数理解析研究所講究録 1275 巻 2002 年 171-174

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Renormalization Group Methods to Solve
Dynamical Chiral Symmetry Breaking
Ken-Ichi Aoki
Institute for Theorefical Physics
Kanazawa University
本稿では、 力学的なカイラル対称性の破れを、 非摂動くりこみ群を用いて解析する研究を紹介する。 詳細は参考文献を見ていただくことにして、 本質的な論理展開を説明するにとどめる。

1. カイラル対称性

まず「カイラル対称性」について説明する。スピン 1/2 の素粒子を記述する場は、 ローレンツ群の表現として 2 種類存在している。 それらはパリテイ変換で移り替わるので、 そとという名前で呼ばれる 2 表現と 2* 表現の場である。 この や の事をカれぞれ$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$イラリテイと呼ぶ。 カイラル対称性とは、 この$\mathrm{L}$及び$\mathrm{R}$の場のそれぞれの位相回転 (こ対する系の対称性である。
ハミルトニアンは、 それぞれの場の自由な伝播を表す運動項と相互作用項からなる。
自由な運動項では、 は として、 は として伝播するので、 もちろん、 カイラノレ対称$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$$\mathrm{L}$$\mathrm{R}$性を保つ。 素粒子の基本相互作用はゲージ相互作用であるが、 それらは、 運動項に対する共変微分として導入される相互作用であり、 従って、 や の種類を変えない。 すなわち$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$

ゲージ相互作用はカイラル対称性を壊さない。
ゲージ相互作用を何度使っても、 カイラル対称性は保存しているから、 と の個数は全ての反応の前後でそれぞれが保存量となる。 例えば、 ゲージ粒子ひとつを交換すると4- フェルミ相互作用が生威されるが、 それはカイラル対称な 4- フエルミ相互作用となる。
や の場は、 2 成分の内部自由度しかないために、 スピン 1/2 の質量のな ‘粒子し$\mathrm{L}$$\mathrm{R}$$\mathrm{A}$$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$か記述できない。 質量のあるクオークや電子を記述するためには、 その質量項となるべきの間をつなぐ 2 つの場からなる相互作用を導入する必要がある。 質量項は、 この と相互作用項であって、 が になったり、 が になったりすることに対応する。 すなわ$\mathrm{L}$$\mathrm{L}$ち、$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$$\mathrm{R}$$\mathrm{R}$$\mathrm{R}$$\mathrm{L}$の合計 4 成分の場で、 一つの粒子が記述され、 質量のあるスピン 1/2 の粒子を記述することになる。の個数が保存しなくなったわけであるから、 質量項はカイラル対称性を保存しない。 一般に、 素粒子の統一理論を構成する場合、 高い対称性で統一されている理論から$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$出発する。 相互作用はゲージ相互作用であり、一般的な意味でカイラル対称性が存在している。 しかし最終的に我々が観測している素粒子は質量を持っている。 つまりカイラノレ対称性は自発的に破れていることになる。 そして、 このカイラノレ対称性の自発的な破れこそが、 もともとは 「同じ」 素粒子を違って見せる、 つまり、 素粒子の個性 : 質量や電荷や相互作用、 を作る過程に他ならない。

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2. カイラル対称性の力学的破れ

カイラル対称性の自発的な破れを記述するのに典型的に 2 っの方法がある。 1 っ目は、いわゆるスカラー粒子 (例えばヒッグス場) が理論に最初がら存在し、 湯川型の相互作用がある場合である。 ヒッグス場はもちろん、 カイラル対称性の非自明な表現になっており、 そのために、 湯川型の相互作用はもちろんカイラル対称性を満たしてぃる。

このヒッグス場が真空期待値を持てば、カイラル対称性が自発的に破れることになる。

この場合、 この対称性の秩序パラメタはヒッグス場 (の 0 モード)そのものである。 この時、湯川相互作用が、 質量相互作用に転換され、 カイラル対称性で質量が禁止されてぃたスピン 1/2 の粒子達が質量を持っ事になる。
実際、標準模型と呼ばれる現在の素粒子統一理論では、 弱電磁相互作用のカイラル対称性にょって、クオークやレプトンの質量は禁止されているが、 ヒッグス場が真空期待値を持っことにょって、 クオークやレプトンに質量が与えられる。
さて、 ここでの本題は、 このカイラル対称性の自発的破れの中でも、「力学的な破れ」と呼ばれる場合である。 これは、 ヒッグス場のような秩序パラメタの役割をする場が、理論を定義する段階の場としては入ってぃない場合である。 例えば、 クオークの強い相互作

