まとめテスト

時間：50分

数 学

名前クラス

No.

点

1

次の問いに答えなさい。

⑴

次の式を展開しなさい。

100〈2点×8〉3① （2x＋3）② （x−4）（x2＋4x＋16）3（2x＋3）＝（2x）3＋3×（2x）2×3＋3×2x×32＋33

8x3＋36x2＋54x＋27＝8x3＋36x2＋54x＋27

⑵

x3−64

次の式を因数分解しなさい。
① x3−27②x3−27＝x3−33＝（x−3）（x2＋x×3＋32）＝（x−3）（x2＋3x＋9）⑶x3−3x2y−10xy2（x−3）（x2＋3x＋9）x（x＋2y）（x−5y）

次の計算をしなさい。
2① （㲋 7 −1）② （㲋 2 −3㲋 5 ）（㲋 2 ＋㲋 5 ）2（㲋 7 −1）＝7−2㲋 7 ＋1＝8−2㲋 7（㲋 2 −3㲋 5 ）（ 㲋 2 ＋㲋 5 ）＝㲋 2 ×㲋 2 ＋㲋 2 ×㲋 5 −3㲋 5 ×㲋 2 −3㲋 5 ×㲋 5

8−2㲋 7⑷−13−2㲋 10

次の式の分母を有理化して，簡単にしなさい。
①9㲋 18②9㲋 18

2

＝

93
3*㲋 2
3㲋 2
＝
＝
＝
23㲋 2
㲋 2 㲋 2 *㲋 23＋㲋 8
3−㲋 8（3＋㲋 8 ）2
（3−㲋 8 ）（3＋㲋 8 ）9＋6㲋 8 ＋8 17＋12㲋 2＝ 2＝＝17＋12㲋 2
9−8（㲋 8 ）23−3㲋 22次の2次方程式を解きなさい。

〈3点×4〉

2⑴ 3x −2x−5＝0⑵x＝−1，216x −8x＋1＝0

53x＝⑶ 2x2−11x＋15＝0

5x＝ ，322
12−5−315−5−6−113

次の不等式，連立不等式を解きなさい。

⑴

2x＋3＞4x−5x＝（x＋2）（x＋3）＝−2x＋1x2＋5x＋6＝−2x＋15，32

x＝x2＋7x＋5＝0 解の公式より，−7±㲋 72−4×1×5−7±㲋 29
＝
x＝2×1
2⑵

3x−1 2x＋1
＜2
3
3x−1
2⑷

−x＋5≧2（x＋2）−＜2x＋133（3x−1）＜2（2x＋1）

9x−3＜4x＋2 5x＜52x−6＜5x＋1−3（x−1）≦2x−（x＋2）＞2（x−4）

3…①5−（x＋2）＞2（x−4）より，x＜2 …②−3（x−1）≦2x より，x≧7
1＜x≦3
3x＜1x＜1⑵⑶⑷①，②の共通範囲は，
3≦x＜25（ア） y＝x2−2x1 2x ＋2x＋12（ウ） y＝x2＋4x＋3頂点の座標が（1，−1）
だから，⑷のグラフ

1（エ） y＝ x2−2x＋3
頂点の座標が（−2，−1），y軸との交点が（0，1）だから，⑶のグラフ
21 2
12−1
x ＋2x＋1＝ （x＋2）
222
2（−2，−1），y軸との交点が（0，3）だから，⑵のグラフ（ウ） y＝x ＋4x＋3＝（x＋2）−1 頂点の座標が（イ） y＝（エ） y＝

