数理解析研究所講究録 1305 巻 2003 年 39-50

39 39
弾塑性体の離散要素モデルおよび連続体モデルにおける内部応力
鳥取大・工’\Gamma \iota ‘J‘用数理 大信田丈志 (OosHIDA Takeshi)
Dept. Applied Mathematics&Physics, Tottori Univ.

. 基研

関本謙 (Ken SEKIMoro), Kyoto Univ.
Yukawa Inst. Theor.

京$\star$$*$$\mathrm{P}1_{1}\mathrm{y}\mathrm{s}.\cdot$

1

はじめに

粉体のような、静止摩擦に支配される系では、静止状態で非自明な応力が残留する。たとえ実質的に 1 つしか自由度がない楊合でも、静止摩擦の存在は、静止状態に非常に大きな非一意性をもたらす [1]。粉体のような多自由度の系ではなおさらである。
静止摩擦の連統体力学版として、塑性流動を考える。本講演では、ある種の弾塑性的な多自由度
系 [2] を例題として、塑性流動による内部応力の生成を扱うための枠組を提示する。考えるべき問
題を、 大きく 2 つに分ける:

1. 内部応力は、 どのように時間発展するか
2. 内部応力の存在を、 系の状態のスナップショットから示すには、 どうしたら良いか?
結晶物質においては、 2 番日の問題に対する答えとして、転位論 [3] が既に確立されている。 本講
演の目標のひとつは、結晶以外の物質に適用できるように、転位論を拡張することである。 もう一つの日標は、塑性流動則が与えられたとして、 これを用いて 1 番目の問題 (内部応力の時間発展)に答えることである。
まず第 2 章で離散要素モデルを構築し、そこでのフラストレーション (内部応力) の存在を第 3 章で示す。続いて、第 4 章で連続体の方程式を示し、 内部応力についての理論を第 5 章で展開する。
内部応力の存在は という量によって示され、 その流れを示す 1 という量が塑性流動則によって$h$与えられる。第 6 章では内部ひずみを主役として理論を再構築し、第 7 章ではより一般的な問題への展開を検討する。

2

離散的な弾性 Binghm モデル

2.1

形式的定義

を用意し、 これらを 『サ力学変数として、 $M$ 個のスカラー座標
イト」に配置する。近接するサイトの間には、『ボンド」であらわされる 2 体相互作用が存在する。
$\{\zeta\}=(\zeta_{1},\zeta_{2:}\ldots, \zeta_{M})\in \mathrm{R}^{M}$

サイトおよひボンドは必ずしも規則的に配置されているとは限らない。
とする。 もし $i\in N_{j}$ ならば
一般に、 番目のサイトの近傍サイトの集合を運動方程式は$j$$N_{j}$$(j=1_{:}2, \ldots, M)$$m \ddot{\zeta}_{j}=.\cdot\sum_{\in N_{J}}f\dot{.}arrow j+f_{j}^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}$$*200^{\cdot}\mathrm{S}$

年より Strasbourg 大学 (フランス)$j\in N\dot{.}$

である。

(1a)

40
と書けて、 ここで

$f_{j}^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}$は (与えられた) 外力であり、 また$f_{iarrow j}=-f_{jarrow i}=-\hat{S}^{-1}\epsilon_{ij}$は相互作用をあらわす。変数は、 次の式により “勾配 ’.

$‘$$\epsilon_{ij}$$\zeta_{ij}=\zeta_{j}-\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}\zeta_{i}$$\in_{ij}=\zeta_{ij}-\beta_{ij}=\zeta_{j}-\zeta_{i}-_{\mathrm{I}}\theta_{ij}$

この式に含まれる$\beta_{ij}’$(1b)と関係づけられる:.

(1c)という変数の時間発展は、 Bing.ham 流体的な「塑性流動則』に従う:

0$(|f_{iarrow j}|<f_{*})$$.f_{irightarrow j\prime}-\cdot f_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\iota \mathrm{g}\mathrm{n}f_{iarrow j}$$(|f_{iarrow j}|>f_{\mathrm{r}})$$-\hat{\eta}\dot{\beta}_{ij}=\{$.

(2)

方程式 (1) およひ (2) が、系の支配方程式である。具体的な問題設定には、 さらにボンドの配置

およひ境界条件を指定する必要がある (fi32 の例を参照)。

物理的解釈: 割箸モデル

2.2

この系は、質量を担う棒状の要素の東と見ることができる [2]。サイトは質量要素 (『割箸あらわし .

$\text{、}$) を
ボンドは「ゴムひも」を通じた相互作用をあらわす。この『割箸」は、 z 軸に平行に置$\rfloor$

力 ‘れた無限に長い剛体棒であり、 軸にそって摩擦なしに滑ることができるが、 それ以外の運動はできないように拘束されている。
この描像で、 それぞれの変数は次のように解釈できる:$z$$\bullet$$\bullet$.

$\cdot$$\bullet$\mbox{\boldmath $\zeta$}j=f 番目の『割箸』のc-‘。 $=i$ 番目と$j$番$\text{目}$$z$方向の弯位.

の棒を結ぶ「ゴムひも」の傾斜角 (に比例する変数).r ゴムひも丁の端の滑リ$\partial_{t}\beta_{ij}=$$-.\backslash$3

離敵モデルにおける内部応力3.1-塑性的発展と非塑性的発展.

変数 \beta u 戴 [滑り」. の積算量。すなわち塑性流動の履歴を示す。. これとめ、式 (1c) を式 (1b) に代入して得られる式を考えよう:$f_{iarrow j}=-\hat{S}^{-1}(\zeta_{ij}-\mathcal{B}_{ij})$

式 (3) は、 自然長$x^{\mathfrak{h}}$,$\zeta_{ij}=\zeta_{j}-\zeta:$$f_{iarrow j}$の関係を見るた.

