『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

2023 年緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

齋

藤

弘

樹

1．はじめに本稿では，標準的な集合的選択問題，すなわち，ある社会の構成員の選好に基づいて，その社会が直面している選択肢の中から 1 つの選択肢を選出する状況を考える。例えば，ある市の市長を複数の候補者の中から選出する状況や，会議においてある議題の採否を決定する状況，さらには，ある家族が旅行の行き先を決めようとする状況なども挙げられる。そのような状況において，その社会の構成員の選好を集計して選択肢を 1 つ選出する手続きを社会選択ルール（以降では，単に「ルール」）と呼ぶことにする1。現実の多くの場面で用いられている多数決は，代表的なルールの 1 つである。多数決にこだわ
ることなく，何らかの望ましさの基準に基づくもっともらしいルールを追求することは，本問題の主要なテーマの 1 つである。
本稿では，主要な望ましさの基準として，個人間と選択肢間の両方の平等待遇を取り挙げる。すなわ
ち，社会の構成員をできる限り等しく取り扱い，同時に，直面する選択肢もできる限り等しく取り扱う
ようなルールを是として追求する2。さて，そのような平等待遇条件の中で最も代表的な条件は匿名性と中立性である。匿名性は個人間の平等待遇条件であり，社会の構成員の名前を任意に入れ替えても選
出される選択肢は変わらない（すなわち，社会的な意思決定が構成員の名前に依存しない）ことを要求する。一方，中立性は選択肢間の平等待遇条件であり，社会的な選択肢の名前を任意に入れ替えても，選出される選択肢は本質的に同一である（すなわち，社会的な意思決定が選択肢の名前に依存しない）
ことを要求する。
匿名性と中立性は，平等待遇基準の観点から極めて自然な条件であるが，深刻な問題を内包している
1

このような手続きは，しばしば社会選択関数と呼ばれるが，本稿では簡単にルールと呼ぶ。

2

本稿のように，いわゆる投票環境と同じ構造の問題では，平等待遇の重視は正当化されるだろう。
65

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

ことが知られている。すなわち，これらの条件は，社会的な選択肢を 1 つ選出するような多くの場面において両立しないのである3。この事実により，あらゆる場面で個人を平等に取り扱い，選択肢も平等に取り扱うような「理想的な」ルールの追求はもはや諦めなければならない。先行研究では，この問題に対する妥協案として，匿名性や中立性を緩和することで個人間と選択肢間の平等待遇の衝突を回避し，部分的な平等待遇の両立を試みてきた。Campbell and Kelly（2011）は選択肢が 2 つのケースを扱い，中立性をそのまま残し，匿名性を緩和することで，個人間と選択肢間の平等待遇のある程度の両立を図り，それらの条件と多数決ルールとの関係を分析した。
Jeong and Ju（2017）
も同様に選択肢の数が 2 つのケー
スを扱い，匿名性をそのまま残して中立性を緩和して，多数決ルールの特徴付けを行った。本稿では，選択肢の数が 3 つ以上の一般的な設定での分析の足掛かりとして，主に 3 つの選択肢のケースを扱い，Campbell and Kelly（2011）および Jeong and Ju（2017）で用いられた匿名性と中立性の緩和条件をそれぞれ本設定に合わせて再定義し，これらの条件と共にいくつかの補助条件を満たすルールを分析する。
主要な結果として，構成員の人数が特定の条件を満たすとき，そのようなルールは相対多数ルール4 のクラスに属するが，その条件を満たさないときは，一部の選好組において相対多数と異なる選択肢を選出するルールとなる場合もあることが示される。これは先行研究と対照的な結果であり，3 つ以上の選択肢
におけるルールの複雑さを示している。
2 節では基本的な設定および公理を与える。3 節では相対多数ルールを定義し，公理との関係を述べる。4 節では選択肢の数が 3 つのケースの主要な結果を与える。5 節では得られた結果について議論する。6 節では証明を与える。

2．定義
2-1．設定設定は，齋藤（2022）および Saitoh（2022）と選択肢の数を除いて同一であり，表記もほぼ共有される。
｛ 1, …, n（｝n ≥ 3）を，ある社会の構成員の集合とする。有限集合 X（|  X  |≡m ≥ 3）を，その社会で集合 N＝直面する選択肢の集合とする。各 i∈N は，どの 2 つの選択肢も無差別にならない（強）選好 Pi を持つ。
形式的には，Pi は X 上で定義された比較可能性5・推移性・非対称性を満たす二項関係である。𝒫 をすべ

N（Pi）ての選好の集合とする。各構成員の選好組 P＝i∈N ∈𝒫 をプロファイルと呼ぶ。ルール f は，写像 f :𝒫N→X である。
2-2．公理はじめに，平等待遇基準に関わる公理を与える。匿名性は個人間の標準的な平等待遇条件であり，中
3

これは，選択肢を 1 つ選出する手続きを採用する場合に限って生じる問題であり，選択肢を複数選出することを許容する手続き（社会選択対応）を用いると両立することに注意する。詳細は，齋藤（2022）を参照。

4
5

相対多数ルールは，2 変数で定義された多数決ルールを 3 変数以上に自然に拡張したルールである。
任意の互いに異なる x, y∈X に対して、xPi y または xPi x が成り立つ。
66

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

立性は選択肢間の標準的な平等待遇条件である。以降で与えられる緩和条件との区別のために，必要に応じてこれらをそれぞれ通常の匿名性・通常の中立性と呼ぶ場合もある。
N）（通常の）匿名性：任意の P＝（Pi）i∈N ∈𝒫N，任意の P′＝（Pi′i∈N ∈𝒫 に対して，もし「任意のj ∈ N に対して，Pj＝Pπ′
f P）＝（f P′）。
（  j）」を満たす置換 π : N → N が存在するならば，（（Pi）i∈N ∈𝒫N，任意の P′＝（Pi′）i∈N ∈ 𝒫N に対して，もし「任意の（通常の）中立性：任意の P＝j ∈N および任意の x, y ∈X に対して，xPj y⟺σ（x）P j′
σ（ y）」を満たす全単射 σ : X→X が存在するならf P））＝（
f P′）。
ば，σ（（匿名性は，構成員の個人名を任意に入れ替えても選出される結果が同一であることを意味し，中立性は，
選択肢名を任意に入れ替えても選出される結果が本質的に同一であることを意味する。前述のように，これらの条件は，常に選択肢を 1 つのみ選ぶ状況では必ずしも両立せず，特定の条件を満たす選択肢の数

m と構成員の数 n の組（m, n）のもとでのみ両立する。Moulin（1983）は，匿名性と中立性が両立するための（m, n）の必要十分条件を与えている。
この一般的な非両立性を出発点として，本稿では両条件をそれぞれ緩和させた 2 つの条件（弱匿名性・
弱中立性）を考える。弱匿名性（Campbell and Kelly（2011）に基づく6）は，個人間の平等待遇条件であり，匿名性の緩和条件の 1 つである。弱中立性（Jeong and Ju（2017）に基づく）は，選択肢間の平等待遇条件であり，中立性の緩和条件の 1 つとみなされる。先行研究で与えられたオリジナルの両条
件は，2 つの選択肢の間でそれらを好む人数が異なる（すなわち，「同点」にならない）プロファイルのもとでのみ，匿名性あるいは中立性と同等の条件を課したものと解釈できる。本稿で扱う弱匿名性・
弱中立性は，この解釈を維持したまま 3 つ以上の選択肢に適用できるように再定義したものである。こ
れらの条件を描写するために，いくつかの表記を与える。

t Pi）（
まず，i ∈ N と Pi ∈ 𝒫 が与えられたとき，∈X を，t Pi）｝に対して （t Pi）Pi x
任意の x∈X \｛（t Pi）は i が Pi のもとで最も好む選択肢を表す。以降では，（t Pi）
を満たす選択肢とする。すなわち，（をしばしば「（Pi における）1 位の選択肢」と表現する。次に，x ∈ X と P＝（Pi）i∈N ∈𝒫N が与えられ（x, P）をたとき，集合 NN（x, P）＝｛ i ∈ N : （t Pi）＝x ｝（x, P）は P のもとで x を最も好む個人の集合を表す。このとき，| N（x, P）|はPと定義する。すなわち，Nのもとで x を最も好む個人の人数を表しているが，これを単記投票の環境に当てはめると，「P のもとで xが獲得する票数」と同一視できる。以降では，表記や公理の理解のために，票数に基づいた説明を多用する。
6

