ビームモニタ
ー ビーム・インスツルメンテーション ー
1. はじめにック・システムを統一的に記述する、z 変換を用いた定式化について解説する。

2. ガスシート・ビームプロファイルモニタ
加速器中を周回しているビームの断面形状を観測するには、ビームを横切るようにタングステ

1984 年以来今回で 28 回目となる OHO 高エネ

ン等のワイヤを挿入して、ビームが衝突すること

ルギー加速器セミナーのシリーズにおいては、ビでワイヤに流れる 2 次電子放出電流を検出するあームモニタについてのテキストがいくつか存在

るいは発生する 2 次粒子をシンチレーション・カ

するが、中でも OHO’09 の外山毅氏によるテキス

ウンタ等で検出し、ビーム断面を横切ってワイヤトは秀逸であり、陽子シンクロトロン等に用いらをスイープすることでビームの断面形状を観測れるビームモニタ、ビームフィードバック、ビーするワイヤ・モニタがよく知られており広く用い

ム不安定性に関する基本的かつ詳細な考察が網られている。しかしながら直接加速器中のビーム

羅されており、基礎的な知識を学ぶには十分なもに物質を挿入する方法では、衝突によるビームののである。一般的な知識を学ぼうとする諸氏にはエネルギー損失及び角度分散のために円形加速

ぜひ一読をお勧めする。一般的なビーム・インス

器では極く短時間でビームが失われてしまうた

ツルメンテーションに関する知識を学ぶには上め加速中のビームの動的振る舞いを観測する場

記テキストで十分と思われるので、本稿では同じ合には不都合であり、このようなビームモニタをような解説を繰り返すことはせず、主に今後の陽破壊型ビームモニタ（destructive beam monitor）

子シンクロトロンや次世代の放射光リングあると呼ぶ。

いは SuperKEKB のような衝突型電子陽電子蓄破壊型ビームモニタに対して非破壊型ビーム

積リングにおいて重要となる可能性を秘めたビ

モニタ（nondestructive beam monitor）としてーム･インスツルメンテーションについて解説すは、加速器中の残留ガスをビームによりイオン化

ることにする。

して発生するイオンの密度分布を観測すること

ビームモニタリングで最も難しいのはシンクでビーム･プロファイルを観測する残留ガス・ビ

ロトロンや蓄積リング等、リング型加速器中をほームプロファイル・モニタや、加速器中にガスジぼ光速で周回している荷電粒子ビームの断面形

ェットを噴射してビームと衝突させ、発生するイ状（ビーム・プロファイル）を、ビームに影響をオンを増量して信号強度を増強するガスジェッ

与えることなく如何にして精度良く観測するか

ト・ビームプロファイル・モニタがある。

という問題である。ビームプロファイル・モニタ

以上のような、ガスのイオン化を利用したビーは加速器の性能向上にとって重要なビーム不安

ムプロファイル・モニタの種々の欠点を克服し、定性などに関する詳細な情報を得る上で極めてビームバンチ毎にビーム･プロファイルを観測す

重要なものである。これまでいくつかの方法が実ることを可能にしたものとして、画期的なガスシ用化され多くのリングで稼動しているが、近年大ート・ビームプロファイル・モニタが KEK の橋

きな可能性を秘めたブレークスルーがあったの本義徳氏によって開発された[1,2]。酸素ガスを薄で、本稿では二種のビームプロファイル・モニタ

いシート状に成型して加速器中のビーム軌道をについて解説する。更にマルチバンチで運転され横切るように飛ばすことでビームと衝突させる。

る大強度のシンクロトロンや蓄積リングで、加速衝突によりイオン化されたイオンを静電場にて器の性能を制限する深刻な横方向ビーム不安定

MCP（マルチチャンネルプレート）に導いて増幅

性を抑制するためのバンチ毎ビームフィードバ

し、その後方に設置される蛍光板上にイオンの密度分布像を作るものである。原型は放射線医学研

究所の重イオンシンクロトロンにて微弱な重イ

間 80ns 以下の高速応答のものを用い、CCD カメ

オンビームのプロファイルを観測する目的で開ラのデータ収集時間を 100ns/frame 以下とするこ発されたもので、高感度化のために蛍光板上の発とで加速器中のビームバンチ毎のプロファイル

光像をイメージ・インテンシファイアで更に増幅を観測することができる。

した後 CCD カメラで記録することで、二次元のビームプロファイル像を得るものである。
加速器中の高度な真空（ ~ 10−9Pa ）に影響を与えることなく、パルス的に薄いガスシートを発生してビーム軌道を横切って飛ばすという、高度な技術を実現した開発者の執念と力量には脱帽するばかりである。ガスシート発生部の概略を図2-1 に示す。以降本節で使用している図は橋本義徳氏提供によるものである。

図 2-2 ビームプロファイル検出部
最も重要な技術はいかにしてシート状の分子線を生成するかという極めて困難な問題である。
開発者はまず使用するガスとして、不均一磁場で
図 2-1 ガスシート発生部概略

分子線を収束することができるように、大きな磁気モーメントを持つ酸素分子ガスを用いた。

図 2-1 の装置で生成されたシート状の酸素分子線
は、ビームバンチの通過にあわせて図 2-2 に示すようにシート面が加速器ビームの軌道に対して45°の角度となるように、ビーム軌道を横切って入射される（ガスシートの運動方向は紙面に垂直方向）。
ビームがガスシートを通過することでガスをイオン化し、発生したイオンはイオン捕獲電極で精巧に作られた平行電場によって捕獲、加速されて MCP に入射される。電荷は MCP で増幅され、MCP の後に配置された蛍光スクリーンにビーム
断面の電荷密度分布に比例する発光イメージを

図 2-3 ノズル及びスキマー概略

生ずる。この発光像をイメージ・インテンシファ
イアで増幅し CCD カメラにて撮像記録する。蛍図 2-3 に示すように、高速パルスバルブにより光スクリーンには光量が 1/10 に減衰する減衰時120µs の間ノズルからガスを噴射することで、パは精緻に設計されたノズルとスキマーを通るこ図 2-5 に進行方向の分布を示す。ターゲットとして使用される領域は、ピーク近傍 100 µsec の範とで断熱膨張により分子温度を数 K にまで下げ

