地球環境研究，Vol.16（2014）

大気力学に表れる 2 階線型常微分方程式の解法
─非標準形から標準形への変形─
吉崎正

憲＊

キーワード：２階線型常微分方程式、標準形

１ ．はじめに（4）

物理で支配される大気力学では 2 階線型常微分方程式で記述されることが多い。気象 ・ 海洋でよく知られた式と表される。この式の導出や無次元化は Pedlosky (1987）

として、赤道域における大規模大気運動を表す赤道波のに従った。ここで、ωの虚数部は時間に関する成長率で式がある。ｘ、ｙ、ｔ、ｋ、ωをそれぞれ東西座標、南ある。Charney（1947）は擾乱の東西スケールがロスビー

北座標、時間、東西波数、周波数とすると、Matsunoの変形半径と同じオーダーのときに成長率が最大になる（1966）は赤道β面における浅水方程式を使って、南北風ことを示した。しかし、（ 4 ）の形は必ずしも公式集にV(y)e載ってはいない。

ikx‒iωtに関して、これからは公式集と同じ形のものを標準形、異なるも（1）のを非標準形と呼ぶことにする。もともと常微分方程式にはさまざまな形があって、必ずしも標準形ばかりではを得た。
（ 1 ）の解は放物柱関数と呼ばれる。この式は奇ない。もし非標準形の常微分方程式を標準形に変形する

整数 (2n+1) の固有値を持つ調和振動子の Schrödinger 方とするならば、その変形の過程の意味を理解する必要が程式を表し、赤道波の分散関係（k、ω）はある。標準形への変形の必然性が理解できれば、複雑な常微分方程式に直面した時、解けるかどうか判断するこ（2）とができ、解ける場合にはその解を見通すことができる。
ここで解説するテクニックは通常教科書ではたった 1 行と表される。ここで n は整数を表す。Matsuno（1966）は、で書かれる（あるいは書かれていない）ことであるが、大気力学を勉強しようとする初学者にとってはその行間（3）の意味を知るのは意義がある。しかし以下に述べるように、非標準形から標準形にいつも変換できるわけではなの Hermite 多項式 H(y) の解を用いて、n＝‒1 のときはケルビン波、n＝0 のときは混合ロスビー重力波、n＝1 のといのであらかじめ了解していただきたい。
本稿では、問題として、次の 2 階常微分方程式

きは赤道ロスビー波と慣性重力波と、赤道波の擾乱の構造を議論した。この微分方程式およびその解は公式集〔例（5）えば、森口ほか（1999）の数学公式Ⅲ〕に掲載されている。
また1947年に中緯度帯の総観規模の低 ･ 高気圧の発生を例にあげ、その変形の仕方を述べる。ここで b と c は理論として提案された Charney の傾圧不安定波の式で定数であり、F はｘの関数である。一例として、b＝ω、は、ｚを高さ方向の座標、ｌを南北波数とし、一般東西c＝0 の場合、F は sin(ωx) と cos(ωx) の和として表され風をｚの一次関数、S をロスビーの変形半径に関する量、る。しかし、c が不定の場合、その一般解は一見むずかβをベータ効果に関する量、H をスケール高度、渦位のしそうである。ところが、例えば、森口ほか（1999）の擾乱をΨ(z)e

162ページを見ると、解は＊ikx－iωtcos(ly) とすると、Ψの構造は
立正大学地球環境科学部
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大気力学に表れる２階線型常微分方程式の解法（吉崎）必要である。
（6）⒜正則点および無限大の扱いであらわれる。ここで、Z j (ξ) は Bessel 関数であり、x は複素変数とする。関数 p(x)、q(x) が共に x＝a でテイラー級数に展開できるとき、つまり、（7）（9）を満たす。Bessel 関数は標準形であり、この変形をもとにさらに先に進むことができる。今後 x、y など出てくとすると、pn と qn は既知となる。その場合、W の解はる変数は気象学の通常の使い方と異なるので注意する。
この変形にあたって、（a）どうして x の (c+2)/2 のべき（10）乗となるのか、（b）どうして Bessel 関数がでるのか、の二つの疑問が残る。ここでは上記の疑問を明らかにすると書くことができる。これを解析的すなわち正則である

