数理解析研究所講究録
第 1687 巻 2010 年 63-70

$q$

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-HOOK FORMULA OF GANSNER TYPE FOR A GENERALIZED YOUNGDIAGRAMKENTO NAKADA

1. INTRODUCTION
E. R. Gansner は, 論文 [3] で, 与えられたヤング図形
証明した:
(11)
:reverscの多変数 q-hookfbrm $ula$ を$q^{\sigma}=\prod_{v\in Y}\frac{]}{1-q^{H_{Y}\langle\nu)}}$$\sum_{pidne}$$\sigma$$Y$,

pailition ovcr ’

ここで, $H_{Y}(v)$ は, 箱 $v\in Y$ の hook である (詳細な定義は section2, 3). この等式 (1.1) から, . S. Frame, G. de B. Robinson, R. M. Thrall によるよく知られた hook lengihformula[2] が導ける$J$

(1.2)

$\#$

STab$(Y)= \frac{(\# Y)!}{\prod_{v\in Y}\#H_{Y}(v)}$.

本稿では, この結果の (D. Peterson, R. AProctor の意味の)generalized Young diagramへの一般化を紹介する. なお, 本稿の主結果は未発表の Peterson, Proctor による結果と同値である [11].

2.

$(P;\leq)$-PARTITIONS AND $(c;I)$ -TRACE GENERATING FUNCTIONS

以下, $P=(P;\leq)$ を有限な半順序集合とする.

Deflnition 2.1. 写像と呼ばれる.

$\sigma$: $Parrow N=\{0,1,2, \cdots\}$ は次の条件を満たすとき $(P; \leq)$ -partition$u\leq v\Rightarrow\sigma(u)\geq\sigma(v)$$(P;\leq)$,$u,$$v\in P$-partitions 全体の集合を A $(P;\leq)$ と書く.

集合 と写像 $c:Parrow I$ が与えられているとする. このとき, を color-set, の元をを $i\in I$ で添え字づけられた不定元とする. このとき, 各color, を coloring と呼ぶ.
$\sigma\in A(P;\leq)$を次で定義する:に対して, の単項式
$I$

$I$

$c$

$q_{j}$$q_{j}$$q^{\sigma}$$q^{\sigma}:=\prod_{v\in P}q_{c(v)}^{\sigma(v)}$また,$q_{i}$$I$.の形式幕級数 $T(P;\leq)$ を次で定義する:$T(P; \leq):=\sum_{\sigma\in A(P;\leq)}q^{\sigma}$.

形式幕級数 $T(P;\leq)$ を $(c; I)$ -trace generating function of $(P;\leq)$ と呼ぶ.
Key words and phrases. Generalized Young diagrams, Tracc generating functions, q-hook formula, KacMoody Lie algebra, P. MacMahon’s identity.

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KENTO NAKADA$:=\# P$ とおく. 全単射 $L:\{1, \cdots, d\}arrow P$ は, 次の条件を満たすとき
Definition 2.2.
$(P;leq)$ の linear extension と呼ばれる.
$d$$L(k)\leq L(l)\Rightarrow k\leq l$$(P;\leq)$$q$,$k,$ $1\in\{1,$の linear extensions 全体の集合を $\angle(P;\leq)$ とをべつの不定元とする. すべてのを $U(P;\leq)$ と書く.

$q_{j}$

を$q$$-J_{1}^{\underline{p}}\succ$$\cdots,$ $d|$.

く.に特殊化 $(q_{l}\mapsto q(i\in I))$ したときの$T(P;\leq)$$U(P;\leq)=T(P;\leq)|_{q_{i}=q(j\in J)}$.

このとき, 次の Stanley の結果は基本的である:

Proposition 2.3 (R. P. Stanley [12]). $U(P;\leq)$ は次のように書ける.
$U(P; \leq)=\frac{W(P;q)}{\prod_{k=1}^{d}(1-q^{k})}$,

ここで, $W(P;q)$ はある整数係数の多項式 $W(P;q)\in \mathbb{Z}[q]$ である.
$\#\angle(P;\leq)$

さらに, $W(P;1)=$が成り立っ.

3. CASE OF YOUNG DIAGRAMSDefinition 3.1. 集合$Y:=\mathbb{N}\cross N$に次で半順序を入れる.

$(i,j)\leq(i’,f)=i\geq i’$and $j\geq f$ .

