APPENDIX
核データニュース 「ベータ崩壊の大局的理論」No.128(2021) 付録

Koyama, Takahashi, Yamada 論文 - Prog. Theor. Phys., 44 (1970) 663 要約

東京工業大学吉田正

tyoshida@nr.titech.ac.jp

1 はじめにこの稿末付録では、「ベータ崩壊の大局的理論」に関わる一連の論文のうち、その中核となる論文と考えられる「小山、高橋、山田:Gross Theory of Beta-Decay and Its Application to the

Fermi Matrix Element, Progress of Theoretical Physics, Vol. 44, No. 3 (1970) pp. 663-687」を補足説明しつつ式の導出をできるだけフォローし、またモデルを新たに作成した図を用いて図解することにより、その理解を容易にする目的で作成された。この論文を本稿では「原論文」または「第二論文」と呼ぶ。なお、必要がない場合新たな式番号は振らず、原論文の式番号のみをそのまま使用する。
従って式番号に「飛び」が生じる場合が多々あるので注意されたい。必要がありここで新たに追加した式の番号はすべて 100 番台とする。また、原論文の図表番号は Fig. 1, Fig. 2, ・・・Table I 等のようにそのまま引用する一方、本資料で新たなに付け加えた図は、図１、図２、図３のように日本語で表記することで区別した。なお、この論文に先だつ「高橋、山田:

Progress of Theoretical Physics, Vol.

41, No.6 (1969) pp. 1470-1503」を本稿では「第一論文」と呼ぶ。
原論文の Introduction では、1970 年当時におけるベータ崩壊研究の最新の知見が述べられ、この第二論文の位置づけが以下のように説明される。軽い核においてアイソスピンがよい量子数であることはこれまでもよく知られていた。そして 1961 年以来、Isobaric Analog State (IAS) の発見が相次ぎ、重い核においてもアイソスピンが近似的ではあるがよい量子数であることが明らかにされてきた。その結果、CVC(Conserved Vector Current) 仮説を前提とした理論的観点からは、フェルミ遷移の強度はIAS に集中していると考えられる。第一論文（）でもこの観点で理論を展開してきたが、核の偶奇性に関する一粒子モデルの改良が必要であることも解ってきた。改良された一粒子モデルの構築と、その改良モデルのフェルミ行列要素計算への適用が本論文の目的である。

i

2 原論文 §2 大局的理論におけるフェルミ行列要素
本章では、第一論文ですでに述べられたベータ崩壊の大局的理論が改めて概観されるが、論文の表
題から明らかなように、ここではフェルミ行列要素に話が限られる。しかし重要なのは、ここで提案される改良一粒子モデルは、フェルミ行列要素に限られることなく、ガモフ・テラー行列要素、第一
禁止遷移行列要素の計算に際しても、その基礎としてずっと使われて行くことになるという点である。
したがって、大局的理論の全貌を理解するうえで、本論文はきわめて重要な論文（基本文献）となっている。フェルミ行列要素は、|MF (E)|2 ≈∫ ε1DΩ (E, ε)W (E, ε)ε0 (E)

dN1
dε
dε

(3)

と書かれ、これが出発点となる。右辺各因子の意味は本章後半に記されている。

3 原論文 §3 偶奇性による質量差を扱うためのモデルの改良本章で、偶奇性による質量差を扱うためのモデルの改良が提示される。この点で、第二論文中もっとも重要な章であると言える。まず IAS への遷移がエネルギー的に可能でフェルミ遷移が IAS に集中する場合、それは超許容遷移（superallowed transition）となる。原子核の独立粒子モデルにアイソスピン
を導入すれば超許容遷移の核行列要素は簡単に計算できて、鏡映核間の遷移（T = 21 , T̄z = + 12 ↔ − 21 ）
では |

∫ 2
∫
| ≈ 1 であり、T = 1 核間の遷移では | |2 ≈ 2 である（たとえば、山田他「ベータ崩壊と弱い相互作用」培風館 (1974)、p.98〜101）。ここで T はアイソスピン、T̄z はその z 成分である。しかし原論文の Table I に見られるように、上記の条件を満たす核について、第一論文の一粒子モデルで計算されたフェルミ核行列要素は、これらの条件を満たさず 1.0（ないし 2.0）より概してずっとちいさい。そこでこの第二論文で、問題の明らかになった一粒子モデルの改良を行う。改良の内容については、666 ページから Fig.1 を含んで 667 ページ前半に詳しく述べられている。ここで分かるように、第二論文で見直されるのは、中性子、陽子それぞれのフェルミ面近傍でのペアリングを考慮した一粒
子準位の構造である。そこでまず重要になってくるのが、ペアリングギャップ ∆i を測定データ（具体的には核子の結合エネルギー）に基づいてなるべく正確に見積もることである。
まず p.667 後半では、core 外核子の全エネルギー E0 が、核子数が偶数、奇数それぞれの場合について、式 (5) および (6) 与えられることが示される。

N02+ di N0
2

(5)

N02
di
+ di N0 +22(6)

E0 ＝ diE0 ＝ diここでフェルミ面近傍での準位間隔の半分 di の i は核子の種類に関するインデックスで、i = 1 が中性子を、2 が陽子を表す。式 (5) および (6) に関しては図 1 を参照されたい。図 1 左は N0 = 6（偶数）の場合で、６つの core 外核子が問題となるが、そのうち (a) の準位にある２核子のエネルギーは

2 × 2di で計 4di 、(b) の準位の２核子は計 8di 、(c) の準位の２核子は 12di で、全部足すと 24di であii

2る。この場合 N0 = 6 であるから、(5) 式でも E0 = di 62 + di × 6 = 24di となる。図 1 左の N0 = 5（奇数）の場合も同様に、図、式 (6) ともに E0 = 18di となる。なお、エネルギーを、連続領域（core）の最も上の核子対の平均エネルギー位置から計っている点に注意されたい。

図1

殻外核子の全エネルギー計算モデル

左：偶数、右:奇数

次に重要な点は、Weizsäcker-Bethe に代表される質量公式に表れるいわゆるペアリング項 δ は、純
粋なペアリング力に由来する ∆i に (5) 式と (6) 式の差である d2i を足し合わせたものであるという点である。すなわち

δ＝

di
+ ∆i
2

(7)

である。(7) 式中の d2i は 668 ページ冒頭にあるようにフェルミ準位間隔から (8) 式と (9) 式のように評価される。(8) 式の導出は後に記す（本稿 viii ページ）。したがって、δ が求められれば、(7) 式から∆i を知ることができる。この δ の算出であるが、本論文では Weizsäcker-Bethe に代表される質量公式に準拠しつつ、核子の結合エネルギー測定データから求めている。このように、理論構築上必要になる量を求める際、その量を信頼性の高い測定値と結び付け、そこから数値を得ることも「大局的理論」の特徴である。

Weizsäcker-Bethe の質量公式(A − 2Z)2+ δ(A)A
A3
2(A − N )2(2N − A)2
− bsym= bvol − bsurf A 3 − bCoul+ δ(A)
1
AA3
2

