数理解析研究所講究録
第 1826 巻 2013 年 199-213

199

GL(2) の保型形式の正規周期
真吾 (大阪大学)

杉山

1. INTRODUCTION
を有限次代数体とし、 そのアデール環をとする。 このノートで$GL(2,\mathbb{A})$は、上の関数の正規周期の定義と、 カスプ形式とアイゼンシュ
タイン級数の正規周期の明示式について述べる。 保型形式の周期は積分で定義されるが、 その積分が収束しない場合にも周期を定義できる
ように周期を正規化することで相対跡公式への応用がある。 ここでは
都築 [9] によって導入された正規周期を扱う。
$F$$\mathbb{A}$

2. DEFINITION OF $TSUZUKI’ S$ REGULARIZED PERIODS
代数体 $F$ の素点全体を有限素点全体を無限素点全体をとする。 $G=GL(2)$ とし、 代数群の左下に環を書くことで有理点全体を表すことにする $(例えば G_{\mathbb{A}}=GL(2, \mathbb{A}),$ $G_{F}=GL(2_{-}.$ $F)$ など
正規周期を定義するために、 まず関数空間を導入する。
$\Sigma_{F}$$\Sigma_{\infty、}$、$\Sigma fin$$)$。

$C>0$ に対してを、 $D_{C}:=\{z\in \mathbb{C}||{\rm Re}(z)|<C\}$ 上の正則関
数 で次の条件を満たすもの全体とする:$\mathcal{B}(C)$$\beta$(1) $\beta(z)=\beta(-z)$(2) 不等式、$|\beta(\sigma+it)|\prec(1+|t|)^{-l}, \sigma\in[a, b]$が任意の $[a, b]\subset(-C, C)$ と任意の $l>0$ に対して成立する。
$\mathcal{B}$を、$\mathcal{B}(C)$上の整関数 で、 任意の $C>0$ に対してに属するもの全体とする。

次に$\mathbb{C}$$\beta$$\beta\in \mathcal{B},$$t>0,$$\lambda\in \mathbb{C}$$\beta$の $D_{C}$ への制限がに対して次のような積分を考える:.

$\hat{\beta}_{\lambda}(t) :=\frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\frac{\beta(z)}{z+\lambda}t^{z}dz, (\sigma>-{\rm Re}(\lambda))$

200
さらに関数

$\varphi$:$G_{F}\backslash G_{A}arrow \mathbb{C},$$\lambda\in \mathbb{C}$$\beta\in \mathcal{B},$と$\mathbb{A}^{\cross}/F^{x}$の Hecke 指標$\eta$

に対して、$P_{\beta,\lambda}^{\eta}( \varphi):=\int_{F^{\cross}\backslash A^{\cross}}\{\hat{\beta}_{\lambda}(|t|_{A})+\hat{\beta}_{\lambda}(|t|_{A}^{-1})\}$$\cross\varphi((\begin{array}{ll}t 00 1\end{array})(\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array}))\eta(t)\eta fin(x_{\eta,fi_{11}})d^{\cross}t$の “標準的 “ な Haar 測度、は から定まるアデールである。
ルムで、
ここで次の 3 つを仮定する。
とおく。 ただし$\bullet$#ま$\mathbb{A}^{\cross}$$|\cdot|_{A}$はイデールノ$\eta$$x_{\eta}$$\bullet$$d^{\cross}t$

任意の
ら積分
任意の

$\beta\in \mathcal{B}$に対しては収束する。

$C\in \mathbb{R}$が存在して、 もし ${\rm Re}(\lambda)>C$ な$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$に対して複素関数 $\{z\in \mathbb{C}|{\rm Re}(z)>C\}\ni\lambda\mapsto$
は $\lambda=0$ のまわりに有理型接続される。
の $\lambda=0$ でのローラン展開における定数項
が、 上の線形汎関数として を台とするデイラックデルタ超関数の定数倍になる。
$\beta\in \mathcal{B}$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$\bullet$$CT_{\lambda=0}P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$0$$\mathcal{B}$

この時、$CT_{\lambda=0}P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)=P_{reg}^{\eta}(\varphi)\beta(0), \forall\beta\in \mathcal{B}$

となる定数
という。

$P_{reg}^{\eta}(\varphi)$

を$\varphi$の$\eta$-正規周期 (the regularized -period of )$\eta$$\varphi$が急減少な場合に の -正規周期を計算してみる。 実はに対して収束して、は任意のが急減少のときは整関数であることが分かる。 $\sigma>0$ とすると、
ここで$\varphi$$\varphi$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$\varphi$$\eta$$\lambda\in \mathbb{C}$$\beta\in \mathcal{B}$、$\lambdaarrow P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$P_{\beta,0}^{\eta}( \varphi)=\int_{F^{x}\backslash A^{\cross}}\{\frac{1}{2\pi i}(\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}-\int_{-\sigma-i\infty}^{-\sigma+i\infty})\frac{\beta(z)}{z}|t|_{A}^{z}dz\}$$\cross\varphi((\begin{array}{ll}t 00 1\end{array})(\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array}))\eta(t)\eta fin(x_{\eta,fin})d^{\cross}t$となり、 留数定理により$\frac{1}{2\pi i}(\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}-\int_{-\sigma-i\infty}^{-\sigma+i\infty})\frac{\beta(z)}{z}|t|_{A}^{z}dz=\beta(0)$となることから、$P_{reg}^{\eta}( \varphi)=\int_{F^{\cross}\backslash A^{x}}\varphi((\begin{array}{ll}t 00 1\end{array}) (\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array}))\eta(t)\eta fin(x_{\eta,fin})d^{\cross}t$となる。 つまりここでいう正規周期とは、 この積分で定義される周期“を関数空間 を用いて 正規化” したものである。
$\mathcal{B}$201
3. MAIN RESULTS
この章では、 カスプ形式とアイゼンシュタイン級数の正規周期の明の標準的な極大コンパクト部分群を $K=$
示式を述べる。準備としてとおく。 また $v\in\Sigma fin$ の時、
とし、
に対して、
$G_{\mathbb{A}}$$n\in \mathbb{N}_{0}$$K_{\infty}:=\prod_{v\in\Sigma_{\infty}}K_{v}$$\prod_{v\in\Sigma_{F}}K_{v}$$K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n}) :=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in K_{v}c\equiv 0(mod \mathfrak{p}_{v}^{n})\}$

