数理解析研究所講究録
第 1665 巻 2009 年 29-36

29

THE GROWTH OF VARIOUS ZETA FUNCTIONS ANDTAYLOR COEFFICIENTSHIDEAKI ISHIKAWA

1. ON A BEHAVIOR OF LAURENT COEFFiCIENTS OF
オイラー定数$\gamma$$\zeta(s)$とは$\gamma:=\lim_{Narrow\infty}(\sum_{m=1}^{N}\frac{1}{m}-\log N)=0.57721566\ldots$なる極限値で定義される数である。 この一般化として、$\gamma(n):=\lim_{Narrow\infty}(\sum_{m=1}^{N}\frac{\log^{n}m}{m}-\frac{\log^{n+1}N}{n+1})$を考え、 これを一般オイラー定数と呼ぶ。
によって定義される数
ここでは $l\circ g^{0}1=1$ と考えることにする。 特に $n=0$ の場合が、先ほどの $s=1$のオイラー定数である $(\gamma(0)=\gamma)$ 。リーマンゼータ関数
は次のような形で現れることが知におけるローラン展開の係数に$\gamma(n)$$\zeta(s)$$\gamma(n)$

られている

:
$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\gamma(n)}{n!}(s-1)^{n}$.

最初のいくつかの近似値は以下のようである :この $\gamma(n)$ の研究は古くから行われていて、 たくさんの結果があるのだ

が、 本稿では、 $narrow\infty$ としたときの値の変化の状況に焦点を絞って話を進めていく。 その不規則な値の変化は、 それだけで、 興味をそそる(と思う)考えられる素朴な問題設定として、 $narrow\infty$ としたとき、 大
きさ $|\gamma(n)|$ は、 どのような変動をするのか ? $\gamma(n)$ の符号はどのように。

30変化するのか ? などが考えられる。 また、 この数の変化の状況を正確に記述できた暁にはどんな応用があるのだろうか。
例えば 1955 年の $W$ .E.Briggs [1] の仕事では、大きさの評価について、以下の結果が述べられている :(上からの評価) $|\gamma(n)|<\exp(\in nl\circ gn)$(下からの評価) $|\gamma(n)|>\exp(-\epsilon n\log n)$
for infinitely
for allmany n、が述べられている。 ここで、 は任意に小さい正の定数とし、が無は $\gamma(2n)<0$ となる
以後も同じ用法とする。 1962 年
限に存在する、同様に $\gamma(2n)>0$ , となる も無限に存在、 $\gamma(2n+1)<0$も無限に存在するというも無限に存在、 $\gamma(2n+1)>0$ なるなる結果を証明している。 これらは、 当時としては、最良の結果だったの$n>n_{0\text{、}}$

$\in$

$n$

$Mitr\circ vi\acute{c}[5]$
$n$

$n$

$n$の挙動の真の姿を感じるにはほど遠いと言わざるを得ない。
だが、1980 年代になり、 これら従来の仕事を大幅に改良する結果が松岡氏により証明される。 まずは、一連の仕事の基点とも言うべき次の結果を見ていこう :$\gamma(n)$$n_{0}$

There exists an

1989, Y.Matsuoka [3], An asymptotic formula:such that for all $n>n_{0}$$\gamma(n)=\{\cos(F(n))+E(n)\}\cross\exp(n$ log log $n+o(n))$

where $F(n)$ and $E(n)$ are real valued functions satisfying$F(n)$$=$$- \frac{1}{2}\pi\frac{n}{\log n}+O(\frac{n\log\log n}{\log^{2}n})$$E(n)$$=$$0.(\frac{\log\log n}{\log n})$,.

