社団法人

電子情報通信学会

           

信学技報

 
      変分ベイズ法による佐藤  

 電源推定雅昭Ý ÝÝ

ＡＴＲ人間情報科学研究所〒  京都府相楽郡精華町光台 
科学技術振興事業団  



 観測データから脳内電流源の位置や分布を深さ方向まで含めて推定することが可能な、変分ベイズ法に基づ

あらまし

く脳内電流源推定方法を提案する。その基本的な考え方は、電流源と観測面の間に仮想的に想定した曲面上に適当な電流を流すことによって、電流源が発生する磁場を復元することができ、またこの仮想曲面が真の電流源に近づくほど曲面上の電流分布の広がりと誤差が小さくなるという点にある。この事実から、観測データを復元する仮想曲面上の電流分布をべイズ推定により計算してモデル事後確率を求めると、モデル事後確率は曲面が真の電流源を含むときに最大になる事が分かる。提案手法は、この事後確率を変分ベイズ法を用いて計算し、電流源の位置と分布を深さ方向まで含めて推定する。
キーワード  脳内電流源推定 変分ベイズ法 モデル事後確率                 



Ý ÝÝ

  !  "" #$"%&% '(%  )
% ) "" * "+&(  



                                                                                                                                                                                                                                                           !        "                 ,, はじめに
近年の生体計測技術の進歩はめざましく、脳内の神経細胞活動により発生する微弱な磁場や電場を非侵襲的かつ受動的に測定する手法として、脳磁計-. /）や脳波計 - /0 が使われるようになってきた。特に . / 計測の最大の利点は、磁場が容積導体による影響をほとんど受けないので、頭蓋外からの磁気計測により、脳内電流源の位置を３次元的に比較的正確に推定できることが期待されることである。
このため脳内電流源推定アルゴリズムの研究が精力的になされて来たが、決定的な手法は今だ存在しないのが現状である 12。たとえば、「双極子推定法」12は、脳内の電流源が１つか数個の電流双極子で表せると仮定して観測磁場から双極子の位置を推定する方法である。しかしこの方法は双極子の数を幾つにすれば良いかを決めるのが難しいという欠点を持っている。一方、「空間フィルター法」132〜142 は、生理学的な知見から、脳内電流源の場所を限定し、双極子の分布を推定する方法である。しかしながら、この方法の欠点は電流源の深さを正確に推定できない事である。
本論文では上記のような問題点を解決するため、. /や/ の観測データから脳内電流源の位置や分布を深さ方向まで含めて推定することが可能な、変分ベイズ法に基づく脳内電流源推定方法を提案する。
その基本的な考え方は、電流源と観測面の間に想定した仮想曲面上に適当な電流を流すことによって、電流源が発生する電磁場を復元することができ、またこの仮想曲面が真の電流源に近づくほど曲面上の電流分布の拡がりと復元誤差が小さくなるという点にある。この事実から、観測データを復元する仮想曲面上の電流分布をべイズ推定により計算してモデ
ル事後確率を求めると、モデル事後確率は曲面が真の電流源を含むときに最大になる事が分かる。提案
手法は、このモデル事後確率を変分ベイズ法 1 2% 12を用いて計算し、電流源の位置と分布を深さ方向まで含めて推定する。この方法は脳内に複数の電流源が存在する場合にも適用可能であり、また空間分解
能を逐次的に上げることが出来る。
本手法の有効性を確かめるために、人工データを使った実験を行った。その結果、複数の電流源を本手法により推定可能なことを確かめた。

 脳内電流源推定の原理
まず始めに提案手法の原理を簡単に説明する。

図# 仮想曲面以下では主に . / についての説明を行うが、磁場を電場に置き換えればできる。

/ にも以下の議論が適用

  曲面上の電流分布による電磁場の復元
電流源を金属面で完全に囲み込めば、金属面の外側に電磁場が存在しなくなることは電磁シールドの原理として良く知られている。すなわち金属面の外側

5 電流源 6 金属面 5 が成り立つ。ここで金属面に誘導される電流と電荷の符号を反転させると、電磁場の向きも反転するので 電流源 5 金属面 -電流反転0 となることが分かる。これは、この金属面に適当な電流を流してやれば電流源が作る電磁場と全く同じ電磁場を金属面の外側に作れることを示している．逆に金属面の外側にある電流源が作る電磁場はこの金属面にどのような電流を流しても完全には復元できない．この事
実を以後「電磁場復元の原理」と呼ぶ。またこの事
実は、電流源の深さ方向の推定に原理的な不定性があることを示している。
では、磁場に対して



