数理解析研究所講究録
第 1671 巻 2009 年 113-119

113

Mountain pass theorem in ordered
Banach spaces and its applications
梶木屋龍治 (Ryuji Kajikiya)

佐賀大学理工学部

Department of Mathematics, Faculty of Science and Engineering,
Saga University, Saga, 840-8502, Japankajikiya@ms.saga-u.ac.jp

E-mail:本講演では, 順序バナッハ空間において, 峠の定理を構成し, それを用いて次の楕円型偏微分方程式の正値解の存在を証明する.
(1)$\{\begin{array}{l}-\triangle c\iota=f(x, c\iota) (x\in\zeta]),\uparrow x=0 (x\in\partial\zeta\cdot\}).\end{array}$の有界領域である. 方程式が変分構造を持ち, 汎関数が峠の定理の仮定を満たすときに, 正値解を求める方法として,峠の定理と Nehari 多様体の方法がある. この研究の動機を説明するために,これらの方法を概説する. 峠の定理を説明するために, 次の方程式を考える.
ここで,$\Omega$は滑らかな境界をもつ$\mathbb{R}^{N}$(2)$\{\begin{array}{l}-\triangle\tau\iota=o(x)_{ll^{P}} (x\in\Omega),\tau\iota=0 (x\in\partial\zeta 2)\dot{\prime}\end{array}$.

. .

. $N=1,2$ のとき $1<p<\infty$ であり,ノルムを$N\geq 3$ のとき, $1<p<(N+2)/(N-2)$ と仮定する.
で表す. (2) に対するラグランジェ汎関数 $I(u)$で, $W^{mp}(\Omega)$ ノルムをを次のように定義する.
ここで,$a\in C(\overline{\Omega})$$a\geq 0(x\in\Omega)$$(1$$\not\equiv 0$$L^{p}(\Omega)$$||u\Vert_{p}$.

(3)$\Vert u\Vert_{r11_{I}\uparrow J}$$I(u):= \int_{\Omega}(\frac{1}{2}|\nabla\iota\iota|^{2}-\frac{1}{l^{J\dashv- 1}}c\iota(x)(u^{+})^{p+1})dx$

ここで, $u^{+}(x)= \max(ii(x), 0)$ とする. このとき.
(.’$:=i_{1_{\frac{1}{e}}}f_{111a\lambda}1(\wedge|.(t))-|\ulcorner()\leq\dagger\leq J\dot{\sim}$$\Gamma:=\{\gamma\in C([0,1], H_{()}^{1}(t2))$:$\gamma(0)=0_{i}\gamma(1)=u_{1}\}$,

114と定義する. ただし, $I(u_{1})<0$ なるようにを固定する. 峠の定理により,はの臨界値になる. すなわち, $I’(\uparrow\ell)=0$ . $I(c\iota)=c>0$ となるが存在する. ゆえに、 は、$lL_{1}$$I$$c$$u\in H_{0}^{1}(\Omega)$$u$$(r:\in\zeta))$$-\triangle\iota x=a(x)(t\iota^{+})^{l^{J}}$,$u=0$ ,$(x\in\partial\Omega)$,の非自明な弱解となる. 楕円型方程式の正則性定理により, すべての $q\in[1, \infty)$
において, .
に対して, $u\in W^{2,q}(\Omega)$ となる.
なので, 強最大値原理には (2) の正値解である. しかし, もし, $a(x)$より, $u(x)>0$ となる. 従って,が符号を変えるときは, この論法は、適用できない.
次に Nehari 多様体の方法について説明する. 楕円型境界値問題 (1) を考$N$ を定義する.
える. 次のように $I(u),$$t1$$0$$\geq 0$$1l$

$J(?\iota),$$I(n):= \int_{()}(\frac{1}{2}|\nabla\tau(,|^{2}-F(x, u))dx$$F(x, \prime n):=\int_{0}^{v}f(x, t)dt$,,$J(u):=I’(u)u=.J_{()}\vee(|\nabla u|^{2}-uf(x, u))dx$ ,$N:=\{?\iota\in H_{()}^{1}(t1)\backslash \{0\}:J(u)=0\}$ .
$N$は Nehari 多様体と呼ばれる.

