c オペレーションズ・リサーチ

論文・事例研究

リスク評価に CVaR を用いた保険料決定の最適化モデル
柴崎 佑翔，南條 慶輔，高野 祐一，水野 眞冶

より高度な手法として，文献 [7] では死亡率と運用

1. はじめに利回りを確率変数としたシミュレーションによって保生命保険とは人間の疾病や死亡に関する保障であり，険料を決定する手法が提案され，文献 [3, 10, 15] では

万が一の保障として多くの人が加入している．この生リスク分の付加保険料を決定するためのさまざまな保

命保険の保険料を適切な値に設定することは，保険会

険料計算原理が紹介されている．しかし，これらはす社が健全な経営を続けていくうえで非常に重要である．

べて保険（性別と年齢）ごとにリスクを評価して保険保険会社では，加入者数を増やすためになるべく保料を決定するものであり，保険全体の損失から生じる

険料を低く設定したいが，低すぎる保険料では多額のリスクを正確に把握したうえで保険料を決定するもの

損失を被るリスクが生じる．このような背景から本論ではない．また，文献 [7] のようなシミュレーション

では，死亡保障のみを対象とした生命保険の保険料最を行えば，設定した保険料に対して保険全体の損失か適化モデルを提案し，損失リスクを抑えながらどの程ら生じるリスクを計測することは可能だと考えられる度まで保険料を低く設定できるかを分析する．

が，そこから性別と年齢ごとに適切な保険料を決定し事務費などを除いた保険料（純保険料）は，死亡率ていくことは難しい．

と運用利回りがわかれば，保険会社の収入現価と支出本論では，上述のような保険数理上の保険料評価（決

現価を等しくすること（収支相等の原則）により算出

定）モデルではなく，保険会社による保険料制御モデル

することができ（例えば文献 [2, 8, 15] などを参照），という立場から，最適化モデルを利用した新しい保険

性別と年齢ごとに保険料は計算される．しかし，将来料決定手法を提案する．提案モデルでは，想定する確率の死亡率や運用利回りの値は現時点では不確実なので，分布から多数のシナリオを生成することによって死亡実測値が予測値（期待値）より悪ければ保険会社は損率と運用利回りの不確実性を表現する．そして，ファイ

失を被ることになる．

ナンス分野のリスク指標 Conditional Value-at-Risk

このようなリスクを回避するために，死亡率や運用(CVaR) [13] によって損失リスクを定量化し，損失リ

利回りを確率変数とみなして保険料を算出する方法がスク額の上限制約のもとで適切な保険料を決定する．

提案されている．効用関数を用いた保険料の算出（例

ファイナンス分野のリスク指標は保険の文脈でもすでえば文献 [2, 10, 15] などを参照）はその一つであるが，に利用されているが（例えば文献 [14] など），そのな効用関数は推定すること自体が難しく実用的とは言えかでも CVaR は一定の確率で生じる多額の損失を定量ない．そのため実務上は割増した死亡率を用いて，収支化する下方リスク指標であり，損失の確率分布が非対相等の原則により保険料を算出することが一般的であ称であっても適切に損失リスクを評価することができる．例えば文献 [11] では，死亡率の標準偏差に基づいる．また，CVaR はリスク指標として理論的に好まして死亡率を割増する方法が示されているが，保険会社

い性質を備えていることが知られており [1, 12], これの運用利回りの不確実性については考慮されていない．

らの理由から本論では数多くあるファイナンス分野のリスク指標（例えば文献 [4] などを参照）のなかからしばさき ゆうと，なんじょう けいすけ，たかのいち，みずの しんじ
東京工業大学大学院社会理工学研究科経営工学専攻〒 152–8552 東京都目黒区大岡山 2–12–1
受付 12.11.7 採択 13.5.27

2013 年 8 月号

ゆうCVaR を利用している．また，本論では保険会社（供給側）のリスク管理を目的に CVaR を利用しているが，文献 [5, 6] では保険加入者（需要側）のリスク管理のために CVaR が利用されている．さらに提案モデル

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Copyright では，死亡率と運用利回りの両方の不確実性を考慮し，保険全体の損失リスクを制御しながら，すべての性別・ために，以下のように多数のシナリオを想定する：• S := {1, 2, . . . , S}: 想定する（死亡率と運用利回りの）シナリオの集合

