202２年度
併願優遇入試Ⅰ・一般入試Ⅰ 試験問題

数学（50 分）
（全１０ページ）＜注意＞
1．試験開始の指示があるまで、この問題冊子・解答用紙を開けてはいけません。
2．試験開始の指示と同時に、解答用紙に受験番号と氏名を書きなさい。
3．試験開始後、問題冊子がそろっていなかったり、印刷がはっきりしないところがあったら、手をあげて試験監督に知らせなさい。
4．解答はすべて解答用紙の指定されたところに書きなさい。ただし、解答欄に（途中の考え・計算）と書かれている問いは、問題を解くにあたって必要な式や図、考え方なども解答用紙に書きなさい。

１

次の各問いに答えよ。

1+ 0 -2 1 3 を計算せよ。
3（１）-5- 0 -6 1 &（２）

2a - ba - 3bを計算せよ。
46（３）04 +3U 2 10 1 - U 2 1 を計算せよ。

（４）

一次方程式 5x -7=3 0 x -9 1 を解け。

（５）

連立方程式

>

3x - 2y = 8
2x + 5y = -1を解け。

-1-（６）二次方程式 2x 2 -7x +4=0 を解け。

（７）

空欄にあてはまる数値を答えよ。
階級（m）
10 以上 12 未満
12 ～ 1414 ～ 1616 ～ 18
18 ～ 20
計

度数（人）
147
5
320

上の表は，生徒 20 人のハンドボール投げの結果をまとめた度数分布表である。生徒全体の記録の平均値は（８）m である。

1 から 7 までの整数が 1 つずつかかれた 7 枚のカードがあり，この 7 枚で1 セットになっている。純子さんと京子さんに 1 セットずつ配り，2 人がそれぞれ カードを 1 枚取りだしたあと，取りだされたカードにかかれた数の差の絶対値 A を調べた。
このとき， A が 奇数である確率を求めよ。

-2-２

3 と 5 の最大公約数，12 と 35 の最大公約数はともに 1 である。このように，正の整数a と b の最大公約数が 1 であるとき， a と b は「互いに素（そ）である」という｡また，

14 と 28 のように，最大公約数が 1 でないとき， a と b は「互いに素でない」という。
このとき，次の各問いに答えよ。
純子さんのクラスでは，先生が示した問題をみんなで考えた。

[ 先生が示した問題 ]21 以下の正の整数のうち， 21 と「互いに素である」整数の個数を，次の【手順】にしたがって求めよ。
【手順】①21 を素因数分解する。

②m を 21 以下の正の整数とする。 21 と m が「互いに素でない」のは，①を利用すると ，m がただし，③アアまたは<イの倍数になるときであるとわかる。とする。

21 以下の正の整数のうち，エイアの倍数はウイの倍数は個ある。

これより，21 と「互いに素でない」整数の個数は④個あり，オ個である。

③を利用すると，21 以下の正の整数のうち， 21 と「互いに素である」整数の個数は， カ（１）個であるとわかる。

[ 先生が示した問題 ] の空欄

ア【手順】にしたがって答えよ。

-3-からカにあてはまる数値を，

純子さんのグループは，[ 先生の示した問題 ] に答えることができた。
次に，ある正の整数が，2 つの素数 p と q の積 pq である場合を考えた。そして，新しい問題を作成した。

[ 純子さんのグループが作った問題 ]p と q を異なる素数とし，積 pq を作る。 pq 以下の正の整数のうち， pq と「互いに素である」整数の個数を，次の【手順】にしたがって求めよ。ただし， p < q とする。
【手順】①

正の整数 pq を素因数分解すると p % q になる。

②m を pq 以下の正の整数とする。 pq と m が「互いに素でない」条件をp と q を用いて書く。

③②の条件を利用して， pq 以下の正の整数のうち， pq と「互いに素でない」整数の個数を p と q を用いた式で書く。
pq 以下の正の整数のうち， pq と「互いに素である」整数の個数を p と q を用④いた式で書く。

（２）[ 純子さんのグループが作った問題 ] について，手順②，③，④の解答をそれぞれ記述せよ。

-4-

３a と b は正の定数とする。下の図で，放物線 y = ax 2 … ① と放物線 y =-bx 2 … ②，6 点 A，B，C，D，P，Q は，次の条件を満たしている。

y①ABPQxODC②8点 A は放物線 ① 上の点で，座標は -3,929 である。

点 B は放物線 ① 上の点で， x 座標は 2 である。

点 A を通り y 軸に平行な直線をひく。 その直線とx 軸との交点，放物線 ②との交点が，それぞれ点 P，点 C である。
点 B を通り y 軸に平行な直線をひく。その直線とx 軸との交点，放物線 ②との交点が，それぞれ点 Q，点 D である。
このとき，次の各問いに答えよ。ただし，軸の 1 目盛りの長さは 1 cm として計算せよ。
（１）a の値を求めよ。

（２）

直線 AB の方程式を求めよ。

-5-

（３）

△ OAB の面積を求めよ。

（４）

台形 PCDQ の面積を b を用いて表せ。

（５）△ OAB と△ OCD の面積の比が 2：3 とする。このとき，b の値を求めよ。

-6-

４

下の図は，直径 15 cm の円 O とその直径 AB に対して，次のような作図をおこなった図である。

DCP
AQ O

B

点 C は円周上の点でAC = 12 cm である。点 A における円 O の接線と直線 BC との交点を点 D とする。次に，4ADB の二等分線をひき，線分AC，直径 AB との交点をそれぞれ点 P，点 Qとする。
このとき，次の各問いに答えよ。
（１）

線分 AD と線分 CD の長さをそれぞれ求めよ。

（２）

線分 CP の長さを求めよ。

-7-

（３）

線分AQ の長さを求めよ。

（４）△APQ の面積を求めよ。

-8-

５

AB = 4 cm ，AD = 6 cm ，AE = 6 cm である直方体 ABCD-EFGH がある。
3 点 P，Q，R は，この直方体の辺上を次の規則にしたがって動く点である。
①

点 P は辺 AD 上を，毎秒 1 cm の速さで頂点 A から頂点 D まで動く。

②点 Q は辺 BC 上を，毎秒 2 cm の速さで頂点 B から頂点 C まで動く。
点 Q は頂点 C に達したら向きを変え，同じ速さで頂点 C から頂点 Bまで動く。

③点 R は辺 AE 上を，毎秒 2 cm の速さで頂点 A から頂点 E まで動く。
点 R は頂点 E に達したら向きを変え，同じ速さで頂点 E から頂点 Aまで動く。

④

3 点 P，Q，R は同時に動きはじめ，点 P が頂点 D に達したら，動きを停止する。

Q

C
DP

B

A

R

GH

F
E

このとき，次の各問いに答えよ。
（１）

3 点が同時に動きはじめてから 2 秒後の四角錐 R-ABQP の体積を求めよ。

-9-

（２）

0 < t ( 3 とする。3 点が同時に動きはじめてから t 秒後の四角錐
R-ABQP の体積を， t を用いて表せ。

（３）四角錐 R-ABQP の体積と直方体 ABCD-EFGH の体積の比が 4：27 になるのは，3 点が同時に動きはじめてから何秒後かをすべて求めよ。ただし，次の 2 つの場合に分けて答えよ。
①0 <t(3②3 <t<6-10-