なお，積の形から絞り込む場合，往々にして，19=を満たす整数 x,y,z の組を
111x+3 変数のときは苦しいです．
xyz - xy - yz - zx + x + y + z = 01zy+-(x - 1)(y - 1)(z - 1) = - 1のような因数分解ができるのはかなりレアで，大体すべて求めよ．の場合はある変数がとりうる値を限定する《考え方》ことを目指します．例えば整数問題ですので，まずは解法パターンを確認しておきましょう．

1≤x≤3・積の形から絞り込むのような不等式ができた場合，x = 1,2,3 の 3 択・不等式から絞り込むであり，それぞれの場合について代入して考えれば単なる 2 変数の不定方程式・余りに注目して絞り込むという流れが王道でした．今回はどうでしょうか？となり，どうとでもなります．2 変数と 3 変数以上

与式を変形すると以下のようになります．

では難易度が雲泥の差であることは意識しておきま

1x+1=しょう．なお，今回は「自然数」ではなく「整数」

911

なので，上から押さえるだけでは不十分であること

1y+zにも注意してください．
1- x+y+- x+1z=では，具体的にどのように絞るか．

11
9

今回は x,y,z の対称式ではないので，よくあるx ≤ y ≤ z と大小順をつけて，z11=
yz + 1
9全ての文字を x（または z）でおきかえる
ことにより絞り込みは使えません．とは言え，どれ- 9 x(yz + 1) + 9 z = 11(yz + 1)
- 9 xyz + 9 x + 9 z - 11yz = 11

か 1 変数についての絞り込みはできるはず・・そういう目で式をジッと見てやってください．

余りに注目してもあまり進みそうにないです．また，ここからキレイな因数分解，つまりx+（変数の積）=（定数）の形を目指すのは無理そうですね．少し期待度を下

1
1y+z

=

11
9について，分数の成り立ちが x,y,z の順になってげて積を作りいるので，絞り込めるとしたら x または z でしょう．

9(xyz + x + z) = 11(yz + 1)

そして，x が絞り込めるとしたら，その拠り所はから，整数 k を用いて1xyz + x + z = 11ky+yz + 1 = 9k
とおいても，上手くいきそうにないです．

1 のとりうる値の範囲が限定的ということになzります．つまり，

あるいは9x(yz + 1) + z(9 - 11y) = 11

1y+1 が自由に動けなければ，等z式が成り立つ以上，x もあまり自由に動けない，と9(xyz + x + z) - 11yz = 11

いう流れです．などとしても進まないです．

1実際，そういう目で1y+1y+正の範囲に限定して z = 1,2,3,…… と列挙し1 を見てみましょう．
zていくと
1 1 1 1 1 1
1, , , , , , ,ºº
2 3 4 5 6 7

1 の絶対値があまり大きい値をとれなければ，zx の値は限定的となります．これは結局， y +となり，数直線に表せば下のようになります．

1のz0絶対値がある値よりも小さくなれなければ良いわけです．
y+11 1
1 43 251

ここで，図から分かるように，0 の近くはビッチ
1という式について考えていきましょう．こzリと詰まっていて，逆にの式はザックリと言ってとに注意してください．

（整数値）+（- 1 から 1 までの数）という式で，例えば，1と 1 の間は隙間があるこ
2

さらに，z が負の値のときも考えると，左右対称1は帳尻合わせの数です．
zになることから1の範囲は次のようになります．
z31という数について
31の範囲
z311= 10 +33-1と表せますが，これは y = 10，z = 3 という状況です．

-120

いま，y は整数値をとるので，311に近い整数値を y として用意して，端数を でz31121を用いて各整数
z1から左右に ずつ触手を伸ばすことを考えると，範2揃えます．なお，y,z は自然数とは限らないので231= 11 3
3囲について一通りは網羅できそうです（あくまで射程圏内というだけの話であり，全ての値がくまなくという表し方もできますが，これは分子が 1 ではな取れるわけではないです）．

いので，z を上手くとることができませんが，いずれにせよ，ある数 a に対して，整数 y で近づいておき，1で帳尻を合わせるというわけです（下図のよz-4 -3 -2 -1 0うなイメージ）．
1y z
整数

