J-PARC シンクロトロンの RF 調整
J-PARC センター
田村文彦

1 イントロダクション
J-PARC の加速器は線形加速器 (linac)、速い
繰り返しのシンクロトロン (rapid cycling syn-chrotron、RCS)、および 30 GeV シンクロトロン(MR) から構成される [1–3]。この講義ノートでは
2 つのシンクロトロン、RCS および MR の RF
(高周波、radio frequency) 加速システムのビーム調整について述べる。

表 1 J-PARC シンクロトロンの RF に関係するパラメータ。() 内の値は現状を表わす。MR
の空胴台数は、基本波空胴台数 + 2 倍高調波空
胴台数の形で記載した。
parameter
circumference [m]bending radius [m]energy [GeV]
accel. freq. [MHz]harmonic number
number of bunches
No. of protons [ppp]

まず、RF システムおよび、RF の調整に必要なモニターについて、第 2 節で簡単に紹介する。

J-PARC シンクロトロンでは、金属磁性体 (magnetic alloy、MA) を装荷した MA 空胴が採用され

γt
max voltage [kV]
period [s]No. of cavities
Q-value of cavity

RCS
348.3
11.65
0.181–3
0.938–1.671
2
2
8.3 ×1013(2.5 ×1013 )
9.14
450 (400)
40 ×10−3
12 (11)
2

MR
1567.589.3813–30
1.671–1.721
98 (6)3.3 ×1014(7.4 ×1013 )
31.6i
280 (160)
3.52
7+3 (5+0)26ている。MA 空胴の特徴についても簡単に述べる。
シンクロトロンの RF 加速システムは、文字通
り RF 電場によりビームを加速するのみならず、(β = 1 としてよい) との大きな違いである。RF

ビームを捕獲し、エネルギーを設計された値から周波数の変化の幅は、RCS では 0.938 MHz から大きくずれないようにする機能を持つ。RF によ1.671 MHz までと幅広く、一方 MR では約 3%るビームの加速、捕獲の詳細については、第 3 節の周波数変化である。陽子ビームをロスなく加速で議論する。

するためには、周波数、電圧などのパラメータを

表 1 に、J-PARC シンクロトロンの RF に関係

精度よく設定、および必要に応じフィードバック

するパラメータを示した [2–4]。RCS および MR

しなければならない。これらの RF 制御を行うシの周長は、それぞれ約 350 m および 約 1570 m

ステムを、low level RF (LLRF) 制御システムとである。RCS では 181 MeV で入射されたビーム

呼ぶが、J-PARC のシンクロトロンでは、フルデを 25 Hz の繰り返しで 3 GeV まで加速する。まジタルの LLRF 制御システムを採用し、非常にた、MR では 3.52 秒周期の繰り返しで、RCS から精度および再現性のよい RF 制御を行っている。

入射されたビームを 30 GeV まで加速している。

LLRF 制御システムの概要と必要な信号処理の基

J-PARC のエネルギー領域では、陽子ビームは加礎、および基本的なビームフィードバックについ速によるエネルギー増加により速度が変化するたては、第 4 節で述べ、このフルデジタル LLRF 制

めに、RF 周波数を変化させなければならない。こ御システムを用いたビームコミッショニングの実

れは、RF 周波数が一定である電子シンクロトロン

際については第 5 節で述べる。

J-PARC のシンクロトロンのように大電流を加速しようとする場合、空間電荷力、およびビームの誘起する電圧によるビームローディングが問題となってくる。空間電荷力を緩和するための縦方
向ペインティングや、ビームローディング、およ
びその補償について、第 6 節で述べる。

2 RF 加速のために必要な道具立て     

2.1

RF システムおよび必要なモニター

ここでは、J-PARC シンクロトロンの RF シス 

テムの概要、およびビーム調整をするために必要なモニターについて述べよう。図 1 に、システム
  

の概要を示した。

RF システムの中心は、ビームに電圧をあたえ   

 


    

 
!" # "$

る RF 空胴、高い RF 電圧を発生させるために高周波アンプ、そして RF 信号を発生および制御す

図1

J-PARC シンクロトロンの RF システム

および必要なモニター。

るローレベル RF (low level RF、LLRF) 制御シ
ステムである。J-PARC シンクロトロンの RF 周 

波数は 数 MHz 帯域と低いので、最終段のアン
プでは、大電力の真空管 (四極管) を用いている。

LLRF 制御とは、RF 周波数、電圧、および位相の制御に他ならない。加えて、後述する RF フィー
ドフォワードにおいては、ビーム信号から wake
電圧をキャンセルするための信号を生成している。
空胴のギャップ電圧モニターは、各空胴に備え

 

られる。電圧制御 (AVC、auto voltage control)のために必要である。J-PARC のシンクロトロンには、多数 (現在、RCS では 11 台、MR では 5台) の空胴が備えられるが、ビームの見る電圧はこれらのベクトル合成電圧となる。

図2

RF 周波数の調整のためには、ディスパージ

マウンテンプロットの概略。

ョンの大きい所に置かれたビーム位置モニター(BPM) を用いる。J-PARC ではデルタ-R BPM

いては、[5, 6] 等の文献を参照して欲しい。

(dR BPM) と呼ばれている。dR BPM の場所で

WCM の信号を解析する手段として、マウンのディスパージョンは、RCS では約 4.8 m、MR

テンプロットがある。マウンテンプロットとは、は約 2.5 m である。

WCM の波形を周回ごとにスライスし、縦に並べ

RF 電圧の位相のフィードバックのためにはて表示することである。図 2 に、マウンテンプ

FCT (fast current transformer) が用いられる。

ロットの生成の概略を示した。縦方向の運動 (振FCT の信号を検波して、ビームの位相検出を行う。

動、およびバンチの変形) を見るのに非常に有効

WCM (wall current monitor) は、オシロスコー
プによりバンチ波形を見るのに用いられるほか、後述する RF フィードフォワードによるビーム
ローディング補償に用いられる。
これらのビームモニターの基本的な概念等につである。

2.2 MA 空胴
電子シンクロトロンと異なり、J-PARC のエネ
ルギー程度までの陽子シンクロトロンでは加速に伴い周回周波数が変わるので、RF の周波数もそれに同期して変化させなければならない。このた



図3



フェライトと金属磁性体の、高周波磁束密度と µQf 積の関係。
図5

MA 空胴。1 空胴あたり加速ギャップは 3つあり、計 18 枚の MA コアが装荷される。

2 倍以上の加速勾配を発生させることが可能である。図 3 に、フェライトと金属磁性体における、高周波磁束密度と µQf 積の関係について示した。

µQf 積は、磁性体コアのシャントインピーダンスに比例する量で、空胴のシャントインピーダンスを決める重要なパタメータである。図からわかる
図4

様々な陽子シンクロトロンの加速空胴の、

周波数および加速勾配。

ように、フェライトでは高周波磁束密度を上げていくと µQf 積が (次第に、あるいはある閾値を超えると) 低下してしまうが、金属磁性体では一定の値を保つ。この優れた特性に着目し、大強度陽子

め、RF 加速空胴も周波数のスイープに対応したもビームの加速のために高加速勾配が必要とされるのが必要である。従来の陽子シンクロトロンでは、

J-PARC の RCS および MR では、金属磁性体をフェライトを装荷した同軸型の加速空胴が使用さ装荷した MA 空胴を採用した。図 4 に、様々な陽れてきた。フェライト空胴では、フェライトコア

子シンクロトロンにおける、RF 周波数と加速勾にバイアス電流による直流磁場をかけることによ配を示す。J-PARC RCS および MR では、MAり RF 周波数に同調させている。フェライト空胴

空胴により、これまでの陽子シンクロトロンよりについては、加速器ハンドブック [7] の 520 ペー

はるかに高い加速勾配を達成することができていジや、[8] に簡潔にまとめられている。フェライトる。図 3 には、RCS 空胴での最大の高周波磁束密

空胴は、飽和磁束密度などの磁気特性により空胴度を示したが、この 400 gauss という磁束密度は、の加速勾配が制限され、20 kV/m を超える加速勾

フェライトでは不可能な領域である。

配を得ることは難しい。

金属磁性体のコアの自体 Q 値は、Q ∼ 0.6 程

90 年代後半から、新しい磁性材料、金属磁性

度と低いが、磁性体コアをカットする (カットコ

体 (magnetic alloy、MA) を用いた加速空胴の開ア) ことにより磁気抵抗をコントロールする方法

発が進められてきた。金属磁性体は、飽和磁束密や、空胴に並列にインダクタンスを配置する方法

度がフェライトに比べて高く、フェライト空胴のなどにより、シャントインピーダンスを低下させることなく、空胴の Q を可変することが可能であより大型の真空管 (四極管) アンプに接続されてる。RCS では並列のインダクタンスにより、またいる。

MR ではカットコアにより、それぞれ Q = 2 およMA 空胴については過去の OHO の教科書 [8–び Q = 26 に設定している。MA 空胴は、このよ

10] にも書かれており、また、金属磁性体コアの最うな低い Q を持つために、フェライトでは必須で新の開発状況については [11] に述べられているのあるバイアスによる同調回路を必要とせずに、加で参照して欲しい。

速周波数の範囲をカバーすることができる。これにより、LLRF 制御システムは同調制御フィード
バックを含まない、シンプルなものとすることができた。
特に RCS においては、Q = 2 という広帯域に設定することにより、加速周波数範囲をカバーす
るだけでなく、2 倍高調波の周波数範囲まで空胴を駆動することができる。RCS では、それぞれの空胴は、基本波と 2 倍高調波の重畳信号により駆動されている (デュアルハーモニック運転と呼ばれる)。2 倍高調波は、第 6 節で述べるようにビー
ム電流の整形に非常に有用であるが、もし 2 倍高調波電圧を 2 倍高調波専用の空胴で発生させようとすると、その空胴の配置に必要なぶんだけ周長が伸びるために、基本波の加速電圧が余計に必要になってしまう。デュアルハーモニック運転により、追加なスペースを必要とせずに、大振幅の 2倍高調波を発生できる。限られた周長の J-PARC

RCS では、MA 空胴によるデュアルハーモニック
運転なしには大強度ビームの加速は不可能である。
一方、Q が低い広帯域空胴であるが故に、ビームが空胴に誘起する wake 電圧によるビームロー
ディングも、高調波までの成分を持ってしまうことも考慮しなければならない。マルチハーモニッ
クのビームローディング、およびその補償については、第 6 節で述べる。
加速空胴の 3D モデルを図 5 に示す。RCS と

MR では、MA 空胴の基本的な構造は同じである。金属磁性体は水タンクの中に配置されて冷却されている。1 空胴あたりの加速ギャップは 3 つであり、加速ギャップあたりのインピーダンスは800–1000 Ω である。加速ギャップはブスバーにまた、運動量と全エネルギーの間には3 ビームの加速と位相安定性の原理
ビームの加速および縦方向の運動方程式はシン

dp
1 dE
=
dt
βc dt

クロトロンの基本である。参考文献は多数存在し、の関係がある。RF 電圧の位相 ϕ にいる粒子が、次その全てを挙げることはできないが、筆者は、過の周回でも同じ位相にいるための条件は、加速に去の OHO のテキスト [10, 12, 13] や加速器ハンドよるエネルギーの増加と、磁場の変化に対応する

ブック [7] の Longitudinal Motion の項 (51 ペー

エネルギー増加が等しいということであり、(3-5)

ジ) を参考にしながらこの節を執筆した。

と (3-6) から

3.1 陽子の加速e

電荷 e を持つ粒子 (陽子) の運動量を p、偏向電磁石の磁場を B [T]、偏向電磁石中での軌道曲率
半径 (bending radius) ρ [m] には、

p = eBρ

dBρ
1 dE
=
dt
βc dt
1 eV0 sin ϕ=βc Trev

(3-6)

(3-7)

となり、(3-2) より 1/Trev = βc/2πR を代入して、(3-1)

なる関係がある。また、シンクロトロンの周長が結局、

sin ϕ =

2πR dB
ρ
V0 dt

(3-8)

C = 2πR [m] (R はシンクロトロンの平均半径)を 得 る 。(3-8) を 満 た す 位 相 を 同 期 位 相 (syn-である時、周回周期 Trev および周回周波数 frev

chronous phase) と呼び、ϕs と書かれる。このは、条件にいる粒子を synchronous particle (あるい1βc= frev =
Trev
2πR

(3-2)

は reference particle) と呼び、この粒子は RF と同期して加速される。加速されない時 (B が一定で表わされる。
粒子が加速空胴を通過する時に得るエネルギーの時) は、ϕs = 0 であることがすぐにわかるだろう。一方、磁場のパターンが与えられた時、電圧が∆E [eV] は、高いほど ϕs は小さくなる。ϕs は後述する RF バ

∆E = eV0 sin(2πfrf t)(3-3)

ケツの大きさに関係するので、ϕs をなるべく小さである。ここに V0 は RF 電圧のピーク値である。

くするよう、余裕をもった RF 電圧が必要である。

さて、RF 電圧により粒子ビームを捕獲、および

図 6 と図 7 に、RCS および MR の加速中の加速するにあたり、リングの周回周波数と RF 周

ϕs の例を示した。MR では、磁場のパターンは波数の間には、整数則が成り立たなければならな

加速開始直後および終了直前のバラボラによるスい。つまり、

ムージングの部分を除き、 dB
dt が一定であるので、

frf = h × frev

(3-4)

その間加速電圧が一定の場合 ϕs は一定となる。

の関係がある。ここに、h はハーモニック数 (har-

図 7 では加速時間を 1.9 s、スムージング時間を

monic number) と呼ばれ、シンクロトロンの設計

100 ms、加速電圧を 160 kV 一定とした。この場

パラメータの一つである。J-PARC の RCS では合、ϕs の最大値は約 28 度である。RCS では、磁h = 2、MR では h = 9 が選ばれた。

場は sinusoidal な励磁パターンを持ち、また電圧粒子を加速していくにあたり、シンクロトロン

もパターン化されているため、加速中の ϕs は滑

では ρ を一定に保つために磁場が強くなっていく。

らかに変動する。

(3-1) の両辺を微分して3.2 運動量のずれと周期の関係

d(Bρ)
dp
=e
,
dt
dt

今、偏向電磁石の中心を通る粒子の運動量を ps(3-5)とする。中心からずれた運動量 ∆p = p − ps を持

90

400

80
70

voltage [kV]であるから、

100

acc. voltage [kV]
synchronous phase

300

60
50

200

40
30

100

20

synchronous phase [deg]

500

∆p
∆γ
∆β
=
+
p
γ
β
1 ∆γ
= 2
β γ
および

∆β
1 ∆p
= 2
β
γ p

10
0

0
0

5

10

15

(3-12)(3-13)の関係がある。周回周期および周波数の変化は、

20

time [ms]結局

図 6 RCS での電圧パターンと対応する ϕs の例。加速電圧は、最大 400 kV のパターンである。

∆frev
∆C
∆v
∆Trev
=−
=
−
Trev
f
C
v
( rev )
1 ∆p
= αp − 2
γ
p
∆p
=η
p

(3-14)と表わされる。ここに、

η ≡ αp −1γ2(3-15)は slippage (slip factor、ずれ係数) と呼ばれる量である。この量は、エネルギーが高い粒子があった時に、速度の増加により周期が短かくなる効果と、(αp が正の場合) 周長が長くなって一周するの
図 7 MR の B および ϕs の例。加速時間は1.9 s、スムージングの時間は 100 ms。加速電圧は一定で 160 kV とした。

つ粒子が走る周長の変化を ∆C とすると、運動量のずれとビームが走る周長の変化には、

∆C
∆p
= αp
C
p

る。slippage η が負である時、エネルギーの高い粒子は、速度が増加することによる効果がより大きく、したがってより早く一周する。一方、η が正である時には、エネルギーの高い粒子は、周長が長くなる効果が大きく、より遅く周回する。

(3-9)

