SPACE CHARGE EFFECTS in J-PARC MR: LATTICE X-Y COUPLING
Kazuhito Ohmi #,A), Shuichiro HatakeyamaB), Yoichi SatoA)
A)
KEK, High energy accelerator research organization
1-1 Oho, Tsukuba, Ibaraki, 305-0801
B)
JAEA, Japan Atomic Energy Agency
4-49 Muramatsu, Tokai, Ibaraki, 319-1112

Abstract
Emittance growth and beam loss due to the space charge force are enhanced by errors of the lattice. Nonlinearity ofthe space charge force and lattice elements is integrated with Twiss and x-y coupling parameters into one turn map.
Twiss and x-y coupling parameters are measureable quantities. We study space charge effects with the measured Twisscoupling parameters.

J-PARC MR での空間電荷効果： x-y 結合の影響
1.

はじめに

Φ(si)は si でのビーム分布による空間電荷ポテンシャルで、その変換の記号表現は以下を表す。	  加速器におけるビーム分布は加速器の線形、非線(2)型ラティスの構造による。ビーム分布による非線形な空間電荷力はラティス構造を歪め、準平衡分布に達する。その分布は一般に完全な平衡分布ではなく、 Φ(si)は実座標の関数であるが、ノーマルモードで表空間電荷、ラティスの非線形力によりエミッタンス せば、運動量依存ももつ。変換は連続的であるべきが大きくなりビームロスが起こる。ここではエラー (N→∞)だが、ステップをベータトロン位相の変化などにより x-y 結合が存在するラティスでの空間電 を小さくとるようにすれば、連続と見なすことがで荷効果を論じる。ビーム分布は加速器内の進行位置 きる、すなわち Δs<<βであればよい。
s に対して 4 次元位相空間 x,px,y,py 内で傾く。空間 	  ラティスと空間電荷の変換を分けて表し、ラティ電荷力は 2 次元実空間(x,y)での傾いた楕円体分布に ス部分 M0 をさらに線形変換 M0 と非線形変換 Mnlより生じる。傾いた座標での空間電荷力は加速器の に分けて考える。
チューンによって特徴づけられた(線形)ノーマル(3)
モードに対して、4 次元位相空間構造に応じた作用を与える。線形ノーマルモードも x-y 結合も空間電	 荷力により歪みを受ける。
エミッタンス増大、ビームロスは空間電荷力によ 非線形変換は以下で表される。
る非線形共鳴周辺のカオス的振る舞いにより起こる。
(4)
共鳴はラティス変換に内在するものもあれば空間電荷力を起源とするものもある。ラティス起源の非線
Hamiltonian で、6 極磁石の形共鳴も空間電荷の非線形共鳴もその非線形成分の Hnl は非線形磁石の変換
32=K(x-3xy)/6である。具体的な変換は式(2)場合
Hnl2
強さと線形ラティスによるα、β、β位相、x-y 結と同様である。
合を考慮した積分によって決まる。
それらの線形ラティスパラメータは測定すること 	  ビームの分布は線形変換で概ね決まる。空間電荷ができる。周回変換における積分した非線形成分は の変換自体もラティスの変換による。
その測定値によって評価できる。その線形パラメー(5)タの設計値からのずれがビームロス等に影響するのであれば、それらを補正することで、設計のビーム空間電荷とラティス非線形の干渉を無視すれば、非ロス(最小値であろう)を達成できると期待できる。
線形変換 M0 を線形変換 M0 に置き換えられる。ラティスの線形変換 M0 を記述する Twiss パラメータ
2. ラティスと空間電荷とベータトロン位相、は測定可能な量である。以下
空間電荷力を考慮した周回変換は以下で表される。
で論じる x-y 結合パラメータも広義の Twiss パラメータと考えられ測定可能である。ラティス非線形と空間電荷の変換を測定された線形変換と組み合わ(1)
せ周回変換[式(1)]を構築することができる。	  具体的にラティスの線形変換 M0 は以下のように
ここで M(s,s)は si から si+1 へのラティス変換であり、パラメトライズする。

- 447 -ある。モニター間のベータトロン位相は 2 つのモニターの振動相関から求めることができる。
(6)

(10)

x-y 結合パラメータ r1-r4 も s の関数で広義の Twissパラメータと考えることができる。	  クーランシュナイダー不変量は以下で表される。
(7)

図 1 位相空間トラジェクトリーの例、4 次元を 3 次元(x, px, py)に射影して図示。

4.

空間電荷力を線形で近似すれば、ビームの分布は楕円体を記述する 2 次モーメント(ビームエンベロープ)で表現できる。ビームエンベロープは式(9)と違い、ビーム粒子の位相平均をとったものである。
(11)

ここで xT=(x,px,y,py)である。

3.

