現実的なクォーク質量を用いた
格子 QCD シミュレーションが切り拓く物理
加堂 大輔、滑川 裕介、浮田 尚哉
所属 筑波大学計算科学研究センター
メールアドレス kadoh, namekawa, ukita@ccs.tsukuba.ac.jp
概 要
本研究では、2+1 フレーバーの格子 QCD シミュレーションにより、強い相互作用の非摂動的現象を定量的に明らかにすることを目指す。我々は、アルゴリズムとして領域分割されたハイブリッドモンテカルロ法を用いることで、HMC アルゴリズムの分子動力学部分にマルチタイムスケールを導入した。これにより、これまで難しいとされてきた現実に近い軽いクォーク質量 6MeV でのシミュレーションに成功した。得られたスペクトルは、QCD の低エネルギー有効理論から予測されるカイラルログの振る舞いを示し、誤差の範囲内で実験値をよく再現している。本研究によって現実のクォーク質量でシミュレーションを行う道が開けた。

1

はじめにの操作により、例えば mπ /mρ = 0.35 の場合、広く用素粒子標準模型の一部である QCD は、低エネル

いられている even/odd 前処理した倍精度 BiCGStab2

ギー領域でクォークの閉じ込め等の非摂動的現象をもに比べ、4 倍の計算速度を達成している。また、SSEたらす強い相互作用を記述すると考えられているが、を活用することで、更に 2 倍の速度が得られる。これ

紙と鉛筆による伝統的な解析法でその性質を調べるこらの方法により、従来の方法に比べ、実測値で数十倍とは難しい。定量的な解析には、格子 QCD に基づくの性能向上が得られた (図 1 の赤印参照)。クォーク質数値シミュレーションが有効である。特に、現実と同量を下げると、性能向上比は更に増加する。
2じクォーク質量において数値計算を行う事は、崩壊・Nf = 2 + 1

散乱過程や原子核の組成等における QCD 効果を精密Tflops yearsに理解する上で非常に重要である。ここでは、現実のクォーク質量での計算を目指す我々の研究の進展状況について報告する [1]。

1.5100 configs-1with a = 2.26 GeV1L = 2.8 fm

0.52

physicalpoint -->アルゴリズムの発展
現実のクォーク質量での格子 QCD には、膨大なコ0

テカルロ (HMC) 法では、計算コストは次の経験則で評価される [2]。
cost = C„« „«−6mπ /mρ
独立な配位数・10000.6„«5 „ −1 «7La・・
Tﬂops・years
3fm
2GeV

00.2

0.4

0.6

0.8

1mπ/mρ

ストが必要となる。従来用いられるハイブリッドモン

図 1. パイオン質量（横軸）と計算コスト（縦軸）の関係。
従来の HMC アルゴリズムの計算コストを実線で、新しいDD-HMC アルゴリズムの計算コストを赤印で示した。

3Nf = 2 + 1 QCD シミュレーシ
ョン

パイオン質量 mπ を軽くする毎に 6 乗で計算コストが我々の研究以前には、従来の HMC 法による Iwasaki増大する（図 1 の実線参照）。従って、現実のクォーゲージ作用と O(a) 改良された Wilson クォーク作用

ク質量を用いたシミュレーションには、実効 10Tﬂopsを用いた Nf = 2 + 1 格子 QCD シミュレーションの計算機を用いても数十年の時間が必要となる。
この現状を打破する解決案として、まず領域分割さが、CP-PACS+JLQCD により行われていた [4]。主れたハイブリッドモンテカルロ (DD-HMC) 法が挙げ地球シミュレーターを使用してた。その際、体積はられる [3]。格子を領域分割し、近距離力と遠距離力を(La)3 = (2fm)3 、クォーク質量は、mπ = 600MeV、分離する事で、マルチタイムスケールの分子動力学法

mπ /mρ = 0.6 に対応する値までしか下げられなかった [4]。
一方、現在では前述のアルゴリズムの発展及び計算機の性能向上により、現実の mπ = 135MeV でのシミュが自然に適用できる。DD-HMC 法の採用により、計算速度は約 10 倍になる。また、格子 QCD で最も計算時間がかかるクォーク行列の逆行列計算に対して、SAP(Schwarz alternating procedure) 及び SSOR を単精度で施し、その後、GCR を倍精度で使用する [3]。こ要な計算機として CP-PACS、HITACHI SR8000 とレーションが可能になりつつある。シミュレーションパ
ラメーターは、格子サイズ L3 ×T = 323 ×64、格子間隔

a = 0.9fm(β = 1.90)、体積 (La)3 = (2.9fm)3 、他は表

格子サイズは十分大きく、メソンのみならずバリオン

1 参照。筑波大学計算科学研究センターのクラスター計算機 PACS-CS(2560 ノード、ピーク性能 14.3Tﬂops)の 7 × 256 ノードを一年間使用し、mπ = 208MeV、も計算できる。カイラル外挿の結果は、実験値を再現している (図 3)。
mass [GeV]mπ /mρ = 0.22 まで到達できた。現在、mπ = 135MeVを計画中である。尚、この研究で生成した配位は、1.5∗∗

