計測自動制御学会東北支部第231回研究集会（2006．10．31）
資料番号23ト11

ロボットアームの運動制御における軌道生成
TrajectoryGenerationforDynamicControlofRobotManipurator○須藤明美＊，渡部慶二＊＊，村松鋭一＊＊，有我祐一＊＊，遠藤茂＊＊

OsuDOUAkemi＊WjmNABEKeiji＊＊MURAMATSUEiichi＊＊ARIGAYuichi＊＊ENDOShigeru＊＊山形大学大学院理工学研究科，＊＊山形大学工学部＊＊YamagataUniverslty

キーワード：多関節ロボット（Articulatedrobots），終端状態制御（Final−StateControl），
フィードフォワード制御（Feed−forwardControl）

連絡先：〒992−0037米沢市城南4−3−16山形大学工学部応用生命システム工学科渡部研究室

須藤明美E−mai1：eWe86634＠dip．yz．yamagata−u．aC．jp

1． はじめに
近年、工場内のラインの自動化が一般的となり、ロボットアームは多く使用されるようになった。だが、それらのロボットアームはPtoP（Point to Point）での制御が主流である。
しかし、将来的には工場外でもロボットアームが使用されることになると考えられる。そこでPtoPよりも柔軟な動き、すなわち軌道制御をおこなう必ク制御を用いていた。だが、フィードバック制御のみでは目標値に収束はするものの応答性が悪い。
（図1．1）
そこで、応答性の向上をはかるためにフィードフ
ォワード制御を導入することにした。そしてフィードフォワード制御の方法として、目標値に対する負荷のかからない最適な軌道の生成をおこなう終端状態制御を選択し、応答性の向上をはかることにした。

510152025

U

本研究では、今までPD制御によるフィードバッ〇要性が出てくると思われる。
時価【わ二〕
図1．1フィードバック制御（PD制御）を用いた場合の応答波形

ロボットアームの運動方程式は以下の式で表さ

2．問題設定れる。

2．1．システムの説明〟（β）β＋〃（β，β）＋かβ＝C〟

本研究では水平スカラ型3リンクロボットアームを使用する。（図2．1）‥・（2．1）
ここで、β＝ 全軸分の角度∂＝ 全軸分の角速度

ズ＝〔β，列r‥・（2．2）とおくと、ロボットアームの状態方程式は以下の式で表される。

ヰ細（如‡］ズ

図2．1．水平スカラ型3リンクロボットアーム＋［笠Ic］〟
2．2．制御方法
制御方法は終端状態制御理論を用いる。終端…（2．3）

状態制御とは、先に初期状態と最終状態を設定し、その間で一番負荷のかからない制御入力を次に、終端状態制御をロボットアームに適用さサンプリング周期ごとに計算する。そして、サンプせるため、式（2．3）の中に含まれる非線形項β，β

リング周期ごとに計算した制御入力をフィードフォ

ワード入力することによって、制御対象を最適なを0とおいて線形化をおこなった。線形化をおこなった後のロボットアームの状態方程式は以下の状態に制御する方法である。
このロボットアームに終端状態制御を用いるこ式になる。とで、負荷のかからない最適な軌道を生成する。

ヰ〟￣13］ズ・［㌃］〟目模状態ズノ蛸

…（2．4）
式（2．4）内の行列を以下のようにおく。

ヰ〟￣13］

図2．2．終端状態制御の概要図
β＝［㌍］…（2．5）
2ここで、上記の状態方程式に対してオイラー法

ただし、を用いた刻み時間△Jでの離散化をおこなう。離散化した状態方程式は以下の式になる。

ぴェ＝［Ad〃￣1βd，Ad〟￣2βd，…，Adβd，βd］
rvェ＝【〟。，〟1，‥・，〟〟＿2，〟…］…（3．5）

ズ川＝AJ∬た＋βd〟鳥（た＝0，1，2，…Ⅳ）である。ここで、目標状態をズ′。∫′とすると、ズ加′が…（2．6）
ただし、ズ〟＝ズ山∫′となるとき、終端状態が実現する。式
Ad＝A・△J＋J（3．4）より、

