J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.9 (2015)５
９７‐６０２

講座

MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成
MHD Dynamo: Spontaneous Generation of Magnetic Field by Flows

１．MHD ダイナモとは何か
1. What is MHD Dynamo?
陰山

聡

KAGEYAMA Akira
神戸大学 システム情報学研究科 計算科学専攻（原稿受付：２
０
１
５年６月２
６日）

Keywords:
MHD, MHD dynamo, magnetic field generation

１．
１ はじめに無から生じることはなく，「種」が増えていくだけである．

宇宙はプラズマで満たされているために大規模な電場は箱の中に ##!の流体，つまり理想 MHD 流体と，磁場の存在しない．たとえどこかに大規模な電場が生まれたとし「種」があるとしよう．その磁場は磁力線で描くと図１（a）ても，電荷の移動によってそれはすぐに中性化されてしまのようなリング状の閉じた形状をもっているものとする．

うであろう．その点，磁場は異なる．この宇宙にはいたる

この流体に外部から力をかけてかき混ぜると流れが生じところに大規模な磁場が存在しており，その大部分は天体る．理 想 MHD で は 磁 力 線 は 流 れ に「凍 り 付 く」の でが自分自身で作り出したものである．その磁場生成機構が（Alfvén の定理），かき混ぜた結果，このリング状磁力線はMHD ダイナモである．「ダイナモ」とは「発電機」を意味

流れに応じて複雑な（だがトポロジー的には最初と同じ一するが，日本語で「MHD 発電」というと，ふつうは MHD

本の閉じた）磁力線になる．図１（b）をみれば，磁力線の密流 体 を 使 っ た 発 電 方 式（MHD power generator）を 指度，即ち磁束密度（＝磁場）は，このかき混ぜによって箱す．電磁誘導による電流（あるいは磁場）の生成という点の内部の様々な場所で強くなっており，全磁気エネルギーでは基本的に同じものであるものの，MHD 発電では，人は明らかに増大していることがみてとれる．

為的に構成された電気回路を通して流体外部に電流が流れ

抵抗性 MHD 流体であっても，#の値が十分に小さけれるのに対し，MHD ダイナモでは自然発生する電流が流体中で閉じているという違いがある．
磁気流体力学（Magnetohydrodynamics，MHD）において磁場 !の時間発展は誘導方程式
&!
""!&
#$"%
!#$#!
&
!

（１）

!
%
$!は磁気拡散率，%で決まる．ここで "は流れ場，##"は電気 伝 導 度 で あり，こ こ で は #は 空 間 的 に 一 様 と する．この式の右辺をみればわかるとおり，ある時刻 !#!

図１に磁場が存在しない（!#!）ならば，その後の全ての時刻!
"!で磁場はゼロのままである．つまり MHD では磁場が高い磁気レイノルズ数をもつ MHD 流体をかき混ぜれば磁場は一時的に増大する．これは MHD ダイナモであろうか？

Department of Computational Science, Graduate School of System Informatics, Kobe University, Kobe, 657-8501, Japanauthor’s e-mail: kage@port.kobe-u.ac.jp

５９７!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

ば，磁力線は流れにほぼ凍り付いているとみなせるから，
上と同じようなプロセスを経て磁場のエネルギーが増大していくことは自然なことで，流れ #がある場合にはむしろ避けられないことのように思えてくるであろう．だが，MHD 流体をかき混ぜれば常に磁場が増える―つまりダイナモになる―と結論づけるのは早計である．
%#!ならば磁場は拡散する［式（１）の右辺第２項］．最終的にこの拡散の効果が勝ち，磁場が消失してしまうならば，その系はダイナモではない．磁気拡散時間よりも長い
時間，磁場を維持する機構が MHD ダイナモなのである．
たとえば MHD シミュレーションを行っているときに，磁図２場のエネルギーがある時刻から急速に増大したことをもっ$ 効果．y 成分しかもたなかった磁場が速度シアによりx 成分をもつようになる．

て「MHD ダイナモが起きた」と判断するのは危険である．
即ち %%!での式（１）の解は

それは一時的なもので，しばらく計算を続けると拡散によって磁場のエネルギーは減少し，最後には消失してしま&!%$'!&!%*
)*(#
'
((*
)
!%(
)
#
'!&!%*'((*)!

うかもしれない．その減少の時間スケールは磁場の拡散時間なので，磁気レイノルズ数の高い（即ち %の小さい）系の MHD シミュレーションではこの最終的な磁場の減少に（４）である．磁場 "を種として %に比例する "(%#'が生成され

気づかない可能性がある．
磁場が成長すれば，磁場から流れ場へのローレンツ力ている．速度場が磁力線方向にシアをもつとき（つまり（"#!）によるフィードバックが効き始めて，流れ場が磁!$#があるとき）元の磁場と垂直な成分の磁場が生ま)(*場によって変えられるので，磁場の成長がどこかで止まるれることを $（オメガ）効果と呼ぶ．この例の場合，"'のは驚くことではないが，ここで指摘しているのは，ロー#が $ 効果で作られた．!#'%
なので磁気エネルギーの増レンツ力によるフィードバックをたとえ完全に無視したと加率は %に比例する．

しても，一時的に成長した磁場が最後には消失する可能性%が正であってもその値が十分に小さければ $効果がはがあるということである．磁場から流れ場へのフィード

たらくが，長時間磁場を保つことはできない．上の例でバックを無視し，特定の速度場 #の下で誘導方程式（１）に#%"，即ち一様磁場から出発した場合を考えてみよう．式（４）の curl をとれば，電流の )成分は従う磁場が成長するかどうかをみるモデルをキネマティッ
クダイナモモデルという．

$
&!
*
'
(("
)%&
!%

キネマティックダイナモモデルでは，誘導方程式（１）が（５）!の線形方程式である．!を何らかの直交関数系で展開しである．したがって %が極めて小さい時，磁場が流れに凍よう．%+ & で !+ !ということは，成長率が負の固有り付いて［つまり式（４）にしたがって］いると仮定すれば，モードしか存在しないということを意味する．減衰する固##で増大するので，どれほど %ジュール散逸 %%$%! は %

有モードの線形和が一時的に増大することがあっても驚くが小さくてもいつかは$効果による磁気エネルギーの増加

!%

!#%

にはあたらない．#%)*%& !& は減衰関数の線形和であ率（'%）を上回るときが来る．
実際，%#!の MHD 流体に対して，式（３）を含む一般的

るが，一時的に増加する．
%!に次のような１次元的
簡単な例で見てみよう．時刻 %

な流れ

磁場
!
"
'
!)
%%!*
%("
)
#
'*
)
()%(
"
)

'
!
(
!
)
!
%
&')
*
#%(&()
)
'
!
(
!
)
!
%
*

（６）

!

（２）

!

はダイナモではない（つまり十分長い時間が経てば必ず磁があるとする． #'*は 'の任意関数（デルタ関数とすれば)場は消失する）ということが以下のようにして証明でき

一本の磁力線）である．図２左の (方向の矢印がこの磁場る．用いる仮定は #が非圧縮流であること，遠方で磁場がの磁力線である．この磁場が，ゼロになることの２点だけであり，初期磁場は任意の３次元形状をとってよい．この仮定の下，式（１）の )成分は

&'

*
'
((
#%&&('%&!( ! )
&)
!

（３）

'
"
)
#$
"
%!)
(*
(#"
)"%
)
'
%

という流れ（図２の '方向の点線矢印）によって，どう変（７）となる．この両辺に ")を掛けて得られる式

形されるかを考える．

#
"#
' "
#
"
!%)
("
! ) "%!($#) #!%)
$
)("
)*
)*
'
% #
#

理想 MHD の場合，キネマティックダイナモモデルの解，
５９８

（８）

Lecture Note

1. What is MHD Dynamo?

A. Kageyama

を空間積分すると，右辺第１項は仮定によりゼロになり，があれば MHD ダイナモによって（非軸対称な）磁場が容

第２項は負なので &+ & で "*+ !である．十分大きい &易に生成されることが MHD シミュレーションからわかっでは "*%!だから，それ以降の磁場はポテンシャル !をている．
（もちろん MHD シミュレーションにはキネマ

使ってティックダイナモでは無視されていたローレンツ力による))!
!%"!)(!#

磁場から流れへのフィードバックもきちんととりこまれている．）Cowling の定理で仮定されている完全に軸対称な（９）磁場というのはあまりにも非現実的で強すぎる仮定なので!

ある．

と書ける．!の時間発展は誘導方程式から)!
"$!"&'#!
%!(
')
)
&

１．
２ %効果
MHD ダイナモでは流れのヘリシティ

（１０）

#%"$
'#"，

で あ る が，こ れ は 式（７）と 同 じ だ か ら，上 と 同 様 に&+ & で !+ !，即ち最後には磁場は消える．

（１
１）

が重要な量としてしばしば登場する．空間１次元の単純な式（６）の流れの下で，キネマティックダイナモの３次元流れでありながら，強いヘリシティをもつ計算機シミュレーションを行ったと想像しよう．つまりこ

$
*!'&
&
)*(
)
""%'""*
#
$
*!'&
'
((
)

の速度場 "を固定し，誘導方程式（１）の時間発展を解く．
&は極めて小さくとったとする．初期条件として任意の形

（１２）

!

状で与えた磁場のエネルギーは$効果によって当初は急速#に（&に比例して）増大するが，その後，磁気拡散時間程を使い，ヘリシティの効果を見てみよう．ここで '"，$，度の（つまりとても長い）時間，計算を続ければ，そのエ'は正定数とする．この流れの渦度は

ネルギーは最終的には必ず消失する．

'#""%!$""，

地球をはじめとする惑星磁場の多くは，双極子成分が卓越し，回転軸を中心とした軸対称性を近似的にはもってい（１３）

つまり流れと反平行であり，ヘリシティは負の値る．ところが，上と同様な議論を球座標系で行えば，誘導

#
#%!$
'"

方程式（１）の帰結として「軸対称な磁場は最終的には消失

（１４）

をもつ．"
!#!を定数として，磁場 !を，*方向の一様磁場する」ということが証明できる．これを Cowling のダイナモ定理という．ダイナモでは「ない」ということを意味す!
!!%"!#"!

るネガティブな定理なので，Cowlingの「反」ダイナモ定理ともよばれる．そこで使われる前提は，磁場が完全に軸対
称 で あ る こ と，そ し て 遠 方 で ゼ ロ，つ ま り %+ & で!**%!ということだけである．

（１５）と，それ以外の部分 !" に分けよう．

この「講座」の第２章で見るように，乱流があれば磁場!%!!"!".

の軸対称性は破られる．層流であっても，非軸対称な流れ（１６）すると式（１）より)!"""#!!)""#!")%'#("'#("&'#!"，)&（１７）

である．!" に対して，"" と同様な空間１次元性を仮定し，まずは右辺第２項を無視して（あとでこの項は厳密にゼロになることがわかる），この式の !" の解を求めてみよう．単純な計算から，
$
*!'&
&
)*(
!()
$
"
!'
"
!"%!
"*
#
$
*!'&
'
((
!()
#
$ #
!' "$ &!

（１８）であることがわかる［１］．ここで (は &で決まる定数
'
$#"
+
%
((%&

図３ （a）
負のヘリシティをもつ１次元流れ v1 による螺旋形磁力線．（b）
z ＝ const．面上で見た流れ v1 とそれによって誘起された磁場 b1．どちらも x-y 平面上を時計方向に回転している．磁気拡散率 &のために b1 の位相が (だけずれ，そのために＋z 方向の起電力!＝v1×b1 が生じる．

（１９）

である．
速度 ""を時間積分して変位を計算すればわかるとおり，!の平面上で回転運動をしている．同)(*+
流体要素は *%&
５９９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

位相の点は速度 (#'で"+方向に移動する．理想 MHD であこ の こ と を 磁 力 線 の 描 像 で 説 明 し よ う．円 筒 座 標

れば磁力線は回転運動する変位に凍り付いているので，あ

(
!
%!
+
&
'を と り，"+方 向 の マ ク ロ ス ケ ー ル 磁 場

る時刻における磁力線を描けば図３（a）のように螺旋形に

!!&
(
!
%!
+
!
)
'が，(""の円筒内部に集中しているとする．

なる．

!
$
(
! ".
!!$!$
$
!
"
%
(
$
'
$
+
!&

理想 MHD 流体の場合には #"と !"は完全に逆方向を向いているが，&があると，)だけの位相のずれが生じ，そのために !!方向の起電力!$#"#!"$$!!

(($"付近で $"'"!としよ&!は急速に減衰する，つまり $!

（２０）う．このとき，円筒の側面には "%方向に流れる電流が生じる［図３（b）参照］．ここで
$$

#
&
'$*"
&
'#
%
# % $! #( "&'( "&#'%
#

（２５）

&
!
(
(
"!$!&
(
#
'!"
!$
'
%"$!
+&
&
!
+

（２１）

はヘリシティ %［式（１４）］に比例する定数である．

（２６）が集中している．ミクロスケールの流れ#"が式（１２）で与え

#
(と"
"
#
'よりも大きな時間と空間スケールで変動する場

られるようなヘリシティを持つ流れであれば，図３（a）でをここではマクロスケールの場と呼ぶことにしよう．ヘリ

見たように，この磁束は螺旋型をしていて，角速度 (でうシティを持つミクロスケールの流れにより，マクロスケー

ねっている．時間平均をとると，磁束の中心軸（($!）付

ルの起電力が生じたことを式（２０）は意味する．これを $近ではミクロスケールの磁場成分 !" はキャンセルする一効果とよぶ．今の場合，起電力!は空間的に一様なので，方，表面（($"）近傍では，正の $% 成分が残る（図４参上で無視した式（１７）の右辺第２項 %#!はゼロ，すなわち

照）．こうして "!方向に新しい磁場が生じるのである．

式（１８）は式（１７）の厳密解である．
一般的な場合には，マクロスケールの速度場 #!，磁場１．
３ マクロスケールの流れによるマクロスケー
ルのダイナモ!!と，ミクロスケールの速度場 #"，磁場 !" を定義し，!$!!"!"，（２２）#$#!"#"，（２３）

ミクロスケールの流れによる $効果が存在しないときでも MHD ダイナモは起きうる．つまりマクロスケールの流れがマクロスケールの磁場の生成を引き起こす場合である．

とする．これを式（１）に代入して式（２０）を仮定した上で，再び理想 MHD を仮定しよう．長さ !，断面積 #をもつ

時間と空間で平均し，マクロスケールの量だけをとりだせ

磁束管を考える（図５）．この磁束管は上下端がつながっば，*!!
#!#!!'
$!!'
$%#&
"%#&
"&%#!!
*)ているとする．実際にはこの磁束管はトーラス形状をしていて，磁力線の曲率が無視できるほどその大半径が十分に（２４）という式が得られる．$がマクロな空間スケールで一様な（２４）は，
とき，右辺第２項は %#!!に比例する．つまり式$効果によって，マクロスケールの電流 "!の方向に新しい磁場が生まれることを意味する．

図５

図４

負のヘリシティをもった流れによって 磁力線が螺旋形に変形し，うねることで磁束管の周囲に j 0 と平行な磁場成分が生まれる．

６００磁束管の圧縮と伸長による磁気エネルギーの増加．磁束管は実際には上下端がつながったトーラスになっている．
（a）
磁気圧に抗して断面積を半分にすると磁束管内部の磁気エネルギーは２倍になる．（b）
磁束管の長さを２倍にす
ると磁気エネルギーは２倍になる．（c）
磁束管内部の体積が保存するように磁束管の長さを２倍（断面積を半分）にすると，磁気エネルギーは４倍になる．

Lecture Note

1. What is MHD Dynamo?

A. Kageyama

大きいと考えればよい．この磁束管の中には磁束 "が入っている．磁 束 管 の 断面 積 を %と す れ ば，磁 場 の 強 さ は&!"!
%なので，この系の全磁気エネルギー "# は""#"# !%# ! ! "
%!%
%! "
"

（２７）

である．
この磁束管の表面を側面から押さえ込み，断面積が %から%!
．磁束"の値"になるまで細くしたとする［図５（a）］
は変わらないので，磁束管の磁場は &# &$!"&と２倍強くなる．したがって磁場のエネルギー密度は４倍になるが，磁束管の体積は半分になるので，全磁気エネルギーはこの側面の圧縮過程を通じて２倍に増える．このエネル
ギーはどこから来たかといえば，磁束管が外に（トーラスの小半径方向に）広がろうとする磁気圧に対抗して管の表面を押し込むときにした仕事である．
次に磁束管の太さを変えずに長さを２倍に伸ばしてみる［図５（b）］．断面積が変わらないので，内部の磁場の強さは変わらないが，全体積が２倍になるので，全磁気エネル
ギーは２倍になる．磁束管を円柱と考えると，磁力線をまっすぐに伸ばすだけで全エネルギーが増えるのは奇妙に思えるが，実際には，この磁束管は輪ゴムのようなトーラ
ス形状をしており，磁気張力に対抗して輪ゴムを引き延ば
図６

すときに周囲の MHD 流体が行った仕事が磁束管内部の磁気エネルギーとして溜まっているのである．

一本のリング状磁力線を２倍に増やすための（たとえば）二つの方法．

ここまでは磁束管内部には磁場だけがあると考えてきたが，磁束管の内部にも MHD 流体がある場合はその圧力

Twist-Fold プロセスと呼ばれる．

（流体の圧縮性）も考える必要がある．流体が非圧縮の場合

上で述べた二つのシナリオではどちらも磁力線のトポロには磁束管内部の体積が保存するので，全長を２倍にする

ジーを変えるための磁気リコネクションが含まれているのと磁束管の断面積は半分になる［図５（c）］．磁場の強さがは興味深い．磁気拡散率の存在がダイナモには不可欠であ２倍で，体積が不変なので，この場合の全磁気エネルギーることが示唆されている．磁気レイノルズ数 $$ が有限のは４倍になる．図２で見た #効果ではこのエネルギー増幅

キネマティックダイナモモデルにおいて，ダイナモになっ過程がはたらいていた．

ている（つまり磁場の最大成長率が正のモードが存在す

上で説明したような，磁束を圧縮したり伸張したりするる）ことが確認されている流れ場であっても，$$ を上げて単純な流れでは，初期に与えた磁気エネルギーは確かに増

いくと最大成長率が負になることがある．$$ # " の極限大するものの，磁束の形状や大きさがはじめの状態とは大で磁場が成長するとき，その流れをfast dynamoといい，そきく変わってしまう．磁束の形状は変化させないで磁場のれ以外は slow dynamo という．Fast dynamo の流れが実在

強さだけを高める流れはないであろうか？

するかどうかは数学的に難しい問題で未解決である．計算

磁気レイノルズ数の高い MHD 流体において，マクロス機シミュレーションで研究されているのはほとんどがケールの流れによって磁場を２倍にするプロセスを磁力線

slow dynamo である．

の描像で考えてみよう．図６（a）のように最初に一本のリ

１．
４ この講座の構成

ング状磁力線があるとする．それを引き延ばして長さを２倍にする［（b）］．上 下 を 押 し つ ぶ す よ う な 流 れ に よ り

天体の MHD 系は極めて高いレイノルズ数をもつので，［（c）］，磁力線がリコネクションを起こす［（d）］．その結果その流れが乱流状態にあるのは間違いないであろう．そのできた二本のリング状磁力線をずらして重ねる［（e）］と，ような系におけるMHDダイナモを理解する上で，$効果はもとの磁力線の本数が２倍，つまり磁場の強さが２倍とな

重要な基本要素であるが，全てではない．実際，ここでのる［（f）］．

$効果の説明は少々乱暴であった．この「講座」では次の第あるいは図６の（g）から（i）のような流れでもよい．この２章，「乱流ダイナモ」において，MHD 乱流によるダイナ

場合は，２倍に引き延ばされた磁力線がひねられ［（g）］，

モについて，もっと正確で洗練された理論が紹介される．

折りたたまれ［（h）］，重なった二重の磁力線をさらに押しスーパーコンピュータの進歩により，現実の値には及ばつけて部分的リコネクションを起こさせると［（i）］，最終的ないもののかなり高いレイノルズ数で，MHD 方程式を数に元と同じリング状磁力線が二本できる．これは Stretch-

値的に解くことが可能となった．第３章以降では，様々な
６０１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

最後に，MHD ダイナモに関する書籍を紹介する．MHD

天体 MHD ダイナモの研究が紹介され，そこでは計算機シダイナモの理論については，［２］の C.A. Jones による"Dy-ミュレーションが主要な役割を果たしている．
地磁気（地球磁場）が MHD ダイナモで作られているの

namo theory"の章と，［３］の第５章"Dynamo theory"が詳しは間違いない．地球内部の MHD 流体（外核中の液体鉄）のい．［４］は，MHD 全般についての本であるが，ダイナモに

磁気拡散時間は１０５年程度であるが，地 磁 気 は こ れまで

ついてもいくつかの章がある．特に冒頭の P. Roberts によ

９１０ 年程度維持されていることが地球科学的な観測から確る章には，計算機シミュレーションが主流になる時代以前

実である．第３章の「地球ダイナモ」では，地球内部ののダイナモ研究が語られており，あまり目にすることのな

MHD 系を対象とした大規模な計算機シミュレーションにい Elsasser や Cowling の写真，ある い は Chandrasekhar

より，地磁気の性質がどこまで説明されているか解説する．

が言ったという Alfvén の第２「定理」の話など，面白いエ

地球の場合には外核中の液体鉄，太陽の場合には対流層ピソードが載っている．

中の水素プラズマという媒質の違いはあるものの，MHDシステムとして見ると太陽と地球は驚くほど似ている．太

参考文献

陽もまた地球と同様に MHD ダイナモによってその磁場を［１］G.K. Batchelor et al., Perspectives in Fluid Dynamics (Cambridge University Press, Cambridge, 2000) p.372.
［２］P. Cardin and L.F. Cugliandolo, Dynamos; Lecture Notes of
the Les Houches Summer School 2007 (Elsevier, Amsterdam, 2008).
［３］D. Biscamp, Magnetic Reconnection in Plasmas (Cambridge
University Press, Cambridge, 2000).
［４］S. Molokov et al., Magnetohydrodynamics: Historical evolution and trends (Springer, Dordrecht, 2007).