(3)のバネの方程式と比較することができる:.

1$f=-K(x-x’.)$ .
式 (3). .

$\text{と}$$\text{式_{}4}(4)$(4)の対応は明らかであるが、そこには一つの重要な違いがある。それは、一は定数では式 (2)\acute IE 従って変化し得るということ\mbox{\boldmath $\tau$}‘. ある。 ただし、は $x’$ と同じく定数としてふるまう。
にとどまる限り、
以下、が時間変化するか否かに\ddagger . .って、 2 種 時間発展を区別する

あるのに対し、$\beta_{ij}$$\beta_{ij}$$|f_{iarrow j}|$が降.ffi. 値以下’$\{\beta\}$$\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}_{1}$$.\text{の}$$\cdot$・塑性的発展:$|\theta$

が時間変化する・非塑性的 (弾性的) 発展:$\beta$は一定に保たれる

どちらの発展が実現するかは、式 (2) に応じて決まる。 降伏条件を満たすような大きな応力が存在するときには、 系の時間発展は塑性的になる。

41
3.2

フラストレーション

は、 定数ではなく、 式 (2) に従って時間発展する定数である。 その値は発展の履歴
一般にによって決定され、 一般にはゼロに等しいとは限らない。
第 1 章で述べたように、 問題を 2 っに分ける。第 1 の問題はより困難であるので、後回しにしよが (おそらく勝手に) 与えられているとし、 そう。第 2 の問題に答えるために、我々は、既にの条件下で弾性エネルギーを最小化する問題を考える。 式で書くと、$\{,\theta.\}$$\{\beta\}$(5)$U=U( \{\beta\}, \{\zeta\})=\sum\frac{1}{2}\hat{S}^{-1}(\beta_{ij}+\zeta_{i}-\zeta_{j})^{2}$のに関する最小化である。 スピン系で言えば、基底状態を求める問題に相当する。
弾性エネルギーの最小化は、 連立方程式$\{\zeta\}$$U$$\sum_{i\in N_{\mathrm{j}}}f_{iarrow j}=\mathrm{t}1$

for

(6)

$\forall_{j}$(かつを解くこと、すなわち、方程式 (1a) でとした場合の解を求めることと同じである。 ここで、は式 (3) で与えられる。以下、我々は、基底状態においても (きわめて特はゼロにならないことを示す。 この意味で、我々は「フラストレーショ
殊な楊合を除いて)ン」 という語を用いる。 これはスビングラス (特にゲージグラス) の用語にならったものである。
$\{\ddot{\zeta}\}=\mathrm{t}1$$\{f^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}\}=\mathrm{t}\mathfrak{l}$$f_{iarrow j}$$\{f_{iarrow j}\}$$3\cdot 2.1$

単一の列から或る配 1

最も簡単な楊合として、 $M$ 本の棒が一列に並んだ配置を考えよう。 運動方程式は(7)$m\ddot{\zeta}_{i}=f_{i-1arrow i}+f_{i+1arrow i}+f_{i}^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}$と書けて、両端では $f_{0arrow 1}=f_{m+1arrow\pi}‘=\mathrm{t}1$ が成り立つ。
基底状態を求めるためにと置き。境界条件$\{\ddot{\zeta}\}=\{f^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}\}=()$$f_{0arrow 1}=\mathrm{t}1$を考慮すると(8)$f1arrow 2=f_{2arrow 3}=\cdots=f_{i-1arrow i}=\cdots=\mathrm{t}1$となる。 すなわち、基底状態では $\{f\}$ はすべてゼロになる。

3$2\cdot 2$

環状配 1

一列の配置の両端をつないだ、環状の配置を考えよう。運動方程式は式 (7) と同じであるが、 こんどは式 (8) の代わりに周期的境界条件が適用される。基底状態では$f_{1arrow 2}=f_{2arrow 3}=\cdots=f_{i-1arrow i}=\cdots=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.

$=F^{(0)}$が成り立ち、 したがって$\sum_{1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}}f_{iarrow i+1}=f_{1arrow 2}+f_{2arrow 3}+\cdots+f_{Marrow 1}=MF^{(0)}$.

となる。左辺は、式 (3) を代入し、 さらに周期境界条件を考慮することにより、る。 最も単純な $M=3$ の場合には、$\beta$と関係づけられ$\mathrm{L}\mathrm{H}\mathrm{S}=f_{1arrow 2}+f_{2arrow 3}+f_{3arrow 1}=-\hat{S}^{-1}\sum_{i=1,2,3}(\zeta_{i+1}-\zeta_{i}-\beta_{i,.+1}.)=\hat{S}^{-1}\sum_{1\mathrm{m}\mathrm{p}}\beta_{i,i+1}$42はゼロになるとは限らず、 したがってが結論される。
一般に、ボンドの数がサイトの数ひく 1 よりも大きいときには、基底状態でゼロと異なるが残留する。 フラストレーションを特徴づけるのは、 (「結合定数」 の和がゼロにならないような) ループの存在である。余分なボンドの数は、 独立なループの数に等しく、 さらに、 それはに等しい。 また、ボンド配置が平面グラフとして実現できる場合には、 Eulerの多面体定理により、はボンドで囲まれた有界領域の数に等しくなる。
となる。一般に$f^{(0)}\neq \mathrm{t}\mathrm{I}$$\sum_{1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}}\beta_{i.i+1}$$\{f_{iarrow j}\}$$\beta$$N_{1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}}=N-M+1$$N_{1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}}$二列から或る配\sim

32.3

多数のループを含む例として、二つの列が並んだ配置 (はしご配列) を考えよう:$m\ddot{\zeta}_{(i,1)}=f_{(i-1,1)arrow(i,1)}+f_{(i+1,1)arrow(\dot{*},1)}+f_{(i,2)arrow(i,1)}$$m\ddot{\zeta}_{(:,2)}=f_{(i-1,2)arrow(i,2)}+f_{(i+1,2)arrow(,2)}|.+f_{(i,1)arrow(i,2)}$$(^{(}\mathrm{J}\mathrm{a})$

.

