システム／制御／情報
第 64B 巻第 1B 号

令和 2 年 1 月(令和 2 年 1 月 15 日 発行)

目次「確率システムシンポジウム 50 回記念」特集号

(別冊)

解説
Estimation and Control of Distributed Parameter Systems· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Akira Ichikawa

1

信号推定のための観測の理論
ーイノベーション，最適伝送, 観測機構の最適化ー· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 武内良樹

7

身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用
ー距離センサの利用ー· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 田中雅博

15

確率可積分系試論· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 赤堀次郎

27

確率リャプノフ安定論ーノイズが導く多様な安定性· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 西村悠樹

34

Kalman Filter and Nonlinear Filters for Space Navigation· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · Masaya Murata

40

実問題への適用に向けたロバストフィルタ· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 石原新士

46

SSS50 回記念「想い出 ー 回想」 随想集
および SSS に関連する受賞者・受賞論文名······················································

53

1**Vol. 64B, No. 1B, pp. 1–6, 2020||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||[別冊『確率システムシンポジウム 50 回記念』**]

解説

Estimation and Control of Distributed Parameter Systems
Akira Ichikawa*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

Introduction[Theorem 1] Let A be a closed operator with domain D(A). Then A is the infinitesimal generator ofa semigroup if and only if there exist real numbers M
and ω such that the following conditions hold:(i) The closure of D(A) is the whole space H,(ii) (ω,∞) ⊂ ρ(A) and for λ > ωThe semigroup model in a Hilbert space can describe a wide class of distributed parameter systems
such as partial diﬀerential equations and functional
diﬀerential equations and is useful to formulate estimation and optimal control problems.

2.

|R(λ,A)|k ≤Mathematical Preliminaries

In this section the definition of a strongly continuous semigroup and its generator are reviewed. Thenthe stochastic integration with respect to an orthogonal increments process and a linear estimation problem are briefly reviewed.

2.1

M, k = 1,2,....
(λ − ω)kMoreover,S(t)x = lim exp(An t)x, x ∈ H,n→∞

|S(t)| ≤ M exp(ωt),

Semigroup of bounded operators

Let H and K be Hilbert spaces with inner product< ·,· > and norm | · | respectively. Let L(H,K) be thespace of bounded linear operators mapping H into K.
L(H,H) will be simply denoted by L(H).
[Definition 1] S(t) ∈ L(H), t ≥ 0 is a strongly continuous semigroup Refs. [2,3,5,10] if it satisfies the following:(i) S(0) = I, the identity operator,(ii) S(t)S(s) = S(t + s) for all t, s ≥ 0,(iii) S(t)x is continuous for all x ∈ H.
[Definition 2] The infinitesimal generator of a semigroup S(t) is defined by
S(t)x − xt→0t

where An = nAR(n,A).
An is a bounded operator and is known as the
Yosida approximation of A and has properties
lim nR(n,A)x = x, x ∈ H,

n→∞lim An x = Ax, x ∈ D(A).

n→∞[Example 1] Consider the heat equation∂∂2
x(t,s) = 2 x(t,s), 0 < s < 1,∂t∂sx(t,0) = x(t,1) = 0,x(0,s) = x0 (s).
For this example set H = L2 (0,1), Ax =Ax = lim

d2 x(s)andds2

dx d2 x,∈ L2 (0,1),
ds ds2x(0) = x(1) = 0}.

when the limit exists, and its domain is denoted by
D(A).
The resolvent set of A is the set of complex numbers
λ such that λI − A is one to one and onto H and isdenoted by ρ(A). The inverse (λI −A)−1 is called theresolvent of A and is denoted by R(λ,A). The limit

D(A) = {x ∈ L2 (0,1) :Moreover,S(t)x =

|S(t)|
ω0 = liminf
t→∞
t

∞
∑

∫ 1
2 2

2exp(−π i t)siniπsi=1exists and is called the type of the semigroup. Moreover, for each ω > ω0 there exits a number M suchthat |S(t)| ≤ M exp ωt. The graph of A is the set{(x,Ax), x ∈ D(A)} and is a closed set in H ×H. If x ∈dD(A) then S(t)x ∈ D(A) and S(t)x = AS(t) = S(t)Ax.
dt
The following result is known as Hill-Yosida theorem.

The type of this semigroup is ω0 = −π 2 and M = 1.
The resolvent operator is given by
∫ 1
∞
∑
2
siniπssin(iπr)x(r)dr.
R(λ,A)x =λ + i2 π 20i=1[Example 2] Consider the delay equation Refs. [2,3]ẋ = A0 x(t) + A1 x(t − τ ),x(0) = x0 ,x(s) = x0 (s), −τ ≤ s < 0,∗

Kyoto University
Key Words : estimation, control, distributed parametersystems–1–

sin(iπr)x(r)dr.
0

2**** 64B **** 1B **(2020)

where x0 (s) ∈ L2 (−τ,0;Rn ). Taking the state (x(t),x(t+s)) in Rn × L2 (−τ,0;Rn ) = M2 (−τ,0;Rn ), this equation can be described by the generator() ( A0 x0 + A1 x(−τ ) )
x0
A
=
dx(s)
x(s)
ds
with domain{()x0
D(A) =∈ M2 (−τ,0;Rn ) :
x(s)
}
dx(s)
n
∈ L2 (−τ,0;R ), x0 = x(0) .
ds

B(t) = Bq , t ∈ (tq ,tq+1 ]where Bq is Ftq -measurable. The integral of B withrespect to w(t) is defined byConsider the diﬀerential equation in Hẋ = Ax + f (t), x(0) = x0

ple paths, (iii) w(t) has independent increments and(iv) w(t) is Gaussian with covariance tIn , where In is
the identity matrix. Now define the integral with respect to an orthogonal increments process. Let Ft ,0 ≤t ≤ T be an increasing family of σ-subfield of F . Assume that w(t) be Ft -measurable and that w(t + s) −w(t), s ≥ 0 is independent of Ft . Let B ∈ L2 ((0,T ) ×Ω;Rm×n ) such that B(t) is Ft measurable. B(t) iscalled an elementary process if there exists a sequence
0 = t0 < t1 < ··· < tp = T such that

(1)
I(B) =

where f is locally integrable. Then∫ tx(t) = S(t)x0 +S(t − r)f (r)drp−1∑

Bq [w(tq+1 ) − w(tq )].

q=0

Then

(2)

∫ T

0

E|I(B)|2 =is well-defined and is continuous. It is called the mild
solution. However it is not diﬀerentiable in general. If
x0 ∈ D(A) and f is diﬀerentiable, the mild solution is
diﬀerentiable and satisfies (1). In this case it is calleda strict solution Refs. [3,5].
Consider the perturbed equationẋ = [A + A1 (t)]x, x(s) = x00where tr. denotes the trace of a matrix. The integral can be extended to the Ft -adapted whole space
L2 ((0,T ) × Ω;Rm×n ) and is called Ito-integral. If B
is non-random, it is called Wiener integral. The Itointegral can be extended L(Rm ,X)-valued B where
X is a separable Hilbert space.
Let H(X) = L2 (Ω,F ,P ;X ) be the space of square integrable random variables in X and H0 (X) = {x ∈H(X); Ex = 0}. Let {y(t),0 ≤ t ≤ T } be an m-dimensional
quadratic mean continuous process and define(3)

where A1 ∈ L(H) is a strongly continuous operator.
The integral form of this equation is∫ tx(t) = S(t − s)x0 +S(t − r)A1 (r)x(r)dr

Hty,1 (X) = LX {1, y(s), 0 ≤ s ≤ t},s

and has a unique solution. It is a linear function of
the initial condition x0 and is written in the formx(t) = S(t,s)x0 . S(t,s) is called the mild evolution
operator Ref. [2] generated by A + A1 (t) and satisfies

the closure in H(X) of all linear combinations of 1 andyj (si ), 0 ≤ si ≤ t, where yj is the j-th component of y.
For a given x ∈ H(X) the projection of x onto Hty,1 (X)denoted by Pt x is called the best aﬃne estimator ofx given {y(s),0 ≤ s ≤ t}. Let xc = x − Ex and yc (t) =y(t) − Ey(t). Define Htyc (X) = LX {yc (s),0 ≤ s ≤ t}.
Let Pt0 be the projection of H0 (X) onto Htyc (X).
Then Pt0 xc is called the best linear estimator of xc
given {yc (s),0 ≤ s ≤ t}.
Assume further that y(t) is an orthogonal increments
process with y(0) = 0, Ey(t) = 0 and Cov(y(t)) = tIm .
Then the following results hold.
[Proposition 1] Let X m be an m-vector whose components are in X. Then∫ t
Hty (X) = { k(s)dy(s) : k ∈ L2 (0,t;X m )}S(t,s)x0 = S(t − s)x0
∫ t
+ S(t − r)A1 (r)S(r,s)x0 dr.
s

The diﬀerential form of this equation is∂S(t,s)x0 = [A + A1 (t)]S(t,s)x0 , S(s,s) = I.
∂t

2.2

Etr.B ∗ (t)B(t)dt,

Wiener integral and linear estimation

First recall some basic definitions from Ref. [6].
Let (Ω,F ,P ) be a complete probability space. Square
integrable random vectors x and y are said to beorthogonal, x ⊥ y, if E(xT y) = 0, where E denotes
expectation and xT is the transpose of x . An ndimensional stochastic process w(t) is an orthogonal
increments process if for any non-overlapping intervals (s,t) and (s′ ,t′ ), [w(t) − w(s)] ⊥ [w(t′ ) − w(s′ )].
An n-dimensional process w(t) is a standard Wiener
process if (i) w(0) = 0, (ii) w(t) has continuous sam-∑0

where ky = i ki yi for y ∈ Rm .
[Proposition 2] Let x(t) be a quadratic mean continuous process in X with x(t) = 0. Then the statements below are equivalent.
(i) x(t) ∈ Hty (X) and for s ≤ t, x(t) − x(s) ⊥ Hsy (X).
(ii) There exists a k ∈ L2 (0,T ;X m ) such that–2–

Ichikawa: Estimation and Control of Distributed Parameter Systems∫ tx(t) =∫ t
ν(t) = y(t) −k(s)dy(s).
0ẑ(s)ds.
0

Proofs in the case X = R1 are given in Ref. [6] andcan be extended to the present case.

The following results are useful for linear estimation
Ref. [6].
[Theorem 3] (i) For all s and t > s,

Let H,K be any Hilbert spaces. For any x ∈H, y,z ∈ K define x ⊗ y ∈ L(K,H) by x ⊗ y(z) = x <y,z >. Let x ∈ H(X). The covariance of x is denotedby Cov(x) = E(x − Ex) ⊗ (x − Ex). It is a trace classoperator Ref. [5] andE|x − Ex| =2∞∑

ν(t) − ν(s) ⊥ Hsy (Rn ).
(ii) ν has orthogonal increments and Cov(ν(t)) = tDD∗ .
(iii) If DD∗ is positive, Hty (X) = Htν (X).

3.

mfor an orthonormal∑ sequence ei . For k,h ∈ X , define < k,h >= i ki hi . For x ∈ X, y ∈ Rm , x ⊗ y ∈L(Rm ,X) can be identified as the element (xyi ) ∈ X m .
[Theorem 2] Let x ∈ H0 (X) and let x̂(t) be theprojection of x onto Hty (X). Then∫ tdx̂(t) =
E[x ⊗ y(s)]dy(s).
0 dsdx = Axdt + B1 dw + B2 udt, x(0) = x0 ,z = C1 x + D12 u ∈ Z1 ,zT = CT x(T ) ∈ Z2 ,dy = C2 xdt + D21 dw, y(0) = 0,

(4)
(5)
(6)
(7)

where A is the infinitesimal generator of a strongly
continuous semigroup S(t) in X, D(A) its domain,u ∈ U is a control input, w is a standard n-dimensional
Wiener process given in the probability space (Ω,F ,P ),y ∈ Rm is an observation and other operators are boundedlinear operators defined on the appropriate spaces.
For example B2 ∈ L(U,X), the bounded linear operator from U to X. Assume the following

This theorem follows from two propositions above. Infact∫ tx̂(t) =
k(s)dy(s) for some k ∈ L2 (0,T ;X m ).
0∫ t
E < x − x̂(t),Optimal Control Problem

Let X, Zi ,i = 1,2 and U be separable Hilbert spaces
with inner products denoted by < ·,· >. Consider thesystem< ei ,Cov(x)ei >= tr.Cov(x)i=1∗C1∗ D12 = 0, D12
D12 = I,∗∗B1 D21 = 0, D21 D21= Im ,

h(s)dy(s) >= 00

for any h ∈ L2 (0,T ;X m ). Hence∫ t
E < x, h(s)dy(s) >
∫ t0
∫ t
=E<
k(s)dy(s), h(s)dy(s) >
0
∫ t 0
=
< k(s),h(s) > ds.

(8)
(9)

where ∗ denotes the adjoint operator and I the identity operator on U. The purpose of the control is tominimize the following quadratic function∫ T
J(u) = E|zT |2 + E|z(t)|2 dt,(10)0

where E denotes the expectation. Admissible controls
are linear functions of the observation y. As preliminaries consider the deterministic optimal regulator
problem and the filtering problem separately.

0

Now choose a constant h(s) = h0 . ThenE < x,h0 y(t) > = E < h0 ,x ⊗ y(t) >∫ t< h0 ,k(s) > ds.
=

4.

Optimal Regulator

Consider the system

0

Hence
d
E[x ⊗ y(t)] = k(t).
dt
Let z(t) be an m-dimensional quadratic mean continuous process such that for any t > s,w(t) − w(s) isorthogonal to Hsw,z . Define∫ t∫ ty(t) =
z(s)ds +Ddw(s).
03ẋ = Ax + B2 u, x(0) = x0 ∈ X(11)and the cost function∫ T
2
J(u) = |zT | +|z(t)|2 dt,

(12)

0

which is to be minimized over the set L2 (0,T ;U ) of
square integrable functions. The state of the system(11) is given by the mild solution∫ tS(t − r)B2 u(s)ds.
x(t) = S(t)x0 +0Let ẑ(t) be the projection of z(t) onto Hty (Rm ) andconsider the innovations process0

The operator-valued equation–3–

4**** 64B **** 1B **(2020)−Q̇ = A∗ Q + QA + C1∗ C1 − QB2∗ B2 Q,
Q(T ) = CT∗ CT∂∂
v(t,x)dt +v(t,x)dx∂t∂x
1∂2+ tr.B1∗ 2 v(t,x)B1 dt
2∂x= [|z(t)|2 + |u(t) + B2∗ Q(t)x(t))|2 + tr.B1∗ Q(t)B1 ]dt+2 < Q(t)x(t),B1 dw > .

(13)

dv(t,x) =is called the Riccati equation and plays the main role
for this optimization problem. It is interpreted in themild sense as
Q(t)x = S ∗ (T − t)Q(T )S(T − t)x∫ T+
S ∗ (r − t)[C1∗ C1 − Q(r)B2∗ B2 Q(r)]S(r − t)xdr.
t0This equation has a unique non-negative solution for
all T > 0. In fact it is locally Lipshitz and has a unique
non-negative solution for a suﬃciently small T . If
Q(t) is a solution, then it satisfies (13) in the innerproduct sense−

The expectation of the Ito-integral is zero and∫ T< Q(t)x(t),B1 dw >= 0.
By integration and then taking expectation∫ T
J(u) = E|u(t) + B2∗ Q(t)x(t))|2 dt
0∫ T+
tr.B1∗ Q(t)B1 dt + E < x0 ,Q(0)x0 > .

d< x,Qy >=< Ax,Qy > +(Qx,Ay >dt+ < C1 x,C1 y > − < x,QB2∗ B2 Qy >0This formula for the mild solution can be justified
using approximating systems of (4) Refs. [7,8] whichhave Ito diﬀerentials. Hence the minimum is attainedby the same feedback control uop = −B2∗ Qx andfor any x,y ∈ D(A). If x(t) is diﬀerentiable and lies in
D(A), thend< x(t),Q(t)x(t) >= |z(t)|2dt+|u(t) + B2∗ Q(t)x(t))|2 ,J(uop ) = E < x̄0 ,Q(0)x̄0 > +tr.P0 Q(0)∫ T+
tr.B1∗ Q(t)B1 dt,

where | · | denotes the norm in the Hilbert spaces. By
integration∫ T
J(u) =< x0 ,Q(0)x0 > +|u(t) + B2∗ Q(t)x(t))|2 dt.
0

The final equation does not contain the generator A
and can be justified for the mild solution using diﬀerentiable approximations of the system (11) Refs. [5,7,8]. Hence the minimum of J(u) is attained by the
feedback uop = −B2∗ Qx and J(uop ) =< x0 ,Q(0)x0 >.
This implies that the solution Q(t) is non-negative
and a priori bounded. Hence the Riccati equation
has a solution for any finite T . The optimal control
exists for any finite T and is given by the feedback
uop . This is realizable when the state is available tothe controller.

0

where x̄0 is the mean of x0 and P0 the covariance.
This control is realizable when the complete observation of the state is available.

5.

Filtering Problem

Now consider
dx = Axdt + B1 dw, x(0) = x0 ,dy = C2 xdt + D21 dw, y(0) = 0,

(14)
(15)

where x0 ∈ H(X) and w(t) is an orthogonal increments process with w(0) = 0, E(w(t)) = 0 and Cov(w(t))= tIm . Assume that x0 and w(t) are independent.
The solution of (14) is interpreted in the mild sense∫ tx(t) = S(t)x0 +S(t − s)B1 dw(s).
0The observation process∫ ty(t) =
C2 x(s)ds + D21 w(t)The feedback uop is also optimal for the stochastic
regulator problem defined by (4) and (10). Assume
that x0 ∈ H(X) is independent of w(t) and the set ofadmissible controls is L2 ((0,T ) × Ω;U ) such that u(t)is Ft measurable. The mild solution of (4) is definedas∫ tx(t) = S(t)x0 +S(t − r)B1 dw(r)0∫ t+ S(t − r)B2 u(s)ds.

0

is quadratic mean continuous. The filtering problem
is to find the best aﬃne estimator x̂(t) of the statex(t) given {y(s),0 ≤ s ≤ t}. In this case the innovations
process is given by∫ t
η(t) = y(t) −C2 x̂(s)ds.

00Note that Hty (X) = Htη (X).

Assume that x(t) is a solution of (4). Then Ito’s
formula Refs. [5,7,8] applied to v(t,x) =< Q(t)x,x >yields[Theorem 4] The best estimator is given by∫ tx̂(t) =
S(t − s)P (s)C2∗ dη(s) + S(t)x̄0 ,
(16)
0

–4–

Ichikawa: Estimation and Control of Distributed Parameter Systemsdx̂(t) = [A − P (t)C2∗ C2 ]x̂(t)dt + P (s)C2∗ dy(t).

where P (t) is the covariance of the error x(t) − x̂(t)and is the mild solution of the Riccati equation

This recursive scheme is known as Kalman filter.