でな$\langle$, $I(u)$ は,$N$についての適当な仮定の下に, $N$ は空集合において正の下限をもつ.
$f$$d:=i_{11}f\{I(’\iota):n\in N\}>0$ ,とおく. ある $u_{0}\in N$ が存在して,は最小値 をにおいて取る. ここで, $f(x,$ $s)$ が に関して, 奇関数であると仮定する. 従って, $sf(x, s),$ $F(x, s)$は について偶関数となる. ゆえに $?l\in N$ のとき, $|u|\in N$ となる.
をに置き換える. このとき、, 蜘では最小値を取る. このとき,が存在して, $I’(t\iota_{0})+\lambda_{c}J’(u_{0})=0$ となる. $f$ に対すラグランジェ乗数
る適当な仮定の下に、 $\lambda=0$ が成り立つ. 従って, 蜘は $I(u)$ の臨界点となり,正値解が得られた.
をもし, $f(x,$ $s)$ が について奇関数でないならに置き換えることはできない. 特に, $f(x., 0)\neq 0$ のときは, この方法は, 適用できない. 本
講演の目的は, $o(x)$ が符号を変えたり, $f(x_{:}0)\neq 0$ の場合を扱うことである.
そのために, 順序バナッハ空間において. 峠の定理を構成する.
$d$$I(\iota\iota)$$u_{0}$$s$$s$$u_{0}$$\iota\iota_{0}\geq 0,$$\iota\iota_{0}\in N$$|u_{0}|$$I$$\lambda\in \mathbb{R}$$s$$lh^{\backslash }u_{0}$$|u_{0}|$定義 1. 次の条件 $(i)-(v)$ を満たすときに. $E$ をリースバナッハ空間と呼ぶ.
(i)$(E, \leq)$

は, 順序集合である.

115$($ii$)$$(E, \Vert\cdot\Vert)$(iii) $u,$$v,$$w\in E,$$\lambda u\leq\lambda\iota\}$(iv)

は, バナッハ空間である.
$\lambda\geq 0$とする. もし $u\leq v$ ならば, $u+w\leq v+w$ であり,である.

$E^{+}:=\{u\in E:u\geq 0\}$ は, $E$ の閉部分集合である.

(v) 任意の $u,$ $v\in E$ , に対して、存在する.

$\tau\iota\vee\cdot l$)と $u\wedge v$ $:= \inf\{u, v\}$ が$:=su]\supset\{u, v\}$は, positive cone と呼ばれる. リースバナッハ空間 $E$ に対して, 次の記号が定義できる.
$E^{+}$$|u|:=u\vee(-u)$ ,例 2. 1 階のソボレフ空間$\iota\ell^{+}:=t1,$ $\vee 0$,$u^{-}:=(-u)\vee O$ .

は, リースバナッハ空間である. さらに $1\leq p<\infty$ のとき, $u\in lV^{1.p}(\Omega)$ に対して $|u|\in W^{1,p}(\Omega)$ を対応させる写像は, 連続である. この写像は,においても連続である. さ及び $u\mapsto u^{-}$ も連続となる. $m\geq 2$ のとき, $W^{m,p}(\Omega)$ ,らに, 写像$\uparrow V^{1,p}(\Omega)$.

$I- f_{0}’\prime 1,p((l)$$M^{r_{0}^{1.p}}(\Omega)$$u\mapsto\prime u^{+}$$\grave$$W_{0}^{\tau n,p}(\Omega)$は, リースバナッハ空間にならない.

定義 3. $I\in C^{1}(E, \mathbb{R})$ とする. このとき,$c$を次の式により定義する.

$c:=\underline{\inf_{|\in I^{1}0\leq t\leq 1}}111axI(\gamma(t))$$\Gamma:=\{\gamma\in C([0,1], E^{+}):

ここで,$e_{0},$$e_{1}$(4),\gamma(0)=e_{0}, \gamma’(1)=e_{1}\}$(5).

