2015.03.21
第70回年次大会@早稲田大学

21pCA-7正準基底時間依存ハートレー・フォック・ボゴリューボフ理論の開発

江幡 修一郎北海道大学 知識メディア・ラボラトリー,
北海道大学 大学院 理学研究院
原子核反応データベース研究開発センター (JCPRG)

Based onPhys. Rev. C82 (2010) 034306,
Phys. Rev. C90 (2014) 024303,
JPS Conf. Proc. 1, 013038 (2014), etc.
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata正準基底時間依存ハートレー・フォック・ボゴリューボフ理論の開発

Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出
Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata正準基底時間依存ハートレー・フォック・ボゴリューボフ理論の開発

Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出
Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Motivation
有限量子多体系である、原子核では系の核子数とエネルギーに依存して、様々な自由度が現れる。
一粒子励起状態

α粒子励起状態

集団励起状態

Etc.

原子核の複雑さを理解する為に、様々な原子核の様々な励起状態を系統的に知るべきである。

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Motivation
原子核の複雑さを理解する為に、様々な原子核の様々な励起状態を系統的に知るべきである。
“系統的” → 安定核, 不安定核, 球形核, 変形核 ...
一般に ... 理論模型が系統的に多くの核種を記述する為には、幾つかの条件を満たすべきである。
満たすべき条件 :1, 任意の変形を記述する為に、空間的な対称性を課さない。
2, 重い核種、開殻核を記述する為に、対相関を導入する。
3, 基底状態だけでなく、励起状態や動力学を記述する。
4, 重い核種においても、現実的な計算コストで研究可能である。

Canonical-basis TDHFB (Cb-TDHFB)
in 3-Dimensional coordinate-space
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Motivation

安定核： 約 250 核種
既知核： 約 3300 核種理論予想： 6000 ~ 核種
http://unedf.org/
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata様々な平均場模型 (密度汎関数法)
MethodDimension
Static,Ground state

WithNo Pairing
WithPairing (BCS)
WithPairing

Dynamics,
Excited stateTime-dependent HF
Hartree-Fock(HF) (TDHF), RPA
TDHF+BCS

HF+BCS
Hartree-FockBogoliubov (HFB)

Cal. cost

1D

Spherical

Light

Quadrupole

2D
3D

ShapeHeavy

No restriction

BaseCal. cost Demerit

Cb-TDHFBTDHFB, QRPA*(Q)RPA: Quasi-particle Random Phase Approximation← Small amplitude limit of TDHF(B)*Another key word: Self-consistency

HO, THO Exp.

Light

Dilute density X

MeshHeavy

Heavy Cal. cost X

Interaction (non-relativistic)
Contact (δ) - type

SkyrmeFinite range

Gogny*Relativistic Mean Field (RMF); Method : Hartree, Hartee-Bogoliubov
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出
Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataCb-TDHFB方程式の導出

TDHFB
1, Canonical-basis representation
2, Assumption for Pairing potential

Cb-TDHFB
S. Ebata, T. Nakatsukasa, T. Inakura, K. Yoshida, Y.Hashimoto and K.Yabana,Phys. Rev. C82 (2010) 034306

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataHF vs. HF+BCS vs. HFB
HF

Pairing correlation

HF+BCS: Canonical basis: BCS quasi-particle state

Generalize

HFB: Generalized quasi-particlestate*One body density matrix is diagonalized in Canonical basis.

N : nucleon #N' : canonical basis #N = N'

N < N'

M : basis #Dimension

TDHFB: Generalizeddensity matrix: Generalized
Hamiltonian: Pair potential

ポイント: HFB 状態の正準基底表示はいつでも存在する (Bloch-Messiah)

HFB at t

HFB at t'...

...

TimeBCS at t

BCS at t'...

...

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataポイント: HFB 状態の正準基底表示はいつでも存在する (Bloch-Messiah)

HFB at t

HFB at t'...

...

問題点:
我々はTDHFBを解く事なく、正準基底の時間依存性を知る事が出来るか？

?
BCS at t

Time

BCS at t'...

...

