光ビームの軌道角運動量密度分布の測定
1833021 伊波 雅生
主任指導教員：宮本 洋子 指導教員：渡邉恵理子

1

はじめに
本論文の目的は光ビーム断面内の軌道角運動量密度分布と表す。x 成分と y 成分の振幅をそれぞれ Ax と Ay とし、α と β は x 成分と y 成分の z = 0、t = 0 での位相である。
を測定する手法を提案し、提案した手法によってラゲール 式 (2.1) と式 (2.2) の実部をとるとガウスビームの軌道角運動量密度分布を測定することであRe[Ex ] = Ex′ = Ax cos(kz − ωt + α)
(3)る。光ビームの断面内のエネルギーの流れを測定する新しRe[Ey ] = Ey′ = Ay cos(kz − ωt + β)(4)
い手法として、回転シア干渉計を用いた手法の提案および実証を行う。
近年、細胞操作や材料加工、マイクロモーター等を目的とた複雑な構造をもつ光ビームが生成されるようになり、そのようなビームのもつ力学的性質が注目されている。これらの応用を進めるためには力学的性質であるビーム断面となる。式 (2.3) と式 (2.4) から t を消去し、Ex′ と Ey′ が描く軌跡を表す式を求めると、(Ex′Ax)2(+Ey′Ay)2(−2Ex′Ax)(Ey′Ay)cos δ = sin2 δ(5)内のエネルギーの流れが設計通りに実現できていることがとなる。ここで、δ = β − α とおいた。式 (2.5) は楕円を表確認できることが望ましい。また、物理学の観点からは、 す式となっており、光波の電場ベクトルの先端は楕円上を複雑に変転するビーム内で運動量や角運動量が全体として周回する点として表される。0 ≤ δ < π のとき、左回りのどのように保存されているかという点が注目されている。 楕円偏光、π ≤ δ < 2π のとき、右回りの楕円偏光を表す。
先行研究 [1] においては、非点収差を持つラゲールガウ また、δ = 0 または π のとき、式 (2.5) は直線を表す式とスビームの強度分布の変化、渦の分裂がどのように起きるのか、またどのような条件で渦の反転が起こるのかが理論なり、δ = π/2 または 3π/2 かつ Ax = Ay のとき円偏光を表す。

および実験の両面から明らかにされた。
その後、光波の複素振幅分布を詳細に測ることで運動量分布と角運動量分布を計算によって求める手法が提案され、 2.1
これをラゲールガウスビームの渦が反転する現象に適用しストークスパラメター
偏光状態を表すにはストークスパラメタ−を用いると便てビーム全体の角運動量を求められ、反転前後で角運動量利である。後述するように、ストークスパラメターは偏光の符号が変化しないことが実験で明らかにされた [2]。し素子を透過した光波の強度を測定することで求めることがかし、得られたビーム全体の角運動量は理論値に対して約できる。x 軸方向の直線偏光成分の強度を I0 、y 軸方向の2 倍となった。これは、複素振幅から運動量分布や角運動 直線偏光成分の強度を I90 、x 軸と偏光方向のなす角が 45◦量分布を計算する手法では実験データの空間微分を行うた の直線偏光成分の強度を I45 、x 軸と偏光方向のなす角がめ、ノイズが強調されることが原因としてあげられた。
135◦ の直線偏光成分の強度を I135 、右回り円偏光の強度をそこで、本研究では回転シア干渉計によって光波の角運動 IRC 、左回り円偏光の強度を ILC とすると各偏光成分の強量分布を直接測定することで、実験データの空間微分によ 度は以下の式で表せる。
るノイズの強調を避けて目的の角運動量を測定する。ビー
ム断面内のどの構造がどのような形で角運動量を担っているのか、自由空間中でビーム全体の角運動量がどのように保存されているかを調査する。

2偏光z 軸方向に伝搬する角周波数 ω 、波数 k の平面波について考える。x 軸方向 (水平方向) の電場の成分 Ex 、y 軸方向 (鉛直方向) の電場の成分 Ey を

Ex= Ax ei(kz−ωt+α)

Ey= Ay ei(kz−ωt+β)

I0= |Ax |2I90= |Ay |(6)

2(7)

I45

2= |Ax | + |Ay | + 2|Ax ||Ay | cos δ(8)I135

2= |Ax | + |Ay | − 2|Ax ||Ay | cos δ(9)IRC= |Ax |2 + |Ay |2 − 2|Ax ||Ay | sin δ(10)ILC= |Ax | + |Ay | + 2|Ax ||Ay | sin δ(11)2222

