フェーズフィールド・シミュレーションによる凝固組織解析の進展
大野宗一

 界面移動に伴うエネルギーおよび質量の保存則，そし散，

.

は じめに

 GibbsてThomson 効果が関与する．これらの物理を考慮して界面移動を追跡する問題を，自由境界問題と呼ぶ．
凝固組織の形成過程を理解し，高精度に制御することは，Ivantsov の解，組成的過冷却理論，MullinsSekerka の摂動

鋳造・凝固の分野における古くからの重要課題である．特に論やミクロ偏析モデルなどの解析解や理論(12)は，凝固分野

近年では，様々な場面で，高度な凝固組織制御法の発展に対において重要な役割を果たしているが，これらは上記する期待と要求が高まっている．しかしながら，凝固は，溶の関係式(の一部)に近似や仮定を導入して導かれたものに相質拡散，熱拡散，液相中の流動などが関与するマルチフィジ当する．したがって，自由境界問題を望みの条件下で解くこックスの現象であり，複数の不均一場のダイナミックスと組とが，凝固組織シミュレーションにおける主たる課題となる．

織との関係を実験のみから解析することが一般には難しく，凝固分野のフェーズフィールド法は，自由境界問題を解く理論によって取り扱える範囲も限られる．したがって，シミための数値計算手法として発展してきた．この手法は，ュレーション研究がこの分野の発展の一翼を担ってきた(1)．

Kobayashi に よ る デ ン ド ラ イ ト 成 長 の シ ミ ュ レ ー シ ョ

凝固組織をシミュレートする手法として，fronttracking

ン(13)(14)を契機に，現在までに多くの研究者によって発展とmethod(2), boundary integral method(3), cellular automaton

応用が進められてきた．Wheeler, Boettinger, McFadden ら

method(4)，そしてフェーズフィールド法(5)(11)などが発展しに よ る 合 金 凝 固 の モ デ ル ( WBM モ デ ル )(15) ， Kim, Kim,てきた．これらの中でも，フェーズフィールド法は，計算ア

Suzuki よる界面物性と濃度場のデカップリングを可能にしルゴリズムが単純で，多種の現象への適用性や拡張性が高い

た合金凝固のモデル( KKS モデル)(16) ， Steinbach らによることから，最も注目され，最も高度化されてきた手法の一つ界面三重点のエネルギー・バランスを再現する多相凝固のモである．しかし，一口にフェーズフィールド法といっても，デル(マルチ・フェーズフィールド・モデル)(17)などがこのこの手法の応用範囲は，凝固の他，粒成長，拡散型および無手法の発展において重要な役割を果たしてきた．そして，拡散型の固相変態，規則―不規則相転移，そして転位ダイナ

Karma らは，純物質凝固を対象に thin interface limit に基ミックスなど，多岐にわたり(9)(11)，これらの対象に応じてづくモデルを提案した(18) ．この thin interface limit に基づ手法の発展段階は異なる．例えば，パラメーター・フィッテ

くモデルが定量的フェーズフィールド法と呼ばれるものであィングによって実験結果を模擬するという段階のものもあれ

り，二元系合金(19)や多元系合金(20)における単相凝固のモデ

ば，現象論に起因する任意性を排除し，測定可能な物性値のル，さらに多相凝固のモデル(21) へと拡張されてきた．ただみを用いて一意的な結果を算出できる高度なモデルもある．

し，これらの定量的モデルは，固相拡散が無視できる系のみ

凝固分野のフェーズフィールド法は後者の段階まで進んでいに適用可能であり，平衡凝固が再現できない，ミクロ偏析がる．その高度な手法は，定量的フェーズフィールド法と呼ば予測できない，固相/固相界面の移動が扱えない，といったれる．本稿では，定量的フェーズフィールド法を用いた解析欠点があった．そこで，著者らは固相拡散を考慮した定量的例を紹介する．

モデルを開発した(22)(24) ．では，なぜこの定量的モデルが重要なのかを次に簡単に説明する．

.

