Sitzverteilungsverfahren
Heike Mildenberger

Studierendenkolloquium des Mathematischen Instituts
Universität Freiburg, 4.7.2024

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Verhältniswahl
Auf den Glossar-Webseiten des Deutschen Bundestages:„Von einer Verhältniswahl spricht man, wenn die Wahlämter genau im
Verhältnis der abgegebenen Stimmen besetzt werden. Bei einer reinen
Verhältniswahl erhält also eine Partei, die bei Parlamentswahlen zehn
Prozent der Stimmen erhält, auch zehn Prozent der Parlamentssitze. ”

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Verhältniswahl
Auf den Glossar-Webseiten des Deutschen Bundestages:„Von einer Verhältniswahl spricht man, wenn die Wahlämter genau im
Verhältnis der abgegebenen Stimmen besetzt werden. Bei einer reinen
Verhältniswahl erhält also eine Partei, die bei Parlamentswahlen zehn
Prozent der Stimmen erhält, auch zehn Prozent der Parlamentssitze. ”` ≥ 2 sei die Anzahl der Parteien.
xi (vorläufige) Sitze für Partei i, i = 1, . . . , `.
vi > 0 Stimmen für Partei i, i = 1, . . . , `. Falls eine Partei null Stimmen erhält,
lässt man die Partei i aus dem Verfahren und gibt ihr null Sitze.
h Hausgröße, Anzahl der Sitze (Wahlämter).
P`
v+ = i=1 vi .
Dann sagt der Text: xi = vv+i · h.
Dies geht natürlich nur, wenn alle vv+i · h natürliche Zahlen sind.
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Zwei Beispiele
1. Zwei Parteien, Hausgröße 11 und Gleichstand in den Stimmen.

Definition
Die Funktion x 7→ bxc mit bxc = max{z ∈ N : z ≤ x} undDefinitionsbereich R heißt Abrundungsfunktion.
2. Ein Beispiel mit einen großem Losverfahren.
` Parteien und Hausgröße z · ` + b 2` c für ein z ∈ N und v1 = · · · = v` .
(Dann ist vi = z + b 2` c 1` .)Man kann per Los b 2` c „glückliche Parteien” auswählen, die jeweils
b vv+1 · hc + 1 Stimmen erhalten. Die nicht Ausgewählten erhalten jeweils

nur b vv+1 · hc Simmen. Es gibt also b `` c gleichwertige Lösungen.
2

Wir sehen später mit Beweis: Nicht nur bei tatsächlichem Gleichstand gibt
es Wahlausgänge, in denen man schlichtweg losen muss. Bei großer
Wählerzahl kommen sie mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit vor.
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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.

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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.
Wir betrachten in diesem Vortrag nur Verfahren, die h fest lassen,Palso `i=1 xi = h ergeben.

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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.
Wir betrachten in diesem Vortrag nur Verfahren, die h fest lassen,Palso `i=1 xi = h ergeben.
Alle vorgestellten Verfahren erfüllen die Proporzgleichung xi = vv+i · hfür i = 1, . . . , `, falls alle vv+i · h ganz sind.

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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.
Wir betrachten in diesem Vortrag nur Verfahren, die h fest lassen,Palso `i=1 xi = h ergeben.
Alle vorgestellten Verfahren erfüllen die Proporzgleichung xi = vv+i · hfür i = 1, . . . , `, falls alle vv+i · h ganz sind.
vi
v+ wird am Anfang nie gerundet bei allen unseren vorgestellten
Verfahren.

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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.
Wir betrachten in diesem Vortrag nur Verfahren, die h fest lassen,Palso `i=1 xi = h ergeben.
Alle vorgestellten Verfahren erfüllen die Proporzgleichung xi = vv+i · hfür i = 1, . . . , `, falls alle vv+i · h ganz sind.
vi
v+ wird am Anfang nie gerundet bei allen unseren vorgestellten
Verfahren.
Bei Gleichstand entscheidet dann immer noch das Los.