囲（長さにして 73.5mm）であり、この範囲でのられ、速度広がりが約 80 m/s 程度にまで減少し密度変化は 10%以下である。なお 10%のガス密度

た分子速度の揃った分子線となる。分子線の軸方の不均一度はターゲットとしてビームサイズの測定に使用された場合、σ = 20 mm のガウスビー

ルス状のガスジェットを発生する。ガスジェット

向速度は 735 m/sec、速度広がりは±10%である。
分子線を数 10 cm 飛ばした後開口 10 mm×100
mm のスリットにて扁平に切り出し、周期磁場の中を通す。酸素分子は磁気モーメント µ を持つために、不均一磁場 H によりガスシートの面と垂直方向に µ∂H / ∂x なる力を周期的に受けることで、ムに対して 2.5%程度の測定誤差に対応する。
厚手のボール紙を 80mm 幅に切ったような形状のガスシートが、その形状を崩すことなく約1m も飛翔してビームと衝突するなど、想像しただけでも実に痛快である。

シートの厚さ方向に収束力を受け、発散することなく暑さ 1.3mm の薄いシート状となって加速器のビーム軌道を横切りビームと衝突する。ターゲットとしてのガス密度は最大で圧力換算

1 × 10−4 Pa （ 3 × 1019 molecules/sr ⋅ s ）ということである。図 2-4 にガスシート横方向の密度分布を示す。全幅 85mm、平坦部の幅 60mm が得られており、パルス毎の変動は約±3%である。

図 2-4 酸素ガスシートの幅方向密度
プロファイル

図 2-6 ガスシート・モニターで観測された
12 6+

C

ビームの 2 次元断面プロファイル像

以上述べたガスシート・プロファイルモニタによるビーム測定の例として、図 2-6 に放射線医学研究機構の重イオンシンクロトロン HIMAC で観12 6 +

測された、加速器中の炭素イオン（ C）ビー

ムの１つのバンチの 2 次元断面像を示す。6MeV/u
で入射されてからトップエネルギー430MeV/u に加速される間の adiabatic dumping による水平方
図 2-5 パルス・酸素ガスシート

向ビームサイズの減少、更に遅いビーム取り出しの時間構造

過程（rf キック）におけるサイズの増加が見える。

電子リングにおける放射光モニタの画像と見紛

概ね 10 ミクロン程度以上のビームサイズ測定にうような、実に鮮明な２次元ビーム断面像であ

おいては精度の高い測定が可能である。
しかしながら現在 KEK で建設が進められている。
加速器で加速されているビームの任意のバン

る SuperKEKB のような 10 ミクロンオーダーのチの 2 次元プロファイルを、非破壊で明瞭に観測

ビームサイズ測定は極めて困難である。このようすることが可能な本プロファイルモニタは、詳細な小さなビームサイズ測定においては回折効果

なビーム情報を提供してくれるものであり、加速が最も大きな誤差原因であることから、回折効果器の詳細な研究にとって極めて有意義であり今が無視できるような短い波長の X 線成分を、ピン後が期待される。特に究極の大強度ビーム実現に

ホールカメラや単色化した後フレネゾーン・プレ

向けて鋭意調整中の J-Parc 陽子シンクロトロン

ート等で観測することが一般的である。しかしなにおいては、困難なアパーチャー問題やビーム不がら、ピンホールカメラでは像が暗いため、多く安定性の克服に極めて有用であると考えられ、今のビームバンチの平均的なバンチサイズを知る

後設置、活用されんことを願っている。

ことは出来るが、単一のビームバンチの放射光イメージからビームバンチのサイズを精度よく測3. X 線コーデッドアパーチャー・
ビームサイズモニタ

定することは不可能であり。またフレネゾーン･
プレートは放射光の平均強度が大きい場合には熱的損傷が問題となるため測定の自由度が制限されてしまう。

KEKB ファクトリー加速器のような衝突型蓄

そこで KEK の J. Flanagan 氏により、微小な積リングにおいては、加速器中の電子、陽電子ビ

x 線源の観測に用いられる x 線コーデッド・アパ

ームのビームバンチを安定にかつできる限り小ーチャーマスク・カメラからヒントを得たビーム

さな断面サイズに制御することがハイ・ルミノシ

サイズモニタが開発され、コーネル大学の電子リティーを実現する上で最重要な課題である。そのングにてその有効性が実証された[3,4]。現在、更ためにはミクロンオーダーのビームサイズを精なる精度向上の研究が進められている。コーデッ

度良く測定することが求められる。電子や陽電子

ド・アパーチャー・マスクは天体観測やレーザーの蓄積リングではビームがベンディング電磁石

核融合などの分野で使われてきた x 線撮像法での磁場中を運動するときに放射する、シンクロト[5,6]、例えばレーザー核融合におけるペレットのロン放射（放射光）を観測することでビームサイ

爆縮過程の観測に以前から用いられてきた方法

ズを測定することができる。しかしながら放射光であり、1-10 µm オーダーの微小な x 線源のイメのイメージをカメラで撮像する方法では、放射光ージングに活用されている（補遺 A 参照）。

の回折現象のために制度の良い測定は不可能でコーデッドアパーチャー･マスクとは原理的にある。現在精度の高い方法として広く用いられるは多数のピンホールをあけたマスクと同じもの

