芸術科学会論文誌 Vol. 14, No. 5, pp. 238-247

バルーンアートのデザイン支援のための複数本バルーンモデルの構造化と制作手順の自動生成
浦正広 1)（正会員）山田雅之 2)（正会員）宮田一乘 1)（正会員）

遠藤守 3)（正会員）

宮崎慎也 2)（正会員）安田孝美 3)（正会員）

1) 北陸先端科学技術大学院大学知識科学研究科
2) 中京大学工学部
3) 名古屋大学大学院情報科学研究科

Formalization and Automatic Generation ofMultiple Balloons Modeling for Supporting Balloon Art Design
Masahiro Ura1) (Member)

Masashi Yamaeda2)(Member)

Kazunori Miyata1)(Member)

Mamoru Endo3)(Member)

Shinya Miyazaki2)(Member)

Takami Yasuda3)(Member)

1) School of Knowledge Science, Japan Advanced Institute of Science and Technology
2) School of Engineering, Chukyo University3) Graduate School of Information Science, Nagoya University{ura, miyata} ＠ jaist.ac.jp{myamada, miyazaki} ＠ sist.chukyo-u.ac.jp{endo, yasuda} ＠ is.nagoya-u.ac.jp

アブストラクトバルーンアートは，細長いバルーンをひねる操作の繰り返しにより動物などの様々な形状を制作する造形である．著者らはこれまでに 1 本のバルーンからなるバルーンアートについて，グラフ理論を活用した構造化，制作手順導出，難易度評価の各手法と，それら手法に基づく制作支援システムを提案している．一方で，バルーンアートにおいて複雑な形状を制作する場合には，一般的に複数本のバルーンを用いる．その際，パーツごとに色分けを行うなど，配色に意味付けがなされる場合も多い．そこで本論文
では，複数本のバルーンからなるバルーンアートの形状の性質を踏まえて，バルーンアートの構造を定義したグラフをその制作に必要な最少の本数に分割することで，制作手順を生成する手法について提案する．また，この提案手法に基づいて，入力した形状と指定した配色に応じてグラフを分割してその制作手順を生成する，バルーンアートデザイン支援システムを開発する．

Abstract
Balloon modeling is the artistic technique of twisting balloons into various shapes. We have proposed a method
for formalization and rating difficulty of balloon modeling made of one balloon based on graph theory, anddeveloped a system for supporting balloon modeling making based on the method. In this paper, we propose amethod for separating a graph which is defined as a structure of balloon modeling made of multiple balloons into
the minimum number that is needed for making. We also develop a design support system that users can set
shape and color of balloons based on proposed method.
238

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237

1. はじめに

2. バルーンアートの特徴と構造化

材料を加工して形状を作り上げる造形には様々な種類があ

バルーンアートは風船をひねる操作の反復という造形の特徴

り，また，その目的も実用的な機能，作品としての芸術的な表を持つ．既研究[11]では 1 本のバルーンにより構成されるバル

現，あそびや知育など多岐にわたる．材料の特性に応じた加工

ーンアートを対象に，この特徴や構造をグラフにより表現して手法により作られる造形物は，その造形特有の構造をもつ．
個々いる．ここではその概略，および，その定義に基づいた複数本の造形について構造の特徴がわかれば，その構造を数理的に表バルーンにおける構造定義に必要な要素について論じる．

したり簡潔に記述できる．また，加工手法を有限種の操作とし

2.1 バルーンアートの定義と操作て表現できれば，操作の組み合わせと造形物の構造との対応が本論文では１本１本の風船を「バルーン」，バルーンで形作らわかってくる．これらは造形物や造形プロセスのコンピュータれる形状を「バルーンモデル」とよぶ．バルーンアートではバによる記録，分析，造形支援へと発展させられ，既に様々な造ルーンを分割して「バブル」とよぶパートを作り，これを組み形についてこのような試みがなされている．例として折り紙を合わせて形状を作っていく．

取りあげると，折り紙の各面をノード，折り目をエッジとした制作において，まず，「先端」に「余分」ができるようバルー

グラフにより形状構造を表現し，コンピュータ上での対話的なンを膨らませ，空気口を結び「結び目」を作る（図１(a)）．バ操作を実現したり，完成した折り紙のグラフ構造から作成プロ

ブルを作るときは両手で握って逆方向にひねる．
この操作を
「ツ

セスを推論する研究などが行われている[1,2,3]．

イスト（twist)」とよび，ひねった部分を「ひねり目」と呼ぶ

バルーンアート（正確にはバルーンモデリングであるが，本（図１(b)）．バブルを作るたびに空気が余分へと流れ，余分の論文では一般に馴染みのある名称を用いる）は，細長いバルー

長さが短くなるため，空気口側からバブルを作る．これを「ツンを用いて動物などの形状を制作する造形である[4,5,6,7]．1

イストの一方向性」とよぶ．必要数のバブルができたら残った本もしくは複数本のバルーンにより様々な形状を制作する．バ

余分はそのまま使うか（図１(c)），結び目を作った後に切り除ルーンをひねるという単純な操作の反復により複雑な形状が制く（図 1(d)）．ここでは，議論を簡潔にするため後者のみ扱う．

作できるが，反面，完成形状から制作方法を推測することは容バルーンアートでは 2 本以上のバルーンを使ってバルーンモ

易ではない．一般的には解説書等で制作手順が示され，制作者

デルを作る場合もある．一般に 本のバルーンから構成されるはそれに基づいて形状を制作するため，コンピュータにより自バルーンモデルでは，結び目は合計2 個ある．また，ひねり目

