数理解析研究所講究録
1074 巻 1999 年 69-75

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The virtual cohomological dimensionof Coxeter groups-results of Bestvina-Mess and Dranishnikov-

筑波大学大学院数学研究科
保坂哲也 (Tetsuya Hosaka)

1

はじめに

近年、 ある群 (hyperbolic grOuP, Coxeter grouP, etc) に対して、群の boundary と呼ばれる位相空間を考え、 その性質を求めることが盛んに行われている。群の boundary に関する –般的な定義は Bestvina [Be2] によって与えられているが、 ここでは特に Coxeter
group の boundary に関して、 Dranishnikov [Drl] の結果を中心に紹介する。
Coxeter group の boundary は極限によって定義され、 一般に複雑な形をしている。例
で $\dim\partial\Gamma=2,$となる例が Dranishえば、 Coxeter group の boundary
nikov [Drl] によって構成されている。 ここで、 abelian group $G$ に関する compact metricspace $X$ の cohomological dimension $\dim_{G}X$ は次のように定義される。
$\partial\Gamma$$\Gamma$$\dim_{G}X=\sup${$i|\check{H}^{i}(X,$$\dim_{\mathrm{Q}}\partial\Gamma=1$$A;G)\neq 0$ forsome closed set$A\subset X$}

一般に $X$ が有限次元のときには $\dim X=\dim_{\mathrm{Z}}X$ が成り立ち、 また、 $X$ が polyhedronや manifold の場合には、任意の $G$ に対して $\dim X=\dim cX$ が成り立つことが知られている。 このことから分かるように、上の例は Coxeter group の boundary が polyhedron やmanifold のような単純な形を–般にはしていないことを示している。
$-$ 方、 compact metric space の cohomological dimension theory において、歴史的にとなるものが存在するかどうかがcompact metric space X。で $\dim X_{n}=n,$問題であった。 この問題は、 $n=2$ については 1930 年代に Pontryagin によって、 $n=3$ については 1960 年代に Kuzminov [Ku] によって、そして、すべての について 1980 年代にDranishnikov [Dr3] によって肯定的に解決された。 (すなわち、 このような cohomologicaldimension を持つ compact metric space が構成された。)$\dim_{\mathrm{Q}}X_{n}=1$$n$ここで、 次の問題が提起される。

Problem 1.1 (Dranishnikov [Drl]) Does there exists a Coxeter group?
and$\dim\partial\Gamma_{n}=n$$\Gamma_{n}$such that$\dim_{\mathrm{Q}}\partial\Gamma_{n}=1$

Problem は、 現在 $n\geq 3$ について未解決である。 まず、 Bestvina-Mess およびDranishnikov の諸結果を紹介し、最後に、 それらを踏まえてこの Problem に関していまこの何が課題となっているかについて述べる。

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2

Coxeter group

まず、 (right-angled) Coxeter group および (right-angled) Coxeter system の定義を与える。

Definition 2.1 Let
following conditions:$V$be a finite set. Let $m:V\cross Varrow \mathrm{N}\cup\{\infty\}$ be a map satisfying the(i) $m(v, w)=m(w, v)$ for all$v,$$w\in V$ ,(ii) $m(v, v)=1$ for all $v\in V$ ,(iii) $m(v, w)\geq 2$ for all $v\neq w\in V$ .
The group given by the presentation V $|(vw)^{m(w)}v,=1$ for $w\in V\rangle$ is called a Coxeter
is called a Coxeter system. If $m(v, w)=2$ or for all $v\neq w\in V$ ,group and the pairis called a rightgroup is called a right-angled Coxeter group and the pairthenangled Coxeter system.
$\Gamma$$v,$$\langle$$(\Gamma, V)$$\infty$$(\Gamma, V)$$\Gamma$$\mathrm{t}\mathrm{Y}\mathrm{e}$Coxeter system$(\Gamma, V)$と $W\subset V$ について、$\Gamma_{W}$を $W$ によって生成される$\Gamma$の部分群の parabolic subgroupをとする。 このとき $(\Gamma_{W}, W)$ は再び Coxeter system となり、と呼ぶ。 Coxeter system $(\Gamma, V)$ に対して simplicial complex $K(\Gamma, V)$ が次のように定義さ$\Gamma$$\mathrm{r}_{w}$れる。

that generated a finite
Definition 2.2 Let $F$ be the set of all nonempty subsets ofsubgroup of , i.e.
: finite group,}.
{$V$$\Gamma$$\mathcal{F}=$$W\subset V|\Gamma_{W}$$W\neq\emptyset$

Then the simplicial complex $K(\Gamma, V)$ is defined by the following conditions:(i) the set of vertices of $K(\Gamma, V)$ is(ii) for$F$$v_{0},$$\ldots,$$v_{k}\in V,$$\{v_{0}, \ldots, v_{k}\}$$V$,spans asimplex of $K(\Gamma, V)$ if and only if$\{v_{0}, \ldots, v_{k}\}\in$.