ことにより、（ 5 ）の非標準形の式から（ 6 ）の標準形のといい、x＝a は正則点という。係数 C0と C1を与えれば、式への変形の意味を理解することにする。しかし、そのCn(n>1) は順次決まり、W は正則点 x＝a における解となためにはある程度数学が必要なので、本稿では必要な数る。二つの係数が未知数なのは２階常微分方程式だから学を復習しながら順次説明をする。 2 節では、全体を理である。

解するのに必要な数学用語を説明する。 3 節では、大気x＝∞ の場合を考える。遠方を眺めるといろいろな方力学で頻出する 2 階常微分方程式を超幾何関数型、合流向があり、無限大とは感覚的に多くの値をもちそうであ型超幾何関数型、楕円体関数型の三つに分けて説明する。

る。ところが、v＝x‒1と置き換え、d/dx=‒v2d/dv、d2/dx2

上記の疑問の理解のためには前二つの型までで十分なの=‒v2d(‒v2d/dv)/dv=v4d2/dv2+2v3d/dv とすると、（ 8 ）はで、二つの型について詳述する。三つ目の型の説明は付録 A に入れ、その型の典型である Laplace 潮汐方程式に（11）ついて述べる。 4 節では、本稿の目的である（ 5 ）から（ 6 ）への展開を行い二つの疑問に答える。したがって、となり、（x＝∞ に対応する）v＝0 の周りの通常の微分方数学が得意の人は 2 節と 3 節をスキップしてもかまわな程式となる。つまり、数学では、x＝∞ は一点として扱い。

うことになる。
⒝確定特異点２ ．数学用語の簡単な説明

正則点でないとき、特異点という。中でも、p(x) が x＝aW を x の関数とすると、大気力学で頻出する 2 階常微で一位の極、q(x) が x＝a で二位の極を持つとき、つまり、分方程式は、一般に（12）（8）とおき P(x) と Q(x) は正則とするとき、x＝a は確定特異と表わされ、係数 p と q は x の代数式で表現される。

点という。（ 8 ）を（ 5 ）の場合は、p が 0 、q が b x に相当する。
（ 8 ）を2c満たす関数は特殊関数と呼ばれる。これまで多くの著名（13）な数学者や物理学者がこの種の微分方程式を研究してきて、人名を冠につけた関数がこれから多く現れる。本稿と書き直すと、W(x) はは、寺沢（1969）、犬井（1974）、篠崎ほか（1993）、森口ほか（1999）をもとに概要を紹介する。ここで初学者に（14）

とって見慣れない数学用語（正則点、確定特異点、不確定特異点、ランク（級））がでてくるが、しばしの辛抱が58なる級数解を満たすと仮定する。λは指数と呼ばれる。地球環境研究，Vol.16（2014）

ここで、、とr の定義がある。本稿で関心のある微分方程式が x＝∞で不確定特異点をもつのが多いので、x＝∞ のランクだ
けを述べる。p(x)=xκ(e0+e1x‒1+e2x‒2+…)、q(x)=xν(f0+f1x‒1

すると、C0≠0から+f2x‒2+…)（e0、f0≠0、en、fn は定数）であるとき、ランクは（15）（19）が得られる。これは（13）の決定方程式と呼ばれる。
この決定方程式の根の性質により（13）の形が決まる。と定義される。r>0 ならば、x＝∞を r 級の不確定特異点と(i) λ1≠λ2、λ1－λ2≠整数の場合、(ii) λ1≠λ2、λ1－λ2＝呼ぶ。r≦0 ならば、x＝∞ は正則点または確定特異点となる。

正整数の場合、(iii) λ1＝λ2の場合、の三つの場合分けがある。(i) の場合は、λ1、λ2ともに x＝a における（14）の形の独立解（W1、W2とする）があるので、それらの和は一般

