数理モデルに現れる微分方程式-発見的解法のすすめ-

大木谷耕司 (京大数理研)

8 July 2022, 全学共通: 現代の数学と数理解析

1. はじめに

2. いくつかの例

3. 結びにかえて1

1. はじめにここで用いる数学的技巧は簡単で次の通りである:
1 階非同次常微分方程式dy= ay + f (t), y(0) = C.
dt
外力 f (t) がない場合

y(t) = Ceat.
外力 f (t) がある場合は、定数変化法により

y(t) =Z t

ata(t−s)f (s)ds .
Ce+e| {z }0{z}同次方程式 |
非同次方程式の一般解の特殊解
2別の見方:カギとなる恒等式 ∗ は

d− a y = f (t)dt✗✔

d −atde=−adtdt✖
✕eat

つまり
−1tdat=e−adse−as .
dt0at d∗) edt

−ateZdφ− aφ, ∀φ の意味
φ =dt


3

d −adty(t)−−−→f(t)xexp(−at)yexp(at)
∗

−−→

∗ddt

y(t)
←−−f(t)x
exp(at)
yexp(−at)∗ ←R −−∗t0 ds4これらの考え方の偏微分方程式版がある。
(指数演算子、” 定数変化法”)

5

2. いくつかの例

6熱拡散方程式∂u= ν△u∂t
初期値 u(x, t = 0) = u0(x), x ∈ Rn

∂2
∂2
∂2++ ... +Laplacian △ ≡22∂x2∂x1∂x2n形式的に u(x, t) = eνt△u0
どういう意味？ 半群理論7

例 1: 熱拡散方程式 (放物型)∂u∂ 2u=ν 2∂t∂xの解を

u = exp νt∂2∂x2!

u0(x)と記号的に書く. Gauss 積分Z ∞−∞2e−z dz =√πで, 積分変数を z → z − l と置換する
8✓

R∞

−∞
✒

−z 2 +2zledz =ここで定数 l を、微分演算子で置き換えれば
νt∂x2u=eu√l2✏πe✑√ ∂l = νt ∂x√∞
21e−z +2z νt∂x u0(x)dz0(x) = √π −∞Zが得られる. Forsyth(1885) 後は, シフト演算子 eh∂x f (x) = f (x + h) を考慮して∞∞√(x−y)2211e−z u0(x + 2z νt)dz = √u=√e− 4νt u0(y)dyπ −∞4πνt −∞ZZとなる. Fourier 解析9熱核:x21−√e 4νt4πνtn 次元では、直積となる。
x2x2x2|x |21111n12−−−−√e 4νte 4νt √e 4νt . . . √e 4νt =n/2
4πνt
4πνt
4πνt(4πνt)

この関数は数学のあらゆる分野に現れる。J. Jorgensen and S. Lang (2012)10Duhamel 原理∂− ν△ u = f (x)∂tνt△ ∂ −νt△e∂te∂=− ν△∂tによりu(x, t) = eνt△u0(x) +ここでeνt△φ(x) =Gt(x) =ZRnZ t0eν(t−s)△f (·)ds,Gt(x − y )φ(y )dy ,1(4πνt)n/2exp −|x|24νt!

.
11∂ −ν△∂t−−−−−−→
f(x)uxexp(−ν△t)yexp(ν△t)∗ −−−−−→∗∂∂tux
exp(ν△t)

←−−∗ ←−R−−−−f (x)exp(−ν△t)y∗t0 ds12例 2: Poisson 方程式 (楕円型)△u = −φ(x), x ∈ R3(方針)∂u= ν△u + f (x)∂tの定常解を求め、f = νφ とおく。
Duhamel の原理から
u(x, t) = eνt△ u0 +ここでνt△ef (x) =1Z(4πνt)3/2 R3Z t0eν(t−s)△f (·)ds

exp −|x − y |24νt!

f (y )dy13

第1項 → 0
第 2 項はZ t=Z t00dsdτZ1(4πν(t − s))3/2 R3Z1(4πντ )3/2 R3

積分順序を入れ替え、t → ∞ とする.

F (X ) ≡Z ∞0

なので1exp −exp −|x − y |24ν(t − s)|x − y |24ντ

|X |2exp −3/24ντ
(4πντ )!

!

!

f (y )dyf (y )dydτ =14πν|X |Z

1
1φ(y )
u(x) =
dy = G ∗ φ, G(x) =.
4π R3 |x − y |4π|x − y |
14

(別解)
恒等式
✗

1=0a✖
において、定数R∞✔

e−atdt, (a > 0)

✕a を a → −△ と置き換える:
u(x) = (−△)−1φ =後は同じ。

Z ∞0

et△φ(x)dt.

cf.
u(x) = EZ ∞(梶野先生の講義)

0

φ(x + W τ )dτ , W τ = Brown 運動, E = 期待値

確率論

15

例 3:波動方程式 (双曲型)2∂ 2u2∂ u−a=022∂x∂yを教える際,∂∂+a∂x∂y!

!

∂∂−au=0∂x∂yと因数分解し, 一般解を

u = f (y + ax) + g(y − ax)と書き下す. ここで, f, g は任意関数.
16

例 4: 波動方程式 (source term つき)2∂ 2u2∂ u−a= φ(x, y). (1)
22
∂x
∂y

まず, 次の 1 階方程式を考える∂u∂u−a= φ,∂x∂yすなわち!

