デジカメ天文学実習＜ワークシート：解説編＞

ガリレオ衛星の動きと木星の質量１．目

的

木星のガリレオ衛星をデジカメで撮影し、その動きからケプラーの第三法則と万有引力の法則を使って，木星本体の質量を求める。

２．ガリレオ衛星の撮影(1)撮影の方法
４つのガリレオ衛星の内、一番外側を回るカリストまたはその内側のガニメデが、木星から最も離れる最大離角

図 1 ガリレオ衛生の画像（拡大）の日に 200～300mm の望遠レンズ（35mm 版相当）で撮影する。
ピント合わせには、モニターの拡大機能を最大限に使い、衛星が点になるように調節する。露出時間は木星本体と衛星の光度差が大きく設定が難しいが、木星本体が露出オーバになっても、衛星が写るように何度かテスト撮影を行い、適正な露出時間を求めて撮影を行う。さらに、1 ～ 2 時間あけて何度か撮Canon影する。その日の衛星の動きも確かめること

望遠（ズーム）＜35mm 版：320mm 相当＞ができる。

ISO:2000 露出:1/15～1/4s

画像の保存形式は、位置測定

EOS50D（APS-C ｻｲｽﾞ）＋200mm

図 2 デジカメでの撮影画像のみに使用するので JPG 形式でよい。

(2)撮影日時の選定
ガリレオ衛星の内、カリス
トかガニメデが木星から最も離れる最大離角の日時を調べて、その時刻前後で撮影する必要がある。その日時を調べる方法には幾つかある。
名古屋市立科学館のホームページの「ガリレオ衛星の見え図 3 ガリレオ衛生の見え方（ピンクの枠内が日時を示す）

方」のページで、「時間を進める」ボタンをクリックすると自動で４衛星の位置を表示してくれる。
(http://www.ncsm.city.nagoya.jp/astro/astrotool/juptool.html)
カリストやガニメデが木星本体から最も離れる時刻を調べて、観測可能な日時を選定する。または、天文年鑑などの惑星表にあるガリレオ衛星の運動図で調べる方法や天体シミュレーションソフトを使って調べても良い。

３．原理(1)ケプラー第 3 法則と万有引力
ガリレオ衛生は木星本体との間で働く万有引力によって、ほぼ円軌道上を回転している。軌道半径（ａ）の 3 乗と公転周期（P ）の 2 乗の比をとると一定になるというケプラーの第三法則は，万有引力の法則を用いると，次のように表すことができる。
質量 M の天体のまわりを，十分に小さな質量 m の物体が周期 P で半径 a の
図 4 木星とガリレオ衛星の軌道円軌道を描いて運動をしているとする。
公転速度 v は）

V=2πa／Pとなるので，遠心力 mｖ2／ａは m4π2ａ／P 2 と表せる。
この遠心力と万有引力 ＧＭｍ／a2 （G は万有引力定数）が釣り合っていることから、
m4π2ａ／P 2＝ＧＭｍ／a2となり、これからa3／P2＝GM／4π2が得られ、木星の質量はM＝４π2ａ3／ＧＰ2となる。
(2)木星と衛星の距離
ここで、観測から得られるガリレオ衛星の軌道の半長径ａ（km）は、木星本体と衛星間

図 5 ガリレオ衛星の軌道半径と木星の距離の関係）の離角ｅ（°）の大きさと木星地球間の距離Ｌ（km）の積により求めることができる。

ａ＝2×3.14×Ｌ×ｅ／360
一方、木星衛星間の離角ｅ（°）は、撮影した画像上で測定した離角 ap(pix)と画像の長辺方向の幅 Dp(pix)、画像の長辺方向の画角 Da（°）から求める。
ｅ＝Da×ap／Dp
画像の長辺方向の画角 Da（°）の求め方や撮像素子の画素数については、「天体の大きさを測る」のページを参照のこと。
(3)地球木星間の距離衛星の軌道の長半径ａ(km)を求めるために必要な地球木星間の距離は、本来は木星の軌道計算により得られるが、ここでは、国立天文台暦象年表のホームページの「惑星の地図 6 画角から木星本体と衛星の離角を求める）心座標」ページで惑星の地心距離(km)の自動計算から求められた値を使うことにする。
(http://eco.mtk.nao.ac.jp/cgi-bin/koyomi/cande/planet.cgi)
４．方 法(1)位置測定とピクセル距離
衛星と木星本体の距離はマカリの位置測定機能を使い、画像上のそれぞれのｘｙ座標を読み取る。測定方法は重心，半自動を選び、その際，半径の数字は，木星と衛星それぞれのサイズ（ピクセル）に合わせて，木星の場合は大きめ、衛星の場合は小さめの数字を指定する。 星をクリックすると，ダイアログに中心座標が表示されるので，ソフトが判断した中心位置が間違いないことを画面上のマークで確認し，その数値を記録します．木星と写っている衛星すべてについて，この作業を行います．衛星が木星やほかの衛星と接近しているときは，中心位置（画面上Frame No

