40

数理解析研究所講究録
第2077巻 2018年 40-51

self‐injective cellular algebras of polynomial growth
representation type

大阪大学情報科学研究科情報基礎数学専攻

宮本賢伍

Kengo Miyamoto

Department of Pure and Applied Mathematics, Graduate School ofInformation Science and Technology, Osaka University
Abstract

本稿では,基礎体の標数が2でない場合に多項式増大表現型の直既約な自己移入

Cellular 代数を森田同値によって分類した結果を報告する.本研究は大阪大学の有木進先生,信州大学の和田堅太郎先生および岡山理科大学の加瀬遼一先生との共同研究[AKMW] である.

1

Introduction

Cellular 代数は1996年に Graham と Lehrer \mathrm{t}_\lcorne}^{\rightarow} よって導入された概念であり [GL] , りー環の表現論のなかに自然に現れる顕著な性質を持つ有限次元代数を公理化した代数系である.例えば対称群の群代数やそれに付随した Iwahori‐Hecke 代数 [DJ1] をはじめ,有限Weyl 群のヘッケ環のブロック代数 [G1], [G2] , Tcmpcr‐Lieb 代数や Brauer 代数 [GL],q‐Schur代数 [DJ2] などは Cellular 代数である.
また,Cellular 代数は半単純代数の ‐般化の側面も持つ.よく知られているように体 \mathrm{k} 上--の有限次元代数 A が半単純代数であるとき,Wedderburn‐Artin の構造定理によって A はある斜体 D_{i} と自然数 n_{x} を用いて,

A\simeq M_{n_{1}}(D_{1}) \times \cdots \times M_{n_{k}}(D_{k})とできる.更に,それぞれの M_{n_{l}} に対して自然なベク トル表現を考えることで単純 A 加群の同型類の完全代表系を得ることができることも半単純代数の特徴である.そこで,有限次

元代数 A を直和 (直積) 分解を両側イデアルのフィルトレーションに取り替えることを考え
よう.Cellular 代数とは大雑把に言えば,「行列に似た両側イデアル」 によるフィルトレー
ションを持つ代数であり,そのフィルトレーションの全体もしく は一部から単純 A 加群の同型類の完全代表系を構成できるようなものである.

他方,多元環の表現論の大きな問題意識のひとつとして,「標準形の分類問題」 がある.例
えば,有限生成アーベル群の基本定理は自然数の素因数分解の存在と一意性を与える問題の一般化であるし,代数閉体 \mathrm{k} 上の--変数多項式環 \mathrm{k}[x] の n 次元直既約加群は \mathrm{k}[x]/(x- $\lambda$)^{n}に同型であって,その表現はJordan標準形である.その後,このJordan標準形の分類を

41

基にして,同じサイズをもつ行列の組を同時に標準化する問題が19世紀後半に提唱され,Kronecker \# こよってその解を得た.これは Kronecker 標準形と呼ばれるもので,「無限表現型」 の基本的なモデルである.このように表現の型を標準型にして分類する問題は表現論の基本的な問題のひとつである.表現型の大きな括りはDrozdによって与えられた [D]:A を代数閉体 \mathrm{k} 上の有限次元代数とする.

(1) A が有限表現型であるとは,直既約左 A 加群が有限個しかないときをいう.

(2) A がtame 表現型であるとは,自然数 d を固定すると,左加群として自由な有限生成(\mathrm{k}[x], A) 両側加群 M_{1},\cdots, M_{n_{d}} であって,有限個を除く全ての d 次元直既約左 A 加群がある i によって \mathrm{k}[x]/(x- $\lambda$)\otimes_{\mathrm{k}[x]}M_{x} の形に表せるときをいう.

(3)

A がwild 表現型とは,A がtame 表現型でないときをいう.