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataCb-TDHFB 方程式の導出: Density matrix

Ebata et al, Phys. Rev. C82, 034306

TDHFB Eq.

: Pair tensor: Arbitrary complete set: Canonical basis（正準基底）
正準基底は密度行列を対角化する表示基底
正準基底表示では行列要素を対角要素に圧縮できる。

正準基底表示にする事でTDHFBの計算コストを大幅に減少させる事が出来る !?
: 時間依存正準基底: Time-dependent Canonical single-particle basis
This set is assumed to be orthonormal.

Cb-TDHFB 方程式の導出
1, 正準基底表示

PRC82, 034306

TDHFB Eq.

: Pair of k-state(no restriction of time-reversal): 占有確率: 対確率: Density matrix: Pair tensor

Inversion2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataCb-TDHFB 方程式の導出

PRC82, 034306

ギャップエネルギー
が一般の二体相互作用が張る空間を尽くさない為、TDHFBに逆変換できない。

2, 対ポテンシャルの近似… Pair potential is diagonal.
We can invert
the pairing potential.

Cb-TDHFB equations

Properties of Cb-TDHFB

TDHF
HF+BCS

Cb-TDHFB を応用する為に …

PRC82, 034306

3, Monopole pairing を採用したとする

この対ポテンシャルは正準基底の位相についてのゲージ不変性を破る。
Cb-TDHFB 方程式は 正準基底の位相変化に対して不変。

This schematic
pairing potential violate

この対ポテンシャルを使う場合、ゲージを選ぶ必要がある。

Cb-TDHFB方程式の導出と応用

PRC82, 034306

TDHFB
1, Canonical-basis representation

導出

2, Assumption for Pairing potential

Cb-TDHFB
3, We adopt a schematic pairing functional.
We choose the special gauge.

For applications of Cb-TDHFB
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

応用に必要Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata時間依存の方法を用いた線形応答の計算方法
Calculate HF or HF+BCS ground state

Addinga instantaneous external field
to ground state

one-body operator

Calculate the time-evolution with TDHF or Cb-TDHFBStrength function S(E;F) is gotten as Fourier transformed TD-: Smoothing parameter2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata.

時間依存の方法を用いた線形応答の計算方法

外場の強さについて、演算子毎に線形性の確認が必要。
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata線形応答計算の例: 光吸収反応断面積 （172Yb）
3D Cb-TDHFB

Cb-TDHFB cal. can reproduce
the photo-absorption cross section of 172Yb.

β =0.32∆n = 0.76 [MeV]∆p = 0.55 [MeV]Γ= 1.0 [MeV]

重い核種
変形核対相関の導入

K=0-Proton

Total cal. cost : 300 CPU hours(with a Single processor; Intel Core i7 3.0 GHz)
Box size : R=15[fm], mesh=1[fm] (3D-Spherical)

Canonical-basis space (HF+BCS g.s.) :146 states for neutron,
98 states for proton
Experimental data:
A.M.Goryachev and G.N.Zalesnyy Vopr. Teor. Yad. Fiz. 5, 42 (1976).

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

K=1-Neutron

計算コストの比較 Cb-TDHFB vs. QRPA
Cb-TDHFB の線形応答計算は非常に小さい計算コストでQRPA 計算の結果に匹敵する結果を得る事が出来た。
S. Ebata using Cb-TDHFB( based on PRC82, 034306 )172Yb

J. Terasaki and J. Engel
PRC82, 034326

172Yb

β =0.34

β =0.32<∆n>= 0.77 [MeV]<∆p>= 1.25 [MeV]∆n = 0.76 [MeV]∆p = 0.55 [MeV]Total cal. cost : 300 CPU hours(with a Single processor; Intel Core i7 3.0 GHz)
Box size : R=15[fm], mesh=1[fm] (3D-Spherical)
Canonical-basis space (HF+BCS g.s.) :146 states for neutron,
98 states for proton

Total cal. cost : 100,000 CPU hours(with Kraken; Super computer of ORNL)Box Size : ρ = z =20[fm], b-spline (Cylindrical)±
Single-quasiparticle
space (HFB g.s.) :5348 states for neutron,
4648 states for proton

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataSystematic study for E1 modes
S. Ebata, T. Nakatsukasa and T. Inakura, Phys. Rev. C90 (2014) 024303
Z= 6 – 50 の核種の電気双極子励起モードを系統的に調べた。(現在 940核種を用意)

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataSystematic study for E1 modes (Pygmy dipole mode: PDR)Soft dipole mode ?

