109多粒子系の波動関数

固有値は
E = ε + ε′ + ⋯（13）と表される．
ここで同種粒子の場合に問題になるのは r , r , ⋯ の右下につけた粒子の番号である．粒子は区別がつかないのであるから，どれを 1，どれを 2 としても（12）式が解であることに変わりはない．そうすると，N 個の φ の積を
φ () φ'( ) ⋯ φ  ()（14）と書いておいて，この N 個の ( ) の中に N 個の r  ( j = 1, 2, 3, ⋯, N ) をどういう順序で入れても，それらはすべて同じ固有値（13）式に対する方程式（11）の固有関数である．N 個のものを並べる仕方は N ! 通り存在するから，＊
それでは，これら みかけ
これら N ! 個の関数は縮退していることになる．

上異なる関数をいちいち区別しなくてはならないのであろうか？

簡単のために，粒子が 2 個の場合を考えると，たとえば l と l' が異なるときには，φ (r ) φ′(r ) と φ (r ) φ′(r ) の 2 つの関数はともに固有値 E =ε + ε′ をもつ ℋΦ = EΦ の固有関数である．この 2 つだけではなく，それらの勝
手な 1 次結合

Φ = C φ (r ) φ′(r ) + C φ′ (r )φ (r )（15）も，同じ固有値 E = ε + ε′ をもつ固有関数である．係数を C   +  C   = 1（16）のようにとっておけば Φ が規格化されていることは容易にわかる．なぜなら，φ, φ′ の規格化直交性により  Φ  dr dr =  C    φ (r ) dr   φ (r ) dr+ C *C  φ *(r ) φ (r ) dr  φ *(r ) φ (r ) dr＊′′′l, l', ⋯, l   が全部異なるときには N ! 個は全部違う関数になるから，縮退は N !
重になる．l, l', ⋯, l   の中に同じものがあるときには N ! 個の関数の中には同じもの（掛ける順序だけ違うもの）が含まれることになるから，縮退の度合は N ! より小さい（104〜105 ページを参照）．

§9. 2相互作用がない場合の波動関数11 φ *(r ) φ (r ) dr  φ *(r ) φ (r ) dr+  C    φ (r ) dr   φ (r ) dr+ C*C=  C  +  C ′′′=1となるからである．

しかし，よく考えてみると，同種の微視的

2 or 1 ?

1 or 2 ?

2
1

粒子というものを実験的に区別する方法は全くないのであって，r ,r , ⋯ などと番号をつけても，どこそこに見つかったのは何番目の粒子である，ということなどはわかるはずがないのである．たとえ

2

12
1(a)

(b)

9-2 図 波束で表されるような 2 粒子は点線で囲まれた領域で区別できなくなってしまう．

ば，9-2 図 の よ う な
2 個の粒子の衝突の場合を考えてみると，古典的粒子ならばそれぞれの軌道を曲線で追跡できるので，図（a）のように粒子 1 と粒子 2 とを明らかに区別することが可能である．しかし，量子論では粒子の飛跡をこのように追うことはできず，確率波束としてしか捕えられないのであるから，両者が近づいて相互に力をおよぼし合っているときには，波も重なっており，どちらがどこにいるのか区別しようがない．したがって，相互作用をおよぼし合ってから後で 2 つの波束に分かれて出てきても，どちらが最初の粒子 1 でどちらが2 であるかを判別する方法はない．これを同種粒子の不可弁別性という．
このように区別できないものを，あたかもできるかのごとく扱うというの

129多粒子系の波動関数は理論としては正しくないのではあるまいか，という疑問が当然生じてくる．
そこで，同種の粒子多数からできている系の波動関数はどうあるべきか，ということがいろいろ調べられ，粒子の不可弁別性を正しく取り入れるためには，シュレーディンガー方程式の解のうちで，次の要請を満たすものだけが許される，ということが明らかになった．
（ⅰ） 粒子がフェルミ粒子またはフェルミオンとよばれる種類のものの場合には，系の波動関数として許されるのは，任意の 2 粒子の交換に対して符号を変える反対称のものだけである．
（ⅱ） 粒子がボース粒子またはボソンとよばれるものの場合には，系の波動関数として許されるのは，任意の 2 粒子の交換に関して不変のものだけである．