3 ．微分方程式の分類解となる。(ii) の場合、λ1を指数とする解 W1は (i) と同様

森口ほか（70ページ）によると、特殊関数の 2 階常微に求まるが、λ2を指数とする解 W2はそのまま求めても W1

分方程式は 3 つ（I、II、III）の型に分けられる。I は 3とは独立ではない。詳細な導出は上記の文献を参照するこ

個の確定特異点をもち、超幾何関数型と呼ばれる。それとにして、別の独立解（Frobenius の方法と呼ばれる）は、に分類されるのは、Gauss の超幾何関数 G(x)（後述する（21）参照、以下同様）、Legendre 関数、球関数Ω(x)（16）（（24）参照）、Legendre の多項式、Tchebycheff の多項式などである。II は 1 個の確定特異点とランク 1 級の不確と表される。これは対数項をもち、x＝a では対数特異点定特異点（x＝∞）をもち、合流型超幾何関数型と呼ばとなる。こうして一般解は W1と（16）の形の W2の和とれる。それに分類されるのは、Kummer の合流型超幾何して表される。(iii) の場合は、（16）のλ2がλ1となり、関数 K(x)（（26）参照）、Bessel 関数 Z(x)（円柱関数）(ii) と同様である。

（（ 7 ）参照）、Hermite 多項式 H(x)（（ 3 ）参照）、放物柱関数 V(x)（（ 1 ）参照）などである。III は I や II より多⒞不確定特異点とランク（級）くの特異点をもち、楕円体関数型と呼ばれる。例えば、確定特異点でない特異点を不確定特異点という。この場合、解はいつも無限級数で表現されるわけではないが、x＝a が（ 8 ）の孤立不確定特異点の場合には、基本解は回転楕円体波動関数 L(x)（付録 A（A3）参照）は 2 個の確定特異点と 1 級の不確定特異点（x＝∞）をもつ。
Ｉや II の中に多くの種類の関数があるのは、物理現象
が△2 W＝0（Laplace の式、空間 3 方向の 2 階微分の和）、で表されることが多いため、境界に適合した解法として、球座標の場合は球関数、円筒座標の場合は Bessel 関数と、それぞれ発展したためである。

（17）⒜ 超幾何関数型の微分方程式

あるいは上記した関数の微分方程式はそれぞれ標準形であるが、、ここでは I の名前の由来となった微分方程式を取り上げる。これは Gauss の微分方程式と呼ばれ、α、β、γを（18）定数とすると、（20）と表される。ここで、x＝a が孤立特異点であるのは、x＝a を除いたある範囲で正則であるときをいう。
（17）と（18）では、和をとる範囲が 0 からではなく‒∞ からとと表される。ここでは、x＝0、x＝1、x＝∞ は確定特異なっていることに注意する（Laurant 展開）。

点である。この解 G(x) は、森口ほか（1999）の68ページの注 2 に、ランク（級）59大気力学に表れる２階線型常微分方程式の解法（吉崎）（21）と表される。ここで、Г( α ) はガンマー関数であり、（22）と定義される。解 G は（23）
図１など 1 次変換しても I の範囲にとどまるので、（23）などは超幾何関数を変換するときに便利である。
超幾何関数の一つである球関数（あるいは Legendre陪関数）Ω (x) についてみると、その微分方程式はmn

 nm の帯球面関数 ･ 縞球面関数（伏見 ･Ω赤井 １₉₈１）。m= ₀ の列が帯球面関数、m ≧ １ の列が縞球面関数。

１級の不確定特異点である。この解 K(x) は、Gauss の超幾何関数において、βx を x とおきかえ、β→∞ として、二つの確定特異点（ 1 と∞）を合流させた場合に相当する。こ（24）

れが「合流型」の名前の所以である。したがって、解はと表される。ここで m は波数、n(n+1) は固有値に相当す（27）る。大気力学でよく用いる解だけを記述すると、Gaussの超幾何関数を使って、と表される。
（ 4 ）の標準形は Charney（1947）の傾圧不安定波の構（25）造を記述するのに使われた。不安定な解はの周と表される。m＝0 の場合は、特に Legendre 関数と呼ばりの展開式で表現される。
（ 4 ）から（15）の決定方程式れる。

