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ある Banach 環上の Hermite 作用素と Lumer’s method
新潟大学 大学院 自然科学研究科数理物質科学専攻

木伏 智則

Tomonori Kibushi

Graduate School of Science and Technology, Niigata University

1

はじめに
Lipschitz 関数や連続的微分可能関数からなる Banach 環、さらにはそのベクトル値版を対象とし、そのよ

うなBanach 環上の単位的全射等距離写像がどのような形をしているかを Lumer’s method にょる記述をす
ることをめざした。Lumer’s method とは等距離写像を決定する次のような方法のことである。対象とする
Banach 環上の等距離写像の形を決定するためにまず、その Banach 環上の Hermite 作用素を決定する。多くの場合 Hermite 作用素は Banach 環の要素のパラメータにより表現できる。決定しょうとする全射線形等距

離写像による共役変換はまた Hermite 作用素であるため、Banach 環の要素によりパラメータ表示される。最初の Hermite 作用素のパラメータと共役変換後の Hermite 作用素のパラメータの関係を記述することにより該当の等距離写像を記述するのがLumer’s method である。

2

対象とする空間と定義
対象とする空間は以下の二つである。

\bullet 1ip_{\alpha}(X, C(Y))\bulletC^{1}([0,2\pi], C(Y))-

定義1. (X, のをコンパクト距離空間とし、

0<\alpha\leq 1 とする。

Y をコンパクト Hausdorff 空間とする。ここで、 F\in C(X, C(Y)) に対して

L_{\alpha}(F)= \sup\{\frac{\Vert F(x_{1})-F(x_{2})\Vert_{\infty(Y)} {d(x_{1},x_ {2})^{\alpha} :x_{1}, x_{2}\in X(x_{1}\neq x_{2})\}を定義する。

Lip_{\alpha}(X, C(Y)) は次のように定義される。

Lip_{\alpha}(X, C(Y))=\{F\in C(X, C(Y)) :L_{\alpha}(F)<\infty\}
ここで、 \Vert F\Vert_{L_{\alpha}}=\Vert F\Vert_{\infty}+L_{\alpha}(F) をノルムとすると、 (Lip_{\alpha}(X,' C(Y)), \Vert . \Vert_{L_{\alpha}}) はBanach 環となる。
定義.2 (little Lipschitz 環). (X , のをコンパクト距離空間とし、 0<\alpha<1 とする。
Hausdorff 空間とする。ここで、 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) は次のように定義される。

Yをコンパクト1 ip_{\alpha}(X, C(Y) =\{F\in Lip_{\alpha}(X, C(Y) : \lim_{xarrow x_{0} \frac{ \Vert F(x)-F(x_{0})\Vert_{\infty(Y)} {d(x,x_{0})^{\alpha}}=0(\foral x_{0}\in X) \}ここで、 \Vert F\Vert_{t_{o}}=\Vert F\Vert_{\infty}+L_{\alpha}(F) をノルムとすると、 (1ip_{\alpha}(X, C(Y)), \Vert . \Vert_{l_{\ell}}.) はBanach 環である。これをlittle Lipschitz 環という。

18lip. (X, \mathbb{C}) を単に 1ip_{\alpha}(X) と表記する。 F\in 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) とする。また、 F(x, y)=(F(x))(y) とするこ
F は X\cross Y 上の複素数値連続関数と考える。これにより、 1ip_{\alpha}(X, C(Y))\subset C(X\cross Y) とする。

とで、定義3. Y をコンパクト Hausdorff 空間とする。ここで \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) を以下のように定義する。

C^{1}-([0,2\pi], C(Y))=\{F\in C([0,2\pi], C(Y)):F|_{[0,\pi]}\in C^{1}([0, \pi], C(Y))\}
ここで、\Vert F\Vert_{\overline{C}^{1} =\Vert F\Vert_{\infty}+\Vert(F|_{[0_{:}\pi]}) '\Vert_{\infty} をノルムとすると、 (C^{1}-([0,2\pi], C(Y)), \Vert\cdot\Vert_{\overline{C}^{1}}) はBanach 環となる。