Ṗ = AP + P A∗ + B1 B1∗ − P C2∗ C2 P, P (0) = P0 .

6.

Optimal Control Under Partial
Observation

Moreover,∫ tx̂(t) =

Consider the optimization problem (4)-(10). Admissible controls are linear feedback of the form
∫ tf (t,r)dy(r) + u0 (t),u(t) =

S(t,s)P (s)C2∗ dy(s) + S(t,0)x̄0 ,0where S(t,s) is the mild evolution operator given by

0∂
S(t,s) = AS(t,s) − P (t)C2∗ C2 S(t,s).
∂tf ∈ L(Rn ,U ), u0 ∈ L2 (0,T ;U ),∫ T∫ t|f (t,r)|2 drdt < ∞.

Assume x0 = 0 and derive (16). By Theorem 2∫ tdx̂(t) =
[x(t) ⊗ η(s)]dη(s).
0 ds
Now

0

u(t) ∈ Htη,1 a.e. on [0,T ].
Let x0 (t) be the state of (14) so that∫ t
x0 (t) = S(t)x0 +S(t − s)B1 dw(s).

C2 [x(r) − x̂(r)]dr0+D12 w(s)]∫ s0This control has property Ref. [6]∫ s
E[x(t) ⊗ η(s)] = E[x(t) ⊗0E[x(t) ⊗ C2 [x(r) − x̂(r)]]dr
∫ s
∫ t
=
E[S(t − r)x(r) +S(t − r)B1 dw(r)]

Then

=

∫ t

0

0

∫ s
=

r

0

⊗C2 [x(r) − x̂(r)]dr

DefineS(t − r)P (r)C2∗ dr,

S(t − s)B2 u(s)ds∫ t= S(t)x̄0 +S(t − s)P (s)C2∗ dη(s)0∫ t+ S(t − s)B2 u(s)ds.
0dE[x(t) ⊗ η(s)](t) = S(t − s)P (s)C2∗ ,dsx̂(t) =∫ tx̂(t) = x̂0 (t) +where (8) and the property x̂(t) ⊥ x(t)− x̂(t) are used.
Hence

∫ t

S(t − s)B2 u(s)ds.

x(t) = x0 (t) +

0

and

5

0

Then
S(t − s)P (s)C2∗ dη(s),e(t) = x(t) − x̂(t) = x0 (t) − x̂0 (t),∫ tη(t) = y(t) −C2 x̂(s)ds.

0

The error process e = x − x̂ is given by

0e(t) = S(t)(x0 − x̄0 )∫ t+ S(t − s)B1 dw(s)∫0 t+ S(t − s)P (s)C2∗ dη(s),The cost function can be written as∫ T
ˆ + tr.CT P (T )CT∗ +tr.C1 P (t)C1∗ ,J(u) = J(u)
0
∫ T
2
ˆ
J(u) = E|ẑT | + E|ẑ(t)|2 dt,

00

and its covariance is given byˆ
where J(u)is the cost function for the process x̂(t).
ˆConsider the minimization of J(u)over the set Ûad ofadmissible controls, where

P (t) = S(t)P0 S ∗ (t)∫ t+ S(t − r)B1 B1∗ S ∗ (t − r)dr∫0 t
+ S(t − r)P (r)C2∗ C2 P (r)S ∗ (t − r)dr.

Ûad = {u ∈ L2 ((0,T ) × Ω;U ) : u(t) ∈ Htη,1 a.e. on [0,T ]}.
The diﬀerential form of x̂ is0

In terms of the observation process∫ tx̂(t) =
S(t − s)P (s)C2∗ [dy(s) − C2 x̂(s)ds]

dx̂ = (Ax̂ + B2 u)dt + P (t)C2∗ dη.
This is a stochastic regulator problem with time-varying
B1 . But the optimal control is still the feedback0

whose diﬀerential form is–5–

6**** 64B **** 1B **(2020)

uop (t) = −B2∗ Q(t)x̂(t)where Q is the solution of the Riccati equation (13).
The optimal response is the mild solution ofdxop = [A − B2 B2∗ Q(t) − P (t)C2∗ C2 ]xop (t)dt+P (t)C2∗ dy,xop (0) = x̄0
and is given by∫ t
xop (t) = S̃(t,0)x̄0 +S̃(t,r)P (r)C2∗ dy(r),0where S̃(t,s) is the evolution operator generated by
A − B2 B2∗ Q(t) − P (t)C2∗ C2 . Hence∫ t∗uop (t) = −B2 Q(t)[S̃(t,0)x̄0 +S̃(t,r)P (r)C2∗ dy(r)]0

is a linear feedback control of the observation process
and an admissible control of the original optimization
problem. The optimal control is obtained separately
solving the regulator problem and the Kalman filter
and the result is known as the separation principle.
Stochastic regulator for systems with state and control dependent noise can be found in Refs. [7,11] andfor time-varying systems in Ref. [4]. Boundary or
point control and observation can be described by unbounded operators B2 and C2 Ref. [9].

in Infinite Dimensions, Cambridge University Press(1992).
[6] M. H. A. Davis: Linear Estimation and Stochastic
Control, Chapman and Hall, London (1977).
[7] A. Ichikawa: Dynamic programming approach tostochastic evolution equations, SIAM Journal ofControl & Optimization, Vol. 17, pp. 152-174(1979).
[8] A. Ichikawa: Semilinear stochastic evolution equations: Boundedness, stability and invariant measures, Stochastics, Vol. 12, pp. 1-39 (1984).
[9] A. Ichikawa: Filtering and control of stochastic
diﬀerential equations with unbounded coeﬃcients,
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[10] A. Pazy: Semigroups of Linear Operators andApplications to Partial Diﬀerential Equations,
Springer-Verlag, New York (1983).
[11] W. M. Wonham: Random diﬀerential equations
in control theory, Probabilistic Methods in Appl.
Math., Vol..2, A. T. Bharucha-Reid (ed.), Academic
Press, New York, pp.131-212 (1970).

Authors
Akira Ichikawa
Dr. Akira Ichikawa received the BE
degree in Aeronautics from the Tokyo
University in 1970 and the Ph.D degreein Applied Mathematics from the State
University of New York at Stony Brook
in 1974. He was a Postdoctoral fellow
in the Department of Mathematics at the University of
British Columbia from 1974 to 1975 and a Senior Research
fellow of the Control Theory Centre at the University of
Warwick from 1975 to 1978. He was with the Faculty ofEngineering, Shizuoka University as an Associate Professor in Applied Mathematics from 1978 to 1988 and as a
Professor in Electrical Engineering from1988 to 2004. He
joined the Department of Aeronautics and Astronautics,
Kyoto University in 2004 and the Department of Information Science and Engineering, Nanzan University in 2010.
He is an Emeritus Professor of Shizuoka University and
Kyoto University. His research interests lie in control theory and spacecraft formation flying.

References[1] R. F. Curtain: Estimation and stochastic control
for linear infinite dimensional systems, Probabilistic Analysis and Related Topics, Vol. 1, A. T.
Bharucha-Reid (ed.), Academic Press, pp. 45-86(1978).
[2] R. F. Curtain and A. J. Pritchard: Infinite Dimensional Systems Theory, Lecture Notes in Control
and Information Sciences, Vol. 8, Springer-Verlag,
New York (1978).
[3] R. F. Curtain and H. J. Zwart: An Introduction to Infinite Dimensional Linear Systems Theory,
Springer-Verlag, New York (1995).
[4] G. Da Prato and A.Ichikawa: Quadratic control for
linear time-varying sysetms, SIAM Journal of Control & Optimization, 28, pp. 359-381 (1990).
[5] G. Da Prato and J. Zabczyk: Stochastic Equations–6–

システム/制御/情報，Vol. 64B, No. 1B, pp. 7–14, 20207||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「(別冊)『確率システムシンポジウム 50 回記念』特集号」

解説

信号推定のための観測の理論– イノベーション，最適伝送, 観測機構の最適化–
武内良樹*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

はじめに

a) イノベーションと観測の情報等価性b) 通信路エネルギー制約条件の下で相互情報量を最大

私が京都工芸繊維大学の砂原研究室に卒研生として配にする伝送法属されたのは，1973 年春のことである．私はそれ以来継続して確率システムのフィルタリング理論に関する研究c) Kalman フィルターのための観測機構の最適化に取り組んできた．

と関連付けて説明したいと思う．

実は，その間フィルタリング理論に関する研究を単に続けただけではなく，常に自分の主要研究テーマに設定しており，砂原研究室の多くの出身者の中でも，これ2.

イノベーションと観測の情報等価性

2.1

1980 年代初頭当時における既知の結果

連続時間の観測モデル：

だけ長期間にわたって研究の矛先を動かさずにやってきた者は多くはないと思う．昨年，SSS (ISCIE Interna-

dyt = ht dt + dvt ,y0 = 0(1)

tional Symposium on Stochastic Systems Theory and
Its Applications) がめでたく第 50 回を迎えたが，私はについて，観測過程のもつ情報 Yt = σ{ys ; 0 ≤ s ≤ t} とそのほとんどに出席して研究発表を行ってきた．私自身，

イノベーション過程：∫ t

ちょうど昨年度末で大学の常勤職を退職したこともあり，ṽt ≜ yt −本稿で自分のこれまでの研究の自己レビューをまとめて，
この分野の研究者の方々の参考としたいと思う．

(2)

ションと観測の情報等価性が成り立つ」という．ただし，化してきた．確率システムのフィルタリング理論に関係(1) 式において，ht は，ある信号過程 x ≡ {xt ; 0 ≤ t < ∞}について，xt の関数（ht = h(t, xt )）または {xs ; 0 ≤ s ≤ t}の汎関数（ht = h(t, xs , s ≤ t)）であるものとする．また，v ≡ {vt ; 0 ≤ t < ∞} は信号 x とは独立な Brown 運動過するテーマを年代順に大雑把に書くと，

1) 線形ジャンプパラメータ系の状態推定（1976 年〜
1980 年，[1]〜[4]）2) 状態依存性雑音を伴う観測による状態推定（観測データの分解定理）（1981 年〜1985 年，[6]〜[8]）3) イノベーション過程と観測データとの情報等価性（1986 年〜1991 年，[9]〜[13],[18]）4) Gauss 並列通信路における確率過程の最適伝送（1992
年〜2006 年，[14]〜[17],[20],[23],[24],[27]）5) 情報理論的な観点からの観測機構の最適化（2000 年〜2010 年，[21],[22],[25],[26],[28]〜[30]）6) Kalman フィルターのための観測機構の最適化（2010年〜，[31]〜[40]）程であるものとする．
定義からイノベーション過程は観測データから計算可能なものであるので，Yt ⊃ Ṽt は自明である．従って，この問題は逆の包含関係 Yt ⊂ Ṽt が成り立つ，すなわち，
イノベーション過程から観測過程を再構成できるか否かを問うものである．
この問題は，イノベーション過程の命名者でもある

Kailath が 1967 年に仮説 (conjecture) として提唱し，彼の弟子 Frost とともに証明を試みたのが発端となっている．しかし，彼らは信号の２乗可積分性の条件：∫t2
E{ 0 |hs | ds} < ∞ のもとで，この情報等価性が成り立のようになると思われる．ただし，これら以外にも，離散時間観測のもとでのフィルタリングの公式を導いた文

つことを示すことはできなかった．

献 [5] のような理論研究も行っている．

また，1970 年代には何人もの研究者からこの仮説のここでは，すべてが大学院生時代の研究である 1) を除証明に成功したという内容の論文が提出された．しかし，

く 2)〜6) を，これらを考える動機ともなった３つの周知

これらのいずれも，後に証明に間違いがあることが判明

の問題：

した．

∗

化, Kalman フィルターĥt ≜ E{ht |Yt }のもつ情報 Ṽt ≜ σ{ṽs ; 0 ≤ s ≤ t} が等しいとき，「イノベー

私の研究の中心的なテーマは，もちろん年とともに変

大阪教育大学 名誉教授
Key Words : イノベーション過程, 最適伝送, 観測機構の最適ĥs ds,0

さらに，観測モデルが確率微分方程式で記述される（ht = h(t, xt , ys , s ≤ t) のような形式の）より一般的な–7–

システム/制御/情報

8

第 64B 巻第 1B 号∫ t

場合について，Cirelson[44] によってこの仮説の反例が示されたことから，状況はさらに複雑化した．

(2020)

Rs Rs′ ds = yt yt′ −∫ t0

しかし，フィルタリングへの応用に限って言えば，すys dys′ −0(∫ t

ys dys′)′(5)0なる関係が成り立つ．これの左辺が２次共変動過程であでに，1972 年に２乗可積分マルチンゲールの理論を用いり，（数学的には）確かに，観測データ Yt から構成可能て，その表現定理 [46; 定理 7.18] から，一般的な観測モであることがわかる．

デルについて，フィルター推定値はすべてイノベーショ

従って，この場合観測データは，従来の Brown 運動過ン過程より生成可能であることが示されていた [45]．こ程としてのイノベーション過程以外の情報をもつことはのため，実用上はイノベーションと観測の情報等価性の明らかである．そして，この２次共変動過程が観測デー成立が必須という状況ではなかった．

タ Yt に関して可測という性質から，(3) 式のような観測

私は，まだ 1) の研究テーマに取り組んでいた大学院機構の場合，一般化イノベーション過程を (2) 式で定義

生時代に，國田先生の著書 [46] を研究室の同僚である

した場合，大学院生数人と輪読をして，以上のような状況について（一般化イノベーション過程）

知った．

=（２次共変動過程）＋（Brown 運動過程）

そして，1981 年には Allinger と Mitter[47] により，

(6)

Kailath の提唱以来長らく懸案となっていたこの仮説のという，２次共変動過程と Brown 運動過程の２つの成証明がついに示され，決着がついた．

分より構成されていることが分かった．つまり，この両

イノベーショの情報等価性の議論から想起した研究上述のこれまでの研究テーマのうち 2) と 3) がこれに相当する．それ以前の 1) のジャンプパラメータ系を扱っ者とも観測データから構成できるため，この２つの成分た研究では，意図的に観測雑音の係数がジャンプパラ

いう条件がやや気になり，状態依存性の観測雑音の場合メータを含んでランダムな場合についての数学的議論は（Rt が信号 xt の関数である場合）を扱った [6],[8]．

2.2に分解できることになる．
最初は，ジャンプパラメータは不連続過程であるため，２次共変動過程が時間パラメータ t について微分可能と除いていた．

その後，Rt がジャンプパラメータに依存する場合など

それは，当時，雑音の共分散行列がランダムに変動すも考察した [10]．

るするこのような場合については，観測データの情報構

とくに [8] では，単に (6) 式の分解が成立することだけ

造がよくつかめていなかったためである．

ではなく，このような状態依存性雑音を伴う観測データ

ここで，読者に問いたい．

によるフィルタリング問題について，より実用的な観測

加法雑音の未知の共分散行列の値はデータの取り扱い方法についても議論した．

観測データから求められるか？

というのも，２次共変動過程が観測データ Yt に関し

おそらく，多くの人（とくに，連続時間の観測機構を扱って可測であるといっても，これはあくまでも数学的な話た経験があまりない人）は「No.」と答えると思われる．

である．つまり，これは「いくら時間軸を拡大しても有

しかし，実は，数学的には「Yes.」なのである．

限時間区間内には常に無限個の観測値が存在している」

共分散行列がランダムに変動する加法雑音は，確率過ということが前提なっている．すなわち，観測データ自程論で２乗可積分マルチンゲールというクラスに属す

身がパラメータ推定理論における「一致性」[48] の成立

る．ところが，[46] を読んだことで，これらのマルチンが実証可能な情報密度（無限個の標本値）を常に有してゲールを観測雑音とする観測について，「観測データ Yt

いることが前提条件となった結果である．

に関して可測（観測過程から構成可能）な２次共変動過ところが，我々が連続時間の観測モデルを数値計算に

程（quadratic covariation process）が存在する」とい

利用する場合には，サンプリング間隔が極短い離散時間

うことに気が付いた．そして，驚くべきことに，この２観測の時系列を対象としており，このような前提条件は

次共変動過程が時間パラメータ t について微分可能であ

明らかに不成立である．よって，観測データから共分散れば，加法雑音の共分散行列は（数学的には）観測デー

行列の正確な値を求めることはできない．つまり，数学

タから求まるのである．

的に設定した状況と現実のデータ処理における状況には

例えば，Rt をランダムな係数行列として，

dyt = ht dt + Rt dvt ,y0 = 0大きな乖離が存在する．
実は，のちに数理ファイナンスの研究分野でも，この(3)ような状態依存性の雑音を伴う観測モデルが利用されるの場合，yt yt′ の確率微分は，伊藤の確率微分則から，

d{yt yt′ } = yt dyt′ + dyt yt′ + Rt Rt′ dt

ようになり，ここで述べた乖離が問題となっているときいたことがある．

(4)

なお，(6) 式の分解の成立とそれと観測データの等価性については，その後 [13] として，一般的な証明を与えた．

で与えられる．すなわち，–8–武内：信号推定のための観測の理論

3.
3.1

通信路エネルギー制約条件の下で9

ϕot (y) = Ht (y)x̂t(11)

相互情報量を最大にする伝送法で与えられることも最小分散推定理論から明らかである．

1990 年以前の既知の結果

しかもこの時，(7) 式の通信路モデルは，Ht (y) ≡ H(t)大学院生時代に読んだ國田 [46] の中で，フィルタリン

の場合では，

グやイノベーションに関連して説明されていた標記の問

dȳt = H(t)xt dt + dvt ,題は，私にとって印象深く，かつ，疑問を残して，常に気にかかるものであった．國田 [46] の引用元となった研

dyt = dȳt − H(t)x̂t dt,

確率信号のエントロピーや相互情報量に関する研究者であった [52]．

(13)

t < ∞} の）イノベーション過程になることを意味する．

つ観測機構」，情報の最適伝送問題では「フィードバックをもつ通信路」とそれぞれ呼ばれるモデルで記述される．
フィルタリングにおける観測は，通信路の出力とも考えら

つまり，「イノベーション過程は (7) 式と (8) 式のような符号化された観測機構の観測信号の中で，相互情報量一定の下で信号エネルギーを最小にするという意味で最適れるので，ここでは，情報の最適伝送問題の用語を用いてなものである」ということである．

