４月

問題.
豊岡高校に合格したＡ中学校の生徒全員が嬉しさのあまり外周を等間隔、等速度で歩きはじめた。これを維持しながら、生徒を１人増やすと生徒間の時間が５６秒だけ縮み、１人減らすと１分２４秒だけ増えた。このとき合格したＡ中学校の生徒の人数を答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

今月の１問４月

問題の通りに式を立ててみます。まず、1 周にかかる時間を Ｔ 秒、合格したＡ中学校の人数を n 人とおきます。生徒を 1 人増やすと生徒間の時間が56 秒減るから、1 人増やす前の生徒間の時間は T/n 秒なので、𝑇𝑇+ 56 =⋯⋯ ①𝑛+1𝑛とおけます。同様に、生徒を 1 人減らすと生徒間の時間が 84 秒増えるから、𝑇
𝑇− 84 =⋯⋯ ②𝑛−1𝑛とおけ、①より②よりしたがって、𝑇
𝑇− = −56𝑛+1 𝑛𝑛𝑇 − (𝑛 + 1)𝑇= −56𝑛(𝑛 + 1)

𝑇𝑇− = 84𝑛−1 𝑛
𝑛𝑇 − (𝑛 − 1)𝑇= 84𝑛(𝑛 − 1)𝑛𝑇 − (𝑛 + 1)𝑇 = −56𝑛(𝑛 + 1)

𝑛𝑇 − (𝑛 − 1)𝑇 = 84𝑛(𝑛 − 1)

𝑇 = 56𝑛(𝑛 + 1)

答は 5 人でした。
ちなみに、本校の外周は約１．２km。高低差１１m。
結構ハードです。がんばれ！

答え 5 人

𝑇 = 84𝑛(𝑛 − 1)56𝑛(𝑛 + 1) = 84𝑛(𝑛 − 1)2𝑛(𝑛 + 1) = 3𝑛(𝑛 − 1)
2𝑛2 + 2𝑛 = 3𝑛2 − 3𝑛𝑛2 − 5𝑛 = 0𝑛(𝑛 − 5) = 0𝑛 > 0 より

∴ 𝑛 = 0,5
∴𝑛=5

５月

問題.

ＰＡＳＤ

右図のような１辺の長さ１４の正方形ＰＱＲＳに、四角形ＡＢＣＤが図のように内接している。 Ｂ
14
このとき、四角形ＡＢＣＤの面積を求めよ。

39

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･Ｑ
4クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。
（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

ＣＲ今月の１問５月

Ｐ

今回は易しかったですね。まず、右図のように４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄからそれぞれ垂線ＡＡ’，ＢＢ’，ＣＣ’，ＤＤ’を引くとすぐに解法に気付きます。
正方形ＰＱＲＳ＝△ＡＡ’Ｂ×２＋△ＢＢ’Ｃ×２＋△ＣＣ’Ｄ×２＋△ＤＤ’Ａ×２＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’
また、四角形ＡＢＣＤは
四角形ＡＢＣＤ＝△ＡＡ’Ｂ＋△ＢＢ’Ｃ＋△ＣＣ’Ｄ＋△ＤＤ’Ａ
14＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’
なので正方形ＰＱＲＳ＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’＝△ＡＡ’Ｂ×２＋△ＢＢ’Ｃ×２＋△ＣＣ’Ｄ×２＋△ＤＤ’Ａ×２＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’×２＝２（△ＡＡ’Ｂ＋△ＢＢ’Ｃ＋△ＣＣ’Ｄ＋△ＤＤ’Ａ＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’）＝２×四角形ＡＢＣＤ∴四角形ＡＢＣＤ＝（正方形ＰＱＲＳ＋長方形Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’）／２＝（１４×１４＋３×４）／２＝（１９６＋１２）／２＝２０８／２＝１０４
したがって 四角形ＡＢＣＤの面積は１０４でした。

ＢＱ

答え 104ＡＳ
Ｄ

Ｄ'Ｃ'Ａ'

Ｂ'

394ＣＲ

６月

問題.

