計測自動制御学会栗」ヒ支部第177回研究集会（19諷10．叫
質料番号177−4

非線形フィード／iッウ制御

PolynomialFeedbackControlhrNonlineaIISystems
O李天兵，大久保重範
OTianbingLi．ShigenoriOkubo
山形大学

YaInagataUnivcrsity
キーウNド＝ フィードバック〔feEdbackcontrol），タロネッか一べき〔Krone亡kerpoweL・），大域安定性〔glohalSLabi15Ly），遺伝的アルゴリズム〔geneticalgorithm〕，非線形系〔nonlinearsystem）
連絡先：〒9g2 山形県米沢机1」形大学工学部機械工学科大久保研究室
李天真．TblA＝（0238）26−3246．FaxL＝（0238〕2G−3205，E−1T血l＝le朗mipultra，yZ．yalnagata−u，a⊂・jp

1．INTRODUCTIONlem4）．unf。rt。。ately．theydidn。tPrOVid。afeiLSi−
bles口1ution払Tthe野呂teTrlS．

Aユ10VerWhelmingmajorityoftllenOnlinearprob−
Inthis papcr｝WCdcsign aglohuyasYrrlPL（由1errlS en亡O11ntere亡1in pT乱CLice are ablel二O t〕e（1e−SCribed or approximated bY POlynomialfunctions

Callyst；lt）iliElrlg〔1irectf巳edbackcoIltrOlu別ng王（ronecker power60fstate vec［Or for the plants withWithsufEcientlyhighordcr．sqthercscarchonpolyr

polynomialdynamicsinthcstatcandinput・A昌e−rlOmialnonlincar slrStemS dcscrves our att巳ntion

netic algorithm jsempl口yed to呂n（lslliLこ1t】1e計1ユ町

り．M肌yreSmTClユerSllaVeCt｝rlHidere（1血pmb−aIl（1iLl酢br；LicgeometricLOnCePtisusedtc＞Simplify

LemofpolynDmialnonlinearitiesbyacompactde−

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fitedtheanalysisanddesigngreatly．Okuboand

2． PI」ANT ASSUMPTIONS

I（itamoridesigned areguht・Orin Lh巳hrInOfillL

RniteexI触SioIIG）⊃ELndOkubopublishedhisstau ConsiderthenoIlliIlearSyStemSWhi亡hdynamicsarc
blede呂ignofrcgulatorwithageIlet王cal琶OriLhmfor

polynomialsinth亡State三1rld／orLIleCOnLrol，ile・，

thcsysteTnS，POlynnmialiIl止ateaIユ〔11ineariIlin一

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algebraicgeolnetrytOdiscretctimesystems2）alLd

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amoreextensivestu（1y扉0玩el・V乱bllity3）．Jobn

cornpoIlentSOftlleStateユニ∈甜㌧andthecontml

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3．POLYNOMIALFEEDBACI〔（■ト、．−CONTROLEln〔1（1eIIDting an augmcntcd stat巳VeCtOr aS E∈

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一塔岬＿‖旬1．2〃−ユ】〕が之＝〔Aql．2Ⅳrl】一月∬cLl、2∧り岬［2Ⅳ￣1】〔ヱ）・（22）仁叩−1】Letusdehneamatrixsetn（PbLN，N］描∑ニ1m≡x∑ニInE）〃￣1】（ヱ〕（抽［2Ⅳ−1世11CL2〃￣1】

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（34）

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〔キ旧印」Ⅴrl即＿1］G帥【叫SIMPLIFICATIONANDRE−AlIEATION）＞ 0，

Inorder turealize止1巳feedbackcontrolah（）Ve，We〔35）have to discard redundanLinformaLionin Llle rela＿T10tedsimplyas