書く．すなわち，ある Gauss 信号過程 x ≡ {xt ; 0 ≤ t < ∞}なお，Ht (y) の最適化に関しては，Liptser-Shiyayev[50]を通信路を通して送る際に，信号 xt そのものを送るのでに Ht (y) ≡ H(t) の場合を考えれば十分であることが示

はなく，それまでの出力 y t ≡ {ys ; 0 ≤ s ≤ t} に基づいてされている．

符号化を行った信号 βt (x, y) ≡ βt (xt , ys , s ≤ t) を送信す

Ihara[51] の結果から想起した研究
Ihara[51] の結果，それを引用した國田 [46] や LiptserShiyayev[50] を読んで生じた疑問点は，以下の通りで3.2

る．よって，通信路のモデルは，

(7)

あった．

となる．ただし，βt (x, y) は xt に関して線形で，

βt (x, y) = Ht (y)xt − ϕt (y)y0 = 0であるから，これは通信路の出力が（観測 ȳ ≡ {ȳt ; 0 ≤この問題は，フィルタリングでは「フィードバックをも

y0 = 0

(12)

に対して，

究は Ihara[51] で，彼はシャノン流の情報理論，とくに，

dyt = βt (x, y)dt + dvt ,ȳ0 = 0(a) これらはすべて，信号が正規性で，加法雑音がやはり正規性の Brown 運動過程の場合についての結果(8)である．より一般的な２乗可積分非正規性信号や雑のような「観測フィードバックにより符号化された信号」
であり，Ht (y), ϕt (y) は y t ≡ {ys ; 0 ≤ s ≤ t} の汎関数でが成り立つか否か．

ある．

(b) 上には述べなかったが，Ihara[51] には，Ht (y) ≡H(t) の場合について，H(t) の最適値の求め方につ問題は，(8) 式の βt (x, y) のうちで，通信パワーに関する制約条件：Pt ≜ E

{∫
t

}
|β
(x,
y)|
ds
≤ Pt0 ,s0

いても議論がある．しかし，信号や通信路出力がともにスカラー値の場合に限られている．これらが多2

Pt0 : 通信パワーの上限値

音が２乗可積分マルチンゲールの場合には同じ結果(9)次元のベクトルの場合のゲイン行列 H(t) の決め方
はどのようなものか．

のもとで，信号 xt ≡ {xs ; 0 ≤ s ≤ t} と通信路出力 y t ≡上記の 4) と 5) は，これら (a), (b) を取り扱ったもの{ys ; 0 ≤ s ≤ t} の相互情報量：
}
{∫ t
2
1
βs (x, y) − β̂s (x, y) ds (10)It (x, y) ≜ E
2
0

である．
まず，(a) については，Ihara[51] の結果を，非正規性信号および２乗可積分マルチンゲール雑音の場合へ拡張を最大にするものを求めるというものである．ただし，

β̂t (x, y) は観測データ Yt = σ{ys ; 0 ≤ s ≤ t} に関する
βt (x, y) の条件付き平均である．
ここで重要な点は，(10) 式の相互情報量は ϕt (y) の選して示した [14]．この証明においては，取り扱う観測機
構についてイノベーションと観測の情報等価性が成り立つことが前提条件となっており，すでに，[13] に示した結果が得られていたことが助けとなった．
一方，(b) については，信号および加法雑音が正規性

び方には依存しないということである．従って，この問の場合に限定して議論することにした．それは，(10) 式

題の解は単純で，の右辺の期待値は xt の推定誤差共分散行列の関数とな(1) ϕt (y) は (9) 式の Pt の値が最小となるように選ぶ．
(2) Ht (y) は (9) 式が等号で成り立つように決める．

るが，推定誤差共分散行列が Riccati 方程式の解として明確な形で得られるのは，この正規性の場合のみであということになる [51]．さらに，(1) の ϕt (y) の最適値るからである．この場合，既知の Ihara[51] の結果から，は，(8) 式の右辺第 1 項の条件付き平均：

結局，

–9–

システム/制御/情報

10dyt = H(t){xt − x̂t }dt + dvt ,y0 = 0

第 64B 巻第 1B 号を含む行列連立方程式：(14)

A′ X + XA = −(J 2 − I)を通信路のモデルとしたとき，(9) 式は，

∫ t
Pt =

(2020)′

tr[H(s)Qs H ′ (s)]ds ≤ Pt0

XQH = 01/2
tr[(JGG′ J) ]λ=p0 − 2tr[A]√ −1
1/2
Q = λJ (JGG′ J) J −1{
1
−1/2
H ′H = √J(JGG′ J)
JA
λ
} 1
−1/2
+A′ J(JGG′ J)
J + J2
λ
√

(15)

0

となるから，∫1 t
1
It (x, y) =tr[H(s)Qs H ′ (s)]ds ≤ Pt0
2 0
2
Qt ≜ E{[xt − x̂t ][xt − x̂t ]′ }

(16)
(17)

(25)
(26)
(27)
(28)
(29)

を満たすようにゲイン行列 H(t) を定めればよい．つまの形となっており，H が正方正則の場合より，数値計算

り，定常問題を考えると，H(t) ≡ H, Qt ≡ Q, また，Pt0

上は少しハードルが高くなった．

の時間平均を p0 として，

なお，すでに，文献 [21],[22] では，論文のタイトルがを満たすようにゲイン行列 H を定めればよい．Ihara[51]6) のようになっている．しかし，この論文での数学的な考察内容は 5) をタイトルとしたものと変わっていない．
つまり，6) の問題について，当初は以上の結果で対処すの扱ったスカラーの信号と通信路の場合では，(18) 式かることを考えていた．

tr[HQH ′ ] ≤ p0

(18)

ら H の値を一意的に決めることができる．しかし，こ3.3

れらが多次元の場合，(18) 式を満たすゲイン行列 H は以上述べた 5) の連続時間の問題と並行して，離散時間

無数にあり，H には選択の自由度が残されている．そこの問題も考察した [24],[27]〜[29]．最適フィードバック

で，(18) 式を満たすゲイン行列 H の中で，をもつ多次元通信路における正規性信号の最適伝送問題

tr[Q] → min.

では，連続時間の場合とは本質的に異なる点がいくつか

(19)

ある．

• 最適フィードバック信号が，連続時間の場合には原と す る も の を 求 め る こ と を 考 え た [16]．信 号 過 程 を

Kalman フィルターと同様に，
dxt = Axt dt + Gdwt ,対応する離散時間の問題についての考察結果

信号のフィルター推定値であるのに対して，離散時

x 0 = x0間の場合には予測推定値となる．

(20)• 連続時間の場合では，出力と原信号の相互情報量とで与えられるものとして，一番最初は，H が正方正則

通信パワーについて，前者が後者の２分の１となる（フィルタリングではめったにない）の場合を考察しという完全な依存関係があるのに対して，離散時間の場合ではこれらの値に直接的な依存関係はない．

0

た [16],[17]．この場合，p > 2tr[A] であれば，(19) 式を• 離散時間の場合では，通信パワーが一定値以下とい満たす誤差共分散行列 Q は，√

Q = λ(GG′ )1/2√
tr[(GG′ ) ]λ= 0
p − 2tr[A]1/2

う条件の下で相互情報量を最大にする最適化問題が(21)機能する．しかし，この最適化により観測ゲイン行(22)

列は一意的に定まらず任意性が残る．従って，この観測ゲイン行列の任意性の範囲で，連続時間の場合

で与えられ，H は，

H ′H
} 1
1 {
−1/2
−1/2
+ I
=√
(GG′ )A + A′ (GG′ )λλと同様に，推定誤差分散を最小にするという最適化
問題を考察できる．
この離散時間の場合についても，まず，H が正方正則(23)場合について考察した [24]．そして，より一般的な信号

x の次元が出力 y の次元より大きい場合についての結果も示した [28],[29]．さらに，これらの一般化の際には，により定めることができるという，我ながら実にきれいな結果が得られた．これに気をよくして，H が正方でない場合，つまり，信号 x の次元が出力 y の次元より大き観測雑音の共分散行列が一般の正定値対称行列の場合をい場合について考察を進めた．より一般的なこの場合に対象とした．そして，通信パワーが一定値以下の条件下

は，問題は一気に難解になった．しかし，いくつかの有で相互情報量を最大にする H の最適性の条件を示した．

効な結果 [20]〜[22] が得られた．とくに，文献 [22] では，

すなわち，行列 HQ− H ′ （Q− は予測誤差共分散行列）(21) 式〜(23) 式を一般化したきれいな結果が得られた．

の固有値 ξi , i = 1,2,···,m と観測雑音の共分散行列 R0 の

しかしながら，この結果は，新たな変数：

固有値 ψi , i = 1,2,···,m がよく知られた注水定理 [53] と

√ (
)1/2
J ≜ λ Q−1 GG′ Q−1

同様の条件を満たすように，H を決めることであること(24)がわかった [28]（図１参照）．この点は，雑音の共分散– 10 –

武内：信号推定のための観測の理論[Water Filling Theorem]

11の観測ゲイン行列 H を定常誤差共分散行列 Q について

∑ξ = pの２次評価関数iξm = 0J¯ = tr[M Q] + tr[HN H ′ ]ξm -1 = 0(32)を最小にするように決める問題である．ただし，(30)

α

ξ1

ξ2

式と (31) 式において，w ≡ {wt ; t = 0, 1, 2, ··· } と v ≡ξ3{vt ; t = 1, 2, 3, ··· } は互いに独立な白色雑音系列である．
また，(32) 式の M は非負定置対称行列，N は正定値対称行列である．実は，この問題は H を変数とする最適

ψm

ψ3
ψ1 ψ2

1

2

第1図

化問題として考察するとうまくいかないのである．非ɶm3

負定置対称行列 N 1/2 H ′ R0 −1 HN 1/2 , R0 ≜ RR′ に注目

mして，

H ′ R0 −1 H = N −1/2 Ũ Ξ̃ Ũ ′ N −1/2

離散時間最適伝送の一般化注水定理′

Ũ Ũ = Im̃×m̃ ,行列が単位行列以外の場合の取り扱いが困難である連続時間の場合とは対照的である．しかしながら，多次元のΞ̃ = diag(ξ1 , ξ2 , ··· , ξm̃ ),m̃ ≜ rank[H]

通信路の場合では，この一般化注水定理を満たすようなゲイン行列 H の選択には，連続時間の場合と同様に，自

(33a)
(33b)
(34)

と固有ベクトルを列にもつ行列 Ũ と固有値を対角成分

由度が残されている．そこで，このゲイン行列の自由度にもつ行列 Ξ̃ で表現する．このとき，Ũ と Ξ̃ が定まれの中で，連続時間の (19) 式と同様に，tr[Q] を最小とす

ば，H はる H を求めることにした [28]．なお，文献 [28] では定常

H = R0 1/2 Γ̃ Ξ̃ 1/2 Ũ ′ N −1/2

問題，文献 [29] では非定常問題を扱った．

4.

(35)

と取ればよいことは明らかである．ただし，Γ̃ は Γ̃ ′ Γ̃ = I

Kalman フィルターのためのを満たす行列である．(33a) 式の右辺が Γ̃ に依存しない観測機構の最適化
離散時間の問題についての考察結果
すでに 3.2 節〜3.2 節で紹介した結果のいくつかは，タイトルに「Kalman フィルターのための観測の最適化」という言葉を含んでいる．すなわち，当初， 6) のテー

4.1

マへの対応はこれらの結果の適用を考えていた．しかしことと，Q がQ−1 = (Q− )−1 + H ′ R0 −1 H

(36)を満たすことから，Q は Γ̃ に依存しない．ただし，Q−は予測誤差共分散行列である．従って，Γ̃ は (32) 式の右辺第２項を最小にするように決めればよい．文献 [33] にながら，文献 [28],[29] などに示した通り，観測ゲイン行

報告した通り，その値は R0 の固有値の小さい順に，対列の最適化の過程で，誤差共分散行列の満たす Riccati

応する固有ベクトルを m̃ 個とり，その順番に列ベクトル

方程式が，平方根行列の２次式で表現される（誤差共分
散行列についての擬線形の）方程式に置き換えられる．
そのため，解の存在条件が Riccati 方程式より厳しくなとして並べたものになる．また，最近になって得られた
結果 [40] として，Γ̃ をこのように定めるとき，(33a) 式を満たす観測ゲイン行列 H は (35) 式で一意的に定まる．

ることがその後判明した．そこで，推定誤差と観測ゲイ

よって，結局， 最適化のパラメータを H から (Ũ , Ξ̃) にン行列の２次式を評価関数として，これを最小にする観変更して，(32) 式を最小にする (Ũ , Ξ̃) を求めれば，こ測ゲイン行列 H を求める問題として定式化を変更しての問題が解けることになる．

考察することにした [31]．実は，この定式化による問題

結局，(Ũ , Ξ̃) を定める条件式は行列連立方程式：(33a)は，1970 年代の観測ゲイン行列の最適化問題の黎明期と式〜(36) 式,も考えられる時代に取り扱われて，有効な結果が得られないため，その後は長期間議論がほぼ途絶えていたので

Q− = AQA′ + GG′(37)ある．その突破口を開いたのは，３節のテーマの結果にN −1/2 QXQN −1/2 Ũ = Ũ Ψ̃(38)

X = F ′ XF + M,

基づき，変数変換を導入したアプローチである．
信号過程 x ≡ {xt ; t = 0, 1, 2, ··· } が

xt+1 = Axt + Gwt ,x 0 = x0

t = 1, 2, ···(39)

を解けばよいことが分かった．ただし，Ψ̃ = diag(ψ1 , ψ2 ,··· , ψm̃ ) は R0 の固有値のうち小さい順に m̃ 個を対角成(30)で与えられる離散時間 Gauss 過程であるとき，観測機構：

yt = Hxt + Rvt ,F ≜ Q(Q− )−1 A

分に並べた対角行列である．
さて，行列連立方程式：(33a) 式〜(39) 式の解を解析的に求めることは明らかに難しい．実は，この最適な観測ゲ(31)– 11 –

システム/制御/情報

12

第 64B 巻第 1B 号(2020)

参 考 文 献イン行列 H を数値的に求める方法として，当初は (33b)式の制約条件の下での数理計画法を用いた [32],[35]．つまり，この時点では最適性の条件や上の行列連立方程式
は用いていなかった．それは，すでに，文献 [28] で得られた行列連立方程式に関しても，これらを直接解くのではなく，Ũ が正規直交条件 Ũ ′ Ũ = I を満たすように値を更新するため，多次元極座標表現を導入し，数理計画法
を用いれば (19) 式を最小とする最適点の探索は比較的容易であることが既にわかっていたためである [29],[30]．
とはいえ，数理計画法を用いる場合の計算効率は決して良くはないので，2014 年頃から逐次計算によって上の行列連立方程式を解くことを考え始めた．そして，2016
年の初頭には「不動点反復法」を用いることで行列連立方程式の数値解が容易かつ迅速に求まることが分かった [40]．

4.2

連続時間の問題についての考察結果

以上述べた離散時間の問題と並行して，連続時間の問
題も考察を行った．とくに，[37],[38] では，(33) 式の変数変換の下で，離散時間と同一の最適性の条件式：

N −1/2 QXQN −1/2 Ũ = Ũ Ψ̃
X = F ′ X + XF + M,
F ≜ A − QN −1/2 Ũ Ξ̃ Ũ ′ N −1/2

(40)
(41)

が得られ，連続時間の場合でも，(33a) 式の H ′ R0 −1 Hという対称行列が極めて重要なパラメータであることを裏付ける結果となった．離散時間の場合と同様に，(33)式〜(35) 式, (40) 式, (41) 式に，代数 Riccati 方程式:

AQ + QA′ + GG′−QN −1/2 Ũ Ξ̃ Ũ ′ N −1/2 Q = 0(42)を加えた行列連立方程式を解けばよいことが分かった．
この行列連立方程式についても，取り扱いの詳細は異なるものの，離散時間の場合と同様に，やはり不動点反復法を用いることで数値解が容易かつ迅速に求まることが分かった [40]．
さらに，最新の結果として，GG′ > 0，かつ，最適なH が (H, A) が可観測な行列ペアとなる集合に属している場合には，この問題の解が一意的に存在することが分かった [40]．

5.

