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ペンローズの三角形とタイル
長谷川 能三 （科学館 学芸員）
１．ノーベル物理学賞
毎年１０月上旬にノーベル物理学賞の発表があります。この時期になると、今年はどんな業績で誰にノーベル物理学賞が授与されるのだろう…と私も気になるのです
が、それはみなさんが気になっているのとはちょっと違った意味なのです。というのも、その業績がいったいどのような内容なのか、どんな意味があるのかなど、解説をしなければならない機会が出てくるからなのです。特に日本人の受賞が決まると、世間の注目も高く、マスコミからの問い合わせを受けることもあります。
そのノーベル物理表１．ノーベル物理学賞の受賞業績と分野
学賞の受賞業績には、年ごとにと あ る 法
則 が あ り ま す。そ れ
は、ある年が「物性分野」であれば、翌年は「物性以外の分野」、そ の 翌 年 は「物 性 分野」…と、受賞の業績がだいたい交互になっているのです。２０００
年以降のノーベル物理学賞の受賞となった業績を見てみると表１のとおりです。２年続けて物性分野の時もありますが、物性分野と物性以外の分野がほ ぼ 交 互 に な っ ています。
「物 性」と い う の は原子や分子が集まってどんな性質になっているかを 研 究 す る 分野 で、例 え ば 原 子 や

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分子が規則正しく並んだ結晶であるとか、シリコン等の原子が集まってできた半導体、超伝導や超流動、磁性体など、さまざまな物質のいろいろな性質を研究しています。それに対して「物性以外の分野」というのは、例えば原子核や素粒子、天体や宇宙論などの分野です。日本物理学会でも、年２回ある学会の内、１回は全分野の研究者が集まって行ないますが、もう１回は「主に物性分野」と「物性以外の分野」に分かれて、場所と少し時期を変えて行なっています。しかし、２つに分けても物性分野の研究者は多く、発表も多いのです。
私が大学で研究していた分野は物性で、大倉学芸員は原子核(物性以外)ですので、ノーベル物理学賞が物性分野の場合には私にもわかるような話かどうか…とドキドキしているのです。
２０１９年のノーベル物理学賞は「物理宇宙論における理論的発見」と「太陽系外惑星の発見」の業績でしたので物性以外の分野でした。ということは、２０２０年はたぶん物性分野…とドキドキしていたら「ブラックホールの研究」ということで、２年続けて天文学、つまり物性以外の分野でした。ブラックホールなら石坂学芸員の専門なので私の出る幕はないと思っていたのですが、なんとその受賞者３人の内の１人が、ノーベル物理学賞の発表時に行なっていたサイエンスショーの中で名前を出していたロジャー・ペンローズだったのです。といっても、サイエンスショーでブラックホールの話をしていたのではありません。サイエンスショーは「ふしぎな形」という目の錯覚（錯視）やトリックアートをテーマにしたものだったのです。先月の月刊「うちゅう」に書いていただいた竹内龍人氏の記事「錯視」の中でも少し出てきていますが、ロジャー・ペンローズと言えば「ペンローズの三角形」と呼ばれる不思議な図形で有名なのです。
２．ペンローズの三角形
サイエンスショーで紹介していた「ペンローズの三角形」は、図１のようなものです。なんとなく見ただけではなんでもないように見えるのですが、よく見るとどうでしょうか。赤のブロックの上に黄色の柱、その上に緑色のブロックが乗っています。緑色のブロックから右手前に伸びた水色の棒と、赤のブロックから右奥に伸びた赤紫色の棒が、青いブロックでつながっています。上にある水色の棒と、下にあるピンク色の棒が、どうしてつながってしまったのでしょうか。これがペンローズの三角形の不思議なところなのです。

図１．ペンローズの三角形

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例えば写真１のサイコロの写真、もちろん写真ですので平面ですが、写っているは立方体のサイコロだと思いますよね。図２の絵はどうでしょう。これも平面の絵ですが、立方体のサイコロを描いていると思うでしょう。では図３はどうでしょうか。単に菱形を３つ並べているだけですが、立方体に見えるのではないでしょうか。このように、平面に描かれたものでも、私たちは立体物としてイメージすることができる…というか、イメージしてしまうのですね。

写真１．サイコロの写真

図２．サイコロの絵

図３．立方体？

図４（ａ）は、サイコロを縦に５個積んで右手前に１個伸ばし、更に一番下から右奥そして左奥へとつないだもの…というように見えると思います。平面に描かれている絵
なんですけどね。Ａのサイコロの右手前にさらにサイコロを１個くっつけて、Ｂのサイコロの左奥にもサイコロを１個くっつけると、このふたつのサイコロはちょうど前後に重なります（ｂ）。ここで、ちょうど重なるのなら…と前後関係もこっそり一致させてしまったのがペンローズの三角形なのです（ｃ）。本来は奥にあるものが手前にあるものと同じ位置にあるように描かれているのですから、実際にはありえない立体物ということになります。