なる関係がある。ここに、αp は momentum com-paction factor と呼ばれる量で、シンクロトロンのラティスの設計により決まる量である。
周回周期および周回周波数の変化に興味がある
ので、運動量変化と速度変化の関係を求めよう。

p = mv = m0 γβcに時間がかかる効果のせめぎあいを表わす量であ(3-10)

η = 0 は特別の場合で、運動量の変化に対し周回周期が変わらない (等時性、isochronous)。η = 0となる γ をトランジションエネルギー (transitionenergy) と呼び、
1γt = √
αP(3-16)

で表わされる。加速の途中にトランジションが存在すると、後述する縦方向の収束力がゼロになりであるので、運動量の変化 ∆p に対し∆p = m0 βc∆γ + m0 γc∆β

ビームが不安定となるほか、安定同期位相の移動(3-11)がおこるために、ビームロスの原因となる [14]。

1 ターンあたりの周回周期の差は ∆Trev = ∆w/nであり、(3-14) から、∆p1(全幅) = − (∆w/n)frev
pη

(3-17)と な る 。RCS の 入 射 で は η = −0.69、frev =0.469 MHz であり、図から、300 ターンで 500 ns


バンチ長が伸びているのがわかるので、運動量広
がりは、全幅で約 0.11% つまり ±0.055% と計算

図 8 RCS での RF 電圧ゼロでのデバンチのようす。

される。

3.3 縦方向の運動方程式n ターンめから n + 1 ターンへの位相とエネル
トランジションエネルギーの通過がある加速器、
例えば KEK-PS 等では、様々な方策をもって不安定性の回避を試みていたが、それでもいくばく

ギーの差分方程式を求める。位相とエネルギー変化の関係は、

∆Tn+1
Trevs
∆pn+1
= h · 2π · η
ps∆En+1= h · 2π · η 2
βs Es

ϕn+1 − ϕn = h · 2π ·かのビームロスは避けられない。
高いビームパワーを目指し、ビームロスを極小に抑えることが必須である J-PARC のシンクロ
トロンでは、トランジションエネルギーの通過そ(3-18)(3-19)(3-20)のものを避けることにより、トランジションエネである。ここに、添字 s は位相振動しない同期粒

ルギー通過にまつわるビームロスを避ける方法を子 (synchronous particle) の量を表わす。一方、1取った。J-PARC の RCS では、トランジション

ターンあたりの RF 加速電圧のピーク値を V0 とエネルギーを取り出しエネルギーより高くするこ

して、同期粒子の RF に対する位相を ϕs とすると (γt = 9.14、3 GeV では γ ∼ 4.2) でトランジと、エネルギーのずれの変化はションエネルギーの通過を避けており、また、MRでは αP が負になる、非常に特徴的なラティスを∆En+1 − ∆En = eV0 (sin ϕn − sin ϕs ) (3-21)

採用することで (imaginary γt ラティス [14])、常となる。通常のシンクロトロンでは、1 ターンあに η < 0 となり、実質的に加速全域にわたりトラ

たりの位相、エネルギーの変化は非常に小さいのンジションより下のエネルギーでの運転と等価にで、差分を微分に置き換える。

なっている。
ビームは有限の運動量広がりをもっているので、

RF 電圧がゼロの場合、周回周期の広がりにより、ビームは伸びて (デバンチして) いく。

RCS で、RF 電圧をゼロ (加速ギャップをショート) してビームを入射した時の WCM のマウンテ
ンプロットの例を、図 8 に示す。デバンチの速さから、入射ビームの運動量のおよその広がりを知ることができる。n ターンで、バンチ長が ∆w だけ長くなったとしよう。この時、速い陽子と遅い陽子のおよび∆En+1 − ∆En
d∆E
=
dt
Trevs

(3-22)

ϕn+1 − ϕn
dϕ
=
dt
Trevs

(3-23)を (3-20) (3-21) に適用して、

dϕ∆E= h · 2π · η 2dt
βs Es Trevs(3-24)d(Trevs ∆E)= eV0 (sin ϕ − sin ϕs )dt

(3-25)

となる。(3-24) より∆E =である。ここに、ωc は粒子が光速で周回したとし

dϕ βs2 Es Trevs
·
dt
2πhη

た時の角振動数である。1 周あたりのシンクロト(3-26)

呼ばれ、であるから、これを (3-25) に代入し

d
dt

(

Es dϕ
η dt

)
=

ロン振動の回数は、シンクロトロンチューン νs と2πheV0(sin ϕ − sin ϕs ) ,
2 β2
Trevs
s
(3-27)

加速が十分ゆっくりで、Es 、η の変化が無視できるとすると、結局

√

ωs
νs =
=
ωrevs

−

hη eV0cos ϕs2πβs2 Es

(3-34)

で与えられる。ここに、ωrevs は粒子の周回の角周波数である。

RCS と MR での加速中の fs の変化を計算し

d2 ϕ
2πhη eV0=(sin ϕ − sin ϕs )dt
Tc2 Es(3-28)たものを、図 9 に示した。ただし、RCS では最大 400 kV の電圧パターンを用い、MR では電圧を得る。ただし、Tc は粒子が光速である時の周回パターンは一定とした。RCS では入射時には約周期で、Tc = Trevs · βs である。

3.4 kHz、取り出しでは 634 Hz である。MR では

小振幅の時、すなわち ∆ϕ ≡ ϕ − ϕs ≪ 2π の時加速の開始時には 350 Hz ほどあった fs が、加速とともに大きく減少し、30 GeV では約 22 Hz には、ϕs を一定として、まで落ちてしまう。

sin ϕ − sin ϕs = sin(ϕs + ∆ϕ) − sin ϕs= cos ϕs sin ∆ϕ + sin ϕs cos ∆ϕ − sin ϕs≃ cos ϕs · ∆ϕ,(3-29)

3.4 RF バケツ
変数 W ≡ ∆E
ωrf で、運動方程式を書き変えてやる。

dϕd(ϕs + ∆ϕ)
d∆ϕ
=
≃
dt
dt
dt

Trevs

(3-31)

31) が振動の解を持つための条件は、η cos ϕs < 0である。エネルギーがトランジションエネルギーより低い (η < 0) か高い (η > 0) かで、振動の解となり、(3-25) の左辺はとなる ϕs の条件は異なり、(η < 0 の時)

π/2 < ϕs ≤ π(η > 0 の時)

d(Trevs ∆E)
d
=
dt
dt
(3-32)であることがわかる。この振動の周波数はシンク
ロトロン振動数 (fs 、角振動数は ωs ) と呼ばれ、√2πhη eV0
cos ϕsωs = 2πfs = − 2
Tc Es√hη eV0= ωc −
cos ϕs
2π Es

ωrf
2πh

(3-35)dϕ∆E ωrf= h · 2π · η 2dt
β Es 2πh( s )2ω η ∆E= 2rf
βs Es ωrf
ω2 η
= 2rf Wβs Esと、∆ϕ についての微分方程式に書き直せる。(3-0 ≤ ϕs < π/2=だから、(3-24) はと近似できるから、(3-28) はd2 ∆ϕ2πhη eV0=
cos ϕs · ∆ϕ2
dt
Tc2 Es1(3-30)

(

2πh∆E
ωrf

(3-36))(3-37)となるから、結局、

dW
eV0=(sin ϕ − sin ϕs )(3-38)dt2πhを得る。ハミルトニアンを H とすると、正準方程
式は(3-33)

∂H
dϕ
=
dt
∂W
dW
∂H
=−
dt
∂ϕ

(3-39)(3-40)

φ=π−φ

φ=φ

図 10

ϕs = π/6 でのポテンシャル。点線の範囲にある粒子は安定である。

としてやれば (ただし sgn は符号を取る関数)、

H′ =

(

sgn(η))
2
1 ωrf
η ′2 eV0
W
(cos
ϕ
+
ϕ
sin
ϕ
)
+
s
2 βs2 Es
2πh(3-42)となる。こう取れば、運動エネルギーの項は常に′dW正とできる。不動点は dϕ
dt = dt = 0 となる点であるが、(3-36) より W ′ = 0、(3-38) より、ϕ = ϕsおよび ϕ = π − ϕs を得る。
電圧パターンから計算される加速中のシン

座標 (ϕs , 0) ではポテンシャルエネルギーの項がクロトロン振動数の変化および運動エネルギー極小となることから、安定な不動点 (stable ﬁxedのプロット。上は RCS、下は MR。RCS では最point) と呼ばれる。(π − ϕs , 0) は反対に、ポテン

図9大 400 kV の電圧パターンを用い、MR では電圧は 160 kV 一定とした。

シャルエネルギーの項が極大であり、不安定な不動点 (unstable ﬁxed point) である。

η < 0、ϕs = π/6 でのポテンシャルエネルギーであるが、(3-36) および (3-38) からハミルトニアの例を図 10 に示した。ϕ = ϕs ではポテンシャル

ンはすぐに求められて、エネルギーが極小であること、ϕ = π − ϕs でポテンシャルが極大であることがわかるだろう。この

H=

2
1 ωrf
η 2 eV0W +(cos ϕ + ϕ sin ϕs ) (3-41)22 βs Es2πh

点線の範囲の外の粒子は、ポテンシャルの底に留まることができず、ϕ が大きくなる方向へ滑り落
ちて行く。

である。右辺の第 1 項は位相空間内での運動エunstable ﬁxed point を通る軌道をセパラトリク

ネルギー、第 2 項はポテンシャルエネルギーを与ス (separatrix) と言う。セパラトリクスで囲まれえる。

た領域を RF バケツ (RF bucket) と呼ぶ。RF バ……と言った時に、η < 0 の時に、何か変な感じ

ケツの中にいる粒子は、バケツの中の位相空間でがしないだろうか？ η < 0 の時、運動エネルギーに回転運動を行う。Synchronous particle からエネ

対応する項が「負」になってしまうのである。変数

ルギーや位相が少しずれていても、一定の範囲ののとり方を変えてみよう。変数 W ′ ≡ sgn(η) ∆E
ωrf

粒子は位相振動 (回転運動) しながら安定に保たれる。これが位相安定性の原理である。RF バケツ

Wの中に捕捉された粒子の集団は、バンチ (bunch)

1を形成する。
0.5

さきほど定義した ϕ-W ′ 平面内では、粒子は常に、時計回りに運動する。η > 0 の時には、ϕ-W

-3

-2

-1

1

2

3

phase

平面内でも、時計回りに運動する。一方、η < 0-0.5であると、ϕ-W 平面内では反時計回りに運動する
ことは簡単に確かめられる。通常の計算では、W ′-1の定義を用いる必要はあまりないだろう。

W

さて、セパラトリクスは、(π − ϕs , 0) を通るの0.6で、セパラトリクスのハミルトニアンは、

eV0(cos(π − ϕs ) + (π − ϕs ) sin ϕs )
2πh
eV0
=
(− cos(ϕs ) + (π − ϕs ) sin ϕs )2πh(3-43)

0.4
0.2

HSP =

-1

-2

1

2

3

phase

-0.2
-0.4
-0.6

となり、(3-41) から、
図 11

ϕs = 0 (上) および ϕs = π/6 (下) での粒子の軌跡。RF バケツ。セパラトリクス (RFバケツ) は太線で示した。

2
WSP
=

−

βs2 Es eV0(cos ϕ + cos ϕs + (ϕ + ϕs − π) sin ϕs )
2
ωrf
η πh
(3-44)
Wを得る。図 11 に、ϕs = 0 および ϕs = π/6 の場合の粒子の軌跡とセパラトリクス (RF バケツ)を示した。RF バケツ内の粒子は、バケツの中を(η < 0 なので) 等高線に沿って、反時計回りに回転運動を行う。ϕs = 0 の場合は、π − ϕs の位相振動の限界点が、隣接する次のバケツの限界点と重なるため、静的バケツ (stationary bucket) と呼ば

-3

-2

-1

0

1

2

3

phase

れる。一方 ϕs > 0 の場合は動的バケツ (moving

bucket) と呼ぶ。バケツの外の粒子の軌跡は閉じておらず、ϕs > 0 の場合は、バケツの外の粒子は

図 12 電圧が一定の時、ϕs = 0, 10, 20 · · · , 80
度 でのセパラトリクス。

どんどんエネルギーを失って Es から離れていき、
失なわれる。
電圧を一定とした時、ϕs を 0 度から 80 度までのゼロクロス点で与えられる。その一つ ϕ1 は

ϕ1 = π − ϕs

(3-45)を変えていった時の RF バケツを、図 12 に示した。ϕs が大きくなると、バケツが位相方向に縮むとともに、高さ方向に縮んでいくことがわかる。

であり、もう一つは、超越方程式

バケツの大きさについてのパラメータを見てみcos ϕ2 + ϕ2 sin ϕs = (π − ϕs ) sin ϕs − cos ϕs(3-46)よう (図 13)。位相振動の限界点はセパラトリクスの解である。バケツの位相方向の長さ (bucket





φ
図 13

φ

φ1

バケツの大きさを表わすパラメータ。

これでバケツの高さを翻訳してやると、(bucket height on dp/p) =ωrfWm
βs2 Es

ωrf
= 2 ×
βs Es
√
β 2 Es eV0(2 cos ϕs + (2ϕs − π) sin ϕs )− s2
ωrf η πh
√
eV0
= − 2
(2 cos ϕs + (2ϕs − π) sin ϕs )βs Es πhη(3-51)
例えば、RCS の入射エネルギー 181 MeV では
スリッページは約 −0.69 であるから、ϕs = 0、RF

length) は、ϕ1 − ϕ2 で与えられる。
バケツの高さは、(3-44) で ϕ = ϕs と置いてや

電圧を 68 KV としてやると、バケットの高さはdp/p にして 0.97% と計算できる。

れば得られる。

セパラトリクスで囲まれた位相空間の面積を、バケツの面積 (bucket area) と呼ぶ。バケツはこのWm =√β 2 Es eV0− s2(2 cos ϕs + (2ϕs − π) sin ϕs )
ωrf η πh(3-47)

面積内に入る粒子を受け入れ可能であるので、縦方向のアクセプタンス (longitudinal acceptance)とも呼ばれている。
バケツの面積 A は、(3-44) で求められる WSP
を ϕ2 から ϕ1 まで積分して、2 倍することで求めであり、特に ϕs = 0 の場合られる。

√
Wm (0) =2β 2 Es eV0− s2
ωrf η πh√
A=8 −(3-48)

2βs2 Es eV0
2 η πh α(ϕs )ωrf= A(0) α(ϕs ),(3-52)である。
さて、W の単位は、その定義 ∆Eωrf から、[eV·s]である。運動量のずれに翻訳したい時には、∆E
β 2 Es ∆E
W =
= s
ωrf
ωrf βs2 Es
β 2 Es dp
= s
ωrf p

ただし、

α(ϕs ) =∫ ϕ1√
ϕ2(3-49)

cos ϕ + cos ϕs + (ϕ + ϕs − π) sin ϕsdϕ
32(3-53)である。α(ϕs ) は数値積分で求められるが、ϕs = 0
では α(0) = 1、また ϕs = π/2 では α(π/2) = 0という特別な値を取る。W の単位は [eV·s]、ϕ はであるから、

無次元なので、バケツの面積の単位も [eV·s] に

dp
ωrf
= 2 W
p
βs Es

なる。

(3-50)

ϕs を変えた時のこれらのパラメータのプロットを図 14 に示した。ϕs が大きくなっていくと、バであることがわかる。

ケツの長さは急速に短かくなり、バケツの高さ、面φ


φ









図 15

ダイポール振動の図解。



図 14 バケットの大きさを表わすパラメータの


プロット。

積も ϕs = 0 の時に比べ、大きく減少していくことがわかる。できるだけ ϕs を小さくなるように、



余裕をもった電圧が必要であることが理解できる



だろう。

3.5 バンチとしての運動

さて、RF バケツ内で、個々の粒子の運動は位相空間内での回転運動であることは既に述べた通り

である。粒子の集団であるバンチの運動としては、どのように見えるのだろうか。
まず、バンチの重心の運動を見てみよう。図 15
で、はじめに RF バケツの中心からずれた場所で