弱匿名性は，Campbell and Kelly（2011）において部分的匿名性（Partial Anonymity）と呼ばれていた条件をもとにしているが，本稿では後述の弱中立性に合わせて，弱匿名性と呼称する。
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『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

次に，P ∈ 𝒫N と ℓ∈
｛ 0, 1, …, n ｝が与えられたとき，集合 X（
ℓ P）を

X（
＝｛ x ∈ X : | N（x, P）|＝ℓ ｝ℓ P）

Nと定義する。すなわち，X（ℓ P）は P のもとで ℓ 票獲得する選択肢を表す。最後に，P ∈ 𝒫 が与えらℓ P）∈｛ 1, …, n ｝を，れたとき，（Xℓ（P（ℓ P）≥ ℓ≠Ø，かつ，X（≠Ø となる任意の ℓ ∈｛ 1, …, n ｝に対して （
ℓ P）
） P）

を満たす数とする。Xℓ（P（は最も多くの票を獲得する選択肢（すなわち，相対多数の選択肢）の集合） P）ℓ P）はそのときの得票数を表す。どのような P でも （ℓ P）が存在することは明らかである。
と解釈され，（
以上の準備をもとに，匿名性・中立性の緩和条件である弱匿名性・弱中立性は以下のように描写される。
N|＝1 となる任意の P＝（Pi）i∈N ∈ 𝒫N および任意の P′＝（P′
弱匿名性：| Xℓ（P（i）
i∈N ∈ 𝒫 に対して，） P）

f P）＝（f P′）。
もし「任意の j ∈N に対して，Pj＝Pπ′（  j）」を満たす置換 π : N→N が存在するならば，（NN|＝1 となる任意の P＝
（Pi）
（Pi′
）
弱中立性：| X ℓ（P（i∈N ∈ 𝒫 および任意の P′＝i∈N ∈ 𝒫 に対して，もし
） P）

P j′
σ（y）
（x）
」を満たす全単射 σ : X→X が存在す
「任意の j ∈ N および任意の x, y ∈ X に対して，xP j y ⇔ σ

f P）
f P′）
（（
）
。
るならば，σ＝（弱匿名性は，相対多数の選択肢が 1 つのプロファイルに限って，通常の匿名性と同様に名前を入れ替えても結果が不変であることを要求する。弱中立性は，相対多数の選択肢が 1 つのプロファイルに限って，通常の中立性と同様に結果の本質的な不変性を要求する。言い換えると，どちらの条件も相対多数の選択肢が複数存在するような状況では結果の同一性を一切要求していない。すなわち，そのような状
況では非対称的な取り扱いがなされる個人・選択肢が存在し得る。通常の匿名性・通常の中立性がそれ
ぞれ弱匿名性・弱中立性を含意するのは明らかであり，その意味で，弱匿名性・弱中立性は，通常の匿名性・通常の中立性よりも平等待遇の性質を弱めた条件である7。
次に，平等待遇基準とは別の観点からの条件を 2 つ提示する。1 つ目は，Tops-Only と呼ばれる条件である。
）i∈N ∈ 𝒫N に 対 し て， も し「任 意 のTops-Only： 任 意 の P＝（Pi）i∈N ∈ 𝒫N お よ び 任 意 の P′＝（Pi′j ∈ N に対して （t Pj）＝（t P j′
f P）＝（f P′）。
）」ならば，（

Tops-Only は，任意の 2 つのプロファイルを比較するとき，すべての個人の 1 位の選択肢が同一であれば同一の結果を出力するという条件である。すなわち，各個人の 1 位の選択肢のみを考慮して社会的な意思決定が行われる。この条件のもとで，選好の 2 位以下の選択肢は選出される結果に一切影響されないため，ルールが単純化される。ルールの複雑さに伴うコストを回避する際には有効となり得る条件7

齋藤（2022）では，これらの条件よりもさらに弱めた条件を提示している。
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緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

である。現実の単記投票による意思決定の手続きは，すべて Tops-Only を満たしている。さらに，選択肢が 2 つのケースにおける任意のルールは，Tops-Only の性質を必ず満たしていることに注意する。
2 つ目の条件は，単調性と呼ばれる条件である。この条件の描写のため，1 つの表記を定義する：

i ∈N，Pi ∈ 𝒫，x ∈ X が与えられたとき，選好 P�（Pi；x）∈ 𝒫 を，t P�（Pi；x））＝x，かつ，任意の y，z ∈ X  \｛ x ｝に対して yP�（Pi；x）z ⇔ yPi z（を満たす選好とする。すなわち，P�（Pi；x）は，Pi において x を 1 位に変換し，その他の相対順位はすべ｛ w, x, y, z ｝て不変とした変換であり，「x を最も好きになる」という選好の変化を表現する。例えば X＝として，選好 Pi における選択肢の好みの順位が wxyz（左に位置する選択肢ほど好ましい）となっているt Pi）＝x のとき，P�（Pi；x）＝Pi である。次に，表（Pi；y）のもとでは ywxz となる。定義より，（
とき，P�
N
（Pi）
, Pi）
記の簡単化のため，P＝∈𝒫 が与えられたとき，プロファイル（Pj′（i∈N ∈ 𝒫 ，j∈N，Pj′i≠j）, P－j）と書くことにする。このとき，単調性は以下のように描写される。
を（Pj′f P）＝（f P�（Pj；（f P））,P－j）。
（Pi）i∈N ∈ 𝒫N および任意の j ∈N に対して，（
単調性：任意の P＝f P）を誰かが最も好むようになるような「選好の変化」が生じ単調性は，P のときに選出される選択肢 （f P）が選好の変化後のプロファイル（P�（Pj；（f P））,P－j）においても選出され続ける（すなわち，る場合，（
f P�（Pj；（f P））, P－j）f P））という条件である。P から（P�（Pj；（f P）），P－j）への変化においては，選（＝（f P）の好みの順位が j 以外誰も変化せず，j のみ順位を 1 位に上昇させている。このように，あるプ
択肢 （ロファイルで選出される選択肢に対するネガティブな変化が一切なく，ポジティブな変化のみが生じるときに，その選択肢が選出され続けることは，民意を反映した意思決定がなされているとみなすこともできる。
単調性は，社会的な意思決定の手続きとして自然な要請の 1 つと言えよう。
本稿では以上の条件を満たすルールを考察する。次節では，多数決ルールの一般化である相対多数ルールを導入する。

3．相対多数ルール
ルール f は，

f P）∈ Xℓ（P（任意の P ∈ 𝒫N に対して （） P）

を満たすとき「相対多数ルール（Plurality Rule）」と呼ばれる。X ℓ（P（） P）は最も多くの票を獲得する選択肢の集合と解釈されることに注意すると，相対多数ルールは，どのようなプロファイルに対してもそのプロファイルにおける相対多数の選択肢を選ぶルールであり，現実でもっともよく用いられている手続きの 1 つ|  ≥ 2 のときは，相対多数の選択肢が複数存在するため，何らかのタイブレーク
である。ただし，| X ℓ（P（） P）
法によってそこから 1 つの選択肢のみ選出していることに注意する8。選択肢の数 m と構成員の人数 n が与えられたとき，タイブレークの方法に応じた複数の相対多数ルールが存在し，相対多数ルールのクラスが構（m, n）で（m, n）における相対多数ルールのクラスを表す。
成される。PR69

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

相対多数ルールの定義から明らかに，以下の事実が成り立つ（証明略）。
（m, n）に対して，f は弱匿名性・弱中立性・単調性を満
事実 1：任意の（m, n）および任意の f  ∈ PRたす。
したがって，どのような（m, n）でも，すべての相対多数ルールは個人間と選択肢間の平等待遇を部分的に両立し，選好のポジティブな変化に反応する。他方，ある（m, n）において，弱匿名性・弱中立
性・単調性を同時に満たすルールは必ずしも相対多数ルールではないことに注意する。以下で，弱匿名（3, 5）の例を与える。
性・弱中立性・単調性を満たす f ∉PR
例 1：m＝3，n＝5 として x ∈ X を与えておく。任意の P ∈ 𝒫N に対して，⎧
x P） if|Xℓ（P（
|＝1
｜（
） P）
（
f P）＝⎨｜ xotherwise⎩x P）｝≡Xℓ（P（とする。ただし，｛（である。すなわち，相対多数の選択肢が 1 つのプロファイルでは） P）
その選択肢を選出し，それ以外のプロファイルでは x を固定的に選出するルールである。これは，相対多数ルールと，常に固定された選択肢を選出する「固定選択肢ルール」の混合とみなすことができる。
（3, 5）である。このルールが弱匿名性・弱中立性・単調性を満たすことを確認しよう。
明らかに，f ∉PR
弱匿名性：このルールは個人名に依存しないので明らかに通常の匿名性を満たし，したがって弱匿名性も満たす。

f P）＝（x P）。P から全単射 σ : X→X によって選択肢名|＝1 となる P をとると，（
弱中立性：| Xℓ（P（） P）
x P′）＝σ（（x P））である。よっ|＝1 かつ （を入れ替えたプロファイルを P′ とすると，明らかに | Xℓ（P′（） P′）
f P′）＝（
x P′）＝σ（（x P））＝σ（ （f P））となり，弱中立性を満たす9。
て（|＝1 となる P については明らかである。n＝5 より，残りのケースは | Xℓ（P（|
単調性：まず，| Xℓ（P（
） P）
） P）