電流源推定の原理

図  に示すように、脳内で発生した電流源から作られる磁場を脳の表面近くの観測面で観測していると仮定する。脳内に仮想的に想定した曲面を考えると、上に述べた「電磁場復元の原理」から仮想曲面
上に適当な電流を流してやれば、電流源が観測面上に作る電磁場を復元できる事が分かる。また電流が作る電磁場は距離の二乗に逆比例して減衰することを考慮すれば、電流源と等価な仮想曲面上の電流の拡がりは、仮想曲面が真の電流源に近づくほど小さくなる事も分かる。さらに仮想曲面を電流源より深く移動させていくと電流源は仮想曲面の外側に来ることになり、どのような電流をこの仮想曲面上に流しても電流源が観測面に作る電磁場を完全に復元する事は出来ない。すなわち、仮想曲面を脳表面から半径を縮めながら脳の内部へ移動させてゆくと、観測磁場を復元する電流分布の拡がりと観測磁場の復元誤差は、仮想曲面が真の電流源を含むときに最小になる。以下では、この事実を用いて電流源の深さ,,を特定する。またこのようにして特定された深さを持つ仮想曲面上で電流分布を求めれば、電流源の拡すなわち、周辺尤度  - 0 を用いてモデルの善し悪しを比べることが出来る。一方、対数周辺尤度

がりも分かることになる。以上が提案手法の基本的な原理である。

&- - 00 は事後分布  - 
下のように表せる。

 べイズ推定法による電流源推定. /や/ で観測できるのは脳表面近くの数
5十カ所の磁場（電場）である。この観測点を   5        で表し、観測磁場を5   5       で表す。また仮想曲面上の電流分布を近似するために、仮想曲面上に格子点
5    5       を設定し、各格子点に電流双極子（または適当な電流源モデル） 5    5        を割り当てる。電流分布を高い分解能で推定するためには格子点の数  を増やして格子点の密度を大きくする必要がある。一方、格子点の数を増やしてい
くと、観測データ数よりも推定すべきパラメータの数の方が多くなるので、解が一意に定まらなくなる。
またこの場合、冗長なパラメータのために電流源より深い位置にある仮想曲面でも観測磁場の復元性が良くなる。
以上のような困難を解決するために、本論文では
べイズ推定理論を用いて電流分布を推定する新しい手法を提案する。
  べイズ推定
仮想曲面  上の電流分布 が与えられた時に、観測磁場がである確率を  -   0 とする。電に対する事前分布を  - 0 とすると、
流分布
磁場を観測した時の電流分布 に対する事後確率分布は次式で与えられる。















-



 0 5

-







 0 - 0







-

0

-0

ここで、  - 0 は仮想曲面  の周辺尤度であ





0 5









が真のモデルである確率は、モデル事後確率で与えられる。深さに関する事前知識がないものとし、
 -0 5 一定、であると仮定すると、モデル事後確

 -

05

-

0

 -

0







'# 1 - 0  - 02 

 - 0 &- - 0 - 00









であり、モデルの複雑さに対応する項である。これは観測データにより値が良く推定できるパラメータの数、すなわち、有効なパラメータの自由度に相当する。仮想曲面上の電流分布の拡がりが小さい程格子
点上の有効な電流双極子の数が少なくなるので、この項は電流分布の拡がりが小さい程小さくなる -対数周辺尤度には逆符号で寄与するので、対数周辺尤
度は大きくなる0。上述したように、復元誤差と仮想曲面上の電流分布の拡がりは仮想曲面の深さが真の電流源と一致したときに最小になるので、この時、対数周辺尤度が最大になることが分かる。すなわち、
対数周辺尤度が最大になる仮想曲面を選べば、電流源の深さが特定できる。またモデル事後確率は周辺尤度に比例するので、モデル事後確率が最大になる
深さの仮想曲面上に電流源が存在することが分かる。



電流モデル
仮想曲面  上の電流分布
磁場 が観測点  に作るは一般的に次式のように書ける。

5




 
 





- 5       0



ここで、



 