ビームエンベロープ

Twiss パラメータ測定	  J-PARC では１つの方法として、x-y 結合パラメー
タを含む Twiss パラメータの測定に turn-by-turn モニターを使用している。入射エラーを x-y それぞれに与え、x-y それぞれのモードのベータトロン振動を測定する。振幅(Wx,Wy)の単粒子のベータトロン振動は y,py 空間にもれ出す。チューンは y,py 空間に振動が現れても νx である。
(8)で表され、一方の W だけで励起した場合(Wx)、位相空間内で楕円曲線を描く。その際振動はモニターで測定された位相空間トラジェクトリーの例を図 1 に示す。	  位相空間楕円曲線の 2 次モーメントから Twiss パラメータが決定できる。つまり式(9)と実験データを比較して求める。[1,2]エンベロープは線形周回変換に対して、以下のように変換される。

(12)
空間電荷を含む線形変換は以下で表され、(13)
空間電荷力による線形変換は以下である。

(14)

(9)
線形力 k は(15)

この平均は単粒子あるいは重心の運動の時間平均でビームの実空間回転角、楕円の固有軸方向のサイズa,b は- 448 -和共鳴補正、差共鳴補正はそれぞれ以下である。
(16)

(21)
対応するｒの設定は M0 から求められる。

5.
から決まる。	  そこで周期条件を課することで平衡エンベロープを求める。
(17)
M にエンベロープが含まれるので、自己矛盾の無い解を求める。この場合線形なので平衡解が求められる。エンベロープは線形近似なので、線形共鳴、整数、半整数、が評価対象となる。

非線形ラティス、非線形空間電荷力	  周回変換に対するラティスの非線形成分による寄与は以下のように表される。

(22)

Φ4.1

線形結合共鳴補正	  線形周回変換は以下のように表せる。

一般的に加速器は skew 共鳴がないように設計されている(Hnl ~Re(x+iy)n)。Skew 成分(Im(x+iy)n)は 6 極磁石が傾いて設置されていたり、6 極の場所(si)で xy 結合がある場合に発生する。6 極の設置エラーは測量に頼るが、x-y 結合からの寄与は測定された
Twiss parameter, α、β、r1-r4 から評価できる。

(18)
積で表された項は空間電荷力による線形効果を 1 周分まとめた行列である。	  M0 は前述のように位相空間構造(Twiss parameter)とチューンで表されるので、観測可能量である。
Skew Q 成分が含まれている場合、以下のように表される。

(19)

この M2x2 は、同様に区分対角化されていて、線形共鳴から離れていれば、近似的に式(6)に等しい。
積の部分は Skew Q 成分を 1 周分まとめたものである。

(20)

(23)
HN,i は Hnl において si での x,y を以下の関係を使い sでの x,px,y,py で表したものである。
(24)
Skew 成分は si、s でのα、β、r1-r4 から決まる。非線形をすべてまとめ上げたものは非常に複雑で高次項まで含む。その項に応じた共鳴が現れる。	  ビーム分布は空間電荷力と主に線形ラティスにより決まる。その分布による非線形変換は空間電荷力の移送をラティス線形移送に置き換えて以下のように表せる。

(25)
ビームが傾いていれば Φ に Skew 成分が含まれる。
また非線形ラティスの場合と同様 x-y 結合があるとやはり Skew 成分が現れる。	  こういった効果の評価はシミュレーションによって行われている。一般的にはラティスに磁石の据え付けエラーを入れ、軌道補正し、空間電荷シミュレーションを行っている。ここでは測定した Twiss	 
parameter に対する、空間電荷効果を調べる。Twiss
parameter のずれからくるラティスの非線形効果、空間電荷効果をそれぞれ分離して扱い、その影響をそれぞれに評価することで、エミッタンス増大のメカニズムを理解し高強度の達成に必要な条件を調べる。

6.

測定例とその空間電荷効果	  図 2 に x-y 結合パラメータ r1-r4 の測定例を示す。

- 449 -タ線の差に x-y 結合の空間電荷への影響がみられる。
さらに赤線に非線形磁石での x-y 結合、Twiss エラーの影響が見られる。

図 4	  x-y 結合が図 2 の 2 倍程度悪い例。

図 2: x-y 結合の測定例。
この実測した x-y 結合パラメータを設計ラティスに付加して、空間電荷シミュレーションを行った結果が図 3 である。この程度の x-y 結合はビームロスには影響しないようである。この計算ではβは測定値を使っていない。

図 5: 図 4 のラティスのエミッタンス増大。上-下
図は x-y 方向ビームサイズの時間変化。青線が設計ラティス。マゼンタが空間電荷のみ x-y 結合を付加した場合、赤線がさらに非線形磁石での x-y 結合も考慮した場合。
図 3:	  図 2 の x-y 結合を設計ラティスに付加した空間電荷シミュレーションによるビームロス。	  次の例(図 4)は x-y 結合が図 1 に対して 2 倍程度悪い場合を扱う[3]。図 5 に空間電荷効果のシミュレーションによる x-y それぞれのエミッタンスの増大を示す。青線が設計ラティス。マゼンタが空間電荷のみ x-y 結合を付加した場合、赤線がさらに非線形磁石での x-y 結合も考慮した場合である。青とマゼン

7.

まとめ

測定による Twiss-R パラメータをベースに空間電荷効果の評価手法を確立した。空間電荷、非線型磁石それぞれでの Twiss-R エラーの効果を見ることができつつある。その Twiss-R エラーを補正することで設計ラティスでの最小のビームロスが実現できると期待できる。
測定に関してはモニターの設置精度、測定精度を上げていく必要がある。

- 450 -参考文献
[1] Y. Ohnishi et al., Phys. Rev. ST-AB, 12 (2009) 091002.
[2] K. Ohmi et al., Proceeding of IPAC2010, Kyoto, Japan, May.
23-28, 1539.
[3] K. Ohmi et al., Proceeding of IPAC2012, New Orleans, USA,May. 21-25, 2012.

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