計沸自動制御学会東北支部第1了5同研究集会（1998且19）
資料應号1丁与−9

間欠的観測によるカオスダイナミクスの推定

EstimationofdlaO七icdynamicsYiaanintermittentobservatio
Ofdriving＄lgnals●○長谷川武史≠，本間経康榊，阿部健一−
OT乱keshiHa占egaWa■，Noriya呂uHonmaH，KenichiAbe＊東北大学大学院工学研究札＊＊東北大学医療技術短期大学部＊Gr且du乱teSchoolofEnginccrillg，TbhokuUniversity
佃DeptofR且diologicalTbeh．．Col．ofMedicalScience畠，TohokuUniversity
キーワード：同期（syn血ⅧiE乱tion），カオス（血帥5），推定（estim且tionl
連絡先：〒98仇鮎79 イ山白市青葉区荒巻字音葉帖東北大学大学院工学研究科電気・通信工学専攻阿認研究室

長谷川武史，恥1．：岬2封217−7074．Ⅰ屯Ⅹ．：（02刑部3−9290．E・mail＝hM帽血山川．eC月i．t血oku．且亡．jp

1． はじめに量（ドライブ信号）を観測することにより．別のシステムから残りの状態量を精度良く推定できる手
現代制御理瑞における状態方程式をもとにした法であが）．

設計法では．状態量が直接税寮できるという前提

同期法により初期値敏感性に対する解決策は見にたって議論される場合が多い．しかし，現実に出されたが，同期法はシステムを記述する式を必はシステムの状態変数のすぺてを直接観測するこ要とするため，システムが既知でなければならなとは困難であり，多くの場合制御対象の外部からい．したがってシステムが未知打線台は何らかの直棲横側することのできる出力量などをもとにしモデルによってシステムを同定Lたのち．モデルて，状態量を推定することが必要になが）．にドライブ店号を入力して同期きせる方法が考え状腰畳を推定するには一般にそのシステムの挙られる．Ot訓Ⅳ甜aらは．モデルとしてニューラル動を（近似的に）表すモデルが得られれば良い．しネットワークを用いることにより，未知カオスシかしシステムポカオスである場合，たとえ全く等ステムを比較的良い精度で同期させることに成功

Lv−モデルが得られたとしても．微小な測定誤差していが）．などがシステム全体に影響を与える大ききにまでしかし，従来の同期法は常にドライブ信号を観増幅きれるという初期値敏感性2）のためにそれに測する必要があるため．たとえば離散時間システ対する対＃が必雇となる．

ムの壌合，次の時刻における情を予瀾できるに過Pecoraらによって提案されたカオスシステムのぎず，時系列の長間推定などには応用できない．ま

同期法は．2つの同じシステム問に初期誤差があた，実際の制御などへの応用では．誤差は小きいる場合でも．一方のシステムからある特別な状態

1・

争

ほど望ましいが常に0であることが要求きれるこ

8とは少なく，むしろ許容誤差が指定されている場

丁合も多い．

￠5▲

3．同期法

3

全Pecoraらは共通のドライブ信号を用いることに1D上って，カオスシステムを同期きせる方法を示し○ 壬O I8 80 縄 †抑1201ヰ0160180 200
Th●

Fig．1カオスの初期値鍵感性た．以下にそのシステム構成法の概要を述べる．
はじめに，几次元システム
孟＝J（‡）とを意味する．そこで，2つのシステムのuを共（1）通の信号（ドライブ信号）とする，つまり
エ＝（∬h∬ヱ，・・・，∬。）
U＝U

J（訂）＝（Jl回，長（正），…，ん（可）（6）とする（椚g・叶このようなシステムを構成するこを考える，ここで，正＝（叫W）として2つのサブシ
ステム廿＝（∬＝才封t・・，エと），W＝〔利江1，∬叶苫，…，芯¶）とによって，たとえシステムがカオスであり初期に分割する．叫旭はそれぞれドライブシステム，応値が異なっていても，推定誤差を抑制することが答システムと呼ばれている，可能である．すなわち同期することが可能でぁる（Fi苫・叶山王2つのシステム打と壷≡（町呵で共通

も＝＃（町叫であるから，システム全体の挙動として同期を考

血＝叫町呵

えると，つぎに，ぴと等しいシステム（モデルシステム沖＝∀可n）≠壷（0）（孟頼1，立付打・・，丘叩）を用意する．
血＝叫町呵ll叫）一壷伊）ll→0，（f→∞）と書くこともできる．だだし，（7）式が成り立った（4）

捌こは，応答システム仰のリアプノブ指数（サブこれら2つのシステムの応答システムに着目して，リアプノフ指数）が負であることが必要であが）．
次式で定義きれる時真如に掛ナる誤差e（打の大きき