年齢の保険料を同時に決定することが可能である．
本論では，提案モデルを凸 2 次計画問題として定式• p(s) : シナリオ s ∈ S の生起確率化し，ある保険会社から提供された実際のデータを用(s)• t| qx,g,b: シナリオ s ∈ S のもとでの，現在 x ∈ X

いて数値実験を行った．まず，提案モデルが算出する

歳，性別 g ∈ G, 契約種別 b ∈ B の加入者の t 年
後〜t + 1 年後の間の死亡率

保険料の標本誤差が十分に小さいことを検証し，それから死亡率と運用利回りの不確実性が最適保険料に与• i(s)
t : シナリオ s ∈ S のもとでの，現在から t + 1
年後までの運用利回りの年率の平均える影響を調べ，許容可能な損失額の上限値と最適保険料の関係についても考察した．これらの分析は，損2.2 収支相等の原則

失リスクを制御しながら死亡率と運用利回りの両方の事務費などを除いた保険料（純保険料）を算出する

不確実性を考慮して最適な保険料を決定する提案モデ際には，収支相等の原則が用いられる（例えば文献

ルだからこそ可能な分析であると言える．さらに，既[2, 8, 15] などを参照）．収支相等の原則では，収入

存の保険料計算手法との比較を通して，提案モデルの現価（保険会社が保険契約者から集める保険料）と支

特徴と有用性を明らかにした．

出現価（保険会社が保険受取人に支払う保険金）が等

2. 保険料の算出方法

しくなるように保険料が決定される．
まず収入現価について説明する．支払われる保険料

本節では，まず今回想定する生命保険の前提を説明

Px,g は毎期一定金額であり，保険加入者の t 年目開始時

し，その生命保険の保険料の算出方法について述べる．

点での生存率は (1− 0| qx,g,b − 1| qx,g,b −· · ·− t−2| qx,g,b )その後，保険料の算出方法の問題点について言及する．

(s)

(s)

(s)

である．よって，シナリオ s のもとでの，加入者 1 人

2.1 設定あたりからの t 年目の収入の現在価値は，上記の生存今回想定する死亡保障のみを対象とした生命保険は，率に割引された保険料 Px,g / 1 + it−2

以下の前提に従うとする：



(s)

t−1

をかけて表

すことができる．ゆえに，契約期間 T 年の場合のシナ• ある一定の契約期間が存在する

リオ s のもとでの加入者 1 人あたりからの収入現価は• 契約期間内の毎年初めに契約者は保険料を支払う

各年度の収入現価の和として以下のように表される：• 支払う保険料は毎期一定金額• 新規契約者，継続契約者ともに保険料は同額

Px,g +• 被保険者が死亡した場合のみ受取人に保険金が支払われるて即時払いを近似する

1 + i(s)
0

+

(s)
(s)
(1 − 0| qx,g,b− 1| qx,g,b
)Px,g
+ ···


(s) 2
1 + i1

+

(s)
(s)
(s)
− 1| qx,g,b− · · · − T −2| qx,g,b)Px,g(1 − 0| qx,g,b
.


T −1
1 + i(s)T −2• 保険金は即時払いとするが，モデル上は簡単のために各年度の中央で保険金が支払われることとし(s)(1 − 0| qx,g,b
)Px,g

(1)

• 途中解約はないものとする

式（1）は Px,g の線形関数であることを考慮するとここからは契約期間を T 年，保険金額を M 円とし，

(s)
ā(s)
x,g,b Px,g と表すことができ，ここで āx,g,b は加入者 1

これらは所与の値とする．そして，文献 [2, 8, 15] を人あたりからの保険料 1 円あたりの収入現価を表す定一部参考にして以下の表記法を用いる：

数とする．

• X := {XL , XL+1 , . . . , XU −1 , XU }: 年齢の集合

支出現価も収入現価と同様に求める．各年度の中央• G := { 男性，女性 }: 性別の集合で保険金が支払われることを考慮し，シナリオ s のも

• B := { 新規，継続 }: 契約種別の集合とでの，保険加入者 1 人あたりへの t 年目の支出の現• Fx,g,b : 加入年齢 x ∈ X 歳，性別 g ∈ G, 契約種

在価値は，t 年目での死亡率 t−1| qx,g,b に割引された保別 b ∈ B の保険の加入者数（本論では加入者数は保険料に依存しないこととする）• Px,g : 加入年齢 x ∈ X 歳，性別 g ∈ G の保険の年額保険料（決定変数）(s)(s) t−1/2
t−1

