日本統計学会誌
第 28巻 ,第 3号 ,1998年
253頁 〜305頁

ベ イズ計量経済分析 にお ける最近 の発展 *
和

合

肇

†

ベ イズ手法は理論的な計量経済分析や統計分析 において広 く用 い られている が,応 用的な実証研究 においては,ま だそれほど広 くは受け入れ られていないのが現状 である.こ れは,第 1にベ イズ計量経済分析には尤度関数 と事前分布 が必要 である,第 2に 主観的である事前分布の定式化 の問題,第 3に 多次元 の積分計算の結果ほとんどの事後 モーメン トは求めるのが困難な場合が多 い,と しヽぅょぅな理 由のためである.こ のように応用研究の少なさは,実 際 に計算を
行 うには難 しすぎるとい う認識 によるものである.し かしなが ら,最 近の物理的な計算力の急速な発達が計算能力 の理論的な発展 と相侯 って,ベ イズ手法が適用可能な問題の幅を急激に広げている.そ こで,ベ イズ的 な方法の基礎について簡単に紹介 した後,ベ イズ手法を計量経済
分析 に応用 したい くつかの研究 について述べ る.後 半では,ベ イズ計量経済分析 における最近の数値計算面での発展を要約する。特に,最 近多 くの実証分析 で使われるようになったマルコ
フ連鎖 モンテカルロ法を用 ぃた事後分布 をシミュレー トする方法について述べ る。 目的 は,ベイズ手法は実際に計算可能 であ り,実 証研究 においても簡単 に利用できることを経済分析 に携わっている研究者 に知って もらうこ とである.

1。

は じめ に̀

計量経済学 は,デ ー タを用 いて経済的な現象 につ いての確信 (経 済理論 )を 改訂す る分野 の学問 で ある:ベ イズ流計量経済学 では,観 測 された事実 をもとに確率法則 にしたがって この改訂 が行われ る.ベ イズ流計量 経済学 で述 べ て い る ことは,経 済理論 における主要な問題 で ある
期待効用最 大化 とベ イズ学習過程 と同 じで ある とい えるこ計量経済学 が究極的 に表明す る問題
は,経 済 モ デル の中で経済主体 が直面 して い るもの と同 じである.す なわち,新 し く観測 デー

タが与えられると,次 にどのような決定をすべきであろうか? 2つ の対立モデルを生成する
デー タを用 い る と,そ の相対的 な妥当性 は どの ように変化す るのか ?
ベ イズ統計学 で採用 されて い る手法 は,理 論的な計量経済分析や統計分析 において ます ます
多 くの注 目を集 めるようになってい るが,ベ イズ手法 を用 ぃた実証分析 に対 す る関心 は,理論にお ける関心の高 さに比べて釣 り合 った増カゴを示 していない。 ご く最近 までベ イズ計量経済学の応用は,主 として理論面への貢献 に関心が ある人々によって行われてお り;真 にベイズ的である応用研究の部分 は少ない.こ の理 由はい くつかある.第 1に ;ベ イズ計量経済分析 は尤度
関数 と事前分布が必要である。他方,非 ベ イズ分析 では必要ない.第 2に ぅ主観的な事前分布の正 しさを弁護 しなければならず,も し同意が得 られなければその研究 は無視 されるかも知れない.第 3に ,ほ とんどの事後 モーメン トは,必 要 な積分が評価 できないために,求 めるのが困難 な場合が多い.こ のように応用研究が少ない とい うことは,最 も単純 な場合を除いて,ベイズ手法は実際 に計算を行 うには難 しすぎるとい う認識 によるものである.'し かしながら,計算力 の最近 の急速な発達は,計 算能力の発達を可能 にした理論的な発展 と相倹 って,ベ イズ手・ 本稿 は第 61回 日本統計 学会 チ ュー トリアルセ ミナーの講演内容 を もとに加 筆 した もので あ る.そ の後 ,日 本
統計学会 のベ イ ズ統計学 の応用 に関す る研究部会 ,東 北大学経済学部 ,早 稲 田大学政経学部 ,大 阪大学経済学部 をは じめ,い くつかのセ ミナーでの報告 に際 しての参加者 による コメ ン トに感謝 した い.
†
新潟大学経済学部 〒 950‑2181新 潟市五十嵐 2の 町 8050(e‐ mail:wago@∝ on.血 gata‐ u.acjp)

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

いている多 くの論文 は,法が適用可能な問題 の幅 を急激 に広 げている.ベ イズ的な計算手法を用ている人々
統計的な性質や特別 な数学的な知識を利用 してい るので,応用計量経済分析 を行っにはまだあまり馴1染 みがない
ズ な方
本論 の 目的 は実際的な面 にある.ベ イズ的な方法を採用する理由については,ベ イ 的
ベ
ー
とえば
イ (た
,POirier,1988,1995;Berger,
法 と古典的な方法を比較 して議論 した優 れたサにベイズ手法 を適用すること
い
むしろ
証研究
らな
ち入
。
実
まり深 くは立1985な ど
あり
.

)も

,あ

に集中す る.全 体 の 目的 は,ほ とんどあるいは特別 な知識 を持っていない研究者 に,応 用実証研究 におけるベイズ手法の有用性 を認識 してもらうことにある。
ーベ イする.
本論 の構成 は次の通 りである.第 2章 で,ベ イズ計量経済分析 について簡単 にサの第 3章 では,ベ イズ的な手法 を実証研究 に応用することに焦点 を合わせ,ベ イズ実証分析 優てベとれた点 (3.1節 )と 問題点 (3.2節 )に ついて述べ,3.3節 は イズ応用実証分析の例 し ,単位根モデルとEBA(極 値境界分析)を 中心としてサ早ベイを行う.第 4章 以降では,ベ イズ流の実証研究を行うのに用いられているいくつかの計算方法を中心として述べる.ま ずベイズ計
ス
量経済分析 で用 い る基本的 な計算方法 である正規 近似 (4。 1節 ),数 値積分 (4.2節 ),ラ プラ
いっ近似 (4.3節 )に ついて,そ の概略 を説明 した後 ,第 5章 で は,最 近多 く用 られ るようにな
い
た
)
ンス
(5.2節
を用
場合
ンポータ
関数
た モ ンテカル ロ積分 について,単 純 な場合 (5。 1節 )と イについて,そ の使用例 とともに解説 す る.Poly‐ ′密度 について簡単 に触 れた後 (5。 3節 ),第 6

章ではもっと複雑な問題に用いることができるマルコフ連鎖モンテカルロ・シミュレーションについて述べる.一 般的ベイズ推定 (6.1節 )と マルゴフ連鎖 2節 )に ついてふれた後,代(6。

ンプ
表的な方法である Metropolis‐ Hastingア ル ゴ リズム (6.3節 )と よく使用 されるGibbsサ
リング法 (6。 4節 ),そ れにデータ拡大アルゴ リズム .(6.5節 )に ついて述べ る.次 に,第 7章 でべは MCMCシ ミュレーションを計量経済分析 にどのように適用す るかを応用例 とともに述る.こ こでは,事後分布か らシミュレーションを行 う方法の計量経済分析への応用 につい て強い つ調 し,重 要なFn3題 である収束 の診断方法や数学的詳細 は省略す る。最後に,第 8章 で は くかの結論 を述べ,付 録 でベ イズ実証分析 を行 う際 に役立つ コンピュータ・ パ ッケージについて述べ る。.
2。

ベイズ計量経済分析

最初 に,ベ イズ計量経済理論 の背後 にある基本的な理論的概念 について簡単 に整理 してお こう.最 近では,英 語で書かれた多 くの計量経済学のテキ ス トではい くうかの章でベ イズの方法が扱われているが,残 念なが ら日本語で書かれた計量経済学の教科書ではほとんどふれられていないのが現状 である.ベ イズ計量経済理論 についてより詳 しく知 りたい場合 は,こ の トピッ
クスについての多 くの参考文献 があるので,そ れ らを参考 にすると良い (た とえば,Zellner,
1971;Poirier,1988,1995).

ベイズ計量経済学 は,次 のバ イズの法則 に基づいている

.

‐ズ酬 ニ
グ

∝ズのЦJのここで θはパラメータベクトル,yは データベクトルあるいは行列,メ・)は 確率密度関数を表す.ズ θ
)は データを分析する前にパラメータにっぃての主観的な確信を表す事前密度 (夕 笏γグttο οp″ ),L(ylθ )は θに特定の値が与 えられたときの びの条件付 き密度で尤度関数 (滋 ι
ー
タに含ま
″
y)は
効
あり
s″
,デ
θの事後密度 (夕 οタグ )でル%ε 笏 ″)と 呼 ばれる.そ して ズ冽
れる新 しい情報 を考慮 して事前 の確信 を更新することを表 している.事後密度 は;観 測 された

255

ベイズ計量経済分析における最近の発展

デー タ クの条件付 で θにういて得 られ るすべ ての情報 を要約 した もので,θ に関す る推測 は事後密度から得られる。たとえば,θ の事後平均 E(θ ly)=∫ の ly)"は ,θ の点推定値としてしば しば用 い られ る.

予測も簡単に得ることができ,グ を1組 の将来の観測値とすると,予 測ほ予測密度ズy*ly)
をもとにして行われる。確率法則を用いて,メ ク*ly)〒 ∫Xy*lθ ,y)ズ θlク )認 となり,こ こで*lθ,(ク,ク )は 将来観測値に関する尤度関数,そ してズθlレ )は 事後密度である
ベ イズの方法 を用 いて仮説 を比 較す るい くつかの方法 が ある.そ の中で最 もよ く使われ るのは事後 オ ッズ比 (夕 οs″ 物″ 躊 π励 )で ある.た とえば,も し 2つ の異 なる仮説 Jflと 夏バ入れ子型あるいは非入れ子型)を 比較しようとすれば,事後オッズ比κ2は κ2=ズ JfllyИ ん ly)となる。言い換えると;κ 2は 観測データから得 られる2つ の仮説の確率の比である.も しaとの が,Iflと 島 それぞれの仮説 の もとで妥 当 なパ ラメー タベ ク トル で あるなら,事 後 オ ッズ比:は次の ように計算 され る.

千2了
κ 2の 計算 には,仮 説が成 り立 つ事前確率 (ズ 島 ),グ =1,2)と 同様 に,各 仮説 のもとでの事前
情報 と尤度が必要である.1つ の決定は,K2>1な ら島 を受容 し,そ の他の場合は Jf2を 受容することである。 もちろん,も っと手 の込んだ方法 も利用で きる.た とえば,非 線形制約 の検定 に関心がある場合,制 約 のないモデル と制約付 のモデルの両方の下で事前分布 を作成す るのは大変であるので実際的ではない:し かし,McCull∝ h and Rossi(1992)は ,こ の種 の問題を克服 で きるある優れた方法 を開発 している応用研究ではベィズフアクター も通常報告される。 これは 2つ の仮説 に対する尤度比 のサポ
ー トになる.言 い換 えると,ベ イズフアクター は 2つ の競合する仮説に対 して同 じ事前分布を.

与 えて計算 した事後オッズ比である
計量経済学で通常行われる代表的な統計的分析 であるパ ラメータの推定,仮 説検定,そ して予測に対するベ イズ的な方法を簡単に要約する.ベ イズ的な方法 と従来からの古典的な計量経済分析 の方法 との重要な違 いは,前 者が未知 の変量 (た とえば θ,y*や 仮説の真実性など)を
確率変数 として扱 い,既 知の変量 (た とえば,デ ータ)に 条件づ けるのに対 し,後 者 はデ■ タ
を確率変数 として扱い,パ ラメータや仮説 の状態 を非確率的なものとして考 えることにぁる:.

ベ イズ分析 を行 うときには,情 報の な い事前分布 が用 い られ る場合 が 多 い けれ ども,尤 度関数と事前分布 の両方 を定式化す る必要 が ある。.定 式化 を行 った後 ,パ ラメー タの推定値 を得 たり,仮 説 を検定 した り,あ るい は予測 を行 った りす るために,簡 単 に上で述 べ た方法 を使 うことがで きる.し たが って,概 念的 に は少な くともベ イズ的 な方法 は,古 典的な方法 に比 べ ればずつ と簡単 に使 う ことが で きる:

ベイズ法を用いる場合には,積 分の計算が必要になる.事後平均はしばしば推定量にな り
E(冽 ク
)=∫
酬y)認 を計算する:事後オッズを得 るためには,∫ メα島 )Llθ ly,島 )認 を計算する必要が̀灰ある.自 然共役事前分布幼を持つ正規線形回帰モデルのような標準的な場合では,これらの式の解析的な解は存在する。しかし,一 般的な場合には存在せず,ベ イズ分析を行う場｀
合はコンピュータ集約的な手法に頼 らざるを得ない.
,

Dベ イズ意思決定理論的な分析 では,損 失関数 も定式化する必要があるが,こ の段階は実際にはよく省略 される。
幼事前密度 は,事後密度 と事前密度が同 じクラスの確率密度関数になるようにしばしば選 ばれる￨こ のような事前密度 は,自 然共役事前分布 と呼 ばれ る。

256

第 28巻 第 3号 1998

日本 統 計 学 会 誌

2.1事 前 分 布・θについての確信 の度合 い を記述 した もので
事前分布 は,分析者 が関心 をもつパ ラメー タ
る以前 の情報 である.事 前分布 はそれが確信 の現在 のデータセ ツ トか らすべ ての情報 が得 られではあ り得 ないが,確 信 が合 理的である ことの度合 い を表す ことか ら,厳 密 な意味 で は不正確
かし,事 前分布 はデータセ ツトからのどんな検定が必要であるとい う意味で主観的である.し,い
情報 も拒否す るほど独善的であるべ きではな
も簡単 な事前分布 を作成す る
事前分布 は次のようない くつかの理由によつて分類 される.最1に なるように基準化す ることによつて,事
方法 は,と りうるパ ラメータの値 を集 ゅて全体がθが離散的な値 をとる場合 は自然 な
前分布 をできるだけ事前の確信 を反映 させるようにする。
て θに対す る事前の ヒス トグラムを方法であ り,連 続的な値 をとる場合 は実線上の区間をとっパ
クな分布族 π(θ ly)に 属す ると仮作成す る.あ るいは θに対す る事前分布が,あ る ラメ トリッ
ように選ぶ.た とえば, yが 2次 元
定 して,yを 結果ができるだけ真の事前の確信 に近 くなる
とえば 50%と 95%)の場合, 2つ のモーメント (た とえば平均 と,散 )か, 2つ の分位値 (たこの方法の限界 は,事 前の確信が標を与えれば,そ の厳密な値 を決 めることができる.し かしらに,一 見す ると同 じように見準的なパ ラメ トリック型 に収 まらない場合がある点である.さとえば,Berger(1985,p.79)
える 2つ の分布が,全 く異なる性質 を持 つてい る場合がある.た
じ 25%,50%,75%
で指摘 されているように,Cauchy(0,1)と No■ 11lal(0,2.19)分 布 は同が
数 全 く異なる事後分布
点 (‑1,0,1)を 持 ち,プ ロツトすると非常 に似 たように見 える密度関になることが知 られている.
した とき
鮨%た多″ pあ ″)は,尤 度関数 (と そのパ ラメ トリック型)と 結合
共役事前分布 ′のような既知の認識 できる形)を 持
解析的 に調べ ることができる形 (す なわち,多 変量 ′分布の理論的発展がつ事後分布 になる。分布 を解析 し,積 分を評価す る数値的な方法 における最近の布が仮定 した尤度 とある前 は,共 役事前分布 はベイズ分析で非常 に重要であつた.そ 事前分.

る が つた 事後分布
共役な特定の分布のクラスの制約の中で,よ く当てはまるようにす 必軍 あ ・は性がなくなり,自 由に自必要を形成する数値手法に新しぃ発展があつた後は,共 役事前分布べになった.事寒 ,最 近 では リーらの事前 の確信 を真 に表 してい るどんな事前分布 も選 るよう
ンピュータを使 つて様 々 な分布 (正ズナブル と思われ る自由な事前分布 を描 ける,よ うにな り,ココン トロール す るパ ラメー タを適 当 に変規分布 , ′分布 ,ベ ー タ分布等)を 描 き,分 布 の形 をことがで きる。 これは事前情報 のえる ことによつて,自 分の確信 と合 うように分布 を作成す るを描 くことがで きれ ば,か
数学的表現 を与 え,少 な くとも共同研究者 の 1人 が様々 な統計分布

な り容易 に行 う ことがで きるに うて い る知 識 を表 す報 知的
事前分布 は,少 な くとも θの い くつかの要素 に関 して事前 持.

励ι
)に 分けられる%物)で あるか,あ るいは無知の状態を表す非報知的 (%ο
い 物 ″θ
型事前分布で,情 報
最 もよく知られた非報知事前分布,す なわち無知である事前分布はい"物の負の期待値)の 行列
行列 (す なわち,パ ラメータ θに関して対数尤度関数の2階 の偏導関数にしたがう古典的な線形回帰モデルでは式の平方根に比例してとられる.誤差項が正規分布
二1で′与えられる.簡 単に言えば,Jeffreysは)∝ σ型事前分布はズθ
θ=(/,の であり,いなわち,一 様分パー
もし事前の無知を表したければ,無 限の許容可能な範囲を持つ ラメ タ (すできる範囲を布)に 対 しては定数に比例するような事前分布を使うべきであり,[0,∞ )の許容.

,,

対数上 で一様分布 である事
持 つ (標 準偏差 の ような)パ ラメー タに対 してはパ ラメー タの 自然
モ ルに対す る事前分布 につなが る
前分布 を用 い るべ きである ことを提案 した。古典的 な回帰 デのは これ らの法則 である:

γ)で ある.=則 な事前分布は,θ の)か ,あ るいは非正則 ″ 2ク ο
事前分布は正則 (夕 η″γ
(′

257

ベイ、
ズ計量経済分析における最近の発展

許容可能 な範囲 に関 して積分す ると 1に なるc報 知的である分布 は,適 切 に基準化すればほ とん ど常 に正則 で ある.た とえば,も し切 断 された正規分布 を限定 された範囲 のパ ラメー タに関
す る事前分布 として用 い ると,こ の分布 は切断 を考慮 して基準化 しなければな らず,事 前分布
全体 が 1に なるように分布 を基準化 し直 す必要がある。非報知事前分布 は,し ばしば非正則 である.無 限 の範囲 の二様分布 は積分す る と無限 にな り, 1に はな らないので非 正則である.非正則事前分布 は仮説検定 の分野 で問題 が生 じる.こ れはぅ事後 オ、ッズ比 を任意 に基準化す ることがで きるために,競 合 モ デル に対 す る相対 的 な支持 の評価 が不可能 になるためで ある.こ のために,非 正則事前分布 をで きるだ け使用 しない よ うにす る.多 くの応用分析 では,デ ー タの尤度関数 によって事後分布 をほ とん ど完全 に決 めることがで き,他 方,仮 説検定 に対 してはオッズ比が任意 に基準化 されない よ うな弱 い報知事前分布 を作 ることがで きるも2.2 回帰 モデル の標準的な分布
計量経済分析 で は線形 回帰 モ デル が よ く使 われ るが,通 常用 い られてい る散漫な事前分布 の下 で,ベ イズ分析 で用 い るい くつかの標準的な分布 を示す ことにする1必 ず しもその ような非報知事前分布 を常 に用 い る必要 はないが,ベ ンチマ ー ク としては意味 が あ り,回 帰パ ラメータの事後分布 を解析 的 に調 べ るのに役立 つ.さ らに,本 節 で示 され る分布 は, 4章 以降で述 べ る
い くつか の数値積分法で確 率抽 出す る乱数 に関 して役 に立つ情報 を与 える:

まず,す べ ての古典的な仮定の下 での標準 回帰 モ デル を考 える。

y=XFttε
ここで yは (%× 1)従 属変数 の観測値 ベ ク トル でその変動 をモ デル で説明 しようとし,Xは (%×力)説 明変数行列,β は (力 Xl)の 推定 され るベ ク トル すなわち回帰パ ラメー タ,そ して εは分散 が ♂ のホ フイ トノイズ誤差項 の同 じ次元 のベ ク トル で あ る.も し,回 帰パ ラメー タにブト
正則 な一様事前分布 (こ れ もい
型事 前分布 ),そ して σに標 準 的な 妥´の s型 事前分布 を選択
す ると,(β ,σ )￨こ 対す る同時事前分布 は次 のよ うに書 ける

.

.

・
ズ
β ÷
,σ)γ

正規性 の仮定 の下 で,従 属変数 の観測値 に対 する尤度関数 はズ
Jβ ,ら X)=0″) ″2eXp[T÷

(j―

J― 却
)″
型Ж

]

であ り,同 時事後分布は次のように表せる。
ズβ,dy,X)杖 0わ

72σ ャ +ィ∝(2π ) ″2σきX3[二十 (y=虫 Fxy二

女F)″

]

―
いo exp[一 夕%一 カ―りrx(β 一)s7〆 十 ―
βσ
β
(β

)]

)′

ここで,上 の式 は二 次形 式 の項 に分 けられ,β と ♂ の最小 2乗 推定量 β と s2を 用 い て表 されてい る。パ ラメータの周辺事後分布 は

̲β )つrx(β Tβ )]″ズβ ,X)∝ [(″ ニカ)s2+(βl″とな り,こ れは多変量 ′分布 に したが ぅ.そ して2

日本 統 計 学 会 誌

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D eXp[一
イ十
一
π
カ
)s7♂
ズdy,X)∝ σ
場
〆
" た

]

は逆ガンマ分布にしたがい,♂ の周辺事後分布はノ分布を基準化したものであることを意味
してい る.分 散 二
共分散行列 を Σ と表す一般化誤差分布 の場合 は,こ の分布 は簡単 に一 般化 でき,Σ の周辺事後分布は逆ウィッシャー ト分布にしたがう。この分布は,逆 ガンマ分布を一般ヒしたものである
イ
.

3。

3。

ベ イズ的 な方法 の 実証分析 へ の応用

1 ベ イ ズ 的 な方法 の 利 点

本稿 での主要 な関心 は,ベ イズ的 な方法 を経済問題 に対す る実証研 究 に応用す る ことで ある
ベ イズ的 な見方 と古典的 な見方 との違 い をはっき りさせ るために,両 者 の考 え方 と方法論 に主に焦点 を合 わせた分析 は Poi五 er(1988)あ るい は Berger(1985),118‑126ペ ージを参照す る.

と良 い.実 証的 な問題 の分析 に関 しては,ベ イズ的 な計量経済分析 の方法 は古典的 な方法 と比べ て,そ の単純性 (訪 紗 誌aり )と 整合性 (ω λ″%の )と い う点 において優 れてい る.古 典的 な手法に 必要 とされ る多 くのテクニ ック と基準 とは異 な り,ベ イズ的な方法 では (非 報知的 な)
事前密度 と尤度関数 だけを必要 とする.対 照的 に,古 典的 な実証分析 では適切 な手法 を選択 しその統計的 な性質 を知 らなければな らない.し か も多 くの性質 は漸近的 にのみ既知 で あ り,小標本 でのパ フォーマ ンスに ともな う問題 は残 されてい る
ベ イズ法 は観測 されたデァタの条件付 の事後密度 に基づ いてい る.こ れは,古 典的 な手法が,.

推定 量の性質 が繰 り返 し標本 で評価 され る不偏性 のような基準 に基 づいているの と対照的 である.こ のよ うな基準 はベ イ ジアンにとってはほ とん ど関心 がない.さ らに,こ の条件付 けを行うことは,特 定 の応用 に対 して合理的な計量経済理論 を単純化す るだけでな く,し ばしば応用
その ものを単純化す る.た とえば,Geweke(1988)の 不等号制約 にしたが うパ ラメー タをもつ
モ デル のベ イ ズ分析 は,古 典 的 な方法 に比 べ て非常 に簡単 になるのはよい例 で ある (Poirier,1988).同 様 に,McCulloch and Rossi(1992)は :ラ ンダム係数構造 をもつ多対 プ ロビ ッ トモ
デル を用 いて計算的 に可能 な方法 を開発 した.パ ネル デー タを用 いた研究 では,消 費者 の異質性 を認 める ことが必要 であ り,そ の ような異質性 をモ デル化す る標準的 な方法 は,ラ ンダム係
数 モ デル で ある.し か し,古典的 な方法 を用 いて多対 プ ロビ ッ トモ デルの枠組 みでラ ンダム係
数 モ デル を用 い る と,多 くの計算上の厄介な問題 が生 じる.し か し Gibbsサ ンプ リングを用 い
たベ イズ法 で は,階 層 モ デル に対 して と同様 な利点が あ る.

