数学

本調査研究における「個に応じた指導」のとらえ方
研究テーマ「基礎・基本を定着させ、生徒一人一人が学ぶ楽しさ考える楽しさを味わう
指導方法の工夫改善」
研究の視点○少人数加配教員の効果的な配置等により、個に応じたきめ細かな指導方法の工夫・改善を図り、その成果について検証する。
○学習内容の習熟の程度に応じた効果的な指導方法や指導形態の在り方について検証する。

調査研究の手だてと実践事例
１〈 ２年生 平行と合同

成果（☆）と課題（▲）

〉☆Student Teacher の活用により学び合いの一層の深化。

○ 個に応じた教材・教具の工夫○ 習熟度を考慮した課題選択○ Student Teacher の活用☆証明方法を選択させることによる基礎・基本の徹底。
▲一斉指導の中での個への対応は、教材・教具の工夫が不可欠。

２〈 １年生 方程式の利用 〉☆数学好きの生徒の割合が増加。
☆なぜ解けなかったかをふり返って○ 学習内容による学習形態の工夫

考える生徒が増加。

４ ○ 習熟度を加味したコ－ス別編成▲授業がわかる生徒の割合は学習内○ 自作教材での思考補助

容の量の増加にともない減少傾向。

３〈 ３年生 図形と相似〉☆一斉授業の形態をとる中でポイン
トをしぼった少人数指導は、基○ ワンポイントによる少人数指導の導入○ 自己評価カ－ドの工夫○ 振り返りレポ－トの作成

礎・基本の定着に有効。
☆自己評価カードの活用で復習が促され、レポート作成により、つまずきの克服に効果。

４〈 ２年生 平行と合同・平行線と角〉▲つまずきを自己表現できない生徒への対応。

○ 単元を通した習熟度別コ－ス編成○ コ－スごとの発問・支援の工夫○ 選択数学の充実と教材開発☆習熟度別コース編成による、基礎・基本の定着と学習意欲の喚起。
☆ワークやノートと共にレポート提出で数学的な見方・考え方の評価を補完。
▲進度や理解度に応じた単元末の調整時間が必要。

数学 - 1 -数学

１ はじめに
平成１５年度小・中学校教育課程実施状況調査の質問紙調査集計結果（文部科学省）によれば、中学校３学年の数学の授業において、ティーム・ティーチングや少人数指導を「多くの時間で実施している」「どちらかといえば実施している方が多い」の合計が 48.2％（平成 13 年度 29.2％）、
習熟の程度に応じて学習グループを編成した授業を「多くの時間で行っている」「どちらかといえば行っている方が多い」の合計が 22.8％（平成 13 年度 9.0％）という結果が示された。十分に浸透しているとはいえない数値である。とはいうものの、個に応じた指導の必要性が叫ばれる
中、多くの中学校で試行錯誤しながら学習方法や学習形態の工夫改善に取り組んでいるのが現状である。今まさに、各学校の創意工夫が期待されている。
さらに、平成１７年度には、「特定の課題に関する調査」が実施された。この調査は、従来から実施されてきた「教育課程実施状況調査」で発見された課題に対する精密検査的なものであり、小４から中３を対象に、各学年 3000 名程度を無作為に抽出し行われた。特に数学では、「数学的に考える力」と「計算に関する力」に関しての調査を行い、次のような点が明確になった。
「数学的に考える力」では、日常事象の考察に算数・数学を生かすことや、演繹的な考え方を説明・記述することなど論理的に考えることに課題があり、「計算に関する力」では、計算の決
まりについて、四則計算における乗除先行の理解が不十分な面が見られるというものであった。
このような実態を踏まえた上で、数学部会では以下に示す視点やテ－マを定め、学習内容の習熟の程度に応じた少人数指導やコ－ス別学習について、研究協力委員の中学校による実践を検証し、その成果を具体的な実践事例としてまとめることとした。
２ 調査研究の視点(1) 少人数指導における効果的な学習形態についての研究○少人数加配教員の効果的な配置等により、個に応じたきめ細かな指導方法の工夫・改善を図り、その成果について検証する。
(2) 学習内容の習熟の程度に応じた指導事例についての研究○学習内容の習熟の程度に応じた効果的な指導方法や指導形態の在り方について検証する。
３ 研究テ－マ「基礎・基本を定着させ、生徒一人一人が学ぶ楽しさ考える楽しさを味わう指導方法の工夫改善」(1) テ－マ設定の理由
基礎・基本の確実な定着を図り、個性を生かす教育を充実させるという現行の学習指導要領が実施されて５年が経過した。また、平成１５年１２月の学習指導要領の一部改正では、「個に応じた指導」の充実を図るために、「生徒の興味・関心等に応じた課題学習、補充的な学習
や発展的な学習などの学習活動を取り入れた指導」が付加された。このことは、生徒一人一人の特性等を十分理解し、それに応じた指導方法や指導体制を柔軟に多様に工夫しなければならないことを示唆している。それゆえ、個に応じた適切な指導方法を工夫し、すべての生徒に基
礎的・基本的な内容の確実な理解を図るとともに、分かる喜びや成就感を味わわせ、自ら学ぶ
意欲や思考力・判断力・表現力までも含めた「確かな学力」をはぐくんでいかなければならない。以上のことから上記テ－マを設定し、各学校で実践することとなった。
(2) テ－マ具現に向けた基本方針① 各学校が調査研究の視点を踏まえ、手だてを絞って実践研究を行う。
② 生徒理解（実態把握）への具体策を示し、学び合いのある授業づくりを目指す。
③ 授業実践では、１単位時間の評価規準をしぼり、ねらいを明確にする。(手だてシートを活用しての実践)数学 - 2 -４ 成果と課題(1) 各学校における１年間の実践から、習熟の程度に応じた少人数指導（コース別学習）による共通した成果と課題をまとめてみると○一斉指導では難しい個々の児童へのきめ細かな対応ができ、児童の学習意欲の向上に結びつくことができた。それによって児童の基礎的・基本的な内容の確実な定着が図られ、理解の遅れがちな児童への繰り返し学習や、理解の進んだ児童への発展的な学習に取り組むことができた。
○児童の声として、一人一人をよくみてもらえる、自分の考えをたくさん発表できる、質問しやすい、あせらなくてもよい、自分のペースで学習できる（基礎コースの児童）など、少人数指導の指導形態を好意的に捉えたものが数多くあった。
○保護者からアンケートを見ても、習熟の程度に応じた指導を好意的に捉えている。
●学習環境を整備し、児童の実態や指導内容にふさわしい学習形態を検討していく必要がある。
●発展的な学習や補充的な学習など、個に応じた指導を充実させるための教材開発に、学校全体で取り組み、蓄積していく必要がある。
(2) ４つの学校すべてが、この調査研究を学校研究とタイアップさせることによって、教員の資質向上につながったようであった。今後は、本年度の指導計画の改善や、補充的な学習や発展的な学習
における教材開発、少人数指導をすすめる上での環境整備等、対応すべき課題をそれぞれの学校で明確にし、職員の共通理解を図りながら改善に向けて取り組むとともに、本調査研究の成果を地域レベルまで波及させてほしいものである。

数学 - 3 -２年
数学個に応じた手だてシート【平行と合同】●●● 今日の授業の目標 ●●●〇 自分の習熟度に合わせた課題を選択しようとする。【関心・意欲・態度】◎ 論理的に筋道を立てて考え、証明の流れを考えることができる。
【数学的な考え方】◎ 三角形の合同条件をもとに、証明することができる。【表現・処理】○ 証明の良さやそのすすめ方を理解する。【知識・理解】使用する教材・教具
教師

プリント・黒板に貼り付けることのできる直線（2 本）コンパス・定規
生徒

筆記用具、コンパス・定規
授

業

の

流

れ

１ 三角形の合同条件を確認する。
・プリントに合同条件を３つ記入する

２ 課題をつかむ・本時の内容を理解する
・課題に取り組む
最初は個別に考え、時間を見てグループで話し合わせ、発表させる。

３ 課題を選択させ、課題を解決する
・証明について「完全解答型」「穴埋め型」「穴埋め選択型」を選び、各自で解決を試みる。

４ 発表し、証明の記述の仕方を知る。
・「完全解答型」で正解した生徒について黒板に板書し、発表させる。
５ 本時のまとめ・証明の形についてあらためて触れる。
６ 練習問題をする。
・練習問題をする

７ 振り返り表に記入する。
・振り返り表を記入する個に応じた具体的な手だて評価の規準

１ 言葉がつかえるような場合は、教科書やノートを見てもよいことを指示する。
Ａ 合同条件を３つすべて完璧に暗記させる
Ｂ 合同条件を３つ暗記させる
２ 具体物を使い、視覚的に考えられるようサポートするＡ 問題に積極的に取り組ませ、問題解決をさせる
Ｂ 具体物を使用し、課題を理解させる。
個別もしくはグループで問題解決させる【知】合同条件が書けているか（観察）３ どのレベルを選んだらよいか分からない
生徒に的確なアドバイスをする。
Ａ 自ら課題（「完全解答型）を選択させ、自力で問題解決させる
Ｂ 課題（「穴埋め型」）を選択させ、ノートな
どを見ながら自力で問題解決させる
４ 自分の記述したものと見比べて、不足分を補うようにさせる。
Ａ 積極的に発言、および板書を行わせる
Ｂ 内容を理解し、自分に不足している部分を補わせる
６ 自分に合った問題を選択させる。
Ａ 積極的に問題解決に取り組ませる
Ｂ ノートなどを見ながら自力で問題解決ができるようにアドバイスする
７ 振り返り表に記入させながら本時を振り返らせ、次回につながるようにアドバイスする。
Ａ 自ら振り返り、次回への意欲を持たせる
Ｂ 振り返り表を通して、次回への意欲を持たせる
数学- 20 -【考】数多くの例を書き、実測またはそれにともなって推測できたか。
（プリント）【関】自分の習熟度を理解し、適切な課題に取り組めたか（観察）【表】仮定と結論を言葉で表すことができたか（観察）【知】証明のしくみとそのすすめ方が理解できたか（挙手）【表】証明の手順が身に付いているか（観察）【考】本時の内容を理解することができたか（カード）【関】本時の内容について意欲的に参加することができたか（カード）実践事例１（第２学年）＜学校の概要＞規模：１６クラス・生徒数５５９名

加配：1 名第２学年生徒数：１６８名（2-1・３３名、2-2・３４名、2-3・３４名、2-4・３３名、2-5・３４名

平成 16･17･18 年度「３つの達成目標

に関する調査研究」委嘱校）
１

研究テーマ
－

『基礎・基本の定着と個を生かす授業方法について』
学び合い、支え合い生きる力をはぐくむ学習指導の研究－～２年生「合同の証明」の学習を通して～
２

研究テーマの設定理由
平成１６年度より本校では「３つの達成目標のモデル校」として学力・体力の向上ならびに規律ある態度の育成を目指してきた。
１年目は「基礎・基本の徹底」、２年目は「基礎・基本の定着」というスタンスで取り組み、３年目の本年度は「基礎・基本の深化」を目指し、日々の教育活動を展開している。
具体的には校内検定の実施や、長期休業中の補習、毎時間の口頭による小テスト、毎学期の数学の進度や必ずできるようになってもらいたい問題を掲示（数学通信を活用）すること
によって、家庭への意識改革など様々な取り組みを実践した。そして、課題を一つ一つ精選
していくことでそれなりの成果を上げてきた。
その成果として「生徒一人一人ができる喜びを味わうことができる」ために基礎学力を身につけることができてきた。
しかしその半面、基礎的な問題ができない生徒が少数であるために目立つようになってきた。また、本校では、１学年のみが数学での「少人数指導」を行える状況であり、２・３学
年では一斉授業を行っている。
そうした状況の中、「個に応じた指導の充実」という視点に立って本研究テーマを設定した。

３

研究の視点

（１）発展的な学習での教材・教具の開発と効果的な活用の事例○ 教材・教具を工夫することで少人数指導にとらわれず「個に応じた指導」を考える。
（２）学習内容の習熟の程度に応じた指導の事例○ 習熟の程度に応じた指導を展開することで、基礎的な内容の定着や発展的な内容への深化を促すことができると考える。
４

研究経過【日程および取り組み】
日時

場所

主な内容

4月

各教室

教科に関するアンケート実施①

5 月 16 日（火） 総合教育センター【協議】(1) 調査研究の方向性の検討
ア 昨年度の調査研究「個に応じた指導を充実させるための指導方法に関する調査研究」
数学- 3 -

6 月 29 日（木） 総合教育センター

7月

学校

8 月 23 日（水） 総合教育センター

9月
10 月
10 月 27 日
（木）

学校
各教室
学校
所沢市立柳瀬中学校

11 月
学校
12 月 7 日（木） 総合教育センター

12 月
５

学校

イ 各学校の実践報告（現状報告）
ウ 研究の方向性の検討(2) 検証授業について(3) 第 2 回以降の日程の確認(4) その他【協議】(1) 情報提供(2) 前回の確認および 1 学期の進捗状況について(3) 検証授業に向けて
その他
数学通信発行
補充的な学習（3 日間）【協議】(4) 情報提供(5) 前回の確認および 1 学期の進捗状況について(6) 検証授業に向けて(7) その他
基礎・基本を確認するためのテスト①（校内検定）
教科に関するアンケート実施②
基礎・基本を確認するためのテスト②（校内検定）【検証授業】(1) 授業見学(2) 進行状況の確認(3) 資料についての確認
基礎・基本を確認するためのテスト③（校内検定）【協議】(1) 各校の実践報告の検討(2) その他
補充的な学習（3 日間）

実践の概要（１）教材・教具の開発および工夫
教科書を中心とした一斉授業は、今まではごく一般的でありふれた授業形態であるが、以下のような利点が考えられる。
①さまざまな生徒の考え方、見方を聞くことができる。
②評価では、統一した視点をもって評価することができる。
といった利点がある半面③その教科が得意であり発展的な内容を学びたい生徒も、苦手でもっとゆっくりと学習を進めたい生徒にも同じ内容、同じ進度の授業展開をしなくてはいけない。
④人数が多く、きめ細かな指導がしにくい。
といったマイナス面も存在している。
そこで第一に教材の『個別化』をはかることで「自分のレベルにあった内容の問題に取り組むこと」ができるようにした。
第二に『自己評価カード』を記入することにより、各自が授業を振り返り、授業に対する取り組み方や課題を振り返ることができるようにした。
（２）学び合う場の設定
数学- 4 -

昨年度教員２名による「ティーム・ティーチング」や「習熟の程度に応じた指導」を展開していく中で、生徒たちは高い満足感を感じていた。しかし教員の人数配分のため本年度は同じ形態で行うことができず、かえって生徒たちの不満を感じる場面が多く見られた。
それは、①さらに発展的な内容を学びたい生徒の待ち時間が増えた②基礎・基本が定着していない生徒に発言や問題を解くチャンスが少なくなった（ほとんどなくなった）。
ということが大きい。
そこで第一に北本市が昨年度より導入している「スクールサポーター」という制度を利用し、「模擬ＴＴ授業」を行うことにした。
第二に十分に授業内容を理解している生徒については「Student Teacher」として他の生徒の指導に当たってもらい、自らの学習内容の更なる定着化と、他へのきめ細かな指導をアシストしてもらうことにした。
（３）少人数指導について（昨年度より）
①TT

分け方

②

習熟度に応じたコース別選
択

良かった点

問題点

・主に単元の導入や簡単な計算、・T１は主として授業を進める。
作図などは TT を中心に行った。
（一年を通して変更なし）
・様々な意見を聞きながら問題解・T２は主に個別支援を行う。
決をすることができた。
・習熟度別クラス分けであることは十分に説明しておいた。
・本人の学力とクラスがマッチし・基本は本人の希望ていないと感じる生徒については教師側からクラス変更のアドバイスをした。
・「ますますコース」は数学的思考を要するような問題にまでチャ
・自分の学力にあった授業内容レンジすることができた。
で学習することができた。
・じっくりコースの生徒が積極 ・「じっくりコース」は同じ問題を何度も繰り返し解くことで、基的に授業に参加するようにな
礎学力の定着を図ることができった。
た。
・仲の良い友だちと同じコースを選んだり、自信がなくてわざわ
・クラスの分け方が教師側の意
ざじっくりコースを選んだりす
図とは違う生徒も見られた。
・じっくりコースでの授業内規る生徒がいた。
律を保持することが困難にな ・じっくりコースでは指名時の返事など全体としての規律を徹底った。
することが困難になってきた。

習熟度に応じた少人数指導
ますますコース

主に発展的な学習（数学的思考を必要とする課題）にチャレンジすることを目的とし、基本的な課題を確実に解きこなした上で応用問題に取り組む。

じっくりコース

基礎・基本を徹底することを目的とし、課題に対して「じっくり」と取り組む。また、何度も繰り返し復習することで確実に問題を解けるようにした。

数学- 5 -

少人数についてのアンケートより①数学科の授業や勉強は好きですか

１学期（４月）

２学期（９月）

どちらかといえば嫌 分からない, 9.3
嫌い, 9.3
い, 19.9

どちらかといえば好き, 43.5

好き, 18.0

どちらかといえば好き, 42.4

好き, 23.0

どちらかといえば嫌い, 22.4

嫌い, 7.3
分からない, 4.9◎計算などが解けたとき、気持ちいいから◎苦手だけれど、いろいろな考え方があっておもしろいし、答えが合っているとうれしいから▲文章問題が苦手だから ▲計算が嫌いだから ▲難しいから②あなたは数学科の授業や勉強の中でどの内容が好き（得意）ですか

１学期（４月）関数,4.3計算, 57.8
計算, 57.0

２学期（９月）図形, 18.6

図形, 29.7関数, 1.2

証明, 0.6
文章題, 6.2 分からない, 12.5
文章題, 3.0
分からない, 8.5
証明, 0.6＜計算＞◎計算するのが楽しいから ◎計算だけなら何とかできるから＜関数＞◎比例反比例は答えを求めるのが楽しいから＜図形＞◎図形は分かりやすいから＜文章題＞◎問題を解いたときの爽快感がいいから＜証明＞ ◎一番分かりやすいから＜分からない＞▲どれもとくいなものではないから③あなたは数学科の授業や勉強の中でどの内容が嫌い（苦手）ですか

１学期（４月）計算, 8.5 関数,4.3

図形, 10.9

証明, 0.0
文章題, 63.6

分からない, 6.7

文章題, 48.4

図形, 16.1
２学期（９月） 計算, 5.6関数, 8.1

分からない, 5.7

証明, 16.1＜計算＞▲分数や小数を解くのが大変▲たくさんあるから＜関数＞▲表を読み取ったり、計算の仕方が分からなくなるから▲意味が全く分からない＜図形＞▲わけが分からないから▲面積などよく分からないから＜文章題＞▲どう式で表したらいいか分からないから▲とき方が難しいのがたくさんあるから＜証明＞ ▲覚えられないから ▲長い文を書くのが嫌い▲文章の組み立てが分からない＜分からない＞▲分からないものがたくさんある数学- 6 -

④あなたは習熟度別授業についてどう思いますか
よくない, 2.0

２学期（９月）

どちらかといえばよくな
どちらかといえばよい,い, 1.946.9
わからない, 16.7

とてもよい, 32.5

◎そのときの自分の苦手な部分を克服できるだろうし、同じところができない人とたちと相談したりしてできるようになりたいから◎分からないところをゆっくりとやりたいというときによいから◎授業の進度が速まるから◎質問などが聞きやすかった◎先生が見てくれる時間が増えるから▲レベルを下げて別々に授業を受けるのはあまりよいとは言えないから▲基礎を固めるのもよ
いが、発展的な内容もやってみたいと思うから▲（じっくりコースの）態度が悪かったから▲みんなと一緒に授業を受けられないから⑤自分のコースの選び方はどうでしたか

２学期（９月）

どちらかといえば合っていた, 37.9

合っていた, 50.9

どちらかといえば合っていない, 1.2
合っていない, 1.2
分からない, 8.8⑥次はコースをどのように選びたいですか
自分で選ぶ,
91.0

２学期（９月）先生に決めてもらう, 7.7
その他, 1.3⑦今後習熟度別学習授業を行ってほしいですか

２学期（９月）やってほしい,32.5

どちらかといえばやってほしい,42 .0

どち ら かといえばやっ てほしくない, 3.8

やってほし くない,
3 .8

分からない, 17.9

◎授業の進みが早くなるから◎分かりやすい◎分からないときは詳しく教えてくれるから◎できないところをじっくりできるから◎習熟度別学習が本当に楽しかったから◎みんなの成績が上がるから◎説明など少ないほうがさされる回数も多くなるから▲みんながいないとつまらないから▲みんなと一緒に授業を受けたりし、先生の話をちゃんと聞いていれば分かると思うから▲いる人による▲クラスの盛り上がりに欠けるから考察＜①～③について＞
1 学期の途中で「式の説明」を学んだことにより、「苦手な分野」として「証明」が大幅に増えた。その他は予想通り「文章題」が苦手という結果になった。ただ「問題を解いたときの爽快感があるから」という理由で文章題が好きと答えた生徒もいた。
本来数学の楽しさとは「数学的な思考を楽しむ」ことと「問題を解くこと自体の楽しみ」が数学- 7 -あり、それを十分に伝えることが数学を教える指導者としての使命であると考える。
＜④～⑦について＞
本校では昨年度より第１学年のみ「習熟度別少人数指導」を取り入れている。
「自分のペース
で学習を進められる」「分からないときに丁寧にじっくりと教えてもらえる」などの意見が多数あり、生徒たちには非常に満足のいく授業形態であったようである。
その反面、第２学年になったときに、実質「習熟度別少人数指導」の形態を取ることができなくなると、じっくりコースにいた生徒は一斉授業の進度についていくことが困難になり、かえって数学に対して苦手意識を持つようになった。
また、「一緒にやったほうが授業が楽しい」「さまざまな意見を聞くことができる」などの（習熟度別学習に）否定的な意見もあった。

学習アンケート
１．次の計算をしなさい。
（１） 6 x − 2 y + 3x − 4 y（２） 5 x × ( − x)（３） − 8 xy ÷ 4 x（４） 2( x − y ) + 4( x − 2 y )２． x = 5 , y = −2 のとき、 3 x − 5 y の値を求めなさい。
３．次の連立方程式を解きなさい。

⎧ 2x + y = 5⎩ x− y =1

y = 2− x⎩ 2x + y = 5
⎧

（１） ⎨

（２） ⎨

４．次の１次関数のグラフを書きなさい。
（２） y = −（１） y = 2 x + 3

2
x +1
3
95 .1

1-(1)

8 2.0

1-(2)

85.1

1-(3)

88.2

1-(4)

72.0

2

83.2

3-(1)

7 7.6

3-(2)

68.3

4-(1)

62.1

4-(2)

79.3

全体

考察
計算はすべて８０％以上の正解率であり、十分に満足できる結果となった。最も正答率が低かったのはグラフであり、特に傾きが分数で表されている問題の正答率は７０％を下回ってしまった。また、「代入」についても正答率が低く、連立方程式や 1 次関数などでの使用頻度を考えるともう少し徹底する必要があると感じた。
反面、連立方程式は多項式の計算と同等の正解率であり、基礎の定着が伺える。

数学- 8 -

６

成果と課題

（５）検証授業について

授業の様子① 合同条件
本時では三角形の合同を利用した証明の最終時であり、生徒はある程度証明の形式や言葉に慣れてきたところである。三角形の合同条件については、ほぼ全員が答えを書くことができた。
（直前の定期テストで全文書かせる問題を出題している）② 課題
課題については内容を理解するまでに時間がかかった生徒もいたが、グループ学習にすることで、理解不足を補うことができた。