ここで，注意することは，23 4

これでは絞れないな，と思うところですが，y+1a11の絶対値の下限値についてもう少し突き詰めz整数y+1のとりうる値が限定
zていくと，実は y = 0 はとりえないことが簡単に分かる（後の解答参照）ので，実際は次のようになり的ということです．

ます．

2

より，1 以上であるから成り立つ（等号は成立し-4 -3 -2 -1 0 1
1 12 22ない）．

3 4・z ≠ ± 1 のとき
一般に

これより
y+A + B ≥ A+ B
（等号成立は A と B が同符号のとき）

11≥z2が成り立つのでが成り立ち，このことから0<

1y+ª1 ≤2zが言えるので，x の範囲が絞り込めます．
では，以下，模範解答です．

が成り立つ．等号成立は，「y+《解答》

y ≥1与式において逆数をとると
11y+z=かつ11ºº 191111≤- ≥22zzが成り立つので，それぞれ辺々足してとなる．ここで，y = 0 とすると

y -1 1111x+ =- x+ z=
199z

11≥ ºº 4z2が成り立つ．等号成立は y = 1 かつ z = 2 のときとなり，x,z は整数であるから，これは不適．よっである．て，以下

よって 3,4 より

y ≠ 0 かつ z ≠ 0 かつ y +1
≠ 0 …… 2zy+の範囲で考える．

11≥z2が成り立つ．等号成立は

いま，2 においてy+11と - が同符号」
zzのときである．さらに

1与式より，z ≠ 0 および y + ≠ 0 である．また，zx+º ª º1111+ - ≥ y++ zzz
z11≥ y- y+ +zz
1
1- y+ ≥ y ºº 3zzy+「y+11≥z2

11と - が同符号」
zz

かつが成り立つことを示す．

y =1かつ z = 2

より・z = ± 1 のとき(y,z) = (1,- 2),(- 1,2)

1y±1 ≥2のときである．

を示せばよく，左辺は 0 ではない 0 以上の整数

3

(ii) x = 1 のとき

したがって
1 -1
1y+z

=

11-x
9

11=
19y+z
12
=
1 9y+z
1 9- y+ =z 2
1 9= -yz 2

1 - 1+よりy+111≥- 0<
1 ≤2z
2y+zに代入して11-x ≤291111- - 2 ≤ - x ≤ 2, x ≠9972911- - ≤x≤ ,x≠999より，5 に代入すると

0<9- y ≤1299- - 1 ≤ - y ≤ 1, y ≠227119≤y≤ ,y≠2220<が成り立つ．x は整数より
x = 0,1,2,3となる．よって y = 4,5 に限られに限られる．以下
10<≤ 1 ºº 5z(iii)x = 0 のとき
1 -1=y = 5 のとき

z= -2

x = 2 のとき
11y+z=

1197=19y+z
19- y+ =z719=- -yz
7-

より，5 に代入すると
9- y ≤11199- - 1 ≤ - y ≤ 1, y ≠11112209- ≤y≤ ,y≠1111110<1より，5 に代入すると
9- y ≤1799- - 1 ≤ - - y ≤ 1, y ≠ 77162
9- ≤y≤ ,y≠7
7
70< -となる．よって，y ≠ 0 より y = 1 に限られるが，このとき， z =z=21 - 2+1191z
1
9- y+ =z 11
1
9=-yz 11y+y = 4 のときとなり，これらは適する．に注意する．
(i)111となるので不適．
9となる．よって，y ≠ 0 より y = - 1 に限られるが，このとき， z = -47となるので不適．
2

《補足 2》(iv) x = 3 のとき
1 - 3+-1
1y+z

1==-119y+を示すところで，解答では「三角不等式」を用いて169います．ただ，左辺は 0 とは異なるため，

1z
19- y+ =z
16
1
9=-yz
16y+(y,z) = (1, - 1),(- 1,1) を除外するために，少し面倒ですが場合分けをしています．
なお，「三角不等式」は用いず
y ≥ 2 のとき

