数理解析研究所講究録
第 1864 巻 2013 年 181-190

181

単調核による Uncertain 測度の構成
侯平軍 1, 布和額尓敦 2, 影山正幸 3
1,2 千葉大学理学研究科 基盤理学専攻

3 名古屋市立大学大学院

摘要．劉教授 (清華大学不確実性研究所) の不確実性原理 (UncertaintyPrinciple) のアイディアを適用して、 作用素$J_{0.5}$を定義し、 非加法的な測度から、 双対性を満たす Uncertain 測度を構成する方法を提案する。
更に、 単調核を導入し、 Choquet 積分を用いて、 高次の単調核を考えて、Uncertain 測度を構成する。

1

はじめにランダム現象に加法的な確率理論 (Kolomogorov) はよく適用されてぃるが、 現実には、 非加法的な不確実現象は存在している。 非加法的な測度に関しては、 Choquet [1] は加法的な測度公理を緩めて、 Capacity 理論を提案した。 さらに、 1965 年に、 Zadeh[12] はメンバシップ関数を利用して、 ファジ現象に適用するファジ集合理論を提案した。 しかし、 これらの理論はある事象の測度と余事象の測度の和は 1 であるという人間の自然な思考法に内在する自己双対性を含んでいない。 Liu[7] によって提案された可信性理論は自己双対性公理を含んだ理論であり、 不確実性の問題を分析する一つの方法として研究がなされている。 Kageyama and Iwamura[4] は、可信性核と言う概念を導入し、 離散時間の可信性過程を議論した。 又、 Liu[6] は可信性理論と確率理論の統合理論として Chance 理論を提案した、 Chance 理論の動的システムとして、 Kageyama ら [5] は Chance 理論を用いて、離散時間のハイブリッド過程を構成し、 さらに、 Yang ら [11] によって、 決定過程に拡張された。 最近、 Liu[8] は不確実現象に Chance 理論より柔軟性にある Uncertain 理論を提案した。
この論文では Uncertain 測度を構成する一つの手法を提案する。 具体的には、 Liu [8] の不確実性原理を適用して、 非加法的な測度から、 Uncertain測度を構成する。 さらに、 単調核を導入し、 Choquet 積分を用いて、 高次の単調核を考えて、 Uncertain 測度を構成する。論文の第ニセクションは記号と基本補題を述べる。 第三セクションは単調核と言う概念を導入し、 Choquet
積分を用いて、 Uncertain 測度を構成する。

182

2

記号と補題
$X$

を任意の非空集合， を $X$ の -集合族とする、 可測空間$\Sigma$

集合関数

$\mu$

$\sigma$: $\Sigmaarrow[0,1]$ が次の条件を満たすならば、

$\mu$

は条件

$(X, \Sigma)$$\mathscr{K}$上で、を満たすという。

1. (正規性) $\mu(\phi)=0,$$\mu(X)=1$ ;2. (単調性) $A,$

$A\subset B$$B\in\Sigma,$

ならば、 $\mu(A)\leq\mu(B)$ ;

3. (有限劣加法性) $A_{i}\in\Sigma(i=1,2, \ldots, n)$ ならば、
4. (順序連続性) $A_{i}\in\Sigma(i=1,2, \ldots),$$\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})\leq\sum_{i=1}^{n}\mu(A_{i})$$\lim_{iarrow\infty}A_{i}=\phi$;

ならば、$\lim_{iarrow\infty}\mu(A_{i})=0.$

任意の $A_{i}\in\Sigma(i=1,2, \ldots)$ に対して、
らば、 集合関数$\mu$$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i})$を満たすなは可算劣加法性を持つという、 又、 $\lim_{iarrow\infty}A_{i}=A$ の時、$\lim_{iarrow\infty}\mu(A_{i})=\mu(A)$ならば、 集合関数$\mu$は連続性をもつと言う。 次の二つ補題が成り立つ。