は仮想曲面上の格子点

 に置かれ

た単位電流双極子が観測点  に作る磁場である。また、観測磁場  の独立な成分数を 、格子点電流

 の独立な成分数をとする。この電流モデルに対する確率モデルを以下のように考える。観測される磁場は仮想曲面上の電流分布 から作られる磁場

と観測ノイズの和として表わされるとする。また観測ノイズは測定場所によらないバイアス成分  と、

率  - 0 は周辺尤度  - 0 に比例する0 -0

分布と事後分布の '# −エントロピー-0

つのモデルと見なし、深さの異なるいくつかのモデルを比べる。磁場を観測した時に、モデル 







 -  0 - 0

の項は誤差が小さいほど大きくなる。第二項は事前



電流源の深さを推定するために、各仮想曲面  を一

-





ここで、第一項は事後分布に関する期待対数尤度であり、復元誤差の逆符号に比例する。このため、こり、次式で計算される。
- -  0 &- -  00
0  - 02-70

&- - 00 5
 '# 1 -  0 を用いて、以-30分散  を持つ各測定点で独立なガウスノイズ  の

和として表わされるものとする。

,3,






5



  6であり、階層事前分布  - 0 のもとで積分される。
各格子点の電流  それぞれに対して独立に  が

- 5       0








すなわち、観測磁場が行列表現を用いて以下のよう導入されている事が重要である。もし全ての  に
共通に  が導入された場合、この事前分布は最小二に表わされるものとする。

乗法における最小ノルム推定に対応する。この場合、

5
ここで、

は

 の強さの総和は小さくなるが、ゼロでない  の 6



個数は余り小さくならない。また、ノイズ逆分散

 は - 6 0 次

 次元ベクトル、

は- 0



- 6 0 次元行列である。この電流モデルに対する確率分布は以下のように与えられる。
元ベクトル、 0  "8         -

に対しても、ハイパーパラメータ  を持つ階層事前分布を導入する。 %  %  % % : は階層事前分
布の広がりを決めるパラメータである。

 変分ベイズ法



以上のような電流確率モデルと事前分布の仮定の-40

もとで、ベイズ推定を行う。ただし本章では表記の簡略化のために、仮想曲面  に対する依存性は

 である。

ただし、 5 

陽に書かない。磁場  事 前 分 布
ベイズ推定では、問題に対する事前知識を事前分布の形で表す。上述したように真の電流源は電流分
布の拡がりと復元誤差が最小になる仮想曲面上にあ

元し、かつ出来るだけ拡がりの少ない仮想曲面上の電流分布が得られるような事前分布を用意する。す    0-  0- 0- 0


 

 -   0  "8   - 0  0 -  0 5 9-  - 0 5
9-   0  -










-





 

-

0



 

05







 

05- 

-

05

0

-;0

 0  - 







0



 -  0  - 0  - 0   -

 



同時事後分布  -





0

 

-0

0 を用いて、電流分布に対する事後分布  -  0 と期待値  が、以下のように計算できる。

 0 5

-





 

  1 2 5













 -

 -

また周辺尤度  - 0 は、次式で与えられる。

する。（注 ½）

るように、以下のようなスパース化事前分布を導入  0 5に表される。

デル複雑度項により、実効的な電流双極子の数として推定できる事を利用する。そこで観測データを復

なわち、観測データを説明するのに有効に効いていない格子点上の電流双極子は、その強さがゼロになを観測した時の、電流分布

 とハイパーパラメータに対する同時事後確率分布- 0 はベイズの定理を使って以下のようる。提案手法は、電流分布の拡がりが周辺尤度のモ

 -











  





 

0

 -  0 - 0 5 9- :  0

9-   0  
-  0 9- 0  

ただし、9-   0 はガンマ分布を表わし、9- 0 

½  はガンマ関数である。 5   5       は電流分布 に対する事後分布の分散を

制御するするために導入されたハイパーパラメータ（注 ）：これは有効信号路自動決定（    ）事前分布  とも呼ばれる。

   -0 式で与えられる周辺尤度  - 0 は に関する積分を含んでいるので、解析的に計算することは難しい。そこで、周辺尤度を近似的に計算する手法として、変分ベイズ法を用いる 1 2% 12。
変分ベイズ法では、事後分布を直接計算する代わりに、試験事後分布  -     0 を用意し、真の事
後分布  -      0 を近似させる。この近似は次式で定義される自由エネルギー -0 の試験事後
分布  に関する最大化によって行なわれる。





,7,

-0 5





&

 



 -



  -





 





-




0

表し、付録 -0 で計算される。以上二つのステップを繰り返すことにより、自由エネルギー -0 を

 0



5 &- - 00
 '# 1 -

ただし、  Â  は Â -  0 に関する期待値を表す。
:  % : はハイパーパラメータ  %  の期待値を
また 

 0





  0   -





-0




 

