制約条件が厳しい時間割編成問題における制約条件の緩和とその評価
柿本 陽平 1
1

高橋 弘毅 1

島川 陽一 2

長岡技術科学大学 大学院 工学研究科 情報・経営システム工学専攻
2
サレジオ工業高等専門学校 情報工学科

概要
本稿では，NP 完全問題の一つである時間割編成問題を制約充足問題として定式化し，単体法を用いて厳密解を求める．その結果から制約がどのように解に影響を与えるのか検証する．具体的には時間割編成において除外しても実行可能な解に影響のない制約条件を除き，計算時間や単体法の反復回数を基準として問題を難しくしている可能性のある制約を見つけ出す．得られた結果から 2 時限連続で行う科目や 1 日に同じ科目を行える回数を制限する制約といった科目の配置に影響を与える制約が問題を実行不可能にしていることがわかった．そこで，問題が実行不可能となるような制約を導入するために，制約の違反を許しその違反の量を目的関数により最小化する方法を提案する．

大学や高等専門学校 (以下，高専) における授業の時間

1 はじめに割は，それぞれの教育機関ごとに定める制約が多く存在

NP 完全に属する問題は数多く存在し，代表的なものする．ほとんどの教育機関ではそのような制約に違反すとして充足可能性問題 (SAT: satisfiability problem) や巡ることのない時間割を教職員が手作業で作成している．

回セールスマン問題 (TSP: traveling salesman problem)

この問題を解決するために，時間割を計算機によって自等が挙げられる．このような問題は厳密解を見つけ出す動で作成するという試みがさまざまな手法で行われていことは難しいが，近似解法を用いて効率的に解を得る手る．一般にこのような組み合わせ問題も NP 完全問題で法の研究が盛んにおこなわれている．三神らの研究 [1]あり，厳密解を見つけ出すのは難しい．そこで様々なメ

では，大規模な SAT に対して原問題の一部の制約を緩和タヒューリスティクス解法を応用し，このような組み合した緩和問題を生成し，原問題の許容解を得るといったわせ最適化問題の解決が試みられている [3]．

試みを行い計算速度向上を図っている．また，質の高い小中学校や高等学校における時間割編成問題では，大緩和問題を得るために 3 つの手法を用いてそれらを評価

学や高専の場合と違い教室の収容人数がほぼ一律であっしている．村野らの研究 [2] では，TSP に対して greedy

たり，選択科目などが少ないため比較的短時間で複数の法，nearest neghbor 法，saving 法という 3 つの手法で初解を得ることができるが，一人の教員が複数の科目，コ期解を構成し，得られた初期解に 2-opt 法，3-opt 法を適マを担当することがほとんどであり，隔週で行われる科用し，解を改善させるという試みを行っている．また，目や複数の指導教員で行う科目なども存在するため解の規模が大きい問題に対して 2-opt 法，3-opt 法をそのまま自由度が低い [5]．一方，大学や高専の時間割においては適用すると膨大な計算量になってしまうため領域分割法

授業ごとに教室が違う，教室ごとに収容人数が違う，科を用いて計算量を削減している．

目・教員・教室が多い，学校ごとに違う制約が必要となこのように NP 完全問題に対する近似解法の適用事例るといった要因から，その計算量も膨大なものとなる．

は数多く存在するが，厳密解法の適用を検討している研

時間割編成問題では，厳密解を見つけ出すのは難し究は少ない．そこで本稿では NP 完全問題の一つであるいため近似解法の適用研究が盛んにおこなわれている．

時間割編成問題を例にとり，NP 完全問題に対する厳密筒井らの研究 [4] では，近似解法としてニューロコン解法の適用を提案し評価する．

ピューティングを用いている．さらにルールベースシス

1

テムとニューロコンピューティングの比較を行っておいことや教員数が少ないことで求解領域の自由度が低くり，ルールベースシステムの開発における知識獲得の困なっているという点に注意されたい．

難さに対してニューロコンピューティングのアプロー

これを制約充足問題として時間割編成問題の定式化をチのほうが有効であることを示している．また，スケ行い，整数計画法を適用する．その時，各科目にかかるジューリング問題においてはルールベースシステムのア制約や制約条件に着目して，初期解の規模を変えていく