補題 2.1$(cf$[幼集合関数$\mu$が条件$\mathscr{K}$を満たすならば、$\mu$は可算劣加法性を持つ。
証明:まず、 $A_{i}\cap A_{j}=\phi(i\neq j)$ の場合を証明する、 この時、$\phi$は明らかである、 従って、$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})\leq\mu(\bigcup_{i=1}^{n}A_{i})+\mu(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}A_{i})$$\leq\sum_{i=1}^{n}\mu(A_{i})+\mu(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}A_{i})$$arrow\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i}), narrow\infty$が成り立つ。
つぎに、 もし $A_{i}\cap A_{j}\neq\phi(i\neq j)$ の場合、
$B_{1}=A_{1}$$B_{2}=A_{2}\backslash B_{1}$$B_{3}=A_{3}\backslash B_{2}\cup B_{1}$$B_{n}=A_{n} \backslash \bigcup_{i=1}^{n-1}B_{i}$$\lim_{narrow\infty}\bigcup_{i=n+1}^{\infty}A_{i}=$183とすると、 明らかに、 $B_{i}\cap B_{j}=\phi(i\neq j)$ かつ、 俺窪 1

$A_{i}= \bigcup_{i=1}^{\infty}$

易が成り立つ。 ゆえに、$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(B_{i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i})$が成り立つ。

口

補題 2.2 を証明する為に、 次の命題を与える。
命題 2.1ition 2 $.1)$$(cf. [9], Prop_{0\mathcal{S}}$上有限単調集合関数連続である。
$(X, \Sigma)$

補題 2.2 集合関数$\mu$が条件が連続である必要十分条件は$\mu$$\mathscr{K}$を満たすならば、証明 : 命題 2.1 により、 集合関数

$\mu$

$\mu$

$\mu$が上、 下からは連続である。

が上、 下から連続であることを証明す

れば、 良い。 まず、 上から連続のことを証明する。 $\{A_{n}\in\Sigma, n=1,2, \ldots\}$ は任意の集合列で、 $A_{n}\searrow A\in\Sigma,$ $narrow\infty$ を仮定すると、 明らかに、$\lim_{narrow\infty}(A_{n}\backslash A)=\phi, A_{n}=A\cup(A_{n}\backslash A)$が成り立つ、従って、と$\mu$$\mu$$\mu$の有限劣加法性から、 $\mu(A_{n})\leq\mu(A)+\mu(A_{n}\backslash A)$ が成り立っ、の順序連続性により、$\varlimsup_{narrow\infty}A_{n}\leq\mu(A)$が分かる。一方、 $A_{n}\supset A$の単調性から、 $\mu(A_{n})\geq\mu(A)$ に成り立っ、故に、 $\varliminf_{narrow\infty}\mu(A_{n})\geq\mu(A)$も分かる。 従って、 $\lim_{narrow\infty}\mu(A_{n})=\mu(A)$ が成り立っ、 これで、連続を証明した。 同様に、$\mu$$\mu$が上からが下から連続の証明もできる。

これから、 Uncertain 測度 $(cf.[8])$ と作用素

$J_{0.5}(\cdot, \cdot)$口を定義し、 このセクションの重要な結果 (Fundamental Lemma) を導く。
定義 2.1 (Uncertain Measure $cf.[8]$ )$(X, \Sigma)$

上で、 次の三つ公理を満たす集合関数$\mathcal{M}$: $\Sigmaarrow[0,1]$ を Uncertain

測度と呼ぶ:

1. (正規性) $\mathcal{M}(X)=1$ ;2. (双対性) $A,$

$A^{c}\in\Sigma$

ならば、 $\mathcal{M}(A)+\mathcal{M}(A^{c})=1$ ;3. (可算劣加法性) $A_{i}\in\Sigma(i=1,2, \ldots)$ ならば、$\mathcal{M}$$($俺巽$1A_{i}) \leq\sum_{i=1}^{\infty}\mathcal{M}(A_{i})$定義 2.2 (Opemtor by uncertainty prtnciple)
任意の $0\leq x\leq y\leq 1$ を満たすの実数対 $(x, y)$ に対して、様に定義する:$I_{0.5}(x, y)=\{\begin{array}{ll}x, x>0.5 の時．y, y<0.5 の時．0.5, x\leq 0.5\leq y の時．\end{array}$$J_{0.5}(\cdot, \cdot)$

を次の.

184
$(X, \Sigma)$

上、 条件$\mathscr{K}$を満たす関数$\mu$に対して、$\mu$の有限劣加法性から、$0\leq 1-\mu(A^{c})\leq\mu(A)\leq 1, A\in\Sigma$は明らかである。 ここで、 $(X, \Sigma)$ 上の測度$\delta$: $\Sigmaarrow[0,1]$ を下記の通りに定義する:$\delta(A)=J_{0.5}(1-\mu(A^{c}), \mu(A)) , A\in\Sigma$

式 (1) において、$\mu$から$\delta$.