02

-0 式第二項は試験事後分布  -     0 と真の事
後分布  -      0 の '# −エントロピーである。-0 式第一項である対数周辺尤度 &- - 00 は試験事後分布  に依存しないので、自由エネルギー-0 の最大化は '# −エントロピーの最小化と等価である。'# −エントロピーは、２つの分布が等しいときに限りゼロになり、それ以外のときは常に正の値をとるので、自由エネルギーを最大にする試
験事後分布  は真の事後分布  -      0 に等しくなる。このとき自由エネルギー -0 は対数周
辺尤度 &- - 00 に等しくなる。
変分ベイズ法では、試験事後分布におけるパラメー
タとハイパーパラメータの間の条件付き独立性を仮定する。すなわち、







-





 0 «-

  0 5 Â -





 0

-0

を仮定する。この仮定により、自由エネルギーの最大化は、Â に関して -0 を最大化する ) −ステップと、« に関して -0 を最大化する  −ステッ
プを交互に繰返すことにより実現できる。
) −ステップでは、« を固定して、Â に関して

-0 を最大化する。この結果、 Â が次式のように求まる。

 0  "8 1 &- -
00 « 2 "8  -  0 -  0


Â -









 



¼

9-  :  0

-0

ただし、  «  は « -   0 に関する期待値を表す。
また上付きのバー % : はパラメータ % の期待値を表す。これらを求める具体的な計算式は付録 -0で与えられる。
 −ステップでは、 Â を固定して、 « に関して -0 を最大化する。この結果、 « が次式のように求まる。
« -  0  "8 1 &- -







 

00 Â  2

5 9- :  09-:    0

-0

極大にする分布  が得られる。この時得られる電流

分布の期待値  は、非線形方程式 -0 と -0 をの非線
同時に満足する解として得られ、観測磁場形関数になっている。また収束後の自由エネルギー-0 の値は、対数周辺尤度 &- - 00 に対する近似値を与え、以下のように表せる。

-0 5 & - - 

 00 Â

 0 -  & -Â - & -« - 0  -0 -  00 Â  « 

0 - 00 « -30

 複数個の電流源
以上では、電流源が一つの場合について説明したが、この方法は電流源が複数ある場合にも適用できる。電流により生ずる電磁場は距離の二乗に逆比例
して減衰するので、脳表面に最も近い電流源が脳表面の観測磁場に最も影響を与える。そこで脳表面に近い電流源から順番に特定することが出来る。仮想曲面を脳表面からだんだん深くしてゆくと脳表面に最も近い電流源（これを第１電流源と呼ぶ）の近く
で自由エネルギー -モデル周辺尤度0 が極大になる。
電流源が２つ以上ある場合にはこの仮想曲面上の電流分布には電流源の数に対応した局所的な電流双極子の集合が複数個出来る。この局所的な電流双極子の集合を局在電流分布と呼ぶ。個々の局在電流分布を含む局所面を切り出し、これを深さ方向に動かす。
この時、他の局所面の深さは、仮想曲面に対する自由エネルギーが最大になった深さに固定しておく。そして、これらの局所面集合に対する自由エネルギーを求める。第１電流源に対応した局所面を動かした
ときには自由エネルギーが第１電流源の深さで極大になる。しかし、これ以外の局所面を動かしても自由エネルギーは第１電流源の深さで極大になることはない。このことから第１電流源の位置、すなわち最も脳表面に近い電流源の位置が特定できる。２番目に深い電流源を求めるために、第１電流源に対応する局所面を上記のステップで特定された深さに固定し、残りの局所面の深さを同じにして深くしてゆく。すると今度は２番目に深い電流源の近くで自由エネルギーが極大になる。ここでまた個々の局所面を深さ方向に動かすと第２電流源に対応する局所面を動かしたときにのみ第２電流源の深さで自由エネ,4,ルギーが極大になる。こうして第２電流源の位置を特定できる。３番目以降の電流源も同様にして順次

R=6.0, F= 177.1

R=7.0, F= 202.7

R=8.0, F= 209.0

R=9.0, F= 196.9

特定することが出来る。
この方法は個々の局所面の深さを独立に動かして調べる方法に比べて、計算時間がずっと少なくて済むという利点を持つ。

 解像度の段階的向上
提案手法では、電流源推定の解像度を逐次的に上げることが出来る。すなわち、まず低い解像度で仮想曲面上の格子点の数を少なくし、深さ方向の標本
点の数も少なくして、電流源の位置を大雑把に推定図$ 仮想半球面上の電流分布