ℓ P）＝2 であることに注意する。定義より （f P）＝x となる。
＝2 となる P のみである。このとき，（x ∈ X（t Pj）≠x となる j ∈ N をとると，プロファと x ∉ X（の場合に分けて示す。x∈X（
のとき，
（
2 P）
2 P）
2 P）
f P′）＝（
x P′）＝x。他方，x ∉ X（（P�（Pj ; x）
，P－j）のもとで X（
イル P′≡＝｛ x ｝となるので，定義より （
3 P′）
2 P）

8

通常，相対多数ルールとは社会選択対応の範疇で定義され，相対多数の選択肢が 2 つ以上あれば，それらを「すべて」選出する手続きのことを指す。それゆえ，本稿で提示された相対多数ルールは，正確には「タイブレークを伴う相対多数ルール」と呼ぶべきであるが，表現の簡略化のため，相対多数ルールという語でタイブレークを伴う相対多数ルールを表すこととする。

9

このルールは，| X（（P）|＝2 となる P で x が「特別扱い」されているため，通常の中立性を満たさない。
ℓ P）
70

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

t Pj）≠x となる j ∈ N をとると，プロファのとき，n＝5 かつ | X（|＝2 より｛x｝を意味する。（
＝X（
2 P）
1 P）
f P″ ）＝x。以上から単調性（P�（Pj；x）, P－j）のもとで | Xℓ（p″（|＝2 となるため，定義より （イル P″≡） P″ ）が示された。
例 1 のルールは，弱匿名性のみならず通常の匿名性をも満たしていたことに注意する。さらに，
Tops-Only を満たすことも明らかである。したがって，一般的には，ルールに通常の匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を課しても相対多数ルールには至らないことに注意する。この事実は，選択肢の数
を 1 つ増やすことによる先行研究との明確な差異となる。次の例は，弱匿名性・通常の中立性・TopsOnly・単調性のもとでも，必ずしも相対多数ルールとは一致しないことを示す。
例 2：m＝3，n＝5 として i＊∈N を与えておく。任意の P＝（Pi）i∈N ∈ 𝒫N に対して，⎧
x P） if|Xℓ（P（
|＝1
｜ （
） P）
（
f P）＝⎨｜（⎩ t Pi *） otherwisex P）｝≡Xℓ（P（とする。ただし，｛ （である。このルールは，相対多数の選択肢が 1 つのプロファイル） P）
ではその選択肢を選出し，それ以外のプロファイルでは常に i ＊の 1 位の選択肢を選出するルールである。これは，相対多数ルールと，いわゆる「（i ＊が独裁者の）独裁ルール」の混合とみなすことができる。
（3, 5）である。このルールは弱匿名性・通常の中立性・Tops-Only・単調性を満たす
明らかに，f  ∉ PR
ことが例 1 とほぼ同様に確認できる（証明略）。
前述のように，通常の匿名性と通常の中立性は Moulin の両立条件を満たす（m, n）のときのみ両立するが，実は m＝3，n＝5 はその両立条件を満たしている10。したがって，（3, 5）において，通常の匿名性・通常の中立性に加えて Tops-Only・単調性を満たすルールは相対多数ルールのクラスに属すると考えることができるかもしれない。しかし，この考えは否定され，（3, 5）において通常の匿名性・通常の中立性・Tops-Only・単調性をすべて満たすルール自体がそもそも存在しない。より一般に，m ≥ 3のとき，仮に Moulin の両立条件を満たす n であっても，匿名性と中立性のもとで Tops-Only と単調性を同時に満たすルールは存在しないことが証明されている。すなわち，下記の事実が成り立つ11。
事実 2［Saitoh（2022, Corollary 2）］：匿名性と中立性が両立する（m, n）（ただし，m ≥ 3）のもとで，匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を同時に満たすルールは存在しない。


10

両立条件の詳細は，例えば Moulin（1983）あるいは齋藤（2022）などを参照。

11事
 実 2 とは対照的に，意思決定の手続きとして社会選択対応を採用する場合では，相対多数の選択肢を「すべて」
選出する手続き（いわゆる，「通常の意味での」相対多数ルール（脚注 8 参照））が匿名性・中立性・Tops-Only・
単調性を同時に満たす。Kelly and Qi（2016）は，社会選択対応を採用して，単調性を弱めて特徴付けを行っている。
71

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

証明は Saitoh（2022）を参照。この事実により，Tops-Only と単調性を採用する場合は，どのようなn であっても例外なく匿名性と中立性の少なくとも一方を緩和する必要がある。次節では，m＝3 において，緩和された両条件および Tops-Only・単調性を満たすルールを分析する。

4．m＝3 のケースの分析
例 1 と例 2 のルールで相対多数ルールと異なる選出がなされるのは，いずれも相対多数の選択肢が 2|＝2 となる P）のときのみであったことに注意する。
つ存在するプロファイル（すなわち，| Xℓ（P（） P）
さらに，n＝5 から，そのようなプロファイルでは，相対多数の選択肢は 2 票ずつ獲得しているので，残りの選択肢は 1 票（すなわち，「最多得票数から 1 票少ない票数」）を獲得している。一般的に，このような票数の構造を持つプロファイルは，ある k ∈ ℕ\｛ 1 ｝によって n＝3k－1 と表現されるとき存在（k－1）と分解できるので，2 つの選択肢が k 票獲得し，残りの選択する12。実際，n＝3k－1＝k＋k＋

肢が 1 票少ない k－1 票獲得するというプロファイルがとれる。そのようなプロファイルを「k-k-k－1

プロファイル」と呼ぶことにする。以降では，k-k-k－1 プロファイルが存在する限り，例 1 や例 2 のよ
うな非相対多数のルールを排除することはできないことが示される。次に，n がある k ∈ ℕ\｛ 1 ｝によって n＝3k－1 と表現される場合とされない場合に分けて結果を与える。

4-1．任意の k ∈ ℕ\｛ 1 ｝に対して n ≠ 3k－1 となるとき

どのような k ∈ ℕ\｛ 1 ｝に対しても n≠3k－1 となるときは，上述の相対多数を妨げる k-k-k－1 プロ

ファイルが存在しなくなり，弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性のもとで，例 1 や例 2 のようなルールが排除される。すなわち，下記の定理が成立する。

定理 1：任意の k ∈ ℕ\｛ 1 ｝に対して n≠3k－1 とする。ルール f が弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・（3, n）である。
単調性を満たすならば，f ∈PR

証明は 6 節で与えられる。したがって，n＝3, 4, 6, 7, 9, …のときは，緩和条件を強めることなく相対多数ルールを導き出すことができる。
注意 1：以下で示すように，定理 1 の 4 条件のうち 1 つでも欠けると相対多数ルールは導かれない。
・弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・¬ 単調性：タイブレークを伴う相対少数ルール（1 票以上獲得する選択肢の中で最も票が少ない選択肢を，タイブレークを伴い選出するルール）
・弱匿名性・弱中立性・¬Tops-Only・単調性：タイブレークを伴うボルダルール（ボルダスコアが最も高い選択肢を，タイブレークを伴い選出するルール）
12ℕ は自然数の集合である。

72

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

・弱匿名性・¬ 弱中立性・Tops-Only・単調性：固定選択肢ルール（常に同じ選択肢を選出するルール）・ ¬ 弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性：独裁ルール（常に特定の個人の 1 位の選択肢を選出す
るルール）
\ 1｝
に対して n＝ 3k－1 となるとき
4-2．ある k ∈ ℕ｛

