数理解析研究所講究録
1117 巻 1999 年 98-11898相転移問題に現れる変分問題と解の構造
千葉大自然

白川

健 (Ken SHIRAKAWA)

千葉大・教育劒持

信幸 (Nobuyuki KENMOCHI)

序論
本論文では、 次の非線形方程式について考察する。
$\kappa\partial V(w)\ni w+\theta_{0}$

ここで、

任意の
方程式

$\kappa,$$L^{2_{-}}$

in $L^{2}(0, L)$ .

(0.1)

は
は正定数、
は与えられた定数で、. in $(0, L)$ を満たす
関数 $w$ の全変動を対応させる汎関数 $V$ の $L^{2}(0, L)$ の位相での劣微分である。
は次の汎関数 (自由エネルギー)$L$$\partial V$$\theta_{0}$$|w|\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}$$(0.\dot{1})$$F_{\theta_{0}}(z):= \kappa V(z)-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|z+\theta_{0}|^{2}dx,$$z\in L^{2}(0, L)$の Euler-Lagrange 方程式である。

方程式 (0.1) は、 次の非線形放物型の方程式系$(\theta+\chi)_{t}-\theta xx=0$

in $Q:=(\mathrm{O}, +\infty)\cross(0, L)$ ,(0.2)

in $L^{2}(0, L),$ $t>0$ ,(0.3)$\chi_{t}+\kappa\partial V(\chi)\ni\chi+\theta$

において適当な境界条件、 初期条件を与え、$\theta(t)arrow\theta_{0}$in $L^{2}(0, L)$ as $tarrow+\infty$となる様にした時の定常問題に対応している。 この力学系は A. Visintin ([7] 参照) に
よって液体固体相転移問題の中間的尺度 (mesoscopic length scale) での数理モデルとして提唱されており、 そこでは は (相対) 温度の分布関数で、 は物質の状態を (液体か固体かを) 表す相関数とされる。従って方程式 (0.1) の解の構造を調べることは、力学系 $\{(0.2), (0.3)\}$ の定常解の安定性を議論する際に多くの情報を与えるもので、非常に意義深い。
本論分の目的は 2 つあり、 第 1 は方程式 (0.1) の解の構造を調べる事で、 実際に (0.1)$\theta$$\chi$の解はすべて高々有限個の不連続点を持つ様な階段関数 (図 1 参照) である事が示される。

の極小元の構造を明らかにすることである。 この
第 2 の目的は、 自由エネルギー問題に関しては Visintin によって既に研究されており、彼は -area formula ([1] 参照)$F_{\theta_{0}}$$\mathrm{c}\mathrm{o}$99. となる事を–般多次元空間の場合に示した。 本論分では、 空間 1 次元に限定して方程式 (0.1) の解の構造を利用し、の極小
元のより精密な構造を調べる。 結果として F\theta 。の極小元はすべて高々有限個の点を除いを応用して乃。の極小元$w_{*}$

は必ず$|w_{*}|=1\mathrm{a}.\mathrm{e}$$F_{\theta_{0}}$て 1 または $-1$ を値に持つ階段関数 (図 2 参照) である事が示される。

1

結果の概要
本論分を通して$[0, +\infty]$$\kappa,$$L$は正定数で、$\theta_{0}$は与えられた定数とする。

$V_{0}$: $L^{2}(0, L)arrow$

は L2-関数の全変動を対応させる汎関数で、$\varphi\in C^{1}[0, L]$$V_{0}(z):= \sup\{\int_{0}^{L}z\varphi_{x}dx$,$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}\varphi\subset(0, L)$$|\varphi|\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}$: compact,$\},$ $\forall z\in L^{2}(0, L)$,. in $(0, L)$ .

で与えられる。
注意 1.1 よく知られるように、 $z\in L^{2}(0, L)$ の全変動 $V_{0}(z)$ は$\{\underline{\mathrm{B}}\text{し}$$V_{0}(z):= \sup_{\Delta\in Dk0}\sum_{=}|_{Z}(Xk+1)-\mathcal{Z}(_{X}k)|,$$D:=\{\triangle|\Delta:=\{0=x_{0}<X_{1}<\cdots<x_{n_{\Delta}}=L\}, n_{\triangle}\in N\}$として与えても良い。 また、 特に$z$が十分滑らかな関数であれば、$V_{0}(Z)= \int_{0}^{L}|z_{x}|dx$となる。

ここで全変動が有限な関数、 いわゆる有界変分関数全体の空間を $BV[0, L]$ と書く。
即ち$BV[0, L]:=\{z\in L^{1}(0, L)|V_{0}(Z)<+\infty\}$である。 任意の有界変分関数 $f\in BV[0, L]$ は各点 $x\in[0, L]$ において右極限、 左極限を持つが、 それらをそれぞれ $f(x+),$ $f(x-)$ で表す。 即ち$f(x+):= \lim_{y\searrow x}f(y),$$f(x-):= \lim_{y\nearrow x}f(y)$とする。
更に $L^{2}(0, L)$ 上の汎関数 $V$ を次で定義する。
$V_{0}(z)$, if $z\in BV[0, L],$

$V(z):=\{$+00 otherwise.

$|z|\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}$. on $[0, L]$ ,

100

$V$

([1, Chapter 5] 参照)

は $L^{2}(0, L)$ 上の適正下半連続凸関数である。

以下、 $V$ の有効領域を $D(V)$ と表記する。 即ち$D(V):=$ { $z\in BV[0,$$L]||z|\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}$

. on

}

$[0,$ $L].$

とする。

今、 定数

$\theta_{0}$を与えるごとに次の非線型方程式$\kappa\partial V(w)\ni w+\theta_{0}$$(P)_{\theta_{0}}$ここに$(P)_{\theta_{0}}$を考える。

in $L^{2}(0, L)$ ,は $V$ の $L^{2}(0, L)$ の位相での劣微分作用素である。

$\partial V$

定義 1.1 任意の定数 $\theta_{0}\in(-1,1)$ と $n\in N\cup\{0\}$ に対し、 $BV[0, L]$ の部分空間を次のように定める (図 1 参照)$S_{n}(\theta_{0})$。

(I) $S_{0}(\theta_{0}):=\{-1, -\theta 0,1\}$ ;は次の 4 つの条件を満たす $[0, L]$ の分点 $\{x_{k’ k}^{L}X^{R}|k=$$n\}$ と有限数列 $\{c_{k}|k=0,1, \cdots, n\}\subset[-1,1]\backslash \{-\theta_{0}\}$が存在する様な有界変(II) 任意の $n\in N$ に対し、
$1,$ $\cdots,$

分関数

$z$

$S_{n}(\theta_{0)}$の集合である。

(i) $0<x_{1}^{L}\leq x_{1}^{R}<\cdots<x_{k}^{L}\leq x_{k}^{R}<\cdots<x_{n}^{L}\leq x_{n}^{R}<L$ ,$[0, x_{1}^{L})$$J_{k}:=\{$

for $k=0$ ,$(x_{k}^{R}, x_{k1}^{L})+$$(x_{n}^{R}, L]$(ii) $(c_{k-1}+\theta_{0})(C_{k}+\theta_{0})<0,$ $k=1,$(iii)$\bullet$$k\in\{0, n\}$for $k=1,$$|J_{k}|$$n-1$ ,

for $k=n$ .

