筑波大学大学院博士課程
理工情報生命学術院
システム情報工学研究群修士論文

Hermite 型有限要素法を用いた橋梁の静的挙動シミュレーション

須藤大樹

修士（工学）（構造エネルギー工学学位プログラム）

指導教員

山本亨輔

２０２３年

3月

概要
有限要素法（FEM）で最も用いられる Lagrange 族 1 次要素は，曲げ問題においてロッキン
グ現象を生じやすく，精度が著しく低下することがある．その対策として，低減積分法や高次化が一般的である．精度を改善する際に，高次化する場合は，Serendipity 族六面体要素を用いるのが一般的であるが，モデル化の労力が大きい．一方，Hermite 族要素は，各節点の自由度として，変位等の物理量とその一階導関数を与える．よって，計算コストは増大するが，節点配置は Lagrange 族 1 次要素同じであり，モデル作成の労力を増やす事なく高次化が可能
である．
そこで，本研究では，Kirchhoff-Love 板理論に基づく純 Hermite 族板要素および純 Hermite
族 Euler-Bernoulli 梁要素，
Hermite 族六面体要素を定式化し，固体の微小変形問題に適用する．
微小変形問題として，補剛材を有する詳細橋梁構造モデルの曲げ問題を検証し，計算結果か
ら Hermite 型 FEM を評価する．

目次

第1章
はじめに ................................................................................................................. 1
1.1
研究背景，研究目的 ................................................................................................... 1
1.2
研究方法..................................................................................................................... 2第2章
Kirchhoff-Love 理論.............................................................................................. 32.1
面外変形（曲げ変形） ............................................................................................... 32.2
面内変形（伸縮変形） ............................................................................................... 5
第3章
Hermite 族要素 ...................................................................................................... 6
3.1
梁要素 ........................................................................................................................ 6
3.2
板要素（3 自由度） ................................................................................................... 7
3.3
板要素（4 自由度） ................................................................................................... 8
3.4
ソリッド要素 ............................................................................................................. 8
第 4 章 検証 .......................................................................................................................... 11
4.1
単純梁の曲げ問題 .................................................................................................... 114.1.1
数値計算モデル................................................................................................. 11
4.1.2
数値計算結果 .................................................................................................... 114.2
平板の曲げ問題 ........................................................................................................ 124.2.1
数値計算モデル................................................................................................. 124.2.2
数値計算結果 .................................................................................................... 12
4.3
板の圧縮問題 ........................................................................................................... 134.3.1
数値計算モデル................................................................................................. 13
4.3.2
数値計算結果 .................................................................................................... 13
4.4
片持ち梁の曲げ問題 ................................................................................................. 144.4.1
数値計算モデル................................................................................................. 144.4.2
数値計算結果 .................................................................................................... 14
第5章
座標変換マトリクス ............................................................................................. 15
5.1
梁要素の座標変換マトリクス .................................................................................. 15
5.2
板要素の座標変換マトリクス .................................................................................. 16
第6章
橋梁モデルへの適用 ............................................................................................. 176.1
鋼桁の 4 点曲げ問題 ................................................................................................ 176.1.1
数値計算モデル................................................................................................. 176.1.2
数値計算結果 .................................................................................................... 186.2
合成桁の 4 点曲げ問題 ............................................................................................. 196.2.1
数値計算モデル................................................................................................. 196.2.2
数値計算結果 .................................................................................................... 20
6.3
詳細橋梁モデルの曲げ問題 ...................................................................................... 226.3.1
数値計算モデル................................................................................................. 226.3.2
数値計算結果 .................................................................................................... 24
第7章
まとめと考察 ........................................................................................................ 27
謝辞 ........................................................................................................................................ 28i参考文献 ................................................................................................................................. 29
付録 ........................................................................................................................................ 30

ii

図目次
図 4-1 単純梁の変形図................................................................................................... 11
図 4-2 長さ方向の分割数と誤差の関係 ......................................................................... 11
図 4-3 平板の変形図 ...................................................................................................... 12
図 4-4 長さ方向の分割数と誤差の関係 ......................................................................... 12
図 4-5 板の圧縮変形図................................................................................................... 13
図 4-6 幅方向の分割数と誤差の関係 ............................................................................. 13
図 4-7 片持ち梁の変形図 ............................................................................................... 14
図 4-8 厚さ方向の分割数と誤差の関係 ......................................................................... 14
図 5-1 𝒛軸周りの回転座標変換 ...................................................................................... 15
図 6-1 鋼桁の断面図 ...................................................................................................... 18
図 6-2 4 点曲げの概略図 .............................................................................................. 18
図 6-3 鋼桁の変形図 ...................................................................................................... 18
図 6-4 幅方向の分割数と代表点変位の関係 .................................................................. 18
図 6-5 上フランジのたわみ曲線（鋼桁） ...................................................................... 19
図 6-6 中立軸のたわみ曲線（鋼桁） ............................................................................. 19
図 6-7 下フランジのたわみ曲線（鋼桁） ...................................................................... 19
図 6-8 合成桁の断面図................................................................................................... 20
図 6-9 合成桁の変形図................................................................................................... 21
図 6-10 幅方向の分割数と代表点変位の関係 ................................................................ 21
図 6-11 上フランジのたわみ曲線（合成桁） ................................................................ 21
図 6-12 中立軸のたわみ曲線（合成桁） ....................................................................... 21
図 6-13 下フランジのたわみ曲線（合成桁） ................................................................ 21
図 6-14 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒙, 𝒛)平面] ................................................................ 23
図 6-15 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒚, 𝒛)平面] ................................................................ 23
図 6-16 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒙, 𝒚)平面] ................................................................ 24
図 6-17 詳細橋梁モデルの全体図 .................................................................................. 24
図 6-18 詳細橋梁モデルの変形図 .................................................................................. 25
図 6-19 詳細橋梁モデルの変形図[(𝐲, 𝒛)平面]（補剛材あり） ....................................... 25
図 6-20 詳細橋梁モデルの変形図[(𝐲, 𝒛)平面]（補剛材なし） ....................................... 25
図 6-21 主桁 1 のたわみ曲線 ......................................................................................... 25
図 6-22 主桁 2 のたわみ曲線 ......................................................................................... 25
図 6-23 主桁 3 のたわみ曲線 ......................................................................................... 26
図 6-24 主桁 4 のたわみ曲線 ......................................................................................... 26

iii

表目次
表 4-1 単純梁の材料パラメータ .................................................................................... 11
表 4-2 平板モデルの材料パラメータ ............................................................................. 12
表 4-3 板モデルの材料パラメータ ................................................................................. 13
表 4-4 片持ち梁の材料パラメータ ................................................................................. 14
表 6-1 鋼桁モデルの材料パラメータ ............................................................................. 17
表 6-2 コンクリート床版モデルの材料パラメータ ....................................................... 20
表 6-3 主桁モデル（詳細橋梁）の材料パラメータ ....................................................... 22
表 6-4 コンクリート床版（詳細橋梁）の材料パラメータ ............................................. 22
表 6-5 補剛材（横構・対傾構）の材料パラメータ ....................................................... 23
表 6-6 補剛材（横桁・垂直補剛材・水平補剛材）の材料パラメータ ........................... 23

