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数理解析研究所講究録
第2076巻 2018年 232-237

質量交換型2粒子模型のソリトン相互作用への応用Ⅲ
富山大工 角畠 浩(Hiroshi Kakuhata) , 山埜井 翔吾 (Shogo Yamanoi)
Faculty of Engineering, University of Toyama

1

はじめにソリトンが粒子のように振る舞い,ソリトン同士の衝突によって軌道が変化し位相シフトが起こることはよく知られている国。その挙動から,ソリトンを粒子としてとらえ,原子核や素粒子のモデルとしても用いられている [2] 。このような見方にたって,これまでにソリ トンを粒子として扱うために,ソリ トンの相互作用に類似した相互作用をする二粒子系の振る舞いを調べ,その理論形式を考察してきた [3, 4, 5] 。
ソリ トン系の例として用いたのは,外部磁場中の内部電流を持つストリングの運動を記述する連立非分散方程式 [7, 8]\partial_{ $\tau$}^{2}r-\partial_{ $\sigma$}^{2}r=(\partial_{ $\tau$}r+\partial_{ $\sigma$}r)\times(J\times r)
で,そのソリ トン解は双方向に進行するループソリトンである。ここで,ングの位置ベクトル,

J は一定の外部電流ベクトル,$\tau$

は時間,$\sigma$(1)r=(X, Y, Z) はストリ

はストリングに沿う弧長に対応するパラメータである。それぞれ位相速度 v と -v でソリ トンが同一平面内で正面衝突するとき,連立非分散方程式の厳密な2 ソリトン解の Z は,

F= $\beta$( $\tau$)+v^{2}\cosh 2 $\gamma \sigma$,$\beta$( $\tau$)=\cosh 2 $\gamma$ v $\tau$+(1-v^{2})\cos$\theta$_{12}

(2)

より,

Z= $\sigma$+2(\partial_{ $\tau$}-\partial_{ $\sigma$})\ln \mathrm{F}(3)で与えられる。右に向かうソリトン1と左に向かうソリトン2の位置をそれぞれ $\sigma$_{1} と $\sigma$_{2} とする。
同じスピード v でのソリトンの正面衝突のとき二つのソリトンのピーク (\partial^{2}Z=0;\partial^{3}Z>0) を求める方程式は , 波数が同じなので, e^{2 $\gamma \sigma$}( $\gamma$=1/\sqrt{1-v^{2}}) の4次方程式になる。しかし,厳密解は非常に複雑なので,これまで十分遠方での衝突前の近似解e^{2$\gam a\sigma$_{1} \displaystyle\ap rox\frac{v^{2}[1+2(1-v)\cos$\theta$e^{2$\gam a$v$\tau$}]e^{2$\gam a$v$\tau$}{1+2(1-v)(2+v)\cos$\theta$e^{2$\gam a$v$\tau$},e^{2$\gam a\sigma$_{2}\displaystyle\ap rox\frac{1+2(1+v)(2-v)\cos$\theta$e^{2$\gam a$v$\tau$}{v^{2}[1+2(1+v)\cos$\theta$e^{2$\gam a$v$\tau$}]e^{2$\gam a$v$\tau$}(4)233と衝突後の近似解e^{2$\gam a\sigma$_{1} \displaystyle\ap rox\frac{1+2(1-v)(2+v)\cos$\theta$e^{-2$\gam a$v$\tau$}{v^{2}[1+2(1-v)\cos$\theta$e^{-2$\gam a$v$\tau$}]e^{-2$\gam a$v$\tau$},e^{2$\gam a\sigma$_{2}\displaystyle\ap rox\frac{v^{2}[1+2(1+v)\cos$\theta$e^{-2$\gam a$v'r}]e^{-2$\gam a$v$\tau$}{1+2(1+v)(2-v)\cos$\theta$e^{-2$\gam a$v$\tau$}(5)を用いてきた。しかし,近似解のオーダリングの取り方によって対応する粒子モデルにおけるポテンシャルが高くなりすぎたり低すぎたりしていた。これは十分遠方の解だけでは相互作用しているときの情報は全く不十分だからと考えられる。そこで本稿では,ソリトンが近距離に迫ったときの運動を記述する試みについて述べたい。

