11§1

1 変数関数の極限

数列の極限§ 1 のポイント

自然数全体を N，整数全体を Z，有理数全体を Q，実数全体を R，複素数全体を C と表す．
各自然数に対して数が対応しているとき，これを数列という．
数列に対して，極限の概念を定めることができる．
収束する数列に対して，四則演算と極限操作の順序を交換することができる．ただし，商については分母の極限は 0 ではない必要がある．
実数列に対して，はさみうちの原理が成り立つ．

1・1数からなる集合に関する記号

はじめに，本書に限らず数学でよく現れる数からなる集合1) として，次の記号で表されるものを挙げておこう［ ［杉浦 1］第 I 章 §1, §3］．

1)

げん

ものの集まりを集合という．このとき，集められている 1 つ 1 つのものを元または要素という．

2

第1章

1 変数関数の極限

N = {1, 2, · · · , n, · · ·} = 自然数全体の集合(1.1)

Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · ·} = 整数全体の集合
m

Q=
 m, n ∈ Z, n = 0 = 有理数全体の集合nR = 実数全体の集合(1.2)

C = {a + b i | a, b ∈ R} = 複素数全体の集合

(1.5)

(1.3)
(1.4)

ただし，(1.5) において，i は虚数単位を表す2)3)4) ．なお，R は図 1.1 のように数直線で表されることが多い．

0R1

図 1.1 数直線 R

1・2数列

各 n ∈ N に対して数 an が対応しているとき，すなわち，自然数 1, 2, · · · ,n, · · · に対してそれぞれ数 a1 , a2 , · · · , an , · · · が対応しているとき，これを{an }∞
n=1 または {an } と表し，数列という．数列に対して，対応する各数を項という．とくに，数列 {an } に対して，an を第 n 項という．なお，a1 は初項ともいう．

2)

ナチュラル

ナ ン バ ー

N は「自然数」を意味する英単語 “natural number”，Z は「数」を意味するドイツ
ツァール

クォーシェント

語 “Zahl”，Q は「商」を意味する英単語 “quotient”，R は「実数」を意味する英単語
リアル

ナ ン バ ー

コンプレックス

ナ ン バ ー“real number”，C は「複素数」を意味する英単語 “complex number”，の頭文字の太文字である．
3)「数列の極限」のような太文字を黒板やノートなどに手で書くときは，「数列の極限」の，「Z」
，「Q 」
，「R 」
，「C」のような太文字を手で書くように下線を用いる．また，
「N」
，「Z」
，「Q」
，「R」
，「C」のように，原則として文字の左側を二ときは，それぞれ「N」重にする．

4)

a が集合 A の元であることを a ∈ A または A  a と表す．また，a が集合 A の元では/ A または A  a と表す．
ないことを a ∈§ 1 数列の極限

3数列を考える際には，各項は有理数や実数，あるいは，複素数であることが多い．各項が有理数，実数，複素数である数列をそれぞれ有理数列，実数列，複素数列という．

1・3数列の例

数列 {an } の各 an が n の具体的な式で表されるとき，この an を一般項という．一般項を求めることのできる基本的な数列の例を挙げておこう．
例 1.1（等差数列） d を定数とし，数列 {an } が等式

an+1 − an = d(n ∈ N)(1.6)

をみたすとする．このとき，{an } を公差 d の等差数列という．
初項 a，公差 d の等差数列の一般項は

an = a + (n − 1)d(n ∈ N)(1.7)

によりあたえられる．実際5) ，n = 1 のとき，(1.7) は成り立ち，また，n ≥ 2 のとき6) ，an = (an − an−1 ) + (an−1 − an−2 ) + · · · + (a2 − a1 ) + a1
(1.6), a1 = a=d + d + · · · + d + a = (n − 1)d + a = ((1.7) 右辺) (1.8)
(n − 1) 個となる．

例題 1.15)◆a5 = 14, a7 = 20 の等差数列 {an } の一般項を求めよ．

数学の教科書などでは，「実際」という言葉は先に述べた事実の証明を直後に簡潔に述べる際に用いられる．

6)≥ は  と同じ意味である．また，≤ は  と同じ意味である．

4第1章

解(1.7) において，n = 5 とすると，a5 = 14 なので，1 変数関数の極限

14 = a + 4d(1.9)

である．また，(1.7) において，n = 7 とすると，a7 = 20 なので，20 = a + 6d(1.10)

である．よって，(1.10)−(1.9) より，6 = 2d となるので，d = 3 である．さらに，(1.9) に d = 3 を代入すると，14 = a + 12 となるので，a = 2 である．したがって，一般項は

an = 2 + (n − 1) · 3 = 3n − 1(1.11)

