回折格子型 MOT における輻射圧バランスの回折角依存性の見積もり
Ⅲ類 物理工学プログラム 岸本研究室
16104741

研究背景と目的

永松 衛二からのレーザーをより選択的に吸収させて、減速させる原子集団を冷却したうえで１ヶ所に捕獲する磁気光学手法がドップラー冷却である。

トラップ(MOT)はボース・アインシュタイン凝縮、原子干さらに冷却させた原子集団を一か所に捕獲する手法を渉計、原子時計などの様々な応用研究に用いられてい説明する。原子の共鳴周波数はゼーマン分裂により磁気量る。この MOT を形成するには 6 方向からレーザーを入射子数𝑀𝐹 、磁場𝐵に比例して複数の磁気副準位に分裂する。

する必要があるが、3 枚の反射型回折格子を用いることでまた遷移選択則によりσ− 偏光(磁場に対して左回り円偏光)入射するレーザーを 1 本のみで実現可能にしたものが回のレーザーを吸収した原子は𝑀𝐹′ = 𝑀𝐹 − 1の磁気副準位、折格子型 MOT(GMOT)である。

すなわち赤方準位に遷移しやすくなる。以上の二つの法則

我々の研究室では上記のような応用研究に利用できるを用いて、ドップラー冷却のレーザー交点をアンチヘルム小型、かつ可搬型の GMOT を制作している。本来は理想ホルツコイルで挟むことで、中心を 0 として位置に比例し的な輻射圧バランスを持つ GMOT の形成には、回折角がて強くなる磁場を与えたうえ

70.5°の回折格子を用いるが、この角度では原子集団を捕で、すべての入射レーザーをσ−獲する位置が真空セルのガラス内壁面に非常に近くなっ偏光にする。これにより原子はてしまう。そこで我々は、市販で購入可能かつセル中心中心方向に進むレーザーを選近傍で捕獲可能な回折角を持つ回折格子による GMOT 生択的に吸収して、中心への復元成の実現可能性を調査し、GMOT 技術の拡張をはかりた力が生まれる。これを磁気光学いと考えている。

ト ラ ッ プ (Magneto Optical

本研究室では、これまで回折角が 28.9°のブレーズド回Trap : MOT)と呼ぶ。

折格子を使用して GMOT 装置を構築したが、現状は原子図 1. 磁気光学トラップ

集団を捕獲できていない。そこで計算により原子の捕獲

2.2 回折格子型 MOT(GMOT)

条件を導出したうえで、その条件に則って実際に捕獲でMOT では三次元的に輻射圧のバランスをとるために直きるよう実験装置を調整、評価することを目的とした。

交座標系の 6 方向からレーザーを入射していたが、正四面体構造のように入射することで 2 方向減らした 4 方向

2原理からの入射によってバランスを取ることができる[6]。こ2.1 磁気光学トラップ(MOT)

れを利用して、径の太い左回り円偏光レーザーと三枚の原子気体の温度と原子の速度は気体分子運動論で表さ回折格子を用いることれるような相関を持つため、原子を減速させることで冷で、1 本の入射光とその却することができる。

入射光を回折格子によっ

ここでドップラー冷却について説明する。原子は共鳴て回折させた 3 本の回折周波数𝜔付近の光を吸収する際に、同時に運動量も受け取光によって MOT と同様ることで光の進行方向に力(輻射圧)を受ける。この力を利の働きをさせることがで用して、共鳴周波数より赤方離調(𝛥𝜔 < 0)のレーザーきる。この手法を回折格(𝜔 + 𝛥𝜔)を直交座標系の 6 方向から入射することで、ド子型 MOT(Grating

ップラー効果による周波数シフトにより原子に対向方向

MOT : GMOT)と呼ぶ。

1Y

図 2.回折格子型磁気光学トラップ

3 計算
3.1 輻射圧の計算式

3.2 初期条件の設定
87Rb 原子の D2 遷移(5𝑆1/2 𝐹 = 2 → 5𝑃3/2 𝐹に GMOT の初期条件を以下の表のように設定した。

ドップラー冷却効果を考慮しないものとして、MOT で

表 1. 計算の初期条件のレーザー1 本による輻射圧𝐹𝐽 は以下の式[4]で表せる。
𝐹𝐽 = ℏ𝒌𝑗𝛤 𝐼𝑗
2 𝐼𝑠𝑎𝑡1𝜇 (𝑔 ′ (𝑚𝐹 + 𝑛) − 𝑔𝐹 𝑚𝐹 ) ̂{Δ𝜔 − 𝐵 𝐹𝑩}∑𝐼𝑗ℏ
1++4𝐼𝑠𝑎𝑡𝛤2′ = 3)を対象

