数理解析研究所講究録
第 1634 巻 2009 年 1-5

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Krasinkiewicz map による近似について
高崎経済大学非常勤講師

松橋英市 (Eiichi Matsuhashi)
概要

本稿では主にコンパクト距離空間から多面体への連続写像を Krasinkiewicz map で近似する
ことと、 その周辺の話題に関して述べる。

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Krasinkiewicz maps to polyhedra
この章では、 コンパクト距離空間から多面体への Krasinkiewicz map 全体からなる集合が、写像空間のなかでどのような集合になっているかをみていく。
定義 1.1 $f$ : $Xarrow Y$ が Krasinkiewi

map であるとは、 $X$ に含まれる任意の subcontinuumC がのある fiber の連結成分を含むときにいう。

$\prime cz$のある fiber に含まれるか、 または $f$$f$

この連続写像は Krasinkiewicz によって定義され、現在まで次元論や連続体論の問題を解決するためのツールとして頻繁に利用されてきている。 Krasinkiewicz map は非常に複雑な連続写像である。 Krasinkiewicz map の簡単な例は 0-dimensional map や constant map などであるが、 そうでない具体例は構成が難しい。 しかし以下に記すように Krasinkiewicz map は非常に多く存在する。
以下 $K(X, Y)=$ { $f\in C(X,$ $Y)|f$ :Krasinkiewicz map} とする$\circ$を l-dimensional manifold とする。
定理 1.2 (Krasinkiewicz [8]) $X$ をコンパクト距離空間、
このとき $K(X, M^{1})$ は $C(X, M^{1})$ の中で dense subset になっている。
$M^{1}$

一見複雑である Krasinkiewicz map が上記の定理で示すように非常に多く存在することは分かっ性の考ていたが、 この時点では像空間が l-dimensional manifold に限っての結果であり、 また察はなされていなかった。
$G_{\delta}$

Krasinkiewicz map については次の結果を得る事が出来た。
定理 1.3 (Matsuhahshi, [9]) X をコンパクト距離空間、$C(X, P)$ の中で dense$G_{\delta}$$P$を多面体とする。 このとき $K(X, P)$ は-subset となっている。

したがってコンパクト距離空間から多面体への連続写像全体のうち、そのほとんど全ては Krasinkiewiczmap になっている事が分かる。
[9] では、 $K(X, P)$ が $C(X, P)$ の中で dense になっていることを証明する際、任意の : $Xarrow P$を直接 Krasinkiewicz map で近似しているが、証明はやや入り組んでいる。 これに関し、比較的シ$f$

ンプルな証明を最近考えたのでその方針を紹介する。
定義 1.4 空間 $Z$ が Krasinkiewicz space であるとは、 任意のコンパクト距離空間 $X$ に対して$K(X, Z)$ が $C(X, Z)$ の中で dense-subset になっているときに言う。
$G_{\delta}$

コンパクト距離空間$Z$に対して、 Cone $(Z)=(Z\cross I)/(Zx\{1\})$ とする。

2
定理 1.5 任意のコンパクト距離空間 $Z$ に対し、 Cone $(Z)$ は Krasinkiewicz space である。
定理 1.6 (Matsuhashi and Valov [12]) 完備な ANR Z が Krasinkiewicz space であるための必要十分条件は、 $Z$ の各点が Kmsinkiewicz space になるような近傍を持つことである。

多面体の各点の近傍は cone としてとれるので、 定理 1.

2$5$、$1.6$

より定理 1.3 が得られる。

Bing maps to polyhedra
この章では、 コンパクト距離空間から多面体への Bing map 全体からなる集合が、写像空間のなかでがどのような集合になっているかをみていく。

定義 2.1 Continuum( $=$ コンパクト連結集合)$X$が indecomposable であるとは、 $X$ に含まれるsubcontinuum Y と が $X=Y\cup Z$ を満たすなら、 $X=Y$ または $X=Z$ が成り立つ場合にいう。
また continuum X が heoeditarily indecomposable であるとは、 $X$ に含まれる任意の continuum がindecomposable continuum であるときにいう。 最後に、コンパクト距離空間 が Bing compactumであるとは、 の連結成分が全て hereditarily indecomposable continuum であるときに言う。
$Z$

$B$

$B$

Hereditarily indecomposable continuum の構造は非常に複雑だが、 とても面白い、そして良い性質を持っていてその性質の良さゆえに連続体論や次元論では重要な役割を果たしている。 このような複雑な continuum の存在は、すでによく知られている。 hereditarily indecomposable continuum(彼が構成したものは pseudo arc と呼ばれるものでは 1922 年に Knaster が初めて構成した$[7|$

hereditarily indecomposable continuum の代表的な例である)。そして 1951 年に Bing が次の定理を発表するまで、 1 次元のものしか知られていなかった。
定理 2.2 (Bing [1]) 全ての$(n+1)^{\backslash }’\lambda\overline{\pi}$continuum は 次元 heoeditarily indecomposable continuum$n$を含んでいる。
ここで Bing map を定義する。

