2.1. 電子ビームに付随する電磁場と鏡像電荷高精度ビーム診断1.

はじめに

電子は電荷を持っているため，電子ビームのまわ
りには電磁場が存在する。その電磁場を使ってビームのさまざまなパラメータを診断することが本テキストは，高精度なビーム診断に必要な知識できる。そこで，その電磁場の性質について述べについて述べるとともに，X 線自由電子レーザ

る。

SACLA において使用されているビーム診断機器

相対論的速度で進む電子ビームに付随する電を題材にそれぞれの機器の測定原理や性能につ

磁場は，第 13 節にて示すように，ローレンツ収

いてまとめたものである。

縮の影響で縦方向に 1/𝛾 に圧縮されて横方向電

まず，第 2 節にてビーム診断に必要となる電子ビームと検出器との相互作用についてまとめ，実際のビーム診断機器の測定原理を知る上での準備をする。次に，第 3 節にて SACLA のビーム診断で必要とされる性能とその性能を満たすためのビーム診断システムについて概観する。第 4 節から第 11 節までは各ビーム診断機器についてその測定原理と性能などについて解説し，第 12 節で締めくくる。なお，付録として第 13 節，第 14
節に電子ビームに付随する電磁場と RF 共振空胴に誘起する電磁場について計算の詳細を述べてあるので適宜参照されたい。

2.

電子ビームと検出器との各種相互作用

ビーム診断を行うには，電子ビームと検出器との相互作用により，電子ビームからの信号を取り出さなければならない。電子ビームからの信号を得る手段として大きく分けて次の３つに分類できる。
1.

電子ビームに付随する電磁場を電極やコイ
ルでピックアップしたり，電子ビームが RF
共振空胴に誘起する RF 信号で検出したりす
る方法。

2.

電子ビームをターゲットに当てて出てくる
光や電磁波を検出したり，ターゲット内に生じた電子・ホールペアを検出したりする方法。

3.

電子ビームを磁場で曲げた場合などに発生する放射を検出する方法。

本節では，これらの相互作用についてその原理をまとめる。

場が強くなる。ここに，𝛾 はローレンツファクタ

で，電子のエネルギーを 𝐸，静止質量を 𝑚𝑒 ，高速を 𝑐 とおくと，𝛾=𝐸𝑚𝑒 𝑐 2(2-1)となる量であり，(13-3) でも表すことができる。
また，静止した電荷の周りには電場しか存在しな
いが，運動する電荷の周りには磁場も発生する。
また，電子ビームは金属製の真空パイプの中を飛行するので，パイプの内面に鏡像電荷が誘起され，ビームとともに移動する。これらの電磁場や鏡像電荷の振る舞いは，ビームの電荷量，位置，形状，バンチ長などに依存するので，適切に検出することでさまざまな情報を得ることができる。
また，これらの電磁場や鏡像電荷を検出するだけであれば電子ビーム自体にはほとんど影響を与えることなく，電子ビームを失わずに検出でき，
運転中，常時データを得ることが可能である。
ここで，半径 𝑎 の完全導体円筒内を速度 𝛽𝛽で飛行する点電荷 𝑞 に付随する電磁場と鏡像電荷を考える。なお，ここでは円柱座標を用い，円筒の軸方向が z 軸と一致しているとする。この電荷分布は解析的に求めることができるが容易では無いので，詳細は 13.3.3 節を参照されたい。
結果的には，電荷の静止系での z 方向の鏡像電荷の分布は Fig. 76 に示すようになる。鏡像電荷の70%は |𝑧|/𝑎 < 0.66 の範囲に入り，|𝑧|/𝑎 < 3 の範囲にはほぼすべての電荷が入る。これをローレ
ンツブーストすると，鏡像電荷の幅は 1/𝛾 になり，同時に磁場も発生する。たとえば，円筒の半径が 10mm で，電子ビームのエネルギーが 1 GeVのとき，𝑎/𝛾 ~ 5 µm となり，時間換算すると，

𝑎/𝛽𝛽𝛽 ~ 17 fs となる。これは SACLA の電子ビ

RF 空胴にはその形状（境界条件）によって決ームのバンチ長約 30 fs と同等かそれより短い。

まる共振モードがある。そのモードは，(14-1)，

したがって，高エネルギーの電子ビームを考える(14-2) の方程式を (14-6)，(14-7) の境界条件に際には鏡像電荷の幅は，ほぼバンチ長を反映する

したがって解くことによって求められる。RF 空と考えてよい。

胴内の任意の電磁場はその空胴の各モードの電次に，電荷が円筒の中心からずれた位置にある場合を考える。電荷の位置は，𝜌 = 𝑏, 𝜙 = 0 とする。このとき，鏡像電荷の分布は軸対象からずれて 𝜙 に依存するようになる。この分布は，13.3.3

節にて示すように，z 軸方向の電荷を積分した場
合，𝑞𝑎2 − 𝑏2⋅ 22𝜋𝜋 𝑎 − 2𝑎𝑎 cos 𝜙 + 𝑏 2
∞
𝑞
𝑏 𝑚
=−
�1 + 2 � � � cos 𝑚𝑚�
2𝜋𝜋𝑎𝜎(𝜙) = −𝑚=1

磁場 𝐄𝑎 , 𝐁𝑎 の線形和で表現できることが知られている。そして，空胴内の電磁場の各モードの時
間発展は，(14-29)，(14-30) の微分方程式にて表される。
ここで，RF 空胴内にまったく電磁場がないとき，そこに電荷 𝑞 の電子ビームが通過することを考える。電子ビームは電荷が移動していることから電流源となるので，RF 空胴への作用は，(2-2)(14-30) の右辺第 1 項によるものとなる。この項は，
� 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑となる。なお，右辺の 2 つ目の式はフーリエ級数の公式 (13-40) を使って変形した。この鏡像電荷をいくつかの電極などで検出すれば，𝜙 の 0 次モーメントから電荷量，1 次モーメントからビーム
位置，2 次モーメントからビームが楕円形と仮定したときの長軸と短軸の比や長軸の傾きを知る
ことができる [1]。

𝑉の形をしていることから，電子ビーム軌道に平行な電場成分をもつモードのみが相互作用することを示している。最終的に誘起される RF エネル
ギー 𝑈 は，ビーム軌道に沿った 𝐄𝑎 の積分から
求 ま る シ ャ ン ト イ ン ピ ー ダ ン ス (14-130) ，(14-131)，(14-132) を使って，(14-136) のように，

2.2. RF 空胴と電子ビームの相互作用加速器では，RF 共振空胴に大電力 RF 源からのRF パワーを蓄積し，発生した強力な加速電場を使って電子を加速する。このとき，空胴内の RF
電磁場エネルギーの一部が電子ビームに移行して電子が加速されるという相互作用が起こっている。ビーム診断においては，逆に，RF 電磁場が存在していない RF 共振空胴を電子が通過した
ときに，電子ビームが RF 空胴内に電磁場を誘起する相互作用を使うことが多い。また，横方向の加速力を発生する RF デフレクタによって電子ビームに時間依存のキックを与えることで，バンチの時間構造の測定も行う。RF デフレクタ空胴については文献 [2] に詳細が述べられているので，
ここでは電子が RF 空胴に誘起する電磁場についてまとめておく。詳細な計算については第 14 節を参照されたい。

(2-3)

𝑈=

𝜔𝑎 𝑅sh 2
𝑞
4 𝑄

(2-4)

と表すことができる。ここに，𝜔𝑎 は共振周波数，
𝑅sh /𝑄は規格化シャントインピーダンス(14-137) である。電子ビームが通過して RF パワーが誘起されれば，あとは空胴単体の自由振動となり，各モードの Q 値で決まる時定数で空胴内のRF 電磁場が減衰していく形となる。
さて，電子ビームに誘起される RF パワーは，(2-3) からわかるように，ビーム軌道付近での 𝐄𝑎の振る舞いによって変わってくる。すなわち，着目するモードによって検出できるビームのパラ
メータが異なってくる。たとえば，Fig. 1 左図に示す TM010 モードのように軸付近で 𝐄𝑎 がほぼ一定の場合，得られるビーム誘起信号の振幅は，
ビーム位置によらずビーム電荷量のみに比例し，位相はビームの到達時刻を反映したものとなる。
また，Fig. 1 右図に示す TM110 モードのように

軸付近で 𝐄𝑎 がほぼ線形に変化する場合，得られる信号の振幅は電荷量だけでなくビーム位置にも比例することとなる。このように，電子ビーム
が RF 空胴に誘起する電磁場をつかって，ビームの電荷量，到達時間，ビーム位置などを測定することができる。

𝛾2− (2𝛾 + 1) ln 2�8𝐹(𝛾) = 1 − 𝛽2 +(𝛾 + 1)2�(2-6)

で， 𝑚𝑒 , 𝑟𝑒 は電子質量と古典電子半径，𝑁𝐴 はア
ボガドロ数，𝑍, 𝐴 は原子番号と原子量，𝐼 は平均

励起エネルギー，𝛿 は密度効果補正パラメータである。𝐼 は物質により異なる量で，代表的なもの
を Table 1 にまとめる。また，𝛿 は 𝛽, 𝛾，および，密度に依存する量で，簡単に表すことができない
が，たとえば文献 [4] にて調べることが可能である。
この 𝑑𝑑/𝑑𝑑 という量は，単位が MeV/(g/cm2)

で，分母には実際の長さに密度をかけた量が使われている。多くの物質において，電子のエネルギーが 1 MeV 以上では電離損失の 𝑑𝑑/𝑑𝑑 がおよ

そ 2 MeV/(g/cm2) である。たとえば密度 2.7 g/cm3のアルミニウムに 10 MeV の電子が当たる場合，Fig. 1: TM010 モード（左図）と TM110 モード（右図）の電磁場分布の概略図。

電離損失の 𝑑𝑑/𝑑𝑑 は 1.6 MeV/(g/cm2) なので，1 cm あたりおよそ 4.3 MeV の電離損失があることがわかる。ひとつ注意点として，電子のエネル
ギーがおよそ 10 MeV 以上のときは，後述する制

2.3. 電子ビームの物質中での振る舞い

動放射損失が支配的となることに気をつけなけ

電子が物質中に入ると，物質を構成する原子を電ればならない。

離したり，原子の電磁場によって曲げられること
で制動放射を出したりしてエネルギーを失う。ま

Table 1: 平均励起エネルギーと放射長。

た，入射電子は原子との相互作用によって多重散物質

平均励起エネル放射長

ギー 𝐼 [eV]

𝑋0 [g/cm2]

鉄

286

13.84

銅

322

12.86

タングステン

727

6.76

鉛

823

6.37

乱を受ける。これらの相互作用についてまとめる。

グラファイト2.3.1. 電離損失

アルミニウム

物質に入射した電子は，物質中の原子を電離したり励起したりすることにより，エネルギーを失う。それを電離損失と呼び，以下の式のように表される[3]。
−

𝑑𝑑 2𝜋𝑟𝑒2 𝑚𝑒 𝑐 2 𝑁𝐴 𝑍
=
𝑑𝑑
𝛽2 𝐴
𝛾 2 (𝛾 + 2)𝑚𝑒2 𝑐 4× �ln �� + 𝐹(𝛾) − 𝛿�
2𝐼 2

ここに，

(2-5)

78

166

42.70
24.01

2.3.2. 制動放射と電磁シャワー
電子が物質に入射すると原子を電離するだけでなく，入射電子自身も原子の電磁場で曲げられるので，電磁放射（光子）を出すことによってもエネルギーを失う。この放射を制動放射の光子エネルギー，𝐸 は入射電子のエネルギー(bremsstrahlung) と呼ぶ。

で，0 < 𝜂 < 1 の関係を満たす。これを ℏ𝜔 で割制動放射による損失を示す量として，放射長(radiation length) 𝑋0 がある。これは，電子が物

質中でエネルギーが 1/𝑒 になるまでに飛行する長さとして定義される。この 𝑋0 は以下の式で求めることができる [5]。
1=𝑋04𝛼𝑟𝑒2 𝑁𝐴𝐴

{𝑍 2 [𝐿𝑟𝑎𝑑 − 𝑓(𝑍)] + 𝑍𝐿′𝑟𝑎𝑑 }ここに，𝛼 は微細構造定数で，4𝛼𝑟𝑒2 𝑁𝐴
= 716.4
𝐴

(2-7)
(2-8)

となり，𝑓(𝑍) は，𝑎 = 𝛼𝛼 とおいたときに，
1𝑓(𝑍) = 𝑎2 �
+ 0.20206 − 0.0369𝑎2
1 + 𝑎2+ 0.0083𝑎4 − 0.002𝑎6 �(2-9)と表される量である。また，𝐿𝑟𝑎𝑑 , 𝐿′𝑟𝑎𝑑 は物質によって異なり，原子番号が 5 以上では，
1

𝐿𝑟𝑎𝑑 ≃ ln 184.15 𝑍 −3
2𝐿′𝑟𝑎𝑑 ≃ ln 1194 𝑍 −3って光子数スペクトルにすると，
𝑑𝑑 31∝ 𝜂−1+𝑑𝑑 4
𝜂

の関係となることがわかる。これらの式は，𝜂 ∼ 1
でも有意な値を持つことを示しており，制動放射は入射電子のエネルギーに近い光子も放射しう
ることを表している。
次に，1 GeV 以上の電子になると，制動放射に

よってエネルギーの高い光子が出て，それが電子・陽電子の対生成をして，さらにそれらが制動放射をして…，というふうに連鎖反応が起こり，大量の電子・陽電子・光子が発生する。これを電磁シャワーと呼ぶ。この場合，物質に与えるエネ
ルギーは，電子の入射直後は小さく，シャワーが最も成長したところで最大となり，そこからシャワーが消えていくに連れて小さくなる，という形となる。これを数式で表現すると，2 つのパラメータ，(2-10)(2-11)(2-14)

𝑡=

𝑥
𝐸
, 𝑦=
𝑋0
𝐸𝑐

(2-15)が良い近似となる。主な物質の 𝑋0 を Table 1 に

を使って，

る。

というガンマ分布で表すことができる。ここに，示す。原子番号が大きくなるにつれて 𝑋0 が小さ(𝑏𝑏)𝑎−1 𝑒 −𝑏𝑡
𝑑𝑑= 𝐸0 𝑏𝑑𝑑
Γ(𝑎)くなり，制動放射損失が大きくなることがわか
さて，制動放射は Fig. 2 からもわかるように，(2-16)

𝐸0 は入射電子のエネルギーで，𝑎, 𝑏 は物質によ
𝑑𝑑/𝑑𝑑

あるエネルギーを境に支配的となる。それを表すって異なる定数である。このために，電離損失と制動放射損失が等しくなるエ𝑡 = (𝑎 − 1)/𝑏 で最大値をとり，これを 𝑡𝑚𝑎𝑥 とおネルギーを臨界エネルギーと呼び，𝐸𝑐 で表す。
この 𝐸𝑐 は，固体物質の場合，
610
𝐸𝑐 ≃
[MeV]
𝑍 + 1.24

くと，

𝑡𝑚𝑎𝑥 =𝑎−1= ln 𝑦 − 0.5𝑏は(2-17)(2-12)となることが知られている。多くの物質において制動放射のエネルギースペクトルは，𝐸𝑐 よりから 𝑎 の値も求めることができる。たとえば，が良い近似となる。

エネルギーの高い電子については，𝑑(ℏ𝜔) 3 2∝ 𝜂 −𝜂+1𝑑𝑑
4(2-13)という近似的な関係があることが知られている[6]。ここに，𝜂 = ℏ𝜔/𝐸 であり，ℏ𝜔 は制動放射𝑏 はおよそ 0.5 であることがわかっており，上式

1 GeV の電子がアルミニウムに入射する場合，
𝐸𝑐 = 43 MeV，𝑡𝑚𝑎𝑥 = 2.65 となり，𝑏 = 0.5 のとき，𝑎 = 2.3 となる。したがって，シャワーが最も成長する場所は，

𝑡𝑚𝑎𝑥 𝑋0 = 63.6 [g/cm2 ](2-18)

となる。アルミニウムの密度は 2.7 g/cm3 なので，小さい角度でガウス分布となるが，ラザフォード

実際の長さで，24 cm くらいのところで最もシャ散乱による大角度散乱の寄与もあるので，大きいワーが成長することがわかる。

角度ではガウス分布よりやや大きいテールを持

また，電磁シャワーは横方向にも広がりを持つ。この分布の RMS は以下の式で示される [5]。

つ。その半径はモリエール (Moliere) 半径 𝑅𝑀 と

rms
𝜃0 = 𝜃plane
=

よばれ，

𝑅𝑀 =

𝑋0 𝐸𝑠
𝐸𝑐

(2-19)と表される。ここに，𝐸𝑠 はスケールエネルギー(scale energy) と呼ばれる量で，𝐸𝑠 = �

4𝜋
𝑚 𝑐 = 21.2052 MeV
𝛼 𝑒(2-20)

である。電磁シャワーは，そのエネルギーの約90% が半径 𝑅𝑀 の範囲に収まることが知られて𝜃0 =で換算すると，4.4 cm となる。

dE/dx [MeV/(g/cm2)]

1.E+3
1.E+2

Lead
Graphite

CopperAluminum

1.E+1

Aluminum
1.E+0

Copper
Lead

1.E-1
1.E-2

1.E-1

Graphite

1.E+0 1.E+1 1.E+2 1.E+3Electron Energy [MeV]Fig. 2: グラファイト，アルミニウム，銅，鉛の中での電子のエネルギー損失率 [4]。実線が電離損
失と制動放射損失を合わせた全損失パワーで，破線が電離損失のみを表す。

√2rms
𝜃space13.6 MeV 𝑥𝑥
� �1 + 0.038 ln �
𝛽𝛽𝛽
𝑋0
𝑋0

(2-21)(2-22)

rms
ここに，𝜃plane
は平面に射影したときの角度のrms
RMS，𝜃space
は 3 次元空間で見た角度の RMS，𝑝は電子の運動量，𝑋0 は放射長で，𝑥 は g/cm2 換

算の長さである。そして，電子の横方向位置も散乱によってシフトするが，その RMS は，いる。さきほどの 1 GeV の電子がアルミニウムに入射する場合，𝑅𝑀 はおよそ 11.8 g/cm2 で，密度

1

となる。

rms
𝑦plane
=

1

√3

𝑥𝜃0

(2-23)

一例として，エネルギーが 1 GeV，エミッタン
スが 1 nm rad，RMS 半径が 10 μm，Twiss パラ
メータの 𝛼 = 0 の電子ビームが厚さ 0.1 mm のアルミニウム板を通過したあとのエミッタンスを計算してみる。まず，もとのビームの角度広がりは，1 nm rad / 10 µm = 0.1 mrad である。次に，

ア ル ミ ニ ウ ム の 密 度 は 2.7 g/cm3 な の で ，
𝑥 = 0.027 g/cm2 となる。したがって，𝜃0 は，
𝜃0 ≃13.6 MeV 0.027
0.027
��1 + 0.038 ln
�
1 GeV
24.01
24.01 (2-24)≃ 0.34 mradとなる。よって，もとのビームの角度広がりとの2 乗和の平方根をとると，通過後のビームの角度
広がりは，0.35 mrad となる。このように，角度分布の幅がかなり大きくなったことがわかる。まrms
は，た，𝑦plane
0.027 × 0.35 × 10−3

2.3.3. 多重散乱

rms≃𝑦plane物質に入射した電子は，原子との相互作用でエネとなる。これは，実際の長さで 2.0 μm で，もとルギーを失うだけでなく，多くの散乱を受けてランダムに軌道が曲げられる。この散乱角の分布は√3≃ 5.5 × 10−6 g/cm2(2-25)のビーム半径 10 μm との 2 乗和の平方根をとると，10.2 μm となる。アルミニウム板が薄いこともあって，通過直後の電子ビームの形状はほとん

ど変わらないことがわかる。以上のことから，通過後のエミッタンス 𝜖 は，

𝜖 ≃ 10.2 [µm] × 0.35 [mrad] ≃ 3.6 nm rad (2-26)に悪化することが予想される。
2.4. 電子ビームの放射現象

電子ビームが物質に入射したり，磁場で曲げられたりすると，さまざまな放射現象が生じる。この放射現象としては，物質に入射した瞬間にその境界で発生する遷移放射，物質中の光速より速い速度で進む粒子から発生するチェレンコフ放射，磁場で曲げられたときに生じるシンクロトロン放射がある。これらの放射現象はビーム診断に有用であるので，その原理について順に述べる。また，

自然対数の底 𝑒 と区別するために添字０をつけた），𝜔𝑝 は物質のプラズマ振動数である。なお，
この式は単位立体角あたりではなく，光軸のまわりの 𝜙 方向に一周積分した値となっていることに注意されたい。これを角度 𝜃 で積分して求めた周波数スペクトルは，

2

𝛾𝜔𝑝 2
𝑒02
𝜔
𝑑𝑑
= 2
��1 + 2 �� � ln �1 + �� � − 2�𝜔𝛾𝜔𝑝𝑑𝑑 4𝜋 𝜖0 𝑐
(2-28)となる。このスペクトルは 𝜔 ∼ 𝛾𝜔𝑝 あたりまで伸びている形となっている。たとえば金のプラズ
マ周波数は eV 換算で，ℏ𝜔𝑝 ∼ 80 eV となるので，エネルギー 1 GeV の電子が金標的に当たったときには 160 keV 程度の X 線の遷移放射が発生し放射の波長が電子ビームの時間構造と同程度かうることを示している。そして，(2-28) を積分しそれより長くなるとコヒーレントな放射となる。

て得られる全放射エネルギーは，

このコヒーレント放射についても触れておく。なお，制動放射も電子の放射現象のひとつであるが，制動放射についてはさきに述べたのでここでは割愛する。
2.4.1. 遷移放射
高エネルギーの電子が真空から物質に入射することを考える。真空中で電子に付随する電磁場と，物質内で電子に付随する電磁場は異なるため，その差を補うための放射が生じる [7]。これが遷移放射である。この遷移放射は前方に集中することが知られており，放射の方向に対して角度
1/𝛾 rad. 程度の円錐部分にピークを持ち，それよ

り外側では強度が急速に下がっていく。そして，

𝐼=

𝑒02 𝛾𝜔𝑝
12𝜋𝜖0 𝑐(2-29)となる。このように全放射エネルギーは 𝛾 に比例することがわかる。

さて，ビーム診断においては可視光や電波領域の遷移放射を扱うことが多い。とくに，可視光領
域 の も の を ， 遷 移 放 射 光 (Optical Transition
Radiation) と呼ぶ。この遷移放射光は各電子が物質に入射した 1 点 1 点が発光点となり，また，瞬間的な放射であるので，電子ビームの横方向プロファイル（形状）の測定，時間プロファイルの測定の双方に重要である。そこで，𝜔 ≪ 𝛾𝜔𝑝 での遷移放射の性質について考える。まず，この条件で遷移放射のスペクトルは 𝛾 ∼ 1000 にて X 線領域の周波数スペクトルは，

𝑑2 𝐼
𝑒02 𝛾
= 2
𝑑𝑑𝑑𝑑 2𝜋 𝜖0 𝑐と近似できる。したがって，遷移放射のスペクトまで伸びることが知られている。

遷移放射のエネルギーの周波数・角度分布は，

⎡
⎤
(𝛾𝛾)3
⎢
⎥
×⎢
⎥
2
4
2
⎢� 𝜔 � �1 + �𝛾𝜔𝑝 � + (𝛾𝛾)2 � {1 + (𝛾𝛾)2 }2 ⎥
𝜔
⎣ 𝛾𝜔𝑝
⎦
(2-27)と表される [7]。ここに，𝑒0 は素電荷（本節では

𝛾𝜔𝑝
𝑑𝑑
𝑒02
≃ 2
ln �
�
𝑑𝑑 2𝜋 𝜖0 𝑐𝑒𝑒

(2-30)

ルは周波数の対数に比例して単調減少することとなる。また，放射エネルギーは 𝛾 の対数に比例して大きくなることがわかる。たとえば，1 GeVの電子 1 個が金標的に当たったときの可視光の遷移放射のエネルギーを求めてみる。可視光の角周
波 数 の 範 囲 を 2π ⋅ (4 − 8) × 1014 rad/s と す ると，この範囲で (2-30) を積分して，

𝐼 ≃ 1.24 × 10−20 J(2-31)

が得られる。電子ビームのバンチの電荷が 1 nCとすると，遷移放射光のエネルギーは全部で
7.7 × 10−11 Jとなり，角周波数

2π ⋅ 6 ×

1014 rad/s の光子数にして，およそ 2 × 108 個と

𝜃c = cos −11000 ピクセル程度で観測することとすると，1 ピ
クセルあたりおよそ 10 万個の光子がえられることとなり，十分に観測可能であると考えられる。
次に，遷移放射光の角度分布を考える。𝜔 ≪ 𝛾𝜔𝑝の場合，(2-27) は 𝜃 ≃ 1/𝛾 でピークを持つものの，1/γ < 𝜃 < 𝜔𝑝 /𝜔 までは 1/𝜃 に比例して減少
し，それ以上の角度では 1/𝜃 5 で減少する。さきほどの 1 GeV の電子ビームの場合，𝜃 ≃ 10/𝛾 でも 𝜃 ≃ 1/𝛾 の場合の 10%程度の遷移放射光エネ

ルギーがあるので，角度依存性は比較的緩やかである。

2.4.2. チェレンコフ放射
物質中に入射した電子がその物質内の光速より速く飛行する場合，チェレンコフ放射と呼ばれる放射が出ることが知られている [7]。このチェレてこの電子 1 個が 1 cm あたりに放射する光子数
は，

𝑁 ≈ 3.7 × 102 個と算出できる。

(2-32)

で表される。ここに，𝑛 は物質の屈折率である。
したがって，チェレンコフ放射が出るための電子の速度のしきい値は，
𝛽=1𝑛(2-33)となることがわかる。電子が単位長さあたりに単位エネルギー幅の光を出すときの光子数は，
𝑑2𝑁
𝛼
𝛼
1
=
sin2 𝜃𝑐 =�1 − 2 2 �
𝑑𝑑𝑑𝑑 ℏ𝑐ℏ𝑐
𝛽 𝑛(2-34)となる [5]。ここに，𝛼 は微細構造定数，ℏ はプ
ランク定数の 1/2𝜋 である。

たとえば，十分にエネルギーの高い (𝛽 ∼ 1) 電子が屈折率 1.6 の石英に入射する場合，チェレン
コフ放射の角度は，(2-36)

2.4.3. シンクロトロン放射高エネルギーの電子が磁場などで軌道を曲げられると，軌道の接線方向にシンクロトロン放射が出る。ここでは，電子ビームが偏向電磁石の中で曲げられて円軌道上を進むときに出るシンクロ
トロン放射について簡単にまとめる [8]。
エネルギー 𝛾𝑚𝑒 𝑐 2 ，運動量 𝛽𝛽𝑚𝑒 𝑐 の電子ビー

ムが磁場 𝐵 で曲げられる際のシンクロトロン放射について考える。このときの曲率半径 𝜌 は，
𝜌=𝛽𝛽𝑚𝑒 𝑐 𝛾𝑚𝑒 𝑐≃𝑒𝑒𝑒𝑒(2-37)である。この場合のシンクロトロン放射のスペク
トルは，以下に示す臨界角周波数 𝜔𝑐 でピークを持つ分布となる。

ンコフ放射の角度は，
1
cos 𝜃𝑐 =𝑛𝑛(2-35)である。また，周波数範囲 (4 − 8) × 1014 Hz になる。とくに，これをレンズで CCD カメラに結像してビームプロファイルを見る場合，この光を1≃ 51 deg.
1.6

𝜔𝑐 =

3𝛾 3 𝑐2𝜌

(2-38)

そして，このスペクトルは，𝜔 ≫ 𝜔𝑐 で指数関数1的に減少し，𝜔 ≪ 𝜔𝑐 で 𝜔 3 に比例する。したがって，低振動数側では緩く下がっていくようなス
ペクトルとなる。たとえば，1 GeV の電子ビーム

が 1 T の磁場で曲げられるとき，曲率半径は𝜌 ≃ 3.3 m なので，𝜔𝑐 ≃ 1 × 1018 rad/s で，光子エネルギーにして ℏ𝜔𝑐 ≃ 6.7 × 102 eV の軟 X 線となる。また，電子１個あたりの全放射パワー 𝑃
は，

である。

𝑃=

2 𝑒 2 𝑐𝛾 4⋅3 4𝜋𝜖0 𝜌2(2-39)

次に，シンクロトロン放射の RMS 角度発散 𝜎𝜃

についてまとめる。まず，𝜔 = 𝜔𝑐 のとき，

𝜎𝜃 ≃

0.64
rad (𝜔 = 𝜔𝑐 )𝛾(2-40)であることが知られている。そして，𝜔 ≫ 𝜔𝑐 と𝜔 ≪ 𝜔𝑐 のときの振る舞いはそれぞれ，
1

0.58 𝜔 −2𝜎𝜃 ≃� � rad (𝜔 ≫ 𝜔𝑐 )
𝛾 𝜔𝑐
𝜎𝜃 ≃

である。

1
−
3

1.07 𝜔� �𝛾 𝜔𝑐rad (𝜔 ≪ 𝜔𝑐 )(2-41)(2-42)

りできる。これらの蛍光や電荷の取り出しについてその原理を述べる。
2.5.1. 電子ビームによる蛍光
蛍光体に電子ビームが入射するとそのエネルギ
ーが蛍光物質に吸収されて発光する。この光をレンズと CCD カメラで撮像したり，フォトダイオ
ードなどで強度を測定したりしてビームの形状や電荷量などを観測することができる。さて，固体の蛍光体には大きく分けて無機結晶シンチレ
ータとプラスチックシンチレータがあるが，加速2.4.4. コヒーレントな放射器では耐放射線性や真空での使用に対応していこれまでに述べた遷移放射やシンクロトロン放射などの放射において，電子ビームの時間構造と比べて波長が同程度かそれより長い領域ではコヒーレントな成分が現れる。電子 1 個の放射エネ
ルギーの波長依存性を 𝑃𝑒 (𝜆)，電子数を 𝑁𝑒 とお
くと，コヒーレント成分を考慮に入れた放射パワーは，𝑃(𝜆) ∼ 𝑃𝑒 (𝜆)�𝑁𝑒 + 𝑁𝑒 2 𝐹(𝜆)�

(2-43)

る必要があるので，無機結晶シンチレータが選ばれることがほとんどである。したがって，ここでは無機結晶シンチレータについて述べることとする。
一般に，無機結晶は純粋なもので蛍光を発する
ものと，蛍光物質をドープすることによって発光するものとがある [5]。いずれも発光原理は同じで，入射した電子によって結晶内の価電子帯の電子が電離されて伝導帯に移り，それが蛍光物質にとなる [9]。ここに，𝐹(𝜆) は形状因子と呼ばれるて捕捉され，エネルギーの低い準位に遷移する際

量で，に蛍光を発する，というメカニズムである。その∞2𝜋𝑧

𝐹(𝜆) = �� 𝑓(𝑧)𝑒 −𝑗 𝜆 𝑑𝑑�
−∞2(2-44)と定義される。式中の 𝑓(𝑧) は電子数分布を表す関数である。放射パワーは，(2-43) の角かっこ内

第 1 項に示すコヒーレントでない成分と，第 2 項に示すようなコヒーレントな成分の和となる。そして，コヒーレントな成分は電子数の 2 乗に比例するので，強度が極端に大きくなる。このことか
ら，放射のコヒーレントな成分を検出すること
で，電子ビームのバンチ長などの時間構造を類推することが可能である。
2.5. 電子ビームによる電離にともなう現象
電子ビームが物質に入射すると，2.3.1 節に述べた
要領で物質を電離する。電離によって発生した電子・ホールペアは，蛍光体に吸収されると光として信号を取り出すことができたり，電極を付けて電圧をかけておけば電荷として直接取り出した様子を図示したものを Fig. 3 に示す。
まず一例として，伝統的に放射線検出器としてよく使われている NaI(Tl) について紹介する。これはヨウ化ナトリウム NaI の結晶にタリウム Tl
を適量ドープしたものである。発光量はおよそ40000 Photons/MeV である [5]。NaI(Tl) はよく普及していることから各種シンチレータの発光量の基準として，NaI(Tl) に対して何％の発光量といった具合に比較されることが多い。しかし，
NaI(Tl) は潮解性があるため扱いにくく，加速器のビーム診断に使われることは稀である。
次に，加速器でよく使われる蛍光体として，
Desmarquest 社の AF-995R がある。これは，化学組成が Al2O3:Cr で，アルミナ Al2O3 に酸化クロ
ム Cr2O3 が 0.5%ドープされたものである [10]。
発光の中心波長は 693nm で赤色である。蛍光の立ち上がりはマイクロ秒オーダであるが，時定数は約 3 ms で比較的遅い部類となる [11]。発光量の絶対的な数値について筆者は見つけることができなかったが，0.1 nC 程度の電子ビームを CCD

おおむね Fig. 4 のような関係があり，電圧が低いカメラで撮影する用途には十分な発光量がある

ところのプラトー部分を電離箱領域，その次に現ことは確かである。AF-995R はアルミナでできてれる直線的な振る舞いをする部分を比例計数管いるため耐放射線性があり，電子線型加速器で幅領域，そのあとのプラトー部分をガイガー・ミュ

広く使用されている。しかし，この蛍光体は多結

ラー計数管領域と呼び，それ以上の電圧では放電

晶構造で不透明なため蛍光体内での乱反射のたし続ける領域となる。この３つの領域にはそれぞめ像がにじんでしまう。そのため，高分解能測定

れ特徴があり，用途によって使い分けされる。

には不向きである。

まず，電離箱領域より低電圧のところでは，電最後の例として，高分解能測定に適したシンチ子ビームによって電離した電荷の一部が電極にレータとして YAG:Ce がある [12]。これは，化学到達する前に再結合する。そのため，全電荷量は

組成が Y3Al5O12: Ce となっている結晶で，Ce は検出できないが，電離した電荷に比例した信号は0.5% 程 度 の も の が 多 い 。 発 光 の 中 心 波 長 は得られる。この領域は電荷が再結合することから

540 nm（黄色）で，時定数は約 70ns と無機結晶

再結合領域とも呼ばれる。

シンチレータの中ではかなり早い部類に入る。発次に，電離箱領域では，電子ビームによって電光量は NaI(Tl)の 1/3 程度である。YAG:Ce は透明離された電荷が再結合することなく電極に集めな結晶なので，AF-995R のような乱反射がなく鮮られるので，電子ビームが電離した電荷量がその明な像を得ることができる。通常は結晶表面でのまま電極で検出される。そして，その電荷量は電多重反射による分解能低下を最小限に抑えるた

圧にあまり依存しない。しかしながら，電離箱領め，厚さ 0.1 mm 程度の薄い結晶が使われる。ま

域は得られる電荷量が少ないので，電子１個が通た，耐放射線性も比較的良いとされ，加速器など

過した程度では検出が困難である。ただし，電子で広く使われている。

ビームを直接検出する場合は十分な数の電子が通過するので電離箱領域にて検出可能である。
その次に，比例計数管領域では，電荷が引き寄せられる間にその電荷が他の分子を電離して電荷が増幅される。その増幅率の分だけ増えた電荷が検出される。そのため，電子１個が通過した場
合でも検出でき，得られた電荷量は電子が失ったエネルギーに比例する。したがって，電子の個数と損失エネルギーの両方が検出できる。ただし，Fig. 3: 無機結晶シンチレータの発光原理。

電子が当たる頻度が電極間の電荷のドリフト時間に比べて高い場合は，数えきれなくなってしまうので注意が必要である。

2.5.2. 電子ビームによって電離された電荷の検出電荷の増幅効果が電極間の物質全体にわたって

固体・液体・気体の相の違いを選ばず，絶縁体で起こる。そのため，電子の損失エネルギーによらあれば電子ビームによって電離された電荷（固体ず似たような電荷量が得られるようになる。このの場合は電子・ホールペア，液体・気体では電子ことにより，電極間電圧に対する依存性も小さくとイオン）を電場で引き寄せて電極から取り出すなる。この領域はわずかでも電離が起これば一定ことが可能である。このような電離検出器は，絶量の電荷が得られるので，単純に個数だけ数えた

縁体を電極で挟み，電圧をかけて電荷を引き寄せい場合に適する。ただし，電離が全体にわたってる。このとき，かける電圧と得られる電荷量には起こるため，そこからもとの状態にもどるまでに最後に，ガイガー・ミュラー計数管領域では，

一定の時間が必要で，その間はデッドタイムとな

次に，X 線自由電子レーザを発生させるには，り検出ができなくなることに注意が必要である。

規格化スライスエミッタンスにて 1 mm mrad 以

以上のことから，線型加速器での電子ビームの下が必要とされる。これは射影エミッタンスでもような多数の電子の電離を扱う場合は，電離箱領

1 mm mrad 程度のビームでなければならないこ

域を使うのがよさそうである。また，電離箱領域とを暗に示している。そこで，このような小さいよりも低電圧の領域でも信号が十分とれる場合

エミッタンスを測定できるような高分解能なビは問題にならなさそうである。

ームプロファイルモニタが必要である。たとえば，規格化エミッタンス 1 mm mrad の場合，エネルギーが 8 GeV になるとエミッタンスが約64 pm rad となる。この状態でベータ関数が 1 mまで絞られるとビームの半径はわずか 8 μm となる。このようなビームの形状が測定でき，エミッタンスが求められるよう，数 μm 分解能のビーム
プロファイルモニタが必要となる。
その次に X 線自由電子レーザで必要となるのが，3 kA 以上のピーク電流と，それを達成するためのバンチ長 30 fs までのバンチ圧縮である。そのため，時間分解能 10 fs の時間構造測定システ
ムが必要となる。それに加えて，SACLA では，Fig. 4: 電離検出器の電極電圧と検出電荷量の関係。

1 ns で切りだされた電子ビームを速度変調バン
チング，および，磁場シケイン型のバンチ圧縮器
を 3 台使用してバンチ長を縮めていくので，バンチ圧縮の各段階でのバンチ長を適宜おさえてお3.

SACLA のビーム診断システム

く必要がある。
そのほかにも，ビームが適切に加速・輸送でき

SACLA のビーム診断システムを考えるにあたているかを測定するための電荷量モニタが必要

り，まず，必要とされる性能とその由来についてである。電荷量の情報はピーク電流の測定にも必まとめる。その後，その性能を満たすために設置要なので，そういった意味でも重要である。

した各種ビーム診断機器についてその概略を述べる。
3.1. ビーム診断システムに必要な性能

また，各磁場シケインでのビームエネルギーはバンチ圧縮の状態を推定する上で重要であるし，加速器の出口でのエネルギーは X 線の波長にも影響するので，そこでは 10−4 程度のエネルギー分

SACLA においてビーム診断システムに必要とさ解能が必要とされる。エネルギー測定は，磁場シれる性能には，ビーム軌道に関するもの，ビーム

ケインなどのエネルギー分散部でビーム位置を

プロファイルに関するもの，ビームの時間構造に測定すればよいが，10−4 のエネルギー分解能を関するものなど，さまざまな項目がある。これらの必要性能について順に述べる。
まず，アンジュレータ区間において，電子ビー
ムと X 線とが数 μｍ以内の精度で重なりあっていなければならないという要請がある。そのため，
電子ビームの軌道，すなわち，ビーム位置を 1 μm以下の分解能で測定できることが必要となる。

得るには，たとえば，エネルギー分散が 100 mmの場合に 10 μm の分解能で位置測定ができなけ
ればならないことを意味する。
SACLA の入射部では速度変調バンチングという，電子ビームの飛行時間差を使ったバンチ形成を行うので，その状態を監視するのにビームの到達時間も重要な情報になる。また，ユーザ実験においてはポンプ・プローブ実験のようにビームの到達時間を正確に知る必要のあるものがあり，そのようなユーザに到達時間を提供することも重要である。このような用途には，バンチ長と同程度の数 10 fs の時間分解能を持った到達時間検出器が必要である。
あと，X 線自由電子レーザの生成に直接関係しないが，アンジュレータの永久磁石の放射線損傷による減磁を防ぐために，ビーム損失やビームハローを低く抑えなければならない。この量は 1 シ
ョットあたり 1 fC 程度が限度と見積もられており，このような低電荷量のビーム損失やビームハローの測定が必要である。
最後に，データ収集に関するものとして，ショットごとに同期したデータ収集ができなければならないという条件もある。たとえば，ビーム軌
道を測定する場合，位相空間内の点を決めるためにはビームの位置と傾きの 2 つの情報が必要となる。そのためには，少なくとも 2 ヶ所でのビーム
位置情報が必要で，それらがショットごとに同期
していなければならない。さらに，アンジュレー

タ区間以外では必ずしも RF-BPM である必要はないが，システムのメンテナンス性などを考え，加速器部分にも同じ RF-BPM を使用している。
現在 SACLA で使用されている RF-BPM は約 60台となっている。RF-BPM の詳細は第 4 節で述べる。
3.2.2. ビームプロファイル測定
数 μm の分解能を持つビームプロファイル測定には，OTR や蛍光を利用したスクリーンモニタを使用している。場所によって必要な分解能が異なる
ため，ターゲットの種類や光学系の構成がいくつかあるが，現状，全部で約 40 台のスクリーンモ
ニタが使用されている。スクリーンモニタの詳細
は第 5 節にて記述する。
3.2.3. ビーム電荷量測定
ビームの電荷量測定には CT モニタを使用する。
これは電子ビームに付随する磁場をピックアッ
プして電荷量を検出するものである。SACLA では，クライストロンのような大電力パルス機器の近くでもノイズの影響を受けにくい高速差動 CTを開発し，使用している。現状，約 30 台の高速
差動 CT が使用されている。この詳細は第 6 節で述べる。

タ区間で十分に軌道を測定しようとすると，
100 m にわたるアンジュレータ区間の複数のデー

3.2.4. ビームの時間構造測定

タ収集用 VME システムの間を同期しなければな

SACLA では 1 ns のビームのバンチ長を順次圧縮して最終的に 30 fs まで縮めるので，各段階に適した時間構造測定システムが必要である。
まず，最終的なバンチ長を測定するために RF
デフレクタという特殊な空胴を使用して 10 fs の分解能で時間構造を測定する。RF デフレクタは
横方向電磁場発生させる空胴で，この電磁場にて
電子ビームを掃引し，時間プロファイルを空間プ
ロファイルに変換したものをスクリーンモニタで検出する。RF デフレクタの詳細は第 7 節にて述べる。
次に，1 ps 程度かそれ以下の領域の時間構造を測定するために，ストリークカメラを設置している。スクリーンモニタからの OTR をストリーク
カメラで検出することにより，その光の時間構造から電子ビームの時間構造を知ることができる。
この詳細を第 8 節にまとめている。
また，コヒーレント放射によるバンチ長測定もおこなっている。まず，入射部ではスクリーンモ
ニタのターゲットにビームが当たったときにでらない。このような高度な同期データ収集システ
ムが必要である。
このように，SACLA では高精度なビーム診断
機器が必要であることがわかる。
3.2. SACLA のビーム診断機器
前節で述べたそれぞれの必要性能に対応するビーム診断機器を測定パラメータごとにまとめる。
これらそれぞれの機器の詳細については次の第4 節以降で解説する。
3.2.1. ビーム位置測定
SACLA のビーム位置測定には主として RF 空胴型ビーム位置モニタ (RF-BPM) を用いている。
これはアンジュレータ区間で必要となる 1 μm 以
下の位置分解能を実用的に達成可能な唯一の方法であると考えられるためである。アンジュレー

るコヒーレント遷移放射のマイクロ波を検出することで，1 ns から数 10 ps 程度のバンチ長をモニタする。次に，各バンチ圧縮器の磁場シケインの偏向電磁石で発生するコヒーレントシンクロ
トロン放射を測定することで，非破壊にバンチ長をモニタしている。これは 3 台のバンチ圧縮器のそれぞれに設置されている。対象となるバンチ長は 10 ps から 30 fs にあたるため，テラヘルツ領域の放射となる。これらのモニタについて，第0 節にて述べている。
3.2.5. ビームの到達時間測定
ビームの到達時間測定には，まず，RF-BPM 空胴の基準空胴（TM010 モード）を用いる方法がある。これは第 4 節で記述している。また，入射部
では高速差動 CT を使った方法や，専用の RF 空
胴を使ったものも用いている。
3.2.6. ビーム損失・ビームハローの測定
アンジュレータ区間でのビーム損失やビームハ
ローを高感度で検出するため，光ファイバ型ビー
ムロスモニタとダイヤモンド型ビームハローモ
ニタを設置している。まず，光ファイバ型ビーム
ロスモニタは，ビームパイプなどに散乱された電子が光ファイバに当たった際に出るチェレンコ
フ光をとらえる検出器である。次に，ダイヤモン
ド ハローモニタは，ダイヤモンド板に電子ビー
ムが当たった際に発生する電子・ホールペアを電圧のかかった電極でピックアップする検出器である。これらのモニタは第 10 節にて解説する。
3.2.7. データ収集システム
データ収集システムには SPring-8 蓄積リングなどで実績のある MADOCA を使用している。さらに，SACLA では同期データ収集が必要であるので，そのような仕組みも取り入れている。詳細は第 11 節で述べる。

4.

RF 空胴型ビーム位置モニタ

4.1. 測定原理と特徴
RF 空胴に電子ビームが誘起する電磁場を使ってビーム位置を測定するには，2.2 節で述べたように，ビーム軸付近で z 方向電場が線形に変化するモードを使う必要がある。ピルボックス空胴の場

合，このようなモードのなかで最も周波数が低い
ものは TM110 モードなので，このモードについて電子ビームが誘起する電磁場を考える。また，
ビーム位置には TM010 モードの信号が必要になるので，その電磁場についても述べる。最後に，ビーム位置の誤差の要因のひとつとしてビームの傾きの信号についても述べる。
4.1.1. TM110 モードの電磁場
TM110 モードの規格化された z 方向電場を円
柱座標 (𝜌, 𝜙, 𝑧) で表すと，(14-78)，(14-104) よ

り，

𝐸𝑧 =

2

𝜅1,1
𝐽1 �
𝜌� cos 𝜙′𝑏𝑏√𝜋𝜋 𝐽1 �𝜅1,1 �(4-1)となる。ここに，𝑏, 𝐿 は空胴の半径と長さで，𝐽1

は第 1 種第 1 次ベッセル関数，𝜅1,1 ≃ 3.832 は𝐽1 (𝑥) = 0 のひとつ目の解（零点と呼ぶ）である。

ベッセル関数の性質から，𝑥 が十分小さいとき，
𝐽1 (𝑥) ≃ 𝑥/2 と近似できる。また，𝜙 = 0, 𝜋 のときだけを考えることにすると，𝐸𝑧 は𝜅1,1 𝑥𝐸𝑧 ≃2𝑏 √𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �と近似できる。

(4-2)

この空胴に，速度 𝛽𝛽 の点電荷 𝑞 が通過することとする。このとき，規格化シャントインピーダ
ンス 𝑅sh /𝑄 は，(14-135) から，

𝑅sh 8𝛽2 𝑐 2 𝐸𝑧2 2 𝜔𝑎 𝐿
=
sin
𝑄
2𝛽𝛽
𝜖0 𝜔𝑎328𝛽2 𝑐 2 𝜅1,1
𝑥2
𝜔𝑎 𝐿
=
sin2
2
2𝛽𝛽
𝜋𝜖0 𝜔𝑎3 𝑏 4 𝐿� 𝐽1′ �𝜅1,1 ��(4-3)となる。ここに，𝜔𝑎 は共振角周波数で，
𝜅1,1 𝑐
𝜔𝑎 =
(4-4)
𝑏

である。したがって，誘起される電磁場のエネル
ギーは，(2-4) より，
𝑈=

2𝛽2 𝑞2 𝑥 2

2 sin

𝜋𝜖0 𝑏 2 𝐿� 𝐽1′ �𝜅1,1 ��

2

𝜔𝑎 𝐿
2𝛽𝛽

(4-5)

となる。誘起される電磁場のエネルギーはビーム
位置の 2 乗と電荷の 2 乗に比例する。したがって，

電磁場の振幅がビーム位置と電荷に比例することとなる。また，ビーム位置の符号が変わると電磁場の位相が 180 度回るので，位相の情報も重要であることがわかる。なお，誘起される電磁場のエネルギーと空胴の長さ 𝐿 の関係は，𝐿 が十分

小さいうちは 𝑈 ∝ 𝐿 となることもわかる。

次に，この電磁場の位相について触れておく。

電荷が通過した直後の電磁場の係数は，(14-125)，(14-126) より，
𝑓𝑎 �

𝐿
𝛽𝛽𝛽
𝜔𝑎 𝐿
�= −
sin
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝜖0 𝑏√𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �

𝐿
𝛽𝛽𝛽
𝜔𝑎 𝐿
𝑔𝑎 � � =�1 − cos�′𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝜖0 𝑏𝑏√𝜋𝜋 𝐽1 �𝜅1,1 �

(4-6)
(4-7)

となる。これを初期条件として 𝜔𝑎 で自由振動することを考える。改めて

𝑔𝑎 (𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑎 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑎 𝑡

(4-8)

とおき，𝑡 = 0 のときに，(4-6)，(4-7) を満たすこととすると，

𝜔𝑎 𝐿
�1
−
cos
�
𝑔𝑎 (0) = 𝐴 =𝛽𝛽𝜖0 𝑏𝑏√𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �
(4-9)
𝛽𝛽𝛽

𝑔̇ a (0) = 𝐵𝜔𝑎 = −𝑘𝑎 𝑓𝑎 (0)𝜔𝑎 𝐿
𝛽𝜔𝑎 𝑞𝑞sin=′
𝛽𝛽
𝜖0 𝑏𝑏√𝜋𝜋 𝐽1 �𝜅1,1 �(4-10)となる。このとき，𝑔𝑎 (𝑡) の位相 𝜃 は，𝐴 𝜔𝑎 𝐿𝜃 = tan−1 =𝐵 2𝛽𝛽と得られる。

(4-11)

4.1.2. TM010 モードの電磁場
さて，以上の議論からビーム位置を算出するにはTM110 モード空胴からの情報だけでなく，電荷と位相原点の情報が必要であることがわかった。これらの情報はビーム位置によらないものが必要となるので，ビーム軸付近で z 方向電場が変化しないモードを使用しなければならない。このよう

𝐸𝑧 =

𝜅0,1
𝐽0 �
𝜌�
′
𝑏
𝑏√𝜋𝜋 𝐽0 �𝜅0,1 �√2(4-12)

で，軸付近 (|𝑥| ∼ 0) では 𝐽0 (𝑥) ≃ 1 と近似できる。このときの，規格化シャントインピーダンス，
共振角周波数，誘起される電磁場のエネルギーは
それぞれ，
𝑅sh
16𝛽2 𝑐 2=𝑄𝜋𝜖 𝜔3 𝑏 2 𝐿� 𝐽′ �𝜅
0

𝑈=

𝑎

𝜔𝑎 =

0

0,1 ��

𝜅0,1 𝑐𝑏4𝛽2 𝑞2

2 sin

2 sin

2
𝜋𝜖0 𝐿𝜅0,1
� 𝐽0′ �𝜅0,1 ��

2

2

𝜔𝑎 𝐿
2𝛽𝛽

𝜔𝑎 𝐿
2𝛽𝛽

(4-13)(4-14)(4-15)となる。このことから，TM010 モード空胴に誘起される電磁場のエネルギーはビーム位置に不感で，電荷の 2 乗に比例することがわかる。そして，TM010 モード空胴と TM110 モード空胴の共振周波数を一致させておくと，位相の周波数換算をする必要がなくなるので扱いやすい。また，
TM010 空胴の位相はビームの到達時間を反映したものとなる。これと加速器の基準 RF 信号と位相比較すればビームの到達時間の変動を監視することも可能である。
4.1.3. 電子ビーム軌道が空胴の軸から傾いている場合
これまでは電子ビームの軌道が空胴の軸と平行な場合を扱ったが，実際はアライメントの誤差やビーム軌道の歪みなどの影響でまったくの平行とはならない。このため，わずかながら傾いて通過することも想定しておかなければならない。電子ビーム軌道が空胴の軸から 𝑥 ′ だけ傾いているとき，(2-3) は，𝑥 ′ が十分小さいとすると，
𝐿� 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 ≃ 𝛽𝛽𝛽𝐸𝑧 �𝑥 = 𝑥 ′ �𝛽𝛽𝛽 − ��
2
𝑉
𝐿
2 2
′
𝛽 𝑐 𝑞𝜅1,1 𝑥 �𝑡 −
�2𝛽𝛽=𝑏 2 √𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �(4-16)なモードで最も周波数が低くなるのが TM010 モと近似できる。これを使って (14-115) の微分方ードである。このモードの規格化された z 方向電程式を解き，誘起される電磁場のエネルギーを求場は，(14-78)，(14-104) より，

めると，

𝑈=

2

𝜔𝑎 𝐿 𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿 2
�sin
−
cos
�
2
2
2𝛽𝛽 2𝛽𝛽2𝛽𝛽𝜋𝜖0 𝐿𝜅1,1
� 𝐽1′ �𝜅1,1 ��(4-17)
2𝛽4 𝑥 ′ 𝑞2となる。この式の中の三角関数をテイラー展開すると，𝑈 ∝ 𝐿5 となることがわかる。そのため，ビームの傾きによって誘起される電磁場のエネル
ギーは 4.1.1 節のビーム位置によって誘起されるエネルギーよりも空胴の厚さに対する依存性が強い。傾きの信号をあまり混入させないためには空胴に必要以上の厚みを持たせない設計にすべきである。
次に，この傾きの信号の位相を求める。電荷が通過した直後の電磁場の係数を，(14-115) の微分方程式を解いて求めると，
𝐿−𝛽2 𝑞𝑥 ′𝑓𝑎 � � =𝛽𝛽
𝜖0 𝜅1,1 √𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �× �1 − cos𝜔𝑎 𝐿 𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿
−
sin
�
𝛽𝛽
2𝛽𝛽
𝛽𝛽

𝐿
𝛽2 𝑞𝑥 ′
𝑔𝑎 � � =𝛽𝛽
𝜖0 𝜅1,1 𝑐√𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �

また，電子ビームの形状自体が傾いている場合（バンチの進行方向位置に応じて重心位置が変わる場合）も軌道が傾いているときと同じ位相の電磁場が誘起される。ここではその計算までは立ち入らないが，これまでと同様の方法で求めることができる。
4.1.4. RF-BPM の特長
ここで，他のビーム位置モニタと比較してRF-BPM が 優 れ て い る 点 を ま と め て お く 。
RF-BPM はその他のボタン型やストリップライン型と違い，電子ビームが空胴の中心を通るときに信号が 0 となる。他の BPM では各電極からの比較的大きな信号の差をとってわずかな違いを取り出さなければならないので，分解能を高くするのが難しい。それに対し，RF-BPM はビームが(4-18)

中心を通るときに信号がなくなるので，信号を低ノイズに増幅することさえできれば高分解能化しやすい。また，RF-BPM は空胴自体がバンドパ
スフィルタの役目を果たすので，空胴のバンド幅以外のノイズが入る余地が少なく，S/N のよい信(4-19)

胴として設計した場合，高精度な旋盤加工で製作が得られる。4.1.1 節と同様に (4-8) の係数を求しやすい。このように，1 μm 以下の分解能を得

𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿
×�
�1 + cos� − sin
�
2𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝛽𝛽

めると，
𝑔𝑎 (0) = 𝐴 =号を得やすい。他にも，RF-BPM を円筒対称な空できるため，ビーム軸と空胴の軸のずれを小さくるには，RF-BPM が適していると言えよう。

2

𝛽 𝑞𝑥

′

𝜖0 𝜅1,1 𝑐√𝜋𝜋 𝐽1′ �𝜅1,1 �
𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿
�1 + cos� − sin
�
×�
2𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝛽𝛽
(4-20)

4.2. 空胴の設計・製作
4.2.1. 空胴のパラメータの決定
空胴の設計において決めなければならないパラ𝑔̇ a (0) = 𝐵𝜔𝑎 = −𝑘𝑎 𝑓𝑎 (0)𝛽2 𝜔𝑎 𝑞𝑥 ′𝜔𝑎 𝐿 𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿=
�1 − cos
−
sin
�
′
𝛽𝛽
2𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝜖0 𝜅1,1 𝑐√𝜋𝜋 𝐽1 �𝜅1,1 �(4-21)

メータは，共振周波数，負荷 Q 値 𝑄L ，𝑅/𝑄 など

𝐴
𝜔𝑎 𝐿
𝜔𝑎 𝐿 𝜋= tan−1 �− cot
�=
−
𝐵
2𝛽𝛽
2𝛽𝛽 2
(4-22)

ームパイプの導波管としての遮断周波数となる。したがって，𝑔𝑎 (𝑡) の位相 𝜃 は，
𝜃 = tan−1と求まった。これは，(4-11) からちょうど 𝜋/2 位相がずれているので，位相情報を用いて位置の信号と傾きの信号とを区別することができる。

である。SACLA の RF-BPM においてこれらのパラメータを決めていったときの考え方について述べる [13]。
周波数については，まず，内径約 22 mm のビ
8.3 GHz より十分低い必要がある。次に，周波数は高いほうが TM110 モードのビーム軸付近の電場の変化の傾きが大きく取れるので，そのほうが高分解能測定に有利である。このことから，主加速器の RF 周波数として使用している 5712 MHz

付近が適当であろうと考えられる。しかしながら，加速周波数 5712 MHz を使用すると，加速管からの暗電流が RF-BPM に入った場合，大きな信号を出す可能性があるので，あえて 4760 MHzを選んだ ( 4760 = 5712 × 5 / 6)。こうすることにより，暗電流の影響をほとんど受けなくてすに，(4-5) 式より，空胴の長さ 𝐿 だけを残してパ

ラメータを入れると，
𝑈 [J] ≃

3.0 × 10−15 2sin (0.050 𝐿 [mm])
𝐿 [mm]となり，𝐿 を 5 mm にすると，𝑈 ≃ 3.7 × 10−17 [J]む。

次に，負荷 Q 値 𝑄L については，空胴に誘起された電磁場エネルギーが減衰する時定数，すなわ
ち，BPM 空胴から出てくる信号の時定数を決めることとなる。そのため，空胴の応答性に関わる量となる。また，空胴の周波数バンド幅を決める
ことにもなるので，そのバンド幅に比例したノイズが入り，分解能を制限することとなる。他にも，
Q 値が高いと温度変化によって共振周波数がずれて位相が流れることも懸念される。そして，𝑄L が(4-26)(4-27)となる。このとき，入出力ポートから出て行く RF
パワーのピーク値 𝑃0 は，(14-42) より，
𝑃0 =𝜔𝜔≃ 2.2 × 10−8 W ≃ −47 dBm
𝑄ext(4-28)となる。ここで，𝑄0 が十分大きいと仮定して，

𝑄ext ≃ 𝑄L = 50 と近似した。この 𝑃0 はさきほど求めた熱雑音 (4-25) より十分大きいので，1 μm以下の分解能に十分到達できると考えられる。まなくてもよいため，加工の容易な材質を選ぶことた，特性インピーダンス 𝑍0 = 50 Ω の伝送線路のができる。以上のことをふまえて，𝑄L の値を 50と求まる。

高くなくてよい場合は電気伝導率の高い材質で程度とした。このとき，時定数は

2𝑄L
2 × 50=≃ 3.3 ns𝜔
2π × 4.76 × 109(4-23)

4.76 × 109
Δ𝑓 =≃ 95 MHz50(4-24)

程度となる。バンド幅は，となる。このときの熱雑音パワー 𝑃𝑛 は，絶対温度 300 K にて，−12

𝑃𝑛 = 4𝑘B 𝑇Δ𝑓 ≃ 1.6 × 10
W
≃ −88 dBm

(4-25)

電圧のピーク値 𝑉0 は，(14-43) より，
𝑉0 = �𝑃0 𝑍0 ≃ 1.1 mV (0.1 nC, 1 µm)(4-29)

