日本の降雨極値データの長期変化傾向（２）Technical Report YK-085
Sept. 10, 2024
Y. Karasawa

日本の降雨極値データに見る長期変化傾向（その２）～地球温暖化時代における R0.01 のこれからを予測する～
唐沢好男

本レポートは同タイトルレポート YK-082 [1]の続編である。近年、地球温暖化問題が言われ、世界の気温は百年で 0.73℃の、我が国でも 1.21℃上昇が指摘されている。このような長期的な変化が降雨特性にも現れれば、これまで、無線通信の回線設計に利用されている降雨強度データベースも、いずれは見直しが必要になろう。前回レポート[1]では、我が国の降水量に着目し、年間最大値データ（極値データ）の統計的性質を信頼区間推定により調べ、およそ百年間のスケールで 10%強の増加傾向が有意であることを示した。本レポートでは、さらにその傾向をより詳細に分析し、その妥当性を AIC（赤池情報量基準）で確認している。その結果、最大降水量の増加傾向は 1980 年以降に見られることを明らかにしている。さらに、日本各地における時間降水量の年間最大値と無線回線の降雨減衰推定に利用される 1 分間降雨強度 0.01%値（R0.01）とには、きわめて強い相関関係があり、この性質を用いて R0.01 の未来予測を行う。
（脚注）

１．はじめに無線通信の国際標準化機関 ITU-R における無線回線（衛星回線・地上回線）の降雨減衰推定には、次式の形で与えられる計算式が勧告されている[2], [3]。

A0.01 = kR0.01
Le(1)

ここで、A0.01 [dB]は降雨減衰累積分布の 0.01%値、R0.01 [mm/h]は１分間降雨強度の 0.01%値、k とは周波数や偏波に依存する係数 [4]、Le [km]は伝搬路中の実効的な雨域の広がりを表す等価通路長である。任意の累積時間率 p [%]に対する降雨減衰量 Ap は、A0.01 から求める計算式が用意されている。このように、降雨減衰の推定には、降雨情報として当該地点における R0.01 が重要な量になっている。この R0.01 のデータベースは世界的には ITU-R P837 [5]に、日本国内については総務省の電波法関係審査基準[6]（データの出典は[7]）に収められている。

注：本レポートの内容は、2024 年 10 月の信学会アンテナ・伝播研究会で発表する。本レポートの前段になる YK-082 と極値統計をまとめた YK-083 の内容は “Long-term statistical properties of extreme
rainfall data in Japan”の題目で IEEE Trans. Geoscience & Remote Sensing に近く掲載される。

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ところで、近年、地球温暖化問題が言われ、世界の気温は百年で 0.73℃の、我が国でも 1.21℃上昇が指摘されている。このような長期的な変化が降雨特性にも現れれば、これまで、回線設計に利用されている降雨強度（R0.01）のデータベースも、いずれは見直しが必要になろう。地球温暖化に伴う我が国の降雨の長期的予測や強雨の変化傾向については気象庁からの報告もあるが[8]-[10]、降雨強度 R0.01 と直接結びつけられるものにはなっていない。
前回レポート YK-082 [1]では、我が国の県庁所在地を中心とする 47 地点での日降水量・時間降水量・10 分間降水量に着目し、約 100 年間分の年間最大値データ（極値データ）の長期変化傾向を信頼区間推定により調べた。地点毎の統計では、およそ百年間のスケールであっても、年毎のばらつきが大きいため長期変化傾向の有無を判定することはできないが、地点毎に最大値の平均値で正規化した正規化降水量を用いて、日本全体の傾向として捉えると、解析期間の範囲で 10%強の増加傾向が明らかになった。本レポートでは、さらにその傾向をより詳細に分析する
ため、多項式近似の回帰曲線を求め、その最適次数の判定に AIC（赤池情報量基準）を適用する。
最後に、この解析結果を R0.01 の今後の変化に結びつけ、未来の予測推定式を示す。