M (A, Z) = bvol − bsurf A 3 − bCoul

Z2

1 − bsymで質量数 A を固定して考えると、質量 M (A, Z) は図 2 に図示されるように、N の二次関数で表されることがわかる。また、後述するようにペアリング項 δ は奇質量核を表す二次曲線（赤）と偶偶核を表す二次曲線 (青）との間のギャップとして現れることに着目する（図 2）。

iii

ここで上記の Weizsäcker-Bethe の式中ではシンボリックに +δ(A) とのみ記し、図 2 中では単に δと記したペアリング項に一歩踏み込んでおく必要がある。実際には、ペアリング項は質量公式中に

δ(A) = +δ （Z, N とも奇数のとき）
δ(A) = 0（A が奇数のとき）

δ(A) = −δ （Z, N とも偶数のとき）のように現れる。δ の A への緩やかな依存性に配慮し、MeV 単位で δ = 11.2A−1/2 などと取られることが多い。また、大局的理論では、ペアを組むのが中性子同士であるか、陽子同士であるかを区別して、δ を、前者の場合は δn 、後者の場合は δp としている。
さて以上の準備を踏まえて、原論文 668 ページ後半の議論をフォローしよう。まず δn の導出であるが、奇質量核に着目してその質量数 A を固定し、奇数個の中性子を持つ核を大きい順に並べ、その原子質量（以下、単に質量と記す）を M1 、M3 、M5 とする。中性子数（もちろん奇数）を N 、N + 2、

N + 4 とする。図 2 を参照されたい。N 、N + 2、N + 4 の間に入る偶数の中性子数 N + 1、N + 3に対応する質量を M2 、M4 とすると、これらは奇質量核曲線（赤）から下方に δ(A) だけズレた偶偶
核曲線 (青）上に乗る。（質量公式は近似式であり、正確に曲線上に乗るわけではないが、この差異はいま問題にしない。また、偶偶核と奇奇核の質量２次曲線を示す教科書等にある図と図 2 との違いには注意されたい。前者では両曲線の質量数 A は同じ偶数だが、後者では A は１違う。
）

図 2 質量のＡＮ依存性

さて、ここでは（中性子ペアの）ペアリングエネルギー δn を算出することを考えている。δn は赤iv

青二本の二次曲線の上下方向（質量軸方向）のズレ（図 2 参照）であるから、M1 や M2 等の間の単なる引き算で δn を得ることはできない。そこで、中性子数 N + 1 の Even-Even 核の質量 M2 のうちペアリング項 δn だけを除いた部分を、三つの Odd-A 核（中性子数 N 、N + 2、N + 4）の質量で表すことを考える。それには N 、N + 2、N + 4 の二乗に現れる N の 2 次、1 次、0 次の項のすべてが、

N + 1 の二乗に現れる N の 2 次、1 次、0 次の項にそれぞれ等しくなるようにする。そうなるように
M1 、M3 、M5 の平均のための重みを決めてやればよい。これら 2 次、1 次、0 次の項は、まとめると
項

２次

１次

０次

N2

N2

(N + 2)2

N2

4N

4

(N + 4)2

N2

8N

16

(N + 1)2

N2

2N

1

−

−

となる。そこで、N 、N + 2、N + 4 に対応する質量 M1 、M3 、M5 の項の重みをそれぞれ a1 、a3 、a5 とし、これらをa1 + a3 + a5 = 1
4a3 + 8a5 = 2
4a3 + 16a5 = 1を満たすように決めてやればよいことになる。これら三つの式は上の表の２次、１次、０次と記したコラムから来ている。三つの連立式を解くと、

386a3 = +
81
a5 = −
8

a1 = +

が得られる。このようにして Odd-A 核平均を求めた上で、Even-Even 核との間で引き算をすると δnが抽出される。それが原論文第 (10) 式の一行目のδn ≈ (3M1 + 6M3 − M5 )/8 − M2(10)である。二行目を得るには、このこの式を整理・変形し、最終的に質量 M1 、M3 、M5 、M2 を中性子
分離エネルギー Sn を用いて書きかえてやればよい。

δn = (3M1 + 6M3 − M5 )/8 − M2
= (3M1 − 8M2 + 6M3 − M5 )/8= (3(M1 − M2 ) − 5(M2 − M3 ) + (M3 − M4 ) + (M4 − M5 ))/8
= (3(M1 + Mn − M2 ) − 5(M2 + Mn − M3 ) + (M3 + Mn − M4 ) + (M4 + Mn − M5 ))/8
= (3Sn2 − 5Sn3 + Sn4 + Sn5 )/8
なお、変形の途中で用いた Mn は中性子の質量である。これが原論文第 (10) 式の後半

δn ≈ (3Sn2 − 5Sn3 + Sn4 + Sn5 )/8v(10)

に他ならない。以上と全くと同じことを、中性子数 N + 1 の Even-Even 核のかわりに、中性子数

N + 3 の Even-Even 核（質量 M4 ）を用いて行うと、
δn ≈ (−Sn2 − Sn3 + 5Sn4 − 3Sn5 )/8(11)が得られる。さらに式 (10) から Sn5 を、式 (11) から Sn2 をそれぞれ消去すると原論文の (12) 式、(13)式が得られる。このようにして得られた δn 値は、原論文 (7) 式を介して大局的理論一粒子モデル中の基本パラメータ ∆n として用いられることになる。したがって ∆n に関する議論は非常に重要であるが、その後の扱いと数値の A 依存性等の検討は、668 ページの終わりから 669 ページにかけて具体的に述べられている通りなのでここでは繰り返さない。なお、陽子どうしのペアリングエネルギー ∆p
も ∆n の場合と同様な手続きで求められ、その結果は原論文 Fig.2(b) に示されているが、669 ページ
末尾にあるように、最終的には ∆p = ∆n としてそれ以降扱われている。