入射レーザー… (1)2

この式にてℏ：ディラック定数、𝒌𝑗 ：波数ベクトル、𝛤：中心の強度

𝐼5 [mW/cm2]

離調𝛥𝜔

−7 [MHz]

1/e2半径𝑤𝑖

17 [mm]

回折格子

自然幅、𝐼𝑗 ：レーザーの強度、𝐼𝑠𝑎𝑡 ：飽和光強度、Δ𝜔：離調、𝜇𝐵 ：ボーア磁子、𝑔𝐹 , 𝑔𝐹′ ：基底、励起状態でのランデの g 因子、𝑚𝐹 ：磁気副準位、𝑩：磁場を示し、入射光がσ+ 偏光のとき𝑛 = 1、π偏光のとき𝑛 = 0、σ− 偏光のとき回折角[3]

𝜃28.9°

S 偏光回折効率[3]𝑅𝑠0.67

P 偏光回折効率[3]𝑅𝑝0.62

𝜙𝑠𝑝−82°

回折後の𝑛 = −1となる。アンチヘルムホルツコイルによる磁場は𝑏SP 偏光位相差[3]を中心での勾配とおいて𝑩 = (𝑏𝑥, −2𝑏𝑦, 𝑏𝑧)と表せる。

セル

しかし GMOT について考える際は、磁場と回折光の波

屈折率𝑛1.453

厚さ𝑡2.5 [mm]回折格子との間隔

𝑙0.5 [mm]数ベクトルは平行でないうえ、回折格子やセルに入射する際に偏光が崩れてしまうため、入射光をσ+ 、σ− 、π偏光に変換して計算を行う必要がある。これらを考慮した結磁場

果、1 本の回折光による輻射圧𝐹𝐽 は次のように表せる。

動径方向中心の𝑅 𝑇 (0)4 𝑇 (𝜃)2 − 𝑅𝑅 𝑇𝑅 (0)4 𝑇𝑅 (𝜃)21+𝑠( 𝐿 𝐿 4 𝐿 2)
𝛤 𝐼𝑗
𝑅𝐿 𝑇𝐿 (0) 𝑇𝐿 (𝜃) + 𝑅𝑅 𝑇𝑅 (0)4 𝑇𝑅 (𝜃)2(𝐹𝑗 = ℏ𝒌𝑗∑
2 𝐼𝑠𝑎𝑡2

磁場勾配𝑏17 [G/cm]ℎ15 [mm]𝑠=±1∑
𝑛=±1,0𝐼𝑛( 𝐼𝑗121+∑𝐼𝑗+4𝐼𝑠𝑎𝑡{Δ𝜔 −𝜇𝐵 (𝑔𝐹 ′ (𝑚𝐹 + 𝑛) − 𝑔𝐹 𝑚𝐹 ) ̂ ))𝑩}ℏ
𝛤2

セル内壁底面から… (2)ゼロ点までの距離

𝐼, 𝛥𝜔, 𝑏は輻射圧のつり合いにはさほど影響せず、回この式において、𝐼𝑛 はσ+ 、σ− 、π偏光の光強度を示し、折格子は先行研究[3]にて測定されたデータを用い、以上偏光の回転方向𝑠(左回り円偏光にて𝑠 = 1)、磁場と波数ベのデータを用いたうえでℎがセルの中心に来るように𝑤𝑖 をクトルとの交差角𝜙に依存して次のように表せる。

設定した。その上でσ− 偏光を選択的に吸収させることか

1 ± 𝑠 ∙ cos 𝜙 2
𝐼±1 = 𝐼𝑗 () 、2

1 − cos 𝜙𝐼0 = 𝐼𝑗 ()2ら磁気副準位𝑚𝐹 = −2、それぞれの回折効率𝑅𝐿 , 𝑅𝑅 を S、P… (3), (4)偏光での効率𝑅𝑠 , 𝑅𝑝 、回折後の SP 偏光位相差𝜙𝑠𝑝 で表すとまた、𝑅は回折格子の回折効率、𝑇(𝜃)は入射角𝜃でセル

