第２７回理論懇シンポジウム「理論天文学・宇宙物理学と境界領域」
国立天文台三鷹キャンパス
2014年12月24－26日

トリプルアルファ反応率の量子力学計算
矢花一浩
筑波大学計算科学研究センター

共同研究者：
赤堀孝彦（筑波大数理物質科学研究科→日立製作所）
船木靖郎（理化学研究所仁科加速器センター）

陽子と中性子の多体系としての原子核密度汎関数理論

殻模型
AMD
少数系厳密計算量子モンテカルロ計算による原子核の構造と反応
2・質量 ・崩壊（寿命） ・断面積 ・・・

元素の起源・星の構造に関わる原子核の情報― 構造計算（基底状態、励起状態）から反応（率）へ ―- 水素燃焼少数核子系反応の厳密計算- ヘリウム燃焼、・・・
トリプルアルファ反応、 12C(α,γ)16O、・・・- ｓ 過程、ｒ 過程
原子核質量、ベータ崩壊、(n,γ)反応、・・・

Contents

１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論

トリプルアルファ反応を巡る経緯（１）F. Hoyle, 1952
12C核の3α閾値近傍にα共鳴状態の存在を予測。

Hoyle 状態
12C*(0 +)2αα

γ線12C(2 +)1

後にFowlerらにより共鳴状態が発見される。

トリプルアルファ反応を巡る経緯（２）α−α反応と、α-8Be反応の2段階過程による記述
d αα (Eαα )αBe(Eαα ) dEαα0 Γ (Be, E)
dEαααααααα = 3∫

∞K. Nomoto, F.-K. Thielemann, S. Miyaji, Astron. Astrophys. 149, 239 (1985)

NACRE compilation, C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.

低温

温度により異なる反応メカニズム

2,000万度以下
３つのα粒子が直接衝突する

高温
1億度以上ベリリウムの共鳴状態を経由
8Be* 92keV

炭素12の共鳴状態（ホイル状態）を経由12C*(0 +) 379keV
2トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,
Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.

Faddeev+HyperSpherical+R-matrix, Nguyen,Nunes, Thompson, Brown

低温(107K)で、1026倍の差

NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]

PRL109, 141101 (2012)





107 K

NACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.

Faddeev: S. Ishikawa,Phys. Rev. C87 055804 (2013)

Imaginary-time theory,Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.

109 K

Contents

１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論

原子核の中の、陽子・中性子の独立粒子運動

基本的な見方- １体近似- 独立粒子運動- 平均場ポテンシャル
陽子と中性子が原子核の中で勝手に動いている。
 2 ()()()−∆+=Vrφr
εφri i i2m


魔法数、殻模型、密度汎関数理論、・・・

軽い原子核では、独立粒子描像で理解できない状態が多数ある。
12C核のHoyle状態もその一つ小さなエネルギー（7.27 MeV）で、 12C を３つの α粒子に分解できるため、クラスター構造が発達する。
cf: 16.0 MeV 陽子の分離エネルギー
18.7 MeV 中性子の分離エネルギー

12C

4He4He4He結合エネルギー
92.16 MeV

28.29 MeV * 3 = 84.87 MeV

7.27 MeV3α threshold

Excitation energy (MeV)

12C 原子核の基底状態とHoyle状態の構造（模型による理解）

10

7.65 MeV+ (Hoyle 状態)

02
20++014.44 MeV+基底状態

Hoyle状態の現在の理解： α粒子がボーズ凝縮を起こした、空間的に広がった状態
Tohsaki, Horiuchi, Schuck, Roepke, PRL87, 192501 (2002).
Funaki, Tohsaki, Horiuchi, Schuck, Roepke, PRC67, 051306 (2003).

( )

 
   
Φ (r1 ,  , r12 ) = AΠ f Ri φ (r1 ,  , r4 )φ (r5 ,  , r8 )φ (r9 ,  , r12 )
i =1,3

12Cの構造：

原子核構造の大規模「非経験」計算の舞台（１）量子モンテカルロ法（現実的な核力から出発した原子核構造計算）
J. Carlson, S. Gandolfi, F. Pederiva, S.C. Pieper, R. Schiavilla, K.E. Schmidt, R.B. Wiringa, arXiv:1412.30818Be原子核に現れる２α構造

Hoyle状態に対する量子モンテカルロ計算（継続中）
J. Carlson, S. Gandolfi, F. Pederiva, S.C. Pieper, R. Schiavilla, K.E. Schmidt, R.B. Wiringa, arXiv:1412.3081

実験：7.65MeV、計算: 10.5MeV
原子核の密度分布

エネルギーの収束性

基底状態
Hoyle状態
Hoyle状態

基底状態

虚時間

半径

12Cの構造：

原子核構造の大規模「非経験」計算の舞台（２）「経験的な核力」を用いているが、それ以外の入力パラメータは、陽子＝６、中性子＝６のみ。
（Skyrme力）
Y. Fukuoka, S. Shinohara, Y. Funaki, T. Nakatsukasa, KY, Phys. Rev. C88, 014321 (2013).