は次の仮定を満たすものである.

$e_{1}\in E_{:}$ 及び $E$ の開部分集合 $U$ が存在して, 以下の条件を仮定 4. ある満たすものと仮定する.
$e_{0},$$(I_{1})e0\in E^{+}\cap U$ ,$e_{1}\in E^{+}\backslash$び.

$( I_{2})\max(I(e_{0}), I(e_{1}))<i_{11}f_{\partial(f\cap E+}I$$(I_{3})$も し $\{u_{n}\}\subset E$ , dist $(u_{rt}., E^{+})arrow 0$ .

とき,$(I_{4})$(tt).

$\{\tau\iota_{n}\}$$I(\uparrow\iota_{7},)arrow c,$$I’(u_{n})arrow 0$ならば, そのは収束部分列をもつ.

次の条件 (i) または (ii) のいずれかを満たす $a\in(--\infty, c)$ と $6>0$ が存在する.

(i) もし, $a<I(\uparrow\iota)<c$ かつ$?l\in E_{c,\llcorner}^{+}$(ii) もし, $a<I(u)<c$ かつ$\tau\iota\in E^{+}\sim$

ただし, $E_{\epsilon}^{+}:=\{u\in E$ : dist

ならば, $I(|u|)\leq I(u)$ である.
ならば, $I(u^{+})\leq I(u)$ である.

$(\tau\iota)E^{+})\leq\in\}$.

116
定理 5. $E$ を写像回が連続となるリースバナッハ空間とする. 仮定
4 の下に, $I’(u)=0h^{a\text{つ}}I(u)=(.\cdot$ となる $u\in E^{+}$ が存在する.
$u\mapsto$

通常の峠の定理は, 非自明な臨界点の存在を保証する. しかし, 定理 5 は,非自明かつ非負な臨界点の存在を示している. 次の条件を考える.
$($PS$I(u_{n})arrow c,$$)_{c}$

明らかに,

系 6.

$($PS

$(I_{1}),$$)_{c}$$(I_{2}),$$I’(\uparrow\iota_{n})arrow 0$

ならば、,は収束部分列をもつ.

$\{n_{?l}\}$から (I3) が従う.
$(PS)_{c}$を仮定する.

さらに,すべての $u\in E$ に対して,$|^{-}$

または, 「すべての $?l\in E$ に対して, $I(u^{+})\leq I(u)$ 」 のいずれかを仮定する. このとき, $I’(u)=0$ . $I(\iota\iota)=c$ を満たす $u\in E^{+}$ が存在する.
$I(|u|)\leq I(u)\rfloor$

定理 5 の証明は省略し, 系 6 の証明の概略のみを与える.
系 6 の証明の概略. まず, すべての $u\in E$ に対して, $I(|u|)\leq I(u)$ を仮定す
る. 背理法を使う. $I’(u)=0$ かつ (tt) $=c$ 満たす $u\in E^{+}$ が存在しないと仮定する. このとき, ある$r>0$ が存在して、 もし, dist $(u, E^{+})\leq\epsilon$ かつが成り立つ. 実際に、もしこの主張が間$|I(u)-c|\leq\in$ ならば,がすべて に収束する
違っているならば, dist $(u_{7I}, E^{+}),$.のある部分列は, ある点により,が存在する. このとき.
ような列$I(c\iota)=c)u\inE^{+}$を満たす. これは, こに収束する. 極限点 は, $I’(u)=0,$の証明の最初の仮定に反する. 従って: -記の条件を満たす $r>0$ が存在する. このとき, 通常の deformation lennna, を使って, 次のような deformationが存在して, 次の条件を満を構成できる. $\prime l\in C(E, E)$ であり. あるたす.
$I$$\in,$$\Vert I’(u)\Vert\geq\uparrow$$|I(s\iota_{r\iota})-(|$$(I:\{)$$\{u_{n}\}$$0$$\Vert I’(u_{r\iota})\Vert$$ll_{n}$$u$$u$$|_{-}-$$\in,$$\overline{\delta}>0$$\eta$(i) $u\in E^{+}$ ならば)(7(u)
たものである.