ある４ケタの整数がある。この整数を９倍すると、各位の数を逆順に並べた整数に等しくなる。このとき、この４ケタの整数を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

今月の１問６月

今月は先月よりも簡単でしたね。まず、４桁の整数に９を掛けて４桁の整数を作るので、千の位は１ですね。１以外では繰り上げって５桁の整数になってしまいます。つまり、(１百 十 一 )×９＝(９ 百 十 一 )問題より、この整数は位の数を逆に並べた４桁の整数 ( 一 十 百 ９) に等しくなるので、一の位は９となります。つまり、この４桁の整数は( １ 百 十 ９)のはずです。ここまで絞り込んで残りの百 と 十を００～９９の１００個の中から見つけ出していた人もいましたが、まだまだ絞り込むヒントがあります。それは「９倍して位の数を逆に並べた４桁の整数も９の倍数」ということです。このことから、もとの４桁の整数も９の倍数ということになります。整数が９の倍数なら、各位の数の和も９の倍数ですから、１＋ 百＋十＋９＝１０＋百＋十 つまり、百＋十 は８、１７、２６、…という値のはずです。
ここで、百 が１以上だと９倍して繰り上がってしまうため０。したがって十 は８です。以上から４桁の整数は（１０８９）これが答です。
９倍して（９８０１）ですから、確かに合っていますね。

答え 1089

７月

問題.

Ａ

右図のような直角三角形ＡＢＣの内部に、図のように正方形を次々と無限に内接させてい 4る。このとき、斜線の部分の面積を求めよ。
解答の手順

Ｂ6

①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

Ｃ今月の１問

７月

Ａ“無限に連続する図形”というと、『極限はまだ勉強していないから解けないよ』という人がいるかもしれませんが、実は極限を使わなくとも１：３
簡単に解くことができます。まず、正方形をＤＢＦＥとおくと②
明らかに△ＡＤＥ∽△ＡＢＣですから
１：３
ＡＤ：ＤＥ＝ＡＢ：ＢＣ＝４：６＝２：３ ＤＢＦＥは正方形なので③
ＤＥ＝ＤＢ ＤＥ：ＤＢ＝３：３ したがって △ＡＤＥと正方形ＤＢＦＥの面積比は１：３ 図のように、同じ面積比の相似な図形がずっと③続いています。つまり無限に続く（斜線の三角形の面積の和） ： （正方形の面積の和） ＝ １ ： ３ということはつまり、（斜線の三角形の面積の和） ： （台形の和＝△ＡＢＣ） ＝ １ ： ４
よって△ＡＢＣの面積は （１／２）×４×６＝１２ですから 斜線の部分の面積の和は １２×（１／４）＝３ 答えは３でした。
ちなみに数Ⅲで勉強する“無限等比級数の和”を使うと、求める斜線部分の面積を S とおいて、

ＤＣＢＥＦ48
9 𝑛{1 − ( ) }48 9 𝑘−125 48
9 𝑛
9 𝑛
25
25
𝑆 = lim ∑ ( )= lim= lim∙ {1 − ( ) } = lim 3 {1 − ( ) } = 39𝑛→∞𝑛→∞𝑛→∞𝑛→∞
25 25
16 25
25
25
1−𝑘=125
こんな計算になります。
𝑛答え 3

相似な台形を次々と足していくので…

１：３

１：３

１：３

１

Ｃ

８月

問題.

次の式を因数分解せよ。
𝟑𝟑𝟑(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) − 𝒂 − 𝒃 − 𝒄𝟑

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※解答者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問８月(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 − 𝑎3 − 𝑏 3 − 𝑐 3 = {(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 − 𝑎3 } − (𝑏 3 + 𝑐 3 )= {(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − 𝑎}{(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 + 𝑎(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) + 𝑎2 } − (𝑏 + 𝑐)(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2 )= (𝑏 + 𝑐)(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 + 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑐𝑎 + 𝑎2 ) − (𝑏 + 𝑐)(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2 )= (𝑏 + 𝑐)(3𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 3𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 3𝑐𝑎) − (𝑏 + 𝑐)(𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2 )= (𝑏 + 𝑐){(3𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 3𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 3𝑐𝑎) − (𝑏 2 − 𝑏𝑐 + 𝑐 2 )}= (𝑏 + 𝑐)(3𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 3𝑏𝑐 + 3𝑐𝑎)
= 3(𝑏 + 𝑐)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎)= 3(𝑏 + 𝑐){(𝑎(𝑎 + 𝑏) + 𝑐(𝑏 + 𝑎)}= 3(𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑐)
= 3(𝑎 + 𝑏)(𝑏 + 𝑐)(𝑐 + 𝑎)
こんな感じで因数分解できます。
ポイントは最初の (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 − 𝑎3 と (𝑏 3 + 𝑐 3 ) の 2 つの項に分けて因数分解ができるかどうかです。
もちろん (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 をそのまま展開しても可能ですが、式が長大になり先が見通しづらく大変です。因数分解は計算の基本。しっかり基礎力をつけましょう。ちなみに (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 の展開公式は(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)3 = 𝑎3 + 𝑏 3 + 𝑐 3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎2 𝑐 + 3𝑏 2 𝑐 + 3𝑏 2 𝑎 + 3𝑐 2 𝑎 + 3𝑐 2 𝑏 + 6𝑎𝑏𝑐 ですが、覚えるなら(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑐𝑎 までで十分です。