生み出している．第４章の「太陽ダイナモ」では，MHD
ダイナモによってこの１１年周期の謎も含めて太陽磁場の起源がどこまで説明されているかを解説する．
宇宙にはもっと大きなスケールでの磁場が存在する．第５章の「銀河ダイナモ」では，銀河磁場の起源を説明する
銀河ガス円盤の MHD シミュレーションの結果とその磁場
増幅メカニズムについて解説する．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

やま

あきら

陰 山

かげ

聡

神戸大学 システム情報学研究科 計算科学専攻 教授．専門は磁気流体力学を中心とした計算機シミュレーションとデータ可視化．今回の講座を企画・執筆するにあたって MHD ダイナモについて書かれた文献をいろいろと調べてみましたが，日本語で書かれた入門的な文献がほとんどないことに気がつきました．MHD の重要な基礎過程の一つであるというのにこれではいけませんね．この講座が MHD
ダイナモというとても面白い現象に興味をもつきっかけになれば幸いです．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

６０２

J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.9 (2015)６
０３‐６１１

講座 MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成

２．乱流ダイナモ
2. Turbulent Dynamos
横井喜充
YOKOI Nobumitsu
東京大学生産技術研究所（原稿受付：２
０
１
５年６月２
６日）

乱れは輸送を促進する．乱流磁気拡散は元の磁場を壊すことで新たな磁場配位を導くため，ダイナモにとって不可欠な要素である．同時に，回転などによって乱れの対称性が破れていると，乱れ自身のもつ構造（らせん性など）によって新しい大規模磁場が誘起される可能性がある．これら乱流輸送のもつダイナミクスを自己無撞着に扱う方法について論じる．特に大規模な流れのもつ非一様性が乱流輸送をどう変えるかに注目し，その効果を見ていく．
Keywords:
dynamo, turbulence, transport, flow inhomogeneities, helicities, symmetry breakage, turbulence modeling２．
１ はじめに

電磁流体乱流と通常流体乱流との間にはさまざまな違い

天体・宇宙現象ではいたるところに磁場が存在する．太がある．磁場の存在が荷電粒子の運動に制約を与えるた

陽フレアやジェットに代表されるような爆発的現象の原因

め，磁場の方向は流体にとって特別な方向となり，電磁流になることもあり，さまざまな不安定性を通じて乱れを創

体乱流はしばしば強い非等方性を示す．通常流体でも回転り出したり，あるいは磁場自体が周期的に変動して周辺環や密度勾配の存在によって非等方性が生じるが，特に小さ境の条件になる．特に地磁気は太陽風として飛来する高エいスケールに行くほど，非等方の程度が電磁流体乱流で目ネルギー荷電粒子の影響から地球環境を守る役割も果た立つようになる．一方で，平均場に代表される大スケール

す．また，核融合の磁気閉じ込めでは装置の磁場でプラズでの輸送を議論する場合には，大部分のエネルギーを担っ

マを狭い領域に局在させる必要があるが，磁場のダイナミているより大きなスケールの乱流運動が重要になる．例え

クスに則った発展が閉じ込め性能自体と密接な関係にあば，後述の「混合距離」はエネルギーを担う乱流運動の大り，磁場の緩和状態を予測し制御する必要が生じる．天きなスケールに対応する．そこでは，いかに巨視的スケー

体・宇宙などのプラズマ現象で見られる磁場の起源が何ルの非一様性や非等方性の効果を乱流輸送に組み入れるかで，どのように増幅され，維持され，そして消失していくが重要になる．

のかは，たいへん興味深い学術的問題であるとともに，実

さて，乱流の第一の特徴は輸送を促進することである．

用上もきわめて重要な問題である．

「揺動散逸定理」に代表されるように，一般に乱れは系の輸

磁場の発展に決定的な影響を与えるのが，プラズマなど送を促進する．小スケールの運動の効果が乱流輸送係数に

電導性流体の流れである．荷電粒子が磁場を横切って動く

くり込まれ，平均場の混合が進む．局在化された構造は破と粒子は Lorentz 力を受ける．これは流れによる起電力の壊され，系が均一化する．乱流磁気拡散は乱流によって促発生に他ならない．起電力は電磁誘導によって磁場の生成

進される磁気拡散であり，乱流強度すなわち乱流エネルと直結する．一般に流れによる起電力を通じ磁場を生成・ギーの大きさを反映する．例えば乱流磁気拡散 "を簡単に維持するメカニズムをダイナモと呼ぶ．

乱れ速度の大きさ !と混合距離 $を用いて "!!
$と書き表

しかし，第１章「はじめに」でも述べられたように，磁すと乱流磁気拡散と分子磁気拡散の比は "!
#!!
$
!
#!!"

場方程式の数学的構造から，ある条件下（軸対称，二次元と（乱れ速度で表された）磁気 Reynolds 数で評価される．

など）では流体運動のダイナモによって磁場が維持できな‐O（1018）と巨大である
天体・宇宙現象で !"は通常 O（106）

いことがわかっている［１，２］．流体の運動によって実際にから，乱流による磁気拡散の促進は膨大なものと予想されダイナモが作用するためには，反ダイナモの条件を破る因る．特にダイナモでは元の磁場配位から新しい磁場配位を子が必要である．流体運動のゆらぎは軸対称性を破る要素導くことが必要があり，元の磁場構造を壊すメカニズムでであり，このとき平均磁場は反ダイナモの制約を受けなある乱流磁気拡散はダイナモにとって不可欠な構成要素でい．その意味で乱流はダイナモにとって重要な要素となる．

ある．

Institute of Industrial Science,University of Tokyo, TOKYO 153-8505, Japanauthor’s e-mail: nobyokoi@iis.u-tokyo.ac.jp

６０３!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

れの軸対称性が破れている必要がある．そのひとつが，流上述した輸送促進という効果に加えて，乱流には構造をれに乱れが存在することである．

形成・維持し輸送を抑制するはたらきがある．この効果は特に電磁流体乱流で顕著になるが，通常乱流でも存在す場の量を平均場とそこからのゆらぎに分けて考え，乱れる．回転などで系の対称性が破れていると乱流場にヘリシが平均場にどのような影響を与えるかを調べていく．場のティ や ク ロ ス・ヘ リ シ テ ィ な ど の 擬ス カ ラ ー 量［鏡 映量を（reflection）によって符号が反転するスカラー．逆に符号

+
$
%""$
，

反転しないスカラーを純スカラーと呼ぶ］が存在し，磁場

+
"%)
$
$
*
*
%!
， )

（２）

や渦度などの軸性ベクトルと結びついて，磁場構造を生成のように平均とゆらぎに分解する（Reynolds 分解）．ここしたり，輸送促進に対抗して輸送を抑制する．

で輸送の促進や抑制と直結した乱流場の統計的性質は平均場の非一様性によって決まる．回転，平均速度勾配（平均速度歪み，平均渦度），平均磁場，平均磁場勾配（平均磁場歪み，平均電流密度），圧力勾配，密度勾配，……などの配位がどのような乱流統計量が空間的にどのように発展して

(!
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（３a）

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（３b）

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（３c）

などである（(：速度，"：渦度，%：磁場，'：電流密度，

いくかを規定する．そしてそれらの乱流統計量は輸送係数&：電場，(：圧力）．平均として，概念的には統計平均と直結し，平均場の時空分布を決める．このように乱流場（ensemble average）を考えるが，場合によっては適当な空と平均場とは相互作用しつつ非線型のダイナミクスに従っ

間平均や時間平均をもって代用する．

て発展する．したがって，乱流ダイナモの理論・モデルは，平均磁場の誘導方程式は上述の輸送促進と輸送抑制のダイナミクスに加えて，この%!
$#!""#(
%&#'
"$&"!
%
)

平均場と乱流場の非線型ダイナミクスを正しく記述できな
くてはならない．
本章の目的は乱流ダイナモについて概説し，ダイナモのとなる．ここで，"# は理解の鍵となるいくつかの概念について，その前提や条件"# %)(+#%+*

を明らかにすることにある．構成は以下の通り：第２節で

（４）

（５）

乱流ダイナモの考え方の枠組みを示し，鍵となる「乱流起で 定 義 さ れ る 乱 流 起 電 力（turbulent electromotive

電力」に対する従来の表式がどのような仮定に基づいて構

force）である．乱流起電力の項を除くと式（４）は式（１）と成されているのか，流れの非一様性の重要性を強調しなが全く同じ形をしている．したがって，乱流起電力 "# はゆら述べる．第３節ではダイナモの輸送係数をどのように評らぎによる平均磁場への影響を表す唯一の項となってい価するかについて，さまざまなレベルの乱流理論・モデル

る．電磁流体乱流理論の目的のひとつは，この乱流起電力から説明する．第４節では乱流起電力の各項の物理的起源の表式を導くことにある．

を直感的に理解することを試みる．第５節では輸送係数を

乱流起電力をどう導くかについてはいろいろなレベルの与える乱流場と平均場とを自己無撞着に与える乱流モデル

アプローチがある．しばしば議論の出発点として用いられ的なアプローチについて紹介する．関連して，ダイナモのるのは，乱流起電力が平均磁場とその微分によって展開さ分野でしばしば議論されるダイナモの消失機構（quench-

れるという仮定（Ansatz）：

ing）について，乱流モデルの視点から述べる．最後にまと

&

%
!
%
(+#%+*%"%&!&"#%&' ' ",)%*めとして乱流ダイナモの可能性を考える．

（６）２．
２ 乱流ダイナモである．ここで，輸送係数である "%&，#%&' などは乱流場の

２．
２．
１ 乱流起電力

性質で決まるテンソルである．さて，仮定（６）の基本的条

電磁流体方程式（magnetohydrodynamics: MHD）は，電件は，（!）平均速度場は与えられたものとして磁場の発展

磁場の方程式であるMaxwell方程式と運動量の方程式であを記述できる；（"）したがってゆらぎ磁場の発展方程式はる Navier-Stokes 方程式を結びつけたものである．Faraday

平均磁場に線型に依存する；（#）乱流場のスケールが小さの電磁誘導の方程式中の電場に運動物体の Ohm の法則をく，平均流を一様とみなすことができる；（$）一様速度に代入することで，磁場 %の誘導方程式

乗った座標系で乱れを記述する；などといった諸点であ

%%
(#%(
%&#'
"$&"%
%
)

る．これらの妥当性について以下で議論する．
２．
２．
２ 平均速度の非一様性（１）

まず，平均速度の非一様性の重要性について議論する．

を得る．ここで，右辺第１項は電導性流体が磁場中を速度(で運動することで生じる起電力の寄与を表している．第平均磁場の発展方程式（４）を考える．右辺第２項は
$#!(
$$
!!!&$
$"'
!$
$
&#'
%!'
&(
&(

２項は（分子）磁気拡散率 $による磁場の拡散を表す．

（７）

反ダイナモ定理でみたように，軸対称な流れ場では軸対と変形される．この式の最右辺第１項は運動による移流微称な定常磁場を維持することができない．何らかの形で流分である．第２項は磁束管の断面が拡張（収縮）すると !
６０４

Lecture Note

2. Turbulent Dynamos

方向に負（正）の磁場が生成されることを示す．磁場に平N. Yokoi(.#(.$!$.#$.$+! #$ %*

行な磁場変動が生じ，波動では磁気音波に対応する．一方，（１１）第３項は磁場に垂直方向の平均速度が磁場に沿って不均一と乱流 Maxwell 応力も含めて定義される．非圧縮性を仮定

だと速度方向すなわち元の磁場と垂直方向に磁場が誘起さするとゆらぎ場のソレノイダル条件：

れることを示す．磁場の張力が復元力としてはたらくとこ

%.%!
'.%'$
'$

の変動が磁場に沿って伝搬し，Alfvén 波となる．
さて式（７）の第３項の効果によって，トロイダル方向のが成り立つ．式（９）と式（１０）は平均速度にポロイダル磁場に沿った不均一さ（差動回転）!'.
+&! "$$
'"'.$
#
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+
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があると，速度方向に磁場が誘起される（図１左）．この効
果はダイナモ理論ではしばしば"効果あるいは差動回転効

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果と呼ばれ，ポロイダル磁場からトロイダル磁場を生成す

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"('"'.， （１３）る主たる機構とされている．この " 効果に表されるよう!%.
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に，平均磁場の発展にとって，平均速度の不均一さは重要な役割を果たす．

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では，乱流場の発展に対して平均速度の非一様性はどのような役割を果たすだろうか．例えば，多くの現実的流体
要素のひとつとなっている．実際，乱流による運動量輸送&% %&"%"!
"を表す Reynolds 応力 *(.#(.$+の表現では
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これらゆらぎ場の方程式から（８）!'. . . !%.
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!'
!'
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果を挙げている（(&：渦粘性， !：対角和を除いた部分）．
しかしながら，通常の乱流ダイナモの理論・モデルでは乱されてきた（図１右）．

（１６）を用いて乱流起電力の発展を評価することができる．

流場の発展に関連して平均速度の非一様性はほとんど無視

もし平均速度が一様（$%$!）だとすると，式（１３）と式（１４）はゆらぎ速度とゆらぎ磁場の方程式は，運動量と磁場の発展方程式にレイノルズ分解（２）を適用することで，+'.
.
%'.#""$#*."&#!"##%.
+'（９）!'. !$ %. %. !"%( ') "( $') / ，!'（１７）!%. !$ '. '. !"%( ') !( $
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（１８）

となり，乱流起電力は平均速度の非一様性に依存しなくな.

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'.#!)
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"'#(
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'
'.#%.)"'#(!'#"% "''"%.

（１５）のゆらぎ部分である．

という渦粘性表現が伝統的に用いられ，多くの流れ場で成!'&.!'$! "('"'.，（１４）.
は MHD 圧力と書き直すことができる．ここで &%乱流では，平均速度の勾配は乱流の生成・維持に不可欠な

.
# .
$

（１２）

る．乱流起電力が磁場とその微分の線型函数で表されるという式（６）の仮定はこの場合に対応している．

（１０）

式（１３）と式（１４）で平均磁場の非一様性の項を残しておくとなる．ここで，!は電磁流体の Reynolds 応力でと，それらの項からの乱流起電力への寄与は
#
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（１９）

と表すことができる（)：時間スケール）．乱流場の速度＝
磁場相関が平均速度勾配に結合する．基本的な性質を見るために最も簡単化して，速度＝磁場相関テンソルに等方的
な表現：
図１

"
'.$
%.+
(.%$.#+(.#$.%+"*% %#%**#

大規模流れの非一様性効果の扱い：（左）
磁場に沿った平均
速度の不均一さ（差動回転）によって速度方向の磁場が生成される（" 効果）．（右）平均速度の不 均 一 さ は 無 視 され，一様平均速度は Galilei 変換で消去される．乱流場は一様とみなされる．

を採用すると，式（１９）は

６０５

（２０）

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015
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（２１）

となる．すなわち，平均速度場の非一様性の効果は，乱流起電力中に平均渦度と結びつく乱流クロス・ヘリシティの効果として表現されることになる．この効果は，乱流場の発展で平均速度の非一様性を無視していては決して現れな
いものである．

２．
３ 輸送係数の表現
輸送係数は乱流場の性質で決まる．輸送係数をどう評価

図２

するかにもさまざまなレベルのアプローチがある．もっと運動ヘリシティ効果．

も簡単なものは，輸送係数を単なるパラメータとし，その値または空間分布を所与のものとして課すことである．例

ジャー理論である EDQNM（Eddy-Damped Quasi-Normal

えば，混合距離（mixing length）'の概念を用いて乱流粘Markovian）近似を用いて電磁流体方程式（magnetohy-性や乱流磁気拡散率を

drodynamics: MHD）を解析し，輸送係数 "が#&('&"$!%''（２２）!'$ !'%!'#**"& % '! $&''))'& &!%#などと表現する（(：乱れ速度の大きさ，"：乱流エネル

)*

)

（２６）

ギー）．混合距離としては乱流混合を特徴づける長さスと表現されることを示した（$：波数間相互作用の緩和時ケールを採用する必要があり，圧力や密度変化のスケール

間，!!$"：運動ヘリシティ・スペクトル，!!#"：磁気ヘリなどがしばしば用いられる．

シティ・スペクトル）［５］．この結果から，"を実空間量で表現するとより精度の高い輸送係数の評価のためには，乱流場の発展方程式［式（１３）と式（１４）］の解析が必須である．しかし，

/
$
"% '%
&/"#/$,+!%/$&

ゆらぎの方程式は %/%/，#/#/，%/##/などの非線型項を含み，さらに平均場とも非線型に結びついているので，乱流（２７）場の発展方程式を一般的に理論解析するのは困難で，何らとなる．すなわち，アルファ効果の輸送係数である "を決かの工夫（仮定，近似）が必要である．

めるのは運動ヘリシティ +%/$&/,だけではなく，電流ヘリ

最も簡単な近似のひとつは「準線型近似（quasi-linear

/
シティ +
#/$
$
,による補正も必要となる．運動ヘリシティとapproximation）」，「第一次平滑化近似（first-order smooth-/
電流ヘリシティの差 +$&/"#/$!%/$,を残留ヘリシティ

ing approximation: FOSA）」，あ る い は「二 次 相 関 近 似（residual helicity）と呼ぶ．この補正は Lorentz 力による運（second-order correlation approximation: SOCA）」などと動量への作用から生じている（次節参照）．式（２７）は乱流場

呼ばれる方法である［３，４］．これはゆらぎの方程式に現れに運動ヘリシティ +%/$&/,が存在しても，電流ヘリシティ

るゆらぎどうしの項を総体として無視するものであり，例

/
#/$
$
+
,が存在すると（その符号に応じて）アルファ効果は

えば式（１０）では打ち消されることを示唆している．この点はクエンチング%/##/!!( %#（２３）（quenching）と呼ばれるダイナモ効果の消失現象と関連している（２．
５．
２節参照）．

と近似する．Reynolds 数や磁気 Reynolds数が低い，すなわ

乱流理論の歴史で EDQNM 近似は，準正規理論で現れた

ち非線型性が弱い場合にはよい近似となる．しかし，天負エネルギー問題を回避する処方として発展した．渦減衰体・宇宙物理現象では Reynolds 数などは通常巨大である

時間をパラメータとして導入することで，EDQNM 近似でため，FOSA の 条 件を 充 た さ な い 点 に注 意 が 必 要 で あは速度の三次相関の発展を適切に評価できる［６］．このたる．FOSA の枠組みで等方乱流を仮定すると，輸送係数のめ EDQNM 近似は一様等方乱流に対して簡便で実用的な"と #はクロージャーの枠組みを提供する．しかし，電磁流体乱流への適用可能性の議論は別としても，調整可能なパラメー

%/$
"%!$%
&/,
+
，
&

（２４）

%/%,
#% $%
+
&

（２５）

タを用いずに自己無撞着な解析を行うためには，さらに洗練されたクロージャ理論を用いる必要がある．
一様乱流についての最も洗練されたクロージャー理論である直接相互作用近似（DIA: direct-interaction approxima-と表される．すなわち "は乱流ヘリシティ，#は乱流エネ

tion）［７］と多重スケール解析を組み合わせることで，非一ルギーで表現される．

様性乱流のクロージャ理論が構築されている［８］．この二スケール直接相互作用近似（Two-Scale DIA）の方法を電Pouquet らは，等方性乱流に対するより高次のクロー
６０６

Lecture Note

2. Turbulent Dynamosぎ場の発展方程式中の対応する項に戻り，その物理的意味

磁流体乱流に適用すると，乱流起電力は"$ &+'/#$/,$%!&#"%!"(

を考えるとよい．もちろんこのような議論では，しばしば（２８）あるひとつの項だけを取り出し，また時空の非局所性も無視している．このため実際の効果とは違う結果を導く可能と表現される．輸送係数はそれぞれ)性もある．しかしその点を留保しつつ議論すれば，ダイナ
/

/

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)
!
)!
&%!%&! %)"))*

モ効果の物理的起源について示唆に富んでいる．ここでは!'アルファ効果とクロス・ヘリシティ効果のみについて見て

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，（２９）
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N. Yokoi/

いく．さらに詳しい議論は文献［１０］を参照されたい．

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%%!%&! %)"))*

運動ヘリシティ効果!'