$\cdots,$ $n$

.

の場合.

$|c_{k}+\theta 0||J_{k}|\geq\kappa \mathrm{X}\sigma_{C\in}k\{1,$ただし$\cdots,$は区間$J_{k}$$-1,$$\frac{\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0},$$- \frac{\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}\}$.

の長さである。

$\bullet k\in\{1, \cdots, n-1\}(n\geq 2)$$|c_{k}+\theta_{0}||J_{k}|\geq 2\kappa$の場合、
及び $c_{k}\in\{1,$ $-1,$$\frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0},$$- \frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta 0\}$(iv)
$c_{k}$, if $x\in J_{k},$ $k=0,1,$$\cdots,$ $n$,$z(x):=\{$$-\theta_{0}$, if$x\in[x_{k}^{LR}, x_{k}],$$k=1,$$\cdots,$ $n$

.

.

101

更に

とし、 $BV[0, L]$ の部分空間$N_{\theta_{\text{。}}}:= \sup\{n|S_{n}(\theta_{0})\neq\emptyset\}$$S(\theta_{0}):=\{${1}, if$\theta_{0}>1$$\{1, -1\}$, if$\sum_{k=0}^{N_{\theta_{0}}}sk(\theta_{0})$$\{-1,1\}$$\{-1\}$

注意 12 各 $\theta_{0}\in(-1,1)$ に対し、

$N_{\theta_{0}}$, ifを次で定義する。

,$\theta_{0}=1$, if$S(\theta_{0})$,$|\theta_{0}|<1$$\theta_{0}=-1$,,, if $\theta_{0}<-1$ .

は有限である。 実際$S_{n}(\theta_{0)}\neq\emptyset(n\geq 1)$

定義 1.1 の (II) の (iii) から$|J_{0}|,$$|J_{n}| \geq\frac{\kappa}{1+|\theta_{0}|},$$|J_{k}| \geq\frac{2\kappa}{1+|\theta_{0}|},$$k=1,$$\cdots,$となるので、$\frac{2n\kappa}{1+|\theta_{0}|}\leq\sum_{0k=}^{n}|Jk|\leq L$を得る。 従って$1 \leq n\leq\frac{L}{2\kappa}(1+|\theta_{01)}<+\infty$

即ち$N_{\theta_{\text{。}}}$,

は有限である。

まず、 最初の定理で方程式$(P)_{\theta_{0}}$の解の構造を明らかにする。

$n-1$

ならば、

102

定理 11 次の 2 つの条件は互いに同値である。
の解である。
(i) $w\in BV[0, L]$ は(ii) $w\in BV[0, L]$ に対し、 関数$(P)_{\theta_{0}}$が存在して次の 2 つの条件を満足する。

$w^{\mathrm{O}}\in S(\theta_{0})$$(w^{\mathrm{O}}(x+)-w(X))(w^{\mathrm{o}}(X-)-w(X))\leq 0,$

点 $x\in[0, L]$ で$w^{\mathrm{O}}$$\forall x\in[0, L]$

.

(1.1)

(1.2)

が連続ならば $w(x)=w^{\mathrm{O}}(X)$ ,次に以下のような $L^{2}(0, L)$ 上の汎関数 (自由エネルギー)$\kappa V(z)-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|z+\theta_{0}|^{2}dx$$F_{\theta_{0}}$を考える。

, if $z\in D(V)$ ,$F_{\theta_{0}}(z):=\{$$+\infty$

そして$S(\theta_{0})$otherwise.
を次で定義する (図 2 参照)の 2 っの部分空間 $M(\theta_{0}),$ $M_{loc}(\theta 0)$$M(\theta_{0}):=\{${1}, if$\theta_{0}>0$$\{1, -1\}$, if$\{-1\}${1}, if$\theta_{0}\geq 1$$\{1, -1\}$, if $0<\theta_{0}<1$ ,

$[$

$|$

, if

,

$\theta_{0}=0$$\theta_{0}<0$

,

,

,

ものし連続点 nx(0)l\breve$(\leq N\theta\text{。})\text{おいて}|z(x|$な 1 らでば、$M_{lQc}(\theta_{0}):=\{\{Z\in S(0)|x^{L}k=|J_{0|,|}Jnk|x^{R}(>\kappa=k, 1|J_{k}’.|..>’ n2\kappa(k=1, \cdots, n-),1)$

$|$

,
ただし

$x_{k}^{L}$,$x_{k}^{R}$,$J_{k}$

はすべて定義 11 で用いた記号である。
$\{-1,1\},$$\{-1\},$

if。

$\mathrm{i}\mathrm{f}-1<\theta_{0}<0$$\theta_{0}\leq-1$

.

,

, if

$\theta_{0}=0$

,

103

第 2 の定理は、 汎関数 (自由エネルギー)
うものである。
定理 12

(ii)

$w$

(i)

の極小元の構造を明らかにしょうといが乃。の最小元である事の必要十分条件はが鞠。の極小元であることの必要十分条件は、空間$w$$w^{\mathrm{O}}$となる事である。
内に条件$w\in M(\theta_{0})$$M_{l_{\mathit{0}}c}(\theta_{0})$を満足する様な関数

2$F_{\theta_{0}}$$(\mathit{1}.\mathit{1})_{f}(\mathit{1}.\mathit{2})$が存在する事である。

定理 1.1 の証明 (前半)

この節で定理 1.1 の (i)を示す。 よって、 この節を通しての解であるとする。 証明の前準備としていくつかの補題を証明する。
$\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i})$補題 2.1(i)$\theta_{0}>1$

$w$

は方程式

$(P)_{\theta_{0}}$

.

(2.1)

ならば、 $w\equiv 1$ on $[0, L]_{i}$

ならば
(ii)
or $w\equiv-1$ on $[0, L]$ ;(iii) $\theta_{0}<-1$ ならば $w\equiv-1$ on $[0, L]$ .
$\theta_{0}=\pm 1$

証明

$w$

$w\equiv 1$は方程式 (P)\theta 。の解であるので明らかに次が成り立つ。
$\kappa V(z)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})ZdX\geq\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx,$

ここで$\theta_{0}\geq 1$$\forall z\in D(V)$であれば、 (2.1) において $z\equiv 1$ とおくと$0 \leq\kappa V(w)\leq\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})(w-1)dx\leq 0$となる。 よって $V(w)=0$ , 即ち $w$ は $[0, L]$ 上で定数である。 従って不等式に戻れば $w\equiv 1$ on $[0, L]$ となる。 他の場合も同様に示される。

$\theta_{0}>1$$\blacksquare$

ならば上の

104

補題 22 任意の点 $x\in[0, L]$ に対し$(w(x+)-w(x))(w(x-)-w(X))\leq 0$ ,即ち$w(x-)\leq w(X)\leq w(_{X+)}$or $w(x+)\leq w(X)\leq w(x-)$

が成り立つ。
証明 背理法で証明する。 そこで、 ある点 $x_{0}\in[0, L]$ に対しては$(w(_{X_{0}}+)-w(_{X_{0}))}(w(x0-)-w(x_{0}))>0$となると仮定し、 関数 $w_{0}\in D(V)$ を次で定める。
$w(x_{0^{-)}},$

if $X=x_{0}$ ,$w_{0}(x):=\{$$w(x)$

otherwise.

