それでは，前回の解答です．

は 0 または 1 なので，p4 + q4 は自然数の 2 乗にならない．

第１問（ⅠＡⅡＢ）(2)

p,q は互いに素な自然数とする．以下の問いに答(i)

割り切る奇素数 d が存在する．

p,q がともに奇数であるとき，p4 + q4 は自然(2p)4 + q4 = r2

数の 2 乗にならないことを示せ．と q をともに割り切る奇素数は存在せず．矛盾すを用いて示せ．

る．よって，2p と r は互いに素になる．

次の仮定 (H) が成り立つものとして，以下の(2p)4 + q4 = r2

(B)

問い (A) ~ (D) に答えよ．
仮定 (H) :(2p)4 + q4 = r2 となる自然数 r が存在する．
(A)

2p と r は互いに素になることを示せ．

(B)

互いに素な自然数 m,n があって，{r + (2p)2} - {r - (2p)2} = 2 ∑ (2p)2をともに割り切り，これと (A) から d = 1 または2 である．さらに，r + (2p)2,r - (2p)2 はともに奇数であることから，d は奇数であり d = 1 となる．

2p1 と q1 が互いに素になり，p = 2p1q1r1 かつすなわち．r + (2p)2 と r - (2p)2 は互いに素になる．

(2p1)4 + (q1)4 = (r1)2 となる自然数 p1,q1,r1 が存

これと，1 より r + (2p)2 と r - (2p)2 のどちら在することを示せ．

も自然数の 4 乗になるので，互いに素な自然数( i ) の仮定 (H) が成り立たないことを示せ．

m,n があってr + (2p)2 = m4,r - (2p)2 = n4 ºº2

第４問】と表される．
(C)( 解答 )

2 の 2 式を辺々引いて8p2 = m4 - n4

以下，自然数全体の集合を N で表す．
(1)

ºº1

2{r + (2p)2} + {r - (2p)2} = 2r

とおく．p2 を a,b を用いて表せ．

福島県立医科大学

q4 = {r + (2p)2}{r - (2p)2}

dは(B) の m,n について，【2010 年度-

ことを示す．これらの公約数の 1 つを d とすると，

m + n = 2a,m - n = 2b( ii )q4 = r2 - (2p)4

ここで，r + (2p) と r - (2p) が互いに素になると表されることを示せ．

(D)

-2

r + (2p)2 = m4,r - (2p)2 = n4(C)q4 = r2 - (2p)4

ところが，p,q は互いに素な自然数なので，2p(2p)4 + q4 が自然数の 2 乗にならないことを背理法(i)-より，d は q4 を割り切り，従って q を割り切る．

q は奇数とする．次の手順にしたがって，(2)

q は奇数より，r も奇数である．2p と rが互いに素でないと仮定すると，2p と r をともにえよ．
(1)

(A)

= (m + n)(m - n)(m2 + n2)n Œ N に対して，n が偶数のとき n2 を 4 で割っºº3が成り立つ．

た余りは 0 であり，n が奇数のとき n = 2k - 1

2 から m,n は奇数で，m > n なので(k Œ N) とおくと n2 = 4(k2 - k) + 1 より n2 を 4 で

m + n = 2a,m - n = 2b (a,b Œ N)割った余りは 1 である．
p,q Œ N が奇数のとき，p2,q2 も奇数なので，
p4 = ( p2 )2,q4 = ( q2 )2 を 4 で割った余りはどちらとおけm = a + b,n = a - bºº4となる．よっても 1 で，これから p4 + q4 を 4 で割った余りは 2 でm2 + n2 = (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)ある．ところが，自然数の 2 乗を 4 で割った余り

1

なので，3 から以下，解答についての補足です．
まず，この問題をもとにフェルマーの最終定理の8p = 2a ∑ 2b ∑ 2(a + b )22-2222p = ab(a + b )n = 4 の場合の証明ができることを確認しましょう．

ºº5である．

フェルマーの最終定理とはm,n が互いに素であることと 4 から，a,b “n が 3 以上の自然数のとき，xn + yn = zn を満たす

(D)も互いに素になる．すると，a と a2 + b2 の公約数

自然数 x,y,z は存在しない ”( の 1 つ ) を d とすると，d は a を割り切るのでというものです．x,y が偶数であれば，z も偶数で2(a + b ) - a = b も d で割り切れ，d = 1 となる． すので，両辺を 2n で割ることにより，x,y は2222

よって a と a2 + b2 は互いに素．同様にして，b(ア)どちらも奇数と a + b も互いに素になる．すると，5 から(イ)どちらかが偶数でどちらかは奇数