集合 $Y$ の有限な orderfilterY を Young diagram と呼ぶ. FIGURE 3. 1(E) を見よ.

Deflnition 3.2. color-set を $I:=Z$ とおく. 各箱 $v=(i,j)\in Y$ に対して, color $c(v)$ を次で定める.
$c(v):=j-i\in I$ .

FIGURE 3.1 御を見よ. color $c(v)$ は$v$の content として知られている量である.

FIGURE 3.1. a Young diagram and its coloring

Definition 3.3.
次で定義する.

$Y$を Young diagram とし, $v=(i,j)\in Y$ とする.

Arm$\gamma(v)$$:=\{(i’,f)\in Y|i=i’$$Y$

and $j<f\}$ .

Leg $\gamma(v),:=\{(i’,j’)\in Y|i<i’$ and $j=f\}$ .

Arm $Y(v)u$ Leg $Y(v)$ .の hook とよぶ. FlGURE 32 を見よ.

$H_{Y}(v)$

集合 $H_{Y}(v)$ を$Y$

における$v$$:=\{v\}u$

このとき, 次の定理が知られている:の部分集合 $H_{Y}(v)$ を

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q-HOOK FORMULA OF GANSNER TYPE FOR A GENERALIZED YOUNG DIAGRAMFIGURE 3.2. Hooks of and$u$$v$

Theorem 3.4 (E. R. Gansner [3]). $Y=(Y;\leq)$ を Young diagram とすると次が成り立つ.
$T(Y; \leq)=\prod_{v\in Y}\frac{1}{1-q^{H_{l}\langle v)}}$

ここで,である.

$q^{H_{Y}\langle v)}=\prod_{\iota’\in H_{Y}\langle v)}q_{c(u)}$Remark 3.5. $(Y; \leq)$ -partition は reverse plane partition over$Y$として知られている.

定理 34 と命題 23 より,Corollary 3.6.
$\frac{W(Y;q)}{\prod_{k=1}^{d}(1-q^{k})}=\prod_{v\in Y}\frac{1}{1-q\#H_{X}\langle v)}$

,

したがつて

$W(Y;q)= \frac{\prod_{k=1}^{d}(1-q^{k})}{\prod_{v\in Y}(1-q\})}$

を得る. 両辺で $q=1$ とすれば, 再び命題 23 より,Corollary 3.7.
$\#\mathcal{L}(Y;\leq)=\frac{d!}{\prod_{v\in Y}\#H_{Y}(v)}$を得るが, これが通常よく知られた Young diagram の hook length formula である [2].

4. CASE OF SHIFTED YOUNG DIAGRAMSDefinition 4.1. 集合 $S;=\{(i,j)\in N\cross N|i\leq j\}$ に次で半順序を入れる.
$(i,j)\leq(i’,f)=i\geq i’$and $j\geq f$ .

集合 @ の有限な order filter $S$ を shifted Young diagram と呼ぶ. FlGURE
見よ.

Definition 4.2. color-set をを次で定める.

$I:=\{\overline{0}\}\cup N$) を$4.1\not\subset$

とおく. 各箱 $v=(i,j)\in S$ に対して, color $c(v)$if $i=j$ and is even,$c(v)=\{$
if $i=j$ and is odd,
if $i<j$.
$j-i$
FIGURE 4.1 ffi) を見よ. 主対角線に 2 種類の color が入っていることに注意する.
$i$$\frac{0}{0}$$i$を shifted Young diagram とし, $v=(i,j)\in S$ とする.
Deflnition 4.3.
$H_{S}(v)$ を次で定義する.
$S$$A_{S}(v):=\{(i’,f)\in S|i=i’$ and $j<f\}$ .
$Leg_{S}(v):=\{(\cdot i’,f)\in S|i<i’$and $j=j’\}$ .

$Tai1_{S}(v):=\{(i’,f)\in S|j+1=i’$and $j<f\}$ .

$S$の部分集合

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KENTO NAKADAFIGURE 4.1. a shifted Young diagram and its coloring$:=\{v\}uA_{S}(v)uLeg_{s}(v)uTai1_{S}(v)$ .

$H_{S}(v)$

集合 $H_{S}(v)$ を$S$における$v$の hook と呼ぶ. FIGURE 4.2 を見よ.

