数理解析研究所講究録
第 1683 巻 2010 年 1-8

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ヒルベルト空間における非拡大写像と非伸張写像の共通不動点への弱収束定理
家本繁 (慶應義塾大学商学部)

Email : iemoto@fbc.keio.ac.jp
高橋渉 (慶應義塾大学商学研究科, 台湾国立中山大学理学院)
Email : wataru@is.titech.ac.jp
概要

本稿は著者らによる論文 [3, 4] を元に書かれている. 主結果では, ヒルベルト空間上の非拡大写像と非伸張写像の共通不動点を逐次近似する方法を提案し, その弱収束定理を証明している.
さらに, 主結果では逐次近似法に用いる係数条件を制御することで非拡大写像, 非伸張写像それぞれの不動点を近似することができることも証明している.

1

本研究の動機$H$を実ヒルベルト空間とし, $C$ を $H$ の空でない閉凸集合とする. 特に断らない限り, 以降でヒルベルト空間という場合には実ヒルベルト空間のことを表すこととする.
本稿では不動点問題とよばれる以下の問題を考える. すなわち写像 $T:Carrow C$ に関する不動点問題とは$\tau_{z=z}$となる $z\in C$ , つまり $T$ の不動点を求める問題をいう. $F(T)$ で $T$の不動点全体の集合を表す. さらに, 写像$T_{1},$ $T_{2}$: $Carrow C$ に関する共通不動点問題とは$z\in F(T_{1})\cap F(T_{2})$となる $z\in C$ を求める問題をいう. このようなよぶ.

$z$を逐次的に求める近似法のことを不動点近似法とエルゴード理論や非線形最適化, 数理経済学等にあらわれる多くの非線形問題が不動点問題として捉えることができる. 本稿では非拡大写像と高阪-高橋 [9] によって定義された非伸張写像を研究の中心に据えて, これらの写像に関する共通不動点問題を議論している. $T:Carrow C$ が非拡大写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して$\Vert T_{X}-Ty\Vert\leq\Vert x-y\Vert$を満たすときをいう.

さらに, $U:Carrow C$ が堅非拡大写像 [1,2,6, 15-17] であるとは, 任意の2$x,$ $y\inC$に対して$\Vert Ux-Uy\Vert^{2}\leq\langle x-y,$ $Ux-Uy\rangle$を満たすときをいう. これは$\Vert Ux-Uy\Vert^{2}\leq\Vert x-y\Vert^{2}-\Vert(I-U)x-(I-U)y\Vert^{2}$とも同値である. ヒルベルト空間において堅非拡大写像 $U$ は非拡大写像であり, ある非拡大写像 $T$を用いて $U=1/2(I+T)$ と表される[2, 6]. 一方, 高阪-高橋 [9] は非伸張写像とよばれる非線形写像を次のように定義している. $E$ を滑らかなバナッハ空間, $J$ : $Earrow E^{*}$ を双対写像とし, $C$ を $E$の空でない閉凸部分集合とする.

このとき $S$ : $Carrow C$ が非伸張写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$に対して$\phi(Sx, Sy)+\phi(Sy, Sx)\leq\phi(Sx, y)+\phi(Sy, x)$を満たすときをいう. ただし, $\phi(x, y)=\Vert x\Vert^{2}-2\langle x,$$Jy\rangle+\Vert y\Vert^{2}$である. このような写像はバナッハ空間における極大単調作用素を研究するために考案されたものである. 一方, ヒルベルト空間において双対写像 $J$ は恒等写像 $I$ になるため, $\phi(x, y)=\Vert x\Vert^{2}-2\langle x,$ $y\rangle+\Vert y\Vert^{2}=\Vert x-y\Vert^{2}$ となる.

よってヒルベルト空間上で $S$ : $Carrow C$ が非伸張写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して2 $\Vert Sx-Sy\Vert^{2}\leq\Vert Sx-y\Vert^{2}+\Vert Sy-x\Vert^{2}$を満たすときをいう. 非伸張写像も堅非拡大写像を含む写像であるが (補題 34), 一般には連続ではないことが知られている(例 32). しかしながら, 不動点をもっ非拡大写像と非伸張写像はどちらも準非拡大写像になる. すなわち, $Q$ : $Carrow C$ が準非拡大写像であるとは, $F(Q)\neq\emptyset$ で, 任意の$x\in C,$ $q\in F(Q)$に対して$\Vert Qx-q\Vert\leq\Vert x-q\Vert$を満たすときをいう.
$C$を $H$ の空でない閉凸部分集合とし,$T_{1},$ $T_{2}$: $Carrow C$ を 2 つの異なる非拡大写像とする.