(9b)

単純な粗視化は危険である。式 (9a) と式 (9b) を足して 2 で割れば、平均化された方程式が得られるが、 これは本質的には式 (7) にほかならない。 この方法では、 フラストレーションの情報が完

全に抜け落ちてしまう。
割箸モデルのフラストレーションをとらえるには、空間的な勾配を利用するのが良い。このことは、式 (9) を加えるのではなぐ両者の差をとることによってフラストレーションの情報が抽出できることから示唆される。

4

連続体モデルボンドの配置の詳細によらない一般的な性質を抽出するため、連続体記述に移行しよう。いったん連続体の構成方程式が得られれば、その後の議論はすべて連続体ベースで展開することができる。

4.1

運動学

離散モデルの座標変数$\{(_{i}\}$を、 LagTange 変数から Euler 変数への写像で置き換える:$\mathrm{a}=(X, \mathrm{Y}, Z)$

ここで$\zeta$$\{(x,y)\}$は $(x, y)$ およひ$t$$\mapsto \mathrm{x}=(x, y.

にのみ依存し、$z$z)=$( $X$ . Y., $Z+\zeta$ ).

には依存しない。 ラベリング空間(垣)$\{\mathrm{a}\}$$)$は、 自然に、と $\{z\}$ の直和と見なされる (これはファイバー束の最も単純な例である)。

速度場は次の式で与えられる :$\mathrm{v}=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}(\frac{\partial \mathrm{x}}{\partial t})_{\mathrm{a}}=(\mathrm{t}1,\mathrm{t}1,w)$

4.2

,

.

(11)

$w=( \frac{\partial z}{\partial t})_{\mathrm{a}}=\dot{\zeta}$

連続体の運動方程式を導入しよう。これは、 方向の運応カテンソル の代わりに、「応カベクトル」
動量の、 $(x_{:}y)$ 面内における輸送をあらわすベクトルである。
運動量 ( 成分) の収支釣り合いの式は$rightarrow\tau$$\tau=(\tau_{x:}.\tau_{y})$

$z$

$z$

$\rho\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial\tau_{x}}{\partial x}+\frac{\partial\tau_{y}}{\partial y}+f^{(\mathrm{e}\mathrm{x})}$

.

(12)

43
と書ける。 本来、応力はテンソルであり、速度はベクトルであるが、 ここでは応力は 2 次元ベクト
ルに、 速度はスカラーになるので、 数学的な扱いは大幅に簡単化される。

43

構或方程式

割箸モデル系において、場の変数がゆるやかに変化するという意味で「流体力学」が存在するとしよう。導出の詳細 [2] は省略し、結果のみを示す。
応カベクトル の支配方程式は$\tau$(13a)’$S’\partial_{t}\tau+\Phi(\tau)=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}u$となり、 ここで$\Phi(\tau)$は0$(|\tau|<\tau_{*})$$\eta^{-1}(\tau-\tau_{*}\mathrm{e})$$(|\tau|>\tau_{*})$$\Phi(\tau)=\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{f}\{$(ただし$|\tau|=\sqrt{\tau_{x}^{2}+\tau_{y}^{2}}-$$\mathrm{e}=\frac{\tau}{|\tau|})$(13b)で定義される。運動方程式は

,

(13c)

$\rho\frac{\partial’w}{\theta t}=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\tau$となり、 これは式 (12) で

5$f^{(\mathrm{c}\mathrm{x})}=0$としたもの [こほかならない。

内部応力の連続体記述

第 3 章の議論は、離散要素モデルに基づく、一種の転位論であった。 これは、最初に述べた冨 2の問題の答えではあるが、冨 1 の問題に対しては答えになっていない。 すなわち、 フラストレーションの存在を述べているだけで、その生成や変化についてはほとんど何も言っていない。
この章では、我々は、通続体モデルの支配方程式 (詔) を出発点として、議論を組み立て直す。内部応力 (すなわちフラストレーション) の存在を示す量として、 という量を定義し、 その時間変化を論じることにする。 さきほどの第 1 の問題に対する答として、我々は、 の時間変化を記述す
$h$

$h$

る方程式を導く。 これば、第 3 章の離散モデルの転位理論では得られなかった結果である。

5.1

応力渦度

内部応力を局所的にあらわす量として、

rot .

(14)

$\tau \mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{f}$$\mathrm{h}=h\mathrm{e}_{z}=$という量を導入する。これは、離散モデル (第 3 章) におけるー
における渦度との類似により、 を「応力渦度」 と呼ぶことにしよう。
もしも時間発展が弾性的 $(\Phi=0)$ であれば、構成方程式 (13a) から$\sum_{1\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{p}}f_{iarrow \mathrm{j}}$に対応する。流体力学

$h$

(15)

th $=0$となる。 すなわち、塑性流動が生じない限り、 h}ま時間に関して定数となる 1。
初期状態 $(t=0)$ で $h\neq 0$ だったとしよう。 その後、 いかなる弾性的発展が生じたとしても、$h$はゼロとは異なる一定値にとどまる。 つまり、初期に $h\neq 0$ であれば、弾性発展のみで完全除荷
状態 (いたるところで $\tau=0$ ) に到達することはできないことが分かる。
1 この定数の値は、場所ごとに異なっていてもよい.

