空間光変調器を用いて生成した非点収差を持つラゲールガウスビームの改良
学籍番号：1933106 林道明
主任指導教員：宮本洋子 指導教員：渡邉恵理子
1

目的・背景

2

原理

本研究では、空間光変調器(spatial light

2.1 ホログラムの変調形式modulator；SLM)を用いて非点収差を持

参考文献[2]で述べられている、目的のつラゲールガウス(LG)ビームを発生さ複素振幅を得るための符号化条件およびせ、位相特異点の反転の制御を行うこと

2 種類の方式により LG ビームの振幅分を目的とする。LG ビームはドーナツ状布と位相分布を実現するホログラムにつの強度分布と中心に特異点のある位相分いて示す。目的とする複素振幅分布は、布を持つ光ビームである。非点収差を持振幅𝑎(𝑥, 𝑦)および位相𝜙(𝑥, 𝑦)を用いてつ LG ビームが水平もしくは鉛直の一方

𝑠(𝑥, 𝑦) = 𝑎(𝑥, 𝑦)exp[𝑖𝜙(𝑥, 𝑦)]

向のビームウェストを通過するとき、そと表せる。これを実現する CGH によるの位置の近傍で位相特異点の反転現象が位相変調を𝜓(𝜙, 𝑎)とする。CGH の振幅生じる。非点収差の曲率半径を調節する

透過率はことで反転位置を観察位置の前後の任意の位置に設定することができる。
先行研究[1]において、回転シア干渉計ℎ(𝑥, 𝑦) = exp[𝑖𝜓(𝜙, 𝑎)]
数展開したものを∞ℎ(𝑥, 𝑦) = ∑ ℎ𝑞 (𝑥, 𝑦)法が実験を通して明らかになった。非点ることで、本来特徴の異なるビームを生成する際に必要な光学系の操作を最小限(3)

𝑞=−∞とする。ここでℎ𝑞 (𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑞𝑎 exp(𝑖𝑞𝜙)密度分布を持つため、測定対象として適している。ビームの生成に SLM を用い(2)である。ℎ(𝑥, 𝑦)を𝜙についてフーリエ級を用いたビームの軌道角運動量の測定方収差を持つビームは複雑な軌道角運動量

(1)

(4)𝜋

𝑐𝑞𝑎 = (2𝜋)−1 ∫ exp[𝑖𝜓(𝜙, 𝑎)]exp(−𝑖𝑞𝜙)d𝜙 (5)−𝜋である。ここで𝑞 = 1のときに留めることができる。ビームの生成に𝑐1𝑎 = 𝐴𝑎

は、MATLAB を用いて作成した計算機とすると、𝑞 = 1の成分が目的の複素振幅ホログラム(Computer Generated分布となる。これを符号化条件と呼ぶ。

Hologram；CGH)を用いる。CGH の設(6)式を満たすための必要十分条件は(5)計を変更することで、純粋な LG ビーム式からとは異なるビームを発生させることがで(6)𝜋∫ sin[𝜓(𝜙, 𝑎) − 𝜙]d𝜙 = 0

きる。

(7)−𝜋𝜋∫ cos[𝜓(𝜙, 𝑎) − 𝜙]d𝜙 = 2𝜋𝐴𝑎−𝜋(8)となることが分かる。(7),(8)式は位相1𝑖𝑘× exp {−𝑥 2 ( 2 −)}𝑤0 2𝑅𝑥CGH を決定するための条件となっている。

1𝑖𝑘× exp {−𝑦 2 ( 2 −)}𝑤0 2𝑅𝑦Type 1 の CGH は(9)式の位相変調を行うものである。

12(𝑧 − 𝑧0𝑥 )× exp [− 𝑖 tan−1 ()]2𝑘𝑤02(9)𝜓(𝜙, 𝑎) = 𝑓(𝑎)𝜙

このときℎ(𝑥, 𝑦)のフーリエ級数の係数は
𝑐𝑞𝑎 = sinc[𝑞 − 𝑓(𝑎)]2(𝑧 − 𝑧0𝑦 )1× exp [− 𝑖 tan−1 ()]2𝑘𝑤02(10)ここで、sinc(𝜉) ≡ (𝜋𝜉)−1 sin(𝜋𝜉)の関係か