とおく。またおく。

$\mathfrak{o}_{F}$

のイデアル

に対して

$\mathfrak{a}$$K_{0}(\mathfrak{a})$$:=\Pi_{v\in\Sigma fin}K_{0}(\mathfrak{a}\mathfrak{o}_{v})$とをの既約カスプ保
まずカスプ形式の場合について述べる。
)-spherical(すなわち型表現であって、 中心指標が自明で$G_{A}$$(\pi, V_{\pi})$$V_{\pi}^{K_{\infty}}\neq 0$$K_{\infty}$

なものとする。表現空間砺はカスプ形式の空間の部分空間とする。

$\pi$のイデアル を任意に固定して、不変部分空の導手 で割り切れるに属するカスプ形式の正規周期について考える。
間の直交基底とすを、 “ うま ” 構成された
有限集合
を満たす
る (構成法は後で述べる)。 ここで を、次の条件の Hecke 指標とする:$f_{\pi}$$n$$\mathfrak{o}_{F}$$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$$\langle$$\{\varphi_{\pi,\rho}\}_{\rho}$$(\star)$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$$\eta$$(\star)\{\begin{array}{l}v\in\Sigma_{\infty}\Rightarrow\eta_{v}=||_{v^{v}}^{t} となる t_{v}\in i\mathbb{R} が存在する\grave{}\eta の導手 f_{\eta} は n と互いに素。\end{array}$

なお、単射$\underline{y}_{v}=y^{1/[F:\mathbb{Q}]}$$\mathbb{R}_{>0}\ni yarrow\underline{y}=(\underline{y}_{v})_{v\in\Sigma_{F}}\in$

で、 $v\in\Sigma fin$ ならに、 明示的に計算可能な$\rho$$\mathbb{R}_{>0}$に対して$Q_{\pi,\rho}(\eta)\in \mathbb{C}^{\cross}$(ただし$v\in\Sigma_{\infty}$

なら

の部分群と
への制限は自明であるとすによって$\underline{y}_{v}=1)$

みなし、 Hecke 指標を扱う時は常に、る。 この時、次の定理が成り立っ。

Theorem 1. 任意の添え字$\mathbb{A}\cross$$\mathbb{R}_{>0}$を$\mathbb{A}^{\cross}$は定義できる。 さらが存在して、$P_{reg}^{\eta}(\varphi_{\pi,\rho})$$P_{reg}^{\eta}(\varphi_{\pi,\rho})=Q_{\pi,\rho}(\eta)L(1/2, \pi\otimes\eta)$となる。 ここで$L(\mathcal{S}, \pi\otimes\eta)$は$\pi\otimes\eta$の標準保型

Remark 2. 任意の添え字 に対して$\rho$関数である。

$L$$Q_{\pi,\rho}(\eta)\neq 0$である。

のイデアルと次にアイゼンシュタイン級数について述べる。 をを満たすものを固定する。
の Hecke 指標 で、次の条件
し、$n$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$$\mathfrak{o}_{F}$$(\star\star)$$\chi$$(\star\star)\{\begin{array}{l}v\in\Sigma_{\infty}\Rightarrow\chi_{v}=||_{v^{v}}^{s} となる s_{v}\in i\mathbb{R} が存在する。\chi の導手 f_{\chi}^{2} は \mathfrak{n} を割り切る。\end{array}$

202にの Borel 部分群を $B$ とし、 任意の上三角行列全体からなるを放物的誘導表現と対して、で次を満たす関する。 すなわち、 滑らかで $K$ -有限な関数 :数全体とする:$\nu\in \mathbb{C}$$G$$I(\chi|\cdot|_{A}^{\nu/2})$$:=Ind_{B_{A}}^{G_{A}}(\chi|\cdot|_{A}^{\nu/2}\otimes\chi^{-1}|\cdot|_{A}^{-\nu/2})$$f$$f((\begin{array}{ll}a b0 d\end{array})g)=x(a/d)|a/d|_{A}^{(\nu+1)/2}f(g),$

有限集合
合で

$\nu\in i\mathbb{R}$$\{f_{\chi,\rho}^{(\nu)}\}_{\rho}$

ならを、 平坦切断から成る$I(\chi|\cdot|_{A}^{\nu/2})^{K}\infty^{K_{0}(\mathfrak{n})}$$G_{A}arrow \mathbb{C}$$\forall(\begin{array}{ll}a b0 d\end{array})\in B_{\mathbb{A}},\forall g\in G_{A}.$$I(\chi||_{A}^{\nu/2})^{K}\infty^{K_{0}(\mathfrak{n})}$の部分集の正規直交基底となるような、 “ うの” 構成されたものとする (構成法は後で述べる)。 ここでに-不変内積が入ることに注意
時に $K$ 上の積分によって

ま$v\in i\mathbb{R}$$\langle$$I(\chi||_{A}^{\nu/2})$

する。

任意の添え字$\rho$$G_{A}$

に対して、 f 紹から定まる Eisenstein 級数を$E_{\chi,\rho}( \nu, g)=\sum_{\gamma\in B_{F}\backslash G_{F}}f_{\chi,\rho}^{(\nu)}(\gamma g) , g\in G_{A}$とする。 この級数は ${\rm Re}(v)>1$ のときに収束して正則であるが f 紹が上の有理型関数には の関数として平坦切断であるので、との判別式を上で正則になる。 ここで有理型接続され、の -正の絶対ノルムを $N(f_{x})$ とする Eisenstein 級数
し、$E_{\chi,\rho}(\nu,g)$$\mathbb{C}$$v$$D_{F}$$\dot{F}/\mathbb{Q}$$i\mathbb{R}$$E_{\chi,\rho}(\nu, g)$$f_{\chi}$。

$\eta$

規周期は次のようになる。

Theorem 3.
もし$f_{\chi}=\mathfrak{o}_{F}$をなら$\eta$て $P_{reg}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))$の有理型関数

