Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Institut für Mathematik
Abteilung für Reine Mathematik
Prof. Dr. D. Wolke
Dipl.-Math. S. Feiler

1: Mo 16-18, SR 318
Christian Marquardt

2: Di 11-13, SR 119
Jonas Unger

3: Di 11-13, SR 125
Michael Gutmann

4: Di 11-13, SR 112
Stefan Fischer

5: Di 16-18, SR 119
Kai Siebold

6: Di 16-18, SR 125
Arno Pauly

7: Do 11-13, SR 127
Sarah Marzi

8: Do 16-18, SR 414
Bianca Straub

9: Fr 11-13, HS II
Elisabeth Wursthorn

10: Fr 11-13, SR 414
Nicolas Ketterer

11: Fr 12-14, SR 218
Christian MarquardtFragestunde: Do 09-11
Simon Feiler, SR 414

Übungen zur Vorlesung

Mathematik für Ingenieure und Informatiker I
Wintersemester 2007 / 2008

Übungsblatt Nummer 626. November 2007
Abgabe am Montag, den 03.12.2007 vor der Vorlesung
Bitte die Lösungen mit Name, Matrikelnummer, Übungsnummer und Name des Tutors versehen.

Aufgabe 16Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz! Divergiert eine Folge, so untersuchen Sie, ob die
Folge der Beträge der Ursprungsfolgenglieder konvergiert! Berechnen Sie für alle konvergenten Folgenden Grenzwert! Beweisen Sie für alle divergenten Folgen die Divergenz.
Seien für alle n ∈ N
3 · n3 + n2 − 17 · nn!
a) an := (−1)n ·c) cn := n1
102 · n · (2 · n − 1) · n + 2
pn · sin (n)b) bn :=d) dn := 4 · n2 + 2 · n − 3 − 2 · nn2 + 1

Aufgabe 17
Seien `, m ∈ N0 , aj , bk ∈ R für alle j ∈ {n ∈ N0 : n < `} und alle k ∈ {n ∈ N0 : n < m},
 R → R
 R → RmPP̀a` , bm ∈ R \ {0}, p :undq:.
kbk · x aj · xj  x 7→ p (x) := x 7→ q (x) :=
k=0

j=0

Bemerkung: Das heißt, p ist ein Polynom vom Grad ` und q ist ein Polynom vom Grad m.
)
(
N → R
N → R
1
11,d:
Seien c :, δ := 10und ε := 1.000.000.
−n+54n→7
d:=nnn 7→ cn := e2·n+10,falls ` < m ist
p (n)falls ` = m ista) Zeigen Sie lim=!
n→∞ q (n)∞,falls ` > m und a` · bm > 0 sind−∞, falls ` > m und a` · bm < 0 sinda`bm ,b) Bestimmen Sie die Grenzwerte von (cn )n∈N und (dn )n∈N .
Bestimmen Sie die minimalen nc,δ , nc,ε , nd,δ , nd,ε ∈ N derart, dass für alle α ∈ {δ, ε}cn − lim cν < αfür alle n ∈ {t ∈ N : t ≥ nc,α } unddn − lim dν < αfür alle n ∈ {t ∈ N : t ≥ nd,α } gilt.

ν→∞ν→∞bitte wenden

Aufgabe 18
Interpolation verwendet man, wenn man keine Funktionsvorschrift sondern nur einige Funktionswerte gegeben
hat. Man versucht dabei, ein Polynom zu finden, das die Funktion, zu der die Funktionswerte gehören, möglichst
genau annähert. Mit diesem Polynom kann man dann Näherungswerte an Zwischenstellen bestimmen.
Nun gibt es nur ein Polynom, dessen Grad höchstens ` ∈ N0 beträgt, und das ` + 1 vorgelegte Funktionswerte
annimmt. Es bietet sich also bei k ∈ N gegebenen Funktionswerten an, das durch diese eindeutig bestimmte
Polynom vom Grad kleiner oder gleich k − 1 als Interpolationspolynom“ zu verwenden. Für dieses Polynom”
gibt es verschiedene Bildungsweisen.
Geben wir uns verschiedene Funktionswerte vor.
Seien n ∈ N0 und xj , yj ∈ R für alle j ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n} mit xu 6= xv für alle u, v ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n} mit
u 6= v. (Das heißt, die xe“ sind paarweise verschieden.)”Die xe“ heißen Stützstellen“, die ys“ Stützwerte“ und die (x | y)s“ Stützpaare“ der Interpolation.
”
”
”
”””
In der Vorlesung haben Sie die Newton-Form des Interpolationspolynoms kennengelernt.
Um diese aufzustellen, bildet man zunächst die Newton’schen Basispolynome“” R → Rr−1
QNr :für alle r ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n} .
(x − xν )  x 7→ Nr (x) :=ν=0

und danach die dividierten Differenzen“. Diese sind folgendermaßen definiert:”
yj+1 −yjyj,j+1 := xj+1für alle j ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n − 1} ,−xj
yj+1,j+2 −yj,j+1für alle j ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n − 2} ,yj,j+1,j+2 :=xj+2 −xj
yj+1,j+2,j+3 −yj,j+1,j+2
für alle j ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n − 3} ,yj,j+1,j+2,j+3 :=xj+3 −xj
..
..
..
..
.
.
.
.
y1,...,n −y0,...,n−1y0,...,n :=xn −x0 R → R
nPDie Newton-Form des Interpolationspolynoms ist p :.
y0,...,r · Nr (x)  x 7→ p (x) :=r=0Eine zweite Möglichkeit der Darstellung offenbart sich in der Langrange-Form des Interpolationspolynoms. Die Lagrange’schen Basispolynome“ werden definiert durch”

R→R



nY
x−x
ν
für alle s ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n} .
Ls :x 7→ Ls (x) :=xs − xν 


ν=0
ν6=s

 R → RnP
Dann ist q :die Lagrange-Form des Interpolationspolynoms.
ys · Ls (x)  x 7→ q (x) :=s=0a) Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Stützpaaren(0 | 3), (3 | 3), (2 | 1), (4 | 3) und (−1 | − 7)!
Nutzen Sie hierfür die Newton-Form und formen Sie diese in Normalform um!
b) Berechnen Sie das Interpolationspolynom zu den Stützpaaren(0 | 3), (3 | 3), (2 | 1), (4 | 3) und (−1 | − 7)!
Nutzen Sie hierfür die Lagrange-Form und formen Sie diese in Normalform um!
c) Nun sollen Sie zeigen, dass die Lagrange-Form stets (also nicht nur zu den oben genannten Stützpunkten, sondern im allgemeinen Fall) tatsächlich das Interpolationspolynom zu den
gegebenen Stützstellen und Stützwerten repräsentiert. Zeigen Sie alsoq (xj ) = yjfür alle j ∈ {m ∈ N0 : m ≤ n}!

Warum folgt daraus p = q?
Bemerkung: Wie Sie hoffentlich gesehen haben, ist die Lagrange-Form die in der Theorie einfacher
zu handhabende Form, während die Newton-Form ihre Vorteile in der Anwendung hat.