ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawa

電磁気学の奥深さ（２２）：ファラデーのパラドックスを考える
本シリーズでも取り上げている電磁誘導の現象に似たものとして単極誘導と呼ばれる現象がある。単極誘導は、磁石と導体の間に起きる電磁現象で、その動作の不思議から、提唱者のファラデーに因んでファラデーのパラドックスと呼ばれる。本レポートでは、この現象を取り上げ、動作の理屈を考えてみたい。
本レポートは初期公開版(YK-081)の第５節を差換えた改訂版である

１．単極誘導回転機
本題のパラドックスに入る前段として、1821 年にファラデーが発明した単極誘導回転機の話から始めたい。1820 年にエルステッドが電流の磁気作用を発見し、それに触発され、アンペール（アンペア）がその理論づけに注力していた。ファラデーもエルステッドの実験を確認する傍ら、電流と磁石の間に起きる新現象を求め、図１(a)に示す装置を作った。ガラス容器の床面中央に棒磁石を垂直において蝋で固定し、そこに、棒磁石の上部が見える程度に水銀を入れ、中心軸上部から水銀に浸る程度の銅線を吊るした。この銅線は上部の点を中心に自由に動くことができるようにしておき、この銅線と水銀間に電池を挟み電流を流した。そうすると、銅線が少し斜めに傾いた状態で磁石の周りを回転し始めたのである。さらに、装置に手を加え、同図(b)のように、磁石が下端を軸にして動くことができるようにし、銅線を垂直に固定した。同じように電流を流すと今度は磁石が傾いた状態で回転を始めたのである。この現象は単極誘導と呼ばれ、図１の装置は単極誘導回転機である。動作原理は、(a)が銅線（の中の動く荷電粒子）に働くローレンツ力（フレミングの左手の法則）、(b)は銅線に流れる電流が生み出す磁界の方向に磁石の極が吸い寄せられているからである。動作に、銅線と磁石の相対関係が見てとれ、これが、これから述べる単極誘導のパラドックスの伏線になる。

(a) 銅線が回転する
図１(b) 棒磁石が回転する

ファラデーの単極誘導回転装置（イメージ図）-1-ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawa

２．ファラデーのパラドックスとはでは本題に入りたい。図２に示す円柱状の棒磁石と導体円板が、中心軸を共通にして重ねられており、それぞれが独立に回転する機能をもつ。導体円板上に、中心と縁の間の起電力を測る検．．．．．．．．
流計とそれを繋ぐ導線が回転しないように取り付けられている。

図２

単極誘導確認のための基本構成

ここで、図３に示す４つのケースをみてみよう。
① 磁石も円板も静止している② 磁石が静止し、円板が回転している③ 磁石が回転し、円板が静止している④ 磁石と円板が同速度で回転している
検流計に触れがある場合を○、振れがない場合を×とするとき、上記４つのケースではどうなるであろうか。以下の答えを見る前に、ここで立ち止まって、読者の皆さん自身で予想を立ててほしい。

図３

起電力の有無を確認する４つのケース-2-ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawa

では、結果を。順に、×、○、×、○である。③，④の結果に、あれっと思いませんか。それがパラドックスと言われる所以であるが、以下、それを考えてみたい。これも、結果を見た今、次節を読む前に皆さん自身で、動作の仕組みを考えてほしい。ちなみに、図２の構成は単極誘導発電機であり、その発明は電磁誘導発見直後の 1831 年のことである。

３．どう考えるか一つ一つ見てゆきたい。
①のケース：

両方静止の場合で、これが何も起きなくて当然であろう。

②のケース： 円板のみが回転している。円板は導体であるから、無数の金属原子で構成されていて、正の電荷をもつ陽子と負の電荷をもつ電子が同量あり、全体として電気的に中性である。
その電子の中に自由に動き回れる自由電子が一定数ある。棒磁石は磁界を生み出し、円板付近では図の上方向を向いている。円板が回転すると、回転軸と平行に向く磁界中を電荷が周方向に動くことになり、動く方向と磁界の方向のそれぞれに直交する方向、すなわち円板の径方向にローレンツ力が働く。それが、縁方向か中心方向かは円板の回転方向と磁界の向きによって決まる。
このローレンツ力によって自由電子が押されて動いて縁（あるいは中心）に集まり、中心と縁で電位差が生まれる。これによって、検流計の針が振れるのである。
③のケース： 今度は円板が止まっていて、磁石が回転している。磁石と共に回転する人が円板を見れば、②のケースと同じで円板が回転しているように見え、故に、検流計は振れると思うだ
ろう。図１の例で、一方を止めれば相手が回ったように。相対性理論で慣性系の共変性を学んだ
後だと、特にそう思うのではないだろうか。でも、慣性系で言う等速直線運動と回転運動は違うのである。磁力線の存在をイメージし、電磁誘導によって導線に現れる起電力を、導線が磁力線．．．．．．．．．
を切る量に比例すると説明したあのファラデーも、この場合については、「磁力線は回転してい．．
ない」と答えたらしい。そうであれば、①と同じであり、検流計は振れない、が納得できる。でも、どうしてだろうと言う気持ちも残る。
（そのもやもやは第５節で晴らしたい）④のケース： これも、磁石と円板の関係の相対性から①と同じに見え、検流計は振れ無さそう。
しかし、実際は触れるわけで、不思議に感じる（故にパラドックス）。でも、③で述べたファラデーの言葉に従うならば、磁力線は回転しておらず、それなら②と同じであり、検流計は振れるのである。