ある k ∈ ℕ\｛ 1 ｝に対して n＝3k－1 となるときは k-k-k－1 プロファイルが存在し，例 1 や例 2 のよ

うに弱匿名性と弱中立性の一方を強めても非相対多数による選出ルールが排除されない。しかし，非相対多数によるルールのクラスはそれほど広くなく，通常の匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすルールがもし相対多数ルールでないならば，そのルールは本質的には例 1 のタイプのルールのクラスに属することが示される。また，k＝2 のときは，弱匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を満たすルールがもし相対多数ルールでないならば，そのルールは例 2 のルールを特殊ケースとして含むあるルールのクラスに属することが示される。これらの結果を述べるために，次に例 1 と例 2 のルールをそれぞれ一般化して，「固定選択肢ルールとの混合ルール」と，「独裁ルールとの混合ルール」と呼ばれる 2 つのタイプのルールを導入する。
4-2-1．固定選択肢ルールとの混合ルール\ 1｝に対して n＝3k－1 となる n について一般化する：x ∈ X が与まず例 1 のルールを，ある k ∈ ℕ｛

えられたとき，ルール f が任意の P ∈ 𝒫N に対して，⎧（
f P）＝x
if|X（
|＝2，
｜
k P）
⎨
｜（
） P） otherwise⎩ f P）∈ Xℓ（P（を満たすとする。k＝2（すなわち，n＝5）のとき，このルールは例 1 のルールと本質的に等しい。
|＝2 は | Xk－（|＝1 を含意することに注意すると，このルールは，k-k-k－1 プロファイルに限
| X（
1 P）
k P）
り，相対多数によらず事前に定められた選択肢を固定的に選出して，その他のプロファイルでは相対多数の選択肢を選出するルールである。このルールを，「固定選択肢ルールとの混合ルール」と呼ぶことにする。固定的に選出される選択肢や相対多数が選出される際のタイブレークの方法に応じて複数の混（3, 3k－1）における，固定選択肢ルー
合ルールが存在し，混合ルールのクラスが構成される。（m, n）＝（3, 3k－1; X）と書く。
ルとの混合ルールのクラスを，Mix
4-2-2．独裁ルールとの混合ルール
次に，k＝2 として，例 2 のルールを一般化したルールを導入する13。まず，2-2-1 プロファイル（k-k-k－1|＝2 ｝である。このとき，i ＊∈ N および下記
プロファイル）の集合を 𝒫221 とおくと，𝒫221＝｛ P′ ∈ 𝒫N: | X（
2 P′）
（i ＊）
の条件（C1），（C2）を満たす 𝒫N⊆𝒫221 を与えておき，任意の P ∈ 𝒫N に対して，
13

例 2 のルールは k＞2 のケースにも拡張できるが，主要な結果では取り扱わないため k＝2 に限定する。
73

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号⎧f P）＝（t Pi ） if P ∈ 𝒫𝒫N（i ＊）｜ （⎨｜（） P） otherwise⎩ f P）∈ Xℓ（P（＊を満たすとする。ここで，𝒫N（i＊）は，

t P j′t Pi *）を満たす任意の P j′（i＊）
，任意の j ∈ N，および，（）（C1）任意の P ∈ 𝒫N＝（
∈ 𝒫 に対して，も, P－j）∈ 𝒫221 ならば，
（P j′
, P－j）し（P j′∈ 𝒫N（i ＊）t P j′t Pi *）を満たす任意の P j′（i ＊），任意の j ∈ N，および，（）（C2）任意の P ∈ 𝒫221\ 𝒫N＝（∈ 𝒫 に対して，, P－j）（P j′, P－j）∉ 𝒫N（i ＊）もし（P j′∈ 𝒫221 ならば，（i ＊）に属する 1 つの 2-2-1 プロファイルから，誰かが i ＊の 1 位のを満たす集合である。条件（C1）は，𝒫N

選択肢を最も好むように選好を変化14 させたとき，選好変化後のプロファイルもまた 2-2-1 プロファイルであ（i ＊）に属することを表している。条件（C2）は，集合 𝒫221\𝒫N（i ＊）についても，2-2-1 プロファ
る場合は 𝒫N（i ＊）イルの（C1）と同様の変換に関して「閉じている」ことを表す。この定義を満たすような i *∈ N および 𝒫N（3, 5）における，そのようなが存在するとき，そのルールを「独裁ルールとの混合ルール」と呼ぶ。
（m, n）＝（3, 5; N）と書くことにする。
混合ルールのクラスを Mix（i ＊）に属する 2-2-1 プロファイルのときに i ＊が決定権を持ち，相対多数によらずこのルールは，𝒫N

i ＊の 1 位の選択肢を選出する。一方，その他のプロファイルでは，相対多数の選択肢を選出するルール（3, n；X）のクラスとは異なり，特定の 2-2-1 プロファイルについては i ＊の 1 位の選択肢である15。Mix
が選ばれず，相対多数に従うこともあり得る。条件（C1），（C2）により，この混合ルールは矛盾なく定（i ＊）義される。𝒫N＝𝒫221 のとき，このルールは例 2 のルールと一致する。以下は，𝒫N（i ＊）≠𝒫221 とな（i ＊）の例である。
る 𝒫N
例 3：i ＊＝1 として，

t P1）｝＝X（t P2）＝（
t P3）≠（t P4）＝（
t P5）］
𝒫N（1）≡{P∈𝒫N:（i）［｛（1 P）and （t P1）,P）|＝2 and（∀h∈｛4, 5｝）（t Ph）≠（
t P2）＝（
t P3）］
［|N
（（
∨（ii）

t P1）,P）|＝2 and（∀h∈｛2, 3｝）（t Ph）≠（t P4）＝（
t P5）］｝［|N（（∨（iii）（1）が条件（C1），（C2）を満たすことを確認しよう。
とする。𝒫Nt Pj′t P1）を満たす Pj′（1）をとり，j ∈ N に対して （）＝（（C1）：P∈𝒫N∈ 𝒫 をとり，P′≡（Pj′, P－j ）とおく。まず，P が（i）の性質を満たすとする。このとき，j＝1 の場合は明らか。もし j≠1 ならば，P′∈ 𝒫221 となり，さらに（ii）または（iii）の性質を満たすので P′∈𝒫N（1）。次に，P が（ii）または（iii）
t P1）,P）の場合は明らか。もし j ∉ N（（t P1）,P）ならば，（t P1）∈ X（（（の性質を満たすとする。j ∈ N
3 P′）（1）が条件（C1）を満たすことが確認できた。
から P′ ∉ 𝒫221 となるため前提を満たさない。以上から 𝒫N


14

15

 の選好変化は，
こ
単調性の定義で与えた P�
（· ; ·）に基づく変換である必要はなく，2 位以下の相対順位が入れ替わっていてもよい。

𝒫 N（i ＊）に属するプロファイル P であっても，（となることもあり得る。この場合，定義上は i*t Pi ＊）∈ X（
2 P）
t Pi ＊）が選出されるものの，この選択肢は結果的に相対多数となっている。
の決定権に基づいて （74

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

t Pj′
t P1）
（C2）
：P ∈ 𝒫221\ 𝒫N（1）とする。j∈N に対して（）
を満たす P j′，P－j）＝（∈ 𝒫 をとり，P′≡（Pj′

とおく。2 つの場合に分ける。

t P1）
t P2）
t P4）
t P3）
t P5）
t P2）
t P5）
t P3）
t P4）
｝
のとき］
：このとき，（
か，（のケース 1［
｛（
＝X（
＝（
≠（
＝（
＝（
≠（
＝（
1 P）
t P1）
（1）
。もし j≠1 ならば | N（（, P′）|＝2 となり，
いずれか一方が成り立つ。j＝1 の場合は明らかに P′ ∉ 𝒫N

t Ph）
t P2）
t P4）
t Ph）
t P3）
t P5）
｛ 3, 5 ｝に対して（，（b）h ∈｛ 2, 4 ｝に対して（，（c）h ∈｛ 3, 4 ｝に（a）h ∈
≠（
＝（
≠（
＝（
t Ph）
t P2）
t P5）
t Ph）
t P3）＝（
t P4）のいずれか 1 つが成り立つ。し，（d）h ∈｛ 2, 5 ｝
に対して（
対して（
≠（
＝（
≠（

（d）
いずれも（i）（iii）のどの条件も満たされず P′ ∉ 𝒫N
（1）
。
かし，
（a）
－
－

t P1）∈X2（P）のとき］：このとき，（A）
t P2）＝（
t P4），（B）
t P3）＝（
t P5），（C）
t P2）＝（
t P5），（（（
ケース 2［（t P3）＝（
t P4）のいずれか 1 つが成り立つ。P′ が 2-2-1 プロファイルとなるのは j ∈ N（（t P1）, P）（（D）
t P1）,P′）|＝2 かつ（A）－（D）のいずれか 1 つが成り立つ。
のときに限られるので，P′ のもとでは | N（（
どの場合でも（i）－（iii）と異なるので P′ ∉ 𝒫N（1）。