定義より,有限表現型はtame表現型である.また,tame表現型は n_{d} の増大率によって更に細かく分類される.その中で多項式程度で nd の増大が抑えられるものが 「多項式増大表現型」 である [Ri] , [S]: A を \mathrm{k} 上の有限次元代数とする.このとき A がdomestic 表現型であるとは A がtame 表現型であって,自然数 m が全ての自然数 d\nmid こ対して n_{d}\leq m となるようにとれるときをいい,

A が多項式増大表現型であるとは A がtame表現型であって,自然数 m がすべての自然数 d に対して n_{d}\leq d^{m} となるようにとれるときをいう.
体 \mathrm{k} 上の代数 A が自己移入代数であるとは, A の直既約射影加群の同型類の完全代表系が直既約移入加群の同型類の完全代表系と一致しているときをいう.これは, \mathrm{k} 上の代数 A が移入加群であることと同値である.例えば,任意のFrobenius代数や,半単純代数は自己移入代数である.更に, A が自己移入 Cellular 代数であれば A は弱対称代数,すなわち,任意の直既約射影加群 P に対して A 加群の同型 top (P)\simeq \mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{c}(P) が成り立つ [KX4]. tame 表
現型の弱対称代数の分類については既に成果があり ([BHS] , [BS]),によって [S] にまとめられている.

これらはSkowronski

この報告集では,「基礎体 \mathrm{k} の標数が2でないような多項式増大型表現型をもつ自己移入
Cellular 代数を森田同値で完全に分類した」 ことを報告する.

以下,この報告集を通して,基礎体 \mathrm{k} は代数閉体であって標数は2でないと仮定する.加群はすべて左加群を扱い,クイバーの矢の合成について,ら阜は $\alpha \beta$ と書く ことにする.

2

Cellular 代数とその性質
まずは,Cellular 代数を定義しよう.

定義2.1 ([GL]) 結合的な \mathrm{k} \mathrm{k}_{-} の代数 A がセルデータ ( $\Lambda$, T, C, $\iota$) を持つ Cellular 代数であるとは,次の3条件を満たすときをいう.

42(CA1) $\Lambda$ はある順序 \geq によって半順序有限集合をなす.この順序 \geq により,各 $\lambda$\in $\Lambda$ に対して,有限集合 T( $\lambda$) が定まり,

C:=\{c_{S,T}^{ $\lambda$} | S, T\in T( $\lambda$), $\lambda$\in $\Lambda$\}が A の \mathrm{k} 上の線型空間としての基底をなす.これを A のセル基底という.

(CA2) $\iota$ : A\rightarrow A は位数2の反代数自己同型写像であって,(CA3)

各 $\lambda$ に対して,$\iota$(c_{S,T}^{ $\lambda$}) =c_{7^{\urcorner},S}^{ $\lambda$} を満たす.

A^{> $\lambda$} := \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}_{\mathrm{k} \{c_{S_{)}'T'}^{ $\mu$} | S', T' \in T( $\mu$)_{:} $\mu$ > $\lambda$\} とおく.このとき,任意の a\in A に対して

ac_{S,T}^{$\lambda$}\displaystyle\equiv\sum_{U\inT($\lambda$)}r_{U}^{(a,S)}c_{U,T}^{$\lambda$}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}A^{>$\lambda$}(2.1)

が成り立つ.ここに r_{U}^{(a,s)} は T に依存しないスカラーである.

注意2.2(1) Cellular 代数 A のセルデータは一意的ではない.

(2) (2.1) に反自己同型 $\iota$ を施すことで,$\iota$(c_{S,T}^{ $\lambda$}) = $\iota$(c_{T,S}^{ $\lambda$}) より次を得る:

c_{S,T}^{$\lambda$}a\displaystyle\equiv\sum_{U\inT($\lambda$)}r_{l\'{y}^{($\iota$(a)_{\backslash}T)}c_{S,U}^{$\lambda$}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{d}A^{>$\lambda$}
ただし,

r_{U}^{( $\iota$(a),T)} は S に依存しないスカラーである.特に任意の $\lambda$ に対して,等式
c_{U,S}^{ $\lambda$}c_{T,V}^{ $\lambda$} =r_{S,T}c_{U,V}^{ $\lambda$}(2.2)となるような U, V に依存しないスカラー r_{S,T} が存在する.

例2.3

n

次対称群 6_{n} の群代数 \mathrm{k}6_{n} のセル基底を具体的に記述しよう.