つまり、弾性的発展において、$h$は各点ごとの保存量である.

44
52

整合的な応力単連結領域 $D$ のなかの至るところで $h=0$ だとしよう。 このことは、(16)$\tau=S^{-1}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\zeta_{\mathrm{E}}$を滴たす \mbox{\boldmath $\zeta$}。が存在することを意味する。式 (16) の形に書ける を『整合的 (compatible) な応力」
を「整合的なひずみ』 と呼ぶことにしよう。
と呼ひ、対応するひずみ$\tau$$\epsilon=s\tau$

もし、系が $\tau=0$ の状態から時間発展を開始し、 そのあと弾性的な発展のみをおこなうならば、生じる応力場は、つねに整合的である。すべての応力場が整合的だとは限らない。特に、 もしであれば、その応力場は非整合的である。既に示し とおり、非整合的な応力場は、 $\tau=0$への弾性的発展による到達を許さない。
$\mathrm{h}\neq 0$$J_{}^{\cdot}$

5.3 . 応力渦度の時間発展
応力渦度の存在は、非整合的な応力を意味することが分かった。それでは、応力渦度の時間変化
は、 どのような式に従うのだろう力

まず、構成方程式 (13a) に$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}(\cdot)$を作用させる :th $=-S^{-1}$ rot

この式の胃辺に$\int_{d}d^{2}\mathrm{r}$$\Phi$.

(17)を作用させ、 Stokes の定理を用いると$S \frac{d}{dt}\int_{D}hd^{2}\mathrm{r}=-\oint_{C}\Phi$となる。式 (18) の右辺は、境界$C(=\partial\prime D)$

.dr.

(18)

上の値だけで決まる。 このことは、保存則の存在を示唆する。実際、流束 I をI,$\mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{f}=S^{-1}\{\begin{array}{l}+\Phi_{y}-\Phi_{x}\end{array}\}$で定義することにより、式 (17) は次の形に書き直される :$\partial_{t}’h+\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{I}=0$

,

(19)

これは、応力渦度の保存則にほかならない。 この議論は、 $\Phi=\Phi(\tau)$ の関数形の詳細には依存しないことに注意しておく。

5.4

転位論との関係

流体力学における渦度と循環の関係との類推により、. 応力循環 $H$ を次のように定義する :$H.[C]= \mathrm{d}\mathrm{c}\mathrm{f}\oint_{C}\tau$

.dr.

(20)

特定の状況では、応力循環 $H(\neq 0)$ は、ルーブに囲まれた「転位」の総量を示すという、 Burgers
ベク、トルの役割を演じる。 ただし、格子が存在しないので、 ここでいう 『転位」は、式 (16) におけるボテンシャルの多価性を意味するものと解釈する。 ここで、 Burgers ベクトルと応力渦度との定義における考え方の違いを強調しておく。 Bugers ベクトルの定義は結晶構造に密接に関係$\zeta_{\mathrm{E}}$45
しているが、 $H$ の背後にあるのは結晶構造ではなく連続的な応力場である。 したがって、 $H$ の定義は、 結晶構造がない物質でも通用する。
式 (16) は、応力渦度がゼロでない場所では適用できない。 たとえ \mbox{\boldmath $\zeta$}。に多価性を認めてもだめである。 ただし、 式 (16) の拡張として、 Clebsch 表示$\tau=\sum_{i}\xi_{i}.\nabla\ominus_{i}$の特異点がすべて陽に求められれが利用できる可能性がある。特に、もしも多価ボテンシャル
ば、応力場のトボロジーを調べるうえで有用である。残念ながら、これらの特異点を求めることはの時間発展を書き下すことさえ難しい。
必ずしも容易ではないし、多価ボテンシャルにこだわるよりも、 むしろ、式 (19) による の時間発展の記述に着目しよう。
$\ominus_{i}$$(\xi.\cdot, (-))$$h$

もし $C=\partial D$ とすると.

$H[C]= \int_{D}hd^{2}\mathrm{r}’$が成り立ち、 また $H$ は「『転位』の総量」に相当する量だから、 h|ま『『転移』の密度」 と解釈できる。 したがって、 I は、 r『転位\sim の流れ」に相当する。 もちろん、 と同じく、 I も結晶構造に
よ 1 らずに定義された量である。以上の議論を一般化して言えば、格子の存在を前提としなくても、内部応力や内部ひずみの存在およひ発展を論じる枠組が構築できるということになる。
$h$

6

内部ひずみ

我々の考えている系では、 |ま『転位」の密度に対応し、 その発展は、式 (19) を通じて、 最終のつながりは、 どちらかと言え的には塑性流動則 $\Phi=\Phi(\tau)$ で定められる。 しかし、 と
$h$

$h$

$\Phi(\tau)$

ば間接的である。

我々の枠組を他の問題に応用できるようにする見通しを得るため、 1 こより密着した量を用いて、話全体を書き直してみよう。言い替えれば。次の関係式を満たすような「内部ひずみ」を考え、この量を主役とした記述を考える:$\Phi$$\frac{d}{dt}$[内部ひずみ] =[塑性流動].

