156

数理解析研究所講究録
第2083巻 2018年 156-166

項内に束縛関係を持つ一階述語論理の構成
東京工業大学情報理工学院中村知己
Kazuki Nakamura

Department of Mathematical and Computing Science,
Tokyo Institute of Technology
東京工業大学情報理工学院鹿島亮*1Kashima Ryo

Department of Mathematical and Computing Science,
Tokyo Institute of Technology

1

はじめに
一階述語論理では \foral _{1}\exists によって,論理式中の変数記号を束縛する.一方で項について考えると,一般に数学

では総和記号 $\Sigma$ や積分記号 \displayst le\int を使って表されるような項内に束縛関係を持つ項を考えるのに対し,一階述語論理における項の定義はこのような項を許していない.本研究の目的はこのような項を自然に表現できるように一階述語論理を拡張することである.また,拡張体系と二階述語論理との関係について考察する.

本稿における通常の一階述語論理に関する記法や議論は主に文献 [1] に基づく.

2

構文論

2.1

言語と文法

本論文にて一階述語論理の言語は以下の記号を持つ.

変数記号x, y, z ,関数記号\displaystyle\int, g, h ,

で表す.
で表す.

束縛演算子記号F, G ,

述語記号

p, q ,

で表す.

論理記号=, \perp, \wedge, \vee, \rightarrow 、 \neg,\forall, \exists

補助記号で表す.(これが本稿で拡張されたものである))

関数記号,述語記号には1つの,束縛演算子記号には2つの,アリティと呼ばれる自然数 ( 0 を含む) がそれぞれ定まっており,明示的にアリティを示す際には n‐B1数関数記号, n-\mathrm{i}_{\lrcorner}\mathrm{i}| 数述語記号 n, m ‐引数束縛演算子記号と呼ぶ.特に“引数関数記号を定数記号と呼び c を使って表すことにする.変数記号の集合を Var とする.また,変数記号は可算無限個,その他の記号は高々可算個存在するものとする.
定義2.1

*1

kashima@is titech.acjp (代表著者)

157

項の定義を次のように拡張する.

T x|f_{n}t_{1}\cdots t_{n}|F_{n,m}(x(t_{1}\cdots t_{n})t_{1}'\cdots t_{m}')ここで x は変数記号, f_{n} は n 引数関数記号, F_{n,m} は n, m_{\mathrm{J} -F| 数束縛演算子とする.

また, F_{n,m}(x(t_{1}\cdots t_{n})t_{1}'\cdots t_{m}') という形の項に対して, x を束縛変数記号, f_{1)}\ldots, t_{n} を束縛項, t_{1}',t_{m}' を自由項と呼ぷことにする.

項 F_{n,m} (X (t\mathrm{i} . . t_{n})t\mathrm{i} . . t_{m}') では束縛項 t\mathrm{i},t_{n} が変数記号 a ・で束縛されており,自由項 t_{1}',

されていない.例えば,総和 \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k+\mathcal{C}) は1; 2_{-\lrcorner}^{P}| 数束縛演算子記号 $\Sigma$ を用いて

t_{m}^{r} は束縛$\Sigma$(k(k+c)1 n) のように書く . 以下,項を S, t 等を用いて表す.
定義2.2

論理式を以下で定義する.

$\varphi$ \perp|t=s|pt_{1}\cdots t_{n}|(\neg $\varphi$)|( $\varphi$\wedge $\psi$)|( $\varphi$\vee $\psi$)|( $\varphi$\rightarrow $\psi$)|(\forall x $\varphi$)|(\exists x $\varphi$)
以下,論理式を $\varphi$, $\psi$, $\rho$ を使って表す.また括弧については誤解の余地がない場合は省略する.
束縛演算子記号からなる項以外の項および論理式の束縛関係は通常通りである.束縛演算子記号からなる項については以下のように定義する.

定義2.3
t

カ \backslash 0_{F(x(t_{1} .

t_{n})t\'{i}\cdots t_{m}') のとき t_{1},t_{n}, t_{1}',t_{m}' の束縛出現および,tí ,t_{m}' 以外に出現する x が t の束縛出現である.

項または論理式で束縛されていない変数の出現を自由出現といい,項 t , 論理式 $\varphi$ に対して,束縛出現する変数の集合を BVar (t) , BVar ( $\varphi$ ) , 自由出現する変数の集合を FVar (t) , FVar ( $\varphi$ ) と書く.自由出現する変数記号が存在しない項や論理式を閉項,閉論理式という.
定義2.4

項 t または論理式 $\varphi$ の変数記号 \primeJ:に項 s が代入可能であるとは, t, $\varphi$ の x の自由出現を項 s に書き換えた際に新たな束縛関係が生じないことをいう.代入可能であるとき,代入した結果を t[s/x], $\varphi$[s/x] と書く.