２．降水量データ
気象庁のホームページからは、日本各地（約 1,300 箇所）の気象データが公開されている[11]。
本解析ではこのデータを使用する。使用するデータの詳細は前レポート[1]の３節で詳しく説明しているため、ここではその概要のみを述べる。ここで扱うデータは、日降水量、時間降水量、10 分間降水量それぞれの年間最大値であり、以下のものである。
・日降水量：日本全国 45 地点、1924 年～2023 年の 100 年間（データ総数 4500 点）
・時間降水量：日本全国 45 地点、1944 年～2023 年の 80 年間（データ総数 3600 点）
・10 分間降水量：日本全国 47 地点、1954 年～2023 年の 70 年間（データ総数 3290 点）
表１は地点と、それぞれの年間最大降水量の観測期間内平均値（単位は mm）を示している。
同表には、[6]に用いられている１分間降雨強度 0.01%値 R0.01 も載せている（データの詳細は[7]に）。なお、我が国において、降水量の最大値を与えるような降水事象はその 100%が降雨である
ので、本レポートで扱う降水量は降雨量と読み替えられる。
図１は表１における R0.01 と日・時間・10 分間降水量の年間最大値（の平均値）の関係を示す散布図である。三つの降水量とも R0.01 と比例関係にあり（図に示す直線）、相関係数で見ると、日・時間・10 分間降水量に対して、それぞれ、0.898, 0.978, 0.928 とどれも高い値を示している。
その中でも、時間降水量との相関が極めて高い。故に、R0.01 の長期変化傾向は、時間降水量の年間最大値の平均値<R1h,max>の長期変化傾向を調べれば良さそうと、期待できるであろう。ちなみに、両者の関係は、次式の近似式に非常によく合っている。

R0.01  1.5 R1h,max(2)

表１の数値から分かるように降雨量には地域依存性が大きい。このため、気象庁の予報区分の大分類である４つの区域を A～D として、この区分も表１に示している。
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表１ 解析評価に用いた地点と年間最大降水量（日・１時間・10 分間）の観測期間内平均値と R0.01（日降水量： 45 地点, 1924-2023 の 100 年間；１時間降水量：45 地点, 1944-1923 の 80 年間；
10 分間降水量：47 地点, 1954-2023 の 70 年間）（表中の数値の単位は各降水量は mm, R0.01 はmm/h）3

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図１ R0.01 と日・時間・１０分間降水量の年間最大値（の平均値）の関係を示す散布図（直線は比例関係）

区域 A ：北日本（北海道・東北地方）
区域 B ：東日本（関東甲信地方・北陸地方・東海地方）
区域 C ：西日本（近畿地方・中国地方・四国地方・九州地方）
区域 D ：沖縄・奄美地方
前レポートでは、日本の雨量全体の長期変化傾向を調べるために、それぞれの地点の年間最大降水量を、対象期間での平均値で割って正規化し、その正規化降水量を用いている。降水量に地域差があっても、正規化降水量の年毎のばらつきには、地域依存性は小さいだろう言う期待からである。図２(a)は各地点における日降水量年間最大値の 100 年間平均値を●で、前半 50 年間の平均 値を○で、後半 50 年間の平均値を□で示している。同図(b)は時間降水量年間最大値の80 年間平均値を同様に示している。この図から、i) 北日本（区分 A）から 西日本（区分 C）に向かって、最大降水量が増加傾向にあること、ii) 前半と後半の比較では、後半のほうがやや大きい値になっているが、その差は小さいことが分かる。同図には、各地の年間最大降水量をその地の平均値で割った正規化降水量の対象期間でのばらつきの標準偏差も示している（右側スケール）。両降水量とも標準偏差の値は 0.4±0.1 程度に収まり、多少の地域依存性はあるものの（＝時間降水量の四国・九州地域がやや値が小さい）、顕著なものではないことが分かる。

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Y. Karasawa(a) 日降水量(b) 時間降水量
図２ 各地点における日・時間降水量年間最大値の全期間平均値と前後半期間での平均値（左側スケール）、および、正規化降水量の対象期間でのばらつきの標準偏差（右側スケール）

３．解析結果３．１

前レポート解析結果のまとめ

３種類の降水量について、解析対象期間（最大 100 年）のデータから回帰直線を求めて、地点毎に長期的な変化傾向を見ると、わずかな増加傾向を示す地点が多いが、データに年毎のばらつきが大きく、95%信頼区間解析においては、増加傾向を有意と判定できない幅を示している。図5

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３はその一例（東京における時間降水量最大値の 100 年間の推移）を示す。そこで、全地点を共通に扱える正規化降水量を用いてデータ点数を増やし、これで信頼区間解析を行うと、図４のような結果を得た（一例として時間降水量の結果を示す）。回帰直線を青色、95%信頼区間の上限と下限を赤線で示しているが、左側の全体図で見ると大きなばらつきの中に埋もれて、その違いを見ることができない。そのため、縦軸スケールを引き伸ばして変化が見えるようにしたのが右側の図である。この図より、回帰直線では 80 年間で 16%の増加が認められ、信頼区間推定でもこの増加傾向は有意と結論できる。他の降水量（日降水量と 10 分間降水量）についても、解析期間の違いはあるがほぼ同様の傾向（日降水量：100 年間で 14%、10 分間降水量：70 年間で 14%の増加）が明らかになっている。

