地球環境研究，Vol.17（2015）

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント
中

川

清

隆＊

キーワード：コリオリ力、コリオリ効果、ユリイカ、初学者⑴

定性的な見方⑵

微分的な見方回転速度Ω［rad/s］で自転している地球の北緯Φ［rad］⑶

差分的な見方における地表面に対して相対速度 v［m/s］で水平移動す⑷

角運動量保存則などを用いた物理的な見方

Ⅰ．はじめにる物体は、１秒後には当初の目的地より方向が右にΩ sinΦの４通りを提唱し、これらの説明方法のいずれかにより［rad］、距離が右に vΩ sinΦ［m］
偏った地点に到達し、し初学者に「ユリイカ」と言わせることができると主張しかもその進行方向は当初の進行方向より2Ω sinΦ［rad］右た。吉﨑（2013）は、中村（2013）および山岸（2013）に偏ることが知られており、この偏り deflection は発見に注目され、彼らは吉﨑（2013）とは異なるコリオリ力者の名前にちなんでコリオリ効果 Coriolis effect と呼ばの説明方法を提唱した。

れ、コリオリ効果の原因となる力はコリオリ力 Coriolis

しかしながら、筆者の長年の経験に基づくと、彼らのforce と呼ばれる（American Meteorological Society,

提唱する説明方法を教員養成系大学や理学環境系学科に

2012）。しかしながら、コリオリ効果とコリオリ力を同等

所属する学生に施しても、ほとんどの学生からは「ユリに扱うことも一般的に行われている（American Meteo-

イカ」の声を聴くことは困難と判断される。吉﨑（2013）

rological Society, 2000）。本稿では、American Meteoro-

は、気象学乃至はコリオリ力については初めて接するもlogical Society（2012）と同様の観点から、コリオリ効果のの、数学的には微分や差分に関する充分な知識 ・ 技術とコリオリ力を区別して使用する。

を有し角運動量保存則等の物理法則についても造詣が深

大気や海洋といった地球回転流体中に生じる諸現象のい者を初学者と呼んでいるように思われるが、一般的な理解や予測において、地球自転の影響により発生するコ

国語辞典には初学者は採録されておらず、weblio（ウェリオリ効果やその原因となるコリオリ力は、避けて通れ

ブリオ株式会社）では、ある科目の基礎を学ぶ初心者とない重要なファクターである。このため、コリオリ効果

されている。初心者とは、一般的には、習いはじめの人やその原因となるコリオリ力は、高校地学の教科内容で乃至は未熟な者をさす（例えば、大辞林（三省堂））。こも必須の項目となっているが、高校物理では扱わない難れを真の初学者と呼ぶとすると、教員養成系大学や理学

度の力学的内容を含むためコリオリ効果やコリオリ力の環境系学科所属の初年次学生は、明らかに、真の初学者

定量的教育は不可能と判断され、平面回転盤を用いた実である。

験によりコリオリ効果やコリオリ力の存在を理解させる

本稿は、教員養成系大学や理学環境系学科所属の初年

指導が行われている（横尾ほか，1995）。筆者が長年従事

次学生のような真の初学者にも「ユリイカ」との声を上してきた教員養成系大学および理学環境系学科におけるげさせるコリオリ力の定量的説明法の提唱を試みる。

気象教育現場の実情も、物理や地学の充分な履修を卒業要件としない現在の我が国の高校理科教育の極端な科目選択制を反映しており、横尾ほか（1995）の指摘と大差ないのが実情である。
最近、吉﨑（2013）は、初学者向けのコリオリ力の説
明方法として、＊		 立正大学 ・ 地球環境科学部 ・ 環境システム学科

Ⅱ．吉﨑（2013）・ 中村（2013）・ 山岸（2013）の説
明方法の概要吉﨑（2013）が最初にとりあげた⑴定性的な見方は、
図1を用いて、回転系の回転の中心を通って慣性系上で等111

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント（中川）たものである（McIntyre, 2000）。コリオリ効果の提唱者
自身の説明方法に従っているわけであるから、この説明
方法は、コリオリ効果やコリオリ力の説明方法の王道と位置付けられる。
吉﨑（2013）がさらにその次にとりあげた⑶差分的な図１

 﨑（2013）の⑴の方法を説明する吉﨑（2013）
吉の図 ２ （吉﨑，2013，より）

見方は、吉﨑 ・ 野田（2013）の基礎編を引用している。
同書「A.2.6コリオリ力」の執筆者は同氏自身であるから、本方法が同氏の最も好む説明方法と推測され、同氏

速円運動をしている物体の軌跡を回転系上の回転中心かの HP（http://es.ris.ac.jp/~yoshizaki/lecture/2013_1st/

らみると、右に曲がりながら進行しているように見える、

SynopticMet/5th_20130514.pdf）において詳細な授業資として説明する方法である。これは高校地学の平面回転料が公開されている。

盤を用いた実験による指導（横尾ほか，1995）と同等の

図2のように、回転速度Ω［rad/s］の回転系の回転中心方法である。吉﨑（2013）はこの方法を、「直観的にコリを通って慣性系上を速度 U［m/s］で等速直線運動する物

オリ力を理解するのには役立つが、コリオリ力の定量的体の軌跡を、回転の中心とは異なる点Ｂを原点とし回転な大きさを知ることは困難であり、定量的な議論のため方向を x 軸、回転の中心方向を y 軸とする回転座標系にには、式を使う必要がある。
」と総括している。吉﨑

おいて観察する。回転の中心を通過するΔt 秒前とΔt 秒（2013）は初学者にコリオリ力の定量的な説明に対して後の物体の x 軸成分と y 軸成分を見積もり、それらをΔt「ユリイカ」と叫ばせることを目的としているのであるか

で除してやって回転の中心通過前後Δt 秒間のそれぞれら、そもそもこの⑴定性的な見方は、対象外の説明方法の平均速度を求め、更にその２つの平均速度の差をΔt でと位置付けられる。