また、具体物を操作することで感覚的に課題をとらえることができる生徒もいた。課題の内容を理解できた生徒は比較的スムーズに証明に入ることができた。
③ 課題選択（証明）証明に関しては自信のない生徒が多いせいか、「穴埋め型」「穴埋め選択型」を選択する
生徒が圧倒的に多かった。しかし、数人は積極的に「完全解答型」を選ぶことができた。
また、穴埋めを選択した生徒もその後に「完全解答型をやってごらん」と指示すると比較的スムーズに書くことができた。
Student Teacher④

Student Teacher「完全解答型」を終えた生徒は「Student
Teacher」として他の生徒のサポートをした。
慣れないことなのではじめはとまどっていたようだが、徐々に積極的に他の生徒のサポートができた。サポートが必要な生徒も「先生よりも質問しやすい」という感想や「生徒なのでいやだ」という感想に分かれたが、おおむね満足していたようである。
⑤

スクールカウンセラー
今回は授業とスクールカウンセラーの出勤日が重ならず、授業に参加することはできなかったが、教師の説明を聞かせるなどの指導面や教師と生徒の中間としての役割を上手に使っての学習支援など、活躍できることが予想される。

（6 ） 研究全体について
今回は、『基礎基本の定着と個を生かす授業方法について』－

学び合い、支え合い生きる力をはぐくむ学習指導の研究－～２年生「合同の証明」の学習を通して～⑥というテーマで研究を進めたが、「複数教師によるティーム・ティーチング指導や習熟
数学- 9 -

度別少人数授業」ができない状況での実践ということで教材・教具の工夫や生徒やスクール
カウンセラーの力を借りて個に応じた指導を試みてみたが、「学び合い、支え合い」という部分では十分に満足できるところがあった。特に、Student Teacher では一人に教える」ということを通して、自分自身の理解につながった。また、一斉指導であるおかげで、グルー
プ学習をする中で、「数学的な考え方を提案できる生徒」が増えてきており、授業全体の深みが増したように思える。
（７） 課題「複数教員によるティーム・ティーチング指導や習熟度別少人数授業」は個に応じた指導に関して非常に有効な授業形態であることは間違いない。しかし学校の現状により、すべての授業で実施できない状況を考えれば、一斉授業で「いかに個に応じるか」というテーマは重要であると考える。ただ学習内容によっては「内容の徹底」を考えた場合、教材・教具の工夫が必要である。

グループ学習

生徒の感想
○
○
○
▲
▲

自分の能力に合わせて課題を選択することができたのでやりやすかった。
グループ学習によって分からないところがわかった。
友達に教えてもらえるので教わりやすかった。
少人数指導（去年）をやってほしい
証明は難しくてよく分からない

数学- 10 -７

資料（実践例指導案）（１）単元名平行と合同（２）単元について
中学校の「図形」領域において、生徒は初めて論証の学習にふれる。生徒は第 1 学年で、平面図形や空間図形について学ぶことで、図形に対する直観的な見方や考え方を深めるとともに、第 2 学年の「説明」を学習することで論理的に考察する基礎を培ってきている。
この単元では平面図形の性質について、観察、操作や実験を通して理解を深めるとともに、図形の性質の考察における数学的な推論の意義と方法を理解し、推論の過程を的確に表現する能力を養っていく。また、用語や記号、図形の基本的な性質などを学習することにな
り、小学校で学習してきた図形の性質が正しいことを論理的に証明していくことになる。
（３）指導観
1 年では、対称性に着目して図形の性質を発見したり、作図をしたり、その性質が成立する理由を考察したりしてきた。
「平行と合同」では論証によって図形の性質を調べる方法を学ぶ。ここでは、図形の性質や定理そのものの教材としての価値の重要性だけではなく、演習の時間を確保し、個人での取り組み、グループでの教え合いを通して、良さや実用性が実感できるように指導し、本研究テーマである「個に応じた指導」にも近づけたい。
（４）研究テーマとの関わり
図形の論証に対して生徒が抱く感情は様々である。
「文章による解答」という形式に慣れていない生徒であればあるほど、「証明」に対するイメージはよくない。その反面、「証明」
を通して数学の新しい側面に触れ、そこに数学的なおもしろさを見い出す生徒もいる。授業を通して後者のような生徒をより多く育てたい。
中学生の時期は、これまで以上に論理的に考えることに興味・関心をもつ。特に第２学年ともなるとそのような能力も高まってくる。しかし、数学に苦手意識をもつ生徒が多くなるのもこの時期である。生徒はまだ文字や記号の表す意味に慣れておらず、命題の記号化では多くの生徒がつまずきを見せる。そして仮定と結論を明確にした証明という形式はこの学年で初めて学ぶため、形式的な証明の記述となると抵抗も大きい。前述のように興味・関心は生徒さまざまで達成度の個人差が大きく開いてしまう単元でもある。そこで教材・教具および授業形態の工夫により、より個に応じたきめ細かい授業を展開することで、多くの生徒に考える楽しさを実感させ、論理的思考力を育てていく有効な授業が実現できると考える。
（５）単元の目標①関心・意欲・態度
証明のしくみに興味をもち、進んで課題に取り組もうとする。
②数学的な考え方
理論的に筋道をたてて考え、証明の流れを考えることができる。
③表現・処理三角形の合同条件をもとに、証明することができる。
④知識・理解
証明のしくみや流れ、進め方を理解できる。
数学- 11 -（６）指導と評価の計画【評価計画】
Ａ 十分満足できる

関心・意欲・態度

Ｂ 概ね満足できるＢに達していない子への手だて◎ 証明の仕組みの興味を持 ◎ 理 論 的 に 筋
道をたててち、進んで取り組もうとし考え、証明のている。また、さらに発展
流れを考え的な課題に取り組もうとることがでする姿勢が見られる。
き、その仕組◎ 自己評価カードを活用し、みを十分に本時の自分の活動をしっ理解できる。
かりと振り返ることがで◎ さらに発展
きる。
的な課題に
取り組むこ
とができる。
○ 証明の仕組みの興味を持 ○ 理 論 的 に 筋
道をたててち、進んで取り組もうとし考え、証明のている。
流れを考え○ 自己評価カードを活用し、ることがで本時の自分の活動を振りきる。
返ることができる。
○ 練習問題を解くことができる。
◆ 具体的な操作を入れるこ ◆ 合 同 条 件 をしっかりととで興味や関心を持たせ
理解させる
る。
ことで証明
◆ また、穴埋めやヒントカーの論理的なドを掲示することにより筋道を考えできる喜びを味わわせる。
られる状態
をつくる。

【指導計画】（7 時間扱い）時

数学的な考え方

表現・処理

知識・理解

◎ 三角形の合 ◎ 証明のしくみや流れ、進同条件をもめ方を十分とに、証明す
に理解して
ることがで
いる。
きる。さらに発展的な課題を解くことができる。

○ 三角形の合同条件をもとに、証明することができる。

○ 証明のしくみや流れ、進め方を理解している。

◆ 手順に従って、証明の表
記の仕方を
表現できる
ようにする
◆ 証明の流れ
を覚えられ
るようにす
る。

◆ 三角形の合
同条件をす
べて書くこ
とができる
ようにする。
◆ 証明のおお
まかな流れ
を理解させ
る。

本時６／７

◇は目標、・は学習活動、【】は評価規準（○は「おおむね満足」、◎は「十分満足」の状況）支援（☆はＡに迫る手だて、★はＢに迫る手だて）を示す。
１◇合同な図形の性質を理解する。
合同とは平面上の 2 つの図形について、一方をずらしたり、裏返したりすることによって他方に重ね合わせることができるとき、2 つの図形は合同である。

１

下の図の三角形のうち、△ＡＢＣと合同な三角形をいいなさい。また、合同な三角形で、対応する辺をそれぞれいいなさい。
数学- 12 -

A

D

F

J

L
B

C

G

I

E
M

K
N

O

H

・マス目を使い、裏返したりしてぴったりと重ね合わせることのできる三角形を探す。
合同な図形の性質
合同な図形では対応する線分や角は等しい【関】合同な図形に興味を持ち、積極的に課題に取り組むことができたか（観察）【表】対応する頂点、辺がいえるか（発表）☆原寸大の△ＡＢＣを用意し、実際に移動させたり裏返したりして、重なる三角形を探させる。
△ABC と合同な三角形を記号≡を使って表しなさい。
【表】対応する頂点に従って表現できるか（発表）☆掲示用の△ABC を用意し、どの頂点が対応するか確認しながらアルファベットの順番を決めていく。
２◇三角形の合同条件を見いだし、簡単な場合にそれを用いることができる。
次の三角形を書いてみよう① ２辺が５cm と６cm で１つの角が５０°の三角形② ３辺が４cm、５cm、６cm の三角形
③ １辺が６cm で、２つの角が５０°と６０°の三角形

・①～③までの三角形を書けるだけ書いてみる。
【関】様々な図形を書こうとすることができたか（観察）【表】１つだけでなく複数の三角形を見つけることができたか（発表）☆ ５cm、６cm の長さの棒を用意し、実際に動かすことにより、どんな三角形ができるか考えさせる三角形がただ１つだけ書けるものはどれでしょうか。
また１つに決まらないものは「何が」決まれば三角形がただ１つに決まるでしょうか
数学- 13 -（ア） ３辺（イ） ２辺とその間の角（ウ） １辺とその両端の角●三角形の合同条件●(1) ３辺がそれぞれ等しい図
A

３

D

A

D

F

C E

B

(2)２辺とその間にある角がそれぞれ等しい図 3)１辺とその両端にある角がそれぞれ等しい図

F

C E

B

D

A

F

C E

B

◇合同条件を思うように使いこなすことができる
・合同条件の確認☆

分からない生徒にはヒントとなる図形を掲示する。
下の三角形で合同なものをみつけなさい。またそのときに使った合同条件をいいなさい。
D

A
3cm
B

5cm

4cm
C

5cm

50°
E

F

50°
L

5cm

3cm

30°
N

I

P

4cm

110°

110°

4cm

M
4cm

5cm

30°

H

4cm

J

K

G

O

Q

4cm

R

・アルファベットの順番に注意しながら、合同条件に従い、合同な組を探す☆

頭の中で「回転」、「移動」ができない生徒についてはもう一枚プリントを用意し、実際に切って移動させることにより、どの三角形が合同で、どの頂点および角、辺が対応しているのか理解させる。

４◇三角形の合同条件を使って証明をすることができる
・三角形の合同条件を利用した証明
前回合同であった 2 組の三角形について、合同であることを証明してみよう。
【例】△ABC と△QRP において
AB =QR ・・・①
AC ＝ QP ・・・②
BC ＝ RP ・・・③①、②、③より 3 つの辺の長さがそれぞれ等しいから△ABC≡△QRP・他の２組の三角形についても同様に証明させる。
☆

何をしてよいか分からない生徒は黒板に穴埋めを板書し、適当な語句を埋めさせる。
数学- 14 -・できた人は教科書 p99 の例２をやってみる
５◇ 仮定と結論をしっかり表すことができる
仮定と結論○○○ ならば □□□ という文では ○○○の部分を仮定、□□□の部分を結論という。

６◇ 仮定と結論を利用して証明を進めることができる
・三角形の合同条件を確認する。
課題
２つの線分 AB と CD を交差させたときにできる線分 AC と BD をA等しくしたい。どのような条件で交差させたらよいか。またどうしDOて等しくなるのかを証明しなさい。※AB と CD は違う長さでもよい

BC

・個人でどのような条件で交差させれば AC＝BD となるのか考える。
・しばらくしたらグループに分かれて（各クラス６班程度）考えをまとめ、発表する。
・生徒たちの考えをまとめ、「２組の辺・・・・仮定と結論を明確にする。
☆

２本の棒を渡し、具体的操作によって感覚的に同じ長さになる場合を探る。
△AOC≡△BOD であることを使って、AC＝BD であることを証明しなさい。

◇ △AOC≡△BOD であることを使って、◇ △AOC≡△BOD であることを使って、

AC＝BD であることを証明しなさい。

AC＝BD であることを証明しなさい。

（完全記述型）（穴埋め型）

完全記述型
AC＝BD となるわけを証明しよう【証明】△ＡＯＣと△ＢＯＤにおいて
ＡＯ＝ＤＯ（仮定）・・・①
ＣＯ＝ＢＯ（仮定）・・・②∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ（対頂角）・・・③①、②、③より２辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ＡＯＣ≡△ＢＯＤ
合同な三角形において対応する辺は等しいから
AＣ＝ＢＤ

穴埋め型・穴埋め選択型
AC＝BD となるわけを証明しよう【証明】
ＡＯＣと ＢＯＤにおいて
ＡＯ＝ＤＯ（仮定）・・・①
ＣＯ＝ＢＯ（仮定）・・・②
ＡＯＣ＝ ＢＯＤ（対頂角）・・・③①、②、③より２辺とその間の角がそれぞれ等しいから
ＡＯＣ≡ ＢＯＤ
合同な三角形において対応する辺は等しいから
ＡＣ＝ＢＤ

☆

穴埋めでも難しい生徒の場合は、選択肢を与え、そこから選ぶように指導する。

☆

取り掛かれないような場合は前回の証明の手順を参考に考えさせる。

７◇ 基本の問題
今までのことがらをしっかりと理解させ、証明の仕組みを理解させる。

数学- 15 -（７）本時の展開（６／７）① 目標
・自分の習熟度に合わせた課題を選択しようとする。

（関心・意欲・態度）・論理的に筋道を立てて考え、証明の流れを考えることができる。

（数学的な考え方）

・三角形の合同条件をもとに、証明することができる。

（表現・処理）・証明の良さやそのすすめ方を理解する。

（知識・理解）② 展開
学習活動

指導上の留意点

観点別学習状況の評価

具体的な手だて１ 三角形の合同条件を確 ・ 周 り の 生 徒 と確 認 し な ◎ 図を見て、三角形の合同△ 言葉がつかえるようなが ら 暗 唱 で きる よ う に条件を言葉で表現できた

場合は、教科書やノート

する。

か。

を見てもよいことを指認する。

＜知・理＞（観察）示する。
△ 図を見て即座に合同条件が言えるとよいことを伝える。

(1) ３辺がそれぞれ等しい図A(2)２辺とその間にある角がそれぞれ等しい図 (3)１辺とその両端にある角がそれぞれ等しい図
D
D
D
A
A

C E

B

F

２ 課題をつかむF△ 具体的に 3cm などにし理解しようとしている

ぼって書かせて実測さるか考えさせる。

か。またグループ内で積

意見をまとめる。
A差させたときにできる線分

DO

AC と BD を等しくしたい。

△ どんな場合で成り立つ＜関・意・態＞（観察）のか明確にし、証明する○ 数多くの例を書き、実測ためにはどうすればよまたはそれにともなって＜表・処＞（プリント）B

たらよいか。またどうしてせる。

極的に参加しているか。

推測できたか。

どのような条件で交差させ等しくなるのかを証明しな

C E

が 違 っ て も 結論 が い えたらグループに分かれ、２本の線分 AB と CD を交

B

・ 線 分 の 長 さ やな す 角 度 ○ 課題を理解し、すすんで・ 個別に考え、しばらくし

課題

F

C E

B

C

さい。

数学- 16 -いか考えさせる。
△ 具体物を使い、視覚的に考えられるようサポートする３ 題を選択させる。
(1) 完 全 記 述 型 （ レ ベ ル
３）(2) 穴埋め型（レベル２）○ 自分の習熟度を理解し、△ どのレベルを選んだら適切な課題に取り組めた

よいか分からない生徒

かに的確なアドバイスを＜意・関・態＞（観察）(3) 穴埋め選択型（レベル１）
課題（証明）
AD＝CB となるための条

っともやさしい課題か

・ 線分の長さやなす角度
が 違 っ て も 同 じ 長 さ に ○ 何を条件にすればＡＣとなることを確認させる。
・ ○○ならば△△である

件

ＢＤが等しくなるのか導という形に持っていか＜見・考＞（観察・発表）

定せる。

○ 仮定と結論を言葉で表す・ 仮定と結論を導き出す。

△ レベル１からレベル３
える。
△ レベル３が終了した生徒は「Student Teacher」

ことができたかAD＝CB･･･結論ら取り組ませる。
まで順次行うことを伝き出せたか

AO＝ＢＯ、CO＝DO･･･仮ならばする。
△ 自信がない生徒にはも＜見・考＞（観察）として援助を必要とす（仮定は AO＝DO、CO＝る生徒の手助けをする

BO でもよい）ように伝える。

完全記述型

穴埋め型・穴埋め選択型

AC＝BD となるわけを証明しよう

AC＝BD となるわけを証明しよう

【証明】

【証明】

△ＡＯＣと△ＢＯＤにおいて△ＡＯＣと△ＢＯＤにおいて

ＡＯ＝ＤＯ（仮定）・・・①

ＡＯ＝ＤＯ（仮定）・・・①

ＣＯ＝ＢＯ（仮定）・・・②

ＣＯ＝ＢＯ（仮定）・・・②∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ（対頂角）・・・③∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ（対頂角）・・・③①、②、③より①、②、③より２辺とその間の角がそれぞれ等しいから

２辺とその間の角がそれぞれ等しいから△ＡＯＣ≡△ＢＯＤ△ＡＯＣ≡△ＢＯＤ

合同な三角形において対応する辺は等しいから合同な三角形において対応する辺は等しいから

AＣ＝ＢＤ

ＡＣ＝ＢＤ

４ 発表し、証明の記述の ・ 証 明 の 組 み 立て と 書 き ○ 証明のしくみとそのすす仕方を知る。

・ 自分の記述したものと見比べて、不足分を補う

方 に つ い て 改め て 確 認

め方が理解できたかする。ただし、細かい点＜知・理＞＜表・処＞（挙（表現の仕方）について手）ようにさせる。

は さ ま ざ ま な表 し 方 があることを説明する。
５ 本時のまとめ・ 証 明 の 必 要 性や 組 み 立 ○ 証明の有効性や表現の仕て 手 順 等 を 教師 が 説 明

方が理解できたかする。
６ 練習問題をする。

＜知・理＞（観察）・ 本 日 学 習 し た内 容 を 振 ○ 証明の手順が身に付いてり 返 り な が ら自 分 に あ＜知・理＞＜表・処＞

っ た レ ベ ル の問 題 を 選（観察）択し、取り組ませる。
７ 振り返り表に記入する。

・ 本時の「テーマ」に沿っ ○ 本時の内容を理解するこて 学 習 を 進 めら れ た か・ 自分にあった問題を選
択させる。

いるか

とができたか。

どうか確認させる。

＜見・考＞（カード）○ 本時の内容について意欲的に参加することができたか。
＜意・関・態＞（カード）数学- 17 -・ 本時の学習活動を振り返り、十分に学習することができたかどうか振り返えらせる。

(ア) 使用する教材について①プリント

数学- 18 -完全記述型

穴埋め型・穴埋め選択型②自己評価カード数学- 19 -

●●●

１年
基礎コース
1 年数学
基礎コース

今日の授業の目標●●●◎ 課題の数量関係を理解しようとする。
【関】

[方程式]
所沢市立柳瀬中学校
数学◎ 課題の数量関係を読み取り、課題を解決しようとすることができる。【考】

１年
〔 方程式
〕
使用する教材・教具個に応じた手だてシート個に応じた手だてシート

授

業

の

流

教師

掲示用課題、アメのカード、発表用ボード

生徒

プリント、アメのカード、台紙、個に応じた具体的な手だて

れ

評価の規準
・ カードや線図を使い

１

課題の設定

１求めたい生徒の人数をχでおく。

何を求めるか。

課題の数量関係を理解しようとする。

２アメのカードを並べて考える【関】

・絵や線図を使って考える
・等しいもの、変わらないものは

しながら数式におき何か。
２

個人で課題解決・ カードや線図を利用

・人数をχであらわし等しいものをあらわして等式にする。

かえることができる。
【考】（ワークシート）

３

班で課題解決３

アメのカードを並べて考える
・絵や線図を使って考える

・等しいもの、変わらないものは

・ 問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。
【関】

何か。
・人数をχであらわし等しいものをあらわして等式にする。
４

発表

・ あめの個数が等しい
ことに気づき立式す・早く解けた生徒は別解を考えるることができる【考】（ワークシート）５

まとめ

自己評価表の記入

数学- 37 -

●●●

１年
発展コース
1 年数学
発展コース
[方程式]
所沢市立柳瀬中学校
数学●●●◎ 課題の数量関係を理解しようとする。【関】◎ 課題の数量関係を読み取り、課題を解決しようとすることができる。【考】

１年
〔 方程式
〕
数
学
個に応じた手だてシート個に応じた手だてシート

今日の授業の目標

使用する教材・教具
教師 掲示用課題、発表用ボード
生徒 プリント、アメのカード、台紙、

授

業

の

流

れ

個に応じた具体的な手だて評価の規準
・ 線図を使い課題の数

１

課題の設定

１求めたい生徒の人数をχでおく。

何を求めるか。

量関係を理解しようとする。
【関】

２アメのカードを並べて考える
・絵や線図を使って考える
・等しいもの、変わらないものは個人で課題解決

数式におきかえることができる。【考】

何か。
２・ 線図を利用しながら・人数をχであらわし等しいもの（ワークシート）をあらわして等式にする。

３近くの生徒と相談しながら考える

３ アメのカードを並べて考える
・絵や線図を使って考える
・等しいもの、変わらないものは

・ 問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。
【関】

何か。
・人数をχであらわし等しいものをあらわして等式にする。

・ あめの個数が等しい
ことに気づき立式す４

発表

・ 早く解けた生徒は別解を考える
・ 別解もできた生徒は問３、問４をやるようにすすめる

５

まとめ

自己評価表の記入

数学- 41 -ることができる【考】（ワークシート実践事例２（第 1 学年）＜学校の概要＞
本校は、全校生徒５５９人、１６学級学校である。少人数指導加配教員２名配置、数学科
では１・２年生で週３時間のうち２時間を２名の教員で、３年生では全時間２名の教員で少
人数数学学習を指導している。本事例学年（第１学年）は６学級、１学級３２（３３）名である。

１

研究テーマ『学習内容の習熟の程度に応じた指導の事例』
１学年における習熟度を加味した基礎コース発展コースでの学習の実践

２

研究テーマ設定の理由
本 校 は 1 学 年 ６ ク ラ ス 、2 学 年 5 ク ラ ス 、3 学 年 5 ク ラ ス の 16 ク ラ ス の 中 規 模 校 で あ る 。
学校教育目標「５つのＫを達成しよう」

・ 活躍しよう・ 基本的生活習慣を定着させよう
・ 繰り返し基礎・基本を身につけよう・ 健康な体をつくろう
・ 心を豊かにしよう
を 掲 げ 基 礎 ・ 基 本 を 重 視 し 、「 教 育 に 関 す る ３ つ の 達 成 目 標 」 の 「 学 力 」「 規 律 あ る 態度」「体力」を基盤に、活力に充ちた魅力ある学校づくりをめざしている。
平 成 15 年 度 よ り

基 礎・基 本 の 定 着 を め ざ す た め に 、水 曜 日 に 基 礎 学 力 の 時 間 を 設 定 し全 校 で 漢 字 、 基 礎 計 算 、 英 単 語 等 の 学 習 に 取 り 組 み 、 そ の 成 果 を 確 認 す る 基 礎 学 力 コ ンテ
ス ト を 実 施 し て い る 。 ま た 、 平 成 １ ６ 年 度 か ら 数 学 科 で の 少 人 数 指 導 加 配 教 員 を 二 人 体制とし、数学の基礎・基本を身につけることを重視してきた。
本 年 度 は 各 学 年 で 、学 習 内 容 に よ っ て 、学 習 形 態 を 変 え た り 、学 習 内 容 の 習 熟 の 程 度 に応じ基礎コース、発展コースでの指導を実施している。
指 導 形 態 と し て 下 記 の よ う に 、1・２ 学 年 で は 週 3 時 間 の う ち 2 時 間 を 、3 学 年 で は 3 時
間すべて 2 人の教員で指導にあたっている。
簡単な評価テス ト 、小 テ ス ト
を実施する
Ｔ２の時に
Ｔ Ｔ の 授 業 、導

