「制御工学」第１１回

フィードバックの意義

フィードバックの意義

フィードバック制御系の伝達関数（復習）

フィードバックの有無による伝達関数の違い

フィードバック制御系の典型例（教科書p.74）

安定性

制御系に対する一般的な要求

ラウスの安定判別法

ラウスの安定判別法：例題（2016-07-01）

鹿児島大学・工・電気電子

田中哲郎

48

フィードバック制御系の伝達関数（復習）

フィードバック制御系の典型例（教科書p.74）〈フィードバック制御系〉
入力
目標値+–

49

〈図5.1：比例要素＋１次遅れ要素〉
出力

G(s)

H(s)

外乱 D(s)R(s) + E(s)

制御量

– 偏差

（制御したい量）

K
比例要素

設計のパラメータ（全体の伝達関数）＝G(s)1 + G(s)H(s)（全体の伝達関数）＝（前向き経路伝達関数）
1 + （一巡伝達関数）50

1
1 + Ts+ +C(s)１次遅れ要素} H(s) = 1
ユニティフィードバック

外乱 D(s) …… 入力の一種．制御を乱す．
※基本的に人間が関与できない．

51

制御系に対する一般的な要求★ • 目標値に速やかに到達する …… 応答性

フィードバックの有無による•目標値に精度よく到達する …… 定常偏差
•制御対象の特性変化に強い …… 感度伝達関数の違い

製造時のばらつき，経年変化，環境変化（温度など）★ • 外乱の影響を受けにくい …… 感度i) 目標値に対する伝達関数（開ループ）ii) 目標値に対する伝達関数（閉ループ）iii) 外乱に対する伝達関数（開ループ）iv) 外乱に対する伝達関数（閉ループ）

フィードバック制御によって達成可能

フィードバックの効果（まとめ）＝フィードバック制御の意義（使用理由）
5253i) 目標値に対する伝達関数（開ループ）

フィードバックなし

D(s) = 0

1
1 + TsK〈伝達関数〉

直流ゲイン

R(s) + E(s)C(s)

線形システムの出力は，時定数54ii) 目標値に対する伝達関数（閉ループ）〈伝達関数〉

C(s)
R(s)

1
1 + TsK–各入力に対する出力の重ね合わせ

C(s)
K=
R(s)
1 + TsK
1+T s
K
1 + 1+Ts=K=

直流ゲイン 1 + K·=

K
1 + K + Ts

1T
1 + 1+Ks 時定数

出力r(t) = u(t)c(t)
11s※時定数の変化

T −→

T1+K

第10回

〈ブロック線図〉

D(s)

0

K大
0t+ +C(s)〈外乱の寄与分〉C(s) = D(s)※フィードバックにより，制御系の応答性が改善… 伝達関数
１56ii) 目標値に対する伝達関数（閉ループ）

フィードバックあり

R(s) = 057

フィードバックの効果（まとめ）ゲイン K を大きくすると...

〈ブロック線図〉

フィードバックの利点

D(s)0+ E(s)1
1 + TsK+––+ +〈伝達関数〉〈外乱の寄与分〉 感度関数

C(s)
1=
K
D(s)
1 + 1+Ts

C(s) =※フィードバックにより，外乱が抑圧される．

55

フィードバックなし

R(s) = 0

入力

C(s)iii) 外乱に対する伝達関数（開ループ）

ステップ応答R(s) =

フィードバックあり

D(s) = 0〈ブロック線図〉〈ブロック線図〉

R(s)ii) 目標値に対する伝達関数（閉ループ）

=

C(s)

1
D(s)
K
1 + 1+Ts
1 + Ts
1·D(s)
T
1 + K 1 + 1+Ks
58

• 入力に対する応答性が改善• （制御の精度が向上：定常偏差）• （特性変化の影響が低減：感度）• 外乱に対する感度が低減

欠点• 一般的な傾向として，安定性が悪化
遠心調速機のハンチング現象

59安定と不安定〈線形システム〉

安定性
安定と不安定出力伝達関数から見た安定と不安定

eat1

インパルス応答O

不安定

1! "L eat =bm s + bm−1 s+ · · · + b 1 s + b0
sn + an−1 sn−1 + · · · + a1 s + a0
m−1(n > m)

教科書p.19式(2・47)伝達関数のすべての極について，

Re {pk } < 0Re {pn } < 0bm s + bm−1 s+ · · · + b 1 s + b0
A2
AnA1++ ··· +=(s − p1 )(s − p2 ) · · · (s − pn )s − p1s − p2s − pnm−1伝達関数の極： s = p1 , p2 , . . . , pn

制御系が安定であるためには，

Re {p1 } < 0Re {p2 } < 0..
.