図 16 四極振動の図解。

ある 1 の重心を持つバンチは、等高線に沿って 1→ 2 → 3 → 4 → 1 と反時計回りに回転運動をによっても生じることは自明であろう。ダイポー行う。この時、バンチの重心の位相は、位相方向

ル振動は、ビームの位相測定や WCM のマウンテへの射影であるから、下に示したように、振動とンプロットのほか、エネルギー方向の振動を検知して観測される。これをダイポール振動 (dipole

する dR BPM の信号の振動として観測される。

oscillation、二極振動) という。ダイポール振動

次に、重心の位置はバケツの中心にあるが、粒子は、位相のずれだけでなく、エネルギー方向のずれの分布がバケツ内の等高線と違った形を持つバン図 17

バケツとビームがマッチしていると、個々の粒子は回転運動を行うが、バンチとしての振動は観測されない。

チはどのように運動するだろうか。各々の粒子は等高線に沿って反時計回りに回転をするので、バンチの位相空間内での分布は、1 → 2 → 3 → 4 →1 のように推移する。この時バンチは、図の下に示したように、重心はその位置を変えないが、長さおよびピーク電流の振動を起こす。これを四極振動 (quadrupole oscillation) と言う。バンチ内のある粒子に着目すると、粒子が半周したところ
で、バンチの形は元に戻る。よって、四極振動の振動数はシンクロトロン振動数の 2 倍、2fs である。また、このようにバンチの位相空間内での分布と RF バケツの等高線の形が異なることを、RF
バケツにミスマッチしていると言う。
反対に、バケツの等高線の形とバンチの粒子の分布が一致している時には、図 17 に示したよう

図 18 縦方向トモグラフィ (LT) による、MR
におけるバンチの位相空間分布の再構成。左側のマウンテンプロットに対応するバンチ波形を、

LT により解析した [15]。

に、個々の粒子はバンチの中で回転運動をしているが、バンチ全体としての振動は見られない。この状態を、RF バケツとビームがマッチしているさが同じであればよい。RCS の取り出しでの RFと呼ぶ。

周波数と MR の入射 RF 周波数は同じ、また取RCS から MR へのビームの受け渡しの際には、り出しおよび入射では ϕs = 0 であり、(3-48) かbucket-to-bucket 入射が行われる。この時、MRら、RCS と MR で V0 /(h|η|) が等しくなれば良に入射してからの四極振動を避けるには、MR のいことがわかる。RCS と MR のハーモニックナ

RF バケツを RCS のビームにできるだけマッチ

ンバーはそれぞれ h = 2 および h = 9、また RCSさせることが重要である。RCS の取り出しビーの取り出し時と MR の入射時のスリッページはそムが RF バケツにマッチしていることを仮定すれれぞれ η = −0.045 および η = −0.058 である。

ば、RCS の取り出しと MR の入射でバケツの高従って、基本波のみを用いる場合、バケツをマッチさせるためには MR の電圧を RCS の取り出しのるとしてよい。

約 6 倍程度に設定する必要がある。現在の通常のまた、RF によるバンチ操作 (RF gymnastics

運転では、この条件は十分には満たされずに、MRと呼ぶ) を行う場合、RF のパラメータ変化を滑ら入射後には四極振動をしている。

かに行いたい、つまり adiabatic に操作したい時

振幅の大きい粒子は非線形性によりその回転運
動に遅れを生じる。四極振動を続けると、この遅れは位相空間内で長いテールとなって表われる。
これをフィラメンテーションと言う。実際の MR
入射ビームのフィラメンテーションの様子を図 18に示した。これは、 MR の入射後 7000 ターン後までの WCM のバンチ信号から、縦方向トモグラ
フィ (longitudinal tomography, LT) により位相空間分布を再構成した結果である [15]。入射直後、100、500、1000、3000、5000、7000 ターン後のバンチ波形および位相空間分布を図示されている。
入射直後からバンチは回転運動 (四極振動) を起こ
し、バンチ辺縁部よりだんだんテールを引いていくフィラメンテーションの様子が見てとれる。

RF バケツの中でバンチが占める面積は、縦方
向エミッタンス (longitudinal emittance) と呼ばれる。四極振動によりフィラメンテーションを起こした結果、縦方向エミッタンスは増大していく。
もちろん不本意なエミッタンスの増加は避けなけ
ればならないが、一方、縦方向エミッタンスを増大させる目的で、あえてバンチの振動を (制御の下で) 起こさせることも行われている。

3.6

Adiabaticity

ここまで粒子の運動を、Es が一定という近似のもとに議論してきた。加速が行われることにより

Es および η が変化するが、加速が十分ゆっくり行
われている時には、縦方向の運動を表わすハミル
トニアンに時間変化が小さく、断熱的 (adiabatic)な運動として考えることができる。運動が断熱的であることを示すパラメータ、adiabaticity ϵa は

ϵa =

1 dωs
ωs2 dt(3-54)

で与えられる。ϵa ≪ 1、実用上 ϵa < 0.1 であるときには加速が十分ゆっくりで、断熱的な運動であがあるが、電圧等の操作が上記を満たす場合には、

RF gymnastics は adiabatic であると言える。
Adiabaticity が十分小さいかぎり、縦方向のエ
ミッタンスは保存される。

4 LLRF 制御システムの概要とフィード
バックについて
4.1

LLRF 制御システムの概要

るように、2 倍高調波の RF 電圧を積極的に活用してバンチ操作を行うほか、ビームローディング補
償もマルチハーモニックなものが必要である。このため、LLRF 制御システムでは、マルチハーモ

ここでは、J-PARC シンクロトロンの LLRF 制

ニック RF 信号を DDS (direct digital synthesis)

御システムの概要について述べる。RCS の LLRF

技術を用いて生成している。DDS とは、デジタル制御システムのブロック図を図 19 に示した。MRの RF 信号波形を直接 D/A 変換して RF 信号をのシステムも同様の構成を持つ。

生成することである。DDS は、デジタル回路のマ

イントロダクションで述べたように、J-PARC

スタークロックが安定であれば、非常に精度の高の LLRF 制御システムは全てデジタル回路で構く安定な周波数の RF 信号を発生させることがで成されている。全ての回路は、J-PARC タイミン

きる。J-PARC では、マルチハーモニックの位相

グシステムから供給される 12 MHz をリファレ

基準信号を生成し、振幅データと合わせて座標変ンスとした 36 MHz のクロックで動作している。

換を行うことで、デジタルの RF 波形を得ている。

J-PARC のエネルギー領域までの陽子シンクロト

位相基準信号の生成の概略を、図 20 に示した。位

ロンは RF 周波数が数 MHz と低いため、ビーム

相加算器 (phase accumulator) には、周回周波数

信号や空胴 RF 電圧信号を、直接 A/D 変換でき

(h = 1) の周波数パターンが入力され、クロックることが、linac や電子リングの LLRF との、ひ毎に位相を加算して、−π から π までの鋸波状のとつの大きな違いである。ダウンコンバートのた位相基準信号を生成する。周回周波数パターンは、めのミキサーが不要であることは、環境によるド精度が必要とされるため、32 ビットのパターンを

リフト等の変動を避けることにつながり、従って用い、また位相加算器も 32 ビットで加算を行って非常に再現性のよい制御を行うことが可能である。

いる。(h = 1) の位相基準信号からは、簡単なデジ

しかしながら、デジタル回路で構成されている

タル演算で高調波 (h = 2, 4, 6) の位相基準信号をといっても、LLRF としての基本的な機能要素は、生成することができる。(h = 2, 4) はビット操作

アナログで制御される従来の陽子シンクロトロン

のみで可能であり、また (h = 6) の信号は (h = 2)と同様である。列挙すると、と (h = 4) の位相基準信号を足し合わせるだけで• 磁場のランプに対応した周波数をもつ RF の発生

• 空胴電圧の制御• ビームフィードバックによる位相および周波数の調整• ビームローディング補償ある。MR の場合は、RF 基本波周波数 (h = 9)や 2 倍高調波 (h = 18)、また RF 基本波の隣のハーモニック (h = 8, 10) が生成される。
アナログで高調波信号を生成しようとするなら
ば PLL (phase lock loop) を用いなければならな
いため、PLL の応答やゲインを考慮しなければならないが、DDS により、PLL を用いることなく、である。J-PARC のシンクロトロンでは、MA 空

マルチハーモニックの信号を生成できる。簡単な胴を用いているために、フェライト空胴で必要な演算でハーモニクスが生成されていることから、同調制御が含まれないため、LLRF 制御システム

各ハーモニック間の同期も容易である。

はフェライト空胴のシステムよりもシンプルなものになっている。

J-PARC のシンクロトロンでは、第 6 節で述べこの位相基準信号は、各モジュールにデジタル信号として、分配され、マルチハーモニックの RF
信号生成や、空胴電圧およびビーム信号の検波に         

  

 

 

    図 19 RCS LLRF block diagram (MR is similar).

freqpatternphase
accumulatorπh=1
phase signal

例にして議論するが、MR においても対象とする

−π

clock

π
h=2
phase signalx2

説しよう。ここでは RCS のハーモニック成分を−π

ハーモニクスが異なるだけで、議論はまったく同
じである。

π
h=4
phase signal

x4

何が目的か

−π
π

x6
(= x2 + x4)

h=6
phase signal

ビーム信号は、周回周波数を ωrev とした時に−π

図 20 DDS によるマルチハーモニック位相基
準信号の生成 (RCS の場合)。

使われる。

A1 (t) sin(ωrev t + ϕ1 (t))+
A2 (t) sin(2 ωrev t + ϕ2 (t))+
A3 (t) sin(3 ωrev t + ϕ3 (t)) + ...
∑=An (t) sin(n ωrev t + ϕn (t))

(4-1)

n

J-PARC シンクロトロン LLRF 制御システムの詳細やモジュールの機能、構成については、[16,17]のように、ビーム周回の周波数および高調波の重を参照されたい。

畳として表わせる。ここに An (t) および ϕn (n は4.2 ビーム信号、および空胴電圧信号の検波につ整数) は、周回の n 倍高調波の振幅および位相をいて表わしている。1 バンチ加速の時には、これら全

ここでは、DDS により生成されたマルチハーモての成分が検出される。2 バンチ加速の時には、(2ニックの位相基準信号から、空胴電圧やビーム信

つのバンチ粒子数が完全に同じだったとすると)

号のハーモニック成分を検波する方法について解

周回周波数の奇数倍の成分 (h = 1, 3, 5...) はキャ

LPF

Input signal(beam or RF cavity)

Iout

表わされているとすると、cos(ωL t)、sin(ωL t) との掛け算を行った結果はそれぞれ、∑
LPF

cos(ωLt)

Qoutn

An (t) sin(n ωrev t + ϕn (t)) · cos(ωL t) =∑ An (t)2nsin(ωLt)(sin ((n ωrev − ωL )t + ϕn (t))+ sin (n (ωrev + ωL )t + ϕn (t)))

(4-3)

NCO

および、
図 21

検 波 の 概 略 図 。図 中 、NCO

はnumerically-controlled oscillator の略。

∑
n

ンセルされてしまい、∑ An (t)2n(cos ((n ωrev − ωL )t + ϕn (t))− cos ((n ωrev + ωL )t + ϕn (t)))

A2 (t) sin(2 ωrev t + ϕ2 (t))+
A4 (t) sin(4 ωrev t + ϕ4 (t))+
A6 (t) sin(6 ωrev t + ϕ6 (t)) + ...

An (t) sin(n ωrev t + ϕn (t)) · sin(ωL t) =

(4-4)

となる。

(4-2)

基準信号の周波数が入力信号 (ビームまたは空胴電圧) の特定のハーモニクスの周波数と非常にと表わされる。

近い、または同じ時は、

空胴の RF 電圧は、アンプから駆動される電流による電圧 (基本的に h = 2, 4 の成分を持つ) と{n ωrev − ωL

ビームにより誘起される wake 電圧の和であるか≃0≥ ωrev(ωL ≃ n ωrev の時)(ωL ≃ n ωrev の時)(4-5)

ら、(4-1) と同じ表現となる。
ビームおよび空胴電圧を検波/検出/測定するとであり、また常には、 特定のハーモニクスに着目して、

1. 振幅 (An (t)) および位相 (ϕn (t)) を取り出す (位相検出および振幅制御の場合に用いられる)

2. In-phase および Quadrature-Phase 信号として取り出し、ゲインと位相を与えて RF 信号

n ωrev + ωL ≥ ωrev(4-6)

であるから、(4-3) および (4-4) の出力をローパ
スフィルタ (LPF) に通したものを Iout 、Qoutとすると、狙ったハーモニクス (n′ ) に関係する(n′ ωrev − ωL ) の項の成分 (すなわち、DC 成分)だけが残る。よって、を再構成する (第 6 節で述べる RF フィード
フォワードの場合に用いられる)ということである。
実際の計算
図 21 に、ハーモニクスの検波の概略を示す。
入力信号は 2 つに分配され、それぞれ cos(ωL t)、sin(ωL t) と掛けあわされる。ここで ωL は検波しようとするハーモニクスの基準信号の周波数である。入力信号 (ビームまたは空胴電圧) が (4-1) でAn′ (t)sin ((n′ ωrev − ωL )t + ϕn′ (t))
21≃ An′ (t) sin (ϕn′ (t))(4-7)
2Iout =An′ (t)cos ((n′ ωrev − ωL )t + ϕn′ (t))
21≃ An′ (t) cos (ϕn′ (t))(4-8)
2Qout =

を得る。

特定のハーモニクスだけを取り出すには、ロー

よび Qout の信号から、基準信号を用いて特定のパスフィルタの帯域は ωrev 以上を完全に除去する

ハーモニクスの正弦波信号を得なければならない。

ものでなければならない。RCS の場合は、frev はすなわち、

469 kHz から 836 kHz まで変化するから、ローパ

1An′ (t) sin (ϕn′ (t))
21An′ (t) cos (ϕn′ (t))
2

スフィルタの帯域は 469 kHz を十分除去しなければならず、200 kHz の LPF を採用している。MRの場合は、周回周波数が 186 kHz なので、さらに狭帯域のローパスフィルタとなる。
検波出力 の精度を決める要素のひとつとして、NCO で生成される cos(ωL t) および sin(ωL t) の(4-9)
(4-10)の組から、適切なゲイン G、および位相オフセッ
ト ψ を与えてGAn′ (t) sin (ωL t + ϕn′ (t) + ψ)

(4-11)

品質があげられる。この波形にひずみがあり高調波成分を含んだり、振幅が 1 でなかったり、が得られればよい。

cos(ωL t) 信号 と sin(ωL t) 信号の間の角がちょう

図 22 に RF 信号の再構成のブロック図を示し

ど 90 度でなかったりすると、検波出力 Iout 、Qout

た。RF 信号のためには、Iout および Qout にそに誤差が生じるのである。振幅が 1 で固定である

れぞれ 2G cos(ωL t + ψ) および 2G sin(ωL t + ψ)

ことから、DDS により生成される位相基準信号かを掛けて加えればよく、ら、θ → cos θ および θ → sin θ のルックアップ(RFout) =テーブル (LUT) を用いることにより、誤差のない

cos(ωL t) および sin(ωL t) を生成することができる。J-PARC シンクロトロンの LLRF では、位相について 14 ビットアドレスの LUT (振幅 16 ビッ

2G (Iout cos(ωL t + ψ) + Qout sin(ωL t + ψ))= G (An′ (t) sin (ϕn′ (t)) cos(ωL t + ψ)+An′ (t) cos (ϕn′ (t)) sin(ωL t + ψ))= GAn′ (t) sin (ωL t + ϕn′ (t) + ψ)

(4-12)ト) を用いている。
振幅および位相検出が得られる。

Iout および、Qout には、特定のハーモニクスにつRF 信号を再構成した場合、検波から再構成まいての完全な情報が与えられている。Qout (4-8)

でを含めると、狙ったハーモニクスに対しての、ゲを X 、Iout 成 (4-7) を Y として、(X, Y ) → (r, θ)インと位相を自由に設定できるバンドパスフィルの座標変換を行うことにより、振幅 An′ (t) およびタとして働いていることがわかるだろう。RF 信

位相 ϕn′ (t) が得られる。

号の再構成は、第 6 節で述べる RF フィードフォ

座標変換には CORDIC アルゴリズムを用いている。
また、空胴ごとの (Iout ,Qout ) ベクトルに、空胴の位置に対応する適切な回転を加えてから、足しワードに用いられている。

4.3 デュアルハーモニック AVC
先に述べたハーモニクスの検波の実例として、
空胴の電圧制御について紹介しよう。

合わせるこで、ベクトル合成を行うことができる。

RCS では空胴を広帯域 (Q = 2) に調整していベクトル合成した Isum 、Qsum に座標変換を行う

る。これにより加速周波数の周波数範囲だけでなことで、ビームの見るベクトル合成空胴電圧の振

く、2 倍高調波の周波数までアンプにより電圧を発幅および位相を検出することができる。

生させることが可能である。これにより、単一のRF 信号の再構成

空胴に基本波と 2 倍高調波を重畳して発生させる

RF 信号を再構成しようとする場合は、Iout お

デュアルハーモニック運転が可能になった。デュアルハーモニック運転により、2 倍高調波専用の   

ωϕ 
($





 

 
θ

! "

 


ωϕ



図 22

ゲインおよび位相を与えた RF 信号の再構成。

$%






'


 
     &'  
 θ 

Σ



$%

 
 θ 

&θ


 




!"



