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SVD-FDD 法による橋梁健全性評価の可能性検討
FEASIBILITY STUDY OF BRIDGE INTEGRITY ASSESSMENTBY SVD-FDD METHOD酒井 真清
Masaki SAKAI（指導教員 山本 亨輔）
Abstract - In this study, the Singular Value Decomposition (SVD) method and the Frequency
Domain Decomposition (FDD) method were applied to bridge vibrations caused by traffic loads toinvestigate the possibility of evaluating the bridge integrity by obtaining the mode shapes. The
numerical simulations showed that the two methods had different accuracy in estimating the modeshapes and sensitivity to damage, suggesting that the combination of the two methods could be used
to detect changes in the dominant mode and thus identify damage. It was also confirmed that there
was a difference between the mode shapes estimated by the SVD method and those estimated by
the FDD method by conducting actual vibration bridge measurement experiments.
ある。つまり、作用荷重が未知のまま、振動応答のみ

1. まえがき
橋梁の損傷は局所的に発生することが多く、近接目
視や打音検査などによって点検されることが多い。しかし、このような点検方法は客観性に乏しく、点検技
術者の技能に精度が依存する。また、点検に要する時
間、労力、費用が大きく、非効率的[1]である。つまり、橋梁点検の分野において、迅速で省力的かつ低コストに実施でき、点検者の技能に依存しない客観性を備えた健全性評価手法が求められている。
それらの条件を満たす手法の一つとして、橋梁振動の利用が考えられる。橋梁に加速度センサを設置し[2]、得られた振動データを分析することで、橋梁の健全性を評価する。評価指標として代表的なものは、固有振動数やモード形状、減衰などのモーダルパラメータ[3][16]が挙げられる。特に、モード形状は、各次モードの空間的な振幅比を表したもので、クラック等で生じる
局所的な剛性低下に対して鋭敏に反応するとされる。
モード形状は空間的な特性を把握しやすく、構造全体の状態把握だけでなく損傷位置・規模を推定するのに向いていると言える。しかし、モード形状を精緻に推定するには、比較的高価な高感度加速度計を密に配置する必要がある。[17]構造物の加振によってモーダルパラメータを求める際は、加振力と振動応答の両方が既知である必要がある。しかし、橋梁に振動を加える外力は、風や交通車両に起因することが多く、未知である場合が殆どでを用いてモーダルパラメータを同定する必要がある。
これを実稼働モード分析と言う。モード形状の推定法には様々なものがあり、例えば、クロスパワースペク
トル法や SVD（Singular Value Decomposition：特異値分解）法、FDD（Frequency Domain Decomposition：周波数領域分解）法[18]が挙げられる。
SVD 法はモード形状の直交性に着目したモード推定法である。SVD 法は、基準座標の無相関性[20]を仮定した方法で、センサが橋梁上に幾何対称的に配置され、橋梁が自由振動しているという条件下において、モード形状が推定できる。実稼働モード分析手法としては一般的でなく、特に、橋梁の場合、交通振動を対象とすると、基準座標の無相関性を必ずしも保証できない
ため、適用性は低いと予想される。
一方、FDD 法は実稼働モード分析手法としてよく知られている方法で、白色雑音入力で生じる常時微動、
または車両通過後の自由振動への適用が想定される。
本研究のように車両通過中の強制振動を分析対象とする場合の適用性は明らかでない。但し、常時微動および車両通過後の自由振動は振幅が小さく、外乱の影響が大きいため、高感度な加速度計を必要とする。また、常時微動や自由振動では、局所損傷に反応しやすい高次モードは顕在化しにくい。一方で、交通振動――即ち、車両通過中の強制振動は、常時微動および自由振動と比べて振幅が大きいため、計測が容易で、高次モードが卓越し易いと期待される。ただし、交通振動に SVD 法または FDD 法を適用して得られる結果の201811121 SAKAI - 2
信頼性には限界がある。浅川ら[21][22]は VBI（VehicleBridge Interaction：車両-橋梁相互作用）システムモデル

2.2.