測定法は、天体の角直径の測定などにもちいられである。ピンホールの個数を N とすると得られるている干渉計にヒントを得て、KEK 放射光施設

イメージも N 個得られる。したがって全てのイメの三橋利行氏によって開発された放射光干渉計

ージを重ね合わせることで明るいイメージを得による方法である。放射光干渉計は放射光の可視ることができ、精度の高い測定が可能となる。ま

光成分をダブルスリット干渉計（マイケルソン干

た、マスク上のピンホールを適当な法則性に基づ

渉計）を用いて観測される、干渉縞の濃度パター

いて配列した URA マスク（Uniformly Redun-

ン（フリンジパターン）からビームサイズを測定

dant Arrays mask）を用いることで、光源（ビーするものであり、回折効果の影響を受けないため

ム断面）の形状を再現することができる。

そこで、まず図 3-1 に示すように一つの 1 次元になってしまう。このようにシングル･スリット

ピンホール即ちシングル・スリットによって出来（即ち一つのピンホール）だけでは小さな光源をる光源のイメージを考えてみる。スリットの回折

精度よく観測することは困難である。

効果は無視できるものとし、光源からスリットをあけたマスクまでの距離を L1 、マスクからスクリーンまでの距離を L2 とする。

図 3-2 スリットカメラのイメージ（ガウス分布光源）

図 3-1 １次元ピンホールカメラ（スリットカメラ）の原理図

そこで補遺 A にあるような、多数のピンホール

マスク上の座標を x ′ とし、光源面の点 ξ から出た光線が x ′ を通ってスクリーンに達する点の座標を x とすると

L2 / L1
x
(3.1)
ξ+
M
M
が成立する。ここで M = 1 + L2 / L1 である。従って光源の強度密度分布を ρ (ξ ) とすると、スクx′ =リーン上のイメージの明るさの分布はp( x ) = ∫ ρ (ξ )a ( x ′)d ξ(3.2)となる。ここで a ( x ′) は、(3.1)式で決まる x ′ がスから成る URA コーデッド・アパーチャー･マスクを用いた x 線 URA アパーチャー･カメラの原理を
1 次元像に適用した、x 線ビームサイズ・モニタが開発された[3]。通常の x 線 URA アパーチャー･
カメラにおける光源像の再生アルゴリズムでは、
x 線の波長は短いので回折効果は無視できるものとしているが、放射光による 10µ m オーダー以下の光源（ビーム断面）の測定には注意が必要である。
放射光の波長 λ と光子エネルギー ε の関係は

リットの開口部にあるときは１、スリット開口部

λ (nm) = 1.24 / ε (keV)
で与えられる。 λ = 0.062 nm (ε = 20 keV) 、光から外れているときは０（またはマスクによる吸源からマスクまでの距離を L1 = 5 m 、スリット幅収に対応する１以下）の値をとるものとする。ここでは 0 として考える。 ρ ( x ) をガウス分布関数

を d = 10 µm とすると、スリットのエッジにおけρ ( x ) = ρ 0 e − x / 2σ∆θ ≈ π / kd = 3.1 µrad

2

2

(3.3)

とするとスクリーン上のイメージの明るさ分布は図 3-2 のようになる。ここで σ = 2 µm 、スリる回折効果による広がりはとなるので、光源位置に換算した広がりは

ット幅は d = 10 µm 、 M = 10 とした。即ちスリ∆ξ ≈ L1∆θ = 16 µmとなるため、光源サイズが 10 µm オーダー以下のット幅がビーム広がりより大きい（ d / 2 > σ ）場

場合は回折効果を考慮した解析が必要であり、通合は、光源像が広がってしまい精度よく再現する

常の URA アパーチャー･カメラのように光源象ことはできない。精度を上げるにはスリット幅をを精度よく再生することは困難である。

光源幅より小さくする必要があるが、イメージがそこで J. Flanagan 氏は Fresnel-Kirhhoff の回

暗くなってしまうので精度を上げることが困難

折積分を実行することでスリットの回折効果を

考慮に入れた放射光観測に対する解析方法を開発した。よく知られているように電子等が放射するシンクロトン放射は、σ 偏光および π 偏光の二つの偏光成分から成り、ベクトルポテンシャルのフーリエ成分は

⎧
Aσ ⎫
3 ω
2 ⎪
γ {1 + (γψ ) } ⎨⎬ = −i
Aπ ⎭
2π ωc
⎪
⎩

K 2 / 3 (η )iγψ
1 + (γψ )2

K1/ 3 (η )図 3-3 実証実験で用いた
URA マスクパターン(3.4)
2 3/ 2で与えられる。ここで η = (ω / 2ωc ){1 + (γψ ) }、図 3-3 に URA マスクのスリット配列を示す。

ψ は観測方向と軌道面の成す角度、ω は x 線の周

この URA マスクを用いて測定されたコーネル大波数である。マスク材質の透過率を考慮に入れ

学電子蓄積リングの放射光イメージを図 3-4 に示て、マスク面上で回折積分を実行することで、ス
クリーン上で観測される Aσ ,π ( y ) を得る。

す[3]｡カラー原図のため判然としないが、赤線はAσ ,π (ω, y ) =i∫ Aσ ,π (ω, ym )t ( ym )2λ maskei 2π ( r1 + r2 ) / λ×(cos θ1 + cosθ 2 )dym
r1r2

測定値、青線はビームの垂直方向（y 方向）サイズ（光源サイズ）を σ y = 10 µ m として(3.4)-(3.7)
式から予測される計算値であり、データがよく再現されている。

(3.5)
ここで Aσ ,π (ω, ym ) はマスク面上の Aσ ,π であり、発光点（着目している電子）の y 座標を ys として、(3.5)式においてψ をψ ( ym ) = ( ym − ys ) / L1
(3.6)
と置き換えたものである。 y 、 ym はそれぞれス
クリーン、マスク上の y 座標（垂直方向）、( r1 , θ1 )は光源からマスク上の点 ym までの距離および角度、 ( r2 , θ 2 ) はマスクからスクリーン上の点 y ま

図 3-4 マスク上のイメージの明るさ分布

での距離および角度、 t ( ym ) はマスク材質の複素（at CesrTA）

透過率である。スクリーンに達する単位面積当たりの放射光エネルギー

図 3-5 は KEKB の発展型後継蓄積リングとして

dW
e2
2
2
=
{ Aσ (ω , y ) + Aπ (ω, y ) }dω∫dxdy 4πε 0 c 0

KEK で建設が進んでいる SuperKEKB における

(3.7)
より、スクリーン上の像の明るさ分布を得る。コ

クパターン、図 3-6 は予想される x 線イメージで∞ーデッドアパーチャー・マスクには最もよく用いられるスリット開口率 50%の 1 次元 URA マスク

コーデッドマスクイメージング・ビームサイズモ
ニタ（ σ y モニタ）で用いられる予定の URA マス
ある。ビームサイズによりスリット像がスムージングされて変化していることが分かる。マルチセ
グメント x 線検出器から成るスクリーン上に得らを用いることにした。以降本節で使用している図

れるこのような像を、(3.4)-(3.7)式を用いてフィッは J. Flanagan 氏提供によるものである。

ティングすることでビームサイズを観測する。

これより 10 µm 程度のビームサイズの観測に対して ±1 − 2 µm 程度の誤差が予想され、現在更なる精度向上に努めているところである。
以上述べた開発中の URA コーデッドアパーチ
図 3-5