iv

第1章

はじめに

1.1 研究背景，研究目的
FEM（Finite Element Method：有限要素法）は，最も一般的な偏微分方程式の数値解法である．FEM では，対象領域を線や三角形，四面体等の要素と言われる微小領域に細かく分割して数値解を求める．各要素内の物理量は，離散点である節点に対して基底関数を用いて内挿することで表現される．よって，この基底関数の違い，つまり，要素モデルの違いが FEMの数値計算結果に影響を及ぼす．現在，最も普及している 3 次元要素として，Lagrange 族
1 次要素がある．例えば，Lagrange 族 1 次六面体要素は，8 つの節点で構成され，モデル化が容易であるという利点がある．ただし，要素分割数が少ない場合，精度が悪化しやすい．
精度を改善する際に，高次化する場合は，Serendipity 族六面体要素を用いるのが一般的である．この要素は 1 要素 20 個の節点で構成され，精度は優れるがモデル化はやや困難である．
1 次要素の精度が悪化しやすい問題として，固体の曲げ問題が挙げられる．これは，内挿に線形近似を用いているために，内部応力の分布を適切に表現できず，せん断ロッキングという現象を生じるためである．この現象は場合によっては極端な精度低下を引き起こす事がよく知られている．せん断ロッキングへの対策として，低減積分法などの計算テクニックを用いる場合が多い．
1 次要素は，高次要素より精度が劣り，低減積分法といった計算テクニックが必要となる点，高次要素の場合はモデル化がやや困難である点など，Lagrange 族要素にはそれぞれデメ
リットが存在する．これらのデメリットを解消するには，Lagrange 族 1 次要素と同じ節点構成でありながら，高次基底関数が導入可能な要素が望ましい．その候補として，Hermite 族
要素が挙げられる．Hermite 族要素は，1 節点の自由度として，変位等の物理量とその第一次導関数を与える．節点の自由度が増えるので，計算コストは増大するが，基底関数が最低でも 3 次関数になるため，Lagrange 族要素と Serendipity 族要素の欠点を同時に克服出来る．この Hermite 族要素は，一般的に 1 次元 Euler-Lagrange 梁要素 1)や 2 次元 KirchhoffLove 板要素 2) 3) 4)としてよく知られている．また，Lagrange 基底を用いる従来の Lagrange
型有限要素法と Hermite 基底を用いる Hermite 型有限要素法についての比較研究もすでに行われている．たとえば，著者らは，それぞれの有限要素法を流体力学の分野である移流方
程式へ適用し，計算結果を比較 5)した．井出 6)，柴田 7)らの研究においても同様の検討がなされている．これらの研究によると，Lagrange 型に比べ， Hermite 型は高精度かつ安定した数値計算であるとされる．さらに，非線形問題である Euler 方程式へ適用した場合も同様の傾向が確認 5)されている．一方で，現在，3 次元 Hermite 族ソリッド要素はあまり普及しておらず，Lagrange 族ソリッド要素が用いられる場合が多い．最近では，Andrew 8)が新しい基底関数を提案するに留まっている．また，Kirchhoff-Love 板要素においては，曲げをHermite 基底で離散化するのに対して，伸縮は Lagrange 基底を用いる場合が多い 9)．本研
究では，このような要素を Lagrange-Hermite 混合族要素と呼ぶ．混合族要素を用いる場合，
I 主桁のように板要素を直角に接続する構造では，Hermite 基底と Lagrange 基底による離散化が同一線上に現れてしまうので，変形後の要素形状に不整合が生じていると考えられる．
そこで，本研究では，Lagrange 基底で定義されることが多い高次ソリッド要素と，
Lagrange 基底と Hermite 基底を混合して定義されることの多い板要素を，Hermite 基底のみで定義する純 Hermite 族要素として定式化し，Hermite 族梁要素と共に 3 つの要素を用いて詳細橋梁構造をモデル化し，曲げ問題を解くことで数値計算結果からその有用性について検証を行う．
1

1.2 研究方法
それぞれの Hermite 族要素を定式化し，微小変形問題に適用し，数値解を求めて，Hermite
型有限要素法の有効性を検証する．まず，それぞれの Hermite 族要素の妥当性を確かめるため，微小変形問題として梁や平板の曲げ問題を解き，計算結果を評価する．その後，橋梁モデルとして，Hermite 族要素と，Lagrange 族要素および Lagrange-Hermite 混合族要素で，それぞれモデル化された鋼桁と合成桁の 4 点曲げ問題を解き，計算結果を比較する．また，横構や対傾構などに Hermite 梁要素，鋼桁のウェブとフランジ，垂直補剛材などの補剛材にHermite 族板要素，コンクリート床版に Hermite 族ソリッド要素をそれぞれ用いて詳細橋梁構造をモデル化し，曲げ問題を解くことによって，曲げ挙動の再現を試みる．

2

第2章

Kirchhoff-Love 理論

本研究では，Kirchhoff-Love 理論を有限要素解析に用いる．2.1 節では，面外変形（曲げ変形）について，2.2 節では，面内変形（伸縮変形）について説明する．

2.1

面外変形（曲げ変形）

Kirchhoff-Love Plate とは、次の 3 つの条件を満たす板である．
1) 変形前に中立面に対して垂直であった線分は、変形後も垂直を保つ．
2) 線分の長さが変形後も変化しない．
3) 中立面に平行な面に作用する法線応力は無視することができる．
これらの仮定から、平行変位は垂直変位の微分で表すことができる．𝑥，𝑦，𝑧方向の変位は，
𝑈 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑧

𝜕𝑤
𝜕𝑦

(1)

𝑊 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦)である．ここで，𝑤は中立面（𝑧 = 0）の垂直方向の変位を示す．ひずみテンソルは
𝜀𝑥 =

𝜕𝑈
𝜕2𝑤
= −𝑧 2
𝜕𝑥
𝜕𝑥

𝜀𝑦 =

𝜕𝑉
𝜕2𝑤
= −𝑧 2𝜕𝑦𝜕𝑦(2)

1 𝜕𝑈 𝜕𝑉𝑧 𝜕2𝑤
𝛾𝑥𝑦 = (+)=−
2 𝜕𝑦 𝜕𝑥
2 𝜕𝑥𝜕𝑦Kirchhoff-Love 板理論では，𝜀𝑧 = 𝛾𝑦𝑧 = 𝛾𝑧𝑥 = 0であり，ヤング率，ポアソン比をそれぞれ𝐸，
𝑣とすると，𝜀𝑧 = 0となる．応力テンソルとひずみテンソルの成分は次のような関係がある.
𝜎𝑥
1
𝐸{ 𝜎𝑦 } =[𝜈
1 − 𝜈2𝜏𝑥𝑦𝜀𝑥] { 𝜀𝑦 }
𝛾𝑥𝑦
1−𝜈

𝜈
1

(3)

曲げモーメントテンソルは，次のように書ける．

𝑀
𝜎𝑥
⎧
ℎ/2
{ 𝑥⎫
}
𝑀𝑦 = ∫ { 𝜎𝑦 } 𝑧 d𝑧
⎨
⎬
{
𝜏𝑥𝑦
−ℎ/2
⎩𝑀𝑥𝑦 }⎭
2
𝜕 2 𝑤⎫
⎧𝜕 𝑤
+
𝑣
{ 𝜕𝑥2
𝜕𝑦2 }
{
}
{
}
3
2
2
{
𝐸ℎ
𝜕 𝑤}
𝜕 𝑤
=−
+ 𝑣 2⎬
12(1 − 𝑣2 ) ⎨ 𝜕𝑦2
𝜕𝑥 }
{
{
2 }
𝜕
𝑤}
{
{ (1 − 𝑣)
}
⎩
𝜕𝑥𝜕𝑦⎭

3

(4)

𝑥方向，𝑦方向のせん断力を𝑄𝑥 ，𝑄𝑦 ，荷重を𝑞すると、平衡方程式は以下のように示される.
𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑀𝑥𝑦+− 𝑄𝑥 = 0𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑀𝑦 𝜕𝑀𝑥𝑦+− 𝑄𝑦 = 0
𝜕𝑦
𝜕𝑥

(5)

𝜕𝑄𝑥 𝜕𝑄𝑦
+
+𝑞 =0
𝜕𝑥
𝜕𝑦
まとめると次のように書ける．

𝜕 2 𝑀𝑥𝑦 𝜕 2 𝑀𝑦
𝜕 2 𝑀𝑥
+
2
+
= −𝑞
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑦2

(6)

ここで曲げ剛性は𝐷(= 𝐸ℎ3 /12(1 + 𝜈)(1 − 𝜈))となる．すべての式を一つにまとめると，次のようになる．
𝜕2 𝜕2𝑤
𝜕2 𝜕2𝑤
𝜕2
𝜕2𝑤
𝜕2 𝜕2𝑤
𝐷 { 2 ( 2) + 𝜈
(
)
+
2(1
−
𝜈)
(
)
+
(
)
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥2 𝜕𝑦2𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑦2 𝜕𝑦2(7)
𝜕2 𝜕2𝑤()} = 𝑞+𝜈𝜕𝑦2 𝜕𝑥2
𝜔, 𝑆, 𝑅がそれぞれ重み，表面積，残差を表すとき，Galerkin 法は次のように書くことができる.
(8)∫ 𝜔𝑅d𝑆 = 0
𝑆

たわみ量𝑤を𝑤 = 𝒘 ⋅ 𝑵 と近似したとき,基底関数𝑁 と式(7)を𝑅に代入すると，式(8)が成り立つ．また，式(8)は次のように書き換えることができる．

[∫ 𝐷(𝐊1 + 𝐊2 + 𝐊3 + 𝐊4 + 𝐊5 ) d𝑨] 𝒘 = ∫ 𝑵𝑞 d𝑨
𝑺

(9)

𝑺

ここで

𝐊1 =

𝜕2𝑵 𝜕2𝑵 𝑇𝜕𝑥2 𝜕𝑥2

𝐊2 = 𝜈

𝜕2𝑵 𝜕2𝑵 𝑇𝜕𝑥2 𝜕𝑦2

𝐊3 = 2(1 − 𝜈)