1924 年にインドの S. N. ボースは，光子の集まりを一種の気体のようにみなし，これに統計力学を適用することによってプランクの放射の公式を導出した．このとき，ボースが用いた統計のとり方（場合の数え方）は，光子の個別性を考えず，同じ状態の光子が何個でも存在しうる，という仮定の上に立つものであった．このような統計のとり方の本質的な重要さに気づいたアインシュタインは，ボースの考えを論文にまとめてドイツに紹介した．そこで，このような統計のとり方をボース統計とか，ボース - アインシュタイン統計とよび，この統計に従って勘定されるべき粒子のことをボース粒子とかボソンとよぶのである．
これに対し，電子に統計力学を適用するときには，不可弁別性と同時に，同じ量子数の組で指定される 1 粒子状態にはただ 1 個の電子しか入りえないというパウリの原理を考慮しなければならない．このようにすれば，電子の集まりにおいては，マクスウェル分布とは異なる熱平衡分布が成立しなければならない，ということをフェルミ＊ が指摘した（1926 年）．ディラックも同じ年に同様のことを指摘したの＊Enrico Fermi（1901 - 1954）はイタリアの理論物理学者．ローマに生まれローマ大学教授となる．フェルミ統計の発見（1926）の他に，β 崩壊の理論（1934），中性子による元素の人工転換の実験（1934）などでも有名．1938 年ノーベル物理学賞を受賞．1939 年，ファシスト政権下のイタリアを逃れてアメリカに移り，原子力の開発に貢献し，世界最初の原子炉であるウラニウム・パイルの製作に成功した（1942）．

§10. 8

ラッセル - ソーンダース結合79

退していることは先に調べたとおりである．それらの相互関係については
1 つの電子配置からできる (L, S) 準位のうちでエネルギーが最低のものは，S が最大の状態である．それが 2 個以上あるときには，その中で Lが最大の準位の方がエネルギーが最低になるのが普通である．
これをフントの規則という．前ページに列挙したものの中では，各行の右端が基底状態の   L である．
1 つの nl 殻だけでなく，たくさんの殻を同時に扱うときでも，不完全殻が1 つで他がすべて閉殻ならば，全体の (L, S) はその不完全殻のもので与えられる．その波動関数は，各スレイター行列式に閉殻部分をつけ加えればよい．
た と え ば，炭 素 原 子 の (1s) (2s)(2p) な ら ば，前 節 の 諸 関 数 に 現 れ た φ φ′ ,  φ φ′ ,  φ φ′ ,  φ φ′  をすべて
 φ φ φ φ φ φ′ , φ φ φ φ φ φ′ ,⋯とすればよいのである．
不完全殻が 2 つ以上あるときには，それぞれの L と S を定めておいてから，後に述べる（§10. 9）角運動量合成則に従って，L と L から L を合成し，S と S から S を合成する．これらについては，本書ではこれ以上立ち入らないことにしておく．
いずれにしても，原子やイオンのエネルギー準位が L と S とで指定される場合をラッセル - ソーンダース結合または LS 結合の場合とよんでいる．
これは，先にも述べたように，ハミルトニアンが§10. 2（7）式（51 ページ）の形に表され，スピン軌道相互作用が無視できるときに正しい．軽い原子では近似的にそうなっている．
［例題 1］ 電子配置 (nl)  において 1 ≦ x ≦ 2l + 1 の場合に最大の S は S =x2 に等しく，したがって（スピン）多重度は 2S + 1 = x + 1 になっているのはなぜか．また，最大の S に対する最大の L はどのようにしてきまるか．