図３

東京における時間降水量年間最大値の 100 年間の推移（青線：回帰直線、赤線：95%信頼区間の下限と上限）

図４

日本全国における正規化時間降水量の年毎の分布と最尤推定（回帰直線：青）及び区間推定（赤）6Technical Report YK-085
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日本の降雨極値データの長期変化傾向（２）３．２

回帰曲線の多項式近似と AIC

期間全体での増加傾向を見たいときのもっとも粗い近似は図４に示した直線近似（回帰直線）であり、回帰直線での傾向が有意であるかどうかは信頼区間評価で示すことができる。期間内の変化傾向をさらに詳しく分析したいためには多項式曲線（回帰曲線）で見るのが良いであろう。
図４の横軸を x、縦軸を y とするとき、y を最小二乗誤差近似により次式で近似するのである。

y = a0 + a1 x + a2 x 2 ++ aK x K(3)

ここで、K は多項式の次数であり、定めるべき係数の数は K+1 である。最小二乗誤差近似は誤差が正規分布で現れる場合には最尤推定になる。降水量の最大値の確率分布は Gumbel 分布に近く、正規分布とは若干異なるが[12]、ここではこのまま解析を進める。
日降水量と時間降水量について、K=1～5 のときの回帰曲線を図５に示す（図４右の図のスケールで K=1 の直線は同図の青線に同じ）。誤差を少なくする（＝尤度を上げる）と言う視点で見れば、次数が高い方が良いのであるが、次数を高くすると、データの誤差要因に振られて回帰曲線の形が不自然になり、同じ状況における独立なデータを当てはめた場合、逆に誤差が増大する傾向を示すことになる。ゆえに、次数の選択において、どこかに最適な値があるはずで、それを見つけねばならない。その選択指標に AIC（Akaike Information Criterion: 赤池情報量基準）を採用するのが良いであろう。AIC は

AIC = −2 （最大対数尤度）+ 2
（パラメータの数）(4)を求め、この値が最も小さくなるパラメータ数のモデルを選べという評価基準を与える。AIC を基礎から学ぶには[13]を、本レポートでの応用の理解には[14]を見てほしい。
ここに AIC の概略を示す。標本値 xi, yi に対して以下の多項式モデルを評価する。

yi = a0 + a1 xi + a2 xi2 ++ aK xiK + bi

( f = N (0, ) )2b(5)この場合のパラメータは a0～aK と2 の K+2 個である。
基本的な考え方は、a0 + a1 x ++ aK x K

を中心としてずれが正規分布するモデルのパラメータの最尤推定である。AIC によって、最適な次数（K の値）を見つけ、良いモデルを選び出す問題である。
データ数 n での正規分布の対数尤度関数は次式である。
Kn1 n l ( ) = − log ( 2 2 ) − 2   yi −  ak xik 22 i =1 k =0
2(6) = ( a0 , a1, a2 , , aK ,  2 )
係数 a0～aK の最尤推定値 aˆ0 ~ aˆ K は尤度関数をそれぞれ ai で偏微分し 0 と置いて得られる K+1個の連立方程式から求められる。

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日本の降雨極値データの長期変化傾向（２）(a) 日降水量
図５(b) 時間降水量

多項式次数 K をパラメータとする正規化最大降水量の年変化傾向を表す回帰曲線（異なる K の値に対して回帰曲線が同じように見えるものについては一方をマークにしている）

2K
 n 

yi −  ak xik  = 0
ak i =1 k =0 aˆ0 ~ aˆK(7)

これは最小二乗法であるので、最小二乗法の機能が具備されている市販ソフト（Excel,KaleidaGraph など）で容易に求めることができる。また、誤差分散の最尤推定値は、

l ( (aˆ0 ,, aˆ K ,  2 ) ) 2= 0  ˆ 2 =K1 n y−aˆi xik in i =1 k =02(8)となり、これらを(6)式に代入すると、最大対数尤度はnnl (ˆ) = − log ( 2ˆ 2 ) −22(9)である。これより、AIC 値はパラメータ数が K+2 であるので次式となる。

