４月

December問題.
豊岡高校に見事合格したＡ,Ｂ,Ｃ,Ｄの４人は、合格祝いにプレゼント交換会を行った。Ａから順番にプレゼントを選ぶとき、自分のプレゼントを選ばない選び方は何通りあるか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

４月
これはいわゆる攪乱順列（または完全順列）というものです。その名の通り数字の並びを完全に攪乱（かくらん）する（もとと同じ場所になる要素がない）順列のことをいいます。順列は、１年次に数学Ａでこれから勉強するのですが、攪乱順列は教科書にはありません。ですので、中学で勉強した樹形図で地道に求めてみましょう。
樹形図でわかるように９通りあるのですが、この数をモンモール数といい、実は求める公式もあります。よく入試問題にも扱われていて、同じ内容の選ぶ人Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
問題が 2004 年東工大(後期)でも小問(1)として出題されＡ
ＤＣています。興味のある人は調べてみましょう。
選ＢＣＤＡべるプレゼン
ト答え

ＤＡＣＤＡ

ＤＣＡ
ＤＡ
Ｂ
Ｂ
Ａ
Ｂ

9 通りＣＢ
Ｂ
ＡＣ
Ｂ
Ａ

５月

問題.
右の図のＩ市からスタートして､すべての市と間の道路を通ってＩ市に戻るとする。このとき最短経路は何㎞か答えよ。ただし市や間の道路は何度通ってもよく､方向も自由で､図の数字は市間の距離数(㎞)とする。

Ｓ

956I
4K

62

H55T

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

５月
Ｉ市からスタートして、一筆書きでＩ市までゴールできればすべての市と道路Ｓを通るので、そのルートが最短経路となります。ですが、各市を点と考える

5と、３本の道路が入る奇点が４つ、４本の道路が入っている偶点が１つなので一筆書きができません。Ｉ市を始点かつ終点として一筆書きできるためには、すべて偶点にする必要があります。そこで最短で最小限の道路を追加

69I
4K

62H
55Tしたのが右図です。Ｓ市とＨ市、Ｋ市とＴ市に１本ずつ赤く道路が追加してあります。この赤い道路も通ってできる一筆書きの例が、
Ｉ-(5)-Ｓ-(9)-Ｋ-(6)-Ｉ-(2)-Ｔ-(5)-Ｋ-(5)-Ｔ-(5)-Ｈ-(6)-Ｓ-(6)-Ｈ-(4)-Ｉなどで、距離の合計は５３Ｋｍになります。

答え 53km６月問題.

右図のように、扇形の中に正方形が内接している。このとき、斜線部分の面積を求めよ。
解答の手順

６60°

①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

６月
Ａ

右図のように、扇形ＯＰＱに正方形ＡＢＣＤが内接しているとすると、△ＡＢＯでＡＢ＝ＯＢだから△ＡＢＯは二等辺三角形

ＤＱ

ＰＨ∠ＡＢＯ＝９０°＋６０°＝１５０°
よって∠ＢＡＯ＝∠ＢＯＡ＝１５°△ＤＣＯも同様だから∠ＣＤＯ＝∠ＣＯＤ＝１５°以上から∠ＡＯＤ＝∠ＰＯＱ―∠ＢＯＡ―∠ＣＯＤ＝３０°
次に、△ＡＯＤの面積は、点ＤからＡＯに垂線ＤＨを下ろすと、∠ＯＤＨ＝６０°だから

６Ｃ

Ｂ
30°

ＤＨ＝３ よって△ＡＯＤの面積は１／２×６×３＝９
扇形ＡＯＤの面積は、∠ＡＯＤ＝30°より円の面積の１／１２となるからπ×６×６×１／１２＝３π
したがって求める斜線部分の面積は（扇形ＡＯＤ）－（△ＡＯＤ）＝３π－９

答え 3π－960°
Ｏ

７月

問題.

水槽の中に魚が２００匹いる。９９％が金魚であるという。このとき、金魚を９８％にするには、金魚を何匹取り除けばよいか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

颯颯７月
これは明らかな引っかけ問題です。迷わず「２匹」と答える生徒がどれくらいいるかと思って出題してみましたが、なんとほぼ８割の豊高生が引っかかってしまいました。正解者はたったの３名でした。
未だに『まさか？割合をたった１％減らすのに金魚を全体の半分の１００匹も減らすの？！』と思っている人がいるかもしれませんので、確認しましょう。
まず、最初の金魚の数は 200 × 99% = 198 匹です。ここで、除く金魚の数を 𝑥 匹とおくと、除いた後の金魚の割合は 98% だから、以下の式が成り立ちます。
198 − 𝑥= 0.98 198 − 𝑥 = 0.98(200 − 𝑥) 198 − 𝑥 = 196 − 0.98𝑥 0.02𝑥 = 2 ∴ 𝑥 = 100
200 − 𝑥
したがって、取り除く金魚の数は１００匹。たしかに金魚を 100 匹取り除くと全体が 100 匹に、金魚は 98 匹に減って割合は 98％ですね。

