特集／物理学における様々な数学的発想

可積分系と Painlevé 方程式

千 葉

逸 人
次元の方程式に帰着できる. 特に，n 次元可解 Lie 群

1. 求積可能な方程式と Lie の定理の作用で不変ならば (1) は求積可能である.

多くの物理現象は微分方程式で記述されるため，微分方程式を解くことは数学の立場からも物理の立場からも重要である．しかし方程式が “解ける”ということをきちんと定義することは難しい．ある時代には解けなかった方程式が，数学の発展と共に解けるようになることも当然あり得る．Weierstrass の方程式

1 つずつ落ちる正規部分群の列G ⊃ G(n−1) ⊃ · · · ⊃ G(1) ⊃ {e}が存在することをいう．また，Lie 群の作用に関してある種の非退化性の条件が必要であることを注意して(y ′ )2 = 4y 3 − g2 y − g3

おく (この記事では，直感的な理解を優先して細かいの一般解は Weierstrass の ℘ 関数で表すことができる．

℘ 関数の素性はよく研究されているため，今日では解ける非線形微分方程式の代表格であるが，18 世紀にはまだ難しかっただろう．20 世紀以降は微分方程式の定性理論である力学系理論が大きく発展したため，解を明示的に書くよりも定性的な性質 (例えば，任意の解が時間 t → ∞ で 0 に収束する，など) を示したほうがより理解したと言える，という立場も出てきた．
しかしそういうことを言い出しても話が始まらないので，ここでは古典的な立場をとる．次のような n 次元の常微分方程式系

dx= f (t, x),dt

ここで n 次元群 G が可解 Lie 群であるとは，次元が条件や用語の説明を省略することがある)．
まず，(1) が 1 次元の方程式のときは 1 次元の Lie群の作用で不変ならば求積可能である．簡単のため，群作用は平行移動 x 7→ x + c (c : 定数) であるとする．
この作用で不変な 1 次元の方程式は x′ = f (t) であり，変数分離形なのでただちに解ける．群作用が平行移動でない場合は，座標系をうまく取り直して局所的に作用を平行移動にすればよい (したがって，一般に Lieの定理は局所理論であることに注意)．
次に，n 次元の方程式 (1) が n 次元 Lie 群 G の作用で不変であるとする．G(n−1) を G の n − 1 次元部分 Lie 群とする．ここでも簡単のため，G(n−1)

t ∈ R, x ∈ Rn(1)を考える．与えられたデータ (f と，次の定理で述べる群作用の具体的な表示) に対する微分，積分，逆関数をとる操作と四則演算の有限回の操作で任意の解が得られるとき，方程式は求積可能であるという．これに関して次の Lie による定理が基本的である1) ．の作用は x2 , · · · , xn 方向の平行移動 xi 7→ xi +ci , (i = 2, · · · , n) とする．そのような方程式の右辺は x2 , · · · , xn に依存しないため，特に x1 の方程式はx′1 = f1 (t, x1 ) という形をしている．この方程式を解くために，G のうちまだ使っていない情報，すわなちG/G(n−1) の元を用いたいが，これが Lie 群でありその作用が well-defined であるためには G(n−1) は正規に作用する k部分群である必要がある．このとき，x′1 = f1 (t, x1 )次元可解 Lie 群 G の作用で方程式 (1) が不変であるとは 1 次元 Lie 群 G/G(n−1) の作用で不変であるからする. このとき，方程式 (1) は有限回の操作で n − k求積できる．残った (x2 , · · · , xn ) についての方程式はn+1

定理 1 (Lie の定理) (t, x) 空間 R

数理科学

NO. 634, APRIL 20161

G(n−1) の作用で不変である．帰納的に同じ手続きをらに，条件 (i) が成り立つ領域において，ある座標変換繰り返せば，結局変数分離形の積み重ねに帰着できる(q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn ) 7→ (I1 , · · · , In , ϕ1 , · · · , ϕn )ことになる．

が存在して，方程式 (2) を次の形に変換できる．

dIi= 0,dt

2. Hamilton 系に対する可積分性(4)

一般に，関数 H に対する Hamilton 系 (2) の右辺

2n 変数の滑らかな関数 H(q1 , · · · , qn , p1 · · · , pn ) にが定義するベクトル場を XH と表す．これについて次の公式が知られている.