Right-angled Coxeter system の $K(\Gamma, V)$ を特徴付けるために flag complex を定義する。

Definition 2.3 A simplicial complex $K$ is called a flag complex if any finite set of vertices,which are pairwise joined by edges, spans a simplex in $K$ .
Remark 2.4 The barycentric subdivision of a simplicial complex is a flag complex.
このとき、 次が成り立つ。

Proposition 25 (Davis [Dal])

71(1) Letbe a right-angled Coxeter system. Then $K(\Gamma, V)$ is a finite flag complex.

$(\Gamma, V)$(2) Let $K$ be a any finite flag complex. Then there is a right-angled Coxeter systemwith $K(\Gamma, V)=K$ . Namely, let $V$ be the vertex set of $K$ and define $m$ :by$(\Gamma, V)$$V\cross Varrow \mathrm{N}\mathrm{U}\{\infty\}$

1if $v=w$$m(v, w)=\{$ 2if $\{v, w\}$ spans an edge in $K$
otherwise$\infty$

If$\Gamma$is the associated right-angled Coxeter group, then $K(\Gamma, V)=K$ .

この Proposition から、 right-angled Coxeter system とfinite flag complex が–対– に対応していることがわかる。

Coxeter group3) virtual cohomological dimension$\sigma$

一般に、群の cohomological dimension は次のように定義される

Definition 3.1 Let be a group andof over is defined as$\Gamma$$\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}\Gamma=\sup$$R=\mathrm{Z}$$\mathrm{c}\mathrm{d}\Gamma$

be a ring with 1. The cohomological dimension$R$$\Gamma$

If$R$$\circ$then$\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Z}}\Gamma${ $i|H^{i}(\Gamma;M)\neq 0$ for some$R\Gamma$-module $M$ }.

is simply called the cohomological dimension of$\Gamma$, and denoted by.

一般に finite index な torsion-free subgroup を持つ群を virtually torsion-free group と呼ぶが、 このような群に対して virtual cohomological dimension が次のように定義される。

be a torsion-free subDefinition 3.2 Let be a virtually torsion-free group andis
group of finite index. Then the virtual cohomological dimension of over a ringthen vcdz is simply called the virtual. If, and denoted bydefined ascohomological dimension of , and denoted by vcd .
$\Gamma’\subset\Gamma$$\Gamma$$R$$\Gamma$$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}\Gamma$$\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}\Gamma’$$R=\mathrm{Z}$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

Remark 3.3 A Coxeter group is virtually torsion-free and the virtual cohomological dimension of a Coxeter group is finite.
次の Theorem が Dranishnikov によって示された。 この Theorem から Coxeter groupの virtual cohomological dimension が $K(\Gamma, V)$

Theorem 3.4 (Dranishnikov [Drl]) Let
pal ideal domain. Then there is the formulaから得られることがわかる。

$(\Gamma, V)$

be a Coxeter system and$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}\Gamma=\max\{1\mathrm{c}\mathrm{d}RK(\Gamma, V), \mathrm{c}\mathrm{d}RK(\Gamma, V)+1\}$.

$R$

be a princi-72

ただしここで、 simplicial complex $K$ と abelian group $G$ に対して、 $G$ に関する $K$ の

local cohomological dimension$\mathrm{c}\mathrm{d}_{G}K$$1\mathrm{c}\mathrm{d}_{G}K$と、 $G$ に関する $K$ の global cohomological dimension.

は次で与えられる。
$1 \mathrm{c}\mathrm{d}_{c^{K}}=\max_{\sigma\in K}${$i|H^{i}(\mathrm{S}\mathrm{t}(\sigma,$$K)$, Lk$(\sigma,$$\cdot$.

$K);^{c)}\neq 0$}$\mathrm{c}\mathrm{d}_{G}K=\max\{i|H^{i}(K;G)\neq 0\}$

これらの次元は次のような性質を持つことが知られている。

Proposition 3.5 (Dranishnikov [Drl]) Let $K$ be a -dimensional simplicial complex.Then$n$

for any abelian group$G$for any non-trivial abelian group

$G$

(1)

$\mathrm{c}\mathrm{d}_{G}K\leq 1\mathrm{c}\mathrm{d}_{c^{K}}\leq\dim K$(2)$1\mathrm{c}\mathrm{d}_{G^{\mathrm{S}}}\mathrm{d}K=n$,.