定義 2.3 $f$ : $Xarrow Y$ が Bing map であるとは、任意の $y\in Y$ に対し、 $f^{-1}(y)$ が Bing compactumであるときに言う。

この連続写像も Krasinkiewicz map 同様、 非常に複雑な連続写像である。 Bing map の簡単な例
は、 fiber すべてが$0$次元になるうよな連続写像 ( $=$ 0-dimensional map) などであるが、そうでないような例は構成が非常に難しい。
実は次に紹介するように Bing map は非常に多く存在する。
(以下 $B(X,$ $Y)=\{f\in C(X,$ $Y)|f$ :Bing map とする。)$\}$

定理 2.4 (Song and Tymchatyn [13], cf. Kato and Matsuhashi [5]) $X$ をコンパクト距離空間、 $P$を多面体とする。 このとき $B(X, P)$ は $C(X, P)$ のなかで dense$G_{\delta}$-subset となっている。

以上のことにより、 ラフな言い方をしてしまえばコンパクト距離空間から多面体への連続写像全体のうち、 そのほとんど全てが Bing map になっていることがわかる。

33Applications
2 章、 3 章での結果を合わせて考えると次の結果が分かる。
$($以下 $BK(X,$ $Y)=\{f\in C(X,$ $Y)|f$ :Bing-Krasinkiewicz maP} とする$)$

定理 31 $X$ をコンパクト距離空間、 $P$ を多面体とする。 このとき $BK(X, P)$ は $C(X, P)$ のなかで

dense

$G_{\delta}$-subset となっている。

つまり、 コンパクト距離空間から多面体へのほとんど全ての連続写像は Bing-Krasinkiewicz mapになっている。 また、 定理 3.1 の応用としては次がある。

定理 3.2 (Matsuhashi [9], Song and Tymchatyn [13]) $X$ をコンパクト距離空間、 $Z$ を Peano $curve$、または n-dimensional Menger manifold とする。 このとき $BK(X, Z)$ は $C(X, Z)$ のなかで dense$G_{\delta}$-subset となっている。

次の定理も 3.1 の応用である。証明には Brown の inverse limit に関する近似定理 ([2]) を用いる。
定理 3.3 (Kato and Matsuhashi [4], Matsuhashi [9]) 任意の一点集合でない continuum $X$ に対し、 ある inverse sequence

面体、$g_{i}$$\{P_{i},g_{i}\}$(但し $i=1,2,$$\ldots$に対して疏は一点集合でない連結な有限多: $X_{i}+iarrow X_{i}$ は全射 Bing-Krasin 腕 ewicz map) が存在して$X= \lim_{arrow}\{P_{ig_{i}\}}$となる。

以下も定理 3.1 の応用である。 これは [4] の Problem12 に対する肯定的な答えとなる。
定理 3.4 (Matsuhashi [10]) $Y$ を 1 点集合でない continuum とする。 $Y$ が Peano continuum であるための必要十分条件は、 任意の 1 点集合でない continuum $X$ に対して $X$ から $Y$ への全射
Bing-Krasinkiewicz map が存在することである。
この定理により、全ての 1 点でない Peano continuum は、任意の 1 点でない continuum の BingKrasinkiewicz map による像となっていることがわかる。

4

Parametric Krasinkiewicz maps
ここではごく最近の結果について述べる。 この章では距離空間 $X,$

$Y,$ $Z$と perfect map $(=fiber$が全て compact になる閉写像) $f$ : $Xarrow Y$ が与えられたとき、 $X$ から $Z$ への連続写像で $f$ の各fiber に制限したとき Krasinkiewicz map となるものについて紹介する。 この章では、 写像空間には source limitation topology が入っているものとする. source limitation topology とは をの距離としたとき、 $f\in C(X, Y)$ の base が$\rho$$Y$$(\star)B_{\rho}(f, \alpha)=\{g\in C(X, Y):\rho(g, f)<\alpha\}$となっている位相のことである。
( : $Xarrow(0,1]$ :continuous map.
$\alpha$$\rho(f,g)<\alpha\Leftrightarrow\rho(f(x),g(x))<\alpha(x)$for all $x\in X$ とする。)

source limitation topology の重要な性質として$(\#)$

定義域がコンパクトの時にはこの位相は sup metric による位相と同値になる。
像空間が完備距離空間のとき、 $C(X, Y)$ は Baire の性質を持つ (つまり Baire の定理が使$(\#\#)$える)。