2

近距離での解の導出
ソリトンのピークの位置を表す方程式はv^{2}( $\beta$( $\tau$)+v\sinh 2 $\gamma$ v $\tau$)y^{4}+2[2v^{4}- $\beta$( $\tau$)( $\beta$( $\tau$)+v\sinh 2 $\gamma$ v $\tau$)]y^{3}-6v^{3}\sinh 2 $\gamma$ v $\tau$ y^{2}+2[ $\beta$( $\tau$)( $\beta$( $\tau$)-v\sinh 2 $\gamma$ v $\tau$)-2v^{4}]y-v^{2}( $\beta$( $\tau$)-v\sinh 2 $\gamma$ v $\tau$)=0 (6)である。ここで y=e^{2 $\gamma \sigma$} である。さらに,ここで x=e^{2 $\gamma$ v $\tau$} とすれば,

a_{4}y^{4}+a_{3}y^{3}+a_{2}y^{2}+a_{1}y+a_{0}=0(7)を得る。ただし,係数 a_{n} (n=1,2,3,4) はa_{4}=v^{2}(1+v)x^{3}+2v^{2}(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}x^{2}+v^{2}(1-v)xa_{3}=-x^{4}-(1-v^{2})(2+v)\cos$\theta$_{12}x^{3}+2[4v^{4}-1-2(1-v^{2})^{2}\cos^{2}$\theta$_{12}]x^{2}+(1-v^{2})(2-v)\cos$\theta$_{12}x-1a_{2}=-6v^{3}(x^{2}-1)xa_{1}=(1-v)x^{4}+2(1-v^{2})(2-v)\cos^{2}$\theta$_{12}x^{3}+2[1-v^{4}+2(1-v^{2})^{2}\cos^{2}$\theta$_{12}]x^{2}+2(1-v^{2})(2+v)x+1+va_{0}=-v^{2}(1-v)x^{3}-2v^{2}(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}-v^{2}(1+v)x(8)である。 v=0.1 の場合に,方程式 (7) の左辺の関数を x を固定して, y の関数として図示 (縦軸が(7) の左辺の値,横軸が y) すると 図1のようになる。この関数の零点が解である。一番右にある大きな零点は意外と大きな値であるが,xが大きくなるに従って,右から左に移動して,また右に引き返していくことがわかる。これはこの零点が,vが小さい場合に衝突前に右から左に移動し,衝突後には跳ね返って右に向かうソリトン2のピーク $\sigma$_{2} であることを意味する。また,図1の曲線は4次関数に見えないかもしれないが,v=0.1 の場合の原点付近での様子を拡大してみると確かに4次関数になっていることがわかる (図2)が,例えば,この場合には,左右対称なように見える

v=0.7 の場合には図3のように非対称になっている。この4次関数の零点としては, y\approx-1, y\approx 0, y\approx 1, y\approx 400 の4点があるが, y=e^{2 $\gamma \sigma$} であるから, y\approx-1 は非物理的な解で, y\approx 0 の零点は小さいが正の量で,$\sigma$_{1}に対応する。2つのソリトンはおおむね $\sigma$\approx 0234

図1付近において,

x=0.5,x=1.0,x=1.5

図2x=1 での原点付近(v=0.1)

図3x=1 での原点付近(v=0.7)$\tau$\approx 0 で衝突する,すなわち,の付近での方程式の右辺の y\approx 1 とy\approx 1 で x\approx 1 で衝突すると考えられる。するとこx\approx 1 付近での振る舞いがわかれば,衝突時刻の近くでの解を得ることができるはずである。しかし,上記の4次方程式 (7) の解の1つはソリトンとソリトンの 「谷間」 を含むと予想されるので,解が1個だけでは不十分であるので,右辺を Taylor 展開の2次まで x=y=1 のまわりで展開する。すると,方程式は,

2[1+v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}](x-1)-2[(1+v^{2})(1-2v^{2})+(1-v^{2})(2-v^{2}) \cos$\theta$_{12}+(1-v^{2})^{2}\cos^{2}$\theta$_{12}](y-1)-3v[1+v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}](x-1)^{2}-4(1-v)[1+2v+(1+v)\cos$\theta$_{12}][1+v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}](x-1)(y-1)-3[1+v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}][1-2v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}](y-1)^{2}=0 (9)235となる。やや複雑ではあるが,これは y に対する2次方程式であって,容易に解く ことができ,解はy_{1}=\displaystyle \frac{f_{1}+\sqrt{f_{2} {f_{3}y_{2}=\displaystyle \frac{f_{1}-\sqrt{f_{2} {f_{3}(10)である。ここで, f_{1}, f_{2} , ゐ はそれぞれ