𝜕2𝑵 𝜕2𝑵 𝑇
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝐊4 =𝜕2𝑵 𝜕2𝑵 𝑇𝜕𝑦2 𝜕𝑦2

𝐊5 = 𝜈

𝜕2𝑵 𝜕2𝑵 𝑇𝜕𝑦2 𝜕𝑥2(10)剛性マトリックス𝐊，ベクトル𝒘，外力ベクトル𝒇でまとめると，連立方程式𝐊𝒘 = 𝒇が得られる．以上の理論は，主に板の曲げ問題，つまり，面外変形について取り扱っている．
4

2.2 面内変形（伸縮変形）
この節では面内変形，つまり伸縮変形について述べる．伸縮変形を考慮すると，式(1)は次のように書ける．
𝑈 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑢0 (𝑥, 𝑦) − 𝑧𝜕𝑤𝜕𝑥

𝑉 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑣0 (𝑥, 𝑦) − 𝑧

𝜕𝑤
𝜕𝑦

(11)

𝑊 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑤(𝑥, 𝑦)
ここで，𝑢0 ，𝑣0 は中立面の𝑥，𝑦方向の変位を表す．式(11)を用いると𝑥，𝑦方向の内力は次のよ
うに書ける．
𝑁
𝜎𝑥
⎧
ℎ/2
{ 𝑥⎫
}
𝑁𝑦 = ∫ { 𝜎𝑦 } d𝑧
⎨
⎬
{
𝜏𝑥𝑦
−ℎ/2
⎩𝑁𝑥𝑦 }⎭⎧ 𝐸𝑡 (𝜕𝑢0 + 𝑣 𝜕𝑣0 ) ⎫{1 − 𝑣2 𝜕𝑥
𝜕𝑦 }
{
}
{ 𝐸𝑡
𝜕𝑣0
𝜕𝑢0 }
(
+𝑣
)
=
⎨ 1 − 𝑣2 𝜕𝑦
𝜕𝑥 ⎬{}{ 𝐸𝑡 𝜕𝑢0 𝜕𝑣0 }
{
(
+
) }
⎩ 1 + 𝑣 𝜕𝑦
⎭
𝜕𝑥

(12)

平板の面内問題に関する内力は次のようになる．
𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑁𝑥𝑦+− 𝑃𝑥 = 0𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑁𝑦 𝜕𝑁𝑥𝑦+− 𝑃𝑦 = 0𝜕𝑦𝜕𝑥
𝑃𝑥 ，𝑃𝑦 を𝑥，𝑦方向の軸力である．

5

(13)

第3章

Hermite 族要素

この章では，Hermite 型有限要素法に用いる Hermite 族要素についてそれぞれの次元ごとに定式化する．

3.1 梁要素
正規化座標系を−1 ≤ 𝜉 ≤ 1とすると，1 次元 Hermite 族要素の基底関数が満たすべき条件は次のようになる．
2𝑖
𝐻2𝑖−1 (𝜉𝑖 ) = 𝛿𝑖𝑗 𝜕𝐻(𝜉𝑗 ) = 𝛿𝑖𝑗
𝜕𝜉

(14)

となり，ここで𝛿𝑖𝑗 はクロネツカーデルタであり，𝑖と𝑗は共に 1 または 2 である．節点位置である𝜉𝑖 は，それぞれ𝜉1 = −1，𝜉2 = 1となる．式(14)の条件を満たす基底関数は次の式(15)になる．
1
𝐻1 = (𝜉 − 1)2 (𝜉 + 2)
4
1
𝐻2 = (𝜉 − 1)2 (𝜉 + 1)
4

(15)

1
𝐻3 = (𝜉 + 1)2 (𝜉 − 2)
41
𝐻4 = (𝜉 + 1)2 (𝜉 − 1)
4
ここで，全体座標系𝑥におけるある 1 要素における 2 つの節点𝑥1 ，𝑥2 について考える．それらの節点における変位を𝑢1 ，𝑢2 とし，たわみ角を𝜃1 , 𝜃2 とする．要素内の任意の変位は𝑢(𝑥)と，たわみ角は𝜃(𝑥) = 𝑑𝑢/𝑑𝑥とすると，それらは Hermite 基底関数を用いて次のように書ける．
𝑢(𝑥) = 𝑵 (𝑥) ⋅ 𝒖 = 𝐀𝑯(𝜉) ⋅ 𝒖
(16)
𝑑𝑢 𝒅𝑵
𝑑𝑥 −1 𝒅𝑯
𝜃(𝑥) ==⋅𝒖=( ) 𝐀
⋅𝒖
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝜉
𝑑𝜉
𝑵 は，全体座標系で定義された基底関数であり，𝐀を補正行列とする．正規化された要素座標系で定義された Hermite 基底𝑯 𝑇 = {𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝐻4 }と要素を構成する節点での変位ベクトル
𝒖T = [𝑢1 𝜃1 𝑢2 𝜃2 ]に対して，補正行列𝐀は次のようになる．
1 0
⎡
𝑑𝑥
I ⎤
⎢0 𝑑𝜉
⎥
⎥
𝐀=⎢
(17)
1 0⎥
⎢
⎢ I
𝑑𝑥⎥
0
⎣
𝑑𝜉⎦
6

1 次元の場合，𝑥の傾きといえる𝑑𝑥/𝑑𝜉は，𝑑𝑥/𝑑𝜉 = (𝑥2 − 𝑥1 )/2となる．

3.2 板要素（3 自由度）
2 次元関数𝑯は以下のように求められる.
𝑇
𝑇
𝑇𝑇
𝑯 𝑇 = {𝑯(1)
𝑯(2)
𝑯(3)
𝑯(4)
}

(18)

ここで, 𝑯𝑘𝑇 = {𝐻3𝑘−2 , 𝐻3𝑘−1 , 𝐻3𝑘 }とする. 式（15）で示されるエルミート基底関数を各次元で掛け合わせると, 𝑯𝑘𝑇 の内容は次のようになる．
𝐻3𝑘−2 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂)𝐻3𝑘−1 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂)(19)

𝐻3𝑘 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗 (𝜂)ここで，𝜂は−1 ≤ 𝜂 ≤ 1であり，要素の正規化座標系である．𝑘, 𝑖, 𝑗の組み合わせは以下の通り
である.
(𝑘, 𝑖, 𝑗) = (1,1,1), (2,2,1), (3,2,2), (4,1,2)(20)𝑧方向の変位を𝑤(𝑥, 𝑦)，𝑥方向と𝑦方向の回転角を𝜃𝑥 (𝑥, 𝑦)，𝜃𝑦 (𝑥, 𝑦)とした場合である．また，
𝑤(𝑥, 𝑦)，𝜃𝑥 (𝑥, 𝑦)，𝜃𝑦 (𝑥, 𝑦)は次のようにエルミート基底関数で近似することができる.
𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝑵 ⋅ 𝒘 = 𝐀𝑯(𝜉, 𝜂) ⋅ 𝒘

𝜃𝑥 (𝑥, 𝑦) =𝜕𝜕𝑯
𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝐀
⋅𝒘
𝜕𝑥
𝜕𝑥

𝜃𝑦 (𝑥, 𝑦) =𝜕𝜕𝑯
𝑤(𝑥, 𝑦) = 𝐀
⋅𝒘
𝜕𝑦
𝜕𝑦

(21)

ここで，𝒘𝑇 = [𝑤1 𝜃𝑥1 𝜃𝑦1 𝑤2 𝜃𝑥2 𝜃𝑦2 𝑤3 𝜃𝑥3 𝜃𝑦3 𝑤4 𝜃𝑥4 𝜃𝑦4 ]である．まとめると，その方程式を次のようになる．
1
⎡
𝑤(𝑥,
𝑦)
⎧
⎫
{
}
0
𝜃𝑥 (𝑥, 𝑦) = ⎢
⎢
⎨
⎬ ⎢
{
⎩𝜃𝑦 (𝑥, 𝑦)}
⎭
0
⎣

0
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑦

0 ⎧ 𝑯 ⋅𝒘 ⎫}𝜕𝑯𝜕𝜂 ⎤ {
{𝐀
⋅ 𝒘}
⎥
𝜕𝜉
𝜕𝑥⎥
⎨
⎬
𝜕𝜂 ⎥ { 𝜕𝑯}{𝐀⋅ 𝒘}
𝜕𝑦⎦ ⎩ 𝜕𝜂⎭

この式を計算すると，補正行列𝐀が次のように書ける．

7

(22)