ベ イズの方法 による条件付 けを行 った場合 の性質 は,観 測 された標本 に対 して厳密 な結果 が得 られ ることを意味 してい る。 しか し,古 典的 な計量経済学 では,特 定 の検定 や推定 量 を用 いるのに小標本 での性質 が漸近的 な結果 に対応 してい ると考 えて,し ばしば漸近的な性質 を用 いて正 当化す る.小 標本 と大標本 の性質 が大 き く異 なる場合 がた くさんあ るが,推 定量 の小標本の性質 を得 るの は難 しい場合 が多 い
ベ イズ法の もう 1つ の利点 は,局 外母数 (π π&π ″ 物 θ虎″)の 取 り扱 い にある.こ れは古.

典的 な計量経済分析 を行 うには特 に厄介 な問題 で ある.通 常 は,そ れ らを有限標本 の性質 を失うとい うコス トを払 って一致推定量 で置 き換 える必要がある.し か しベ イズ法では局外母数 に関 して簡単 に積分 で きる.た とえば,線 形 回帰 モ デル で 回帰係数 β と誤差分散 ♂ とす ると,事
前分布 に尤度関数 を掛 けて事後分布 ズβ,♂ ly)を 得 る.も し βだけが必要 な ら,ベ イズ分析 では ズβly)〒 ∫ズβ,♂ ly》 ゲ とするだけで ある0。

ベ イズ計量経済分析 にお ける最近の発展3。

2 ベ イズ的な方法の問題 点

事前分布 の 問題
ベ イズ法です般 に認識 されて い る問題点 は,事 前情報 を含める ことを認 めることで ある.この事前情報 を用 い る ことに対 して多 くの論 争 が行われ たが,そ の詳細 につ いて ここでサーベ イを行わない.し か し,も し事前情報 が得 られればそれ を含 めるべ きであ り,ベ イズ法 はそれ を
行 う最良 の方法 を提供 す る.

実証分析 では,事前分布 を変化 させた こ とによる事後分布 の感度 の問題 は重 要 で ある。 しかし,事 前分布 の生成 (物 励 π)の 問題 はよ り重要である.計 量経 済分析 では 自分 だけが満足する結果が得 られればよいわ けで はない.こ のために,自 分 の事前 の確信 に対応す るただ 1つだけの事前分布 を選択すべ きでな く,む しろ,様 々な専門家 の意見 を取 り込んだ一定 の範囲 の事前分布 を選択すべ きで ある.ほ とん どの応用 問題 では,そ れ までの研究や経済理論か ら研究
者間 にかな りの合意がある.た とえば,β を生産 モ デルで の規模 に対す る収穫 を測 るパ ラメー タとす る と,研 究者 によって様 々 な事前分布 を βに持 つ.ほ とん どは βが 1に 近 く,人 によっては βが 0。 75に 近 い と思 っているが,だ れ も βが 100に 近 い と思 っていない.そ こで,合 理的な事前密度 は主要 な確率 が 区間 [015,1.5]内 にあるとする.し か し,ノ (1,0.25),ノ (0。 75,1),
あるい は 』′
(1。 25,1)の ように,こ の性質 を持 つ多 くの事前分布 が あるので,応 用研究では これらすべ ての様 々 な事前分布 を試す こ とがで きる.尤 もらしい一定 の範囲 の事前分布 に対 して結果が頑健 であることは,た だ 1つ の事前分布 に対 して示 され る結果 よ りもずっ と受 け入れやすい.多 くの実証分析 では,推 定 は事前分布 の選択 に関 してそれほ ど敏感でない。 もし異 なる合理的な事前分布 によって まった く異な る推定値 が得 られた とする と,重 要な情報 が尤度関数の性質 につ いて明 らか になる.す なわち,尤 度関数 は典型的 にはかな リフラ ッ トで,し たがって
非報知的 で ある ことになる.

もし事前分布 の生成 が期待 で きないか非常 に困難 で ある場 合 には,非 報知事前情報 のクラスをそのかわ りに用 い る こ とがで きる4).
多 くの場 合 ,パ ラメー タについてたぶん曖昧な事前情報 しか持 ってい ない場合 が多 い。再 び,βを規模 に関す る収穫 を測 るパ ラメー タ とす る と,β は 1に 近 い と感 じてお り,1.5よ り大 きい
か 0.5よ り小 さ くはない とい うはっき りとした確信 を持 って い る.こ の性質 を持 つ非常 に多 い
事前分布 が ある (た とえば ノ (1,.0625)).実 際 には,多 くのベ イズ的な応用研究では扱 いやす
い事前密度 の関数形 が選択 され る.次 に,事 前情報 に基 づいて事前密度のパ ラメー タ (ハ イパーパ ラメー タ と呼 ばれ る)を 選 ぶ.し たがって,以 前 の例 での βに対する事前分布 は正規分布で ある と決 める.そ れはたんに正規分布 が扱 いやす いか らである.そ して,事 前 の情報 に基 づ
いて事前平均 が 1で 事前分散 が 0.0625と す る.β と ♂ によって標準的 な方法 で定式化 された
正規線形 回帰 モ デル に対 しては,β と ♂ に対す る正規 0ガ ンマ事前分布 は 自然共役 にな り,解析的な結果 が存在 し,こ の事前分布が このモ デル に対 して広 く用 い られ るようになった.

の実際には,局 外母数に関して積分すると問題をずっと簡単 にできる.し かし,次 の 2つ の理由から結果に影響を与えることがある.そ れは i)古 典的な計量経済分析では;局 外母数を一致推定値でしばしば置き換える方法があるが,小 標本では一致推定量によって結果が異なることがあり得る。しかし,そ のような類似の問題 はベイジアンでは生じない. 五)局 外母数のベイジアンでの扱いは,周 辺密度 り割″))で 考えることになる.古典的な手法に似たベイズ的な方法では条件付密度 (ズ βピ=s2.こ こで,♂ は♂の一致推定値)

で考えることである.実 際には,古 典的計量経済学では滅多にズ副′=s2)を 使わない.い うまでもなく,局
外母数に一致推定値 を当てることは小標本効果 を持 つ
0事前分布の感度分析 についてのベ イジアンの文献 は急速 に増加 している.こ の分野への役 に立つ入門書 として Berger(1985),195‑247ペ ージ,あ るいは Kadane(1984)力る.線 形回帰 モデルに対する事前分布の'あ
感度 についての議論 は,Leallner(1978,1983,1985)に ある.
.

260

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻 第 3号

1998

ある関数形 が事前分布 に対 して選 ばれた ら,事 前分布 の導出問題 は事前 のハ イパ ーパ ラメー
タの選択 に要約 され る.実 際 は,ベ イジア ンは,パ ラメー タの経済学的な解釈 を通 じて非公式に推論す る ことによって,事 前 のハ イパ ーパ ラメー タをしば しば選択す る.た とえば,上 の例
で βは規模 に対 す る収穫 の弾力性 であるか ら,そ れはたボ ん 1に 近 い と推論す る.し たがって
1の 事前平均 と0:0625の 事前分散 を選択す る.モ デルのパ ラメータに単純 な経済学的解釈 がで,きない場合 が数多 く存在す るが,合 理的な事前分布 を導 出す る こ とはそれで も可能 で ある.たとえば,Koop and Poi五 er(1993)は ロジ ッ トモ デル に対 す る自然共役事前分布 を導出 している.彼 らは最初 に,こ のモデル のパ ラメー タを直接 に解釈す るのが難 しく,し たが って事前分
布 の導出が難 しい と述 べ て い る。それで も,そ れ らの事前分布 に対す るハ イパ ーパ ラメータを,パ ラメ早 夕 自体 で はな く観測可能性 に関 して推論す る こ とによって,選 択す る方法 を述 べ ている.す なわち,事 前分布 の導出を次 のような問 い をもとに して行 う :「 ある特性 をもつ個人 は,
その特性 をもたない人 に関連す る別 の特性 を選択す る ことが どの くらい あ り得 るか ?」Kadane et al。 (1980)は ,正規線形モ デル に対 して この種 の接近方法 を とるソフ トウ ェアを開発 してい る.'こ の対話型 ソフ トウェアは使用者 に,Xの ある値 に対 して yの とる値 を予測す
るように促す.す ると想定 した事前分布 が,い くつかの質問 に対す る反応 を基 に計算 で きる
これ までは,事 前分布 の選択 に関す るい くつか の問題 に対す る簡単 な紹介 を行 うた。 その他.

の事前分布 の作成方法 は Berger(1985)の 第 3章 にある.こ の段階 で い くつかの点 を強調 して
お く必要 が ある. i)多 くのモ デルのクラスでは,通 常用 い られる事前分布 の標準的 なファミリーが存在す る.た とえば正規線形回帰 モ デル に対す る正規・ ガ ンマ事前分布 である.こ れ らのクラスに対 しては前分布 の作成問題 は適切 な事前 のハ イパ ーパ ラメータを選択 する ことに帰着す る.五 )多 ̀事
くの人 の納得 を得 るために,分 析者 は事前分布 の感度分析 を行 うべ きである。 面)そ の ような事前情報 を含 めることは,合 理 的 な非報知事前分布 がほ とん どのモデルに対 して存在す るので,ど うして も必要なわ けではない.

後者 の場合,そ の ようなクラスの非報知事前分布 は非常 に役 に立つ.ほ とん どのモデルに対して,様 々な定義 の非報知性 に対応する非報知事前分布 が あるが,実 証的な結果 は通常 そのような事前分布の選択 に対 して敏感ではない.最 もよく知 られた非報知事前分布は,ズ θ)=定 数である.そ のようなアラ ットな事前分布を用 い ることは,尤 度関数 に比例 した事後分布を得ることにな り,し たがって,こ れを用いるベイズ分析 は尤度関数だけを含む ことになる。 このようなフラットな事前分布を用 いた結果 は,古 典的な研究で得 られたものとしばしば似通 った結果になる。.た とえば,事 後密度のモー ドは最尤推定値 と同 じである
フラット事前分布 は,パ ラメー タ変換 に対 して不変ではないことで批判 されている.す なゎ
ち,θ がある区間 に入る事前確率 は,/1θ )を 任意の関数 としたときに/1θ )が その区間 に入 る最大確率 と同 じでない.非 報知事前分布 を導出するもう1つ の方法 はジェフリーズのルール として知 られてお り,事前分布 を情報行列の行列式の平方根 に比例す る様 に選択することを示唆 した。 このようにして作成 された非報知事前分布 は不変であり,多 くの場合結果 として得 られた.

事前分布 はフラ ットなものであることに注意する:た とえば,正規線形回帰モデルではジェフ
リーズのルールの応用 は,β と1五 (の に対するフラット事前分布 と同 じである ズβ:♂ )∝ σ1の形の事前分布 になる。
.

つ しかし,こ れは常 に成 り立 つわけではない(た とえば,以 下の単位根計量経済学 についての議論 を参照).大
雑把な経験則では,フ ラットな事前分布 を用 いたパ ラメータ推定値 は最尤推定値 と非常 に似た数値 になる傾向 にあるが,仮 説検定 はしばしば非常に異なる結果を生み出す.こ の論文の第 1節 では,ベ イジア ン仮説検
定 に含 まれる方法を簡単に述 べている.概 観 した方法は古典的なもの とは全 く異な り,こ のためにかな り異なった結果 になることを強調する価値がある。

ベイズ計量経済分析における最近の発展.

261

しか し,別 の もっ と深刻 な非報知事前密度の問題点 は,そ れ らが しば しば非正則 になる,すなわち積分 して 1に な らない ことで あ る.実線 上での一様密度 が通常用 い られてい るが,非 正
則 な非報知事前分布 で ある.非 正則 な事前分布 は推定 や予測 に対 しては問題 を起 こさないが同 じ こ とは仮説検定 に対 しては当 てはまらない.特 に,制 約 のない対立仮説 に対す るシャープ,

な帰無仮 説 の検定 に対 す る事後 オ ッズ は,し ば しばデ ー タ に拘 わ らず帰無仮 説 が 好 まれ る

(Leamer(1978)参 照 )つ .結 果 として,非 正則 な事前分布 は, もし研究者 が事後 オ ッズ比で一点帰無仮説 を検定 した いな らば,用 い るべ きではない8、
3.3 ベ イズ法 を用 いた応用分析 のサ ーベ イ
ベ イズ流の分析 は応用経済分析 へ の研究 には僅 か しか利用 されて こなかったけれ ども,そ れが受 け入れ ら始 めたの は 90年 代 になってか らである。初期 の応用研究 は,最 近 の い くつ かの
励お のベイズ応用分析の特集号9や ,4あ %̀る 物 Eとο%ο πθ蒻 に見 られ
力 %″ %′ び 五わ %ο πθ
10.本る
稿 ではベ イズ分析 を採用 したすべ ての応用分野 の詳細 なサ ーベ イは行わないが,計量経済分析 についての包括的な情報 は Zellner(1983,1985)を 参照 す ると良 い.そ のかわ り,こ こ
ではベ イズ法が広 く用 い られてお り,古 典的 な方法 と比較可能な 2つ の分野 である単位根検定

EBA(極 値境界値分析 )を 取 り上 げる ことにする。前者 は,多 くの論 争 ど有意 な差 がベ イズと′法 と古典的な方法 との間 に見 られ るので,多 少詳 しく説明す る.一 方,後者 はベ イジア ン と古典的 な計量経済学者 が多 くの一致す る立場 に立てるケースの良 い例 で ある.こ のほかに も,制約付回帰分析 の応用 でベ イズ的な方法 が成功 した例 としてシラー・ ラグが あるが,前 に別 の論文 で取 り上 げたので省略す る

.

単位根問題
'あ る系列 が階差定常過程 (DSP)か トレン ド定常過程 (TSP)か とい う問題 は,1980年 に代
多 くの計量 経済学者 の注 目を集めた トピックスで あるが,経 済学 と統計学 の両方 の意味 を持 っ
てい る.系 列 が単位根 を含むか どうかはマ クロ経済学 に とつて非常 に重要 で あ り,技 術 パ ラメ
ー タが単位根 にしたが うと考 えて, リアル・ ビジネスサ イクル の理論 の検証 に多 くの経済学者が参加 した.統 計的なFn3題 としては, トレン ド除去法 と単位根検定の問題 が ある.古 典的 な方
法 による単位根問題の分析 はすでに数多 く行われ てお り,そ れ らの結果 は Hatanaka(1996)にまとめ られてい る
経済理論 はい くつか の時系列 は単位根 を必ず含 むはず で ある ことを意味 して い るが,一 方統.

0非 報知事前分布 についての よ り詳細 な議論 については,Zellner(1971),41・ 53ペ ージ,あ るい は Berger(1985),82‑89ペ ァジを参照
つ事後オ ッズは,帰 無仮説 と対立仮説の下での尤度関数 の加重平均の比であ り,こ こでウエィ トは事前密度 に
よって与 えられる.も し対立仮説の下での事前密度が フラットになった ら,尤 度関数の裾 にもっと大 きなウェィ トを与 ぇる.し たがって,対 立仮説 の下で加重平均 は小 さ くな り,帰 無仮説 は事後 オ ッズ比では好 まれ
るようになる助 もっと正確 には,事 前密度 は,帰 無仮説の下では制約付 であるこのようなパ ラメータに対 しては非正則 にならない。しかし非正則 な事前密度は,帰 無仮説 と対立仮説 の両方の下 で制約のない,こ のようなパ ラメータに対しては問題を生じなぃ.た とえば,線 形回帰モデルでの関心が回帰係数βがゼロかどうかを検定するの.

.

に事後オッズを用いるときに,&に 対しては正則な事前密度を使用しなければならない.し かし,&(ノ ≠めに
対 してや誤差分散 に対 して,非 正 則 な事前密度 を使用す ることは完全 に受 け入れ ることがで きる。
め Bayesian EmpiHcal Studies in Economics and Finance,ed.by D.J.Poirier,1991;Bayesian and Classical恥 9nOmetric Modelling of Tilne Series,ed.by L.Bauwens and M.Lubrano,1995;Bayes,Bemoullis,andBasel,ed.by L.Bauwens,W.Polasek and Hi van Dttk,1996の 各特集号 に多 くのベ イズ流の応用分析 が ある.

10)T.B.Fomby and Ro C.Hill ed.4あ %ι 6れEθ οπο″ 蒻bs、 カ ムIIJ4 3に 多 くのベ イズ応用分析 が まとめられてお り,Part Aは Bayesian Computauonal Methods and ApplicadOns,Part Bは BaveSian Methods
Applied to Time Series Dataの それ ぞれ特集 号 で ある.

第 28巻日本 統 計 学 会 誌

第 3号

1998

計理論 は定常 な系列 と単位根系列の性質 の違 い,そ してそれに基づ く推定量 と検定統計量を強調 している.Dickey and Fuller(1979)と Nelson and Plosser(1982)を 始 めその他のよ く知られた研究以来,古 典的な計量経済学者 は経済時系列 における単位根 の検定問題 にかな りの努力を注いできた.単 位根計量経済学をめぐる多 くの問題 は,次 の AR(の を再定式化 した単純なモデル を考えることによって示す ことができる
.

yι

+zι
=″ ̀‑1+コ φ
/し ι
―
ゴ

ここで レ =1,・ ."の は観測 されたベ ク ト′レの ′番 目の要素であ り,α
観測されない誤差̀(′̀はでが項 ある.実 証 可能な単位根 は ρ=1な らば存在する。しかし,誤 差項 の性質 について異 なった仮定 をすることが多い.た とえば,Dickey and Fuller(1979)は %=が ググ
ι正規を仮定 し, ′い
分布 に従わな ρ=1を 検定す るのに, ′統計量 に対する臨界値をシミュレニ トした.そ の後Phillips and Perron(1988)で は,誤差項 について もっと一般的な仮定を考え, ′,統 計量 の関数である検定統計量を導いた。実証研究で単位根 を検定す るときには,し ばしば Dickey‐ Fuller
テス トか Phillips‐ Perronの 拡張が用い られる.し かし,い くつかのモンテカルー
ロ研究からの事
実 (た とえば Schwert,1989や DeJ6ng,NanklrviS,Savin and Whiteman,1992参 照)は ,これらの古典的な単位根検定 は極 めて低い検出力 しかもたず,特 に トレン ド定常な対立仮説 に対しては検 出力 は低 いことを示 している.

Sirrls(1988)と Sirns and uhlig(1991)に よる議論 の発端 となった論文は,単 位根仮説を調

べ るのに古典的な計量経済学的な方法 を用 いることを批判 し,フ ラットな事前分布を用いることを支持 してお り,最 近の多 くの実証分析では,フ ラットな事前分布 を用 いたベイズ法を採用していることを示 した.こ れらの論文は,ベ イズ的な方法による単位根計量経済分析 に大 きな関心を呼び起 こした:最 近の実証分析を見 ると,フ ラットな事前分布を用いるベイズ法では経済時系列の単位根仮説 に関する推測が古典的な検定 による結果 とはしばしば異なることを示している.特 に,DeJong and whiteman(1991a,b,c)に よるフラットー
な事前分布を用いたベイズ分析 では,Nelson and P10sser(1982)に よって研究 されたマクロ時系列や,Shiller(1981),.とMarsh and Merton(1986)で 分析されたス トック価格や配当系列に単位根はほ とんど見 い

出 されていない.同 様 に,Schotman and van Dlk(1991a)に よるフラットな事前分布を用いたベイズ分析では,実 質為替 レニ トや実質 GNPデ ータに単位根があるとい う事実 は,古 典的な単位根検定の結果 によって支持されよりもずっと弱 いことを見 い出した.
ベ イズ単位根の分析 は,ベ イズ分析を行 ってい る人々の内か ら批判 されてい る.た とえばDeJong and whiteman(1991a,b)で 用い られたフラジト事前分布の型はプト
報知 ではない ということについての論争から,Peter Phillipsは 時不列モデル にフラット事前分布 用 いるの 強をにく屎対 した.そ れ は,フ ラ ット事前分布 はある種 の不変性 を欠いてお リー;1自 己回帰係数が コン
ログラムの形状に影響 を及ぼし,、 データやその標本積率 に含 まれる期待情報量 に
影響 を与えるとい う経路 で,一 般 的 な モ デル に基 づ い た重要 な情報 を無視 してい る.か らで あ る.Phillips(1991)は ,非 報知事前分布 の作成 に対する Jeffreysの ルール を いて,1無 知 事前分布 (な脇
ο
用
の
̲

勧 ′
ηο
γ
)と 呼ばれる
事前分布を開発したc Phillipsの 事前分布は,拡 散的な動きを意味する

パラメータ空間に様々な事前ウェイ トを￨お くという点で DeJong and whiteman‐ のものとは違う.こ の反直感的な性質は,Phillipsの 事前分布作成法の性質から生じるものであり,こ れは事前分布がモデルの標本理論的性質 をまねていることを保証するもので る
あ ￨す なわち,も しρが実際に1よ り大きかったとすれば,モ デルがら生成されたデータは の系列がすぐに発散す
る性質 が ある こ とは明 らか にな る.し た が って,一 般的 に 1よ り大 きい の値 はよ り くの
多
情
1こ

.ρ

263

ベイズ計量経済分析 における最近の発展

報 を含 んでお り,Phlllipsの 無 知 の事 前分布 が 表 して い る特性 で あ る.こ れ らの モ デル に基 づ い

た事前分布を用いて,ベ イズ法による事後解析は,単 位根の有無にづいて古典的な有意性検定と同 じくらい不確実 で ある ことを示 した。加 えて,Phillipsは Jeffreys型 事前分布 を利用 した方法 を Nclson‐ Plosserデ ニ タに応用 し,も っ と一般的な Jeffreys型 の事前分布 を採用 し,同 様 な結果 を得 てい る peJong and whiteman(1989a)や Zi,ot and Phillips(1991)で 報告 されたよりは,単 位根 モ デル に対 して決定的な証拠 がない こ とを見 い出 してい るPhillipsの 無知 の事前分布 は,ベ イジア ンか らも非 ベ イジア ンか らもともに批判 された (Phil‐.

lips,1991に 対す る討論 を参照)。

この事前分布 はパ ラメータ空間の非定常区域 に非常 に多 くの事前ウェイトをおくので,非 定常である事後確率はそれに応じて増加する。結果的として,多くのマクロ経済時系列 に単位根がある とい う事実 は,そ の他のベイズ流の分析 で行 った研究 よ・りも多 くなることを Phillipsは 見 い出 したlP.あ る意味では,Phillipsの 研究 はベ イジア ンと古典的な方法 との架け橋 と考えることがで きる.こ れは公式的にはベイジアンであるが,そ の基礎 にある考 え方の多 くは古典的な単位根 とベ イジアンの結果 との乖離 を説明することに捧げられている.時 系列 モデルで合理的な事前分布 を導出す るものは何 か とい う点 については,ま だ
回答が得 られていない。非常 に多 くの研究が現在 もこの分野で行われつつある
DeJong and whiteman(1991,,b), Phillips(1991)そ れ勁こZi,ot and Phillips(1991)に よって行われた単位根仮説 のベ イズ分析 では,モ デルのパ ラメータに関 して線形である推定 された定数項 と トレン ドをもつ共通の AR(力 )モ デル を用 いて―い る。Schottnan and van Dijk.

(1991a)は Phillipsへ の返答で,定 数項 とトレン ドのある AR(力 )モ デルの非線形の観測 されな
い要素モデル を用いて,モ デルのパ ラメニタに関 してフラ ット事前分布 とJeffreys型 事前分布の動 きと,主 要な自己回帰係数 ρの結果 として得 られた事後分布 を調べた.彼 らは,Schidt
and PhillioS(1989,1992)に お けるように,こ の要素モデルによる表現 は単位根仮説の分析に対 してよ り適切であるとした.そ れは要素モデル における確定項パ ラメータは,単 位根帰無仮説 とトレン ド定常対立仮説の下では同じ解釈ができるが,線 形 モデルでのパ ラメータでは同じ解釈ができないからである。 しかし,彼 らの見方 は DeJong and′ Whitemanや Phillipsに よる
ものとはかな り異なる.特 に,要 素モデルの中ではフラ ット事前分布 と比較 した場合,Jeffreys
型の事前分布 は単位根 モデルのウ三ィ トを小 さ くする ことを示 した.そ して,DeJong andWhiteman(1991a,b)の 結果 と対照的に,フ ラット事前分布 から導かれた事後分布の推定は確率 1で 単位根仮説:￨こ なることも示 した.さ らに,単 位根 モデル を受け入れるとい う事後 オッズ
比は,レ ベルパ ラメータに非正員Jな 事前分布 を用 いると発散す ることを示 した.レ ベルパ ラメータに対 する Jeffreys型 の事 前分布は非正則 であるか ら,Schotman and van Dlkは J』 ys
曝型の事前分布は「単位根仮説のベ イズ分析 には不適切である」 と批判 している。
ベイジア ンは古典的な単位根の論文 に対 して,い くつかの面で批判 してい る (Sirns, 1988;
Sirrls and Uhlig 1991;Koop 1992b,c;Koop and Steel,1994;Schotman and van]Diik,1991a,b;DeJong and whiteman,1991a,b)。

単 に検出力が低 いためだ けでな く,そ れらが単位根 でのナイフの刃のような漸近性 にかな り依存 しているためである.す なわち,古 典的な漸近理論

は,も しld<1な ら標準的な結果が成り立つが,ρ 〒1な ら結果は大きく異なるという事実に悩まされている.さ ら￨に ,ヽ しlpl>1で 系列が発散するなら,漸 近的な結果は単位根あるいは定常系列の場合とは異なる。もちろん,小 標本では,定 常であるが持続性のある系列(た とえば
ρ=0。 95)か ら生成された系列は単位根とは実際上区別することができない.こ れらの論文が示,1。

しか し,Phillipsの 考 えた U.S,マ クロ経済時系列における非定常性の確率は,2分 の 1よ りもかな リイヽ
さいものである.こ の特性 は,何 人かの研究者にベ イジア ン単位根の結果が事前密度 にかな り変化があって もかな り頑健 であると結論づ けることになる.