2.2

演繹体系

束縛演算子記号の導入に対して,演絆体系を拡張することを考える.等号記号を含む自然演繹に対して束縛演算子記号に関する規則を加える.

\displaystyle\frac{\foral x(t_{1}=\mathrm{s}_{1}.)\foral r(t_{2}=\mathrm{s}_{2})\cdot\cdot.\cdot\foral x(t_{n}=s_{n}) {F(x t_{1}\cdotst_{n})t_{1}\cdot _{m})=F(y \mathrm{s}_{1}[y/x]\cdots _{n}[y/x])t_{1}\cdotst_{m}) (束縛代入)(ただし y は x であるか, s_{1},s_{n}の x に代入可能かつ自由出現しない変数記号である)(束縛代入) は総和記号 $\Sigma$ の例で表すと
任意の x に対して f(x)=g(x)を導くような推論規則である.

から\displaystyle \sum_{x=1}^{n}f(x)=\sum_{y=1}^{n}g(y)158

また,論理式の集合 $\Gamma$ と論理式 $\varphi$ について解消されていない仮定がすべて $\Gamma$ の要素であるような $\varphi$ の導出
図が存在することを $\Gamma$\vdash $\varphi$ と書く.

3

意味論

3.1

ストラクチャ

-この体系に対してのストラクチャーを以下のように定める.
定義3.1
ストラクチャーとは以下の組である.

対象領域 D( D の要素を個体と呼ぶ)

関数記号 f 束縛演算子記号 F 述語記号 p の解釈 f^{M}, F^{M}, p^{M}

束縛演算子記号の解釈を除けば通常の古典論理のストラクチャーである. n, m^{P}-」 | 数束縛演算子記号 F のス

トラクチャー M での解釈 F^{M} を考える.例えば,総和記号 $\Sigma$ は束縛項の束縛変数に幾つかの整数を代入して得られた結果を足し合わせたものであるように一般に束縛項の束縛変数記号に複数の個体を代入したものを考える必要がある.すなわち束縛項の解釈は関数としての性質を持つべきであり,束縛演算子記号の解釈は個体だけでなく,関数を引数に取ることが求められる.そこで n, m‐束縛演算子記号 F_{n,m} の解釈 F_{n,m}^{M} を以下のような関数とする.

F_{n,m}^{M}:(D\rightarrow D)^{n}\times D^{m}\rightarrow D
このように定義することにより,束縛演算子の性質を満たすことができる.

項や論理式の解釈は,個体それぞれを示す名前と呼ばれる定数記号を言語に加えることにより,閉論理式や閉項についてのみ帰納的に定義する手法がある.しかしこの手法は束縛演算子を含む項を解釈するには適当ではない.実際に $\Sigma$ (k(k+c)1 n) の例において k+c がある個体に解釈されたとすると,束縛変数記号である kの情報が消えてしまい, k+c を k についての関数と解釈することができない.これを解決するため,文献 [2]で用いられる方法を採用する.個体割り当てという Var から D への写像を考え,ストラクチャーと個体割り当ての組によって項の解釈を定義することを考える.以下個体割り当ては $\sigma$ を使って表す.
項の解釈を定義する前に1つ準備をする.

定義3.2

個体割り当て $\sigma$ と x\in Var, a\in D に対して,個体割り当て $\sigma$(x\rightarrow a) を以下のように定義する.

$\sigma$(x\rightar owa)(y)=\left\{ begin{ar ay}{l} a&($\tau$)=\ $\sigma$(y)&(y\neqx) \end{ar ay}\right.
これは個体割り当てについてある変数記号に対する割り当てを指定したものである.このとき明らかに以下の2つが成り立つ.

$\sigma$(x\rightarrow a)(x\rightarrow b)= $\sigma$(x\rightarrow b)$\sigma$(x\rightarrow a)(y\rightarrow b)= $\sigma$(y\rightarrow b)(x\rightarrow a)
これらは今後断りなく用いることにする.

ストラクチャーとこの個体割り当てを用いて項の解釈を定義する.
定義3.3

ストラクチャー M と個体割り当て $\sigma$ に対する項 t の解釈 M^{ $\sigma$}(t)\in D を以下のように帰納的に定義する.

159

M^{ $\sigma$}(x)= $\sigma$(x)( x は変数記号) のとき,
t=ft_{1}\cdots 砺のとき,=fI^{ $\sigma$}(ft_{1}\cdots t_{n})=f^{M}(M^{ $\sigma$}(t\mathrm{i}), $\lambda$ I^{ $\sigma$}(t_{n}))

