医学部［一般・学士］ 模範解答

英語,数学,理科（物理・化学・生物）

英語問１Ⅰ問２問３問４Ⅱ1⑤2②26⑤27③34①28②③29②5④6③30⑤31③ⅢⅣ7②32⑦8④33⑥9⑤34④10①35⑤11④36⑨Ⅴ12③37⑥13④38④14③39①15③40③16②41⑩17⑤42⑦18④43⑨19①20⑤21①22①23①24⑤25③Ⅵ−130−数学【1】次の各文のにあてはまる答えを求めよ。

∫ 1＋3x dx の値は（ア） である。また，定積分∫ 1＋3x dx の値は（イ） である。
1x11⑴

定積分

⑵k を定数とし，0≦x≦πにおいて，方程式 16 sin3x－24 sin2x＋9 sin x＝k を考える。0＜k＜1 のとき，この方程式の異なる実数解の0202個数は（ウ） 個である。また，k＝（エ） のとき，この方程式の異なる実数解の個数は３個であり，これらの解のうち最大のものをαとすると，cos αの値は（オ） である。
π（ 3 , 2 ）である点を B とする。このとき，極 O を通り，線分 AB に垂直な直線 l の⑶極座標が (1,0) である点を A，極座標が極方程式は（カ）である。

また，a を正の定数とし，極方程式 r＝a cosθで表される曲線が直線 AB と接するとき，a の値は（キ）である。

複素数 z が z6＋z5＋z4＋z3＋z2＋z＋1＝0 を満たすとする。このとき，z7 の値は（ク） であり，(1+z)(2+2z2)(3+3z3)(4+4z4)(5+5z5)(6+6z6)πの値は（ケ） である。さらに，－ ≦argz≦πであるとき，｜2－z+z-｜を最大とする z の偏角 argz は（コ） である。
2⑷

解答欄
⑴ （ア）

⑵ （ウ）

（イ）

log 23（エ）6⑶ （カ）
θ＝⑷ （ク）

1

3π
91（キ）

π6（ケ）

720（オ）

154－－6＋4 3（コ）4π7−131−【2】m は自然数とする。青球 2 個，赤球 1 個，黄球 1 球が入っている袋から，球を 1 個取り出し，色を調べてから袋に戻すことを m 回行う。このとき，青球がちょうど k 回取り出される確率を pm (k) とし，青球がちょうど k 回，赤球がちょうど l 回取り出される確率を qm (k.l) とおく。このとき，次の問いに答えよ。
⑴p4(0) および q4(1,1) を求めよ。

p4(0) は 4 回中，4 回とも赤球または黄球が出る確率である。1 回の試行で，赤球または黄球が出る確率は（）1であるから，p4(0)=2q4(1,1) は 4 回中，青球がちょうど 1 回，赤球がちょうど 1 回，黄球がちょうど 2 回出る確率である。このような球のとりだし方は青球を取り出す確率は

111，赤球を取り出す確率は ，黄球を取り出す確率は であるから，244q4(1,1)＝

正の定数 h に対して，数列｛an ｝を an==1164!
通りであり，1 回の試行で2!

（）
24! 1
1
13× × ×＝2! 24432
答⑵

4

12p4(0)＝116q4(1,1)＝,332n(n=1, 2, 3, …) で定める。このとき，lim an=0 を示せ。
n→∞(1+h)n二項定理を用いて (1+h)n を展開すると，
2(1+h)n=nC0+nC1h+nC2h +…+nCnh=1+nh+nn(n－1) 2nh +…+h2n(n－1) 2h が任意の自然数 n について成り立つ。
2n2= 2である。
したがって，n ≧ 2 のとき，0 ≦ an ≦ n(n－1)
2h (n－1)h2

右辺の各項は 0 以上であるから (1+h)n≧ここで，lim2=0 であるから，はさみうちの原理より lim an=0 を得る。

n→∞ h2(n－1)⑶

n→∞(n=1, 2, 3, …) で定める。このとき，lim b を求めよ。
｛ n p (j)+(n－j)q (0, j)｝nn

数列｛bn｝を bn=

jnn→∞

j=0n⑴と同様に考えて，C，（ 2（）2 ）=（2）n 回中青球がちょうど j 回取り出される確率は pn(j)=nCjj1

1n－j1jnn

n 回中青球がちょうど 0 回，赤球がちょうど j 回，黄球がちょうど n－j 回取り出される確率は qn(0, j)=nである。ここで，（（）（） ）（ ）12n!
0! j!(n－j)!

