2024/3/14

一般化三変数板理論に基づいた
高階Hermite適合要素の開発
Development of higher-order Hermite conforming elements based on generalised three-variable theory

システム情報工学研究群 構造エネルギー工学学位プログラム
主指導教官：山本亨輔准教授
副指導教官：松島亘志教授, 庄司学教授

酒井 真清

本研究は以下の投稿中の論文の内容を含む
Masaki Sakai and Kyosuke Yamamoto, “Derivation of Hermite family conforming quadrilateral elements and application to Kirchhoff-Love and Reissner-Mindlin plates”,
Computational Mechanics
本研究の一部内容は下記として公表済みである
Masaki Sakai and Kyosuke Yamamoto, “Explicitly Hermitian Quadrilateral elements with completeness for bending Kirchhoff-Love plates”,
Student Session Proceedings of The 42nd JSST Annual International Conference on Simulation Technology, Niigata, Aug, 2023, pp.50-53

12024/3/14

研究背景

梁や板の曲げ問題など

有限要素法で高階偏微分方程式を解く時，Hermite族要素を用いる
𝜃𝜓
𝑦𝑥𝑤𝑖𝑤 𝑥, 𝑦𝑤 𝑁 𝑥, 𝑦

𝜃 𝐺 𝑥, 𝑦𝜓 𝐻 𝑥, 𝑦

𝜃 𝑥, 𝑦𝜕𝑤
𝜕𝑥𝑤

𝜕𝑁𝜕𝑥

𝜃

𝜕𝐺𝜕𝑥

𝜓

𝜕𝐻𝜕𝑥

𝜓 𝑥, 𝑦𝜕𝑤
𝜕𝑦𝑤

𝜕𝑁
𝜕𝑦𝜃

𝜕𝐺𝜕𝑦𝜓

𝜕𝐻
𝜕𝑦

有限要素法｜FEM（finite element method）・・・一般性の高い偏微分方程式の数値解法。本研究では，重み付き残差法（WRM）により，有限要素式を導出
Hermite族要素は，Hermite補間関数を基底とする有限要素。2次元問題の場合，1次元補間関数の組み合わせで2次元Hermite補間関数を作成する。

22

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本研究での取り組み

2次元高階Hermite族適合有限要素の正規座標変換を実装
2次元空間における高階偏微分方程式を解く時に四角形要素の形が自由になった！
Hermite族要素は高階偏微分方程式を解くのに有効板の曲げ問題

適合要素（4階偏微分）×𝐷∇ 𝑤
梁のつり合い式
𝜕𝜕 𝑤
𝐸𝐼𝑞
𝜕𝑥
𝜕𝑥
たわみ

荷重

自由形状を正規座標変換が可能に，適合要素で精度維持

𝑞

正規座標0

曲げ板のつり合い式
𝜕𝜕 𝜕
𝜕
𝐷
𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑦

面外荷重
𝑤

𝑞

たわみ

033

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本研究の位置付け（先行研究および本研究の新規性）

2次元高階Hermite族適合有限要素の正規座標変換を実装
2次元高階Hermite族適合要素（Bogner, 1965）

2次元高階Hermite族要素の正規座標変換（Beheshti, 2018）（高階適合要素は作ったが，正規座標変換をしていない）（正規座標変換はしたが，高階適合要素は作っていない）

こういう任意形状のモデルが解けない（矩形要素のみ）モデル化可能！
但し，精度が低い

正規座標変換しなければ矩形要素しか扱う事ができない

非適合要素は，性能が保証されるのは矩形のみ
適合要素は，たわみ角まで連続なので精度：高※ Hermite族要素は，𝑤 𝑥, 𝑦 の数値解を節点の𝑤，𝜕𝑤 ⁄𝜕𝑥 ，𝜕𝑤 ⁄𝜕𝑥 , …で近似的に表す要素※ Hrermite族適合要素は， 𝜕 𝑤 ⁄𝜕𝑥𝜕𝑦 も数値解に含めて，連続性を保証した要素

任意形状が解けて，精度も良くなるはず！
[1]

F. K. Bogner, R. L. Fox, and L. A. Schmit. The generation of interelement compatible stiffness andmass matrices by the use of interpolation formulae. In Proc. Conf. Matrix Methods in Struct.
Mech., Airforce Inst. Of Tech. Wright Patterson AF Base, Ohio, 1965.

[2]

Alireza Beheshti. Novel quadrilateral elements based on explicit hermite polynomials forbending of kirchhoff–love plates. Computational Mechanics, Vol. 62, pp. 1199–1211, 2018.