Hecke 指標で条件を満たすものとする。
を仮定する。 この時、任意の添え字 に対し上は定義できる。 さらに明示的に計算可能な$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$の$(\star)$$v\in i\mathbb{R}$$\rho$$\mathbb{C}\cross \mathbb{C}$$B_{\chi,\rho}^{\eta}(s, \nu)$があって、$P_{reg}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))=(2\pi)^{\#\Sigma_{C}}\mathcal{G}(\eta)D_{F}^{-\nu/2}N(f_{\chi})^{1/2-\nu}$$\cross B_{\chi,\rho}^{\eta}(1/2, v)\frac{L((1+\nu)/2,\chi\eta)L((1-\nu)/2,\chi^{-1}\eta)}{L(1+v,\chi^{2})}$となる。

が総実代数体で が square free の時、 Theorem 1 と
Remark 4.
Theorem 2 は都築 [9] によって与えられている。
$F$$\mathfrak{n}$4. NOTATION$v\in\Sigma_{F}$を凡の正規付値に対して凡の整数環とその極大イデアルをの位数とする。
。を固定しておく。また をに対し $F$ のとする。 また $v\in\Sigma fin$とし、 素元 v$\mathfrak{p}_{v}$$\varpi$$\in \mathfrak{o}$$v$による完備化を凡とし、$|\cdot|_{v}$$\mathfrak{o}_{v、}$$q_{v}$$\mathfrak{o}_{v}/\mathfrak{p}_{v}$203となる $v\in\Sigma fin$ 全体とす
を
に対して、
全
となる
を
に対して、
る。 また任意のとなる最大のは体とする。 この時、で表すこと非負整数 $m$ とする。 ) が成り立つ。 の絶対ノルムを
にする。

のイデアル

$\mathfrak{o}_{F}$$S(\mathfrak{a})$$\mathfrak{a}$$k\in \mathbb{N}$$\mathfrak{a}\mathfrak{o}_{v}\subset \mathfrak{p}_{v}$$v\in S(\mathfrak{a})$$\mathfrak{a}\mathfrak{o}_{V}=\mathfrak{p}_{v}^{k}$$S_{k}(\mathfrak{a})$$S(\mathfrak{a})=\square _{k=1}^{n}S_{k}(\mathfrak{a})(n$$S_{m}(\mathfrak{a})\neq\emptyset$$N(\mathfrak{a})$$\mathfrak{a}$の標準的な非自明な加法指標
砺を一つ取り、 $v\in\Sigma fin$に対してとする。 各に対して 。の導手をを砺に関$v\in\Sigma
fin$
の
また
に対して
の
する
self-dual な Haar 測度とするの Haar 測度を$=(1-q_{v}^{-1})^{-1}dx_{v}/|x_{v}|_{v}$ ととる
Haar 測度を$\psi=\otimes_{v\in\Sigma_{F}}$$\mathbb{A}/F$$v\in\Sigma_{F}$$\mathfrak{p}_{v}^{-d_{v}}$$\psi$$dx_{v}$$F_{v}^{\cross}$$F_{v}$。

$\mathbb{A}^{\cross}$$d^{\cross}x$。

。

$d^{\cross}x=\Pi_{v\in\Sigma_{F}}d^{\cross}x_{v}$の準指標。に付随する Gauss 和をとする時、$v\in\Sigma fin$る。またととっておく。

$\chi$$F_{v}^{\cross}$$\chi_{v}$に対し、$\mathfrak{p}_{v}^{f(\chi_{v})}$を$\chi_{v}$の導手とす$\mathcal{G}(\chi_{v}):=\int_{0_{v}^{\cross}}\chi_{v}(u\varpi_{v}^{-d_{v}-f(\chi_{v})})\psi_{F_{v}}(u\varpi_{v}^{-d_{v}-f(\chi_{v})})d^{\cross}u$とする。 任意のとし、$\prod_{v\in\Sigma fin}\chi_{v}$の準指標に付随する Gauss 和を$\chi=\prod_{v\in\Sigma_{F}}\chi_{v}$$A^{\cross}/F^{\cross}$$\chi$

に対して、 $\chi fin:=$$\mathcal{G}(x):=\prod_{v\in\Sigma fin}\mathcal{G}(\chi_{v})$とする。

5. THE SKETCH OF THE PRO OF OF THEOREM 1
まず、 Theorem 1 の証明の概略を述べる。 を既約カスプ保型表現
であるとする。 同型で中心指標が自明なものでの表。を、 各 $v\in\Sigma_{F}$ における許容表現の Whittaker model になるようにとってが 。に関する現空間おく。
と $\phi\in V\pi$。に対して局所ゼータ積分を
の準指標
$\pi$

$\pi\cong$$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}\neq 0$$\otimes_{v\in\Sigma_{F}}\pi_{v},$$V_{\pi}\cong\otimes_{v\in\Sigma_{F}}V_{\pi}$$\psi$$V_{\pi_{v}}$$F_{v}^{\cross}$$\pi_{v}$$\pi_{v}$$\eta_{v}$$Z(s, \eta_{v}, \phi)=\int_{F_{v}^{\cross}}\phi(\begin{array}{ll}t 00 1\end{array}) \eta_{v}(t)|t|_{v}^{s-1/2}d^{\cross}t, \mathcal{S}\in \mathbb{C}$で定めると、 この積分は ${\rm Re}(s)\gg 0$ で絶対収束して $Z(s, \eta_{v}, \phi)$ は の関が unitarizable
数として 上の有理型関数に有理型接続される。 今$s$$\mathbb{C}$であるので陽 v 上の$\pi_{v}$$G_{F_{v}}$-不変エルミート内積として、$\langle W_{1}|W_{2}\rangle=C_{v}\int_{F_{v}^{\cross}}W_{1}(\begin{array}{ll}t 00 1\end{array}) \overline{W_{2}(\begin{array}{ll}t 00 1\end{array})}d^{\cross}t,$$W_{1_{i}}W_{2}\in V_{\pi_{v}}$が取れることに注意しておく (cf. [2, Theorem 12])。ここで $C_{v}>0$ はとなるように取っておく。