除すると、加速度ベクトル（0, －2Ω U）が得られる。

吉﨑（2013）が次にとりあげた⑵微分的な見方は、こ吉﨑（2013）が最後にとりあげた⑷角運動量保存則なの分野本来の伝統的な説明方法である。ニュートン力学

どを用いた物理的な見方は、我が国の気象学初学者によにおける速度や加速度は慣性座標系に対して定義されて

く読まれている小倉（1999）をはじめ、内外の気象学のいるので、力と加速度が比例するとするニュートンの運動

教科書や啓蒙書で頻用されている説明方法である。慣性の第２法則も慣性系で成り立つ法則である。慣性系座標系で静止している地軸の回りを回転している地球空気塊

成分の回転系座標成分表示を２階常微分して得られる慣が、地表面とは異なる地軸の回りの回転速度を持つこと

性系座標系における加速度成分の回転系座標成分表示をにより、地球引力の水平北成分と釣り合わない水平北方

回転座標系に座標変換すれば、慣性系座標系における加向や鉛直方向に成分をもつ余分な遠心力が生じること、

速度成分（αx，αy）の回転系座標成分（d x’/dt , d y’/dt ）および、空気塊の緯度や高度を変化させて地軸からの距による表示が得られる。

離が変化するのに伴って、地軸の回りの角運動量保存則

2

2

2

2

αx= d x’/dt －x’Ω －2Ω dy’/dtに適応して西風成分が変化することを利用して、コリオ

αy= d y’/dt －y’Ω ＋2Ω dx’/dt

リ力の定量的な３次元成分を誘導する方法である。遠心

2
2

2

2

2

2

ここで、Ω ：回転座標系の回転速度である。この式にお力や角運動量に関する基本的な概念を習得する程度の物

ける回転座標系成分の２階微分のみを加速度と見なして、理的素養は要求されるものの、微分 ・ 積分学やベクトル

d2x’/dt 2= αx＋ x’Ω 2＋2Ω dy’/dt
d2y’/dt 2= αy＋ y’Ω 2－2Ω dx’/dtとし、真の力以外に、第２項と第３項のみかけの加速度を生み出すみかけの力が同時に作用しているとして処理する時、第２項を遠心力，第３項をコリオリ力と呼んでいる。
上記の連立スカラー方程式やそれと同等のベクトル方
程式は、コリオリ定理 Coriolis’ theorem と呼ばれており、吉﨑（2013）はこの関係式を小倉（1978）より引用
しているが、もともとは1835年に Coriolis により導かれ112

図２

 﨑（2013）の⑶の方法を説明する吉﨑（2013）
吉の図 ４ （吉﨑，2013，より）

地球環境研究，Vol.17（2015）

解析に関する高度な数学的な知識 ・ 技術は必須ではないは40単位を超え他大学に比べて著しく多い。微気象の一ことが、この説明方法が内外の気象学の教科書や啓蒙書部を除いてコリオリ効果を伴わない力学的な気象は存在で頻用される理由であろう。特に高橋（1968）は小笠原 ・

しえないが、ほとんどの授業では、まずコリオリ力あり

桜庭（1959）の解説方法を絶賛し、これを大いに普及さきから論理の展開が始まっており、コリオリ効果 ・ コリ

せたいとしている。

オリ力とは何か、何故出現するのかといった本質を論じ

吉﨑（2013）は、⑴定性的な見方と⑶差分的な見方にている授業は意外と少ない。

おいては、回転速度Ω［rad/s］の平面回転盤の回転中心を筆者の場合、１年次気象 ・ 水文コース必修科目「気象通過する物体を取り扱っているのに対して、⑵微分的なと水の科学」および２年次以降気象分野必修科目「気候 ・見方と⑷角運動量保存則などを用いた物理的な見方にお気象学」において、この問題を取り上げている。後者の

いては、平面回転盤は用いず、回転系の回転中心から外「気候 ・ 気象学」では気象学で主流となっている回転系ベ

れた場所を通過する物体を取り扱っており、明らかに条

クトル運動方程式を誘導してコリオリ定理を論ずる手順

件設定に差異がある。後２者では回転中心から外れた場を取っているが、前者の「気象と水の科学」においては、所を前提にしているため場の遠心力を考慮せざるを得な

大学初年次教育を意識して、微分 ・ 積分 ・ 運動方程式は

いが、前２者では意図的に場の遠心力には言及していな一切使用せずに幾何学的手法のみによるコリオリ効果のい。場の遠心力は、木村（1973）によって提唱された用説明を行っている。

語で、回転系において物体の運動に関係なく回転の半径方向に生じる慣性力である。

本節では、筆者が「気象と水の科学」第１回授業で実施している講義内容を、真の初学者にも「ユリイカ」と中村（2013）は、吉﨑（2013）の図2の解釈に多少の追の声を出させることが可能なコリオリ力の説明方法とし加をするだけで、定量的にコリオリ力を説明できると主て提唱 ・ 記載する。
「気象と水の科学」は2013年度から開張した。しかしながら、中村（2013）の多少の解釈の追設された新設科目であり、当該の授業はこれまで2013年

加記載はベクトル解析の手法で表現されたコリオリ定理

４月７日㈫と2014年４月８日㈫に、ほぼ同一の内容で実右辺第２項を説明した形になっており、このような事柄施された。本節は５小節からなり、第２小節のみは本稿に関する知識 ・ 技術の持ち合わせがない真の初学者にはのために新たに起草したが、他の４小節は実際の授業メ

とても「ユリイカ」とはならない説明である。

モに補筆したものである。物理量の単位表示法も高校理

山岸（2013）は、吉﨑（2013）が回転系の回転中心を科の習慣に合わせた。ただし、吉崎（2013）は平面回転

通って慣性系に対して等速度運動する物体を回転系から盤の角速度をΩ［rad/s］と表記しているが、筆者の授業でみたらどう見えるかという観点から議論しているのに対は、Ω［rad/s］は地球の自転速度とし、平面回転盤の角速して、回転系の回転中心以外の任意の地点で等速直線運