FDD 法の理論を用いた数値シミュレーションを行い、SVD 法および橋梁𝑛点計測により、橋梁の FRF（Frequency Response

FDD 法の交通振動への適用性を検討した。浅川らによFunction：周波数応答関数）行列を求める。得られたデ

ると、SVD 法は高次モードの推定が可能である一方、ータはフーリエ変換を用いて、角振動数𝜔に対する関FDD 法は卓越モードを求めがちである。また、損傷前

数ベクトルに変換する。各点での加振力𝑭 (𝜔)および橋後で、SVD 法と FDD 法が推定するモード形状はそれ

梁振動𝒀 (𝜔)、FRF 行列𝐇(𝜔)は式(5)のような関係で表

ぞれ異なる変化を示した。このことは、SVD 法と FDDされる。

法の推定モード形状を比較することで、損傷の有無や𝒀 (𝜔) = 𝐇(𝜔)𝑭 (𝜔)進展を推定できる可能性を示唆している。毛利らおよ(5)び 浅 川 ら [17][23] は MEMS （ Micro-Electro-Mechanical

交通振動計測において、𝑭 (𝜔)は交通荷重である。多く

Systems：マイクロマシン）センサを製作し、橋梁の多の場合、交通荷重は未知なので、FRF 行列もそのフー点振動実験を行って、得られた振動データに SVD 法

リエ逆変換である IRF（Impulse Response Function：イ

および FDD 法を適用している。但し、計測点は 4 点

ンパルス応答関数）行列も同定できない。そこで、長しかなく、十分な考察は難しかった。

江ら[24]の方法に従い、モーダルパラメータの推定を試

そこで、本研究の目的は、交通荷重によって発生しみる。

た橋梁振動への SVD-FDD 法適用による橋梁健全性評

先ず、𝒀 (𝜔)の各成分間クロスパワースペクトルか価の可能性を検証することである。鋼主桁橋に MEMSら推定される FRF と、相互相関関数から推定される振動センサを 10 基設置し、諸元が既知のトラックを

IRF をそれぞれ疑似 FRF、
疑似 IRF と呼ぶこととする。

走行させて交通振動を励起させ、得られた振動データ

𝐇(𝜔)は𝑟次のモード形状𝝍𝑟 および極𝜆𝑟 を用いて次式に SVD-FDD 法を適用してモード形状を推定する。まのように表される[25]。
𝒏

た、実環境実験を模した数値シミュレーションを行い、𝐇 𝝎 =本手法の適用性を考察する。

𝒓=𝟏

𝝍𝒓 𝝍𝐓
𝝍∗ 𝝍𝐓
𝒓
+ 𝒓 𝒓∗𝒋𝝎 − 𝝀𝒓 𝒋𝝎 − 𝝀𝒓6

故に、𝐇(𝜔)は𝑟次の固有モードに関する情報を持つこ

2. 分析手法とが分かる。 [𝑚]T は転置を表す。

2.1.

める。𝒀 (𝜔)のクロスパワースペクトル𝐆𝒀𝒀 (𝜔)は式(5)次に振動応答𝒀 (𝜔)のクロスパワースペクトルを求SVD 法の理論

任意の𝑛 × 𝑚行列𝑫は次のように分解できる。
T

𝐃 = 𝐔𝚺𝐕

(1)

ここで𝐔 ∈ 𝑅𝑛×𝑛 、𝐕 ∈ 𝑅𝑚×𝑚 は直交行列である。また𝚺 ∈ 𝑅𝑛×𝑚 は次式のような行列である。
𝜎1
𝚺=[ ⋮
0

⋯ 0
⋱
⋮
⋯ 𝜎𝑛

0 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮]0 ⋯ 0(2)

𝜎1 、 ⋯ 、𝜎𝑛 は、𝐃の特異値であり、降順に並んでいるとする。このような行列操作を特異値分解という。
構造物を𝑛点計測した結果から得られた時刻歴波形
データを次式のようにデータ行列化する。
(3)
𝐘 = [𝒚(𝒕𝟎 ) 𝒚(𝒕𝟏 ) ⋯ 𝒚(𝒕𝑵 )]𝐘に直接、特異値分解を適用すると次式を得る.
𝐘 = 𝐔𝐒𝐕T = 𝐔𝐐

(4)

𝐔はモード形状の推定値であり、𝐐は基準座標𝒒(𝑡)の推定値をデータ行列化したものである。このようなモード形状推定手法を SVD 法と呼ぶ。

を利用することで次のように表される。
𝐆𝒀𝒀 (𝝎) = 𝒀 (𝝎)𝒀 𝐇 (𝝎)= 𝐇(𝝎)𝑭 (𝝎)𝑭 𝐇 (𝝎)𝐇𝐇 (𝝎)= 𝐇(𝝎)𝐆𝐅𝐅 (𝝎)𝐇𝐇 (𝝎)(7)[𝑚]H は複素共役転置を表す。今、加振力𝑭 (𝜔)は交通荷重で未知で、クロスパワースペクトル𝐆𝑭𝑭 (𝜔)も未知である。そこで各点の加振力が同じ周波数を持たず、加振力のパワー平均𝑓 が周波数と加振点に依らず一定であるような仮定をする。これより式(4)が成り立つ。
𝒇𝟐
𝐆𝑭𝑭 (𝝎) = ⎡
⎢ ⋮
⎣𝟎