最後に傾きに対する感度を計算しておく。ビー
ム軌道が傾いているときに誘起されるエネルギ
ーは，(4-27) と同じ条件の場合，(4-17) より，
2

𝑈 ≃ 1.6 × 10−12 × 𝑥 ′ [J](4-30)となる。これが (4-27) と同じエネルギーとなるには 𝑥 ′ が 4.8 mrad になる必要がある。これほどビーム軌道が傾くことは考えにくいので，ここで仮定した条件では傾きによる信号は無視できる程度の大きさにしかならない。

となる。したがって，この RF-BPM の分解能は4.2.2. 空胴の材質・形状

この雑音パワーと信号出力が同程度になるとこ

空胴の材質を考える際には Q 値との関係や真空に関する性質，加工の難易度などを考慮しなければならない。今回の場合，𝑄L が 50 と高くないので無負荷 Q 値 𝑄0 もそれほど高い必要はなく，たいていの金属材料が使える。加工や真空のことも考えて，切削・ろう付け・溶接などの取り扱いの比較的容易なステンレス鋼 SUS316L を使用することとした。
次に，形状について述べる。まず，SACLA のRF-BPM の概略図を Fig. 5 に示す。RF-BPM は
TM110 モードの位置検出空胴と電荷と位相基準

ろで制限されることとなる。
その次に，空胴の長さ 𝐿 について考える。

SACLA では通常の運転では最低 0.1 nC の電荷量があるので，そのときに 1 μm 以下の分解能が十分に得られるエネルギーが取り出せなければならない。このことを，ピルボックス空胴での近似で考える。まず，周波数を 4760 MHz とするため，(4-4) から空胴の半径 𝑏 は 38.4 mm となる。ビーム位置 𝑥 を 1 μm，電荷量を 0.1 nC とし，次を求めるための TM010 モード基準空胴を備えている。空胴がコの字に折れ曲がっているのは，サ
イズを小さくする工夫をしたのと，基準空胴にRF ポートのアンテナを取り付けやすくするためである。位置検出空胴には X 軸と Y 軸の位置が検出でき，かつ，電磁場の対称性が保たれるよう，
4 個の RF ポートを取り付けている。RF ポート部
分は，TM110 と同時に励振される TM010 モードのような不要な信号がこのポートから出て行かないように，スロットを切ってアンテナを立てている。スロットは放射状に切られているので，Fig.
6 に示すように，TM010 モードのような放射状にしか表面電流が流れないモードについてはスロ
ット内に電場が立たない。逆に，TM110 モードについては，軸の周りに回転する方向の表面電流も流れるので，その電流がスロットを横切る際にス
ロットに電場が立ち，RF ポートとの結合が生じる。このように，不要な信号と結合させないようにすることで誤差要因を減らし，高分解能を達成しやすくしている。

Fig. 5: RF-BPM 空胴の概略図

Fig. 6: 位 置 検 出 空 胴 の ス ロ ッ ト と TM110 ，TM010 各モードとの結合の様子。

4.2.3. RF シミュレーション
3 次 元 RF 電 磁 場 シ ミ ュ レ ー タ HFSS に て
RF-BPM 空胴のシミュレーション結果について
簡単にまとめる。
まず，位置検出空胴の TM110 モードの電場強度を Fig. 7 に示す。TM110 の 2 玉の電場が適切に計算されている。次に，基準空胴の TM010 モードの電場強度を Fig. 8 に示す。こちらはほぼ軸対称な電場分布が適切に得られている。また，この結果から得られた Q 値やシャントインピーダ
ンスなどのパラメータを Table 2 に示す。
4.2.4. 空胴の製作
RF-BPM 空胴は Fig. 5 からもわかるように 3 つのブロックにわかれている。これらのブロックを製作するわけであるが，空胴の内面は 10 μm 程度のFig. 7: 位置検出空胴の電場強度。左側は XY 平面
内の Z 方向の電場を符号付きで示しており，右側は XZ 平面上の電場強度の絶対値を示す。

Fig. 8: 基準空胴の電場強度。左側は XY 平面内の電場，右側は XZ 平面上の電場の絶対値を示す。

Table 2: RF-BPM 空胴のパラメータのシミュレー
ション結果（計算値）と実測値。実測値のエラー
バーはバラつきの RMS を示す。
位置検出空胴計算値

実測値

共振周波数 [GHz]4.760

4.758±0.005

無負荷 Q 値 (𝑄0 )600

642±32

外部 Q 値 (𝑄ext )84.75

94.1±2.640.343.8±0.8

規格化シャントイン
ピーダンス (𝑅/𝑄)

5.11×105[Ω/m2]--

8.2 mV/mm/nC(peak)--

共振周波数

4.760 GHz4.758±0.005

無負荷 Q 値 (𝑄0 )570

592±45

外部 Q 値 (𝑄ext )52.47

51.2±2.4

負荷 Q 値 (𝑄L )48.29

47.1±1.9

規格化シャントイン
ピーダンス (𝑅/𝑄)

54.7
[Ω]

--

電圧振幅
(50Ωポートにて)

108 V/nC(peak)--

負荷 Q 値 (𝑄L )電圧振幅(50Ωポートにて)に据付された RF-BPM 空胴の写真を Fig. 10 に載せておく。

Fig. 9: RF-BPM 空胴の周波数調整部分。

基準空胴

Fig. 10: RF-BPM 空胴の写真。

許容差で精密に加工するようにし，寸法だけである程度狙った周波数に来るようにしておく。このとき，Fig. 9 に示す周波数調整をする部分だけ
0.1 mm 程度の削り代を残しておく。この時点で空胴を仮組みして RF 測定をおこない，削り代の4.3. 信号処理回路とビーム位置の算出
4.3.1. 処理回路の構成
信号処理回路のブロック図を Fig. 11 に示す。

部分を削って周波数を追い込んでいく。この際にRF-BPM 空胴からの信号は切替可能な減衰器で旋盤にチャッキングし直すことになるので，削りレベル調整された後，加速器の低電力 RF システ

面が傾かないよう慎重に行う必要がある。

ム [14] に使用されているものとほぼ同じ IQ

周波数調整が終わったブロックは真空ろう付(In-phase and Quadrature) 復調器にて検波さけにて接合する。接合後，アンテナを差し込み，れ，波形記憶 AD 変換器にて記録される。IQ 復調

N 型真空フィードスルーコネクタを溶接する。溶器を使用することで，位置の信号と，位相が 𝜋/2

接後，最終 RF 測定をおこない，周波数や Q 値を確認する。
実際に SACLA 用に製作した空胴の周波数と Q

ずれた傾きの信号とを区別しやすいようにしている。初段の減衰器では 0 dB から 60 dB まで遠
隔操作で切り替え可能としてある。これにより，値の平均値と RMS 値を Table 2 にまとめてある。

電荷量の範囲として 0.1 nC から 1 nC まで 20 dB

おおむね設計通りの値が得られており，RF-BPM

相当変わったとしても，位置の測定レンジがとして十分に使用できるものに仕上がった。最後

100 μm から 10 mm 程度までの 40 dB 相当の切り替えができるようになっている。この切替式減衰器は切り替えても位相変化が数度以内となるように調整されている。IQ 復調器から出てくるベースバンド信号は 238 MHz サンプリングの 12 ビ
ット AD ボード，または，16 ビット AD ボードにて記録される。とくに分解能の必要なアンジュレ
ータ部分の RF-BPM には 16 ビット AD ボードが使用されている。

Fig. 11: RF-BPM の信号処理回路のブロック図。

4.3.2. 処理回路の性能
本処理回路の性能について回路単体で測定したものについていくつか述べる。まず，リニアリテ
ィをとったものを Fig. 12 に示す，回路のフルス
ケールにわたって十分なリニアリティがあり，直線からの誤差は最大 1%である。この程度の誤差であれば 100 μm フルスケールの場合に誤差がた
かだか 1 μm となり，SACLA では問題とはならない。
次に，入力信号の振幅を一定にして位相をかえたときの振幅誤差と位相誤差を Fig. 13 に示す。
振幅誤差はリニアリティのときと同様に 1%以下，位相誤差は 0.5 度以下となっており，位置を示す信号に，位相が 𝜋/2 離れた傾きの信号が極力混入しないようになっている。

最後に，実際にビームを使ってえられた IQ 復

Fig. 12: 信号処理回路のリニアリティ。

調後の振幅・位相の生波形を Fig. 14 に示す。振幅・位相とも適切に復調・記録されており，ピー
ク部分の 1 点のデータを使って位置を算出している。
4.3.3. ビーム位置の算出
位置検出空胴と基準空胴からの信号の振幅位相からビーム位置を算出するには，以下の式を使えばよい。
𝑥 = 𝐶𝑥|𝑉𝑥 |cos[arg(𝑉𝑥 ) − arg(𝑉𝑟 ) − Φ𝑥 ]|𝑉𝑟 |(4-31)

ここに，𝑉𝑥 , 𝑉𝑟 はそれぞれ位置検出空胴，基準空胴の信号の複素振幅で，𝐶𝑥 はビーム位置の較正係数，Φ𝑥 は位相オフセットの補正である。Φ𝑥 はcos の位相が 0，または，𝜋 をとるように決めてあり，ビーム位置の符号が正しく与えられるようになっている。この式は，𝑉𝑥 を 𝑉𝑟 で複素数としFig. 13: 信号処理回路の振幅・位相誤差。

4.4.1. XZ ステージを用いた較正Fig. 14: RF-BPM の IQ 復調後の生信号。上図が振幅で下図が位相である。振幅がピークとなる点を使用してビーム位置を算出している。

電子ビームを一定に保っておき，XZ ステージにて RF-BPM を動かすことで較正を行うことを考える。RF-BPM を動かすと，位置検出空胴と基準
空胴の複素振幅は複素平面上で Fig. 15 のような軌跡をたどる。この図から位相オフセット Φ𝑥 が決まる。次に，ステージを動かし て|𝑉𝑥 | cos[arg(𝑉𝑥 ) − arg(𝑉𝑟 ) − Φ𝑥 ] を プ ロ ッ ト し た
ものを Fig. 16 に示す。このデータを取ったときのビームのエネルギーは 7 GeV で，電荷量は0.1 nC である。この傾きはおよそ 3 V/mm なので，フルスケールが±1 V であることを考えると±0.3 mm 以上の範囲を測定可能であることがわかる。なお，較正係数 𝐶𝑥 を求めるには |𝑉𝑟 | をこの傾きで割ってやればよい。

て割った形となっており，基準空胴の信号を用いて電荷量の補正と位相原点（到達時間）の補正の両方をおこなっている。なお， 𝐶𝑥 , Φ𝑥 は電子ビ

ームのデータを使って求めることとなる。求め方については次節にて述べる。

4.4. 較正と位置分解能測定・到達時間分解能測定
本節では実際の電子ビームを使って RF-BPM の感度を較正した結果と，位置分解能・到達時間分

Fig. 15: XZ ステージで RF-BPM 空胴を動かした
ときの信号の複素振幅の振る舞い。

解能を測定した結果について述べる。RF-BPM には自動 XZ ステージに載っているものと載っていないものがある。ステージに載っているものはそのステージを動かして較正をおこない，載っていないものはステアリング電磁石でビーム軌道を振って較正をおこなった。位置分解能・到達時間
分解能については，複数の RF-BPM のデータを比較することによって測定することができる。位
置分解能については最低 3 台の RF-BPM があれば測定できるので，3 台でおこなった場合と 4 台
以上でおこなった場合の 2 つの場合について述べる。到達時間分解能については，2 台の比較で十分なのでその結果についてまとめる。

Fig. 16: XZ ステージで RF-BPM 空胴を動かして取得した較正データ。

4.4.2. ステアリング電磁石を用いた較正XZ ステージに載っていない RF-BPM は，空胴自身を動かすことができないのでビームを振って較正するしかない。ビームを振るには軌道補正用のステアリング電磁石を用いてキックするのがよい。そして，そのキック量を較正したい
RF-BPM まで転送し，実際のデータと比較すればよい。ステアリング電磁石のキック角を 𝑘 [rad]，ステアリング電磁石から RF-BPM までの転送行
列を 𝑀 とおくと，RF-BPM でのビームの位置と傾き (𝑥, 𝑥 ′ ) は，
𝑥0
� ′� = 𝑀 � �𝑥𝑘(4-32)となる。転送行列は実際の加速器構成や四極電磁石の電流値などに合わせて求めてやればよい。このとき，ステアリング電磁石と RF-BPM との間のベータトロン位相差が 𝜋 の整数倍付近にならないようにしなければならない。というのは，そのような場合はビーム位置がキック角によらずほぼ一定となり，誤差が大きくなるためである。
この方法でビームを蹴ったときの軌道の計算
値とビーム位置のデータを Fig. 17 に示す。
RF-BPM のデータは電磁石でキックする前と後の差をプロットしている。このデータの取得時にはある程度 RF-BPM が較正されたあとなので，軌道の計算値とデータとがよく合っている。転送
行列に誤差があると，ベータトロン振動の振幅だ
けでなく位相の進みにも誤差が出るが，このデー
タを見る限りそのような心配はなさそうである。
次に，ある RF-BPM でのビーム位置の計算値と BPM データを比較したものを Fig. 18 に示す。
較正前は係数が 17%程度ずれているが，較正後はずれが 5%以下となっている。較正後でも若干のずれが残っているのは，測定中のビームのドリフ
ト，および，ステアリング電磁石のキック角や転送行列の誤差などがあるためと考えられる。
4.4.3. 3 BPM 法による位置分解能測定

Fig. 17: ステアリング電磁石でビームをキックしたときの軌道の計算値（実線）と RF-BPM のデー
タ（○印）。横軸はビームの進行方向位置で，縦軸はビームの水平位置である。

Fig. 18: ステアリング電磁石でビームをキックしてとった較正データの例。横軸はビーム位置の計
算値で，縦軸は RF-BPM のデータである。左が較
正前，右が較正後のプロットである。
値と比較する。1 台目と 2 台目の距離を 𝐿1 ，2 台

目と 3 台目の距離を 𝐿2 とし，1 台目と 3 台目のビーム位置の測定値を 𝑥1 , 𝑥3 とすると，2 台目でのビーム位置の推定値 𝑥�2 は，𝑥�2 =𝐿1 𝑥3 + 𝐿2 𝑥1
𝐿1 + 𝐿2(4-33)となる。この計算をショットごとにおこない，2台目の実データとの差 𝑥2 − 𝑥�2 の標準偏差をとればそれが分解能に比例する。3 台の BPM の分

RF-BPM の重要な性能のひとつとして位置分解解能がすべて等しいと仮定すると，誤差伝搬を考能があるので，その測定方法と結果についてまと慮することで，める。ここでは３台の BPM を使う方法（3BPM法）について述べる。
この方法では，ドリフトスペースに 3 台の BPMを並べ，1 台目と 3 台目のデータを使って 2 台目の BPM でのビーム位置を内挿し，2 台目の測定

𝜎BPM =

𝐿1 + 𝐿2

�2(𝐿1 2 + 𝐿1 𝐿2 + 𝐿2 2 )𝜎res(4-34)の関係が得られる。ここに，𝜎res は𝑥2 − 𝑥�2 の標準偏差で，𝜎BPM が BPM の分解能である。

次に，実際の測定結果について述べる。SACLAにはドリフトスペースに 3 台の BPM が近接して並んだところはないので，SACLA の実証機である SCSS 試験加速器でおこなった実験を例に説明する。このときの RF-BPM の配置を Fig. 19 に示す。また，ビームエネルギーは 250 MeV で，電Fig. 19: 3BPM 法による RF-BPM の分解能測定のセットアップ。

荷量は 0.3 nC であった。得られた 𝑥2 − 𝑥�2 のヒ
ストグラムを Fig. 20 に示す。この結果から，

𝜎res ≃ 0.233 µm となり，3 台の RF-BPM の分解
能が全て等しいとすると，(4-34) より，
𝜎BPM ≃ 0.773 𝜎res ≃ 0.18 [µm](4-35)という位置分解能が得られた。これは必要性能である 1 μm より十分に優れている。

4.4.4. 4 台以上の BPM による位置分解能測定
通常，BPM はドリフトスペースに 3 台並んでいるようなことはなく，BPM 間にはさまざまな加速器構成機器が並んでいる。そのような場合でも適用でき，また，4 台以上の BPM がある場合でも分解能を一度に測定する方法について考える。

Fig. 20: 3BPM 法で得られたビーム位置の測定値と推定値の差のヒストグラム。フィットされている曲線はガウス分布である。
まず，𝑛 番目から 𝑚 番目の BPM への転送行

BPM が 𝑁 台あることとし (𝑁 ≥ 3)，各 BPM 間

列を 𝑀(𝑚, 𝑛) とおく。そして，𝑛 番目の BPM で台の BPM の位置データから求めることができ𝑥�𝜉̂𝑛 = � 𝑛′ �𝑥�𝑛(4-36)とおき，この推定値に転送行列をかけて得られたる。この問題は，言い換えれば，与えられた運動

𝑚 番目の BPM でのビームの位置と傾きを
𝑥�𝑚/𝑛
𝜉̂𝑚/𝑛 = � ′ �𝑥�𝑚/𝑛(4-37)

𝜉̂𝑚/𝑛 = 𝑀(𝑚, 𝑛) 𝜉̂𝑛(4-38)の転送行列が全てわかっていることとする。ここで，𝑛 番目の BPM でのビームの位置と傾きの推定値を (𝑥�𝑛 , 𝑥�𝑛′ ) とおくと，この値は残り 𝑁 − 1

方程式（ビームの転送行列）のもと，測定されたビーム位置を再現するように初期値 (𝑥�𝑛 , 𝑥�𝑛′ ) を推定する問題である。ここでは，(𝑥�𝑛 , 𝑥�𝑛′ ) を最小二乗法にて求めることとする。この計算をショッ
トごとにおこない，得られた位置の推定値 𝑥�𝑛 と測定値 𝑥𝑛 とを比較することにより BPM の分解能を求める。この方法の特長としては，BPM の間に他の機器があっても分解能を算出できることと，BPM の台数 𝑁 が十分に大きいと推定誤差
が BPM の分解能に比べて十分に小さくできる点があげられる。この誤差は単純計算で 1/√N に低減される。したがって，(4-34) のように各 BPMの分解能が等しいことを仮定して誤差伝搬させるような計算をしなくてもよいこととなる。

のビームの位置と傾きの推定値を，とすると，となる。このようにして得られた各 BPM での位置の推定値 𝑥�𝑚/𝑛 が，測定値 𝑥𝑚 に最も近くなる
ような 𝜉̂𝑛 を最小二乗法で決定する。すなわち，
以下に示す評価関数
𝑁

𝐽 = � �𝑥𝑚 − 𝑥�𝑚/𝑛 �
𝑚=1
𝑚≠𝑛

2

(4-39)

を最小にする 𝜉̂𝑛 を求めればよい。(4-37) より，

𝑥�𝑚/𝑛 = 𝑀(𝑚, 𝑛)11 ⋅ 𝑥�𝑛 + 𝑀(𝑚, 𝑛)12 ⋅ 𝑥�𝑛′なので，これを (4-39) に代入すると，(4-40)𝑁𝐽 = � [𝑥𝑚 − 𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑥�𝑛 − 𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥�𝑛′ ]2𝑚=1𝑚≠𝑛(4-41)となる。ここで，𝑀(𝑚, 𝑛) の 1 行 1 列成分を際のデータとプロットすると，Fig. 21 のようになる。ビーム軌道の計算値がデータとよく合っていることがわかる。ある 1 台の RF-BPM について，ビーム位置の推定値と実際の測定値を散布図としてプロットしたものを Fig. 22 に示す。推定値と測定値が 1 μm 程度の精度で一致していることがわかる。この差の RMS を位置分解能としてプロットすると，Fig. 23 のようになった。解析に𝑀(𝑚, 𝑛)11 のように表した。𝐽 が最小のとき，以下の分解能を示しており，期待通りの結果となとなるので，以下の連立方程式を解けばよい。

ときの約 3 倍となっているが，これは電荷量が 1/3𝜕𝜕𝜕𝜕= ′ =0𝜕𝑥�𝑛 𝜕𝑥�𝑛

(4-42)

𝑚=1
𝑚≠𝑛𝑁+ 𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥�𝑛′
− 𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑥𝑚 }𝜕𝜕
0 = ′ = 2 � {𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥�𝑛
𝜕𝑥�𝑛
𝑚=1
𝑚≠𝑛

+ [𝑀(𝑚, 𝑛)12 ]2 𝑥�𝑛′
− 𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥𝑚 }したがって，𝑁[𝑀(𝑚, 𝑛)11 ]2
𝑆= ��
𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑀(𝑚, 𝑛)12𝑚=1
𝑚≠𝑛RF-BPM 空胴や回路は双方ともおなじ設計のも(4-43)𝑁

𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑥𝑚
𝑆𝜉̂𝑛 = � ��𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥𝑚
𝑚=1
𝑚≠𝑛

のである。

(4-44)

𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑀(𝑚, 𝑛)12�[𝑀(𝑚, 𝑛)12 ]2

とおいたとき，(4-43)，(4-44) は，った。なお，この値は前節の SCSS 試験加速器のになっているためと考えられる。実際，使用した

𝑁

𝜕𝜕
0=
= 2 � {[𝑀(𝑚, 𝑛)11 ]2 𝑥�𝑛
𝜕𝑥�𝑛

使用した 20 台の RF-BPM すべてが分解能 0.6 μm(4-45)

Fig. 21 ある 1 ショットでのビーム位置の推定値と測定値。青線に○が推定値で、緑線に♢が測定値である。横軸は BPM のビーム進行方向の位置
で、縦軸がビーム位置である。

(4-46)と書き直せるので，𝜉̂𝑛 = 𝑆

−1𝑁

𝑀(𝑚, 𝑛)11 𝑥𝑚���
𝑀(𝑚, 𝑛)12 𝑥𝑚

𝑚=1
𝑚≠𝑛

(4-47)と求めることができる。

以上で計算方法がわかったので，この方法をSACLA の実際のデータに適用する。使用した
RF-BPM は，SACLA のアンジュレータ区間の 20台で，ビームエネルギーが 7 GeV，電荷量が0.1 nC である。このデータから求めた 𝜉̂𝑛 を使って得られたビーム軌道の推定値と RF-BPM の実

Fig. 22: ビーム位置の推定値と検出されたビーム
位置の散布図の例。横軸がビーム位置の推定値で縦軸が測定値である。図中の緑線は分布に直線を最小二乗法でフィットした結果である。

Fig. 23 各 BPM の位置分解能。青線に○が X、緑線に♢が Y の分解能である。横軸は BPM のビー
ム進行方向の位置で、縦軸が位置分解能である。

Fig. 24: 隣り合う 2 台の RF-BPM の到達時間測定
値の差のヒストグラム。フィットされている曲線はガウス分布である。横軸は 4.76 GHz の位相を度で示したものである。

4.4.5. 2 台の BPM の比較による到達時間分解能
測定

5.1. 測定原理と特徴

最後に，基準空胴のデータを使って到達時間分解

スクリーンモニタは，電子ビームが金属ミラーに能を求める。ビームの到達時間はビーム位置が多あたったときに出てくる遷移放射光や蛍光ター

少変わってもその影響は無視できるので，2 台のゲットにあたって出てくる蛍光をカメラで撮像

BPM があれば十分である。そこで，4.4.3 節と同することによってビームプロファイルを測定す

じデータを使い，2 番目と 3 番目の RF-BPM でのる。SACLA の電子ビームは 8 GeV になると半径到達時間の比較を行う。この 2 台の RF-BPM のが数 10 μｍと非常に小さく，また，エミッタンス

到達時間の差のヒストグラムを Fig. 24 に示す。

測定の際に四極電磁石で絞った際には幅がこの標準偏差は 4.76 GHz の位相で 0.0459 度であ

10 μm 以下になりうる。そのため，分解能 10 μm

り，時間換算で 27 fs である。この値は 2 台分の以下の撮像システムという，顕微鏡のような性能

到達時間分解能の 2 乗和の平方根となっているのを持たせなければならない。また，発光源が乱反で，RF-BPM 1 台の実力としてはその 1/√2 とな

射などによって数 μm 以上にじむようなことが起る。この値は SACLA における加速 RF の位相安

こってはならない。これらのことをふまえてスク

定度 50 fs より分解能がいいので，RF-BPM で到

リーンモニタの各コンポーネントについて留意

達時間を監視することで加速器のタイミング変すべき点を述べる。

動などを知ることができる。

5.1.1. 遷移放射光 (OTR)5.

遷移放射光 (OTR) の発生原理は 2.4.1 節で述べ

高分解能スクリーンモニタ

たとおりである。この放射は物質表面にて十分に電子ビームの形状（プロファイル）を測定するた小さい領域でおこる現象なので，発光源は電子ビ

めに，SACLA では OTR や蛍光を使ったスクリー

ームプロファイルをそのまま反映したものとな

ンモニタを使用している。これらの測定原理や設る。したがって，OTR をそのまま結像すればレン計のポイント，ビームを使って測定した結果につズ系の光学分解能にてビームプロファイルを測いて述べる。

定することが可能である。

OTR を使用する場合の注意点としては，もともと発光量がそれほど大きくなく，低エネルギー・
低電荷量などの条件では十分な光量が得られないことがある点が挙げられる。また，OTR は
1/𝛾 rad の前方にしか出ないので，レンズ系の光軸を適切に合わせなければならない。

また，XFEL で使用する短バンチビームではコ

ヒーレント OTR（C-OTR）が出ることも知られている。このようなビームについては OTR が非線形に増幅されてしまうので，OTR をつかってビームプロファイルを知ることはできなくなる。
5.1.2. 蛍光ターゲット
2.5.1 節で述べた蛍光を用いて，ビームプロファイ
ルを測定することを考える。この場合，有限の厚みを持った蛍光体を電子が通過することで，電子の軌跡にそって蛍光が発せられる。まず，蛍光ターゲットが不透明な場合，発せられた蛍光がター
ゲット内で乱反射し，光源がにじんだようになってしまう。そのため，高分解能にするには透明の蛍光ターゲットでなければならない。しかし，透明なターゲットの場合は，Fig. 25 に示すように，表面の反射によって発光点の厚みが厚くなる影
響が無視できない。さらに，電子は物質中で多重散乱を受けるためこれも光源がぼやける原因となる。そのため，高分解能にするには蛍光ターゲ
ットは十分に薄いものでなければならない。これに適したターゲットとして YAG:Ce などがあり，
SACLA では厚さ 0.1 mm の YAG:Ce を採用している。

Fig. 25: 蛍光ターゲット内の反射の影響。

5.1.3. 光学系
数 μｍの分解能が必要なスクリーンモニタでは光学系の設計が非常に重要である。まず，波動光学の基礎的な関係として，レンズの開口数(Numerical Aperture, NA) と分解能に関するものがある。Fig. 26 に示すような光源とレンズを考える。このとき，レンズの開口数 NA は，
NA = 𝑛 sin 𝜃(5-1)

0.61 × 𝜆
NA

(5-2)

𝜆
NA2

(5-3)

と定義される。ここに，𝑛 は光源からレンズまでの媒質の屈折率である（レンズの屈折率ではない）。通常，媒質は真空や空気なので，屈折率はほぼ 1 と考えてよい。このとき，光源の分解能 𝛿
は，光の波長を 𝜆 とすると，
𝛿=であることが知られている。たとえば，波長0.5 μm の光に対し，2 μm の光学分解能を得るには，NA ≃ 0.15 であることが必要である。このとき，レンズが光源から 100 mm 離れているとすると，レンズの半径が 15 mm 以上であることが必要となる。また，NA は焦点深度 𝑑 とも関係があり，𝑑=である。上記の条件のときは，焦点深度が 86 μmとなる。この程度の条件であれば，厚さ 0.1 mmの YAG:Ce ターゲットにおいても十分な分解能が得られる可能性があることがわかる。
ここで，OTR の分解能について考える。OTR
は 1/𝛾 rad の前方に出るので，レンズを大きくしても実質的な NA は OTR の角度依存性によって制限される。例えば，1 GeV の電子ビームの場合，
1/𝛾 ≃ 0.5 mrad であり，たとえその 10 倍程度の角度まで NA があるとしても，𝛿 は 60 μm 程度にしかならない。これではとても高分解能とは言えない。しかし，実際は OTR スクリーンで 10 μm以下の分解能を達成可能である。OTR はラジアル偏光をしており，かつ，前方方向に出る性質があるなど，特殊な性質を持っているので，一般の光学の法則が成り立たない場合がある。実際，OTRの光学分解能を適切に計算すると，ビームエネル
ギーが十分に高いとき (𝛾 ≫ 1)，

𝛿OTR ≃

1.44 × 𝜆NA(5-4)と近似できる [15]。このことは，OTR の光学分
解能はビームのエネルギーによらず，放射の角度分布も考慮に入れなくてもよいことを示している。たとえば，光源から 100 mm 離れたレンズで波長 0.5 μm の光に対し，2 μm の光学分解能を得たいときは，レンズの半径が 39 mm 以上である
ことが必要である。
次に，光学系の焦点距離や倍率について考える。光源から長さ 𝐿 離れたところに焦点距離 𝑓のレンズがあるとき，レンズから 𝐿′ 離れたところで焦点を結ぶとすると，
1 1 1
+ =
𝐿 𝐿′ 𝑓(5-5)の関係が成り立つ。このとき，光学系の倍率 𝑚
は，
𝐿′
𝑚=
𝐿

(5-6)

となることが簡単な幾何光学で理解できる。一般にスクリーンモニタの画像は CCD カメラなどの撮像素子で記録するが，カメラの分解能はピクセ
ルサイズで制限される。たとえば，ピクセルサイ
ズが 8 μm の場合，2 μm の分解能を得たければ光学系の倍率を 4 倍としなければならないことがわかる。仮に 𝐿 を 100 mm とすると，
𝐿′ は 400 mmとなり，レンズの焦点距離は 80 mm という計算になる。
他にも光学系の設計においては，幾何収差・色収差，絞りの効果など，さまざまなことを考えなければならないが，これ以上は本書の領域を超えるのでこの程度の解説にとどめておく。