プローチにニューロコンピューティングを組み合わせることで科目の性質を調べ，また実行可能な解に影響を与と有効であることも示唆している．

えない制約条件を除外していき，その結果から評価指標

田中らの研究 [3] において時間割編成問題は教室 (部を得る．ここで実行可能な解に影響を与えない制約条件

屋)，時間といった資源に授業などのイベントを割り当とは，その制約条件を除外して線形計画問題を解いた解てる問題であるとし，適用できる手法について触れていが実務上用いることが可能になる条件を指す．具体的なる．たとえば遺伝的操作やパラメータの設定などが設計例として「同じ時間帯に 1 人の教員が持てる科目は 1 つ者にゆだねられてしまうという弱点を持つ GA とある局まで」というような制約条件を除外すると 1 人の教員が所解に陥ってしまう可能性がある局所探索法を組み合わ

同じ時間帯に異なる教室で授業を行わなければならなくせる手法を紹介している．

なってしまい，実行不可能となるためこのような制約は堀井らの研究 [7] では，資源制約付きプロジェクトス

実行可能な解に影響を与える制約条件となる．一方，「1ケジューリング問題 (RCPSP) を用いてつの科目を 1 日 2 回以上行わない」といった制約条件は除外しても 1 日に同じ科目を行う回数が増えるだけであ(1) 問題を 2007 年度と 2008 年度に実際に運用された

り，実務上実行自体は可能であるため，このような制約データを使い編成するは実行可能な解に影響を与えない制約条件となる．

(2) (1) に加え任意の科目が重複してもいい

さらに，満たすことのできない制約条件に対して違反(3) (1) に加え教員の勤務日を変えるを許すことで緩和解を求める．その際，制約条件には違反を許すためのペナルティ項を付け加え，目的関数によという 3 つのパターンに分け，その有用性を示している．

り違反量を最小化する．

近年では計算機の性能向上に伴い，問題を解く計算速度は短くなっている．高専や中規模な大学といった大規

2 時間割編成問題の定式化

模でない問題に限られるが，厳密解法による求解に対する知見も有用であろう．しかし，今日では厳密解法を時

2.1変数の定義

定数と集合の定義を表 1，2 に示す．また決定変数を間割編成問題へ適用するといった試みはあまりされてい表 3 に定義する． x stwp は教員の時間割，y sgdwp はクラない．
本稿では，時間割編成問題を制約充足問題として定式

スの時間割，z srwp は教室の時間割，kgdwp は授業の実施化し，値を 0 と 1 に限定する 0-1 変数を緩和して線形計を決定する変数である．なお，授業は 1 日 4 コマ (90 分画問題として解き，0-1 にならない変数に対して分枝限1 コマ) とする．定式化するにあたって高等学校と小学定法を用いて最適解を求める．この時，制約条件の与え校の時間割を対象とした太田らの研究 [6] を参考にして方により求解能力が変わることに着目しこの変化の程度いる．

を制約条件の難易度として評価する．

2.2

高専の時間割の特徴対象とする時間割はサレジオ工業高等専門学校の本稿で扱う高専の時間割は小中高校の時間割とは違2013 年度の実際の時間割を用いる．同校は 4 学科 5

い，制約のかかる科目が多い．具体的には科目は一般科

学年で学生数は約 900 名，20 クラスで構成される．1 ク目，固定科目，連続科目の 3 種類にグループ化される．

ラスの 1 週間のコマ数は 20 コマで学校全体で 400 コマ

ここで固定科目はあらかじめ決められたコマに割り当てである．ここに常勤と非常勤約 100 名の教員と科目をられる科目を指し，連続科目は 1，2 時限目もしくは 3，割り当てる．ここで本稿で対象としたサレジオ工業高等4 時限目に 2 時限連続で割り当てる科目を指す．一般科

専門学校の時間割は，一般的な大学の時間割に比べ 1 日目は固定科目と連続科目以外の科目を指す．また，各クに実施するコマ数が午前，午後でそれぞれ 2 コマしかな

ラスごとに使う教室が多いことや選択科目が多いことも2

表 1 定数の定義
定数名

a sth sre sgdwp

lgdwp
b sgddsms

表 3 決定変数の定義

説明
変数名

1 : 教員 t が科目 s を受け持つ
0 : 教員 t が科目 s を受け持たない
1 : 教室 r で科目 s を行う
0 : 教室 r で科目 s を行わない
1 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で科目 s を行う
0 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で科目 s を行わない
1 : 曜日 w 時間 p に学年 g 学科 d で授業をする
0 : 曜日 w 時間 p に学年 g 学科 d で授業をしない
科目 s の学年 g 学科 d に必要な単位数
科目 s に必要な教員数
科目 s に必要な教室数説明