Remark 1. ここでは漸近式の形で述べているが、 実際は漸近展開まで証明されている。厳密に記述するのは複雑なので、 ここでは省略し、上述の形で紹介した。
この式を見てみると、 $F(n)$ の値によって $\cos$ が に近くなった時に、誤差項との大きさが逆転する状況が起こる。 この式を有効にするため$0$には、 主要項と誤差項の大きさが逆転する頻度について述べなくてはならない。 そこで、 この結果を土台におきながら、 松岡氏は $F(n)$ の状

況を精査し、 次を得る :The ‘local” asymptotic formula: If is1985, Y.Matsuoka [4],sufficiently large and $c>0$ , then for all integers with $|n-v|<c\log v$
$v$

$n$

$\gamma(n)$$=$$\{\cos(F(v)-\frac{\pi}{2}\frac{n-v}{\log v})+O(\frac{\log\log v}{\log v})\}$. $\cross\exp$ $(n$ log log $n+o(n))$ .

この短区間の漸近式は強力で、 松岡氏はこの結果をもとに、 様々な結果を証明しているので、 その一部を紹介しよう。 まずは符号の問題
について、$\#\{n\leq N|\gamma(n)>0\}=\frac{1}{2}N+o(N)$ ,31$\#\{n\leq N|\gamma(n)<0\}=\frac{1}{2}N+o(N)$ .

なる結果や、 同じ符合が続く長さにっいての結果として :Let $\epsilon>0$ bearbitrarily small. There exist infinitely many $n$ such that$\gamma(n)$,$\gamma(n+1)$,$\gamma(n+2)$

,

.. .

$\gamma(n+y)$

have positive sign, where $y=[(2-\epsilon)\log n]$ . If $y=[(2+\epsilon)\log n]$ , thenthere exist only finitely many with the property. Similar result for
negative sign holds, also という結果を証明している。 また大きさの問$|\gamma(n)|\leq\exp$ nlog lognfor
題 ついては、 (上からの評価)$|\gamma(n)|\geq\exp(n$ log log $n-\epsilon n)$for(下からの評価)allinfinitely many なる結果を証明している。 これらは、 従来の結果をはるかに凌いだものであることは、 先に紹介した結果と比べてもらえ$n$、$($$(_{c}’$$+\epsilon n)$$n>n_{0\text{、}}$$n$ば一目瞭然である。
これらは $\gamma(n)$ そのものに対する結果であるが、 $\gamma(n)$ の挙動から得られる応用についても述べている。 そのひとつに、 $|s|arrow\infty$ とした際のの増大速度に関する結果で 「 $(s-1)\zeta(s)$ は exponential type でない」 というものがある。 ここで用いた “exponential type” という言
葉は整関数を分類する用語であり、 このことについては次の章で説明する。 私は、 この結果に興味をもち、 単純に、 次のようなことを考えてみた。 リーマンゼータ関数以外のゼータ関数は exponential type なのか、 否か ? 。本発表 (本稿) では、 以下の二点 :$|\zeta(s)|$．蝓璽泪鵐次璽心愎瑤砲 いてなされた松岡氏の二種類の漸近式の証明方法を検討し、 どのくらい広い範囲のクラスのゼータ関数に対して同様の漸近式が証明できるかどうか考えること。
世蕕譴秦俺畆阿鬚發箸法 対象とするゼータ関数を整関数の分類の理論から眺め、 exponential type なのか否かを判定すること。
を中心に話を進めていく。 得られた結果については、 第 3 章で述べる。