5.2. スクリーンモニタの設計と基礎性能
スクリーンモニタは，真空チャンバ内のターゲッ
トをビーム軸上に挿抜するためのスクリーンモ
ニタチャンバと，レンズや CCD カメラの載った光学架台からなる。これらの機器の設計と単体の性能について述べる。
5.2.1. スクリーンモニタチャンバ
スクリーンモニタチャンバは，OTR ターゲットや
蛍光ターゲットをビーム軸上に挿入するためのアクチュエータ付きの真空チャンバである。このチャンバに要求される機能は以下のとおりである。
• 最大で 2 種類のターゲットを選択できること• ターゲットの位置精度や再現性が 10 μｍ以下であること• ターゲットからの光はビームの進行方向に対して直角方向に出すこと
まず，2 種類のターゲットを選択する必要があ
るのは，2 つの理由がある。ひとつは，電子ビー
ムのエネルギーが低い領域で OTR の光量が小さい場合に，光量の多い蛍光ターゲットも選択できるようにするためである。ふたつめは，高精度な測定が必要なところでフォーカス調整や倍率較
正のためのターゲットを選択できるようにするためである。
次に，ターゲットの位置精度については，ビームの位置を適切に知るためと，フォーカスがずれないようにするための 2 つの理由がある。ターゲットの位置とチャンバ外の基準面との距離が精度よく製作されており，かつ，チャンバを精密にアライメントしておけば，ビームの軌道がずれていないかを精度よく判断することができる。また，ターゲット位置の再現性が悪いと光学系の焦点がずれて像がぼけてしまう。高分解能な光学系
は焦点位置に敏感なため，高い再現性が必要である。
最後に，ターゲットからの光は，電子ビームとFig. 26: レンズの開口数同じ方向から観測することが構造上できないので，光軸を曲げなければならない。光学的にも機構的にも設計が容易なのは直角に曲げる場合で5.2.2. ターゲット

ある。

SACLA では OTR ターゲットとしてステンレス

これらの要求をみたすように設計された
SACLA のスクリーンモニタチャンバの概略図と写真を Fig. 27 に示す。このチャンバは 2 種類のターゲットとビーム通過孔の 3 段が切り替えられミラーを，蛍光ターゲットとして Desmarquest
AF-995R と YAG:Ce の 2 種類を用途に合わせて使い分けている。
まず，OTR ターゲットは厚さ 0.1 mm のステンるようになっている。ターゲットは鉛直のシャフ

レスフォイルを使用している。このように薄いタトに取り付けられ，その両端が大気中のリニアガーゲットを使用することで，多重散乱によるエミ

イドに固定されている。このシャフトは真空ベロッタンスの悪化や制動放射の発生をできるだけーズを介して真空チャンバとつながっており，ベ

小さくし，ビームロスを低減することができる。

ローズが伸び縮みすることによって上下に動か

フォイル 1 枚では強度が足りないので，Fig. 28

せるようになっている。シャフトの駆動は 3 段式に示すように，ビームが当たらない周辺部は 10のニューマチックアクチュエータ（圧縮空気駆

枚のフォイルを積層して拡散接合し，厚さ 1 mm動）で行う。

の支持部を構成している。中心部は Ra 4.8 nm のターゲット部分はビームが通る孔やターゲッ

鏡面仕上げとなっており，平面度は約 3 μm で，トからの光が通る孔が開けられていて，ビームと十分な精度の鏡として仕上がっている。なお，中直角方向に光が取り出せるようになっている。

心部のまわりのスポーク状の構造は，製造時の応OTR ターゲットの金属ミラーは斜め 45 度に取り付けることで OTR を直角方向に放射させる。蛍

力を逃して変形を抑えるための工夫である。
次に，Desmarquest AF-995R は厚さ 1 mm の

光ターゲットは取り付け方がふたつある。ひとつものを使用し，SACLA 入射部の低エネルギー部

はビームに垂直に取り付け，そのすぐ後ろに斜め分やビームダンプなどの分解能がそれほど必要

45 度のミラーを置くことで，蛍光を直角方向に取り出すものである。もうひとつは斜め 45 度にターゲットを設置して蛍光を直接取り出せるようない部分で使用している。これはスクリーンモニ
タチャンバのシャフトに斜め 45 度に取り付けて直接横から像が見えるようになっている。

にしているものである。ターゲットからの光は合最後に，YAG:Ce については，OTR に匹敵する成石英窓から大気中に取り出し，光学系に導く。

分解能を得るために選んだターゲットで，厚さ以上のような機構で設計・製作することによ

0.1 mm の薄いものをビームに直角に設置して使り，先に述べた要求性能を満たすことができてい用している。ビームに直角にする理由としては，る。

YAG:Ce は透明なため，Fig. 29 に示すように，斜めの YAG:Ce をビームが通過する場合，横から見ると通過距離に相当する幅だけ光源が広がってしまうことである。また，直角のときは電子ビー
ムの通過距離が最小となるので，反射によって光源の厚みが増える効果や，電子の多重散乱の影響などが低減できる。このような理由で，YAG:Ce
は薄いターゲットをビームに直角に設置することで十分な分解能を得られるようにしている。

Fig. 27: スクリーンモニタチャンバの概略図と写真。

Fig. 28: OTR ターゲットの概略図。

このような要求を満たすように設計・製作した
光学架台の写真を Fig. 30 に示す。リニアガイドにレンズとカメラそれぞれの台が載っており，別々のモータで駆動できるようになっている[16]。倍率を 1 倍から 4 倍に変えたときの像の中心のずれは数 10 μｍとなっており，倍率を変えると視野が大きくずれるようなことはない。

Fig. 30: 光学架台の写真
Fig. 29: YAG:Ce ターゲットを見る角度による像の見え方の違い。

5.2.4. レンズの設計

5.2.3. 光学架台

レンズについても用途に合わせて何種類かを使

光学架台は，レンズ・絞り・CCD カメラなどを一直線上に配置し，倍率やフォーカスを自動，または，手動で調整できるようになっている装置である。SACLA では自動と手動は用途によって使い分けており，手動のものは運転停止時に調整して運転時はそのままで使用しなければならないが，自動のものは運転時でも倍率やフォーカスを調整可能である。
高い分解能を持つ光学系にするには，まず，倍率を高くして CCD カメラのピクセルサイズで分解能が制限されないようにしなければならない。
SACLA では最高分解能を得る場合の倍率を 4 倍とし，2 μm の分解能を得ることを目指した。このとき，2/3 インチの CCD カメラ (8.8 x 6.6 mm2,
ピ ク セ ル サ イ ズ 6.45 μm) で は 視 野 が(2.2 x 1.7 mm2) と小さいので，ビームが視野から外れることが懸念される。そこで，4 倍光学系を採用するところは自動ステージを付けて倍率を遠隔操作できるようにし，1－4 倍の可変とした。
次に，チャンバなどの構造上の制約から，レンズはターゲットから 100 mm までしか近づけられない。この場合，1－4 倍の可変光学系にするには
CCD カメラの移動量が 200 mm 程度必要となり，光学系の全長は 600 mm 程度と長いものになる。
したがって，このような長い自動ステージで精度の高いものを設計しなければならない。

では市販のアクロマートレンズを組み合わせてい分けている。分解能がそれほど要らないところ
使用している。高分解能が要求される 4 倍光学系で使用するレンズについては，詳細に設計してカスタムレンズを製作した [17]。以下，そのカスタ
ムレンズの設計について述べる。
まず，レンズの開口数 NA についてであるが，2 μm 程度の光学分解能がとれるようにするには，0.2 程度の NA が必要である。このときレンズの直径は 40 mm 以上となるので，直径 50 mm のレンズで設計した。次に，OTR の広いスペクトルにわたって収差なく結像できるよう，低分散ガラスを使用し，かつ，レンズ枚数をなるべく少なくなるような設計にすることとした。光学シミュレー
ションソフトウェア ZEMAX [18] で収差などを確認しながら設計をおこなった。その結果，レンズの構成は 3 群 4 枚となり，4 倍光学系では Fig.
31 のようなレイアウト，および，光線追跡結果となった。シミュレーションの結果として得られた光源での分解能は 2.5 µm となった。

強度分布とその微分を Fig. 33 に示す。微分のピークの半値半幅（HWHM = Half Width at Half
Maximum）は像面において 9.9 µm であった
[17]。これはシミュレーションで得られた値であFig. 31: 光学系のレイアウト，および，光線追跡。

る，物体面で 2.5 µm，像面で 10 µm の分解能とほぼ一致している。このように，光学系は設計通りの性能があることが確かめられた。

5.2.5. CCD カメラ，絞り
スクリーンモニタの CCD カメラとしては，用途に合わせて JAI 社の CV-M4+CL と CV-A10CL を使い分けている [19]。それぞれの主要諸元をTable 3 に示す。いずれのカメラもモノクロで，CameraLink にて画像データを伝送するタイプのものである。多数の CCD カメラは CameraLink
切替器で切り替えられるようになっており，見たいスクリーンを挿入してカメラを切り替えて観測するというスタイルで使用している。

Fig. 32: グリッド・ディストーション図表の画像。

次に，絞りについては遠隔操作で開口数や光量を調節できるよう，電動式のものとした。SACLAで使用しているのは日本精密測器社の V-6335RHである。この絞りは最大直径 35 mm まで開けることができるものである。

Table 3: CCD カメラの主要諸元。
CV-M4+CL

CV-A10CL

CCD 型

2/3 型

1/2 型

CCD サイズ8.8 x 6.6 mm2

6.4 x 4.8 mm2

画素数1380 x 1030

768 x 576

画素サイズ

6.45 μm

8.3 μm

5.2.6. 光学系の評価
設計・製作した光学系をビームと使って試験する
前に単体での性能を評価した。方法としては，
グリッド・ディストーション図表をターゲットとして使用し，その像の解像度を測定することとした。使用したターゲットは，ドットの直径が62.5 µm，ドットの間隔が 125 µm のものである。
スクリーンモニタの 4 倍光学系で実際に撮像したグリッド・ディストーション図表の画像を Fig. 32に示す。そして，図中の A-A’ 線に沿った画素

Fig. 33: Fig. 32 の A-A’線に沿った画素強度分布（矩形の線）とその微分（スパイク状の線）。

5.3. 電子ビームプロファイル測定
以上に述べたスクリーンモニタで実際に電子ビームプロファイルを測定した際の結果を示す。まず，SCSS 試験加速器にて評価したときの結果を述べる。次に，SACLA の短バンチビームを観測した際に発生したコヒーレント OTR とその対策について記述し，最後にスクリーンモニタを使って測定したエミッタンスなどのビームパラメー
タについて紹介する。

5.3.1. SCSS 試験加速器のデータ

OTR 用金属ターゲットを YAG:Ce に交換した。

SCSS 試験加速器の 250 MeV の電子ビームのプ

しかし，それでもなお C-OTR が発生してビーム

ロファイルを測定した結果を Fig. 34 に示す。こプロファイルがとれなかった。そこで，蛍光は指の測定では分解能を調べたいので，四極電磁石で電子ビームを水平に絞って光源のサイズをでき
るかぎり小さくしている。得られた画像の幅は，
OTR，YAG:Ce とも標準偏差で 10 μm あまりであ向性を持たないが，OTR は 1/𝛾 rad の指向性を持っていることを利用して，Fig. 36 のように空間マスクを用いて C-OTR を遮断することを考えた。その結果，Fig. 37 に示すように，マスクされり，SCSS 試験加速器のエミッタンスから予想さた部分では YAG:Ce の蛍光が結像されて適切にビれるビームの幅と矛盾しないことが確かめられームプロファイルが見えているのに対し，マスクている。YAG:Ce で若干幅が大きいのは YAG:Ce

から外れたところは C-OTR の異常な発光が見え

表面での反射や電子の散乱などが原因であるとている。このように，C-OTR は空間的に分離する考えられる。

ことが可能である。
YAG:CeOTR

13.4 mm(std.dev.)

15.8 mm(std.dev.)

Fig. 35: コヒーレント OTR の画像の例。左右の違いはショットが異なるだけで同じスクリーンモ
ニタを使用している。

Fig. 34: OTR の画像（左）と YAG:Ce の画像（右）。
水平軸への射影サイズが最小となるように四極電磁石で電子ビームを収束している。

5.3.2. コヒーレント OTR の発生とその対策
SACLA においてスクリーンモニタでビームプロ
ファイルを測定したところ，バンチ長が長いうちは設計通りの動作をしていた。しかし，バンチ長Fig. 36: YAG:Ce ターゲット使用時の C-OTR のマ
スクの概略図。

が 100 fs 以 下 に な る と ， コ ヒ ー レ ン ト OTR(C-OTR) による異常発光 [20] と考えられる画像が見られた。その様子を Fig. 35 に示す。コヒーレント OTR が発生するためには，電子ビームに可視光の波長(~0.5 μm)と同程度の密度変調がMasked region～ 5 mm存在する必要がある。バンチ圧縮の過程などでそのような変調ができるのではないかと考えられている。

Scintillation

COTR

さて，このような C-OTR が発生してしまうと，ビームプロファイルが取れないので対策が必要である。まず，ターゲットとして使用していた

Fig. 37: C-OTR マスク付きの光学系で撮像した
YAG:Ce ターゲットからのビームプロファイル。

5.3.3. エミッタンス測定・Twiss パラメータ測定
電子ビームプロファイルを使って測定できるビームパラメータとして，エミッタンスと Twiss パ
ラメータがある。ここでは，Q スキャン法による測定を紹介し，その結果について簡単に述べる。
Q スキャン法とは，スクリーンモニタの上流の四極電磁石の電流をスキャンし，収束力とビームサ
イズとの関係を求める [21]。このとき，ビームサ
イズ 𝜎𝑥 の 2 乗は以下の関係を満たす。
𝜎𝑥2 = 𝛽𝛽 �𝐿𝑙𝑄 𝐾 +

2
𝛼𝛼
𝜖𝐿2
− 1� +𝛽𝛽(5-7)

ここに，𝛼, 𝛽 は四極電磁石の位置での Twiss パ

ラメータ，𝜖 はエミッタンス，𝐿 は四極電磁石からスクリーンモニタまでの距離，𝑙𝑄 , 𝐾 はそれぞFig. 38: Q スキャン法で得られた四極電磁石の強さとビームサイズの 2 乗の関係を示すプロット。
○がデータで実線は放物線でフィットした結果である。

れ四極電磁石の有効長と K 値である。四極電磁石の K 値は電流に比例するので，(5-7) は放物線となる。
SACLA にて Q スキャン法をおこなった結果のプロットを Fig. 38 に示す。このデータは 3 番目のバンチ圧縮器の下流で測定したもので，ビームエネルギーは 1.4 GeV である。なお，スクリーン
モニタのターゲットは YAG:Ce で，C-OTR 抑制のマスクをつけたものを使用した。このデータを放物線でフィッティングして得られたパラメー
タからエミッタンスを求めると，規格化エミッタ
ンスで 1.09 mm mrad となった。このときのデー
タでは，ビームサイズが最小で 30 μm (RMS) まで絞られているが，そのような細いビームにおいてもビームプロファイルが適切に観測できている。

6.

差動 CT 型ビーム電荷モニタ

ビーム電荷を測定するための CT 型モニタについて，その測定原理を解説し，SACLA で開発した
差動型高速 CT モニタについて述べる。
6.1. CT の測定原理と特徴
まず，CT の測定原理について考えるため，ビー
ムが矩形電流のときの信号を解析的に求める。

6.1.1. 測定原理
電子ビームのまわりには，13.3 節にて示したような電磁場が存在する。この磁場をコイルでピックアップしてパルス信号として取り出すのが CT 型
ビーム電荷モニタである。
その測定原理を示すための例として，Fig. 39のような状況を考える。半径 𝑎 の円筒内をエネ

ルギー 𝛾𝑚𝑒 𝑐 2 ，電荷 𝑞 の電子ビームが通っていて，ビーム電流の z 方向依存性は幅 𝑐𝑐 の矩形一様分布と仮定する。また，𝛾 ≫ 1 と仮定して
𝛽 ≃ 1 と近似し，円筒表面付近の電磁場の広がり

はローレンツ収縮が十分に効いていることとして電子ビームの電流分布の幅とほぼ同じであると近似する。このとき，ビーム電流 𝐼beam (𝑡) は，
𝑞(0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)
𝐼beam (𝑡) = � 𝑇(6-1)(𝑡 < 0, 𝑇 < 𝑡)0と表すことができる。また，円筒表面の電荷密度𝜎(𝑡) は，𝑞𝜎(𝑡) ≃ � 2𝜋𝜋𝜋𝜋0(0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)

(𝑡 < 0, 𝑇 < 𝑡)(6-2)

と近似できる。このとき，0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 での円筒表面での電場 𝐸𝜌 (𝑡) は，

𝐸𝜌 (𝑡) =𝜎(𝑡)𝑞(0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇)=
𝜖0
2𝜋𝜖0 𝑎𝑎𝑎(6-3)となる。したがって，円筒表面付近の磁場分布
𝐵𝜙 (𝑧, 𝑡) は，(13-27)，(13-28) より，𝐵𝜙 (𝑡) =

と求まる。

𝐸𝜌
𝜇0 𝑞
=
𝑐
2𝜋𝜋𝜋

(0 ≤ 𝑡 ≤ T)

(6-4)

𝐼0 = −

𝐴𝜇𝑟 𝜇0 𝑞2𝜋𝜋𝜋𝜋(6-10)

とおいた。これを逆ラプラス変換すると，𝐼 は，(𝑡 < 0)⎧0 𝑅⎪− 𝑡(0 ≤ 𝑡 < 𝑇) (6-11)
𝐼 = 𝐼0 𝑒 𝐿
𝑅
𝑅
⎨
(𝑡−𝑇)
⎪ −𝐼0 �1 − 𝑒 − 𝐿 𝑇 � 𝑒 − 𝐿(𝑇 ≤ 𝑡)⎩

さて，Fig. 39 の等価回路を考えると，Fig. 40と求まる。これをプロットすると，Fig. 41 のよのようなものになる。ここに，𝐿 は CT のコイルうになる。このように，CT からの信号は，ビーのインダクタンス，𝑅 は伝送線路のインピーダン

ム電流に比例し，ビームの形状に近いパルス波形

スで通常 50Ωである。電子ビームが通るとビームとして得られることがわかる。また，コイルの巻電流に比例した磁場がコイル内に発生し，電磁誘く方向を変えると極性が反転した波形が得られ導により電圧が生じる。ここで，コイル内の磁場る。

は一様と仮定し，(6-4) にコアの比透磁率 𝜇𝑟 をようなパラメータを入れてみる。

かけたもので近似できるとする。このとき，Fig.

ここで実際の CT やビームの状況に近い以下の40 の回路の方程式は，コイルの面積を 𝐴 とおき，CT に流れる電流を 𝐼 とおくと，𝑅𝑅 + 𝐿

𝑑𝐵𝜙
𝑑𝑑
𝑑Φ
=−
= −𝐴
𝑑𝑑
𝑑𝑑
𝑑𝑑
(6-5)
𝐴𝜇𝑟 𝜇0 𝑞[𝛿(𝑡) − 𝛿(𝑡 − 𝑇)]=−2𝜋𝜋𝜋となる。ここに，𝛿(𝑡) はディラックのデルタ関数∞

� 𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑎)𝑑𝑑 = 𝑓(𝑎)
−∞

(6-6)
(6-7)

を満たす関数である。(6-5) の微分方程式を解くにはラプラス変換を使うのがよい。ここではラプラス変換法の詳細については記載しないので適宜公式集などを参照されたい。𝐼(𝑡) のラプラス変換を 𝐼̃(𝑠) とおくと，(6-5) のラプラス変換は，𝐴𝜇𝑟 𝜇0 𝑞(1 − 𝑒 −𝑠𝑇 )𝑅𝐼̃ + 𝑠𝑠𝐼̃ = −2𝜋𝜋𝜋となる。よって，𝐼̃ = 𝐼0

1 − 𝑒 −𝑠𝑇𝑅𝑠+𝐿が得られる。ここで，

(6-8)
(6-9)

(6-12)

𝐼0 = 20 A(6-13)

𝐿= 2 ns𝑅(6-14)

このとき，(6-11) の係数は，で，∞ (𝑥 = 0)
𝛿(𝑥) = �
0 (𝑥 ≠ 0)

𝐴 = 100 mm2
𝜇𝑟 = 10𝑞 = 1 nC
𝑇 = 10 ps
𝑎 = 10 mm
𝐿 = 0.1 µH
𝑅 = 50 Ω

で，50 Ωに対して 1 kV の出力となる。また，時定数は，となる。実際の CT では，コイルの有限の大きさ

や寄生容量，コアの周波数特性などの影響で波形がなまされて出てくる。したがって，ビーム電流が測定できるのは信号の立ち上がり時間よりバンチ長が長い場合に限られる。バンチ長が短い場
合は積分された波形が出ることになるので，電荷量しかわからない。

RF 損失によって個々の検出器の信号強度が異なるので比較しにくいなどの問題がある。それに比べて CT モニタからの出力パルスはほぼ単極パル
スであるので，パルスの高さから電流が測定でき，パルスの積分から電荷量が測定できるので，ビーム電流や電荷量を測定するのに適しているといえる。

Fig. 39: CT モニタの模式図。

Fig. 42: ボタン電極やストリップライン電極からの信号の形状。
Fig. 40: CT モニタの等価回路。

6.2. 高速差動 CT とその検出回路
SACLA では，外来ノイズ低減と高速波形測定をめざして，高速差動 CT を開発した。その開発の動機と設計のポイント，および，検出回路について述べる。
6.2.1. 高速差動 CT

Fig. 41: CT 波形 (6-11) のプロット。

6.1.2. CT の特徴
ビーム電流やビーム電荷を測定する方法として
CT モニタが適している理由についてまとめる。
まず，電荷や電流に比例する信号をとるには，ほかにもボタン電極やストリップライン電極が存在する。また，RF-BPM の基準空胴の振幅も電荷に比例する。これらが電荷検出に適さない理由として，電極によるピックアップの場合，Fig. 42に示すようにビームからの信号は＋と－のパルスが続いて出てくるので，後段の回路で積分されるとほとんど信号が残らない。また，RF-BPM の基準空胴を使用する場合は，ケーブルなどでのSACLA のような線型加速器では，パルスクライ
ストロンに代表される高圧パルス電源を使用した機器が多数使用される。そのため，周辺の電気回路は，パルス電源付近の接地電位の変動や，電磁ノイズの影響を大きく受ける。CT モニタもそれに当てはまり，なにも対策しないとパルス電源の影響を受けて波形に大きなノイズが乗ることになる。そこで，そのノイズの影響を低減するた
め，差動 CT を開発することとなった。
差動 CT とは，巻き方向の異なる 2 つのコイルをコアに巻き，互いに極性の異なる信号を取り出すものである。コイルを逆に巻いている様子はFig. 39 にも示されている。一般に外来ノイズはコ
イル内の磁場にはほとんど影響を与えず，別のところで乗ってくるので巻き方向によらない。これをコモンモードノイズと呼ぶ。したがって，2 つの信号の差を取ればコモンモードノイズが相殺してビームの信号だけが残ることになる。このようにしてノイズの影響を受けない CT モニタが作れることとなる。
また，SACLA の入射部では，電子銃からの電子ビームがチョッパによって約 1 ns のビームとして切りだされ，速度変調バンチングでバンチ長を縮める。そのため，入射部の各空胴を通過した
あとのバンチ長を測定することが重要となる。そこで，CT モニタにてバンチ長を測定することを考え，高速差動 CT として開発することとした。
高速化のポイントとしては，以下のような項目があげられる。
• 高周波でも十分な比透磁率のあるコアを使

Positive port
Ceramic insulator
Magnetic coreμ > 10 @ 1 GHz
Positive port

Negative
port

Pickup coil (1 turn)
Bean pipe (φ22)
Negative port

Fig. 43: 高速差動 CT の概略図。

う。

Beam pipe• コイルの巻き数を少なくして導線の遅延を減らす。

Copper spacer

Magnetic core

• コイルから同軸コネクタまでの距離を極力

SMA connector

短くしてコイルと同軸部との間の反射などの影響を低減する。
• CT モニタの筐体はなるべく小さくし，低い周波数での共振が起こらないようにする。
このようなことを念頭において設計することで，信号の立ち上がりの速い CT モニタを作ることができる。
SACLA にて使用している高速差動 CT [22] の概略図を Fig. 43 に，写真を Fig. 44 に示す。内径22 mm のビームパイプの途中にセラミックギャ
ップがあり，そこに高周波コアが装着されている。このコアの上下左右の 4 ヶ所に 1 巻のコイルが巻かれていて，対向するコイルは逆向きの信号が出るように巻き方向を決めている。コイルはそのすぐ近くで SMA コネクタに接続されている。
そして，このコアのまわりは極力内径の小さいケースで覆われ，無用な共振を防ぐとともに，外からの電磁ノイズが入らないようにしている。
高速化のポイントとして示したように，コイルの巻数は最小の 1 回で，コアとしては，日立金属
社 の フ ァ イ ン メ ッ ト [23] を 使 用 し て お り ，
1 GHz でも比透磁率が 10 程度となっているものである。コアや筐体内部の大きさについても極力小さくし，必要以上に大きくなって低い周波数の共振が起こらないようにしている。また，全部で4 個の出力を用意して，すべての信号の平均をとることでビームの位置依存性が出ないようにしている。

Pickup coil (1 turn)Fig. 44: 高速差動 CT の写真。
6.2.2. 検出回路
CT モニタからの信号は，Fig. 45 に示すように，検出器本体のすぐ近くに設置されたプリアンプ
で増幅・波形整形され，クライストロンギャラリの主アンプをへて 238 MSPS の VME 波形記録
AD ボードによって記録される。プリアンプから
主アンプまでは，途中でノイズが乗らないようにするためと，波形をなまらせないため，高周波用の差動平衡ケーブルで伝送している。主アンプでは信号をアンプで受けたあと，ゲイン調整用のアッテネータ切替器を介して AD ボードに出力している。
また，入射部の速度変調バンチングの途中にある 2 台の CT については，生波形を 12 GHz 帯域の高速オシロスコープで読み出すことによりバンチ長をモニタできるようにしている。
6.3. ビームデータ
電子ビームを使って得られた高速差動 CT モニタのデータ [22] について，生波形や検出回路通過
後のものについていくつか紹介する。

およそ 1/10 になっていることがわかる。このように，高速差動 CT はノイズに強いものとなっていることがわかる。
15

10

6.3.1. 生波形
短バンチ (< 1 ps) の電子ビームを高速差動 CTで検出したときの生波形を Fig. 46 に示す。このOutput [mV]Fig. 45: CT の検出回路ブロック図。

5

た。信号の立ち上がりは，10-90%でおよそ 200 psと高速な動作をしていることがわかる。このことから，500 ps 程度以上のバンチ長であれば測定可能であることが推測される。

Remainder
Positive port

Signal 20-5

信号は 12 GHz 帯域のリアルタイムオシロスコー
プにて取得した。電荷量はおよそ 0.3 nC であっ

Signal 1

Signal1 - Signal 2
-10
-20

0

20

40

60

Time [ms]Fig. 47: 高速差動 CT のノイズ。Signal 1 が＋の信号，Signal 2 が－の信号で，その差をとったものもプロットしている。

6.3.3. ファラデーカップを用いた較正
高速差動 CT の出力信号と電荷量の関係を較正するため，SACLA の 3 番目のバンチ圧縮器の下流にファラデーカップを設置している。そのファラ

Negative port

デーカップと高速差動 CT の出力とを比較したデータを Fig. 48 に示す。左の図は高速差動 CT とプリアンプの間を数ｍの同軸ケーブルでつないだ時のもので，若干直線からずれている。そこで，Fig. 46: 高速差動 CT の生波形。

CT からの信号が急峻すぎて初段のアンプが非線形な応答をしているのではないかと考えた。そこ

6.3.2. コモンモードノイズの低減効果
前節の生波形を，時間幅を広くしてとったものをFig. 47 に示す。ビームの信号は時間 0 のところの鋭いピークである。このレンジで見ると，CT の
信号は 10 mV 程度のコモンモードノイズの上に乗っているような形となっている。このノイズはクライストロンの高圧パルスモジュレータなどから来ていることが推測される。これらの信号を
オシロスコープの機能で差し引いたものも同じ
図にプロットしているが，ノイズ成分が相殺してで，30 m の細い同軸ケーブル (外径約 1 mm) をつないだところ，高周波成分が減衰して十分線形な特性が得られた。このように，速い信号を扱う
際には，アンプの特性が非線形になることもある
ことに注意が必要であるが，適切な対策を取れば検出回路の応答も含めて十分に線形な応答が得られることがわかる。

5

SHB power : 5.6 kW

Output voltage [ V ]4Fig. 48: 高速差動 CT システムのリニアリティ。
左図は CT とプリアンプの間を短いケーブルでつないだときのもので，右図は 30 m の同軸ケーブ
ルを間に入れたときのもの。

6.3.4. 入射部でのバンチ長測定
最後に，入射部の比較的バンチ長が長い部分において，高速差動 CT にてバンチ長を測定した際の3
2
1Second pulse

0.6 kW0-1

10 kW
Time [ 1 ns/div ]Fig. 50: CT-476 の出力波形。青破線： SHB 電力
が 0.6 kW の時の出力波形, 黒点線：SHB 電力が5.6 kW の時の出力波形, 赤実線：SHB 電力が10 kW の時の出力波形。

データについて述べる。まず，入射部の加速空胴と高速差動 CT の配置について Fig. 49 に示す。
図中，CT-238 と CT-476 は生波形を常時観測できるようにしており，12 GHz 帯域のリアルタイム
オシロスコープで波形を取得している。データの一例として，238 MHz サブハーモニックバンチャ(SHB)の電力を変化させたときの CT-476 の生波
形を Fig. 50 に示す。RF 電力が大きくなると速度変調バンチングによってバンチ長が短くなり，

7.