$C_{v}=\langle\phi_{0,v}|\phi_{0,v}\rangle^{-1}$204の直交基底を構成するために、各素点ごとに直交基底を構成-spherical な無限次元 unitarizableの時、 はしていく。まず$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$$v\in\Sigma_{\infty}$$K_{v}$$\pi_{v}$加群で中心指標が自明なものである。ここで
既約許容の Lie 代数の複素化である。 この時次の命題が成り立つ。
$(\mathfrak{g}_{v},K_{v})$Proposition 5.
$\phi_{0,v}\in V_{\pi_{v}}^{K_{v}}$$V_{\pi_{v}}^{K_{v}}$があって$\mathfrak{g}_{v}$は$G_{F_{v}}$は一次元である。 唯一つの spherical ベクトル
, の時、
$t_{v}\in \mathbb{C}$$\eta_{v}=|\cdot|_{v^{v}}^{t},$$Z(s, \eta_{v}, \phi_{0,v})=L(s, \pi_{v}\otimes\eta_{v})$が成り立つ (cf. [3, Proposition 3.4.6], [10, Proposition (2.3.14)])。
の無限は中心指標が自明な
次に、 $v\in\Sigma fin$ の場合を考える。
はある
次元 unitarizable 既約許容表現である。 不変部分空間
とおくとに対して nonzero であり、$GL(2)$ の local new form の理論により、 次が成立する (cf. $[5, p3],$ $[6],$$G_{F_{v}}$$\pi_{v}$$v_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n})}$$c(\pi_{v})$[7, Theorem 11. $13$ ]Proposition 6.

$n$$:= \min\{n\in \mathbb{N}_{0}|V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n})}\neq 0\}$$)_{0}$

は$V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})})}$$1$次元である。 任意の$n\in \mathbb{N}_{0}$に対して、$V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})+n})}= \bigoplus_{k=0}^{n}\pi_{v}(\begin{array}{ll}\varpi_{v}^{-k} 00 1\end{array})V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})})}$

が成立する。 さらに唯一つの不分岐指標．v に対して、$\phi_{0,v}\in V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})})}$があって、任意の$F_{v}^{\cross}$の$Z(s, \eta_{v}, \phi_{0,v})=vo1(\mathfrak{o}_{v}^{\cross}, d^{\cross}t)\eta_{v}(\varpi_{v})^{-d_{v}}q_{v}^{d_{v}(s-1/2)}L(s, \pi_{v}\otimes\eta_{v})$が成り立つ。
また不変部分空間成できる。

$V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})+n})}$の直交基底は以下の命題のように構

Proposition 7.
任意のの$n\in \mathbb{N}$に対して、$V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi)+n})}v$の有限集合$\{\phi_{1,v}, \ldots,\phi_{n,v}\}$

で次(1) $(2)$ を満たすものが唯一つ存在する。
が存在して(1) 実数列$\{c_{\pi_{v}}(k,j)\}_{1\leq k\leq n,0\leq j\leq k-1}$$\phi_{k,v}=\pi_{v}(\begin{array}{ll}\varpi_{v}^{-k} 00 1\end{array}) \phi_{0,v}-\sum_{j=0}^{k-1}c_{\pi_{v}}(k,j)\phi_{j,v}, k\in\{1, \ldots, n\}$が成り立つ。

(2) 上で定めた陽。上の合$\{\phi_{0,v}, \ldots, \phi_{n,v}\}$$G_{F_{v}}$は-不変エルミート内積の直交基底。

$(\cdot$$|$. 。に対して、集$)$$V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n})}$ここで実数列ことで以下のように求まる。

$\{c_{\pi_{v}}(k,j)\}_{1\leq k\leq n,0\leq j\leq k-1}$

は 2 変数非線形漸化式を解く

205
Corollary 8.
$\bullet$$\bullet$$n\in \mathbb{N}$とする。

$c(\pi_{v})\geq 2$の時、 $c_{\pi_{v}}(n, k)=0(0\leq\forall k\leq n-1)$ となる。

$c(\pi_{v})=1$の時、

現$\pi_{v}$は不分岐な 2 次指標を 。から定まる特殊表と同型である。 この時、$\chi$$\sigma(\chi_{v}| |_{v}^{1/2}, \chi_{v}|\cdot|_{v}^{-1/2})$$(0\leq k\leq n-1)$$c_{\pi_{v}}(n, k)= \{\frac{1}{q_{v}^{n-k}\chi_{v}(\varpi_{v})^{n-k}}$となる。
$\bullet$$c(\pi_{v})=0$ の時、$\pi_{v}$の佐武パラメーターを$(\alpha, \alpha^{-1})$とする。 この時、$c_{\pi_{v}}(n, k)=\{\begin{array}{ll}\frac{q_{v}\sum_{j=0}^{n}\alpha^{2j}-\sum_{j=1}^{n-1}\alpha^{2j}}{\alpha^{n}q_{v}^{n/2}(1+q_{v})} (k=0)\frac{\sum_{j=0}^{n-k}\alpha^{2j}}{\alpha^{n-k}q_{v}^{(n-k)/2}} (1\leq k\leq n-1)\end{array}$となる。

5.1. Zeta integrals of cusp forms on $GL(2)$ . 以上の準備の下での直交基底を構成しよう。任意のに対して大域ゼータ積分を$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$の準指標$\eta$と$\varphi\in\ovalbox{\tt\small REJECT}$$Z(s, \eta, \varphi) :=\int_{F^{\cross}\backslash \mathbb{A}^{\cross}}\varphi(\begin{array}{ll}t 0O 1\end{array}) \eta(t)|t|_{\mathbb{A}}^{s-1/2}d^{\cross}t, s\in \mathbb{C}$は ので定義する。 この積分はに対して絶対収束し、整関数を定める。
のイデアル がの直交基底を以下のを割り切る時、ように構成する。
$Z(s, \eta, \varphi)$$s\in \mathbb{C}$$s$$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(n)}$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{o}_{F}$$v\in\Sigma fin$に対して

$f_{\pi}$とおく。 任意の $\rho=$に対して、 同型叫。のも$:=\dim V_{\pi_{v}}^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{c(\pi_{v})})}-1$$n_{v}$$(j_{v})_{v\in S(nf_{\pi}^{-1})}(j_{v}\in\{0, \ldots, n_{v}\})$$\cong\otimes_{v\in\Sigma_{F}}V\pi$とで、$\bigotimes_{v\in\Sigma_{\infty}}\phi_{0,v}\otimes \otimes \phi_{j_{v},v}\otimes \otimes \phi_{0,v}$$v\in S(\mathfrak{n}f_{\pi}^{-1}) v\in\Sigma fin-S(\mathfrak{n}f_{\pi}^{-1})$に対応するカスプ形式を
題が成り立つ。