AIC ( K ) = n ( log 2 + 1) + n log ˆ 2 + 2( K + 2)

(10)

表２は、3 種類の降水量について、K=1～5 のモデルに対する平均二乗残差（分散の最尤推定2値 ̂ ）、最大対数尤度（ l (ˆ) ）、AIC 値（AIC）および最小値との差分（AIC）を示している。同

表より、日・時間・10 分間降水量に対して AIC 値が最小となる K=4, 2, 2 を最適としている。

8日本の降雨極値データの長期変化傾向（２）表２Technical Report YK-085
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多項式近似における最大対数尤度と AIC 評価値

図６は、各降水量について、AIC で選ばれた次数での回帰曲線を、回帰直線（K=1）と共に示している。また、観測期間のデータを 10 年毎に分け、それぞれの平均値を●で示している（1924～1933 年の平均値は 1928.5 の位置にプロット）。

(a) 日降水量
図６(b) 時間降水量

各降水量の経年変化に対する AIC で定めた多項式近似と 10 年間ごとの平均値

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日本の降雨極値データの長期変化傾向（２）(c) 10 分間降水量
図６（続き）

三つの降水量に対し、最適な次数は異なるが、共通する傾向として、K=1 の回帰直線が示す
100 年間で１割強の増加は、1980 年辺りからの強い増加傾向がその数値を決めていて、この部分だけを見れば、20～30 年で１割増のペースに見える。今後、この傾向が継続して続くのか、加速されるのか、あるいは、定常過程における揺らぎの一部にすぎないのかは筆者には分からない。
この増加傾向が地球温暖化によるものなのか別の原因なのかも、筆者には専門外であり何も言うことはできない。降雨の未来予測は世界規模による気象学の研究によって、明らかになってゆくものと期待する。日本の場合については、30 年後、50 年後に同様な解析を行えば、長期変化傾向はより明らかになるであろうが、それは、若い世代の皆さんに委ねたい。

４．R0.01 の未来予想
時間降水量の長期変化傾向の結果を踏まえて、１分間降雨強度 R0.01 の未来予測を述べたい。
図１により、R0.01 と時間降水量年間最大値の長期平均値には優れた線形関係（近似式(1)）があり、相関係数も 0.978 と極めて高いことも述べた。一方、図６(b)より、これから、四半世紀毎に、現在の正規化降水量が１割程度ずつ直線的に増えてゆくとしよう。そうすると、我が国において、未来の R0.01 は、大雑把に言って次式のような推移を辿るのではと予測できる。

R0.01 (Y )   (Y ) R0.01 (2000)(11)

 (Y ) = 1 + (Y − 2000) / 250(2000  Y  2100)

ここで、Y は西暦、R0.01(2000)は表１の R0.01 の値（データーベースの現在値）、は長期変動補正係数である。これは、日本の降雨に当てはめた式なので適用地域が日本に限定される。降雨量の長期変化特性は、地域依存性が強いと予想され、故に、ITU-R のデータベースに対する長期変化
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予想は、地球規模での同様な評価が必要である。その場合でも、本レポートでの評価手法が、大いに役立つものと期待する。(11)式による R0.01 の未来予測に関しては、３つの課題を挙げておきたい。
① ３０年後、2050 年ころに、そのときまでの気象庁データを使って上昇傾向の確認をしてほしい② 地球規模スケールでの評価式を確立してほしい。降雨の特性は地球の気候区分によって異なる。故に、年変化傾向も異なるのもとなるだろう。本文でも述べたように、特定の地点のみに 100年程度の長期降雨データがあっても、そこから結論を導くことは難しい。同じような気候帯ごとにグループ化して統計量を増やし、すなわち、正規化降雨量としてたくさんのデータから共通の傾向を見るのが良いであろう。その際、本レポートで示したように時間降雨量年間最大値の特性から変化傾向を見出すのが現実的であろう。
③ 式(1)で示したように、降雨減衰量の推定には R0.01 と共に、等価通路長 Le の長期変化も重要である[15]。等価通路長の評価では、雨域の空間的広がりの変化傾向把握になるため、降雨の地点データのみから推定できる R0.01 の予測よりは難しいであろうが、チャレンジしてほしい。