『人間のカンは常に正しいとは限らないことを肝に銘じましょう』

答え 100 匹

８月

問題.
１,１０,１１,１２,１３,１４,１５,１６,１７,１８,１９,２１,３１,４１,…のように１を１個以上使う整数を小さい順に並べたとき、１００００は何番目の整数か答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

８月
まずは条件を踏まえて地道に計算してみましょう。条件通り数え上げる能力もとても大切です。
1 桁の数……０～９までで 1 を含む数字は 1 個
2 桁の数……２０～９９までで 1 を含む数字は 8 個 １０～１９は十の位が 1 なので 10 個
したがって、０～９９までで 1 を含む数字は１＋８＋１０＝１９ 19 個
3 桁の数……２００～２９９，３００～３９９，…，９００～９９９はそれぞれ 1 を含む数字は 19 個ずつだから１９×８＝１５２ 152 個
１００～１９９は百の位が 1 なので 100 個
したがって、０～９９９までで 1 を含む数字は１９＋１００＋１５２＝２７１ 271 個
4 桁の数……２０００～２９９９，３０００～３９９９，…，９０００～９９９９はそれぞれ 1 を含む数字は 271 個ずつだから
２７１×８＝２１６８ 2168 個 １０００～１９９９は千の位が 1 なので 1000 個
したがって、０～９９９９までで 1 を含む数字は２７１＋１０００＋２１６８＝３４３９ 3439 個
最後に１００００もカウントして ３４３９＋１＝３４４０ 3440 個【別解】
数え上げる数字は各位に”少なくとも”1 個は１を含む数字だから、その補集合を考えると、(求める個数) ＝（全ての 4 桁の数字の個数 10×10×10×10）－（各位に 1 を含まない 4 桁の数字の個数 9×9×9×9）＋１＝１０４－９４＋１＝１００００－６５６１＋１＝３４４０
正答(30p)
それ以外に、以前出題したｎ進法の考え方でも【2】ズルズルスイマー【3】SCP-114314、September☆
解くことができます。
【職員】シレン

答え 3440 番目

提出(5p)
PORCO、ふぉーまるはうと、あげはるまき、ごちうさ難民

９月

問題.
右図の縦・横・斜め・同じ色の四角の合計がすべて同じになるようにＡ～Ｉに３,４,５,６,１１,１２,１３,１４,１６を１つずつ入れよ。

ＡＢ

２Ｃ

Ｄ

１０Ｅ

８９Ｆ

７Ｇ

Ｈ

１５Ｉ

１

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

９月
まず、縦・横・斜め・同じ色の四角の合計が同じなのでその値を調べます。図の２，１０，８，９，７，１５，１と条件の３,４,５,６,１１,１２,１３,１４,１６の値を全て足すと１３６。したがって、１３６÷４＝３４が共通な値です。
次に、最初に値が決まるのは（Ａ―１０―７―１）の斜めから、Ａ＋（１０＋７＋１）＝３４よりＡ＝１６と置けます。
その次は（１６－Ｄ－９－Ｈ）の縦から、Ｄ＋Ｈ＝９。残りの数字からたして９となる 2 つの数字の組合せは（４，５）、（３，６）の２とおり。
ＤとＨが決まれば後は順次値が決定していき、答えのような 2 つのパターンとなります。
Ａ

Ｂ

１６３Ｄ

２Ｃ

Ａ

１３１６Ｅ

５１０ １１Ｈ８２１１３１０ １３８７Ｆ１２Ｉ

４５Ｅ

Ｇ６Ｃ

ＤＦ９Ｂ

１５ １４９Ｇ４７１４１５ １２１Ｈ１Ｉ６

答え 上記の 2 つ10 月問題.
１０桁の整数ＡとＢがあり、Ａ＋Ｂ＝１００００００００００である。このとき、「Ａの各位の数の和」と「Ｂの各位の数の和」の合計のうち、３番目に大きい数を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

