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Local Euler obstructions の計算法についてBy

田島慎一*(Shinichi Tajima)§1.

序Local Euler obstruction 1は,1970年代に M. Kashiwara と R. D. MacPherson が独立に,特異点を持つ variety の不変量として導入した概念である.1973年の M. Kashiwaraの論文 [17] は,ホロノミー D ‐加群に対する指数定理を扱ったものであり,1974年の R.

D. MacPherson の論文 [21] は,特異点を持つ代数多様体に対し Chern class の理論を構成したものである.このように Local Euler obstruction は,前者は線形偏微分方程式論,後者は代数幾何学という数学的には一見全く異なる分野の問題を解決する際に重要な鍵となる概念として導入された.概念の構成の仕方も全くことなっており,両者の間に何らかの関係があると予想した者は,当時一人もいなかったのではないかと思われる.ところがその後,1981年の J . K. Brylinski, A. S. Dubson と M. Kashiwara の論文 [5] において,M. Kashiwara が導入した概念と R. D. MacPherson が導入した概念が,数学的には同一のものであることが示された.

この local Euler obstruction は,特異点論の重要な不変量であり,様々な応用や一般化がなされ,現在も多くの研究者により盛んに研究されている.しかし,local Euler obstructionの値を求めることは,実際には非常に困難である.特異点論の専門家の間では,一般には,local Euler obstruction の値を求めるアルゴリズムを構成することは不可能であろうとみなされているように思える.

本稿では,parametric Gröbner system と parametric local cohomology system を組み合わせて用いることで特異点を持つ超曲面の local Euler obstruction の値を exact に求めるアルゴリズムを構成することができることを紹介する.計算アルゴリズムそれ自体は,既に論文 [25], [37] に与えてあるので,本稿では,これらのアルゴリズムを導出した際の基本的な考え方を紹介することを目的としたい.
2010 Mathematics Subject Classification(s): Primary 32805; Secondary ı4B05.
Key Words: polar multiplicity formula, parametric local cohomology system*

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筑波大学数理物質系数学域

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SHINICHI TAJIMA§2.

孤立特異点を持つ超曲面の local Euler obstruction

この節では,孤立特異点を持つ超曲面に対し,そのlocal Euler obstruction を求める計算法を紹介する.アルゴリズム導出の基礎となるのは,M. Kashiwara [17] と B. Teissier [38]の結果である.アルゴリズム構成の鍵となるのは,parametric local cohomology systemを用いた計算手法である.

X は, C^{n} の原点 O の開近傍, f(x) はX上の正則関数とする.正則関数 f(x) が定める超曲面 S=\{x\in X|f(x)=0\}\subset X は,原点 O を孤立特異点として持つとする.ここで,M. Kashiwara [17, 18, 19] による次の結果を思い出そう.
いま, H は,原点 O を通る generic な超平面とする.このとき,超曲面 S の特異点 O
における local Euler obstruction Eu_{O}(S) はEu_{O}(S)=1+(-1)^{n}\mu_{O}^{(n-1)}(f|_{H})で与えられる.ただし,ここで \mu_{O}^{(n-1)}(f|_{H}) は, f を超平面 H に制限して得られる H\cap X
上の正則函数 f|_{H} の原点 0\in H\cap X における Milnor 数を表す.(この公式につては,A.
S. Dubson の論文 [6], [7] も参照されたい)
この結果により,どのような超平面 H が generic なる条件をみたすかあらかじめ分かるのであれば,geneTic な超平面 H をひとつ選び f|_{H} の原点における Milnor 数を計算することで,local Euler obstruction の値を求めることが出来ることになる.この方法で問題となるのは, 9^{eneric} な超平面を どのよう選べばよいのかという点にある.
さて,超平面 H が原点 O において超曲面 S に対し generic となる必要十分条件は,H.
Whitney [39] の意味で, H が S の O における limiting tangent space のなす集合に属さないことである (特異点を持つ variety に関する t ransversality に相当する). したがって数学的には,超曲面 S のNash blow‐up を求め,特異点集合である原点 0 での fiber を取ればそれが limiting tangent space のなす集合となることが分かる.1991年に D. 0' Shea[30] が与えた計算アルゴリズムを用いることで,limiting tangent spaces を求めることが理論上は可能である.しかし,実際には,数式処理システムを用いてもNash blow‐up の計算コストが高いため,D. 0' Shea の提案した計算法では,与えられた超曲面の孤立特異点における limiting tangent spaces を求めることは困難な場合が多い.
ここで,次に,B. Teissier の結果を思い出そう.いま,原点を通る超平面 H と射影空間\mathbb{P}^{n-1} の点とを同一視して\mu_{O}^{(n-1)}(S)=\min_{H\in \mathbb{P}^{n-1}}\mu_{O}^{(n-1)}(f|_{H})と定義する.さらに,

