数理解析研究所講究録1100 巻 1999 年 131-138

131

Recent Progress in Banach Space Theory
W. T. Gowers の業績をめぐって
–

橋
藤

高

加

嗣 (岡山県立大学情報工学部)
雄 (九州工業大学工学部)泰幹

今回 Fields 賞を受賞した W T..Gowers 氏は、 バナッハ空間論の諸問題、特に、 無条件基底
列問題、 超平面問題、 Schroeder-Bernstein 問題、 等質バナッハ空間問題などの有名な問題を解決し、 バナッハ空間論の発展に大きく貢献した。本報告では、 これらの結果を中心としてバナッハ空間論の発展の歴史を概観し、 関連した問題について述べたい。
以下において、 空間 X あるいは部分空間 というとき、 それらはすべて無限次元バナッ
ハ空間を表すものとする。 また、 同型なバナッハ空間は同–視し、 X が Y を含むとは、 Xが と同型な部分空間を含むことを意味する。
1. バナッハ空間の基底の問題
バナッハ空間 X の元の列が X の Schauder 基底または単に基底とは、 任意の Xに対し–意的に数列(ノルム収束) となることである。特に、 この収が定まり束が無条件収束であるならばは X の無条件基底 (unconditional basis) という。バナッハ空間の基底については、 有名な Banach の問題がある ([Ba], 1932): 任意の可分なバナッハ空間は基底をもつか ? 1973 年、 Enflo [E] は基底をもたない可分な回帰的バナッハ空間の存在を示し、 この問題を否定的に解決した。 (この空間は Approximation Propertyをもたないことが示されており、 Grothendieck 予想の反例でもある。 )注. 基底をもつ空間は AP をもつが、 その逆は正しくない。 が基底をもつ空間 X の部分
空間で、 が X において補空間をもつならば (このような を complemented subspace と$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\}$$\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\}$$\in \mathrm{X}$$\mathrm{x}=\Sigma \mathrm{a}_{\mathrm{n}\mathrm{X}_{\mathrm{n}}}$$\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\}$$(\mathrm{A}\mathrm{P})$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$いう)$\text{、}\mathrm{Y}$は BAP (Bounded Approximation Property) をもつ。逆に、 BAP をもつ空間$\mathrm{Y}$は基底をもつ空間 X の complemented subspace となっている。 ただし、什であるがその逆は成立しないことが知られている。
その後、 Co,は AP をもたない部分空間を含むことが示された。 更に、 次の結果が示された (Szankowski [S] , 1978) : X のすべての部分空間力錆 P をもつならば$\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{P}\Rightarrow$$.\text{、}$$l_{1},$$(*)$$\mathrm{P}(\mathrm{X})=\sup$$B_{\mathrm{p}}(1\langle_{\mathrm{P}^{\langle\infty,\mathrm{p}}}\neq 2)${$\mathrm{p};\mathrm{X}\in$type$\mathrm{p}$} $=2,$$\mathrm{q}(\mathrm{X})=\inf${$\mathrm{q};\mathrm{X}\in$

cotype$\mathrm{q}$} $=2$

が成立する。周知のように、 X がヒルベルト空間と同型なるための必要十分条件は、 X がtype2 かつ cotype2 なることである。 このことから、 X の任意の部分空間が AP (あるいは基底) をもつならば、 X はヒルベルト空間か ?
という問題が生ずることとなる。 しかしながら、 この問題も Johnson によって否定的に解決された :X はを含まないが、 その任意の商空間の部分空間は基底をもつような空間 X がある。 この空間 X は Tsirelson 空
間 の変形で、 convexified Tsirelson 空間とよばれている。 は C。,のいずれ$\ell_{\mathrm{s}}$$\mathrm{T}$$\mathrm{T}$$P_{1},$$p_{\mathrm{p}}$をも含まないような空間の最初の例であるが、 は–様直な空間と同型でない。 X は C。,のいずれをも含まない–様凸空間であり、 弱ヒルベルト空間の例として知られて$\mathrm{T}$$P_{1},$$B_{\mathrm{p}}$いる。 また、 弱ヒルベルト空間の任意の商空間の部分空間は AP をもっことも知られている

132(cf. Casazza-Shura [CS], 1989) 。このことに関連した話題は後で述べる。
ところで、 任意のバナッハ空間は基底をもつ部分空間を含むという事実は、 古くから