264

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

してい るように,ベ イズテス トは厳密な有限標本 の結果 を与 える。この方法は ρについて連続な尤度関数 に基づいているから,古 典的な漸近性 における不連続性 はない12p.
ベイズ流単位根検定 を行 う代表的な 2つ の方法がある.1つ の方法は,ρ に対す る報知情報 を用いて,単 位根 モデル を非単位根 モデル と比較する事後オッズを計算する に oop,1992b,c;Koop and Steel,1994;な ど).も う1つ の方法は報知事前分布を用いず,ρ が 1の 近傍の一定の区域 (た とえば,P(0.95<ρ <1.051y)あ るいは ズ ld≧ 11ク )に 入 る事後確率を計算す る (De‐JOng and white血 an)1991a,b). これ らの考 え方 と異 なる方法が,Tsurumi and Wago(1996)
で提案 されている。 この方法 は,DeJ6ng and whitemanの 用いたフラットな事前分布 による結果を利用 して,事後密度 を帰無仮説の値の方向に11っ 張 る自然共役事前分布 を用いて分析 している.こ こで:次 の 2つ の点を強調できる。1)ベ イズ単位根検定は,必 要なのは尤度関数 と事前分布であるから導出が容易であり;厳 密 な有限標本 の結果を与える.古 典的な単位根検定を導出す るのに必要な漸近理論 は極 めて複雑であり,モ ンテカルロ研究 によれば,こ れらの漸近的な結果を小標本 に適応するのは疑間がある.2)ベ イズ単位根検定は,古 典的な検定 よりも単位根の存在をず っと小さく見る傾向にある:
古典的な単位根検定 とベイズ単位根検定 との差 は,用 い られるそれぞれ仮説検定 の方法 の違
いに大 きく依存 している.古典的な検定方法は単位根 を帰無仮説の状態で検定 し,標 本情報が圧倒的 に否定する場合だけ単位根を棄却す る。逆 に,ベ イズ事後オッズ比は単位根が存在する
確率 を計算 し,次 にそれ を,た とえば系列が トレン ド定常である確率 と比較する.小 標本では単位根モデルから生成されたデータは強い永続性のある トレン ド定常 なモデルから生成 された
データと事実上区別できないであろう。′
強 い永続性を示 し;時 間がたつにつれて上方 トレン ドがある,あ るいはその両方がある有限の標本 の系列の場合 には,ベ イズ法は単位根 とトレン ド
定常モデルが似 た事後確率をもつ ことを明 らかにする.し かし,(圧 倒的な標本情報 に直面する
場合だけ棄却する)古 典的な検定方法では,単 位根 とい う帰無仮説を棄却で きないだろう.別の方法で示す と,ほ とんどのマクロ経済時系列が単位根を含 んでいるとい う事実 は,古 典的な検定が棄却できないことを確実 に保証す る.ベ イジアンは トレン ド定常 とい うようなもう1つ,の仮説 よりも単位根 (あ るいは非定常性)の ほ う=が どれほど起 こりうるか と尋ね,否 定的 に答えがちである.簡 単 に言うと,ベ イズ法は古典的な受容/棄 却 とい う検定方法 よ りも,標 本情報をより適切 に要約 している.

EBA(Extreme Bolln

Analyds:極 値境界値分析)
ベ
多 くの イズ分析 を用いている人たちはモデル選択の古典 的方法を批判 してお り,た ぶん最も強い ものは Ed Leamerの 研究 (1978,1983,1985)か ら生 じたものであろう.Leamerが 行っている批判 は,経 済学は実験科学ではないのだから,真 のデ…夕生成プロセスを見 つ けることができると考えることは間違 いである,と い うものであるこ結果 として,主 要な推定がモデルの定式化に敏感 なのか,あ るいは他の仮定 に対 して敏感なのかを確 かめることは重要 になる
線形回帰モデルでは,感 度分析のパ フォーマンスに対す るこの二般的な名称は,EBAと して知られているこ連 のテクニ ックによって適応 される
EBAは 明確 な実証分析での成功例であるが,こ れは一部は疑 い もな くそれがベ イズ分析 としても古典的分析 として も解釈できるとい う事実のためである:こ のことを理解するために,正規誤差 をもつ次のような線形回帰モデル を考える
.

.

￨

鯰)多 分

,こ の問題 に対 す るベ イ ジア ン と古典 派 の間 の大 きな差 を最 も分 か りやす く示 した の は,Sims andUhlig(1991)で ある.こ こでは,ベ イジアンと非ベイジアンそれぞれに関心があるJβ とβlρ のグラフを提示し,い かにベイジアンのグラフが両者のうちでより合理的かを示している。

265

ベイズ計量経済分析における最近の発展y′=″ 籍十ει (′ =1,… ,r)'

ここで ″ιは 力×1の 説明変数 ベ ク トル,そ して εォは ググ″.ノ (0,♂ )で ある。事前分布 は 自然共

役 で,Eと rは それぞれ既知 の ノ×力と力×1行 列 で rank(■ )=ノ とす る。アプ リオ リに E(Hβ )=rを 仮定 するが,事 前分散・7。 は定式化 しない ままで ある.も し,β の線形結合 (φ β,こ こで
φは力×1)に 関心があれば,こ の線形結合の論理的推定値はE(φ βlレ )と なる.し かし,こ の例

では事前分散を定式化できないし,し ようとしない.Leamerは E(σ βly)が とりうる極値を計算することを提唱している.す なわちmin%E(φ βlク )と maxち E(φ βly)を 解くことを考える
2つ の解は,E(σ βly)の 事後平均がとる極値になる.こ の差 δを計算し,パ ラメータの推定値.

の曖昧さの尺度 としようとするものである.δ が大 きければ,推 定値の とりうる範囲が広がることを意味 している.言 い換えると,EBAは 研究者 はパ ラメァタの事前の位置 についてある情報をもっているが,あ えて事前分散行列を定式化 しようとしない,共 通 の場合 に対する事前分布の感度分析 として解釈できる
E3Aの 古典的な解釈 も直感 に訴え,納 得‐
で きる.説 明変数は 2つ のグループ,自 由変数 と候
補変数,に 分割 される.自 由変数は回帰 に必ず入る変数であ り,こ れらの変数の係数 にどんな制約 もおかないことに確信を持っている.そ れに対 して,候補変数 は推定 に必須ではないが方程式の適合度に寄与する変数である.ど んな候補変数 も =rの 形の任意の線形制約 に従 うと=βさせることができる.た とえば,貨 幣需要関数では利子率を自由変数 として選び,そ の他 のたとえば,金 融イノベーションに対す る代理変数,ラ グ付 き変数を,ゼ ロ制約 に従 う候補変数 とする.Leamerは ,こ れは基本的 には多 くの応用研究者が通常行っていることであり,通 常 2,
3の キー変数 に関心があり,そ の他 の実験をお こなうと述べ ている:し かし,こ の実験 から唯 1
つの最終的な回帰式を示すだ けよりも,Leamerは ,重 要な変数と考 えるキーパ ラメータのどれ.

かが起こる極値を示すべきであると述べている.簡 単には,Leamerは 候補変数に課される線形制約に対する重要パラメータ推定値の感度を調べ,こ 4ら の極値境界が上のベイズ事煎感度問
題におけるものと正確に同じになるかどうかを調べる
EBAは い くつかの実証分析で行われている.た ギん最 も重要なものはCooley and LeRoy′(1981)で あろう.こ の研究は McAleer,Pagan and Volker(1985)に よって反論され,ふ た.

たび CoOley and LeRoy(1986)と Leamer(1985)に よって弁護されてぃる.彼 らの研究ではCooley and LeRoy(1981)は EBAを 貨幣需要関数に適用し,利 子率弾力性 に対するEBAは
非常に広 く,ゼ ロを含んでいるので,い かなる推測も不安定なものであるとの結論を得た.たとえば,利 子率の符号が負で推定されるのは,候 補変数を都合 よく組み合わせて得 られるもの
であり,デ ‐夕に含まれている情報だけでは利子率が負である結果は得られない。したがって,推定 されている関数の多 くは,分 析者の強い先験的情報でゆがめられた結果である可能性が大きいことを明らかにしている。McAleer,Pagan and v01ker(1985)は この見解に様々な理由を挙げて反論した.そ の多 くはここで関心はなぃ.今 の目的のためには,彼 らが EBAが 候補変数の有意性 に依存 しているだけでな く,異 なる分類が異なるEBAを 意味するという意味で,変,数を自由と候補のカテゴ リーに分けることに依存 している範囲の大 きさを強調 していることを注意するだけで十分である.こ れ らは Leamer(1985)や Cooley and LeRoy(1986)が 厄介な問題 ￨は 見 なさなかった性質 である.二 般的 に言うと,こ れらの性質は十分考慮 して遂行された古典的分析 とベイズ的な方法を用いた分析 との間の本質的な類似性を強調するものと考えることがで きる
13)。

13)EBAの 分析例 については

伴 (1991),163‑165を 参照 の ことe

第 3号

第 28巻

日本 統 計 学 会 誌

1998

Leamerは SEARCHと 呼 ばれ るコンピュー タ・パ ッケー ジを作成 し,彼 が提唱 した多 くの手法 が取 り入れ られてい る
例 :単 位根 の ベ イズ分析.

ARMA誤 差 の次数が未知 の場合 の トンン ドモ デル にお い て単位根 が ある場合 を示 し,系 列が トレン ド定常 プ ロセス (TSP)と 階差定常 プ ロセス (DSP)の どち らであるかを中心 に検定
す る例 について,Tsurumi and Wago(1996)に 沿 って多少詳 しく紹介 しよう。 モ デル は,次の よ うに与 え られ る.

+器 笏=μ +″ +鶴 ,=的 ‐
銑
こ

こ で

0(3)圭

1+aB十

&B2+…

+a939とαB)=1‑φlB一…

一 φ Jttpである.0(3)は

反

転可能で の(3)は 定常である と仮定 されてい る
自己回帰誤差のある回帰モデルで単位根 を検定するのに.

α(3)=η BI(1‑写 )(1‑ψ lB一 九B:一 …)と表 し,こ こで η=α (1)で ある.こ のように表 し,ラ グを,期 で打 ち切ると次式のようになる

.

％

十

ψ

カ

十

クΣＨ

α

＋

″

μ

＋

乃

ここで μすは新 たな定数項 ,そ して α*=α ηである:￨

この式 を用 い ると,DSTと TSP仮 説 は次 のようになる.

HO:η =O andα*=O vs.Hl:η ≠0

δ圭(η ,α *)′ に対す る事後密度 を導 くために,事 前密度 を与 える必要がある.多 くのベ イズ分
型 の不変事前分布が良好 な結果 を得 る.し か し,単 位
析 では非情報 フラ ッ ト事前分布 や い
ベ
根 の イズ検定 で は,フ ラッ トな事前分布 を用 い る と η=0の 帰無仮説 が真 で ある ときに,η の負 の領域 に大部分 の密度 が ある事後分布 にな る.そ こで DSPが 真 で ある ときに,DSPよ りも

TSPを 受 け入れやす い.こ の点 を考慮 して,Phillips(1991a)は ぃ型の事前分布 を用 いていいせが双峰分布 にな
1の
に
の
き
て
るが
を
る望
まし
を
場合事後分布
方
事後分布
引 寄
結果 得
,そ
り,ρ >1の 発散 区域内では ね型事前分布 は指数的 に増大す るので裾 が厚 くなる結果 を生む傾向がある.Jeffreys(1961,pp.358‑359)は 系列相関 の分析 に用 い る場 合 ,係 数 が 1の ときにこの ル′のs型 の不変原理 を用 い る点 につ いてい くつか の問題 を指摘 して い る.フ ラ ッ トな
事前分布 を使 うときは,η の最尤推定量 (MLE)夕 は,η 〒0の とき負 になる傾向が ある。 そ こ
で,単 位根 あるい は DSPを 検定す るのに,事 後密度 を η=0の 方向 に引 っ張 る事前密度 を選択する必要が あるそ こで,次 のような 自然共役事前分布 を用 いた
.

.

こ こで

il,r;, q*lo)o"*n{ -fi<a-d")'%(d-d,)}

そ して が=(η ,α *),そ して この事前分布 を η=0と α*=0の 帰無仮説 の値 の中心 にお く:δ の事

ベ イズ計量経済分析 にお ける最近 の発展

後密度 を導 くた め に,

推定式を次のような行列の形に書きなおす.

η=ハ 十XF十 %

１
´

御・
⁚い

％
鈍

=(μ *,4,…

そして″―, ∠yl

∠υ。

Ｘ

⁚・

Ｚ

ω

・機
４⁚

ここで

n̲1

・¨

範

n

り.δ の事後分布は次式によって与えられ

,ψ

2+グ 十

一δ (7。 +の (δ 一δ)] (″ ″ ‑1ン 2
17δ
ここで 7=/皿ヱ ,脇 =f一 χ(Xつ0 lχ ,パ 2=″ 34ぁ ,グ =δ ′7。 (b+ア ド,δ =7 1/ω
δ=(7。 +7)「 17δ である0(δ ldata)∝ [埓

(δ

)′

,

.

ここで,2つ のことを決めねばならない (i)ラ グの長さ沙 と,(五 )事 前分布 における 70ので値 ある.事 前密度 の 7。 の値 を得 るために,プ ー トス トラップ法を用 いる.｀.

(1)モ デルのパラメータのMLE∂ =(グ ,7,7 l,… ,ψ 。
)と Jを 用いる.ク 1,… ,α ″をノ (0:
ヽ J:)か ら抽出し,ダ イナミック・シミュレ‐ションを行う.

=′ *+7鉾 ̲+′ 十 ん 十
々ι
″
シ
*′

￨ゴ

̀。

計算 された イyι が利用 で きるよ うになる と,yι ̲Jの 実際のデー タを置 き換 える。ク′の %+″ 個 の値 を発生 した後 ,ỳの 最初 の γ個 の計算値 を棄 て,残 りの %個 の値 を用 い る.

(2)ỳの %個 の シ ミュレー トされた値 を用 いて,新 しい θ〒(μ,η ,α *,4,… ,あ )を 推定す るク。
し′*。 しらlL… ,あめ とするの。
(3)(1)と (2)を R回 繰り返す。δく=(,(め ,′ *(め をグ=1:・・,Rに 対して集めそれらを∂(1)=(′

.

(1、

.

)′

C=COv(δ )=秦』 O― め 9‑の
(δ

(δ

′

を計算する. ここで δ=1″ Σ仁lδ .さ らに 7。 =C 1と する(め.

R回 の抽出のそれぞれに対 して MLEで ある ∂と∂を用いる代わりに,グ +1回 目の抽出に∂0と ∂(?を 用いることもでき,こ れはまさにGibbsサ ンプラーの方法である.′ とyォ ̲1の よ
うな強い トレンドがある説明変数の場合には,ỳの 拡張されたデータが大きく変動するために
Gibbsサ ンプラーが難 しぃ場合がある
い くつかのベイジアン・プー トス トラップ法が提案されているが,ブ ,ト ス トラップ は
法 用
いるモデルとデータを反映するように計画されてぉり,古典派 とベイズ派の折衷的な弾力性を持っている.η とα*の 事後分布も,簡 単に計算することができる
Tsurtlmi and Wagoで は,為 替 レ早 トモデルでこの単位根検定を行 っている
.DSP tt TSP
仮説 蕉検定するために,最 高事後密度区域 (HPDR)あ るいは最高事後密度区間 (HPDI)検 定
を行 う。 もしHPDR検定なら街の所与の水準 (た とえば a=0.05)に 対 して,(1‑ω HPDR
等高線が点 (η =0,〆 =0)を 含 むか否か を見る.HPDI検 定の場合 には,個 々に ηの (1 7 6rll)
HPDIが η皇oを 含み,α *の (1‑ω HPDIが α*=oを 含 むかどうか見る 単 に点推定値や
検
.

￨

.｀

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

*に ついて も

定統計量を見 るだけよりも同時事後分布や周辺事後分布 をプロ ットすると,η とα
っと多 くの情報 を得 ることができる
次の為替 レー ト決定モデル を考える.

.

st=β +&(%ι)+μ (為 一 だ つ 十 島 (夕一 π す)十 島 (yι 一 グ

̀上

ダ

)+錫

+z̀

ここで,次 の各変数 は時間 ′での対数 を とつた ものである :st=名 目為替 レー ト,後 =貨 幣供≡卸売物価指数,二 =外 国為替準備 ,で ある 。なおアス タ リ
給 ,y′ =生 産 ,角 ■短期利子率,夕 ιス ク (ホ )は 外国での数量 を表 してい る
この式に含 まれてい る 6変 数 について,各 変数 が同 じ次数 で和分 されてい るか どうか検定 し.

た結果 が次 の表 である.こ の表 には,方 程式 の ηとが に対 して DSP tt TSP仮 説 を検定 す るた
めに,Dickey‐ Fullerの F検 定 が 95%最 高事後密度区間 (HPDI)と ともに,報 告 されてい る。
Dickey‐ Fuller F― 検定 と最高事後密度区間 (HPDI)
変数

ADF F― 統計量

ηに対す る 99%HPDI ♂ に対 す る 99%HPD](-'.07, .025)(下 10004,.0002)%̀一 %才(― .085,.025)(=.0003,.0001)ỳ一 yま135,.030)(一 。

(― .0001,.0003)

η γ声(― .050,.021)(一 .0002,.0003)

夕r― 夕ま(-.075, .009)(― .0002,.0001)(二 .050,.015)(「 .0001,.0004)

ニ

ここで,99%HPDIは 99%最 高事後密度区間 を表 している.ま たラグの長 さは 12(夕 =12)としている
表から:Dickey‐ Fuller F検 定 は 5%有 意水準 で ,サ ーグ 以外のすべての変数 は DSPで あることが分かる.ptニ ダ に対 しての 7.15と い うF統 計量 は 5%水 準で有意であるが,5%水 準か.

らそんなに離れていない.他方,99%― HPDIは ラー0と α*=0の 帰無仮説の値の回りに集中してい る.従 って, 6つ の変数 がす べ て単位根 があることになる.

4. ベ イズ法 における計算
第 2章 で強調 した ように,事後平均 とか事後 オ ッズのような統計量 を解析的 に求 める方法 は
滅多 に存在 しない.そ の ような場合 には,ベ イズ流 の応用研究 では数値的 な手法 に頼 らなければな らない.そ こで,そ の い くつか の方法 について述 べ る.ま ず最 も単純 な近似 か ら始 め,次にもっと手の込 んだ方法 を考 える ことにす る.
事後分布 を求 めるには,複雑 で,し ばしば高次元 の積分 を評価す る ことが必要 になる.加 えて,事後分布 の要約統計量 の計算 にはモー メン トや四分位値 が含 まれてお り,そ のためにはさらに積分計算 が必要 になる。 この問題 に対す る初期 の取 り組 みは事後密度 へ の解析的 な近似解を得 るために漸近 的 な方法 を用 い ることで あ.り ,最 も単純 な結果 は事後分布 へ の正規近似 で,基本的 には中心極限定理 のベ イズ版 とい える。 もっ と複雑 な漸近的な方法 はラプラス法 (Tier‐ney and Kadan0 1986)の 様 な手 法 で,も う少 し正確 で,か な り非対称 な事後分布 へ の近似 ができる.こ の ような近似法 が適用 で きないか あるい は精度 が不十分 である場合 には,数 値積分に頼 る ことになる。何年 もの間 ガウス求積法 の:よ うな伝統的 な方法が この 目的のために使われて きた10。 しか し,こ の方法 を適用す るのは,対 象 とす る計 算式 が大 きなモ デルで は扱 えないので,(パ ラメー タ数が 10位 までの)低 次元 の計算 に限 られて きた。 これ らの方法 には,一 定 のベイズ計量経済分析における最近の発展

269

精度を維持するために必要な関数を評価する数が,次 元数 とともに指数 に増加するという次的元の呪いという問題がある.も う一つの方法は,Dempster,Lattd and Rubin(1977)の EMア
ルゴリズムであるe本 来は欠測値問題における最 推定値を見つける
道具 として開発された方ォ
法でぁるが,多 くのベイズ分析での事後分布のモー ドを見つけるのに用ぃられている.EMア ル
ギリズムは多 くの実際問題に適用されているが,か なり遅いアルゴリズムであり,事 後分布全体を推定するよりiも 主として事後モニ ドを見つける目的だけに けられている.結 果として向
最江の多くの応用分析家はモンテカルロ積分法に注目するようになった.こ の方法はより完全な情報を提供 し,か なり高次元のモデルでも比較的プログラムが簡単であるという が特徴 ある
この方法には,イ ンポータンス・サンプリング (Geweke,1989a)や単純な受容/棄 却サンプリ
ングのような伝統的な非反復的方法が含まれる.も っと強力な方 は
法 ,最 近開発された反復的
マルコ7連 鎖モンテカルロ法で,デ ータ拡大 (Tarlner and wong,1987),メ ロ
人ィト ポリスースァィング
・アルゴリズム (Hastings,1970),そ してギプス
ニ・サンプラ (GcmanandGeman,
1984;Gelfand and Smith,199o)が 含まれる.こ れらの方法はマルコフ連鎖を作成し,そ のア
ウトプツトは同時事後分布からの (相 関のある)サ ンプルに対応す
る,こ れらの方法について‐
以下順に紹介する。
,

.

,

4。

1正 規 近 似

多 くの場合,事 後密度 は近似 的 に正規分布 に したが う.正規分布の性質 はよ く知 られてし｀るので,事後密度か ら近似的な推測 を行 うのは容易である.説 明上 ,そ のモー ドの回 りで事後密
度 の対数 をテ
ー展 開す る=ラ.

hズ 列ν)=ズ ay)十 (θ 一 θ G(冽 ク)十
)′

÷

二θ

)′

ズ 冽y)(θ ― θ)十 残余

ここで G(θ lク )け θで評価した傾斜,″ (θ ly)は θで評価したヘジセ行列である。モードで評価
した傾斜はゼゴでぁることに注意し,残 余を無視すると,:事 後密度は近似的に正規分布にしたが うことが分かる.実 用的には,こ れは近似的なベ イズ
分析はち ょうど古典的な計量経済分析
で最尤値を求めることに対応 している.標 準的な最導化のパ ッヶ―ジであれ ば事後モー ドを得るのに使 うことがで き,対 数事後密度のヘ ッセ 列の逆
行列 にマイナスを付けた ものを近似的
行な事後共分散行列 として用いる。たとえば,Zellner and ROssi(1984)は ロ
ジ ットモデルでの研究 にこの近似を採用 している。 しかしぅ彼 らは正 近似が極 めていこ良
くなとを見 い出 して
郷
′
いる.
′

正規近似に関する問題は,近 似誤差が非常に大きいことである.そ れはこの が方法 事後平均に実際は事後モードで近似してぃるためである.も し,事 後分布がかなり歪んでいるか双峰ならば,結果は惨めである.ま た,パ ラメ‐夕の非線形 数である量 関 がに 心 ある場合は,正規関

近似はそれほど役に立たない。さらに,こ の方法￨キ 近似の精度を評価するための診断が得られなぃ.可 能なら,次 に述べる方法を用いてもっと正 な分 をするべ
確
きであろぅ
析
4。

2数 値 積 分.

￨

ベ イズ 実証 分

析 に通 常見 られ るタ イ プ の積 分 を計 算 す る最 も直接 的 な方法 は,多 くの数値積
分公式の中の1つ を用いることである.こ れらの手法の中で最も単純なものはシンプソンの公式を用ぃてお′り,多 少手の込んだものはガウス
・ェ′
ー
ミ
ト
球積法を用いる.こ れらの手法は
レ,

標準的な汎用数値積分プログラムが低次元の問題 に対 してだけ有効であるという重大な欠点がある.し かし,計 量経済分析では通常多次元の問題 を り
取 扱 う場合が多い.Naylor and Smith

10こ れ らの方法についての一般的な 論 については ■おted(1988,Ch.5)を議,ま た事後分布 の計算への応用については Naylor and Smith(1982)を 参照.