$T_{1},$ $T_{2}$に対する不動点近似法として, 石川 [7] による方法を拡張した高橋-田村 [18] による次の逐次近似法がある.
$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}T_{1}\{\beta_{n}T_{2}x_{n}+(1-\beta_{n})x_{n}\}+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N}).\end{array}$

ただし,$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$. また, Moudafi [12] によって提案された次の逐次近似法もある.

$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}\{\beta_{n}T_{1}x_{n}+(1-\beta_{n})T_{2}x_{n}\}+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N}).\end{array}$

ただし,$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$. これらの不動点近似法に用いる写像像で考えた際に, 構成される点列容である.

$\{x_{n}\}$$T_{1},$ $T_{2}$を非拡大写像と非伸張写がどのような振る舞いをするかを研究した結果が本稿の内32

準備はじめに本稿で用いる記号を整理しておく.

$H$をヒルベルト空間とする.

$\langle\cdot,$$\cdot\rangle$

は内積を,$\mathbb{N},$$\mathbb{R}$$\Vert\cdot\Vert$をそれぞれ自然数全体, 実数全体の集合を表す.

はノルムを表す. ヒルベルト空間 $H$ の空でない部分集合 $C$ に対して, $F(T)$ で写像 $T:Carrow C$ の不動点集合, すなわち $F(T)=\{z\in C:Tz=z\}$を表す. 点列 $\{x_{n}\}\subset H$ に対して, $x_{n}arrow x,$ $x_{n}arrow x$ でそれぞれヒルベルト空間が任意の $x,$ $y\in H$ と$\alpha\in \mathbb{R}$$x$への強収束, 弱収束を表す.

に対して$\Vert\alpha x+(1-\alpha)y\Vert^{2}=\alpha\Vert x\Vert^{2}+(1-\alpha)\Vert y\Vert^{2}-\alpha(1-\alpha)\Vert x-y\Vert^{2}$(2.1)

を満たすことはよく知られている [15-17]. さらに任意の $x,$ $y,$ $z,$ $w\in H$ に対して

2$\langle x-y,$$z-w\rangle=\Vert x-w\Vert^{2}+\Vert y-z\Vert^{2}-\Vert x-z\Vert^{2}-\Vert y-w\Vert^{2}$(2.2)

が成り立っことが高阪-高橋 [8, 9] によって示されている ([4] も参照のこと). また, ヒルベルト空間 $H$ は Opial[13] による次の性質を満たす. すなわち, $x_{n}arrow x_{0}$ を満たす任意の点列 $\{x_{n}\}\subset H$に対して$\lim_{narrow}\inf\Vert x_{n}-x_{0}\Vert<\lim_{narrow}\inf\Vert x_{n}-y\Vert$が任意の $y\neq x_{0}$ なる $y\in H$ で成り立つ ([15-17] も参照のこと).
$C$を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. $T$ : $Carrow C$ が非拡大写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$に対して$\Vert Tx-Ty\Vert\leq\Vert x-y\Vert$を満たすときをいう.

(2.1) から $F(T)$ が閉凸集合となることが示せる.

また, 非拡大写像$T$: $Carrow C$ は demiclosed である, すなわち $x_{n}arrow u,$ $x_{n}-Tx_{n}arrow 0$ ならば $u\in F(T)$ である[15-17]. 一方, 非拡大写像について次の不動点定理が証明されている.

定理 21([15-17]). $H$ をヒルベルト空間, $C\subset H$ を空でない閉凸部分集合とし, $T:Carrow C$ を非拡大写像とする. このとき, 以下は同値である.

(1) $x\in C$ が存在して, $\{T^{n}x\}$ は有界である.
(2) 写像 $T$ は不動点をもつ.
$U$: $Carrow C$ が堅非拡大写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して$\Vert Ux-Uy\Vert^{2}\leq\langle x-y,$ $Ux-Uy\rangle$を満たすときをいう. ヒルベルト空間においては, 距離射影や単調作用素のリゾルベントが堅非拡大写像の例として知られている. $S$ : $Carrow C$ が非伸張写像であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して

2 $\Vert Sx-Sy\Vert^{2}\leq\Vert Sx-y\Vert^{2}+\Vert Sy-x\Vert^{2}$4を満たすときをいう. 非伸張写像に対しても定理 2.1 と同様の不動点定理が証明されている ([11]も参照のこと).