（1）のもとでは個人 1 が決定権をよって，𝒫N（1）は条件（C2）を満たす。𝒫N（1）≠𝒫221 より，𝒫N持たない 2-2-1 プロファイルも存在する。このルールが弱匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を満たすことは例 2 のルールとほぼ同様に確認できる。
4-2-3．結果
以下の定理は，n＝3k－1 のケースの主要な結果である。
｛1｝に対して n＝3k－1 とする。
定理 2：ある k ∈ ℕ\

（3, 3k－1）（a）
ルール f が匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすならば，f ∈ PR
∪Mix（3, 3k－1; X）

である。

（b）k＝2（すなわち，n＝5）のとき，ルール f が弱匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を満たすな（3, 5）
らば，f ∈ PR∪Mix（3, 5; N）である。
証明は 6 節で与えられる。n＝3k－1 と表現されるとき，通常の匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすルールは相対多数ルールか，固定選択肢ルールとの混合ルールとなる。また，n＝5 のとき，
弱匿名性・通常の中立性・Tops-Only・単調性を満たすルールは相対多数ルールか，独裁ルールとの混合ルールとなる。（b）における k＞2 のときの分析は今後の課題として残す。

5．おわりに本稿では，匿名性と中立性の 1 つの緩和条件を与え，Tops-Only と単調性を満たすルールを考察した。
選択肢が 2 つのケースを分析した先行研究と対照的に，選択肢が 3 つのとき，弱匿名性・弱中立性・75

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

Tops-Only・単調性のもとでは，構成員の人数が特定の条件を満たすときのみ相対多数ルールが導かれ，その条件を満たさないときは，相対多数ルールとは異なるルールとなり得ることが示された。主要な結果
として，混合ルールという新たなルールのクラスを導入し，緩和条件の一方を強めた場合は，相対多数ルー
ルのクラスか混合ルールのクラスに属することが示された。本節では，得られた結果についていくつか注意を述べる。
まず，本研究では主に選択肢が 3 つのケースを扱ったが，選択肢が 4 つ以上になると k-k-k－1 プロ
ファイルと同等の問題がさらに多くのプロファイルで生じる。例えば m＝5 のときは，n＝3k－1 に加えて，n＝4k－1 あるいは n＝5k－1 のときも「相対多数でない選択肢が，最多得票数より 1 票少ない
プロファイル」が存在し，相対多数による選出を妨げることが確認される。4 つ以上のケースの分析は今後の課題として残す。
次に，混合ルールについて，このルールは確かに相対多数ルールとは異なるが，相対多数ルールから深刻に乖離したルールとは必ずしも言えない。実際，n＝3k－1 において，2 つの選択肢が k 票獲得し，残りが k－1 票獲得する状況（すなわち，k-k-k－1 プロファイル）は，3 つの選択肢が最も拮抗している状態であり，すべてがほぼ同票数とみなすこともできる。混合ルールは，k-k-k－1 プロファイルを「3つの選択肢が実質的に同順位」とみなし，何らかのタイブレーク法で選出するルールととらえることができる。その意味で，混合ルールは「ほぼ」相対多数ルールであると解釈することもできる16。
最後に，本研究との関連研究として，Saitoh（2022）を挙げる。そこでは，得票数における匿名性・得票数における中立性と呼ばれる，弱匿名性や弱中立性とは別のタイプの緩和条件を提示している。主
要な結果として，ETCD 条件と呼ばれる，得票数における匿名性および得票数における中立性を両方含意する条件を与えて相対多数ルールのクラスの特徴付けを行っている。ETCD 条件は，プロファイ
ルから導出される投票分布の形状に基づき，選出のある種の対称性を課す条件であり，匿名性・中立性のような個人名や選択肢名の名前の入れ替えによる選出の不変性については何も要求していない。他方，
弱匿名性や弱中立性は，相対多数の選択肢が 2 つ以上となるプロファイルにおいて何も選出の対称性を課していないことから，これらの条件は独立である。本稿で扱った弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・
単調性を前提として，n＝3k－1 のときでも相対多数ルールのみを導くような，ETCD 条件とは別の観点からの自然な条件の特定は，今後の課題である。

6．証明
6-1．準備
本節では，定理 1 と 2 の証明で用いられるいくつかの結果を与える。まず，以降の証明で用いられる
N
（Pi）
, Pj′
表記を導入する。P＝∈𝒫 が与えられたとき，プロファイル（Pj′,′i∈N ∈ 𝒫 ，j, j′∈N，および Pj′

Pj′
（
, Pi）
を
（Pj′, Pj′
, P－{  j, j ′ }）と書く。また，与えられた P∈𝒫N に対して，もし | Xℓ（P（|＝1 ならば，′′
i≠j, j ′）
） P）



16

この解釈は，k が大きいほど 1 票の差が相対的に小さくなるため，より意味を持つ。
76

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルールx P）で Xℓ（P（x P）｝（の要素を表す（すなわち，｛（）
。
＝Xℓ（P（
） P）
） P）
|＝1 と
補題 1：m ≥ 3, n ≥ 3 とする。ルール f が弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすとき，| Xℓ（P（） P）

f P）∈∪ℓ≥1  X（。
なる任意の P∈𝒫N に対して，（ℓ P）

f P）≡x∈X（|＝1 かつ （となる P＝（Pi）i∈N ∈ 𝒫N が存在したとすると，
補題 1 の証明：| Xℓ（P（
0 P）
） P）

|≤ m－1 である。 y ∈ arg
1≤ |∪ℓ≥1X（
ℓ P）

min

|N（z，P）| を任意にとり，P′＝（Pi′）i∈N ∈ 𝒫N を，z∈∪ℓ≥1 X（ℓ P）⎧（Pj；x）
｜ P̃

P'j＝⎨
｜
⎩

if j ∈ N（ y，P）
otherwise

Pj

f Pj′
（y, P）
を任意にとると，単調性から （, P－j ）\   j  ｝を任意にととする。j ∈ N＝x。さらに j′ ∈ N（y, P）｛
f Pj′
f Pj′, P－j ）＝x。
，再び単調性から （, Pj′, P－{  j, j ′ }）ると（ただし，そのような j ′ が存在する場合）＝（′
f P′）＝x を得る。いま，全単射 σ（x）＝y, σ（y）＝x（
σ（z）＝z によっ, ∀z≠x, y）
この操作を続けることで，（
Pj″σ（z″）」となるように P″ を構成する。
（z′）て，「任意の i ∈ N，任意の z′, z″∈ X に対して，z′Pj′z″ ⟺ σf P″）＝σ（ （f P′））＝y である。ここで，任意の j ∈ N（）|＝1 となるので，弱中立性より （明らかに | Xℓ（P″） P″t Pj）＝（t Pj″）であることに注意すると，Tops-Only から x＝（
f P）＝（f P″）＝y となり矛盾。▪
に対して（補題 2：m ≥ 3, n ≥ 3 とする。ルール f が弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすとき，

f P）＝（x P）。
|＝1 となる任意の P ∈ 𝒫N に対して，（| Xℓ（P（） P）

f P）≡x≠（x P）となる P ∈ 𝒫N が存在したとする。補題 1 と x≠（x P）|＝1 かつ （補題 2 の証明：| Xℓ（P（） P）ℓ P）に対して x ∈ X（x P）, P）を，| N ′|＝（ℓ P）－ℓ となるようにとなる。N′ ⊂ N（（より，ある 1 ≤ ℓ ＜ （
ℓ P）
N
（Pi′）
任意にとる17。P′＝i∈N ∈ 𝒫 を，⎧
（Pj；x）｜ P̃

if j ∈ N'｜⎩

otherwise

P'j＝⎨

Pj

f P′）＝x となる。このとき，P′ の定義より，と定義すると，補題 1 で用いた手法と全く同様に，単調性から （Xℓ（P（x P）∈ X（ℓ P′）＝（ℓ P）であることに注意する。いま，置換 π : N→N を，，かつ，（＝{ x }, （′） P′）ℓ P′）x P）,P）\ N ′ に対して，π（i）∈ N（x, P），（（（a）任意の i ∈ Nx P）,P）\ N ′，（x, P）に対して，π（i）∈ N（（（b）任意の i ∈ Nx P）,P）\  N ′]∪N（x, P）に対して，π（i）＝i（（（c）任意の i ∉ [Nx P）, P）\N′|＝|N（x, P）|＝ℓ より，そのような π は構成可能である。P′ から πとなるように作る。| N（（17x P）,P）|＝（ℓ P）＞ ℓ より，そのような N′ は必ずとれる。
|N
（（
77