である．

◇もう 1 つ例を挙げておこう．
例 1.2（等比数列） r を定数とし，数列 {an } が等式

an+1 = ran(n ∈ N)

(1.12)をみたすとする．このとき，{an } を公比 r の等比数列という．
初項 a，公比 r の等比数列の一般項は

an = arn−1(1.13)

によりあたえられる．実際，n = 1 のとき，(1.13) は成り立ち，また，n ≥ 2 のとき，

an(1.12)=

ran−1(1.12)=r(ran−2 )= r2 an−2 = · · · = rn−1 a1となる7) ．

7)

a1 =a=((1.13) 右辺)(1.14)◆

n = 2 のときは（1.14）の途中の式変形を無視して，a2 = ra1 = ((1.13) 右辺) であると解釈する．

§ 1 数列の極限

1・45数列の極限

数学では「極限操作」，すなわち，「極限」をとるという操作を行うことによって，必要な結果を得ることが多い．ここでは，最も基本的な極限概念の 1 つである数列の極限について述べよう．ただし，厳密な議論8) は行わないことにす．また，簡単のため，以下ではとくに断らない限り，る［ ［杉浦 1］第 I 章 §2］実数列を考え，これを単に「数列」とよぶことにする．

定義 1.1{an } を数列とする．
• n ∈ N を十分大きく選べば，an をある α ∈ R に限りなく近づけることができるとき，

lim an = αn→∞(1.15)

またはan → α(n → ∞)(1.16)と表し，{an } は極限 α に収束するという9) ．

• {an } が収束しないとき，{an } は発散するという．とくに，n ∈ N を十分大きく選べば，an を限りなく大きくできるとき，

lim an = +∞n→∞

(1.17)

またはan → +∞(n → ∞)(1.18)と表し，{an } は極限 +∞ または正の無限大に発散するという10) ．同様に，極限 −∞ または負の無限大に発散する数列を定めることができる．
8)

極限に関する厳密な議論では，文字 ε, N , δ がよく用いられることから，ε - N 論法，ε - δ 論法などとよばれる．
リミット9)

lim は「極限」を意味する英単語 “limit” を略した記号である．

10)(1.17), (1.18) の +∞ は論理的には n → ∞ の ∞ とは異なるものであるが，単に ∞と表すこともある．

6

第1章

1 変数関数の極限• {an } が正の無限大にも負の無限大にも発散しないが，発散するとき，{an } は振動するという．

例 1.3

α ∈ R を定数とする11) ．このとき，数列 {an } を任意の n ∈ N に対して an = α とおくことにより定めると，{an } は収束し，極限は α である．すなわち，

lim α = α(1.19)

n→∞である．

◆例 1.4（アルキメデスの原理） 任意の正の実数 a, b に対して，na > b となる

n ∈ N が存在する．この事実をアルキメデスの原理という．アルキメデスの原理より，等式lim

1n→∞ n= 0,

lim 2n = +∞,lim n = +∞,n→∞n→∞が成り立つ［ ［杉浦 1］p. 19 〜 p. 20］．
例 1.5

lim

1n→∞ 2n=0(1.20)◆r ∈ R とし，等比数列 {rn } について考える．まず，−1 < r ≤ 1 のとき，{rn } は収束し，

lim rn =n→∞が成り立つ［1 (r = 1),
0 (−1 < r < 1)

(1.21)［杉浦 1］p. 13 例 6］．また，r ≤ −1 のとき，{rn } は振動し，r > 1 のとき，{rn } の極限は +∞ である．

◆例 1.6（ネピアの数） 有理数列 {an } を

an = 1 +11)

α ∈ C でもよい．

1nn(n ∈ N)

(1.22)

§ 1 数列の極限7により定める．このとき，{an } はある実数に収束することが知られている［［杉浦 1］p. 31 問題 2］．{an } の極限を e と表し，ネピアの数という．すなわち，