1
⎡
⎢0
𝐀=⎢
⎢
0
⎣

0
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜉

0
𝜕𝑥⎤
𝜕𝜂 ⎥
⎥
𝜕𝑦 ⎥
𝜕𝜂⎦

(23)

四角形要素の節点の𝑥座標𝑥1 ，𝑥2 ，𝑥3 ，𝑥4 と𝑦座標𝑦1 ，𝑦2 ，𝑦3 ，𝑦4 を用いて, 補正行列𝐀は以下のようになる. 節点 1 (𝑥1 , 𝑦1 )の時のみを示す．
1
⎡
0
𝐀=⎢
⎢
⎢
⎣0

0
(𝑥2 − 𝑥1 )2
(𝑥4 − 𝑥1 )20(𝑦2 − 𝑦1 )⎤⎥2⎥(𝑦4 − 𝑦1 )⎥
⎦
2

(24)

3.3 板要素（4 自由度）
Alireza[2] や Bogner[9]は，精度を向上するために，自由度を増やすことを試みている．
本研究でも，𝑤，𝜃𝑥 ，𝜃𝑦 に加えて，𝜃𝑥𝑦 を加える．
𝜃𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) =𝜕𝜕𝑯
𝑤(𝑥, 𝑦) =
⋅𝒘
𝜕𝑥𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦

(26)

Hermite 基底関数の自由度を 3 から 4 つに変更する場合,式(19)は次のようになる．
𝐻4𝑘−3 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂)𝐻4𝑘−2 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂)(27)
𝐻4𝑘−1 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗 (𝜂)𝐻4𝑘 (𝜉, 𝜂) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂)3.4 ソリッド要素
次に，3 次元について説明する．まず，3 次元の Hermite 基底関数は次のように置く．ここでの基底関数は局所座標系におけるものである．
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑯 𝑇 = {𝑯(1)
𝑯(2)
𝑯(3)
𝑯(4)
𝑯(5)
𝑯(6)
𝑯(7)
𝑯(8)
}

(28)

𝑇
ここで𝑯(𝑚)= {𝐻𝑚1 𝐻𝑚2 𝐻𝑚3 𝐻𝑚4 }𝑻 とする．

𝑚1，𝑚2，𝑚3，𝑚4はそれぞれ4𝑚 − 3，4𝑚 − 2，4𝑚 − 1，4𝑚とおく．3 次元の基底関数は 1次元の基底関数をそれぞれの次元で掛け合わせることによって定義される．𝑯(𝑚) の成分は次のようになる．
8

𝐻4𝑚−3 (𝜉, 𝜂, 𝜁) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂) ⋅ 𝐻2𝑘−1 (𝜁)𝐻4𝑚−2 (𝜉, 𝜂, 𝜁) = 𝐻2𝑖 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂) ⋅ 𝐻2𝑘−1 (𝜁)(29)
𝐻4𝑚−1 (𝜉, 𝜂, 𝜁) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗 (𝜂) ⋅ 𝐻2𝑘−1 (𝜁)𝐻4𝑚 (𝜉, 𝜂, 𝜁) = 𝐻2𝑖−1 (𝜉) ⋅ 𝐻2𝑗−1 (𝜂) ⋅ 𝐻2𝑘 (𝜁)𝜉, 𝜂, 𝜁は局所系正規化座標系であり, −1 ≤ 𝜉, 𝜂, 𝜁 ≤ 1である．𝑚，𝑘，𝑖，𝑗，の組み合わせは次の式(30)のようになる．
(𝑚, 𝑘, 𝑖, 𝑗)= (1,1,1,1), (2,1,1,2), (3,1,2,1), (4,1,2,2),(30)(5,2,1,1), (6,2,1,2), (7,2,2,1), (8,2,2,2)
次に，全体座標系の基底関数𝑁 について考える．𝑥方向の変位，変位のそれぞれの方向の第1 次導関数をそれぞれ𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧)， 𝑑𝑢/𝑑𝑥，𝑑𝑢/𝑑𝑦，𝑑𝑢/𝑑𝑧とする．このとき，それらの関数は基底関数を用いて内挿することができ，次のように表すことができる．今回，𝑥方向の変位𝑢に適用した式(31)のみを示す．
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑵 ⋅ 𝒖 = 𝐀𝑯(𝜉, 𝜂, 𝜁) ⋅ 𝒖
𝜕𝑯
𝜕𝑢 𝜕𝑵
=
⋅𝒖=𝐀
⋅𝒖
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑯
𝜕𝑢 𝜕𝑵
=
⋅𝒖=𝐀
⋅𝒖
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦

(31)

𝜕𝑯
𝜕𝑢 𝜕𝑵
=
⋅𝒖=𝐀
⋅𝒖
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑧
ここで，全体座標系における基底関数𝑵 は次のように置く.
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑵 𝑇 = {𝑵(1)
𝑵(2)
𝑵(3)
𝑵(4)
𝑵(5)
𝑵(6)
𝑵(7)
𝑵(8)
}

(32)

𝑇
ここで𝑵(𝑚)= {𝑁4𝑚−3 𝑁4𝑚−2 𝑁4𝑚−1 𝑁4𝑚 }𝑻 とする．𝑚 = 1~8である．変位ベクトルは次のように定義している．
𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑣
𝜕𝑤 𝜕𝑤 𝜕𝑤
𝒖𝑇 = {𝑢 ,,,, 𝑣, , , , 𝑤,
,
,
}
(33)
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

𝐀は補正行列である．式を整理すると次のようになる．
1 0⎧ 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⎫
{𝜕𝑢
} ⎡
𝜕𝜉
{ (𝑥, 𝑦, 𝑧)}{} ⎢0 𝜕𝑥
{𝜕𝑥
} ⎢
𝜕𝜉
𝜕𝑢
⎨ (𝑥, 𝑦, 𝑧)⎬ = ⎢0
𝜕𝑦
{𝜕𝑦
} ⎢
{
} ⎢
{𝜕𝑢
}
𝜕𝜉
{ (𝑥, 𝑦, 𝑧)}
0
⎩ 𝜕𝑧
⎭ ⎣
𝜕𝑧

0
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑧

0 ⎧ 𝐀𝑯 ⋅ 𝒖 ⎫𝜕𝑯 }𝜕𝜁 ⎤ {
{𝐀
⋅ 𝒖}
⎥
{
}
𝜕𝑥 { 𝜕𝜉
}
⎥
𝜕𝑯
𝜕𝜁 ⎥
⎨𝐀
⋅ 𝒖⎬
𝜕𝑦 ⎥ { 𝜕𝜂}{}𝜕𝜁 ⎥ { 𝜕𝑯 }{𝐀}⋅𝒖𝜕𝑧 ⎦ ⎩ 𝜕𝜁
⎭(34)

この式を計算すると，補正行列𝐀が次のように書ける．
1
⎡
⎢0
⎢
𝐀=⎢
⎢0
⎢
⎢
0
⎣

0
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝜕𝜁

0
𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜁

0
𝜕𝑧 ⎤
𝜕𝜉 ⎥
⎥
𝜕𝑧 ⎥
⎥
𝜕𝜂⎥
𝜕𝑧 ⎥
𝜕𝜁⎦

(35)

この時，基底関数𝑵(𝑚) は，𝐀と局所座標系における基底関数𝑯から，式(35)を用いると，次の9

ように書ける．ここで𝑚1 = 4𝑚 − 3，𝑚2 = 4𝑚 − 2，𝑚3 = 4𝑚 − 1，𝑚4 = 4𝑚とし，𝑵 ，𝑯の(𝜉, 𝜂, 𝜁)の表記は省略している．
1⎡⎧𝑁𝑚1 (𝜉, 𝜂, 𝜁)⎫ ⎢0
{
}
{
} ⎢
𝑁𝑚2
⎢
⎨
⎬ = ⎢0
𝑁𝑚3
{
}
{
} ⎢
𝑁𝑚4
⎩
⎭ ⎢
0
⎣

0
𝜕𝑥
𝜕𝜉
𝜕𝑥
𝜕𝜂
𝜕𝑥
𝜕𝜁

0
𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜁

0
𝜕𝑧 ⎤
⎧𝐻𝑚1 ⎫
𝜕𝜉 ⎥⎥ {𝐻 }𝑚2𝜕𝑧 ⎥⎥ ⎨𝐻𝑚3 ⎬𝜕𝜂⎥ {}⎩𝐻𝑚4 ⎭𝜕𝑧 ⎥𝜕𝜁⎦

ここで，式(35)に用いられるそれぞれの傾き𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧, , , , , , , ,𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜁 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜁 𝜕𝜉 𝜕𝜂 𝜕𝜁

(36)

(37)

