数理解析研究所講究録
第 1826 巻 2013 年 51-52

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ON SPECIAL VALUES OF CERTAIN$L$-FUNCTIONS

ある $L$ 函数の特殊値について(森本和輝との共同研究)

古澤昌秋(大阪市立大学大学院理学研究科)

ABSTRACT. 重さの newform $h$の既約尖点を取り，それに対応するとする．次に ( , q)
上の 2 次形式で， は 上正定値とする． はの既約保型表現で， は自明な表現とする．このとき，テンソル 函数について，最大 (と思われる) 臨界点における特殊値の代数性を示した．その特殊な場合として，$GL$ (2) の Rankin triple 函数のある unbalanced
case における特殊値の代数性を示した．
表現を

$k$

は

$V$

$\pi$

$SO(V, \mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$$GL_{2}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$$\mathbb{R}$$\mathbb{Q}$$\tau$$q$$L$$\tau_{\infty}$$L(s, \pi\otimes\tau)$$L$

主定理． を重さ , Nebentypus
$k$

$\pi$

$GL_{2}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$る． は$\tau$$\epsilon$の既約尖点表現とする．($SO(V, \mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$の $\Gamma_{0}(N)$, q) は$V$の既約保型表現で$\tau_{\infty}$$n=\dim_{\mathbb{Q}}V\geq 4$

に関する正則 newformに対応する上正定値とす$h$上の 2は自明な表現とする．いま，次形式で， は$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$q$$k>2n$かつとする．
整数 $A(n)$ を，$A(n)=[ \frac{n}{2}]\cdot(2k-n)$によって定める．ただし，実数$P(\pi, \tau)$$x$に対して $[x]$ は$x$以下の最大の整数を表す。 周期を$P(\pi, \tau)=\pi^{A(n)}\langle h, h\rangle^{[\frac{n}{2}]}$によって定める．ただし，$\langle h,$$h\rangle$

は Petersson 内積$\langle h, h\rangle=\int_{\Gamma_{0}(N)\backslash \mathfrak{H}}|h(z)|^{2}y^{k-2}dxdy$を表す．

このとき， の無限素点を含むような素点の有限集合$\mathbb{Q}$$S$で，partial$L$函数$L_{S}(s, \pi\otimes\tau)=\prod_{v\not\in S}L(s, \pi_{v}\otimes\tau_{v})$について，$\frac{L_{S}(\frac{k-n+1}{2},\pi\otimes\tau)}{P(\pi,\tau)}\in\overline{\mathbb{Q}}$となるものが存在する．ここで， は， の代数閉包を表す．
$\overline{\mathbb{Q}}$$\mathbb{Q}$

Date: 2012 年 1 月 17 日 RIMS 研究集会「保型形式と保型的函数の研究」．本研究集会における講演の機会を与えてくださった研究代表者の森山知則さんに感謝します．
この研究は科学研究費補助金基盤研究 (C)22540029 によって援助されています．
$L$

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証明は，考察する特殊値が $SO(n+1,2)$ の Eisenstein 級数の Bessel model 型の Fourier 係数として得られることを用いる．論文 [6] にあるように，水本 [9] とB\"ocherer [2] による，次数 2 の Klingen Eisenstein 級数の Fourier 係数の公式が動機$n=4$ の場合が [4] において行われ，後に遙かな一般になっている．不分岐計算は，化が Ginzburg, Piatetski-Shapiro &Rallis [7] によってなされた．主定理の証明の詳細については，[5] に委ねたい．
$D$ をいま，$\mathbb{Q}$上の 4 次元中心的多元環とすると，accidental isomorphism$SO(D)\simeq\{(d_{1}, d_{2})\in D^{\cross}\cross D^{\cross}|N(d_{1})=N(d_{2})\}/\{(a, a)|a\in \mathbb{Q}^{\cross}\}$が成り立つ．これから，次の系が成り立つ．
$f_{i}(i=1,2,3)$ を系．
$\pi_{i}$を$f_{i}$に対応する$r_{0}(N_{i})$$GL_{2}(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$$k_{1}>8,$とし， 上の定符号 4 元数環$\mathbb{Q}$$D$に関する重さ$k_{i}$, Nebentypus$\epsilon_{i}$の正則 newform とし，の既約尖点表現とする．いま，$k_{2}=k_{3}=2$

で， と$\pi_{2}$$\pi_{3}$がかつ$\epsilon_{2}\epsilon_{3}=1$$D^{\cross}(A_{\mathbb{Q}})$に Jacquet-Langlands-Shimizu

対応を持つものが存在するとする．
このとき，$\frac{L(k_{1}-1,f_{1}\otimes f_{2}\otimes f_{3})}{\pi^{4k_{1}-8}\langle f_{1},f_{1}\rangle^{2}}\in\overline{\mathbb{Q}}$が成り立つ．
$L(s, fi\otimes f_{2}\otimes f_{3})$$s\mapsto k_{1}+k_{2}+k_{3}-2-s$ に関して函数等式
系において，は，を持つように正規化されている．Blasius [1] は $GL$ (2) の Rankin triple 函数について，Deligne の予想 [3] を明示的に書き下した．上記の結果は，Blasius による明示化
かつ $k_{1}\geq k_{2}+k_{3}$ のと一致する．これまで unbalanced case, すなわち場合で特殊値の代数性が示されているのは，Harris-Kudla [8] による函数等式の中心値の場合に限られていたが，上記の結果は中心値ではなく，最大の critical point における値である．
$L$$k_{1}\geq k_{2}\geq k_{3}$REFERENCES[1] Blasius, D.: Critical values of certain tensor product -functions. Appendix to T. Orloff,
Special values and mixed weight triple products. Invent. Math. 90, 181-188 (1987)[2] B\"ocherer, S.: \"Uber gewisse Siegelsche Modulformen zweiten Grades. Math. Ann. 261, 23-41$L$(1982)[3] Deligne, P.: Valeurs de fonctions et p\’eriodes d’int\’egrales. With an appendix by N. Koblitz
and A. gus. Proc. Sympos. Pure Math., XXXIII, Automorphic forms, representations and-functions (Proc. Sympos. Pure Math., Oregon State Univ., Corvallis, Ore., 1977), Part 2,313-346. Amer. Math. Soc., Providence, R. . (1979). Amer. J. Math. 115,[4] Furusawa, M.: On Fourier coefficients of Eisenstein series on
$L$

$O$

$L$$I$$SO(\overline{o}, 2)$823-860 (1993)[5] Furusawa, M., Morimoto, K.: On special values of certain -functions, preprint.
[6] Furusawa, M., Shalika, J. .: On Fourier coefficients of Eisenstein series. Algebraic analysis,geometry, and number theory (Baltimore, $MD$ , 1988), 81-98, Johns Hopkins Univ. Press,Baltimore, $MD$ (1989)
functions for the orthogonal group. Mem.
[7] Ginzburg, D., Piatetski-Shapiro, I., Rallis, S. :Amer. Math. Soc., 128, no. 611, $viii+218$ pp (1997)[8] Harris, M., Kudla, S.: The central critical value of a triple product -function. Ann. of Math.
(2) 133, 605-672 (1991)[9] Mizumoto, : Fourier coefficients of generalized Eisenstein series of degree two. I. Invent.
Math. 65, 115-135 (1981/82)
$L$

$A$

$L$

$L$

$S$