SuperKEKB で用いられる
URA マスクパターンャー・マスク法は、マスクによる回折効果が無視できないので光源像の再現は困難であるため、ガ
ウス分布ビームを仮定してスクリーン上のイメージをフィッティングすることでビームサイズを求めることにしている（この場合、強いて URA
マスクである必要があるのか疑問ではあるが、イメージの明るさ即ち x 線検出器の統計誤差の改善には透過効率の高い URA マスクが有効であろう）。本来の 2 次元または 3 次元光源像の再現を目指した URA マスク・コーデッドアパーチャー･
カメラとは少しコンセプトが異なると思われるが、三橋利行氏による放射光干渉計と並んで、加速器中のビーム観測にとって大きなブレークス
ルーであると考えられる。

図 3-6

SuperKEKB における URA マスク
による x 線イメージの予想

なお、測定分解能は x 線検出器の１セグメント
当たりの光子数に依存する。図 3-7 に 2 種類の検出器を用いたときの統計的分解能の予想を示す。

特に SuperKEKB においては、リング中の 2500
個以上のバンチから成る電子・陽電子ビームの、個々のバンチのサイズを精度良く測定することができるものと期待され、詳細なビーム不安定の調査、研究に極めて有用なインスツルメンテーシ
ョンとなることが期待される。

原図がカラーのため判然としないが、広がりの大
きい方がコーネル大学の蓄積リングで使用した x

4. ビーム・フィードバック

線検出器、広がりの小さい方が改良予定の高感度検出器を用いたときに期待される測定誤差である。

4-1 伝達関数
KEKB や SuperKEKB のような大電流蓄積リ
ングでは強いビーム不安定性のために、無対策では 20~30 mA 程度のビームを蓄積するのが精一杯であり、アンペアオーダーのビームを蓄積するためにはビーム不安定性を抑制するためのビーム
フィードバックが必要不可欠である。上記リングのような極めて多数のビームバンチが蓄積される場合には、ビームによってバンチの周期とリン
グ中のビームの回転周期に同期した電磁場が誘起され（航跡場、wake field）、それによってビー

図 3-7 期待されるビームサイズのム自身が電磁力を受けてベータートロン振動が測定誤差（SuperKEKB / LER）

励起され、ビームサイズが増大してルミノシティ
ーが低下したり、振動振幅がビームパイプのアパーチャーを超えてビームが失われてしまう、横方のベータートロン振動の位相進み、ν はリング一

向マルチバンチ不安定性が深刻な問題となる。
このような横方向ビーム不安定性を抑制する

周当たりの振動数（ベータートロン・チューン）である。T0 はビームがリングを一周する時間、τ

ために図 4-1 に示すように、ビームバンチの横方は放射ダンピングやチューンの広がりによるバ

向ベータートロン振動をビーム位置検出器

ンチ中心の振動のダンピング時間である。 τ < 0（BPM）にて検出して増幅した後、キッカーに加の場合は −τ がビーム不安定性によるコヒーレン

えてバンチを蹴りもどして振動を抑えるフィー

トなベータートロン振動の成長時間を表わして

ドバック装置（横方向バンチ毎ビームフィードバ

いる。従ってキッカーによるビームの蹴り角を∆x ′( s1 ) とするとック）が用いられる。

⎛ xn ⎞ −T0 / τ ⎛ xn −1 ⎞ ⎛ 0 ⎞M⎜⎜ ′ ⎟=e⎟+⎜⎟⎝ xn ⎠⎝ xn′ −1 ⎠ ⎝ ∆xn′ ⎠⎛ x0 ⎞ n⎛0 ⎞= e − nT0 / τ M n ⎜ ⎟ + ∑ e − ( n − k )T0 / τ M n −k ⎜⎟⎝ ∆xk′ ⎠⎝ x0′ ⎠ k =0
(4.3)
より、初期値を ( x0 , y0 ) = (0, 0) として無視することで、 ∆x ′( s1 ) に対するビーム軌道の応答n⎫xn = ∑ g1 ( n − k ) ∆xk′ ⎪
⎪
k =0
⎬
n
xn′ = ∑ g 2 ( n − k ) ∆xk′ ⎪⎪
⎭
k =0

(4.4)

を得る。ここで
g1 ( n − k ) = e − ( n − k )T0 / τ β1 sin( n − k ) µ

図 4-1 ビームフィードバック概念図
このようなビームの運動を含んだフィードバック系
は、z 変換を適用することにより統一的に解析すること⎫⎪⎬
g 2 ( n − k ) = e − ( n − k )T0 / τ {cos( n − k ) µ − α1 sin( n − k ) µ} ⎪⎭

(4.5)
である。
BPM の位置 ( s = s2 ) における n ターン目のビーム
B

B

Bができる[7]。ビームの横方向運動（ベータートロン振変位 x を xn とする。BPM の出力電圧を vn = K B xn

動）はリング一周のビーム転送行列

として、 vn を A1 倍に増幅してから M タップのβ sin µ⎛ cos µ + α sin µ
⎞
M =⎜
(4.1)
cos µ − α sin µ ⎟⎠⎝ − γ sin µによって記述される。リングの軌道上キッカーの位置

s1 おける、n ターン目のバンチ中心の平衡軌道（閉軌
道という）からの変位及び平衡軌道に対する運動方向の傾きを ( xn , xn′ ) と す る と 、 n+1 タ ー ン 目 の( xn +1 , xn′ +1 ) は⎛ xn +1 ⎞ −T0 / τ ⎛ xn ⎞
M⎜ ⎟
(4.2)
⎜ ′ ⎟=e′xx⎝ n +1 ⎠⎝ n⎠で与えられる。ここで µ = 2πν はリング一周当たりB

FIR デジタルフィルターを通し、更にゲイン A2 倍の広帯域パワーアンプで増幅した出力をキッカーに加えるものとすると、キッカー電圧はM

vnK = − A1 A2 ∑ hm vnB− m + A2 en

(4.6)

m =1

で与えられる。ここで hm は FIR フィルターの m 番目のタップの重み、 en はパワーアンプへの外部入力
あるいは入力雑音電圧である。
ここで n11 、 n12 をキッカーから BPM までのビー
ム転送行列

⎛ n11 n12 ⎞N =⎜⎟⎝ n21 n22 ⎠は BPM 信号を処理する M タップ FIR デジタル
フィルターの伝達関数である。 β1 、 β 2 はそれぞ

Bの成分として、 xn は

xnB = n11 xn + n12 xn′(4.7)