ここで、𝑤0 は𝑧 = 0でのビーム径、𝑅𝑥ら𝑓(𝑎)を求めるとと𝑅𝑦 はそれぞれ𝑥方向と𝑦方向の波面(11)sinc[1 − 𝑓(𝑎)] = 𝑎の曲率半径、𝑧0𝑥 と𝑧0𝑦 はそれぞれ𝑥方となる。このとき𝐴 = 1で符号化条件の向と𝑦方向でビーム径が最小となる位置(6)式は満たされる。

を表す。導入した非点収差は位相変調

Type 3 の CGH は(12)式の位相変調を行うものである。
𝜓(𝜙, 𝑎) = 𝑓(𝑎) sin(𝜙)(12)このときℎ(𝑥, 𝑦)のフーリエ級数の係数は

𝑖𝑘

12𝑅𝑦

exp [ (−1𝑅𝑥) 𝑦 2 ]である。この位相変調をホログラムで付与することで非点収差を持つビームを実現する。

第一種ベッセル関数𝐽𝑞 を用いて
𝑐𝑞𝑎 = 𝐽𝑞 [𝑓(𝑎)](13)となり、符号化条件は3SLM の表示倍率測定実験
CGH を SLM の液晶部に表示する際(14)に、設計に比べどの程度の倍率で表示さとなる。従って𝐽1の逆関数を𝐽1 とするとれるかを調査するため、自分で設定した

きホログラムピッチと測定した強度分布か𝐽1 [𝑓(𝑎)] = 𝐴𝑎−1−1(15)ら計算して得られたホログラムピッチをと定義すればよい。この時0 ≤ 𝑎 ≤ 1に対比較した。本研究では PC のディスプレして𝑓(𝑎)を定義するためには𝐴 ≤ 0.5819

イを第一画面、SLM を第二画面として接とする必要がある。

続している。それぞれの設定を表 1, 2 に

𝑓(𝑎) ≡ 𝐽1(𝐴𝑎)示す。
2.2 非点収差

表 1．第一画面の設定

動径方向および方位角方向のモード指ディスプレイInternal LCD

数がそれぞれ 0, 1 のLG10 ビームに𝑧 = 0で

解像度

1280 × 800

非点収差を導入する。円筒座標系(𝜌, 𝜑, 𝑧)

向き横を用いると複素振幅は(16)式となる。

複数のディスプレイ表示画面を拡張する

𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 0) =1 2
√𝑤0 𝜋(16)表 2．第二画面の設定
ディスプレイディスプレイデバイスの場所：HDMI

解像度

800 × 600向き

横

複数のディス表示画面を拡張する

プレイ
ディスプレイディジタルディスプレイ

リフレッシュ

85Hz

CGH を用いた際の強度分布

レート
回転スケーリング

図 1．想定ホログラムピッチ90µ𝑚の標準表示にする
ディスプレイ・スケー
リングを保持する

ホログラムピッチ30 µm~270 µmを想定した位相変調パターンを SLM 制御ソ
フトウェア LcosControl を用いて SLMに表示した。SLM から出射した光は平凸レンズ(𝑓 = 400 mm)を用いてフーリエ変換し、レンズの焦点位置に設置したCCD カメラに入射した。CCD カメラ上

図 2．想定ホログラムピッチ240µ𝑚ので強度分布を観察し、0 次回折光と 1 次

CGH を用いた際の強度分布回折光間距離から SLM 上で表示されているホログラムピッチを計算した。CCD
カメラ上の 0 次回折光と 1 次回折光間の距離を𝑋、レンズからカメラまでの距離を𝑌、光源波長を𝜆とすると、SLM 上で表示されているホログラムピッチΛは𝜆(17)Λ=𝑋sin (tan−1 𝑌 )で求めることができる。

図 3．想定ピッチと実測ピッチの関係

図 1,2 に観察した強度分布を示す。ま

図 3 の結果より、本研究における PC とた、図 3 に(17)式によって求めた想定とSLM の接続条件では、CGH 画像の 1 ピ実測のホログラムピッチの関係グラフをクセルが SLM 上では0.97 ± 0.05ピクセ示す。

ルで表示されることが分かった。表示倍図 4．LG ビームの生成実験に用いた光学系率が丁度 1 倍ではない場合、想定と実測表示し、CCD カメラで SLM 液晶部の縮のホログラムピッチの間にずれが生じ、小像ができる位置での強度分布の観察を