270

日本 統 計 学 会 誌

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1998

(1982,1988)と Smith et al。 (1985)は 数値積分 の全般的 な議論 をしてお り, 9次 元までの数
値積分 を行 ってい るが,プ ログラムは複雑 で,個 別 の問題 に対 するものであるので,経 験 の あるコンピュー タ・ プ ログラマーだ けが使 い こなせ るものである。 しか し: 1つ か 2つ のパ ラメ
ー タ に関 す る積 分 が 必要 な応 用 問題 に対 して は,数 値積分 は実行 可能 で あ る.た とえば,
BRAP10は ,1次 元の問題 に対 してはシンプソンの法則 に基 づいた簡単 なサ ブル ーチ ンが あ り,

IMSLや NAGラ イ プラ リーは Fortranプ ログラム10か ら直 接呼 び出せ るい くつかのサブルー

チ ンを含んで い る.多 分最 も手の込 んだプ ログラム は Bayes Fourで あ り;数 値積分 を行 うための広範 囲のサブルー チ ンを含 んで い る (Naylor and Sha"(1991)参 照).

4.3 ラプラス近似

Tiemey and
Kadane(1986)と Tiemey,Kass and Kadane(1989),そ して Kass,Tiё mey and Kadane(1988)に よる研究 によって,ベ イズ計算 に役立 つ解析的 な近似 を得 ることができるようにな った.特 に,実 数値 あるい はベ ク トル値 パ ラメータや周辺事後密度 の事後平均 と分散 を近似す る
積分 にラプラス法 を適用 した.こ の方法 を用 い ると,ベ イズ分析 は積分 ∫/1θ )exp[一 動 (θ )](″(ス カラーの θに対 して)を
ベ イ ズ分析 で は積 分 を近似 す るた め にラプ ラス法 を用 い る こ とがで きる.｀

σexJ二 動 凋
θ
ズ
ム
/1「
(θ

によって近似する.こ こで θは力(θ )の 最大値,そ して ♂ は θで評価 したヘ ッセ行列の逆行列にマイナスを付 けたものである.ほ とんどのベイズ積分 はこの形を取 る.た とえばTiemey and
Kadane.(1986)はズx釧 め=と表 してい る.こ こで L=[ln(ズ θ))十 inに (θ ly))]/T,L*=二 十1n[g(θ )]/Tそ して Tは 標本 のサイズで ある。 ラプラス法 を分子 と分母 に適用す ると,両 者 とも非常 に似 て い るので近似誤差 も非常 に似 てお り,そ こで互 い に相殺す る ことが分 か る.結 果的 に Tiemey‐ Kadane法 を用 いて計算 された積分 は通常極 めて正確 で ある。
,｀

多変量の場合 には,次 の ように E(Iθ )ly)に 対す る 2次 近似値 を得 る.

σ=
ここで θと θ*は 最大値 で あ り,そ れぞれ Lと L*に 対応す る Σ とΣ*は ,、 シセ行列 の逆行列にマ イナス を付 けた ものであ る。Kass,Tiemey,and Kadane(1989)で 示 されてい るように,
この近似の相対誤差 は T=2の オー ダーで上の正 規近似 よ りもかな り良 い.対 応す る Iθ )の 分
散 の 2次 近似 は次 の よ うになる.

で磁×g(θ )ly)=Ё (ズ θ)刊 y)一 [E(ズ θ)￨レ ]?
Tiё mey‐ Kadane法 を行 うには,関 数 を最適化す る ことだけが必要である.特 にLと L*は 最

10 BRAPは シカゴ大学 の Arnold Zelherを 中心 としたグル‐ プに よって考案 された TSPに 似 たベ イズ計量
経済分析用 の コン ピュー タパ ッケ ージであ る。 このプ ログラムの詳細 は付録 を参照 の こと。
｀
学 で利用で きる Fortranサ ブル■テ ィ ン・ ライプラ リーで ある.

10 1MSLと NAGラ イ プラ リー は,ほ とん どの大ベイズ計量経済分析における最近の発展

271

大化 され,そ のヘ ッセ行列を得る必要があるが,多 くの最適化パ ッケージが存在するのでわざ
わざプログラムする必要はない.最 尤法をよく使う応用分析を行う人にとっては,積 分問題を2つ の最適化問題に変えるので Tierney‐ Kadane法 は簡単 に使える.そ してLと L*は 似た関数であるから,も し ∂を ∂*の 探索での初期値 として使 えば計算が容易 になる.Tiemey‐
Kadane法 は,た とえ θ*が ′*の 方向で ∂か らの 1二 ■― トン・ステップによって置 き換えられても,そ の高い精度を漸近的に維持する。この方法は,Tiemey‐ Kadaneの 1段 階法 として知られている。簡単には,(い くらか精度 を犠牲にして も)2段 階目の最適化を行う必要はない
Tiemey‐ Kadane法 に関 しては,4つ の欠点を指摘 してお く必要がある.第 1に ,こ の方法は計算したい特性値 に対 して繰 り返さなければならない.し たがって,も し20個 のパラメ‐夕の事後平均 と分散を計算する場合 には,41回 の通常時間がかかる最適化を行わなければならな
い.第 2に ,こ の方法は θ(θ ly)の 対数をとるので正の関数に限定される.し かし,こ の制約は大きな定数をθ(θ ly)に 加えるか,(常 に正である)積 率母関数を用いてそれを微分することによつて回避することができる.第 3に ,こ の方法は,近 似 の精度を診断する方法がなぃ。第 4に.

,この方法の近似の質を改良す る方法がない.事 ,た とえ Tiemey‐ Kadane近 似 の寒
精度が当面の応用問題にとってはあまり良 くない とい うことを気付いていた として も,全 く別 の方法を考えることがで きない。

まとめると,Tiemey‐ Kadane法 は少数の重 要な積分 を速 く近似す る非常 によい方法である。
しか し,10個 以上 の多数 の積分 を計 算 しなければな らな い よ うな大 きな問題 に対 して はン,モ
テカル ロ積分 の方が好 ましい方法である。
例 :ロ ジ ッ トモデル

KooP and POirier(1993)は ,1982年 の社会調査 を い て 337人 の雇用 されてい る用
男性 に対して,i5つ の職業 カテ ゴ リー間 での選択が 3つ の特性 に依存 して い る多対 ロ ッ トモ デルを考ジえた。次 の多対 ロジ ッ ト尤度が仮定 され る.

L(Jθ )∝′
二鳳鍔

ここで,個 人 グが職業 ノを選択するとレ″=1(そ の他の場合 は クむ=0),そ て =PЮ b(クし 島″=1)で ある。2け は,次 のように定式化 される。

島=― 響並盤L呂eXp(イ の)こ́こで,2・・
は個人グについての4× 1の データベクトル(経験,教育,人 種の3つ の特性値と定数項 ),そ して の は 4× 1の パ ラメー タのベ ク トル で ある1つ .こ の尤度 関数 をフラ ッ トな
事前分

布 と結びつける.す なゎち:事後密度は尤度関数年比例する.目 的はい くつかの特性を持つ個
人が職業につく確率を予測することである.言 い換えれば,/を 特性 ル をもつ個人の指標 とした場合 に,ら を計算 しよ うとした。これ らの予測 された確率 は,ロ ジ ッ トパ ラメー
タ θの非線形関数で ある.

最尤推定量に対 して closed f01111の 解 は存在 しないことはよく知 られているので,最 尤推定
値 を計算するためには最適化プログラムが必要になる.さ らに,一 般にこの尤度関数を含む積分に対する解析的な解は存在しないことは容易に証明できる.

1つ

aは ゼ ロに正規化 されてし
'る

.

272

第 28巻

日本 統 計 学 会 誌

第 3号

1998

、

そこで,予 測 された確率の事後密度を評価するのに,Tierney‐ Kadaneの 方法 とその 1段 階法
前者の方法では,ロ ジット事後密度の対数 (Tiemey‐(One‐ Step methods)の 両方を用いている。
kad五 五eの 記号では L)を 最適化し,次 にLtの その後の最適化 に対する初期値 としてこの最適*は 計算された各事後平均,す なわち E(島 ly)で 異なるから,多 くの最化の値 を用いている.み
レロ積分の結果 と比較すると,こ れ らの両方の近似の精度はこの適値が必要になる.モ ンテカ′
例では非常によく,必 要な計算は最小ですむ.

5。

モ ンテカル ロ積分

数値解析 の最 も簡単 な方法 は,モ ンテ カル ロ・ サ ンプ リングに基 づ く方法 である。 モ ンテカ
ルロ積分 は,ベ イズ実証分析 で多分最 も広 く用 い られて い る手法 で ある。計量経済学 へ の導入
は,ほ とん ど Kloeck and van Dttk(1978)と Gewekё (1989)の 研究 を通 じで行われて い る。
モ ンテカル ロ・ サ ンプ リングは積分 を直接 に数値的 に評価す るか,あ るぃ は数式 を用 いて解析的 に求 めた解 の代 わ りに妥当な標本空間 における多数 の点 で構成 され る確率分布 に依存 している.
̲
この方法 は,次 の ようない くつか の利点 が ある.そ れ らは 1)高 次元問題 を扱 うのに適 している,2)目 標 に近似す る際 の誤差 のサイズを コン トロールで きる,3)プ ログラムが簡単 で ある
しか し,モ ンテカル ロ法 を用 いた積分計算 が コンピュー タ時間の大半 を占める場合 が多 い.

.

5.1 単純 なモンテ カル ロ積分=1,t..:π )を 事後分布から抽出する
単純なモンテカルロ積分は,も し%個 の確率変数 (θ ち′
´
と

*二
θ
場自 ̀)→ E(Iθ )ly)π →∞g(θ̲となる とい う事実 に基 づいている.こ の単純 な定理 に基づ くコンピュータ・ プ ログラム は非常に簡単 に書 くことがで きる.必 要な ことは,事 後分布 か ら繰 り返 し乱数 を抽出 し,こ れ らの乱

数 それぞれに対 して必要 な統計量を計算 し,そ の各統計量 を抽出回数で平均す ることであるこ
近似の精度は %に 依存 し,ぞ れをコン トロールすることができる.%に ついての漸近理論 を用
いると,数値的な精度の尺度 を導 くことができる.す なわち,弱 い正則条件 の下で,g*は 漸近*2=E(σ(θ )21y)
的 に,平 均 E(θ(θ )ly)と 分 散 σ*2ル の 正 規 分 布 に した が う.こ こでbσ
一[E(g(θ )￨ク )]2で ぁる.σ *2は,12=糖 〆(θ う一θ*2によって推定することができる.E(g(θ )ly)に 対する95%信 頼区間は,[σ *‑1.96s*/″ ,θ *+1.96〃 司 となる.こ こで s*/″ 砺を数値標準誤差 (NSE)と 呼ぶ.漸 近理論によれば,θ (θ )の標準誤差のNSEに 対する比は1/石 を意味する.し たがつて,も し%=10;000な ら,漸 近理論
からNSEは その関数の事後標準偏差の1%に なることを意味する.

対称反復法
数値近似 の効率 を増加す るために,モ ンテカルロ・ サ ンプ リングを僅 かに変形す るのが対称反復法 で ある。 もし事後密度 が近似的 に対称 で あるなら,一 定 の精度 を達成す るのに必 要 な抽″πガο%)を 使 えばかな り減
出回数 は,｀ Geweke(1988)の 提案 した対称加速法 (α %″滋沈 α θ̀σらす ことがで きる.こ の方法 は確率分布 のモー メ ン ト自身 の数値評価 に対す る方法で はな く
標準的 なモ ンテカル ロ・ サ ンプ リングに加 えられる方法 である.こ の手法 は次 のようにペ アに,273

ベイズ計量経済分析における最近の発展

してサ ンプル を抽出す る。 モー ドの一 方 でのそれぞれの抽出 と比例 して,逆 の方向で 1つ 抽出する.も っ と正確 には,も し事後分布 のモー ドが μで グ番 目の抽出が θJで あつた とす ると,対称加速法 は (グ +1)番 目の抽 出 を 2μ 一θJと する.Geweke(1988)に よれば」 この方法 は数値
的 な精度 を大 き く増加 させ,し たが って,特 に事後分布 へ の漸近的な近似が正確 ならば πを大き く減少 させ る こ とがで きる。 このよ うに対称反復法 は,確 率分布 やそのモーメン ト自身の数値評価 に対 する一つ の方法で はな く,標 準的なモ ンテカル ロ・ サ ンプ リング図式 に加 えることができる方法である.対 称反復法を導入するには,前 述の基本プロセスに 1ス テップを加え
事後分布内の点が分布の平均の回りに公平に分布する様にする.正 の分布か ら確率抽出された
後で,対 称反復法は平均を通じて投影した直近の抽出のミラーイメージを作成する.こ のより早い率で真の値、収束する数値近似によって数値近似の分散の減少は,サ ンプルサイズがかな
り大きくなると計算効率がかなり向上する.標 準的なモンテカノ
ンロ・ サンプリングで適切な数値精度を保証するのに π=5000と %=10,o00が 通常選択されるが,も しデータセ ットが T=
100の サンプノ
ンサイズなら,.500と 100oの 間の対称確率抽出 (250か ら500組 )で ,般 に同じ程度の数値精度が達成できる.対 称反復での数値精度の正確な増加は 数 θ(θ )の 非線形性の程̀関度に依存し,非 線形性が増加するにつれて利点が減少する。
,

例 :単 位 根検 定

時系列モデルでは,回 帰パラメータの関数にしばしば注目する場合がある.例 を用いて,D6‐
J9ng and whiteman(1991a,b)で 述べられているがイズ単位根検定の方法を考える。DeJong
and Whitemanは 次のモデルを使っている.

yι=島 十βyι ̲1+&ク

̲̀2+島

yι

̲3+&′ +ε t

ε 平均がゼロで分散が ♂の ″ .正 規,β =(昴 ,a,多 ,島 ,&)′ ,そ して非報知事前
̀は
分布 ズβ,〆 )∝σ‑2が仮定 されると,β に対する周辺事後密度は′
分布 に従う.し たがって,β についての推測は多変量 ′密度の性質を用いて極めて簡単に行える.し かしなが ら:DeJ6ng and Whiteman
は β自体 には関心がな く,自 己回帰の dominite(支 配的)な 根 スに関心がある い は 己
自 回帰
表現で絶対値での最大の根 として定義される).DeJollg and whitemanは ズ4≧ 9751y)の よ
うな数値を計算 した.残 念ながら,こ れらの数値 は βの高 な非線形関数であ り,し たがって摩
解析的な結果は存在 しない.し かし,ズ βly)か らのサンプ リングは簡単であるから,簡 単なモ
ンテカルロ積分を用いることができる
事実, ′事後分希は,1)β の最小 2乗 推定値である平均,2)最 小 2乗 推定から得られる統計0。

.

量である分散,そ して3)自 由度,す なわち r‑1で 決められる.こ れらの統計量はどんな計量
経済分析用のコンピュァタ・パッケこジからでも簡単に得ることができ,乱 数は′事後密度か
らい くつかの方法で得 ることがで きる。BRAPの よ うなプ ログラムで は,も し上の 1),2),3)を与えれげ自動的に′密度から乱数を得ることができる。月
Jの 方法として,応 用経済分析を行
う人は,(た とえば,GAUSSの ような)ほ とんどのパッケージに組み込まれている正規乱数発
生機能 を使 って ′乱数 を簡単 に作成す ることがで き,次 に正規分布 と ′分布 との関係 を利用 して ′密度 に変換す る.

′乱数の場合では,モ ンテカルロ積分は事後分布から乱数 βゴを発生し,ス を計算する(1回毎の抽出からスを計算する .4に 関しての平均は￨′ )に 収束 し
,0.975以 上のガ の割合は=はズ五≧ 9751ク )に 収東する
DeJong and whitemanは ,単位根の存在を証明するのにズ4≧ 9751y)の よ
うな値を使っている.し かし,モ ンテカルロ積分は,自 己回帰モデルやベクトル自己回帰(VAR)モ デルでのその他いろぃろな統計量を計算するのに使うことができる.も し事前分布が自然共役あるいはフ
)「

0。

.

0。

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

ラシ トであれば,事 後密度 は多変量 りあるい は行列変量 ′にな り,事後密度 か ら乱数 を抽 出することがで きる.VARに 対す る この種 のテクニ ックは,Doan(1988)と Koop(1992)を 参照
す ると良 い:5.2 イ ンポー タンス・ サ ンプ リン グを用 い るモンテ カル ロ積分
乱数 が事後分布 か ら簡単 に得 られない場合 は,イ ンポータンス・ サ ンプ リングを用 いたモン
テカル ロ積分 が必要 になる.単 純 なモ ンテカル ロ積分 は事後分布 か ら直接乱数 を抽出 し,次 に抽出 した数 で単純平均 を とる方法であるが,他 方,イ ンポー タ ンス・ サ ンプ リングを用 い るモ
ンテカル ロ積分 は,イ ンポァ タ ンス関数 と呼 ばれる代替密度 か ら乱数 を発生 し,次 にその抽出された乱数 のカロ
重平均 を とる方法 で ある.
た とえば,事後密度 の事後期待値 を近似する場合 を考 える.

y)=EK/1θ 】
正規化 された尤度 に事前密度を掛 けた a乙 (θ )ズ θ)を 簡単にサ ンプルできる￨た とえば,多 変量′密度やスプリット′のような密度10g(θ )に よってラフな近似をすることができる (Geweke,
1989aを 参照).こ こで g(θ )は cL(θ )π (θ )に 近ければそれだけ近似が よい.他 方,σ (θ )へ の近似が悪ければ多 くのウェイ,卜 はゼロに近 くなり,僅 かな θゴによって合計が変動 し,不 正確な近似 になる.

θ(θ )を インポ■タンス関数とし,そ れから簡単に乱数を発生することができる.θ Jを σ(θ )からの乱数とし,ウ ェイト関数を
θ̀)=θ tty)ル (θ J)と する.非 常に弱い条件の下でl"
"J=ズ

♂=翠

Σω

二E傾 列の ″→∞Jを示すことがで きる。 この定理 は一見す るとすべてのイ ンポータンス関数 に対 して成 り立 つ よ、
うに見える.し かしながら,現 実 には もし適切なイ ン‐
ポー トタンス関数が選択されなければ,%は かな り大 き くなる.こ の選択 に対 する良い経験則 は,イ ンポータンス関数を事後密度関数に近似するか,少 な くとも事後分布 より裾を厚 くとるべ きであるとい うことである。 もし事後分布の裾がインポータンス関数のそれよりも厚ければ,推 定は非常に不安定である.そ れは,インポータンス関数の裾のずっと端の方でサンプリングされたときを考えると分かる。 もし事
後分布の裾がイシポータンス関数のそれよりも厚かった ら,こ のサンプ リングに対する勧 は非常に大きくなり,し たがって推定値に非常に大 きなウエイ トを与 える.言 い換えると,裾 の方での滅多にないサンプリングが コスθ)ly)の モンテカルロ推定値の動きを支配する傾向になる。
ベ イズ分析 で共通 に よ く使 わ れ るの は,前 述 の ′イ ンポ ー タ ンス

関数 で あ る. ′分布 は 3つのパ ラメー タ を もってお り,平 均

散 ,そ して 自由度 で あ る.関 数 の最適化 は比較 的易 しい̀分ので,イ ンポァタンス関数のパラメー
タを選択するためには,事後分布の対数を最適化すればよい。ほとんどの最適化パッケ
は自動的に事後モー ドを計算し,モ ー ドでのヘッセ行列を=ジ計算する.イ ンポータンス関数の平均と分散は,そ れぞれ事後モー ドと対数事後分布のマイナ
スのヘッセ行列の逆行列に等しいと置く.ほ とんどの応用分析で,こ れはインポータンス関数ー′密度は,非 対称な場合に認められる以外は通 の ′と じで る・ 0ス プ リ
常同あ .定 式上は,モ ー ドの一方で 、の分散は反'ト 対側では異なる場合がある。
1

10基本的には,こ れらの条件はズののサポートがズay)の サポートをカバーしていることが必要である。

275

ベイズ計量経済分析 における最近の発展の形状 が事後分布のそれ と似たものであることを保証する:自 由度のパ ラメータは,イ ンポー
タンス関数の裾が事後分布 のそれよ りも厚 いことを保証す るために,裾 の動 きをコン トロールするのに使 うことができる
ところで, ′分布が事後分布の十分 な近似 にならない場合には,解析的な方法かあるいは等
高線 プ ロ ッ トのよ うな数値的な道具の どち らかを用 いて事後分布 を注意深 く調 べ るしかな
ぃ2o。 しかし,多 くの応用研究では事後分布 は近似的に正規 であり,正 規あるいは ノィ ンポータ
ンス関数を用いると十分満足するものが得 られる。 さらに,対称加速法を使 うことによって必要なサ ンプルの数 を減少させ ることもで きる.

.

ひとたび 1つ のインポータ ンス関数が得 られれば,そ の質を評価 してモンテカル ロ計算の実行毎の推定値 の安定性を調べ るための最 も単純なア ドホ ,ク な方法が必要になる。すなわち
10,000個 のサ ンプ リングを行 う2つ のモンテカルロ計算を行 うて,そ れらが非常 に似 た推定値,を得たなら,こ れがサンプ リングの数が高次の数値的な精度を達成するのに十分である良い証
拠 になる.同 様 に,事後分布 に十分 よく近似 するイ ンポータンス 関数は,大 体 コンスタン トになるウェイ ト効 になる.そ こで,ベ ィズ分析でインポータンス関数が適切であるかどうかは
1)ウ エイ トを調べ る,2)こ れ らの変動係数を計算する,3)こ れらのウェイ トの分布の グラフ
をプロットする (Hop and van Dttk,1990),の いずれかを行 う,.

あるいはもづ1つ の別の方法 として,Geweke(1989)に よる漸近理論を用いたインポータン
ス関数の診断を行 うことがで きる.前 節 で紹介 した Gewekeが 用 いた最 も単純な診断法 は,数

値標準誤差 (NSE)で ある.こ の場合 NSEめ 推定値は,次 式で与えられ る.

もう1つ の有望な数値は相対的数値有効性 (RNE)で あり,Gewekeは 次式で推定 した.

生
RNE=■ 等鵠纂纂学
Var(g(θ )ly)は モンテカルロ法にょって通常は計算されるので,RNEは NSEを 一度計算してしまえば簡単に得ることができる。RNEの 大挙い値が望ましい.す なわち,も しRNE=な ら
インポータンス関数は事後分布から直接サンプリングして得た結果と同程度の精度を持つ結果を得る.さ らに,NSEは (RNE*の 12と 事後標準偏差の積である。したがぅて,RNE=o.1で%=1,000と すると,数値標準誤差は事後標準誤差の 10%に なる
事後オ ッズの計算 には,E(ズ θ)ル )の 形 にはで きない ∫π(θ )L(θ lレ )"の 計算 が必要である
,

.

.

￨

ω

″
Ｈ
﹁
ろ

豊

ｌ 一％

グ

θ

θ

ι

ル

しか し,Geweke(1989)は 次式 になることを示 した.

すべての正規化定数は事後オ ッズ を計算する場合 には含 める必要が ある.あ るいは,少 な くとも分析の最後で再 び加 える必要がある.す なわち,∫ ズθ) =1,∫ ′(酬 y) =1,そ して ∫g(θ)=1が 必ず保証 される.

2のた とぇば van den Broeck,KoOp,Osiewalski and Steel(1992).の 研究 で は,事 後分布 の詳 しい分析 に よってガ ンマ・ イ ンポTタ ンス関数が適切 であ ることが示 されてい る.

276

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻 第 3号

1998

イ ンポ ー タンス・ サ ンプ リングの計算
イ ンポー タ ンス ,サ ンプ リングは,ガ ウス型尤 度関数 を持 つが共役 でない報知事前分布 をもつ共通 の回帰 モ デル を分析 す るのに有効 な方法である.そ こで,事後密度 は非正則 で,そ こか
ら確率抽 出が 困難 か不可能 で ある。 イ ンポー タ ンス ●サ ンプ リングの計算 アルゴ リズ ム は,まとめると次の通りである.ズ θly)を クが与えられたときの条件付き確率密度関数としたときも°しズθ)か ら確率変数を簡単に発生することができるなら,ズ θ)=∫ /1θ l′ ),(θ )認 を求めるために,

1.沙 (θ )か ら互いに独立なπ個の標本蜘,… ,y″ を発生させ

2.ズ あ=物 Ё絶
1ズ θ′
)を 計
算する
lレ

ん(θ )か らの標本 を発生 させ るには,ズあ の代 わ りに ズ θlyJ)か ら の を発 生 させ る。しか し,メ θ)
か ら標本 を発生 させ ることが難 しい場合 に,は ,こ の方法 は適用 で きないので Geweke(1989)はズ θ)に 近 い,標 本 を発生 させや す いイ ンポー タ ンス分布 と呼 ばれる分布 g(θ )を 用 い て(1)θ (θ )か ら互いに独立な%個 の標本 ク
r,… ,y務 を発生させ(2)a=Σ 絶lω ノ(θ lyす )/Σとすると,θ

準ωJ,ω J=ズ ″)ん (″ )を 計算する
l

ポ‐卜
がズθ
ートを含むとき,確率1で
)の サ
)の サポ
ことを証明 した.λ (θ )か らの標本 を発生 させ るには(2)の 代 わ りに(θυ)'/(θ lグ )か らaを 発生させる(3)(a,¨ 。
,ら )に 確率(ω l,・

:。

(′

=1,…

,%)

aが ズぅに収東する')を 与 えて,標 本 (″ ,… ,″ )を 発生 させ る,ω ″とすればよい。Smith and Gelfand(1992)は これを重み付ブ早 トス トラップと呼び,物 が大きくなるに従って力(θ )か ら発生される確率標本に対する近似がよくなることを証明した.

