超簡単！ベクトル解析、他
本講義録を安東愛之輔さんに捧げる！
安東さんは、第一回（1984 年）の OHO の拙書「加速器の原理」の原稿を見て、「おもしろい」と言っていただき、「おせっかいにも」古い cgs 単位系をすべて MKSA 単位系に改めていただいた（安東さんの方が年輩）。安東さんには、本講義録
も「おもしろい」と言っていただけるだろうか。
さらに、今回はどこに「おせっかい」をしていただけるだろうか。
しかし、今はかなわない・・・・

1. はじめにさて、多くのサイエンティスト、つまり「非数学的な」サイエンティスト（non-mathematicalscientist）にとって、微分形式は相当にとっつきにくいものではないかと思われる。数学の教科書
でも、微分形式は使って計算しているうちにだん
だんわかってくる「代物」であるというようなことが書いてある。逆に言えば、訓練を受けていな
い非数学者にはよくわからないということであろうか。本講義の後半部は、この訓練を受けていない、不勉強な講師によるズボラな微分形式への超イントロである。この後半部は、大学時代などに、微分形式をあまり勉強してこなかった読者を対象に、積分や体積を復習することから始めて、それらに微分形式を導入し、外微分、（拡張された、または一般化された）Stokes の定理、Poincareの補題ぐらいまでの基礎をできるだけ初等的にカンバンに偽りあり！

説明しようというものである。これにより、微分［（Web に掲載した）本講義の概要］

形式への「抵抗感」が少しでも減って、今後、少ベクトル解析の知識としては、パワポ３枚もあれば十し勉強でもしようかと思っていただければ幸い

分で、公式集は、多分、不要である。実際、どんな公式も必要な時にすぐに導くことができることを説明する。
また、余裕があれば、「感覚的に」わかりにくいかもしれない微分形式への超イントロを行い、「抵抗感」を少しでも減らしたい。

一般に、ほとんどの広告用カンバンにはうたい
文句、誇張やホラなどが含まれており、場合によっては詐欺まがいの文言もなきにしもあらずではないか思われる。この講義録をめくると、明らかに、ページ数がパワポ３枚より、相当（？）、多いことがわかる。つまり、明らかに「カンバンに偽りあり」と判断されてもしょうがない。しかし、このカンバンの真意は、ベクトル解析で記憶すべき知識はパワポ３枚程度で（ほぼ）十分で、それ以上は記憶する必要はないであろうということを（長々と）ページ数を費やして説明したいというものである。なお、Appendix A がこのカ
（コ
ンバンで言うところのパワポ３枚程度である。

である。

2. ベクトル解析
2.1. （ベクトル解析）はじめに
本講義は、できるだけ記憶しないで、かつ本や公式集を見ないで、いつでも必要なときにベクト
ル解析に関する式を出せるようにすることを目的にしている。つまり、記憶力が弱い人、または記憶する努力をしたくない人向けのものであると考えていただいてもよい。
なお、この講義では、ベクトルおよびその計算方法などの初歩は知っているものと仮定して話をする。よって、定義や用語などの慣用語については逐一、説明することはしないし、また、体系的に順序立てて解説をしようというものでもない。むしろ、説明は簡単にして、「実用を第一」としてベクトル解析の手法を使いこなすことを

メント：何事もマスターするのに重要なのは、知識や情めざしている。ただし、（本講義の講師は、不勉報の獲得ではなく訓練（exercises）や試行錯誤であろう。

強で、ほとんど文献検索等もしていないので、単［以下、コメントとしている個所には、高齢者である講師に知らないだけかもしれないが）他の解説書等にの余分な老人性コメンが含まている］）

はあまり見られない内容や観点等がいくつか含

まれているのではないかと思っており、これらが導入することが必要となる（注：こうすることに読者にいささかでも役立てば幸いである。

よって、ベクトルの座標成分からなる数ベクトル

この節では、Appendix A に掲載した「パワポが反変したり、共変したりするのである。）この３枚程度」の内容に沿って解説し、合わせて付随道具を駆使することで、我々は初めてベクトルをする事がらについても説明する。なお、説明の便

きちんと理解し、さらにはこれを有効に使いこな

宜のために、Appendix A にある式を本文中にもすことができるようになるのである。

再掲している。

そして、本講義でのベクトルが住んでいる空間

注：このベクトル解析の部分は、何年か前に京都大学

は、等方性をもった「絶対」空間であり・・云々で行った特別講義の中の vector analysis の箇所からと、これ以上、哲学的抽象論を展開しても詮無い

多くを引用している。タイプミスや間違いは修正したが、まだこれらが含まれているかもしれない。

ことのように思われるので、哲学論議はこれまでとして、以下では、我々はベクトル三昧に注力することにしよう。

2.2. （本講義での）ベクトル
実に様々な対象がベクトルとして扱われる。例
えば、複素数（２次元）、n 次までの多項式（n+1次元）、ある領域の連続関数（無限次元）等々。
これらを統一的に扱うためには、周知のように、ベクトル空間（及びその要素であるベクトル）の定義を必要とする。
しかし、ここで扱うベクトルとは、我々が空間の中に存在（実在）すると感知することできる、
ある方向と量（大きさ）をもった幾何学的対象物のことである。つまり、我々がナイーブな感覚で

2.3. 内積Appendix A に与えてあるようなベクトルの内積と外積の定義については周知のことであろう
が、以下で少し復習をしておこう。なお、ここで、注意しておきたいことは、内積と外積のもつ著しい 性質 は、空 間の 等方性 を反 映した 双線 形性（bilinearity）にある。
さて、よく使われる内積の定義には二通りがある 。 一 つ は 「 幾 何 学 的 定 義 （ geometricaldefinition）」と呼んでもよいもので、その存在をイメージすることができるもの、またa ⋅b =
a b cos θ

は我々の感性で何とか認知することができるよと 与 え ら れ る 。 も う 一 つ は 、「 代 数 的 定 義(2-1)

このようなベクトルは、我々が「デカルト的に」（algebraic definition）」と呼んでもよいもので、(2-2)
a=⋅ b a1b1 + a2b2 + ⋅⋅⋅ + anbn

空間に描いた座標とは無関係に存在するもので、と与えられる（注：ここでは、次元を n 次元と（人間が恣意的に選んだ）座標系とは独立して存しているが、後では、「勝手に」３次元に限定す在している（またはそのように定義すると言ってることもある。）この後者の定義が座標系に依らもよい）。言い換えれば、座標変換からは独立しないことは周知であろう（または、そのように了ている存在で、座標変換には依らない。（若干、解しておこう。
）

うなものに限るのである。

誇張した言い方をすれば）ベクトル自体には共変

我々は、この二つは同じものであるということも反変もしないのである。このように座標変換にはよく知っているつもりであるが、これらは、本対して不変な幾何学的対象物がベクトルなので当に等しいのだろうか。勿論、我々は、長い経験ある。同様に、ベクトルから作られた内積及び外からそれが等しいことを知っているのではある

積も幾何学的な対象物であり、座標系からは独立

が・・・。等しいことの一つの説明は、 cos θ をしている、または座標変換に対して不変である。
しかしながら、我々の貧弱な能力では、ベクトルを詳しく調べよう、または利用しようとすると、どうしてもデカルト的道具、つまり座標系をabcos θ = ∑ i ia bで定義するというものである。これは、いわゆ
るコーシー・シュワルツの不等式、

∑ a b ≤ ∑ a ∑b
i i

i

2

i

2

内積の「幾何学的」定義からは、よく見えないがあるので、 cos θ が「きちんと」求まることのが、その双線形性であろう。そこで、まず、こが保証される（問：［この不等式を忘れた人へ］う。(2-1)式は、明らかに a と b について対称（θ

これを示せ。）このように定義すると、二つの定義、「幾何学的」定義が「代数的」定義が同じでの定義による内積が双線形性をもつことを示そ
に関するものも含め）であるので、あることが示せたということになる。なお、代数a( b + c ) = ab + ac

的定義に（固執すると）内積の双線形性は自明で（分配法則）ある。しかし、この説明では、幾何学的な香りがとなることがわかれば、双線形性が示されたこ

消えてしまっていることもあり、気分としてはあ(2-3)とになる。さらに簡単にすれば、

まりよくない（と思う人もいるかもしれない。）aˆ ( b + c ) = aˆ b + aˆ c

そこでもう少し幾何学的な（または初等的な）雰となることがわかればよい。ここで、â は a 方(2-4)

囲気のある説明をしておこう。

向の単位ベクトルである。（問：このように簡単「代数的」定義化してよいことを示せ。
）＝＞ 「幾何学的」定義

上記の説明と似たような感じがするかもしれここで、図 2 にないが、より初等的な雰囲気があると思う（多分、
かつて我々が内積を初めて習った時のものと似示すようなベクトル、 a, b,c からなている。）まず、ベクトル、a と b がなす平面を考る平面（補助立体）

え、それを x-y 平面とする（これは、なにか座標を考える。すると、

を変換をしたものということではなく、この平説明するよりは図を眺める方が明快！）、(2-4)式

補助線（この場合にはが成り立つことがわかる。
（注：図 2 には、たく「補助面」）と思うことに

さん垂直の関係を示す記号が書かれているが、そするのである）。

のバックグラウンドには、（古い世代では、高校

平面三角法の公式（図1 を参照）、
2

2から、

a b cos θ=1
2(∑ ai + ∑ bi − ∑ ( bi − ai )22

生で習った）「三垂線の定理」があるということを強調しておく。）
一旦、双線形性が成り立つことがわかると、ベ
クトル、a、b を（正規基底ベクトル、 ei 等で）

c = a + b − 2a b cos θ22)

じであることがわかる（注：ここで、ベクトルの長さ、またはベクトルを表わす「棒」の長さ、例
えば、a の長さ、a は

∑a

i

2

と表わされることを使っている。
）（問（高校生レベル）：［上記の平面三角法の公式を忘れた人へ］初等幾何のレベルでこれを示
せ）「幾何学的」定義 ＝＞ 「代数的」定義

ae ,b ∑b e
∑=

=
a

i

i

i

i

と表わすと、abとなり、これから、二つの定義、(2-1)、(2-2)が同=a=

うに（ヘタに言葉で面は初等幾何におけるすると、よく知られた

図 1. 平面三角形

図から明らかなよ
図 ２. ベクトルの和( a e )( b e ) ∑ a b e e
∑=
i, j

i i

j

j

i, j

i

j

i

j

となるが、 ei と e j との間の角度を θij とすると、明らかに=ei e j cos=
θi j δ ij
なる。つまり、0 か 1 かということになる。これから、代数的定義の式(2-2)が得られる。
以上より、二つの定義、(2-1)、(2-2)は、一見すると異なっているが同じものであることがわかったことになる。

a1b2 = 平行四辺形の底辺 ×（符号付の）高さ（コメント：以上のようなグチャグチャした（初等的な）説明には興味がなく、how-to に興味のある方は、同じよと な り 、 これ はうな説明をしている次の項は飛ばした方が精神的に良い（小学生レベルかもしれない）の）平行四辺形の2.4. 外積面 積 の 公 式と な

内積と同様に外積についても二通りの定義の仕方がある。一つは「幾何学的定義（geometricaldefinition）」であり、る（ただし、符号a×b =n a b sin θdefinition）
」は、

a ×=
b

一方、今の場合、(2-5)と与えられる（図3 参照）。ここで、nは、a と b に垂直な単位ベクトル であり、 a 、 b 、 n が右手系をなしている。
もう一つの「代数的定 義 （ algebraic

図 3. ベクトル積付であるが・・）。

( a2b3 − a3b2 ) e1 + ( a3b1 − a1b3 ) e2
+ ( a1b2 − a2b1 ) e3

図 4. 平行四辺形の面積(2-5)式は、

a×b =a b sin θ e3となり、e3 の係数は a と b が作る平行四辺形の（符号付の）面積である（問：これを示せ。
）以上
から、代数的定義は幾何学的定義と同じであることがわかったことになる。
なお、ベクトル、 b の方向を x 軸にとった場合には、係数は、 − a2b1 となり、これは a と b が作

(2-6)

る平行四辺形の（符号付の）面積となる（問：こと与えられる。これと同じものであるが、時に便利な形式は、行列式の表式を使った、

上記で、しつこく符号付と言っているが、この

e1

e2

e3

=
a × b e2 =a2 b2 a1 a2
e3 a3 b3 b1 b2

a3
b3

a1

b1

e1

(2-7)

（符号付の）面積という考え方（概念）が重要な働きをするのである。（コメント： 面積に符号を付けるだけで、小学生レベルからジャンプできる？！）「幾何学的」定義 ＝＞ 「代数的」定義
内積の場合と同様に、まずは外積の幾何学的定
義での次の双線形性を示す。

a × (b + c) = a × b + a × c(2-8)

が成り立つことは明らかであろう。
次に、内積の場合と同様に、幾何学的定義と代数的定義が同じであることを示そう。
「代数的」定義

符号がないと、外積にはならないのであるが、3節で説明する微分形式では、この平行四辺形のである 。（問： (2-6)式と(2-7)式は同じものであることを示せ。）ここでも内積と同様に代数的定
義は座標系に依らないことは周知であるとする（または、そのように了解しておこう。
）また、どちらの定義でも、a × b =−b × a

れは、正しい（符号付の）面積であることを示せ。
）＝＞ 「幾何学的」定義

内積の場合と同様に、ベクトル、a と b がなす平面を考え、それを x-y 平面とする。すると、( a1b2 − a2b1 ) e3となるが、e3 の係数、( a1b2 − a2b1 ) は、ベクトル、a ×=b

a と b が作る平行四辺形の（符号付の）面積である（図 4 を参照）。
（問：これを示せ。
）なお、ベクトル、 a の方向を x 軸にとると、この係数は、(2-9)

ここで、内積と同様に、 a = aˆ の場合を示せば十分である。また、(2-9)式が成り立てば、(2-8)から(b + c) × a = b × a + c × a(2-10)

も成り立つことがわかる。まず、図を使った説明をわかりやすくするために、外積の結果（ベクトル）を â 軸の周りに時計方向に 90 度回転したものを考える（必要なら後で反時計方向に 90 度回転すればよい）。すると、図 5 に示すように、(2-9)
式は、単に â 軸に垂直な平面内のベクトル（平面に射影したベクトル）の和の公式にすぎないことa ⋅ ( b × c ) =b ⋅ ( c × a ) =c ⋅ ( a × b )がわかる。この射影を、 P とすれば、 a × b に相当するものは、 P ( b ) であることから、

a1

b1

c1

a1 a2

a3

= a=
b2 c2 b1
2

b2

b3

a3

c2

c3

b3

c3

c1

a × (b × c) = (a ⋅ c) b − (a ⋅ b ) c(2-13)(2-14)(2-13) 式 は 、 よ く 知 ら れ て い る 平 行 ６ 面 体（parallelepiped）の体積の表式である（図 6）。
また、(2-7)式から
図 5. 90 度回転した外積P ( b + c=
) P (b ) + P (c)
となる。

e1

b1

c1

b × c =e 2

b2

c2

e3

b3

c2

であり、これと a との内積をとることにより、

一旦、双線形性がわかると、(2-13)式の行列式が( a2b3 − a3b2 ) e2 × e3
(2-11)+ ( a3b1 − a1b3 ) e3 × e1 + ( a1b2 − a2b1 ) e1 × e 2a ×=b得られる（それは、(2-15)が基底ベクトル、 e1 等に関してと展開される（問：これを示せ。）また、幾何学的定義から、明らかに、

e 2=
× e3 e1 ,e3=
× e1 e 2

e1 × e 2 =e3(2-15)

線形であり、それとa との内積をとる(2-12)であるので、(2-11)は、代数的定義である(2-6)式となることがわかる。
さて、ベクトル解析では、二つのベクトルの関と、 a1 等になるこ
図 6. 平行六面体の体積と から直 ちにわ かる。）つまり、ベク
トル、a, b, c の成分からなる行列の行列式が平行かでてこないのであろうか？ （当たり前だと思六面体の体積になるのである（これも多分、周知のことであろう）。なお、ベクトル、 a, b, c の順

う方は飛ばしてもよいが）一応、Appendix B に番を巡回させた、(2-13)のベクトル表示の箇所は、空間の等方性を考慮すると、スカラー量としては

応用上、重要であるので、再記しておくことにす

内積、またベクトル量としては外積しかないことる。

係式（二項関係）として、どうして内積と外積しを示しておいた（注：ベクトル解析を単なるツーa ⋅ ( b × c ) =b ⋅ ( c × a ) =c ⋅ ( a × b )ルと考え、役に立つか立たないかという観点で見この関係は、図 6 から、または行列式の性質からると、この Appendix B はほとんど役に立たないであろうが・・・）
また、Appendix C に内積と外積のルーツであると言われている四元数について略説しておいた。
2.5. 内積・外積に関する有用な関係式

明らかである。
ついでに、ここで逆格子空間（reciprocal lattice
space）についてごく簡単に触れておく。それは、以下の式で与えられるベクトルを基底ベクトルとして構成される空間である。

=
a∗

まず出発点となるのは、次の（最も基本的な関係式であると言ってもよいであろう）二つの関係式である。

(2-16)

b×c
c×a
a×b
=
, b∗ =, c∗a ⋅ (b × c)a ⋅ (b × c)a ⋅ (b × c)

（注：係数に 2π を付ける流儀もある。）(2-17)

さて、もう一つの基本的な関係式、(2-14)式、そして、以下の性質をもつ。

a × (b × c) = (a ⋅ c) b − (a ⋅ b ) c=a a 1,=a b 0,=a c 0∗∗∗=b∗ a 0,=b∗ b 1,=b∗ c 0(2-18)=c∗ a 0,=c∗ b 0,=c∗ c 1
（問：これを示せ。
）

は、ベクトル解析で記憶に値する数少ない公式の一つである。それは、これが非常に有用であること、また、完全に忘れてしまうと、一瞬では導くとし、これに写像、 f を適用すると、ことが（多少）むつかしいことからである。
その証明の一つとしては、顕わにベクトルを成分（ベクトル）で表して計算すればよい（たいした計算ではない）。しかし、若干、見通しがよくない。そこで、以下のように考えて、これを証明してみよう。
まず、式の左辺の形から、これは、b × c に垂直なベクトルであることがわかる。一方、 b × c は、
b と c に垂直なベクトルであるから、式の左辺のベクトルは、 b と c がなす平面内にあることがわかる。よって、となり、これは、またという形に表されることがわかる（問：ベクトルこの逆格子ベクトルは、結晶学や固体物理学に登場するもので、逆格子空間における基底ベクトルをなす。さらに、これらは、以下のような対応で、ベクトルを実数に写像する線形写像の空間、双対空間（dual space）の基底とも考えることができる。それは、この線形写像が内積の形で表されるからである。ベクトルをx = x1 a + x2 b + x3 c

f (x) =
x1 f ( a ) + x2 f ( b ) + x3 f ( c )
x=

f (x)

(f (a) f (b ) f (c))  x 
1

  ∗
=
 x2  f x
x 
 3

と内積の形で表わされる。ここで、

 f (a) ∗
f =  f (b )  f (c) である。これらのことから、双対空間の基底と逆格子空間の基底ベクトルの間には、次の対応関係があることがわかる。

 f a*  
f b*  ⇔
f * 
 c 

 a* 
 *
b 
 c*  

ただし、左側の関数の場合は、ベクトルは関数の引数であり、右側の場合には、内積をとるものとする。このような対応関係は、無限次元空間であるヒルベルト空間でも成り立ち、関数解析におけるリースの定理（表現定理）として知られている。
つまり、ヒルベルト空間の連続（または有界）線
形 汎 関 数 （ continuous (or bounded) linear
functional）は、内積の形で書けるというものである（有限次元の場合には、「連続」という制約をわざわざつけなくてもよい。
）

a × ( b=× c ) f ( a, c ) b + g ( a, b ) c

演算の線形性を使って、これを示せ）。上の式で、b と c を入れ替えると、
a × (c × b ) =−a × ( b × c ) =f ( a, b ) c + g ( a, c ) bとなる。これから、g ( a, b ) = − f ( a , b )となることがわかる。さらに、（スカラー）関数、

f ( a, b ) は、ベクトル、 a と b について、線形であることから、f ( a, b ) = λ ( ab )となることがわかる（Appendix B を参照のこと。）定数、 λ の大きさは、1 程度であろうことは想像にかたくないが、たとえば、

j × ( i × j) =iであることから、 λ = 1 であることがわかる。以上で関係式、(2-14)が証明されたことになる。
これらの二つの基本的な関係式を使うと、以下のようにベクトル演算の関係式は容易に証明できる。
ベクトル積の例
ここで取り上げるのは、あくまでもベクトル積のいくつかの例であるが、実用上は多分、これくらいで十分であろう。

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b ) =0 (2-19)［Jacobi identity］（問：これを示せ。
）(a × b )(=c × d ) ( a c ) ( b d ) − ( a d ) ( b c )証明は、たとえば、 ( a × b )(2-20)
を一つのベクトルと考えて、(2-20)式を使うと、この関係式が成り立つのを「より機械的に」示すことができる。まず、今まで意図的に使ってこなかった、レヴィ・チヴィタの記号を使うと、ベクトルの外積は、

a×b =εi ( ε ijk a j bk )と書ける（これは、読者にとって周知のことであろう。また、重複する添え字については和をとるものとする［いわゆる Einstein の縮約記法］）
ここで、レヴィ・チヴィタの記号、 ε i j k は、

1

(a × b )(c × d )= c(d × (a × b ))ε i j k = −1とすればよい（問：証明を完了せよ。
）

0(2-20)式から、明らかではあるが、重要な関係式、( i , j , k ) = (1, 2, 3 ) のcyclic置換の場合( i, j , k ) = ( 2,1, 3 ) のcyclic置換の場合
それ以外の場合（i,j,kのどれかが等しい場合）(2-21)(2-23)である。［注：本講義録では、ほとんど場合、添え字

cos 2 θ + sin 2 θ =1［ピタゴラスの定理（Pythagorean theorem）］という（最も）有名かつ重要な定理が導かれる（問：「絶対に忘れてはいけない」この式を示せ。
）
以下の式の証明は（全く）容易であろう。
(a × b ) × (c × d=
) [ d ( a × b )] c − [ c( a × b )] dの上付き、下付きは区別なく使っている。区別する必要(a × b ) = a b − (a b )
2

2

2

2

が導かれる。さらに、これから= [ a( b × d )] c − [ a( b × c )] d
= [ a( c × d )] b − [ b ( c × d )] a
= [ c( d × a )] b − [ c( d × b )] a
これから、(a × b ) × (a × c=)[a( b × c )] aが導かれるが、直接、計算した方が早いであろう。
以上の説明からわかるように、ベクトル演算については、二つの基本的な関係式を知っていればがない座標系（直線直交座標系）を使っているからである。そこで、その場の気分で添え字の位置が上だったり下だったりしている。］

また、証明になぜ(2-20)式を使うかというと、ε は外積に関係しており、 δ i j は内積に関係しi jkている（と思うと）、(2-20)と(2-22)とは形がよく似ているからである。(2-20)式は、成分で書くと、

ε i j k a j bk =ε il m cl d m a j c j bk d k − a j d j bk ckとなる。ここで、=a e=( ( ea )i δ ia )a

とおき（注：ここで、添え字の a は、適当なある整数である）、他も同様に、
b e=
e=
ed
=
b ,c
c, d
とおくと、
il m
ε i j k dd
dd
ja kb εlc md

= dddddddd
ja jc kb kd − ja jd kb kc
実用上は十分であることがわかる（多分、それ以となる。これから、外のものは不要であろう。
）

ε i ab=ε i c d dddd
ac bd − ad bc

次にベクトル演算そのものではないが、これを使った関係式を例示しておく。
jkεi=
ε il m δ j l δ k m − δ j m δ k lとなるが、これは(2-22)式と同じものである。また、(2-22)式から、直ちに

ε i jk ε i jm = 2 δk m

物理の教科書などで、（突然、）(2-24)(2-25)(2-22)となることもわかる（問：これを示せ。
）さらに、という関係式が出てきて、（証明は簡単なので）証明なしに使うと「宣言」されて「困惑した」経
験はないであろうか。確かに、機械的にすべての場合分けを考えれば、成り立つことはわかるのであるが・・という関係も得られる（注：これは、単に、3! = 6を言っているだけでもある。）ここまで説明してしまったので、ついでに関連することを付け加えておく。

ε i jk ε i jk = 6a( b × c ) =aiε ijk b j ck

で、 y = F ( f , g ) とし、 f , g を（独立）変数とであることから、

e abc
e a ( eb × ec ) =すると、(2-28)式になる。

e a 
 ebT 
Det
= Det
=
e
e
e
[ a b c]e T  c T(2-26)となる。これから、

 ei  = Det e j T  Det [el e m e n ]e k T 
 
T

ee
i jk

l mn

δil δi m δi n  ei el ei e m ei e n e e e e e e  Det δ δ δ Det=
 jl jm jn 
 j l j m j nδ k l δ k m δ k n e k el e k e m e k e n と求まる。これを使うと（たとえば、行列式の第一列について展開すると）、δ j m δ j n i jkimn= ( 3 − 1 − 1) Det eeδ k m δ k n δ j m δ j n = Det  =
 δ jm δk n −δ jn δk mδ k m δ k n となり、再び(2-22)式が得られる。

2.6. ベクトルの微分微分がもつ性質の中で最も重要なものは、多分、その線形性であろう。たとえば、=
y f=( x ) f ( x1 , x2 ,  , xn )が与えられたとすると、我々は「習性として」すぐに、微分して、

∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 + dxn (2-27)
∂x1
∂x2
∂xn
とする。この式は、ある点、 x = x 0 を固定して考えると、明らかに dx1 等について線形である。
dy =

このことについて、Appendix D で、初等的ではあるが、もう少し説明をしてある。
この線形性に密接に関係している微分の重要な性質は、次のライプニッツ則（Leibniz’s rule ）である。
(2-28)d ( f= g ) df  g + f  dg
ここで、 f , g は（スカラー）数である。ある意

味で微分を特徴づけるものは、
この Leibniz’s rule
であると言ってもよいであろう。なお、(2-27)式

通常、上記の記号、 d は微分形式等（3 節を参照）で用いられており、ベクトルの微分で出てくるものは、偏微分である。周知のように、これについても次の Leibniz’s rule が成り立つ。
∂∂∂( f g) (f ) g + f g=(2-29)∂x∂x∂x
なお、以下では、∂=∂∂xというように変数を明示しない略記号を使うこともある。たとえば、(2-29)式で、 f , g に関する
双線形性から、∂ = ∂ f + ∂gと「記号的に」微分をわけると、∂ ( f  g ) = (∂ f + ∂ g )( f  g )

(

)

(

= ∂ f ( f g) + ∂g ( f g) = ∂ f f g + f  ∂g g)と書くことができる。ベクトルに関しても、ベク
トル積（内積、外積）の双線形性から、∂ (f ∗ g=) (∂f ) ∗ g + f ∗ ∂g

(2-30)となる。ここで、∗ は内積、 または外積、× を表わし、 f , g はベクトル関数である。
（問：ベクトル積の差分、(f ∗ g ) f ( x + ∆x ) ∗ g ( x + ∆x )∆=−f ( x ) ∗ g ( x )から、(2-30)式を示せ。
）
ここに、よく知られているナブラ記号（nabla）
またはデル記号（del）を参考ために記しておく。

=
∇ e1

∂
∂
∂
+ e2
+ e3
∂x1
∂x2
∂x3

∂
∂
∂
= i + j +k
∂x
∂y
∂z

(2-31)

場合によっては、ナブラ記号のように微分とベクトルがいっしょにでてくるために若干、混乱することがある。このような場合には、(2-32)μ ∂ ∗ f = μ ∗ ∂fを使うと便利である。（これは「定義」であるとしてもよいが・・）、()= μ ( x ) ∗ ( f ( x + ∆x ) − f ( x ) )∆ ∗ f μ ( x ) ∗f ( x + ∆x ) − ∗f ( x )μ=∇ ⋅∇ φ = ∇ 2 φ（ラプラシアン（Laplacian）の定義）

であることから、(2-32)がでてくる。また、時々、有用である記法に、∇(∇ × A) = 0←←←（ ∇(∇ × A ) = A (∇× ∇) ( = (∇ × ∇ ) A ) = 0 ）f ∂ =∂ fがある。

∇(φ A) =∇φ  A + φ ∇ A

書くまでもないことであるが、ここに、一応、（ ∇ = ∇φ + ∇ A ）ベクトルの発散（divergence、記号：div）と回転（rotation、記号：rot）を記しておこう。

∂A ∂A ∂A
divA =∇ A = 1 + 2 + 3∂x1 ∂x2 ∂x3∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
∂x
∂y
∂z
 ∂A ∂A  ∂A ∂A 
rotA = ∇ × A =  3 − 2  e1 +  1 − 3  e 2
 ∂x2 ∂x3  ∂x3 ∂x1 = ∂A ∂A +  2 − 1  e3
 ∂x1 ∂x2 ∇ × (φ A) = ∇φ × A + φ ∇ × A（注意！： ∇ × ( Aφ ) ≠ A × ∇φ + ( ∇ × A ) φ ）∇( A × B=
) B  (∇ × A ) − A  (∇ × B ) ∇ ( A × B ) = ∇ A ( A × B ) + ∇ B ( A × B ) 


←


=
(
∇
×
)
+
(
×
∇
)
B

A
A

B
B 

A
∇ × ( A × B=
) A (∇  B ) − B (∇  A )+ (B∇) A − ( A ∇)B

また、行列式の表示では、

 e1
rotA = det e 2
 e3

∂1
∂2
∂3

A1 
 e1

A2  = det  ∂1
 A1
A3 

e2
∂2
A2

e3 
∂ 3 
A3 などとなる（注：ここで、座標系は、直線直交座標系
であり、また ∂e =0 であることを使っている。）

以上でベクトルの微分の「基本」が終わったので、後はその応用である。以下にいくつかの例を（順不同で）示すことする（なお、重要なのは、「訓練」である）。
ベクトルの微分の例（ ∇ × ( A × B) =∇ A × ( A × B) + ∇ B × ( A × B) ）（または、一気に、↔

↔

∇ × ( A × B=
) A (∇ B ) − B (∇  A ) として）∇( A B) = ( A ∇)B + (B∇) A+ A × (∇ × B ) + B × (∇ × A ) ∇ ( A B ) = ∇ A ( A B ) + ∇ B ( A B )
 A × (∇ B × B ) =∇ B ( A B ) − ( A ∇ B )B 
 B × (∇ × A ) =∇ ( A B ) − (B ∇ ) A 
A
A
A


（または、

ここでの例は、あくまでも例であって、ベクトc∂ ( A B ) =c(( ∂A )B) + c( A ( ∂B ))ルの微分のリストを網羅しようという意図は全

A × (c ×=∂B ) c A ( ∂B ) − ( A c)∂B

くないが、実用上、または演習（exercise）用としては十分であろう。

∇ ( f ⋅ g ) =∇( f ) g + f ( ∇g )

（これは、ほとんど Leibniz’s rule そのもの）=∇ × ∇ φ rot=
grad φ 0（ ∇ × ∇ = 0 であることから）()

をつかって）
ベクトル演算の基本関係式（二つ目）を適用して、∇ × (=∇ × A) rot=
rot A grad div A − ∇ 2 A

←

2 
(
)
(
)
∇
×
∇
×
=
∇
∇
−
∇
A
A
A



 または



 ∇ × (∇ × A ) = (∇  A ) ∇← − ∇ 2 A （注：記憶に値する表式である）

または=∇ 2 A grad div A − ∇ × (∇ × A )となる・・・・。
と調子よくやってしまうと、混乱を招く結果に陥

線直交座標系では有用になるようにしたものであると言えるかもしれない。
この計算を間違えないようにやるには、以下のようにするのがよいであろう。
(2-33)のデル記号を以下のようにベクトルと微分にわけ、曲線直交座標系では、このベクトルが座標に依存することを考えると、∇ × ( ∇ × A ) = a∂ a × ( b ∂ b × A )= a∂ a × (b × ∂ b A )= a × ( ∂ a b × ∂ b A ) + a × (b × ∂ a ∂ b A )ることになる。それは、デル記号をあたかも通常=∂ a b ( a ∂ b A ) − ( a ∂ a b ) ∂ b Aのベクトルのごとに扱って、機械的に計算したた+b ( a∂ a ∂ b A ) − ( ab ) ∂ a ∂ b Aめのである。ただし、これは、直線直交座標系（デカルト座標系）を用いている場合には、まったく(2-34)となる。ここで、=a e=eb と略記しているa , b

問題はなく、結果の表式は、「本当に」記憶に値（本講義での変則的記法である）。もし直線直交座標であるとすると、するものである。この問題は再度、2.11 節で取り∂ ab =
0

上げるが、ここで問題点を明らかにしておこう。
(2-33)∇ × (∇ × A )をきちんと計算するには、Leibniz’s rule をきちんと適用する必要がある。このために(2-33)を以下のように書き換えることにする。

( ∇ ∇ + ∇ A ) × (∇ A × A )=∇ ∇ × (∇ A × A ) + ∇ A × (∇ A × A )=( A∇∇ ) ∇ A − ( ∇∇ ∇ A ) A+∇ A ( ∇ A  A ) − ( ∇ A ∇ A ) A

しかし、この式を間違えないように評価することはむつかしいであろう。たとえば、最後の式の第三項は、 ∇ A ( ∇ A ) となるが、これは、決して、∇ ( ∇ A ) = grad ( divA )であり、=( a b )e a e b ) δ a b(=となる。さらに、 ∂ b a =0 であることから、b ( a ∂ a ∂ b A ) =b∂ b ( a  ∂ a A ) =b∂ b ( a∂ a  A )= ∇ ( ∇ A )となる。以上より、(2-34)は、当然のことながら、「記憶に値する表式」になる。一方では、上の計算から、曲線直交座標では、このようにはならな
いということがわかったことになる。
つまり、=∇ 2 grad div − rot rotとするのは、誤解を与える元となる。もっと言えば、「間違った表式」であるとも言える。これがではない。また、第二項と第四項は合わせて、− ( ∇ ∇ ∇ A ) A − ( ∇ A  ∇ A ) A

使えるのは、唯一、直線直交座標系のときのみで= − ( ∇∇ A ) A = − ( ∇∇ ) A

なお、ナブラ記号が一つしかない場合には、そとなるが、これを求めるには、まず ∇ を A に作用させて（ ∇A はベクトル解析の範囲を越える対象物）、それから内積をとり、それに ∇ を作用させるということをする必要がある。第一項は、このままでは、これ以上、簡単にならないであろう。
勿論、直線直交座標系の場合には、簡単になって、「記憶に値する表式」になる（問：これを示せ（ただし、やる必要はないが・・）。）いずれにしろ、「記憶に値する表式」は、Leibniz’s rule に忠実に従ったものではなく、少しルールを無視して、直ある。
の中のベクトルに外から作用する微分がないので、曲線直交座標系でも、そのままの表式が使える。では、今までに出てきた、 ∇ × ∇ = 0 は「どうなのよ？」ということになるが・・・。実際に、
これはベクトルの関係式であるので、直線直交座
標では明らかに成立するので、OK となるのであるが、これについても 2.11 節で再度、取り上げることにしよう。また、そこでは、デル記号をベク
トルと微分にわけて「機械的に」計算するのではなく、もう少し（曲線直交座標の）基底ベクトルの性質を使って見通しよく計算している。
なお、デル記号をベクトルと微分にわけるやり方は、直線直交座標系でのベクトルの公式を求める際に心配になった場合には、有効である（不安がなくなる）。
座標ベクトルに関係する微分
露骨に座標成分を考えることで、容易に、

これは、（若干、大げさに言えば）合成関数の微分法（chain rule）から、直ちに（暗算で）求ま
る。

1
1
∇∇   =∇ 2   = 0 ( r ≠ 0 )
r
r
∇ n
n
1
 n
これは、∇∇   = −∇ 2  = − 2 + 2 3 から。
r
r
r
r 
なお、原点も含めると、

1
∇2   =−4π δ ( r )
r

∇r =
3
と、

∇×r =0となる。右辺の符号と係数を忘れてしまった場合が導かれる。また、多分、露骨に計算した方がよいものとして、には、重力ポテンシャルまたは電磁場ポテンシャa( a∇ ) r =(2-35)がある（注：この a∇ は、a 方向の方向微分と呼ばれるもので、「特別な性質」を持っている。それは、内積であるにも関わらず、一つのベクトル、 a のみに依っていることである。また、内積であるので、座標変換に対して不変である。さらに、これを座標ベクトルに作用させると、 a が「復元」される。このようなことから、これはスカラー量ではあるが、なんとなくベクトル、 a に対応するものとして扱ってもよさそうな感じがしてくる。）

次に、 r = r r を微分することで、
2

2r ∇
=
r 2 ( r ∇ ) r + 2r × ( ∇ × r )となるが、上のことから、直ちに、 r ∇r =
r と

なり、

∇r =

r
(= er = n )r( r ≠ 0)

勿論、座標成分で表して計算しても簡単である。

2∇ n =r

これは、∇ n =∇ ( r r ) または、∇ r =∇ ( r n ) を使えばよい（後者の方が簡単。
）∇ ×n = 0

これは、たとえば、0 = ∇ × r = ∇ × ( r n ) から導か
れる。

1 r
n
1
∇  =− 2 =− 2 ( r ≠ 0)
r r
r
r

ルの場合を思い出せばよい（参考：2.9 節のヘル
ムホルツの定理）。

r∇f (r=) f ′(r ) = f ′(r )nr( r ≠ 0)

これは、Chain rule から直ちに求まる。

∇ × ( f (r )r ) = ∇f (r ) × r + f (r )∇ × r = 0
これは明らかであろう。

∇( f (r )r ) =( ∇f (r ) )r + f (r )∇r
= f ′(r ) r + 3 f (r )単に計算するだけ。

∇( c × r ) =0 ( c :const. vector )これは、 ∇( c × r=
) r ( ∇ × c ) − c( ∇ × r ) から。

∇ ( cr ) =c
これは、∇ ( cr ) = ( c∇ ) r + ( r ∇ ) c+c × ( ∇ × r ) + r × ( ∇ × c )で、右辺の第一項のみが残ることからわかる。また、成分で表すと、ほとんど明らかであろう。

∇ × ( c × r ) = 2c

( c :const. vector )∇× ( c × r ) = ( ∇r ) c − ( c∇ ) r = 3c − c = 2c であるので。ち

なみに、電磁気でよくでてくる一様磁場のベクト
ル・ポテンシャルは、

1
A =B 0 × r
2

const.)( B0 =と与えられ、これから、であるので、a da =ada =a1 da1 + a2 da2 + a3 da3であると言ってしまうと、これで話は終わってし
まうが、これを図 7 のようなポンチ絵を描いて眺
めると、少しの時間はつぶせるかもしれない（ a = a∇ × A = B0

で あ る が 、となる。

∇ ( c f (r )r ) =( c∇ ) f (r )r(c : const. vector)da ≠ da である。）

図 7.

