４月

December問題.
ある会社の社訓は「毎朝必ず全員が全員に『おはよう』と声を掛ける。」ことだという。全員が出社した、ある日の朝、『おはよう』の声を数えたら５７００回だった。従業員の総数を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、学年・クラス・氏名と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。
（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒は氏名とペンネームも記入してください。

締め切り ４月２７日(水)今月の１問４月

総従業員数を 𝑛 人とすると、社訓より、ある従業員は自分以外の全員に声を掛けるから、声を掛ける回数は (𝑛 − 1) 回.。したがって、

n(n  1)  5700と式を立てられる。これを解いてn  n  5700  0(n  75)(n  76)  02

 n  75, 76
n  0 より n  76

答え76 人５月December問題.
図のような１街区１ｋｍの道路がある。
Ｐ点にいる清掃車が、全ての道路を清掃してＰ点に戻ってくるのに必要な、最小の移動距離を求めよ。

Ｐ１ｋｍ

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、学年・クラス・氏名と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒は氏名とペンネームも記入してください。

締め切り ５月３１日(火)今月の１問P 点からスタートして P 点まで一筆書きで戻ればその道のりが最小移動距離となります。ここで、一筆書きの可能な場合は次の２つだけです。
① 奇点が２つ（それぞれが始点終点）② すべて偶点（始点終点が一致）
そこでこの図を見ると、奇数本の道路が交わる奇点が１２個、偶数本の道路が交わる偶点が９個あります。これでは一筆書きをすることができません。特に今回は、起点と終点が同じなので、交差点はすべて偶点でなければなりません。最小の本数の道路を追加してすべての点を偶点にできれば、今ある道路(４０km)と追加した道路の合計距離数が、一筆書きで全ての道路を回ってＰ点に戻ってくるのに必要な最小の移動距離となります。その追加する道路は右図の通り赤の６本なので、
４０＋８＝４８

答え 48km

５月

Ｐ６月
December問題.
右の図の９つのマスに異なる正の整数を ４ Ｘ入れる。各行、各列、各対角線に並ぶ３つの数字の積がすべて同じ値となるように自然数を選ぶものとするとき、Ｘの値を６４求めよ。

８

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、学年･クラス･番号･氏名と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り ６月３０日(木)今月の１問今月の問題を解くキーワードは
1) 2 の累乗（1, 2, 22 , 23 , 24 , ⋯ , 2𝑛 ）2) 魔方陣（3×3 の場合、縦・横・斜め、どの和も 15）の 2 つです。もちろん普通に連立方程式をたてれば解けますが、この 2 つを意識しながら解くと味わい深いと思います。
4，8，64 はそれぞれ 2 の累乗ですから22 , 23 , 26 。このとき 3 つの数字の積は、2 の累乗の積と考えると、指数部分は和で表されるので、この問題は指数部分の魔方陣と考えられます。3×3 の魔方
陣の縦、横、斜めの 3 つの数字の和は 15 なので、①→②→③→Ｘの順に求めると、① ⋯ ⋯ 215−6−2 = 27 = 128, ② ⋯ ⋯ 215−7−3 = 25 = 32
③ ⋯ ⋯ 215−6−5 = 24 = 16,X ⋯ ⋯ 215−2−4 = 29 = 512となり、答えは X = ５１２

答え 512６月

４Ｘ ③① ② ８６４

７月

December問題.

Ａ

円周上の点Ａから図のように球を打ち出した。球が円の内側で跳ね返りながら、はじめて点Ａの位置に戻るまで、何回円の内側に当たったか、その回数を求めよ。

69°

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り ７月１５日(金)今月の１問７月
Ａ

円の中心をＯとし、点Ａから打ち出された球が、点Ｂに当たったとし、こＢれを第１回目とすると、弧ＡＢの中心角 ∠AOB は、∠OAB = ∠OBA より、

69°42°42°∠AOB = 180° − 69° × 2 = 42°
１回目に点Ｂで内側に当たった球は同様に中心角 42° で２回目に点69°

ＯＣＣに当たり、以降これを繰り返す。つまり、点Ａから打ち出された球は、中心角 42° ごとに円の内側に当たり、初めて点Ａの位置当たったときの回数が求める答えである。この点Ａの位置に球が戻るためには、42 の倍数が、360 の倍数に等しくなればよい。
そこで 42 と 360 の最小公倍数を求めると 2520 だから、2520 ÷ 42 = 60以上から、点Ａから打ち出された球が、初めて点Ａの位置に戻るのは、60 回円の内側に当たったときである。

