トランスファー共振器を用いたリドベルグ状態励起用 960 nm 半導体レーザーの周波数安定化
中川研究室 学部四年 金井大輔

近年、光や中性原子、イオンの量子状態を利用した量子情報の研究が世界中で進められている。これらの量子を用いて量子もつれ状態を生成することで、あらゆる可能性を同時並行に計算できる量子計算や、量子情報を遠隔地に伝達する量子テレポーテーションなど、今までにない特長を持った情報通信を行うことができる。
我々の研究室では中性原子のひとつである 87Rb原子を利用した量子情報についての研究を行っている。
中性原子を利用する利点の一例として、内部状態が周囲の影響を受けにくいため、量子力学的なコヒーレンス時間が長いことがある。しかし、その利点があるがゆえの欠点として、中性原子は相互作用が小さいことが挙げられる。相互作用が小さいため、中性原子は量子もつれ状態の作成難易度が高い。
この欠点を解消する方法として、リドベルグ準位に励起された電子を持つ原子を利用するというものがある。原子中の電子が主量子数の大きい原子軌道へと励起された状態のことを、リドベルグ状態（図１）という。リドベルグ状態の２原子間には、式（１）で表される相互作用𝑉𝑉が働く。
1 𝝁𝝁A ∙ 𝝁𝝁B 3(𝝁𝝁A ∙ 𝑹𝑹)(𝝁𝝁B ∙ 𝑹𝑹)
��𝑉𝑉 =−(1)𝑅𝑅34𝜋𝜋𝜀𝜀0𝑅𝑅5式（１）において、原子間距離を𝑅𝑅、原子 A の双極子モーメントを𝝁𝝁A 、原子 A の近傍にある原子 B の双極子モーメントを𝝁𝝁B とした。
この相互作用により、例えば原子 A がリドベルグ状態に励起されたとき、原子 B のリドベルグ準位が相互作用の分だけシフトする。これにより、原子 B にリドベルグ準位への励起光を照射しても、励起されない。これを、リドベルグブロッケード（図２）という。この効果を用いることで、２つの原子の内部状態は式（２）の|𝜓𝜓⟩で表される量子もつれ状態を生成することができる。
1(|R⟩A ⊗ |G⟩B + |G⟩A ⊗ |R⟩B)|𝜓𝜓⟩ =(2)√2
なお、|R⟩がリドベルグ状態、|G⟩が基底状態を表すものとし、それが原子 A、B どちらの内部状態であるかを添え字で示した。

図１．リドベルグ状態にある原子

図２．リドベルグブロッケード

図３．二光子吸収遷移

Rb原子のリドベルグ状態への励起は、波長 480 nm と 780 nm の２つのレーザー光による二光子吸収遷移で行われる（図３）。波長 780 nm のレーザー光は、 87Rb原子の吸収線に周波数安定化がなされている。
本研究は、周波数が安定化された波長 780 nm のレーザー光をリファレンスとし、トランスファー共振器を用いて波長 960 nm のレーザー光の周波数安定化を目的としている。
87

また、安定化の目標値について考える。まず 87Rb原子の励起時間が1 𝜇𝜇sであるので、少なくともその間はコヒーレントな光でなければならない。コヒーレンス時間𝜏𝜏c を１桁余裕をもって10 𝜇𝜇sとすると、線幅は𝜏𝜏cの逆数なので100 kHz以下であることが要求される。
次に、長期的な安定度について考える。図２で示したように、リドベルグブロッケードはリドベルグ準位が相互作用によりシフトすることで励起を阻止している。ここで、励起光が不安定であるがためにシフトした先の準位に励起される励起光を出してしまうと、式（２）で表される量子もつれ状態を生成することができなくなってしまう。これにより、周波数の時間的な変化は100 kHz以下であることが要求される。