⋯ 𝟎
𝟐
⋱
⋮ ⎤
⎥=𝒇 𝐈
𝟐
⋯ 𝒇 ⎦

(8)

𝐈は𝑛 × 𝑛の単位行列である。なお、交通荷重がこのような仮定を必ず満たすとは限らない。𝝍𝑟 に比例するモード形状𝝓𝑟 を式(9)のように定義する。
∗
𝝍T
𝑟 𝝍𝑟
𝝍
2ℎ𝑟 𝜔𝑟 𝑟

𝝓𝑟 = √(9)201811121 SAKAI - 3
式(7)に式(6)、(8)、(9)を代入すると式(10)が得られる。

して採用しているが、どちらも満たすべき仮定があっ

𝐆𝒀𝒀 (𝜔) = 𝑓2 𝐇(𝜔)𝐇H (𝜔)た。SVD 法については𝐐の行ベクトルである基準座標

𝑁
𝝓 𝝓𝐻
𝝓∗ 𝝓𝐻
𝝓𝑟 𝝓𝐻
𝝓∗𝑟 𝝓𝐻𝑟𝑟= 𝑓2 ∑ ( 𝑟 𝑟 + 𝑟 𝑟 ∗ +
+
)
𝑗𝜔
−
𝜆
𝑗𝜔
−
𝜆
−𝑗𝜔
−
𝜆
−𝑗𝜔
− 𝜆∗𝑟
𝑟
𝑟
𝑟
𝑟=1

(10)
式(10)より𝐆𝒀𝒀 (𝜔)の正の遅延成分𝐆+𝒀𝒀 (𝜔)は式(11)のように求められる。

𝒒(𝑡)が無相関であることを仮定した。橋梁振動が実際にこの仮定を満たしているかは確認できていない。また、SVD 法で求めた推定モードの次数は応答の大きいものから順に決まるため、推定モード形状は実際の実稼働モードとは次数も一致しない可能性がある[5]。
FDD 法は各計測点の加振力が同じ周波数を持たず、

𝑁

𝝓𝑟 𝝓H
𝝓∗ 𝝓H
𝑟
2
+ 𝑟 𝑟 ∗)𝐆+
𝒀𝒀 (𝜔) = 𝑓 ∑ (𝑗𝜔 − 𝜆𝑟 𝑗𝜔 − 𝜆𝑟
𝑟=1

(11)

加振力のパワー平均𝑓 が周波数と加振点に依らず一定であるような仮定をした。この仮定が成り立つならば、式(11)を式(6)と比較すると全く同様な形状をしている

固有振動数𝜔 で卓越するモードは必ず、𝑖次モードのことが分かる。式(11)より𝐆+
𝒀𝒀 (𝜔)は𝐇(𝜔)と同様に全みであると言える。しかし、実際にこの仮定が成り立てのモーダルパラメータに関する情報を持つ。よって、

つことはほぼないと言える。よって、結果の信頼性は

𝐆+
𝒀𝒀 (𝜔)は疑似 FRF 行列である。

高いとは言えない。

式(8)で仮定したように加振力のパワー平均𝑓が周波

そこで、SVD 法および FDD 法で推定されるモード

数と加振点に依らず一定であるという条件を交通荷形状の比較分析を行う。比較には式(14)に示される

重が満たすように山本ら[26]を参考にしてデータの平MAC（Mode Assurance Criterion：モード信頼性評価基均化を行った。対象となる全データに対して、75%ず

準）値[27][28]を用いる。

つオーバーラップさせながらデータを 1024 個ずつ取̅ )𝟐(𝚺𝒋 𝑨̅𝒋𝒌 𝑨𝒋𝒍
𝐌𝐀𝐂𝐤𝐥 =
(𝚺𝒋 𝑨𝟐̅ 𝒋𝒌 )(𝚺𝒋 𝑨𝟐̅ 𝒋𝒍 )り出し、それぞれのデータに対して𝐆+𝒀𝒀 (𝜔)を求めた
後に平均化し、疑似 FRF 行列を求めた。

(14)

FDD 法とは𝐆+𝒀𝒀 (𝜔)を特異値分解し、特異値スペク

𝑀𝐴𝐶 は𝑘次モードと𝑙次モードの形状の近さを表し、トルと推定モード形状を得る手法である。Brincker ら

値が 1 に近いほど形状は近い。つまり、2 つのモード

は、強制加振下の構造物のモード形状同定に FDD 法

形状の 2 乗相関である。SVD 法および、FDD 法を橋[19]。本研究では Brincker にが有効であることを示した

梁振動分析に用いるにはともに、異なる仮定を満たす

従い、𝐆+
𝒀𝒀 (𝜔)の特異値分解を次式で与える。

必要があり、どちらも単独で適用する場合は信頼性が+H
𝐆+
𝒀𝒀 (𝜔) = 𝐔(𝜔)𝐒 (𝜔)𝐔 (𝜔)(12)