この時、 明らかに$\kappa V(w_{0)}<\kappa V(w), -\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})w_{0}dx=-\int_{0}^{L}(.w+\theta_{0})wdx$

であるから$\kappa V(W_{0})-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})w_{0}dX<\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx$となる。 これは $w$ が (2.1) を満たさない事を意味し、
する。

$w$

が

$(P)_{\theta_{0}}$の解であることに矛盾$\blacksquare$

ここで、 各$\theta_{0}\in R$

に対し、 集合$X(\theta_{0})$を次で定義する。

$X(\theta_{0}):=\{x\in[0, L]|(w(x+)+\theta_{0})(w(x-)+\theta_{0})\leq 0\}$

補題 23
証明

$X(\theta_{0})$.

は $[0, L]$ の閉部分集合である。

$\{x_{n}\}\subset X(\theta_{0}),$$X0\in[0, L],$ $x_{n}arrow x_{0}$as $narrow+\infty$ とする。 一般性を失う事なく$w(x_{n}-)+\theta_{0}\leq 0\leq w(x_{n}+)+\theta_{0}$for $n=1,2,3,$$\cdots$,としてよい。 (実際、 他の場合もまったく同様な手法で証明される。) この時、 右左極が取れて,限の定義から任意の $n\in N$ に対し、 2 点$\overline{x}_{n}$$\overline{x}_{n}>x_{n},$$\underline{x}_{n}<x_{n},$$\underline{x}_{n}$$| \overline{x}_{n}-x_{n}|<\frac{1}{n}$$w( \overline{x}_{n})>w(x_{n}+)-\frac{1}{n}$,$| \underline{x}_{n}-xn|<\frac{1}{n}$$w( \underline{x}_{n})<w(x_{n}-)+\frac{1}{n}$

,

105

となるように出来る。 従って$(w( \underline{x}_{n})+\theta_{0})-\frac{1}{n}<0<(w(\overline{X}n)+\theta_{0})+\frac{1}{n},$ $\forall n\in N$.

ここで $narrow+\infty$ とすれば$w(x_{0^{-}})+\theta 0\leq 0\leq w(_{X}0+)+\theta_{0}$即ち $x_{0}\in X(\theta_{0})$ である。

補題 2.3 により、$X(\theta_{0})$,$\blacksquare$の補集合は高々可算個の連結開集合の直和である事がわかる。

よって$[ \mathrm{o}, L]\backslash X(\theta_{0})=k0\sum_{=}Jk$と書ける。 ここに $J_{k}(k=0,1,2, \cdots)$ はみ口 $J_{l}=\emptyset(k\neq l)$ を満たす $[0, L]$ の相対位相での開集合である。
補題 24 各 $J_{k}(k=0,1,2, \cdots)$ 上では$w+\theta_{0}>0$

証明$x_{0}\in J_{k}$$w+\theta_{0}$or $w+\theta_{0}<0$ onの符号は–定である。 即ち$J_{k}$, for $k=0,1,2,$$\cdots$.

を任意に取ると、 補題 22 から$w(_{X_{0}})+\theta_{0>}0$となる。 今、 $w(x_{0})+\theta_{0}>0$ とすると、$w+\theta_{0}>0$

on

or $w(x_{0})+\theta_{0}<0$$\delta_{0}>0$を十分小さく取ることにより、$(x_{0}-\delta_{0,0}X+\delta_{0})\cap[0, L]$となる様に出来る。 実際、 そうでないとすると.

$x_{n}\nearrow x_{0}$(resp.

$x_{n}\searrow x_{0}$$w(x_{n})+\theta_{0}\leq 0,$を満たす数列$\{x_{n}\}$) as $narrow+\infty$ ,$\forall n\in N$

が取れる事になるが、 補題 22 を使うと
$w(x_{0^{-}})+\theta 0\leq 0<w(x_{0})+\theta 0\leq w(X_{0}+)+\theta_{0}$(resp. $w(x_{0}+)+\theta_{0}\leq 0<w(X_{0})+\theta_{0}\leq w(x_{0^{-)}}+\theta_{0})$
これは $x_{0}\in X(\theta_{0})$ となり、 $x_{0}\in$ みに反する。

の場合も同様の事が成り立つので、 2 つの集合 $\{x\in J_{k}|w(x)+\theta_{0>}0\}$と $\{x\in J_{k}|w(x)+\theta_{0}<0\}$ は共に $[0, L]$ の相対開集合である。 従ってみの連結性から$w(x_{0})+\theta_{0}<0$$w+\theta_{0}>0$を得る。

$\blacksquare$

or $w+\theta_{0}<0$ on$J_{k}$

106

補題 25 $w$ はみ上で定数である。
証明$w+\theta_{0}>0$

on $J_{k}(k\in N\cup\{0\})$ の場合、 関数ゆを次で定義する。
$\sup_{x\in J_{k}}w(_{X}),$if$x\in J_{k}$,$\tilde{w}(x):=\{$$w(x)$

otherwise,

すると、 容易に$\kappa V(\tilde{w})\leq\kappa V(w),$$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})\tilde{w}d_{X}\leq-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx$,となる事が確かめられ$\kappa V(\tilde{w})-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})\tilde{w}dx\leq\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx$(2.2)となる。 -方、 $w$ は (P)9。の解であるので (2.1) を満たす。 (2.1), (2.2) から.

$\kappa V(\tilde{w})-\kappa V(w)=\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})(\tilde{w}-w)dx=0$

よって、$\tilde{w}=w$$w+\theta_{0}<0$on$J_{k}$.

(2.3)

on みの場合は、 関数ゆを$\inf_{x\in J_{k}}w(x)$, if$x\in J_{k}$,$\tilde{w}(x):=\{$$w(x)$

otherwise,と置けば $w+\theta_{0}>0$ on みの場合と同様の手法により (2.3) を得る。

$\blacksquare$以下$w\equiv c_{k}(\in[-1,1]\backslash \{-\theta_{0}\})$

on$J_{k},$$k=0,1,2,$$\cdots$と置く。

補題 2.6 $-1<\theta_{0}<1$ で $w$ が $[0,.L]$ で定数でないとする。 このとき、次の (i), (ii), (iii)が成立する。
$()$ $(c_{k}+\theta_{0})(w(ak-)+\theta_{0})\leq 0$

and $(c_{k}+\theta_{0})(w(b_{k}+)+\theta_{0})\leq 0$,

ただし、 $a_{k}:= \inf J_{k},$ $b_{k}:= \sup Jk_{f}k=0,1,2,$(ii) $k\in N\cup\{0\},$ $J_{k}\cap\{0, L\}\neq\emptyset$ ならば$\cdots$$|_{C_{k}+\theta_{0}}||J_{k}|\geq\kappa$

である。

.

(iii) $k\in N\cup\{0\}_{f}J_{k}\cap\{0, L\}=\emptyset$ ならば$|c_{k}+\theta 0||J_{k}|\geq 2\kappa$

.

107

証明 (i) については補題 22 から明らかである。 (ii) と (iii) については証明がほとん
ど同じであるので (iii) のみを示す。

の場合、 任意の$c_{k}+\theta_{0}>0$$\epsilon\in(0, c_{k}+\theta_{0})$する。
$c_{k}-\epsilon$に対して、 関数 $w_{\epsilon}\in D(V)$ を次で定義

for$x\in\overline{J_{k}}$

,
(2.4)

$w_{\epsilon}(x):=\{$

otherwise.

