Ⅱ
３

各教科の正答率、問題の内容及び所見・解説

数学(1) 正 答 率
配問

１２３

４

題
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(3)

正答
一部正答
誤答
無答
通 過 率率率率率
得点計
率＝
(%)
数
数
数
数
点
(%)
(%)
(%)
(%)
(人数×配点)
4 296 97.7
00.0
6
2.0
10.3
97.7
4 286 94.4
00.0
15
5.0
20.7
94.4
4 278 91.7
00.0
216.9
4
1.391.7
4 251 82.8
00.04715.5
5
1.7
82.8
4 258 85.1
00.0
33
10.9
124.0
85.1
4 277 91.4
00.0
15
5.0
11
3.6
91.4
4 263 86.8
3
1.0
26
8.6
11
3.6
87.3
4 239 78.9
00.0
48
15.8
16
5.3
78.9
4 231 76.2
278.9
45
14.9
00.0
80.6
4 151 49.8
00.0
117 38.6
35
11.6
49.8
4 129 42.6
00.0
137 45.2
37
12.2
42.6
4 172 56.8
00.0
105 34.7
26
8.6
56.8
4 135 44.6
00.0
153 50.5
15
5.0
44.6
4258.300.0
216 71.3
62
20.5
8.3
4 173 57.100.0
124 40.9
62.057.1
5 138 45.5
309.9
79
26.1
56
18.550.8
5 105 34.7
64
21.1
77
25.457
18.8
44.6
6
65
21.5
4213.968
22.4 128 42.2
29.6
4 123 40.6
68
22.4
95
31.4
175.6
51.7
4 158 52.1
00.089
29.4
56
18.5
52.1
489
29.4
00.0
178 58.7
36
11.9
29.4
6
237.655
18.2 126 41.6
99
32.7
15.06
15
5.000.0
150 49.5 138 45.55.0（小数第２位を四捨五入しているため、％の合計が100にならない場合がある。）(2) 問題の内容

１ (1)文字式の計算（加法・減法）(2)正の数と負の数の計算(3)文字式の計算（乗法・除法）(4)１次方程式の解き方(5)根号を含む式の計算(6)因数分解(7)連立方程式の解き方(8)２次方程式の解き方(9)標本調査を選択する問題(10)直線の式の求め方
２(11)関数 y ＝２ x の変域(12)平行線と線分の比を利用した線分の長さの求め方(13)確率の求め方(14)三平方の定理を利用した球の切り口の面積の求め方(15)関数のグラフの特徴(16)ヒストグラムや箱ひげ図の基本的な性質を、数学的な表現を用いて説明する問題

２ (1)日常の事象を数学的に解釈し、回転の中心を作図する問題(2)文字を用いた式を利用して数の性質を説明する問題

３ (1)自然数の逆数に関して，具体例や反例をあげる問題(2)循環小数の性質を利用した数の求め方

４ (1)展開図を利用した最短距離の求め方(2)二等辺三角形になることの証明(3)直方体を切ったときにできる立体の表面積の求め方(3) 所見・解説

１ 中学校数学科の各領域に関する問題で、基礎的・基本的な知識及び技能が確実に身に付いているかをみようとした。
(1)は、文字を用いた式の加法・減法の計算である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
７ x －３ x ＝ ４ x(2)は、正の数と負の数の四則計算である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
４× (－７) ＋20 ＝ －28＋20 ＝ －８(3)は、単項式の乗法・除法の計算である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
30xy ²30xy2 ÷ ５ x ÷ ３ y ＝＝ ２y５x ×３y(4)は、１次方程式を解く問題である。解答例は以下の通りである。
【解答例】
1.3 x ＋0.6 ＝ 0.5 x ＋３
両辺を10倍して、13 x ＋６ ＝ ５ x ＋3013 x －５ x ＝ 30－６
８ x ＝ 24x＝ ３(5)は、平方根を含む式の計算で、分母に根号がない形にする必要がある。解答例は、以下の通りである。
８【解答例】－３ ２＝ ４ ２ － ３ ２ ＝ ２２(6)は、因数分解の問題である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
x 2 －11x ＋30 ＝ ( x －５) ( x － ６)(7)は、連立方程式を解く問題である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
３ x ＋５ y ＝２･･･①－２ x ＋９ y ＝11 ･･･②①×２＋②×３
６ x ＋10 y ＝ ４＋） －６ x ＋27 y ＝ 33
37 y ＝ 37
y＝ １y ＝１を①に代入し、
３ x ＋５×１＝２３ x ＝－３x ＝－１
したがって、x ＝－１ ， y ＝１(8)は、２次方程式を解く問題である。解の公式を使って解く。解答例は、以下の通りである。