(1)を構成するとき、 記号を簡単にして(2)$\delta=J_{0.5}\mu$と表わす。
このセクションの最後に、 重要な結果 (Fundamental Lemma) を与える。
補題 2.3 (Fundamental Lemma)
可測空間 $(X, \Sigma)$ 上、$\mu$が条件$\mathscr{K}$を満たすならば、$\delta(\cdot)=J_{0.5}\mu(\cdot)$

は Un-ce 悌 $ain$ 測度である。
証明: 定義 (2.1) の公理の正規性と双対性を簡単に検証できるから、可算劣加法性だけを証明する。 任意の$A_{i}\in\Sigma,$$i=1,2,$$\ldots$

において、 三つのケースを分けて、 証明する :ケース 1: 全ての$A_{i}$に対して、 $\mu(A_{i})<0.5$ の時、 $\delta(A_{i})=\mu(A_{i})$ かつ、$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\delta(A_{i})$が成り立つ、 従って、$\delta(\cup A_{i})$$=\{\begin{array}{ll}\mu(\cup A_{i}) , \mu(\cup A_{i})<0.51-\mu((\cup A_{i})^{c}) , 1-\mu((\cup A_{i})^{c})>0.50.5, 1-\mu((\cup A_{i})^{c})\leq 0.5\leq\mu(\cup A_{i})\end{array}$$\leq\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(A_{i})=\sum_{i=1}^{\infty}\delta(A_{i})$が成り立つ。
ケース 2:$A_{i}$の中で、 ただ一つの項が測度$\mu$について、 0.5 により大きいの時、 一般性を失わない為に、 $\mu(A_{1})>0.5,$ $\mu(A_{i})<0.5,$ $i=2,3,$$\ldots$を仮定

すると、 $\delta(A_{i})=\mu(A_{i})(i=2,3, \ldots)$ かつ、 $\delta(A_{1})\geq 0.5$ が成り立つのは容易にわかる。 又、 測度$\mu$の単調性から、 明らかに、$1- \mu((\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})^{c})\leq 0.5\leq\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})$$\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})\geq 0.5$の時、$\delta(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=J_{0.5}(1-\mu((\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})^{c}), \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}))$$=0.5 \leq\delta(A_{1})+\sum_{i=2}^{\infty}\delta(A_{i})$$= \sum_{i=1}^{\infty}\delta(A_{i})$

、

ゆえに、

185が成り立つ。 更に、

0.5$\leq$

1–$\mu$$($(俺巽$1A_{i}$)$) \leq\mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})$の時、$\delta(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})=J_{0.5}(1-\mu((\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})^{c}), \mu(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}))$$=1- \mu((\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})^{c})$$=1- \mu(A_{1}^{c}\cap(\bigcup_{i=2}^{\infty}A_{i})^{c})$(3)$\leq 1-\mu(A_{1}^{c})+\mu(\bigcup_{i=2}^{\infty}A_{i}))$$\leq\delta(A_{1})+\sum_{i=2}^{\infty}\delta(A_{i})$$= \sum_{i=1}^{\infty}\delta(A_{i})$が成り立つ。 不等式 (3) が成り立っのは次の集合関係と$\mu$の有限劣加法性から分かる:$A_{1}^{c}=(A_{1}^{c} \cap(\bigcup_{i=2}^{\infty}A_{i})^{c})\cup(A_{1}^{c}\cap(\bigcup_{i=2}^{\infty}A_{i}))$

ケース 3:$A_{i}$の中で、 二項及び二項以上が測度$\mu$.

