数理解析研究所講究録
第 1893 巻 2014 年 28-34

28Beckner の不等式の一般化について
新潟大学大学院

自然科学研究科 田中 亮太朗 (Ryotaro Tanaka)

Department of Mathematical Science,Graduate School of Science and Technology, Niigata University
新潟大学

理学部 斎藤 吉助 (Kichi-Suke Saito)

Department of Mathematics, Faculty of Science, Niigata University

1

序文
$X$

を Banach 空間とする．各 $\epsilon\in(0,2]$ に対して$\delta_{X}(\epsilon)=\inf\{1-\Vert\frac{x+y}{2}\Vert$とし，各$\tau\geq 0$:$x,$ $y\in S_{X},$$\Vert x-y\Vert=\epsilon\}$に対して$\rho_{X}(\tau)=\sup\{\frac{\Vert x+\tau y\Vert+\Vert x-\tau y\Vert}{2}-1:x, y\in S_{X}\}$とする．これらはそれぞれ the moduli of convexity and smoothness of $X$ と呼ばれる．
$1<p\leq 2\leq q<\infty$ とすると，Banach 空間 $X$ は(i) すべての $\epsilon\in(0,2] に対して \delta_{X}(\epsilon)>0$ であるとき uniformly convex,(ii) ある $C>0$ が存在して，すべての $\epsilon\in(0,2]-uniformly convex,に対して \delta_{X}(\epsilon)\geq C\epsilon^{q}$となるとき

$q$

(iii)

$\lim_{\tauarrow 0+}\rho_{X}(\tau)/\tau=0$を満たすとき umiformly smooth, 及び(iv) ある $K>0$ が存在して，すべての $\tau\geq 0$ に対してp–uniformly smooth$\rho_{X}(\tau)\leq K\tau^{p}$となるとき(iii) が成立することは容易にわかる．これらは strict convexity や uniform non-squareness と同様に Banach 空間のとそれぞれ言われる．これらに対して (ii)$\Rightarrow(i)$及び (iv)$\Rightarrow$

幾何学的性質と言われ，しばしばノルム不等式を用いて特徴付けられる．特に，–uniformsmoothness に対しては，次のような特徴付けが知られている (cf. [1]). $X$ を Banach 空間$1<p\leq 2$ とする．そのとき，以下は同値:とし，$P$(i) $X$ は -uniformly smooth である．

29(ii) ある $K>0$ が存在して，すべての $x,$ $y\in X$ に対して$\frac{\Vert x+y\Vert^{p}+\Vert x-y\Vert^{p}}{2}\leq\Vert x\Vert^{p}+\Vert Ky\Vert^{p}$が成立する．

(iii) すべての $s\in[1, \infty)$ に対して，ある $K_{s}>0$ が存在して，すべての$x,$ $y\in

X$に対して$( \frac{\Vert x+y\Vert^{s}+\Vert x-y\Vert^{s}}{2})^{1/s}\leq(\Vert x\Vert^{p}+\Vert K_{s}y\Vert^{p})^{1/p}$が成立する．

(iv) ある $s\in[1, \infty)$ と $K_{s}>0$ が存在して，すべての$x,$ $y\inX$に対して$( \frac{\Vert x+y\Vert^{s}+\Vert x-y\Vert^{s}}{2})^{1/s}\leq(\Vert x\Vert^{p}+\Vert K_{s}y\Vert^{p})^{1/p}$が成立する．
$X$ を Banach空間とし，同様にして，-uniform convexity は次のように特徴付けられる．
$2\leq q<\infty$ とする．そのとき，以下は同値:$q$(i) $X$ は -uniformly convex である．
$q$(ii) ある $C>0$ が存在して，すべての $x,$ $y\in X$ に対して$\frac{\Vert x+y\Vert^{q}+\Vert x-y\Vert^{q}}{2}\geq\Vert x\Vert^{q}+\Vert Cy\Vert^{q}$が成立する．

(iii) すべての $t\in(1, \infty)$ に対して，ある $C_{t}>0$ が存在して，すべての$x,$ $y\in

X$

に対して

$( \frac{\Vert x+y\Vert^{t}+\Vert x-y\Vert^{t}}{2})^{1/t}\geq(\Vert x\Vert^{q}+\Vert C_{t}y\Vert^{q})^{1/q}$が成立する．

(iv) ある $t\in(1, \infty)$ と $K_{t}>0$ が存在して，すべての$x,$ $y\in

X$

に対して

$( \frac{\Vert x+y\Vert^{t}+\Vert x-y\Vert^{t}}{2})^{1/t}\geq(\Vert x\Vert^{q}+\Vert C_{t}y\Vert^{q})^{1/q}$が成立する．の証明に必要とな
Beckner の不等式は，-uniform smoothness の特徴付けの (ii)る．つまり，証明中に次の不等式から導かれるノルム不等式 $(cf. [5,$ Corollary $1.e.15])$ を$p$$\Rightarrow(iii)$