2. 整関数の分類と $(s-1)((s)$
この章では、整関数の分類の理論における基本的な事柄を復習する。
整関数 $f(z)$ の原点中心のテーラー展開を$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$.とする。 このとき $M(r)$ $:= \max_{|z|.=r}|f(z)|$ を用いて $f(z)$ の位数の極限$\rho$を次$\rho:=\lim_{rarrow}\sup_{\infty}\frac{\log\log M(r)}{\log r}$で定義する。 特に定数関数の は と定義しよう。 次に、位数 が有限で、かつ でないとき、 我々はその $f(z)$ をさらに細分するための目安$\rho$$0$$0$$\rho$32となる量$\tau$を$\tau:=\lim\sup\frac{\log M(r)}{r^{\rho}}$$rarrow\infty$である、 と言うなる極限で定義する。 このとき、 $f(z)$ は growth
は growth (1, 1)。これはその定義からすぐにわ事にする。 指数関数
でが growth 1,が有限値のとき、 「 $f(z)$$f(z)$かるであろう。 もしは exponential type である」 と呼ぶことにする。 また $f(z)$ が growth
でが有限値でないときに、 「 $f(z)$ は exponential type でない」
1,と呼ぶことにする。の間には密接な関係がある。 次の関係式はよく知られたとと基本的な公式である :$(\rho, \tau)$$e^{z}$$\tau)$$($$\tau)$$($$a_{n}$$\tau$$\tau$$\rho$$\tau$$\rho=\lim_{narrow}\sup_{\infty}\frac{n\log n}{-\log|a_{n}|}$,$\tau\rho=\lim_{narrow}\sup_{\infty}(\frac{n}{e})^{1-\rho}|n!a_{n}|^{\rho/n}$

この関係式は原点中心のテーラー展開の係数 $a(n)$ を用いて述べたが、’での展開 $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ をした際の係数 $a’(n)$原点以外の点にとりかえて上述の関係式は成立する。
をの場合でも、 単純にここで松岡氏の行った $(s-1)\zeta(s)$ の の計算方法をスケッチしてみる。
$z_{0}$$a_{n}$$a_{\acute{n}}$$\tau$

前述の公式により $\tau\rho=$ $\lim sup(\frac{n}{e})^{1-\rho}|\gamma(n)|^{\rho/n}$ である。 今 $\rho=1$ なの(もちろん、 このことも計算して出しておく必要があるが、 今は省で略$)$, $\tau=$ lim $sup|\gamma(n)|^{1/n}$ という計算をすればよいことになる。

$\tau$が有$\ovalbox{\tt\small REJECT}arrow\infty$

限値でないことがいえれば、 exponential type でないことを示したこと)になるのだった。 ここで、松岡氏の結果、 $|\gamma(n)|\geq\exp(n$ log log$n-\epsilon n$となる $n$ が無限に存在する、 を用いると、$|\gamma(n)|^{1/n}$log log $n-\epsilon n$ )$\geq$$\{\exp(n$$=$$\exp(\log\log n-\epsilon)$$\}^{1/n}$

for infinitely many . となり、 これは $\tau=\infty$ を意味する。 よって「 $(s-1)\zeta(s)$ は exponential type でない」 が言えた。
$n$

ここで、 読者は、$\tau$を決めるのに、 そのような回りくどいことをせずと思うかもしれない。 実際、 そのことについても松岡氏はちゃんと言及している。 領域$1/2\leq\sigma$ においては、とも、 もっと直接的に計算できるのではないか $?$、$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}-s\int_{1}^{\infty}\frac{x-[x]-1/2}{x^{s+1}}dx$

なる表示式を用いて、 この領域内の円弧 $|s|=r$ 上では、 $|(s-1)\zeta(s)|\ll$であることがいえる。 一方領域 $\sigma\leq 1/2$ においては関数等式を用いた表示$r^{2}$$\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\sin\frac{\pi s}{2}$$\Gamma(1-s)\zeta(1-s)$により、 この領域内での円弧 $|s|=r$ 上では $|(s-1)\zeta(s)|\ll e^{r\log r+cr\text{、}}$ また、 この領域内の点列 $s=-r_{n}=-(2n+1)$ においては $|(s-1)\zeta(s)|\geq$33’$e^{r_{n}\log r_{n}-cr_{n}}$となる。 ここで $c,$はある定数とする。 これらより、$c’$$\tau$は有限値でないことがいえる。 このような方法のほうが、 直接的である。
よって、 この時点での状況の理解としては、 $(s-1)\zeta(s)$ の の計算手段について、 直接的な計算もあるのだが、 テーラー係数の観点からの$\tau$計算も可能になった、 ということである。
次の章では、 ディリクレ級数で定義されるあるクラスのゼータ関数のローラン係数についての二種の漸近式を考え、 松岡氏が行った$\zeta(s)$の結果の類似を紹介する。そして、 の計算をテーラー係数の観点から行い、「対象としているゼータ関数が exponential type でない」 ことが$\tau$証明できたので報告する。

3. THE BEHAVIOR OF LAURENT

OR TAYLOR$($$)$

COEFFICIENTS ON

VARIOUS ZETA FUNCTIONS

We consider$Z_{1}(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{1}(n)}{\lambda_{n}^{s}}$where $f_{1}(n),$...
.