ここで、𝐔(𝜔)はユニタリ行列であり、𝜔 = 𝜔𝑟（𝜔𝑟 は𝑟
次モードの固有角振動数）の時、その各列は推定モード形状ベクトル𝝓𝑟̂ である。また、𝐒+ (𝜔)は特異値を降低いと考えられる。しかし、両方の推定値が一致する
場合はある程度の信頼性があると言える。つまり、両手法の推定モードが一致するならば固有振動モードの可能性が高い。

順に成分とする対角行列である。縦軸に𝐒+
𝑖 、横軸に周波数をプロットして得られる特異値スペクトル密度―周波数曲線図において、周波数が小さい方から𝑟番目に出現するピークを、𝑟次卓越モードとする。その点での周波数𝜔𝑟 は𝑟次卓越固有角振動数であり、ここでは推定固有角振動数と扱う。なお、推定固有振動数は
𝑓𝑟 = 𝜔𝑟 /2𝜋である。また、𝝓𝑟 の推定値𝝓𝑟̂ として適当なのは、式(8)において𝐒+𝑟 の 1 行目（第 1 成分が特異値の最大値で他はゼロ）に対して乗算を行う𝐔(𝜔𝑟 )の第 1列目となる。したがって、𝝓𝑟̂ は次のように表される。
𝝓𝒓̂ = 𝒖𝑟1(13)

ただし、[𝐔(𝜔𝑟 )]𝑖𝑗 = 𝑢𝑖𝑗 である。

3. 数値シミュレーション
3.1.

数値シミュレーションモデルの作成

SVD-FDD 法の交通振動への適用性を検討するために、
VBI（Vehicle-Bridge Interaction：車両－橋梁相互作用）
システムの数値シミュレーションを行う。車両モデルには 3 次元剛体ばねモデルを、橋梁には Kirchhoff-Love板理論に基づく２次元有限要素曲げ板モデルを用いた。VBI システムモデルを図 1 に示す。車両は橋梁振動と路面凹凸の和から成る強制変位によって振動し、橋梁は車両の接地力を外力として振動する。適用した
路面凹凸を図 2 に示す。この路面凹凸は、実計測デー

2.3.

比較方法について

本研究では SVD 法および FDD 法を構造同定手法とタに基づきランダムに発生させたものを用いている[20]。表 1 には、車両と橋梁のパラメータを示す。これ

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らのパラメータは実環境実験で使用した車両およびデル全体で曲げ剛性が均一なモデルを作成した。また、橋梁の値と既往の研究[21]を参考に設定した。また、表局所損傷モデルとして走行車線進入側の端部に長さ２には橋梁モデルおよび車両モデルの固有振動数を2m 幅 5m にわたって剛性が 20%低下しているモデル示す。数値シミュレーションでは健全橋梁として、モを作成した。

図 1 数値シミュレーションで使用した VBI モデル
表 1 数値計算モデルの力学パラメータa) 車両パラメータ
Sprung-ms

12,500 [kg]Span lengthLx30.0 [m]Stiffnessks

2.0×105 [N/m]

Width

Ly

10 .0 [m]Dampingcs

2.0×103 [N/s]

Mass per unit areaρt

9.00×102[kg/m2]

InteriaIx

1.2676×104 [kg m2]

young's ratio

E

3.96×1010 [N/m2]

Iy

7.554×104 [kg m2]

Poisson's ratio

ν

0.25

dx

4.65 [m]damping ratio

ζ

0.02

dy

2.12 [m]α1.6969Massmu

1,000 [kg]β2.3572×10-4

Stiffnessku

3.0×106 [N/m]type

2D-quad-shellv

10.0 [m/s]size

1.0[m]×0.5[m]number600

Distance

Unsprung-

Run speedb) 橋梁パラメータ

Mass

Rayleigh coefficients

Elements

表 2 車両・橋梁モデルの固有振動数
vehicle model Natural
bridge model Natural
frequencies [Hz]frequencies [Hz]
3.352
1st
1.042
1st
13.496
2nd
1.297
2nd
3rd

図 2 数値計算で用いた路面凹凸

9.003

3rd

14.282

4th

9.003

4th

30.510

5th

9.007

5th

30.891

6th

9.008

6th

51.644

7th

9.010

7th

54.3998th

76.3009th

77.73010th

85.136

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図 3 各センサ位置での加速度振動波形

図 4 FDD 法推定モードと固有モード正解値の MAC 値―周波数曲線図

3.2.