リアプノフ指数は誤差の拡大を表す指標であり，について考える．

その値が正であればカオスであることが知ら九て
e（f）＝llw（り一叫りIl

いる．

（5〕

Jがカオスを生み出す非線形関数の場合，全く等し

3．提案同期法

い2つのシステムを用意したとしても，初期値がほんのわずかでも異なれば，カオスの初期値敏感

従来の同期法は，常にドライ7信号を観測する性のために誤差が拡大し，未来の状態叫）の値を飽必要があるため．時系列の長期予測は不可能であっから予測することは不可能になってしまう〔耶g．1〕．

た．ここでは，ある時間はドライブ信号を必要とすなわち，e（0）＝1lw（0卜叫0）ll≠0であれば，任Lない，すなわち間欠的なドライブ信号による同意の時刻におけるF（f）は原理的に予測できないこ■期法を捏案する（T油1e．1）．

ー2−（7）

実際の制御において，モデルを用いて状態量を推定する際，モデルによる推定値には許容誤差が与えられている場合が多い．そこで与えられた推
中＝晋れ叫

定値音許容誤差内に抑えることを考える．すなわ
ち．ドライブ信号廿のかわりに．モデルシステムの状態方程式ふ＝葺（岳，叫で計算した盾号岳を用い幅姉川

た場合の推定誤差が許容範期内に収まっている時
間豪0を知ることができれは．その期間はドライブ信号を観測しなくてもすむため，fロ後までの所望の予測が可能となる．
本稿では長大リアナノフ指数ユの定義式から，予巌仰向測可能時間亡。を尊く．最大リアプノフ指数は次式で与えられる．

Fig．2 間期システム

入；」忠志旨og船脚（ldi（刑＝一束）

ここでl叫0）匝初期誤差であり．匝（T）lはr時間後の誤差である．
書（8）式より最大リアナノフ指数とは，初期誤差8Id 0）lから始まり，T時間で誤差がどれだけ広がる

7dかを平均的に表Lた指数であり，避に入を知るこ

5▲とができれば，時間Tを求めることができる．そきこで2つのシステム間の初期誤差をe。．許容誤差

望をdDとすると．推定誤差がd￠を地えない平均の時
10間，すなわち予測可能な時間（fo）は，（8）式より0 20 ▲0 88 帥1仙1甜110180180 200
Tim●Fi馬，3 同期例

亡0＝logと求めることができる．したがって，ある時刻正における初期誤差e8から始めて．トトhまでは計算した信号心を用いて予測きせ，f＋士。披講差が印に収まるまでドライブ信号pを人力する．ドライブ信号uを人力した後の誤差を新たな初期誤差と考え

1ゝblel同期法の比較
従来同期法

ると，このような手順を繰り返すことにより，許ドライブ信号を常に割判

捷案同期法 ドライブ信号を間欠的に観測

容誤差d。に収まるような同期が可能となる．

−3−

桝4．シミュレーション例

21．凸4．1既知システムの同期

1．6
1．ヰ

1．2

既知システムとして．次式で与えられるレスラー

1

方程式を用いた．レスラー方程式は1つの不安定

￠．書
0．魯

平衡点の回りを過りながらカオスを示すシステム

0．■の運動方程式である．

0．宣○

0 10 2Q 知 ●O j馳80 和L 魯○的 1（氾¶肘晦l●●可主l＝ −（∬2＋ヱユ）Fi眉．4 間欠的ドライブ悟号によるレスラー方程∬コ ＝ 才1＋肌巧式の同期

丘ユ ＝ 毎1−（仁一互恒（12）すなわち，任意の非線形関数は有限個のシデモ
ここで，叫占，Cは定数でありα＝0．ユ叫む＝0．4，亡＝イド関数の和で近似できることが証明きれており．

4．さとした．このとき．倍大リアナノフ指数ユは約

川式のJは以下のように近似できる叶

0■鵬である．また，同期可能条件より，Ⅴ＝ヱ2，耽巨＝（∬1，ごユ）とする．このシステムにおいて，初期誤差

納＝亭A相桝〕（13）軸を1・0とし，許容誤差doを2．0とすると．（9）式よ

謂芋＝伍（ヱトJ函）l＜∈，f＝1，2，■・・，叫4）

り予測可能時間f。は約且．66砂と求められる．しかここで，nはベクトル場J（可が連続であるようなコし，入は平均値であるため当然有も予測可能な時間

ンパクト領域，Gはシグモイド関数であり次式で与の平均値である．よって，常にdoを越えないためえられる．にはこれよりも短い間隔でドライブ信号かを入力しなければならない．そこでt。を与％短い乱2ユ秒と叫＝喜〔1佃h孟〕（1占）した場合をFig．4に示す．これより擢案手法が同期