２枚の鏡を向かい合せて固定した共振器のことを、ファブリー・ペロー共振器という。この共振器長を𝐿𝐿、共振器へ入射する光の波長を𝜆𝜆、任意の整数を𝑁𝑁とすると、まず入射光が共振する条件は、
1
𝐿𝐿 = 𝑁𝑁𝑁𝑁
2共振器へ入射する光の周波数をνとすると、c = νλより、𝑐𝑐
ν = 𝑁𝑁 ×2𝐿𝐿

(3)と式変形できる。この式（３）より、共振器は共振器長𝐿𝐿に固有の共振周波数νを持つことがわかる。
この共振器にν1 、ν2 二種類のレーザーを入射したとき、式（３）より、
𝑐𝑐ν1 = 𝑁𝑁1 ×2𝐿𝐿�
(4)𝑐𝑐
ν2 = 𝑁𝑁2 ×2𝐿𝐿である。ν1 が安定化されていたとすると式（４）の第一式より共振器長𝐿𝐿が安定化される。共振器長が安定化されると、式（４）の第二式より周波数ν2 が安定化される。このように、共振器長𝐿𝐿を介してレーザーの周波数を安定化させる方法をトランスファー共振器という。式（４）より、トランスファー共振器を使って安定化されたレーザーの周波数ν2 は次のように表せる。
𝑁𝑁2
ν2 =𝜈𝜈
𝑁𝑁1 1
本研究ではフィードバック制御を用いて周波数の安定化を試みる。フィードバック信号を得るための誤差信号を Pound-Drever-Hall 法（PDH 法）により取得する。実験系を図４に示す。
ECLD から出たレーザー光の電場を
𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖とする。電気光学変調器で角周波数Ωの変調をかけることにより、電場は、

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖= 𝐸𝐸0 𝑒𝑒 𝑖𝑖(ωt+β sin Ωt)となる。この式をベッセル関数を用いて一次まで展開すると、𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚= 𝐸𝐸0 �𝐽𝐽0 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝐽𝐽1 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔+Ω)𝑡𝑡 − 𝐽𝐽1 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔−Ω)𝑡𝑡 �𝐸𝐸𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖であり、サイドバンドが立っていることがわかる。搬送波の強度を𝑃𝑃𝐶𝐶 、サイドバンドの強度を𝑃𝑃𝑆𝑆 、振幅反射率を𝐹𝐹(𝜔𝜔)とすると、共振器からの反射光の電場は、
𝐸𝐸𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝐸𝐸0 �𝐹𝐹(𝜔𝜔)𝐽𝐽0 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝐹𝐹 (𝜔𝜔 + Ω)𝐽𝐽1 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔+Ω)𝑡𝑡 − 𝐹𝐹 (𝜔𝜔 − Ω)𝐽𝐽1 (𝛽𝛽)𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔−Ω)𝑡𝑡 �

フォトディテクターが感じる反射光の強度は、
2𝑃𝑃𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = �𝐸𝐸𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 � = 2�𝑃𝑃𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑆𝑆{𝑅𝑅𝑅𝑅[𝐹𝐹(𝜔𝜔)𝐹𝐹∗(𝜔𝜔 + Ω) − 𝐹𝐹∗(𝜔𝜔)𝐹𝐹(𝜔𝜔 − Ω)] 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Ω𝑡𝑡+ 𝐼𝐼𝐼𝐼[𝐹𝐹(𝜔𝜔)𝐹𝐹∗ (𝜔𝜔 + Ω) − 𝐹𝐹∗ (𝜔𝜔)𝐹𝐹(𝜔𝜔 − Ω)] 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 Ω𝑡𝑡} + (DC term) + (2Ω term)(5)となる。ファンクションジェネレータからミキサーへの入力を、フェイズシフターを用いて、
V0 cos(Ωt + 𝜃𝜃0 )(6)であるとすると、式（５）でΩの項虚部が DC となり、他は消滅するかΩ以上の項になる。ローパスフィ
ルタを通すことにより、DC のみを誤差信号𝜀𝜀として取り出す。
𝜀𝜀 = 2�𝑃𝑃𝐶𝐶𝑃𝑃𝑆𝑆 {𝐼𝐼𝐼𝐼[𝐹𝐹 (ω)𝐹𝐹 ∗ (ω + Ω) − 𝐹𝐹 ∗ (ω)𝐹𝐹 (ω − Ω)]}速い変調をかけていたとすると、搬送波が透過するときにサイドバンドは全て反射される。ゆえに𝐹𝐹 (𝜔𝜔 ± Ω) ≈ −1であるので、𝜀𝜀 = −4�𝑃𝑃𝐶𝐶𝑃𝑃𝑆𝑆 𝐼𝐼𝐼𝐼[𝐹𝐹(𝜔𝜔)]
誤差信号𝜀𝜀を図にしたものを図５に示す。