βd＝β・△f

ズ血＝Ad〃ズ0＋び凸‥・（2．7）…（3．6）

このときのAd，βdは可制御行列である。と表現される。そこから、

式（2．6）に対して、以降で示す終端状態制御を
ぴぃ㌧＝ズ山∫′−AJ〃ズ0

適用させていく。

…（3．7）である。ここで、式（3．7）を満足するようなフィード

3．終端状態制御理論

フォワード入力をシステムに与えたとき、Ⅳステッ

本研究に用いる終端状態制御理論について説

プ目で目標状態∬加に到達する。式（3．6）を満た明する。一般に線形時不変系の状態方程式は以す制御入力のうち、2乗ノルムで最小となる制御下の式で表される。

入力は以下の式で求められる。

…（3．1）

丈＝Aズ＋β〟vェ＝Uェ㌻（ぴムUェr）−1・（ズ加′−Ad〃ズ0）

上記の状態方程式にオイラー法を用いて、刻み…（3．8）

時間△rで離散化すると以下の式になる。

このとき、V⊥は各周期の制御入力〟。…〟乃からな

J上．1＝Adズ上＋βd〟上（た＝0，1，2，…〃）…（3．2）

るⅣ×1行列である。

ただし、Ad＝A・△J＋J

4． シミュレーション…（3．3）

βd＝β・△J

サンプリング周期ア＝0．01［sec】、目標透徹時間である。ここで、初期状態をズ。、サンプリング周期Ⅳr＝5【sec】と設定し、シミュレーションをおこなっ

Tとおくと、目標時間NT（N≧6）における状態J〃た。今回は3つのシミュレーション条件を設定した。

は以下の式になる。

条件1．
初期状態：

ズ1＝Adズ0＋βJ〟0∫。＝［β，β】r＝［0，0］r

ズヱ＝Aオズ1＋βd叫＝Ad（Ad∫0＋βd〃0）＋βd〃1

目標状態：…（3．4）＝Ad2ズ0＋Adβd〟0＋βd〟1ズ。＝［β，押＝［0，101rズ〃＝AJ〃∬0＋〃八3

条件2．
初期状態：

ズ。＝【β，β］㌻＝［0，0】r
目標状態：

ズ。＝【β，好＝［0，30］r
条件3．
初期状態：

ェ。＝〔β，β】r＝〔0，01r
図4，3．条件2での全軸の制御入力

目標状態：ズ。＝【β，β】r＝【0，60］r
シミュレーション結果は以下のとおりである。

条件1．

図4．4．条件2での全軸の角度変化

条件2の場合のシミュレーション結果を図4．3、4．4で示す。図に示すとおり、全軸とも約7秒後には目標状態に収束した。
図4．1．条件1での全軸の制御入力

条件3．

図4．2．条件1での全軸の角度変化

図4．5．条件3での全軸の制御入力

条件1の場合のシミュレーション結果を図4．1、4．2で示す。図に示すとおり、全軸とも約6秒後には目標状態に収束した。
4参考文献1）中野道雄、美多勉共著：制御基礎理論【古典から現代まで】141／143 昭晃堂（1998）

2）西村、高崎、舟木、戸谷：誤差学習による終端状態制御を用いたプラキエーションロボットの連動制御 日本機械学会論文集（C編）63巻 605号
182／189（1997）

3）山口 一郎：誤差学習による終端状態制御を用いた走行二重振子の連動制御 輪講資料（1996）

図4．6．条件3での全軸の角度変化

条件3の場合のシミュレーション結果を図4．5、4．6で示す。図に示すとおり、全軸とも約7秒後には目標状態に収束した。また、収束後に約5魔の目標状態との角度偏差が表れた。

5． おわりに
5．1まとめ

今回は目標状態の角度を10度、30度、60度と変化させた場合でのシミュレーションをおこなったが、どの場合でも目標状態に収束した。また、フィードバック制御（PD制御）を用いたときと比較して、応答性の改善が見られた。
問題点として、最終到達時間である5［sec】では目標状態に収束しなかった。また、目標状態の角度が大きい場合は収束後、角度偏差が出た。このような問題点が出た理由として、今回はシステムを線形時不変系として線形化しているため、各周期での制御入力演算に誤差が生じたのではないかということが考えられる。
5．2．今後の課題
・システムを線形時変系として考慮する
今回検証した線形時不変系での制御入力と比較し、誤差の改善が見られるか検証したい。
・フィードバック制御への適用
今までのフィードバック制御に今回の終端状態制御を適用させることで、応答性の向上についての検証をおこないたい。

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