コンピュータ支援画像診断学会論文誌 Vol.2

May 1998

研究論文

ウェーブレット解析を用いた医用画像における微細構造の強調
内山 良一 * 山本 晧二 *要旨 画像のコントラストはエッジの勾配の大きさを修正することによって強調することができる。
ウェーブレット解析は変換によって解像度の異なるエッジ画像を生成するため、このエッジ画像に対して適当な重みを加えて逆変換すれば特定のサイズの特徴を強調することが理論的に可能である。本論文ではあるサイズの特徴を強調するために加えるそれぞれのレベルの重みの決定の方法を与える。また、本方法の効果を確認するためにマンモグラムに対して適用することによって異なるサイズの特徴の強調を行っている。
Key words :medical image processing, wavelet, contrast enhancement, mammogram

1. まえがきこのスケーリング関数を用いてレベル j のデータ Sjd f を次画像処理の一つに強調処理がある。これは画像のある特徴を犠牲にして別のある特徴を強調するものである。例えば、コントラストの強調、ぼけの回復、あるいは雑音の除去などがこれに含まれる。これらは画像を取り込む際に生式で定義する。

じた画質の劣化を視覚的に良好な状態にすることを目的としている。このような画像の強調にウェーブレット解析を用いる方法がある[Laine94a,Lu94a,Lu94b, 村木 94, 阿部 96]。
ウェーブレット解析を用いれば雑音成分を抑えながら画像解像度は小さい。このとき、(3)式を周波数領域で表せばの色々なサイズの特徴を強調することができる[Lu94b]。
この方法はウェーブレット変換することで得られる解像度の異なるエッジ画像(マルチスケールエッジ)に対して適当な重みを加え逆変換することで行われる。しかし、従来、強となる。(5)式は空間 Sjd f が空間 Sdj -1 f に H (2 j-1 ω)で与えられるフィルタを掛けて得られることを意味している。即ちS dj f =-∞t-x
dx
2jf(x) φ(3)dS j f = φ (2 j ω) f (ω)(4)

d= H(2 j-1 ω) S j -1(5)Sjd f ⊂ Sdj-1 f である。逆に、空間 Sdj -1 f には空間 Sjd f で表現できない空間が存在する。これを Wjd f と表現しよう。Sdj -1 fも Sjd f も２スケール関係を満たしているので、Wdj f も２スケール関係を満足していなければならない。そこで、Wjd fを２スケール関係 ψ(x) = Σk g k ψ(2x-k)を満たすウェーブレットψ(x)が張る空間として定義する。ここで、係数{ gk}に対してユニークな決定方法はないが、もしもH (2 j ω)がローパスフィルタならば{gk}で構成されるフィルタはハイラムの解析に適用し、局所異常陰影の強調を行う。

2. 方法パスとなるように決められることが多い。

ウェーブレット展開

W dj f =波形の特徴を理解しようとするとき、波形の特徴を大まかにとらえ次第に詳しく見つめるという段階的な観測過程

φ x =h k 2x -kk∈Z+∞f(x)ψ
-∞t-xdx
2jddW j f = G(2 j-1 ω) S j-1 f1^^
ここで、G(z) = ─Σ k gk zk である。一方、Sjd f と Wjd f より
2Sdj-1 fの再構成は、各々に逆フィルタを掛けその和として得られる。ここで、H (2 j ω)の逆フィルタ H (2 j ω)、G (2 jω)の逆フィルタを K (2 j ω)とすると(1)を満たすスケーリング関数φ(x)が与えられたとする。ここで、{ hk}は２スケール数列と呼ばれる。２スケール数列の1多項式を正規化定数 1/2 を用いて H(z)= ─Σk hkzk と定義す
2ると、(1)式は周波数領域で下のように表される。

φ (ω) = H(ω /2) φ (ω /2)12j

周波数領域ではを行うことが多い。このような解像度の段階的な構造は多重解像度表現と呼ばれる。今、２スケール関係＊1+∞

ここで、jは解像度を表すパラメータでありjが大きいとき調のための重みは経験的に与えられてきた。本論文ではこの重みの決定をテストパターン画像を用いて定量的に行う新しい方法を提案する。２章では提案する方法について述べ、３章において本方法の効果を確認するためにマンモグ

2.112jddd

S j-1 f = H(2 j-1 ω) S j f + K(2 j-1 ω) W j fd={H(2 j-1 ω) H(2 j-1 ω) + K(2 j-1 ω) G(2 j-1 ω)} S j-1 fであるから、完全に再構成するための条件としては(2)H(2 j-1 ω) H(2 j-1 ω) + K(2 j-1 ω) G(2 j-1 ω) = 1(6)が成立するように分析フィルタ H (2 j ω)、H (2 j ω)と合成フィルタK (2 j ω)、G (2 j ω)を設計しなければならない。このとき、H (2 j ω)をハイパスフィルタ、G (2 j ω)をローパ