ここで，（13）式が（1）式の近似であることを考慮しに成功Lているのがわかる．て，正の代わりに壷を用いると次式が得られる丁）．

従来法刊土ステップ間隔（シミュレーションでは0．01砂）の短期しか予測できないが，提案手法でJ

去i＝∑A拘，i＝1，… ，nは許容誤差内の長期予測が可能であることが示き

j＝1

れた．

之j＝堰β榊〕・軒＝州
この式はFig．与で示きれるRⅣⅣの運動方程式とみ4．2 未知システムの同期なすことができる．この園で．シデモイドユニッ
システムが未知である場合，対象とするシステ

トは，（16）式の勺に対応し，ダイナミックユニットムのモデルが必要となるが，制御対象がカオスのは，（17）式の主ポ対応している．

ように複雑であれば同定もまた困難となる．本稿

この札NNの結合係数Aij，月が．聞値βJを，学習別では．任意の非線形関数を学習可能であるというに従って変更することを操り適し，レスラー方程理由からモデルとしてリカレントニューラルネッ

式を学習きせる1）．

トワーク（RⅣ叫を用い，非線形システムの同克をFig．丁はレスラー方程式のアトラクタであり，Fig．8行りた．

はn＝ユ，J＝30のRⅣⅣにレスラー方程式を学習さ

ー4−

（16）

羊1′l

∫ユ ー − ■ 劇叩
8d一2巨山▲U4■
一0 1tX12【旧：脚 ▲00 占00 抑 TOO 脚 ∝泊1【削Th●Fig・6 同定験産の艇■
Fig．与 近似式の表す構造せた結果である．アトラクタの比較からRⅣⅣはレスラー方程式のアトラクタを近似できていることが判る．この場合，パラメトリックな同定法でI土ないので同定誤差をどの程度なのかを定量的に判断するのは難しい．ただしこのシミュレーションに掛ナる同定誤差が0でないことは，次のような事実に上って明らかである．すなわち．Fig．￠は．
初期値が同じときのレスラー方程式の状態量∬1と学習後のRⅣⅣモデルの状態量丘1との誤差（勘一叫の時間変動を表Lたものであるが．次第に誤差がFig．7 レスラー方程式のアトラクタ拡大し予測不能となる．初期状態が同じとき．システムが全く同じであれば〔同定誤差が0であれぼ），その後の誤差も永久に0となるはずだから，この場合の同定誤差は0ではない．

つぎに，学習後のRⅣⅣをレスラー方程式のモデルとして提案同期法を適用Lた．
この場合，初期誤差による影響の他に，同定誤差による影響によって，予測できる時間はf8より短くなると考えられる．実際のシミュレーションにおいても．既知システムの墟合と同じ畠．23秒では許容誤差do＝2．0を越えてしまう結果になった．
しかL，きらに短い4．9軌＝すると許容誤差内に抑F王g・き RⅣⅣのアトラクタえることが可能となった（Fig．叶−5］6）LouisM，Pecora弧dThoma昂L・Ca打O11：Syn−2

1．0

chroni望aLt呈onin ChaoticSyBtemS，Pl耶，Rev．

1．8

Lett，VOl．64，821／旦24（1990）

1．●7）M・Sato．YTMtlrakamiand K・Joe＝ Learning
dlaOti亡dynamics by recurrent neuralnet−

1．2
1

亡： lll0．0

WOTk＄，Pro亡．Int，l．Conf．on mz町Logic＆0．8軋N．601／醐古け990）

0．イ8）長島弘幸，馬場良和：カオス入門，4章，培風館

0．童

00 1（】 乏0 加 ●0 5D 88 丁【l 耶11抑 1〔巾lTIME【5■く】Fig．91間欠的ドライブ信号によるRN■Nの同期

古．虫わりに本稿では．間欠的な観測によってカオスシステムを同期させる手法を提案した．提案手法におけるドライブ信号の観測間隔±Dは，同期きせるシス
テム間の応答システムの誤差が許容範囲に収まっている時間であり．この時間foは最大リアプノ7指数の定義式から求めた．間欠的なドライブ信号を用いることによって，fo内のカオスシステムの予測が可能であることがシミュレーション結果上り示きれた．きらにシステムが未知であり，モデルの同定誤差がある境合でも，従来法よりも長期予測が可能であることを示した．同定誤差の定量的評価は今後の課題である．

参考文献
1）合原一幸：ニューテルシステムにおけるカオス，第7章，東京大学出版局（19gユ）2）G．L．ペイカー，J．P．ゴラブ：カオス力学入門，哲学出版（1992）

3）伊藤正美，木村英紀聞江♯幸：線形制御系の設計理静，計測自動制御学会（19呵4）K・FhnalmBhi：Ollthe approximatereaLiEation

Of continuouB mapPlng by neuralnetworks，ⅣeuralN亡tⅥIr上月，2，183／192（1989）

占）K．OtawaraandLT，Fan：SynchroniEationin

Chaotic System磨With Arti鮎ialNcuralⅣct・
WOrk島，Pmc．ofIEEEInt†1．Cl］nf．on Neural
恥tworks，ユlユ7／314叩朋4）6