数値シミュレーションの結果と考察

3.2.1.

SVD-FDD 法を適用した結果

数値シミュレーションでは実環境実験と条件を合わ

ここでは数値シミュレーションで得た、各センサ位置せるために、橋梁上の 10 点で加速度センサによる計測

での加速度振動データにSVD-FDD 法を適用した結果をを行ったと仮定する。各センサは橋梁をスパン方向に 6示す。数値シミュレーションの結果に FDD 法を適用す

等分するように両車線の縁石の淵に設置した。また、セるにあたって、疑似 FRF 行列を求める際に平均化を行

ンサのサンプリングレートは実環境実験で使用したセう。そのため、平均化を行うのに十分なデータ長を確保

ンサと条件を揃えるため 300[Hz]と仮定する。健全モデする必要があることから、車両通過中の強制振動および、ルの各センサ位置での橋梁上車両通過中の加速度振動

車両通過後の自由振動を分析対象とする。図 4 に健全モ波形を図 3 に示す。各計測点での波形に注目すると、車デルについて FDD 法で推定される各周波数帯において、線の違いによる振幅の大小の違いはあまり確認できな

最も卓越した実稼働モードと 10 次までの固有モードのい。各計測点の振動のピークはどれも 5~6 秒の間付近でMAC 値を示す。これは FDD 法のモード形状推定精度をあり、スパン方向での違いはあまり見受けられない。車表している。また、図 5 には、健全モデルに対して SVD

両通過後は減衰によって振幅が 0 に収束していく。

法および FDD 法によってそれぞれ推定されたモード形
状と、固有モード形状を示す。各グラフにおいて、中央201811121 SAKAI - 6

より左側の曲線が走行車線側のモード形状を、右側の曲

ドが実稼働モードとして FDD 法により推定されている。

線が反対車線側のモード形状を示す。Accuracy は固有モ

図 4 中の直線は固有振動数を示しており、1～5 次固有ード形状に対する SVD 法または FDD 法で推定されたモードが対応する固有振動数付近で卓越していること

モード形状の精度を表し、coincidence は SVD 法と FDDが読み取れる。次に図 5 において、SVD 法で推定された法で推定されるモード形状の一致度を表す。Accuracy と振動モード（赤線）に注目すると、卓越 1 次モードとしCoincidence のいずれの評価指標にも MAC 値を用いた。

てたわみ 2 次モードが推定される一方で、卓越 2 次モー

図 5 を見ると 1 次固有モードはたわみ 1 次モードであドにたわみ 1 次モードが推定されている。これは SVDる。図 4 に注目すると 0～10[Hz]では固有 1 次モードに法で求めた推定モードの次数は応答の大きいものから対する MAC 値が大きくなっていることから、この周波順に決まるため、前述したように幅広い周波数帯で卓越数帯でたわみ 1 次モードが実稼働モードとして推定さしているたわみ 2 次モードの応答が大きく、卓越 1 次モ

れたことが読み取れる。同様に、15～27[Hz]、32[Hz]～ードとして推定されたためと考えられる。1 次、2 次モの周波数帯でたわみ 2 次、10[Hz]付近でねじり 1 次、ードでは SVD 法による推定モードは固有モードに対し

28[Hz]付近でたわみ 3 次、30[Hz]付近でねじり 2 次モーて次数が逆転してしまったが、3 次~5 次での図 5 健全モデルの推定モード形状および固有モード形状

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Accuracy は 0.8 以上を保っており、概ね固有モード形状

状および SVD 法による推定モード形状は健全モデルのを推定できている。また、6 次以降でも次数は一致してものとほぼ同じであることが分かる。FDD 法による推いないものの、形状だけなら精度良く推定できているも定モード形状に注目すると、卓越 1 次モードとしてたわのが多い。一方、図 5 において、FDD 法で推定された振み 1 次モードが推定され、Accuracy は 0.819 と良好であ動モード形状（青線）に注目すると、1 次では Accuracy

る。FDD 法は健全時同様、概ね固有 1 次モードを推定でが 0.722 と概ね固有モードを推定できている。
2 次～9 次きていると言える。また、健全時では推定できなかったでは推定している卓越モードの振動数が固有振動数か

固有 3 次モード（ねじり 1 次モード）についても、FDD

ら大きくずれており、一概には比較できないが、固有振法の Accuracy は 0.849 で、健全時にはほとんど推定でき動数に近い振動数で推定したモード形状を見ると、固有ていなかったのとは対象的である。4 次～8 次では健全振動モードを推定できているものも存在する。

