数理解析研究所講究録
第 1864 巻 2013 年 175-180

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ファジィ集合列の極限について
弘前大学大学院理工学研究科 金正道 (Masamichi KON)
Graduate School of Science and Technology, Hirosaki University
金沢学院大学経営情報学部 桑野裕昭 (Hiroaki KUWANO)
Faculty of Business Administration and Information Science,
Kanazawa Gakuin University

概要

レベル集合を用いてファジイ集合列の極限を定義し、 その性質を調べる。 通常の集合をファジイ集合と区別したい場合はクリスプ集合とよぶことにする。 ファジイ集合列の極限は、 クリスプ集合列の極限のファジイ版である。

1

準備
ファジイ集合列の極限を考えるときに必要になるクリスプ集合列の極限について [4] に従って準備する。 その後、 ファジイ集合に関する準備をする。
に対して、 $[a, b]=\{x\in \mathbb{R}:a\leq x\leq b\},$ $[a, b[=\{x\in \mathbb{R}:a\leq x<b\}, ]a, b]=$$a,$$b\in \mathbb{R}$$\{x\in \mathbb{R}:a<x\leq b\},$ $]a,$ $b[=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$$a_{\lambda}\in[0,1],$$\Lambda=\emptyset$$\mathbb{N}$$\lambda\in\Lambda$のときはに対して、とする。

$\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=\inf_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda},$$\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=\inf_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=1,$とする。 ただし、とする。

$_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}= \sup_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}$$_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}= \sup_{\lambda\in\Lambda}a_{\lambda}=0$

をすべての自然数の集合とし:finite $\}=$ {subsequences of containing all: $N$ infinite} {all subsequences of }$\mathcal{N}_{\infty}=\{N\subset \mathbb{N}${$\mathcal{N}_{\infty}\#=$$\mathbb{N}\backslash N$$N\subset \mathbb{N}$とする。 列$=$$\{x_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$\lim_{k\in N}$$N\in \mathcal{N}_{\infty}\#$または$\lim_{k},$ $\lim_{karrow\infty}$に対しての場合は$k$beyond some$k_{0}$

またはに対して$\lim_{k\in \mathbb{N}}$$\lim_{karrow\infty}$の形で表される。 にと書くが、 添字集合
またはと書く。
$\{x_{k}\}_{k\in N}$$\mathbb{N}$$N\in \mathcal{N}_{\infty}\#$ガ

集合$\overline{co}(C)$に対して、 cl $(C)$ , co $(C),$をそれぞれ $C$ の閉包，凸包，閉凸包とする。
は $C$ を含む最小の閉凸集合であり、 $C$ を含むすべての閉凸集合の共通部分であり、cl(co $(C)$ ) となることが知られている ([2] の Corollary 1.2. 1)$C\subset \mathbb{R}^{n}$$\overline{co}(C)$$\overline{co}(C)=$。

$C(\mathbb{R}^{n}),$

する。
集合}

$\mathbb{N}$の部分列はある

おける $karrow\infty$ のとき$N\in \mathcal{N}_{\infty}$$\mathbb{N}$$\mathcal{K}(\mathbb{R}^{n}),$$C\subset \mathbb{R}^{n}$$C\mathcal{K}(\mathbb{R}^{n})$をそれぞれ$\mathbb{R}^{n}$のすべての閉集合，凸集合，閉凸集合の集合とが錐であるとは、 $0\in C$ かっ任意の $x\in C,$るときをいう。
本研究は科研費 (22510133) の助成を受けたものである。

$\lambda\geq 0$に対して $\lambda x\in C$ とな

176
1.1

集合列の極限まず、 集合列の極限を定義する。

([4] の Definition 4. 1)