$w(x)$

この時、 (i) より$\kappa V(w_{\epsilon})=\kappa V(w)-2\Xi\kappa$$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})w$。

,$dx=- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wd_{X+}\epsilon(c_{k}+\theta_{0})|J_{k}|$.

よって、 高々足せば$\kappa V(w_{\epsilon})-\int_{0}^{L}(_{W+}\theta 0)_{W}\epsilon d_{X=}\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wd_{X}+\epsilon(-2\kappa+(Ck+\theta_{0})|Jk|)$となる。 が等式から直ちに$w$$(P)_{\mathit{9}_{0}}$,の解であることに (即ち、 (2.1) を満たすことに) 注意すれば、 上の(2.5)$(c_{k}+\theta 0)|J_{k}|\geq 2\kappa$が得られる。
$c_{k}+\theta_{0}<0$の場合は、 任意の$\epsilon\in(0, -c_{k^{-}}\theta 0)$$c_{k}+\epsilon$forに対し、 関数 $w^{\epsilon}\in D(V)$ を$x\in\overline{J_{k}}$

,

(26)

$w^{\epsilon}(x):=\{$$w(x)$

otherwise

で定め、 $c_{k}+\theta_{0}>0$ の時と同様の議論を繰り返せば(2.7)$-(_{C_{k}+}\theta_{0})|J_{k}|\geq 2\kappa$を得る。 (2.5), (2.7) を併せて、 我々は$|_{C_{k}+\theta_{0}}||J_{k}|\geq 2\kappa$を結論する。

$\blacksquare$

系 2.1 $w$ は高々有限個の不連続点を持つ。

証明$[0, L]$る)$w$

が $[0, L]$ 上で定数であれば系は無条件で成立するので、 $\theta_{0}\in(-1,1)$ で、 $w$ が上で定数でない場合のみ考えれば良い。 この場合、 $m$ をみの個数 (とすると、 補題 26 と注意 12 から、 直ちに次の不等式を得る。
$2 \leq m\leq\frac{L}{2\kappa}(1+|\theta_{0}|)<+\infty$$\blacksquare$を含め.

よってみの個数は有限個で、 更に補題 25 の結果と併せれば持つことがわかる。

$+\infty$$w$

は有限個の不連続点を

108

以下、 補題 26 と同じ仮定の下で、 $m(<+\infty)$ をく。 この時、 補題 26 と系 2.1 から、 ある分割の個数、 $n=m-1(\geq 1)$ と置$J_{k}$$0<x_{1}^{L}\leq x_{1}^{R}<\cdots<x_{k}^{L}\leq x_{k}^{R}<\cdots<x_{n}^{L}\leq x_{n}^{R}<L$

が取れて、$X( \theta_{0})=\sum_{k=1}[x_{k}^{LR}, x_{k}]$for $k=0$ ,$[0, x_{1}^{L})$$J_{k}=\{$

(2.8)

,

$(x_{k}^{R}, x_{k1}^{L})+$$(x_{n}^{R}, L]$

for $k=1,$$\cdots,$(2.9)$n-1$ ,

for $k=n$ ,となる事が容易に確認できる。
補題 27 集合(ii) が成立する。

$X(\theta_{0}),$$J_{k}$

がそれぞれ$(j\mathit{2}.\mathit{8}),$$(\mathit{2}.\mathit{9})$のように表現されるならば、 次の (i),(i) $k\in\{0, n\}$ ならば$c_{k}\in\{1,$ $-1,$ $\frac{\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0},$ $- \frac{\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}\}$.

(ii) $k\in\{1, \cdots, n-1\}(n\geq 2)$ ならば$c_{k}\in\{1,$ $-1,$ $\frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta 0,$ $- \frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}\}$証明.

証明はほとんど同じなので (ii) のみを示す。 $c_{k}+\theta_{0}>0$ の場合は補題 26 の (iii)から$\overline{|J_{k^{-}}}-\cdot|^{-\theta_{0}}\leq c_{k}\leq 1$となる。 今、 仮に(2.10)$\frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}<c_{k}<1$としてみよう。 この時、 任意の $\epsilon\in(0,1-c_{k})$ に対し、 (2.6) で定義された関数$w^{\epsilon}$

えると、 補題 26 の (i) から$\kappa V(w^{\mathrm{g}})=\kappa V(w)+2\epsilon\kappa$,$- \int_{0}L(w+\theta 0)wd_{X}\epsilon=-\int_{0}^{L}(w+\theta 0)wdX-\mathcal{E}(C_{k}+\theta 0)|Jk|$となる。 よって$\kappa V(w^{\epsilon})-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})w^{\epsilon}dx=\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx+\epsilon(2\kappa-(C_{k}+\theta 0)|Jk|)$

を考

109

となるから、 $w$ が$(P)_{\theta 0}$の解であることに注意すれば$2\kappa-(_{C_{k}+\theta}0)|J_{k}|\geq 0,$i.e.

$c_{k} \leq\frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}$.

これは (2.10) と矛盾する。
$c_{k}+\theta_{0}<0$の場合は$-1<c_{k}<- \frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}$と仮定し、任意の $\epsilon\in(0,1+c_{k})$ に対し、 (2.4) で定義した関数の場合と同様に矛盾を導くことが出来る。
補題 28$X(\theta_{0})_{f}J_{k}$$(k\in\{1, \cdot\cdot, , n\})$を用いれば $c_{k}+\theta_{0}>0$$\blacksquare$はそれぞれ (2.8), (2. のの形で表現されているとする。 もし$x_{k}^{L}<x_{k}^{R}$であれば$w(x)\equiv-\theta_{0}$証明$w_{\epsilon}$$w\in BV[\mathrm{o}, L]$, on$(x_{k}^{LR}, x_{k})$

.

であるので
$w(x)=-\theta_{0},$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$.

$x\in(x_{k}^{LR}, x_{k})$となる。 (実際は高々可算個の点を除いたところで成立する。) よって、 補題 22 の結果から容易に$w\equiv-\theta_{0}$が導かれる。
補題 29

on$(x_{k}^{LR}, x_{k})$$\blacksquare$$X(\theta_{0}),$$J_{k}$

がそれぞれ似 8), (2.9) の形で表現されるならば、 次が成立する。
$(c_{k-}1+\theta 0)(Ck+\theta 0)<0,$証明$k=1,$$\cdots,$ $n$.