時と同様で推定している振動数が固有振動数とはずれ次に図 6 に局所損傷モデルに対して SVD 法およびてしまっているが、固有振動数付近を推定しているその

FDD 法により推定されたモード形状と、固有モード形

他のモードを見ると、形状が合致するものも存在する。

状を示す。図 6 を見ると局所損傷モデルの固有モード形

図 6 局所損傷モデルの推定モード形状および固有モード形状

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図 5、図 6 を見比べると FDD 法による推定モード形に相当する。図中の黒線は固有振動数を示す。FDD 法に状には違いが生じていることが確認できる。具体的な違は「各計測点の加振力が同じ周波数を持たず、加振力のいは健全モデルでは固有振動数 3.81[Hz]のたわみ 1 次モ

パワー平均𝑓が周波数と加振点に依らず一定である」とードが卓越１次モードとして推定されたのに対して、局いう仮定があった。また、この仮定が成り立つとき、「固所損傷モデルでは固有振動数 8.5[Hz]のたわみ 1 次モー有振動数𝜔 で卓越するモードは必ず、𝑖次モードのみでドが卓越１次モードとして推定されている点が挙げらある」とされた。図 7 と図 8 では、共に、固有振動数付れる。また、健全モデルにおける卓越 2 次モードと局所近で複数のモードの特異値スペクトルが大きくなって損傷時の卓越 1 次モードは形状、周波数が一致する。つ

いる。これは前述した FDD 法の仮定と矛盾しており、

まり、健全モデルにおいて推定できていたモードが、局

これが FDD 法の精度を低下させる原因になったと考え

所損傷モデルではできていない。局所損傷モデルで卓越られる。つまり、FDD 法そのものは、交通振動のような

2～6 次モードとして推定された振動モードは健全モデ

白色性が仮定できない振動には、予想通り適用が難しい

ルにおいて卓越 3～7 次モードとして推定されている振と言える。

動モードと一致する。局所損傷モデルで卓越 7 次モード

以上より、SVD 法と FDD 法では、モード形状の推定として推定された振動モードは健全モデルにおいて卓精度や損傷に対する感度が異なることが明らかとなっ

越 9 次モードとして推定されており、健全モデルで卓越た。SVD 法は安定してモード形状を高精度に推定でき

8 次モードとして推定されている振動モードを検出できる方法である。しかし、損傷が発生しても、推定モードていない。一方、局所損傷モデルで卓越 8 次モードとし形状に変化が生じにくく、損傷影響を評価することが難て推定されている振動モードを健全モデルでは推定でしい。SVD 法は、基準座標の無相関性を仮定しているた

きていない。

め、各モードに生じる僅かな損傷影響が平均化されてし

図 7、
図 8 には、健全時と損傷時のそれぞれにおいて、FDD 法で求められる特異値スペクトルを示した。特異

まうためと考えられる。一方で、FDD 法は必ずしも精度
良くモード形状を推定できるわけではない。

値スペクトルはある周波数における振動モードの振幅

図 7 健全モデルの特異値スペクトル―周波数曲線図

図 8 局所損傷モデルの特異値スペクトル―周波数曲線図

図 9 健全モデルと局所損傷モデルでの SVD-FDD 相似モード形状の不一致度

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これは、FDD 法が、より実稼働モード推定法として、卓いのは卓越 8 次、9 次モードである。卓越 8 次はねじり越したモードを優先的に検出しようとする方法である

4 次モード、卓越 9 次はたわみ 5 次モードである。高次ためで、ほとんど励起されなかった高次固有モードを推

モードであるが健全モデルと局所損傷モデルで MAC 値

定するには精度が不十分である。しかし、局所損傷発生のほぼ一致している卓越 7 次モードはねじり 3 次モード

後は、
2 次以上のモード形状が励起されやすくなり、FDDである。このことから、3 次以下のたわみ、ねじりモー法の精度が変化する。したがって、SVD 法と FDD 法を

ドでは健全モデルと局所損傷モデルの間でほとんど差

組み合わせて、卓越モードの変化を検知することで、損がないことが分かる。また、4 次以上のたわみ、ねじり傷の影響を分析できる可能性がある。

モードでは健全モデルと局所損傷モデルには違いが存

そこで図 9 に健全モデルと局所損傷モデルに対して在することが分かった。これは、3 次以下のたわみ、ね

SVD-FDD 法を適用した結果を示す。これは健全モデル、

じりモードではモード形状のピーク間距離が大きく、今局所損傷モデルのそれぞれについて FDD 法により計算回のようなセンサ配置では変化を検出できなかったとされた全ての周波数での振動モードの内、SVD 法で推考えられる。一方で 4 次以上のたわみ、ねじりモードで定された卓越 1 次～10 次モードとの MAC 値が最大とはピーク間距離が小さくなり十分な変化を検出できたなったものを FDD 法による推定値と仮定し、各卓越モと考えられる。しかし、なぜ、たわみ 4 次、ねじり 5 次

