【化学技術部】

非線形粘弾性解析手法の検討
武田

１．

理香、津留崎 恭一(化学技術部材料化学グループ)

２．

はじめに

解析方法

我々はこれまで、ゴム等の柔らかい材料を用い、線形粘弾性 LVE 指標（G‘、G“、tan ）では表すことができな

これまでは、3D-Lis を離散的な多角形の外角として解析していた。新たな解析方法として、3D-Lis を曲率円とみない非線形粘弾性 NLVE 特性を評価してきた 1-4）。NLVE は、・
動的粘弾性測定から得られる歪・歪速度・応力を 3 次し、その中心角 から NLVE 変化を捉える方法を示す。
・を最なお、本研究では、粘弾性測定で得られる・・元プロットしたリサージュ曲線 3D-Lis のゆがみによって視覚的に捉えることができる(図 1)。我々の考案した新た大値で規格化した値で解析する。
を導出する方法として、先ず、等時間間隔の 2 点間をな NLVE 指標は、3D-Lis を多角形とみなし、等時間間隔で測定した・・・を規格化し、隣り合う 3 点のなす外角局所部分の円弧とみなし、曲率を求める。は曲率半径 Rの逆数で表される。時刻 t=0 で点 O にあるとし、時刻 t での総和によって数値化する(図 1)。多角形が平面であればは 2となるが、ゆがむと 2 以上になる幾何学定理をの位置ベクトルを r、弧長を s とする（図 2）。r において、接線方向の単位ベクトルを e1 とする（e1 .e1=1）。e1 は s で用いることで NLVE を定量的に評価できる。
粘弾性測定において、LVE の微小変形では正弦波歪の微分することで得られる。
e1 

入力に対し応答も正弦波となる。但し、柔らかい試料で微小歪測定を行うと、応答 が小さくなってしまい、SNdrds(1)e1 をさらに s で微分した e1 '  d e1 / ds は、e1 と直角方向に比が悪くなる。これまでの解析方法では、のフーリエ変換を行い、高次の項を切り捨てることでノイズを除去してある。
dd e1
 e 1  2 e 1 ' e 1  0
e 1  e 1   2dsds

きた。例えばゴムの場合、3D-Lis の形状から最大歪0 =1%
では LVE であると判断し、3 次項以上は除去してしまう。

(2)e1’方向の単位ベクトルを主法線ベクトル e2 とし，e1’の0 =10%程度になると NLVE が発現し始めるので 5 次項まではデータに取り込む、など不確定な解析を行っていた。

大きさをで表す。
e1 '   e 2  κ

このため、ノイズと高次の項との区別がつかないことや、どこまでのデータを除去してよいのかを明確に判断でき(1)と(3)より、は位置ベクトルの二階微分で与えられる。
e1 と e2 に対する直角方向の単位ベクトル e3 とする。このないことが問題であった。
本研究では、ノイズを抑え、且つ測定データの解析を簡様に設定した e1, e2, e3 をフレネの標識と呼び、公式からを求めることができる。 は捩率と呼ばれ，曲線が平面上素化した NLVE 指標の改良を試みる。にあるときは 0 となる。

t e1 '   0  
 e 2 '    
 e '  0
 3  1.0・
 • 0.5--0.50.00.5



 0.0

ti  cos-0.5



図1

i

1 d i 1d
 idi 1 d i0  e1  0   e 2  0  e3 r(4)   ti0.51.0(s(t)) si1280.0di+1di 1.01.0-0.5-1.0-1.0(3)OR=1/i 1

t=01/=  s
=s

3D-Lis から NLVE 指標の導出方法

図267

との定義KISTEC研究報告2020（2020.8）

【化学技術部】

・
規格化した 3D-Lis のパラメータ（・・）は以下のように表示できる。
r (t )   sin t cos t  (t ) (5)３．

実験

試料にカーボンブラックを含まないスチレンブタジエンゴム（厚さ 2 mm）を用い、3D-Lis データ取得には、捩
じり振動型の動的粘弾性測定装置（TA Instruments 社製(1)、(4)、(5)より、 = |d2r/ds2| が得られる。
曲率ベクトル の時間変化の公式は次のようになる。

ARES-G2）を使用する。測定条件として、振動数は 1 Hz、最大歪0 は 1 % 、10 %、30 %で走査する。温度は室温と
2 κ e1 / s 2 sint  2 2 cost 2 cost  2 2 sint   2 2  / 2 2     し、各0 において、が 1 周する間に を等時間間隔で128 点測定する。

