多結晶SI太陽電池中の鉄不純物の電圧印加オペランド観察
での時系列シミュレーション

静岡理工科大学
吉田 惇輝, 小林 正, 大場 春佳, 水野 信也, 吉田 豊

NTTデータ数理システム学生研究奨励賞
2020/12/18

目次
1,はじめに2,本研究の目的

3,本研究に用いた反応式・データ
4,Kの推定4-1,差分方程式と勾配法を用いてKをモデル化
4-2,Numerical Optimizerを使用

5,Kの推定の結果
6,まとめと今後の課題

2

1,はじめに「多結晶Si太陽電池中の鉄不純物の電圧印加オペランド観察」とは、• 静岡理工科大学 理工学部 物質生命科学科
吉田研究室で行った研究
顕微メスバウア分光装置を利用して、多結晶シリコン太陽電池に外部電圧を印加したときに生じる、電子・正孔・鉄不純物を特殊な装置を用いて、異なる化学状態ごとにオペランド観察をしたもの

顕微メスバウア分光装置
引用文献
Y. Yoshida· Y. Ino·K. Matsumuro·T. Watanabe·H. Fujita·K.
Hayakawa·K. Yukihira·K. Ogai·K. Moriguchi· Y. Harada·H.
Soejima (2016),“Feasibility study to investigate diffusion of Fe in Si usinga Mossbauer spectroscopic microscope,”
Hyperfine Interact(2016) 237: 130

3

1,はじめに多結晶シリコン太陽電池の特徴• ICの端材やシリコン半導体の端材を利用して製造しているため、大理石のような青く輝く見た目• 製造単価が安価に抑えられる点から、住宅用太陽光発電システムに多く使われる• 製造過程で不可避的に鉄不純物が混入発電効率の低下↘

42,本研究の目的
多結晶シリコン太陽電池には4種類の状態の鉄不純物
𝑒−

𝐹𝑒𝑖2+
𝐹𝑒𝑖0
𝐹𝑒𝑖+

𝐹𝑒𝑖0

𝑒−

𝐹𝑒𝑠0

ℎ+

𝐹𝑒𝑠0

𝐹𝑒𝑖0

𝐹𝑒𝑖+

𝐹𝑒𝑖2+

𝐹𝑒𝑠0 , 𝐹𝑒𝑖0 , 𝐹𝑒𝑖+ , 𝐹𝑒𝑖2+が存在する。

𝐹𝑒𝑖2+ℎ+

本研究では、電圧を印加した際に起こる、鉄(Fe)の状態変化とキャリア捕獲反応のしやすさ「𝐾𝑠0 ,𝐾0𝑠 ,𝐾01 ,𝐾10 ,𝐾12 ,𝐾21 」のモデル化と推定を行う。

𝐹𝑒𝑠0

𝐾𝑠0𝐾0𝑠

𝐹𝑒𝑖0

𝐾01
𝐾10𝐹𝑒𝑖+𝐾12𝐾21

𝐹𝑒𝑖2+53,反応式
鉄の状態変化とキャリア捕獲反応のしやすさ「 𝐾𝑠0 ,𝐾0𝑠 ,𝐾01 ,𝐾10 ,𝐾12 ,𝐾21 」
は電子濃度、正孔濃度と反応のしやすさの積である。

𝐾𝑠0 = 𝑘𝑠0𝐾0𝑠 = 𝑘0𝑠
𝐾01 = 𝑘01 𝑛ℎ
𝐾10 = 𝑘10 𝑛𝑒
𝐾12 = 𝑘12 𝑛ℎ
𝐾21 = 𝑘21 𝑛𝑒• 𝑘𝑠0 → 𝐹𝑒𝑠0 から𝐹𝑒𝑖0 の反応のしやすさ• 𝑘0𝑠 → 𝐹𝑒𝑖0 から𝐹𝑒𝑠0 の反応のしやすさ• 𝑘01 → 𝐹𝑒𝑖0 から𝐹𝑒𝑖+ の反応のしやすさ• 𝑘10 → 𝐹𝑒𝑖+ から𝐹𝑒𝑖0 の反応のしやすさ• 𝑘12 → 𝐹𝑒𝑖+ から𝐹𝑒𝑖2+ の反応のしやすさ• 𝑘21 → 𝐹𝑒𝑖2+ から𝐹𝑒𝑖2+ の反応のしやすさ• 𝑛𝑒 → 電子(𝑒 − )濃度• 𝑛ℎ → 正孔(ℎ+ )濃度6