本研究では、x 軸方向の偏光成分は p 偏光成分、y 軸方向(1) の偏光成分は s 偏光成分に対応している。
ストークスパラメターは一般的に I0 、I90 、I45 、I135 、(2)

IRC 、ILC を用いて以下のように定義される。

S0= I0 + I90(12)S1= I0 − I90(13)S2= I45 − I135(14)S3= IRC − ILC(15)

3 回転シア干渉計による軌道角運動量の測定法
3.1 回転シア干渉計[a]p 偏光のダブプリズムでの像の向きの変化 (出射側から見た図)本研究で作製した回転シア干渉計を図 1 に示す。回転シア干渉計に図の上向きにとった矢印の像を入射したときの像の向きの変化を示した。

[b]p 偏光の CCD カメラ上の像の向きの変化 (CCD カメラ側から見た図)

図 1: 回転シア干渉計中の像の向きの変化 (PBS:偏光ビー
ムスプリッタ−、赤色の矢印が p 偏光の像の向き、青色の矢印が s 偏光の矢印の向き)

像の向きは反射するたびに反転する。p 偏光はミラーによって 3 回、ダブプリズムで 1 回反射するので像の向きは[c]s 偏光のダブプリズムでの像の向きの変化 (出射側から見た図)

4 回反転し、s 偏光は PBS で 2 回、ダブプリズムで 1 回、ミラーで 3 回反射するので像の向きは 6 回反転する。図 1のようにダブプリズムの底面が干渉計の内側を向いている
時、CCD カメラ上の p 偏光と s 偏光の像の向きは一致している。本研究では、この状態をシア角 0◦ とした。
図 2 にはダブプリズムを θ 回転したときのダブプリズムと CCD カメラ上の像の向きの変化を示した。入射光の像の向き及びダブプリズム回転前の像の向きは図 1 の像の向[d]s 偏光の CCD カメラ上の像の向きの変化 (CCD カメラきに対応している。

側から見た図)図 2: ダブプリズムの回転による像の向きの変化

ダブプリズムを θ 回転すると、p 偏光と s 偏光では 4θ の回転シア (像の角度ずれ) が生じる。

3.2 回転シア干渉計による角運動量の測定法
本研究では p 偏光 (0◦ の直線偏光) を測定対象としている。p 偏光を u(r, θ)、+∆θ シフトした s 偏光を u(r, θ +∆θ)∫とする。この 2 つの合成波の右回り円偏光成分の強度は、∫|u(r , z )|2 dD(24)|u(r, θ)||u(r, θ + ∆θ)|
IRC =+2
2
パワー当たりの軌道角運動量は()3π∗∫∫+ Re[u(r , θ) u(r , θ + ∆θ) exp i]2m∆θ D |u(r , z )|2 dD
S3 dD
2D∫
∫
=∆θ D S0 dD
2∆θ D |u(r , z )|2 dD|u(r, θ)|2|u(r, θ + ∆θ)|2=+= m(25)22∂u(r , θ)
+ Re[u(r , θ)∗ (−i )]∆θ(16) となる。これより、パワー当たりの軌道角運動量は ∆θ に∂θ比例し、比例計数は m と一致する。となる。また、左回り円偏光成分の強度は、
2ILC=2となる。ストークスパラメター S3 は、= 2D|u(r, θ + ∆θ)|2|u(r, θ)|2+22(π)− Re[u(r , θ)∗ u(r , θ + ∆θ) exp i]2|u(r, θ + ∆θ)|2|u(r, θ)|2+=22∂u(r, θ)− Re[u(r , θ)∗ (−i )]∆θ∂θ4D

ラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定
図 3 の光学系を用いてラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定を行った。図 3 では、動径方向モード指数 p=0、方位角方向のモード指数 m=1 のラゲ−ルガウスビームを偏光板によって 135 °の直線偏光とし、 p 偏光 (0◦ の直線(17) 偏光) 成分と s 偏光 (90◦ の直線偏光) 成分の強度比を 1 : 1とする。p 偏光は Mirror-1、2、3、Dove prism の順で干渉計を伝搬、s 偏光は Dove prism、Mirror-3、2、1 のの順で

= IRC − ILC

S3S0 dD

伝搬し、PBS で合成され、CCD カメラへと伝搬する。

∂u(r , θ)= 2Re[u(r , θ)∗ (−i )]∆θ∂θ(18)となる。S3 を測定することで、角運動量密度に相当する値を直接測定することができる。
本研究では、ラゲールガウスビームを用いる。ラゲールガ
ウスビームの光波 u を円筒座標系 (r, θ, z) を用いて表すと、

u(r, θ, z) = u(r, z) exp(imθ)(19)となる。m は方位角方向のモード指数とする。このラゲー
ルガウスビームを回転シア干渉計に入射したときの S3 および S0 は