Here sd $K$ is the barycentric subdivision of $K$ .

4Coxeter grouP の boundary

ここでは簡単のため、 right-angled Coxeter group についてのみ述べる。 Right-angled
Coxeter group の boundary を定義するために、 まず right-angled Coxeter systemに対して cubical complexを定義する。
$(\Gamma, V)$$\Sigma(\Gamma, V)$

Definition 4.1 The cubical complex(i) the vertex set of(ii) for$\gamma,$$\gamma’\in\Gamma,$(iii) for
andif and only if$\gamma\in\Gamma$$\Sigma(\Gamma, V)$$\{\gamma, \gamma’\}$$v_{0},$

is$\Gamma$$\Sigma(\Gamma, V)$,spans an edge in$\ldots,$$\Sigma(\Gamma, V)$

if and only if the length, the edges
spans a -simplex in $K(\Gamma, V)$ .

$v_{k}\in V$$\{v_{0}, \ldots, v_{k}\}$is defined by the following conditions:$|\gamma,$$\gamma v_{0}|,$$|\gamma,$$\Sigma(\Gamma, V)$

on which each cube of$\Sigma(\Gamma, V)$

$k$

$k$

$\Sigma(\Gamma, V)$$\mathrm{o}\mathrm{n}+_{\lrcorner}\mathrm{h}\mathrm{e}$$\Sigma(\Gamma, V)$,form a -cube in$\gamma v_{k}|$$\ldots,$

We define the natural metriccubical complex
is isometric to the standard unit cube in Euclidean space.
このとき、$\ell_{V}(\gamma^{-1}\gamma’)=1$は次の性質を持つ。

Proposition 42 (cf. Davis [Da2])(1) The cubical complex$\Sigma(\Gamma, V)$

is a CAT(O) geodesic space and contractible.

be a torsion-free subgroup of finite index. Thencover of an Eilenberg-MacLane complex.

(2) Let$\Gamma’\subset\Gamma$$K(\Gamma’, 1)$(3) $vcd_{R} \Gamma=\max\{i|H_{c}^{i}(\Sigma(\Gamma, V);R)\neq 0\}$ .

$\Sigma(\Gamma, V)$is the universal

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ここで CAT(O) geodesic space の定義は次で与えられる。

Definition 4.3 Let (X, ) be a metric space. A path $g:[0, a]arrow X$ is a geodesic if it is anisometric embedding, i.e., if $d(g(t), g(s))=|t-s|$ for all $t\in[0, a]$ . A metric space $X$ isa geodesic space if any two points can be connected by a geodesic segment.
Let $X$ be a geodesic space. For any triangle$x2\in X$ , a triangle $x_{0’ 1}’x’’,$is’$X$called a comparison triangle forif $d(x_{i,j}x)=||x_{i^{-X_{j}||}}’$ for $i,j\in\{0,1,2\}$ .
iscalled aspace if for every three points$x2\in X$ and for every point
lying$d(x_{0,y)}\leq||X_{0^{-y}}’J||$ for corresponding comparison triangle
on a geodesic joining andand corresponding point.
$d$$s,$$x_{0},$$x_{0},$ $x_{1},$$x2$$CA\tau(\mathrm{O})$$x_{0},$$x_{1}$$x_{0’ 1}’x^{;},$$x_{2}\in \mathrm{R}^{2}$$x_{1},$$x_{1},$$y$$x_{2},$$y’\in \mathrm{R}^{2}$$x_{2}^{;}\in \mathrm{R}^{2}$

CAT(O) geodesic space に対して visual sphere と呼ばれる位相空間が次のように定義される。

Definition 4.4 Let $X$ be a CAT(O) geodesic space. For $x\in X$ , the visual sphere of $X$ at
is dePned as $S_{x}(\infty)=$ { : $[0,$ $\infty)arrow X$ geodesic ray $|g(0)=x$ } with the topology of theuniform convergence on compact sets.
$x$

$g$

このとき、 次が成り立つ。

Proposition 4.5 (cf. Davis [Da2], Dranishnikov [Dr2]) Let $X$ be a proper CAT(O)geodesic space. (A metric space is proper if every closed metric ball is compact. )(1) A visual sphere is a compact metrizable space and $X$ can be compactified by adding
a visual sphere.
$S_{x}(\infty)$(2) For every $x,$ $y\in X$ , the visual spheres$S_{x}(\infty)$

ここで right-angled Coxeter group の boundaryand$S_{y}(\infty)$

are homeomorophic.

を次のように定義する。

Definition 4.6 For a right-angled Coxeter system
as the visual sphere of CAT(O) geodesic space$(\Gamma, V)$$\Sigma(\Gamma, V)$, the boundary$\partial\Gamma$

of$\Gamma$

is defined.