8010原子と角運動量［解］ 最大の S に対して M  = S の関数を考えてみると，これは全部の電子のスピンをなるべく +z 方向にそろえたものである．電子数 x が軌道の数 2l + 1 を越えないから，電子全部が上向きスピンをもつことが許される．
この場合，パウリの原理によって軌道関数は全部異なったものでなくてはならな
い．
そこで，最大の L で M  = L のときを考えてみると，M  は各軌道の m の和であるから，なるべくこの M  を大きくするような x 個の異なる m の和ということでL = M= l + (l − 1) + (l − 2) + ⋯ + (l − x + 1)
=1x (2l − x + 1)2が得られる．78 ページの  L の右端の L は，まさにこの式で求めたとおりになっている（ただし，0, 1, 2, 3 の代りに S, P, D, F で示してある）．
［例題 2］ フントの規則に従う次の基底状態の波動関数を，M  = S, M  = Lの場合についてスレイター行列式の形で具体的に記せ．

(np)  S,(nd)  F,(nd)  F,(nd)  D,(nd)  S［解］ 上の［例題 1］で行った考え方に従えば，求める関数が次のようになることは容易にわかると思う．

 M = 2 , M = 0(np)   S  φ φ φ 

 3



(nd) F  φ φ (M  = 1, M  = 3)(nd)  F  φ φ φ  M = 2 , M = 3(nd)   D  φ φ φ φ (M  = 2, M  = 2)(nd)  S  φ φ φ φ φ  M = 2 , M = 0





35



これらが L  や S  の固有関数になっているかどうか気がかりならば，みずから確かめてほしい．

§10. 9L と S の合成

§10. 2 で論じたように，ハミルトニアンが§10. 2（14）式（54 ページ）ℋ  = ℋ + ∑ ζ  (l  ∙ s)
（1）

88

数表示と第二量子化

多数の同種粒子からできている系を扱うのに，いちいち波動関数をひき合いに出さないで，いろいろな 1 粒子状態を占めている粒子の数とその変化の仕方を用いて表現する方法がある．これは，粒子数が大きいときや粒子数が不定のときには特に便利なので，最近は量子力学の応用に際して広く用いられるようになった．
§11. 1 〜§11. 4 でその方法を学び，§11. 5 ではその 1 つの応用例を見ることにする．続いて，§11. 6 〜§11. 8 では場の演算子というものを調べる．これは実用上よりもむしろ考え方の上で重要であって，多粒子系を 3 次元空間の中に起こる量子化された波として扱う，場の量子論（素粒子論）への準備となるべき部分である．物性論で扱う似たような考え方の例として，最後の§11. 9 ではフォノンの簡単な場合を考察する．

§11. 1 マクロな自由粒子系多粒子系を扱う方法のうちで，第 10 章で説明した方法は原子に適用されて成功し，原子スペクトルの解析などでその有用性が立証された．同様の方法は，原子核内の核子に対しても用いられ，殻模型という近似の範囲内で，原子の核外電子ほどの精度は望めないにしても，有効性を発揮している．
しかし，量子力学はもっと大きな系 ― 10  個程度の粒子を含み，統計力学の適用を必要とするような巨視的な系 ― に対しても用いられる．その典型例は，金属内の伝導電子系である．このような大きな系について，たとえば状態方程式（理想気体なら pV = RT）を導き出すとか，比熱を求めるとか，

§11. 1

マクロな自由粒子系

89

電気伝導率を計算する，といったような，その系の大きさ，形や表面の具合などと無関係な性質を調べる際には，それに適した方法が用いられる．
そのうちで最も広く用いられているのは，自由粒子から出発する方法である．1 個の自由粒子の状態は平面波 e  ∙ r で表される．ところで，平面波には，無限に広い空間で考えた場合には規格化できず， は連続変数としてあらゆる値をとりうるので，エネルギーの固有値 ε =   2m も連続的にすべての正の値をとる，といった難点がある．そこで有限の空間内に閉じ込めたいのであるが，上に述べたような諸性質は系の形や表面の条件には無関係なので，なるべく簡単な形として（一辺の長さが L の）立方体をとることが多い．
ところで，この立方体として，内壁が粒子を完全に反射するような容器を想定し，その中に粒子を入れたとすると，粒子は壁で反射して（Ⅰ）巻の§2. 5で扱ったような定常波をつくるから，波動関数は e  ∙ r ではなくなってしまい，扱いにくくなる．
そこで，壁のところで波動関数が 0に な る と い う 条 件（（Ⅰ）巻 の §2. 5（5 a）〜（5 c）式）の代りに次のような周期的境界条件を設ける．
φ(0, y, z) = φ(L, y, z)∇φ(0, y, z) = ∇φ(L, y, z)
φ(x, 0, z) = φ(x, L, z)∇φ(x, 0, z) = ∇φ(x, L, z)φ(x, y, 0) = φ(x, y, L)∇φ(x, y, 0) = ∇φ(x, y, L)




