四角い
箱の中身

代数からコンピュータへ

数を文字で表すようになって，人間の計算する力は一気に拡大しました。昔々，代数が誕生した頃のことです。
それから何百年かたって，私たちは再び計算の力が一気に拡大する時代を迎えます。コンピュータの誕生です。
科学技術や私たちの生活に飛躍的な進歩をもたらしたコンピュータの中には，ありとあらゆる「科学」が詰め込まれています。
その中で数学は目に見えない部分，つまり論理的な部分をつかさどっています。
インターネットを見たり，メールを送ったり・・・あなたの目の前で今日も数学は懸命に活躍しているのです。

フェルマーの最終定理が証明されるまで350年間，誰も解くことができなかった数学の問題があります。それがフェルマーの最終定理です。
しかし，この超難問は1994年にワイルズというイギリス人によって解かれました。
そしてそのヒントを考え出したのは2人の日本人でもありました。

フェルマーの最終定理とは？

「ヒント」は日本人によって350年以上も昔，近代整数論の始祖1955年日光で開かれた研究集会で，として活躍したフェルマーは，本の余出席者谷山は楕円曲線と保型関数につ白に次のように書き残しました。

いての一つの予想を提出しました。この予想は，後に志村によって，正確な「nが３以上の時に，方程式形にされました。
1986年，フライは谷山・志村の予想を満たす自然数，x，y，zは存在しを証明すれば，フェルマーの最終定理ない。私はこのことの驚くべき証明が証明されることを発見しました。

を発見したが，この余白はそれを書くには狭すぎる。
」
フェルマーの最終定理と呼ばれるこの言明を証明しようとして，多くの人が努力しましたが，果たせず，しかしその試みの中で新しい数学理論が次々と生まれました。

谷山豊
谷山は， l 進表現，保型関数論などの数論の分野に独創的な業績を残しました。
おしくも若くして亡くなりましたが，その名前は，伝説の天才数学者として，世界中の整数論研究者の間で有名です。写真提供：日本評論社

数学

そして，ついに1994年，ワイルズによって，フェルマーの最終定理は証明されました。
ワイルズは，谷山・志村予想をフェルマーの最終定理の証明に必要な程度まで証明したのです。

志村五郎
志村は後にアメリカに渡り，プリンストン大学で，保型関数などの整数論の様々な分野の研究の，世界的な指導者として活躍しました。その名を冠す
る志村多様体は，整数論の研究の重要な対象として，現在でも盛んに研究されています。

ワイルズの証明
ワイルズの証明は，この図形は，X，Y が複素数の範囲の解（があったとして，背理法！），で考えると，図のような形をしていて，その解からあるやり方で決まる数 a，b楕円曲線と呼ばれます。

について，式で表される図形を調べることでなされました。

楕円曲線

フェルマー
17世紀のフランスの数学者。
アマチュア数学者であったフェルマーは，整数論の研究以外にも，微積分学の先駆者としても知られ，またパスカルとの手紙は，確率論の先駆けとして有名です。資料提供：日本評論社

ワイルズ
フェルマーの最終定理をついに証明したのは，アンドリュー・ワイルズです。
ワイルズは，大変若い頃から，バーチとスウィグナートン・ダイヤーの予想について大きな仕事をするなど，整数論で大活躍をしてきた人です。
フェルマーの最終定理の証明では，構想を得てから長い間，屋根裏部屋にこもって研究を続けたと伝えられています。写真：PPS通信社

22ガロア体と計算機
19世紀の若き天才数学者は「1+1=0」という，不思議な数学の世界を発見しました。
そしてその成果は時を超え，20世紀後半に発明されたコンピュータの中で開花することになりました。

1+1=0
1+1=0。こんな式が何かの役に立つと思う人はまずいないでしょう。
しかし，「1+1=0の数学」は，情報通信や確率シミュレーションにおいて不可欠の存在となっています。

数学

暗号化
ネットワーク上で情報を送るときには，ハッカーに情報が漏れるのを防ぐために，「暗号化」をして送信します。
暗号化をして情報を送るには，送る人と受ける人で，「合言葉」になる数