に等しいこ
我々のモデルでは、右辺は である。モデルの構築の過程で、我々は既に左辺がとを知っているので。「内部ひずみ』は のことだろうという見当がつく。問題は、連続体の支配を再構築することである。
方程式 (13) が出発点として与えられたとして、 これからあとで示すように、 を用いた記述には、ゲージ変換の自由度が存在する。 このことを利用し、$\Phi$$\partial_{t}\beta$$\beta$$\beta$$\beta$応力渦度とか整合的なひずみとかいった概念を、ゲージ同値性を用いて表現することができる。

6.1

ポテンシャルを用いた支配方程式の書き換えである。
連続体の支配方程式 (13) から出発する。揚の変数はこれからを再導入することである。 そのために、が与えられたとし問題は、$(\tau, u))$$\text{て_{、}}$$(T,\cdot w)$$\beta$(21)$\beta=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\zeta-S\tau$

を、連続体における$\beta$の『定義」と見なすことにする。右辺には$\zeta$が現れているが、 これは$w$

を時間で積分すれば得られる。物理的な描像としては、マーカーを用いた実験を想定すればよい。

46
さて、

$(\tau_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}w)$の代わりに 「ポテンシャル」

果は、 次の方程式系となる($\tau$

支配方程式 (詔) を書き直そう。結$\nabla^{2}$$=\Phi(\tau)_{:}$-c’2 t2)$(22_{\acute{\epsilon}1})$$\zeta=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\beta$

.

(22b)

および $w$ は$\tau=S^{-1}(\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}.

$w=\partial_{t}\zeta$(23)\zeta-\beta)$

.

(24)

で与えられる。式 (22a) から明らかに分かるとおり、る。式 (23) は、局所的な弾塑性分解である。

6.2$\mathrm{L}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$t\beta

このとき、を用い$(\beta, \zeta)$$\beta$は系の塑性的発展の履歴をあらわしてい

ゲージ変換と応力渦度を用いた記述には、 Lagrange 変数のラベル貼り替えに相当する冗長性「ポテンシャル」
があり、そのためにゲージ変換が存在する。容易に確認できるとおり、$(\beta, \zeta)$

,

(25)

$(\zeta,\beta)arrow(\zeta’,\beta’)=(\zeta+\phi, \beta+\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{l}\phi)$

方程式系 (22) は不変である。 ただし、 $\phi=\phi(x,y)$ である ( には依存しない)。
ゲージ変換に関連して、ゲージ同値性を

に対し

$t$

$\vee \mathrm{C}$$\text{、}$$\beta_{1}\sim\beta_{2}\mathrm{c}$$\Leftrightarrow$$\beta_{2}=\beta_{1}+\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\zeta_{12}$forとなることが分かる。必ずしもで定義する。式 (23) から、で定められる整合的なひずみの場合に限って$S\tau\sim-\beta \mathrm{c}$$\beta\sim 0\mathrm{c}$(26)$\exists.\cdot$$\zeta_{12}$$\beta\sim 0\mathrm{c}$とは限らない。式 (16)

.

(27)

が成り立つ。逆に言えば、式 (27) が整合性の条件にほかならない。
内部ひずみは、 そのものではなく、 に関する同値類だと見るべきである。ゲージ同値性のための条件は$\sim \mathrm{G}$$\beta$$\beta_{1}\sim\beta_{2}\mathrm{G}$となり、 ここで $\mathrm{h}=-S^{-1}$ rot$\beta$rot$\Leftrightarrow$$\beta_{1}=\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\beta_{2}$

,

(28)

を考慮すると、 $h_{1}(x, y)=h_{2}(x, y)$ がゲージ同値性の条件にほか

ならないことが分かる。 こうして、$\mathrm{h}$7一般化に向けて

7.1

他の塑性流動則への拡張

は$\beta$の各同値類を示す量であるという結論を得る。

の形によらず成立する。 たまたま今のモデルで応力渦度の輸送をあらわす式 (19) は、 関数として式 (13b) のような Bingham 塑性を仮定しているが、 これを他の塑性流動則におきかは、えて理論を拡張することは可能である。 たとえば、 の微係数は降伏値以下では突然ゼロになるが、 これを変更して徐々にゼロに漸近するようにすれば、 内部応力の非常に遅い解放が生じるようになるだろう。 もしもペーストの加齢現象 [4] が巨視的な塑性法則に由来する現象だとすれば、 このようなアブローチには一定の有効性が期待できる。
$\Phi$$\Phi$$\Phi$

47
7.2

Eshelby の不整合テンンル

Eshelby[5] は、 3 次元の弾性体における内部応力について考察した。 この理論では、 3 次元弾性
体の内部ひずみは、不整合テンソル , によって記述される。 Eshelby の不整合テンソルは、 応
力場の 2 階微分から或る。 これは、 3 次元の応力場の幾何学と 「割箸モデル』 との大きな違いである。 後者の場合、不整合テンソルに相当する役割を担うのは応力渦度であり、 これは応力の 2階微分ではなく 1 階微分だからである、
もうひとつの重要な違いは、 Eshelby の理論には時間発展が含まれていないことである。大雑把に言えば、 我々の理論のこ相当するものの理論であって、 I に相当するものは見出されていな
い。 この意味では、 まだ研究の余地があるように思われる。
Eshelby の理論を簡単に説明しよう。 まず、 Lagrange 変数から Euler 変数への写像を$S_{\iota\nu}$

$h$

$h$

(29)

$\mathrm{a}=(X_{:}\mathrm{Y}, Z)\mapsto \mathrm{x}=\mathrm{a}+\tilde{\mathrm{u}}$と書く。単純化のため、変位 \iota ま微小であるとし、 2 次の項を無視する (有限のひずみへの一般化
を、 の導関数で次の形に書けるものと定義する:は容易である)。整合的なひずみ$\overline{u}$$rightarrow,rightarrow e=e^{(\mathrm{c})}$,$2 \overline{e,}=2_{C}^{rightarrow(\mathrm{c})},.=\sum_{\kappa}$– \partial xa\kap a \otimes - xa\kap a -I$\tilde{u}$$=2\mathrm{s}\}^{r}\mathrm{I}\mathrm{n}$–$\text{ }\tilde{\mathrm{u}\mathrm{a}}$すなわち$2e_{\mu\nu}^{(\mathrm{c})}=\text{ _{}1}\mathfrak{i}_{\nu}+$$\mu\tilde{u}_{\mu}$$(3\mathrm{t}))$式 (30) は、 内部ひずみがない場合に成り立つ式である。