limn→∞

1+1nn=eである． § 7 で扱う「有限マクローリン展開」［(1.23)
p.72 定理 7.2 (3)］ を用いると，e は

e = 2.718281828459045 · · ·(1.24)と表される無理数であることがわかる12) ［ ［杉浦 1］p. 191 問題 1］．

1・5◆数列の極限の基本的性質

実数の四則演算を用いることにより，あたえられた数列から新たな数列を定めることを考えよう．

{an }, {bn } を数列とする．まず，各 n ∈ N に対して，an + bn ∈ R を対応させることにより，和の数列 {an + bn } を定めることができる．同様に，差の数列{an − bn } を定めることができる．また，c ∈ R とすると，スカラー13) 倍の数列 {can } を定めることができる．さらに，積の数列 {an bn } を定めることがでanを考えることはできる．一方，bn = 0 となるような n ∈ N に対しては，商bnきない．しかし，数列の極限について考える場合，{bn } が収束し，その極限がan0 でなければ，十分大きな n に対しては bn = 0 となるので（図 1.2），∈Rbnanを対応させることにより，商の数列を定めることができる．
bn
このようにして得られる数列についてその極限を考えると，次の定理 1.1 が成り立つ［12)［杉浦 1］p. 14 定理 2.5］．

例えば，「鮒一鉢二鉢一鉢二鉢至極惜しい（ふなひとはちふたはちひとはちふたはちしごくおしい）」と語呂合わせで覚えることができる．

13)スカラーとは数のことであり，とくに，線形代数でベクトルと対比させてよく使われる用語である．

8第1章

1 変数関数の極限
n が十分大きいとき，極限 β の近くにbn が集まってくる．

0
図 1.2

R

β

β = lim bn = 0 のときの十分大きい n に対する bn の様子n→∞（ は n が十分大きいときの bn ）定理 1.1{an }，{bn } をそれぞれ極限 α, β ∈ R に収束する数列とする．このとき，次の (1)〜(4) が成り立つ．

(1) lim (an ± bn ) = α ± β. （複号同順）n→∞(2) lim can = cα. (c ∈ R)n→∞(3) lim an bn = αβ.
n→∞αan= . (β = 0)(4) limn→∞ bnβ

例題 1.2解数列

2n2 + 3n2の極限を求めよ．

2n2 + 33= lim 2 + 2n→∞n→∞n2nlim

1 1·n n定理 1.1 (1)〜(3)11=lim 2 + 3 lim
limn→∞
n→∞ n n→∞ n= lim(1.19),(1.20) 第 1 式=14)15)

より，求める極限は 2 である14)．

n→∞2+3·2+3·0·0=2(1.25)◇

十分な練習を行えば，(1.25) のような式変形は多くの部分を暗算でできるようになるであろう．

15)

定理 1.1 の結論は極限の存在を仮定した上で成り立つことに注意しよう．例えば，(1.25)
1の 2 段目のような式変形は，数列が収束するという事実を暗黙のうちに用いている．
n10

第1章

1 変数関数の極限§ 1 の問題
確認問題
問 1.1

a5 = 48, a8 = 384 の等比数列 {an } の一般項を求めよ．ただし，公［比は実数とする．

問 1.2
(1)

問 1.3

1・3 ］

次の数列の極限を求めよ．

4n − 5n+15n数列(−1)nnn+2
3n − 4(2)(3)の極限を求めよ．

5n − 6n
5n + 6 n［1・5 ］［1・6 ］

基本問題
問 1.4

次の問に答えよ．

(1) n ∈ N とする．二項定理(x + y)n =n

n−k ky = n C0 xn + n C1 xn−1 y + · · · + n Cn y n
n Ck xk=0が成り立つことを用いて，不等式

1+n+n(n − 1)
≤ 2n2を示せ．ただし，n Ck は二項係数，すなわち，n Ck =である．

n!
k!(n − k)!

(k = 0, 1, 2, · · · , n)§ 1 の問題(2) 次の11をうめよ．

(1) の不等式の左辺を通分すると，1+n+n(n − 1)=21
2となる．これを (1) の不等式と比較して，逆数をとると，不等式

211≤2nが得られる．さらに，この不等式の両辺に n をかけると，不等式

0≤n≤2n2n1lim2n1が得られる．ここで，lim 0 = 0,n→∞となるので，3n→∞=2の原理より，

limnn→∞ 2n=4である．
［1・6 ］

第 1 章のまとめ

33

第 1 章のまとめ
数列，関数の極限
lim an = α ∈ R, lim bn = β ∈ R のとき

n→∞

n→∞

• lim (an ± bn ) = α ± β （複号同順）
n→∞• lim can = cα (c ∈ R)n→∞

• lim an bn = αβn→∞anα• lim=(β = 0)
n→∞ bnβ
はさみうちの原理：an ≤ cn ≤ bnlim an = lim bn = α ∈ Rn→∞9)=⇒n→∞

lim cn = αn→∞関数の極限についても同様

関数の連続性関数 f (x) が x = a で連続 ⇐⇒ lim f (x) = f (a)x→a

有界閉区間で連続な関数の重要な性質• 中間値の定理が成り立つ• 最大値，最小値をもつ（ワイエルシュトラスの定理）
連続関数の例：多項式関数，sin x，cos x，ax ，loga x，xa