3.1 原論文 670 ページ |MΩ (E)|2 決定のための一般規則
ここでは、強度関数 |MΩ (E)|2 決定のための方針が述べられているが、その内容をひとことで言え
ば、中性子同士あるいは陽子同士のペアリング効果を強度関数の計算に反映させるための一粒子モデ
ル（原論文 Fig.3 (a)〜(d)) の補足説明である。この一般的説明だけで、提示されている一粒子モデルの全容を把握するのはなかなか難しいので、671 ページ終盤から始まる詳細説明を読んだうえでもう一度ここに戻ることをお勧めしたい。特に 671 ページの中央にある Fig.4 (a)〜(d) に関する記述（A ≥ 100の場合）をもこの場で続けて咀嚼しようとすると混乱の原因になるかもしれない。ただここで一点強調してしておきたい。まず Fig.3 は既に見た Fig.1 を詳細に再描したもので、両者に本質的な違いはな
い一方で第一論文の一粒子モデル（第一論文 Fig.6 および Fig.7) との間の違いは大きい。 第一論文では、フェルミエネルギー εF を起点にして、その上 εF + ∆ までにある準位は押し上げられてその幅の上端に、その下 εF − ∆ までにある準位は押し下げられてその幅の下端に、それぞれ Dirac の δ 関数のかたちで集積するとしている。これが上記第一論文 Fig.6 および Fig.7 のエッセンスで、ペアリング
エネルギー δ は単に δ = 11.2A−1/2 MeV で与えられている。これまで４ページにわたって見てきた第二論文での、離散準位のフェルミ準位間隔をも導入した一貫した扱いとの違い（第二論文に立場に立てば「改良」）は明らかである。この改良が第二論文の要諦である。なお、原論文 Fig.3 (a) およびこれから見る図 3 では遷移を表す矢印が上向きになっているが、これはエネルギー保存則をまだ考えておらず、遷移前後の一粒子の変化のみを強調するためで、最終的には矢印はすべて下向き、したがって遷移エネルギー E は常に負となることを付言しておく。
次に本節中盤の論旨を概観するが、ここでの議論はこれから先に見てゆく具体的な展開（注解の3.2、3.3 節）を追わないと咀嚼しにくい。具体的な展開の筋道がまず述べられているだけと割り切って読み進むことをお勧めする。一粒子モデルを導入する前、一粒子強度関数は遷移エネルギー E と一
(0)粒子エネルギー ε の連続関数である。これを出発点とし、原論文では DΩ (E (0) , ε(0) ) と表記する。図3 左を参照されたい。以下、Fig.3 (a) の Even-Even 核が崩壊して Odd-Odd 核が生まれる場合を例に論11
旨を追って行く。まず、初期状態 dn（Fig.3 で言えば各図縦棒の左側）に着目し、 dnに core 外の２dεdε核子を離散化した新一粒子モデルを取り込むことから始める。ステップ１では、連続状態（core 部分）vi

にいるエネルギー ε の核子については扱いは変わらない。しかし core 外２核子の状態は離散化され、
(0)

(1)

その一粒子エネルギーは ε1 、崩壊エネルギーは E (0) となる。この修正の結果をを DΩ (E (1) , ε(1) )と記す（図 3 左から右へ）。いま述べたように、離散化された２粒子以外に対しては変化はなく、した
(1)

(0)

がって離散化２粒子以外に対しては DΩ (E (1) , ε(1) ) は DΩ (E (1) , ε(1) ) に等しい。

E (0)

eF
e1(0)

d12
d11

E (1) E (0)

e(0)

d12
d11

D1

e1(0)
e1(1)

実線と黒丸は離散化前、グレーは離散化後の２粒子
F はフェルミエネルギー

e
𝑑𝑛1
𝑑ԑ

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

even-even → odd-odd (Ａ ≤ ７０)
図 3 離散モデル導入

離散化された core 外の２核子のエネルギーは、ペアリング効果によって図 3 右に見られるように
(0)

(1)

∆1 だけ下方に押し下げられる（ε1 → ε1 ）。しかし、この時点での大局的理論では「ペアリング力は（β遷移の）行列要素に何ら影響を及ぼさない」と考えるため、結局 even-N1 核の core 外２核子に対
(1)

(0)

しても DΩ (E (1) , ε(1) ) = DΩ (E (0) , ε(0) ) という結果になる（再度図 3 右を参照。最後に第２ステップとして、Fig.3(a) で言えば縦棒右側にような離散化された終状態を取り込むことにより、最終的な一粒子強度関数 DΩ (E, ε) が得られる。本ページ（p.670）の最後から次ページは重要であるが、Fig.4 の説明は、本注解で改めて図を用意し再論するので、ここでは概要をつかんでおけば十分である。
。

3.2 原論文 671 ページ 質量領域 A ⪅ 70 に対する |MΩ (E)|2 の導出
1) 偶偶核から奇奇核への遷移（A ⪅ 70）
原論文 Fig.3(a) を描きなおした図 4 の左半部を参照すれば式 (14) および (15) の意味は自明であろう。なお、図 4 中の遷移を表すななめ下向きや太い矢印については、次ページ以降に記すのでここでは触れない。
引き続き (16)〜(18) 式として、これも一粒子モデルの中核となるフェルミ準位公式が与えられる。

(16) 式が基本であるが、これを核子数 N1 を用いて明示的に書きなおしておくと以後使いやすい。こ
こで N1 は decaying neucleon の数で、β − 崩壊の場合は中性子数を表す。まず (17) 式をよく見ると、(16) 式中の ε − εmin はフェルミエネルギーの原点を基準点とする変数となる。第一論文で一般的議論
vii

Ａ ≤ ７０

even-even → odd-odd
d13

eF

d12
d11

D1

DW(E,e)e1E（２４）第２項（２４）第１項

Q

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

図4

D2

d24

D2

d22
d21

d23

偶偶核から奇奇核への遷移（１）A ⪅ 70から入った関係でこの点がややぼかされている。この注解では ε − εmin をここからは ε と書くことにしよう。つまり ε = εF がフェルミ面を表すことになる。この ε の定義変更によって、原論文との齟齬が生じることはない。こうしておいて、フェルミ面まで N1 個の核子が詰まっていることを考えると、

∫ εF
0

1
2 3
C · ε 2 dε = C · [ ε 2 ]ε0F
3
32
= C · εF23
= N1となる。これから以後の計算に便利な形で規格化因子

3−3
C = N1 εF 22が得られる。これにより、これ以降、原論文の (16) 式を以下のように見做して計算を続けることができ、見通しが良くなる。

(

1
dn1
3
−3
)0 = N1 εF 2 · ε 2
dε
2

(16)

これを使って、本稿 iii ページでやり残した原論文 (8) 式の導出をしておく。フェルミエネルギー εF

viii

と εF + δ の間に核子準位が１本あるとすると、上記 (16) 式を εF と εF + δ の間で積分すれば、それは１となるべきである。そこで、∫ εF +δ(εF∫ εF +δdn1
3−3)0 dε = N1 εF 2
ε1/2 dεdε2εF3− 32 2 3/2 εF +δ= N1 ε F [ ε ] ε F
2
3
−3/2
3/2
= N1 εF {(εF + δ)3/2 − εF }
δ 3/2
= N1 {(1 +) − 1}εF3 δ≈ N1 {(1 +) − 1}
2 εF
3 δ
=
N1
2 εF

と変形しておいて、これを１とおけば

δ=

2εF
3N1

が得られるが、これは (8) 式に他ならない。原論文では準位間隔には δ ではなく記号 d を当てている。
上記積分を１と置いたことからから明らかなように、d は核子（β − 崩壊では中性子）１個に相当する
準位間隔である。しかし実際には一つの準位にはスピン up 及び down の二個の中性子が入る（縮退している）から、離散状態の準位間隔は d ではなく 2d と考えて読み進む必要がある（次に説明する図 5を参照のこと）。一粒子モデルで離散状態として扱う領域（εF − 2d〜εF + 2d）を拡大して図 5 に示す。フェルミ準位密度はエネルギーが上に行くほど密になることを反映して d はエネルギーごとに区別して dij と記す。ここで i は核子のインデックス（β − 崩壊では i = 1 が中性子）、j は一粒子励起
1 〜⃝
4 でそれぞれ積分すると、エネルギーのインデックスである。フェルミ準位密度式を図 5 の区間 ⃝以下の四つの式が得られる。