さて、逆の問題を考えよう: 先に が与えられたとして、対応する変位か? ひずみの決定だけなら、 H ke の法則を使えば何の困難もない$rightarrow\tau$$2e_{\mu\nu},=S\tau_{\iota\nu},+S’\tau_{\kappa\kappa}.\delta_{\mu\nu}$

問題は、式
可解条件は

$(3\mathrm{t}\mathfrak{l})$に$rightarrow S=0$$\overline{u}$を決定できるだろう.

(31)を代入した式が、 fi こ関して可解かどうかである。 Eshelby によると、
で与えられ、 ここで S\leftrightar ow は,

$rightarrow e$$(\mathrm{c})=erightarrow$,

ご\mu \mbox{\boldmath $\nu$}=-\epsilon \mu \kappa \lambda \epsilon \mbox{\boldmath $\nu$}\rho \sigma \kappa \rho e\acute \lambda \sigma ;(32)で定められる (Eshelby の) 不整合テンソル」である。 もし $S\neq 0$ なら、 , は こ還元できな
いような内部ひずみを含んでいる。
不整合テンソル $S$ は、ひすみの不整合成分 (すなわち内部ひずみ) のソース項であることが分は次のように決まる:
かっている。 与えられた $S$ に対し、ひずみテンソル$\text{「}$$\tilde{u}$$e_{\mu\nu}$$rightarrow e$$e_{\mu\nu},=e_{\mu\nu}^{(\mathrm{c})}+ \int S_{\kappa\lambda}(\mathrm{r}’)\mathcal{G}_{\kappa\lambda\mu\nu}(\mathrm{r}’, \mathrm{r})d^{3}\mathrm{r}’$$\mathcal{G}_{\kappa\lambda\mu\nu}(\mathrm{r}’, \mathrm{r})=\frac{\delta_{\kappa\mu}\delta_{\lambda\nu}-\delta_{\kappa\lambda}\delta_{\mu\nu}}{|\mathrm{r}-\mathrm{r}|},$

ここで$rightarrow e^{(\mathrm{c})}$,,(3‘3b):

は式 (30) で与えられる整合ひずみである。 Green 関数(33a)$\mathcal{G}_{\kappa\lambda\mu\nu}.(\mathrm{r}’., \mathrm{r})$は、単一の線欠陥によって作られるひずみであると解釈できる。

7.3

不整合テンソルと応力渦度の対応

さて、 Eshelby の理論と我々の理論の対応をつけよう。最初に、 ふたつの運動学的な式、 すなわ

ち我々の式 (川) と 3 次元の式 (29) が対応する。 式 (川) は、 式 (29) に$\tilde{\mathrm{u}}=(\mathrm{t}\mathrm{l},\mathrm{t}1.\zeta’)$,$\zeta=\zeta(X,\mathrm{Y})$

.

(34)

48
という制限を課したものである。 この制約は、かなり大きな違いをもたらす。 Eshelby の理論では2 階微分が必要なのに、我々の系では 1 階微分だけで話が済んでしまう。
としよう。整合的なひずみは、rad (という式
Hooke の法則で定まるひずみをとすることができる (ただし の原点を調整すで与えられる。 内部ひずみがない場合は、$\epsilon=S\tau$$\epsilon^{(\mathrm{c})}$$=$$\mathrm{g}$-$\epsilon=\epsilon^{(\mathrm{c})}$$\zeta$

る必要があるかもしれないが)。内部ひずみがある場合は、 をと等しくすることはできない。
与えられた に対し、 Hooke の法則を用いて、対応するひずみ を決めることは常に可能であが に関して可解かどうか、 すなわち式 (16) を満たす \mbox{\boldmath $\zeta$}。が存在するか否かる。 問題は、 式で与えられる。
である。第 5 章で説明したように、 可解条件は応力渦度 ま、ひずみの不整合な部分に対するソース項となる:$\epsilon^{(\mathrm{c})}$$\epsilon$$\tau$$\epsilon$$(3\mathrm{t}1)$$\zeta$$\mathrm{h}=0$$h$$\epsilon=S\tau\sim-\beta=\mathrm{c}\int h(\mathrm{r}’)\mathcal{G}(\mathrm{r}_{\backslash ,\prime}’\mathrm{r})d^{2}\mathrm{r}’$

.

(35)

は、螺旋転位のまわりのひずみ場を記述する。式 (35) は、 Eshelby の理論におGreen 関数ける式 (33) に対応する。
さて、 との具体的な関係を見るために、 関係式 (34) を用いて を計算してみよう。長いけ$\mathcal{G}(\mathrm{r}’,\mathrm{r})$

$S$

$S$

$\mathrm{h}$れども単純な計算によって。

$rightarrow S=1\mathfrak{l}$仇(はy\mbox{\boldmath $\tau$}x.)$x^{\mathcal{T}}y-$と同値であることが分かる。応力渦度$\mathrm{h}$$=\partial_{y}$( x.\mbox{\boldmath $\tau$}y-\partial y\mbox{\boldmath $\tau$}x.)$=\mathrm{t}\mathrm{I}$

.