定量的フェーズフィールド法

フェーズフィールド法は， diffuse interface に基づいて組織の時間変化を計算する．つまり，この手法において，界面組織形成モデリングにおける中心的課題の一つは，界面移は sharp ではなく有限の幅をもっており，その有限の界面幅 バルク相中の熱・溶質拡動の記述である．界面移動には，のもとで組織形成がモデリングされる．この際，フェーズフ

北海道大学准教授大学院工学研究院(〒0608628 札幌市北区北13条西 8 丁目)
Advances in Phasefield Simulation of Solidification Microstructure; Munekazu Ohno(Faculty of Engineering, Hokkaido University,Sapporo)
Keywords: phasefield model, solidification, microstructure, dendrite, microsegregation
2014年 5 月29日受理[doi:10.2320/materia.53.458]

ミ ニ 特 集ィールド法は現象論であるために，係数の数や種類，そして次元化している．なお，2 次元計算でも 3 次元計算でも同様関数形の選び方に自由度，または任意性が生じる．そのようの傾向が示されることから，ここには 2 次元計算の結果をな任意性は，この手法の方程式と，良く知られた物理法則と示した．黒色のプロットが定量的モデルの結果であり，白色の整合性をもとに排除することになる．その良く知られた物のプロットは従来のモデルの計算結果である．従来のモデル理法則というのが，上記の自由境界問題における関係式であでは， GibbsThomson 効果に誤差が生じ，その大きさは界る．従来のモデルは，界面幅が 0 の極限( sharp interface

面幅に依存している．そして，ここには示さないが，界面のlimit)において，その解が自由境界問題の解と一致するよう移動速度，界面形状，濃度プロファイルも同様に界面幅に依定式化されている．しかし，この手法において界面幅は有限存してしまう．既に述べたように，フェーズフィールド法にである．特に，計算コストの観点から界面幅は任意の値に設おいては，界面幅は任意の値に設定される．つまり，従来の定される．すなわち，従来のモデルの計算結果は，自由境界モデルには，計算結果の一意性が欠如している．たとえ，高問題の解と完全には一致しない．この致命的な問題を解決し精度な物性値を用い，プロセスの境界条件を適切に設定できたのが，定量的モデルであり，このモデルは，有限の界面幅たとしても，従来のモデルでは定量的に意味のある結果を算において，自由境界問題と符合する一意的な結果を算出す出することができない．これに対し，定量的モデルでは，解る．そして，このモデルはフィッティング・パラメーターをの一意性が保証されている．図 2 において，定量的モデル必要とせず，測定可能な物性値のみでシミュレーションを可では，どの界面幅においても GibbsThomson 効果の関係式能にする．その具体的な方程式等の詳細は，文献( 10 )やが高精度に成立していることがわかる．そして，界面の移動(11)などを参照していただきたい．

速度，界面形状，濃度プロファイルもまた界面幅に依存しない．つまり，与えられた物性値・境界条件のもとで，定量的.


凝固組織の解析例

デンドライト成長過程における定量的フェーズフィー
ルド法の精度

まず，定量的モデルと従来のモデルの結果を比較し，定量に意味のある一意的な結果を算出できる．この事実こそ，定量的モデルが，凝固組織シミュレーション法の主流になりつつある所以である．
なお，単純な差分方程式による数値計算を考えると，3 次元フェーズフィールド・シミュレーションの計算コストは界的モデルの精度について議論する．図は，定量的モデルに面幅の－5 乗に比例する．例えば，界面幅を 3 倍大きくする

よるデンドライト成長の計算結果である．紙面の制約のたと，計算コストは，約 1/240倍まで減少する．定量的モデル

め，詳しい計算条件を記さないが，二元系合金の等温凝固をの界面幅をどこまで大きく設定できるのかについては，現在計算したものである．優先成長方向(〈100〉)にデンドライトのところ明確な基準が求められていないが，著者の経験上，が成長し，複雑形態の組織が形成している．既に述べたよう組織形成中に現れる最小の界面曲率半径よりも(定数倍だけ)に，このような複雑形態はバルク中の拡散と界面移動に伴う小さく設定する限り，高精度な結果を算出する．