答え

60 回

８月
December問題.
次の式を因数分解せよ。

(𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦)(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑥 )+ (𝑙 − 𝑦)(𝑚 − 𝑥 )(𝑛 − 𝑧) − (𝑙 − 𝑧)(𝑚 − 𝑥 )(𝑛 − 𝑦)+ (𝑙 − 𝑧)(𝑚 − 𝑦)(𝑛 − 𝑥)
解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り ８月３１日(火)今月の１問８月(𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦)(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑥 ) + (𝑙 − 𝑦)(𝑚 − 𝑥 )(𝑛 − 𝑧) − (𝑙 − 𝑧)(𝑚 − 𝑥 )(𝑛 − 𝑦) + (𝑙 − 𝑧)(𝑚 − 𝑦)(𝑛 − 𝑥 )= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦){(𝑚𝑛 − 𝑚𝑥 − 𝑛𝑧 + 𝑥𝑧) − (𝑚𝑛 − 𝑚𝑧 − 𝑛𝑥 + 𝑥𝑧)}
− (𝑙 − 𝑧){(𝑚𝑛 − 𝑚𝑦 − 𝑛𝑥 + 𝑥𝑦) − (𝑚𝑛 − 𝑚𝑥 − 𝑛𝑦 + 𝑥𝑦)}
= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦){−𝑚𝑥 − 𝑛𝑧 + 𝑚𝑧 + 𝑛𝑥 } − (𝑙 − 𝑧){−𝑚𝑦 − 𝑛𝑥 + 𝑚𝑥 + 𝑛𝑦}= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦){𝑚(𝑧 − 𝑥 ) − 𝑛(𝑧 − 𝑥)} − (𝑙 − 𝑧){𝑚(𝑥 − 𝑦) − 𝑛(𝑥 − 𝑦)}= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑙 − 𝑦)(𝑧 − 𝑥)(𝑚 − 𝑛) − (𝑙 − 𝑧)(𝑥 − 𝑦)(𝑚 − 𝑛)= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛){(𝑙 − 𝑦)(𝑧 − 𝑥 ) + (𝑙 − 𝑧)(𝑥 − 𝑦)}= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛){(𝑙𝑧 − 𝑙𝑥 − 𝑦𝑧 + 𝑦𝑥) + (𝑙𝑥 − 𝑙𝑦 − 𝑧𝑥 + 𝑧𝑦)}
= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛)(𝑙𝑧 + 𝑦𝑥 − 𝑙𝑦 − 𝑧𝑥)= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛){𝑧(𝑙 − 𝑥 ) − 𝑦(𝑙 − 𝑥)}= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛)(𝑙 − 𝑥)(𝑧 − 𝑦)= (𝑙 − 𝑥 ){(𝑚 − 𝑧)(𝑛 − 𝑦) − (𝑚 − 𝑛)(𝑧 − 𝑦)}= (𝑙 − 𝑥 ){(𝑚𝑛 − 𝑚𝑦 − 𝑛𝑧 + 𝑧𝑦) − (𝑚𝑧 − 𝑚𝑦 − 𝑛𝑧 + 𝑛𝑦)}
= (𝑙 − 𝑥 ){𝑚𝑛 + 𝑧𝑦 − 𝑚𝑧 − 𝑛𝑦}= (𝑙 − 𝑥 ){𝑚(𝑛 − 𝑧) − 𝑦(𝑛 − 𝑧)}= (𝑙 − 𝑥 )(𝑚 − 𝑦)(𝑛 − 𝑧)

答え(𝑙 − 𝑥)(𝑚 − 𝑦)(𝑛 − 𝑧)

応募総数 4 件。もっとチャレンジしてほしかったですね。
本問は展開を最小限に抑えながら、上手に共通因数を作れば必ず答えに辿り着きます。是非答えを確認してみて下さい。来月は時節ネタです。挑戦待ってます!!