由な形状の制作を支援するためには，概形を入力することでそとバブルの個数をそれぞれ ,の構造を解析し，解析結果に基づいた制作手順を導出する，と

結び目
(a) a
ひねり目
(b)
a A b

いった要素が必要となる．コンピュータ上でバルーンアートを支援する試みとして，バルーンアートを題材としたモデリング
教育ソフトが存在する[8]．また，バルーンの物理的な特性をシ

とすると

である．

余分
先端 (c)a A b B c C d D e E(d) a A b B c C d D e E f

図1. バルーンアートにおける各部の名称．

ミュレートし，コンピュータ上で対話的にバルーンを操作して形状を制作するものも存在する[9]．制作手順を導出するものと

図 2(a)は図 1(d)のひねり目bとeを絡み合わせた，図 2(b)は図しては，多面体を制作するためのアルゴリズムが考案されてい1(d)のひねり目cと結び目fを結んだ状態である．これら操作をる[10]．しかしながら，上記の事例では制作物が予め決められ行うと空気圧が作用し，ひねり目や結び目が外れなくなる．こている，バルーンの物理シミュレーションに焦点が当てられてのとき，ひねり目や結び目が重なった部分を「複合目」，ひねり

おり制作手順の構造化はなされていない，制作の対象が多面体

目，結び目，複合目を総称して「目」とよぶ．この目をつなぎに限定されるといった制約がそれぞれ存在する．そのため，自合わせてお互いを固定する操作を「ロック（lock）」とよぶ．
バルーンアートの書籍では上記操作に加え，図 3 のように環由で多種多様なバルーンアートのデザインは行えない．
以上より，著者らは 1 本のバルーンからなるバルーンアート状になった部分にバブルを差し込んで位置を固定する「スラスについて，グラフ理論に基づいた構造解析および難易度評価手ト（thrust）」，ツイストとロックを複合した操作，ロックを状法を提案し[11]，その応用により，与えられた概形をバルーン

況に合わせて細分化した操作，バブルの側面をこすって曲がっアートとして整形してその制作手順を導出するシステムを開発た状態にする操作なども紹介されている．本論文では，バルー

した[12]．これにより，構造に関する知識がなくても様々なデンアートにおける形状および形状制作のプロセスの基本的な性

ザインのバルーンアートを制作可能となった．しかしながら，質について論じるため，ツイストとロック操作のみを扱う．

バルーンアートは複数本のバルーンが用いられるケースも多い．
その際，たとえば花であれば花びらを赤，葉や茎を緑など，パ

また，必要に応じてバブルや目にラベルをつけ，バブルは大文字の，目は小文字のアルファベットで表記する．

ーツの配色に意味を持たせるケースも数多く見受けられる．
そこで本論文では，複数本のバルーンを用いたバルーンアー
トを対象に，形状の性質や制作手順の生成手法を論じ[13]，配(a)

色も考慮した制作手順が生成可能なデザイン支援システムを提
案する．

(b)
図2. ロックの例．

239

図3. スラストの例．

f芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237

2.2 形状構造のグラフ表現

,

グラフ
…

バルーンモデルの構造をグラフで表す．この際，バルーンモ
デルはこのグラフを３次元空間に埋め込んだものとみなせる．

∈に現れるエッジの集合 ,フとする．図 4(a)の左側はバルーンモデル，右側はそのグラフを含むとき，すなわち，

と

ら道の集合

で表す．図

は図 1(d)から作れる異なの和が のすべてのエッジ
∪

を

∪⋯∪

のとき，これの「道分割」とよぶことにす

性質 2 グラフ, における奇ノードの個数を2 ， の| |
道分割を とするとき，| |である．

ない場合における同形，つまり位相が等しくなる．
バルーンアートでは，同一形状でも複数の制作手順が存在す
と

, ,…,

,⋯,

る． の大きさ| |について，次の性質がある．

るバルーンモデルであるが，それらのグラフはラベルを考慮しることが知られている．図 4(b)の場合，のうち，すべてのエの道を「互いに素な道」とよぶ． 本の互いに素な道 , , … ,応させ，目をノードに対応させたものをバルーンモデルのグラである．以降ではバルーンモデル のグラフを∈である道を「閉路」という．互いに同じエッジを含まない複数で定義される．バルーンモデルを構成するバブルをエッジに対4(b)の 2 つのバルーンモデル,

ッジが異なるものを「道」とよび，特に，両端のノードが同一,

グラフ はエッジの集合 とノードの集合 の組のノードとエッジをたどって得られる列略証

は図 1(d)から奇ノードを 個の組にわけ，各組の 2 つの奇ノードに接続する仮想的なエッジを 本追加して得られるグラフ作られるため，ラベルの位置がバブルの位置に対応し，バブルを ’とすると， ’のノードは全て偶ノードである．全ては(d)のラベル順に配置される必要がある．そのため，このケー偶ノードであるグラフには全てのエッジを含む１本のスにおいては，同形であるグラフに変換される閉路があることが知られている．これをオイラー道といとはそのう． ’のオイラー道から先に追加した仮想的なエッジをグラフの異なる制作手順として扱うことが可能である．

e
aA

E

b
D

e
B c aA
d

C

E
B c
b
D C
d

取り除くと， 本の道からなる の道分割 が得られる．

D d c E d
C
A
B C
D
E
c B b b A aaの各道は| |
| || |になるまで分割できるので，| |である．

この性質は， 本以上| |本以下のバルーンにより， を構造(a)(b)
図4 バルーンモデルとグラフの例．

とするバルーンモデルを作れることを意味する．たとえば，図5(b)のグラフの場合，エッジ数が 7，奇ノード数が 4 である．

2.3 形状構造の性質

このグラフの道分割の例としてノードに接続されるエッジの数をそのノードの「次数」といaAbBcGeEbFf, cCdDe

aAbFf, dDeEbBcCd, cGe などがあり，2

や

|

|

い，次数が偶数のノードを「偶ノード」，奇数のノードを「奇ノ|ード」とよぶ．図 5(a)においてb, c, fは偶ノード，a, d, e, gは奇2 本以上 7 本以下のバルーンを使って作ることができる．2 本