∂∂−au = φ.
∂x∂y指数関数の恒等式を使って, 左辺を次の様に書き換える∂∂∂ax−ax ∂yu = φ.
e ∂y e∂x17そうすれば, 左辺の演算子は反転できて∂ax ∂yu=e=となる.

Z xZ x∂−ax′ ∂ye

φ(x′, y)dx′φ(x′, y + a(x − x′))dx′

先ほどの問題 (1) は, まず

u=

∂2

∂2∂x

∂y 22−a2!−1φ(x, y)と記号的に書いた上で, 部分分数に展開する=!−1 ∂

2a∂y∂
∂
−a∂x
∂y!−1−!−1∂∂ φ(x, y).
+a∂x

∂y18

その後で上の解法を当てはめるとよい∂= 2a∂y!−1 ∂ax ∂yeZ x∂−ax′ ∂ye∂−ax ∂yφ(x′, y)dx′ − eZ x∂
ax′ ∂yeφ(x′ , y)dx′1 y=(Φ1(x, y + ax) − Φ2(x, y − ax)) dy,2aここで、適当な関数 ψ(y), χ(y) を用いてZ

Φ1(x, y) =Z xφ(x′, y − ax′)dx′ + ψ(y),Φ2(x, y) =Z xφ(x′ , y + ax′)dx′ + χ(y),とおいた. この例は, Boole(1877) の古い微分方程式の教科書に見られる.
Forsyth(1885), 犬井 (1960) も参照.
19

例 5: KdV 方程式 (非線型波動方程式：中西先生の講義)∂ 3u∂u∂u+=−6u∂t∂x3∂xこの方程式に対する多重 Fourier 変換による形式解法は, 実解析の擬微分作用素論の専門家をも驚かせた. Coifman and Meyer(1984), Rosales(1978).
多重 Fourier 変換による展開u(x, t) =∞X

k=1uk (x, t), uk (x, t) =Zixe

Pki=1 ξi σk (ξ, t)ν(ξ1 ) . . . ν(ξk )dξ1 . . . dξkを考え, その係数 uk の漸化式を導くと
X∂uk∂ 3 uk∂ k−1
uj uk−j .
+= −33∂t∂x∂x j=120

分散項を吸い込むため, 新たな変数
itσk (ξ, t) = eを導入すれば,

Pk

3j=1 ξj σk (ξ)

3 
k−1kkkXXX
X 3σj (ξ1, . . . , ξj )σk−j (ξj+1, . . . , ξk )ξiξi  = −3
ξi −σk (ξ) 
j=1i=1i=1i=1が得られる. k = 2, 3 を計算してみると, その解は

ξ1 + . . . + ξkσk =(ξ1 + ξ2)(ξ2 + ξ3) . . . (ξk−1 + ξk )となることが推測でき, 帰納的にその証明も出来る. したがってZ1∂
Πki=1νx,t (ξi)dξ1 . . . ξk ,uk (x, t) =i∂x Rk (ξ1 + ξ2)(ξ2 + ξ3) . . . (ξk−1 + ξk )21

3

νx,t = eixξ+tξ ν(ξ)となる. ここでCν [f ](ξ) ≡ p.v.

Z1
νx,t (η)f (η)dη
1R ξ+ηを導入すれば,Z∂uk (x, t) =νx,t (η)(Cν )k−1[1](η)dηi∂x R1であり, もとの未知関数はZZ∂∂
ν(η)(1 − Cν )−1[1]dη =νψ(η)dηu(x, t) =11i∂x R∂x R22と書くことができる. ここでψ(η) =とおいた. すなわち、

ψ = 1 + p.v.

Z1
11 − Cν1
ν(η)ψ(η)dη.
1R η+ξ

Gelfand-Levitan-Marchenko の積分方程式の類似が、自動的に導かれることに注意.
戸田 (2000)
逆散乱法

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3. 結びにかえて
Navier-Stokes 方程式(非圧縮粘性流体の基礎方程式)∂u+ u · ∇u = −∇p + ν△u, ∇ · u = 0∂t∂− ν△ u = −P∇ · (u ⊗ u),∂tP ≡ Id − (△)−1(∇ ⊗ ∇) : 非圧縮場への射影

u(x, t) = eνt△u0(x) −Z t0eν(t−s)△P∇ · (u(·, s) ⊗ u(·, s))ds

これは、積分方程式であり、解ではない。にも拘らず、不動点定理 (縮小写像) を用いた逐次近似解の構成には役に立つ。
Navier-Stokes 方程式=最も短い乱流理論
その一般的な解法は知られていない。ベクトル解析, 関数解析
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参考文献
G. Boole, ”A Treatise on Differential Equations,” (Macmillan andco., 1877).

A.R. Forsyth, “A Treatise on Differential Equations,” (Macmillan andco., 1885; Dover 1997).
犬井鉄郎 (東京大学応用物理学教室編), 「微分方程式」東京大学出版会, 1960.

J. Jorgensen and S. Lang 数学の最先端 21 世紀への挑戦 第２巻, 「どこでも熱核」, 丸善出版, 2012.
R.R. Rosales, “Exact solutions of some nonlinear evolution equations,” Studies Appl. Math. 59, (1978) 117-151.
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R.R. Coifman and Y. Meyer, Nonlinear harmonic analysis, operator
theory and P.D.E., in Beijing Lectures in Harmonic Analysis (Beijing,1984), ed. E.M. Stein, Princeton University Press, Princeton, NJ,1986, 3–45.
戸田盛和, 「非線形波動とソリトン [新版]」, 日本評論社, 2000.

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