12C
正パリティ

arrow : B(E2) value (e 2fm4)

Excitation Energy [MeV]

20linear chain (0+3)

15105013 ± 2
7.6 ± 0.4

EXP

12.8 ± 1.5

14.4 ± 0.3

8.6 ± 0.2

CAL

Hoyle state (0+2)

Ground state (01+ )14/14

Contents

１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論

トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,
Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.

Faddeev+HyperSpherical+R-matrix, Nguyen,Nunes, Thompson, Brown

低温(107K)で、1026倍の差

NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]

PRL109, 141101 (2012)




107 K

NACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.

Faddeev: S. Ishikawa,Phys. Rev. C87 055804 (2013)

Imaginary-time theory,Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.

109 K

トリプルアルファ反応率： ３つのα粒子が、核力の作用する範囲まで接近する確率が鍵

最後の融合過程を除けば、クーロン３体問題()

  2  2  2  2 4e 2 4e 2 4e 2      ()(−∇+∇+∇+++
Φ=Φr,r,rEr
1231 , r2 , r3 ) 1 2 32mrrr
122331 クーロン３体問題： 構造の計算は難しくない
ヘリウム原子の結合エネルギーの場合()

  2  2  2 e 2 2e 2 2e 2    ∇1 + ∇ 2 + −−− Φ (r1 , r2 ) = EΦ (r1 , r2 )r12r1r2  2m

1929年、Hylleraas
5桁の精度

2008年、
中辻（京大）
32桁の精度トリプルアルファ反応率計算の難しさ‐ 実験は（ほぼ）不可能。
‐ ３つの電荷を持つ粒子の散乱問題の定式化が不明。
（３つの電荷を持つ粒子の「クーロン波動関数」の解析形がない）‐ ３つの電荷を持つ粒子に対するトンネル現象を扱うことが必要。
反応率は温度とともに1060も変化する。
数値計算の精度に細心の注意を払う必要。

クーロン透過率（２体反応）
Pl (E , R ) =kR
22Fl (kR ) + Gl (kR )クーロン波動関数

Contents

１．トリプルアルファ反応の歴史と現状
２．炭素原子核 - 12C - の構造
３．トリプルアルファ反応率の難しさ
４．光捕獲反応率の虚時間理論

光捕獲反応の反応率の計算： ふつうは、まず断面積𝜎𝜎𝛾𝛾 E を求め、次にマクスウェル分布で統計平均をする。

vσ ∝ ∫ dEEe − E / kT σ γ (E )ガモフピーク

Energyvσ ∝ ∫ dEEe − E / kT σ γ (E )断面積𝜎𝜎𝛾𝛾 E を経ずに、直接反応率を求める。 ⇒ 虚時間理論
KY and Y.Funaki. PRC85,055803(2012)

Im t = β =温度の逆数を虚数の時間軸とみなす。

Re t1kT虚時間法（２体散乱の場合）

光捕獲断面積の表式

統計平均：温度 𝛽𝛽 = 1/𝑘𝑘𝐵𝐵 𝑇𝑇M λµ = ∑ ri Yλµ (rˆi )λ Ek − E f vσ fi ∝  c 2 λ +1i∈ p
 * 
 2

λ
フォトンの多重度∫ dr φ f (r )M λµφk (r )束縛状態（終状態）
() =1φdrrf∫2

 − βEvσ ∝ ∫ dk e k vσ fi

散乱状態（初期状態）

eikr
ik r
ˆ
φ (r ) → e + f (r )rk(2-body)（ハミルトニアンのスペクトル表現）
vσ fi ∝ φ f M λµ e− βHˆ Hˆ − E f  c 

2 λ +1+Pˆ M λµ φ fPˆ = 1 − ∑ φn φnn散乱状態を消去できる。そのかわり、指数演算子 exp[-βH] が現れる。

指数演算子 exp[-βH] の計算 ⇒ 虚時間発展 Hˆ − E f − βHˆ vσ fi ∝ φ f M λµ e c 

出発点は、光放出後の束縛波動関数に、光遷移演算子を掛けたもの。

虚時間軸に沿って、時間発展計算。
期待値として反応率が得られる。

2 λ +1β=+Pˆ M λµ φ f

1kTψ (β = 0) = M λ = 2, µ +φ f−∂ψ (β ) = Hψ (β )∂β β   Hˆ − E f vσ ∝ ψ   2  c

2 λ +1β 2ψトリプルアルファ反応の計算：ハミルトニアン- α粒子は点粒子として扱う。
- ハミルトニアンは現象論的に作る。
H = T + V12 + V23 + V31 + V123

・α−α間のポテンシャルは、8Beの共鳴状態を再現
・α−α−α間の３体ポテンシャルを導入、Hoyle状態を再現

トリプルアルファ反応を巡る経緯（３）量子３体計算に基づく反応率、2009～
CDCC, Ogata, Kan, Kamimura,Prog. Theor. Phys. 122 (2009) 1055.