さて、ここで、単位ベクトル、 nを使って、

a = an（問：これを示せ。できれば暗算で・・）∇ ( ∇f (r )c )=( c∇ ) ∇f (r ) ( c :const. vector )

とすると、

=
da da n + a dnとなる。ここで、重要な関係式、

これは、∇ (∇f (r )c )= (c∇ ) ∇f (r ) + c × (∇×∇f (r ) )から。
（問：これを示せ。
）

もし、 ∇ 2 f ( r ) =0 であるとすると、∇ × ( ∇f (r ) × c=)

( c∇ ) ∇f (r )となる。

これは明らかであろう。

a − ( an ) nr( a∇ ) n =
これは、

r

すると、

b = bn=( a∇ ) rrbda = b da

(2-36)

が導かれる。これは当たり前の式であるとも言えるが、後の 2.12 節で、この関係式を使うであろう。
ついでに、関連する簡単な関係式を以下に列挙
しておく（これは、また簡単な練習問題でもある。）なお、n 等は n の時間微分、距離（道のり）の微分や一つの変数に関する偏微分などを表わしているものとする。

( a × ∇ )r = 0rとなる（問：これを示せ。
）
今、ベクトル、b と a が平行である、b  a ととして、（問：これを示せ。
）( a∇ ) n = ( a∇ )（問：これを示せ）を使うと、再び、

ada = a da

( c∇ ) ∇f (r ) − ( ∇2 f (r ) ) c( c :const. vector )∇× ( ∇f (r ) × c=)ndn = 0

1
+ ( a r ) ∇  r=nn 0=, aa a a=, ba b a2
a × da = a n × dn
b × da= b a n × dn
a × a= a 2 n × n , b × a= b a n × nから導かれる。
2.7. ベクトルの積分＜閑話休題： ada = a da ＞
ここで、一見して明らかな表題の関係について少し触れておこう。

a = aa = a + a2 + a3
2

2
1

2

2

積分の初等的イメージは、次のような和の極限である。

∑ f ( x ) ∆x → ∫ f ( x ) dx

curve)のことで、この FTC 型の右辺の | は、次iiの積分の｜と同じ意味である。
b
df
dx
=
f
x
(
)
∫a dx
a

また、和の性質から以下のような線形性があbる。

∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx

この(2-38)は、類書には多分、見受けられないのベクトルの積分も上記と同様に和の極限としではないかと思われるので、以下に、少し説明を与えておこう。しかし、表式の形からもわかるよて定義される。

∑ f ( x ) ∆x

∫ f ( x ) dx

→

i

i

うに、周知の（また記憶しているべき）次の公式と密接に関係しているのである。

よって、ベクトル和の性質から、［Gauss の公式］

∑ f1 ( xi ) e1 + f 2 ( xi ) e2 + f3 ( xi ) e3∆x →i∫ f ( x ) dx e + ∫ f ( x ) dx e + ∫ f ( x ) dx e
1

1

i

2

2

i

3

i

∫ ∇A dV= ∫ AdS= ∫ ( An)dS
V

S

3

S

(2-39)

div A )( ∇ A =［Stokes の公式］

∫ (∇ × A)dS = ∫ Ad lとなる。つまり、ベクトルを積分するには、ベクSトルの各成分の積分をすればよいことがわかる。

( ∇ × A = rot A )（言うまでもなく、これらのことは既に知っていまたは、ることであろう。
）∫ (∇ × A ) n d S = ∫ ( A  t ) d 

まったく同様の考え方で、ベクトル演算がある
積分についても、ベクトル積の（双）線形性を使うと、∫ f ∗ g dx = ∫ f e ∗ g e dx
( ∫ f g dx ) e ∗ e
i i

i

j

i

j

j

(2-37)

一般的なベクトルの積分は、上述のように考えると、これで「おしまい」となるのであるが、ベクトルの積分で重要なのは、積分の領域を変換する（たとえば、体積積分を表面積分に変換する）
公式である。代表的なものには、ガウス（Gauss）の公式やストークス（Stokes）の公式がある。ここで、（これらを含む）より一般的で有用な公式を提示しよう。それは、次の三つの公式である。

dV ∇ ∫ =dS ( ∫ ndS )∫=( Gauss型 )dS ×∇ ∫=dr ( ∫ td )∫=(Stokes型)∫ dr ⋅∇ =(FTC型)

S





S





b

b

a

a

（問：［Gauss 及び Stokes の公式を忘れてしまった方へ］これを示せ（ヒント：微少領域で考える。

j

S

S

［FTC(on the curve)］∫ ∇f dr = f ( r ) = f ( b ) − f ( a ) (2-41)となり、積分とベクトル演算は、（ある意味で）独立に行うことができることがわかる。

V(2-40)(2-38)
ここで、FTC とは、（曲線上の）微積分の基本定理、Fundamental Theorem of Calculus (on theGauss の公式では直方体、Stokes の公式では、
x − y 平面の長方形について考える）。なぜ、

x − y 平面のみで十分か？）
また、FTC の証明は、たとえば次のようであったことを思い出しておこう。
b

tb

a

a

dr

tb df

∫ ∇f dr =∫t ∇f  dt dt =∫t dt dt
f ( r ( t=)) t f (b ) − f (a)
a

tb

a

(2-38)を証明する前に、表式の左辺としては、
このような形しかないこと（たとえば、 dS∇ のような形はないこと）に注意しよう。(2-38)の左辺は、必ず、

dx∂∂xのように、微分（ dx ）と偏微分 ∂ ∂x が対なっており、これらが計算すると「キャンセル」され、次元が一つ下がるようになっている。先の dS∇の場合には、dS x∂∂=+  dy dz + ∂x∂x

ものであるので、成り立っている。以上から、(2-38)が成り立つことが示せたことになる。

となってしまい、次元を下げることができないの(２) 次にベクトルの成分に分解して計算するである。つまり次元を下げることが可能でかつベ「初等的な」証明をしてみよう。なお、ここクトルの形をした形式は、(2-38)の左辺のようなでは、Gauss 型と Stokes 型についてのみ説ものしかないことがわかる（絶対にないかどうか

明することにする。FTC 型については、こは知らないが・・・）の二つのケースからほとんど自明であろ

なお、(2-38)の左辺の表式では、偏微分が微分にはかからないように視覚的に配置されている

Gauss 型
Gauss 型公式、点にも注意されたい。

∫ dV ∇ =∫ dS

積分公式、(2-38)の証明
以下に二つの証明を与えておこう(１)う。

積分とベクトル演算は独立であるので（これは、(2-37)からもわかる）、(2-38)をス
カラー関数に適用した場合に成り立つということを示せば十分である。つまり、∫ dV ∇f =∫ f dS
Vが成り立つことを示せばよい。FTC 型は、このままで成り立つことがわかる。Gauss型と Stokes 型については、これと任意の定数ベクトル、 c との内積をとると、∫ ( dS × ∇f )c = ∫ f dr cSi(2-43)

1(2-44)iとなる。図 8 に示すような領域において、(2-43)の dx に関する積分を行うと、∫ dr ⋅∇f = f

S

1

1



V

∂f

∫ dx dy dz ∂x ( e ∗ e ∗    )∫ dS f ( e ∗ e ∗    )∫ dS ×∇f = ∫ f dr

∫ dV ∇f c =∫ f dS  c

する項に着目すると、左辺は、となる。また。右辺の対応する項は、SSの両辺の右側からスカラーやベクトル、さらにはそれらの積（内積や外積）を適当にかけたとしよう。それらを整理して、左辺の ∂ x に対応∫ dy dz ( f − f ) ( e ∗ e ∗    )21iとなる。この積分に関する部分は、) ∫ f dS − ∫ f ( −dS )∫ dy dz ( f − f=
2

1

2

1

1

1

となり、結局、(2-43)は、∫ dS f ( e ∗ e ∗    )1(2-42)1

1iと書けることがわかり、(2-44)が得られる。ことなる。逆に、これが任意のベクトル、c について成り立つのが示せたとすると、元の式（Gauss 型と Stokes 型）が成り立つことがわかる（問：これを示せ（ヒント：∀c , Ac =0 ⇒A=0 ）。）(2-42)は書き換えると、∫ dV ∇( fc ) =∫ ( f c )  dS
VS

∫ ( ∇ × fc )dS = ∫ ( fc )drSとなる（問：これを示せ。
）これは A = fc とすると、Gauss の公式と Stokes の公式その図 8. 微小領域の体積

れから、Gauss 型の公式が成り立つことがわ
かる。
Stokes 型
この場合にも、上記の Gauss 型と同様のことを行えばよい。

∫ dS ×∇ = ∫ drS

の両辺の右側から適当なベクトル量をかけて、以下の項に着目する。左辺では、



∂f 

∂f

∫  dzdx ∂z − dxdy ∂y  ( e ∗ e ∗    )1iを、右辺では、∫ dx f ( e ∗ e ∗    )
1

i

いま、
=
ω P dx + Q dy であるとすると、直ち∂P∂yに、 d ω =+dP dx dQ dy =dxdy +
−

∂Q
dxdy
∂x

と求まるのである。つまり、Green の公式を記憶する必要がなくなるのである。
ベクトルの積分の例

である。さらに、

f ( x, ∆y.∆z ) ≈ f ( x, 0, 0 )+ ∂f ( x, 0, 0 ) ∂y ∆y + ∂f ( x, 0, 0 ) ∂z ∆z

ここでの例は、積分公式（Gauss 型、Stokes 型
及び FTC 型）のいくつかの応用例であって、ベクトルの積分に関するリストアップをしようとであること、また着目している微少表面の四辺形は dzdx と dxdy であることを使って、図 9いうものでない（リストアップは多分、きりがなを参照にすると（かつ符号について若干、頭を

い）
。

悩ますと）
、
左辺は、
右辺になる。よって、Stokes
型の公式が成いであろうし、それほど意味があるとは思えな
Gauss 型の公式の右からスカラ―関数との積及びベクトルとの内積、外積をとると、り立つことが∫ dV ∇φ =∫ φ dS
⋅ A ∫ dS ⋅A∫ dV ∇=× A ∫ dS × A∫ dV ∇ =
V

わかる。
以上でベク
トルの積分の「基本」は終わりであるが、次
図 9. 微小領域の表面のことを付け加えおく。３次元空間の中で x − y 平面上の領域と平面内のベクトル、( P , Q , 0)を考えると、Stokes の公式から、

 ∂Q ∂P ∫ P dx + Q dy = ∫  ∂x − ∂y  dxdy

S

V

S

V

S

(2-45)(2-46)(2-47)となる。これらがこの型の基本であろう。二つ目の式、(2-46)は、Gauss の公式そのものであり、その有用性はよく知られているので、改めて述べる必要はないであろうが、次の点だけコメントしておくことにする。

divA = 0であるなら、つまり局所的な発散（湧き出し）がないとすると（問：その意味を確かめよ）、というグリーン（Green）の公式が導かれる（問：∫ AdS = 0

これを示せ。）この公式の右辺の符号は忘れやすとなる。つまり、ある領域（の境界）から（何かいので、この公式を思い出す（または導き出す）の量の流れ、 A に伴う）湧き出す全量はゼロになには少し頭を悩ます必要がある（問：平面上で関数、 P, Q が与えられているとして、Green の公るという至極、当然のことを示している。
さて、次に、

A= φ ∇ψ

式を導け。）しかし、微分形式における（拡張され た ） Stokes の 公 式 （ generalized （ ま た は
extended）Stokes formula を知っていると、まったく機械的に（瞬時に）導くことができる。

∫C dω = ∫∂C ω（拡張された Stokes の公式）

(2-48)Sとおくと、

divA =∇(φ ∇ψ ) =∇φ ∇ψ + φ ∇∇ψであることから、∂ψ∫ (φ∇ ψ + ∇φ ∇ψ ) dV = ∫ φ ∂n dS
2=∫ φ n ∇ψ dS =∫ φ ∇ψ  dS

(2-49)

となる。ここで、ψ = φ とおき、 ∇ 2φ =0 であとなることがわかる。しかし、これは、∇( ∇φ × ∇ψ ) =0(2-54)

るとすると（調和関数であるとすると）、=∫ ( ∇φ ) dV
2∂φということから（問：これを示せ）、直ちにわか∫ φ ∂n dS =∫ φ ∇φ dS ることでもある（(2-48)を参照）。

(2-50)となるが、これは次の性質を示すのによく使われまた、若干、複雑であるが、∇( B × ( ∇ × A ) − A × ( ∇ × B ) )= ( ∇ × B )( ∇ × A ) − B( ∇ × ( ∇ × A ) )るものである。
領域の境界で、 φ = 0 または、 ∂φ ∂n =
0 で

あるなら、
（内部を含めた）全領域で φ は一定値をとる（問：これを示せ。
）=
φ c ( c ≠ 0)
また、よく知られているように、でも同様である。これを示すには、φ=φ − c とし− ( ∇ × A )( ∇ × B ) + A( ∇ × ( ∇ × B ) )= A( ∇ × ( ∇ × B ) ) − B( ∇ × ( ∇ × A ) )となることを使うと、∫ dV [ A ⋅ ( ∇ × ( ∇ × B ) ) − B ⋅ ( ∇ × ( ∇ × A ) )]V

∫ dS ⋅ ( B × ( ∇ × A ) − A × ( ∇ × B ) )=て考えてもよいが、

S c ∫ ∇φ  dS = c ∫ ∇ ∇φ dV= 0 と∫ φ ∇φ d=してもよい（注：（分離した）境界がいくつかあって、個々の境界で、 φ = const. という場合には、上のことは必ずしも成立しない。）

Sと な る 。 こ こ で 、 A, B が と も に 、 発 散 な し（divergence free）で調和的（ ∇ 2 =0 ）であるとすると、) ) ∫ dS ⋅ ( A × ( ∇ × B ) )∫ dS ⋅ ( B × ( ∇ × A=
S

S

(2-49)式を使うと、または、となる（問：これを示せ）。実は、この両辺は、
単に、を使うと、Green の定理、

∫ dV ( ∇ × B )( ∇ × A )A= φ ( ∇ψ ) − ( ∇φ ) ψ

V

∂ψ

∂φ

φ ) dV ∫ (φ−ψ) dS
∫ (φ∇ ψ −ψ∇ =
∂n
∂n
2

2

に等しいのである（問：これを示せ）。
(2-47)から、∫ dV ∇ × ( A × B )= ∫ dS × ( A × B )∫ (φ ∇ψ −ψ ∇φ )dS )

=

V

S

(2-51)
が得られる。これはポテンシャル論でよく使われとなるが、もし、るということは周知であろう。

であるとすると、∇ A= 0 ,∇ × ( A × B ) = ( B ∇ ) A − ( A  ∇ ) B(2-46)から、であるので（問：これを示せ）、

B ) ∫ dS ⋅ ( A × B )∫ dV ∇ ⋅ ( A ×=V

∫ dV [( B∇ ) A − ( A∇ ) B ]= ∫ dS × ( A × B )Sとなるが、もし、

∇×
=
A 0,

V

∇=
×B 0

S

であるとすると、∫∂VdS ⋅ ( A × B ) = 0(2-52)となる（問：これを示せ。）ただし、面積積分の範囲は、領域、V の全境界であることを示すために、 ∂V という記号を使った。例えば、A=∇φ , B =∇ψ∫ dS ⋅ ( ∇φ × ∇ψ ) = 0となる。これを、 A =∇f , B =∇g に適用する
と、もし、
2
∇=
f 0 ,

2
∇=
g 0

であるとすると、∫ dV [( ∇g ∇ ) ∇f − ( ∇f ∇ ) ∇g ]V=であるとすると、∂V∇B= 0(2-53)∫ dS × ( ∇f × ∇g )Sとなる。これは、直接、

g ) ∫ dS × ( ∇f × ∇g )∫ dV ∇ × ( ∇f × ∇=V

S

からも求まる（問：これを示せ。
）
さて、Stokes 型の公式についても、式の右側から Gauss 型と同じように積をとると、∫ dS ×∇φ = ∫ dr φ
⋅ A ∫ dr ⋅ A∫ ( dS × ∇ )=(2-55)A ∫ dr × A∫ ( dS × ∇ ) ×=

(2-57)

S



S



S



(2-56)

0∫ dS ⋅ω + ∫S dS ⋅ω =S1

2

でなければならないことがわかる（これから S1 とS 2 の（共通の）境界線に沿った積分も等しくなる
ことがわかる）。つまり、最初に仮定したような ωの分布は許されないのである（なお、ここではあくまでも、ある程度のオーダーまでの連続微分が可能であることを想定しての話である。
）
次に(2-55)式について考えよう。この式の x 成
分は、∫ ( dS ∂ φ − dS ∂ φ )というこの型の基本が得られる。二つ目の式が2

Stokes の公式である。この公式からの重要な帰結

3

3

2

∂φ



∂φ 

∫  dzdx ∂z − dxdy ∂y  = ∫ φ dx

は、



∇=
× A rot=
A 0

つまり、局所的に回転なし（rotation free）、または渦無しであるとすると、循環（circulation）がゼロになるということである。

∫ dr ⋅ A =∫ Adl = 0

ちなみに、図 10のように、表面で「渦度（vortex）」
ω = rot A が 分布しているとしよう。 S1 表面では、

ω = 0 で、 S 2 表

図 10. 表面上の渦度の分布

面では、図のように分布しているとする。 S1 に上の式を使うと、

∫A  dl = 0となるが、これは Stokes 型の公式の証明の際に出てきたものと同じである（問：（符号に注意して）これを示せ。）(2-55)を閉曲面に適用すると、明らかに、∫ dS ×∇φ = 0
Sとなるが、この結果は、Gauss 型を適用しても直ちに求まる（問：これを示せ）。
(2-56)及び(2-57)式から、(2-58)B ) ∫ dr ⋅ ( A × B )∫ ( dS × ∇ ) ⋅ ( A ×=B ) ∫ dr × ( A × B ) (2-59)∫ ( dS × ∇ ) × ( A ×=
S



S



となる。(2-58)式の被積分項は、
B ) d S ( ∇ × ( A × B ) )( dS × ∇ ) ⋅ ( A × =となり、もし、∇ A= 0 ,(2-60)∇B= 0とすると、( ( B∇ ) A − ( A ∇ ) B ) dS

であり、表面、 S 2 に適用すると、− ∫ A dl =− ∫ rotAdS > 0∫ Adl =となる（問：これを示せ。
）よって、(2-58)式は、
条件、(2-60)の下で、となる（問：これを示せ（符号も含めて）。
）つまり、矛盾した結果が得られたことになる。どこがおかしいのであろうか。これは、Gauss の公式を使うと解決する。 S1 表面と S 2 表面で囲まれる体∫ ( ( B ∇ ) A − ( A ∇ ) B ) dS= ∫ dr ⋅ ( A × B )

S2

−



積を V とし、これに Gauss の公式を使うと、∫ dV ∇ ⋅ ω = ∫ + S dS ⋅ω
V

となり、

S1

2

∇ ⋅ ω = ∇ ⋅ (∇ × A ) = 0

であることから、Sとなる。一方、(2-59)の被積分項は、( dS × ∇ ) × ( A × B ) =A ( ( dS × ∇ )B ) + ( B ( dS × ∇ ) ) A− B ( ( dS × ∇ ) A ) − ( A ( dS × ∇ ) ) Bとなる。ここで、( dS × ∇ )B= dS( ∇ × B ) , B( dS × ∇=)であるので、もし、∇ ×=
A 0 , ∇ ×=
B 0

( B × d S ) ∇
(2-61)

であるとすると、この条件の下で、(2-59)式は、

 ∫ ( ( B × dS )∇ ) A − ( ( A × dS )∇ ) B S=∇2 f =
0であるとすると、

dr × ( A × B )∫

が求まる。ここで、もし、∇f ∫ dr × ∇f
∫ ( dS∇ )=となる。
(2-57)式の左辺の被積分項は、Sとなる。なお、表面がある領域を囲んでいるとす( dS × ∇ ) × A = − ( ∇  A ) d S + ∇ ( A  d S )=− ( ∇ A ) dS + ( dS∇ ) A + dS × ( ∇ × A )とも書ける（問：これを示せ）ので、(2-57)は、

ると、(2-63)式の右辺はゼロとなる。一方、Gauss型の公式の両辺の右側から、まずナブラ記号、 ∇との内積をとり、次にこれを ∇f に作用させると、∇f ∫ ( dS∇ ) ∇f
∫ ( dV ∇∇ )=∫ dr × A =∫  − ( ∇A ) dS + ( dS∇ ) A

V

S



∫ dV ∇ ( ∇ f ) =∫ ( ∇ f ) dS
2と変形できる。
さて、

2

V

ことがわかる。
最後は、FTC 型についてであるが、ここでは、次の二つをあげるだけにとどめよう。

（問：これを示せ）であることを使うと、∇g ) ∫ ( dS × ∇ )( f ∇g )∫ dS ⋅ ( ∇f ×=
SS∫ f ∇g ⋅ dr =∫ f dg =− ∫ g df
Sであることを使うと、(2-63)の左辺もゼロになるg ) dS( ∇ × f ∇g )( dS × ∇ )( f ∇== dS( ∇f × ∇g )

Sとなる。また、+ dS × ( ∇ × A ) =



(2-62)

ここで、表面、 S がある領域を囲むものとする

b

a

a

∫ dr ⋅ ∇φ = 0∫ ( dr ⋅ ∇ ) A = 0

のである。

(

a

には、当然、はゼロになる。実は、これは、(2-53)式と同じも( dS × ∇ ) × ∇ f = ∇ f f × ( ∇ f × d S )ab

始点、 a と終点、 b が一致する周回積分の場合と、その表面の境界線はないので、(2-62)式の値

次に以下の若干、長い式の変形を考えよう。

b∫ ( dr ⋅ ∇ ) A = A

となる最後の式は、 f , g を入れ換えて得られる。

b∫ dr ⋅∇φ = φとなる。これらの左辺を Stokes 型の公式で見ると、

∫ dr ⋅ ∇φ = ∫ ( dS × ∇ ) ⋅ ∇φ)=∇ f ( ∇ f f  dS ) − ∇ f 2 f dS

S=

( dS∇ ) ∇f + dS × ( ∇ × ∇f ) − ( ∇ 2 f ) dS=

( dS∇ ) ∇f − ( ∇ f ) dS
2

∫ dS( ∇ × ∇ ) φ = 0∇ ) A ∫ ( ( dS × ∇ ) ⋅ ∇ ) A∫ ( dr ⋅=

=

S

S

（問：これを示せ）この式は、∇ に対して、dS は= =∫S dS( ∇ × ∇ ) A 0
定数だと思うと、となり、また、当然の結果が得られることになる。
( dS × ∇ ) × ∇f = ∇ × ( ∇ × dS ) f( )= ( dS∇ ) ∇ − ∇ 2 dS  f

位置ベクトルに関係する積分公式と変形でき、一気に結果が求まる。(2-57)式から、いくつかの例をここで取り上げることにする。

∇f ∫ dr × ∇f
∫ ( dS × ∇ ) ×=

なお、ここでの線積分はすべて一周にわたる周回S

積分である。

であるので、上の結果から、
2
S ∫S ( dS∇ ) ∇f − ( ∇ f ) d=

∫ dr × ∇f(2-63)

1r × dr = S = ∫ d S
2∫

(

)

(2-64)

左辺はある二次元図形の境界積分であり、右辺はその図形の面積ベクトルである（図形は平面であ

0 = ∫ dS = ∫ dS1 + ∫ dS 2 = ∫ dS1 − ∫ dS 1となり、∫ dS = ∫ dS

る場合には、そのベクトルの大きさは面積で、その方向は平面に垂直である。）これは直感的に明らかであろう。若干、回りくどい証明は以下のとおりである。

が得られる。つまり、表面の周回の境界を固定すると、その面積ベクトルは形状には依存しないこ
また、Gauss 型の公式、

× r ∫ ( dS × ∇ ) × r∫ dr=∫ dV ∇r =∫ dSrが得られるが、( dS × ∇ ) × r = ∇r ( dSr ) − dS ( ∇r )である。ここで、 ∇r は dS を一定と考えたナブ
ラ記号である。これから、( dS∇r ) r + dS × ( ∇r × r=) dSとなり（問：これを示せ）、 ∇r =
3 であることを使うと、( dS × ∇ ) × r = −2 dSとなる。これから、(2-64)式が得られる。導出からわかるように、これは位置ベクトルの原点の取り方に依存しないが、これは以下の明示的な表現
からもわかる。

r= r0 + x

から、直ちに、∫ rdS = 3Vとなる。これを球に適用すると、左辺は、

r 4π r 2となり、球の体積の公式が得られる。また、次のGauss 型の公式から、=
0∫ r × dS =∫ r × dS
1

から、

1

0

0

0

1

となるが、これからこの積分も表面の周回境界を固定すると、表面の形状には依存しないことがわかる。

∇r 2 = 2r∇r = 2rn = 2r

∫ r × dr = ∫ r × dr + ∫ x × dr

∫ r × dr =r × ∫ dr =0∫ dV ∇ ×=r ∫ dS × r

となり、

とすると、
となるが、

1

とがわかる。

Stokes 型の公式から、∇r ( dSr=)1( ∫ dr =0)であるので、原点の位置によ∫ rdV = 2 ∫ r dS
次の二つの表式は、直感的に明らかであるが、演習問題として記しておく。
Stokes 型の公式から、∫ ( dS × ∇ ) c = ∫ c dr

らないことがわかる。
いま、 c を定数とすると、
Gauss 型 の 公となり、あまりにも明らかな、∫ dr = 0が得られる。また、

=
0

式から、
図 11. 境界を共有する表面)r ∫ dr r∫ ( dS × ∇=から、

∫ r  dr = 0∫ ( dV ∇ ) c =∫ c dSが得られるが、これは、∫ dS = 0から明らかであろう。

となり、となる。図 11 のように表面をわけると、

2r ⋅ dr =1 2 dr 2 .

2.8. 積分量の時間変化と呼ばれるものである。粒子の視点に立つと、物空間に分布する物質やその物理量など（以下、物理量の変化（粒子が感じる変化）は、

f ( t + ∆t , r + v∆t ) − f ( t , r )理量という）を記述する方法、または見方には二≈ ∂f ∂(tt,r ) ∆t + ∂f ∂(tr,r )  v∆t

つのやり方がある。これらのことは周知であろう
が、説明の都合上、記述しておく。一つは、オイとなり、これら粒子が感じる時間変化が、

ラー（Euler）的見方で、物理量は次のように表

D

される。

Dt

f ( t , x, y , z )つまり、空間（＋時間）の中のある点に物理量、f が与えられていると考えるのである。または

=

∂
∂t

速 度の ような もの は考え ない 。あく まで も、( x, y, z ) は空間の座標を示すものであって、粒子の位置とは無関係なものである。
このように考えると、その（空間内のある点における）時間変化は、単に、時間の（偏）微分で与えられることになる。

∂f ( t , x, y, z )∂t

もう一つの見方は、ラグランジュ（Lagrange）
的見方で、物質や物理量を表わすものは、質点、素電荷、（古典的な）素粒子、流体粒子のような仮想的粒子などからできていると考え、時間的変化はその粒子（粒子は全くの仮想的なものでよい）が運動することによると考える見方である。
粒子の番号付けを p = ( a, b, c ) とすると（この番号付けは、たとえば粒子の運動の初期値とすることもできる）、物理量は、F ( t , a , b, c ) = f ( t , x ( t , p ) , y ( t , p ) , z ( t , p ) )と表わされる。またその時間微分は、

dF (t , p)dtのように与えられる。これは、番号付けを固定、つまりある粒子に着目したときの時間微分の表
現であり、番号付けも変数とみなせば、∂F (t , p)∂tとも書ける。
さて、この二つの（時間微分の）見方をつなぐのが、ラグランジュ微分（Lagrange’s derivative）

=


∂
∂t




+ v grad と与えられる。ここで、左辺は、ラグランジュ的視点に立った時間微分と同じもの（または時間に関する全微分）であり、「場」が与えられていると思ってもよい。この物
理量を担っているのが、粒子のようなものだとしても、その粒子の位置（例えば、 x ( t ) など）や

+ v ∇

D

=

Dt

d
dt

であるが、習慣的に、左辺のように書くことがある。右辺はこれをオイラー的に「表現」しているものである。たとえば、

dr
dt

=

Dr

=

∂r

Dt ∂t
=0 + v =v+ v ∇rと当然の結果が得られるが、ここで、∂r= 0, v ∇r =v∂tであることに注意されたい（速度は第一項からではなく、第二項から出てくる。
）
空間に固定された領域内の物理量の時間変化を表わす式は簡単で、その時間に関する偏微分について積分すればよい。たとえば、ある体積内のスカラー量の時間変化は、∂f∫ ∂t dVV(2-65)と与えられる。以下では、（ある時点に）ある領
域内にあった粒子（粒子の番号付けのある範囲にある粒子）がもつ物理量の総和の時間変化、つまりラグランジュ的な見方での物理量の時間変化を表わす表式を求めることにしよう。
これを求める際に重要なのは、物理量の時間変化は、その物理量を構成する個々の因子の時間変化に伴う変化量の和で表されるという原理である（微分の線形性、Appendix D を参照のこと）。

となる。さらに、積分領域に依らずに保存される
とすると、

初等的導出
今、ある体積内の物理量、∫ f ( t , x, y, z ) dVを考えることにすると、その時間変化は、その体積内の f
変化の総和（積分）と体積の変化に伴う変化との和（線形和）となる。ま図 12. 体積の時間変化∂ρ(2-66)

V

∂t
または、

Dρ
Dt

∫

V

( r1 , , rN , p1 , , p N )で、次元数は、6N である。また、「速度」、v は、∂f ( t , x, y, z )dV∂t( r1 , , rN , p 1 , , p N )と与えられる。また、（微小）体積の変化は、図 12から、と表面の移動に伴う体積変化によるものとして求められる。よって、(2-66)の時間変化は、

dt=∫ f dV∂f∫ ∂t dV + ∫ f vdS (2-67)となる。これは、また、dとなる。今、この位相空間の中に（たとえば、初期条件の異なる）多体系を分布させたとしよう（注：一つの多体系はこの位相空間内の一点で表されてお

v dS

d

(2-70)+ ρ div v =0と、よく知られた保存則の方程式が得られる。
ここで、休憩もかねて、少し脇道にそれよう。
(2-70)を導く際に、空間の次元数はいくつであるかは関係していない。そこで、これを Hamilton
系の位相空間に適用してみよう。N 個の粒子からなる系を考えると、その位相空間の座標は、ず、前者は、(2-65)と同じもので、

0+ div ( ρ v ) = ∂f

 Df + f div v  dV
= ∫
 Dt


や相互作用することはない存在である。単に、初期条件の異なる系を無数に分布させたと考えるのである。） す

ると、分布させた系の数は、当然、一定であるが、さらに位相空間の中の分布の運動が滑らかであると仮定すると（つまりある領域を考えると、そ



dV ∫
∫ f=
 ∂t + div ( f v )  dV
dt

り、異なる点同士は物理的には無関係な存在で、ましての境界は境界のままであり、内部の点は境界を飛(2-68)

び越えることはないとすると）、(2-70)に相当する
保存則が成り立つことになる。ここで、

=
div v

 ∂ri∂p i ∑  ∂r + ∂p とも表わされる（問：これを示せ。
）
ここで、 f = 1 とし、微小体積を考えると、(2-68)となる（注：本来ならば、左辺は Euler 的に表現すべきは、であるので、時間微分の形は誤解を与えるかもしれないd(2-69)( ∆V ) ∆V = div v
dtとなる。これはよく知られた体積膨張率とdivergence との関係式である。 f = ρ （密度）とおき、（粒子とともに動く、つまりラグランジ
ュ的な見方での）その積分量が保存されるとすると（積分量の例：全質量や全電荷など）、

iiが・・）これの運動が Hamiltonian、 H に従うと

すると、
∂ri

∂p i
∂  ∂H  ∂  ∂H 
+=

−
 =
 0
∂ri ∂p i ∂ri  ∂p i  ∂p i  ∂ri であるので、(2-71)
div v = 0となる。よって、Dρ ∂ρ + div ρ v  dV ==0(2-72)0( )Dt∫  ∂tとなる。これがいわゆるリウヴィル Liouville の定理と呼ばれるものである。これは、また、(2-69)と(2-71)から、位相体積が不変であるということと同じである。（注：不変になるのは、 6N 次元の位相空間（ N が大きな場合には、想像できないような多次ような考え方、見方は、明らかに、(2-73)式の導出と矛盾するものであるが、自己撞着（self-inconsistency）を、物理的直観により、自己無撞着（self-consistency）に切り替えて多体系の運動を記述しようというものである。そのよう元空間）での位相体積であり、（一粒子の場合を除くと）
決して 6 次元空間での位相体積ではないのである）（注：以上では運動が滑らかであると仮定して成り立つものであることに注意しよう。もし粒子の間で衝突（局所的な衝突）があるとすると、位相空間内で（比較的マクロなスケールで）近接する二点の内、衝突のあった一点は、（衝突とはほぼ無関係に）滑らかに運動しているもう一点から、衝突後に大きくそれるようなことが起きる。このような衝突が頻発すると、マクロな視点では微小な位相空間の領域は、時間とともに歯抜けになるとともに、外からその領域内に雑多な点が紛れ込んでくることが起きる。こうなると、実際上は、リウヴィルの定理が破綻するのである。）

さて、多体系ではなく、単純な一粒子系を考えると、(2-72)は（ ρ = f とおいて）D∂ff ( r , p ) = + r 

∂f

∂f

=0
∂r
∂p
これをニュートン力学の言葉で書くと、∂f F ∂f
∂f
=0
+ v
+ 
(2-73)∂r m ∂v∂tとなる。先に述べたように、位相空間の異なる点は、たとえば初期条件が異なる別の系であり、点の間には（どんな状況下でも）全く相互作用はない。つまり、点同士の間に衝突はないのである。
もし点同士の間に衝突のような相互作用がないとすると、この位相空間にある無数の（仮想的な）粒子を実の粒子だと考えても問題ないことになる。つまり６次元空間、( r, p ) のある領域を無数
Dt∂t+ p 

の実の粒子が占めていると考えたとしても、その分布（無衝突の粒子系の分布）は、(2-73)式に従うことになる。今、考えているのは、あくまでも
一 粒 子 の 問 題 で 、 (2-71) 式 が 成 り 立 つ た め の
Hamiltonian も一粒子のものであり、それに寄与するポテンシャルなどは外部から与えられたものである。しかし、ここで、外場を着目している粒子以外の粒子からの力などの寄与を（平均化して）加えても、個別の衝突がほぼ無視できる現象
であれば、(2-73)式がほぼ成り立つであろうと「物理的直観で推測できる（コメント：こういう時に便利なのは、この言葉かもしれない。）要するに衝突によるような現象は見ないことにするのである。この

図 13. 表面の時間変化に考えた時の(2-73)式をブラソフ（Vlasov）方程式という。
さて、大分、脇道にそれたので、本道に戻って先を急ごう。次に考えるのは二次元の場合であって、それも二次元の曲面（ふちのある膜のような表面）上の次の量（ベクトルと表面ベクトルとの内積）の時間変化である。

∫ AdS
この時間変化は、体積積分の場合と同様に、∂A∫ ∂t dSと表面の移動に伴う変化との和とで表される。図13 を参照にすると、∆t dS ∫ AdS − ∫ AdS + ∫ ( dl × v∆t ) A
∫ ( div A ) v=
t +∆t

t

となる（問：これを示せ）。以上から、d ∂A + div A v   dS + dl  A × v
A  dS =∫
) 
∫
∫ ( )
 ∂t (dt
となり、右辺の最後の項を表面積分に直すと、d ∂A∫ AdS = ∫  ∂t + ( div A ) v
dt+∇ × ( A × v )  dS(2-74)となる（問：これを示せ）。表面が閉じている場
合（表面がある領域を包んでいる場合）には、(2-74)式の右辺の最後の項は体積積分に変換する
ことにより、ゼロになることがわかる。よって、

d

 ∂A



A  dS =∫  ∂t + ( div A ) v dS
dt ∫（閉曲面の場合）が得られる。

次に一次元の場合について考えよう。ここでないとフラストレーションが溜まるだけであろう）。

は、以下のような曲線上の積分、(１) 積 分 を 形 式 的 に 粒 子 の 番 号 付 け の 変 数

2∫ A  dr1

( a, b, c ) で表す。ただし、あくまでも形式での時間変化を考えることにする。曲線の移動に伴あって、実際の計算には用いない。

う変化は、図 14 を参照にすると、(２) すると、積分における微小体積等の変化をき∫ ( ∇ × A )( dr × v ∆t ) =( ∫ Adr ) − ( ∫ Adr )
2

2

1

1

t

ちんと計算するためには、微分形式を用いる必要がある（これについては、３節の微分形
式の説明を参照のこと）。（注：最後まで、番t +∆t+ ( A  v∆t ) 2 − ( A  v∆t )1

号付け変数 ( a, b, c ) で表して計算をするので。これから、となる（問：これを示せ）
D

2

2

1

1

 ∂A



A  dr ∫∫= ∂t + ( ∇ × A ) × v   dr
Dt

あれば、必ずしも微分形式を用いなくてもよ
いが、計算や表式が複雑になるであろう。）(2-75)+ ( A  v ) 2 − ( A  v )1(３)

微分形式の時間微分へのコメント

x=F ( t , a , b, c )x =∂F ( t , a, b, c ) ∂tが得られる（問：これを示せ）。さらに、これかとおき、微分形式の（外）微分は、空間や番ら閉曲線の場合には、D ∂A + ( ∇ × A ) × v   dr=
A  dr 

∫
∫
 ∂t

Dt

号付け変数についてであって、時間は単なるとなることがわかる。

パラメーターと見なすことにする。すると、

∂F
∂F
∂F
da +
db +
dc
∂a
∂b
∂c
∂2 F
∂2 F
∂2 F
dx =
da +
db +
dc
∂a∂t
∂b∂t
∂c∂t
dx =

すると、

d
∂2 F
∂2 F
∂2 F
dx =
da +
db +
dc
dt
∂t ∂a
∂t ∂b
∂t ∂c
となり、
図 14. 曲線の時間変化

以上、スカラーの体積積分、ベクトルと表面ベ
クトルの内積の積分、ベクトルと線要素との内積の積分についてのみ検討したが、それ以外についても Gauss 型や Stokes 型の公式を使えば、求めることができるが、ここまでとしよう。
機械的計算による導出
これまでは図形を使って、若干、頭をひねった式の導出であったが、微分形式を利用すると、機械的に計算することで、式を導出することができる。そのためには、まず計算方法の基本的な考え方を説明しよう（注：微分形式に不案内な方はこの箇所はスキップした方がよいであろう。そうしddx = dxdtということがわかる。これはあまりに明らかで証明するまでもないようにも見えるが、dx, dx

の d は外微分を表わす d であることに注意しよう。もう一つ微分に関するコメントは、微分形式の外積（exterior product または wedge
product）は、ベクトルの内積、外積と同様に（多重）線形性をもつということである。よって、その時間微分でも Leibniz’s rule が適用できるということである（注：この場合のLeibniz’s rule は 外 微 分 で い う と こ ろ のLeibniz’s rule ではなく、多重線形性による「普通の」Leibniz’s rule である。）(４) 積分の時間変化の計算方式
体積積分を例にとると、積分を、

( f vdS ) ∫=( f vdS ) ∫ ∇( f v ) dV
∫ d=

∫ f ( t , x, y, z )dV ( t , x, y, z )= ∫ F ( t , a, b, c ) dV ( t , a, b, c )Vのように「形式的に」表わしておき、この時間微分をとると、右辺は、

d
F ( t , a, b, c ) dV ( t , a, b, c )
dt ∫
dF
d
dV
= ∫ dV + ∫ F
dt
dt

( )

のように書ける（注：右辺の積分領域は時間不変である）。こうしてから、時間微分をラグランジ
ュ微分とする（つまり Euler 的見方をする）のである。
これで準備が終わったので、以下では、具体的な計算を行うことにする。
積分記号の中に着目すると、
DDt( f dx ∧ dy ∧ dz=)
+f

であり、

Df
Dt

dx ∧ dy ∧ dz

D ( dx ∧ dy ∧ dz )∂V

次に二次元の曲面上の積分、∫ AdSの時間変化を考えることにしよう。積分記号の中の x 成分を取り出すと、D ( dy ∧ dz )DAxDdy ∧ dz + Ax=
( Ax dy ∧ dz
)
Dt
Dt
Dt
となる。また、D ( dy ∧ dz )Ax
= Ax dv y ∧ dz + Ax dy ∧ dvz
Dt= d ( Ax v y ) ∧ dz + dy ∧ d ( Ax vz )Dt−(v y dAx ∧ dz + vz dy ∧ dAx )D ( dx ∧ dy ∧ dz )である。ここで、= dvx ∧ dy ∧ dz

d ( Ax v y ) ∧ dz + dy ∧ d ( Ax vz )Dt
+ dx ∧ dv y ∧ dz + dx ∧ dy ∧ dvz= d ( Ax v y ∧ dz − Ax vz ∧ dy )となる。ここで、=
f dvx ∧ dy ∧dz d ( f vx ) ∧ dy ∧ dz

−vx df ∧ dy ∧ dz
= d ( f vx dy ∧ dz ) − vx∂fdx ∧ dy ∧ dz
∂xと変形できるので、ベクトル的な書き方をすると、
f dvx ∧=dy ∧ dz d ( f v x dS x ) − v x

よって、
D

Dt
=

∂f
∂x

dV

( f dx ∧ dy ∧ dz )DfVである。ここで、最初の等号は、微分形式の（拡張された）Stokes の定理から、次の等号は、ベク
トル解析の Gauss の公式から導かれる。
以上、まとめると、d ∂f + div ( f v )  dV=
f dV ∫
∫
 ∂t

dt
となり、再び、(2-68)が得られたことになる。

dV + d ( f v  dS ) − ( v ∇ ) fdV

Dtとなることがわかる。一方、∂fDf− ( v∇ ) f =∂t
Dt
であり、また、= d ( Ax ( v × dr ) x )と書ける（問：これを示せ）。一方、
DAx
 ∂A

dy ∧ dz=  x + v∇Ax  dy ∧ dz
Dt
 ∂t

であり、
v ∇Ax dy ∧ dz − (v y dAx ∧ dz + vz dy ∧ dAx )

=

∂Ax
v dS
∂x

となる。以上をまとめると、d ∂AA  dS = ∫ + ( div A ) v  dS
∫
dt
 ∂t


+ ∫ d ( A ( v × dr ) )Sとなるが、最後の項は、

∫ d ( A( v × dr ) )= ∫ A( v × dr )
S

=

∂S

v ) ∫ dS( ∇ × ( A × v ) )∫ ( dS × ∇ )( A ×=
S

Sと変形できる。ここでも一番目の等号は、微分形
式の Stokes の定理であり、二番目の等号は、ベクトル解析での Stokes 型公式である。以上から、d ∂AA  dS = ∫∫ ∂t + ( div A ) v
dt+∇ × ( A × v )]  dSとなり、(2-74)が再び得られる。

2.9. ヘルムホルツ（Helmholtz）の定理
ベクトル解析でのヘルムホルツの定理とは、ベクトルは、スカラー関数の gradient とあるベクトルの rotation の和で書けるというものである。

A = − grad Φ + rot B

簡単な場合
考える空間は全空間であり、ベクトル、 A は、
r → ∞ の時、 A → 0
であると仮定しよう（なお、ここでの議論はそれ次に一次元の線分（曲線）上の積分、
2∫ A  dr1の時間変化を考えよう。今までと同様に、積分記
号の中の x 成分を取り出すと、DDt

A dx )
(=
x

DAx
Dt

dx + Ax dvx∇ 2φ =−ρ→

1 ρ ( ρ′ )φ (ρ ) = ∫
dV ′
4π ρρ
− ′

である。係数や符号を忘れてしまった方は、たとえば、 ρ の分布は、非常に局所的であるとして、∂A

Gauss の定理を使えばよい。その後で重ね合わせ∂tの原理を使えばよい（または、静電ポテンシャル= x + v∇Ax + d ( Ax vx ) − vx dAxとなるが、最後の式の第二項と第四項は、v ∇Ax − vx dA
x

=

∂Ax
∂y

( dr × v ) z −

∂Ax

∂z

= Ax ( ∇ × ( dr × v ) ) x( dr × v ) yと書ける（問：これを示せ）。以上をまとめると、Dほど厳密ではない）。
一方、よく知られているように、

2

2

1

1

 ∂A

∫ Adr = ∫  ∂t drDt+ A ( ∇ × ( dr × v ) ) + d ( A  v ) 
これをさらに変形すると、
D 2
 ∂A

A  dr = ∫ dr + ( ( ∇ × A ) × v ) dr 
∫

1
Dt
 ∂t

2

1

+ ( A  v ) 2 − ( A  v )1となり（問：これを示せ）、(2-75)が再び得られる。
以上の計算例からわかるように、微分形式を使うと、図を見ながら頭を使わなくても機械的に計算するだけで結果を求めることができるのである。

の場合を思い出してもよい）。これをベクトルの場合に単純に拡張すると、∇2 A =−a →1 a ( r′ )A (r ) = ∫dV ′4π r − r′(2-76)
が得られる。そこで、今、「人を食ったような」次の表式を取り上げよう。

∇ 2 A ( r ) = − ( −∇ 2 A )これに、(2-76)を適用すると、
2
1 ∇′ A ( r ′ )dV ′A (r ) = −4π ∫ r − r′

ここで、「記憶に値する（かつ悪名高いとも言える）」次の関係式を用いる。

=∇ 2 grad ( div ) − rot rot

すると、

A (r ) = −1 ∇′ ( div′A′ )dV ′4π ∫ r − r′

1 ∇′ × ( rot ′A′ )
dV ′
+
4π ∫
r − r′となる。さて、(2-77)ψ  1
1
1 div′A′
1  rot ′A′ ∇′  = ∇′ψ + ∇′  ψ=
′
,
dV
Φ
=
B

 dV ′
r r
r
4π ∫ r − r′
4π ∫  r − r′ から、もし、 r → ∞ で、急速にψ → 0 とする(2-78)と、ψψ ∫ ∇′  r  dV ′ =∫ r dS → 0.となる。これから、(2-77)の右辺の第一項は、

1 ∇′ ( div′A′ )dV ′−4π ∫ r − r′
=

 1 
1
′
∇

 div′A′ dV ′4π ∫  r − r′ となる。さらに、∇′ f ( r − r′ ) = −∇ f ( r − r′ )に注意すると、この第一項は、

−

 1 
∇ div′A′1∇ − div′A′ dV ′ =∫∫ r − r′ dV ′
′
r
r
−
π
4π
4



となる。
また、

a 1
1
∇′ ×   = ∇′ × a + ∇′   × a
r r
r
であるので、もし、r → ∞ で、急速に a → 0 とと与えられることがわかる。
これから、全空間で、 div A = 0 なら、ベクトル、 A は、

A = rot Bとなり、また、 rot A = 0 なら、A=− grad Φとなることがわかる。しかし、周知のように、（全空間ではない）ある領域では、 div A = 0 で、かつ rot A = 0 ならば、 A = 0 であると安易に結論を出してはいけない。たとえば、 z 軸上に線電流が流れていている z 軸を除いた領域を考えればわかる（問：この場合の磁場を求めよ）。または軸上に渦糸がある完全流体の場合や（軸ではない）ある太さをもった円筒を除いた場合などでは、 A = 0 とはならない［蛇足］
もし、 r → ∞ の時、 A → c である場合には、

 = Φ − (c ⋅ r )
Φ

または、

1
 =
B
B + (c × r )
2

すると、

a

a

∫ dV ′ ∇′ ×  r= ∫ dS ×  r  → 0
であることから、(2-77)の右辺の第二項は、

1 ∇′ × ( rot ′A′ )dV ′r − r′
4π ∫とすればよい（問：これを示せ）。

r → ∞ の時、 A → c ei k ⋅r ( k ≠ 0 ) であるとすると、

 = Φ − 1 ( c ⋅ n ) ei k ⋅r
Φ
ik

 1 
1
′
=
−
∇

 × ( rot ′A′ ) dV ′4π ∫  r − r′ 

かつ、

 1 
1
= ∫ ∇  × ( rot ′A′ ) dV ′4π
 r − r′ とすればよいことがわかる。ただし、= ∇×

1  rot ′A′  dV ′
4π ∫  r − r′ と変形できる。以上をまとめると、

A = − grad Φ + rot Bと表わすことでき、ここで、

1
 =+
A
A
( c × n ) ei k ⋅rik
k= k , n= kˆ= k k である（問：以下の性質を使って、これを示せ）。
スカラー関数やベクトルが ei k ⋅r に依存するとすると、∇ ≡ i k , ∇≡ i k  , ∇× ≡ i k ×
であり、また、− grad Φ → ( c ⋅ n ) n ,∇rot A → n × ( c × n ) =c − ( c ⋅ n ) n

4π

となる。

 ∫ A ( r′ ) 1 dV ′
 r − r′ 



1

1

一般の場合
計算が繰り返しのような感じになるが・・・
まず、「簡単な場合」の初めの注からもわかるように、

1∇2   =−4π δ ( r )rというよく知られた関係がある。また、明らかに、()∇ ( f c) =
∇ f c
2

2

∫ A ( r′ ) d ( r − r′ ) dV ′

∇2



1



A ( r′ )  dV ′
4π ∫r − r′



∇
 4π



dV ′  r − r′  ∫ A ( r′ ) 

1

∇

 1 
dV ′ 
+ rot  × ∫ A ( r ′ )  r − r′  4π
1  A ( r′ ) 
1  1 =− dS ′ + ( ∇′ A ( r ′ ) ) dV ′∫4π  r − r ′ 
4π ∫  r − r ′ となり、第二項は、

× ∫ A ( r′ ) 1となる。以上をまとめると、(2-79)は、以下のよ
うにも書ける。

A = − grad Φ + rot B=Φ(2-79)となり、既に、 A = − grad Φ + rot B という形に表されることがわかる。ここで、さらに、( ∇f ) ⋅ A = ∇ ⋅ ( f A ) − f ∇ ⋅ A( ∇f ) × A = ∇ × ( f A ) − f ∇ × Aという簡単な関係を使うと、(2-79)式の右辺の第一項と第二項のカギ・カッコの中はそれぞれ以下のように変形できる。第一項は、