５．むすび
前レポートと本レポートによって、日本の降水量の極値データ（年間最大降水量）を用いて、降雨の統計的性質に見られる長期間の変化傾向を明らかにしてきた。筆者の最終的な目的は無線通信の回線設計時の降雨減衰推定に用いられる R0.01 が、地球温暖化の影響を受けて変わりつつあるのかどうかを知りたいことにあった。すでにデータベース化されている我が国の R0.01 の値と、時間降水量の年間最大値の長期間平均値とが極めて高い相関を有することに着目し、時間降水量を含む３種類の降水量の長期変化傾向を調べた。
その結果、
１）降雨量は年毎のばらつきが大きいため、100 年規模のデータであっても、地点毎に見るのでは、有意な長期変化傾向を見出せないこと（95%信頼区間判定において）
２）地点毎の着目降雨量年間最大値の平均値で正規化した正規化降雨量を用いて共通に扱えるデータ数を増やし、このデータで解析すると、100 年規模の時間スケールにおいて、１割強の増加傾向が見られること
３）同じデータから多項式近似の回帰曲線を求め、その最適次数を AIC によって定めると、増加の傾向は 1980 年代以降に顕著になっていることが、明らかになった。また、無線回線の降雨減衰量推定に用いられる 1 分間降雨強度の累積確率
0.01%値 R0.01 との関係について、
４）地点毎に見る R0.01 と三種類の降雨量（年間最大値の長期間平均値）には良い比例関係があり、特に時間降雨量については、相関係数 0.978 の極めて高い類似度が認められた。
５）相関が強い時間降水量の長期変化傾向を、R0.01 の長期変化傾向とみなして、近未来にデータベースの見直しが必要になるかも知れない R0.01 の予想推定式を示した。
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本レポートで述べた降雨量の長期変化特性は、地球温暖化問題の影響が含まれていると思われるが、それを明確にするためには多様な気候特性を持つ地球規模での同様な解析が必要である。さらに、その結果を生かして、R0.01 の長期変化を予想したが、これは、日本の降雨に当てはめた式なので適用地域が日本に限定される。地球規模での未来予測が待たれるが、本レポートでの評価手法が、そのような評価において大いに役立つことを期待している。

参考文献[1] 唐沢好男,“日本の降雨極値データに見る長期変化傾向,技術レポート（私報）YK-082, 2024.
http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/YK-082_Rainfall_Statistics_2.pdf（YK-082 [1]とYK-083 [12]の内容はIEEE Trans, Geoscience & Remote Sensingに近日掲載）[2] ITU-R, “Propagation data and prediction methods required for the design of Earth-space telecommunicationsystems,” Recommendation ITU-R P.618-14, 2023.
[3] ITU-R, “Propagation data and prediction methods required for the design of terrestrial line-of-sight systems,”
Recommendation ITU-R P.530-18, 2021.
[4] ITU-R, “Specific attenuation model for rain for use in prediction methods,” Recommendation ITU-RP.838-3, 2005.
[5] ITU-R, “Characteristics of precipitation for propagation modelling,” Recommendation ITU-R P.837-7, 2017.
[6] 総務省、電波法関係審査基準（固定局関係審査基準）の改正版, 2011.06,
降雨減衰計算部分の抜粋： http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/Rain_ATT_Calc_Method.pdf[7] 小野健一,唐沢好男,“安全係数の概念を導入した M 分布近似降雨減衰確率推定法,”信学論(B), vol. J91-B,
no.2, pp. 169-187, 2008.
[8] 気象庁, “地球温暖化予測情報 第９巻,” 2017.03, https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/GWP/Vol9/pdf/all.pdf[9] 気象庁, 日本の気候変動 2020, 気象庁ホームページ, https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/ccj/index.html[10] 気象庁, 大雨や猛暑日（極端現象）のこれまでの変化, 気象庁ホームページ.
https://www.data.jma.go.jp/cpdinfo/extreme/extreme_p.html[11] 気象庁, 過去の気象データ検索, 気象庁ホームページ, https://www.data.jma.go.jp/obd/stats/etrn/index.php[12] 唐沢好男, “日本の降雨の N 年間最悪値統計, 技術レポート（私報）YK-083, 2024.
http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/YK-083_Rainfall_Statistics_3.pdf[13] 小西貞則, 北川源四郎, 情報量規準, 朝倉書店, 2004.
[14] 唐沢好男, 電波伝搬モデルの基礎（第９章AIC）, 私製公開本, 2024.

http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/Probability_Distributions_Chap_9.pdf[15] 前川泰之、“Ku 帯衛星回線の降雨減衰統計の最近の増加傾向について”、信学技報、SAT2018-3 (201805)．

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