(1)
(2)

t=x

(3)

t=F_{n,m}(x(t_{1}\cdots t_{n})t_{1}'\cdots t_{m}') のとき,

M^{ $\sigma$} (F_{n,m} (x(t_{1}\cdots t_{n})t\'{i} . t_{m}^{r}))=F_{n,m}^{M}((M_{x}^{ $\sigma$}(t_{1}), \ldots, M_{x}^{ $\sigma$}(t_{n}))_{i}(M^{ $\sigma$}(t_{1}')\ldots., M^{ $\sigma$}(t_{m}')))
ただし M_{x}^{ $\sigma$}(t) は任意の個体 a に対して M_{x}^{ $\sigma$}(t)(a)=M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(t) をみたす D 上の関数である.
項の解釈と同様にストラクチャー M と個体割り当て $\sigma$ に対して論理式の解釈を定義する.
定義3.4

ストラクチャー M と個体割り当て $\sigma$ に対する論理式 $\varphi$ の解釈 M^{ $\sigma$}( $\varphi$) \in {True, False} を以下のように定めるM^{ $\sigma$}(\perp)=False
M^{ $\sigma$}(t=s)=Truc \Leftrightarrow M^{ $\sigma$}(t)=M^{ $\sigma$}(\mathrm{s})\Leftrightarrowp_{n}^{M} ( M^{ $\sigma$} ( l 1), M^{ $\sigma$} ( ln ))M^{ $\sigma$}(p_{n}l_{1}\cdots l_{n})=True
M^{ $\sigma$}(\neg $\psi$)=True \Leftrightarrow M^{ $\sigma$}( $\psi$)=False\LeftrightarrowM^{ $\sigma$}($\psi$_{1})=True \`{i} f^{1} つ M^{ $\sigma$}($\psi$_{2})=True
M^{ $\sigma$}($\psi$_{1}\wedge$\psi$_{2})=True\Leftrightarrow$\Lambda$ f^{ $\sigma$}($\psi$_{1})=True または M^{ $\sigma$}($\psi$_{2})=True$\Lambda$\displaystyle \frac{\prime}{}($\psi$_{1}\vee$\psi$_{2})=True\LeftrightarrowM^{ $\sigma$}($\psi$_{1})=True ならば M^{ $\sigma$}($\psi$_{2})=True
M^{ $\sigma$}($\psi$_{1}\rightarrow$\psi$_{2})=True

M^{ $\sigma$}(\exists x $\psi$)=True \Leftrightarrow \exists a\in D M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\psi$)=True\Leftrightarrow\forall a\in D M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\psi$)=True
M^{ $\sigma$}(\foral x $\psi$)=\prime l^{\urcorner}
rue

このように定義された解釈に対して,モデルという概念と \models の使い方を定義する.
定義3.5

論理式の集合 $\Gamma$ に対して,ストラクチャー M とその個体割り当て $\sigma$ が存在して,任意の $\psi$ \in $\Gamma$ に対してM^{ $\sigma$}( $\psi$)=True が成り立つとき, $\Gamma$ はモデルを持つといい,この M, $\sigma$ の組をモデルという.
定義3.6$\Gamma$ を論理式の集合, $\varphi$ を論理式とする.

$\Gamma$\models $\varphi$ とは以下が成り立っていることをいう.

$\Gamma$ のすべてのモデル M_{;} $\sigma$ に対して

3.2

M^{ $\sigma$}( $\varphi$)=True

意味論の性質

前節で定義した意味論に関するいくつかの性質を示す.すべて項や論理式の構成に関する帰納法により示
せる.

定理3.7
M を任意のストラクチャー, $\sigma$ を M の任意の個体割り当てとする.

(1)

項 t と t に自由出現しない変数 x に対して以下が成り立つ.
任意の個体 a に対して M^{ $\sigma$}(t)=M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(t)(2)

論理式 $\varphi$ と $\varphi$ に自由出現しない変数 x に対して以下が成り立つ.
任意の個体 a に対して, M^{ $\sigma$}($\varphi$')=True\Leftrightarrow M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\varphi$)=True

160

定理3.8

17I, $\sigma$ を任意のストラクチャーとその個体割り当てとする.項 s に対して -1I^{ $\sigma$}(s)=a とする.

(1)

項 t について以下が成り立つ.

M^{ $\sigma$}(t[s/x])=M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(t)(2)

論理式 $\varphi$ について以下が成り立つ.

M^{ $\sigma$}( $\varphi$[s/x])=True\Leftrightarrow M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\varphi$)=True定理3.9
M を任意のストラクチャー, $\sigma$ を M の任意の個体割り当てとする.

(1)

項 t と t の x に代入可能な項 s_{1}, s_{2} について以下が成り立つ.
M^{ $\sigma$}(9_{1})=M^{ $\sigma$}(s_{2}) ならば M^{ $\sigma$}(t[s_{1}/x])=M^{ $\sigma$}(t[s_{2}/x])(2)

論理式 $\varphi$ と $\varphi$ の x に代入可能な項 s_{1_{l}}.s_{2} について以下が成り立つ.
M^{ $\sigma$}(s_{1})=M^{ $\sigma$}(s_{2}) ならば, (M^{ $\sigma$}( $\varphi$[s_{1}/x])=True\Leftrightarrow M^{ $\sigma$}( $\varphi$[s_{2}/x])=True)

定理3.10
M を任意のストラクチャー, $\sigma$ を M の任意の個体割り当てとする.