は，次の式のように書ける．ただし，節点 1 の時のみを示す．
𝜕𝑥
⎡ 𝜕𝜉
⎢
⎢𝜕𝑥
⎢𝜕𝜂
⎢
⎢𝜕𝑥
⎣ 𝜕𝜁

𝜕𝑦
𝜕𝜉
𝜕𝑦
𝜕𝜂
𝜕𝑦
𝜕𝜁

𝜕𝑧
(𝑥5 − 𝑥1 )𝜕𝜉 ⎤ ⎡
2⎥𝜕𝑧 ⎥ ⎢
(𝑥
−
𝑥1 )
=⎢ 3
⎥
𝜕𝜂⎥ ⎢
2
𝜕𝑧 ⎥ ⎢(𝑥2 − 𝑥1 )2𝜕𝜁⎦ ⎣(𝑦5 − 𝑦1 ) (𝑧5 − 𝑧1 )⎤22⎥(𝑦3 − 𝑦1 ) (𝑧3 − 𝑦1 )⎥⎥22(𝑦2 − 𝑦1 ) (𝑧2 − 𝑧1 )⎥
⎦
2
2

10

(38)

第4章

検証

前章で定式化したそれぞれの Hermite 族要素について，曲げ問題と伸縮問題の微小変形問
題を解き，妥当性を検証する．

4.1

単純梁の曲げ問題

4.1.1
数値計算モデル
今節では Hermite 族梁要素の妥当性を確かめるため，単純梁の曲げ問題について数値計算を行う．梁の中央に集中荷重が作用する条件にて，要素分割数を変えながら数値計算を行い，最大たわみについて理論解と比較する．材料パラメータは表 4-1 に示すとおりである．本条
件における𝑧方向の最大たわみの理論解は𝑤 = 𝐹 ∗ 𝐿3 /48𝐸𝐼 = 0.125(𝑚𝑚)である．
表 4-1 単純梁の材料パラメータ
記号
𝐸
𝐿
𝑏
𝑡
𝐼
𝐹

名前
ヤング率
長さ
幅
厚み
断面 2 次モーメント
集中荷重

単位

量

𝑀𝑃𝑎
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚4
𝑁

200 × 103
100
10
10
833
1.00 × 10

4.1.2
数値計算結果図 4-1 に，単純梁の変形図を示す．また，図 4-2 に厚さ方向の要素分割数とその時の誤差をまとめた．要素分割数を増やすと多少誤差が大きくなっていくものの，どんな要素分割数においても数値解と理論解がほぼ一致する結果となっている．これにより，Hermite 族梁要素
は曲げ変形問題に用いることができることが分かる．

図 4-1 単純梁の変形図

図 4-2 長さ方向の分割数と誤差の関係

11

4.2

平板の曲げ問題4.2.1
数値計算モデル
今節では Hermite 族板要素の妥当性を確かめるため，平板の曲げ問題について数値計算を行う．また，板要素の自由度を増やした場合の精度向上を確かめるため，3 自由度要素と 4 自由度要素の 2 つの要素をそれぞれ数値計算に用いた．単純支持，平板の中央に集中荷重が作用する条件にて数値計算を行った．材料パラメータは表 4-2 に示す通りである．要素分割数
を変えながら数値計算を行い，最大たわみについて理論解と比較する．本条件における𝑧方向の最大たわみの理論解は𝑤 = 0.0116 ∗ 𝐹0 ∗ 𝐿2 /𝐷 = 0.1013(𝑚𝑚)である．
表 4-2 平板モデルの材料パラメータ
記号
𝐸
𝑣
𝐿
𝑡
𝐷
𝐹

名前
ヤング率
ポアソン比
一辺の長さ
厚み
曲げ耐性
集中荷重

単位

量

𝑀𝑃𝑎

200 × 103
0.3
400
10

𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑁 ∙ 𝑚𝑚𝑀𝑃𝑎

1.83 × 10
100

4.2.2
数値計算結果図 4-3 に，平板の変形図を示す．また，図 4-4 に，長さ方向の要素分割数とその時の誤差をまとめた．3 自由度要素において，𝑥方向分割数，𝑦方向分割数を均等分割していくと，誤差が小さくなるものの，理論解と小さくない誤差が生じている． 一方，4 自由度要素は要
素分割数を十分にとると，高精度な数値計算結果となっている．このことから，自由度を増やす操作によって，計算精度が向上することが分かった．今後の板要素による計算には 4 自由度要素を使用する．

図 4-3 平板の変形図

図 4-4 長さ方向の分割数と誤差の関係

12

4.3

板の圧縮問題

4.3.1
数値計算モデル
今節では，板の伸縮に対する Hermite 族要素の妥当性を検証する．本研究では鋼桁に実装
し，ウェブ部分に生じる伸縮変形がフランジの曲げ変形に適切に伝達されるか確認する．表
4-3 に数値計算モデルの材料パラメータを示す．平板の曲げ問題と同様に，要素分割数を変えながら数値計算を行い，長さ方向の変位について理論解と比較する．数値解について，𝑥 = 𝐿における長さ方向の変位の平均を取った値を採用した．本条件における長さ方向の最大変位の理論解は，𝑥 = 𝐿で，𝑢 = 𝐹𝐿/𝐸𝐴 = 0.125(𝑚𝑚)である．
表 4-3 板モデルの材料パラメータ
記号
𝐸
𝑣
𝐿
𝑏
𝑡
𝐷
𝐹

名前
ヤング率
ポアソン比
長さ
幅
厚み
曲げ耐性
分布荷重

単位

量

𝑀𝑃𝑎

200 × 103
0.3
400
20
10

𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑁 ∙ 𝑚𝑚𝑀𝑃𝑎

1.83 × 10
500

4.3.2
数値計算結果図 4-5 に，板の変形図を示す．青い点は変形前の節点座標で，変形後の変位を 100 倍拡大
して描画している．また，図 4-6 に，幅方向の要素分割数とその時の誤差をまとめた．𝑥方向
分割数，𝑦方向分割数を均等分割していくと，誤差が徐々に収束していくことがわかる．これにより， Hermite 族板要素が伸縮問題についても利用できると考えられる．

図 4-5 板の圧縮変形図

図 4-6 幅方向の分割数と誤差の関係

13

4.4

片持ち梁の曲げ問題

4.4.1
数値計算モデル
今節では，Hermite 族ソリッド要素の妥当性を確かめるため，片持ち梁の曲げ問題について数値計算を行う．表 4-4 に数値計算モデルの材料パラメータを示す．同様に，要素分割数
を変えながら数値計算を行い，曲げ変位について理論解と比較する．本条件における曲げ変位の理論解は，𝛿 = 𝐹 𝐿3 /3𝐸𝐼 = 4.762 × 10−1 (𝑚𝑚)である．
表 4-4 片持ち梁の材料パラメータ
記号
𝐸
𝑣
𝐿
𝑏
𝑡
𝐼
𝐹

名前
ヤング率
ポアソン比
長さ
幅
厚み
断面 2 次モーメント
分布荷重

単位

量

𝑀𝑃𝑎

200 × 103
0
400
40
40
213
1000

𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚4
𝑁

4.4.2
数値計算結果図 4-7 に，片持ち梁の変形図を示す．青い点は変形前の節点座標で，変形後の変位を 100 倍拡大して描画している．また，図 4-8 に厚さ方向の要素分割数とその時の誤差をまとめた．𝑥
方向分割数，𝑦方向分割数，𝑧方向分割数を均等分割していくと，誤差が徐々に収束していく
ことがわかる．これにより，Hermite 族ソリッド要素は曲げ変形問題に用いることができる
ことが分かる．

図 4-7 片持ち梁の変形図

図 4-8 厚さ方向の分割数と誤差の関係

14

第5章

座標変換マトリクス

本研究では，検証に鋼桁と合成桁を用いるが，ウェブと呼ばれる部分は，局所座標系の軸が全体座標系から 90 度回転されている．また，梁要素によって再現される横構や対傾構は，様々な角度で接合されることが多い．そのため，梁要素と板要素について，局所座標系から全体座標に直す操作が必要である．この章では，その操作に用いる座標変換マトリクスを説明する．その説明には O.C.ツィエンキーヴィッツ[10]や参考資料[11]を引用している．

5.1

梁要素の座標変換マトリクス

全体座標系を𝑥，𝑦，𝑧とし，局所座標系を𝜉 ，𝜂，𝜁 とする．全体座標系(𝑥，𝑦，𝑧)の単位ベ
クトル𝒆 = {𝑒𝑥 , 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 }𝑇 とし，局所座標系(𝜉 ，𝜂，𝜁)の単位ベクトルを𝒆′ = {𝑒𝜉 , 𝑒𝜂 , 𝑒𝜁 }𝑇 とするとこれらの関係は座標変換マトリックス𝐋を用いると，次のようになる．
(39)𝒆′ = 𝐋𝒆