1 : 曜日 w 時間 p に
教員 t が科目 s を行う
0 : 曜日 w 時間 p に
教員 t が科目 s を行わない
1 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で科目 s を行う
0 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で科目 s を行わない
1 : 曜日 w 時間 p に教室 r で科目 s を行う
0 : 曜日 w 時間 p に教室 r で科目 s を行わない
1 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で授業を行う
0 : 曜日 w 時間 p に
学年 g 学科 d で授業を行わない

x stwpy sgdwpz srwpkgdwp

表 2 集合の定義
集合名

説明

Sub
Sub1
Sub2Tch
Rm
Prd
Wk
Dpm
Grd

科目 s の集合∑

連続科目の添字集合 (Sub1 ⊂ Sub)
固定科目の添字集合 (Sub2 ⊂ Sub)CR2 教室 r で行われる科目 s は曜日 w 時間 p に 2 以上

教員 t の集合
教室 r の集合

存在しない : ∑時間 p の集合
曜日 w の集合

R2R3

R4学科 d の集合

CR3 学年 g 学科 d で科目 s が 1 週間のうち行われる回

学年 g の集合

数は，科目の必要単位数と等しい :∑ s∑y sgdwp = b sgd , (s, g, d) ∈ R2 ．

s, t の組み合わせ集合{(s, t) | a st = 1, s ∈ Sub, t ∈ Tch}
1 週間の単位数 b sgd が 1 以上の時のs, g, d の組み合わせ集合{(s, g, d) | b sgd ≥ 1, s ∈ Sub, g ∈ Grd, d ∈ Dpm}
e sgdwp が 1 となるときのs, g, d, w, p の組み合わせ集合{(s, t, d, p, w) | e sgdwp = 1,s ∈ Sub, g ∈ Grd, d ∈ Dpm, p ∈ Prd, w ∈ Wk }教室 r で科目 s を行うようなs, r の組み合わせ集合{(s, r) | h sr = 1, s ∈ Sub, r ∈ Rm}w∈Wk p∈PrdCR4 曜日 w 時間 p に行われている科目 s は学年 g 学科
d でしか行われない:∑
y sgdwp = kgdwp , ∀g, ∀d, ∀w, ∀p．
s∈{s|(s,g,d)∈R2 }

CR5 各時間帯で授業を行っている教員数は，(各クラスの科目) × (その科目に必要な教員の総数) に等しい:∑t∈{t|(s,t)∈R1 }∑x stwp =d s y sgdwp , ∀s, ∀w, ∀p．

d∈{d|(s,g,d)∈R2 }g∈{g|(s,g,d)∈R2 }

CR6 各時間帯で授業を行っている教室数は，(各クラス

小中高校と異なる点といえる．

2.3z srwp ≤ 1, ∀r, ∀w, ∀p．

s∈{s|(s,r)∈R4 }教員 t が科目 s を受け持つようなR1x stwp ≤ 1, ∀t, ∀w, ∀p．

s∈{s|(s,t)∈R1 }の科目) × (その科目に必要な教室の総数) に等しい

制約条件の定式化:

以下に示す CRi とは i 番目の制約条件を表している．

∑CR1 教員 t が受け持っている科目 s は曜日 w 時間 p にr∈{r|(s,r)∈R4 }

2 以上存在しない :3z srwp =∑m s y sgdwp , ∀s, ∀w, ∀p．

d∈{d|(s,g,d)∈R2 }g∈{g|(s,g,d)∈R2 }CR7 固定科目は決められた時間に割り当てる :y sgdwp = e sgdwp , s ∈ Sub2 ．