RF デフレクタによる時間構造測定

SACLA では，バンチ圧縮によりバンチ長を約30 fs まで圧縮し，ピーク電流を 3 kA にしなければ，X 線 FEL の増幅ができない。そこで，圧縮後のバンチの時間構造を 10 fs 程度の分解能で観測するための RF デフレクタを開発し，使用している。その RF デフレクタによるバンチの時間構

5.6 kW のときに細く高い信号になっていること

造の測定原理とその結果について述べる。

がわかる。さらにパワーを増やして 10 kW にする

7.1. 測定原理と，オーバーバンチングしてピーク電流が下がっていることがわかる。このように，数 100 ps のバ

7.1.1. RF デフレクタによる時間構造測定

ンチ長が高速差動 CT にて監視できることがわか

RF デフレクタとは，通常の加速管と異なり，ビる。

ームの進行方向に対して横方向に加速する電磁
CT-238Beam
chopper

1.8 m

CT-476

場を発生させる加速管である。この RF デフレク
タを用いた時間構造測定の概略図を Fig. 51 に示す。RF デフレクタのゼロクロス位相にバンチを載せると，電子の到達時間に比例したキック力を

Gun

238 MHzSHB

476 MHzboosterL-bandcorrection

Fig. 49: 入射部における加速空胴と CT の配置。

与えることができ，時間掃引できることになる。
その状態である程度ドリフトさせると時間プロ
ファイルが空間プロファイルに変換される。そのプロファイルを下流のスクリーンモニタで観測すればバンチの時間構造が測定できるという仕組みである。

𝜎𝑡0 =

𝜎𝑦0 𝑝𝑝𝑒𝑉𝑇 𝜔𝜔

(7-4)となる。時間分解能はキック電圧・RF 周波数・
ドリフト距離を増やすと良くなり，ビームサイ
ズ，ビームエネルギーが増えると悪くなることがFig. 51: RF デフレクタを用いた時間構造測定の
概略図。

わかる。
ここで，SACLA でのバンチ長測定を想定したときにキック電圧がどれだけ必要か考える。バン

7.1.2. 時間プロファイルから空間プロファイル
への変換
ビームの時間プロファイルが空間プロファイル

チ長が最短となる 3 番目のバンチ圧縮器のところ
では，ビームエネルギーが 1.4 GeV，すなわち，運動量が 1.4 GeV/c となる。RF 周波数は主加速器に使用している 5.712 GHz と同じとする。そしに変換される際の変換係数について考える。RFて ， ス ク リ ー ン 上 の ビ ー ム サ イ ズ は 100 μ ｍ

デフレクタの最大キック電圧を 𝑉𝑇 とし，角周波

キック電圧と時間分解能の関係は，(7-4) より，数を 𝜔 とおくと，そのゼロクロス位相でのキッ

ク電圧の時間微分は，

𝑑𝑑
� = 𝑉𝑇 𝜔
𝑑𝑑 0

(7-1)

である。このとき，ビームの運動量を 𝑝 とおくと，キック後距離 𝐿 ドリフトしたあとの空間方向の位置のシフト量 Δ𝑦 は，𝑑𝑑𝑒 � Δ𝑡𝑒𝑉𝑇 𝜔Δ𝑡𝑡
𝑑𝑑 0
Δ𝑦 ≃
𝐿=
𝑝𝑝
𝑝𝑝

(7-2)

となる。ここに，Δ𝑡 はゼロクロスタイミングからの時間のずれで，𝑒 は素電荷である。このように，時間に比例した位置シフトが起こり，その比
例係数は上式で与えられることがわかった。このとき，空間プロファイルのサイズ 𝜎𝑦 は，時間の単位でのバンチ長を 𝜎𝑡 ，RF デフレクタが OFFのときのサイズを 𝜎𝑦0 とおくと，
𝜎𝑦 ≃ �𝜎𝑦20 + �となる。

𝑒𝑉𝑇 𝜔𝜎𝑡 𝐿 2
�
𝑝𝑝

(7-3)

7.1.3. 時間分解能
RF デフレクタの時間分解能は，Δ𝑦 = 𝜎𝑦0 となる
ときの Δ𝑡 として得られる。したがって，時間分
解能 𝜎𝑡0 は，RMS，ドリフト距離は 10 m とする。このとき，

𝜎𝑡0 ≃

390
[fs/MV]𝑉𝑇(7-5)となる。したがって，この条件で 10 fs の時間分解能を得るには 39 MV 以上のキック電圧が必要であることがわかる。
7.1.4. RF デフレクタ以降のビームの転送
前節までは RF デフレクタからスクリーンモニタ
までが単なるドリフトと考えてきたが，間に四極電磁石などの機器が入った場合でも適切にビームを転送すればビームプロファイルを計算することが可能である [24]。ここでは導出の詳細は述べないが，結果のみを記すこととする。
まず，位置のシフト量 Δ𝑦 は，
Δ𝑦 =

𝑒𝑉𝑇
𝜔Δ𝑡�𝛽𝑑 𝛽𝑠 sin ΔΨ
𝑝𝑝

(7-6)

と得られる。したがって，キック後のビームサイズ 𝜎𝑦 は，𝑒𝑉𝑇 𝜔𝜎𝑡 2
𝜎𝑦 = �𝜎𝑦20 + �� 𝛽𝑑 𝛽𝑠 sin2 ΔΨ
𝑝𝑝

(7-7)

となる。ここに，𝛽𝑑 , 𝛽𝑠 はそれぞれ RF デフレク
タとスクリーンモニタでのベータ関数で，ΔΨ はRF デフレクタからスクリーンモニタまでのベータトロン位相変化である。この式からわかること
は，𝜎𝑦0 = �𝛽𝑠 𝜖 （𝜖 はエミッタンス） が小さいほうがよく，また，𝛽𝑑 𝛽𝑠 が大きいほうがよいこ

とである。このとき，𝛽𝑑 を大きくとるのがよいこととなる。これは，Twiss パラメータの関係式，
𝛽𝛽 = 1 + 𝛼 2(7-8)

からもわかるように，RF デフレクタ位置での 𝛾を下げることである。これは，RF デフレクタでのビームの角度発散を小さくすることを意味しており，RF デフレクタはビームに角度変調を与えることからも妥当な結果といえる。このことをビームが占める位相空間の分布で概略を示すと
Fig. 52 のようになる。この図からも，𝛽𝑑 を大きくとった方がより高分解能な測定ができることがわかる。

Fig. 53: RF デフレクタで E-t 位相空間を測定する
セットアップの概略図。

Fig. 54: RF デフレクタ上流の磁場シケインでエ
ネルギー分散を漏らして E-t 位相空間を測定する
セットアップの概略図。
このような方法として，まず考えられるのが，Fig. 53 に示すように，RF デフレクタで掃引した
あとに偏向電磁石で曲げることによりエネルギ
ー分散を発生させることである。ただし，この方法は RF デフレクタのあとにエネルギー分析用のビームラインが必要で，大掛かりなセットアップとなる。
Fig. 52: RF デフレクタで時間構造を測定するときの位相空間分布の振る舞い。上が 𝜷𝒅 を大きくとったときで，下が 𝜷𝒅 を小さくとったときである。左から順にそれぞれ，RF デフレクタ直前，
RF デフレクタ直後，スクリーンモニタでの位相空間分布である。なお，バンチ内の時間を濃淡で表現している。

もうひとつの方法として，磁場シケインからエ
ネルギー分散を漏らす方法がある。バンチ圧縮器の磁場シケインの直後に RF デフレクタを設置する場合はこの方法が手軽である。そのセットアップの概略図を Fig. 54 に示す。シケイン中間のエ
ネルギー分散のあるところに四極電磁石を設置することで，本来はエネルギー分散のないシケイ

7.1.5. E-t 位相空間測定
バンチ圧縮の振る舞いを詳細に知りたいときに，バンチ内の時間とエネルギーの関係（E-t 位相空間）がわかると役に立つ。というのは，磁場シケインによるバンチ圧縮器はこの E-t 位相空間を回ン下流に分散を漏らすことができる。シケイン中間でのエネルギー分散を 𝜂0 ，四極電磁石からスクリーンまでの距離を 𝐿，四極電磁石の焦点距離を
𝑓𝑄 とおくと，スクリーンでのエネルギー分散 𝜂1とその微分 𝜂1′ は，

1𝐿� �− 11𝑓0

垂直方向にエネルギー分散が出るようにすれば

𝜂11
�𝜂 ′ � ≃ �
0
1

よい。

と近似できる。このように，シケイン中間の四極転させる働きをするからである。E-t 位相空間が知りたいときは，RF デフレクタのキック方向と

𝑄

𝜂0 𝐿
𝜂0
𝜂0
1� � 0 � − � 0 � = − 𝑓𝑄 �1�

(7-9)

電磁石でスクリーンモニタの位置にエネルギー

分散を発生させることができ，E-t 位相空間が測定できることがわかる。
7.2. RF デフレクタ空胴Table 4: C バンド RAIDEN 空胴のパラメータ。
必要横方向偏向電圧

VT

> 40

MV

バンチ長

σz

< 200

fs

1.4

GeV

5712

MHz

SACLA の RF デフレクタ空胴には，前節で述べ解析ビームのエネルギー

たように，周波数 5.712 GHz のときに約 40 MV

共振周波数

cpz
fa

のキック電圧が必要である。この条件をみたすべ

セル間遷移位相(セル移相)

βD

5π/6

rad

く，C バンド RAIDEN 空胴 (Racetrack-shaped

群速度（光速比）

iris-coupling deflection structure) [25] を開発し

-2.13

%

加速管充満時間0.27

ms

た。この空胴の概略図を Fig. 55 に示す。RAIDEN

無負荷 Q
シャントインピーダンス

ドの混成双極モード HEM11 を使用する。このモ

vg/c
Tf
Qa
rT

加速管タイプ定インピーダンス型

ードは，空胴が軸対称のときに X 方向のモードと

共振モード

HEM11

セル数

77＋2 カップラーセル
1706
L (1807) mm

空胴は，円筒導波管の TM11 モードと TE11 モー

Y 方向のモードが縮退するので，どちらか一方のモードだけが励振されるよう，結合孔をレースト
ラック型にして軸対称性を破っている。また，群速度と位相速度が逆向きとなっており，RF パワ

加速実効長（加速管長）
加速管台数

11200
27.7

2

MΩ/m

台

ーは下流のカプラから印加する形となる。SACLA
では，有効長 1.7 m の C バンド RAIDEN 空胴を2 本使用し，これを 50 MW クライストロンで励

7.3. 測定データ

振して 40 MV 以上のキック電圧が出せるように

実際の電子ビームの時間構造の測定したデータなっている。この C バンド RAIDEN 空胴のパラについて簡単に紹介する。まず，RF 位相の決めメータは Table 4 にまとめたとおりである。空胴方とキック電圧の較正方法について述べ，ビームの設計については，文献 [2] にて詳しく述べられの時間構造のデータを示すこととする。

ているので，そちらを参照されたい。

7.3.1. RF 位相の決定とキック電圧の較正
まず，RF デフレクタの位相はゼロクロスなので，
RF デフレクタを ON にしたときに電子ビームの重心位置が動かなければよい。RF デフレクタがON のときに位相を調整し，スクリーンモニタの中央に電子ビームが来るようにすればそこが測定位相となる。
次に，キック電圧の較正は，RF 位相の設定値をわずかに変化させたときのスクリーン上でのビーム重心位置の変動を見ればよい。キック電圧
を 22 MV にしたときの RF 位相とビームの重心位

Fig. 55: RAIDEN 空胴の概略図。

置の関係を Fig. 56 に示す。このデータを (7-2)の関係と照らしあわせればキック電圧の較正ができ，スクリーン上のサイズと時間との換算が可能となる。このデータでは，位相 1 度に対して約3 mm 移動している。5.712 GHz の 1 度は約 500 fs
なので，1 mm あたり約 170 fs に換算できる。この場合，キック電圧を 40 MV まで上げれば 1 mm

8.

あたりで 100 fs 以下となり，通常のビームサイズ

バンチの時間構造測定については，RF デフレク

が 100 μm RMS であれば 10 fs の分解能が出せる
ことがわかる。

ストリークカメラによるバンチ長測定

タによる方法のほかに，ストリークカメラを用いる方法がある。ストリークカメラとは光の時間構造を測定するためのカメラである。そこで，電子ビームの時間構造を瞬時的な放射現象である
OTR を使って光の時間構造に変換し，ストリーク
カメラで検出することで時間構造が測定できる。
現時点で最も時間分解能が良いストリークカメ
ラは浜松ホトニクス社の FESCA-200 [26] で，
200 fs の時間分解能を持つ。これを使えば，数100 fs 領域の時間構造が測定できると考えられる。本節では，ストリークカメラの原理と OTR
伝送系について解説し，測定データを少し紹介する。

Fig. 56: バンチの重心移動と RF 位相の関係。

8.1. ストリークカメラの検出原理
ストリークカメラの内部の概略図を Fig. 58 に示

7.3.2. 時間構造測定

す。入射光はスリットで細く切りだされ，光電面

RF デフレクタで実際にビームの時間構造を測定にあたることによって光電子を放出させる。光電した例を Fig. 57 に示す。RF デフレクタが OFF

子は加速電極で加速され，掃引電極によって時間のときに比べて ON のときは上下方向にプロファに比例したキックを受けることで時プロファイ

イルが引き伸ばされ，約 100 fs のバンチの構造がルが空間プロファイルに変換される。掃引された

取得できていることがわかる。このように，RF

光電子は MCP (Micro-Channel Plate) にて増倍デフレクタによって，時間プロファイルが適切にされ，蛍光面に当たることで可視光の画像とな

空間プロファイルに変換され，時間構造が適切にる。それを CCD カメラで撮像することで空間プ測定できている。

ロファイル画像が得られ，時間構造が測定できる。
RFDEF ON
100fs

RFDEF OFF

ストリークカメラの時間分解能は光量や波長に依存することが知られている。ストリークカメ
ラの時間分解能は先に述べたように最高性能のFig. 57: RF デフレクタで測定したビームの時間構造の例。左は RF が OFF の場合で，右は RF を
ON にして時間掃引した場合である。

Fig. 58: ストリークカメラの概略図。

もので 200 fs であるが，このような性能は入射光

以上のようなポイントを押さえればストリーが強すぎても弱すぎても得られない。光が強すぎ

クカメラで数 100 fs 分解能の時間構造測定がでると光電子の空間電荷効果の影響で光電子群がきると考えられる。

発散してしまって時間分解能が悪化する。光が弱すぎると像がまばらになってしまって正確な測定ができない。また，入射光の波長は光電面の感度領域の長波長端に合わせるのが良い。というのは，短波長の光による光電子は初期運動量が大き
いため，光電子が発散する原因となるからである。このように，高い時間分解能を目指すときは，光量と波長をうまく調整する必要がある。
8.2. OTR 伝送系の設計

Fig. 59: OTR 伝送系の概略図。

ストリークカメラは測定の初期にさまざまな微8.3. 測定データ調整が必要なため加速器トンネル内に設置する

SACLA では，3 番目のバンチ圧縮器の下流のスことができない。そこで，Fig. 59 に示すように，
OTR を加速器トンネルからその外のストリーク
カメラに導かなければならない。その伝送系について考える。
まず，もともと光量の多くない OTR を長い距
離にわたって伝送する必要があるため，収束デバ
イスでコリメートして平行光にし，伝送損失を低減する必要がある。そして，反射率の高いミラーを使用することも当然ながら必要である。ここで，収束デバイスとしてレンズを使用することが思い浮かぶが，レンズは時間構造測定に適さない。というのは，レンズに使用する光学材料には分散があるため，波長によって伝播速度が異なり，時間構造がなまされてしまうからである。たとえば，石英ガラスの場合，波長が 100 nm 変わると屈折率が約 0.4%変わる。したがって，屈折率が 1.46 で厚さ 10 mm の石英ガラスを通過した場
合，波長が 100 nm 異なると 200 fs 程度の伝播時間差が生じる。これでは時間分解能を悪化させる原因となるので，収束デバイスには凹面ミラーなどの反射光学系を利用しなければならない。
次に，ストリークカメラの時間分解能は前節にて述べたように波長依存性があるので，光電面の感度領域の長波長端付近を通すバンドパスフィ
ルタを使用するのがよい。このようなフィルタを使用することで，OTR 伝送系内の分散の影響を低減する効果もある。

クリーンからの OTR をストリークカメラで検出できるようになっている。通常，3 番目のバンチ
圧縮器の下流ではバンチ長が約 30 fs になるのに加え，C-OTR が発生するのでストリークカメラは使えないが，3 番目のバンチ圧縮器の電磁石をOFF にしてバイパスすれば，2 番目のバンチ圧縮器の下流でのバンチ長が測定できる。このときのバンチ長は数 100 fs から 1 ps 程度なので，スト
リークカメラが適していることがわかる。そして，このバンチ長であれば C-OTR は発生しない。
なお，SACLA で使用しているストリークカメラ
は FESCA-200 である。OTR 伝送系では先に述べたように反射光学系で OTR をコリメートして伝送し，600 nm のロングパスフィルタで波長を制限している。バンドパスフィルタではなく，ロングパスフィルタを使用した理由は，光電面の感度
領 域 が 波 長 800 nm 以 下 の た め ， 実 質 的 に
600 – 800 nm のバンドパスフィルタを使用していることと等価になるためである。
実際に電子ビームのバンチ長をストリークカ
メラで測定したデータを Fig. 60 に示す。なお，
この時のデータは 1 ショットでは強度が小さかったため，50 ショット積算したものを使っている。
このように，500 fs 程度のバンチ長が適切に測定できている。

推される CTR の周波数は 1 GHz – 数 10 GHz の領域であるため，RF 検波器を利用するのがよい。
そして，ただ検波するのではなく，断面の異なる
矩形導波管を連ねたところに検波器を設置している。このことにより，導波管の遮断周波数を利用したハイパスフィルタ効果を用いておおまかなスペクトル情報も得られるようになっている。
Fig. 60: ストリークカメラで測定したバンチ長の測定結果の例。縦方向に時間掃引しており，画面左の実線は得られた画像を射影したものである。
FWHM で 0.54 ps のバンチ長が得られている。

9.

コヒーレント放射によるバンチ長測定

2.4.4 節で述べたように，コヒーレントな放射を検出することでバンチ長などの時間構造を類推す

Fig. 61: CTR 検出器の概略図。

ることができる。そこで，SACLA では，入射部の速度変調バンチングの測定にコヒーレント遷移放射を，3 ヶ所のバンチ圧縮器でのバンチ長測

To AD Converter

定にコヒーレントシンクロトロン放射を利用している。この 2 つのコヒーレント放射のモニタについて述べる。
9.1. コヒーレント遷移放射検出器
RF Detector

9.1.1. 検出器の構成

Antenna

SACLA の入射部における速度変調バンチングの領域では，バンチ長が 1 ns から数 10 ps まで縮められる。このようなビームからのコヒーレント

Fig. 62: CTR 検出器の RF 波長計。

遷移放射 (CTR) を検出することで速度変調バン

9.1.2. 測定データ

チングの振る舞いを調べることができる。遷移放CTR 検出器の測定データの例として，238 MHz
サブハーモニックバンチャ (SHB) の入力パワーを変化させて加速電圧を変え，そのときの CTR
検出器の出力をとったものを Fig. 63 に示す。
SHB の電圧を上げていくとバンチ長が短くなって CTR 強度が強くなり，175 kV 付近でバンチ長が最短となることがわかる。それ以上の電圧ではオーバーバンチングされてバンチ長が長くなり，CTR 強度が下がることがわかる。これは 1 次元シ
ミュレーションとの結果と一致しており，CTR 検
出器によってバンチ長が測定できていることがわかる。

射を使う理由としては，シンクロトロン放射をさせるための偏向電磁石がないことと，ビームプロ
ファイル測定用の蛍光体からの遷移放射が随所で使えることが挙げられる。SACLA での CTR 検
出器の概略図を Fig. 61 に示す。スクリーンモニ
タの光学系架台に出し入れ可能なミラーが取りつけられており，そのミラーで CTR を検出器に導く形となっている。
CTR の検出には，Fig. 62 に示すような RF 波
長計を使用している。先に述べたバンチ長から類検出している。バンチ長が変わると CSR スペク
トルの立ち上がり位置が変わることになるが，それに応じて積分強度も変わるので，CSR の強度を

CTR Intensity [arb. Unit]>3GHz

測定するだけでも相対的なバンチ長の変動が測

simulation>6GHz

定可能である。
SACLA の CSR 検出器の概略図を Fig. 65 に示す。バンチ圧縮器の 4 台目の偏向電磁石からのCSR を真空チャンバ内に設置された穴あきミラ
ーで反射する。ビューポートから取り出された>12GHzCSR は，テラヘルツレンズで焦電検出器に集光されて検出される。ミラーには電子ビームが通る穴>24GHzが開いているので，通常の運転中でも常時 CSRを監視することができる。ビューポートについて

238MHz Voltage[kV]

Fig. 63: 238 MHz SHB の加速電圧を変えたときのCTR 強度。RF 波長計の遮断周波数ごとのデータがプロットされている。また，●付きのプロット
は 1 次元電子ビームシミュレーションから得られた CTR 強度である。

は，BC1 と BC2 には合成石英を，BC3 にはシリコン単結晶を使用している。この理由は，合成石
英は数 THz 以上のテラヘルツ波を吸収して透過しないため，10 THz 付近を検出したい BC3 には不向きなためである。シリコン単結晶は 1 THz 以
上であれば近赤外まで十分な透過率がある。

9.2. コヒーレントシンクロトロン放射検出器
9.2.1. 検出器の構成
SACLA の 3 ヶ所のバンチ圧縮器 (BC1, BC2,
BC3) のそれぞれでバンチ長が監視できるよう，
コヒーレントシンクロトロン放射 (CSR) の検出器が各バンチ圧縮器に設置されている [27]。バン
チ圧縮器は 4 台の偏向電磁石で構成されているので，その電磁石からの CSR を利用できる。バン

Fig. 64: 各バンチ圧縮器における CSR スペクト
ルの計算結果。

チ圧縮後のバンチ長を監視したいので，各バンチ
圧縮器の 4 台目の偏向電磁石からの CSR を検出することとしている。SACLA の電子ビームシミュレーションから得られたビームの時間構造を
もとに CSR スペクトルを計算した結果を Fig. 64に示す。各バンチ圧縮器の直後でのバンチ長は上流から順に，約 3 ps, 約 300 fs, 約 30 fs なので，CSR のスペクトルの立ち上がりはバンチ圧縮器
ごとにおよそ 1 桁ずつ異なっている。CSR 強度がピークとなる周波数は 100 GHz から 10 THz 程度のテラヘルツ領域である。SACLA ではこの CSRの強度を焦電検出器（Pyroelectric Detector）でFig. 65: CSR モニタの概略図。

9.2.2. 測定データ

10. ビームロスモニタ・ハローモニタ

電子ビームを用いて測定したデータの例として，

アンジュレータビームラインに設置しているビBC2 の CSR 検出器の結果を紹介する。
まず，CSR 強度の電荷量依存性を Fig. 66 に示す。(2-43) に示したように，CSR 強度は電荷量の2 乗に比例するはずであるが，実際にそのようになっていることがわかる。したがって，このデー
タは CSR が適切に検出できていることを示す証拠のひとつである。
次に，バンチ長と CSR 強度を示すデータとして，BC2 上流の S バンド加速器の RF 位相と CSR
強度との関係を Fig. 67 に示す。図中，S バンド
位相が 0 度のときのバンチ長が約 500 fs FWHM
で，位相を 1 度動かすごとにバンチ長が約 100 fs

ームロスモニタとハローモニタについて簡単に紹介する。アンジュレータの永久磁石にてビームロスが発生したり，永久磁石にビームハローが当
たったりすると永久磁石が減磁してアンジュレータの性能が落ちることがわかっている。そこ
で，ビームロスやビームハローをモニタし，永久磁石へのダメージを最小限にとどめることとしている。
10.1. 光ファイバ型ビームロスモニタ
10.1.1. 検出器の構成変わることが，RF デフレクタでの測定でわかっ

光ファイバ型ビームロスモニタは，ビーム損失にている。このことから，CSR 検出器は数％のバンともなって発生した電磁シャワー（2.3.2 節）の電チ長の変動に十分な感度があることがわかる。

子・陽電子が光ファイバに当たって生じるチェレ
ンコフ光（2.4.2 節）を検出するモニタである。その概略図を Fig. 68 に示す。発生したチェレンコ
フ光は光ファイバを伝搬し，端に取り付けられた
光電子増倍管にて検出される。光電子増倍管の信号は高速に波形を取得できる AD 変換器でその強度と時間を記録する。検出された信号の強度からビーム損失の量がわかり，時間から損失の起こった場所がわかる仕組みになっている。
SACLA ではこの光ファイバ型ビームロスモニ
タをアンジュレータ区間に使用してビーム損失

Fig. 66: ビーム電荷量と CSR 強度の関係。

を監視している [28]。使用している光ファイバ
は，材質が石英で，コア径が 400 μm と大きいファイバを使用し，十分なチェレンコフ光の強度が得られるようにしている。この光ファイバをアン
ジュレータの真空チャンバに沿って敷設している。光ファイバの端の光電子増倍管で検出された
信号は，2 GSPS の高速 AD 変換ボードで記録され，チェレンコフ光の強度と到達時刻がわかるよ
うになっている。
10.1.2. 測定データ

Fig. 67: S バンド加速器の RF 位相と CSR 強度の関係。エラーバーは、測定ごとのばらつきの標準偏差を示す。

SACLA の光ファイバ型ビームロスモニタのデー
タの例を Fig. 69 に示す。横軸は信号の時間情報から得られた損失の場所を示しており，このデー
タでは 1 台目のアンジュレータ付近でビーム損失

があることがわかる。そして，場所ごとの損失の量がピークの高さでわかるようになっている。このロスモニタは 0.5 pC 以下のわずかなビーム損
失にも感度があることが実験的に確かめられている。

置し，アンジュレータの永久磁石に損傷を与える
ようなビームハローがないかどうか監視している [29]。検出器部分は，厚さ 0.3 mm の人工ダイ
ヤモンド板にアルミニウム電極を蒸着した構造となっている。この電極に 100 V のバイアス電圧をかけて電子・ホールを検出している。この電圧では電離箱領域よりやや低い領域の電圧である

Fig. 68: 光ファイバ型ビームロスモニタの概略
図。

が，電源が安定していれば出力信号も安定となる
のでとくに問題にならない。また，電圧が低いほうが放電の心配もなくなる。
SACLA のダイヤモンド ハローモニタにはこのダイヤモンド検出器を 2 個使用しており，Fig.
71 に示すように，ステッピングモータによるアク
チュエータでビーム軸付近に上下から挿入できるようになっている。通常はこの開口幅をアンジ
ュレータのギャップと同じ間隔にしてビームハローを監視している。また，ダイヤモンド検出器
を裸のままでビームに近づけると，電子ビームに付随する電磁場による航跡場の影響を受けてビームハローの信号よりも大きなノイズが発生する。そこで，RF コンタクトで覆うことで航跡場

Fig. 69: ビームの進行方向位置に対するビームロ
スの強度のプロット。上部の■がアンジュレータの位置を表している。

の影響を低減している。

10.2. ダイヤモンド ハローモニタ
10.2.1. 検出器の構成
ダイヤモンド ハローモニタは，電子ビームがダ
イヤモンド板を通過した際に生じる電子・ホール
ペア（2.5.2 節）を電極で検出することによって，当たった電子の量を測定する検出器である。このFig. 70: ハローモニタの概略図。

概略図を Fig. 70 に示す。ダイヤモンド板を一対の電極で挟み，そこに電圧をかけておく。このとき，電子ビームが当たって生成した電子・ホール
が電極に引き寄せられて信号として出力される。
標的にダイヤモンドを使う理由としては，耐放射線性に優れていること，絶縁耐圧が大きいこと，
熱に強いこと，などが挙げられる。
SACLA では，アンジュレータビームラインのすぐ上流にこのダイヤモンド ハローモニタを設

Fig. 71: SACLA のハローモニタの構成と RF コン
タクトの概略図。

10.2.2. 測定データークである。MADOCA は，Fig. 73 の概略図にSACLA での測定データの一例として，ダイヤモ

示すように，制御室の制御端末，加速器各所に分ンド検出器をビームに近づけたときの距離と検散された VME システム，データ保存用のデータ

出電荷量の関係を Fig. 72 に示す。縦軸はダイヤ

ベースシステムの大きく分けて３つのシステム

モンド検出器からの電荷量であるが，実際のビーからなる，クライアント・サーバ型の分散制御ア

ムハローの量はその約 100 分の 1 であることが実ーキテクチャとなっている。たとえば，制御端末

験的に確かめられている。このデータによると，
ビーム中心から 0.2 mm 以上離れた位置に存在するハローの量は約 0.1 pC で，1 mm 以上離れればの GUI ソフトウェアからの命令は，制御端末上の Message Server, Access Server を経由してVME 上の Equipment Manager (EM) に送られ，検出限界の 0.3 fC 以下となっている。アンジュレ

VME システム内の各種ボードを制御したり，ボー タ の ギ ャ ッ プ は 3.5 mm （ ビ ー ム 中 心 か らードからデータを収集したりできるようになっ

1.75 mm）以上で運転しているので，ビームハロている。また，VME システム上には Poller といーが当たる心配はないと考えられる。

うプロセスが動いており，各種データを定期的に収集して，上位のデータベースに保存されるようになっている。このデータは制御端末からも閲覧でき，さまざまなデータの時間変動や相関関係などを調べられるようになっている。

Fig. 72: ハローモニタで測定したビームハローの量。
Fig. 73: MADOCA の概略図。

11. データ収集
SACLA の ビ ー ム 診 断 機 器 の 各 種 デ ー タ は
SPring-8 の制御システム MADOCA (Message
And Database-Oriented Control Architecture)[30] を使って収集されている。また，RF-BPM，
CT モニタ，スクリーンモニタのデータはショッ
トごとにタグをつけてデータ間の同期がとれるようになっている [31]。これらの制御・データ収集システムについて簡単に述べる。
11.1. MADOCA の概要
MADOCA とはもともと SPring-8 蓄積リングの制御のために独自に開発された制御フレームワ