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号f P″）＝
によって個人名を入れ替えたプロファイルを P″とすると，| Xℓ（P″（|＝1 より弱匿名性から （
） P″）
f P′
（
）＝x。次に，P″から全単射
σ x）
x P）
σ（
x P）
x P）
σ z）
（
,（
）
, ∀z≠x, （
）
（
＝（
＝x（
＝z
によって選択肢名を入れ替えたプロファイルを P′′′ とすると，| Xℓ（P′′′（|＝1 より弱中立性から） P′′′）

f P′′′）＝σ（（f P″））＝（
x P）。ここで，P′′′ の定義より，任意の j ∈ N に対して （t Pj）＝（t Pj′′′）であること（
f P）＝（f P′′′）。しかし，これは x＝（x P）を意味するので矛盾。▪
に注意すると，Tops-Only から （補題 3：m＝3 とする。ルール f が弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすとする。このとき，

f P）∈∪ℓ≥1 X（。
任意の P ∈ 𝒫N に対して，（ℓ P）

f P）≡x ∈ X（となる P ∈ 𝒫N が存在したとする。m＝3 と補題 1 より，|  Xℓ（P（|＝2
補題 3 の証明：（
0 P）
） P）

ℓ P）＝n ≥ 3 となるので，（ℓ P）≥ 2 を得る。Xℓ（P（でなければならない。Xℓ（P（＝∪ℓ≥1 X（ℓ P）より 2 （
） P）
） P）
f P′）＝x。
≡｛ y, z ｝とおく。j ∈ N（y, P）を任意にとり，P′≡（P�（Pj ; x）, P－j）を定義すると，単調性から （ℓ P′）＝（ℓ P）≥ 2 かつ x ∈ X（
（すなわち，x ∉ Xℓ（P（）かつ |  Xℓ（P（|＝1 とここで，P′ のもとで （1 P′）′） P′）′） P′）
なるので，補題 2 に反する。▪
6-2．定理 1 の証明
本節では，4 節で与えられた下記の定理 1 を証明する。
定理 1：任意の k ∈ ℕ\｛ 1 ｝に対して n≠3k－1 とする。ルール f が弱匿名性・弱中立性・Tops-Only・（3, n）である。
単調性を満たすならば，f  ∈ PR

f P）
x P）
|＝1 となる P ∈ 𝒫N に対しては （となる。また，| X ℓ（P（|定理 1 の証明：補題 2 より，| X ℓ（P（
＝（
） P）
） P）

f P）
であるので，| X ℓ（P（|＝2 となる P ∈ 𝒫N に対して＝3 となる P∈𝒫N に対しては明らかに （∈ X ℓ（P（
） P）
） P）

f P）
（
を示せば十分である。背理法により，x ∉ X ℓ（P（を仮定する。また，X ℓ（P（≡x ∈ X ℓ（P（＝{ y, z ｝
） P）
） P）
） P）

ℓ P）
ℓ P）≥ 2 である。ここで，ℓ ととすると，ℓ＜（かつ補題 3 より ℓ ≥ 1 である。よって，（とおく。x ∈ X（
ℓ P）

ℓ P）
（
の関係について，さらに以下の主張が成り立つ。
ℓ P）－1 が成り立つ。
主張 1：ℓ＜（ℓ P）より，ℓ ≤ （ℓ P）－1 である。また，x, y, z がそれぞれ獲得する票数を合計すると
主張 1 の証明：ℓ＜（n に等しくなるので，n＝2（ℓ P）＋ℓ となることに注意する。ここで，仮に ℓ＝（ℓ P）－1 が成立したとすℓ P）－1 となるが，（ℓ P）≥2 より定理 1 の仮定（任意の k ∈ ℕ｛
\ 1 ｝に対して n≠3k－1）にると，n＝3（ℓ P）－1。▪
反する。よって，ℓ＜（78

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

この主張を用いて，定理 1 の証明を進める。j ∈ N（y, P）
を任意にとり，P′≡（P�（Pj ; x）, P－j ）を定義す

f P′）＝x。ここで，P′ のもとで |  N（x, P′）|＝ℓ＋1，|N（y, P′）|＝（ℓ P）－1，|N（z, P′）|＝（ℓ P）
ると，単調性から （ℓ P′）であるが，主張 1 より，ℓ＋1＜（ℓ P）となることに注意すると，x ∉ Xℓ（P（|＝（′） P′）かつ | Xℓ′） P′）（P（＝1 が成り立つ。これは，補題 2 に反する。以上から定理 1 が示された。▪
6-3．定理 2 の証明
本節では，下記の定理 2 を証明する。
\ 1｝に対して n＝3k－1 とする。
定理 2：ある k ∈ ℕ｛

（3, 3k－1）（a）ルール f が匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調性を満たすならば，f  ∈ PR
∪Mix（3,3k－1; X）である。

（b）k＝2（すなわち，n＝5）とする。ルール f が弱匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を満たすな（3, 5）
らば，f  ∈ PR
∪Mix（3, 5; N）である。
\ 1｝）として，f が匿名性・弱中立性・Tops-Only・単調定理 2（a）の証明：m＝3 かつ n＝3k－1（k ∈ ℕ｛ℓ P）≠k を満たす|≠2 または （性を満たすとする。証明は（1）～（3）の手順で行われる：（1）|Xℓ（P（） P）

f P）∈ Xℓ（P（ℓ P）＝k をとなることを示す。（2）もし |Xℓ（P（|＝2 かつ （任意の P ∈ 𝒫N に対して （
） P）
） P）

f P）∉ Xℓ（P（ℓ P′）＝k を満たす任となるならば，| Xℓ（P′（|＝2 かつ （満たすある P ∈ 𝒫N に対して （
） P′）
） P）
f P′）＝（
f P）となること（すなわち，任意の k-k-k－1 プロファイルにおいて，
意の P′ ∈ 𝒫N に対して （f P）が選出され，（1）と合わせて f は固定選択肢ルールとの混合ルールとなること）を示す。
固定選択肢 （ℓ P）＝k を満|＝2 かつ （（3）（2）の前提となるプロファイルが存在しない場合，すなわち，| Xℓ（P（） P）
f P）∈Xℓ（P（となるならば，（1）と合わせて f ∈PR（3, 3k－1）意味すたす任意の P ∈ 𝒫N に対して （） P）るので証明が完了する。したがって，実質的には（1）と（2）のみで十分である。以降では，ステップ
1 で（1）を示し，ステップ 2 で（2）を示す。

ℓ P）≠k を満たす任意の P ∈ 𝒫N に対して （f P）∈Xℓ（P（|≠2 または （となる。
ステップ 1：| Xℓ（P（
） P）
） P）

|＝1 となる P ∈ 𝒫N については補題 2 より従う。n＝3k－1 より | X ℓ（P（P）|＝
ステップ 1 の証明：| X ℓ（P（
）
） P）

ℓ P）
f P）
3 となる P∈𝒫N は存在しない。次に，（\ x｝｛ y, z ｝
とおく。
≠k となる P ∈ 𝒫N をとり，（≡x, X ｛
≡

ℓ P）
ℓ P）
ℓ P）≤ k－1 より，任意の z′ ∈X に対して
このとき，（＞k が成り立つ。実際，仮に （＜k とすると （ℓ P）≤ k－1。よって，n＝| N（x, P）|＋| N（ y, P）|＋| N（z, P）|≤ （（z′, P）| ≤（3 k－1）|N＜3k－1＝n となり矛盾。
ℓ P）|＝1 のときは補題 2 より｛x｝が従う。| X ℓ（P（|＝3 は生じな
よって （＞ k。さて，| Xℓ（P（＝Xℓ（P（
） P）
） P）
） P）
ℓ P）
|＝2 のときに x ∈ X ℓ（P（となることを示せばよい。いま，結論
いので，残りは （＞ k かつ | Xℓ（P（
） P）
） P）

ℓ P）
ℓ P）
とする。すなわち，X ℓ（P（｛ y, z ｝，Xn－2ℓ（P（｛x｝，かつ，（を否定して x ∉ X ℓ（P（＝＝＞ n－2（
） P）
） P）
） P）