CGH を用いた全ての実験に影響が及ぶ行った。図 6 に観察結果を示す。

こととなる。
4LG ビームの生成実験
2.1 節で示した 2 種類の位相変調形式

で LG ビームを生成する CGH を作成し、それぞれの結果を比較した。図 4 に共通して用いた光学系を示す。
4.1 Type 1 形式の CGH を用いた実験
図 5 に使用した CGH を示す。
図 6．SLM 液晶部の縮小像ができる位置での強度分布
図 6 から、中心に穴の開いた強度分布を持つ、LG ビームの特徴を確認した。しかし、強度分布には設計上は存在しない細かい変調があった。
4.2 Type 3 形式の CGH を用いた実験
図 7 に使用した CGH を示す。CGH の
図 5．Type 1 の CGHパラメタや実験方法は Type 1 形式の場

CGH の解像度は SLM 液晶部の有効画素合と同様である。図 8 に SLM 液晶部の数の設計に合わせて792 × 600、1 画素の縮小像ができる位置での強度分布の観察

大きさを20𝜇m、ホログラムピッチを結果を示す。 図 8 と Type 1 形式の240𝜇m、輝度値範囲を0~186とした。

CGH を用いた結果の図 6 と比較するとLcosControl に登録した CGH を SLM にドーナツ状部分の強度のムラの程度が大きいことがわかる。LG ビームの生成実の生成を、1.円筒面レンズを用いる方

験全体の検討事項として、光学系アライ法、2.CGH を用いる方法、3.円筒面レンメント、変調形式、表示倍率の影響が挙ズと CGH を併用する方法の 3 種類の方げられる。

法で行った。また、加える非点収差は𝑦方向(鉛直方向)のみに集光し、𝑥方向(水平方向)には集光せずに伝搬するような設計とした。実験に用いた光学系を図 9 に示す。円筒面レンズを用いる方法では、レンズを SLM 液晶部の縮小像ができる位置に設置した。2.の方法で使用した
CGH は 1.における円筒面レンズの焦点位置と同様の場所で集光するようにCGH での𝑦方向の曲率半径𝑅𝑦 を設計し

図 7．Type 3 の CGHた。1.と 2.では CCD カメラを移動させながら伝搬中のビームの強度分布の変化を観察した。図 10,11 に結果を示す。
図 10,11 から、設計通りの位置でビームが集光しつつ、それ以外の場所では中心に穴のある強度分布を持つビームが確認できた。また、非点収差のない LG ビー
ムと同様に、強度分布には設計上は存在しない細かい変調があった。
円筒面レンズと CGH を併用して非点図 8．SLM 液晶部の縮小像ができる位置収差を加える 3.の方法では、円筒面レンでの強度分布ズの焦点距離の前後で集光位置が変わる

5

非点収差を持つ LG ビームの生成実験

ように𝑅𝑦 の設計を変えた複数の CGH を

本研究では非点収差を持つ LG ビーム用意し、それぞれを切り替えながらカメ

図 9．非点収差を持つ LG ビームの生成実験に用いた光学図 10．円筒面レンズを用いて生成した非点収差を持つ LG ビームの強度分布（左：集光位置 10mm 前、中：集光位置、右：集光位置 10mm 後）

図 11．CGH を用いて生成した非点収差を持つ LG ビームの強度分布（左：集光位置 10mm 前、中：集光位置、右：集光位置 10mm 後）ラ位置を固定して観察を行った。
表 3．𝑅𝑦 の設計を変えた複数の CGH

6結論
SLM を用いて LG ビームの生成を行っ

実験番号

𝑅𝑦 (mm)

合成焦点距離た。強度分布には設計にはない細かい強CGH1−16800210

度変調が存在した。3 種類の方法で非点CGH2−32800

205

収差を持つ LG ビームの生成を行い、位CGH3∞200

相特異点の反転現象が起きる位置の前後CGH431200195で観察を行った。

CGH515200

190

𝑦方向のビーム径が円筒面レンズと CGH

参考文献

をそれぞれ単独で用いた場合と比較する［1］ 伊波 雅生,「光ビームの軌道角運と小さいという結果が得られたため、原動量密度分布の測定」電気通信大

因を調査中である。

学修士論文, (2020).
［2］ A. Arrizón, et al., J. Opt. Soc. Am.
A 24, 3500 (2007).