 

#
  図 24 デュアルハーモニック AVC のブロック図。
300
cavity #1

impedance [Ω]250extraction

200
150
100
50

injection
0
0

1

2
3
frequency [MHz]45

図 23 空胴インピーダンスの例。入射周波数と取り出しの周波数ではインピーダンスが大きく異なる。

図 25 基本波のみでドライブした場合と 2 倍高
調波を 80% 重畳した場合の電圧波形。

空胴を配置することなく、大振幅の 2 倍高調波をされた後、harmonic detection block により、先発生させることができ、第 6 節で述べるようなバに述べたハーモニクスの検波が行われ、座標変換

ンチ整形を実現できる。

により振幅成分が取り出される。各ハーモニクス、

しかしながら、デュアルハーモニック運転のた(h = 2) および (h = 4) のそれぞれについて、電めには、基本波と 2 倍高調波の振幅を独立のパ圧パターンとの比較が行われ、PID 制御ののちに、ターンで制御しなければならない。また加速サイ

再度位相基準信号を用い、また座標変換を行ってクル中、周波数のスイープにともない、図 23 に

各ハーモニックの RF 信号を生成する。(h = 2)示すように、空胴のインピーダンスは大きく変化と (h = 4) の RF 信号は、デジタル信号のうちするためシステムのゲインは大きく変動する。こに足し合わされ、最終的に D/A 変換により、基のため、J-PARC の LLRF 制御システムの一部と本波と 2 倍高調波が重畳した RF 出力を得るのでして、デュアルハーモニック AVC (auto voltage

ある。

control、電圧制御) を開発した。

実際にデュアルハーモニック運転を行った時の図 24 に、デュアルハーモニック AVC のブロッ

空胴電圧波形を図 25 に示す。この時の 2 倍高調ク図を示した。空胴電圧モニタ信号は A/D 変換

波の振幅は基本波に対して 80% である。また、実Acc. volt [kV/turn](3-24) から、

h=2 program
h=4 program
h=2 generated
h=4 generated

500dϕd(ϕs + δϕb )
dδϕb
∆E
=
=
= 2πhη 2dt
dt
dt
βs Es Trevs(4-14)

400
300
200

を得る。一方、位相エラーを含んだエネルギー増

injection分の式は (3-25) より

100

extraction

0
0

5

10

15

20

time [ms]図 26 実際の加速に使われるパターンで運転した時のプログラムと電圧の実測の比較。

d(Trevs ∆E)= eV0 (sin(ϕs + ϕb − ϕrf ) − sin ϕs )dt
≃ eV0 cos ϕs · (δϕb − δϕrf ) (4-15)である。(4-14) と (4-15) から、

d22πhηeV0 cos ϕs
δϕb =(δϕb − δϕrf )2
dt
Trevs βs2 Es= −ωs2 δϕb + ωs2 δϕrf

際の加速に使用する電圧パターンを走らせた時の、プログラム電圧と実測の比較を図 26 に示した。

となる。ただし、

プログラム電圧と実測の電圧は非常によく一致し

ωs2 =

ている。
デュアルハーモニック AVC の詳細について(4-16)

2πh|η|eV0 cos ϕs
Trevs βs2 Es(4-17)

であり、また η の符号を考慮した。両辺をラプラス変換すると、は、[18] を参照されたい。
ハーモニクスの検波は、このほか位相フィード(s2 + ωs2 )δϕb (s) = ωs2 δϕrf (s)(4-18)

バックのための位相検出にも使われている。デジタル検波を用いることにより、非常に精度の良い、
また再現性の良い制御ができるようになったことである。但し、δϕb (s) および δϕrf (s) はそれぞれ

δϕb および δϕrf のラプラス変換である。
以上より、を、ここでは強調しておきたい。

4.4 位相フィードバックの簡単な解析

B(s) =

さて、ビームのダイポール振動を抑制する位相ωs2
2s + ωs2(4-19)

フィードバックについて、簡単な解析をしてみよであることがわかる。この伝達関数のボード線図

う [19–21]。

を図 27 に示した。fs でゲインが無限大となるこ

空胴 RF 電圧の位相にエラーがある時、ビーとは伝達関数の形を見ても明らかだろう。周波数

ムの位相にはどのように伝達するだろうか。RF

のエラーにシンクロトロン振動数の成分が含まれ電圧の位相のエラーを δϕrf 、ビーム位相の変化をた場合に、振動が増大し不安定になるのである。

J-PARC のシンクロトロンでは、ビーム位相と

δϕb として、

空胴ベクトル合成位相を比較してフィードバックをかけている [22]。ビーム位相の変化と空胴位相

δϕb = Bδϕrf(4-13)の変化の差を δϕdiﬀ とすると、

δϕdiﬀ (s) = δϕb (s) − δϕrf (s)なる伝達関数 B を考えてみる。

ϕs のまわりの微小振幅の振動の時を考えて、= Bδϕrf (s) − δϕrf (s)= (B − 1)δϕrf (s)(4-20)

図 27

シンクロトロン振動数を 1000 Hz とした

ときの B(s) のボード線図。

φ

位相フィードバックを閉じた時のボード

線図 (fs = 1000 Hz)。



δφ





を考える。KP 、KI はそれぞれ比例ゲインおよび
積分ゲインである。フィードバックを閉じた時の伝達関数は、

δϕdiﬀ (s)B ′ (s)=δϕrf (s)1 + B ′ (s)G(s)s2=(KP − 1)s2 + KI s − ωs2δφ
−

図 29


 

+

δφ



(4-23)となる。(4-23) から、もし積分ゲインが 0、すな
わち KI = 0 であると、極は√s=±

図 28 空胴とビームの位相差をフィードバック
する場合のブロック図。

ωs2
KP − 1(4-24)となり、正負の実数または純虚数であるから、安定でないことがわかる。逆に、積分ゲインのみ′であるから、δϕrf から δϕdiﬀ への伝達関数 B は、

B′ = B − 1 =
=

ωs2
−1
s2 + ωs2−s2

δϕdiﬀ (s)=δϕrf (s)(4-21)

s2 + ωs2=−s2
s2 − KI s + ωs2(4-25)になる。KI < 0 であれば極の実数部は負となり、振動はダンプされる。フィードバックを閉じた時であることがわかる。検出された位相差に、制御
要素 G(s) を入れてフィードバックをかけてみよう。この時のブロック図を、図 28 に示した。

G(s) として、比例積分要素
G(s) = KP +(KP = 0) の時、伝達関数はKIs(4-22)の伝達関数のボード線図を、図 29 に示した。

5 RF 調整の実際
J-PARC のシンクロトロンでは、前節で述べた

フルデジタルの LLRF 制御システムの特徴、(高精度および高再現性) を生かして RF の調整を行っている [23, 24]。ここでは、実際のデータを示しながら、各種の RF 調整のトピックを紹介していこう。



5.1 入射周波数調整
まず、RCS での入射周波数の調整の実際について述べる。
入射においては、linac からの入射ビームをバケツの中心に入射することが、不要な振動を抑えるために必要である。linac からの入射中間パルスのタイミングは、RCS の LLRF によって制御されており、RCS 側で自由に調整できる。
バケツの時間方向の中心へビームを入射したとしても、エネルギー方向にずれていると (周波数がずれていると)、バケツの中での回転運動はやはり

図 30 RCS の 入 射 で 、ビ ー ム の 入 射 位 相 調
整 調 整 後 の マ ウ ン テ ン プ ロ ッ ト 。上 は frf =0.939471 MHz、下は frf = 0.938175 MHz。

ダイポール振動となる。ダイポール振動の振幅か
ら、周波数調整を行うことができる。
実際のビームのマウンテンプロットを見てみよう。ここでは、RCS の beam storage mode での例を示す。磁場はランプせず、従ってビームは加速されない。入射されたビームは 20 ms 後に181 MeV のまま取り出される。この時の RF の待ち受け電圧は 68 kV であり、バケットハイトは

dp/p にして、0.97% である。

図 31

位相空間の下のほうにビームが入射されると、まず時間が遅い方向へ動き、ダイポール振動をする。

まず、frf = 0.939471 MHz の時に、入射ビームの時間を振動の中心に持ってくるように linac からのビームのタイミングを設定したのが、 図 30の上のプロットである。
時間の中心に入射されたビームは、まず時間が遅い方向へ動き、その後振動しているのがわかる。
位相空間で陽子は反時計回りに回転することを考

周波数を下げなければいけないことがわかる。
マウンテンプロットから、ダイポール振動の振幅は、70 ns であることがわかる。ダイポール振動の振幅から、エネルギーのずれを求めてみよう。

ϕs = 0 でのハミルトニアン H0 は (3-41) よりえると、図 31 に示したように、この状態は、バケツの下半分にビームが入射されている状態である

H0 (ϕ, W ) =2
η 2 eV0
1 ωrf
W +
cos ϕ
2
2 βs Es
2πh(5-1)

ことがわかる。ダイポール振動の抑制のためには、である。バンチが RF バケツの中の (0, W0 ) に入射されているとすると、

H0 (0, W0 ) =2
1 ωrfη 2 eV0W +,22 βs Es 0
2πh

(5-2)

このバンチがダイポール振動の位相が最大の所で(ϕ0 , 0) を通ることから、
H0 (ϕ0 , 0) =eV0
cos ϕ0 ,
2πh

(5-3)

(5-2) と (5-3) が等しいので
2
eV0
1 ωrf
η 2 eV0W0 +=cos ϕ0 ,22 βs Es
2πh
2πh

(5-4)

よって、

√

β 2 Es eV0
W0 = ± − s2
(1 − cos ϕ0 )
ωrf η πh(5-5)

を得る。バケツの高さの定義 (3-48) と比較すると、√
W0 = ±

1 − cos ϕ0
Wm (0)
2(5-6)

を得る。振動の振幅 ϕ0 が小さい時は、

W0 ≃ ±ϕ0
Wm (0)
2(5-7)と近似できる (おおむね π/4 くらいまでは良い近図 32(上) frf = 1.671650 MHz ではミスマッ
チしている。(下) frf = 1.671750 MHz では運動量に RF 周波数がマッチしている。

似である)。

RF 周期 1066 ns を使うと、(5-7) から、この時のエネルギー方向への振幅は

dp
1 70
= ·
· 2π × 0.97 = 0.20
p
2 1066を図 30 の下の図に示した。ダイポール振動が抑[%], (5-8)

つまり、linac からのビームは、dp/p にして約−0.2% の所に入射されていることがわかる。RCSの入射エネルギーでは、η = −0.69 であるので、(3-14) から、∆p
frf∆frf = |η|p= 0.69 × 0.002 × 0.939471≃ 1296 [Hz]えられていることがわかる。この状態を、「リニアックからの入射ビームの運動量に RF 周波数をマッチさせた」と呼んでいる。
同様に MR の入射周波数の調整の例を、図 32に示した。frf = 1.671650 MHz で入射した時には、RCS からの入射ビームはまず時間が早い方へ
動き、ダイポール振動をする。この場合、RF バ
ケツの上半分に入射されていることがわかる。こ

[MHz]
(5-9)

だ け 周 波 数 を 下 げ て や れ ば よ い 。frfの時の MR の入射時の電圧 160 kV、スリッペー
ジ η = −0.058 を用いると、バケツ高さは dp/p=にして 0.73% となる。マウンテンプロットから読0.938175 MHz とした時のマウンテンプロット

み取ったダイポール振動の振幅は 26 ns により、

(5-7) から、この時のエネルギー方向への振幅は

2(5-10)

0となるので、周波数を∆p∆frf = |η|frfp= 0.058 × 0.00099 × 1.67165 [MHz]≃ 96 [Hz]after correction
before correction

orbit [mm]

dp
1 26
= ·
· 2π × 0.73 = 0.99 [%]
p
2 598

4

-2
-4
-6

(5-11)-8
0

5

10
time [ms]だけ周波数を上げてやればよい。複数バッチの入射を行うために、MR の入射 RF 周波数は、

図 33

RCS の加速サイクル 25 Hz の整数倍とすること

信号 (RCS)。

1520周波数補正前および補正後の dR BPMになっているので、周波数を 100 Hz 上げ、frf =1.671750 MHz で入射した時のマウンテンプロッ

10

トが図 32 の下のプロットである。ダイポール振8

動が抑えられて、四極振動だけになったことがわ

6orbit [mm]かる。

5.2 加速周波数の調整
次に、加速中の RF 周波数の調整について述べる。磁石のパターン運転の立ち上げ後十分に時間が経過すると、熱的に平衡に達するため、偏向電磁石の磁場は安定となる。この状態ではサイクル

after correction
before correction

4
2
0
-2
-4
0

500

1000

1500
time [ms]

2000

2500

3000

毎の変動は非常に小さく、加速周波数パターンは、
軌道フィードバックを使用せずに調整が行われて

図 34

周波数補正前および補正後の dR BPM

信号 (MR)。

いる。
まず、周波数の初期パターンでビーム加速を行い、加速開始から取り出しまでの dR BPM 信号

同様に MR での補正前後の dR BPM 信号のを記録する。そして、周波数パターンに次に示す

例を、図 34 に示した。調整前では加速開始から式を用いて補正を加える。

0.5 秒ほどの所で外側に 8 mm と大きく軌道のず∆R. (5-12)(dispersion)

れが生じており、これは運動量のずれにして 0.3%

補正を加えた周波数パターンで加速を行い、再度

ほぼ 0 mm のところに収めることができている。

dR BPM 信号をを測定する。数回の試行により、一度調整すると、運転期間中は再調整なしにそ∆fcorrection = −frf × η ×dR BPM でのビーム位置をほぼ中心にすることがに相当する。補正後は、ダイポール振動の中心をのまま安定に加速することができる。

できる。図 33 に RCS での補正前と補正後の dR

このように軌道フィードバックを閉じずに安定

BPM 信号の例を示した。この例では、補正前にな加速ができるのは、まず、第 4 節で述べた DDS

は 2 ms 付近で振動の中心は −3.5 mm、取り出しの発生する周波数が高精度かつ非常に安定であ直前には −2 mm であったのが、補正後にはサイるからである。J-PARC シンクロトロンの DDS