【解答例】
３ x ２ －５ x －１＝０x＝－（－５）±（－５）２ －４×３×（－１）
２×３５± 37x＝６(9)は、さまざまな調査について、標本調査を行うことが適切なものを選ぶ問題である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】水質調査や視聴率調査は、全数調査をおこなうことが現実的ではなく、標本調査でおこなわれている。また、健康診断は１人１人の健康状態を知るために、国勢調査は人口や分布を知るために全数調査をおこなう。したがって、正答は アとウy(10)は、反比例のグラフ上の点の座標を求め、直線の式を求める問題である。グラフ上の点の座標や、２点を通る直線の式の求め方を理解しているかをみようとした。誤答としては、切片が２でないものが多かった。切片の値を求める際の計算ミスと思われる。グラフの概形と比較するなど、求めた値が適切か見直してほしい。解答例は、以下の通りである。
【解答例】 ２点Ａ，Ｂの座標はそれぞれ、Ａ（－６，－１），
Ｂ（２，３）となる。直線ＡＢは２点を通るので、傾きはＢＡxＯ

３－（－１） ４１＝＝２－（－６） ８２１
よって、この直線の式は y ＝ x＋ b と表される。グラフは点（２，３）を通るので、
２１３＝ ２ ×２＋ bb ＝２１
したがって、直線ＡＢの式は y ＝x ＋２２(11)は、関数 y ＝ ２ x ² について、y の変域をもとに x の変域を求める問題である。 グラフの概形と変域との関係を適切に把握できるかをみようとした。 誤答として、a ＝ ３ と し た も の が 多 か っ た 。
a ＜０ の条件を見落とし、a ² ＝９ から a ＝ ３ と 答 え た と 思 わ れる 。 求めた値が、問題に適しているか見直してほしい。解答例は、以下の通りである。
【解答例】 x ＝１ のとき、y ＝２なので、x と y の変域からグラフと変域の関係は図のようになる。よって、 x ＝ a のとき、y ＝18 であり、18 ＝２× a ² すなわち a ² ＝９ となる。これを解いて、
a ＝ ±３ a ＜０より、a ＝ － ３

y18２aＡ(12)は、平行線を利用して線分の長さを求める問題である。
解答例は、以下の通りである。
１【解答例】線分 ＡＣ をひき、ＥＦ との交点を Ｇ とすると、 ２ＥＥＧ∥ＢＣ であり、点ＥはＡＢの中点であることから
１
ＡＢ：ＡＥ＝２：１ よって ＥＧ＝ＢＣ＝４（cm）
２１５
同様にして、ＣＤ：ＣＦ＝２：１からＧＦ＝ ＡＤ＝ （cm） Ｂ
２２13
したがって、ＥＦ＝ＥＧ＋ＧＦ＝（cm）２x１Ｏ５cmＧＤＦＣ８cm(13)は、硬貨を投げた際の確率を求める問題である。誤答としては、 １ が多かった。２枚２の50円を区別せず150円の場合の数を１通りとしたため、４ ＝ １ になったと思われる。解８２
答例は、以下の通りである。
【解答例】 表を○、裏を×とし、樹形図を作ると
100○50 50○ ○×× ○×計
200150150100※※※※