∫ εF −d12

C · ε1/2 dε = N1 {(1 −εF −d11 −d12

∫ εFεF −d12∫ εF +d13(101)

d12 3/2
) }
εF

(102)

d13 3/2) − 1)3/2 }
εF

(103)

C · ε1/2 dε = N1 {1 − (1 −C · ε1/2 dε = N1 {(1 +εF∫ εF +d13 +d14

d12 3/2
d11 + d12 3/2) − (1 −) }εFεF

C · ε1/2 dε = N1 {(1 +εF +d13d13 + d14 3/2
d13 3/2) − (1 +
) }
εF
εF

(104)

これらの積分 (101)〜(104) は、積分区間がちょうどスピンによる準位の縮退を考えない場合の核子一個分の準位間隔であるから、各々１に等しい。そこで (102) を１に等しいと置き、d12 について解
くと、ix

図 5 フェルミ準位間隔 dij の計算モデル

d12 = {(1 − (1 −1 2/3) }εF (N1 )
N1

(105)

を得る。さらの (101) 式を１に等しいと置き、同式中の d12 に (105) を代入して d11 について解くと、

d11 = {(1 −

2 2/3
1 2/3
) − (1 −) }εF (N1 )
N1
N1

(106)

が得られる。ほぼ同様にして、式 (103)、(104) から

1 2/3) − 1}εF (N1 )
N1

(107)

2 2/3
1 2/3
) − (1 +) }εF (N1 )
N1
N1

(108)

d13 = {(1 +d14 = {(1 +が得られる。これらの結果である (105)〜(108) を一括して表記したのが原論文第 (19) 式の

dij = [(1 + (j − 2)/Ni )2/3 − (1 + (j − 3)/Ni )2/3 ]εF (Ni )(19)に他ならない。
ここから本節の中核である一粒子強度関数（ここでは”destination function”という名前で導入されている）DΩ (E, ε) の説明に入る。ここでの偶偶核→奇奇核についての導出は、以降の 2)〜8)（p.673〜678）で似たかたちで何度も繰り返されるから、初出のここでなるべく詳細に注解する。まず式 (20)の DΩ1 (E, ε1 ) であるが、これは遷移前に図 4 左半部の ε = ε1 にいる核子（黒丸）の遷移強度を記述する。右辺第一項は遷移エネルギー E （これは一粒子エネルギーではなく”observable”な遷移エネxルギーである点に注意）での同図右半部の連続状態への遷移を表しており、最終的には (24) 式第一項になる。ペアリングによる一粒子エネルギーの変化は遷移強度に影響しないと仮定している（p.670
下から 17〜15 行目）ので、図 4 右半部の強度 DΩ の引数としては、E から ∆1 を引くことでペアリングを考慮する前の一粒子エネルギー（図ではグレーの丸）に戻しているため DΩ (E − ∆1 ) となっている。これにかかる因子 g(ε + E) は、図 4 右半部の強度 DΩ から、後に離散化して別途扱う幅

d21 + d22 + d23 + d24 の領域を除外する因子となっている。ε + E に関する不等式は複雑そうに見えるが、図 4 を参照すれば容易にフォローできる。なお、遷移エネルギーが負であるべきこと（E が下向きのときのみ遷移可能）と、図 4 ではグレーで描くことによって示した Pauli 排他律はこの段階ではまだ考慮されていないことに留意すべきある。下記の (20) 式第２項は (24) 第２項になるものである。
この∫ −Q−∆2 +d24

δ(E + Q)
−Q−∆2 −d23DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′(0)の最初の因子は、遷移エネルギーが E = −Q に確定していることを表し、積分は、その積分範囲からわかるように、図 4 のライトブルーの太い矢印の幅に分布していた行く先の強度を白丸串刺しで示した離散準位に集中させるためのものである。被積分関数の引数が単に E ′ ではなく E ′ − ∆1 となっているのは、先ほどと同じようにペアリング効果を解除するためである。また、(20) 式第３項は図 4 の
右下のグレー実線で示した離散準位への遷移を表しているが、実はこの遷移は後に考慮する Pauli 排他律によって禁止され、最終結果には現れない（黒線でなくグレー線で記した所以）。したがってここでは深入りしない。ただし、この項のδ関数の引数や積分範囲を図 4 を参照しつつフォローすることは本論文の記述法に馴れるという意味でのメリットがある。
次のステップは (20) 式の第１項、第２項をそれぞれ p.665 の (3) 式の処方∫|MΩ (E)| =2

DΩ (E, ε)W (E, ε)

dN1
dε
dε

にしたがって積分することである。(20) 式の ε は ε1 に確定しているから、(20) 式各項の頭に図 4 の黒丸２個に対応する初期状態の縮退度２およびδ関数 δ(ε − ε1 ) をつけて、ε で積分してやればよい。縮1
退度２が入ったから、これで因子 dNも考慮済みとなる。なお、(3) 式に現れた Pauli 排他律を表す因dε

子 W (E, ε) は被積分関数中に陽に現れるのではなく、積分範囲および関数 g11 (E)〜g13 (E) 等を通じて常に陰に考慮されていることを確認しつつフォローしていただきたい。それには、各図と正確に対比しながらフォローすることが役に立つはずである。第１項、第２項の積分はそれぞれ|MΩ1S (E)|2(1) =

∫ ∞
0

(0)

2δ(ε − ε1 )DΩ (E − ∆1 )g1 (ε1 + E)dε(0)

= 2DΩ (E − ∆1 )g11 (E)|MΩ1S (E)|2(2) =∫ ∞2δ(ε − ε1 )δ(E + Q)

0

∫ −Q−∆2 +d24

= 2δ(E + Q)
−Q−∆2 −d23xi

∫ −Q−∆2 +d24
−Q−∆2 −d23DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′ dε(0)DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′(0)となる。これらは 673 ページ (24) 式の第一項、第二項に他ならない。第一項に現れる g11 (E) は (25)
式で与えられるが、これについては各自確認されたい。次に、(21) 式を同じように ε で積分する。積分した結果が遷移エネルギー E の関数であること、すなわち積分する際には E は定数と考えてよいことに留意しよう。まず第一項の積分であるが、これは図 6 に示すような、連続領域から連続領域への積分である。

Ａ ≤ ７０even-even → odd-odd

eF

d12
d11

DW(E,e)e1

D1e

変数eによる
積分の範囲

E（２６）右辺１行目

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d24

D2

d23
d22
D2

図6

d21

偶偶核から奇奇核への遷移（２）A ⪅ 70

1として、本稿 viii ページで言及したフェルミ準位密度式
ここで初めて遷移前の核子の準位密度 dNdε(16) を使う。積分範囲を図 6 に従って慎重に決めてゆくと、∫ εF −d12 −d11
1
2
−3
(0)
N1 εF 2 · ε 2 · DΩ (E)g1 (ε + E)dε
|MΩ1C (E)|2(1) =3εF −d12 −∆1 −Q−∆2 +d24 −E−3