定義 1 $-1$
集合$\lim_{karrow}\inf_{\infty}C_{k}$$=$$\{x\in \mathbb{R}^{n}$:$\mathbb{R}^{n}$の部分集合の列$\exists N\in \mathcal{N}_{\infty},$に対して、 その下極限を$\{C_{k}\}_{k\in N}$$\exists x_{k}\in C_{k}(k\in N)$

with$\exists x_{k}\in C_{k}(k\in N)$with$x_{k}arrow NX\}$と定義し、 その上極限を集合$\lim_{karrow}\sup_{\infty}C_{k}$$=$$\{x\in \mathbb{R}^{n}$:$\exists N\in \mathcal{N}_{\infty}^{\#},$と定義する。 $\lim\inf_{karrow\infty}C_{k}=\lim\sup_{karrow\infty}C_{k}$ のとき、$\{C_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$x_{k}arrow NX\}$の極限が存在するといい$\lim_{karrow\infty}C_{k}=\lim_{karrow}\sup_{\infty}C_{k}=\lim_{karrow}\inf_{\infty}C_{k}$と定義する。

1.2

フアジイ集合次に、 ファジイ集合列の極限を考えるときに必要になるファジイ集合のレベル集合に関する性質を調べる。
上のファジイ集合
バーシップ関数も:合とする。
$\mathbb{R}^{n}$$\tilde{s}$$\sim \mathcal{S}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$と$\tilde{s}$とそのメンバーシップ関数を同一視し、 その同一視されたメン上のすべてのファジィ集合の集をと表す。

$\mathbb{R}^{n}arrow[0,1]$に対して$\alpha\in[0,1]$$\mathbb{R}^{n}$$\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{s}$の$\alpha-$レベル集合は$[\neg s_{\alpha}=\{x\in \mathbb{R}^{n}:\tilde{s}(x)\geq\alpha\}$と定義される。
クリスプ集合$S\subset \mathbb{R}^{n}$に対して、 $S$ の指示関数は各$x\in \mathbb{R}^{n}$に対して$c_{S}(x)=\{\begin{array}{l}1 if x\in S0 if x\not\in S\end{array}$

である
$cs$

:

$c_{S}$:$\mathbb{R}^{n}arrow\{0,1\}$$\mathbb{R}^{n}arrow[0,1]$$\tilde{\mathcal{S}}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$と定義される。 ただし、

$c_{S}$をファジィ集合として考える場合はとみなす。

は$\tilde{s}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{[\neg s_{\alpha}}$と表現でき、 分解定理として知られている (例えば、 [1] 参照)
が閉であるとは、 が上半連続であるときをいう。となることである。
めの必要十分条件は、。

$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{s}$$[\neg s_{\alpha}\in C(\mathbb{R}^{n}), \alpha\in]0,1]$$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$が閉であるた177
写$\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$が凸であるとは$\tilde{s}(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq\tilde{s}(x)\wedge\tilde{s}(y)$のときをいう。 すなわち、$\sim \mathcal{S}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$が凸であるための必要十分条件は同$C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n}),$$\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n}),$$C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$for $x,$$\lambda\in[0,1]$

が準凹関数であるときをいい、 3( n), $\alpha\in]0,1]$ となることである。

が凸であるとは$\alpha\in \mathcal{K}$$y\in \mathbb{R}^{n},$$\tilde{s}$$\mathbb{R}$をそれぞれ$\mathbb{R}^{n}$上のすべての閉ファジイ集合，凸ファジイ集合，閉凸ファジィ集合の集合とする。
$\tilde{\mathcal{S}}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$がファジイ錐であるとは、$[\neg s_{\alpha}\subset \mathbb{R}^{n}, \alpha\in]0,1]$が錐になるときをいう。

ファジイ集合列の極限を考えるときに必要になるファジイ集合とレベル集合の間の関係を調べるために:$S(\mathbb{R}^{n})=\{\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}$と定義し、$\alpha\in]0,1]$$S_{\alpha}\subset \mathbb{R}^{n},$$M:S(\mathbb{R}^{n})arrow \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$を各”andfor$S_{\beta}\supset S_{\gamma}$$\beta,$$\gamma\in]0,1]$

with$\beta<\gamma$

”