図２のように流体要素が平均磁場 !中でゆらいでいると

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する．乱流場に正のヘリシティが存在すると仮定すると，

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(
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(%!%&! %)!
)*速度ゆらぎと渦度ゆらぎは統計的に同じ向きにそろってい!'ることになる（図２）．正の乱流ヘリシティすなわち渦度

/
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.
（３１）

に付随する右ねじ回りの流体運動が存在する．ここで，式で あ る［９］．こ こ で，" は 乱 流 の 応 答 函 数，%**，%''，（７）の第３項に対応して，平均磁場の向きに沿って変化す#**，#''，%*' などはそれぞれ乱流運動エネルギー，乱流

る速度ゆらぎがあるとその速度の向きに磁場ゆらぎ

磁場エネルギー，乱流運動ヘリシティ，乱流電流ヘリシ!$'/が誘起される．ヘリシティが存在する場合
'$/%)
)
(*

ティ，乱流クロス・ヘリシティのスペクトル函数である．

は，平均磁場の方向に沿って渦度ゆらぎに付随する速度ゆこの方法の詳細，仮定・近似については文献［１０］を参照さ

らぎが変化する．このため，正の乱流ヘリシティの場合はれたい．

磁場ゆらぎ '$/が図２の方向に誘起される．この効果によ

さて，乱流の応答函数" は過去の状態が現在にどれだける乱流起電力+'/#'$/,は，元の磁場 !と反平行となる．乱影響を与えるかという履歴の情報を担っている．応答函数

流場に存在するヘリシティが負のときは，元の磁場と同じの時間積分を波数積分とは独立に行う近似では向きの起電力となる．この磁場に平行な起電力を生成する)メカニズムが，Parker が考えたサイクローン的な乱流によ
/

/

(#
)
!
)*
)%! %)")!'

る磁場生成，すなわちアルファ効果の本質である［１１］．

（３２）電流ヘリシティ効果となり，乱 流 の 時 間 ス ケ ー ル を 与 え る．一 方，エ ネ ル

同じく平均磁場 !の中で，乱流場に正の電流ヘリシティ

ギー・スペクトル函数の波数積分はエネルギーを与えるの/がある場合（+$/$%#!）を考える（図３）．低磁気 Reynolds,

で，式（２９）は式（２２）あるいは式（２５）と対応する．すなわち，

数流れでは磁場ゆらぎ自体が誘起されないため電流ヘリシ式（２９）は混合距離理論などによる簡単な表現の一般化とティの効果もない．しかし，一般に高磁気 Reynolds 数とななっている．

る天文・宇宙物理学現象では，この電流ヘリシティの効果応答函数とスペクトル函数の時間及び波数積分を含む式は無視できない．さて，正の電流ヘリシティのため，磁場（２９）‐（３１）の表式は輸送係数の表現として複雑に過ぎ，必

ゆらぎと電流密度ゆらぎは統計的に平行にそろう（図３）．

ずしも実用的ではない．そこで，実空間の一点物理量を用

上述の運動ヘリシティ効果と同じ議論が可能だが，ここでいて輸送係数の表現をモデル化し代用することを考える．

/
はゆらぎの Lorentz 力で議論する．電流密度ゆらぎ %と平式（３２）を用いて，式（２９）‐（３１）の表式を

均 磁 場 !に よ る ゆ ら ぎ Lorentz 力 の た め，速 度 ゆ ら ぎ'/""$/",
&%!&)
"
$，
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+

（３３）

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+
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（３４）

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'/$
&
(%!()
&!()
+

（３５）

/
%
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#!が誘起される．乱流場の電流ヘリシティが正の場合，速度ゆらぎ ''/と磁場ゆらぎ $/による乱流起電力''/#$/,は 元 の 平 均 磁 場 !と 平 行 な 起 電 力 に な る+（図３）．負の電流ヘリシティの場合は平均磁場に反平行な寄与となる．乱流場中に運動ヘリシティと同符号の電流ヘ．すなわのように簡略化する（!&，!%，!(：モデル定数）
ち，式（２８）中の &，%，(といった輸送係数は，乱流の時
間スケール )と結びついた乱流 MHD エネルギー $，乱流
残留ヘリシティ #，乱流クロス・ヘリシティ& という一点
乱流統計量でそれぞれモデル化される．これらの乱流統計量の発展方程式も同時に考えることで，自己無撞着な乱流
ダイナモ・モデルを構成し，実現象に適用することが可能となる．この点については第２．
５．
１節で説明する．

２．
４ ダイナモ効果の物理的起源と検証
２．
４．
１ ダイナモ効果の直感的理解
図３

ダイナモ効果の起源を直感的に理解するためには，ゆら
６０７

電流ヘリシティ効果．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

リシティが存在すると，両者は打ち消し合うようにはたらき，アルファ効果が弱められることになる．これが Pouquet らによるアルファ効果に対する補正に対応する［５］．
クロス・ヘリシティ効果
図４のように流体要素が平均渦度場"中でゆらいでいるとする．乱流場に正のクロス・ヘリシティが存在すると仮定すると，速度ゆらぎと磁場ゆらぎは統計的に同じ向きにそろっている（図４）．渦度中を $)で運動する流体要素は局所的な角運動量保存のため Coriolis 的な力を受け，その方向に速度 %$)$'$)""が誘起される．この誘起された速度 %$)と（元の $)に平行な）磁場ゆらぎ #)による乱流起電
力'$)"%#)(は平均渦度に平行な起電力となる（図４）．乱流場のクロス・ヘリシティが負のときは渦度と反平行な起図５電力となる．すなわち，速度＝磁場相関の存在する乱流では，平均渦度（あるいは回転角速度）による Coriolis 力（すなわち局所的な角運動量の保存）の効果で，平均渦度（回Kolmogorov 流：（上）設定，強制外力，流れ函数の等高線．
（下）
乱 流 起 電 力 と ダ イ ナ モ・モ デ ル の 比 較：，〈u´×b´〉；……，#B；，$J； ・ ，&"．

転角速度）に平行に乱流起電力が生じる［１０］．
２．
４．
２ 直接数値計算による検証

ス・ヘリシティの生成に寄与し，相対的に大きなクロス・

前節までは，乱流解析によって平均磁場の誘導方程式にヘリシティ効果を導いている．乱流クロス・ヘリシティや現れる乱流起電力をどう表現するかを議論してきた．特に乱流残留ヘリシティの生成機構については第５節で議論す

平均速度が非一様性な場合，ゆらぎの速度＝磁場相関である．

る乱流クロス・ヘリシティが乱れ中に存在すると平均渦度

この直接数値計算の結果で興味深いのは，クロス・ヘリと結びついて乱流起電力に寄与することが示された．このシティ効果を考えに入れない場合，「アルファ効果は乱流

クロス・ヘリシティ効果がアルファ効果などの他の効果と起電力を説明できず，平均場あるいは乱流ダイナモ・モデ

比較してどの程度有効かは，乱流場にどれだけクロス・ヘルは有効ではない」という結論に導かれることである．例

リシティが存在するかで決まる．

えば，液体ナトリウムを用いたある種のダイナモ実験では平均速度の非一様性が乱流ダイナモに与える影響のひと

乱流起電力が実験的に測定され，アルファ効果や乱流磁気つの例として，平均磁場を伴う Kolmogorov 流の直接数値

拡散の効果と比較され，アルファ効果では乱流起電力を説

計算を紹介する［１２］．Kolmogorov 流はボックスの一方向

明できないことが示されている［１３］．しかし，平均の流れに不均一な強制外力を課し速度シアを実現した乱流である場が存在するような実験設定では，クロス・ヘリシティも（図５上）．一方向のみに非一様で，他の二方向は一様であ

同時に測定し，その効果の有用性も議論することが俟たれる．この速度シアによって強い乱流状態が維持されている．

る．ここではさらに非一様方向に対して外部から磁場を課し，直接数値計算によって，乱流起電力そのものと乱流起２．
５ 乱流モデル的アプローチ

電力のモデルの各項との非一様方向の空間依存性を比較し

２．
５．
１ 乱流ダイナモ・モデル

た．

輸送係数は乱流場の性質を反映している．乱れが時空発

図５下がその結果である．この設定の流れでは，アル展すれば輸送係数もそれに応じて変化する．乱流輸送にファ効果の項 #!はほとんど無視しうるほど小さい．乱流

よって平均場の発展が規定され，平均場が発展するとそれ

磁気拡散の項 $"とつりあって乱流起電力を構成しているに応じて乱流場も変化する．この非線型のダイナミクスをのは乱流クロス・ヘリシティの項 &! である．この流れ場

自己無撞着に解析するためには，平均場と乱流場の双方向では外力によって維持されている平均速度勾配が乱流クロの相互作用を同時に解く必要がある．
式（３３）‐（３５）からわかるように，ダイナモの輸送係数は
乱流エネルギー "，乱流残留ヘリシティ !，乱流クロス・ヘリシティ$ と直接的に関連づけられる．そこで，"，!，$ の発展方程式を考えることで，輸送係数の時空発展を調べることができる．その発展は平均場とその非一様性に依存するので，平均場と乱流場は非線型のダイナミクスに従って発展していく．
乱流エネルギー " と乱流クロス・ヘリシティ $ の発展方程式は，それぞれの総量 !
#"#$!!#!&!
!"# と !
# $##%とが電磁流体方程式の保存量であることを反映して，きわ

図４

クロス・ヘリシティ効果．

めて簡単な形で書かれる．
６０８

Lecture Note

2. Turbulent Dynamos#$%($ !,
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$
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2-

（３７a）

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（３７b）

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（３７c）

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$，
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2-

（３８a）

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,
% &，
, %)
+
2 +
2-

（３８b）

$-,
), %!$
('"($

（３８c）

- .

N. Yokoi（４１）の形の発展方程式を考えることができる［１５］．右辺第１項
から第３項までは乱流相関と平均場の非一様性が組合わさることで生じる乱流残留ヘリシティの生成率である．第１項は乱流残留エネルギー，すなわち乱流運動エネルギーと乱流磁場エネルギーの差があると残留ヘリシティも作られることを表している．第２項と第３項はReynolds応力と乱流起電力からの寄与を表している．第４項は残留ヘリシ
ティの散逸率
.
/
1-. +
.-. +
*-.
'%+
&%+
,
&"#
&
% %!#
+
2- +
2+
2- +
2-

（４２）

で定義される．式（３７c）と式（３８c）は境界からの流束に対応であり，何らかのモデル化が必要である．例えば，% を時する輸送項であるが，その詳細についてここでは割愛す

間スケール )で割った代数的モデルを採用すると

る．
,
% %"&

さて，式（３７a）は乱流エネルギーの生成率であり，Reynolds 応力と平均速度歪み（速度シアの対称部分）"，およ

%
,
%"& %
)
'

（４３）

び乱流起電力と平均電流密度（磁場シアの反対称部分）#となる．第５項は発散の形で書かれていることからわかるが結合することで乱流エネルギーが生成されることを示し

ように輸送率でありて い る．Reynolds 応 力 の モ デ ル 化 と し て 渦 粘 性 表 現" '-# #"''$% %($
! +
,
(%$
($
#
(&
#

-.
（# -. '!'
，乱流起電力のモデル化として乱流磁気*" ）拡散（"( '!%#）をそれぞれ主要項として用いると，そ

'
'-#,
"
#"($
%!#$
(+
! ' (%"(&

れらから乱流エネルギー生成への寄与は##(' '"'*" "%#（３９）（４４）とモデル化される．このうち特に平均渦度 !の項は平均渦となる．第１項は速度シアによる，第２項は Joule 加熱によ

度方向の運動エネルギーの非一様性から生じる項で，運動る乱流生成を表している．

ヘリシティを局在させる項として重要となる．

同様に，式（３８a）は乱流クロス・ヘリシティの生成率を式（３６）と式（４１）で表現される輸送係数と直結した乱流統

表し，Reynolds 応力と平均磁場歪み（磁場シアの対称部

計量の発展方程式は，それぞれ生成項を含んでいる．それ分）!，および乱流起電力と平均渦度（速度シアの反対称部

らは平均場の非一様性によって乱流場が生成し発展してい分）! が結合することで，乱流クロス・ヘリシティが生成くことを示している．

されることを示している．エネルギーの場合と同様に，主２．
５．
２ ダイナモの消失（Quenching）
平均速度を所与のものとすると，平均磁場の誘導方程式

要な寄与は(, '"'!
*"・! "%#$

は磁場について線型である．もし !が方程式の解ならば（４０）!を何倍かしたものも解であり，磁場の大きさを決める内と表される．第１項は平均速度歪みと平均磁場歪みの結合

在的なメカニズムが存在しない．実際にはダイナモ作用でが，第２項は平均電流密度と平均渦度の結合が乱流クロ生成される磁場はどこかのレベルで飽和する．磁場が大き

ス・ヘリシティ生成にとって重要なことを示す．

くなると運動量方程式中で Lorentz 力を無視できなくなる乱流エネルギーや乱流クロス・ヘリシティの場合と違っため，Lorentz 力はダイナモ作用を抑制するひとつの候補て，乱流残留ヘリシティ %の発展方程式を簡単な形で表すであろう．この飽和メカニズムの議論のひとつがクエンチことはできな い．こ れ は そ も そ も 運 動 ヘ リ シ テ ィ総量

ングと呼ばれる消失機構である．最も簡単な表式では，ア&'*++や電流ヘリシティ総量 '++が電磁流体方程
+ '$
+ %$

ルファ効果の輸送係数である $を式の保存量ではないことと関連している．ゆらぎ場の方程$%式から乱流残留ヘリシティの発展方 程 式 を 構 成 できる［１４］．その形は大変複雑で実用的でない．もう少し簡便な

$!
!,#
""!#"
-

（４５）

のようにモデル化する（$!：定数の $，!,-：等分配磁場）．

形として，
６０９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.9 September 2015

これにより平均磁場が大きくなると #の値は抑制されダイい；などの理由で（$）乱流起電力中でアルファ効果以外はナモ作用が消失する．

無視できる；（%）外部・内部境界を通して輸送されるヘリ

しばしば議論されるダイナモ作用の消失に「破綻的消シティの流束 $# が存在しない；これらの条件下では式失」（catastrophic quenching）がある．運動論的ダイナモで（４７）に簡単化される．換言すると，輸送係数の発展方程式

磁場の凍結がよく成り立つ場合，ゆらぎ磁場と平均磁場のという視点から見た場合，散逸，乱流場，平均場，ダイナ

間に

モ・モデル，境界などについてかなり簡単な設定をおいた%-#*$&( !#)

場合に破綻的消失が生じると考えられる．

（４６）

［&('
：磁気 Reynolds 数］という関係が成り立つ
'(
$'%!

２．
６ おわりにという議論を用い，式（４５）の !#を小スケールのゆらぎ場

通常の平均場ダイナモ理論・モデルでは，乱流の扱いに%-#*で置き換える．すると輸送係数 #は)#$いくつもの制約がある．平均磁場の誘導方程式では最も重要と考えられている平均流れの非一様性が，乱流場の取り#'!)*""&(!#!

扱いではほとんどの場合はじめから無視されている．その（４７）

結果，乱流起電力の表現として平均磁場とその微分の線型と表されることになる（#'：磁場に依らない定数としての函数というきわめて制限の強い表現［式（６）］が採用され#係数）．天体・宇宙現象では磁気 Reynolds 数は巨大（太る．この扱いは，磁場の運動量への作用の無視（運動論的

6

9

18

陽対流層で 10 −10 ，銀河で 10 ）であるため，輸送係数ダイナモ），輸送係数のパラメータとしての扱い，非圧縮#はきわめて小さくなる．したがって，アルファ効果で天性の仮定など，平均場ダイナモ理論が現実的に含んでいる

体磁場を生成・維持することはできないという結論にな

さまざまな仮定・近似と表裏の関係になっている．そのよる．ダイナモ作用が破綻的に阻害されるという意味で cata-

うな制約は，乱流によるダイナモ作用にとって決して内在

strophic という言葉が使われる．

的なものではない．
「平均場ダイナモ」ではなく「乱流ダ式（３４）でみたように，アルファ効果の輸送係数 #は乱流

イナモ」という言葉を使うことで，本来の乱流によるダイ

残留ヘリシティ # と直結する．したがって，アルファ効果

ナモ作用が持つ豊かな内容を表現することができる．本章の非線型平衡状態は残留ヘリシティ方程式の平衡状態としではその全てについて触れることはできなかったが，そのて議論することができる．簡略化した # の発展方程式［式

ような乱流ダイナモの理論・モデルは，少なくとも，流れ（４１）］で乱流起電力による生成項，散逸項，輸送項がつりの非一様性，輸送係数の時空発展，平均場と乱れ場の非線

あう平衡状態は型相互作用，運動量方程式の Reynolds 応力および乱流!"&%)# " !!)
$# %!
#
# "&#
$$ (

Maxwell 応力の的確な表現などを適切に含んでいる必要がある［１０］．

（４８）で与えられる．残留ヘリシティの散逸率［式（４２）］を運動

参考文献

ヘリシティの散逸率と電流ヘリシティの散逸率とに分け，［１］T.G. Cowling, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 94, 39 (1933).
［２］E. Bullard and H. Gellman, Phil. Trans. Roy. Soc. London
A 247, 213 (1954).
［３］M. Steenbeck et al., Zeitschrift Naturforschung A 21, 369(1966)［４］A. Brandenburg and K. Subramanian, Phys. Rep. 417, 1(2005).
［５］A. Pouquet et al., J. Fluid Mech. 77, 321 (1976).
［６］横井喜充他：乱れと流れ（培風館，２００８）第１章，pp.

#'!
( #!
(
%
"' #
# $!
(
*

（４９）

とモデル化する．この式の第２項のモデルでは（電流）ヘリシティの散逸率を，ヘリシティ伝達率としての %# ではなく，分子磁気拡散で決まる散逸率と想定し 'を用いてモデル化している．ヘリシティ輸送方程式中の %# はむしろ慣性領域の乱流ダイナミクスで決まるヘリシティ伝達率で

３
‐
５
０．
［７］R.H. Kraichnan, J. Fluid Mech. 5, 497 (1959).
［８］A. Yoshizawa, Phys. Fluids 27, 1377 (1984).
［９］A. Yoshizawa, Phys. Fluids B 2, 1589 (1990).
［１０］N. Yokoi, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 107, 114 (2013).
［１１］E.N. Parker, Astrophys. J. 122, 293 (1955).
［１２］N. Yokoi and G. Balarac, J. Phys. Conf. Ser. 318, 072039(2011).
［１３］K. Rhabarnia et al., Astrophys. J. 759, 80 (2012).
［１４］A. Yoshizawa, J. Phys. Soc. Jpn. 65, 124 (1996).
［１５］N. Yokoi et al., J. Turb. 9, N37 (2008).

あり，分子磁気拡散率と必ずしも直結するものではない．
その意味で，式（４９）のモデルはそれ自体注意して用いる必要がある．式（４８）の乱流起電力の表式に式（２８）を代入し，
この式を #について解くと
#
#!'
!"(
$#
&
!
$(
",
# "(
+
#
&#
#$ '
$
""&(!#!