 1 
1
=
−
∇′ 
 A ( r ′ ) dV ′
∫
′
4π
r
−
r



 A ( r ′ )  1 ∇′ × A ( r ′ )1=−
dS ′ × +∫∫ r − r′ dV ′4π
 r − r ′  4π



これから、

A ( r ) = − grad  dV ′
′
r
r
−
4π


 1 
1
=∫∇
 × A ( r ′ ) dV ′
′
r
r
−
4π


 1 
1
=
−
∇′ 
 × A ( r ′ ) dV ′∫4π
 r − r′ 

 1 
1
=
−
A ( r′ ) ∇ 2 
 dV ′∫4π
 r − r′ 
= −



∇

であるが、これらを使うと、=
A (r )

∇ A ( r ′ ) dV ′4π ∫r − r′==
B

1

div′A′

1

 rot ′A′ (2-80)

A′

1

dV ′ −
 dS′
4π ∫ r − r ′4π ∫ r − r ′1

A′× dS ′
 dV ′ +4π ∫ r − r ′4π ∫ r − r ′(2-81)
もし、表面上で、 A = 0 であるなら、(2-78)と同じ形になる。また、表面上で、 A ⊥ = 0 とすると、

Φ は(2-78)の Φ と同じになり、 A = 0 とすると、

B が(2-78)の B と同じになる。
なお、この一般の場合には、必ずしも div A = 0 な
ら 、 A = rot B と な り 、 rot A = 0 な ら 、A=− grad Φ となるわけではない。どのような場合にそうなるかについては、3 節の微分形式を参照されたい（参考までに言えば、空間が連続的に一点に変形可能、つまり可縮空間（contractible
space）であるならば、そうである）。

［蛇足］
さて、以上と同じ手法をスカラー関数に適用すここでは、無限遠点での境界積分の振る舞いについて考えてみよう。Φ の境界積分は、(2-81)から、

Φ S =−ると、

1 ∇ 2ΦdV
Φ (r ) =−4π ∫ r1 1 ∂Φ
1
∂ 1
dS −
+
Φ   dS∫∫
4π r ∂n4π∂n  r 

1

A′

 dS′
4π ∫ r − r ′であるが、いま、 R = r′ とおくと、

1
1  R r
= 1 + 2 +  r − r′ R Rと展開できる。よって、無限遠点では、
11
Φ S =−A  dS −( R r ) AdS
r= r − r′∫
4π R
4π R 3 ∫とおき、右辺の積分は、「ダッシュ」付の位置座として十分であろう（ここで、面倒なので、変数の「ダッシュ」を外している。また、位置の積分標について行うものとする。しかし、この式は、。ここで、第一項は、
変数は、 R である）
既に導出されている(2-51)で、
11
1 21
divA dVI1 −==A  dS −∫−∇   = δ ( r − r′ )4π R
4π R ∫4π
rとなる。また、第二項は、とおけば、直ちに求まる（問：これを示せ）。
∇ ( R r ) =r
ここで、さらに、に注意する（問：これを示せ）と、∇ 2 Φ =0となる。ここで、であるとすると、∂ 1
1 1 ∂Φ
1dS −Φ   dS∫∫∂n  r 
4π r ∂n4πとなる。この表式の著しい特徴は、領域内の Φ の=Φ (r )

1

1

1

1

I2 =
−
−
∇( ( R r ) A ) dV
( R r ) AdS =4π R 3 ∫4π R 3 ∫=−r  A dV
( R r ) divA dV −4π R 3 ∫4π R 3 ∫となる。ここで、まず、∫ divA dV ：有限

値が、すべて境界での値によって規定されているということにある。
上の表式は３次元の場合であったが、二次元の場合には、であると仮定しよう（これは、 divA を A の発生源（ソース）であると考えると、ソースの全空間積分が有限であるという仮定と同じである）。
さらに、無限遠点でという関係がある。これは、たとえば、 z 軸上に一様に電荷が分布している静電場の計算から容易にわかる（問：これを示せ）。これと３次元の場合の対応する式と比べると、直ちに、

A → a∇ 2 ln r =2π δ ( r )1∇ 2 Φ ) ln r dS
(
∫
2π
1
1
∂Φ
∂
ln r
ds +
−
Φ ln r ds
∫
∫
2π
2π
∂n
∂n
と求まる。また、 ∇ 2 Φ =0 の場合には、
1∂Φ1∂Φ (r ) =
−
ln r
ds +
Φ ln r ds
∫
∫
2π
∂n
2π
∂n
Φ=
(r )

となる。
［付記］無限遠点での境界積分となると仮定すると、∫ A dV →4π R 3a3となる（または、a を A の全空間での平均値と思ってもよい。）。以上の仮定をすると R → ∞で、

I1 → 0r a
I2 → −
3となる。よって、− grad Φ S →a3

さらに、もし、 divA = 0 であるなら、

I1 = 0 ,I2 = −

r a
3

2a
3
が得られる。さらに、もし、 rotA = 0 であるとす
rot B S →となり、 Φ の体積積分の項も明らかにゼロにな
るので、

r a
Φ → −
3
となる。この項による A への寄与は、次のベク
トルの rotation と同じであるので、ベクトル、Bると、=
I 3 0=, I4となるが、 B の体積積分の項も明らかにゼロになるので、に繰り込むことが可能となる。

1(a × r )6つまり、 divA = 0 なら、 Φ =0 とおくことができるということが示されたことになる。
次に、(2-81)の B に関する境界積分、 B S について考えよう。

BS
=

1

A′

× dS′
4π ∫ r − r ′であるので、無限遠点では、
1
1
BS =A × dS +( R r ) A × dS∫
4π R
4π R 3 ∫となる。この式の第一項を I 3 とすると、

1

1=
A × dS −∇ × A dV
4π R ∫
4π R ∫となり、第一項を I 4 とすると、

I3
=

=
I4

1

a×r
3

となる。この項による A への寄与は、次のスカ
ラー・ポテンシャルの gradient と同じであるので、ポテンシャル、Φ に繰み込むことが可能である。つまり、2
Φ = − ar3とすればよい。よって、 rotA = 0 なら、 B = 0 とおくことができる。

A に特異点（singularity）があっても、（コメント：

その点で積分が発散しなければ、たとえ無限遠までの積分（特異点からの寄与）が発散しても、平均には寄与しないことに注意しよう。たとえば、特異点付近の座標依
2

存性が ∝ 1 r であれば平均には寄与しない（特に点電荷による静電場のような場合には、まったく寄与しない）。また、座標依存性が空間全体で、 ∝ 1 r のような

3

平均には寄与しない。（問：これらのことを示せ。）よ1って、（通常は）平均に寄与するのは、無限遠点での値、4π R 3 ∫1∇ × ( ( R r ) A ) dV

a のみであり、これが平均そのものになるのである。）
1r × ∫ A dV=−
( R r ) rotA dV −4π R 3 ∫4π R 3となる。ここで、∫ ∇ × A dV ：有限と仮定し、先と同様に、

A → aと仮定すると、∫ A dV →以上で、無限遠点での境界積分に関する話は終わ り で あ る が 、 先 に 、 r→∞ の 時 、A → c ei k ⋅r ( k ≠ 0 ) とした場合のことに触れたので、比較的マニアックではあるが、これについても若干の概略的な説明を加えておこう。なお、
この場合には、境界積分が消えていることに注意されたい。よって、この無限の様子は、体積積分から出てくるのである。まず、

4π R 3a3であるので、 R → ∞ で、

I3 → 0
a×r
I4 →
3
となり、

B →

場合には、無限遠点までの積分がより大きく発散するが、( R r ) A × dS
4π R ∫

=−

a×r
3

1
∇2   =−4π δ ( r )
r
から、

∫e

i k r′′−4π ∫ d ( r − r ′ ) ei k  r dV
 dV =
′
r
−
r



∇2 

1

となるが、右辺は、簡単に、

−4π ei k  r
左辺は、この種の計算でよく使われる「怪しげ−e r
な」なテクニック、無限遠点で、e(e > 0 ) というような減衰項をつけるテクニックで、境界上の積分を消去することにすると、部分積分またはGreen の定理により、

∫(

′



1

いま、簡単のために、 A ( k ) は、 k 0 の周りに( ∆k = a )とすると、

 ei k  r ′ 
4π i k  r∫  r − r′  dV = k 2 e

i k ⋅ri k ⋅r3
i aR cos φ 2
a da d Ω=∫ A (k ) e d k e 0 ∫ A ( a ) eが得られる。これを使うと、( k c )1 div′A′dV ′ = i 2 ei k r∫
4π r − r′kd Ω = −2π d ( cos φ )のような形になる。これから、以下のような評価が得られる。

∫ A (k ) eとなり、書き換えると、

1( c ⋅ n ) ei k ⋅riki k ⋅rd 3k ≤ C ∫

A(a)
1
ada  O  RR

さて、先の問題の積分において、部分積分またはGreen の定理を適用し、積分内の ∇ 2 を、となる。同様にして、( k × c ) ei k  r
1  rot ′A′  = dV ′ i =∫4π  r − r′ 
k2

( c × n ) ei k  rikとなる。以上のことから、 r → ∞ の時、

11
Φ → − ( c ⋅ n ) ei k ⋅r , A →( c × n ) ei k ⋅rikikとなることがわかる。よって、
r → ∞ の時、

− grad Φ + rot A → c e

布の幅を十分狭くとれば、波は eik  r に近い。

A ( k ) = A ( ∆k ) = A ( a ) = A ( a ) ,となる。よって、−「関心のある」遠方では、それに応じて A ( k ) の分

等方的に波数ベクトルが分布している仮定しよう。つまり、 ei k  r ′ 
2
dV
k
=
−
) r − r′ ∫  r − r′  dV∇ 2 ei k  r 

なってくる。つまり、人為的な減衰をさせたのと同じになるのであるが、このように設定した方があまり「人為的な感じ」がしないであろう。また、

i k ⋅rとなる（問：これを示せ）。以上から、A → c ei k ⋅rとなる項については、 Φ 及び A の体積積分の表
式の中に含めることができるが示せたことになる。なお、ついでに、「怪しげな」テクニックを使わない、他の方法（または考え方）は、現実には、単一周波数の（純粋の）波動はないということを用いる方法である。具体的には、

ei k ⋅r → ∫ A ( k ) ei k ⋅r d 3 kとし、 A ( k ) は、ある k 0 を中心として狭い範囲
でのみゼロでないとするのである。極端な場合（ A (=k ) δ ( k − k 0 ) ）には、当然、eik r に戻る。
こうすると、よく知られているように、（たとえ近場では、波数 k の波が揃っていても）遠方では、波がバラバラになって、実質、振幅が小さく




 1 
2
i k r′ → ∇ (e )  r − r′  r − r′ のように移す際に、r → ∞ とともに発散する傾向∇2 1を示す境界積分がでてくる。これは、係数等を省略すると（また、k と k 0 の違いを無視すると）、

k 2 R ∫ eikR cosθ d cos θである（問：これを示せ）。よって、この境界積
分は、

 O (1)となる。これと上の評価とを合わせて、r → ∞ で境界積分が消えるということがわかる（問：これらを示せ）。

2.10 座標変換とベクトル変換

今 n 次元空間の中に勝手な n 個の独立なベクト

ベクトルの定義

ル、u1 ,  , u n を選んで、これを基底とする座標系

今頃、ベクトルを定義するのかと言われそうであ（古い座標系とする）を設定したとしよう（以下、るが、この講義では、必要がない限り定義を前面明示しないかぎり n = 3 でなくてもよい）。するに出すことはやめて、物事を感覚的、初等的に把と、一般にベクトル、a は、その座標系での成分ベクトル（数ベクトル）を ( a1 ,

向と量をもった）対象物で、人間が勝手に描いた

 , an ) で、
( u1 ,  , u n )n a1 
a ∑ a=
=
a=
i ui
i ui
 
i =1
a 
 n

座標とは無関係に存在するものである（と定義すと書ける。ここで、3 番目の式では、和記号を省るのである）。つまり座標変換によらない、言い略する簡易則を用いている。また、最後の式は行

換えれば、座標変換に対して不変な存在としてベ列 とし ての演 算（ 一行及 び一 列の行 列で ある

クトルを考えるのである。

が・・）である。（注：行列の要素にベクトルが並ぶ

追記（１）：絶対空間などを持ち出して、前時代ことに抵抗感をもつ方がいるかもしれないが、ベクトル的なことを言っていると思われるかもしれない

空間での演算にはベクトル間の加法や実数とベクトルとが、ここで言っていることは、何か特別な絶対座の積が許されることから、要素が実数のみの行列の演算標があるということを言っているのではなく、座と同じに扱うことができるので、このような記法が許さ

標などなくても存在する幾何学的空間のことでれる。後で、ベクトルを要素とする行列同士の積も使わあり、少なくとも我々の感覚で感じとることがでれるが、例えばその積として内積を使うことにすれば、きる、または存在するに違いないと直感的に感じ同様に行列の演算として行ってもよいことがわかる。）

ることができる空間のことである。大げさに言え

さて、ここで別の n 個の独立なベクトル、ば（宗教的、霊験的気分で言えば）、ここでいう

v1 ,  , v n を選んで、これを基底とする別の（新し握することを目指しているので、今頃、定義らしきものを説明するのである。
ベクトルとは、「絶対」空間の中に実在する（方絶対空間とは、人間が感得することはできても、い）座標系を考え、成分ベクトル（数値ベクトル）

完全には理解することはできないであろう神聖を ( a1′,とも言えるような存在であり、その前では、すべ不変であるので、( u1 ,  , u n )ての座標系は等しく平等であり、相対的であるよ
うなものである。（コメント：忙しい現代人にとって、a=
たまにはこのような情感に浸るのも悪くないかもしれない）。

追記（２）：また、ここには時間という概念はない（座標変換やベクトル変換で時間をパラメータ

 , an′ ) とすると、ベクトル、a 自体は
 a1 
=
 
a 
 n

( v1 ,  , v n ) a1′  
 a′ 
 n
(2-82)となる。今、二つの座標系の基底ベクトルの間に、絶対時空なるものを考えて、すべての座標系はそ v1 
 u1    = A  
v 
u 
 n
 n

こでは平等で相対的と考えると（さらにローレンという関係があったとする（ここで A は座標変換

ツ計量を加えると）、アインシュタインの特殊相を表す行列である）。

対論になるであろう。

すると、

ーのように扱うことはあっても・・）。ちなみに、(2-83)( v1 ,  , v n ) = ( u1 ,  , u n ) AT
以上のような「大見得を切った定義」を用いると、座標変換の見通しがよくなる。

となるが、（基底ベクトルの一次独立性を使うと）、 a1  a1′    = AT   a 
 a′ 
 n
 n

(2-84)−1  a1  a1′    = AT      an′  an 

(2-85)nまたは、

まとめると、(１) ベクトル a 自体は座標変換で不変(２) 基底ベクトルの変換（covariant、共変）(３) 数ベクトルの変換

直交座標系の間の座標変換−1  a1  a1′    = AT   
 a′ 
a 
 n
 n

以下では、3 次元空間での直交座標系の間の座（contravariant、反変）となる。一般に基底ベクトルのように変換するベクトル（または数ベクトル）を共変ベクトルと言い、上の数ベクトルのように変換が転置逆行列で表されるものを反変ベクトルと言う。
本講師は、contravariant の（正しい）意味を知らないが、con=反または逆、tra=transpose（転置）と勝手に解釈すると、記憶しやすい。
なお、反変の数ベクトルの添字を下付から上付
きに変えると（単に表記を変更すると）
、

=
a

=
a u a u
∑
i

i =1

i

i

i

となり、より便利な（間違いの少ない）表記となるが、この講義録のほとんどの箇所では、あえてこの表記法は用いていない。と言いながら、次のコメントでは、この表記を用いることにする。
今、二つの数ベクトルを考えて、一つが反変、もう一つが共変であるとしよう。
1
 a′1 −1  a  b1′  b1 
T




=

A=
 ,    A  
 b′ 
b 
 a ′n  an 
 n
 n
 
 

1

 

 b′ 
 n

1

n

−1

x′ = x1′e1′ + x2′ e′2 + x3′e′3 = ( e1′ , e′2 , e′3 )  x1′  ′ x2 
 x′  3
となる。ここで、x′ = x である（ベクトルは座標不変）。いま、この二つの新・旧直交座標系の基底の間に、次のような関係があるとしよう。

( e1 , e2 , e3 ) = ( e1′ , e′2 , e′3 ) P(2-87)( ) で

ここで、 P は基底変換の行列、 P = pij

あり、我々が大学等で習った線形代数でよく使わを行列表示したものである（注：行列の添え字の順番に注意）。この(2-87)は、また、

1

 

b 
 n
(2-86)となる。つまり、x = x1e1 + x2e 2 + x3e3 = ( e1 , e 2 , e3 )  x1  
 x2 x 
 3となる。次に、ベクトル、 x を別の（新しい）正規直交基底、 e′i で展開したとすると、

ei = e′j p ji

( a′ ,, a′ )  b′  = ( a ,, a ) A A  b n

標変換について考えることにする。ベクトル、 x
を（古い）正規直交基底、 ei で展開すると、

れる表式、

すると、
1

=i 1 =i 1となり、周知の反変ベクトルと共変ベクトルの内積は不変であるということがわかる。なお、(2-86)の右辺を見ると、反変ベクトルの変換の仕方がよ
りわかりやすいかもしれない。また、(2-86)で数、bi をベクトル、ui に置き換えても行列算は成り立つので、「内積らしき」計算をすると、ベクトル自体は、座標変換で不変であるという、そもそもの前提に戻ることになる。このような見方、ベクトルは、「内積もどき」の形をしているので座標変換に対して不変であるという見方は、時々、重要である。

 v1 
 u1    = A  
v 
u 
 n
 n

n

n

∑ a′ibi′ = ∑ aibi

 e1 
 e1′  T ′(2-88)
 e2  = P  e2 e  e′ 
 3
 3
とも書ける。さて、 x′ = x であることから、

( e1′ , e′2 , e′3 )  x1′  = ( e1 , e2 , e3 )  x1  ′
 x2 
 x′ 
 3
= ( e1′ , e′2 , e′3 ) P  x1  
 x2 
x 
 3（コメント：(2-90)式のような記憶しやすい表現があまり 
 x2 
x 
 3

使われていないのは不思議な気がする。）

擬ベクトル（pseudo vector）の座標変換
座標変換に対して不変なものとしてベクトルを定義したが、このようなベクトルは、通常、極性ベクトルと言われている。これに対して、二つとなり、（基底ベクトルの独立性を使うと）、

 x1′  x1 
 ′
 
 x2  = P  x2  x′ 
x 
 3
 3

の極性ベクトルの外積で作られたようなベクト
ルは、軸性ベクトル、または擬ベクトルと呼ばれており、極性ベクトルとは異なり、すべての座標変換に対して不変とはならない。(2-90)式を使うと、二つのベクトルの外積は、が導かれる。一方、(2-87)と(2-878)から、

 e1  ( e1 , e 2 , e3 )
 e1′  ( e1′ , e′2 , e′3 )
 

T 
= P  e′2 P e 2 e 
 e′ 
 3
 3
、たとえば、となるが（  は内積）
 e1  ( e1 , e 2 , e3 )  e1 e1 e1 e 2 e1 e3  =  e 2 e1 e 2 e 2 e 2 e3 
 e 2 e 
 e e e e e e 
3 3
 3
 3 1 3 2
1 0 0= =
0 1 0 I
0 0 1e1′a′ × b′ =e′2
e′3

 e1 
 a1 
 b1    = P  e 2  P  a2  P  b2 
e 
a 
b 
 3
 3
 3
e1 a1 b1
= det P e 2
e3

れたのは、外積を行列式で表しておいて、変換式、(2-90)(2-89)となり、行列、 P は直交行列であるというよく知られた結果が得られる。

PT P = I

以上をまとめると（古い座標系から新しい座標を使ったおかげである）。(2-89)から、det P = ±1が得られる。さらに、変換、 P が恒等変換からの連続的な変化による場合には、

det P = 1系への変換は）、となる。つまり、座標系の間の変換が不連続な変換を伴わないような場合には、外積によって得られたベクトルは普通の（極性）ベクトルと同様に(2-90)( ⇐ ( P )= P )T−1となる。（注：先の n 次元での座標変換の行列、 A と行列、 P とは、

a=b2 det P ( a × b )2
a3 b3のように変換する（注：このように容易に結果が導かとなる（ I は単位行列）ことから、

 x1′  x1 
 ′
 
 x2  = P  x2  x′ 
x 
 3
 3
 e1′  e1  ′ P  e2 2 e= e′ 
e 
 3
 3

a1′ b1′a2′ b2′a3′ b3′( A ) = P という関係にあるが、結T−1局のところ、 A = P という関係と同じになる。）

座標変換に対して不変となる。このように座標変換に対してベクトルの外積と同じように変換するベクトルを擬ベクトルといい、その変換は、

c′ = ( det P ) c

で与えられる。また、擬ベクトルの座標成分の変換は、

( e1′ , e′2 , e′3 )  c1′  = det P ( e1 , e2 , e3 )  c1  c′ 
 2
 c′ 
 3

= det P ( e1′ , e′2 , e′3 ) P  c1 
c 
 2
c 
 3

c 
 2
c 
 3

であることから、

 c1′  c1 
 ′  c2  = ( det P ) P  c2  c′ 
c 
 3
 3

となり、また、

a′ = a a1′   −a1  ′ 
 a2  =  a2  a′   a 
 3  3 となる。さらに、 x 軸と y 軸が反転した場合には、

 −1 0 0 =P  0 −1 0 
 0 0 1で、と求まる。もし、座標変換が反転であるとすると、

c′ = c c1′   −c1  ′ 
 c2  =  −c2  c′   c 
 3  3 

その変換行列、 P は、

 −1 0 0 P  0 −1 0 =
 0 0 −1となり、擬ベクトルは、

c′ = −cとなる。しかし、座標成分は、

 c1′   c1  ′   c2  =  c2  c′   c 
 3  3
で与えられる。ちなみに、極性ベクトル、 a は、

a′ = aであり、その座標成分は、

 a1′  ′
 a2  = a′ 
 3

 −a1 
 − a2  −a 
 3

となり、

a′ = a a1′   −a1  ′ 
 a2  =  − a2  a′   a 
 3  3 となる。この場合には、当然ではあるが、擬ベク
トルも（極性）ベクトルも同じ変換に従う。
ベクトルの変換（回転）
今までは、空間内で不変な存在としてのベクトル、つまり空間に固定されたベクトルが座標変換によってどう見えるかということを考えてきたが、次に、ベクトル自体が空間内で動いた時にどとなる（問：これらのことを図で示せ、また、うなるかを考えることにしよう。ただし、ベクトc= a × b についても同様に図で示せ）。

ルの一般的な変形ではなく、単純な回転（剛体的また、 x 軸のみが反転した場合には、回転）のみを取り扱うことにする。今度は、座標

 −1 0 0 
P =  0 1 0
 0 0 1


系は固定しているので、その基底は変わらないと

c′ = −c c1′   c1  ′ 
 c2  =  −c2  c′   − c  3  3 x′  = R  x 
 2
 2
 x′ 
x 
 3
 3

であり、

いうことに注意しよう。
ベクトルを回転させると、基底は変わらないが、その座標成分は、ある行列を用いて、
 x1′  x1 

のように表わされる（はずである）（問：これを示せ）。（注：それはベクトルの線形変換になっているからである）。

また、剛体的な回転であることから、ベクトルの長さは不変である。
2

2

=
x′

=
Rx

x

2

ここで、 x は任意のベクトルである。
これから、任意のベクトル、 x, y について=
( Ry, Rx )y , R Rx ) ( y , x )(=Tとなる。ただし、 ( , ) は内積である。（問：これを示せ（ヒント： x + y の長さを考える））これからさらに、

RT R = Iとなることがわかる（問：これらを示せ）。つまり、 R は少なくとも直交行列であることがわかる。
もし、仮に基底も一緒に回転したとすると、そ図 15. ある軸のまわりのベクトルの回転ある軸の周りのベクトルの回転
一般に、ベクトルは、ある単位ベクトル、n を
用いて、

=
a

( an ) n + n × ( a × n )のように、単位ベクトルに平行な成分と垂直な成分とに分解できる。これは、図 15 からも明らかであるが、

n × (a × n ) =a ( nn ) − ( an ) nの座標系で見て、ベクトルの座標成分は、回転前と同じとなるので、この仮の座標変換の変換行列
を、 P とすると、
 x1 
 x1′  x1 




x2
x2′
P=
PR  x2 
=

 
x 
 3

 
 x′ 
 3

 
x 
 3

となる。つまり、

PR =I→

R =P −1 =PTとなり、回転行列は、座標変換の行列の逆行列、または転置行列に等しいことがわかる。これをも

図 16.

単位ベクトルに垂直な面内のベクトルの回転って、ベクトルの回転は、座標系を逆回転したものと同じであるというようなことがよく言われるが、これに執着すると頭の中が回転を始め、だんだん混乱をきたすようになるであろう。実際に回転するのはベクトルであって、座標系は静止し(2-91)ということか らも明らかあろう。
次に、この単位ベクトルの周り に（正方向に、または反時計回りに）角度、Φ だけベクトルを回転 してみよう。す ると、図 16 からわ
かるように、回転後のベクトル を

a′ とすると、=
a′ ( an ) n + n × ( a × n ) cos Φ + ( n × a ) sin Φとなることがわかる（問：これを示せ）。これを書き換えると、=a′
たままであるということに注意する必要がある。

a cos Φ + ( an ) n (1 − cos Φ ) + ( n × a ) sin Φ

また、回転が何段にも行われたとすると、それに伴う仮の座標回転を、

P = Pn Pn −1  P1

または、

a′ =a + ( ( an ) n − a ) (1 − cos Φ ) + ( n × a ) sin Φ

とすると、
−1
=
R P=
P1T  Pn −1T PnTとなり、行列のかけ算の順番が逆になる（問：計算ではなく図示して、これを示せ（頭の中がぐるぐる回転するかもしれないが・・・））。

と書ける。これを行列表示すると、若干、複雑であるが、

 a1′   a1  ′   a2  =  a2  a′   a 
 3  3 ( n1n1 − 1) s

+2 s  n2 n1s + n3c
n n s −n c2
 3 1となる（問：これを示せ）。よって、

n1n2 s − n3c

n1n3 s + n2 c   a1 
( n2 n2 − 1) s n2 n3 s − n1c   a2 n3 n2 s + n1c ( n3 n3 − 1) s   a3 となる。ただし、

Φ
Φ
=
c cos
=
. s sin22である（問：これを示せ）。
逆に、ある回転行列、 R が与えられた場合、必ず回転軸が存在することを示そう。もしそのような回転軸があるとすると、この軸ベクトル、 n
は回転で不変であるので、Rn = nとなり、det ( R − I ) =0

でなければならないことがわかる。一方、R − I ) det R det ( I − R −1 )det (== det ( I − RT ) = det ( I − R )であるので、det ( R − I ) =0

λ = ±1と な る の で 、=
λ1 1,=λ2 1 ま た は 、λ1 =−1, λ2 =−1 となる。前者は恒等変換、後者は、
回転軸のまわりの 180° の回転を表わしているが、これらは、以下の特別な場合と見なすことができる。次に、固有値が（真の）複素数であるとすると、一つの固有ベクトルの関係から、

Rx = λ xとなり、その複素共役をとって、

Rx∗ = λ ∗ x∗という別の関係（ λ ≠ λ ∗ ） が得られる。これら二つの式の内積をとって、
2λ =1となるが、これと(2-92)式から、( λ1 , λ2 ) = e± iΦとなることがわかる。また、行列、 R のトレース
は、

1 eiΦ + e − iΦ =+1 2 cos ΦTr ( R ) =+となる。
オイラー（Euler）角による回転表示
ここでは、（話を戻って）ベクトルの回転ではなとなる（問：これは、奇数次元の場合（今の場合、

く、まずは、座標変換をオイラー角で表示するこ3 次元）のみ成立することを示せ）。これから、確とから説明しよう。なお、このオイラー角によるかに、回転で不変なベクトルが存在するというこ

表示のやり方は（変換の順番や回転軸のとり方とがわかったことになる。つまり、固有値、1 ので）いくつかあるが、ここでは以下のようにとる

固有ベクトルが（少なくとも）一つは必ず存在すものとする。まず、 z 軸のまわりに正の方向に、るということになる。では、他の固有値はどうな

角度、 φ だけ回転させると、その変換行列、 Pφっているのであろうか。回転行列は、恒等変換かは、らの連続的な変化によって得られるので、det R = 1

であるが、一つの固有値は、 1 であることから、二つの固有値には、(2-92)
λ1λ2 = 1という関係があることがわかる。いま、これらの固有値の一つ、 λ が実数であるとしよう（当然、
もう一つも実数になる）。すると、実数の固有ベ
クトルを v とすると、

Rv =λvとなるが、両辺のベクトルの内積をとると、

λ2 =1

 cos φPφ =  − sin φ
 0


sin φ
cos φ

0

0
1 

0
と与えられる。次に新しい y 軸のまわりに（正の方向に）角度、 θ だけ回転させると、その変換
行列、 Pθ は、

 cos θPθ =  0 sin θ0 − sin θ 10 
0 cos θ となる。そして、最後に、新しい z 軸のまわりに（正の方向に）角度、ψ だけ回転させると、その変換行列、 Pψ は、

 cosψ
Pψ =  − sinψ
 0


sinψ
cosψ
0

となる。以上より、全体の変換行列、 P = Pψ Pθ Pφ
は、 (2-93)となり、これから対応する（ベクトル−1の）回転行列、=
R P=
PT は、(2-94)となる。

0

0
1 

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

 cosψ cos θ cos φ − sinψ sin φP= − sinψ cos θ cos φ − cosψ sin φsin θ cos φcosψ cos θ sin φ + sinψ cos φ− cosψ sin θ sinψ sin θ 

cos θ


− sinψ cos θ sin φ + cosψ cos φsin θ sin φ cosψ cos θ cos φ − sinψ sin φ=R  cosψ cos θ sin φ + sinψ cos φ− cosψ sin θ− sinψ cos θ cos φ − cosψ sin φ sin θ cos φ − sinψ cos θ sin φ + cosψ cos φ sin θ sin φ sinψ sin θ
cos θ (2-93)(2-94)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（問：これらを示せ（見かけほど計算は大変では
ない）
。
）また、

Tr ( R ) =1 + 2 cos Φ
であることから、

cos Φ cos 2=θ2

cos (ψ + φ ) − sin 2θ2となる。これを書き換えると、

Φθψ + φ cos = cos cos 

2
2
 2 
となる。ただし、θ= ψ= φ= 0 のとき、Φ =0 と。
なるように符号を決めた（ Φ =2π とはしない）
なお、 θ = 0 の場合、cos=
Φ cos (ψ + φ )つまり、回転角は、Φ= ψ + φ となり、回転軸のベクトルは、明らかに、

n = ( 0, 0, 1)

である（ただし、言わずもがなではあるが、Φ =0のときは、ベクトルは不定）。
また、 θ = π の場合には、

cos Φ = −1となり、回転角は、ψ , φ の値によらず、 Φ =πとなる（若干、びっくりする結果かもしれない）。
また、回転軸のベクトルは、 ψ − φ ψ − φ  
n =  sin  , cos, , 0 2    2 となる（問：これを示せ）。
一般の場合には、当然、回転軸は、

0(R − I ) v =の解を求めればよいのであるが、直接、計算するのは腕力を必要とするであろう。そこで、まず、ベクトル、v は少なくとも上の行列の第三行と直交するということに着目すると、容易に、次の二つのベクトルがそうであることがわかる。

 − cosψ sin θ  sinψ v1=  sinψ sin θ  ,v 2 =  cosψ  1 + cos θ 
 0 




よって、 v= v= Av1 + Bv 2 とおいて、上の行列の第一行と直交するようにすると、A=sinψ + sin φ , B =sin θ ( cosψ + cos φ )と求まる。これから、
sin θ sin (ψ − φ )=v  sin θ (1 + cos (ψ − φ ) )  ( sinψ + sin φ )(1 + cos θ ) となるが、共通因子を除くと、

θψ −φ 
 sin 2 sin 2 θψ −φ 
vˆ = sin cos

2
2 


 cos θ sin ψ + φ 22 

初等的な説明通常、直交曲線座標でのベクトル解析の公式は以下のように与えられる。
まず、gradient、∇ であるが、直交直線座標（デカルト座標）では、既出のようにとなり、これが回転軸の方向を示すベクトルになる（ただし、ベクトルの長さは規格化されていな
い）
。なお、
2

vˆ = 1 − cos

2

θ
2

cos

2

ψ +φ
2

または、

vˆ = sin

Φ
2

=
∇ i

∂
∂
∂
+ j +k∂x∂y∂zであり、その意味を考えると、曲線座標では、

1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
e1 +
e2 +
e3
h1 ∂u1h2 ∂u2h3 ∂u3とかけることがわかる。ここで、 ei は i 方向の=∇f

単位ベクトルである。

である（問：（計算が好きな方へ）一連の結果を示せ）。また、（この規格化については）Appendix
C も参照のこと。
このように半角が登場してくると、回転行列（回転群）と SU(2)との対応について言及したくなってくるが、それはベクトル解析の範囲を越えているように思われるので、次の話題に移ることにしよう。
図 18. 微小体積（直交曲線座標系）

2.11 直交曲線座標におけるベクトル（grad, div, rot, Laplacian の表式）
この節は、Appendix A の最後の箇所、「パワポ

また、divergence の公式は、ガウスの公式を図 18のように微小体積に適用して求められる。

３枚程度のカンバンの外」にある直交曲線座標（orthogonal curvilinear coordinates）におけるベ
クトル解
析の公式
を説明し
たもので
ある。図
図 17. 線要素（直交曲線座標系）

17 のような直交曲
線座標を描くと、その線要素は、

dr =h1du1 e1 + h2 du2 e 2 + h3 du3 e3 (2-95)
である。同様にして、面積及び体積要素も、

dS = h2 h3 du2 du3 e1 + h3 h1 du3 du1 e 2 + h1h2 du1du2 e3
dV = h1h2 h3 du1du2 du3と与えられるが、これらのことは既知であろう。

図 19. 微小表面積（直交曲線座標系）∫ divAdV =divAh h h du du du∫ AdS = ( A h h ) u +du du du
1 2 3

1 2 3

1

1

1

2

2

3

3

− ( A1h2 h3 ) u du2 du3 + 
1であるので、

=
∇ A


1  ∂
h2 h3 A1 ) + (
h1h2 h3  ∂u1となる。また、rotation は、Stokes の公式を図
19 のような微小面積に適用して求められる。

rotA )1 dS1 ( rotA )1 h2 h3 du2 du3(==∫ Adr ( A3h3 ) u2 +du2 du3 − ( A3h3 ) u2 du3=∫ rotAdS− ( A2 h2 ) u + du du2 + ( A2 h2 ) u du2
3

3

1  ∂ ( h3 A3 ) ∂h2 A2 −
h2 h3  ∂u2∂u3 =( ∇ × A )1と求まる。
また、スカラー関数 φ の Laplacian は、∇ 2φ =∇( ∇φ )として、gradient の公式に divergence の公式を適用して得られる。以上をまとめると、3であるので、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

=
∇ A


∂
∂
1  ∂
h2 h3 A1 ) +h3h1 A2 ) +h1h2 A3 ) (((
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3


h1e1 h2e2 h3e3
1∂∂∂
∇× A =
h1h2 h3 ∂u1 ∂u2 ∂u3
h1 A1 h2 A2 h3 A3=∇ 2φ(2-96)

1  ∂  h2 h3 ∂φ  ∂  h3h1 ∂φ  ∂  h1h2 ∂φ  




+

+
h1h2 h3  ∂u1  h1 ∂u1  ∂u2  h2 ∂u2  ∂u3  h3 ∂u3  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿となる（問：これを示せ）。（コメント：記憶力に自信がない場合は、この公式は忘れてもよい。必要なときには、ポンチ絵を描いてみれば、容易に思い出すことができるので・・・）222

 ∂r 
 ∂r 
 ∂r 
222
dr  dr = 
 du3
 du1 + 
 du2 +  ∂u1  ∂u2  ∂u3 = h12 du12 + h2 2 du2 2 + h3 2 du3 2である。なお、（適当にとった）直線直交座標を使うと、たとえば、積分公式を使わない説明

∂r ∂x
∂y
∂z
=
i+
j+
k
∂u1 ∂u1 ∂u1
∂u1

一般に、

dr =

∂r
∂r
∂r
du1 +
du2 +
du3
∂u1
∂u2
∂u3

となることに注意しよう。
また、直交曲線座標でのデル記号は、直線直交
座標から変換すれば、と書けるが、(2-95)と比較すると、

∂r
∂r
∂r
= h=
h2=
e2 ,
h3e3
1e1 ,
∂u1
∂u2
∂u3

(2-97)

また、一般的に、

 ∂r ∂r  i j=
dr dr = j  du du
gij du i du ji ∂u ∂u であるが、 (2-97)から、

gij = hi 2 δ ijとなることがわかる。再度、書けば、

=
∇ u1

∂
∂
∂
+ u2
+ u3
∂u1
∂u2
∂u3

(2-98)となる。ここで、ui =∂ui ∂x i + ∂ui ∂y j + ∂ui ∂z kである（問：これを示せ）
。つまり、
∇u=
u1 , ∇u=u 2 , ∇u=u3
123であることがわかる。これは、また、(2-98)から、

∂ui
∇
=
ui u j =u jδ i j∂u jとなる。また、∇ A =∇( A1e1 + ) =∇( A1e 2 × e3 + )=
∇( h2 h3 A1u 2 × u3 + )と直接、計算してもわかる。さらに、∂r ∂ui ∂x ∂ui ∂y ∂ui ∂z
ui 
=
+
+
∂u j ∂x ∂u j ∂y ∂u j ∂z ∂u j=
∇ ( h2 h3 A1 )( u 2 × u3 ) + ∇ ( h2 h3 A1 )( e 2 × e3 ) + 
h2 h3

∂ui
= =
δ ij
∂u j
となる（これから、 u i 等は、 ∂r ∂ui の双対基=底であることがわかる）。たとえば、u1 は、e 2 , e3に平行に直交している。よって、 u1 は実は、 e1 =であることがわかる（注：双対基底であっても、一般には、このようには言えないことに注意しよう）。以上のことから、

e1
e2
u1 =
=
∇u1 , u 2 ==∇u 2 ,h1h2eu3 = 3 = ∇u3h3∇ (h A )=∇ ( h1 A1 ) × u1 +  = 1 1 × e1 + 
h1∇ × ui = ∇ × ∇ui = 0
これは、(2-96)の ∇ × A の公式にある行列の第三0, 0 ) = (1, 0, 0 ) となることからもわかる。
また、同様に∇( u 2 × u3 ) = ∇( ∇u2 × ∇u3 ) = 0(2-99)

これも成分で表せば、

1
u 2 × u3 = e1h2 h3であるので、(2-96)から直ちにわかる。
以上の性質を使うと、まず、(2-98)から gradient
は、

=
∇ e1

となる。ここで、(2-99)を使っている。以上より、(2-99)の一番目の結果が得られる。
rotation についても、

1  1 ∂ ( h1 A1 )
1 ∂ ( h1 A1 )
+ e2
 e1
h1  h1 ∂u1
h2 ∂u2=

行が、この場合、( h1 h1 ,

1 ∂
1 ∂
1 ∂
+ e2
+ e3
h1 ∂u1h2 ∂u2h3 ∂u31 ∂ ( h2 h3 A1 )+∂u1
h1h2 h3∇ × A = ∇ × ( A1e1 + ) = ∇ × ( h1 A1u1 + )が得られる。また、これから、次の性質も容易に示せる。

1  ∂ ( h2 h3 A1 )e1 +  e1 + 
h2 h3  h1∂u1+e3

1 ∂ ( h1 A1 )  × e1 + 
h3 ∂u3 

1
1 ∂ ( h1 A1 )
1 ∂ ( h1 A1 ) 
=
+ e2
 −e3
 +
h1 
h2 ∂u2h3 ∂u3  1 ∂ ( h2 A2 )1 ∂ ( h3 A3 ) =+− e1 + 
h2 h3 ∂u2  h3 h2 ∂u3となり、(2-99)の二番目の対応する結果が得られる。
ここで、ついでに rot rot の式を書いておこう。

∇ × (∇ × A )
h1e1


∂

∂u1
1 
=

h1h2 h3  h1  ∂h3 A3 ∂h2 A2 − h h  ∂u
∂u3 
2 3 
2



h2e2

h3e3

∂
∂u2
h2  ∂h1 A1 ∂h3 A3 −
h3 h1  ∂u3
∂u1 



∂

∂u3


h3  ∂h2 A2 ∂h1 A1  −
h1h2  ∂u1∂u2  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
これを使えば、例の誤解を生じやすい（表記が悪次によく使われる円筒座標と球座標に関する
2
具体的な表式を参考のために挙げておこう。これい）、 ∇ が、らは、上記の公式から比較的容易に求められる。
∇ 2 A = ∇ ∇ A − ∇ × ∇ × A

(

)

(

)

から求めることができる。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿_____
円筒座標, h3 1h1 1,=
h2 r =
=
∂
∂
∂
+ e2
+ e3
∂r
∂z
r ∂θ
∂A
∂A
1 ∂
=
∇ A
( r Ar ) + θ + zr ∂rr ∂θ ∂z=∇ e1

 ∂A ∂A 
1 ∂∂A  ∂A ∂A =∇ × A e1  z − θ  + e 2  r − z  + e3 
( r Aθ ) − r r ∂θ 
∂r  ∂z
 r ∂θ ∂z 
 r ∂r1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
=
∇2
+
+
r


r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2 ∂z 2A
2 ∂A 
2 ∂A A ∇ 2 A = e1  ∇ 2 Ar − 2r − 2 θ  + e 2  ∇ 2 Aθ + 2 r − θ2  + e3 ( ∇ 2 Az )rr ∂θ 
r ∂θ r 



球座標

=
h1 1,=
h2 r =, h3 r sin θ
=
∇ e1
=
∇ A

e3 ∂
∂
∂
+ e2
+
∂r
r ∂θ r sin θ ∂φ
∂
1 ∂ 2
1
1 ∂Aφ
r Ar ) +( sin θ Aθ ) +(2r ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂φ∂A 
e1  ∂ sin θ Aφ ∂Aθ  e 2  1 ∂Ar ∂ ( r Aφ )  e3  ∂ +  ( r Aθ ) − r −− + 
r sin θ  ∂θ∂φ  r sin θ ∂φ∂r  r  ∂r∂θ 
1 ∂  2 ∂ 
1
1
∂ 
∂ 
∂2
θ
sin
r
=
∇2
+
+




r 2 ∂r  ∂r  r 2 sin θ ∂θ ∂θ  r 2 sin 2 θ ∂φ 2

=
∇× A


2A
2 ∂ ( sin θ Aθ )2 ∂Aφ ∇ 2 A = e1  ∇ 2 Ar − 2 r − 2
− 2

∂θ
r
r sin θr sin θ ∂φ 


A
2 ∂A
2 cos θ ∂Aφ +e 2  ∇ 2 Aθ + 2 r − 2 θ 2 − 2 2r ∂θ r sin θ r sin θ ∂φ 

A


2 ∂Ar
2 cos θ ∂Aθ
+e3  ∇ 2 Aφ + 2+ 2 2− 2 φ2 r sin θ ∂φ r sin θ ∂φ r sin θ _____________________________________________________
さて、これまで（ある意味で巧みに）基底ベク∂∂( h1e1 ) = ( h2e2 )トルの座標微分が顕わな形で出ないようにして∂u2∂u1
きたが、この基底ベクトルの座標微分について求となり、これから、めてみよう（この箇所は、G. K. Bachelor, “Fluid
∂h1
∂e
∂h
∂e
Dynamics”, Cambridge University Press, 1970
e1 + h1 1 = 2 e 2 + h2 2
∂u2
∂u2 ∂u1∂u1の Appendix 2 を参照にしているが、より適したであるので、参考文献があるかもしれない）
。
2
∂e
∂h
まず、（少なくとも C 級の微分可能性を仮定
h1 1 e 2 = 2(2-100)
すると）
∂u2
∂u1

∂ 2r
∂ 2r
=
∂u2 ∂u1 ∂u1∂u2が導かれる（問：これを示せ）
。
また、

∂r ∂r

=0
∂u1 ∂u2であるので、であることから、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

0∂  ∂r ∂r  ∂  ∂r  ∂r ∂r ∂  ∂r 


=
+






∂u3  ∂u1 ∂u2  ∂u1  ∂u3  ∂u2 ∂u1 ∂u2  ∂u3 ∂  ∂r ∂r  ∂r ∂  ∂r 
∂  ∂r ∂r  ∂r ∂  ∂r 




=

−

−

 +


∂u1  ∂u3 ∂u2  ∂u3 ∂u1  ∂u2  ∂u2  ∂u1 ∂u3  ∂u3 ∂u2  ∂u1 = −2∂r ∂ 2r∂u3 ∂u1∂u2となる。これから、∂ ( h1e1 )∂ ( h2e 2 )=⋅ e3 0 ,=⋅ e3 0∂u2∂u1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
この垂直方向を向いており、もう一つの垂直方向（今の場合、u3 方向）の成分をもたないというこ