（1 a）
（1 b）

L（1 c）

これは，立方体の相対する 2 つの面上で，φ の値とその導関数が完全に一致するという条件である．

L11-1 図 周期的境界条件は，この図のように考えている系と全く同じものが周期的に並んでいて，すべての粒子が境目の影響を受けずに運動を続けていることに相当する．

148

12

相対論的電子論を指定するというのであるが，この 4 つの成分の存在は一体何を表すのだろうか．われわれはすでに（Ⅰ）巻の第 8 章でスピンについて学び，スピンという新しい自由度を考慮したときの 1 電子の波動関数が（Ⅰ）巻の§8. 2（2）式のように 2 つの成分で表されることを知った．1 電子の波動関数を，このように上向きスピンと下向きスピンの状態という 2 つの成分で表す方法をパウリ近似という．
ところが，ディラック理論による電子の波動関数は 4 成分をもつ．このう
ちの 2 つがスピンの状態を表すものであろうということは，すぐに想像されることであり，実際§12. 4 で見るとおり，そうなのである．では，残る2（= 4 ÷ 2）個の自由度は一体何を表すのであろうか．それは，上の方程式で仮に p, p, p をすべて 0 としてみるとわかるように，もしも電子が静止することができたとするとき，エネルギー固有値 +mc  をもつのが ψ, ψエネルギー固有値 −mc  をもつのが ψ, ψという状態なのである．相対論では，物体が静止しているときのエネルギーは mc  であり，運動すればそれは増加する．したがって，静止エネルギーが負の状態というのは奇妙なことになる．この一見不思議な結果が陽電子の存在と関連しているのであるが，それについては後で改めて述べることにする．

§12. 4 ディラック電子のスピンディラックの波動関数は 4 つの成分をもつが，その意味を調べることを試みよう．
ディラックのハミルトニアンを再び記すと

 ∂x + α ∂y + α ∂z  + βmc

H = −ic α∂∂∂（1）である．ただし，x, x, x と書かずに x, y, z とした．そこでいま，電子の軌
道角運動量 l の成分 l, l, l と，この H との交換関係を調べてみると，

§12. 4

ディラック電子のスピン149

 ∂z − α ∂y ∂∂−α[H , l ] ≡ Hl − l H = −c  α∂x∂z ∂∂[H , l ] ≡ Hl − l H = −c  α−α∂y∂x [H , l] ≡ Hl − l H = −c  α∂∂（2）となることが容易にわかる．シュレーディンガーのハミルトニアンの場合（§10. 2）と異なり，l は H と交換しない，つまり l は保存量ではない．
そこで，今度は次式で定義される 3 つの行列 σ , σ , σ  を考えてみよう．

σ =σ =σ =01001000000100100 −i 000i00000 −i00i010000 −1 000010000 −1




（3 a）

（3 b）

（3 c）

これは（Ⅰ）巻の§8. 1（8）式で定義された 2 行 2 列のパウリ行列 2 つを対角線上で並べてつくった 4 行 4 列の行列である．これらと，α, α, α, β との交換関係を調べてみると[α, σ ] = 0,[α, σ ] = 2iα,[α, σ ] = −2iα,[α, σ ] = 0,[α, σ ] = 2iα[α, σ ] = 2iα,[α, σ ] = −2iα,[α, σ ] = 0[β, σ ] = [β, σ ] = [β, σ ] = 0となることがわかるので，これらを用いると[α, σ ] = −2iα

（4）

150

12

相対論的電子論 ∂z − α ∂y ∂∂−α[H , σ ] = 2c  α∂x∂z ∂∂[H , σ ] = 2c  α−α∂y∂x [H , σ ] = 2c α∂∂を得る．これと（2）式とを見比べると，

