今回の問題は【1996 愛知教育大学】の入試問題か［(1) 考察］

ら出題しました．

最初の 1，2 回は，どのように進んでもすべてのそれでは，まず問題の確認です．

格子点を通れなくなることがありませんが，たとえ問題ばK 大学では次のようなイヌ型ロボットの開発に成功した．このロボットは右図の格子上を進み，

PQ

P→Q→T→U

Rと進んでしまうと格子点（図中の●）に達するとそこに印を付S

TPQ

RS

TU

VW

X

Uける．その後，進む向きを定めてまた前進するのだが，既に印の付VWXけられた格子点には行くことができない．
また，進む向きの定め方は次の法則に従う．
①となり，この後 R に進むとそれ以上進めなくなり，隣接する格子点すべてに印が付いているときは，そこで止まる．

X に進むと R が通れなくなり不適です．闇雲に考え②ると，適する進み方と不適な進み方がデタラメに混隣接する格子点で印のついていないものが少なくとも 1 つあるときは，必ずそれらのどれかに進む．
③

ざり合い，把握しづらくなります．このような場合

隣接する格子点で印の付いていないものが 2 点以は，所詮格子点が 9 つしかないことから上ある場合は[ア]場合の数の総数が少なそうなら正面の点に印が付いていなければ直進する確率

樹形図で書きだすは p である．
[イ]

左右の点とも印がついていなければ左右に進むを用いましょう．特に総数が 100 通り以下の場合は，確率は等しい．

全体像をつかむためにも有効です．最初のほうを少

このとき，以下の問いに答えよ．ただし，出発点にしやってみるとおいても上の①～③に従って進行方向を定め，かつ印を付けて行くものとする．
(1)

S ……

このロボットを，点 P に Q を正面として置いて出発させるとき，すべての格子点 P ～ X に印を付けてW×

X

W ……

U止まる確率を求めよ．
(2)

TR

単位時間に 1 回ずつ移動する 2 機のロボット「ポチ」と「コロ」を使ってゲームをする．ポチを点 P に

S ……

Q

Q を正面として置き，コロを点 X に W を正面としてTP

置き，同時に出発させてより長い時間動いていたほう

U×

S

…

…

が勝ちとする．ここで，同時に同じ点に到達した場合

W×は引き分けとし，再試合は行わない．また，他方のロボッとなります．最後に×のついているものは不適な進

トが印を付けた点にも到達できないものとする．
さて，ポチの直進の確率を p，コロの直進の確率をみ方です．加えて，実際に書きだしてみると，たとq としたとき，ポチの勝つ確率を求めよ．また，p とえばq の間にどのような関係があれば，ポチの勝つ確率がP→Q→R→U→T→S

コロの勝つ確率を上回るだろうか．と進むと

1

P

QR

p3 (1 - p) + p3
11+ (1 - p)3 ∑22222+ p (1 - p) + p (1 - p)+ p(1 - p)2 ∑SVTWU= p3 {(1 - p) + 1}
1+ (1 - p)2 { p + (1 - p)}2+ p2 (1 - p){(1 - p) + 1}

Xというように，その後は必ず

1= { p3 + p2 (1 - p)}(2 - p) + (1 - p)22
15 2
3
= - p + p - p+22

（S →）V → W → Xと進むので，S までの確率を考えれば，その後は進み方が 1 つに決まることになり，その進み方を選ぶである．

確率は 1 になります．他にもP→Q→T→S［(2) 考察１］と進むとPQ

まず最初の 1 回は，ポチとコロがどのように進んRでも，どちらも進めなくなることはありません．次に 2 回進んだときにS

TU

P

Q

RVW

X

STU

V

W

Xのように，その後は必ず（S →）V → W → X → U → Rと進み，すべての格子点を通ります．となると，どちらも 4 回ずつ進み止まるため引き分以上をまとめると，解答は次のようになります．

けが確定するので，そうでない場合を考えてみます．
たとえば

［解答］
(1)

すべての格子点に印を付けて止まるような進み

P

Q

R

S

TU

V

W

X

方を，通る格子点の順番で考えるとP→Q→R→U→T→S
P→Q→R→U→X→W
P→Q→T→S
P→S→T→Q
P→S→V→W→T→Qのようになると，ポチは動けないのにコロは動ける