（５０）を得る．この式は，（!）平均磁場が一様で平均電流密度が無視できる；（"）大規模な渦運動が存在しない；（#）乱流
場にクロス・ヘリシティ（速度＝磁場相関）が存在しな

６１０

Lecture Note

2. Turbulent Dynamos!!!!!!!!!!!!!!!!!!

よこ

い

のぶ

みつ

横 井 喜 充東京大学生産技術研究所助教．博士（理
学）
．１
９
８
４年東京大学法学部政治コース卒
業（政治哲学）．１９
９
５年東京大学大学院理学系研究科物理学専攻修了．同年東京大学
生産技術研究所助手，２００
７年より現職．おもな研究分野は乱流およびダイナモ理論．著書に『乱流の数値流体力学 モデ
ルと計算法』（東京大学出版会，共著），『乱れと流れ』（培風館，共編）がある．趣味はボクシング（アマチュア日本選手
権ミドル級２位（１
９
８
１年）
，３位（１
９
８
３年）
）
，ジャズ・落語鑑賞．家族は妻と娘．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

６１１

N. Yokoi

J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.10 (2015)６
７６‐６８２

講座 MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成

３．地球ダイナモ研究のこれまでとこれから
3. Geodynamo Simulation in the Past, Now, and Future
宮 腰 剛 広，陰 山

聡１）

MIYAGOSHI Takehiro and KAGEYAMA Akira１）
海洋研究開発機構地球深部ダイナミクス研究分野，１）神戸大学大学院システム情報学研究科（原稿受付：２
０
１
５年７月３
０日）

地球内部の大部分を占めるマントル層の下には外核と呼ばれる液体鉄の領域がある．液体鉄は電気伝導性の流体なので，外核の流れと磁場は磁気流体力学（MHD）方程式に従う．この液体鉄を媒質とした MHD ダイナモ過程により，地球磁場（地磁気）が作られている．長い歴史をもつ地磁気の研究は，計算機シミュレーションの手法が導入された１９９０年代半ば，飛躍的に発展し，その後もスーパーコンピュータの進歩に伴って着実に進歩してきた．MHD システムとしての地球外核の特徴の一つは，地球の回転（自転）が流れに及ぼす影響の強さである．その強さは Ekman 数とよばれる無次元量で示される．本章では，地球ダイナモの特徴を概観し，シミュレー
ションで実現された Ekman 数の漸進という視点からまとめた地球ダイナモシミュレーション研究の成果を紹介する．
Keywords:
geomagnetic field, core, geodynamo, MHD, numerical simulations

３．
１ はじめに３．
２ MHD システムとしての地球外核

地球は固有の磁場（地磁気）をもつ．その磁場は，地球地表で測った地磁気が静磁場と仮定し，そのポテンシャ

中心におかれた約 8×1022［Am2］の双極子モーメントがつルを球面調和関数で展開すると，地磁気の起源が（電離層くる双極子磁場でよく近似される．地磁気の強さは，地表などの上空ではなく）地球内部にあることが確認できる．

でO（10−5）T（テスラ）程度と弱いので，日常生活では地磁

これを最初に示したのは数学者のガウスである．そこでま気の存在を意識することはあまりないが，宇宙空間に遍在

ずは地球の構造を概観してみよう．

する荷電粒子（プラズマ）は地磁気によって大きな影響を地球の半径は約 6370 km である．このうち主に金属（鉄）受ける．そのため，地球の周囲には地磁気の影響により地から成るコア（核）が中心から約 3480 km を占め，その外側

球磁気圏が形成されている．地磁気は地球の生命環境にもを岩石からなるマントルが取り囲んでいる．表面を覆う地

影響を及ぼしているのは間違いない．地磁気が一種のシー殻は数十 km 程度の厚さである（図１）．ゆで卵にたとえる

ルドとなり，太陽風や荷電宇宙線が地球を直撃することをと，黄身がコア，白身がマントル，地殻が殻に相当する．コ

防いでいるからである．ある惑星が固有磁場をもつかどう

アはさらに内核と外核という２層にわかれており，内核がかは，その惑星のハビタブル性（生命居住可能性）の重要

固体，外核が液体の鉄から構成されている．地球が誕生し，な要因であろう．

核が形成された直後には内核は存在せず，地球の冷却が進

地球が形成されて以来，約４６億年の歴史の中で，ほとん

むにつれて，徐々に形成されて大きくなってきた．現在，

ど常に地球は磁場をもっていたらしい．これは岩石に残さ

内核の半径はコアの半径（＝外核半径）の約３５％である．

れた過去の地磁気の記録から確かめられている．後述する

地球内部が高温である一方，宇宙空間は冷たいので，マように地磁気の起源は地球内部の金属層（コア）にある．

ントルは半径方向に強い温度勾配をもっている．マントル

コアの電気抵抗とサイズに基づいて概算すると，コア内部

は岩石，つまり通常の時間スケールでは固体であるが，長の磁場の拡散時間は数万年程度である．１章で述べられた

い時間スケールで見れば流れる．つまり流体である．
（氷河

ように，磁場の拡散時間と比較してそれよりも長い時間，をみればわかるとおり，流れる固体は珍しいものではな

磁場が維持されるのが MHD（Magnetohydrodynamics）ダい．）マントルの熱伝導率と粘性率から評価したレイリー

イナモである．したがって地磁気が MHD ダイナモ機構に数（熱対流不安定性の無次元指標）は約１０７と極めて高いた

よって生成されていることは間違いない．

め，マントルは熱対流運動をしている．このマントル対流のため，コアの熱が外部に効率的に運ばれ，コアにも半径方向の熱勾配が生じている．そのため外核の液体鉄も熱対

JAMSTEC, Yokohama, KANAGAWA 236-0001, Japan
1)Kobe University, Kobe, HYOGO 657-8501, Japanauthors’ e-mail: miyagoshi@jamstec.go.jp, kage@port.kobe-u.ac.jp

６７６!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion ResearchLecture Note

3. Geodynamo Simulation in the Past, Now, and Future

T. Miyagoshi and A. Kageyama

である．地球外核では $&$O（103）程度と考えられており［２］，磁場を生成・維持することが可能なくらい大きな値である．ちなみに液体金属を用いたダイナモの実験が非常に難しいのは，この磁気レイノルズ数をダイナモが発生するほど充分に大きくできないことが主な理由である．実験
室では系の大きさ "が外核サイズに比べて遥かに小さいので，その分を対流速度 % で稼がなくてはいけないが，実験室と外核サイズの大きさのギャップを埋めるほどに%を大きくすることは非常に困難である．
地球ダイナモ過程は本質的に非線形問題であるため，解析的に解を求めることはできない．そこで計算機シミュ
レーションが重要となる．MHD 方程式を数値的に直接解く地球ダイナモの計算機シミュレーションが行えるようになったのは１９９０年代半ばからである．外核の流体鉄は水と同程度の粘性率をもち，そのレイノルズ数は O（109）である［２］．つまり外核は乱流状態になっているのは間違いないであろう．これほど大きなレイノルズ数の直接数値シミュ
レーションは現在のスーパーコンピュータでも不可能である．
図１

地球内部の構造（参考文献［２］より転載）．

MHD システムとして見た地球外核の特徴のもう一つ
は，地球の自転の影響の強さである．地球と共に回転する

流モードに対して不安定になり得る．外核には放射性元素

座標系で見ると，外核の MHD 流体にはコリオリ力がはたや内核の固化による潜熱などの熱源があり，それに加えらいているようにみえる．
（遠心力は重力に比べて弱いのて，流体の組成が原因となる対流（組成対流）も起きていで無視できる．
）運動方程式の中での，粘性力とコリオリると考えられている．組成対流とは，外核内に少量含まれ力の比として定義した無次元数を Ekman 数と呼ぶ．地球ている鉄以外の軽元素に起因する対流である．コアの温度

外核の Ekman 数は，O（10−15）である．つまり外核内のダイは３６００度以上［１］と考えられており，これは鉄のキュリー

ナミクスは地球の自転の影響を極めて強く受けている．こ温度よりも高いため，コアの磁性は考えなくてよい．地球の Ekman 数の値は外核の液体鉄の分子粘性に基づいて評の中心に永久磁石があり，それが地磁気を作っている可能

価したものであり，実際には乱流による渦粘性が実効的な性は当然ない．

粘性率を決めている可能性が高いが，それを考慮しても現在の地磁気は，北極に S 極，南極に N 極があるが，古，それでも
Ekman 数は O
（10−9）と評価されており［e.g., 3］

地磁気学的記録から，過去にはこの極性が逆だった時期も非常に小さい値である．Ekman 数が小さい系では，流れのあったこと，またそのような極性の反転を，過去幾度とな

空間スケールが小さくなる．磁場が強くなると荷電粒子のく繰り返してきたことがわかっている．極性反転の周期

ラ ー モ ア 半 径 が 小 さ く な る の と 同 様 に，コ リ オ リ 力は，（太陽の場合はほぼ１１年で一定であるのとは対照的に）（"（ $：密度，"：回転角速度ベクトル）が強くなる$%""）

一定ではない．最近５００万年程度で無理に平均をとれば，数と，発生する渦構造が小さくなる傾向があるためである．

十万年程度に１回，地磁気の極性は反転している（一番最したがって，低い（つまり現実の外核に近い）Ekman 数の近の反転は約８０万年前である）．反転に要する時間は数千

計算は高い空間解像度が求められるため，数値計算が難し年と推測されている．これは，人間の時間スケールから見くなる．また，液体鉄の磁気 Prandtl 数 #&（動粘性率／磁れば長いが，地球科学的な時間スケールと比べると極めて（10−6）とこ
気拡散率を表す無次元パラメータ）は #&$O

短い．このような特徴をもつ磁場極性の反転がどのようにれも非常に小さな値をもつことも外核 MHD の特徴である．

して起こるのかはまだ充分に理解されていない．地磁気研

回転流体系における流れの一つの重要な性質をここで述

究の最終目標の一つがこの逆転の物理機構解明である．

べておく．ある流体を角速度 "で回転する座標系でみたと外核内の流体鉄は電気伝導性をもつ流体，即ち MHD 流

きにその流れが定常状態になっていたとする．簡単のた体である．第１章で述べた MHD ダイナモ過程により，外め，流体は非圧縮・非粘性で，流れの非線形項は他の項に

核の対流運動エネルギーが磁気エネルギーに変換され，地比べて無視できるほど小さいと仮定する．このとき，コリ
オリ力と圧力勾配が釣り合っている："$%""!%'$!．

磁気が形成・維持されていると考えられている．
地球ダイナモ過程を考察する上で重要な無次元パラメー

この両辺の curl を取り，さらに連続の式 %#%$!を使用すタの一つが磁気レイノルズ数 $&$%"!
#（%：対流速度，ると，&"#%$!となる．つまり，回転軸方向に流れが一%'"：システムサイズ，#：磁気拡散率）である．これは磁場様になる．これを Taylor-Proudman の定理という．圧縮性の誘導方程式の，散逸項 #%"! の大きさに対する誘導項%"!'の大きさの比である．ダイナモとなるために%"&の流体であっても，また非定常状態であっても，系の回転は，磁気レイノルズ数 $& が少なくとも O（101）以上が必要

ち回転軸方向に揃う傾向がみられる．この性質は回転系の速度が十分に高い場合，流れは「Taylor-Proudman的」，即６７７

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

ダイナモ機構を理解する上で重要となる．

３．
３ 地球ダイナモシミュレーション
地球ダイナモシミュレーションとは，地球外核を計算対象とし，回転する座標系の下で MHD 方程式を数値的に解くことで地磁気の起源解明をめざす研究手法である．上述
したように本格的な地球ダイナモシミュレーションは１９９０
年代半ばに始まった．その後，この２０年間で，地球ダイナ
モシミュレーションによって様々な成果が得られたが，その全てをここで紹介するわけにはいかないので，ここでは，「Ekman 数の漸進」という視点からその進展をまとめ
よう．
計算機シミュレーションの手法により，３次元の MHD
方程式を数値的に解くことができるようになる以前は，磁場から流れ場へのローレンツ力によるフィードバックを無視 し た 近 似 を し た り（キ ネ マ テ ィ ッ ク ダ イ ナ モ モ デ
図２ル），３次元的な流れがもつ効果を !係数や "係数として取り込んだ２次元計算を行うなど，問題を簡単化した取り扱いがなされていた．

Ekman 数O（10−4）の場合のシミュレーション結果［６］．青と赤の面はそれぞれ渦度の回転軸方向成分が正と負の等値面を表す．線は磁力線を，矢印はそこでの流れ場を表す（参考文献［６］より転載）．

したがって３次元 MHD シミュレーションが可能となったときに最も興味深い問題は，「双極子磁場の生成や，そ形し「く」の字型になっていることがわかる．ここでは，磁の逆転は果たして MHD 方程式に内在する性質なのであろ

力線にはまっすぐになろうとする磁気張力が働いているうか？それともそれ以外の要因（マントルの存在など）がが，それに逆らって対流運動が磁力線を内核方向へ押し込

不可欠なのであろうか？」というものであった．

んでいるため，ここで対流の運動エネルギーが磁気エネル

１９９０年代半ばのスーパーコンピュータの性能では，計算ギーに変換されている（磁力線の赤い部分）．この過程で−4）であった．しか磁場が増幅および維持されている（ダイナモ）．この対流し，これほど「大きな」Ekman 数でも，高速 回 転 MHD

場により，コア内の全磁気エネルギーは全対流エネルギー

系としての外核の基本的な特徴は捉えることができた．たより数倍大きい所まで増幅され，維持される．

で実現できる Ekman数はせいぜいO（10

とえば，上述の Taylor-Proudman 的な流れの性質，即ち対

さらに，このような対流場は自発的に双極子磁場を形成

流構造が自転軸方向に一様化されるという性質が現れ，そすることも明らかになった．図３は，どのようにして双極の結果，対流胞が自転軸方向にまっすぐ伸びた円柱状の構

子磁場が形成されるのかのメカニズムを説明したものであ造（対流柱構造）をもつことが確認された．この対流柱はる．図３（a）は北半球における対流柱を表している．最初

テーラー柱（Taylor column）とも呼ばれる．回転球殻対流に，対流柱内部の回転軸方向の流れはどのようになってい系にお け る こ の よ う な 円 柱 状 対 流 構 造 は１
９７０年 代 からるかを考える．Taylor-Proudman 定理を導出した時と同様

Busse が線形計算で予測していたものであり［４］，後にはに，対流柱ではコリオリ力と圧力勾配がほぼ釣り合ってい実験でも実証した［５］．したがって Busse column とも呼ばるとすると，北極側から見て反時計回りの対流渦では，対れる．Busse 等の実験は水を使って行われたので，このよ

流柱の中心から外向きにコリオリ力が働いているので，対うな円柱状対流構造のもつ MHD 効果については計算機シ

流柱内は相対的に気圧が低い．そこでこのような対流柱をミュレーションの登場を待つしかなかった．そして計算機

低気圧柱と呼ぶ．北極側から見て時計回りの対流渦では，シミュレーションにより，このような円柱状対流胞の集ま同様にして高気圧柱となっている．低気圧柱では，圧力がりを流れの基本構造とした MHD ダイナモが確かにおきる

周囲より低いため，南北両端から吸い込む流れが生じる．

こと，そして，それが双極子磁場の発生を生むことが確認

つまり極側から赤道に向かう軸方向の流れが発生する．高された［６］．図２はそのシミュレーション結果の一例であ気圧柱では，圧力が高いため，逆に南北両端から吐き出する．青と赤の柱状の面は渦度の回転軸方向成分（それぞれ流れが発生し，赤道から極側へ向かう軸方向の流れが発生

正と負）を表し，これらの対流柱の周りを回るように対流する．図３（a）の対流柱内の白抜き矢印はこれらの流れを運動が生じている．その流れの向きは真上（北極側）から示したものである．さて，この流れと対流渦の流れの元で，見た場合，青の対流柱では反時計回り（地球の自転方向と図にあるようなコア内で閉じる（経度方向円環状の）磁力同じ），赤は時計回りである．線は磁力線を，矢印は流れ場

線（トロイダル磁場）が流れ場によってどのような変形をを表している．磁力線上の色で赤い所は，運動エネルギー受けるかを考えると，図３（a）の１→２→３のようになるから磁気エネルギーの変換率を表す !##""! の値が大きことがわかる．磁力線は内核側に引き込まれつつ，回転軸い部分を表している．この図から，対流柱の谷間に位置す

方向に引き延ばされる．南半球においても逆向きの磁力線

る内核方向への流れにより，磁力線が引き込まれ大きく変について同様のことを考えると，変形した磁力線の全体像
６７８

Lecture Note

3. Geodynamo Simulation in the Past, Now, and Future

T. Miyagoshi and A. Kageyama

刻み幅が非常に小さくなってしまう計算上の不利を解消した，Yin-Yang grid［１０］を用いており，解像度は５１１×５１４×
１５３８×２（経度方向に約２０００格子）である．図４は，図２と同様に渦度の回転軸方向成分を示している．Ekman数が高かった図２の結果と比べると，対流の構造が大きく異なっていることがわかる．柱状の対流構造ではなく，動経方向に長く延びた構造になっており，また経度方向にもずっとモード数が大きくなっている．回転軸方向にはほぼ構造が変化しないため（図４の子午面），３次元的には薄いシート状の対流になる．さらにこのシートは，枝わかれ
しよりマントル側ではモード数が増加する．これも高 Ekman 数モデルでは見られなかった特徴である．実は，このようなシート状対流は，水を使った高速回転対流実験で観測されていた［７，１１］．実験での Ekman 数は O（10−6）である．このシミュレーションは実験でみられたシート状の対流構造を計算機で初めて再現することに成功したものである．
また，このシート状対流は強いダイナモ作用をもつ．この対流下で，コア内の全磁気エネルギーは対流の全運動エ
ネルギーよりも数倍大きいところまで増幅され維持される．ダイナモ作用によってコア内に 流 れ る 電 流 は，高Ekman 数のモデルでは知られていなかった新しい構造を取ることが明らかになった．図５の左と中のパネルの青線
図３

柱状対流のもとでのダイナモとダイポール磁場形成のメカ
ニズム［６（］図は参考文献［６］より転載）．

はその電流構造を表している．小さな多数のコイル状の構造の集合から成ることがわかる．この一つのコイル構造を拡大して，電流構造と磁場構造をみると（図５右），コイルは図３（b）のようになる．すると，a や a'の場所では反平行状の電流構造の中に束ねられて強くなった磁場の管（磁束成分をもつ磁場が赤道付近で接することになり，ここで磁管）が 形 成 さ れ て い る こ と が わ か っ た．こ の 構 造 は気リコネクションが起こる．その結果，図３（c）のように双：電流密度，!：磁束密度，"!：真空の透""#!!!
"!（"

極子磁場が形成される．

磁率）の関係からも理解することができる．この式より，

図３（a）では，最初に南北両半球にそれぞれ逆向きのト

磁束管の縁に強いコイル状電流が流れることがわかる．ま

ロイダル磁場があることが仮定されているが，この磁場はた，ダイナモ作用によって磁場が強く増幅されている場所#効果（第１章参照）で自然に生じるものである．経度方向の流れ成分に対して，経度方向の平均をとると，赤道付近に局在する西向きの流れ成分が存在する．この流れが #効果を生じさせる事により，図３（c）で形成されたコア外に延びる（南北方向の）磁場（ポロイダル磁場）を，赤道付近で磁力線が強く西向きに引き延ばす．北半球では西向
きの，南半球では東向きの磁場が形成され，それは図３（a）（b）で仮定されているトロイダル磁場と同じ向きになる．
このようにして，ポロイダル磁場→トロイダル磁場→ポロイダル磁場→……というサイクルが完成し，双極子磁場が発生・維持される．
この研究から約１０年後，スーパーコンピュータの進展に伴い，Ekman 数を３桁ほど下げた O（10−7）の計算が可能になった［７‐９］．これらは渦粘性を仮定した場合の Ekman
数として見積もられている O（10−9）という値にあと二桁程度まで迫ったモデルであり，おそらく今でも最も Ekman
数が低いモデルである．このモデルで新たにわかった低Ekman 数の場合の対流構造やダイナモ機構について述べ

図４

る．格子系には，球面全体を合同な二つの要素格子で覆うことにより，通常の球座標格子において極域付近での時間
６７９

Ekman 数 O
（10−7）の場合のシミュレーション結果［７］．赤道面および子午面上での渦度の回転軸方向成分（赤が正，
青が負）を表す（図は参考文献［７］より転載）．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015（!##""! が大きい場所）は，これらの電流コイル構造がある場所とほぼ一致することがわかった．さらに，磁場はシート状の対流によって，シートが延びている方向（回転軸と垂直な方向）に強く引き伸ばされることにより生じ（図６），そのようにして強められた磁場によって磁束管が形成されることがわかった．このように，低気圧柱と高気圧柱の間で生じる内核方向への引き込みにより磁場が増幅される高 Ekman 数のモデルと比べて，低 Ekman 数のモデ
ルでは「シート状の対流」とそれによる「磁場の引き伸ばし」及び「磁束管の形成」が大きな特徴であり，磁束管形成に伴って高 Ekman 数ではみられなかったコイル電流構造が形成されることが明らかになった．
また，大局的な磁場の構造についてみてみると，形成された磁束管どうしはお互いに連結しており，図７（a）にあ
図６るようなヘリカルな構造をもつ，外核内を経度方向に１周するトロイダル磁場を形成している．このヘリカル磁場は