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Wie verfährt man, wenn nicht alle vv+i · h ganzzahlig sind?
Wir führen einen bis jetzt unbekannten Sitzverteilungsvektor(x1 , . . . , x` ) ein. Dieser muss xi = vv+i · h nahekommen, aberganzzahlig sein.
Wir betrachten in diesem Vortrag nur Verfahren, die h fest lassen,Palso `i=1 xi = h ergeben.
Alle vorgestellten Verfahren erfüllen die Proporzgleichung xi = vv+i · hfür i = 1, . . . , `, falls alle vv+i · h ganz sind.
vi
v+ wird am Anfang nie gerundet bei allen unseren vorgestellten
Verfahren.
Bei Gleichstand entscheidet dann immer noch das Los.
Es geht also um möglichst gut begründete Rundungen und
Berechnungen von Vektoren (x1 , . . . , x` ) ∈ N` mit Summe h, derenjeder dem Vektor (w1 , . . . , w` ) mit wi = vv+i · h in einem gewissen
Sinn optimal nahekommt.
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Einige Sitzverteilungsmethoden (apportionment methods)
Zur Auswertung einer Verhältniswahl.
Proporzverfahren
Hare/Niemeyer
technisch: Hare-Quote mit größten Resten, HaQgrR
Divisorverfahrend’Hondttechnischer Name DivAbr Divisorverfahren mit AbrundungSainte-Laguë, Schepers, Webster
technischer Name DivStr, Divisorverfahren mit Standardrundung(kaufmännischer Rundung, Geradzahlrundung)
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Weitere Anwendungen

Verhältnismäßige Umrechnung, (w1 , . . . , w` ) ∈ R`+ , wi = w. Nun sollein ( ww1 , . . . , ww` ) möglichst naher Vektor zur Angabe in Prozentzahlen mit
nur 2 Nachkommastellen berechnet werden. Dies entspricht dem
Sitzverteilungsproblem mit Hausgröße 10000.
P

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Thomas Hare und Horst Niemeyer(Quelle: Wikipedia)
Thomas Hare (1806 bis 1891) war ein britischer Jurist und politischer
Aktivist.
Horst Friedrich Niemeyer (1931 bis 2007), deutscher Mathematiker
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Das Hare/Niemeyer-Verfahren
Definition
Die Funktion x 7→ dxe mit dxe = min{z ∈ N : z ≥ x} undDefinitionsbereich R heißt Aufrundungsfunktion.

Algorithmus
Berechne für i = 1, . . . , ` die vorläufige Sitzzahl xi = vv+i · h, undberechne auch bxi c.
d=P`

i=1 (xi − bxi c) = h −P`

i=1 bxi c. d < `.

Ordne xi − bxi c, i = 1, . . . , `, nach der Größe. Gebe den ersten dParteien jeweils dxi e Sitze, und den folgenden ` − d Parteien jeweils
bxi c Sitze.
Gleichstand ist möglich, wenn die ersten d Parteien nicht bestimmt
sind.
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Gute Eigenschaften von Sitzzuteilungsverfahren

Anonymität
Eine Zuteilungsmethode heißt anonym, falls jede Umsortierung desVotenvektors v dieselbe Umsortierung der Sitzevektoren x nach sich zieht.

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Gute Eigenschaften von Sitzzuteilungsverfahren

Anonymität
Eine Zuteilungsmethode heißt anonym, falls jede Umsortierung desVotenvektors v dieselbe Umsortierung der Sitzevektoren x nach sich zieht.
Balanciertheit
Eine Zuteilungsmethode heißt balanciert, falls die Sitzzahlen zweier
gleichstarker Parteien sich höchstens um einen Sitz unterscheiden.

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Gute Eigenschaften von Sitzzuteilungsverfahren

Anonymität
Eine Zuteilungsmethode heißt anonym, falls jede Umsortierung desVotenvektors v dieselbe Umsortierung der Sitzevektoren x nach sich zieht.
Balanciertheit
Eine Zuteilungsmethode heißt balanciert, falls die Sitzzahlen zweier
gleichstarker Parteien sich höchstens um einen Sitz unterscheiden.
Konkordanz
Eine Zuteilungsmethode heißt konkordant, falls von zwei Parteien die
stärkere mindestens so viele Sitze bekommt wie die schwächere.

9 / 42Fortsetzung

Homogenität
Eine Zuteilungsmethode heißt homogen, falls die Lösungsmenge A(v, h)der möglichen Zuteilungen konstant bleibt, wenn der Votenvektor skaliert
wird: A(v, h) = A(bv, h) für alle b > 0.