について、 0.5 により大きいの時、 この場合は簡単に証明できるので、 省略する。
以上、 $\delta=J_{0.5}\mu$ は Uncertain 測度であることを証明しました。

3

口Uncertain 測度の構成

このセクションでは単調核を定義して、 この単調核と Choquet 積分を用いて、 Uncertain 測度を構成する。 まず、 いくつの補題を与えて、 最後に最も重要な構成定理を提案する。
補題 3.1$(X, \Sigma)$を可測空間とする、数とする。 この時、
列$\{f_{n}\}$$f_{n}$$\mu$は$\Sigma$上単調かつ、 順序連続な集合関: $Xarrow[0,1](n\geq 0)$ からなる$0$に収束する単調減少に対して、$\lim_{narrow\infty}(C)\int f_{n}(x)\mu(dx)=0$が成り立つ。 ここで、 $(C) \int$ は Choquet 積分とする。
証明 : 任意の $t\in(0, +\infty)$ に対して、 集合 $A_{n}:=\{x|f_{n}(x)\geq t\}$ を定義す

ると、 $A_{n}arrow\phi$ は明らかである、 さらに、$\mu$の順序連続性から、$\mu(f_{n}(x)\geq t)=\mu(A_{n})arrow 0, narrow\infty.$

従って、 Choquet 積分の定義から、$(C) \int f_{n}(x)\mu(dx)=\int_{0}^{\infty}\mu(f_{n}(x)\geq t)dtarrow 0, narrow\infty$が分かる、 証明終了。

口186
定義 3.1 (Submodular 集合関数)
任意の $A,$ $B\in\Sigma$ に対して、$\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)\leq\mu(A)+\mu(B)$を満たす集合関数を Submodular と呼ぶ。

簡単に表すために、 $U(X),$ $U_{SO}(X),$ $U_{AO}(X)$ を下記の通りに定義する :$U(X):=\{\mu:\Sigmaarrow[0,1]|^{\mu(\phi)=0,\mu fX)=1}\mu:R^{\frac{-}{\vec{-}}}ff i_{l},E’\}$$U_{SO}(X):=\{\mu\in U(X)|_{\mu.Submodular’ \mathbb{E}}^{\mu.11F_{\backslash }F_{1}^{\backslash }\underline{\Phi}’F)\llcorner^{J}ra_{i}}\}$;;$U_{AO}(X):=\{\mu\in U(X)|_{\mu\cdot:}^{\mu_{\Leftrightarrow\beta fl\neq 7JQ^{\backslash }\int^{\backslash }\yen,\mathbb{E}}^{||F_{\backslash }F_{i}^{\backslash }\ovalbox{\tt\small REJECT}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{J し^{}\prime}\mathbb{E}}}/\backslash \}.$

定義 3.2 (単調核 (monotone kemel))$\mathcal{K}(\cdot|\cdot)$

は $\Sigma\cross Xarrow[O, 1]$ の関数で、 任意の $x\in X$ に対して、 $\mathcal{K}(\cdot|x)\in$$U(X)$ の時、$\mathcal{K}$は単調核と言う。

単調核の全体を $U(X|X)$ で表す。 さらに、 $U_{SO}(X|X)$ と $U_{AO}(X|X)$
を$U_{SO}(X|X):=\{\mathcal{K}|_{\mathcal{K}(\cdot 1x)\in U_{SO}(X),x\in X}\mathcal{K}(\cdot|\cdot)\in U(X|X),\},$$U_{AO}(X|X):=\{\mathcal{K}|_{\mathcal{K}(\cdot 1x)\in U_{AO}(X),x\in X}\mathcal{K}(\cdot|\cdot)\in U(X|X),\}$

で定義する。
補題 (3.2) と (3.3) を証明の為に、次の命題を与える。
命題 3.1 $(cf.[9])$上の任意の非負可測関数 $f,$関数かつ、 Submodular ならば、$X$

$g$に対して、$\mu$は非負、 単調、 連続的な集合$(C) \int(f+g)d\mu\leq(C)\int fd\mu+(C)\int gd\mu$が成り立つ。

補題 3.2 $\mathcal{K}\in U_{AO}(X|X)$ ,$U_{AO}(X)$$\mu\in Uso(X)$ならば、 $(C) \int \mathcal{K}(\cdot|x)\mu(dx)\in$である。

証明:簡単の為に、 $(C) \int \mathcal{K}(\cdot|x)\mu(dx)$ をから、 $\mu^{(1)}\in U(X)$ は容易に証明出来る。

$\mu^{(1)}$$\mu^{(1)}$と表す、条件 $\mathcal{K}\in U_{AO}(X|X)$の有限劣加法性と順序連続性を証明すれば、 良い。 まず、 有限劣加法性を証明する。任意の $A,$ $B\in\Sigma,$ $x\in X$