となり、

∂e1
∂e 2
=
⋅ e3 0 ,=⋅ e3 0∂u2∂u1が導かれる（問：これを示せ）。これと、(2-100)と合わせると、∂e1 1 ∂h2=e2
∂u2 h1 ∂u1となることがわかる。これが意味するところは、ある基底ベクトルのそれと垂直方向の変化量は、とである。つまり、曲線直交座標系では、ある座標系の方向に進む際に、座標がねじれていないといことを意味しているのである。また、（この「原則」に従うと、または実際に計算することで）∂e1 1 ∂h3=e3
∂u3 h1 ∂u1となることがわかる。さらに、e=e 2 × e31であることから、

∂e1
∂h1
∂h1
=
−
e2 −
e3
∂u1
h2 ∂u2h3∂u3∂e∂e1 ∂e 2=
× e3 + e 2 × 3∂u1 ∂u1
∂u1
=

∂h1
∂h1
e1 × e3 + e 2 ×
e1h2 ∂u2h3∂u3が導かれる。これらをまとめると、次表が得られる。

となり、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

∂
∂u1

−

e1

e2

e3

∂h1
∂h1
e2 −
e3
h2 ∂u2
h3∂u3

∂h1
e1
h2 ∂u2

∂h1
e1
h3∂u3

∂h2
∂h
e3 − 2 e1
h3∂u3
h1∂u1

∂h2
e2
h3∂u3

∂
∂u2

∂h2
e2
h1∂u1

∂
∂u3

∂h3
e3
h1∂u1

−

∂h3
e3
h2 ∂u2

−

∂h3
∂h3
e1 −
e2
h1∂u1
h2 ∂u2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
これを使えば、どんな微分演算についても（機械的に）計算をすることができる。たとえば、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿A = A1e1 + A2e3 + A3e3の divergence は、∇( A1e1 + ) =div A =( ∇A1 )e1 + A1∇e1 + 

=
=


 ∂h2
∂h3 
∂A1
∂A1
∂
∂
∂ 
+ A1  e1
+ e2
+ e3
=
+ A1 
+e1 +  +h1∂u1
h2 ∂u2h3∂u3 h1∂u1
 h1∂u1
 h2 h1∂u1 h3 h1∂u1 
∂h3 
∂A1
∂h
1 
1
∂
+ A1h3 2 + A1h=
( h2 h3 A1 ) +  h2 h3
 +2
h1h2 h3 
h1h2 h3 ∂u1
∂u1
∂u1
∂u1 

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿と計算でき、先の公式が得られる。
同様にして、次の方向微分をベクトルに作用させたものも得られる。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿∂h  
A2  ∂h1∂h  A  ∂h
− n2 2  + 3  n1 1 − n3 3  
 n1
h1h2  ∂u2∂u1  h3 h1  ∂u3∂u1  A  ∂h∂h  A  ∂h∂h  
+e 2  ( n∇ ) A2 + 3  n2 2 − n3 3  + 1  n2 2 − n1 1  
h2 h3  ∂u3∂u2  h1h2  ∂u1∂u2  A  ∂h∂h  ∂h  A  ∂h+e3  ( n∇ ) A3 + 1  n3 3 − n1 1  + 2  n3 3 − n2 2  
h3 h1  ∂u1∂u3  ∂u3  h2 h3  ∂u2( n∇ ) A= e1  ( n∇ ) A1 +＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.12 ベクトル解析の応用例
古典力学や電磁気学を学んだ人は、ベクトルという概念によって、これら二つの分野の公式が如何に簡潔に記述され、かつ公式の意味を明瞭に把握できるという経験をしてきている。また、内積と外積は、そのためになくてはならない量であるということも知っている。このように古典力学や電dE = v dp

磁気学にはなくてはならないものとして、ベクト
ル解析という分野が歴史的に発展してきたと言となる。

ってもよいであろう。

ついでに、特殊相対論についても触れておく。特しかし、おもしろいことに、古典力学（ニュート殊相対論でも、(2-101)ン力学）の基礎方程式には、内積も外積も現れて

dE = v dp

こない。また、Maxwell 方程式でも、rotation とという関係がある（有用な関係式のひとつ）。たいう形で外積が入っているが、二つのベクトルのだ し 、こ こ でも Ｅは 運動 エ ネル ギ ー（ kinetic

内積や外積は現れてこない。文章だけではつまらenergy）である。よく知られているように、初等ないので、すこし古典力学（ニュートン力学の方的には、

程式）と Maxwell 方程式を思い出そう（少なくとも物理を専攻した者はすらすらと書けないとまずいが・・）。なお、以下では用語（慣用語）の説明は省略する。また、ここでは、古典力学や電磁気学を講義しようというものではなく、ベク
トル解析の一つの具体例として取り上げているものであることを付記しておく。

=
E

mc 2
2
= mc
=
γ, p
2
1− β

mv
= mγ v1− β 2であり、ここで、=
β v c=,γ 1

1 − β 2 である。これから、EE2 =p 2c 2 + m2c 4 , p =v
c2(2-102)が得られるが、これらも有名な関係式である。
(2-102)の第一式を微分して、それに第二式を使う

古典力学（ニュートン力学）
まずは、復習である。ニュートンの第二法則は、

dp
= F
dt

p m=
v mr )(=

であり、この両辺に v をかけると、

1 d
mv 2 = F  v
2 dtと 、 (2-101)が直ち に得ら れる。 特殊相対 論のE , p, v の間にはいくつかの関係式があるが、これらは、次の対応関係を使うと単に双曲三角関数の間の関係式に帰着する（よって E , p, v の関係式は覚えておく必要はない）。

E → γ =
cosh θ
p → µ=
sinh θ
v → β=
tanh θ

となる。これから、r

1
1
mv 2 − mv 0 2 =∫ F dr22r0となる。ここで、 F が保存力であるとすると、

F = −∇U から、rr0

cosh 2 θ =sinh 2 θ + 1 , sinh θ =cosh θ tanh θしかし、E , p, v の間の微分関係は、次の関係式（対が）最後の等式に、FTC 型の公式を使っている。
これから、

1
Etotal=mv 2 + =U const.
2となり、（よく知られている）エネルギー保存則が導かれる。運動エネルギーを、 E とすると、から、と同じであり、(2-102)も次の明らかな関係と同じことである。

となる。ここで、（言うまでもないことではある=Ed cosh θ = tanh θ d sinh θ

r

U −U0
− ∫ F  dr =∫ ∇U dr =r0

たとえば、(2-101)式は、

1 2 p2=mv
22m

数微分の関係）を覚えていると、具体的な計算を行う際に、双曲三角関よりもっと便利であろう。

dγ

= β2

dµ

γ
µ
dγ
dβ
= µ2
γ
β
dµ
dβ
=γ2
µ
β

これを覚えるのは、図 20 で、左辺には上位にあるもの、右辺には下位にあるものをとり、残りのものを二 乗してかけると するのである（注：実は、双曲三角 関数のスカラー の関係
式で、(2-101)のベクト
ルの関係 式を証明したつ もりに図 20.
の関係なったのは、（一般的に言えば）反則である。しかし、今の場合、 p が v と平行であるので、2.6 節の＜閑話休題＞の関係式が使える。よって、反則が正当化されるのである。同様に、 v dp = vdp も有効である。しかしながら、ベクトル間の関係では、たとえば、

dp dμ
dβ
dv
= ≠γ2
=
γ2
である。しかし、上のpµβv
ように内積の形にもっていける場合には、常に成立する。たとえば、 v dp = γ 2pdv となる。）
ここで、ニュートン力学に戻って、「てこ」の原理を考えると、トルク、N という概念に行き当たり、さらに角運動量というものが重要であるということがわかる。ニュートンの第二法則から、

r × dp dt =r × F =Nとなり、左辺は、 p = mr であることから、
d (r × p )=N
dtと書け、角運動量、 L を、
L= r × pと定義すると、係から、運動は、 L （例えば、 z 方向）と垂直な平面内（ x − y 平面）で考えればよいことがわかる。
さて、一般に、ベクトル、 a は、ある方向の単位ベクトル、 n を使って、=a( an ) n + n × ( a × n )と内積と外積により、分解できる（問：既に示してあるが、忘れた場合には、復習せよ。
）
ここで、 n を半径方向の単位ベクトル（ n = r r ）とし、 a を n の時間微分、 n とすると、=n( n n ) n + n × ( n × n )となるが、右辺の第一項は、ゼロとなる。それは一般に大きさが一定のベクトルの変化はベクトルの方向に垂直な方向にしか変化できないからである。このことは前にも述べているが、重要な性質であるので、再度、説明しておこう。

v  v = const.
であると、

vdv = 0となる（問：これを示せ）これは、長さ（ベクトルの長さ）が抑えられていると直交する方向にしか変化できないという当たり前のことを言っているのである。よって、単位ベクトルの時間変化
は、（必ず）n =n × ( n × n )と書けることがわかる。これを書き直すと、

n × ( n × n ) + n =0(2-103)となる。この左辺の第一項は、

n × ( n × n )=1
r × ( r × rn )
r3

dL
=N
dt
と求まる。ここで、 F がゼロ、またはその方向がr と平行であるとすると（たとえば中心力の場と書き換えることができる。ここで、合）、角運動量の保存則が導かれる。その他の場となることがわかる。よって、(2-103)の両辺に m

合でも、例えば、 x 方向のトルクがゼロの場合にをかけると、は、 x 方向の角運動量が保存される。また、=r L 0=, p L 0となる（問:これを示せ）。 L が保存されるとすると、当然、その方向も保存されるので、上記の関== rn + rn
r d ( rn ) dt

であるが、 r  n であるので、r × rn =r × r1
r × L + mn =0
r3(2-104)

となる（注：ここまでは、見かけはさておき、物理は関係していない）。次に、重力の逆二乗法則
による運動方程式、nrp =−k 2 =−k 3rrを使うと、(2-104)は、−p × L + kmn =0となるが、 L は定数ベクトル（保存量）であっ

図 21. Lenz ベクトル

たので、

d
0
( p × L − kmn ) =dt

かを見てみよう。このベクトルは一定であるので、軌道上の都合のよい場所で計算すればよい。
軌道の対称性から、図 21 の近日点や遠日点が便とも書ける。これから、A = p × L − kmn

利なはずである。そこでは、レンツ・ベクトルは、が保存することがわかる。この保存されるベクトル を レ ン ツ ・ ベ ク ト ル （ Laplace-Runge-Lenz
vector）という。なお、このベクトルは、明らか=A( r ( mv ) − k m ) n2と書ける。ただし、速度、 v は θ 方向の速度であに軌道平面内にあることに注意（問：これを示る（動径方向の速度はゼロ）（問：これを示せ）
。

せ）
。

また、
（その場所での動径方向の）運動方程式は、=
mr m v 2 r − k r 2

このベクトル、 A の二乗を計算すると、

A 2 =( p × L ) + k 2 m 2 − 2k m n( p × L )2となる。また、

× L ) p 2 L2 , n(=p × L) L
( p=
r
2

2

であるので、2 2m=
r 
r r m2 v 2 − k mとなり、A = m 2 r 2 rnである（問：これを示せ）。よって、となることがわかる。これから、（場所によらずpk
A 2= 2m −  L2 + k 2 m 2 2m r = 2m E L2 + + k 2 m 2

一定なベクトルである）レンツ・ベクトルは、近2となることがわかる。また、ベクトル、 A, r の間の角度を、 θ とすると、

A=r A r cos θ= L2 − k m rとなり、これから、

1
L2
L2 km
r=
⋅
=
A
km 
 1 + e cos θ
cos θ 1 +
 km
という軌道の方程式が導かれる。ただし、A = km eと、離心率、e を使って表わしてある。これが楕円を表わしているということは周知であろう。また、離心率、e がゼロ、つまり軌道が円であると、Lenz ベクトルが消滅するということがわかる。
まず、レンツ・ベクトルがどの方向を向いている

日点（遠日点）での動径方向に平行で、向きは、

r によることがわかる。
（図で考えれば明らかなように）近日点では、 r は正で、遠日点では負であるので、レンツ・ベクトルは図 21 のようになっていること（近日点の方向を向いていること）がわかる。また、軌道が円軌道の場合、 r はゼロであるので、レンツ・ベクトルもゼロになることが再び導かれる。これは、平面内の軌道が円であるという対称性を考えると、平面内に運動の定数として、特別な方向をもったベクトルが存在しないからである（コメント： 平面内に円をおいても、そこには特定の方向を示すようなものはない。ただし、今の場合、この円を粒子が特定の方向をぐるぐる回っているという状況がある。このような状況では、確かに、 r , p のように平面内にベクトルが存在するのであるが、時間的に一定なベ
クトル、たとえば、長時間平均をとっても変わらないベ

divB = const.

クトルは存在しないのである（運動が見えないくらいに長時間を考え、静的な状況になったと考えるのである）。
なお、粒子がぐるぐる回っている状況を「直接に」表現
するような表記、算法（代数）はベクトル解析の中には存在しないが、回転の状況を「かなり忠実に」表現する（一定な）ベクトルとして外積を用いた角運動量ベクトルがある（言わずもがなであるが・・）。しかし、存在するとしてもこのベクトルは円の平面内には存在できず、それに垂直でなければならない。また、このベクトルは、円を回る方向が逆になれば、向きが反転するもので、回っている状況を無理やり、ある方向を示すベクトルとして表しているとも言えるものである。まさに、これは擬ベクトルの名前に「ふさわしい」もので、座標系を（勝手に）右手系から左手系に変えたりすると、向きが変わるようなものである。しかしながら、その重要性、有用性には、たいへん大きなものがあることはご存知の通りである。（蛇足を言えば、）レンツ・ベクトルは、本物のベクトル、極性ベクトルであるが、もっともシンプルな円軌道では消滅してしまうような「はかない」ベクトルである。一方、擬ベクトルである角運動量は、破滅的な状況を招くような特異なケースを除くと、決して、ゼロにはならない「しぶとい」ベクトルである。）

が一定であることがわかるからである。
さて、電磁的エネルギー、 W は、

1
dV ( ED + H B )2∫
1
dV ( ε E2 + µ H 2 )
=
2∫

W
=

で与えられるので、その時間変化は、

dW ∂W
= =
dt
∂t

∫ dV ( ED + HB )となる（問：これを示せ）。これに、(I)と(II)を代入すると、∂W= ∫ dV ( E( ∇ × H − j) − H ( ∇ × E ) )∂t
なるが、∇( E × H=
) H( ∇ × E ) − E( ∇ × H )であったので、∂W=− ∫ ∇( E × H ) dV − ( E j) dV∂tと求まる。これは、また、∂W= − ∫ ( E × H ) dS − ( E j) dV∂tとも書ける。ここで、右辺は、電磁エネルギー∫∫がある領域から失われることを示しており、第一電磁気学（Maxwell 方程式）

項の被積分項は、ポインティング（Poynting）・

Maxwell の方程式（のベクトル表示）は、実用

S= E × H

単位系（MKSA 単位系）では、∇×H= j+∇×E =−

∂D

∂t
∂B
∂t

ベクトル、 S と呼ばれるもので、(I)と与えられる。また、第二項は、ジュール損（Jouleloss）であり、初等的な表式、V I （電圧×電流）(II)と同じものである。以上のことは、電磁気学の基

∇D =
ρ

(III)

∇ B =
0

(IV)

で、
=
D ε=
E,
B µH
である（と、ここでは「仮定」する）。
上の(I)と(III)から、直ちに、電荷の保存則が導かれる（問：これを示せ）。

∂ρ+ divj =0∂t
また、(IV)は、(II)とは矛盾しないことがわかる。
(II)からは、時間的に、本的な事柄であるので、周知のことであろう。
以下では、ベクトル解析の応用例として、磁場に関する例と導波管内の電磁場の例を取り上げよう。
初めに、静的磁場（または、 (I) で電束電流、∂D ∂t が無視できる場合）を考えることにする。
その場合、必要となる式は、以下のものである。
∇×H= j , ∇ =
B 0
B=µH

0 であることから、通常は、
ここで、 ∇B =B = ∇× Aとおくのであるが、なぜこうなるのかの明確な説
明にはお目にかかったことがないのではないかと思う。（コメント：たとえば、（後で簡単に触れるが）初めに Lagrangian ありき、よって 初めに potential、

φ , A ありきで、次に B は、上の式で与えられるという立場に立てば、これ以上、何も言うことはないが、最初に Maxwell 方程式ありきという立場では、若干、「ぐちゃぐちゃ」言う必要があるように思われる。なんとなれば、このようにできるということは、うるさく言えば、保証の限りではないからである。Helmholtz の定理でも保証はされていないのである。しかし、先に述べたように、空間が可縮空間なら、Poincare の補題により厳密にし、このようなことは、たとえば、渦なしで縮まない完全流体のような場合には、その方程式は境界を越えた全空間に適用できるとは、（誰も？）信じてはいないであろう。いずれにしろ、Maxwell 方程式は、マクロ的には全空間で成立す
ると固く信じている（と盲信している）サイエン
ティストは、この信仰により心穏やかに過ごすことができるであろう（つまり信じる者は救われるのである）。なお、Poincare の補題を使うならば、Maxwell 方程式は全空間で成立している必要はなく、対象となる領域を包む可縮空間（たとえば、十分大きな半径の三次元球体の内部）で成立していればよい（その外部がどうなっているかは問わない）。（追加のコメント：Helmholtz の定理の簡単な成り立つのである。）こうなることの、もう少し納場合の導出は、ベクトル、A を発生するのは源（ソース）

得できるかもしれない「理屈」は、次のようなもであって、（たとえば無限遠の）境界からの影響は考慮のである。

しないというものであった。よって、この簡単な場合に=B µ0 ( H + M )を使って、 ∇ × H = j から、M ) µ0 jT∇=
× B µ0 ( j + ∇ × =基づいて、上述のような議論をするためには、全空間のとし、 B を発生する原因は、右辺の「電流」であ ると 考える こと にする ので ある。 する と、Helmholtz の定理から、

で、無限遠点の影響が及ぶには、無限の時間がかかるの「高圧的？」議論を展開してもよいかもしれない）。

としても、得するためには、無限空間の存在を信じ、その空間内でB = − gradφ + ∇ × A

ベクトル場は、何らかのソースから発生しており、無限遠点または十分に遠くに設定した境界からの影響は受けないと考える必要がある（伝搬速度は光速を越えないので、無限遠点の境界の影響は無視できるという物理的なHelmholtz の定理に基づいて、B = ∇ × A であること納∇ × B = ∇ × ( ∇ × A ) = µ0 jT

Maxwell 方程式が成立するという信仰が必要であった

となり、
「電流」
、 jT は、 φ の「発生」には寄与の Maxwell 方程式の成立を信じればよいので、納得しやしないことがわかる。よって、

B = ∇× A
とおくことができると主張するのである。
そして、「とどめの屁理屈（納得）」は、以下のよ
うな信仰によるものである。Maxwell 方程式は、
静的、動的な場合に拘わらず、我々を取り巻く世界（少なくともフラットな「全空間」）では（少なくともマクロ的には）成立していると信じるのである。つまり、たとえ境界があったとしても、その外の世界も含め、成立していると信じるのである。このように信じると、2.9 節の Helmholtzの定理の「付記」に述べたことから、Maxwell 方
程式に現れるすべてのベクトル、 A は、

∇ A = 0 ⇒∇× A = 0 ⇒A = ∇×C

A = −∇Φとなる（ただし、上の条件は全空間で成り立って0 かついる必要がある）。（全空間で） ∇ A =∇ × A = 0 ならば、 A = 0 が結論される。しかが、Poincare の補題に基づく場合には、局所的な領域ですいかもしれない。Helmholtz の定理は、ベクトル場、Aは、そのソースと見なすことができる、 divA や rot A
よって発生されるという見方であると考えることができる。一方、Poincare の補題は、ソースという概念ではなく、ベクトル場、A が divA = 0 となるのか、rot A = 0となるのかは、ベクトル場自体の領域内の様相によって決まるとする見方であると考えることができる。よって、どちらを信仰するかは、各自の判断であろう。）（再追加のコメント：信じるか信じないかは別にして、ほぼ間違いなく、 B = ∇ × A であろうと大方の方は「信じている」と思うが、だからと言って、この信仰は、
B = − gradφ とすることを禁じているわけではない。あくまでも「・・と表わされる」ということであり、「・・と表わしていけない」ということでないのである。このようなことから、時として、 B = − gradφ とすると便利な場合がある。ただし、 divB = 0 を満たすために、∇ 2φ =
0 である必要があるが・・）さて、「哲学的な話」はこれくらいにして、話を戻すと、磁場のエネルギーは、

Wm =1
H B dV2∫∇2 A =− µ0 j(2-106)0 から ∇ j =と求まる。なお、この式は、∇ A =0と与えられるので、

Wm=

1
H ( ∇ × A ) dV
2∫

となり、

∇( A × H=
) H( ∇ × A ) − A( ∇ × H )であることから、=
Wm

1
1( A × H )dS + ∫ A( ∇ × H ) dV∫
2
2
1
A jdV2∫(2-105)が得られる（問：これを示せ）。これは時々、役に立つ表式である。いま、ある種の電磁石が一つあるとしよう。これを回路要素であると思うと、そのエネルギーは、電磁石のインダクタンス、 L、を用いて（電流を I として）

1 2
LI
2

と与えられる。一方、電磁石の鉄心の透磁率が相当に高いとし、さらに、簡単のためにそれが ∞ であると近似すると、鉄心の中の H はゼロであると近似できる（問：これを示せ）ので、

1 2
1
B 2 dVLI =∫22 µ0 airと求まる（問：これを示せ）。これは電磁石の設計で重要な関係式である。例えば、偏向電磁石の場合には、ほとんど gap の間の磁場の値を右辺に代入すれば、 L が簡単に求まる（磁場のしみ出しを見込めばより正確となる）。また、磁場計算
で、A を使っている場合には、L は、(2-105)式から求まる。
次に、真空中に電流が流れている場合を考えてみよう。すると、 ∇ × H = j から、∇ × ( ∇ × A ) = µ0 jとなる。左辺は、例の関係から、

grad ( ∇ A ) − ∇ 2 Aとなる。ここで、前と同じような議論をしよう。
ただし、説明は簡略化する。

A = − grad Φ + ∇ × Cが得られるが、これは電荷の（静的な）連続の式
であり、物理的な矛盾はない。
(2-106)から、（たとえば、Helmholtz の定理のところの議論を参照して）、A=となり、無限遠で場が急速にゼロになるとする
と、

Wm =

となるが、Φ は磁場、B に寄与しないので（または先の議論、信仰により）、ゼロとしてもよい。
0 とおくこ
よって、∇ A = −∇ 2 Φ から、∇ A =とができる。以上から、

µ0
j′
dV ′
∫
4π r − r′(2-107)と求まるが、一つの（細い）コイルに電流、 I が流れているとすると、コイルから離れた点では、
これは、

A=

µ0 Ids′4π ∫ r − r′

(2-108)となるとしてよい。
いま、空中にいくつかのコイルが存在するとし、 i 番目のコイルが発生する磁場を B i とすると、全体の磁場エネルギーは、∑ B Bi, jijに比例することになる。それに対応した回路のインダクタンタンスを「定義」すると、磁場エネル
ギーは、

1
1
Li j I i I j = ∑ ∫ A i  j j dV∑
2 i, j
2 i, j(2-109)と書ける。これに(2-108)を適用すると、µ ds  ds j
1
1
Li j I i I j = ∑ 0 ∫ i
Ii I j∑
2 i, j2 i , j 4π ri − r jとなる（ただし、 i = j の場合、つまり同じコイ
ルの中の電流による寄与は(2-108)では必ずしも正しく評価できない）。i ≠ j の場合で、コイルの太さが相対的に細いとみなされる場合には、上式から、いわゆる相互インダクタンス、 Li j が、

Li j =µ0 dsi ds j
4π ∫ ri − r j(2-110)と求まる。これは、ノイマン（Neumann）の公式と呼ばれるものである。ただし、自己インダク
タンスにこの式を直接適用するのはあまり好ましくないであろう（問：これを示せ。）なお、この形に書くと、明らかに Li j = L j i であることがわかる。さらに、(2-110)は、次のように変形することができる。

dB = ∇ × dA ==µ ds i  ds j
Li j = 0 ∫4π ri − r j

 1 
µ0
µ0 − ( r − r′ )I ∇ 
I× ds′
 × ds′=
3
′
4π
4
π
−
r
r
′
−
r
r



µ 0 ds ′ × ( r − r ′ )I
34π
r − r′

 ds 
µ0
i


d
S

=
×
∇
(
)
j
j
 ri − r j 
4π ∫



となる。これがよく知られているビオ・サバール（Bio-Savart）の公式である。
今、二つのコイルの場合で一番目のコイルが細いとすると、(2-109)から、

 1 
µ0
ds i  dS j × ∇ j =
 ri − r j  

4π ∫







 1 
µ0



d
S

d
S
=
×
∇
×
∇
( i i)j ri − r j  
 j
4π ∫






(2-111)

L21 I 2 I1 = ∫ A 2  I1ds1となるが、両辺を I1 で割って、一番目のコイル
は、単に空間に「輪」を描いたと考えることにしてみよう。また、添え字も省略すると、

L I=（問：これを示せ。
）ここで( dSi × ∇i )( dS j × ∇ j )=( dS dS )( ∇ ∇ ) − ( dS ∇ )( dS ∇ )
i

j

i

j

i

j

j

i

である。今の場合、 ∇ が作用するのは、(

1 ri − r j∇i = −∇ j 1 
=∇i 2 
−4π δ ( ri − r j )(2-112)
 ri − r j 


であるが、
（常に） ri ≠ r j であるとすると、( dSi × ∇i )( dS j × ∇ j )=− ( dSi ∇i ) ( dS j ∇ j )dI∂B= ∫  dS = − ∫ ( ∇ × E )  d S
dt∂t− ∫ E  ds =−Vとなり、よく知られた、インダクタンスに誘起される電圧の式（電磁誘導の式）が得られる。
また、一つの（細い）コイルに単位電流が流れている場合には、(2-108)から、

µ0
ds ′
∫
4π r − r′となり、磁場は、

µ0
ds′
∇× ∫
4π
r − r′と与えられる。ここで、ω = 4π B µ0 とすると、=
B(2-113)とも表わされることがわかる。
さて、(2-108)を微小断片、ds′ にわけて考えると、となるが、これによる磁場は、(2-114)という式が得られる。ここで、Φ m は磁束である。

A=となる。よって、(2-111)は、

 1 
µ

=
− 0 ∫ ( dSi ∇i ) ( dS j ∇ j )  ri − r j 4π= ∫ B  dS = Φ m

Lとなる。また、µ dsi ds j
Li j = 0 ∫4π ri − r j∫ Ads= ∫ ( ∇ × A )dS

（なお、この式の次元は、エネルギー／電流で、V ⋅ sec であることに注意。）この両辺を時間微分すると、) という形をしているので、µ Ids′
dA = 04π r − r′

µ0
Ids′
∇×
4π
r − r′

 1 
ds′
ω=
∫ r − r′ =∫ ∇  r − r′  × ds′(2-115)
ここで、簡単にするために、

ϕ = ϕ ( r − r′ ) =1r − r′

とおき、(2-115)の被積分項を以下のように変形しよう（積分記号を省略したため、正しい表記に従っていないが・・・）。

としてしまったことが原因である。ゼロとしてしまった項は、実は、( ∇′∇ϕ ) dS′ =−dS′∇ 2ϕ= 4π dS′d ( r − r′ )∇ϕ × ds′ = −ds′ × ∇ϕ
= − ( dS′ × ∇′ ) × ∇ϕ= ∇ϕ × dS′ × ∇′()(2-116)= ( ∇′∇ϕ ) dS′ − ∇′ ( dS′∇ϕ )標をとって、曲面上で積分すると、= −∇ ( dS′∇′ϕ )ここで、最後から二番の式で、∇ (1 r ) =0 とい
2うことを使った（後で再検討するが・・）（問：以上の変形を示せ。
）
すると、(2-115)は、次のように書けることがわかる。
すると、 Ω は、Ω=−∫Ω = − dS′∇′ϕω = ∇Ω ,− ( r′ − r )3(2-117)ndS′∫ r′ − r dS′ = ∫ r′ − rである。
（ δ 関数があるので、議論は局所的で十分であることから）曲面上の交差点付近で面上に、 x, y 座標をとり、表面に垂直な方向に z 座

2。するとなる（ n は r′ − r 方向の単位ベクトル）と、図 22 からわかるように、 Ω は、コイルを境界とする曲面を位置、 r から見た時の立体角であることがわかる。つまり、「規格化した」磁場
は、立体角をスカラー・ポテンシャルとする ベクトルと考える
ことができる（昔の古い電磁気学の教科書には書いてあった
ように思う）。こ
の曲面の裏から（ dS′ の方向に）
図 22. 立体角とスカラー・曲面をよぎった
ポテンシャル（１）とすると、その時の立体角の様子は、図 23 のようになるであろう。しかし、「規格化した」磁場は、立体角のグ
ラフの傾きであり、（境界以外は適当に取った）曲面の面をよぎる際にも連続的に変化するはずである。しかし、面上の交差点では、ポテンシャ
ルである、立体角は −4π だけジャンプしている。
ということは、この場所で磁場は、δ関数的になってしまっていることになる。よって、どこかで式の導出におかしなことをしてしまったはずで4πδ ( z − z ′ ) n′となる（ n′ は曲面の表面に垂直な単位ベクトルである。）つまり、本当のスカラー・ポテンシャ
ルは、立体角に曲面を裏から表に（または表から裏に）よぎるたびに、
4π （ −4π ） 加えたものである（もっとも「規格化した」磁場を積分するということでス
カラー・ポテンシ
ャルを求めれば、
図 23. 立体角とスカラー・
コイルに触れない
ポテンシャル（２）限り、このような操作は必要ないが・・。） ω をある閉じた軌道上で積分したもの、または一周後のスカラー・ポテ
ンシャルの差を 4π で割ったものは、コイル同士、または一次元の閉じた輪同士の巻き付きの程度を表わすもので、winding number（回転数）と呼ばれている。以上の導出の途中に出てきた、(2-117)などを使うと、若干、複雑に見える(2-113)
は、

Li j = ∫ ( dSi B j )と非常に簡単になる（ただし、磁場は、単位電流が流れている j 番目のコイルが i 番目のコイルの場所に作る磁場である）。これは、本質的には、(2-114)と同じものであり、式のクロス・チェックにもなっている。
先に、ラグランジュアン（Lagrangian）について触れたので、ここにベクトル解析の観点から簡単に述べておくことにしよう。
まず、 B = ∇ × A はよしとして、次は、電場、E であるが、ある。それは、(2-116)で、「不用意に」∇ (1 r ) =02∇×E = −

∂B
∂t

から、

最後に、もう一つのベクトル解析の応用例とし∂A 

∇×E +
 =0∂t 
て、導波管内の電磁場を考えよう。ただし、導波管の断面は、電磁場の「進行方向」には一様と仮となり、ナイーブな議論より（または信仰により）、∂A− grad φ −
E=
∂t

mv 2
− qφ + qv  A
2(2-118)と与えられる。ただし、運動エネルギー以外の項
は、このままで相対論的になっている（これに dt
をかけると、相対論的な４元ベクトルの内積になっているのである）。この Lagrangian について
は、適当な古典力学の教科書を参照していただくとして、ここでは、これから運動方程式を導き、合わせてローレンツ（Lorentz）力が出てくることを示そう。(2-118)から、∂L∂L= mv + qA ,= −q∇φ + ∇ ( v  A )∂v∂rとなる（ベクトルの偏微分の記法は周知であるとしているが、それは gradient と同じであるし、心配なら成分ごとに求めればよい）。
すると、ラグランジュの方程式、d  ∂L  ∂L =
dt  ∂v  ∂r
の左辺は、

dA
mv + qdtとなるが、dA  DA  ∂A
+ ( v ∇ ) A==dt  Dt  ∂tであり、右辺の最後の項は、∇ ( v  A=)

クトル、 n ）とし、その方向の電場、磁場を、

=
E E=
Hz
z , H

となる。さて、非相対論的な（粒子の運動の）Lagrangian は、「天下り的に」、L=定する。その進行方向を z 軸（この方向の単位ベ( v∇ ) A + v × ( ∇ × A )である。これらを代入すると、ラグランジュの方
程式は、∂A+ q ( v ∇ ) A
mv + q∂t
= −q∇φ + q ( v ∇ ) A + qv × ( ∇ × A )となり、これから、

 q (E + v × B)
mv=となる。この右辺がローレンツ力である。

と略記する。さらに、場の z 及び時間依存性を、∝ ei kz −i ωtと仮定すると、（真空の）導波管内の電磁場は、一般に、次の式で与えられることが知られてい
る。

=
E⊥

i 

γ 

=
Z0H ⊥

2

 ω n × ∇ Z H ( 0 )⊥ck ∇⊥ E − i  ω  n × ∇ ⊥ E + k ∇ ⊥ ( Z 0 H )2 γ  c (2-119)ここで、( c) −k , c=

γ = ω
2

2

2

であり、

1

ε 0 µ0

,

Z0 =

µ0

( ∂x , ∂ ∂y )∇ ⊥ =∂である。これを使うと、Laplacian は、∇ 2 =∇ ⊥2 − k 2となる。(2-119)で、

E = 0 の場合： TE-mode
H = 0 の場合： TM-mode=
E 0,=
H 0 の場合： TEM-modeという。最後の場合には、式が意味を持つためには、 γ = 0 でなければならない。つまり、2

ω = ckでなければならない。これは、位相速度が光速であることを言っている（問：これを示せ）。
(2-119)は、若干、式が込み入っており、記憶力がよくないと覚えられないかもしれないので、これをできるだけ簡単に導出することを試みてみよう。真空中の Maxwell 方程式は、

ε0

=
∇×H

∂D

である。また、明らかに、, =∇ E 0∂t∂B∇ × E =−,∂t

(2-120)∇ 2 + ω 2 =0である（問：これを示せ）から、∇ 2⊥ + (ω 2 − k 2 ) =0

∇ B = 0となる。よって、

で、
=
D ε=
E,
B µ0 H0∇ 2⊥ =−γ 2である。以上を使うと、(2-124)は、となる。ここで、
E E0 ( x, y ) exp(i kz − i ωt )=()−i k ∇ ⊥ H + ω 2 − k 2 H=i ω n × ∇⊥ E⊥

H H 0 ( x, y ) exp(i kz − i ωt )=とおき、これを(2-120)に代入すると、∇ × H = −i ω ε 0 E(2-125)となる。同様にして、()−i k ∇ ⊥ E + ω 2 − k 2 E ⊥ = −i ω n × ∇ ⊥ Hも得られる。これらから、i∇ × E =i ω µ0 H
E⊥=[ k∇⊥ E − ω n × ∇⊥ H ]2
ω − k2が得られ（ここで、添え字,0 は省略）、また、こ(2-126)i
0 と ∇ B =
0 の式は不要である=
れから、 ∇E =H⊥[ω n × ∇ ⊥ E + k ∇ ⊥ H ]ω2 − k2
ことがわかる。(2-121)は書き換えると、という結果が得られる。ここで、∇ × Z 0 H = −i ω Ecω ←ω , Z H ← H(2-122)0c
ω
∇ × E =iZH
c 0という「戻し」を行うと、(2-119)が得られるのでとなる。ここで、式の変形を容易にするために、ある。さらに、(2-125)から、(2-121)

( )
( )

=
c 1=
, Z0 1とおこう。すると、
ω →ω , Z H →H0cとなり、(2-122)は次のようになる。
∇ × H = −i ω E ,∇×E = iω H

∇ 2⊥ E =−γ 2 E , ∇ ⊥2 H =−γ 2 H(2-127)となる。よって、(2-127)が解ければ、その解を(2-119)に代入して、 E ⊥ , H ⊥ が求まることになる。この(2-127)の偏微分方程式（固有値問題）を(2-123)解くためには、境界条件（boundary condition）

ここで、簡単な関係、( A × B ) z =A ⊥ × B ⊥が必要となる。導波管が完全導体できている（導に注意すると、(2-123)から、

ロでなければならない。すると、たとえば導体内∇ ⊥ × H ⊥ =−i ω E n ,電率、σ = ∞ ）と仮定すると、導体内の電場はゼ∇ ⊥ × E ⊥ =i ω H nとなる。これから、∇ ⊥ × ( ∇ ⊥ × H ⊥ ) =∇ ⊥ ( ∇ ⊥  H ⊥ ) − ∇ ⊥2 H ⊥=−i ω ∇ ⊥ E × n(2-124)となることがわかる。
ここで、次のような演算子の性質に注意しよう。

∇=0
これから、

( ∇ ⊥ + i k n )  =0となる。例えば、∇ ⊥ H ⊥ + i k H =0

でも成り立つ、(2-121)の第二式をつかうと、磁場もゼロなければならないことがわかる。これらのことと、∇×E = −∂B, ∇ B = 0
∂t

を使うと、
・導体表面に平行な電場は、ゼロ (A)・導体表面に垂直な磁場は、ゼロ (B)であることがわかる（問：これを示せ（ヒント：
上の式に対応する積分形で考える）。
まず、(A)から、

E surface = 0

であることがわかるが、(B)からは直ちに、(2-127)の H に適用できる境界条件はでてこない。しかし、表面上で、(2-119)または(2-126)の第二式と表

さて、(2-126)から、容易に、E⊥ H ⊥ =∇ ⊥ E ∇ ⊥ H

面の垂直方向 s との内積をとると、となることがわかる（問：これを示せ）。よって、
TE-mode または TM-mode のいずれかの場合、

となり、

となり、
（transverse 方向の）電場と磁場は直交

E⊥ H ⊥ = 00s∇ ⊥ H =∂H∂s surface

することがわかる。よって、=0

E H = 0となることがわかる。または、なるのである。また、進行方向の（ n 方向の）ポより一般に、

インティング・ベクトル（見やすいように磁場は(2-121)の第一式

複素共役とするというか、「（平均の）物理量」をを表面付近に使

計算しやすいようにすると）は、

うと、図 23 を参照にして、同様の条件を導く
ことができる。
以上をまとめると、
TM-mode の 場

図 24. 磁場の境界条件と、電場と磁場のベクトル自体も直交することに合には、二次元

TM-mode については、kω2
S =E⊥ × H ∗⊥ = 4 ε 0 ∇ ⊥ E nγTE-mode については、kω2
S =E⊥ × H ∗⊥ = 4 µ0 ∇ ⊥ H nγとなる（問：これを示せ）。
最後に、TEM-mode を(2-126)に基づいて考えてみよう。ここでは、次のようなトリックを使うの偏微分方程式、∇ Φ = −γ Φ2⊥2を境界条件（ディリクレ（Dirichlet’s）条件）、
Φ surface =0

ことにする、TEM-mode でも(2-126)が成立する
ようにしようと、先に注意したように、

E, H → 0⇒ ω2 → k2としなければならない。そこで、の下で解き、E, H ∝ ω 2 − k 2

E= Φとしてから、 ω → k とすると、とすればよい。
TE-mode の場合には、同じ方程式、E ⊥ = ∇ ⊥φ − n × ∇ ⊥ψ(2-128)∇ Ψ = −γ ΨH ⊥ = n × ∇ ⊥φ + ∇ ⊥ψを境界条件（ノイマン（Neumann）条件）、という形になることがわかる（ i も式の中に吸収してしまっている。なお、付記で複素関数を利用するが、そこでの φ , ψ は実数関数のように「錯2⊥2∂Ψ ∂n surface = 0の下で解き、

H= Ψとすればよいことになる。（注：上記の偏微分方程式の固有値問題には、境界条件も含め、電磁場に関するものは一切、含まれておらず、関係するのは領域の「幾何学的な」ものだけである。よって、固有値、

2=γ 2 β=( n 1, 2,) も純粋に幾何学的形状のみかnら決まる。）

覚」しても問題は生じない）。また、∇ 2⊥ =−γ 2 =0であることから、
2
0,
∇
=
⊥φ

2
0
∇=
⊥ψ

(2-129)とラプラス方程式を満たすことがわかる。また、E⊥ H ⊥ = 0

Z 0 H ⊥ = n × E⊥

となる（ただし、後者の式は元の単位に戻してある）（問：これを示せ）。また、φ , ψ は個別の場を表わすと考えて、境界条件を求めると、∂ψ=
f surface 0=,0∂s surfaceとなる（問：これを示せ）。ただし、初めの条件の右辺は必ずしもゼロである必要はなく定数であればよい。すると、φ は境界を等電位面とする
ポテンシャルのような役割をすることがわかる。
一方、ψ は、ψ = const. の面が境界と垂直交わ
り、かつ電場の方向と平行、つまり電場ベクトルの「流線面」を表わしているものと考えることがわかる（磁場で見ると、 φ , ψ の役割が入れ替わっている）。このようなことから、実際には、φ , ψのどちらか一方のみを考えれば十分であろうことがわかる（この節の付記を参照のこと）。
さて、前にも次式を示した。
∂φ2∫ (∇φ ∇φ + φ∇ φ ) dV =∫ φ ∂n dS
また、 ∇ 2φ =0 の場合には、ならないのである。よく知られたシンプルな例は同軸ケーブルを伝搬する TEM-mode の場合であ
る。一方、
∂ψ
=0
∂s surfaceという境界条件をもつ、ψ の場合には、(2-131)
から、境界がいくつあっても、常に、 ∇ ⊥ψ =0となり、電場、磁場が存在しないことを示唆しているように思われる。しかし、この場合でも逃げ道があり、(2-131)が成り立つのは、ψ が一価関数の場合であるので、そうでないとすればよいのである。そのシンプルな例は、やはり同軸ケーブルの場合であって、ψ ∝θ
である（この場合、同軸の周りを一周すると、値(2-130)∂φ∫ (∇φ ∇φ ) dV =∫ φ ∂n dSであった。いま、関数は、すべて、 x, y のみに依存するとすると、２次元領域にもそのまま適用できる（例えば、z 方向には厚みが非常に薄い円盤のような領域を想定するのである）（問：これ
を示せ）
。よって、

∂φ

∫ (∇ φ ∇ φ ) dV =∫ φ ∂n dS (2-131)⊥

つしかない場合にはそうなったのであって、繋がっていない境界が二つ（以上）あれば、それぞれの境界で別の一定値を与えれば、 ∇ ⊥φ =0 とは⊥が元に戻らない。つまり多価関数となる。）勿論、関数が一価になるように、領域に区切りを入れることもできるが、その場合には、入れた区切りが境界となり、そこではゼロと異なる値をとることができるので、 ∇ ⊥φ =0 と結論できないことになる。最後に、 φ , ψ の解法はポテンシャル問題と全く同じであるが、我々が求めていたものは、場が、∝ ei kz −i ωtという依存性をもつ導波管内を伝搬する電磁波となる（ここで、 dV , dS は薄い（３次元の）円であったということを注意しておこう。

盤に関するものと考えている）。これに境界条件、
f surface = 0 を適用すると、領域内のすべての点ことは、今回の OHO の他の講義の内容に踏み込で、波の様相及び実例については、他の講義または専0∇ ⊥φ =となることがわかる（ f =const. ≠ 0 でも同
surface
様の結論になる）。つまり、電場、磁場がゼロとなることがわかる。まったく同様にして、ψ についても同じことが言える。よって、TEM-mode
は存在しないことが証明できたという結論になったように思われるが、そこには逃げ道があるので ある 。それ は（ ２次元 空間 での単 連結 領域（simply connected region）のように）境界が一導波管内の電磁波について、これ以上、述べる
み過ぎることになるであろうから、具体的な電磁門書を参照されたい。ここでは、初歩的な事柄についてコメントしておくことする。(2-130)の２次
元版を書くと、∂φ∫ (∇ φ ∇ φ + φ∇ φ ) dV =∫ φ ∂n dS
2

⊥

⊥

⊥

となるが、これに、 E または H の波動方程式と境界条件を代入すると、たとえば、∫ ( ∇ ⊥ En ) dV = β n ∫ E dV
2

2

2

n

波数が大きくなると（cut-off 周波数より、かなりとなる。これから、(ω c ) − k = β ≥ 0
2

=
γ
2

2

2

n

(2-132)となることがわかる。ここで、若干、しつこいかもしれないが、次の初等的な式について考えてみよう。

a 2 − b 2 = c 2 ( = const. , c: real )という式で、

a→0
a→∞

(A)
( B)