22a,b,a + b はどれも自然数の平方となる．
2の 2 つの場合を考えれば十分になります．（ア）の2

さらに，m,n が奇数であることから，a,b の場合を証明したのが (1),（イ）の場合を証明したの偶奇は異なるので，偶数のものを a, 奇数のものが (2) です．

を b とおくと(1)

これは有名な問題で，類題をやったことがある

a = (2p1) ,b = q1 ,a + b = r1

人も多いでしょう．ポイントになるのは整数を 1(p1,q1,r1 Œ N,2p1 と q1 は互いに素 )つの整数で割った22222「余りで分類する」となる p1,q1,r1 がとれて，これらはという発想です．これにより，整数を有限のカテ

p = ab(a + b ) = (2p1) q1 r122-2222ゴリーに分けることができるので，議論が有限回

p = 2p1q1r1で済みます．特に平方数に関しては

a + b = r122-2(2p1)4 + q14 = r12・平方数を 3 で割った余りは 0 または 1を満たす．ゆえに，題意を満たす自然数

・平方数を 4 で割った余りは 0 または 1p1,q1,r1 が存在する．

・平方数を 5 で割った余りは 0 または 1 または 4( ii )仮定 (H) が成立すると仮定すると，(i) で示しなどは，頭に入れておきましょう．簡単に示せまたことから 2p1 と q1 が互いに素になり
p = 2p1q1r1

かつ44すので，証明しておいてください．
今回は，p,q に奇数という条件がありますので，2(2p1) + (q1) = (r1)となる自然数 p1,q1,r1 が存在する．このとき2 で割った余りを考えるのが良く，22 で割った余

p1 < p なので，(i) の (D) の手順を繰り返していくりを考えればうまくいきます．

kと，方程式 x4 + y4 = z2 の自然数解 (x,y,z) で， (2)( i )x がいくらでも小さいものが作れることになり，(A)

2p と r の 1 以外の公約数があるとして， そのこれは矛盾である．よって．仮定 (H) は成立しない．

1 つをとると，与えられた関係式からそれが q4 を□割り切ることが分かります．p と q が互いに素を（コメント）使いたいので，この公約数が q を割り切ると言う数学科の川﨑です．今回は，前回に引き続き，フェために“素数”という条件をつけました（このよルマーの最終定理をテーマにした問題を扱いましうな素数がないと言えれば十分です）．さらに，rた．使った議論は前回の証明と重複するところもあが奇数なのでこの公約数は奇数で，p の前に 2 がりますので，前回の証明と合わせて見ると，理解もついていても問題ありません．

深まるのではと思います．

(B)

2

与えられた式から 1 の因数分解に気づきましょう．左辺が自然数の 4 乗なので，あとは右辺( i ) の (D) を見て，この手法に気づけるようにしの 2 数が互いに素であることを示せば OK です．

ましょう．意外とこの方法を知らない人もいるの

2 数が互いに素であることを証明するとき，公約ではないでしょうか．使えるようにしてライバル数をおいて，2 数の和・差を考え，その公約数はに差をつけてください．

1 であるともっていく証明はよく使いますので是
それでは今回はここまでにしたいと思います．寒

非マスターしておいてください．
(C)p を表すので，(B) の 2 式から r を消去します． くなってきましたが体調など崩さないように．この2冬に頑張っていい春を迎えましょう．ではまた次回 .

m,n を a,b で表せますので，それを代入すれ（数学科ば求められます．これは易しいですね．一つ注意
することとしては，m,n はどちらも奇数なので
m = 2k -1,n = 2l - 1 (k,l Œ N)
とおくと
a = k + l - 1,b = k - lとなり
m>n-k >lより a,b は自然数です．さらに，k + l と k - lの偶奇は一致するので，a,b の偶奇は異なります．
これは (D) で必要になる事柄です．
(D)

本問でもっとも難しい部分がここです．条件を満たす p1,q1,r1 を自分で作らなければならないのですが，自力で作るのは至難の業です．誘導に乗りましょう．(C) の
p2 = ab(a2 + b2) ºº(*)
が大きなヒントで，右辺の a,b,a2 + b2 がどれも平方数になれば (a,b のどちらかは偶数であることに注意して )，a,b の一方を (2p1)2, 他
方を q12,a2 + b2 を r12 とおくことができ，このp1,q1,r1 が題意を満たします．平方数になることを示すには，(*) の左辺が平方数であることから a,b,a2 + b2 が互いに素であることが言えればよく，(B) がヒントになっています．
( ii )( i ) から何をさせたいか分かりますか？今年

私が担当している記事をもらさず読んでくれている人はピンとくると思います．そうです，「無限降下法」
です．存在を仮定すると，それよりも小さいものがどんどん作れてしまい，矛盾が導かれるのでした．

3川﨑）