11.2. 同期データ収集
SACLA のような線型加速器ではショットごとにビームの初期条件が異なるので，各種ビーム診断
データを比較する際にショットが同じデータでなければ比較する意味がない場合が多い。たとえば，4.4.4 節に述べた RF-BPM の位置分解能測定
では，ショットが異なると初期条件が大きく変わるので，データに同期がとれていないと適切な解析ができない。そこで，SACLA ではショットごとのデータの同期をとった上で収集するシステ
ムを導入している。このシステムを利用して，

RF-BPM と CT のデータは全ショット収集してい12. おわりにる。スクリーンモニタについては全ショットでは

X 線自由電子レーザ SACLA のような線型加速器

ないが，同期用のタグをつけて他のデータとの同期がとれるようになっている。
同期データ収集システムの概略図を Fig. 74 に示す。同期データ収集をする VME システムには，
トリガモジュールなどのボードでビームのマス
タトリガ信号をカウントできるようにしており，さらに，トリガが来たときに割り込みがかけられるようになっている。マスタトリガ信号のカウン
タはあらかじめネットワーク経由ですべてのVME システムにわたって同期がとられている。
マスタトリガ信号が来ると VME システムに割り込みがかかり，同期収集の対象となるデータがAD 変換ボードなどから収集される。収集されたデータは，マスタトリガのカウンタ値のタグとともに共有メモリネットワークにて上位計算機に送られる。この共有メモリネットワークは LANとは独立の同期データ収集専用となっていてデータ転送に遅れが出ないようになっている。上位の計算機では同じタグのデータをまとめてデー
タベースに保存できるようになっている。このよにて高精度なビーム診断を行うための各種機器について，その測定原理や性能データを述べてきた。ここに述べたものは SACLA の要求に沿ってデザインされたもので，SACLA に適したものとはなっているが，世界一の性能を持っているとは限らないし，他の加速器に適しているかどうかはわからない。電子ビームと検出器との間にはさま
ざまな相互作用があり，測定したいパラメータによって利用する相互作用が異なるし，同じパラメータを測定するにしても違う相互作用を使うことで，精度の違いが出たり，C-OTR のような致命的な症状が出たり，別の長所・短所があったりする。また，同じ測定原理であっても，測定したいパラメータ領域に合わせて検出器を適切にデザインすることで全く性能の異なってくることもある。他の加速器のためのビーム診断機器をデザインしたりする場合に，ここに述べたビームと検出器との相互作用や，各種機器の測定原理や測定データが参考になれば幸いである。

うにして，60 pps で全ショットのデータが収集可
能なシステムに仕上がっている。
この同期データは，RF-BPM の分解能測定だけ
でなく，ビーム軌道補正フィードバックやエネル
ギーフィードバックなどの加速器安定化のプロセスにも使われており，SACLA の安定な運転に欠かせないものとなっている。

謝辞
SACLA のビーム診断機器について，このような講義資料を作成する機会を与えていただいた古屋貴章教授をはじめ，高エネルギー加速器セミナ
ーに関係する方々に厚く感謝いたします。ここに述べたことは，大竹雄次チームリーダ，新竹積 前主任研究員をはじめ，SACLA 加速器の各種スタッフの方々のご指導，ご協力のもとに開発・製作
してきたものです。そして，SCSS 試験加速器の立ち上げから SACLA の供用にいたるまでの間，
多岐にわたる貴重な経験をさせていただき，その経験が本テキストの執筆に非常に役に立ちました。この場を借りて深く御礼申し上げます。

Fig. 74: 同期データ収集システムの概略図。

13. 付録 1：電子ビームに付随する電磁場
電子ビームに付随する電磁場について簡単にまの２つの変換性があり，それぞれ，添字の上付き，下付きで区別する。これらの変換性は，それぞれ，とめる。電磁場のローレンツ変換，ローレンツ収

𝛼𝐴′ (𝑥 ′ ) =縮について述べたあと，電荷に付随する電磁場について自由空間と完全導体円筒内の 2 つの場合に𝐴′ 𝛼 (𝑥′) =ついて考える。

まず，４元座標 𝑥を以下のように導入する。
(13-1)

ある慣性系 S での任意の点 P の座標を 𝑥 𝛼 ，S から見て z 方向に速度 𝛽𝛽 で平行移動する慣性系をS′ とし，S′で見た P の座標を𝑥′𝛼 とする。そして，両慣性系の原点が 𝑥 0 = 𝑥 ′0 = 0 のときに一致す
ると仮定する。このとき，各慣性系で見た点 P の
座標は，

′0

𝑥 = 𝛾(𝑥 0 − 𝛽𝑥 3 )1
𝑥 ′ = 𝑥12𝑥′ = 𝑥2′3
𝑥 = 𝛾(𝑥 3 − 𝛽𝑥 0 )(13-2)

1(13-3)

�1 − 𝛽2である。逆変換は，

0(13-4)

0

4

�

𝛽=0

𝛼

𝛼

𝜕𝜉 ′ 𝛽𝜕𝜉 ′ 𝛽
(𝑥)
𝐴
⟶
𝐴 (𝑥)
𝜕𝜕 𝛽
𝜕𝜕 𝛽

(13-9)

テンソルについても反変テンソルと共変テンソ
ルがあり，たとえば，２階テンソルの場合，それ
ぞれ，
𝐹′

𝛼𝛽

(𝑥 ′ ) =𝐹 ′ 𝛼𝛽 (𝑥 ′ ) =𝛼𝛽𝜕𝜉 ′ 𝜕𝜉 ′ 𝛾𝛿𝐹 (x)𝜕𝑥 𝛾 𝜕𝑥 𝛿𝜕𝜉 𝛾 𝜕𝜉 𝛿𝐹 (𝑥)𝜕𝑥 ′ 𝛼 𝜕𝑥 ′ 𝛽 𝛾𝛿(13-10)(13-11)のように変換する。ベクトルやテンソルの添字
10𝑔𝛼𝛽 = 𝑔𝛼𝛽 ≡ �
0
0

0
0
−1 0
0 −1
0
0

0
0
�
0
−1

𝐴𝛼 = 𝑔𝛼𝛽 𝐴𝛽𝐹𝛼𝛽 = 𝑔𝛼𝛾 𝑔𝛽𝛿 𝐹 𝛾𝛿のように上げ下げすることができる。

(13-12)(13-13)(13-14)13.2. ４元ポテンシャルとマクスウェル方程式

次に，ある座標変換
𝛼とし，記号Σは省略する。

を用いて，

3

𝑥 0 = 𝛾�𝑥 ′ + 𝛽𝑥 ′ �
𝑥1 = 𝑥′1
𝑥 2 = 𝑥′230
𝑥 3 = 𝛾�𝑥 ′ + 𝛽𝑥 ′ �
𝛼(13-8)

は，計量テンソルという関係になる。ここに，

である。

𝜕𝜉𝛽
𝐴 (𝑥)
𝜕𝑥′𝛼 𝛽する記号については以下のように和を取るもの

𝑥 𝛼 = (𝑐𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧)𝛾=(13-7)となる。この式では縮約記法を用いており，重複13.1. ローレンツ変換
𝛼𝛼𝜕𝜉 ′ 𝛽
𝐴 (𝑥)
𝜕𝑥 𝛽

1

2

3

𝑥′ = 𝜉′ (𝑥 , 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 )(13-5)

を考える。この変換で，スカラー，ベクトル，テンソルがどのように変換されるかをまとめておく。スカラー Φ は，

Φ′ (𝑥′) = Φ(𝑥)(13-6)となり，座標変換で値が変わらない。ベクトルに𝛼

ついては，反変ベクトル 𝐴と共変ベクトル 𝐴𝛼

電磁場𝐄, 𝐁はスカラーポテンシャルΦとベクトル

ポテンシャル𝐀を用いて以下のように書ける。
𝐄 = −𝛁Φ −

𝜕𝐀
𝜕𝜕

𝐁=∇×𝐀

ここで，４元ポテンシャルを，Φ
𝐴𝛼 = � , 𝐀�𝑐

(13-15)(13-16)(13-17)

と定義する。そして，電磁場テンソルを，
𝐹𝛼𝛽 = 𝜕𝛼 𝐴𝛽 − 𝜕𝛽 𝐴𝛼(13-18)𝜕𝜕𝛼 ≡ 𝛼𝜕𝑥(13-19)と定義する。ここに，と表記している。𝐹𝛼𝛽 を行列表示すると，
0⎛−𝐸𝑥 /𝑐𝐹𝛼𝛽 = ⎜
−𝐸𝑦 /𝑐
−𝐸 /𝑐
⎝ 𝑧

𝐸𝑥 /𝑐
0
𝐵𝑧
−𝐵𝑦

𝐸𝑦 /𝑐
−𝐵𝑧
0
𝐵𝑥

𝐸𝑧 /𝑐
𝐵𝑦 ⎞
−𝐵𝑥 ⎟
0
⎠

(13-20)となる。このとき，マクスウェル方程式は，
𝜕𝛼 𝐹𝛽𝛾 + 𝜕𝛽 𝐹𝛾𝛼 + 𝜕𝛾 𝐹𝛼𝛽 = 0
𝜕𝛼 𝐹

𝛼𝛽

= 𝜇0 𝐽

𝛽(13-21)(13-22)と書くことができる。ここに，𝐽𝛼 = (𝑐𝑐, 𝐉) で，４元電流密度である。

次に，ローレンツ変換と電磁場の変換性を調べるため，例として，前節の慣性系S, S′間の変換(z方向への速度 𝛽𝛽 でのブースト)を考える。２階テンソルの変換性から，

𝐸𝑥′ = 𝛾�𝐸𝑥 − 𝛽𝛽𝐵𝑦 �

𝐸𝑦′ = 𝛾�𝐸𝑦 + 𝛽𝛽𝐵𝑥 �𝐸𝑧′ = 𝐸𝑧

𝐵𝑥′ = 𝛾(𝐵𝑥 + 𝛽𝐸𝑦 /𝑐)𝐵𝑦′ = 𝛾(𝐵𝑦 − 𝛽𝐸𝑥 /𝑐)
𝐵𝑧′ = 𝐵𝑧

(13-23)(13-24)となる。このことから，ブースト方向に対して横方向の電磁場が 𝛾 倍となることがわかる。また，
横方向電磁場がブーストによって混ざりあうことがわかる。

最後に，電磁場の変換性を円柱座標でも表しておく。直交座標 (𝑥, 𝑦, 𝑧) と円柱座標 (𝜌, 𝜙, 𝑧) の電磁場の関係は，

𝐸𝑥 = 𝐸𝜌 cos 𝜙 − 𝐸𝜙 sin 𝜙
𝐸𝑦 = 𝐸𝜌 sin 𝜙 + 𝐸𝜙 cos 𝜙
𝐸𝑧 = 𝐸𝑧

𝐵𝑥 = 𝐵𝜌 cos 𝜙 − 𝐵𝜙 sin 𝜙
𝐵𝑦 = 𝐵𝜌 sin 𝜙 + 𝐵𝜙 cos 𝜙
𝐵𝑧 = 𝐵𝑧(13-25)(13-26)である。これを使って (13-23) と (13-24) を書き換えると，
𝐸𝜌′ = 𝛾�𝐸𝜌 − 𝛽𝛽𝐵𝜙 �𝐸𝜙′ = 𝛾�𝐸𝜙 + 𝛽𝛽𝐵𝜌 �𝐸𝑧′ = 𝐸𝑧

𝐵𝜌′ = 𝛾�𝐵𝜌 + 𝛽𝛽𝜙 /𝑐�となる。

𝐵𝜙′ = 𝛾�𝐵𝜙 − 𝛽𝐸𝜌 /𝑐�
𝐵𝑧′ = 𝐵𝑧

(13-27)(13-28)13.3. 点電荷に付随する電磁場
等速で運動する点電荷に付随する電磁場について，自由空間に置かれた場合と完全導体の円筒内に置かれた場合についてまとめる。円筒内の電磁場については，簡単のため，無限に長い線電荷のつくる電場から始めて，その次に点電荷の場合を考えることとする。
13.3.1. 自由空間の電子に付随する電磁場
慣性系 S の原点に静止した電荷 𝑞 の点電荷が作る静電ポテンシャルは，円柱座標を使って𝑞Φ=(13-29)4𝜋𝜖0 �𝜌2 + 𝑧 2と書ける。したがって，電場は，𝜕Φ⎛ 𝜕𝜕 ⎞𝜌𝑞
1 𝜕Φ ⎟0�
𝐄 = −𝛁Φ = − ⎜=�⎜𝜌 𝜕𝜕 ⎟
3⎜
⎟ 4𝜋𝜖0 (𝜌2 + 𝑧 2 )2 𝑧𝜕Φ⎝ 𝜕𝜕 ⎠(13-30)となる。これを 𝑧 方向に速度 𝛽𝛽 で移動する慣性系 S’ から見る場合を考えると，
𝛾𝛾
𝑞
0�
𝐄’ =
�
3
2
2
2
4𝜋𝜖0 (𝜌 + 𝑧 ) 𝑧𝜌′(13-31)
𝛾𝛾
=
�
�
0
3
4𝜋𝜖0 �𝜌′ 2 + 𝛾 2 (𝑧 ′ + 𝛽𝛽𝑡 ′ )2 �2 𝑧′ + 𝛽𝛽𝛽′𝐁’ =に求めることができる。詳細は文献[1]に書かれて

0
�
3 1�
2
2
)
4𝜋𝜖0 𝑐(𝜌 + 𝑧 2 0−𝛽𝛽𝛽𝜇0 𝑞𝑞′−𝛽𝛽𝛽𝛽

いるので，ここでは結果だけ載せることとする。

0
=
�
3 1�
2
′
2
′
′
2
4𝜋�𝜌 + 𝛾 (𝑧 + 𝛽𝛽𝑡 ) �2 0

(13-32)が得られる。（𝐁′ の式で 𝑐 2 𝜖0 𝜇0 = 1 の関係を使った。) 静止している電荷のまわりに磁場はない
が，ブーストすると 𝜙 方向の磁場が出現すること が わ か る 。 そ し て ， こ の 電 磁 場 を S′ の( 𝜌′ = 𝑎, 𝑧′ = 0 ) に静止した観測者 ( 𝑎 は定数) が感じるとき，𝐸𝜌 (𝑎, 𝜙, 0) =𝛾𝛾𝛾

3(13-33)3(13-34)4𝜋𝜖0 [𝑎2 + (𝛽𝛽𝛽𝑡 ′ )2 ]2𝐵𝜙 (𝑎, 𝜙, 0) =𝛽𝛽𝛽𝜇0 𝑞𝑞

4𝜋[𝑎2 + (𝛽𝛽𝑐𝑡 ′ )2 ]2となる。この式から，横方向電磁場が 𝛾 倍になることがわかる。また，この観測者が十分に大きな電磁場を感じる時間 Δ𝑡 は，
𝑎
Δ𝑡 ≈
𝛽𝛽𝛽

で，距離に換算すると，

𝑎Δ𝑧 = 𝛽𝛽Δ𝑡 ≈𝛾(13-35)(13-36)となる。このことから，ローレンツ収縮により電磁場を感じる時間や，電磁場の進行方向への広がりが 1/𝛾 に縮まっていることがわかる。この様子を図で表すと Fig. 75 のようなイメージになる。
1/𝛾

半径 𝑎 の完全導体円筒の中に，線電荷密度 𝜆の無限に長い線電荷が (𝜌 = 𝑏, 𝜙 = 0) に存在する場合を考える。このときの静電ポテンシャル Φ
は，

Φ=−

𝜆
[ln(𝑏 2 𝜌2 − 2𝑏 3 𝜌 cos 𝜙 + 𝑏 4 )
4𝜋𝜖0
2 2

2

− ln(𝑏 𝜌 − 2𝑎 𝑏𝑏 cos 𝜙 + 𝑎4 )](13-37)となる。このとき，円筒表面での電荷 𝜎 は，𝜕Φ�𝜕𝜕 𝜌=𝑎𝜆𝑎2 − 𝑏2=−⋅ 22𝜋𝜋 𝑎 − 2𝑎𝑎 cos 𝜙 + 𝑏 2

𝜎 = 𝜖0(13-38)となる。また，このときの電場は，
𝐸𝜌 = −𝜕Φ𝜕𝜕

=𝑎2 − 𝑏2𝜆⋅ 22𝜋𝜖0 𝜌 − 2𝑏𝑏 cos 𝜙 + 𝑏 2⋅(𝑎2 + 𝑏 2 )𝜌 − 𝑏(𝜌2 + 𝑎2 ) cos 𝜙𝑏 2 𝜌2 − 2𝑎2 𝑏𝑏 cos 𝜙 + 𝑎4𝜕Φ𝜕𝜕
𝜆𝑎2 − 𝑏2=⋅ 22𝜋𝜖0 𝜌 − 2𝑏𝑏 cos 𝜙 + 𝑏 2
𝑏(𝑎2 − 𝜌2 ) sin 𝜙⋅ 2 2𝑏 𝜌 − 2𝑎2 𝑏𝑏 cos 𝜙 + 𝑎4

𝐸𝜙 = −

𝐸𝑧 = −(13-39)𝜕Φ=0𝜕𝜕と書ける。また，フーリエ級数の公式
𝛽𝛽Fig. 75： 電磁場のローレンツ収縮。
13.3.2. 完全導体円筒内の線電荷に付随する電場
無限に長い線電荷が完全導体円筒内に置かれたときに生じる電場は鏡像法を用いて比較的簡単∞

1 + 2 � 𝑎𝑛 cos 𝑛𝑛 =𝑛=1を使うと，(13-38) は

1 − 𝑎2
1 − 2𝑎 cos 𝑥 + 𝑎2

∞

𝜆
𝑏 𝑛
𝜎=−
�1 + 2 � � � cos 𝑛𝑛�
2𝜋𝜋
𝑎
𝑛=1

と書きなおすこともできる。

(13-40)(13-41)

13.3.3. 完全導体円筒内の点電荷に付随する電磁場
円筒内の点電荷の問題はかなり複雑となるので，原点で発散する 𝐾0 の寄与が無くなり，𝐵 = 0 となる。次に，𝑍 については解が三角関数になることは明らかである。また Φ𝑆 は 𝑧 に関して偶関

原点に点電荷がある場合について導出し，原点か数になるべきなので，sin の項が消えて cos だけ

ら離れた場合は結果だけ載せることとする。詳細が残り，は文献[32]を参照するとよい。
半径 𝑎 の完全導体円筒の原点に点電荷 𝑞 がある場合を考える。導体上の静電ポテンシャルは0 とする。円筒内の静電ポテンシャル Φ は，点電荷によるもの Φ0 と導体表面に引き寄せられた電荷によるもの Φ𝑆 の重ね合わせとなり，
Φ = Φ0 + Φ𝑆

Φ0 =

𝑞

4𝜋𝜖0 �𝜌2 + 𝑧 2(13-42)(13-43)と書き表すことができる。Φ𝑆 についてはこの時点では詳しい関数形がわからないが，静電ポテン
シャルの要請からラプラス方程式
2∇ Φ𝑆 = 0(13-44)を満たさなければならない。これを変数分離して解くことを考える。系の対称性から Φ𝑆 は 𝜙 に(13-45)と書ける。これをラプラス方程式に代入して整理すると，
1 ∂2 𝑅
1 𝜕𝜕 1 𝜕 2 𝑍++=0
𝑅 𝜕𝜌2 𝜌𝜌 𝜕𝜕 𝑍 𝜕𝑧 2

(13-46)

いかなる (𝜌, 𝑧) に対しても上式は常に成り立つ

ので，𝑅 の項と 𝑍 の項はそれぞれ定数となり，∂2 𝑅 1 𝜕𝜕+− 𝜆2 𝑅 = 0𝜕𝜌2 𝜌 𝜕𝜕𝜕2𝑍
+ 𝜆2 𝑍 = 0
𝜕𝑧 2(13-47)(13-48)とすることができる (𝜆 は定数)。第 1 式は変形されたベッセル微分方程式で，その解は𝑅 = 𝐴𝐼0 (𝜆𝜆) + 𝐵𝐾0 (𝜆𝜆)(13-49)である。ここに，𝐴, 𝐵 は定数で，𝐼0 , 𝐾0 はそれぞれ，第 1 種，第 2 種の 0 次変形ベッセル関数である。ここで，Φ𝑆 は原点で有限の値となるので，(13-50)Φ𝑆 = 𝐴𝐴𝐼0 (𝜆𝜆) cos 𝜆𝜆(13-51)となる。したがって，となることがわかる。いま，𝜆 は任意の定数なので，実際の Φ𝑆 の係数は 𝜆 に依存し，その係数を 𝑓(𝜆) と表すと，∞

Φ𝑆 = � 𝑓(𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆) cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑0のように積分形で書くのが正しい。

(13-52)

さて，Φ0 は，変形ベッセル関数の公式∞

𝜋12 √𝑎2 + 𝑏 2(13-53)∞𝑞�𝐾 (𝜆𝜆) cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑
2𝜋 2 𝜖0 0 0(13-54)

� 𝐾0 (𝑎𝑎) cos 𝑏𝑏 𝑑𝑑 =
0

を使って，
Φ0 =

よらないので，

Φ𝑆 = 𝑅(𝜌)𝑍(𝑧)𝑍 = 𝐶 cos 𝜆𝜆と書きかえることができる。したがって，Φ は，∞𝑞Φ = � � 2 𝐾0 (𝜆𝜆)2𝜋 𝜖00+ 𝑓(𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆)� cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑(13-55)となる。いま，𝜌 = 𝑎 において Φ = 0 なので，𝑞
𝐾 (𝜆𝜆) + 𝑓(𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆) = 0(13-56)2𝜋 2 𝜖0 0
でなければならない。よって，𝑓(𝜆) は𝑓(𝜆) = −𝑞 𝐾0 (𝜆𝜆)2𝜋 2 𝜖0 𝐼0 (𝜆𝜆)(13-57)と求まった。改めて (13-55) を書き直すと，
Φ=
=

∞
𝑞
𝐾0 (𝜆𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆)��𝐾0 (𝜆𝜆) −� cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑
2𝜋 2 𝜖0 0
𝐼0 (𝜆𝜆)(13-58)∞1
2𝐾0 (𝜆𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆)𝑞�−�cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑�
𝜋𝐼0 (𝜆𝜆)4𝜋𝜖0 �𝜌2 + 𝑧 2
0(13-59)となる。このとき，円筒表面での電荷密度 𝜎 は，
𝜎 = 𝜖0𝜕Φ�𝜕𝜕 𝜌=𝑎∞𝜆𝐾0 (𝜆𝜆)𝐼1 (𝜆𝜆)𝑞� cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑= − 2 � �𝜆𝐾1 (𝜆𝜆) +𝐼0 (𝜆𝜆)2𝜋 0(13-60)のようになる。ここで，変形ベッセル関数の微分公式
𝐼0′ (𝑥) = 𝐼1 (𝑥)(13-61)𝐾0′ (𝑥) = −𝐾1 (𝑥)(13-62)を使った。さらに，変形ベッセル関数の公式
𝐼0 (𝑥)𝐾1 (𝑥) + 𝐼1 (𝑥)𝐾0 (𝑥) =

を使うと，

1
𝑥

∞
𝑞
cos 𝜆𝜆𝜎=− 2 �𝑑𝑑
2𝜋 𝑎 0 𝐼0 (𝜆𝜆)
𝑡𝑡
∞ cos
𝑞
𝑎 𝑑𝑑
= − 2 2�
2𝜋 𝑎 0 𝐼0 (𝑡)(13-63)(13-64)と変形できる。この積分は留数定理を用いて計算することができる。まず，下の積分を考える。
𝐼𝑇 ≡

𝑗𝑧𝑡
𝑒𝑎

1
�
𝑑𝑑
2𝜋𝜋 𝐷 𝐼0 (𝑡)(13-65)

ここに，𝑡 は複素数で，積分経路 𝐷 は，定数 𝑇 を用いて，実軸上を – 𝑇 から 𝑇 に向かって進み，

そこから半径 𝑇 の半円を描いて一周するものとする。𝑇 → ∞ のとき，半円部分の積分は指数関数で抑えられて 0 となるので，

𝑗𝑧𝑡

1
𝑒𝑎
𝐼 ≡ lim 𝐼𝑇 =
lim �
𝑑𝑑
𝑇→∞
2𝜋𝜋 𝑇→∞ 𝐷 𝐼0 (𝑡)
=

𝑗𝑧𝑡
∞
𝑒𝑎

1
�
𝑑𝑑
2𝜋𝜋 −∞ 𝐼0 (𝑡)𝑡 = 𝑗𝜅1 , 𝑗𝜅2 , ⋯の 𝜋𝜋 倍となる。このことは，三角関数やベッセ

ル関数の性質を考えれば容易にわかる。ここで，変形ベッセル関数の公式(13-67)(13-68)に存在する。ここに，ベッセル関数 𝐽0 (𝑥) が 0 になるときの 𝑥 （これを零点という）を小さいものから順に並べたものを 𝜅1 , 𝜅2 , ⋯ とした。したがって，留数定理から，
𝑗𝑧𝑡

𝑗𝑧𝑡

∞

1 ∞ 𝑒𝑎𝑒𝑎𝐼=�𝑑𝑑 = � Res
𝑡→𝑗𝜅𝑛 𝐼0 (𝑡)2𝜋𝜋 −∞ 𝐼0 (𝑡)
𝜅𝑛 𝑧

∞

𝑛=1
𝜅𝑛 𝑧

∞

𝑒− 𝑎
𝑒− 𝑎
=�
=�
𝐼′0 (𝑗𝜅𝑛 )
𝑗𝐽1 (𝜅𝑛 )𝑛=1

𝑛=1(13-69)となる。ここで，変形ベッセル関数の公式
𝐼0′ (𝑗𝑗) = 𝑗𝐽1 (𝑥)�𝑥 は実数�

(13-70)を使った。したがって，円筒表面の電荷密度は，𝑞
𝜎 = − 2 2 ⋅ 𝜋𝜋𝜋
2𝜋 𝑎
𝜅𝑛 𝑧
∞
(13-71)𝑞𝑒− 𝑎=−�(𝑧 ≥ 0)2
2𝜋𝑎𝐽1 (𝜅𝑛 )𝑛=1と求まった。このように，円筒表面の電荷密度は初等関数では表せず，無限級数の形となる。これをプロットすると，Fig. 76 のようになる。電荷の70%程度が入る範囲はおよそ |𝑧|/𝑎 < 0.66 である。電荷が z 軸方向に相対論的な速度で等速運動している場合は，この幅は 1/𝛾 に縮まる。

次に，円筒内の電場分布を求める。(13-59) を𝜌 と 𝑧 で微分すると，
𝐸𝜌 = −

𝜕Φ
𝑞
𝜌
=
�
3
𝜕𝜕 4𝜋𝜖0(𝜌2 + 𝑧 2 )2∞+�

(13-66)となる。この 𝐼 は，(13-64) に出てきた積分の値

𝐼0 (𝑗𝑗) = 𝐽0 (𝑥)を考えると，(13-66) の非積分関数の極は，0𝐸𝑧 = −𝜕Φ𝑞=�
𝜕𝜕 4𝜋𝜖0

2𝜆𝐾0 (𝜆𝜆)𝐼1 (𝜆𝜆)cos 𝜆𝜆 𝑑𝑑�
𝜋𝐼0 (𝜆𝜆)𝑧(13-72)3(𝜌2 + 𝑧 2 )2
∞

−�

0

2𝜆𝐾0 (𝜆𝜆)𝐼0 (𝜆𝜆)sin 𝜆𝜆 𝑑𝑑�
𝜋𝐼0 (𝜆𝜆)(13-73)

となる。また，これらの式は部分積分や留数定理を用いることによって変形でき，𝜅 𝜌∞
𝐽1 � 𝑛 � −𝜅𝑛 𝑧𝑞𝐸𝜌 =� 2 𝑎 𝑒 𝑎2𝜋𝜖0 𝑎2
𝐽1 (𝑘𝑛 )𝑛=1

𝜅 𝜌𝐽0 � 𝑛 � −𝜅𝑛𝑧𝑞𝐸𝑧 =
� 2 𝑎 𝑒 𝑎2𝜋𝜖0 𝑎2𝐽1 (𝜅𝑛 )∞𝑛=1と書き表すこともできる。

で，𝜅𝑚,𝑛 は 𝑚 次ベッセル関数の 𝑛 番目の零点である。ここで，表面電荷分布 (13-77) を 𝑧 で積分すると，(13-74)(13-75)∞𝜎𝜙 ≡ � 𝜎 𝑑𝑑
−∞

𝜅 𝑏
∞
∞
(13-79)𝐽𝑚 � 𝑚,𝑛 �𝑞𝑎=−
� 𝜀𝑚 cos 𝑚𝑚 �𝜋𝜋
𝜅𝑚,𝑛 𝐽𝑚+1 �𝜅𝑚,𝑛 �
𝑚=0

𝑛=1

となる。この式の 𝑛 に関する無限和は，∞�𝐽𝑚 �𝜅𝑚,𝑛 𝑥�

𝜅 𝐽
�𝜅 �
𝑛=1 𝑚,𝑛 𝑚+1 𝑚,𝑛

=

𝑥𝑚
2

(13-80)となる（数値計算による 1）。したがって，∞

𝑞𝑏 𝑚
𝜎𝜙 = −
�1 + 2 � � � cos 𝑚𝑚�
2𝜋𝜋
𝑎
𝑚=1

(13-81)が得られ，無限に長い線電荷の場合 (13-41) と一致することがわかる。

Fig. 76: 円筒内の点電荷が内面に誘起する電荷の分布。

14. 付録 2：RF 空胴の一般論と電子ビーム
が RF 空胴に誘起する電磁場
RF 共振空胴の一般論としてモードや Q 値などに最後に，点電荷 𝑞 が原点ではなく 𝜌 = 𝑏,