S3S0

験系 (PBS:偏光ビームスプリッタ−、HWP:2 分の 1 波長=∗=2Re[u(r , z ) exp(−imθ)(−i )u(r , z )∂exp(imθ)]∆θ∂θ
2Re[|u(r , z )|2 m]∆θ

=2|u(r , z )|2 m∆θ

板、QWP:4 分の 1 波長板)

本研究では、シア角 0◦ 、4◦ 、8◦ 、12◦ における、ストー(20)= |u(r, θ, z)|2 + |u(r, θ + ∆θ, z)2 |= |u(r, z) exp(imθ)|2 + |u(r, z) exp[im(θ + ∆θ)]|2=

図 3: ラゲールガウスビームの軌道角運動量測定を行う実2|u(r, z)|2(21)となる。軌道角運動量密度である S3 は光波の強度 S0 とm∆θ の積で表すことができる。また、S3 を積分することでビーム断面内の軌道角運動量、S0 を積分することでビーム断面内のパワーを求めることができる。ビーム断面内の∫積分を D dD と書くと以下のようになる。
∫∫
S3 dD = 2m∆θ|u(r, z)|2 dD(22)
DD

(23)

クスパラメター S3 を求めることで軌道角運動量の測定を行った。

図 6: ラゲールガウスビームのパワーあたりの軌道角運動量とシア角の関係
図 4: ラゲールガウスビームの軌道角運動量密度 ((a)：シア角 0◦ における軌道角運動量密度、(b)：シア角 4◦ におけ

図 6 の傾きは 1.02 ± 0.02 となった。また、本実験ではる軌道角運動量密度、(c)：シア角 8◦ における軌道角運動方位角方向のモード指数 m=1 の光波を用いた。パワーあ量密度、(d)：シア角 12◦ における軌道角運動量密度)たりの軌道角運動量のシア角 ∆θ に対する傾きと方位角方向のモード指数が理論通り一致することが確認できた。

図 4 より、シア角 0◦ でアライメントのずれによるストー
クスパラメター S3 の空間分布が確認された。しかし、シア角を大きくするにつれて本来の方位角方向によらない軌道角運動量密度分布に近づくことが確認できた。
軌道角運動量密度を積分することで求めた軌道角運動量を
図 5 に示す。

5

非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定
図 7 の光学系を用いて非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定を行った。図 7 では、動径方向のモード指数 p=0、方位角方向のモード指数 m = 1 のラゲールガウスビームを偏光板によって 135◦ の直線偏光へ変換し、p 偏光 (0◦ の直線偏光) 成分と s 偏光 (90◦ の直線偏光成分) の強度比を 1 : 1 とする。p 偏光は Mirror-1、2、3、Dove prism の順で干渉計を伝搬、s 偏光は Dove prism、Mirror-3、2,1 のの順で伝搬し、PBS で合成され、CCD カメラへと伝搬する。また、円筒面レンズは x 軸方向のみが集光するように設置する。

図 5: ラゲールガウスビームの軌道角運動量とシア角の関係

本実験ではアライメントのずれによって p 偏光と s 偏光の干渉計内の経路は完全に一致していなかったが、図 5 より、ラゲールガウスビームのビーム断面内の軌道角運動量の増分はシア角に比例していることが確認できる。これより、p 偏光と s 偏光の経路が完全に一致していなくてもビー

図 7: ラゲールガウスビームの軌道角運動量測定を行う実ム断面内の軌道角運動量は測定することが可能であること

験系 (PBS:偏光ビームスプリッタ−、HWP:2 分の 1 波長が確認できる。

板、QWP:4 分の 1 波長板、CL:円筒面レンズ (焦点距離1000mm))
パワーあたりの軌道角運動量とシア角の関係を以下の図6 に示す。
本研究では、シア角 4◦ 、8◦ 、12◦ における、ビームウェ

ストから −200mm の位置から +250mm(光波の伝搬方向11、ビームウェストから +200mm の位置における軌道角を正とする) の位置の範囲で 50mm おきに 10 点で測定し、 運動量とシア角の関係を図 12 に示す。
ストークスパラメターを測定することで軌道角運動量の測定を行った。結果を図 8 に示す。

[a] シア角 4◦ における軌道角運動量密度

図 9: 非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量と伝搬距離の関係[b] シア角 8◦ における軌道角運動量密度

図 10: 焦点から −200mm の位置における非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量とシア角の関係[c] シア角 12◦ における軌道角運動量密度
図 8: 非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量密度 (図の距離はビームウェストからの相対位置)