で与えられる。キッカーから BPM までのベータート
ロン位相進みをψ 12 とすると

⎫
β2
n11 =
(cosψ 12 + α1 sinψ 12 ) ⎪β1⎬ (4.8)⎪⎭n12 = β1β 2 sinψ 12である。これよりキッカーのキック角を∆xn′ = K K vnK

(4.9)

として
∆xn′ = K K A2

れキッカーおよび BPM 位置でのベータートロン
振動の抱絡線関数 β ( s ) の値、またK = A1 A2 K B K K β1β 2は規格化ループゲインである。

電子回路の応答でお馴染みのラプラス変換で導かれる伝達関数の場合と同様、伝達関数 G ( z )の分母=0 即ち特性方程式

z 2 − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ+ K {z 2 sin ( µ − ψ ) + ze −T0 / τ sinψ }F ( z ) = 0の根 z p ( p = 1, 2, ") により逆変換

xn = Z −1 [ X ( z )] ≡M

× {− K B A1 ∑ hm ( n11 xn − m + n12 xn′ − m ) + en }m =1

(4.10)となる。
次に xn , xn′ , en , g1 ( n ), g 2 ( n ) の z 変換をX ( z ) = Z [ xn ] , X ′( z ) = Z [ xn′ ] , V ( z ) = Z [ en ] ⎫⎪⎬G1 ( z ) = Z [ g1 (n )] , G2 ( z ) = Z [ g 2 ( n )]⎪⎭として、(4.4)式、(4.10)式に対して z 変換を行うこと
で閉ループ応答X ( z ) = G ( z )V ( z )(4.11)

を得る。 G ( z ) は閉ループ伝達関数であり

K
A1K B

G( z) =
1+ K

(4.12)
で与えられる（補遺 B 参照）。ここでze −T0 / τ sin µ⎫
G1 ( z ) = 2⎪
z − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ ⎪⎬ (4.13)z 2 − e −T0 / τ (cos µ + α1 sin µ ) z ⎪G2 ( z ) = 2
z − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ ⎭⎪またF ( z ) = ∑ hm z
m =1∫
2π j v
C(4.16)G ( z )V ( z ) z n −1dz (4.17)を求めることが出来る。また

⎞
β1 ⎛
n12
G2 ( z ) ⎟ F ( z )⎜ n11G1 ( z ) +
β2 ⎝
β1
⎠

G0 ( z ) = K(4.18)
は一巡ループ伝達関数（オープンループ伝達関数）と考えられ G ( z ) 及び G0 ( z ) の周波数特性はG ( e jωT0 ) 、 G0 ( e jωT0 ) で表わされる。
簡単な例として FIR フィルターがシングル・タップ（ h1 = 1, hm = 0 ( m ≥ 2) ）(4.19)の場合を考察してみる。このときの特性方程式は

⎞
n12
β1 ⎛
G2 ( z ) ⎟ F ( z )⎜ n11G1 ( z ) +
β2 ⎝
β1
⎠

M

1

F ( z ) = z −1

β1
G ( z)
β2 1(4.15)

z 2 + {K sin ( µ − ψ ) − 2e −T0 / τ cos µ}z+ e −T0 / τ ( K sinψ + e −T0 / τ ) = 0(4.20)

なる 2 次方程式になる。ここでψ = µ − ψ 12 である。 en = V0δ n 0 としてインパルス応答を求めると、(4.22)式の根を z± として(4.19)式より

xn = V0

Ke −T0 / τ sin µ
A1K B

β1 z+n − z−n
β 2 z+ − z−

(4.21)

を得る。即ちターン数 n とともに、バンチ中心の変位が z±nで変化する二つの振動モードから成ることが分かる。運動が安定であるためには−m(4.14)

z± < 1 でなければならない。

(a)ν = 0.51(b)ν = 0.57

図 4-2 特性方程式の根（LER/KEKB）（シングル・タップ FIR フィルター）(a)ν = 0.51(b)ν = 0.57

図 4-3 ダンピング時間（LER/KEKB）（シングル・タップ FIR フィルター）また振動のダンピング時間は

τ ± = −T0 / ln z±nで与えられる（ z± = z0 e

− nT0 / τ ±(4.22)

例として KEKB を考えると、 T0 = 10 µsec 、τ ≈ 20 msec より

T0 / τ ≈ 5 × 10−4 << 1）。ここでsinψ = −1

であり、安定領域は(4.25)式で与えられる。

(4.23)となるように BPM とキッカーを配置しているものとすると、 T0 << τ では、安定条件を満たす規

図 4-2、図 4-3 に示す z± 、τ ± の K 依存性から分格化フィードバックゲインの範囲はときダンピング時間が最小になることが分かる。

0< K <2となる。

(4.24)

かるように、特性方程式が重根 ( z+ = z− ) を持つ

最小ダンピング時間を与えるゲインを K 0 とす
ると、フィードバックゲイン K が K 0 より大きくても小さくても τ ± は大きくなる。更に τ ± のゲイ
ン依存性はチューンによって大きく影響され、特にチューンが整数または半整数に近い場合には急激に変化するので注意が必要である。
オープンループ及びクローズドループ伝達関数の周波数特性 G0 (e jωT0 ) 、 G ( e jωT0 ) を図 4-4 に示す。サンプリング定理により周波数特性は
f 0 = 1/ T0 毎に周期的となっている。特性はチューン（の端数）に依存し、チューンが半整数に近
いとチューンに敏感になる。(b)図では z+ 、 z− の二つのモードに対応するピークが ν = 0.42, 0.57にあることが分かる。クローズドループでは
ν = 0.42 のレスポンスは約 30 dB、ν = 0.57 のレ
スポンスは約 40 dB 抑制されていることが見てとれる。

(a)ν = 0.51(b)ν = 0.57

図 4-4 オープンループ及びクローズドループ伝達関数の周波数特性

4-2 KEKB のビームフィードバック
以上のようにフィルターがシングルタップのFIR によるハイパスフィルター（HPF）またはバ
ンドパスフィルター（BPF）が用いられる。

解くことが出来るが、２タップ以上のマルチタッ

例として KEKB で採用されていた２タップ・FIR フィルター h1 = 1, h2 = −1, hm = 0 ( m ≥ 3) のプフィルターの場合は特性方程式が 3 次以上とな場合を考えると場合は特性方程式が 2 次式となるので、解析的にるので解析的な解法は困難であり、数値計算に頼ることになる。
実際の加速器では閉軌道歪（COD）があるため、シングルタップ FIR フィルターでは BPM 信号に