ノードである．次数 1 のノードは１つの結び目に対応する．次使う場合，1 本のバルーンから道aAbBcGeEbFfの各ノード，各数 2 のノードは 1 つのひねり目か，あるいは，２つの結び目をエッジに対応するひねり目，バブルを作り，同様に，もう 1 本

3のノードは 個のバルーンから道cCdDeに対応するひねり目，バブルを作り，さらに結んだ目に対応する．次数が2のひねり目と 個の結び目が重なった複合目に対応する．

a A b B c C d
D
e

E

F
f

G
g

a

Ab B

|

7を満たす．このグラフを構造とするバルーンモデルは，ロックの操作を使って作り上げることができる．

2.4 形状維持可能かどうかの判定

c

ツイストで作られるひねり目は，なんらかの方法で固定しな

C
G d
F E D
e
f

ければ元に戻る．例えば，図 6 のdがひねり目の場合，ひねりが戻ってしまう．一方，図 6 の目b, c, eはロックされているので(a)(b)
図5. 奇ノードと偶ノードの例．

固定され，ひねりを維持できる．また，ロックされていないひ

バルーンモデルを構成するバルーンの本数と奇ノードの個数

がり，その中にひねり目が含まれる場合である．図 6 ではB, H, I

ねり目でも固定されるものがある．複数のバブルが環状につなの間には次の関係がある．

およびE, F, Gは上記を満たしており，ひねり目h, g, fは固定され性質１ 本のバルーンで構成されるバルーンモデル のグラフ

る．すべてのひねり目が固定されたバルーンモデルを「形状維では，奇ノードの個数は偶数（0 を含む）
，かつ，2

略証

持可能なバルーンモデル」とよぶ．

以下である．
例えば 2 本のバルーンで構成されるバルー

これをグラフを用いて再考する．次数が 3 以上の目はロックンモデルの場合，そのグラフの奇ノードの個数は 0,2,4

されてできた目であるので，その目に含まれるひねり目は固定のいずれかである．

される．次数が 2 のノードは，1 つのひねり目，あるいは 2 ついかなるグラフも奇ノードの数は偶数である．また，の結び目をさらに結んだ目に対応する．前者の場合，そのひねには結び目が2 個あり，結び目を偶数個含む目に対応

り目が固定される条件は閉路上にあることである．図 6 のグラするノードは偶ノードであるので，性質 1 が成り立つ．
が2 個の奇ノードをもつとき，バフでは閉路bBcHhIb，eEfFgGeがあるので，ノードh, gがひねり目であったとしても，これらのひねり目は固定される．以上よルーンモデル は 本以上のバルーンを使って作れる．このこり，次数が 2 のノードが全て閉路上にあるか，次数が 2 のノーとを形式的に表すと以下のようになる．

ドを持たないグラフを「形状維持可能なグラフ」とよぶ．

性質 1 とは逆にグラフ

240

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237

a A b B c C d D e E f

e E
aA b B c f F g G h H ia Ab B c CdD e E f
I

H
h (b)

G

F
g

F
G
H
g
h (a)
図6. 形状維持可能ではないバルーンモデル・グラフの例．
I

D

J

C

j

I

e E
F
a A bBc
D

f

hH i

G
C
J
d (b)

j

(a)
e E d
a A bB c f F g G h H i
J I
D C
(d)
d (c)
j
e E
g
g
c
f
f
a A b BGh H i
G hH i
F
F
C
J
I
D
J
I
j
d
j
(e)
図7. ロック実施の可否と分離ノードの例．

これを満たさない場合には，結び目同士を結ぶロックの必要が生じ，そこでグラフが分割される，つまり，制作に複数のバルーンが必要になる．なお，実際には図 3 のスラストによりひねり目を固定する方法もあるが，このような固定の判定にはグラフ構造に加え 3 次元的配置を考慮する必要がある．したがって，形状維持可能なグラフはこのグラフを構造とするバルーン
モデルが形状維持可能であるための十分条件の 1 つである．

I

また，ツイストの一方向性とロックの実施可能な場合について上述したが，生成する手順はこれを遵守する．

本論文では複数色のバルーンを使ったモデルを扱うため，色の制約と形状維持可能判定との関係について述べる．
次数2のノ

グラフ のノードやエッジの数が大きい場合，可能な手順をードに接続する2つのエッジに対応するバブルの色が異なる場全探索するには膨大な時間を要する．そこで，まず制作に必要合を考える．
これは色の異なる2本のバルーンの端同士がつながなバルーンの本数 と の構造を 本のバルーンで構成する道った状態に対応し，このような場合は，端同士を結んで接続す分割を求め，これに作り易さに基づく制限を加えて探索範囲をるしかない．すなわち，この次数2のノードはひねり目ではなく限定する．ここで求まったもののうち難易度の最も低いものを結び目に対応する．したがって，形状維持可能判定は次数2のノ制作手順とすることで，実時間での処理を実現する．

ードで同色のエッジが接続する場合のみを考えればよい．

3.1 道分割の生成

2.5 操作ロックが実施可能かどうかに関する考察

グラフ の奇ノードの個数を2 とするとき， の道分割 の大図 7(a)のひねり目cとgはロックでき，図 7(b)が得られる．一

きさ| |の最小値は である．| |となる道分割 を全て求め方，図 7(a)のひねり目cとiはロックできない．なぜなら，バブる方法を述べる．まず，全ての奇ノードを 個の組に分ける．