ード同士で MAC 値を計算したとき、健全モデルと局所モードでは局所損傷モデルの MAC 値が大きくなり、ね損傷モデルでの MAC 値の比を示したものである。つまじり 4 次、たわみ 5 次では健全モデルの MAC 値の方がり、SVD 法により推定された卓越モードと最も形状が大きくなったかは不明である。今後、様々なモデルでの似ていた FDD 法の計算結果による相関の 2 乗値を健全追加検証が必要である。

モデルと局所損傷モデルで比較したものである。縦軸は自然対数で示しているため、値が正であれば局所損傷モ
デルでの MAC 値が大きく、値が負であれば健全モデル

4. 実環境実験での MAC 値が大きいことを示している。また、0 であ

4.1.

実験諸元

れば健全モデルと損傷モデルで MAC 値は一致している。

本研究で橋梁振動計測実験の対象としたのは、茨城県

図 9 を見ると低次のモードでは健全モデルと損傷モデ

つくば市の県道 200 号藤沢豊里線に架かる旭橋（図 10）

ルでは MAC 値にほとんど差がないことが分かる。一方である。旭橋は全長 30.9ｍの合成桁橋である。平面図おで 6 次以上の高次モードでは MAC 値に大きな違いが発

よび縦断図、センサ設置位置を図 11 に示す。橋梁の両生していることが確認できる。まず、正の値をとってい

端左右に車両通過判定を行うため、GPS センサを 4 か所る、つまり、局所損傷モデルの MAC 値が健全モデルよ電子基準点として設置した。また、加速度センサを左右り大きい、卓越 6 次、10 次モードに注目する。SVD 法

5 か所ずつ、計 10 か所設置した。また、車両の外観およで推定される卓越 6 次モードは健全モデル、損傷モデル

びその諸元を図 12、図 13 と表 3 に示す。本車両は、車どちらもたわみ 4 次モードに似ている。卓越 10 次モー

体重量が 7.6t であり、荷台に砕石を搭載して総重量が約

ドはねじり 5 次モードである。負の値になっている、つ14t となるようにカスタムされている。

まり、健全モデルの MAC 値が局所損傷モデルより大き

図 10 旭橋概観

図 11 センサ配置図

201811121 SAKAI - 10

図 12 実環境実験で使用した車両

車体重量
(kg)
7, 600表 3 車両諸元
前軸重
後軸重
(kg)
(kg)
3, 9809, 680

全重(kg)
13, 730

図 13 車両寸法

図 14 各センサで計測された加速度振動波形

図 15 各センサで計測された加速度振動波形のパワースペクトル4.2.

実環境実験の結果と考察たセンサ B0～B4 の波形を比較すると全体的に車線側に今回の実験では FDD 法を適用するにあたって、デー設置されていたセンサのほうが反対車線側に設置されタを平均化することから、十分なデータ長を確保するたていたセンサと比較して、振幅が大きいことが確認でき

めに橋梁車両通過中の振動に加えて、その前後 1024 デる。橋のスパン方向では紙面左側から右側にかけて、つータを追加で取得して分析を行う。ただし、今回の実験

まり、車両が通過した順番に振動のピークが遅くなってで使用した MEMS センサのサンプリングレートはいることが分かる。また、全てのセンサで車両通過して300[Hz]である。ここからは実環境実験で得られた計測

いない時間にも微細な振動を計測している。図 15 に注

データの特徴を示す。実環境実験では車両が図 11 の左目すると図 14 と同様に車両が通過した側の車線のパワ側から右側に向けて左側通行で通過した。図 14 に各セ

ースペクトルが大きくなっていることが確認できる。まンサが計測した橋梁の鉛直加速度振動波形を示す。
また,た、全てのセンサにおいて 3.0, 4.2,[Hz]に、B2、B7 以外

図 15 はその各周波数におけるパワースペクトルである。

のセンサにおいて 13[Hz]付近にパワースペクトルのピ

図 14 に注目する。車両が走行した車線側に設置されてークが存在する。

いたセンサ B5～B9 の波形と反対車線側に設置されてい201811121 SAKAI - 11

図 16 特異値スペクトル―周波数曲線図

図 17 SVD-FDD 法による一致度―周波数曲線図

図 18 SVD-FDD 法による推定モード

201811121 SAKAI - 12

4.2.1.