シート状対流によって磁場が引き延ばされ，強められる様子を示した模式図．

赤道面を挟んで南北両半球にそれぞれ存在する．図７（a）の磁場で，赤くなっている部分が磁場の強い部分を表し，そこに磁束管とコイル電流が形成されている．詳しい説明
は文献［９］に譲るが，シート状の対流においても対流柱の場合と同様に高気圧シートと低気圧シートが生じており，
それらのシート内部に存在する回転軸方向の流れによって
このようなヘリカル磁場が形成されていることがわかった．このヘリカル磁場の内部においては（ $$%"!!
"!に

図７ （a）
外核内に形成されるグローバルな磁場構造［９］．（b）外核内に形成される磁場構造により生じる，南北両半球での円環電流（パネル a は参考文献［９］より転載）．

より）経度方向に電流が流れているが，この電流の向きは北半球と南半球で同じになる（図７（b））．そのため（このモデルではダイポール磁場が卓越するところまでほど長くは計算できていないのだが），この円環電流により最終的

ミュレーションが信頼されてきたといえるであろう．なに強いダイポール磁場が形成されることが示唆される．こお，最近では高圧実験によって，コアの圧力下での鉄や鉄のように，低 Ekman 数のシート状対流によるダイナモは，合金の電気抵抗や熱伝導度が直接測定されるようになって実際に強いダイナモ作用をもち，かつ双極子磁場を維持しいる［１４］．

得るような円環電流を発生させることが明らかになった．

シミュレーションモデルに関しては，境界条件の影響が詳細に調べられている．Sakuraba and Roberts は温度の境

３．
４ 最近の研究

界条件（温度固定か熱流束固定か）が流れ場に大きな影響

最近の地球ダイナモ研究の大きな流れの一つは，シミュを与えうることを示した［１５］．Matsui et al.は熱流束固定のレーションデータと観測データを詳細に比較することで，境界条件の下で磁場が流れ場を変えるメカニズムを詳しく直接得ることのできない現実の地球外核の物理的な性質や解析した［１６］．Dharmaraj et al.では様々な境界条件で２５０状態を推測しようとするものである．たとえば双極子モー通り近くの計算を行い，磁場や流れ場に与える影響を解析

メントの時間変動の統計的性質を比較することで，コアのしている［１７］．マントル底部の熱的な非一様性を地球ダイ

電気抵抗が推測されている［１２，１３］．それだけ計 算 機シナモモデルに組み込むことにより，地球ダイナモシミュ

図５

左と中：シミュレーション結果より得られた外核内の電流構造［９］．右：コイル状電流構造の拡大図．青い線が磁力線，赤や緑の線が電流線を表す（左と中は参考文献［９］
より転載）
．

６８０

Lecture Note

3. Geodynamo Simulation in the Past, Now, and Future

T. Miyagoshi and A. Kageyama

レーションから地球表面での経度方向の磁場分布についての情報を得ることもできるようになる．Aubert 等は地球
ダイナモシミュレーションにより，アフリカ大陸近傍で観測される地磁気の特徴的な永年変化を説明した［１８］．永年
変化とは，数十年から数百年程度の時間スケールでの地磁気の変動である．彼らのシミュレーションモデルでは内核表面付近から伸びる強い流れがちょうどアフリカ大陸の下のマントル底部に到達しているために特徴的な磁場の変動がみられるとしている．
第２章「MHD 乱流」で，MHD 乱流の影響を理論的に取り込む方法が説明された．計算格子の分解能よりも小さい
スケール（subgrid scale）の影響を数値的に取り込む方法も研究されている［１９］．このようなアプローチは今後地球
図８

ダイナモ研究で重要となるであろう．
地震波の観測から，内核の固体鉄は異方性をもつことが知られている．この異方性の起源は未だに謎であるが，そ

西暦年（横軸）対，その年に出版された主なダイナモシ
ミュレーション研究で達成された Ekman 数（縦軸）［２］．
グラフの先端部（２
０
０
８〜２
０
１
１年）に，本章でも紹介した著者らの仕事が挙げられている（図は参考文献［２］より転載）．

の一つとして内核もまた対流運動している可能性が議論されており，そのために外核の対流を駆動する要因の一つでフィッティングをして面白い関係式を導出している．そのある組成対流が内核表面上で非一様となっている可能性が式を外挿して未来予測をすると，Ekman 数が 10−8，10−10，あり，その影響も調べられている［２０］．

10−15 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン は そ れ ぞ れ，２
０１５年，２０２２
年，２０３８年に可能になるという．果たして今後この予想通

３．
５ まとめ

りに地球ダイナモシミュレーション研究が進展していくの地球コア内では対流が生じており，この対流のエネル

か，楽しみである．

ギーによって MHD ダイナモが駆動され，地磁気が生成，

参考文献

維持されている．MHD システムとしての地球外核は，低−15い Ekman 数（109）と高いレイノルズ数（10 ），そしてこ［１］P. Olson, Treatise on Geophysics, Volume 8-Core Dynamics (Elsevier, 2007) p.6.
［２］P.H. Roberts and E.M. King, Reports on progress in physics 76, 096801 (2013).
［３］G.A. Gratzmaier, Annu. Rev. Earth Planet. Aci. 30, 237(2002).
［４］F.H. Busse, J. Fluid Mech. 44, 441 (1970).
［５］C.R. Carrigan and F.H. Busse, J. Fluid Mech. 126, 287(1983).
［６］A. Kageyama and T. Sato, Phys. Rev. E. 55, 4617 (1997).
［７］A. Kageyama et al., Nature 454, 1106 (2008).
［８］T. Miyagoshi et al., Nature 463, 793 (2010).
［９］T. Miyagoshi et al., Phys. Plasmas 18, 072901 (2011).
［１０］A. Kageyama and T. Sato, Geochem. Geophys. Geosyst.
5, Q09005 (2004).
［１１］I. Sumita and P. Olson, Phys. Earth Planet. Inter. 17, 153(2000).
［１２］B.A. Buffett et al., Geophys. J. Int. 198, 597 (2014).
［１３］B. Buffett and H. Matsui, Earth Planet. Sci. Lett. 411, 20(2015).
［１４］H. Gomi et al., Phys. Earth Planet. Inter. 224, 88 (2013).
［１５］A. Sakuraba and P. H. Roberts, Nat. Geosci. 2, 802 (2009).
［１６］H. Matsui et al., Geochem. Geophys. Geosyst. 15, 3212
(2014).
［１７］G. Dharmaraj et al., Geophys. J. Int. 199, 514 (2014).
［１８］J. Aubert et al., Nature 502, 219 (2013).
［１９］H. Matsui and B.A. Buffett, Phys. Earth Planet. Inter. 223,
77 (2013).
［２０］Y. Sasaki et al., Phys. Earth Planet. Inter. 223, 55 (2013).

の記事では詳しく述べることができなかったが低い磁気プ
ラントル数（10−6）といった極端な無次元量をもつことが特徴である．これが地球ダイナモシミュレーションを技術
的に難しくしている原因である．しかしながら１９９０年代半
ばからこれらの特徴をある程度反映した地球ダイナモシ
ミュレーションが行われるようになり，地球ダイナモの理
解は大きな進歩を遂げた．Ekman 数が（現実の値の比較すれば大きいものの）１よりはずっと小さい値の場合，対流は自 転 軸 方 向 に延 び た 渦 柱 構 造 に よ り 特 徴 づ け ら れ，Ekman 数をさらに低くした計算をすると枝わかれする
シート状の対流構造が生じてくること，またそれらの対流構造の違いによりダイナモの素過程にも違いが生じることなどが明らかになってきた．
本章では主に Ekman 数の漸進という視点から，地球ダ
イナモシミュレーション研究の成果を紹介した．地球ダイ
ナモに関する最近のレビュー論文として Roberts and King［２］がある．そこにはGilbertの１６００年の研究から始まる４００
年以上の地磁気研究の歴史とその成果がまとめられている．この論文に，横軸に西暦年を取り，縦軸に各々の年の主な地球ダイナモシミュレーション 研 究 で 達 成 された
Ekman 数をとったグラフが掲載されている（図８）．これ
を見ると，スーパーコンピュータの性能の進展と共に，モデルで実現された Ekman 数も少しずつ小さくなってきた
ことがわかる．このグラフの先端の，２００８〜２０１１年の成果
は著者らのものであり，本項でもその成果の一部を紹介した．Roberts らは，この出版年と Ekman 数の関係について
６８１

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

ひろ宮 腰 剛 広国立研究開発法人海洋研究開発機構・地球
深 部 ダ イ ナ ミ ク ス 研 究 分 野・主 任 研 究
員．２
００
３年総合研究大学院大学天文科学専
攻修了，博士（理学）．京都大学理学研究科
附属天文台および JAXA 宇宙科学研究所でのポスドク（太陽物理学）を経て現職．現在の専門は地球および惑星内部ダイ
ナミクス．特にコア対流，ダイナモ，マントル対流について興味を持ち研究を行っている．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!

たけ

やま

あきら

陰 山

かげ

聡

地磁気に関する面白い話題として，動物との関係があります．どうやら一部の犬は地磁気を感じているようです．７
０頭のイヌの排泄時の体勢とそこでの地磁気の向き（磁気嵐時を含む！）を２年あまりかけて調べた論文が報告されています［Frontiers in Zoology 2013, doi:10.1186/1742-9994-10-80］．犬の散歩の際，注意して観察してみてはいかがでしょうか？

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ごし!!!!!!!!!!!!!!!!

みや!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

６８２!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.10 (2015)６
８３‐６９０講座 MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成

４．太陽ダイナモ機構 ‐理解の現状と将来展望‐
4. Solar Dynamo Modeling - Current Status and Future Perspective 政田洋平
MASADA Youhei
愛知教育大学現代学芸課程宇宙物質科学専攻（原稿受付：２
０
１
５年９月１日）プラズマで満たされた宇宙を彩る様々な天体活動現象の駆動源が磁場である．天体のもつ莫大な重力エネル
ギーが各天体に固有の『ダイナモ機構』を介し磁場のエネルギーに転換され，最終的にプラズマの熱・運動エネ
ルギーに転化されることで天体は激しく活動する．詳細観測の難しい遠方天体のダイナモ過程を，物理定量的に理解するためのプロトタイプモデルが『太陽』である．G.E. Hale による黒点中の磁場の発見（１９０８年）に端を発する太陽ダイナモ機構の研究は，２０００年代に入り大きな進展をみせている．本章では，自然が生み出す驚異の一つである『太陽磁場』の特徴を概観し，その理解をめざして進められる太陽ダイナモ研究の現状と将来を展望する．
Keywords:
Sun, magnetic field, dynamo, astrophysical plasma, magnetohydrodynamics

４．
１ 序論

の天体が磁場を有しており，それらは天体活動現象の駆動

宇宙は電気良導性のプラズマで満たされており，その運源として重要な役割を果たすと考えられている．しかし，動の自然の帰結として磁場が誘起される［１，２］．宇宙プラこれらの天体における磁場の起源，すなわち「天体ダイナ

ズマの磁気拡散率は非常に小さいため，いったん誘起されモ機構」についての理解は不十分である．

た磁場は（もちろんその空間スケールにも依るが）容易に天体ダイナモ機構を理解するためのプロトタイプモデル

は散逸しない．例えば，銀河磁場の典型的な磁気拡散時間が，我々に最も近く，詳細観測が可能な天体『太陽』であは約１０１２年，太陽磁場の磁気拡散時間は約１０１１年であり，いる．後述するように，太陽磁場には様々な成分が存在する

ずれも宇宙年齢（約１０１０年）よりも遥かに長い．

が，フレアやコロナ質量放出など太陽活動の直接的な原因

図１に，様々な天体の典型的な空間スケール（横軸）とは『黒点』に代表される大規模な活動領域であり，その生各天体が保持する典型的な磁場の強度（縦軸）の関係を示

成・維持機構の解明が太陽ダイナモ研究の主たる目的であす．銀河団や銀河間物質，銀河に代表される種々の降着円る［３‐６］．

盤系，そして恒星から惑星に至るまで，あらゆるスケール

本章では，まず「太陽磁場の経験則」と日震学観測で明らかにされた「太陽内部プラズマの流れ構造」についてまとめる（４．
２節）．次に，太陽ダイナモの標準シナリオとその問題点，そして２０００年代に入り大きな進展を見せている
太陽 MHD ダイナモ研究の現状をまとめる（４．
３節）．さらに，筆者らの近年の研究にもとづき，星の自転が差動回転分布やダイナモに及ぼす影響とその原因について考察する（４．
４節）．最後に，今後の太陽ダイナモ研究における課題と，その解決へ向けての方策を議論する（４．
５節）．

４．
２ 太陽ダイナモ機構への観測的制約
４．
２．
１ 太陽磁場の性質
図１

太陽表面で観測される磁場には，大別すると二種類の成様々な天体の典型的な空間スケールと各天体が保持する磁場の典型的な強度（Hillas ダイアグラム）．ここで，1 AU（天文単位）＝ 1.5×1011 m，1 pc（パーセク）＝ 3.1×1016 mであり，磁束密度の単位は 1 G（ガウス）＝ 10−4 T（テスラ）である．

分が存在する．静穏領域を埋め尽くす小スケール成分（乱流成分）と，活動領域を形成する大局的成分である［７］．
前者は顕著な緯度依存性や周期的な変動をもたないため，
粒状斑（表面付近の対流）と磁場の恒常的かつ局所的な相Aichi University of Education, Kariya AICHI 448-8542, Japanauthor’s e-mail: ymasada@auecc.aichi-edu.ac.jp

６８３!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

互作用（ 局所ダイナモ と呼ばれることもある）によって生成されると考えられている［８‐１０］．一方，後者の代表が黒点であり，数キロガウス（１ガウス＝１０−４テスラ）の空
間的にコヒーレントな磁場からなる［１１‐１３］．
黒点の典型的なサイズは!
（１０）Mm（メガメートル）で，粒状斑の典型的スケール（〜１Mm）と比べると遥かに大きい．粒状斑のもつ運動エネルギーと等分配な磁場強度は（１００）ガウスなので，黒点では強い磁場によって対流が!
抑制される（対流による熱輸送が抑制され，静穏領域と比べて相対的に温度が低くなるため，黒点は黒く見える）．
表面近傍の対流では，黒点のような大局的かつ強い磁場の形成を担うことができない．そのため，黒点の形成領域は必然的に太陽内部に求められることになる．
太陽黒点は空間的コヒーレンスだけではなく，時間的コ
ヒーレンスにも特徴があり，以下のような規則性をもつことが経験的に知られている［１４‐１８］：（１）黒点は正極と負極の双極（対）構造で出現する．
（２）黒点対を結ぶ軸は東西方向から約５度傾いている．
（３）黒点数は約１１年周期で増減を繰り返す．
（４）黒点対の極性は南北反対称で周期ごとに反転する（極性反転を考慮すると太陽サイクルは約２２年）．
（５）黒点の出現緯度は時間とともに中緯度から赤道へ向
かってドリフトする．
太陽黒点の経験則を図２にまとめる．
太陽ダイナモ理論は，これらの観測結果の全てを物理無矛盾かつ定量的に説明できるものでなくてはならない．た
図２とえ物理的には正しいダイナモ理論であったとしても，これらの観測結果を説明できない理論は『太陽』のダイナモ理論としては相応しくない．科学の歴史は，天体の観測結

太陽黒点の観測的性質：（a）
Hale-Nicolson’s law & Joy’slaw【経験則（１）
と（２）
】，（b）
Schwabe’s law【経験則（３）】，（c）Carrington-Sporer’s law【経 験 則（４）
と（５）
】
．図（c）
で
は方位角平均をとった磁場の時間‐緯度進化を示している．

果を説明するための試行錯誤が，新たな物理を構築するための土壌になってきたことを我々に教えてくれる．そのような視座に立てば，観測と理論の両面から反復的かつ定量的にダイナモ理論を検証できる太陽は，天体ダイナモ機構を理解するための絶好の実験場だといえよう．
４．
２．
２ 太陽内部構造と内部平均流分布
身近にある太陽といえども，光球より内側で起こるダイ
ナモ過程を直接観測することはできない．しかし，太陽の内部構造とエネルギー変換を媒介する太陽内部のプラズマの流れは，日震学（Helioseismology）
手法で精密に測定されている［１９‐２１］．日震学とは，太陽表面の振動を観測する
図３ （a）
日震学によって確立された太陽内部構造と内部平均流分布（子午面を図示）．実線が等角速度線，太矢印が観測されている対流層上部の子午面流を表す．（b）
磁束輸送ダイナモモデルの模式図．破線は想定されている子午面循環
流．対流層上部の子午面流は観測されているが，深部の赤道向きの流れは理論予測であることに注意が必要である．
（１）
タコクラインでは ! 効果で Bp 成分から B "成分が生成される．増幅された B "成分は，その強 度 が 臨 界 値（約105 G）を越えると，十分な磁気浮力を得て太陽表面へ向かって浮上を開始する．（２）浮上する磁束管にはコリオリ力が働くので，浮上中に B "成分から Bp 成分が生成される．
強い磁場からなる磁束管は対流によって壊されることなく
太陽表面まで浮上し，最終的に黒点を形成する．（３）浮上
過程で生成された Bp 成分が，子午面循環流によってタコク
ラ イン 層 に 再 注 入 され，ダイナモループが 閉 じる
［
（１）
に戻
る］
．

ことで内部構造を探る手法であり，波の振動数の観測値か
ら非摂動状態を探る一種の逆線形解析（固有値問題の逆問
題を解く）手法である．日震学には，太陽の固有振動モードから大域的な内部構造を探る「グローバル日震学」と，波の伝搬時間と距離の関係から局所領域の構造や流れの様子を描き出す「局所日震学」の二種類がある（局所日震学
は今世紀に入って進展した比較的新しい測定手法である）．
まずグローバル日震学が明らかにした太陽内部構造と内部平均流分布をまとめよう［１９，２０］．平均流とは，時間・方位角平均をとって得られる流れの大局成分のことである．
図３a で模式的に示すように，太陽内部は（１）赤道加速型の
６８４

Lecture Note

4. Solar Dynamo Modeling - Current Status and Future Perspective‐

Y. Masada

差 動 回 転 分 布［等 角 速 度 線 は 円 錐 状 分 布（≠Taylor-

循環流，乱流拡散などの空間分布）を手で与える必要があ

Proudmann 分布）］をもつ対流層（0.7 ! #!
"#$!≦1.0："#$!