\overline{C}^{1}([0,2\pi], \mathbb{C}) を単に C^{1}([0,2\pi]) と表記する。また、 F\in\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) とする。 F(x, y)=(F(x))(y)とすることで、 F は [0,2\pi]\cross Y 上の複素数値連続関数と考える。これにより. \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y))\subset C([0,2\pi]\crossY) とする。

定義4 (テンソル積 tensor product).Xをコンパクト距離空間、

Y をコンパクト Hausdorff 空間とする。

f\in 1ip_{\alpha}(X) , g\in C(Y) に対して、 f と g のテンソル積 f\otimes g\in 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) を以下のように定義する。
(1)(f\otimes g)(x, y)=f(x)g(y) , (x, y)\in X\cross Y

f\in C^{1}-([0,2\pi]) , g\in C(Y) に対して、 f と g のテンソル積 f\otimes g\in C^{1}-([0,2\pi], C(Y)) を以下のように定義
する。

(2)

(f\otimes g)(x, y)=f(x)g(y) , (x, y)\in[0,2\pi]\cross Y

定義5 (semi‐inner product).
とき、写像 [

] を

E をBanach 空間とする。写像

E 上の semi‐inner[] : ExEarrow \mathbb{C} が次の条件をすべて満たす

product という。任意の x, y, z\in E, \alpha\in \mathbb{C} に対して、(1) [x+y, z]=[x, z]+[y, z1(2) [\alpha x, y]=\alpha[x, y](3) [x, x]>0 また、 [x, x]=0\Leftrightarrow x=0(4)|[x, y]|^{2}\leq[x, x][y, y]

また、semi‐inner product [\cdot, \cdot] が任意の x\in E に対して、 [x, x]=\Vert x\Vert^{2} となるとき、semi‐inner product[] はノルムと互換性があるという。

注.一般に Banach 空間 E のノルムに対して互換性がある semi‐inner product は一つとは限らない。

定義6 (Hermite 作用素).

E をBanach 空間とし、T を E 上の有界線形作用素とする。

E のノルムに対して互換性のある semi‐inner product で、任意の x\in E に対して [T(x), x]\in \mathbb{R} となるものが存在するとき、Tを E 上の Hermite 作用素という。

定義7 (Hermite element).
B の単位元を1とする。

B をBanach 環、B^{*}

を B のBanach 空間としての双対空間とする。Banach 環

x\in B に対する algebraic numerical range はV(x)=\{\phi(x) :\phi\in B^{*}, \Vert\phi\Vert=\phi(1)=1\}であり、 V(x)\subset \mathbb{R} となるとき、H(B) とする。

x\in B はHermite

element であるという。 B のHermite element 全体を

19
Banach 環 (B, \Vert \Vert_{B}) において x\in H(B) であることと任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert cxp (itx) \Vert_{B}=1 となることが同値であることが知られている [ 1, 8]_{0} また、 T\in H(B(B)) であることと、 T\in B(B) が B 上のHermite 作用素であることが同値であることが知られている [8, Theorems 5.2.6 and 6.2.1]。
定義8 (corresponding multiplication operator).

Bを単位的 Banach 環とし、a\in Bをとる。ここでcorresponding multiplication operator M_{a}:Barrow B は以下のように定義される :\Lambda I_{a}(x)=ax, x\in B.

3

Hermite 作用素の決定
以下の命題1、命題2、補題1、定理1はHatori and Oi [12] により得られた。

命題1.

(1)

a

B を単位的 Banach 環とし、a\in B とする。以下は同値である。

は B 内の Herimite element である。

(2) corresponding multiplication operator M_{a} が B 上の Hermite 作用素である。

Hatori and Oi [12, Lemma 2] より以下の補題1を得る。
補題1.

B を単位的 Banach 環とし、T を B 上の Hermite 作用素とする。このとき、Tl は B 内の Hermite

element である。

Hatori and Oi [12, Proposition 3] より以下の命題2を得る。
命題2.