対し，次で定義される 2n 次元の微分方程式

dqi∂H dpi∂H==−,,dt∂pi dz∂qi

dϕi= ωi (I1 , · · · , In )dt

(i = 1, · · · , n) (2)X{F,G} = [XG , XF ]を Hamilton 系といい，H をその Hamilton 関数といここで右辺はベクトル場の括弧積である．これを用いう (この節以降は，方程式の右辺が独立変数の t に依て定理 2 の意味するところを説明しよう．

存しない問題のみを扱う)．エネルギーの散逸のない多j = 2, · · · , n に対して仮定 {H, Hj } = 0 と上のくの物理系はこの形で定式化可能である．例えばポテ公式から [XH , XHj ] = 0 が分かる．ベクトル場のンシャル V を持つ Newton の運動方程式

括弧積の意味を考えると，これは Hamilton 系 (2)が，ベクトル場 XHj の流れが定義する 1-パラメー

2d qi∂V=−dt2∂qi

タ群の作用で不変であることを意味する．したがって

は，qi′ = pi とおいて 1 階連立に書き直すと，前節の Lie の手続きから次元を 1 つ落とせるが，実H = (運動エネルギー) + (ポテンシャルエネルギー)
1= (p21 + · · · + p2n ) + V (q1 , · · · , qn )2ことができる．というのも，仮定より Hj は保存量

は Hamilton 系の場合は，次元を同時に 2 つ落とすとして上式の形に書ける．まず，関数 H は任意の解軌
道に沿って時間 t についての定数関数であることに注意しておこう．すなわち，(dHj /dt = 0) であるから，適当な定数 cj に対して，解軌道は Hj (q1 , · · · , qn , p1 , · · · , pn ) = cj で定義される 2n − 1 次元の超曲面に含まれている．再び仮定{H, Hj } = 0 よりベクトル場 XH はこの超曲面に接しており，したがってその上の 2n − 1 次元の微分方程)n (∑dH∂H dqi∂H dpi=+=0dt∂qi dt∂pi dti=1

式を定めている．これが XHj が定義する 1-パラメータ群の作用で不変なので，さらに次元を 1 つ落とせる．

を示すのは容易である．このように軌道に沿って時間

この手続きを j = 2, · · · , n に対して繰り返し行えば方について定数となる関数を系の第一積分，あるいは保程式を求積できる．

存量という. Hamilton 系に対しては，前節の Lie の定 理 の 最 後 の 主 張 で 述 べ ら れ て い る Ij (j定理が特別にいい形で書けて，幾何との相性も良くな

1, · · · , n) を作用変数, ϕj (j = 1, · · · , n) を角変数といる．次の定理を述べるために，R2n 上の滑らかな関数う．方程式 (4) によれば Ij は時間の定数であるから，F, G に対する Poisson 括弧を)n (∑∂F ∂H∂F ∂H{F, G} =−∂qi ∂pi∂pi ∂qii=1n{Ij }nj=1 は {Hj }j=1 の適当な組み合わせだと思えば=よい．{Hj }nj=1 は第一積分であるから，解軌道は(3)で定義する．
定理 2 (Liouville-Arnold の定理)2)

Hamilton 系の微分方程式 (2) に対して，n 個の第Mc = {Hj (q1 , · · · , pn ) = cj (定数), j = 1, · · · , n}で定義される n 次元の多様体の上に束縛されている．

Mc の上には，n 個のベクトル場 XH1 , XH2 , · · · , XHn
を Mc に制限して得られるベクトル場があり，これらは一積分 H1 = H と H2 , · · · , Hn が存在して，互いに可換 [XHi , XHj ] = 0 である．よって，これらの(i) H1 , · · · , Hn は適当な領域で関数独立，かつ流れは Mc に作用する n パラメータ加法群を定義する．