クルを通じて ±1 mm 以内でおさまっている。

の場合、周波数のレゾリューションは約 10−7 で

図 35

RCS の取り出しビーム (ビームパワー
20 kW) のジッター測定。ジッターは 1 ns 以内である。

ある。これは、アナログの LLRF で使用される

VCO (voltage controlled oscillator) の精度 (約10−4 ) に比べて非常に高精度である。MR においては、スリッページの絶対値 |η| が小さく、入射で0.058 であるものが加速とともに急速に減少し、加速開始から 1 秒経過した時点では 0.005 以下になり、加速終了時点では 0.002 程度になってしまう。
フラットトップにおいては、RF 周波数 1.72 MHzに対し、わずか 10 Hz (5.8 × 10−6

図 36 RCS の 25 Hz 運転中 (ビームパワーは300 kW) の加速中の位相測定。下は取り出し直前の時間の拡大である。取り出し直前では、位相のばらつきは全幅で約 1 度、すなわち 1.7 ns 以
内である。

) の周波数のずれが約 0.3% もの運動量のエラーとなり、ディス
パージョンのピーク (約 2.5 m) で 7 mm 以上の−4

軌道のずれとなるということである。10RF 信号の発生に高精度の DDS を用いているの精度

こと、そして加速運転周期が AC ラインと非同期の VCO を使うならば、軌道フィードバックが必であることにより、J-PARC は、取り出しビーム

須であることは明白である。

のタイミングの高安定化を達成している。実例をまた、J-PARC の加速運転周期が、商用 AC ラ

示そう。図 35 は、25 Hz の連続運転中 (ビームパインの周波数に非同期であることも重要である。

ワーは 20 kW) の RCS からの取り出しビームをJ-PARC の運転周期は、高精度のシンセサイザー

3NBT (RCS から MLF へのビームトランスポーにより発生されるマスタークロックに従っている

トライン) の FCT で捕捉したものを、多数のパルために、正確なものになっている。商用 AC ライスについて重ね書きしたものである。この測定でンの周波数には、0.1% 程度の変動があるため、加は、トリガーは、J-PARC のタイミングシステム

速運転周期が (従って、磁場のランプが) AC ラで生成される正確な 25 Hz のパルスである。ジッインに同期しているならば、やはりビームを用い

ターは非常に少なく、1 ns 以下であった。ハイパ

た軌道フィードバックによる周波数補正が必須とワーのビームについても安定なタイミングが実現なる。

できている。図 36 に、300 kW ビームの 25 Hz 1

時間連続運転中の 200 ショットについての、加速

frf = 0.9388 MHz

サイクル中のビーム位相測定を示した。取り出し

10

直前でのビーム位相のばらつきは全幅で約 1 度以

8

らつきである。このような高安定な RCS の取り7
fs [kHz]内、すなわちタイミングにして約 1.7 ns 以下のば

calcmeasured

9

出しビームタイミングにより、MR への安定な入

6
5
4
3
2

射も実現できている。

1
0

5.3 シンクロトロン振動数による電圧のチェック

10

11

図 37

空胴電圧と fs の関係 (RCS)。

空胴の電圧設定を変えながら、シンクロトロン
振動数を測定することで、実際にビームが感じる

12
13
14
sqrt(voltage [kV])1516電圧を知ることができ、電圧モニタの較正の参考にすることができる。WCM のビーム信号をリア

frf = 1.6715 MHz

ルタイムスペクトラムアナライザーに入力し、シン500

クロトロン振動のサイドバンド周波数を測定する

400ことで、シンクロトロン振動数を測定できる。な300

fs [Hz]

るべく長い時間の FFT をさせたほうが精度が良calc
measured200

いため、測定は加速をしない beam storage mode

(RCS) および 3 GeV 周回モード (MR) で行わ
れた。

100
0
6

7

また、シンクロトロン振動数には振幅依存性があるため、ビームはなるべくバケツの中心に入射

図 38

8

9
10
11
sqrt(voltage [kV])1213空胴電圧と fs の関係 (MR)。

されるように、入射位相およびエネルギーの調整を綿密に行う必要がある。

RF 電圧を変化させた時のシンクロトロン振動数の測定結果を、図 37 および図 38 にプロットした。ただし、X 軸は電圧 (kV) の平方根である。ここで、RF 周波数はそれぞれ、0.9388 MHz (RCS)
および 1.6715 MHz (MR) である。

RCS では、計算よりもおよそ 3.5% ほど高い周

図 39

空胴電圧モニタ信号。左: 0.938 MHz(入射)、右: 1.67 MHz (取り出し)。入射時の波形は三倍高調波で歪んでいる。

波数であった。一方、MR では全体的に計算と良
く合い、計算から ±1.5% の範囲に入っている。

RCS の空胴は広帯域 (Q = 2) であるため、入5.4 位相フィードバックの実際

射付近の低い周波数では、終段アンプの真空管のRCS での位相フィードバックの効果のようすを

3 倍高調波歪みが比較的大きくギャップ電圧に現見てみよう。図 40 に、入射から取り出しまでのわれる (図 39)。この高調波の影響が、RCS にお

delta-R BPM の位置信号を位相フィードバック

いて fs が計算からややずれる原因だと考えられてOFF (上) および ON (下) の場合について示した。

いる。一方、 MR では比較的 Q が高く波形が正位相フィードバックが OFF の場合、大きなダイ

弦波に近いため、計算と良く合うのである。

ポール振動が加速開始から取り出しまで続いていることがわかる。RCS では、デルタ R BPM でdelta-R position [mm]10

without FB

5


0

-5

-10
0

5

10

15

20

time from Bmin [ms]10with FB

図 41

四極振動抑制の概念図。1/4 回転後に急delta-R position [mm]に電圧を下げることでバンチに電圧をマッチさ
5

せる。

0

-5

OFF (従って、ダイポール振動は取り出しまで継続する) でもロスなく加速できているが、300 kW

-10
0

5

10

15

20

time from Bmin [ms]図 40

RCS での delta-R BPM 位置信号。 上は位相フィードバック OFF、下は ON の場合である。加速から取り出しまでの全加速サイクルをプロットしている。

相当のビームでは加速の中盤で大きなビームロスを生じてしまうために、位相フィードバックが必須となっている。

5.5 MR での RF gymnastics の例
現在の RCS の通常の電圧パターンでは、取り出しの電圧が比較的高く設定されているため、MRの待受電圧 (160 kV) とマッチしていない。こののディスパージョンは約 4.8 m であるので、このため、MR への入射後、ビームは四極振動を起こ

振動の振幅は運動量のずれにして dp/p ≃ ±0.1%す。四極振動の抑制には、RCS の取り出しの電圧程度に相当する。位相フィードバックが ON の時を下げる方法や、MR の RF 電圧を揺さぶる方法

は、ダイポール振動は速やかにダンプしているこの他にも、方法がある。ここでは、MR での RFとがわかるだろう。J-PARC のシンクロトロンで

gymnastics の一例として、non-adiabatic な電圧は、第 4 節で示したように、空胴とビームの位相操作による四極振動の抑制を紹介する。

差をフィードバックしているので、ここでは積分
ゲインのみをかけている。

図 41 に、四極振動抑制の概念図を示した。MR
へのビーム入射後、バンチが位相空間内で 1/4 回

ダイポール振動は、ディスパージョンの大きな転した時に、急に (non-adiabatic に) RF 電圧を所でのアパーチャーリミットによるビームロスに下げてやることにより、RF 電圧とバンチがマッ

つながることはもちろんであるが、特に大強度ビー

チし、四極振動を抑制できるのである。

ムを加速する場合、運動量のずれた粒子について実際に MR で電圧操作を行わない時と行ったとのクロマティシティによるベータトロンチューン

きのマウンテンプロットを図 42 に示した。このの広がりによるビームロスが問題となる。RCS で時、入射から 400 µs 後に、電圧を急に 160 kV かは、100 kW 相当の強度では位相フィードバック

ら 53 kV に下げている。マウンテンプロットを見図 44 RCS の取り出しでバンチ回転を行なう
ための電圧パターン。横軸は Bmin からの時間[ms]、縦軸は加速電圧 [kV] である。

ると、通常の場合では周期的に密度の濃い部分が現われるのに対し、電圧操作を行なった場合では、

1/4 回転したところで四極振動が抑制され、密度の濃い部分が出ないことがわかる。図 43 から、電圧を下げたタイミング以降では、ピーク電流が変化していないことがわかる。
このような電圧操作を行い四極振動を抑制した
図 42 電圧操作なし (上) とあり (下) でのマウ
ンテンプロットの比較。

ビームは運動量の広がりが小さいため、ビームコ
ミッショニングにおける各種の測定を行うのに適している。また、RF 電圧を揺さぶる方法よりも短時間で四極振動を抑制できる。

3

この手法は、MR の初期の 3 GeV 周回モード
でのコミッショニングで非常に有効であった。

peak current [A]2.5

5.6 RCS での RF gymnastics の例

2

次に、RCS での RF gymnastics の例として、
1.5

取り出しビームの操作について述べる。
1

MR への入射ビームとしては、後述する空間電0.5160kV constant
160kV->53kV
0
0

100 200 300 400 500 600 700 800 900
turn / RF clock

図 43 電圧操作なし (赤) とあり (緑) でのピーク電流の比較。

荷効果の抑制のために、なるべく長いバンチが求められている一方、MLF におけるミューオン実験のグループからは、バンチ長が短いビームが求められている。また、3NBT の調整のために、運動量広がりが通常より大きい (dp/p が大きい) ビー
ムが要求されることがある。
以下のような手法で、通常より短かいバンチを

量広がりが最大に) なるようにしてやるのである。

1.2
normal operation
w/o voltage jump
w voltage jump 135kV 19.5ms-

1

実際には、取り出しから 0.5 ms 前で、急に電圧を

135 kV 高くした。この時の電圧パターンを図 440.8に示した (基本波電圧のみのプロットである)。

0.6

取り出し直前のバンチ波形の比較を図 45 に示0.4

した。バンチ回転を行った場合、バンチ長は 90 ns
0.2

まで短かくなっていることがわかる。取り出し直0前のピーク電流の変化の比較を、図 46 に示した。

-0.2
0

200

400

600

800

1000

1200

バンチ回転をしない場合には、取り出しビームのピーク電流は 7 A 程度だったものが、回転を行っ

図 45 バンチ回転を行わない場合、行った場合、通常の電圧パターンの時の取り出し直前のバンチ波形の比較。

た場合には 22 A 程度になっていることがわかる。
運動量広がりは、±0.2% から ±0.7% に増加した。

25

w/o bunch rotate
w/ bunch rotate

peak current [A]20

手段であるが、一方で、原理的に運動量広がりの増加を招くため、リングの運動量方向のアクセプタ
ンスを超えてしまわないよう、注意が必要である。

15

10

5

0
19.3 19.4 19.5 19.6 19.7 19.8 19.9

20

20.1 20.2 20.3

time from Bmin [ms]図 46

バンチの回転はバンチ長の短縮のために有効な

バンチ回転を行わない場合 (上) と行った

場合 (下) のピーク電流の比較。

実現することができる。まず、RCS の入射で 2 倍
高調波を基本波電圧の 50% 入れ (2 倍高調波については第 6 節で述べる)、また、取り出し電圧が通常よりも低い電圧パターンにして、取り出し近くで、バンチ長が通常より長く運動量広がりが小さいビームにする。具体的には、通常の取り出し
電圧は 150 kV であるのに対し、取り出し電圧が45 kV であるような電圧パターンにする。こうす
ると、通常の取り出し付近で 150 ns 程度 (裾野の幅) であったバンチ長が、約 230 ns に伸びる。
このビームに対し、取り出しの直前で急に電圧を上げてやることで四極振動を起こしてやり、ちょ
うど取り出しの時にバンチがもっとも細く (運動6 大強度陽子ビームの加速にあたって
ここでは、大強度の陽子ビームの加速にあたり問題となる、空間電荷効果 (space charge eﬀect)の抑制およびビームローディングの補償について述べよう。

6.1 空間電荷効果の抑制–縦方向ペインティング
ビーム強度が上がると、ビーム内の陽子間にはたらくクーロン力が無視できなくなる。これを空間電荷効果と呼ぶ。縦方向の空間電荷力は、その発散力のために、ビームに対して空胴の RF の電圧の減少として感じられる。縦方向の空間電荷効
果は、[9] に詳しく述べられているので参照してほしい。
一方、ビームのベータトロン振動に、空間電荷効果はチューンシフト (incoherent tune shift) として重大な影響を及ぼす。チューンシフトを ∆ν

図 47

linac からの入射ビームは回転運動 (上)を行い、ピークの高いバンチが形成される (下)。

とすると、

∆ν = −

Np rp
2πϵβ 2 γ 3 Bf

(6-1)という式で計算される。但し、Np は粒子数、rp はclassical proton radius、ϵ はビームの横方向のエ
ミッタンスである。Bf はバンチングファクター(bunching factor) と呼ばれる量で、Bf =(average current)(peak current)

な操作により、ピーク電流の低いフラットなバン
チを生成することにより実現される。この RF パ
ラメータの積極的な操作を縦方向ペインティングと呼んでいる。

linac からのビームは、チョップしたビームをマ
ルチターン入射することにより RCS のリングに(6-2)

蓄積される [26]。linac からの入射ビームは運動量の広がりが小さく (dp/p = ±0.05% 程度) 時間方で定義される、ピーク電流と平均電流の比である。

向に長いため、RCS の RF バケツにマッチしていバンチングファクターは 0 から 1 までの値をとない。このため、ターン毎に入射されたビームはり、coasting beam では 1 である。エネルギーの四極振動をするが、その結果、入射終了後にはピー

低い RCS の入射では、チューンシフトが特に問

ク電流の高いバンチが形成されてしまう (図 47)。

題となる。(6-2) からすぐにわかるように、横方向

このために、縦方向ペインティングが必要になるのエミッタンスを増大させること、そしてバンチのである。

ングファクターを増やすことで、チューンシフトを減らすことができる。

RCS における 1 MW ビームの加速のためには、
Bf を 0.4 以上にしないといけないことがわかって

RCS の入射では、横方向のエミッタンスの増いる。縦方向のトラッキングシミュレーションに

大はバンプ電磁石を用いた横方向のペインティン

よるパラメータの調査が行われた結果、J-PARC

グにより実現される [25, 26]。バンチングファク

RCS では以下の手法の組み合わせによって、大きターの増大は、入射時の RF パラメータの積極的なバンチングファクターを得られることがわかっ∆ p / p (%)

2

1.5
1

0.5
0

-0.5
-1
-1.5
-2
-500 -400 -300 -200 -100

100 200 300 400 500

time (ns)

図 49 モーメンタムオフセット入射の概念。

number of particles

100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
-500 -400 -300 -200 -1000

タムオフセット量を dp/p として、

0

df
dp
=η×
f
p

100 200 300 400 500

time (ns)

図 48 2 倍高調波振幅を基本波の 80% として、モーメンタムオフセットおよび 2 倍高調波位相スイープを組み合わせた時の分布のシミュレー
ション結果。

(6-3)

で与えられる。RCS の入射付近では η = −0.69
であり、例えば dp/p = −0.2% となる周波数オフ
セットの量は、1296 Hz である。
第 4 節で述べたように、J-PARC シンクロトロ
ンの LLRF 制御システムでは DDS を用いた非常に高精度の信号生成をしているために、周波数のた [27]。

• モーメンタムオフセット (momentum oﬀset)
入射• 大振幅の 2 倍高調波
• 2 倍高調波の位相スイープ
これらの手法を組み合わせることで、図 48 に示されるような、フラットなバンチを得ることがでエラーは 0.1 Hz 程度であるので、精密なモーメン
タムオフセットを実現できるのである。

2 倍高調波重畳
2 倍高調波は ϕs にロックする。合成電圧 Vsum
は、基本波のピーク電圧 V1 、2 倍高調波電圧 V2
としてVsum = V1 sin ϕ + V2 sin(π + 2(ϕ − ϕs ))= V1 sin ϕ − V2 sin 2(ϕ − ϕs )きることがシミュレーションにより示された。