各局所面における電流分布を示している。図 7 は、する。この段階で各電流源に対応した局所面の位置

各局所面に対して得られた自由エネルギーが深さに応じてどのように変化するかを示した図である。図が大体定まっている。次により高い分解能で推定を行う。この時、局所面の面積は元の仮想曲面の面積から自由エネルギーは、半径  5 ; に最大値を持つ事が分かる。一方、磁場の復元誤差は半径  5 ; ぐに比べて小さくなっているので、同じ数の格子点を使っても分解能は高くなる。また深さ方向の分解能

らいまで殆ど変わらず、半径  5もあげて電流源の深さの推定精度を上げることが出来る。分解能を上げたときに電流分布がより局在すより小さくなると急激に誤差が大きくなっている。誤差のこの振る舞いは「電磁場復元の原理」から予想されるものでる場合には局所面をより小さくして再び分解能を上ある。また半径  5 ; での局所面における電流分布から、電流源の 3 次元的な位置と強さが正しく推定

げて推定できる。一方、分解能を上げても電流分布の拡がりが余り変わらなければ、この電流源が広がっされていることを確認した。
スパース化事前分布の働きを見るために、上記局ていることを示している。このようにして電流源の拡がり具合に応じて分解能を調節することが可能で所面における各格子点での電流強度を図 4 に示してある。

いる。図より、真の電流源近傍  カ所以外の電流強度が殆どゼロになっていることが分かる。また対応

 シミュレーション

する各格子点での '# −エントロピーも示しているが、この図より電流強度がゼロの格子点では '# −エ以上説明した脳内電流源推定方法の有効性を調べ

ントロピーもゼロになっており、実効的パラメータ

るために、人工的に用意したデータを用いてシミュ
レーションを行なった。本実験では、人間の脳表面を数に寄与していないことが分かる。.<#-. <" "&+0 基準や   基準を使ってモデ

半径 - 0 の半球面であると仮定し、この面上 7
カ所で測定された磁場の動径成分から脳内電流源のル選択をする場合、モデル複雑度項はモデルに含まれるパラメータ数に比例する。今の場合、各仮想曲

位置と強さを推定する。ただし推定する電流成分は
動径方向に垂直な成分である。また以下のシミュレー

面は同じパラメータ数を持っているので、.<# 基準や   基準ではモデル選択が出来ない。これに対ションでは、磁場の観測データにＳ／Ｎ比が  のノ

して、ベイズ推定における周辺尤度を計算してモデイズを加えている。まず始めに中心から半径  5 ;の位置に、単一の電流双極子が置かれている場合の

ル選択を行う本手法は、モデル複雑度項を事前分布と事後分布の '# −エントロピーとして評価するの実験を行った。図  は、脳内に想定した様々な深さ（半径）の仮想半球面に対して、自由エネルギーが最で、電流分布の広がりを実効的パラメータ数として評価できていることが分かる。

大となるような電流分布を求めた結果である。半球面

次に半径  5および  5  の位置に二つの電流全体を仮想曲面として計算した場合、半径約  5 ;4に自由エネルギーの最大点が存在していた。またこ源が存在する場合の実験を行った。図 は、仮想半球面を用いて初期推定を行った結果得られた電流分の仮想半球面上には、１つの局在電流分布が存在する。そこで、この局在電流分布を含む局所面を切り布を示す図である。自由エネルギーが最大となる半
径は約  5 ;4 であった。図に示すとおり、この仮出し、格子点の分解能と深さ方向の分解能を上げて、さらに電流源推定を行なった。図 3 は深さの異なる

想半球面上には、２つの局在電流分布が存在するので、二つの局所面を切り出す。最も脳表面に近い電,,R=6.0, F= 207.7

R=7.0, F= 231.0

R=6.0, F= 175.1

R=7.0, F= 191.1

R=8.0, F= 224.0

R=9.0, F= 208.8

R=8.0, F= 193.6

R=9.0, F= 182.7% 局所面上の電流分布
0.2

220

0.15

200
180

図

, 仮想半球面上の電流分布
200Free Energy

240

Error

Free Energy

図

0.1
0.05

190
180
170
160
5

6

7

8

9

Radius

6

7

8

9

0
5

6

Radius

図89

図& 自由エネルギー '左図( と復元誤差 '右図(- 局所面.# の自由エネルギー
205

4||Jn||2

KL−Entropyn

1

0

7

RadiusFree Energy

160
5

20

40

60

Position No.