険金額 M/(1 + i)

をかけて表すことができる．

よって，契約期間 T 年の場合のシナリオ s のもとでの(s)

加入者 1 人あたりへの支出現価を表す定数 c̄x,g,b は，各年の支出現価の和として以下のように表される：

死亡率と運用利回りについては不確実性を考慮する
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470 （46）Copyright 

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c̄(s)
x,g,b :=

(s)0| x,g,b

q

M

(s)
0

1
2

+

(s)
1| x,g,bq

M
32(1 + i(s)1 )(s)T −1| qx,g,b M
.
··· +
T− 1
2
(1 + i(s)T −1 )(1 + i)+(2)

式（1）と式（2）から，現在 x 歳，性別 g の保険から得られる，シナリオ s のもとでの保険会社の利益は，
(s)

(s)

加入者 1 人あたりから得られる利益 āx,g,b Px,g − c̄x,g,bを保険加入者数 Fx,g,b で重みづけして足し合わせることで，保険料 Px,g の関数として
(s)
x,g

R

(Px,g ) :=





(s)
Fx,g,b ā(s)(3)
x,g,b Px,g − c̄x,g,bb∈Bと表せる．また，収支相等の原則に基づく保険料を P̄x,g

図 1 損失の確率分布と CVaR[13] について説明する．次に，本論で提案する保険料最適化モデルの定式化を示す．

とすれば，P̄x,g は性別と年齢ごとに期待利益が 0 にな

また，モデル化に向けて以下のパラメータを設定する．

るよう以下の方程式を解くことで計算できる：• β: CVaR の信頼水準 (β ∈ (0, 1))

 (s) (s)p Rx,g (P̄x,g ) = 0.

(4)

s∈S

シナリオ s のもとでの保険全体から被る損失は以下

L(s) ( ) :=(s)Fx,g,b c̄(s)x,g,b −āx,g,b Px,g . (5)x∈X g∈G b∈B

ここで，• ξx,g : 年齢単調性パラメータ (ξx,g ≥ 1)
3.1 Conditional Value-at-Risk
図 1 に示されているように，信頼水準 β に対して損のように表される： • η: CVaR の上限

は保険料 Px,g , x ∈ X , g ∈ G を要素に持失の上側 100(1 − β)％分位点は Value-at-Risk (VaR)と呼ばれ，CVaR は VaR を超える損失の期待値として定義される [13].

CVaR はリスク指標として理論的に好ましい性質をつ行列とする．

2.3 保険料決定の既存割増手法備えており [1, 12], CVaR を用いた最適化問題は VaR

前節で，収支相等の原則（4）に基づく保険料の算出と比較して扱いやすい [12, 13].

手法について述べたが，死亡率の値が期待値を大きくシナリオ s のもとでの損失の値を L(s) とするとき，上回れば保険会社は損失を被ってしまう．そのため，実信頼水準 β の CVaR の値は以下の最適化問題の最適

務上は期待値から割増した死亡率の値を用いることで，値として計算できる（例えば文献 [13] を参照）：

損失を被るリスクを抑えた保険料を決定している．例
えば，文献 [11] では，死亡率の期待値の 130％を上限として，予測を超える確率が約 2.28％（2σ 水準）と

最小化
制約条件

y+
z

(s)

1  (s) (s)p z
1 − β s∈S(s)

≥L

− y, z(s)(7)≥ 0, s ∈ S.

なるように死亡率を割増することが推奨されている．
つまり，現在 x 歳，性別 g, 契約種別 b の加入者の t
年後〜t + 1 年後の間の死亡率の期待値を t| μx,g,b , 標
準偏差を t| σx,g,b としたとき，割増された死亡率は

ここで，y は VaR を表す決定変数であり，z (s) は CVaRを計算するための補助的な決定変数である．

3.2 定式化:= t| μx,g,b + min{2t| σx,g,b , 0.3t| μx,g,b }(6)

1 章でも述べたように，保険会社では，加入者数をとなり，この割増された死亡率 t| q̄x,g,b を用いて収支相増やすためになるべく保険料を低く設定したいが，収等の原則に従って保険料を計算する．しかし，実際に支相等の原則（4）に基づく保険料 P̄x,g は損失リスクq̄

t| x,g,bは死亡率に加えて運用利回りの値にも不確実性があり，を無視した保険料であり，P̄x,g よりも保険料を下げる

この方法は運用利回りの不確実性から生じる損失のリことは現実的ではない．そこで，本論では保険料 P̄x,gを目標値として，P̄x,g より保険料を下げないという制スクを考慮していない．