は、λ1＝0、λ2＝1であり、（16）のような形、つまり、この解が大気力学でポピュラーなのは、全球モデルで緯対数特異点を持つ形で表される。これに関して、小倉度方向に展開するときにはその基底関数として球関数が良（2000）の第 1 章に魅力的な挿絵が載っている（第 2 図）。

く使われるからである。この場合、m と n は整数となる。

図の説明をそのまま掲載する。
“チャーニーが1947年に初伏見 ・ 赤井（1981）にしたがって、x=cosθ（0≤θ≤π;θ

めて傾圧不安定波の理論を提出したときに用いた関数が=0を北極、θ=πを南極に対応）とすると、Ω では n は対数特異点を持つ（合流型）超幾何微分方程式の解を表南北方向の節線（緯線）を表す。これを帯球面関数と呼ぶ。

す超幾何関数であった。図は当時 UCLA の学生新聞に一方、φを経度とすると、Ω cos(mφ)、Ω sin(mφ) は、載ったものである。チャーニーの難解な数学的解析に神球面を (n‒m) 本の緯線と m 本の経線（子午線、すなわち秘性を感じたのか、彼の同僚のイエール ・ ミンツの弟の北極から南極まで、を 1 本と数えると、2m 本となる）

アーサー ・ ミンツが、ロマンチックな状況のもので、なと分けられる。これを縞球面関数と呼ぶ（図 1 ）。

おこのような関数の話をしている若き日の科学者を描い

0nmnmnている。
”ここまで本稿を読んできた読者には、第 2 図の⒝合流型超幾何関数型の微分方程式
II の名前の由来となった微分方程式は Kummer の微分説明は十分理解できるだろう。
II に属する微分方程式の標準形として Bessel 関数 Z(ξ)
があり、その微分方程式は（ 7 ）で与えられる。それは方程式と呼ばれ、Kummer の微分方程式の解を使って、（26）と表される。ここで、x＝0は確定特異点、x＝∞はランク60

地球環境研究，Vol.16（2014）

点をもつ微分方程式（ 5 ）を 1 級の不確定特異点をもつ微分方程式に変更しなければならない。そのために x をu＝x(c+2)/2 と置き換える必要がある。こうして、x の (c+2)/2のべき乗が出てくる。これが、疑問 (a) に対する回答である。
さらに、（ 5 ）の F(x) は F(u) と置き換えると、（29）と変形される。続いて、ζ＝2bu/(c+2) とおくと、（29）第２図 き日のジュール ･ チャーニー。
若（小倉、２₀₀₀から引用）

は... and since there are hypergeometric differential
equations with logarithmic singularities ...

（30）となる。ここで、ρ、σ、δは定数として、（28）のやり方のように、（28）（31）と書くことができる（森口ほか（1999）57ページ参照）。
このように、合流型超幾何関数型に属する微分方程式でとおいて（30）に代入し、（ 5 ）と比較すると、は、（28）のような変換により II の関数間を行き来することができる。

（32）

ここで、Gauss の超幾何関数（20）のうちβx を x とおきかえβ→∞ とすることにより Kummer の微分方程が導かれる。また（ 7 ）の引数 j は (c+2)‒1となる。こう式（26）に変形できることを言った。しかし、Gauss のして（ 6 ）が得られる。これが疑問 (b) に対する回答で超幾何関数間の変形には（23）のように代数式であったある。

が、Kummer の微分方程式の場合は（28）のように指数（ 5 ）で c＝0の場合には、大気力学の基本となる sin や関数が表れる。不思議な感じがするが、指数関数が表れcos の振動解が得られる。同様に、（ 6 ）から解はる理由については付録 B に述べる。
ほかに 1 節であげた赤道域における大規模大気運動を（33）表す赤道波の式（ 1 ）も II に属する微分方程式である。となり、半奇数次の Bessel 関数で表される。単純な振動₄．
（ ₅ ）の解の求め方