非点収差を加えたラゲールガウスビームはビームウェス
ト前後で軌道角運動量密度分布が反転していることが確認

図 11: 焦点における非点収差を加えたラゲールガウスビーできた。

ムの軌道角運動量とシア角の関係

非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量密度を積分することで軌道角運動量を求めた。軌道角運動量と伝搬距離の関係を図 9、ビームウェストから −200mm の位置における軌道角運動量とシア角の関係を図 10、ビームウェスト位置における軌道角運動量とシア角の関係を図た。本手法ではストークスパラメター S3 に軌道角運動量密度とシア角に比例した信号が現れる。ラゲールガウスビー
ムはシア角 0◦ 、4◦ 、8◦ 、12◦ で測定を行い、非点収差うを加えたラゲールガウスは横方向のビームウェスト位置に対して伝搬距離 −200mm から +250mm の範囲で 10 点を選び、シア角 4◦ 、8◦ 、12◦ で測定を行った。

1. ラゲールガウスビームの軌道角運動の測定結果
シア角 0◦ でアライメントのずれによる S3 の空間分布が確認され、ビーム断面内の積分値も 0 にならなかった。しかし、シア角を大きくするにつれて本来の
図 12: 焦点から +200mm の位置における非点収差を加え方位角方向によらない軌道角運動量密度分布に近づき、たラゲールガウスビームの軌道角運動量とシア角の関係

ビーム断面内の積分値の増分も理論通りシア角にに比例した。またパワーあたりの軌道角運動量のシア角に非点収差を加えたラゲールガウスビームは伝搬距離が変化すると軌道角運動量も変化していた。また、ビームウェスト前後で軌道角運動量密度分布が反転しても軌道角運動量の値は負の値をとっていた。
ラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定では軌動角運動量はシア角に比例していたが、非点収差を加えたラゲー
ルガウスビームの軌道角運動量の測定では軌道角運動量はシア角に比例していることが確認できなかった。軌道角運動

対する傾きはは理論通り方位角方向のモード指数と一致することが確認できた。

2. 非点収差を加えたラゲールガウスビームの測定結果
ビーム断面内に S3 の正負の領域が確認でき、横方向のビームウェストの前後では分布が変化した。一方

S3 の積分値はシア角に対して非線型となり、より精密なアライメントと小さなシア角での測定が必要であることがわかった。

量にシア角は比例するため、シア角が大きくなると軌道角運動量も大きくなるはずであったが、シア角の大きさが大きくなるにつれて軌道角運動量の絶対値が大きくなっている
ケースはは焦点からの距離が −150mm、100mm、150mm、

参考文献[1] Atsushi Wada, Takumi Ohtani, Yoko Miyamoto

200mm、250mm のときである。このようなことが起こっ

and Mitsuo Takeda, ”Propagation analysis of the

た原因として、ビームウェスト位置に対して +250mm の位

Laguerre-Gaussian beam with astigmatism” J.
Opt. Soc. Am. A 22 (2005) 2746

置で干渉計のアライメントを行ったため、+250mm の位置から離れるにつれてアライメント精度が落ちた為に、ビー[2] Yoko Miyamoto, Atsushi Wada, Takashi Yonemura

ムウェストに対して伝搬距離が負の位置では正確な軌道角

and Mitsuo Takeda, ”Detailed measurement of thephase distribution of an optical beam with invert-運動量密度の測定が行えなかったことが挙げられる。
また、焦点付近では光波がより複雑な構造をとっているため測定が難しくなっていることが考えられる。シア角 8◦とシア角 12◦ では軌道角運動量は近い値をとっている。シ
ア角が小さいほど軌道角運動量密度は正確に測定できることができ、軌道角運動量はストークスパラメター S3 (軌道角運動量密度) を積分することで求めているので、軌道角運動量もシア角が小さいほど正確に求めることができる。
以上より、シア角 8◦ 、12◦ においては軌道角運動量の測定にはシア角がが大きすぎるため正確な軌道角運動量の測定ができていないことが考えられる。
以上より、軌道角運動量を測定するにはより精密なアライメントおよび小さなシア角での測定が必要である。

6まとめ・今後の展望
本研究では、回転シア干渉計による軌道角運動量密度分布の測定法を提案し、ラゲールガウスビームと非点収差を加えたラゲールガウスビームの軌道角運動量の測定を行っing vortex ” J. Opt. 15 (2013) 044002[3] 米村高志，「偏光を利用する位相測定法の改良とラゲールガウスビームの位相分布測定」，電気通信大
学修士論文，(2006)[4] 中澤誠人，「サニャック型回転シア干渉計の試作」，電気通信大学卒業論文，(2015)[5] 宮本洋子，「光渦と角運動量」，数理科学， 597，
(2013) 49