$\Lambda$ を

n

個の箱か

らなる Young 図形全体とし,ここに順序を$\lambda$=($\lambda$_{1},\ldots,$\lambda$_{t})\leq $\mu$=($\mu$_{1}, \ldots , $\mu$_{t}) \displayte\Lftrighaow\mathr{d}_\mathr{f}^\backslh}\mathr{f}\sum_{i=1}^j$\lambd$_{i} \displayst le\leq\sum_{i=1}^{j$\mu$_{i}for all j=1 , 2, . . . , tで定義する.各 $\lambda$ \in $\Lambda$ に対して,有限集合 T( $\lambda$) を型が $\lambda$ の標準盤全体と定義する.箱 xがYoung 図形 $\lambda$ にあるとき,

x\in $\lambda$ とかくことにする.すると,T( $\lambda$) の元は全単射\{x\in $\lambda$\}\rightarrow\{1, 2, . . . , n\}と理解できる.Young 図形 $\lambda$ の行規準盤を t^{$\lambda$} とおく.反代数自己準同型 $\iota$ : \mathrm{k}\mathfrak{S}_{n} \rightarrow \mathrm{k}\mathfrak{S}_{n}を \mathfrak{S}_{n} \niw\mapstow^{-1}\in\{1, 2, . . . , n\} \in 6_{n} を d_{S}6_{n} で定義する. S:=

S\mathrm{o} (t^{ $\lambda$})^{-1}\in

T( $\lambda$) を取り,写像 d_{S} : \{ 1, 2, . . . , n\} \rightarrowと定め, S_{ $\lambda$} を行固定化群とする.以上の準備の

もと,

C:=\displaystyle\{c_{S,T}^{$\lambda$}:=d_{\mathrm{e}\mathrm{s}(\sum_{w\inS_{$\lambda$}w) $\iota$(d_{T})\}43とすれば \mathrm{k}\mathfrak{S}_{n} はセルデータ ( $\Lambda$, T, C, $\iota$) を持つ Cellular 代数である.
n=3 のときに具体的に書いてみる.まず,6_{3} の生成元として s_{1}=(1,2) と \mathcal{S}_{2}

=

(2,3)

が取れることに注意する.箱が3個のYoung図形は
(3) :

\geq

(2, 1) :\geq(1, 1_{j}1) :の3つである.従って,T((3)) =\{t^{(3)}\},

T((2,1)) :=\{t^{(2,1)}, s_{2}t^{(2,1)} := \},T((1,1,1))=\{t^{(1,1,1)}\}

1

となり ,

となる.それぞれの場合にセル基底を求めていこう.

(i) (3) のケース.このとき, S_{(3)} は 6_{3} 自身なので, d_{(3)}=1 となり,c_{t^{(3},,t^{(3)}}^{(3)} .=1+s_{1}+s_{2}+s_{1}s_{2}+s_{2}s_{1}+\mathcal{S}_{1}S_{2}S_{1}となる.

(ii) (2, 1) のケース.このとき, S_{(2,1)}=\mathfrak{S}_{2}=\{1, s_{1}\} であり,

d_{t}(2,1) =1, d_{92}t^{(2.1)} =s_{2}
だから
(2,1)

(2,1)

c_{t^{(2,1)},t^{(2,1)}} :=1+\mathcal{S}_{1}, c_{t^{(2,1)},s_{2}t^{(2,1)}} :=s_{2}+s_{162},
(2,1)

(2,1)

c_{s_{2}t^{(2,1)},t^{(2,1)}} :=\mathcal{S}_{2}+S_{2}\mathcal{S}_{1}, c_{s_{2}t^{(2_{:}1_{\grave{\text{ノ}}}},s_{2}t^{(2,1)}} :=1+s_{1}s_{2}s_{1}.
(iii) (1, 1, 1) のケース.このとき, S_{(1,1,1)} は自明群なので, d_{(1,1,1)}(1,1,1)c_{ $\iota$}(1,1,1) ,t(Ì,1,1)

例2.4

:=

1

=

となる.

代数 A を以下のクイバーと関係式で生成される \mathrm{k} 上の代数とする.

1\rightar ow 2\rightar ow \mathfrak{Z};\overline{ $\gamma$} $\alpha \beta$\overline{ $\delta$} $\alpha \beta$=0, $\delta \gamma$=0, $\gamma \alpha$- $\beta \delta$=0.
このとき,直既約射影 A 加群は次で与えられる:P(1) :=\mathrm{k}e_{1}\oplus \mathrm{k} $\gamma$\oplus \mathrm{k} $\gamma \alpha$,P(2) :=\mathrm{k}e_{2}\oplus \mathrm{k} $\alpha$\oplus \mathrm{k} $\delta$\oplus \mathrm{k} $\delta \beta$,

反代数自己同型 $\iota$ : A\rightarrow A は頂点は固定し,$\alpha$\mapsto $\gamma$, $\gamma$\mapsto $\alpha$, $\beta$\mapsto $\delta$, $\delta$\mapsto $\beta$\mathrm{P}(3) :=\mathrm{k}e_{3}\oplus \mathrm{k} $\beta$\oplus \mathrm{k} $\beta \delta$.