≥ 1。最後の不等号は，補題 3 より従う。j ∈ N（y, P）を任意にとり，P′≡（P�（Pj ; x）,P－j）を定義すると，79

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

f P′）
ℓ P）
ℓ P）
単調性から （＝x。ここで，P′ のもとで | N（x, P′）|＝n－2（＋1，| N（ y, P′）|＝（－1，| N（z, P′）|＝ℓ P）であるが，（
ℓ P）
ℓ P）
ℓ P）
ℓ P′）
ℓ P）で
（
となることに注意すると，（＞ k と n＝3k－1 より n－2（
＋1 ＜ （＝（かつ | X ℓ（P（|＝1 が成り立ち，補題 2 に反する。以上からステップ 1 が示ある。よって，x ∉ X ℓ（P（′） P′）′） P′）された。

ℓ P）＝k を満たすある P ∈ 𝒫N に対して （f P）∉ Xℓ（P（|＝2 かつ （ステップ 2：| Xℓ（P（） P）） P）とする。こℓ P′）＝k を満たす任意の P′ ∈ 𝒫N に対して （f P′）＝（
f P）となる。
|＝2 かつ （のとき，| Xℓ（P′（
） P′）

ℓ P）
f P）
|＝2 かつ （｛ y, z ｝とすステップ 2 の証明：| X （＝k を満たすある P∈𝒫N に対して （≡x ∉ X（
≡
ℓ P（
k P）
） P）

N
ℓ P′）
｛x｝
である。いま，| X （|＝2 かつ （（P′i）
る。n＝3k－1 より，X k－（＝＝k を満たす P′＝
1 P）′） P′）ℓ P（
i∈N ∈ 𝒫を 1 つ与える。X k－（
1 P′）の選択肢に応じて，2 つの場合に分けて示す。

｛ x ｝のとき］：X（
ステップ 2 のケース 1［Xk－（＝｛ y, z ｝である。置換 π：N→N を，
1 P′）＝k P′）（x, P）に対して，π（i）∈ N（x, P′），（A）任意の i ∈ N（y, P）に対して，π（i）∈ N（y, P′），（B）任意の i ∈ N（i）∈ N（z, P′）（C）任意の i ∈ N（z, P）に対して，πN（P″i ）となるように構成して，この π で P の個人名を入れ替えたプロファイルを P″＝i∈N ∈ 𝒫 とおくと，f P″）＝x。P″の定義より，任意の j ∈ N に対して（t P″i ）＝（
t P j′）であることに注意すると，
匿名性より （f P″）＝（
f P′）。
Tops-Only から x＝（：X（｛ x, y ｝
かつ Xk－（｛z｝
とおく18。j∈N（x, P′）
ステップ 2 のケース 2［x ∈ X（
＝
＝
1 P′）
k P′）のとき］
k P′）
（P�
（P j′
, P－
′ j）とすると，Xk－（｛x｝, X（｛ y, z ｝
である。よって，ケース 1を任意にとり，P″≡
＝
＝
1 P″）
k P″）
; z）

f P″）
f P′′′）
; z）
; x）
, P－
′ j）
とおくと，単調性より （に当てはめて，（＝x を得る。ここで，P′′′≡（P�（P�（Pj′＝x。
P′′′ の定義より，任意の i ∈N に対して（t Pi′′′）t Pi′
f P′′′））であることに注意すると，Tops-Only から x＝（＝（
f P′）。
＝（
以上からステップ 2 が示された。ステップ 1 と 2 より，定理 2（a）が示された。▪
定理 2（b）の証明の前に 1 つの補題を与える。
補題 4：m ≥ 3，n ≥ 3 とする。ルール f が中立性・Tops-Only を満たすとき，任意の P，P′∈𝒫N およ（x, P）＝N（σ（x）, P′）ならば，
び任意の全単射 σ：X→X に対して，もしすべての x ∈ X に対して Nf P′）＝σ（ （f P））となる。
（

18

X（
＝｛ x, z ｝かつ Xk－（＝｛ y ｝のときも同様である。
1 P′）
k P′）
80

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール

補 題 4 の 証 明：P，P′ ∈ 𝒫N と 全 単 射 σ：X→X を 1 つ 与 え， す べ て の x ∈ X に 対 し て N（x, P）＝N（σ（x）, P′）とする。P σ ∈ 𝒫N を，任意の j ∈ N，任意の x，y ∈ X に対して，x Pj y  ⇔ σ（x）P σj σ（y）を

f P σ）＝σ（ （f P））。一方，任意の j ∈ N に対して （t P σj）＝満たすプロファイルとすると，中立性より （σ（（t Pj））＝（t Pj′
f P σ）＝（
f P′）。以上から，（
f P′）＝σ（ （f P））を得る。▪
）となるので，Tops-Only から （定理 2（b）の証明：m＝3 かつ n＝5（k＝2）として，f が弱匿名性・中立性・Tops-Only・単調性を満た|すとする。証明は，定理 2（a）の証明とほぼ同様の方針で（1），（2）の手順で行われる：（1）|Xℓ（P（） P）ℓ P）≠k＝2 を満たす任意の P ∈ 𝒫N に対して （f P）∈Xℓ（P（となることを示す。（2）𝒫1≠2 または （） P）

f P′）∈X（ℓ P）＝2 となる任意の｝とおく19。もし 𝒫1＝Ø ならば | Xℓ（P（|＝2 かつ （≡｛P′∈𝒫221: （
1 P′）
） P）

P ∈ 𝒫N に対して （f P）∈X（を意味するので，（1）と合わせて f ∈ PR
（3, 5）が得られる。もし 𝒫1≠
2 P）（i＊）⊆𝒫221 が存在して，（1）と合わせて f は i＊が 𝒫N（i＊）においØ ならば，ある i＊∈N およびある 𝒫Nて独裁者となる混合ルールであることを示す。

ℓ P）≠2 を満たす P ∈ 𝒫N は，本環境では | Xℓ（P（|≠2 または （|＝1
まず（1）について，| Xℓ（P（
） P）
） P）

f P）＝（x P）。
を意味する。よって，そのような P に対しては補題 2 より，（

次に（2）について，𝒫1≠Ø のケースのみ考えれば十分である。2 つのステップで示す。

f P′）＝（t Pi′）が成り立つ。
）i∈N ∈ 𝒫1 に対して （ステップ 1：ある i ＊∈ N が存在して，任意の P′＝（Pi′＊f P）∈ X（f P）＝（t Pi ）≡x とより，（ステップ 1 の証明：P＝（Pi）i∈N ∈ 𝒫1 を任意に 1 つとると，（
1 P）＊

f P′）＝（Pi′）i∈N ∈ 𝒫1 に対しても （なる i＊∈ N が一意に存在する。この i＊について，どのような P′＝

t Pi′）が満たされることが示される。このことを示すために，ある P′∈𝒫1 に対して （f P′）≠（t Pi′）とす（＊＊f P′）＝（
t Pi′
t Pi′）≡y′ を意味する。y′ ∈ X（
より，る。これは，ある i′≠i が一意に存在して x′≡（
≠（
′）
2 P′）
＊

＊

t Pi′
（
） y′ となる i1 ∈ N\｛ i＊ , i′ ｝が一意に存在する。以上から，｛ z′ ｝
≡X  \｛ x′, y′ ｝とおくと，P′ におい
1 ＝てN（ x′, P′）＝｛ i′ ｝，N（y′, P′）＝｛ i＊ , i1 ｝，| N（z′, P′）|＝2（＊）

t Pi ′）≡y，｛ z ｝≡X  \｛ x, y ｝とおくとき，i1 の Pi1 における 1 位を満たしていることに注意する。いま，（の選択肢に応じて，2 つの場合に分ける。

t Pi1）＝y のとき］：プロファイル P1 をステップ 1 のケース 1［（
P1≡（P�（Pi1; x）,P－i1）
f P1）＝x。ここで，P1とP′ の関係について，（＊）よりと定義すると，単調性より （N（x, P1）＝｛i＊, i1｝＝N（y′, P′），N（y, P1）＝｛ i′ ｝＝N（x′, P′），

19

𝒫221 は 2-2-1 プロファイルの集合であったことに注意する。
81

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号

N（z, P1）＝N（z′, P′）｛ x′, y′, z′ ｝に注意すると，全単射 σ（x）＝y′，σ（y）＝x′, σ（z）＝z′ によってが得られる。X＝｛ x, y, z ｝＝N（x, P1）＝N（σ（x）,P′），N（y, P1）＝N（σ（y）,P′），N（z, P1）＝N（σ（z）,P′）
f P′）＝σ（ （f P1））＝σ（x）＝y′ が得られ矛盾。
と書けるので，補題 4 より x′＝（t Pi1）≠y のとき］：このとき，（t Pi1）＝z である。プロファイル P2 をステップ 1 のケース 2［（
P2≡（P�（Pi1; x）,P－i1）
f P2）
t Pi′）t Pi2）
かつ（\ i ＊, i′, i1｝と定義すると，単調性より （＝x。他方，y∈ X（＝y より，（＝y となる i2∈ N｛
2 P）
t Pi′
において（
） z′ であることに注意する。プロファイル P3 をが一意に存在するが，（＊）より，この i2 は P′
2 ＝
P3≡（P�（Pi′; x′）,P′－i2）2
f P3）＝x′。ここで，P2 と P3 の関係についてと定義すると，単調性より （N（x, P2）＝｛i ＊, i1｝＝N（y′, P3），