(6)
曲率  は の絶対値で与えられる。

４． 結果
４.１ αとθの比較

 2
 d    2 
 2   2   2   2 
 ds  s (7)は LVE、NLVE に関わらず成り立つ公式である。
2  κ  2 2

図 3 に LVE の範囲である0 =1 %の場合のとの 128

また、LVE であればも正弦波となることから、は位相差によって求めることができる。
(8) (t )  sin( t   )測定点の値を示す。は、に比べてノイズが少なく連続的な波形となっていることが分かる。この結果、の総和
は 6.3 となるが、の総和は 11.8 と非常に大きい値となってしまった。LVE の場合、総和は 2となることから、(8)を(7)に代入することで線形理論値 LVE を得る。

 LVE 4

 3  cos(2 t  2 ) はと比較してノイズを抑えることができる有効な解析であるといえる。

(9)

3/ 2

さらに、弱い NLVE の場合（wNLVE）、は位相が加わった正弦波と弱い非線形波の重ね合わせで得られると考える。線形波を L とし、非線形波を NL とする。
(10)    LNLをに代入し、の次の項まで摂動展開することで摂動理論値 wLVEを得る。
1
wNLVE LVE 
5/2
3cos 2t   


17cost   cos 3t  5sint   sin 3t   
NL
NL2
図3(11)
ここでと、これまで指標として扱ってきたとの関係を示す。測定時間間隔を 0 に近づけた連続極限の下では、3D-Lis の局所部は円の一部とみなすことが出来る。この円に含まれる 2 点の中心角を d、弧の長さを ds、接線が交わる外角 dとする。円の半径を R とすれば、ds = R dの関係が得られる。曲率 k=1 /R であるので、d= ds が得られる。連続極限では d=d が成り立つので、3D-Lisに沿って dを積分したは k ds を 3D-Lis に沿って 1 周線積分すればよい。最終的に次の公式が得られる。
  3D-Lis

 ds  

3D-Lis2 ˆ 2dt  ˆ 2  2  ˆ 2 3/ 22



(12)

以上のことから、実験値、線形理論値、摂動理論値
を求めると次のようになる。
(13)
より、
実験値 ds
より、

線形理論値 LVE ds(14)

より、摂動理論値 wLVE ds(15)
（）、（）、（）により0 を変化させたときの NLVE の移り変わりを比較評価できる。

KISTEC研究報告2020（2020.8）

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との 128 点測定値 (0 =1%）

【化学技術部】

４.２αの実験値と理論値との比較

５．

まとめ

ここでは、実験値と(14)、（15）から求めたを比較

3D-Lis を円弧とみなして曲率を求め、曲率円の中心角する(図 4～図 6)。まず0 =1 %では、実験値と線形理論値が一致している（図 4）。なお、図 3 よりもノイズが大きを新たな NLVE 指標とした。また、の時間変化を規格化応力から解析的に厳密計算する方法を導き出した。これ

く見えるのは、縦軸の最大スケールを 0.4 から 0.1 に小さくしたためである。次に0=10 %では、実験値と線形理論により、 応答のデータをフーリエ変換で加工する複雑な解析が不要となった。さらに大きな成果として、LVE、摂値でピークの山部分にずれが生じる（図 5 の▲と●）が、摂動項を含めた理論値と実験値では良く合う結果となる動項程度で示すことのできる弱い NLVE、摂動項では表しきれない強い NLVE の 3 段階に分類する手法を考案し、指（図 5 の■と●）。最後に0 =30 %になると実験値と線形理論値ではピークの山・谷部に大きな違いが見られる（図 6）。

標値の大小関係を明確に区分することができた。

摂動理論値との比較では、ピーク高さの合う部分も見られるが、摂動理論値では谷にあたる部分に実験値ではダブル【参考文献】

ピークが見られ、形状が大きく異なる。
このように、理論値と実験値を比較することで、LVE

1.武田、西村、津留崎、神奈川県産業技術センター研究報
告、No.21, 1(2015) ．

から弱い NLVE、摂動項では表しきれない強い NLVE への変化を明確に示すことができる。

2.武田、本多、津留崎、神奈川県産業技術センター研究報
告、No.22, 18(2016) ．
3.武田、本多、津留崎、神奈川県産業技術センター研究報
告、No.23, 9(2017) ．
4.武田、柴田、津留崎、KISTEC研究報告、2019.

図 4 線形理論値、摂動理論値と実験値の比較(0 =1%）

図 5 線形理論値、摂動理論値と実験値の比較(0 =10%）

図 6 線形理論値、摂動理論値と実験値の比較(0 =30%）

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KISTEC研究報告2020（2020.8）