(36)

が恒等的にゼロになる場合には、式 (36) は確かに満たされる。

がゼロでない定数になる場合については、特別に注日する価値がある. その場合、であるにもかかわらず式 (36) が成立し、 したがって S\leftrightar ow はゼロとなる。そのような事態が生じるのは、 ひずみがただし、$\mathrm{h}$$\mathrm{h}\neq 0$$()$$2e=S_{\mathcal{T}}^{rightarrow} rightarrow=\frac{Sh}{2}\{$

$()$

$-y$

0

$-y$

(37)

$+x$

$\mathrm{t}1$$+x$$\mathrm{t}1$となる場合である。実際、 このひずみは、式 (30) に次のような変位を代入すれば得られる:$\tilde{\mathrm{u}}=(-hyz_{:}+hxz, \mathrm{t}\mathrm{I})$

なね .

.

(38)

を示す変形である。 しかし、割箸モデルの制限のもとでは、 このようを伴う変形は禁止されているので、式 (37) によって与えられる変形は、 内部ひずみをもとというふたつの基準のあいだには、 何の矛盾
つ状態と解釈される。 したがって、もないことが分かる。
これは$\dot{\text{し}}$

$z$

軸まわりの

$1^{\cdot}\mathrm{a}\dot{\text{し}^{}\grave{\text{、}}}$$|j$$|\dot{J}$$S=0rightarrow$

7.4$\mathrm{h}\neq 0$

内部ひずみの微分幾何が直ちに内部ひずみの存在を意味するわけではない。内部ひずみを既に考察したように、である。 この状況は、微分幾何学を用いて定式化できる。
決めるのは、 ではな rotの 1 階微分なので、 2 つの観点が可能である. ひとつは、を計量とみなし、
ここで、 rot は
rot を接続と見なす見方で、 もう一つは、 を接続 rot を曲率と見なす見方である。
の特別な場合である。 Lagrange 座
Eshelby の理論 [5] の観点からすれば、 は、 自然計量
標のメッシュによって定義される、小さいサイコロ状の要素を考えよう。 メッシュの刻幅を.
とする 2。 このような小片を孤立させる (局所除荷する) と、 それは自分の「自然な」形$\beta\neq 0$$\text{く}$$\beta$$\beta$$\beta(=-S\mathrm{h})$$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$’$\beta$$g_{\dot{\iota}j}’$$\Delta a^{1}$$\Delta a^{2},$$\Delta a^{\mathrm{d}}$2 微分幾何学の慣例に従い、上付き添字を用いた.

49が小さい極限で、 この「自然な形」は、微小な平行 6 面体となる。
この平行 6 面体の形は、 3 つの辺をあらわすベクトルの、 Euclid 空間での内積によって定められる:をとるだろう。 メッシュ幅$\Delta a^{l^{\mathit{1}}}$( ,, )$\mathrm{x}^{\mathfrak{h}}$$g_{\mathfrak{l}^{Al/}}^{\#}\Delta a^{\mu}\Delta a^{1J}=\iota 1\mathrm{c}^{\backslash }\mathrm{f}$この’$g_{\mathfrak{l}^{\iota\nu}}$$\Delta a^{l^{J}}$.()’$\Delta a^{\nu}$$\nu^{\mathrm{X}}.$

.

(39)

は、 弾性体の Riemann 幾何学 [5. 6] を定める計量で、 ここではこれを自然計量と呼ぶことにする。弧長’ は、式 (39) の左辺の平方根によって与えられ、 a および$\Delta s’$$\mathrm{a}+\Delta \mathrm{a}$に対応する

2 つの点の『自然な距離」 を定める。
なお、がはサイコロごとに別々に定められるということを強調しておく。有限の領域での整合性 (すなわち有限領域に整合的に定義されることは、一般には期待できない。大域的なおけるの存在) を調べるには、 多数の小さなサイコロを個別に除荷し、 これらを並べてみればよい。無限小のサイコロを集めて小さいけれども有限のサイコロ (もどき) を作り、小さなサイコ
ロをさらに互いにつなげていく。 この過程で、 サイコロの形は、寸法に比例して平行 6 面体
からすれてくる。 このずれは、 の 1 階微分のある組み合わせで示すことができる:$\mathrm{x}^{\mathfrak{h}}$$/\mathrm{A}\mathrm{x}^{\mathrm{j}}$$g_{l^{\iota\nu}}^{\mathfrak{h}}$$\mathrm{x}^{\mathfrak{h}}$$\Delta a^{l^{A}}$

$g$

( ,,

$\Gamma_{/1\nu}^{\kappa’}g_{\kappa\lambda}’.=\frac{1}{2}$

式 (40) の係数$g_{\nu\lambda}^{\mathfrak{h}}+\partial_{lJ}\prime g_{l^{\iota\lambda}}^{\mathfrak{h}}-$$\lambda g_{\mathfrak{l}^{r\nu}}^{\mathfrak{h}}$

).

(40)

}ま、 Levi-Civita 接続 [7, \S 7] として知られている。接続係数がゼロとならない$\Gamma_{\mathfrak{l}^{1}}^{\kappa},\nu$

場合、個々の「サイコロ』は曲がった形をもつことになる、 これは、必ずしも内部ひずみのために起きるとは限らず、 Lagrallge 変数の設定によって生じることもある。後者の場合は、 曲がったサ

イコロ同志を整合的に並べることができるが、前者の場合は不整合性が現れる。この不整合性を示すのが、 Riemann 曲率 [8, p.80]である。 ここで$\nabla,$.

R.\kap a \lambda \mu \mbox{\boldmath $\nu$} \kap a$=$($\nabla_{l^{\mathrm{A}}}\nabla,,-$$\nu\nabla_{A},$

)

(41)

$\partial_{\lambda;}’$は共変微分で、 \Gamma \kappa /A\mbox{\boldmath $\nu$}&用いて次の式で定義される ;,\kap a +\Gam a \kap a /1\mbox{\boldmath $\nu$}V\mbox{\boldmath $\nu$} \kap a for$\forall_{V^{\kappa}\partial_{\kappa}}‘$$(V^{\kappa}\partial_{\kappa}‘.)=(’\partial_{\nu}V^{\kappa})’\partial$$\ell$.