(1)

項 t と t に自由出現しない変数記号 y および個体 a に対して以下が成り立つ.

M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(t)=M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}(t[y/.t_{i}])(2)

論理式 $\varphi$ と $\varphi$ に自由出現しない変数記号 y および個体 a に対して以下が成り立つ.

M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\varphi$)=True\Leftrightarrow M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}( $\varphi$[y/x])=True

4

健全性と完全性

4.1

健全性

定理4.1 (健全性定理)$\Gamma$ を論理式の集合, $\varphi$ を論理式としたとき以下が成り立つ.

$\Gamma$\vdash $\varphi$\Rightar ow $\Gamma$\models $\varphi$
Proof.

$\Gamma$\vdash $\varphi$ のとき $\varphi$ を導く証明図 \mathcal{A} が存在する. \mathcal{A} の大きさによる帰納法で示す.証明図の最後に使われた規則
で場合分けを行う.

\exists, \foral に関する規則と束縛代入以外については定理3.9より通常の NK と同様の方法で示せる.

(\exists I)

帰納法の仮定より $\Gamma$\models $\psi$[t/x] すなわち $\Gamma$ のモデル M. $\sigma$ に対して M^{ $\sigma$}( $\psi$[t/x]) =True. M^{ $\sigma$}(t) =aとすると定理3.8より M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\psi$)=True よって M^{ $\sigma$}(\exists x $\psi$)=True となり成立.

161(\exists E)

このとき証明図は以下のような形になる.

: (\mathcal{A}_{1})[ $\psi$[y./x]]:: (\mathcal{A}_{2})\displaystyle \frac{\exists x $\psi$\dot{ $\rho$} { $\rho$} (\exists E)$\Gamma$_{1}.$\Gamma$_{2} \subset $\Gamma$ をそれぞれ A_{1,}.A_{2} の解消されていない仮定の集合とする. \mathcal{A}_{1} に関する帰納法の仮定より $\Gamma$_{1} \models\exists x $\psi$. $\Gamma$ のモデル M, $\sigma$ について M^{ $\sigma$}(\exists x$\psi$')=True であり,このときある個体 a が存在してM^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\psi$)=True が成り立つ.定理3.10より M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}( $\psi$[y/x])= True が成り立つ.ここで y は$\Gamma$_{2} の論理式に自由出現しないため定理3.7より M, $\sigma$(y\rightarrow a) は $\Gamma$_{2}\cup\{ $\psi$[y/x]\} のモデルである. \mathcal{A}_{2} に関する帰納法の仮定より M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}( $\rho$)=True となり, y は $\rho$ にも自由出現しないので M^{ $\sigma$}( $\psi$)=Trueが成り立つ.

(\forall I) 解消されていない仮定の集合を $\Gamma$' とする. $\Gamma$' \subset $\Gamma$ であるから $\Gamma$ のモデル M, $\sigma$ は $\Gamma$' のモデルでもある. y\downar ow よ $\Gamma$' の論理式に自由出現しないため,任意の個体 a について M, $\sigma$(y\rightarrow a) は $\Gamma$' のモデルである.帰納法の仮定より M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}( $\varphi$[y/x])=Tr ue であり,定理3. 10より M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\varphi$)= True. \forall の解釈に関する定義より M^{ $\sigma$}(\forall x $\varphi$)=True となり成り立つ.

(\forall E)$\Gamma$のモデル M, $\sigma$ について,帰納法の仮定より M^{ $\sigma$}(\foral x $\varphi$) =True であり,任意の個体 a に対して M^{ $\sigma$(x\rightar ow a)}( $\varphi$)=

True が成り立つ.

aは任意であるから M^{ $\sigma$}(t)=aとすると定理3.8よ りM^{ $\sigma$}( $\varphi$[t/x])=True が成り立つ.

(束縛代入)
s_{ $\iota$})$\Gamma$ のモデル
=

True.

M, $\sigma$ について,帰納法の仮定よりり M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(s_{l})=1 \leq i \leq n となる任意の i について M^{ $\sigma$}(\foral x(t_{ $\iota$} =に対して M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(t_{i})=M^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}(s_{ $\iota$}[y/x]) であり, M^{ $\sigma$(x\rightar ow a)}(t_{\mathrm{z} )=このとき任意の個体

aM^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}(s_{i}) となる.定理3.10よM^{ $\sigma$(y\rightarrow a)}(s_{i}[y/x]) がいえる. a は任意であったので Mx (の は M_{y}^{ $\sigma$}(\mathrm{s}_{ $\iota$}[y/x]) と関数として等しい.このとき,項の解釈の定義より,
M^{ $\sigma$}(F(x(t\mathrm{i}\cdots t_{i}\cdots t_{n})t_{1}'\cdots t_{m}'))=M^{ $\sigma$}(F(x(s\mathrm{i}\cdots s_{i}\cdots s_{n})t_{1}'\cdots t_{m}')) すなわち$\sigma$M^{ $\sigma$} (F (x (t_{1}. . .t_{n})t_{1}'\cdots t_{m}')=F(y(\mathrm{s}_{1}[y/x]\cdots \mathrm{s}_{n}[y/x])t_{1}'\cdots t_{m}'))=Trupとなる.