10 / 42Fortsetzung

Homogenität
Eine Zuteilungsmethode heißt homogen, falls die Lösungsmenge A(v, h)der möglichen Zuteilungen konstant bleibt, wenn der Votenvektor skaliert
wird: A(v, h) = A(bv, h) für alle b > 0.
Exaktheit
Eine Zuteilungsmethode heißt exakt, falls jeder ganzzahlige Votenvektor
xi = vv+i h, der die richtige Summe aufweist, als Lösung nur sich selbst
reproduziert:
A(x, h) = {x}für xi = vv+i · h ∈ N.

10 / 42Schlechte Eigenschaften von Proporzverfahren
Alabama-Paradoxon, Hausgrößenzuwachsparadoxon, Anwachsen derHausgröße führt dazu, dass eine Partei weniger Stimmen bekommt. Für1 ≤ i ≤ `, wi = vi vh+ .
Beispiel (Pukelsheim2, p 179):v = (280; 275; 270; 90; 85), v+ = 1000.
h=5
w = (1,4; 1,375; 1,35; 0,45; 0,44)
x = (1; 1; 1; 1; 1).
h=6
w = (1,68; 1,65; 1,62; 0,54; 0,51)
x = (2; 2; 2; 0; 0).
11 / 42Eigenschaften

Anwachsen der Anzahl der Parteien kann dazu führen, dass eine Partei
weniger Stimmen bekommt bei selber Stimmenzahl.
Parteienzuwachsparadoxon.
Stimmenzuwachsparadoxon. Eine Partei erhält bei einer Verteilung eine
Stimme weniger als bei einer anderen und trotzdem bei der ersten
Verteilung mehr Sitze.

12 / 42Divisorverfahren

Wir wollen nun eine Familie von Divisorverfahren vorstellen und einigesüber sie beweisen.
Hierzu brauchen wir den Begriff einer Rundungsfunktion und derRundungsregel.
Zum d’Hondt-Verfahren gehört die Abrundung,zum Sainte Laguë-Verfahren gehören die kaufmännische Rundung und die
Geradzahlrundung. (Beide geben das gleiche Verfahren, man fasst die
deshalb auch zusammen unter dem Namen Standardrundung.)

13 / 42Victor d’Hondt(Quelle: Wikipedia)
Victor D’Hondt (1841 bis 1901) war ein belgischer Jurist.

14 / 42

Die Namensgeber Sainte-Laguë/Schepers, Webster(Quelle: Wikipedia)
Daniel Webster (1782 bis 1852), amerikanischer Politiker
André Sainte-Laguë (1882 bis 1950) französischer Mathematiker
Hans Schepers (1928 bis 2021), deutscher Beamter
15 / 42Zwei weitere Rundungsfunktionen
Definition
Die folgende Rundungsfunktion heißt kaufmännische Rundung.
hxi =


dxe,

wenn x − bxc ≥ 12 ;

bxc,

wenn x − bxc < 12 .

Definition
Die folgende Rundungsfunktion heißt Geradzahlrundung.
dxe, wenn x − bxc > 1 oder (x − bxc = 1 und dxe gerade);22hxi∗ =
bxc, wenn x − bxc < 1 oder (x − bxc = 1 und bxc gerade).
2216 / 42

Die Sprungstellenfolge einer Rundungsfunktion
Es sei f : R → N eine Rundungsfunktion, d.h. monoton und f.a. x,|f (x) − x| < 1.

Definition
Die Sprungstellenfolge der Rundungsfunktion f ist eine Funktions : N+ → R+ , die definiert ist durchs(n) = inf{x : f (x) ≥ n}.
Für jede Rundungsfunktion f gilt: s(n) ∈ [n − 1, n], denn |f (x) − x| < 1.
Wir berechnen die Sprungstellen der kaufmännischen Rundung:
Die Sprungstellen sind 0,5, 1,5, 2,5, 3,5, 4,5 . . . , und an den Sprungstellensind die Werte 0, 2, 2, 4, 4, . . . .
17 / 42Rundungsregeln

Zu jeder Rundungsfunktion kann man die Menge der Sprungstellen
betrachten. Dann kann man die Funktion umwandeln in eine
mengenwertige Funktion, die genau an den Sprungstellen die Zweiermenge
aus den unteren Wert und dem oberen Wert annimmt, und sonst die
Einermenge der ursprünglichen Rundung ist.
So eine mengenwertige Funktion heißt dann Rundungsregel. Bei
Rundungsregeln gibt es an den Sprungstellen eine Zweiermenge vonFunktionswerten.