度はω［rad/s］と表記して区別する。

動している物体には慣性系から見るとどのような加速度が生じるかという観点からの議論を提案している。山岸（2013）の観点は、回転中心以外の任意の場所で考察する

Ⅲ－ １ ．地表面モデルとしての平面回転盤の妥当性という場面設定は吉﨑（2013）より現実的であるが、説

図3は地理緯度が北緯Φ［rad］の地点を通る地球の子午

明中の論理展開が、中村（2013）と同様に、ベクトル方面断面の概念図である。地球構成物質には地球中心に向程式で記載されたコリオリ定理に沿っているため、回転

かって作用する引力と地軸から垂直外方向に作用する遠座標系から静止座標系への座標変換やベクトルの外積程

心力の合力として重力が作用しその重力に垂直な方向に度のベクトル解析すらマスターしていない真の初学者に

地表面が形成されるため、地球断面は赤道半径が極半径とっては理解困難な説明方法となっており、やはり「ユより約20km 長い楕円形をしている。北緯Φ［rad］におけリイカ」とはならないであろう。

る局所接平面により同地点における地表面が形成されているので、局所鉛直軸は地球中心を通らない。地理緯度

Ⅲ．著者が実践している説明方法

Φ［rad］は赤道および極以外では必ず地心緯度φ［rad］より大きくなり、両者の差は中緯度地方で最大になるもの

立正大学地球環境科学部環境システム学科環境気象学の、地球断面形の離心率は0.0818と小さくて円に近いの分野には筆者を含めて４名の教員が所属しており、同分

で、地理緯度Φ［rad］と地心緯度φ［rad］の差は僅かであ野で開講されている気象学およびその関連科目総単位数

る。このため、地球の引力や場の遠心力の水平成分を考113

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント（中川）

球表面模型のすべての部分地表面に真北を示す方位記号を記した上でこれを緯度線に沿って切り離して平面に並べることにより、地球が自転で１回転する間に方位記号
は緯度ごとに異なる回転速度を示すことをビジュアルに示した。木村（2013）の方法はユニークな方法であるが、松田（2014）の方法は学校教育の場でもよく用いられる説明方法であり、本稿の発想と通底するところがある。
いずれにしても、地表面が鉛直軸回転成分を持っており、その値はΩ sinΦ［rad/s］と表され緯度Φ［rad］によって異なることを微分 ・ 積分を用いずに説明することができる。
地球を半径 R［m］の真球とみなせる場合は、北緯Φ［rad］の地点の局所鉛直軸は慣性系上で静止している地球図３

 球の子午面断面形と北緯Φ における地表面の関地係を示す模式図（筆者原図）

中心で地軸と必ず交わるから、北緯Φ［rad］の地点の地表面は地球中心を通る地表面に平行な南北水平軸の回りを常に R［m］の距離を保ちつつ地表面東側が下がり地表面慮する必要があるような場合を除いて、通常の気象を扱

西側が上がる回転運動をしていることになる。１日の移う際には、地球断面は半径が一定 R［m］の真円であり、動距離2πRcosΦ［m］を動径距離 R［m］で除することによ地理緯度Φ［rad］
は地心緯度φ［rad］に等しくて局所鉛直

り北緯Φ［rad］の地表面の地球中心の回りの１日間の回転

軸は地球中心を通り、重力は地球中心の方向を向くと仮角は2πcosΦ［m］であることが分かる。したがって、北定して理論が構築されている。

緯Φ［rad］の地点の地表面の地球中心を通る地表面に平行

北緯Φ［rad］
における地表面上の物質は、地軸から RcosΦ
［m］の距離を保って等速円運動をしており、その１日当な南北水平軸回りの回転速度はΩ cosΦ［rad/s］となり、鉛直回転速度同様、緯度Φ［rad］により異なる。

たりの移動距離は2πRcosΦ［m］である。ここで、R：地以上の事実に基づくと、地表面上の１点は鉛直回転速

球の半径
［m］
、π：円周率［rad］
である。地球を球体とみ度Ω sinΦ［rad/s］で左カーブを切りながら水平回転速度なすときは一般に赤道半径6378km が用いられるが、気Ω cosΦ［rad/s］で坂を下っている真東の方向に走行中の象学は有効数字高々3桁の学問なので、極半径や平均半径自動車に例えることができる。運転席前方の窓から進行との区別に拘る必要は殆どない。北緯Φ［rad］
における地方向（真東方向）遠方の景色（星夜）を見れば、景色（星平面は、同地点における地球の局所接平面であり、北緯

夜）は視界の左下から右上に移動するように見え、運転Φ［rad］の地点の真北 R/tanΦ［m］の地点で必ず地軸と交席後方の窓から後方（真西方向）遠方の景色（星夜）をわる。この交点は地球中心から R/sinΦ［m］離れた地軸

見れば、景色（星夜）は視界の左上から右下に移動する上の定点であり慣性系上で静止しているため、北緯Φ

ように見える。また、運転席側の横窓から横方向（真南［rad］の地点の地表面は北方 R/tanΦ［m］の地表面上の定方向）遠方の景色（星夜）を見ても、助手席側の横窓か点の回りを常に水平を保ったまま東の方向に等速円運動

ら横方向（真北方向）遠方の景色（星夜）を見ても、としていることになる。１日の移動距離2πRcosΦ［m］をもに景色（星夜）は視界の左から右に移動するように見動径距離 R/tanΦ［m］で除することにより北緯Φ［rad］のえる。この説明により、よく周知された天体の日周運動

地点の地表面の１日間の回転角は2πsinΦ［rad］
であるこが、鉛直軸回りおよび南北水平軸回りの地表面の回転にとが分かる。したがって、地球の自転速度をΩ［rad/s］と起因していることが容易に理解できるであろう。

すると、北緯Φ［rad］の地点の北方 R/tanΦ［m］の定点のここで得られた2つの回転速度Ω sinΦ［rad/s］とΩ cosΦ

回りの地表面の鉛直回転速度はΩ sinΦ［rad/s］となる。

［rad/s］は、北緯Φ［rad］の地点における地球の自転を表

松田（2014）は北緯Φ［rad］の緯度円を底面とし高さがす回転ベクトルの局所鉛直成分と真北方向の局所水平成

R/sinΦ［m］の直円錐の扇形側面展開図の中心角の大きさ分である。ベクトル運動方程式を誘導する際には、地球を求めることにより、北緯Φ［rad］の地点の地表面の鉛直の自転ベクトルを持ち出しその成分分解を行うのが定石