颯颯

10 月
どうしていいか分からないときは、まず具体的な数で試してみます。
例えば、Ａ＝４５６７８９００００(10 桁)とおくと、Ａ＋Ｂ＝１００００００００００(11 桁)だから、Ｂ＝５４３２１１００００(10桁)となります。ここで、「Ａの各位の数の和」と「Ｂの各位の数の和」を合計するということは、ＡとＢの同じ位どうしの数の和を求め、その和を全ての位について合計することと同じです。そこで、同じ位どうしの和を見てみます。
Ａ ＝ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ０ ０ ０ ０
すると、１０桁のうち５桁目で初めて繰り上がり和が１０にＢ ＝ ５ ４ ３ ２ １ １ ０ ０ ０ ０
なり、それより下位の位は全て０。
同じ位の和 → ９ ９ ９ ９ ９ 10 ０ ０ ０ ０
それより上位の位は全て９になっていることが分かります。
この同じ位の和を合計した値が求める数ですから、初めて繰り上がる桁の位置で合計の値の大きさの順位が決まります。１桁目の時……９+９+９+９+９+９+９+９+９+１０＝９×９+１０＝９１
２桁目の時……９+９+９+９+９+９+９+９+１０+０＝９×８+１０＝８２
３桁目の時……９+９+９+９+９+９+９+１０+０+０＝９×７+１０＝７３
４桁目の時……９+９+９+９+９+９+１０+０+０+０＝９×６+１０＝６４
５桁目の時……９+９+９+９+９+１０+０+０+０+０＝９×５+１０＝５５６桁目の時……９+９+９+９+１０+０+０+０+０+０＝９×４+１０＝４６……
９桁目の時……９+１０+０+０+０+０+０+０+０+０＝９×１+１０＝１９
10 桁目の時……１０+０+０+０+０+０+０+０+０+０＝９×０+１０＝１０ということで３番目は７３です。

答え 73

11 月

問題.

２００以下の自然数のうち、約数が１０個であるものをすべて求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

11 月
約数の個数の求め方を思い出せば、自然と絞り込めます。
自然数 N を素因数分解して表すと
𝑁 = 𝐴𝑎 × 𝐵𝑏 × 𝐶 𝑐 × ⋯ (𝐴, 𝐵, 𝐶は素数)と表せます。そのときの約数の数は(𝑎 + 1) × (𝑏 + 1) × (𝑐 + 1) × ⋯と計算できます。ここで、
10 = 2 × 5なので、約数の個数が、10 と 2 × 5 のときの 2 つに分けて考えます。
○約数が 10 のとき、元の自然数は𝑁 = 𝐴10−1 = 𝐴9
この A に小さい素数から順に当てはめると
29 = 512 > 200 と 200 を越えるので 不適○約数が 2 × 5 のとき、元の自然数は𝑁 = 𝐴2−1 × 𝐵5−1 = 𝐴 × 𝐵4
この A と B に小さい素数から順に当てはめる(A, B) = (3, 2) のとき
3 × 24 = 48
(A, B) = (2, 3) のとき
2 × 34 = 162(A, B) = (5, 2) のとき
5 × 24 = 80
(A, B) = (5, 3) のとき
5 × 34 = 405 >200 より不適
(A, B) = (7, 2) のとき
7 × 24 = 112(A, B) = (11, 2) のとき
11 × 24 = 176(A, B) = (13, 2) のとき
13 × 24 = 208となり、を越えるので 不適
したがって、求める自然数は 48,80,112,162,176 の 5 個

答え 48,80,112,162,176

12 月問題.
右図のように、△ＡＯＢと直線ＰＱＡが点Ｏで接している。△ＡＯＢが点Ｏを中心に回転するとき、ＡＰ ３＋ＢＱの最大値を求めよ。
ＰＢ

４Ｏ

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

Ｑ12 月○まず、2・3 年次生は三角関数の合成を使って解きましょう。
∠AOP=θ(0≦θ≦π/2)とおくと、∠BOQ=π/2-θより𝜋
𝐴𝑃 + 𝐵𝑄 = 3𝑠𝑖𝑛𝜃 + 4sin ( − 𝜃) = 3𝑠𝑖𝑛𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠(−𝜃)2= 3𝑠𝑖𝑛𝜃 + 4𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5(𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛𝛼)34= 5𝑠𝑖𝑛(𝜃 + 𝛼) ただし 𝑐𝑜𝑠𝛼 = , 𝑠𝑖𝑛𝛼 =55
よって、5sin(θ+α)はθ=π/2-αのとき最大値 5 をとります。

Ｑ’Ｏ’

Ｂ

Ａ
４

○次に、1 年次生は図形で考えてみましょう。

３

右図のように、△AOB に合同な△AO‘B をおき、O’を通り、

θ

直線 PQ に平行な直線 Q’O’を引くと、BQ=AQ’
したがって、AP+BQ=AP+AQ’=PQ’この長さが最大となるのは
PQ’=OO’のときだから、OO′ = √32 + 42 = 5