$\varphi_{\pi,\rho}\in V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$

Proposition 9. 有限集合
こで

$V_{\pi}$には$L^{2}$$\{\varphi_{\pi,\rho}\}_{\rho}$はとする。 構成法から以下の命$V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$-内積を入れている。

ここで次の Lemma を用意しておく。

の直交基底である。

こ206
Lemma 10. 任意の指標$\eta_{v}$と $k\in\{0, \ldots, n\}$ とに対して、 多項式 $Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)\in C[X]$ を$v\in\Sigma fin$

$F_{v}^{\cross}$の任意の不分岐準$Q_{k,v}^{\pi_{v}}( \eta_{v}, X)=\eta_{v}(\varpi_{v})^{k}X^{k}-\sum_{j=0}^{k-1}c_{\pi_{v}}(k,j)Q_{j,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)$,$Q_{0,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)=1,$

で定めると$Z(s, \eta_{v}, \phi_{k,v})=Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, q_{v}^{1/2-s})Z(s, \eta_{v}, \phi_{0,v})$が成り立つ。
実際、 多項式は以下のように与えられる。

Corollary 11.
$\bullet$$c(\pi_{v})=0$の時、$\pi_{v}$の佐武パラメーターを$(\alpha, \alpha^{-1})$とすると、$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)$$=\{\begin{array}{l}1 (if k=0)\eta_{v}(\varpi_{v})X-\frac{\alpha+\alpha^{-1}}{q_{v}^{1/2}+q_{v}^{-1/2}} (if k=1)q_{v}^{-1}\eta_{v}(\varpi_{v})^{k-2}X^{k-2}(\alpha q_{v}^{1/2}\eta_{v}(\varpi_{v})X-1)(\alpha^{-1}q_{v}^{1/2}\eta_{v}(\varpi_{v})X-1)(if k\geq 2)\end{array}$となる。
$\bullet$

は特殊表現
の時、
は不分岐 2 次指標) に同型である。このとき、$c(\pi_{。})=1$$\sigma(\chi_{v}|\cdot|_{v}^{1/2}, \chi。 |\cdot|_{v}^{-1/2})$$\pi_{v}$(ただし$\chi$。

$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)=\{\begin{array}{ll}1 (if k=0)\eta_{v}(\varpi_{v})^{k-1}X^{k-1}(\eta_{v}(\varpi_{v})X-q_{v}^{-1}\chi_{v}(\varpi_{v})^{-1}) (if k\geq 1)\end{array}$となる。
$\bullet c(\pi_{v})\geq 2$の時、$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, X)=\eta_{v}(\varpi_{v})^{k}X^{k}, k\in \mathbb{N}_{0}$となる。
の Hecke 指標を満たすをとる。 この とに対し、 次のような修正された大域ゼータ積分を考える:

ここで、 条件$\varphi\in V_{\pi}^{K_{\infty}K_{0}(n)}$$(\star)$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$$\eta$$Z^{*}(s, \eta, \varphi)=\eta fin(x_{\eta,fin})Z(s, \eta, \pi(\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array})\varphi) , s\in \mathbb{C}.$$\eta$

207
ただし$x_{\eta}=(x_{\eta,v})_{v\in\Sigma_{F}}\in \mathbb{A}$#ま$x_{\eta,v}=\{\begin{array}{ll}0 (v\in\Sigma_{\infty})\varpi_{v}^{-f(\eta_{v})} (\tau, \in\Sigma fin)\end{array}$のはへの射影とする。
を満たすアデールで、を局所ゼータ積分の無限積に分解して次の命題は、
Lemma 10 を用いて計算することにより得られる。
$x_{\eta,fin}$$\mathbb{A}fin$$x_{\eta}$$Z^{*}(s, \eta, \varphi_{\pi,\rho})$

Proposition 12. 任意の添え字$\rho$に対して、$Z^{*}(s, \eta, \varphi_{\pi,\rho})=D_{F}^{s-1/2}\mathcal{G}(\eta)\{\prod_{v\inS(nf_{\pi}^{-1})}Q_{j_{v},v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, q_{v}^{1/2-s})\}L(s, \pi\otimes\eta)$.

始めに述べたように急減少関数の正規周期は次のように表せたことを思い出しておく。

Lemma 13. [9, Lemma 49]
もし$\varphi:G_{F}\backslash G_{\mathbb{A}}arrow \mathbb{C}$に対して絶対収束しては定義できては任意のは の整関数となる。 さらにが成り立つ。

が急減少ならば$\lambdaarrow P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(\varphi)$$(\beta, \lambda)\in \mathcal{B}\cross \mathbb{C}$$\lambda$$P_{reg}^{\eta}(\varphi)$$P_{reg}^{\eta}(\varphi)=_{-}-*(1/2, \eta, \varphi)$

Proof of Theorem 1. 添え字$\rho$

に対して、 カスプ形式が急減少関数であることから Proposition 12 により、
$P_{reg}^{\eta}(\varphi_{\pi,\rho}) = Z^{*}(1/2, \eta, \varphi)$$= \mathcal{G}(\eta)\{\prod_{v\in S(nf_{\pi}^{-})}Q_{j_{v},v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, 1)\}L(1/2, \pi\otimes\eta)1^{\cdot}$となり、 Theorem 1 が得られる。
$Q_{\pi,\rho}(\eta)$