100×50
○×50
計
○ 100
× 50
○ 50×0※
よって、100円以上になるのは ※の５通り。したがって、求める確率は５８(14)は、三平方の定理を使って、切り口の面積を求める問題である。
誤答としては、９π が多かった。７cm から４cm を引いた３cm を半径と捉え、円の面積を求めたためと思われる。解答例は、以下の通りである。
【解答例】切り口の円の半径を r cm とすると、三平方の定理より
４²＋ r²＝７²r²＝33
円の面積はπ r²なので、切り口の面積は 33π（cm²）

r cm４cm７cm(15)は、関数のグラフの概形から定数の符号を判断する問題であり、グラフの特徴と式の関係を理解しているかをみようとした。解答例は、以下の通りである。
【解答例】関数 y ＝ ax² のグラフが上に開いているとき a ＞０、下に開いているとき a ＜０、一次関数 y ＝ bx +c のグラフが右上がりのとき b ＞０、右下がりのとき b ＜０、y 軸との交点が切片 c であるから、それぞれの符号を考えると、
ア a ＞０，b ＞０，c ＜０ イ a ＞０，b ＜０，c ＞０
ウ a ＜０，b ＞０，c ＞０ エ a ＜０，b ＜０，c ＜０以上より、正答は エ(16)は、ヒストグラムや箱ひげ図の基本的な性質について説明する問題である。ヒストグラムと箱ひげ図の比較から、第３四分位数が異なることに気づき、数学的な表現を用いて説明することができるかをみようとした。解答例は、以下の通りである。
【解答例】ヒストグラムから読みとることができる第３四分位数は、40分以上50分未満の階級に含まれているが、イの第３四分位数は50分以上60分未満で、異なっている

２ 「図形」や「文字を用いた式」に関する問題で、数学的な知識及び技能を活用し、数学的に表現することができるかをみようとした。
(1)は、日常の事象を数学的に解釈し、∠ＡＰＢ＝60°となる点を作図する問題である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
Ｂ
点Ｐは回転の中心になるので、線分ＡＢの垂直二等分線 ℓ 上にある。この ℓ とＡＢの交点をＨとし、ＡＢ＝ＡＰとなる点Ｐを ℓ 上にＨ
とると、ＡＰ：ＡＨ＝２：１かつ∠ＡＨＰ＝90°となるので、△ＡＰＨは∠ＡＰＨ＝30°の直ＰＡ角三角形になる。線対称なので、∠ＢＰＨもℓ30°になり、∠ＡＰＢ＝60°となる。
Ｂ【別解例】△ＡＢＰが正三角形となるように点Ｐを作図すると∠ＡＰＢ＝60°になる。
ＡＰ

(2)は、文字を用いた式を使って数の性質を表現する力を問う問題である。２桁の数を文字を使って表したり、11の倍数になる根拠を数学的に表現したりできるかをみようとした。文字を用いた式を活用する問題としては基礎的なものであるが、通過率は３割程度であった。誤答としては、23＋32＝55 のように具体例を挙げて､ 11 の倍数であるとした説明が多かった。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
Ｘの十の位の数を a、一の位の数を b とすると、Ｘ＝10a ＋ b，Ｙ＝10b ＋ a と表されるので、Ｘ＋Ｙ ＝ （10 a ＋ b）＋（10b ＋ a）＝11 a ＋11 b ＝11（a ＋ b ）a， b は整数なので、a ＋ b も整数。したがって、Ｘ＋Ｙは11の倍数になる。

３ 知識・技能を活用して課題を解決する問題で、観察や操作、実験などの活動を通して、数の性質を考察し、具体的な場面で活用することができるかをみようとした。
(1)は、会話から情報を読み取り、反例をあげる問題である。解答例は、以下の通りである。
【解答例】n が偶数のとき、 １n の値が無限小数になっているものは n ＝６ のときである。
１
また、 nの値が有限小数になる n の値は、小さい方から順にそれぞれ素因数分解して並べると、２，２²，５，２³，２×５，２⁴，２²×５，… となり、２または５で割り切る数だけ１ の値が無限小数にならない n の値のうち､２桁の奇数になるのはけに限る。よって、 nn ＝25 のときだけである。したがって、 ア ６イ 25(2)は、n ＝７ のときの小数第50位の数を求める問題である。循環小数の性質を利用して、数学的な根拠に基づいて数を求められるかをみようとした。解答例は、以下の通りである。
１【解答例】 ７ を小数で表したとき、小数第６位小数第48位0.142857142857… と６つの数字が繰り返
１
しあらわれる。50＝６×８＋２ なので、
７ ＝ 0. 142857 142857 …… 57 1428 …
小数第48位の数が７であり、小数第50位小数第12位小数第50位の数は４であることがわかる。