Mazur によって知られていた (cf. [LT]) 。この事実から次の問題が生じた {cf. [BP]問題 L 任意のバナッハ壷問 X は無条件基底をもつ部分空間 を含むか ?
この問題 (unconditional basic sequence problem} は次の問題に関係がある (cf. [R]), 回帰的バナッハ空間のいずれかを含むか ?
問題 2. 任意のバナヅハ空間 X は, 回帰的バナッハ空間のいずれかを含む
実際、無条件基底をもつバナッハ空間はことが知られている ([J], 1950} 。従って、 問題 1 が肯定的ならば問題 2 も肯定的である。
} のいずれかを含むか ? という Banach の
なお、 任意のバナッハ空間は
問題は、 1974 年 Tsirelson によって否定的に解決されている。その後、 この 2 つの関連した問題は容易に解決されなかったが、 1993 年、 Gowers と Maurey は次のようなバナッハ空間
X を構成し問題 1 を否定的に解決した。
定理 1 [5]. 回帰的バナッハ空間 X で、 その任意の部分空間が無条件基底をもたないよ$)$。

$\mathrm{Y}$。

$\mathrm{c}_{\text{。}},$$\ell_{1}$$\mathrm{c}_{\text{。}},$$p_{1}$$p_{\mathrm{p}}\mathrm{t}\mathrm{l}\leqq \mathrm{p}<\infty$$\mathrm{c}_{0},$うなものがある。

この定理が示された後、 ここで構成した空間 X は更に強い性質をもつことが Johnson によって指摘された: X のみならず、 その任意の部分空間 Y は分解不可能 (indecomposable)(位相的直和) となるような Y の (無限次元) 部分空間 Vである。すなわち、W は存在しない。 このような X は H. I. 空間 (hereditarily indecomposable space) とよ
ばれている。 H. I. 空間の存在により、 Lindenstrauss [LT] の疑問 (任意のバナッハ空間は$\mathrm{Y}=\mathrm{V}+\mathrm{W}$

分解可能か?) は否定的に解決された。 明らかに、 H.L 空間は無条件基底をもつ部分空間を含まない。 Gowers にとって L I. 空間の発見は、 残された未解決問題の解決に向けての出発点となった。 1994 年、 Gowers は問題 2 に対する否定的解答をより強い形で与えた。
定理 2 [6]. 次の性質をもつ可分なバナッハ空間 X が存在する:X の任意の部分空間は可分でない。 (明らかに、 は非回帰的である。)
はと同型でなく、双対空間$\mathrm{Y}$$p_{1}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}^{*}$

2. 超平面問題と Schroeder-Bernstein 問題
Banach の超平面問題 (hyperplane problem) は次のように述べられる。
問題 3. 任意のバナッハ空間 X は、 その任意の超平面 (hyperplane} と同型か ?
Gowers は、 問題 3 に対する否定的解答をより強い形で与えた。
定理 3 [8]. 無条件基底をもつバナッハ空間 X で次の性質をもつものがある:X の任意の真部分空間 は X と同型でない。特に、 X はその任意の超平面と同型でない。
この定理が示された後、 すべての H. I. 空間 X はその任意の真部分空間と同型でないこと(明らかに、 X は無条件基底をもたない。 )が示された { $[5])$次の問題 {Schroeder-Bernstein problem) は、 直題 3 と多少関係がある。
は互いに他の部分空間とする。 Y が X において補空間をも問題 4. バナッハ空間 X,
ち、 かつ、 X が Y において補空間をもつならば、 X と は同型か ?
Gowers は次のようなバナッハ空間 X を構成し、 問題 4 を否定的に解決した。
は同型であるようなバナッハは同型でないが、 X と定理 4 [111. X ととすると、 X と は問題 4 の反例である。)
空間 X がある。 ($\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$。

$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{X}+\mathrm{X}+\mathrm{X}$$\mathrm{X}+\mathrm{X}$$\mathrm{Y}=\mathrm{X}+\mathrm{X}$$\mathrm{Y}$133