となるときの様子を見てみよう。

( A ) の場合、a とともに、b も減少するが、bが実数であるとすると、

a 2 = c2 + b2 ≥ c2となり、 a ≥ c でなければならないことがわかる。 a は c より小さくなれない。これを(2-132)に適用すると、ω < ωc ( =cβ n )

大きくなると）、(2-132)から、

ω ≈ ckとなることがわかる。つまり位相速度が mode によらず光速にほぼ等しくなることかわかる。さらに、(2-119)で、 γ 2 は固有値で領域の幾何学的形
状から決まるもので、（mode には依っても）周波数には依らないこと、また ∇ ⊥ についても全く同様であることに注意すると、周波数が大きくなると 、 相 対 的 に longitudinal field の 強 さ はtransverse field の強さより弱くなることがわかる。つまり、（超）高周波になると、どんな modeの電磁場でも、「平面波化」すると言える。導波
管の断面の大きさ（径の大きさ）の程度を、a とすると、場の相対的な強さの程度は、（オーダー
で示すと）
、

E⊥ 

a

λ

E

または E ⊥ 

a

λ

Z0 H

となる。ここで、 λ は電磁波の波長である。また、 Z 0 H についても、同様である。（問：これを示せ。ヒント： ∇ ⊥  1 , β n  ∇ ⊥22であるような周波数の電磁波は伝搬できないことがわかる（ ωc : cut-off frequency ）。右辺の固（コメント：普通のサイズの導波管や金属パイプをのぞい有 値と して最 小な ものを 採用 すると 、ど んなて景色を見ても（視野は狭くなることを別にすれば）景mode でも電磁波を伝搬させることができないことがわかる。また、ω = ωc の場合には、k = 0 と色は全く変わらない。）

なり、導波管内での波長（管内波長）は無限大となる。それ以下の周波数の電磁波を「無理々々」伝搬させよとすると、（上の式を成立させるためには）b または(2-132)の k を虚数にする必要がある。つまり、進行方向に減衰する波となり、ω << ωc であると、ほんの入り口付近にしか電磁波は入っていかないことになる。
(B) の場合も興味深い。 a がどんどん大きくな
ると、それに合わせて、b も大きくならないとい
けないことは明らかであるが、実は、（定数 c が何であっても） a と b の差がゼロに近づく、つまり、等しくなるのである。それは、たとえば、

c2a −b =(a + b)としてみると、はっきりとわかる（または、a とb に関する双曲線、または ω と k の分散曲線の図を描いてみるとわかりやすい）。つまり、周a）

なお、（説明の順番が逆のような気もするが）(2-132)から明らかに、(ω c ) ≥ k22であるので、導波管内の電磁波の位相速度は、（常に）光速より大きいということがわかる。これは
一見、特殊相対論に反する「事実」のように思われるが、実は、この種の「事実」はいくらでも作り出すことができるのである。一例をあげると、光速より十分に遅い東海道新幹線の「ひかり」を各駅に配置し、東京から「ひかり」が発車するのと同時に「光」を発射したとしよう（ただし、その「光」は各駅で見ることができると仮定する。）
他の各駅では、いつ「ひかり」が発車するのか事前にわかっており、「光」が到達する前にその駅にある「ひかり」を発車するとしてみよう。すると、これを遠くから眺めていると、「ひかり」車
両の集団は、光速より速く動作しているように見えるのである（または、JR 東海のような巨大な組織でも組織内の情報伝達の速度が光速を越えているように見えるのである）。実際上は、そう

なっていると判別することはむつかしいであろうが、そうなっているのは、「事実」であることは間違いないはずである。
以上は、位相速度についてであったが、一方、（よく知られていることではあるが）群速度は光速より遅い。これについても簡単に触れておこう。 ω と k は双曲的な関係にあるので、=
ω c β=
cosh θ , k β sinh θとおくと、記述が簡単になる。これから、容易に、

phase velocity: =vph ω=k c coth θ ( > c )=ω dk c tanh θ ( < c )group velocity:
vg d=
となり、
という関係が得られる。
また、（明らかに説明の順番が逆になっているのであるが）平面波についても一言、コメントしておこう。この平面波を、

E= E0 exp ( k r − ω t ) , H= H 0 exp ( k r − ω t )とおき、真空中の Maxwell 方程式、(2-120)を眺
めると、直ちに（暗算で）
、

k=
E k=
H 0

(2-133)(2-134)と求まる。今まで（不思議なことに）「真っ当な」
波動方程式が一度も出てこなかったが、これもMaxwell 方程式を眺めると、（暗算で）

 2 1 ∂  E ∇ − 2 2    =0c ∂t   H 2=
rot rot grad div − ∇と c = 1 ε 0 µ02=
c 2.99792458 ×108 [ m/sec ]であり、現在では、これは測定値ではなく、「定義値」となっているので、（記憶力のよい方は）覚えておいて損はないであろう（携帯電話の番号同様に定義値（ Z 0 = µ0 c ）であるが、桁数が無限大であるので、誰も正確な数値を覚えていない（覚えられない）（問：これを示せ）。
［付記］(2-128)の電場を成分で表すと、
∂φ ∂y
E=
+
x
∂x ∂y

E=
y

∂φ

∂y

(2-136)−∂y ∂xとなる。また、(2-129)から、 φ , ψ は調和関数である。これから、複素関数の２次元静電場への応用とかなり関連していることが推測される（一見、少し変な形をしているが）。今、一つの複素と求まる（ただし、暗算ができるためには、例の2となり、導波管内の電場と磁場の関係に類似のものが得られる（問：平面波の進行方向と平行、または反平行に、（ほぼ）光速で走る電子が受ける力を求めよ。また、（普通の）速度の電子が（普通の）光から受ける力は、（普通は）電場のみを考慮すればよいことを示せ）。
なお、蛇足であるが、光速は、より桁数が少ない！）また、 Z 0 ( ≈ 376.7 Ω ) もvph vg = c 2

k ×E =
ωB , k × H =
−ω D

n×E =
Z0H

関数（複素ポテンシャル）を、f1 ( z )= f + iψ

を覚えていなければむつかしいかもしれないが・・。）
これから、平面波の場合、これも暗算でとおき、もう一つの複素関数（複素ポテンシャル）2

f 2 ( z )= f + iψ(ω c ) = k2と求まる。なお、これは、(2-134)と(2-135)を使
えば、ベクトル算でも求まる（すこし頑張れば、暗算でも容易に求まるであろう）。以上から、平面波は、（必ず）横波であり、伝搬速度は（位相速度、群速度とも）光速であることがわかる。また、(2-134)から、

n×E =
cB

(2-135)となる。ただし、 k = k n としている。これを真空 の 特 性 イ ン ピ ー ダ ン ス （ characteristic
impedance）、 Z 0 で表わすと、を、としてみよう（勿論、関数は正則関数である）。
すると、複素関数の性質から、

df1 ∂fyff
∂  ∂
∂
= +i
= −i
∂x ∂x
∂y
dz ∂x
 ∂
df 2
∂fyyy
∂
∂
=
−i
+
= +i
dz
∂y ∂y
∂y
∂x
となる。また、よく知られているように、

df= Ex − iE ydzであるので、f=( z ) f1 ( z ) + f 2 ( z )とおくと、(2-136)が導かれることがわかる。よって、

f ( z ) =Φ ( x, y ) + iΨ ( x, y )とおくと、E⊥ = ∇ ⊥Φ
となり、一つの関数、 Φ だけがあれば十分ということがわかる。なお、磁場は、既に示したように、n × E ⊥ から求まる（問：以上のことを示せ）。
2.13 結語（ベクトル解析）
以上で本講義のベクトル解析のセクションは終了したことになるが、（すべてを忘れて）もう一度、この講義の「カンバン」である Appendix Aを見られることを勧めたい。すると、これだけあれば、ベクトル解析はほぼ十分であることを了解していただけるであろう。ベクトルは、時代遅れの（obsolete）概念であると言う方々もいるようであるが、ベクトルは、素朴で、直感的で、かつ美しいということを少しでも再認識していただ
ければ、幸いである。なお、本講義では、・線形性（特に双線形性）
・内積・外積を含む微分（Leibniz 則）
ベクトル演算（内積・外積）と微分演算は独立であること
・積分に関する三つの型（Gauss、Stokes、FTC）
を強調して解説した。
なお、何事にも共通していることではあるが、ベクトル解析をマスターするには、訓練（exercises）
が大切で、その中でたくさんミスをすることが重要である。そうすることで、「 Everyone

makes

mistakes.

Exceptme.

(Pauli)」という境地に達することができるであろう。
なお、ベクトル解析の直接の応用の一つとして、曲線論や曲面論があり、これ自体、たいへん
面白い分野で、「余生に」勉強したいと思っている分野でもある。

である。これは、図 25 をみれば明らかである。
そもそも直方体と歪んだ直方体の体積を同じと考えることに無理がある。さらに、 dx, dy, dz は
体積要素の x, y, z 方向の長さと見なしているもの

3. 微分形式への超イントロ
3.1（微分形式）はじめに
本講義録の「はじめに」に述べたように、この微分形式への超イントロは、積分や体積を復習することから始めて、それらに微分形式を導入し、それから外微分、（拡張された）Stokes の定理、Poincare の補題（の逆）ぐらいまでの基礎と二、三の応用をできるだけ初等的に説明しようというものである。
（通常の）積分の表式は、たとえば、∫ f ( x, y, z ) dx dy dz
V

(3-1)

と表わされる。この表現には、積分に必要な機能が過不足なく含まれているだけでなく、これ自体、完璧と言ってもよい美しい表現になっている。よって、この表式を変更する必要は全くないように思われる。
しかしながら、この表式では、座標変換や積分
領域の写像を適用しようとすると、若干、無理が生じてくる。（コメント：座標変換や写像が円滑に、または「頭を使わないで」機械的にできないようでは数学的対象物とは言えないであろう。）たとえば、直交座標での体積要素は、

dVr = dx dy dz
であり、その体積積分は、(3-1)で与えられが、極座標での体積要素は、

dVs = r 2 sin θ dr dθ dϕであり、体積積分は、∫ f ( r ,θ , ϕ ) r sin θ dr dθ dϕ2と与えられる。ただし、f ( x, y, z ) = f ( r , θ , ϕ ) としている。すると、当然のことながら、

dx dy dz = r 2 sin θ dr dθ dϕとしたいという強い誘惑に駆れる。しかし、残念ながら（当然のことではあるが）、dx dy dz ≠ r 2 sin θ dr dθ dϕであり、これと歪んだ体積要素の長さを表わしている、dr , dθ , dϕ の間の関係も明らかでない（注：関係を付けようと努力しても結構だが、無駄に終わるであろう）。つまり、

dVr ≠ dVs
であり、局所的には、等しくないのであるが、これを使った積分（大局的な量）は等しいということになるのである。しかし、局所的には×であるというのでは、何かと都合が悪いであろう。これをたいへんうまく解決してくれるのが、微分形式である。つまり、微分形式の表現では、以下のよ
うに局所的なものが等しくなるのである。

∧ dz r 2 sin θ dr ∧ dθ ∧ dϕ
dx ∧ dy=（微分形式に慣れてくると、 ∧ は省略することが多い）このように座標変換をしても局所的に等しい形式が得られると、積分をしないで局所的な解析が可能になるというメリットが出てきて、これだけで強力な解析手段となり得るのである。
3.2 積分再考「積分再考」と大層な表題になっているが、ここでは積分の枠組み（形式）について初等的な考察（復習）をして、一次元の場合でも微分形式の考え方、表記が必要になることを見てみようというものである。あくまでも積分の枠組みのようなものについて考えるのであって、具体的な対象に対する正確な（厳密な）積分法については一切、考えないのである。つまり、Lebesgue 積分は勿論のこと、Riemann 積分も登場しないのである。
ほとんど有限和（高校生レベル？）による近似という程度のことしか出てこない（コメント：しかし、積分の枠組み、または形式という舞台設定がさ れ る と 、 そ こ に Riemann 積 分 、 さ ら に は
Lebesgue 積分が登壇すると考えるのである。
）
積分の線形性
直接、微分形式とは関係なさそうなことから、話を始めよう（ただし、この節は超イントロである ので 、簡略 であ ること を旨 とする ので あるが・・）

図 25. 直線座標系と球座標

積分でもその重要な性質は、微分と同様に線形性である。一次元で書くと、簡潔に、

積分の下限・上限∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dxとなる。積分を習い始めた時に、∫ f ( x )dxとは、点、xi の場所での関数、f の値、f ( xi ) に、
微小な長さ、 ∆h をかけて、和をとったもので、近似されるものであり、グラフ、 f と x 軸との図 26. 積分の有限和近似

間の領域の面積であると習っている。ただし、「但∫し書き」が付いていて、 f ( xi ) が負の場合でも

そ のま まにし て計 算する とい うもの であ る。

f ( xi ) の値の絶対値をとって計算すれば、 x 軸とba

次に、積分 の下限、上限について考えてみよう。積分の（初等的な）イメージは図 26 のよ
うな分割の有限和の極限である。たとえば、nf ( x ) dx ≈ ∑ f ( a + i ∆h ) ∆hi =1

で あ る （ た だ し 、 a <bと す る ）。 ま た 、∆h = ( b − a ) n で、これは微小な線分の長さ、まの間の面積が求まるのに、どうしてそんなことにたは微小な一次元のブロックの長さ ( ∆h > 0 ) でしたのであろうか。それは、積分の線形性を損なある。積分の初等的なイメージで推測すると、わないようにする、平たく言えば、自由にたし算
n1ができるようにするためである。たとえば、積分f ( a + i ∆h=∆hf ( a + i ∆h ) ∆h)を、
=i 1 =i n∑

S ( f ; {a , b} ) = ∫ f ( x ) dxbaのように定義したとすると、線形性が損なわれ、
自由なたし算（機械的なたし算）ができなくなるのである。なお、線形性が損なわれることは、a≈ ∫ f ( x ) dxb

としてもよいような気もがするが、実は（これも積分を習い始めた時に習ったように）、（コメント：面積の計算が複雑だと、そうでなくても頻繁に起きている土地騒動がもっと起きるであろう。）いず
れしろ、線形性をもつように積分は定義する必要があるのである。また、多重積分で、∫ f ( y ) dy dy  dy
12n

 ∂∂yx1  1
 ∂∂yx2 = ∫ f ( y ( x ) ) det  1


 ∂yn
 ∂x1 

∂y1

∂xn



∂y2

∂xn

 dx1dx2  dxn
 
∂yn 
∂xn 


としている定義も見かける（右辺の縦線は絶対値を表わしている）が、これも線形性を損なっているので（または頭を捻らないと線形性を維持できないので）、望ましくないと思われる。

a

b

b

a

∫ f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

f ( x) + g ( x) ≠ f ( x) + g ( x)から明らかであろう。とにかく、頭を使わないで機械的にたし算（＋引き算）ができないようでは、計算の道具として、あまり役に立たないであろう

∑

(3-2)

である（と定義するといってもよい）。この式は、下限と上限を入れ換えたので、「積分の方向」が逆になったので、マイナス符号がつくということで納得しているのであるが・・
a < b なら、∆h > 0 で、a > b なら、∆h < 0 であるので、当たり前と考えてもよいが、積分は、グラフと x 軸の間の（符号付の）面積であるという見方からすると、何か腑に落ちないし、積分の表式を見ているだけでは、それほどはっきりしないであろう（たとえば、Lebesgue 積分では、（通常の）測度（measure）は常に非負（ m ( dx ) ≥ 0 である）。いずれにしろ、このように定義すること
で、次の線形性が保証されるのである。
b

c

b

a

a

c

f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx∫=

ここで、 c は必ずしも、 a < c < b である必要はないのである（問：これを示せ）。
微分形式による一次元の積分
ここまで、なんと初等的な話をしているのかと思われるかもしれないが、それは、微分形式（ここでは一次元ではあるが・・）への導入になるからである。微分形式では、積分を次のように定義するのである。

∫ f ( x ) dx ≈ ∑ f ( x ) dx ( ∆a )
C

i

i

(3-3)

i

ここで、 C は向きをもった積分領域（今の場合には一次元の領域）で、それは、微小なベクトル、∆ai から構成されているとみなす。また、dx は今まで出てきたブロックの長さなのか、符号付の
長 さ（ これの 数学 的な意 味は 不明確 では あるが・・）なのか、はっきりしないものではなく、∆ai の x 成分をとるものとする、または、ベクトルに作用して、その x 成分を取り出す演算子とするのである（ dx は何か微小な量を示すものではない。これについては、後で、再度、説明するであろう）。このようにわざと話を複雑にしたように見える定義をすると、実は、物事がすっきりするのである。
たとえば、C として、領域、[ a , b ] をとり、向きは、 a → b の方向をもっているとしよう。これを微小なベクトル、∆ai に細分して、∆ai =∆hi iとする（今の場合、 ∆hi > 0 である）。すると、∆hi となり、(3-3)の有限和は、
dx ( ∆ai ) =ai )∑ f ( xi ) dx ( ∆=i∑ f ( xi ) ∆hiiとなり、初等的な積分（線分をブロックに細分した積分）の近似和となる。次に、同じ領域、[ a , b ]をとるが、向きを逆にしてみよう（この領域を、C ′ とする）。すると、今度は、∆ai = −∆hi i となり、dx ( ∆ai ) = −∆hi となるので、(3-3)の有限和は、−∑ f ( x ) ∆h
∑ f ( x ) dx ( ∆a ) =
i

i

i

i

i

i

となる。ここで、符号は別にすれば、初等的な積分の近似和で、たし算の順番を逆にしても和は変わらない。（いつまで初歩的な説明を繰り返すのかと思われるかもしれないが、）このことが微分形式を理解するための肝である（と思うからである）。ここで、 C ′ = −C という（もっともらしい）
記法を使うと、∫−Cf ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
Cと表わされる。これを通常の表現で書けば、(3-2)となる。（コメント：しかし実際の積分計算では、こんな回りくどいことはしないで、長年、やり慣れた方法と考え方で計算する方が便利で速いであろう）。

次 に 、 変 数 変 換 に つ いて 、 考 え て み よ う 。

x = φ ( u ) とすると、周知のように、( u ) ) ′ ( u ) du∫ f ( x ) dx = ∫ f (ff
C

C

(3-4)

となる。ここで、C と C は同じ領域を異なる変数で表しているものである。ここでdx = φ ′ ( u ) duであったが、我々は、有限和を考えているので、これは、「無限小」の量の間の関係を表わしていると考えるのではなく、関数を（ある点で）線形化したもの（初等的には接線の式）を表わしていると思うのである。つまり、 d は無限小を示す
シンボルではなく、線形化を表わしているものとするのである。よって、ある点では、c を定数として、

dx = c duとなる。また、微小量、 ∆x と ∆u の間には、当然、∆x = c ∆uという関係がある。さて、座標ベクトルは、今の場合、一次元であるので、

r = xiと表わされ、線形化された空間では、これは、=
r u=a (a c i )とも表わされる。 dx は、先に述べたように、ベクトルに作用すると、そのベクトルの x 成分をとるのであった。よって、 ∆r =∆x i =∆u a であるとすると、

dx ( ∆r ) =dx ( ∆x i ) =∆xとなるが、これを次のようにしてもよい。

dx ( ∆r ) =dx ( ∆u a ) =∆u dx ( a ) =∆u dx ( c i )= c ∆u dx ( i ) = c ∆u = ∆x
一方、 u 座標では、du ( ∆r ) =du ( ∆u a ) =∆uとなり、同様に、

du ( ∆r ) =du ( ∆x i ) =∆x du ( a c )=∆x c =∆u

としてもよい。随分、初等的な計算をしているように思われるかもしれないが、ここで、言いたい
ことは、微分形式にベクトルを作用させた結果は、そのベクトルの座標表示はよらないということである。（注：これ以降、この小節の終わりまでは、
スキップしてもよいかもしれない。）

ここで、すこし、先走って、

i →
a →

∂
∂x
∂
∂u

と同一視を行うと、

∂x
∂u
 ∂ 
 ∂ 
dx  = 1=, du  = 1=∂x∂u
 ∂x  ∂u 
となる（とおける）。
より一般的には、

df =

∂f
dx
∂x

であることから、上の関係を使って、

 ∂  ∂f
df   = ∂x  ∂xとするのである。最初は、このような変な記号や操作に抵抗があるかもしれないが、このようにしておくと、ベクトルの成分を抽出する際に間違いがないのである。
こうしておくと、

dx ( ∆r=) φ ′ ( u ) du ( ∆r=) c du ( ∆r )で、∆r にどの表記をつかっても同じ結果が得られるのである。ついでに、さらに先走って、一般に、ベクトルを、

X
= a1

∂
∂
+  + an∂x1∂xnと書くと（同一視すると）、（適当に傾いた） f 座標で見たときの成分は、df ( X ) = Xf = a1∂f∂f
+  + an∂x1∂xnと表わされる。これは、ベクトル解析の言葉で表すと、( a∇ ) fと同じものであり、ベクトル、 a 方向の方向微分と言われるものである（大雑把に言えば、ベクトル、 a だけ動いたときの（座標である） f の変化量を表わしているものである）。ベクトルの基
底を座標の偏微分と同一視すると、

 ∂ 
dxi 
=d
 ∂x  i jjとなり、上付き下付きの添え字を使うと、

 ∂ 
dxi  j  = d ij ∂x 
とも書ける。すると、 dx i を双対空間の基底と見なすこともできるのである。また、ベクトルをこのように見なすと、そこには、かけ算（Lie 積）を導入することができ、代数（algebra）構造を入れることができるようになるのであるが、これについては適当な数学書を参照されたい。本講義
では、あくまでも座標成分の抽出ということに留めることにする。
3.3 ｎ次元の体積と表面積
ここでは、 n 次元空間における体積と表面積（ n − 1 次元の超平面における面積）について考え
てみよう。
体積の表式
二次元の体積（つまり面積）は、横×縦と定義される（問：なぜ、そのように定義するのが「便利」なのかを暇つぶしに考えよ。ただし、暇のない方は考えなくてもよい）。また、小学校では、
平行四辺形の面積は、底辺×高さということ習った。そして、（多分？）大学で、辺のベクトルを、

a, b とすると、同じ面積が、 a × b で与えられるということを習った。いずれにしろ、面積は、一つの辺の長さと、その辺に垂直な方向に測った
高さをかければ求められるということである（また、面積は、上辺を下辺に平行に移動して、長方形の形にしても面積は変わらないという性質も習った）。次は、３次元での直方体の体積、V であるが、これは小学生の時に習ったように、縦 l
l、幅 w 、高さ h を用いて、

V = l whと表わされる。また、微少な体積、 dV の縦、幅、高さが dx, dy , dz で与えられる場合、

dV = dx dy dzとなるのであった。しかし、これらは、測った縦、幅、高さの方向が直交している場合であって、こ、れらが斜めに傾いているとすると（図 6 を参照）

V = c( a × b ) = det [a, b, c ]となり、微少な体積は、

dV= dc( da × db=) det [a, b, c] dudvdwとなる。ただし、ここで、=
da a=du , db b=
dv , dc cdwとしている。これを n 次元に拡張すると、

V = det [a1 , a 2 , , a n ] a11 0
0 a22
V = det   0 an 2(3-5)となり、微少な体積は、

dV = det [a1 , a 2 , , a n ] du1du2  dun (3-6)のように表わされる（ただし、この体積は符号付であり、正の値にこだわるのであれば、これらの絶対値をとる必要がある）。なぜこのようになるのかは、３次元からの類推と言ってしまえばおしまいであるが、ここで、少し、説明をしておくことにしよう。
帰納法を使うのである。 n − 1 次元については、
公式、(3-5)は証明されたと仮定しよう。次に、n次元空間の中に、 n 個のベクトル、 a1 , a 2 , , a nを考える。ここで、体積は、「人為的」にとった
どんな座標系にもよらないはずであると思うのである。すると、n − 1 個のベクトルからなる（部分）空間に、座標、 2,  , n を入れて、一番目の座標、1 をそれらに直交するようにする。すると、
n 個のベクトルの成分は、 ai の k 座標を、 akiとし、 ai の成分を縦にならべると、

 a11 0  0  a21 a22  a2 n     
 an1 an 2  ann のようになる。 n − 1 次空間の n − 1 個のベクトル、 a 2 , , a n による体積は、公式から

 a22  a2 n det     a n 2  ann と与えられる（ただし、当面は、符号については考慮しないことにして・・）。よって、 n 次元空間の体積は、この n − 1 次元空間に垂直な方向の高さ、つまり a1 の一番目の座標をかければよい。
つまり、体積、 V は、

 a22  a2 n 
V= a11 ⋅ det     a n 2  ann と求まる。これは、また、

 0  a2 n    ann とも書ける。ここで、更に、行列式の性質を使うと、

 a11 0aa22
V = det  21 
 an1 an 2

 0 
 a2 n    ann なる。一つ前の式は、ちょうど、ベクトル、a1 をベクトル、a 2 , , a n がなす底面に平行移動したものになっている。以上で帰納法は終わり、(3-5)が証明されたことになる。なお、(3-5)の表式は、座標変換（直交変換）に対して不変である。それは、

V ′ = det [ Pa1 , Pa 2 , , Pa n ]det P ⋅ det [a1 , a 2 , , a n ] ==Vであるからである。ただし、ここでは、 det P = 1としている。このことから、（固有）回転の場合には、体積の符号は変わらないが、たとえば、二つのベクトルを入れ換えるようなことをすると、符号が変わることがわかる。また、座標系の座標の順番に n 個の単位ベクトルをとった場合には、体積は正で、 +1 である。よって、これから、体積が消滅しないように連続的にベクトルを変化させた場合には、体積の符号は常に正のままである。
表面積の表式(3-7)式は、次のようにも解釈できる。体積は、
n 次元空間の n − 1 次元の平面上の表面積に、それに垂直方向の高さ、 a1 をかけたものであるの
で、

(3-7)

V= a1 ⋅ ∆S1= a1n∆Sとなる（記号の意味は明らかであろう）。また、一般的な体積の表式は、

 a11  e1 a12  a1n 
 


a21 
e 2 a22  a2 n 


V=
det
  

     an1  e n an 2  ann = a1 ∆S = a1 ( e1 ∆S1 +  + e n ∆S n )となる（問：これを示せ）。よって、表面積ベク
トル、 ∆S の i 成分、 ∆Si は、元の行列式の第一列の i 成分の余因子で与えられることがわか（コメント： 以下の話を簡単にするために、notationる。

を変える。 a1 , a 2 , , a n を a, b, c, とし、上の ∆Sを、a∗ =∆S a =∆S

似した体積の表式を使うのである（その点での線形空間である接平面（tangent space）上で考えれば、正確な体積の表式となるが・・）。いずれにしろ、この点上では、偏微分係数は定数となるので、

 dx1 
dx=   =
 a1du1 +  + a n dun dx 
 n
 a11  a1n   du1 =       
 a  a   du nn  
n
 n1

(3-8)

のように表わされる。

とおき、これ以外についても、たとえば、

 a1

a
∗
c = det  2


 an

b1
b2

bn

e1  
e2   en  

とおくことにする。すると、たとえば、b∆S=
V , b∆S=0bcとなる（問：これを示せ）。つまり、表面ベクトル、 ∆S c
等は、または、 a , b , c , 等は、 a, b, c, の双対基∗∗∗

底（ただし、規格化はされていない）になることがわかる。そして、これは、３次元の場合の逆格子ベクトルと同じものであることがわかる。）

n 次元の積分
さて、ここで、一旦、 x 座標と u 座標との関係を忘れることにしよう。まず、x 座標に関する
積分については、当然、∫ f dx dx  dx
1

2

(3-9)

n

の形に表される。ここで、微小体積は、

dVx = dx1dx2  dxnとなっている。一方、 u 座標については、 n 個の微小なベクトル、a1du1 ,  a n dun を辺とする n次元の斜体が微小体積を構成している。よって、(3-6)から、体積は、

dVu = det [a1 , a 2 , , a n ] du1du2  dun(3-10)

3.4 ｎ次元の積分と微分形式と与えられる。一方、関数、 f ( x ) は、点、x ( u )まず、次のような一般的な座標変換を考えることにする。

での値は変わらないので（丁寧に書けば）、

x1

xn

= x1 ( u1 , u2 , , un )= xn ( u1 , u2 , , un )すると、 dx1 


dx =
=
 
 dx 
 n

 ∂x1
 ∂u
 1
 

 ∂xn
 ∂u
 1

∂x1 
∂un   du1     ∂xn   dun ∂un 


となるが、我々は、積分を有限和で近似している
ので、体積要素としては、空間のある点で線形近=f ( u ) f=( u1 , , un ) f ( x ( u ) )= f ( x1 ( u1 , , un ) , , xn ( u1 , , un ) )となる。よって、積分は（場所によって、ベクトル、 a が変わるので、偏微分に戻して）、次式の右辺で与えられるが、この積分値は、(3-9)に等しいはずなので、∫ f dx dx  dx
12

 ∂∂ux1
 1
 ∂x2= ∫ f det  ∂u1
 ∂xn
 ∂u1

n
∂x1
∂u2
∂x2
∂u2


∂xn
∂u2

 ∂u1n ∂x ∂u2n  du1du2  dun   ∂∂uxnn ∂xとなるのである。しつこいかもしれないが、三次元の場合にこれを書けば、∫ f ( x, y, z ) dxdydz
 ∂∂ax= ∫ f ( a, b, c ) det  ∂∂ay ∂∂az記とは異なり）x 座標のようには変換しないはずである（実際に、これは、長さなので、変換に対して不変である）。また、直方体とは形の異なるブロックの体積、 dVh や dVs とは等しくならない
はずである（等しくなる方がおかしいであろう）。
しかし、そうは言っても、何とかこれらを座標変換に応えるような形にして、できれば、微小体積が等しいものにならないかならないかと思うのは人情（人の常？）であろう。そこで、すこし試
行してみよう。
三次元の場合の(3-9)の行列を A としよう。これを使って、直方体、 dVr を構成するベクトル、 dadbdc
 dx 
 du1 0
 du2 

 


 


=

 0  A= dv1  ,
 dy  A  dv2 0
 dw 
0
 dw 
 
 1
 
 2
であり、ここで、0 du3 f ( a, b, c ) = f ( x ( a, b, c ) , y ( a, b, c ) , z ( a, b, c ) ) ,  0  = A  dv3 と与えられる。場合によっては、det（行列式）
 dz 
 dw 
の絶対値をとるという表式もあるが、ここでは積  3分の線形性を保つために、絶対値はとらないことを考え、これから積、 dx dy dz を求めてみると、にしよう。
９種類の du1  , dw3 が混じったものが得られる。
さて、本節の「はじめに」でも述べたように、
これは明らかに dVh の表式とは全く異なるもの
∂x
∂b
∂y
∂b
∂z
∂b

∂x
∂c
∂y
∂c
∂z
∂c

こ れら の表式 を眺 めてい ると 、勢い 余っ て、 ∂∂ux1
 1
 ∂∂xu21
dx1dx2  dxn = det  ∂xn ∂u1

∂x1
∂u2
∂x2
∂u2


∂xn
∂u2

 ∂u1n ∂x2 ∂un  du1du2  dun   ∂∂uxnn ∂xとしたいという誘惑に駆られてもやむを得ないであろう。たとえば、

det [a, b, c] dudvdw
dV=
dx dy=dz dV=rhとし、たとえば、球座標で考えて、dV=
dx dy=dz dV=
r 2 sin θ dr dθ dϕrsとしたくなるのである。しかしながら、既に述べたように、

dVr ≠ dVh , dVr ≠ dVs
である（図 25 を参照のこと）。微小体積、dVr の表式に出てくる dx は x 方向の長さ、つまり一種の棒の長さのようなものであり、直方体の体積、dVr は、このような長さを三つかけたものになっている。つまり、dx は棒の長さ（ブロックの辺の長さ）であり、座標変換に対して（見かけの表となる。その他、いろいろと試してみてもすべて徒労に終わるであろう（ただし、暇つぶしとしては悪くないかも・・）。いずれにしろ、積分の形にしてしまうと、どんな座標系をとっても、それぞれの微少な体積の表式は等しいかのごとくに扱ってもよいが、微少な体積それ自体の表式は等しくないということがわかるのである。そもそも、 dx1dx2  dxn という n 個の量のかけ算とdu1du2  dun のかけ算の量を直接、座標変換から求める方法は見つからないのである。このような状況では、いろいろと不具合なことが起きることになる。つまり、このように座標変換に素直に従わないような代物は、とても数学的な対象物とは言えないであろう。
微分形式の導入
体積、 dVu の表式、(3-10)の行列式を展開すると、

dVu = ∑ sgn (s ) a1 s (1)  an s ( n ) du1  dunsである。一方、(3-8)を使って、 dx1dx2  dxn の積を作ってみると、

dx1dx2  dxn =∑ a a  a du du  dui1 ,i2 ,in

1i1

2 i2

nin

i1

i2

in

となり、この二つの式は似て非なるものであることがわかる。 dVu の式では、すべての項に共通に du1  dun の積が表れているが、dx1dx2  dxn
では、 dui が重複して出てくる項があり、すべて、

du1 の積のみという「ひどい場合」もある。そこで、（暇つぶしに）同じ dui が出てきたら、つぶす（ゼロにする）としてみよう。しかし、そこまで踏み込まないで、隣に dui が続いてでてきたら、るような気分になってくるであろう）。また、積の順番を不用意に入れ換えることがないように、積の記号として、∧ （wedge）を用いるのである（この積を外積という。ベクトルの外積に似て非なるものであるが・・）つまり、

dx1dx2  dxn = dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxnとする（ただし、慣れてくると、または面倒になってくると、左辺のように略記する。だたし、積の順番には注意して・・）この記法を使うと、(3-11)は、

dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn=

ゼロにするとしてみよう。ただし、怪しげな計算

sgn (s ) a s ( )  a s ( ) du ∧  ∧ du
∑
s
1

1

n

n

1

n

(3-12)

方式であるので、積の順序などは保つようにする= det ( A ) du1 ∧  ∧ dunのである。また、計算における分配法則までは手と 表 わ さ れ る 。 こ れ を 微 分 形 式 （differentialを付けないことにする（これに手をつけると、とform）という（正確には、まだ、単に「形式」とんでもないことになりそうなので・・）
いう方がよいかもしれないが・・・）。
すると、まず、そして、仕上げは、この演算子が何に作用するか
dui dui = 0ということであるが、それは、n 個のベクトルの組に作用して、このベクトルで構成される直方体同様にして、の体積を与えるとするのである。つまり、0( du + du )( du + du ) =
i

j

i

j

となり、これから

dui du j = −du j dui
これを使うと、dui 等の積の中で場所が離れていても、同じ dui が二度出てくるものはゼロになる
ことがわかる（符号は無視して、隣に来るまで入れ換えを行えばよいので・・）また、隣同士で入れ換える（互換する）と符号が変わるのであるが、離れていても符号が変わることがわかる（問：これを示せ）。以上のことと、置換、σ は互換の積で書け、sgn (s ) は互換が偶数（奇数）の場合に+1 ( −1) であったことから、

V = dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn [a1 , a 2 , , a n ] dx1 ( a1 )  dx1 ( a n ) == det   dx ( a )  dx ( a ) 
n
n 
 n 1

とし、ここで、一次元の積分の場合と同じように、

dxi ( a j ) = ai jと、ベクトルの i 成分を抽出する操作（作用）であるとするのである。すると、

 a11  a1n 


=
V det
=
A det     
a  a nn 
 n1

dx1dx2  dxn = ∑ sgn (s ) a1 s (1)  an s ( n ) du1  dun となる。真面目にここまで読んでくると、「ふざsとなり、 dVu(3-11)と「等しく」なる。しかし、等しくなったとは言え、怪しげな操作をしてそうなっただけであるとも言える。しかしながら、怪しげな形式的なものでも等号が成り立つということは、何か意味があるであろうと推測される。そこ
で、これは体積そのものの量を示すものではな
く、演算子であると称するのである（演算子であると言われると、少しは怪しげではなくなってくけるな！」という一言ではないかと思う。怪しげな操作をして、最後は、det（行列式）をとるのかよと・・・。せいぜい、

 dx1 ( a1 )  dx1 ( a n ) V = det   dx ( a )  dx ( a ) 
n
n 
 n 1
という表記ぐらいで、 dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn というようなものはいらないのではないか等々・・、このような苦情がでてきても不思議ではない。しかし、しばらく我慢して付き合っていると、この表
dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn [a1∆u1 , , a n ∆un ]記法が如何に優れているか、だんだんわかってく a11  a1n るのである。まず、第一に、最後の計算では、行= det      ∆u1 ∆u2  ∆un
列式をとるにしても、その途中経過では、行列式
a  a のように書くのが面倒な形式は不要となる。そし
nn 
 n1
て最も重要なことは、怪しげな形式であっても、= det ( A ) ∆u1 ∆u2  ∆un
座標変換で等号が成り立つということである。
となる。 u 座標で見ると、上のベクトルの組は、以上のやり方がどうなるか、簡単な場合から調べてみよう。 dVr は、

dVr = dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn [ ∆x1 i1 , ∆x2 i 2 ,, , ∆xn i n ]

 ∆x1

0
=
=
det 
 

 0

0  0 ∆x2  0 =
∆x1 ∆x2  ∆xn
  0 0  ∆xn となり、さらに簡単な場合、Vunit = dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn [ i1 , i 2 ,, , i n ]10== det 0

0  0
1  0
=1
  0
0  1

となる。よって、

du1 ∧ du2 ∧  ∧ dun [a1∆u1 , , a n ∆un ]1  0= det      ∆u1 ∆u2  ∆un0  1=∆u1 ∆u2  ∆unとなる。つまり、それぞれの座標の方向に単位の長さをとったベクトルからなる立方体の体積は、（当然、そうあるべき値である）１となる。この立方体を連続的に変形するとし（ただし、体積を一度もゼロまでつぶさないように変形すると）、
その変換の行列、A は、まさに A = ( a1  , a n ) で与えられ、=V det A ( > 0 )となる。つまり、ベクトル、a1  , a n を辺とする
斜体の体積が求まるのである。座標系を
x1 , x2 , , xn とした時に、その座標順に単位ベクトルをとると、体積が１になることに注意しよう。もし、単位ベクトルの順番を変えると、符号が変わる。同様に、座標系の順番を変えても符号が変わる（これは、行列式の列または行の入れ換えに相当している。
）
さて、ベクトルの組、 a1∆u1 , , a n ∆un を(3-12)に適用してみよう。まず、左辺は、

1
0
 
 
   ∆u1 , ,    ∆un
0
1
 
 

これから右辺も、

det ( A ) ∆u1 ∆u2  ∆unとなる。これは、要するに、

dVu = dVuということを言っている（だけである）。今度は、ベクトルの組、 ∆x1 i1 , ∆x2 i 2 ,, , ∆xn i n を(3-12)に適用してみよう。左辺は、明らかで、∆x1 ∆x2  ∆xn と与えられる。右辺を求めるのに必要なことは、上のベクトルの組が u 座標でどのように見 えるかである。たとえ ば、 ∆x1 i1 を

a1u1 +  + a nun とした時の u1 , un の値は何であるかということである。つまり、行列で書くと、

 ∆x1  u1     = A  
 0 
u 


 n
の u1 , un は何かということになる。よって、

 u1 
 ∆x1  
−1   = A   
u 
 0 
 n


と求まる。よって、右辺は、

det ( A ) du1 ∧ du2 ∧  ∧ dun [ ∆x1 i1 , ∆x2 i 2 ,となり、通常の積分の有限和近似になっているのである。このようなことから、慣れてくると、, , ∆xn i n ] u1  ⋅ = det ( A ) det     
 u  ⋅ n
となるが、 det の中に、上で求めた u1 , un を代入し、さらに他の部分についても同様に求めたものを代入すると、

 0 


∆x
A−1  2  
  


 0 


 ∆x1 0 
= det ( A ) det  A−1 

  



 0 


2

n

1

2

n

と書く（面倒なのでそうすることが多い）。この略記を使うと、∫ f ( x ) dx dx  dx = ∫ f ( x ) dx dx  dx
1

2

1

n

2

n

と書いて、左辺は微分形式の積分で、右辺は通常の積分であると言ったりすることがある。なお、上の説明では、便宜上、ベクトル、 a1  , a n を使

dx1dx2  dxn
 ∂∂ux1
 1
 ∂∂xu21= det  ∂xn
 ∂u1 ∂u1n 

∂x2
∂x2


∂un
∂u2
 du1du2  dun  ∂xn ∂∂uxnn ∂u2となる（当然、ここで、 dx や du の積は外積でとなる。これから、

0 
∆x2 
 

0 

0 
 

 ∆xn 0

1

ったが、一般の座標変換を明示的に表すと、

 0 


0 
−1 
A
    ∆xn  

 ∆x1

0
−1
= det ( A ) det ( A ) det 
 

 0
=∆x1 ∆x2  ∆xn∫ f ( x ) dx ∧ dx ∧  ∧ dx
= ∫ f ( x ) dx dx  dxとなる。つまり、

dVr = dVrが得られたことになる。要するに、微分形式にしたところで、相変わらず、 dVr ≠ dVu であるが、

∂x1
∂u2

∂x

あると了解するのである。また、この式は、外積を使えば、積分が単なる機械的な計算でできることを示している）。なお、外積の導入の仕方から、二つの微分形式の外積は、

a dxa ∧ dxb ∧  ∧ bdxi ∧ dx j ∧ = a b dxa ∧ dxb ∧  dxi ∧ dx j ∧ となっていることがわかる（これを定義とおもってよい）さらに、これらは、空間のある点、 x に関して行っているので、a ( x ) dxa ∧ dxb ∧  ∧ b ( x ) dxi ∧ dx j ∧ = a ( x ) b ( x ) dxa ∧ dxb ∧  dxi ∧ dx j ∧ 
どんな座標系で計算しても、体積の値は変わらないということが示されたことになる（それも体積でもあることに注意しよう。
の微分形式にベクトルの組を単に代入すれば、体これまででも、一応、微分形式を導入すると、積が求まるということになっているのである。）
体積の計算の見通しがよくなるということから、
この微分形式を使うと、積分は、次のように表
その「有難味」を少し感じることができたが、次される。
の小節で説明する外微分が導入されると、微分形∫ f ( x ) dx ∧ dx ∧  ∧ dx
≈ ∑ f ( x )dx ∧ dx ∧  ∧ dx [a ∆u , , a ∆u ]式の本領が発揮されるのである。

左辺は、積分の表現の簡略版であり、その意味は、右辺の有限和（の極限）を表わしているとみなすのである。既に見たように、ベクトルの組が、∆x1 i1 , ∆x2 i 2 ,, , ∆xn i n の場合には、右辺は、外微分
外微分とは、微分＋外積を組にしたような演算であるが、関数の場合には、形は普通の全微分と

1
i

2

1

n

2

n

1

1

∑ f ( x )∆x ∆x  ∆x
i

1

2

n

n

n

3.5 外微分と Hodge の星印作用素

同じ形をしている。関数、 f ( x ) の全微分は、

∂f∂fdx1 +  +
dxn
∂x1
∂xn
と与えられるが、 dxi 等を微分形式と見なした
時、 df を関数、 f の外微分という。 df は微
df=

分形式であるので、これをベクトル、v = v1i1 +  + vn i nに作用させると、=
ω f ( x ) dxa ∧ dxb ∧ dxi ( v ) = vi=η g ( x ) dxi ∧ dx j ∧ であるので、∂f∂f
df ( v=) v1 +  + vn∂x1∂xn
ベクトルの表記を使うと、df ( v=)

なぜ、このように定義すると、よいことがあるのかは、以下を見ればわかってくるであろう（特に、Gauss、Stokes、FTC の定理が、簡便かつ美しい
一つの定理（拡張されたストークスの定理）に統一されるという点が挙げられる）。二つの微分形
式の外積に、外微分、 d を作用させてみよう。
二つの微分形式を、とおくと、その外積は、ω=∧ η f ( x ) dxa ∧ dxb ∧  ∧ g ( x ) dxi ∧ dx j ∧ = f ( x ) g ( x ) dxa ∧ dxb ∧  ∧ dxi ∧ dx j ∧ ( v∇ ) fとなるので、d (ω ∧ η )とも書ける。また、（前にも、同様の説明をして= d f ( x ) g ( x ) dxa ∧ dxb ∧  ∧ dxi ∧ dx j ∧ 
いるが・・・）ベクトルの基底を偏微分と同一視すると、ベクトル、 v と、