,$Z_{2}(s)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{f_{2}(n)}{\mu_{n}^{s}}$,and $1\leq\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdotsarrow\infty,$ $1\leq\mu_{1}<\mu_{2}<$$f_{2}(n)\in \mathbb{C}$$arrow\infty$$\triangle(s)$$:= \prod_{\nu=1}^{N}\Gamma(\alpha_{\nu}s+\beta_{\nu})$

,

where

$\alpha_{\nu},$$\beta_{\nu}\in \mathbb{R}$with$\alpha_{\nu}>0$.

The Dirichlet series $Z_{1}(s)$ belongs to the class , if the following conditions $(i)-(v)$ hold:and ,(i) $Z_{1}(s)$ and $Z_{2}(s)$ have abscissas of absolute convergence
respectively.
(ii) $Z_{1}(s),$ $Z_{2}(s)$ admit a meromorphic continuation to C.
$Z_{1}(\sigma+ti)=O(1+|t|)^{-K_{1}\sigma+K_{2}}$ , where,(iii) For a domain$K_{2}>0$ and $-K_{1}\sigma+K_{2}>0$ .
(iv) The functional equation,$\mathcal{D}$$\sigma_{1}$$\sigma_{2}$$\sigma\leq\sigma_{1}$$K_{1},$$Z_{1}(s)\triangle(s)=GK^{s}\triangle(m-s)Z_{2}(m-s)$.
andholds with some constants $K,$
$Z_{2}(s)$$Z_{1}(s)$are only on the real axis.
and(v) The poles of$m\in \mathbb{R}$$G\in \mathbb{C}$$:=$ {pole of $Z_{1}(s)$ }. Thenis finite set. The Laurent expanLet
sion at $s=m$ (or Taylor expansion)$P_{1}$$P_{1}$$Z_{1}(s)= \sum_{n=j}^{\infty}A_{m}(n)(s-m)^{n}$,34where $j\in Z$ . When $0\leq n$ , we set $C_{m}(n)$ $:=n!A_{m}(n)$ .

Our purpose is to obtain an asymptotic formula of $C_{m}(n)$ , when
and to decide growth of $Z_{1}(s)$ .

$Z_{1}(s)\in \mathcal{D}$Ishikawa and J. Thuswaldner [2])Theorem 1. (2004,$Z_{1}(s)$belongs to the class
thatIf $P_{1}=\{m\}$ orsuch that, for all $n>n_{0}$ ,exists anAssume$H_{f}$$P_{1}=\emptyset,$$\mathcal{D}.$

$t$

ん en

$t$

ん $ere$$n_{0}$$(-1)^{n}C_{m}(n)=$$Gf_{2}(1) \{\cos(F(n)-\frac{\pi}{2}N+\sum_{\nu=1}^{N}(\alpha_{\nu}m+\beta_{\nu})\pi)+E(n)\}$$\cross\exp(n$log log $n+Q(n))$-functions, $F(n)$ is monotonholds. Here $Q(n),$ $F(n)$ are real valued
ically decreasing. $E(n)$ is a complex valued function. These functions
satisfy the following asymptotic relations:$C^{\infty}$$Q(n)$$=$$n \log 2A-\frac{n\log\log n}{\log n}+\frac{1}{2A}(-\log K\mu_{1}+2\sum_{\nu=1}^{N}\alpha_{\nu}\log\alpha_{\nu}$$-2A-2A \log 2A)\frac{n}{\log n}+O(\frac{n(\log\log n)^{2}}{(\log n)^{2}})$$F(n)$$=$$- \frac{\pi}{2}\frac{n}{\log n}+O(\frac{n\log\log n}{\log^{2}n})$$E(n)$$=$$o( \frac{1}{\log n})$where$\alpha_{\nu},$$A= \sum_{\nu=1}^{N}\alpha_{\nu}$$\beta_{\nu},$$K_{1},$$K_{2},$

$m$.