梁要素の座標変換の場合，全体座標系の𝑥軸，𝑦軸，𝑧軸をそれぞれ回転軸として，回転操作を用いて座標変換を行う．𝑧軸周りに𝜃だけ回転する回転座標変換マトリクス𝐋𝒛 は次のようになる．
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐋𝒛 = [−𝑠𝑖𝑛𝜃
0

𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
0

0
0]
1

(40)

図 5-1 𝒛軸周りの回転座標変換
同様に，𝑦軸周りの回転座標変換マトリクス𝐋𝒚 ，𝑥軸周りの回転座標変換マトリクス𝐋𝒙 はそれ
ぞれ次のようになる．
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐋𝒚 = [ 0𝑠𝑖𝑛𝜃1𝐋𝒙 = [ 0
0

0
1
0

−𝑠𝑖𝑛𝜃
0 ]
𝑐𝑜𝑠𝜃

(41)

0
𝑐𝑜𝑠𝜃
−𝑠𝑖𝑛𝜃

0
𝑠𝑖𝑛𝜃]
𝑐𝑜𝑠𝜃

(42)

15

また，1 軸の回転座標変換のみで必要な局所座標系が表せない場合は，他軸の回転行列を掛け合わせることで表現する．

5.2

板要素の座標変換マトリクス

梁要素の場合と同様に，全体座標系(𝑥 ，𝑦，𝑧)，局所座標系(𝜉 ，𝜂，𝜁)を定義する．それぞれの単位ベクトルと座標変換マトリクス𝐋との関係も同様である．また，座標変換マトリクス
𝐋を次のように書く．
𝑙𝜉𝑥 𝑙𝜉𝑦 𝑙𝜉𝑧
𝑳𝑻𝒙
⎤
⎡
⎤ ⎡
𝐋 = ⎢𝑙𝜂𝑥 𝑙𝜂𝑦 𝑙𝜂𝑧 ⎥ = ⎢ 𝑳𝑻𝒚 ⎥(43)𝑻⎣𝑙𝜁𝑥 𝑙𝜁𝑦 𝑙𝜁𝑧 ⎦ ⎣𝑳𝒛 ⎦ここで，𝑙𝜉𝑥 ，𝑙𝜉𝑦 ，𝑙𝜉𝑧 は局所座標系(𝜉 ，𝜂，𝜁)の全体座標系(𝑥，𝑦，𝑧)への方向余弦である．𝜉軸の方向余弦ベクトル𝐿𝑥 は次式から求められる．
𝑳𝒙 =

𝑨
|𝑨|

(44)

′
′
′
′
′
′
′
′
ここで，要素の各辺の中点を{𝑥′𝑐1 , 𝑦𝑐1, 𝑧𝑐1}，{𝑥′𝑐2 , 𝑦𝑐2, 𝑧𝑐2}，{𝑥′𝑐3 , 𝑦𝑐3, 𝑧𝑐3}，{𝑥′𝑐4 , 𝑦𝑐4
, 𝑧𝑐4
}とす
′
′
′
′ 𝑇
− 𝑦𝑐4
, 𝑧𝑐2
− 𝑧𝑐4
} と書
る．これらの座標を用いると，𝜉軸方向ベクトル𝑨は𝑨 = {𝑥′𝑐2 − 𝑥′𝑐4 , 𝑦𝑐2
ける．
次に𝜁軸の方向余弦ベクトル𝐋𝐳 は次式から求められる．

𝑳𝒛 =

𝑨×𝑩
2|𝑨 × 𝑩|

(45)

′
′
′
′ 𝑇
𝜂軸方向ベクトル𝑩は𝑩 = {𝑥′𝑐3 − 𝑥′𝑐1 , 𝑦𝑐3
− 𝑦𝑐1
, 𝑧𝑐3
− 𝑧𝑐1
} と書ける．
最後に，𝜂軸の方向余弦ベクトル𝑳𝒚 は次式から求められる．

(46)

𝑳𝒚 = 𝑳𝒛 × 𝑳𝒙

これらより座標変換マトリクス𝐋が求められた．
座標変換マトリクスを含んだ要素剛性マトリクス𝐊1 は，前章の要素剛性マトリクス𝐊は用いると次のようになる．
(47)

𝐊𝟏 = 𝐋 𝐓
𝟏 𝐊𝐋𝟏
ここで，𝐋𝟏 は𝐋⎡⎢⎢
𝐋𝟏 = ⎢
⎢
⎢
⎣

𝐋

𝐋

𝚶
𝐋

𝐋

𝚶

である．

16

𝐋

𝐋

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
𝐋⎦

(48)

第6章

橋梁モデルへの適用

前章までで定式化，検証した Hermite 族要素を実際の橋梁構造に適用し，数値計算を行う．
6.1 節で鋼桁，6.2 節では合成桁を対象とし，解析する．

6.1

鋼桁の 4 点曲げ問題

6.1.1
数値計算モデル
今節では，Hermite 族板要素と Lagrange-Hermite 混合族板要素で，鋼桁をモデル化し，4 点曲げ試験について数値計算を行い，精度を検証する．板要素について，前章の検証の中で精度の良かった 4 自由度要素を使用する．計算モデルの鋼桁の断面図と 4 点曲げ試験の概略
図を，それぞれ図 6-1 と図 6-2 に示す．表 6-1 は鋼桁の材料パラメータである．要素分割数
を変更しながら数値計算を行っていく．また，今回のモデルでは，理論解を単純に求めることができず，数値解との精度検証ができない．そのため，汎用数値解析ソフトウェアである
Abaqus の数値計算結果をもとに精度検証を行う．Abaqus において，要素分割数(12 × 120 ×12)で数値計算を行った．
表 6-1 鋼桁モデルの材料パラメータ
記号
𝐸
𝑣
𝐿
𝑏
ℎ
𝑡𝑓
𝑡𝑤
𝐿1 , 𝐿3
𝐿2
𝑙1 , 𝑙3
𝑙2
𝑃

名前
ヤング率
ポアソン比
全長
幅
高さ
フランジの厚み
ウェブの厚み区間長さ 1,3
区間長さ 2
区間長さ 1,3
区間長さ 2
集中荷重

単位

量

MPa

200 × 103
0
400
100
100
8
6
50
300
150
100
80 × 103

𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
MPa

17

図 6-1 鋼桁の断面図

図 6-2

4 点曲げの概略図

6.1.2
数値計算結果鋼桁の変形図を図 6-3 に示す．青い点は変形前の節点座標で，変形後の変位を 100 倍拡大
して描画している．上フランジが大きくたわみ，下フランジが滑らかにたわんでいる様子が確認でき，上からウェブを通して力が伝わっていることが分かる．また，図 6-4 に幅方向の要素分割数とその時の代表点変位をまとめた．代表点として，中立軸における下フランジの最大たわみの所の生じる点を採用している．各部分の細かい曲げ挙動を確認するため，上フ
ランジ，中立軸，下フランジのたわみ曲線を図 6-5，図 6-6，図 6-7 にまとめた．Hermite 族
要素を用いた結果も，Lagrange- Hermite 混合族要素を用いた結果も，𝑥方向分割数，𝑦方向
分割数，𝑧方向分割数を均等分割していくと，変位が一定の値に収束していくことがわかる．
どちらの結果も Abaqus による結果より多少小さい値になっているが，上フランジ，中立軸，下フランジのたわみ曲線の形は概ね一致しており，適切に数値計算が行われたと分かる．また，Hermite 族要素を用いた結果の方が，Lagrange-Hermite 混合族要素を用いた結果より
Abaqus の結果に近い値となった．Abaqus は様々な補正処理をブラックボックス化している
ようだが，そういった補正処理を施さなかった場合の Lagrange-Hermite 混合族要素と比較
し，Hermite 族板要素は自動的に補正が行われていると考えられ，有用性が優れると考えられる．