用は$\mathrm{Q}\mathrm{C}\mathrm{D}$ジ粒子$=$によって記述されるが、 QCD にはスヵラー場は入ってぃない。 この場合、 ゲーグルーオンにょる相互作用はカイラル対称性を満たしてぃるが、 その相互作用が十分に強くなる低エネルギー領域では、$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$のペアが真空期待値を持っということが起こる。 これは、 スピン 1/2 の場が 2 っがらなる複合場 (の 0 モード) が秩序パラメタを与えていることになる。 この場合でももちろん、 クオークは質量を獲得する。
普通の低温超伝導は電子のクーパー. ペアの凝縮にょって説明されるが、 これはまさに力学的な対称性の破れの例に他ならない。 実際、 クオークの$\mathrm{L}$と$\mathrm{R}$のペアが凝縮して、クオークが質量を持っというアイデアは南部・ジョナラシニオに遡るが、 そこではまさに超伝導アナロジーにょって自発的な対称性の破れとそれに伴う自発的な質量生成が論じられた。

実際には、 クオークは、 上に書いたヒシグス場の真空期待値にょっても質量を得てぃる。 しカルこの質量は、 電子などと同じ原因であって、比較的小さな質量しが得られない。 そして、更に、強い相互作用 QCD にょって f] 学的なカイラル対称性の破れが起こり、大きな質量を有することになる。 この QCD にょって生成された質量が私達の周囲にある質量のほとんどを担ってぃる。
この 「力学的な」 カイラル対称性の破れは、ヒッグス場にょる自発的対称性の破れとは全くレベルの違う扱いが必要になる。 ヒッグス場が最初がら理論に入ってぃる場合には、ヒッグス場の自己相互作用をポテンシャルという形で作用に加えることができる。 もちろんこのポテンシャルエネルギー自身はカイラル対称性を満たしてぃる。 このポテン

シャルがいわゆる 2 重井戸型あるいはワイン瓶底型になってぃれば、 必然的に最低エネルギーの状態はヒッグス場が期待値を持ってぃる状態になる。 っまり、 量子

$7J$
学的な計算
開始以前に、 いわゆるツリー近似の古典的な扱いの範囲で自発的対称性の破れが起こり、クオークやレプトンは質量を持っことができる。

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一方、 ヒッグス場が存在しない場合には、秩序/くラメタとなるべき複合場のポテンシャ
ルを理論の作用にいれることは一般にできない。 例えば QCD&こよるクオークのカイラノレ対称性の破れの場合を考えよう。作用に加えられる相互作用は一般にくりこみ可 AbBb. 囲の要{まそれぞ求から、 次元が 4 以下の演算子に限られる。 カイラル対称性の要求力 ら、 とれが個数を保存する必要がある。 また、 もちろんローレンツスカラーであることも必須$>$$\mathrm{L}$$\mathrm{R}$である。 となると、 次元のもつとも低い演算子は次元が 6 の 4- フエノレミ相互作用となる。

従って、 通常のくりこみ可能な場の理論の作用としては採用できな ‘。
$\mathrm{A}$と$\mathrm{L}$の複合場が真空期待値を持とうと思えば、 更に高次元の演算子もカ えた上で$\mathrm{I}$$\mathrm{R}$

それをポテンシャルとみなす必要があるが、 こんなことはとてもできな I ‘。 それ (こ、 そんな勝手な作用を作っても、 何の予言力もない。 すなわちやりた こと [ま、 QCD と 1 う
ゲージ相互作用の量子力学的効果によって、 4- フエルミ型やもつと高次の有効作用力く生成
QCDされ、その結果、複合場が真空期待値を持つ、 という計算である。 これ力 できれ$\sqrt$$|_{\sqrt}\mathrm{a}$$\backslash \backslash \backslash$$\#\mathrm{h}_{\text{、}^{}*}$

によってクオークの質量が計算できることになる。 QCD は単純群の非可換ゲージ理論であり、事実上パラメタの無い理論であるから、 予言されたクオーク質量{ま直接実験と比べられることになる。

3 非摂動くりこみ群による計算
さて間頼は QCD ゲージ理論によるカイラル対称性の自発的破れの定量的な評価であし、摂動論で (まこれる。 量子補正によって、 クオークが質量を持つ過程を計算する。 し力 1$\cdot$は不可能である。 いかなる高次の項まで計算しようが、 カイラル対称性は絶対 [こ破れな$\mathrm{V}^{\mathrm{a}}$から、 クオークの質量項など生成されようがない。

クオークに質量が生成されるためには、 真空が選び直される必要がある。 すなわち、非摂動的な計算がどこかに入ってこないと、 クオークの質量を計算すること {まできな ‘。
$|_{\sqrt}$

これまで主にやられて来た方法は、 クオークの質量が存在するとして、 あるクオークの自.