,

,

. The number$\mu_{1}$,$n_{0}$

depends on the parameters $K$ ,.

Theorem 2. (H. Ishikawa)
Local asymptotic fornula: If is sufficiently large and $c>0$ , then for all integers with $|n-v|<c\log v$
$v$

$n$

$(-1)^{n}C_{m}(n)$$=$$Gf_{2}(1) \{\cos(F(v)-\frac{\pi}{2}\frac{n-v}{\log v}+W)+O(\frac{\log\log v}{\log v})\}$$\cross\exp(n\log\log n+Q(n))$ ,where $W$ is a certain real valued constant.

35
Using this result, we have
Theorem 3. (H.Ishikawa)

The lower bound:$|C_{m}(n)|\geq\exp(n$ log log $n+n \log 2A-(1+\epsilon)\frac{n\log\log n}{\log n})$for infinitely many$n$.

Let be the least non negative integer such that $(s-m)^{\delta}Z_{1}(s)$ is anentire function. Using Theorem 3, we have$\delta$

An entire function

Corollary 1. (H. Ishikawa)
The growth:$(s-m)^{\delta}Z_{1}(s)$ is not exponential type.

Hence, we have obtained two ways to calculate$\tau$

direct$C_{m}(n)$4.

AFTER THIS.... .....

今回、 $Z_{1}(s)$ のローラン (テーラー) 係数 $C_{m}(n)$ の漸近公式を求め、その結果をもとに $|Z_{1}(s)|$ の増大速度に関する結果を紹介した。 本稿で扱ったクラスのゼータ関数の場合、 関数等式が満たされているため、直接的な方法で を計算することも可能である。 よって、 このままで$C_{m}(n)$ の研究が終わっては、 まわりくどい計算の証明を紹介したに$\tau$$\tau$過ぎなくなる。
自身としては、 今回の結果は $C_{m}(n)$ の研究途上で得られた通過点のひとっとして考えている。整関数 $f(z)$ のテーラー係数の挙動、近くでの $|f(z)|$ の挙動、 $f(z)$ のゼロ点の分布は密接に関係しており、 様々な関係式が知られている。 今回、 $C_{m}(n)$ の智点から を計算可能なレ$\infty$$\tau$

ベルまで $C_{m}(n)$ の挙動を明らかにしておいたのは無駄では無い (という立場です)
今回の結果を土台にし、 ゼータ関数の増大速度の問題、。

ゼロ点の問題に幾らかの貢献ができればと思い、 現在研究を進めています。

36
REFERENCES[1] W. E. Briggs, Some constants associated with the Riemann zeta function,Michigan Math. J. 3 (1955/1956), 117-121.
[2] H. Ishikawa and J. Thuswaldner, On the asymptotic behavior of the Laurent
coefficients of a class of zeta functions, $Abh$ . Math. $Sem$ . Univ. Hambur9, 74(2004), pll 32.
[3] Y. Matsuoka, On the Power series Coefficients of the Riemann Zeta Function,
Tokyo J. Math. 12 (1989), 49-58.
Matsuoka, Generalized Euler constants associated with the Riemann zeta
Y.
[4]function, Number theory and combinatorics, pp.279-295, 1985 by World scientific Publishing Co.
[5] D. Mitrovi\v{c}, The signs of some constants associated with the Riemann zetafunction, Michigan. Math. J. 9 (1962), 395-397.
-HACHINOHE NATIONAL COLLEGE OF TECHNOLOGY, HACHINOHE, AOMORI,039-1192 JAPAN.