以上より健全性が示された.口

4.2

完全性

定理4.2 (完全性定理)$\Gamma$ を論理式の集合, $\varphi$ を論理式としたとき以下が成り立つ.

$\Gamma$\models $\varphi$\Rightar ow $\Gamma$\vdash $\varphi$

本節ではこの完全性定理を証明していく.証明手法として文献 [1] でなされている通常の一階述語論理に対する完全性の証明に対し,束縛演算子記号に関する議論を加えることで行う.束縛演算子記号以外については同じ議論となるため,適宜証明は省略する.

まず,論理式の集合に対して矛盾,無矛盾という概念を定義する.

162

定義4.3

論理式の集合 $\Gamma$ に対し, $\Gamma$\vdash\perp が成り立っているとき; $\Gamma$ は矛盾するとい \mathrm{t}\backslash , そうでないとき $\Gamma$ は無矛盾であるというこの矛盾の概念を用いて以下の定理を考える.

定理4.4 (モデル存在定理)$\Gamma$ を論理式の集合としたとき以下が成り立つ.
$\Gamma$ が無矛盾 \Rightarrow $\Gamma$ はモデルを持つモデル存在定理から完全性定理を導けることが知られている.したがって,モデル存在定理を示せばよい.

文献 [1] に倣い,変数集合 Var を自由出現する変数の集合 \mathb {F} と束縛出現する変数の集合 \mathrm{B} を分けたものを考える.すなわち \mathbb{F}\cap \mathrm{B} が空集合となっているものとする.ただし, \mathb {F}, \mathrm{B} はともに無限集合であるとする.本

節では以降,項,論理式の集合として以下で定義されるものを考える.

\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{\mathrm{F},\mathrm{B} =\{ $\iota$|FVar(t)\subset $\Gamma$ , BVar (t)\subset \mathrm{B}\}Fomula $\Gamma$,\mathrm{B}=\{ $\varphi$|FVar(\backslash r\prime)\subset \mathbb{F},\backslash BVar( $\varphi$)\subset \mathrm{B}\}$\Gamma$\subset \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} かつ $\Gamma$ に自由出現しない \mathb {F} の要素が無限個存在するような \mathrm{r} に対してモデル存在定理が示すことを目標とする.

モデルを構成するため,極大無矛盾集合と呼ばれる集合を定義する.
定義4.5

論理式の集合 $\Gam a$\subset \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}_{\mathb {F},\mathrm{B} が極大無矛盾集合であるとは以下が成り立つことをいう.
\bullet $\Gamma$ は無矛盾
\bullet

任意の $\varphi$\in \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} に対して, $\varphi$\in $\Gamma$ または \neg $\varphi$\in $\Gamma$\bullet任意の \exists x $\varphi$\in $\Gamma$ に対してある項 t\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} が存在して $\varphi$[t/x]\in $\Gamma$

極大無矛盾集合の性質として以下の性質が知られている.
定理4.6$\Gamma$ が極大無矛盾集合ならば以下が成り立つ.

$\Gamma$\vdash $\varphi$\Leftrightar ow $\varphi$\in $\Gamma$
定理4.7$\Gamma$ が極大無矛盾集合ならば以下が成り立つ.

\neg $\psi$\in $\Gamma$\LeftrightarrowM^{ $\sigma$}( $\psi$)\not\in $\Gamma$$\psi$_{1}\wedge$\psi$_{2}\in $\Gamma$\Leftrightarrow$\psi$_{1}\in $\Gamma$ かつ $\psi$_{2}\in $\Gamma$$\psi$_{1}\mathrm{v}\prime$\psi$_{2}\in $\Gamma$\Leftrightarrow$\psi$_{1}\in $\Gamma$ または \mathrm{d}_{2}\in $\Gamma$$\psi$_{1}\rightarrow$\psi$_{2}\in $\Gamma$\Leftrightarrow$\psi$_{1}\not\in $\Gamma$ または $\psi$_{2}\in $\Gamma$\exists x $\psi$\in $\Gamma$\Leftrightarrow\exists s\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} $\psi$[\mathrm{s}/x]\in $\Gamma$\forall x $\psi$\in $\Gamma$\Leftrightarrow\foral s\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} $\psi$[s/x]\in $\Gamma$

163

無矛盾な論理式の集合 $\Gamma$ \subset Fomula $\Gamma$,\mathrm{B} から $\Gamma$ \subset $\Gamma$^{+} となるような極大無矛盾集合 $\Gamma$^{+} を構成する.