44

によって誘導される写像で定義する.このとき, $\Lambda$:=\{1 <2<3<4\} で定め,各 i\in $\Lambda$ に対してT(i) :=\left\{ begin{ar ay}{l} \{1\}&i=1,4\ \{1,2\}&i=2,3 \end{ar ay}\right.

で定義する.このとき A のセル基底は[c_{1,1}^{1}]

:=

[e3],

[\mathcal{C}_{2,1}^{2}C^{2}1, \mathcal{C}_{2, }^{2}\mathcal{C}^{2}1,2] \left{\begin{ar y}{l e_{2}&$\beta$\ $\delta$& \delta\beta$ \end{ar y}\right\} , [ c_{2_{J}1}^{3}c^{3}1, c_{2, }^{3}c_{1,2}^{3} ] \left{\begin{ar y}{l e_{1}&$\alph$\ $\gam $& \beta\delta$ \end{ar y}\right\} , [c_{1,1}^{4}].=:=[ $\alpha \gamma$]

で与えられる.こうして A はセルデータ ( $\Lambda$, T, C, $\iota$) を持つCellular代数となる.

以下,

A はセルデータ ( $\Lambda$, T, C, n) を持つ Cellular 代数とする.各 $\lambda$ に対して,\{c_{S}^{ $\lambda$} | S\in

T( $\lambda$)\} を基底に持つような \mathrm{k} 上の形式的な線型空間\triangle( $\lambda$):= \oplus \mathrm{k}c_{S}^{ $\lambda$}
S\in T( $\lambda$)を考え,(2.1) の式によって誘導される左 A 作用を導入する.すなわち,

ac_{S}^{$\lambda$}:=\displaystyle\sum_{U\inT($\lambda$)}r_{$\zeta$\'{y}^{(a,S)}c_{U}^{$\lambda$}
によって左 A 加群とみなす.これを $\lambda$ に付随するセル加群という.セル加群 \triangle( $\lambda$) 上に双線型形式-\rangle : \triangle( $\lambda$) \times\triangle( $\lambda$) \rightarrow \mathrm{k} ;(c_{S}^{ $\lambda$}, c_{T}^{ $\lambda$}) \mapsto r_{S,T}が定義される.こ こに r_{S,T} は (2.2) によって与えられるスカ ラーである.この双線型形式-\} によって退化する部分を(\triangle( $\lambda$)) :=\{x\in\triangle( $\lambda$) | { x, y\rangle =0radで表せば, \{ax, y\}=for any y\in\triangle( $\lambda$) }\langle x, $\iota$(a)y } なので \triangle( $\lambda$) の部分加群となる.これをセル加群 \triangle( $\lambda$) の根基という.そこで S( $\lambda$) を \triangle( $\lambda$) のrad(\triangle( $\lambda$)) による商加群とおく.また,$\Lambda$^{+} :=\{ $\lambda$\in $\Lambda$| S( $\lambda$)\neq 0\} とおく.

命題2.5 ( [\mathrm{G}\mathrm{L} , Proposition 3.2, Theorem 3.4] , [\mathrm{C} , Lemma 2.5])

A をセルデータ ( $\Lambda$, T, C, $\iota$)を持つ Cellular 代数とする.

(i) 任意の $\lambda$\in$\Lambda$^{+} に対して,商加群 S( $\lambda$) は絶対既約である.
(ii) 集合 \{S( $\lambda$) | $\lambda$\in$\Lambda$^{+}\} は既約 A 加群の同型類の完全代表系を与える.

(iii) 任意の $\lambda$, $\mu$\in$\Lambda$^{+} と i\geq 0 に対して,\mathrm{k} 上の線型空間としての同型\mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{A}^{ $\iota$}(S( $\lambda$), S( $\mu$))\simeq \mathrm{E}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathrm{A} (S( $\mu$), S( $\lambda$))が存在する.