(ii) 任意の i, j に対して {Hi , Hj } = 0 のとき，

ところが n 次元の可換 Lie 群は R と T1 = [0, 2π) のHamilton 系 (2) は Lie の意味で求積可能である．この直積しかないから，適当な r に対して Mc の連結成分はとき，特に (2) は Liouville 可積分であるという．さRr × Tn−r に同相となる．これが角変数 (ϕ1 , · · · , ϕn )2が運動する空間である．(I1 , · · · , In ) は軌道に沿ってもある．実際には固有値よりも特性多項式を考えるほ定数であったから (4) の右辺もそうであり，よってうが都合がよい．

(ϕ1 , · · · , ϕn ) は Mc 上を等速運動する．特に解が有界ならば Mc ≃ Tn であり，角変数の運動はトーラス上の周期軌道，または準周期軌道となる．さらに第一det(λ − L(t)) = λn + I1 λn−1 + · · · + In−1 λ + In
とおく．I1 , · · · , In は固有値の対称式で書けるから，こ

積分 {Hj } が全て多項式ならば Mc は代数多様体であれらもやはり運動の保存量である．こちらの方は L(t)り，このとき系は代数的完全可積分であるという．この成分に関する多項式になっているため扱いやすい．のときは作用変数の空間や角変数の空間に複素代数多これら n 個の関数が全て関数独立かという問題は残っ様体の構造が入り，より幾何的に面白くなる.2)ているが，ともかく Lax 方程式からは系統的に保存量

なお，与えられた変数 (q1 , · · · , pn ) を具体的に作用-を構成できることが分かった．

角変数に変換する計算は，方程式を求積する操作と同Liouville 可積分な Hamilton 系は Lax 方程式で表値であり，一般には複雑すぎて解の挙動を理解するたすことができることを示そう．{Di , Ei }ni=1 で生成さめに有効とは限らないことを注意しておく．特に，逆れる Lie 代数 g を関係式{関数をとる操作を繰り返し伴うので，きれいな表示で書けることは稀である．

[Di , Dj ] = 0 = [Ei , Ej ][Di , Ej ] = 2δij Ej

で定義する (このような Lie 代数は 2n×2n 行列の空間

3. Hamilton 系から Lax 方程式へで表現できる)．Ij , θj を g 上の関数として，L, M ∈ g

唐突ではあるが，可積分系の中でも特に重要なクラをスである Lax 方程式を導入し，Liouville 可積分系はいつでも Lax 方程式の形に書けることを示す．

L=n∑

しばらく係数体は C としておく．g を n 次正方行列全体がなす Lie 代数 gln (C)，あるいはその部分 Lie代数とする．L(t), M (t) ∈ g に対し，dL= [L, M ] = LM − M Ldt

M=n∑ωj (I1 , · · · , In )Ejj=1と定義すると，Lax 方程式 (5) は作用-角変数で書いた(5)で定義される微分方程式を Lax 方程式という．この方程式は豊富な保存量を持つことを示そう．方程式

dU= U M,dt

(Ij Dj + 2Ij θj Ej )j=1U ∈ GLn (C)の解で，初期条件 U (0) =(単位行列) を満たすものをU (t) とする．このとき，Lax 方程式の解は L(t) =方程式 (4) と同値であることを見るのは容易い. した
がって Liouville 可積分系は Lax 方程式で表すことができる．ただし，前に述べたように可積分系を作用-角変数で表すのは難しいため，一般に与えられた方程式の Lax 表示を見つけるのは容易ではない．また Lax方程式で書けるとしても L, M は一意ではないことを注意しておく．