$\Gam a$\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}_{\mathrm{F},\mathrm{B} は可算集合であるため,要素を順に並べて $\varphi$_{1}, $\varphi$_{2},\cdotsとする. $\Gamma$_{0}= $\Gamma$ とし, $\Gamma$_{n} を以下のように定義する.

$\Gam $_{n+1}=\left{bginary}{l \mathr{}_n&(\mathr{}_n\cup{$varhi_{n+1}\tex{が矛盾する})\ $Gam $_{n}\cup tex{ヨ}$\psi',cdot\prime|',[y/x]\}&(_{$varphi_{n+1}$\Gam $_{n}\mathr{U}\extが istx$\pi tex{と}\mathr{}\backslh\eck{txつ}\mathr{J}\mathr{f}_\ovalbx{t\smalREJCT}^{\ovalbxt\smalREJCT}'\tex{のとき}n+1\iJ^{$varthe$},>\Rovalbx{\tsmalREJCT}f\tex{きhslaっ})\ mathr{}_n\cup{$varhi_{n+1}\&tex{（それ以外）}\end{ary}\ight.

(ただし y は $\Gamma$_{n} にもヨ x $\psi$ にも自由出現しない $\Gamma$ の変数記号である)$\Gamma$^{+}=\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}\mathrm{i}_{n}^{\urcorner} とすることにより,極大無矛盾集合が構成できる.
\mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{$\Gam a$,\mathb {B} に対して関係 ~を

t\sim s\Leftrightar ow l=s\in 1^{\urcorner+}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}と定義し,この関係に対して同値類をとったものを対象領域 D とする. t を代表元とする同値類を岡 と表す.
束縛演算子記号以外の解釈は通常通り以下のように定める.

\displaystyle \int^{M} ([t_{1}], [$\iota$_{n}]):=[fl_{1}\cdots l_{n}]p^{M} ([t_{1}], [t_{n}])=True\Leftrightarrow pt_{1}\cdots t_{n}\in$\Gamma$^{+}
これらは代入規則により,well‐defined であることがいえる.[1]
このストラクチャーでの束縛演算子記号の解釈を考える.束縛演算子記号の解釈は D 上の関数を引数に持つため,関数を項で表すことができるかが重要である.以下で項表現可能,項表現という概念を導入する.
定義4.8
x\in \mathbb{B} とする. D 上の関数 g が x によって項表現可能であるとは,FVar (T) \subset \mathbb{F}\cup\{x\} , BVar (T)\subset \mathrm{B} とな

る項 T が存在して,任意の s\in Term_{ $\Gamma$,\mathrm{B}} に対して以下を満たすことをいう.

g([s])=[T[s/x]]xによって項表現可能な9に対して,上のような項 T を乃,x と書き, g の x による項表現と呼ぶ.

定義4.9
このストラクチャー M での束縛演算子記号 F の解釈 F^{M} を次のように定める

F^{M} ((91, \ldots, 9_{n}),\cdot([t_{1}']) [t_{m}']))=\{[F(\prime \mathrm{r}(T_{g_{1}}, {}_{x}T_{g_{n},x})t_{1}'\cdots t_{m}')][y]\grave {}\mathfrak{W}mathrm{Q}l_{\leftarow}' \tex{て_}\mathr{b}\mathr{b} のとき )ivg_{^7}\mathfrk{d}^\mathr{i}\mathr{I}\mathr{E}_$\Gam $Xẵま}^{\mathr{n} fl\mathrm{J}\よつỗ( すあへる$\varthe$\acuてte{}\ovalbx{\tsmalREJCT} の \mathr{D}\equ(otheiwise)(ただし y は \mathb {F} のある変数記号である)
この定義が well‐defined になっていることを示す.自由項に関しては関数記号と同様に言える.束縛項に関しては,以下の定理を示せば良い.
定理4.10T_{g.,x} が g_{i} の x による項表現であり, T_{g.,y}' が防の y による項表現であるとき,以下が成り立つ.

[F(x(T_{91}, {}_{x}T_{g_{n},x})t_{1}'\cdots t_{m}')\mathrm{I}=[F(y(T_{91}', {}_{y}T_{g_{n},y}')t_{1}'\cdots t_{m}')]164

Proof.

T_{g_{n},x}, T_{91,y}' , , T_{g_{n},y}' に束縛出現する変数記号は有限であるから,これらに含まれていない \mathb {B} の変数
T_{g_{1},x},
記号 z が存在する.このとき z は T_{g_{1},x},T_{g_{n},x} の x に代入可能であり,さらに T_{g_{1},y}',T_{g_{n},y}' の y にも代入
\cdots可能である.以下の3つを示せば十分である.