30$1<p\leq q<\infty$ 及び $\gamma_{p,q}=\sqrt{(p-1)}/(q-1)$ とする．そのとき，すべての用いている．
$u,$$v\in \mathbb{R}$に対して$( \frac{|u+\gamma_{p,q}v|^{q}+|u-\gamma_{p,q}v|^{q}}{2})^{1/q}\leq(\frac{|u+v|^{p}+|u-v|^{p}}{2})^{1/p}$が成立する．この不等式は 1975 年に，Beckner [2] によってテイラー展開を用いて証明された．また，定数り，$\gamma\in[0,1]$$\gamma_{p,q}$がこの不等式についての最良定数であることも知られている．つまがすべての $u,$$v\in \mathbb{R}$に対して$( \frac{|u+\gamma v|^{q}+|u-\gamma v|^{q}}{2})^{1/q}\leq(\frac{|u+v|^{p}+|u-v|^{p}}{2})^{1/p}$を満たすとき，となる．この事実の証明は Yamada-Takahashi-Kato [10, Theorem
6 の証明中に見ることができる．
$\gamma\leq\gamma_{p,q}$$]$

2

Beckner の不等式の別証明
最近，Tanaka-Saito-Komuro [9] において，Beckner の不等式及び定数$\gamma_{p,q}$の最良性の別証明が与えられた．以下の考察がその出発点である．
$x=u+v$ 及び $y=u-v$ とする．これらを，不等式に代入することで$( \frac{|(1+\gamma)x+(1-\gamma)y|^{q}+|(1-\gamma)x+(1+\gamma)y|^{q}}{2^{q+1}})^{1/q}\leq(\frac{|x|^{p}+|y|^{p}}{2})^{1/p}$を得る．よって，Beckner 型の不等式は以下の不等式と同値である．
$\Vert(\begin{array}{llll}1+ \gamma 1- \gamma 1- \gamma 1+ \gamma\end{array})(\begin{array}{l}xy\end{array})\Vert_{q}\leq 2^{1+1/q-1/p}\Vert(\begin{array}{l}xy\end{array})\Vert_{p}$ここで $\delta=(1-\gamma)/(1+\gamma)$とおけば，上から$\Vert(\begin{array}{ll}1 \delta\delta 1\end{array})(\begin{array}{l}xy\end{array})\Vert_{q}\leq 2^{1/q-1/p}(1+\delta)\Vert(\begin{array}{l}xy\end{array})\Vert_{p}$を得る．さらに $x=y=1$ のとき等式が成立する．これらの考察は次の補題にまとめられる．

Lemma 2.1. $\gamma\in[0,1]$ 及び $\delta=(1-\gamma)/(1+\gamma)$ とする．
$A_{\delta}=(\begin{array}{ll}1 \delta\delta 1\end{array})$とすると，以下は同値:31(i) すべての$u,$$v\in \mathbb{R}$に対して$( \frac{|u+\gamma v|^{q}+|u-\gamma v|^{q}}{2})^{1/q}\leq(\frac{|u+v|^{p}+|u-v|^{p}}{2})^{1/p}$が成立する．

(ii)$\Vert A_{\delta}:(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{p})arrow(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{q})\Vert=2^{1/q-1/p}(1+\delta)$$\Vert A_{\delta}$:$(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{p})arrow(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{q})$.

は初等的な関数の最大値を計算することで求めることができる．

Lemma 2.2.

$\delta\in[0,1]$$[0,1]$ 上の関数に対して，

$f_{p,q,\delta}$を$f_{p,q,\delta}(t)=((t^{1/p}+\delta(1-t)^{1/p})^{q}+(\delta t^{1/p}+(1-t)^{1/p})^{q})^{1/q}$によって定める．そのとき$\Vert A_{\delta}:(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{p})arrow(\mathbb{R}^{2}, \Vert\cdot\Vert_{q})\Vert=\max_{0\leq t\leq 1/2}f_{p,q,\delta}(t)$$f_{p,q,\delta}(1/2)=2^{1/q-1/p}(1+\delta)$.

であることから，結局次の補題を得る．

Lemma 2.3. $\gamma\in[0,1]$ 及び $\delta=(1-\gamma)/(1+\gamma)$ とすると，以下は同値:(i) すべての$u,$$v\in \mathbb{R}$に対して$( \frac{|u+\gamma v|^{q}+|u-\gamma v|^{q}}{2})^{1/q}\leq(\frac{|u+v|^{p}+|u-v|^{p}}{2})^{1/p}$が成立する．

(ii) $f_{p,q,\delta}(1/2)= \max_{0\leq t\leq 1/2}f_{p,q,\delta}(t)$ .