口の $v$ -成分は以下のようになる。

Remark 14. Corollary 11 により、 以下が成り立つ。
$\bullet c(\pi_{v})=0$の時、$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, 1)$$=\{\begin{array}{ll}1 (if k=0)\eta_{v}(\varpi_{v})-\frac{\alpha+\alpha^{-1}}{q_{v}^{1/2}+q_{v}^{-1/2}} (if k=1)q_{v}^{-1}\eta_{v}(\varpi_{v})^{k-2}(\alpha q_{v}^{1/2}\eta_{v}(\varpi_{v})-1)(\alpha^{-1}q_{v}^{1/2}\eta_{v}(\varpi_{v})-1) (if k\geq 2)\end{array}$$\bullet c(\pi_{v})=1$の時、$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, 1)=\{\begin{array}{ll}1 (if k=0)\eta_{v}(\varpi_{v})^{k-1}(\eta_{v}(\varpi_{v})-q_{v}^{-1}\chi_{v}(\varpi_{v})^{-1}) (if k\geq 1)\end{array}$208$\bullet c(\pi_{v})\geq 2$の時、$k\in \mathbb{N}_{0}.$$Q_{k,v}^{\pi_{v}}(\eta_{v}, 1)=\eta_{v}(\varpi_{v})^{k},$6. THE SKETCH OF THE PROOF OF THEOREM 2
最後に Theorem 2 の証明の概略を述べる。 アイゼンシュタイン級数の Hecke 指標を固定し、を考えるために、$v\in \mathbb{C}$$\chi=\prod_{v\in\Sigma_{F}}\chi_{v}$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$のイデアル をとり、を考える。
に対して放物誘導表現の Haar 測度
を、 $vol(K_{v}, dk_{v})=1$ となるを仮定しておく。
となるようにとっておようにとり、 $K$ の Haar 測度を$I(\chi| |_{A}^{\nu/2})$$dk_{v}$$K_{v}$$(\star\star)$$\mathfrak{n}$$\mathfrak{o}_{F}$$dk= \prod_{v\in\Sigma_{F}}dk_{v}$

なら
く。 もし
. は以下で与えられる:$I(\chi| |_{A}^{\nu/2})$$\nu\in i\mathbb{R}$

$($

$|$

は unitarizable であり、

$G_{A}$

-不変内積

$)$

$(f_{1}|f_{2})= \int_{K}f_{1}(k)\overline{f_{2}(k)}dk, f_{1}, f_{2}\in I(\chi| |_{A}^{\nu/2})$

各

に対しても

$v\in\Sigma_{F}$$I(\chi_{v}| |_{v}^{\nu/2})$と、$v\in i\mathbb{R}$に対する.
$G_{v}$

不変内積

を上と同様に定める。
Ko(n) の正規直交基底を構成するために、 カスプ形式の場合と同様にして各素点ごとに調べていく。
の spherical ベクトノレ
をの時は、の単位元) となるようにとっておく。
(ただし は$v\in
S(f_{x})$の時を考える。 [6, Proposition 2.1.2] により分岐誘導
次に表現の local new form の明示式として次が得られる。
$(\cdot|\cdot)_{v、}I(\chi_{v}|\cdot|_{v}^{\nu/2})$$I(\chi| |_{A}^{\nu/2})^{K_{\infty}}$$I(\chi_{v}|\cdot|_{v}^{\nu/2})$$v\in\Sigma_{\infty}$$G_{F_{v}}$$e$Proposition 15. 不変部分空間$I(\chi_{v}| .

$f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}(e)=1$$f_{0,\chi}^{(\nu)_{。}}$|_{v}^{\nu/2})$

Ko$(\mathfrak{p}_{v}^{2f(\chi_{v})})$$I(\chi_{v}| .

|_{v}^{\nu/2})$

Ko$(\mathfrak{p}_{v}^{2f(\chi v)})$の基底として以下で与えられるは 1 次元である。
$f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}$

カミとれる。

$f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}(g)=\{\begin{array}{l}\chi_{v}(\varpi_{v}^{-f(\chi_{v})})q_{v}^{f(\chi_{v})\nu/2}\chi_{v}(a/d)|a/d|_{v}^{(\nu+1)/2}(if g\in[Matrix]\gamma_{f(\chi_{v})+1}K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{2f(\chi_{v})}), a,d\in F_{v}^{\cross})0 (if g\not\in B_{F}\gamma_{f(\chi_{v})+1}K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{2f(\chi_{v})}))\end{array}$

ここで$\gamma_{i}=\Vert_{01}^{1}\varpi_{v}^{i-1})01) (if(ifi=0)i\in \mathbb{N})$とおいた。
$n\in \mathbb{N}_{0}$とする時、 $k\in\{0, \ldots, n\}$ に対して、$\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}:=q_{v}^{-(k+f(\chi_{v}))\nu/2}T(\chi_{v})\pi_{v}(\begin{array}{ll}\varpi_{v}^{-k} 00 1\end{array})f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)},$

209
とおく

ただし $\tau\oint^{(\chi_{v})/2}$。

とする。 この時次が成り$\infty\underline{\backslash }Lっ_{}o$Proposition 16. 任意の $k\in\{0, . . . , n\}$ に対して、
限は$v\in \mathbb{C}$$\{0, \ldots, n\}\}$に依らない。 また、 もしは$I(\chi_{v}| |_{v}^{\nu/2})^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{2f(\chi_{v})+n})}$$v\in i\mathbb{R}$なら有限集合$I(\chi_{v}| |_{v}^{\nu/2})$となるようにとっておく。
$k\in\{1, \ldots, n\}$ に対して、$f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}$

をの $K_{v}$ への制$\{\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(v)}|k\in$の正規直交基底になる。

次に、 $v\in\Sigma fin-S(f_{\chi})$ の時を考える。
ル$\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}$$f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}(e)=1$のspherical ベクト$n\in \mathbb{N}_{0}$とする時、 各$f_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}:= \pi_{v}(\begin{array}{ll}\varpi_{v}^{-k} 00 1\end{array})f_{0,\chi_{v}}^{(v)}- \sum_{j=0}^{k-1}c_{\chi_{v}}^{(\nu)}(k, j)f_{j,\chi_{v}}^{(\nu)}$

とおく。 ここで数列とする。

$\{c_{\chi_{v}}^{(\nu)}(k,j)\}_{1\leq k\leq n,0\leq j\leq k-1}$

は以下で与えられるもの$c_{\chi_{v}}^{(v)}(k, j)=\{\begin{array}{ll}\frac{q_{v}\sum_{l=0}^{k}a^{2l}-\sum_{l=1}^{k-1}a^{2l}}{a^{k}q_{v}^{k/2}(1+q_{v})} (if j=0)\frac{\sum_{l=0}^{k-j}a^{2l}}{a^{k-j}q_{v}^{(k-j)/2}} (if 1\leq j\leq k-1)\end{array}$

