天文教育

2009 年 3 月―1―

恥 ずかしながら縮退圧ずかしながら 縮退圧～ 物理チャレンジ
物理 チャレンジ 2008 の 見事な
見事 な 手 さばき～
さばき ～加藤賢一 （ 大阪市立科学館 ）1 . はじめにわけではない）。そこで、電子の質量を m と

最近、チャンドラセカールの伝記[1]を読んすると、電子の速度 vF はでいて、「オレって、全く分かってないなあ。
内部構造論は聞いたはずなんだけど」と、今vF = pF /m……… (2)

更ながら不勉強だったことを思い知らされ、いささかがっくりした。それは白色矮星の話となる。ここで N は電子数密度である。白色である。白色矮星は太陽と同程度の質量なの矮星の質量、半径等のデータからこの N を見に半径は 100 分の１ほどで、電子の縮退圧と積もり、その値を(1)式に入れ、(2)式から速度いうもので重力を支えている。しかし、チャvF を求めると光速度位になる。つまり白色矮ンドラセカールの質量という太陽の 1.4 倍ほ星では電子が無茶苦茶な速度で動いているもどの質量を越えると電子の縮退圧では耐えきのだから圧力が発生し、重力を支えている（なれず、白色矮星は潰れてしまう。この理論をるほど）。そこで、さらに重力が強くなり、速出した時、チャンドラの先生だったエディン

度 vF が光速度を越えるほどに数密度が大きトンは「白色矮星は潰れないようにできていくなると、例の光速度を越えることはできなる」と大反対し、両者は険悪な関係に陥った、いという限界にぶつかり、潰れてしまう（なという誠に小説的に面白い話が残っていて、るほど、なるほど！）。

今、読んでいるチャンドラの伝記でも前半のここで、電子の代わりに中性子とすると、ハイライトになっている。天文学的にはどう質量が 2000 倍程度違うところだけが違ってでもよい逸話ではあるが[2]。

いて、後の扱いは同様で、N が 1045 位になって、半径を 5km ほどにとると太陽質量にな

2 . 恥 ずかしながらる、ということで中性子星のまあまあの数字

さて、まず私の白色矮星理解がどの程度だ
ったか、恥をしのんで披露しよう。

が出てくる。潰れるのも同様である。めでた
し、めでたし！

白色矮星とは炭素などの原子核がぎっしりざっと、こんな何とも幼稚な理解で済まし詰まり、はじき出された電子が動き回っていていた。もっとも、40 年ほど前に話を聞いたるような状態だから、鉄や銅の類推で考えれ時にはもっとちゃんとしていたはずだが、今ば良かろう。電子はフェルミオンというやつや忘却の彼方である。
「なあに、ものの本を見で、同じエネルギーや運動量の電子は２つしればいいんだし」と。

かなく、最も大きな運動量にはフェルミ運動量という名前がついていて、さて、以上のように、結果がまあまあとすると、肝腎なのは(1)式である。「これって、どうやって出すの？」恥ずかしいのはここで

pF ＝ h(3π 2N)1/3/(2π)……… (1)ある。通勤電車の中で２日ほど格闘したが、出ない！と表わされる（こんな難しい式を覚えていた「フェルミオンだから、不確定性原理に従っている。これから導かれるはずだ」

天文教育 2009 年 3 月号

―2―■

投稿

■というので こちょ こち ょやったも のの「あやテクニックなど不要である。問題文のヒンれ？」という次第。これじゃあ、今は無き教トに素直に従っていけば（つまり、予備知識養部さえ修了できない！

不要）、重要な概念の本質に触れることができるという誠に素晴らしい問題であり、出題者の非凡さがいかんなく発揮されていた。たぶ3 . 物理チャレンジ
物理 チャレンジ 2008 の 問題
修了試験にパスできそうになければカンニん、天文学をちゃんと分かっている人はこうング、というわけでネットに答えが転がってした整理を自分でやって、しっかり概念把握いないか探してみたところ、「 物理チャレンジをしているのだろうと思わせられ、改めて自2008」の理論問題にぶつかった[3]。ご存知の分の不勉強を恥じたのであった。

方が大半とは思うが、ホームページの案内には「物理チャレンジ」のホームページ[3]に問題と回答が載っている。皆さんも一度この問題にトライしてみてはいかが？

物 理 チャ レ ンジ は、 大学等 に 入学 す る前 の高 校

半日、楽しめることと思う。

生・中学生の皆さんを主な対象として、物理の面
白 さ と楽 し さを 体験 しても ら うこ と を目 的と する全国規模のコンテストです。また、翌年に開催
さ れ る 国 際 物 理 オ リ ン ピ ッ ク （ InternationalPhysics Olympiad, IPhO）日本代表選考も兼ねて