注. 周知のように、 X の超平面

は余次元 (補空間の次元) 1 の部分空間である。 2の問題に関連して次のような疑問が残る:を X の超平面とするとき、 X が Y の超平面と同型ならば X と は同型か ? この疑問についても Gowers と Maurey [13] の否定的解答がある。 これによって、 問題 3, 4 は同時に解決される。 なお、 Schroeder-Bernstein 問題に関しては Casazza[Cl] の解説があるので参照されたい。
3. 等質バナッハ空間問題
バナッハ空間 X がそのすべての部分空間と同型であるとき、 X は等質的 (homogeneous}という。 ヒルベルト空間は明らかに等質的だが、 その逆はどうか? Banach の等質バ
ナッハ空間問題 (homogeneuou Banach space problem) は次のように述べられる。
問題 5. X が等質的ならば、 X はと同型か ?
この問題についての研究の進展状況は、 Ca.
の解説があるので参照されたい。
Bourgain[Bo] による有限次元的な結果、による部分的解答はあったにせよ、問題の解決には程遠い状態であった。 X が等質的ならば、 Mazur の結果から、 X のすべての部分空間は基底 (特に、 ) をもっことになり、 すでに述べた SZankowski の結果から$(*)$$\sup$ {is of type } $=2= \inf$ {is of cotyp }が成立する。 しかしながら、 $(*)$ を満たす空間 X が弱ヒルベルト空間であることすら言えない。等質的な空間 X が、 super-reflexive か、 あるいはその双対空間 X*が等質的か、 などの基本的な結果さえも知られていなかった。
1995 年、 Komorowski と Tomczak-Jaegermann [KT] によって示された次の結果は、 Gowers に
幸運をもたらした :X 力撫条件基底をもつ部分空間を含むとする。 このとき、 X が等質的$\mathrm{Y}$$\text{っ}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$$p_{\mathrm{z}}$$\ell_{2}$$\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{z}\mathrm{z}\mathrm{a}[\mathrm{C}2|$$\mathrm{J}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{n}[\mathrm{J}\mathrm{o}]$$\mathrm{A}\mathrm{P}$$\mathrm{p};\mathrm{X}$$\mathrm{q};\mathrm{X}$$\mathrm{p}$ならば X は

$p_{2}$$e\mathrm{q}$と同型である。かくして、 最後に残った問題は、 等質的な空間は無条件基底をもつ部分空間を含むか ? ということになる。
1996 年、 Gowers は次の定理を証明することにより、 問題 5 を肯定的に解決した.
定理 5 [12]. X が H. I. 空間を含まないならば、 X は無条件基底をもつ部分空間を含む。
すでに述べたように、 H. I. 空間はその任意の真部分空間と同型でないから、 X が等質的ならば、 それは HJ. 空間を含まない。 よって、 定理 5 から次の結果を得る。
定理 6 [121. X が等質的ならば、 X はと同型である。
注. 等質的な空間は可分である。定理 6 の non-separable version として、 次の結果が.
証明できる。
定理 7. X の任意の可分な部分空間 , Z が同型であれば、 X はヒルベルト空間と同型$p_{\mathrm{z}}$$\cdot$$\mathrm{Y}$である。

注. X の任意の可分な部分空間がと同型ならば、 X はヒルベルト空間と同型であることが示される。
4. 関連した問題
X は等質的とし、 を任意の部分空間とする。 このとき、 X と は同型であるから、 そ$p_{2}$$\mathrm{Y}$$\mathrm{Y}$.
distance{
is isomorphism from X
onto }
である。等質空間問題が容易に解決できなかった理由として、 同型の–様性が示されなかったことがある :X が等質的ならば任意の部分空間 Y は X と C-isomorphic$\text{の}\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{C}\mathrm{h}-\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{Z}\mathrm{u}\mathrm{r}$$\mathrm{Y}$$<\infty$$\mathrm{d}(\mathrm{X},\mathrm{Y})=\inf$$||\mathrm{T}||$$||\mathrm{T}^{-1}$$||*\mathrm{T}$134

か、 すなわち、$\mathrm{d}(\mathrm{X},\mathrm{Y}$}$\leqq \mathrm{C}$となるか ($\mathrm{C}$は$\mathrm{Y}$に無関係な定数である) 。このことの直接的