𝑅𝐿 =に入射したレーザーの透過率を示し、L,R により左回り、ルの式から𝑇𝑠 (𝜃) =また、回折光の強度𝐼𝑗 も回折効率、透過率の他に、回折𝑅𝑠 +𝑅𝑝 −2√𝑅𝑠 𝑅𝑝 sin 𝜙𝑠𝑝
4、4 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 ′ cos 𝜃 ′、𝑇𝑝 (𝜃) =sin2 (𝜃+𝜃 ′ )4 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 ′ cos 𝜃 ′と表せる。また、入射光𝐼0 、回折光𝐼1 、sin2 (𝜃+𝜃 ′ ) cos2 (𝜃−𝜃 ′ )角による圧縮、ガウス分布により、次のように表せる。
𝐼𝑅𝐿 + 𝑅𝑅 𝑇𝐿 + 𝑇𝑅 6𝑥 2⋅⋅() ⋅ exp {−2 ( ) }cos 𝜃22𝑤𝑖4, 𝑅𝑅 =セルの透過率は入射角を𝜃、回折角を𝜃 ′ とすると、フレネ

右回り円偏光を対象にする。

𝐼𝑗 =𝑅𝑠 +𝑅𝑝 +2√𝑅𝑠 𝑅𝑝 sin 𝜙𝑠𝑝

𝐼2 、𝐼3 のそれぞれの単位波数ベクトルは… (11)

̂0 = (0, 0, −1)𝑘̂1 = (0, − sin 𝜃 , cos 𝜃)𝑘

この式において𝐼：入射レーザー中心での強度、𝑤𝑖 ：レー̂2 = (− √3 sin 𝜃 , 1 sin 𝜃 , cos 𝜃)である。
𝑘

ザー半径、𝑥：原子の位置を示す。

2221√3̂{ 𝑘3 = ( 2 sin 𝜃 , 2 sin 𝜃 , cos 𝜃)3.3 垂直方向の輻射圧バランス
今までは直交座標系を使っていたところを、𝑧軸を垂直方向、𝑟, 𝜓軸を動径方向おいた円筒座標系で輻射圧の計算計算をする。
ここで垂直方向において、入射光は𝜙 = 0°, 180°、𝜙𝑠𝑝 =𝑧290°、exp {−2 ( ) } = 1、𝑅𝑠 = 𝑅𝑝 = 1、透過率も𝜃 = 0°で𝑤𝑖の 2 回しか計算しない。一方、回折角は𝜙 = 𝜃, 180° − 𝜃としたうえで、ガウス分布をexp [−2 {図 4. 動径方向での輻射圧(𝜓 = 0)2(𝑧+𝑙+𝑡) tan 𝜃
𝑤𝑖 +𝑡(tan 𝜃−tan 𝜃 ′ )} ]とおいた。以上の条件と表 1 の条件を式(2)に当てはめると、

3.5 輻射圧の回折角依存性

横軸を原子の存在する位置、縦軸をその位置にて受ける

先行研究[1][2]として存在する𝜃 = 70.5°、41°の結果と輻射圧として図 3 のようなグラフが表せた。

比較すると、それぞれの中心での垂直、動径方向の輻射圧勾配は表 2 に表せた。

表 2. 各回折角での規格化した輻射圧勾配[dF/dx]

垂直方向

動径方向

28.9°

1.80.941°

3.21.870.5°

4.64.6

表からわかるように回折角は正四面体構造となる 70.5°のときに全ての方向から等しい輻射圧を受けるようにな

図 3. 垂直方向での輻射圧る。しかし小型の GMOT を作る際には捕獲位置が底面かこのグラフにおいて、紫色の線が 4 本のレーザーによら近く、セルの底面に圧迫されて捕獲できる原子数が少る輻射圧の合算値を表す。下の矢印は輻射圧の向きを示なくなってしまう。そこで、高い位置に原子を捕獲できしており、橙色のかかっていない範囲にて捕獲方向に輻るように市販で買える回折角が小さい回折格子を探した射圧が働いた。