コンピュータは情報を0,1の二値字，たとえば01110011を決めておき（ビット）の列にして，処理します。

ます。そして，Aに対応する00100001

たとえば電子メールでアルファベットを送りたいときには，合言葉ののAを送るには，00100001を送ります。

01110011を足して送るのです。

2つの元からなるガロア体の足し算

このときの足し算は，1+1=0の足し算です。
何万文字もある文書の暗号化をするには，短い合言葉では足りません。
そこで短い合言葉から長いでたらめな数の列を作ります。この列を作るところで，再び1+1=0の数学が活躍する

2つの元からなるガロア体のかけ算のです。

ガロア体
1+1=0の数学世界（ガロア体とよばれる）は，19世紀初めにガロアにより導入されました。
ガロア
19世紀フランスの数学者。その短い20年の生涯の中で，群，有限体（ガロア体）などの，多くの発見をして，数学の世界に革命をもたらしました。資料提供：日本評論社

100年をへて，20世紀のデジタルコ
ンピュータの発達によって，ガロア体が見つかったのです。
それは，コンピュータの中では，1+1=0の数学世界の方が通常の数学世界よりずっと効率良く実現されるからなのです。には，思いもよらなかったような応用５次方程式
ガロア体は５次方程式の研究の中から発見された。

23

通常の1+1=2の計算規則を用いたC言語のプログラムrandにより生成された空間内の「ランダム」な点列

1+1=0の数学に基づき，松本眞・西村拓

ランダムとは言い難い結晶構造が見られる。

従来の生成法より遥かに乱数性が高く高速で，国内外で高く評価されている。

士両氏が開発したメルセンヌツイスター法により生成されたランダムな点列

特異点解消と計算代数人間が描く似顔絵と写真とはどこが違うでしょうか？似顔絵を描く時には，相手の特徴を捕らえて，時にはそれを思いっきり誇張して描きます。例えば八重歯だとかホクロだとか・・・。
図形の「ホクロ」にあたるのが特異点です。図形の特徴が分かるためには，特異点をしっかり描かなければなりません。そのためには図形を表す式について理論的な考察をすることが大切なのです。

特異点解消の問題

グレブナー基底

多項式を使って定義される図形に標準基底のアイデアは，多項式の計は，ところどころ，複雑に絡み合った算をシンボリックに行う計算代数の中特異点と呼ばれる部分があります。

で再登場しました。

方程式

廣中より少し遅れて，ブックバーガ
ーは廣中の標準基底と同じような概念に到達し，それをグレブナー基底と呼びました。

で表される図形では，原点(0,0,0)が特異点です。
特異点があると，多項式を使って定たとき，そのグレブナー基底を求める
廣中平祐

写真提供：日本評論社

義される図形を調べる上で，困難が起こります。
あるいは図形の持っている大切な情やり方（アルゴリズム）を発見しました。

標準基底

報が，特異点の回りのからまりの中に特異点解消の問題は，図形の次元が隠れてしまって見えづらくなります。

１，２の場合には19世紀に解決されて特異点のからまりをほぐすのが特異点いて，また図形の次元が３次元の場合の解消の問題です。には1944年にアメリカの数学者オスカー・ザリスキーが解決していました。

注：
廣中の標準基底とグレブナー基底には，局所的と大域的と言う差はがありますが，本質的なアイデアは同じです。

コンピュータによる発展

下の図は数式処理ソフトでかいた，

廣中平祐は1964年に発表した論文

標準基底とその計算法は，電子計算の特異点の絵です。

で，すべての次元の特異点の解消の問機の発達に助けを借りて，これまで不題を解決しました。

可能だと考えられてきた，多項式のいこのような絵をコンピュータに書かせようとすると，特異点のところがなかなかきれいに書けません。
図の中で一番情報が詰まっている特数学ブックバーガーは方程式の組を与え廣中の論文は，200余頁の長大なもろいろなな計算を可能にしました。

ので，証明に４重帰納法を用いる大作でした。

異点のところを正しく理解するには，廣中は，特異点解消の問題を解決し機械に任せてしまうのではなく，人間た論文の中で，図形を定義する方程式の頭で考える必要があるのです。