𝜙 = 0, 𝑧 = 0 にある場合の静電ポテンシャルと表面電荷分布について，結果だけ載せておく。
∞

𝑞Φ=� 𝜀𝑚 cos 𝑚𝑚
2𝜋𝜖0 𝑎𝑚=0𝜅 𝑏𝜅 𝜌𝐽𝑚 � 𝑚,𝑛 � 𝐽𝑚 � 𝑚,𝑛 � 𝜅𝑚,𝑛 |𝑧|
𝑎
𝑎
×�
𝑒− 𝑎
2
𝜅𝑚,𝑛 𝑌𝑚+1
�𝜅𝑚,𝑛 �
∞

𝜎=−

𝑛=1

ここに，

𝑚=0

𝜅 𝑏
𝐽𝑚 � 𝑚,𝑛 � 𝜅𝑚,𝑛 |𝑧|
𝑎
×�
𝑒− 𝑎
𝐽𝑚+1 �𝜅𝑚,𝑛 �∞の共振モードの電磁場と共振周波数を求める。最後に，空胴に電荷が通過した際に誘起する電磁場を求める。
14.1. RF 空胴のモードと電磁場の方程式(13-76)14.1.1. RF 空胴内の電磁場のモード
3 次元空間内にある連結した閉空間 𝑉 があるとする。この空間 𝑉 にて共振する電磁場のモード∞𝑞� 𝜀𝑚 cos 𝑚𝑚
2𝜋𝑎2

ついて述べたあと，ピルボックス空胴を例に実際(13-77)

𝐄𝑎 , 𝐁𝑎 を考える [33]。この 𝐄𝑎 , 𝐁𝑎 自体は時間に依存せず，かつ，divergence が 0 であるものとし，
rotation が以下の関係を満たすものとする。
𝛁 × 𝐄𝑎 = 𝑘𝑎 𝐁𝑎

𝑛=1𝜀𝑚 ≡ �

1 (𝑚 = 0)
2 (𝑚 > 0)(13-78)

𝛁 × 𝐁𝑎 = 𝑘𝑎 𝐄𝑎
1(14-1)(14-2)

筆者はこれを解析的に証明する文献を見つけられなかった。心当たりのある読者は筆者まで連絡いただけるとありがたい。

この式は，ベクトル微分の公式
𝛁 × 𝛁 × 𝐀 = 𝛁(𝛁 ⋅ 𝐀) − 𝛁 2 𝐀(14-3)∇2 𝐄𝑎 + 𝑘𝑎2 𝐄𝑎 = 0(14-4)を使って∇2 𝐁𝑎 + 𝑘𝑎2 𝐁𝑎 = 0(14-5)と書きなおすことができる。そして，𝑉 の表面
𝑆, 𝑆′ において以下の境界条件を満たすとする。
𝐧 × 𝐄𝑎 = 0 and 𝐧 ⋅ 𝐁𝑎 = 0 on S𝐧 ⋅ 𝐄𝑎 = 0 and 𝐧 × 𝐁𝑎 = 0 on S′(14-6)(14-7)

ここで，𝐧 は表面の法線ベクトルである。また，
� 𝐄𝑎2 𝑑𝑑 = 1
𝑉� 𝐁𝑎2 𝑑𝑑 = 1
𝑉(14-8)(14-9)と規格化されているものとする。このモードで励

𝐁 = 𝑔𝑎 (𝑡)𝐁𝑎(14-10)(14-11)と 書 く こ と が で き る 。 こ の 𝑓𝑎 (𝑡), 𝑔𝑎 (𝑡) は ，(14-8), (14-9) を使って，

𝑓𝑎 (𝑡) = � 𝐄 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑
𝑉𝑔𝑎 (𝑡) = � 𝐁 ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
𝑉と求められるものである。

(14-12)(14-13)14.1.2. 電磁場の rotation の準備
程式に代入するわけであるが，その前に，𝐄 と 𝐁の rotation についての準備をしておく。𝛁 × 𝐄 は

単純に，(14-14)としても間違いではないが，あとあとのために別の表記をしておく。まず，とおくと，

𝛁 × 𝐄 = 𝐹𝑎 𝐁𝑎𝛁 ⋅ [𝐄 × (𝛁 × 𝐄𝑎 )]= (𝛁 × 𝐄) ⋅ (𝛁 × 𝐄𝑎 ) − 𝐄 ⋅ (𝛁 × 𝛁 × 𝐄𝑎 )= 𝑘𝑎 𝐁𝑎 ⋅ (𝛁 × 𝐄) − 𝑘𝑎2 𝐄 ⋅ 𝐄𝑎

(14-17)とできることがわかる。この式を，以下の関係式

を使って変形すると，

𝐹𝑎 = 𝑘𝑎 � 𝐄 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 + � 𝛁 ⋅ (𝐄 × 𝐁𝑎 )𝑑𝑑
𝑉𝑉= 𝑘𝑎 𝑓𝑎 + � 𝐧 ⋅ (𝐄 × 𝐁𝑎 )𝑑𝑑
𝑆,𝑆 ′= 𝑘𝑎 𝑓𝑎 + �(𝐧 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
𝑆(14-18)となる。変形の途中で，ガウスの発散定理，ベク
トル積の公式𝐀 ⋅ (𝐁 × 𝐂) = 𝐁 ⋅ (𝐂 × 𝐀) = 𝐂 ⋅ (𝐀 × 𝐁)

(14-19)辺第 2 項の表面積分を導くことができる。この表
面積分は，𝐄 が (14-6) の境界条件を満たしていれば 0 であるが，有限の電気伝導率を持つ表面や空胴の入出力ポートを考えるときに境界条件を満たさない成分が出てくるので，そのような計算の際に重要となる。𝛁 × 𝐁 についても同様に，
𝛁 × 𝐁 = 𝐺𝑎 𝐄𝑎(14-20)𝐺𝑎 = 𝑘𝑎 𝑔𝑎 + � (𝐧 × 𝐁) ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑(14-21)

とおくと，

𝑆′

となる。

次節にて (14-10) と (14-11) をマクスウェル方𝛁 × 𝐄 = 𝑓𝑎 𝛁 × 𝐄𝑎 = 𝑘𝑎 𝑓𝑎 𝐁𝑎(14-16)

𝑉

および，(14-7) を使った。このように，(14-18) 右起された電磁場は，
𝐄 = 𝑓𝑎 (𝑡)𝐄𝑎

𝐹𝑎 = � (𝛁 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑(14-15)14.1.3. 電磁場の方程式
ここまでで示した RF 空胴の電磁場をマクスウェ
ル方程式に代入して電磁場の方程式を導く。
(14-10) をマクスウェル方程式
𝛁×𝐄+

∂𝐁
=0
∂𝑡

に代入して整理すると，(14-22)

𝑘𝑎 𝑓𝑎 𝐁𝑎 + 𝐁𝑎 �(𝐧 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑 + 𝑔̇ 𝑎 𝐁𝑎 = 0
𝑆(14-23)

となり，両辺に 𝐁𝑎 との内積をとって 𝑉 で積分
すると，

𝑘𝑎 𝑓𝑎 + �(𝐧 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑 + 𝑔̇ 𝑎 = 0𝑆が成り立つことがわかる。ここで，(14-24)𝑑𝑔𝑎𝑔̇ 𝑎 =
𝑑𝑑(14-25)1 ∂𝐄
𝛁×𝐁− 2= 𝜇0 𝐉c ∂𝑡(14-26)とした。次に，(14-11) をマクスウェル方程式に代入すると，𝑓𝑎̇𝑘𝑎 𝑔𝑎 𝐄𝑎 + 𝐄𝑎 � (𝐧 × 𝐁) ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 + 2 𝐄𝑎 = 𝜇0 𝐉𝑐
𝑆′(14-27)となり，両辺に 𝐄𝑎 との内積をとって 𝑉 で積分
すると，𝑘𝑎 𝑔𝑎 + � (𝐧 × 𝐁) ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 −𝑆′𝑓𝑎̇= 𝜇0 � 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑𝑐2
𝑉(14-28)が成り立つ。(14-24) と (14-28) を合わせると，

1𝑓̈ + 𝑘𝑎2 𝑓𝑎
𝑐2 𝑎𝑑= − �𝜇0 � 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 − � (𝐧 × 𝐁) ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑�
𝑑𝑑(14-29)𝑉𝑆′− �(𝐧 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
𝑆1𝑔̈ + 𝑘𝑎2 𝑔𝑎
𝑐2 𝑎−

失によって生じる Q 値について考える。
14.2.1. Q 値の定義
電磁場の方程式 (14-29), (14-30) は単振動の方程式であるし，本節では RF 電磁場を考えているので，各項の時間依存性は 𝑒 𝑗𝜔𝑡 の形になることと考えてよい。そこで，

𝑓𝑎 = 𝐸0 𝑒 𝑗𝜔𝑡(14-31)

𝑘𝑎 𝐸0 𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝑗𝑗

(14-32)とおき，時間の 1 階微分の項は天下り的にに従うものとする。このとき，(14-29) は，
�𝜔2 +

𝑘𝑎 𝑐
𝜔 + 𝑘𝑎2 𝑐 2 � 𝐸0 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 0
𝑄となる。これを満たす 𝜔 は，
𝜔 = ±𝑘𝑎 𝑐�1 −

1
𝑘𝑎 𝑐
+𝑗
2
4𝑄
2𝑄

1
𝜔𝑎
= ±𝜔𝑎 �1 − 2 + 𝑗
4𝑄
2𝑄(14-33)(14-34)である。ここで，𝜔𝑎 = 𝑘𝑎 𝑐と し た 。 こ の こ と か ら ， 𝑓𝑎𝜔𝑎 �1 − 1/4𝑄2(14-35)は周波数で振動しながら時定数 𝜔𝑎 /2𝑄 で減衰することがわかる。パワーで考えるときはこ= 𝑘𝑎 �𝜇0 � 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 − � (𝐧 × 𝐁) ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑�
𝑉について述べる。最後に，空胴壁面のジュール損𝑆′

1 𝑑
�(𝐧 × 𝐄) ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
𝑐 2 𝑑𝑑 𝑆(14-30)となる。これが RF 空胴の電磁場の方程式である。
これらは，単振動の方程式の右辺に励振や減衰のもととなる項がついた形となっている。
14.2. RF 空胴の Q 値
RF 空胴の Q 値の定義について簡単に述べたあと，内部 Q 値 𝑄0 ，外部 Q 値 𝑄ext ，負荷 Q 値 𝑄L についてまとめる。その後，ある初期条件で減衰振動する際に入出力ポートから出て行く RF パワーの 2 乗になるので，時定数は 𝜔𝑎 /𝑄 となる。ここに出てきた 𝑄 が Q 値の定義である。Q 値の意味

としては，何らかの損失によって RF 空胴内のパワーが減衰するとき，そのパワーが 1/𝑒 になるまでに振動の位相が 𝑄 ラジアン回ることができる，という解釈ができる。また，蓄積エネルギー𝑈 に 𝜔𝑎 をかけた値を単位時間あたりの損失エネルギー 𝑃 で割ったものが Q 値である，という解釈もできる。すなわち，が成り立つ。

𝑄=

𝜔𝑎 𝑈
𝑃(14-36)

14.2.2. Q 値の種類
RF 空胴の損失のうち，表面でのジュール損失などによって空胴内で消費される損失パワーに関する Q 値を内部 Q 値と呼び，𝑄0 と表す。また，
RF 空胴に取り付けられた入出力ポートから出て行くパワーに関する Q 値を外部 Q 値と呼び，𝑄extと表す。また，RF 空胴の全損失パワーに関するQ 値を負荷 Q 値と呼び，𝑄L と表す。1 ポート空胴の場合，これらの Q 値の間に
1
1
1
=
+
𝑄L 𝑄0 𝑄ext

(14-37)が成り立つ。この式は，損失パワーが 1/𝑄 に比例することから理解することができる。また，𝑁

ポート空胴では各ポートの外部 Q 値を 𝑄ext,𝑛 と

すると，

𝑁

1
1
1
=
+�
𝑄L 𝑄0
𝑄ext,𝑛𝑛=1(14-38)となる。このように，Q 値の便利なところとして，損失の要因はいろいろあっても，空胴内の電磁場への影響はそれぞれの要因ごとの Q 値によってのようになる。したがって，入出力ポートから取り出されるパワーのピークは，𝑡 = 0 として，ごとにすべて値が異なるので，異なるモードを考

と求まる。

𝜔𝑎 𝑈
𝑄ext

(14-39)である。初期条件として空胴にエネルギー 𝑈0 が蓄積されている状態から減衰振動する場合，𝑃ext
は，𝑃ext (𝑡) =𝑎𝑡𝜔𝑎 𝑈0 −𝜔𝑒 𝑄𝐿
𝑄ext

(14-40)となる。この入出力ポートが特性インピーダンス
𝑍0 の伝送線路につながっている場合，得られる
電圧 𝑉 は，𝑉(𝑡) = �𝑍0 𝑃ext

𝜔𝑎𝜔𝑎 𝑈0 𝑍0 −2𝑄𝑡(𝑡) = �𝑒 𝐿𝑄ext

(14-41)

𝜔𝑎 𝑈0 𝑍0
𝑄ext

(14-43)

RF 空胴が電気伝導率 𝜎 の金属でできているとする。このとき，表面付近の電場は表面にほぼ垂直だがわずかに平行な成分ができるため，これがジュール損失を生じさせることとなる。本節ではまず，金属表面での電場の振る舞いを考え，ジュール損失に伴う Q 値を導く。
z 方向に進む 𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝑘𝑧 に比例した電磁波を考え，金属表面に垂直に照射されていることとする。金属では，オームの法則から，
𝐉 = 𝜎𝐄(14-44)

𝛁 × 𝐄 + 𝑗𝑗𝐁 = 0(14-45)の電流が生じる。このとき，𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝑘𝑧 に比例した
RF 電磁場のマクスウェル方程式を考えると，
𝛁 × 𝐁 − (𝜇𝜇 + 𝑗𝑗𝑗𝑗)𝐄 = 0

14.2.3. 入出力ポートから出て行く RF パワー

𝑃ext =

𝑉(0) = �

14.2.4. 空胴内壁のジュール損失の例

えるときには注意が必要である。

入出力ポートから出て行く RF パワー 𝑃ext は，Q値の定義式 (14-36) から，(14-42)となり，ピーク電圧は，

簡単に表現できたり，損失要因ごとの比較ができたりすることが挙げられる。なお，Q 値はモード

𝜔𝑎 𝑈0
𝑄ext

𝑃ext (0) =(14-46)が成り立つ。(14-3) を使ってこれらの式を合わせると，
𝛁 𝟐 𝐁 + (𝜔2 𝜖𝜖 − 𝑗𝑗𝑗𝑗)𝐁 = 0(14-47)𝑘 = �𝑗𝑗𝑗𝑗 − 𝜔 2 𝜖𝜖(14-48)𝜔𝜔𝜔𝑘 ≃ �𝑗𝑗𝑗𝑗 = (1 + 𝑗)�
2(14-49)∂ 𝐸𝑥−𝐵𝑦
�𝐸 � = 𝑗𝑗 �
�
𝐵𝑥
𝜕𝜕 𝑦

(14-50)となる。このことから，となることがわかる。𝜎 が十分に大きい場合，平方根内の第 2 項を無視して，と近似できる。(14-45) より，

であるが，𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 は 𝑒 𝑗𝜔𝑡−𝑘𝑧 に比例するため，

(14-50) の左辺は，∂ 𝐸𝑥𝐸𝑥� � = −𝑘 �𝐸 �𝜕𝜕 𝐸𝑦𝑦

呼ばれる量で，(14-51)となる。したがって，金属表面に平行な電磁場には，
𝑗𝑗 −𝐵𝑦𝐸𝑥�𝐸 � = − �
�
𝑘 𝐵𝑥
𝑦

すなわち，
𝐄=−

𝑗𝑗
𝜔
𝐧 × 𝐁 = (1 + 𝑗)�
𝐁×𝐧
𝑘
2𝜇𝜇

(14-52)(14-53)係式である。
次に，RF 空胴内の電磁場を考えるため，(14-53)
を (14-30) の 𝑆 での面積分に代入する。
（右辺の他の項は考えないので 0 とする。）すると，
1𝑔̈ + 𝑘𝑎2 𝑔𝑎
𝑐2 𝑎である。ここで求めた Q 値は空胴自体が消費する
14.2.5. その他の損失要因
前節に述べたもの以外にも，空胴内の媒質による損失や，入出力ポートからの損失など様々なものが考えられる。ここでは詳しくは立ち入らないが，これらの要因による Q 値は (14-29)，(14-30)の右辺を適宜考慮して方程式を解くと求めることができる。
14.3. ピルボックス空胴の共振モード
RF 空胴の実例として，金属製のピルボックス空
程式を (14-6) の境界条件のもとに解き，共振モ

1 + 𝑗 𝜔𝑎 𝑑=− 2 �
�𝐁 ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
2𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝑆𝑐(14-54)

𝐀 × (𝐁 × 𝐂) = (𝐀 ⋅ 𝐂)𝐁 − (𝐀 ⋅ 𝐁)𝐂を使った。さらに変形すると，ードを求める。ピルボックスの半径を 𝑏，高さを𝐿 とする。高さ方向の境界は 𝑧 = 0, 𝐿 にあるものとする。

14.3.1. 電場の方程式と変数分離
円柱座標において (14-4) を書き下すと，

1 + 𝑗 𝜔𝑎𝑔 ̇ �|𝐁 |2 𝑑𝑑�𝑐2
2𝜇𝜇 𝑎 𝑆 𝑎となる。なお，この途中でベクトル積の公式(14-55)𝜔𝑎𝑔 ̇ �|𝐁 |2 𝑑𝑑 + 𝜔𝑎2 𝑔𝑎 = 0𝑔̈ 𝑎 + (1 + 𝑗)�
2𝜇𝜇 𝑎 𝑆 𝑎

(14-56)となる。これを解いて複素周波数 𝜔 を求めると，
Q 値は，(14-58)胴（円筒空胴）をとりあげ，(14-4)，(14-5) の方

1 + 𝑗 𝜔𝑎 𝑑
��𝐧 × (𝐁 × 𝐧)� ⋅ 𝐁𝑎 𝑑𝑑
�2𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝑆
𝑐2

=−

2
𝜇𝜇𝜇

パワーなので，内部 Q 値に相当するものである。

が成り立つ。これが金属表面に平行な電磁場の関

=−

𝛿=�

∂2 𝐄𝑎 1 𝜕𝐄𝑎 1 𝜕𝐄𝑎 𝜕 2 𝐄𝑎+++
+ 𝑘𝑎2 𝐄𝑎 = 0∂𝜌2 𝜌 𝜕𝜕 𝜌2 𝜕𝜕𝜕𝑧 2(14-59)となる。ここで 𝐄𝑎 の各成分を𝐸𝑖 = 𝑅𝑖 (𝜌)Φ𝑖 (𝜙)𝑍𝑖 (𝑧)と変数分離すると，と求まる。ここに，𝛿 は表皮深さ (skin depth) と(14-60)

1 𝜕𝑅𝑖
1 𝜕 2 Φ𝑖 1 𝜕 2 𝑍𝑖
1 ∂2 𝑅𝑖++++ 𝑘𝑎2 = 0𝑅𝑖 ∂𝜌2 𝜌𝑅𝑖 𝜕𝜕 𝜌2 Φ𝑖 𝜕𝜙 2 𝑍𝑖 𝜕𝑧 2
(14-61)となる。これが常に成り立つので、各変数の項は定数にならなければならない。そこで，
1 𝜕 2 Φ𝑖= −𝑛2
Φ𝑖 𝜕𝜙 21
𝛿
1 2Im(𝜔)=≃��|𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑 = �|𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑𝜔𝑎
2𝜇𝜇𝜔𝑎 𝑆
2 𝑆
𝑄

(14-57)𝑖 = 𝜌, 𝜙, 𝑧とおくと，

1 𝜕 2 𝑍𝑖
= −𝑘𝑙2𝑍𝑖 𝜕𝑧 2

(14-62)(14-63)∂2 𝑅𝑖1
𝜕𝑅𝑖
2 ∂𝜌 2 +222
𝑘𝑎 − 𝑘𝑙�𝑘𝑎 − 𝑘𝑙 �𝜌 𝜕𝜕1+ �1 −となる。さらに，

とおくと，

𝑛2

𝜌2 �𝑘𝑎2 − 𝑘𝑙 2 �� 𝑅𝑖 = 0𝑘 2 = 𝑘𝑎2 − 𝑘𝑙2

2(14-64)(14-65)
2

∂ 𝑅𝑖
1 𝜕𝑅𝑖
𝑛
+
+ �1 −
� 𝑅 = 0 (14-66)
2(𝑘𝑘)2 𝑖𝜕(𝑘𝑘)𝑘𝑘 𝜕(𝑘𝑘)となり，これはベッセルの微分方程式なので，この解はベッセル関数を使って，
𝑅𝑖 (𝜌) = 𝐴𝑖,𝑛 𝐽𝑛 (𝑘𝑘)(14-67)と表すことができる。ここに，𝐴𝑖,𝑛 は定数である。
なお，今回は原点にて有限の値をとる必要がある

ので，第 1 種ベッセル関数のみで表した。また，

𝑘𝑎2 = �の関係が得られる。

𝑍𝑖 (𝑧) = 𝐹𝑖,𝑙 cos 𝑘𝑙 𝑧 + 𝐺𝑖,𝑙 sin 𝑘𝑙 𝑧

(14-68)(14-69)となる。ここに，𝐶𝑖,𝑛 , 𝐷𝑖,𝑛 , 𝐹𝑖,𝑙 , 𝐺𝑖,𝑙 は定数である。

Φ𝑖 は 2𝜋 ごとの周期性がなければならないので，𝑛 は整数である。

14.3.2. 境界条件の適用
ここから，(14-6) の境界条件を使って各種定数を決定していく。まず，𝜌 = 𝑏 にて，𝐸𝜙 = 𝐸𝑧 = 0 な
ので，𝐽𝑛 (𝑘𝑘) = 0 でなければならない。したがって，𝑛 次ベッセル関数の 𝑚 番目の零点（𝜌 > 0）を 𝜅𝑛,𝑚 とおくと，

𝜅𝑛,𝑚
𝑘=
𝑏

(14-70)𝐹𝜌,𝑙 = 𝐹𝜙,𝑙 = 0(14-71)となる。次に，𝑧 = 0, 𝐿 にて，𝐸𝜌 = 𝐸𝜙 = 0 なの
で，

𝑘𝑙 =

𝑙𝑙
𝐿

(14-72)となり，𝑙 は整数である。また，(14-65) より，(14-73)14.3.3. TM モードの解
ここで，𝐸𝑧 が有限の値をとる場合について考える。まず，𝐄𝑎 は divergence が 0 なので，𝛁 ⋅ 𝐄𝑎 = 𝛁𝑡 ⋅ 𝐄𝑡 +

𝜕𝐸𝑧
=0
𝜕𝜕

(14-74)である。ここに，𝛁𝑡 , 𝐄𝑡 はそれぞれ 𝜌, 𝜙 に関するベクトル微分演算子と電場ベクトルである。この式の 𝛁𝑡 に関する gradient をとると，
𝛁𝑡2 𝐄𝑡 +𝜕𝛁𝐸 =0𝜕𝜕 𝑡 𝑧(14-75)となる。これを 𝐄𝑡 についての (14-4) に代入す

ると，

−

𝜕
𝜕 2 𝐄𝑡𝛁𝑡 𝐸𝑧 +
+ 𝑘𝑎2 𝐄𝑡 = 0
𝜕𝜕
𝜕𝑧 2

𝐄𝑡 =

𝛁𝐸 =
𝛁𝐸
𝑘𝑎2 − 𝑘𝑙2 𝜕𝜕 𝑡 𝑧 𝑘 2 𝜕𝜕 𝑡 𝑧(14-62), (14-63) より，
Φ𝑖 (𝜙) = 𝐶𝑖,𝑛 cos 𝑛𝑛 + 𝐷𝑖,𝑛 sin 𝑛𝑛

𝜅𝑛,𝑚 2𝑙𝑙 2
� +� �
𝑏𝐿(14-76)が得られる。さらに，(14-63)，(14-65) を使うと，
1

𝜕

1 𝜕

(14-77)という 𝐸𝑧 から 𝐄𝑡 を求める式が得られた。いま，𝐄𝑡 の 𝑧 依存性は sin 的なので，(14-77) より 𝐸𝑧

については cos にならなければならない。したがって，𝐺𝑧,𝑙 = 0 である。また，Φ𝑧 については，z軸のまわりの回転でどちらかの項を消すことができる。𝑛 = 0 のときに有限の値を取れるよう，

cos の項を残して，𝐷𝑧,𝑛 = 0 とする。すると，𝐸𝑧 の最終形として，𝐸𝑧 = 𝛼𝑛,𝑚,𝑙 𝐽𝑛 �𝜅𝑛,𝑚𝑙𝜋𝜌� cos 𝑛𝑛 cos � 𝑧�𝑏𝐿

(14-78)が得られた（𝛼𝑛,𝑚,𝑙 は定数）。(14-77) から 𝐸𝜌 , 𝐸𝜙を求めると，

1 𝜕 2 𝐸𝑧𝑘 2 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑙𝑙(14-79)𝛼𝑛,𝑚,𝑙
𝜅𝑛,𝑚
𝑙𝑙
𝐿
′
=− 𝜅
𝐽𝑛 �
𝜌� cos 𝑛𝑛 sin � 𝑧�
𝑛,𝑚
𝑏
𝐿
𝑏

𝐸𝜌 =

1 𝜕 2 𝐸𝑧
𝑘 2 𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑙𝑙
𝛼𝑛,𝑚,𝑙 𝑛
𝐿 𝐽 �𝜅𝑛,𝑚 𝜌� sin 𝑛𝑛 sin �𝑙𝑙 𝑧�
=
𝑛
2
𝜅
𝑏
𝐿
� 𝑛,𝑚 � 𝜌𝑏
𝐸𝜙 =るので，TM モードのときと同様に cos の項を残すこととする。したがって，(14-80)となる。次に，(14-1) から 𝐁𝑎 を求めると，

1 1 ∂𝐸𝑧 ∂𝐸𝜙𝐵𝜌 = �
−�𝑘𝑎 𝜌 𝜕𝜕
∂𝑧

𝐵𝜙 =

2
𝜅
𝑙𝑙 2
𝛼𝑛,𝑚,𝑙 𝑛�� 𝑛,𝑚 � + � �𝐿𝑏(14-81)=−
𝜅𝑛,𝑚 2
�
� 𝜌
𝑏
𝜅𝑛,𝑚
𝑙𝑙
× 𝐽𝑛 �
𝜌� sin 𝑛𝑛 cos � 𝑧�𝑏
𝐿

1 ∂𝐸𝜌 ∂𝐸𝑧
�
−
�
𝑘𝑎 𝜕𝜕
∂𝜌

2
𝜅
𝑙𝑙 2
𝛼𝑛,𝑚,𝑙 �� 𝑛,𝑚 � + � �𝐿𝑏(14-82)
=−
𝜅𝑛,𝑚
𝑏
𝜅𝑛,𝑚
𝑙𝑙
′
× 𝐽𝑛 �
𝜌� cos 𝑛𝑛 cos � 𝑧�𝑏𝐿

1 1 ∂�𝜌𝐸𝜌 � 1 ∂𝐸𝜌
𝐵𝑧 = �
−�=0𝑘𝑎 𝜌 𝜕𝜕𝜌 ∂𝜙(14-83)𝑙𝑙
𝐵𝑧 = 𝛽𝑛,𝑚,𝑙 𝐽𝑛 (𝑘 ′ 𝜌) cos 𝑛𝑛 sin � 𝑧�𝐿の形になる（𝛽𝑛,𝑚,𝑙 は定数）。そして，(14-77) と同様の関係が磁場についても成り立つことが容易に示されるので，それを使うと，
1 𝜕 2 𝐵𝑧
𝑘 ′ 2 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑙𝑙
𝛽𝑛,𝑚,𝑙
𝐿 𝐽′ (𝑘 ′ 𝜌) cos 𝑛𝑛 cos �𝑙𝑙 𝑧�
=
𝑛
′
𝑘
𝐿
𝐵𝜌 =

(14-87)𝐽𝑛′ (𝑘 ′ 𝑏) = 0(14-88)が得られる。ここで，境界条件 (14-6) より 𝜌 = 𝑏
にて 𝐵𝜌 = 0 なので，′である。𝐽𝑛′ (𝜌) の 𝑚 番目の零点を 𝜅𝑛,𝑚
とおく

と，

𝑘′ =

いので，Transverse Magnetic Mode とよばれ，周波数は，(14-35)，(14-73) より，
𝑓𝑛,𝑚,𝑙 =

となる。

2

2
𝑘𝑎 𝑐
𝑐
𝜅
𝑙𝑙
�� 𝑛,𝑚 � + � �
=
2𝜋
2𝜋
𝑏
𝐿

(14-84)14.3.4. TE モードの解
次に，𝐸𝑧 = 0 の場合について考えたくなるが，これまでの電場の方程式に 𝐸𝑧 = 0 を適用するより磁場の方程式 (14-5) からスタートしたほうが解きやすいので，そうすることとする。手順としては，変数分離して各変数の一般解を求めるところまでは同じで，そのあとの境界条件が異なるだけである。まず，𝑧 = 0, 𝐿 にて，𝐵𝑧 = 0 なので，𝐵𝑧 の
𝑧 依存性は sin 的になる。また，𝜙 依存性については z 軸まわりの回転で sin 的か cos 的かを選べ(14-86)1 𝜕 2 𝐸𝑧𝑘 ′ 2 𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕𝑙𝑙
𝛽𝑛,𝑚,𝑙 𝑛
𝐿 𝐽 (𝑘 ′ 𝜌) sin 𝑛𝑛 cos �𝑙𝑙 𝑧�
=−
𝑛
2
′
𝐿
𝑘 𝜌
𝐵𝜙 =