イ ンポータンス密度 の選択 は,数値近似 と計算効率 の両方 で重要である. 2つ の密度 が似 ていれば,そ れだけ数値近似が よ くなる.ィ ンポー タ ンス密度 の選択 で最 も重 要な点 は,イ ンポ
ー タ ンス密度 の裾 のカバ ン ッジが少な くとも真 の事後分布 の裾 のカバ レ ッジに等 しいか,そ う
でな ければ少 しだけ大 きい こ とを保証する ことで ある。すなわち,イ ンポ∵ タ ンス密度 は θの事後密度 よりはい くらか裾 が厚 い.こ れ にようて,事後密度 の裾 の方では標本 をとりす ぎる こ´とにな るが,こ れ らの観測値 はインポー タ ンス・ ウェイ ト関数 バ θ)に ようて小 さ くウェィ ト付けされる.も し裾 が非常 に薄 ければ裾 のヵバ レ ッジが不適切 で あ り,こ れ らの観測値 に過剰 にウ ェイ トを与 え,数 値 サ ンプ リングをお こな う時 に標本空間 の全領域 を完全 に覆 えない (Gewe‐ke,1989a).
′
そのために,通 常適切 な ヵバ ン ッジを保証するためにスケール ア ップした分散・ 共分散行列のイ ンポー タ ンス密度 を用 い る (Tamer,1996,p.56):た とえばぅ π個 の観測値 と力個 の外生変数のある単上方程式回帰宅デノ
ンク=却 +ε ,メ %《 0,♂ の を仮定し,こ こで θ■(β ,♂ )に 対する事前分布はあに比例する。すると,回帰係数 βには報知事前情報を,そ してスケール(β )たパラメータには標準的な散漫な事前分布をもつ.デ ■夕の尤度は標準多変量正規分布でありλ(β )が 一定なら事後分布もθ
=(β ,♂ )に 対して多変量正規―逆ガンマ型であるような標準的な形 になる(Zellner,1971).し か し,多 くの経済分析 べ の応用の場合では,λ (β )は βの標本空間,を越 えて一定 で ある ことは滅多 にない.経 済理論 によってあ る点 で切断 され るか もしれない し正の値 だけしか とらないか も知れない。 また,以 前 に行わ れた研究 か ら得 られた知 識 によって,特別 な情報 を持 つ こ ともある.多 くの場 合 ,イ ンポータンス・ サ ンプ リングは βあるい は θ(β )の事後分布 を調 べ るために用 い る最適 な方法である.デ ー タの尤度関数 は,事 前分布の形 によ)バイズ計量経済分析における最近の発展

277って尤度関数や事後分布 が (事 前分布 のサポー トが ある標 本空間の区域 内で)極 端 に異 なるものではない と仮定す ると,し ば しばイ ンポー タ ンス密度 は 自然 に選択 され る.(β ,σ )に ついての確率抽 出 は簡単 に行 う こ とがで き,し たがらて事前分布 は評価す る ことがで き,前 述の全 ス
テ ップで完全 な分析 がで きる.｀、
計算 ソフ トウ ェア問題
イ ンポー タ ンス・ サ ンプ リングを用 いたモ ンテカルロ積分 を行 うい くつか のパ ッケー ジプ ロ―
グラムが ある.た とえば,BRAPは 正規 あるい は ノイ ンポ
ンス関数 を用 いてモ ンテカルロ=タ

積分を行うプログラムである。多分現在利用可能な最も手の込んだモンテカルロ積分パージは,Hop and van Dijk(1990)に よって開発 された ものであり, 2つ のアルゴリズムでプロ'ケ
グラム した SISAMと MIXINで ある.SISAMは ,ノ イ ンポータンス関数 を用 いたモ ンテカル
ロ積分 を行 う.他 方,MIXINは もう と複雑 な混合積分 を用 いて,モ ンテヵル ロ と数値積分の両方 を結合 して歪 んで い る可能性のある密度 を含 む積分 の正確 な評価 を行 う.両 方 のサブルー テ
ィンを使 うと,広 範囲 のインポァタ ンス関数 の診断 がで きる:BRAPの モンテカル ロ積分 の機

能 を利用す るのには FOrtranが 必要である.Fbrtranと NAGサ ブルー ティン・ライ ブラ リーがSIsAMと MIXINを 利用 するのに必要である.

しかし通常 は GAUSS,S‐ Plusや FOrtranぅ あるいはどれか共通のプログラム言語を用 いて特定目的のプログラム を開発する場合が多い.こ のとき必要なのは,サ ンプ リング毎 に事後分布を評価するサブル■ティンである.す なわち,イ ンポータンス関数から標本 を抽出 し,そ のサ
ンプ リングa)で のインポータンス関数を評価するサブル
インと,す べての機能 を含 んだメ=テ
イ ンプログラムの部分 は各サンプリングで評価 し,適 切 にウエイト付けする。インポータンス関数 に対す るパ ラメータ値 を得るために,事 後分布を最初 に最適化する必要がある場合 もある.
この場合で は,GAUSSの ようなパ ッケ‐ジは最適化サブルニテ ィンをもってお り,ユ ーザーはすでに最適化す る関数 に関 してはプログラム している.
受容/棄 却法キ

インポニタンス・サンプリングで,(θ )か ら標本を発生させにくい場合には,次 のような受容/Ri
4σ
6ψ 滋% ‐
棄却法 (A‐R″ ″cttπ 動物)が 用いられる:目 的とする密度 π(″ )=ズ ″)κ
から標本を発生するとし,こ こで ∈飢ご,夕 (″ )は 正規化されていない密度であり,Kは (未 知の)正 規化定数 で ある.g(χ )を ある既知の方法で シ ミュレー トで きる密度 とし,す べ ての αに対 して π(″ )≦ ″(″ )で あるような εが存在す るとす ると,″ (・ )か ら確率変数 を得 るには(1)か ら確率標本の候補 2を 発生させる(2)(0,1)区 間上 の一様分布 %01)か ら乱数 %を 発生させ る(3)%<π (z漱 頑0な らば zを 確率標本 として受容 し,そ うでなければ棄却 して(1)に 戻 る。
(4)(3)で 得 られた 2を 用いて ズθlz)か ら確率標本 θホを発生 させ る。
.

.

とするc(1)か ら0)の ステップで受容 された zの 値 は π(0)か らの変量 になることが証明されている (Ripley,1987).こ の方法が有効 であるためには, εを十分注意 して選ぶ必要がある.こ の方法は ズ0)の ズ0)に 対する近似がよ くなければ受容率が低 くな り,効 率の悪い乱数発生法になる.

SIR:Sampling/1mportance Remmpung法
もう■つ公表されているデァタを用ぃて統計的推測を簡単に行うために,欠 測値を埋める方法としてRubin(1987)は 助π″機グカのら
物 % R ″夕′
れr(SIR)法 を提案している.ま ず
ηの計算で,σ (θ)あ るいはズαy)は ,任 意のスケールファクターを掛けても結果に影響を与えない.し か
し,正 規化定数け事後オッズ解析に重要であるので,事後オッズを計算するとき注意しなければいけない2⇒.

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

g(Zly)か ら目標 とする物個 の乱数よりもずつ と多い雛ゝ の乱数を発生 させる.ウ ェイ トに従 って リサ ンプ リングし,目 的 の勿個 の乱数 を得 る方法である.未 知の母数を θとし,観 測されるデータをỳ観 測されない観測値をZと して,事 後分布 ズZly)か ら欠測値Zを 発生させる方法である.ま ず,事後分布 沙(θ ,Zly)に 対 してよく近似 してお り,標 本 を発生 させやすい密度関数′(θ ,ZIク )=g(θ l″ )ズ Zlθ ,υ )を選ぶ.θ (θ ly)と ,(Zlθ ,y)は それぞれ ズθly)と ズZlθ ,y)を 近似 した確率標本を発生 しやすい密度関数である.そ して(1)θ (θ ,ZIク )か ら″個 の標本 (a,zj),(′ =1,2,."〃)を 発生する.

(2)ウ ェイ ト焼 を次のように求める.

均=れ 矧ぷ(3)(る ,約 ,""初 )の 中 か ら 写 (<め

万=Lな 二″個 の Zを 確 率 ズ Z手 が 三 笏 /Σ に lω :で 発 生 さ せ る .

場 の分布が非常 にゆがんでい る場合 は SIRに よる近似 はきわめて悪 いので,θ の取 り方 に注
意す る必要 が ある.

例 :ロ ジ ッ トモ デル (続 き)
再 び Koop and Poirier(1993)の ロジ ッ ト千 デル の例 に戻 る と,ロ ジ ッ トモデル に対 する事
後 密度 か ら直接 にサ ンプ リングす るのは簡単 ではない.結 果的 に,ベ イズ分析 で E(島 ly)の よ

うな数量 を,解析的あるい は単純 なモンテヵル ロ積分 を用 いて計算する こ とはで きない.こ の場合 は,イ ンポ∵タンスサ ンプ リングを用 いたモ ンテカル ロ積分 が必要であ り,こ の方法 を簡単 に導入す る こ とがで きる
弱 い条件 の下 で,ロ ジ ッ ト尤度関数 はパ ラメァタに関 して凹で あ.

る.少 な くとも Koop ind

Poirier(1993)で 用 い られたデー タセ ッ トに対 して, ′イ ンポー タ ンス関数 は事後密度 に極 めて うまく近似で きる.上 記 の論文 では,最初 に 口.ジ ッ ト事後分布 の対数 を最適化 し,結 果 として得 た事後 モー ドとマイナスのヘ ッセ行列 の逆行列 をイ ンポータンス関数 の平均 と分散 として用 いて い る.自 由度 のパ ラメー タの様 々な値 に対 して実験 し, 5つ の値 を選択する と,そ れは
正規分布 の裾 よ りもかな り厚 い こ とを示 して い る.次 に,パ ラメー タや 島 の事後平均 や事後分
散 のよ うな様 々な統計量 を計算 してい る.

これらの不テップを遂行するのに必要なコンピュータプログラムは,非 常に単純である.最初のステップでは,ロ ジット事後密度の対数が最適化 され,最適値 とヘ ッセ行列が計算される。
もし事前密度がフラ
なら,こ のステップはMLEの 計算 とその分散の推定と同じである.この最初のステップは,ィ
'卜 ンポータンス関数のパラメータを与える。2番 目のステップは,ィ ン
ポータンス関数からサンプ リングし,島 のような特性値 を各サンプリング毎に計算する.次 にそのサンプ リングを以前にg*に 対 して与えた単純な公式を用いて平均する´ヽ
5。 3 Poly‐ ′密度
ベイジアン計量経済学における計算手法を説明する場合 に,,olソ ′密度 について も多少ふれる必要があるだろう.Poly′ 密度は ′カーネル (密 度のカーネルは積分定数を無視した密度である)の 積あるいは比であり,ベ イジアン計量経済分析,特 に同時方程式モデルあるいは操作
変数モデルでは頻繁に生じる.線 形回帰モデルでは,そ のような密度 は異分散が存在する場合に生じる:こ れ らはしばしば解析的なモーメン トをもたないので,数値手法が通常必要とされる.こ の方法をpoly′ 事後密度の性質を評価するのに用いることができるけれども,Bayesian
,

.

279

ベイズ計量経済分析における最近の発展

Regression Package(BRP)と して知 られて い る特別 なプ ログラム も利用 で きる (Ridhard andTompa,1980参 照 ).こ のプ ログラム を詳細 に記述す る ことは しない.Poly′ 密度 で研究 しよう.と す る有効 な数値積分法 はない ことを注意すれば十分であるe

6. マル コフ連鎖 モ ンテカル ロ法‐.

マルコフ連鎖モンテカルロ法 0%滋 ο
υ物 勿 M餞 厖α 列♭:MCMC)は ,実 際的な統計モデ
ルの作成 にとって大 きな展望をもたらした.最 近 まで,多 くの応用問題における分析対象の複に認識する困難性 とか ら,そ のための特別 の方法 と特定分析 目的のソフ トウ
雑性 と構造を=確 .現 在では,MCMC法 を利用す ることによつて,多 くの複雑 な問題 を汎用
ェアが必要であった的な ソフ トウェアを用いて分析することができる統一的な環境が整えられつつある。
MCMCは 基本的には,マ ルコプ連鎖を用いたモンテカルロ積分である.ベ イズ分析では,場合 によっては古典的な分析でさえも,モ デルのパ ラメータについて推測や予測を行 うために,かな り高次元 の確率分布を積分する必要がある。ベ イズ的な方法では,デ ータ所与 のもとでの
パ ラメータの事後分布 を積分する必要があ り,古典的方法 はパ ラメータの値が与 えられたもとでの観測値 の分布を積分する必要がある.モ ンテカルロ積分 ￨ま 必要な分布から標本 を抽出し,期待値 に近似するために標本平均を計算す る.マ ルコフ連鎖モンテカルロ法は,こ れ らの標本を長期間 に巧妙に作 られたマルコフ連鎖を作動させ ることによって抽出する.こ れらの連鎖を作成す る方法は多数 あるが,Gibbsサ ンプラーを含 む これ らの方法はすべて,MёtrOp01is et aL(1953)と Hasting(1970)の ァ般的な枠組 みの中の特別 なクラスになる
1990年 代 はベイズ的な方法を応用する優 れた実証経済分析が表れ始めた年代 である。これらの応用のほとんどは事後分布 をシミュレー トするのに,マ ノ
ンコフ連鎖モンテカルロ法を用いている。 シミュレーション・ アルゴ リズムは,そ の基本的な形において非常 に簡単であるので,
多 くのベ イズ型応用研究ではだんだん標準的 な方法 にな りっつある。 さらに,こ の方法には長い歴史があり,基本的な理論 は確立されている。 もともとは統計物理の分野で始められ,空 間
統計学やイメージ解析 の分野で長 いこと使用 されていたが,最 近数年の間 に MCMC法 はベ イ
ズ統計学 に大きな影響を与え,古 典的な統計分析 の分野で もい くつかの応用が見 られる.最 近の研究では多 くの応用,手 法の豊富 さ,そ して理論的な精緻 さにおいてかな りの成果が加 えられた。
.

基本的には2種 類の MCMC法 がある.ギ プス・サンプラー (⑫ ゐ助″ ″γ)は ,完 全な条
件付き分布 ズ01の ≠:,y),グ =1,.."ル の集合から順々に標本 をとり,か なり緩い条件の下でその安定分布 として結合事後分布 ズθly)を もつマルコフ連鎖を生成する.こ のアルゴ リズムはGeman and Geman(1984)に よって名付けられ広範囲のベイ̀Gelfand and Smith(1990)はズ推定問題に適用できることを(1992)を 参照するとよい示した.最 近の優れた入門的な解説はCasella and Gё orge.

もう一つの方法は,完 全な条件付き分布からシミュレー トするのが難 しい時に適用される
この場合,別 々の異なるマルコフ連鎖をシミュレー トする代わ りに,あ る別の安定分布を持 っているが,そ れを修正してその安定分布 としての事後分布を持つ新 しいマルコフ連鎖が生成できるようにする￨こ れはメ トロポ リス…ヘイスティング・ アルゴリズム 0わ ゅ ο施‐
月躊″%邸4な 力磁%)に よって達成される.以 前に定めた各パラメニタに対する候補分布から標本をとり,そ の後受容・ 棄却ステップを用いる.重 要な特徴はこの方法は標本をとる連鎖で正規化されいいて な 事後密度 ズθly)=L(ク lθ )π (θ )し か含 まない ということである.よ く知られた参考文献
は,Metrё polis et al。 (1953)と Hastings(1970)で ある。それにChib and Greenberg(1995b)には,優 れた入門的な解説がある.

.

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号 1998

とめた後 にマル コフ連鎖 につ
本章 では最初 に,重 要な導入部分 であるベ イズ推定 について まヽべいて Chib and Greenberg(1995b)に 沿 って述 るに,Metropolis‐ Hastingsア ルゴ リズム
̀次
で与 えられ る MCMCの 一般型 を説明 した後 ,ギ プス・サ ンプ ラーがその特別 の場合 で ある ことを述 べ る.応 用計量分析で よ く用 い られて い るギ ブス・ サ ンプ ラーについて述 べ,そ の計 算方
法 と収東判断 の方法 につい て簡単 にまとめる。最後 に,デ ー タ拡大 アルゴ リズム について述 べ
る こ とにす る
マル コフ連鎖 モ ンテカル ロ法 に関 してぅ い ろい ろな面か ら取 り上 げた本 が最近出版 されている.た とえば,Carlin,BI P.and Louis,To A。 (1996)で はデニ タ解析 の観点 か らベ イズ法 と経.

験 ベ イズ法 が まとめ られてお り,Gilks,Richardson,and Spiegelhalter(1996)は 25編 の興 味
ある論文が基礎か ら応用 まで網羅 されて い る,そ れに Gamerman(1997)に マル コフ連鎖 モン
テカル ロに属す る方法 が詳細 にまとめて述 べ られてい る。Kass,et al(1997)に は,こ の問題に関す る興味 あるい ろい ろな示唆 が述 べ られて い る.日 本語 で書 かれた文献 は少 ないが,大 森(1996)に はマル コフ連鎖モ ンテカル ロ法 の紹介 とその収東診断基準 が要領 よ くまとめ られている.伊庭 (1997)に は統計学 の応用 が参考 にな り,繁 桝 (1995)の 本 の付録 に この方法 の説明がある
6.1 ベ イズ推定.

現在 での MCMC法 のほ とん どの応用 はベ イズ推定 を行 うために始 まった.ベ イ ズ分析 での観 点 では,統 計 モ デル の観測可能 な変数 とパ ラメー タに間 に は何 の基本的 な差異 はな く,す べて確 率変数 と考 え られている.ク を観測 デー タ,θ はモ デルパ ラメー タ と欠測 デー タを表す.推測の段階では,す べての確率変量に関 して事前分布 ズθ)と 尤度 Ц ylθ )の 2つ の部分からなる
同時分布 夕(ク ,θ )を セットアップする.ズ θ)と L(ylθ )が 決 まれば,次 の確率モデルし″ 夕御bα ‐′″″ %θ 滋′み)が 得 られる。
ズy,θ )=ι (ク lθ )ズ θ)
データクを観測すると,ベ イズの定理を用いて yの 条件のもとでの θの分布を決定する.

刺 の=
これは θの事後分布 と呼ばれ,す べてのベイズ推定の目的である
事後分布のすべての特性値,モ ーメン ト,四 分位慎高事後密度区域等が,ベ イズ推定に
̀最 ではな く
とって重要である.こ れらの統計量はθの関数の分布全体,事後期待値によって表すことができる.関 数 /(θ )の 事後期待値は.

馴ズ例州 =
で得られる。この式の積分は最近まで,特 に高次元の場合にはベイズ推定における実際的な困難のほとんどの原因であった.ほ とんどの応用分析では,E[ズ θly)]の 解析的な評価は不可能である。
′
期待値 の計算″は 力個 の要素 か らなる確率変数 ベ ク トル で 分(・ )の 分布 を もつイズ的 な応用分析では,
̀ベ
ル
ー
は
デ
ラメ
ー
パ
タ と欠測 デ タか らな り,古 典的 な応用分析 ではデータあるい はランダム″ モ効果である.ベ イジアンではπ(0)は 事後分布になり,古 典派では尤度になる.ど ちらも,目 的はある関数 /(・ )の 期待値 を計算す る こ とで あるベ イズ計量経済分析 にお ける最近 の発展馴ズ瑚 =ここで″の分布は正規化定数 まで既知である可能性 を認めることにする.た とえば,ベ イジア
シ推定では,(θ ly)∝ 沙(θ )L(ylθ )は 知ちているが,正 規化定数 ∫沙(θ )Ц ylθ )認 を簡単に評価することができない.

モ ンテ カル ロ積 分

モンテカル ロ積分 は,日 標 とする密度 分(・ )か ら標本 {″ t,′ =1,.."場 を抽出す ることによってE[/1″ )]を 評価 し,次 にE[/(″ )]〜

場自/(み

)

で近似す る。/(″ )の 母集団平均 は標本平均 によって推定 され る。標本 {″ t}が 独立 な ら,大 数 の法則 によって近似 は標本 サイズ %を 増 やすだけ正確 になる.こ こで %は 分析者 が コン トロール
す る ことが で き,固 定 されたデータサ ンプル のサイズではない。

一般に,π )は 標準的ではないので,標本 {″ ι}は π )か ら独立に抽出されることはない:しかし,(″ ι}は 必ずしも独立である必要ではない.{″
任意のプロセスによって生成することが̀}はできる.大 胆に言えば,π (0)の サポートを通じて正しい割合で標本を取ればよい.こ れを行う
―つの方法 は,安 定分布 として π )を もつマル コ フ連鎖 によって行 う.こ れが マル コフ連鎖 モ
(・

(。

(・

ンテ カル ロで ある
6.2 マル コフ連鎖.

≧0で一連の確率変数 {助 ,鉤 ,助 ,… }を 生成すると仮定すると,次 の状態 ″
各時間 ′
連鎖
̀+1は
の現在の状態 ″ιにのみ依存する分布 Pl″ ιらとられる.こ れは,″
+1:″の もとでの次
与
̀)か
̀所
の状態 χ
̲1}に はこれ以上依存 しない.こ の系列をマルコフ連鎖
去の連鎖 {助,鉤 ,.."″ ォ,過̀+1はと呼び,P(・ ,0)は 連鎖の推移核 と呼ぶ.連 鎖は時間同時性,す なわち P(1,・ )は依存 しな
いと仮定する.一 般的には遷移核 P(″ ,4)は 条件付き分布関数で,″ から集合4内
'に
の一点へ移

動する確率を表している.分 布関数であるから,P(″ ,"つ =1で ,こ こで連鎖は点″から″べ移動する場合もある,す なわちPl″ ,{″ })は 必ずしもゼロにならない
初期状態蒟がどのようにχιに影響を与えるのかを見るために,助 所与のもとでの助の分布をP(オ 〈れ,助 )と 表す.こ こで中間の値 {島 ,&,… ,″与えられていないので,島 は直接助
̲̀1}はに依存する.正 則条件のもとで;連鎖は徐々にその初期状態を忘れ,P(ι 〈・,助 )は 究極的には一い
意な安定分布 (あ る は不変分布 )に 収束 し これは ′あるい は 助 に依存 しない.当 面 ,安 定
分布を φ(:)と 表す.す ると,′ を増やすにつれ,標 本点 {″ サ}は φ(,)か らの相関のある標本のように増カロしているように見える
連続状態空間に対するマル￨フ 連鎖理論の方法は,遷 移核 ズ
ら出発する。遷移核は",4)か条件付き分布関数で,″ から集合4内 の一点へ移動する確率を表している.分 布関数であるからP(″ ,4)で ,こ こで連鎖は点″から″へ移動する場合もある,す なわちズ ,{"})は 必ずしもゼロにならない
マル コフ連鎖理論 の主要な問題 は,安 定分布 π*が 存在す る条件 と遷移核 のイタ レー シ ョンが安定分布 へ収東す る条件 を決 めることで ある.安 定分布 は,次 め条件 を満足す る
.

,｀

.

.

.

バ″)=/P(″ ,力 )荻 →″

282

第 28巻

日本 統 計 学 会 誌

第 3号

1998

よ に さ
問題 は適 切 な P(″ ,力 )を 見 付 け る こ とで あ る.関 数 夕( ,y)に 対 して遷 移 核 は次 の う 表
れ る.

,P(″ ,力)=ズ ″,y)″ +γ (χ )Ⅸ 力)

ここで,も し″∈力 なら,(″ ,→ 皇0,み(力 )=1,そ の他はゼロである.そ してγ(″ )=1‑∫ mdP(″y)力 は連鎖が″にとどまる確率である.γ (″ )≠ 0の 可能性から,yに 関してズ″ル)の 積分が必
ずしも1に ならないことは明らかである
さて,関 数メ″,y)が 反転条件 (あ るいは詳細均衡),.