を調べるために，標準基底というアイデアを考えました（注）。の特異点

数式処理ソフト上でのグレブナー基底の計算

24幾何学と理論物理学 2000年のつきあい
I

惑星

S3
S1F

S2太陽

Z

E

D

P

B

UX

RT

Q
A

CH

S

S1 = S2 = S3G

ケプラーの第2法則
円錐曲線

K

双曲線に沿った運動（プリンキピアより）

太陽と惑星を結ぶ線分が一定時間に描く面積は一定である。

数学
前3世紀理︶
を書
き︑
重力
理論により
ケプ
ラーの法
則イル
で︑
プリン
キピア
︵自然
哲
学の数学
的原ニ
ュートン

から19世紀明した︒

ユー
クリッ
ド
幾何学
原論のス
タえ方を用
いて︑
電気力や磁力を幾何学的に
説

フ
ァラデ
ィー・マッ
ク
ス
ウ
ェル

場という
考

曲がっているかを測
量により調べようとした︒

す量︑曲率を発見︒
我々の住んでいる
空間が1860年代
ガ
ウス

曲面の幾何学︒
空
間の曲がり方を表リー
マン
幾何学を創始︒

リー
マン

：

惑
星の運
動が
円錐
曲線である
ことを説明︒

から
19世紀

：

ケ
プ
ラー

18世紀

：

円錐
曲線論
︵円錐曲線とは楕を発見︒

18世紀

：

ア
ポ
ロ
ニ
ウス

17世紀

16世紀

：

幾何学
原論によって︑論理
的

円︑放物線︑双曲線のこと︶

：

ユー
ク
リッ
ド

：

体系
的に
幾何学を記述︒

前2世紀

高次
元の曲がった空間の幾何学
︑弦理論とリーマン面
超弦理論はひもの運動で，物理現象を説明します。その数学的基礎はリーマン面で，これは，ひもが動いた跡であ弦のエネルギーる曲面の理論です。