はクラスを

入課題

単純に 2 つ発展コース
希望のコースに分ける。

に分ける内
容は同じ

Ｔ２の時には発展と基礎

基礎コース
発展コースの希望を取る
数学- 21 -基礎コース

習 熟 度 を 加 味 し た 基 礎 コ ー ス 、発 展 コ ー ス の ２ コ ー ス に 分 け る こ と で 、生 徒 一 人 一 人 に
対 し 、 習 熟 の 程 度 に 応 じ よ り き め 細 か な 指 導 で 力 を 伸 ば す こ と が で き る と 考 え 、 本 テ ーマを設定した。
３

研究の視点

少人数指導における効果的な学習の形態
学習内容の習熟の程度に応じた指導
４

研究経過

日時

場所

5 月 16 日 （ 火 ） 総 合 教 育 セ ン タ ー

主な内容
【協議】
調査研究の方向性の検討
ア

昨年度の調査研究「個に応じた指導を充実させるための指導方法に関する調査研究」
イ

各学校の実践報告（現状報告）

ウ

研究の方向性の検討(2)検 証 授 業 に つ い て(3)第 ２ 回 以 降 の 日 程 確 認
６ 月 29 日 （ 木 ） 総 合 教 育 セ ン タ ー

【協議】
情報提供
前回の確認および 1 学期の進捗状況について
検証授業についてその他

7 月 2１ （ 金 ）

本校

教科部会
検証授業の指導案検討

8 月 ２ ３ 日（ 水 ） 総 合 教 育 セ ン タ ー

【協議】
情報提供
前回の確認および研究の進捗状況
検証授業に向けて
その他

10 月 27 日（ 木 ） 本 校【検証授業】
授業実施
検証授業について各校の進行状況の確認
資料についての確認
その他

11 月 ２ 日 （ 木 ） 本 校

授業実践【指導担当訪問】
公開授業(2)研 究 協 議

12 月 ７ 日 （ 木 ） 総 合 教 育 セ ン タ ー【協議】
各校の実践報告の検討
その他
数学- 22 -５

実践の概要（１）学習内容に応じたコース設定の工夫①授業形態
・ ク ラ ス 単 位 （ Ｔ ・ Ｔ ）； 単 元 の 導 入 課 題 （ 課 題 学 習 ） や 教 具 な ら び に 視 聴 覚 教 材を利用した授業内容
・ク ラ ス を 単 純 ２ 分 割；基 礎・基 本 の 学 習 で 、生 徒 一 人 一 人 に 対 応 し た い 授 業 内 容・基 礎・発 展 コ ー ス；生 徒 の 希 望 か ら 基 礎・基 本 内 容 を も と に 学 習 を す す め る 授 業内容②各コースによる内容
・基礎コース

基礎内容を確認しながら、教科書にある応用的な学習を行う。

・発展コース

教科書にある応用的な学習から発展的問題の学習を行う。

（２）クラスごとに、教員が 2 名の時間が違うことや、１クラスの生徒が一緒に授業を受けたり、分かれるための工夫① 学 年 当 初 に 学 習 計 画（ 年 間 計 画 ）、評 価 規 準 、学 習 の 手 引 き を 配 布 し 、生 徒 ・保護者に知らせる。
② 単元指導計画を綿密にたて、授業後に教員同士の連絡をとり、週末には次週の計画を再確認する。
③ 生徒の自己評価表は単元毎にし、学習の計画を生徒にも知らせ、各授業での内容を明らかにし、次の授業内容の見通しをもたせる。
④ 教科書の「問」が早く終わった生徒に対しては、市で作成した「学びノート」
を 進 め る よ う に 指 示 を 共 通 に 出 し 、「 問 」や 学 び ノ ー ト の 内 容 か ら 復 習 の 小 テ ス
トを実施する。
⑤ 復習の小テストの実施について内容は基礎・発展コースともに共通内容とし評価する。
（３）評価についての工夫① 提出物などの評価規準について担当者で共通理解を図り、差がつかないように配慮して評価する。
② 分 割 や 基 礎・発 展 の コ ー ス 別 の 学 習 に つ い て は 、授 業 中 に 回 っ て 確 認 を す る が 、ノート等の評価については、担当が変わる時に行う。
③ 観点別の内容については単元計画時に打合せをし、授業時の表情や観察、ノートやプリントでの学習状況、発言・発表の状態について、授業者がコースごとに記録しておく。
④ 自己評価表に毎時間理解したことや授業の感想や自分の学習について文章で書くことで、学習についての意欲を高め改善のきっかけをつくる。
⑤ ノートや教科書の練習問題の確認についてはどのようにすればＡの評価がもらえるのか、評価表を生徒にも公開し、自己評価をさせその後教員が訂正等をして返却する。
⑥ 定期テストについては、テスト後にテスト内容と出題趣旨を生徒に教え、観点ごとの学習内容を生徒に自己評価をさせることで、自分の学習の改善を考える機会とする。
数学- 23 -［３ 方程式 ］

1年数学 学習項目

1年

内容

１
節

§１
方程式とその解§２等式の性質と方程式組

毎時間の記録理解

番 氏名

準備は○か忘れた物を記入、体調・意欲・理解・はABCで月・日 準備 意欲 理解 挙手

内容番号

理解したことや授業の感想や自分の学習について

1 方程式と解と性質
2 等式の性質を使って１3 等式の性質を使って２§３ 方程式の方 解き方

4 移項を使って程式

5 かっこをはずしてから解く
6 係数に分数をふくんだ方程式を解く
7 方程式の問題練習２ §１ 方程式の8 方程式の利用１
節 利用
方
9 方程式の利用２程
式
10 方程式の利用３の利
方程式の利用４11
用数学1学期中間テスト 内容・反省用紙

1年

組

番 氏名

正答だった問題の所に○印をつけ、各観点での得点を記入して、３つの観点での自分の得点を集計しましょう。
また、観点からみた自分のテスト後の反省や感想、これからの学習について書きましょう。
番号

問題

①
②
1 ③
④
⑤
2 ①Ａ
②
③
は
3
点

①Ｂ
②

見方考え方

出題内容と出題趣旨

番 正答

表現処理

知識・理解

配点 得点 配点 得点 配点 得点

小学校で学習した基本的な計算の問題である。基本的なものを出題しました。
①０をかけると必ず０となる。②は割り算の問題です、７×９の九九は忘れやすいです。
③小数の掛け算の小数点の位置について忘れていませんか。
④通分をしての分数と足し算の計算である。
⑤整数の四則演算の計算である。カッコの中を先に計算して、その次に掛け算、割り算を計算してその後に足し算、引き算の計算をします。ぜひできるようになって欲しい問題である。表現処理の観点での出題である。基本であるので全問正解を表現処理観点のAの必要条件としたい。
数直線の問題である。小テストでもおこなっている問題です。
①数直線から数を答える問題である。教科書の問い程度の問題である。
②数直線に数を記入する問題である。教科書の問い程度の問題である。授業でも説明をしていたがＣを表示しなくてはならない。
③数直線上のＡ，Ｂ点の真ん中を答える問題です。２番で一番難しい問題です。表
現処理の観点での出題である。

3

⑩
⑪
⑫
⑬
⑭
①
②
③
④

4 ⑤
⑥
⑦
⑧

5

①
②

6

記号
理由

取り方
基 本 的 内 容 に つ い て は 、Ｔ Ｔ ま

10

た は 2 等 分 ク ラ ス で 行 い 、自 分 が
理 解 で き て い る か 、で き て な い か

10を 考 え る 機 会 を 与 え 、各 自 で 基 礎

③
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨

（ ４ ）基 礎・発 展 コ ー ス の 希 望 の

正負の数の基本的な加法（足し算）です。①異符号のとき、②同符号のとき③異符号の時であるが絶対値が等しいので答えは０となる問題です。④異符号のとき、表現処理の観点での出題です。

コースか発展コースを選択する
か考え判断させる。

正負の数の基本的な減法（ひき算）です。減法は加法にかえて、符号を変えます
が書くことが大切です。暗算でやるとミスがうまれます。表現処理の出題です。

28

正負の数の小数での減法（ひき算）です。途中の式を書かないでいると間違えやすく、小数の計算法を理解していることも大切です。表現処理の出題です。
正負の数の加法と減法の混じった計算です。減法は加法にかえて、符号を変えます。そして、同符号をまとめて計算してから、最後に異符号の計算をするといいです。途中の式を書くとミスなく計算ができます。暗算でやるとミスがうまれます。表
現処理の観点での出題です。

1年

組

番 氏名

正負の数の加法と減法の混じった計算です。⑬は小数の混じったもの、⑭は分数計算が難しいと思います。通分と約分をすることが重要です。表現処理

数学 コース希望

正負の数の最初に学習した内容です。教科書の問いや問題集などで学習したものです。符号が反対の性質をあらわすこと、符号をつけなくてはいけないもの③は負の数をつかわないで、同じ意味になるように、高いという言葉を書かなくてはい
けないもの。落ち着いてやると正解だったという人が多かったです。知識・理解の観点での出題です。
－3.5より大きい負の整数です。負の数は絶対値が小さいものが大きいこと、整数の意味を理解することが必要です。知識・理解の観点での出題です。

正負の数の加法と減法の学習は終わりましたが、これから混じった計算に入るのでここで、２人の先生で学習できる時には基礎と発展の２コースに分けて学習します。

32

絶対値を問う問題です。符号をとった数の部分が絶対値です。⑥は個数を問う問題でした。知識・理解の出題です。
不等号で大小関係をあらわす問題です。数字も書かなくてはいけません。知識・理解の出題です。
小さい順に並べる問題です。問題集にも問題が出ていました。分数と小数の大小を比べるのが難しいです。知識・理解の観点での出題です。
授業でおこなった内容を発展させ出題しました。①北に－４００ｍですから、実際は南に４００ｍの地点です。②西に－４００ｍの角を北に１００ｍの地点がイですか
ら、実際は東に４００ｍ北に１００ｍの所がイとなります。数学的見方考え方の出題です。
いつでも正しいといえないものをさがして説明する問題です。異符号の加法の計算方法をきちんと言葉を使って説明することをみています。数学的見方・考え方の観点での出題です。

テスト後の反省・感想など

1－２正負の数の計算

基礎コース

正負の数の加法と減法がわからなかった人向きです。
まず、ていねいに復習してから、混じった計算の学習を
します。

発展コース

正負の数の加法・減法はできる・できそうな人向きです。問題練習をおこない次の混じった計算の学習をし
ます。

10
↑
希望に○印をつけて下さい。

10
見方・考え方表現処理

知識理解

配点 得点 配点 得点 配点 得点

20

６

10
38

32

成果と課題
（ １ ）市 ス テ ッ プ ア ッ プ 調 査（ 5 月 1 日 実 施 ）本 校 学 習 状 況 調 査（ 7 月 ７ 日 実 施 ）の 結 果から市ステップアップ調査

小学校で学習した内容

偏差値平均

本校学習状況調査

正負の数と文字式の表し方の内容

全国的偏差値

51.9
５３

試験範囲がまだまだ狭いが、小学校の内容については定着している生徒が多かった。
正負の数と文字式の最初の内容であるので、まだ簡単な所ではあるが、少人数指導を数学- 24 -していることより力がついていると思われる。
（２）生徒へのアンケート調査結果より（ステップアップ調査で、①～③の３項目の意
識調査を実施）①数学の勉強は好きですか。

単位％

好 き だ・ど ち

どちらかと

らかといえ

いえば好き

ば好きだ

でない。

６４．２％

5 月 1 日市平均
7 月２０日実施

5 月 1 日実施

好きでない

わからない

無回答

２１．２％

１０．９％

３．１％

０．５％

５０．４％

２４．８％

１３．１％

４．５％

７．３％

６６．５％

２０．７％

８．０％

４．８％

０．０％

本校 1 年

中学校の内容になったが好きだ・どちらかといえば好きだの割合が多くなっている。
②数学の授業がどの程度わかりますか。
よ く 分 か

分かること

分からない

ほとんど分

る・だ い た い

と分からな

ことが多い

からない

分かる

いことが半

無回答

分ずつある
5 月 1 日実施

７５．７％

２３．９％

５．２％

０．０％

０．５％

5 月 1 日市平均

７０．４％

２３．６％

４．９％

１．１％

７．３％

7 月２０日実施

６８．６％

２５。０％

４．８％

１．６％

０．０％

本校 1 年

中 学 校 で の 学 習 が 本 格 的 に な り 難 易 度 も 上 が っ て き て い る の で ５ 月 よ り よ く 分か る
生徒の割合が少し減少したのはとても残念である。
③問題が解けなかったとき、なぜ解けなかったかをふり返って考えようとしていますか。
考えようとしてどちらかという

考えようとしている・どちらかと考えようとしいないというと考えよていない

無回答

うとしている5 月 1 日実施

８２．４％

１４．５％

２．６％

０．５％

5 月 1 日市平均

７１．３％

１７．５％

３．７％

７．５％

7 月２０日実施

７９．３％

１８。６％

２．１％

０．０％

本校 1 年

学 習 が 進 む に つ れ て 難 し く な り 、 学 校 で の 学 習 だ け で な く 家 庭 学 習 も 重 要 に なっ てくる。②の数学の授業がどの程度分かりますかの回答をみると難易度がアップするにつれて分からなくなる生徒が出ていることがわかる。しかし、③の「問題が解けなか
数学- 25 -っ た と き 、な ぜ 解 け な か っ た か を ふ り 返 っ て 考 え よ う と し て い る か 。」の 回 答 を み る と値は低下しているが、考える習慣がついていることがわかる。そのことは数学の学習
内 容 を 理 解 す る 上 で 大 切 な こ と で あ り 、こ れ か ら 理 解 で き る よ う に な る と 考 え ら れ る 。
難 易 度 が 上 が っ て く る の で 、 値 の 減 少 は や む を 得 な い 面 も あ る が 、「 数 学 が 好 き 」、「わかる」と回答した生徒が多いのは 2 人の教員で指導していることによると思われる。
（３）生徒へのアンケート調査で数学に授業について思うことについて書いたものから① T・ T の よ さ
・ 2 人 の 先 生 が い て 教 え て く れ る と 分 か り や す く や り や す い で す 。 そ の 場 で 丸付 けしてくれるのもうれしいです。
・ ぼ く は 数 学 が に が て だ け ど ち ゃ ん と 教 え て く れ る の で ま あ ま あ で き る よ う にな った。
・ 先 生 が と て も 分 か り や す く 教 え て く れ る の で 、 授 業 内 容 も だ い た い わ か る し、 数
学 が 前 よ り も 好 き に な り ま し た 。問 題 が 解 け な か っ た と き は 、「 な ぜ だ ろ う ？ 」と考えるように心がけています。
・ 問 題 を や っ て い て 、 分 か ら な い と こ ろ が あ る と 、 分 か る ま で し っ か り と 教 えて く
れて、毎時間の数学が楽しい。
・ 2 人 の 先 生 の 授 業 は と て も 分 か り や す く て い い と 思 い ま す 。 声 も 聞 き 取 り やす いの で 、 自 然 に 頭 に 入 っ て い く 感 じ が し ま す 。 問 題 で 分 か ら な い と き 、 生 徒 達 を回っ て ノ ー ト を 見 て 分 か ら な い 所 を し っ か り と 教 え て 下 さ る の で と て も 助 か り ます 。
・数学の用語系の小テストもたまにやってみると数学の力がつくと思う。
・数学はノート点検など、しっかりしていて他のノート提出よりやりやすい。
② 少人数指導のよさ
・ 先 生 方 が 納 得 い く ま で 教 え て く れ る の で と て も 憶 え や す い 。 少 人 数 指 導 も 、少 な
い人数でやるので、とても早く次の内容に進むことができるので良いと思う。
・ 基 礎 コ ー ス と 発 展 コ ー ス に わ け る の が 良 か っ た で す 。 そ の 人 の ペ ー ス で 授 業を 受けられるので、これからもできればわかれるようにしてくれるとうれしいです。
・基礎・発展になどなるべく２つに分けて欲しい。

７

資料（実践例指導案）
第１学年２組

１

単元名

２

単元について数学学習指導案

方程式（１）教材観小 学 校 で は 求 め た い 値 を ○ や □ で 表 現 し 、 そ の 値 は 逆 算 で 求 め て い る 。 中 学 に 入 り 、式の 表 現 に 文 字 を 導 入 す る こ と で ○ や □ を 使 っ た 式 よ り も 、 簡 潔 で 、 能 率 的 な 計 算 処 理 がで
き る こ と を 学 習 し た 。 そ こ で 、 具 体 物 の 代 わ り で あ る ○ や □ か ら 離 れ る こ と で 、 等 式 の性
数学- 26 -質 や そ こ か ら 導 か れ る 移 項 に よ る 式 の 変 形 を 理 解 し 逆 算 に よ る 考 え 方 か ら 、 方 程 式 に よる
解 を 求 め る 段 階 に 進 み た い 。 ま た 、 身 の 回 り に あ る 事 象 を 用 い た 問 題 を 解 く こ と に よ り、
身 近 な 問 題 を 解 決 す る に も 有 効 な 手 立 て で あ る こ と を 理 解 さ せ た い 。 そ の た め に は 、 数量
関 係 を 把 握 す る た め に 表 や 図 を 用 い な が ら 関 係 を 調 べ ・ 検 討 し 方 程 式 に 表 す 力 を 養 う 学習
活 動 が 不 可 欠 で あ る 。 そ こ で 、 以 上 の 力 を 本 単 元 で 身 に 付 け る こ と で 、 ２ 年 生 の 連 立 方程式や３年生の二次方程式を立式できる学習の基礎としたい。
（２）指導観
第 １ 節 方 程 式 で は 、 天 秤 の つ り あ い か ら 等 式 の 性 質 を ま と め た 。 そ し て 、 等 式 の 性 質を使 っ て 方 程 式 の 解 を も と め た 。 そ こ で の 基 本 的 事 項 の 確 認 か ら 、 合 理 的 な 解 法 で あ る 移項に よ る 変 形 を 理 解 で き る よ う に す る 。 ま た 、 ４ 月 か ら の 途 中 の 式 を 書 く 指 導 を 継 続 し て指導 し て き た 。 方 程 式 の 解 を 求 め る 演 算 に お い て も 移 項 し た 式 を 書 く よ う に 指 導 し 、 本 単元の 基 本 的 事 項 で あ る「 等 式 の 性 質 」や「 移 項 」の 過 程 を 視 覚 的 に 確 認 で き る よ う に し た い 。
第 ２ 節 方 程 式 の 利 用 で は 、身 の 回 り の 事 象 に よ る 課 題 も 、具 体 物 を 使 い な が ら 数 量 関 係
を 把 握 す れ ば 、 方 程 式 で 課 題 を 解 決 で き る こ と を 理 解 さ せ た い 。 そ の た め に は 、 具 体 物を
実 際 に 動 か し な が ら グ ル ー プ で 話 し 合 い 数 量 関 係 を 調 べ 、式 に 表 す 学 習 活 動 を 取 り 入 れ る 。
話し合いを通して自分の考えを説明しあうことで、考える意欲を高めたい。
次 に 絵 や 表 ま た は 線 分 図 な ど 、課 題 に 合 わ せ て 数 量 関 係 を 視 覚 的 に 把 握 で き る 様 々 な 方
法 を 理 解 さ せ て い く 。 そ し て 逆 算 で は 解 け な い 「 速 さ 」 に 関 す る 課 題 で は 、 既 習 の 様 々な手 段 を 使 い 、 自 由 に 考 え を 出 し 合 い な が ら 話 し 合 う こ と で 、 数 量 関 係 を 把 握 す る 方 法 を考え 出 す 力 を 養 い た い 。 そ の た め に 基 礎 コ ー ス で は 特 に 、 絵 を 準 備 し て 具 体 的 に 動 か し ながら 考 え ら れ る よ う に す る 。 ま た 、 表 も 準 備 し て 生 徒 の 発 想 や 考 え が 出 や す い よ う 支 援 し、
文章の数量関係を把握して方程式を立式できるようにしたい。
ま た 、考 え る 方 法 の 多 様 さ だ け で な く 、文 字 χ の 選 び 方 に よ っ て 式 が 変 わ っ て く る こ とも 理 解 さ せ た い 。 そ う し た 意 味 で も 、 生 徒 一 人 一 人 の 考 え を 自 由 に 出 し 合 い 、 多 様 な 考え
方 を 認 め 合 い な が ら 取 り 組 む 学 習 活 動 を 展 開 す る こ と が 大 切 で あ る 。 こ れ は 、 本 校 の 基礎
学力を向上させる人間関係作りの授業の取り組みといえる。
３

研究とのかかわり
生 徒 の 希 望 に よ り 、 基 礎 コ ー ス 、 発 展 コ ー ス に 分 か れ 、 生 徒 の 実 態 に 応 じ て 、 カ ー ドを

並 べ た り 、 線 図 を 書 く こ と で 、 数 量 の 等 式 関 係 を つ か み 、 前 時 の 方 程 式 を 使 っ て 問 題 を解く手順を利用して解法できることをめざしたい。
４単元の目標
・「 方 程 式 と そ の 解 」、「 方 程 式 を 解 く 」 と い う こ と の 意 味 が 理 解 で き る 。
・等式の性質を理解し、等式の性質を使って簡単な方程式を解くことができる。
・移項の意味を理解し、移項することによって方程式を解くことができる。
・数量関係を方程式を使うことで問題解決することができる。

５指導と評価の計画

数学- 27 -時

１形◇ 目 標 、・学 習 活 動【 評 価 】関・考・表・知★ A に 迫 る 手 立 て 、☆ B に 迫 る 手 立

態

て

学

◇方程式とその解を理解し、天秤から等式の性質を考える。

級TT〔 課 題 〕貯 金 箱 に ５ ０ ０ 円 硬 貨 が 何 枚 か 入 っ て い ま す 。重 さ を は か る と 全 体 は
１ ５ ４ ｇ 、５ ０ ０ 円 硬 貨 １ 枚 は ７ ｇ 貯 金 箱 だ け は ７ ０ ｇ で し た 。入 っ て い る 硬貨の枚数をχ枚として、重さの関係を等式にして表してみましょう。

等式

７х＋７０＝１５４【 考 】☆ 関 係 を 表 す 式 で 学 習 し た よ う に 、数 量 の 間 の 関 係 を 式 で あ ら わ し て み よう。

方程式

文字 を ふ く む 等 式

解方程式の文字にあてはまる値、方程式を成り立たせる値

方程式を解く

方程式の解を求めること。

［例１］＜方程式の解＞
方程式２χ－３＝χ＋１で４がこの方程式の解であるか調べなさい。
左 辺 ＝ ２ ×４ － ３ ＝ ５

右辺＝４＋１＝５

左辺と右辺が等しいので、４はこの方程式の解である。
【 考 】★ 文 字 に 値 を 代 入 し て 、右 辺 と 左 辺 別 々 に 計 算 し て 等 式 を 成 り 立 た せ る ものをさがし解を考えよう。
☆右辺と左辺にхに４を代入して計算してみよう。
〔 課 題 〕封 筒 ３ ｇ 、１ ０ ｇ の お も り を 天 秤 に の せ る と ち ょ う ど つ り あ い ま した。
х＋３＝１０を天秤をつかいながら封筒の重さを求めてみよう。
★天秤の具体的操作を通して等式の性質を考えてみよう☆１つ１つの天秤での操作を式にあらわしてみよう【関】硬貨と貯金箱の重さの関係を式に表そうとする【表】方程式の解であることをたしかめることができる。
【感】天秤の図を使って等式の性質を導こうとする。
単純に２グループに分ける内容は同じ
２