溶質濃度の保存則，そして GibbsThomson 効果の結果として生じる．したがって，シミュレーションにおいてこれらのミクロ偏析の解析関係が正しく成立していなければ，当然，その結果に妥当性

著者らが開発した固相拡散を考慮した定量的モデがあるとはいえない．図は，デンドライト先端の界面におル(22)(24) によって，包晶反応などの固相中の界面移動が伴ける GibbsThomson 効果の誤差を算出したものである．横う現象やミクロ偏析の解析が可能になった．ここでは，ミク軸は計算に用いた界面幅に相当し，キャピラリー長 d0 で無ロ偏析の解析例を紹介する．

図1

二元系合金の等温凝固におけるデンドライト成長の計算結果．

ま て り あ 第53巻 第10号(2014)
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図2

フェーズフィールド・シミュレーションにおける GibbsThomson 効果の精度．

ミクロ偏析はデンドライト・レベルの濃度の不均一性であックスの問題であることを既に述べたが，凝固組織のシミュり，鋳片品質に直結する重要な因子である．ミクロ偏析を予レーションでは，一般に数桁異なる(時間と)空間スケールを測する解析モデルは過去に複数提案されており，数値計算に同時に取り扱う必要がある．簡単のため，合金の一方向凝固よる解析も行われてきた．しかし，ミクロ偏析に対する組織における定常状態を対象とし，流動の影響を無視すると，こ変化の影響については十分に議論されてきたとは言い難い．のプロセスは熱拡散長 lT と溶質拡散長 lD といった特性長さ

ここでは，定量的モデルを用いた等軸デンドライト成長の 2によって特徴づけられる． lT は温度勾配の方向(凝固方向)次元シミュレーションによって，ミクロ偏析挙動を解析したにおける液相線温度と固相線温度間の距離であり，固液二相例を紹介する．

共存領域の長さに関係する． lD は固液界面前方に生じる溶対象としたのは，Fe0.04 massC1.0 massMn 三元系

質富化層の長さを表すものであり，固相間の競合成長が lD合金である．温度は空間的に均一として，一定速度 10 K / sのスケールで生じる． lT は温度勾配に， lD は成長速度に依で冷却する条件を想定した．また，初期条件として球形の固存する．そして，これら凝固条件(と合金系)によって決まる相を中心に配置し，周期的境界条件を課して，単一デンドラ長さに加えて，キャピラリー長 d0 は組織の最小サイズに関イトの成長から凝固終了までをシミュレートした．凝固終了わる重要な特性長さである．したがって，凝固組織シミュレ直後の Mn のミクロ偏析パターンを図( a )に示す． Mn 濃ーションにおける最小長さ(グリッド間隔 Dx)と最大長さ(シ度の低い領域は凝固初期に固相に変態した領域である．そしステム長)は，これら三つの特性長さを同時に扱えるようにて，凝固末期まで液相として残っていた領域において Mn設定する必要がある．これらの特性長さは合金系と凝固条件濃度が高くなっている．つまり，このパターンは組織の時間によって異なるが，一般に， d0 は 10－8 m 程度， lD は 10－6変化を直接反映したものに相当する．また，ここで詳細を説～ 10－3 m の範囲， lT は 10－4 ～ 10－2 m の範囲であることが明することはできないが，このミクロ偏析パターンの形成に多い．つまり， 10－8～ 10－2 m のスケールをシミュレーショは，凝固中のタイライン・シフトが影響を及ぼしており，そンで同時に扱わなくてはならない．実際には，最小の空間スの影響の大きさは組織変化と密接に関係している．