表 4 数値計算に用いた時間割編成問題の概要
要素CR8 授業を行ってはいけない時限 p に授業を入れてはならない :科目

kgdwp = lgdwp ．

要素の内訳

要素数

一般科目

22426
2053
43
4545460

固定科目
連続科目

CR9 連続科目は 2 時間連続で授業を行う :y sgdw(2p−1) = y sgdw(2p) ,常勤教員

p ≤ 2, s ∈ Sub1 , ∀g, ∀d, ∀w．

非常勤講師
例外

クラス

CR10 ある授業間で空きができないように 2，3 時限目には科目を割り当てる :コマ

kgdwp = 1, p ∈ (2, 3),(g, d, w, p) ∈ {(g, d, w, p) | (s, g, d, w, p) < R3 }．

教室学年学科
曜日時限教室合計

270

100202060

CR11 連続科目と固定科目を除く科目は，1 日 2 回以上行わない :∑3.1y sgdwp ≤ 1, s < Sub1 ∪ Sub2 , ∀g, ∀d, ∀w．

数値実験の方法

数値実験をするにあたって以下の 3 つの方法を用p∈Prdいる．

CR12 連続科目は午後に割り当てる :y sgdw(2p−1) + y sgdw(2p) = 2,

方法 1

p = 2, s ∈ Sub1 , ∀g, ∀d, ∀w．

方法 1 では CR1 から CR12 の下で実行可能な時間割を編成することを目的とする．制約を満たす解が得

3 数値実験られないとき，その原因と考えられる制約条件を除

今回数値実験に用いた高専の時間割編成問題の概要を外する．なお，除外することでどのような教育機関

表 4 に示す．ここで教員における常勤と非常勤講師の区でも実行不可能となってしまう制約条件 CR1 から別には特に意味がなく，例外とは各学科 5 年生の卒業研CR6 は除外対象としない．

究に充てる教員となっている．例外とする理由として卒方法 2

業研究には各学科の教員が全員割り当てられてしまうた

方法 2 では全コマに対して固定科目が占めるコマのめ，その時間に他学年において専門科目が行えなくなる

数 (初期解) が変化することで計算時間がどのようことを防ぐことがある．クラスは学年と学科の組み合わに変化していくのか検証する．本実験で用いた時間

せで 1 クラスとし，コマは曜日，時限の組み合わせで 1割の空きコマ数は 400 コマであり，すべての科目をコマとする．

固定すると 343 コマを占める．固定する科目を本来対象とした高専では 4 学科 5 学年，教員 100 人でありの固定科目である科目と連続科目を埋めた状態 (400

月曜から金曜までの全 400 コマに授業を割り当てる問題

コマ中 74 コマ) から 100 コマ，125 コマ， 150 コとなる．決定変数が 124, 820，制約式が 46, 489 となる．

マ， 175 コマ， 200 コマというように増やしていき

本稿では時間割編成問題に単体法を適用する．実行環境

計算時間を比較する．このとき，方法 1 で除外されを以下に示す．

た制約条件は含めず計算する．
方法 3• OS：Microsoft Windows 7 Professional SP1 64bit

方法 3 では各制約条件が解に与える影響を調べるた

TMR• CPU：Intel⃝Core
i5 2.67GHz

め制約条件を一つずつ除外し，そのときの計算時間• メモリ：6GBと単体法の反復回数を比較する．このとき，方法 2

なお，本実験では株式会社 NTT データ数理システムと同様に方法 1 で除外した制約条件は含めず計算の数理計画法パッケージ Numerical Optimizer V15 を用し，時間割が常に実行可能になるように制約条件をいた．

除外していく．

4

3.1.1

方法 1-結果り，その他のコマにおいて違反していないため満たされ方法 1 で示した条件で実際に計算してみたところすべている．CR11 の 1 日に同科目を 2 回以上配置しないとての制約条件の下で時間割を編成することはできなかっいう制約は，必要単位数が 2 と設定されている解析学がた．しかし，CR12 を除外することで実行可能な解を得各々違う曜日に配置されているため満たされている．

ることができた．CR12 を除外したのは，通常の科目のその他の制約は全クラス，教員，教室の時間割を確認

配置の組み合わせは 20 通りであるが，連続科目は 2 時したところすべては CR1 から CR11 に従った結果である

限連続で行うため半分の 10 通りになり，午後に割り当ことがわかった．

てるとさらにその半分の 5 通りになってしまうという点

3.1.2 方法 2-結果が他の制約条件より問題を難しくしていると考えたため

ここで方法 1 で除外された CR12 は計算に含めない．

である．計算時間は 212.20 秒であった．

方法 2 で示した条件で実験を行った結果，得られた計算完成した時間割の一例を表 5 に示す．表 5 の各コマは時間のグラフを図 1 に示す．

上から科目名，教員名，教室名を表している．

表5月曜日

12

時間割出力結果の一例

火曜日

水曜日

体育実...

