61

数理解析研究所講究録
第2061巻 2018年 61-64

Simple modules in the stable
Auslander‐Reiten quivers for finitegroup algebras
Center for Frontier Science, Chiba University\mathrm{e}‐mail koshitan@math.s.chiba−u.ac.jp
千葉大学先進科学センター

Shigeo Koshitani

越谷重夫

1. INTRODUCTION

これは Caroline Lassueur との共同研究である ([KL17] 参照)。以下、 kを標数 p>0 の代数的閉体、 G を有限群、 kG をそれらの群代数 (群多元環) とする。ただし以下ずっと p||G| を仮定しておく。使われている語句の定義などは [NT88] 、[Ben98] を参照のこと。さて、唐突だが、次の問題を考える。

問題 A. B を kG のブロックであって、wild‐表現型だとする。このとき、B に属する単純(既約)kG ‐加群の、 kG の安定 Auslaner‐Reiten

簸の連結成分におけるその位置を考えたとき、必ず端に位置するのだ
ろうか?

この問題に関しては、1980‐90年代に結構盛んに研究されていて、以下の関連する論文がある[Kaw97, KMUOO, KMUOI, BUOI] 。

我々もこれらの結果を鑑みて、上記の問題を考えた。具体的には、素数 p が奇数、そして G の Sylow‐p 部分群は可換、また B:=B_{0}(kG)が主ブロックである場合を取り扱った。関係する結果としてはKawata‐Michler‐Uno [KMUOO, Theorem 5] および[Erd95]
次に今回の我々の主定理、およびその系を述べる。などがある。

62

定理 B. まず、 N\underline{\triangleleft}G であって G/N は p' 位数を持つ可解群とする。そしてBと b をそれぞれ kG と kN のブロックとして、どちらも wilde

表現型であって、更に 1_{B}=1_{b}(つまり環としての単位元は同じもの)を仮定する。このとき、もしも 単純 b ‐加群がすべて安定 Auslander‐Reiten 簸の連結成分の端に位置するのであれば、同じことが単純 B ‐加群に対しても成り立つ。

定理 C. 素数 p は奇数, G のSylow‐部分群は非巡回群である可換群、そして O_{p'}(G)=1 を仮定する。また、O^{p'}(G) =Q\times H_{1} \times(m\geq 0) とする。ここで Q は可換 p 群、そして H\mathrm{i}, H_{2},\cdots\times H_{m}, H_{m} はす

べて非可換有限単純群で位数が p で割り切れるもの、とする。更には、以下の3つの条件のうち、どれか一つが満たされているとする。

(i) Q\neq 1 ;(ii) Q=1 かつm\geq 2 ;(iii) Qm==1

かつ

1_{\backslash }その上、すべての単純 B_{0}(kH_{1}) ‐加群

は、 kH_{1} の安定 AuslandeT‐ReHen 簸の連結成分の端に位置している。ここで B_{0}(kH_{1}) は kH_{1} の主ブロックである。
この時、すべての単純 B_{0}(kG) ‐加群は、 kG の安定 Auslander‐Reiten 簸の連結成分の端に位置している。ここで B_{0}(kG) は kG の主ブロックである。

系D. p をやはり奇素数、そして、すべての非可換有限単純群 H に対して、すべての単純 B_{0}(k\mathrm{H}) ‐加群は kH の安定 Auslander‐Reiten 簾の連結成分の端に位置している、と仮定する。この時、非巡回かつ可換 Sylowp ‐部分群をもつどんな有限群 Gに対して、すべての単純 B_{0}(kG) ‐加群

は kG の安定 Auslander‐Reiten 簸の連結成分の端に位置している。

こ

こで B_{0}(*) の意味は上記定理と同じである。

p= 2の場合には、Kawata‐Michler‐Uno [KMUOO] で同様のことが証明されている。

63

最後に、上記定理の別の系として以下のことも得られた。これは p=3の場合の [KMUOO, Theorem 5(\mathrm{a}) ] と同値である。
定理 E. p= 3 とする。 G を可換 Sylow 3‐部分群をもつ有限群とする。もしも、主ブロック B_{0}(kG) がwild 表現型であれば,すべての単純 B_{0}(kG)-7\mathrm{J} 「」 \ovalbox{\t smal REJ CT} は、 kG の安定 Auslander‐Reiten 簸の連結成分の端に位置している。

Acknowledgements. 今回の研究集会世話人であった、飛田明彦さん、亀子正喜さんには大変感謝しています。

REFERENCES[Ben98]

D.J. Benson. Representations and Cohomology I. Cambridge Univ. Press,
1998[BUOI].

C. Bessenrodt and K. Uno, Character relations and simple modules in
the Auslander‐Reiten graph of the symmetric and alternating groups andtheir covering groups, Algebr. Represent. Theory 4 (2001), 445‐468.

[Dad73][Erd90]E.C. Dade, Block extensions, Illinois J. Math. 17 (1973), 198‐272.
K. Erdmann, Blocks of tame representation type and related algebras.,
Lecture Notes in Mathematics, 1428. Berlin etc.: Springer‐Verlag, 1990.

[Erd95]

K. Erdmann, On Auslander‐Reiten components for group algebras, J.
Pure Appl. Algebra 104 (1995), no. 2, 149‐160.

[FH93]

P. Fong and M.E. Harris, On perfect isometries and isotypies in finitegroups, Invent. Math. 114 (1993), 139‐191.

[Kaw97]

S. Kawata, On Auslander‐Reiten components and simple modules forfinite group algebras, Osaka J. Math. 34 (1997), 681‐688.

[KMUOO] S. Kawata, G. O. Michler, and K. Uno, On simple modules in theAuslander‐Reiten components offinite groups, Math. Z. 234 (2000), 375‐
398.

[KMUOI] —, On Auslander‐Reiten components and sirnple modules for finitegroups of Lie type, Osaka J. Math. 38 (2001), 21‐26.
[KL17]

S. Koshitani and C. Lassueur, Simple modules in the Auslander‐Reiten
quiver\mathcal{S} of principal blocks with abelian defect groups..

64[KY10]

S. Koshitani and Y. Yoshii, Eigenvalues of Cartan matrices of principal
3‐blocks of finite groups with abelian Sylow 3‐subgroups, J. Algebra 324(2010), 1985‐1993.

[Kue90]B. Külshammer, Morita equivalent blocks in Clifford theory of finitegroups, Astérisque 181‐182 (1990), 181‐182.

[Kue95]

B. Külshammer, Donovan’s conjecture, crossed products and algebraic
group actions, Israel J. Math. 92 (1995), 295‐306.

[NT88][OU94]

永尾汎‐津島行男,有限群の表現,裳華房,1987.
T. Okuyama and K. Uno, On the vertices of modules in the Auslander‐Reiten quiver. II, Math. Z. 217 (1994), no. 1, 121‐141.