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鮎岬−り〃−1I＞ 0，〔36）

EISQ叩NTl，2N−1）rInalgebra．theideaoffactoring（37）

Out eXtl・aneOuS Or r巳Petitive datais accolnPlishedthrou旦lltheconceptofaquDtientsetlIntuitivcly．

tl］Cnthe：nCtE），tionofaqllO［ieTll．isnotllingmoretllandi−t′（t）＞ 0（forallyg≠［0］），〔38）巾）＜ 0〔foranyヱ引恥〔39）t′（り ＝ 0（ヱ＝［叫Dnly），（40）vidingthetot孔1sctofobjcctsllnderconsi（iemt・i〔）nirltO Lhose which are ofinterest andthosc that ELrenot．TheruLeofseparatinginterestingobjectsfrom

uninterestillgi5bascdontheideiLOfl」WOelementsl√拝）→ 00（wbenし1ヱl】→∞），〔41）being equivaleIlも・R・Oughly speaking，WC Say tWO
叫打c【1凪V1】1Sa如b叫ン「弧ymPtOticall）rStab日並−

Objectsareequivalentifthcydi鮎roTllyirld巳l」ails

1rL昌feedhack gain frnm Bal■basin−KrELSOVSl亡iitheo−that arc notimportELTIt fけr the problem at handlre‖1（See⊃e．g．Tll）〕．

Lctusbernore叩eCi丘c．
Correspondwiththei−1dex［r］，W巳iIltrOducea

WccどLnSumma．ri7：e t，llen．b口VeELSThe（】remlindexH Loder10teCOntraJ：tCXpreSSionsreht巳dto

Theorem177te Tt即l血1ear＄yStCm・S

contraCt formof37（i）．Forexample，thccc｝ntTaCt
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丘＝dG（1神山1〉G〈2八「￣1〉 （可」一月叫 （43）α∫去 ＝Ac【1即ml】

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「叫鮎【且Ⅳ−］＝2〃−11＞ 0，揮刀

Corresp〔】ndingly．wedcnotcthecompactedsets

町人1i托叩．叫），r／入ユ（托〈⊥．2〃¶1〉），△／13（打恥2几・瑚Ⅰ，and∈申4柑G（2〃−1．2JV−1〉），比eequ血1encesetSOf
qr，△，81・eSpeCtively，描抽cロr加且v＝一打ql！コーV−1JC［山し1恒十由油壷埴n ら n。，（叩丁叩ね壬血軸如占五ヱ五血．ヴ・ー4−

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G即￣1）（糾EmdFig．1iIldicaLesthecornInuLatiorldia昌raIllIIlat−（47〕

ically．

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叫 n。＿＿旦．r。×△。

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Therc cvcn cxist rcdu．ndantinformationirlSet
ncaIl〔1seL（）。・Lettillgtlleentrieswhicharefarが〃」〉〔ヱ1

元帥正明川村叫血止血転地山賊画．

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Itish揖（11y先山ibl巳LoobLai王1ajrc（1コ紺−1〉如mこ⊥Tld亡ヨG（2Nml，2N1）aSpC・SSibleaswecan，WeCan
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constructsymmctric m孔triceswith DnlyiTldepen−
ally，SOagenet・icnlgorithmisemployed，uSingCorol−

dent entricsremained．derlOt￣ed aB Pb（（N，N））and
Qc＝2〃−1，2〃−1））re坤eCLivel）・・SeL亡1。／Å（鞄‖〃州）

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iLrld∈〉Jl（鮎くくヱN1，2N1〉〉‡arethccquivalcnceset

5． GENETIC ALGORITHM

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n。n封0。08．

ByrecursivelybuildingttleI〕0日itivedefinitelead−

1ng prlnCIPalminors of a syrrlrrLetric matrix）We（50〕

So，n11rtaSklla5beencha血gC〔1equivalentlyt口丘n〔1canmapthcstrictlyposiLivedefinitematrixfrom

aItく（N，N）landaI（c（1，2N1〉tDSatis＆之1Series or nulllbeTS．Fbr the syIllllユ巳Lri巳11■血山Ⅹ