U=\{H\in \mathbb{P}^{n-1}|\mu_{O}^{(n-1)}(S)=\mu_{O}^{(n-1)}(f|_{H})\}
とおく.このときB. Teissier は論文 [38]) において次が成り立つことを示した.
(i)

U は \mathbb{P}^{n-{\imath}において Zariski open, dense である

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LOCAL EULER OBSTRUCTIONS の計算法について(ii) \mathbb{P}^{n-{\imath}}-U はlimiting tangent spaces である.
従って, f を超平面 H の族に制限して得られる正則函数を,パラメータ付きの函数と見倣しそれらの Milnor 数を求めることで,超曲面 S のlimiting tangent spaces を求めることが出来る.また,これら hyperplane sections のMilnor 数の最 /] 値を求めれることで,\backslash

local Euler obstruction を得ることが出来ることになる.実際に上述の計算を実行するためには,収束幕級数環におけるパラメータ付きのイデアルの colength を求めることが必要になる.

一般に,収束幕級数環において与えられたイデアルの colength を求める際は,まず最初に古典的な T. Mora のアルゴリズムを用いてイデアルのスタンダード基底を構成し,次に得られたスタンダード基底を用いて colength を求めるのが定石である.本稿で扱っている問題では,イデアルがパラメータに依存するため,スタンダード基底の構造も必然的にパラメータに依存することになる.したがって仮に T. Mora の算法によりパラメータ付きのイデアルのスタンダード基底を構成することにすると,スタンダード基底を構成する過程でパラメータ空間の分割を行いながら S ‐多項式の計算を遂行していくことになる.

我々の知る限り,現在まで収束幕級数環におけるパラメータ付きのイデアルに対し,古典的な T. Moran の算法に基づいてパラメータ付きのスタンダード基底を構成するというアルゴリズムが実装されたという記録は無い.

さて,論文 [35], [36] において示したように,Grothendieck local duality に基づくと,ヤコビイデアルに付随した local cohomology の計算を行うことで Milnor 数を求めることが出来る.この計算法は古典的な T. Mora の算法と異なり,イデアルがパラメータを含むような場合に拡張することが比較的容易である.実際,論文 [26] で,parametriclocal cohomology system の概念を導入し,パラメータ付きのイデアルに付随した localcohomology を扱う新たな枠組みとこれらの計算アルゴリズムを与えた.この計算法をf|H が定めるパラメータ付きのヤコビイデアルに適用することで,hyperplane section の族の Milnor 数を計算することが出来る.
例を一つ紹介する.
例

f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=x_{1}^{4}+x_{2}^{5}+x_{3}^{6}+x_{1}x_{2}x_{3} とする.パラメータ t=(t_{1}, t_{2})\in \mathbb{C}^{2} を用いて h_{t}(x_{1}, x_{2})=f(x_{1}, x_{2}, t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2}) とおく.計算すると,
t_{1}=0, t_{2}\neq 0 のとき, \mu_{O}^{(2)}(h_{t})=5,\mu_{O}^{(2)}(h_{t})=12,t_{1}\neq 0, t_{2}=0 のとき, \mu_{0}^{(2)}(h_{t})=6,t_{1}\neq 0, t_{2}\neq 0 のとき, \mu_{O}^{(2)}(h_{t})=4,を得る.これより \mu^{(2)}(S)=4 がわかり, Eu_{O}(S)=1-\mu^{(2)}(S)=1-4=-3 を得る.
t_{1}=t_{2}=0 のとき,一般に, \mathbb{P}^{n-1} の部分集合 U は,射影空間 \mathbb{P}^{n-1} において open dense であるので,local Euler obstruction を求めるためには,すべての f|_{H} に対してその Milnor 数を求め,lomiting tangent spaces を決定する必要は無い.射影空間 \mathbb{P}^{n-1} の一つの cell \mathbb{C}^{n-1} のopen dense なsegment 上でのみ,局所コホモロジー計算を行って,得られた空間のベクトル空間としての次元を求めればLocal Euler obstruction を求めるには十分である.論文

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SHINICHI TAJIMA[25] では,この点を考慮して,計算の効率化を図ったアルゴリズムを与えた.
本稿の主題は limiting tangent spaces ではなく local Euler obstruction であるが,limiting tangent spaces はそれ自体,特異点論の重要な不変量である.論文 [28] では,parametric local cohomology system の応用として,limiting tangent spaces を求める計算アルゴリズムを与えた.この計算法は D.