結果、波長780nmにて𝜃 = 28.9°のブレーズド回折格子を用いることにした。しかし、この回折格子では 70.5°の時3.4 動径方向の輻射圧と比べて、垂直にて 0.58、動径にて 0.17 倍の輻射圧勾配

動径方向において入射光の波数は𝑘𝑥,𝑦 = 0であるため考となり、捕獲するには厳しい条件であることが判明しえなくて良い。半径を𝑟、方位核を𝜓として考えると(𝑥 =た。尚、先行研究おいて 32°の GMOT の報告[2]されてい𝑟 ∙ cos 𝜓 、𝑦 = 𝑟 ∙ sin 𝜓)、回折光では波数ベクトルと磁場るため、実現自体は可能だと思われる。との角度差はそれぞれ𝜙 = acos (𝑘𝑥 cos 𝜓+𝑘𝑦 sin 𝜓√𝑘𝑥 2 +𝑘𝑦 2 +(1/ tan 𝜃)2)とな

4 実験
4.1 水平入射型実験装置

り、これらと磁場勾配以外は垂直方向と同じように計算を行った結果、図 4 のようなグラフが表せた。

図 5 のように 87Rb で充満したセルをアンチヘルムホルまた𝜓を 360°回転させた時の動径方向も求めたが、些ツコイル、外部磁場を取り除くために補正用バイアスコ

細な差はあるものの中心の𝑟 = 0にて同じような輻射圧勾イルで囲い、入射光の光軸中心に Y 字が出来るように組配で捕獲力が働いた。

み合わせた回折格子を設置した。ここに 780nm の3

Cooling、Repump レーザーを光ファイバーで出射し、偏この装置にてアンチヘルムホルツコイルに流す電流値

光板、四分の一波長板を用いて円偏光にした後にコリメを変えることで磁場の中心を動かして原子を捕獲できるートレンズで平行光にして回折格子に対して水平に入射位置を探った。しかし、中心にて原子の強い蛍光は見えさせた。今回、回折格子の回折効率をそれぞれ再測定したが、それでも原子を捕獲することができなかった。

たところ 45％,47％,49％となり、以前に計測した時より現時点でまだトラップが実現できていない要因として落ちていたことから、入射光と回折光の輻射圧バランスは、回折格子を抜き差しする最中に傷つけて回折効率がを保つため、直径 10mm、透過率が 0.79 の ND フィルタさらに低下していたこと、そもそもこの回折角、回折効を入射光の中心部分に通して入射光強度のみを弱めた。

率では 87Rb 原子を捕獲するには輻射圧が弱すぎることが考えられる。

図 5. 水平型実験装置の概要図と実際の写真
真空セルを重力方向に立たせた上で、回折格子はセル

図 7. 原子集団の蛍光側面に面した配置としたため、入射光（回折格子組の対称軸）は重力と垂直となる。そのため、前述のように、ただでさえ弱まった動径方向の輻射圧勾配にて光強度の5アンバランスや、重力の影響を受けてしまうことで、捕セルの底面から離れた位置に原子集団を捕獲できる獲力のバランスが崩れてしまったことからか、原子を捕GMOT を作るために、まずは回折角が 28.9°のブレーズド獲することが出来なかった。

回折格子を使った GMOT における輻射圧のバランスを計まとめ算したところ、捕獲方向に力が働いてはいるものの 70.5°

4.2 鉛直入射型実験装置の GMOT に比べて垂直、動径の両方にて輻射圧勾配が大きそこで、次にく低下していた。

前述の問題を解消

その後に実際に装置を制作したが、輻射圧が弱かったた

するため図 6 よめか水平型、鉛直型のどちらも原子の捕獲を観測できなかうに光学素子を全った。今後は近い回折角の回折格子を他所に外注したうえてポールに固定しで、それを用いてもう一度実験を行う予定である。て重力および真空セルに合わせて縦6置きにすることに[1] M. Vangeleyn. PhD Thesis, 2011.

よって、ミラーを[2] J. P. McGlligan. PhD Thesis, 2017.

介さずに鉛直方向[3] 笹野国光 卒研論文, 2019.

から入射光を入れ[4] C. J. Foot. Atomic Physics, 2005.

られるようにした。

参考文献[5] D. A. Steck. Rubidium 87 D Line Data, 2001.

図 6. 垂直型実験装置の[6] F. Shimizu, Opt. Lett., 16, 1991

概要図と実際の写真
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