(6-4)

順に解説していこう。

と表わされる。2 倍高調波の位相をこのようにモーメンタムオフセット入射設定してやることで、ϕs にいる粒子は、上式でモーメンタムオフセット入射の概念を図 49 に

ϕ = ϕs を代入してやればすぐにわかるように、示した。入射ビームをバケツの下のほうに入れるV1 sin ϕs を感じる。つまり、V1 のみの電圧パター

ことで、シンクロトロン運動をより大きく起こしンの時と同じ同期位相を保ったまま加速されるとてやり、バンチを広げてやるのが目的である。

いうことであり、2 倍高調波の導入により refer-

モーメンタムオフセット入射は、linac からの入射ビームにマッチした周波数から少しずらした周

ence particle の加速には影響がないということである。

波数で RF バケツを形成することで実現される。

2 倍高調波電圧がある時のハミルトニアンを計

周波数オフセットの量 df /f は、所望のモーメン

算してみよう。(6-4) で与えられる 2 倍高調波電voltage

-3

-2

-1

1

2

3

phase

potential

図 51

ϕs = 0、2 倍高調波 50% での RF バケツ (太線) と粒子の軌道。

バケツの端を与える不安定不動点は、ϕs = 0 の時には基本波のみの時と同様に (π, 0) なので、同様に HSP を計算してやると、

-3

-2

-1

1

2

3

HSP =

phase

図 50 2 倍高調波振幅割合 50% での電圧波形が得られ、およびポテンシャル (ϕs = 0)。細い実線で基本

W2 =波のみの場合を示した。

β 2 Es eV1− s2
ωrf η πh圧がある時、(3-25) は、d(Trevs ∆E)=dt(
eV1 sin ϕ −V2
sin 2(ϕ − ϕs ) − sin ϕs
V1

)

−1 −

V2
2V1

)
(6-7)

(
)
V2 (cos 2ϕ − 1)cos ϕ + 1 +
V1
(6-8)

倍高調波の割合 50% の時の RF バケツを、図 51に示した。このようにバケツの形状を平たくする
ことにより、バンチの形状をフラットにしようとと書き換えられる。ハミルトニアンのポテンシャ
ルの項は、

(

(

により、セパラトリクスを書くことができる。2

(6-5)

eV1
2πh

eV1
2πh

)
1 V2
cos ϕ + ϕ sin ϕs −cos 2(ϕ − ϕs )
2 V1
(6-6)

で与えられる。
入射時、ϕs = 0 の場合について RF 電圧波形おいうのが狙いである。
小振幅の場合のシンクロトロン振動数を考えよう。基本波のみの時と同様に、∆ϕ ≡ ϕ − ϕs ≪ 2πの時を考えると、V2
sin ϕ − sin ϕs −sin 2(ϕ − ϕs )
V1
(
)
2V2
≃ cos ϕs −
∆ϕ
V1

(6-9)

よびポテンシャルをプロットしたものを、図 50 にであるから、示した。2 倍高調波電圧の割合を 50% とした時、電圧は 0 度付近でフラットになり、ポテンシャル

2πhη eV0
d2 ∆ϕ
=
2
dt
Tc2 Esが基本波のみの場合に比べて広がっていることがを得る。ϕs = 0 で 2 倍高調波振幅の割合が 50%

わかる。

(V2 /V1 = 0.5) の時、右辺は 0 になる。つまりシ()
2V2cos ϕs −·∆ϕ (6-10)
V1

voltage

-3

-2

-1

1

2

3

phase

図 54

potential

2 倍高調波 80% で、モーメンタムありの

場合のマルチターン入射の状況の概念図。

く、また ϕ = 0 はポテンシャルの極大値であり、不安定不動点になっていることがわかる。このことは (6-10) の右辺の係数の符号が、η < 0 かつ

V2 /V1 > 0.5 では
-3

-2

-1

1

2

3

phase

(
)
2V2
η cos(0) −>0V1

図 52 2 倍高調波振幅割合 80% での電圧波形
およびポテンシャル (ϕs = 0)。細い実線で基本
波のみの場合を示した。

(6-11)

であるから、もはや ϕ = 0 周辺では微小振動の解がないことと対応している。ϕ = 0 のまわりにポテンシャルの極小値が 2 個あり、これらが安定不  

動点である。
この時のバケツを 図 53 に示した。バケツは中央がくびれたような形になっている。(0, 0) を通る粒子の軌道は、2 個の安定不動点を回る粒子の運動のセパラトリクスを与えている。このセパラ
トリクスの内側にかかるように linac からのビー
ムが入射されると、粒子はこの範囲内に捕獲される。先に述べたモーメンタムオフセット入射をし

図 53

ϕs = 0、2 倍高調波 80% での RF バケツ (太線) と粒子の軌道。

ない場合、マルチターン入射後のバンチ波形が 2個のピークを持つ形状になることは、容易に理解できるだろう。

ンクトトロン振動数が 0 となることがわかるだ
ろう。

このような大振幅の 2 倍高調波は、特にモーメ
ンタムオフセット入射との相性が良い。図 54 にさて、2 倍高調波の割合を増やすと、ポテンシャ

示したように、linac からの入射ビームは、位相空

ルはどうなるであろうか。同様に ϕs = 0 で 2 倍間内で、1) 位相がマイナス側の安定不動点を回る

高調波電圧の割合を 80% とした時の電圧波形を軌道、2) 位相がマイナス側の安定不動点を回る軌

およびポテンシャルを図 52 に示した。

道、3) 2 個の安定不動点のまわりのセパラトリク

もはや電圧波形は ϕ = 0 周辺でフラットでなスの外側を回る軌道、に分割され、回転運動を行う。この結果、モーメンタムオフセットなしで入        

 

射された時に見られる 2 個のピークの間を埋める粒子が存在するために、最終的にフラットなバン !" #





   

チ波形が得られるのである。

2 倍高調波位相スイープ
2 倍高調波の位相スイープは、2 倍高調波の位

相を入射期間中にスイープさせてやることで、RF  #  (#   
$%&"$'

バケツの形を動的に変化させて、粒子の運動を促進させることで、特に入射開始直後のバンチング
ファクターを改善しようというものである。2 倍) 
 # )  )    #

高調波の位相は、以下の式に従うようにスイープ

図 55

させる。

1 RF システムのみ描いてある (実際には 11 台の空胴がある)。

[deg],(6-12)

450

1.8

400

1.7

350

1.6

300

1.5

250

1.4

200

1.3

ントモニターの信号を用いて見ていこう。ビーム

150

1.2

試験のセットアップを、図 55 に示した。ロングメ

100

ϕ(h=4) は 2 倍高調波の位相、ϕsweep はスイープの
6.2 縦方向ペインティングの実際
縦方向のペインティングの効果を、実際のカレ

モリーのオシロスコープにより、WCM 信号を入voltage [kV]

範囲、Tinj は入射時間 (マクロパルス幅) である。

1.1
fundamental
second harmonicfrequency

5000

射から取り出しまで全て記録し、LLRF 制御シス

frequency [MHz]()ϕsweepTinj
ϕ(h=4) =
t−
− 2ϕs
Tinj
2

ビーム試験のセットアップ。簡単のため、

5

10

15

1
0.9
20

time [ms]テムで生成される周回クロック信号を用いて、信号データをスライスしている。

図 56

基本波および 2 倍高調波の電圧パターン、および周波数パターン。

また、この試験の時のビームパラメータを、表 2に示した。linac のピーク電流は 15 mA、チョッ
プ幅は 600 ns である。マクロパルス幅は 500 µs
で、この時、2.5 × 10

13パターンを採用している。

個の陽子が入射、加速さ

位相スイープは、100 度とした。2 倍高調波の位れている。ビームは偏向磁場の最小値のタイミン

相は、基本波のベクトル合成電圧の位相を基準に、

グ Bmin 前後 250 µs (前後 117 ターンずつ) にか

ϕs のパターンを参照することで所望の位相になる

けて入射されている。

ようにフィードバックをかけている。図 57 に、ス

RF 電圧のパターンを図 56 に示した。Bmin か

イープをしない場合とした場合の 2 倍高調波のベら 1 ms までは 2 倍高調波電圧の基本波に対するクトル合成位相の測定を示した。この例では、位割合は 80% に保たれ、Bmin でゼロとなる。

相スイープの範囲は 100 度である。スイープをしモーメンタムオフセット入射のための周波数オ
フセットは、入射開始から Bmin まで 1296 Hz (こた場合としない場合の差がスイープ量であるが、高精度に制御できていることがわかるだろう。

れは dp/p = −0.2% に相当する) に保たれ、その縦方向ペインティングの操作を行わない場合と後線形に減少させ、1 ms でオフセットなしとなる

行った場合のマウンテンプロット、250 ターンでのロスは空間電荷効果ではない理由によるものと考60
without phase sweep
with phase sweep
difference

vector-sum phase [deg]40
20

えられている)。

100 KW および 200 kW 相当の粒子数でのビー

inj end0-20

ムを使ったより詳細なパラメータサーチの結果に-40

ついては、[28, 29] を見て欲しい。

-60

このように、J-PARC の RCS の入射において-80は、大振幅の 2 倍高調波を中心とした縦方向ペ-100
inj start

インティングの効果が絶大である。このような大

-120
-1

-0.5

0
0.5
time from Bmin [ms]1

振幅の 2 倍高調波を発生させることは、限られた

RCS の周長では、広帯域の MA 空胴によってのみ
図 57

2 倍高調波位相スイープなし、位相スイー
プあり (100 度) の 2 倍高調波のベクトル合成位相の測定結果、およびスイープありなしの差。

表 2 Beam test parameters.
macro pulse width
chopping widthlinac peak current
number of filled buckets
number of protons
dp/p of linac beam
RF freq、 during injection
RF voltage during injection
bucket height during injection
fs near injection
phase feedback

500 µs
600 ns15 mA
2
2.5 × 1013 ppp±0.05 %
0.938–0.939 MHz
78–111 kV
1.03–1.24 %3370–4009 Hzon

バンチ波形、電流値およびバンチングファクターの比較をそれぞれ図 58、図 59 に示した。縦方向
ペインティングを行うことにより、ピーク電流の低い、フラットなバンチが得られていることがわかる。入射直後のバンチングファクターは、縦方
向ペインティングなしの時に 0.26 程度だったもの
が、縦方向ペインティングにより 0.45 まで改善している。
図 60 に、縦方向ペインティングの有無による
ビームサバイバルレートの差を示した。この時、横方向には、100π の correlated paint が行われている。300 kW 相当のビームでは、縦方向ペイン
ティングなしでは入射直後で 7% のビームロスがあったものが、縦方向ペインティングにより 1%程度のロスに抑えられている (この 1% のビーム可能であることをここに改めて強調しておきたい。

図 59

縦方向ペインティングなし (上)、あり(下) の 1000 ターンまでの平均バンチ電流、ピー
ク電流、バンチングファクターの比較。

図 60

縦方向ペインティングの有無によるビー

図 58 縦方向ペインティングなし (上)、あり

ムサバイバルの比較。点線は横方向ペインティ(下) のマウンテンプロットおよび 250 ターンでング (100π correlated paint) のみ、実線は縦方のバンチ波形の比較。

向ペインティングあり (ただし、この測定では位相スイープは 80 度である)。

  









 












 
φ
図 61



空胴の等価回路。



図 63 ビーム電流がない時の phasor diagram。



 φ






φ

current を Ig 、ビーム電流を Ib とすると、

φ

φ







IT = Ig + Ib

(6-13)の関係がある。ビームローディングを解析するにあたり、位相関係を表わした phasor diagram を使う。共振からあまり遠くないとして、空胴インピー

図 62

ビーム電流がある時の phasor diagram。

ダンスを R cos ϕz eiϕz (ただし、R は shunt resis-

tance、 ϕz は RF 周波数における detuning angle) とする。空胴に発生する電圧を Vc = Vc eiϕc6.3 ビームローディング
ビーム電流が RF 空胴を通過すると、wake 電
圧を誘起する。つまり、加速空胴は、アンプの真空管の発生する電流 (generator current) と、ビー
ム電流 (beam current) により駆動されている。
大電流になってくると、ビームの作る wake 電圧(ϕc は空胴電圧の位相角)、Generator current を
Ig = Ig eiϕg (ϕg は generator current の位相角)として表わす。また、バンチ重心の位相を ϕb とす
ると、電流ベクトル Ib は

Ib = Ib e−i( 2 +ϕb )π(6-14)

が大きくなり、ビーム加速の安定性に影響を及ぼすようになる。アンプの真空管から見ると、空胴と表わされる (ϕb はビームの位相角)。以上のベクに加えて負荷が増えることとなることから、これトル関係を表わした phasor diagram を、図 62 にをビームローディングと呼んでいる。ビームロー

示した。Steady state での電圧が実軸になるようディングの検討および対策は、J-PARC のようなにとると、steady state では ϕc = 0 となり、この大強度の陽子シンクロトロンでは必須である。

時、空胴 shunt resistance に流れ込む電流は、IT空胴の等価回路を図 61 に示した。空胴に流れ込む全電流 IT (位相まで含むベクトル表示である) により電圧 Vc が発生しており、generatorの実軸への射影 I0 となる。ϕc = 0 だから、ϕz はIT から実軸への位相角となる。
steady state では ϕb = ϕs であるから、Phasor

diagram から読み取れるように、
I0 + Ib sin ϕs
Ig =cos ϕgI0 (1 + Y sin ϕs )=,cos ϕg

発生しているので、∆E(ϕb ) = n · ℜ[Vc Ib∗ ] Trev
= n · ℜ(R cos ϕz eiϕz (Ig0 + Ib )) Trev
(6-15)= nR cos ϕz ×()
cos ϕz |Ib |2 − Ig Ib sin(ϕz + ϕg + ϕb ) Trev
(6-20)

I0 tan ϕz − Ib cos ϕs
I0 + Ib sin ϕs
tan ϕz − Y cos ϕs=−
1 + Y sin ϕs

tan ϕg = −で与えられる。ϕb = ϕs と置いてやれば、同期位
相でのエネルギー増分が得られる。ビーム不安定(6-16)になる条件とは、シンクロトロン振動しない、つまり ϕs でのエネルギー増分に対し、ϕb でのエネの関係がある。ここに、Y は relative loading fac-

tor と呼ばれるパラメータで、
Y =

Ib
I0

ルギーの増分の変化がない、つまり∆E(ϕb ) − ∆E(ϕb ) = 0(6-17)(6-21)ということである。ϕs のまわりの微小振動として、微分に直してやると、で定義される。
ビームがない時の phasor diagram を図 63 に示した。ビームがない時、空胴に流れ込む全電流
は IT = Ig であり、電圧を実軸上に取るならば、
位相角 ϕz を持つことがわかる。図 63 の steadystate の時と比較してみればすぐわかるように、同d∆E(ϕb ) |ϕb =ϕs = 0dϕbを得る。(6-20) から、この条件は

cos(ϕz + ϕg + ϕs ) = 0

ければならない。
ここでは、Shane Koscielniak の解析方法 [30]に従い、バンチ重心の運動にビームローディング
がどのような影響を及ぼすかについて見ていこう。
空胴の台数は n 台とする。また、A = AeiϕA とB = BeiϕA との scalar product は、(6-23)となり、従ってじ電圧 Vc = V0 を出そうとした時に、ビームがある場合は、|Ig | はビームなしの時よりも大きくな(6-22)

ϕz + ϕg + ϕs =

π 3π
,
,···
2 2

(6-24)であることがわかる。この意味は何だろうか。空胴の合成電圧は、真空管が作る電圧と wake 電圧の合成であることは、先に述べたとおりである。

Vc = Vg + Vb

(6-25)

であるが、ここで、電圧は電流に空胴のインピー

AB cos(ϕB − ϕA ) = ℜ[AB ∗ ] = ℜ[A∗ B] (6-18)