(

∂
∂
X= v1
+  + vn∂x1
∂xnを同一視できる。

= dω ∧ ηであるので、∂f∂f+  + vn∂x1∂xnとなる。これは、また、df ( X ) = Xf

次に高次の微分形式（ dxi 等をいくつかかけたもの）の外微分を以下のように（本講義では）定義しよう。

∑ f ( x ) dx ∧ dx ∧ Aijとした時、その外微分は、=dω∑ df ( x ) ∧ dx ∧ dx ∧ Aijと定義するのである。ここで、df A は関数、f A の外微分で、先に与えたものと同じでdf=Aである。一方、 dg は一次の微分形式、つまり、dxi 等の一次結合であるので、 dxa と入れ換え
ると、符号が変わる。よって、ω の次数を、l とすると、と直接、微分演算子を f に作用しても得られる。

=
ω= ( gdf + fdg ) ∧ dxa ∧ dxb ∧  ∧ dxi ∧ dx j ∧ となる。 g は単なる関数であるので、gdf ∧ dxa ∧ dxb ∧  ∧ dxi ∧ dx j ∧ = df ∧ dxa ∧ dxb ∧  ∧ gdxi ∧ dx j ∧ dxi ( X
=
=i vi
) Xx

df ( X=
) v1

)

∂f A
∂f
dx1 +  + A dxn∂x1∂xnである。そして、これと残りの項との外積をとったものを外微分とするのである。（なお、この形
から、dxi ∧ dx j ∧ をあるベクトル空間の基底ように見なすと d は、一つ高次の微分形式の空間への線形作用素でもあることもわかる）。

fdg ∧ dxa ∧ dxb ∧  ∧ dxi ∧ dx j ∧ =−( 1) fdxa ∧ dxb ∧  ∧ dg ∧ dxi ∧ dx j ∧ l=( −1) ω ∧ η
l

以上から、

d (ω ∧ η =) dω ∧ η + ( −1) ω ∧ dηl(3-13)となる。これを外微分の Leibniz 則という。通常の関数の積の Leibniz 則では、( −1) の因子はなlいのであるが・・。なお、（若干、記述するのが遅くなったが）二つの微分形式の外積の入れ換えは、η の次数を、 m とすると、

η ∧ ω =( −1) ω ∧ ηlmとなる（問：これを示せ）。また、この両辺の外微分をとり、右辺に(3-13)を使うことで、定義からではなく、d (η ∧ ω )= dη ∧ ω + ( −1) η ∧ d ωmとなるのを示すことができる（問：これを示せ）。
さて、このように定義した外微分、d を df に作用させると、∂Hdqi d=
=
∂pi

∂2 H
∂2 H
dq
+
∑j ∂q ∂p j ∑j ∂p ∂p dp jjijiとなる。 dp i についても同様である。これらを上 ∂f
 ∂f 
の式に代入すると、=
d ( df ) d  ∑=dxi  ∑ d  ∧ dxi
 i ∂xi
 i  ∂xi nn ∂2 f 
∂2 H
∂2 H

=
∧
+
Q
dq
dp
dp j ∧ dpi
dx
dx
∧

 j
∑ ∂q ∂p j i i∑∑∑
i=
i, j 1 =, j 1 ∂p j ∂pi
ji
ji  ∂x j ∂xi 
n
n
∂2 H
∂2 H
−dx j ∧ dxi という性質（ことなるが、dxi ∧ dx j =− ∑ dqi ∧dq j − ∑ dqi ∧dp j∂q j ∂qi∂p j ∂qi=i, j 1=
i, j 1
れには、 dx ∧ dx =0 も自動的に含まれている）
i

i

を使うと、

n
∂2 H
∂2 H
∧
−
∧
dq
dp
dq
dpi
∑ ∂q ∂p j i i∑j
(3-14)∂pi ∂q j=
i, j 1 =
,j 1
j
i

=

d ( df ) = 0となる。同様に、d=( dω )=0∑ d ( df ) ∧ dx ∧ dx ∧ 
Aiとなる（問：これを示せ）。よって、 Q は運動のjとなるので、(3-14)を使うと、d ( dω ) = 0(3-15)という重要な性質が得られる。これは、ポアンカ
レの補題（Poincare’s lemma）と言われるが、通常は、この補題の逆（後述）のことをポアンカレの補題ということが多いようである。
さて、以上は外微分としての微分であったが、次に普通の微分について考えてみよう。2.8 節の「積分量の時間変化」で外微分の時間変化、d( dx ) = d ( x )dt

不変量であることがわかったことになる。もし運動が線形であるとすると、ある時点での運動状態
を、

q
x= 
p
とし、ある時間経過後の運動状態を、

 q 
x =   p 

とすると、ある行列（transfer matrix）で、x = M xについて説明したが、もう一度、簡単に説明しておこう。いま、関数、 f が、 t をパラメーター
として含んでいるとすると、

n(dft +∆t − df=
d ( ft +∆t − ft ) ≈ d f ∆tt)d f − ft ==d  t +∆t
( df ) ∆lim
 d f
t
→
0
dt
 ∆t ( )となる。これを使って、力学（ハミルトン系）におけるポアンカレ不変量（Poincare’s invariant）
を説明しよう。この不変量は、微分形式を使って、

Q = dq1 ∧ dp1 + dq2 ∧ dp2 +  + dqn ∧ dpnと表わされる。これを時間微分すると、普通のLeibniz 則により、

Q = dq1 ∧ dp1 + dq2 ∧ dp2 +  + dqn ∧ dpn+ dq1 ∧ dp1 + dq2 ∧ dp 2 +  + dqn ∧ dp nとなる。すると、ハミルトンの運動方程式から、と表わされるはずである。一方、 Q に二つの状
態ベクトル、 x1 , x 2 を代入すると、Q ( x1 , x 2 ) = x1T J x 2となる（問：これを示せ）。ここで、 J は、

 0
J =
 −In

In 

0

で、I n は、n × n の単位行列である。よって、Qは不変量であるから、x 1T J x 2 = x1T J x 2となる。これから、transfer matrix は、

MT J M = Jという条件(symplectic condition）を満足しなけ
ればならないということがわかる。上の計算で、微分形式、Q は不変なので、Q = Q はよいとしても、 Q ( x 2 , x 1 ) = Q ( x 2 , x1 ) と異なるベクトルを代入してもよいのか、と思われるかもしれない
ので、若干、しつこいが、少し説明をしておく。
しつこく書くと、上の導出では、

Q=( x2 , x1 ) Q ( x2 , x1 )( x 2 , x 1 ) Q=という性質を使っているのである。疑問は、一番目の等式が OK かということである。
説明を簡単にするために、一次元の場合を考えることにし、notation を簡略して、 x = x ( t , a ) となっているとする。すると、説明は、基本的には、
3.2 節での繰り返しになるのであるが、しつこく説明をしておこう。まず、∂x∂xda , ∆x=
∆a
∂a
∂a

dx=

さて、外微分形式の解説書では、ベクトル解析の微分との対応がよく取り上げられているので、
ここでも、例にもれず、同様の説明をしておこう。
最初に、この対応について簡単なコメントを一つしておこう。
まず、ベクトル、 A は、微分演算子、 X との間に次のような対応（同一視）を考えることができる（あくまでも「できる」であるが・・）（注：
本講義では、できるだけ、添え字の上付き、下付きについて区別しない、気にしないようにしてきたが、誤解が生じないように、ここでは、区別して記述することしる）。

A= A1e1 +  + Ane nとなる（前者は微分形式、後者は、微分量である）。
ここで、一次元のベクトルを、

∂∂
X A1 1 +  + An n=∂x∂x∆x = ( ∆x ) , ∆a = ( ∆a )とする（各左辺は、成分ベクトル）と、∆xdx ( ∆x ) =det ( ∆x ) =dx ( ∆a ) =

∂x
∂x
∂x
∆a
da ( ∆a ) =det ( ∆a ) =
∂a
∂a
∂a

となり、

（注：この対応は、ここでの説明には必ずしも必要ではないのであるが・・。）
一方、一次の微分形式は、基底、 ei 等の双対基
底（添え字を上げた基底）を用いて、

dα= A1dx1 +  + An dx n

dx ( ∆x ) = dx ( ∆a )

となることがわかる。これらは、もっと簡単に、∂  ∂x∂ 
∆a, dx  ∆x  =∆xdx  ∆a  = ∂a  ∂a ∂x 
としてもよい。以上ことから、Q ( x 2 , x 1 ) = Q ( x 2 , x1 )が 成り 立つこ とが わかる ので ある。 しか し、

x = x ( t , a ) を座標変換と思うと、議論は、体積のA= A1e +  + Ane n1の対応があると考えることができる（注：i ∂  ∂xiei (=e j ) e=e j δ ij に、dxi  j  = j d ij が対
 ∂x  ∂x
応している）、ベクトル、 A 自体は、添え字の付け方には無関係であるので、

A= A1e1 +  + Ane n

場合の座標変換と全く同じであるので、無駄に紙面を使ってしまったとも言えなくもない（注：代入
したのは、全く異なるベクトルではなく、「座標変換」
されたベクトルである）。

また、

Qn =

n ( n −1)

( −1) 2n ! dq1dq2  dqn dp1dp2  dpnとなる（問：これを示せ）が、これも当然、不変

dα= A1dx1 +  + An dx nと対応していると考えることができる。この対応
を写像を用いて表すこともできるが、記述が複雑になるので、「適当に」対応させて（同一視して）考えることにしよう。
前置きが長くなったが、関数の外微分は、量であるので、これから位相体積が不変であると

d : f ( x, y , z ) →いうことがわかる（注：右辺では wedge 積を省略

df =している。また、( −1)n ( n−1)
2は、所詮、±1 にしかならないが、そのべきの形は、その導出方法を暗示している）
。

であり、

∂f
∂f
∂f
dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z

∂f
∂f
∂f
j+ k
grad f =∇f = i +
∂x
∂y
∂z

と書ける。これとベクトルの積分定理（FTC、Stokes, Gauss）を比較すると、∫ dω = ∫ ωと対応している。
また、次の一次の微分形式の外微分は、

C∂C

d :α = A1 dx + A2 dy + A3 dz →とまとめられることがわかる（問：これを示せ）。

 ∂A ∂A =
dα  3 − 2  dy dz
∂z 
 ∂y
 ∂A ∂A  ∂A ∂A +  1 − 3  dz dx +  2 − 1  dx dz
 ∂z ∂x  ∂x ∂y 

ホッジの星印作用素（Hodge star operator）
上の dr と dS を眺めると、それぞれの成分を対応づけておくと、便利であろうと容易に推測される。そこで、この対応を写像または作用素と考えて、それを ∗ と表記すると、であり、これには、次のようなベクトルの微分演
算、

rot : α = A1 i + A2 j + A3 k → ∂A ∂A 
rot α = ∇ × α =  3 − 2  i
∂z 
 ∂y
 ∂A ∂A   ∂A ∂A 
+ 1 − 3  j+  2 − 1 k ∂z ∂x   ∂x ∂y が対応している。
また、二次の微分形式の外微分、

d : β = B1 dy dz + B2 dz dx + B3 dx dy → ∂B ∂B ∂B 
d β =  1 + 2 + 3  dx dy dz∂z  ∂x ∂y

dS
∗dr =
dr
∗dS =
となる。これに、 1 と dV も対応させると、∗1 =dV1∗dV =となる。専門家に叱られない notation で表すと、dx dy dz=
∗ dx dy dz∗==∗dy dz dx=∗dy dz dx=∗dz dx dy=∗dz dx dy
=
∗1 dV
=
∗dV 1

となる。この ∗ のことをホッジの星印作用素
Hodge star operator という。きちんとした定義
は、「付記」を参照していただくとして、この作
用素は、上のどれかの微分形式を、α とすると、

α ∧ ∗α = dVには、ベクトルの微分、

div : β = B1 i + B2 j + B3 k →∂B ∂B ∂B
divβ =∇β = 1 + 2 + 3∂x∂y∂zが対応していることがわかる。
（問：以上の式の外微分の計算をせよ。
）
微分形式は、簡潔で美しいものではあるが、実際の具体的な計算では、結構、手が疲れるので、専門家には叱られるかもしれないが、以下のようなベクトル的な notation を導入しよう。

dr = ( dx, dy, dz )dS = ( dy dz , dz dx, dx dy )となるように定義されているのである。ちなみに、∗dy dx =− dzとなるが、これも明らかであろう。なお、（ベクトルの公理を満たすものは、何でもベクトルと見なすという視点に立つと）、 k 次微分形式からなる空間、 Ω k は、

dx1dx2  dxk
等を基底ベクトルとするベクトル空間と考えることができる（注：これら、「基底」ベクトルとして選んだものは、当然、独立である）。このベ
クトル空間の次元は、明らかに、

dV = dx dy dz
すると、上記の結果は、( ∇ f )  drd ( Adr ) = ( ∇ × A )dS
d ( BdS ) = ( ∇B ) dV

df =

n

Ck =

n!
k !( n − k ) !

である（注： k 次ではない）。一方、星印作用素で移った n − k 次の微分形式からなる空間、Ω n − kの次元は、
nCn − k = n Ck

であり、元の空間の次元と等しい。よって、星印
作用素による写像は、（ベクトル空間の間の写像であるので）同型写像となる。
この星印作用素を使うと、関数の場合、

ω =φ

とおくと、

dω =
であるので、( ∇φ )dr∗dω =( ∇φ )dSとなる。これの外微分は、d ∗ d ω = ( ∇∇φ ) dVとなるので、∗d ∗ dω = ( ∇∇φ )が導かれる。これから、スカラー関数に対して、∗d ∗ d =∇ 2となることがわかる。さらに、ベクトル（に対応
する一次微分形式）に対して、∗d ∗ = ∇となることがわかる。これを空間の写像として見ると、次のような図式になる。

→Ω
d : Ω 
k

k +1

∗
∗
d
∗d ∗ : Ω k 
→ Ω n − k 
→ Ω n − k +1 → Ω k −1
つまり、 d は微分形式の次数を一つ上げるが、∗d ∗ は次数を一つ下げる働きをするのである。

よ っ て 、（ 当 た り 前 の こ と で は あ る が ）、
2∗d ∗ d =∇ はスカラー関数をスカラー関数に移すのである（注：後で出てくる d の順番を変えた、 d ∗ d ∗ も微分形式の次数を変えない）。
次に、同様の計算を、

ω = Adrについて行ってみよう。

∗d ω = ( ∇ × A )drとなるので、この場合には、∗d = ∇ ×と見なすことができる。よって、∗d ∗ d ω =rot rotAdrとなる。一方、∗d ∗ ω =div A

であったので、( d ∗ d ∗ − ∗ d ∗ d )ω=( grad ( div A ) − rot rotA )dr =( ∇2 A )drとなり、ベクトルへの作用の場合、∇2 = d ∗ d ∗ − ∗ d ∗ dとなることがわかる。次は、空間を時空（ローレンツ空間）とした場合について考えよう。この場
合には、星印作用素の作用は、∗1 =−dV dt∗dr =−dS dt
∗dt =
−dV
∗dS =
−dr dt∗dV dt =1∗dS dt =
− dr
∗dV =
−dt
∗dr dt =dSとなる。成分で書くと、∗1 =−dx dy dz dt∗ ( dx dy ) =−dz dt∗dx dy dz dt =1

dx dy∗ ( dz dt ) =∗ ( dy dz ) =−dx dtdy dz∗ ( dx dt ) =∗ ( dz dx ) =−dy dt∗ ( dy dt ) =dz dx∗ dx =−dy dz dt∗ ( dy dz dt ) =
−dx

∗dy =
−dz dx dt∗ ( dz dx dt ) =
−dy

∗dz =
−dx dy dt∗ ( dx dy dt ) =
−dz

∗dt =
−dx dy dz∗ ( dx dy dz ) =−dt

なお、ここでは、時間、 t の順番を空間の後にしている。つまり、四次元空間の体積要素を、

dV dtとしている。もし、時間を空間の前にもってくると、符号の付き方が異なる。さらに、これ以降は、
簡単のため、 c = 1 として、 dt は、 dx と同じ次元をもつとしよう。これらの関係式は、符号の付き方が一見、複雑に見えるが、次のように考えると、実は、符号も含め、この関係式は一切、覚える必要はなくなる。それは、上のどれかの微分形
式を、 α とすると、まず、

α ∧β =
dV dtとなるような、 β を求め、もし、その中に、 dtが入っていれば、－の符号を付けるというものである。つまり、 dt が入っているかどうかで、∗α =± βとするのである（問：このハウツーの規則で上記の関係式を示せ）。しかし、何の理由もないままのハウツーは大嫌いだという向きの方は、「付記」
を参照いただきたい。
以上では、時空を３次元空間＋一次元（時間）と考えているが、この観点を保ったまま、以下の微分形式の微分を考えてみよう。

ω= A= Adr − φ dt

(3-16)

なお、外微分とる際に、∗d ∗ F =−d= dr + dt
であることに注意すると、計算が容易になる。
(3-16)に d を作用させると、∂Ad ω = ( ∇ × A )  dS +dt dr − ( ∇φ )dr dt∂t(3-17)
いま、これをρ
dt + µ0 jdρε0となるが、ここで、=
J jdρ − ρ dtという微分形式を導入すると、Maxwell 方程式の残りの二つの式は、(3-19)∗d ∗ F =µ0 J
または、

=
F d=
ω ( dA )∗d ∗ dA =µ0 Jに対応することがわかる。

として、
（勝手に）

F Edrdt + BdS=とおくと、次に、(3-18)の外微分をとると、

0 = dd ∗ F =∂A, B = ∇× A∂t

E = −∇φ −となり、これから、電荷保存則、∂ρ+ divj =0∂tとなる（問：これを示せ）。これから、dF ddA== 0= ( ∇ × E )dSdt +∂B
dt dS + ( ∇B ) dV∂tとなるので、∂B∇×E + = 0 ,∂t

1 ∂ρ
dtdV − µ0 ( divj) dVdt
ε 0 ∂tが導かれる。さて、(3-17)に戻って、これに星印
作用素を作用させると、

 ∂A∗d ω = − ( ∇ × A )drdt − + ∇ φ   dS
 ∂t


∇=
B 0

となることがわかる。上に出てきた変数を通常のとなり、これから、は、以下のように関連づけることかできる（ただd ∗ d ω = − ( ∇ × ( ∇ × A ) )dSdt
 ∂divA−+ div ( ∇φ )  dV ∂t ∂ 2 A  ∂φ  −  2 +  ∇   dt dS ∂t   ∂t

し、ここでは、簡単のために３次元空間は真空でとなる（問：これを示せ）。これから、

Maxwell 方程式のものと同一視すると、Maxwell
方程式の四つ組の内の二つは、微分形式の

d2 = 0と同じものであることがわかる。残りの二つの式∗d ∗ d ω = ( ∇ × ( ∇ × A ) )dr
 ∂divA++ div ( ∇φ )  dt ∂t
 ∂ 2 A  ∂φ  +  2 +  ∇  dr
 ∂t   ∂t

あると仮定する）。まず、∗=
F EdS − Bdrdtであるので、これの外微分をとると、d ∗ F = ( ∇E ) dV −∂E
dt dS + ( ∇ × B )dSdt∂tとなる。Maxwell 方程式の残りの二つの式は、

c =→1
ε 0 µ0 =1であるので、

ρ∂E
B µ0 j +, ∇ ×=
ε0∂t−divA dVdt +d ∗ω =となる。よって、

ρdV − µ0 jdSdt
ε0

∂φ
dtdV
∂t

となり、

であるので、d ∗=Fが得られる。一方、∗ω =− AdSdt + φ dVであることを使うと、∇=E(3-20)(3-18)∗d ∗ ω =−divA −∂φ∂t(3-21)

が得られる。さらに、これの外微分をとると、

d ∗ d ∗ ω = −∇ ( divA )dr −−∂ ( ∇φ )∂ 2φdr − 2 dt∂t∂t

∂ ( divA )dt∂t(3-22)となる。(3-20)と(3-22)から、( d ∗ d ∗ + ∗ d ∗ d )ω

∂2A 
A
dr
grad
div
rot
rot
=
−
−
+
(
)

2 
∂t 


 2
∂ 2φ +  ∇ φ − 2  dt
∂t 


2

− ( A )dρ +φ dt= µ0 ( jdρ − ρ dt )となる。これから、電磁場の波動方程式が得られる。
(3-24)
A=− µ0 j ,φ=− µ0 ρ

2∂t 2

なお、 t → ct と普通の単位にもどすと、( j, ρ ) → ( j, ρ c ) , ( A, φ ) → ( A, φ c )という、ダランベリアン（d'Alembert operator）
を用いると、( d ∗ d ∗ + ∗ d ∗ d ) ω =− ( A )dr +φ dt(3-23)となり、ローレンツ空間の一次の微分形式について、d ∗ d ∗ + ∗ d ∗ d =− という関係式が得られる。次に、

ω1= ω + d χ 2∂2  φ∇− =− µ0 ρ c
c 2 ∂t 2  cとなり、これから、

 2
∂2 
ρ
∇
−
φ =−

2
2 
ε0
c ∂t 

となって、見慣れたスカラー・ポテンシャルの波動方程式になるのである。
この小節を終える前に、としてみよう。これは、A → A + ∇χ , φ → φ −となる。このようにもどるということを示すには、最初から、普通の単位で式を書き直せばよいのであるが、それでは元も子もない。簡単にもど
すには、次元解析をすればよい（特に、前者は、電荷保存則から明らかであろう）。すると、(3-24)の第二式は、となることがわかる。ここで、

=∇ − ∂

また、第二項は、(3-19)の左辺、そのものである
ので、

∂χ
∂t

とすることと同じである（電磁場のゲージ変換と同じである）。すると、d ω1 = d ωであるので、(3-23)の左辺の第二項にはこの変換
は、全く影響しないことがわかる。一方、(3-21)は、
次のように変換される。

∂φ∂φ  2 ∂ 2 −divA −
→ − divA −− ∇ − 2  χ
∂t
∂t 
∂t 
よって、

 2 ∂2 ∂φ ∇ − 2  χ =− divA −
∂t 
∂t


という波動方程式を満足する、 χ を使って、最初から変換してあったとすると、∂φdivA +=
0∂tとすることができる（ローレンツゲージ（Lorenz
gauge）。すると、(3-23)の第一項は、ゼロとなる。

d ω ( X 1 , , X n +1 )i +1= ∑ ( −1) X i ω X 1 , , X i , , X n +1
i


i+ j
+ ∑ ( −1) ω  X i , X j  , X 1 , , X i , , X j , , X n +1
i< j

(

( (

))

(3-25)という関係式を証明しておこう。これから、次の簡単な場合が導かれる。

dω ( X , Y )= X (ω (Y ) ) − Y (ω ( X ) ) − ω ([ X , Y ])イメージ的には、左辺には、 X が Y に作用するような項はないのであるが、右辺の最初の二つの項には、そのような項が含まれ、交換子ような形をしていように見える。そして、それがちょうど第三項のものとキャンセルしているであろうと見なせるのである。例として、=
ω f dx + g dy
∂
∂
∂
∂
X=
a +b , Y =
c +d
∂x
∂y
∂x
∂y

)

を考えると、 a, b, c, d が定数の場合には、簡単

ω = f1 df 2  df n +1に成り立つことがわかる（問：これを示せ）が、これらが関数の場合には、見かけによらず、計算が面倒であることがわかる。さて、(3-25)の証明
であるが、これは機械的ではあるものの、以下のように紙面を相当浪費することがわかる（もっと簡単で短い証明があるかもしれないなが・・）。

とおくと、d ω = df1 df 2  df n +1
であることから、____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
X 1 f1  X n +1 f1d ω ( X 1 , =
, X n +1 )∑ X f ( −1)

=




f  X f
X 1 f2  X
i 2
n +1 2

i +1



1

i

i

X 1 f n +1  X n +1 f n +1

  




X 1 f n +1  X
f  X n +1 f n +1
i n +1となる。一方、f  X f 
X 1 f2  X
i 2
n +1 2


i +1
−





X
f
1
(
)
∑ i 1iX 1 f n +1  X
f  X n +1 f n +1 
i n +1f  X f
X f  X X 1 f 2  Xf  X n +1 f 2 
i 2


i +1
i +1
    = ∑ ( X i f1 )( −1)+ f1 ∑ ( −1) X i      

i
i




X 1 f n +1  X
f  X n +1 f n +1
 X 1 f n +1  X i f n +1  X n +1 f n +1 
i n +1
1

2

2

i

n +1

2

と書ける。この右辺の第二項は、

 X f  Xf  X f
f ∑ ( −1) X      f X f
 X f  X






 X f  X X f  Xf   X f  Xf  X X f  





    + f ∑ ∑ ( −1)      = f ∑ ∑ ( −1)   



 

 X f X X f X f   X f X f X X f  
 X X f X f  Xf  Xf       
= f ∑ ∑ ( −1) ( −1)    X X f X f X f X f  
 X X f X f  Xf  Xf       
+ f ∑ ∑ ( −1) ( −1)    X X f X f X f X f  
1

2

2

n +1

2

n +1

n +1

n +1

i

i +1

1

i

i

1

n +1

1

i

2

i

2

j

i

2

1

i +1

1

i

2

i

j

2

1

i

i

j <i

1

n +1

i

n +1

j

i

i +1

i

2

j

1

i< j

n +1

1

2

2

j

2

i

j +1

1

i

j <i

i

j

n +1

1

n +1

i

i +1

n +1

j

j

2

1

n +1

i

2

i

2

j

2

j

1

i

i< j

i

となるが、

2

i +1

j

n +1

1

n +1

i

n +1

j

n +1

n +1

i

n +1

i

j

n +1

f  
 X i X j f 2 X 1 f 2  X
f  X
j 2
i 2


i +1
j +1
f1 ∑∑ ( −1) ( −1)      
i
j <i

  
 X i X j f n +1 X 1 f n +1  X j f n +1  X i f n +1  
f  
 X j X i f 2 X 1 f 2  X
f  X
i 2
j 2


i+ j
= f1 ∑∑ ( −1)      
j
i< j

  
 X j X i f n +1 X 1 f n +1  X i f n +1  X j f n +1  と書き換えることができる。ここで、

= ∑∑
= ∑
∑∑
i

i< j

j

i< j

に注意すると（問：これを示せ）、

i< jf  X f 
X 1 f2  X
i 2
n +1 2

i +1∑ X i  f1 ( −1)      i
X 1 f n +1  X
f  X n +1 f n +1 
i n +1f  X f
X f  Xf  
 [ X i , X j ] f 2 X 1 f 2  X
f X
i 2
j
2


i +1
i+ j
= ∑ ( X i f1 )( −1)− f1 ∑ ∑ ( −1)         
 
i
i
i< j

  


X 1 f n +1  X
f
Xf
i n +1
n +1 n +1
 [ X i , X j ] f n +1 X 1 f n +1  X i f n +1  X j f n +1  
1

2

i

2

n +1

2

_______________________________________________________

dxi1 dxi2  dxik ∧ dxik +1 dxik +2  dxinとなる。
これを微分形式で書くと、(3-25)になることがわかる。

= ε ( i1  in ) dx1dx2  dxnとなる。ここで、［付記］ホッジの星印作用素の定義
この作用素は、上述の説明からわかるように、大雑把に言えば、 k 次の微分形式（の基底）とその微分形式にこの作用素を作用させたものとの外積（wedge 積）をとると、最高次の微分形式になるようなものである。具体的には、

λ = dxi dxi  dxi
12kとしたとき、適当な、∗λ =dxik +1 dxik +2  dxin

1  n 
  i1  in  ε ( i1  in ) = sgn  とした。よって、∗λ =ε ( i1  in ) dxik +1 dxik +2  dxinとなることがわかる（ただし、上の「補集合をとる」という規則に従うもとする）。また、(=∗∗ λ ε ( i1  , ik , ik +1  in ) ∗ dxik +1 dxik +2  dxin
= ε ( i1  , ik , ik +1  in ) ε ( ik +1  in , i1  , ik )

をとって、

=
λ ∧ ∗λ dx=
1dx2  dxn ( σ ))(× dxi1 dxi2  dxik

(3-26)となるような作用素、∗ を（正確な定義ではないが）ホッジの星印作用素というのである。明らかに、(3-26)の左辺がゼロとならないためには、( ik +1 , , in ) は、 (1, 2, , n ) の中で、 ( i1 , , ik )の補集合でなければならない。よって、必ずそのような補集合をとることにすると、(3-26)の左辺は、=( −1) (

k n−k ))

dxi1 dxi2  dxikとなる（問：これを示せ）。
大抵は以上の定義で十分であるのであるが、きちんとやるには、この星印作用素を「数学的な」線形作用素として定義しておく必要がある（こうすると、ローレンツ空間でも使えることになる）。
その定義は、以下のとおりである。
まず、ある k 次の微分形式、 λ をとり、これとn − k 次の微分形式、 µ との外積をとると、最高次、n の微分形式が得られるが、この最高次のベクトル空間の基底は、 σ しかないので、あると同一視すると（注：内積を考えているので、抵抗感がないようにベクトル的記述にするのである）、上で言っていることは、=λ ∧ µ f ( λ=, µ ) σ f ( λ , µ ) dx1dx2  dxn

ei1 ∧  ∧ eil , e j1 ∧  ∧ e jl

スカラー量、 f ( λ , µ ) で、

(3-27)と表わされるはずである。つまり、

f : λ ∧ µ → f (λ, µ )というスカラー量を与える線形写像が得られることになる。ここで、 λ を固定して考えると、
この f は、n − k 次の微分形式、 µ に作用して、スカラー量を与える線形写像であると考えることができる。すると、これは、 n − k 次の微分形
式のベクトル空間の中のあるベクトルとの内積を与えるものであると見なすことができる（問；常にそう見なせることを示せ）。このあるベクト
ルは、当然、k 次の微分形式、λ に関係づけられているはずであるので、次のような写像を考える
ことができる。

∗ : Ωk → Ωn−k
そして、これがホッジの星印作用素であり、成分で書くと、∗; λ  ∗λである。これを使うと、(3-27)は、の添え字の組が同じであれば、1 、そうでなければ、0 とするということである（問：二つの添え字の組の順番を同時に入れ替えても値は変わらないことを示せ）。なお、同じ添え字の組をとる
が、添え字の組み合わせが違うときでも一律に 1にしたのは ∗ 作用素をそのように定義したと言ってしまってもよいが、空間の等方性を使えば、 ei等が互いに「対等」であるすれば、一般的にそれらの内積は同じ値になることがわかる。さて、一般の l 次の微分形式の空間（いまは当面、l 次の外積の空間と考えている）のベクトルの組に対しては、内積は次のようになる。

a k = ( a1k . a2 k ,, ank )等々とおくと、

ωa =a1 ∧  al , ωb =b1 ∧  blに対して、

ωa , ωb =a1 ∧  al , b1 ∧  bl=∑λ ∧ µ =∗λ , µ σ =∗λ , µ dx1dx2  dxn(3-28)となる。ここで、 f を同じ空間の内積として表わしてある。これから、λ ∧ ∗λ = ∗λ , ∗ λ σ = ∗λ , ∗ λ dx1dx2  dxn(3-29)ともなる。一般のベクトルではなく、基底ベクト
ルにもどって考えると、(3-29)から、∗ の作用は、基底ベクトルを構成している dxi の組をその「補集合」の組に移すということがわかる（ ∗ の作用
素が意味あるものにするには、少なくともそのような成分をもっている必要がある。
）また、(3-28)で、基底ベクトル、 µ が「補集合」の組からできていないとすると、左辺が ゼロになることから、右辺の内積を入れたベクトル空間の基底は直交基底になることがわかる。よって、さらにこれら基底が規格化直交基底になるように、内積を定義し直してよいことがわかる（それに応じて、 ∗ を再定義するのである。）いま、 l 次の微分形式の基底、 dx1dx2  dxl 等を外積、 e1 ∧ e 2 ∧  ∧ el 等

∑ a  a b bi11

1≤i1il ≤ n 1≤ j1 jl ≤ n

il l

j11

jl l

(3-30)

× ei1 ∧  ∧ eil , e j1 ∧  ∧ e jlとなる。ここで、外積の性質を使うと、これは、
ωa , ωb = ai11  ai1l   b j11  b j1l 

 

det
∑
∑
     det     1≤ i1 << il ≤ n 1≤ j1 << jl ≤ na  a  b
il l 
 il 1
 jl 1  b jl l × ei1 ∧  ∧ eil , e j1 ∧  ∧ e jlとなり、さらに、これに内積に性質を使うと、
 bi11  bi1l  ai11  ai1l 








ωa , ωb = ∑ det      det     
i1 << il a ail l   bil 1  bil l 
 il 1となる（問；以上を示せ）。さて、線形代数で二つの行列の積の行列式について習い、正方行列、
A, B の場合には、簡単に、

det ( AB=) AB= A ⋅ Bとなることを知っている。同様に、正方行列でない場合にも、 A を ( p, n ) 行列、 B を ( n, p ) 行
列とすると、行列の積は、

nAB = p



A







p



n B





が・・）。なお、行列式の中の内積は、基底を数










ベクトルとした場合の内積である。これから、基底ベクトル、 λ = dxi1 dxi2  dxik に対し、(3-29)から、が得られることがわかる（問：これを示せ）。

となり、行列式は、

AB =∑1≤i1≤i p ≤ n

次は、ローレンツ空間のように、不定計量をも

a1i1  a pi1 bi11  bi1 p

つ場合であるが、これについても、(3-31)のような内積の形を活かすために、たとえば、ωa , ωb の

 B 
 B 
a1i p  a pi p bi p 1  bi p pベクトル、 a と b 等を次のように表すことにすとなることを示すことができる（問：これを示せ（ヒント：正方行列の場合と同じ方法を使う））。
ただし、 p > n の場合には、ゼロとなる。また、
p = n の場合には、右辺は、一つの項しかなく、A ⋅ B となるのである。
すると、先のベクトル、 ai b j から、 ( n, l )

=
A

∗λ =
ε ( i1  in ) dxik +1 dxik +2  dxin

a1 , al ) , B ( b1 , bl )(=る。

a = a1e1 +  + a ne nb = b1e1 +  + bne nつまり、ベクトル、a の座標成分は、反変ベクト
ルとし、ベクトル、b の座標成分は、共変ベクトルとするのである。こうすると、ベクトル、 a とb の内積は、なる行列を考えると、

a, b = ∑ a i biiωa , ωb = det ( AT B )となり、「似非」ではあるが、ユークリッド空間となることがわかる。さらに、数ベクトルの「普のように見なせる。また、(3-30)式の中の基底ベ通の」内積を使って、クトルの内積は、

 a1 , b1
ωa , ωb = det   a ,b
 l 1





a1 , bl  
al , bl 

ei1 ∧  ∧ eil , ei1 ∧  ∧ eil(3-31)のように考えるのである。すると、この値は、

1 か 0 かになる（注： ei , e j = δ i j である）。すと表わされる。右辺は、グラムの行列式

ると、すべては、上述の導出と全く同じようにで（Gramian）と言われるものである。若干、仕掛き、結果の形も同じになるのである。しかし、次けが大仰であったが、普通のユークリッド空間の場合でかつ基底ベクトル、 eik +1 ∧  ∧ ein （ n − kの数ベクトルとしての基底ベクトルの内積につ次の微分形式の空間の dxik +1 dxik +2  dxin と同一視

いては、不定計量の符号に依存して、

eik +1 ∧  ∧ ein , eik +1 ∧  ∧ einとなる（これは初めからわかっていたことで、何 eik +1 , eik +1  ei , eik +1 n= det 
 ik +1 in e ,e ein , ein  ±1  0 s= det      = ( −1) 2 0  ±1となる。ここで、 s2 は、上記のベクトルのうち、をやっていたのだろうという感じなるであろう

計量の符号が −1 であるものの数である。

されたもの）の場合には、

eik +1 ∧  ∧ ein , eik +1 ∧  ∧ ein
 ei , ei
 k +1 k +1
= det  ei , ei
 k +1 n= det=(I ) 1ein , eik +1 ein , ein 以上から、先ほどの結果と合わせて、∗dxi1 dxi2  dxik =ε ( i1 in )( −1) dxik +1 dxik +2  dxins2となることがわかる。ただし、 s2 は、右辺のdxik +1 dxik +2  dxin のうち、計量の符号が −1 である
ものの数である。これが先に述べたハウツーの計算法である。また、∗∗ λε ( i1 , ik , ik +1  in ) (−1) s ∗ ( dxi dxi  dxi )
2

k +1

k +2

= ε ( i1  , ik , ik +1  in ) ε ( ik +1  in , i1  , ik )(×(−1) s2 (−1) s1 dxi1 dxi2  dxik=( −1) (

k n − k )+ s)

dxi1 dxi2  dxikとなる。ここで、 s1 は dxi1 dxi2  dxik に含まれるものの計量の符号が −1 であるものの数であり、
s= s1 + s2 は dx1dx2  dxn の中で計量が −1 である
ものの数である。なお、実際の星印作用素の計算
では、微分形式の空間のベクトルは、ωa , ωb の形
ではなく、すべてその空間の基底ベクトルで展開

n分、抵抗感の少ない説明になっているのではないかと思う。ただし、ここでは、一般の多様体のよ
うに、幾つもの座標系をペタペタと貼り付けないといけないような空間は取り扱わない。素朴で（素直な）ユークリッド空間での話にするのである。
この説明は、二つの段階に分けて行う。第一段
でガウスの定理を微分形式で表す。第二段で「通常の」やり方（引き戻し（pull back）の操作）で任意の低次元での定理、つまり、いわゆる Stokesの定理に相当するものを証明する。
なお、前にも述べたが、この定理のすごいところ（の一つ）は、次のグリーンの定理を忘れてしまっても、全く頭を使わずに、一瞬にして導くことができることである。
 ∂Q ∂P ∫ P dx + Q dy = ∫  ∂x − ∂y  dxdy
第一段
三次元でのガウス（Gauss）の定理を n 次元に拡張すると、

∫ div f dV = ∫ f dSした後に、作用素を施すのがよい。上述の若干、大仰な設定は、星印作用素を線形作用素としてきdiv f =

ちんと定義するためであった。こうすることで、ベクトルを展開して、個々の項に作用させることができるのである。

∂f∂f1 ∂f 2++ + n ,∂x1 ∂x2∂xn

f dS= f1dS1 + f 2 dS 2 +  + f n dS nとなるが、この意味するところは三次元からの類

3.6 拡張された Stokes の定理（extended Stokes’ Theorem）
こ の 定 理 は 、 今 ま で も何 度 か 出 て き た が 、
extended Stokes ’ theorem と か general(generalized) Stokes’s theorem とか、いろい
ろな名前で呼ばれているものである。これは、美しい（かつ簡潔な）定理であるので、ここにもう一度、書いておこう。

推で明らかであるので、証明は要しないと言える
かもしれないが、後の便宜のために、簡単に説明を加えておこう。図 27 のように、単純な形状の領域を考え、そのうちの微少な一部（イメージと∫ dω = ∫ ωC(3-32)

図 27.