B を単位的 semi‐simple 可換 Banach 環とし、T を B 上の有界線形作用素とする。このとき、以下は同値である。

(1) T=M_{T(1)} である。

(2) 任意の t\in \mathbb{R} に対して、\exp(it(T-l1_{\lambda}-I_{\tau(1)})) がmultiplicative である。

Hatori and Oi [12, Theorem 4] より以下の定理1を得る。
定理1.

B を単位的 semi‐simple 可換 Banach 環とし、T を B 上の有界線形作用素とする。すべての単位的

全射等距離写像は multiplicative であると仮定すると、以下は同値である。
(1)

T は B 上の Hermite 作用素である。

(2) T(1) は B 内の Hermite element であり、 T=M_{T(1)} である。

定理2 (lip. (X, C(Y)) 内の Hermite element).
以下は同値である。

(1) F\in H(1ip_{\alpha}(X, C(Y))) である。
(2) ある f\in C_{R}(Y) に対して F=1\otimes f である。
証明.

((1)\Rightarrow(2))

仮定より、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{l_{\alpha}}=1 であるので、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}\leq 1

20である。ここで、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}=1 である。それを示すために値関数であることを示す。
のとき、{\rm Im} F(x, y)\neq 0 となる (x, y)\in X\cross Y が存在すると仮定する。 {\rm Im} F(x, y)>0|\exp(-iF(x, y))|>1 となるので、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert cxp(itF)\Vert_{\infty}=1 であることに矛盾す

る。逆に、

り、

F が X\cross Y 上の実数{\rm Im} F(x, y)<0 のとき、|\exp(iF(x, y))|>1 となり、矛盾する。よって、 {\rm Im} F(x, y)=0 とな

F はX \cross Y 上の実数値関数である。ここで、任意の t\in \mathbb{R} に対してある f\in C(Y) に対して F=1\otimes f となる。また、

L_{\alpha}(\exp(itF))=0 であるので、F は実数値関数であるので、

f\in C_{R}(Y) よって、ある

f\in C_{R}(Y) に対して F=1\otimes f である。
((1)\Leftarrow(2))
仮定より、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}=1 であり、に対して

L_{\alpha}(\exp(itF))=0 であるので、任意の t\in \mathbb{R}\Vert\exp(itF)\Vert_{l_{t1}}=\Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}+L_{\alpha}(\exp(itF)) =1 である。よって、

F は1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 内のHermite element である。

口

定理3 (\overline{C}^{1} ([0,2\pi], C(Y) ) 内の Hermite element).
以下は同値である。

(1) \mathcal{H}\in H(\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y))) である。

(2) \mathcal{H}\in C_{R}([0,2\pi]\cross Y) であり、ある f\in C_{R}(Y) に対して \mathcal{H}|_{[0,\pi]}=1\otimes f である。
証明.

((1)\Rightarrow(2))

仮定より、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{C^{-}}1=1 であるので、し、実際に定理2 と同様の議論より、\Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}\leq 1 である。しか\Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}=1 がわかる。ここで、任意の t\in \mathbb{R} に対して\Vert(\exp(itF)|_{[0,\pi]})'\Vert_{\infty}=0 であるので、ある f\in C(Y) に対して F|_{[0,\pi]}=1\otimes f となる。また、任意の t\in \mathbb{R} に対して \Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}=1 より、F\in C_{R}([0,2\pi]\cross Y) であり、あるFは実数値関数であるので、

f\in C_{1R}(Y) である。よって、

f\in C_{R}(Y) に対して F|_{[0_{\backslash }\pi]}=1\otimes f である。

((1)\Leftarrow(2))\Vert(\exp(itF)|_{[0,\pi]})'\Vert_{\infty}=0 であるので、任\Vert\exp(itF)\Vert_{\overline{C}^{1}}=\Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}+ \Vert(cxp(itF)|_{[0,\pi]})'\Vert_{\infty}=1 である。よって、 F は仮定より、任意の t\in \mathbb{R} に対して意の t\in \mathbb{R} に対して\Vert\exp(itF)\Vert_{\infty}=1 であり、\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 内の Hermite element である。