おわりに

本稿では，数学的な記号の定義や用法に関する記述は最小限にとどめた．基本的には，引用した著者の論文とほぼ一貫した記述となっている．従って，もし，数学的な記号の定義や用法について，不明と思われるようなものがある場合は，[54] を参照していただきたい．

– 12 –[1] 明石，武内：Markov 連鎖係数を有する線形確率系の状
態推定；システムと制御, Vol. 21, No. 12, pp. 694–701(1977)[2] 明石，武内：連続‐離散空間で値をとる Markov 過程の推定；計測自動制御学会論文集, Vol. 14, No. 5, pp. 538–543(1978)[3] 武内，明石：Markov 連鎖に依存する係数をもつ線形確率系の状態推定– 観測雑音の統計量が不規則に変動する場合–；
計測自動制御学会論文集, Vol. 15, No. 3, pp. 345–352(1979)[4] 明石，武内：跳躍性外乱を受ける線形確率系の最適制御；
システムと制御, Vol. 23, No. 7, pp. 405–413 (1979)[5] Y. Takeuchi and H. Akashi: Nonlinear filtering formulas for discrete-time observations; SIAM J. Control
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クと状態推定；計測自動制御学会論文集, Vol. 21, No. 12,
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武内：信号推定のための観測の理論[16] Y. Takeuchi and T. Ishikawa: The optimal transmission of multi-dimensional Gaussian signals for channels with noisy feedback; Proc. of 26th ISCIE SSS,
Osaka, Oct. 26-28, 1994, pp. 33–38 (1995)[17] Y. Takeuchi: The optimal transmission of correlated
Gaussian signals through parallel channels with feedback; Proc. 35th IEEE CDC, pp. 1890–1895 (1996)[18] 武内：フィードバックをもつ観測機構に対するイノベー
ションの情報等価性；計測自動制御学会論文集, Vol. 33,
No. 6, pp. 483–487 (1997)[19] 武内：非正規性の信号と雑音に対する観測フィードバッ
クの最適化；計測自動制御学会論文集, Vol. 34, No. 9,
pp. 1139–1144 (1998)[20] Y. Takeuchi: Optimal transmission of a class ofmulti-dimensional Gaussian signals through parallel
channels with feedback; Proc. of 29th ISCIE SSS,
Tokyo, Nov.10-12, 1997, pp. 201–206 (1998)[21] Y. Takeuchi: An information theoretic approach tosensor allocation of Kalman-Bucy filter; Proc. of 32nd
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scheme for sensor allocation of Kalman-Bucy filter;
Proc. of 33rd ISCIE SSS, Tochigi, Oct. 29-30, 2001,
pp. 234–239 (2002)[23] Y. Takeuchi and K. Dei: The optimal transmissionof a set of Gaussian signals through parallel channels with feedback; Proc. of 34th ISCIE SSS, Fukuoka,
Oct. 31-Nov. 1, 2002, pp. 78–83 (2002)[24] Y. Takeuchi and A. Ida: Optimal transmission of aset of Gaussian signals through discrete-time channels
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Approach to Optimization of Linear Observations for
the Kalman-Bucy Fiter; Proc. of 36th ISCIE SSS,
Saitama, Nov. 3-4, 2004, pp. 165–170 (2005)[26] Y. Takeuchi: An information theoretic approach to
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Water Filling Theorem; International Journal of Innovative Computing, Information & Control, Vol. 4,
No. 1, pp. 211–230 (2008)[29] Y. Takeuchi and A. Hirata: A method of optimization of linear observations for the Kalman filter basedon a generalized Water Filling Theorem; Interna-– 13 –

13

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matrix for stationary LQG control systems Proc.
of 42nd ISCIE SSS, Okayama, Nov. 26-27, 2010,
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the observations for stationary LQG control systems;
Trans. ISCIE, Vol. 25, No. 12, pp. 366–374 (2012)[35] Y. Takeuchi and H. Nakai: A new method of optimization of linear observations for the stationary
Kalman filter; Proc. of 44th ISCIE SSS, Tokyo, Nov.
1-2, 2012, pp. 21–28 (2013)[36] Y. Takeuchi: An improved method of optimizationof linear observations for the stationary Kalman filter;
Proc. of 45th ISCIE SSS, Okinawa, Nov. 1-2, 2013,
pp. 1–8 (2014)[37] Y. Takeuchi: Optimization of continuous-time observations for the stationary Kalman-Bucy filter; Proc.
of 46th ISCIE SSS, Kyoto, Nov. 1-2, 2014, pp. 22–29(2015)[38] Y. Takeuchi: Optimization of linear observations
for the stationary Kalman-Bucy filter; Trans. ISCIE,
Vol. 28, No. 12, pp. 467–475 (2015)[39] Y. Takeuchi: A finite-step injection problem of
discrete-time Kalman filter into the stationary-statewith the optimal observation gain matrix; Proc. of
48th ISCIE SSS, Fukuoka, Nov. 4-5, 2016, pp. 25–33(2017)[40] Y. Takeuchi: Conditions of existence of the solutionof the observation optimization for the Kalman-Bucy
filter; Proc. of 50th ISCIE SSS, Kyoto, Nov. 1-2, 2018,
pp. 61–69 (2019)[41] T. Kailath: An innovations approach to least-squares
estimation, Part I; IEEE Trans. Automatic Control,Vol. AC-13, No. 6, pp. 646–655 (1968)[42] T. Kailath and P. A. Frost: An innovations approachto least-squares estimation, Part II; IEEE Trans. Automatic Control, Vol. AC-13, No. 6, pp. 645–660(1968)

14

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)

dom Processes, vol. II, NY: Springer-Verlag (1978)[51] S. Ihara: Coding theory in white Gaussian channel with feedback; J. Multi-variate Analysis, Vol. 4,
pp. 74–87 (1974)[52] S. Ihara: Information theory for continuous systems,
World Scientific (1993)[53] 瀧： 情報論 I, 岩波全書 306 (1978)[54] 武内： 確率と確率過程, デザインエッグ (2017)[43] T. Kailath and P. A. Frost: An innovations approachto least-squares estimation, Part III; IEEE Trans.
Automatic Control, Vol. AC-16, No. 3, pp. 217–226(1971)[44] D. S. Cirelson: An example of a stochastic diﬀerential
equation having no strong solution; Theory Probability
and Application, Vol. 20, pp. 427–430 (1975)[45] M. Fujisaki, G. Kallianpur and H. Kunita: Stochastic
diﬀerential equation for the non-linear filtering problem; Osaka J. Math., Vol. 9, pp. 19–40 (1972)[46] 國田： 確率過程の推定, 産業図書 (1976)[47] D. F. Allinger and S. K. Mitter: New results on theinnovations problem for non-linear filtering ; Stochastics, Vol. 4, pp. 339–348 (1981)[48] 中溝： 現代制御シリーズ 信号解析とシステム同定, コ
ロナ社 (1988)[49] R. S. Liptser and A. N. Shiryayev: Statistics of Random Processes, vol. I, NY: Springer-Verlag (1977)[50] R. S. Liptser and A. N. Shiryayev: Statistics of Ran-

著 者 略 歴
たけ うち

武 内

よしき き

良 樹
1951 年 5 月 10 日生．1979 年 3 月京都
大学大学院工学研究科精密工学専攻博士課
程修了．1997 年 4 月〜2017 年 3 月大阪教育大学情報科学講座教授．2017 年 4 月〜

2019 年 3 月大阪教育大学特任教授．確率システムの推定，制御の研究に従事．大阪
教育大学 名誉教授．

– 14 –

システム/制御/情報，Vol. 64B, No. 1B, pp. 15–26, 202015||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「『確率システムシンポジウム 50 回記念』特集号」

解説

身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用–距離センサの利用–
田中雅博*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

はじめに

筆者は，物体の形状や位置などに関連して，レー
ザースキャナや深度カメラを応用した環境認識，物体
認識，姿勢認識などの研究を行ってきている．物体までの距離を測るには，超音波やレーザー光などによる
様々な距離センサが存在する中で，赤外光ビームを一定の角速度で照射し，反射光の到達時間をもとに，距離を計測する ToF (Time of Flight) 形式で直線上の環境形状を取得するレーザースキャナや，ToF により各画素の方向に観測される物体までの距離を計測する深度センサも多数発売されており，マイクロソフト社のキネクト v2 などが有名である [1]．それ以外に，視点のずれを用いて対象物の各部分までの位置を推定し，さらには形状も推定することができるステレオカメラ
も存在する．
このようなセンサは，移動体に装着し，前方その他
周囲の状況を把握し，異常を検知する目的で用いることがある．筆者は，このようなセンサを，歩行者，シニアカー，移動ロボットなどの移動体に装着して，• レーザースキャナを用いて移動体の自己位置推定
および外界の環境認識• 深度センサを用いて，床（路面），壁の検出および障害物検知，また，それらからの距離やセンサの向きの推定などを，非線形カルマンフィルタを用いて行ってきた [2]-[18]．本稿ではこれらを中心に解説する．なお，
本稿は，上記の目的に向けた，具体的な問題設定およびそれを解決するための考え方などを中心に述べるが，既発表の論文や解説等をもとにした解説記事であり，記事の性質上それらに含まれる記述や図表の再掲を多く含んでいる．

2.

センサは移動体装着

ここで考える問題は，すべてセンサが移動体に装着されており，そのセンサが捉えた情報を処理して自己の位置や姿勢，さらには，周囲環境の推定を行うものである．このような枠組みの問題は，歩行者，移動ロ
ボットや，ロボット掃除機など，屋内での移動や狭い∗

甲南大学

知能情報学部Key Words : 移動体, 非線形カルマンフィルタ, 距離センサ– 15 –

エリアでの移動などに現れるもので，自己位置推定や環境推定を起点として，安全確認や危険物検知などを行うことができる．

2.1

問題に含まれる推定問題

センサを積んだ移動体から外界を見る場合，観測する情報の中の固定した環境情報部分を見極め，それによりセンサの姿勢を推定し，さらに環境中の危険要素を見きわめるといった，多段の推定が含まれている．
そのため，まずセンサが固定されている場合のカメラ
座標と，ワールド座標の間の関係を明らかにする．その中にはセンサの位置や姿勢を表すパラメータが含まれるため，それらを推定するアルゴリズムが必要である．本稿では，これらの具体的な方法を述べる．

2.2

具体的な問題設定

移動体へ装着したセンサから見た外界を正しくマッピングするには，センサのある位置や向きをもとにした画像の座標変換が必要である．そこで，位置や向きを状態変数にして，観測した情報を変換する．
移動体の状態を表すには，位置として 3 つの軸 (x,y,z)によるデカルト座標系を定義する．また，姿勢を表現するために，3 つの回転を用いる（ヨー，ピッチ，ロール)．これらのうちの必要なものを状態変数にするとよい．
これらの位置や姿勢を表す変数を推定するものとして，以下のような問題を扱う．

2.2.1 問題 1
まず，移動ロボットの自己位置推定である．我々はSegway RMP という，倒立振子型のロボット [19] を使用してきた．このロボットの特徴は，ボディを前後傾させて重心を移動することにより速度の変化に対応するという点にある．レーザースキャナは，ほぼ水平にスキャンするように取り付けられているが，前後の加速により，視点が数度上下する．しかしながら，走行
エリアは大学中庭で，周囲環境も，樹木部分を除き，上下方向に変化が乏しいとみることができる．そこで，平面上での移動と考えることにする．また，ロール角はほぼ無視できる．そこで，平面位置 (x,y) 及び方向
θ の合わせて 3 つの値を推定すべき変数とする．
また，ここではあらかじめ手作業あるいは SLAM
(Simultaneous Localization And Mapping)[20],[21] 等

システム/制御/情報

16

第 64B 巻第 1B 号(2020)

により作成した環境マップ（形状）を用いる．

2.2.2 問題 2
移動するロボットや歩行者などに Kinect などの深度センサを装着し，このセンサだけで自己の姿勢推定を行い，その値を用いて路面上の障害物や穴など，環境認識する．
あらかじめ環境中にどんな物体があるかという情報を持たない場合，多少の障害物やくぼみがあるにしても，移動ロボットあるいは人などが街路や屋内を移動する場合，平らな路面（床面）を想定することが可能であろう．また，壁面も，建物があれば存在する．
推定すべき変数としては，危険検知を最大の目的とするのなら，路面を正確に検出することが必要となる．
すなわち，高さが必要であろう．さらに，センサの姿
勢を明確にすれば，高さ情報の異なる障害物の検出も可能になるから，センサのピッチ角及びロール角が必要である．いま，どこにあってもどちらを向いていてもかまわないという条件であれば，(x,y) 及びヨー角は推定不要である．

3.

移動ロボットの自己位置推定と環境物
体の認識
ロボットは平面上を移動する．ここで推定すべき状
態変数を，平面上の位置 (x,y) 及び向き θ とする．す
なわち，

(1)

とするとき，ここのテーマは観測値 {r(1),...,r(k)} と
環境 M から，状態変数 x(k) を推定することである．
なお， r(k) は時刻 k における 1 スキャンデータである（詳細は 3.2 で述べる．第 1 図)．

第1図

レーザースキャナによる観測値

第 2 図は，実験エリアの様子である ([4] より)．

3.1

ロボットの動的モデル

実験エリア

とおく．ここに，x(k) は推定すべきベクトル，u(k) =[ux (k) uy (k) uθ (k)]⊤ は k − 1 から k の間の，既知の増加分，w = [wx wy wθ ]⊤ は未知成分である．
オドメトリ u(k) は，車輪の回転数をもとに，進んだはずの距離（左右各々）であり，差分や角度による変換後に得られる．

3.2【問題 1】レーザースキャナを用いた

x = [x y θ]⊤

第2図

観測モデル

RBG 画像の場合，コンピュータビジョンの分野で開発された，特徴点（SIFT[22], SURF[23] など）を用いるが，ここでは，各点の距離が観測されるので，確率
ロボティクスで使われているモデル [20] を用いる．
観測データは，反射面の種類により(1) 正常にヒットする環境物体 (HIT)(2) 環境データに含まれていない物体．例えば，臨時の車や歩行車，荷物など (SHORT)(3) 反射なし (NO REFLECTION)(4) ランダムな値 (RANDOM)(5) 透明環境 (TRANSLUCENT)に分類できる．これは，Thrun ら [20] による議論に，この環境特有のものとして，(5) のガラス面と植え込
みを付け加えたものである．
時刻 k における観測データ（センサから環境物体までの距離）を r(k) = {rα (k),α = 1,...,N } とする．ここに，N は，1 スキャンで計測される点の数で，たとえば，我々の使用した UXM-30LX-E1 では，N =4 × 190 + 1 = 761 である．インデクス α はスキャン角度 β = (α − 1)/4 − 95(◦ ) に関係するものである．
時刻 k において，状態変数ベクトル x(k) と環境情報 M をもとに，観測値は rα (k) = ϕ(x(k)) + eα (k) である．ここに，ϕ(·) は rα がどのモデルに従ったデータ
なのかを事前にわからない不確実性を有している．以下，確率密度関数を用いて，この点を明確にしてゆく．
Ii を，情報源を指し示すインデクスとする．このとき，状態変数の時間更新モデルを

x(k) = x(k − 1) + u(k) + w(k)1(2)
– 16 –

これは，北陽電機の商品である; http://www.hokuyoaut.co.jp/

田中：身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用がある素材の部分である．尤度関数をp(rα (k)|x(k),M)∑=p(rα (k),Ii |x(k),M)pt (rα (k)|x(k),M)
1
, if r̂α < rα (k) ≤ rmax
= rmax − r̂α (k)0,otherwisei∈{h,s,n,r,t}=∑p(Ii )pi (rα (k)|x(k),M)

i



 

ph
ph (rα (k)|x(k),M)  
 ps   ps (rα (k)|x(k),M)   

  

=
 pn  ,  pn (rα (k)|x(k),M)   
 pr   pr (rα (k)|x(k),M) ptpt (rα (k)|x(k),M)∑p(rα (k)|x(k),M) =(3)

pi pi (rα (k)|x(k),M) (9)i∈{h,s,n,r,t}を定義する．

3.3

移動体及び環境の推定アルゴリズム

3.3.1 環境地図
第 3 図は，実験に用いた環境地図である．色は青は通常の物体（壁面），緑はガラス面，植え込みなど，透明部分を含む部分である．

(4)

第3図

と定義する．
(2) SHORT“Short” は，マップに記載されていない歩行者や駐車中の車両などからの反射を示す．

ps (rα (k)|x(k),M){
ηs λs e−λs rα (k) , 0 ≤ rα (k) ≤ r̂α (k)=0,otherwise(8)

これらの観測モデルをもとに，次の尤度関数

ここに， (a,b) の書式は，内積を表す．ph ,ps ,pn ,pr ,pt
は 5 つのケースの事前確率，pi (rα (k)|x(k),M), i ∈{h,s,n,r,t} は観測値 rα (k) の条件付き確率密度関数である.
(1) HIT“Hit” は，レーザーが環境マップに記載されているものから直接反射して観測される場合である．尤度関数は，

ph (rα (k)|x(k),M)
(
)
1
1
2
exp − 2 (rα (k) − r̂α )
=√
2σ
2πσ 2

17

(5)

ηs は，正規化のための定数 ηs = 1/(1 − e−λs r̂α (k) ) である．
(3) NO REFLECTION“No reflection” は文字通り反射なしを示す．これは，センサの感知範囲内に物体がない場合などに起こる．
{
1, if rα (k) = rmax
pn (rα (k)|x(k),M) =(6)0, otherwise(4) RANDOM“Random” は，LRF が故障している場合などである．
 1 , if 0 ≤ r (k) ≤ rαmax
pr (rα (k)|x(k),M) = rmax
(7)
 0,otherwise(5) TRANSLUCENT“Translucent” は，ガラス壁面や植え込みのように，マップ位置よりも遠いところから反射してくる可能性

3.3.2 状態推定スキーム
推定はパーティクルフィルタ [24] を用いた [2].
(1) 初期状態 x[p] (0) をパーティクル [p] ごとに定義する． k = 0.
(2) k によるループ (時間):(a) p によるループ (パーティクル):i. (2) 式に基づいて x[p] (k) を計算する．
ii. (3) 式に従って尤度を計算する．
(b) 尤度値 [24] に従ってリサンプルする．
3.3.3 事後確率3.2 で定義した Ii を時間ごと，角度ごとに Iα (k) ∈{h,s,n,r,t} と再定義しよう．このとき，時刻 1 から kまでの観測値および環境マップが与えられたときの条件付き確率はp(Iα (k) = i|R1:k ,M)pi (rα (k)|R1:k−1 ,M)p(Iα (k) = i|R1:k−1 ,M)=∑(10)
1:k−1 ,M)p(I (k) = j|R1:k−1 ,M)αj pj (rα (k)|Rとなり，p(x(k)|R1:k−1 ,M) がシングルトンに近いと仮定すれば

pi (rα (k)|R1:k−1 ,M)∫=– 17 –

実験に使用した環境マップ．青は通常の物体（壁面），緑はガラス面，植え込みなど，透明部分を含
む部分

pi (rα (k)|x(k),M)p(x(k)|R1:k−1 ,M)dx(k)(11)

システム/制御/情報

18≃ pi (rα (k)|x(k),M)

第 64B 巻第 1B 号

(12)
HIT

p

となる．また，p(Iα (k) = i|R1:k−1 ,M) = pi

(13)

1
0.5
0
−100

−50

0

50

100

SHORT

p

なので，

pi pi (rα (k)|x(k),M)p(Iα (k) = i|R1:k ,M) ≃ ∑(14)
j pj pj (rα (k)|x(k),M)

1
0.5
0

−50

0

50

NO REFLECTION

実験結果
p

3.4

(2020)

3.4.1 シニアカーが停まっていた場合
第 4 図は，シニアカーがロボット周辺にあったときのロボットの自己位置推定結果である. プラス記号(+) は推定された値を示し，線分はそれらをつないでいる．明るい印はオドメトリの値のみでの予測位置を示し，暗い色は我々のアルゴリズムでの推定値である（[5] より）．ロボットは (120,150) からスタートした．
ロボットが最初のターニングポイントに行くまでの間(200,180) 付近にシニアカーが駐車していた．その後
は，シニアカーはロボットを追跡し３番目のターニン
グポイント過ぎまで行った．

1
0.5
0
−100

−50

0

50

100

50

100

50

100

p

RANDOM
1
0.5
0
−100

−50

0

p

TRANSLUCENT
1
0.5
0
−100

−50

第5図

300

0
angle(deg)

5 つのケースの事後確率

y

200
100
200

400

600

800

1000

である．これを見ると明らかなように，RANDOM を認めている第 7 図に比べてかなり推定結果が悪くなる（[5] より）．

x
第4図

シニアカーが付近にあったときのロボットの自己位置推定．プラス記号 (+) は推定位置でそれらを線分でつないでいる． 傾いている軌跡は，オドメ
トリだけ使用して，本アルゴリズムを使用していない場合．こんなに短距離でも，オドメトリだけだと誤差が出る．

300

Environment map and estimated objects

250
200
y

150

第 5 図は，1 スキャンデータ −95◦ から 95◦ の 1 度ずつの事後確率である．ちなみに，ロボットの位置は(120,150)，右方向を向いている．ほとんどの点は HITとなっており，SHORT となっているのは，シニアカーの部分などである．右のほうには建物がない部分があり，それが NO REFLECTION などになっている．また，透明なガラスがあり，TRANSLUCENT に現れている（[5] より）．

100
50
0
0

3.4.2 人が 10 人いる場合
第 6 図は 20 回の推定結果をオーバーラップして表示したものである．動いている人の位置がそれぞれ表示されているので人の数より多いが，人が検出されいているのがわかる．また，ガラスの後方に透けて見えているものが表示されている．これは，教室の壁などである（[5] より）．
同じデータに対して，第 7 図は，pr = 0 とした場合

100

200
x

300

400

第6図

pr = 0.05 としたときのロボットの推定位置（(×印) と環境検出結果

4.