ただし、次の結果は知られている :な証明はまだなされていないようである {cf. [T]
X が等質的ならば、 ある定数 があって、 X の任意の部分空間は X と C-isomorphic な部分空間を含む。 同様な結果は、 より–般の minimal 空間について知られている {cf. [C2]
} に対し dある定数 があって、 X の任意の有限次元部分空間が成り立つならば、 X がヒルベルト空間と同型であることは容易に証明される。 このとき、は次元に無関係な定数である。では、 X の億意の有限次元部分空間
が isometric であるとき、 X はヒルペルト空間であろうか。
) に対
(ある n
定理 8. X がヒルベルト空間であるための必要十分条件は、 任意のなることである。
し、 X の任意の 次元部分空間 Y,
が isometric であれば X はヒルベルト空
注. X の任意の可分な無限次元部分空間 ,間か ? この問題はまだ解決されていないようである。
次に、 minimal 空間についての結果を述べる。 X が minimal とは、 その任意の部分空間
が X と同型な部分空間を含むことである。 X が minimal ならば、 それは H. I. 空間を含まないから、 Gowers の dichotomy theorem (定理 5) より X の部分空間で無条件基底をもつものがある。 よって、 すでに述べた James [J] の結果から次の定理を得る。
定理 9. X は non-reflexive とする。このときX
X:minimal
Co または X
が minimal であることは知られている。 また、 minimal 空間
注. Co,
であを含まないバナッハ空間も知られている。他方、 minimal 空間の部分空間力$)$。

$\mathrm{C}$$)$。

$\mathrm{Y},$$\mathrm{C}$$(\mathrm{Y}, \mathrm{Z})$$\mathrm{Z}(\dim \mathrm{Y}=\dim \mathrm{Z}$$\leqq \mathrm{C}$$\mathrm{Y},$$\mathrm{Z}\{\dim \mathrm{Y}$$\mathrm{C}$$=\dim \mathrm{Z})$$\geqq 2$$\mathrm{n}$$\mathrm{Z}\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}$$\mathrm{n}$$\mathrm{Y}$$\Leftrightarrow$$\ell_{1},$$\mathrm{Z}$$\subseteq P_{1}$$\subseteq$$p_{\mathrm{p}}(!.<\mathrm{p}<\infty \mathrm{I}$$>^{\theta}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{a}1$

ることはその定義から明らかである。
定理 10. X は minimal とする。 このとき次は同値 :(1) X はと同型である。
(2} X の任意の部分空間は無条件基底をもつ。
(3)の任意の部分空間は local unconditional structure (1. .st.) をもつ。
(1) は不明。
しかし、 {2)X
注. (1) minimal の仮定なしに、 (2}X
X が cotype} で無条件基底をもっとき、 minimal の仮定なしに (3}(cf. [KT])(2) X が無条件基底をもつならば、 X はバナッハ束と同型であり、 1. .st. をもつ。
があるバナッハ束の complemented subspace と同型であれば、 X は 1. .st. をもつ$p_{\mathrm{z}}$$\mathrm{X}$$\mathrm{u}$$\Rightarrow$$\supseteq P_{2}\text{、}$$\Rightarrow$$\Leftrightarrow$$\mathrm{q}(<\infty$$\supseteq p_{2}$。

$\mathrm{u}$$\mathrm{X}^{**}$(逆も真)$\mathrm{u}$。

ここで、 1.

property を導入する。 X ががある Ll- 空
GL-property をもつとは、任意の absolutely srumning operator :間を通って分解されることである。周知のように、 1. .st. をもつ空間は GL-property を$\mathrm{u}$.st. より弱い概念である Gordon-Lewis$(\mathrm{G}\mathrm{L}-)$$\mathrm{X}arrow \mathrm{L}_{2}$$\mathrm{u}$もつが、 その逆は成立しない {cf. [GL]$)$。

X が cotype 2 で GL-property をもてば、 X の

任意の部分空間が GL-property をもつことは知られている。 また、 X が GL-property をもGowers-Mauffey[5] は任意の部分空間が無条件基底をもたてば X8 もそれをもつ (逆も真)。

ないような空間の存在を示したが、 最近では任意の部分空間が GL-property をもたないよ135, 1998)
うなバナッハ空間の存在も知られている (cf. Habaia
Johnson [Jo2] は等質空間問題を考察する過程で次の結果を示した :X の任意の部分空間
が GL-property をもつならば、 X は weak cotype 2 である。 type 2 かつ cotype 2 なる空間
はヒルベルト空間と同型になることから、 weak type 2 かつ weak cotype 2 なる空間は弱ヒルベルト空間とよばれる {cf. Pisier [Pi]weak type 2 の空間の dual は weak cotype2 であるが、 その逆は無条件では成立しない (空間が B-convex であればよい。 ) 弱ヒルベ$[l\mathrm{I}]$