FIGURE 4.2. Hooks of$u,$$v$, and $w$ .

このとき次の定理が成り立つ:

Theorem 4.4 ([7]). $S=(S;\leq)$ を shifted Young diagram とすると次が成り立つ.
$T(S; \leq)=\prod_{v\in S}\frac{1}{1-q^{H_{S}(v)}}$

定理 44 において, 変数$q_{0}$と$q_{\overline{0}}$.

.

を同一視した場合のものは Gansner によって得られている:

Theorem 4.5 (E. R. Gansner [3]). $S=(S;\leq)$ を shifted Young diagram とすると次が成り立つ.
$T(S; \leq)|_{q_{\overline{0}}=q0}=\prod_{\nu\in S}\frac{1}{1-q^{H_{S}(v)}}q_{\overline{0}}=q_{0}$.

Remark 4.6. Gansner による定理 45 の証明は, Hillman-Grassl algorithm [4] に基づいている.

定理 44 と命題 23 より,Corollary 4.7.
$\frac{W(S;q)}{\prod_{k=1}^{d}(1-q^{k})}=\prod_{\nu\epsilon S}\frac{1}{1-q\#H_{S}(v)}$

,

したがつて

$W(S;q)= \frac{\prod_{k=1}^{d}(1-q^{k})}{\prod_{\nu\in S}(1-q\#H_{S}(v))}$を得る. 両辺で $q=1$ とすれば, 再び命題 23 より,Corollary 4.8.
$\#\angle(S;\leq)=\frac{d!}{\prod_{v\in S}\#H_{S}(v)}$を得るが, これは shifted Young diagram の hook length formula である [141.

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q-HOOK FORMULA OF GANSNER TYPE FOR A GENERALIZED YOUNG DIAGRAM

5. 一般の場合
を Kac-Moody Lle algebra $[5][6]$5.1. Kac-Moody Lie algebra からの準備.の (symmetrizable とは限らない) Cartan matrix とする.
を R-vector space,を のをなとする.
線型独立な部分
dual space とし,:bilinear formcannonical$A=(a_{j,j})_{j},j\in I$$\mathfrak{h}^{*}$$\mathfrak{h}$$\langle,$

集合在すると仮定する.

$\mathfrak{h}$$\mathfrak{h}^{*}\cross \mathfrak{h}arrow \mathbb{R}$$\rangle$を満たすものが存
は次を満たすとき integral weight と呼ばれる:と$\Pi:=\{\alpha_{i}|i\in I\}\subset \mathfrak{h}^{*}$$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$$\Pi^{\vee};=\{\alpha_{i}^{\vee}|i\in I\}\subset \mathfrak{h}$$\langle\lambda,$

Integral weights の全体は$\alpha_{j}^{\vee}\rangle\in \mathbb{Z}$,で$i\in I$$\alpha_{i}^{\vee}\rangle=a_{j,j}$$\langle\alpha_{j},$.と書かれる. 各 $i\in I$ に対して,$P$$s_{l}:\lambda\mapsto\lambda-\langle\lambda,$$\alpha_{i}^{\vee}\rangle\alpha_{i}$,$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$$s_{i}\in GL(\mathfrak{h}^{*})$,

で定義し, $\{s_{i}|i\in I\}$ が生成する群 $W$ を Weyl group と呼び, これは$\langle w(\lambda),$$w(h)\rangle=\langle\lambda,$$h\rangle$,$w\in W,$を:$\lambda\in \mathfrak{h}^{*},$$h\in \mathfrak{h}$に:$\mathfrak{h}$,で作用する. root system (resp. coroot system) を $\Phi:=W$垣 resp. $\Phi^{\vee}:=W\Pi^{\vee})$ で定義すとる.の positive roots と negative roots を表す.の dual
はで,次を満たすように定められる:$($$\Phi_{+}$$\Phi_{-}$$\Phi$$\beta\in\Phi$$w(\beta^{\vee})=w(\beta)^{\vee}$

各$\beta\in\Phi$に対して,$s_{\beta}(\lambda)=\lambda-\langle\lambda,$$s_{\beta}\in W$$\beta^{\vee}\rangle\beta$,$w\in W$を次で定義する:$\lambda\in \mathfrak{h}^{*}$各 $w\in W$ に対して, 集合,$\beta^{\vee}\in\Phi^{\vee}$or, equivalently,,$s_{\beta}(h)=h-\langle\beta,$$h\rangle\beta^{\vee}$,$h\in \mathfrak{h}$.