(ii)$\uparrow 7(e_{0})=e_{0^{\wedge}},$$/l(e_{1})=e_{1}$(iii) もし $u\in E^{+}$ かつ$c$$\in E_{\epsilon}^{+}$

である. ただし,は, (I4) で与えられ.

$I(u)\leq\zeta’+\dot{\delta}$

ならば、の定義により, 次の条件を満たすり$\in 1^{\urcorner}$$I(\cdot \mathfrak{j}/(\iota\iota))\leq c-\delta$$I(\cdot|7(\gamma(t)))\leq\subset\cdot-\overline{\delta}$である.

である.

が存在する.

$()\leq t\leq 1111_{C}’\iota xI(\wedge/\cdot(t))\leq\subset:+\delta$(iii) により,$\hat{\subset}>0$$-\wedge,\cdot(t)$

.

とおく.

$:=|\uparrow l(\gamma(t))|$

このとき $\overline{\gamma}(0)=|\cdot)l(\gamma(0))|=e_{0},5(1)=|/)(\wedge/(1))|=e_{1}$ が成り立つ. さらに,である. 仮定により, すべての $t\in[0,1]$ に$C([0,1],$ $E^{+})$ となる. ゆえに$\overline{-f}\in$$-\wedge l’\in I^{\neg}$

対して,

.

$I(-;(t))=I(|/)( \wedge/(t))|)\leq I(/\int((’(t)))\leq c-\delta$117となる. 従って,.

$\max_{0\leq\dagger\leq 1}I(-((t))\leq c-\overline{\delta}$

しかしながら, これは の定義に反する. 結局, $I’(u)=0,$ $I(u)=c$ を満たすは存在する. ) 一ス. バナッハ空間において, 写像 $u\mapsto|u|$ が連続なことと $u\mapsto u^{+}$ が連続なことは同値であることが容易に証明できる. すべてとの $u\in E$ に対して, $I(u^{+})\leq I(u)$ を仮定する. このとき,
口定義すれば, 今までの証明は, 有効である.
$c$$u\in E^{+}$$\dagger$$\overline{\gamma’}(t)=?7(\gamma(t))^{+}$

系 6 を次の半線形楕円型偏微分方程式に応用して, 正値解の存在を証明する.
$\{\begin{array}{ll}-\triangle u=a(x)u^{p}+\lambda_{L}(/(x, u) (x\in\Omega),u=0 (x\in\partial\Omega).

(6)\end{array}$の有界領域で、その境界は滑らかと仮定する. $g(x, u)$ について次の仮定を置く.
ここで$\Omega$は$\mathbb{R}^{N}$$(gO)g\in C(\overline{\Omega}\cross[0, \infty), \mathbb{R}),$$g(x, 0)\geq 0(x\in\Omega)$ .

$C>0,$ $\theta\in[0,2]$ が存在する. $N=1,2$ のとき,$1<q<\infty$ であり, $N\geq 3$ のとき, $1<q<(N+2)/(N-2)$ である.
また, すべての $s\geq 0,$ $x\in(]$ に対して,(gl) 次の条件を満たす$q,$$|g(x, s)|\leq C(|s|^{q}+1)$ ,$(p+1)G(x, s)-sg(x, s)\leq C|s|^{\theta}+C$ ,である. ただし, $G(x, s)$ は次の積分で定義する.
$(s\geq 0, x\in\Omega)$$G(x, s \cdot):=\int_{0}^{h}g(x, t)\zeta/t$.