3 次元の場合、 .

の独立な成分は 6 つで、 それらはあたかも 2 階の対称テンソルであるかのよ
うにふるまう。 ここでと置いて、 Eshelby の公式 (32) を得る。
我々の理論に現れるを自然計量 , と関係づけるため、 Lagrangian 空間の 2 点$R_{\lambda\mu\nu}^{\kappa}$$g_{l^{4lJ}}^{\mathfrak{h}}=\delta_{\mathfrak{l}^{4lJ}}+2erightarrow$$\beta$$g_{l^{lJ}}^{\mathfrak{h}}$$\mathrm{a}=(X, \mathrm{Y}, Z)$,$\mathrm{a}+\Delta \mathrm{a}=(X+\Delta X, \mathrm{Y}+\Delta \mathrm{Y}.

Z+\Delta Z)$のあいだの「自然距離」 を計算しよう。実空間 (Euler 変数) での相対ベクトルは$\Delta \mathrm{x}=(\Delta x, \Delta y, \Delta z)=(\Delta X, \Delta \mathrm{Y}, \Delta Z+\Delta\zeta)$

である、局所除荷された (すなわち『自然な. $=\beta+O(\ell)$$\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\zeta’$$\rfloor$) 状態においては、$\zeta=\zeta^{\mathfrak{h}}$で、 かつ(ここで $\ell=$ 小片の寸法)が成立するから、 これから$\Delta z^{\mathfrak{h}}=\Delta Z+\Delta\zeta’’=\Delta Z+\beta\cdot\Delta \mathrm{r}$を得る。 ここで$|\beta|$(ただし$\Delta \mathrm{r}=(\Delta X,\cdot\Delta y)$

)

(42)

は小さいと仮定し、「自然距離」 を計算すると

1$(\Delta s^{\mathfrak{h}})^{2}=(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})|_{\Delta \mathrm{x}=\Delta \mathrm{x}^{\mathfrak{h}}}=g_{\mathfrak{l}^{A\nu}}^{-}\Delta a^{l^{1}}\Delta a^{\nu}=\{$

0$/f_{x}$

0
1
;

$l$

;

$l$

$\beta_{y}$1$\{\begin{array}{l}\Delta X\Delta \mathrm{Y}\Delta Z\end{array}\}$$(4‘ \mathrm{d})$50となる。計量 (43) に対する Levi-Civita 接続を計算すると$\Gamma_{31}^{2}=-\Gamma_{S2}^{1}’=\frac{1}{2}$rot.

$3\text{、}\Gamma_{\mathrm{J}\lambda}^{\kappa}$$\beta\propto h$には応力渦度が現れる:

.

(44)

一般には、 内部ひずみの存在を決めるのは接続ではな Riemann 曲率である (なせなら、「曲がったサイコロ」であっても整合的に並べられる可能性があるから)。 けれども、我々が考えている系
では、 $\tilde{u}=(0,0, \zeta)$ という制約があるので、「サイコロ」力 軸に対して曲がることは許されない。
$\text{く}$$\{_{Z}$が判明した時点で内部ひずみの存在が決まることになる。
を接続と見
上記の議論では、 を曲率と見なしているが、 これとは別に、 を曲率と見なしに対し、式 (23) は の勾配を用いてを定めている。
なす定式化が可能である。 固定された
ここで、勝手な定数 $K$ を用いて、式 (23) を形式的にしたがって、$\Gamma_{31}^{2}\neq 0$$h$$\beta$$\beta$$\beta$$\tau$$\zeta$$S\tau=e^{-K\zeta}K^{-1}\tilde{\nabla}e^{K\zeta}$

,

(45)

$\tilde{\nabla}^{(1}=^{\mathrm{c}\mathrm{f}}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}-K\beta$で定義する。 計算してのように書き直すことができる。 これから、『曲率」を$K$
なお、を純虚数とした楊合、 この定式化は、電磁気
みると、 これは応力渦度にほかならない。
学のゲージ理論に非常に似た形になる。
内部ひずみが 1 階微分だけで書けるのは、我々が考えている系の著しい性質である。 これは、見、特定の系の特殊事情に見える。 しかし、我々の問題はスピングラスという非常に重要な系とつ
は、ゲージグラスのスピン波近似とほとんど同ながっている。実際、式 (5) の弾性エネルギーはランダムに固定されているのに対し、我々の系ではじである。違いは、ゲージグラスでは$\overline{\nabla}_{X}\tilde{\nabla}_{\mathrm{Y}}-\tilde{\nabla}_{Y}\tilde{\nabla}_{X}$–$U$$\{\beta_{ij}\}$$\{_{1}\iota^{\prime;_{ij}\}}$

もまた動的な変数であって、塑性流動則に従って発展するという点にある。塑性体とスピングラスに共通する性質を考えるうえで、 この割箸モデルが役立つ部分は少なくないと思われる。

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$13\mathrm{M}\mathrm{E}$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$3 ただし、$\mathit{0}2$程度の付加項は無視する。

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$\mathrm{E}\mathrm{s}1_{1\mathrm{C}}1\mathrm{b}\mathrm{y}.1^{1}\prime \mathrm{h}\mathrm{c}$$\mathrm{D}$$\prime 1’.$$\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}$$3,$$\mathrm{p}$$37^{\cdot}\mathrm{d},$$\mathrm{p}$