3,反応式
鉄濃度(𝐶𝐹𝑒𝑠0 ,𝐶𝐹𝑒 0 ,𝐶𝐹𝑒 + ,𝐶𝐹𝑒 2+ )の反応式は以下のように表す。
𝑖𝑖

𝑑𝐶𝐹𝑒 0𝑖𝑑𝑡= −𝑘01 𝐶𝐹𝑒 0 𝑛ℎ + 𝑘10 𝐶𝐹𝑒 + 𝑛𝑒 − k s0 CFe0s + k 0s CFe0
𝑖𝑖dCFe+idt

𝑖𝑖𝑖𝑑𝑡
𝑑𝐶𝐹𝑒𝑠0i= 𝑘01 𝐶𝐹𝑒 0 𝑛ℎ − 𝑘10 𝑛𝑒 + 𝑘12 𝑛ℎ 𝐶𝐹𝑒 + + 𝑘21 𝐶𝐹𝑒 2+ 𝑛𝑒𝑑𝐶𝐹𝑒 2+𝑑𝑡𝑖𝑖= 𝑘12 𝐶𝐹𝑒 + 𝑛ℎ − 𝑘21 𝐶𝐹𝑒 2+ 𝑛𝑒𝑖𝑖

= 𝑘𝑠0 𝐶𝐹𝑒𝑠0 + 𝑘0𝑠 𝐶𝐹𝑒 0𝑖• 𝐶𝐹𝑒 0 → 鉄(𝐹𝑒𝑖0 )濃度• 𝑛𝑒 → 電子(𝑒 − )濃度• 𝐶𝐹𝑒 1 → 鉄(𝐹𝑒𝑖1 )濃度• 𝑛ℎ → 正孔(ℎ+ )濃度𝑖𝑖• 𝐶𝐹𝑒 2 → 鉄(𝐹𝑒𝑖2 )濃度𝑖• 𝐶𝐹𝑒𝑠0 → 鉄(𝐹𝑒𝑠0 )濃度7

3,研究データ• 鉄濃度(𝐶𝐹𝑒𝑠0 ,𝐶𝐹𝑒 0 ,𝐶𝐹𝑒 + ,𝐶𝐹𝑒 2+ )は多結晶Si太陽電池中の鉄不純物の電圧𝑖𝑖𝑖

印加オペランド観察で得られたデータを用いる。

• 7種類の電圧印加時の鉄濃度(𝐶𝐹𝑒𝑠0 ,𝐶𝐹𝑒 0 ,𝐶𝐹𝑒 + ,𝐶𝐹𝑒 2+ )を一つの鉄濃度あたり、6400セルごとに表したデータである。

0V-5V0V

0.2V𝑖𝑖𝑖

0.6V

0.9V0V• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑠0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖0• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+• 𝐶𝑓𝑒𝑖2+(8.0 × 10−2 )𝑐𝑚(8.0 × 10−2 )𝑐𝑚

𝐶𝑓𝑒
80*80セル
84,𝐾の推定
4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化• 6つのパターンでシミュレーションの初期値、目的値を設定し3つのプロセスで各セルごとのKの最適化を行う。
I.

𝑛
差分方程式による𝐶𝐹𝑒のシミュレーション
𝑛𝑛
𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 ℎ

II. 目的関数(目的値とシミュレーション値の誤差を評価)

シミュレーション値の初期値

目的値

パターン10V-5V

パターン2-5V0V

パターン30V0.2V

パターン4

0.2V

0.6V

パターン50.6V

0.9V

パターン6

0.9V

0V

21𝑛𝑛 2
𝑃 𝐾 = ෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒2𝑛=𝑠

III. 勾配法より K = 𝐾𝑠0 , 𝐾0𝑠 , 𝐾01 , 𝐾10 , 𝐾12, 𝐾21 を更新

𝐾 𝑚 + 1 = 𝐾 𝑚 − 𝛼 ∇𝑃 𝐾
IV. Ⅰ～Ⅲを繰り返し、最適値K を得る
94,𝐾の推定
4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化
𝑛I. 差分方程式による𝐶𝐹𝑒のシミュレーション
𝑛𝑛
𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 ℎ𝑛 = 𝑠, 0,1,2

詳細は𝑠𝑠𝑠012𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓𝑠 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 ,𝐾 ℎ
00𝑠0
12𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓0 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 ,𝐾 ℎ
1
1𝑠0
1
2
𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓1 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 ,𝐾 ℎ
22𝑠0
12
𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓2 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 , 𝐶𝐹𝑒𝑡 ,𝐾 ℎ

ただし、𝑠0𝑓𝑠 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 = −𝑘𝑠0 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑘0𝑠 𝐶𝐹𝑒𝑡01𝑠0𝑓0 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 = 𝑘01 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛ℎ + 𝑘10 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛𝑒 + 𝑘𝑠0 𝐶𝐹𝑒𝑡 − 𝑘0𝑠 𝐶𝐹𝑒𝑡012𝑓1 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 = 𝑘01 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛ℎ − 𝑘10 𝑛𝑒 + 𝑘12 𝑛ℎ 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑘21 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛𝑒
12𝑓2 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 = 𝑘12 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛ℎ − 𝑘21 𝐶𝐹𝑒𝑡 𝑛𝑒