U (t)−1 L(0)U (t) で与えられる．実際，d(U (t)−1 L(0)U (t))
dt
= (−U −1 U ′ U −1 )L(0)U + U −1 L(0)U ′= −M U −1 L(0)U + U −1 L(0)U M= [U −1 L(0)U, M ]なので，L(t) = U (t)−1 L(0)U (t) は確かに方程式を満たしている．行列の固有値は相似変換で不変なので，

4. Lie-Poisson 構造から Lax 方程式へ
Lax 方程式を系統的に作ることができる方法がある．それがこの節で述べる Lie-Poisson 構造である．

Poisson 構造の定義から始めよう．
Rm とその上の C ∞ 級関数全体 C ∞ (Rm ) を考える
(一般の多様体でもよいが，局所理論しか扱わないからEuclid 空間で説明する)．関数 F, G ∈ C ∞ (Rm ) に対行列 L(t) の固有値は t について一定，すなわち全て保して関数 {F, G} ∈ C ∞ (Rm ) を割り当てる操作で次存量になることが分かった．その意味で，Lax 方程式の条件を満たすものを Rm 上の Poisson 括弧という.のことを等スペクトル変形を定める方程式と呼ぶこと(i) 双線形性 a, b ∈ R に対して

数理科学

NO. 634, APRIL 20163

{aF + bG, H} = a{F, H} + b{G, H}

る．点 µ ∈ g∗ におけるその微分 dF (µ) は ν ∈ g∗ に{F, aG + bH} = a{F, G} + b{F, H}

線形に作用する．そこでdF (µ)(ν) =: ⟨ν ,(ii) 歪対称性 {F, H} = −{H, F }(iii) Jacobi 恒等律δF⟩δµにより g の元 δF/δµ を定義することができる．要す{{F, H}, G} + {{G, F }, H} + {{H, G}, F } = 0(iv) Leibnitz 則

るに自然な対応 g∗∗ ≃ g により dF (µ) ∈ g∗∗ を g の元と見直したものが δF/δµ である．このとき，g∗ 上の Lie-Poisson 括弧は{F, HG} = {F, H}G + H{F, G}{F, G}(µ) = ⟨µ , [δF δG,]⟩δµ δµ(3) の Poisson 括弧はこの定義の特別な場合である．

で定義される．g 上に ad 不変かつ非退化な内積 η(·, ·)F の勾配を dF = gradF とする (m 次元の縦ベクトル).

があるときはこれを通して g∗ と g が同一視できるか

双線形性と Leibnitz 則から，{F, G} = (dF ) P dG をら，g 上にも Poisson 括弧が誘導され，それはT満たす m 次正方行列 P が存在することが分かる．これを Poisson テンソルと呼ぶ．歪対称性から行列 Pも歪対称 (P T = −P ) であり，Jacobi 恒等律からあ∞る複雑な条件を満たさねばならない．H ∈ C (R )mに対して P dH は R

m上のベクトル場を定めるが，こ{F, G}(X) = η(X, [∇F, ∇G]),

X∈gで与えられる．ただし，∇F ∈ g は同型 g∗ ≃ g を通して F ∈ C ∞ (g) の微分 dF ∈ g∗ を g 上に引き戻したものである．ここで η(·, ·) が ad 不変とはれを H が定める Hamilton ベクトル場といい，XHと表す．x = (x1 , · · · , xm ) を適当な座標とするとき，

η(X, [Y, Z]) = η([X, Y ], Z)

dx/dt = P dH(x) が対応する常微分方程式系である．

が成り立つことをいう．g が単純 Lie 代数のときにはそm = 2n で Poisson 括弧が (3) で与えられるときは，のような内積として Killing 形式がある．g が gln (C)この方程式は Hamilton 系 (2) に一致する．の部分代数の場合は任意の F ∈ C ∞ (Rm ) に対して {F, C} = 0 を満たす関数 C を Casimir 関数という．定義から P dC = 0であるから関数 C の Hamilton ベクトル場は恒等的η(X, Y ) = Tr(XY )だと思ってよい．例えば g = sl2 (C) でその一般の点を(に零であり，関数独立な Casimir 関数の個数は Ker Pの次元に等しい．今，独立な Casimir 関数が r 個ある