を (inversion set と呼ばれる) 次で定義する:$\Phi(w)^{\vee}(\subseteq\Phi_{+}^{\vee})$$\Phi(w)^{\vee};=\{\gamma^{\vee}\in\Phi_{+}^{\vee}|w^{-1}(\gamma^{\vee})<0\}$.

5.2. Generalized shapes.
Deflnition 5.1.

$\lambda\in P$

が pre-dominant であるとは, 次を満たすことである.
$\langle\lambda,\beta^{\vee}\rangle\geq-1$

pre-dominant integral weights のなす集合を
Deflnition 5.2.

$\lambda\in P\geq-1$,$\beta\in\Phi_{+}$$P_{\geq-1}$

.

で表す.

に対して, 次で定義される集合$D(\lambda)^{\vee}$$D(\lambda)^{\vee};=\{\beta^{\vee}\in\Phi_{+}^{\vee}|\langle\lambda,\beta^{\vee}\rangle=-1\}$が成り立つとき,全体の集合をと書く.

$\#D(\lambda)^{\vee}<\infty$

を$\lambda$の shape と呼ぶ.

.

は finite であるいう.finitepre-dominant integ’ al weights$\cdot$$\lambda$$P_{\geq-1}^{fin}$

5.3. Colors.とする.
Deflnition 5.3.
が maximal -path であるとは, 写像$\lambda$$L_{B}$で定めるとき, 写像が {1, 2,からと書かれる.
-path の全体は MPath$L_{B}$$\lambda$

とおく. simple root の列 f-l$\{1,2,\cdots, d\}arrow\Phi^{\vee}$ を:$d:=\#D(\lambda)^{\vee}$$\lambda\in P_{>-1}^{fin}$$\cdots|$$=(\alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \cdots, \alpha_{i_{d}})$$L(k)=s_{j_{}}\cdots s_{i_{k- 1}}(\alpha_{i_{k}})^{\vee}$$D(\lambda)^{\vee}$への全単射を与えることである. maximal$(\lambda)$

Proposition 5.4 ([7]).とする. MPathで定めると, この写像は MPathから$\lambda\in P_{\geq-1}^{fin}$$\mathcal{L}(D(\lambda)^{\vee})$$(\lambda)$

Proposition 5.5 ([7]).

$(\lambda)$への写像を $B\mapsto L_{B}$から..cへの一対一対応を与える.
$(D(\lambda)^{\vee})$とする. 命題 5.4 より, $B\in$ MPathとなる $k\in\{1,2, \cdots\}$ が一意的に定まるが, このとき, $i_{k}\in I$ は$\lambda\in P_{>-1}^{fin}$とする.

$\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}$$(\lambda)$とすれば, $L_{B}(k)=\beta^{\vee}$によらず定まる.
MPath$B\in$$(\lambda)$

Deflnition 5.6.
における$\beta$とする.
〉の color と呼び,$\lambda\in P\geq-1$$\beta^{\vee}$$\in$$i=c_{\lambda}(\beta^{\vee})$〉とする. 命題 55 で定まる $i\in I$ をと書く.

D$(\lambda$ $)$$D(\lambda)^{\vee}$

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KENTO NAKADA

5.4. Hooks.
Definition 5.7.

$\lambda\in P\geq-1,$$\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}$とする. 集合$H_{\lambda}(\beta^{\vee})$$H_{\lambda}(\beta^{\vee}):=D(\lambda)^{\vee}\cap\Phi(s_{\beta})^{\vee}$におけるの hook-length と呼ぶ. (See [8][71)集合は$H_{\{}(\beta^{\vee})$を$D(\lambda)^{\vee}$

Theorem 5.8 ([7]).

$\beta^{\vee}$$\lambda\in P\geq-1$とする.の hook と呼ぶ. 数$\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}$を次で定義する.

.
$\#H_{\Lambda}(\beta^{\vee})$を D〉における$(\lambda$ $)$$\beta^{\vee}$とする. このとき, 次が成り立つ.

.