定理 22([9]). $H$ をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とし,$S$: $Carrow C$ を非伸張写像とする. このとき, 以下は同値である.

(1) $x\in C$ が存在して, $\{S^{n}x\}$ は有界である.
(2) 写像 $S$ は不動点をもっ.
さらに非伸張写像 $S$ : $Carrow C$ に対して, その不動点集合 $F(S)$ が閉凸集合となることも高阪-高橋 [9], 松下-高橋 [11] で示されている. これらの非伸張写像に関する結果 [9, 11] は, バナッハ空間で証明されていることを付記しておく.

3

非伸張写像の性質とその例
高阪-高橋 [9] によって定義された非伸張写像は, 前節でも確認したようにいくつかの点で非拡大写像と似通っていることがわかる. ここでは家本-高橋 [4] で得られたものを中心に, ヒルベルト空間特有の非伸張写像がもつ性質を述べる.

まず非伸張写像はヒルベルト空間において次のように特徴付けされる. さらにこの特徴付けを用いて, 非伸張写像が非拡大写像と同様に demiclosed であることも示すことができる.

補題 31([4]). $H$ をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. このとき $S$ : $Carrow C$が非伸張写像であることと, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して$\Vert Sx-Sy\Vert^{2}\leq\Vert x-y\Vert^{2}+2$を満たすこととは同値である.

補題 32([4]).
伸張写像とする.

$H$$\langle x$–,

$Sx$ $y-Sy\rangle$.

をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とし, $S$ : $Carrow C$ を非

このとき $S$ は demiclosed である. すなわち, $x_{n}arrow u,$$x_{n}-Sx_{n}arrow 0$

ならば$u\in F(S)$ .
$C$$H$を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. このとき $T$ : $Carrow C$ が非拡大写像ならば $I-T$ : $Carrow$は 1/2 逆強単調作用素, すなわち任意の $x,$ $y\in C$ に対して$\sim$$\frac{1}{2}\Vert(I-T)x-(I-T)y\Vert^{2}\leq\langle x-y,$になる. ここで, $I$ : $Harrow H$ は恒等写像を表す.

$\alpha>0$$(I-T)x-(I-T)y\rangle$とする. 一般に $A$ : $Carrow H$ が$\alpha$-逆強単調作用素であるとは, 任意の $x,$ $y\in C$ に対して$\alpha\Vert Ax-Ay\Vert^{2}\leq\langle x-y,$$Ax-Ay\rangle$を満たすときをいう [17]. これと同様のことが非伸張写像についてもいえるかどうかというのは自然な疑問であるが, これについては次の補題が知られている.

5補題 33 ([4]).
$S$:をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする.

$H$$Carrow C$ に対して

, 写像

$A$

非伸張写像

を $A=I-S$ で定義する. このとき, $A$ : $Carrow H$ は任意の $x,$ $y\in C$に対して$\Vert Ax-Ay\Vert^{2}\leq\langle x-y,$ $Ax-Ay \rangle+\frac{1}{2}(\Vert Ax\Vert^{2}+\Vert Ay\Vert^{2})$を満たす.

前節で堅非拡大写像は非拡大写像になることを確認したが, これは非伸張写像にもなることが示せる. これは非伸張写像の重要な例の 1 つでもある.

補題 34([4, 8, 9]). $H$ をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. このとき, 堅非拡大写像 $U$ : $Carrow C$ は非伸張写像である.
最後に非伸張写像の例をいくつか挙げる.
例 31.
$R_{C}$:$\mathbb{R}^{2}$に対して, $C=\{(x, y)\in \mathbb{R}^{2}:x\leq 0, y\in \mathbb{R}\}$ , $Pc$ :$\mathbb{R}^{2}arrow \mathbb{R}^{2}$

を $R_{C}=2P_{C}-I$ で定義する.

このとき,$\mathbb{R}^{2}arrow C$$R_{C}$を $C$ への距離射影とする.

は非伸張写像である.