X=としてそれらを C1 , · · · , Cr とする．このとき，

Sα = {x ∈ Rm | Ci (x) = αi (定数), i = 1, · · · , r}で定義される m − r 次元多様体をシンプレクティック葉という．任意の Hamilton ベクトル場 XH は Sα に接しており，したがって Sα 上のベクトル場を定める．
つまり，XH が定める m 次元の常微分方程式は m − ruvw−u)とすると，∇F と Poisson テンソルは(∇F =1 ∂F2 ∂u∂F∂v∂F∂w− 12 ∂F∂u)0,P =  −vwv
0−2u−w

2u 0で 与 え ら れ る ．ま た ，g 上 の Lie-Poisson 構 造 の次元の方程式に帰着される．実際，Sα はシンプレク

Casimir 関数は，対応する Lie 群 G の随伴作用の不変ティック多様体であり，Sα 上の Hamilton ベクトル場式であることが知られている．よって g が単純 Lie 代は局所座標系をうまくとれば普通の Hamilton 系 (2)数のときには独立な Casimir 関数の個数は g のランクの形に書くことができる．に等しく，それらは行列の成分に関する多項式で書け以上のことは係数体が C でも同様である．以下では係数体は C とし，有限次元 Lie 代数 g の上に自然に入る Poisson 構造である Lie-Poisson 構造を導入する．

る．例えば g = sll (C) のときは X ∈ sll (C) の特性多項式の係数が Casimir 関数になっている．
この Lie-Poisson 構造について，Hamilton ベクトル

まず，双対空間 g∗ の上に自然に定まる Poisson 構場が定義する微分方程式を求めよう．関数 H ∈ C ∞ (g)造を定義する．F : g∗ → C を g∗ 上の C ∞ 関数とすの Hamilton ベクトル場 XH の関数 G への作用は，XH

4

{Hi , Hj }1 = 0の定義から

XH (G) = ⟨dG , XH ⟩ = ⟨dG , P dH⟩ = {G, H}.

(7)となることが分かる．実際，

一方，Poisson 括弧の定義から点 Y ∈ g において

{Hi , Hj }1 = {Hi , Hj−1 }2 = −{Hj−1 , Hi }2= −{Hj−1 , Hi+1 }1 = {Hi+1 , Hj−1 }1{G, H}(Y ) = η(Y, [∇G, ∇H]) = η(∇G, [∇H, Y ]).
最 後 の 等 式 で は 内 積 の ad 不 変 性 を 使った ．さ らと いった 計 算 を 繰 り 返 し て 第 1 式 が 使 え る 状 況に ∇G の 定 義 を 思 い 出 す と η(∇G, [∇H, Y ])=に 持 ち 込 め ば よ い ．よって Hamilton ベ ク ト ル 場⟨dG , [∇H, Y ]⟩ が分かる．これらの等式を比べると，

P1 dH1 , · · · , P1 dHn は括弧積に関して互いに可換でXH の点 Y における値は [∇H, Y ] に等しく，したがっある．
今，与えられた空間の次元は m であるとし，そこて対応する微分方程式は Lax 方程式

dY= [∇H, Y ]dt

で定義された Poisson 構造 {·, ·}1 はちょうど r 個の独(6)立な Casimir 関数を持つとする．また {·, ·}1 を含むで書けることが分かった．Y の固有値，あるいは特性双 Poisson 構造 λ{·, ·}1 − {·, ·}2 があるとしよう．こ多項式の係数は運動の保存量であるが，一般にはそののとき，上のように λ{·, ·}1 − {·, ·}2 の Casimir を用

数は g の次元よりもずっと小さく，方程式が可積分かいて交換条件 (7) を満たす関数族を見つけることがでどうかは分からない．そこで，可積分な Lax 方程式をきる．そのうち {·, ·}1 の Casimir と独立なものが n構成するために，多重 Poisson 構造を導入する．