口

Jarosz の定理 [13, Theorem] を以下のように適用することで次の系1と系2を得る。
Xı, X2をコンパクト距離空間とし、 Y_{1} , 巧をコンパクト Hausdorff 空間とする。

U:1ip_{\alpha}(X_{1}, C(Y_{1}))arrow 1ip_{\alpha}(X_{2}, C(Y_{2}))を単位的全射等距離写像とする。 1ip_{\alpha} (X_{1}, C(Y_{1})) , 1ip_{\alpha}(X_{2}, C(Y_{2})) は単位的 semi‐simple 可換 Banach 環であるので Jarosz の命題 [13, Proposition 2] より、それぞれ C(X_{1}\cross Y_{1}) , C(X_{2}\cross Y_{2}) のregular subspace[13, p.67] である。 \Vert\cdot\Vert_{l^{\alpha}}=\Vert\cdot\Vert_{\infty}+L_{\alpha}(\cdot) が p ‐norm [13, p.67] であり、
理[13, Theorem] より、

T は

U は単位的であるので Jarosz の定(1ip_{\alpha}(X_{1}, C(Y_{1})), \Vert\cdot\Vert_{\infty}) から (1ip_{\alpha}(X_{2}, C(Y_{2})), \Vert\cdot\Vert_{\infty}) への等距離写像でもある。よって次の系を得る。

系1. X_{1} , X_{2} をコンパクト距離空間とし、 Y_{1} , Y_{2} をコンパクト Hausdorff とする。

ら 1ip_{\alpha} (X2, C(Y_{2}) ) への単位的全射等距離写像であるとき、U がlip. (X_{1}, C(Y_{1})) かU は \sup ノルムに関しても等距離写像である。

21
21
Y_{1} , 巧をコンパクトHausdorff 空間とする。

U:\overline{C}^{1}([0_{:}2\pi], C(Y_{1}))arrow\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y_{2}))を単位的全射等距離写像とする。 \overline{C}^{1} ([0,2\pi], C(Y_{1})) , C^{1}-([0,2\pi], C(Y_{2})) は単位的 semi‐simple 可換 Ba‐

nach 環であるので Jarosz の命題 [13, Proposition 2] より、それぞれ C([0,2\pi]\cross Y_{1}) , C([0,2\pi]\cross Y_{2}) のregular subspace である。 \Vert F\Vert_{\overline{c}^{{\imath}}}=\Vert F\Vert_{\infty}+\Vert F|_{[0,\pi] '}\Vert_{\infty}(F\in\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y_{j}))(j=1,2)) が p ‐norm
であり、U は単位的であるので Jarosz の定理 [13,Theorem] より、

T は \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y_{1})) , \Vert . \Vert_{\infty} ) から(\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y_{2})), \Vert\cdot\Vert_{\infty}) への等距離写像でもある。よって次の系を得る。
系2. Y_{1} , 巧をコンパクト Hausdorff 空間とする。
的全射等距離写像であるとき、

U が \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y_{1})) からC^{1}([0,2\pi], C(Y_{2}))- への単位

U は \sup ノルムに関しても等距離写像である。

定理4 (1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の Hermite 作用素).
以下は同値である。

(1)

T は

1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の Hermite 作用素である。

(2) T=M_{1\otimes f} となる f\in C_{R}(Y) が存在する。
((1)\Leftarrow(2))

証明.

f\in C_{R}(Y) とする。定理2より、 1\otimes f は 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 内の Hermite element である。ここで命題1より、 M_{1\otimes f} は 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の Hermite 作用素である。

((1)\Rightarrow(2))
T

は lip. (X, C(Y)) 上の Hermite 作用素であると仮定すると補題1 より T(1) は lip. (X, C(Y) ) 内のHermite element である。また、ここで命題2より T(1)=1\otimes f となる f\in C_{R}(Y) が存在する。すべての