南部の定式化をポリヤコフらが改良したものです。エネルギーから決まる運

リーマン面

動方程式の解は，数学では調和写像と呼ばれます。

リーマン面の退化25曲率3角形の内角の和1803角形

ガウス・ボンネの定理

リーマン計量ゲージ変換

3角形の内角の和の，180°からのずれが，曲がった空間で，長さ素粒子物理学の標準理論は，ほ空間の曲がり方ををあらわす。

や面積を定めます。

とんどすべての力をゲージ理論で説明します。

アインシュタインの重力理論（一般相対性理論）の基本方程式

ヤン・ミルズの汎関数

空間の曲がり方がその場所のエネルギー密度にミルズ汎関数は，ゲージ場の曲率比例するという式。の2乗の積分です。

ゲージ理論の基本量であるヤン・数
学
19世紀末

ポアン
カレ：

1960年代1970年代から

統
一
場の理論を提唱︒
当時は不評︶︒

づきゲー
ジ
場の理論を創始︒

る 理 ワ︒ 論 イに ン
よ バっ ーて グ
弱 ・い サ力 ラと ム
電 ・磁 グ場 ラの シ統 ョ一 ー
理論 ゲを ー
作 ジ

って
きました︒

カル
サ・クラ
イン

高い
次
元の空
間を使
う︑ヤン・ミル
ズ
・内山

接
続とゲー
ジ変
換に基

：

ワ
イル
やカル
タンによって︑ゲー
ジ変換とか

1950年代

：

重力
は
空
間が曲がる
こと接
続の概念が発見されました︒

1920年代

：

ア
イン
シ
ュ
タイン

1920年〜

(高次
元
空
間の大域
幾何学
︵位相から起きることを発見︒：

幾何学︶を始める︒

1910年代関心も︑２０
世紀の最後になって︑再び高まようになってきました︒
数学者の物
理学
へのの幾何学や︑大域幾何学が盛んに用
いられる

ゲー
ジ
理論
や
弦理論
など
で︑次
元の高い
空
間

弦理論の基礎である交叉対称性は，かけ算の結合結合法則法則と関係があります。

すべての力を統一する大統一理論になると期待される，超弦理論は，およそ20世紀のありとあらゆる数学を使います。

交叉対称性

コード図
絡み合ったひもを研究する結び目理論と場の超弦理論には21世紀の数学が必要であろう・・・（といっている人もいます）

量子論が関わるところで登場します。

26

﹁独楽﹂の数学

可積分系

数学者はさまざまな自然現象を数式で表現することにチャレンジします。
18世紀のスイスの数学者オイラーは独楽（コマ）の運動を方程式で示しました。
オイラーは「子供と遊びながらでも論文が書けた」といわれるほどの天才数学者ですが，もしかしたら「コマの方程式」は，本当に子供と遊んでいるときに書いたのかもしれませんね。

対称性と可積分系
美しい図形は高い対称性を持っています。
それと同じように，自然を表す微分方程式の解を，式で表すことができるのは，方程式に高い対称性がある場合です。
対称性が高い微分方程式の解を，具体的に求めていくのが，可積分系の研究です。
正多面体
古代から知られるこの５つの図形は，もっとも対称性が高い多面体です。

群

２体問題

対称性の研究には，ガロアが考え太陽と地球の運動である２体問題

数学た群や，リーの考えた，リー群が役は，可積分系の最初の例です。に立ちます。
20世紀には，リー群の基本単位である単純リー群や，有限群の基本単位である有限単純群の分類が完成しました。
Kdv方程式などの解には，ぶつかり合っても波の形が崩れないものがあり，孤立波（ソリトン）と呼ばれていオイラーのコマます。

ヤング図形

外から力が働かないコマの運動の方佐藤幹夫は，リー群と関係が深いヤ

程式は，オイラーが発見した可積分系

ング図形を使って，Kdv方程式や，その重要な例です。の一般化であるKP方程式の解を書き表す方法を見つけました。

戸田格子
戸田盛和による戸田格子は，20世紀に発見された新しい可積分系です。

量子群対称性は表面には現れずに隠れてい

Kdv方程式Kdv方程式は川などの浅い水面を伝わる波の方程式です。

ることがあります。

ラックス表示19世紀にKortewegとde Vriesが考え，アメリカの数学者ラックスは，行列今世紀後半の可積分系研究の高まりでを用いると，多くの可積分系が下のよも大きな役割を果たしました。

うな一定の形の式，ラックス表示，で神保道夫とドリンフェルトは，量子群という「群もどき」を考え，統計物理学などに現れる可積分系の対称性をあばきだしました。

書き表されることを発見しました。

28

﹁複雑﹂
なことを表す力学系
・
確率微分方程式

問題：これはなんでしょう？
「新発見の暗黒星雲！」「タコの足のレントゲン写真！」
そう答えた人は，なかなかユニークな想像力をお持ちすが，残念ながら不正解。
これは「マンデルブロート集合」と呼ばれる，数学でのちゃんとした集合なのです。
規則があるようでないような・・・不思議な文様は芸術的とさえ思えてきます。

力学系から現れる複雑な図形
いろいろな現象が時間発展するようすを記述する数学的なモデルを力学系とよびます。
その中で，最も有名なのはニュートンの運動方程式です。
力学系のもつ，不思議かつ時として美しい世界の一端をご紹介しましょう。

3体運動いくつかの天体が重力の下で運動すわめて困難になります。

る場合を考えてみましょう。運動方程３個の天体が，衝突したり無限の彼式は，微分方程式であらわされます。

方に飛び去ってしまわずに永久に運動天体の個数が２個のときは，軌道はし続けるかを決定する問題は３体問題

円，楕円や双曲線などになり，その様と呼ばれています。

子は完全に理解されています。
一方，天体の個数を３個以上にする数学と，一般にはその軌道を既知の関数で表現することはできなくなります。
実際，その軌道の長時間にわたる挙動を調べようとしても，わずかな初期値の違いが大きな違いを引き起こすため，大体の様子を予測することさえき