答え 5

ＰＯＱ

冬休

問題.
コインを１枚投げて、３回連続して表または裏が出れば終了とする。このとき、ちょうど１２回コインを投げて終了するような投げ方は、全部で何通りあるか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

颯颯

冬休○すぐに思いつくのは、やはり樹形図ですね。地道に枝を伸ばしていけば必ず正答に辿り着きます。
同じ表裏が３回連続して、ちょうど１２回目に終わるので、９回目までの表裏の出方を調べればよいことになります。
そこで、まず 1 回目にコインの表が出たとすると、
表 ： １→２→３→５→８→１３→２１→３４→５５通り …… (A)
1 回目に裏が出たとしても同じだけコインの表裏の出方があるから、すべての出方は ５５×２＝１１０通り○次に考えられるのは、少し難しいですが、漸化式です。ｎ回目までの表裏の出方をＡ(n)とおきます。すると
Ａ(n)は①…２回連続した場合、３回連続するとそこで終わるので、Ａ(n-2)｛Ａ(n-1)と同じ｝と②…連続していない場合、表でも裏でもよいので、Ａ(n-1)の和に等しい。もちろん①と②の表裏の出方はすべて異なり、これ以外の表裏の目の出方はありません。したがって、
Ａ(n)= Ａ(n-1)+ Ａ(n-2) …… (B)で表すことができ、これはフィボナッチ数列を表す漸化式です。(A)はフィボナッチ数列そのものでした。
Ａ(1)=２、Ａ(2)=４とおき、(B)に代入すれば求めることができます。
Ａ(9) ： ２→４→６→１０→１６→２６→４２→６８→１１０
答え １１０通り

答え 110 通り

正答(10p)【3】わかるマン【職員】シレン

１月

問題.

Ｏ

図のような底面が正六角形で、側面が二等辺三角形でできた正六角錐がある。Ａ地点からひもの長さが最短になるようにＡ地点まで側面を巻いたとき、側面の総面積のうち、「ひもの上側」と「ひもの下側」の面積比が１：５となった。このとき側面の二等辺三角形の頂角(例えば∠ＡＯＢ)は何度か答えよ。
Ａ

解答の手順

Ｂ

①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

１月Ａ”

まず、図のように母線ＯＡに疎ってそって正六角錐を開きます。

Ｏ

ひもの長さが最短になるように巻くと、ひもは直線ＡＡ’となります。
すると、ＡＡ’⊥ＯＨとなりますので、ＡＡ’∥ＯＨ’となるようＯＨ’を引き、ＡＯとＡ’Ｈ’の延長線と交点をＡ”とおきます。

ＡＨ

ひもの上側と下側の面積比が１：５より、ひもの上側と側面積全体の面積比は１：６となります。つまり、△ＯＡＡ’＝△ＯＡＢ

Ｂ

ここで、△ＯＡＨ＝△Ａ”ＯＨ’、△ＯＡ’Ｈ＝△Ａ’ＯＨ’
したがって、△ＯＡ’Ａ”＝△ＯＡＢ ∠ＡＯＢ＝θとおくと180°θ
=７θ＝180°が成り立ちます。 ∴7
つぎに三角関数を使って解いてみましょう。ＯＡ＝ｒ、∠ＡＯＢ＝θ、６×△ＯＡＡ’＝６×△ＯＡＢより
1 21 2𝜋 180°
6 × 𝑟 𝑠𝑖𝑛6𝜃 = 6 × 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛6𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 6𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝜋 − 6𝜃 = 𝜃 ∴ 𝜃 = =2277となります。

答え𝟏𝟖𝟎°
𝟕Ｈ’Ａ’

２月

問題.
６面が異なる色でぬり分けられた立方体が１個ある。
この立方体を、置く面や向きを変えて、さまざまな角度から写真に撮ったとき、写っている面の数や色の組合せが異なる写真は全部で何枚あるか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず学年･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

２月
写っている面の数で場合分けをしてみましょう。
・１面のみが写っている場合
異なる色の面は６面ですから …… ６枚・２面が写っている場合間の辺が異なればそれを挟む２面の色は必ず異なりますから、辺の数は１２より …… １２枚・３面が写っている場合
頂点が異なればそれを挟む３面の色は必ず異なりますから、頂点の数は８より …… ８枚
したがって求める写真の枚数は ６＋１２＋８＝２６
答え ２６枚

答え26 枚

１年間おつきあいいただきありがとうございました。来年度も続けていきたいと思いますのでよろしくお願いします。