ルB, C, DとH, I, Jがともに環状で，cとiを絡めることができない

各組の奇ノードを両端に持つ仮想のエッジを追加すると，グラからである．このように，２つの目のロックが実施できるとき

フのノードは全て偶ノードとなる．図 8(a)のグラフでは奇ノーと，そうでないときがある．ロックの実施が可能か不可能かを

ドが 4 個あり，2 組への分け方はOCa, g , d, e の 3 通りがある．一般には，a, d , e, g ，OC

判定する方法は現段階では不明であるため，ここではロックが⋅実施可能であるための十分条件のみ述べることとする．

a, e , d, g ，OC⋅⋯⋅/n! 通りの分け方がある．図 8(b)(c)(d)

図 7(d)に示すようなグラフの操作を考える．これは次数が 2

はOC , OC , OC の分け方に従って，各組の奇ノードを両端にも以上である１つのノードを 2 つにして，元のノードに接続する

つ仮想のエッジH, Iを追加したものである．
ノードは全て偶ノー本のエッジを 本と 本(,

1,1)に分け，

それぞれ分離した2つのノードに接続する操作である．

3のドとなるので，この場合はオイラー道が存在する．

Ha A b Bc C d
a
c
b
d
C
A
B
(a)
(c)
D E F G
D
G
E F g
e
f
e
f I g
H
a A bB c C d
a A b Bc C d(b) H DG I (d) D
E F Gg
E F
g
f I
e
e
f

場合は複数通りのエッジの分け方がある．このような操作を行うと元のグラフが分離される（連結成分数が増加する）場合と分離されない場合がある．ここでは，この操作を施してグラフが分離されるエッジの分け方が存在するノードを「分離可能ノード」と呼ぶことにする．図 7(c)に図 7(a)のバルーンモデルの図8. 道分割の生成の例．

グラフを示し，ノードc, g, iに上記の操作を施した結果を図 7(e)に示す．ノードc, g, iは次数 2 なのでエッジの分け方は一通りし

図 8(b)の場合，4 つのオイラー道 ， ， ， がある（図 9）．各オイラー道から仮想のエッジH, Iを取り除くと，グかない．操作の結果，gは分離可能ノードであり，cとiは分離可能ノードではないことがわかる．ロックしようとする 2 つの目

ラフ の道分割が得られる．オイラー道 ， ，,,が得られる．
らは，それぞれ道分割 ,のうちどちらか１つでも分離可能ノードに対応するなら，ロッ，かクを実施できる．一方，両方の目が分離可能ノードではないと

aAbBcCdIgGcFfEbDeHa

aAbBcCd, gGcFfEbDe

き，先述の例のようにロックを実施できない場合がある．

aAbBcGgIdCcFfEbDeHa

aAbBcGg, dCcFfEbDe

3. グラフからの制作手順の生成

aAbEfFcCdIgGcBbDeHa

aAbEfFcCd, gGcBbDe

aAbEfFcGgIdCcBbDeHa

aAbEfFcGg, dCcBbDe

バルーン本数が最少となる，すなわち，与えられたグラフ の

OC , OC についても同様に行うと，それぞれ 6 個の道分割が奇ノード数を2 とするとき， 本のバルーンで構成されるバル得られる．3 通りの奇ノードの分け方で合計 16 個の道分割が得ーンモデルを制作する手順を求める．求める手順は の各ノーられるが，その中でユニークな道分割は 8 個である．ここでは

ド，エッジに対応する目とバブルを生成するツイスト操作，おグラフ から上記の手順で得られる道分割の全体をよび，生成した目に対するロック操作の順序列により表現する．

一般に，

241

の大きさは与えられたグラフに依存する．

で表す．

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237aaaae H A be H Abe H Abe H Ab
D
D
D
D
B
E
E
B
b
c b
c b
f b
f
E
G E
F B
F
C E
f
f
c
f
g
c
c
d
I
C
G
F
G
C
F
I
c C d
g I d
d I g
c G g

このとき，ノード に対応する目がすでにあれば，ロックをす

図9. 図8(b)のオイラー路．

合，図 10 を実行すると次の制作手順のリスト が得られる．

る．また，道を同様に

道リストを

3.2 制作手順候補の生成
上記で得られたにノード と同じノードまで作っていき，A ,ここで， A はの各道分割から，ツイストとロックを用いを， b はたバルーンモデルの制作手順を生成する．

r , r
D , b ,

があれば，道をロックする．

aAbBcCd, eDbEfFcGg とした場
B , E ,

F , c ,C ,G

A でツイストによりエッジAを作ること
b でノードbをロックすることを表し，紙面の都合上，以下の数式においても同様とする．

制作手順の生成においては，道分割，つまりバルーンの本数とバブルの配置に基づいたすべての手順を得られることが望ましい．一方で，全ての制作手順を調べるのは，組み合わせの数/* グローバル変数の説明 */, , ,⋯ ,：3.2 節の方法で求めた道リスト
,
,
⋯
,
：
は
のノード数
1 2
：求めたい制作手順のリスト：ノードの集合：エッジの集合
1 , 2 , ⋯ , ： は生成していない のノード番号の最小値が膨大になることから探索時間が指数関数的に増加し，実時間での導出が困難となる．そこで，今回は先述のバブル作成の一
方向性に従い，実際に制作可能な手順の候補を生成し，その中から，固定される目の数に関連した難易度の小さいものを提示するような方法を検討する．この際，道分割において奇ノード
が 0 のものが含まれる場合，すべてのノードが始点・終点となり得るが，探索時間を考慮して任意の 1 ノードのみを始点・終/*点とする．また，制作中のある局面で，つぎにどのバルーンを操作するのが最適かを求めることも，組合せ数の問題から導出/* グローバル変数の初期化 */
; :
;
:
:
; :
for : 1 to do;,end