1 212＋1x −2x＋3＝ （x−2）
22頂点の座標が（2，1）だから，⑴のグラフ

x3
≦x＜25

〈3点×4〉（イ） y＝（ア） y＝x2−2x＝（x−1）2−1235

下の放物線は，次の（ア）から（エ）のどの関数のグラフであるか答えなさい。

⑴−7±㲋 292〈3点×4〉x＜44

14⑷ （x＋2）（x＋3）＝−2x＋1

2x2−11x＋15＝0（2x−5）（x−3）＝0⑶17＋12㲋 2⑴

（エ）

⑵

（ウ）

⑶

（イ）

⑷

（ア）

5

次の関数の最大値，最小値を求めなさい。

⑴

y＝2x2＋4x＋4⑶⑵y2

y＝2x ＋4x＋42＋2＝2（x＋1）
よって，x＝−1 で最小値2をとる。最大値はない。

〈3点×4〉

2

最小-1 Oなし

xy＝−2x2＋4x−12＋1＝−2（x−1）
よって，x＝1 で最大値1をとる。最小値はない。

x＝−1 のとき

最大値

最小値

2

y＝x2−2x＋4 （−1≦x≦2）

y＝x −2x＋42＝（x−1）＋3

よって，x＝−1 で最大値7，x＝1 で最小値3をとる。

6⑷

y72

x＝−1 のとき

43O-1 1 2x最大値

x＝1 のとき

7

最小値

y＝−2x2＋4x−13y1O

最大1x＝1 のとき

x

最小値

1なし

x＝−1 のとき

x＝1 のとき

最大値

y＝−3x2−12x−14 （−1≦x≦1）
y-2-1 1xO-5

y＝−3x2−12x−142＝−3（x＋2）−2

よって，x＝−1 で最大値−5，x＝1 で最小値−29 をとる。

-29

最大値−5

最小値

−29

次の2次関数のグラフとx軸との共有点があるかどうか調べなさい。また，共有点があれば，そのx座標を求めなさい。〈3点×2〉⑴ y＝3x2＋7x＋2
y＝0 を代入して，3x2＋7x＋2＝0 より，（3x＋1）（x＋2）＝0⑵

共有点がある

1x＝− ，−231
x＝−2，−3y＝−x2−x−2−x2−x−2=0 で，2D＝（−1）−4×（−1）
×（−2）＝1−8＝−7＜0より，共有点はない。

共有点はない7

次の各問いに答えなさい。

⑴

大小2つの正の整数がある。その差は4で，大きい数の平方は，小さい数の平方の3倍よりも6大きい。この2つの数を求めなさい。

〈3点×4〉

2大きい整数をxとすると小さい整数は x−4 と表せる。よって x2＝3（x−4）＋6

展開して整理すると，x2−12x＋27＝0
ここで，x＝3 とすると，x−4＝−1 となり，小さい整数は負の数になるので，x＝3 は問題に適していない。
したがって，大きい数は9，小さい数は5左辺を因数分解して，（x−3）（x−9）＝0x＝3，9小さい数 5，大きい数 9⑵ 1本150円のボールペンと1本80円の鉛筆をあわせて10本買い，合計金額が1200円以下で，ボールペンをできるだけ多く買いたい。
ボールペンをx本買うとすると，150x＋80（10−x）≦1200 150x＋800−80x≦1200

このとき，ボールペンは何本まで買えるか求めなさい。

540＝577
したがって，最大5本買える。
70x≦400x≦

5本22次関数 y＝x ＋mx＋16 のグラフがx軸に接するとき，定数 m の値を求めなさい。

⑶

x軸に接するとは，x軸との共有点が1個あるということなので，D＝0 となればよい。よって，D＝m2−4×1×16＝0

m2−64＝0m2＝64m＝±8−8，82⑷ y＝−x のグラフを頂点が（2，−3）となるように平行移動した放物線の式を求めなさい。
2求める放物線の式は y＝−x2 を平行移動したものだから，y＝−（x−p）＋q とおける。また，頂点が（2，−3）より，p＝2，q＝−3 となり，
2y＝−（x−2）−3＝−（x2−4x＋4）−3＝−x2＋4x−78

y＝−x2＋4x−7全体集合を U＝{x | x は25以下の自然数}として，A＝{4，6，8，12，16，18，20，24}，B＝{2，3，5，6，9，10，12，15，18，20，24，25}とする。次の個数を求めなさい。

〈3点×2〉n（ A）⑴⑵

n（ A）＝8 だから，n（ A）＝25−8＝17179

次の場合の数を求めなさい。

⑴

6個の果物から5個を選んで1列に並べる並べ方。

n（ A∪B）

n（ A）＝8，n（ B）＝12，n（ A∩B）＝5 だから，n（ A∪B）＝8＋12−5＝1515〈4点×3〉「6個から5個選んで1列に並べる並べ方」だから，順列の公式を利用して，
P5＝6×5×4×3×2＝720（通り）6720通り8人の中から4人のリレーの選手を決めるときの選び方。

⑵「8人から4人を選ぶ選び方」だから，組合せの公式を利用して，
C4＝

8

8×7×6×5＝70（通り）
4×3×2×1

70通り⑶ 1個のさいころを2回投げるとき，目の数の和が4の倍数になる目の出方。
目の数の和が4の倍数だから，Ⓐ4になる場合 Ⓑ8になる場合 Ⓒ12になる場合に分けて考える。
Ⓐ4になる場合，（1回目，2回目）＝（1，3），（2，2），（3，1）の3通り。
Ⓑ8になる場合，（1回目，2回目）＝（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）の5通り。
Ⓒ12になる場合，（1回目，2回目）＝（6，6）の1通り。
Ⓐ，Ⓑ，Ⓒは同時に起こらないから，和の法則を利用して，3＋5＋1＝9（通り）

9 通り□A1