。

$)$

.。

ルト空間は回帰的であり、 その任意の部分空間および商空間は弱ヒルベルト空間であるこ.
となるが、 その逆はとが知られている。.X が弱ヒルベルト空間ならば、成立しない。 しかしながら、 これらの事実からして弱ヒルベルト空間はヒルベルト空間に近い性質をもつように思われる。
定理 11.
の任意の部分空間および商空間が GL-property をもてば、 X は弱ヒルベル
ト空間である。
注. X が弱ヒルベルト空間であればその任意の部分空間および商空間は Approximation
Propertyをもっことが知られている。 しかしながら、 それらが GL-property をもっか否かは不明である。無条件基底をもたない弱ヒルベルト空間の存在は Komorowski によって示された。
定理 12. X は minimal とする。 このとき次は同値 :(1} X は \rho 2 と同型である。
(2)の任意の部分空間および商空間は GL-property をもつ。
(3) X の任意の部分空間の商空間は GL-property をもつ。
注. (1)は minimal であり、 その任意の部分空間は GL-property をもつ。 しかし、 その商空間で GL-property をもたないものがある。
(2} Co,} は minimal であり、 その任意の商空間は GL-property をもつ。 しかし、 その部分空間で GL-property をもたないものがある。
$\mathrm{P}(\mathrm{X}\}=\mathrm{q}\{\mathrm{X})=2$$\mathrm{x}**$$(\mathrm{A}\mathrm{P})$$\mathrm{X}^{**}$$\ell_{\mathrm{p}}(\mathrm{p}<2)$$p_{\mathrm{p}}(2<\mathrm{p}<\infty$(3) Johnson は minimal な弱ヒルベルト塞間は珍 2 と同型であることを示した。 この結果と定理 11 より、 (1) と (2) は同値となる。

今までその存在すら知られなかった H.I. 空間であるが、 最近では–様凸な H.L 空間などの例もある {cf. [F1] 。また、 H. I. 空間を用いて任意の部分空間が GL-property をもたな
いような空間の例も示されている (cf. [\iota I]) 。更に、 伍意のバナッハ空間はまたは II. I.
空間の商空間を部分空間として含むという Argyros-Ferouzis の結果もある {cf. [T]} 。無条件基底列問題や等質空間問題の解決に、 H. . 空間の存在は大きな役割を果たした。多くの場合、 ある問題 (あるいは予想) の否定的な解答は、 それまでに知られなかった新たな空間の存在によってなきれる。その結果、 問題 (あるいは予想) は条件を付加して生き続け、他方、 新たに発見された空間は、 その後のバナッハ空間論の研究に大きな影響を及ぼすことが多い。 Tsirelson 空間 は、 Co,のいずれをも含まない空間の最初の例であるが、 その後 20 年以上経て現在でもこの空間に関連した研究がなされている。今後、 H.
I. 空間に関連した研究が進展することにより、 バナッハ空間の構造が更に解明されることが期待される。
$)$$p_{1}$$\mathrm{I}$$\mathrm{T}$$\ell_{1},$$\ell_{\mathrm{p}}$136
References

W. T. Gowers 氏の論文
[1] Symmetric block bases in finite-dimensional normed spaces, Israel J. Math.

68 (1989), 193-219.
[21 Symmetric block bases of sequences with large average growth, Israel J.
Math. 69 (1990) , 129-151.
normed spaces, in Geometry of[3] Symmetric sequences in$\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{e}^{-}\dim e\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}1$

Banach spaces, London Math. Soc. Lectur Note Ser. 158, Cambridge Univ.
$\mathrm{e}$Press, 1990, pp. 121-132.

[4] Lipschitz functions on classical spaces, European J. Combin. 13 (1992) ,141-151.

me[5] (with B. Maurey)
unconditional basic sequence problem, J. Amer. Math.
Soc. 6 (1993), 851-874.
[6] Banach spaces not containing Co, 21 or a reflexive subspace, Trans. Amer.

Math. Soc. 344 (1994), 407-420.
[7] A finite-dimensional normed space with two non-equivalent symmnetric bases,
Israel J. Math. 87 (1994) , 143-151.
[8] A solution to Banach’s hyperplane problem, Bull. London Math. Soc. 26(1994),

523-530.

[9] A hereditarily indecomposable space with an asymptotic unconditional bases,in Geometric Aspects of Functional Analysis, Oper. Theory Adv. Appl. 77,

1995, pp. 112-120.

Banach spaces,[10] Recent results in the theory of
1994, Birkhauser, 1995, pp. 933-942.
Proc. ICM
[11] A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces,
Bull. London Math. Soc. 28 (1996), 297-304.
[12] A new dichotomy for Banach spac es, Geom. Funct. Anal. 6 (1996) , 1083-1093.
$\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{t}e-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{l}$$\mathrm{Z}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{i}_{\mathrm{C}\mathrm{h}}$[13] (with B. Maurey) Banach spaces with small spaces of operators, Math. Ann.
307 (1997), 543-568.