る．太陽の場合は，日震学手法で内部平均流の情報が得ら

は太陽半径），（２）剛体回転分布をもつ対流安定な放射層れているので，それにもとづいて流れの効果を与えること（#!
"#$!! 0.7），（３）対流安定でかつ強い差動回転分布を持で，モデルの不定性をある程度は取り除くことができる．

つタコクライン層（tachocline：放射層と対流層の間にあ

図４に FTD モデルが与える動径磁場の時間‐緯度進化図のる薄い境界層．厚さは"（0.01）"#$!．）からなり，さらに（４）例を示す［２６］．図２（c）
で模式的に示した「太陽蝶形図」

対流層上部に赤道から極域へ向かう子午面流が存在すること似た磁場の時空間パターンが見てとれるだろう．このよとが知られている．

うに，FTDモデルは太陽黒点の経験則を概ね説明できる強これらに加えて，まだ確立されたといえる段階にはないみを持っている．標準モデルと呼ばれるゆえんである．
４．
３．
２ 磁束輸送ダイナモモデルの問題点

が（５）対流層中部に赤道向きの子午面流が存在すること［２２］や，（６）対流層上部の対流速度が混合距離理 論やシ

FTD モデルは太陽磁場の性質をある程度は説明できる

ミュレーションが予言する値より２桁近く小さいこと［２３］が，次節で言及するなどが，近年の局所日震学観測から示唆されている（ただ因した本質的な欠点以外にも，幾つかの問題点を抱えていし，これらの示唆と相反するような観測結果も現時点ではる．以下では２つの問題点を紹介しておきたい．

存在することに注意されたい）．

１．タコクラインでどうやって 105 G の磁場を作るのか？

運動学的なモデルであることに起日震学によって描き出された太陽内部構造と内部の流れ

FTD モデルでは，タコクラインで 105 G の磁場を生成す

構造は，太陽ダイナモ機構に対して強い制約を課す一方る必要がある．これは（i）対流安定層から磁場が浮上するで，以下で紹介する太陽ダイナモの標準シナリオの土台にための条件［２７，２８］と（ii）低緯度領域に黒点が出現するたもなっている．

めの条件［２９，３０］から要請される臨界値である．しかし，タコクラインの差動回転エネルギーを全て磁気エネルギーに

４．
３ 太陽ダイナモ機構：理解の現状転換したとしても，実は高々 104 G の磁場しか生成できな

４．
３．
１ 磁束輸送型の標準太陽ダイナモモデル

いことが，日震学観測より得られた差動回転分布からわ

２０００年代に入り，標準的なシナリオとして太陽ダイナモ

かっている（つまり，差動回転エネルギーは，臨界磁場の機構の説明に用いられるようになったのが『磁束輸送ダイ

磁気エネルギーより約２桁小さい）．105 G の磁場をタコク

ナモ（FTD）モデル』である［２４，２５］．図３（b）に FTD モデ

ラインで生成する機構は未だ解明されておらず，FTDモデ

ルを模式的に示す．以下では軸対称な磁場を考え，子午面

ルの一つの弱点になっている．

成分のことをポロイダル成分（!!"成分），方位角成分の２．太陽の子午面流は本当にシングルセル形状か？

ことをトロイダル成分（!!# 成分）と呼ぶ．

ダイナモループを閉じるためには，磁束を表面付近から

FTD モデルは『激しい対流が磁場をかき乱すため，対流

タコクラインに再注入しなければならない．この役割を担

層では時空間コヒーレンスの高い磁場成分は生成できな

うのが図３（b）に示したい』という仮説に立脚し構築されている．対流層の代わり環流である．しかし，前述したように，最近の日震学観測に大局的磁場の生成を担うのがタコクラインである．前述が示唆するのは ダブルセル形状 の循環流の存在［２３］でしたように，タコクラインは対流安定なので，対流によっあり，この観測結果が正しいのであれば，循環流では磁束て磁場がかき乱されることはない．加えて，強い差動回転をタコクラインに再注入できず，ダイナモループが閉じなを持つので "効果が効率的に働くと期待される．タコクラ

くなってしまう．ダブルセル形状の循環流を仮定したFTD

インでの磁場増幅過程を核として，FTDモデルは以下のシモデルでは太陽磁場の特徴を十分再現できないことが近年ナリオで太陽ダイナモ機構を説明する：の研究から示唆されており，このことは太陽研究者に標準①タコクラインでは，強い差動回転による「" 効果」でシングルセル形状 の子午面循

モデルの再考を促す一つの契機にもなっている．

磁場の !"成分が引き延ばされ !# 成分が生成される．②タ

FTD モデルの「先」を見据えた太陽ダイナモの研究はコクラインで増幅された磁場の !# 成分は，その強度が臨界値（約 105 G）を越えると，負の浮力（対流安定効果に起因した復元力）に打ち勝つ磁気浮力を得て，磁束管として太陽表面へ向かって浮上を開始する．③浮上する磁束管にはコリオリ力が働くので，対流層を通過する間に磁場の!# 成分から !"成分が生成される．④強い磁場からなる磁束管は対流によって壊されることなく太陽表面まで浮上し，最終的に黒点を形成する．⑤浮上過程で生成された磁場の !"成分をタコクラインに再注入する役割を担うのが，
図４

子午面循環流である．子午面循環流の（移流による）磁束輸送を介すことで，ダイナモループが閉じる（①に戻る）．
FTD モデルは運動学的なモデルである．つまり，磁場の誘導方程式を解くために，流れの効果（差動回転，子午面
６８５FTD モデルにもとづいて得られた動径磁場の緯度‐時間進化図の例．日震学手法を使って得られた太陽内部平均流分
布の情報を用いることで太陽蝶形図と似た磁場の時空間パ
ターンをある程度は再現できる．Jouve et al.（２
０
０
８［
）２
６］
よ
り抜粋．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

様々な形で進められており，その一つが，以下で紹介する
太陽ダイナモ機構を MHD の枠組みで自己無頓着に理解しようとする『太陽 MHD ダイナモ研究』である．
４．
３．
３ 太陽 MHD ダイナモ研究
プラズマの運動はその自然の帰結として磁場を生むが，その関係性は一方向的なものではない．生成された磁場がローレンツ力を介しプラズマの運動に影響を及ぼすためである．この「流れ場と磁場の非線形カップリング」こそが，ダイナモ機構の物理的な本質である．流れ場を固定する運動学的ダイナモでは，磁場の流れ場へのフィードバックは無視されており，ダイナモの本質は捉えられない．第一原
理的に太陽ダイナモ機構を理解するためには，流れ場と磁場の時間発展を磁気流体力学（MHD）方程式にもとづき自己無頓着に解く『MHD ダイナモ』の研究が不可欠である．
強く成層化された太陽内部プラズマの運動を調べるため

図５には，その圧縮性を考慮する必要がある．したがって，地球ダイナモの研究で用いられる Boussinesq 近似は太陽内部プラズマの記述には相応しくなく，Anelastic近似または

半径 r ＝ 0.7Rsun の球面での（a）
磁場の B $成分の時間‐緯度
進化図と（b）
スナップショット．Ghizaru et al.（２
０
１
０［
）３
５］
から抜粋．（a）
では B $の方位角平均をとっている．大局的
磁場は赤道反対称で約３０年周期で極性反転を繰り返す．

完全圧縮性の MHD 方程式を解く方法で太陽のダイナモ機
これらのモデルに共通の物理を理解することは，今後の太構は調べられている［３１］．
１９８０年代に Glatzmaier らが始めた太陽 MHD ダイナモ研

陽 MHD ダイナモ研究にとって有用だと考えられる．

究は，計算機性能の向上と数値計算技法の発展を土台に，

４．
３．
４ 太陽型の大局的磁場を与えるモデルの共通点

着実な進歩を遂げてきた［３２，３３］．特に，２０００年代に入って

時空間コヒーレンスの高い磁場を与える MHD モデルに

からは，日震学手法で太陽内部構造が解明されたことで，は主に２つの共通点がある：【共通点①】いずれのモデル

現実的な太陽パラメータ（太陽の温度や密度分布，太陽光でも，現実の太陽で期待されるロスビー（Rossby）数より

度や太陽の自転角速度等）の下で太陽内部の磁気流体力学

若干小さなロスビー数を実現する設定で計算を行っているを定量的にモデリングする研究が大きく進展している．

こと［太陽パラメータよりも僅かに「大きな回転率」また

太陽内部の MHD モデリング研究の先駆けが Brun et al ．

は「小さな光度（→弱い対流）」を課した場合に，小さなロ（２００４）である［３４］．彼らは，現実的な太陽パラメータのスビー数のモデルが実現される］，【共通点②】その結果，下で，太陽対流層のほぼ全域をカバーする回転球殻 MHD

対流層全体に分布するような大局的磁場が生成されるこ

熱対流計算を行い，太陽の内部平均流分布を定性的に再現と，である．ここでロスビー数は慣性力とコリオリ力の比することに成功した．しかし，彼らの太陽モデルでは乱流であり，磁場が対流層を支配しており，黒点を説明するような「時

#$$
$&"#"
"
#

空間コヒーレンスの高い磁場」を再現することはできな（１）で定義される（# は典型的な対流速度，$は対流層の厚み，かった．
太陽 MHD ダイナモ研究の近年の重要な成果が，Brun．共通点①は，ロスビー数が# は系の自転角速度である）

et al.（２００４）では実現できなかった「時空間コヒーレンス

大局的磁場生成の鍵を握る重要な物理量であることを示唆の高い磁場構造」のモデリングに成功したことだろう．

する．また，共通点②は「対流が大局的磁場生成を担う」可Ghizaru et al.（２０１０）の成功を皮切りに，複数のグループが能性を示唆しており，「対流が大局的磁場生成を阻害する」

太陽磁場を想起させる大局的磁場のモデリングに成功してことを前提に構築されている FTD モデル（標準シナリオ）

いる［３５‐３８］．図５に Ghizaru らのシミュレーションで得［２４‐２６］とは本質的に異なるダイナモ機構が，少なくともられた %!!
!
"'(%の 球 面 で の 磁 場 の 時 空 間 構 造 を 示 す#これらの MHD モデルでは実現していることを意味する［３５］．図５（a）が !$ 成分の方位角平均量の時間‐緯度図で（そもそもタコクラインを考慮していないモデルでも，太あり，図５（b）が !$ 成分のスナップショットの球面分布で陽型の大局的磁場は形成される）．これらの共通点を見てある．赤道反対称性をもつ磁場が，準周期的な極性反転をいくと「ロスビー数とダイナモ機構の間には，どのような繰り返しながら進化する様子が見てとれるだろう．このモ関係があるのか？」，また「時空間コヒーレンスの高い磁

デルの磁場の極性反転周期は約３０年であり，現実の太陽サ場生成の鍵は何か？」といった素朴な疑問が生じる．これ

イクルの約３倍である．他のグループの MHD モデルでもらの問いに対する答えを探るべく行ったのが，以下で紹介

定性的には同様の結果が得られている［３６‐３８］．

する筆者らの研究である［３９，４０］．

これらの MHD モデルが現実の太陽ダイナモをどれだけ正確に捉えているか現時点ではわからない．しかし，太陽型の時空間コヒーレンスの高い磁場が生成される条件や，
６８６

Lecture Note

4. Solar Dynamo Modeling - Current Status and Future Perspective‐

Y. Masada

４．
４ MHD ダイナモ機構のロスビー数依存性が回転軸に強く束縛されるため回転軸に沿った方向にしか４．
４．
１ 差動回転分布とダイナモへのロスビー数の影響

角運動量は分配されない．一方，&(##のレジームでは対ロスビー数は慣性力とコリオリ力の比である．よって，

流の非等方性が弱いため角運動量輸送効率も低い）．

ロスビー数が小さな系ほど流体運動の自転軸への束縛が強次に，ロスビー数の違いがダイナモに及ぼす影響を見てくなり対流の非等方性が強くなる．運動学的ヘリシティ

いこう．代表的な３つのモデルの対流層上部における !%（以降ではヘリシティに簡略）や乱流レイノルズ応力は流成分の方位角平均量の時間‐緯度図を図７に示す．
（a）が反れの非等方性に起因するため，回転球殻熱対流系の差動回

太陽型回転分布をもつモデル（Model A），（b）と（c）が太転分布やダイナモはロスビー数に依存すると期待される．

陽型回転分布をもつモデル（Model B と C）に対応する（両以下では，筆者らの回転球殻 MHD 熱対流計算の成果を者のロスビー数には違いがあり，Model B は &(!"!
$%，

紹介する［４０］．太陽内部を模擬した対流層と放射層からな

Model C は &(!"!
#である）．白が正極性，黒が負極性の磁るモデル（ただし現実の太陽と比べて弱い密度成層を仮場を表す．

定）で，系の自転角速度（#）をパラメータに，差動回転分

磁場の時空間構造にはロスビー数の違いが顕著に現れ

布とダイナモのロスビー数依存性を調べた研究である．

る．反太陽型回転分布をもつ Model A では，時間準定常な

まず，系の差動回転分布を見ていこう．差動回転の度合

大局的磁場が形成される．一方，太陽型回転分布をもつモ

いのロスビー数依存性を示したのが図６（a）である．ここデル（Model B と C）では，極性反転をともなう大局的磁場では差動回転の度合い（$$'）
を以下のように定義している：が形成される．太陽型回転分布をもつ２つのモデルを比較$'!"%!')"##('

すると，ロスビー数が小さいほど磁場の極性反転に顕著な（２）

周期性が現れ，磁場強度も大きくなっていることがわか

ここで "%!')は赤道面での平均流の方位角成分である．$'

る．高々数倍の違いだが，&(が 0.35（Model B）から 0.1

が正の時，回転分布は赤道加速型（太陽型）であり，負の（Model C）に減少するだけで，磁場は顕著な時空間コヒー時は赤道減速型（反太陽型）である．図の点線から上が太レンスを示すようになるのである．

陽型回転分布をもつモデル，下が反太陽型回転分布をもつ

この結果は，前節で示した他のグループの最近の MHD

モデルに対応する．太陽型，反太陽型回転分布をもつ典型

ダイナモの研究成果［３５‐３８］（現実の太陽で想定されるより的なモデルの子午面角速度分布を図６（b）と６（c）に示す

若干小さなロスビー数の系を実現することで，極性反転を（黒が高速，白が低速回転を表す）．それぞれ &(&"
（６b）
!
$

ともなう大局的磁場が形成される）と整合的である．では，と &(&$（６c）に対応するモデルである．図６（b）の白の実

ダイナモ生成磁場の性質は，なぜロスビー数に依存して変線，図６（c）の黒の実線が等角速度線を表す．

化するのだろうか？次節では，時空間コヒーレンスの高い

図６（a）より &(%#で差動回転分布が太陽型（&(! 1）か磁場が生成される条件について考察する．

ら反太陽型（&(" 1）に遷移することがわかる．差動回転

４．
４．
２ 鍵は差動回転の強さか？ヘリシティの大きさか？

分布を決めているのは，乱流レイノルズ応力による角運動#効果や乱流 $効果などのよく知られたダイナモ効果を量輸送（赤道向き）と，子午面流（平均流）による角運動想定すると，「差動回転（!# 効果の強さの指標）が強く，量輸送（極向き）である．前者が支配的な系では太陽型回かつヘリシティ（＝乱流 $効果の強さの指標）が大きなモ

転分布になり，後者が支配的な系では反太陽型になる．大雑把にはこれら２つの角運動量輸送過程の強弱が逆転するのが，臨界値（&(%#）付近であると考えればよい．
興味深いのは，臨界値近傍が最も強い差動回転を与える点である．これは回転軸に垂直な方向（円柱座標の動径方向）への実効的な角運動量輸送が &(%#で最大になるためだと考えられる（つまり，&("#のレジームでは流体運動

図７
図６ （a）
差動回転パラメータ $e のロスビー数依存性．（b）
は Roが小さいレジームで実現される太陽型の差動回転分布．
（c）
は Ro が大きいレジームで実現される反太陽型の差動回転分布．色は黒が高速回転，白が低速回転を表す．

６８７

B %の方位角平均量の時間‐緯度進化図（対流層上部）．（a）
が反太陽型回転分布をもつ Model A，（b）
が臨界ロスビー数近傍の太陽型回転分布をもつ Model B，（c）
が臨界値よ
りも一桁小さなロスビー数の太陽型回転分布をもつ Model
C の時間‐緯度進化図である．白が正極性，黒が負極性の磁場を表す．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

デル」の方が，時空間コヒーレンスの高い磁場の生成に有り，白（黒）が正（負）のヘリシティを表す．この図から，利だと考えるのが自然だろう．しかし，筆者らの研究は，

まずロスビー数が大きなモデルのヘリシティは高緯度域を必ずしもそうではないということを教えてくれる．

中心に対流層全体に分布していることがわかる（８b： Model

図８（a）に示したのは，ヘリシティの実効的な大きさ（実A）．ロスビー数が小さくなるにつれてヘリシティ分布の線：時間・半球平均をとったヘリシティの絶対値の南北平中心は徐々に低緯度域にシフトし（８c：Model B），やがて均量）と対流エネルギーに対する磁気エネルギーの相対的赤道近傍に集中するようになる（８d：Model C）．北半球は大きさ（点線）のロスビー数依存性である．図７で示した

負のヘリシティ，南半球は正のヘリシティが支配的になる

３つのモデルに対応する点には矢印を付してある．

ため，Model C は強い半球間ヘリシティ勾配をもつことに

図６，７，８から，差動回転の強さとヘリシティの大きさなる．実は，このような強い半球間ヘリシティ勾配が「周が ダ イ ナ モ 生 成 磁 場 に 及 ぼ す 影 響 を 考 え る．例 え ば，期的な極性反転をともなう大局的磁場」の生成に寄与する

Model B は大きなヘリシティを持ち差動回転も強いが，磁可能性があることは Mitra et al.（２０１０）によって指摘され

場 の 大 局 成 分 は 弱 く 顕 著 な 周 期 性 も 示 さ な い．一 方，ている［４１］．

Model C は Model B に比べてヘリシティが小さく差動回転

図９に Mitra らのダイナモ実験の結果を示す．この実験も弱いが，磁場の時空間コヒーレンスは高い．このことは，

では南北半球でヘリシティの符号が異なる強制乱流を与差動回転の強さやヘリシティの大きさと磁場の時空間コ

え，その中でのダイナモを調べている（※このモデルでは

ヒーレンスの高さの間には，単純な正の相関が存在しない．この図! 効果は考慮されていないことに注意されたい）
は !# 成分の方位角平均量の時間−緯度依存性を示したもことを示唆する．

のであり，周期的極性反転をともなう大局的磁場が生成さ

強い差動回転や大きなヘリシティが必須の条件では無い

れているのがわかる．

とすれば，コヒーレントな磁場の生成に必要な条件は何なのだろうか？実は，もう一つロスビー数の違いが顕著に現

ヘリシティをもつ流れが励起するのは，いわゆる『乱流れる量がある．それがヘリシティの緯度勾配である．筆者"効果』によるダイナモである．乱流"効果とヘリシティのは特に『ヘリシティの半球間勾配』が，時空間コヒーレン

関係については，本講座の第１章「MHD ダイナモとは何スの高い磁場生成の鍵ではないかと考えている．

か？」を参照されたい．ここでは，空間一様な乱流 "効果

図８（b，c，d）に示したのは，図７に示した各モデルの子によって生成された磁場は極性反転を示さないということを強調しておきたい．言い換えると，磁場に極性反転

午面ヘリシティ分布である．時間・方位角平均をとっておの性質をもたらすのが，ヘリシティ（〜乱流 "効果）の空間非一様性なのである．
空間非一様な乱流 "効果が振動型のダイナモ解を与える
ことは１９８０年代にすでに指摘されているが［４２，４３］，近年のダイナモに関する文献には，そのことに関する記述がほとんど存在しないことを注記しておきたい．また Mitra らの研究は，強制乱流によるいわば理想的なダイナモを調べたものだが，より複雑な自然対流系においても，乱流 "効果とその空間勾配が極性反転をともなう大局的磁場の組織化に寄与することが，筆者らの最近の研究で定量的に示されている［４４，４５］（詳しい解説は筆者の天文月報２０１５年１０月号の記事［46］をご覧いただきたい）．
空間非一様な乱流 "効果 の描像にもとづくと，筆者らが得た結果は以下のように理解できる：小さなロスビー数を持つ Model C では，回転熱対流の自然の帰結として強い半球間ヘリシティ勾配が生まれ，それに起因した空間非一様な乱流 "効果によって「準周期的な極性反転をともなう

図８ （a）
ヘリシティの実効的な強さ（実線：時間・半球平均をとったヘリシティの絶対値の南北平均量）と対流エネル
ギーに対する磁気エネルギーの相対的大きさ（点線）のロ
スビー数依存性．図７で示した３つのモデルに対応する点に矢印を付している．（b，c，d）は図７で示した３つのモデルの子午面ヘリシティ分布．時間・方位角平均をとっており，黒が正のヘリシティ，白が負のヘリシティを表す．
点線は赤道面に対応する．

図９

６８８

強制乱流による球殻ダイナモの数値実験で得られた B #の時間‐緯度進化図．半球間ヘリシティ勾配をもつ強制乱流によるダイナモで，振動型の大局的磁場が生成される．
Mitra et al.（２
０
１
０［
）４
１］
から抜粋．

Lecture Note

4. Solar Dynamo Modeling - Current Status and Future Perspective‐

Y. Masada

大局的磁場」が生成される．一方，Model B の場合は，回転解明し，現実の太陽に応用することで，太陽のダイナモ機が遅くヘリシティの赤道付近への集中が弱いため，時空間構に対する理解をさらに深めることができると期待される．

コヒーレンスの弱い磁場しか生成されないのだと考えられ

４．
５．
２ 太陽ダイナモ研究の将来展望

る．Model A にはヘリシティの南北半球間勾配がほとんど最後に，太陽ダイナモ研究の将来について展望したい．

存在しない．そのため ! 効果しか働かず，生成された大局まず最初に強調しておかなければならないのは，現実の太的磁場は極性反転を示さないのだと考えられる．

陽と MHD モデルの間にある『違い』である．近年の太陽以上はあくまで定性的な理解であり，大局磁場の再現に

MHD ダイナモ研究では，日震学手法で得られた太陽内部

成功した他のグループのモデルでも同様の理解が成り立つ

構造モデルを使っているが，それでも太陽を寸分狂いなくかは現段階では不明である．MHD モデルで実現している

模擬できているわけではないという点に注意が必要である．

ダイナモ機構を定量的に理解することが筆者らの次の課題

違いは MHD を特徴づける『無次元パラメータ』である．

であり，その理解を現実の太陽で検証し，物理無矛盾な太太陽対流層は極めて高いレイノルズ数（"$"1012），磁陽ダイナモ理論の構築に繋げることが筆者らの目標である．