P→S→V→W→X→U

ので，ポチの負けが確定します．またの 6 パターンのとき，最後の格子点以降は進み方が1 通りに決まり，かつ，すべての格子点を通る．また，他の進み方はすべての格子点を通ることができない．以上より，求める確率は

2

PQRSTUである．
［(2) 考察２］
さて，ここからは強者向けに，少し答案をグレードアップしてみましょう．

VW

強者の答案では，今回のような問題のとき条件にX適する場合を書くだけではなく，他の場合は条件にとなると，ポチは最大であと 1 回しか進めないのに， 適さないことも主張していきたいところです．(1) のコロは少なくともあと 1 回以上は進めるので，引き場合は，動くロボットが 1 体なので，不適になる場分けかポチの負けになることがわかります．以上の合も含めすべての場合を樹形図で調べても（もしくように，(1) と同様に具体的にすべての場合を調べては調べたフリをして，答案を作成しても）大きな影いくと，ポチの勝つパターンが 4 パターンぐらいし響はないのですが，(2) の場合，動くロボットが 2 体かないことに気づけます．まず，その部分だけに注に増えたため，ポチが勝てない（引き分け or 負ける）目して，ポチの勝つ確率を考えてみましょう．

場合もすべて樹形図で書こうとすると大変なことになりますし，容易にはすべての場合を想像できませ［(2) 解答下書き］ん．すなわち，不適になる場合については，樹形図

ポチが勝つような進み方を考えると，以下の 4 パ以外の方法で説明しておいたほうが採点者に伝わりターンのときのみである．
PQ

Rやすそうだ，と判断できます．

PQpT

1-pU

TSWqPXVWXRPQR

1-pT

Uする場合がある
・2 回進んだときに，ポチが T，コロが T 以外に1-p
W

X

Vいれば，ポチの勝てる可能性が残るということがわかります．つまり「2 回進んだ後のqT

S

1-pq

・2 回進んだときに，ポチが勝てないことが確定

1-q1-p

V・1 回進んだだけでは，勝ち負けは確定しない

Uq
QS

答下書き］を見てみると

q

12V

ここまでを踏まえた上で［(2) 考察１］と［(2) 解p
1-pSRU
12

W

ポチとコロの居場所」で場合分けをすれば，不適になる場合を先に除いてポチが勝てる可能性が残る場

1-q

合だけに絞り込む，という必要条件っぽい書き方がXqできそうです．このことも盛り込んで，解答の清書以上より，ポチの勝つ確率は
1p(1 - p)q 2 + p(1 - p)(1 - q)q
2
1+ (1 - p)2 q 2 + (1 - p)2 (1 - q)q2
1= (1 - p)q { pq + 2 p(1 - q)q
2+ 2(1 - p) + (1 - p)(1 - q)}=に移ります．
［(2) 解答清書］(2)

2 回ずつ進んだ時点で，ポチもコロも R，T，Vのいずれかにいる．これを踏まえて，まずポチの勝つ確率を求める．2 回の移動後に

1(1 - p) q(1 + p + q - 2 pq)
23i)

ポチが P → Q → R

1p(1 - p)q 2 + p(1 - p)(1 - q)q
2
1+ (1 - p)2 q 2 + (1 - p)2 (1 - q)q2
1= (1 - p)q { pq + 2 p(1 - q) q
2+ 2(1 - p) + (1 - p)(1 - q)}

コロが X → U → T と進んだとき
ポチは止まり，コロはまだ進めるのでポチの勝ちはない．
ii) ポチが P → Q → R
コロが X → W → T と進んだとき
ポチは最大あと 1 回しか進めず，コロは少=なくともあと 1 回以上進めるので，ポチの勝

1(1 - p) q(1 + p + q - 2 pq)
2である．また，コロの勝つ確率は，対称性より (**)

ちはない．

p と q を入れかえて

1(1 - q) p(1 + q + p - 2 qp)
2

よって，2 回の移動後にポチが R，コロが T にいるとき，途中の進み方によらずポチの勝ちはない．

である．ここで，ポチの勝つ確率とコロの勝つ確率同様に，2 回の移動後にポチが V にコロが T にいの差を考えるとるときも，ポチの勝ちはない．

1(1 - p)q(1 + p + q - 2 pq)
2
1- (1 - q) p(1 + p + q - 2 qp)
2
1= (1 + p + q - 2 pq){(1 - p)q - (1 - q) p}2
1= (1 + p + q - 2 pq)(q - p) ººº(∗∗ *)2
1= {(1 - pq) + p + q - pq}( q - p)
2
1= {(1 - pq) + p(1 - q) + q}( q - p)2