ただし $a:=\chi_{v}(\varpi_{v})q_{v}^{-\nu/2}$ としている。

もし$\nu\in i\mathbb{R}$$\{0, \ldots, n\}\}$

はなら、 Proposition 7 と Corollary 8 により$I(\chi_{v}|\cdot|_{v}^{\nu/2})^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n})}$$\{f_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}|k\in$の直交基底であることに注意しておく。

さらに各 $k\in\{0, \ldots, n\}$ に対して、$\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}:=\{\begin{array}{ll}f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)} (if k=0)(1+q_{v}^{-1})q_{v}^{-\nu/2}L(1+v, \chi_{v}^{2})f_{1,\chi_{v}}^{(\nu)} (if k=1)(\frac{q_{v}+1}{q_{v}-1})^{1/2}q_{v}^{-k\nu/2}L(1+v, \chi_{v}^{2})f_{k,\chi_{v}}^{(\nu)} (if 2\leq k\leq n)\end{array}$

とおく。 このように$\nu$に依存する定数を$f_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}$にかけることによって次の命題が成り立つ。

Proposition 17. 任意の $k\in\{0, . . . , n\}$ に対しては$v\in \mathbb{C}$に依らない。 また、 もし$I(\chi_{v}| |_{v}^{v/2})^{K_{0}(\mathfrak{p}_{v}^{n})}$$v\in i\mathbb{R}$の正規直交基底になる。

なら$\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}$の $K_{v}$ への制限$\{\tilde{f}_{k,\chi_{v}}^{(1J)}|k\in\{0, \ldots, n\}\}$

は

210
6.1. Regularized periods of Eisenstein series. 不変部分空間$|_{A}^{\nu/2}))^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$を考える。カスプ形式の場合と同様に、添え字に対して、 同型$I(\chi|\cdot|_{A}^{\nu/2})\cong\otimes_{v\in\Sigma_{F}}I(\chi_{v}| |_{v}^{v/2})$$I(\chi|\cdot$$\rho=(j_{V})_{v\in S(\mathfrak{n}f_{\chi}^{-2})}$のもとで、$\bigotimes_{v\in\Sigma_{\infty}}f_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}\otimes \otimes \tilde{f}_{j_{v},\chi_{v}}^{(\nu)} \otimes \tilde{f}_{0,\chi_{v}}^{(\nu)}$$v\in S(\mathfrak{n}f_{x}^{-2}) v\in\Sigma fin-S(\mathfrak{n}f_{x}^{-2})$Koに対応するものを
Proposition 17 により、 次が成り立つ。
$f_{\chi,\rho}^{(\nu)}\in I(\chi| |_{A}^{\nu/2})^{K_{\infty}}$

Proposition 18. 任意の添え字$(\mathfrak{n})$とする。 Proposition 16 との $K$ への制限はにに対してなら有限集合依らない、すなわち平坦切断である。 また、 もし$f_{\chi,\rho}^{(\nu)}$$v$$\rho$$\nu\in i\mathbb{R}$1$f_{\chi,\rho}^{(\nu)}\}_{\rho}$

は$I(\chi| |_{A}^{\nu/2})^{K_{\infty}K_{0}(\mathfrak{n})}$の正規直交基底である。

につい添え字 を固定し、 f 紹から定まる Eisenstein 級数て考察する。
$k\in\{1, \ldots, n\}$ に対して、を以下のように定義する:$E_{\chi,\rho}(v, g)$$\rho$$U_{k}(\rho)$、$R_{k}(\rho)$、$R_{0}(\rho)$$U_{k}(\rho);=\{v\in S(\mathfrak{n}f_{\chi}^{-2})|j_{v}=k\}-S(f_{\chi})$$R_{k}(\rho):=\{v\in S(\mathfrak{n}f_{\chi}^{-2})|j_{v}=k\}\cap S(f_{\chi})$$R_{0}(\rho);=(\{v\in s(\mathfrak{n}f_{\chi}^{-2})|j_{v}=0\})\cap S(f_{x}))\cup(S(f_{x})-S(\mathfrak{n}f_{\chi}^{-2}))$.

また $k\geq 0$ に対して、$S_{k}(\rho):=\{\begin{array}{ll}R_{0}(\rho) (if k=0)U_{k}(\rho)\cup R_{k}(\rho) (if k\geq 1) ’\end{array}$$R( \rho):=\bigcup_{k=0}^{n}R_{k}(\rho),$$S( \rho):=\bigcup_{k=0}^{n}S_{k}(\rho)$

とおく。

の Hecke 指標とする。アイゼンシュタインを満たすを引いたものの大域ゼータ積からその定数項級数に対分を明示的に計算するために、任意の $v\in\Sigma fin-S(f_{\eta})$ とを以下のように定める (cf. Corollary 11):して多項式$\eta$

を$(\star)$$\mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$$E_{\chi,\rho}(v,g)$$E_{\chi,\rho}^{O}(\nu,g)$$k\in \mathbb{N}_{0}$$Q_{k,\chi}^{(\nu)}$$(\eta_{v}, X)$。

211$v\in\Sigma fin-S(f_{x})$$\bullet$に対して、$Q_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}(\eta_{v}, X)$$(if k=1)$$;=\{\begin{array}{l}1 (if k=0)q_{v}^{-1}\eta_{v}(\varpi_{v})^{k-2k2}\eta_{v}(\varpi_{v})X-\frac{\chi_{v}(\varpi_{v})q_{v}^{-\nu/2}+\chi_{v}(\varpi_{v})^{-1}q_{v}^{v/2}}{-\nu)/2X^{-}\eta_{v}(\varpi_{v})X-1)(\chi_{v}(\varpi_{v})^{-}q_{v}^{1/2}+q_{v}^{-1/2}}f\cross(\chi_{v}(\varpi_{v})q_{v}^{(1_{1}}q_{v}^{(1+v)/2}\eta_{v}(\varpi_{v})X-1)\end{array}$$(if k\geq 2)$$\bullet$に対して、$v\in s(f_{\chi})$$Q_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}(\eta_{v}, X):=\eta_{v}(\varpi_{v})^{k}X$ん

Proposition 19.
$E_{\chi,\rho}^{\natural}(v, g)$$:=E_{\chi,\rho}(v, g)-E_{\chi,\rho}^{O}(v, g)$

