受検番号 第

令 和 5 年 度 学 力 検 査 問 題時 25 分）
数 学〔学校選択問題〕 （10 時 35〈50分～11分間〉

注1

意

解答用紙について⑴

解答用紙は 1 枚で，問題用紙にはさんであります。

⑵

係の先生の指示に従って，所定の欄 2 か所に受検番号を書きなさい。

⑶

答えはすべて解答用紙のきめられたところに，はっきりと書きなさい。

⑷

解答用紙は切りはなしてはいけません。

⑸

解答用紙の ※ 印は集計のためのもので，解答には関係ありません。

2

問題用紙について⑴

表紙の所定の欄に受検番号を書きなさい。

⑵

問題は全部で 5 問あり，表紙を除いて 10 ページです。

⑶

問題用紙の余白を利用して，計算したり，図をかいたりしてもかまいません。

3

解答について⑴

答えに根号を含む場合は，根号をつけたままで答えなさい。

⑵

答えに円周率を含む場合は，πを用いて答えなさい。

〇

印刷のはっきりしないところは，手をあげて係の先生に聞きなさい。

番

1 次の各問に答えなさい。（ 44 点）（2xy3）÷（－ ５ y ） を計算しなさい。（ ４ 点）
2⑴

10 xy ２ ╳ －⑵x ＝ 3 ＋   7 ， y ＝ 3 －   7⑶２ 次方程式 （ ５ x － ２ ）２ － ２（ ５ x － ２ ）－ ３ ＝ ０⑷

次のア～エの調査は，全数調査と標本調査のどちらでおこなわれますか。標本調査でおこなわ2のとき，x 3 y － xy 3の値を求めなさい。（ ４ 点）を解きなさい。（ ４ 点）

れるものを二つ選び，その記号を書きなさい。（ ４ 点）
ア

ある河川の水質調査

イ

ある学校でおこなう健康診断

ウ

テレビ番組の視聴率調査

エ

日本の人口を調べる国勢調査

1⑸100 円硬貨 １ 枚と，50 円硬貨 ２ 枚を同時に投げるとき，表が出た硬貨の合計金額が 100 円以上になる確率を求めなさい。
ただし，硬貨の表と裏の出かたは，同様に確からしいものとします。（ ４ 点）

半径 ７ cm の球を，中心から ４ cm の距離にある平面で切ったとき，切り口の円の面積を求めな⑹

さい。（ ４ 点）⑺

右の図はある立体の展開図で，これを組み立ててつくった立体は，３ つの合同な台形と ２ つの相似な正三角形が面になります。
この立体をＶとするとき，立体Ｖの頂点と辺の数をそれぞれ求めなさい。また，立体Ｖの辺のうち，辺ＡＢとねじれの位置にAなる辺の数を求めなさい。（ ４ 点）
B2

⑻ある ３ 桁の自然数Ｘがあり，各位の数の和は 15 です。また，Ｘの百の位の数と一の位の数を入れかえてつくった数をＹとすると，ＸからＹを引いた値は 396 でした。十の位の数が ７ のとき，Ｘを求めなさい。（ ５ 点）

関 数 y ＝ ２ x²⑼に つ い て，x の 変 域 がa ≦ x ≦ a＋4の と き，y の 変 域 は０ ≦ y ≦ 18となりました。このとき，a の値をすべて求めなさい。（ ５ 点）⑽

次の図は，18 人の生徒の通学時間をヒストグラムに表したものです。このヒストグラムでは，通学時間が 10 分以上 20 分未満の生徒の人数は ２ 人であることを表しています。
下の箱ひげ図は，このヒストグラムに対応するものではないと判断できます。その理由を，ヒストグラムの階級にふれながら説明しなさい。（ ６ 点）
図（人）
642010203040506070（分）10203040506070（分）箱ひげ図032 次の各問に答えなさい。（ 13 点）⑴

下の図の点Ａは，北の夜空にみえる，ある星の位置を表しています。２ 時間後に観察すると，その星は点Ｂの位置にありました。北の夜空の星は北極星を回転の中心として １ 時間に 15°だけ反時計回りに回転移動するものとしたときの北極星の位置を点Ｐとします。このとき，点Ｐをコンパスと定規を使って作図しなさい。
ただし，作図するためにかいた線は，消さないでおきなさい。（ ６ 点）BA⑵

下の図のように，平行四辺形 ABCD の辺 AB，BC，CD，DA 上に ４ 点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈをそれぞれとり，線分 EG と BH，DF との交点をそれぞれＩ，Ｊとします。
AE ＝ BF ＝ CG ＝ DH のとき，△BEI ≡ △DGJ であることを証明しなさい。（ ７ 点）
HA
EIJBDFGC4

3 次は，先生とＡさん，Ｂさんの会話です。これを読んで，あとの各問に答えなさい。（ ９ 点）
先1の値を小数で表したものです。
nこれをみて，気づいたことを話し合ってみましょう。」

生「次の表は，２ 以上の自然数 n について，その逆数n1の値
n20. 530. 33333333333333…

40. 25

50. 260. 16666666666666…

70. 14285714285714…

80. 125

90. 11111111111111…

100. 1

Ａさん「n の値によって，割り切れずに限りなく続く無限小数になるときと，割り切れて終わりのある有限小数になるときがあるね。」
Ｂさん「なにか法則はあるのかな。」
Ａさん「この表では，n が偶数のときは，有限小数になることが多いね。」
Ｂさん「だけど，この表の中の偶数でも，n＝アのときは無限小数になっているよ。」