このとき、 Coxeter group とその boundary については次が成り立つ。 この Theorem は、最初 hyperbolic group に関して Bestvina-Mess [B-M] によって与えられたものである$0$

Theorem 4.7 (Bestvina-Mess [B-M], Dranishnikov [Drl]) Let
system. Then

is an

(1)

$\Sigma(\Gamma, V)\cup\partial\Gamma$(2)$\dim_{R}\partial\Gamma=\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{R}\Gamma-1$$\mathrm{A}\mathrm{R}$, and$\partial\Gamma$

is a -set infor any ring$\mathrm{Z}$$R$

with 1.

$\Sigma(\Gamma, V)$

火$\partial\Gamma$$(\Gamma, V)$

be a Coxeter

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5

Dranishnikov の問題について
ここで Problem 1.1 について考える。 まず Theorem 4.7 から、 Problem 1.1 は次のように言い換えることができる。

Problem 5.1 Does there exists a Coxeter group?

$\Gamma_{n}$such that vcd $\Gamma_{n}=n+1$ and$\mathrm{v}\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}n}\Gamma=$$2$

また、 right-angled Coxeter group に関する Problem 5.1 は、 Theorem 3.4 と Proposi-tion 2.5 から、 さらに次のように言い換えることができる。
Problem 5.2 Does there exists a Pnite flag complex$K_{n}$

such that$\max\{1\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{z}}Kn’ \mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Z}}K_{n}+1\}=n+1$$\max\{1\mathrm{C}\mathrm{d}\mathrm{Q}Kn’ \mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}K_{n}+1\}=2$

and?

ここで、望む global cohomological dimension を持つ finite flag complex を構成することは容易で、例えばとなるような finite simplicial complex を重心細分したものを $K$ とすることにより、をみたす finite flag complex $K$が得られる。しかし、重心細分したことから Proposition 35 よりとなり、結局となる。 $n=2$ の場合に関してはこの方法でを得ることができる (Dranishnikov [Drl]) が、 $n\geq 3$ に関してはこの方法では条件をみたすを得ることはできない。逆に、 $n=3$ に関しては望む local cohomologicaldimension を持つような finite flag complex を構成する手法が Dranishnikov [Drl] によって与えられているが、 この場合については今度は global cohomological dimension が望むようにコントロールできない状況にある。 Problem 1.1 を肯定的に解くことを考えるとき$\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Z}}L=n,$$L$$\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}L=1$$\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Z}}K=n,$$\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}K=1$$1\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}K=1\mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Z}}K=\dim K$$\max\{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{Q}K, \mathrm{c}\mathrm{d}_{\mathrm{Q}}K+1\}=\dim K$$K_{2}$$K_{n}$

flag complex ) global cohomological dimension
local cohomological dimension
両方をどのようにしてコントロールするかということが今後の課題となっている。
$\sigma$$l_{_{\text{、}}^{}rightarrow}$$\text{と}$)$\sigma$

参考文献[Bel] M. Bestvina, The virtual cohomological dimension of Coxeter groups, GeometricGroup Theory Vol l, LMS Lecture Notes 181, 19-23.
[Be2] M. Bestvina, Local homology properties of bundaries of groups, Michigan Math. J.
43 (no. 1) (1996), 123-139.

[B-M] M. Bestvina, G. Mess, The boundary of negatively curved groups, Jorn. of Amer.
Math. Soc. 4 (no. 3) (1991), 469-481.
[Br]K. S. Brown, Cohomology of groups, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin,1982.

75[Dal] M. W. Davis, Groups generated by reflections and aspherical manifolds not coveredby Euclidean space, Annals of Math. 117 (1983), 293-324.
$-$[Da2] M. W. Davis, Nonpositive curvature and reflection groups, Preprint (1994).
[Drl] A. N. Dranishnikov, On the virtual cohomological dimensions of Coxeter groups,Proc. Am. Math. Soc. 125 (no. 7) (1997), 1885-1891.

[Dr2] A. N. Dranishnikov, Boundaries and cohomological dimensions of Coxeter groups,Preprint (1994).
[Dr3] A. N. Dranishnikov, Homological dimension theory, Russian(1988), 11-63.

Math. Surveys 43 (4)$\cdot$[Gr]

M. Gromov, Hyperbolic groups, Essays in group theory (S. M. Gersten,.:Publ. 8 (1987), 75-264.

[Hu]

J. E. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge UniversityPress, 1990.

[Ku]

V. I. Kuzminov, Homological dimension theory, Russian Math. Surveys 23 (5)(1968), 1-45.

$\mathrm{e}\mathrm{d}$) M.S.R.I.