𝐾 = 𝐾𝑠0 , 𝐾0𝑠 , 𝐾01 , 𝐾10 , 𝐾12 , 𝐾21
10

4,𝐾の推定
4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化• 関数fの偏微分𝑠−𝐶𝐹𝑒𝑛=𝑠𝑠
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾𝐶𝐹𝑒
𝑛=0=𝜕𝐾𝑠00 𝑛=10 𝑛=2𝑛=𝑠0
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾−𝐶𝐹𝑒𝑛ℎ 𝑛 = 0=0
𝜕𝐾01
𝐶𝐹𝑒𝑛ℎ 𝑛 = 10 𝑛=20
𝐶𝐹𝑒𝑛=𝑠0
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾−𝐶𝐹𝑒𝑛=0=𝜕𝐾0𝑠0 𝑛=10 𝑛=200 𝑛=𝑠1
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾
𝐶𝐹𝑒
𝑛𝑒 𝑛 = 0=1
𝜕𝐾10−𝐶𝐹𝑒𝑛𝑒 𝑛 = 10 𝑛=2000 𝑛=𝑠0 𝑛=0
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾=2𝐶𝐹𝑒𝑛𝑒 𝑛 = 1
𝜕𝐾212−𝐶𝐹𝑒𝑛𝑒 𝑛 = 2𝑛=𝑠𝑛=0
𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 , 𝐾=1−𝐶𝐹𝑒𝑛ℎ 𝑛 = 1
𝜕𝐾121
𝐶𝐹𝑒𝑛ℎ 𝑛 = 2

11

4,𝐾の推定
4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化
II. 目的関数(目的値とシミュレーション値の誤差を評価)
2

𝑃 𝐾 =1𝑛𝑛 2
෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒2𝑛=𝑠• 目的関数の微分 目的関数の微分2𝜕𝑃𝑛𝑛= ෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒𝐾𝜕𝐾𝑥2′𝑛=𝑠𝑛𝑛= ෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒𝐾
𝑛=𝑠2𝑛𝑛𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒𝐾𝑛
𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒𝑡 ,𝐾 ℎ ′𝜕𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾ℎ𝜕𝐾𝑥𝑛𝑛= ෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒𝐾
𝑛=𝑠𝑛𝑛
𝐶𝐹𝑒𝑡, 𝐾 − 𝑆𝐹𝑒𝑡, 𝐾𝑛≅ 𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒𝑡, 𝐾 ℎ
12

4,𝐾の推定4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化
III. 勾配法より K = 𝐾𝑠0 , 𝐾0𝑠 , 𝐾01 , 𝐾10 , 𝐾12, 𝐾21 を更新
𝐾 𝑚 + 1 = 𝐾 𝑚 − 𝛼 ∇𝑃 𝐾

𝐾𝑠0 𝑚 + 1
𝐾0𝑠 𝑚 + 1
𝐾01 𝑚 + 1𝐾10 𝑚 + 1
𝐾12 𝑚 + 1
𝐾21 𝑚 + 1mはシミュレーション回数=𝐾𝑠0 𝑚
𝐾0𝑠 𝑚
𝐾01 𝑚
𝐾10 𝑚
𝐾12 𝑚
𝐾21 𝑚

𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾𝑠0
𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾0𝑠
𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾01− 𝛼 𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾10
𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾12
𝜕𝑃 𝐾
𝜕𝐾2113

4,𝐾の推定
4-1,差分方程式と勾配法を用いて𝐾をモデル化
IV. Ⅰ～Ⅲを繰り返し、推定値𝐾 を得る
I.

𝑛
差分方程式による𝐶𝐹𝑒のシミュレーション
𝑛𝑛
𝐶𝐹𝑒𝑡 + ℎ = 𝐶𝐹𝑒𝑡 + 𝑓𝑛 𝐶𝐹𝑒 𝑡 , 𝐾 ℎ

II. 目的関数(目的値とシミュレーション値の誤差を評価)
2

𝑃 𝐾 =1𝑛𝑛 2
෍ 𝐶𝐹𝑒− 𝑆𝐹𝑒2𝑛=𝑠

目的関数の収束の様子

III. 勾配法より K = 𝐾𝑠0 , 𝐾0𝑠 , 𝐾01 , 𝐾10 , 𝐾12, 𝐾21 を更新𝐾 𝑚 + 1 = 𝐾 𝑚 − 𝛼 ∇𝑃 𝐾

14

4,𝐾の推定4-2,Numerical Optimizerを使用• さらなる最適化を図るため、Numerical Optimizerを使用。
 NTTデータ数理システムの数理計画法パッケージ

目的値[定数]
初期値[変数]
求解[変数]