Ex.TimeD h m sDate

木星位置

イオ位置

Dx

x

y15233957 15 23 39 57 15.986 2371.5 1617.8

yエウロパ位置xy

ガニメデ位置

カリスト位置xxyyａｐ:木星からの距離（pix）
観測日

2364.2 1596.2 2381.0 1649.8 2351.0 1552.6 15.986

イオ

エウロパ ガニメデ

カリスト-22.77-68.3233.41

0.000のマーク）が実際の中心とずれてしまうことがあります．その場合は半自動の半径の数字を小さくして再測定してみましょう．
三平方の定理を用いて次式で衛星と木星本体の距離をピクセル単位で求める。木星の位置を（座標:ｘj、yj）、衛星の座標（座標:ｘｓ、yｓ）として、

木星と衛星間の距離＝ガリレオ衛星と木星本体のｘｙ座標の値を、図７で示した「ピクセル距離計算表」の「距離（pix）」シートに入力して、衛星と木星本体の距離をピクセル単位で求める。
ガリレオ衛星の内、外側を回るカリストとガニメデが木星との距離が大きく測定もしやすいが、木星に近いイオやエウロパも木星から最も離れる時を観測すれば、同様に木星質量を求めることができる。
(2)衛星の見かけの軌道半径
撮影したカメラの受光素子の横幅（mm）、使用したレンズの焦点距離（mm）をカメラの仕様書などを参考にカメラの長辺方向の画角Ｄa（°）を「２．デジカメの画角（長辺方向）」計算表（Galileo_Calc 1. xlsx）を使って求める。
さらに、「３．木星－衛星離角換算表」計算表に画像の長辺方向の画素数Ｄp（pix）を入力して、木星・衛星間のピクセル距離（衛星の見かけの軌道半径（°））に換算する。
受光素子の横幅(mm)

レンズの焦点距離(mm)長辺画角（rad）

22.3
Date
D

木星－衛星距離： ａp:（pix）
イオ

ウエロパ

Da:長辺画角（°）

2000.0557
デジカメ

ガニメデ

カリスト

6.381

ｅ:見かけの軌道半径（°）

画像Da:長辺画角（°） Dp:長辺画素数（pix）

イオ

エウロパ

ガニメデ

カリスト

21.88141100.34

6.381

4752

0.134721.91896

101.256.381

4752.00

0.136021.97043

100.386.381

4752.00

0.134822.00613

100.026.381

4752.00

0.13436.3814752.00

図 8 「２．デジカメの画角（長辺方向）」計算表と「３．木星－衛星離角換算表」計算表

図 9 「惑星の地心座標」ページ(http://eco.mtk.nao.ac.jp/cgi-bin/koyomi/cande/planet.cgi)

「３．木星－衛星離角換算表」計算表はガリレオ衛星各々について５回の観測値を入力できる。木星－衛星間距離（pix）の最大値を取って、見かけの軌道半径（°）とする。
(3) 衛星軌道の長半径の実距離
見かけの軌道半径ｅ（°）から衛星軌道の長半径ａ（km）を求めるために、地球木星間の距離Ｌ（km）が必要で、国立天文台のホームページの「惑星の地心座標」の設定欄に観測日時などの必要事項を入力すると、結果表に表示される。
次に「4．木星－衛星間の距離（衛星軌道の長半径）」計算表に地球木星間の距離Ｌ（km）と見かけの軌道半径（°）を入力して、衛星軌道の長半径(km)を求める。
見かけの軌道半径：ｅ（°） 地球-木星間の距離：L（ｋｍ）

衛星

衛星軌道の長半径：ａ(km)

イオ
エウロパ
ガニメデ
0.136

カリスト

7.56E+08

1.795E+06

図 10 木星－衛星間の距離（衛星軌道の長半径）の計算表(4)木星の質量の算出
衛星軌道の長半径（km）は自動で木星質量計算表に入力されて、木星の質量（kg）と地球質量の何倍になっているかとその値の相対誤差が計算されて表示される。
衛星

万有引力定数：G 公転周期：P（日） 公転周期：P（秒） 衛星軌道の長半径：ａ(km) 木星の質量：Ｍ（kg） 木星の質量（地球質量） 相対誤差（％）

イオ

6.67E-11

1.76

152064エウロパ

6.67E-11

3.55306720

ガニメデ

6.67E-11

7.16

618624カリスト

6.67E-1116.71442880

1.795E+06

1.644E+27

275-13

５．結 果
得られた木星の質量と相対誤差を結果表に記録しておく。
６．考 察得られた結果について考察する。
７．感想
ガリレオ衛星の撮影から画像測定、木星質量の算出まで過程について、感想を書こう。