より，5 に代入すると

y ≤ - 2 のとき
y = ± 1 のとき

9- y ≤116
99- -1≤- y ≤ 1, y ≠ 16
162579- ≤y≤- ,y≠1616
160< -のように分けて，もう少し具体的に考えて示すことも可能です．
また，等号成立について(y,z) = (1,- 2),(- 1,2) のときと調べていますが，実際は不要です．x の不等式にとなる．よって y = - 1 に限られ
y = - 1 のとき

11≥z2z=書き換えた後の

167-となり．いずれも不適．

729≤x≤
99の等号が成り立つときの話であり，この場合は x が整数でないため無関係ですよね．

以上よりさらに(x,y,z) = (1,4,2),(1,5,- 2)である．
（解答終わり）《補足 1》

0<から x ≠3 変数のままでは大変ですが，x の値を決め，y,z1y+1z-0<

11-x911としているところや，x の値を決めた上9で y の値を絞り込む際にの 2 変数にした後は，解答のように何とでもなりますね．なお，2 変数にした後，例えば x = 0 のとき0<について1zから，y ≠ ●としているところも不要です．

19=z 11- 11yz + 11 = 9 zy+

結果的には
1- z(11y - 9) = - 11

1y+zとできるので，この積の形から≤ 2,1≤1zという不等式で十分で，「0 より大きい」を踏まえる(z ,11y - 9) = (1,-11),(-1,11)

必要はありません．

(11,- 1),(- 11,1)と絞り込むこともできます．

5《補足 3》などがあります．

この問題の背景は分かるでしょうか？知ってる人

なお，ある 1 より大きい数に対して「整数部分」が見たら一発で分かる代物ですが，「連分数展開」と「小数部分」に分けているので，扱う数としてはというものがテーマです．「連分数」とは，分母に必然的に全て正の数になります．アルゴリズムを考

さらに分数が含まれているような分数のことを指しえれば，正の数（自然数）のみを用いるこの表記とます．

して今回の表現は一意的

11について見てみましょう．これについ9であることが分かります．また，ここでやっているて，整数部分と小数部分とに分けると作業は，実はユークリッドの互除法

112=1+99と密接に関わりがあります．

2となります．ここで出てきた は 0 と 1 の間の数な
914 ∏ 9 = 1 … 余り 5ので，これを整数部分と小数部分に分けたところで5 ∏ 4 = 1 … 余り 19 ∏ 5 = 1 … 余り 4

何も変わりません．一方で，この数について逆数をに対してとると当然 1 より大きい数となり，整数部分と小数145
1= 1+ = 1+99951
1= 1+=1+4
11+1+554
1=1+11+11+4ªº部分とに分けることができます．実際やってみると
112
1=1+ = 1+9992
1= 1+14+2ªºªºとなります．
この結果から，(x,y,z) = (1,4,2) が解の 1 つと対応していることが確認できます．

であることは分かります．なお，ここで連分数展開は打ち止めです．新しく出てきた分数がさらに，上で「一意的な表現」と書きましたが，1と，分子2今回の問題のように負の数も OK とするならば，例が 1 なので，これの逆数をとったところで以降進みえばません．

144= 299

もう少し続く，他の例も見てみましょう．

= 2-145
1= 1+ = 1+99951
1= 1+= 1+411+1+554
1= 1+11+11+4ªº1941ªº= 2-2+ªº14のようにもできますし，途中まで同じ，途中から路線変更するとして6わざわざ正則連分数展開でない表記を用いる必要

1441= 2- = 29994
11= 2= 231334
4
31= 21
311+3ªºはあるのか？とデメリットしか感じないかもしれま
せんが，敢えてそうすることにより，数字の並びに規則性を見出すことができるケースもあります．例ªº

えば，有名な無理数 p について
12p = 3+6+のようにもできます．
基本的には，ある数に対して（整数）と（絶対値が 1 未満の数）とに分ける方法は，後者を正とする
か負とするかで 2 通りあるので，負の数を許すならと表せることが知られています（証明は大学数学がば枝分かれ的に表現方法は増えていきます．

