で置き換えて、 minimal reduction $g:X’arrow X’$ をとる。楕円曲線を中心とする一連のブローアップ (の逆) を $\pi:Xarrow X’$ とおく, と、
定理 9
より、 $X’$ の適当な有限次ガロワ・エタール被覆-fold 又は K3 曲面と楕円曲線との直積と同型。 しかも、 は、 自己準同型にリフトできる。 すると、 $V:=X\cross X’$は非特異でと双有理同値、 かつ自然な射影 $Varrow X$ は、 $X$ の有限次ガロワ・エター
は、 非自明な自己準ル被覆。 自己準同型写像$f$$g\circ\pi=\pi\circ f\text{。}$$p:\tilde{X}’arrow X’ \text{は、}$$3$$\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{e}_{J}1\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{n}$$g$$\tilde{X}’$$\tilde{g}:X\tilde’arrow\tilde{X}’$$f\cross\tilde{g}:X\cross\tilde{X}’arrow X$$\cross\overline{X}’$$\tilde{X}’$48
同型写像 $h:Varrow V$ を誘導する。再び、 必要なら $f,$
き換えてよい。 以下の 2 通りの可能性が生じる。
(い) -.

$\tilde{X}’$$h$を適当な合成積で置が abelian 3-fold の場合 :が同型ならば、 $X$ は abelian 3-foldの有限群による商であり、 極小。 次にが同型でないとせよ。 命題 14 により、 $V$ はアーベル曲面と双有理同値な代数曲面 上の、 楕円束 $q:Varrow\tilde{T}$ になる。 ガ
ロワ群 $G:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(V/X)$ は、 この楕円束の構造を保ち、 の有限自己同型群 $G’$ を引き起こす。 故に自然な射影 $\rho:X\cong V/Garrow\tilde{T}/G’=$ : $T$ はザ$Varrow\tilde{X}’$$V$$Varrow\tilde{X}’$$\tilde{T}$$\tilde{T}$イフェルト楕円ファイバー空間の構造を持つ。 自己準同型写像 $h:Varrow V$
はガロワ群 の作用と両立し、 楕円束構造 $q:Varrow\tilde{T}$ を保ち、 且、 同型もの作用と両立して、を誘導する。 従って、
$T$ の自己同型 $\lambda:T\cong T$ を引き起こす。
$\mathrm{G}$$g’:\tilde{T}\cong\tilde{T}$

(ろ) :

$g’$

.

$G’\cong \mathrm{G}\mathrm{a}1(\tilde{T}/T)$

曲面と楕円曲線との直積に同型な場合 :(但し $V$ は
命題 15 より、 同型
曲面と双有理同値な非特異代数曲面、 $E$ は楕円曲線) が存在する。 しかも、 自己準同型の分解$h=h_{1}\cross h_{2}$ (但し) が成り立つ。 命題 8 より、
ガロワ群を保ち、 底空間
は第一成分への射影 :の自己同型群 $G$ を引き起こす。 自然な写像 : $X:=V/\tilde{G}arrow\tilde{T}/G=:T$
により、 $X$ は 上のザイフエルト楕円ファイバー空間の構造を持つ。 これは、 (い) の場合と同じ理由で $f:Xarrow X$ によって保存され、 底曲面$T$ の自己同型: $T\cong T$ が引き起こされる。 q.e.d.
$\tilde{X}’$が$\mathrm{K}3$$V\cong\tilde{T}\cross E,$$h_{1}\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(\tilde{T}),$$\mathrm{K}$$3$$h_{2}\in \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(E)$$Varrow\tilde{T}$$\tilde{G}:=\mathrm{G}\mathrm{a}1(V/X)$$p_{1}$$\tilde{T}$$\rho_{1}$$T$$\alpha$(C)$\kappa(\mathrm{X})--1$の場合の飯高ファイブレーションの一般ファイバーが超楕円曲面の場合の証明は. 煩雑なので方針を述べるに留める。 minimal reduction:
X。をとる。 X。は 2 通りの楕円ファイバー空間の構造を持つ。
(1) 第– に、 藤木 quotient
ファイバー: $X_{n}arrow T_{n}$ によって、空間上のザイフェルト楕円ファイバー空間構造を,(2) 第二に、相対アルバネーゼ写像により、楕円曲面
上の、 equidi:
mensional な (必ずしもザイフエルトとは限らぬ) 楕円ファイバー空間$X_{n}arrow A_{n}$ の構造を持つ。
大方の場合は、のファイバーを中心とするブローアップを繰り返す事で、 元の $X$ が回復する。
のファイバーに沿って、 ブローアップするのが好ましく無い事は、 以下の例からも想像がつく。
$X_{\min}$$f_{n}$$X_{n}arrow$$\mathrm{P}^{1}-$$g_{n}$$T_{n}$$\mathrm{A}_{n}$$\alpha_{n}$$g_{n}$$\alpha_{n}$例 16$f:Sarrow C$ は正則切断