【問題 2】深度センサを用いた歩行者
や移動体の姿勢推定

4.1

カメラ座標系

X を前方方向, Y を左方向, Z を高さ方向の，それぞれ直交する軸とする．

– 18 –

田中：身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用
Environment map and estimated objects

300

j

19
z

i
250

y

200

第9図

y

150

正面向きにおけるワールド座標 (x,y) と画面座標
(i,j)

100

∠Q と，視野角半分に対応する長さ W の関係および垂直方向の関係は，

50
0
0

第7図

100

200
x

300

400

tan

pr = 0 としたときのロボットの推定位置 (× 印) と環境検出結果

第1表

色

HIT
SHORT
NO REFLECTIONRANDOM
TRANSLUCENT

黒


1)
 
(


x0
xij
W
nH − 1


 


− j−

+
y0 (16) yij  = rij 2 ) (nH − 1)/2  (nV − 1
H
h
zij
− i−
2
(nV − 1)/2


赤
青
マゼンタ

深度画像の大きさを nV（縦）× nH（横），左上を原点とし，ワンショット（1 フレーム）で取得されるデータ
は，{rij (k);i = 1,...,nV ,j = 1,...,nH } と表現する．センサの画素位置と 3 次元空間内での関係を示す数学モ
デルはベンダーからは公式には提供されないケースが多い．しかし，我々の目的においては，ある程度の精度のある観測モデルを準備しなければ目的が達成出来ないため，筆者は以下のモデルを今まで使用してきた．

4.2.1 等幅モデル
第 8,9 図は，等幅モデルを図示したものである．等幅モデルとは，センサから平面を鉛直方向から見たとき，縦のそれぞれの画素間，横のそれぞれの画素間の実距離が等しいものを指す．そのため，距離が 1 である場合の，横 i 番目，縦 j 番目の位置をまず求め，それを距離 rij 倍する．
z
x
W

1

H

∠P

sensor1∠Qyx

sensor

第8図

ここで，画素と実座標との関係を，モデルによらず，
一般的に (1)   
cij
x0
xij


 (2)   (17)
 yij  = rij  cij  +  y0 

緑

深度センサの観測モデル

4.2

(15)

となる．そこで，センサから正面方向を x 軸，左方向を y 軸，上方向を z 軸とすると（右の図），第 (i,j) 番
目の点について，以下の関係が成り立つ．

推定された物体の属性．

ケース

∠Q
∠P
= W, tan=H22

等幅モデルにおける関係

まず，第 8 図の左の図において，水平方向の視野角– 19 –

(3)

zij

cij

h

と書くことにする．

4.3

座標系

4.3.1 ワールド座標
直交座標 (x,y,z) とする．センサの真下を原点とする．
4.3.2 センサの姿勢パラメータ以上のセンサの観測モデルは，センサの正面が水平方向の場合のものであって，多くの応用では，センサの姿勢が変わることを考慮に入れなければならない．
例えば，下向きにセンサを設置して，上から人の動作を監視したり，壁に斜めに取り付けて通行人を捉えるなどの応用問題があるだろう．
向きがあるセンサの姿勢は，位置の 3 次元座標と 3次元回転の 6 つのパラメータを使って表現でき，3 つの軸を順番に回転させるオイラー角の他に，回転軸ベクトルと回転量を使う表現や，四元数などが知られている [25]．ここでは，軸毎に回転を順番に行う，オイ
ラー角による回転をモデル化することにする．
オイラー角による回転は順序に依存するため，順序が異なれば同じ回転であっても，パラメータの値が異なるという特性がある．ここでは，まず上下（ピッチ方向）に α ほど回転，次にロール方向に ψ ほど回転，最後にヨー方向に γ ほど回転をするものとしよう．セシステム/制御/情報

20

第 64B 巻第 1B 号(2020)

ンサがこのように回転したときの第 (i,j) 画素方向にある物体のワールド座標 (xij ,yij ,zij ) は以下の式で示される．
 (1)   
cij
xij
0


 (2)    yij  = rij Rz (γ)Rx (ψ)Ry (α)  cij  +  0 (18)
(3)

zij

cij

z

(i, j)

0

x0

a

y0

y
rij

h
x

ここに，Ry (α) は y 軸周りの軸の回転である．すなわち
cosα 0 sinαRy (α) =  0
(19)
1 0 

第 10 図4.5−sinα 0 cosα

姿勢の変化

パラメータ推定（２）フィルタリング問
題としての定式化

4.5.1 状態ベクトルと動的モデル
ここでは，状態ベクトルを q と記述し，例えば，以下のように定義する．

また，Rx (ψ)，Rz (γ) についても同様に，それぞれの軸に関する回転行列である．

4.4

y

h

変動パラメータでの応用

q = [q1 q2 q3 ]T = [α ψ h]T移動するシニアカー等に装着すると，車両に連動してセンサが振動する．歩行者に装着して，前方の安全確認装置として使用する場合も，センサが振動する．
パラメータが変動する場合は，リアルタイムでパラメータの値を推定しなければならない．その際，見えている物のワールド座標が必要となる．しかし，動いている場合に，あらかじめ見えてくる物を想定するというのは，大きな制約になる．そこで，筆者は，床面あるいは路面に着目した．

(20)

次に，この問題をフィルタリング問題として定式化するため，観測値と q とを関係づける観測モデルと，
q の時間的変化を示す動的モデルが必要である．

4.5.2 観測モデル
もし (i,j) 番目のデータが路面からのものであれば，zij (k) は 0 である．よって，(18) 式において zij (k) = 0とおけば，非線形観測方程式
rij (k) =[発想] 視野中の多くの点が路面を見ていると仮定し，高さが 0 に近づくように，未知変数（高さ，ピッチ角，
ロール角）のパラメータを推定
たいていの応用では，路面がある程度見えているだ
ろうという仮定である．路面であれば，高さが 0 という，既定の値である．見えている視野の中のどの点が路面上の点か，あらかじめわかっているわけではないが，一般には，かなりの割合の点が路面上の点であるという仮定が可能である可能性が高い．その際，路面上の点ではない点からの情報は邪魔になるので，それらの点を除外するメカニズムを含む必要がある．
そこで，まず，ここでは，取り付けの際に，視野の中心軸が上あるいは下に傾くことと，さらに，ロールする場合をモデルに取り入れる．また，センサの平面上の位置と左右の首振り角は不問にする．
注目する点 (i,j) が路面上にあれば zij の値はほぼ 0である．また，障害物に当たっている場合は，路面よりも高い点にあるので zij > 0，穴や溝の中に当たっている場合は路面よりも低い点なので zij < 0 である．
第 10 図は，ピッチ角 α，ロール角 ψ と高さ h が変化する場合を示している．

q3
A

(1)

(21)
(2)

(3)

A = cij sinq1 cosq2 + cij sinq2 − cij cosq1 cosq2を得る．(21) 式を i,j について縦に並べ替えると，

r(k) = f (q(k)) + e(k)(22)

ここで，eij (k) は観測ノイズである．
観測モデルが非線形で，計算処理時間の制約がある
ので，処理量がパーティクルフィルタなどに比べて少ない拡張カルマンフィルタ [26](EKF) が適当である．
その中で，路面と判断される点を除外してフィルタを構成する．

4.5.3 状態時間更新モデル
センサの取り付けに関して考察を深め，位置や角度
のみならずそれらの速度情報も入れたモデルを考えることもできるが，ここでは，簡単のためにランダム
ウォークモデルq(k + 1) = q(k) + w(k)(23)

を使う．歩行者に装着したりすることを前提としているので，オドメトリは使用しない．

4.6

状態推定アルゴリズム

非線形性及び対象データの選別メカニズムが含まれているため，初期値の許容範囲が狭い．それを解消す– 20 –

田中：身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用るために，ここではトライアンドエラーアプローチを採る．すなわち，初期値はあらかじめ定めた，初期値候補からランダムに生成し，それにより収束に向かわなかったら，新しい初期値を生成し直す．
Step 1. 初期値の設定 q̂(0) と P̂ (0) を与える
Step 2. 繰り返し
Step 2.1 観測ベクトルに含めるデータを選別 間引かれた (例えば (640/16) × (480/16) 個の点について), rij の推定値を求め，誤差が十分少ない
点を観測値に含める．
Step 2.2 拡張カルマンフィルタを適用

q̄(k) = q̂(k − 1)

(24)

P̄ (k) = P̂ (k − 1) + Q(k)(25)q̂(k) = q̄(k) + K(k)(r(k) − f (q̄(k))(26)

P̂ (k) = P̄ (k) − K(k)H̄(k)P̄ (k)(27)

Hij,1 =
=

(30)

∂fij
q3
(1)
(2)
= 2 (−cij sinq1 sinq2 + cij cosq2
∂q2
β

(3)

−cij cosq1 sinq2 )

(31)

1
∂fij
=−
∂q3
β

(32)

Hij,3 =

上記の式は床・路面高さに近い点のみで適用可能なので，それから外れる点は除外する必要がある．次のように行う．
(1) rij を， (22) 式の中の現在推定できている値 q で推定する．
(2) もし推定値が観測値と大きく外れていたら，観測ベクトルから除外する．
よって，H のサイズ (Ñ × 3) の tildeN は可変である．
観測に含まれる rij を「有効データ」(valid data) と呼ぶ．これでも，観測ベクトルの次元は大きすぎるので，16 分の 1 程度に間引いて使う．

× [H̄(k)P̄ (k)H̄(k)′ + R(k)]−1= [P̄ (k) + H̄ T (k)R−1 (k)H̄(k)]−1

4.7.1 高さおよび路面上の点の推定
点 (i,j) の高さ推定値は(28)

ここに，H̄(k) は q̄(k) を用いて計算したヤコビ
行列 (29) 式である．ここでは，(28) 式の２番目の式を有効に適用できる．というのも，行列R(k) は e(k) の共分散行列であり，対角と仮定できるので，Ñ × Ñ の逆行列を必要としないか
らである．
Step 2.3 データ各点を評価得られた姿勢パラメー
タを用いて，再度各点の高さを求め，判定する．
Step 2.4 床面よりも高い点，低い点の個数をカ
ウント床面にない点の個数を求める．これにより，アラームを発する．
Step 2.5 リセット条件をチェックリセット条件のいずれかが満たされたら，ステップ１に戻り，リセットする．

4.7

∂fij
∂q1

q3 (1)(3)(c cosq1 cosq2 − cij sinq1 cosq2 )β 2 ijHij,2 =

K(k) = P̄ (k)H̄(k)× H̄ T (k)R−1 (k)

21

(2)

(1)

(3)

ẑij = −rij (cij cos ψ̂sin α̂ + cij sin ψ̂ − cij cos ψ̂cos α̂) + ĥによって求められる．右辺に現れる α̂,ψ̂, ĥ は上記アルゴリズムによって得られた推定値である．なお，(18)式により，x, y の推定値も得られる．高さ推定値より，路面上の点と判断される点を決定する．

ヤコビ行列

障害物あるいは穴と判断されるデータにおいては，データを除外するというポリシーで進める．
拡張カルマンフィルタを適用するためには，f (q(k))のヤコビ行列H1,1 H1,2 H1,3
 .
..
.. 

.
H = ∂f /∂q = 
(29)
.
. 
 .
HÑ ,1 HÑ ,2 HÑ ,3を求める必要がある．H のサイズは Ñ × 3 であり，関数形は (21) から，次のように求められる．

– 21 –

第 11 図4.8

データの集め方

初期値の決定方法

4.8.1 理論的な初期値
カルマンフィルタ [24]-[30] は，ベイズ推定の枠組みで導出できる．そのため，時間更新では，２つのガウ
ス変数の和となり，誤差共分散は一旦広がるが，それもガウス変数であり，観測更新では，観測値を条件とする条件付き期待値により，絞り込むという 2 つのス
テップが交互に繰り返される．絞り込まれた後もガウ
ス変数となる．拡張カルマンフィルタはそれを部分的システム/制御/情報

22

第 64B 巻に線形近似したものである．通常，カルマンフィルタ
において，初期値はあまり気になるものではなく，わずか数回繰り返せばどこから始めても同じような結果になるということを経験的に知る読者も多いに違いない．
しかし，本稿で述べたような，使用する観測値を選ぶような機構が入っているアルゴリズムではそれはう
まくいかない．
その理由は 2 段階で考えるとよい．まず，非線形関数を線形近似しているため，初期値の位置によりヤコビ行列は値が異なるため，そもそも，拡張カルマン
フィルタの初期値は，収束する範囲が限定される．さらに，本稿で述べているような，使用する観測値を選ぶような機構が入っているアルゴリズムではなおさら困難であるということになる．

第2表

mean
variance

高さ [mm]

π /6
1

0
1

1000
1002

数値例

4.9

このアルゴリズムでは，初期値が実際の値から大きく外れていたら，適応するのに長時間かかったり，場
合によっては収束しない．数値例で示そう．
第 3 表は，俯角 30◦ , ロール角 0◦ ，高さ 720mm の場
合である．
Case 1 は初期値 q̂(0) をほぼ正確な値，すなわち,

q̂0,1 = α̂0 ∼ N (25π/180,1)q̂0,1 = α̂0 ∼ N (20π/180,1)(34)

他の状態変数はq̂0,2 = ψ̂0 ∼ N (0,1)(35)

q̂0,3 = ĥ0 ∼ N (700,3002 )(36)

ここで，角度はラジアン [rad] 高さは [mm] である．
各々のケースで 50 回テストを行い，その結果を第 3表にまとめている． “No hit” は，時間リミット（10秒間）の間に，リセットを繰り返して，収束しなかった場合を示す．実験室は普通の部屋で，視野の上部に壁やドア，下部に床面が写る．時間はプログラムで自動計測された値である．
第3表

著者はこの枠組みの中でいろいろな可能性を示してきた．センサの推定された姿勢により，法線ベクトルの方向が計算できる．第 12 図において，赤は床にほぼ垂直な法線ベクトルを持つ点を示している．さらに，
左向きを黄色，右向きをマゼンタで色付けした．また，
画面内で最も大きな平面をシアンで色付けした ([15])．

4.10– 22 –

Case 2
44/50
0.260

第4表

壁を見るときの初期値

俯角 [rad]

ロール角 [rad]高さ [mm]

π /2
1

0
1

1000
1002

問題ごとの初期値の提案値

4.6 章の Step 1 と Step 2.5 は次のアルゴリズムである．
Step 1. 初期値の設定 一様乱数で初期値を生成．
α0 ≤ q1,0 ≤ α0

これを繰り返すことにより，第 2，第 3 平面を示す

Case 1
6/50
0.958

この結果からは，良い初期値を選ぶのは，姿勢を知っているときでなければ，非常に難しいことがわかる．
初期値を，第 4 表のようにしたら，数秒で，正しい状態推定ができるように適応した．

分散

黄色は右向き，マゼンタは左向き，赤は上向き，最大の平面をシアンで示している

我々の最初のアルゴリズムの性能

10 秒間 “no hit” のケース
HIT した場合のHIT するまでの平均時間 [sec]平均

第 12 図(33)

Case 2 では

通常の初期値

ロール角 [rad](2020)

ことも可能である．ただし，これはすべて床面を最初に検出するという方法によっている．

4.8.2 解の近傍の初期値
論文等 [9,10,6,8,16] では初期値の条件は特に考慮していなかった．というのも，身体に装着し，20◦ ∼ 40◦の俯角で床や路面を検出するという問題だったからである．[16] では壁面を見つける問題を扱ったが，路面を最初に見つけるという問題設定だったので，それでよかった．
初期値を変えれば，いくつかの問題に適用できる（第 2 表）.