∂C

ここで、∂C は、左辺の積分領域の境界を表わす記号である。または、左辺の積分領域を表わす、

C の境界をとる作用素（演算子）であるとしてもよい。ただし、本講義では、この演算子については詳しい説明はしない。単純に境界を表わす記号と考えることにする。
さて、この Stokes の定理のきちんとした証明
は、適当な参考書等を見て頂くことにして、ここでは直感的な証明を与えておくことにしよう。多次元の微小体積

しては、図中にある、 x 方向に延びた細長い領域）については、

∂f1

∂f1

dV ∫
dx
=
dS ( f ( b ) − f ( a ) ) dS
∫ ∂=
x
∂x
b

a

b

a

x

1

1

x

となるが、最後の項は、 f dS の x に関する積分に関する部分になる。このような細長い領域を束ねて、積分領域の体積とすれば、この項に関する積分が得られる。また、積分領域がこのような操作ができないような単純でない形状の場合には、=
dS e1dx2 dx3  dxn − e 2 dx1dx3  dxn
この領域をいくつかに切断して考えればよい。切i +1
 i  dx + + ( −1) ei dx1  dxn
断箇所については、となり合う領域の f dS に関すとなることがわかる（注：もし上の議論で、体積を、る積分が互いにキャンセルするので、結果には切
V= b∆Sb と考えると、 dS の符号が変わるが、ここ断したという「痕跡」は残らないのである（コメント：一般によく用いられる手法であるが、数学の分野以外に用いるとロクなことにはならないようである）。

同様にして、
d ∂f
∂f 2
=
dV
=
dS y ( f 2 ( d ) − f1 ( c ) ) dS y∫c ∂y∫c ∂y2 dyとなり、f dS の y に関する部分に等しいことがわdでは、座標の順番に、e 2 , e3 , , e n をとったときの超平面の面積を +1 としているのである）。これから、=f dS f1dx2 dx3  dxn − f 2 dx1dx3  dxn
i +1
  dx + + ( −1) f dx  dx
1

i

i

n

となることがわかる。この外微分をとると、∂f1
dx1dx2 dx3  dxn∂x1

かる。そして、全体積について、たし合わせるのである。以下同様に、云々・・・。そして、これらをまとめると、一般の次元でのガウスの定理、(3-32)が導かれる。

d ( f  dS ) =−∂f 2
dx2 dx1dx3  dxn∂x2

次にやるべきことは、これを微分形式に読み換えることである。体積については、

+

∂fi
i +1
  dx + ( −1) fi dx1  dxin∂xi

dV → dx1dx2  dxn

でよいが、 dS はどうなのかということは、少し議論が必要であろう。前に体積と表面積のところで出てきた、体積、 V と面積ベクトル、 ∆S の次の関係に着目しよう。

V= a1 ∆S

 ∂f ∂f∂f =  1 + 2 +  + n  dx1dx2  dxn∂xn  ∂x1 ∂x2
= div f dVとなる。以上から、 ω = f dS とおくと、 n 次元の Gauss の定理を、（拡張された）Stokes の定理、

∫ dω = ∫ ω

であり、

 e1

e
det  2
∆S =


 en

a12  a1n 
a22  a2 n    an 2  ann であったが、 ∆S の表式を見やすい形で表すと、

 e1

e
det  2
∆S =


 en

dx1 ( b ) dx1 ( c )  dx2 ( b ) dx2 ( c )  dxn ( b ) dxn ( c )  というような形になる。この行列式の第一列について展開し、微分形式の形に書くと、=∆S( e1dx2 dx3  dxn − e2 dx1dx3  dxn
i +1
 i  dx
+ ( −1) ei dx1  dxn+ ) ( b, c,)となる。これから、面積の微分形式は、

V

Sに書き換えができたことになる。なお、ここで、V = C で、 S = ∂C である。
第二段（ガウスの定理の引き戻し（pull back））
n 次元空間の中に、k 次元の領域を考えて、それに関する積分を行うとする場合の一つの方法
は、その領域を表わす n 次元の座標を（便利な）k 個のパラメーターからなる媒介変数で表して、これについて積分を行うことである。つまり、∫ ∑ f ( x ) dx  dx
i

i

i1

ik



= ∫  ∑ fi ( x ( t ) ) Di ( x ( t ) ) dt1  dtk
 i
(3-33)というような形の計算をするのである（注： n 次
元空間の中の k 次元の領域は、一般には、ユーク
リッド空間ではなくなり、多様体になるのであるが、ここでは素朴に k 個の媒介変数の空間と考えることする）。
（繰り返しになるが）この計算のやり方は、

x = x (t )であり、右辺の dyi ( x ) は、外微分をとって、変がわかれば、それを、 f i ( x ) や dxi 等に「代入数、 x の微分形式にするのであった。ここで、する」ことで、(3-33)の左辺を計算するという方法である。これを写像という観点でみると、媒介変数の空間から、 n 次元空間に、とおくと、pull back 操作は、単なる代入である

t→xという写像、 x ( t ) が与えられており、これによ=ω f ( y ) dy1 ∧ dy2 ∧  ∧ dyn

ので、上式の右辺の被積分項は、 φ ∗ω となる。
つまり、

∫ω = ∫φ ω(3-34)∗り、 f i ( x ) や dxi 等が媒介変数の関数として書きとなり、これは、微分形式に pull back 操作をしても（または、いくら座標変換をしたとしても）、換えられるというものである。単に代入するとい積分値は変わらないということを示している。一う操作であるが、これを空間の写像という観点に立つと、図 28 のようなイメージになる。図では、 方、(3-33)の場合には、どうしてよいか、さだかにはわからないのである。努力すればわかるであ
わかりやすいように、変数の notation を変えていろうが、（一見）複雑なものが得られるであろう。
る。空間の写像、 φ は、（または天下り的に、（符号はよくわからないが）
φ: x → y
Di は座標変換の Jacobian であるとするのであであり、これにより、関数、 f ( y ) が、る）さて、微分形式で表し、 φ ∗ を代入操作であf ( y ) → f (f ( x ) )と、空間、 x の関数になることになるが、これを空間、 y の関数を空間、 x の関数に「引き戻し（pull back）」をしたと言い、∗ff
f = f

という記号で表す。引数を付けて書くと、∗f ) ( x ) (=f  )( x ) f ( ( x ) )=(fffとなる。初めてこの記号に接した方は、単なる代るとすると、(3-34)のように簡単になるが、 φ ∗ を左から作用する演算子（作用素）だと思って、(3-34)を眺めると、かなり大胆なことをやっていることがわかる。

f ∗ f ( x) = f ( y ( x))

はよしとしても、φ ∗ ( dyi ) = dyi ( x )φ ∗ ( dy1 ∧ dy2 ∧  ∧ dyn )= φ ∗ ( dy1 ) ∧ φ ∗ ( dy2 ) ∧  ∧ φ ∗ ( dyn )などである。（逆に言えば、 φ ∗ の作用とはこのようなものであるとすれば、(3-34)が成りたつことになることから、これらの関係は定義であるとす
れば、都合がよいかもしれないが・・・）。上の関係式の二番目は、 φ ∗ が代入操作である考えれば、明らかであり、φ ∗ (ω ∧ η ) = φ ∗ω ∧ φ ∗ηとなるが、ここで、重要なのは、

図 28. 引き戻し（pull-back）

入を、なんと持って回った言い方をするのかと思われるかもしれないが、この記法（また、pull backという考え方）は、微分形式、または外微分の記法と非常に相性がよいである。
積分の座標変換は、∫ f ( y ) dy1 ∧ dy2 ∧  ∧ dyn=∫ f ( y ( x ) ) dy ( x ) ∧ dy ( x ) ∧  ∧ dy ( x )12nφ ∗ ( dω ) = d (φ ∗ω )という関係であり、記号的に表すと、(3-35)φ ∗ d = dφ ∗という関係になる。つまり、φ∗と d は自由に交換してよいということ言っているのである（平たく言えば、（外）微分は、代入する前にとっても、
代 入後 にとっ ても 同じで ある という こと である）。何となく当たり前のようにも思えるが、これを示すには帰納法を使う。まず、 y j = y j ( x ) とすると、

dy j = ∑

∂y j
∂xi

dxi

∗

(

)

そのものである。また、 d φ y j = dy j ( x ) のこ∗とであり、これも明らかに、右辺となる。次に、

y = φ ( x ) とし、 f = f ( y ) とすると、微分のchain rule によって、(3-35)が成り立つことがわ
かる（問：これを示せ）。さて、いま、ω を n − 1
次の微分形式としよう。たとえば、

ω = xi dxi  dxi
2nであるとする。すると、fd ω
は、 n 次の微分形式となる。これに、 φ ∗ d を作用させると、∗∗f ∗=d ( fd ω ) f=
( dfdω ) dff( f ) ∗dω= dff( f ) d (ω )∗∗∗df ∗ ( fd ω ) = d (ff( f ) ∗ ( dω ) )

∗
∗
= d=
( f ) d ∗ (ω )( f ) d ∗ (ω ) ) dff(ff

よって、この場合の n 次の微分形式について、(3-35)が成立する。これから、一般的な n 次の微分形式についても成立することがわかるのである（問：これを示せ）。
さて、最初の問題設定にもどって、n 次元空間の中の k 次元の領域に関する積分について考えてみよう。まず、(3-34)と(3-35)から、以下の二つの式がわかる。

=∫ dω

(3-36)φ ∗ ( dω )∫=∗∫ d (φ ω )(3-37)
ここで、 φ は、 n 次元空間から、 k 次元のパラ
メーター―空間への引き戻し（pull back）であるとするのである。パラメーター―空間での積分（体積積分は、まさにこの空間の体積積分である）には、微分形式での Gauss の定理が使えるので、∗∫ d (φ ω ) = ∫ φ ω
∗

V

∂C

∗

S

像元」の空間の次元（今の場合は、 k 次元）と写像で移った空間の次元（今の場合は、 n 次元）については、特に制約を付けなかったのでよい
が、問題は、(3-34)である。その証明では、両方の次元が等しいということが前提になっているのである。ただし、この式は、積分の変数変換の式であるので、次元が異なっても正しいであろうと思われる。この点をもう少しきちんとするには、以下のように考えればよい。まず、 n 次元
空間の中の k 次元の領域を k 次元の部分空間（または超平面）と考えて、その中に留まるような座標をとり、それ以外の座標は、その空間外の座標とするのである（全体では当然、 n 次元にである）。いま、n 次元空間の k 次の微分形式を（簡単化のために）、

ω = ∑ dxと書くことする。ここで、 dx は、となる。一方、 dφ ∗ を作用させると、∗∫ω = ∫φ ωCが得られたことになる。しかし、議論に少し抜けている点がある。それは、次元の問題である。
(3-35)については、その証明で、写像、 φ の「写である。 φ ( dy ) は、代入操作だと思うと、右辺、

1∫ dω = ∫ ωとなることがわかる。よって、(3-36)、(3-37)から、一般の場合にも成り立つ、Stokes の定理、

dx = dxi1  dxik
であるが、これを、 k 次元の部分空間の微分形
式、 du とその外の空間の微分形式、 dv とで表すと、

ω = ∑ dudu + ∑ dudv + ∑ dvdv

(3-38)となる。積分とは、微分形式に（今の場合は、 k個の）ベクトルの組を作用させたものをたし合わせるものであるとする（と定義すると言ってもよい）と、この k 個のベクトルが k 次元の部分空間の中にある場合には、(3-38)の中で残るのは、第一項に関わる部分となる。よって、実効的には、=
ω(dx ) ∑ dudu∑=であると見なしてよいことになる（実際にも、 k次元の部分空間で考えた方が、イメージがはっきりするのである）。そして、この k 個の変数からなる k 次微分形式に、(3-34)を適用すると考えるのである（初めから媒介変数パラメーターを k 次

元部分空間の座標にとっておけば、φ は不要であ∗るが、一般的には、媒介変数は便利なようにとるべきものであろう）。

3.7 ポアンカレの補題（Poincare lemma）
ベクトル解析の部分とかなり重複しているが、この小節の前書きとして、若干の説明をしておこう。我々は、大学での勉強やその後の長い経験か
ら、以下のことを知っている。もし、ベクトル、− sin θ
cos θ
dx +
dy
r
r
− y dx + x dy=r2となり、これから、 d ω = 0 となる（問：これ=ωA が rotation free である、つまり、
rotA = 0

を示せ）。一方、

であるなら、から、直ちにA = grad φとなっている（少なくとも大抵の場合には・・。）
また、ベクトル、 A が divergence free である、
つまり、

divA = 0であるなら、

A = rotBとなっている（少なくとも多くの場合には・・。
）
これを微分形式の言葉で表すと、

α = A1dx1 + A2 dx2 + A3dx3
で、 dα = 0 であるなら、

∂φ
∂φ
∂φ
α ==
dφ
dx1 +
dx2 +
dx3
∂x1
∂x2
∂x3

となっている。また、

β = A1dx2 dx3 + A2 dx3dx1 + A3dx1dx2
で、 d β = 0 であるなら、
β=dλ =d ( B1dx1 + B2 dx2 + B3 dx3 ) ∂B ∂B  ∂B ∂B =  3 − 2  dx2 dx3 +  1 − 3  dx3 dx1
 ∂x2 ∂x3  ∂x3 ∂x1  ∂B ∂B +  2 − 1  dx1dx2
 ∂x1 ∂x2 となっているということである。
しかしながら、我々は、以上のことがうまくいかない（典型的な）例も知っている。
例えば、z 軸上に線電流が流れている場合の磁場の例や z 軸上に渦糸がある場合の流体の運動の例などがある。磁場や流れを表わすベクトルを Aとすると、（係数を省略して）=A

Ar , Aθ , Az ) ( 0 , 1 r , 0 )(=となる。これを微分形式で表すと、( )θ = tan −1 y xdθ =− y dx + x dyr2と書ける。これから、ナイーブに、 ω = dθ とおき、直ちに、 d ω = 0 となると言いたくなるが、これはダメである。なぜなら、θ は局所的には（一価の）関数であるが、大域的には関数ではないか
らである（一価関数ではない）。つまり、 d ω = 0となっても ω = dα とは必ずしもならないことになる。
ある微分形式、 ω が、dω = 0となるとき、この ω は、閉形式（closed form）であるいう。たとえば、

ω = dfと、関数、 f （0 形式）の外微分で与えられたと
すると、

d=
ω ddf
= 0
となり、この ω は閉形式であることがわかる。一方、微分形式、 ω が、

ω = dαという形で与えられているとき、この ω は、完全形式（exact form）という。当然、完全形式であると、=
d ω d=dα 0であるので、閉形式である。つまり、（k 次の）閉形式の微分形式の集合（空間）を Z k とし、（k 次の）完全形式の空間を B k とすると、（少なくとも）(3-39)となることがわかる。しかし、場合によっては、

Bk ⊆ Z k(3-40)となる（例えば、連続的に一点に変形可能な空間（可縮空間、contractible space）の場合などである）。（注：数学者は、(3-39)のような関係を見ると、すBk = Z k

ぐに、 Zk

B k というような商を作るようである。これ

から、ド・ラーム コホモロジー（de Rahm chorology）
が生まれるのであるが、本講義のような初等的な議論の範疇外であろう。） さらに、空間を「星形」領域（star-shaped region）に限ると、(3-40)が導かれ、さらに、 d ω = 0 であるような ω が、

ω = d ( Kω )(3-41)のような具体的な式で表すことができる。これが、「Poincare の補題」と呼ばれるものである。
ここで、星形領域とは、（少なくとも）ある一点から見ると、
領域のすべ
てを見渡す
ことができ
るような領
域のことを
いう（図 29）つまり、

(1, x ) for t = 1 F (t, x ) = ( 0, 0 ) for t = 0 である。ここで、右辺の x は、元の空間そのものであり、0 はその空間の原点である。なお、縮小の過程ですべての点が領域内に留まるというのが、星形領域を採用したミソである。
次に、（当面は、縮小変形は忘れて） R × Ω 空間
で図 31 のような（非常に）細長い円筒領域にス
トークスの定理を適当しよう。
n∫ dω= ∫ω+∫ ω+∫ ω(3-43)=d ω a ( x, t ) dt ∧ dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn(3-44)V

うに、どんな点

S2

S1

ここで、
とし、

（注：周知のよ =ω

図 29. 可縮空間の例（星形領域） から見ても領域

cylinderb ( x, t ) dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn +∧∑ ci ( x, t )( −1) dt ∧ dx1  dxi ∧  ∧ dxn
i −1(3-45)のすべてを見ることができる領域は、凸領域と呼ばれるものであるが、星形領域は、これを含むより拡張された概念であり、Poincare の補題にピッタリのものである。）また、(3-41)の右辺の K は、ある積分演算子であり、ホモトピー演算子（homotropy operator）と呼ばれるもの
である。
以下では、
この Poincareの補題をストークスの定理を使って証明してみよう。
ま ず 、 図 30のように星形
領域の「直線的な」縮小変図 30. 空間の一点への縮小変形形を考え、その縮小変形のパラメーター、t を次元の一つに追。この加した空間を考えることにする（ R × Ω n ）拡大した空間で、縮小変形を式で表すと、=( t , y ) F=(t, x )
n(t, t x )(3-42)となる。
（ Ω 空間内では） t = 1 の場合は、縮小変形がない元の領域で、t = 0 が、一点（ここでは、原点が全領域を見渡せる点としているが、常に座標変換によってそのようにできる）に領域が縮小された場合である。

とする。当然、a ( x, t ) と b ( x, t ) , ci ( x, t ) との間には、外微分を取ることによる、ある関係が存在するはずであるが、当面、明示的な表式は使わない（注：外微分形式の次元が n より低い場合には、ストークスの定理の証明と同じように pull-back 写像を使えばよいので、次元が nの場合に証明すれば十分であ図 31. 円筒領域る。）

今、細長い円筒領域の円盤部分、つまり（ R × Ω 空間の部分空間である）Ω
空間での円盤の体積を ∆V とし、また、（幾何学的に考えて）
t 方向の単位ベクトルを n としよう。
nn

すると、 R × Ω 空間では、円盤部分の「面積」
ベクトルは、n∆S = n ∆Vとなり、 R × Ω 空間の微少体積は、n∆V =∆t n∆S =∆t nn∆V =
∆t ∆V

となる。
これから、(3-43)式の左辺は、

=
∫ dω
V

1

∫ a ( x, t ) dt ∆V
0(3-46)となり、(3-43)式の右辺の第二項と第三項は、

ω b ( x, 1) ∆V − b ( x, 0 ) ∆V
∫ ω + ∫=
S2

S1

1

(3-47)∫ a ( x, t ) dt dx ∧ dx ∧  ∧ dx
0nとなる（これは、 Ω 空間の微少な円盤の体積分である。
）
次に、(3-43)の第一項の積分、円筒の側面についての積分を考えよう。明らかに(3-45)の第一項は積分に寄与しない。第二項は、∧( −1) dt ∧ dx1  dxi ∧  ∧ dxn
iが側面の面積の外微分形式であることから（ dtの項があることに注意）、
1∫cylinderω = − ∫ ∑ ∫ ci ( x, t ) dt dl∂Sとなる。ここで、 ∂S は円盤の境界で、 dl はその要素である。ここで、簡単のために、
10cylinderω = − ∫ C ( x ) dl∧=
− ∫ C ( x )( −1) dx1  dxi ∧  ∧ dxnとなる。これにストークス定理を適用すると、∂C ( x )∂xi∂S

dx1  dxi  ∧ dxn−∫
ω=∂C ( x )
=
−
∆V
∂xi

(3-48)(3-46)、(3-47)及び(3-48)式を使うと、(3-43)式は、∂ci ( x, t )
dt
∂xi
0

1

∫ a ( x, t ) dt + ∑ ∫0(3-51)となる。勿論、これは、(3-49)式を導いたときに、省略した ∆V を残したままにしておいて、∆V = dx1 ∧ dx2 ∧ ∧ dxn ( a1 , a 2 ,  , a n ) du1du2  dun(3-52)

ここで、次のような演算子、 K を定義しよう。
(3-44)式の右辺のような形の dt を含む場合、K  a ( x, t ) dt ∧ dx1 ∧  ∧ dxn 1∫ a ( x, t ) dt dx1 ∧  ∧ dxn(3-53)

0(3-49)= b ( x, 1) − b ( x, 0 )と書ける。ところが、(3-45)式の外微分をとって、=−ω t 0
ω t 1=K ( d ω ) + d K (ω )=

=
dt 0=
dt 0

K ( dF ∗ω ) + d K ( F ∗ω )==F ∗ω t 1 =− F ∗ω t 0

dt 0=
dt 0
=

(3-56)(3-50)となり、これから、直ちに、(3-49)が得られる。
つまり、長い「無駄な（？）」計算をして、間違いがなかっただけと言うこともできる。
n(3-55)となることがわかる（問：この右辺と(3-51)の右辺が一致することを確かめよ。）なお、円筒の上底、下底の円盤上の積分には、(3-47)式からわかるように dt を含む項は寄与しないので、最初から、 dt = 0 として、考えてよいことになる。
さて、忘れていた縮小変形を思い出そう。図 31の円筒領域から、図 30 の対応した領域への(3-42)の写像、 F を考えよう。そして、図 30 の領域
上の ω を円筒領域に pull-back すると、(3-55)式
から、(3-44)と比較すると、∂b ( x, t )∂c ( x, t )=a ( x, t )
−∑ i
∂t
∂xi

(3-54)と定義すると、(3-51)式は、∂S

1= (b ( x, 1) − b ( x, 0 ))dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn

K b ( x, t ) dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn  =0∂Scylinder∂ci ( x, t )dt dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn∂xi0とし、 dt を含まない(3-45)式の右辺の第一項のような場合には、

i −1

∫

n

+∑ ∫

=

とおくと、

∫

2

として、導くこともできる。

0

C ( x ) = ∑ ∫ ci ( x, t ) dt

1

1

さて、(3-49)式の両辺に、 Ω 空間の体積要素、
dx1 ∧ dx2 ∧  ∧ dxn をかけると、

となる。

=
Fω
ω=
, Fω
0

∗
∗
=t 1 =t 0
=
dt 0=
dt 0

となる。ここで、第一式の右辺の ω を、 R × Ωn

空間内の部分空間、 Ω n 空間での ω と同一視することにしよう。さらに、

 ∗K = KF

と定義し（この K は homotopy operator と呼ばれる）
、 dF ∗ = F ∗ d であることを使うと、(3-56)式
は、(3-57)K ( dω ) + d ( Kω ) =ωと書ける。これから、 d ω = 0 であるとすると、(3-58)
ω = d ( Kω )となり、Poincare の補題が導かれたことになる。
以下でこの Poincare の補題に関する例を二つ、示しておく。
例１. rot A = 0 の場合

A = ( A1 , A2 , A3 ) とし、

α ( x ) = A1dx1 + A2 dx2 + A3dx3

dα = 0 と同じ意味になる。よって、

α ( t x ) = A1 ( t x ) d ( t x1 ) + A2 ( t x ) d ( t x2 ) + A3 ( t x ) d ( t x3 )= A1 ( t x ) x1 dt + A2 ( t x ) x2 dt + A3 ( t x ) x3 dt(3-60)となる。よって、
1

1

0

0

+ ∫ A2 ( t x ) dt x2 + ∫ A3 ( t x ) dt x3(3-61)となり、(3-64)式の中の偏微分は、たとえば、∂A1 ( t x ) ∂A1
=
t
∂x1
∂X 1

となる。これらを（途中の計算を省略して）まとめると、(3-63)のその他の項と(3-64)は、ベクトル表示を用いて、1∫ rot A ( X )( dr × r ) t dtとなることがわかる（問：これを示せ。
）ここで、

rot X は、 X 1 ( = t x1 ) 等に関するものである。よって、 rot A = 0 を使うと、(3-59)が導かれることにdivB = 0 の場合
B = ( B1 , B2 , B3 ) として、

例２.

β ( x ) = B1dx2 dx3 + B2 dx3dx1 + B3dx1dx2 (3-65)とおくと、 divB = 0 は、 d β = 0 と同じ意味にな

β ( tx ) = B1 ( tx ) d ( tx2 ) d ( tx3 )(3-62)となる。なお、(3-61)式は、当然、ω = α とした、=
(3-58)式を満たすはずである。その証明には、式の表示が若干、長くなるので、証明の要点だけをここに記すことにする。(3-61)の第一項のみに着目して、これを外微分すると、次の二つの項が出てくる。一つは、
1∫ A ( t x ) dt dx
011

dA ( t x )= tA1 ( t x ) t =0 dx1 − ∫ t 1
dt dx1
0
dt
t =1

1

(3-63)

1 ∂A ( t x )∂A1 ( t x )1∫0 ∂x1 dt x1dx1 + ∫0 ∂x2 dt x1dx2
1 ∂A ( t x )dt x1dx3
+∫ 1
0
∂x3
1

(3-64)A1 ( x ) dx1+ B2 ( tx ) d ( tx3 ) d ( tx1 ) + B3 ( tx ) d ( tx1 ) d ( tx2 )B1 ( tx )( tx2 dtdx3 − tx3 dtdx2 )+ B2 ( tx )( tx3 dtdx1 − tx1dtdx3 )+ B3 ( tx )( tx1dtdx2 − tx2 dtdx1 )+ ( dtを含まない項 )(3-66)となり、これから、
1=
Kβ

もう一つは、である。(3-63)式の第一項から、

X0る。すると、となる。ベクトル表示書くと、=A grad=φ(φ K a )dA1 ( t x ) ∂A1∂A∂A=
x1 + 1 x2 + 1 x3
dt
∂X 1
∂X 2
∂X 3

なる。

+ ( dtを含まない項 )01も同様）とおくと、(3-59)な る 微 分 形 式 を 考 え る と 、 rot A = 0 は 、Kα = ∫ A1 ( t x ) dt x1がでてくるので、その他の項は足し合わせるとゼロになることを示せばよい。ここで、X 1 = t x1（他1

∫ B ( tx ) tdt ( x dx − x dx )
0

1

2

3

3

2

+ ∫ B2 ( tx ) tdt ( x3 dx1 − x1dx3 )01+ ∫ B3 ( tx ) tdt ( x1dx2 − x2 dx1 )0と求まる。ベクトル表示すると、

B = rot Aとなり、ベクトル、 A の第一座標は、
1

1∫ B ( tx ) tdt x − ∫ B ( tx ) tdt x
0

2

3

0

3

2

(3-67)

のように与えられる。この場合にも、当然、(3-58)に相当する、

参 考 文 献を満たすはずである。この証明についてもその要点のみを以下に記すことにする。
(3-67)式の第一項を外微分すると、次の二つの項が出てくる。一つは、ベクトル解析

β = d (Kβ )1∫ B ( tx ) tdt ⋅ 2dx dx =dB ( tx )t B ( tx ) dx dx − ∫ t
dt dx dx
dt
1

0

2

2

3

1

t =1

1

t =0

2

3

1

2

2

0

3

(3-68)

である。もう一つは、
1

 ∂B1

∂B1

∂B1



∫ t  ∂X dx + ∂X dx + ∂X dx  dt
2

0

1

1

2

2

3

3

⋅ ( x2 dx3 − x3 dx2 )(3-69)である。(3-68)式の第一項から、B1 ( x ) dx2 dx3が出てくる。また、第二項は、

dB1 ( tx )dt dx2 dx3 =
0
dt
1
 ∂B

∂B
∂B
− ∫ t 2  1 x1 + 1 x2 + 1 x3  dt dx2 dx3
0∂X 2∂X 3 
 ∂X 1
1−∫ t 2となる。これと(3-69)の第一項を合わせると、
1−∫ t 20∂B1
dt ( x1dx2 dx3 + x2 dx3 dx1 + x3 dx1dx2 )∂X 1となることがわかる（問：これを示せ。）以上をまとめると、d ( K β ) = B1dx2 dx3 + B2 dx3 dx1 + B3 dx1dx2
1− ∫ t 2 div X B ( X ) dt r ∗dr0となる。ここで、 ∗ は Hodge の星印作用素で、∗dr =∗ ( dx1e1 + dx2e 2 + dx3e3 )= dx2 dx3e1 + dx3 dx1e 2 + dx1dx2e3と与えられる。よって、 divB = 0 であれば、
d (Kβ ) = βとなることがわかるのである。
以上、微分形式への超イントロを終わるが、体力、能力及び時間的制約の問題があり、内容や文章に誤りがあると思われるが、その点、ご容赦をお願いしたい。

本講義に関連する参考文献を以下に挙げる。
まず、講師自身が一応、きちんと読んだ参考書を二つ挙げておく。
[1] 安達忠次、「ベクトルとテンソル」、培風館、
新数学シリーズ(1957)
これは相当、古い教科書であるので、参考書として挙げるのは適当ではないかもしれな
い。また、ベクトル解析に関しては、多くの優れた教科書があるようであるので、適当な参考書を一冊程度選んで、手を動かして計算しながら精読すれば、勉強としては十分であろう。実際には、物理、工学等の教科書の中で勉強した方がより身につくであろう。
微分形式[2] 松本幸夫、「多様体の基礎」、東京大学出版会、
基礎数学 5 (1988)
これは微分形式の教科書ではないが、これも含め多様体全般について「やさしく」解説してあり、お薦めである。位相については初歩から説明してあるが、ある程度の予備知識があった方がよいかもしれない。
次に、ツンドク程度しかしていないもの、通読していないもの、余生に読むかもしれないもの（実情は読んだ内容もほとんど忘れているものもあるが・・）を次に挙げておく。
ベクトル解析
[3] J. E. Marsden and A. J. Tromba, “Vector
Calculus”, Fifth ed., W. H. Freeman andCompany, New York.
これは、分厚いが内容はやさしいように思う。
[4] 大田浩一、「ナブラのための協奏曲」、共立出
版（2015）買っただけに近いが、そのうち読みたいと思っているものである。
微分形式
参考書として本来なら挙げるべきものとして、[5] H. フランダース（岩堀長慶 訳）、「微分形式の理論」、岩波書店（1967）
H. Flanders, “Differential Forms”, Dover edition,
Dover Publications, Inc, New York (1989).

があるが、その他、[6] D. G. B. Edelen, “Applied Exterior Calculus”, A
Wiley-Interscience
Publication,
John
Wiley&Sons (1985).
[7] C. W. Misner, K. S. Thorne and J. A. Wheeler,“Gravitation”, W. H. Freeman and Company, San
Francisco.の微分形式の箇所などを挙げておくが、もっと適当な教科書があるかもしれない。

3. Appendix A
ベクトル解析の要点（パワポ３枚程度）

Appendix B
なぜ内積と外積しかないのか？
1. 前提条件（通常の）ベクトル解析の二項関係式には、な

2. 初等的（幾何学的）説明
2.1. （空間の等方性を反映した）スカラー量ベクトル a 、 b から作られるスカラー量を、

f ( a, b )とすると、その双線形性から、

f ( a, b ) = ∑ ai b j f ( ei , e j )ぜ内積と外積しかないのか？なぜこの形しかないのか？また、外積はなぜこのような「変な」形をしているのか？という素朴な疑問について、こるので疑問をもつものではない、疑問を持つこと自体が

(B-2)

i, j

となるが、ここで、

f ( ei , e j )= ei ∗ e j

こで考えてみよう。
（コメント：内積とか外積は「定義」されているものであ(B-1)

とおくことにする。すると、たとえば、

e1 ∗ e 2 =c （あるスカラー）であったとすると、を読む必要はない）

空間の等方性から、座標軸１から見て座標軸２も
座標軸３も特別な方向ではないので、 e1 ∗ e3 =c

（注：内積は、一般の n 次元空間でも定義できるが、以下でもあることがわかる。さらに、

馬鹿げている、時間の無駄であると思う向きの方は以下

では、空間は３次元であるとして話をする。）

これを考える上で、最初に、次のような前提条
件をおくことにする。
［前提 1］ ベクトルの二項関係式は、双線形性（bilinearity）をもつ。
［前提 2］ 空間は等方的である。つまり特別な方向は存在しない。

e1 ∗ ( cos θ e 2 + sin θ e3 ) =c （ θ は任意の角度）であることもわかる。
よって、c ( cos θ + sin θ ) =c

でなければならない。これから、 c = 0 が導かれる（問：これを示せ。
）
同様の考察から、(i ≠ j )（注：位置ベクトルのように空間の異なる２点が関係すei =∗e j 0

ると、空間の一様性が前提条件として必要になるであろとなる。また、空間の等方性から、

うが、ここでは、ベクトルは空間の一点で定義されていe1 ∗ e1 = e 2 ∗ e 2 = e3 ∗ e3

る量であると考えることにする。大げさに言えば、そのであることもわかる。以上より、二つのベクト点での接空間（tangent space）が等方的であると考える

ル a 、 b から作られる（空間の等方性を反映しのである）［前提 3］（通常の）ベクトル解析に出てくるス
カラーとベクトル以外の量は考えない。つまり、テンソルや dyad のようなものは考えない。
このような前提をおくと、スカラー量は内積しかなく、ベクトル量は外積しかないとうことを導くことができる。以下では、このことについて、
2. 初等的（幾何学的）説明
3. 代数的説明の順で説明しよう。

た）(B-1)式のスカラー量、 f ( a, b ) は、通常の内積の記号・を用いて、

f ( a, b ) = λ ab( λ : ある定数 )と書けることがわかる。つまり、スカラー量となるべきものは、（定数を無視すると）通常の内積以外はないことがわかったことになる。
：（問（この問いは解かなくてもよい）ｆ( a, b ) = ( ac )( bd ) としてみると、これは双線形性を満たすが、これに空間の等方性を課すと、ｆ( a, b ) = 0 となることを示せ。＜ヒント：上と同じような記法を用いるとよい。＞ なお、空間の等方性から特別な方向を指す c や d が表式に入っては「まずい」ということから、c または d は
特別な方向を持たない（特別な）ベクトル、 0 でなければならないと言って、証明了としてしまう

この垂直成分はゼロでなければならないことが結論される。これから、a∧a =f (a) aと書けることがわかる。ここで、 f ( a ) は、ス

こもできるが・・）［付記］
より幾何学的な考察を若干付け加えておく（本
質的には全く変わらないが・・）。まず、ベクトカラー量である。また、 a ∧ a は a について双線形性であることから、f ( a ) は、a に関して線形で

ル a 、 b が直交する場合を考えると、上記の議論あることがわかる。さて、この f ( a ) はどんな形と同様に空間の等方性から、をしているのだろうか。すぐ、（素朴に）思いつa ⊥ b ⇒ a ∗b =0となる（注：たとえば、 a に垂直な平面内で二つの直交するベクトルを考える。
）
次に、必ずしも直交していないベクトル a 、bを考えると、双線形性と空間等方性から（係数をくものは、a の絶対値であろう。

f (a) = λ a

しかし、この思いつきはすぐに破たんする。そもそも絶対値をとる演算は線形ではないからである。 a の代わりに −a を代入すると、( −a ) ∧ ( −a ) = λ −a ( −a ) となる。これから、無視すれば）a ∗b =aba ∧ a =−λ a aとなることがわかる。

となり、矛盾することがわかる。

略証（慣用語の説明なし）：

a ∗ b = a ∗ ( b + b ⊥ ) = a ∗ b = ab cos θ aˆ ∗ aˆ

空間等方性から、 aˆ ∗ aˆ =const. となる。

F ( a, b )= a ∧ b

性を使うのがよい。

f ( a ) = a1 f ( e1 ) + a2 f ( e 2 ) + a3 f ( e3 )()

となる。ここで、 c = f ( e1 ) , f ( e 2 ) , f ( e3 ) と2.2. （空間の等方性を反映した）ベクトル
ベクトル a 、 b から作られるベクトルを実際に、この f(a)の形を見るのには、その線形

おくと、

f ( a ) = ca(B-3)とベクトルの内積の形に書けることがわかる。

とおく。二番目の表式は、内積の場合と同様に、

ここで、再度、空間の等方性を使うと、つまり、

単に記述の簡略化のためである。
まず、 b = a の場合、つまりベクトル、 a ∧ a を

空間には a 以外に特別な方向はないということを使うと、 c = 0 となる。以上より、

a∧a =
0

考え、これを a と平行な成分と垂直な成分に分解する（図 B-1）。

でなければならないことがわかる。
もし垂直成分のこれから、容易に、a ∧ b =−b ∧ a

大きさがゼロでないとすると、それは垂直平面内の特定（問：これを示せ。ヒント：( a + b ) ∧ ( a + b ) =0の方向を指し示すと双線形性を使う）

ことになる。しか以上のことから、成分で書くと、し、空間の等方性をa ∧=b

考慮すると、a のみ
から、その特定の方
図 B-1.

ととなることがわかる。

向を決めることができない。よって、( a1b2 − a2b1 ) e1 ∧ e2 +( a2b3 − a3b2 ) e2 ∧ e3 + ( a3b1 − a1b3 ) e3 ∧ e1

となる。ここで、ベクトル、 e1 ∧ e 2 の成分で e1（コメント：ベクトル積の反対称性について、ある種のと e 2 のなす平面に垂直な成分、つまり e3 方向の成

心理的抵抗があるかもしれないが、これは、 a × a =0と分を λ とすると、いう性質（と双線形性）からの必然的な結果であり、ベe1 ∧ e 2 = λe3 + ( e1とe 2のなす平面内のベクトル )と書ける。ここで空間の等方性を考えると、クトル積の反対称性は、使うときに便利な性質であると思うと抵抗感が減るであろう。）

e 2 ∧ e3 = λe1 + ( e 2とe3のなす平面内のベクトル )e3 ∧ e1 = λe 2 + ( e3とe1のなす平面内のベクトル )となることがわかる。
（問：この順番で合っていることを、空間をイ

3. 「代数的」説明
3.1. スカラー量(B-2)式は、f ( a, b ) = ∑ ai b j f ( ei , e j )メージして確かめよ）
次に進むのに、基底ベクトルのままで議論してもよいが、以下のようにした方が簡単であろう。

i, jであるが、ここで、

f ( ei , e j ) = g i ja ∧ b を a と b がなす平面内の成分と、それに( )とおき、行列、 G = gi j を

垂直な成分に分解すると、

a ∧=b f (b ) a + g (a) b + λ (a × b )となる。ここで、 f 及び g はスカラー関数であり、a × b は通常の外積を表わす。このように表されることは、 a と b がなす平面内に e1 と e 2 をとって考えれば、容易にわかる。

b ∧ a =f ( a ) b + g ( b ) a + λ ( b × a ) =−a ∧ bとなるので、 g ( a ) = − f ( a ) であることがわかG= GS + G Aと対称行列と反対称行列に分解する。つまり、GS =( G + GT ) 2 ,とする。 G S は対称行列であるので、適当に座標変換（直交変換）をすれば、対角化できる（なお、ベクトル a, b もこの座標変換に合わせて変換される）。

る（注：暗黙に a と b は独立であると仮定してい λ1

GS = 
λ2る。独立でない場合はそもそも a ∧ b =0 であるので議論は不要。
）よって、スカラー関数、f に関して以前と同様の議論をすると、a=∧b( cb ) a − ( ca ) b + λ ( a × b )GA =( G − GT ) 2




λ3 

しかし、空間を等方的であるとしたことから、となる。ところが、 a と b 以外には空間に特別な方向がないことから、（任意の a と b に対してすべての対角成分は、等しいことがわかる。よっ
て、

1



GS = λ  1 

1 


成り立つためには） c = 0 でなければならないことがわかる。ちなみに、この式はa ∧ b =c × ( a × b ) + λ ( a × b )とも表わすことができる。この形にすると、となる。この行列は単位行列（の定数倍）であることがわかったので、元の座標に戻しても単位

c = 0 となることは見やすい。
以上より、双線形性と空間の等方性を仮定する

行列のままである。つまり、適当な座標変換は不と、二つのベクトルから作られるベクトルは、外要であって、最初から対角化されていたことがわ

積の形しかないことが結論される。つまり、

F ( a,=b ) λ (a × b )(B-4)

かる。よって、ベクトル a 、 b も変換前と変わらないとしてもよい。また、このことは、変換行列を P とすると、

T
G S b ( a G S b )a=a=i b j G S ij
T= a=
P P T G S P P T b aT P λ I P T b= λ=aT b λabc3−c1

かもしれないが・・・。）よく知られているよう
同じことであることに注意すると、空間の等方性から、一つの主軸は、もしそれが特別な方向に向いているとすると、 e1 と同じ方向であるというこ

−c2 

c1 
0 

0

う（注： もうすこしエレガントな議論ができるに、対称行列の対角化と二次形式の主軸変換とはとなり、式の変形からもわかる。
反対称行列、 G A は、

 0
G A =  −c3c 2となる。ここで以下のように考えることにしよとがわかる（ e1 は G1 S に関しては特別な方向であるから）。つまり、最初から主軸の方向が基底ベと表わすことができるので、クトルの方向であったことがわかる。また他の二a G A b = a G A b

つの主軸は、等方的であることから、少なくとも
λ2 = λ3 であることもわかる。ここで、T= a( b × c )= c( a × b )となる（なお、外積は数ベクトルとしての外積である。
）以上の議論をまとめると、となるが、上式の右辺の第二項は空間の等方性を考えるとゼロとなることがわかる（それは、空間が等方的であるとすると、特別な方向をもつベ
クトル、 c は存在しないからである。
）
したがって、空間の等方性を仮定するすると、本質的なスカラー量は、内積、 ab しかないこと

FS ( a, b ) = e1∆µ1 a1b1 + e 2 ∆µ2 a2b2 + e3 ∆µ3 a3b3
+ ( ab )( µ1e1 + µ2e 2 + µ3e3 )と書ける。ただし、 ∆µ 2 、 µ 2 等は、上記の e1の場合と同じ意味を持つ量とする。この式は、とも書ける。ここで、F ( a, b ) = ∑ ai b j F ( ei , e j )となるが、ベクトルの成分で書くと、右辺は、∑ a b F (e , e ) = e ∑ a b G (e , e )
i

FS は、

i

ベクトル量, F ( a, b ) は、双線形性を使うと、

jとを行うと、 F ( a, b ) の対称行列に関わる部分、FS ( a, b ) =∑ ei ∆µi ( aei )( bei ) + ( ab ) cf ( a, b ) = λ ( ab )3.2. ベクトル量i∆µ1 = λ1 − µ1とおき、e 2 , e3 に関する項についても同様のこf ( a=, b ) λ ( ab ) + c × ( a × b )がわかる。

µ1 = λ2 ,

j

1

i

j

1

i

j

+e 2 ∑ ai b j G2 ( ei , e j ) +e3 ∑ ai b j G3 ( ei , e j )c = µ1e1 + µ2e 2 + µ3e3である。
よって、空間の等方性から（特別な方向をもつベクトル c は存在し得ないので）FS の最後の項は消えることがわかる。それ以外の項についても、
基底、e1 、e 2 , e3 は特別な方向として残っているので、同様に消えることがわかるが、次のように考えるとよりはっきりするであろう。ベクトルa 、 b として、となる。初めに、今までの議論と同じように、=a (=a1 0 0 ) . b
G1 を対称行列、 G1 S と反対称行列、 G1 A に分解
し、 G1 S を対角化すると、

 λ1

λ2
GS = 

( 0 b2b3 )を考えると（ a ⊥ b であるので）
、




λ3 

FS ( a, b ) = 0になることがわかる。
FS なる量は、空間の等方性から、a と b の間の関係のみで決まるはずであるが、 a ⊥ b という直交関係を維持したまま、すこし回転したとすると（または基底ベクトルをすこし回転したとすると）、明らかに、FS ( a, b ) ≠ 0 であることがわかる。

FS は（等方的な空間内の）ベクトル量であるので、このような操作でゼロになったり、ゼロでなくなったりするのはおかしい。これから、FS は恒等的にゼロでなければならないことがわかる（または∆µ1 等がゼロであることがわかる。）
以上の議論から、 F ( a, b ) に関係する行列、 G1

等は反対称行列であることがわかる。スカラー量の時と同様に、 GA を、

 0
G A =  −c3c 2

c3 −c2 0
c1 −c1 0 のような形で表すと、 e1 に関する項は、a( b × c1 ) e1 =c1 ( a × b ) e1のように書けることがわかる。ここで、

c1 = ( c11 c12c13 )とする。すると、 F ( a, b ) の数ベクトル（成分ベクトル）は c11 c12F ( a, b ) =  c 21 c 2 2
 c31 c32

c13   d1  
c 23   d 2 
c33   d3 のような形に書ける。ただし、

d=

( d1

d2

d3 )= a × b

とおいた。
今までの議論と同じように、この行列を対称行
列と反対称行列に分解して、対称行列について
は、空間の等方性を考慮すると、F ( a, b )= λ ( a × b ) + ( a × b ) × cのような形になることがわかる。
空間の等方性から右辺の第二項は消えるので、最終的に、F ( a,=b ) λ (a × b )となることがわかるのである。

は、vector part と呼ばれるのである。また、p = p

Appendix Cのとき（つまり、p0 = 0 のとき）
、pure imaginary

四元数と二つの短い挿話と呼ばれる（複素数の pure imaginary（純虚数）を真似て・・）。さらに、（この言葉づかいからわ
かるように） p0 は、scalar part と呼ばれる。

1. はじめに本講師は、歴史に疎いが、内積と外積は、ベク
トル解析の創始者（の一人）とである Gibbs がHamilton 四元数の積の公式から有用なものとして取り出したものであると言われている（歴史に興味のある方はウェッブ等で調べてみられるとよい）。そこで、まず、この四元数について簡単に紹介しておこう。また、次の節で、息抜きとして二つの挿話を入れておいた。

(C.1)の i, j,k に関する関係式を使うと、 p と q の積は、

p=q p0 q0 − pq + p0q + q0p + p × qとなる。ただし、ここで、pq 及び p × q は、p とq を普通の３次元ベクトルと見なしたときの内積及び外積である（問：これを示せ）。
これから、 p 、q が pure vector であるとすると、
つまり、
=
p p=
, q q であるとすると、

p q =−pq + p × q

2. 四元数の簡単な紹介
複素数は、a + bi と表わされ、（ゼロによる割り
算以外の）四則計算が自由にできる（つまり体（field）をなす）。複素数は、実数と虚数の二つの数からなる「二元数」であると考え、この二元数を拡張しようとした時に、四元数が産み出されたのである。拡張した数が（複素数と同じように）四則演算が可能であるようにしようとすると（体（field）しようとすると）、三元数ではだめで、四元数まで拡張する必要があり、また次のような関係式が成り立つ必要があるということを
Hamilton が発見した。しかし、「残念なことに」、となることがわかる。これから、Gibbs は、pq と
p × q を別々に取り出して、ベクトル解析で有用な量としたということである。
なお、複素数の共役数を真似て、四元数 p の共役数は、

p = p0 − p1i − p2 j − p3k = p0 − pと定義される。これを使うと、=
p p p0 p0 + pp= p0 p0 + p1 p1 + p2 p2 + p3 p3 ≥ 0となる（問：これを示せ）。また、これがゼロになるのは、 p = 0 の時のみ。よって、 p ≠ 0 であ
2

p
れば、=

2

p p p =1

二つの四元数の積は交換関係を満たさないのでとなるので、 p の（積の）逆元、 p −1 が、ある。
四元数 p を、

p −1 = p p

p = p0 + p1i + p2 j + p3kとすると、 i, j,k には、
i i = j j = k k = i jk = −12と求まることがわかる。さらに、 p = 1 であるとすると、という関係になることを Hamilton が示した。こ
れから、

ij=
− ji =
k , jk =−k j =i,ki =−i k =
jp0 p0 + pp とすると、(C.1)となることがわかる（問：これを示せ）。いま、
もう一つの四元数 q を、

q = q0 + q1i + q2 j + q3kとしよう。ここで、

p = p1i + p2 j + p3k , q = q1i + q2 j + q3k

p −1 = pとなり、複素数の場合と同じになる（ z = eiθ とすると、1/ z = z である）
。以上から、（上の計算
で加法については、暗黙のうちに四元数が群をなすこと（加減算が四元数の中で自由にできること）を想定していたが）積についても p ≠ 0 を除けば、群をなすことがわかる。以上から、四元数が体（field）をなすことがわかる。
いずれにしろ、以上のことからわかるように、四元数の計算の中に、内積と外積が自然な形で表れてくるのである。ただし、0 次元目の基底１はス

カラーの１と同じであるので、内積のスカラーとベクトルが混在していることに違和感をもつかもしれない。これを解消するためには、または四元数を「普通の言葉」で理解するためには、以下の対応を考えるとよい。
よく知られているように、パウリ行例は以下のような性質を持っている。
(C.2)

1, σi σ j =σi =−σ j σ i =i σk2（ただし、 i, j , k は 1,2,3 の cyclic 置換）
具体的には、

0 1
 0 −i 
1 0 
=σ 1 =
 , σ2  = , σ3 
1 0
i 0 
 0 −1

ここで、さらに、 p = 1 とすると、 n をある単位ベクトルとして、

p = ( cos ϕ , sin ϕ n )と書ける（問：これを示せ）ので、 pap の vector
parts は、

sin 2 ϕ ( na ) n + cos 2 ϕ a+2 cos ϕ sin φ n × a + sin 2 ϕ n × ( n × a )となる。これは、なんとなくベクトル、 a の回転に似ていることがわかる。少し形を整えると（どのように整えてもよいが・・）、( na ) n + cos 2ϕ n × ( a × n ) + sin 2ϕ n × aであるが、この表現は特に必要ない。(C.2)の交換となる。ここで、 a の分解、れば、次のようにパウリ行列と四元数、(1, i, j, k )を使っている。以上をまとめると、(関係をにらむと、両辺に −1 = ( −i ) ⋅ ( −i )

) をかけとの対応（同一視）ができることがわかる。

 I 
1


 
 i  ⇔  −iσ 1  −iσ 2 
 j


 
k 
 −iσ 3 

( I : unit matrix )つまり、この対応によって、四元数、 p を

p = p0 I + p1 (−iσ 1 ) + p2 (−iσ 2 ) + p3 (−iσ 3 )(C.3)と考えるのである。
次に、（話は若干、天下り的であるが・・・）
四元数を使った回転を考えてみよう。いま、二つ
の四元数、

=
p

θ
θ 

p =  cos , sin n 22 として、 pap の vector part、 a′ を求めると、=
a′ ( na ) n + cos θ n × ( a × n ) + sin θ n × aとなり、ベクトル、a を（単位）ベクトル、n の周りに角度、 θ だけ回転させたベクトルが得られることになる。
いま、四元数、 n を、

n = ( 0, n )