且 $\chi(O_{S})\neq 0$を持つ相対的極小楕円曲面で、 $\kappa(X)=1$(即ち、ザイフェルト楕円曲面でない) とする。 は $C$ の関数$\mathit{0}$

$S$

47
$arrow S$
体 $K$ 上、定義された を単位元に持つ楕円曲線 と見なせる。 $i:S$
をの相対的に逆元をとる群演算から生じる双有理写像とする。 それは、 $S$ の極小性より $S$ の自己同型となる。 $E$ を楕円曲線、’を$E$ の 2 等分点による平行移動とする。
は自由な
invohsion であり、 商 $X:=S\cross E/\langle j\rangle$ は $\kappa(X)=1$ なる非特異多様体である。 $[n]:Earrow E$ を 倍写像 (但し、 $n>1$ は奇数) とする。 $S\cross E$ 上の自己準同型写像[n] は、 非自明な自己準同型写像 $\varphi:Xarrow X$を引き起こす。
-不変な射影 $S\cross Earrow C$ は、 $X$ の飯高ファイブレー
ション : $Xarrow C$ を与え、 の一 ファイバーは超楕円曲面である。 射影$S\cross Earrow Sarrow C$ は、 ファイバー空間の分解 $X-^{g}T:=S/\langle i\rangle-^{p}C$ を誘導する。 但し、 $g:Xarrow T$ はザイフエルト楕円ファイバー空間、 $p:Tarrow C$
はファイバー空間、 且
他方、 射影は、 分解 $X-^{h}C$E’ $-^{q}C$ を誘導する。 但し、 $E’:=E/\langle t\rangle$ は楕
円曲線、 $h:Xarrow C\cross E’$ は、 $\phi:Xarrow C$ の相対的アルバネーゼ写像であり、 非ザイフェルトな楕円ファイバー空間、 かつ$X$ を(t), $t\in T$ に沿ってブローアップして得ら
9 の正則ファイバーれる多様体を $X’$ とする。 明らかに、 $\phi:Xarrow X$ は、 $X’$ 上の非自明自己準$\mathcal{E}$$[$$\mathit{0}$$\mathcal{E}/K$$\mathrm{f}:E\cong E$$j:=i\cross t\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(S\cross E)$$n$$\psi:=\mathrm{i}\mathrm{d}_{S}\cross$$\langle j\rangle$$\mathbb{R}$$\phi$$\dot{\phi}$$\mathrm{P}^{1}-$$\phi=p\circ g\text{。}$$S\cross E\mathit{4}f\cross \mathrm{i}C\cross Earrow C$$\cross$$\phi--q\circ h\text{。}$$g^{-1}$同型写像 $\phi’:X’arrow X’$ に持ちあがる。 他方、 $\pi:Yarrow X$ を の正則ファイ
バー $F$ に沿ってのブローアップとすると、 $Y$ は非自明な自己準同型写像を持たない。
証明は背理法による。 非自明な自己準同型写像 $u:Yarrow Y$ が存在したとせよ。 命題 1 と定理 4 より、 適当な合成積 $v:=u^{k}(k>0):Y$ \rightarrow Y
は、 非自明な自己準同型写像 $w:Xarrow X$ を引き起こし、 $\pi\circ v=w\circ\pi$ 且$w^{-1}(F)=F$ が成り立つ。 よって、 rifidity Lemma より、 $C\cross E’$ の自己準同型写像 $w’$ がとれて, $h\circ w=w’\circ h$ となる。 $w:Xarrow X$ は、 $C$ の自己同型を引き起こすから、 $w’$ はエタール射。 更に、 $w^{-1}(F)=F$ より、 $w’$ は自己同型。 よって、 $\kappa(X)=2$ の場合の主定理の証明と同様の論法より、$h:Xarrow C\cross E’$ はザイフエルト楕円ファイバー空間となる。 特に、のに反する。
ファイバーは、 全て楕円曲線であり、 仮定
$h$