回転速度を得る方法を示している。また、木村（2013）

であるが、真の初学者に対してそのような講義を実施すはペーパークラフトで作成された多面体で近似された地

るためには、事前にベクトル解析等に関する指導を行う

114

地球環境研究，Vol.17（2015）

必要がある。本稿のような説明を行えば、そのような事の回転中心を地軸と地表面の交点と見立て、平面回転盤

前指導なしで地球自転の影響を認識させることが可能にをその交点の回りを回転する地表面のモデルと見なすこなるものと思料する。

とは不可能である。

地球断面が楕円の場合、地球の引力の天頂軸方向の成回転盤の表面形状を放物面にすれば、遠心力を常に放分と地球中心の回りの回転によって生じる遠心力の天頂

物面に平行な重力の成分でキャンセルさせることが可能

軸方向成分の合力が地表面上の物体が感じる重力である。

となる。しかしながら、教育現場において、平面回転盤

重力の方向と地球引力の方向が角度δ
［rad］
だけずれていが用いられる例は多いが、放物面回転盤が用いられた事ることにより生じる単位質量あたりの地球引力の地表面

例は見出しがたい。

北向の成分 GM sinδ/R が北方 R/tanΦ［m］の点の回り

平面回転盤の回転中心近傍であれば遠心力を事実上無の円運動による単位質量あたりの場の遠心力 RΩ sinΦ

視できるため、平面回転盤の回転中心近傍のみで実際のcosΦ をキャンセルしているため、我々は北方 R/tanΦ地平面近傍の現象を近似して再現することは可能である。

［m］の点の回りを等速円運動している地表面に乗っていこう述べると、平面回転盤は北極点や南極点のごく近傍

ながら、南北水平方向には全く力を感じない。ここで、の地表面モデルとしてしか利用できないように受け取ら

G：万有引力定数、M：地球の質量である。

れかねないが、地表面の回転運動は地表面と地軸の交点

22

このような特徴をもつ地表面の回転の効果を体感させの回りの公転運動と任意の地点の局所鉛直軸の回りの自るための教具として、平面回転盤がよく利用される。平転運動に分割でき、地表面と地軸の交点の回りの公転運

面回転盤の表面を地表面、平面回転盤の回転の中心を地動による場の遠心力は回転の中心方向に作用する地球の軸と地平面の交点と見たてる向きが多いが、このような引力の水平面成分にキャンセルされているため、地表面

見立てによる教具としての平面回転盤の利用には、一つの回転の影響としては、任意地点の局所鉛直軸の回りの大きな難点がある。それは、平面回転盤上における回転

自転の影響のみが有効である。したがって、平面回転盤

中心の回りの場の遠心力の存在である。上述のごとく、

モデルは、回転中心を地軸と地表面の交点とみなすモデ

緯度Φ［rad］
における地表面は確かに北方 R/tanΦ［m］にルではなく、回転中心が地球表面上の任意の地点である

存在する地軸との交点の回りを回転する平面回転盤と見として扱って構わない。

なすことができるものの、地表面では回転中心の回りの回転に起因する場の遠心力は回転の中心方向に作用する地球の引力の水平面成分にキャンセルされて作用しない

Ⅲ－ ２ ．回転の中心から放出された物体の軌跡にも関わらず、平面回転盤上では場の遠心力はキャンセ

実際の筆者の授業ではこの問題は扱っていないが、吉ルされないことが、最大の難点である。このため、回転﨑（2013）が定性的にしか理解できないとする方法で、の中心以外の平面回転盤上に物体を置いて回転盤を回す

真の初学者に容易にコリオリ効果やコリオリ力の定量的と、回転速度が小さい場合には物体は回転盤上に静止し把握をさせることが出来ることを、本節において示した

たまま回転盤と一緒に回転中心の回りを円運動するが、い。本節では、吉﨑（2013）と同様に、回転盤の角速度

回転速度がある程度以上大きくなると、物体は回転盤上をΩ［rad/s］と表す。

に静止することができず、回転盤の外に放り出されてし図4は、吉﨑（2013）の図2⒝に図2⒞を重ねたものに、まう。これは、回転盤上に設置された物体と回転盤の間

更に、点Ｂと補助線 EF、補助線 GH、点Ａと点Ｂにおけには垂直抗力に比例する静止摩擦力が作用するため、最る速度ベクトルを補筆したものである。点Ｂは、Δt 秒

大静止摩擦力が遠心力を上回っている間は遠心力が静止

後にボールが到達する場所であり、補助線 EF は点Ｂに摩擦力と釣り合ってキャンセルするためである。もし、おける接線であり、補助線 GH は点Ｂにおける速度ベク

物体と回転盤の間に摩擦力が一切作用しなかったり、遠トルの方向である。観測者がいる回転の中心Ａを通って心力が最大静止摩擦力を上回っていたりすれば、物体が視線を固定された観測者正面の回転盤外延部Ｄに向かっ

回転盤上に静止したまま回転盤と一緒に等速回転運動をて一定速度 U［m/s］
で通過した物体が、Δt 秒後に点Ｂに行うことは不可能である。つまり、摩擦力を介在させな到達したと仮定している。物体は一定速度 U［m/s］で点

いで、地表面と同じ速度で地軸の回りを回転する物体、Ａから離れているので、当然のことながら、AB 間およ

即ち、気象学で言えば無風の空気塊を平面回転盤上で再び AD 間の距離は、UΔt［m］と表される。点Ｄは観測者

現することは不可能である。言い換えると、平面回転盤

正面の点であり、点Ａを通過する際にΔt 後に物体が到
115

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント（中川）の力は進行方向右90°の方向に作用し、大きさは2UΩ［N］
でなくてはならない。この力はコリオリ力と呼ばれる。
木村（1983）流の言い方をすれば、上述のコリオリ効
果は、２つの効果が複合したもので、ともに平面回転盤
が角速度Ω［rad/s］
で回転していて、相対速度 U［m/s］で移動している平面物体の運動を平面回転盤上から観察していることにより発生している、とまとめることができる。最初に記した到着地点の方向の偏りは、回転盤の軸回りの回転により観察者の視線が変わったためΩ Δt［rad］の角度の偏りが起こった結果である。後で記述した点Ｂを通過中に認識される UΔtΩ［m/s］の接線速度は、平面回転盤上で生じた物体の位置の変化、即ち回転座標系の
図４