必要です）．

また，（絶対値が 1 未満の数）の逆数をとると分無理数の分数表記というあたりに違和感を感じる

子は当然 1 になりますが，その分子を敢えて 1 以外ことかと思いますが，シンプルな無理数であれば，にする表記もあります．

簡単にできます．例えば 2 について

14
5
12= 1+ = 1+= 1+918
99552
2= 1+=1+3
13+3+553
22= 1+= 1+1
13+3+2
11+1+3
3
2
2
= 1+
13+
1
1+
11+2ªº32
526+72
6+92
6+112
6+132
6+ºª º2+1
1=2 - 1 ( 2 - 1)( 2 + 1)
2+12-1=ªº= 2+1\ªº12+12-1=であることに注意すると
2 = 1 + ( 2 - 1)
12+11=1+=1+

このような表記は分子は何でも良いので，無数に2 + ( 2 - 1)
1= 1+表し方は存在します．

2+

これと区別して，分子が全て 1 になるような表記を「正則連分数（展開）」とも言います．正則連分=1+数展開は，各数に対して一意的な表現となります．

2+12+1112+= ººとできます．
7

12+1

2 の整数部分が 1 であることを知っていることが 《補足 4》
少し話は逸れますが，p の分数近似について．

前提ですが
2 = 1 + ( 2 - 1)

知る人ぞ知る，という感じですが，p はと分けた後に，小数部分である 2 - 1 について逆数をとり，その後，有理化をするところがミソですね．
（p については，逆数をとった後に有理化ができな355というシンプルな分数でかなりの精度で近似で113
きます．
p = 3.14159265 ºº
22= 3.14285714 ºº
7355= 3.14159292 ºº
113

いので，同じ手法では上手くできません．）
また，一番美しいと思われるものとしては，黄金比5+1の（正則）連分数展開です．
25-1=2=ª1=25-1ª1
5+12なので，実感できると思います．ちなみに，「シン1º

プルな分数」と書いたのは，「分母が小さい」とい5+12∑5-15+1う意味です．
p = 3.14159265 ºº
314159265™
100000000ºであることに注意するととしたところで，何の魅力も感じないですよね？同5+15-1=1+=1+22\5+1=1+222や
7ª15+12ª15+12º

じくººº 1とは言え，355
は小数第 6 位まで同じという脅威の113

では，このような分数はどのように見つけることができるのか？実は，今回の連分数展開と同じようºな考え方が根底にあります．
p = 3.14159265 ººというのが分かっている前提で進めるとºª22は凄いですし，3 桁の分母7近似です．

5+15-1=1+22
1=1+5+12
1=1+1
1+5+121=1+1
1+1
1+5+12= ººªº

分母で近似できているが成り立ちます．1 を繰り返し用いると

ªª314
157
=も芸が無いです．その点，一桁の10050

p ™ 3.14159265= 3 + 0.14159265
1= 3+10.14159265
1= 3+7.06251348 ºº
1 22™ 3+ =77ªºとなります．

8ºであり，もっと近似の精度を上げると17.06251348
1= 3+7 + 0.06251348
1= 3+
17+
10.06251348
1= 3+
17+15.9965499 ºº
16355
1= 3+=™ 3+1113
113
7+16p ™ 3+ªºとなります．電卓必須ではありますが，上手くいってますよね？
もちろん，近似の精度を上げたければ，分母に生じた小数を整数に近似するタイミングを遅らせ，さらに連分数展開を続ければ良いわけです．
ただし，分母に登場する数が 7.06251348 …… や15.9965499 …… のような整数に近い数のタイミングで近似しないと，近似の精度は下がりますのでご注意ください．
《最後に》いかがだったでしょうか？知れば知るほど魅力を感じる連分数展開です．書き残したこともまだまだ数多くありますので，興味がある方は，「連分数展開」
で色々と調べてみてください．
折角ですので，「連分数展開」がテーマになっている今回とは毛色の違う問題を，次回も出題しようかと思います．楽しみにお待ちください．
それでは，また次回．
（研伸館野口）9