T・T ◇ 等 式 の 性 質 を 使 っ て 簡 単 な 方 程 式 を◇等式の性質を使って簡単な方程式を解く

解く★等式の性質を確認しながら変形して★等式の性質を確認しながら変形して方程式の解を求めてみよう。

方程式の解を求めてみよう。

☆天秤の具体的操作を通して方程式の☆天秤の具体的操作を通して方程式の数学- 28 -３

解き方を考えさせる。

解き方を考えさせる。

【表】等式の性質を用いて方程式を解【表】等式の性質を用いて方程式を解くことができる。

くことができる。
◇方程式を移項を使って解く

T・T ◇ 方 程 式 を 移 項 を 使 っ て 解 く〔 課 題 〕方 程 式 の 解 き 方 を 見 て 、２ つ の 式 ① と ② を く ら べ 、気 づ い た こ と は 何ですか。
４х―１５＝９
両辺に１５をたして①

４х―１５＋１５＝９＋１５
４х＝９＋１５

②

４х＝２４

４

ク
ラ
ス

【知】移項の意味や方程式を解く手順【知】移項の意味や方程式を解く手順をいうことができる。

をいうことができる。

★移項は等式の性質を前提に形式の上★移項は等式の性質を前提に形式の上でまとめたものである。

でまとめたものである。

【表】移行して方程式を解くことがで【表】移行して方程式を解くことがで

きる。

きる。

☆等式の性質に戻って手順を書かせる☆等式の性質に戻って手順を書かせる★хイコールの形になるように手順を★хイコールの形になるように手順を考えさせる。

考えさせる。

◇移項を使った方程式の解き方の練習〔例題１〕次の方程式を解きなさい。
７х―２＝６＋３х

文字の項を左辺に数の項を右辺に、まとめる。
プリントを使って既習の方程式の解き方の練習をする。
〔 表 〕★ 移 項 を 使 っ て 形 式 的 な 処 理 で 式 変 形 が で き る よ う に 、符 号 に 注 意 さ せ る 。
等式の性質に戻って手順を書かせる。文字式の計算に注意させる。
数学- 29 -基礎コース
５

発展コース

T・T ◇ か っ こ が あ る 方 程 式 の 解 を 求 め る◇いろいろな方程式の解を求める

分配法則の復習〔 例 題 ２ 〕次 の 方 程 式 を 解 き な さ い 。

〔例題２〕次の方程式を解きなさい。

７（х―５）＝９х＋１

７（х―５）＝９х＋１【表】★かっこをはずしてから移項を【表】★かっこをはずしてから移項を

しよう。

しよう。
☆分配法則と移項の確認☆移項の確認と手順をかいてみよう。

〔 例 題 ３ 〕次 の 方 程 式 を 解 き な さ い 。

・繰り返し問題練習をしよう。

χ＋１
2

＝

１
χ＋２
５

【表】★両辺に分数の最小公倍数をかけて、係数を整数にして移項して方程式を解くとよい。
☆最小公倍数を、両辺全体にかけて約分する
６

T・T ◇ い ろ い ろ な 方 程 式 の 解 を 求 め 、 一 次◇一次方程式を解く手順を確認し、方程式の問題練習をしよう。

方程式を解く手順をまとめる。

〔 例 題 ３ 〕次 の 方 程 式 を 解 き な さ い 。 方 程 式 の 段 階 別 の 問 題 プ リ ン ト を 準 備し各自で練習させる。
χ＋１
１
χ＋２
＝
2
５
【表】★方程式の両辺に分数の最小公【表】★分数や少数の方程式は係数を倍数をかけて、係数を整数にして移項整数にするように、かっこがある方程

して方程式を解く。

式はかっこをはずしてと問題にあった変形をおこなう。

☆最小公倍数の確認、両辺全体にかけ★移項することで解をもとめるて約分するとよい。
段階的に復習しながら解をもとめよ
一次方程式を解く手順を確認する。

う。

数学- 30 -

７

ク
ラ
ス

◇簡単な代金の問題から解等の書き方を書けるようにする。
（ 例 題 １ ）ケ ー キ ６ 個 と ８ ０ 円 の プ リ ン １ 個 の 代 金 は ケ ー キ １ 個 と １ ５ ０ 円の ジ ュ ー ス １ 本 の 代 金 の ４ 倍 に な り ま し た 。こ の ケ ー キ １ 個 の 値 段 は い く らでしょうか。
数量関係を読みとる
ケーキ１個の値段をх円とする。
方程式をつくる・解を求める

文章題にあっているかどうか調べる。

・単位をつけて問題の解答【見】☆かっこをはずして移項して解を求める
問題文を良く読み数量関係をつかみ方程式をつくる。
分配法則をつかってかっこをはずします。
・ 問２で問題練習８

T・T ◇ 個 数 の 過 不 足 に 関 す る 問 題 を 解 こ う◇個数の過不足に関する問題を解こう【関】問題解決のために課題の数量関〔例題２〕何人かの生徒で、あめを同じ数ずつ分けます。
係を理解しようとする。
４ 個 ず つ 分 け る と １ ０ 個 あ ま り 、６ 個 ず つ 分 け る と ４ 個 た り ま せ ん 。生 徒 の
人数は何人でしょうか。
＜個人で課題解決＞＜個人で課題解決＞＜グループで課題解決

カードで考える

カードで考える線図で考える線図で考える

絵をかいて考える

絵をかいて考える【関】問題解決のために課題の数量関【関】問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。

係を理解しようとする。

★どんな等式関係になるかを考えると★どんな等式関係になるかを考えるとよいことを教える。

よいことを教える。

☆カードがあるので使ったり、線図で☆カードがあるので使ったり、線図で考えるとよいことを教える。

考えるとよいことを教える。

・あめの個数は同じであることに気付く。
・生徒の人数をχ人として方程式をたて て 解 を 求 め て 、問 題 の 解 答 を 求 め る 。

数学- 31 -・あめの個数は同じであることに気づ・あめの個数は同じであることに気づ

本

く

く

時

・生徒の人数をχ人として方程式をた・生徒の人数をχ人として方程式をた８

TTて て 解 を 求 め て 、問 題 の 解 答 を 求 め る 。 て て 解 を 求 め て 、問 題 の 解 答 を 求 め る 。
【関】問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。
☆どんな等式関係になるかを考えるとよいことを教える。
カードがあるので使ったり、線図で考えるとよいことを教える。

【考】あめの個数が等しいことに気付【考】あめの個数が等しいことに気付き立式することができ課題を解決する

き立式することができ課題を解決することができる。

ことができる。

人数をχにして等しいものを表す式で人数をχにして等しいものを表す式で等式になることを教える。

等式になることを教える。

等しいもの、変わらないものは何か気等しいもの、変わらないものは何か気

付かせる。

付かせる。

線図やカードで考えさせ数量関係を把線図やカードで考えさせ数量関係を把

握させる。

握させる。

③発表
早く解けた生徒は問３を解く。
問４をチャレンジ③ 発表

数学- 32 -９ク◇速さ、時間、道のりに関する問題を解こう

ラ〔例題３〕弟が２ｋｍ離れた駅に向かって家を出発しました。それから１０ス

分たって、姉が弟の忘れ物に気づき、自転車で同じ道を追いかけました。弟
は分速８０ｍ、姉は分速２４０ｍで進むとすると、姉は出発してから何分後に弟に追いつくでしょうか。
〔問６〕姉が弟に追いついたのは家から何ｍのところですか。
課題の確認
・何を求める問題ですか。
・問題文を読んでまず小学校から学習してきたどんな関係を思い出しますか。
速さと時間と道のりの関係、はじき＜個人で課題解決＞
姉がχ分後に弟に追いつくとする。
絵を書き関係を考えている。
表を書き速さと時間と道のりの関係を考えている。
【関】問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。
☆弟と姉の絵を動かして問題文を理解しよう。
★どんな等式関係になるか、線図や表をつかって考えてみよう。
姉がχ分後に追いつくとして方程式たてる。
課題を解決する。
・姉がχ分後に弟に追いつくとするとした立式
２４０χ＝８０（１０＋χ）
早 く 終 わ っ て し ま っ た 生 徒 は 、違 っ た χ の お き か た を し て 問 題 の 解 法 を 考 え さ せる。
【考】課題の数量関係を読み取り課題を解決することができる。
☆ 絵 を 動 か し 、追 い つ く と は 姉 と 弟 の 道 の り が 等 し い こ と を 気 づ か せ 立 式 の 援 助をする。
★二人の道のりを表を使ってあらわすように助言する。
生徒から違ったχのおき方をした解法がでない時にはこちらから説明する。
弟が出発してから姉に追いつかれるまでの時間をχ分とした立式。
８０χ＝２４０（χ―１０）
姉が弟に追いつくまでに進んだ道のりをχｍとして立式。
姉が弟を追いかけている間に弟が進んだ道のりをχｍとした立式。
＜発表＞
まとめ
数学- 33 -10S◇速さ、時間、道のりに関する追いつけない問題を解こう〔 問 ７ 〕弟 が ２ ｋ ｍ 離 れ た 駅 に 向 か っ て 家 を 出 発 し ま し た 。そ れ か ら ２ ０ 分
た っ て 、姉 が 弟 の 忘 れ 物 に 気 づ き 、自 転 車 で 同 じ 道 を 追 い か け ま し た 。弟 は
分速８０ｍ、姉は分速２４０ｍで進むとすると、姉は弟が駅に着くまでに、姉は弟に追いつけるでしょうか。

前時の例題３を思い出しながら問題を解決しよう。
＜個人で課題解決＞
姉がχ分後に弟に追いつくとする。
表を書き早さと時間と道のりの関係を考えている。
【関】問題解決のために課題の数量関係を理解しようとする。
☆前時の例題３を参考にできると助言する。
★どんな等式関係になるか、線図や表をつかって考えてみよう。
姉がχ分後に追いつくとして方程式たてる。
課題を解決する。

早 く 終 わ っ て し ま っ た 生 徒 は 、違 っ た χ の お き か た を し て 問 題 の 解 法 を 考 え さ せる。
【 考 】課 題 の 数 量 関 係 を 読 み 取 り 方 程 式 の 解 が 問 題 に あ っ て い な い こ と に 気 づ き
課題を解決することができる。
☆追いつくとは姉と弟の道のりが等しいことを気づかせ立式の援助をする。
★解を求めるが。追いつく地点は駅に着く前かどうか調べてみよう。
＜発表＞
方 程 式 の 解 が 問 題 に あ っ て い な い こ と が あ る の で 、問 題 に あ っ て い る か 調 べ る よ
うにすることを説明する。
時間に余裕があるので、練習問題をおこなう。

６

本時の学習指導（１）目標◎ 問 題 解 決 の た め に 課 題 の 数 量 関 係 を 理 解 し よ う と す る 。【 関 心 ・ 意 欲 ・ 態 度 】◎ 課 題 の 数 量 関 係 を 読 み 取 り 、 課 題 を 解 決 す る こ と が で き る 。【 数 学 的 見 方 ・ 考 え 方 】
数学- 34 -（２）基礎コース
時

本時の展開

学習活動

予想される児童の反応

間支援及び指導上の留意
評価○はおおむね満足、◎十分満足☆おおむね満足に高めるための手だて★十分満足に高めるための手だて

10

１課題の設定分〔課題〕何人かの生徒で、あめを同じ数ずつ分けます。４個ずつ分けると１０個あまり、６個ずつ分けると４個たりません。生徒の人数は何人でしょうか。
何を求める問生徒の人数です。
求めたい生徒の人数をχでおくこと題ですか。

をおさえる。
・生徒の人数をχ人としてカ ー ド や 線 図 、表 を 書 く 用 紙 を 準 備 し

２個人で課題考えようとする。

て自由に使わせる

解決・手がつかなくてこまって【関心・意欲・態度】

いる◎線図で考えようとしている。

絵を描いて考えている

カードや絵で数量関係をつかもうとしている。
☆カードの使用を教える

20

３グループで・カードであめの個数を表☆何が等しいか考えることを教える

分

課題解決

し考えている★どんな等式関係になるかを考える

あめ個数は同じであることといいことを教えるに気づく【数学的見方・考え方】

カードや表、・線図で考え等しいものに◎あめの個数が等しいことに気づき

線図を書く用気づく

立式し解を求めることができる。
◎生徒の人数が等しいことに気づき

紙を班ごとに配布する・カードで解を求めてから立式し解をもとめることができる。

式をつくろうとする生徒○線図やカードを利用しながら数式におきかえることができる

・人数をχ人にして式をつ○ 算 数 で の 解 法 が で き 、方 程 式 を 使 っくろうとする。

た解法を考えようとする。
★等しいものをあらわす式で等式に・方程式ができるなることを教える。

方程式を立てて解を求めよ★人数をχにしてあめの個数に着目うとする生徒して立式すればいいと教える☆ 等 し い も の 、変 わ ら な い も の は 何 か気づかせる
線 図 や カ ー ド で 考 え さ せ 、数 量 関 係 を把握させる。

数学- 35 -１

４発表に移り５ます。

４個ずつ分ける時は４個用のカードをいくつも並べる、

分

それでは、机そしてあと１０個

を元に戻して６個ずつ分ける時は６個用のカードをいくつも並べる、

・実際に黒板でカードを使って説明する生徒下さい。
あめの個数にそしてあと４個・線図を使って説明する生徒

ついてどのような関係があ
りますか。

４ 個 ず
あめの個数

つ 分 け
る時

余

４ 個 ×人 数

不足

６個ずつ
分ける時
６ 個 ×人 数
あ め の 個 数 ＝ ４ ×（ 人 数 ） ＋ １ ０
あ め の 個 数 ＝ ６ ×（ 人 数 ） － ４・方程式を立てて解を求めて、問題の答えを発表する生徒
生徒の人数をχ人とすると
４χ＋１０＝６χ－４
４χ―６χ＝－４－１０－２χ＝－１４χ＝７

７ 人 と な り ４ 個 ず つ の と き ４ ×７ ＋

１０＝３８
６ 個 ず つ の と き ６ ×７ － ４ ＝ ３ ８
これは問題にあっている

５

となり
答え

７人

別の解答はあ

生徒から別解がでないときは、こんな立式があると説明する。

りますか。

あめの個数をχ個とすると
χ－１０
χ＋４
＝
4
６
両辺に２４を掛ける

分
５

班で考え

に使ったもの６（χ－１０）＝４（χ＋４）

はプリントに６χ－６０＝４χ＋１６

貼って課題の

３ ８ ＝ ４ ×７ ＋ １ ０

プリントをま４個ずつ配るとあまり１０個、６個ずつ配ると４個足りなくとめよう。

なり問題にあっている。

χ＝３８あめが３８個となる。

３ ８ ＝ ６ ×７ ＋ １ ０
答え

７人

・プリントをまとめる。

・は や く で き た 生 徒 に は χ の お き か・自己評価表に記入する。

たを変えて課題を解決させる。

・最後に回収する
数学- 36 -（３）発展コース
時

学習活動

本時の展開
予想される児童の反応支援及び指導上の留意

間
５

１課題の設

分

定

〔 課 題 〕何 人 か の 生 徒 で 、あ め を 同 じ 数 ず つ 分 け ま す 。４ 個 ず つ 分 け る と 10
個 あ ま り 、６ 個 ず つ 分 け る と ４ 個 た り ま せ ん 。生 徒 の 人 数 は 何 人 で し ょ う か 。
生徒の人数です。

何をχでおくかをおさえる。

何を求める・生 徒 の 人 数 を χ 人 と し て 考

課題文のある授業プリントを配布。

問 題 で す

えようとする。

【関心・意欲・態度】

か。

・手 が つ か な く て こ ま っ て い◎線図で考えようとしている。

る

絵をかいて数量関係をつかもうとし

20

２個人で課

絵を描いて考えている

ている。

分

題解決

・あ め の 個 数 を 線 図 で 表 し 考☆いままでに数量関係を考えるのにえている

使用した方法を使えることを教える

・あ め 個 数 は 同 じ で あ る こ と☆何が等しいか考えるといいことを

に気づく

教える

・線 図 で 考 え 等 し い も の に 気★どんな等式関係になるかを考える

づくといいことを教える【数学的見方・考え方】

・人 数 を χ 人 に し て 式 を つ く◎あめの個数が等しいことに気づきろうとする。

立式し解を求めることができる。

・方程式ができる◎生徒の人数が等しいことに気づき

・方 程 式 を 立 て て 解 を 求 め よ

立式し解をもとめることができる。

うとする。

○線図や絵を利用しながら数式におきかえることができる★等しいものをあらわす式で等式になることを教える。
★人数をχにしてあめの個数に着目して立式すればいいと教える☆ 等 し い も の 、変 わ ら な い も の は 何 か
気づかせる☆ 線 図 や 絵 で 考 え さ せ 、数 量 関 係 を 把握させる
はやくできた生徒にはχのおきかた

問３をやる

を 変 え て 課 題 を 解 い て み よ う 。と 助 言

問４をノートにやるする。
問３を解く、問４にチャレンジさせる。

数学- 38 -

20

３発表に移

分

ります。

・実際に黒板で絵をかいて説明する生徒
４個ずつ分ける時は４個をかき並べそしてあと１０個

あめの個数
についてど

６個ずつ分ける時は６個をかき並べそしてあと４個

のような関
係がありま
すか。
・線図を使って説明する生徒 あめの個数
４ 個 ず
つ 分 け
る時

余

４ 個 ×人 数

不足

６個ずつ
分ける時
６ 個 ×人 数
あ め の 個 数 ＝ ４ ×（ 人 数 ） ＋ １ ０
あ め の 個 数 ＝ ６ ×（ 人 数 ） － ４・方程式を立てて解を求めて、問題の答えを発表する生徒
生徒の人数をχ人とすると
４χ＋１０＝６χ－４
４χ―６χ＝－４－１０－２χ＝－１４χ＝７
７ 人 と な り ４ 個 ず つ の と き ４ ×７ ＋ １ ０ ＝ ３ ８
６ 個 ず つ の と き ６ ×７ － ４ ＝ ３ ８となりこれは問題にあっている

あ り ま すあめの個数をχ個とすると
χ－１０
χ＋４
＝
4
６
両辺に２４を掛けるか。

６（χ－１０）＝４（χ＋４）

別の解等は

答え

７人

６χ－６０＝４χ＋１６
χ＝３８

あ め が ３ ８ 個 と な る 。 ３ ８ ＝ ４ ×７ ＋ １ ０
３ ８ ＝ ６ ×７ ＋ １ ０

４個ずつ配るとあまり１０個、 ６個ずつ配ると４個足りなくな
り問題にあっている。

答え

７人

机間指導で必要な生徒には説明する。
χのおき方の別解が生徒から出ない
ときは、立式を説明する。
数学- 39 -

５

４今日のプ

きょうの課題のプリントを

分

リントをま

まとめる

早く課題が終わり問３を解いた生徒や問４を解きおわった生徒がいたと

とめて答え
あわせをし

自己評価表に記入する。

きには人数によって個人的に対応しよう。

プ リ ン ト 、自 己 評 価 表 を 回 収たり、全体で答え合わせをする。

自己評価表

する

を記入しよ
う

参 考 〔 問 ３ 〕 生 徒 の 人 数 が ７ 人 だ か ら ４ ×７ ＋ １ ０ ＝ ３ ８
答え３８個

参 考〔 問 ４ 〕集 会 で 長 い す を 何 脚 か 並 べ ま し た 。集 ま っ た 人 た ちが 、長 い す １ 脚 に ５ 人 ず つ す わ る と １ ０ 人 が す わ れ ず 、６ 人 ず つ
す わ る と ２ 人 だ け す わ っ た 長 い す が １ 脚 で き ま し た 。並 べ た 長 い
すは何脚でしょうか。

（問４答え）

長いすの数をχ脚とすると、
５χ＋１０＝６（χ―１）＋２
５χ＋１０＝６χ―６＋２
これを解いて

１４脚となりこれは

χ＝１４

５ ×１ ４ ＋ １ ０ ＝ ８ ０
６ ×１ ３ ＋ ２ ＝ ８ ０ と な り 問 題 に あ っ て い る
答え

数学- 40 -１４脚

●●● 今日の授業の目標 ●●●○【関】進んで課題に取り組み、既習事項を活用しようとする。
◎【考】補助線を活用し、簡単な図形に分けて考察できる。
◎【表】中点連結定理を活用し線分の長さを求めることができる。
○【知】線分の比と平行線の関係や中点連結定理がわかる

３年 基礎・基本コース
数学〔 図形と相似 〕

使用する教材・教具個に応じた手だてシート

授 業 の 流 れ

教師

教師用コンパス・定規・ホワイトボード（発表用）

生徒

定規・コンパス・分度器個に応じた具体的な手だて

１ 前時の復習

１ 本時の課題に繋がるように扱う

・中点連結定理の問題

・基本となる図を提示する

Ａ
８㎝

評価の規準

Ｄ

【表】中点連結定理を活Ｆ ７㎝用し、長さを求める
ことができる

Ｂ

Ｃ
Ｅ
10 ㎝

・前時のノートや自己評価カードを振り替える

２ 課題の提示【関】進んで課題に取り[問]ＡＤ､ＢＣとＭＮの関係？
ＡＤ

Ｍ

組むことができる
３ 予想をたてる・分度器や定規等で実測させ、予想Ｎ

Ｂ
３ 課題の解決

させる
Ｃ・予想を明らかにするため、論理的に考察する必要性を理解させる

・課題の把握（位置と長さの関係）

４ 補助線の活用を促す
・三角形であれば中点連結定理が４ 自力解決・補助線の活用・図形を分割活用できる事から補助線の入れ方に気付かせるＭ

Ｐ

Ｎ

・補助線で図形を分割して考察していくことを促す
・ＡＤとＢＣを具体的な数値で置

５ 発表

き考察させる
５ 交点Ｐが中点であることの検証

６ まとめ

・対角線とＭＮとの交点が対角線

７ 練習問題の中点であることを検証させる

８ 自己評価カードの記入【考】補助線を使い、三角形に分けて考察できる【知】線分の比と平行線の関係から中点を判断できる【表】中点連結定理を活用し、問題を解決することができる

数学－５６－

３年 発展コース
数学〔 図形と相似 〕●●● 今日の授業の目標 ●●●○【関】進んで課題に取り組み、既習事項を活用しようとする。
◎【考】補助線の入れ方を工夫し、多様な見方や考え方ができる。
◎【表】中点連結定理を活用し線分の長さを求めることができる。
○【知】線分の比と平行線の関係や中点連結定理がわかる
使用する教材・教具個に応じた手だてシート