吉 﨑（2013）の図 ２ ⒝上にコリオリ効果の概念を示した図（吉﨑，2013，に加筆）

座標成分の変化から認識されたもので、これによりΩ Δt［rad］の進行方向の偏りが起こった。結局、角度の偏りの合計は2Ω Δt［rad］となり、この進行方向の偏り、即ちコ

達すると予測された点である。しかし、実際には、Δt 後

リオリ効果を発生させるためには、大きさ2UΩ［N］の力に物体は点Ｂに到達した。回転盤の角速度がΩ［rad/s］でが進行方向右90°の方向に作用していなくてはならない、あるから、∠DAC＝Ω Δt［rad］であり、物体はΔt 秒後としてコリオリ力の存在が想定される。

に当初の目標から方位角にしてΩ Δt［rad］、実距離 UΩ

本節で記した図4に基づく説明をさらに進めるならば、当該物体の軌跡は円弧軌道を描くことを示すことができ、

（Δt）
［m］
だけ右にずれた地点に到達する。
2

物体は点Ｂにおいても点Ａから離れる法線方向、即ち、

慣性円や慣性振動の議論に発展させることができるであベクトル AC の方向に U［m/s］の法線速度を持っているろう。しかしながら、これはもはや本節の目的をはるかが、これは点Ｂにおけるこの物体のすべての速度ではなに超える内容なので、本稿ではこれ以上の言及は控える。

い。円盤上の点Ｂは点Ａから UΔt［m］
離れた場所を角速本節で論じた幾何学的手法でコリオリ効果の大きさを度Ω［rad/s］で点Ａの回りを反時計回りに回転しているか求め、その効果を生みだす力としてコリオリ力の定量的

ら、点Ｂは接線 EF に沿ってベクトル FE の方向に UΔt

な表現を導く手順は、本稿独自の考案物ではなく、例えΩ［m/s］の接線速度を持っている。したがって、回転盤

ば、McIntosh and Thom（1969）や安田（1994）と本質

上から見ると、点Ｂを通過中の物体は、ベクトル AC の的には同じでものである。筆者自身が、学生時代から見方向に U［m/s］の法線速度を持つとともに、ベクトル EF

聞きしたり独自に考案したりした事柄を総合して捻出しの方向に UΔtΩ［m/s］の接線速度を有していることにな

た授業案である。

→

→

→

→

る。このため、点Ｂにおける回転盤に対する物体の速度以上により、吉﨑（2013）が「直観的にコリオリ力をベクトルは、図中の点Ｇから点Ｈの方向を向いたベクト

理解するのには役立つが、コリオリ力の定量的な大きさルであり、法線方向である点Ａから点Ｃの方向とは∠GBA

を知ることは困難である」とした吉﨑（2013）の図2の場

だけ偏っている。法線速度 U［m/s］に法線方向からの角合において、コリオリ効果の定量的な大きさを、微分 ・度の偏り∠GBA を掛けたものが接線速度 UΔtΩ［m/s］

積分を用いることなく導くことが出来る。また、真の初でなくてはならないので、∠GBA=Ω Δt［rad］となり、学者に対して等加速度運動における移動距離の公式を既∠DGH は∠GAB=∠GBA=Ω Δt［rad］を内対角とする知とすることが許されるならば、コリオリ力の定量的な⊿ ABG の外角なので、∠DGH=2Ω Δt［rad］である。つ大きさも導くことが出来る。この着想に到達した時、かまり、一定速度 U［m/s］で回転の中心から出発した物体

つての自分もそうだったので断言できるが、浮力の原理の軌跡はΔt［s］間に右方向に、角度にしてΩ Δt［rad］、発見時のアルキメデスのように裸で走り出すか否かは別

実距離にして UΩ（Δt）［m］
偏り、物体の進行方向は同じとして、多分「ユリイカ」と叫びたい気持ちになること

時間にその倍の2Ω Δt［rad］
偏ることになり、これらの偏であろう。つまり、微分 ・ 積分学の知識が無いほどの初りはコリオリの効果と呼ばれている。Δt［s］
間に UΩ（Δt）

学者であっても、この「ユリイカ」には到達できる。

22［m］のずれを生じさせる一定の力が存在するならば、そ116

本節における物体の運動は、平面回転盤上の実験でも地球環境研究，Vol.17（2015）

再現できる。この時、平面回転盤の回転中心を北極点と見立てても構わないし、極点以外の地表面上の任意の地点と見立てても構わない。回転盤の回転中心を通過する
物体の回転中心のごく近傍における運動は、現実の地表面上における物体の運動を正確に再現できる。

Ⅲ－ ３ ．向心力および遠心力の幾何学的指導法
Ⅲ－1において、平面回転盤モデルは回転中心を地軸と地表面の交点とみなすモデルではなく、回転中心が地球表面上の任意の地点であるとして扱って構わないことを明らかにし、Ⅲ－2において、回転中心から放出された物
体の運動に生じるコリオリ効果とその原因となるコリオ
リ力を説明した。Ⅲ－2における議論は特定の位置および図５等
 速円運動における接線速度と遠心力、求心力の関係を示す概念図（筆者原図）

速度の方向に限定した議論ではないので、微分 ・ 積分等の高度な数学的処理をせずにコリオリ効果 ・ コリオリ力

局所接平面地表面上では場の遠心力は作用しないが、平に関する定量的表現に対して初学者に「ユリイカ」と言

面回転盤上では場の遠心力を無視することは不可能であわせることは可能になった。

る。このため、平面回転盤を用いた実験的授業の展開は

しかしながら、実際に教員養成系大学や理学環境系学

不可能であり、場の遠心力の効果を織り込んだ思考実験科所属初年次学生に上述の指導を実施してみると、予期を行うしか術はない。本節では、まず、向心力と遠心力

通りの成果を得られないことが多い。例えば、回転中心の幾何学的説明について記載する。

をピンでとめた厚紙で作った簡易平面回転盤において、

回転運動している剛体円盤表面の点の軌跡は円になる。

回転中心を通るように直線定規を当てて厚紙を反時計回

図5は、回転の中心Ｏからの距離が R［m］の点Ａに存在す

りに回転させながら、回転中心から線を描くよう指示する物体が、角速度ω
［rad/s］の等速円運動を行っているとると、指示に反して回転盤の外延部から回転中心に向かっ