また，2 回の移動後にポチが R，コロが V にいる
ときと，ポチが V，コロが R にいるときは，それぞれあと 2 回進んでともに T で止まるので，引き分けとなりポチの勝ちはない．
以上より，2 回の移動後にポチが T，コロが V ま
たは R にいるときにのみ注目し (*)，ポチが勝つよ
うな進み方を考えると，以下の 4 パターンのときのみである．
PQRPQpT1-pUTSqWq

P

1 - pq > 0，1 - q > 0VWXRPQR

1-p1-pT

U1-pWq(1 - pq) + p(1 - q) + q > 0X

Vq

以上より，ポチの勝つ確率はであるから，ポチの勝つ確率がコロの勝つ確率を上回るための条件は

q
T

S

1-pV

ゆえ

1-qXq
Q

S求める条件である．0 < p < 1 かつ 0 < q < 1 よりU

12Vであるから，これが正となるための p，q の条件がp1-pSR-q>pである．

12
Wq-p>0

U
1-qX

［補足］
（(*) について）
ここまでで，今回の設定では「相手より先に，真ん中の T に辿り着かないと絶対に勝ちはない」ということがわかりました．わかってみれば，T ならば4

次の進行方向として 3 つもの選択肢があり，次に進となり，1 - 2q の部分が正だと確定できません．

めないという状況に追い込まれにくいことは，直感以上の考察から，pq の前にある「2」が邪魔をしできると思います．ている，ということに気づけると思います．そこで今回の設定で真ん中の T に相手より先に辿り着く

2pq = pq + pq

ためには，途中で直進ではなく左右への移動を選ばと 2 つのかたまりに分ければ，解答のように他の部なければならないので，「左右に進む確率を大きく分と組み合わせることで，正であることを確定できする」-「直進する確率を小さくする」というこる形に変形できます．p，q はともに 0 と 1 の間にあとが，最後の結論である q > p という条件に表れてるので，「積 pq も 0 と 1 の間にある」とか「1 - pいます．今回は「直進の確率も少しぐらい残しておや 1 - q は必ず正になる」などの感覚も大切なのでいたほうがいいかも……」と中途半端になるよりもすが，今回のような変形がパッと思いつかなくても，「左右に進める機会があるときは，その確率を 1 に上のような考察をすることで邪魔物を見つけ，対処する！」と思い切ったほうがよいわけです．

法を考える習慣をつけると，解ける問題が増えていきます．

（(**) について）
ここでいう対称性は次の 2 点です．

（最後に）・ポチもコロも，進む向きの定め方について

今回は，解答の (2) の (*) までで「真ん中の T をp が q に変わる以外は全く同じ決め方をする先に抑えることが大事」とわかったので，それに合・ポチとコロのスタート時点の位置と向きがわせてポチの確率を有利になるように調整すること

中央の格子点 T に関して点対称であるで問題を解くことができました．これから皆さんが必ずしも答案で説明する必要はありませんが，対立ち向かうことになる大学入試でも，同じ事が言え称である理由を自分で説明できるようにしておくのます．過去問などで，難易度や傾向を知り，そこにがお勧めです．他の問題において，対称性を用いて向けての対策を行えば，闇雲に進み始めるよりも効よいときと，用いてはいけないときが見分けやすく率的に目標達成に近づくことができます．

なるからです．

研伸館の授業で扱っている問題は「何を抑えるのが大事か」ということについて研究を重ねた上で厳（(***) について）選されたものですから，目標達成に近づくスピード

この積が正となるような p，q の条件を考えたいがより速まることは言うまでもありません．のですが，右のカッコの q - p は正負を確定できな

これからも一緒に，大学合格に向けて突き進んでいので，左のカッコに注目します．まず「-2pq」のいきましょう．

み符号がマイナスで，この項が正負の確定を妨げて（数学科いることが即座にわかります．なので，このマイナスを別の項と一緒に考えることで正だと確定できるようにしたいのですが1 - 2pq
としてみても，「 p = q =3」のときなどに負になり
4

ますし，1 つの文字に注目して整理しても(1 - 2q)p + (q + 1)

5中西）