N（y, P2）＝｛i′, i2｝＝N（x′, P3），
N（z, P1）＝N（z′, P3）が得られることに注意する。以降は，ケース 1 と全く同様の議論で補題 4 を用いて矛盾が導かれる。

f P′）＝（t P′i ）を満たすことが示された。ステップ 1 より，以上から，どのような P′∈𝒫1 に対しても （＊f P′）＝（t P′i ）∈X（
𝒫1＝｛P′∈𝒫221: （｝と書ける。ここで，
1 P′）
＊

𝒫1≡
t Pi′
t Pi）｝｛P′ ∈ 𝒫221（: ∃ P ∈ 𝒫1（）∀i ∈ N）
（
）
＝（
―

―

―

―

―

―

f P）＝
と定義すると，明らかに 𝒫1⊂𝒫1 より 𝒫1≠Ø。さらに Tops-Only より，任意の 𝒫 ∈ 𝒫1 に対して （――t Pi ）∈ X（（。いま，𝒫N（i＊）⊆𝒫221 を
1 P）＊

t P̂j ）＝（t Pi ））t Pi）＝（t Pi）
𝒫N（i＊）≡｛ P ∈ 𝒫221（: ∃ P ∈ 𝒫1）（∃ j ∈ N）（∃P̂ j∈𝒫 with （（∀i≠j）（―t Pj ）＝（t P̂ j）｝
and （

―

―

―

＊

―

（i＊）より 𝒫N（i＊）≠Ø。𝒫N（i＊）が条件（C1）を満たす集と定める。このとき，明らかに 𝒫1⊂𝒫1⊂𝒫N

合であることはその定義より明らかである。さらに，（C2）を満たすことも示される。
ステップ 2：𝒫N（i＊）は条件（C2）を満たす。

t P′j）＝（t Pi ）を 満 た す あ る（i＊）と す る。 あ る j ∈ N が 存 在 し て，（ス テ ッ プ 2 の 証 明：P∈𝒫221\ 𝒫N＊――

P′j∈𝒫 に対して，（P′j, P－j）∈𝒫221 かつ（P′j, P－j）∈𝒫N（i＊）とする（背理法）。このとき，ある P∈𝒫1，
t P̂ h）＝（t Pi ）を満たすある P̂ h∈𝒫 に対して，ある h ∈ N，および，（―＊

）と（P̂ , P

（P′j, P－j―h－h）は，すべての個人について 1 位が等しい。…①（i ）より，この P，h，P̂ h に対して，
他方，P ∉ 𝒫N＊

―

P と（P̂ h, P－h）は，ある個人の 1 位が異なる。…②―82

緩和された匿名性・中立性条件に基づく社会選択ルール①と②から，P と（P̂ h, P－h）の間で 1 位が異なるのは，j のみである。…③―t P′j）＝（t Pi ）に等しい。よって，P においては，（t Pj）
さて，①から，（P̂ h, P－h）における j の 1 位は，（―＊t Pi ）でなければならない。このことは，j≠i＊を意味する。①および（P′j, P－j）と（P̂ h, P－h）が≠（―＊2-2-1 プロファイルであることから，ある i1，i2 ∈ N  \｛ j, i＊｝は（P′j, P－j）と（P̂ h, P－h）で同じ 1 位―を持つ。その選択肢を x とおく（表 1 参照20）。すると，③から P においても i1，i2 は x が 1 位である。

t Pj）≡y とおくと，P は 2-2-1 プロファイルであることから i3 ∈ N  \｛  j, i＊, i1, i2 ｝の 1 位が y
ここで，（でなければならない。よって，①と③から（P′j, P－j）と（P̂ h, P－h）においても i3 の 1 位が y となる（表―1 参照）。以上から，表 1 で示されているように，P，（P′j, P－j），（P̂ h, P－h）の 1 位の選択肢が特定さ―れた。
｛ i1, i2, i3 ｝とすると，P において h 以外のすべての 1 位が（P̂ h, P－h）と同一である（表ここで，仮に h ∈
―

―

―

―

―

―

―

f P）
t Pi ）t Pi ））に反する。よって，h ∉｛ i1, i2, i3 ｝，
1 参照）
。これは，P ∈ 𝒫1（すなわち，（
＝（
＝（
∈ X（
1 P）
＊

＊

｛   j, i＊｝である。次に，仮に h＝j とすると，P と（P̂ h, P－h）の 1 位は j 以外すべて同一であすなわち，h ∈
―

―

―

―

る（表 1 参照）
。よって，P は 2-2-1 プロファイルであることから，P において j の 1 位は y となる。このと
―

―

―

f P）
t Pi ）である。他方，P ∉ 𝒫N（i＊）
f P）∉X（
より P ∉ 𝒫1 となるので，（，すなわ
き，P ∈ 𝒫1 から （
＝（
1 P）
＊

―

―

f P）
f P）
f P）。これは矛盾。よっち，（∈｛  y, x ｝。さらに P と P は Tops-Only の前提を満たしているので （＝（。このとき，i＊の 1て，h＝i＊。このとき，P と（P̂ h, P－h）の 1 位は i＊以外すべて同一である（表 1 参照）
―

―

―

―

―

―

―

f P）
t Pi ））に反する。以上からステップ
位がどの選択肢になったとしても P∈𝒫1（すなわち，（
＝（
∈X（
1 P）
＊

2 が示された。

f P′）＝（t P′i ）が成り立つ。
（P′i）i∈N ∈ 𝒫N（i＊）に対して （ステップ 3：任意の P′＝＊―

N ＊ を任意にとる。まず，P′ 𝒫 ならばただちに （f P′）＝（t P′i ）
（P′i）
ステップ 3 の証明：P′＝∈ 1i∈N ∈ 𝒫 （i ）――＊t P″j ）＝（t Pi ）を満たす（i＊）\ 𝒫1 とすると，ある P ∈ 𝒫1，ある j ∈ N，および，（が従う。次に P′∈ 𝒫N
＊

j

i＊

i1

i2

i3

f

P

y

（
t Pi＊）xxyy or x（P′j, P－j）（t Pi＊）（t Pi＊）xxy（t Pi＊）（t Pi＊）

x

x

y

x

x

y

（P̂ h, P－h）
―

―

P

⇒（
ℎ∈
t Pi ）｛i1, i2, i3｝
h＝j ⇒ yh＝i＊ ⇒ （t Pi ）＊＊⇒（ℎ∈
t Pi ）｛i1, i2, i3｝
h＝j ⇒ （t Pi ）＊＊

h＝j ⇒ （t Pi ）＊表1

20

表 1 は，それぞれのプロファイルにおける各個人の 1 位の選択肢および一部のプロファイルについては選出される選択肢を示している。
83

『経済研究』（明治学院大学）第 165 号――

ある P″j  ∈ 𝒫 に対して，P′＝（P″j , P－j）と表される。P′ ∉ 𝒫1 より j≠i＊である。いま，プロファイル P を―P≡（P�（Pj; （t Pi ））,P－j）＊――f P）＝（f P）＝（t Pi ）。他方，P と P′ は Tops-Only の前提を満たす。よって，と定義すると，単調性から （＊―f P′）＝（
f P）＝（f P）＝（t Pi ）。以上でステップ 3 が示された。
（＊

N ＊ に対して （f P′）∈ X（（Pi′）
が成り立つ。
ステップ 4：任意の P′＝
2 P′）i∈N ∈ 𝒫221\ 𝒫 （i ）（Pi′）i∈N ∈ 𝒫221\ 𝒫N（i＊）をとると，𝒫1⊂𝒫N（i＊）より P′ ∉ 𝒫1 であることに注ステップ 4 の証明：P′＝f P′）∉ X（f P′）∈ X（から （が得られる。
意する。よって，（
1 P′）
2 P′）

（i＊）において独裁者となる混合ルールであること，すなわち，f ∈ Mix（3, 5; N）
以上から，f は i＊が 𝒫Nが示された。▪

参考文献
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