187に対して、$\mu$は Submodular から、 有限劣加法性をもつのが明らかである、 さらに、 補題 2.2 により、$\mu$は連続であることも分かる、 そして、 次の式がなりたつ。
$\mu^{(1)}(A\cup B)=(C)\int_{X}\mathcal{K}(A\cup B|x)\mu(dx)$$\leq(C)\int_{X}(\mathcal{K}(A|x)+(B|x))\mu(dx)$(4)$\leq(C)\int_{X}\mathcal{K}(A|x)\mu(dx)$(5)$+(C) \int_{X}\mathcal{K}(B|x)\mu(dx)$$=\mu^{(1)}(A)+\mu^{(1)}(B)$

不等式 (4) は$\mathcal{K}$,の有限劣加法性と Choquet 積分の単調性から、 不等式 (5) は命題 (3.1) からなりたつ。 従って、$\mu^{(1)}$は有限劣加法性を持つ。

次に、 順序連続性を証明する、 単調減少$\phi$に収束列 $E_{i}\in\Sigma(i=1,2, \ldots)$に対して、 条件 $\mathcal{K}(\cdot|x)\in U_{AO}(X|X)$ から、$\lim_{narrow\infty}\mathcal{K}(E_{n}|x)=0$があきらかである、 従って、 補題 (3.1) から、$\lim_{narrow\infty}\mu^{(1)}(E_{n})=\lim_{narrow\infty}(C)\int \mathcal{K}(E_{n}|x)\mu(dx)=0$が成り立つ、 故に、$\mu^{(1)}$は順序連続性をもつ。 証明終了。

口

補題 3.3 $\mathcal{K}\in U_{SO}(X|X)$ ならば、$\mathcal{K}^{(2)}(\cdot|x)=(C)\int \mathcal{K}(\cdot|y)\mathcal{K}(dy|x)\in U_{AO}(X|X)$である。
証明 : 条件 $\mathcal{K}\in Uso(X|X)$ から、 $\mathcal{K}^{(2)}(\cdot|\cdot)\in U(X|X)$ は明らかである。

$\mathcal{K}^{(2)}(\cdot|x),$$x\in X$ は有限劣加法性と順序連続性を証明すれば良い。

まず、 有限劣加法性を証明する、 任意の $A,$ $B\in\Sigma,$ $x\in X$ に対して、 次の式が成り立つ。
$\mathcal{K}^{(2)}(A\cup B|x)$$=(C) \int_{X}\mathcal{K}(A\cup B|y)\mathcal{K}(dy|x)$$\leq(C)\int_{X}(\mathcal{K}(A|y)+\mathcal{K}(B|y))\mathcal{K}(dy|x)$(6)$\leq(C)\int_{X}\mathcal{K}(A|y)\mathcal{K}(dy|x)$(7)$+(C) \int_{X}\mathcal{K}(B|y)\mathcal{K}(dy|x)$$=\mathcal{K}^{(2)}(A|x)+\mathcal{K}^{(2)}(B|x)$,188
不等式 (6) ま Choquet 積分の単調性と$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

は$\mathcal{K}$$\mathcal{K}$のSubmodular 性から、 不等式 (7)の Submodular 性と命題 (3.1) から分かる。 これで、 有限劣加法性が証明された。

順序連続性の証明は補題 (3.2) と同じ様に証明が出来る。証明終了。
定理 3.1 $\mu\in Uso(X),$$\mathcal{K}\in Uso(X|X)$

口ならば、$\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|\mu) :=(C)\int \mathcal{K}^{(n)}(\cdot|x)\mu(dx)\in U_{AO}(X)$である。 但し、$\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|x)=(C)\int \mathcal{K}^{(n-1)}(\cdot|y)\mathcal{K}(dy|x), n\geq 2$である。
証明: 補題 (3.2) と (3.3) から、定理 (3.1) の主張は明らかである。

定理 3.2 (高次 Uncedain 測度構成定理)

1.

$\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|\mu)$2.