$\}$

に対して

$\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}\in S(\mathbb{R}^{n})$$M( \{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{S_{\alpha}}$と定義する。

$\{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]}\in S(\mathbb{R}^{n})$と$x\in \mathbb{R}^{n}$に対して$M( \{S_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})(x)=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{S_{\alpha}}(x)=\sup\{\alpha\in]0,1]:x\in S_{\alpha}\}$と表せる。 ただし、 $\sup\emptyset=0$ とする。 また、 分解定理は、$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$に対して$\tilde{s}=M(\{[\urcorner s_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})$と表せる。
定義 1

–

2

$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$に対して、$\tilde{s}$の閉包 cl$(\overline{s})$, 凸包 co$(\overline{s})$, 閉凸包$\overline{co}(\overline{s})$をそれぞれ$c1(\tilde{s})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{c1}([\neg s_{\alpha})=M(\{c1([\urcorner s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$$co(\overline{s})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{CO([\neg s_{\alpha})}=M(\{co([\neg s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$$\overline{co}(\overline{s})=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{\overline{CO}([\neg_{\alpha})}=M(\{\overline{co}([\urcorner s_{\alpha})\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義する。
クリスプ集合$S\subset \mathbb{R}^{n}$に対して$c1(c_{S})=c_{c1(S)}, co(c_{S})=c_{CO(S)}, \overline{co}(c_{S})=c_{\overline{CO}(8)}$となるので、 ファジィ集合の閉包，凸包，閉凸包はクリスプ集合の閉包，凸包，閉凸包の拡張になっている。

178とする。 このとき、 cl命題 13最小の閉ファジイ集合になる。
–$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$命題 $1-3$ において$[c1(\mathcal{S}\sim)]_{\alpha}=$cl$\tilde{s}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$命題 $1-4$ において$[co(\tilde{s})]_{\alpha}=$co$\tilde{\mathcal{S}}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$命題 $1-5$ において2のうちでは$(\tilde{s})$$\tilde{s}\leq\tilde{t}$である$\tilde{t}\in \mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$のうちでとなるとは限らない。

$([\neg s_{\alpha})$とする。 このとき、
命題 15で最小の閉凸ファジイ集合になる。
–$\tilde{t}\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$である$\tilde{s}\leq\tilde{t}$となるとは限らない。

$([\neg s_{\alpha})$とする。 このとき、 co
命題 14最小の凸ファジイ集合になる。
–

は$(\tilde{s})$$\overline{co}(\tilde{s})$は$\tilde{s}\leq\tilde{t}$である$\tilde{t}\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$のうちとなるとは限らない。

$[\overline{co}(\overline{s})]_{\alpha}=\overline{co}([\neg s_{\alpha})$ファジイ集合列の極限
本節では、 レベル集合を用いてファジイ集合列の極限を定義し、 その性質を調べる。
次の定義 2–1 は、 定義 $1-1$ のファジイ版である。

定義 2–1$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$とし、 各$\alpha\in$] $0,1]$ に対して

$L_{\alpha}= \lim_{karrow}\inf_{\infty}[\tilde{s}_{k}]_{\alpha}, U_{\alpha}=\lim_{karrow}\sup_{\infty}[\tilde{s}_{k}]_{\alpha}$とする。

$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$の下極限をファジィ集合$\lim_{karrow}\inf_{\infty}\tilde{s}_{k}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha c_{L_{\alpha}}=M(\{L_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義し、$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$の上極限をファジイ集合$\lim_{karrow\infty}\sup\tilde{s}_{k}=\sup_{\alpha\in]0,1]}\alpha C_{U_{\alpha}}=M(\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in]0,1]})$と定義する。

$\lim\inf_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}=\lim\sup_{karrow\infty}$