1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の単位的全射等距離写像が nmltiplicative であることを示す。それが示せれば定理1より

T=JI_{T(1)} となる。まず、U: 1ip_{\alpha}(X, C(Y))arrow 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) を単位的全射等距離写像とする。このとき

系1より U は C(X\cross Y) 内の 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) のuniform closure \overline{1ip_{\alpha}(X,C(Y))} 上のある単位的全射等距離

写像 U^{\infty} ヘー意に拡張できる。ここでlip. (X, C(Y) ) はX \cross Y 上の関数環であることと、Nagasawa [16]の定理から U^{\infty} は \overline{1ip_{\alpha}(X,C(Y))} の極大イデアル空間上の自己同相写像によって定義される合成作用素である。よって U^{\infty} は \iotanultiplicative であるので U もmultiplicative である。

口

定理5 (C^{1}([0,2\pi], C(Y)) 上の Hermite 作用素).
以下は同値である。

(1) T は \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 上の Hermite 作用素である。
(2) T=M_{\mathcal{H}} となる \mathcal{H}\in H(\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y))) が存在する。
証明.

((1)\Leftarrow(2))

命題1より M_{\mathcal{H} は C^{1}-([0,2\pi], C(Y)) 上の Hermite 作用素である。

((1)\Rightarrow(2))

C^{1}-([0,2\pi], C(Y)) 上の Hermite 作用素と仮定する。補題1より T(1) は \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 内の Hermite
element であるので T(1)=\mathcal{H} ( \mathcal{H}\in H (\overline{C}^{1} ([0,2\pi] , C(Y)))) となる。すべての \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 上の単位
T を

的全射等距離写像が multiplicative であることを示す。それが示せれば定理1より T=M_{T(1)} となる。ま
ず、

U

:

C^{1}([0,2\pi],' C(Y))-arrow C^{1}([0,2\pi], C(Y))- を単位的全射等距離写像とする。このとき系2より U は22
C([0,2\pi]\cross Y) 内の \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) のuniform closure \overline{C^{1}([0,2\pi],C(Y))-} 上のある単位的全射等距離写像U^{\infty} ヘー意に拡張できる。ここで \overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) は[0,2\pi]\cross Y 上の関数環であることと、Nagasawa [16]の定理から U^{\infty} は \overline{\overline{C}^{1}([0,2\pi],C(Y))} の極大イデアル空間上の自己同相写像によって定義される合成作用素である。よって U^{\infty} はmultiplicative であるので U もmultiplicative である。

4

口

主定理

定理6 (1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の単位的全射等距離写像).
以下は同値である。

(1)

U が 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) 上の単位的全射等距離写像である。

(2) UF(x, y)=F(\phi(x, y), \tau(y))(x\in X, y\in Y) ,F\in 1ip_{\alpha}(X, C(Y)) となる連続写像 \phi : X\cross Yarrow X

で、任意の y\in Y に対して \phi(\cdot, y) : Xarrow X が全射等距離写像であるもの、同相写像 \tau : Yarrow Y が存在する。

証明.(1) \Rightarrow(2) の証明の中で (U(F))(x, y)=F(\phi(x, y), \tau(y)) となることを示した後、任意の y\in Y に対して \phi(\cdot, y) はX上の等距離写像であることを示す。今回はその部分の一方の不等式の証明を与える。逆側の不等式については容易に示せるので省略する。

まず、

x_{1},

x_{2}\in X, y\in Y をとる。 \alpha<\beta<1 とし、さらにここで、s, t\in X

f^{\beta} : Xarrow \mathbb{C} を f^{\beta}(x)=á (x, \phi(x_{2}, y))^{\beta} と定義する。