は困難である．そこで，後述のようにバルーンに選択の優先順を設定し，高順位のバルーンのバブルの生成が行いやすくなる
よう，順位が下のものへのロックを行うことを繰り返していくというアプローチを採用する．
上記に基づいて，図 8(a)のグラフ の１つの道分割である
aAbBcCd, gGcFfEbDe
を例として制作手順の生成方法を説明する． には 2 本の道があり，それぞれを 1 本のバルーンに見立てるが，先述のツイス
aAbBcCdのトの一方向性を考慮して道に向きを与える．道場合，a から d への向きを与えた道をの逆向きは

aAbBcCdと表し，そdCcBbAaのように表す．道

gGcFfEbDeに対しても同様に向きを与える．さらに，後述の制作手順において制作に取り掛かる順，つまり各道における制作の優先順位を示す，向き付きの道を要素とするリスト（有効道の列）を作る．
向きと優先順の与え方の組み合わせは 8 通りあり，優先順位の高い道を先に書いてリスト形式で表すと

,

，

,

，

,
， ,
， ,
， ,
， ,
， ,
となる．
このように道分割 の各道に向きと優先順位を与えて得られる
リス トを「道リス ト」とよび， 道分割と区別 し，
,

,

,⋯ ,

,

⋯

のように

表す．ここで は のノード数である．一般に大きさ の道分割から !

2 個の道リストが得られる．

つぎに，図 10 のアルゴリズムを実行し，制作手順のリスト を生成する．このアルゴリズムでは優先順位の高い道に対応するバルーンから作っていき，ツイス
トして生成されるひねり目がそのバルーン自身の目あるいは次の優先順位にあるバルーンの目とロックできるかどうかを常にチェックし，ひねり目をロックしていく．具体的には優先順位の高い道 から，そのエッジから を求める */とノード に対応するバブル

≔⋯≔

242

1;

番目のノードまでに対応/* の 番目のノードからするバブルと目を作る手順を生成する */
,
while
do
≔ ;
≔
1;
if
1 then; /* 後方から追加 */
.
:
∪
;
end
∈
then
if
.
;
else
;
:
∪
if
then
;
:
1
while
1 do
:
1;
end
then
if
1, ;
end
end
end
end
図10. 制作手順生成アルゴリズム．

と目を作っていき，道 に対応するバルーンを変形していく．

:

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237
表１はアルゴリズムの実行過程において または が変化すの値および に追加される操作を示す．また，図(a)11(1)の(a)～(i)は，表 1(a)～(i)の過程における各バルーンの状態(b)

るときの ,
を表す．

(a)
(b)

a
a,b
a,b,e

(c)

twist A

A

(d)

a,b,e

A,D

(e)

a,b,e,c

A,D,B

(f)

a,b,e,c,f

A,D,B,E(g)(h)

a,b,e,c,f

A,D,B,E,F

a,b,e,c,f,da,b,e,c,f,d,g

A,D,B,E,F,C
A,D,B,E,F,C,G(i)twist D , lock b
twist B
twist E
twist F , lock c
twist C
twist G

実線はバブル，鎖線は完成に至る過程においてバブルとしてまだ使われていないバルーンの残りの部分を表す．記号⊚ ，⊙ ， ⊖ ， ⊕はそれぞれ結び目，バルーンの先端，固定されていないひねり目，固定されているひねり目を表す．なお，先述のように，ひねり目が固定されているかどうかは，ロックされているか，あるいは制作過程のバルーンモデルをグラフとした
とき閉路上にあるかを調べれば判定できる．制作過程のバルー
ンモデルのグラフは， と に先端δとバルーンの残りの部分Δに対応するノードとエッジをそれぞれ追加すれば得られる．

(a)

ルーンモデルである．このアルゴリズムで生成される制作手順
はバブルを左から順につくるため，ツイストの一方向性を満た(b)

している．また，ロックしようとする 2 つの目のうち１つは分(c)

離可能ノードに対応するので，ロックは常に実行可能である．
a, d , e, g として得られして図 10 のアルゴリズムを実行すると，次の作制作手順のリスト が得られる．
A ,B ,C , c ,

F , E , b , D ,G

図 11(2)には制作過程におけるバルーンの状態を示す．
以上の方法では，与えられたグラフにより得られる道リストから１つの制作手順を生成する．どの道リストであっても，生成した制作手順に従って作ったバルーンモデルの構造は全て同じである．また，制作手順に含まれるツイスト，ロックの回数も同じであり，その順序のみが異なる．
図 13 は 3 本のバルーンが必要なケースであり，(a)のグラフに対して同様に手続きを行うと1248個の制作手順が得られる．
以下の手順はその１つである．
L ,H , I , h ,J , K , b , A ,F , d ,

D ,

Δ

δ

a A

b

Δ

δ

B ,

C ,

Δ
b
b
b

δ
δ

Δ
Δ
B c

δ
δ

Δ
Δ

b
b

B c
E
b
f
b B c
E
b
b B
E
b
b B
E
b

δ
δ

Δ
Δ

δ
δ

Δ
F

f
c
f
c

Δ

c
d
C
F
c
C d
F

δ
Δ
δ
G
g

c

f

a

δ

Δ

a A

b

a A

b

B c

Δ

δ

a A

b

B c

Δ

δ

Δ

δ
δ

G ,

E

図 13(b)には，この手順で制作したときの各バルーンの状態を
示す．

δ

Δ

(d)

aAbBcFfEbDe, dCcGg を入力とる道リストの１つであるb(1)