授 業 の 流 れ

教師

教師用コンパス・定規・ホワイトボード（発表用）

生徒

定規・コンパス個に応じた具体的な手だて

１ 課題の提示
Ａ

Ｄ

Ｍ

評価の規準

【関】進んで課題に取り
ＡＤ、ＢＣ

Ｎ とＭＮとの組むことができる
１ 台形であることを意識させる

関係は？
Ｂ

Ｃ

２ 課題の解決

２ 予想を立てる

・課題の把握・位置関係と長さの関係を促す【知】線分の比と平行線の関係から位置の関係の判断ができる

・自力解決

自力解決
対角線を活用・補助線の入れ方を工夫させる
・ＡＤとＢＣの長さを文字で置き換え、論理的に考察させる
・多様な考え方を促す

平行線を活用・既習事項を活用させる
・面積の求め方に帰着させる【考】補助線の入れ方を工夫し、問題を考察

平行四辺形をつくる

することができる【表】中点連結定理を活用し問題を解決でき

３ 比較検討３ それぞれの解放のよさを考察さ
せる

４ 発表

方のまとめ

【考】多様な考え方に触れ、それぞれのよさ
を考察する

５ まとめ
・中点連結定理や補助線の使いる

５ 自分の解法以外で参考となった
とき方を記録させる

６ 練習問題【表】中点連結定理を活用し解決できる

７ 自己評価カードの記入

数学－５７－

実践事例３（第３学年）＜学校の概要＞
本校は、市の中心部に位置している。小学校・高等学校が隣接していて、登校時などはとてもにぎ
やかな雰囲気になる。全校生徒約４００名、12 学級（全学年 4 クラス）の中規模校である。少人数指導としては、数学、英語、国語で取り組んでいる。数学では、１学年４クラスを毎時間少人数学習を行っている。平成１７・１８・１９年度に『学力向上拠点形成事業』の研究委嘱を受けている。
１ 研究のテーマ『効果的な少人数指導と個に応じた指導の工夫』～ ねらいを明確にし、わかる授業展開の工夫 ～２ 研究のテーマ設定の理由
平成１７年度から『学力向上拠点形成事業』の指定を受け、『教えるべきねらいを明確にし、師弟ともに高めあう学校の追求』の研究テーマをかかげ、研究に取り組んでいる。生徒の実態を把握し、生徒一人一人の力と教師自らの力をともに高めようと研究を進めている。学習環境を整える、ねらいを明確にしわかる授業を展開するなど具体的な視点をもって研究に取り組んでいる。
数学の学習では、１学年で少人数指導に取り組んでいる。その学習の中で、特に大切にしている
ことは、基礎・基本となる学習を明確にし、定着を図ることで、数学を学ぶ意欲や楽しさを感じさせていくことである。また、全学年とも自己評価カード（数学科まなびカード）を活用し、個に応じた指導を推進していこうと考えている。
３ 研究の視点（研究の仮説）（１）効果的な少人数指導
・学校の実態で、一斉授業の形態をとらなくてはらないとき、単元の中で、ポイントとなる授業内容時に、少人数指導を行うことで、生徒の学習（基礎・基本の定着）を高められる。
・学習がこれまで以上に意欲的になる定期テスト前に、少人数の補充学習を行うことで、基礎・基本の定着を図れる。
（２）個を理解し、対応できる指導
・毎時間の振り返りを自己評価カードを活用し行うことで、学習した内容をまとめたり、つま
ずいたところなどを課題とし復習するようになる。
・定期テスト終了後に、誤答したものを中心に、レポートを作成させることで、つまずいたままではなく、克服できるようになる。
４ 研究の経過
日 時

場 所

内 容

５月１６日

総合教育センター

５月３０日

勤務校

６月２９日

総合教育センター

７月 ５日

勤務校

８月２３日

総合教育センター[研究協議３]・情報交換・研究の中間報告

１０月２７日

検証授業中学校[検証授業]・授業見学・進行状況の確認

１１月２０日勤務校[授業研究２]・習熟度別少人数授業

１２月 ７日

総合教育センター[研究協議４]・研究報告・まとめ[研究協議１]・調査研究の方向性[実態調査]・アンケート実施[研究協議２]・情報交換・検証授業の確認[授業研究１]・習熟度別少人数授業

数学－４２－

５ 実践の概要＜視点１＞（１）効果的な少人数指導
本校では、１学年が毎時間、少人数指導に取り組む形態をとっている。毎時間といっても、単元の導入などは、ＴＴの形式をとったり、場面に応じての少人数指導である。コースは「じっくりコース」「ぐんぐんコース」の２コースで、本人の希望と教師のアドバイスを入れ、習熟度別の少人数指導に取り組んでいる。他の２，３学年は、教師のもち時間数などの関係で、少人数指導の授業が行えず、一斉授業を展開している。２、３年生の中には、「少人数の授業がよかった。
」「人数が少な
いほうがいいな。
」「２，３年生でも少人数の授業をやってほしい。
」という声がよく聞こえてくる。
このことから、簡単なアンケート（３学年での実施）を実施してみると以下のような結果となった。
アンケート結果（１学級で実施）

１ 数学の授業は、楽しいですか
はい

約４６％

いいえ

約５４％

２ 数学の授業でどんな形の授業が好きですか。
（ア）

一斉授業（クラス全員で行う形）

３５％

（イ）

ＴＴ（先生２人で行う一斉授業）

１７％

（ウ）

少人数の授業（１年生で行っていた授業）

４８％

３ ２で（ウ）と答えた人に質問します。それはどうしてですか？
回答例○ 人数が少ないほうが集中できるから○ 先生に聞きやすい（質問しやすい）から○ わからないときに教えてもらえるからなど
そこで、担当している３学年で、少人数指導を導入し、よりきめ細かに生徒一人一人に対応しようと試みた。まずはじめに、平方根の単元で、加法・減法の学習内容で習熟度別少人数指導（教師の意図的な分割）に取り組んだ。
発展コース

生徒の希望
一斉授業

教師のアドバイス

基礎・基本として定着させたい内容

・１時間限定一斉授業

基礎・基本コース
実践１（平方根 加法・減法）① 単元のどこにポイントを置くか・特に基礎、基本として定着させたい
学習内容に視点を当てる。
② 習熟度別に編成
・生徒の希望と教師の考えを合わせる。
③ 担当教師の時間割の変更
・該当する時間を空けるために、授業変更を行う。
④ 打ち合わせ・生徒の実態を伝達、座席表の作成。
・略案を用いて指導内容の確認。
（図１）
⑤ 実施
実践２（図形と相似）は、７の資料を参照

数学－４３－（図１）活用した略案

（２）補充的な学習の時間（がんばルーム）
定期テスト前などは、生徒もより意欲的に学習に取り組む。このチャンスを利用して、基礎・基本となる学習内容の定着を図ろうと考え取り組んだのが「がんばルーム」である。生徒の希望を調査し、１時間の設定で行う。テスト対策用の学習プリントを活用し、テスト範囲内での基礎・基本として定着させたい事柄に焦点を当て、授業展開する。
＜視点２＞（１）自己評価カード（数学科まなびカード）
単元毎に、自己評価カード（ 図２ ）を用いて個々への対応を試みた。単なる「わかった」「難しかった」などというものではなく、授業を受けての感想や学んだ事柄などを記入するような形にした。そのコメントに対して教師からのアドバイスや評価を添えるようにした。また、裏面では、観点ごとの学習内容を整理した表を載せた。また、授業中に評価問題として取り組んだ問題で、正解時にはシールを貼るようにし、意欲を喚起することや事後の振り返りの材料としても活用できるように工夫した。
（ 図２ ）自己評価カード［ 式の計算と因数分解 ］
わかったこと・気づいたことを記入する。
毎時間、教師からのアドバイスや支援のコメントを記入。

観点別に学習のポイントを整理し、時間ごとに評価問題に取り組み、できたときにシールを貼る。

単元の終わりに、学習を振り返って、学んだ大切な概念、また、自分の課
題（定着していなかったこと）などを記入する。

単元末テストの結果を記入
学期末に保護者へも確認してもらう

数学－４４－

自己評価カード［ 平方根 ］（ 図３ ）（２）振り返りのレポート
定期テストだけでなく、単元末テストなどの後に実施した。自分自身の答案を振り返り、
ミスした問題や解けなかった問題をもう一度やり直し、どうして不正解となったかという内容でレポート（ 図３ ）の作成に取り組んだ。つまり、必ず振り返る事で、同じミスをしないことや解けなかった問題を、次回は解けるようにと考え方を養えるようになると考えた。
ミスした理由や、気づかなかった解き方などを振り返り、定着を図る。

６ 成果と課題〈視点１〉○基礎・基本の定着をねらいとした習熟度の少人数学習では、より細かな部分まで指導でき、以降の学習へも生かすことができた。
（｢平方根｣・よくわかった９２％）○問題解決学習の場面で取り入れた習熟度の少人数学習では、コースに合わせた内容で多様な考え方に触れることや図形の基本となる補助線の記入など、丁寧に扱うことができた。
（｢図形と相似｣

・よくわかった ８５％）

●教師の時間割の移動の工夫が必要である。
〈視点２〉○毎時間の生徒の取組や視点が読み取れ、生徒一人一人へのアドバイスが生かされた。
(・自己評価カードのアドバスが役立った ８７％)
○評価問題への取組をシールで評価することで、個々の学習状況が見やすくなった。学習での自己理解にもつながり、つまずいているところ（課題）が掴みやすい。
●つまずいている事柄が、表現できない生徒もいる。
数学－４５－

７ 資料（実践例指導案）
第３学年 数学科学習指導案（１）単元名図形と相似（２）単元について① 教材観
小学校では、５年生で直線の平行や垂直、平行四辺形など図形の簡単な性質について学習してる。
６年生では立方体、直方体などの立体図形について学習し、以前まで学習していた縮図や拡大図については、中学校で学習するようになった。
中学校１年生では、平面図形についての理解を深め、直観的な見方や考え方を養うとともに論理的な考察の基礎となる概念を学び、２年生では、三角形の合同条件を用いて三角形や平行四辺形等の基本的な性質を論理的に確かめることを学習してきている。３年生では、三角形の相似条件を用
いて図形の性質を論理的に確かめ、数学的な推論の意義と方法についての理解を深めていく。
また、平行線と線分の比についての性質を観察や操作を通して見い出し、それが平行線の性質や三角形の相似条件を用いて演繹的な推論で導かれる事を理解できるようにしている。また、中点連結定理を扱う場合については、特別な場合の一つとして扱い、その性質を利用して新たな図形の性質を考えることができるようにしていく。
② 指導観
一斉授業の形態で、この単元の学習を進めてきた。相似な図形の特徴を線分の比に着目し、定着させ、次に、三角形の相似条件をもとに証明問題を扱い、論理的に考察する学習に取り組んだ。補助線を活用することや直線を平行移動させる考え方を使い、平行線と線分の比の学習へと学習を深めた。しかし、学習内容の定着や理解の差がみられた。そこで、本時では 2 コースの習熟度別少人
数学習の形態でより個に対応じた授業を展開しようと考えた。
[基礎・基本コース]では、はじめに、復習問題を取り入れ、既習事項の補足や確認として取り組む。本時の課題では、線分の位置関係と長さの関係に分けて扱っていく。特に長さの関係では、既習事項となる補助線の活用を定着させるため、三角形に分ける必要性に気づかせていきたい。
[発展コース]では、解法を比較検討する場面を設定し、多様な考え方を中心に扱っていく。
③ 研究とのかかわり
習熟度に応じた少人数指導を展開する。この単元での基礎的・基本的な内容の一つの概念として扱っていく。発展コースでは、補助線だけでなく、多様な見方や考え方をさせるため、自力解決の時間を確保し、いくつかの考え方があることを促したい。基礎・基本コースでは、既習事項である
中点連結定理を活用するために、補助線を入れることで三角形が見えてくることから、補助線の活用の重要性に気づかせ、基礎的・基本的な考え方として定着を図りたい。また、この授業のねらいを「既習事項を活用するために工夫する。
」として、生徒に意識させていきたい。
自己評価カードなども活用
一斉授業

自己評価

発展コース

ねらいを明確！

教師のアドバイス
基礎・基本コース

数学－４６－

多様な考え方
一斉授業
基本的な考え方（４）単元の目標○ 図形の性質を三角形の相似条件を基にして確かめ、論理的に考察し表現する能力を伸ばす。
① 図形の相似の意味を理解する。
② 三角形の相似条件を理解する。
③ 三角形の相似条件が活用できる。
④ 平行線に関する線分の比の性質を見い出す。
⑤ 平行線の性質や三角形の相似条件を基にして、平行線に関する線分の比の性質を確かめることができる。
⑥ 平行線に関する線分の比の性質が活用できる。
⑦ 相似な図形の性質を活用して、直接測定することが困難な２地点間の距離や高さなどを求めることができる。
（５）単元の評価規準
関心・意欲・態度

数学的な考え方

表現・処理

知識・理解

Ａ

・三角形の合同条件と比較さ・平行線と線分の比につ・相似の考えを用いて問・具体的な事象の中には、

十せながら三角形の相似条件をいての性質を見いだし考

題を的確に解決したり、相似の考えが使われている分

積極的に考察しようとする。

察することができる。

その手順を説明したりす場面が多く見られることを

満・三角形の相似条件や既習の・相似の考えを用いて、ることができる

知り、そのはたらきを理解

足

図形の性質を用いて図形の性

具体的な事象を広い視野

・拡大、縮小、相似など

している。

で

質を考察しようとする。

から発展的に考察するこの言葉を適切に用いて、・平行線と線分の比についき ・相似の考えのよさに気づき、 とができる。

図形の関係を的確に説明ての性質が既習の性質を根

る

できる。

拠として、推論で導かれる事象の考察に積極的に用いようとする。

ことを理解している。

Ｂ
概
ね
満
足
で
き
る

・相似な図形の対応する辺の・二つの三角形が相似で・三角形の相似、平行線・図形の相似の意味を理解

比や角の大きさの関係についあることを相似条件を用と線分の比について関係している。

て調べようとする。

いて考察し、証明できる。 から、線分の長さや比を・三角形の相似条件につい・三角形の相似条件を用いて・平行線と線分の比につ求めることができる。

て理解している。

図形の性質を考察しようとすいての性質を三角形の相・直接測定できない距離

・平行線と線分の比についる。

似条件を用いて考察するや高さを、縮図をかいてての性質を理解している。

ことができる。

求めることができる

Ｂ
に
達
し
て
い
な
い
子
へ
の
手
だ
て

・身の回りにある拡大図や縮・相似な図形の辺の長さ・相似な図形の辺の長さ・相似な図形の関係は、辺図に関心を持たせ、相似な図の関係から、相似な図形を求めることができるよの長さの関係が大切である

形の性質を調べさせる。

の性質を考察する。

うにする。

ことを理解させる。

・具体的な操作活動を取り入・相似な図形の、対応す・平行線の間にある線分・三角形の相似条件を全てれ、興味関心を持たせる。

る辺や角を見ることがでの対応する辺を見抜き、かくことができるようす

きるようにする。

比を使い長さを求めるこる。

・補助線を活用したり、とができるようにする。

・平行線の間にある線分を線を移動させる概念を使・ワークシート等を活用

理解し、対応する辺の比をい、平行線と線分の比のし、三角形の相似の証明

組むことができるようにす関係を考察する。

をかくことができるよう

る。

にする。

数学－４７－

（６）指導と評価の計画
時 形 ◇目標

・学習活動

態 ☆Ｂに迫る手立て【 】は評価（関・考・表・知）★Ａに迫る手立て

１ 一 ◇相似を、身近な物の拡大、縮小の関係から理解し、拡大図・縮図をかくことができる。
斉［課題］次のような方眼にかかれた

授△ＡＢＣを、同じ目になって業いる右の方眼に２倍の拡大図をかきなさい。

ＡＢ

Ｃ・長さに着目し、２倍の長さのマス目を取る。
☆ＡＢなどの斜線の長さを、マス目で読み取るようにさせる・拡大、縮小の関係を相似と定義する。
・拡大図、縮図の提示【表】方眼のマス目の数から、長さに着目し、拡大図をかくことができる。
２ 一 ◇相似な多角形の性質がわかる。
・ 斉 ◇相似比を使い、相似な三角形の大きさの関係を表すことができる。
３ 授
業

［課題］
(１) 右の△ＡＢＣと△ＤＥＦがＤ相似であるとき、辺や角の大きさを調べ、相似な図形の特Ａ
Ｂ

徴をまとめよう。

ＣＥＦ(２) ａ：ｂ＝ｃ：ｄ ならば ａｄ＝ｂｃ であことを証明しよう
・コンパス、定規、分度器と活用し、角の大きさや辺の長さを調べる。
☆前時の方眼を用いた図を使い、マス目や図を重ねることで、関係を見つけさせる。
【知】相似な図形の性質を理解する。
・相似比（対応する辺の比）を使い、一方の辺の長さから、対応する辺の長さを求める。
【考】ａ：ｂ＝ｃ：ｄ を比の値をもとに ａｄ＝ｂｃ となることを導くことができる★相似比が１：１の相似な図形の関係が合同であることに気づかせていく。
４ 一 ◇三角形の相似条件がわかる。
斉 ◇三角形の相似条件を使い、三角形の相似の関係を判断できる。
授 ・条件を減らしながら、相似な三角形を作図していく。
業 【知】三角形の相似条件を理解する。
☆三角形の合同条件と比較させる。
【表】三角形の相似条件を使い、三角形の相似の関係を判断できる。

数学－４８－

５ 一 ◇三角形の相似条件を使って証明することができる。
・ 斉

［課題］

６ 授

２つの線分ＡＢとＣＤが点Ｏで・ 業交わっていて、ＡＯ＝２ＢＯ、

７

ＤＯ＝２ＣＯであるとき、

Ａ
ＣＯ△ＡＯＤ∽△ＣＯＢを証明しな
さい。

Ｄ

Ｂ

・相似条件を判断し、筋道を立て証明する。
・対応する辺の比が等しいことを、比と比の値の両方の書き方を使える。
【表】筋道を立て、証明することができる。
☆三角形の相似条件を使って判断することから、その条件に当てはまる場所（辺や角）を記入させていく。
★問題の条件を変えることから、ＡＤ//ＣＢも気付かせて、証明できることを考察させる。
［課題］
右の図は、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形で

Ａ

ＢからＡＣに、ＢＣ＝ＢＤとなるようにＤ点をとる。

Ｄ

このとき、△ＡＢＣ∽△ＢＣＤであることを証明しなさい。

ＢＣ・角についての証明をする【表】理由（根拠）をつけ、角の大きさが等しいことがいえる。
☆重なっている図形は、分けて考察していくようにさせる。
☆二等辺三角形の性質である、底角が等しいことを活用させる。
☆証明を、穴埋めの形式に設定し、考えやすいようにする。
［課題］右の△ＡＢＣは直角三角形で、頂点Ａ

Ａ

からＢＣへ垂線をおろし、その交点をＤとする。このとき、相似な三角形を見つけ、証明しなさい。

Ｂ

Ｄ

Ｃ

・３つの三角形が全て相似であることに気付き、証明する。
☆ △ＡＢＣ∽△ＤＢＡのように、共通する角が見えるものから証明に取り組ませていく。
☆ 三角形の内角の和が１８０°であることなど、既習事項の活用を促す。
★△ＤＡＣ∽△ＤＢＡの証明を、三段論法の考え方で角の大きさが等しいことを考えさせる【考】∠ＤＡＣ＝９０°―∠ＢＡＤ∠ＤＢＡ＝９０°―∠ＢＡＤ↓∠ＤＡＣ＝∠ＤＢＡ

を導くことができる。

８ 一 ◇直接測ることができない距離などを、縮図を活用し求めることができる
斉 ・実測できる箇所を押さえ、縮図をかく。
授 ☆身近な建物の高さを求める問題を扱い、実際に計量を行う。
業 ★２点間の距離に関する問題を扱い、角度に着目し、縮図をかく。
【表】条件に適した縮図をかき、実測できない値を求めることができる。

数学－４９－

９ 一 ◇相似の考えにもとに、平行線と線分の比の関係を理解する。
斉

［課題］

Ａ

授

△ＡＢＣで、ＢＣ//ＰＱで業あるとき、ＡＱとＰＱの長さ4㎝
12 ㎝ Ｐ

Ｑ 9㎝

を求めなさい。
Ｂ

10．5 ㎝Ｃ・△ＡＢＣと△ＡＰＱの相似の関係から、対応する辺の比で値を求める。
１２：４＝９：ＡＱ

１２：４＝10，5：ＰＱ

(３：１)

(３：１)

☆重なっている図を分けることで、△ＡＢＣと△ＡＰＱの相似を判断させる。
☆相似と判断できた根拠は、平行をもとに判断できたことを押さえる。
【表】平行線を根拠として、線分の比を組み、線分の長さを求めることができる。
【知】三角形の相似条件から、相似を判断できる。
10 一 ◇平行線の間で、線分の比の関係が成り立つことを理解する。
斉
授
業

[課題]
右の図は、Ｐ//Ｑ//Ｒであるとき

Ｐｘの長さを求めなさい。

ｘ㎝

４㎝

Ｑ
６㎝

８㎝

Ｒ
・直線を移動し、相似な三角形の関係を使いｘの値を求める
ｘ：６＝４：８
Ｐ

（１：２）
ｘ㎝

４㎝

☆補助線を記入し、知っている図形を作りＱ考察させていく。
６㎝

８㎝

Ｒ★他の考え方（補助線の記入）を促す。
★上記と異なる線分の比の組み方を考察
ｘ：６＝４：８比の値等の活用
ｘ：４＝６：８【表】平行線の間で、線分の比を組み、線分の値を求めることができる。
11 一 ◇条件を導き出し、課題を解決する
斉

［課題］

授

右の図は、ＡＢ//ＥＦ//ＣＤで業

ＡＢ＝３㎝、ＣＤ＝5 ㎝である。
このとき、ＥＦの長さを求めな

Ｄ
Ａ

Ｅ

3㎝

5㎝

さい。
Ｂ

Ｆ

Ｃ

・△ＡＢＥ∽△ＣＤＥより、ＡＥ：ＥＣ＝３：５ ・△ＡＢＣ∽△ＥＦＣより、ＡＣ：ＥＣ＝ＡＢ：ＥＦ（＝８：５）☆図形を見いださせる。ＡＣ：ＥＣ＝（ＡＥ＋ＥＣ）：ＥＣに気づかせる。
★ＡＢ、ＣＤを文字で置き換え、公式を考察させる【考】相似な図形を見いだし、長さを比を活用し値として表すことができる。
数学－５０－

12 一 ◇線分の比の関係より、平行線を判断できる。
斉

［課題］

Ａ

授

△ＡＢＣで、ＢＣ//ＰＱで業あるとき、ＰＱの長さを求め

4㎝

3㎝

12 ㎝ Ｐ

Ｑ

9㎝

なさい。
Ｂ

10．5 ㎝

Ｃ・平行の条件がないことに気付く。
・辺の比（線分の比）の関係と∠Ａの条件から、△ＡＢＣと△ＡＰＱの相似を見抜く。
・△ＡＢＣ∽△ＡＰＱより、ＰＱの値を求め、また、ＰＱ//ＢＣに気付く。
☆｢同位角が等しい｣ならば｢平行である｣の既習事項を促す。
☆重なっている図を分けることで、△ＡＢＣと△ＡＰＱの相似を判断させる。
【考】線分の比の関係から、平行線を判断できる。
13 一 ◇拡大図、縮図の作図の仕方
斉

［課題］

授

(１)下の△ＡＢＣを点Ｏを中心として業

２倍の大きさに拡大した図を作図し(２)下の線分は、５㎝の線分である。
この線分を作図で３等分しなさい。

なさい。
Ａ
Ｏ・

Ｃ

Ｂ

５㎝

☆(１)では、懐中電気のイメージで頂点が移動する線を考えさせる。
☆(２)では、既習事項の平行線と線分の比の図をイメージさせる。
★(２)では、他の作図方法を考えさせる。

①【表】垂線、垂直二等分線の作図などを活用することができる。

（考え方１）①②【知】相似や平行線と線分の比の関係が使えることを理解する。

②

・垂線、垂直二等分線の作図などを活用する
14 一 ◇中点連結定理を理解し、活用する。
斉［課題］右の図は、△ＡＢＣで、点Ｐ、ＱＡ

授

はそれぞれ、ＡＢ、ＡＣの中点である。

業

このとき、ＰＱとＢＣの関係を調べて

Ｐ

Ｑ

みよう。
Ｂ
・線分の比と平行線の関係より、ＰＱ//ＢＣ ２ＰＱ＝ＢＣを導き出す。
【知】中点連結定理を理解する。
☆中点から、１：１（１：２）を活用させる。
[課題]四角形の各辺の中点を結ぶと平行四辺形になることの証明【表】中点連結定理を活用することができる。
15 少人数授業
16 一斉