この $R_{C}$ をreflection とよぶ.

例 32([5]). $H$ をヒルベルト空間とし $D=\{z\in H:\Vert z\Vert\leq 2\},$ $C=\{z\in H:\Vert z\Vert\leq 3\}$ とおく.
$S$: $Carrow C$ を
$Sx=\{\begin{array}{ll}0 (x\in D),x/\Vert x\Vert (x\in C\backslash D)\end{array}$で定義する. このとき, $S$ は非伸張写像である.

4

主結果
本稿の主結果の動機となったのは, 高橋-田村 [18] による一様凸バナッハ空間における次の弱収束定理である. ここでは主結果に合わせてヒルベルト空間の定理に書き換えている.

定理 41 ([18]).

$C$$F(T_{1})\cap F(T_{2})\neq\emptyset$

をヒルベルト空間 $H$ の空でない閉凸部分集合とし,となる非拡大写像とする. 点列$\{x_{n}\}$$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$(1) ある $0<a\leq b<1$ を満たす $a,$$\{x_{n_{i}}\}$$(n\in \mathbb{N})$である. このとき, 以下が成り立っ.

$b\in \mathbb{R}$に対して $\{\alpha_{n}\}\subset[a, b],$ $\{\beta_{n}\}\subset[0, b]$ で, 部分点列が $x_{n_{i}}arrow y$ ならば $y\in F(T_{1})$ .

(2) ある $0<a\leq b<1$ を満たす $a,$$\{x_{n_{i}}\}$: $Carrow C$ をを $x_{1}\in C$ ,$x_{n+1}=\alpha_{n}T_{1}\{\beta_{n}T_{2}x_{n}+(1-\beta_{n})x_{n}\}+(1-\alpha_{n})x_{n}$で構成する. ただし,

$T_{1},$ $T_{2}$$b\in \mathbb{R}$に対して $\{\alpha_{n}\}\subset[a, 1],$ $\{\beta_{n}\}\subset[a, b]$ で, 部分点列が $x_{n_{i}}arrow y$ ならば $y\in F(T_{2})$ .

(3) ある $0<a\leq b<1$ を満たす $a,$$x_{n_{i}}arrow y$$b\in \mathbb{R}$ならば $y\in F(T_{1})\cap F(T_{2})$ .

に対して$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[a, b]$

で, 部分点列$\{x_{n_{i}}\}$が6$C$を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. 定理 4.1 を動機として当初, $F(S)\cap F(T)=\emptyset$ なる非伸張写像 $S$ : $Carrow C$ と非拡大写像 $T$ : $Carrow C$ に対し, 写像 $S,$ $T$ それぞれの不動点を不動点近似法によって求める手法を研究していた. その際に用いた不動点近似法は(4.1)$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}T(\beta_{n}Sx_{n}+(1-\beta_{n})x_{n})+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$である. ただし,$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$とする.

しかしながら, 以下の例は写像 $S$ の不動点を近似できない場合があることを示している. (4.1) において, 写像 $S,$ $T$ の役割を交換しても同様の例が作れる.

例 41. 実数直線において, $C=[1, \infty),$ $D=(-\infty, 0]$ とおく. このとき, $S$ :$\mathbb{R}$reflection, すなわち $S=R_{C}=2P_{C}-I$ とし, $T$ :とする.

$\mathbb{R}arrow \mathbb{R}$

このとき $F(S)\cap F(T)=C\cap D=\emptyset$ であるが,$\mathbb{R}arrow \mathbb{R}$を $C$ へのを $D$ への距離射影, すなわち $T=P_{D}$(4.1) によって構成される点列$\{x$

訂が$F(S)$ の元に収束しない場合がある.

証明. (41) の初期点を $x_{1}=0$ とする. このとき,$x_{2}=\alpha_{1}P_{D}(\beta_{1}R_{C}x_{1}+(1-\beta_{1})x_{1})+(1-\alpha_{1})x_{1}$$=\alpha_{1}P_{D}(\beta_{1}R_{C}(0)+(1-\beta_{1})\cdot 0)+(1-\alpha_{1})\cdot 0$$=\alpha_{1}P_{D}(2\beta_{1})$$=\alpha_{1}\cdot 0=0$

同様にして $x_{3}=0$ . これを帰納的に繰り返すと, 任意の$n\in \mathbb{N}$に対して $x_{n}=0\in D=F(T)$ .