π(″ )ズ ″,び )=π (y)メ y,″ )(3)を満 たせ ば,π (・ )は P(″ ,0)の 不変密度 になる
6.3 Metropolis‐ Hastingsア ル ゴ リズム.

*(1)か らサ ン ルするプ
メ トロポ リス・ヘ イステイング・アルゴ リズムは,標 準的 でない分布 π
のに用 い ることがで きる強力 な MCMC法 である.ア ルゴ リズムか ら一連 の抽 出 を行 う方法 は
その安 定分布 φ(。 )が 関心ある分布 π(0)で ある ようなヤル コフ連鎖 を生成 す る方法 を見 つ ける,

必要 が あるが,こ の ようなマル コ フ連鎖 を生成 す るの は非常 にや さしい.以 下 で,そ の形 を
Hatings(1970)に したが って述 べ る.こ れ は Metropolis et al。 (1953)に よって最初 に提案 された方法 の一般化 で ある
前述 の受容/棄却法 と同様 に,い くつかの候補 を生成 で きる密度 が ある と仮定す る.マ ル コフ
連鎖 を用 いて い る ことか ら,密 度 がプ ロセスの現在 の状態 に依存す る ことを認 める.し たがっ.

宿の )は ,("jク )と 表 さて,候 補生成密度 (ω %蒻滋″多 %″ 蒻客 滋減 り あるい は 夕η″滋′αθ
れ,こ こで ∫,(χ ,y)力 =1で ある.こ の密度 はプ ロセ スが ″点 にあ るとき,密 度 は クを σ(″ ,y)から生成されることを意味 している.も し ,(■ ,y)自 身が反転条件を満たせば探索は終了する
が,ほ とんどそういうことはない.た とえば,あ る ,ク について″(″ )を (″ ,y)>π (y)σ (ク ,″ )(4)となる場合がある.こ の場合:大 ざっぱには,プ ロセスは からyへ 頻繁に移動 し,yか らχ
へは滅多に動かない.こ の状態を修正する簡単な方法は,移 動が起 こる確率 ズ″,′ )<1を 導入することによって″からyへ 移動する数を減 らす.こ こで ズχ,y)を 移動確率 と呼ぶ.移動が起こらなければ,プ ロセスは再び″を目的分布からの値 として戻す.そ こで″からク (y≠ ″)ヘの移行 は

九H(″ ,y)=α (″ ,y)ズ ″ル), ″≠ク ‐に従って起こる。ここでズ″,y)も 決められる
再び不等式(4)を 考えると,こ れはyか ら″へはそれほど起こらないことを表している.しできるだけ大きくするようにし,こ れは確率であるから上限は1に なるたがって,ズ",y)をしかし,現 在は移動確率ズ″,y)は 九H(″ ;y)が 反転条件を満足するように決められる.そ のとき次のようになるためである.

.

.

π(")α (″ ,y)ズ ″,y)=π (ク )α (y,″ )ズ y,″ )=π (ク ),(ク ,″ )、ここからズ″,y)=π (y)ク (y, )ル (″ )α (χ ,y)で あることが分かる。もちろん不等号が逆の時はα。確率ズ″,y)と ズy,χ )は 前の不等式の両辺をバランスするように,言 い換(■ ,y)=1で あるベイズ計量経済分析における最近の発展‐

283

えると九H(″ ,″ )が反転条件を満足することを保証する めに決められる.そ こで,九 H(″ ,y)がな反転可能であるためには,移動確率 は次のように決められる。

[
雄
J守 れ

渤刈
」。中
■き 0
その他

H連 鎖 に対 す る遷移核 の定義 を行 うために,プ ロセ ス ″にとどまるゼ ロでないが確率 を考 える.先 に定義 した よ うに,こ の確率 はM‐γ)=i‑4α ←,y)ズ ″,y)″(″となる。 したがって,九 H(1,力 )と 表 され る M‐ H連 鎖 の遷移核 はPMH(″ ,4の =σ (″ ,y漱″,y)あ 十,y)ヵ[1‑4σ ,y)ズ χ
]Ⅸ ″
(″

)

で与 えられ る.

MetrOpolis‐ Hastingア ル ゴ リズムで は,各 期 ′で次の状態 ″ォ
年1は 提案 された分布 P(・ ,″ ι)から候補点 yを 最初 に抽出す る.提案 された分布 は現在 の点 ″rに依存 していて も良 い:た とえば
P(0,″ ι)は 多変量正規分布 で,平 均 が ″,一 定 の共分散 列 で る 合 もある.il■ 補点 クは,次行
ぁ 場の確率 ズχι,y)で 受容 され るc最 後 のサ ンプル で χの値 を得た とす ると,次 の値 は候補生
成密,

度 ,(″ ,y)か らクをサンプノンすることによらて生成される。このようにして得られたクは,確 率ズ″,y)で受容されるc候 補点が受容 され ると,次 の 態は″ι
.1=yと な .確 率 1‑″ (″ ,y)で然
ぅ候補が棄却されると,連 鎖は動かずサ ンプル した値 は現在の ″′二
なる。
値 十=″

̀と
このマルコフ連鎖の状態遷移を決める移動確率は,反 転条件 満たしていてマルコフ連鎖はを

時 間 に可逆 (″ υ徽瘍 力)で ぁ る.こ の こ とか らル(″ r)σ (″

̀1,″

ル
ι
光
̀=π ̀+D(″が言え,π (″)は このマルコラ連鎖の定常分布 なる.

もしメ0)〜 π(″ )な ら,こ の式 よ り各 ″ ),′ ≧1も π(″ )に 従 う こ とになるが,″ (0を その よ う'こに選 ぶ こ とはで きな い.実 際 には,十 分 に長 い
,た とえげ%回 のイタンー ションの後 ,点 ″(″ +り¨ 。)ま で発生 させ,最 初 の物個 のサ ンプル を ててマル コフ捨"″
連鎖 か らの結果 を用 い を,期 待
値 E[/(″ )]を 推定す る.こ こで ″は分布 φ(0)を もつ:初 期 のサ ンプル
を捨 てるこ とは bum‐ in"と呼 ばれ る.こ の もum塙 標本 は通常計算 か ら除外 され,次 の推定量 を得 る
(ι

,

.

「

=ザ 場′
鼻1ん の

(6)

これ はエル ゴー ト的平均 と呼ばれ る.求 める
分布 へ の収東 は,エ ル ゴこ ド定理 によ り保証 される.一 般 にマル コ フ連鎖が prOユ rな 定 分布 を持常ち,既 約 (irreducible)で 非周期的 (aperiodic)
な ら,定 常分布 は一意 で,′ → ∞ の時の 力 )の 極限分 が π布(″ )に 収東す る。
(ι

いくPか の重要な点がある.第 1に ,ズ ″,y)に 計算には″ )の 正規化定数の知識を必要としいな .第 2に ,も し候補生成密度が対称なら,す なわち
σ(″ ,y)=c(y,α )な ら,受 容確率は
π(y)ル (″ )に 縮小し,こ れはMさtrop01is et al。 (1953)の本来の公式である.最 後に,Gibbsサ
(・

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日本 統 計 学 会 誌

第 28巻 第 3号

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シプラーは MHア ルゴ リズムの特別 な場合 である ことが示す ことが で きる (Chib and Green‐berg,1995b).

6.4 Gibbsサ ンプ リング法 ￨5章 で述 べた手法 は,様 々 な計量経済 モ デル を分析 す る ことがで きるが,多 くの場合事後密
度 か ら直接 サ ンプ リングした り,あ るい は良 いイ ンポー タ ンス関数 を見 つ けるのが不可能 な場
合 が あ り,そ の場合 は上で述 べ たモ ンテカルロ法 を直接適用す る ことがで きない.単 純 なモ ン
テカル ロ積分 を事後密度 か らサ ンプ リングし,こ れ らのサ ンプルか ら事後密度 の任意 の特性値の期待値 が計算 で きる ことを前 に述 べた。Gibbsサ ンプ リング法 は事後分布 か らのサ ンプ リン
グに収束 す る乱数 を生成す るので,こ の性質 のために この方法 が よ く使 われるようになった
これ らの乱数 か ら,モ ンテカル ロ積分 が利用 で きない場合 における事後密度の特性値 を簡単 に.

計算す る ことがで きる22b.単 一 要素 だ けか らなる Metropolis‐ Hastingsの 特別 な場合 が Gibbs
サ ンプ リングである。Gibbsサ ンプ リングはその名称 を Geman and Geman(1984)に よって与 えられ,格 子状 の Gibbs分 布 を解析す るのに用 い られたが,そ の応用可能性 は Gibbs分 布 に限 られない.そ こで Gibbsサ ンプ リングは実際 は誤解 しやす い.同 じ方法 はすでに統計物 理の分野 で使われ てお り,そ こでは heat bath algorithmと して知 られてい る.言 うまで もな く,

Geman and Geman(1984)の 仕事 は Gelfand and Smith(1990)と Gelfand et al.(1990)の 研
究 を通 じて MCMCの 統計学 の主要な分析道具 へ の道 を拓 いた。今 日まで,MCMCの ほ とん どの統計的な応 用 は Gibbsサ ンプ リングが用 い られてい る
最 近 ,応 用計量経済分析 を行 う人 々の間 に Gibbsサ ンプ リング法 に対 す る関心 が生 じて き.

た.ギ プス法 は,次 の ような分野の分析 に用 い られて い る.多 項 目反応 デー タ (Albert and Chib,
1993a);ト ー ビ ッ トモ デル (Chib,1992);多 対 プロビ ッ トモ デル (McCulloch and Rossi,

1994);ARMA(夕 ,7)誤 差 を持 つ回帰 モ デル (Chib,1993;Chib and Greenberg,1992);マ ル コ
フス ウィッチ ング・ モ デル (Albert and Chib,1993b;McCulloch and Tsay,1994a);ス
トカス
0フ
0モ
ロン
ティック
テ ィア
デル (Broeこ ヽ Koop,Osiewalski and Steel,1994);ス トカステ・ボラティリティ0モ デル (JaCquier,P01SOn and Rossi,1993);多 重変化点モデル (Chib,ィック1998),そ して非共役事前分布をもつ時系列モデル (Geweke,1992a)で ある.こ の分野での最近の研究の発展から判断す ると,ギ プス法 は応用ベイズ計量経済分析 には重要な手法 になっていることが分 かる.

Gibbsサ ンプ リング法の主要な仮定 は,た とえ同時分布 からサ ンプ リングするのが難 しくとも,い くつかの条件付分布からは簡単 にサンプリングできることである.た とえば,ス とBが確率変数である とし,ズ 4,3)か らサ ンプ リングしたい.た とえ ズ4,3)か ら直接 にサンプルをとることができなくでも,メ 41B)と ズB14)か らサンプリングできれば,Gibbsサ ンプリン
グを使ってズ4,3)か ら極めて簡単にサンプリングができる。特に,条 件付分布から次々とサンプルをとることによつて,同 時密度からの標本に収東することができる.条 件なしの密度からよりも,条 件付密度からサンプリングする方がずうと簡単であるから,ギ プス ,サ ンプラー
は様々な計量経済学上の問題に対 して役に立つことを示した。
もっ と正確 には,θ を (α ,… ,a)の ように分解 され るパ ラメータ・ベ ク トル とす る.ギ プス・'

サ ンプ ラニが役 に立つためには,ノ =1,.."″ に対 して ズ硼 α,… ,の・ 1,0+1"。 ̀,a)か ら簡単 にサンプ リングで きる よ うな分割 を選 ばなければな らない.Gibbsサ ンプ リングは,各 サ ンプルが他の密度 か らの以 前 のサ ンプル についての条件付 きで ある密度 か ら連 続 してサ ンプ リングを行
22b Gibbsサ ンプ リングはこのような

場合 に適 しているが,他 の似たような方法 も存在す る。関心がある人はTierney(1991),Tarmer(1991),Gibbsサ ンプ リングと関連手法 に対す る議論 は,Tanner and Wong(1987)
あるいはGelfand and Smith(1990)を 参照すると良い。
,

ベ イズ計量経済分 析 にお ける最近 の発展

285う.す なわち,α をノ=1,… ,■ ,グ =1,… ,sに 対するズ硼,… ,(震 1,o年 1,… ,α ‑1)か らのサンプルとし,こ こで θOは 任意の初期値である.ル はステップ数 (抽 出される条件付密度の数)を 示し
Sは パスの数を示す.も しθゴを,番 目のパス,θ J=(〆 ,.."″ ,で とられた1組 のサンプル,とすると,弱 い条件の下でθ̀は ズθ)か らのサンプルに収東する。さらに,次 を示すこともできる
)′

.

↓

θ
９・
Ｅ

ｇ

一ｓ

θ

ｌ

Ｓ
Ｈ
﹁
ろ

σ

ここで例示のために,2変 量の場合を考える.初 期値 θ°=(a10,α)を 与えると,ギ プス
・サン
プラーは1つ のサンプル αをズ硼 )か らとり,1つ のサン ル のを alall)か らと 1つズりぅィのサンプルをメalα )か らとり:等 々と繰り返す.何 回かのパスの後,こ の方法によってズαの から連続してサィプルをとり:E(ク (θ ))自 身とズ0)を 計算するのに使うことができる。
一般的には,π (θ ),θ ∈S⊆ rを (正規化されていない)目 標密度とする。θをα,0,.."ぬに何らかの分解し,力 番目のプロックの完全条件付き密度をπ(a「α;.."a̲1,a+l"."のと表
す:す ると,Gibbsサ ンプリング・アルゴリズムは次の繰り返しによって定義される))を
1.初 期値 θO=(冽 °,¨"″ 与 え,グ =0と お く
a2°

,

.

2。

次の よ うにシ ミユレー トす る冽J+⇒を π(alあ つ,関 の,… ,め め
)か ら

め'+り

を π(alall′ +1),a31の ,… ,の っ)か ら

冽

J+り

ゴ
を π(al冴・ り,OJ+D,… ,研 ),… ,め の)か ら

り を π(al研 1+り J+り″十,ぁ,… ,ぁ 聟りから3。

グ=グ +1と おぃでステ ップ 2に 戻 るゴ
このアルゴ リズムはマルコフ連鎖の次の項 θ〈+1)を
各完全条件付 き密度をシミュレー トすることによって与え,こ こで条件付 きの要素は一つのサイタル に
中 改訂 される
次に,Gibbsサ ンプ リングを実行する際 に生 じるい く かの問題 に ろう
移
.最 初 に,ブ ロックっを計画するときに高い相関がある要素 は一緒 にまとめる きである
.そ うしない と,マ ルコフ
べ
連鎖はゆっ くりとしか減衰 しない自己相関を示す傾向があ り,日 標密度へ
ゆっくりと収東することになる.第 2に ,扱 いやすい完全条件付 き構造は
,し ば しば″の定義 に潜在データあるいは欠測データを導入することによって得 られる.サ ンプラマに変数を追加するとい う考えはデ.

ータ拡大として知られており,Tanner and Wong(1987)で導入され,い くっかの応用例がある.最 後に,完 全条件付き密度のいくっかか伝統的な方法 (棄 却サンプリング
法や既知の発生器)に よってサンプルするこ、とが難しtゝ 場合,そ の密度はMHア ルゴリズムによって(M● ller,
1991)か ,あ るい は独立サ ンプル を生 成す ることに よぅてWild,1992).

｀

サ ンプル す ることが で きる (Gilks and各パ スの最後 でぅギ ブスサ ンプラー は α,… ,命 のそれぞれに対 してサ ンプルを得 る.パ ス毎の平均 を,任 意 の θ(0)に 対 す る E(σ (θ )ly)を 推定 るのに
こ
う
とがで
使
きる
す
.し か し,2つ の問
題 がモ ンテ ヵル ロ積 分 を適用で きない Gibbsサ ン リング手法 を使 う際 に生 じる.そ れ は初期
ィ

条件 とパス毎の系列相関である:理 論的にはじギブ サンプラーから得るサンプルは ヾ,メ スの不数が多いときだけは事後分布からのサンプルと等しくなる。もしθ°が不適切に選ばれると,初期のサンプルは後のサンプルと大きく異なる場合がある.こ のために
,多 くの分析ではギプス
サンプラー中のπ個の初期のパスを棄てており,こ れ よつてθ°の選択への依存を減らすに.

第 28巻日本 統 計 学 会 誌

第 3号

1998

単純 なモンテカルロ積分 とは異な り,ギ プスサ ンプラーは事後密度からの独立 な標本 を生成せず,し たがつて,サ ンプルがパ ス毎 に系列相関があることを簡単 に示す ことができる.こ の特性から,研究者 によっては系列相関 を断ち切 る意味からγ回目のパ ス毎 のサ ンプル を棄 てるか, γ回目のパ ス毎 にギプスサ ンプラーを再始動 させている.実 証的な問題では様々な方策 を試みるか,θ %%,γ の異なる選択をし,結 果がこれらに敏感かどうかを見ることが重要である
もちろん,最 適 な Gibbsサ ンプ リング・ アルゴ リズム は問題毎 に異 なる.し か し,ギ プスサ ン
プラーか ら 1つ の長 い ラ ンを得 た方が よいか,あ るい は再 出発 した方が よいか ? とい う問題.

に関心 が持 たれてい る (Tanner,1991;Zeger and Karim,1991;Raftery and Lewis,1991;それに Gelman and Rubin,1992;を 参照).

モンテカルロ法が正規近似あるいはラプラス近似より優 る 1つ の利点は,こ の方法には診断法があり,近似の精度を反復数を選択することによリコン トロールすることができることにある.Geweke(1992a)は ,ギ プス・ サンプラーに対 して同じ種類の診断を提案 している.す な
わち,も しE(σ (θ )￨ク )の 推定値 を
σ

θ

＊
一
ｓ

Σ日

１

ｇ

とし,こ こで Iは 推定 に含 まれ る●組 のパ スを示す (Jは す べてのパ ス,あ るい は最初 の物を除いたすべ て,な どで も良 い),そ して s*は 含 まれ るサ ンプル数 (sあ るい は s一 π)と す ると,1組 の [g(θ f)](′ ∈の は単変量確率過程 になる.漸 近理論を用い て,Gewekeは g*は 平均
E(θ(力 )ly),漸 近分散 s* lSlの の漸近正規密度にしたがうことを示した。ここで 最のは周波数が*にゼロのところで評価した {g(θ J)}の スペクトル密度である:こ の統計量は,[s* lSlの ]V2は θ
対す る NSEと して用 い る ことが で き,数 値標準誤差 の計算 はギプスサ ンプラー を採用す ると可能 になることを示 したI Slの の推定値 を得 る多 くの方法 が あ り,こ れ らは標準的 な時系列のテキス トで述 べ られて い る.さ らに,RNEは よ く知 られた方法で計 算す る ことがで きる
Geweke(1992b)は さらに別 の収束診断法 を作成 した.ギ プスサ ンプ ラー はパ スの数 が大 き:くなった ときにだ け,事 後分布か らのサ ンプル を生成す る。 したがって,初 期 のパ ス を後のパス と比較 す る と収束 の失敗 が明 らかになる.E(g(θ )￨ク )の 2つ の推定値 が作成 され,次 のよ うに
1つ は初期 のパ スに基ず くものであ り,も う 1つ は後 のパ スに基ず くものである.

働=十 二 ゴ7(θ ),ゴθ(θ )ここで sc=s*一 勢+1。 もし 2つ の推定値 が大 き く変わ れ ば,こ れは収束 しなか った ことを示す.よ り詳 しくは,NSLと NSEβ を前 のパ ラグラフでのように計算 した 2つ の推定値 に対す るNSEと す るとして,Gewekeは 次 を示 した.

→ MO,1)′もし [o(θ )]が 定常な ら,シ た*と sBた *は 固定 されてお り,(磁 十助)た <1で ある.こ の応用 では,

Gewekeは 象=0。 ls*と sB=0.5s*と おいた.彼 は上の方程式 の左辺 を収束診 断 とし,こ れ を収束
を確 かめるのに用 い る こ とを薦 めてい る
本節で は,Gibbsサ ンプ リング法が基本的なモンテカル ロ法 の強力 な拡 張 になって い る ことを述 べ た。ギ プスサ ンプ ラTは 同時事後密度 がそれ 自体扱 い難 いが,ィ ヾラメー タ空間 を適切 に.

分割 した条件付分布 か ら抽 出 しやす い場合 には適 してい る.ギ プスサ ンプラー を利用 した論文

287

バイズ計量経済分析 における最近の発展

数の最近の急増ギ リから判断すると,計量経済学の多くの間駆は,そ のような条件付の密度によつてより簡単に扱えるようになるように見える.

例 :マ ル コ ラ型 ス ウ ィッチ ン グ回帰 モ デ ル

次のMcCul10ch and T■ y(1994)で 用いられたマルョフ型ス ィッ グ回帰モデルの
単
フ ォン

純化 した ものを考 える

.

'

yt=χ

βttε l, st=1の とき=χ &十 Q̀ sι =2の ときクォ′―

ここで ε″は,笏 .Ⅳ (0,冴 )の 確率変数 (グ =1,2,′ =1,L."ので ある.任 意 の時間 ′で,こ れらの回帰 モ デル の どち らか一 方が成 り立 ち,こ の状態間のスウ
ィッチはマル コフ過程 に したがう.

′(st=21sι ̲1=1)=A,
Xs̀≡ 21s,̲1〒 2)■ 九。

いまパ ラメT夕 θ=(■ ,&,ど ,ど ,A,2)′ と状態ベクトル s=(■,… ,sr)′ に関心がある.こ のモ
デルの尤度関数は複雑である.実 際:た とえ非報知事前密度を仮定しても,事 後密度から直接にサンプリングするのは難しい.し かし,状 パクトルを知っていれば デルは2つ
の単純 ‐
,モ
零
lJRを

な回
含 んでいぅ.そ して,パ ラメァタの値￨デ ータギ既知であれば,状 態について推測するのは簡単である.こ のことは,こ のモデル に対 してギプス・ サ ン
プラニをセ ットアップで きることを示唆 してい る.

McCul10ch and Tsay(1992a)は ,ギ プスサンプラ がァ 次の条件付分布 でセ ットァップで きることを示 した.′ =1,2に 対 して ズ測 y,s,〆 ),ズ aly,島tts);そ して ′),ズ ρ=1,∴ 。
,rに 対 してズ ,欧 ̲ぁ n,&,ど ,め,こ こで。
̲̀)=(■ ,..",̲̀1,0オ +1"。
lす る.さ らに,こ れらの条件付サンプルはそれぞれ簡単に抽出できる.特 に,ズ 島ly,島"Srγ〆)が 正規密度,ズ のly,島 )は 逆ヵィsォ ￨ク

2乗 密革 ,ズ タJS)は べ T夕 密度 :そ して ,(sι ly,ュ ̲̀),■,&,ど ,ど )は 状態ベ ク トル のマル コフ

性を利用することによって,簡単に操作できる密度である.証明と正確な密度関数の詳細はI McCu110ch and T,ayを 参,

照 す る と良 い.

ギブ不・サンイラーは,各 サンプルが以前のサ プル 条件付きであるときに,こ れらの条ィ の件付分布から連続してサンプリングする。McCulloch and Tsay(1994)は このタ
イプのモデルを用 いて米国の cNPと 失業率を調べ,McCul10ch and Tsay(1994)は同様のモデル を用 いて米国の工業生産 にお ける単位根あ存在 を推定 してい .こ の のモ
デルは最尤法では分析する
標ぅのが非常 に難 しいので,お プスサシプラーを用 いた ィズ
が
推定
めて
バ
極
自然である
例 :打 ち切 リデータのある線形回帰モデル
次の線形回帰モデル を考える.

.

ωι=″ ′十ὲ

ここで ″ιは ′番目の個人に対するた次元の外生変数、 ク トル,そ して ε′は 勿 .Ц O,♂ ),し か
し物 は観測されない変数である.そ のかわりyが 測さ
観の4,こ こでyι ≦ク*な らỳ=″̀,そ他の場合はyι =y*で ある(従 属変数はセンサーされている).も し従属変数がセンサーされていなければ,モ ディレは扱いやすい (事 後密度は主規誤差を持つ線形回 モデルに
帰対する事後密度と同 じになる).す なわち,"ι が既知 な ら事後密度
操作可能であるが,も しパ ラメー タが既知
￨まな ら,ωついての推測 は極 めて簡単 に行 える.こ れはしたサ ンプル を ズβ,♂ ly,ω )と,導 続 、
̀にズωly,β ,♂ )か らとるやプスサンプラーを示している.非 報知事前密度 るい,あは共役事前密288

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

度 を仮定す ると,ズ β,酬 y,ω )は 正規 ―逆 ガ ンマ密度 ,ズ ωlク ,β ,♂ )は 多変 量正規密度 で あることを示す ことがで きる.し たが って 2つ の条件付分布 は簡単 にサ ンプルで き,ギ プスサ ンプ
参照
ル法 は拡張 された事後密度 の分析 に採用す る ことができる。 より詳細 は̀Chib(1992)を

の こと

.