俯角 [rad]

第 1B 号(37)

田中：身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用

ψ0 ≤ q2,0 ≤ ψ0(38)

h0 ≤ q3,0 ≤ h0(39)

対角行列 P̂ は，1 サイクル中の変数の変化を物理的に考えて設定．
Step 2.5 リセット条件を確認 Step 2.5 で，不等式 (37)(39) および，次の等式をチェックする．

Nvalid ≥ Nvalid(40)

Nf ar ≤ Nf ar(41)

新しいアルゴリズムの性能

10 秒間 “no hit” のケース
HIT した場合のHIT するまでの平均時間 [sec]Case 10/50
2.318

不等式 (37)-(41) に用いられる定数

項目4.10.1 提案アルゴリズムの数値実験
4.8.2 章で提案したアルゴリズムの数値実験を行う．
初期値を真値に近いところに設定した Case 1 と，かなり離れたところに設定した Case 2 をそれぞれ 50 回ずつ実行した．両方のケースにおいて，結果を第 5 表に示す．
Nvalid を 0.4，Nf ar を 0.1 にした以外のすべての条
件は，第 3 表と同じである．
第5表

4.10.2 歩行者
同じプログラムで，設定値を変えれば，次の 2 つが検知できる．
Prog1 床面・路面を検知．その場合，俯角を 20◦ 程度に設定してスタートするとよい．床面にある数cm の障害物が検知できる．
Prog2 壁面を検知．その場合，角度を 90◦ にしてスタートするとよい．壁面までの距離が求められる．
第6表

ここに，Nvalid は，深度データの中で，基準となる平面領域のデータの割合である．また，Nf ar は，得られている床（あるいは壁）よりも遠いところのデータの割合である．
姿勢パラメータが真値に近ければ，データの大部分がその平面上にあると判定される．そのため，
この値は，姿勢パラメータの良さを示す指標となる．定数 Nvalid 及び Nf ar は，与えられた問題によって決定すべきである．そのため，事前の準備実験が必要である．もし，満たされない条件が１つでもあれば，現在の推定値は無効であると判断され，リセットされる．

Case 21/50
1.981

この表では，ケース 1 と 2 において，良い初期値を当てる頻度はあまり変わらない．すなわち，このアル
ゴリズムはロバストであるといえる．第 5 表 (新) と第 3 表 (旧) を比較すると，Case 1 では，検出速度が悪い．しかし，第 5 表での “no hit” は，第 3 表より少ない．Case 2 では，第 5 表は，第 3 表に比べて， “nohit” のケースが劇的に減少している．言い換えれば，姿勢の初期値が全く不明なときは，第 3 表のアルゴリ
ズムは使えず，第 5 表の新しいアルゴリズムしか使えないといえよう．

– 23 –

23

α0
α0
ψ0
ψ0
h0
h0
Nvalid
Nf ar

Prog1
20◦
50◦
−30◦
30◦
20 [cm]
400 [cm]
0.2
0.2

Prog2
70◦
110◦
−30◦
30◦
20 [cm]
500 [cm]0.2
0.2

Prog1 は，第 13 図，第 14 図に対応し, Prog2 は，第15 図, 第 16 図に対応する. これらの図は実時間処理を行う PC の異なるウィンドウから取得したものである([17] より)．
図の中の説明を行う．図中の一番上には，2 つの数値が示される．左 (surf) は，主要平面の部分であると判定された割合が示される．第 14 表では，0.26 となっている．右 (val) は，画像中の有効画素の割合を示す．
センサが何かの物体に近すぎたら，有効画素は少ししかなくなる．もしその値が小さすぎたら，“few validdata” がこの数値の右に表示される．
2 行目には，4 つの数値が示される．左の値は，FPS(Frames Per Second) である．左から 2 つ目の数値は，推定されたピッチ角 α の値である．3 番目の値は，推定されたロール角 ψ の値である．4 つ目の値は，推定された高さ h である．
図中，主要平面（床や壁）は，色付けされず，灰色である．赤い画素は，主要平面よりも近い部分である．
主要平面が床の場合，赤いところは何か床の上にある障害物ということになる．そのため，歩行者は注意をする必要がある．
青い画素は，主要平面よりも遠いところである．主要平面が床の場合，青い部分は穴や溝，下降階段などということになり，十分な注意が必要である．主要平面が壁面の場合（第 15 図 と 第 16 図) は，壁がなく進める部分である ([17] より)．ここの図には，青の部分が現れていない．
これらの図を見ると，主要平面は異なる様子で検出されている．第 13 図では，主要平面は床で，第 15 図

システム/制御/情報

24

第 64B 巻第 1B 号(2020)

散らかった場所での高さや距離を測る装置としての利用このシステムは，掲示物や装着物がたくさんあるよ
うな壁面までの距離を測るために用いることができる．
また，路面に工事中の盛り土があったり穴があったりするような場所の上方に移動カメラがあって，常時高度をモニタしたいような場合にも用いることができる．

4.10.3

第 13 図第7表

Prog1: 第 6 表に示した閾値により検出された
結果

不等式 (37)-(41) に使用されるパラメータ掲示物等がいろいろあって散らかった壁面に対して，
その壁面までの距離が計測できる．
項目第 14 図

α0
α0
ψ0
ψ0
h0
h0
NvalidNf ar

Prog1: さらに壁に近づいた場合

ではそれはセンサの前のドアである．
第 14 図と第 16 図は，センサがドアに接近した時の結果を示す．これは第 15 図の h を見てもわかる．最初は 1800.2mm であるが，第 16 図では，813.4mm となっている ([17] より)．

値
−50◦
50◦
−30◦
30◦
d × [cosγπ/180],1] − r
d × [cosγπ/180],1] + r
0.2
0.2

初期値は第 7 表に示す．γ が，センサ方向と鉛直面との間の最大角度とするとき，4 つのケースで実験を行った．d が深度画像における，事前に決めた中心点までの距離 (例えば (iW/4,jH/4);i,j = 1,2,3) で，ランダムに選んでいる．乱数 r の定義域は，環境に応じて適当に決める．ここでは，γ = 50◦ とした．
また床面に物が散乱していて，最短距離を計測する
ところにセンサを設置できないような場合にも，距離の計測ができる．災害現場などで，クレーンで上にセンサを持ち上げて計測するような場合が想定できる．
第8表

第 15 図

No.
1
2
3
4

Prog2: 第 6 表に示す閾値を用いて検出した結果

場所散らかった床散らかった壁ソファ（床）
床

計測結果

本システム

真値

2,325
4,471
561
944

2,321
4,424
(948)
948

表中の “Real value” は，レーザー測定器 LD-500 (STABILA) によった.

第 16 図次に第 17 図のところで，散らかった床面までの距離を計測する．第 8 表の No.3 に対応する．これも正しく計測できている ([17] より)．
第 8 表 の No.4 と第 18 図は，遠方の壁面までの距離を測っている ([17] より)．
センサの正視方向と対称面が角度 γ のとき, センサと面の距離は hsinγπ/180 である. しかし，この角度

Prog2: さらにドアに近づいた場合– 24 –

田中：身近な移動体への非線形カルマンフィルタの実応用

第 17 図

第 18 図第 20 図高いところから散乱した床面を見たもの．床部分は黒色で，障害物は赤が塗られている．手前の灰色部分は，センサが取り付けられている書架の棚で，非常に近いため灰色（データ取得不能）に
なっている

5.

散らかった壁面の検出．壁面は赤や青に塗られていない部分は未知なので，ランダムな値が適用され，さらに，区間 [−r,r] の間の乱数を加えた値が生成される．
もう 1 つ利用方法を示す．穴がないことがわかっているとき，穴や溝と判定されたところを，目的の平面とする．No.3, ４（第 19 図と 第 20 図に相当) ではまず大きな平面としてソファの座面が検出されている．
同時に，床面は青くなっている．しかし，青に相当する部分がないという情報から，その部分が床面になるようにリセットされ，結局ソファが，近い部分の障害物として検出される ([17] より)．

25

適応後のソファと床面

おわりに

本稿では，筆者の非線形カルマンフィルタの身近な移動体の位置・姿勢推定への過去の研究を 1 つの原稿にまとめ，若干の整理をしたものである．
最後の初期値の問題は，非線形カルマンフィルタの教科書にあまり書かれていない初期値の問題を取り上げたものとなっている．非線形カルマンフィルタは線形近似のため，状態変数が真値から大きく外れているときには収束もしない可能性がある．特に，本稿で扱ったようなデータの取捨選択を伴うような問題ではその問題は重要である点を強調した．
近年は，多くのプログラムが Open ソースとして一般公開されている．自己位置推定や SLAM なども例
外ではない．もちろん，そのようなプログラムが安心して使えるのであればそれを使うほうが効率が良いだ
ろう．
本稿で紹介したようなアルゴリズムは，SLAM や自己位置推定を行いつつ，付随した検出を行うようなものになっているため，Open ソースを利用する際にはそれに大きく手を加えなければならないだろう．場合
によってはそうすることは容易ではないかもしれない．
利用できるプログラムが，どれくらい手を加えやすい
ものかによって，扱えるアルゴリズムも異なってくる．
そういうソフトウェアの利用を前提にする際には既存のソフトウェアに手が加えられない場合には，アルゴ
リズム自体を考え直す必要があるかもしれない．

参考文献

第 19 図[1] 中村，齋藤，宮城: KINECT for Windows SDK プロ
グラミング C++編．秀和システム (2012)[2] M. Tanaka, H. Hirano, S. Onishi, T. Umetani and
M. Wada, Localization of a Moving Robot by Sensor Fusion, Proc. of RISP International Workshop on
Nonlinear Circuits, March 3-5, pp. 556–559 (2010)[3] T. Kuwata, M. Tanaka, M. Wada, T. Umetani and
M. Ito: Localization of Segway RMP, Proc. of SICE
Annual Conference, pp. 1675–1680 (2011)[4] M. Tanaka, M. Wada, T. Umetani and M. Ito: Detection of mobile objects for outdoor navigation robots,

適応する前のソファと床面– 25 –

26

システム/制御/情報

第 64B 巻Proc. of 43rd Stochastic Systems Symposium, Shiga,
pp. 140–147 (2012)[5] M. Tanaka, M. Wada, T. Umetani, M. Ito: Detectionof Mobile Objects by Mixture PDF Model for Mobile
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of 2012 RISP International Workshop on Nonlinear
Circuits, Communications and Signal Processing, pp.
627-630 (2012)[8] 田中: 距離センサと推定アルゴリズムの併用による検知
システム，第 57 回システム制御情報学会研究発表講演会チュートリアル講演, pp. 1–8 (2013)[9] M. Tanaka: State Estimation of Depth Sensor’s
Postures Attached to an Unstable Dynamic Object,
Proc. of 44th Stochastic Systems Symposium, pp. 44–
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398–406 (2013)[11] 田中: デプスセンサによる路面と壁面の検知方法，Proc.
of Vision Engineering Workshop 2013 (ViEW 2013),
IS1-E4 (2013)[12] M. Tanaka: Surface Detection in a View of a Depth
Sensor, Proc. of 2014 International Workshop on
Nonlinear Circuits, Communications and Signal Processing (NCSP’14), pp.385–388 (2014)[13] 田中: デプスセンサによる姿勢推定と周囲環境認識,
第 58 回システム制御情報学会研究発表講演会, 316–4(2014)[14] 田中: 深度センサのモデルとその応用, システム/制御/
情報, Vol. 58, No.8, pp. 339-344 (2014)[15] M. Tanaka: Surface Detection in a View of a Depth
Sensor, Proc. of 2014 RISP International Workshop
on Nonlinear Circuits, Communications and Signal
Processing, pp.385–388 (2014)[16] M. Tanaka: Ground Surface Estimation and Environmental Recognition by a Small Mobile Depth Sensor,
Proc. of 48th Stochastic Systems Symposium, pp. 48–
55 ( 2017)[17] M. Tanaka: On the Initial Guess of Posture of Mobile
Depth Sensor for Detecting the Primary Surface inthe Environment, Proc. of 49th Stochastic Systems
Symposium, pp. 119–124 (2018)[18] M. Tanaka: Estimation of the Posture of Mobile

第 1B 号(2020)

Depth Sensor for Detecting the Ground and Walls
in Terms of Initial Values, システム制御情報学会論文
誌, Vol. 32, No. 1, pp. 39-46 (2019)[19] H. Igarashi, T. Saito,T. Kinjyo and F. Matsuno: Development of an autonomous inverted pendulum mobile robot for outdoor environment, Proc. of SICE
Annual Conference, pp. 2282–2285, 2008[20] S. Thrun, W. Burgard and D. Fox: Probabilistic
Robotics, MIT Press (2005)[21] M. Montemerlo and S. Thrun: FastSLAM: A Scalable Method For The Simultaneous Localization and
Mapping Problem In Robotics, Springer (2007)[22] D. G. Lowe: Distinctive image features from scaleinvariant keypoints, International Journal of Computer Vision, Vol. 60, No. 2, pp. 91–110 (2004)[23] H. Bay, A. Ess, T. Tuytelaars and L. V. Gool: SURF:
Speeded up robust features, Computer Vision andImage Understanding (CVIU), Vol. 110, No. 3, pp.
346–359 (2008)[24] B. Ristic, S. Arulampalam and N. Gordon: Beyond
the Kalman Filter – Particle Filters for Tracking
Applications–, Artech House, Boston and London(2004)[25] R. Szeliski: Computer Vision –Algorithms andApplications–, Springer UK (2011)[26] 片山: 非線形カルマンフィルタ, 朝倉書店 (2011)[27] 片山: 新版 応用カルマンフィルタ, 朝倉書店 (2000)[28] A. Doucet, N. De Freitas, N.J. Gordon: Sequential
Monte Carlo Methods in Practice. Springer (2001)[29] D. Simon: Optimal State Estimation: Kalman, H∞ ,and Nonlinear Approaches, Wiley (2006)[30] C. M. Bishop: Pattern Recognition and Machine
Learning, Springer (2006)

著者略歴
た

なか

まさ

ひろ

田 中 雅 博 (正会員)
1956 年 5 月生．1981 年 3 月京都大学大学院工学研究科数理工学専攻修士課程修了．島津製作所，滋賀大学経済短期大学部助教授，IIASA 研究員，岡山大学工学
部情報工学科助教授を経て，1999 年 7 月
より甲南大学理学部教授．現在，知能情報学部教授．工学博士．状態推定，画像認識，移動ロボット，
人工知能を用いた応用研究に従事．近年は，特に Kinect を
はじめとする深度センサやレーザー距離センサにディープ
ラーニングによる認識を活かした応用システム開発を行っており，高齢者や社会弱者への貢献を目指す．計測自動制御学
会，電気学会，日本機械学会，日本ロボット学会，IEEE などの会員．

– 26 –

システム/制御/情報，Vol. 46B, No. 1B, pp. 27–33, 202027||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「『SSS50 回記念特集号（別冊）』特集号」

解説

確率可積分系試論
赤堀次郎*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

プロローグ

値になっても，得られるハミルトン系は同じであるということである．

筆者は SSS40 回記念号で確率ハミルトン系についてのセクション 2. では，セクション 3. 以降の議論の補助の記事を書いている [5]．その時実は，確率可積分系についため，古典的解析力学のまとめを書いた．実際には学生て書くつもりだったのだが，時間が足りず，中途半端な向けに書いたノートをそのまま引き写したのだけれども．

ものになってしまった．今回は再挑戦させていただける（注意 1） ここでの数学的議論は全体的に非常にアヤということで，タイトルだけを先に決めて，張り切ってシイものとなっています．気になる方はぜひご自分で証書き出してみたのだけれども，あれこれ計算してみて勘

明しなおすことをお勧めします．

違いしていたことがあったり，ずっと読むのをサボっていた Bismut の大著 [1] をついに正対して読んでみたら

解析力学の復習

2.

私の考えていたことの核心がそこに書いてあったので少ラグラジュ力学
L : R+ × R2d → R を滑らかな狭義凸関数とする．解2.1

し落胆したりということがあったりで，締め切りに大幅に遅れてしまい，杉本先生には大変なご迷惑をおかけし析力学においては以下で定義される「作用積分」てしまった．
そんなこんなで，本稿は，当初考えていたプラン—-L(x) :=

もっと最先端の量子戸田格子とか KPZ 方程式と絡めた∫ t1
L(t,x(t), ẋ(t))dt,

(1)

t0

もの—- を変更して，Bismut の本 [1] の中で私が考えてを様々な制約下で最小にする軌跡 x : [t0 ,t1 ] → Rd を決いたことに対応する部分をより平易に説明するというこ

定することが問題となる．関数 L はラグランジアンと呼とを目的とするものになった．そもそも [1] は，500 ペー

ばれている．以下ではジを超える大著で，フランス語で，かつ幾何学と確率論

x(t0 ) = x0 ,の両方の言葉が縦横に使われており，ほとんど読む人がx(t1 ) = x1 .

(2)

おらず，そこに書いてあることはほとんど研究者間で共という制約下の問題を考える．

有されていない，と思われるので，そういうことも意味

x が唯一の最適解，つまり作用積分 (1) を最小にする軌跡であるとしよう．この時，任意の正数 ϵ および任意の滑らかな関数 h でがあると思いたい．
私が考えていたこと，とは• 可積分確率ハミルトン系から出発して，ラグランジ
アンを (パラメータ付き）確率微分方程式の解に関h(t0 ) = h(t1 ) = 0,

する作用積分の期待値として構成すること(3)を満たすものに対し，• 可積分確率ハミルトン系の次元減少を利用した数値

L(x + ϵh) − L(x) > 0

解析
なのだが，後者はここでは論じない．セクション 4. でとなる．条件 (3) は条件 (2) によってもたらされること我々の確率ハミルトン系をどうして可積分系と呼ぶべきに注意しよう．テイラー展開を L についてしてみよ，しか，ということの言い訳を書くにとどめている．

かしこれは式 (1) をみれば L について，ということに前者については，結局 [1] の結果がそれを包含していなる．

る，あるいはそこから出発した方が良い，ということでϵ

私が翻案し（換骨奪胎し) た内容がセクション 3. で論じ∫ t1 (∇x L(t,x(t), ẋ(t))h(t))+∇ẋ L(t,x(t), ẋ(t))ḣ(t) dt + o(ϵ)

t0られている．そこでは，ブラウン運動の Wong-Zakai 近似を用いて，確率解析力学を通常の解析力学に還元する手法が紹介されている．重要なことは，作用積分が期待
∗

立命館大学

理工学部

=ϵ

Key Words : Stochastic Integrable System,∫ t1 (∇x L(t,x(t), ẋ(t))
t0– 27 –(4)

システム/制御/情報

28)d− ∇ẋ L(t,x(t), ẋ(t)) h(t)dt + o(ϵ) > 0.
dt

第 46B 巻第 1B 号(2020)

逆に，ハミルトン系からまた，オイラー=ラグランジュ(5)

方程式を導出することもできる．
，(4) から (5) へは，部分積分を行った．条件 (3) によって,境界での値は 0 になっている．ϵ > 0 と関数 h は任意だったので

L(t,x,y) := sup (p · y − H(t,x,p))pで改めて L を定義する．このとき

d∇x L(t,x(t), ẋ(t)) − ∇ẋ L(t,x(t), ẋ(t)) = 0.
dty(t) = ∇p H(t,x(t),p(t)) = ẋ(t)(6)

でなければならない．

であるのでこの x に関する方程式はオイラー=ラグランジュ方程∇x L(t,x, ẋ(t)) = ∇x H(t,x, ẋ(t))
d= ṗ(t) = ∇ẋ L(t,x(t), ẋ(t)),
dt

式 (Euler-Lagrange equation) と呼ばれる．具体的な Lが与えられれば，オイラー=ラグランジュ方程式は x に関する 2 階の常微分方程式を与える．例えば，(15)となり，オイラー=ラグランジュ方程式が得られる．

1
L(t,x, ẋ) = m|ẋ|2 − V (x)2

また，もっと直接的に，(7)

L̃(t,z, ż) := ẋ · p − H(t,x,p),であるとき，ニュートンの第 2 法則−∇V (x) = mẍ,(16)

とおくことでオイラー=ラグランジュ方程式を得ること(8)もできる．ただしここで z := (x,p) とした．

が得られる．

2.3

ハミルトン力学2.2(14)

ポントリャーギンの最大値原理

工学や経済学，あるいは科学一般において多くの問題

ラグランジュ力学と等値ではあるが，対称性を記述すが上で述べた変分問題を一般化した最適制御の問題としるのにより適しているのは以下に述べるハミルトン力学て定式化される．典型的には，である．

F(u) :=

x,p,∈ Rd に対して

∫ t1
f (t,x(t),u(t))dt + F (x(t1 ))

(17)

t0

H0 (t,x,p; ẋ) := ẋ · p − L(t,x, ẋ)

(9)

を制約条件

とおく．ここでは，当面 ẋ を独立変数と思う．そして，
ハミルトニアン H をẋ = µ(t,x(t),u(t)),

x(t0 ) = x0(18)の下で最小にする u∗ を見つけるという問題として定式

H(t,x,p) = sup H0 (t,x,p; ẋ),

(10)化される．ここで f , F , µ x0 は, 外生的に与えられる関ẋ

数・定数である．

で定義する．すなわち，ハミルトニアンとは，ラグラン

もし µ が滑らかな逆関数をもつとすると，この問題はジアン L(t,x,·) のルジャンドル変換による像である・

上述の解析力学の枠組みに落ちる．より一般の場合は，もし, ẋ が (10) において最小値をあたえるとすると，

p = ∇ẋ L(t,x, ẋ).