とすると、

n2 =
− (1, 0 )( −n2 , 0 ) =となるので、
θp = e2nと（形式的に）表すことができる（注：この種の記

p a =( −pa, s a + p × a )となるが、さらに、これに、

p′ = ( s′, p′ )を右からかけると、

p a p′ =−( s′ pa − sap′ − ( p × a )p′ ,− ( pa ) p′ + ss′ a + s′p × a+ s a × p′ + ( p × a ) × p′ )ここで、 p′ = p とすると、( 0 , ( pa ) p + s 2a + 2s p × a + p × ( p × a ) )となる。

( na ) n + n × ( a × n )s, p ) , a ( 0, a )(=の積を求めると、

=
pa p

=
a

法における定義と同じように、右辺は、指数関数を Taylor
展開したものとして定義する）。つまり、
θ

−θ

n

=
pap′ e 2 a e 2( a′ ) =nとなる。さらに、vector part に着目すれば、
θ

−θ

n

a′ = e 2 a e 2nと表される。ただし、計算はすべて、四元数としての計算規則に従って行うのである（なお、n を四元数と見なせば、 n = n である ）。
Pauli 行列との対応で言えば、

e

θ

n

−i

θ

σ n

⇔ e 2
となる。ただし、左の項の n は四元数で、右側の n は普通のベクトルである。ちなみに、四元
2

数の vector part を Pauli 行列の具体的表現で表すと、−i( x +z iy x−−ziy )となる。だんだん、どこかで見た表式がでてきた
ところで、ここでの話は終わりとしよう。（注：
上で求めた回転の式は、ベクトルを空間内で実際に回転した場合のものであることに注意。座標系の回転の場合
には、
−θ

p e2
=

n

i

θ

⇔ e2

σ n

となる）。
（注： 2.10 に出てきた、Euler 角と p 数の関係は、
notation を合わせるために、ΦΦ p =  cos , sin n 
2
2 

とすると、


θ
θ ψ −φψ + φ 
p =  cos cos , , sin sin
2
2
2
 2 

θ
ψ −φ
θ ψ +φ 
sin cos, cos sin

2
2
2
2 
となる（問：これを示せ））。

3. 二つの短い挿話（小話）＜個人的な追憶＞高校時代、高校の物理は味気ない感じがして化学の方が好きであったが、大学初年の初めの化学（有機化学？）の授業で、チンプンカンプンのシュレーディンガー方程式が突然出てきて、これは与えられたものとして受け入れなさいという趣旨の話があり、これを契機に化学が嫌いになった。当然、その後の授業には出席していない。もっとも、悪い先輩がいて、大学の授業は出るものではないと教えられたので、その有難
い教えに従って、その他の授業もほとんどサボったように記憶している。しかし、この化学の授業でもう少し説明をしてから、受け入れなさいと言ってもらえれば、化学は好きなままであったかもしれないのだが・・。曰く、「この方程式は「不条理」の方程式であるので、なんだかんだともっともらしい理屈をつけても、所詮は理解できない（直感的には理解できない）。よって、結果的には受け入れるしかない」と・・・

この小節で取り上げようとしているのは、紙面を汚すような「個人的な追憶」ではなく、一つはHamilton に 関 す る も の で 、 も う 一 つ は 、Schrodinger に関するものである。

Hamilton が四元数を発見した挿話は有名であるので、周知の方も多いであろう。また、ネット
サーフィンすれば、すぐに見つかる（多分、全部がほぼ同じ内容の短い話であろう）。Hamilton は十年以上にわたり、1 と i から構成される（二次元の）複素数を三次元に拡張しようと努力をしてきたが、全部、徒労に終わっていた。しかし、時は、1843 年 10 月 16 日の朝、the Royal Society of
Dublin（アイルランド）の会合に出席するため、
Hamilton は 奥 さん と 一緒 に 運 河 （ the Royal
Canal）に沿って歩いていた。Brougham Bridge（現在の名称：Broom Bridge）という橋に差しかかったその時、（三次元ではなく）四次元の拡張
である四元数（quaternion）が頭を過ぎり、これを発見したということである。そして、直ちに、

i i = j j = k k = i jk = −1という関係を橋に刻み込んだというのが、その挿話である。そして、その後、亡くなるまで、四元数に入れ込んだということである。
この四元数の世界から、ベクトルの内積と外積を取り出して、ベクトル解析を創始したのが、Gibbs（米国）と Heaviside（英国）であると言われている。なお、pure imaginary の四元数、

p = ( 0, p ) と q = ( 0, q ) をかけると、pq =( −pq, p × q )となり、ベクトルの内積と外積しか出てこな
い。また、Gibbs がベクトル解析を作った背景には、グラスマン代数の Grassmann のアイデアやMaxwell 方程式をわかりやすくしようという試みがあったということである。
一方、我々にとって（大多数の者にとって）、
Hamilton と言えば、Hamiltonian のことであり、力学の多くの問題は、Hamiltonian がわかり、
Hamilton の運動方程式が解ければ、解決すると言っても過言ではない（しかし、これは若干、言い過ぎで、一般には、Lagrangian を求めて、
Lagrange の運動方程式を解く方がよいのであるが・・）さらに、Schrodinger 方程式にも、

i

∂Ψ
= HΨ
∂t

と Hamiltonian が登場する。そして、固有値問題、H Φ = EΦが解ければ、量子力学の多くの問題が解決するのである。（何で読んだかも忘れたので記憶が怪しいが）Schrodinger が Schrodinger 方程式の着想を得たのは、若いガールフレンドと一緒にスイス

を旅行している時であったとのことである（Schrodinger も若かったが、自宅には奥さんがいたとのこと）。さらに、Schrodinger の後年の私生
活は、「事実は小説より奇なり」を地でいくようなものであったようである。イギリス風の紳士の世界とは相容れなかったようである（多分、日本でも（芸能人以外は？）×であろう。だから、このようなことは、（日本の）大学では教えないのであろうか）。なお、他人の私生活に興味のある方は、たとえば、Ian Stewart ; Why Beauty Is
Truth: A History of Symmetry などを参照されたい。
明らかに現代の社会に、より多くのインパクトを与えたのは、Schrodinger 方程式の方であったことは言をまたないであろう。しかし、何代もの時代を経た後には、Hamilton の四元数の方がより大きなインパクトを与え、生き延びるかもしれな
い・・・？

Appendix D∆f ( x1 , , xn ) ≈微分とテーラー展開∂f∂f∆x1 +  +
∆xn
∂x1
∂xn

そして、無限小になって、初めて等号が成立す

1. はじめにるという説明である。「日常の生活」では、この

この Appendix D では、役に立つと思われる微分とテーラー展開について初等的な説明をする。
とは言え、内容は完全に大学初年度程度であるので、読むには値しないかもしれないが、飛ばし読
みでもすれば、復習にはなるかもしれない。なお、
最後に、ベクトルを、ような考え方で全く支障は生じることはないのであるが、無限小とは何かということを深く考え始めると、実数とは何かという問題になり、絶望の淵に立たされることになるであろう。それは通常の数の世界（今の場合には実数の世界）には無限小の量という概念がうまくマッチしないためである。しかし、(D.1)の意味を解釈し直すことで、

∂
∂
=
v v1
+  + vn∂x1∂xn

このような深遠な暗黒の世界を避けることがでと表わしておくと「便利」であることを示しておたは、実用的になると言ってもよい）。その解釈

き、かつその意味も単純、明快になるのである（まいた。

とは、(D.1)は、ある点、x = ( x1 ,  , xn ) での「接2. 微分（Differential）

線」を表わすものとするのである。もっと「格好我々は、微分を（独立変数の）微小変動による（従属変数の）変化量の極限（微小変動を無限小変動にもっていったときの変化量）であると習った（と思う）。このことから、以下のような微分に関する（非常に）重要な性質が導かれる。

よい」表現を使えば、その点での（平らな）接平面（tangent plane）上の式であると解釈するのである（コメント：各点、 x で接平面、 En をとるとい(うことは、空間を拡大して、空間、 x , En

) を考えるということになるが、我々は、ここでは、そのようなことまでは考えないことしよう）。
以上のように考えると、

dxi 等は無限小である必要はなく、勝手な有限な線形性（linearity）

df ( x1 , , x=
n)

∂f
∂f
dx1 +  +
dxn
∂x1
∂xn

(D.1)

d は何か（無限小の）微小量を示すものでなく、(D.2)

合成関数の微分（chain rule）

ddF df
F ( f ( x )) =
dx
df dx

微分としては、上の三つの性質だけで、多分、十分であろうが、(D.1)については、若干、説明がいるかもしれない。この式は、無限小について成り立つ式で、 dxi 等が有限の微小量の場合には、近似的しか成り立たないというような説明がよくなされる。

大」で拡大して有限な量にするという宇宙論よりすごい
インフレーション理論は不要である）。さらに、記号、ライプニッツ則（Leibnitz’s rule）

d ( f ⋅ g ) = df ⋅ g + f ⋅ dg

量とすることができる（蛇足：無限小を増幅率「無限線形化を表わしているものとするのである。とは
言 え、 時には 、微 小量と 思う と便利 では あるが・・・。
(D.1)の微分の線形性は、初等的でかつ明らかで何かを言うまでもないと思われるであろうが、それが意味することを再度、深く感じとることは無駄ではないであろう。この線形性は、何かの自然法則によるものではなく、

f = f ( x1 , , xn )という何かの関数関係（微分可能性は仮定）があれば、線形性が成り立つということである。たとえば、要因、 ( x1 , , xn ) と結果、 f に何らかの関数関係があると仮定して、実験したとしよう。

もし、要因の量、 ( x1 , , xn ) を、わずかに変化させた時の結果が、変化量に線形に応答しない（比

d
D ∂
=
=
+ ( q ⋅∇ )dt Dt ∂t

例関係にない）と（明らかに）わかったとすると、

また、（若干、余分かもしれないが）
、

∂ D
D ∂
=
∂qi Dt Dt ∂qi

もう、これ以上、実験しなくとも、

f = f ( x1 , , xn ) という、いかなる関数関係も一切ないと判定することができるのである（余分なコ
メント：この実験では、物理法則等の自然法則などとは無関係に、何らの関数関係がないと結論づけることができるのである）。この実験では、線形化を用いているので、議論が精密ではないような印象を与えるかもしれないが、次のような時間微分を考えると、この議論が精密化して見えるであろう。

∂f dx1∂f dxndf+ +xn )( x1 , ,=∂x1 dt∂xn dtdt= f1 x1 +  + f n xnつまり、上のように関数関係があるとすると、結果の時間変化は（要因の）時間変化（速度）に（完
全に）比例しているということになる（たとえば、化学反応のようなものを想定してもよいかもしれない）。比例関係（一次依存性）がないとわかった時点で、どんな関数関係を見つけようとしても無駄であることがわかるのである。話は少し飛ぶが、力学で、座標、 r を一般座標、 qi で表わすと、

r = r ( q1 , , qn )
∂r
qi
i ∂qi

r = ∑となるが、速度の線形性から、∂r ∂v ∂r= =∂qi ∂qi ∂qiという関係も得られる。（余分なコメント：以上では、
しつこく線形性を強調してきたが、もし、関数、 fが複雑な式であるとすると、その複雑さは、微係数、 ∂f∂xiの複雑さに反映されて、物事は、単純な（定数の）比例関係ではなくなることに注意。）

次に、Leibnitz 則について、若干、説明しておこう。
「⋅ 」
Leibnitz 則、(D.2)の中の関数のかけ算記号
は、単なる数のかけ算と同じものであるが、このLeibnitz 則が成り立つのは、このかけ算が、f とg について（双）線形性が成り立つからである。
よって、双線形性が成り立つかけ算であれば、どのようなもの（ベクトルの内積・外積、wedge 積等）でも、Leibnitz 則が成り立つのである。この
単純で明らかなことも重要な性質である（外微分は、微分に wedge 記号をつけたものであるので、(D.2)のLeibnitz 則はそのままでは成り立たない）。

また、微分、 d を=
d d f + dgのように、 f のみの微分、 d f と g のみの微分、

d g にわけて、d ( f ⋅ g ) = (d f + dg ) ( f ⋅ g )= d f ( f ⋅ g ) + d g ( f ⋅ g=)

(d f ) g + f d g
fgのように計算してもよい。また、 d f と d g は明らとなる。この一見、奇妙な式（微分の線形性から
かに可換である。
は明らかであるが、初めて見た時には奇妙に思え
d f dg = dgd f
たであろう式）は、ニュートンの運動方程式をラグランジュの運動方程式に変換する際に役に立（問：これを示せ。）
つものであった（これは、Lagrangian から直接、 このことから、n導く場合には不要であるが・・）。
nnd n = d f + d g =   d f n−k d g k
なお、関数、 f が（顕わに）時間に依存する

(

場合には、

∂f ∂f dx1
∂f dxndf+ +( t , x1 , , xn ) = +dt∂t ∂x1 dt∂xn dtとなることは周知であろう。また、これを書き換
えると、Lagrange 微分の表式が得られる。

) ∑k
 
k =0

となる。よって、

d n ( f ⋅ g ) n  n  d n−k f d k g= ∑ 
n−k
dx k
dx n
k = 0  k  dx。となる（実用上、時々、役に立つ関係式である）

さて、コーシーの定理の応用で、実用上、最も有用なものは、ロピタルの規則（l’Hospital’s rule）
であろう。

（問：
（解かなくてよいが・・）、

d ( f1 ⋅ f 2 ⋅ f3 ) d ( f1 ⋅ f 2  f m )
,
dx n
dx n
n

n

まずは、

は、どのようになるかを示せ。
）
次に、平均値の定理等、実用上、有用な公式等を説明しよう。
（ 超 ） 有 名 な 平 均 値 の 定 理 （ Mean Value
Theorem）は、

f (b) − f ( a )= f ′ (ξ )b−a( a < ξ < b)(D.3)

で与えられる。また、この証明には、ロールの定理（Rolle’s theorem）を使うのであった（注： これと中間値の定理（intermediate value theorem）とを混
同しないこと。（このようなことを聞くと）、この他にも最大値・最小値の定理があったという記憶が呼び起こされるであろう。なお、これらの基本的な定理は感覚的には明らかなものばかりであるが、位相を少し勉強すると、明確かつ簡潔に把握することができるのである。）

この平均値の定理の拡張は、コーシーの平均値の定理（Cauchy’s mean value theorem）と呼ばれるもので、

f ( b ) − f ( a ) f ′ (ξ )=g ( b ) − g ( a ) g ′ (ξ )(D.4)

である。若干、乱暴な証明は、 g = g ( x ) をひっ
くり返して（逆関数があると仮定して）、平均値の定理、(D.3)の x を g に置き換えるのである。
すると（記法も正確ではないが）、f ( b ) − f ( a ) df=
(ξ )g ( b ) − g ( a ) dg

すると、0型で、(D.4)で f=( a ) g=(a) 0 と0f ( x)f ′ (x )= lim
x →a g ( x ) x →a g ′ ( x )
lim

0
0

となる。右辺が依然として、 型であれば、これを左辺に入れて繰り返すのである。

∞
型の場合には、∞

g ′ (x )1
2
f ( x)g ( x)g (x )
= lim
= lim
lim
x →a g ( x )x →a 1x →a f ′ ( x )2f ( x)f (x )g ′ (x )x →a g x x →a f ′ ( x )
( )

= lim

f ( x)となり、(D.4)が得られる。きちんとした証明は、平均値の定理、(D.3)と同じように、F=( x) f ( x) − f (a)−f (b) − f ( a )( g ( x ) − g ( a ))g (b) − g ( a )として、これにロールの定理を適用すればよい。

2

lim
2

とし（注：二番目の等式にコーシーの定理を適用している）、これから、この場合にも、

f ( x)f ′ (x )= lim
x →a g ( x ) x →a g ′ ( x )limとなることがわかる。

x → ∞ 型の場合、 y = 1

として、x
f ( x)f (1 y )lim= lim
x →∞ g ( x )y → 0 g (1 y )f ′ (1 ζ )となる。右辺は、

df
f ′ (x )df=x ) dx(=dg g ′ (x )
dg
dx

(D.5)

f ′ (x )
ζ2
= lim
= lim
ζ →0 g ′ (1 ζ ) x →∞ g ′ (x )ζ2なる。よって、この場合にも、似たような形に書けることがわかる。

f ( x)f ′ (x )= lim
x →∞ g ( x ) x →∞ g ′ ( x )lim

まとめると、どの場合でも、(D.5)の表式で計算すればよいことがわかる。

なお、これを不用意に適用するとまずい場合があり、それは、右辺の微分が振動したりする場合である。典型的な例としては、たとえば、

1 + cos x
x + sin x
lim
= lim
x →∞
x →∞
1
x

b

b

b

a

a

a

∫ m ρ ( x ) dx < ∫ f ( x ) ρ ( x ) dx < ∫ M ρ ( x ) dx
よって、bなどがある。よってこの場合には、上の式が成り立たないとするのである（実際には、極限値は、１であると簡単に求まるのであるが・・・）。（コ
メント：「変な例」をいくつか持ち出して、式が成り立∫ f ( x ) ρ ( x ) dx < M∫ ρ ( x ) dx

m< a

a

となる。ここで、b∫ ρ ( x ) dx > 0

たない、よってロピタルの規則は危なっかしいので注意が必要とよく言われているようである。しかしながら、aであることを使っている。ここで、中間値の定理
を f ( x ) に適用すると、(D.7)が得られる。

次の式は、依然として成り立つのである。

f ′ (x ( x ) )f ( x)lim= lim
x →a g ( x )x →a g ′ ( x ( x ) )

b

(D.6)

ここで、 ξ は x に依存するということを明記した。そ積分の（第二）平均値定理（(second) Mean
Value Theorem for Integration）は、b∫ f ( x ) g ( x ) dx
して、この x ( x ) が（多価で）不連続な振る舞いをして、(D.8)
x
たとえば、一見、 f ′ の振動しているように見える項が= f ( a ) ∫ g ( x ) dx + f ( b ) ∫ g ( x ) dxxab

漸近的にある値に収束するのである。いずれにしろ、変な例でも式は正しいのであるが、極限値は簡単には求まらないので、実用的ではないのであるが・・・。変な例aで与えられる。ここで、これが成立するために必要な条件として、以下のような簡単な仮定をおくこも含め、(D.6)は成立しているということがあまり言われていないように思われる。なお、この x( x ) の振る舞いとにする。 g ( x ) は連続で、 f ( x ) は C 1 （連続微分可能）でかつ f ′ ( x ) は区間、 a < x < b では、かなり面白いのであるが、あまりにも脇道に逸れてゼロにはならないとする。証明は以下のとおりでしまうので、ここまでとしよう。）

ある。まず、

この節は、微分の話であるが、平均値の定理に話が及んだので、積分に関する平均値の定理にも一 言、 触れて おこ う（そ れを 次節で も使 うので・・）。
まずは、積分の（第一）平均値定理（(first) Mean
Value Theorem for Integration）で、
b

b

a

a

∫ f ( x ) ρ ( x ) dx = f (x ) ∫ ρ ( x ) dxx

G ( x ) = ∫ g ( x ) dxaとおき、(D.8)の左辺を部分積分すると、
b

b

b

a

a

a

( x ) g ( x ) dx f ( x ) G ( x ) − ∫ f ′ ( x ) G ( x ) dx
∫ f=となるが、右辺の第二項に、(D.7)を適用すると、(D.7)

である。ここで、ρ ( x ) は連続で、区間、a < x < b
でゼロにはならないとし、また f ( x ) は連続であるとする。

証明は簡単で、連続関数、 f ( x ) の最小値と最大値を m と M とすると、

m < f ( x) < Mである。また、 ρ ( x ) は連続でゼロにはならないので、常に正か負である。いま正と仮定すると（負の場合の証明も同様）
、

右辺は、
b

f ( b ) G ( b ) − G (x ) ∫ f ′ ( x ) dx
a=f ( b ) G ( b ) − G (x ) ( f ( b ) − f ( a ) )= f ( a ) G (xx) + f (b ) (G (b ) − G ( ))となり、(D.8)が得られることがわかる。さらに、

f ( x ) は、区間、 a < x < b で減少関数であり、かつ正であるとすると、最後の式は、

f ( a ) ( G (ξ )(1 − t ) + G ( b ) t )と書ける。ただし、 t = f ( b ) f ( a ) とおいた。
ここで、 t は、 0 < t < 1 であるので、上式のカッ

コの中の値は、 G (ξ ) と G ( b ) の中間の値をとるはずであるので、中間値の定理から、この値は、

ただし、（細かいことを言えば）ここで、f ( x ) は、条件の下では、(D.8)は、

C n +1 級であるとしている（ C n +1 ： n + 1 階まで連続微分可能（ f n +1 が存在して、かつ連続））。
また、a = 0 の場合をマクローリン（Maclaurin）

G (ξ1 )

(ξ < ξ1 < b ) と求まる。よって、この

b

x1

a

a

∫ f ( x ) g ( x ) dx = f ( a ) ∫ g ( x ) dxのようにも表わされることがわかる。

3. テーラー展開（Taylor Expansion）「もしテーラー展開がなかったとしたら、解析の分野は貧しいものになったであろう」と数学者展開と言われることも周知であろう。
さて、以上のテーラー展開の形は誰もが知っているであろうが、上式の中の剰余項、 R については、誰でも、ということでないであろう。多分、
最も簡単な R の表式は、たとえば、(D.9)では、R=に言わせるほど、テーラー展開は非常に重要で、かつ実用上もたいへん役に立つものである。この誰もが知っているテーラー展開をわざわざここに書くまでもないであろうが、参考のためいくつかの型を挙げておこう。

f ( x=) f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) +1
2
f ′′ ( a )( x − a )2

1
3
f ′′′ ( a )( x − a )3!
1 nn+   + f ( ) ( a )( x − a ) + R
n!
+

(D.9)

1
n +1
n +1
f ( ) (xx)( x − a ) , ( a < < x )( n + 1)!

であろう。この表式は確かに正しいのであるが、‘（一般的には） ξ の正確な値を誰も知り得ないという欠点がある。
「正確な」表式は、たとえば、(D.10)の形で書けば、

R
=

1 b
n
( b − t ) f ( n+1) ( t ) dt∫
an!

(D.12)と与えられる（記憶力のよい方は覚えているかもしれないが・・）。なお、この式の特徴は、 f n +1 が積分区間で大きく変動しないとすると、 n が大きくなるとともに、 R への寄与はほとんど、 aの近傍付近の振る舞いによって決まるというものである。
このように誰もが知っているテーラー展開で

f ( b=) f ( a ) + f ′ ( a )( b − a ) +1
3
f ′′′ ( a )( b − a ) +   
3!
1 nn+ f ( ) ( a )( b − a ) + R
n!

12f ′′ ( a )( b − a )2+

1
f ′′′ ( a ) h3 +   
3!
1 n+ f ( ) ( a ) hn + R
n!
+(D.11)

いる方はそう多くはないかもしれない。そこで（一つのやり方でしかないが）その導出を以下に与えよう。出発点は、明らかな式、bf=( b ) f ( a ) + ∫ f ′ ( t ) dtaからである。これに積分法の最も強力な手段、(D.10)f ( a + h=
) f (a) + f ′(a) h +はあるが、その導出はどうなっていたかを覚えて部分積分法を上式の右辺の第二項に次々と適用

1f ′′ ( a ) h 2
2することでテーラー展開が得られるのである。まず、 f ′ ( t ) の前に「隠れている」 1 の積分には、

t , t − a, t + c 等、いろいろあるであろう。どれを採用しても「それなりの」テーラー展開が得られるのであるが、最もシンプルに「本来の」テーラー展開を導くには、若干、変な形の積分、− ( b − t )を採用するのがよい。こうすると、第一段の部分
積分は、

b

f ( b=) f ( a ) − (b − t ) f ′ (t ) a

味ではなく）極限をとる（極限値を求めて代入する）という通常の無限級数の表記で用いる数学的操作を意味しb+ ∫ ( b − t ) f ′′ ( t ) dtab

= f ( a ) + f ′ ( a )( b − a ) + ∫ ( b − t ) f ′′ ( t ) dtaとなる。後は、同様に機械的な計算を繰り返せば、ている。より正確には、「 +」の意味は、と言った方がよいかもしれない。）。しかし、一般には、n → ∞で R → 0 とはならないので、上式の等式は成立
しないのである。この反例の代表的な例は、

0f ( x ) =  −1 x
e(D.10)が得られ、剰余項も(D.12)で与えられることがわかる。
なお、この剰余項の評価として、以下のものがある（ただし、 a < ξ < b とする）。

( b − a ) f ( n+1) ξ
Rn +1 =
( )( n + 1)!
n +1

[ Lagrange]

これは、(D.12)に積分の（第一）平均値定理を適用すれば、直ちに得られる（問：これを示せ）。

( b − a )( b − ξ ) f ( n+1) ξ
Rn +1 =( ) [Cauchy]nn!

これも同様に平均値定理から直ちに得られる（この場合には、(D.7)で ρ ( x ) = 1 とおくのである）（問：これを示せ）。

a ) (b ξ )( b -pRn +1 =

n +1- pn! pa ) (1 θ )( b -n +1

n +1- pn! p

f ( n +1) (ξ )f ( n +1) ( a + θ ( b - a ) )( 0 ≤ θ ≤ 1)
[ Roche-Schlomilch]
p −1
この場合も、 ρ ( x=) ( b − x ) とおけば直ちに得られる（問：これを示せ）。

さて、 f ( x ) が何回でも微分可能（ C 級）であ∞るとすると、(D.9)で、 n → ∞ として、

1
2
f ( x=) f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) + f ′′ ( a )( x − a )
2
1 (n)
n
+   + f ( a )( x − a ) +   
n!
∞
1 k
k
= ∑ f ( ) ( a )( x − a )k =0 k !
(D.13)としたい気がしてくる（コメント：余分なことながら、上式の中の二番目の「 」は、（単に、点が三つほど並んでいるとか、限りなく項が並んでいるとかという意( x ≤ 0)( x > 0)であり、これは、原点ですべての微係数がゼロであるという性質をもっている非常に滑らかな関数である。このため、 a = 0 に(D.13)を適用すると、右辺のすべての項はゼロとなるので、右辺はゼロとなって、等式が成り立たないことがわかる。しかし、この反例の関数は、多様体における「１の分割」（partition of unity）で中心的な役割を担う関数である。一方、 n → ∞ で R → 0 となる関数を解析的と言って、 Cω というのであるが、多様体では、多くの場合、 C ∞ 級までを仮定するのである。
次に多変数関数の場合のテーラー展開を考えよ う 。 考 え る 領 域 を 星 形 領 域 （ star-shaped
region）とすると、物事は簡単になり、一変数のテーラー展開の延長で話をすることができる。以下では、記述を簡単にするために、次元は３次元としよう。いま、星形領域の「中心」を

x 0 = ( a, b, c ) とすると、領域内のどんな点、 x1にも中心から領域外に出ないで、直線的に行くことができる。

x (t ) =x0 + t h , h =( h, k , l )で、 x1 =
x (1) =+
x 0 h, x 0 =x ( 0 ) とおく。すると、関数、 f ( x ) は、F (t ) = f ( x (t ))という、全区間、 0 < t < 1 で定義された、 t の関数、 F ( t ) と考えることができる。
F ( t ) = f ( a + t h, b + t k , c + t l )この微分は、d∂f∂f∂f
F (t ) = h + k
+l
dt
∂a
∂b
∂c
となり、

d
∂
∂
∂
=h + k
+l
dt
∂a
∂b
∂c

(D.14)

と見なすことができる。F ( t ) のテーラー展開（マクローリン展開）は、

1
F ( t ) =F ( 0 ) + F ′ ( 0 ) t + F ′′ ( 0 ) t 2
2
1+ F ′′′ ( 0 ) t 3 +   3!
1 n+ F ( ) (0) t n + Rn!
であるので、 F (1) を書き直すと、
∂
∂ 
 ∂
f ( a + h, b + k ,=c + l ) f ( a , b, c ) +  h + k+ l  f ( a , b, c )∂b ∂c 
 ∂a
2

n

∂
∂ 
1 ∂
1 ∂
∂
∂ 
+ h + k+ l  f ( a , b, c ) +    +  h + k+ l  f ( a , b, c ) + R∂b ∂c n !  ∂a2  ∂a∂b ∂c ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿となる。ここで、=Rとすることができる。同様にして、多変数の場

1n(1 − t ) F ( n+1) ( t ) dt
∫
0
n!
1

合も、

d
) F ( t ) t =0dt
= f ( a + h, b + k , c + l )F (1) = exp(

である。
さて、よく知られたように、

exp ( x ) =1 + x +1 2 1 3
1x + x +    + xn +   
2
3!
n!

1 k
x
k =0 k !

1

= e

d
dt

f ( a + t h, b + t k , c + t l )

∞

t =0

=∑

である（と定義されると言った方がよいであろう）。ここで、普通は、 x に実数を代入するのであるが、 x が実数以外の何かであっても、たし算とかけ算（今の場合、べき乗）がきちんと定義さと表わすことができる。さらに、(D.14)を使って、若干、丁寧に書けば、

f ( a + h, b + k , c + l )
1

= e

d
dt

f ( a + t h, b + t k , c + t l )t =0

れ、かつ収束が保証されているとすると、この

∂
∂ 
 ∂
+ l  f ( a + t h, b + t k , c + t l ) t =0
exp ( x ) は意味をもつのである。いま、 f ( x ) が= exp  h + k∂b ∂c  ∂a
C ω 級であるとすると、上記の記法を使って、
∂
∂ 
 ∂
= exp  h + k+ l  f ( a , b, c )12f ( a + h=∂b ∂c ) f ( a ) + f ′ ( a ) h + f ′′ ( a ) h ∂a2
より一般的には、
1+    + f (n) ( a ) hn +   d= h ⋅∇
n!
dt
d
k
∞
h
1 k d
dx
となるので、=hfxef ( x)
(
)
∑
k
x=a
!
k
dx
k =0
x=a
h

d

== e da f ( a )1f ( x=+ h) eddt

f ( x + th=
exp ( h ⋅∇ ) f ( x )
)
t =0

d
x = A (t ) x
dtと表わすことができる。つまり、標語的に言えば、テーラー展開とは、微分演算子（一次元の場合には、 hd、多次元の場合には、 h∇ ）を exp 関dxを解くことを考えよう。

けると終値が得られる方法であると言える。ついd= A (t )dt
であり、もし、行列、 A が定数行列であるとす

でに言えば、

ると、数の肩に乗せた（引数とした）ものを初期値にかtt A = ∫ A dt


∇
i

p=

0

であることから、解が、(とおいて、上式を書き換えれば、る（逆に言えば、元に戻ると、量子力学の雰囲気が何も感じられないのである）。
次に以上のことを使って、常微分方程式を（形式的に）解くことを考えてみよう。まずは、非常に簡単な例である、

d
x=ax
dt

(D.15)違いである。いま、 A ( t ) が以下のように区分的に定数であると仮定しよう。

( 0 ≤ t < t1 )

C1A ( t ) = C n( tn−1 ≤ t < t )すると、各区間内では、=
exp ( tA
) M=i exp ( Ci = ∆ti )となるので、x ( t ) = e x0
atx ( t ) = M n  M1 x 0のように表わされる（これは正しい）。これから、より一般的には、であるが、これは、

d
=a
dt

N

=
x ( t ) lim ∏ exp ( A ( tn ) ∆tn )x 0
N →∞∆t → 0 n = 0であることから、 dhax ( h ) exp==
 h  x t =0 e x0dtと表わされることがわかる。ここで、 a, b が何であっても、としても求まるのである。同様にして、多次元の微分方程式、dx = A x ( A : constant matrix )dtについても、e a eb = e a + bとなるのであれば、上式は、(D.15)に帰すことになるのであるが、残念ながら、そうなるためには、
a と b が可換であることが必要となる。よって、一般的には、(D.15)は間違いであることがわかったのであるが、 A ( t ) が対角行列であるよう

d
=A
dt

な特別な場合には、(D.15)は成立するのである。
特に一次元の場合には、よく知られているように（初等的かつ暗算でも求まるように）、であることから、
h0となるであろうと推測される。しかし、これは間となり、量子力学に出てくる並進の演算子とな

の解は、

)

t

x ( t ) = exp ∫ A ( s ) ds x 0i
f (x + h) ==exp  h ⋅ p  f ( x )dx ( h ) = x ( 0 + h ) = e da x ( a )= eh A x ( a )a =0となり、微分方程式の解が、

x ( t ) = exp ( t A ) x 0と求まる。そこで、調子に乗って、

a =0

(

t

)

x ( t ) = exp ∫ A ( s ) ds x00と解が表わされるのである。
最後に、次の常微分方程式、

 v1 ( x1 , , xn ) dx=( t ) v=
( x ) dt
 v ( x , , x ) 
n 
 n 1
を解くことを考えよう（注：この常微分方程式は
右辺が t に顕わに依存していないことに特徴がある。自励系（autonomous system）と言われる。）

この解、 x ( t ) が求まったとすると、 x の関数、

f ( x ) を t の関数と見なして、
 dx ( t ) ∂ df ( x ( t )=⋅  f ( x=))dt dt ∂x ( v ⋅∇ ) f ( x )dとなることがわかる。すると、微分演算子、
dt
は、

d
∂
∂
= v ⋅∇= v1+  + vn
dt
∂x1
∂xn
 d 
f ( x ( t ) ) = exp  t  f ( x ( s ) ) ds 
s =0
  ∂
∂  
= exp  t  v1
+  + vn  f ( x ( 0 ) )  ∂x1
x
∂
n
0 

(D.16)となる。ここで、記述を簡単にするために、∂∂+  + vn
∂x1
∂xn

とすると、

d
= vˆ
dt
と書ける。当然のことであるが、これから、

dx
= vˆ=
x v
dt

(D.17)（問：二番目の等号を示せ。
）

さらに、
=
a x=
( 0 ) , u v ( a ) とおき、

vˆ=
u1
0

∂
∂
+  + un∂a1∂anとしよう。すると、

f ( x ( t ) ) = exp ( t vˆ 0 ) f ( a )となる。特に、ddx ( t ) = ( exp ( t vˆ 0 ) a )dt
dt
ˆvˆ 0 x= vˆ=0 exp ( t v 0 ) aとなり、(D.17)と合わせて、vˆ = vˆ 0が導かれる。これも省略形でない形で書くと、相当な驚きを禁じ得ないであろう。これは、x ( t ) とともに動く系から見たベクトルであり、 x ( t ) は、
この座標系から見た座標変換であるという視点に立てば、このベクトルは、まさにベクトルそのものであり、座標変換に対して不変であることを言っていると見なせないこともないが、感覚的には納得しがたいものがあるであろう。そこで、計算によりこれを確かめてみよう。

となる。これから、=vˆ v1となる。これを省略形でない変数で書いたものを眺めると、いくらテーラー展開が初期値（＋その微分係数）のみで決まるとは言え、驚きを覚えざるを得ないであろう（もっとも条件として、すべてが C ω 級、さらには星形領域であるというのが加わっているのではあるが・・ ）また、=
x ( t ) exp=( t vˆ 0 ) a , v ( t ) exp ( t vˆ 0 ) u

vˆ=
u1
0

∂
∂
+  + un
∂a1
∂an

∂xi ∂
∂x ∂
+  + un i∂a1 ∂xi∂an ∂xi∂となるので、 の項の係数のみをまとめると、
∂xi
∂x
∂x
u1 i +  + un i
∂a1
∂an
= u1

 ∂
∂ 
=  u1+  + unxi v 0 xi
=
∂an 
 ∂a1
一方、

v 0 x = v 0 exp ( t vˆ 0 ) a= exp==( t vˆ 0 ) v 0a exp( t vˆ 0 ) u v
であるので、v 0 xi = vi∂となる。これから、 の係数が vi であるので、∂xivˆ 0 = vˆ
となることが示せたことになる。
さて、 vˆ= v∇ としたが、右辺は、内積であるので、直交座標変換に対して不変である（実は一般座標変換に対しても不変なのであるが・・）。
一方、普通の内積とは異なり、これはベクトル、v のみで決まるものである。よって、ベクトル解析の視点ではあくまでもスカラー量なのであるが、何となくベクトル的でもあるようにも思える。ついでに言えば、 ( v ∇ ) x =v でもある。このようなことから、ベクトル解析上では、

v = v1e1 +  + vne nとし、演算子として見るときは、「 ∧ 」記号をと
って、

=
v v1

∂
∂
+  + vn∂x1
∂xnとしてもよいであろう。つまり、必要に応じて、

e ↔

∂
∂x

と適当に入れ換えて考えるのである。しかし、ベクトル解析でも座標変換では、右側の見方の方がはるかに優れている（変換の仕方を覚えている必
要がないのである。上の証明でも使ったように単なる chain rule で計算できるのである）。また、
普通のベクトルのように基底ベクトルがベクト
ルらしくないものもあるので、上のような入れ換
えもしないで、上の関係の「右翼」に留まる方がよいようにも思える。しかしながら、∂ ∂,∂xi ∂x jが基底の間の内積であると言われてしまうと、普通人の普通の感覚では拒否反応が起きてしまうであろう。何とかしてもらえないものかと思ってしまうのであるが・・・［付記］部分和（partial sum）の方法
英語では、部分積分法を integration by partsと言い、部分和の方法は partial sum と言われる。

Abel の定理などで部分和の方法が出てくるころには、疲れてしまってきちんと勉強しないで終わってしまっているのではないかと思われる。しかし、部分積分法は、積分で最も強力な手段であることを考えると、部分和の方法も同様に強力であろうと考えるのは自然なことであろう。そして、
実際に、強力なのである。
しかしながら、一般に高学歴になるにつれて、（たとえば、情報過多で能力、体力不足に陥り）
たし算のような機械的な作業ができなくなってくる傾向（一種の退化傾向）にあるようであるので、ここでは、積分と和との類似を使って、部分和の方法のイメージ的な説明を行うことにしよう（説明も簡単になるし、イメージに従って正確な表式に直すことも容易であろう）。よって、等式も全く等式ではなく、発散か収束かを示す指標
ぐらいであると思っていただきたい（しかし、大方はかなり高精度で等式が成り立っているのであるが・・・）
ここでの類似とは、∑ a = ∫ a(n)dnda ( n )an +1 − an =dnとすることである。ただし、後者については、適宜、微分を差分のままにすることもある。
ディリクレの判定法（Dirichlet’s test）
これは以下のようなものである。
数列、an は減少列（非増加列）、an +1 ≤ an で、

lim an = 0 とする。また、数列、 bn からなる
n →∞

級数和、

方法は（積分とは所詮、たし算の拡張であると思∑ b は、有界（bounded）であるとすn

このように言われると、なんとなく別物であるよ
うな感じを受けるが、その点、日本語だと二つの

n

n

る（

n

∑ b ≤ M ）。
n

n

すると、

うと）全く同じものであろうということが暗示さ

∞

∑a b

れている。さて、我々は、解析の初めの方で、級数の収束について学び、収束の判定法のいくつかを教わるが、多分、すべてをマスターしている方

n n

n =1

は収束するというものである（コメント：数列、 an∑ b は有界であるので、各項には多くはないであろう（相当、マニアックでないを a1 で規格化すると、

限りはいないのではないかと思われる）。そして、

１より小さい数をかけるのであるから、収束する方向とnnなり、さらに、 an はゼロに近づくのであるから、上の∞f (1) = ∑ an

級数は収束するであろうと推測される。しかし、 an は減少としか仮定していないので、例えば、いつまでも１n =0が収束するとしよう。すると、に近いままであるとすると、たとえ an はゼロに近づいても an の級数和は発散する。つまり、このような発散級数を考えても、上の級数は収束するということを言っ∞f ( z ) = ∑ an z n
n =0

は、 z < 1 で収束し、かつ、

lim f ( z ) = f (1)ているである。これはそれほど明らかなことではないで
あろう）

z →1

さて、イメージによる、この証明は以下のとお
りである。

Bn
=

n

b ∫ b ( k=) dk B ( n ) , ( B=(1) 0 )
∑=
k =1

n

n

∞

1− z
1− z
が有限であるように、1 に近づくものとするので∞∑ a b = ∫ a ( n ) b ( n ) dn
n n

1

∞

∞

= a ( n ) B ( n ) 1 − ∫ a′ ( n ) B ( n ) dn
1

すると、a′ (=n ) an +1 − an は常に負（正ではない）であるので、∞∑ a b ≤ M ∫ −a′ ( n ) dn =M ( −a ( n ) )n =1

z < 1 で、

1

とすると、
n =1

となる。つまり、 z = 1 で（近づき方によっては）連続になるということである。ただし、z →1 は、

∞

n n

1

∞
1

ある（ストルツ角（Stolz angle）内から近づくとする（これについては、後述のコメントを参照のこと）。簡単に言えば、単位円の円周はむやみに近づきすぎないようにして、（素直に）1 に近づくのである）。
（Abel の定理の証明に使われるように）最
いま、
∞

初から、

∑ a の極限値を差し引いておくのであnn =0= Ma (1)る。すると、となる。これでイメージによる証明ができたことになる。ただし、数式をそのまま受け入れてはいけないのは当然であるが・・・
Dirichlet’s test の応用例
次のような級数を考えよう。

eiθ +

e 2iθ
e niθ
+ +
+
n
2

1
ここで、
, bn ei nθ とおくと、
=
an =
n
nθ
sin
inθ
1
e
−
iθ
2
Bn e=
=
θ
1 − eiθsin
2となり、θ = 0 以外では、Bn は有界であるので、この級数は収束することがわかる（ただし、θ = 0

∞

a 0
∑=

f (1)
=

n =0

n

であると、仮定するのである。また、n∞a z , s ( z) ∑ a z∑==
Sn ( z )

k

k

k= 0

n

k = n +1kkとおき、例により、=
Anna ∫ a ( k=) dk A ( n ) , ( A=
( 0) 0)
∑=
k =0

n

n

0

とすると（注： A0 = a0 であるのであるが・・）、=
sn ( n )∞a ( n ) z dn∫=

dz nA(n) z − ∫ A( n)
dn
n
n
dn
n ∞

∞

ここで、

n

n

∞

∑ a はゼロに収束するので、任意の εn =0nの時は、よく知られているように発散する）。

に対して、 n が十分大きいと、 A ( n ) < ε とな

アーベルの（連続性）定理（Abel’s theorem）

る。また、 n に関する微分は、差分に置き換えることにすると、最後の式の第二項は、

この内容は、以下のとおりである。

dz n
A
n
dn
=
(
)
∫n
dn
∞

∞

∞

∫ A ( n ) z ( z − 1) dnnn∞≤ ε 1 − z ∫ z dn = ε 1 − z ∑ z
n

0

=

n

という簡単な評価式が得られる。よって、 z がz < 1 で、ストルツ角の内側から、1 に近づくとすると、左辺はある有限値で抑えられることがわかるのである。

n =0

ε 1− z

最後によく知られている例を挙げておこう。

1− z

最後の式の第一項は、明らかに、< ε であるので、
z →1 のとき、

1− z
1− z

1
dx
2
∫0 1 + x=x

arctanx==∞x∫ ∑ ( −1) x dx
0

n

2n

n =0

2 n +1∑ ( −1) 2n + 1nn =0である。また、∞f ( z ) − Sn ( z ) < ε
して・・）。明らかに、 S n ( z ) は多項式であるのは交代級数であるので、収束する。よって、アーベルの定理から、

1 1π
1 − + − =
3 5
4

で、
z →1

n

∑a
k =0

n

n =0

と抑えることができる（ ε は再定義することにlim S n=( z ) S=n (1)1

∑ ( −1) 2n + 1

がある有限値を越えないとすると、kである。よって、

また、log (1 + x=)nlim f ( z ) − ∑ ak < ε
z →1

x ∞

k =0

以上でアーベルの定理が証明できたことになる。
ストルツ角（Stolz angle）へのコメント
これを理解するには、図で考えた方がよい。図
D-1 に示すような記号を用いると、=∞

1∫0 1 + x dx=
x

x

x ∞

∫ ∑ ( −1) x dx
0

n

n

n =0

n +1

∑ ( −1) n + 1
n

n =0

であり、
∞

1

∑ ( −1) n + 1
nn =0は同じく交代級数であるので、収束する。よって、

r= z , s= 1 − z

1 1
1− + − =
log 2
2 3

r 2 =1 + s 2 − 2 s cos θ

以上でかなり偏った「微分とテーラー展開」の話は終わりにするが、たまには初心に帰って数学の基礎を復習するのも悪くないと思っていただけ
れば幸いである。

であり、であることを使うと、

1− z
s
1+ r
= =
1 − z 1 − r 2 cos θ − sとなることがわかる。これから、角度、θ が α（ストルツ角）を越えないようにすると、

1− z
2
<
1− z
2 cos α − sと評価される。さらに、 z が 1 に近いとき、つまり s がゼロに近いときを考えることにすると、
s < cos α としてもよいであろう。よって、
1− z
2
<
1− z
cos α

図 D-1. Stolz angle