12 −d11= N1 εF 2 [ε 2 ]εεFF −d−Q−E−∆1 −∆2 −d12 +d24 DΩ (E)g12 (E)= N1 [(1 −3(0)d12 + d11 3
Q + E + ∆1 + ∆2 + d12 − d24 3 (0)) 2 − (1 −) 2 ]DΩ (E)g12 (E)εFεFとなる。これは原論文 (26) 式の右辺一行目に他ならない。
次に (21) 式第二項の積分であるが、これは図 7 に示すような連続状態にいる核子が一粒子エネルギー

εF − d12 − ∆1 − Q の位置にある離散準位に遷移する場合である。上に記したように遷移エネルギー
E は確定しているから遷移前核子の一粒子エネルギーも ε = ε1 − Q − E = εF − d12 − ∆1 − Q − Eに確定しており、これがδ関数 δ(ε + E − ε1 + Q) となって表れている。したがって積分は簡単になり、|MΩ1C (E)|2(2) はxii

Ａ ≤ ７０

even-even → odd-odd
d13

eF

d12
d11

D1

DW(E,e)e1QE（２６）右辺２行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d24
d23
d22

D2

図7

d21

偶偶核から奇奇核への遷移（３）A ⪅ 70

∫ εF

∫ ε1 −Q−∆2 +d24 −εdN1(0)· δ(ε + E − ε1 + Q)
DΩ (E ′ )dE ′ dεdε0ε1 −Q−∆2 −d23 −ε∫ E−∆2 +d24
3N1
(0)
= 3/2 (ε1 − Q − E)1/2 ·DΩ (E ′ )dE ′ · g13 (E)E−∆2 −d232εF∫ E−∆2 +d24
3N1
Q + E + ∆1 + d12 1/2
(0)
=
(1 −
) ·
DΩ (E ′ )dE ′ · g13 (E)2εFεFE−∆2 −d23|MΩ1C (E)|2(2) =と な る 。こ れ は 原 論 文 (26) 式 右 辺 の 二 行 目 で あ る 。言 う ま で も な い が 、こ の 式 に 現 れ る 積 分∫ E−∆2 +d24E−∆2 −d23DΩ (E ′ )dE ′ は遷移の行く先を離散化するためのもので、積分範囲は図 7 右の太いラ(0)イトブルーの矢印の領域である。
なお、(21) 式第３項は図 7 の右下のグレー実線で示した離散準位への遷移を表しているが、この遷
移は (20) 式第３項の時と同じ理由（Pauli 排他律）によって禁止され、最終結果には現れないため、こ
こでは立ち入らない。以上に述べた (24)、(26) 式からの寄与をすべて足し合わせると、A ⪅ 70 の偶
偶核→奇奇核の遷移パターンはすべて網羅される。したがって、この場合の強度関数は（各遷移間の干渉は考えないので）これらの和として|MΩ1 (E)|2 = |MΩ1S (E)|2(1) + |MΩ1S (E)|2(2) + |MΩ1C (E)|2(1) + |MΩ1C (E)|2(2) ⇒ |MΩ1 (E, Q; N1 , N2 )|2
(29)
xiii

と表される。最後に、この偶偶核→奇奇核遷移の強度関数は、今後他のケースでも中核となる遷移パターンとしで何度も現れることになるので、わかりやすいように引き数を追加して再定義している。

2) 奇質量数核間の遷移（崩壊核子数 N1 が奇数で A ⪅ 70 の場合）
ここでは、奇質量数核で崩壊核子数が奇数の場合の遷移の強度関数を求める。図 8 から分かるように、このケースが前節 1) で見た偶偶核→奇奇核の場合と（その構成上）唯一異なるのは、一粒子エネ
ルギー ε1 = εF + d13 + ∆1 に一核子（decaying nucleon）が新たに付け加わったことだけである。

Ａ ≤ ７０odd-even → even-odd
d14
d13

D1

eF

d12
d11

e1
E

D1

Q

DW(E,e)（３１）第１項（３１）第２項

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d24

d23
d22
D2

d21

図 8 奇数質量核間の遷移（１）A ⪅ 70

なおこの図もそうであるが、最も上にいる decaying nucleon のエネルギー ε1 が常に一粒子エネル
ギー ε と obervableE の結節点になっていることに注意しよう。遷移しようとする核子数 N1 は、偶数と奇数の違いはあっても、やはり N1 と記される。したがって、式 (30) で与えられるこの核子に対する destination functionDΩ2 (E, ε) は、ペアリング効果解除のために現れる ∆1 の符号が＋である点を除けば、既に見た (20) 式と同じである。第三項が最終的に残らない点も同じである。なお、符号の逆転は、問題にしている核子がペアを組むか（前回）組まないか（今回）の違いに由来していることと、
遷移エネルギー E は下向きに取られていることに注意されたい。またこの核子は単独であるため、εで積分しても、ペアを組んでいた (24) 式の場合とは異なり、(31) 式各項の前に２は現れない。以上の結果に、前節で求めた残りの核子からの寄与、すなわち |MΩ1 (E)|2 を加え合わせれば、最終結果 (32)が得られる。但し前回（たとえば図 7）と今回（図 8）とで、一粒子エネルギー基準点 ε1 と Q 値の定xiv

義が異なっており、|MΩ1 (E, Q; N1 , N2 )|2 ⇒ |MΩ1 (E, Q − 2∆1 − d13 − d12 ; N1 − 1, N2 )|2という置き換えが必要であることを、図 9 を参照しながら確認されたい。

Ａ ≤ ７０odd-even → even-odd
d14

e1

D1

d13
d12

D1

d11

DW(E,e)e1
Q Q（３２）第２項

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

D2

d24

D2

d22
d21

d23

図 9 奇数質量核間の遷移（２）A ⪅ 703) 奇質量数核間の遷移（崩壊核子数 N1 が偶数で A ⪅ 70 の場合）
この節での議論の道筋も前節 2) に類似している。図 10 から分かるように、このケースが節 1) の偶
偶核→奇奇核の場合と唯一異なるのは、（後述する Q と N2 の変換は別として）遷移後の行き先に一粒子エネルギー ε1 − Q の空孔が一つ新たに付け加わったことだけである。図 10 左上のエネルギー ε1の decaying nucleon がこの新たに加わった空孔に行く強度は (33) と (34) 式を使って|MΩ3S (E)| =2∫ ∞δ(ε − ε1 ) · δ(E + Q)

0

∫ −Q+∆2 −d22

= δ(E + Q)
−Q+∆2 −d21

∫ −Q+∆2 −d22−Q+∆2 −d21

1(0)DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′ · ( ) · 2 · dε2

DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′(0)と計算でき、(35) 式を得る。この ε に関する積分は多分に形式的であるが、原論文 p.665 の (3) 式を踏襲しており、δ(ε − ε1 ) は decaying nucloen のエネルギーが ε1 に確定していることを、最後の 12 は(34) 式から来ていて空孔数のスピン平均を (Fermi 遷移では核子スピン Z 成分は変化しないことに注xv意）、２は decaying nucleon がペアを組んでいることをそれぞれ表している。E ′ での積分領域は図 10の薄いオレンジ太矢印の区間に対応している。引き算 E ′ − ∆1 は、これまでと同じようにペアリング
効果の解除の為である。