約を課したうえで，保険料 P̄x,g からの保険料の乖離を

3. 提案モデル最小化することを目的とする．

本節では，まず多額の損失を被るリスクを定量化する

しかしながら，保険料を低額にすれば保険会社が損指標の 1 つである Conditional Value-at-Risk (CVaR)

失を被る可能性が生じる．保険会社としては性別と年齢ごとの保険それぞれから被る損失よりも，保険全体

2013 年 8 月号

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Copyright から被る損失を重点的に管理すべきだと考えられる．

考えることができる．例えば，加入者数によらずすべて

そこで，本論では各保険から生じる損失を加入者数での種類（性別と年齢）の保険料を低く設定することを重重みづけして足し合わせた保険全体の損失（5）によっ視する場合は，目的関数 (8, a) の加入者数 Fx,g によるてリスク指標 CVaR を定義する．そしてその上限を η

重みをすべて 1 にすることが考えられる．また，保険とし，保険会社が多額の損失を被るリスクを制御する．

料の乖離を「保険料の変更額の 2 乗： Px,g − P̄x,g

最後に，高年齢の保険料を低年齢の保険料より低くによって定義した最適化モデルなども考えられる．

すると，加入を先延ばしにする動機や不公平感を与えてしまうことになり実務上好ましくない．このため，加入年齢の増加に対して保険料が低くなることを防ぐ制
約を課す．

2

」

4. 数値実験
本章では，ある保険会社から提供された実際のデータを用いて，以下の 4 点を目的とした数値実験を行う：

以上の目的と制約条件を考慮し，本論で提案する最適化モデルは以下の凸 2 次計画問題として定式化される：
最小化






Fx,g

x∈X g∈G

Px,g − P̄x,g
P̄x,g

2

制約条件 Px,g ≥ P̄x,g , x ∈ X , g ∈ G

1  (s) (s)y+p z ≤η
1 − β s∈Sz (s) ≥ L(s) ( ) − y, z (s) ≥ 0,s∈S

· · · (8, a)· · · (8, b)· · · (8, c)(8)· · · (8, d)

ただし，Fx,g :=b∈B· · · (8, e)

Fx,g,b は加入年齢 x ∈ X 歳，

性別 g ∈ G の保険の加入者数を表し，決定変数は Px,g
（保険料），y, z

(s)

節）．

•「死亡率の不確実性」と「運用利回りの不確実性」
が提案モデル (8) の最適解に与える影響を調べる（4.3 節）．

• CVaR の上限 (η) の変化が提案モデル (8) の最適解に与える影響を調べる（4.4 節）．

• 提案モデル (8) と既存割増手法（2.3 節）によって算出される保険料を比較する（4.5 節）．
まず用いたデータについて説明し，次に数値実験の結ξx,g Px,g ≤ Px+1,g ,x ∈ X \ {XU }, g ∈ G.

• 提案モデル (8) の最適解の標本誤差を調べる（4.2である．

ここでは，加入者数の増減は保険料の変更割合に比果を示す．なお，最適化モデルの求解には，MATLAB(R2012a) の Optimization Toolbox (quadprog) を使用した．

4.1 基本のパラメータ設定• 対象年齢：5〜70 歳 (XL := 5, XU := 70)• 保険の契約期間：10 年 (T := 10)

例し，なるべく加入者数が多い保険の保険料を低く設• 保険金額：1,000 万円 (M := 10,000,000)

定したいと想定する．よって，目的関数 (8, a) では，保• シナリオ数：10,000 シナリオ (S := 10,000)

険料の変更割合の 2 乗を保険加入者数で重みづけした• 各シナリオの生起確率：1/10,000

値，Fx,g ((Px,g − P̄x,g )/P̄x,g )2 の総和を最小化する．
式 (8, b) は P̄x,g より保険料を下げないための制約，(p(s) := 1/10,000, s ∈ S)
• CVaR の信頼水準：0.95 (β := 0.95)