参考文献[Bal S. Banach, Th\’eorie des op\’erations lin\’eaires, Warszawa, 1932.
[Bol J. Bourgain, On finite dimensional homogeneous Banach spaces,

Lecture Notes in Math. 1317, 1988, pp. 232-239.
[BP1 C. Bessaga and A. Pelczytski, A generalization of results of R. C. James
concerning absolute bases in Banach spaces, Studia Math. 17 (1958) ,165-174.

137[C1] P. Casazza, The Schroeder-Bernstein property for Banach spaces,
Contemp. Math 85, AMS, 1989, pp.61-77.
[C2] P. Casazza, Some quetions arising from the homogeneous Banach space

problem, Contemp. Math. 144, AMS, 1993, pp.35-52.
[CS] P. Casazza and T. Shura, Tsirelson’s spaces, Lecture Notes in Math. 1363,

1989.
[El P. Enflo, A counterexample to the approximation property in Banach spaces,

Acta Math. 130 $(1973)_{*}$ 309-317.
[F1I V. Ferenczi, A uniformly convex hereditarily indecomposable Banach spaces,
Israel J. Math. 102 (1997), 199-225.
[F2] V. Ferenczi, Operators on subspac es of hereditarily indecomposable Banach
spaces, Bull. London Math. Soc. 29 (1997) , 338-344.
[GL] Y. Gordon and W. Lewis, Absolutely summing operators and local
unconditional structures, Acta Math. 133 (1974) , 27-48.
[Hl P. Habala, A Banach space all of whose subspaces fail the Gordon-Lewis
property, Math. Ann. 310 (1998) , 197-219.
[J] R. C. James, Bases and reflexivity of Banach spaces, Ann. of Math. 52(1950) ,518-527.

[Jol] W. B. Johnson, Banach spaces all of whose subspaces have the approximation
property, Proc. GMD, Bonn 1979, North-Holland, Amsterdam 1980, pp. 15-26.
IJo2] W. B. Johnson, Homogeneous Banach spaces, Lecture Notes in Math. 1317,

1988, pp.201-203.
[KT] R. Komorowski and N. Tomczak-Jaegermann, Banach spaces without local
unconditional structur , Israel J. Math. 89 (1995} , 205-226; Erratum to”Banach spaces without local unconditional structure”, Israel J. Math.
$\mathrm{e}$105 (1998}, 85-92.
[LT] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach spaces I ,, 1977.
[MT] P. Mankiewicz and N.
, Schauder bases in quotients of(1994), 1341-1363.
subspaces ofAmer. J. Math.
[P] A. Pelczynski, Structural theory of Banach spaces and its interplay with$\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}-\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{g}$$\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{C}\mathrm{Z}\mathrm{a}\mathrm{k}^{-}\mathrm{J}\mathrm{a}e\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{n}$$\cdot 116$$\ell_{2}(\mathrm{X})_{*}$

analysis and probability,$\mathrm{P}\mathrm{r}o\mathrm{C}$. ICM Warszawa 1982, 1983, pp. 237-269.

[Pi] G. Pisier, The volume of convex bodies and Banach spaces, CTM 94,
Cambridg Univ. Press, 1989.
[R] H. P. Rosenthal, Ihe unconditional basic sequence problem, Cont$\mathrm{e}$$e\mathrm{m}\mathrm{p}$. Math.

52, AMS, 1986, pp. 70-88.
[Sl A. Szankowski, Subspaces without the approximation property, Israel J.

Math. 30 (1978}, 123-129.

138[TK] 高橋泰嗣, 加藤幹雄, W. T. Gowers 氏の業績 I(フィールズ賞受賞者紹介) ,数学 51 (1999), 154-157.
[Tl N. Tomczak-Jaegermann, From finite-to infinite-dimensional phenomena ingeometric functional analysis on local and asymptotic levels, Proc. ICM

Berlin 1998, Doc. Math. J. DMV Extra
ICM 1998 . II , 1999, pp. 731-742.
[Ts] B S Tsirelson, Not every Banach space contains 2 or,Functional Anal. Appl. 8 (1974), 138-141.
$\mathrm{V}\mathrm{o}1_{\mathrm{U}\mathrm{H}}1\mathrm{e}$$\mathrm{C}\text{。}$$\mathrm{p}$