練習問題

17

単元末テスト本

時

数学－５１－

Ｃ

（７）本時の学習（１５／１７）① 目標・定理を進んで活用し、図形の性質を追及しようとする。
・定理を用いて論理的に考察し、統合的に事象を見ることができる。
・中点連結定理を用いて、線分の長さの求め方を説明できる。
・中点連結定理について理解している。
② 展開 [基礎・基本コース]
学 習 活 動観点別学習状況の評価

指導上の留意点

具体的な手立て１ 前時の復習［問題］右の図形は、△ＡＢＣでＡ

点Ｄ、Ｅ、Ｆは、それぞれ
ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの中点で

Ｆ 7㎝

８㎝ Ｄ

・前時のノートを参ある。このとき、ＤＥ、考に中点連結定理を

ＥＦ、ＦＤの長さを求めな

振り返らせる

さい。

Ｂ

Ｅ

Ｃ

10 ㎝
○復習問題に取り組む
中点連結定理を活用する

1
・ＤＥ＝ ＡＣ より
2
1
・ＥＦ＝ ＡＢ より
2
1・ＦＤ＝ ＢＣ より
2

・ＤＦ以外を消して [関]意欲的に問題
既習事項につなげるに取り組むことができる

ＤＥ＝３.５ ㎝
・中点連結定理の基
ＥＦ＝４ ㎝[知]中点連結定理 本となる図形を提示を活用することが する

ＦＤ＝５ ㎝できる

２ 本時の課題提示［課題］
右の図は、ＡＤ//ＢＣの台形である。

Ａ

Ｄ

ＡＢ、ＣＤの中点をＭ、Ｎとして、線
分ＭＮとＡＤ、ＢＣとの関係を調べて

Ｍ

Ｎ

よう。
Ｂ

Ｃ

３ 課題を解決する・台形を意識させる○見通しを立てる・位置の関係と長さ [関]意欲的に問題 ・角度を測ることか・2 つの線分に対してＭＮは平 の関係があることを に取り組むことが ら辺の位置関係を予
行である。

気づかせる

○自力解決

数学－５２－できる

想させる

ＭはＡＢの中点より

ＮはＤＣの中点より

ＡＭ：ＭＢ＝１：１

ＤＮ：ＮＣ＝１：１

・ＡＭ：ＭＢとＤＮ：ＮＣの関係を促す

よって ＡＭ：ＭＢ＝ＤＮ：ＮＣ＝１：１
これより、線分の比と平行線の関係から[知]線分の比と平ＡＤ//ＢＣ//ＭＮ

行線の関係を理解

○発表する
（発問）

している
長さの関係を調べてみよう

４ 発問を自力解決する
・補助線を使い、図形を分ける（ねらい）補助線を使い、中点連結定理を活用することができる（対角線を使う）
A

D

・対角線ＢＤとＭＮとの交点をＰとする

・

ＡＤ//ＢＣ//ＭＮより、ＰはＢＤの中点M

ＰN・△ＡＢＤと△ＢＣＤに分割し、それぞれの三角形で中点連結定理を活用する

B

C

よう促す

1
・ＭＰ＝ ＡＤ
2

1
ＰＮ＝ ＢＣ
2
1
これより ＭＮ＝ＭＰ＋ＰＮ＝ （ＡＤ＋ＢＣ）
2（平行線を使う）
Ａ

Ｄ

・補助線を活用する

・ＡＢ//ＤＱとなる線とＭＮの交点をＰとする・三角形であれば中点連結定理が活用できることに気づかせる

ＡＤ//ＢＣ//ＭＮより、ＰはＤＱの中点
Ｍ

Ｐ

Ｎ ・四角形ＡＢＱＤは平行四辺形なので
ＭＰ＝ＡＤ＝ＢＱ

Ｂ

Ｑ

Ｃ ・△ＱＣＤで中点連結定理を活用する

1
・ＰＮ＝ ＱＣ
2
これより
４発表する

ＭＮ＝ＭＰ＋ＰＮ＝・補助線の活用から他の図形をつくることを促す

1（ＡＤ＋ＢＣ）
2

・仲間の発表から他 [表]補助線を活用 ・１つの考え方だけの考え方を参考にす し、既習事項につな でなく他の考え方でるようにさせるげ、考察できるも考察するようにさ[考]他の考え方を せる
５ まとめ

・三角形で中点連結

理解できる定理を活用することを押さえる
６ 練習問題に取り組む
７ 自己評価カードの記入

・補助線の活用を押 [表]補助線を活用
し三角形に分け中さえる・理解したことを記 点連結定理を活用 ・本時の学習を振り
できる
返らせる
入させる

数学－５３－

[発展コース]
学 習 活 動観点別学習状況の評価

指導上の留意点

具体的な手立て

１ 課題の提示［課題］
右の図は、ＡＤ//ＢＣの台形である。

Ａ

Ｄ

ＡＢ、ＣＤの中点をＭ、Ｎとして、線
分ＭＮとＡＤ、ＢＣとの関係を調べて

Ｍ

Ｎ

よう。
Ｂ

Ｃ

・予想を検証するよ [関]意欲的に取り２ 課題を解決する

うな流れをつくる

組むことができる① 対角線ＢＤの活用（ＡＣも同様に考察）

Ａ

Ｄ

・対角線ＢＤとＭＮとの交点をＰとする・補助線の入れ方をＡＭ：ＭＢ＝ＤＮ：ＮＣ＝１：１より工夫させる

ＡＤ//ＢＣ//ＭＮで、ＰはＢＤの中点Ｍ

ＰＮ・△ＡＢＤと△ＢＣＤに分割し中点連結

交点Ｐが対角線の中定理を活用する
ＢＣ ＭＮ＝ＭＰ＋ＰＮ＝・対角線とＭＮとの

1（ＡＤ＋ＢＣ）
2

点であることを検証させる

・Ｐが中点であるこ [知]線分の比と平行とをおさえる線の関係がわかる② ＤＣを平行移動（ＡＢも同様に考察）①と同様にし、ＡＤ//ＢＣ//ＭＮ
・ＤＣを平行移動、平行四辺形ＡＣ’ＣＤを
Ａ
Ｍ

Ｄ
Ｎ’

Ｎ

見つけ出す。

線の平行移動として

ＡＤ＝Ｎ’Ｎ＝Ｃ’Ｃも考えさせる・△ＡＢＣ’で中点連結定理を活用

平行移動
Ｂ

Ｃ’

・補助線の記入を、

ＭＮ＝ＭＮ’＋ＮＮ’
Ｃ＝

1（ＡＤ＋ＢＣ）
2･AＣ’の中点がＮ’で [考]線の移動で平行③ 平行四辺形をつくる

・ＡＤやＢＣの長さを文字で表しＢＣ’の長さを文字で表すように促す

ある事を考察させる 四辺形を見出せる①と同様にし、ＡＤ//ＢＣ//ＭＮ

Ａ

Ｄ

Ｄ’

・ＡＤ、ＭＮを延長し、ＡＢに平行な線分ＣＤ’を作図する

Ｍ
Ｂ

Ｎ

Ｎ’
Ｃ

ＡＤ’＝ＭＮ’＝ＢＣ・平行移動させる場

・△ＣＤＤ’で中点連結定理を活用

所を変化させ、既習

ＭＮ＝ＭＮ’－ＮＮ’

した図形を見つけて＝

1（ＡＤ＋ＢＣ）
2

数学－５４－

みよう

④ 図形をつなげ平行四辺形をつくる
Ａ

Ｄ

（Ｂ）
①と同様にし、ＡＤ//ＢＣ//ＭＮ

Ｍ
Ｂ

Ｎ
Ｃ

（Ｍ） ・台形の面積を考察するとき・面積を求めるときと同様に考え平行四辺形をの考え方を活用する

つくる

よう促す

（Ａ）

Ａ(Ｂ)＝Ｂ(Ａ)＝Ｍ(Ｍ)
Ｍ(Ｍ)＝２ＭＮ
これより、ＭＮ＝

1（ＡＤ＋ＢＣ）
2(ねらい) 多様な考え方で、問題解決に迫ろう
３ 比較検討・他の考え方に触れ [関]進んで、自分のそのよさを感じるよ 考え方と他の考え ・それぞれの考え方
うにさせる方を比較しようと のよさを考えるよう
している

にさせる

[表]既習事項を活用し、辺の関係を調べることができる
４ 発表

・この解法のよさを伝えるよう、ポイン [考]他の考え方のトを絞らせる

よさを理解できる・
５ まとめ

・既習事項を活用さ

・参考になった考えせるために補助線を方をノートに記録す活用させる事を押さるようにさせるえる
６ 練習問題[考]多様な考え方
・

７ 自己評価カードの記入で問題を解決する・理解したことを記 ことができる

・本時の学習で得た入させることを振り返らせる

数学－５５－

２年基礎コース
数学[平行と合同]個に応じた手だてシート●●●

で課題解決に取り組む（関）○見通しを持って課題解決にあたり、特定の数値から一般的
な数量関係を導ける（考）教師

ワークシート・ＯＨＰシート

生徒

作図道具、教科書の定理集

１

業

の

流

●●●

○既習事項と関連して問題解決することに興味を持ち、進ん使用する教材・教具

授今日の授業の目標

れ既習事項の確認◎三角形の内角の和や平行線の性質を利用し、図形の角度を求めることができる（表）◎問題解決に利用できる角の関係を理解している（知）個に応じた具体的な手だて
１

教科書の背表紙の定理集で・平行線と錯角、同位角

確認させる・三角形の内角の和（穴埋め形式）

評価の規準【知】既習の定理を覚えている（ワークシート）

・三角形の外角・多角形の内角の和２２

補助線を引いて角を求め問題解決に役立ちそうな補助
線を試行錯誤で記入させる

る（平行線・三角形の外角・（ワークシート）

垂線）

・生徒が引いた補助線を取りあげ、【表】既習事項と関連し、角度を求めることができる（ワークシート）

役立ちそうか全体で協議する
・ 既習事項のどれと関連するかを考えさせる
３

解答の練り上げ①（垂線の位置により、動的な

３

見方ができる）

図を並べ、変わるものと変わらないものを指摘させる（角度の計算の仕方を確認する）【考】図を関連づけて見ることができる（発表・
表情観察）（ＯＨＰシートの活用）
４
４

解答の練り上げ②図を並べ、変わるものと変わらないものを指摘させる（誤答分析と文字を使った解答への深化）
５５

問題練習

平行線や三角形をもとに考えると解決するとヒントを出す① 位置を変える【表】既習事項を使って、問題を解決できる（ワークシート）② 文字に変える③ 難易度を変える

数学- 78 -２年標準コース
数学[平行と合同]個に応じた手だてシート●●●

今日の授業の目標●●●○既習事項と関連して問題解決することに興味を持ち、進んで課題解決に取り組む（関）◎見通しを持って課題解決にあたり、特定の数値から一般的
な数量関係を導ける（考）◎三角形の内角の和や平行線の性質を利用し、図形の角度を使用する教材・教具
教師

ワークシート・ＯＨＰシート

生徒

作図道具、教科書の定理集

授

業

の

流

求めることができる（表）○問題解決に利用できる角の関係を理解している（知）個に応じた具体的な手だて

れ

１①補助線を引いて角を求める（平行線・三角形の外角・垂線）

１

問題解決に役立ちそうな補助
線を試行錯誤で記入させる（ワークシート）

評価の規準【表】既習事項と関連し、角度を求めることができる（ワークシート）

・生徒が引いた補助線を取りあげ、
役立ちそうか全体で協議する
・ 既習事項のどれと関連するかを
２

解答の練り上げ①（誤答分析と文字を使った解答への深化）

考えさせる
２

図を並べ、変わるものと変わらないものを指摘させる（角度の計算の仕方を確認する）【考】図を動的に見る見方ができる（発表・表情
観察）（ＯＨＰシートの活用）
３②外角を利用し蝶の問題を解く

４③くさびの問題を解く

３【考】図を関連づけて見る生徒には、外角がどこで利用でることができる（発表・きるか色分けして指摘させる

表情観察）

４

三角形の内角の和を使ってい問題解決に役立ちそうな補助
線を試行錯誤で記入させる【関】図を関連づけてみ（ワークシート）ることで角度を簡単に・生徒が引いた補助線を取りあげ、求められることに関心

役立ちそうか全体で協議するを持つ（表情観察・次の・ 既習事項のどれと関連するかを考えさせる

数学- 79 -問題での適用）２年発展コース
数学[平行と合同]個に応じた手だてシート●●●

今日の授業の目標●●●○既習事項と関連して問題解決することに興味を持ち、進んで課題解決に取り組む（関）◎見通しを持って課題解決にあたり、特定の数値から一般的
な数量関係を導ける（考）◎三角形の内角の和や平行線の性質を利用し、図形の角度を使用する教材・教具

求めることができる（表）教師

ワークシート・ＯＨＰシート

生徒

作図道具、教科書の定理集

授

業

の

流

れ

１①補助線を引いて角を求め○問題解決に利用できる角の関係を理解している（知）個に応じた具体的な手だて
１

る（平行線・三角形の外角・問題解決に役立ちそうな補助

垂線）

線を試行錯誤で記入させる（ワークシート）

評価の規準【表】既習事項と関連し、角度を求めることができる（ワークシート）

・生徒が引いた補助線を取りあげ、
役立ちそうか全体で協議する
・ 既習事項のどれと関連するかを考えさせる
２

解答の練り上げ①２

角度がすぐに決まるかどうかは検討させる（ＯＨＰシートの活用）【考】図を動的に見る見方ができる（発表・表情観察）

３②外角を利用し蝶の問題を解く

３三角形の内角の和を使っている生徒には、外角がどこで利用できるか色分けして指摘させる

４③くさびの問題を解く
４

問題解決に役立ちそうな補助
線を試行錯誤で記入させる（ワークシート）
・生徒が引いた補助線を取りあげ、
役立ちそうか全体で協議する
・ 既習事項のどれと関連するかを
５

解答の練り上げ（誤答分析と文字を使った解答への深化）

考えさせる
５【考】図を関連づけて見ることができる（発表・
表情観察）【関】図を関連づけてみることで角度を簡単に求められることに関心を持つ（表情観察・次の問題での適用）図の中で変わるものと変わらないものを指摘させる・一定の関係を表現させる【考】図を動的に見る見方や関数的な見方ができる（発表・表情観察）

数学- 80 -実践事例４(第２学年)＜学校の概要＞
本校は全校生徒 430 名、４クラス並行で全時間を対象に２クラスを基礎・標準・発展の習熟の程度に応じ３クラスに編成した少人数指導を実施している。習熟の程度に応じたクラス編成
は平成 13 年度より実施、指導教員は各学年１名と教務主任の４名が担当している。
１

研究テーマ『豊かに生きる生徒の育成を目指した確かな学びと豊かな学びの創造』～知・徳・体の基礎・基本をはぐくみ、成長の喜びを味わわせる指導の在り方～

２

研究テーマ設定の理由
授業の中で、基礎・基本の定着を図る「教育に関する３つの達成目標」に関する取り組みが各学校で実践研究されている。本校でも、知・徳・体の部会を通し、部会ごとの研究が進んでいる。教科の中で、生徒の学習意欲を喚起し、基礎・基本の定着を図りさらに次のステップの学習意欲を継続させるには、生徒の「個に応じる」ことが重要と考える。本校は個に応じる方法の１つとして平成１３年度より習熟の程度に応じた少人数学習による支援活動を充実させる
ことで、生徒の基礎・基本の定着を図り、生徒の興味・関心を高めることができるであろうとの仮説のもとに研究を進めている。
＜生徒の意見＞昨年度３月に、２年の確率の単元のみを通常の２クラスで実施し、２学年の生徒の意見を集約してみたところ、多くの生徒が習熟の程度に応じた少人数学習を支持していた。
おおよその意見は、習熟の程度に応じた指導を支持する意見で・「学習スピードが早くて理解できない」
・「待ち時間が多くて集中しない」
・「先生に教えて貰いたくてもすぐ来て貰えない」
・「授業が騒がしくなる」といったものであった。
逆に少数意見としては・「いろいろな意見が聞けておもしろい」
・「教えてくれる友人が近くにいてよかった」といったものもあった。

３ 研究の視点（研究仮説）（１）基礎・基本の定着を図るためコースごとの評価規準に応じて、発問の仕方や支援の工夫をすることで、学力の向上が図れるであろう。（知）（２）学習規律を定着させ、真剣に授業に打ち込めるように授業の工夫改善をすることで、学力の向上が図れるであろう。（徳）（３）自分の考えを深めることや、仲間の意見のよさに気付くなど､互いに成長していくような授業展開を工夫することで、学力の向上が図れるであろう。(体)４研究の経過
４月 研究計画の立案・選択教科のクラス編成
５月 前期シラバスの作成
６月 指導担当訪問における研究授業の指導案作成
７月 研究授業の実施
評価・評定における規準の見直し。授業評価を基にした授業改善の研修
９月 後期シラバスの作成
１０月 後期選択教科のクラス編成・関心度アンケートの実施。検証授業の実施
数学 - 58 -１１月 市教育研究会の研究授業の実施。定期テストでの定着度調査
２月 来年度の研究計画の立案
５

実践の概要
特に研究の視点（１）に関して、関心度と評価問題との関連を考察し、授業展開の実際と比較し、授業改善を図った。

※関心度アンケートと評価問題との関連（１）問題の難易度に関する興味（数字は２クラス分の回答の割合を示す）①～③の内、どの問題を一番解きたいと思いますか（問題の難易度に関する興味）
①
②
③
30 °
15 °
60 °
60 °
ｘ
ｘ
ｘ
50 °
45 °
（％）
①
②
③
基礎 ３８ ４５ １７
標準 ２８ ３９ ３３
発展 １９ ２４ ５７コースにより、難易度の高い問題に興味が高まる傾向にある。問題の解いていく順番として易から難に並べていくことや、どの問題に重点を置くかの差を決めることも、生徒の意欲と定着率の向上にとって大切な要因となる。問題が解けたという成功感がより難易度の高い問題に挑戦する意欲を高めていくことも、基礎コースの②が高まる要因といえよう。
（２）評価される問題への関心
上の①～③の内、テストで 1 問選択して解くとしたらどの問題を選びますか①②③
基礎 ６７ ２５８
標準 ８３ １７０
発展 ５２ ２９ １９
テストでは、自分が確実に解ける自信のある問題を選択する傾向にある。発展コースでも基本問題を半数が選択する。②の問題を選択する生徒が２割程度なのは、問題練習の量が足りないので、自信が持てないのか？少々、骨のある問題に取り組む時間設定を工夫したい。
（３）授業のやり方への関心
授業で②の問題を取り上げる場合、どのやり方が一番よいですか（授業のやり方）① 図にいろいろな補助線を自由に書き足し、∠ｘを時間をかけて30 °求めるやり方ｘ②補助線の引き方のいくつかを教えてもらい、角度を変えて同じ50 °ような問題を数多く解くやり方③∠ｘの求め方のいくつかを確認した後、③のような複雑な問題に挑戦するやり方①②③
基礎 ５８ １３ ２９
標準
６ ５６ ３８
発展 １９ １９ ６２
コース毎に授業のやり方の関心が異なっている。普段行っている授業のタイプを支持した
数学 - 59 -回答になっている。基礎コースでは、自力解決の時間をたっぷりとり確実に定着を目指す授業を希望している。標準コースでは、自力解決後に定着のための基礎的問題を練習する授業を希望している。発展コースでは、別解研究後に応用的問題を練習する授業を希望している。
(４）問題解決への興味
授業で②の問題を解決する時、次のどの場面に一番興味がありますか（解決の興味）①自分で引いた補助線で解決できるか考えているとき②答えが求まり、その他のいろいろな補助線で解決できないかを考えているとき③ｘ＝８０°が求められたとき①②③
基礎 ２５ １７ ５８
標準 ３３ ２２ ４５
発展 １４ ２４ ６２どのコースも、解答を出すことに一番の興味をもっている。発展コースではもっと自力解決を目指し、解答を工夫する割合が高くなると予想したが、標準コースの方が割合が高かった。発展コースで①より②が高くなるのは、答えが求められる経験が多かったためか？
ともかくも、自分なりの解答を出すことができることが授業の関心を高める要素になる。
どの程度の難易度で課題を出し、解答の見通しをたてられるよう展開し、問題練習で定着を目指すかのさじ加減を工夫するかがポイントになる。
（５）問題解決の方法への興味（２番目まで）②の問題について、どの補助線に興味がありますか（解決の仕方の興味）※(ｱ)～(ｴ)はすべて解決できますが、(ｴ)は説明が難しくなります(ｱ) 平行線(ｲ) 三角形(ｳ) 垂線(ｴ) 三角形
30 °
30 °
30 °
30 °
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
50 °

50 °

50 °

50 °

興味１番目
興味２番目
ア イ ウ エ ア イ ウ エ
基礎 75 13 8
4 0 52 35 13
標準 66 6 22 6 11 50 28 11
発展 37 5 29 29 10 24 47 19
解答としてオーソドックスなのはアとイで、授業でも重点的に扱った。回答でもアとイの比率が高い。ウの垂線も高率なのは、小学校での経験が生きているためと思う。
エが発展コースで高いのは、難易度の高い問題に挑戦したいという意識からだと思う。ところで、テストでこの補助線をひき解答できたものは非常に少なかった。単に線で結び三角形を作るといった発想から引いた生徒がほとんどだろう。
授業の展開では、生徒の自然な発想を大切に取り上げ組み立てて行くことが生徒の意欲を高めることになる。その中で、どこまでの難易度の問題で重点化を図るか、また、それに対し教師がどのような支援をするかを工夫する必要がある。
（６）支援に関する期待（延べ数）
授業で②の問題を解く時に、どんな支援が欲しいですか（支援に関する期待）①特に何もせず、個人で考える時間をじっくりとって欲しい②解決できた友達と自由に意見交換する時間を多くとって欲しい③解決に役立つ補助線のヒント（平行線、三角形の外角、垂線など）を出して欲しい
数学 - 60 -④自分の考え方で解決できそうか相談にのって欲しい
支援１番目
支援２番目
支援３番目
支援４番目
① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④ ① ② ③ ④
基礎 21 17 54 8 17 37 17 29 37 17 21 25 25 29 8 38
標準 33 6 55 6 6 33 22 39 17 44 17 22 44 17 6 33
発展 24 29 37 10 24 38 19 19 17 28 22 33 33 11 17 39
要約するとどのコースでも、③解決のヒントを出し自力解決の時間をたっぷりとり、②級
友と練り上げの時間をとり、④解答の正誤を個々に支援して欲しいという順になる。これは、普段の授業展開でやっていることである。
①の「特に何もせず」には、生徒の個人差があるように思われる。自力解決のためには、
いろいろ口出しせずに考えさせて欲しいという意見と、どのように課題に取り組んだらよい
かとにかくヒントがすぐ欲しいという意見と、これは生徒の経験と課題の難易度にもよろう
が、どのコースにおいても個人差が大きいと判断できる。
授業展開のねらいとして、技能を身につけさせるのか（練習の量が決め手）、考え方を深めさせるのか（課題の質が決め手）で支援の仕方は異なってくる。また生徒の理解度や興味・関心の度合いや既習事項の定着度の違いで授業展開は異なってくる。ともかく指導と評価の一体化の工夫こそが「個に応じる指導」には重要ということは間違いない。
＜授業の展開に関して＞
生徒が身に付けたい力の関心が３コースで違い、授業への意欲と技能の定着を配慮し、それぞれのコースで指導の重点を変え、支援方法を配慮している。
・基礎クラスは知識・理解、基礎的な技能習得に重点を置き、教師側のスモールステップでの指導が増え、生徒間の数学的な考え方に対する意見交換などは概して少なくなる。
・発展クラスは発展的技能と数学的考え方の指導に重点を置いている。基礎事項の定着にかかる時間は短縮され、発展課題にかかる時間が増える。個人思考の時間の保障や別解の意
見交換の時間などが多くなる。
課題の扱いや配布プリントの記載事項も配慮する。基礎クラスはスモールステップの穴埋めを多くし、扱う数値も整数を主にする。発展コースは課題の記載のみで、自由記述の枠を広げ、計算の定着などは問題数も多く扱い、計算に一工夫する範囲も扱う。
＜クラス編成に関して＞
クラス編成は、数学が苦手＝基礎、普通＝標準、得意＝発展として生徒と保護者の希望を第１優先とし、教員のアドバイスを加え編成している。単元ごとのコースの移動はガイダンスのもとに認めている。できるだけ、基礎コースを少人数にし、基礎事項の習得とその支援にあたれるように工夫している。
＜評価に関して＞
評価としては、授業態度に共通の評価尺度を置き、単元ごとに担当をローテーションし評
価のばらつきに配慮する。ワークブック、ノート確認、定期テストや定着度テスト採点は学年担当が担当し、評価者の主観によるバラツキを少なくしている。
また、定期テストでは基本的な学習事項の定着を見る問題が主になるため、数学的考え方の評価を補完するため、発展課題レポートの提出を実施している。
＜授業の改善に関して＞
生徒からは学期末に授業アンケートを実施し、自分の努力した点・改善しなければいけな
い点と合わせ、担当者への要望もかいて貰っている。生徒からの要望として、「担当者によって板書の仕方が違うので統一して貰いたい」とあったため、・本時の学習目標を明示する
・知識理解は赤色、数学的な考え方は黄色で板書すると統一した。また、授業後に各担当者の板書を見合うことで学習進度と授業展開の確認を行
数学 - 61 -っている。
また、重点的な取り組みとして次のようなことを行っている。
・本時の授業の目当てを板書する。（評価規準を知り、自己評価に生かす）
・定着度テストによる実態把握に加え、授業開始時、または終末に確認テストを行う。
（基
礎事項の定着を確認する）
・習熟の程度に応じた少人数指導を効果的にするため、単元変更時にガイダンスを通じコース変更を行う。（自己決定の場を与え、自分の学習スタイルを振り返る）
・ワーク・ノートによる評価に加え、数学的な考え方を評価するためのレポートを提出させる。（学習への関心度を評価し、より高次な数学的な考え方に興味を持ち、数学的な活用の楽しさを知る）
６