解が Bessel 関数と意外なところで結びつくが、これは c＝0の場合の微分方程式が x＝∞で一級の不確定特異点を少々回り道したが、 1 節の（ 5 ）に関する二つの疑問持つからである。また c＝1 の場合は、虹を記述する場合に立ち戻る。これまでの話から、（ 5 ）から（ 6 ）への変などに表れる（例えば、Liou, 1980）。このように、微分形に当たってはまず特異点に注目するのが肝心である . も方程式（ 5 ）およびその解（ 6 ）の応用範囲はかなり広し 2 階常微分方程式が三つ以下の確定特異点をもつときい。には I のグループであるし、一つの不確定特異点をもち同時に一つ以下の確定特異点を持つときには II のグループに分類される。
（ 5 ）のランクを調べると、（19）の x＝₅ ．まとめ∞で、κ＝0、ν＝c であることから、（ 5 ）は (c+2)/2 級

本稿では , 非標準形の 2 階常微分方程式を標準形の式の不確定特異点をもつ微分方程式であることがわかる。

へ導出するプロセスを解説した。 2 階常微分方程式の解

これを、例えば、x＝∞ で 1 級の不確定特異点を持つを調べる場合には、特異点のランクとその属性、およびBessel 関数に結びつけるならば、(c+2)/2 級の不確定特異その数に注目するのが肝心である。少なくとも超幾何関
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大気力学に表れる２階線型常微分方程式の解法（吉崎）数型と合流型超幾何関数型に属する関数は標準形に変形である*）。そうするとこの解はⅢに属するものであり、森口たすることができる。

ち（1999）の57節（249ページ～254ページ）の回転楕円体波動

大気力学と数学が密接につながっているといっても、関数 L(μ) で記述するのがよさそうである。その微分方程式は数学からと大気力学からでは見方がかなり異なる。数学（A3）の専門家ではない私のような素人が数学を語るのは不遜であるが、本稿は大気力学の記述を数学的な見方でまとで表される。ここで、χは固有値であり、l、s は定数を意味め直したことになる。大気力学で表れるさまざまな微分する。χを n(n＋1) とおくと、この式は超幾何関数型の（25）方程式に直面したとき、本稿で示した解法のテクニックの球関数とほとんど同じであるが、l2μ2の項があるために、を使うことにより、（すべてではないが）自らの手で解をμ＝∞で 1 級の不確定特異点を持つ。それに対して、（A1）得ることができる。初学者にとって、本稿が微分方程式を理解する糸口になることを期待する。

や（A2）のμ＝∓ω’ の点は一見特異点のμ＝∓のように見えるが、これらの点は V’、Π’ の両方に共通に見謝辞られないので、これらの点は正則点であることが期待される。

本稿をまとめるに当たり、小倉義光氏（イリノイ大学名誉教授）、新野宏氏（東京大学 ･ 大気海洋研究所）、山中大学氏（海洋研究開発機構）、安永数明氏（富山大学）、金子晃氏 ・ 真
島秀行氏（御茶ノ水大学）、藤部文昭氏（気象研究所）、渡来靖氏（立正大学）にはいろいろなコメントをいただきました。
感謝します .

このような点は見かけの特異点と呼ばれる。
赤道β面近似の方程式系は LTE の一つの極限で表現される。

、、とおきとすると（V’→V、Π’→Π）、V の式は（ 1 ）となり、Πの式は、（A4）

付録 A：楕円体関数型の微分方程式
Ⅲに分類される 2 階常微分方程式は沢山あって、これまで見た超幾何関数型と合流型超幾何関数に比べて、系統的な体となる。Πの微分方程式では、V のものとは異なり、y＝∓2ω

系化はなされていない。また I や II で見たような変換によっに見かけの特異点を持ち、固有値（あるいは分散関係）を陽て、Ⅲの標準形から非標準形の一般の微分方程式まで行けるに見ることができない。Πの式から固有値が得られなかった保証もない。のは、見かけの特異点を含む非標準形の微分方程式であった