図 12(a),(c),(d),(e),(f)は図 11(1)の(a),(c),(d),(e),(i)に対応するバ

別の例として，奇点の組をOC

a A

e
a A
(d)
D
e
a A
(e)
D
e
a A
(f)
D
e
a A
(g)
D
e
a A
(h)
D
e
a A
(i)
D
e

P に追加される操作

E

δ

Δ

(c)

表1. アルゴリズムの実行過程．

V

a

Δ

d
a A b
(e)
C
c
d
a A b
(f)
C
c
d
a A b
(g)
C
c
d
a A b
(h)
C
c
d
a A b
(i)
C
c
d

B c
Δ
B c

F

Δ

δ
δ

E

b

δ
δ

E

b D e

E

b D e

f
Δ

B c

F

f

Δ

Δ
δ
B c

F

f
Δ

δ
B c
G
g

F

f

(2)
図11. 制作過程におけるバルーンの状態．

243

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237(a)

図 11 (1)，(2)の最大値はともに 2 であり，総和は 4，6 であaる．また，図 13(a)のグラフについて，先に示した制作手順の例では最大値が 4，総和が 20 となる．最大値および総和は制作

a A b
(c)

手順により様々な値をとるため，これらが小さい手順の方が作e

りやすいと考え，最大値を優先に難易度として設定する．

a A b
(d)

4. バルーンアートデザイン支援システム

Dea A b B c

前章の手法を実装した，バルーンアートデザイン支援システ
ムを制作する．システムではユーザが作成したグラフを入力とし，形状維持可能なグラフかどうかを判定して，可能な場合は

(e)
e

D

その制作手順の候補を出力する．

4.1 複数色のバルーンを使う場合への対応

a A b B c C d

2 色のバルーンを使った単純な例を図 14(b)に示す．これは図

(f)
e

DE

14(a)と同じ構造をもち，そのグラフは図 14(c)となる．グラフg

F G

は奇ノードが 4 個なので，図 14(a)は 2 本のバルーンで作れる

図12. 図11(1)に対応するバルーンモデル．

が，図 14(b)の場合はバルーンの色を考慮すると 3 本のバルーンが必要である．システムは次のようにして複数色のバルーン

l
L
a A

b B c

を使う場合に対応する．

f
E
C d D e1. ユーザは入力したグラフGのエッジに色1,2 ⋯ , から選んだ１つの色をつける（ の最大値：バブルの総数）
2.

F

K
k

3. グ ラ フ
,

H

I

L b
i H h
j I h

l

,⋯,

を

個の道分割の集合

とする

∪

∪ ⋯∪

∈

をグラフGの

道分割の集合とする(a)

A a
J k K b B c C d
G g F d E fから生成した4.

ji

を色iのエッジとその両端のノードからなるグラフとする

g

J h G

,

5. 集合

D e

のすべてについて道リストを生成し，制作手順を求める
図 14(c)のグラフ については，a, b, c, d, f , A, B, C, D, E ,(b)e, c, f, g, h, b, i , F, G, H, I, J, K

図13. 3本のバルーンの例．

となり，それぞれのグラフの道分割の集合は次のようになる．

3.3 制作手順の難易度評価

eFcGfHg, hIfJbKi ,eFcGfIh, gHfJbKi ,eFcGfJbKi, gHfIh

aAbBcCdDfEa ,図11 において，
記号⊖は固定されていないひねり目を表す．
制作の過程でこのようなひねり目がある場合，そのひねりが戻らないよう，非固定のひねり目が含まれる連続するバブルの両

なお， は環状であるため，端をロックされるまで片手で押さえながら，次の操作を行わな

終点となる 6 個の道が得られるが，先述のように任意のノードは本来すべてのノードが始点・ければならない．この際，押さえが必要なのは 2 個所のみであ（ここでは a）を始点終点とする．以上より，

るが，バブルを作るたびに押えを移動しなくてはならず，押さ

分割を１つずつ選んで得られる の道分割の集合は以下となる．

えが外れてしまうと作り直しとなる．したがって，制作過程でとから道

aAbBcCdDfEa, eFcGfHg, hIfJbKi ,aAbBcCdDfEa, eFcGfIh, gHfJbKi ,aAbBcCdDfEa, eFcGfJbKi, gHfIh

出現する非固定のひねり目の数が，難易度の一評価基準となると考えられる．ここでは，制作過程における非固定のひねり目の数の最大値および総和に着目する．

i

上述のように，非固定のひねり目はバブルの作成の度に手で

e i

F

K

K

b B c

押さえる個所を変更する必要が生じる．そのため，バブルの作A成を単位として，最大値および総和を算出する．具体的には，

Jaツイストを 1 回行って新たにできた目がロックできる場合はロEg

ックした後，ロックできない場合はそのツイストの後にモデル

G
ff

e

F

i

b B c
A

C
D

d a

E
g

J

G
ff

F

K
b B c
A

C
D

d a

J
E

C

G
f

D d

H I
H I
h
g H I h
h
(b)
(a)
(c)
図14. 1色および2色のバルーンを使ったモデルの例．

全体で非固定の目の数 を数え，完成に至るまでの の最大値と総和を求める．
244e芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237

4.2 制作手順の生成と提示
グラフのオイラー道は一般にグラフ探索により求めるが，オ
イラー道の数はノードの個数や各ノードの次数が大きくなると指数的に増え，現実的な時間内で全てのオイラー道を探索することは困難となる．システムはこの問題を回避するため，全オ
イラー道探索とランダム探索の 2 つから 1 つをユーザに選択さ

(b)

(a)

せ，後者の場合，ランダム探索により抽出するオイラー道の本f F c D d C bK h M k Nh

数をユーザに入力させる．また，得られた制作手順の候補は難i L c

易度のやさしい順にソートする．ここでは，固定されているひB a Ab(d)

I j J i P l O i H g G h

E e

(c)
図15. 単色のバルーンアートの制作手順の生成例

ねり目の数の最大値が小さいほど，また，これが等しい場合は総和が小さいほど順位を高くする．システム全体の処理の流れ

つぎに，複数色のバルーンを用いた事例について，図 16(d)は次のようになる．
1. ユーザはグラフGを入力しエッジに配色の 2 色のバルーンを使ったバルーンモデルで確認する．また，

2.