成果と課題
担当者間で打ち合わせる時間確保が困難なため、３コースでの授業進度のみ調整している。
プリントや教具等については交換し、それぞれのコースで利用できるものは使用している。
また、担当者の学年がまたがり、２クラスを同時に指導するため、授業のコマの交換が困難である。そのため、どうしても出張や生徒の理解度で単元末に調整時間が必要で、年間計画に比べ遅れがちになる。
評価問題に関しては、標準コースで指導した難易度の問題で作問するため、発展コースで重視する数学的考え方は評価問題としてはあまり出題されず、知識・技能の問題が主になっている。そのため、評価問題の点数は高得点になり、ケアレス・ミスのあるなしで評価しがちになる。また、基礎コースに関しては、未消化になりがちになる。基礎事項の定着は繰り返しの学習が必要になる。
授業でいったん理解しても定期テストで誤答する場合の支援として、補習の時間の確保に苦慮している。定期テストは本校は２学期制のため試験範囲が広くなるため、それを補完するものとして、定着度テスト（単元テスト）を実施し、評価に加えている。また、選択教科で補充、深化の数学の講座を開講し生徒の要望に応えている。
授業中の評価は、発表や授業態度が主となり、授業中に考え方が進歩した生徒の評価が困難である。授業態度に関しては、評価規準を明記した自己評価表を活用して補充資料としている。

７ 資料（実践指導案）（１）単元名「平行と合同・平行線と角」（２）単元について
教材観
小学校や中学１年で培ってきた図形の性質を直観的扱いから演繹的扱いに徐々に変えていく単元である。平行線の性質や多角形の内角・外角の和を根拠に複雑な図形の角度を求めたり、図形間の関連を深め角の求め方の根拠を探ったりなど、数学的な考え方のおもしろさを実感できる単元である。
また、この後の図形の証明に関わり、図形に対しての豊かな見方で課題を考察できるようにすることも、本単元の目標である。図形の考察について、いろいろな解
決のアプローチを経験することは、課題に関して有効な方略を試みる機会を与え、自力解決の期待感をはぐくみ、取り組んでみようとする意欲を高める。
指導観
問題把握を個に応じ、直観から次第に一般化していくプロセスを大切にしたい。
そのため、教材の準備や課題に配列に工夫し、既習事項の確認などは丁寧に行う。
指導に当たっては、自分で解く、他の意見を聞くの両面を重視する。自力解決の時間を十分とることで理解が深まり、他の意見を聞き自分の解釈を加えることで、自分の理解の助けとなり、他に説明することで自分の理解が確認される。集団での練り上げが期待できる単元であるため、課題を精選し、また利用できる発展課題を解くことで定着を図りたい。
数学 - 62 -（３）研究テーマとの関わり
コース別に生徒の興味・関心に応じた課題提示と授業展開をすることで、生徒の関心を高め、個に応じる支援の効率化を図る。また、基礎・基本の定着を図るための支援の手だてを講じることで、ひとランク上の評価規準に達することができるようにする。
単元の評価規準
関心・意欲・態度
数学的な考え方
表現・処理
知識・理解
Ａ 多角形の内角や外角 多角形の内角や外角 多角形の内角や外角 平行線や角の性質、十 の大きさについて確 の大きさについて確 の大きさを工夫して 多角形の内角、外角
分 かめようとしたり、 かめようとしたり、 求めたり、求め方の の和について、それ
満 発展的に考えようと 発展的に考えたりす 根拠をわかりやすく らを体系立てて理解足 する。
ることができる。
説明したりすること している。
ができる。
角度を求めるのに有効な補助線や図を利用し、いろいろな考え方が発想できる。
Ｂ 多角形の内角や外角 平行線や外角の和の 多角形の内角や外角 多角形の角の性質やお の和に関心を持ち、 性質などを、既知の の和を求めることが 平行線の性質を理解
お それを既知の三角形 ことに帰着して論理 できるとともに、そ している。
む の内角の性質をもと 的に考察することが の求め方を説明する
ね に調べようとする。 できる。
ことがきる。
平行線と角に関する
満
用語や、多角形の角
足
対頂角や平行線と角 に関する用語の意味の性質を利用して、 を理解している。
角の大きさを求ることができる。
Ｂ 小学校ですでに学習 ある明らかな事柄を 証明の形式にこだわ 平行線と角、三角形に したことがらを前提 もとに推論により事 ることなく、自分の の内角、多角形の内達 として認め、実験・ 実を知ることを学習 言葉で説明し、論理 角と外角は、推論のす 実測から一般性を導 するために、既知の 的に推論することに もとになる基本の性
る くことに関心を持た こと未知のことを色 慣れさせる。
質として、その知識た せる。
分けして図示するなをまとめるのと同時
め
どして、明確にする。 推論の過程を重視す に、既知の学習が利の 説明の根拠を整理しるために、求め方を 用出来るよう教材を生 ておき、どの根拠を 帰納的推論や類推を 説明することやわか 配置し、性質の発見
徒 使い明らかにするか 用いて予想したり考 りやすい図の工夫を や 関 連 を 考 え さ せへ を図や言葉でおおま 察できるよう、具体 考えさせ○・△など る。
の かにいえるかを目標 的な数値を使って考 等しい角の大きさを
手 に、足りないことを えさせ、意見交換す 記入するなど視覚的 直感的理解のためにだ 補足していく。
る場をつくる。
に示す。
コンピュータシミュてレーションを利用する。
（４）単元の目標
観察、操作や実験を通して、基本的な平面図形の性質を見いだし、平行線の性質や三角形の合同条件をもとにして、それらを確かめることができるようにする。
・平行線や角の性質にもとづいて図形の性質を調べることができるようにする。
・多角形の角についての性質を見いだすことができるようにする。
数学 - 63 -（５）指導と評価の計画
項
時数 学習内容
三角形の内 ３多角形の内角の和の求め方
角と外角多角形の内角と外角の意味
多角形の内角の性質と大きさの求め方
多角形の外角の性質と大きさの求め方
平行線と角 ３対頂角の意味とその性質
同位角と錯角の意味
平行線の性質と平行になるための条件
対頂角・同位角・錯角を用いて角の大きさを求めること三角形の内角の和が１８０°であることの証明
証明の意味
問題練習
２

用語・記号
外角・内角

対頂角
同位角
錯角
証明

指導略案（形態は習熟の程度に応じた少人数指導）時 ◇は目標 ・は学習活動 評価規準（○は「おおむね満足」、◎は「十分満足」の状況）☆Ｂに迫る手立て ★Ａに迫る手立て 【評価】関・考・表・知
基礎コース
標準コース
発展コース
１ ◇いろいろな多角形で内角の和を求めることができる・ ◇三角形と関連づけ １８０°×（ｎ－２）の式を導くことができる
２ 次の図形の内角の和はいくらか。

三角形
四角形
五角形
六角形
180 °
360 °
内角の和について、どんなことに気付きますか・四角形の角の求め方を確認する
180 °ずつ増える
三角形が対角線で２個に分割できる・八角形の内角の和はいくらか
１８０°×２=３６０°・六角形の角度の求め方 ・六角形の角度の求め方 ◎求め方を説明できるを考える(類比の考え方） を考える(類比の考え方） ★ｎ角形と内角の和の対応表をあげ、式化を容易にする① 180 °ずつ一定に増える（一次関数の関係）
４×三角形 三角形＋四角形 ２×四角形 ４×四角形
a 内角の和=180 ｎ－ 360
・分かることを確認する ・分かることを確認する
b=180（ｎ－２）○ 180 °ずつ増える○ 180 °ずつ増える☆
（三角形が１つ増える） ☆（三角形が１つ増える）
・六角形の内角の和の求 ・八角形の内角の和を考 ②図による説明を考える
め方をいろいろな三角形 える★増える１８０が三角形の内角の分割で考えるの和と等しく、三角形の数に着×６÷３で三角形の２倍 ×８÷４で四角形の２倍 目すればよいことに着目させる☆三角形に分割させる☆三角形に分割させる

数学 - 64 -①頂点の点図による説明三角形が４つ分①

図による説明それぞれの求め方の式をつくる①
180(n-2)・ｎ－２になる理由を考える②②◎対角線の本数と関連づける③×②内部の点（中心除外）
180 ｎ－ 360③×☆図を大きく書く④×④◎除かれる３６０の意味を説明★内部の点から頂点を結する☆③④のように三角形以
べばよいことに発想を ★(ｎ－１）－１８０はどんな図外のものができること
変えさせる
か
がある
★線分の集める点の位置に着目
・どの分け方が、三角形 ・どの分け方が式を作り させるに分割しやすいか
やすいか
・辺上の点（辺上除外）
・どれかをつかって、十角形の内角の和を求め ・①から③のどれかをつてみる
かって、八角形の内角☆①が分けやすいことにの和を求めてみる
・外部の点
気付かせる
① 180 °×６○八角形をつくり、三角
または
形を数えて
④ 180 °×８－ 360 °①１８０°×６・ｎ角形の内角の和を求（外部三角形除外）☆先に１０この点を取りめる式をまとめる
順に線で結んでいく
正十角形の１つの内角を求める○正十角形の１つの内角・ｎ角形の内角の和を求を求める◎凹ｎ角形でも、内角の和が同める式をまとめる
180 °×(10 －２)÷ 10
じ式になることを三角形分割○十角形の内角の和を式で確認するを使って求める
時
３

基礎コース
標準コース
◇外角の和を求めることができる
正五角形の１つの外角と外角の和を求める
正ｎ角形 １つの内角 内角の和 １つの外角
３
６０°
１８０°
４
９０°
３６０°
５
１０８°
５４０°
数学 - 65 -

発展コース

外角の和

６
１２０°
７２０°
・外角＝１８０－内角・外角＝１８０－内角・外角＝１８０－内角
１つ１つ外角の確認、
１つ１つ外角の確認、表の確認をする
外角の和を確認する
外角の和を確認する○外角の和＝３６０°を ○外角の和＝３６０°を ○外角の和＝３６０°を予想す
予想する
予想する
る
○一般の六角形の外角の ○一般の六角形の外角の ○一般の六角形の外角の和も３和も３６０°であるこ和も３６０°であるこ
６０°であることを説明するとを確かめるとを説明するｱｲ
ｳ☆外角を切り取り、１カ所に集めてみる○プリントの穴埋め
どの頂点も内角と外角の和は 180 °６個の頂点の角度の和は180 °×６＝ 1080 °六角形の内角の和は
180 °×４＝ 720 °
外角の和は1080 °－ 720 °=360 °☆内角、外角を色分けする・ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｼﾐｭﾚｰｼｮﾝで角度を移動し、直感的理解を深める（教科書のぱらぱら漫画）
穴埋めプリントで定着を図る○正十角形の１つの内角を求める☆ 1 つの外角を求める
360 °÷１０＝ 36 °☆内角＋外角＝１８０°を図で確認する
180 °－３６＝ 144 °○ 180 °×８＝ 1440 °1440 °÷１０＝ 144 °ｶｵｴ○プリントの穴埋め
どの頂点も内角と外角の和は 180 °６個の頂点の角度の和は180 °×６＝ 1080 °六角形の内角の和は
180 °×４＝ 720 °
外角の和は1080 °－ 720 °＝ 360 °☆内角、外角を色分けする・ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｼﾐｭﾚｰｼｮﾝで角度を移動し、直感的理解を深める
穴埋めプリントで定着を図る○正十角形の１つの内角を求める
前時の180 °×８＝ 1440 °1440 °÷１０＝ 144 °と本時の360 °÷１０＝ 36 °180 °－３６＝ 144 °を比較する

数学 - 66 -○プリントの穴埋めｎ角形で考える
どの頂点も内角と外角の和は180 °ｎ個の頂点の角度の和は 180°×ｎｎ角形の内角の和は
180 °×(n-2)
外角の和は180 ｎ－ 180（ｎ－２）＝ 360 °・ｺﾝﾋﾟｭｰﾀｼﾐｭﾚｰｼｮﾝで角度を移動し、直感的理解を深める

穴埋めプリントで定着を図る○正１０角形の１つの内角を求める
前時の180 °×８＝ 1440 °1440 °÷１０＝ 144 °と本時の360 °÷１０＝ 36 °180 °－３６＝ 144 °を比較する◎正ｎ角形の１つの内角を求める① 180(n-2)
ｎ② 180 － 360
ｎ

時
４

基礎コース
標準コース
発展コース
◇対頂角、同位角、錯角の意味を理解し、それを用いて角度を求めることができる◇平行線の性質や平行になるための条件を理解し、それを用いて角度を求めることができる
直線を２本かいてください。どんな違いがありますか

① 交わる
②直交する
③平行
④（交わる）
・①と②を見分けるにはどうすればよいか（角度を測り、90 °かどうかを測る）
ａ

ａ

ａ
60 °

60 °

ｂ
ｂ
○どの角が何度になるか ○どの角が何度になるか角の求め方を説明する
角の求め方を説明する

55 °ｂ○どの角が何度になるか角の求め方を説明する

・対頂角の意味を知る・対頂角の意味を知る・対頂角の意味を知る☆シーソーを例に対頂角が等しいを説明する○対頂角がいつでも等し ○対頂角がいつでも等し ○対頂角がいつでも等しいこと
いことを具体的な数値
いことを文字で確かめを文字で確かめるで確かめる
る∠ａ＝ 180 －○∠ａ＝ 180 －ｘ∠ａ＝ 180 －ｘ∠ｂ＝ 180 －○∠ｂ＝ 180 －ｘ∠ｂ＝ 180 －ｘ
だから ∠ａ＝∠ｂだから ∠ａ＝∠ｂだから ∠ａ＝∠ｂ・③と④を見分けるにはどうすればよいか
ｱ ２直線がどこまで行っても交わらない（交わるまで直線を延長する）
ｲ ２直線間の距離が等しい（垂線を引いたとき、垂線の長さが同じになる）
ｳ １本の垂線を引いたとき、もう一方も垂線になる（両方の垂線になる）
・ ｲ、ｳを図で確かめる ・ｲ、ｳを図で確かめる
・ｲ、ｳを図で確かめる☆垂線は三角定規で確認 ☆垂線は三角定規で確認する
する・ ｱ～ｳのどの方法が容 ・ｱ～ｳの方法が容易か比 ・ｱ～ｳの方法が容易か比べる
易か比べる
べる
斜めに交わる線を記入
垂直の条件を外すとどう 他の方法を考える
か○・○に等しい角度がない ・ｳと比較して気づくこと ・斜線を記入し、ｳをどのようにかを上げる
変えればよいか・同位角・錯角の意味を ・同位角・錯角の意味を ・同位角・錯角の意味を知る（生知る（図で確認）
知る（図で確認）徒の発想で同側内角も扱う）☆錯角が２つの直線の内 ☆平行に関係なく位置の側の角であること関係であること○問題で同位角・錯角を ○問題で同位角・錯角を ○問題で同位角・錯角を数学 - 67 -

指摘する

指摘する

指摘する

・平行線と同位角・錯角 ・平行線と同位角・錯角 ・平行線と同位角・錯角の関係の関係を知るの関係を知るを知る☆定規で平行線を作図した確認する
・①②を図で確認する① ｌ //ｍ な ら ば ∠ ａ ＝ ∠ ◎①を示し、②の記述を確認す
・①②をノートするｂる②∠ａ＝∠ｂならばｌ // ①ｌ//ｍならば∠ａ＝∠ｂｍ②∠ａ＝∠ｂならばｌ//ｍ・角度を求める練習○角度を求める○どの角度を用いたか

時
５・角度を求める練習○角度を求める○どの角度を用いたか・角度を求める練習○どの角度を用いたか◎①②の使い分けができるか

基礎コース
標準コース
発展コース
◇三角形の内角の和が 180 °であることを平行線の性質を用いて証明できる○実際の角を切り取り、直線上に並べる（直線上の角＝ 180 °が根拠）○三角形に平行線を付け加えて、同位角・錯角を用いて内角の和を求める
・ 移 動 し た 角 を 写 し 取 ・角を貼り付けた図と平 ・平行線を引く
り、平行線を記入させる 行線を比較し、平行線を
Ａ
引く
Ａ
Ｅ
Ｅ
ａ
Ａ
ｄ
Ｅ
ｂ
ｃ ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
・証明を理解する・証明を理解する・証明を理解する∠Ａ＝∠ＡＣＥ（ 角 ） ∠Ａ＝∠ＡＣＥ（ 角 ） ∠Ａ＝∠ＡＣＥ（ 角 ）∠Ｂ＝∠ＥＣＤ（ 角 ） ∠Ｂ＝∠ＥＣＤ（ 角 ） ∠Ｂ＝∠ＥＣＤ（ 角 ）
だから
だから
だから
∠Ａ+∠Ｂ＋∠Ｃ∠Ａ+∠Ｂ＋∠Ｃ∠Ａ+∠Ｂ＋∠Ｃ＝∠ ACE+∠ ECD+∠Ｃ ＝∠ ACE+∠ ECD+∠Ｃ＝∠ ACE+∠ ECD+∠Ｃ＝ 180 °
＝ 180 °
＝ 180 °
平行線を違うところに引いて証明してみよう
頂点
辺上
内部

外部

○扱うのは生徒の発想に応じ、等しい角を○×△などで記入し、何角かを確認する☆頂点で等しくなる角が、どこと何角の関係かを指摘させる◎角を集める位置を自分で設定でき、平行線を引くことができる★頂点以外で角を集められないか・外角 =他の２角の和を ・ 外 角 =他 の ２角 の 和 を ・外角=他の２角の和を知る。
知る。
知る。
○２角から残りの角を求 ○２角から残りの角を求 ○２角から残りの角を求める練
める練習
める練習
習
数学 - 68 -

時
６

基礎コース
標準コース
発展コース
◇三角形や平行線を用いて、指定した角の大きさを求めることができる①②
蝶③
30 くさび形
50
20
ｘ
50
ｘ
60
50
40
15
ｘ
○いろいろな解き方で角の大きさを求める。求め方を説明できる。
Ａコースは２時間扱いでＢＣコースは１時間扱いで、生徒間の意見交換を活発に促し、発表させる（発表の順番は、簡便な方法を後にするよう順番を指定する）☆補助線を黄色、求められる角を順に記入させる
・生徒の考える時間を十分にとるとともに、生徒から出たいろいろな考え方を取り上げる（説明が不十分な場合は、生徒の補助や教師の補助を加える）
①ｱ
①ｲ
①ｳ
50
50
50
ｘ
ｘ
ｘ
60
60
60
○平行線
○三角形の外角
垂線①ｴ①ｵ○①②をおさえ、角度を変えて練習
50
50☆ｵの考え方は、角度が一定しないで
○
ｘ
ｘ
○+50
60
60
「できない」のおさえでもよい
垂線◎文字で計算
②ｱ

②ｲ

②ｳ

20 50

20 50

20 50

15
ｘ
三角形の内角の和を使い順に求める

15ｘ○三角形の外角を使う

15ｘ◎対頂角を用いて立式
20+50 ＝ 15+ｘ

③ｲ

③ｳ 30
ｘ

③ｱ

30
ｘ

50
40
○三角形の外角
③ｴ
30
ｘ
50
40
○凹四角形の内角360 －（30+40+50）
③ｷ

30
ｘ

70

50
40
50
40
○同位角と三角形の外角同位角と錯角
③ｵ
30
③ｶ
○ 30
ｘ
×
× 50
○
50
40
◎○+×＝ 40◎三角形の内角の和として外角を立式○+×＝ 180 －（30+40+50）(50+○)+(10+×)

30
ｘ

50
40
○垂線
☆③ｵなどは○＝×＝ 20 として求める生徒も出てくる。
分割線が移動することで、角は一定でないことを確認する
数学 - 69 -

時
７
・
８

基礎コース
標準コース
発展コース
◇多角形の内角・外角の和や三角形の角、平行線に関する角の定着を図る
いろいろな図形で角の大きさを求め、図形の見方を豊かにする○教科書の基礎確認問題の定着を見る
コースによって、問題のレベルと出題数を変える
基礎的な図形の角を求め 標準的な図形の角を求め 発展的な図形の角を求める練習
る練習プリントの練習と る練習プリントの練習と プリントの練習と確認
確認
確認
ａ（内角の和、三角形外角 （多角形の内角、外角、
ａｘ ｘ＝２
平行線を利用した問題） 三角形外角、平行線、等○△○△
しい角が入った問題）など
星形の５つの角の和を求めるＥＡ
Ｄ ☆和を予想し、180 °から三角形との関連、直線上の角と関連づける
発展レポートとして後日のＢ
Ｃ提出で取り上げることも配慮する◎自由に補助線を引き、いろいろな考え方で和を求める○引いた補助線で和がで ○引いた補助線で和がで ◎自由に補助線を引き、和を求きることを確認する
きることを確認する
める説明が個人でできるよう☆全員で和を求める方法 ☆和を求める方法を相互に指示するを練り上げるの教え合いですすめる ★いろいろな考え方で解答できるようにする★生徒の発想した考え方を取り上げる。補助線は黄色、同じ角は○×等の記号で記入させる。既習の内角外角、蝶、楔形、平行線の利用を促す
Ｅ
Ｅ
Ｅ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｄ
Ａ
Ｄ

Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
五角形の内角－外角５三角形－２外角
蝶と楔形（１８０°から発想する補助線の工夫をヒントとする）
Ｅ
Ａ