背理法で証明する。 ある番号 $k_{0}\in\{1, \cdots, n\}$ に対しては$(c_{k\text{。}-1}+\theta 0)(_{C_{k0}+}\theta_{0})>0$となると仮定する。 この時、ると、 補題 26 の (i) から今、 関数
を$x_{k_{0}}^{L}<x_{k_{0}}^{R}$

でなくてはならない。 なぜならばとなり、 仮定と矛盾する。

$x_{k_{0}k0}^{L}=X^{R}$$(c_{k}0^{-1}+\theta_{0})(C_{h_{\text{。}}}+\theta_{0})\leq 0$$\overline{w}\in D(V)$$C_{k0-1}$

for $x\in[X^{LR}k0’ xk0]$ ,$\overline{w}(x):=\{$$w(x)$ otherwise,で定義すると、 補題 28 から$\kappa V(\overline{w})-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0)}\overline{w}dx<\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx$となり、 $w$ が (P)\theta 。の解であることに (即ち (2.1) を満たすことに) 矛盾する。

$\blacksquare$

とす

110

定理 1.1 (i)の場合は、 補題 2.1 で既に証明が済んでいるのの場合を証明する。 $w$ が $[0, L]$ 上で定数でないときは $n\in N$ を分点(ま) の個数として関数を$\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i})$の証明$|\theta_{0}|\geq 1$

で $|\theta_{0}|<1$

たは$x_{k}^{R}$$x_{k}^{L}$$w^{\mathrm{O}}\in D(V)$$-\theta_{0}$, if $x=x_{k}^{LR},$ $k=1,$$x_{k},$$\cdots,$ $n$,$w^{\mathrm{o}}(x):=\{$$w(x)$

otherwise,

で定めれば、 補題 22, 26, 27, 28 の結果から直ちに$w^{\mathrm{O}}\in S_{n}(\theta_{0)}$$w(x)=w^{\circ}(X),$,$\forall x\in[0, L]\backslash \{x_{k’ k}^{L}X^{R}|k=1, \cdots, n\}$,$(w^{\mathrm{O}}(X+)-w(x))(w^{\mathrm{o}}(X-)-w(X))=(w(_{X}+)-w(X))(w(x-)-w(X))\leq 0$を得る。
次に $w$ が $[0, L]$ 上で定数
とすると

$c$

である場合を考える。 この時 $-\theta_{0}<c<1(-1<c<-\theta_{0})$$\kappa V(c)-\int_{0}^{L}(c+\theta_{0})_{Cd_{X}=}-C(C+\theta 0)L$$>-(c+ \theta_{0})L--\kappa V(1)-\int_{0}^{L}(c+\theta 0)dx$$>(_{C+} \theta_{0})L=\kappa V(-1)-\int_{0}^{L}(C+\theta_{0})dx$となり矛盾。 よって $c\in\{-1, -\theta_{0},1\}$ , 即ち以上の事から任意の (P)9。の解 $w$ に対し$w\in S_{0}(\theta_{0)}$である。

$(w^{\mathrm{O}}(x+)-w(X))(w^{\mathrm{o}}(X-)-w(X))\leq 0,$

面 $x\in[0, L]$ でを満足するような関数が示された事になる。

3$w^{\mathrm{O}}$$\forall x\in[0, L]$,が連続ならば $w(x)=w(\circ)X$ ,$w^{\mathrm{o}} \in S(\theta_{0}):=\sum_{k=}^{\text{。}}N_{\theta}s_{k}(\theta_{0})$が存在する事がいえたので、$(\mathrm{i})$$\Rightarrow(\mathrm{i}\mathrm{i})$$\blacksquare$

定理 1.1 の証明 (後半)

この節では定理 1A のを示す。 よって、 この節を通しては有界変分関数で、条件 (11), (1.2) を満たす様な関数が取れるものとする。 示すべきことは任意$(\mathrm{i}\mathrm{i})$$\Rightarrow(\mathrm{i})$$w$$w^{\mathrm{o}}$の $z\in D(V)$に対し、 次の不等式が成立することである。
$\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})wdx\leq\kappa V(z)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})ZdX$

.

(3.1)

111

$w$

が $[0, L]$ 上で定数である場合は (3.1)

定数でない場合、 よって$w^{\mathrm{O}}\in S_{n}(\theta_{0})(n\geq 1),$$|\theta_{0}|<1$はほとんど自明であるので、の場合のみを示す。

$x_{n+1}^{L}=x_{n+1}^{R}:=L$

階段関数をを次で定義する。
’$c_{0}+\theta_{0>}\mathrm{o}(c_{0}+\theta 0<0)$$w$

が $[0, L]$ 上でとする。 今、 任意の関数 $z\in D(V)$ に対し、

ならば$\sup_{x\in J_{k}}z(x)(_{x\in J}\inf_{k}Z(X))=:\tilde{z}_{k},$$\forall x\in J_{k}\cup[_{X_{k+}^{L}X_{k1}^{R}}1’+],$$\inf_{x\in J_{k}}z(x)(\sup_{x\in J_{k}}Z(X))=:\tilde{z}_{k},$$\forall x\in J_{k^{\cup[x^{R}]}}X_{k+}L1’ k+1’\forall k_{*}$$\forall k:l\mathrm{f}\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}$$\tilde{z}(x):=\{$

,

. 奇数.

すると明らかに$\kappa V(\tilde{z})\leq\kappa V(z),$$- \cdot\int 0\mathrm{o}(w+\theta)\tilde{Z}dxL\leq-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})ZdX$,

よって$\kappa V(\tilde{z})-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})_{\tilde{Z}}dx\leq\kappa V(z)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})_{Z}dx$

更にこのをに対し、 階段関数

$v$

(3.2)

を次で定義する。

, if $k\in\{0,1, \cdots, n\}$ with$(c_{k}+\theta_{0})(\tilde{Z}_{k}+\theta_{0})>0,$, if $k\in\{0,1, \cdots, n\}$ with$(c_{k}+\theta_{0})(\tilde{Z}_{k}+\theta_{0})\leq 0,$$\tilde{z}(x)$.

$x\in J_{k}\cup[x_{k+1}^{L}, X_{k1}^{R}]+$$v(x):=\{$$-\theta_{0}$’$x\in J_{k}\cup[x_{k+1}^{L}, X_{k1}^{R}]+\cdot$

この時、 次の不等式が成り立つ。
$\kappa V(v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx\leq\kappa V(_{\tilde{Z}})-\int_{0}^{L}(w+\theta 0)\tilde{Z}dX$

これは次のようにして証明される。 $l(\in\{1, \cdots, n\})$ 個の番号

$k_{1},$$\cdots,$.

$k_{l}$

(3.3)
に対して

$(C_{k_{l}}+\theta 0)(\tilde{Z}k_{l^{+\theta_{0}}})\leq 0$となったとしよう。 この時、 $\{k_{1}, \cdot\cdot, , k_{l}\}\subset\{1, \cdots, n-1\}(n\geq 2)$ である場合のみを考えると (他の場合の証明も全く同様である)、$\kappa V(v)\leq\kappa V(\tilde{\mathcal{Z}})+i\sum_{=1}2\kappa|\tilde{z}lk_{i^{+}}\theta 0|$,,$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vd_{X}=-\int^{L}0|(w+\theta_{0})\tilde{Z}dX-\sum_{=i1}^{l}|_{\tilde{Z}_{k_{i}}}+\theta 0||_{C_{k_{i}}}+\theta 0|J_{k}.\cdot|$となるから$\kappa V(v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx$$=$$\kappa V(\tilde{z})-\int_{0}^{L}(w+\theta 0)\tilde{Z}dX$$- \sum_{i=1}^{l}|\tilde{z}ki+\theta_{0}|(|_{C}k\dot{.}+\theta_{0}||.Jk_{i}|-2\kappa)$

.

112

従って、 定義 1.1 の (iii) から、 (3.3) が成り立つ。
に対し、 変換
最後に、 各 $k=0,1,$$\cdots,$ $n$$\sigma_{k}$: $BV[\mathrm{o}, L]arrow BV[0, L]$を次で定義する。
$\mathrm{c}_{k}$$\forall y\in BV[\mathrm{o}, L],$$\sigma_{k}y(X):=\{$

for$-\theta_{0}$$y(x)$$x\in J_{k}$for,$x\in[x_{k}^{LR}, x_{k}]$,otherwise.