図４．PDH 法を用いて共振器長をロックする系

図５．PDH 法の誤差信号

780 nm のレーザー光をリファレンスとして共振器長をロックするために、図６に示す実験系を組んだ。
変調周波数は 7.4 MHz である。なお、この実験系で用いたフォトディテクターは変調周波数が拾える帯域の高速フォトディテクターを利用した。これは、ノイズを減らすためである。PZT ドライバーには加算回路を利用することで、ファンクションジェネレータによる三角波とフィードバック信号を同時に入力できる。図４ではフェイズシフターを利用しているが、代用として同軸ケーブルの長さで式６の𝜃𝜃0 を調節した。

図６．実験系
図７．得られた誤差信号
図８．周波数ノイズの PSD得られた誤差信号を図７、PI 制御器によりロックしたときの周波数ノイズのパワースペクトル密度(PSD)を図８に示す。制御帯域 8 kHz で周波数安定化に成功した。

共振器長をリファレンスとして 960 nm レーザーの周波数をロックするために、図９に示す実験系を組んだ。変調周波数は 15.4 MHz である。得られた誤差信号を図１０、PID 制御器を用いて前節と同様にロックしたときの PSD を図１１に示す。制御帯域 70 kHz で周波数安定化に成功した。

図９．実験系

図１０．得られた誤差信号

図１１．周波数ノイズの PSD

上記２つの実験を同時に行った。つまり、780 nm レーザーを基準として共振器長をロックし、その共振器長を基準として 960 nm のレーザーをロックした。使用した器具、安定化回路、変調周波数は不変である。実験系を図１２、PSD を図１３、周波数揺らぎを図１４に示す。
前節の実験結果である図１１と図１３に大きな違いは見られないが、それは同じレーザーを同じ安定化回路を用いてロックしているため、当然である。だが、長期的安定度の良い 87Rb原子にロックされている基準レーザーをリファレンスとしてロックされている共振器を使用しているので、960 nm のレーザーの長期的な安定度は改善すると見込まれる。
以上より、トランスファー共振器を用いた周波数安定化を行った。しかし、図１３から線幅は 100 kHzを上回っており、図１４からわかる通り、長期的な安定度として共鳴周波数からの時間的変化は 100 kHzを優に超えている。改善策は次節「まとめと今後の展望」にて述べる。

図１２．実験系

図１３．周波数ノイズの PSD

図１４．周波数揺らぎ

本研究では、トランスファー共振器を用いて周波数が安定化された波長 960 nm の半導体レーザー光を作成することを目標にしている。現段階では、基準レーザーをリファレンスとして共振器長を安定化することができる安定化回路、共振器長をリファレンスとして 960 nm のレーザーの周波数を安定化する安定化回路を作成することに成功し、各安定化回路を用いてトランスファー共振器による 960 nm レーザーの周波数安定化を試みた。
最終結果として前節より、目標の達成は果たされなかった。この結果を受けて我々が次に行うべきこと
として、共振器の固定である。現在、共振器は凹の形をした金属の上に置かれているだけであり、この共振器をチャンバー内に固定することが必要である。また、ペルチェ素子を使い、温度を一定にすることで、周波数揺らぎを軽減することができる。
以上の工夫を施した後、EIT(Electromagnetically Induced Transparency ； 電磁誘導透過) の基準線に評価することで安定性を評価することを今後の予定とする。