4 . 内容の内容 の 簡単な
簡単 な ご 案内
解答する喜びを阻害しない範囲で問題を紹介しておきたい。
くだんの第３問は問題用紙が 8 ページで、設問は 14 ある。まず、います。

・不思議な星－白色矮星の発見と書いてある。物理学会や物理教育学会の先・微視的世界の粒子の運動－ハイゼンベルグ生方が中心になって物理教育振興を図ろうとの不確定性原理進めている運動体である。小学生！から高校・位相空間という新しい座標系生までオーケーらしい。

・電子の縮退状態

その 2008 年の理論問題の第３問が白色矮以上の４項目を２ページで解説し、星に関連していて、私の疑問にずばり答えて

問 １：空間座標１
空間座標 １ 次元の次元 の 場合の場合 の フェルミ運動
フェルミ 運動くれるものだった。そして、この問題が実に量 （ 与 えてある）えてある ） を 求 めるプロセス
める プロセスをプロセス を 問 い 、素晴らしい！

問 ２：位相空間内の位相空間内 の 横長の横長 の 微小空間内
微小 空間内にある空間内 にある妙な予備知識なしでも、問題文に従って解答していけば位相空間、フェルミ統計、縮退、相対論的エネルギー表式、熱全電子の全電子 の 運動エネルギー
運動 エネルギーをエネルギー を 、そして、による仕事、重力エネルギーなどの概念が大問 ３：問 ２ の 答 えを積分
えを 積分して積分 して全して 全 位相空間内の位相空間内 の雑把につかめ、最終的には、相対論的扱いを全運動エネルギー
全運動 エネルギーをエネルギー を 求 め させるさせ る 。

すると白色矮星の質量に上限がつくこと、そここまでで私の疑問はほぼ解けてしまったのチャンドラセカール質量が太陽の 1.7 倍ほことになる（情けない！）。解説と問題文のヒどになること（近似的に扱っているのでこのントによって全く無理なく導くことができる数値）、同様の扱いで中性子星のサイズも求まのがすごい。このコンテストに出場した学生ることなどが導かれる。途中で使っている数さんなら「馬鹿にするな」と言うかも知れな学は初歩の微積分だけだから、小賢しい知識いが。さて次に、天文教育 2009 年 3 月号

天文教育2009 年 3 月―3―・電子の縮退圧・星の進化という解説がある。ここでは熱力学に登場の解説では、星の全エネルギーは重力エネする、（ 熱）エネルギー変化＝圧力×体積変化、ルギーと縮退圧による電子の運動エネルギーというおなじみの関係式からの和となることを述べ、収縮する星はこの全縮退圧エネルギーが最小となったところで止まると＝問３の全エネルギーの変化／体積変化結ぶ。エネルギーで議論を進めるところなどであることを示し、は、ハミルトニアンを用いる量子論での定式

問 ４：電子の電子 の 縮退圧と縮退圧 と 陽子の陽子 の 縮退圧を縮退圧 を 比較さ比較 さ化を思わせるもので、これまた感心したのでせる。
せる 。

あった。

そして、

そして、・相対論的または非相対論的な運動エネルギ

問 11：
11：白色矮星内部での白色矮星内部 での密度
での 密度は密度 は 一様で一様 で 、電子ーの 振 る 舞 いは非相対論的
いは 非相対論的であると非相対論的 であると考であると 考 えて、えて 、その解説を行い、の 半径と半径 と 密度を
密度 を 求 めよ、めよ 、

問 ５：粒子の粒子 の 運動エネルギー
運動 エネルギーをエネルギー を 相対論的また相対論的 またと続ける。ここでは太陽が白色矮星になっは 非相対論 的 な 場合 の 近 似的表現 として 、た時の具体的な値も算出させる。その後、相p2/2m、/2m、 pc

対論的な場合、全エネルギーが大きさに反比となることを導となることを 導 かせる。
かせる 。

以上で１次元の話を終り、それを例することをヒントで示し、
問 12：12：星 がある質量がある 質量を質量 を 超 えると潰えると 潰 れることを・３次元空間での電子の縮退圧に拡張し、星 の 安定性から安定性 から説明から 説明させ説明 させ、させ 、

問 ６： 空間３空間 ３ 次元、次元 、運動量３
運動量 ３ 次元の次元 の ６ 次元位問 13：
13：そ の 答 えを数値計算
えを 数値計算し数値計算 し 、チャンドラセ