適合要素：要素間でたわみとたわみ角が連続
非適合要素：要素間でたわみが連続

44

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本成果の応用先

2次元高階Hermite族有限要素を板構造の数値シミュレーションに適用
薄板厚板
Kirchhoff-Love板理論

せん断変形理論(せん断変形を無視)(せん断変形を考慮)

電子基板・積層板など

土木・機械構造物など

55

2024/3/14

Hermite族要素の強み高次化（高階化）してもメッシュモデルが変化しない
Lagrange族要素

Hermite族要素

高次化

高階化

高次化により要素構成節点数が増加

要素構成節点は変わらず，節点の自由度が増加

66

2024/3/14

H族要素の高階化

従来の高次要素と同等の精度でモデル作成を省力化
𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝜙𝑢𝜃𝜙 𝜃
要素1要素2要素3𝑥

Lagrange族要素
節点変位に基づいて近似解を作成
高次化するには要素構成節点数を増やす
高次化するとメッシュモデルは作り直し＊ Hermite族要素は高階導関数を節点自由度に含めることで高次の基底関数を導入するため，
本研究では，Hermite族要素を高次化することを高階化と呼んでいる（コンセンサスを得ていない，また，英語では同じHigh-order）

要素1𝑢𝜙𝜃

要素2𝑢𝜙𝜃𝑥

要素3

Hermite族要素
節点変位とその導関数に基づいて近似解を作成
高階化*するには導関数を増やすだけでよい
一次要素と同じメッシュモデルをそのまま使用
𝑢 ：節点 𝑖 の変位𝜕𝑢𝜕𝑢𝜃𝜕𝑥𝜕𝑥𝜙

𝜕 𝑢𝜕𝑥

𝜕 𝑢𝜕𝑥

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KL板の数値シミュレーション｜結果と考察（矩形モデル）

適合要素によりKirchhoff-Love板のたわみを計算
Num.
Elem.

辺長=0.4m, 板厚=0.01m
境界条件：四辺固定
解析解＝1.7686mm[36]P9*

P6 [8]P4

P3 [8]

高階/適合*

高階/非適合*一階/適合一階/非適合

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]4×4

1.76860.420.07

1.7570

-0.24

0.07

1.76800.39

0.05

1.6932

-3.86

0.06

8×8

1.76860.420.28

1.76700.270.24

1.76850.410.191.7144

-2.65

0.21

12×12

1.76860.42

0.62

1.76750.36

0.55

1.76860.42

0.43

1.7224

-2.20

0.48

16×16

1.76860.42

1.19

1.76800.39

0.99

1.76860.42

0.75

1.7254

-2.03

0.91

20×20

1.76860.42

1.97

1.76820.40

1.65

1.76860.42

1.24

1.7268

-1.95

1.32

P6（高階/非適合）が最高精度

解析解の有効桁数の問題(おそらく，適合要素を高階化すれば精度は上がり続ける)[8]

Alireza Beheshti. Novel quadrilateral elements based on explicit hermite polynomials for bending ofkirchhoff–love plates. Computational Mechanics, Vol. 62, pp. 1199–1211, 2018.
[36] Stephen Timoshenko, Sergius Woinowsky-Krieger, et al. Theory of plates and shells, Vol. 2.
McGraw-hill, New York, 1959.

*節点の面外自由度が9である要素をP9要素と呼んでいる*P9要素は曲率まで連続*P6要素はたわみ角までは連続だが曲率は非連続882024/3/14

KL板の数値シミュレーション｜結果と考察（非矩形モデル）

非矩形要素モデルの曲げ問題も高階/適合要素の精度が優れる
Num.
Elem.

P9*

P6 [8]P4

P3 [8]

高階/適合*

高階/非適合*一階/適合一階/非適合

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time
[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]

Time[s]

Disp.
[mm]

Error
[%]Time[s]

4×3×4×4

1.３１３１0.20

0.88

1.32220.91

0.75

1.34682.92

0.62

1.2550

-4.23

0.68

4×3×8×8

1.32200.12

4.67

1.31350.23

3.69

1.32160.85

2.88

1.2626

-3.65

3.04

4×3×10×10

1.31210.13

8.33

1.31230.15

6.41

1.31800.58

4.95

1.2630

-3.62

5.24

4×3×12×12

1.31160.09

14.1

1.31170.10

10.3

1.31590.42

8.00

1.2630

-3.61

8.22

4×3×14×14

1.31130.07

21.7

1.31130.07

15.9

1.31460.32

12.0

1.2629

-3.62

12.0

半径=0.4m, 板厚=0.01m
境界条件：円周固定
解析解＝1.3113mm[36]P6 P9やP3 P4のように適合要素化により顕著に精度改善(適合要素は，非矩形要素モデルを使う時に真価を発揮する)[8]

Alireza Beheshti. Novel quadrilateral elements based on explicit hermite polynomials for bending ofkirchhoff–love plates. Computational Mechanics, Vol. 62, pp. 1199–1211, 2018.
[36] Stephen Timoshenko, Sergius Woinowsky-Krieger, et al. Theory of plates and shells, Vol. 2.
McGraw-hill, New York, 1959.