$\delta^{(n)}=J_{0.5}(\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|\mu))$は条件$\mathscr{K}$を満たす ;は Uncertain 測度である。

証明:(1) と (2) は定理 (3.1) と補題 (2.3) から、容易に証明出来る。

4

口例題

例題 4.1(Disto 悌 $ed$ 測度から Uncedain 測度の構成)
$p$

$1$

は $(X, \Sigma)$ 上の確率測度、単調増加な連続関数 $y=g(x)$ は $g(O)=0,$ $g(1)=$の時、$P_{g}(A)=g(p(A)) A\in\Sigma$

を Distorted 確率測度と呼ぶ (cf. [9])。もし関数 $g(x)$ が concave ならば、は Submodular となり、 条件$J_{0}.{}_{5}P_{g}(\cdot)$$\mathscr{K}$を満たす。 従って、補題 (2.3) により、

$P_{g}$$\delta(\cdot)=$

は Uncertain 測度である。

例題 4.2 (確率核から Uncerrtain 測度の構成)
例題 (4.1) と同様にして、 concave 関数 $g(x)$ として、 $(X, \Sigma)$ 上の確率核$p(\cdot|x)$に対して、 次の式がなりたつ．
$\mathcal{K}(\cdot|\cdot)=P_{g}(\cdot|\cdot)=g(p(\cdot|\cdot))\in U_{SO}(X|X)$

まだ、 初期確率分布

$\nu$

.

に対して、 $\mu=\nu_{g}\in U_{SO}$ も分かる。 補題 (3.3) と定理 (3.1), (3.2) を利用して、 $\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|\mu)(n=1,2, \ldots)$ は条件
ま Uncertain 測度である。

$\delta^{(n)}=J_{0.5}(\mathcal{K}^{(n)}(\cdot|\mu))\}$$\mathscr{K}$を満たすし、

189
例題 4.3 (条件付き Uncertain 測度)$(X, \Sigma)$る$A\in\Sigma$

を可測空間とする、$\mathcal{M}$は$\Sigma$

上の Uncertain 測度、 $\mathcal{M}(A)>0$ なに対して、集合関数$m(B|A)= \frac{\mathcal{M}(B\cup A)}{\mathcal{M}(A)}, B\in\Sigma$を定める。 この時、$\mathcal{M}(\cdot|A):=J_{0.5}m(\cdot|A)$

は Uncertain 測度となる。 $\mathcal{M}(\cdot|A)$ は $A$ を与えたときの条件付きUncertain測度と呼ぶ (cf. [8]).

5RemarkUnce 蛇 $ain$ 理論の動的システム関しては、 この論文と Peng and $Iwamura[10J$の結果を利用して、 とから、 有限期間の離散型 Uncertain 過程の構$\mu$$\mathcal{K}(\cdot|\cdot)$

成が簡単にできるが、 無限時間過程に関しては今後の課題である。

参考文献[lJ G. Choquet, Theory
vol.5,131-295, 1954.

of capacities, Annal de l’Institute Fourier,$[2JJ.L$ . Doob, Stochastic Processes, Jhon Wiley, New York, 1953.
$[3J$

M. Kageyama, Credibilistic Markov decision processes: The averagecase, J. Comput. Appl. Math., 224, 140-145, 2009.

[41 M. Kageyama and K.Iwamura, Discrete time credibilistic processes:
Construction and convergences, Inform. Sci., 179, 4277-4283, 2009.
M. Kageyama, B. Yang, P.. $Hou$, Discrete-time hybrid processes and discounted total expected values, Fuzzy optimization and Decision Making,volume 10, Number4, 341-355, 2011.

$[5J$and B. $Liu$ , Chance measure for hybrid events with fuzziness andrandomness, Sobt Computing, to be published.

$[6J$ $X.$ $Li$$[7J$$B.$$Liu$, Uncertain Theory, second ed., Springer- Verlag, Berlin, 2007.

$[8J$$B.$$Liu$, Uncertain Theory, third ed., UTLAB, 2009.

$[9J$E. Pap, Null-additive set functions, Kluwer Academic Publishers, 1995.

190[$1OJ$ Z. Peng, K. Iwamum, Some Properties of Product Uncertain Measure,$http.\cdot//www$ . orsc. $edu$ . cn/online/081228. pdf.
B. Yang, P. $Hou$, M. Kageyama, Discrete-time hybrid decision processes: the discounted case, preprint.

$[11J$$[12J$

L. Zadeh, Fuzzy sets, Information and control, vol.8, 338-353, 1965.