GDRExperiments
26Ne: J. Gibelin et al., PRL101, 212503.
68Ni: O. Wieland et al., PRL102, 092502.

Strength130, 132Sn: P. Adrich et al., PRL95, 132501.
140Ce: R.-D. Herzberg et al., PLB 390, 49.
138Ba: R.-D. Herzberg et al., PRC60, 051307.

?

: A. Zilgas et al., PLB542, 43.

138Ba,140Ce,144Sm

208Pb: N. Ryezayeva et al., PRL89, 272502.
204-208Pb: J. Enders et al., NPA724, 243.
208Pb: A. Tamii et al., PRL107, 062502.

PDR

Excitation Energy
EXP.

PDRの性質とは ?
集団励起状態か否か？
不安定核の特徴的な励起状態か？
軽い核種、重い核種での違いは？
変形核におけるPDRは？
→ UNCLEAR !!

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

P. Adrich et al.,PRL95, 132501.

系統的に低エネルギー E1モードを調べる為に ...

PRC90, 024303

低エネルギーE1遷移分布の全体(和則)に対する割合。

ex.)

すべての原子核に対し、同じ基準を用いて評価“Low-energy”

26Ne on a 208Pb target−λn=7.17

J. Gibelin, et al., Phys. Rev Lett. 101, 212503 (2008)2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataN-# dependence of PDR (6 < Z < 20)

PRC90, 024303

Neutron-# vs. PDR fraction ratio: 低エネルギー E1 strengthは殻構造に敏感
HF+RPA vs. Cb-TDHFB:
低エネルギー E1 strength が N=28 ( Si, S, and Ar ) において滑らかに増加する。
対相関による一粒子状態の部分占有率が主な原因

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataN-# dependence of PDR (Z > 28)

PRC90, 024303

N=82
N=50
Neutron-# vs. PDR fraction ratio:
重い質量領域でも殻構造の影響は健在
PDRと中性子スキン厚との関係は？
変形した核種のPDRの構造は？

deformed

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataN=82付近のPDRの特徴的な中性子数依存性
Isotope

PRC90, 024303

重いアイソトープにおいても、Fermi面付近の一粒子状態の占有がPDRの増加に重要

N=82

f7/2Isotone

一方で、重いアイソトープには一粒子励起構造ではない異なる励起構造がある。

N=82付近のZr アイソトープの低エネルギーE1強度分布

PRC90, 024303−λn=5.06−λn=3.90−λn=3.60−λn=1.57−λn=1.23

残留相互作用場が無い結果と一致する強度分布が N=84を超えたところで現れる。（破線と実線が一致）

これ等の励起状態の集団性は非常に小さい
6~8 MeVあたりの強度分布は残留相互作用により大きく変化
このエネルギー領域に集団的な励起状態の可能性がある。
*Change smoothing function Lorentzian to W(t)at t=0T : total real-time step

まとめ：系統的な E1 励起状態 (PDR)

PRC90, 024303

PDR の割合→ 殻構造を反映した中性子数依存性が広い質量領域で現れる。
→ N=82を持つような重い領域の核種のPDRには複数の励起構造が現れる(一粒子励起と集団励起？)。
N-skin vs. PDR→ The linear correlation between PDR and N-Skin appears, which depends on mass region.
→ The slope becomes gradually decrease as the proton number increases (Z > 40).
→ This relation has interaction dependence and shell structure dependence.

PDR in deformed nuclei vs. N-skin (Sr, Zr, Pd, Cd with N=60-70)→ In deformed nuclei, a K=0 dominance fPDR(K=0) > fPDR(K=1) (prolate) appears.
→ However, the dominance does not correspond to a direction dependence of N-skin.

