第 43 回の解答編です。さっそく解答解説に移りlましょう。
問1
原点 O から A に向けて出た光について，
1\ t =− xcx = −ct

また，原点 O から C に向けて出た光について，\ t=x = ct%d1xcdp

問4
B の軌跡について，これらを x-t 図に描くと下図の通り。
（なお， t0 =2K 座標系： x = Vtl）
cK' 座標系： x¢ = 0
これらを (1) 式に代入して，l0 = a × Vt + bt → (aV + b)t = 0t > 0 の任意の t について成立するので，
aV + b = 0\ b = −aV

問5(1) より，l(t1 ¢ = pt1 + qx1%dd2pt2 ¢ = pt2 + qx2
問 2 より，

問2
時 刻 t に お け る A，B，C の x 座 標 を そ れ ぞ れ
xA，xB，xC，とする。等速直線運動の式より，\ t=xA = Vt − lxB = Vt

\ t=

xC = Vt + l

x1 = Vt1 − lx2 = Vt2 + l
問 3 より，

1lxA +V
V

1xB
V\ t=1lxC −V
V

t1 =lc+Vt2 =lc −V

光速度不変の原理より，これらを x-t 図に描くと右上図の通り。

t1 ¢ = t2 ¢以上 7 式より x1，x2，t1，t2，t1'，t2' を消去して p とq の関係を求めると，

問3
題意より，
ct1 + V t1 = l\ t1 =lc+Vct2 − V t2 = l\ t2 =

lc −Vq =−Vpc2

問6(1) より，
x2 ¢ = ax2 + bt2

1

t2 ¢ = pt2 + qx2

いかがだったでしょうか。

問 1 より，x2 = ct2
問 3 より，t2 =第 35 回の問題に挑戦し，第 36 回の解答解説を一読した人にとっては，この問題は多少取り組みやすlc −Vかったかも知れませんね。特殊相対性理論では，「静問 4，問 5 より，b = -aV止している観測者と運動している観測者とでは，時Vq =− 2 pcでした。本問でも，静止系（K 座標系）とそれに対間の進み方が異なる」ということが重要なポイント
して速度 V で運動する系（K' 座標系）を考え，そ光速度不変の原理より，れぞれの系の時刻を t，t' と異なるものとして扱っ

x2 ¢ = ct2 ¢ていました。上記の事実を知っている人にとっては，
以上 7 式より x2，t2，x2'，t2'，b，q を消去して a と「ふん，ふん，そうだね」と思いながら読み進めてp の関係を求めると，いける部分です。
p=a（もちろん，知らなくても，「文章通りに受け止めてお問7
K' 座標系から K 座標系を見ると，速度 -V で運動しているように見える。よって，(1) 式において，x と x' および t と t' を入れ替え，V を -V に置き換えることにより，x と t をそれぞれ x'，t' で表すことができる。問 4 から問 6 までの結果も用いて，いて，それを信じて（言い換えれば与えられた理論・公式を用いて）解いていく」（第 36 回参照） の精神で解いていけば問題ありません。）
しかしながら，本問については，さらに踏み込んだ議論を展開していたことが読み取れたでしょう。問
題文の最後にある通り，「時間と空間が混ざること」

x = ax ¢ + {−a(−V )} t ¢ = a(x ¢ + Vt ¢)です。

” (−cV ) a’x¢ = aªt¢ + cV x¢ºt = at ¢+ −22

今回は，このことについて簡単に解説を加えましょこれらをもとの (1) 式に代入して，”’V= a ª1 −º x¢c”ªx ¢ = a a(x ¢ + Vt ¢) − aV a t ¢ +Vx¢
c2º’2う。
《ローレンツ変換》

22

すべての x' で成立するとき，ªºV2a 1− 2 = 1c2\ a=

本問では x-t 図なるグラフが導入されていますが，この x-t 図について，以下の記載が問 3 から問4 の間の誘導文中にあります。

±11−

V2c2

ここで， V = 0 のとき， x ¢ = x ， t ¢ = t にならなけ「K' 座標系で B は静止している。つまり，任意のればならないので a > 0 である。

時刻 t' に対して，B の x' 座標は x¢ = 0 である。このことは，問 2 で描いた B の軌跡が K' 座標系でのt' 軸になっていることを意味する。」

よって，
a=

11−V2c2「光は t ¢ = t1 ¢ = t2 ¢ に同時に A と C に到達したのだから，A1 と C1 を通る線は K' 座標系における同時刻の線 t ¢ = t1 ¢ = t2 ¢ に対応していることになる。よって，2

x-t 図で原点を通り A1C1 に平行な線が K' 座標系での x' 軸になっている。」

1t¢ =Vªt − xºcV21−c22

文章がわかりにくかも知れませんが，要は K' 座標系の t' 軸はすべての t' において x¢ = 0 を満たす直この変換公式をローレンツ変換といいます。K 座標線であるべきだ，という主張が 1 つめの文章で，ま系から K' 座標系に変換する際には，確かに座標（空た，K' 座標系の x' 軸はすべての x' において t¢ = 0間）と時刻の両方が混ざっていることがわかりますを満たす直線であるべきだ，そしてそれは t¢ = 0 とね。このように，元来空間と時間は互いに独立して存在するものではなく，互いに密接な関わりを持っいう同時刻を結ぶ直線であるから，A1 と C1 を結ぶた不可分のものであることがわかります。x-t 図の直線（同時刻 t ¢ = t1 ¢ = t2 ¢ の直線）と平行であるべきような，空間座標と時間座標を合わせた座標空間をだ，ということを言っているだけですね。

「時空」といいます。時空，と聞くとなんだか SF のこれらを K 座標系に重ねる形で描けば以下の通りで世界の言葉のようですが，れっきとした物理用語です。

あるのです。
llª
なお，我々が日常生活で体験する程度の運動では，lV は c に比べて非常に小さいため，lªVはほぼ 0 と考cえてよいでしょう。この近似のもとでは，ローレンツ変換は，
pª2

ppªpx ¢ = x − Vtt' = t

上図が想像できれば (1) 式が理解できるでしょう。
すなわち，(x,t) と (x'，t') は線形変換である (1) の時刻について，座標系の時刻はその運動によらず等形で描けるはずである，すなわち，x' や t' は x と tしいことが見てとれます。時間の（物理的な）進みの 1 次関数で表されるはずであるから，もしかした方は誰しも平等である，と感じるのは，ある意味でら変換に際して座標（空間）に時刻の影響が，時刻この近似が成り立つおかげです。言い方を変えれば，に座標（空間）の影響が入って来るかも知れないでこの近似の成り立たない高速の世界では，ローレンすね，と言っているわけですね。

ツ変換こそが正確な表現であり，時間と空間が混ざさて，本問は，問 4 以降で係数 a，b，p，q を求めさせ，実際の変換公式を求めさせています。その結果を代1V2
1− 2cることになる，ということです。
今回はここまでにしましょう。またお会いできる日

入すると以下の通りです。

x¢ =となります。これをガリレイ変換といいます。特にまで。

ª x − Vt º3