Ａ ≤ ７０even-odd → odd-even
d13

eF

d12
D1

d11

DW(E,e)

e1

e

（３５）式

Q
（３５）＋（３７）＝（３９）式第１項

E

（３7）式

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d24
d23
d22

D2

図 10

d21

奇数質量核間の遷移（３）A ⪅ 70

連続領域（core）から新たに加わった空孔に行く強度も同様に計算できる。この場合、フェルミ準位密度の式 (16) が必要になるが、遷移エネルギー E および行く先のエネルギーが確定しているため
δ関数が現れ、ε に関する積分はやはり形式的なものになる。まず図 10 でこのδ関数を規定する関係

ε + E = ε1 − Q を確認したうえで積分を実行すれば、|MΩ3C (E)| =2∫ ∞δ(ε + E − ε1 + Q)

0

3
−3 1
= N1 ε F 2 ε 2
4∫ E+∆2 +d22E+∆2 −d21∫ ε1 −Q+∆2 +d22 −ε

3
1
−3 1
(0)
DΩ (E ′ )dE ′ · N1 εF 2 ε 2 · ( )dε22ε1 −Q+∆2 −d21 −εDΩ (E ′ )dE ′ g13 (E)(0)となる。この結果に図 10 から明らかな ε = εF − d12 − ∆1 − Q + |E| = εF − d12 − ∆1 − Q − Eという関係を使えば、容易に (37) 式を得る。原論文では、いま導いた |MΩ3S (E)|2 と |MΩ3C (E)|2を足して |MΩ3h (E)|2 = |MΩ3h (E, Q; N1 , N2 + 1)|2 と記している。空孔が一つ増えたため N2 →N2 + 1 となっている。これに更に前の 1) 節でで偶偶核→奇奇核について導出した (29) 式の強度|MΩ1 (E, Q; N1 , N2 )|2 を加えて本節の最終結果 (39) 式を得る。但し、ここでは N2 ばかりでなく、Qxviの定義も 1) 節とは変わってくるので、N2 → N2 + 1 に加えて Q → Q − 2∆2 − d23 − d22 という置き換えも必要になる。この置き換えは図 11 右半部の左向き太矢印の置き換えに相当する。

Ａ ≤ ７０even-odd → odd-even
d13

eF

d12
d11

D1

DW(E,e)e1Q（３９）式第２項

Q

d24

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d23
d22
D2

図 11

d21

奇数質量核間の遷移（４）A ⪅ 70

4) 奇奇核から偶偶核への遷移（A ⪅ 70）
このケースで現れるこれまで扱ったことがない遷移のパターンは、図 12 に示したような、ペアを組まない最後の核子が最もエネルギーの低い空孔に行くパターンである。この遷移の強度は (40) 式の|MΩ4ph |2 で与えられるが、これは前節 3) の (35) 式に極めて類似している。図 12 と図 10 を見比べながらここでは decaying nucleon がペアを組まないため、(1) 強度が半分になり因子 12 が現れ、(2) 同時に E ′ − ∆1 が E ′ + ∆1 に変わることを考えれば容易に理解できよう。

xviiＡ ≤ ７０

odd-odd → even-even

e1

D1

d13

eF

d12
D1

d11

DW(E,e)

Q
（４０）式

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d24
d23
d22

D2

d21

図 12 奇奇核から偶偶核への遷移（１）A ⪅ 70

d13

D1

DW(E,e)

eF

d12
d11

Ａ ≤ ７０e1

D1Q（４１）式 ４行目
（４１）式 ３行目
（４１）式 ２行目
（４１）式 １行目
D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
d2

D2

d2

図 13 奇奇核から偶偶核への遷移（２）A ⪅ 70

xviii

最終的にこのケースではこれまで見てきた遷移のパターンが全て現れ（図 13 参照）、その強度関数|MΩ4 |2 は式 (41) のように４種類の強度関数の和となる。以下にこれら４種類をこれまで現れた順に列記し、原論文での式番号、その注解で用いた図番号を明示する。

|MΩ1 |2 (41) 式４行目：(29) ＝ (24) [図 4] ＋ (26) [図 6、図 7]|MΩ2p |2 (41) 式３行目：(31) [図 8]|MΩ3h |2 (41) 式２行目：(38) ＝ (35) [図 10] ＋ (37) [同左]|MΩ4ph |2 (41) 式１行目：(40) [図 12]

それぞれの強度関数の引数として現れる核子数 N と Q 値の違いについては、上に挙げた個々の図と図 13 を比較すれば容易に納得できよう。原論文 p.675 の式 (41) の直後の記述は重要である。

∆1 ≈ ∆2 、d21 ≈ d22 ≈ d23 ≈ d24 と近似し、前者を ∆、後者を d2 と置くと (31) 式および (35) 式それぞれの右辺２項目の積分は、∫ −Q−∆2 +d24
−Q−∆2 −d23(0)DΩ (E ′ + ∆1 )dE ′ ≈∫ −Q−∆+d2−Q−∆−d2∫ −Q+∆+d2=−Q+∆−d2≈

DΩ (E ′ + ∆)dE ′(0)DΩ (E ′ − ∆)dE ′∫ −Q+∆2 +d22
−Q+∆2 −d21(0)DΩ (E ′ − ∆)dE ′(0)という変形から両者がほぼ等しいことがわかる。１行目から２行目の間で −∆ を形式的に +∆ に置き換えた。このように (31) 式および (35) 式の主要項がほぼ等しくなったことにより、第一論文（Takahashi et al.,PTP(1969)1470）の扱いでは破れていた鏡映核間の遷移強度の対称性が回復した、というのがここでの論旨である。

3.3 原論文 675 ページ 質量領域 A ⪆ 100 に対する |MΩ (E)|2 の導出
5) 偶偶核から奇奇核への遷移（A ⪆ 100）
これから扱う質量領域 A ⪆ 100 でこれまでと大きく違うのは、ペアリングシフト ∆i が準位間隔

dij （あるいは di ）より大きくなる点である。そこで、図 14 左半部の薄いピンクで示した「はみ出した」連続部分を ε1 にある離散準位に積み上げる。式 (44) で与えられる積み上げ量 n0 は、個数である
ものの整数にはならない。この操作のおかげで、理論と実験をつなぐきわめて重要な obsevable 量である Q の定義に曖昧さを持ち込むことが避けられている。同図右半部の destination function の構成にも同じ操作が行われる。もともと εF − d1 にあり、ペアリングにより ∆1 だけ押し下げられて ε1 に来ていた２核子と区別するため微小変位 ν が導入されるが、これはどの時点で ν → 0 としても構わないから、ν は単に識別の目的で使われただけと考えてよい。第 1) 節の (20) 式での議論を思い出しながら
図 14 を参照すれば (45) 式の各行の意味と由来も明らかであろう。三行目の右辺第３項は図 14 右最下部の離散状態に行く遷移を表しているが、これは Pauli 原理によって阻まれて最終結果には現れない。
これも (20) 式第３項の場合と同じである。(45) 式を積分して (47) 式に至る道筋も (20) 式から (24) 式を得たのとほぼパラレルであるので繰り返さない。