F ( z ) = z −1 − z −2

(4.25)

より特性方程式は３次となる。この場合の特性方
程式の根 z p ( p = 1, 2, 3) およびダンピング時間

大きなオフセット成分を生じ電子回路のダイナτ p の計算例を図 4-5、4-6 に示す。図から分か

ミックレンジを大きく損ねてしまうので実用にるようにフィードバック・ゲインの安定領域ははならない。このようなオフセット成分を除去す

0 < K < 1 となり、シングル・タップの場合の 1/2

るために、IIR フィルターまたはマルチタップ

に減少している。通常のフィードバックと同様、とが望まれるが、ループの安定性を広く確保する

時間遅れ要素が増加するとループの安定領域が観点からはタップ数は少ない方が望ましい。タッ

狭まるので、タップ数が多いときには注意が必要

プ数が多い場合にはダンピング時間及びフィーである。ノイズ成分を抑制してフィードバック信

ドバック信号の S/N について、フィルター関数（タ号の S/N 比を向上するにはタップ数を多くするこップの重み）の最適設計が必要である。

(a)ν = 0.51(b)ν = 0.57

図 4-5 特性方程式の根（２タップ FIR フィルター）(a)ν = 0.51(a)ν = 0.57

図 4-6 ダンピング時間（２タップ FIR フィルター）4-3 J-Parc 50GeV リングのビーム
フィードバック

必要なベータートロン位相差は −104° である。そこでν = 0.4 に共振し −104° の位相差を持つ BPF
を 16 タップ・FIR フィルターで実現したときの大強度陽子シンクロトロン J-Parc 50GeV リン
グでは今後ビーム強度が上がるに伴い、強いビー
ム不安定性が予想されるためバンチ毎ビームフィードバック・システムが設置されている。フィードバック信号の S/N を改善するために、BPM
信号からベータートロン振動を選択し、キッカー

フィルターの周波数特性及び位相特性を図 4-7 に示す。
16 タップ FIR フィルターを用いたときのフィードバックループの特性方程式は 17 次となり、17 個の根が求まる。ν = 0.4 として規格化ループ
ゲイン K を 0 から 1 まで変えたときの根の軌跡をでビームをキックするための最適なベータート

図 4-8 (a) に示す（図では 16 個の根しか見えない

ロン位相差を作るために、16 タップの FIR バン

が理由は不明である）。

ドパスフィルター（BPF）が用いられている。以下で栗本佳典氏による伝達関数の安定性解析の概略を紹介する[8]。

(a) 振幅特性(a) 特性方程式（16 次）の根軌跡（円は z = 1 を示す）（ K = 0 to 1 ）(b)位相特性
図 4-7

16 タップ FIR フィルターによる BPF の周波数特性（栗本佳典氏提供）

BPM とキッカーはほとんど同じ場所（ベータートロン位相で ~ 14° の差）に設置されていて、
β1 = β 2 = 15 m 、チューン（の端数）はν = 0.4 、(b) ダンピング時間
図 4-8

J-Parc 50GeV リングにおけるビーム

フィードバックの例（栗本佳典氏提供）

図で分かるように破線で囲った複素共役の関

ドバック・ループを on にすることで 0.7~0.8msec

係にある 2 つの根が安定性を支配しており、ダン（ターン数にして 70~80 ターン）でダンプされる

ピング時間を決定している。図 4-8 (b) に示すよ様子が見える。SuperKEKB などで、成長時間がうに安定なゲインの領域は 0 < K < 0.24 であり、10 ターン程度の強いビーム不安定性がある場合

最小ダンピング時間は K = 0.11 のときビームのにはタップ数を減らす必要が生ずるかもしれな

周回数にしてほぼ 130 ターン程度であることが分い。残念ながらフィルター関数の詳細を把握してかる。即ち成長時間が 130 ターン以上のビーム不いないため、これ以上の解説はできない。

安定性を抑制することができる。タップ数が大きく時間遅れの大きい要素を含むので、図 4-6 の２タップフィルターに比べて更に安定領域が狭く、最小ダンピング時間が長くなっている。
4-4 KEKB のビームフィードバック（マルチタップ FIR フィルター）KEKB のビームフィードバックのフィルターはコミッショニング開始から長い間２タップ FIR
フィルターを用いていたが、シャットダウンの２～３年ほど前から、SLAC と共同で新たに開発したユニバーサルなマルチタップ・デジタルフィル
ターに変更された。

4-5 軌道ノイズ
コライダー・リングにおいてはビームフィード
バック信号のノイズによってビームが振動し、ル
ミノシティーが減少してしまうという問題がある。シミュレーションによれば振動振幅がビームサイズの 1% 程度以上あると顕著なルミノシティー低下が起きると予想されていて、フィードバッ
クシステムに対して厳しい S/N が要求される。そのため、雑音を抑えるためにフィードバックゲイ
ンを十分に上げられず、必要なダンピング時間を実現できなくなる可能性を生ずる問題がある。
en をパワーアンプへの入力ノイズとすると、

en はフィルター回路の出力ノイズ en1 およびパワーアンプ自身の入力換算ノイズ en 2 の和である。
Vn1 ( z ) = Z [en1 ( n )] 、 Vn 2 ( z ) = Z [en 2 ( n )]として(4.11)式における V ( z ) = Z [en ] は(4.26)V ( z ) = A2Vn1 ( z ) + Vn 2 ( z )(4.27)となる。ノイズ en1 と en 2 は異なるタップの間では自己相関がないのもとすると、en − k en − k ′ の期待値
はen −k en −k ′ = ( A22V12 + V22 )δ kk ′2

2

2

(4.28)

2となる。ここで V1 = en1 、 V2 = en 2 である。
図 4-8

16 タップ FIR フィルターを用いたビームフィードバックによる、KEKB リングのビームの振動（飛山真理氏提供）

これよりフィードバック系のノイズにより励起されるビームの軌道ノイズは次式で与えられる。
nnxn2 = ∑ ∑ g ( k ) g ( k ′) en − k en −k ′k = 0 k ′= 0