気レイノルズ数（"$! "109），レイリー数（"#"1020）で特徴づけられており，非常に激しい乱流状態が実現している

４．
５ まとめと将来への展望と考えられている．一方，太陽 MHD モデルの乱流状態は

４．
５．
１ まとめ

計算機性能（つまり空間解像度）で制限されている．現在，本章では，まず太陽磁場の観測的性質と太陽内部構造おMHD モデルで実現できているのは高々 "$!"$! !102〜

よび内部平均流分布をまとめた（４．
１節）．太陽活動の源で103，"#!106 〜 107 の流れであり，現実の太陽内部と比べるある『黒点』は顕著な時空間コヒーレンス（大局性や周期とマイルドな乱流状態を扱っているに過ぎない［４７］．つま性）をもっており，太陽ダイナモ理論はそれらを物理無矛

り，太陽内部構造モデルを使っていたとしても，そこで模盾かつ定量的に説明できるものでなければならない．

擬しているのは「本物の太陽」では決してないのである．

日震学手法で得られた太陽内部の情報を総動員して構築

計算機性能がMooreの法則に従って今後も上昇し続けた

されたのが，４．
２節で概説した磁束輸送型の太陽ダイナモ

としても，計算技法に何らかの革新がない限りは，太陽のモデル（FTD モデル）である．FTD モデルは「対流が大局

無次元パラメータを完全に再現できるのは１００年以上先で的磁場の生成を阻害する」という前提に基づいており，対あり，我々が生きている間に『太陽』のダイナモを精密に流を避けることのできる「タコクライン」を核にダイナモ

模擬することは不可能である．このことは太陽ダイナモをのシナリオを構築している．FTD モデルは，太陽黒点の経研究する上で常に念頭に置いておかなければならない．

験則を概ね説明できる一方，幾つかの問題も抱えている．

時空間コヒーレンスの高い太陽型の磁場構造が自己無頓

４．
３節 で は，太 陽 MHD ダ イ ナ モ 研 究 の 現 状 を 紹 介 し着な計算で再現できつつある現状を鑑みると，今後の太陽

た．太陽 MHD ダイナモ研究の近年の特筆すべき成果がMHD ダイナモ研究の発展は『熱対流（＝乱流）』の定量的「周期的極性反転と緯度方向へのドリフトをともなう大局な理解にかかっていると筆者は考える．太陽ダイナモの標的磁場」のモデリングに成功したことである．このような準モデルと MHD モデルの違いも，結局は『熱対流の扱い

時空間コヒーレンスの高い磁場を実現する MHD モデルに方』の違いに由来する．太陽熱対流の理解へ向けて我々がは，対流層でダイナモが生じるという共通点がある．つまとることのできる方策として，以下の３つを挙げたい．

り，FTD モデルとは本質的に異なるダイナモ機構が，少な

１つ目は，シミュレーションの更なる高解像度化に挑む方法である．高解像度化の重要性を我々に示唆する Tobias

くともこれらの MHD モデルでは実現している．
４．
４節では，時空間コヒーレンスの高い磁場が生まれるらの研究成果（運動学的ダイナモの高解像度シミュレー

条件を考察した．! 効果や乱流 "効果を想定すると，差動ション）を紹介したい［４８，４９］．彼らが発見したのは，高磁回転が強くヘリシティが大きなモデルの方がコヒーレント

気レイノルズ数の乱流中で大局的磁場を生成する新しいメな磁場の生成に有利だと考えるのが自然である．しかし，カニズムである．ダイナモの担い手は簡単に言えば乱流 "筆者らの研究は，差動回転の強さやヘリシティの大きさで効果なのだが，この研究で興味深いのは，巨視的スケールはなく，『ヘリシティの半球間勾配の強さ』こそが時空間の速度シアーが果たす役割である．高磁気レイノルズ数のコヒーレンスの高い磁場生成の鍵であることを示唆する．

レジームでは，シアーは一般的に考えられているような磁ロスビー数がある程度小さな系では，ヘリシティが赤道域

場の誘導効果（つまり ! 効果）ではなく，小スケールのダへ集中することで強い半球間ヘリシティ勾配が生まれる．

イナモを抑制する効果をもつことを彼らは見出したのであ

それが空間非一様な乱流 "効果を生み，周期的な極性反転

る．大局的磁場の成長を阻害する小スケールでのダイナモをともなう大局的磁場の生成に寄与すると期待される．

が，シアーによって抑制されることで，大局的ダイナモが筆者らの MHD モデルで得られた大局的磁場の時空間進実現する．このように，たとえ現実の太陽は計算機上では化パターンは，太陽蝶形図を定量再現できているわけでは

精密に模擬できないとしても「熱対流とダイナモの収束ない．例えば，磁場のドリフトは極向き（太陽磁場のドリ性」［５０］や「系と乱流の間のスケール間分離の増大にともな

フトは赤道向き）であり，極性反転周期も太陽の１１年周期

い現れる新しい物理」を調べるために高解像度化は必要不と比べると圧倒的に短い．筆者らの MHD モデルの磁場の可欠であり，太陽 MHD ダイナモ研究の王道だと言えよう．

ドリフト方向や極性反転周期を特徴づける物理を定量的に２つ目は，地上でのダイナモ実験を通し『乱流』への理
６８９

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.10 October 2015

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［４６］政田洋平：天文月報 108, 656 (2015).
［４７］P.J. Kapyla, AN 332, 43 (2011).
［４８］S.M. Tobias and F. Cattaneo, Nature 497, 463 (2013).
［４９］F. Cattaneo and S.M. Tobias, ApJ 789, 70 (2014).
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［５２］R. Stieglitz and U. Muller, PhFl 13, 561 (2001).
［５３］R. Monchaux et al., PhFl 21, 035108 (2009).
［５４］E.J. Spence et al., ApJ 700, 470 (2009).
［５５］C.M. Cooper et al., PhPl 21, 013505 (2014).

解を深める方法である．ナトリウムやガリウムなどの液体金属を使った MHD ダイナモ実験は１９６０年代から行われており，ダイナモの駆動機構の検証や磁場の飽和機構の解明に成果を上げている［５１‐５３］．液体金属の MHD ダイナモ
実験は，その磁気レイノルズ数の高さから惑星ダイナモの理解を主たる目的とするが，プラズマを使ったダイナモ実
験の計画も現在進展しつつあり［５４，５５］，これらのダイナ
モ実験とシミュレーション，そして理論の協調により，天体プラズマ乱流に関する理解は着実に進むと考えられる．
３つ目は，宇宙全体を実験場とし様々な天体活動現象の観測から，現象論的に乱流に対する理解を洗練させる方法である．序論で述べたように，多くの天体が磁場を有しており，各天体は固有のダイナモ機構をもつ．天体のほとん
どは超高（磁気）レイノルズ数のプラズマに支配されており，乱流は天体現象を理解する上で共通の課題になっている．様々な天体磁気活動現象を網羅的に調べることで，『乱流』そして『ダイナモ』がどの物理量に対しどのように応答するかを広いパラメータレンジに渡って知ることができる．現象論的に得た知見を還元することで，天体ダイナ
モ研究は乱流理論の発展に重要な貢献ができるはずである．
太陽は，我々に最も近いことを除けば，宇宙の中ではありふれたごく普通の恒星である．太陽で構築した理論を他の天体で検証するだけではなく，より広い視野で，他の天体磁気活動現象の研究を太陽に応用することで，太陽ダイナモ機構に対する理解をさらに深められるだろう．
我々が生きている間に太陽の無次元パラメータを再現することが不可能である以上，あらゆる天体のダイナモ機構
を物理無矛盾に説明できる『普遍的な乱流理論』を構築し，それにもとづき『太陽黒点の経験則』を再現できた時こそ，
太陽ダイナモ機構を解明できたと我々が言える時なのではないだろうか．これまで以上に広く深い分野間交流が，太陽および天体ダイナモ機構の包括的理解にとって必要不可
欠である．本章がその促進の一助になれば幸いである．

参考文献!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
まさ

だ

よう

へい

政 田 洋 平１
９７
９年奄美大島生まれ．愛知教育大学教育学部助教．２００８年京都大学大学院理学研究
科物理学・宇宙物理学専攻修了．博士（理学）．台湾中央研究院研究員，国立天文台
ひので科学プロジェクト研究員，神戸大学大学院システム情報学研究科助教を経て，２
０
１
５年４月より現職．専門は太陽天
体プラズマ物理学．太陽や天体の磁場の起源とその進化ダイ
ナミクスへの影響を研究している．晩酌以外の楽しみをみつけることが最近の目標．

!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

［１］H. Alfven, Nature 150, 405 (1942).
［２］H.K. Moffatt, Magnetic field generation in electrically conducting fluids (Cambridge University Press 1978).
［３］M. Ossendrijver, A&ARv 11, 287 (2003).
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［６］P. Charbonneau, ARA&A 52, 251 (2014).
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［９］H. Lin, ApJ 446, 421 (1995).
［１０］B.W. Lites et al., ApJ 672, 1234 (2008).

６９０

J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.11 (2015)７
２１‐７２６

講座 MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成

５．銀河ダイナモ
5. Galactic Dynamo
松 元 亮 治，町 田 真 美１）
MATSUMOTO Ryoji and MACHIDA Mami１）
千葉大学大学院理学研究科，１）九州大学大学院理学研究院（原稿受付：２
０
１
５年９月１
８日）

渦状銀河の磁場は星間ガス雲の形成，宇宙線の閉じ込め，銀河ハローの形成等を通して銀河における星形
成，銀河の進化に影響を及ぼす．銀河磁場の増幅・維持機構を扱う「銀河ダイナモ」の理論は星間ガスの運動を仮定して磁場の時間変化を調べる運動学的理論から，磁場が星間ガスの運動に及ぼす影響を考慮した磁気流体ダ
イナモ理論へと変貌を遂げ，大局的な３次元磁気流体シミュレーションを通して，準周期的な磁場方向の反転と銀河円盤から銀河ハローへの磁束輸送過程等が明らかになりつつある．銀河磁場は高エネルギー電子によるシンクロトロン放射，磁場方向に整列した星間塵による偏光放射，ファラデー回転等を通して，宇宙マイクロ波背景放射の偏光に影響を及ぼすことから，観測的宇宙論の研究においても考慮すべき対象としてクローズアップされている．
Keywords:
galaxy, magnetic field, dynamo, magnetohydrodynamics, magneto-rotational instability, Parker instability, polarization

５．
１ はじめに観測される電波偏光の方向と９０°ずれた方向が磁場方向に渦状銀河には 0.1 nT 程度の強さの磁場が存在する．星間なる．このようにして求めた磁場方向が図１の右図に線分

磁場は星形成の母体となる星間ガス雲の形成，地球にも降で示されている．

り注ぐ高エネルギー荷電粒子（宇宙線）の加速と閉じ込め，

渦状腕に沿って電波強度が強い領域が分布しており，こ高温銀河ハローの形成等に寄与すると考えられている．この領域で磁場が強く，また，高エネルギー電子が多く分布のような銀河磁場がどのように生成・維持されているかとしていることが示唆される．磁場の方向はほぼ渦状腕にいう問題を扱う研究が銀河ダイナモ理論である．

沿っている．渦状腕は星やダークマターのような重力を担

図１の左図は電波望遠鏡で観測した近傍の渦状銀河M51

う物質の密度が周辺よりも高くなった領域である．この重の波長6 cmの電波強度分布を示す．この波長域の電波は主力が強い領域に流入した星間ガス中に衝撃波が発生し，星に高エネルギー電子によるシンクロトロン放射によって放間ガスが圧縮されるため磁場も強くなる．

射され，電場ベクトルは磁力線に垂直になる．このため，星間磁場の強さはファラデー回転を用いて推定できる．
ファラデー回転は直線偏光した電磁波がプラズマ中を通過する際に偏光面が回転する現象であり，偏光面の回転角が波長 !の二乗とファラデー回転量度（rotation measure）$# !!&"!#%'（１）に比例する．ここで &"は電子密度，!#は視線方向の磁場成分，!'は視線方向の線素である．電子密度を視線方向に積分した柱密度 "# は別の方法で求めることができるため，パルサーや電波銀河のように直線偏光した電磁波を放射する電波源と地球との間の $# と "# から視線方向の磁図１

場の平均的な強さと向き（視線に平行か反平行か）がわか

電波干渉計 VLA と Effelsberg 100 m 電波望遠鏡で観測した近傍の銀河 M51 の波長 6 cm の電波強度分布（カラー）と偏波から求めた磁場方向の分布（右図の線分）．NRAO/AUI
提供．

る．
ファラデー回転量度分布の観測から，銀河の中には図２の左図のように磁場がリング状に分布している銀河と右図

Graduate School of Science, Chiba University, CHIBA 263-8522, Japancorresponding author’s e-mail: matsumoto.ryoji@faculty.chiba-u.jp

７２１!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.11 November 2015

図２

銀河磁場の大局構造．左図：リング状磁場．実線は磁力線，矢印は磁場方向．右図：Bisymmetric Spiral（BSS）磁場．

図３

パーカー不安定性の概念図．実線は磁力線，濃淡は密度分
布，磁力線に沿う矢印は円盤ガスの速度ベクトルを表す．

のように渦状腕の両側で磁力線方向が逆転する Bisymmet-

動が成長する．初期に方位角方向の水平磁場をもつ円盤でric Spiral（BSS）構造をしている銀河があることが知られパーカー不安定性が成長すると磁気ループが浮上し，方位て い る［１］．M51 銀 河 は BSS 磁 場 を も つ 銀 河 の 例 で あ

角磁場から鉛直磁場が生成される．円盤とともに回転するる．我々の銀河系においても，多数のパルサーから放射さ座標系で考えると，図４のように磁力線に沿う落下流に働れる偏波のファラデー回転量度の観測から磁場分布が調べ

くコリオリ力によって磁気ループが捩じられ動径磁場が生られており，渦状腕毎に磁場方向が反転しているという結成される．

果が得られている［２］．銀河ダイナモ理論は，これらのリ銀河ガス円盤においてはこれ以外のメカニズム，たとえ

ング磁場やBSS磁場等のパターンがどのようにして生成・ば超新星爆発によっても方位角磁場から動径磁場，鉛直磁維持されているのかを説明する必要がある．

場を生成することができる．平均磁場の発展方程式にパーカー不安定性や超新星爆発によって生じる速度場は含まれていないが，これらが平均磁場に及ぼす効果が &を含む項

５．
２ 銀河ダイナモの平均場モデル
銀河ダイナモについては，ガスの運動を与えて，その中によって近似的に表現されている．

での磁場の時間発展を計算する運動学的モデルの研究が数

磁気拡散係数 'が定数，&が時間に依らず座標のみの関多く行われてきた．磁場を平均磁場 !と揺動磁場 "に分解数として与えられる場合，上記の方程式は !に関して線形すると，与えられた速度場 !のもとで平均磁場の時間発展の方程式となり，赤道面およびガス円盤表面での境界条件を記述する方程式は次式で与えられる．

を与えることによって解くことができる．

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$%#&
"'%#!"%#&)%

M５１銀河のような BSS 磁場を再現するためには非軸対称（２）な解を求める必要がある．図５に藤本・沢［４］によって得

ここで 'は磁気拡散係数，&が方位角磁場からポロイダル&"!，&"!で &$!，赤道面で水平方向の磁場成分が連続，磁場を生み出す「&効果」を表す．円筒座標系 &
$
!
*!
&
'を用

鉛直方向の磁場成分は赤道面に関して反対称と仮定されてられた BSS 磁場の解の例を示す．この計算では &$!でい，銀河ガス円盤の速度場を!$&
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"&
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!'と仮定する．簡'単化のため軸対称な場合を考えると，磁場の各成分の時間発展を記述する方程式は以下のようになる．
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（３）

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図４

円盤とともに回転する座標系におけるパーカー不安定性．
コリオリ力 2(u × Ω により，磁気ループが白抜きの矢印の向きに捻られる．

図５

運動学的ダイナモモデルの解として得られた BSS 磁場の例．実線は磁力線を表す．Sofue et al.［１］より転載．

ここで，%&#$を含$$#$は回転角速度である．$%#'$"&'
む項は，動径方向の回転角速度の差（差動回転）によって動径磁場 !$から方位角磁場 !*を生成する Ω 効果をあらわす．動径成分及び鉛直成分の方程式中，&を含む項は方位角磁場 !* から動径磁場および鉛直磁場を生成する．
この具体的な機構のひとつとしてパーカー不安定性［３］が考えられる．図３に示すように，パーカー不安定性は磁力線に沿って磁気流体が落下することによって軽くなった部分に働く浮力が磁気張力を凌駕する場合に成長する磁気不安定性であり，円盤の厚さの１０倍程度以上の長波長の摂
７２２

Lecture Note

5. Galactic Dynamo

R. Matsumoto and M. Machida

い る．ま た，*#'の 円 盤 ハ ロ ー で は %%'%!と し，*である．標準的な降着円盤理論［５］では，角運動量輸送を担'#!%!を満たすポテンシャル磁場に連続的につながっうストレステンソルの +-成分が圧力に比例すると仮定していると仮定して解が求められている．

てモデルが構築された．モデルと観測を比較することに
よって角運動量輸送率が見積もられたが，流体力学的な不５．
３ 円盤ダイナモの磁気流体モデル

安定性の成長と乱流生成によって観測を説明できる大きさ

５．
３．
１ 基礎方程式の角運動量輸送率を得ることは困難であることが１９９０年頃には明らかになった．このような背景のもとでクローズ

運動学的なダイナモモデルでは速度場を仮定し，また，%の分布（あるいは他の物理量への依存性）を仮定して磁アップされてきたのが降着円盤における磁気流体過程

場の時間発展が計算される．このモデルを，より基礎的な（図６右図）である．

物理機構に基づくモデルに改良するため，磁場が速度場に

５．
３．
３ 磁気回転不安定性

及ぼす影響を考慮し，速度場の時間変化を計算する磁気流

Balbus and Hawley は１９９１年に出版された論文［６］におい体モデルに基づく研究が進められている．基礎方程式は以て差動回転円盤を貫く磁場がある場合，磁場を介した角運

下の磁気流体方程式である．

動量輸送によって駆動される磁気不安定性が成長することを指摘した．図７に磁気回転不安定性の機構を示す．差動

,
+
+!)
"!$
(
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,
,

（６）

+&!%!!)" "(
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（７）

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,

（８）

+$&# %*"!*!
&,（９）

回転円盤を鉛直に貫く磁場がある場合，一部の流体要素を内側に変位させると磁力線に沿って角運動量が内側から外側へ輸送され，角運動量を失った内側の流体要素では重力＞遠心力となり，この差が変位を引き戻そうとする磁気張力よりも大きい場合，流体要素はさらに内側に変位して不安定性が成長する．成長率が最大になる波数は，鉛直方向の波数を (-，アルベン速度を %% として (-%% &$ 程度，最大成長率は 0.7 $ 程度になる．円盤の厚さを "，音速を

ここで，+は密度，)は圧力，"は重力加速度，#はエント"!'として $"&!'であるから，不安定性が成長する臨界波!