Ｅ
Ｄ

Ｂ
Ｃ
楔形と外角
Ｅ
Ａ
Ｄ

Ｂ
Ｃ
平行線で外角の和

Ａ

Ｅ
Ｄ

Ｂ
Ｃ
２つの外角
Ｅ
Ａ
Ｄ

Ｂ

Ｃ

Ａ

Ｄ

Ｂ
Ｃ
外角を平行線で移動する

５つの楔の和＝五角形の内角
acd+bed+cae+dab+ebc ＝５４０（∠Ａ+∠Ｃ+∠Ｄを acd で表記）
Ｃ ３（a+ｂ+ｃ+ｄ+ｅ）＝５４０

数学 - 70 -（６）本時の学習指導① 本時の目標
・既習事項と関連して問題解決することに興味を持ち、進んで課題解決に取組む（関心・意欲）・見通しを持って課題解決にあたり、特定の数値から一般的な数量関係を導ける（数学的な考え方）・三角形の内角の和や平行線の性質を利用し、図形の角度を求めることができる（表現・処理）
・問題解決に利用できる角の関係を理解している（知識・理解）②-1 展開(基礎コース)
展開 学習活動
指導上の留意点
観点別学習状況の評価 具体的な手だて◇三角形や平行線を用いて、指定した角の大きさを求めることができる
50

ｌ

ｘ

60

導
入

平行線ｌ、ｍに挟まれた∠ｘの角度を求めなさいｍ

既習事項を確認する
問題解決に利用できる①平行線と錯角
具体的な図から角の関係を理解してい同位角 数値で角度を求める る（知識・理解）・同位角・錯角の位置 同位角、錯角の位40が指摘できる
置を確認させるｘ・内角の和＝ 180 を用②三角形の内角の和 ｘを求める計算式を いて角度が求められる
60
記述させる
40
ｘ
・外角が求められる③多角形の内角の和80ｘ70・四角形の内角の和を用い角度が求められる 四角形の内に三角形が２つ入っていることを想起させる

展

補助線を引いていろ まずいろいろな補助 補助線を引き、進んで 既習の図の一部がいろな求め方で角度 線を引いて、既習事 問題解決に取り組む
課題にどう利用さ開 を求める項と関連付けられな （関心・意欲）れているかその違①ｱ
いかを考えさせるいを指摘させる50
補助線と既習事項との ①平行線を分ける
ｘ60
個人思考の時間を十 関連を考え、角度を求 線をくの字にする○平行線
分とり、考えが進ま められる（表現・処理） ②三角形・多角形①ｲ
なくなった様子を見を作るには補助線
50て友人との相談を認をどう引くかｘ60
める○三角形の外角
垂線が移動した見方が ｳ～ｶをＯＨＰ等でｳ～ｶの関連を考える できるか（考え方）
重ねてみる
数学 - 71 -

①ｳ

①ｴ

50

ｘ

60
垂線

①ｵ
50
60

ま
と
め

問題練習
①

②
ａ
ｂ
③

①ｵ

①ｶ
50
50
ｘ
ｘ
ｘ
60
60
60
垂線
垂線
垂線
説明が不十分な場合 角の求め方を説明でき ☆補助線を黄色、教師の補助説明を加 る（知識・理解）求められる角の順
える
番を順に記入させる
ｌ ｵは点線を垂線とみて角度を求める生徒が補助教材として、出た場合 、ｍを上下
ｍを移動させると、ｍ させた場合、点線が
点線が移動する模固定させないためす
型を用意すること
ぐに求められないこも有効であるとを確認する三角形や平行線を補助
どの求め方が有効か 線が有効なことが分かを判断する
る（知識・理解）
角度の大きさを変え①補助教材で、折て∠ｘを求めるれる位置を移動さ①折れ線の位置が変せる
わる②文字に変えて、一般的な数量関係を導ｘ＝ａ＋ｂけるか（数学的考え方）の関係を導く
③２重の折れ線になっていることをつかむ
50②-2 展開(標準コース)
学習活動
指導上の留意点
観点別学習状況の評価 具体的な手だて◇三角形や平行線を用いて、指定した角の大きさを求めることができる
展 ①
②
蝶
③
30 くさび
50
開
20 50
ｘ
ｘ
60
50
40
15
ｘ
①を解決する
まずは試行錯誤で補 補助線を引き、進んで 利用できる既習事①ｱ
助線を引き、既習事 問題解決に取り組む
項をノートで確認
50
項が利用できるかを （関心・意欲）させる（教科書背ｘ60
考えさせる。
表紙の利用）○平行線①ｲ
解答が出た生徒には、補助線と既習事項との 発表としては、補50
その他の補助線で問 関連を考え、角度を求 助線のみを初めに
ｘ60
題解決にあたらせる められる（表現・処理） 引かせ、解答の方○三角形の外角法を考えさせる①ｳ
垂線に関しては、位 垂線が移動した見方が 垂線の位置を１つ50
置を移動しても求め でき、その中でどの図 の図に重ねて動的ｘ60
られることを確認す が有効か判断できるか な見方ができるよ展開

数学 - 72 -垂線

る（数学的考え方）ｵについては、深入りせず、できるかどうかの判断を生徒に任せ保留する
生徒の関心が高い
場合は、次の展開に。

①ｵ
○
○+50

50
60

◎文字で計算

50
40
30 60

垂線でなければどうか

うにする

3050
60

垂線上にあれば計算で求めてみよう
ｘ＝ 180 －（40 ＋ 30）
錯角を利用し下の間の角＝ 40 が計算できる＝ 110
ｘ＝ 180 －（30 ＋ 40）で計算できる＝ 110
角度を変えてみても同じになるだろう。（文字で計算の一般化に）くさびの文字の使用の準備としての扱いをしておく
この図の場合
一般的な数量関係を導ｘ＝５０＋６０で一けるか（数学的考え方）
般化できる
ｘ＝ａ＋ｂ
②を解決する
②ｱ
②ｲ
②ｳ
20 50
20 50
20 50
15
ｘ
三角形の内角の和を使い順に求める15ｘ15ｘ○三角形の外角を◎対頂角を用いて立式使う
20+50 ＝ 15+ｘ
短時間でまとめ、ｱよ 外角を利用し、要領よ 上の三角形の外角
りｲの方が簡単に利用 く解決できることに興 と下の三角形の外できる点、またｳに一 味を持ったか（関心・ 角が一致している
般化できる点を確認 意欲）
ことを色分けしてする
重なりを確認する③を解決する
③ｱ
30
ｘ

③ｲ

50
40
○三角形の外角
③ｴ
30
ｘ

50
40
○同位角と三角形の外角
③ｵ 30
ｘ

③ｳ

30
ｘ

30 70
ｘ
50
40
同位角と錯角5040
5040○凹四角形の内角○垂線
360 －（30+40+50）
時間を区切り、いろ 補助線と既習事項との 複数の図形の組み
いろな発想を発表さ 関連を考え、角度を求 合わせと見て図をせるめられる（表現・処理） 分割して課題を考ｴ、ｵは生徒からの発えさせる想があった場合取り
数学 - 73 -

上げる

次
時

一般的な数量関係を導けるか（数学的考え方）
ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃ

一般化し
ｘ＝ 30 ＋ 40 ＋ 50
（発展課題）下の補助線では解答できないか
30
50

○ 40

×

☆○＝×＝ 20 として求める生徒も出てくる。
分割線が移動することで、○、×それぞれの角は一定ではないことを確認する
この方法では求められないのか③ｶ30○×と 40 °の関係 文字を使い数量関係を 上図を見て○と×に着目させる
導けるか（数学的考え で変わらない関係○
方）
を見つけさせる50×◎ ○+×＝ 40○＋×＝４０として外角を立式 ○×を記入し、角度(50+○)+(10+×)の求め方を考える
③ｷ

ま
と
め

○

30

ｘ
× 50
40
◎三角形の内角の和○+×＝ 180 －（30+40+50）
角度を求める有効な 定着に関しては、次方法として平行線、 時にプリントで確認
三角形、文字が利用 するできること（標準コースはカの解き方を聞き、キを自力解決を図る）②-3 展開(発展コース)
展開 学習活動
指導上の留意点
観点別学習状況の評価 具体的な手だて◇三角形や平行線を用いて、指定した角の大きさを求めることができる
展 ①
②
蝶
③
30 くさび
50
開
20
ｘ
50
ｘ
60
50
40
15
ｘ
①を解決する
まずは試行錯誤で補 補助線を引き、進んで 利用できる既習事①ｱ
助線を引き、既習事 問題解決に取り組む
項をノートで確認
50
項が利用できるかを （関心・意欲）させる（教科書背ｘ60
考えさせる。
表紙の利用）○平行線①ｲ

解答が出た生徒には、補助線と既習事項との 発表としては、補50
その他の補助線で問関連を考え、角度を求 助線のみを初めに
ｘ60
題解決にあたらせる められる（表現・処理） 引かせ、解答の方○三角形の外角法を考えさせる

数学 - 74 -①ｳ

垂線に関しては、位 垂線が移動した見方が 垂線の位置を１つ置を移動しても求め でき、その中でどの図 の図に重ねて動的ｘ60
られることを確認す が有効か判断できるか な見方ができるよ
垂線
る（数学的考え方）うにする①ｵｵについては、深入り
50
せず、できるかどう○ｘ
60 かの判断を生徒に任
○+50
せ保留する
◎文字で計算（文字の考えがでな
い場合は、くさびの 一般的な数量関係を導ｘ＝５０＋６０で一 後に振り返る）
けるか（数学的考え方）
般化できる
ｘ＝ａ＋ｂ
②を解決する
②ｱ
②ｲ
②ｳ
20 50
20 50
20 50
50

15
ｘ
三角形の内角の和を使い順に求める15ｘ15ｘ○三角形の外角を◎対頂角を用いて立式使う
20+50 ＝ 15+ｘ
短時間でまとめ、ｱよ 外角を利用し、要領よ 上の三角形の外角
りｲの方が簡単に利用 く解決できることに興 と下の三角形の外できる点、またｳに一 味を持ったか（関心・ 角が一致している
般化できる点を確認 意欲）
ことを色分けしてする
重なりを確認する③を解決する
③ｱ
30
ｘ
50

③ｲ
ｘ

40

40

○同位角と三角形の外角
③ｵ

30
ｘ

30 70
ｘ

50

○三角形の外角
③ｴ

③ｳ

30

50

40

同位角と錯角30ｘ5040○凹四角形の内角360 －（30+40+50）

50
40
○垂線

時間を区切り、いろ 補助線と既習事項との 複数の図形の組み
いろな発想を発表さ 関連を考え、角度を求 合わせと見て図をせるめられる（表現・処理） 分割して課題を考ｴ、ｵは生徒からの発えさせる想があった場合取り上げる
一般的な数量関係を導けるか（数学的考え方）
一般化し
ｘ＝ａ＋ｂ＋ｃｘ＝ 30 ＋ 40 ＋ 50

数学 - 75 -（発展課題）下の補助線では解答できないか
30
50

○ 40

×

☆○＝×＝ 20 として求める生徒も出てくる。
分割線が移動することで、○、×それぞれの角は一定ではないことを確認する
この方法では求められないのか③ｶ30○×と 40 °の関係 文字を使い数量関係を 上図を見て○と×に着目させる
導けるか（数学的考え で変わらない関係○
方）
を見つけさせる50×◎ ○+×＝ 40○＋×＝４０として外角を立式 ○×を記入し、角度(50+○)+(10+×)の求め方を考える③ｷ○（発展コースは自力解決を図り、標準コース
はカの解き方を聞き、キを自力解決を図る）

30

ｘ
× 50
40
◎三角形の内角の和○+×＝ 180 －（30+40+50）①を振り返る
①ｵ
50
ｘ
60

○
○+50

ま
と
め

◎文字で計算角度を求める有効な 定着に関しては、次方法として平行線、 時にプリントで確認
三角形、文字が利用 する
できること

数学 - 76 -８

定期テストのコース別正解率(１) 角度を求める
45

70

30
ｘ
25

○ ｘ ×
50
ｘ
45
×
○
①外角
②くさび
③文字
（２）三角形の内角の和を求める補助線を引く
ＡＥ
右の例示以外の補助線の引き方と辺ＡＢ、ＢＣ、ＣＥと補助線の関係をことばで述べるＢＣ（３）補助線の引き方（２通り答える）
平行線
外角
垂線
60
60
60
60

ｘ

ｘ

50

ｘ

50

（４） Ａ

Ｄ

Ｂ

Ｃ

50

ｘ
50

ＡＢ＝ＤＣ、∠ＡＢＣ＝∠ＤＣＢならば△ＡＢＣ≡△ＤＣＢを証明する

人数 コース

角度
内角
補助線
完全
外角 くさび 文字 の和 平行 外角 垂線 証明
24 基礎
19
7
4
0 14
6 11 10
18 標準
16
10
4
0 17 11
3
7
21 発展
21
20 16 13 19 15
6 17
計 63
56
37 24 13 50 32 20 34
％ コース
角度
内角
補助線
完全
外角 くさび 文字 の和 平行 外角 垂線 証明
38% 基礎79% 29% 17% 0% 58% 25% 46% 42%
29% 標準55% 34% 14% 0% 59% 38% 10% 24%
33% 発展 100% 95% 76% 62% 90% 71% 29% 81%
計 100%
89% 59% 38% 21% 79% 51% 32% 54%＜分析 ２クラス分＞
基礎コースは３に関して、いろいろな補助線を引く時間を多くとった。また証明の記述を穴埋め形式で問題練習の数を多くした。標準・発展コースは角度を求める発展的な問題練習の時間をとり外角に関して理解が進んだが、証明の練習の時間は少なめだった。指導時間の多少がそのまま定着率に表れた。
証明に関しては、無回答は 16 ％、合同条件をケアレスミスしているものが多かった。三角形の内角の和に関しては、基礎・発展コースは補助線を引く練習までやっておらず、発展
コースも内角の和＝１８０°をいろいろな補助線で引いて求めることの定着は低かった。
垂線で証明しようとする生徒もいた。証明の必要性やおもしろさを強調する必要があった。
数学 - 77 -実践事例５（選択数学の実践）
１

実践の概要
本校では、２年生で選択補充で１時間、選択深化で１時間、３年生で選択補充が２
時間、選択深化が２時間を半期で実施している。
選択補充では、数量の講座が２コースを２教室で、図形の講座が２コースを２教室で実施している。教師の方で基礎・標準・発展の３種類のプリントを用意し、自分の希望するプリントを選択し、学習している。１時間ごとに学習する項目を明確にし、学習の目当てがたてられるように工夫している。また、つまずきの箇所を指摘し、復習をどこからやればよいかが分かるように工夫している。
本校で、例年実施していた「選択数学」の実践は、教師が例示した課題の中から生徒が課題を選び、課題解決の計画を立て、発表するというやり方だった。そのため、ほとんどがインターネットで調べ、発表の原稿作成にほとんどの時間を費やし、数学的な深化はさほど期待できないものだった。深化というからには、「問題解決に時間を保障し、数学的考え方が深まる」ための時間と位置づけたい。そのため、生徒が興味を持ちそうな課題で既知のどんな単元と関連付き、どんな数学的考えを練ることが出来るかを明確にして計画を示し、深化を期待できる教材を教師側で用意した。
選択深化のオリエンテーションでは、「数学を教えてもらうというつもりの人は、
選択するときついです。生徒同士の相談は歓迎しますが、先生のヒントは極力抑えます。レポート等の宿題も考えています。」として募集した。その結果、選択した生徒
は少人数になり、大変意欲の高い生徒に厳選された。以下のその実践例を示す。

２

実践１(全ての枠が通過できる線が引けるか）
目標・問題を関連づけ、要領よく課題を解決する・問題を関連づけ、発展課題を作ることができる
課題

右図の１～ 25 の枠の内、指定した

１

２

３

４

５

番号の枠を除いた 24 の枠のすべて

６

７

８

９

10

１回だけ通過する線が引けるのは

11

12

13

14

15

どの枠か？

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

［考え方のヒント］（生徒の考え方と意見）で記述する
１

２

３

４

５

［課題の確認］３を除くと引けるか？

６

７

８

９

10

（生徒の意見交換が進み、具体的な例が発表される）

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

１

２

３

４

５

６

７

８

９

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

（１）２を除くと引けるか？
（生徒の具体的な実験で、出来そうもないことが予想される）（出来るのはどの番号か、なぜ出来ないかに関心がいく）

数学 - 81 -

１

２

３

４

５

（２）どの枠が出来て、どの枠が出来ないかを分ける

６

７

８

９

10

出来るところに

11

12

13

14

15

（実験を進める内に、奇数番号では出来ることが予

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

をつけてみよう想される）［ヒント］１～ 25 まですべてを確かめないで、要領よく説明出来ないか（線対称・点対称を利用すると要領よく説明できる）（１･５･25･21

３･15･23･11 ７･９･19･17

13 の４グループを実験すれば十分）（３）出来るところ、出来ないところが上記のようになる理由を考える
１

２

３

４

５

［ヒント]○をつけた枠を除いた通過する線を観察しよ

６

７

８

９

10

11

12

13

14

15

（奇数○、偶数×の通過をたどってみる）

16

17

18

19

20

（線は必ず ×○×○×○…のように通過する）

21

22

23

24

25

（○の枠を除く場合、○×がそれぞれ１２個ありう

×がスタート○がラストになる）（×の枠を除く場合、○が１３個、×が１１個あり○でスタートし、×で終了出来ない）[ヒント]発展問題を作ってみよう（４）（９×９の枠で、番号を指定したときにできるかどうかを判断するにはどうするか）（奇数番号ではできる。偶数番号ではできない）（５）（偶数の枠ではどうか）
１

２

３

４

５

６

（奇数番号を除く場合、偶数が奇数より１多いため

７

８

９

10

11

12

奇数○、偶数×の通過する線は、

13

14

15

16

17

18

×○×○…×のように通過する）

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

（偶数番号を除く場合、奇数が偶数より１多いため○×○×…○のように通過する）（よって、偶数枠ではどこを除いても通過できる）（実践２）インターネットを利用し、パズルの問題（ハノイの塔）を解く
目標・帰納的に問題を処理し、問題を解くアルゴリズムを見つける
Ａから１つのコマを１回の移動で１

１コマずつ移動しＣに山をつくる

２

ただし、番号が若いコマが上にく３るように移動するＡ

Ｂ

Ｃ

熊本県中数研のホームページを利用し、試行錯誤し、アルゴリズムを見つける）

数学 - 82 -（１）試行実験
生徒の試行から次のような失敗例が出る①試行する中で最初の位置に戻ってしまう②完成するが、最小の手数にならない（無駄が出る）③Ｂの位置に山ができる（２）練り上げ
実験途中で、手数の意見交換が進み、最小手数に関心が行く。
そのアルゴリズムわかりやすく説明できるように意見交換する。
Ｃの位置に完成させるには初めの一手をどこに置くかを考える。
（３）コマの枚数を増やしていくとき、必ず最小手数で移動できるアルゴリズムが説明できることが本時の目標であることを確認する。
３枚

Ａ

Ｂ

Ｃ

０

１

４枚、５枚、６枚と記録する内に、アルゴリズムが明確になって

２

いく。

３

（生徒の見つけたアルゴリズム）

１

右のようなワークシートを利用し、記録する。

・コマを重ねるには、奇数や偶数が続けて上下にならないように
２

する。

３

１

２

・１手目は、奇数枚数の場合はＣに、偶数枚数の場合はＢに置く。
（４）アルゴリズムの予想の正誤を確認するにはどうするか？
見つけたアルゴリズムで、７枚、８枚が完成できるか確認する

３

２

１

３

（５）枚数と最小手数の関連を調べる
表の利用

３

１

枚数 ｘ

２

３

４

５

６

２

手数 ｙ

３

７

１５

３１

６３

枚数 ｘ

２

３

４

５

６

手数 ｙ

３

７

１５

３１

６３

４

表の分析①
１
２

３

５

増加量

４

８

１６

３２

６４

増加量が２の累乗になる
１

２

３

６
１
７

表の分析②
枚数 ｘ

２

３

４

５

６

２

手数 ｙ

３

７

１５

３１

６３

３

ｙ－１

４

８

１６

３２

６４

１
２
３

２

ｙ＝ｘ －１（６）式が意味することを考える
それぞれのＡＢＣに入る数がすべて異なっていることに着目すると、１が入る・入らないで２通り
２・３についても同様に２通りずつあるので２３になる。
（７）２進法について、インターネットで調べる

数学 - 83 -（実践３）多角形の内角の和の発展課題
目標・図形を組合せて、多角形の内角の和をいろいろな考え方で求める
１７７角形の内角の和２頂点から三角形を５個に分ける
１８０×（７－２）＝９００

３

６

内部の点から三角形７個を作る
１８０×７－３６０＝９００

４

５
１

１とばし７角形の内角の和
７① ７×三角形－２×７角形外角の和

２

１８０×７－３６０×２＝５４０
１

３

６

７
２

４

ａ

② 四角形 1356５＋三角形 247

１

３
７

２

ｂ

４
Ｏ

ｄ ６ ＝３６０＋１８０ｃ（ａｂ＝ｃｄ）
５③くさび 120,230,340,450,560,670,710

３６７角形の内角＝求める和＋Ｏ中心の角求める和＝９００－３６０４

５④７角形の内角 1234567 －７×三角形＋７角形の内角 abcdefg
１

９００－７×１８０＋９００
７２

a

９００－３６０gb３

７角形の内角－７角形の外角
１

f
c

６

e

７ ∠ 485 ＝５４０－ 2457

２d４

⑤凹 5 角形 24857 の内角から
くさび 1386 から

５∠ 485 ＝ 136
３

６ 対頂角

１

８
７

２

４

５４０－ 2457 ＝ 136
５⑥ 三角形 013,035,057,072,024,046,061 －０中心の角×２０

７×１８０－３６０×２

３

６
４

５

７つの三角形がＯ中心に２周分多く回っている
参考のため外角の和は
１８０×７－５４０＝７２０
外角も２周分回っている

数学 - 84 -１

２とばし７角形の内角の和７⑦ ７角形内角－７×三角形＋（１とばし７角形の内角）２

９００－７×１８０＋５４０＝１８０⑧ ７角形内角－（１とばし７角形の外角）３

６

９００－７２０⑨ くさび 256 ＋くさび 347 ＋１＝△ 189

４５
１⑩ くさび 1485 →∠ 485
７

くさび 2879 →∠ 297

２

△ 936

３

８

９

１

６

７
２

⑪○＝ 26 ×＝ 37

９

３

○×

くさび 1485
４

５

６

８

△ 145 ＝ 145 ○×

４

５⑫くさび 145,256,367,471,512,623,734
1234567 ×３＝１とばし７角形の内角１求める和＝５４０÷３

７ ⑬求める和×２
２＝７×三角形 ＋７×三角形－３×１とばし７角形外角求める和＝７×三角形－１．５×とばし７角形外角３

６＝１２６０－１０８０
１４

５４の和＝５の和＝外角の和Ｘ
4

１
７

1

１＝４－３

5

２＝５－３

１＋２＝４＋５－２×３

3

2 １～７の和Ａをとる。外角の和Ｘ

２

Ａ＋Ａ＝Ｘ＋Ｘ－２Ａ
０

４Ａ＝２Ｘ

３

６
４

５

より２Ａ＝Ｘ

２×１ ＝( １＋２ )＋ ４＋５⑭くさび 012,023,034,045,056,067,071 ＝１とばし７角形内角１

１とばし７角形内角＝求める和＋０中心の角７求める和＝５４０－３６０２
０⑮ 三角形 014,047,073,036,062,025,051 －０中心の角×３

３

６

７×１８０－３６０×３
７つの三角形がＯ中心に３周分多く回っている

４５
奇数ｎ角形の内角の和は、中心の回転する回数ａとして
１８０ｎ－３６０ａ

数学 - 85 -