図 6-3 鋼桁の変形図

図 6-4 幅方向の分割数と代表点変位の関係
18

図 6-5 上フランジのたわみ曲線（鋼桁）

図 6-6 中立軸のたわみ曲線（鋼桁）

図 6-7 下フランジのたわみ曲線（鋼桁）6.2

合成桁の 4 点曲げ問題

6.2.1
数値計算モデル
合成桁とは，鋼桁とコンクリート床版がずれ止めで接合された橋梁の上部構造の一種である．この節では，Hermite 族板要素に加え，Hermite 族ソリッド要素を用いて合成桁をモデ
ル化し，4 点曲げ問題試験について数値計算を行い，曲げ変形を表現できるか検証する．また，Hermite 族要素を用いたモデルと，Lagrange-Hermite 混合族板要素と Lagrange 族 1次ソリッド要素を組み合わせたモデルでそれぞれ数値計算を行い，精度を比較する．合成桁の断面図を図 6-8 に，合成桁の材料パラメータを表 6-2 に示す．鋼桁の材料パラメータは前節と同じとする．本研究では，簡単のため，ソリッド要素と板要素は剛結を仮定した．鋼桁の時と同様に，要素分割数を変更しながら数値計算を行い，Abaqus の数値計算結果と比較し，精度検証を行う．Abaqus において，ソリッド要素分割数(16 × 32 × 4)，板要素分割数(8 × 32 × 8)で数値計算を行った．

19

表 6-2 コンクリート床版モデルの材料パラメータ
記号
𝐸
𝑣
𝑏𝑐
𝑡𝑐
𝐹

名前
ヤング率
ポアソン比
幅
厚み
集中荷重

単位

量

MPa

28 × 103
0.2
200
50

𝑚𝑚
𝑚𝑚
MPa

80 × 103

図 6-8 合成桁の断面図

6.2.2
数値計算結果
数値計算後の変形図を図 6-9 に示す．青い点は変形前の節点座標で，変形後の変位を 100倍拡大して描画している．コンクリート床版がたわみ，下フランジが滑らかにたわんでいる．
鋼桁と同様に，曲げ挙動を適切に表現することが出来た．また，図 6-10 に幅方向の要素分割
数とその時の代表点変位をまとめた．代表点は，鋼桁の時と同様である．上フランジ，中立軸，下フランジのたわみ曲線を図 6-11，図 6-12，図 6-13 にまとめた．Hermite 族要素を用いた結果も， Lagrange- Hermite 混合族要素を用いた結果も，𝑥方向分割数，𝑦方向分割数，
𝑧方向分割数を均等分割していくと，変位がある程度収束していくが，完全な収束には至らなかった．どちらの結果も Abaqus による結果より小さい値になっており，鋼桁と同様の傾向が表れている．上フランジ，中立軸，下フランジのたわみ曲線の形は概ね一致しており，数値計算が適切に行われたと分かる．また，Hermite 族要素を用いた結果の方が，LagrangeHermite 混合族要素を用いた結果より Abaqus の結果に近い値になっている．Hermite 族板
要素と同様に，Lagrange 族ソリッド要素と比較した Hermite 族ソリッド要素の有用性が確
認できた．

20

図 6-9 合成桁の変形図

図 6-10 幅方向の分割数と代表点変位の関係

図 6-11 上フランジのたわみ曲線（合成桁）

図 6-12 中立軸のたわみ曲線（合成桁）

図 6-13 下フランジのたわみ曲線（合成桁）

21

6.3

詳細橋梁モデルの曲げ問題

6.3.1
数値計算モデル
この章では，前章で曲げ問題を適用した鋼桁，合成桁モデルに，梁要素を加えた詳細橋梁
モデルを作成し，曲げ変形を再現できるかどうか検証する．4 本の主桁の上にコンクリート
床版を設置し，梁要素，板要素を用いて表現した横構や対傾構，垂直・鉛直補剛材などの補剛材を鋼桁中に導入する．各モデルの材料パラメータを表 6-3，表 6-4，表 6-5，表 6-6 に示
す．鋼桁、コンクリート床版の材料パラメータは前章とヤング率，ポアソン比を同様とする．
また，前節と同じ添え字の記号については，同じ位置の材料パラメータを表すものとする．
図 6-14，図 6-15，図 6-16 に，詳細橋梁モデルの概要図を，図 6-17 に，全体図を示す．概要
図において，主桁・横桁を黒色，垂直・鉛直補剛材を青色，横構・対傾構を赤色で描画している．本モデルは，原らの著書を参考に，実際の橋梁に各材料パラメータをできるだけ近づけたモデルとなっている 12)．本研究では，補剛材ありのモデルと補剛材なしのモデルで，同条件において曲げ試験を行い，計算結果を比較する．両モデル共に，板要素分割数(14 × 8 × 6)
で数値計算を行った．
表 6-3 主桁モデル（詳細橋梁）の材料パラメータ
記号
𝐿
𝑏
ℎ
𝑡𝑓
𝑡𝑤
𝐿1 , 𝐿3
𝐿2
𝑙1 , 𝑙3
𝑙2
𝑃

名前
全長
幅
高さ
フランジの厚み
ウェブの厚み区間長さ 1,3
区間長さ 2
区間長さ 1,3
区間長さ 2
集中荷重

単位

量

𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
MPa

300000
500
1900
36
9
37500
22500011250075000
80 × 109

表 6-4 コンクリート床版（詳細橋梁）の材料パラメータ
記号
𝑏𝑐
𝑡𝑐

名前
幅
厚み

単位
𝑚𝑚
𝑚𝑚

22

量
9200
60

表 6-5 補剛材（横構・対傾構）の材料パラメータ
記号
𝐸
𝑏
𝑡
𝐼
𝑙1
𝑙2
𝑙3
𝑙4
𝑙5

名前
ヤング率
幅
厚み
断面 2 次モーメント区間長さ 1
区間長さ 2
区間長さ 3
区間長さ 4
区間長さ 5

単位

量

𝑀𝑃𝑎
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚4
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚

200 × 10340
40
2.13 × 105
950
1200
2400
37500
75000

表 6-6 補剛材（横桁・垂直補剛材・水平補剛材）の材料パラメータ
記号
𝐸
𝑡
𝑙1
𝑙2
𝑙3
𝑙4
𝑙5
𝑙6

名前
ヤング率
厚み
区間長さ 1
区間長さ 2
区間長さ 3
区間長さ 4
区間長さ 5区間長さ 6

単位

量

𝑀𝑃𝑎
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑚𝑚

200 × 103
9
37500
75000
475
1425
9500
475

図 6-14 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒙, 𝒛)平面]

図 6-15 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒚, 𝒛)平面]23

図 6-16 詳細橋梁モデルの概要図[(𝒙, 𝒚)平面]

図 6-17 詳細橋梁モデルの全体図

6.3.2
数値計算結果
数値計算後の変形図を図 6-18 に示す．
青い点は変形前の節点座標で，変形後の変位を 10000
倍拡大して描画している．上から下の部材へと荷重が伝わり，下フランジが滑らかにたわんでいる様子が確認できる．また，(𝑦, 𝑧)平面の詳細橋梁モデルの変形図を図 6-19，図 6-20 にまとめた．主桁の端を見ると，下フランジが異常に反りあがっており，完全な曲げ挙動の再現に至っているとは言い難い．前節のモデルに比べ，部材長が伸び，様々な部材が追加されたことにより，一つの要素がより歪な形となり，計算条件が厳しくなったと推測される．計
算方法や境界条件を細かく設定することにより，曲げ挙動の再現が改善できると考えられる．
また，4 本の主桁を𝑥軸方向に沿って 1～4 と番号を付け，それぞれの上フランジ，中立軸，下フランジのたわみ曲線を図 6-21，図 6-22，図 6-23，図 6-24 にまとめた．赤色のたわみ曲
線が補剛材ありのモデル，青色のたわみ曲線が補剛材なしのモデルである．全ての主桁において，補剛材によりたわみが抑えられていることが確認できた．

24

図 6-18 詳細橋梁モデルの変形図

図 6-19 詳細橋梁モデルの変形図[(𝐲, 𝒛)平面]（補剛材あり）

図 6-20 詳細橋梁モデルの変形図[(𝐲, 𝒛)平面]（補剛材なし）

図 6-21 主桁 1 のたわみ曲線

図 6-22 主桁 2 のたわみ曲線25

図 6-23 主桁 3 のたわみ曲線

図 6-24 主桁 4 のたわみ曲線

26

第7章

まとめと考察本研究では，Hermite 族要素について板要素とソリッド要素を定式化し，その妥当性について検証し，鋼桁と合成桁に実装した．また，梁要素と合わせて 3 つの要素を用いて詳細橋梁モデルを作成し，曲げ挙動の再現を試みた．結果より，次のような知見を得られた．
1， Hermite 族 Kirchhoff-Love 板要素の 1 節点 4 自由度モデルは 3 自由度モデルと比べ，曲げ問題の計算精度が優れる．
2， Hermite 族 Kirchhoff-Love 板要素は，十分な要素分割数を確保すれば，伸縮問題の計算精度が良い．
3， Hermite 族ソリッド要素は，十分な要素分割数を確保すれば，曲げ問題の計算精度が優れる．
4， Hermite 族板要素と Hermite 族ソリッド要素を鋼桁と合成桁に実装することが出来た．
また，従来の Lagrange-Hermite 混合族要素と比べ，計算精度が改善された．
5， Hermite 族板要素でモデル化した鋼桁の曲げ変位は，Abaqus の数値計算結果より小さい
値となり，完全に一致しなかった．Hermite 族板要素と Hermite 族ソリッド要素でモデル化した合成桁の曲げ変位に関しても同様の傾向を確認した．
6， Hermite 族梁要素，Hermite 族板要素，Hermite 族ソリッド要素をそれぞれ用いて詳細
橋梁構造をモデル化し，曲げ挙動の再現を試みたが，完全な再現とは言い難く，改善の余地がある．
本研究では，既存の様々な要素と Hermite 族要素との比較には至っておらず，今後，精度や計算時間について詳細に比較検討する必要がある．また，実際の曲げ問題を解くためには座屈等の現象も考慮する必要があり，大変形問題への拡張が必須である．今後は大変形問題への拡張や，実験と数値計算の比較に加え，より複雑な構造物への適用，Hermite 族要素の利点が生かせるような構造モデルの開発等について検討していく．