[F(x(T_{g_{1}}, {}_{x}T_{g_{n)}x})t_{1}'\cdots t_{m}')]=[P(z(T_{91},x[z/x]\cdots T_{g_{n},x}[z/x])t_{1}'\cdots t_{m}')\mathrm{I}[F(y(T_{g_{1},y}'\cdots T_{g_{n},y}')t_{1}'\cdots l_{m}')]=[F(z(T_{g_{1}\rangle y}'[z/y]\cdots T_{9n}',y[z/y])t_{1}'\cdots t_{m}')\mathrm{I}[F(z(T_{g_{1},x}[z/x]\cdots T_{g_{n},x}[z/\prime x])t_{1}'\cdots t_{m}')]=[F(z(T_{g_{1},y}'[z/y]\cdots$\tau$_{g_{n},y}'1_{\vee} $\gamma$/y])t_{1}'\cdots t_{m}')\#

(4.1)
(4.2)
(4.3)

(4.1) まず \forall x(T_{g.,x}=T_{g.,x}) は仮定なしで導けるため,$\Gamma$^{+}\vdash\forall x(.)
となる.定理4.6より,\forall x(T_{g.,x}=T_{9\cdot,x})\in$\Gamma$^{+}

である.ここで z は T_{g,,x} の x に代入可能であったから,束縛代入規則より,$\Gamma$^{+}\vdash F(x(T_{9}1, {}_{x}T_{9n},x)t_{1}'\cdots t_{m}')=F(z(T_{g_{1},x}[z/x]\cdots T_{g_{\mathfrak{n}},x}[z/x])t_{1}'\cdots t_{m}')が成り立ち,定理4.6より

F(x(T_{g_{1}}, {}_{x}T_{g_{n},x})t_{1}'\cdots t_{m}')=F(z(7_{91}^{ $\tau$},x[z/x]\cdots T_{9n},x[z/x])t_{1}'\cdots t_{m}')\in$\Gamma$^{+}となる.同値類の定義より (4.1) が成り立つ.同様にして (4.2) も示せる.

(4.3) T_{g.,x}, T_{g.,y}^{r} はそれぞれ 9i の x. y による項表現であることから,任意の \mathrm{s}\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{\mathb {F},\mathrm{B} に対して,[T_{g_{)}x}[s/x]]=[T_{g.,y}'[\backslash \cdot/y]]となる.ここで z は T_{g.,x} の x 及び T_{g.,y}' の y に代入可能であったから,[T_{g_{1},x}[z/x][s/z]]=[T_{g.,y}'[z/y][s/z]]すなわち,

T_{g.,x}[z/x][s/z]=T_{g_{1},y}'[z/y][s/z]\in$\Gamma$^{+}となる.ここで, s は任意であったため,定理4.7(6) から,\forall z(T_{g_{)}x}[z/x]=T_{g.,y}'[z/y])\in$\Gamma$^{+}が言える.これを用いることで束縛代入規則から,$\Gamma$^{+}\vdash F(z(T_{91},x[z/x]\cdots T_{g_{\dot{n}},x}[z/x])t_{1}'\cdots t_{m}')=F(z(T_{g_{1},y}'[z/y]\cdots T_{9n,y}^{r}[z/ $\tau$/])t_{1}'\cdots t_{m}')が成り立つことがわかる.定理4.6より

F(\wedge\sim(Tg_{1}xx
よって同値類の定義より (4.3) が成り立つ.□
このストラクチャー M に対して, $\sigma$ を,「任意の x\in \mathbb{F} に対して $\sigma$(x)=[x\mathrm{I} 」 が成り立つ任意の個体割り当てとする.この M, $\sigma$ の組が $\Gamma$ のモデルになっていることを示す.以下 $\sigma$ はこの条件をみたすものとする.

165

補題 4_{\bullet}11x_{1},

x_{n} \in \mathrm{B}とする.FVax (S) \subset \mathbb{F}\cup\{x\mathrm{i}, x_{n}\} 、BVar (S) \subset \mathb {B} となる項 S について以下が成り立つ

M^{ $\sigma$}(s)=[s^{*}]
ただし は $\sigma$(x_{\mathrm{t} )=[t_{\mathrm{t} ] (t_{i}\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} ) としたときの代入 [t_{1}/x_{1}][t_{2}/x_{2}]\cdots[t_{n}/x_{n}] を表す.
\mathrm{x}Proof.
sの構成に関する帰納法で示す.束縛演算子記号以外の場合は省略する.簡単のため1,1‐引数束縛演算子記号の場合を示す.まず,束縛演算子を含む項の解釈の定義と帰納法の仮定から以下が成り立つ.

M^{ $\sigma$}(F(x(l)t'))=F^{M}(M_{x}^{ $\sigma$}(l)_{i}M^{ $\sigma$}(l'))=F^{M}(M_{x}^{ $\sigma$}(t), [t^{\prime*}])
ここで M_{x}^{ $\sigma$}(t) について考える.