式 (8, c) は（制約式 (8, d) のもとで）リスク指標 CVaR

• CVaR の上限：0 円 (η := 0)の上限制約となっている．式 (8, e) は加入年齢の増加• 年齢単調性パラメータ：1 (ξx,g := 1, x ∈ X , g ∈に対して保険料が低くなることを防ぐ制約である．なG)お，文献 [9] で指摘されているように，最適解で制約式

継続契約は 5 歳にならないと加入できないことなど(8, c) が効いていない場合は式 (8, c) の左辺が CVaRを考慮して，本論では 5 歳以上の保険料を分析対象との値と一致しない可能性があり，注意する必要がある．

している．数値実験結果では，年額保険料を一定の値本論で提案する保険料決定モデルでは，保険（性別と年齢）ごとにリスクを評価して保険料を決定する先で除して月額保険料に変換した値を示す．
保険加入者数： ある保険会社の生命保険の実績データ

行研究 [7] や既存割増手法（2.3 節）とは異なり，保険を基にして，保険加入者数 (Fx,g,b ) を設定する．

全体から被る損失（5）のリスクを CVaR によって制死亡率： ある保険会社の 2001〜2010 年度の実績デー

御し，すべての性別，年齢の保険料を同時に最適化しタから，各年齢・性別・契約種別の死亡率の平均ベクている．
次章では，最適化モデル (8) を中心に数値実験結果を示していくが，最適化モデルの目的関数はほかにもトル  と分散共分散行列 Σ を推定する．各 (s, t) ∈S × {0, 1, . . . , T − 1} に対応させて多変量正規分布
N(, Σ) に従う乱数ベクトルを発生させて，そこで得c by ORSJ. Unauthorized reproduction of this article is prohibited.
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表 1 最適保険料の標本誤差
年齢（歳）
最大値

男性
女性

平均値

男性
女性

最小値

男性
女性

標準偏差

男性
女性

表 2 不確実性に対する最適保険料の変化

10

20

30

40

50

60

70

211
94
211
94
211
94
0.07
0.03

472
188
472
188
472
188
0.13
0.05

613
335
613
334
613
334
0.17
0.10

1,471
781
1,471
780
1,470
780
0.45
0.23

3,965
1,804
3,964
1,802
3,962
1,802
1.50
0.55

10,787
4,264
10,778
4,262
10,766
4,259
7.31
1.66

25,392
11,14025,354
11,13225,306
11,11931.44
7.73

られたシナリオ s, x + t 歳，性別 g, 契約種別 b の死(s)

亡率の値を死亡率 t| qx,g,b とする．
運用利回り： ある保険会社の 2001〜2010 年度の実績
データから，運用利回りの平均 μ と標準偏差 σ を推定する．各 (s, t) ∈ S × {0, 1, . . . , T − 1} に対応させて
2(s)t
1/(t+1)

正規分布 N(μ, σ ) に従う乱数を発生させて I(s)t

運用利回りを i

:=

 t

k=0

(1 + I

(s)
k

)