SVD-FDD 法を適用した結果

度振動に対して SVD 法を適用した結果、

ここでは計測によって得られた振動データに対してSVD 法では安定して卓越モードを高精度

SVD-FDD 法を適用した結果について考察する。
図 16 にに推定できるが、次数は必ずしも固有モ

FDD 法により求められる、各周波数における特異値スードと一致しない。

ペクトルを示す。数値シミュレーションと同様に同じ周[2]波数で複数のモードの特異値スペクトルが大きくなっ

また、FDD 法は適用仮定を満たさず、推ており、FDD 法の仮定をみたしていないことが分かる。

定振動数が固有振動数とずれてしまうが、そのため、FDD 法ではモード形状の推定があまりよく固有振動数付近の推定振動数を持つ振動

できていないと考えられる。図 17 に FDD 法で推定されモードには固有モードと形状の一致する

る各周波数帯において、最も卓越した実稼働モード形状

ものが存在する。

と SVD 法による推定モード形状の MAC 値を示す。図17 を見ると 0～5.0[Hz]、8.2～13[Hz]、15~34[Hz]、38[Hz][3]損傷が存在しても、SVD 法と FDD 法は～の周波数帯では卓越 1 次モードが、5.2[Hz]～6.4[Hz]でどちらも健全時とほとんど同じような結は卓越2 次モード、
13[Hz]～15[Hz]では卓越3 次モード、果になるが、
FDD 法には若干の差がある。

35[Hz]付近では卓越 4 次モードがそれぞれ実稼働モード
として推定されていることが分かる。図 18 は SVD 法お[4]

そこで、SVD 法と FDD 法の結果の違い

よび FDD 法によってそれぞれ推定されたモード形状をを MAC 値に基づいて損傷前後で比較す示す。卓越 1 次モードとしては SVD 法と FDD 法はともると明確な差があった。

にたわみ1次モードを推定している。
Coincidence は0.711[5]であるためおおよそ一致していると言える。2 次以降のしかし、損傷検知までは至らなかった。

SVD 法による推定モード形状に注目すると、卓越 2 次にねじり 1 次、卓越 3 次にねじり 2 次、卓越 7 次にたわ

[6]

実環境実験においても、FDD 法は仮定を

み 3 次、卓越 8、9 次にねじり 3 次モードを推定してい満たさず、精度よくモード推定を行うこる。FDD 法による卓越 2 次以降の推定値は形状の安定とはできない。

しないものが多く、たわみ 1 次、もしくはねじり 2 次モ
[7]

ードが見られるだけで、SVD 法による推定モードとは

実環境実験でも SVD 法の推定モード形

一致しない。実環境実験では単一の橋梁を計測したのみ

状と FDD 法による推定モード形状は異であるから、数値シミュレーションのように損傷の有無なることが確認された。

で結果の比較を行うことはできないが、数値シミュレー
ションと同様に、SVD 法による推定値と FDD 法に依る推定値には差が生じていることを確認できた。

5.2.

今後の課題

本研究では橋梁はシェル要素を用いて、剛性が均一な板としてモデル化したため、実橋梁が数値シミュレーシ
ョンのように振動しているかは定かでない。今後はソリ

5. まとめと課題
5.1.

まとめ

本研究では数値シミュレーションおよび、実環境実験を実施し、SVD-FDD 法による橋梁健全性評価の可能性を検討した。その結論を以下にまとめる。
[1]

有限要素法により 3 次元車両モデルと 2次元板モデルからなる VBI システムを作成し、交通荷重による橋梁振動の数値シ
ミュレーションを行った。得られた加速

ッド要素などを用いて、より高度な橋梁モデルを作成する必要がある。また、車両モデルはトラックを模した立体図形の 4 か所に独立懸架式のサスペンションが配置されているように作成したが、実環境実験で実際に使用した車両は荷台部分がリジッドアスクルでリーフサスが装備されている。今後はより車両の実態に即したモデリングが求められる。また、実環境実験では常時微動、
および他車による交通振動が計測された振動に含まれていることから、数値シミュレーションにおいてこれらの影響を検討することが必要である。実環境実験では今回の計測だけでは橋梁が健全か否かは判別できないが、

201811121 SAKAI - 13

SVD 法と FDD 法による推定モード形状には確かに差異[11] 貝戸清之, 阿部雅人, 藤野陽三：不確実性に起因すがあることが確認できた。今後、再び同じ橋梁を計測しる振動特性変化の定量化とその有意性検定手法,て SVD-FDD 法を適用し、今回の結果と比較する。また

土木学会論文集 I56, pp.399-414, 2001

は損傷の有無が確認できる、同一橋梁で計測を行う必要がある。

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謝辞
本研究を実施するにあたって、ご指導をいただいた山本亨輔先生、松島亘志先生に甚謝の意を表する。また、研究の細部の相談に応じてくださった先輩方および、実験に協力していただいた研究室の皆様に感謝申し上げる。最後に両親とこれまでの人生を支えてくださった全ての人々に謝意を表する。