且T．∈況nXn，WeCa】1divi（ieditas，

托（（九・コⅣ ＞0，Qc＝2〃1，2八し川＞0 （51）

島Tl＝nロm7⊥m凸er ⇒V（り＞D，巾〕く0，〔52〕

臓三笠1 ］（55）

ThcfoLIowlrlgequivalencerelationswillhcIptounr

with上㌔n＿1amatrixin（γい−1）x（n−−1），Pin1aderstandtheabovelJallSformatiDnSeXplicitly．

（m−1〕−VeCt叫aIldp。maSC乱血・Webave

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CT刑（ヱ）勒〃川G［Ⅳ」（ヱ）一5一

Let】島n11（pm一概＿1㍍⊥1巧．炉1）＝克m＋乱＞
0，and瑞−1＝【α，．1αm2・・

Thc evnluation function for the GA is selected

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Jq ＝†花玩†f〕1，恥・−−，ロⅣq），（叫2爪「rlαご＝向山 d塙・‥〔‰＿1αmm】，〔57）鴨 ＝ ∑丁．声硫＝恥＋1月2Ⅳ−1−1，（65）長＝1；1・】1（1apositiverealnumb巳r乱＞Cl．TlleIi

戒，t＋軋P亡mJq → m叫＋f監＿1監】＿瑞m1・（58〕（G6）WhereDiarethcleadingprlnCIPalminorsofIIlaLrix

げ㌔7ト11So，We Can build a symrTleLricJnatrixアユmwith

鮎くく2〃−1β〃川■BytlleOI〕erationsofcrossov叫JF㌔，1J＝α孟。十．B，L＞O h・01TlaSyエ工Imetricmatrix

mlltati（）rl，eliteselectionetc．，WeSearChcvolutiDエl一島，．lWitllLIL．L＿1l＞0，an〔1araIldDmlygcncr− 礼rily for a proper gcne which maps a jt（（N，N））
ated、一雨orαご＝［α花1αn2 …

WithallpositiveelgenV乱1ucsandaKc（1，2N−1）tOa

qwい1化花m】

asw巳11asascalarP，t＞0．Tha．t・meanSWeCanbuild

QG（〈2N−1，2N−−1））withallpositiveeigenval11eS・

Theproce血1reisasfollows‥

ユ＝ユrmエnetricrnatrjxwiLh壬）OSit，ivedefinitcleadiIlg
Prin亡1palminoTS，E；ELy，Stric叫r positive symmetric

ProcedurenlatrixP津omarandomlygelleratedvectこOr〔‡吉二
steplGenerate凸＝c亡r乱王1domly；［rlll〔旭 丘22・・

αr‖島1砧W亡11asm叩eCIJOrβ＝

怖 β2・ 且盲］whicheTLt・riesarepositivcr巳al

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rl11111bers，i．e．

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山：0才→P．

〔59）

山： 凸♪→巧コ（叶叫卜Sp亡Cほc山1y，如‥ ・托泄．」Ⅲ→J七〈1，ユⅣ−1）；
山‥α戸→托（（町V））（60）

SteP4ComputeHG（1，コN−1）frorI⊥てⅤ此αβ∈況〃月￥1

Step5CoIIIPute（ヨG（（2N−1．ユN−1））；

2Ⅳ埠∑，1；打長step6ELmluat王on，andjudgemcntofstopornot；

鳥＝2

mz＋1坑Ⅳ−〔mヱ＋1〕・

Ⅰりq＞0，t上巳打cH．ヱ〃一りiswllatWeWanttJl〕〔61）

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A150WeCaneaSilydivideafrecvcctor（Ⅷ∈滑鮎XII

syst．巳mS（17）glDbal1yasymptotical1lrStable；

2」Ⅴ1

几「∬Tl吉X∑Tlェ仇StepT GAopcra−tioIl；

た＝l

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6．NUMERICALEXAMPLE

勘姉川一り・

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（63）

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月30＝［呂二喜］・0］z＝月正ぷ〔叫 Select仇＞叫＝1〜9）声叫・Ve亡tOr・β誠