45

特に命題2.5の (3) によって,A をクイバーと関係式で記述したとき,任意の頂点 i, jに対して\# { i から j へ向かう矢印} =\# { j から i へ向かう矢印}(2.3)

が成り立つ.

例2.6

例2.3において,具体的に n=3 の場合に \mathrm{k}\mathfrak{S}_{3} の既約表現の同型類の完全代表系を構成しよう.記号等は例2.3のものをそのまま使う.まず,セル加群は以下で与えられる.

(i) \triangle((3)) .=\mathrm{k}c_{t^{(3)} ^{(3)} であり,作用はs_{1}\mapsto 1 s_{2}\mapsto 1で与えられる.

(ii) \triangle((2,1)) :=\mathrm{k}\mathrm{c}_{t^{(2,1)} ^{(2,1)} \oplus \mathrm{k}c_{s_{2}t^{(2,1)} ^{(2,1)} であり,作用は\mathcal{S}_{1}\mapsto\left(\begin{ar ay}{l} 1&-1\ 0&-\mathrm{l} \end{ar ay}\right),s_{2}\mapsto\left(\begin{ar ay}{l} 0&1\ 1&0 \end{ar ay}\right)で与えられる.

(iii) \triangle((1,1,1)) :=\mathrm{k}c_{t^{(1,1,1)} ^{(1,1,1)} であり,作用はs_{1}\mapsto-1, s_{2}\mapsto-1で与えられる.

標数が2, 3以外のときは,全てのセル加群に対して双線型形式
rad−} は非退化であり,\rangle =0 である.よって上で与えたセル加群は \mathrm{k}\mathfrak{S}_{3} の既約表現の同型類の完全代表系になっていて,これはそれぞれ自明表現,2次元既約表現,符号表現である.
他方,標数が3のときは,以下のようになる.セル加群 \triangle((3)) に対して
(3)

(3)

c_{tt}c_{t^{(3)},t^{(3)}}(3),(3) =(1+\mathcal{S}_{1}+s_{2}+s_{1}s_{2}+s_{2}s_{1}+s_{1}s_{2}s_{1})^{2}=0だから,rad(\triangle((3))) =\triangle((3)) となる.

セル加群 \triangle((2,1)) に対して,その根基を求よう.

c^{(2,1)}c_{t ^{(2,1)} ^{(2,1)}$\iota$^{(2,1)},$\iota$^{(2,1)(2,1)}, =(1+s_{1})^{2}=2c_{t^{(21)},t^{(2,1)}}^{(2,1)}c_{t^{(2,1)},t^{(2,1)} ^{(2,1)}c_{s_{2}t^{(2,1)},s_{2}t^{(2,1)} ^{(2,1)} =(1+s_{1}+s_{2}s_{1}+\mathrm{s}_{1}s_{2}s_{1})=-c_{t\mathrm{s}_{2}l^{(2,1)} ^{(2,1)}(2_{)}1)_{:}. +c_{t ^{(3)}}^{(3)}(3)c^{(2,1)_{1)}}c_{tt)}^{(2,1)}s_{2}t(2,,s_{2}t^{(2,1)(2,1),(21)} =(1+6_{1}+s_{1}s_{2}+s_{1}s_{2}s_{1})=-c_{t^{(2,1)},s_{2}t^{(21)}}^{(2,1)} +c_{t^{(3)},t^{(3)} ^{(3)},c_{s_{2}t^{(2,1)},s_{2}t^{(2,1)} ^{(2,1)}c_{s_{2}t^{(2_{:}1)_{s_{2}t}(2,1)} ^{(2,1)}, =2(1+s_{1^{\mathcal{S} 2}s_{1})=2c_{\mathrm{s}_{2}ts_{2}t(2,1)}^{(2,1)}(2,1)_{:}.

,

であって,標数は3なので\{)\{c_{t^{(2} ^{(2,1)}{}_{1)}C_{s_{2}t}^{(2,1)}(2,\mathrm{i})\rangle =\{c_{s_{2}t}^{(2,1)}(2,1), c_{t^{(21)} ^{(2,1)}\} =\{c_{s_{2}t^{(2,1)} ^{(2,1)}, c_{s_{2}t^{(2,1)} ^{(2,1)}\} =2

46(\triangle( 2,1 =\mathrm{k}(c_{ $\iota$}^{(2.1)}(2,1) -c_{s_{2}t^{(2,1)} ^{(2.1)}) である.