ケールは d0 そのものではなく，固液界面の最小の曲率半径

図 3(b )に示したのは，同じ合金系において同じ条件で計で決まるため，d0 よりも一桁，または二桁大きな Dx を設定算した Mn 偏析の結果である．ただし，この計算では潜熱できることがあるが，それでもシステム長はその 1000 ～発生に伴う復熱の効果を導入している．その結果，冷却は全10000倍以上の長さに設定することが求められる．したがっ体として緩慢になり，粗大な組織が成長した．それに伴いミて，現在までシミュレーションが対象とできる領域や条件にクロ偏析パターンも異なっている．Mn 濃度のピーク位置と大きな制約があった．しかし，この状況は年を追うごとに著ピーク値が図 3(a)とは異なり，最大の偏析量は図 3(b)の方しく改善している．

が大きい．図 3 は，冷却条件の変化に対する組織の応答に

図に示したのは，凝固シミュレーションの計算規模の年ミクロ偏析パターンが著しく影響を受けることを示した例で次推移である．白色のプロットは， 1980年から 2000 年の国ある．このように，定量的モデルによってミクロ偏析と組織際会議 ``Modeling of Casting, Welding and Advanced

形態との関係について高精度な解析が可能になっており，今Solidification Processes(MCWASP)'' の proceedings に掲載

後，詳細な調査を予定している．

されている大規模な凝固シミュレーション(伝熱・溶質拡散

大規模計算への展開のマクロ・シミュレーションなど)のうち，空間格子点数の上位三つの値を示したものである(25) ．時間ステップ数が考

フェーズフィールド法が種々の実用問題に応用される際に慮されていないため，やや正確さに欠けるが，計算規模が年は，大規模計算が重要な役割を果たすと考えられる．その点々増加していることがわかる．そして，図 4 における二つについて，ここで触れておきたい．凝固現象がマルチフィジの実線は，これらのデータ点から求めた外挿線であり(25) ，

図3




FeCMn 合金における等温凝固後の Mn 濃度のミクロ偏析パターン．( a ) 潜熱の効果なし，( b )潜熱の効果あり．

図4

凝固シミュレーションの計算規模の年次推移．

ミ ニ 特 集

これらは 1.5年で 2 倍という増加率を示している．ここで，黒色のプロットがフェーズフィールド・シミュレーションのデータであり(14)(18)(26)(28)，著者が把握している大規模計算のデータをプロットしたものである．フェーズフィールド・シミュレーションの計算規模も同様の速度で年々増加していることがわかる．2013年に Takaki らが報告した大規模計算においては，格子点数が約 7× 1010個であり，一辺が数 mmの 3 次元システムを対象にして，AlSi 合金の一方向凝固におけるデンドライト競合成長がシミュレートされている(28)．こういった大規模計算によってシミュレーションから得られる知見が一層豊富になっている．また，図 4 から将来の計算規模を予想してみると，例えば， 2020 年頃には1012，2030年頃には1014個の格子点数まで増加し，これは数百 nm のグリッド間隔を用いて，一辺が数 cm の 3 次元システムや一辺が数 m の 2 次元システムを計算できる規模になる．こういった大規模計算によって凝固組織シミュレーションの有用性が飛躍的に向上することから，凝固組織の大規模計算の取り組みは HPCI 戦略プログラム分野 2 においても鋭意進められている(29) ．また，こういったスーパーコンピュータ・レベルの進展に加えて，一般のサーバ機も近年では並列計算指向の開発が進められており，計算能力の向上が著しいことを付記しておく．

.