f_{1}=-2(2+v-4v^{2})+(1-v^{2})[\mathrm{i}+2v+(1+v)\cos$\theta$_{12}]+2(\mathrm{i}-v)[1+2v+(1+v))\cos$\theta$_{12}]x (11)f_{2}=4[1+v-2v^{3}+4v^{4}+2(1-v)(2+-4v^{2}) \cos$\theta$_{12}-(1-v^{2}) \cos^{2}$\theta$_{12}]-8[2(1-2v^{2}+4v^{4})+4(1-v^{2})(1-2v^{2}) \cos$\theta$_{12}+2(1-v^{2})^{2}\cos^{2}$\theta$_{12}]x+4[4-v-12v^{2}+2v^{3}+16v^{4}+(1-v^{2})(8-v-16v^{)}\cos$\theta$_{12}+4(1-v^{2})^{2}\cos^{2}$\theta$_{12}]x^{2} (12)f_{3}=-3[1-2v^{2}+(1-v^{2}) \cos$\theta$_{12}](13)である。これらの解曲線をいくつか図示 (縦軸は y , 横軸は x\rangle すると以下のようになる。

図4y_{1}

図4,と y2の解曲線 (v=0.1)

図5 馳 と y2の解曲線 (v=0.2)

5, 6, 7では左図が y_{1} , 右図が y_{2} である。 x=1 付近での値が1より小さいので,左から右に移動する $\sigma$_{1} に,似で,$\sigma$_{2}y_{1}が衝突前にy_{2} が y\approx x\approx 1 なのでソリ トン間の 「谷間」 に対応する。同様の近に対応する解は x=e^{-2 $\gamma$ v $\tau$} とすることにより得ることができるが本稿では触れない。

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図6 yi と 彿の解曲線 (v=0.3)

図7 肋 と 馳の解曲線 (v=0.7)

3Discussion
衝突するソリトンの近距離の軌道を求めることを試みた。2次までで近似した解 (図7) では近似のない解 (図3) と比較してソリ トン1の位置は概ね合っているが,小さな v では非常に誤差が大きい。これは v が小さいときにはソリ トン同士が弾くことにより,近似が有効な十分近くまで接近しないことによると考えられ,従って,Taylor 展開が十分に機能しないためである。また,これらの解は,xが大きくなると y が負の領域に入ってしまうので,有効な範囲が限られている。

しかし,衝突の際のソリトンの位置の形がだいたいでもわかれば,衝突前の解 (4) と衝突後の解(5) をどのようにつなげばよいのかの情報は得られよう。近距離でのソリ トンの軌道の考察はまだはじめたばかりなのでわからないことは多く,更なる研究が必要である。

参考文献[1] 例えば,M. J. Ablowitz and H. Segur, “SOLITONS AND THE INVERSE SCATTERING
TRANSFORM

SIAM, 1981.

[2] 例えば,V G. Makhankov, Y. P. Rybakov, V. I Sanyuk, “The Skyrme Model: Fundamentals

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Methods Applications

Springer‐Verlag, 1993.

[3] 角畠浩,「質量交換を伴う二粒子系」,数理解析研究所講究録1890 「非線形波動現象の数理と応用 \mathrm{J} , p.228, 京都大学数理解析研究所,2014年[4] 角畠浩,紺野公明,「ソリトン相互作用の有効ポテンシャル」 , 数理解析研究所講究録1701 「波動現象の数理と応用」,p.197, 京都大学数理解析研究所,2010年[5] 角畠浩,紺野公明,「ソリ トン相互作用の有効ポテンシャルⅡ」 , 数理解析研究所講究録1761「非線形波動現象の多様性と普遍性」,p.1118 , 京都大学数理解析研究所,2011年[6] 角畠浩,「ソリ トン相互作用の有効ポテンシャル \mathrm{I}\mathrm{I}_{\mathrm{J} , 数理解析研究所講究録1800 「非線形波動現象の研究の新たな進展」,p.120, 京都大学,2012年[7] H. Kakuhata and K.Konno, J. Phys. Soc. Jpn. 68 (1999) 757.

[8] H. Kakuhata and K.Konno, Theor. Math. Phys. 65 (2002) 713.