(7)(g2) ある $a0>0$ があり, ) において $c\iota(\gamma;)\geq a_{0}>0$ であり, $sarrow\infty$ のとき,$x\in\Omega$ に関して一様に, $s^{-l)}|g(X. .b’)|$ はに収束する.
$\zeta$$0$

定理 7. $N=1,2$ のとき. 1 $<p<\infty$ とする. $N\geq 3$ のとき, 1 $<p<$が存在して, $a(x_{0})>0$, ある$(N+2)/(N-2)$ とする. .
を満たすものとする. $g(x, s)$ は. (90) を満たし, さらに (gl) または (g2) のが存在して,いずれかを満たすものとする、 このとき. あるのときに, (6) は, 正値解をもつ.
$0$$\in C(\overline{\zeta]}.\mathbb{R})$$x_{0}\in\Omega$$\lambda_{0}>0$$\lambda\in[0, \lambda_{0})$注意 8. $g(x, s)$ は符号を変えてもよいし, また $g(x, 0)>0$ となってもよい.
従って, 通常の峠の定理、及び Nehail 多様体の方法は, この問題に対して適用できない.

定理 7 を証明するために, 次の補題を用意する.

118
補題 9. すべてのうに, $g(x, s)$ をに対して. $G(x, s)\leq G(x, |s|)$ が成り立つよ上に拡張することができる.

$(x, s)\in\Omega\cross \mathbb{R}$$s\in \mathbb{R}$

証明. $h(x, s):=g(x, s)-g(x, 0)$ とおく. このとき $h(x, 0)=0$ なので, $h(x, s)$は, についての奇関数として拡張できる. このとき, $g(x, s):=h(x, s)+g(x, 0)$として, $g(x, s)$ を $s\leq 0$ に拡張する. $H(x, s):= \int_{0}^{s}h(x, t)dt$ とおく. このとき,$s$$G(x, s)=H(x, s)+g(x, 0)s$が成り立つ. $H(x, s)$ は について偶関数であり, $(gO)$ により, $g(x, 0)\geq 0$ なので, すべての $s\geq 0$ に対して,$s$$G(x, -s)=H(x, -s)-g(\alpha:, 0)s\leq H(x, s)+g(x, 0)s=G(x, s)$ .
口定理 7 の証明. $E:=H_{0}^{1}(\Omega)$ とおく. これは: 写像
バナッハ空間である. $I(u)$ を次式により定義する.

$u\mapsto$

囮が連続なリース$I(u):= \int_{\zeta\}}(\frac{1}{2}|\nabla u|^{2}-\frac{1}{p+1}c;(\backslash l;)|\uparrow\iota|^{p+1}-\lambda G(x, u))dx$.

(gl) または (g2) により, $I(u)$ はパレスメイル条件を満たす. $\rho>0$ を十分小さく選び,$U:=\{\iota\iota\in H_{0}^{1}(\zeta l):\Vert\iota\iota\Vert_{H_{0}^{1}}<\rho\}$と定義する. $e_{0}=0$ とおく. 十分小さなのときを選び,を満たすを選ぶことができる. 従っに, $I(e_{1})<0$ かつ
す. $G(X, .b’)\leq G(x, |s|)$ なので, すべての $u\in E$て, $I(u)$ は, (II), (I2) をに対して, $I(|u|)\leq I(u)$ が成り立つ. 系 6 により, $I’(u)=0,$ $I(u)=c>0$ ,$u\geq 0$ を満たす, $u\in H_{0}^{1}((1)$ が存在する. $(]$ において $u(x)>0$ が成り立つことを証明する. (4) の をと表し、対応する臨界点を晦と書く. すなわち,$\lambda_{(1}>0$$\lambda\in[0, \lambda_{0})$$\epsilon_{1}\geq 0$$\Vert t_{1}^{\supset\Vert_{H_{0}^{1}}}>/)$$\backslash \backslash (\ovalbox{\tt\small REJECT}\gamma_{\tilde{L}}$$c$$\lambda\in[0,$$\lambda_{0})$$c_{\lambda}$に対して,$c_{\lambda}= \wedge,\in\Gamma 0\leq t\leq l\inf,niaxI(\wedge t’(t))$.

$I’(n_{\lambda})=0$,$I(u_{\lambda})=c_{\lambda}$.