*から a :に関する代入を除いたものを*-とすると,任意の a\in \mathrm{T}\mathrm{e}r\mathrm{m}_{ $\Gamma$,\mathrm{B} に対して,以下が成り立つ.

$\Lambda$ I_{x}^{ $\sigma$}(t)([a])=M^{ $\sigma$(x\rightar ow $\beta$ a\mathrm{I})}(t)=[t^{*-}[a/x]1

帰納法の仮定)

よって, t^{*-} は M_{x}^{ $\sigma$}(t) の x による項表現となっている.したがって,M^{ $\sigma$}(F(x(t)t'))=F^{M}(M_{x}^{ $\sigma$}(t))[t''])=[F(x(t^{*-})t^{\prime*})]=[(F(x(t)t'))^{*}]となる.したがって M^{ $\sigma$}(s)=[s^{*}] が成り立つ.口補題4.12

論理式 $\varphi$\in \mathrm{F}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{u}\mathrm{l}\mathrm{a}_{\mathrm{F},\mathrm{B} について以下が成り立つ.

$\varphi$\in$\Gamma$^{+}\Leftrightarrow M^{ $\sigma$}( $\varphi$)=True
Proof.
$\varphi$ の構成に関する帰納法で示す.

(i) $\varphi$ が \perp のときは明らか.
(ii) $\varphi$ が t=s のとき, t=s\in$\Gamma$^{+}\Leftrightarrow[t]=[s] . 補題4.11よりこれは M^{ $\sigma$}(t)=M^{ $\sigma$}(s) と同値であり,すなわち M^{ $\sigma$}(t=s)=True と同値である(iii) $\varphi$ が pt_{1}pt_{n} のとき,
pt_{1}

pt_{n}\in$\Gamma$^{+}\Leftrightarrow p^{M} ( [t_{1}\mathrm{I} , [ tn ] )=True\Leftrig(\lhtarrrow
cornerp^{M}\mathfrak{h}\'{y}(t_{1})\backslash , M (t_{n})) =True

補題4.11 )\Leftrightarrow M^{ $\sigma$} (pt_{1} pt_{n})=True(iv) $\varphi$ が \neg $\psi$, $\psi$_{1}\vee$\psi$_{2}, $\psi$_{1}\wedge$\psi$_{2;}$\psi$_{1}\rightarrow$\psi$'2 のいずれかの形のとき,定理4.7と帰納法の仮定から簡単に示せる.

166(v) $\varphi$ が \forall x $\psi$, \exists xv^{l}J のいずれかの形のとき,まず, \forall x $\psi$ について考えると,定理4.7と帰納法の仮定より\forall x $\psi$\in$\Gamma$^{+}\Leftrightarrow 任意の項 t\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{\mathrm{F},\mathrm{B} に対して $\psi$[t/x]\in$\Gamma$^{+}\Leftrightarrow 任意の項 t\in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{\mathrm{F},\mathb {B} に対して, M^{ $\sigma$}( $\psi$[t/x])=True

(4.4)
(4.5)

となる.(4.5) のとき,任意の個体 a はある項 t \in \mathrm{T}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}_{$\Gam a$,\mathrm{B} を使って [t] と表わせ,補題4.11より
M^{ $\sigma$}(t)=[t] であるから,定理3.8より
任意の個体 a に対して M^{ $\sigma$(x\rightarrow a)}( $\psi$)=True(4.6)

が成り立つ.逆に (4.6) のとき,任意の項 t は解釈はある個体となるため,定理3.8より (4.5) が成り立つ.よって (4.5) と (4.6) は同値である.(4.6) は \foral に関する定義より, M^{ $\sigma$}(\forall x $\psi$)=True と同値であるため,題意を示せた. \exists x $\psi$ のときも同様に示せる.
口$\Gamma$\subset$\Gamma$^{+} であるため補題4.12よりこの /\mathrm{t}I, $\sigma$ は $\Gamma$ のモデルである.以上よりモデル存在定理がいえ,完全性定理が示せた.

5

考察
本稿では,一階述語論理の拡張として,項の内部で項を束縛するような体系を構成した.これの発展として項の内部で論理式を束縛する体系も同様に構成し,健全性と完全性が示せるだろう.これらの体系は,関数や個体集合を受け取り個体を返す関数を含むため,ある種の二階述語論理だと解釈できる.二階述語論理では

standard semantics とHenkin semantics の2つの意味論が知られている (文献 [3] などを参照).本稿の議論
では,項表現可能という概念を用いて,定義4.9の様にストラクチャーを構成している.項表現できない関数
については適当な解釈を与えているため,この体系はstandard semantics に対しても完全であるといえるだ
ろう.

参考文献
[1] 鹿島亮,「数理論理学」 朝倉出版,2009[2] 森田茂行,「論理学 : 意味とモデルの理論」 東京電機大学出版局,1999[3] Väänänen, Jouko. ”Second‐order logic and foundations of mathematics
7.4 (2001): 504‐520.

Bulletin of Symbolic Logic