重要な極限
ネピアの数 e：limn→∞

limx→09)

1+1nn= limx→±∞

1+1xx

1= lim (1 + x) x = ex→0

sin x=1x

命題 P , Q に対して，P ならば Q であることを P ⇒ Q と表す．P ⇒ Q かつ Q ⇒ Pであることを P ⇔ Q と表し，P と Q は同値であるという．

2126§ 20

多変数関数の積分重積分§ 20 のポイント

空間内の図形の体積を考えることにより，面積確定な有界集合で定義された 2 変数関数の重積分を定めることができる．
累次積分を用いることにより，縦線集合や横線集合で定義された 2 変数関数の重積分の値を求めることができる．

20・1

重積分の基本的性質

1 変数関数の定積分［9・2 ］はこれから述べる多変数関数の重積分へと一般化される. 簡単のため，2 変数の場合を考えよう．

D ⊂ R2 を有界集合とし，f (x, y) を D で定義された関数とする．このとき，
z = f (x, y) のグラフと D の境界上の点を通り xy 平面と垂直に交わる直線およ．この図形の体積を xy 平面より
び xy 平面で囲まれた図形を考える（図 20.1）
上の部分は正，下の部分は負として加えたものが存在するとき，これを!!
f (x, y) dxdy(20.1)
D213§ 20 重積分と表し，f (x, y) の D におz

ける 2 重積分，重積分またz = f (x, y)は積分という．このとき，f (x, y) は D で 2 重積分可能，重積分可能，積分可能または可積分であるという．また，f (x, y) を被積分yO関数という．

2 変数関数の積分可能性
Dについて，次の定理 20.1 が基本的である［ ［杉浦 1］x
図 20.1 z = f (x, y) の定める図形

p. 270 定理 9.7］．

定理 20.1
D ⊂ R2 を有界集合とする．定数関数 1 が D で重積分可能であり，関数f (x, y) が D で連続ならば，f (x, y) は D で重積分可能である．
D ⊂ R2 を有界集合とする．定数関数 1 が D で重積分可能なとき，D は面積確定であるという．このとき，定数関数 1 の重積分!!
!!
dxdy =1 dxdy
D(20.2)

Dを D の面積という．
積分の線形性（定理 9.6 (1), (2)）と同様に，次の定理 20.2 が成り立つ．

定理 20.2
D ⊂ R2 を面積確定な有界集合とすると，次の (1), (2) が成り立つ．
(1) f (x, y), g(x, y) が D で重積分可能な関数ならば，!!
!!
!!
(f (x, y) ± g(x, y)) dxdy =f (x, y) dxdy ±g(x, y) dxdy.
DD

D（複号同順）214

第6章

多変数関数の積分(2) f (x, y) が D で重積分可能な関数ならば，c ∈ R とすると，!!
!!
cf (x, y) dxdy = cf (x, y) dxdy.
D

1 変数の場合［D注意 9.4 (1)］と同様に，定理 20.2 (1), (2) を合わせて，重積分の線形性という．重積分の線形性より，(9.19) と同様の等式が成り立つ．

20・2

縦線集合と累次積分

特別な集合上の重積分は 1 変数関数の定積分に帰着させることができる．

ϕ1 (x), ϕ2 (x) を有界閉区間 [a, b] 上で ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x) をみたす連続関数とする．このとき，有界集合 D ⊂ R2 を

D = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}(20.3)

により定めることができる（図 20.2）．D を縦線集合という．

yy = ϕ2(x)Dy = ϕ1(x)Oabx

図 20.2 縦線集合

縦線集合上の重積分に関して，次の定理 20.3 が成り立つ［ ［杉浦 1］p. 270
定理 9.8］．

215§ 20 重積分定理 20.3
D を (20.3) により定められた縦線集合とすると，次の (1), (2) が成り立つ．
(1) D は面積確定である．
(2) f (x, y) を D で重積分可能な関数とする．x ∈ [a, b] を任意に固定しておくとき，y を変数とする 1 変数関数 f (x, y) が有界閉区間[ϕ1 (x), ϕ2 (x)] で積分可能ならば，等式! b ! ϕ2 (x)!!
f (x, y) dxdy =f (x, y) dy dxaD(20.4)

ϕ1 (x)が成り立つ（図 20.3）．

zz = f(x, y)