である.よって,rad

セル加群 \triangle((1,1,1)) に対して

c_{t ^{(1,1,1)} ^{(1,1,1)}c_{t(1,1,1)_{:^{t^{(1,1,1)} } ^{(1,1,1)}(\perp,1,1) , =1^{2}=1だから,rad
以上で $\Lambda$^{+}( \triangle((1,1,1
=

=0

となる.

\{(2,1) , (1, 1, 1)\}\subset $\Lambda$ であって,既約 \mathrm{k}\mathfrak{S}_{3} 加群の同型類の完全代表系は2つあり,自明表現 \triangle( 2,1) /\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}_{\langle-,-\rangle}(\triangle( 2,1
例2.7と符号表現 \triangle((1,1,1)) である.

例2.4において,具体的に既約 A 加群の同型類の完全代表系が得られることを確かめてみる.記号等は例2.4のものをそのまま使う.クイバーの表現の一般論 (例えば [ASS]などを参照) により,既約 A 加群の同型類の完全代表系は3つあり,それぞれ,\mathrm{L}(1) := \mathrm{k}\leftarrow\rightarrow 0\leftarrow\rightarrow 0, L(2) := 0\leftarrow\rightarrow \mathrm{k}\leftarrow\rightarrow 0, L(3) := 0\leftarrow\rightarrow 0\leftarrow\rightarrow \mathrm{k}によって与えられる.

他方,各 i\in $\Lambda$ に対してセル加群は以下の形で与えられる:(i) \triangle(1) :=\mathrm{k}c_{1}^{1} であり,作用は
e_{i}\mapsto$\delta$_{i,3:} $\alpha$\mapsto 0, $\beta$\mapsto 0, $\gamma$\mapsto 0, $\delta$\mapsto 0で与えられる.また,rad(\triangle(1)) =0 である.

(ii) \triangle(2) :=\mathrm{k}c_{1}^{2}\oplus \mathrm{k}c_{2}^{2} であり,作用は
e_{1}\mapsto 0,e_{2}\mapsto\left(\begin{ar y}{l 1&0\ 0&0 \end{ar y}\right)で与えられる.また,,e_{3}\mapsto\left(\begin{ar y}{l 0&0\ 0&1 \end{ar y}\right),$\alpha$\mapsto 0, $\beta$\mapsto 0, $\gamma$\mapsto 0, $\delta$\mapsto\left(\begin{ar y}{l 0&0\ 1&0 \end{ar y}\right)\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}_{\langle-, \rangle}(\triangle(2) =\mathrm{k}c_{2}^{2} である.

(iii) \triangle(3) :=\mathrm{k}c_{1}^{3}\oplus \mathrm{k}c_{2}^{3} であり,作用は
e_{1}\mapsto\left(\begin{ar y}{l 1&0\ 0&0 \end{ar y}\right),

e_{2}\mapsto\left(\begin{ar y}{l 0&0\ 0&1 \end{ar y}\right)で与えられる.また,rad,e_{3}\mapsto 0, $\alpha$\mapsto 0, $\beta$\mapsto 0, $\gamma$\mapsto(\triangle(3)) =\mathrm{k}c_{2}^{3} である.

(iv) \triangle(4) :=\mathrm{k}c_{1}^{4} であり,作用は
e_{i}\mapsto\tilde{ $\delta$}_{i,1)} $\alpha$\mapsto 0, $\beta$\mapsto 0, $\gamma$\mapsto 0, $\delta$\mapsto 0で与えられる.また,rad

従って, $\Lambda$^{+} =\{1, 2, 3\}\subset $\Lambda$ であり,(\triangle(4)) =\mathrm{k}c_{1}^{4} である.
A 加群の同型

S(1)\simeq L(3)_{\dot{J}} S(2)\simeq L(2) , S(3)\simeq L(1)を得る.

\left(\begin{ar y}{l 0&0\ 1&0 \end{ar y}\right); $\delta$\mapsto 0

47

Cellular 代数の Cartan 行列と分解行列に関する性質を思い出そう.