９月
December問題.
豊岡高校でも総選挙を行うことになった。総生徒数
９５０名から５名の代表を選びたい。生徒全員が１名だけ名前を書いて投票するとき、意欲に溢れたＡさんが当選確実となるための最小の得票数を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り ９月３０日(水)今月の１問９月

Ａさんの得票数を x とおき、残りの票数は５名がすべて獲得したとします( 950  x )。このとき、Ａさんの得票数が残りの５名の１人当たりの得票数(950-x)/5 よりも多ければ、Ａさんは必ず上位５位以内に入り、当選確実となります。つまり、

950  xx5950
5 x  950  x 6 x  950  x ≒ 158.36

よって、これを満たす最小の整数は x  159 したがって、 159 票 が「A さんが当選確実となるための最小得票数」です。

答え159 票（ちなみに、もし A さんが 159 票を取ると残りの票は 5 人で 791 票。1 人あたりでは 158.2 票となり、5 人全員が 159 票を上回れないため、必ずＡさんは上位 5 名の中に入り当選確実となります。つまり、開票を見守っていたＡさんは、得票が 159 票になった瞬間に当選確実となり、支持者から胴上げされ、ダルマに両目を入れられるというわけです。その割合は全生徒数の約16.7％です。がんばれ A さん!!）１０月
December

問題.

２次方程式
𝟐
𝟏𝟗𝟐𝟎𝒙 + 𝟗𝟔𝒙 − 𝟐𝟎𝟏𝟔 = 𝟎 を解け
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･番号･氏名と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り １０月３１日(月)今月の１問１０月

埼玉県立豊岡高等学校は１９２０年（大正９年）に創立し、今年２０１６年で９６周年になります。それを記念して作ってみました。ちょっと易しすぎましたね。
1920𝑥 2 + 96𝑥 − 2016 = 0
両辺を９６で割って20𝑥 2 + 𝑥 − 21 = 0
因数分解して、(𝑥 − 1)(20𝑥 + 21) = 0
したがって求める答えは
𝑥 = 1,

答え

21−
20𝟐𝟏
𝒙 = 𝟏, −𝟐𝟎

応募 32 件！ 今回もやや少なめでした。今回は名前が書いてない投稿が 2 件もあって残念でした。クラスの合計などに反映しないので、ぜひ記名して下さい。

１１月
December問題
右図のような同じ大きさの１０個 Ａの正方形がある。線分ＣＤ,ＡＢが辺ＢＤとなす角をそれぞれ 𝜶, 𝛃 とするとき，角 𝜶 + 𝛃 を求めよ。
ＤＣαβＢ

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り １１月３０日(水)Ｅ今月の１問【加法定理で…】

せっかく加法定理を勉強しましたので、加法定理を使って解きましょう。

12tan 𝛼 = , tan 𝛽 =53△ＡＢＤと△ＣＤＥよりしたがって加法定理より、

1 2+tan 𝛼 + tan 𝛽
3 + 10 13
53tan(𝛼 + 𝛽) =
===
=1
1
2
1 − tan 𝛼 tan 𝛽 1 − ×15 − 2 135 3【作図で…】

0<𝛼+𝛽 <πＦ

△A’B’Ｆ≡△DA’G より A’D=A’B’、∠DA’B’=∠R よって△A’DB’は直角二等辺三角形だから∠A’B’D＝４５°Ａ

したがってβαＤαより

𝜋∴ 𝛼 + 𝛽 = = 45°4

図のように AB を A’B’に平行移動すると、△A’B’D でα+β＝∠A’B’DＡ’