以下に述べるポントリャーギンの最大値原理による特徴づけができる．

(11)【定理 1】 （Pontryagin） (適当な正則性の仮定の下となる．このとき，

で）関数の組−1∇p H(t,x,p) = ∇p H0 (t,x,p;∇ẋ L(t,x)(p))(x∗ (t),u∗ (t))t∈[t0 ,t1 ]+∇ẋ H0 (t,x,p;∇ẋ L−1 (t,x)(p))∇p ∇ẋ L−1 (t,x)(p)= ẋ + 0(12)

件はとなる．また，オイラー=ラグランジュ方程式 (6) の解ẋ∗ (t) = ∇p H(t,x∗ (t),p(t)),(x(t), ẋ(t) を代入することによって
d∇ẋ L(t,x(t), ẋ(t))
dt= ∇x L(t,x(t)ẋ(t)) = −∇x H(t,x(t),p(t))

が制約条件 (18) の下での (17) を最小にする必要十分条

x(t0 ) = x0

(19)

∗

ṗ(t) = −∇x H(t,x (t),p(t)),

ṗ =p(t1 ) = −∇F (x∗t1 ),

(20)

(13)
および

が得られる．こうして得られた (12) と (13) からなる連H(t,x∗ (t),p(t)) = p·µ(t,x∗ (t),u∗ (t))−f (t,x∗ (t),u∗ (t)),

立の 1 階常微分方程式系は，ハミルトン (力学) 系と呼ばれる．

で与えられる. ただしここで– 28 –

赤堀：確率可積分系試論

H(t,x,p) := max (p · µ(t,x,u) − f (t,x,u))29

X{F,G} = [XF ,XG ].

u

(21)

右辺は，リー括弧，つまり XF XG − XG XF である.

である．

以下にハミルトン系の可積分性に関する重要な事実を

2.4

可積分系

2.4.1

ハミルトン系の求積

列記する．

• R2n 上のハミルトン系が可積分であることの必要十分条件は H 自身を含めて n 個の線形独立な第一積

ここでは，「求積」(quadrature) とは，常微分方程式の解を (有限回の不定積分を用いて) 求めることであり，微分をもつことである．

分方程式が「可積分」であるとは求積可能であるという• 第一積分のハミルトンベクトル場は互いに可換である：第一積分たちを fi , i = 1,···,d としたとき，[Xfi ,Xfj ] = 0.
これらは，第 4. 節で確率可積分性を議論するときに用いことを意味している．
「求積」の意味が曖昧なので可積分であることの定義もいろいろありうるが，解析力学の文
脈では，ある微分方程式が「第一積分」(first integral)と呼ばれる保存量を十分たくさんもてば可積分であるとられる．

されている. それは大体次のような理論上の手続きに依拠している．

Bismut の確率ハミルトン系

3.

• 1 次元の常微分方程式は求積できる（ということに経路レベルでの解析
H0 ,H1 ,···,Hd を R2d 上の滑らかな狭義凸関数とし，
L0 ,L1 ,···,Ld をこれらからルジャンドル変換で得られる関数とする．狭義凸性を仮定したのでこの L たちをもう一度ルジャンドル変換をすると H たちに戻ることに注意

3.1

する）．

• 高次元の方程式は，第一積分によって次元を 1 つ下
げることができる（ことになっている）.
• n 次元の問題であれば，n 個の線形独立な第一積分が見つかれば，次元は 1 次元まで落ちて，求積できる．
(12) と (13)，あるいは (19) と (20) からなるハミルトン系の場合，第一積分とは，しよう．
区分的に滑らかな関数 w ≡ (w0 ,···,wd ) : [0,∞) → Rd+1と (x,y) ≡ (x,y0 ,···,yd ) ∈ Rd(d+1) に対し,F (t,x(t),p(t)) = 0
となる R

2n+1

L(x,y,t;w) :=上の滑らかな関数 F のことである．あd∑Li (x,yi )ẇti ,i=0る関数が (時間斉次的な）ハミルトン系の第一積分であるかどうかは，ポアソン括弧 (Poisson Bracket) によって判定できる：R2d 上の滑らかな関数 F = F (x,y) とG = G(x,y) ののポアソン括弧 (Poisson Bracket) とは，と置き，0 < t0 < t1 と Rd 上の滑らかな関数 F に対し次のような作用積分を考える：

L(x;t0 ,t1 ,w) :=∫ t1
L(x(s),y(s),s;w)dst0{F,G} = ∇x F · ∇x G − ∇y F · ∇y G

+F (x(t1 )).

(22)

ここで，制約条件は t ∈ [t0 ,t1 ] に対してで与えられる関数である．ある関数 F がハミルトニアン∫ t

H によるハミルトン系の第一積分であることの必要十分
条件が {H,F } = 0 であることは容易に確かめられる.

x(t) = x0 +2.4.2 ハミルトンベクトル場(x(t),y(t)) を以下のハミルトン系の解とする：≡ x0 +

y(s)ẇs ds
t0
d ∫ t
∑

yi (s)ẇsi ds(23)

i=0 t0ẋt = ∇y H(xt ,yt )で与えられるものとする．ここで x0 ∈ Rd は固定された

ẏt = −∇x H(xt ,yt )定数である.

ここで z = (x,y) と置けば, 上式は制約 (23) の下で作用積分 (22) を最小にする経路 x∗ :żt = J∇Z H(zt )[t0 ,t1 ] → Rd with the constraint が，仮にただ一つであるとすれば，ポントリャーギンの最大値原理 (定理 1) より，t0 < t < t1 においてと書ける．ただしここで

(
J :=

0 −I
I 0

)

ẋ∗ (t) = ∇p H(t,x∗ (t),p(t),y∗ (t))∗∗ṗ(t) = −∇x H(t,x (t),p(t),y (t)),

である．ベクトル場 J∇z H は H の「ハミルトンベクト

および，初期終端条件

ル場」と呼ばれており，しばしば XH と書かれる. 次のx∗ (t0 ) = x0

事実は容易に確かめることができる：– 29 –(24)(25)

システム/制御/情報

30p(t1 ) = −∇F (x∗ (t1 ))第 46B 巻第 1B 号（Yt0 ,···,Ytd は適合過程）の下での作用積分

(26)

∫ t1

が成立する．ただしここで

L0 (Xs ,Ys0 )ds +t0

H(t,x,p,y) = ⟨p,yẇt ⟩ − L(x,y,t;w)iるならば，X ∗ は以下の前進後退確率微分方程式（確率= max H(t,x∗ (t),p(t),y).

ハミルトン系）の解：

(27)

y

∫ t
Xt = x0 +∂y H0 (Xs ,Ps )ds∑∫ t+∂y Hi (Xs ,Ps ) ◦ dWsiを満たす．今の場合には

t0∇yi H = wti (p − ∇y Li (x,yi ))yi∗ = (∇y Li )−1 (x,p)となり，したがって

max H(t,x,p,y) = max

∑

y

∑
i
∑

i

∇p Hi (x (t),p(t))ẇti(32)

平均量の解析

上で行った経路ごとの解析では，古典的解析力学を駆(28)

使することで，最大値原理の類似（定理 2 ）を得ること∇x Hi (x∗ (t),p(t))ẇti .

(29)ができた．しかし，適合性の問題については十分な解答を与えていない．そこで本節では，作用積分が期待値で1

この議論は w がブラウン運動の Wong-Zakai 近似 で与えられる場合に最大値原理がどう変わるかについて考あるときにも正しい．ただし，終端条件 (26) を満たす適察してみる．

合過程が存在するという仮定はかなり強い制約となる．

(Ω,F,P) を有限確率空間とし

Wong-Zakai 近似に関しては， 適当な θ に関する正則性{Ft }t=t0 ,t0 +∆,······,t0 +N ∆=t1を仮定すれば∫ u1

をその上のフィルトレーションとするここで ∆ は正のθ(s)ẇsn ds

定数である．最後に ∆ → 0 の極限を考察する．

u0w ≡ (w0 ,···,wd ) を d + 1 次元の {Ft }-適合過程とし，がストラトノビッチ型の確率積分ẇti :=

θ(s) ◦ dWs ,w̃t+∆ − w̃t−∆
,
2∆

(33)

とおく．ここで w̃t for t ∈ [t0 ,t1 ] は wt+k∆ , k = 0,1,···,Nu0に確率 1 で収束するということがよく知られている．
（参の線形補間である．

考文献）

ラグランジアンをストラトノビッチ積分について書く．伊藤の公式
これを用いれば，適当な条件の下で，次が言える．

L(x,y,t;w) :=【定理 2】 （Bismut (1982)） 制約条件∫ t
Ys0 ds +Xt = x0 +t0

1

i = 0,1,···,d.

の場合には必ずしも保証されない．

i

∫ u1

t0 ≤ t ≤ t1 ,（注意 2） 終端条件 (32) を満たす確率ハミルトン系(30), (31) の存在は，以下で考えるような確率可積分系

3.1.1
∗

∑

(31)

定理 2 の逆も適当な条件下で成立する．

Hi (x,p)ẇtiiṗ(t) = −

t

(30)

yi

き換えられる．

ẋ (t) =i(Y i )∗t = (∇y Li )−1 (Xt ,Pt ),max (⟨p,yi ⟩ − Li (x,yi )) ẇtiとなる．よってハミルトン系 (24), (25) は次のように書∑t0(⟨p,yi ⟩ − Li (x,yi )) ẇti

i

∗

i

∫ t1
Pt = −∇F (X(t1 )) −∂x H0 (Xs ,Ps )ds
t
∫
∑ t1
−
∂x Hi (Xs ,Ps ) ◦ dWsi ,であるので，=Li (Xs ,Ysi ) ◦ dWsi

t0

が X ∗ ≡ X((Y 0 )∗ ,···,(Y d )∗ ) において確率 1 で極小とな

H(t,x∗ (t),p(t),y∗ (t))=∑ ∫ t1+F (Xt1 )

であり，各 t ∈ (t0 ,t1 ) に対して y ∗ (t) はy(2020)∑∫ ti

Ysi ◦ dWsi ,d∑Li (x,yi )ẇti ,

i=0(x,y) ≡ (x,y0 ,···,yd ) ∈ Rd(d+1) .
t 0 ≤ t ≤ t1で定義し，与えられた Rd 上の滑らかな関数 F に対し，t0

次の作用積分を考える．

L(x;t0 ,t1 ,w)??

– 30 –

赤堀：確率可積分系試論

[∫ t1

]

を得る．よって:= E

L(x(s),y(s),s;w)ds + F (x(t1 ))
(34)
t0
∫
t1
∑
=
P({ω})
L(x(s,ω),y(s,ω),s;w(ω))ds

max H(t,x,p,y)
y
∑
∑
= max
P({ω})

t0

ω∈Ω

y

i
ω∈Ω
)
p(ω)
,yi (ω)⟩ − Li (x(ω),yi (ω)) ẇti⟨
P({ω})∑∑=
P({ω})(+F (x(t1 ,ω))制約条件は以下で与える．各 t ∈ [t0 ,t1 ] および ω ∈ Ω. に対し

∫ tx(t,ω) = x0 +

d ∫ t
∑

yi (s,ω)ẇsi (ω)ds.

(

i
)
p(ω)
max ⟨
,yi (ω)⟩ − Li (x(ω),yi (ω)) ẇti (ω)
P({ω})yi (ω)∑∑p(ω)=
P({ω})Hi (x(ω),)ẇti (ω)
P({ω})iω∈Ωy(s,ω)ẇs (ω)dst0≡ x0 +

31(35)

i=0 t0ω∈Ω

いままでと同様，x0 ∈ R は固定された定数である．
dを得る．そうすると，ハミルトン系 (24), (25) は以下の確率変数 (x(ω),y(ω)) を d(d + 1) × ♯Ω 次元の変数とように書き換えられる．

みなせばポントリャーギンの最大値原理 (定理 1) が依然

ẋ∗ (t,ω) =として適用可能である．制約条件 (23) の下で作用積分∗(22) の極値を与える経路 x : [t0 ,t1 ] → R

d×♯Ω

はR

∑

∇p Hi (x∗ (t,ω),i2(d♯Ω)ṗ(t,ω) = −P({ω})

でのハミルトン系∑

p(t,ω) i)ẇ (ω)P({ω}) t∇x Hi (x∗ (t,ω),

i

(41)

p(t,ω) i)ẇ (ω).
P({ω}) tẋ∗ (t,ω) = ∇p(ω) H(t,x∗ (t,ω),p(t,ω),y∗ (t,ω)) (36)
∗

(42)

∗

ṗ(t,ω) = −∇x(ω) H(t,x (t,ω),p(t,ω),y (t,ω))(37)

p を改めて p/P と定義し，境界条件 (39) 下のハミルト
ン系 (41), (42) を積分形で書きなおせばを t0 < t < t1 および ω ∈ Ω に対して満たし，かつ初期終端条件

x∗ (t0 ) = x0x∗ (t,ω) = x0∑∫ t+
∇p Hi (x∗ (s,ω),p(s,ω))ẇsi (ω)ds,(38)∗

p(t1 ,ω) = −∇F (x (t1 ,ω))P({ω})(39)

を満たす．ただしここでH(t,x,p,y)∑=P({ω})
(

i

t0

i

t

p(t,ω) = −∇F (x∗ (t1 ,ω))∑ ∫ t1−∇x Hi (x∗ (s,ω),p(s,ω))ẇsi (ω)dsが得られる．つまり，経路ごとの議論で得られた (28) と

ω∈Ω

p(ω)
,y(ω)ẇt (ω)⟩ − L(x(ω),y(ω),t;w)⟩)⟨P({ω})(29) と同じ形の方程式が得られるのである．上の w をブ
ラウン運動の Wong-Zakai 近似の離散近似と思えば，適)当な極限操作の下で，次が得られる．

であり，各 t ∈ (t0 ,t1 ) に対して y ∗ (t) は【定理 3】 （Bismut (1982)） 制約条件

∫ t

H(t,x∗ (t),p(t),y∗ (t))∗= max H(t,x (t),p(t),y)y

Ys0 ds +Xt = x0 +
(40)

t0

∑∫ t
i

Ysi ◦ dWsi ,t0 ≤ t ≤ t1 ,t0

（ただし Yt0 ,···,Ytd は適合過程）の下でを満たす．ここで各 t に対する x∗ (t), p(t), y∗ (t)，お[∫ t1

よび y は，それぞれ Rd×♯Ω , Rd×♯Ω , R(d+1)×♯Ω , および R(d+1)×♯Ω に値をとるものとみなしている．ここで，x∗ : [t0 ,t1 ] × Ω → Rd と，適合確率過程ともみなせることに注意しよう．

E

L0 (Xs ,Ys0 )dst0]∑ ∫ t1Li (Xs ,Ysi ) ◦ dWsi + F (Xt1 )
+
i

t0

今の場合，

(43)

∇yi (ω) H = ẇti (ω)(p(ω) − P({ω})∇y Li (x(ω),yi (ω)))

を最小にする X は，以下の前進後退確率微分方程式 (確率ハミルトン系）(30), (31), (32) を満たす．

となるので，経路ごとの解析の場合と同様の関係式

定理 3 の逆も適当な条件を与えれば成り立つ．

p(ω))
yi∗ (ω) = (∇y Li )−1 (x(ω),
P({ω})– 31 –

システム/制御/情報

32

第 46B 巻第 1B 号(4.

確率可積分系

4.1「可積分」確率微分方程式

f (Zt ) = exp)
Wti XHi f (Z0 )

i=0

程式

(49)

である．ここで H によるハミルトン系の解 zt に対し，d∑etXH f (z0 ) は f (zt ) を現している．前節までの議論から，
etXH は「求積可能」ということになっている．したがって理論的には (48) は (49) が「解ける」という意味で「求Vi (Ys ) ◦ dWsii=0に対して，滑らかな関数 f に対する伊藤の公式は

df (Yt ) =d∑= expWtn XHn ◦ ··· ◦ exptXHi f (Z0 )一般にストラトノビッチ型で表現された確率微分方dYt =(2020)d∑

Vi f (Ys ) ◦ dWsi

積可能」である．
（注意 3） この可積分確率ハミルトン系が作用積分(44)(43) の最適経路であるためには終端条件 {(x,p) : p =−∇F (x)} が ∪c ∩i {z : fi (z) = ci } の部分集合でなければ

i=0と単純な形で表せる．(44) の右辺の Vi たちに伊藤の公ならない．これはかなり強い制約となる．

式を適用すると

df (Yt ) =（注意 4） Xue-Mei Li[2] は，(48) を完全可積分確率ハd∑ミルトン系 (completely integrable stochastic Hamilto-

Vi f (Y0 )dWsi

∑∫ s

(45)

nian system) と呼び，その (確率版）平均化原理 (average
principle) についての結果を得ている．筆者は 2006 年ご

i=0

+

0

i,j

Vj Vi f (Ys1 ) ◦ dWsi1 dWsj

ろにインド・バンガロールの統計研究所でその講演を聞いた.

