問題 III

問 1 質量 m の粒子が１次元デルタ関数ポテンシャル (−V0 δ(x), V0 > 0) 中にある。粒子のエネルギーが E （＜０）のとき、粒子の波動関数を φ(x) としてシュレディンガー方程式は以下の式で与えられる。粒子の束縛状態について以下の問に答えよ。ただし、h̄ はプランク定数を 2πで割ったものである。

−h̄2 d2 φ(x)− V0 δ(x)φ(x) = Eφ(x) (E < 0)2m dx2

1-1. x ̸= 0 の領域で波動関数が φ(x) = Ce−κ|x| で表されることを示し、κ を E 、m、h̄ を使って表せ。ただし、C（＞０）は規格化定数である。

1-2. ε（＞０）を微小量として、−ε < x < ε の範囲でシュレディンガー方程式を積分すると、以下の式が成り立つことを示せ。また、ε → 0 の極限をとったとき成り立つ式を示せ。

dφ(ε) dφ(−ε) 2m|E|−−dxdxh̄2∫ εφ(x)dx +−ε2mV0φ(0) = 0h̄21-3. 束縛状態のエネルギー E 、および波動関数の規格化定数 C を V0 、m、h̄ を使って表せ。
dφ(x)1-4. φ(x)、をグラフで表示し、それぞれ奇関数か、あるいは偶関数か述べよ。
dxdφ(x)1-5. φ(x) との対称性から位置座標 x と運動量 p の期待値 ⟨φ| x |φ⟩、⟨φ| p |φ⟩ をそれdxぞれ求めよ。

1-6. 以下の式で定義される位置座標の分散を計算せよ。
2⟨φ| (∆x)2 |φ⟩ = ⟨φ| x2 |φ⟩ − ⟨φ| x |φ⟩1-7. 以下の式で定義される運動量の分散を計算せよ。

2⟨φ| (∆p)2 |φ⟩ = ⟨φ| p2 |φ⟩ − ⟨φ| p |φ⟩1-8. 位置と運動量の不確定積 ⟨φ| (∆x)2 |φ⟩ ⟨φ| (∆p)2 |φ⟩ を計算せよ。

問 2 水素原子の 2p 軌道に電子が入るときを仮想的に考え、その軌道の電子による磁性を調べる。
水素原子の波動関数は主量子数 n 、方位量子数 l、磁気量子数 m で指定され、極座標表示で以下の式で表すことができる。
|m|φnlm = Rnl (r)Ylm (θ, ϕ) = Rnl (r)Clm Pl(cos θ)eimϕ

ここで、Rnl (r) と Ylm (θ, ϕ) は動径波動関数と球面調和関数であり、Clm は規格化定数、|m|(cos θ) はルジャンドル陪関数である。また i は虚数単位である。一方、電子の存在確率h̄⃗ − φ∇φ⃗ ∗ ) で定義される。ここで、h̄ はプの流れ ⃗j は波動関数 φ を使って、⃗j =(φ∗ ∇φ2ime
ランク定数を 2π で割ったもの、me は電子の質量である。また極座標表示での微分演算子はPl以下の式となる。

∂⃗ = ⃗er ∂ + ⃗eθ 1 ∂ + ⃗eϕ 1∇∂rr ∂θr sin θ ∂ϕ
ここで ⃗er 、⃗eθ 、⃗eϕ はそれぞれ r（動径）、θ（極角）、ϕ（方位角）方向の単位ベクトルである。
以下の問に答えよ。

2-1. Rnl (r) が実関数であることを使って、確率の流れの r 成分 jr を計算せよ。
|m|2-2. Pl(cos θ) が実関数であることを使って、確率の流れの θ 成分 jθ を計算せよ。

2-3. 確率の流れの ϕ 成分 jϕ を計算し、jϕ が磁気量子数 m に比例し、また ϕ に依存しないことを示せ。

次に前問より磁気量子数 m がゼロでないとき、jϕ ̸= 0 となるので、z 軸周りに電荷の流れが存在する。この場合、m ̸= 0 よりこの軌道は z 軸方向の磁気モーメントの成分 µz を持つことになる。この µz を z 軸周りの電流から以下の問にしたがって計算する。 ただし、電子のスピンによる磁性は無視する。

2-4. 図１で示した動径 r、極角 θ の位置での微小断面積 rdrdθ を z 軸周りに回転してできた灰色の領域の円電流を考える。この円電流よって z 軸方向に誘起される微小磁気モーメントの成分 dµz は（円電流）×（円の面積）で求めることができる。dµz を jϕ と電子の電荷 qe (< 0) を用いて表せ。

zdrrdryx
図１2-5. 波動関数が以下の式で表される φ211（m = 1 の 2p 軌道）の場合、前問で求めた z 軸方h̄|qe |向に誘起する微小磁気モーメント dµz を r と θ で積分して、µz = −= −µB とな2meることを示せ。ただし、µB はボーア磁子である。
φ211 = R21 (r)Y11 (θ, ϕ) = −1√2 6(1a0) 32r − 2are 0a0√3sin θeiϕ8π