錦のとき、$k arrow\infty hm\tilde{\mathcal{S}}_{k}=\lim_{karrow}\inf_{\infty}\tilde{s}_{k}=$$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$limの極限が存在するといい$sup\tilde{\mathcal{S}}_{k}$$karrow\infty$と定義する。
クリスプ集合に対して、 $L= \lim\inf_{karrow\infty}S_{k},$ $U=$ $\lim supkarrow\infty^{S_{k}}$ とし、もしの極限が存在するならば $T= \lim_{karrow\infty}$ 亀とする。 このとき、 $\lim\inf_{karrow\infty}c_{S_{k}}=$の極限が存在するならば, hm $\sup_{karrow\infty}c_{S_{k}}=cu$ となり、 もし$S_{k}\subset \mathbb{R}^{n},$$k\in \mathbb{N}$$\{S_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$c_{L}$$\{S_{k}\}_{k\in N}$$\lim_{karrow\infty}c_{S_{k}}=c\tau$となる。 よって、 ファジイ集合列の下極限，上極限，極限はクリスプ集合列の下極限，上極限，極限の拡張になっている。
次の命題 2–2 (i) は [4] の Proposition 4.4 の前半部分のファジィ版であり、 次の命題
2–2 (ii) は [4] の Proposition 4.15 のファジイ版である。

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命題 2–2(i)$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$よって、に対して、$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$(ii)とする。 このとき、の極限が存在するならば$\tilde{s}_{k}=\tilde{s},$$k\in \mathbb{N}$ならば$\lim_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\lim_{karrow\infty}\overline{s}_{k}=$とする。 このとき、の極限が存在するならば$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}$$\lim\inf_{karrow\infty^{\tilde{S}}k},$ $\lim\sup_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}\in C\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$cl$(\tilde{s})$となる。 また、となる。

$\sim \mathcal{S}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$となる。

$\lim\inf_{karrow\infty^{\overline{S}}k}\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\lim_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}\in C\mathcal{K}\mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$となる。 よって、となる。

次の命題 2–3 は、 [4] の Proposition 4.4 の後半部分のファジイ版である。
命題 2–3$\{\mathcal{S}_{k}\sim\}_{k\in \mathbb{N}},$$\{\tilde{t}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$とし、 cl$(\tilde{\mathcal{S}}_{k})=$cl$(\tilde{t}_{k}),$$\lim\inf_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}=\lim\inf_{karrow\infty}\tilde{t}_{k},$ $\lim\sup_{karrow\infty}\tilde{s}_{k}=\lim\sup_{karrow\infty}\tilde{t}_{k}$命題 2–4$\{\tilde{s}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{s}=\lim_{k_{\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\infty}}}$とし、$\tilde{\mathcal{S}}=\lim_{karrow\infty}$

錦とし、$k\in \mathbb{N}$とする。 このとき、となる。

$N\in \mathcal{N}_{\infty}\#$とする。 このとき、姦となる。

次の命題 2–5 は、 [4] の Exercise 4. 14 のファジイ版である。
命題 2–5$\lim\sup_{karrow\infty}$

をファジイ錐の列とする。 このとき、も姦もファジイ錐になる。 ある $N$に対してならばとなる。 ここで、は次で定義されるファジイ錐である。
$\{\tilde{c}_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}\subset \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\lim\sup_{karrow\infty}\tilde{c}_{k}\neq\tilde{0}$$\lim\inf_{karrow\infty}\tilde{c}_{k}$$\in \mathcal{N}_{\infty}\#$$\bigwedge_{k\in N}\tilde{c}_{k}$$\neq\tilde{0}$$\tilde{0}\in \mathcal{F}(\mathbb{R}^{n})$$\tilde{0}(x)=\{\begin{array}{l}1 if x=00 if x\neq 0\end{array}$3

結論
本稿では、 クリスプ集合列の極限のファジィ版として、 ファジイ集合のレベル集合を用いてファジィ集合列の極限を定義し、 その性質を調べた。
ファジイ集合列の極限に関して得られた結果は、 すべてのファジイ集合 (特に、所謂サポート有界でないファジイ集合) を扱っているという意味で非常に一般的な結果である。
ファジイ集合列の極限は、 ファジイ集合値写像の極限を考えるときに必要かっ重要になる。

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$J$.,

180

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