§3.

0' Shea の計算法より計算効率が良い.

一般の超曲面の local Euler obstruction

この節では,特異点集合が零次元とは限らない一般の超曲面 S の場合を考察し,注目した特異点における locaı Euler obstruction を求めるアノレゴリズムを構成できることを述べる.アルゴリズム導出の基礎となるのは,D. T. Lê と B. Teissier が論文 [20] で与えた polar multiplicity formula である.アルゴリズム構成の鍵となるのは,comprehensiveGröbner system および parametric local cohomology system による計算手法である.
超曲面 S\subset \mathbb{C}^{n} の特異点集合を \Sigma=Sing(S) で表す. \mathbb{C}^{n} の線形部分空間の列からなる flag を \mathcal{D} で表す.
\mathcal{D} :D_{n-1}\subset D_{n-2}\subset\subset D_{2}\subset D_{1}\subset \mathbb{C}^{n}, co\dim(D_{i})=i

Flag \mathcal{D} に対しproj k:\mathbb{C}^{n}arrow \mathbb{C}^{n-k}を考える.ただし,ここで Ker (proj k ) =D_{n-k} を満たすとする.この写像 proj_{k} を超曲面
S の非特異部分 re g(S)=S-\Sigma に制限した proj_{k}|_{re}9(s) を \pi_{k} で表す.

\pi_{k}:reg(S)arrow \mathbb{C}^{n-k}
次に crit (\pi_{k})= { x|x is a critical point of \pi_{k} : reg(S)arrow \mathbb{C}^{n-k} } の閉包をとりP_{k}(\mathcal{D})=\overline{crit(\pi_{k})}\subset Sと定める. P_{k}(\mathcal{D}) (は polar variety と呼ばれる.

Lê‐Teissie [20] 1ま,flag \mathcal{D} : D_{n-1}\subset D_{n-2}\subset
れば,\subset D_{2}\subset D_{1}\subset \mathbb{C}^{n} が,generic であEu_{O}(S)= \sum_{k=0}^{n-2}(-1)^{k}m_{O}(P_{k}(\mathcal{D})が成り立つことを示した.ここでm_{O}(P_{k}(\mathcal{D}))= intersection number (D_{n-1-k}, P_{k}(\mathcal{D}))_{0}である.

LOCAL EULER 0BSTRUCT10NS の計算法について

Lê‐Teissier の公式を用いて local Euler obstruction を求めるとすると,まず,超曲面 Sに対しgeneric なflag \mathcal{D} を選んで,次にその polar variety を構成し,さらに intersectionnumber を求めればよいことになる.この方法では,一連の計算をはじめる前にあらかじ
め geneTic なflag \mathcal{D} を選ぶかあるいは,とりあえず一つの flag を選び,計算の各段階で,最初に選んだ flag が generic であるという条件と矛盾しないか否か確認しながら計算を行うことになる.

一般に,与えられた flag が S に対し generic であることを知るということは,特異点の構造が十分よくわかるということと等しいと考えられるため,計算をはじめる前にgenericな flag を選ぶということは極めて困難である.また,計算の過程で,flag が generic であるか否かの criterion を確かめていくことは,計算コストが高いと思われる.即ち,計算代数の通常の方法では,Lê‐Teissier のpolar multiplicity formula のみによって local Eulerobstruction を求めることは困難であると考えられる.

さてここで前節の議論を思い出そう.ひとつの flag \mathcal{D} を選んで,計算をするのではなく,flag の族をとり,polar variety の族とその intersection number を,族を定める parameter付きで計算することが出来れば,parameter 空間のopen dense なsegment 上での値を選ぶことで,locl Euler obstruction を求めることができることになる.さて,polar variety
は, c\tau it(\pi_{k}) の閉包であるので,polar variety の族はイデアノレの saturation をparameter付で計算することで求めることができる.この箇所の計算は本来は収束幕級数環での計算であるが,parametric Gröbner system ([24]) を用いた多項式環でのイデアル計算を行うことで効率化を図ることができる.(次の intersection number の計算は局所的に行うので,この計算で正しい答えを得ることができることが保証される).また,parameter 付きでintersection number を求めるには,parameter 付きで局所コホモロジーを計算するアルゴリズムをもちいればよい ([34]).
Parametric system の概念に基づいた計算の枠組みを用いることで,local Euler ob‐struction を求めるアルゴリズムを構成することが出来る.

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