ここで、a0 はボーア半径である。また計算では以下の定積分を使って良い。

∫ π4sin θdθ = ,330

∫ ∞x4 e−x dx = 2402-6. 波動関数が φ21−1 （m = −1 の 2p 軌道）の場合、前問と同様に jϕ が m に比例することを使って z 軸方向に誘起する磁気モーメントの成分 µz を µB を単位として求めよ。

問題 IV

問 1 図１のような気体の入った容器 A と容器 B がある。それぞれの容器にはおもりをつけることにより容器内の圧力を pA 、pB （pA > pB ）に保つ。この容器の間をグラスウールの詰まった管でつなぎ容器 A の気体を容器 B にゆっくりと噴出させる。ここで気体定数を R とする。

1-1. 容器 A の気体の 1mol（体積 VA ）が管を通して容器 B に噴出した。その時の体積を VBとする。この過程で移動した気体のエンタルピー H が変化しないことを示せ。
この過程で容器 A での気体の温度 TA と容器 B に噴き出すときの温度
TB との差 TA − TB と()∂T∂p

圧力差 pA − pB の関係は、ジュール・トムソン係数 µJ =11-2. µJ は、定圧熱膨張率 β =V(∂V∂T)

を調べればわかる。
Hを用いて以下のように書ける。
pµJ = K (βT − 1)
このときの K を定圧モル比熱 cp とモル体積 VM を用いて表せ。必要ならば以下の関係式を用いてよい。ただし S はエントロピーとする。

(∂T∂p) (H∂H∂T) (p∂p∂H)(= −1,T∂V∂T)(∂S=−∂pp)T

1-3. 理想気体の場合、容器 B に噴出するとき、気体の温度がどのようになるか答えよ。
1-4. 以下の状態方程式に従うファンデルワールス気体において µJ = 0 となる温度を求めよ。
p=RT
a− 2VM − b VM

(a > 0, b > 0)

1-5. 容器 A での気体の温度 TA が上記の温度より高温だった場合と、低温だった場合、それぞれについて噴出する気体の温度がどのように変化するか述べよ。

AB
図１

問 2 エネルギー準位が +ε、−ε の２準位系を考える。粒子数を N 、全体のエネルギーを E とする。

2-1. +ε、−ε の準位の粒子数 N+ (> 0)、N− (> 0) を ε、N そして E を用いて表せ。
2-2. 近似式 ln N ! ≈ N ln N − N を用いてエントロピーを計算せよ。ここでボルツマン定数を kB とする。

2-3. 平衡状態で系のエネルギー E が温度 T を用いて下の式となることを導け。
()2εexp − kB T − 1()
E = εN2εexp − kB T + 12-4. この２準位系の定積熱容量 CV を求めよ。
問 3 エントロピーの概念は、科学の広い分野に応用されている。その 1 つに情報エントロピーがある。ありふれた事象の情報量は少なく、めったにない事象の情報量は多いと考えられる。ある
事象 x を観測する確率分布を p(x) とした時、情報量 h(x) は以下の性質をもつ。

• p(x) に対して正の単調減少関数• 無関係な２つの事象 x、y を観測したときの情報量はそれぞれの情報量の和 h(x, y) =h(x) + h(y) となる
3-1. h(x) = − ln p(x) が上記の条件を満たしていることを示せ。
次に、サイコロの目のように事象 xi が離散的である場合の情報エントロピー H を情報量の期待値として以下のように定義する。このエントロピーはシャノンのエントロピーと呼ばれ統計力学でのギブスエントロピーと定数倍を除いて一致する。

H=−∑p (xi ) ln p (xi )i

最も確からしい確率分布は、情報エントロピーを最大にするものとして決定される。

3-2. 確率変数が xi (i = 1, · · · , N ) の離散系での最も確からしい確率分布 p(xi ) を求めよ。
3-3. 次に確率変数が連続の場合を考える。情報エントロピーを連続の場合に拡張し、一次モーメントと二次モーメントが以下で与えられるとき、最も確からしい確率分布 p(x) を求めよ。ここで B は正の定数とする。

∫ ∞∫ ∞xp (x)dx = 0,−∞x2 p (x)dx = B 2−∞

必要ならば α を正の定数とした場合の以下の公式を用いてよい。

∫ ∞√−αx2e−∞dx =π,α∫ ∞2 −αx2x e−∞1dx =2α√πα