$\lambda$ \in $\Lambda$^{+}とする.既約 A 加群 S( $\lambda$) の射影被覆を P( $\lambda$) とかき,左 A 加群 M の組成因子に現れる 6'( $\lambda$) の個数
を [M:S( $\lambda$)] で表すことにする.そこで $\lambda$\in $\Lambda$ と $\mu$\in$\Lambda$^{+} をとり,

d_{ $\lambda,\ \mu$}:= [\triangle( $\lambda$) :S( $\mu$)]
とおき,

A の分解行列を行列 D_{A} := (d_{ $\lambda,\ \mu$})_{ $\lambda$\in $\Lambda$},$\mu$\in $\Lambda$+で定義する.また,A のCartan 行列

を正方行列 C_{A} := ([P( $\lambda$) : S( $\mu$)])_{ $\lambda,\ \mu$\in $\Lambda$}+ で定義する.

命題2.8 ( [\mathrm{G}\mathrm{L} , Proposition 3.6, Theorem 3.7] , [KX3, Proposition 1.2])

Aをセ)レデータ$\lambda$ \geq $\mu$ が成り立っ.更に,$\lambda$\in$\Lambda$^{+} に対( $\Lambda$, T, C, $\iota$) を持つ Cellular 代数とする.
(1) $\lambda$\in $\Lambda$ と $\mu$\in$\Lambda$^{+} に対して, d_{ $\lambda,\ \mu$} =0 ならば,
して,

d_{ $\lambda,\ \lambda$} =1 である.

(2) C_{A} =^{t}D_{A}D_{A} が成り立つ.
(3) \det(C_{A}) >0 である.

(4) ( $\Lambda$, \geq) の順序の線型拡大を \overline{ $\Lambda$}= \{$\mu$_{1} >$\mu$_{2} > >$\mu$_{l}\} とする.

$\lambda$ \in$\Lambda$^{+}と i に対して

A 加群の同型(A^{\geq$\mu$_{\mathrm{t} }\otimes P( $\lambda$) /(A^{\geq$\mu$_{ $\iota$+\perp} \otimes \mathrm{P}( $\lambda$) \simeq\triangle(1^{$\chi$_{\mathrm{t} })^{\oplus d_{$\mu$_{\mathrm{t} , $\lambda$}が成り立つ.ここに, A^{\geq $\mu$} :
例2.9

例2.4において,

D_{A}

=

Spank \{c_{S',T'}^{$\mu$'} | S', T'\in T(l^{4'}), $\mu$'\geq 1^{J_{1}}\} である.

A の分解行列と=Cartan 行列は次で与えられる.

\left(bgin{ary}l 1&0 \ 1& 0\ &1 \ 0& 1\end{ary}\ight)

,

C_{A}

=

\left(\begin{ar y}{l 2&1 0\ 1&2 1\ 0&1 2 \end{ar y}\right)

命題2.10 ( [\mathrm{K}\times 2 , Theorem 8.1] , [KX4, Theorem 1.1])

A をセルデータ( $\Lambda$, TC, $\iota$) をもつ

Ccllular 代数とする.

(1) \mathrm{k} 上の代数 B が A の基本環であるとき,(2) A が自己移入代数のとき,

3

B は再び Cellular 代数である.

A は弱対称代数である.

主結果
Cellular 代数の性質から,次のような代数を考えれば十分であることがわかる.まず,Aの Gabriel クイバーの任意の頂点 i, j に対して等式 (2.3) が成り立っていなければならず,
更に命題2.10により A は弱対称代数と仮定してもよい.また,A のカルタン行列と分解行

48

列の間には命題2.8の関係がある.そこで [S] で与えられている弱対称代数の分類から,上の性質を満たすもののみを考えれば十分であり,主結果は次の通りである.

定理3.1

体 \mathrm{k} を標数が2でないような代数閉体とし,A

Cellular 代数とする.代数 A が多項式増大表現型であれば,を体 \mathrm{k} 上の連結な自己移入
A は以下に挙げる代数のうちいずれかと同型である.更に,代数 (1) は有限表現型,代数 (2) から (6) はdomestic な無限表現型,代数 (7) はdomestic でない多項式増大表現型である.逆に,以下に挙げた代数は互いに非同型な多項式増大表現型の自己移入Cellular代数である.

(1) 例外型頂点が高々 1つの直線からなる Braiierグラフに付随する Brauerグラフ代数.
(2) Kronecker 代数 \mathrm{k}[X, Y]/(X^{2}, Y^{2}) .

(3) 以下のクイバー Q と \mathrm{k}Q の許容イデアル I からなる有界クィバー代数.