このとき, アプリオリ評価, $1/C\leq C\backslash \leq C$ が得られる. ここで $C>0$ は に無の関係な正定数である. この評価から. 解有界性,か/{尋られる. このとき, bootstra.1) 法により、がすべてのとすべての $q\in[1, \infty)$ に対して成り立つ. ここで,は にのみ$\lambda>0$が 分小さいとき,依存する正定数である.
は真に正であること$(x_{tt})=()$ を満たすを証明する. これを否定してとが存在は に収束するものと仮定する. 簡単のため,をして,と書き直す.
$\lambda$$u_{\lambda}$$H_{r)}^{1}(\Omega)$$\Vert u_{\lambda}\Vert_{H_{0}^{1}(\Omega)}\leq C_{0}$$\Vert\tau\iota_{\lambda}\Vert_{W^{2,r}(\Omega)}’\leq C_{q}$$\lambda\in[0\urcorner\lambda_{0})$$C_{q}$$\vdash$$\grave$$\lambda_{n}$$0$$u_{\lambda},,$$q$$u_{\lambda}(x)$$\lambda_{n}\geq 0$$u_{\lambda_{n}}$$x_{n}\in\Omega$$u_{n}$

119
部分列を選んで,に $W^{2,q}(\Omega)$に収束し,はある関数
はある点において弱収束するようにできる. このときは, 次の方程式の解である.
$x_{0}\in\overline{\Omega}$$x_{n}$$u_{0}$$u_{7\iota}$$Il_{r)}$$(x\in\Omega)$$-\triangle u_{0}=a(x)u_{0}^{p}$

さらに,,$u_{()}=0$$(x\in\partial\Omega)$

において, $71arrow\infty$ として次式が得られる.

$1/C\leq c_{\backslash ,\tau}$$\int_{\Omega}(\frac{1}{2}|\nabla\prime l\iota_{0}|^{2}-\frac{1}{p+1}(r.(x)|?\iota_{()}|^{p+1})dx\geq 1/C$

従って,を加えて,$u_{0}\not\equiv O$.となる.

$c=\Vert 0.u_{0}^{p-1}\Vert_{\infty}$

とおく. 方程式一.

$\triangle u_{0}=au_{0}^{p}$の両辺に$cu_{0}$$(c-\triangle)u_{0}=c^{r}\iota r_{()}+(l\uparrow\iota_{tJ}^{p}\geq(c\cdot-\Vert au_{0}^{p-1}\Vert_{\infty})u_{0}=0$.

ホップの最大値原理により,$u_{0}>0(x\in\zeta])\grave{\prime}$$\partial u_{()}/\partial_{lJ}<0(x\in\partial\Omega)$.

(8)

ただし,は外向き法線微分を表す. もし,ならば, $u_{0}(x_{0})=0$となり, これは矛盾である.の場合を考える.
が十分大きいとはき,に十分近い. そこで, dist $(x_{n}, \partial\Omega)=|x_{n}-y_{n}|$ なるを選ぶ. このとき, $(?/n-x_{?})/|y_{l}-x_{7t}|$ は外向き単位法線ベクトルである.
$u_{n}(x_{n})=u_{n}(y_{n})=0$ なので,を結ぶ線分上に $u(x)$ を制限して, ロル. との定理を使う. このとき,を満たすがこの線分上に存在はする.に収束するので, , もに収束する. すべての $q\in[1,$はにに対して,で弱収束するので. それは,で強収束している. 従って,となり, これは (8) に矛盾している. 結局,ある口のとき, $\tau\iota\backslash (x)>0(x\in\Omega)$ となる.
が存在して,$x_{0}\in\Omega$$\partial u_{0}/\partial\iota/$$x_{0}\in\partial\Omega$$n$$\partial\Omega$$x_{n}$$y_{n}\in\partial\Omega$$x_{\gamma\prime}$$y_{r\iota}$$\partial u_{r\ell}(\sim\sim\gamma\})/()_{1/=}0$$x_{n},$$y_{n}$$u_{n}$$x_{0}$$u_{0}$$\sim r\sim$$M\gamma 2,q(\Omega)$$\partial u_{0}(x_{0})/\partial’/=0$$\lambda_{0}’>0$$\lambda\in[0, \lambda_{()}’)$$\sim n\gamma$$\infty)$$x_{(}$$C^{1}(\overline{\Omega})$