答え 𝟑(𝒂 + 𝒃)(𝒃 + 𝒄)(𝒄 + 𝒂)

他にも、 𝑎 + 𝑏 = 𝐴 と置き換えをして計算量を抑えながら展開し、次の因数分解にもっていくという方法も解法の基本です。ためしてみましょう。

９月

問題.
循環小数 𝟎. 𝒂𝒃𝒂𝒃𝒂𝒃 ⋯ （ただし、 𝒂 と 𝒃 は異なる１桁の整数）のうち、分数に直して既約分数にしたとき、分子の数字が異なるものは何個あるか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※解答者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問

９月

まず、循環小数を 0. 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 ⋯ を 𝑥 とおいて、分数に直そう。
𝑥 = 0. 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 ⋯ ⋯ ⋯ ①②－①より 99𝑥 = 𝑎𝑏100𝑥 = 𝑎𝑏. 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏 ⋯ ⋯ ⋯ ②∴ 𝑥 = 𝑎𝑏/99
ここで、 𝑎 と 𝑏 は異なる 1 桁の整数なので、 01 ≦ 𝑎𝑏 ≦ 98 (ただし１１の倍数は除く)の９０個あることが分かります。もちろん 𝑎𝑏 と 99 が公約数を持たなければ９０個が答えですが、 99 = 32 × 11 より、３と１１の倍数は公約数となり約分ができます。既約分数にしなければならないので 𝑎𝑏 は「3 の倍数でなく」かつ「11 の倍数でもない」整数でなければなりません。
すでに 11 の倍数は除いてあるので求める個数は、
01≦ab≦98 で１１の倍数を除く９０個
９０－(3 の倍数の個数)＋(33 の公倍数の個数)＝９０－３２＋２＝６０
１１の倍数３の倍数答え６０個。……と終わりにしたいところですが、実はまだ見落としていることがあります。現段階では３の倍数は全て除かれましたが、これで本当に３３の倍数大丈夫でしょうか。
分母は 32 しかありません。もし分子に 33 があれば約分しても３の倍数が残るはずですよね。つまり、33 = 27 の倍数は約分しても残るのでその倍２７の倍数数は異なる整数になります。その整数は｛２７，５４，８１｝の３個ありますので、求める個数は６０＋３＝６３ 答え６３個 でした。
右図の斜線部分にある整数が求める整数です。

答え 63 個

今回は、一見してよくある問題に見えましたが、実は『安易にに 3 の倍数を除いてはいけない』というのが大切なポイントの問題でした。

10 月

問題.
右図のような三角形ＡＢＣを面積の等しい7つの三角形に等分した。このとき辺の長さの比ＡＩ：ＩＨ：ＨＧ：ＧＣを、できＢるだけ小さい整数で表せ。

ＡＩ

Ｈ
ＧＣＦＤＥ

解答の手順
①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※解答者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問10 月⓵△ＡＢＩと△ＡＢＣで、面積比は１：７よりＡＩ：ＡＣ＝１：７ ∴ＡＩ＝１／７ＡＣ …①⓺❶Ａ
ＡＩ：ＩＣ＝⓵：⓺より ∴ＡＩ＝１／６ＩＣ …②ＩＨ
❹１
△ＩＤＨと△ＩＤＣで、面積比は１：５よりＧ２
ＩＨ：ＩＣ＝１：５ ∴ＩＨ＝１／５ＩＣ …③
ＩＨ：ＨＣ＝❶：❹ ∴ＩＨ＝１／４ＨＣ …④△ＨＥＧと△ＨＥＣで、面積比は１：３よりＦ
ＨＧ：ＨＣ＝１：３ ∴ＨＧ＝１／３ＨＣ …⑤Ｅ
ＤＢ
ＨＧ：ＧＣ＝ １：２ ∴ＨＧ＝１／２ＧＣ …⑥⑥、⑤、④、③、②、①より ＧＣ＝２ＨＧ＝２／３ＨＣ＝８／３ＩＨ＝８／１５ＩＣ＝１６／５ＡＩ＝１６／３５ＡＣ
２ＨＧ＝１６／３５ＡＣより ＨＧ＝８／３５ＡＣ、８／３ＩＨ＝１６／３５ＡＣより ＩＨ＝６／３５ＡＣ
ＡＩ＝１／７ＡＣ＝５／３５ＡＣ したがって
ＡＩ：ＩＨ：ＨＧ：ＧＣ＝５／３５ＡＣ：６／３５ＡＣ：８／３５ＡＣ：１６／３５ＡＣ＝５：６：８：１６

