MDGRAPE-3 を用いた渦法による乱流の直接数値シミュレーション
横田理央 1, 成見哲 1, 泰岡顕治 1, 戎崎俊一 2, 小尾晋之介 1
慶応義塾大学 理工学部機械工学科 1, 理化学研究所 戎崎計算宇宙物理研究室 2
rioyokota@a5.keio.jp
概要： 流体のメッシュフリー解析法である渦法の計算を分子動力学専用計算機 MDGRAPE-3 を用いて加速し、従来の渦法では計算コスト上困難であった一様等方性乱流の直接数値シミュレーション(DNS)を行った。計算の高速化には MDGRAPE-3 と併せて高速多重極展開法(FMM)を用い、さらにMPI による並列化を行った。これにより、同等の計算条件におけるスペクトル法と同程度の計算精度と計算速度をメッシュフリーな解析で実現できることが明らかになった。

1

さらに、MPI による並列化を行い、各々の計算はじめに昨今、数値流体解析の対象が流体‐固体連成問

題などを伴うますます複雑な流れ場へと広がる中、ノードに 12 チップの MDGRAPE-3 ボードが接続された状態で 16 ノードの並列計算を行った。

渦法にはメッシュフリーの乱流解法として期待が図１に渦法計算を１タイムステップ行った場寄せられている。しかし、渦法の計算例の多くは、合の粒子数の増加に対する計算時間の増加を示す。

メッシュフリーであるという利点を活かすために

まず、○と△を比べると２チップの MDGRAPE-3

複雑な流れ場を対象としており、基礎的な流れ場を用いることで Xeon の約 100 倍の計算速度が得における定量的な誤差評価の不足が逆にその信頼られることが分かる。次に、△と＊を比べると 12性を低下させている。

チップの MDGRAPE-3 を１６台用いることでさal.[1]は最も基礎的な乱流場である一らに 96 倍の加速が得られていることが分かる。

様等方性乱流の渦法解析を行い、スペクトル法と続いて、○と×、△と□、＊と◇をそれぞれ比良好に一致する結果を得た。しかし、この際渦法べると O(N2)の直接計算と O(N)の FMM が交差すの計算コストがスペクトル法よりも１オーダ大きる点が N=103、3×104、106 と増加している様子

いことが明らかになった。

が見てとれる。また、×、□、◇を比べると直接

Yokota et

本研究では、専用計算機 MDGRAPE-3 を用い計算が 100 倍加速されているのに対して、それぞて渦法計算を加速し、信頼性と計算コストの両面れ４倍程度の加速しか得られていないことが分かで優れたメッシュフリー解析法の構築を目指す。

る。これは FMM の一部のみが MDGRAPE-3 で2粒子多体系の高速計算渦法は計算ステップ毎に正確に流れ場を再現している必要があるため遠方場の影響を無視でき加速されているからであり、現在、擬粒子法[4]を用いることで FMM 全体を MDGRAPE-3 上で加速する方法を検討している。

ない。そこで、高速多重極展開法(FMM)を用いる
10

ことで遠方場を近似し、粒子数 N の計算コストをXeon(3.06GHz)
Xeon+FMM
MDG3 (2Chip)
MDG3+FMM
RSCC (12×16Chip)
RSCC+FMM4

一方、Sheel et al.[2]は専用計算機 MDGRAPE-2を用いて渦法計算を行うことで通常の PC に比べて計算時間を２オーダ低減できることを示した。
しかし、この場合、遠方場の粒子を全て計算する

cpu timeO(N2)から O(N)に低減する方法が用いられてきた。
1010N220N

ため計算コストは O(N2)のままである。
本研究では分子動力学専用計算機の最新モデルである MDGRAPE-3[3](2 チップ)と FMM を併用した。ただし、FMM の中で MDGRAPE-3 上で計算できるのは近傍粒子の計算の部分のみである。

10-210310410N510610

図１ CPU Time Against Number of Particles

74of Isotropic Turbulence Using a Pure
Lagrangian Vortex Method」, J. Comp. Phys.

一様等方性乱流渦法に上記の高速化を適用し、 Re

40 、

in press, doi: 10.1016/j.jcp.2007.06.003[2] T. K. Sheel, K. Yasuoka, & S. Obi,「FastN=1283 の３次元一様等方性乱流の解析を行い、同等の初期条件と計算点数のスペクトル法と比較しVortex Method Calculation Using aSpecial-Purpose Computer」, Comp. Fluids,た。
図２に乱流エネルギーの時間変 化を示す。

36, 1319–1326. (2007)[3] T. Narumi, Y. Ohno, N. Okimoto, T. Koishi, A.
Suenaga, N. Futatsugi, R. Yanai, R. Himeno,
S. Fujikawa, M. Ikei, & M. Taiji. 「A 55

Spectral、Vortex はそれぞれスペクトル法、渦法の結果を表す。時間は大規模渦の回転時間 T で無次元化されている。渦法の結果がスペクトル法のTFLOPS Simulation of Amyloid-forming
Peptides from Yeast Prion Sup35 with theSpecialpurpose Computer System MDGR
APE-3, Proceedings of the SC06. (2006)[4] J. Makino, 「Yet Another Fast Multipole

ものと定量的に良好に一致していることが見てとれる。
図３に t/T=10 における乱流エネルギーのスペクトルを示す。ただし、initial は計算開始時のエネルギースペクトルを表す。高波数側で渦法のエMethod Without Multipoles-Pseudo-Particle
Multipole Method.」 J. Comp. Phys., 151,

ネルギーが僅かに過小に見積もられているが、概ねスペクトル法の結果と一致しているといえる。

910-920. (1999)

t/T=10 まで計算するための渦法の正味の計算時間は 1 時間程度であり、同様の台数の汎用計算機上でのスペクトル法の計算とほぼ同等であった。

5まとめ
10渦法の計算を MDGRAPE-3 を用いて加速し、0した結果以下の知見を得た。

K

一様等方性乱流の計算結果をスペクトル法と比較十分な渦要素数を用いることで渦法によるメッシュフリーな直接数値シミュレーションが可能であることが示された。また、このような大規模
Spectral
Vortexな粒子多体系の計算を加速する手法として、FMMと MDGRAPE-3 を併用することで、既存の格子10−110を用いた流体解析法と同等の計算速度を実現する

010t/Tことができた。

図２ Decay of Kinetic Energy

今後の計算の大規模化に伴い、本手法の計算コスト O(N)はスペクトル法や FFT を用いた高速

210Poisson ソルバの計算コスト O(NlogN)に比べて低くなることが予想される。よって、渦法はメッinitial
Spectral
Vortex010

シュフリーであるという利点の他に、粒子多体系−2専用計算機を利用でき、超大規模計算において相とが明らかになった。

謝辞
本研究の初期段階において，八柳祐一博士(静岡大)に専用計算機(MDGRAPE-2)を用いた渦法の計算について助言をいただいたことを記し、謝意を表す。
参考文献[1] R. Yokota, T. K. Sheel,& S. Obi, 「Calculation

E(k)対的に計算コストが低くなるという特長があるこ

10−410−610−810010110k

図３ Energy Spectra at t/T=102101