ここで$\kappa V(\sigma_{k}v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})\sigma_{k}vd_{X}\leq\kappa V(v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx,$$k=0,1,$ $\cdots,n$ ,(3.4)となる。 実際、 $|c_{k}|=1$ であれば (3.4) は (3.3) を導くのと全く同様に示される。 $|c_{k}|<1$
である時は、簡単の為 $k\in\{1, \cdots, n-1\}(n\geq 2)$ とすると (他の場合の証明も全く同様である)、$c_{k}= \pm\frac{2\kappa}{|J_{k}|}-\theta_{0}(\text{つまり_{、}}|_{C_{k}+\theta_{0}}||J_{k}|=2\kappa)$,$\kappa V(v)+2\kappa|c_{k}-vk|$, if $(c_{k}+\theta_{0})(c_{k}-vk)\geq 0$ ,$\kappa V(v)-2\kappa|ck^{-}vk|$, if $(c_{k}+\theta_{0})(c_{k}-V_{k})<0$ ,$\kappa V(\sigma_{k}v)=\{$$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx-|C_{k}-v_{k}||ck+\theta_{0}||J_{k}|$if $(c_{k}+\theta_{0})(C_{k^{-}}vk)\geq 0$ ,$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})\sigma kvd_{X=}\{$$- \int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx+|c_{k}-v_{k}||C_{k}+\theta 0||Jk|$,

if $(c_{k}+\theta_{0})(C_{k^{-}}vk)<0$ ,となるので$\kappa V(\sigma_{k}v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})\sigma_{k}vd_{X}=\kappa V(v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdx$,となる。 よって (3.4) が示された。

同様の計算を繰り返せば、 我々は次の不等式を得る。
$\kappa V(w)-\int_{0}^{L}(w+\theta 0)wd_{X}$$=$$\leq$$\kappa V(\sigma_{01}\circ\sigma 0\cdots 0\sigma_{n}v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0)(v}\sigma 0\circ\sigma 1\circ\cdots \mathrm{O}\sigma n)dx$$\kappa V(v)-\int_{0}^{L}(w+\theta_{0})vdX$.

よって (3.2), (3.3) と併せて (3.1) を得る。

$\blacksquare$

113

4

定理 1.2 の証明
定理を証明する前に、 我々は次の補題を用意する。

補題 4.1 $w$ がの極小元ならば $w$ は (P)\theta 。の解である。
証明 F9。の第 1 変分を取れば簡単に証明できる。
$F_{\mathit{9}_{\text{。}}}$$\blacksquare$

補題 42 $w$ が F\theta 。の極小元ならば高々有限個の点を除いたところでは $|w|=1$ となる。
証明
であれば、 補題 2.1 と 4.1 から $|w|=1$ on $[0, L]$ となる。
$|\theta_{0}|\geq 1$

よって $|\theta_{0}|<1$ の場合を証明する。 補題 4.1 から $w$ は(1.1), (1.2) を満たすような関数

1.1 より$(P)_{\theta_{0}}$の解であるから、 定理が取れる。 ここで我々$w^{\mathrm{O}} \in s(\theta_{0})=\sum^{N_{\theta_{0}}}s_{k(\theta_{0})}k=1$

は次の 2 つの場合にわけてこの補題を証明する。
(1)

である場合。
$S_{0}(\theta 0):=\{-1, -\theta 0,1\}$ であるので、が極小元でないことを示せば良い。任意の正の数 $\epsilon\in(0,1-|\theta_{0}|)$ に対し、 定数値関数を考えると、$w^{\mathrm{O}}\in S_{0}(\theta_{0})$$-\theta_{0}$$-\theta_{0}+\mathcal{E}$$|(-\theta_{0}+\epsilon)-(-\theta 0)|_{L}2(0,L)=\epsilon\sqrt{L}$,$F_{\theta\text{。}}(- \theta_{0+}\epsilon)=F_{\theta_{\text{。}}}(-\theta_{0})-\frac{\epsilon^{2}}{2}L<F\theta\text{。}(-\theta_{0})$,となるので一\theta o は極小元でないことがわかる。
(2)$W^{\mathrm{O}}\in S_{n}(\theta_{0})(1\leq n\leq N_{\theta_{\text{。}}})$

である場合。

始めに$|c_{k}|=1,$を示す。 今、 ある番号に対し、$1\leqk_{0}\leqn-1(n\geq
2),$
ら、$k=0,1,$(4.1)$\cdots,$ $n$となるとしよう。 例によって証明の類似性かの場合のみを考える。 この場合、 定理 1.1 からとなるので、 任意のに対し (2.6) で定義される関数を考えると、 明らかに次が成り立つ。
$k_{0}$$|c_{k_{\text{。}}}|<1$$c_{k_{\text{。}}}+\theta_{0}>0$$(c_{k_{\text{。}}}+\theta_{0})|J_{k_{\text{。}}}|=2\kappa$$w^{\epsilon}$$\epsilon\in(0,1-c_{k\text{。}})$$|w^{\mathit{6}}-w|L^{2}(0,L)=\epsilon\sqrt{|J_{k_{0}}|}\leq\epsilon\sqrt{L}$$\kappa V(w^{\epsilon})=\kappa V(w)+2\epsilon\kappa$,,$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|w^{\mathcal{E}}+\theta_{0}|2d_{X}=-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|w+\theta 0|^{2}dx-\mathcal{E}(c_{k}+\theta 0)|Jk_{\text{。}}|-\frac{\epsilon^{2}}{2}|J_{k_{0}}|\text{。}$’よって$F_{\theta_{\mathrm{O}}}(w^{\mathrm{g}})$$=$$F_{\theta_{\text{。}}}(w)+ \epsilon(2\kappa-(_{C_{k_{0^{+}}}}\theta 0)|Jk\text{。}|)-\frac{\epsilon^{2}}{2}|J_{k0}|$$=$$F_{\theta_{\text{。}}}(w)- \frac{\epsilon^{2}}{2}|J_{k}|\text{。}<F_{\theta 0}(w)$

.

114

これは $w$ が F\theta 。の極小元であることに反する。 よって (4.1) が示された。

次に$k=1,$$x_{kk}^{L}=x^{R},$を示す。 ある番号 $k_{1}\in\{1, \cdots, n\}$ に対し、$\epsilon\in(0,$$\frac{x_{k_{1}}^{R}-x_{k_{1}}L}{2})$に対し、 関数$z_{\mathit{6}}$

,

(4.2)

であるとしよう。 この時、 任意の$x_{k_{1}}^{L}<x_{k_{1}}^{R}$.

を$c_{k_{1}1}-$$z_{\epsilon}(_{X)}:=\{$$\cdots,$ $n$$c_{k_{1}}$

, if

, if

$w(x)$$x\in[x_{k_{1}’ k_{1^{+\epsilon]}}}^{L}x^{L}$$x\in[x_{k_{1}k_{1}}^{R}-\epsilon, X]R$,,otherwise,で定義すると、 簡単な計算により次を得る。
$|z_{\epsilon}-w|_{L}2(0,L)=\sqrt{2(1+\theta_{0}^{2})\epsilon}$$\kappa V(z_{\epsilon})=\kappa V(w)$,,$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|_{Z}\epsilon+\theta_{0}|^{2}dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|w+\theta_{0}|2dx-\frac{\epsilon}{2}(1+\theta_{0})2-\frac{\epsilon}{2}(-1+\theta_{0})^{2}$

.