$\gamma^{\vee}\in H.\text{が^{}\vee})^{\alpha_{c_{\lambda}(\gamma^{\vee})}=\beta}$

定理 5.8 において,Proposition 5.9 ([8]).

$\alpha_{i}\mapsto 1$$\lambda\in P\geq-|,$と specialize すれば命題 59 を得る.
$\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}$とする. このとき, 次が成り立つ.

$\#H_{\lambda}(\beta^{\vee})=ht(\beta)$.

を固定する. 以下, simple roots
5.5. q-Hook formula for a generalized shape.
を coloring とみなす. 各の index set
を color-set とみなし, 命題 5.5 で定義されるを color variable と呼ぶ.
を考える. 不定元に対して不定元
colori$\lambda\in P_{>-1}^{fi\mathfrak{n}}$$I$$c_{\lambda}$$\in I$$q_{j}$$q_{i}$

Deflnition 5.10. shape$D(\prime t)^{\vee}$の部分集合$S\subseteq D(\lambda)^{\vee}$に対して, 単項式$q^{s}$を次で定義する.
(5.1)$q^{s}:=\prod_{\beta^{\vee}\in S}q_{c_{\{}(\beta^{\vee})}$Theorem 5.11 (q-hook formula of Gansner type [7]).

.

$T( D(\lambda)^{\vee};\leq)=\prod_{\beta’ee\in D(\lambda)^{\vee}}\frac{1}{1-q^{H\lambda\beta^{\vee})}}$

定理 5.11 において, 各$q_{j}$$\lambda\in P_{\geq-1}^{fin}$$U( D(\lambda)^{\vee};\leq)=\prod_{\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}}\frac{1}{1-q^{\#H.\sqrt{}\beta^{\vee})}}$$\lambda\in P_{\geq-1}^{fin}$.に $q$ を代入すれば定理 5.12 を得る.

Theorem 5.12 (q-hook formula of Stanley type [7]).

Corollary 5.13.とすると, 次が成り立つ.

$\lambda\in P_{\geq-1}^{fin}$とすると, 次が成り立つ.

.とすると, 次が成り立つ.

$W( D(\lambda)^{\vee};q)=\frac{\prod_{k=1^{\text{ノ}}}^{\#D(1)^{\vee}}(1-q^{k}.)}{\prod_{\beta^{\vee}\in D(\lambda)^{\vee}}(1-q^{\#H\phi^{\vee})})}$.

系 5.13 において, $q\mapsto 1$ と specialize すれば定理 5.14 を得る.

Theorem 5.14 (hook formula of Frame-Robinson-Thrall type [7]).
が成り立っ.
$\#\mathcal{L}(D(\lambda)^{\vee})=\frac{\#D(\lambda)^{\vee}!}{\prod_{\beta\in D(\prime 1)^{\vee}}\#H_{\lambda}(\beta\vee)}$Remark 5.15. 系 5.14 は Peterson

formula の別証明は [8] にもある.

$s$$\lambda\in P_{\underline{>}-1}^{fin}$とすると, 次.

hookformula [1] の証明を与える. Peterson’s hook

69q-HOOK FORMULA OF GANSNER TYPE FOR A GENERALIZED YOUNG DIAGRAM

型 Lie 代数の, ある pre-dominant integral weightRemark 5.16. Young diagram はの shape と順序同型になる. 同様に, shifted Young diagram は $D$ 型 Lie 代数の, あるpre-dominant integra[weight の shape と 1 頃序 司型になる. generalized Young diagrams
は, 組み合わせ論的手法で, R. A. Proctor (simply-laced case [101) と . R. Stembridge(multiply-laced case [13]) によって分類されている. 大半は idefinite type である.
$A$$|$$|$$J$

6.