４．電磁諸量の動きに関する考察
前節で、①と②の説明は良いであろう。③、④については、棒磁石から出ている磁力線が、磁石の回転と共に回転しているのかどうかということになる。棒磁石を横に動かせば、磁石に固定されている磁力線も一緒に動くと考えるのが自然（＝ファラデー流）である。それなら、同じように磁石に張り付いている磁力線なのだから、回転時には一緒に回転していると考えて良さそうに思う。さらに、それなら、動く磁力線が電荷のそばを通過したら、ローレンツ（もどきの）力-3-ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawaが作用してもよさそうに思うだろう。でも実際は違うというのである。
そこで、以下では、電磁界の物理量で動くものと動かないものを吟味してみたい。
電界 E と磁界 H：それぞれは、E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)のように３次元の空間座標と時間の４次元空間座標の関数として表される。E, H の値が変化すると言っても、３次元空間の点(x, y, z)で考えれば、その場所の値が時間とともに変化すると言う意味であり、場所を動くと言う概念はない。
電束密度 D と磁束密度 B：これも電界や磁界と同じで、空間的に動くと言う概念はない。電束や磁束そのものが動く・動かないに関わらず、空間密度が一定であれば変化するものではない。その場所 (x, y, z)での値が時間とともに変化するものである。
電荷 q：電荷は電界及び磁界から次式で定められるローレンツ力を受ける。

F  qE  qv  B
電荷が空間に静止している場合は磁界の影響は受けないが、速度 v で動いている場合は電界と磁界の両方から力の作用を受ける。実際に動くものは質量と電荷をもつ電子であるが、その電子の動きに伴って電荷は動く。
電荷密度：これは、電束密度と同じで、空間に定義され、時間変化する場合でも、動くと言う概念はない。
電束：電荷 Q を有する点電荷からは Q 本の電束（電気力線）が出ているという考え方がある（ファラデー流）。これに従えば、電荷からはハリネズミのように（あるいは栗の毬のように）電束が出ていると言うことであるから、電荷が動けば、電束もそれに引きずられて動くと言ってよいであろう。
電流密度 i：電流は電荷の空間的な動きによって生じる。電流密度は空間的に広がって存在する電流の密度であり、電荷密度と同じで、空間に定義され、時間変化するものであって、動くと言う概念はない。
磁荷 qm：マクスウェルの電磁気学では、div B=0 より、磁束はループを成し、出発点や終着点をもたない（＝出発点を与える磁荷は存在しない）ことを前提にしている。故に、存在が否定される磁荷の動きを議論する意味がない。
磁束：磁束（磁力線）は出発点をもたないのであるから、電束のときに述べたような出発点の動きと結びつけることはできない。
改めて電磁気学の理論を見てみよう。全ての電磁現象は、マクスウェルの４つの方程式と力学を表すローレンツ力の式によって説明することができる。その方程式に現れる物理量は E, H, D,B, i, とローレンツ力中の q で、上述のように、電荷 q を除いて動くと言う概念のものはない。
-4-

ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawa

ゆえに、電磁気学に立ち返って単極誘導の現象①～④をみると、①：問題なし②：ローレンツ力の式で説明できる③：同様にローレンツ力の式で説明できるが、この場合は B は一定、かつ、v=0 なので、①と同じになり、起電力は発生しない④：同様にローレンツ力の式で説明できるが、この場合は B は変わらず、かつ、導体板中の電荷は動いているので、②と同じになり、起電力が発生する
混乱をもたらした電気力線や磁力線の考え方は、ファラデーが電磁気学の本質を見出した当時において、現象理解に役立つものであったが、完成された電磁気学（マクスウェルの方程式）においては、電気力線や磁力線という概念は消えている。故に、電気力線（電束）や磁力線（磁束）が動く・動かないの話は、マクスウェルの方程式の外の話になって、電磁気学的にはどうでもよい（＝関係ない）と言うことになる。電磁気学を構築したマクスウェル自身は、電波の伝播に、奇妙な性質をもつ媒質エーテルの存在を信じていたが、でき上がった方程式には、それが全く現れておらず、（故に、エーテルの実在が否定された相対性理論の嵐を無傷で切り抜けることができたのであるが、）その事情と似ているものを感じる。
ここで終わりにしたいのであるが、磁力線の回転についてもう少し拘ってみたい。棒磁石からの磁力線が棒磁石に固定されているとしよう。この棒磁石が回転するとき、磁力線も一緒に回転するか、と言うことが問題であった。電磁気学ではこのような棒磁石の動作は、電流が流れる円形ループで置き換えられることが導かれている（厳密には、微小磁気ダイポールを微小の円形ループで置き換えるのであるが）。棒磁石を回転させると言うことは、電流ループを回転させると言うことであろうか。導線内には、正負の電荷が同量あって、そのうちの自由電子の動きが電流を作っているのだが、電流ループを回転しても、正負同量の電荷が一緒に回るのだから、電流は変わらないように見える。ゆえに、電流ループを機械的に回転させても何か起きるようには見えない。故に、ファラデーが言ったように「回転する棒磁石の磁力線は回転しない」が正しいようである。多分、これを厳密に議論しようと思うと、相対論や量子論が必要になってくるであろう。
ここでは、マクスウェルの方程式を信じ、磁力線が動くかどうかの議論は意味がないと割り切ってしまうのが良いと思う。
こういう議論が好きな読者の皆さんには、以下の本を紹介する。
・江沢洋, 上條隆志（編）, 相対論と電磁場（江川洋選集 II）, 日本評論社, 2019.
出版年は新しいが、内容は、高校生の物理教育のありかた（教科書つくり）に一家言をもつ江沢洋先生が 1960~1980 年代に書かれた記事を整理してまとめている。電磁気学と相対論を結ぶ視点から、動く磁力線問題、動く電気力線問題について多くの章が充てられている。力線が動くと言う考えに懐疑的な今井功先生からの批判に対して、熱い持論を展開している。

５．もう一押し：定説は疑ってみよう
初版のレポートでは、図３の話は４節で終えている。ここでは、ファラデーが電磁誘導を説明-5-ファラデーのパラドックス

Technical Report YK-081_rev
Nov. 28, 2023/ rev: July 10, 2024
Y. Karasawa

するときに使った「誘導起電力は導線が磁力線を切る量に比例する」に拘ってみたい。単極誘導については「回転する棒磁石の磁力線は回転しない」として説明できたのであるが、いかにも歯．．．．．．．．．
切れが悪く、故にパラドックスと言われてしまうわけである。開き直って、回転する磁石の磁力．．．．．．．．．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
線も一緒に回転すると言ったらどうであろう。そして、誘導起電力は導線が磁力線を切る量に比．．．
例するを通すのである。
図３の③のケースを考えてみよう。この場合、i) 磁石は回転している、ii) 円板は止まっている、iii) 電圧を測る回路全体も止まっている、であった。i)と ii)の相対的な関係は②と同じ。ならば、回路が磁力線を切っているのだから円板には起電力が発生している。同様に円板の中心部と円板の端を結ぶ検流計側の導線と磁石の関係も i)と ii)の関係に同じなのであるから、この部分にも円板と同電圧の起電力が生まれている。二つの起電力は電気回路としては逆向きなので、二つの起電力が打ち消されて検流計が触れない。結果は×で合っている。
④のケースでは、円板と磁石は同期して回転しているので、円板には起電力が発生しない。しかし、起電力測定のため検流計回路の部分の導線は固定されていてそれが磁力線を切るのでそこに起電力が発生する。故に、起電力あり（○）の結果になる。
③のケースも④のケースも起電力の有無を測るためには検流計も含めたループ（回路）を作らなければ成らず、付け加えた部分も含めた回路全体での起電力となるため、部分的なところを見．．．．てそこに起電力があるかどうかというようなことは言えない。本質的な意味において、起電力の．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
発生場所を測定する（＝特定する）ことができないのである。図３では、全ケースについて、検流計を繋ぐ回路は固定（静止）としたが、円板と一緒に、あるいは磁石と一緒に動くとしたらどうなるだろう。考えてみてほしい。磁力線が回転する（本節）・しない（前節）のどちらでも矛盾の無い結果が得られるはずである。
４節では、回転する棒磁石の磁力線は動かない（＝回転しない）として、５節では、磁力線も磁石と一緒に回転するとして、同じ答えを得た。でも、どこに起電力が生まれるかについては、磁力線が回転するかしないかで違う答えになる。では、どっちの説明が正しいのだと言うことになろう。この問いには答えがないのではと思う。なぜなら、それを証明する測定系を組めないからである（測定値はいつも回路全体の起電力になる）。電磁気学の面白さ、奥深さはこういう議論（＝ああでもないこうでもないというような議論）ができるところにあると思う。

読者の皆さんへ

本内容は、私製ネット公開本「謎解き電磁気学」の第７章に電磁誘導の法則と一緒にまとめています。

謎解き電磁気学：http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/TR-YK-075_EM_Wonderland.pdf
第７章 電磁誘導の法則：http://www.radio3.ee.uec.ac.jp/ronbun/EM_Wonderland_Chap_7.pdf-6-