xix

Ａ ≥ 100

even-even → odd-odd
d1

eF

d1
d1

D1

（４４）式

n0

DW(E,e)（４５）第１項→ （４7）式第１項

e1+ν
E（４５）第１項→（４7）式第２項

e1+ν
e1

ν

Q

E

ν→ ０

D2

d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2

d2

D2

図 14 偶偶核から奇奇核への遷移（１）A ⪆ 100

Ａ ≥ 100

even-even → odd-odd

eF
d1

D1

集積したn0 分
を連続に戻すDW(E,e)

e

‘

d1

e1

E

（５０）式１行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2

d2

図 15 偶偶核 n0 集積分から奇奇核連続状態への遷移xxA ⪆ 100

原論文 676 ページ後半の展開はこれまでになかったものであるので少し詳しく見てゆこう。まず(49) 式の１行目であるが、これはエネルギー ε1 に図 14 の薄いピンクで示した「はみ出した」連続部
分から集積した準位にいる核子（繰り返すが整数個である保証はない）が destination function の連続部分に遷移する強度を記述する。ここで留意すべきは、「ペアリング効果は行列要素に何ら影響を及ぼさない」という原則に則り、destination function との関連においては、この「はみ出した」部分を拡大した図 15 に示すように、集積前の元のエネルギー ε′ に戻して積分を行っている点である。すなわち、(1)n0 DΩ5 (E, ε1 ) ==∫ ε1 +∆1 −d1
ε1

3N1
3
2

2εF
=

3N1
2εF

DΩ (E − ε′ + ε1 )g5 (ε1 + E)((0)∫ ε1 +∆1 −d1
ε1∫ ε1 +∆1 −d1dn1)0 dε′dε′

ε1/2 DΩ (E − ε′ + ε1 )g51 (E)dε′
(0)

(1 −

ε − ε′ + ∆1 + d1
1/2
εF

ε1

)DΩ (E − ε′ + ε1 )g51 (E)dε′(0)であり、(50) 式の第 1 項を得る。なお、１行目から２行目の間でフェルミ準位密度 (16) を用い、また１行目から２行目の間で図 15 から自明な関係 ε1 + ∆1 + d1 = εF を用いた。ここで、被積分関数中の DΩ の引数を E − (ε′ − ε1 ) と書き直し、図 15 と比較されたい。こうすることにより、ペアリン(0)

グ効果に随伴して位置 ε1 に集積した準位密度を、集積前の元のエネルギー ε′ に戻していることがわかる。なお、E は常に負であることに注意。
次に (49) 式の２行目であるが、ここでは、図 15 に示すように ε1 に集積した n0 個の核子を集積前のエネルギー ε′ に戻したうえで積分し、同図右側の ε1 − E にある離散状態に遷移する強度を得ている。なお、一粒子モデルの範囲内で「ペアリング効果は行列要素に何ら影響を及ぼさない」という原則を適用し、一粒子エネルギーを動かしている（その結果 ε′ についての積分が必要になる）ものの、

observable である遷移エネルギー E は Q に確定している点に留意されたい。実際の積分は、いまの(49) 式の１行目の場合とほぼ同じ経過をたどるので繰り返さない。結果として、原論文 (50) 式の２行目を得る。また、これまでと同じように (49) 式の３行目の項は Pauli 排他律によって禁止され、最終結果には現れない。
残ったのは連続状態から連続状態への遷移（core term）である。結果は (51) 式として与えられている。この式は A ⪅ 70 の core term である (26) 式と同じ形をしており、異なるのは、丸括弧（）内の表
式、積分範囲、g 関数のサフィックスだけである。これらの違いについては、(51) 式１行目については図 6 と図 17 を、(51) 式２行目については図 7 と図 18 を、それぞれ (26) 式の１行目と２行目を参照
しつつ比較すれば容易にフォローできる。上で得た三つの強度関数を足し合わせれば、A ⪆ 100 の場
合の偶偶核→奇奇核間の遷移強度 (52) 式が得られる。

6) 奇質量核間の遷移（N1 奇数、A ⪆ 100）
この場合も、A ⪅ 70 の対応するケースと同様に扱えばよい。新たに加わる強度である (53) 式は積
分範囲、g 関数を除いて (31) 式と同一である。この違いは図 8 と図 19 の比較から理解できる。この強度 |MΩ6p |2 に、前節で求めた偶偶核→奇奇核の強度を足し合わせれば、強度関数が (54) 式のように求められる。この時 |MΩ5 |2 の中の Q 値および核子数を図 20 を参照して変換しておく必要があるの

xxi

はこれまでの場合と同じである。

7) 奇質量核間の遷移（N1 偶数、A ⪆ 100）
図 21 のように本来の離散準位にいる核子対が離散準位にある単一空孔に遷移する強度は (55) 式で与えられる。本来の離散準位を、はみ出した連続準位分（図 21 の薄いピンク）と区別するため微小変
位 ν が、行く先についても同様に ν ′ が導入されていることに注意しつつ、(3) 式に従って以下の積分を実行すると (59) 式の強度関数 |MΩ7h |2 の右辺２行目が得られる。

∫|MΩ7h |2(2)

= lim
′

ν,ν →0(55) × (58) × (42)dε∫ ε1 +δ

=∫ −Q−∆+d2[δ(E + Q)

ε1 −δ−Q−∆−d2∫ −Q−∆+d2= δ(E + Q)
−Q−∆−d2

DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′ ·(0)1· 2δ(ε − ε1 )]dε2DΩ (E ′ − ∆1 )dE ′(0)

ここで、２行目の被積分関数中の 12 は (58) 式に、２は (42) 式の第３項に由来している。
次に、図 22 のように、はみ出した連続準位がエネルギー ε1 に蓄積した分（n0 個）が上と同じく離散準位にある単一空孔に遷移する強度が (56) 式で与えられる。これも (3) 式に従って積分を実行すると (59) 式の強度関数 |MΩ7h |2 の右辺３行目が得られる。

|′′ |2(3)

∫
= lim
′

ν,ν →0∫ εF(56) × (58) × (42)dε∫ −Q+∆2 +d2
dn1
1
(0)
=
δ(Q + E))DΩ (E ′ − ε′ + ε1 )dE ′ ]dε′ δ(ε1 − Q − E − ε)dε[( ′ )0dε2
0−Q+∆2 −d2ε1
∫ −Q+∆2 +d2∫ ε1 +∆1 +d1
3N1(0)(ε′ )1/2 DΩ (E ′ − ε′ + ε1 )dε′ dE ′= δ(Q + E)
3/2
−Q+∆2 −d2 4εF
ε1∫ −Q+∆2 +d2∫ ε1 +∆1 +d1
3N1
ε1 − ε′ + d1 + ∆1 1/2 (0) ′= δ(Q + E)
(1 −) DΩ (E − ε′ + ε1 )dε′ dE ′4εεFF−Q+∆2 −d2ε1
∫ ε1 +∆1 −d1

変数 ε′ および E ′ での二重積分の範囲を、図 22 中に、薄いピンクおよびブルーの矢印で明示しておく。ここで observable である遷移エネルギー E の値は Q に固定されているものの、崩壊しようとする核子の一粒子エネルギーは、既出の「遷移強度はペアリング効果に影響されない」との原則
によって離散化前の値に戻されている点に留意されたい。被積分関数として単に DΩ (E ′ ) ではなく
(0)