４ 空間図形に関する問題で、観察や、操作、実験などの活動を通して、図形について見通しをもって論理的に考察し表現することができるかをみようとした。
(1)は、動点を含む線分の長さの和が最短となる時間を求める問題である。空間のままではな
く、展開図で考えることで見通しをもって考えることができる。解答例は、以下の通りである。
【解答例】
ＢＣ
展開図の一部を考え、面ＡＢＦＥと面ＢＣＧＦを並べた長方形 Ａ
形ＡＣＧＥを考えると、３点Ｉ，Ｐ，Ｇが一直線になるときに、ＩＰ＋ＰＧの長さは最短になる。このとき、△ＧＥＩ∽△ＧＦＰになり、相似比は２：１である。ＩＥ＝２なので、ＰＦ＝１のと ＩＰき最小になる。すなわち、ＢＰ＝５のとき最小となる。
ＧＥ
Ｆ
したがって、ＩＰ＋ＰＧの長さが最短になるのは５秒後である。
(2)は、図形の性質を利用して△ＡＰＣが二等辺三角形であることを証明する問題である。三角形の合同または三平方の定理を利用する方法などが考えられる。解答例は以下の通りである。
Ａ【解答例】△ＡＢＰと△ＣＢＰにおいて、ＢＰは共通…①仮定から、ＡＢ＝ＣＢ…②，∠ＡＢＰ＝∠ＣＢＰ…③①，②，③から、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＰ≡△ＣＢＰ
対応する辺の長さは等しいので、
Ｅ
ＰＡ＝ＰＣ
よって、２つの辺の長さが等しいので、△ＡＰＣは二等辺三角形になる。

ＤＣ

Ｂ

Ｐ

ＧＦ

【別解例】
点Ｐが頂点Ｂを出発してから x 秒後のＢＰの長さは x cm となる。
このとき、△ＡＢＰは直角三角形なので、三平方の定理から、
ＡＰ²＝ＢＰ²＋ＡＢ²＝ x ²＋16
ＡＰ＞０ より、 ＡＰ ＝ x ²＋16
△ＣＢＰについても、同様にして、ＣＰ＝ x ²＋16
したがって、ＡＰ＝ＣＰなので、△ＡＰＣは二等辺三角形になる。
(3)は、直方体を切断したときにできる立体の表面積を求める問題である。３点Ｉ，Ｐ，Ｃを通る平面での切り口がどのような図形になるか、また、その面積を求めることができるかをみようとした。解答例は以下の通りである。
【解答例】
４秒後の点Ｐと点Ｉ，Ｃを通る平面は、線分ＰＣと線分ＰＩを含む平面となるので、頂点Ｄを通る。これより、その切り口Ｄは長方形になる。よって、体積が大きい方の表面積は、大きさ４cmの異なる３つの長方形と、１つの正方形、合同な２つの台形のＣ面積の和になる。
４ ２ cm
ＰＣ²＝４²＋４² から
ＰＣ＝４ ２６cm

・長方形ＩＰＣＤ＝４×４ ２＝16 ２・長方形ＩＥＦＰ＝２×４＝８・長方形ＣＤＨＧ＝４×６＝24・正方形ＥＦＧＨ＝４×４＝16・台形ＰＦＧＣ ＝ 台形ＩＥＨＤ
１＝ ２ ×（２＋６）×４ＨＩ80＋16２cm

Ｅ４cm＝16したがって、求める表面積は、ＧＰ２（cm²）

４cmＦ