今，$\delta_{p,q}=(1-\gamma_{p,q})/(1+\gamma_{p,q})$とする．関数$\gamma\mapsto(1-\gamma)/(1+\gamma)$

少であることから，る．したがって，Lemma 2.3 から$\gamma\in$$(\gamma_{p,q}, 1] と \delta=(1-\gamma)/(1+\gamma)\in[0, \delta_{p,q})$$f_{p,q,\delta_{p,q}}(1/2)= \max_{0\leq t\leq 1/2}f_{p,q,\delta_{p,q}}(t)$及び，すべての$0\leq\delta<\delta_{p,q}$に対して$f_{p,q,\delta}(1/2)<0 \leq t\leq 1/2\max f_{p,q,\delta}(t)$を示せば十分である．

が $[0,1]$ 上狭義単調減が同値であることがわか32

3

Beckner の不等式の一般化

この節では，symmetric absolute normalized norms on
は一般化を考える． 上のノルム$\mathbb{R}^{2}$$\mathbb{R}^{2}$を用いて Beckner の不等式の$\Vert\cdot\Vert$(i) すべての$(x, y)\in \mathbb{R}^{2}$に対して $\Vert(x, y)\Vert=\Vert(y, x)\Vert$ であるとき symmetric,(ii) すべての$(x, y)\in \mathbb{R}^{2}$に対して $\Vert(x, y)\Vert=\Vert(|x|, |y|)\Vert$ であるとき absolute, 及び(iii) $\Vert(1,0)\Vert=\Vert(0,1)\Vert=1$ のとき normalizedとそれぞれ言われる．このようなノルムのもつとも重要な例としては，$\Vert(x, y)\Vert_{p}=\{\begin{array}{ll}(|x|^{p}+|y|^{p})^{1/p} if 1\leq p<\infty,\max\{|x|, |y|\} if p=\infty.\end{array}$

によって定められるらノルムが挙げられる$AN_{2}$を上の absolute normalized norm の全体とし，$\mathbb{R}^{2}$$\Psi_{2}$をすべての $t\in[0,1]$ に対して不等式 $\max\{1-t, t\}\leq\psi(t)\leq 1$ を満たす $[0,1]$ 上の凸関数の全体とする．その$AN_{2}$とは等式 $\psi(t)=\Vert(1-t, t)\Vert$ の下で一対一に対応することが知られている
とき，は次の式で与えられることに対応するノルム(cf. [4, 6]). これより，凸関数$\psi$$\Psi_{2}$$\psi\in\Psi_{2}$$\Vert\cdot\Vert_{\psi}$がわかる$\Vert(x, y)\Vert_{\psi}=\{\begin{array}{ll}(|x|+|y|)\psi(\frac{|y|}{|x|+|y|}) if (x, y)\neq(0,0) ,0 if (x, y)=(0,0) .\end{array}$

特に，$\Vert\cdot\Vert_{p}$に対応する関数$\psi_{p}$は$\psi_{p}(t)=\{\begin{array}{ll}((1-t)^{p}+t^{p})^{1/p} if 1\leq p<\infty,\max\{1-t, t\} if p=\infty.\end{array}$によって与えられる．
が symmetric であることと， が 1/2 に関して対称なこと，つまり，また，ノルム$\psi$$\Vert\cdot\Vert_{\psi}$

すべての $t\in[0,1]$ に対して $\psi(t)=\psi(1-t)$ が成立することとは同値であることに注意する．今後は，そのような$\Psi_{2}$の元全体を$\Psi_{2}^{S}$

によって表すこととする．

さて，関数 及び を用いることで，Beckner の不等式は次のように見ることができに$1<p\leq q<\infty$ 及び $\gamma_{p,q}=\sqrt{(p-1)}/(q-1)$ とする．そのとき，すべてのる．
$\psi_{p}$$\psi_{q}$$u,$$v\in \mathbb{R}$対して$\frac{\Vert(u+\gamma_{p,q}v,u-\gamma_{p,q}v)\Vert_{q}}{2\psi_{q}(\frac{1}{2})}\leq\frac{\Vert(u+v,u-v)\Vert_{p}}{2\psi_{p}(\frac{1}{2})}$が成立する．これにより，次の問題が提起される．

Problem.