ダンスを掛けたものだから、

Vg = R cos ϕz eiϕz Ig eiϕgで定義される。

= R cos ϕz Ig ei(ϕz +ϕg )(6-26)

今、Steady state での generator current ベクである。(6-24) で、π/2 の時を考えれば、

トル

Ig0 = Ig eiϕg

(6-19)

ϕz + ϕg =

π
− ϕs
2

(6-27)

は固定されているとする。バンチに与えられるエである。つまり、不安定の条件では、Vg の位相

ネルギーの合計は、n 台の空胴がそれぞれ Vc をが π2 − ϕs になっていて、ビームは Vg の最大値

に乗っているということがわかるだろう。この時、縦方向の収束力が失なわれ、ビームは不安定となる (Robinson stability limit)。
なぜ、真空管が発生する電圧の位相「のみ」がなので、(6-30) の実数部、虚数部を比較して

Vc0= Ig cos(ϕz + ϕg ) + Ib sin(ϕz − ϕs )R cos ϕz
(6-32)
0 = Ig sin(ϕz + ϕg ) − Ib cos(ϕz − ϕs )(6-33)

安定性に関係するのだろうか。これは、「ビームが得る全体の加速電圧」は真空管が発生する電圧とwake の合成であるが、縦方向の収束を議論する時の関係を得る。I0 = Vc0 /R (これは、ビームなしには、ある 2 つの異なるビーム位相 ϕb1 と ϕb2 にの時に共振点で Vc0 を発生するのに必要な電流、対するエネルギー増分の差が問題となることが理

あるいは共振点からずれた時に電圧 Vc0 を発生さ由である。wake 電圧は ϕb1 と ϕb2 に対して平行せた時の電流の実軸への射影である) を代入して移動してしまうため、エネルギー増分の差には Vg

やると、ビーム電流と I0 の比および Ig と I0 ののみが関係するのである。

比は、

6.4 ビームローディングの下でのバンチ重心の運
動方程式
単粒子の運動方程式においては、空胴電圧に対する位相についての方程式を考えた。前節で述べたように、ビームローディング下でのバンチ重心の振動を考えるにあたっては、真空管の発生する
電圧 Vg に対しての位相について、方程式を考え

sin(ϕz + ϕg )Ibcos ϕz =I0cos(ϕs + ϕg )=sin(ϕ′s − ϕs )cos(ϕz − ϕ′s )(6-34)Ig
sin(ϕz − ϕs )cos ϕz =I0cos(ϕs + ϕg )=cos(ϕz − ϕs )cos(ϕz − ϕ′s )(6-35)

として得られる。(6-34) と (6-35) の両辺の比をとって、よう。ここに、ϕz および ϕg が一定、つまり Ig

Ibsin(ϕ′s − ϕs )=Igcos(ϕz − ϕs )および Vg を基準のベクトルとし、このベクトルに対する新しい変数を導入しよう。

(6-36)

を得る。

ϕ′b = ϕb + ϕz + ϕg ,ϕ′s = ϕs + ϕz + ϕg .

(6-28)

ここで、ファクター U を (6-35) より(6-29)

ここに定義される ϕ′s は、単粒子の運動を考える

U≡

Ig
cos(ϕz − ϕs )cos ϕz =I0cos(ϕz − ϕ′s )(6-37)

時の ϕs と同様に、π/2 になると運動が不安定にとして定義する。U は、0 ≤ ϕz ≤ π/2 では常になる。

正である。また、空胴が大きく detuning していバンチが振動していない、steady state では、空る時 (共振から遠い時) には U は非常に小さくなることがわかる。

胴電圧と電流の関係は、ビームの運動方程式を求めよう。空胴の台数を

Vc0 = R cos ϕz eiϕz (Ig0 + Ib0 )(6-30)である。ここに添字「0」は steady state を表わ
すこととする。ここでも Pedersen の表記に従い、

steady state では空胴電圧は実軸を向いているとすると、Vc0 = Vc0 (ϕc = 0) となる。また、steadystate では ϕb = ϕs であり、
Ib0 = −iIb e−iϕs(6-31)

n とすると、synchronous particle からのエネル
ギー増分の差から、d(Trevs ∆E)= n · eR cos ϕz Ig (sin ϕ′b − sin ϕ′s )dt(6-38)
であるが、ここに

Ig =U · I0U · Vc0=cos ϕzR cos ϕz

(6-39)

を代入してやると、結局、

Wd(Trevs ∆E)= n · U eVc0 (sin ϕ′b − sin ϕ′s )dt(6-40)
を得る。位相については、(3-24) と同様に、

dϕb
dϕ′b
∆E
=
= h · 2π · η 2dtdt
βs Es Trevs

-3

-2

-1

1

2

3

phase

(6-41)である。

(6-40) と (6-41) から、バンチの運動方程式()
d Es dϕ′b2πhneVc0=U 2(sin ϕ′b − sin ϕ′s )dt η dt
Trevs βs2(6-42)

図 64 ϕz = π/3、ϕs = 0 の時、Y = 0, · · · , 2(0.5 刻み) の場合の RF バケツ。横軸は ϕb 。
Wを得る。この運動方程式は、空胴の台数とファcos(ϕ −ϕ )クター U = cos(ϕzz −ϕs′ ) を除き、(3-27) と同じでsある。
小振幅の振動については ϕ′s = π/2 が安定限

-3

-2

-1

1

2

3

phase

界を与えることは既に示した通りだが、これを(6-34) に代入してやると、Ib
2 cos ϕs=I0
sin 2ϕz(6-43)となる。つまり、ビーム電流は relative loading

factor Y が
sin 2ϕzY<2
2 cos ϕsϕz = 0、ϕs = 0 の時、Y = 0, · · · , 2 (0.5刻み) の場合の RF バケツ。横軸は ϕb 。

図 65

で与えられることがわかる。(ϕ′b , W ) = (ϕ′b1 , 0)

(6-44)となる範囲しか許されないことがわかる。これがRobinson stability limit (high power limit) であを通る等高線が RF バケツを与える。 ここで Uの定義 (6-37) と (6-15) から、U=

る [20, 21, 31]。
小振幅の振動について、各種のフィードバック
ループまで含めた解析は、Pedersen ダイアグラム
を用いた手法が有効である [31]。過去の OHO の
教科書 [21] にも解説してあるので、参照してほしい。
ビームローディングがある時に、RF バケツの形を描いてみよう。(6-40) および (6-41) からハ
ミルトニアンを求めると単粒子の時と同様の形であるので、バンチ重心の運動の安定限界位相 ϕ′b1は、

ϕ′b1 = π − ϕ′s(6-46)

であり、また ϕg は (6-16) で与えられるから、(ϕ′b , W ) 平面上のバケツを (ϕb , W ) 平面に書き直してやることができる。

ϕz = π/3、ϕs = 0 の時の RF バケツを、Y =0, · · · , 2 (0.5 刻み) の場合についてプロットしたものを、図 64 に示した。ビームローディングの下では、ϕ′s ̸= 0 であるから、Y = 0 以外ではバケツ
は moving bucket のような形を取ることが理解できる。バケツの高さは、ϕ′s から計算される縮小率

Γ(ϕ′s ) =(6-45)

1 + Y sin ϕs
cos ϕzcos ϕg√2 cos ϕ′s + 2ϕ′s sin ϕ′s − π sin ϕ′s(6-47)

だけでなく、ファクター√

U により縮小/拡大される。U = 1 になる特別な場合においては、その定義 (6-37) から、

cos(ϕz − ϕs ) = cos(ϕz − ϕ′s )= cos(ϕz − (ϕs + ϕz + ϕg ))= cos(ϕs + ϕg )(6-48)

ϕz − ϕs = ±(ϕs + ϕg )(6-49)

であり、解は、

図 66 ビームなし (上) と 300 kW ビーム加速である。ϕg = −ϕz になるのは、phasor diagram(下) での空胴電圧波形、加速中盤 (左) と取り出を考えれば Y = 0、つまりビーム電流がゼロの時し直前 (右)。

である。もう一つの解、

ϕg = ϕz − 2ϕs(6-50)

した時の空胴電圧波形を、ビームなしの時と比較したのが図 66 である。加速中盤および取り出しを (6-46) に代入し、

1=

1 + Y sin ϕs
cos ϕzcos(ϕz − 2ϕs )付近の両方で電圧波形がビームより大きく歪めら(6-51)

れているのがわかる。これによりバケツが変形してしまう。
現在のところ、300 kW 相当のビームでは、バ

よって

2 sin(ϕz − ϕs )Y =cos ϕz

ケツひずみ由来と思われるビームロスは特に観(6-52)の関係を得る。ϕz および ϕs が与えられた時、Yがこの値より大きい場合は、Γ(ϕ′s ) で計算されるバケツ高さよりも拡大されるということである。
一般に、空胴の detuning が大きい時には、一定の Y まで ϕb1 − ϕs = π − 2ϕ′s (ϕ′b1 に非ず) が大きい、つまりバケツの長さの観点からは得であるが、バケツの高さの減少の効果が大きくなる。
図 65 は detuning angle が 0 の時の RF バケツ
を、図 64 同様の Y についてプロットしたものを測されていない。一方、シミュレーションによれば、1 MW ビームの加速には、最低限 2 倍高調波

(h = 4) までのビームローディング補償が必要であることがわかっている [32]。
バケツの変形による詳細なビームの挙動を知る
ためは、[32] のような縦方向のトラッキングシミュ
レーションが必要である。

6.6 ビームローディング補償
ビームローディングの対策
ビームローディングを緩和する方法としては示した。J-PARC では無同調の MA 空胴を用い• 空胴のインピーダンスを下げる。加速ギャッているため、加速の初期には detuning angle が比プに並列に抵抗を配置する方法などにより、

較的大きい (RCS では、約 π/3 程度) ために、注

I0 を大きくしようとする方法であり、ISIS な意が必要となる。

どで試みられている。有効ではあるが、その6.5 高調波のビームローディング

分アンプへの負荷が大きくなるほか、ビーム

RCS では特に、Q = 2 という広帯域空胴なの操作の都合で加速電圧を下げる必要がある場

で、wake 電圧の高調波成分によるバケツひずみが合は、I0 も低くなってしまうために、relative

問題となる。実際に 300 kW 相当のビームを加速

loading factor Y の抑制には限界がある。

Beam Pick Up(WCM)

Cavity 

ibeamφ

Amp
DrivingSignal



φ

φ 


Feedforward
Module図 67
 

RF フィードフォワードの概念図。
図 68

フィードフォワードがある時の電流の関係。

ワード成分 Ig (FF) に分けるならば、• フィードバック法。空胴電圧にゲインをかけたものをパワーアンプに戻す方法である。ブ
ルックヘブン研究所の AGS などで使用されている [33]。ディレイが大きくなってくるとゲインの最大値が決まる [20]。

• RF フィードフォワード法 [20, 21]などが挙げられる。J-PARC ではビームローディ

Ig (total) = Ig (drive) + Ig (FF)(6-53)

であり、この全電流はフィードフォワードがない
時の Ig と同じである。一方、フィードフォワー
ドによりビーム電流がキャンセルされていることから、

Ig (drive) = IT = Ig (no beam)(6-54)

ング補償に RF フィードフォワードを採用しており、RCS では実際にビームを使ったフィードフォ

となり、ドライブ成分 Ig (drive) はビームなしのワードの調整が開始されている。以下にその概要

時と同じになる。前節の議論で、空胴電圧のドラと、ビームローディング補償の試験結果について

イブ成分 Ig (drive) とビームの位相角が安定限界述べる。

を与えることが示されたが、フィードフォワード

RF フィードフォワード

により安定限界が広がっていることがわかるだろ

ここでは、RF フィードフォワードの概要についう。別の言い方をすれば、ビーム電流がキャンセて述べよう。図 67 に RF フィードフォワード法

ルされることで、relative loading factor Y は小の概念を示した。RF フィードフォワード法では、

さく (完璧な場合は、0 に) なり、ビームは安定に

カレントモニター (WCM) からの信号を driving

なる。

RF signal に加えて空胴を駆動する。振幅と位相を調整することにより、真空管が元の電流に加え、−ib なる電流を発生させるようにすれば、wake 電
圧はキャンセルされる。

RF フィードフォワードの実際のシステムは、どのようになっているだろうか。
先に述べたように、RCS では空胴に誘起される

wake 電圧は高調波成分を含むので、マルチハー

フィードフォワードがある時の電流の関係をモニックなフィードフォワードのシステムが必

phasor diagram で表示したものを図 68 に示す。

要となる。RCS のシステムは、3 倍高調波まで真空管の発生する電流 Ig (total) を、空胴電圧を発(h = 2, 4, 6) に対応したフィードフォワードのシ生させるドライブ成分 Ig (drive) とフィードフォ

ステムである。図 69 に、システムの機能の概要をreference
h=2
h=2
BPF
Beam
signal

h=4
BPF

h=4

h=6

h=6
BPF

for each of 12 cavities
A(h=2)

     +



φ(h=2)

# $ $ %   A(h=4)

φ(h=4)   
 

&'' 

Σ)  A(h=6)! "!
  

*φ(h=6)( $

A: amplitude adjustment pattern
φ: phase offset pattern    %
 

図 69

フィードフォワードモジュールの機能図。

本質的に h = 2, 4, 6 に対応するバンドパスフィ

  $ 

ルタである。
図 70 RF フィードフォワード調整試験のセッ
トアップ。

示す。WCM からの信号から、(h = 2, 4, 6) のそれ
ぞれの成分を抽出し、各ハーモニックについて振幅ゲイン (パターン) および位相 (パターン) を与えた後に、(h = 2, 4, 6) 成分を合成して出力する。
出力は LLRF で生成される driving RF signal とsummation ampliﬁer で合成され空胴を駆動する。
それぞれの空胴システムについて、最適な振幅および位相パターンは異なるので、空胴システム毎に、振幅および位相のパターンを与えることができるように、図 69 の右半分の部分は空胴の台数分 (12 台分) のモジュールとなっている。
システムは本質的に、ゲインと位相を自由に設定できる BPF (バンドパスフィルタ) であるが、そのような機能は、ハーモニックの検波と RF 信
号の再構成により構築できることは、第 4 節で述
べたとおりである。実機のフィードフォワードのシステムは、他の LLRF モジュール同様、WCM
信号を A/D 変換してからフィードフォワード信
号を D/A 変換して出力するまで、全てデジタル回路で実装されている。
フィードフォワードの調整は、各ハーモニックのゲインおよび位相パターンの調整、最適化に他ならない。RCS では、入射から取り出しまでの20 ms の間に、加速周波数や RF 電圧が高速に変整にビームが必要である。RCS において、ゲインおよび位相の調整が如何にして行われるかについては次に述べよう。

6.7 RCS での RF フィードフォワードの調整
RCS では、RF フィードフォワードを用いたビームローディング補償の調整が開始されている。
ここでは、実際にゲインおよび位相のパターンの調整の実際を紹介する。図 70 に、RF フィード
フォワードの調整試験のセットアップを示した。

RF フィードフォワードの調整は、空胴 1 台ごとに行われる。前節で述べたように、WCM のビーム
信号は、フィードフォワードのシステムに入力、処理され、基本波から 3 倍高調波まで (h = 2, 4, 6)のフィードフォワード信号が生成される。これ
ら信号はモジュール内でデジタル的に加算され、フィードフォワードのモジュールからのアナロ
グ出力は既に (h = 2, 4, 6) の信号の重畳になっている。フィードフォワード信号は、summation

ampliﬁer により、RFG モジュールからの driving
RF signal と加算され、増幅された後に空胴を駆動する。
ロングメモリーのオシロスコープにより、化し、最適なゲインや位相パターンは自明ではな• driving RF (ch1)い。また、フィードフォワードはその原理から、調• WCM 信号 (ch2)図 71