きの、接線速度と遠心力および求心力の相互関係を示すて線を描画してその実験結果がおかしいと発言する学生概念図である。このような議論を行う場合は、微小時間が必ず出てくる。おかしいと主張する根拠には、回転中間隔Δt における運動を扱うことが一般的であるが、本心に向かって線を引いたのに回転盤に描かれる線は進行

稿では、式の展開を簡単にするためにΔt=1秒と設定し方向の右側ではなく左側に偏る、というものが多い。進た。この方法での議論が有効になるほど、角速度ω
［rad/s］

行方向が偏るにもかかわらず目的地である回転中心にはは十分小さいと仮定する。点Ａを始点として接線速度ベ

到達することも奇妙に感じるようである。これは回転のクトル AB を表記すると、接線速度ベクトル AB の終点

中心以外の場所から線の描画を開始した際の回転系から

Ｂは点Ａに存在する物体の１秒後の目的地を意味するこ

見た描画方向と速度を正確に認識できていないための混とになる。接線速度の大きさは Rω［m/s］であるから、乱である。回転中心とは異なる場所から回転中心とは異点Ａと点Ｂの間の距離は Rω［m］ということになる。

→→

なる別の場所に向かって線を描画する学生も必ず出てく

ところが、剛体の回転運動に従って、実際には１秒後る。このような事態は、『大部分の教科書では“回転するには、点Ａは点Ｂと回転中心Ｏを結ぶ線分 BO と円弧と円板の中心からほうり出されたボールの運動”のモデルの交点Ｃに無理なく移動している。点Ａと点Ｃの中心角を用いているが，読者はこれを理解しても，この円板上は回転速度ω
［rad/s］であるから、点Ａを一端とする半径の任意点からほうり出された場合を理解することは難しの他端を点Ｄとすると、∠ADC は円周角なので∠ADCい。』とする高橋（1968）の懸念通りの状況が実際の教育＝ω/2［rad］であり、線分 AB は点Ａにおける接線なの

現場では発生し易いことを示唆する。

で、∠BAC＝ω/2［rad］である。従って、線分 BC の長そこで、筆者の授業では、局所接平面地表面上の回転

さは、線分 AB の長さ×ω/2、即ち、Rω2/2［m］となる。

中心から外れた点から真東方向と真北方向に放出される

回転していない慣性系から見ると、点Ａにあって１秒

物体の軌跡の説明を実施している。このような条件でも後に点Ｂを目指していた物体は回転中心方向に向かって117

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント（中川）加速されたため１秒後には当初目指していた点Ｂではなと動摩擦力の合力方向に加速されて平面回転盤上を移動

く、回転中心方向に距離 Rω /2［m］
偏った点Ｃに到達し

し始める。

2

たように見える。この時の加速度が一定であれば、等加速度運動により１秒間に移動した距離が Rω2/2
［m］なの
2
2
だから、加速度の大きさは Rω［m/s］ということになる。この加速度を生じさせる力を、我々は求（向）心力

Ⅲ－ ４ ．回転方向に速度 u［m/s］で移動する場合
平面回転盤を用いて、回転盤の回転中心を地軸と北緯Φ［rad］の地表面との交点と見立てて、実際の地表面で生と呼ぶ。
一方、回転している円盤表面から見ると、当初点Ａにじる現象を実験的に再現することは不可能である。しかあって１秒後に点Ｃに移動してきた物体は、１秒前にはし、概念的なモデルの上であれば、前節の求（向）心力

点Ｂを目指していたのだから、そのまま点Ｂを目指す運に関する議論の成果を応用して、回転盤の回転中心以外動を継続させようとする慣性力がベクトル CB の方向にの地表面から放出された物体の軌跡を議論することは可働いているように感じる。点Ｃと点Ｂの間の距離が Rω /2

能である。本節では、回転中心以外の場所から回転方向2［m］なのだから、この慣性力による加速度の大きさは Rω

に放された物体の運動に対するコリオリ効果を議論する。

［m/s ］
でなくてはならない。この力は、遠心力と呼ばれ

図6は、角速度ω［rad/s］の等速円運動を行っている平る。遠心力は向心力と逆方向で大きさが等しいことは明

面回転盤上の回転中心Ｏからの距離 R［m］の点Ａに存在白である。

する物体が、円盤表面よりも u［m/s］大きい接線速度を

→

2

2

角速度ω［rad/s］の平面回転盤の回転の中心から R［m］の場所に存在する物体には常に単位質量あたり Rω［N］
2

持っているときの概念図である。図5の場合と同様に、角速度ω［rad/s］は十分小さいと仮定する。

の遠心力が作用する。北緯Φ［rad］の地表面も地軸と地表

地表面に対して相対的に静止している物体は、地表面面が交わる真北 R/tanΦ［m］の地点を中心に回転速度Ω

と同じ速度で宇宙空間を真東方向に進行していることにsinΦ［rad/s］で回転しているので、平面回転盤を地表面なる。この理屈は空気塊にも当然あてはまり、点Ａに存のモデルと見なすことが可能である。従って、緯度Φ

在する無風の空気塊は地表面と同じ Rω
［m/s］の接線速［rad］に存在する物体には、常に単位質量あたり RΩ sinΦ度で宇宙空間を真東方向に点Ｂを目指して進行しているcosΦ［N］の場の遠心力が南方向に掛かっていることになことになり、点Ａに存在する西風成分 u［m/s］の空気塊る。しかしながら、平面回転盤上では明確に認識できるは Rω＋u［m/s］の速度で宇宙空間を真東方向の点Ｂより