答え 5:6:8:16

Ｃ

11 月

問題.
１から３２までの整数を書いた３２枚のカードがある。この中から３枚を同時に取り出すとき、互いの数の差が２以上になるような取り出し方は何通りあるか答えよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※解答者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問11 月

それほど難しい問題ではありません。じっくり考えてみましょう。
【一般的な解法】
1 から 32 までの異なる数字のカードが 32 枚あります。この中から 3 枚を取り出すということは、取り出したカードの数字は全て異なりますから、必ず大きさの順に並べることができます。そこで、問題が求めているのは互いの数の差が2 以上となるような取り出し方の組合せですから、『余事象』の考え方を使って、求める取り出し方 ＝ 全ての 3 枚のカードの取り出し方 － ３枚とも連続する場合 － ２枚だけ連続する場合を計算すればいいと分かります。そこで全ての 3 枚のカードの取り出し方 は 32 枚のカードから 3 枚を選ぶので 32Ｃ3＝(32×31×30/3×2×1)＝4960 通り。
３枚とも連続する場合 は①②③・・・から・・・㉚㉛㉜までの 30 通り。
２枚だけ連続する場合 は連続する 2 つの数字と 2 つ以上離れた数字の組合せを考えればいいから、、①②×④←………→㉜ が 29 通り【別の解法】
別の視点で考えてみましょう。選んだ 3 枚のカードの数字の差は必ず 2 以上とい×②③×⑤←……→㉜
29 パターンのうことは、3 枚のカードを取り出した後、カードを順に並べ、カードの間に数字の 1・×③④×⑥←…→㉜
それぞれがを足せば必ず差が 2 以上になります。つまり、：：
28 通り①②③ → ①＋１＋②＋１＋③ → ①③⑤ から始まり①←……→㉘×㉚㉛×㉘㉙㉚ → ㉘＋１＋㉙＋１＋㉚ → ㉘㉚㉜ までで全て示せます。よって①←………→㉙×㉛㉜ が 29 通り
1 から 30 までの数字のカードから選べばよいので 30Ｃ3＝4060 と求まります。
したがって 28＋29×28＋28＝870 通り
よって、求める答えは
4960－30－870＝4060 通り

答え 4060 通り

12 月

問題.
１９２０から２０１９までの１００個の数字がある。この中から適当な２個を選んで足し合わせ、１を引いた数を戻す。
これを最後まで繰り返すとき、最後に残る数字を求めよ。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入してください。

今年度の最終問題です!!

今月の１問12 月

数字が大きいので、見ただけで途方に暮れてしまう人もいるかもしれませんが、一般性を失わない程度に小さな数字と規模でやってみましょう。例えば１から５までの５個の数字としてみます。２つの数字を選んだとき、（○，△）と表すことにして、２つの数字を選び足して１を引くという操作を１つの数字にせず、計算式をそのまま［］の中に残してみます。すると、｛１，２，３，４，５｝
１回目 （１，２）…… ［１＋２－１］，３，４，５
２回目 （［］，３）…… ［［１＋２－１］＋３－１］，４，５
３回目 （［］，４）…… ［［［１＋２－１］＋３－１］＋４－１］，５
４回目 （［］，５）…… ［［［［１＋２－１］＋３－１］＋４－１］＋５－１［］をはずすと１＋２－１＋３－１＋４－１＋５－１
整理して１＋２＋３＋４＋５－１－１－１－１
つまり（１＋２＋３＋４＋５）－（１＋１＋１＋１）となります。これは１から５までの和から、操作の回数（４回）だけ１を引けばよいことを示しています。この場合は小さい数字の方から順に選びましたが、どこから選んでも同じ結果になります。また、１回の操作で数字が１つ減り、最後に数字が１つ残るので操作の回数は１００－１＝９９回。これをそのまま今回の問題に当てはめると、
１９２０から２０１９までの和は １００（１９２０＋２０１９）／２＝１９６９５０
したがって求める答は １９６９５０－９９＝１９６８５１でした。