とすると、\frac{|f^{\beta}(s)-f^{\beta}(t)|}{d(s,t)^{\alpha} =\frac{|d(s,\phi(x_{2},y) ^ {\beta}-d\cdot( ,\phi(x_{2},y) ^{\beta}| {d(s,t)^{\alpha}\leq\frac{d(s,t)^{\beta}{d(s,t)^{\alpha}(3)=d(s, t)^{\beta-\alpha}となる。X はコンパクトなので \sup_{s,t\in X}d(s, t)<\infty である。 M ニ \sup_{\varepsilon,t\in X}d(s, t) とおく。(3) より、
L_{\alpha}(f^{\beta}\otimes 1)\leq M^{\beta-\mathfrak{a}} なので、である。よって、 f^{\beta}\otimes 1\in lip. (X, C(Y)) である。また、

U は \Vert\lim_{sarrow t.\frac{|f()-f^{\beta}(t)|}{d(s.t)^{\alpha}} =0\Vert_{l} 、に関して、等距離写像であり、 \Vert\cdot\Vert_{\infty(X\cross Y)} でも等距離写像であることから、任意のF\in 1ip_{\alpha}(X_{:}C(Y)) に対して L_{\alpha}(U(F))=L_{\alpha}(F) である。
次に、d(\phi(x_{1}, y), \phi(x_{2}, y))^{\beta}=|(f^{\beta}\otimes 1)(\phi(x_{1}, y), \tau(y))-(f^{\beta}\otimes 1)(\phi(x_{2}, y), \tau(y))|=|(U(f^{\beta}\otimes 1))(x_{1}, y)-(U(f^{\beta}\otimes 1))(x_{2}, y)|\leq L_{\alpha}(U(f^{\beta}\otimes 1))d(x_{1}, x_{2})^{\alpha}=L_{\alpha}(f^{\beta}\otimes 1)d(x_{1}, x_{2})^{\alpha}\leq M^{\beta-\alpha}d(x_{1}, x_{2})^{\alpha}(4)となる。ここで、(4) で \betaarrow\alpha とすると、 d(\phi(x_{1}, y), \phi(x_{2}, y))'\leq d(x_{1}, x_{2})^{\alpha} を得る。よって、
d(\phi(x_{1}, y), \phi(x_{2}, y))\leq d(x_{1}, x_{2})(\forall x_{1}, x_{2}\in X, y\in Y)
となる。

口

23
定理7.

Y をコンパクト Hausdorff 空間とする。以下は同値である。

(1)

C^{1}([0, \pi 1, C(Y)) 上の単位的全射等距離写像である。

U が(2) UF(x, y)=F(\phi(x, y), \tau(y))(x\in[0, \pi] , y\in Y) ,F\in C^{\~{I}}([0, \pi], C(Y)) となる連続写像 \phi :[0, \pi]\cross Yarrow[0, \pi] で、任意の y\in Y に対して \phi(\cdot, y) : [0, \pi]arrow[0, \pi 1 が全射等距離写像であるもの、同相写像 \tau : Yarrow Y が存在する。

定理8 (\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 上の単位的全射等距離写像).
U が\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) 上の単位的全射等距離写像となるとき、ある連続写像 \phi_{1} : [0,2\pi]\cross Yarrow[0,2\pi],\phi_{2} : [0,2\pi]\cross Yarrow Y と、連続写像 \phi :[ 0, \pi|\cross Yarrow[0, \pi] で任意の y\in Y に対して \phi(\cdot, y) : [0, \pi]arrow[0, \pi 1 が全射等距離写像であるもの、同相写像 \tau : Yarrow Y が存在して、(x, y)\in[0,2\pi]\cross Y, F\in\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y))

に対してUF(x, y)=\{\begin{ar ay}{l } F(\phi(x, y),'\tau(y) (0\leq x\leq\pi) F(\phi_{1}(x, y), \phi_{2}(x, y) (\pi\leq x\leq 2\pi) \end{ar ay}となる。また 0\leq x\leq\pi のとき

0\leq\phi_{1}(x, y)=\phi(x, y)\leq\pi であり、

(5)

\pi\leq x\leq 2\pi のとき\pi\leq\phi_{1}(x, y)\leq 2\piである。

証明.仮定より

UはC^{1}([0,2\pi], C(Y))- 上の単位的全射等距離写像であるので、系2より

U は \supノル

ムに関しても等距離写像である。ここで Stone‐Wierstrass の定哩より \overline{C} ı ([0,2\pi], C(Y)) は C([0,2\pi]\cross Y)