システムによる制作手順も示す．(a)から(c)はこのモデルを入力

が形状維持可能か判定し，可能ならば 3 以降へ3.

,する過程である．まず，(a)のようにノードを空間に配置し，そを色iのエッジとその両端のノードからなるの間にエッジを挿入し，ベジェ曲線の制御点と接続点を移動しグラフとする4. ユーザが全オイラー道探索を選択した場合は 5 へ，ランダてエッジの形を定める．これを繰り返すことで(b)のような完成

ム探索を選択した場合は 6 へ

形状のグラフを作成し，(c)のようにエッジをバブルに変換した

5.

について全オイラー道を求め，道分割の集合

6.

について，ユーザがオイラー道の本数回ランダム探索を行ってめ，道分割の集合を生成

後で配色を行う．(e)に示すノードやエッジのラベルは入力した索によりオイラー道を求めた結果，400 個の道リストが得られを生成

7. 上記 5 または 6 で得られた

た．その中で，最も難易度が低かったものの１つを次に示す．
から の道分割の集合

aEbFaBcAaGeHaCdDa, fHaIgMjNgKiLgJhを

これは 2 本のバルーンに対応し，この道リストから得られる制

求める
8. 集合

10としてランダム探順に基づいて与える．

を入力し，本のオイラー道を求

作手順は次のようになる．

のすべてについて道リストを生成し，制作手順を求

H , a ,める
9. 得られた手順を難易度の低い順に並べ替えユーザに提示

a , C ,

4.3 実行例

E , F , a , B , A , a , G , H ,D , a ,

I , M ,

N , g ,

K , L , g , J

この手順において，固定されないひねり目の最大値は 2，総和は 8 である．図 16(f)に当該手順で制作したときの各バルーンの制作したシステムを利用してバルーンアートをデザインした例を示す．なお，以下の 3 種類のバルーンアートは，いずれも状態を，(g)には実際に制作したバルーンアートを示す．

著者のシステム操作による制作である．
まず，複数本バルーンに対応した構造化と制作手順の導出が(a)可能であるか，図 15(a)の 1 色のバルーンを使ったバルーンモ
デルを用いて確認する．図 15(b)のグラフについて，100としてランダム探索によりオイラー道を求めた結果 696 個の道リストが得られた．その中で最も難易度が低かったものの

(b)

(c)

１つを示す．
fFcDdCbKhMkNhIjJiPlOiHgGh, iLcBaAbEe
これは 2 本のバルーンに対応し，この道リストから得られる制作手順は次のようになる．
F ,L , c , D ,N , h , I ,

C ,

B ,

A , b ,J , i , P , O , i ,H ,K , M ,
G , h ,

E

この手順において，固定されないひねり目の最大値は 3，総和

(e)

(d)

(g)

は 14 である．図 15(c)に当該手順で制作したときの各バルーンの状態を，(d)には実際に制作したバルーンアートを示す．
図が示すように，提案手法およびシステムにより複数本バル

a E b F a B c A a G e Ha C d D aーンによるバルーンアートの制作手順が導出でき，その手順に(f)基づいて実際のバルーンを用いた制作が可能であることを確認した．

f H a I g Mj

Ng K iL g J h

図16. 2色のバルーンアートの制作手順の生成例．
245

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237
図17は4色を使った場合の，複数色の別例である．全道リスト

5. おわりに384個のうち最も難易度が低かったものの１つを次に示す．
lLgSnPmMbAa, bBcDeFgGfEdCb, hHcNmOdIi, kKfRnQeJj

本論文では，複数本で構成されるバルーンモデルのグラフ構

また，この道リストから得られる制作手順は次のようになる．

造に関する性質，制作手順の生成手法，および，これらに基づ

L ,

B ,

, A ,

G ,

,

,

,

E , N , m ,
f ,

,
O ,

R , n , Q , e ,

,
,

,
C ,

,
,

,
I ,

いた配色も考慮したデザイン支援システムについて論じた．

K ,今回の提案手法では，導出される制作手順が理論上の全手順Jと比較して，どの程度をカバーしているかは明らかとなっていこの手順での非固定のひねり目の最大値は3，総和は20である．

ブルの配置などを考慮することで，形状維持可能性をより厳密

(d)

(b)

(a)

ない．また，今回は考慮しなかったバルーンの長さや個々のバに判定でき，スラストを含めた詳細な制作手順の提示が可能となる．これらの解決は実用性の高い支援につながると考えられるため，考察の内容も含めて今後の課題としたい．

謝辞
l L g S n Pm Mb A a
b B c D e Fg Gf

本研究の一部は JSPS 科研費 25280131, 15K00448 による．

E dCb

参考文献

(c)
h H c Nm Od

I i[1] 内田忠，伊藤英則，折り紙過程の知識表現とその処理プロ

kKf

J j

グラムの作成，情報処理学会論文誌，Vol.32，No.12，pp.1566–

R n Qe1573，Jul.1991．

図17. 4色のバルーンアートの制作手順の生成例．

[2] Miyazaki S, Yasuda T, Yokoi S, and Toriwaki J, An Interactive

図16, 17で示すように，複数色のバルーンアートについても，

Simulation System of ORIGAMI Based on Virtual Space

実際にバルーンを用いて制作可能である構造化，および，制作

Manipulation, Proc. of ROMAN '92, pp.210-215, Sep.1992.