とし，

−1 と

する．なお，運用利回りの平均 μ は約 0.0156 であり，年齢（歳）死亡率：不確実
利回り：不確実

男性
女性

死亡率：不確実
利回り：定数男性
女性

死亡率：定数
利回り：不確実

男性
女性

死亡率：定数
利回り：定数

男性
女性

10

20

30

40

50

60

70

211
94
211
94
211
94
211
94

472
188
472
188
472
188
464
188

613
334
613
334
610
334
610
333

1,471
780
1,468
779
1,454
776
1,453
775

3,964
1,802
3,933
1,790
3,850
1,778
3,845
1,777

10,778
4,262
10,696
4,230
10,029
4,131
9,997
4,125

25,354
11,132
25,17011,04921,951
10,335
21,81810,302

表 3 CVaR の上限 (η) に対する最適保険料の変化
年齢（歳）

η=0 円

男性
女性

η=1 億円男性
女性

η=10 億円

男性
女性

η=100 億円

男性
女性

10

20

30

40

50

60

70

211
94
211
94
211
94
211
94

472
188
472
188
472
188
472
187

613
334
612
334
612
334
610
333

1,471
780
1,468
780
1,465
779
1,454
775

3,964
1,802
3,949
1,800
3,926
1,795
3,846
1,777

10,778
4,262
10,678
4,245
10,526
4,218
10,001
4,127

25,354
11,132
24,90011,02524,208
10,863
21,826
10,305

標準偏差 σ は約 0.0025 であった．
上述のように本論では死亡率と運用利回りのシナリ料を計算し，その平均値を示すこととする．

オは正規分布に従って生成しているが，損失の計算式

4.3 死亡率と運用利回りの不確実性と最適保険料（2），（5）を見ればわかるように，損失の分布が（1），

本論では，死亡率と運用利回りを両方とも確率変数

正規分布となることを仮定しているわけではない．まとして扱う保険料計算手法を提案した．そこで，このた，確率分布からシナリオを生成して CVaR でリスク

2 つを不確実（確率変数）として扱った場合と，期待を評価する提案手法は，死亡率と運用利回りの確率分値を用いて定数として扱った場合とを比較して，提案

布としてほかの確率分布を用いた場合でも同様に適用

モデル (8) が算出する最適保険料がどのように変化すできる．

るかを表 2 に示す．

4.2 最適保険料の標本誤差の検証

表 2 では，性別・年齢にかかわらず死亡率と利回り

提案モデル (8) では，上述のように確率分布に基づをともに不確実としたときに最も保険料が高くなっていて死亡率と運用利回りのシナリオを生成し，10,000

いる．また，死亡率と運用利回りを定数として扱うと，個のシナリオから成るシナリオ集合を用いて保険料をこれらの値の不確実性によるリスクを考慮しないため決定する．しかし，シナリオ集合は元の確率分布の近に保険料が低くなるということもわかる．特に，表 2

似にすぎないために，得られる最適保険料には誤差がの死亡率と利回りのどちらかを定数とした場合と，両生じる可能性がある．このような標本誤差の大きさを方を定数とした場合を比較すると，利回りの不確実性検証するために，本章では 10,000 個のシナリオから成よりも死亡率の不確実性のほうが保険料に与える影響

るシナリオ集合を 10 個作成し，各シナリオ集合に対が大きいことがわかる．また，60〜70 歳のような高年して最適保険料を計算する．そして，得られた 10 個

齢では，死亡率と運用利回りの不確実性によって生じの最適保険料の最大値，平均値，最小値，標準偏差をる保険料の差異が大きく，これらの値の不確実性を考表 1 に示す．

慮することの必要性が示唆される．

表 1 の男性の 70 歳の保険料を見ると，最適保険料

4.4 CVaR の上限と最適保険料

はすべて 25,306〜25,392 円の間に収まり，その標準偏CVaR の上限 (η) は保険会社が許容できる損失額の差は 31 円（約 0.1％）であった．ほかの場合も同様に，大きさを表す．基本的には η = 0 と設定するのが適切計算される保険料の値に対して標本誤差は非常に小さだと考えるが，加入者数を増やすことを重視すればあく，10,000 個のシナリオから成るシナリオ集合で十分る程度の損失額は許容できる可能性がある．この場合な計算精度が得られていると評価できる．次節以降では η の値を変化させながら保険料を計算して結果を比も同様に異なるシナリオ集合に対して 10 回最適保険

較検討し，適切な値を選択する必要がある．表 3 は，2013 年 8 月号

c by ORSJ. Unauthorized reproduction of this article is prohibited.（49） 473
Copyright 図 2 男性の保険料（5〜40 歳）

図 4 女性の保険料（5〜40 歳）

図 3 男性の保険料（41〜70 歳）

図 5 女性の保険料（41〜70 歳）

CVaR の上限 (η) の値の変化によって，提案モデル (8)P̄x,gが算出する保険料がどのように変化するかを示してい

ただし，提案モデル（加重あり，加重なし）の CVaR

る．CVaR の上限 (η) の値が大きければ保険会社が許の上限 (η) は，既存割増モデルによって算出した保険

容できる損失額は大きく，保険料をより低くすること料から計算した CVaR の値（約 −85.1 億円）と等しができる．しかし，η を 0 円から 100 億円まで変化さくした．この意味で，提案モデル（加重あり，加重な

せても 30 歳以下の保険料は男女ともにほぼ変化がな

し）は既存割増モデル以下の損失リスクのもとで保険い．これは，死亡率が低く加入者数が比較的少ない低料を計算していると言える．

年齢の保険料よりも，より保険金支出の変動するリス

提案モデル（加重あり）と既存割増モデルの保険料をクが大きい高年齢の保険料を変えることで損失を被る

比較すると，図 3 の男性 59〜70 歳と図 5 の女性 68〜

リスクを軽減しているためだと考えられる．なお，η を

70 歳では既存割増モデルよりも提案モデル（加重あり）

0 円から 100 億円まで変化させたときの男性の 70 歳のの保険料が高いが，それ以外の年齢では提案モデル（加保険料の変化額は 3,528 円（約 14％）であり，女性の重あり）は既存割増モデルとほぼ等しいか低い保険料