この遠心力を、地表面上では認識することができない。

u［m］前方の点Ｄを目指して進行していることになる。

それは、地表面が重力に垂直に形成されており、地球のⅢ－3で明らかになったように、点Ａにおいて接線速度

中心との間で作用している単位質量あたりの引力の地表Rω
［m/s］で宇宙空間を東方向に点Ｂを目指して進行し

2

面北方向の成分 GM sinδ/R［N］と南方向の単位質量あ2たりの遠心力 RΩ 2sinΦ cosΦ［N］が釣り合い、地表面南北方向の合力がゼロとなっているためである。このため、我々は地表面に位置して北の地平線方向 R/tanΦ［m］の点を中心とする回転運動を行っていながら、重力を考慮している限り、場の遠心力の影響を考慮する必要がない。
一方、平面回転盤表面には、回転中心方向に作用する引力の成分なぞは存在しないので、平面回転盤上の物体
は、摩擦が存在しない限りすべて、場の遠心力の影響を受けている。低速回転の場合には、平面回転盤は物体を表面に置いたまま回転運動を続け、あたかも、地表面上の物体と同様に場の遠心力の影響を受けていないように思わせるが、これは、平面回転盤と物体の間に発生する静止摩擦力が場の遠心力と釣り合っているために出現する現象である。このため、場の遠心力が最大静止摩擦力
を上回るような高速回転をさせると、物体は場の遠心力
118

図６

等
 速円運動を行っている平面回転盤上を接線速度方向に相対運動する物体に生じるコリオリ効果を説明するための概念図（筆者原図）

地球環境研究，Vol.17（2015）ている物体が１秒後に点Ｃに到達することは、重力場の法を提唱している。回転中心から外れた場所におけるコ

中にいる者にとっては極めて当然の帰結であるので、接リオリ力を幾何学を利用した手法で議論してはいるが、線速度 Rω＋u［m/s］
で宇宙空間を東方向に点Ｄを目指し

平面回転盤を地球接平面のモデルとして扱う本稿の手法て進行している物体は１秒後には点Ｄからベクトル BCとは異質な方法でもあり、真の初学者に「ユリイカ」とだけ移動した点Ｅに到達する。点Ｅは点Ｃからベクトル

言わせるのは困難のように思われる。

→→

BD だけ移動した点でもある。
点Ａにおいて東方の点Ｄを目指している物体を観測している人物は何の不思議もなく１秒後には点Ｃに到達し

Ⅲ－ ５ ．回転の中心方向に速度 v［m/s］で移動する場合ているので、自分より u［m/s］だけ速さの大きい物体は

本節では、回転中心以外の場所から回転の中心方向に

自分の東方、即ち、点Ａにおける接線上とは方向がω放された物体の運動に対するコリオリ効果を議論する。

［rad］
偏った点Ｃにおける接線上のベクトル CF の方向 u

図7は、角速度ω［rad/s］の等速円運動を行っている平［m］前方の点Ｇに到達すると予測している。ところが実

面回転盤の回転中心Ｏからの距離 R［m］の点Ａに存在し際には、物体はベクトル CF の方向からは右に角度ω

ている物体が、回転中心Ｏに向かって速度 v［m/s］で進［rad］ずれた方向の点Ｅに到達しているのを発見して、驚むときの概念図である。図5および図6の場合と同様に、きを感じてしまうことになる。CG=CE=u［m］
で∠GCE=

角速度ω［rad/s］は十分小さいと仮定する。

→

→

→

→

ω［rad］
であるから、ベクトル CG とベクトル CE の終点

点Ａにおいて回転の中心方向に速度 v［m/s］で移動し間の距離はωu［m］
である。つまり、観測者から観ると、ている物体は、同時に地表面と同じ Rω
［m/s］の接線速

東方向を目指して u［m］で自分のいる場所から出発した

度で宇宙空間を東方向の点Ｂを目指して移動しているの物体は、１秒後には当初の目的地より右に角度でω［rad］、

で、点Ａを出発１秒後にはベクトル AO に平行に点Ｂか

実距離でωu［m］
偏った場所に到着することになる。これら v［m］離れた点Ｄに到達することを目指していること

らがコリオリ効果である。点Ｇから点Ｅの方向に2ωu

になる。

→

［m/s2］の加速度を発生させる力が作用していなければこⅢ－3で明らかになったように、点Ａにおいて接線速度

れらのコリオリ効果とつじつまが合わない。つまり進行Rω
［m/s］で宇宙空間を東方向に点Ｂを目指して進行し方向右90°の方向に単位質量あたり2ωu［N］の大きさの力ている物体が１秒後に点Ｃに到達することは、重力場のが作用したように見える。この力がコリオリ力である。

中にいる者にとっては極めて当然の帰着であるので、点山岸（2011）は任意の緯度円に沿って東方向に等速運

Ｂから v［m］離れた点Ｄを目指して進行している物体は動する物体が受ける慣性系に対する加速度を、地球接平

１秒後には点Ｄからベクトル BC だけ移動した点Ｅに到面ではなく、緯度円平面を用いて幾何学的に説明する方達する。点Ｅは点Ｃからベクトル BD だけ移動した点で

→

→

もある。
点Ａにおいて速度 ［v m/s］
で点Ｏを目指している物体を観測している人物は何の不思議もなく１秒後には点Ｃに到達しているので、物体は自分の北方、即ち、ベクトル→

CO の方向 ［v m］
前方の点Ｆに到達すると予測している。
→

ところが実際には、物体はベクトル CO の方向からは右
に角度ω
［rad］
偏った方向の点Ｅに到達しているのを発見して、驚きを感じてしまうことになる。CF=CE=v
［m］
で
→

→

∠OCG=ω［rad］であるから、ベクトル CF とベクトル CEの終点間の距離はωv［m］である。つまり、観測者から観ると、北方向を目指して v［m］で自分のいる場所から出発した物体は、１秒後には当初の目的地より右に角度で
ω［rad］、実距離でωv［m］偏った場所に到着することに
図７等
 速円運動を行っている平面回転盤上を回転中心方向に相対運動する物体に生じるコリオリ効果を説明するための概念図（筆者原図）なる。これがコリオリ効果である。線分 FE 間の距離は
ωv［m］なので、この間に点Ｆから点Ｅの方向に2ωv［m/s2］の加速度を発生させる力が作用していなければコ119