（ａ）つながる前（ｂ）普通に伸ばすと （ｃ）前後を重ねると
図４．サイコロで描くペンローズの三角形

写真２．ペンローズの三角形を作った？

でも、ちょっと工夫すると、写真２のような立体物を作ることができます。いったいどのようにして作ったのでしょう。

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３．ペンローズ・タイル
他にペンローズの名前を付けて呼ばれているものに、「ペンローズ・タイル」があります（写真３）。
歩道などに敷き詰められたタイルは、普通は正方形や長方形のものが多いですね。これはタイルを作りやすくて、隙間なく敷き詰めやすい形なのです。でもこのペンローズのタイルは、正方形でも長方形でもありませんし、実は２種類の形のタイルを使っているのです。
まず、正多角形のタイルを敷き詰めることを考えてみましょう。正三角形や正方形、正六角形のタイルなら同じ形・同じ大きさのタイルだけで隙間なく敷き詰めることができます。しかし、正五角形や正七角形、正八角形などのタイルでは、隙間ができてしまいます（図５）。
正九角形より先でも隙間ができてしまう
写真３．ペンローズ・タイル
ので、隙間なく敷き詰められる正多角 写真提供：橋本幸士氏
形は、正三角形、正方形、正六角形の 撮影場所：Ｓｉｍｏｎｓ Ｃｅｎｔｅｒ ｆｏｒ Ｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ （アメリカ）
３種類しかないのです。

（ａ）三角形（ｂ）正方形（ｃ）正五角形 （ｄ）正六角形 （ｅ）正七角形 （ｆ）正八角形
図５．正多角形のタイルの敷き詰め

さらに、この隙間なくタイルが敷き詰められた図５（ａ）（ｂ）（ｄ）には、「並進対称性」と「回転対称性」というふたつの対称性という特徴があるのです。「並進対称性」というのは、ある方向にある距離だけ動かしても、元の図とピッタリ合うということです。また「回転対称性」というのは、ある角度だけこの図を回転させても、やっぱり元の図とピッタリ合うということです。もちろんある方向にある距離だけ動かしたら、縁の形が絶対に合いませんので全体がピッタリ合うことはありませんが、元の図と重なっている部分では、タイルの位置がピッタリ合うのです（図６）。

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図６．「並進対称性」（中央）と「回転対称性」（右）正多角形の場合に限らず、例えば図７のような長方形や台形のタイルを隙間なく敷き詰めた場合でも、並進対称性や回転対称性があることがわかります。さらにこの図をよく見てみると、（ａ）１８０度回転させると、元の図と重なる（ｂ）１２０度や２４０度回転させると、元の図と重なる（ｃ）９０度、１８０度、２７０度回転させると、元の図と重なる（ｄ）６０度、１２０度、１８０度、２４０度、３００度回転させると、元の図と重なるようになっています。
（ａ）は１８０度ずつ２回回転させると元の図に、（ｂ）は１２０度ずつ３回回転させると元に図に、（ｃ）は９０度ずつ４回回転させると元の図に、（ｄ）は６０度ずつ６回回転させると元の図に戻ります。このため、それぞれ「２回対称」「３回対称」「４回対称」「６回対称」といいます。ところが、並進対称性があって、「５回対称」や「７回対称」以上の回転対称性もある図形はないのです。
原子や分子が規則正しく並んだ結晶にも、これらの図形と同じように、並進対称性や回転対称性があります。そして、結晶にも５回対称の回転対称性はありません。

（ａ）２回対称（ｂ）３回対称（ｃ）４回対称
図７．いろいろな回転対称性（ｄ）６回対称

一方、「ペンローズ・タイル」は、これらのタイルの敷き詰めと違って、１種類ではなく２種類のタイルを使っています（図８）。また、並進対称性も回転対称性もありません。しかし、並進対称性と似たような性質や、回転対称性（しかも５回対称や１０回対称）と似たような性質があるのです。

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例えば、図９でピンク色に塗ったボクシングのグローブのような形を探してみると、あちこちに同じ形があるのがわかります（黄色や水色）。しかも同じ向きのままある方向にある距離だけずらした並進対称性のような関係にあるものか、さらにそれをある角度（３６度の倍数）だけ回転させた回転対称性のような関係にあるのです。このように、並進対称性や回転対称性に似ているといっても部分的な関係ではあるのですが、もっとたくさんのタイルを合わせた大きく複雑な形でも、もう少し範囲を拡げれば必ず同じ形があり、しかも３６度の倍数の角度だけ回転させた向きになっているのです。例えばグローブを３つ合わせたような水色に塗った形も、この図の中に２つありますね。

図８．ペンローズ・タイルを構成する２種類の菱形

図９．ペンローズ・タイルとその中に含まれるパターンの例

このような２種類の菱形タイルの敷き詰めは、単に図形遊びのようにも思えます
が、Ｘ線解析で１０回対称等のパターンを示す物質が見つかっています。このような物質は準結晶と呼ばれ、ペンローズ・タイルのようなパターンを紙面に垂直な方向に伸ばした構造や、ペンローズ・タイルを三次元に拡張したような構造だったりします。
準結晶を発見したダニエル・シェヒトマンは、２０１１年にノーベル化学賞を受賞しています。ノーベル物理学賞、化学賞、医学・生理学賞は受賞者が一度に３人までとなっているのですが、近年この３賞において、単独で受賞することはあまりありません。そんな中、この２０１１年のノーベル化学賞はダニエル・シェヒトマンの単独受賞だったので、それならロジャー・ペンローズにも…と思っていました。ところが２０２０年、そのロジャー・ペンローズが、彼の本来の専門であるブラックホールに関する研究でノーベル物理学賞を受賞となったのです。
（はせがわ よしみ・大阪市立科学館学芸員）

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