6。

5 データ拡大 (Data A̲ugumentation)ア ル ゴ リズム

Tanner and Wong(1987)に よって開発されたデータ拡大 (2ι″ 4η郷%減蒻粥)ア ルゴ
リズムは,観 測できるデータクに観測できない潜在変数 zを 人工的に発生して拡大し パラメ
こダの事後分布の形状等を評価する方法である.yと zが 与えられれば事後分布ズθly,0が 簡
単 になることを仮定 してお り,こ の方法 は次 の imputation(埋 め込み)と posteriOr(事 後)ス,ヽ

テ ップか らなる.

imputation ttOp 予測分布 ズJy)に 対する現在の近似分布から,π 個の潜在変数zの 標本 4,
れ,… ,2解 を発生 させ る.

得られた拡大デニタ (y,2)を 用いて,モ ンテカルロ法によリズθly)を 近似すposterior stepる.

′

imputationス テップにおいて,ズ 冽y)は

♂
θ
=ル 刻
,yX酬 ののメ
イであり,p(θ ly)に 関す る知識 を前提 とする.す なわち,埋 め込みステ ップと事後ステップを繰り返す ことを前提 とする.具 体的 には*を 生するの(1)第 ′回目のズθly)の 近似をメめ発(θ ly)と する。メ (θ ly)か らθ(2)θ *を 所与 としてズ川y)か らzを 発生する返すことによってXtty)か ら%個 のz*を 発生する.ズ θly)の 近似は次の積分に(1)と 0)を 繰り.

.

基 づ く.

￨

二
後
ガ
ズ
の
ズ
の
冽
酬
/pl冽 銑

この積分 を解個 の z*を 使 ったモ ンテカル ロ法 によって近似す る.

夕°y)=場 準
仏ろ
ィ酬
(酬

)

埋め込みステップのがつにして得られる.こ のような混合分布に従う乱数を(θ ly)も このよう最初に解個の分布の一つを無作為に選択し,次 に選ばれたズθlク ,わ からθを1つ 発生する様にして作成する
この考 え方を応用 したモデル には,ラ ンダム・ ポイ ン トにおける構造変化 モデル (Carlin,,.

Gelfand,and Smith,1992),打 ち切 リデータや離散 データのモデル (Chib,1992;Albert andChib,1993b),マ ル コ フ・ ス ウ ィ ッチ ング モ デ ル (Albert attd Chib,1993b;Chib,1993;
McCulloch and Tsay,1994),パ ラメー タ制 約 の あ るモ デ ル (Gelfand,Smith,and Lee,1992),
それ にセ ンサ ー化 自己 回帰 モ デ ル (Zangari and Tsurumi,1996)等 々が 含 まれ る。
例 :セ ンサ ー化 自己回帰 モ デ ル

Zangari and Tsurumi(1996)で は,セ ンサ■化自己回帰誤差モデルのパラメータの事後モ
ニ メン トと事後確率密度 を 3つ の方法 で導 い ている.ラ プラス近 似 ,デ ‐夕拡大 のある GibbS

サンプリング,そ してガゥス求積法である.ベ ィズ点推定量を事後平均として求め,そ れをシ

ベイズ計量経済分析 における最近の発展
ミュ レー トした EMア ル ゴ リズ ム と疑似 最尤法 で 求 めた最尤推定 量 と比 較 した .

これらの方法は,日 本 の米国への乗用自動車輸出の 1974年 か ら1992年 までの年データと四半期データを用いた回帰モデル に適用された。日本 の乗用自動車輸出は,1981年 から1986年 まで輸出自主規制 として知 られてい る実質数量割 り当ての状態 におかれていた.こ の自主規制は米国の自動車生産が 自主規制の上限が無効 になるまで 6年 間続 いた.こ の間の時期をセンサーされていたと考 え,自 動車輸出の需要関数 を計測 している.彼 らの研究の結果,標 準的な Tobit
回帰モデル とは異 なり,セ ンサー されている観測値がかな り多 く,デ ータに強 い自己相関が見られる場合 Gibbsサ ンプラこ と結 びつ けたデー タ拡大アルゴ リズム は計算上の問題 に直面することが報告 されている.

センサーされた観浪Jtt yC={y分 とともに,対 応する潜在データyC*={y′ *}が 利用できるとする.さ らに,セ ンサーされていない観測値 y=y*を グ′={yOと 表す。結果的に,y=υ ,yつ とy={ỳ}で ある.デ ータ拡大 Gibbsサ ンプラーの基礎はズθ
ly,y*)=ズ θ ,yCす ),す なわち
ズθlク 9,ク y° *)ニ ズθly′ ,yC*)で ある.yC*は 観測されなくとも,シ ミュレー トできる.セ ンサー化された自己相関のある回帰の変換は,も との式からその 1期 ラグを引いて得られる.す なわ
ち,y,=(1二 ρL)yま と,,=(1‑ρ ⊃″t,こ こでLは ラグオペレータである.変換したデァタでのモデルは,次 のように表される
ly′

1‐

.

y°

=″ °
βtt z, α〜ノ (0,♂ fr̲1)

事前分布′(β ,♂ )は ρとは独立であるとすると,(β ,♂ ,ρ )の 事前分布 は,夕 (β ,♂ ,わ )=ズβl♂ )メ ♂)ズ ρ)と なる.こ こで,特 にズβぽ)〜 ノ (島 ,〆40 1), ズ♂)〜

(2/0/2,あ /2),

‑1)ズρ)〜 ノ (ら ,7。

とする.Gibbsサ ンプラーでは,次 の条件付き分布が必要である :ズ βP,ρ,y,y*),ズ 酬β,ρεホぁlβ ,♂ ,ρ 2y,)でる.グ の条件付きの構造は*),そ して
y,yC*),ズ dβ ;σ t y,ク ε
,(yCキ

,

ズyC*ly,β ,ρ ,♂ )〜 truncatedJら c(η 9,Σ つであるから,β の正規事前分布を尤度関数を結びつけて,次 式を得る.

ズβly,ρ ,♂ ,yつ 〜ノ (β *,♂ ,ス *二 1)'yり
ここで,β *=(ん +ノ ′″0) 1( ん島十″°,4*=(ん 十″σ″りである.β とρが与えられたときの♂の尤度はすぐに得られ,仮定された事前分布はズ♂lβ )〜((乃 十力)/2,(ヽ 十o)/2),ズ o)=(β 一島)′И
よβ‑6)を意味す る.♂ の条件付 き分布 は｀ズ♂￨ク ,ρ,β ,yC*)〜 η ((r‑1+め +ヵ )/2,(あ 十C+あ )/2)
ここで,あ =(y,一 ″°β(y° ―″°β)で ある.ズ dy,♂ ,β ,ク C■ )の 条件付き事後分布は,次 のように導出される.AR(1)モ デルでは,誤差 εーχιβは次のように書け
̀=グ
)′

,′

=ρ Q‑1+%ι , ′=2,...,7

ρは単変量 平 規分布 に従 う.尤 度 関数 と ρの正 規 事 前 密度 を結合 す ると,次 の切 断 され た正 規事
後密度 を得 る.

290

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

ズ洲y,♂ ,yC*,β )∝ truncatedノ (ψ ,7 1)1(眺 °ψ+σ /cl,ψ =(鴨 十♂/″ )で ある.そ して″は(T不ここで,c二 (a,… ,Cr)′ ,ψ =り
行は ct̲1で ある。
1)ベ クトルで,そ の第 ′=2」￨

7: 計量経済分析におけるMCMCシ ミュレーション法

MCMC法 は,こ のようにして巳標分布 (″ 響 ′″な″み%励 π)か ら標本 (多 重観測値)を 生成
す るシミュレーション技法である.マ ル コフ過程 の推移核 は,そ の極限の不変分布が 目標分布
モンテになるとい う性質 を持 つ ように定式化 され,マ ル コフ連鎖 はコンピュータで生成 される・シミュレーションを多数回反復する.そ して一時的な不安定状態 (burn‐ in)の 後,様 々ヵルロ
な条件の下での出力が目標分布からのサンプルになる.そ のような一般的な方法 は「られている.こ のアルゴリズムでは,ァ ル
して知Metrop01ist‐ Hastings(MH)ア ルゴリズ
コフ連鎖の次の値は提案密度から生成され,現在の点での密度と比べたときの候補点での密度
^と
,

0ア ル
ギ
に従 つて,受 容 した り棄却 された りす る。MH法 の特別 な場合 は Gibbsサ ンプ リング
リズムで,GeFFlan and Geman(1984)で 導入 され,Tanner and Wong(1987)と Gelfand andsttth(109o)で 拡張 された.次 の標本 は,一連 の完全条件付 き分布か らのランダム・ベ ク トルの部分要素 をサ ンプリングすることによつて得 られる.そ の他 の MCMC法 には,ハ イプリッド
MHと 棄却サンプリング (Tiemey,1994)と EMア ル ゴリズムの確率バ■ジヨン (CeleuX andDiebolt,1985)な どの方法が含 まれる
MCMCを 用いた方法は統計学上での応用分析できわめて役 に立ち,多 くは複雑 な,高 次元問
題 に適用す るのが難 しい伝統的な独立サ ンプ リング法 よりもずつと役 に立つことが証明 されている。MCMC法 は目標密度 の正規化定数が分からない場合 に も適用す ることができ,こ の ことは目標 (事後)密 度の正規化定数がほとんどわからないベイズ分析では非常 に重要である.加えて,扱 いにくい尤度関数 を持 つモデル をシミュンァ トで きるような MCMCス キーム を組 み立てることができようになる。 これは通常,特 にGibbsサ ンプ リングではパ ラメータ空間 を欠.

測データ,あ るいは潜在変数を含めるように拡張する方法であるデータ拡大によつて行う.以
下 で,代 表的 なモ デルについて Chib and Greenberg(1996)￨こ 沿 つて説明 す る.

1応 用 例
MCMCシ ミュレー シ ョン法 をい ろい ろな種類 の計量経済 モ デル に適用す る方法 を,以 下 で7。

示す ことにす る.ま ず最初 に,Gibbsサ ンプラー をデ■夕拡大 のない場合 に適用す る ことができ,シ ミュレーションが標準的な分布だけからなる単純な例から始める。目的はこの方法の考え方を示し,そ れを他の場合に適用する方法め役に立つことである.例 を示す前に,こ の後使
1)に,分 散 ♂ は逆ガンマ分布
う事前密度に対する仮定を紹介する.ベ クトル βは ノ唯(ん ,3。
1は
ウイツンヤー ト分布 7(o,島 )に 従 う.事 前密度のハイ(拗 /2,あ /2)に ,そ して精度行列 ρ
ニパラメータはゼロの添 え字 を付 け,既 知であると仮定する
やノ.

SUR:Seemingly Untllated Regresslon Model
最初 の例 は SURモ デルで,計 量経済学 では広 く用 い られ てい る予 デルで あ る.誤 差項 が正規￨
分布 に従 う との仮定 の下 で,観 測 されたデー タ yJι は・グ
グ ノL(0,ρ ),=(clt,… ,cp̀)′ 〜 グサッむ一″ βJ+ε J̀ ど≦%
1<グ ≦′,1≦ ′:ὶ｀

ここで,β ′は力 1の ベクトルでρは正定符号行列である.各 期で観測値 を縦にスタックする
̀×と,モ デルを次ぎのようなベクトル型で書き直すことができる.

ベ イズ計量経済分析における最近 の発展yι=X̀β tt ει=(ylォ=diag(五ここで υι
サ=(α ,… ,μ ト ル×1そ して 力=Σ Jん で ある。沙,嬌"..,ル ,為̀),β̀,…
=1の 時,単 ∵ 方程式正規 回帰 モ デル で ある.デ ー タ L=(ク 1"."多 )の標本 に対 する最尤推定値)′

は反復過程 を通 じてのみ得 られ,こ れ らの推 定量 の有限標本分布 は取 り扱 い に くい.対 照的 に
Gibbsサ ンプ リング・ アル ゴ リズム は,こ のモ デル に対す る厳密 な小標本 ベ イズ推定 を与 える,(Percy,1992;Chib and Greenberg,1995a)。
1)に

1(精

1)に

関す る事前情報 が密度 π(β)π (ρよって表 され ると,β とρ
度行列 )はいことしてる とになる.す ると,(事 前密度 と尤度関数の積 に比例す る)パ ラメータの
独立 仮定
(β ,ρ

事後密度 は,次 式 で与 えられ る

.

p刊 ″
ρ×
―
バ
ス
の
聯
り
型y2■ 後÷ム 一
下り

2ettp[―(後]

これは,(正 規化定数が未知の)目 標密度であり,こ こか らシミュレー トする.さ て,も しβと1をρパ ラメータの 2つ のプロックとして扱 うと,完 全条件付 き密度 ,(β lち ,ρ ‑1)と ズρ 11ち,β)は 簡単 にシミュレー トできる.特 に,す でに述べた事前分布 のもとではズβl L,ρ

1)べ〃(β ,3Fl)と ズζ
ン11L,β )〜 %(乃 +%,L)

こ こ で β=BX島 島 +Σ f=lχρ 1グ

̀),島

二
(島 十Σ

lχ

),そ し て 島 一[町 1+Σ ′=1(クr一χ β)0 1(ク ォーXtF)′ ] 1で あ る.こ れ らの 2つ の分布
̀=1駒を Gibbsア ル ゴ リズ ム で シ ミュ レー トす
10〜11L).にOがると,β周辺密度 π(β l L),ρπ(ρ従って分布するような標本 {βO,ρ Tl(の }を下生成する.そ して ズβ〈?,ρ の)は 目標 (同 時)密 度 に従って分布する.抽 出されたサンプルは
インポータンス・ サンプ リング関数や尤度関数を評価することなしに得 られる,.

Tobitと Probit回 帰 モデル

SURモ デルでは,Gibbsサ ンプ ラー をモ デル のパ ラメニ タに直接適用す る。 しか し直接適用で きない場合 で も扱 いやす い完全条件付 き分布 のセ ッ トは tobitモ デルや probitモ デル の ように,パ ラメー タ空 間 を直接観測で きない潜在 デー タで拡張 す る こ とによって得 る ことがで きる.

興味 ある こ とに,サ ンプ ラーで定義 され るパ ラメ■ 夕空 間が非常 に大 きい (probitモ デル の場
合 はサ ンプル サイズ よ りも大 きい)と ,シ ミユレー ションにお けるプ ロ ックの数 はきわめて小さ くなる (t6bitモ デル では 3,￨二 値 prObitモ デル では 2で ある).

Tobin(1988)の 打 ち切 り回帰 モ デル (ceisOred regressi

・

mOdel)で は,観 測値 クゴは次のよ うに生 成 され る.

z′、 ″(″′β,♂ )そ して yゴ =max(o,zグ ), 1<′ ≦%%個 の独立 な観測値のセ ッ トが与 えられる と,β と ♂ に対す る尤度関数 は次の ように表す こと
がで きる

.

三
め]思 つ■[‑1か 銑
上
の
ユ α嘉
[1・

(σ

2]

ここでCは 一組の打ち切 り観測値,そ して のは標準正規確率変数 の累積分布関数である.明 ら｀
かに,こ の関数は (事 前分布を掛 けた後)Gibbsサ ンプ リング,ア ルゴ、
リズムのなかで簡単 に扱えない.計 量経済学で Gibbsサ ンプ リングを適用 した最初 の研究 の二つである Chib(1993)は
パ ラメータ空間が打 ち切 り観測値に対応する潜在デ‐夕 よつて拡張 される場合 には,非 常 にに,日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

簡単 になるこ,と を示 した
その理 由は,ベ ク トル z=機 ),グ ∈Cが 利用できるためである.後 は %× 1ベ ク トルで,も し
グ番 目の観測値 がセ ンサー されていなければ グ番 目の要素 は yJで ,セ ンサーされていれば之である.プ ロックを β,♂ ,2と し,そ れぞれの完全条件付 さ密度を ズβlろ ,z,♂ ),ズ 酬 ろ,z,β),ズ 冽L,β ,♂)と した場合の Gibbsサ ンプ リング・アルゴ リズム を考 えると,こ れらの分布はすべて扱 いやすいことが分か り,Gibbsシ ミュレーションはす ぐに適用可能である.最 初 の 2.

つの分布 は次のようになる.

ズ』拷,♂ )〜 4(β ,(30+σ

2χ

x)‑1)

そ して

σ
ズ
し )〜 η(当≠,D守 ≧
,β

)

2xっ
2xち
ここで X=(鏡 ,.."場 ,β =(3。 十σの,そ して &=(y″ =ⅨF)′ (y″ 一XF)G
0‑1(3。 島+σ
他方,潜 在データの完全条件付き分布は%個 の独立分布の積に簡略化される.夕 lzl L,β ,♂ )〒Πたψ(zJyJ=0,β ,♂ ),こ こで)′̲∞ ,。 (χ :β :♂), グ∈C,(zル J)=0,ズ β,♂ )〜 3』、

は,区 間 (一 ∞,01で サポー トされ る切断正規分布 で ある.こ の場合 (た とえば,β と ♂ の分布
は,潜 在 デー タが与 えられた ときのセ ンサ ー されたデー タ と独立 であ る)に 観測 される条件付
き独立性 へ の単純化 は,通 常 デー タ拡大 を行 った ときに生 じ,こ れはなぜ デー タ拡大 が有効 な
道具 で あるか を示 してい る
デー タ拡大 が有効 で ある ことは probitモ デルで も明 白である。%個 の独立観測値 L={ク ]が与 えられてお り,各 y:は Prob(yJ=1)=0(″ :β )で あるベ ルヌー イプ ロセスに従 う.こ のモ デル.

や この クラスに入 る他 の多 くのモ デル に対 して,Albert and Chib(1993b)は ,潜 在的 なガウ
ス型 デー タを Gibbsサ ンプ リング・ アルゴ リズムにお けるもう一つの未知パ ラメータ として導入す る単純 で,有 力 な方法 を開発 した.次 式

zJ=メ β十%′ , α′″.ノ KO,1): そして y′ =」 [zJ>0]
J〜 ′

(8)

は probitモ デル を表す ことを示 した.(デ ー タ拡大 を含 む)Gibbsサ ンプ リング・アルゴ リズム
は,次 の条件付 き分布 を通 じて定義 され る.

て ズんIL,β )=喜´(zJyら β
ズβ
lち ,あ )=ズ βlZ2), そし)ここで,乙 =(る ,¨ 。
,幼 yで ぁる. 1
βの完全条件付 き分布は,後 をん で置 き換え ♂二1と した(7)式 と同 じ形をしている.完 全
条件付 き密度 ズ乙￨ち ,β )は ,独 立な項の積 として分解 され;ỳ=1あ るいは yJ=0に 依存 している.(8)式 から,2≦ 0な らỳ=0,2J>0な らレなる.そ こで
̀=1と

ズ
の
冽
π
ず れ戟己
Wil.К ⌒

この MCMCア ルゴ リズムは,自 由度が νの独立な ′リンク関数 を持つモデル を推定す るように簡単 に修正す ることができる (Albert and Chib,1993a). ′分布 は,正 規分布 と混合するガ

293

ベ イズ計量 経済分析 における最 近 の発展

ンマ分布 Ц ガ2,ガ 2)の スケ‐ル混合 であるとい う結果から,パ ラメァタ空間 をこのガ ンマ変数
で各変数値 ごとにさらに拡張することができる.完 全条件付 き密度 は再 び扱 いに くい (こ の考
え方を線形回帰 に用 いたものは,Carlin and P01son,1990:Geweke,1993bで ある)。 Albert andChib(1993b)は νを未知 とし,probitモ デルの一般的な頑健性 を導いている■Rし)誤 差の回帰モデル.
.

この節 では MHア ル ゴ、
リズム を用 いたシ ミュ ィーションの例 を示す。ARMA(夕 ,4)誤 差 の回
モ
ル
は
デ
の
な
詳細 分析 ,Chib and Greenberg(1994)と Marriott,Ravishanker,and Gё lfand
帰(1995)に 見 られ る.

次 のモ デル を考 える.

=″ 篇十ειク′, 1≦ ι≦%￨(9)

ここで,ク ′はスカラーの観測値である.誤 差項は定常なAR(の プロセス
一φle̲1‑¨ b一 aft̲ク =α : Or φ(二 )ε
ε
ι
==%ι

(10)

によって生成 されて い ると仮定す る.こ こで,%ォ 〜燿 .コ (0,♂ )そ して φに )=1‑φ lι ―…
=らν はラグオペレータLの 多項式である。定常性 の仮定 は,φ (Llの根が単位円の外 にあることを意味する.こ れは φ=(φ l"."ら )を部分空間内にあるように制約す る.こ の制約 に従1)ムうために,φ の事前分布を ノ (引 れ,0。 "pのとし。 ,定 常区域 で切断 されている正規分布 (そ してβと♂ に対す る標準的な事前分布)を 仮定す る.こ のモデルに対す る尤度関数 は次のように表′される。

ズ馴β,0=α の×ぽ)K2 ″ 29xITttι 虫 r上 ガβ
刈
,φ

l⑫

ここで,チ ≧夕+1に 対 して yr=φ (Ijpク 1,ダ ーφ(ι 》ι
,そ して
l

ψ (の

下 (♂ )二 倒 ら 1彗V2eXp[=想る 一 る β)う :Kち ,■ β)]にDは最初の夕個の観測値の (定 常な)密 度である.´ 以前に,yp=(ク 1"。
"佛 ,」ろ=(″1"..,助 そして ら =%0′ +01(Dθ l(D′ , そして
)′

1皇

)′

:[[:. li]οl(D=(1,0,… ,0)′ そして φ̲p=(φ l"."ら ̲1)′ である´
事後密度をこのようにシミュンニ トする.ま ず 3つ の事実がある.最初に,Gibbsの 方法は βφ,♂ をプロックとしてとるとよい.第 2に ,β と♂ の完全条件付 き分布 は,標 本密度中の 2つの指数項 を結 びつ けた後で簡単に得 られる.第 3に ,φ の完全条件付 き密度 は,MHア ルゴ リ
ズムでシミ三レー トすることができる。次 に;い くつか詳細 に検討す る
r=o‑l ypと 澪 =0̲1」る と定義 し,こ こで 0は 00′ =ら を満足する.ク *=(グ ,… ,y″ とし,X*に 対 しても同様 である.最 後 に,ο ■(の +1"..,0″ とし,Eは η―夕×夕行列で, ′番目
̲1"."ο ォ̲p)で 与 えられ,こ こで οの行 は (ο ι″紹,′ ≧夕+1で ある。完全条件付 き分布 は
̀=ỳ―こと
次のようになるを簡単に示すことができる.
.

,

c

)′

)′

,

日 本 統 計 学 会 誌

第 3号

第 28巻

1998

ズ川ん,φ ,♂ )〜 4(β ,3万ろ(√,0万 1)L
次引L,β ,♂ )∝ くの×こ
1)ズ酬ん,β ,φ )γ

こ こ で β=B万(4≠ 留片)2,√ =δ万1(仇 φ01(30島 +σ 2x*′ y*),3″ =(3o十 〆 2x*′ x*),あ =‖ y*一 X*β ‖=(a+♂ E′ E)で ある+σ ‑2È。 )そ して σ″ュレー トす るためには
β と ♂ の完全条件付 き分布 は簡単 にシ ミュレー トで きる.φ をシ ミ
る と,MHス テ ップは
る
つ
を採用す
.す
ノ
MH独
立連鎖
候補 生成密度 として L(√ ,σ Fl)ム .を も
1を つ正
め
規密度 か
持
次 のように実行す る. グ番 目のイタ レーシ ョンで,平 均 φで共分散 ♂ 0万J+⇒ら,候補 φ〈 を抽 出す る.も しそれが定常性 を満足す るな ら,こ の点 に確率
.

,

min{」

,1}
多
颯吉
I弓

+1)=φ Oと お く Chib and Greenberg(1994))こ。
で移動す る.そ して,そ うでない場合 は φ
つかのを示 している
実証例
く
を確かめ
の
ルゴ
ズムの
,い
リ
のア
収束 十分条件
多重時点における構造変化
時系列 デ早夕をあつかつたモデルでの変化点モデルは重要である.計 量経済分析では,構造変化問題 といわれ従来 は構造変化点があるか否か,あ らたとすればいつあつたのかに関心が持たれていた。最初 は構造変化点がただ一うの場合 ￨こ つ いて分析 され,多 重変化点 についての分
析 は最近行われ るようにならた.古 典的な方法 としては変化点が既知 の場合 についての分析 はChow(1960),ToyOda(1974),Schmidt and Sickles(1977)が ,変 化点が未知 の一般的な場
合 は BDE(1975)に よる CUSUM,CUSUMSQテ ス トがよく知 られている.ベ イジア ンの立
(づ

.