ILDG [5] を通じ世界に公開する。

1κudκsmπ [MeV]MD timetime[h]traj.[τ ]0.13727
0.137540.13640591(2)
426(2)

2000
2500

0.5
1.3307(2)208(8)

2000
470

1.68.0

*

ρK

φ

Λ

0.13754 0.13660
405(2)
1500
表 1. シミュレーションパラメーター

3.1

1.0K

我々の目標は、現実の mπ = 135MeV でのシミュレーションであるが、PACS-CS においてパイオン質量を十分下げることによって、カイラル有効理論との比較が可能になった。パイオン質量の十分軽い領域では、カイラルログと呼ばれる対数的な振舞い、

m2π∝ 1 + αmud ln mud + βmud + · · · ,mudΣ∆mπ mK m Ω - inputπ

図 3. 軽いハドロンスペクトラム。実験値 (黒線) 及び計算結果 (赤印) の比較。

4

カイラル有効理論との比較ΞN

0.5

0.13770
0.13781

Σ

Ω

Ξ

将来の展望
クォーク質量と並び、重要な標準模型の基本パラメーターとして、カビボ-小林-益川 (CKM) 行列要素が挙げられる。標準模型で現実世界を記述し得るか、それとも標準模型を越える新しい理論が必要かを判定するためには、高精度で CKM 行列要素を決定する必要がある。ただし、実験結果から CKM 行列要素を引き出す際、ハドロンに関する不定性が障害となる。特に、B0 −B 0 混合に関しては、実験精度は約 1%であるを持つことが、カイラル有効理論によって予想されてのに対し、ハドロンの不定性に起因する誤差は 10%といる。実際、重いパイオン質量の CP-PACS+JLQCD非常に大きい。不定性を実験精度と同程度 (1%) にす

データではカイラルログは見られないが、軽いパイオるためには、a = 0.05 − 0.02fm が必要になる。このン質量の PACS-CS データでその曲りが見えつつある

計算には現在の 20-100 倍の計算資源が要求され、次(図２)。
我々は、カイラル有効理論を用いて、mπ , mK を実験値まで外挿し、QCD の基本パラメーターであるクォー世代スーパーコンピュータにより、初めて計算可能に

phys
ク質量 mphysを決定した。
ud , msなる。
また、より空間体積の大きい La > 5fm のシミュレーションが可能になれば、格子 QCD を用いて、ハドロ

mphys
ud (MS, µ = 2GeV) = 2.4(2)MeV,mphys(MS, µ = 2GeV) = 69(5)MeV.
s
4.22(mπ a) / (muda)
4ンの崩壊現象を詳細に解析できる。特に、N ′ → N π等原子核実験では解明しづらい過程が興味深い。格子

QCD により、素粒子物理のみならず、原子核の分野にもブレークスルーをもたらせる可能性がある。こちらの計算も、現在の 20 倍以上の計算資源が必要であり、現有計算資源での実行は難しい。ペタフロップス

3.8級の計算機が待ち望まれる。

3.6
PACS-CS(κs=0.13640)
CP-PACS/JLQCD

参考文献

3.4 <-- physical point
00.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08muda

図 2. パイオン質量に対するクォーク質量依存性。

3.2

ハドロンスペクトル

ハドロンスペクトルを格子 QCD 計算によって再現することは、QCD が強い相互作用を記述する理論である事を示す最も基本的な要請である。我々の用いた[1] N. Ukita; D. Kadoh, Lattice2007 parallel talks[2] CP-PACS and JLQCD Collab, Nucl. Phys. B(Proc.Suppl.) 106 195 (2002)[3] M. Lüscher, JHEP 0305 052 (2003); Comput.
Phys. Commun. 156 209 (2004); ibid. 165 199(2005)[4] CP-PACS Collab, hep-lat/0704.193[5] http://www.lqcd.org/ildg/