Ａさん「それでは，n が奇数のときは，無限小数になるのかな。」
Ｂさん「n が ５ のときは，有限小数になっているね。n が ２ 桁の奇数のときは，小数になるんじゃないかな。」
Ａさん「それにも，n＝イ1は無限nという反例があるよ。」

Ｂさん「有限小数になるのは，２，４，５，８，10，16，20，イ，32，…」

Ａさん「それぞれ素因数分解してみると，なにか法則がみつかりそうだね。」
先生「いいところに気づきましたね。他にも，有理数を小数で表すと，有限小数か循環小数になることを学習しましたね。」

Ｂさん「循環小数とは，同じ数字が繰り返しあらわれる無限小数のことですね。」
Ａさん「その性質を利用すれば，循環小数の小数第 30 位の数なども求めることができますね。
」

5

⑴

ア，イにあてはまる数を求めなさい。（ ４ 点）

1の値を小数で表したときの小数第 30 位の数を求めなさい。また，小数第 １ 位から小数7第 30 位までの各位の数の和を求めなさい。（ ５ 点）⑵

6

4 次の図は，コンピュータソフトを使って，座標平面上に関数 y＝ ax² のグラフと，一次関数
y ＝ bx ＋ cのグラフを表示したものです。a，b，c の数値を変化させたときの様子について，下の各問に答えなさい。（ 17 点）

yO

⑴

x

グ ラ フ が 右 の 図 １ の よ う に な る と き，a，b，c の大小関係を，不等号を使って表しなさい。（ ５ 点）

yO

図17x

⑵

右の図 ２ は，a，b，c がすべて正のときの，y関数 y＝ ax² と y＝ － ax² のグラフと，一次関数

y ＝ bx ＋ cとy ＝ － bx － cQのグラフを表示したものです。
図 ２ の よ う に， y ＝ a x²と

y ＝ bx ＋ cPとのグラフの交点をＰ，Ｑとし， y ＝ －a x²
y ＝ － bx － cととのグラフの交点をＳ，ＲOとすると，四角形 PQRS は台形になります。

xS

このとき，次の①，②に答えなさい。
R
図2①a，b の値を変えないまま，c の値を大きくすると，台形 PQRS の面積はどのように変化するか，次のア～ウの中から一つ選び，その記号を書きなさい。また，その理由を説明しなさい。
（ ６ 点）

ア②

大きくなる

イ

ウ

一定である

小さくなる

点Ｐ，Ｑの x 座標がそれぞれ－１，２ で，直線 QS の傾きが １ のとき，a，b，c の値を求めな

さい。また，そのときの台形 PQRS を x 軸を軸として １ 回転させてできる立体の体積を求めなさい。
ただし，座標軸の単位の長さを １ cm とします。（ ６ 点）

8

5 右の図のような，１ 辺の長さが ４ cm の正方形をD底面とし，高さが ６ cm の直方体 ABCD － EFGH があり，辺 AE 上に，AI ＝ ４ cm となる点Ｉをとります。

CQA

B

点 Ｐ は 頂 点 Ｂ を 出 発 し て 毎 秒 １ cm の 速 さ で辺 BF 上を頂点Ｆまで，点Ｑは頂点Ｄを出発してP

毎秒 １ cm の速さで辺 DH 上を頂点Ｈまで動きます。
点Ｐ，Ｑがそれぞれ頂点Ｂ，Ｄを同時に出発する

I

H
G

とき，次の各問に答えなさい。（ 17 点）
EF⑴（ ４ 点）
IP＋PG の長さが最も短くなるのは，点Ｐが頂点Ｂを出発してから何秒後か求めなさい。

⑵

点Ｐ，Ｑが頂点Ｂ，Ｄを同時に出発してから ２ 秒後の ３ 点Ｉ，Ｐ，Ｑを通る平面で，直方体を切ります。このときにできる ２ つの立体のうち，頂点Ａを含む立体の体積を，途中の説明も書いて求めなさい。（ ７ 点）

9⑶右の図のように，底面 EFGH に接するようにD

半径 ２ cm の球を直方体の内部に置きます。

C

点Ｐ，Ｑが頂点Ｂ，Ｄを同時に出発してからx 秒後の△IPQ は，球とちょうど １ 点で接しましAB

た。このときの x の値を求めなさい。（ ６ 点）

HGE
FDCA

Q
BPI

HGEF

（以上で問題は終わりです。）
10

1

解⑴ ※

答用

紙⑴

⑵ ※

⑶ ※
x＝⑷ ※

⑸ ※

⑹ ※
cm2と⑺ ※
頂点の数個

辺の数

⑻ ※

本

ねじれの位置になる辺の数︵ 切 り は な し て は い け ま せ ん ︒︶

数 学 〔学校選択問題〕

本

数 学 〔学校選択問題〕

3

答用

紙⑵

⑴ ※
アイ⑵ ※
小数第 30 位の数

4

和⑴ ※

⑼ ※

⑵ ① ※

＝（記号）

⑽ ※

（説明）

（説明）

2解⑴ ※
⑵ ② ※

B＝， ＝5⑵ ※（証明）

1 ， 2 の計

体積

cm3答え

cm3

⑴ ※
秒後

︵ こ こ に は 何 も 書 い て は い け ま せ ん ︒︶

A

， ＝⑵ ※（説明）1 ， 2 の計

⑶ ※

受検番号

第番

得点

※

受検番号

第番

解答用紙x＝