従って

.

$F_{\theta_{\text{。}}}(_{Z_{\epsilon})=F_{\theta}}\text{。}(w)-(1+\theta_{0}2)\epsilon<F\mathit{9}_{0}(w)$

これは $w$ が鞠。の極小元であることに矛盾する。 よって (4.1) が示された。

以上のことから $w$ は高々有限個の点 (即ち $w$ の不連続点) を除いたところでは $|w|=1$となる事がわかる。

$\blacksquare$

注意 4.1 補題 42 の証明中の (1) と同様の手法で、 定数値関数 $-1$ (resp. +1) は) の場合、(resp.
(resp.
) の極小元でないことが示される。 結果、の極小元は 1(resp. $-1$ ) しかない、 即ち最小元である事がわかる。
$\theta_{0}\leq-1$$\theta_{0}\geq 1$$F_{-1}$

定理 12(i) の証明$F_{1}$$F_{\theta_{0}}$

任意の $z\in D(V)$ に対し、 明らかに次の 2 つの式が成り立つ。
$\kappa V(z)\geq 0$

,

(4.3)

$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|1+\theta_{0}|^{2}dx$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|Z+\theta 0|^{2}d_{X}\geq\{$$- \frac{L}{2}$, if$\theta_{0}=0$, if$\theta_{0}>0$

,

(4.4)

,

$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|-1+\theta 0|^{2}dX$, if$\theta_{0}<0$.

が F\theta 。の最小元であるとの元は F\theta 。の最小元である。 逆に(4.3), (4.4) より、しても、 補題 41, 42, 注意 41 の結果と (4.3), (4.4) を併せれば $w\in M(\theta_{0})$ となる事が$M(\theta_{0})$示される。

$\blacksquare$

$w$

115
補題 4.3 $|\theta_{0}|<1,0\leq n\leq N_{\theta_{0}},$ $w\in BV[0, L]$ で、 $w$ に対して (1.1), (1.2) を満たすような関数が取れるとする。 また、 任意の (十分小さな) 正数と番号 $k\in\{0,1, \cdots, n\}$ に対し、 関数を次で定義する。
$w^{\mathrm{O}}\in S_{n}(\theta_{0})\cap M_{lo}(c\theta_{0})$$\epsilon$$\tilde{w}_{\epsilon}^{k}$$\tilde{w}_{\epsilon}^{k}(x):=\{$$1-\epsilon$for$x\in\overline{J_{k}}$with$1+\epsilon$for$x\in\overline{J_{k}}$with $w\equiv-1$ on$w(x)$

otherwise,on$w\equiv 1$$J_{k}$,$J_{k}$,

ただし、 $n=0$ の場合は $J_{0}:=[0, L]$ とする。 この時、 十分小さな正数
存する) が存在し$F_{\mathit{9}\text{。}}(\tilde{w}_{\epsilon})kF>\mathit{9}_{\text{。}}(w),$$\forall\epsilon\in(0, \epsilon_{k})$(番号$\epsilon_{k}$

$k$

に依

,

となる。
証明 始めに $n=0$ の場合を示す。 この時$w=w^{\mathrm{O}}\equiv 1$or$w=w^{\mathrm{O}}\equiv-1$

on $[0, L]$

であるが、 証明は同様なので $w\equiv 1$ on $[0, L]$ である場合のみを示す。 この時、$\tilde{w}_{\epsilon}^{0}\equiv 1-\epsilon$

on $[0, L]$ であるので、$\kappa V(\tilde{w}_{\frac{0}{\mathrm{c}}})=\kappa V(w)=0$,$- \frac{\perp}{2}\int_{0}^{L}|w_{\epsilon}+\theta_{0}0|^{2}dx=-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|1+\theta 0|2d_{X}+\epsilon(1+\theta 0)L-\frac{\epsilon^{2}}{2}L$,

従って$F_{\mathit{9}_{0}}( \tilde{w}_{\mathit{6}}^{0})=F\theta\text{。}(w)+\epsilon L((1+\theta_{0})-\frac{\epsilon}{2})\geq F_{\mathit{9}_{0}}(w)+\mathcal{E}L((1-|\theta 0|)-\frac{\epsilon}{2})$となる。

$|\theta_{0}|<1$であるので、 正数$\in 0$を$(1-| \theta 0|)-\frac{\epsilon_{0}}{2}>0$となる様に取れば、$F_{\theta_{\text{。}}}(\tilde{w}_{\mathcal{E}}^{0})>F_{\theta_{0}}(w),$$\forall\epsilon\in(0, \epsilon_{0})$を得る。
次に $1\leq n\leq$ N\theta 。である場合を考える。 ここでも簡単のため、 $w\equiv 1$ on$\{1, \cdots, n-1\}$$J_{k},$$k\in$とする。 (他の場合の証明は全く同様。) この時、$\kappa V(\tilde{w}_{\mathit{6}}^{k})=\kappa V(w)-2\kappa\epsilon$,,$\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|\tilde{w}_{\epsilon}^{k}+\theta_{0}|^{2}dX=-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|w+\theta 0|^{2}dx+\epsilon(1+\theta 0)|J_{k}|-\frac{\epsilon^{2}}{2}|J_{k}|$従って$F_{\theta\text{。}}( \tilde{w}_{\epsilon}^{k})=F\theta_{0}(w)+\epsilon(-2\kappa+((1+\theta_{0})-\frac{\epsilon}{2})|J_{k}|)$,(4.5‘)

116であるので、 正数$\epsilon_{k}$を$-2 \kappa+((1+\theta 0)-\frac{\epsilon_{k}}{2})|J_{k}|>0$となる様に取れば$F_{\mathit{9}\text{。}}(\tilde{w}_{\epsilon})kF>\mathit{9}_{\text{。}}(w),$となる。

$\forall\epsilon\in(0,\epsilon_{k})$$\blacksquare$

系 4.1 補題 4.3 と同じ仮定の下で、$(\delta_{0}, \delta_{1}, \cdots, \delta n)\in R^{n+1}j0<\delta_{k}<1,$

は$[0, L]$$k=0,1,$$\cdots,$ $n$$1-\delta_{k}$

$w$

, if

$x\in\overline{J_{k}}$上で定数でないとする。 任意のを次で定義する。
に対し、 関数with$\delta=$$\tilde{w}_{\delta}$$w\equiv 1$on$J_{k}$,$\tilde{w}_{\delta}(x):=\{$$-1+\delta_{k}$, ifwith $w\equiv-1$ on$x\in J_{k}$$J_{k}$.

この時、$F_{\theta_{\text{。}}}(\tilde{w}_{\delta})>F_{\theta_{\text{。}}}(w),$$\forall\delta\in R^{n+1}$

with$k=0,1,$$0<\delta_{k}<\delta_{*},$$\cdots,$ $n$.