図 4-8 に 16 タップ FIR フィルターを用いたと
きの KEKB リングにおけるマルチバンチ・ビー
ム不安定性の成長とダンピングの様子を示す。数msec かけて成長してきた不安定がビームフィーn= ( A2V12 + V22 ) ∑ {∑ [ z k −1 ( z − z p )G ( z )]z = z p }2
k =0

p(4.29)(4.29)式より、十分時間を経た後（ n → ∞ ）の軌

KEKB の２タップ FIR フィルターを用いたビ

道ノイズの期待値は2⎛ β ⎞ 2 Rs
xn2 = {( A2V1 )2 + V22 }⎜ 1 ⎟⎝ E / e ⎠ Z0
3 3 K Kp q
× e −2T0 / τ sin 2 µ ∑ ∑p =1 q =1 1 − z p zq

ームフィードバック・システムにおいて、実測したノイズから(4.30)式により計算された軌道ノイ
ズを図 4-9 に示す。破線はキッカー入力（パワー
アンプ出力）におけるノイズ電圧の rms 期待値、
実線は軌道揺らぎ（ノイズ）の rms 期待値である。
(4.30)となる。ここでzp
Kp =( z p − zq )( z p − zq′ )チューンが半整数に近くなるとノイズに敏感になり、軌道揺らぎが大きくなる（(a)図）。ビーム( q ≠ p, q′ ≠ p, q ≠ q′)(4.31)
であり、z p ( p = 1, 2, 3) は特性方程式の根である。

軌道面と垂直方向（y 方向）のビームサイズは、キッカーの位置で σ y = 100 ~ 150 µm であるので、ノイズによる軌道揺らぎは 1~2µm 程度以下に抑えることが望まれるが、図 4-9 からはそこま
でノイズを抑えるのは難しそうに思われ、ノイズの詳細な測定と解析が必要と考えられる。そのため KEKB におけるフィードバックゲイン K は
0.1 以下の非常に小さな値（0.02~0.05 程度か？）でオペレーションされていた。図のようにゲイン
とともにノイズが大きくなるのは、BPM からパワーアンプ入力までの間に存在するノイズが支配的であり、パワーアンプ自身のノイズは問題ないことを示している。SuperKEKB では KEKB
より更に一桁程度ノイズを抑制する必要があると考えられ、
BPM 信号および信号処理部の高 S/N化が望まれる。

(a) ν = 0.51(b) ν = 0.57
図 4-9 軌道ノイズ（LER/KEKB）

５．あとがき加速器の勉強をする上で、OHO 加速器スクー
ルのテキストには大変お世話になってきた。もはや年寄りの出る幕ではないが、今回が最後のつもりで感謝の気持ちを込めて講師を引き受けることにした。筆者が 34 年前に KEK 12GeV PS のビ
ームモニタの仕事に従事して以来、高エネルギー
加速器の進展とともにビームモニタのコンセプ
トと技術は大きく進展してきた。特に KEKB のようなコライダー・リングでは、各種のビームハ
ンドリング機器を種々のビームモニタ情報でリ
アルタイム・フィードバック制御する技術がハ
イ・ルミノシティーを追求する上で必須技術となった。それにはモニタ装置の高精度化はもとより、最適伝達関数の設計／構築が高精度ビーム制

御の必須条件である。伝達関数を考える上で参考となる一例として、４節でビームフィードバック
系の z 変換による定式化と解析を詳細に紹介した。J-Parc、SuperKEKB、ERL/KEK と最先端の加速器がその性能を最高度に発揮するには、ビーム・インスツルメンテーションが提供するビー
ム情報が不可欠であり、フィードバックのための
デジタル制御技術が重要となる。諸兄の今後の活躍と更なる発展を心から期待したい。また、本ス
クール前校長の木村嘉孝先生、鎌田進氏並びに現校長の古屋貴章氏に感謝したい。

マスク面及び光源面をセグメントに分けて、それぞれのセグメントの番号を (i, j ) 、 ( n, m) とすると、(A1)式は

P ( n, m) = ∑∑ S (i, j ) A( n, m; i, j )
i

(A2)

j

と近似できる。ここで∑ A(n, m; i, j )G(n, m; k , A) = δik δ jA (A3)n ,mとなる行列 G ( n, m; k , A) が存在すれば、光源の強度分布はスクリーン上の像 P( n, m ) から

S ( k , A) = ∑ P( n, m )G ( n, m; k , A)

(A4)

n ,m

参 考 文 献で求めることが出来る。このように光源分布を再[1] Y. Hashimoto et al., Nucl. Instr. And Meth.

で表わされるマルチピンホール・マスクを URA

A527(2004)289.
[2] 橋本義徳 他, 日本加速器学会誌, 1(2004)216.

マスクという。

[3] J. W. Flanagan et al., Proc. IPAC10, Kyoto,

開発された x 線 URA コーデッドアパーチャー･

p.966 (2010).
[4] J. W. Flanagan et al., 第７回日本加速器学会

カメラによる、0.5mm の x 線源の画像と URA マ

年 会 プ ロ シ ー デ ィ ン グ ス , Himeji, p.618

現することのできる（即ち G が存在する）行列 A

参考までに大阪大学、レーザー核融合研究所でスクを図 A-1、A-2 に示す[6]。ピンホールカメラに比べて圧倒的な光源像再現性を示している。

(2010)[5] E. E. Fenimore and T. M. Canon, Appl. Opt.
17 (1982) 337[6]“URA コーデッド・アパーチャ・カメラ”, 山田淳 他,テレビジョン学会技術報告 7(5)ED708, 1983-06, p.65-70.
[7]V. M. Zhabitsky, Proc. of PAC1993, p.2543.
[8] 栗本佳典 私信 2010-7-12.