18 / 42Eine spezielle Rundungsregel

Definition
Die folgende Rundungsfunktion heißt Rundungsregel zur
Geradzahlrundung und zur kaufmännischen Rundung.
hhxii = hhxii∗ ={hxi∗ } = {hxi},

wenn x 6= 0,5, 1,5, 2,5, . . .

{x − 1 , x + 1 },wenn x = 0,5, 1,5, 2,5, . . .

2

2

Auch zur Abrundungsfunktion (Sprungstellen 1,2,3,. . . ) und zur
Aufrundungsfunktion (Sprungstellen 0,1,2, . . . ) kann man die
entsprechenden Rundungsregeln TxU und VxW definieren.

19 / 42

Die Sprungstellenfolge einer Rundungsfunktion bestimmt
eine Rundungsregel
Definition
Die Rundungsregel zur Sprungstellenfolge s = s(1), s(2), s(3), . . . derRundungsfunktion [·] ist die Abbildung J·K von der nichtnegativen
Halbachse R+ in die Potenzmenge der natürlichen Zahlen, die definiert ist
durch

{n},
wenn x ∈ (s(n), s(n + 1));JxK ={n − 1, n}, wenn x = s(n).
Hierbei ergänzen wir s(0) = 0, und lesen die letzte Zeile für n = 0 ohne
die Zahl −1. Die Rundungsregel heißt durchlässig, falls s(1) > 0.

20 / 42

Die Lösungsmenge eines Divisorverfahrens zu einer
Rundungsregel
Definition
Es sei J·K eine Rundungsregel. Es sei v = (v1 , . . . , v` ) ∈ R`>0 ein
Wahlausgang und h die Hausgröße.
Dann istnA(v, h) = (x1 , . . . , x` ) ∈ N` :X

xi = h undr v zoi∃D > 0, ∀i ∈ {1, . . . , `}, xi ∈D

die Lösungsmenge zum Divisorverfahren mit Rundungsregel JxK.
Zur Verifikation einer Lösung x braucht man nur ein D (einen sogenannten
Referenzdivisor) anzugeben, die anderen Schritte sind leicht zu sehen.
Man stellt sich vor: D = vh+ . Dann ist vDi = vv+i · h.
21 / 42FragennX
A(v, h) = (x1 , . . . , x` ) ∈ N` :xi = h undr v zoi∃D > 0, ∀i ∈ {1, . . . , `}, xi ∈D
1Warum ist A(v, h) nicht leer?

2

Wie bestimmt man das Intervall der möglichen D?

3

Warum weicht jede Lösung für jedes i in der Koordinate xi um“möglichst wenig” von vv+i · h ab?

4

In welchen Fällen gibt es mehr als eine Lösung?

5

In welcher Hinsicht sind Divisorverfahren besser als Proporzverfahren?
22 / 42Eine äquivalente Beschreibung von A(v, h)Satz (Minimax-Bedingung)Ein Sitzverteilungsvektor x ∈ N` ist in A(v, h) genau dann, wenn
xi = h und
vi
vi
max
≤ min
.
1≤i≤` s(xi + 1)1≤i≤` s(xi )P

Beweis: Es seien x ∈ A(v, h) und D ein bezeugender Divisor. Dann ist für
q y
all i, xi ∈ vDi . Das heißt für jedes i: vDi ∈ [s(xi ), s(xi + 1)], alsovi
≤ s(xi + 1).
D
Wir bilden die Kehrwerte und multiplizieren mit vi > 0. (Falls s(xi ) = 0
ist, lässt man es weg.) Wir erhaltens(xi ) ≤

vi
vi
≥D≥
.
s(xi )s(xi + 1)
23 / 42Fortsetzung des Beweises

Da dies für alle i gilt, haben wir
max

vi

1≤i≤` s(xi + 1)

≤ min

vi

1≤i≤` s(xi ).