答え 196851

１月

問題.
全長１ｍの真っ直ぐなレールの上の別々な位置に、８個の球がある。今、同時に８個の球が同じ方向に毎秒１０ｃｍの速さで転がるとき、スタートから２０秒後の球の全衝突回数は何回か答えよ。ただし、球は両端および、球との衝突で逆向きに進み、速さは変化しないものとする。また、球の大きさは考えない。
解答の手順①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※解答者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問１月

今月の 1 問は、数学の問題というより物理寄りの問題となりました。
球の運動を考えるのですが、１ｍのレールの上にある 8 個の球の運動ですので、なかなかイメージし辛く、解きにくかったのではないでしょうか。今回の条件から考えると、球同士が衝突したとき、運動の向きが逆になり、速さが変わらないということは、これは完全弾性衝突になります。そして球の大きさは考えないのですから、「球同士は衝突せずすり抜けている」と考えることもできます。こう考えると、グッと分かりやすくなります。
つまり、まず、どの 8 個の球も同じ方向にスタ8個のうち2個の球どうしが衝突するートし、最初の 10 秒間で１ｍ進みます。このとき 8 個の球は必ず他の 7 個の球と衝突(すり抜けを)します。つまり衝突(すり抜け)回数は ８ 球８C２＝28 回。その後残りの 10 秒間で同じことを 球７繰り返し、20 秒後に出発した地点に戻ります。 球６すしたがって求める衝突回数は ２８×２=５６回
り球５抜です。
け球４な
このような運動では、縦軸を球の位置、横軸いと球３を経過時間をとって図に描くと、鉄道のダイヤ 球３きのグラムのようなものが出来上がります。今回の 球２球
3
問題を考えるうえで参考になると思います。さの球１
動て、来月２月は今年度最終問題です。たくさんきの皆さんのチャレンジをお待ちしています。
時間0秒

答え 56 回

10秒

20秒

２月

問題.

ある整数がある。その整数のすべての約数の和が４２８４、それぞれの約数の逆数の和が１０７１／５０５のとき、もとの整数を求めよ。
解答の手順

来年度の年間得点集計開始は４月からです①所定の用紙（なければメモ用紙やルーズリーフ等）に、必ず年次･クラス･氏名･番号と解答〔考え方や途中計算も〕を記入する。（参考書等参照可）②職員室入口にある封筒に解答を投函する。
※正解者は来月発表。氏名掲載を希望しない生徒はペンネームも記入すること。

今月の１問２月

数字が大きすぎてピンとこないので、まず、小さな数字を使って条件通りにやってみましょう。たとえば求める数字を８としてみます。まず、約数は｛１，２，４，８｝の４個。和は１＋２＋４＋８＝１５。逆数の和は、
1 1 1 8 4 2 1 8 + 4 + 2 + 1 15
1+ + + = + + + ==となります。この結果わかることは、
2 4 8 8 8 8 888
すべての逆数の和を求めると、必ずその値は（約数の和）／（元の整数）になるということです。
つまり、求める整数をＡ、その約数を｛ａ１，ａ２，ａ３，…，ａn-1，Ａ｝のｎ個、約数の和を Ｓｎ とおくと
111
1 A + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑆𝑛+ + + ⋯+ ==𝑎1 𝑎2 𝑎3
AA
𝑁 したがって、和 Sｎ＝4284、逆数の和が 1701/505 なのでもとの数 N が求まります。
1071 4284
4284 × 505=∴𝑁== 2020
505
𝑁
1071
答え ２０２０
とりあえず、小さな扱いやすい数字でやってみることが大切です。そうすれば必ず問題を解く糸口が見つかるはずです。頑張りましょう。これで今年度の出題はすべて終了しました。来年度もどしどし応募してください。
豊岡高校数学科※本校は今年２０２０年に創立百周年迎え、11 月に記念式典を行います。壮大な１００年の歴史に思いを馳せましょう。

答え 2020