$h$

$\chi(\mathcal{O}_{S})\neq 0$

5その他(1) 本稿では、非自明な自己準同型 $f:Xarrow X$ に対して、多様体 $X$ の構造の解明に重点を置き、射 は適当な合成積で自由に置きかえる立場を採った。他方、射 をも重視する立場としては、 (注 2) を用いて minimal
$f$

$f$

48
reduction を多少、 変更すると、 以下を示す事もできる。
を、 小平次元が 2 の非特異 3 次元射影
: X。\rightarrow X。+1}71の間の、 同型でない有限次エタール被覆の無限降下列とせ代数多様体よ。 すると、 各
もザイフェルト楕円ファイバー空間の構造を持つ。

定理 17

{

$f_{n}$$=1,2,\cdots$$X_{n}$$X_{n}$(2) 非自明な自己準同型写像を持つ $\kappa(S)=-\infty$ なる代数曲面 $S$ は中山 [7] によって分類された。 特に、 $S$ が有理曲面の場合、 $S$ が非自明な自己準同型写像を持つ為の必要十分条件は、 がトーリック曲面となる事である。 この状況下で、 上の自己交点数が負の既約曲線 $C$ 全体は、 有限集合であって、 非自明な自己準同型写像によって保存される。 end で保存される新型データは、 他にもないだろうか ? 例えば、 ファノ多様体の一般の点を通る有理曲線の length によって、 非自明な自己準同型写像のデーターが引き出せないか ?
(3) 小平次元の正負に関わらず、 非自明な自己準同型写像をもつコン
パクト複素多様体には、 アーベル多様体、 乗法群.. 等の群が何らかの形で作用しているのではないか ? と思われる。 次の問題を提起しておく。
$S$

$S$

問題 (cf. [2])なる非特異射影代数多様体 $X$ が、 非自明な自己準同型写像 $f:Xarrow X$ を有するとせよ。 すると(i) 十分一般の点 $p\in X$ に対して、 (p) は $\{f^{n}(p)|n=1, 2, |\}$ のZariski 閉包を表す。 もし、 $s(p)\neq X$ ならば、 (p) の適当な有限次エター
ル被覆 $S’(p)$ は、 アーベル多様体になるか ?
(ii) 更に、がネフでないと仮定しよう。 すると、 $X$ の任意の端射有理曲線は、 (p) と横断的に交わるか ?
$\kappa(X)\underline{>}0$

$S$

$S$

$K_{X}$$S$

参考文献[1] A. Fujiki, On a holomorphic fiber bundle with meromorphic structure, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 19 (1983), 117-134.

[2]$\mathrm{Y}$[3]$\mathrm{Y}$Fujimoto, Endomorphism of smooth projective 3-folds with nonnegative Kodaira dimension, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 38 (2002),
33-92.

Fujimoto, Decomposition Problem on Endomorphisms of Projective Varieties, to appear in Publ. RIMS, Kyoto Univ.

43[4] S. lVIori, Threefold whose canonical bundles are not numerically effective, Ann. of Math., 116 (1982), 133-176.
[5] N. Nakayama, Local structure of an elliptic fibration, Advanced
Studies in Pure Math, 35 (2002), Higher Dimensional Algebraic Geometry, 185-295.
,[6] N. Nakayama, Projective 3-folds whose universal coverings are
the proceeding of symposium on vector bundles and algebraic geometry, Kyusyu University, January, 1997, organized by S. Mukai and
E. Sato 6-10.
$\mathrm{C}^{3}$

フ[7] N. Nakayama, Ruled surfaces with nontrivial surjective endomorphisms, Kyusyu J. Math, 56 (2002), 433-446.