空胴 10 号機をドライブせず、ビームを通した時の WCM (左) と空胴電圧モニター (右)の信号。上段は加速から取り出しまでの全体、下段は取り出しの直前。

• 空胴ギャップ電圧モニター (ch3)• フィードフォワード出力 (ch4)の信号が、200 MS/s で加速開始から取り出しまで記録される。データ点数は各チャンネル毎 4.15 M
点におよぶ。これらの信号は、PC 上で第 4 節に述べた検波方法により、(h = 2, 4, 6) についてのハーモニクスの解析が行われる。
ビーム試験は、300 kW 相当のビームを用い、また先に述べた縦方向ペインティングにより安定な

図 72

空胴 10 号機をドライブせず、ビームを通した時の WCM (上) と空胴空胴電圧モニター(下) の信号のハーモニック成分。

加速が得られるようにして行われた。
まず、加速電圧を発生させていない (ドライブされていない) 空胴の wake 電圧はどのようなものだろうか。空胴 4 号機をドライブせず、他の空胴の電圧を 1 割増しにして、合成の加速電圧が通常と同じになるようにしてビームを加速し、wake 電圧を測定した例を、図 71 に示した。左は WCM
信号、右は空胴電圧モニター、また上段には加速開始から取り出しまでの波形、下段には取り出し直前の拡大を示した。空胴はドライブされていな
いので、空胴電圧は wake 電圧そのものである。
これをハーモニック解析したものを、図 71 に示した。上は WCM のハーモニック成分の振幅、下図 73 空胴 10 号機をドライブしない時の信号

は空胴電圧モニターのハーモニック成分の振幅でをインピーダンスに焼き直したもの。

ある。

加速により周回周波数が高くなっていく効果で、加速後半に向け全体のビーム電流は増加していく。
各ハーモニックの割合は、バンチの形に対応している。2 倍高調波成分は、縦方向ペインティングの効果でフラットなバンチ波形である入射直後では非常に少ないが、RF 2 倍高調波がオフになる

2 ms 以降増加している。WCM の換算係数は、(ビーム電流 [A]) = (WCM 電圧 [V])/0.05(6-55)であるので、取り出し付近では周回ビーム電流の基本波成分は、5 A 以上に達していることがわかる。

図 74 空胴 10 号機の電圧モニターの比較。 左はフィードフォワードなし、右はフィードフォ
ワード ON の信号。上段は加速から取り出しまでの全体、下段は取り出しの直前。フィードフォード ON では、wake はキャンセルされ、空一方、空胴の wake 電圧は

胴電圧はノイズ以外ほとんど表われないことがV (ω) = Z(ω) · I(ω)(6-56)

わかる。

であるが、空胴の共振周波数は約 1.7 MHz であるから、加速が進み周波数が上がるにつれ、基本波

この wake 電圧を RF フィードフォワードによ

成分は共振点に近づき、高調波成分は共振から離りキャンセルしてみよう。フィードフォワードのれていくため、ビーム電流の増加に対して、 wake

位相パターンは、ケーブル長およびフィードフォ

電圧の基本波成分はより強い増加をみせ、高調波

ワードのシステムのディレイに対応することがま成分の増加は抑制されていることがわかる。電圧ず必要である。ディレイを Td 、対象とするハーモ

モニターの換算係数

ニックの周波数変化が ∆f とするならば、位相を∆f · Td × 360 [deg](ギャップ電圧 [V])= (モニター電圧 [V]) × 3.35 · 104(6-58)(6-57)
だけ進めるパターンを作らなければならない。こを用いると、取り出し直前の wake 電圧の基本波

れを位相の初期パターンとして与える。フィード

成分はギャップあたり 4 kV 以上に達しているこフォワードを ON にして、ビームの見るインピーとがわかる。

ダンスを測定しながら、ゲインおよび位相のパター

ビーム電流と空胴電圧の各ハーモニック成分

ン調整を行った結果を、図 74 に示した。空胴電(複素数) の比を取ることで、(加速ギャップ毎の)圧モニターには wake に由来する信号がほとんどビームの見るインピーダンスを計算できる。加速

残っていないことがわかる。この時の、空胴電圧

サイクル中の周波数パターンは既知であるから、のハーモニック成分を図 75 に、またフィードフォ

ビームの見るインピーダンスの時間変化を周波数

ワード OFF と ON の時のビームの見るインピー軸で書き換えたものを、図 73 に示した。図中にダンスの比較を、図 76 に示した。フィードフォ

は、空胴のシャントインピーダンスを 850 Ω、イ

ワードにより、ビームの見るインピーダンスは全ンダクタンスを 50 µH、キャパシタンスを 175 pFてのハーモニクスにおいて低下していることがわとして計算したインピーダンスを書き加えた。実

かる。基本波成分では、全域にわたり 1/10 以下

測と計算は、よく一致していることがわかる。

(20 dB 以上の抑制) が得られている。

存性も重要である。例えば、真空管が発生する波形ひずみには当然のことながら振幅依存性がある。
終段増幅器内に配置される、フェライトを用いた

RF スプリッターは、位相についての振幅依存性を示す。
よって、空胴をドライブしながら wake をキャ
ンセルしようとする場合、パターンの再調整が必要である。
ドライブしながらであると、空胴電圧は、ドライブされる電圧と wake の合成になり、空胴電圧
空胴 10 号機をドライブせず、フィード

モニターから直接 wake 電圧を読み取ることがでフォワード ON の時の空胴空胴電圧モニター信

きない。どのように空胴電圧信号から、wake の寄号のハーモニック成分。

与とドライブ電圧を分離できるだろうか。

図 75

まず、ビームを加速せずに、LLRF driving RF
信号と、空胴電圧を測定する。ハーモニクスの解析を行い、driving RF 信号と空胴電圧の複素振幅
を Vdr (h, t) および Vcav (h, t) (ただし h = 2, 4, 6)とすると、driving RF から空胴電圧へのの伝達関
cav
数 Hdr
(h, t) を

cav(h, t) =Hdr

Vcav (h, t)
Vdr (h, t)(6-59)と計算できる。
先に述べたように、ビームの見るインピーダンス
図 76

フィードフォワード OFF と ON でのビームの見るインピーダンスの比較。

は、真空管の電流に依存する。よって、実際の電圧パターンを走らせて フィードフォワード OFF の時の wake 電圧を測定するのがよい。測定の変動の要因を排除するために、対象とする空胴の AVC

空胴をドライブしないで調整したフィードフォ

(第 4 節参照) を OFF にして、ビームを加速する。

ワードのゲイン、位相パターンは、そのままでは加この測定で、各ハーモニックの複素振幅について、

速 RF を出している時 (空胴をドライブしている

空胴電圧のドライブ成分と wake 成分をそれぞれ時) のパターンとしては使うことができない。そVcav,dr (h, t)、Vcav,wake (h, t) とするとれは以下の理由による。加速 RF を出しながらだと、ビームの見るインピーダンスがまず異なる。
それは、真空管に流れている電流が大きく異なる

Vcav (h, t) = Vcav,dr (h, t) + Vcav,wake (h, t)
cav
= Hdr
(h, t) · Vdr (h, t) + Zcav (h, t) · Ibeam (h, t)(6-60)

ので、空胴に並列に入る真空管のインピーダンス(抵抗として見える) が異なるためである。MA 空という関係になる。ここに Zcav (h, t) (加速サイク

胴自体のインピーダンスは振幅によらず同じと考ル中である時刻での周波数が決まっているので時えられる。また、ハイパワー RF 増幅系の振幅依間の関数になっている) は空胴のインピーダンス、

Ibeam (h, t) はビーム電流のハーモニクスの複素振幅である。
以上の測定を合わせると、実際の加速電圧に対応する真空管の電流のもとでの空胴インピーダン
スが求まる。
さて、フィードフォワードを ON にした時に、

Vcav,FF (h, t) なる電圧が発生するとすると、ビームを加速した時の電圧、電流の各ハーモニック成分の関係はVcav (h, t) =Vcav,dr (h, t) + Vcav,wake (h, t) + Vcav,FF (h, t)
cav
= Hdr
(h, t) · Vdr (h, t) + Zcav (h, t) · Ibeam (h, t)+ ZFF (h, t) · Ibeam (h, t)(6-61)

であるから (ここに、ZFF (h, t) はビーム電流から空胴のフィードフォワード分の電圧への伝達関数/ インピーダンスである)、複素インピーダンスが、ZFF (h, t) = −Zcav (h, t)(6-62)となるように調整を行えばよい。当然、実際にビー
ムが見るインピーダンスはフィードフォワードに図 77よるキャンセルされた残りであり、ク成分。AVC を ON にして、加速 RF を出力

Zcav (h, t) − ZFF (h, t)

空胴 1 号機の電圧モニターのハーモニッ

している。上はフィードフォワード OFF の場(6-63)

合、下はフィードフォワード ON の場合。

である。
実際に調整を行った結果を示そう。調整は全 11は電圧制御によりフィードフォワード OFF でも台の空胴について、パターン調整と測定の iter-

電圧は保たれているが、それ以降では大きな wakeation を行った。全てのシステムでフィードフォ

電圧が発生していることがわかる。フィードフォ

ワードを ON にすると、ビーム電流の成分が変化

ワードにより、この wake 成分がキャンセルされ、するため、ビームローディング補償が完全でなく

2 ms 以降ほとんど電圧がゼロになっていることがなったため、11 台のパターンの再調整が必要でわかるだろう。3 倍高調波については、パターンあった。

調整の方法を模索している段階のため、一定のゲ

空胴 1 号機の電圧モニターのハーモニック成分

インのままでフィードフォワードをかけているたの振幅を、フィードフォワード OFF および ON

めに、一定の wake 電圧の抑制は得られているもの場合について、図 77 に示した。基本波成分にのの、効果は限定的である。

ついては、AVC が強力に働いているために、FF

フィードフォワード ON の時、ビームの見るイ

OFF の場合でも所望の電圧パターンが得られていンピーダンスを測定から計算したものを図 78 にる (ただし、位相がずれる)。2 倍高調波について示した。上は時間変化、下は周波数軸に焼き直し

は、電圧を発生させている Bmin から 2 ms までたものである。基本波および 2 倍高調波について、

図 79

加速中盤の時刻 (左) および 取り出し直前の時刻 (右) での、1 号機空胴電圧モニター信号。上段はビームなし、中段はフィードフォワー
ド OFF での 300 kW ビーム加速の時、下段はフィードフォワード ON の時。

図 78 空胴 1 号機のビームの見るインピーダン
ス。上は時間変化、下は周波数軸に焼き直したもの。

加速の全域にわたりビームの見るインピーダンスが低下していることがわかる。特に基本波成分については、取り出し付近で数十分の一に抑制できている。
電圧波形を比較してみよう。ビームがない時、フィードフォワード OFF および ON で 300 kW
相当のビームを加速した時の 1 号機の空胴電圧モニター信号を図 79 に示した。フィードフォワー
ド OFF では、加速中盤および取り出し直前の両方で高調波による大きな波形ひずみが発生してい図 80 フィードフォワード OFF と ON の時

るが、フィードフォワード ON では wake がキャの driving RF 電圧の振幅の比較。フィードフォ

ンセルされ、ひずみが減少していることがわかる

ワード ON ではビームがないときに非常に近い。

だろう。また、フィードフォワード OFF では空胴位相がずれているが、ON の時にはビームなし

図 82

フィードフォワード OFF (上) と ON(下) の時の、取り出し直前のバンチ波形。
図 81 フィードフォワード OFF (上) と ON(下) の時の、ビームのハーモニック成分。

最後に、ビームローディングが補償されていると、ビームがどのようになるかを見てみよう。
の空胴位相に近づいていることも明らかである。

フィードフォワードが OFF と ON の時のビーム

先に述べたように、フィードフォワードによるのハーモニック成分を図 81 に示した。フィードビームローディング補償が効いている時には、真空フォワードが OFF の時には、加速の前半 2 ms 以管の発生するドライブ分の電流 Ig (drive) はビー

降から高調波成分に振動が見られる。これはバンムを加速しない時に近づく。このとき、LLRF のチの形が変化しながら、つまり四極振動をしながdriving RF 電圧も、ビーム加速しない時に近づら加速されているということである。第 3 節にもく。これを示すのが図 80 である。フィードフォ

示したように、四極振動は、エミッタンスの増大

ワードが OFF の時には、AVC の働きにより、を招く。一方、フィードフォワードを ON にした

ビームローディングの分だけ出力が増える (これ場合は、ハーモニック成分に振動がほとんど見らは phasor からも明らかである)。フィードフォ

れず、バンチの変形が抑制されて加速が行われて

ワード ON の時には、driving RF 振幅がビームないることがわかるだろう。取り出し直前のバンチ

しの時に非常に近いことがわかる。これはフィー

波形を図 82 に示した。フィードフォワード ON

ドフォワードが正しく動作し、AVC の見る負荷がの時には uncontrolled なエミッタンスの増大が抑軽く (ビームなしの時とほぼ同じに) なっているこ

制されているため、バンチが細くなっていることとを示している。

がわかる。

RF フィードフォワードは、その調整にはビームが必要であり、また時間がかかることが弱点であるとされる。また RF システムその他加速器機
器のドリフト等により条件が変わった場合に再調整が必要である点もそうである。J-PARC においては、全てデジタル制御された LLRF 制御システ
ムや、同調回路の必要のない MA 空胴、高安定な磁場等々、加速器機器の動作の再現性が高いので、RF フィードフォワードによるビームローディン
グ補償がうまく働く環境がある、と言えるだろう。

7 まとめに代えて度まで短かくすることによりニュートリノ施設への供給ビームパワーを上げようとする計

J-PARC のシンクロトロンの RF の調整につい画がある。加速時間の短縮のためには、現状て述べた。なるべく具体的なデータを示すことにのスペースでもっと加速電圧を上げる必要がより、RF 調整の実際が感じられるよう心掛けたあり、MA 空胴の高勾配化が必要である

つもりである。大型加速器では世界で初めてとなる MA 空胴の全面的な採用により、またフルデジ
タルの LLRF 制御システムの採用により、RF の調整は自由度が高く、また、なによりとても面白い。加速器全体にわたる機器、そして、タイミング
が再現性の高いものになっていることが J-PARCのビーム調整全体の幅を広げていることも、ここに強調しておきたい。
ここに挙げたトピック以外にも、まだまだ (手のついていない) いろいろな RF 調整、あるいは開発項目がある。例を挙げる。

• MR の 2 倍高調波の調整。MR においては、
Q が高いため、2 倍高調波空胴は別の空胴である (2010 年秋から調整を開始予定)。MRにおける 2 倍高調波は、RCS からのビームにバケツをマッチさせるために必要である• MR のビームローディング補償。基本波のビームローディングのほか、周期的、過渡的 ビ ー ム ロ ー デ ィ ン グ (periodic transient

beam loading) への対策が必要である。やはり RF フィードフォワードを用いて実現される• RCS および MR における、controlled emittance blow-up。目標とするビーム強度における MR の加速後半におけるビームの不安定性の回避のためには、10 eV·s といった大きなエミッタンスが要求されている。このような大きなエミッタンスは MR に入射されてからのRF 操作だけでは足らず、RCS での加速途中からエミッタンスの制御をしなければならない。位相変調等のテクニックが必要となる• さらなる高加速勾配が可能な、MA 空胴の開発。MR においては、繰り返し周期を 1 秒程

目標とするビームパワーの達成には、これらを実現しなければならず、J-PARC のシンクロトロン
における RF の調整そしてビームコミッショニン
グは、まだまだ途上にあると言えよう。
今回の講義にあたり、絵面栄二氏、吉井正人氏、大森千広氏、山本昌亘氏、野村昌弘氏には貴重な助言を頂きました。ここに感謝します。また、このような講義の機会を与えてくださった、OHO’10
校長の古屋貴章氏、J-PARC センターの安東愛之
輔氏、山崎良成氏、小関忠氏、金正倫計氏に感謝
します。

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