相空間内での相空間内 でのフェルミでの フェルミ運動量
フェルミ 運動量を運動量 を 求 めさせる。
めさせる 。

カール質量
カール 質量を質量 を 求 めさせる。
めさせる 。

問 ７： 問 ２ にならい、にならい 、位相空間内の位相空間内 の 微少領域
内 での運動での 運動エネルギー
運動 エネルギーをエネルギー を 求 め 、これで一応終りで、最後、・チャンドラセカール質量

問 ８ ： それを積分
それを 積分し積分 し 、相対論的、相対論的 、 非相対論的の解説でチャンドラセカール質量の意味をな 場合 につ いての 全 運動 エネルギ ー を 求 め

示し、白色矮星がさらに収縮したら中性子星る。になることに触れ、最後の問題、問８では問題中に最終的な解の形を示し、変数の冪数だけを答えさせる。このあたりの出題テクニックもにくいほどだ。

問 14：
14： 中性子星の中性子星 の 半径を半径 を 求 め 、・ブラックホールの解説で締めくくる。

そして、いよいよ本丸に迫る。
・太陽の未来5 . 天文教育界でも天文教育界 でも・星の重力エネルギー見事としか言いようのない手さばきである。の解説に半ページを費やし、重力を距離でそう感じたのは不勉強な私だからとは思うけ

積分したものとして重力エネルギーを定義し、 れど、正直、脱帽であった。素晴らしい白色
問 ９：星内部の星内部 の 薄 い 球殻状領域の球殻状領域 の 持 つ 重力エ
重力 エ

矮星調理マニュアルである。小骨はたくさんネルギーをネルギー を 求 めさせ、めさせ 、あろうけれど目をつぶり、大骨に食らいつい

問 10：
10：それを積分
それを 積分して積分 して全重力して 全重力エネルギー
全重力 エネルギーをエネルギー を 得て順にさばいていく。いつの間にやら白色矮る。

星はきれいに調理され、どれがトロで大骨か、次の一目瞭然、となる。それも普通の高校生の学
天文教育 2009 年 3 月号

―4―■

投稿

■

力で調理できるようにお膳立てされている。

・岡崎彰（2007）天文教育 19(5 月)、2出題者の腕前にただただ感心するばかりで、・内藤博之（2007）天文教育 19(7 月)、2一度、チャンドラやオッペンハイマーに見て・杉本大一郎（2007）天文教育 19(9 月)、27もらいたいと、叶わぬことを願ったほどだっ・定金晃三（2007）天文教育 19(11 月)、31た。

[3] 詳しくは物理チャレンジの下記のホーム

私などはこの問題の程度で十二分なので、天文学のいろいろをこの調子で教えてもらえページを参照されたい。
http://www.phys-challenge.jp/

ないものか、と思う。高校レベルでここまで解説できるのである。できれば、私もこの問

加藤賢一

題程度のことはそらでしゃべりたい。教える

kato@sci-museum.kita.osaka.jpのは商売のうちなので、本当はそんなことを言っている場合ではないが、こんな問題を作るどころか、正直、この程度も理解していなかったわけで、恥ずかしいけれど降参である。
この問題には、それ以外にも教えられるところがあった。われわれの分野でも、もっと教材の工夫ができるのではないか、ということである。こうした導出法・理解法を教えてもらったこともなければ（いや、あったかも知れないが）、自分で考えたこともなかった。
経験不足の分野はうろ覚えだから、得てしてぼかして話をしてしまう。でも、このような同 じ エネ ル ギー を占 めるこ と がで き る電 子は ２工夫された教材が揃っていれば、門外漢でもつまで（パウリの排他律）。この性質が縮退圧を短時間に本質を掴み取ることができる（高校生む。Wolfgang Ernst Pauli (1900-1958)

レベルで！）。それこそ教育の専門家の出番であり、本誌への登場を期待したい。恥をしのんで記した所以である。
文

献[1] Miller, A. I.（ 2005）『Empire of the Stars– Friendship, Obsession and Betrayal in
the Quest for Black Holes -』, Abacus(London）．
[2] 白色矮星の天文学については、本誌の連載「星々の終末の姿」シリーズの論文があ電子がたくさん集まったらどうなるか、この２人る。いずれも力作で、実に明解である。

が定式 化した。 Enrico Fermi(1901-1954)、 Paul・西村昌能（2007）天文教育 19(1 月)、2

Adrien Maurice Dirac (1902-1984)

・西村昌能（2007）天文教育 19(3 月)、18
天文教育 2009 年 3 月号