図

80

0

200
195
190
185
5

6

7

8

9

Radius

図

20

40

60

/ 局所面.$ の自由エネルギー

R=6.0, F= 206.5

R=7.0, F= 224.2

R=8.0, F= 232.1

R=9.0, F= 229.3

80

Position No.

) 各格子点上の電流の強さ '左図( と*+ −エントロピー '右図(

流源を特定するために、初期推定で自由エネルギーが最大であった半径  5 ;4 に他方の局所面を固定したままで、一方の局所面を移動させて電流分布と自由エネルギーを求める。局所面 を動かした時は、

図

0 局所面.# 上の電流分布

半径  5  で自由エネルギーが最大になり -図 ;0、
局所面 を動かした時は、半径  5 で自由エネル
ギーが最大になった。この結果最も脳表面に近い電流源は局所面 に対応し、半径  5  にあることがわかる。次にもう一方の電流源の深さをより詳しく特定するために、局所面 を半径  5  に固定しておき、局所面 の深さを変化させる。この場合には、
半径  5 で自由エネルギーが最大になり -図 0、
もう一方の電流源の深さが半径  5わかる。

にあることが以上の結果から、複数の電流源が脳内に存在している場合にも、各々の電流源の深さと分布を特定することが可能であることがわかる。

 ま と め. / 観測データから脳内電流源の位置や分布を
深さ方向まで含めて推定することが可能な、変分ベイズ法に基づく脳内電流源推定方法を提案した。また脳内に複数の電流源が存在する場合にも、提案手法を用いて、電流源推定が可能である事を人工デー
タを使って確かめた。さらに提案手法は、空間分解能を逐次的に上げることが出来るという利点も持っている。今後は実際に観測された . / データを用,;,

R=5.0, F= 233.4

R=7.0, F= 238.8

図¼ ¼
- =    0 5 Æ¼ Æ

R=6.0, F= 240.1

R=8.0, F= 232.1

 5   6  





録




: 5  

 6  :  




 

  - =  0

本章では変分ベイズ学習の具体的な計算について説明する。まず ) −ステップでは、Â に関して -0を最大化することで、Â が -0 のように求まる。
ここでパラメータの期待値 : % : は次のように計算



される。

-0

 
   6  :

 
:



以上二つのステップを繰り返すことにより、自由エ
ネルギー -0 を極大にする分布  が得られる。この時、自由エネルギーは以下のように表せる。

-0 5

 6

6  6  6 

:




 5 

  :          ¼

 - & &  0




 5 
  
 &     - 6 02  : ¼    5 > -   0
6  & 6 &   : : 6 
6 変分ベイズ学習則 5 > -    0



6 





&  6 & :   ::  6 




 5
 6 


 5





-0




献

2#3 4        #00% 5     ,) &#%.&02$3  6．!．，+  7．8．  +  5．#00$
9  ．  ．  ．%0，)&# − ))2%3 :      8   9 #00% 6    .
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2,3   4 '#000(       ' $#.%1(2-3 ;  5  '#00,(         8   ."  
2/3 8    '$11#(     

: 5  








:  5 6

実施したものである。

 5 ¼   6
 5    ¼  5   6

いて本手法の有効性を確かめる予定である。
謝辞 本研究は通信・放送機構の研究委託により

付¼¼
: -  5       =   5

     0。
次に  −ステップでは、« に関して -0 を最大化することで、« が -0 のように求まる。ここでハイパーパラメータの期待値 :  % : は次のように計算される。

#1 局所面.$ 上の電流分布

文¼

    6   ¼



  6  :

ただし、観測磁場の独立な成分数を 、格子点電流の独立な成分数を としている。; 章の実験では、観測磁場は動径成分のみ、格子点電流は動径方向に垂直な成分を用いているので、 5  5  である。
- 60 次元行列  は に関する
また - 60



事後分布の共分散行列であり、 - 6 0- 6 0次元行列 は : を対角成分に持つ対角行列である

6 -> -   0
&  6 &    :   6 > -  0  -& 9 - 0   - 0 6  0
 -& 9 - 0   &  6  0

ただし、 &ある&

等はパラメータの対数の期待値で5 & : 6  - 0  & 

&  5 & : 6  - 0  & 
&  5 & :  6  - 0  & 
 - 0  -& 9 - 00 ,,