が得られる。このモードは z 方向の磁場成分がな

TM𝑛,𝑚,𝑙 モードと表記される。このモードの共振(14-85)′𝜅𝑛,𝑚𝑏となる。したがって，𝑘𝑎 は，

2
′
𝜅𝑛,𝑚
𝑙𝑙 2
2
𝑘𝑎 = �
� +� �

𝑏𝐿(14-89)(14-90)となる。次に，(14-2) を使って電場を求めると，𝐸𝜌 =1 1 ∂𝐵𝑧 ∂𝐵𝜙�−�𝑘𝑎 𝜌 𝜕𝜕
∂𝑧
=−

2
𝜅′
𝑙𝑙 2
𝛽𝑛,𝑚,𝑙 𝑛�� 𝑛,𝑚 � + � �
𝐿
𝑏
2
′
𝜅𝑛,𝑚

�

𝑏

� 𝜌

′
𝜅𝑛,𝑚
𝑙𝑙
× 𝐽𝑛 �
𝜌� sin 𝑛𝑛 sin � 𝑧�𝑏
𝐿

(14-91)𝐸𝜙 ==−1 ∂𝐵𝜌 ∂𝐵𝑧
�
−
�
𝑘𝑎 𝜕𝜕
∂𝜌

ル微分方程式 (14-66) を使って 2 階微分を消去

2
𝜅′
� 𝑛,𝑚

𝛽𝑛,𝑚,𝑙 �

𝐸𝑧 =

𝑏

𝑙𝑙
� +� �
𝐿

′
𝜅𝑛,𝑚

𝑏

× 𝐽𝑛′ �を使って，[𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)]2 の項を消去し，さらにベッセ

2

′
𝜅𝑛,𝑚

𝑙𝑙
𝜌� cos 𝑛𝑛 sin � 𝑧�𝑏𝐿

1 1 ∂�𝜌𝐵𝜌 � 1 ∂𝐵𝜌�−
�=0𝑘𝑎 𝜌 𝜕𝜕𝜌 ∂𝜙

すると，(14-92)(14-93)が得られる。このモードは z 方向の電場が 0 なので，Transverse Electric Mode とよばれ，TE𝑛,𝑚,𝑙

モードと表記される。このモードの共振周波数
は，(14-35)，(14-90) より，
𝑓𝑛,𝑚,𝑙 =

となる。

2
𝑘𝑎 𝑐
𝑐
𝜅′
𝑙𝑙 2
�� 𝑛,𝑚 � + � �
=
2𝜋
2𝜋
𝑏
𝐿

(14-94)14.3.5. 規格化
最後に，TM, TE 各モードの規格化定数を求める。
なお，本節ではスペース節約のため，𝜅𝑛,𝑚 /𝑏, 𝑙𝑙/𝐿はそれぞれ，𝑘, 𝑘𝑙 と簡略化して表記する。

まず，TM モードの電場 (14-78)，(14-79)，(14-80)

について考える。これは，(14-8) より，

� |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉

2𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋𝑘𝑙2 𝑏 𝜌 𝑑 2
� � 2 2 [𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2
𝜀𝑛 𝑘 22𝑘 𝑑𝜌
0
1+ 𝐽𝑛 (𝑘𝑘) 𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)𝑘𝑘𝑙2 + 𝑘 2+
𝜌[𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 � 𝑑𝑑
𝑘𝑙2

(14-98)となる。ここで，被積分関数の第 1 項を部分積分
すると，𝐽𝑛 (𝑘𝑘) = 0 より，𝑏
𝜌 𝑑2
� 𝑑𝑑 � 2 2 [𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 �
2𝑘 𝑑𝜌
0
𝑏
𝑏
𝜌 𝑑
1 𝑑
2
[𝐽𝑛 (𝑘𝑘)] � − �[𝐽 (𝑘𝑘)]2 𝑑𝑑=� 2
2 𝑑𝑑 𝑛
2𝑘 𝑑𝑑
2𝑘
0
0
𝑏
1
= − � 𝐽𝑛 (𝑘𝑘) 𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)𝑑𝑑
0 𝑘(14-99)となるので，

� |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉

2𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋(𝑘 2 + 𝑘𝑙2 ) 𝑏� 𝜌[𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 𝑑𝑑
𝜀𝑛 𝑘 20(14-100)が得られる。ここで，ベッセル関数の直交性の公式，

1 = � |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑
𝑉
𝑏

2𝜋

𝐿

= � 𝑑𝑑 � 𝜌𝜌𝜌 � 𝑑𝑑 �𝐸𝜌2 + 𝐸𝜙2 + 𝐸𝑧2 �000(14-95)を満たさなければならない。この積分のうち，𝜙と 𝑧 に関するものは簡単にできて，
� |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉

2𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋𝑘𝑙2 𝑏� �𝜌[𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)]2
𝜀𝑛 𝑘 20𝑛2
𝑘2+ � 2 + 2 𝜌� [𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 � 𝑑𝑑𝑘 𝜌 𝑘𝑙(14-96)となる。ここに，𝜀𝑛 は (13-78) にて定義した値である。ここで，𝑑2[𝐽 (𝑘𝑘)]2 = 2𝑘 2 {[𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)]2 + 𝐽𝑛 (𝑘𝑘) 𝐽𝑛′′ (𝑘𝑘)}𝑑𝜌2 𝑛(14-97)𝑏� 𝜌𝐽𝑛 (𝑘𝑘) 𝐽𝑚 (𝑘𝑘)𝑑𝑑 = 𝛿𝑛𝑚0を使うと，規格化積分が
� |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑 =
𝑉

𝑏2 ′
2
�𝐽 �𝜅 ��2 𝑛 𝑛,𝑚(14-101)22𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝑏 2 𝐿(𝑘 2 + 𝑘𝑙2 )�𝐽𝑛′ �𝜅𝑛,𝑚 ��
2𝜀𝑛 𝑘 2
(14-102)と求まる。なお，𝛿𝑛𝑚 はクロネッカーのデルタで，
1 (𝑛 = 𝑚)
𝛿𝑛𝑚 = �0 (n ≠ m)である。したがって，規格化定数は，(14-103)

𝛼𝑛,𝑚,𝑙 = �=セル関数の直交性の式には別のものがあり，

2𝜀𝑛 𝑘 22

𝜋𝑏 2 𝐿(𝑘 2 + 𝑘𝑙2 )�𝐽𝑛′ �𝜅𝑛,𝑚 ��

𝜅𝑛,𝑚

2𝜀𝑛

𝑏 2 �𝐽𝑛′ �𝜅𝑛,𝑚 �� �

となる。

2

𝜅
𝑙𝑙
𝜋𝜋 �� 𝑛,𝑚 � + � � �
𝐿
𝑏
2

𝐿

1 = � |𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑 = � 𝑑𝑑 � 𝜌𝜌𝜌 � 𝑑𝑑 �𝐵𝜌2 + 𝐵𝜙2 �
𝑉

0

0

0

となるので，𝜙 と 𝑧 の積分を行うと，(14-105)2
𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋(𝑘 2 + 𝑘𝑙2 )� |𝐁𝑎 𝑑𝑑 =𝜀𝑛 𝑘 2𝑉(14-106)𝑏𝑛2
× � �𝜌[𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)]2 + 2 [𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 � 𝑑𝑑
𝑘 𝜌
0

|2

となる。電場の場合と同様に (14-66) と (14-97)を使って [𝐽𝑛′ (𝑘𝑘)]2 を消去し，計算を進めると，2𝛼𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋(𝑘 2 + 𝑘𝑙2 ) 𝑏� 𝜌[𝐽𝑛 (𝑘𝑘)]2 𝑑𝑑
� |𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑 =
2
𝜀
𝑘
𝑛
𝑉
0

(14-107)となり，電場の場合と一致する。

その次に，TE モードの磁場 (14-85)，(14-86)，(14-87) について考える。規格化積分の 𝜙 と 𝑧の積分を行うと，� |𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉

2𝛽𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋𝑘𝑙2𝑏� �𝜌[𝐽𝑛′ (𝑘 ′ 𝜌)]2
𝜀𝑛 𝑘 ′ 202𝑛2𝑘′+ � ′ 2 + 2 𝜌� [𝐽𝑛 (𝑘 ′ 𝜌)]2 � 𝑑𝑑𝑘 𝜌 𝑘𝑙(14-108)となる。これまでと同様に (14-66) と (14-97) を使って [𝐽𝑛′ (𝑘′𝜌)]2 を消去し，計算を進めると，
� |𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉22
𝛽𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋�𝑘 ′ + 𝑘𝑙2 �

𝜀𝑛 𝑘

′2

𝑏

� 𝜌[𝐽𝑛 (𝑘′𝜌)]2 𝑑𝑑
0

= 𝛿𝑛𝑚

2

′
(𝜅𝑛,𝑚
− 𝑛2 )𝑏 2
′ 2
2𝜅𝑛,𝑚

(14-110)2′
�𝐽𝑛 �𝜅𝑛,𝑚��を使うことができる。したがって，(14-83) について考える。(14-9) より，
2𝜋

0(14-104)

次に，TM モードの磁場 (14-81)，(14-82)，𝑏𝑏

� 𝜌𝐽𝑛 (𝑘′𝜌) 𝐽𝑚 (𝑘′𝜌)𝑑𝑑(14-109)となる。
（𝑘 と 𝑘 ′ の違いはあるが，部分積分なども適切に計算でき，余分な項はきれいに消えてくれる。）この形では (14-101) は使えないが，ベッ� |𝐁𝑎 |2 𝑑𝑑
𝑉

=

2

2

2

2
′
′
𝛽𝑛,𝑚,𝑙𝜋�𝜅𝑛,𝑚− 𝑛2 �𝑏 2 𝐿�𝑘 ′ + 𝑘𝑙2 ��𝐽𝑛 �𝜅𝑛,𝑚
��
′ 2𝑘′22𝜀𝑛 𝜅𝑛,𝑚が得られる。よって，規格化定数は，
𝛽𝑛,𝑚,𝑙 = �

=

′
𝜅𝑛,𝑚

(14-111)′ 2𝑘′22𝜀𝑛 𝜅𝑛,𝑚2′ 2 − 𝑛2 �𝑏 2 𝐿�𝑘 ′ 2 + 𝑘 2 ��𝐽 �𝜅 ′ ��𝜋�𝜅𝑛,𝑚
𝑛 𝑛,𝑚
𝑙
2

2𝜀𝑛

2
2
′ �� �
𝑏 2 �𝐽𝑛 �𝜅𝑛,𝑚𝜅′′ 2 − 𝑛2 �𝐿 �� 𝑛,𝑚 � + �𝑙𝑙 � �𝜋�𝜅𝑛,𝑚𝐿𝑏(14-112)となる。

最後に，TE モードの電場 (14-91)，(14-92)，(14-93) について考える。規格化積分の 𝜙 と 𝑧の積分を行うと，� |𝐄𝑎 |2 𝑑𝑑 =𝑉22
𝛽𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋𝑘𝑙2 �𝑘 ′ + 𝑘𝑙2 �𝑏𝜀𝑛 𝑘 ′ 2× � �𝜌[𝐽𝑛′ (𝑘 ′ 𝜌)]2 +
0

𝑛2

𝑘′2𝜌

[𝐽𝑛 (𝑘 ′ 𝜌)]2 � 𝑑𝑑

(14-113)となる。これまでと同様に (14-66) と (14-97) を使って [𝐽𝑛′ (𝑘′𝜌)]2 を消去し，計算を進めると，|2

� |𝐄𝑎 𝑑𝑑 =𝑉22
𝛽𝑛,𝑚,𝑙𝜋𝜋�𝑘 ′ + 𝑘𝑙2 �𝜀𝑛 𝑘 ′ 2𝑏� 𝜌[𝐽𝑛 (𝑘′𝜌)]2 𝑑𝑑
0(14-114)となり，磁場の場合と一致する。以上で，規格化定数が適切に求められたことがわかる。
14.4. 電子ビームが RF 空胴に誘起する電磁場
電子ビームが RF 空胴に誘起する電磁場を計算するため，空胴内の電磁場の方程式 (14-30) からス

タートし，簡単な場合の例を示す。そして，シャントインピーダンスを定義し，(14-30) を用いなくても済む方法について，解析的に解ける場合の例と，一般の空胴の場合での証明とを行う。
14.4.1. 誘起する電磁場とそのエネルギー その１

𝑔𝑎 (𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑎 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑎 𝑡 +胴に入るものとし，電荷が入るまでは空胴内にまったく電磁場がないとすると，

うな，電場強度が z に依存しない場合を考えることが多いので，ここでもそのような場合について考える。
電荷 𝑞 の点電荷が速度 𝛽𝛽 で z 方向に空胴を通過することを考える。このときの電流は，
𝐼 = � 𝐉𝑑𝑑 = 𝛽𝛽𝛽𝑉(14-116)となる。（ 𝐉 を直接表したければディラックのデz 成分を 𝐸𝑧0 とおくと，(14-115) の右辺の積分は，
� 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑 = 𝛽𝛽𝛽𝐸𝑧0
𝑉(14-117)となり，定数である。なお，TM010 モードのとき，𝜌 = 0 での 𝐸𝑧0 は，(14-78)，(14-104) より，
𝐸𝑧0 =

1

2
𝜅0,1 𝑐2(14-118)�
= 2
𝑏𝐽1 �𝜅0,1 � 𝜋𝜋 𝑏 𝜔𝑎 𝐽1 �𝜅0,1 � 𝜋𝜋�である。(14-115) は非斉次方程式なので，その一般解は，右辺が 0 の場合の一般解と (14-115) の特殊解との和となる。今回の場合，特殊解は定数解とするのが簡単で，
𝑔𝑎 (𝑡) =𝜇0 𝛽𝛽𝛽𝐸𝑧0 𝛽𝑞𝐸𝑧0
=
𝑘𝑎
𝜖0 𝜔𝑎

(14-119)となる。ここに，𝜔𝑎 は (14-35) に示された角周波数である。したがって，(14-115) の一般解は，(14-122)𝛽𝛽𝐸𝑧0(1 − cos 𝜔𝑎 𝑡)
𝜖0 𝜔𝑎(14-123)𝑔𝑎̇ (𝑡)𝛽𝛽𝛽𝐸𝑧0=−sin 𝜔𝑎 𝑡𝑘𝑎
𝜖0 𝜔𝑎(14-124)𝑔𝑎 (𝑡) =が得られる。また，(14-24) より，𝑓𝑎 (𝑡) = −となる。たとえば，空胴の厚さを 𝐿 とすると，電荷が通過した直後の 𝑓𝑎 , 𝑔𝑎 は，𝐿𝛽𝛽𝛽𝐸𝑧0𝜔𝑎 𝐿
𝑓𝑎 � � = −
sin
𝛽𝛽
𝜖0 𝜔𝑎
𝛽𝛽

𝐿
𝛽𝛽𝐸𝑧0
𝜔𝑎 𝐿
𝑔𝑎 � � =�1 − cos
�
𝛽𝛽
𝜖0 𝜔𝑎
𝛽𝛽

ルタ関数を使えばよいが，必要ないのでここには書かない。）また，電荷が通過する場所での 𝐄𝑎 の

𝛽𝛽𝐸𝑧0
, 𝐵=0
𝜖0 𝜔𝑎

となる。よって，を解けばよい。さて，加速器においてはピルボッ

クス空胴の TM010 モードや TM110 モードのよ(14-121)𝐴=−い。よって，(14-115)

𝑔𝑎 (0) = 𝑔𝑎̇ (0) = 0となるので，

み出すので，(14-30) の右辺第 1 項を考えればよ1𝑔̈ + 𝑘𝑎2 𝑔𝑎 = 𝑘𝑎 𝜇0 � 𝐉 ⋅ 𝐄𝑎 𝑑𝑑
𝑐2 𝑎𝑉(14-120)と表すことができる。ここで， 𝑡 = 0 で電荷が空電子ビームが空胴に誘起する電磁場を考える
際には，電子ビームが電流源となって電磁場を生

𝛽𝛽𝐸𝑧0
𝜖0 𝜔𝑎

(14-125)(14-126)となることがわかる。電荷の通過後は上式を初期条件として自由振動することとなる。

次に，空胴に蓄積されたエネルギーを求める。
電磁場のエネルギー 𝑈 は，

𝜖0 |𝐄|2 |𝐁|2
𝑈(𝑡) = � �
+
� 𝑑𝑑
2
2𝜇0
𝑉

なので，

𝜖0 |𝑓𝑎 𝐄|2 |𝑔𝑎 𝐁|2
𝑈(𝑡) = � �
+
� 𝑑𝑑
2
2𝜇0
𝑉
𝜖0 𝑓𝑎2 𝑔𝑎2
=�
+
�
2
2𝜇0
𝛽2 𝑐 2 𝑞2 (𝐸𝑧0 )2(1 − cos 𝜔𝑎 𝑡)=
𝜖0 𝜔𝑎2(14-127)(14-128)となる。電荷が空胴を通過した直後のエネルギーは，

𝐿
𝛽2 𝑐 2 𝑞2 (𝐸𝑧0 )2𝜔𝑎 𝐿𝑈� � =
�1 − cos
�
2
𝛽𝛽
𝜖0 𝜔𝑎
𝛽𝛽

と求まる。

(14-129)

14.4.2. シャントインピーダンスと電子ビームが誘起する電磁場との関係
前節では，(14 109) の右辺が単純だったため解析的に解くことができたが，実際の空胴にはビームパイプなどがついているので解析的に解くことが非常に困難である。RF 電磁場シミュレーション

にて得られる 𝐄𝑎 をもとに (14-115) の微分方程

式を数値的に解いてもよいが，毎回微分方程式を解くのも不便である。そこで，シャントインピー
ダンスという量を導入し，電子ビームが誘起する
電磁場を簡便に計算する方法について述べる。

シャントインピーダンス 𝑅sh とは，電磁場エネ

ルギー 𝑈 ′ が蓄積された空胴にて，失われるパワ

ー 𝑃loss と，電子ビームの軌跡に沿った加速電場の積分の最大値 𝑉peak との間の比例係数，という形で定義する。したがって，ここからは空胴にエネルギー損失があることを想定する。このことを数式で表すと，
𝑅sh =大値をとる位相での値となるので，
𝐿
2𝛽𝑐

𝑉peak = �

𝐿
2𝛽𝑐

−

𝐸0 𝐸𝑧0 𝛽𝛽 cos 𝜔𝑎 𝑡 𝑑𝑑

2𝐸0 𝐸𝑧0 𝛽𝛽
𝜔𝑎 𝐿
=
sin
𝜔𝑎
2𝛽𝛽

(14-133)と求められる。ここに，𝐸0 は電場の振幅を表す定数である。次に，空胴内電磁場のエネルギーを求める。定在波空胴では電場が最大のとき磁場が0 になるので，空胴内のエネルギーは，
𝜖0 |𝑬|2
𝜖0 𝐸02𝑑𝑑 =2
2𝑉𝑈′ = �

(14-134)となる。したがって，シャントインピーダンスは，
𝑅sh =

2
𝑉peak
𝑄

𝜔𝑎 𝑈

=
′

8𝑄𝛽2 𝑐 2 (𝐸𝑧0 )2 2 𝜔𝑎 𝐿
sin
2𝛽𝛽
𝜖0 𝜔𝑎3(14-135)

𝜔𝑎 𝑅sh 2
𝑞
4 𝑄(14-136)となる。これを使って，(14-129) を書き直すと，𝑈=という関係が得られる。この関係は後述するように一般の空胴でも成り立つので，実際の空胴にて

2
𝑉peak

𝑃loss

𝑉peak = max � 𝐄 ⋅ 𝑑𝐬
𝑃loss =

ームが空胴の中心を通過する瞬間に RF 電場が最

𝜔𝑎 𝑈
𝑄

′

(14-130)(14-131)(14-132)となる。ここで，𝑉peak の積分の際には，電子ビームの飛行中に RF 電場 𝐄 の位相が進むことも考慮に入れておく必要があることに注意しなけ
ればならない。また，ここでの電磁場エネルギーは電子ビームが誘起したエネルギーとは別のものなので 𝑈 ′ と表記を変えた。このシャントイン

ピーダンスは，解析的に求めてもよいし，電磁場シミュレーションで得られた結果から数値的に求めてもよい。
解析的に計算できるものの一例として，前節のピルボックス空胴の場合についてシャントイン
ピーダンスを算出する。まず，𝑉peak は，電子ビ

電子ビームが空胴に誘起する RF パワーを求める際に便利である。とくに，𝑅sh /𝑄 という値は規格
化シャントインピーダンスとも呼ばれ，
2
𝑅sh 𝑉peak=𝑄𝜔𝑎 𝑈 ′(14-137)と表される。このように，𝑅sh /𝑄 は空胴の損失の大小に関係なく形状だけで決まるもので，また，右辺の各パラメータは電磁場シミュレーション
で容易に得られるもののみで表されている。したがって，空胴の設計の際や電子ビームと空胴の相互作用を考える際に重要なパラメータである。
最後に，一般の空胴で (14-136) が成り立つことを示す。まず仮定として，点電荷 𝑞 が z 方向に速度 𝛽𝛽 で進むものとし，𝐄𝑎 の z 軸の原点は，∞

𝑉peak = � 𝐄 ⋅ 𝑑𝐬 = � 𝐸0 𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝛽)𝛽𝛽 cos 𝜔𝑎 𝑡 𝑑𝑑−∞

(14-138)が適切な 𝑉peak を与えるように合わされているものとする。ここに，𝐸0 は電場の振幅を表す係とならなければならない。この極限の中の関数を数で，𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝛽) はビーム軌道に沿った 𝐄𝑎 の z 成

ラプラス変換すると，となる。なお，(14-35) を使って 𝑘𝑎 を消去してとなる。ラプラス変換の最終値定理より，分を表す。このとき，(14-115) は，𝑔̈ 𝑎 + 𝜔𝑎2 𝑔𝑎 = 𝜔𝑎 𝜇0 𝛽𝑐 2 𝑞𝐸0 𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝛽)(14-139)いる。この方程式をラプラス変換法にて解くこととする。ラプラス変換の各種定理や公式は示さずに使うので公式集などを参照されたい。また，通常のラプラス変換は時間 0 から∞までの積分で表されるが，今回の問題では 𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝛽) は±∞の極限

で指数関数的に十分に小さくなると考えられる
ため，ラプラス変換が時間－∞から＋∞までの積分でも収束すると仮定して，∞

𝑓̃(𝑠) = � 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑑−∞ということで進めていくことにする。

(14-140)𝐸0𝑠 − 𝑗𝜔𝑎𝑠 + 𝑗𝜔𝑎�𝐸�𝑧 �
� − 𝐸�𝑧 �
��
2𝑗𝑗
𝛽𝛽
𝛽𝛽

𝑑𝑑(𝑡, 0)�𝑡→∞𝑑𝑑 𝜃=0𝐸0𝑠 − 𝑗𝜔𝑎𝑠 + 𝑗𝜔𝑎= lim �𝐸�𝑧 �� − 𝐸�𝑧 ��� (14-147)
𝑠→0 2𝑗
𝛽𝛽
𝛽𝛽
−𝑗𝜔𝑎
𝑗𝜔𝑎
= 𝐸�𝑧 �� − 𝐸�𝑧 �
�=0
𝛽𝛽
𝛽𝛽
lim

となるので，
𝐸�𝑧 �

−𝑗𝜔𝑎
𝑗𝜔𝑎
� = 𝐸�𝑧 �
�
𝛽𝛽𝛽𝛽(14-148)𝑗𝜔𝑎
�
𝛽𝛽(14-149)を満たすことがわかる。したがって，
𝑉peak = 𝐸0 𝐸�𝑧 �

まず，となる。いま，空胴内の電磁場エネルギーは，𝑡𝑉(𝑡, 𝜃) = � 𝐸0 𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝑡 ′ )𝛽𝛽 cos(𝜔𝑎 𝑡 ′ − 𝜃) 𝑑𝑡 ′−∞(14-141)を定義すると，
𝑉peak = lim 𝑉(𝑡, 0)
𝑡→∞(14-142)となる。𝑉(𝑡, 𝜃) のラプラス変換を 𝑉� (𝑠, 𝜃) とおくと，𝑉� (𝑠, 0) =(14-146)𝑠 − 𝑗𝜔𝑎𝑠 + 𝑗𝜔𝑎𝐸0
�𝐸�𝑧 �
� + 𝐸�𝑧 �
��
2𝑠
𝛽𝛽
𝛽𝛽
(14-143)

𝜖0 |𝑬|2
𝜖0 𝐸02𝑑𝑑 =2
2𝑉𝑈′ = �

(14-150)なので，規格化シャントインピーダンスは，
2
𝑅sh 𝑉peak2𝑗𝜔 2
�𝑧 � 𝑎 ��==
�𝐸𝑄
𝜔𝑎 𝑈 ′ 𝜖0 𝜔𝑎
𝛽𝛽

となる。

(14-151)

次に，(14-139) のラプラス変換を考える。ここでも最終値定理を使って十分に時間がたったあとの 𝑔𝑎 を求めたいわけであるが，𝑔𝑎 は最終的となる。ここで，𝐸𝑧 (𝑧) のラプラス変換を 𝐸�𝑧 (𝑠)に 𝜔𝑎 で永久に振動する形となるので，(14-139)(14-144)プラス変換することで，最終値定理が使えるようとした。ラプラス変換の最終値定理より，
𝑉peak = lim 𝑉(𝑡, 0) = lim 𝑠𝑉� (𝑠, 0)
𝑡→∞
𝑠→0
𝐸0
−𝑗𝜔𝑎
𝑗𝜔𝑎
= �𝐸�𝑧 �� + 𝐸�𝑧 �
��
2
𝛽𝛽
𝛽𝛽

が得られる。さて，𝑡 → ∞ のときに 𝑉(𝑡, 𝜃) は，

𝜃 = 0 で最大値をとるので，𝑑𝑑(𝑡, 0)�𝑡→∞𝑑𝑑 𝜃=0lim

𝑡= lim � 𝐸0 𝐸𝑧 (𝛽𝛽𝑡 ′ )𝛽𝛽 sin 𝜔𝑎 𝑡 ′ 𝑑𝑡 ′ = 0
𝑡→∞ −∞(14-145)をそのままラプラス変換してもうまくいかない。
そこで，両辺に 𝑒 𝑗𝜔𝑎 𝑡 , e−𝑗𝜔𝑎 𝑡 をかけたものをラにする。(14-139) の両辺に 𝑒 𝑗𝜔𝑎 𝑡 をかけたもの
をラプラス変換すると，(𝑠 − 𝑗𝜔𝑎 )2 𝑔�𝑎 (𝑠 − 𝑗𝜔𝑎 ) + 𝜔𝑎2 𝑔�𝑎 (𝑠 − 𝑗𝜔𝑎 )𝑠 − 𝑗𝜔𝑎= 𝜔𝑎 𝜇0 𝑐𝑐𝐸�𝑧 �� (14-152)
𝛽𝛽

となり，

参 考 文 献

𝑠 − 𝑗𝜔𝑎𝜔𝑎 𝜇0 𝑐𝑐𝐸�𝑧 ��𝛽𝛽𝑔�𝑎 (𝑠 − 𝑗𝜔𝑎 ) =𝑠(𝑠 − 2𝑗𝜔𝑎 )(14-153)

𝑠 + 𝑗𝜔𝑎�𝛽𝛽𝑠(𝑠 + 2𝑗𝜔𝑎 )(14-154)が求まる。両辺に 𝑒 −𝑗𝜔𝑎 𝑡 をかけたものも同様に，
𝑔�𝑎 (𝑠 + 𝑗𝜔𝑎 ) =𝜔𝑎 𝜇0 𝑐𝑐𝐸�𝑧 �が得られる。これらの式に最終値定理を適用すると，
lim 𝑔𝑎 (𝑡)𝑒 𝑗𝜔𝑎 𝑡 = lim 𝑠 𝑔�𝑎 (𝑠 − 𝑗𝜔𝑎 )

𝑡→∞

𝑠→0

(14-155)
𝑗𝜇0 𝑐𝑐−𝑗𝜔𝑎
𝑗𝜇0 𝑐𝑐
𝑗𝜔𝑎
=
𝐸�𝑧 �
�=
𝐸�𝑧 �
�
2
𝛽𝛽
2
𝛽𝛽
lim 𝑔𝑎 (𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑎 𝑡 = lim 𝑠 𝑔�𝑎 (𝑠 + 𝑗𝜔𝑎 )𝑡→∞𝑠→0(14-156)
𝑗𝜇0 𝑐𝑐
𝑗𝜔𝑎
=−
𝐸�𝑧 �
�
2
𝛽𝛽

となる。なお，(14-139) に 𝑒 𝑗𝜔𝑎 𝑡 , e−𝑗𝜔𝑎 𝑡 とは異なる関数をかけて最終値定理を適用するとすべて 0 になる。したがって，𝑡 が十分大きいとき，

𝑗𝜇0 𝑐𝑐𝑗𝜔𝑎𝐸�𝑧 �� �𝑒 −𝑗𝜔𝑎 𝑡 − 𝑒 𝑗𝜔𝑎 𝑡 �2
𝛽𝛽(14-157)𝑗𝜔𝑎= 𝜇0 𝑐𝑐𝐸�𝑧 �� sin 𝜔𝑎 𝑡
𝛽𝛽𝑔𝑎 (𝑡) =のように振る舞う。また，(14-24) より，𝑓𝑎 は，
𝑓𝑎 (𝑡) =𝑔𝑎̇ (𝑡) 𝑞𝑗𝜔𝑎= 𝐸�𝑧 �� cos 𝜔𝑎 𝑡
𝑘𝑎
𝜖0
𝛽𝛽

(14-158)のように振る舞う。したがって，電子ビームが空胴に誘起するエネルギーは，𝑡 が十分大きいとき，𝜖0 |𝑓𝑎 𝐄𝑎 |2 |𝑔𝑎 𝐁𝑎 |2
𝑈=��
+
� 𝑑𝑑
2
2𝜇0
𝑉
𝜖0 𝑓𝑎2 𝑔𝑎2
𝑗𝜔𝑎 2
=�
+
� 𝐸�𝑧 ��22𝜇0
𝛽𝛽[1] 諏訪田 剛, “ビーム計測 I”, OHO ’02 (2002).
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となる。この値は時間に依存しない形となってお[16] S. Inoue, et al., “XFEL に向けたスクリーンモ
ニター試作機”, 第 5 回加速器学会年会プロシーディングス (2008).

り，もっともな結果である。これと (14-151) を合わせると，(14-136) が得られることがわかる。
このようにして，一般の空胴に対して (14-136)が成り立つことが示された。

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