27

謝辞
本研究で，丁寧なご指導を頂きました山本亨輔先生に深謝いたします．特に，研究だけでなく，発表資料作り等のたくさんのことを丁寧に教えて頂きました．
また，松島先生は合同ゼミにおいてたくさんのご指導を頂きました．
最後に，日ごろお世話になったフロ研ゼミの学生のみなさんに感謝を申し上げます．

28

参考文献
1) 村上翔 : 車両振動へのカルマンフィルタ適用による VBI システム同定の可能性に関する数値的検討，修士論文，2021
2) Alireza Beheshti: Novel quadrilateral elements based on explicit Hermite polynomials for bending ofKirchhoff– Love plates, Computational Mechanics 62:1199–1211, 20183) P. M. F. NIELSEN, I. J. LE GRICE, B. H. SMAILL, AND P. J. HUNTER : Mathematical model ofgeometry and fibrous structure of the heart, The American Physiological Society, 1991
4) Maatthew J. Gonzales and all: A three-dimensional finite element model of human atrial anatomy:
New methods for cubic Hermite meshes with extraordinary vertices, Medical Image Analysis
17(2013) 525-537
5) 須藤大樹, 山本亨輔, : Hermite 型有限要素法を用いた移流方程式と Euler 方程式の数値解
析,土木学会全国大会第 76 回年次学術講演会，2021
6) 井出康之，登坂宣好：CIP-有限要素法による非定常費圧縮粘性流れ問題の近似解析，日本機械学会論文集(B 編)，論文 No.96-1389
7) 柴田悦太郎，槙原孝文，棚橋隆彦：CIP 有限要素法を用いた正方形キャビティ内自然解析，
日本機械学会論文集(B 編)，論文 No.98-16
8) Andrew Gillette : Hermite and Bernstein Style Basis Functions for Cubic Serendipity Spaces on
Squares and Cubes 20129) 有限要素法ハンドブック：鷲津久一郎［ほか］共編 培風館 1981-1983
10)
マトリックス有限要素法 II: O.C.ツィエンキーヴィッツ，R.L テイラー 訳者代表
矢川元基 科学技術出版社 1996
11)
平面シェル要素を用いたシェル構造の弾塑性解析：藤井大地 近畿大学論議資料
12)
鋼構造学：原隆，山口隆司，北原武嗣，和多田康男 株式会社コロナ社 200729

付録
付録 A 補正行列 A式(38)と同様に数値計算に用いた節点ごとの補正行列𝐀を示す．Hermite 族板要素を用いた時の，節点 2~4 の補正行列を以下にまとめる．
節点 2 における補正行列𝐀𝟐
節点 3 における補正行列𝐀3
1⎡
0
𝐀2 = ⎢⎢⎢⎣00(𝑥2 − 𝑥1 )2
(𝑥3 − 𝑥2 )20
(𝑦2 − 𝑦1 )⎤⎥2⎥(𝑦3 − 𝑦2 )⎥
⎦
2

1
⎡
0
𝐀3 = ⎢⎢⎢⎣00(𝑥3 − 𝑥4 )2(𝑥3 − 𝑥2 )20(𝑦3 − 𝑦4 )⎤⎥2⎥(𝑦3 − 𝑦2 )⎥⎦2

節点 4 における補正行列𝐀41⎡
0
𝐀4 = ⎢⎢⎢⎣00(𝑥3 − 𝑥4 )2
(𝑥4 − 𝑥1 )20(𝑦3 − 𝑦4 )⎤⎥2⎥(𝑦4 − 𝑦1 )⎥⎦2

付録 A-1 板要素の節点 1 における座標と節点の対応関係
次に Hermite 族ソリッド要素を用いた時の，節点 2~8 の補正行列を以下にまとめる．
節点 2 における補正行列𝐀𝟐
節点 3 における補正行列𝐀3

𝐀

1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

(𝑥 6

0

0

𝑥2 )

𝑦6

𝑥2 )

𝑦4

2

(𝑥 4
(𝑥 2

2
2

0

𝑦2
2

𝑥1 )

𝑦2
2

𝑦2

𝑦1
2

⎤
⎥
2
⎥
( 𝑧 4 𝑧 2 )⎥⎥2⎥
( 𝑧 2 𝑧 1 )⎥
⎦
2
( 𝑧6

𝑧2 )

𝐀

1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

(𝑥 7

0

0

𝑥3 )

𝑦7

𝑥1 )

𝑦3

2

(𝑥 3
(𝑥 4

2
2

0

𝑦3
2

𝑥3 )

𝑦1
2

𝑦4

𝑦3
2

節点 5 における補正行列𝐀5

節点 4 における補正行列𝐀4

30

⎤
⎥
2
⎥
(𝑧 3 𝑧 1 )⎥⎥2⎥
(𝑧 4 𝑧 3 )⎥
⎦
2
(𝑧 7

𝑧3 )

𝐀

1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

(𝑥 8

0

0

𝑥4 )

𝑦8

𝑥2 )

𝑦4

2

(𝑥 4
(𝑥 4

2

0

𝑦4
2

𝑥3 )

𝑦2
2

𝑦4

2

𝑦3
2

⎤
⎥
2
⎥
( 𝑧 4 𝑧 2 )⎥⎥2⎥
( 𝑧 4 𝑧 3 )⎥
⎦
2
( 𝑧8

𝑧4 )

𝐀

𝐀

(𝑥 6

0

0

𝑥2 )

𝑦6

𝑥6 )

𝑦8

𝑥5 )

𝑦6

2

(𝑥 8
(𝑥 6

2

0

𝑦2
2
𝑦6
2

2

𝑦5
2

(𝑥 5

0

0

𝑥1 )

𝑦5

𝑥5 )

𝑦7

2

(𝑥 7
(𝑥 6

2

0

𝑦1
2

𝑥5 )

𝑦5
2

𝑦6

2

𝑦5
2

( 𝑧 6 𝑧 2 )⎤⎥2⎥
( 𝑧 8 𝑧 6 )⎥⎥2⎥
( 𝑧 6 𝑧 5 )⎥
⎦
2

𝐀

1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

(𝑥 7

0

0

𝑥3 )

𝐀

(𝑥 8

0

𝑥4 )

0
𝑦8

𝑦7

𝑥5 )

𝑦7

𝑥7 )

𝑦8

2

(𝑥 7
(𝑥 8

2
2

𝑦3
2
𝑦5
2
𝑦7
2

2

(𝑥 8
(𝑥 8

2
2

0

𝑦4
2

𝑥6 )

𝑦8

𝑥7 )

𝑦8

𝑦6
2
𝑦7
2

𝑧1 )

0

節点 8 における補正行列𝐀8
1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

⎤
⎥
2
⎥
(𝑧 7 𝑧 5 )⎥⎥2⎥(𝑧 6 𝑧 5 )⎥
⎦
2
(𝑧 5

節点 7 における補正行列𝐀7

節点 6 における補正行列𝐀6
1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

1
⎡
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣

⎤
⎥
2
⎥
( 𝑧 8 𝑧 6 )⎥⎥2⎥
( 𝑧 8 𝑧 7 )⎥
⎦
2
(𝑧 8

𝑧𝑧 )

付録 A-2 ソリッド要素の節点 1 における座標と節点の対応関係

31

⎤
⎥
2
⎥
(𝑧 7 𝑧 5 )⎥⎥2⎥
(𝑧 8 𝑧 7 )⎥
⎦
2
(𝑧 7

𝑧3 )