己エネルギー関数の間に成立する方程式 (シュウインガー. ダイソン方程式と呼{f れる)[こ有限を立て、 その解を探す事である。 その中にいわゆる非自明な解、すなわちクオークの質量があるような解があり、 実際にそういう解を実現する状態がよりエネノレギーの低 V)
真の真空であることが確認されれば、 それでクオークに力学的な質量力\leq 発生した状況を得たことになる。

シュウィンガー. ダイソン方程式を用いる方法には、 重大な弱点がある。 それはもと破ってしまうことである。 それを改善しようとしてもとの QCD のゲージ不変性を激$\text{しく}$も、 なかなか先に進むことができなかった。 ゲージの選び方によっては、非自明な解力\leq 存
在してクオークが質量を持つ場合と、 そういう解が存在せずクオークが質量を持てな| ‘場$\sqrt$合との両方が許されてしまう。 QCD は本来、 パラメタの存在しな ‘理論である力 ‘ らこれ$|_{\sqrt}$はおかしい。 この問題は、 QCD のゲージ結合定数を摂動論的なくりこみ理論[こ従ってエネルギーに依存する形に置き換えることによって、 回避され、 クオーク質量を予言できることになった。 しかし、 いずれにしてもその予言はゲージに強く依存している。

シュウィンガー. ダイソン方程式はもともと、複合場の秩序\nearrow くラメタに対する自由エ174
ネルギーのポテンシャルの停留条件に対応しており、 それをあるレベルまでの近似で解こうとするものである。 そして、 その非自明な解は、 もともとの理論の摂動論の意味で解釈すれば、 無限個のグラフの和を足しあげることにょって得られてぃることがゎがる。 この足しあげられたグラフの集合が激$1_{\vee}$$\langle$「偏ってぃる」 ために、 ゲージ不変性など吹き飛んでしまうのである。

非摂動くりこみ群は、微分方程式にょって有効作用を評価する方法である。 その最低次の近似ですら、非自明な無限個のグラフの和が一気に評価される。 従って、 シュウィン
ガー. ダイソン方程式をたてる替ゎりに、 非摂動くりこみ群にょって、直接、 複合場秩

序パラメタに対する自由エネルギーを評価することでクオークの質量を計算できるのである。
そして、 非摂動くりこみ群にょる自由エネルギーの評価がシュウィンガー. ダイソン法に圧倒的にまさるのは、 いとも簡単にいろいろなタイプの無限個のグラフを制御して加えることができるために、 ゲージ不変性をほとんど回復することが可能になるのである。

非摂動くりこみ群は微分方程式の形で定式化され、 その解と積分してぃくことにょって、無限個のグラフの和と等価な有効作用 自由エネルギーが得られてぃく。微分方程式の微$=$分係数の部分が$\beta$関数と呼ばれる、 いわばこの方法の核となってぃる。 この核の部分を制御してゲージ不変性を尊重すれば、必然的に、 それがら積分された有効作用もゲージ不変憔を尊重することになるのである。
更に、 シュウィンガー. ダイソン法では理論的な根拠なく導入されたエネルギーに依存するゲージ結合常数が、 非摂動くりこみ群では全く自然にがっ自明に登場する。 実際、非摂動くりこみ群の方法の 関数に対して非常に限定的な制限を行うと、 これまでのシュ$\beta$ウィンガー. ダイソン方程式法にょる結果を再現する、 っまり完全にそれを含んでぃることが明らかになった。 そして、 その制限をはすすだけで、 その先に進むことが容易にできるのである。
参考文献. Introduction to the Non-perturbative Renormalization Group and Its Recent Applica-tions, K-I. Aoki, Int. J. Mod. Phys. $\mathrm{B}14(2000)1249-1326$. 場の理論における非摂動くりこみ群, 青木健一, 数理解析研究所講究録 11$4(2000) 61-69. Wilson Renormalization Group Equations for the Critical Dynamics of Chiral Symmetry

K-I. Aoki, K. Morikawa, J.-I. Sumi, H. Terao and M. Tomoyose, Prog. Theor. Phys. 102(1999) 1151-1162. Non-Ladder Extended Renormalization Group Analysis of the Dynamical Chiral Sym-metry Breaking K-I. Aoki, K. Takagi, H. Terao and M. Tomoyose Prog. Theor. Phys.
10$ (2000) 815-832
なお、 非摂動くりこみ群につぃての最近の私の研究は、 金沢大学での以下の方々との共同研究に基づいているものであり、 これらの方々との絶え間ない議論に感謝します。

尾野田浩志, 窪田健一, 児玉博明, 清氷健一, 住淳一, 相馬亘, 高木郁, 谷口雅樹, 寺尾治彦, 友寄全志,
中村悦子, 堀越篤史, 森川慶一, 加藤潤也