手順の導出を行えることが確認できた．

[3] Tomohiro Tachi., 3D Origami Design Based on Tucking Molecule,4.4 考察In Origami4: Fourth International Meeting of Origami Science,
Mathematics, and Education, pp. 59-272, 2009.

本論文では，グラフの道分割や手順の組み合わせという，全[4] 寺崎美保子，今すぐできる！ バルーンアート ひねってつ探索が難しい対象を扱っている．そのため，制作の一方向性など作り易さの観点に基づく制限を加えることで探索範囲を限定

くる魔法の風船，新星出版社，Apr.2008．

し，実時間での処理を実現した．したがって，作り易さに基づ[5] 高田佳子，ファンタジー・バルーン，大月書店，Apr.1999.

く一定の解が得られていると考えられるが，理論上では存在す[6] 大石亜由美, 壁画・イベントに生かす 子どもと楽しむバル

る制作手順を網羅できておらず，探索範囲外により最適な解がーンアート，いかだ社，Mar.2008．

存在する可能性は排除できない．また，図17の亀の形状を1色[7] ほいけんた，
楽しくつくろう!バルーン工作，
ブティック社，のものとしてアルゴリズムを適用した場合，aAbBcHhというよJul. 2008．

うな足と尾と甲羅の一部に1本のバルーンを割り当てるような[8] 畑中啓行，生田大介，田中敏光，杉江昇，仮想バルーンを出力が得られる．このような場合，制作の際にどの部分を制作

モデリングするエデュテイメントソフトの提案，2000年度電気

しているのかがわかりづらいといった，制作技法とは異なる問関係学会東海支部連合大会論文集，p.269，Sep.2000．

題も発生する．そのため，操作とは別の観点での作り易さの指[9] 小坂友里，風船の物理特性を考慮したバルーンモデリング標についても検討が必要である．

の制作支援に関する研究，
東京工科大学2008年度卒業論文，
2009．
[10] Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Vi Hart, Computational

提案システムについては，1章で述べたように複数本・色のバルーンによるバルーンアートのコンピュータによる制作支援

Balloon Twisting: The Theory of Balloon Polyhedra, in Proc.

を前提に，構造や制作手順の出力を主目的としている．そのたof CCCG 2008, Aug. 2008.

め，前節で示したように主目的は達成されたと考える一方，今[11] 浦正広，山田雅之，遠藤守，宮崎慎也，安田孝美，バルー

回はあらかじめ完成形状がイメージできているケースを想定しンアートの構造解析と難易度評価手法の提案，芸術科学会論文ており，バルーンアートやコンピュータ上での造形に不慣れな誌，Vol.8，No.4，pp.143-150，Dec.2009．

者にとっては利用し易いインタフェースとなっていない．バル[12] 浦正広，山田雅之，遠藤守，宮崎慎也，安田孝美，バルー

ーンアートでは，たとえば動物の耳など，ある形状を制作する

ンアートの構造解析と作成支援ツールの開発，第8 回

バブルの組み合わせがおおよそパターン化されているものもあNICOGRAPH春季大会論文集，Mar.2009．

る．そのため，現状のものの使いやすさを改善させるだけでな[13] 浦正広，山田雅之，遠藤守，宮崎慎也，安田孝美，複数本

く，そういった要素を取り入れた支援についても検討が必要でバルーンにより構成されるバルーンアートの構造解析，電子情あると考えられる．

報通信学会技術研究報告，Vol.112，No.473，pp.295-300，Mar.2013．
246

芸術科学会論文誌 Vol. 1, No. 5, pp. 1234-1237

浦 正広

遠藤 守

2012年名古屋大学大学院情報科学研究科博士課程修了．同年

2003年名古屋大学大学院人間情報学研究科博士課程修了．同年

MAI Lab.開業，14年北陸先端科学技術大学院大学知識科学研究

中京大学情報科学部講師，08年同大学情報理工学部准教授，14科助教，現在に至る．アート，エンタテインメントと科学との年名古屋大学大学院情報科学研究科准教授，現在に至る．仮想融合に関する研究に従事．博士（情報科学）．

空間とネットワークの融合利用に関する研究，およびオープン
ソースの社会利用に関する研究に従事．博士（学術）．

山田 雅之
宮崎 慎也

1994年名古屋工業大学大学院工学研究科修士課程修了．同年同大学知能情報システム学科助手，
98年中京大学情報科学部助手，

1994年名古屋大学大学院工学研究科博士課程修了．93年中京大99年同講師，07年同大学情報理工学部准教授，12年同教授，13

学情報科学部助手，97年同講師，99年同助教授，07年中京大学

年同大学工学部教授，現在に至る．人工知能とメディア技術を

情報理工学部教授，13年同大学工学部教授，現在に至る．CG，

融合利用した応用研究に従事．博士（工学）．

VRの特にソフトウェアによる仮想環境構築，空間操作に関する研究に従事．博士（工学）．

宮田 一乘
安田 孝美

1986年東京工業大学大学院総合理工学研究科修士課程修了．同年，日本アイビーエム（株）東京基礎研究所入社，98年東京工1987年名古屋大学大学院工学研究科博士課程修了．同年同大学

芸大学学術部助教授，02年陸先端科学技術大学院大学知識科学

助手，93年同大学情報文化学部助教授，03年同大学大学院情報教育研究センター教授，12年同大学知識科学研究科教授，現在

科学研究科教授，現在に至る．ネットワークを利用したマルチに至る．コンピューターグラフィックスおよびメディア表現に

メディアにCG，VRの新たな可能性に関する研究に従事．博士

関する研究に従事．博士（工学）
．

（工学）．

247