Umgekehrt, falls die Gleichung gilt, kann man jedes
h

vi
vi i
, min
1≤i≤` s(xi + 1) 1≤i≤` s(xi )D ∈ max

als Divisor nehmen und die Äquivalenzumformungen von oben inumgekehrter Reihenfolge durchführen. qed

24 / 42

Inkrementierung, Höchstzahlbetrachtung

Satz (Inkrementierung)Es sei x ∈ A(v, h) und es seini ∈ I(v, x) := 1 ≤ i ≤ ` :

o
vi
vi
.
= max
i≤` s(xi + 1)s(xi + 1)

Dann ist(x1 , . . . , xi−1 , xi + 1, xi+1 , . . . , x` ) ∈ A(v, h + 1).

25 / 42BeweisAus x ∈ A(v, h) folgt nach dem Minimax-Satz
vi
vi
≤ min
.
max
1≤i≤` s(xi )1≤i≤` s(xi + 1)
Wenn nun das Maximum auf der linken Seite an der Stelle i0 angenommen
wird, kann man von xi0 zu x0i0 = xi0 + 1 übergehen. Für die anderen
Indizes i 6= i0 lässt man x0i = xi . Man hat also h um eins erhöht.

26 / 42BeweisAus x ∈ A(v, h) folgt nach dem Minimax-Satz
vi
vi
≤ min
.
max
1≤i≤` s(xi )1≤i≤` s(xi + 1)
Wenn nun das Maximum auf der linken Seite an der Stelle i0 angenommen
wird, kann man von xi0 zu x0i0 = xi0 + 1 übergehen. Für die anderen
Indizes i 6= i0 lässt man x0i = xi . Man hat also h um eins erhöht.
vi
v i0
vi
v i0
max
≤
=
≤ min
.
0
1≤i≤`,i6=i0 s(xi + 1)s(xi0 + 1)s(xi0 ) 1≤i≤`,i6=i0 s(xi )vv

Da s(x0 i0+1) ≤ s(xi00 ) , hat man
i0

i0

v i0
vi
vi
≤
≤ min
.
max
1≤i≤` s(x0i + 1)s(x0i ) 1≤i≤`,i6=i0 s(x0i )0In anderen Worten
vi
vi
≤ min
. qed
0
1≤i≤` s(xi + 1)1≤i≤` s(x0i )max

26 / 42

Dekrementierung

Analog zur Inkrementierung beweist man die Dekrementierung.

Satz (Dekrementierung)Es sei x ∈ A(v, h) und es seini ∈ K(v, x) := 1 ≤ i ≤ ` :

vi
vi o
= min
.
i≤` s(xi )s(xi )

Dann ist(x1 , . . . , xi−1 , xi − 1, xi+1 , . . . , x` ) ∈ A(v, h − 1).

27 / 42Der Höchstzahlalgorithmus
Satz (Existenz von Lösungen)A(v, h) 6= ∅.
Beweis:(1)(1)
Bestimme x(1) = (x1 , . . . , x` ) ∈ A(v, 1). Dies ist nicht leer. Man gibt
(1)(1)
xi = 1 für eine Partei mit maximalem vi und setzt alle anderen xi = 0.
Erhalte im j-ten Schritt durch Inkrementierung den Vektor x(j) , solange,
bis j = h.
Das Intervall der bezeugenden Divisoren ist
h

max

vi

, min

vi

1≤i≤` s(x(h) + 1) 1≤i≤` s(x(h) )
i
i

i

.

Falls wir eine Rundungsregel mit s(1) = 0 haben, starte mit
x(1) = (1, 1, . . . , 1). Z.B. die Aufrundungsregel. qed
28 / 42Ein Verfahren zur Bestimmung eines Elements von A(v, h)
und der Menge der zulässigen D in höchstens b`/2c
Schritten
Algorithmus (Divisorverfahren auf schnelle Art)
Starte mit dem empfohlenen Anfangsdivisor D0 . (D0 = vh+ fürSainte-Laguë.) Berechne ein x(1) so dass für alle i ≤ `,
rv z
(1)
i
.
xi ∈
D0
P (1)