宮崎大学工学部情報工学科 （〒 889-2192 宮崎市学園木花台西 1 丁目 1番地）
投稿受付：1998 年 2 月 18 日
最終稿受付：1998 年 4 月 9 日

スフィルタとして与えると、このシステムはレート変換を採用決定日：1998 年 4 月 20 日

-1-Journal of Computer Aided Diagnosis of Medical Images Vol.2

Fig.1 One-dimensional dyadic wavelet transform

C1
3510May 1998

Fig.2 Non-linear filter ( b=0.25, c=20.0 )C2C3C4C5C6C7C8C90.20 0.26
0.13 0.12
0.07 0.06

0.25
0.27
0.11

0.14
0.23
0.27

0.08
0.13
0.24

0.04
0.07
0.14

0.02
0.03
0.07

0.01
0.02
0.04

0.00
0.01
0.02

Table 1 Weights at each level

伴わない帯域２分割のサブバンドフィルタバンクとなる[貴家 95]。
本論文ではスケーリ ング関数として原点を中心とした２階のスプライン関数を、ウェーブレットとして４階のスプ{W j f (x)} 2 dx
Cj =

j=1

sin (ω / 2)2ω/2ψ ( ω) = −ω2 1

sin (ω / 4)

4

ω/4

4

2.3

逆変換することによって特定幅の線は強調されるが、もしその画像の中に局所的に強く明るい点が含まれている時にはその明るい点に濃度階調が奪われてしまい画像全体のコントラストは強調されない。そこで、次式の非線形フィル

G( ω) = −4sin2 (ω / 2)であり、(6)式を満たすように K (ω)を決定すると
12
K ( ω) = − {1+cos (ω / 2)}
4

タ[Laine94a]をそれぞれのレベルの分解画像に加えることによって、分解画像の局所的に大きな変動とノイズと思われる小さな変動を抑えてから決定された重みを加え逆変換する。

である。

2.2

CRT のダイナミックレンジの調整(7)式で決定した重みを各レベルの分解画像に対して加えこのとき、２スケール関係から分析フィルタH (ω)、G (ω)
はそれぞれH( ω) = cos 2 (ω / 2)

{W j f(x)} 2 dx

Table 1 は線幅 3 画素、5 画素、10 画素の強調に用いた各レベルの重み Cj を表している。

ライン関数の２階微分を用いた[Laine94b,Mallat92]。
φ ( ω) =(7)91

特定幅の線の強調
T(x) =

この節では特定幅の線を強調するためにそれぞれのレベルの分解画像に対して加える重みの計算の方法を与える。
前節で見たように各レベルの分解画像はレベルが上がるごとに幅が２のべき乗になるような分析フィルタ H (ω)、G (ω)をそのレベルに相当する回数加えることによって得られる。一方、再構成はその分解画像に対して合成フィル
タH (ω)、K (ω)を加えたのちそれらの加算で行われるが、ここで各レベルに加える重みとは再構成する際の分解画像の寄与度を変化させることに相当している。したがって、特定幅の線の強調のためには強調のための各レベルの寄与度が計算できれば良い。特定幅の線はその分解画像を再構成することによって得られるから、特定幅の線の画像(テストパターン)を作りその画像から得られた各レベルの分

1 + e −c(x−b)
1
1 + e −c(1−b)−−

1
1 + e c(x+b)
1
1 + e c(1+b)

ここで、パラメータ b は閾値であり、c は強調の割合を表すパラメータである。

3. 実験結果
前章で示した方法に基づき画像の特定幅の線の強調をマンモグラフィデータベース[データベース95]の画像に対して行った。Fig.3 は特定幅の線の強調の結果である。Fig.3(a)は原画像、Fig.3(b)は線幅 3 画素の強調、Fig.3(c)は線幅 5画素の強調、Fig.3(d)は線幅 10 画素の強調をそれぞれ表している。線幅 3 の強調では細かな線が強調されているが、線幅 10 では腫瘤影の部分が主に強調されている。次に石解データ Wj f(x) の寄与を各レベルに加える重み Cj として与れば、その幅に相当するサイズの特徴を強調することができる。

灰化影を含む画像に対して線幅 3 画素の強調を行った。
Fig.4 はその結果である。Fig.4(a)は原画像、Fig.4(c)は原画-2-コンピュータ支援画像診断学会論文誌 Vol.2

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Fig.3 Enhancement of fine lines of a fixed width-3-

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Fig.4 Enhancement of micro-calcification-4-May 1998