Q= (0\leftarrow^{\mathrm{O}} $\beta \alpha$\rightarrow

Q=\left(bgin{ary}l $\epsilon$\ cir\vec{lftarow}^{\cir_leftarow\mathr{O}^\rightaow}$\alph\deltagma$\mthr{}$\gam $_{\beta$} \end{ary}\ight)I:=\lange$\alph\beta$, \gam \delta$, \lpha\esilon$, \epsilon\beta$, \gam \epsilon$, \epsilon\delta,\epsilon$^{2}-\delta pha,\epsilon$^{2}-\betagma$\rngle(4) 以下のクイバー Q と \mathrm{k}Q の許容イデアル I からなる有界クィバー代数.

Q=(0\leftar ow0\rightar ow$\alpha\delta$\vec{\leftar ow}\circ$\gam a\beta$)(a) I= \{ $\alpha \beta \gamma \delta \alpha$, $\beta \gamma \delta \alpha \beta$, $\gamma \delta \alpha \beta \gamma$, $\delta \alpha \beta \gamma \delta$, $\gamma \beta$, $\alpha \delta \alpha$- $\alpha \beta \gamma$, $\delta \alpha \delta$- $\beta \gamma \delta$\}(b) I= \{ $\alpha$( $\delta \alpha$)^{2}, $\gamma$( $\delta \alpha$)^{2}, ( $\delta \alpha$)^{2} $\delta$, ( $\delta \alpha$)^{2} $\beta$, $\alpha \delta \alpha \beta$, $\gamma \beta \gamma \delta$, $\delta \alpha$- $\beta \gamma$\}(5) 重み2の例外型頂点が2つの直線からなる Brauer グラフに付随する Brauer グラフ
代数.

(6) 以下のクイバー Q と \mathrm{k}Q の許容イデアル I からなる有界クィバー代数,ただし$\lambda$\in \mathrm{k}\backslash \{0 , 1 \} とする.
Q=
Q=

\left(\begin{ar y}{l $\alph$& \sigma$\ 1\vec{\lftarow}2$\gam $\vec{\lftarow}3$\beta$& \end{ar y}\right)I=\{$\alpha\gam a\ lpha$- \alpha\sigma\beta$, \beta\gam a\ lpha$- \lambda\beta\sigma\beta$, \gam a\ lpha\gam a$- \sigma\beta\gam a$, \gam a\ lpha\sigma$- \lambda\sigma\beta\sigma$\}( $\alpha$ \mathrm{C}1\vec{\frac{ $\sigma$}{ $\gamma$} 20 $\beta$)I=\langle$\alpha$^{2}- $\sigma \gamma$, $\lambda \beta$^{2}- $\gamma \sigma$, $\gamma \alpha$- $\beta \gamma$, $\sigma \beta$- $\alpha \sigma$\rangle

49(7) 以下のクイバー Q と \mathrm{k}Q の許容イデアル I からなる有界クィバー代数.

Q=\left(bgin{ary}l 3\ $delta\uprow\d narow$\gam $\ mathr{l}\nearow^{$\alph}rime_{$\btaze$}^{2_\backslh\earow_{4}^$\epsilon$} \end{ary}\ight)I=\{$beta\lph$+\deltagma$+\epsilon\zeta$,\lphabet$,\gam \epsilon$_{\texノ}.$\zetadl$\rangle

Q=\left(\begin{ar y}{l $\alpha$& $\delta$& $\epsilon$\ 1\vec{\leftarow}2$\beta$\vec{\leftarow}3$\gam a$\vec{\leftarow}4$\zeta$& \end{ar y}\right)I=\langle$\beta\ lpha$- \delta\gam a$, \gam a\delta$- \epsilon\zeta$, \alpha\delta\epsilon$, \zeta\gam a\beta$\rangle\left(\begin{ar y}{l $\beta$& \eta$& \zeta$\ 1\vec{\leftarow}2$\alph$\vec{\leftarow}3$\gam a$\vec{\leftarow}4$\delta$& \end{ar y}\right)
Q=

I=\langle $\gamma \alpha \beta$- $\gamma \eta \gamma$, $\alpha \beta \eta \eta \gamma \eta$, $\beta \alpha$, $\delta \gamma$, $\eta \zeta$, ( $\gamma \eta$)^{2}- $\zeta \delta$\rangle

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