Berechne nun xi = h(1) .
Falls h(1) = h, fertig.
Falls h(1) < h, inkrementiere sukzessive (höchstens b`/2c mal) bis
h(j) = h.
Falls h(1) > h, dekrementiere sukzessive bis h(j) = h.
29 / 42Unsere beiden Divisorverfahren

Man nimmt für Sainte-Laguë J·K = hh·ii. Für d’Hondt nimmt man die
Abrundungsregel für T·U und einen geringfügig kleineren Anfangsdivisorv+
D0 = h+` .
230 / 42Eine gängige Schilderung der Sainte-Laguë-Verfahrens
Es sei v1 ≥ · · · ≥ v` . Starte mit x(1) = (1, 0, . . . , 0). Inkrementiere h − 1
mal.
Ausführlich und mit Streckung der Sprungstellen:
Starte mit h = 1 und D = 2 · s(1) = 1, im n-ten Schritt für n ≤ h gehebilde eine Höchstzahl zu den Divisionen der vi durch 2 · s(k) = 2k + 1,
k ≤ n, die noch nicht besetzt ist. Man muss nicht immer neu dividieren, inmanchen Schritten findet man in einer früheren Division noch eine
Höchstzahl. Wenn beim letzten Sitz mehrere Parteien mit derselben
Höchstzahl da sind, entscheidet das Los. Hierzu müssen die letzten ≤ `Schritte mit betrachtet werden, wie lange in die Vergangenheit der
Gleichstand reicht.

31 / 42Eine gängige Schilderung der Sainte-Laguë-Verfahrens, II

Der Faktor, mit dem man die s(j) streckt, ist irrelevant.
Warum nimmt man gerade ein Vielfaches der Sprungstellen zur
Standardrundung? Da die kaufmännische Rundung gerechter ist als die
Abrundung, die zum d’Hondt’schen Divisorverfahren gehört und kleinere
Parteien benachteiligt. (Folie 38)

32 / 42

D’Hondt-Verfahren als Höchstzahlenschema
h = 10. v+ = 1000, v+ /h = 100 (Von der Wikipedia)
ParteiA

B

C

D

Stimmen

416

335

160

89

Stimmen/1

1 416

2 335

5 160

9 89

Stimmen/2

3 208

4 167

80

44

Stimmen/3

6 138

7 111

53

29

Stimmen/4

8 104

10 83,840

22

Stimmen/5

83,2

67

32

17

Vergleichszahlen

Auszählung
Sitze
4
4
1
1
v+
Eingerahmt sind die Sitzvergaben. (D0 = h+`/2 , runden.)
h

vi
vi i
; min
= [83,2; 83,8].
i≤` s(xi + 1) i≤` s(xi )D-Interval = max

33 / 42

Sainte-Laguë-Verfahren als Höchstzahlenschema
h = 10 mit selbem Beispiel, D0 = 100 = v+ /h ∈ D-Intervall!
ParteiA

B

C

D

Stimmen

416

335

160

89

Stimmen/(2 · s(1))

1 416

2 335

3 160

6 89

Stimmen/3

4 138

5 111

10 53

29

Stimmen/5

7 83,2

8 67

32

17

Stimmen/7

9 59,42

47,86

32

17

Stimmen/9

46,22

Vergleichszahlen

Auszählung
Sitze
4
3
2
1
Eingerahmt sind die Sitzvergaben. Schneller: D0 und runden.
h
vi
vi i
D-Interval = max; min= [46,22 · 2; 59,52 · 2].
i≤` s(xi + 1) i≤` s(xi )34 / 42

Synopse der Vergleichszahlentabellen
h = 10. v+ = 1000, v+ /h = 100 (Von der Wikipedia)
ParteiStimmen

A
416

B
335

C
160

D
89

Stimmen/1
Stimmen/2
Stimmen/3
Stimmen/4
Stimmen/5

1 416
3 208
6 138
8 104
83,2

2 335
4 167
7 111
10 83,8
67

5 160
80
53
40
32

9 89
44
29
22
17

1 416
4 138
7 83,2
9 59,42
46,22

2 335
5 111
8 67
47,86

3 160
10 53
32
32

6 89
29
17
17

Stimmen/(2 · s(1))
Stimmen/3
Stimmen/5
Stimmen/7
Stimmen/9

35 / 42Wann entscheidet das Los beim Divisorverfahren?