H , l + 2 σ  = 0H , l + 2 σ  = 0H , l + 2 σ  = 0すなわち



（5）

（6）

H , l + 2 σ  = 0
（6 a）が得られる．そこで
s=


σ2（7）

によって（1 電子の）スピン角運動量とすれば，
j=l+s（8）は全角運動量で，これはディラックのハミルトニアンと可換である．
（7）式と（3 c）式とから

s =



20000−20000

20000−2で あ る か ら，ψ の 4 成 分 ψ, ψ, ψ, ψ の う ち，ψ と ψ は s の 固 有 値 2,ψ と ψ は s の固有値 −2 に対応するものであることがわかる．つまり，4 成分の ψ は，パウリ近似で考えた 2 成分の関数（（Ⅰ）巻の§8. 2（2）式）を

194

13光子とその放出・吸収と書けることがわかる．ゆえにim⟨b  ℋ  r  − r  ℋ   a⟩
im=(E − E) ⟨b  r   a⟩
と書き直せる．ただし，ここで，⟨b  p  a⟩ =ℋ   a⟩ = E  a⟩,（5）⟨b  ℋ  = ⟨b  E = E ⟨b を用いた．（5）式を用いれば，（3）式はb  m ∑ (e ∙ p )  a =  (E − E ) b  e ∑ (e ∙ r )  a（6）

P = −e ∑ r （7）eiとなる．
ところでという量（ベクトル）は，電子系の電気双極子モーメントとよばれる量である．
いま，電荷 q, q, ⋯ をもつ粒子が r , r , ⋯ という位置に存在する場合を考える．粒子が 13-5 図（a）のように配置されているときを考えると，明らか（b）のようなときには ∑ q r   0 で，図のに ∑ q r  = 0 である．ところが，


例では下向きのベクトルになる．特に（c）の場合には最も簡単で，∑ q r 

= q(r  − r ) となり，これは大きさが ql で，負電荷  正電荷 の方向をもったベクトルになる．これは，この正負電荷対の電気双極子モーメントである．
これを一般化して，P =z∑ q r  のことを，その系
+qθ1の電気双極子モーメントとよぶのである．

l

この P を用いて表せ

2−qば，（6）式は(a)(b)13-5 図(c)§13. 7

許容遷移と禁止遷移195b  m ∑ (e ∙ p )  a =  (E − E ) ⟨b (e ∙ P) a⟩e−i

（8）と書かれる．電子系の 2 つの状態  a⟩ と  b⟩ の間にこの（8）式のようなe ∙ P ― 電気双極子モーメントの光の電場ベクトル方向の成分 ― の行列要素が存在する場合には，これによって遷移が起こる．この機構による遷移を電気双極子遷移とよぶ．2 つの状態間に電気双極子遷移が可能なとき，これらの状態間には遷移が許されている（許容遷移）という．e ∙ P の行列要素が 0 のときには，その状態間の遷移は禁止されている（禁止遷移）という．

電気双極子遷移は，電子系の位置に電磁波がつくる振動電場内での電子系の位置エネルギーによるものであることが，次のようにして示される．
§13. 2 の（14 b）式（176 ページ）を用いると，原点 r = 0 における電場はE (0) =

 2ϵV ∑ e i  ω (a − a *)
 



で与えられる．一様な電場 E 内の点 r に電荷 q をもった粒子があるときに，その位置エネルギーは −q (E ∙ r) と書けるから，上記の E (0) を r = 0 の付近で一定とみなすと，この中に置かれたわれわれの電子系の位置エネルギーはe ∑ {E (0) ∙ r } = −{E (0) ∙ P}
と書かれる．E (0) に上の表式を代入すれば−{E (0) ∙ P} = 2ϵV ∑ −iω (e ∙ P) ω (a − a *) となる．これの行列要素をとり，ω =  E − E  であることを利用すれば，（8）式に残りの因子を掛けたものが得られる．

遷移が禁止されているときには，（2）式の展開の第 2 項以下を考えなければならない．第 2 項をとると

  m ∑ ( ∙ r )(e ∙ p )  a±i beとなるが， の方向を x 軸，e の方向を y 軸にとると，この式は