ロピー，$ は温度，* ，* は加熱率と冷却率である．粘性

長 (&%#"より小さいという条件から*%%"($+ Ω)が #

は無視した．

!'"*，すなわちプラズマ &が５よりも大きな弱磁場%% !+$

５．
３．
２ 差動回転円盤の磁場と活動性の場合に不安定性が成長する．この不安定性は磁場と差動

定常軸対称ダイナモは存在しないことから，磁気流体方

回転によって生じる不安定性であることから，磁気回転不程式を用いてダイナモ計算を行うには３次元計算が必要で安定性（Magneto-Rotational Instability: MRI）と呼ばれる．

ある．差動回転円盤の３次元磁気流体計算は，重力を及ぼ

初期磁場が方位角磁場の場合にも同様な機構による磁場す天体の周りに形成される回転円盤を対象としてまず実施増幅が期待される．図８に示すように，このような磁場にされた．中心天体に回転しながら落下する物質は重力と遠貫かれた円盤物質が一部内側に変位すると磁気ストレスに心力が釣り合う位置のまわりに回転円盤（降着円盤）を形

よって内側から外側に角運動量が輸送されるため，変位し成する．流体要素の角運動量が保存されている場合，円盤た領域において物質はそれ以上落下することができないが，回転物質が角小さければ角運動量を失った磁気流体要素は落下し，動径

重力＞遠心力となり，磁気張力が十分に運動量を失うと物質は図６左図の破線のように中心天体に向かって渦を描きながら落下し，この際に解放される重力エネルギーが熱エネルギーや運動エネルギーに変換される
ことにより，円盤が加熱されて X 線を放射したり，ジェッ
トを噴出したりする．
降着円盤は X 線連星，活動銀河中心核，原始星等で観測される様々な活動性のエネルギー源になっていると考えられており，多くの研究が行われてきた．降着円盤理論の鍵を握るのは回転物質の降着を可能にする角運動量輸送機構

図６

降着円盤の模式図．左図：降着円盤とジェット．破線は流線．右図：降着円盤における磁気流体過程．実線は磁力線．

７２３

図７

磁気回転不安定性のメカニズム．（a）
回転軸方向の磁場に貫かれた差動回転円盤．（b）
軸対称性を仮定したシミュ
レーション結果．実線は磁力線．横軸は動径方向，縦軸は鉛直方向．（c）
不安定性成長後の磁力線形状．

図８

初期に方位角方向の磁場に貫かれた差動回転円盤における磁気回転不安定性の模式図．（a）
初期状態，（b）
磁気ストレスによる角運動量輸送により内側に変位した領域が角運動量を失って落下し，動径磁場と方位角磁場が強まる．

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.11 November 2015

方向の磁場が強められる．この動径方向の磁場から円盤の図１０に示す．図１０（a）の実線は $!3.8 Gyr において赤道面に

差動回転によって方位角方向の磁場が強められる．

投影した磁力線である．方位角方向の平均磁場の強さは

５．
３．
４ 降着円盤の大局的３次元磁気流体シミュレーション

0.1 nT（1 μG）程度，平均磁場と同程度の大きさの乱流磁

磁気回転不安定性の重要性が指摘されて以来，その非線場が生成されている．図１０（b），（c）の濃淡は方位角方向に形時間発展の３次元磁気流体シミュレーションが複数の研平均化した方位角磁場分布を示す．矢印は方位角磁場の方究グループによって実施され，円盤磁場がどの程度まで強向を示し，黒とグレーの領域で方位角磁場は逆向きになめられるかが調べられてきた（たとえば［７‐９］）．我々のグる．円盤内部で強められた磁場が円盤表面に浮上し，初期ループで実施した円盤全体を計算領域に含めた大局的な３に磁場がなかった円盤ハロー領域に磁束が輸送されてい次元磁気流体シミュレーションの一例［１０］を図９に示す．

る．この磁束輸送はパーカー不安定性によって駆動され

左図は初期状態で，濃淡は密度分布，実線が磁力線を表す．

る．パーカー不安定性の磁気流体シミュレーションから初

初期の密度分布は中心天体の重力のもとで角運動量一定で期に %#&の場合にはパーカー不安定性は非線形振動を駆回転する弱い方位角磁場に貫かれたトーラスの平衡解と動するだけで磁束は円盤内部に保たれること，%"&になし，トーラスの外側には高温低密度の球対称で回転していると磁気ループの浮上が続くことがわかっている［１３］．しない物質分布を仮定した．円筒座標系３次元の磁気流体

たがって %"&となるまで磁場が強められると磁束が円盤

コードを用いてトーラスの時間発展を約１０回転時間シミュから円盤ハローへと浮上し，円盤部には浮上磁束とは逆向レートした結果を右図に示す．磁気回転不安定性の成長にきの方位角方向の磁束が残される．図１０
（c）
は（b）
から１０億

よって磁気乱流が生成され，方位角成分に加えて動径成分

年後の方位角磁場分布である．円盤から円盤ハローに磁束を持つ磁場が強められる．また，マクスウェルストレスにが浮上することに伴って円盤内部の方位角方向の平均磁場よる角運動量輸送によって角運動量を失った円盤物質が中の向きが逆転している．

心天体に向かって落下し，円盤状の密度分布が得られてい５．
４．
２ 差動回転円盤における磁気流体ダイナモのメカニ
ズム

る．準定常状態に至った状態での磁場の強さは，円盤内部における磁場散逸（磁気リコネクション）に加えて，パー

図１１に磁気流体シミュレーション結果に基づいた銀河ガ

カー不安定性による磁束流出によって制限され，%〜１０のス円盤や降着円盤における磁気流体ダイナモの模式図を示状態が維持される［１１］．

す．初期に弱い磁場があると磁気回転不安定性によって動径磁場が生成され，差動回転によって方位角磁場が強められる．方位角磁場が増幅されて %が５以下になるとパー５．
４ 銀河ダイナモの磁気流体シミュレーション
５．
４．
１ 大局的３次元磁気流体計算結果
渦状銀河では星とダークマターによる重力場中を星間ガスが回転している．回転速度 ""
#
$"
#
#
!#
#は中心部を除いてほぼ一定で，我々の銀河系では約 250 km/s である．このような回転則に従う場合でも磁気 回 転 不 安 定 性が成長し，磁場が強められる．我々は，観測される銀河系の回転則を与える軸対称な重力場中を回転するガス円盤の時間発展を，円筒座標系３次元磁気流体コードを用いて

図１０ 銀河ガス円盤の３次元磁気流体シミュレーション結果．
（a）
赤道面に投影した磁力線．（b）
t ＝ 3.2 Gyr の方位角磁場分布（濃淡）．矢印は方位角磁場の方向．（c）
t ＝ 4.2 Gyr の
方位角磁場分布．

シミュレートした［１２］．銀河系の多くの部分を占める１万度の成分の鉛直構造を空間分解するためには数 pc 以下のメッシュ間隔で計算を行う必要があり，多大な計算時間を要する．そこで，ガス円盤の温度を１０万度以上に設定し，
!
!
!#!
!&!
!%#
#&!
'%
$"(#メッシュを用い，赤道面対称性!""を仮定してシミュレーションを実施した．
初期に弱い方位角磁場に貫かれた #!10 kpc を中心とする回転ガス分布を与えて実施したシミュレーション結果を

図９

図１
１ 差動回転円盤における磁気流体ダイナモの模式図．磁気回転不安定性によって強められた磁場がパーカー不安定性によって浮上した後，円盤内部に残された逆向きの磁場が増幅される過程が繰り返される．

初期に弱い方位角磁場に貫かれた回転トーラスの３次元磁気流体シミュレーション結果．濃淡は密度分布，実線は磁力線．左図：初期状態．右図：約１
０回転後．

７２４

Lecture Note

5. Galactic Dynamo

R. Matsumoto and M. Machida

カー不安定性の非線形成長によって磁気ループが浮上を続け，円盤から磁束が失われる．円盤内部には流出した磁束と逆向きの磁場が残り，この磁場が磁気回転不安定性によって強められることによって円盤内部の方位角磁場方向が反転する．このように磁気回転不安定性とパーカー不安
定性の相乗作用により，準周期的なダイナモが発生する．
５．
４．
３ 円盤ダイナモのバタフライダイヤグラム
円盤ダイナモの３次元磁気流体シミュレーションによって見出された磁場反転は太陽における１１年周期の黒点数の

図１２ 赤道面対称性を仮定せずに実施した銀河ガス円盤の３次元
磁気流体シミュレーション結果．左図：t ＝ 4.8 Gyr の密度分布と磁力線（実線）［１４］．右図：バタフライダイヤグラ
ム．横 軸 は 時 間，縦 軸 は 赤 道 面 か ら の 高 さ．濃 淡 は
r ＝ 2.5 kpcにおける方位角方向の平均磁場．黒と白の領域で方位角磁場の向きが異なる．

増減や磁場方向の反転と類似した現象である．赤道面対称性を仮定せずに実施したシミュレーション結果［１４］を図１２に示す．メッシュ数は"
!
!
!"!
!"!
!$#
#%!
"#'
&$!#とした．
!"
左図は密度分布と磁力線（実線），右図は横軸に時間，縦軸に赤道面からの高さをとり，方位角方向の平均磁場を濃淡であらわした図であり，太陽黒点変動のバタフライダイヤ
グラムに対応する．円盤内部で強められた磁場が次々と円盤ハローに浮上し，このような磁束流出に伴って方位角磁場の向きが反転，この逆向きの磁場が再び強められて円盤ハローに浮上する過程が繰り返されている．磁場の反転周期は円盤の１０回転時間程度，この時間は磁気回転不安定性
によって磁場が強められ，パーカー不安定性による磁束浮上条件を満たすようになる時間スケールである．同様な周期的な方位角磁場の反転は降着円盤の３次元磁気流体シ
ミュレーションでも発生している（たとえば［１５］）．
５．
４．
４ 全天のファラデー回転量度分布
銀河ガス円盤の磁気流体シミュレーション結果を銀河系

図１
３ 町田らのシミュレーション結果に基づいて計算した太陽位
置からの全天のファラデー回転量度分布［１４］．青い領域とピンク色の領域でファラデー回転量度の符号が異なる．

内における太陽の位置から「観測」することにより，全天のファラデー回転量度分布等を求めることができる．図１３に，町田らのシミ ュ レ ー シ ョ ン 結 果 に 基 づ い て 求めた#!4.8 Gyr におけるファラデー回転量度の分布［１４］を示が弱い場合でも円盤部から円盤ハローに磁束が流出するこす．この計算ではファラデー回転量度の分布は銀河面に関とを可能にする．銀河ガス円盤における宇宙線のエネル

して反対称，銀河中心に関して点対称になっており，観測

ギー密度は磁気エネルギー密度と同程度と見積もられてお結果［１６］とよく一致する．銀河面に関する磁場の反対称性

り，円盤内部の磁場の時間発展に影響を及ぼすと考えられは双極磁場が卓越していることを示唆するが，図１２からはる．

赤道面に関する対称性は時間依存していることがわかる，

最近，我々の銀河系の磁場が宇宙背景放射の偏光に及ぼ

双極磁場，４重極磁場のいずれが卓越するかについてはさす影響が注目されている．これは，宇宙背景放射光の偏光らに長いタイムスケールの計算が必要である．

成分を解析することにより，宇宙が加速度的に膨張したイ
ンフレーション期に発生した原始重力波の証拠を捉えるこ

５．
５ 今後の課題とができると期待されているためである．全天の偏光分布

本章では，銀河ダイナモの理論シミュレーション研究，が宇宙背景放射観測衛星 Planck 等によって詳細に調べら

特に大局的な３次元磁気流体シミュレーションによる大ス

れており，銀河系内でのシンクロトロン放射による偏光，ケール磁場の時間発展の計算結果を紹介した．今後は１万星間ダストによる偏光と宇宙背景放射の偏光を分離する研度の星間ガスを扱うことができる高解像度計算を実施して究が進められている．これらを通して，銀河系磁場の詳細

いく．より小スケールの乱流場を扱うには円盤の一部を取な構造が明らかにされつつある．今後は系外銀河周辺の磁り出した局所計算やサブグリッドモデル化が必要であろ

場分布についての知見も得られるようになると期待される．

う．
銀河の渦状腕が及ぼす影響を調べるには，非軸対称な重参考文献

力ポテンシャルを用いた計算が必要になる．高エネルギー［１］Y. Sofue et al., Ann. Rev. Astron. Astrophys. 24, 459 (1986).
［２］J.L. Han et al., Astrophys. J. 642, 868 (2006).
［３］E.N. Parker, Astrophys. J. 145, 811 (1966).
［４］M. Fujimoto and T. Sawa, Publ. Astron. Soc. Japan 39, 375(1987).

の荷電粒子（宇宙線）を組み込むことも課題として残されている．宇宙線は軽い流体として振る舞うため，宇宙線の存在は浮力を高める効果があり，パーカー不安定性の成長率を高め，宇宙線が存在しない場合にくらべて，より磁場
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Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.11 November 2015

もと りょうじ

松 元 亮 治千葉大学大学院理学研究科教授．１
９８
８年京都大学大学院理学研究科宇宙物理学専攻修了．理学博士．千葉大学教養部講師，千葉大学理学部助教授，教授を経て２００
７年より現職．主な研究分野は天体活動現象の理論シミュレーション研究．特にブラックホール降着円盤の時間変動を磁気流体数値実験によって再現する研究を行っている．

まち

だ

ま

み

町 田 真 美九州大学大学院理学研究院物理学部門助教．差動回転円盤の磁気流体数値計算をしています．この数年は観測的可視化に取り組んでおり，SKA の活動にも参加しています．今年は栗が不作のようなのであまり手に入らなかったのですが，毎日のように「栗ごはん」と言われ困っています．とりあえず，十三里で誤魔化しています．

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

まつ!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!

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!!!!!!!!!!!!!!

［１１］M. Machida et al., Astrophys. J. 532, L67 (2000).
［１２］H. Nishikori et al., Astrophys. J. 641, 862 (2006).
［１３］R. Matsumoto et al., Publ. Astron. Soc. Japan, 40, 171(1988).
［１４］M. Machida et al., Astrophys. J. 764, 81 (2013).
［１５］J. Shi et al., Astrophys. J. 708, 1716 (2010).
［１６］N. Oppermann et al., Astron. Astrophys. 542, A93 (2012).

!!!!!!!!!!!!!!

［５］N.I. Shakura and R.A. Sunyaev, Astron. Astrophys. 24,
337 (1973).
［６］S.A. Balbus and J.F. Hawley, Astrophys. J. 376, 214 (1991).
［７］J.F. Hawley et al., Astrophys. J. 440, 742 (1995).
［８］ R. Matsumoto and T. Tajima, Astrophys. J. 445, 767 (1995).
［９］A. Brandenburg et al., Astrophys. J. 446, 741 (1995).
［１０］R. Matsumoto, Astrophysics and Space Science Library v.240,(Kluwer Academic, 1999), p.195.

７２６!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

J. Plasma Fusion Res. Vol.91, No.11 (2015)７２７‐７２８

講座 MHD ダイナモ：流れによる磁場の自発的形成

６．まとめ
6. Summary
陰山聡

KAGEYAMA Akira
神戸大学 システム情報学研究科 計算科学専攻（原稿受付：２
０
１
５年９月２
９日）

高い磁気レイノルズ数 "$ !#!!
#（#は磁気拡散率，#が生成される舞台である外核は厚いマントル層に遮られてと !は流れとサイズのスケール）をもつ系では，よほど簡いるため，外核表面での磁場や，外核内部の流れを直接観単な流れでない限り，流れによって磁場のエネルギーが増測する手段を我々はもっていない．また地磁気の時間変化

幅することはほとんど避けがたいことである（第１章）．

（逆転）のスケールは数十万年なので，地球外核でおきてい"$ がだいたい１０を超えると，流れと同じ程度の空間ス

る MHD ダイナモの時間的な全体像は地球科学的な証拠かケールを持つ磁場が生まれる可能性が出てくる．

ら間接的に推測するしかない．ところが第４章で述べられ

通常 "$ ""の系はレイノルズ数も高い（"#""）ので，たように，太陽磁場は太陽表面の分布を直接観測できるだ

流れによる磁場の増幅（＝MHD ダイナモ）のおきる系はけでなく，ダイナモがおきている対流層内部の流れの様子

乱流状態にある場合が多い．小さい空間スケールの流れにが陽震学の手法で「みえて」いる．また，太陽磁場の逆転

よって大きい空間スケールの磁場を生みだす効果は極めて

周期は約２２年（半周期が１１年）という，観測には手頃な時重要である（第２章）．

間であるという点も人類にはありがたい偶然である．だ

太陽系の惑星のほとんどが MHD ダイナモによって生まが，太陽磁場の観測事実が蓄積されるにつれて，我々のれた磁場をもっている．その中で，最も研究が進んでいる

MHD ダイナモに関する理解が不完全であることも痛感さのは当然ながら地球磁場（地磁気）である（第３章）．地磁

せられているのが現状といえるであろう．

気は液体鉄の流れが生み出しているが，巨大ガス惑星（木最後に MHD ダイナモの実験について簡単に述べよう．

星と土星）や天王星などの巨大氷惑星では金属水素など，

MHD ダイナモ現象を実験的に実証するためには，液体金

別の MHD 流体によるダイナモで磁場が作られている．水属などの MHD 流体を下から暖めて熱対流運動させ，その素プラズマで作られているのは太陽磁場（第４章）と銀河

流れで磁場が生まれることを示せばよい．だがそのような磁場（第５章）である．地球磁場と太陽磁場は回転する球（液体金属の自然対流による）MHD ダイナモの実験はほと殻状の領域内部での対流運動による MHD ダイナモというんど不可能に近い．それはダイナモに必要な磁気レイノル点で極めて似た系である．大きな違いは対流速度に比したズ数"$ を十分大きく（１０以上に）とることができないから

自転速度の大きさであろう．地球ダイナモは極めて高速にである．

回転する系でのダイナモであり，流れと磁場が回転（コリ

鉄の融点は約 1800 K であり，この温度での磁気拡散率はオリ力）の影響を強く受けている．それに比べて太陽は自1 m2/s である．（地球の外核は温度が高いので磁気拡散率

転の影響は弱い．回転がいかにして MHD ダイナモプロセ

は こ の２倍 ほ ど に な る．）1800 K の 液 体 鉄 の 熱 対 流 でス全体に影響を与えるかについて，我々の理解はまだ不十"$ ""!となるようにするためには，実験装置のサイズ !

分である．

を 1 m とすると，#"20 m/s としなければいけない．熱対銀河磁場は地球や太陽のような球ではなく，円盤状の流流でこれほど速い流れを維持すること（つまり温度差を維れが生み出す MHD ダイナモで作られている．第５章で詳持すること）は極めて難しいことは容易に想像できる．実

述されたように，そこでは磁気回転不安定性と作動回転のところ，熱対流は諦めてポンプなどを使って液体鉄に（Ω 効果），パーカー不安定性という，３つの基礎過程がう

強制的に流れを作ったとしてもこれほど速い液体鉄の流まく組み合わさり，大規模な磁場が生まれている．形状がれを作ることさえ難しい．鉄は密度が高いからである．約異なるにもかかわらず，銀河ダイナモでも太陽と同様な磁1800 K 以上を維持するのも大変である．
融点が低く，磁気拡散率が比較的低くて，しかも密度の場の周期的反転がみられることも興味深い．
地磁気はガウスの時代から地表面上で，そして近年では低い金属としてナトリウム（融点 370 K，この温度での磁

人工衛星の軌道上から詳細に観測されている．だが地磁気

気拡散率 0.08 m2/s）と，ガリウム（融点 300 K，磁気拡散Department of Computational Science, Graduate School of System Information, Kobe University, KOBE 657-8501, Japanauthor’s email : kage@port.kobe-u.ac.jp

７２７!2015 The Japan Society of Plasma
Science and Nuclear Fusion Research

Journal of Plasma and Fusion Research Vol.91, No.11 November 2015

率 0.2 m2/s）がある．ナトリウムを使った最初のダイナモ野において世界をリードするレベルの研究がなされている

実験はラトビア大学［１］とカールスルーエ大学［２］で行われが，実験研究がほとんどされていないのは残念である．こた．どちらも自然対流ではなく，ポンプで強制的に流れをのプラズマ・核融合学会誌の読者の中から MHD ダイナモ

駆動して起こしたダイナモ実験である．その後，フランスに興味を感じ，新しいダイナモ実験に挑戦する方が現れる（カ ダ ラ ッ シ ュ 研 究 所［３］，グ ル ノ ー ブ ル 大 学），米 国ことを期待したい．

（ウィスコンシン大学［４］，メリーランド大学［５］）においてナトリウムを使った実験が行われている．また，メリー

参考文献

ランド大学では 3 m の球形容器でのナトリウムを使った実［１］A. Gailitis et al., C.R. Physique 9, 721 (2008).
［２］R. Stieglitz and U. Müller, Phys. Fluids 13, 561 (2001).
［３］B. Gallet et al., Phys. Rev. Lett. 08, 144501 (2012).
［４］E. J. Spence Phys. Rev. Lett. 96, 055002 (2006).
［５］D.P Lathrop et al., Plasma Phys. Control. Fusion. 43, A151A160 (2001).
［６］http://plasma.physics.wisc.edu/mpdx

験装置がある．ウィスコンシン大学では液体金属ではなくプラズマを使ったダイナモ実験装置も建設された［６］．プ
ラズマは軽いので，速い流れを比較的容易に作ることができるという利点がある．
本講座で紹介されたとおり，MHD ダイナモの（計算機シミュレーションも含めた）理論的研究については，各分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

やま

あきら

陰 山

かげ

聡

神戸大学 システム情報学研究科 計算科学専攻 教授．専門は磁気流体力学を中心とした計算機シミュレーションとデータ可視化．最近，学生と一緒に Yin-Yang-Zhong
grid（イン＝ヤン＝ゾン格子）という球ジオメトリ用の新しい計算格子を開発しました．データ可視化に関しては，「４次元ストリートビュー」という，少々突飛な方法を提唱していて，その実証に力を入れています．本文の最後に書いたダ
イナモ実験については，世界で最初のダイナモ実験に成功したラトビアの実験装置を１９９８年に見て以来，ずっと興味をもっていて，新しいダイナモ実験装置ができないものかと自分でもときおり考えていますが，難しいですね．電気抵抗が極端に低い流体が見つかれば面白いのですが．

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