部分分数展開m

まとめ１つでも発散すると不安定になるから，安定であるためには，実際のシステム … s の有理多項式m出力が収束※制御系が目的を果たすためには，a < 0 と同じ状況が必要． 61

伝達関数から見た安定と不安定

1s−a1s−aa<0＝〈伝達関数〉

安定Ot60伝達関数から見た安定と不安定

t

条件：１点

1a>0

Oa=0

出力

出力が発散

安定判別法

限界安定出力↑特性方程式の実根，複素共役根伝達関数のすべての極が左半平面に存在する

6263

安定判別法

具体的に極を求めることなく，安定かどうかの判定を行う．

★ (1)ラウスの安定判別法•特性方程式•ラウスの数表（ラウス表）を作成(2)フルビッツの安定判別法

数学的に同等特性方程式•特性方程式•行列式（首座小行列式）の計算★ (3)ナイキストの安定判別法•一巡伝達関数•ナイキスト線図を作図

ラウスの安定判別法

安定であるための条件
ラウスの数表図的手法
64

ラウスの数表の計算（３行目以降）

65

特性方程式

安定であるための条件

特性方程式 …… この解（特性方程式の根＝特性根）が，伝達関数の極〈定義〉〈特性方程式〉

a0 sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an = 0 (a0 ̸= 0)
係数(1)係数がすべて存在し，すべて同符号であるこ
0ではないと．
必要条件•クイック判定（伝達関数の分母）＝ 0

フィードバック制御系では•条件を満たさない場合 → 不安定•条件を満たす場合 → 判定できない

1 +（一巡伝達関数）＝ 0(2)係数からラウスの数表を作り，表の第１列の最左列符号が等しいこと．

〈特性方程式〉
a0 sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an = 0 (a0 ̸= 0)※これまでの説明とは，係数のつけ方が異なる．

〈特性方程式〉

正か負（0は別扱い）

66

ラウスの数表係数sk+1

..
.

sk

A

sk−1

Ck−2s..
.

..
.

..
.

..
.

①BB′

B ′′

②D′D′′···D

C×B−A×DC

C×B ′ −A×D ′C

C×B ′′ −A×D ′′
C

..
.
..
.

···
..
.
..
.

···
..
.
..
.

①B′

B ′′

②D′D′′···

C×B ′′ −A×D ′′
C···
..
.

sn

a0a2

a4

sn−1···

a1a3a50

sk−3

sn−2
..
.

a1 ×a2 −a0 ×a3
a1

a1 ×a4 −a0 ×a5a1············

sk+1..
.
..
.

·········

···

sk

A

B

1···

···

sk−1

CD

k−2

C×B−A×DC

C×B ′ −A×D ′Cs0an← 定数項に一致

67

ラウスの数表の計算（３行目以降）

a0 sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + · · · + an−1 s + an = 0 (a0 ̸= 0)s

必要十分条件an※表の外側は0で埋まっている．

第１列

68s..
.

sk−3..
.
..
.

..
.

..
.

·········..
. 69

例題（教科書p.80）〈特性方程式〉

ラウスの安定判別法：例題

5 s3 + 6 s2 + 6 s + 2 = 0〈安定判別〉i) クイック判定の条件（必要条件）を満たす．
→ 安定性に関しては何も言えない．

例題（教科書p.80）ii) ラウスの数表

例題（教科書pp.80--81）
例題（教科書p.82）

70s35602s620s16×6−5×2= 1363
133 ×2−6×06×0−5×0=06s0

133=2第１列（最左列）は，すべて同符号→

安定71

例題（教科書pp.80--81）〈特性方程式〉〈安定判別〉

例題（教科書p.82）〈一巡伝達関数〉

s4 + s3 + s2 + 6 s + 12 = 0

111第１列に異i) クイック判定の条件（必要条件）を満たす． 符号のものii) ラウスの数表を含む

s411120→ 不安定

s316001×1−1×6= −511×12−1×0= 1210

不安定根のs21s0s−5×6−1×12= 42−55425 ×12−5×0425= 120

Re{a} > 0

個数は２個
符号変化の回数72

G(s)H(s) =K ：制御のパラメータKs(s2 + 2s + 4)

〈全体の伝達関数〉
G(s)
G(s)
=
K
1 + G(s)H(s)1 + s(s2 +2s+4)※安定になるようにK を選択する．

ブロック線図の一例+〈特性方程式〉
1+–K
s(s2 + 2s + 4)

s3 + 2 s2 + 4 s + K
1

=0

=

0 →

G(s)

H(s)

安定判別は各自で73