補遺 A：コーデッドアパーチャ・
イメージング(a)(b)
図 A-1 (a) x 線 URA パーチャー・カメラのデコーデッド・イメージ、(b) x 線ピンホール・
カメラのイメージ（文献[6]より転載）

アパーチャマスク面上の座標を ( x ′, y ′) とし、( x ′, y ′) が開口部に対応するときは１、それ以外は０となるアパーチャ関数を a ( x ′, y ′) 、スクリーン面上で観測される像の強度を p ( x, y ) 、光源の強度分布を ρ (ξ ,η ) とすると、 p ( x, y ) は
L /Lx L /Lyp( x, y ) = ∫ ∫ ρ (ξ ,η )a ( 2 1 ξ + , 2 1 η + )d ξ dη
M
M
M
M

(A1)
で与えられる。ここで M = ( L1 + L2 ) / L1 である。

図 A-2 x 線 URA アパーチャー･マスク（文献[6]より転載）

補遺 B：z 変換によるビーム・フィードバック系の定式化∞

G2 ( z ) = ∑ z − n e − nT0 / τ {cos( n µ ) − α1 sin( n µ )}z 変換とはラプラス変換を離散的信号に拡張し=たものであり、サンプリングされたデジタル信号の処理系の応答を記述するのに適した変換である。周期 T でサンプルされた n 番目のデータを
f ( nT ) として f ( nT ) の z 変換 F ( z ) を∞F ( z ) ≡ Z [ f ( nT )] = ∑ f ( kT ) z − k

(B1)

k =0

で定義する。時間遅れ kT に対してはZ [ f (( n − k )T ] = F ( z ) z − k
となり、z

−1

(B2)

が時間遅れ T を表す。また f1 ( nT ) とf 2 ( nT ) との畳み込みの z 変換は∞n∑ ∑ f1 (kT ) f 2 ((n − k )T )z−nn =0 k =0= F1 ( z ) F2 ( z )1∫ F ( z) z
2π j v

囲む閉曲線である。また F ( z ) の周波数特性はjωT) で与えられる。サンプリング定理により周波数特性は ω0 = 2π / T を周期とする周期構造

X ( z ) = G1 ( z ) ∆X ′( z ), X ′( z ) = G2 ( z )∆X ′( z ) ⎫⎪K′′∆X ( z ) = −{n11 X ( z ) + n12 X ( z )} F ( z ) ⎪
⎪
β1β 2
⎪
K
⎬
+
V ( z)⎪
A1K BPM β1β 2⎪M⎪−m
F ( z ) = ∑ hm z⎪
m =1⎭となることから以下の閉ループ応答を得る。

X ( z ) = G ( z )V ( z )xn , xn′ , en , g1 ( n ), g2 ( n ) の z 変換を

(B9)

ここで

K
A1K B

G( z) =1+ K

β1
G ( z)
β2 1

⎞
β1 ⎛
n12
G2 ( z ) ⎟ F ( z )⎜ n11G1 ( z ) +
β2 ⎝
β1
⎠

(B10)
は閉ループ伝達関数、F ( z ) は M タップ FIR フィ
ルターの伝達関数、

K = A1 A2 K B K K β1β 2

を有する。

(B11)

である。更に(B10)式を有理化してX ( z ) = Z [ xn ] , X ′( z ) = Z [ xn′ ] , V ( z ) = Z [en ] ⎪⎫⎬G1 ( z ) = Z [ g1 ( n ) ] , G2 ( z ) = Z [ g 2 ( n )]
⎪⎭
(B5)

K
G( z) =A1K B

β1 z M e −T / τ sin µβ2
D( z )
0(B12)を得る。ここでD ( z ) = z M +1 − 2 z M e −T0 / τ cos µ + z M −1e −2T0 / τ+ K {z sin ( µ − ψ ) + e −T0 / τ sinψ }z M F ( z )とすると∞G1 ( z ) = ∑ z − n e − nT0 / τ β1 sin( n µ )=より、本文(4.4)式及び(4.9)式の z 変換は

dz

(B4)
で与えられ、積分路 C は F ( z ) の全てのポールを

n =0

(B7)

z 2 − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ

n −1

C

F (e

z − e −T0 / τ (cos µ + α1 sin µ ) z

(B8)

(B3)
となり、各々の z 変換の積となる。更に逆変換はf ( nT ) = Z −1 [ F ( z )] ≡n =02ze −T0 / τ sin µ

z 2 − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ(B13)である。ラプラス変換の場合と同様、伝達関数
G ( z ) の分母=0 即ち(B6)

D( z ) = 0(B14)を特性方程式という。特性方程式は M + 1 次となり、その根 z p ( p = 1, 2, " , M + 1) は G ( z ) のポール

であり、z p により逆変換(B4)を求めることが出来る。例として en = V0δ n 0 としてインパルス応答を求めてみると∞V ( z ) = ∑ en z

−n

n =0

= V0

(B15)

より xn は

xn =

jωT0

) >> 1 であれば、 F ( z ) の位相はクローズドループの応答にはほとんど関係しないように見える。位相は安定ゲインの符号に関係する程度であって、あまり位相にとらわれる必要はないのではないか。直感
的には 4-3 節で述べたように、 F ( z ) の位相は1

∫ G( z )V ( z ) z
2π j v

n −1

dz

C

K
A1K B

= V0

M +1
β1 −T / τ−1 nezp
sin µ ∑ R p z M
p
β2
p =1
0

(B16)
となる。ここで R p は 1/ D( z ) の留数⎡ z − zp ⎤Rp = ⎢⎥⎣ D( z ) ⎦ z = z p(B17)である。したがって十分時間が経った後 ( n → ∞ )xn が有限であるためには
zp < 1( p = 1, 2, " , M + 1)

(B18)

でなければならない（安定条件）。
(B10)において

⎞
β1 ⎛
n12
G2 ( z ) ⎟ F ( z )⎜ n11G1 ( z ) +
β2 ⎝
β1
⎠

G0 ( z ) = K=Kり、かつ ω = 2πν / T0 の近傍で G0 ( ez 2 sin( µ − ψ ) + ze −T0 / τ sinψz 2 − 2 ze −T0 / τ cos µ + e −2T0 / τ

F ( z)(B19)

とおくとG( z) =K
A1K B

β1 G1 ( z )β 2 1 + G0 ( z )(B20)と書け、 G0 ( z ) はオープンループ伝達関数と解釈できる。
ここで筆者がまだ解けない問題が残っている。
フィルター F ( z ) に与えるべき最適位相はどのように考えたら良いのであろうか。 (B19)式を見ると F ( z ) はオープンループ伝達関数の共通因子でjψ

あるが、 e はオープンループ伝達関数の共通位相因子にはなっていない。(B19)式からは、安定条件即ち z p < 1 ( p = 1, 2, ", M ) を満たしておBPM の位置での x とキッカー位置での x ′ のベータートロン位相差とするのが良いと思われるが、このような位相が最適と断じて良いのであろう
か？最適位相は(B19)式から自然に導かれるはずであるが、まだ証明できていない。この問題は筆者の宿題として残っている。