$\varphi,$$\psi\in\Psi_{2}^{S}$及び $\gamma\in[0,1]$ とする．そのとき，いつすべての $u,$$\frac{\Vert(u+\gamma v,u-\gamma v)\Vert_{\varphi}}{2\varphi(\frac{1}{2})}\leq\frac{\Vert(u+v,u-v)\Vert_{\psi}}{2\psi(\frac{1}{2})}$が成立するか？

$v\in \mathbb{R}$

に対して

33
各

$\varphi,$$\psi\in\Psi_{2}^{S}$に対してを，すべての$\Gamma(\varphi, \psi)$$u,$$v\in \mathbb{R}$に対して$\frac{\Vert(u+\gamma v,u-\gamma v)\Vert_{\varphi}}{2\varphi(\frac{1}{2})}\leq\frac{\Vert(u+v,u-v)\Vert_{\psi}}{2\psi(\frac{1}{2})},$

を満たすような $\gamma\in[0,1]$ の全体，つまり，上記の問題に対する解の集合とする．また，とすると， は一般化された Beckner の不等式に対する最良定数をとなるための条件を探ることである．
表す．応用上もっとも重要となるのは上のabsolute norm の重要な特徴付けである．証明は [3, Proposition
次の補題は，$\gamma_{\varphi,\psi}=\max\Gamma(\varphi, \psi)$$\gamma_{\varphi,\psi}$$\gamma_{\varphi,\psi}>0$$\mathbb{R}^{2}$

IV.I.

$I]$に見られる．(cf. [7, Lemma 4.1]).

Lemma 3.1.

上のノルム$\mathbb{R}^{2}$と，つまり，$|x_{1}|\leq|x_{2}|$及び$\Vert$.

が absolute であることと，それが monotone であるこ$|y_{1}|\leq|y_{2}|$ならば$\Vert(x_{1}, y_{1})\Vert\leq\Vert(x_{2}, y_{2})\Vert$となることとは同値である．

問題を単純化するため，次の補題を用いる．
Lemma 3.2.
(i) すべての$\varphi,$$\psi\in\Psi_{2}^{s}$$u,$$v\in \mathbb{R}$及び $\gamma\in[0,1]$とする．そのとき，以下は同値．

に対して$\frac{\Vert(u+\gamma v,u-\gamma v)\Vert_{\varphi}}{2\varphi(\frac{1}{2})}\leq\frac{\Vert(u+v,u-v)\Vert_{\psi}}{2\psi(\frac{1}{2})}$が成立する．

(ii) すべての $u\in[0,1]$ に対して$\frac{\Vert(1+\gamma u,1-\gamma u)\Vert_{\varphi}}{2\varphi(\frac{1}{2})}\leq\frac{\Vert(1+u,1-u)\Vert_{\psi}}{2\psi(\frac{1}{2})}$が成立する．
この補題の (ii) は次の条件と同値であることに注意する．すべての $u\in[0,1]$ に対して$\frac{\varphi(\frac{1-\gamma u}{2})}{\psi(\frac{1-u}{2})}\leq\frac{\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(\frac{1}{2})}$が成立する．したがって，すべての$\varphi,$$\Gamma(\varphi, \psi)=\{\gamma\in[0,1]$:$\psi\in\Psi_{2}^{S}$に対して$\frac{\varphi(\frac{1-\gamma u}{2})}{\psi(\frac{1-u}{2})}\leq\frac{\varphi(\frac{1}{2})}{\psi(\frac{1}{2})}$であることがわかる．これによりができる．詳細は [8] を参照されたい．

$\gamma_{\varphi},\psi>0$

for all $u\in[0,1]\}.$となるためのいくつかの十分条件を得ること

34
参考文献
[1] B. Beauzamy, Introduction to Banach space and Their geometry, Second edition,
North-Holland, Amsterdam, 1985.
[2] W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis, Ann. of Math., 102 (1975), 159-182.
[3] R. Bhatia, Matrix analysis, Springer-Verlag, New York, 1997.

[4] F. F. Bonsall and J. Duncan Numerical ranges
bridge, 1973.

, Cambridge University Press, Cam-$\Pi$[5] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces, Springer-Verlag, Berlin,

$\Pi$

1979.
[6].-S. Saito, M. Kato and Y. Takahashi, Von Neumann-Jordan constant of absolutenormalized norms on , J. Math. Anal. Appl., 244 (2000), 515-532.

$K$$\mathbb{C}^{2}$.-S. Saito, M. Kato and Y. Takahashi, Absolute norms on252 (2000), 879-905.

[7]

$K$

[8]$K$$\mathbb{C}^{n}$, J. Math. Anal. Appl.,.-S. Saito and R. Tanaka, On generalized Beckner’s inequality, to appear in Ann.
Funct. Anal.

[9] R. Tanaka, K.-S. Saito and N. Komuro, Another approach to Beckner’s inequality, J.
Math. Inequal., 7 (2013), 543-549.

[10] Y. Yamada, Y. Takahashi and M. Kato, On Hanner type inequalities with a weightfor Banach spaces, J. Math. Anal. Appl., 324 (2006), 1228-1241.