内で uniformly dense であるので \sup ノルムに関して単位的全射等距離写像となるの一意な拡張 U^{\infty} :U

C([0,2\pi]\cross Y)arrow C([0,2\pi]\cross Y) を得る。ここで、Banach‐Stone の定理より、自己同相写像 \Phi : [0,2\pi]\cross Yarrow[0,2\pi|\cross Y で任意の F\in C([0,2\pi 1\cross Y ) に対して U^{\infty}(F)=Fo\Phi となるものが存在する。また任意の(x, y)\in[0,2\pi 1\cross Y に対して \Phi は \Phi(x, y)=(\phi_{1}(x, y), \phi_{2}(x, y)) となる連続写像 \phi_{1} : [0,2\pi]\cross Yarrow[0,2\pi],\phi_{2} : [0,2\pi]\cross Yarrow Y で表される。これにより任意の (x, y)\in[0_{:}2\pi 1\cross Y, F\in\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) に対してUF(x, y)=F(\phi_{1}(x, y), \phi_{2}(x, y)) となる。次に0\leq x\leq\pi のとき任意の y\in Y に対して

0\leq\phi_{1}(x, y)\leq\pi

であることを示す。任意の x\in[0, \pi], y\in Y をとると UF(x, y)=F(\phi_{1}(x, y), \phi_{2}(x, y)) であることと、

UF\in\overline{C}^{1}([0,2\pi], C(Y)) から UF は [0, \pi] で微分可能であることより、 0\leq\phi_{1}(x, y)\leq\pi である。さらにU^{-1}F=F\circ\Phi^{-1} であり、同様に [0, \pi] で微分可能なことから UF|[0,\pi]\cross Y : [0, \pi]\cross Yarrow[0, \pi 1\cross Y が全射であり、もう一方で UF|[\pi_{i}2\pi]\cross Y : [\pi, 2\pi]\cross Yarrow[\pi, 2\pi]\cross Y も全射である。次に: C^{1}([0, \pi], C(Y))arrowC^{1}-([0,2\pi], C(Y)) を任意の (x, y)\in[0,2\pi 1\cross Y, G\in C^{1}([0, \pi], C(Y)) に対して

\dot{G}(x, y)=\{\begin{ar ay}{l} G(x, y) (0\leq x<\pi のとき) G(\pi, y) (\pi\leq x\leq 2\pi のとき) \end{ar ay}と定義する。ここで \overline{U} : C^{1}([0, \pi], C(Y))arrow C^{1}([0_{:}\pi], C(Y)) を任意の G\in C^{1}([0, \pi], C(Y)) に対して

\overline{U}(G)=U(\dot{G})|_{[0,\pi]}と定義する。ここで \overline{U} は C^{1}([0, \pi], C(Y)) 上の単位的全射等距離写像である。定理7から (\overline{U}(F|_{[0,\pi]})) (」x, y )F(\phi(x, y), \tau(y))(x\in[0, \pi] , y\in Y) , となる連続写像 \phi : [0, \pi]\cross Yarrow[0, \pi] で、任意の y\in Y に対=して \phi(\cdot, y) :[0, \pi]arrow[0, \pi] が全射等距離写像であるもの、同相写像 \tau :

Y

arrow

UF|_{[0,\pi]\cross Y} : [0, \pi]\cross Yarrow[0, \pi]\cross Y であることから、任意の x\in[0, \pi], y\in Y に対して

UF|_{[0,\pi]\cross Y}(x_{:}y)=(\overline{U}(F|_{[0,\pi]}))(x, y)=F(\phi(x, y), \tau(y))

Yが存在する。

24である。

x\in[\pi, 2\pi], y\in Y に対しては自由に値をとり、UF|_{[\pi_{\backslash }2\pi]\cross Y}(x, y)=F(\phi_{1}(x, y), \phi_{2}(x, y))
となる。

口

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