個あるとしてそれを H1 , · · · , Hn とおく．この設定のもと，以下のようにして次元の低い Hamilton 系を作

5. 多重 Poisson 構造ることができる．まず，{·, ·}1 の Casimir 関数の等位面で定義されるシンプレクティック葉 Sα をとる．こ

同じ空間の上に k 個の異なる Poisson 括弧が定義さ

れは m − r 次元のシンプレクティック多様体であり，れており，その任意の線形結合もまた Poisson 括弧のP1 dH1 , · · · , Pn dHn はその上の Hamilton 系を定め公理を満たすとき，これを多重 Poisson 構造という．

る．条件 (7) から，P1 dH1 に対応する常微分方程式

以下では k = 2 とする (このときは双 Poisson 構造

はベクトル場 P1 dH2 , · · · , P1 dHn の流れが定義するということが多い)．すなわち，ある空間上に 2 つのn − 1 パラメータ群の作用である．したがってさらにPoisson 括弧 {·, ·}1 と {·, ·}2 が定義されており，任意次元を 2n − 2 だけ落とせて，m − r − 2n + 2 次元のの λ ∈ C に対して λ{·, ·}1 − {·, ·}2 もまた Poisson 括Hamilton 系を得る．この値が 2 ならば，Sα 上のベク弧になっているとする．λ{·, ·}1 − {·, ·}2 の Casimir

トル場 P1 dH1 は Liouville 可積分かつ Lax 方程式で関数はパラメータ λ に依存する．今，それは λ につい書ける．て多項式であり

Cλ = λn H0 + λn−1 H1 + · · · + Hn

6. 多重 Lie-Poisson 構造と Painlevé 方程式と表せると仮定しよう．Casimir の定義から λ{ · , Cλ }1 −与えられた Poisson 括弧 {·, ·}1 に対して，それとペ{ · , Cλ }2 = 0 である．これを λ のべきで整理するとアになるもう 1 つの Poisson 括弧 {·, ·}2 を方針なく見つけるのは極めて難しい．Jacobi 恒等律が非線形な{ · , H0 }1 = { · , Hn }2 = 0

条件のため，適当な 2 つの Poisson 括弧の和は普通は{ · , Hj }1 = { · , Hj−1 }2 , (j = 1, · · · , n)Jacobi 恒等律を満たさない．実は，ここでも Lie 代数を得る．第 1 式は，H0 , Hn がそれぞれ {·, ·}1 , {·, ·}2を用いて多重 Poisson 構造を構成することができる．の Casimir 関数であることを意味している. 第 2 式
は Poisson テンソルを用いると P1 dHj = P2 dHj−1とも書ける．これは，同じベクトル場が異なる 2 つのPoisson 構造を用いて表示できることを意味する．また第 2 式を使うと，任意の 0 ≤ i, j ≤ n に対して

数理科学

NO. 634, APRIL 2016Lie 代数 g に対して次の集合を考える．
gn = {Xλ = λn X0 + λn−1 X1 + · · · + Xn | Xi ∈ g}すなわち，g に値をとる λ についての n 次多項式全体である．Xλ , Yλ ∈ gn に対して

5

[Xλ , Yλ ]n := [Xn , Yn ]を得るが，これを等モノドロミ変形を定める Lax 方程+λ ([Xn , Yn−1 ] + [Yn−1 , Xn ]) + · · ·式という．実はこの形で書ける微分方程式は Painlevé+λn ([X0 , Yn ] + [X1 , Yn−1 ] + · · · + [Xn , Y0 ])性を持つ，いわゆる Painlevé 方程式であることが知られている4) . α1 を t に置き換えたから方程式の右辺とおくと，この括弧積により gn は Lie 代数になる．こは t を含む，つまり非自励系の方程式だから，Hamil-こで右辺の括弧積は g 上のものである．この右辺は，ton 関数をはじめとして (8) の保存量であったものは[Xλ , Yλ ] を λ について展開して λn までで打ち切った保存量でなくなる．よって Painlevé 方程式は一般にものになっている．この Lie 代数 gn の Lie-Poisson 括