ここでは、Ⅲの例として Laplace 潮汐方程式（LTE）を取り上げる。LTE は安定成層で回転流体の運動を球面で記述する微分方程式であり、大気の大規模運動を語るときに非常にからである。しかし、分散関係とよく似た関係を見ることはできそうである。
再び LTE の式に戻る。すでに述べたように、（A1）や（A2）重要である。無次元量のμ＝cos θ（θは90度－緯度）、ｓはから V’ もΠ’ も見かけの特異点をもつので両方とも標準形の東西波数、ω’ は振動数、εは地球の自転と重力の比を表す微分方程式ではない。Longuet-Higgins（1968）は、LTE の微と、南北流 V’ に関する微分方程式は分方程式を（24）の解である（25）で展開して数値計算で解くことにより、LTE の分散関係と解の構造を得た。おかげで（A1）と表される。一方、LTE（あるいは Hough 関数と呼ばれる）
圧力Π’ に関する微分方程式は、

LTE に関してはすべてわかったように思われるが、筆者が知る限り、LTE の分散関係の陽な式はまだ見つかっていない。
LTE をより理解するには、一つにその微分方程式を（A3）のような標準形に導くことが必要であると思われる。それが得られるとき、LTE の陽なる分散関係と関数 L(μ) の物理的な意味が明らかになり、次なる展開が始まると考えられる。

―――――――――――――――――――――――――*) μ＝∞の場合に 1 級の不確定特異点であることは以下のよ（A2）

うにして示される。この場合（A1）はと表される。ここで、同じ方程式系から導出される微分方程式には共通の特異点が表れると考えると、（A1）と（A2）に共通の特異点はμ＝∓1（確定特異点）と∞（1級の不確定特異点）62と簡略化される。
（19）を使ってランクを計算すると、κ＝－地球環境研究，Vol.16（2014）
1、ν＝0 であるので、ランクは １ となる。これから 1 級の不引用文献確定特異点であることが分かる。

Charney, J. G., 1947: The dynamics of long waves in a baroclinic westerly current. J. Meteorol., 4, 135-163.

付録 B：Gauss の超幾何関数と Kummer の微分方程式の変形公式集から、（20）を変形すると、Gauss 超幾何関数は代数式で変換されるので、例えば、

伏見康治 ・ 赤井逸，1981： 直交関数系

共立出版，246pp．

犬井鉄郎 , 1974: 特殊関数 岩波書店，376pp．
Liou, K.-N., 1980: An Introduction to Atmospheric Radiation.
Academic Press, 392pp.
Longuet-Higgins, M. S., 1968: Phil. Trans. Roy. Soc. London,（B1）と書くことができる。ここで、Kummer の微分方程式の導出で行ったように、（B1）のβ x を x とおきかえβ→∞とすると、

A262, 511-607.
Matsuno, T., 1966: Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. J. Meteor. Soc. Japan, 44, 25-42.
森口繁一 ･ 宇田川銈久 ･ 一松信，1999： 数学公式 III（全三冊） 岩波書店，310pp．
小倉義光，2000:

総観気象学入門

東京大学出版会，289pp．

Pedlosky, J., 1987: Geophysical Fluid Dynamics. Second edition. Springer-Verlag, 710pp.
篠崎寿夫 ･ 富山薫須 ･ 松浦武信 ･ 鈴木健文 ・ 矢沢志雄作，（B2）と変形される。ここで、第 2 式の右辺第 1 項から第 3 式の右辺第 １ 項へは指数関数の定義を使った。これから、Kummerの微分方程式の変形に指数関数がでてくる理由が理解できる。

1993：現代工学のための常微分方程式とグリーン関数． 現
代工学社，242pp．
寺澤寛一，1969： 自然科学者のための数学概論（増訂版）．
岩波書店，722pp．

Solutions of the Second-Order Ordinary Differential Equations Appearedin Atomospheric Dynamics
—Into Standard Formes from Non-Standard Formes—
YOSHIZAKI Masanori**Faculty of Geo-Environmental Science, Rissho University63