教員 D

教員 G...

307

校庭

4

金曜日

離散数...

国語

情報ネ...

教員 A

教員 H...

教員 J

307
3木曜日

データ...

307

統計解...

数値計...

オペレ...

教員 B

教員 D

教員 A

122,307
プログ...
教員 C, 他
122,307

122,307
解析学...
教員 E
307

307

情報工...

計算機...
教員 F

教員 I, 他

307

307, 他

図1

固定科目数と計算時間の関係

307
技術文...

図 1 より固定科目数が増えることで計算時間が短くな

教員 Kることがわかる．また，連続科目を固定せず計算した場

307,410
解析学...
教員 E
307

合の計算時間は 212.20 秒であり，連続科目を固定した場合，3.98 秒と大幅に計算時間が短くなっている．ここから，連続科目と固定科目を除く科目の中には，連続科目ほど影響を与える科目がなかったことを示唆している．
固定科目数 100 から 250 の間では計算時間が緩やかに

表 5 において満たされている制約条件について記述す減少していっていることから固定科目数を増やすことでる．まず CR3 の単位数に関する制約は，このクラスにお問題の規模は小さくなることがわかる．

ける解析学の授業を b sgd = 2 と設定し，火曜日 4 時限目

3.1.3 方法 3-結果と金曜日 4 時限目に科目が配置されているため満たされここで除外する制約条件は CR7 から CR11 とし，方法ている．CR8 のあるコマにおける科目配置を禁止する制

1 で除外された CR12 は計算に含めない．除外した制約

約では，このクラスの月曜日 1 時限目に授業を入れない

条件と単体法の反復回数の関係を示したグラフを図 2 によう設定し，表 5 はこれにしたがっているため満たされ示す．縦軸は対数目盛で示している．反復回数は小さいている．なお，金曜日 1 時限目に空き時間ができているほどその制約が強いことを示している．CR7 は固定科目のは CR8 に従った結果ではなく，他の制約を満たすように関する制約であり，この制約条件を外すことで反復回に科目を配置した結果である．CR9 の連続科目に関する数が大きくなっていることから固定科目は問題を簡単に制約では，2 時限連続で行うよう設定した情報工学実験していることがわかる．

V が木曜日 3，4 時限目に行われているため，これも満

図 3 は図 2 において CR8 から CR11 に着目し，描きたされていることがわかる．CR10 の空き時間に関する直した図である．なお，縦軸は対数目盛から線形目盛に制約では，火曜日 2 時限目と水曜日 2 時限目で違反して変更している．図 3 より CR8 から CR11 の中でも特にいるように見えるが，これは CR8 にしたがった結果であCR11 を除外したときの反復回数が少ないことから問題
5ここで N = |Sub1 | × |Grd| × |Dpm| × |Wk|−n とし n は制約違反の許容量である．n を外部から与えることでどの程度午後に割り当てられない科目を午前に割り当てるかをはじめに与えることにする．
制約条件 CR12 は連続科目を「なるべく」午後に割り当てたいという考えから目的関数として扱うことも可能である．そこで 2 つ目の方法では CR12 を以下の目的関
図 2 除外した制約条件と反復回数の関係数で表す :∑ ∑ ∑ ∑min. F = −(y sgdw(2p−1) + y sgdw(2p) ),s∈Sub1 g∈Grd d∈Dpm w∈Wkに影響を与えやすい制約であることを示唆しており，逆p = 2, (s, g, d) ∈ R2 ．に CR8 は CR9 ，CR10 ，CR11 を除外したときに比べ反復回数が多いことから弱い制約であるといえる．CR9 と図 4 に数値実験の結果を示す．ペナルティ項の導入にCR10 を除外したときの反復回数に違いはあまりなく，こより，午後に割り当てられた連続科目数は 12 となった．の二つの制約は同程度の強さであることが考えられる．