lt ＝【0 ん】ヱ＝且z

β ＝［0■115】5 5D：川0ヱ ＝［月ol包＋月10軋］ヱ【1】＋［月DJ㌔伝＝㌔＋β11JてJ⑳上ヲ7▲

20001UUOO 4000叫〔83）」一月2。且：u⑳軋］g囲−ト［月。3月ユ⑳且。⑳且∬Fbr31−VeCtOrα戸and19−VCCtOrCrK7WeCOde亡粕＝iS＋β12旦。㊧且Ⅱ㊤且⊥＋月21且Ⅱ㊤且u⑫且u＋β胡乱⑳且⑳且」方l31

16兢x5O＝呂口0最tofnumber20．Sctclitenl］rnber〔71）2，mutation帖Lin800むiL ofnumber5aIld aij
range＝3■2767〜3・2767・Theev（】luLiuIIPl・OCeSSis

Numel・ically，shownirlFig■2・After generation21851We伽dごl一触1＋0．恕2＋0．12憲子−0．拙ニ1ご2
亡コT（72〕n■＋t島2＋2町12＋エ21上ユ十n▲2・山3∪■b n■
1︻・11上∪ロユー巾つLd＞山−0．1ご苦心十0．6叩21ル0萄軸

n■
5∪￠こじ亡コ山＋0．現＋祝＋口．1叫＋0．2ェ2u∩︸＋0．2ヱ≡一3訂雪十0．6芳子苫2−0，4叩茎∧U・一丁ニニミ
ご1−3．6￡ユー0．25エトロ．6叩2︻UロGen8‖＝kけn■＋0．昭一0．4ご苦−0．51訂≡昔2−0■21叩≡

50【I lOO□ 1500 2D（】0 2500 コロロO

Fig・2 Sear血pTOCeSSOfGA

一5Ⅱ≡＋址−0．1∬1址＋0加ユⅦ＋0．3ヰ〜ユー叩ユ・山＋由一祝

2

托・く叩州，打cくり〃［りLomake〔J亡く（川一l．2」V−1〉）
ー0，5町上2＋0血3（73）strictLypositive（1e長一lite■ At generation3500，WellaVe

2j七（く2鼎−3． 6

ト山0．075 −0．075 0．2−0．3 【0．3 0．30：言00ハリ

7O（76）︐﹈

0 nU

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l110・一〇40・3（77）

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5・0・30 〇一3一（79〕l l−7−

U，1579 （1．41日90．3894

口．G55日−0．5764

U

D．1681 U．28日300000．4443
0．2439nU ▲‖lJ nU

M一531‖U nリー一O

3 71 0β12 ＝ト ト ﹁■■■■■L

β11＝nU一 ﹇β10 ＝﹁﹂

一3 0．2n．2 −0．13 0，2−0．4 −0．17 0．17 −0．n7 −0，17

9．3556 0，g359 1．OB66 −0．0141
0．9359 0．3941 0．2692 0．6423
1．08G6 0．2692 2．9639 一口．4765−0．0141〔l．6423 一口．47G5
3．5746∩リ

0口

nU0．1579

U．4169 0．G55呂
札3894 −n．5764
3．4543 0．3085
U．30邑5 4．3473
0．225邑 n．0413
0〔〕

0．2日呂30．4443

Thi呂Papei・PrOVi（1ed＝Lgeneralm亡thod todcsign

口

00．225日

global1yasylllPtOtically呂LatJl叩01ynomialfccdback

00．04131．2491

CUntT口1fornDnlincarsystcms．Itisconvenie11L t．o

9．8990 一口．1904−0．1904 5．421G

1．24910．80320

7． CONCI」USIONO

U．16日1

SCarChgnlnmatrixbyageneraliEedCAalgoriLhm．

0．2205OThemethod・Ofcoursc∋Suits for bilillearSyStemS
FL＝L（1mult・ilinearsystcmscvcnforsystemswithra−
tioIl払Ifl＿1nC亡．ioms．

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