可積分ではないが，解ける方程式と解けない方程式の弧を {·, ·}0 と表そう．

ちょうど狭間に位置すると考えられている．

s をパラメータとして λ をシフトしたもの Xλ+s をλ のべきで整理したものは再び gn の元であるから，写具体例として g = sl2 (C), n = 2 の場合を考える．
このときは α をパラメータとして(像 Xλ 7→ Xλ+s は gn 上の同型を定める．この同型写
像で {·, ·}0 を写すと，パラメータ s に依存する新しいXλ =Poisson 括弧 {·, ·}s が得られるが，これは s について

(Aλ ={·, ·}s = {·, ·}0 + s{·, ·}1 + s2 {·, ·}2 + · · ·と展開できる．実は，右辺に現れた {·, ·}j たちの任意の一次結合は Poisson 括弧になり，したがってこれらは多重 Poisson 構造を定めることが知られている ．し3)

たがって前節最後の手続きにより，{·, ·}j のシンプレク

00100010)(2λ +)(λ+01q0012q0)

(λ+)

p−q

α + q2−pである．これを Lax 方程式 (8) に代入して整理すると，{q ′ = 2pp′ = 3q 2 + αティック葉の上で定義された Hamilton 系を構成できなる Hamilton 系を得る．q のみについての方程式にる．特に g が単純 Lie 代数のときには Casimir 関数等

書き直すと q ′′ = 6q 2 + 2α となるが，この一般解はを具体的に計算することができて，m − r − 2n + 2 = 2

Weierstrass の ℘ 関数を用いて書き下せる．一方，これとなる，すなわち得られた Hamilton 系は Liouville 可らの行列は条件 (9) を満たしているので，α を独立変数積分となる．さらに，ある Aλ ∈ gn が存在して，それt に置き換えて得られる方程式 q ′′ = 6q 2 +2t は (10) のは次のような Lax 方程式で書ける．

ほうの Lax 方程式を満たし，これは，計６つある 2 階のdXλ= [Aλ , Xλ ]dt)

Painlevé 方程式の最初のメンバーである第１ Painlevé
(8)方程式に他ならない．同じことを g = sl2 (C) と一般のこの方程式は 2 つのパラメータを含んでいる．1 つはn に対して行うと，方程式 (8) の方からは KdV ヒエラλ であり，これはただの文字である．上式を λ についルキの定常流と呼ばれるソリトン方程式由来の 2n − 2ての恒等式として同じ次数で両辺を比較することで，λ次元の Liouville 可積分系が得られ，(10) の方からはを含まない微分方程式系が得られる．もう 1 つは，シ第１ Painlevé ヒエラルキと呼ばれる 2n − 2 次元のンプレクティック葉 Sα の選び方の任意性からくるパPainlevé 方程式の系列が得られる．

ラメータ α = (α1 , · · · , αr ) である．今，そのうちの 1
参考文献

つ α1 を適当にとり，∂Aλ∂Xλ=∂λ∂α1(9)が成り立つようにできたとしよう．これを上式に加えると∂Xλ∂Xλ∂Aλ+= [Aλ , Xλ ] +∂t∂α1∂λとなる．そこで形式的に α1 を t に置き換えると∂Xλ∂Aλ= [Aλ , Xλ ] +∂t∂λ6(10)

1) P. J. Olver, Applications of Lie Groups to Diﬀerential Equations, Springer, (2013).
2) Adler, Moerbeke, Vanhaecke, Algebraic Integrability, Painleve Geometry and Lie Algebras,Springer, (2004).
3) G. Magnano, F. Magri, Poisson-Nijenhuis structures and Sato hierarchy. Rev. Math. Phys. 3(1991).
4) 岡本和夫, パンルヴェ方程式, 岩波書店, (2009)（ちば・はやと，九州大学）