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May 1998

像の拡大、Fig.4(b)は強調画像、Fig.4(d)は強調画像の拡大をそれぞれ表している。Fig.4から石灰化影も強調されていることが分かる。

4. 考察
4.1 帯域分割特性
ウェーブレット変換はオクターブ分割と呼ばれる低域側のみを引き続き分割する処理である。具体的には分解のレベルが上がるごとに帯域を次々に２のべき乗に分割していFig.5 Parallel representaion

る。実際、Fig.1の一次元ウェーブレット変換を並列表現で表すと Fig.5 のようになり各レベルの分解画像を得るために加えられている分析フィルタを知ることができる。
Fig.6に各レベルの分解に用いられている分析フィルタの局所的周波数特性を示す。
Table 1から線幅３画素の強調にはレベル２と３の分解データに加える重みが大きいことが分かる。したがって線幅３画素の強調ではレベル２と３の分析フィルタの周波数に相当するところが局所的に強調されている。

4.2

レート変換比画像の情報圧縮などの応用にウェーブレット解析を用いるときにはデータ量を低減するために分析フィルタを加えたあとに、信号をM個間隔で間引く処理(ダウンサンプラ)を行う[太田 93、Mallat89]。これは基底関数の時間シフト tに対応している。しかし、画像の強調などの応用に対してウェーブレット解析を用いる時にはデータ量を必ずしも低減する必要はなく、むしろ詳細な情報の確保のためには間引きは行わないほうが良い。本稿では間引きを行わない、

Fig.6 Frequency response of analysis filter

つまりレート変換を伴わないウェーブレットを採用した。
F i g . 7 はレート変換比が２であるウェーブレット( H a a rウェーブレットなど)との違いを示す。レート変換比が２の場合、分解のレベルが進むごとに分解データの量は半減していくが、レート変換比が１の場合はレベルが進んでも分解データのデータ量は変わらない。

5. むすび
本論文ではウェーブレット解析を用いて画像の特定幅の線を強調するために、各レベルの分解画像に対して加える重みを決定する方法を開発した。また、本方法で決定された重みをマンモグラムに対して用いることで画像の色々なサイズの特徴が強調できることを確認した。

Fig.7 The difference between the sampling rate
[阿部 96] 阿部淑人、菊地久和、佐々木重信、他: 多重解像度ベクトル量子化を用いた画像輪郭強調 . 電子情報通信学会論文誌 J7 9-A(5): 1032-

参考文献

1040, 1996

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[貴家 95] 貴家仁志著: マルチレート信号処理 , 昭晃堂 , 東京 , 1995
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[Laine 94b] A.Laine, S.Schuler, and J.Fan: A framework for contrast enhancement732, 1992

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[データベース 95] マンモグラフィーデータベース: コンピュータ支援画像診断学会 , 1995

[Lu 94a] J.Lu and D.M.Healy.Jr: Contrast enhancement via multiscale gradient[太田 93] 太田睦: ウェーブレットの画像符号化への応用 . システム / 制御 /transformations. Proc. of the First IEEE Intl. Conf. on Image Proc. Vol.II:

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[Lu 94b] J.Lu, D.M.Healy.Jr and J.B.Weaver: Contrast enhancement of medical[Mallat 89] S.Mallat: A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet
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images using multiscale edge representation. Optical Engineering, special

674-693, 1989

issue on Adaptive Wavelet Transform: 1251-1261, 1994
[村木 94] 村木茂; 球対称非直交ウェーブレットによるボリューム表現 . 日本医用画像工学会誌 Vol.12(1): 28-36, 1994

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Journal of Computer Aided Diagnosis of Medical Images Vol.2
著者紹介
内山 良一（うちやま よしかず）
1995 年宮崎大学工学部情報工卒，現在，同大学院博士後期課程に在学，医用画像処理に関する研究に従事

山本 晧二（やまもと こうじ）
宮崎大学工学部情報工学科教授，高知医科大学にて総合医療情報システムの開発に従事したのち，医療情報技術者育成の為，鈴鹿医療科学技術大学の設立に参画，その後宮崎大学に移る．
医用情報セキュリティ，医用画像処理に関する研究に従事-6-May 1998

コンピュータ支援画像診断学会論文誌 Vol.2

May 1998

Enhancement of Fine Structure in Medical Image Using Wavelet Analysis
Yoshikazu UCHIYAMA and Koji YAMAMOTO
Department of Computer Science and Systems Engineering, Miyazaki University
Abstract
Experience shows that the contrast of an image can be enhanced by amplifying the magnitude of the edge gradient. Wavelets provide
multiscale edge gradient images. And there is a possibility that fine structures of a certain size can be amplified by modifying the modulus of
the gradient images with suitable weights. In this paper, we propose a method of determining the optimal weights to enhance fine structuresof a certain size. By applying this method to a mammogram, we demonstrate its ability to selectively enhance fine sturcture of a certain size.

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