STRICT PARTITIONSと PRE-DOMINANT INDEGRAL WEIGHTS

Young diagram が A 型 Lie 代数の pre-dominant integral weight によってどのように実現される力), については講演のときに話したので (これについては [9] にあるので参照のこと), ここでは, shifted Young diagram が $D$ 型 Lie 代数の pre-dominant integral
weight によってどのように実現されるか 9 について述べる.
を strict partition とする. ここで, は自然に shiftedとする)
Young diagram と同一視できる (対応する shifted Young diagram を型
いま,Dynkin 図形:$(\lambda=(\lambda_{0}>\lambda\downarrow>\cdots>\lambda_{n}>0))$$\lambda$$\lambda$$S_{\lambda}$$D_{\lambda_{\text{。}}+2}$$-O^{\lambda_{0}}$–を考える. node の中の数は index である.
以下, strict partition に対応する pre-dominant integral weight を構成する.
を次で定義する:
各 $i=0,$$n-1$ に対して, 整数$\lambda$$b_{i}$$\cdots,$$b_{i}:=\{\begin{array}{ll}-1 if i\in\{\lambda_{0}, \cdots, \lambda_{n}\}0 otherwise\end{array}$

各 $i=1,$$\cdots,$ $n$に対して, 整数$c_{i}$を次で定義する:$c_{j}:=\{\begin{array}{ll}1 if i-1\in\{\lambda_{0}, \cdots, \lambda_{n}\}0 otherwise\end{array}$$\omega_{i}(i=\overline{0}, 0,1,2, \cdots)$

を fundamental weight とする. integral weight$\lambda_{o}$を次で定義する:$\lambda_{o};=\{\begin{array}{ll}(b0+c_{0})\omega_{0}+\sum_{j=1}^{n}(b_{j}+c_{j})\omega_{i} if r \text{は偶数}(b_{0}+c_{0})\omega_{\overline{0}}+\sum_{j=1}^{n}(b_{j}+c_{j})\omega_{i} if r F\text{は奇数}\end{array}$

Proposition 6.1. strict partition(1)$\lambda_{o}\in P_{\geq-1}^{fin}$$\lambda$と integral weight$\lambda_{o}$は上の通りとする. このとき,.

はと順序同型.
(2)(3) (2) の同一視の下で coloring は section4 で定義したものと一致する.
(4) (2) の同一視の下で hook は section4 で定義したものと一致する.
$D(\lambda_{o})^{\vee}$$S_{\lambda}$

REFERENCES[1] J. B. Carrell, Vectorfields, flag varieties, and Schubert calculus, Proc. Hyderabad Conference on Algebraic
Groups (ed. S. Ramanan), Manoj Prakashan, Madras, 1991.
[2] J. S. Frame, G. de B. Robinson, and R. M. Thrall, The hook graphs ofsymmetric grvup, Canad. J. Math. 6$(1954),316- 325$ .

[3] E. R. Gansner, Hillman-Grassl Correspondence and the Enumeration of Reverse Plane Partitions, J. Combin. Theoiy. Ser. A 30 (1981), 71-89.
[4] A. P. Hillman, and R. M. Grassl, Reverse plane partitions and tableau hook numbers, J. Combinatorial

Theory A 21 (1976), 216-221.
[5] V G. Kac, “Infinite Dimentional Lie Algebras,” Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK,1990.
[6] R. V. Moody and A. Pianzola, “Lie Algebras With Triangular Decompositions,” Canadian MathematicalSociety Series of Monograph and Advanced Text, 1995.

70KENTO NAKADA[7] K. Nakada, q-Hook formula for a generalized Young diagram, preprint.
[8] K. Nakada, Colored hookformulafor a generalized Young diagram, Osaka J. of Math. Vol. 54 No. 4 (2008),

1085-1120.

probabilistic algorithm which generates standard tableaux for a generalized Young diagram,研究集会「第 5 回数学総合若手研究集会」 の講究録, http://eprints3.math.sci.hokudal.ac.ip 1980
[10] R. A. Proctor, Dynkin diagram classification of -minuscule Bruhat lattices and of d-complete posets, J.
Algebraic Combin. 9 (1999), 61-94.
[11] http: $www$ . math. unc. $edu/$ Faculty/rap/Hook. html[12] R. P. Stanley, Orderedstructures and partitions, Memoirs of the Amer. Math. Soc. No. 119 (1972).
[13] J. R. Stembridge, Minuscule elements of Weyl groups, J. Algcbra 235 (2001), 722-743.
[14] R. M. Thrall, combinatorial problem, Mich.Math.J. 1 (1952), 81-88.
[9] K. Nakada,$A$$\lambda$$A$

WAKKANAI HOKUSEI GAKUEN UNIVERSITY, FACULTY OF INTEGRATED MEDIA.
E-mail address: nakada@wakhok.ac.jp