,

・ベ ク トルの動 きを記述するのに hidden MarkOv Chain
場では,最 近 Chib(1997)が パ ラメータに基づ く新 しいモデル化を提案 している.多 重変化点 を扱 うために制約付 きの遷移確率行列を使用 し,状 態変数が現在の値 にとどまるか次のより高い値 にジャンプするかを離散時間離散状
態 のマル 童フ過程 によってモ デル化 した。 モ デル はヤル コフ連鎖 モ ンテカル ロシ ミュレー ショ
ン法 によって,混 合 モ デル に基づ いて推定 され る.
また,単 一変化点 につ いての分析 は,Carlin,Gelfand,and smith(1992)が ,多 重変化点 についての分析 は,Inclan(1993),Stephens(1994),Yao(1984),Barry and Hartigan(1993),
West,Muller and Esobar(1994),等 によって研究 されてい る
yT=(ク 1,多 。
,yT}は 時系列 で,そ のパ ラメー タ ら は未知 の変化点 L=(■ ,.."%}で 変化 し.

他 は一定 で ある と仮定 す る。

,

ｆ
ｉ

＆

ｆ
ｉ
ｆ
ｉ
ｆ
ｉ

協
≦ ％

ｆ
ｉ

ａ あ ⁝ ら 傷

＆

み
れ
⁝み

,.・

・ベ ク トル 0=(a,… ,陽 +1)の 推定 と,未知 の変化点 為 =(■ここで a∈ 肌dで ぁり,パ ラメータヒ¨ )を 検出 し,変 化点の数が異なるモデル と上較す ることを目的 としてい る"しこの多重変化点モデル に関 して多 くの研究があり,1つ の問題 は ら のジャンププロセスを決めることである.ベ イジア ンでは,変化点で生 じる別 の レジームのパ ラメータである ■ と 化の,.

ベ イズ計量経済分析 にお ける最近の発展′
結合事前分布 を求めることと同 じである.
通常 は階層モデルの形で定式化 される :最 初 に,以 前の変化点での変化の確率分布 をモデル
化 し,次 に現在 の変化点 と以前のパ ラメータで,現在 のレジームでのパ ラメータのプロセスをモデル化 し,最 後 にパ ラメータと変換点 によってデータが生成 されるとする.パ ラメニタが与えられた ときの,デ ータの分布 を考える.K=(ク 1"."yJ)を 時点 グまでの経過 とし, 7J'J=(ク らyJ+1"."鋳 )を 時間 ′からノまでの経過 とする.す ると,(0,r)の 下でのデータの
同時密度は

+Lη
/(L10,つ =宮/(y・ ‐
n̲ゎ 仇
,毎

)

で表 され る.こ こで 筍=0,%+1=Tで ある.

各期間での離散的な確率変数 斗 を導入 し,時 点 ´でのシステムの状態を表 し,こ れは整数値{1,2,¨"%+1}で ,そ こか ら特定め観測値 ỳが とられるンジーム を示す.す なわちsι =た は
観測値 yι が ズグ
らとられ ることを示す.変 数 stは ,制 約付 の遷移確率行列を持 つ̀14̲1,戯 )か
離散時間,離 散状態マル コフ・ プロセス としてモデル化 されるので変化点モデル になる。1期;

先遷移確率行列 は,次 のように表 される

.

ヽ
ヽ

●

︱
ノ

π

″

／

一

′１

タ

⁝ ん ０

︱

０ ０ ⁝

●

¨

０ 勿 ⁝ ０ル 錫 ⁝ ⁝ ０

このモ デル は,ジ ャ ンプ確率 夕だ(グ ≦%)が レジーム に依存 し,状 態 の遷移 は変化点 L=(■,.."し)を 識別す る一般的な変化 点 モ デル として見 る こ とがで きる.力 回目の変化 は,sη 〒力と s.+1
=た +1な ら 後で起 こる.も う一つ の見方 は hiddenマ ル コフモ デル として見 るもので,hidden

状態変数 stの 遷移確 率 に前 に述 べ た よ うな制約 を課 す.こ のモ デル の見方 は MCMCの 計算図式の基礎になっている.パ ラメニタの事前密度 π(0,Plを 決め,デ ータ ちがあると事後密度
π(0,PI路 )∝ π(0,0/(L10,0に 関心を集中する.こ こでπは(0,0の 事前密度と事後密度を表わすこの事後密度は,パ ラメータ空間を観測されない状態 ε=(■ ,..1,の で拡大した後
マルコフ連鎖モンテカルロ法 によって要約される.言 い換えると,モ ンテヵルロ・ サ ンプ ン
リ,

グを事後密度 π(3,0,Pl yr)に 適用する
他方,Kozumiand Hasegaw五 (1998)は ベ イズの観点から構造変化を調べ る新 しい方法を提案 した。この方法は Dinchlё t事 前分布を用いた階層モデル を基にしている.DiHchletプ ロセスの特徴 は,構造変化 を検出するのに役立 つ離散性 にあ り,そ れを利用して事 分布 を形成する
前
この論文 で彼 らは多重変化点を認め,そ の数が未知 であるモデル に対するベ イズ・ アプロー
チを提案 した.Dirichletプ ロセ不は魅力があるが,計 算が難 しいため応用は単純 な場合 に限定さ.

.

れていたが,最 近のマルコフ連鎖モンテカルロ (vCMC)法 の発展により,こ の点は解消された (Gelfand and smith,199o;Besag and Grさ en,1993参 照).Dirichletプ ロセスは従来は密度の推定 に禾J用 されていたが (Escobar,1994;]hcobar and Ns、 1995),Dmchletプ ロセ スの離散性 がベ イズ的 なモ デル化 に も有効 な道具 で ある ことが最近 の 多 くの研究 で示 され て い る(Kuo and Mallich,1997;MukhOpadhyay and Gelfand,1997;West,Muller and Esobar,1994).こ の離散性 の性質 を用 いて構造変化 を検出す る。

￨

実証分析 では,1957年 か ら 1995年 の年 デー タを用 いて 日本 の政府支 出 に構造変化が あるかどうかを検証 し,そ れ を CUSUMと cusuMSQテ ス トの結果 と比 較 して い る。
・296

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻 第 3号

1998

次 の単純 な線形 回帰 モ デ ル を考 え る.

=1,… ,Tォ=島 +aZι 十 ′ν
, ὰ〜 ノKO,♂ ), ′,ここで,ỳと χιはそれぞれ従属変数 と独立変数 で あ り,構 造変化 を考 えるのでパ ラメータ・ベ
ク トルが ある変化点 で変化す る ことを認 め,次 のように書 き直す

.

ỳ=島

̀+β

え 十%ι , %ι 〜 折 (0,α )ベ イズ分析 で はパ ラメータ・ベ ク トル α=(島 ′,β ち房)の 分布 が必要 で あ り,前 述 の Chib(1997)
は aの 分布 を hiddenマ ル コフ連鎖 でモ デル化 した{α }た 1を Di=chletプ ロセスか らの標本 とす る.次 に,aを ル(く の 個 のグループ に分割 し.

,*=(″ ,.."″ )同 じグループ内の aは 等 しく;異 なるグループの の は異 な り,力 個 の αの値 θは Gか らサ ンプル され る。何 回構造変化 が起 こったか,い つ構造変化 が起 こったのかは,異 なる θ*を 調 べ る と分 か るので,Dirichletプ ロセスの離散性 は構造変化点 を検 出す るの に適 してい るとい える。

パラメータベクトル a=(島 ι,Aι ,α )の 分布Gは 未知で,.Gの 事前分布はDirichletプ ロセスにしたがうと仮定する。
,yι〜ノ (χ れ,″ ), a〜 G, c〜 59(α G)ベ イズモ デル とす るため,残 りのパ ラメニ タに対 し事前分布 を決める.基 本的 な分布 Gに 対 しては,正 規分布 とガンマ分布 とする

.

」G=νγ
(μ ,Σ )離 7(笏 /2,〃 2)
さらに,階 層モデルでの μ,Σ ,と について,事 前分布を次のようにお く.
´μ 〜 ノ (あ,7。 )1Σ

7(め ,端 )τ 〜 0(物 /2,衝 /2)
〜

α 〜

.

Gα (め ,あ )多重変化点 を認 めるがその数 は未知 で あるモ デル で,誤差分散 は変化点 に したがって変化す る
ここで ″′=(1,々 ι と &=(μ ′,β ι である.こ のモデル は階層構造 をしてお り,複 雑 そうに見 え
.

)′

)′

るが Gibbsサ ンプ リングを用 いて事後密度 の推定 を行 う ことがで きる.

その他の モデル
今 までに述 べ たモ デル に加 えて,そ の他 のモ デル としては MCMC法 とデー タ拡 大 を用 い る
Gibbsサ ンプ リングは特 に役 に立つ分野である.回 帰分析 の枠組 みでは,欠測値 をサ ンプ ラーに
加 えてパ ラメァ タの分布 か ら標本 を生成す る.多 対 プロビッ トモ デル の重要 なクラスは,デ ー
タ拡大 を通 じた MCMCシ ミュ レー ションに よって分析す る ことがで き,こ れ らは Albert andChib(1993a),McCul10ch and Rossi(1994),Geweke,Keane,and Runkle(1994)で 議論 され
てい る.McCulloch and Rossi(1994)に はこの分野 での Gibbsサ ンプ リングが役 立 つ拡張 した議論 が例 とと もになされて い る.変 量効果のある二 般線形 モ デル ヘ の応用 は,Zeger and

Karim(1991)が 参考 になる.も う一つの重 要な分野 は混合 (mixture)モ デル で あ り,こ のモ
デル ではサ ンプルの各観測値 はκ種類 の母集団の■つか ら生 じた ものである. 2種 類 のモ デルが研究 されてい るL:最初 の もの は,母 集団が一つ の観測値 か ら次の ものへ独立 にサ ンプル される (Diebolt and Robert,1994)。

2番 目の ものは,母集団 はマル コフプ ロセ スに従 ってサ ンプ

297

ベ イズ計量経済分析 にお け る最近 の発展

ル され,こ れ はマル コフ・ ス ウィッチ ング

デル (Albert and Chib,1993b;Chib,1993b)
̀̀モと呼 ばれ る.MCMC法 の多様 さを示 している新 しい計量分析 の応用 は,引 き続 き多数現れ ている。本稿 で扱わなか った重 要 な分野 で,最 近 多 くの研究 が集 中的 になされている金融時系列 (株価 ,収 益率 ,外 国為替 ,先 物等 の 日次,週 次 な ど高周波 デー タ)の 変動 に関す る計量分析があЪらには Stochastic v01atilidy Model, Grarch Model, Selmi‐ NOn Paralttet五 c MOdel,
る. こオ
線形状 態空間 モ デル,非 線型 ガウス ←フィル ターモ デル,等 が含 まれる
.

8。

おわ りに

このサーベ イで は,ベ イズ統計学 の計量経済分析 へ の応 用 に関連するい くうか の重 要な問題について議論 した.本 サーベ イは 2つ の部分 に分 け られ る:ベ イジア ン計量経 済学 の考 え方 と実証分析 へ の応用 に関す る問題 と大 きな部分 を占める計算問題である.第 2章 では,ベ イジア
ン計量経済 学 の簡単 な解説 を行 った.第 3章 で は:応 用研究 を行 う場合 にお けるベ イジア ン̀パ ラダイムのい くつかの関連す る利点 と欠点 を述 べ た。ここで,単 位根 と EBAに 特 に焦点 を当てたベ イジア ンの実証分析の簡単 な要約 を行 った.第 4章 以降では,ベ イズ型の実証分 を析 行う場合に重要な計算Fn5題 について,最 初に基本的な計算問題について第 4章 で述べ,ベ イジア

ン研究者が実証研究で利用するぃ くつかの役に立つ道具について述べた.特 に,4.1節 では
通常′出合う問題 に接近するためのい くつかの基本的な技術を示 し,こ れらの多 くの技法は古典的な研究者が用いているTSPや RATSの ようなパ ッケこ ジと全 く同 じような方法で,パ ッケージ
プログラ
用いて簡単に導入できる。パッケージプログラ
利用できない場合でも,こ れ
らの手法の
プ
ログラム
要な時間は
^を
,GAUSSや FOrtranの^がような言語を使 った基本的なプに必ログラムの能力を持っている研究者にとっては最小で済む.第 5章 では,あ る種のクラスの問
題を分析するのに適している,も う少し手の込んだベイジアンの手法について述べた.第 6章
では,現在の計量経済分析 を用いた実証研究において主要な手法になったマルコフ連鎖モンテ
カルロ法について:MetrOpOlis̲Hastingア ルゴリズム,Gibbsサ ンプ リング,そ してデータ
拡大・ アルゴリズムについて述べた.MCMc法 の理論 と実際における最近の発展のサーベイを,

計量経済分析への応用に重点を置いて,こ あァルゴリズムをデータ拡大と結合する方法を用しヽてベイズ推定への体系的方法を示した.こ の考え方をセンサー化モデル,離 散応答モデル,パ・モデル,自 己回帰モデル,そ して時変 ラメータモデルの枠組みの中で示したがネルデータ
づ
この考え方は多くの他の計量モデルに適用できる
MCMC法 が好まれる多くの理由は,他 の方法で分析するのが今まで難しかった宅デルを分析することを可能にするためである:こ の方法を利用できるのは,厳 密に定式化したモデルと事前分布からなるベイズ分析だけではない.す でに示したよぅに,扱 いにくい尤度関数を含む
多 くのモデルは MCMC法 で もシミ三レー トできる.特 に予測;モ デル と事前分布の摂動,そ してモデル適合性 に関係する様々な推定方程式は,シ ミュレーショ の結果を用いて効果的に記ン
述することができる
最近では多 くの分野での実証研究問題にベイズ法を利用した例が増えてきている.そ れらの応用例,研 究動向などは国際ベイズ分析学会 (IBSA), 4年 ごとに開催されるベイズ統計学に関す る国際バ レンシア研究集会 ,そ れに米国統計学会 ベ イズ統計部会の年次大会 な どで発表 される数多 くの論文や PrOceedingsに 見られるこ
最後 に,こ のサーベイではできるだけ単純な形で,ベ イジアンの手法を用いて実証分析 を行,:.

お うとする応用経済分析が利用できる手法を示すことを試 みた.し たが てっ ,マ ルコフ連鎖モンテカル ロ法で問題 になる多 くの事柄,特 に収束診断法を含 む多 くの問題点 について説明する
余裕がなかったので省略 した.ま た,こ こで説り した方法で重要な多 く 証明や他で示されての

298

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻

第 3号

1998

ある式の導出の詳細 も省略 したので,参 考文献 を参考 にしてほしい.こ の分野 の進展 は早 いので,最 新 の時系列分析や金融時系列モデル等の分野 についての多量の研究がなされてい るがこの分野 についてのサーベイは次回に譲 ることにしたい.ま た関連す る参考文献 も完全ではな,い.

A.ベ イズ コンピュ…夕・ パ ッケ ージについて̲

ベ イズ部分 のあ る標準的 な計量分析 プログラム
い くつかの標準的 な コンピュー タパ ッケージは,よ く用 い られ る経済問題 に対 して役立 つ部
分 がある.た とえば,RATSマ ニ ュアル はベ イズ型 ベ ク トル 自己回帰 モ デル (BVAR)に 対 して RATSを 用 いた り,SHAZAMは パ ラメー タ に線形不等号制約 に従 う回帰 モ デル の分析 に対す るベ イズモ ンテカル ロ積分 の節 に,大 きな部分 をさいてい る
ベ イズ コンピュー タ・ パ ッケ ー ジ
A.1 初期 に開発 されたプ ログラム.

BAYES FOUR

汎用 のベ イズプ ログラムで,Prof.Adrian F.Mi Smithと 彼 の同僚 で ある
Drso John Naylor,Allan Skene,Ewart Shawら によって University of Nottinghamで開発 された.プ ログラムではパ ラメー タの期待値 としての事後 モー メ ン トを計 算 す る.

1次 元 と 2次 元 の周辺事後密度 と予測密度 も数値的 に得 られ,グ ラフィック 0デ ィスプ

レー も SRパ のプ ロ ッ トライ プラ リー を利用す る ことによって可能 で ある。 10次 元 ぐ
らい までの問題 に対 しては数値積分 (求 積法 )を 用 いて,そ れ以上の次元 (20次 元 ぐらい まで)は 非反復 モ ンテカル ロ法 を用 い る.Bayes Fourは PCと Unixに 対 しては,
Fortran 77で 書 かれてお り,そ の他 は Cあ るい は C十 十が使 える、BRAP(PCバ ージ ョンは PCBRAP)シ カ ゴ大学 の Amold Zellnerと 同僚 力｀書 いた For‐
tranベ ースのプ ログラムで ある.正 規誤差 を持 つ線形回帰 モ デル として書 くことがで き.

るいか なるモ デルの分析 が可能 である。加 えて,ユ ーザが与 えた関数の (正 規 あるい は′インポータ ンス関数 を用 いた)モ ンテ カル￨● 積分 がで きる.レ ビューは K00p(1992)
1で与 えられて い る◆ このプ ログラムの コマ ン ドは TSPの コマ ン ドと非常 に似 て い るので,単 純 な実証的問題 の教育 や実行 に対 しては,最 も汎用性 が あるプ ログラムである―
BRP COREの 何人 かの研究者 によって書 かれた Fortranベ ァスのプログラムであ る.線形.

モ デル の処理 と様 々 な積分手法 の両方 の広範囲 の機能 を含 んで い る.こ のサーベ イで特に関 心 が あ るの は,Poly‐ ′密度 を取 り扱 う数値積分手 法 で あ る.こ のパ ッケー ジは

BRAPよ りは汎用性 が あるが,ユ ーザ・ フ レン ドリー ではない.プ ログラムの諸機能 を使 うには,Fortranの 知識 が必要 である.さ らに,BRPは 適度の込み入 った問題 に対処
す るのに適 してい る.

MICRO‐ EBA GAUSSベ ースのプ ログラムで EBAを 分析す るためのユ タ大学 の Richard
Fowlesが 作成 したプ ログラムで ある。

SEARCH Ed Leamerの 推奨す る多 くの方法 を行 うプ ログラムで ある。
SISAM,MIXIN 2本 の Fottanベ ニスのプ ログラムで,モ ンテカル ロ積分 と混合積分 を
行 う.汎 用性 はないが,こ のプ ログラムが採用 してい る手法 は,非 常 に複雑 で ある.For‐
tranで プ ログラム された pOorな 動 きのす る事後分布 を持 つ研究者 に,こ のプ ログラム

イは適している.事 後分布が非対称でゎり,:従 つて$椰 インポータンス関数を用いて扱うのは難 しい場合 には特 に有益 で あ る.

A.2 特定 目的のプログラム
BATS &黎 湿夕%4π αttsゲ 2磁 θ能なプ ログラムは,カ ルマ ンフ ィル ター・ モ デル を含

ベイズ計量経済分析における最近の発展
んだ動的線形モデル (DLMIと 非線形モデルの推定を中心 とし,APLで 書かれている.
もともとは University of Warwickで 開発 され,West,耳 amson and P01ё(1987)による論文に記述されている.現 在は,強 化 されたバ ージョ が POle,West and HarrisOn
ン(1994)の ベ イズ予測 と時系列の本で得 られる.

bicreg,bicelogit and ghb

これ らの 3つ のプログラム は,ヮ シン トン大学の Profo Adrian
Rafteryが 作成 した比較的短 い S‐ plus関 数で,ベ イジアンモデル
選択 とBICを 用 いた

モデル不確実性の評価を行う:最 初のものは線形回帰モ ルでこれを行い, 2番 目はロ
デ
ジステイック回帰で, 3番 目は一般線形モデルでこれを行う
BART Bの 姿滋″ 勒 ηαελ わ Rα πぁ%減ed PⅢ′は,dinical trial mOnitOringと.

indifference zoneに よる分析 を行 うためのベ イズ

法 をプ ログラム化 した S関 数 で,ケ ン
プ リッジ大学の MRc BiOstatistics unitの Prof.David Spiegelhalterによって開発 された.プ ログラム は正規 尤度 を標準事前分布 を用 いて更新 で きる。
￨

B/D belief解 析を行うために,W00■ (1992)が 作成 した[B/D]と 呼ばれるプログラムは&′ グ″の略称で,UniveFSity of Hull and Durhamでグα
冴鶴″″妙 屁″,開発したPascal

で書かれたプログラムである.未 知の数量のネットワァク上で確信を部分的な式を与えると;プ ログラムは内部的な整合性 (コ ヒーレンス)を チェ
ックし,他 の要素 とデータが存在するときにそれぞれを調整する.

Experl SyStem 最近のベイズ的な方法の重要な応用分
野はエキスパ‐ トシステムである.

現在のデータセット集が与えられたときに意思決定者カ
テU用 できる情報を自動的に更新
す る,最 も単純 で 自然 な 方法 はベ ィズ の法則 を利 用 す る こ とで
あ る.
￨
Hugin
BEHEFl。 2,2.0
Neural∴ etwOrks software 三 ュ̲ラ ル ネ ッ トヮー
クは
キスパ ー
連 して ゃ り,こ れ らのモ デ ル で の MCMc法 を利 用

,ユトシス テム と密接 に関ベたィズテル ゴ リズムが Neal
学習し(1994)に 書かれており,ソ フトゥェアぶ無料で入手できるA。

.

3 教育用 プログラム

nrst Bayes Nottingham Universityの Prof.TOny O'Hlganにょって作成 され,学 生が初
等的 なが イズ統計学 を学習 し,理 解す るのに役立 つ使 いやす いパ
ッヶ― ジで ある.合 ま
れてい る機能 の一部 は次の通 り,1,種類の標 準 的 な分布族 とこれ らの混合 分布 のプ ロ ッ トと要約・ 一元 配置 ANOVAと 単純線形 回帰 モ デル のパ
分析 ￨,位 置 ラメー タの任意の線形結 合に対 する周辺分布
・ ユーザが行 った デー タあるい は事前分布 に対 する変耳 にしたがって,自 動的 に事後分布 と予測分布 の要約統計量 を更新す る
・ 現在 の事後分布 を事前分布 に し くお く等￨と によるシー ケ ンシ ャル分析.

プログラムはハPLで 書かれている。

Minitab MacrOs Albert(1996)に 書かれて るMinitab用 マの クロ集
ぃ

A.4 マル コフ連鎖モンテヵルロプログラム
BUGS は:英 国の MRCの Medical ReseaFch Unitで 開発されたシステムで.

:&夕 湿%

れ″η E/7効 な 錫 ゐ 助%の略称で,Gibbsサ ンプリングを手軽に行うために便利なソフトゥェアでぁる.DoSpittelhaterを 中心￨し たグループで開発されている.所与のモデルに対する様々な事前分布 :ベ ルヌーイ分布,が ―夕分布,正 規分布, 2項 分布,デ ィリクレ分布,指 撃分布,ガ ンマ分布,対 正 分布
,多 項分布,正 規分布,パ
数 規

300

日本 統 計 学 会 誌

第 28巻 第 3号

1998

レー ト分布 ,ポ ワソン分布 ,一 様分布 ,ワ イ ブル分布 にしたが う乱数 を発生 させ る ことベ ズがで き:完 全条件付 き分布 か らのサ ンプ リングを与 える ことによつて多 くの イ 問題

ペを解 くことができる.モ デルの確率構造 (観 測値 とパラメァタ)に 対するモデルのス
シフィゲーションと確率分布を記述する1組 の関数からなる.モ デルの記述はモデルがニ ュアルに記述 され複雑 で も簡単 である。BUGSを 使 つて既 に解析 されたモデル と,マなー̲て いるのはランダム効果を持つ一般線形モデル,生 存デ タの線形回帰分析,空 間的従属性を持つデータとノン・パラメトリック平滑化モデルである
CODA の πυθ箸″ 2昭%ο tt απグ α″ %′ 4π姉 : 般 的 な MCMCア ウ トプ ッ トや.

BUGSア ウ トプ ッ トの収束診 断 を調 べ るメニ ュー方式 の S‐ plus関 数 で,Gelman and
Rubin(1992a),Geweke(1992),Ruftery and Lewis(1992)そして Heidelberger andWelch(1983)の 要約統計 量 と収東診 断 を含 んで い る
BpOis Doss and Narasitthan(1994)に よつて書 かれたベ イズポワソン回帰 に対す る Gibbs.

サ ンプ リング・ プ ログラム.
MCSim マル コフ連鎖 モ ンテ カル ロによつてベ イズ推定 を行 える シ ミ■ レー シ ョンパ ッケージ.

ghnm glimm S関 数
BINGO ― πンル″物 ―)♪磁%θ π みG″ 力′ ′α%グ Ottθ /s協 〃
考

参

′

献

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