014

jn(n－j)nCn－j =j=0

jnCjを用いれば
j=0＝＋｛ n p (j)＋ (n－j)q (0, j)｛｝｝ j C ……（ア）（（n 2）4）
nbn＝

1

1jn1nnnnnj=0と表せる。一方，二項定理より (1+x) ＝jj=0nnCj xj であり，両辺を微分して n(1+x)＝nn－1nj=0

jnCj xj－1 を得る。ここで， x=1 とすれば

j=0njnCj＝n・2……（イ）n－1

j=0＋×n・2 ＝1+｛（｝（（n 2）4）
22 ）が得られる。（ア），（イ）より，bn＝よって，⑵より lim bn=n→∞11n1nn－11nn12
答−132−

lim bn=n→∞1214n－j=nCn－j14n【3】 O を原点とする座標平面上の点 A は x 軸上にあり，x 座標が 0 以上 2 以下の範囲を動く。また，点 B は AB＝OB＝1 を満たしながら動く点で，その y 座標は 0 以上とする。さらに，x 軸の正の部分と線分 OB のなす角をθとし，線分 AB 上にあり OA＝2BP を満たす点を P とする。ただし，点 A が原点 O と一致するとき，
点 B，点 P の座標はともに (0, 1) であるとする。
⑴

点 A および点 P の x 座標と y 座標を，それぞれθを用いて表せ。

条件より，θのとり得る範囲は 0≦θ≦πである。OB＝1 かつ∠AOB＝θなので，点 B の媒介変数表示は x＝cosθ，y＝sinθである。これと三角形 OAB が2二等辺三角形であることから，A の媒介変数表示 x＝2 cosθ，y＝0 が得られる。
また，0＜θ＜π1のとき，BP＝OA＝cosθ，AP＝AB－BP＝1－cosθであるから，点 P は AB を 1－cosθ: cosθに内分する点である。よって，22(P の x 座標 )＝cosθ×2 cosθ＋(1－cosθ)×cosθ＝cosθ(1＋cosθ)，(P の y 座標 )＝cosθ×0＋(1－cosθ)×sinθ＝sinθ(1－cosθ)である。これらに，
θ＝0 を代入すれば P (2, 0) となり，θ＝πを代入すれば P (0, 1) となる。
2答⑵点 A：x＝2 cosθ，y＝0

点 P：x＝cosθ(1＋cosθ)，y＝sinθ(1－cosθ)

点 P が描く曲線の長さを求めよ。

x＝cosθ(1＋cosθ)，y＝sinθ(1－cosθ) とすると，dxdy＝－2 sinθcosθ－sinθ＝－sin2θ－sinθ，＝cosθ－cos2θ＋sin2θ＝cosθ－cos 2θdθdθしたがって，加法定理および半角の公式より＋＝(sin 2θ＋sinθ) ＋(cosθ－cos2θ) ＝2 (1－cos3θ)＝4sin（ dθ ）（dθ ）22dxdy22223θ

よって，求める長さはπ2（ ） ∫∫（ ）π2dx 2dy＋dθdθ02dθ＝2sin03θ4dθ＝－23π

cos24＋2 23θ ＝
320

答

⑶

4＋2 23点 P が描く曲線，x 軸および y 軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

条件より，θのとり得る範囲は 0≦θ≦πππである。θ＝0 のとき P の座標は (2, 0)，θ＝のとき P の座標は (0, 1) である。また，θが 0≦θ≦の範囲を動く
222とき，cosθの値は減少するので，x＝cosθ(1＋cosθ) の値も減少する。一方，sinθの値は増加し，1－cosθの値も増加するので，y＝sinθ(1－cosθ) の値も増加する。したがって，求める面積は∫ ∫20y dx＝0π2yπ2∫dxdθ＝dθ0π2∫＝sinθ(1－cosθ) (sin 2θ＋sinθ) dθ0sin2θ(1＋cosθ－2cos2θ) dθπ2∫（＝01－cos 2θ
1－cos 4θ＋sin2θcosθ－24θ sin 2θ sin3θ
sin 4θ
＝－＋＋44316＝dθ）

π2
0

1π＋
38

答

−133−

1π＋38

物理
問１問２問３Ⅰ問４問５問１Ⅱ問２問３問１問２Ⅲ問３問４問５化学
1③2③3⑨4⑨5③6⑱

7②8⑩9①10①11④12⑤13①

14①

15⑦16⑪17⑨18⑫19

③20

④21

⑮

22⑪23

③24⑧25③26⑨27⑦28①29⑧30

⑨31

⑥32

④Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

問１

1④問２

2⑦問３

3②問４

4

⑨問５

5④問６

6③問７

7⑧問８

8

③問１

9①問２

10⑦問３

11⑨問４

12③問１

13③問２

14④問３

15

⑥問４

16

④⑴

17

⑤⑵

18

④⑴

19

②⑵

20

④

21

⑤⑴

22

⑧⑵

23

⑥⑶

24

④問１Ⅳ問２問１Ⅴ問２−134−

生物Ⅰ

1⑬19⑤43③2⑩20③44②3⑧21②45②4⑨22③46③5⑧23④47②6⑦24⑥48⑦7⑨25⑩49①8⑬26⑨50

⑥9⑩27

①51

①10⑫28⑦52②11⑥29①53⑩12④30⑩54⑨13①31⑩55⑪14③32⑩56①15⑥33④57⑥16④34③58④17⑨35②59④18⑧36①60⑥37②38⑤39②40②41②42④ⅡⅢ−135−