３体問題の基本方程式

３体問題で，複雑な軌道がうまれるこる
メカニズム

ロジスティクス写像
力学系の初期値をわずかに変えた

ほとんどの軌道が周期的軌道に引きだけで，その後の軌道が大きく変わ込まれることもあれば，カオス的な挙ってしまう現象はカオスとも呼ばれ動をすることもあります。

ロジスティック写像ています。
カオスは３体問題だけでなく，非常に多くの力学系で起きていています。
その一番簡単な例がロジスティッ
ク写像と呼ばれる写像です。
ロジスティック写像の様子はパラメータの値によって，いろいろ変わります。

ロジスティック写像を何回も合成したときの点の動きαの変化でカオスが生じる様子

マンデルブロート集合
ロジスティック写像の研究では，数けでなくグラフィックとしての美しさ列やパラメータを複素数の範囲まで広も併せ持ち，我々の目を楽しませてくげて考えることが重要です。

れます。

複素数で考えることにより，複素解析に強力な手法が使えるのです。
カオス的な挙動をする軌道に対応する初期値の集合はジュリア集合と呼ばれ，ジュリア集合が連結になるパラメータの集合は，マンデルブロート集合と呼ばれます。

複素平面

マンデルブロート集合の数々

これらの集合は，数学的な美しさだ30伊藤解析と数理ファイナンス
数学での発見は，時として数十年，数百年後に社会を動かすことがあります。
たとえば，現代の金融界に不可欠な理論なっている確率微分方程式は，第2次世界大戦中に発表された日本の数学者，伊藤清の論文が発展を遂げた成果なのです。

確率微分方程式

さらに広い分野で確率解析の理論が現在もっともよく

確率論は統計的なデータを処理する用いられているのは数理ファイナンことを大きな目的としていて，自然科さまざまな科学の分野で，不確実なス・金融工学の分野です。市場価格が学・社会科学・人文科学など広い範囲現象を記述する道具として，1940年代変動するありさまを記述し，ランダムで役立てられています。に伊藤清により日本で創られた確率微な市場の動きに対して，危険（リスク）分方程式が用いられています。確率微の少ない方法を考えるのが金融工学の分方程式の理論は20世紀後半に大きく大事な目的ですが，確率解析はそのた発展し，今日では確率解析と呼ばれてめに不可欠な理論となっています。

物理学では，微分方程式が理論を記述する基本的な道具でした。

数学

金融工学への応用

データを処理するには，それぞれの現象を記述する理論が必要です。
近年，コンピュータ・ＩＴが発達し，大量のデータを高速に処理する事ができるようになりました。そのため，複います。

雑で高度な確率モデルを理論の基礎に置いても，応用することが可能になりました。
確率解析の基礎になる伊藤の公式
ランダムな変数の置換積分の公式です。右辺第２項がふつうの微積分と違っています。伊藤の公式は，数理ファイナンスでも主役を演じます。

金融工学で有名なブラックーショールズの方程式
左辺第４項が伊藤の公式の右辺第２項に対応します。
1050-5-10-15

写真提供：日本評論社-2050-5-10-15

上：伊藤清下：全国紙上談話会44号
確率解析の発展に決定的な役割を果たした伊藤の公式は，戦争中の困難な状況のもとで発見され，手書き・謄写版刷りの冊子「全国紙上談話会」に発表された。

-20-25-30

株価の変動のようなランダムな現象を表すグラフ

31流体の方程式
水や空気のような，ものの流れを扱う学問が流体力学です。
確かに「きれいな波紋」や「そよ風のような空気の流れ」が数式で表現できることは想像できるかもしれません。しかし，一見むちゃくちゃなように思える「乱流」さえも，方程式で表現する試みがいま行われているのです。

ナビエ・ストークス方程式
流体力学の基本方程式はナビエ・ストークス方程式という微分方程式です。

流体力学の基本方程式ナビエ・ストーク
ス方程式

数学

70年間の謎
上：２次元乱流の可視化

乱流も，きれいな渦のパターンも，平面内の流れのベクトル場が複雑化することを見えるようにするには渦度と呼ばれる量の分布を見るのがよい。

ナビエ・ストークス方程式の解析から分かると信じられています。ナビエ・

この絵はある時刻での渦度の分布をコンピューターシミュレーションしたものである。激しく振動している様子が見える。

ストークス方程式は，いわば支配方程式なのです。
しかし，この方程式には解が存在す

左：整った渦のパターンるかどうかすら分かっていないのです。

このような，乱流と正反対の，きれいな渦もナビエ・ストークス方程式の解としてあらわれます。

「初期値と境界値を与えたとき，ナビエ・ストークス方程式に解が存在するか」は大きな未解決問題になっています。70年もの間，多くの優れた数学者が，この問題に挑戦してきましたが，謎はさらに深まる・・・