微分式15

4,𝐾の推定4-2,Numerical Optimizerを使用
• 求解

• 目的値
𝑓0 = 𝐹𝑒𝑖0 濃度[目的]𝑓1 = 𝐹𝑒𝑖1 濃度[目的]𝑓2 = 𝐹𝑒𝑖2 濃度[目的]𝑓𝑠𝑢𝑏 = 𝐹𝑒𝑠0 濃度[目的]𝑘01 ,𝑘10 ,𝑘12 ,𝑘21 ,𝑘𝑠0 ,𝑘0𝑠 ,𝑘01 ≥ 0𝑘10 ≥ 0𝑘12 ≥ 0𝑘21 ≥ 0𝑘𝑠0 ≥ 0𝑘0𝑠 ≥ 0• 初期値
𝐶𝑓0 = 𝐹𝑒𝑖0 濃度[初期],
𝐶𝑓1 = 𝐹𝑒𝑖1 濃度[初期],
𝐶𝑓2 = 𝐹𝑒𝑖2 濃度[初期],𝐶𝑓𝑠𝑢𝑏 = 𝐹𝑒𝑠0 濃度[初期],

𝐶𝑓𝑒0 ≥ 0
𝐶𝑓𝑒1 ≥ 0
𝐶𝑓𝑒2 ≥ 0
𝐶𝑓𝑒𝑠𝑢𝑏 ≥ 0

16

4,𝐾の推定
4-2,Numerical Optimizerを使用• 目的関数 目的値とシミュレーション値の誤差を最小化する。
22212′′′
𝑃=𝑓0 − (𝐶𝐹𝑒 0 ) + 𝑓1 − (𝐶𝐹𝑒 + ) + 𝑓2 − (𝐶𝐹𝑒 2+ ) + 𝑓𝑠 − (𝐶𝐹𝑒𝑠0 )′
𝑖𝑖𝑖2
𝑃≥0′

𝐶𝑓𝑒 →シミュレーション値• 微分式
 シミュレーション値として反応式を微分式に用いる。

𝑑𝐶𝐹𝑒 0𝑖𝑑𝑡
𝑑𝐶𝐹𝑒 += −𝑘12 𝐶𝐹𝑒 0 𝑛ℎ + 𝑘21 𝐶𝐹𝑒 + 𝑛𝑒 − 𝑘𝑠0 𝐶𝐹𝑒𝑠0 + 𝑘0𝑠 𝐶𝐹𝑒 0𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝑘12 𝐶𝐹𝑒 0 𝑛ℎ − 𝑘21 𝑛𝑒 + 𝑘23 𝑛ℎ 𝐶𝐹𝑒 + + 𝑘32 𝐶𝐹𝑒 2+ 𝑛𝑒𝑖𝑖𝑖𝑑𝑡
𝑑𝐶𝐹𝑒 2+𝑖= 𝑘23 𝐶𝐹𝑒 + 𝑛ℎ − 𝑘32 𝐶𝐹𝑒 2+ 𝑛𝑒𝑖𝑖𝑑𝑡
𝑑𝐶𝐹𝑒𝑠0= 𝑘𝑠0 𝐶𝐹𝑒𝑠0 + 𝑘0𝑠 𝐶𝐹𝑒 0𝑖𝑑𝑡
17

5,𝐾の推定の結果• 最適化した鉄(Fe)の状態変化とキャリア捕獲反応のしやすさ「𝐾𝑠0 ,𝐾0𝑠 ,𝐾01 ,𝐾10 ,𝐾12 ,𝐾21 」をプロット化。
• 以下の画像はシミュレーション値の初期値[-5V]→目的値[0V]の𝐾10 ,𝐾12 を変化の大きさごとに色分けを行った。
大

大変化の
大
きさ

変化の
大
きさ

小

小18

5,𝐾の推定の結果
大変化の
大
きさ

シミュレーション値の初期値[-5V]→目的値[0V]の𝐾10上半分が変化しにくい、下半分が変化しやすいと考えられる。

小大

シミュレーション値の初期値[-5V]→目的値[0V]の𝐾12変化の
大
きさ変化しやすい部分と変化しにくい部分が広く分布していると考えられる。

小19

5,まとめと今後の課題
今回• 変化の現象のモデル化と、ソフトウェアを用いて電子濃度・正孔濃度での状態変化とキャリア捕獲のしやすさ「𝐾𝑠0 ,𝐾0𝑠 ,𝐾01 ,𝐾10 ,𝐾12 ,𝐾21 」を得られた。
今後は• 電子濃度「𝑛𝑒 」、正孔濃度「𝑛ℎ 」のそれぞれの値を求めていく必要がある。
• 専門家と話し合い、より詳細なモデル化と推定をする必要がある。
また結果本研究は最適化する個数が多いため、並列化ができる環境が必要である。

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