99

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期待以上に要素の辺長比を変えた結果要素の辺長比を極端にしても矩形なら適合要素は精度維持

Error [%]

高精度
0-10P4（高階/適合） P9（高階/適合）

P6（高階/非適合）-20-30
P3（1階/非適合）-40
低精度
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Geometric ratio

P9P6P4P3

高階/適合

高階/非適合高階/適合

一階/非適合

矩形モデル

◎〇

◎

歪なモデル

◎◎

〇

利点

常に高精度
収束も早い

精度が他より高い

計算速度と精度を両立可能

計算速度

欠点

境界条件が複雑計算負荷：大境界条件が複雑

境界条件がやや複雑

境界条件がやや複雑

P4は性能のバランスが取れている1010

2024/3/14

H族要素×厚板

厚板は解が増えるのでHermite族要素を適用すると計算コストが急激に増加する可能性

せん断変形理論も３変数で表現可能（KL板と同じ）
せん断力

せん断力

𝑤𝑤𝑤

曲げせん断𝑤

𝑓 𝑤

𝑢，𝑣(伸縮)の線形分布

𝑢，𝑣(伸縮)の非線形分布

FSDTHSDTRPT

非線形分布は色々（独立変数：4）（独立変数：３）𝑢，𝑣，𝑤 ，𝑤𝑢，𝑣，𝑤

薄板

せん断ロッキング

独立変数は５個・・・𝑢，𝑣，𝑤，𝛽 ，𝛽GTVPT [33][33] Tuan N Nguyen, Tuan D Ngo, and H Nguyen-Xuan. A novel three-variable shear deformation plate
formulation: Theory and isogeometric implementation. Computer Methods in Applied Mechanics
and Engineering, Vol. 326, pp. 376–401, 2017.

FSDT： First-order Shear Deformation Theory
HSDT： Higer-order Shear Deformation Theory
RPT： Refine Plate Theory
GTVPT： Generalised Three Variable Theory

Hermite族要素の数値解の例

𝑢𝑣𝑤
𝛽𝑢𝑣𝑤
𝛽𝑢𝑣𝑤𝛽𝛽𝛽𝛽11112024/3/14

厚板の数値シミュレーション｜結果と考察（矩形モデル）

アスペクト比（板厚比）にかかわらず同じ要素モデルで解ける
𝐿/𝑡10

境界条件：四辺固定

10210310

4105P9*P6

Nguyen[33]Exact[37]高階/適合*

高階/非適合*IGA0.14740.14690.14730.14990.12670.12670.12670.12670.12650.12650.12650.12650.12650.12650.12650.12650.12650.12650.12650.1265厚板の精度は先行研究と同等以上である
板厚が小さくてもせん断ロッキングは発生しない[8]

Alireza Beheshti. Novel quadrilateral elements based on explicit hermite polynomials for bending of kirchhoff–love plates.
Computational Mechanics, Vol. 62, pp. 1199–1211, 2018.
[33] ] Tuan N Nguyen, Tuan D Ngo, and H Nguyen-Xuan. A novel three-variable shear deformation plate formulation: Theory andisogeometric implementation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol. 326, pp. 376–401, 2017.
[37] Olgierd C Zienkiewicz, Zhongnian Xu, Ling Fu Zeng, Alf Samuelsson, and Nils-ErikWiberg. Linked interpolation for reissner-mindlin
plate elements: Part i̶a simple quadrilateral. InternationalJournal for Numericl Methods in Engineering, Vol. 36, No. 18, pp. 3043–3056, 1993.

IGA：Iso-Geometric Analysis

1212

2024/3/14

まとめ

実施事項

結果・考察

何に便利か•

2次元高階Hermite族適合有限要素の正規座標変換を実装•

矩形、非矩形モデルにおいて適合要素は優れた結果を示す•

複雑な形状を持つ構造のシミュレーション•

2次元高階Hermite族適合有限要素を板構造の数値シミュ
レーションに適用•

厚板に関しては先行研究と同等以上の結果が得られた•

長大構造物のシミュレーション

P9

P6

P4

P3高階/適合高階/非適合高階/適合一階/非適合

矩形モデル

◎〇

◎

歪なモデル

◎◎

〇

利点

常に高精度
収束も早い

精度が他より高い計算速度と精度を両立可能

欠点

計算負荷：大計算時間：やや大計算速度
低精度

ご清聴ありがとうございました

13132024/3/14

本研究の位置づけ

Bogner et al.
(1965)

Beheshti(２０１８)

Beheshti(２０２０)

Bacciochi et al.
(２０２０)

Bacciochi et al.
(2023)

本研究

非適合要素の検討

○

○

○

○

○

○

適合要素の検討

○

△

○

○

○

○

明示的なHermite多項式の使用

○

○

○

××

○

要素が矩形に限られない×○

×

○

×

○

せん断変形の考慮

×××××○

システム情報工学研究群 構造エネルギー工学学位プログラム 修士論文発表会 2024年1月31日（水）酒井真清 『一般化三変数理論に基づいた高階Hermite適合要素の開発』[6] Bogner et al. (1965)[8] Beheshti (2018)[9] Beheshti (2020)[10] Bacciocchi et al. (2020)[11] Bacciocchi & Fantuzzi (2023)

1414