お わりに

本稿では，定量的フェーズフィールド法による凝固組織シミュレーションについて紹介した．このモデルの発展により，現象論に起因する任意性を排除することができ，一意的な結果を算出することが可能になった．ただし，定量的フェーズフィールド法は，現在においても発展途上にある．例えば，現状のモデルは，濃度分配に関する局所平衡が成立する条件でのみ適用可能である．つまり，急速凝固で問題となる
solute trapping を記述することはできない．この点を含め( 2 ) D. Juric and G. Tryggvason: J. Comput. Phys., 123(1996),
127.
( 3 ) R. Almgren, W.S. Dai and V. Hakim: Phys. Rev. Lett., 71(1993), 3461.
( 4 ) Ch.A. Gandin and M. Rappaz: Acta Mater., 45(1997), 2187.
( 5 ) T. Suzuki, M. Ode, S. G. Kim and W. T. Kim: J. Cryst. Growth,237239(2002), 125.
( 6 ) W. J. Boettinger, J. A. Warren, C. Beckermann and A. Karma:
Annu. Rev. Mater. Res., 32(2002), 163.
( 7 ) I. Steinbach: Modell. Simul. Mater. Sci. Eng., 17(2009),073001.
( 8 ) T. Takaki: ISIJ Int., 54(2014), 437.
( 9 ) 高木知宏，山中晃徳機械の研究，61(2009)～63(2010).
(10) 小林 亮，高木知弘，小山敏幸，大野宗一，松浦清隆，竹澤晃弘計算工学，15(2010), 22872308.
(11) 小 山 敏 幸 ， 大 野 宗 一 ， 松 浦 清 隆 ， 大 出 真 知 子  金 属 ， 80(2010), 92108.
(12) W. Kurz and D. J. Fisher: Fundamentals of Solidification,
Trans Tech Publications Ltd, Switzerland, (1992).
(13) R. Kobayashi: Physica D, 63(1993), 410.
(14) R. Kobayashi: Exp. Math., 3(1994), 59.
(15) A. A. Weeler, W. J. Boettinger and G. B. McFadden: Phys.
Rev. A, 45(1992), 7424.
(16) S. G. Kim, W. T. Kim and T. Suzuki: Phys. Rev. E, 60(1999),7186.
(17) I. Steinbach and F. Pezzolla: Physica D, 134(1999), 385.
(18) A. Karma and W.
J. Rappel: Phys. Rev. E, 57(1998), 4323.
(19) A. Karma: Phys. Rev. Lett., 87(2001), 115701.
(20) S. G. Kim: Acta Mater., 55(2007), 4391.
(21) R. Folch and M. Plapp: Phys. Rev. E, 72(2005), 011602.
(22) M. Ohno and K. Matsuura: Phys. Rev. E, 79(2009), 031603.
(23) M. Ohno and K. Matsuura: Acta Mater., 58(2010), 5749.
(24) M. Ohno: Phys. Rev. E, 86(2012), 051603.
(25) V. R. Voller and F. Port áeAgel: J. Comput. Phys., 179(2002),698.
(26) T. Pusztai, G. Bortel and L. Gr áan áasy: Mater. Sci. Eng. A, 413
414(2005), 412.
(27) T. Shimokawabe, T. Aoki, T. Takaki, A. Yamanaka, A.
Nukada, T. Endo, N. Maruyama and S. Matsuoka: SC '11
Proceedings of 2011 International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, (2011),
Article No. 3.
(28) T. Takaki, T. Shimokawabe, M. Ohno, A. Yamanaka and T.
Aoki: J. Cryst. Growth, 382(2013), 21.
(29) http://www.cmsinitiative.jp/★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★て，現在，モデルの高度化が精力的に進められている．モデルの高度化と計算技術・計算機能力の向上により，凝固組織シミュレーションがさらに有効なものに進化すると期待している．

文献
大野宗一

( 1 ) M. Asta, C. Beckermann, A. Karma, W. Kurz, R. Napolitano,M. Plapp, G. Purdy, M. Rappaz and R. Trivedi: Acta Mater.,
57(2009), 941.

ま て り あ 第53巻 第10号(2014)
Materia Japan

2004年 3 月 北海道大学 大学院工学研究科 博士課
程修了
2004年 4 月 クラウスタール工科大学 金属材料研究所 博士研究員
2006年 2 月 北海道大学 量子集積エレクトロニクス研究センター 博士研究員
2007年10月 北海道大学 大学院工学研究科 助教
2009年11月現職
専門分野計算材料科学，金属組織学◎合金材料の拡散相変態や粒成長の組織形成シミュレーション法の開発と応用に従事．

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