吉﨑（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」に対するコメント（中川）リオリ効果とつじつまが合わない。つまり進行方向右90°

いことも明らかである。したがって、本稿が示す方法も、の方向に単位質量あたり2ωv［N］の大きさの力が作用し初学者全員に「ユリイカ」と言わせることは不可能であたように見える。この力がコリオリ力である。

ると断定せざるを得ない。本稿の方法でも充分な理解を山岸（2011）は任意の子午線上を速さ v［m/s］で等速得られない学生が、吉﨑（2013）・ 中村（2013）・ 山岸

直線運動する物体が受ける慣性系に対する加速度を、地（2013）の方法なら十分な理解を得る、などということは

球接平面ではなく、緯度円平面を用いて幾何学的に説明あり得ないので、本稿の論理展開による説明方法に基づする方法を提唱している。前節の任意の緯度円に沿ってくより理解し易い授業案の開発を進めるとともにその教東方向に等速運動の場合と同様に、回転中心から外れた

育効果の測定方法の検討も行うことが、今後の重要な課場所におけるコリオリ力を幾何学を利用した手法で議論題である。

してはいるが、平面回転盤を地球接平面のモデルとして扱う本稿の手法とは異質な方法でもあり、真の初学者に

謝

辞
匿名査読者によるレフリーコメントは原稿改良に大変「ユリイカ」と言わせるのは困難のように思われる。

役立ちました。記して深謝の意を表します。

Ⅳ．おわりに文

献

本稿は、吉﨑（2013）に対するコメントとして起草さAmerican Meteorological Society（2012）：Coriolis Effect :れたが、これは、吉﨑（2013）に異を唱えるものではな

Because the Earth Turns. Teacher’s Guide. American

い。しかしながら、吉﨑（2013）やそれに続く中村（2013）
および山岸（2013）の説明方法は薀蓄に富んでいて興味深いものの、コリオリ効果やコリオリ力には初めて接す
るものの自然科学の方法は既に充分会得している者でないと理解困難と思われる。吉﨑（2013）は上記のような者を初学者としており、吉﨑（2013）やそれに続く中村（2013）および山岸（2013）の方法では、微分 ・ 積分 ・ 運
動方程式やベクトル解析に関する充分な知識の持ち合わ
せがない真の初学者に「ユリイカ」と言わせることはあ
り得ないのではないかと思われる。本稿は、そのようなMeteorological Society, Eduction Program, Washington,
18pp.
American Meteorological Society（2000）：Coriolis Effect.
American Meteorological Society Glossary of Meteorology.
Retrieved 1/21/2015.
小笠原和夫 ・ 桜庭信一（1959）：気象学通論．いずみ書房，
268pp．
小倉義光（1978）：気象力学通論．東京大学出版会，249pp．
小倉義光（1999）: 一般気象学［第２版］. 東京大学出版会，308pp．
木村竜治（1973）: 回転流体の性質について．天気，20，517－531．

知識不十分な真の初学者にもコリオリ効果やコリオリ力

木村竜治（1983）: 地球流体力学入門．東京堂出版，247pp．

をある程度定量的に理解させる可能性のある幾何学を利木村龍治（2013）: 天気ハカセになろう．岩波書店，182pp．

用した吉﨑（2013）とは別の説明方法として起草された。

松田佳久（2014）：気象学入門．東京大学出版会，240pp．

ごく最近、Persson（2014）により、図5～7と極めてよく似た条件下で、幾何学を利用して向心力および東西方
向 ・ 南北方向への相対運動対するコリオリ力による偏り
や加速度の大きさの定量的表現の誘導法が提唱された。
距離の偏りや加速度の大きさの定量的表現だけでなく、運動方向の偏りも綺麗に説明できる本稿の方法の方が優れていると思われるが、それ以前の問題として、このよ
うな観点からの考究が現時点においても研究 ・ 教育上大きなニーズを有することを示唆するものとして強く注目したい。
著者はⅢ－2を除く本稿に示した方法を実際の授業に用いているが、授業後の課題レポートを調査した限りでは、

McIntosh,D.H. and A.S. Thom（ 1 9 6 9 ）：Essentials ofMeteorology.
（奥田

Wykeham Publications Ltd., London, 239pp.

穣（訳）（1975，1977）：気象学の基礎上 ・ 下．共立

出版，142pp．および134pp.）
McIntyre,D. H.（2000）：Using Great Circles to UnderstandMotion on a Rotating Sphere. American Journal of Physics, 68, 1097-1105.
中村晃三（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」を読んで．天気，60，475－477．
Persson, A.（2014）：Is the Coriolis effect an ‘optical illusion’ ?.
Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society,
DOI:10.1002/qj.2477.
高橋正吾（1968）：コリオリ力の初心者向き解説に当たっての問題点．天気，15，２－４．

興味関心を示し内容をよく理解できている学生が多いも山岸米二郎（2011）：気象学入門．オーム社，234pp.

のの、すべての学生に充分な理解をさせている訳ではな

山岸米二郎（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」一つの試み．

120

地球環境研究，Vol.17（2015）
天気，60，963－966．

吉﨑正憲（2013）：コリオリ力の「ユリイカ」．天気，60，119

安田延壽（1994）：基礎大気科学．朝倉書店，204pp.
横尾武夫 ・ 柴山元彦 ・ 福江純（1995）：コリオリ力の巨視的理解－コンピュータグラフィックスを活用して－．地学教－124．
吉﨑正憲 ・ 野田彰（編代表）（2013）：図説 地球環境の事典．
朝倉書店，378pp．

育，48，147－156．

Another Comment on“A Eureka Moment for a Beginning Learnerof the Coriolis Effect and/or Force”by Yoshizaki（2013）
NAKAGAWA Kiyotaka ＊＊Faculty of Geo-environmental Science, Rissho University

Key words: Coriolis force, Coriolis effect, Eureka, Beginning Learner121