Faddeev+HyperSpherical+R-matrix, Nguyen,Nunes, Thompson, Brown

低温(107K)で、1026倍の差

NA2<ααα> [cm6 s-1 mol-2]

PRL109, 141101 (2012)
107 KNACRE compilation
C. Angulo et.al, Nucl. Phys. A656 (1999) 3.

Faddeev: S. Ishikawa,Phys. Rev. C87 055804 (2013)

Imaginary-time theory,Akahori, Funki, Yabana arXiv: 1401.4390.

109 K

計算に用いる空間領域（α粒子間の距離）に関する収束性
31
𝑟𝑟⃗ , 𝑙𝑙 = 0

rmax = 100 fm
Rmax= 100 fm

rmax = 200 fm
Rmax= 200 fm

rmax = 400 fm
Rmax= 400 fm

rmax = 500 fm
Rmax= 500 fm

𝑅𝑅 , 𝐿𝐿 = 02

重なっているrmax = 600 fm
Rmax= 600 fm

rmax = 50 fm
Rmax= 50 fm

虚時間＝
温度の逆数
100 MeV-1= 1.15 x 108 K=1/kBT

1000 MeV-1= 1.15x 107 K 27/22

虚時間計算とNACRE反応率は、高い精度で定量的に一致反応メカニズムが切り替わる温度も一致している。
>1>1𝑇𝑇 ≲ 7.4 × 107 K

𝑇𝑇 ≲ 2.8 × 107 K(K.Nomoto, AJ253(1982)798)

𝑇𝑇 = 7.4 × 107 K

三つのα粒子が直接核融合する反応

12C*を経由する反応

𝑇𝑇 = 2.8 × 107 K
8Be*+α反応

虚時間発展した波動関数 ψ (R, r , β ) から、反応メカニズムが分かる。
反応率
𝛽𝛽 = 10 MeV −1 (T = 1.15 × 109 K)

𝛽𝛽 = 200 MeV −1 (T = 5.76 × 107 K)

RRrr𝛽𝛽𝑟𝑟 𝛽𝛽 ∝ Ψ2

� − 𝐸𝐸𝑓𝑓 2λ+1𝐻𝐻𝛽𝛽Ψ2ℏ𝑐𝑐𝛽𝛽 = 400 MeV −1 (T = 2.88 × 107 K)
Rr

𝑇𝑇 = 7.4 × 107 K

三つのα粒子が直接核融合する反応
𝛽𝛽 = 1000 MeV −1 (T = 1.15 × 107 K)

12C*（Hoyle状態）を経由
8Be*+α反応

𝑇𝑇 = 2.8 × 107 K
29/11虚時間理論から、NACRE（〜野本）の式を導くことができる必要とされる仮定
1. ３体ハミルトニアンが, α-α と α-8Be の部分に分解できる（分離型仮定）

H = H αα + H αBe
2. Hoyle状態が、 α−α と α-8Be の共鳴状態の積で記述できる

虚時間理論とR行列理論を組み合わせて、
3 2π 2 
ααα = 6 ⋅ 3 MkT α Γα 8 Be; Eαα1× ∫ dEαα2π Er 8 Be − Eαα 2 + Γα (Eαα ) / 432( ( )(()))

Γα 12 C; Eα 8Be
1× ∫ dEα 8Be
2π Er 12 C − E 8 2 + Γα (E 8 ) / 4α Beα Be( ( ))() ())

 Eαα + Eα 8Be − E 12 C;2 +  Eαα + Eα 8Be 12× exp − ⋅ Γγ C  12++ 12kT E C;0 2 − E C;2 ( )(2 λ +1この結果は、ほぼNACREで用いられている式に一致

まとめ

軽い原子核の構造の非経験的に記述が可能に。
基底状態から励起状態へ、構造から反応へ、発展途上。
トリプルアルファ反応の、量子３体理論に基づく計算は2009年から始まった。
低温で、収束した答えが出ていない。
クーロン３体系のクーロン波動関数の欠如が困難の原因。
我々は、光捕獲反応率の虚時間理論を提案した ⇒ NACRE（野本理論）を支持

１０－２０年のレンジで、元素合成で必要とされる反応率の信頼できる非経験的計算を行うことが目標。