とおく。

$E_{\chi,\rho}^{\natural}(v, -)$は左$B_{F}$-不変

であり、$Z^{*}(\mathcal{S}, \eta, E_{\chi,\rho}^{\natural}(v, -))=(2\pi)^{\#\Sigma_{\mathbb{C}}}\mathcal{G}(\eta)D_{F}^{-\nu/2}N(f_{\chi})^{1/2-\nu}$$\cross B_{\chi,\rho}^{\eta}(s, \nu)\frac{L(s+v/2,\chi\eta)L(s-v/2,\chi^{-1}\eta)}{L(1+v,\chi^{2})},$

が成り立つ。 ここで、
$B_{\chi,\rho}^{\eta}(s, v)$$=D_{F}^{s-1/2} \{\prod_{k=0}^{n}\prod_{v\in S_{k}(\rho)}Q_{k,\chi_{v}}^{(\nu)}(\eta_{v}, q_{v}^{1/2-s})L(1+v, \chi_{v}^{2})\}$$\cross\prod_{v\in U_{1}(\rho)}(1+q_{v}^{-1})q_{v}^{-\nu/2}\prod_{k=2}^{n}\prod_{v\in U_{k}(\rho)}(\frac{q_{v}+1}{q_{v}-1})^{1/2}q_{v}^{-k\nu/2}$$\cross\{\prod_{k=0v}^{n}\prod_{\in R_{k}(\rho)}q_{v}^{d_{v}/2-k\nu/2}(1-q_{v}^{-1})^{1/2}\overline{\mathcal{G}(\chi_{v})}\}\prod_{v\in\Sigma fin-R(\rho)}\chi_{v}(\varpi_{v})^{d_{v}}$とした。

以上の準備の下で、表される。

$E_{\chi,\rho}(v, -)$の$\eta$-正規周期は以下のように明示的にTheorem 20.
$s(f_{\chi})=\emptyset$

$1$

なら

となる任意の$\nu\in i\mathbb{R}$を仮定する。 この時はに対して絶対収束する。 もし$(\beta, \lambda)\in \mathcal{B}\cross \mathbb{C}$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(v, -))$${\rm Re}(\lambda)>$$s(f_{\chi})\neq\emptyset$

212
なら
さらに

$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))$

は任意の$P_{reg}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(v, -))$$(\beta, \lambda)\in \mathcal{B}\cross \mathbb{C}$に対して絶対収束する。

は定義できて、$P_{reg}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(v, -))=(2\pi)^{\#\Sigma_{\mathbb{C}}}\mathcal{G}(\eta)D_{F}^{-\nu/2}N(f_{x})^{1/2-\nu}$$\cross B_{\chi,\rho}^{\eta}(1/2, v)\frac{L((1+v)/2,\chi\eta)L((1-\nu)/2,\chi^{-1}\eta)}{L(1+v,\chi^{2})}.$

Proof. 簡単にするための場合のみ示す。 $v\in S(f_{\chi})$ に対するに対して
local new form の明示式により、 任意の$s(f_{\chi})\neq\emptyset$$t\in \mathbb{A}^{\cross}/F^{\cross}$$E_{\chi,\rho}^{o}(\nu, (\begin{array}{ll}t 00 1\end{array})(\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array}))=0$

が任意のとなることが分かる。 よって$:=Z^{*}(z+1/2, \eta, E_{\chi,\rho}^{\natural}(v, -))$
に対して成り立つ。 ここでは の関の時はとおけば Proposition 19 により、数として整関数である。 以上の考察により、 積分の順序交換をすれば、$(\beta, \lambda)\in$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}^{o}(v, -))=0$$\mathcal{B}\cross \mathbb{C}$$f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, v)$$s(f_{x})\neq\emptyset$$z$$f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, \nu)$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(v, -))=P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}^{\natural}(\nu, -))$$= \int_{F^{\cross}\backslash A^{\cross}}\{\hat{\beta}_{\lambda}(|t|_{A})+\hat{\beta}_{\lambda}(|t|_{A}^{-1})\}E_{\chi,\rho}^{\natural}(\nu, (\begin{array}{ll}t 00 1\end{array}) (\begin{array}{ll}1 x_{\eta}0 1\end{array}))$$\cross\eta(t)\eta fin(x_{\eta,fin})d^{\cross}t$$= \frac{1}{2\pi i}\int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty}\{f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, \nu)+f_{\chi,\rho}^{\eta}(-z, v)\}\frac{\beta(z)}{\lambda+z}dz$となる。 ただしに対してである。 これにより任意のが収束することと$\sigma>-{\rm Re}(\lambda)$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))$$(\beta, \lambda)\in \mathcal{B}\cross \mathbb{C}$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))$は$\lambda$の関数として整関数であることは示された。さらに留数定理により、$CT_{\lambda=0}P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}(\nu, -))=\frac{1}{2\pi i}l_{-i\infty}^{\sigma+i\infty}\{f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, v)+f_{\chi,\rho}^{\eta}(-z, \nu)\}\frac{\beta(z)}{z}dz$$= \frac{1}{2\pi i}(l_{-i\infty}^{\sigma+i\infty}-\int_{-\sigma-i\infty}^{-\sigma+i\infty})f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, \nu)\frac{\beta(z)}{z}dz$$={\rm Res}_{z=0} \{f_{\chi,\rho}^{\eta}(z, v)\frac{\beta(z)}{z}\}$$=f_{\chi,\rho}^{\eta}(0, v)\beta(0)$$=Z^{*}(1/2, \eta, E_{\chi,\rho}^{\natural}(v, -))\beta(0)$となるから、 Proposition 19 により -正規周期の明示式も得られた。
$s(f_{x})=\emptyset$ の時はzero でないので長い議論が必要で$\eta$$P_{\beta,\lambda}^{\eta}(E_{\chi,\rho}^{o}(\nu, -))\delta\grave{\grave{:}}$ある (cf. [8])。

口213
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$L$$GL(n, \mathbb{R})$$L$

DEPARTMENT OF MATHEMATICS, GRADUATE SCHOOL OF SCIENCE, OSAKAUNIVERSITY, TOYONAKA, OSAKA 560-0043, JAPAN-mail address: s-sugiyama@cr.math.sci. osaka-u. ac. jp$E$