70 歳の保険料の変化額は 827 円（約 7％）であった．

を算出している．よって，提案モデル（加重あり）は被4.5 既存割増手法との比較

る損失のリスクを既存割増モデル以下にしながら，既

本節では既存割増手法（2.3 節）と提案モデル (8) の存割増モデルよりも多くの種類（性別と年齢）の保険比較を行う．図 2〜5 は以下の手法で算出された男女の保険料を低く設定できていると言える．一方で，提5〜70 歳までの保険料をグラフにしたものである：

案モデル（加重なし）においては図 3 の男性 56〜70 歳• 提案モデル（加重あり）：最適化モデル (8)を除いたすべての性別と年齢に対して，既存割増モデ• 提案モデル（加重無し）：最適化モデル (8) の目

ルよりも低い保険料が設定されている．また，提案モ的関数の加入者数 Fx,g による重みをすべて 1 にデル（加重あり）と提案モデル（加重なし）を比較す変更したモデル

ると，男女ともに 64 歳以上で提案モデル（加重あり）• 既存割増モデル：既存割増手法（2.3 節）の保険料が提案モデル（加重なし）の保険料よりも高• 収支相等：収支相等の原則（4）に基づく保険料

くなっている．この理由としては，60 歳を超えると保c by ORSJ. Unauthorized reproduction of this article is prohibited.
474 （50）Copyright 

オペレーションズ・リサーチ

険加入者が少なくなっていくために，提案モデル（加者数を保険料に依存するものとすると最適化モデルを重あり）の目的関数ではこれらの保険の保険料を下げ解くことが難しくなってしまうため，この問題に対するための重み付けが相対的に小さくなることが考えらる効率的な解法を提案することは今後の課題となる．

れる．

また，保険料の低下によって逆選択やモラルハザード

2.3 節で説明したように，既存割増モデルでは各性別・年齢の保険料をそれぞれ 2σ 水準で割増している．

の問題が生じる可能性があり，保険料を設定する際にはこれらの点も考慮する必要がある．

その結果，保険全体の損失から計算した CVaR の値は
上述のように約 −85.1 億円となり，これは少なくとも95％の確率で保険会社が 85.1 億円以上の利益を得ることを意味する．一方で，提案モデルでは，保険全体から被る損失（5）をパラメータ η によって制御しながら，すべての性別・年齢の保険料を同時に最適化している．表 3 の提案モデル (8) の保険料と既存割増モデ
ルの保険料（図 2〜5）を比較すれば，損失を被るリス
クを回避しながら既存割増モデルよりも保険料を低く設定できる可能性があることは明らかである．これらの考察を踏まえると，なるべく保険料を低く設定することで加入者数を増やしたいと考える保険会社にとっては，本論で提案した保険料決定モデルは有用なリス
ク管理手法になりうると考える．

5. おわりに
本論文では，リスク指標 CVaR を利用し，死亡率と運用利回りの両方の不確実性を考慮して保険料を決定
する最適化モデルを提案した．提案モデルは凸 2 次計画問題として定式化され，最適化ソルバーを用いれば比較的容易に解くことができる．また，すべての性別・年齢の保険から保険会社が被る損失の総和を制御しな
がら，すべての保険料を同時に決定できるという，既存研究にはない利点もある．
数値実験の結果から，提案モデルの標本誤差が十分に小さいことを検証し，死亡率と運用利回りの不確実性と許容可能な損失額の上限値が保険料に与える影響を明らかにした．さらに，既存割増手法との比較を通して，提案モデルが算出する保険料の特徴を考察し，提案モデルの有用性を明らかにした．
本論では保険加入者数は保険料に依存しないことを仮定した．この仮定が現実と異なるという可能性は否定できないが，保険料の変化に対する加入者数の増減を精度良く推定することは難しい．さらに，保険加入

2013 年 8 月号

謝辞

有益なコメントをいただいた 2 名の査読者に，心より感謝申し上げます．
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