Satz (Gleichstand)
1 ≤ |A(v, h)| ≤ 2` und |A(v, h)| ≥ 2 genau dann, wenn für allex ∈ A(v, h),
vi
vi
max
= D = min.
i≤` s(xi + 1)i<` s(xi )36 / 42Beweis der Rückwärtsrichtung

Die Minimax-Ungleichung sei also eine Gleichung. Unter der Gleichheit
gibt es 1 ≤ i 6= j ≤ `, so dassmaxvi

1≤i≤` s(xi + 1)

=

vi
vi
vi
=
= min
.
s(xi + 1)s(xj ) 1≤i<` s(xi )Man kann nun nach der Inkrementierung xi durch x0j = xi + 1 ersetzen
und gleichzeitig nach der Dekrementierung xj durch x0j = xj − 1 ersetzen
und alle anderen Koordinaten von x0 we die in x lassen. Dann stimmt die
Minimax-Gleichung auch für x0 .

37 / 42Skizze der Vorwärtsrichtung des Beweises

Umgekehrt: Wenn man zwei solche Ersetzungen und also ein Paar von
Lösungen x, x0 ∈ A(v, h) hat mit mindestens einer Abweichung, also
mindestens zwei Abweichungen, mit womöglich verschiedenen Dx , Dx0 ,dann ergibt sich aus xi ∈ J Dvix K und x0i ∈ J Dvi 0 K folgendes. Es seixxi = x0i + 1. Man hat Dvix ∈ [s(xi ), s(xi + 1)] undvi
000
Dx0 ∈ [s(xi ), s(xi + 1)] = [s(xi − 1), s(xi )]. Es sei xj = xj − 1. Man hat
vj
Dx ∈ [s(xj ), s(xj + 1)] undvj
00
Dx0 ∈ [s(xj ), s(xj + 1)] = [s(xj + 1), s(xj + 2))]. Alle vierElementbeziehungen zusammen sind nur erfüllbar, wenn Dx = Dx0 =
vj
vj
vi
vi
s(xi ) = min = s(xj +1) = max = s(x0 +1) = max = s(x0 ) = min .
ij38 / 42Verzerrtheit, Bias
Definition
Wir fassen den geordneten Wahlausgang vi(1) ≥ vi(2) ≥ · · · ≥ vi(`) als
Zufallsvariable V1 , . . . , Vk auf. Die in einem Verfahren diesem zufälligen
Ausgang zugeordneten Stimme schreiben wir als Zufallsvariable
X1 , . . . , X` .
hB(k) = lim E Xk − Vk ·h→∞ih
| V1 ≥ V2 ≥ · · · ≥ V`v+

heißt Verzerrung für die k-t größte Partei.

Satz
Sainte-Laguë/Schepers und Hare/Niemeyer sind unverzerrt B(k) = 0.
D’Hondt ist zugunsten der großen vi verzerrt. (Polyá, 1919)
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Fehlermaße und Optimalität
Satz (Sainte-Laguë, 1910)
Der Fehler aus Wählersicht
1
fv,h
(x) =

X 1
1≤i≤`

vi

· xi − vih 2v+

ist unter allen Zuteilungsverfahren minimal für das Divisorverfahren mit
Standardrundung, also das Sainte-Laguë-Verfahren.

Satz (Sainte-Laguë, 1910)
Der Fehler aus Abgeordnetensicht
2
fv,h
(x) =

X 1
h 2
· x i − vi
xi
v+

1≤i≤`

ist unter allen Zuteilungsverfahren minimal für das Divisorverfahren mit
pgeometrischer Rundung mit Sprungstellen sgeo (n) = n(n − 1).

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Fehlermaße und Optimalität

Satz (Sainte-Laguë, 1910)
Der Fehler aus Parteiensicht
3
fv,h
(x) =

X
1≤i≤`

(xi − vih 2)
v+

ist unter allen Zuteilungsverfahren minimal für das Hare/Niemeyer
Verfahren.

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Literatur

1) Friedrich Pukelsheim, Sitzzuteilungsmethoden, Spinger, 2016.
(pdf-Datei über die UB.)
2) Friedrich Pukelsheim, Proportional Representation, Second Edition,
Spinger, 2017. (pdf-Datei über die UB.)
3) Englische und deutsche Wikipedia

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