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出
Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataTDHFを用いた重イオン反応シミュレーション
H.Flocard, S.E.Koonin and M.S.Weiss Phys. Rev. C17 (1978) 1682

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata低エネルギー重イオン衝突反応ではどの様な対相関の効果が予想されるか？
Fusion or Fission cross section
Level crossing
Energy Dissipation
Neck formation
Odd-even effects
for spontaneous fission half-lives ?

Nucleon transfer reaction
Pair transfer
Nuclear Josephson effect2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

W.J.Swiatecki, Phys. Rev. 100 (1955) 937.

SpontaneousFission Half-lives

Cb-TDHFBを反応計算に拡張する為に…
Contact pairing (NPA517(1990)275, Kringer, Bonche, Flocard, Quentin and Weiss): spin-singlet zero-range interaction
Constant G & Contact pairing Q20 mode of 34Mg with result of QRPA (C.Losa)

Phys.Rev.C81,064307

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataSetup for collision

S.E. and T. Nakatsukasa

JPS Conf. Proc. 1 (2014) 013038

Incident Energy : 18 - 20 [MeV] (Ecm = 9.0 – 10 [MeV], VCoul. ~ 9 MeV)
Impact parameter : 2.8 - 3.1 [fm]Effective Interaction : Skyrme force (SkM*), Contact pairing

Projectile : 22O, Target : 22O (HF g.s. has also spherical shape)# of canonical-basis for HF+BCS g.s. ; (N, Z) = (32 (16+16) , 16 (8+8))
Average of gap energy ;Calculation space (3D meshed box):
Length of box for ( x, y, z )is 36, 20, 40[fm] meshed by 1.0 [fm]2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Simulation of 22O + 22O collision with b = 3.0 [fm] and Ecm=10 [MeV]Time-evolution of Neutron density distribution
Cb-TDHFB

TDHF

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

JPS Conf. Proc. 1, 013038

Simulation of 22O + 22O collision with b = 3.0 [fm] and Ecm=10 [MeV]Time-evolution of Neutron density distribution
Cb-TDHFB

TDHF

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

JPS Conf. Proc. 1, 013038

より重い系においての効果
Projectile : 52Ca, Target : 52Ca

Point: 対の数が少し増加した場合

In both methods, the g.s. is spherical shape.

Ecm = 51.5 MeV (VCoul. ~ 49 MeV) Impact parameter : 2.2 - 2.6 [fm]Effective Interaction : SkM*, Contact pairing
To reproduce ∆n of 52Ca
Cb-TDHFBTDHF

σH ~ 189 mb → σB ~ 181 mb ; 5%程度⼩さくなる2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataより重い系においての効果
Projectile : 52Ca, Target : 52Ca

Point: 対の数が少し増加した場合

In both methods, the g.s. is spherical shape.

Ecm = 51.5 MeV (VCoul. ~ 49 MeV) Impact parameter : 2.2 - 2.6 [fm]Effective Interaction : SkM*, Contact pairing
To reproduce ∆n of 52Ca
Cb-TDHFBTDHF

σH ~ 189 mb → σB ~ 181 mb ; 5%程度⼩さくなる2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata異種核種の反応において
Projectile : 22O, Target : 52Ca

Point: Fermi⾯が異なる場合

In both methods, the g.s. is spherical shape.

Ecm = 25 MeV (VCoul. ~ 20.8 MeV) Impact parameter : 3.0 - 4.5 [fm]Effective Interaction : SkM*, Contact pairing
Average of strength in 22O and 52Ca
Cb-TDHFBTDHF

σH ~ 528 mb → σB ~ 503 mb ; 5%程度⼩さくなる2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata異種核種の反応において
Projectile : 22O, Target : 52Ca

Point: Fermi⾯が異なる場合

In both methods, the g.s. is spherical shape.