4という事実が挙げられる。
Valov は [14] で定理 24 を大きく拡張した次の結果を発表した。
定理 4.1 (Valov [14]) $X$ を距離空間、 $Y$ を strongly countable dimensional$space_{\backslash }Z$を多面体、: $Xarrow Y$ を perfect map とする。 このとき $\{g\in C(X, Z)|g|_{f^{-1}(y)}$ : $f^{-1}(y)arrow Z$ :Bing map for-subset となる。
each $y\in Y$ } は $C(X, Z)$ の中で dense$f$$G_{\delta}$

また、 上記結果で $Y$ の条件を C-space に緩めて次の結果も証明した。

$I=[0,1]$ $f$ : $Xarrow Y$ を perfect map とする。 このとき { $g\in C(X,$ $I)|g|_{f^{-1}(y)}$ : $f^{-1}(y)arrow I$ :Bing map for each $y\in Y$ } は $C(X, I)$ の中で定理 4.2 (Valov [14]) $X$ を距離空間、 $Y$ を $C- space$、、$F$

dense$G_{\delta}$-subset となる oKrasinkiewicz map に関しても同様の結果が導けないか ? と考えるのは自然なことであろう。そして Valov との共著 [12] で次の結果を得た。
定理 4.3 (Matsuhashi and Valov [12]) $X$ を距離空間、 $Y$ を strongly countable dimensional $space$$f^{-1}(y)arrow Z$ :$Z$ を多面体、 $f$ : $Xarrow Y$ を perfect map とする。 このとき $\{g\in C(X, Z)|g|_{f}-1(y)$ :-subset となる。
Krasinkiewicz map for each $y\in Y$ } は $C(X, Z)$ の中で dense、$G_{\delta}$

定理 4.4 (Matsuhashi and Valov [12]) $X$ を距離空間、 $Y$ を C-space. $I=[0,1]$ $f$ : $Xarrow Y$ をperfect map とする。 このとき $\{g\in C(X, I)|g|_{f^{-1}(y)}$ : $f^{-1}(y)arrow I$ :Krasinkieutcz map for each$y\in Y\}$ は $C(X, I)$ の中で dense-subset となる。
、

$G_{\delta}$

そして、 定理 42, 44 を用いることにより、 次の結果を得た。

定理 4.5 (Matsuhashi [11]) $X$ を距離空間、 $Y$ を $C- space$ $Z$ を多面体 (またはコンパクト距離空間上の $cone)$ $f$ : $Xarrow Y$ を perfect map とする。 このとき $\{g\in C(X, Z)|g|_{f^{-l}(y)}$ : $f^{-1}(y)arrow Z$-subset となる。
:Krasinkiewicz map for each $y\in Y$ } は $C(X, Z)$ の中で dense、、$G_{\delta}$(注) この定理で $Y$ が一点集合の場合を考えれば定理 13 が得られる。

参考文献[1] R. H. Bing, Higher-dimensional hereditarily indecomposable continua, Trans. Amer. Math.
Soc., 71 (1951), 267-273.
[2] M. Brown, Some applications of an approstmation theorem for inverse limits, Proc. Amer.
Math. Soc., 11 (1960), 478-483.
[3] H. Kato, Higher-dimensional Bruckner-Garg type theorem, Topology. Appl. 154 (2007), no.8,1690-1702.
[4] H. Kato and E. Matsuhashi, On
no.3, 329-333.

$su\dot{\eta}ective$

Bing maps, Bull. Pol. Acad. Sci Math. 52 (2004),[5] H. Kato and E. Matsuhashi, E 励 ension of Bing maps, 数理解析研究所講究録 (一般及び幾何学的トポロジーと関連する諸問題) NO.1370 (2004), 102-116

5[6] H. Kato and E. Matsuhashi, Lelek maps and n-dimensional maps from compacta to polyhedm,Topology. Appl. 153 (2006), no. 8, 1241-1248.
[7] B. Knaster, Un continu dont tout sous-continu est indecomposable, Fund. Math., 3 (1922),

247-286.

[8] J. Krasinkiewicz, On application of mappings into l-manifolds, Bull. Pol. Acad. Sci math. 44(1996), no.4, 431-440.
[9] E. Matsuhashi, Krasinkiewicz maps from compacta to polyhedm, Bull. Pol. Acad. Sci. Math.
54 (2006), no.2, 137-146.
[10] E. Matsuhashi, On applications of Bing-Krasinkiewicz-Lelek maps. Bull. Pol. Acad. Sci,Math. 55 (2007), no.3, 219-228.

[11] E. Matsuhashi, Parametric Kmsinkiewicz maps, cones and polyhedra, submitted.
[12] E. Matsuhashi and V. Valov, Krasinkiewicz spaces and parametnc Krasinkiewicz maps,Houston. J. Math., to appear.
[13] J. Song and E. D. Tymchatyn, Free spaces, Fund. Math. 163 (2000), 229-239.
[14] V. Valov, Parametric Bing and Krasinkiewicz maps, Topology and Appl. 155, 8 (2008),906-915.