そこで高橋-田村 [18], Moudafi [12] を動機として, 非伸張写像 $S$ :$T$$Carrow C$$\square$と非拡大写像: $Carrow C$ の共通不動点 $F(S)\cap F(T)$ の存在を仮定した下で, 以下の逐次近似法の弱収束性について研究を行った. すなわち, 点列 $\{x_{n}\}$ を$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}S(\beta_{n}Tx_{n}+(1-\beta_{n})x_{n})+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$(4.2)$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}T(\beta_{n}Sx_{n}+(1-\beta_{n})x_{n})+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$$($4.3$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}(\beta_{n}Sx_{n}+(1-\beta_{n})Tx_{n})+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$$($4.4)で構成する. ただし,$\{\alpha_{n}\},$$\{\beta_{n}\}\subset[0,1]$$)$とする. これらの点列に対して, 前節で示した非伸張写像に関する補題を用いて以下の主結果を得た.

定理 42([3]).

$H$をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする.

伸張写像, $T$ : $Carrow C$ を非拡大写像とし, $F(S)\cap F(T)\neq\emptyset$ とする. 点列(4.2), (4.3) で構成する. このとき, 以下が成り立っ.

$S$$\{x_{n}\},$ $\{y$: $Carrow C$ を非訂をそれぞれ

7(1) lim $infnarrow\infty^{\alpha_{n}(1-\alpha_{n})}>0,$(2)$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}(1-\alpha_{n})=\infty,$$\sum_{n=1}^{\infty}\beta_{n}<\infty$$\sum_{n=1}^{\infty}\beta_{n}<\infty$

ならば $x_{n}arrow v\in F(S)$ .

ならば $y_{n}arrow w\in F(T)$ .

(3) lim $infnarrow\infty^{\alpha_{n}(1-\alpha_{n})}>0$ , lim $infnarrow\infty\beta_{n}(1-\beta_{n})>0$ ならば $x_{n}arrow v\in F(S)\cap F(T)$ ,$y_{n}arrow w\in F(S)\cap F(T)$ .

定理 4.3 ([4]).

張写像,

$T$

$H$をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする.

: $Carrow C$ を非拡大写像とし$\rangle$$F(S)\cap F(T)\neq\emptyset$$S$: $Carrow C$ を非伸とする. 点列 $\{x_{n}\}$ を (4.4) で構成する.

このとき, 以下が成り立っ.

(1) lim $infnarrow\infty^{\alpha_{n}(1-\alpha_{n})}>0,$ $\sum_{n=1}^{\infty}(1-\beta_{n})<\infty$ ならば $x_{n}arrow v\in F(S)$ .

(2)$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}(1-\alpha_{n})=\infty,$$\sum_{n=1}^{\infty}\beta_{n}<\infty$

ならば $x_{n}arrow v\in F(T)$ .

(3) lim $infnarrow\infty^{\alpha_{n}(1-\alpha_{n})}>0$ , lim $infnarrow\infty\beta_{n}(1-\beta_{n})>0$ ならば $x_{n}arrow v\in F(S)\cap F(T)$ .
定理 42, 43 を用いて, 松下-高橋 [10], Reich[14] の結果と関連のある次の系を証明することができる.

系 4.1 ([10]).

$H$をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. $S:Carrow C$ を非伸張写像とし, $F(S)\neq\emptyset$ とする. 点列$\{x_{n}\}$を$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}Sx_{n}+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$で構成する. ただし $\alpha_{n}\in(0,1]$ . $\lim\inf_{narrow\infty}\alpha_{n}(1-\alpha_{n})>0$ ならば $x_{n}arrow v\in F(S)$.

系 4.2 ([14]).

$H$をヒルベルト空間, $C$ を $H$ の空でない閉凸部分集合とする. $T:Carrow C$ を非拡大写像とし, $F(T)\neq\emptyset$ とする. 点列$\{x_{n}\}$を$\{\begin{array}{l}x_{1}\in C,x_{n+1}=\alpha_{n}Tx_{n}+(1-\alpha_{n})x_{n} (n\in \mathbb{N})\end{array}$で構成する. ただし $\alpha_{n}\in(0,1]$ .

$\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_{n}(1-\alpha_{n})=\infty$

ならば $x_{n}arrow v\in F(T)$ .

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