Ecm = 25 MeV (VCoul. ~ 20.8 MeV) Impact parameter : 3.0 - 4.5 [fm]Effective Interaction : SkM*, Contact pairing
Average of strength in 22O and 52Ca
Cb-TDHFBTDHF

σH ~ 528 mb → σB ~ 503 mb ; 5%程度⼩さくなる2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataより重い系において対相関の効果は現れるか ?
Projectile : 96Zr, Target : 124Sn
Ecm = 228 MeV (Vcoul. =216, 225 MeV)

HF+BCS : Both ground states are spherical shape.
HF : 96Zr ; spherical, 124Sn ; oblate shape.

Effective Interaction : SLy4d, Contact pairing
Very strong in order to check the effect
Neglect proton pairing

HF g.s. of 124Sn has Oblate shape. β =-0.1

Coulomb barrier for 96Zr+124Sn(F.D.)

96Zr

124Sn

VFD=225 MeV
96Zr

124Sn

VFD=216 MeV
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataより重い系において対相関の効果は現れるか ?
TDHF (z || Z)

Z

TDHF (x,y || Z)

Zzz

Cb-TDHFB

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataより重い系において対相関の効果は現れるか ?
TDHF (x,y || Z)

Time up to scission

Cb-TDHFB<TDHF (z || Z)!!
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebataまとめ：対相関を考慮した核融合反応

JPS Conf. Proc. 1, 013038

Cb-TDHFBを用いた核融合反応シミュレーション
Cb-TDHFBに接触型対相関汎関数を導入し、核衝突に適用した。
22O+22O, 52Ca+52Ca, 22O+52Ca: 対相関は核融合反応において斥力的作用を持つ
96Zr+124Sn: 対相関は接触から分離するまでの時間を短くする効果を持つ

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata

Contents
Cb-TDHFBの開発にあたって& 様々な平均場模型
Cb-TDHFB 方程式の導出
Cb-TDHFBの応用
Systematic study of E1 modes(線形応答計算)
Fusion reaction with Pairing(非線形応答計算)

Summary & Perspective

2015.03.21, 70th JPS meetingS.Ebata

Summary
PRC82, 034306
質量領域と変形について制限課さずに、原子核の励起状態を調べる為に正準基底表示時間依存ハートレーフォックボゴリュボフ理論を開発し、三次元座標空間で変形核のIVDとISQ励起状態でその有用性を示した。
PRC90, 024303
Z=6-50 の変形核を含む約350種の偶偶核アイソトープのPDRについて系統的に調べた。
PDRの出現と殻構造の密接な関係が、重い質量領域でも現れる事を示し、PDRのスキン厚の相関が質量領域によって変化する事を示した。
変形核のPDRのK=0 と K=1モードの偏りと形に添ったスキン厚との相関を調べた。
また、重い原子核は安定核も含め、PDRが複数の励起構造を持つ事を示した。

JPS Conf. Proc. 1, 013038
Cb-TDHFBに接触型対相関汎関数を導入し衝突反応計算に応用した。
核対相関が低エネルギー核融合反応で斥力的効果を表わす事を示した。

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataPerspective (Structure)

Extent to other modes (E0, E2, E3, M1, etc.)
Extent to Uranium isotopes

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataPerspective (Database)Ground state (deformation, skin, etc.)
Excited states (E1: PDR, GDR, Polarizability, etc.)
Reaction
Input data format (EoS, radioaction therapy, etc.)

2015.03.21, 70th JPS meeting
S.EbataSummary & Perspective
PRC82, 034306
質量領域と変形について制限課さずに、原子核の励起状態を調べる為に
Cb-TDHFBを開発し、三次元座標空間でその有用性を示した。
PRC90, 024303
Z=6-50 の変形核を含む約350種の偶偶核アイソトープのPDRについて系統的に調べた。
PDRの出現と殻構造の密接な関係が、重い質量領域でも現れる事を示し、重い原子核は安定核も含め、PDRが複数の励起構造を持つ事を示した。

JPS Conf. Proc. 1, 013038
核対相関が低エネルギー核融合反応で斥力的効果を表わす事を示した。

Perspective
他の励起状態に拡張する (E0, E2, E3, M1, etc.)
データベースの作成, 利用環境整備 (G. & Ex. States, Reaction, EoS)

ご清聴ありがとうございました。
2015.03.21, 70th JPS meeting
S.Ebata