一方，目的関数を導入した場合 17 まで割り当てられた．

除外した 5 個の制約の中で特に反復回数が少なくなった

CR11 は 1 日に同科目を 2 回以上入れてはならないという制約であった．

図4

目的関数の導入により解が改善されることは明白であ

図 3 CR8 から CR11 を除外した場合の反復回数との関係

3.2

午後に割り当てられた連続科目数

るが，CR12 にペナルティ項を導入したときになぜ解が制約式の緩和と目的関数の導入改善されたのかを考察する必要がある．CR12 の違反量事例として用いた高専の時間割では，実験・実習は実を最小化しないということは CR12 はいくら違反しても施時間が延長することが多く，多くの担当者は午後に割良いということになり，結果としてこの制約条件は無視り当てを希望する．CR12 のように科目の配置を強く制されると考えていたが，図 4 より CR12 の緩和は少なく限するような制約は実行可能な解を見つける際大きな障ともこの問題において改善の要因となっていることがわ害となり，連続科目をすべて午後に割り当てる時間割のかる．ここからペナルティ項を導入しても元の制約条件編成は不可能であった．そのため前項では特に制約が強に従う解が発見された時点でその方向に解探索が進んでい CR12 を除くことで CR1 から CR11 を満たす解を得た．

いくものであると考える．

そこでこのような制約条件が存在する場合に以下の 2 つ

また，n を午後に連続科目が 3 科目以上配置されないの方法を検討する．

よう設定したところ実行不可能になった．これより，連1 つ目の方法では，以下のように CR12 に整数変数で続科目の配置を制限する制約の導入は実行可能な時間割あるペナルティ項 α sgd pw を追加し，問題を緩和する :を編成するにあたって課題になるといえる．

y sgdw(2p−1) + y sgdw(2p) = 2 + α sgdwp ,1 ∑ ∑ ∑ ∑α sgdwp ≤ N,−2 s∈Sub g∈Grd d∈Dpm w∈Wk4 まとめ
本稿では，時間割編成問題を制約充足問題として定式

1p = 2, s ∈ Sub1 , ∀g, ∀d, ∀w,化し，厳密解法を適用した．その結果，一般の大学に比6

べて求解領域の自由度が低い時間割を題材として 11 個

究発表会アブストラクト集 2006，pp. 58-59 (2006)の制約の下で厳密解を得ることができた．また，制約が[7] Horio, M. and Suzuki, A. :Application to a Univer-

どのように解に影響を与えるのか検証して問題をより

sity Course Timetabling Problem by a General Project

簡単にするのは固定科目に関する制約であることがわ

Scheduler”, Lecture Notes in Operations Research,かった．逆に問題を難しくしている制約は CR9 ，CR10 ，Vol. 8, pp. 266-273 (2008)

CR11 ，CR12 のような科目の配置を制限する制約であることもわかった．この点に関しては 1 つの制約ではなく複数の制約がお互いの性質を変えている可能性が考えられる．そこで今後の研究では複数の制約を同時に除外していくことでどのような制約が干渉するのか，制約同士の関係性を示していく必要がある．
通常では導入できない 12 個目の制約式を緩和するた
めに違反を許す項を制約条件に加え，目的関数を導入することで最小の違反を許容する解を得ることができた．
これを利用することで，教員の要望といったあいまいな制約条件に対応することが可能になった．また教育機関ごとにある完全に満たすことはできないが，可能な限り満たしてほしい制約条件は，目的関数として導入することで実現が可能になった．
今回提案した手法を用いることで「制約条件をなるべく満たす」という表現が可能になるため，時間割編成問題以外の NP 完全問題にも応用が期待できる．

参考文献[1] 三神直彬，鍋島英知：

大規模 SAT 問題の求解のための緩和法の検討と提案 ，人工知能学会全国大会
論文集 (CD − ROM)， Vol. 28， pp. ROMBUNNO.

1D5-OS-11B-4IN (2014)[2] 村野剛教，松本直樹： 巡回セールスマン問題の近似解法の比較 ，電子情報通信学会技術研究報告， Vol.

102， No. 625， pp. 1-6 (2003)[3] 田中雅博：メタヒューリスティック手法による時間割編成の自動化 ，システム制御情報学会誌，Vol.

45，No. 12，pp. 725-732 (2001)[4] 筒井茂義： クラススケジューリング問題へのニューロコンピューティング適用について ，日本経営工学会誌，Vol. 44，No. 5，pp. 408-415 (1993)[5] 大坪正和，倉重賢治，亀山嘉正：中学校における時間割編成への取り組み ，日本経営工学会論文誌，Vol. 57，No. 3，pp. 231-242 (2006)[6] 太田正和，鈴木敦夫：

時間割自動編成システムの研究 ，日本オペレーションズ・リサーチ学会秋季研7