が存在する。
を満たすような十分小さな正数とすれば、 補題 43 と同様の手法で証明出来る。
証明$\delta_{*}$$\delta_{*}:=\min\{\epsilon_{0}, \epsilon 1, \cdots, \epsilon_{n}\}$定理 12(ii) の証明$|\theta_{0}|\geq 1$$\blacksquare$の場合は、補題 4.1, 42, 注意 4.1 から直ちに定理の証明の場合を示す。
を得る。 よって以下
始めに $w$ が乃。の極小元であるとすると、 補題 41 から (1.1), (1.2) を満たす様な関を示せば良い事になるが、 我々はこのが存在する。 よって数$|\theta_{0}|<1$$w^{\mathrm{O}}\in M_{\mathrm{t}oc}(\theta_{0})$$w^{\mathrm{O}}\in S(\theta_{0})$事を次の 2 つの場合に分けて証明する。
(1)

である場合。
証明はほとんど同じなので $0<\theta_{0}<1$ とする。 この場合、 補題 41, 42 の結果から、$w$ が $[0, L]$ 上で定数であることを示せば良い。 今、 $w$ が定数でないとすると、 補題 4.1,
42 から
$0<|\theta_{0}|<1$(4.6)$w^{\mathrm{o}}\in S_{n}(\theta_{0)}(1\leq n\leq N\theta\text{。}),$$x_{k}^{L}=x_{k}R,$$|w^{\mathrm{O}}(x)|=1$

, if

(4.7)

$k=1,$ $\cdots,n$ ,$x\neq x_{k}^{L}(=x_{k}^{R}),$$k=1,$(4.8)$\cdots,$ $n$となる。 ここで$w=w^{\mathrm{o}}\equiv-1$となる様な番号$k$

を 1 つ取り、 任意の$\epsilon\in(0,$on み$\frac{\kappa}{1+|\theta_{0}|})$

に対し、 関数

1for$x\in[x_{k’ k}^{L}X^{L}+\epsilon]$$w(x)$

otherwise$v^{\epsilon}(x):=\{$,$v^{\epsilon}$

を

117

で定義すると、 簡単な計算から$|v^{\mathit{6}}-w|_{L}2(0,L)=2\sqrt{\epsilon}$

,

(4.9)

$F_{\mathit{9}}(\mathrm{o}v^{\epsilon})=F_{\mathit{9}}\text{。}(w)-2\epsilon\theta 0<F\mathit{9}_{\text{。}}(w)$(4.9), (4.10) は$w$.

(4.10)

が F9。の極小元である事に反する。 よって $w$ は $[0, L]$ 上で定数である。
(2)である場合。
$w$ が定数であれば、 補題 41, 42 から明らかに $w\in M_{\iota_{oC}()}0$となる。 $w$ が定数でなけ
れば、 これもまた補題 41, 42 から
は $(4.6)\sim(4.8)$ を満たすので、 後は次の条件$\theta_{0}=0$$w^{\mathrm{O}}$$|J_{0}|,$$|J_{n}|>\kappa,$$k=1,$$|J_{k}|>2\kappa,$$\cdots,$(4.11)$n-1(n\geq 2)$が成立する事を確認すれば良い。 そこである番号 $k_{0}\in\{0,1, \cdots, n\}$ に対して (4.11) が成立しないと仮定してみる。 簡単の為 $k_{0}\in\{1, \cdots, n-1\}$ とし (他の場合の証明も全く同様)
任意の (十分小さい) 正数 と番号をに対して補題 43 で扱った関数考えよう。 この時、に注意すると、 (4.5) から$k_{0}$$\epsilon$、$\tilde{w}_{\epsilon}^{k_{0}}$$|J_{k_{\text{。}}}|=2\kappa$$F_{\mathit{9}\text{。}}(\tilde{w}_{\epsilon}^{k\text{。}})<F_{\theta\text{。}}(w),$$\forall\epsilon\in(0, \epsilon_{k_{\text{。}}})$.

これは $w$ が F\theta 。の極小元である事と矛盾する。

従って、$w^{\mathrm{o}}\in M_{l_{\mathit{0}}}c(\theta_{0})$である。

逆に、 $w\in BV[0, L]$ に対し、 (11), (1.2) を満たす様な関数しよう。 今、 仮に $w$ が F9。の極小元でないとすると、$|z_{i}|\leq 1$$z_{i}arrow w$$\mathrm{a}.\mathrm{e}$$w^{\mathrm{O}}\in M_{\iota_{\mathit{0}}c}(\theta 0)$が取れたと. on $(0, L)$ ,in $L^{2}(0, L)$ as $iarrow+\infty$ ,$F_{\theta_{\text{。}}}(Z_{i})<F_{\theta\text{。}}(w),$$\forall i\in N$(4.12),(4.13)

を満たす様な関数列 $\{z_{i}\}\subset L^{2}(0, L)$ が存在する。
に対し、(4.12) から、 任意の$\epsilon\in(0, \delta_{*})$$\max\inf_{1\leq k\leq nx\in j_{k}}|z_{i_{e}}(X)-w(X)|<\epsilon$となる様な番号$i_{\epsilon}\in N$が取れる。 ここで$\delta_{*}$

は系 41 で扱った正数である。 この時、 関数亀。を$\sup_{x\in J_{k}}z_{i_{\mathrm{g}}}(X)$, if$x\in\overline{J_{k}}$and$w\equiv 1$on$J_{k}$,$\tilde{z}_{i_{\epsilon}}(x):=\{$$\inf_{x\in j_{k}}Z_{i}(\epsilon X)$, if $x\in J_{k}$ and $w\equiv-1$ on$J_{k}$,

118で定めると、 明らかに,$\kappa V(\tilde{z}_{i_{\epsilon}})\leq\kappa V(Z_{i_{\epsilon}})$$- \frac{1}{2}\int_{0}^{L}|\tilde{Z}_{i_{\epsilon}}+\theta_{0}|^{2}dx\leq-\frac{1}{2}\int_{0}^{L}|z_{i_{\epsilon}}+\theta_{0}|^{2}dx$

,

となるので
$F_{\mathit{9}_{\text{。}}}(\tilde{z}_{i})\text{\’{e}}\leq F_{\theta_{0}}(_{Z_{i_{\mathcal{E}}}})$(4.14),

また、 系 41 から$F_{\theta_{\text{。}}}(w)\leq F_{\mathit{9}_{0}}(\tilde{z}_{i_{\epsilon}})$.

(4.14) と併せると$F_{\mathit{9}_{0}}(_{Z_{i_{\text{\’{e}}}}})\geq F_{\theta_{\text{。}}}(w)$となるが、 これは (4.13) と矛盾する。 よって $w$ は F9。の極小元である。

$\blacksquare$

参考文献[1] L. C. Evans and R. F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions,
Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Inc., Boca Raton, 1992.

[2] A. Ito, N. Yamazaki and N. Kenmochi, Attractors of nonlinear evolution systems
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$I$[3] N. Kenmochi, Systems of nonlinear PDEs arising from dynamical phase transitions,Lecture Notes Math., Springer, Vol. 1584, Berlin, 1994.
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[5] A. Visintin, The Stefan problem with surface tension, pp. 191-213, Mathematical
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[6] A. Visintin, Nonconvex functionals related to multiphase systems, SIAM J. Math.
Anal.,21 (1990), pp. 1281-1304.
[7] A. Visintin, Models of Phase Transitions, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications Vol. 28, Birkh\"auser, Boston, 1996.