彼らの挑戦はことごとく退けられてき

ナビエ・ストークス方程式には，ごしかし，理論の進歩は解決した問題ました。この問題は，ミレニアムを記

くわずかの対称性もありません。流体と同じくらいのミステリーも生み出し念して懸けられた，クレイ研究所のの体積以外には保存量もありません。てきました。これから解くべき問題は，1000万ドルの懸賞問題の一つになってこれは，対称性の高い可積分系とは，今まで解かれた問題より遙かに多いでいます。

正反対の方程式なのです。

しょう。

だからこそ，乱流のような，複雑な流体の運動の数理科学的研究は，21現象を扱う支配方程式となることがで世紀数学の重要なフロンティアです。

きます。
対称性も保存量もない方程式は，数流体の研究にはいろいろな側面があ学的な取り扱いには，まことにやっかります。基本方程式の理論的な研究。

いな方程式なのです。しかし，そこにコンピュータを用いた数値実験。これは多くの重要な問題が内包されていらは，ともに欠かせない研究の両輪で，て，多くの数学者や物理学者を魅了しどちらが欠けても，流体現象を理解すてきました。

ることはできないのです。

過去70年の間にナビエ・ストークス方程式の理論は着実に進歩してきました。

32

地球環境を予測する方程式
ナビエ・ストークス方程式は，数学や実験室の域にとどまらず，私たちの住む地球全体の環境さえも「支配」しているといわれています。
実際に行われている数値計算によるシミュレーションをご紹介しましょう。

地球規模での流体運動

数学

地球規模での大気や海洋の運動もナビギーや物質が地球規模で循環している

エ・ストークス方程式に支配されてい様子を知ることができます。オゾンホます。日々の気象変化や長期の気候変ールを念頭においた「墨流し実験」で動は，この方程式をスーパーコンピュは，成層圏でのオゾン破壊物質の輸送ータで解いて予測されています。また，と混合の様子が，実験室内の3次元的同様の数値計算により，不規則に変動な乱流混合と大きく異なっていることする大気や海洋の流れによってエネルがわかりました。

全世界の気候をコンピューターで予測する
世界の気候は，太陽からの熱と地球上る熱力学方程式，水蒸気の連続方程式，に存在する水（水蒸気）を大気・陸・風速の運動方程式などに関する微分方

海の間でやり取りすることによって決程式をコンピューターを用いた大規模まりますが，そこには気圧や風速・風な計算によって行ないます。右ページ

向といった様々な気象条件が複雑にかの図は，そのようにして求めた６月からみ合っています。この複雑な現象をら８月の世界の気温と降雨量を示して全世界的な規模で予測するため，世界います。

各地の気温(T)，湿度(q)，気圧(p)，風大域的な分布がほぼ再現されているこ速(V)を初期値として，太陽放射によとがわかります。

Climate System

Climate Modelexchange and transport systemof energy and substanceenergy cycle

atmosphericcirculation

Atmospheric
Model

cloud
water
circleenergywater
exchanges

snow,iceocean
circulation

計算モデル

33

Land
Model

Ocean
Model

90

６〜８月の世界の降雨量（上）計算で得られた降雨量分布（下）実際の降雨量分布60
latitude30
0-30-60
-90

00

800

306090120

150 180 210
longitude

240

270

300

330

360

90

latitude6030数学0-30-60-9000800

306090120

150 180 210
longitude

90240270300

330

360

６〜８月の世界の気温（上）計算で得られた気温分布

latitude60（下）実際の気温分布300-30-60-90
030

6090

120

150 180 210
longitude

240

270

300

330

360

305

315

0306090120

150 180 210
longitude

240

270

300

330

360

305

315

90

latitude60
30
0-30-60-9034