Ｇ

１１月

βＢ

答え 45°Ｂ’ ∴α+β＝４５°Ｅ

１２月
December問題.
次の2016個の分数のうち、 約分できない分数は 何個あるか答えよ。
𝟏,
𝟐𝟎𝟏𝟔

𝟐,
𝟐𝟎𝟏𝟔

𝟑,
𝟐𝟎𝟏𝟔

⋯,

𝟐𝟎𝟏𝟓
,
𝟐𝟎𝟏𝟔

𝟐𝟎𝟏𝟔
𝟐𝟎𝟏𝟔

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り １２月１６日(金)今月の１問１２月

2016 を素因数分解してみます。
2016 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 25 × 32 × 7と表せ、2016 は 2 と 3 と 7 を約数として持っています。つまり、2016 を分母とする分数で約分できる分数は、分子分母が 2 の倍数かまたは 3 の倍数かまたは 7 の倍数をもっているとき約分することができるということです。そこで、2，3，7，6，14，21，42 の倍数の個数をそ
れぞれ2(𝑛), 3(𝑛), 7(𝑛), 6(𝑛), 14(𝑛), 21(𝑛), 42(𝑛)とおくと約分できる分数の個数は、2 の倍数かまたは 3 の倍数かまたは 7 の倍数の個数に等しいので６の倍数2(𝑛) ∪ 3(𝑛) ∪ 7(𝑛)２の倍数３の倍数= 2(𝑛) + 3(𝑛) + 7(𝑛) − {2(𝑛) ∩ 3(𝑛) + 3(𝑛) ∩ 7(𝑛) + 2(𝑛) ∩ 7(𝑛)} + 2(𝑛)∩ 3(𝑛) ∩ 7(𝑛)４２の倍数
= 2(𝑛) + 3(𝑛) + 7(𝑛) − {6(𝑛) + 21(𝑛) + 14(𝑛)} + 42(𝑛)= 1008 + 672 + 288 − {336 + 96 + 144} + 48
= 1440
よって求める分数の個数は、約分できない分数の個数だから、2016 から引けばよい
２１の倍数ので１４の倍数∴2016 − 1440 = 576
７の倍数

答え 576 個

１月
December問題.

約数の個数が７０個ある最小の自然数 𝒏 を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り １月３１日(月)今月の１問

１月

約数の個数の求め方を思い出し、それを一般的な形に広げて考えます。まず、自然数ｎを素因数分解して表すと

𝑛 = 𝐴𝑎 × 𝐵𝑏 × 𝐶 𝑐 × ⋯ (𝐴, 𝐵, 𝐶は素数)と表せます。そのときの約数の数は(𝑎 + 1) × (𝑏 + 1) × (𝑐 + 1) × ⋯と計算できます。ここで、70 = 2 × 5 × 7 = (1 + 1)(4 + 1)(6 + 1)
なので、この公式に当てはめると、𝑎, 𝑏, 𝑐 のどれかが 1, 4, 6になります。小さい素数をたくさん使えば求める数が小さくなるので、一番小さい素数２を６乗、３を４乗、５を１乗とすればよいことがわかります。よって答え
は、26 × 34 × 51 = 64 × 81 × 5 = 25920

答え 25920

２月

December

問題.

大病院の病室に４と９を使わないで１号室から順番に番号をつけていくと７００番
目の部屋は何号室か求めなさい。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

締め切り ２月２４日(金)今月の１問２月

この問題は、１号室から順番に番号を割り振ればいいので中学生でも解くことは可能ですが、高校生なら、ｎ進法の考え方を使って解きたいものです。それはどうすればいいかというと、４と９が使えないということは考え方を変えると、７００を８つの数字で表すことと同じです。つまり、８つの数字だけで表す８進数を使えば解けるということになります。そこで１０進数の７００を８進数に直すと、

700[10] = 1 × 512 + 2 × 64 + 7 × 8 + 4= 1 × 83 + 2 × 82 + 7 × 8 + 4 = 1274[8]となるため、1274[8] となります。
ここで、今回の８進数は４と９を使わず、 ０ , １ , ２ , ３ , ５ , ６ , ７ , ８ から構成されるので、普通の８進数（０から７を使う）を、０ → ０ , １ → １ , ２ → ２ , ３ → ３ , ４ → ５ , ５ → ６ , ６ → ７ , ７ → ８のように変換しなければなりません。この変換によって 1274[8] は １２８５ に変換されるので、これが求める答えです。

答え 1285 号室