DΩ (E ′ − ε′ + ε1 ) が現れる所以である。ここで E ′ は負であることに注意。
(0)

最後に、図 23 のような、エネルギー ε1 より低い連続状態から離散準位にある単一空孔に遷移する
強度が (57) 式で与えられる。やはり (3) 式に従って積分を実行すると (59) 式の強度関数 |MΩ7h |2 の右xxii

辺１行目が得られる。

∫|MΩ7h |2(1)

= lim
′

ν,ν →0(57) × (58) × (42)dε∫ ε1=ε1 +∆1 +d1 −εF

=

3N1
3/2
4εF

{[δ(ε − (ε1 − Q − E))(ε1 − Q − E)1/2∫ E+∆+d2
E+∆2 −d2

3N1
Q + E + ∆1 + d1 1/2
=
(1 −
)
4εF
εF

∫ ε1 −Q+∆2 −d2 +ε
ε1 −Q+∆2 +d2 −εDΩ (E ′ )dE ′ ] ·
(0)

3N1
3/2
2εF

1
ε1/2 · }dε2DΩ (E ′ )dE ′ · g51 (E)(0)∫ E+∆+d2
E+∆2 −d2

DΩ (E ′ )dE ′ · g51 (E)(0)

以上の結果に、(60) 式にしたがって、677 ページ (52) 式として既に得られている |MΩ5 |2 を加えて最終結果 |MΩ7 |2 が得られる。このとき、置き換え Q → Q − 2∆2 − 2d2 が必要になるが、これについては（たとえば）図 17 と図 23 各々における Q 値の定義を比較参照されたい。

Ａ ≥ 100

even-even → odd-odd

eF
d1

D1

集積したn0 分
を連続に戻すDW(E,e)
‘

d1

e

e1
E

（５０）式２行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2

d2

図 16 偶偶核 n0 集積分から奇奇核離散状態への遷移

xxiii

A ⪆ 100

Ａ ≥ 100

even-even → odd-odd
d1

eF

d1

D1

d1

DW(E,e)e1n0E
変数εによる
積分の範囲

Q（５１）式１行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
d2

D2

d2

図 17 偶偶核から奇奇核への遷移（２）A ⪆ 100

Ａ ≥ 100

even-even → odd-odd
d1

eF

d1

D1

d1

DW(E,e)

e1

n0

Q
E
（５１）式２行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
d2

D2

図 18 偶偶核から奇奇核への遷移（３）A ⪆ 100

xxiv

d2

→ even-odd→ even-odd

odd-even → even-odd

Ａ ≥ 100

e1

D1
d1

eF

d1

d1 D

DW(E,e)（５３）式第１項

1n0Q（５３）式第２項

D2 d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
D2 d2

図 19 奇質量核間の遷移 (N1 奇数)（１）A ⪆ 100

odd-even → even-odd

Ａ ≥ 100

e1

D1
d1

eF

d1

d1 D

1

DW(E,e)e1n0（５４）式第２項

Q Q

D2 d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
D2 d2

図 20 奇質量核間 (N1 奇数) の遷移（２）A ⪆ 100xxv

Ａ ≥ 100

even-odd → odd-even
d1

eF

d1

d1

D1

DW(E,e)ne1n0（５５）→（５９）式２行目

E Q

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
d2

D2

d2

n’

図 21 奇質量核間 (N1 偶数) の遷移（１）A ⪆ 100

Ａ ≥ 100

even-odd → odd-even
d1

eF

d1

DW(E,e)

D1

‘

e

n0

e1

e1+D1-d1

‘

d1

E E

集積したn0 分
を連続に戻すQ（５６）→（５９）式３行目

D2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2
d2

D2

d2

n’

図 22 奇質量核間 (N1 偶数) の遷移（２）A ⪆ 100

xxvi

-Q+D2

Ａ ≥ 100

even-odd → odd-even
d1

eF

d1

DW(E,e)

d1 D

1

e1
Q

e
（５７）→（５９）式１行目

D2 d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
d2

E
D2

d2

n’

図 23 奇質量核間 (N1 偶数) の遷移（３）A ⪆ 100

xxvii

8)

奇奇核から偶偶核への遷移（A ⪆ 100）
ここでは A ⪅ 70 の場合（図 13）同じように、すべての一粒子間遷移パターンが現れる。新たに加わるのは (61) 式、つまり∫ −Q+∆2 +d2
1(0)|MΩ5ph (E)| = δ(E + Q)
DΩ (E ′ + ∆1 )dE ′2−Q+∆2 −d22だけである。最初の因子 12 は行く先の空孔のスピン平均から来ており、またδ関数および積分の意味
は図 24 から自明であろう。ここでも、「遷移強度はペアリング効果に影響されない」との原則によって、積分中には DΩ (E ′ ) ではなく DΩ (E ′ + ∆1 ) が現れる。この E ′ に関する積分範囲はやはり図
(0)

(0)

24 中に薄いブルーの矢印で示しておく。最終的に、A ⪆ 100 に対する奇奇核から偶偶核への遷移の強度関数は、この寄与に、他のすべての遷移パターンに対する強度関数を式 (62) のように足し合わせれば得られる。このときもやはり Q 値の置き換えが必要になるが、２行目（偶奇核→奇偶核）、３行目（奇偶核→偶奇核）、４行目（偶偶核→奇奇核）で必要になる置き換えのベースとなる Q 値の定義の違いは図 25 にまとめられているので、これを参照しながら確認されたい。

Ａ ≥ 100

odd-odd → even-even

e1

D1
d1

eF

d1

d1 D

1

DW(E,e)
E Q

（６１）式

d2
D2 d2

d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
D2

図 24

奇奇核から偶偶核へにの遷移（１）A ⪆ 100

xxviii5

Ａ ≥ 100

odd-odd → even-even

D1
oo→ee

d1
d1

各ケースにおける
Q値の定義の差異

d1 D

1

oe→oe

eo→oe

ee→oo

DW(E,e)
d2
D2 d2

d2

𝑑𝑛1
𝑑ԑ

d2
D2

図 25

奇奇核から偶偶核へにの遷移（２）A ⪆ 100

4 おわりに
これ以降、原論文では §4 の”Numerical results and discussion for the Fermi transition”と Appendix を残すが、本注解ではここで終える。§4 はその通り読んで頂ければよいと考えるからである。なお、§4
末尾で、禁止遷移の大局的理論への展望が述べられているが、これは次の論文「高橋:Gross Theoryof First Forbidden β -Decay, Progress of Theoretical Physics, Vol. 45, No. 5 (1971) pp. 1466-1492」で実現されている。またここで注釈した論文（PTP, 44 (1970) 663）では、本文で扱われなかった質量
領域（70 ⪅ A ⪅ 100）での定式化が行われているが、そのやり方は本文で見てきた A ⪅ 70 およびA ⪆ 100 の場合と基本的には変わらないので、ここで繰り返すことはしない。

xxix