OyaDbxy = ϕ1(x)y = ϕ2(x)図 20.3 (20.4) のイメージ

注意 20.1(1) 定理 20.3 (2) において，f (x, y) の [ϕ1 (x), ϕ2 (x)] における積分可能性の仮定は，ϕ1 (x) = ϕ2 (x) のときはみたされているとする．また，この仮定は f (x, y) が D で連続なときはみたされる．

(2) (20.4) 右辺のように，y に関して積分をした後で，x に関して積分をするという操作を累次積分または逐次積分という．なお，一般の累次積分では「ϕ1 (x) ≤

216

第6章

多変数関数の積分ϕ2 (x)」というような条件は不要である．また，(20.4) 右辺を! ϕ2 (x)! bdx
f (x, y) dy(20.5)

ϕ1 (x)aとも表す．

(3) (20.4) において，f (x, y) = 1 とすると，! b! ϕ2 (x)! b!!
dxdy =dxdy =(ϕ2 (x) − ϕ1 (x)) dx
D

ϕ1 (x)

a(20.6)aである．すなわち，(20.2) で定めた D の面積は
! b(ϕ2 (x) − ϕ1 (x)) dx(20.7)

aである．よって，(20.2) で定めた「面積」という言葉は 1 変数関数の定積分を定めたとき［

例題 20.1定積分の定義（定義 9.2）］と同じ意味になる．

累次積分! 3π40! cos xdx

y dy(20.8)

sin xの値を求めよ．

解#y=cos x! 3π411 2y(cos2 x − sin2 x) dx
dx =2200y=sin x"#3π! 3π4411131倍角の公式==
cos 2x dx =sin 2xsin π − sin 0 = −2442400(与式) =! 3π "4(20.9)である1) ．

1)◇

累次積分は変数が複数あるため，解のように，y に関する定積分のところでは，y = cos x,y = sin x と書いた方が計算間違いを避けやすい．

265

問題の詳細解答
節末問題の丁寧で詳細な解答を載せた．読者が手を動かして繰り返し問題を解くことで，理解を完全なものにすることを願っている．

§ 1 の問題解答
解 1.1(1.13) において，n = 5 とすると，a5 = 48 なので，48 = ar 4 である．また，(1.13)

において，n = 8 とすると，a8 = 384 なので，384 = ar 7 である．とくに，r = 0 でなければならないことに注意すると，これら 2 式より，8 = r 3 となる．ここで，r は実数なので，

r = 2 である．よって，48 = a · 24 となるので，a = 3 である．したがって，一般項は an = 3 · 2n−1である．
解 1.2(1) limn→∞(1.19),(1.21)=4n − 5n+1
= lim
n→∞
5nn−5定理 1.1 (1)=0 − 5 = −5 より，極限は −5 である．

2
1+ nn+2= lim(2) lim（n→∞ 3n − 4n→∞ 3 − 4n1

lim 1 + 2 lim n定理 1.1 (1),(2) n→∞n→∞=4545n(1.19),(1.20) 第 1 式 1 + 2 · 0=n→∞2
lim 1 + n定理 1.1 (4) n→∞=limn→∞

1n→∞ n− lim 5$

分母と分子を n で割る）

lim 3 − 4 limn→∞

limn→∞

3−4·0=%$%
43− n1より，極限は 13 で3ある．

$ 5 %n−15n − 6n(3) lim n= lim $ 65 %n（ 分母と分子を 6n で割る）
n→∞ 5 + 6nn→∞+16$ 5 %n$ %nlim
lim 56 − lim 1 (1.19),(1.21) 0 − 1−16定理 1.1 (4) n→∞定理 1.1 (1) n→∞
$ 5 %n
$ %n n→∞===0+1
lim+1
lim 56 + lim 16n→∞

n→∞

n→∞

= −1 より，極限は −1 である．
解 1.31nの原理（定理 1.3）より，極限は 0 である．
第 1 式および定理 1.1 (2) より， limn→∞

解 1.4(−1)n11≤≤ である．ここで，(1.20)
nnn
1= 0, lim= 0 となる．よって，はさみうちn→∞ nn ∈ N とすると，(−1)n = ±1 なので，−−(1) n = 1 のとき，あたえられた不等式は両辺ともに 2 となるので，成り立つ．n ≥ 2のとき，二項定理において，x = y = 1 とすると，2n = (1 + 1)n = n C0 · 1n + n C1 · 1n−1 · 1である．よっ+n C2 · 1n−2 · 12 + · · · + n Cn · 1n ≥ n C0 + n C1 + n C2 = 1 + n + n(n−1)
2て，題意の不等式が成り立つ．