となる. これを繰り返していくと，積分形ではf (Yt ) − f (Y0 )∫ t ∫ s10···

脇に置いておいて，何の対称性も仮定しない確率制御問

Wsi ◦ dWsj + ···∫0 sn−100

題の前進後退確率微分方程式を (数値的に) 解くというこ

dWsinn ◦ ··· ◦ dWsi11

+···

(46)

Wti Vi )f (Y0 )う．そこで，工学や経済学，ファイナンスでの実際の最適化問題を考える場合，特に系の次元が非常に高い時に化を行う，ということには十分な意味があるように思う．

であるときには (46) はf (Yt ) = exp(とよりは計算コストが低くなることは間違いないであろ

最適経路が可積分確率ハミルトン系になるようにモデルとなる (確率テイラー展開)．ベクトル場 Vi たちが可換n∑

結語

可積分確率ハミルトン系が実際に求積可能であるかは∫ t= Vi f (Y0 )Wti + Vi Vj f (Y0 )+ Vi1 ···Vin f (Y0 )4.3（注意 5） 参考文献 [3] および [4] ではより詳細に確率ハミルトン系の対称性を工学 · 数値解析等に応用した成(47)果が報告されている．

iという表現を持つ．ここで，ベクトル場 V に対する微分

参 考 文 献方程式 Ẏt = V (Yt ) の解に対し[1] J. M. Bismut: Méchanique Aléatoire, Springer Lecture
Notes in Mathematics 866 (1981)[2] X. M. Li: An averaging principle for a completely integrable stochastic Hamiltonian system, Nonlinearity
Vol.21 803–822 (2008)[3] T. Misawa: Symplectic Integrators to Stochastic
Hamiltonian Dynamical Systems Derived from Composition Methods, Mathematical Problems in Engineering Article ID 384937, 12 pages (2010)[4] S. Satoh ; K. Fujimoto: Passivity based control ofstochastic port-Hamiltonian systems, IEEE Transactions on Automatic Control Vol. 58 , No. 5, pp.1139–
1153 (2013)[5] 赤堀 次郎：確率システムのハミルトン系について；システ
ム/制御/情報，Vol. 53, No. 5, 53 巻 5 号 pp. 184–188(2009)f (YV (t)) = exp(tV )f (YV (0))
である．

「可積分」な確率ハミルトン系
H1 ,···,Hd , を線形独立で互いにポアソン可換 ( ⇐⇒{Hi ,Hj } = 0 が 1 ≤ i,j ≤ n について成立) な R2n 上の滑
らかな関数たちとし、H0 をそのある線形結合とする．つぎの (前進) 確率微分方程式を考える．

4.2

dZt =

d
∑

XHi (Zt ) ◦ dWti .

(48)

i=0

ここで Wt0 ≡ t であり，(W 1 ,···,W d ) は d-次元のブラウン運動である．この確率微分方程式は次の意味で「求積可能」，つまり可積分である: 第 4.1 節での議論から，任意の滑らかな f に対して

– 32 –

赤堀：確率可積分系試論

著 者 略 歴
あか ほり

じ

ろう

赤 堀 次 郎 (正会員)
1967 年 6 月生. 1991 年 3 月東京大学理学部数学科卒業．1997 年東京大学大学院
数理科学研究科博士課程修了．1998 年立命館大学理工学部数理科学科専任講師．助教授，准教授を経て 2008 年 4 月より教授．
確率過程論と数理ファイナンスの研究に従事．博士 (数理科学). 日本数学会，日本応用数理学会，日本
金融・証券計量・工学学会などの会員．

– 33 –

33

システム/制御/情報，Vol. 64B, No. 1B, pp. 34–39, 202034||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「別冊『確率システムシンポジウム 50 回記念』特集号」

解説

確率リャプノフ安定論—ノイズが導く多様な安定性
西村悠樹*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

はじめに

1.

ス型ホワイトノイズが与えられると，システムは確率微理論的に構築されたシステムモデルは，多かれ少なか

分方程式に従うようになる（確率システム）3 。確率微分

れ実在のシステムとは挙動が異なる。しかし，このこと方程式は常微分方程式とは異なる枠組みで体系化されてはシステム制御理論に奥深さと多様性とを与える一助にいるため，その安定論も一から構築する必要がある。

もなっている。モデル化誤差や測定誤差，あるいはパラ

実際のところ，確率システムの安定性は多様であり，メータ変動など，理想と現実のギャップを考慮すること確定システムの漸近安定性に対応する性質だけでも複数は制御設計にとって重要な課題である。

の定義が存在する。そのため，確率システムの安定論はその創始から半世紀以上が過ぎた現在においてもその基システム制御理論における理想と現実のギャップの一種に，ノイズがある。ノイズとは一般的にはシステムの礎に未解決部分を残したままとなっている。

挙動を妨げる余計な信号のことであり，システムの外部ての周波数を持つ（白色性）ような確率性信号であり，確率システム安定論の基礎は，1960 年代に Khasminskii[15]，Kushner[17]，Kozin[19] などにより築かれ，Arnold[1], Aubin and Deprato[3]，Mao[26]，Levakov[21] などにより発展した。制御設計に直接関わるもの
としては例えば Arnold[2]，Mao[25]，Florchinger[6,7]，
Bardi and Cesaroni[4] による成果がある。内部安定性

確率システム論における最も基礎的な信号である2 。

ではなく入出力安定性に関わるもの（確率入力状態安定から意図せずに加えられる外乱のこともあるが，システ
ムに内在することもある1 。
本稿では，多様なノイズのうちガウス型ホワイトノイ
ズのみを扱う。これはガウス分布（正規分布）に従い全∗

常微分方程式に従うシステム（確定システム）にガウ

性やノイズ状態安定性など）としては Deng ら [5]，Liu

鹿児島大学学術研究院理工学域工学系

ら [23] などが代表的である。確率有限時間安定性については少々遅く Yin ら [38] 辺りから本格的な研究が始まっ

Key Words : stochastic system, Lyapunov stability
1

ノイズ（雑音，noise）という用語の正確な定義は難しい。広辞苑第 7 版（岩波書店）「信号の邪魔になるており，最近ではスライディングモード制御との融合が電気的擾乱」，電気用語辞典（コロナ社）「情報の伝筆者を含む研究グループにおける確率システム安定

Poznyak[34] により試みられている。

達を妨害する複雑な音響」，機械工学用語辞典（理論への貢献としては，安定性の定義そのものに直接関

1 一般に不規則な性質をもち，明確な振動工学社）「⃝

わるもの [28,31,45,47]，ノイズによる安定化 [10,29,33]，

2 情報内容を不鮮明にする
数成分を示さない信号 ⃝確率有限時間安定性 [11,41]，入出力安定性に関わるもような，好ましくないじょう乱」，Concise Oxfordの [13,14] などがある。

English Dictionary (Oxford University Press) “irregular fluctuations accompanying and tending to
obscure an electrical signal or other significant phenomenon”。一部の辞書を除いては望ましくない信号

本稿では，確率システムのリャプノフ安定論におけるこれら基礎的部分の発展を追い，時に筆者らの成果を紹介しながら，確定システムにおけるリャプノフ安定論とであることが多いようだが，確率システム論では入力の違いを検証する。

信号とみなす確率信号を全てノイズと呼称することが多く，確率信号の印加による安定化 [39,46] や確率共て，語弊を承知で敢えて例えるならば，確率システム

鳴 [27] のように役立つ信号に対しても「ノイズ」と呼論におけるガウス型ホワイトノイズは，制御理論にお称する。また，ノイズという語に確率性（試行毎に値3が変わる性質）と振動性（ある閾値や確定的信号など

2ける線形フィードバックと同じような立ち位置にある。
常微分方程式と確率微分方程式との違いは，実は確率を基準として何度も揺れ動く信号）の両方が必ず付随

信号の有無ではない。例えば確率信号の一種である有するかはよく分からない。
現実的にはノイズがいつもガウス分布のように整った色ノイズが含まれる場合，常微分方程式で表現できる

分布に従うとも，白色性を持つとも，もっと言えばマ
ルコフ性を持つとも限らない。そのためガウス型ホワには白色性信号の有無だが，より根源的には入力信号

イトノイズは理想化されたノイズとも言えるが，このかである。概論的には拙著 [30,32,46] を，理論的によ

理想化により確率システム論が大きく発展した。従っり詳細な議論は例えば [8,24,40] を参照されたい。

ことは広く知られている [15]。両者の違いは，表面的が非有界変動関数のダイナミクスに従っているかどう– 34 –

西村：確率リャプノフ安定論—ノイズが導く多様な安定性∫ t準備：記号の定義とシステムの記述

2.

35

σα (x(τ ))dwα (τ )まずは本稿で用いる記号を定義する。本稿では Rn を0n 次元ユークリッド空間とし，特に R = R1 とする．また，関数 h : Rn → Rn と V : Rn → R を考え，V と h につ

= l.i.mN →∞N∑σα (x(tk−1 )){w(tk ) − w(tk−1 )}

k=1

(7)

いてのリー微分を(Lh V )(x) :=∂V (x)h(x)∂xと定義される伊藤積分である。なお，上の式では時間区(1)

間 [0,t] を数列 0 = t0 < ··· < tN = t で N 分割しており，

l.i.m は平均二乗収束値を意味する。システム (6) から積分記号を省略して τ を改めて t と置いたとする．
次に，ガウス型ホワイトノイズの「素」であるウィー
ナー過程を簡単に紹介する。確率過程 w : [0,∞) → Rd と
時刻 0 ≤ s < τ < t を考える．確率過程 w が（標準）ウィー

dx(t) = f (x(t))dt +d∑σα (x(t))dwα (t)

(8)

α=1

ナー過程であるとは，連続関数で初期値が w(0) = 0 であり，かつその増分 w(t) − w(s) がガウス分布（正規分布）を（伊藤型）確率微分方程式という2 。

に従い，さらに

本稿で中心的に扱うリャプノフ安定論では，確率微分

E{w(t) − w(s)} = 0(2)E{(w(t) − w(s))(w(t) − w(s))T } = (t − s)I(3)

E{(w(t) − w(τ ))(w(τ ) − w(s))T } = 0(4)方程式の解である状態変数 x(t) の汎関数 v(x(t)) ∈ R のダイナミクスを解析する必要があるが，これは次のように与えられる。

dv(x(t),t) = (Lv)(x(t))dt +（ただし，E{A} はある事象 A の期待値，I は単位行列）d∑(Lσα v)(x(t))dw(t)α=11を満たすことをいう 。

(9)以上の準備の下，常微分方程式から確率微分方程式をここで，導く流れを簡潔に説明する。はじまりの確定システムを常微分方程式とする。ここで，時間変数 t ∈ [0,∞)，状態 x : [0,∞) → Rn

E[V (x(t + h))] − V (x(t))
(10)
h→0
h
= (Lf v)(x)
[ [ ]
]
d
T
1∑ T
∂ ∂v
+
σ (x)
(x) σα (x)2 α=1 α∂x ∂xと入力 u̇ の積分を u : [0,∞) → Rd とし，f,σ1 ,...,σd : Rn →(11)ẋ(t) = f (x(t)) +d∑(Lv)(x) := lim
σα (x(t))u̇α (t)

(5)

α=1

Rn は全て滑らかであるとする。また，初期時刻 t = 0 と初期値 x(0) = x(0) ∈ Rn は与えられているとする。確定システム (5) の両辺を時間変数 t で積分した上で u を d次元標準ウィーナー過程とすると（u = w），積分方程式∫ t∫ tdx(τ ) =f (x(τ ))dτ
0

0

+

d ∫ t
∑

は無限小作用素と呼ばれる。右辺第二項がいわゆる伊藤（修正）項であり，常微分方程式の理論体系からは出てこない項である。

2

確率微分方程式を定義するためにわざわざ積分方程式を経由したのは，ウィーナー過程の導関数 ẇ が定

σα (x(τ ))dwα (τ )(6)

義できないためである（超関数の意味では定義できる

α=1 0

が [48]，現段階では数学的に高度な解説が必要となるが得られるが，この式の右辺における最後の積分はことと，常微分方程式との区別がつかなくなると汎関数のダイナミクス解析に混乱を来たす恐れがあるため
本稿では採用していない）。これはそもそもウィーナー

1

ウィーナー過程の厳密な定義は確率過程論の基礎知識を必要とするので割愛するが，必要であれば専門書（例

過程が非有界変動性を持つからであり，(7) 式がリーマ
ン・スティルチェス積分として定義できない理由でもえば [12,20,40]）を参照されたい。なお，これら数学のある。伊藤積分では平均二乗収束性を用いて積分の定専門書では「ブラウン運動（Brownian motion）」と呼義不能性を回避しているが，しかしリーマン・スティ

称されていることが多いが，一般には物理現象として

ルチェス積分では満たされる「リーマン和の取り方にのブラウン運動を理想化したものがウィーナー過程で依らず収束値が不変」という性質は回復しない。このあるため，物理学的には両者は異なる [43,44]。本稿でことは，ストラトノビッチ積分 [36] やウォン・ザカイ

は読者層が多岐にわたる（と期待している）ので，無修正項 [37] など確率解析に特有の結果を導くが，これ用の混乱を避けるため数学的存在である「ウィーナーらに基づくシステムの非一意性は既に拙著 [46] で述べ過程（Wiener process）」で呼称を統一する。

ているので参照されたい。

– 35 –

システム/制御/情報

36

第 64B 巻

いろいろな確率安定性

3.

上記は確定システムの安定性に確率演算を加えて拡張したものである。また，以下で示すように安定性の十分定システムのリャプノフ安定論との違いを検証する。

条件にも相似性が認められるため，現代においても定義確定システムのリャプノフ安定性

1 をベースに安定性解析が行われることが多い。
【定理 2】 システム (8) の原点は，原点を含むある部分空間 D ⊂ Rn において正定プロパーな C 2 級関数
V : D → R が存在して (LV )(0) = 0 となり，
(1) D 上で (LV )(x) ≤ 0 となるならば，確率安定で

まずはベースとなる確定システムにおけるリャプノフ
安定論を簡単に見ていく。システムẋ = f (x(t)), x ∈ Rn , f : Rn → Rn

(12)の原点（x = 0）が孤立平衡点であるとすると，この原点ある。

の安定性は次のように定義される：(1) 全ての ε > 0 および t > 0 に対して δ = δ(ε) > 0 が存在し，|x(0)| < δ のとき |x(t)| < ε となるならば，リャプノフ安定であるという。

(2) リャプ ノ フ 安 定 で あ り，か つ |x(0)| < δ の と きlimt→∞ x(t) = 0 となるならば，局所漸近安定で有効であり，これは Satoh[35] により活用されている3 。

3.3

上記の安定性に対する安定定理の代表的なものは次の演算を加えたものであるため自然な定義といえる。しか【定理 1】 システム (12) の原点は，原点を含むある

し，確定システムの安定性との繋がりを考えると「どの部分空間 D ⊂ Rn において正定プロパーな C 1 級関数ようなときに確定システムの安定性と確率 1 で等しくな

V : D → R が存在して (Lf V )(0) = 0 となり，
(1) D 上で (Lf V )(x) ≤ 0 となるならば，リャプノフ安るのか」を考えておきたい。つまり，リャプノフ安定・
局所漸近安定・大域漸近安定の全ての性質において常に定である。

(2) D 上の原点以外で (Lf V ) (x) < 0 となるならば，
局所漸近安定である。

(3) D = Rn として前項までの全てが成り立つならば，
大域漸近安定である。
♦
以降では上記の安定定理との比較検討を進める。

性解析に用いるため，対象システムから制御入力を除外【定義 2】 （一様概安定） 確率システム (8) の原点は，

確率システム安定論の黎明期には，確定システムの(1) 全ての ε > 0 および t > 0 に対して δ = δ(ε) > 0 が存在し，|x(0)| < δ のとき確率 1 で |x(t)| <= ε とリャプノフ安定論をベースとして様々な安定性が提案された [19]。次の定義は，Khasminskii[15] による。

なるならば，一様概安定であるという。

【定義 1】 （確率安定） 確率システム (8) の原点は，(2) 一様概安定であり，かつ確率 1 で，|x(0)| < δ のと
き limt→∞ x(t) = 0 となるならば，局所概漸近安定であるという。

(13)(3) 一様概安定であり，かつすべての x(0) ∈ Rn に対し

t>0となるならば，確率安定であるという。

t→∞

100%の精度を求める場合に対応しておきたい。
そのような安定性を議論するためには，Bardi andCesaroni[4] による概可安定性（almost sure stabilizability）が有効である。筆者は彼らの議論を純粋な安定したバージョンを定義した [28]。それは次の通りである。

確率安定性

x(0)→0

一様概安定性

前節で述べた安定性は，確定システムの安定性に確率通りである。

(2) 確率安定であり[]
lim P lim x(t) = 0 = 1(3) D = Rn として前項までの全てが成り立つならば，大域確率漸近安定である。
♦
大域確率漸近安定性は 100%の収束性を保証するが，ることを保証したい場合）には Kushner の定義 [17] が定であるという。

x(0)→0

所確率漸近安定である。

計算したい場合（例えば，収束する確率が 70%以上であ(3) リャプノフ安定であり，かつすべての x(0) ∈ Rn に対して limt→∞ x(t) = 0 となるならば，大域漸近安(1) 全ての ε > 0 および t > 0 に対して[]
lim P sup |x(t)| > ε = 0(2) D 上の原点以外で (LV )(x) < 0 となるならば，局

局所確率漸近安定性では保証されない。具体的な確率をあるという。

3.2(2020)

近安定2 であるという。

本章では基本的な確率リャプノフ安定論を紹介し，確3.1

第 1B 号2
3

文献 [15] では asymptotic stability in the large。
確定システムにおける定理 1 には逆定理が存在し，また，ラサールの定理を使って十分条件を緩めることもできる [16]。同様に，確率システムにおける定理 2 の(14)

逆定理 [18] やラサールの定理も存在する [17]。ただし，となるならば，局所確率漸近安定1 であるという。

定理 2 の逆定理では関数 V (x) は C 2 級ではなく C 0 級(3) 確率安定であり，かつすべての x(0) ∈ Rn に対して
P[limt→∞ x(t) = 0] = 1 となるならば，大域確率漸となっている。これは定理 2 が必要十分条件ではないことを意味し，確率リャプノフ安定論の特異性を示す
重要な点である。筆者らはこの点について検討してお1

り [31]，そのキーポイントを 5. で説明する。

文献 [15] では asymptotic stability in probability。

– 36 –

西村：確率リャプノフ安定論—ノイズが導く多様な安定性て確率 1 で limt→∞ x(t) = 0 となるならば，大域概37ᒁᡤ☜⋡₞㏆Ᏻᐃ

漸近安定であるという。

;኱ᇦͿᴫ
₞㏆Ᏻᐃ

この定義は，確定システムの安定性に「確率 1」とい኱ᇦ☜⋡₞㏆Ᏻᐃ
኱ᇦ୍ᵝᴫ
₞㏆Ᏻᐃ

う要素を加えたものである。しかし，対象となるシステ
ᒁᡤᴫ
₞㏆Ᏻᐃ

ムはホワイトノイズによる拡散項を含むため，安定性の条件は確定システムのそれとは異なる。このことは次の安定定理により明らかとなる。

第1図【定理 3】 システム (8) の原点は，原点を含むある

ᒁᡤ୍ᵝᴫ₞㏆Ᏻᐃ

確率システムにおける漸近安定性の包含関係.

部分空間 D ⊂ Rn において正定プロパーな C 2 級関数

3.4

V : D → R が存在して (LV )(0) = 0 となるとともに前節から，一様概安定性は確定システムの安定性と∀α = 1,2,...,d, ∀x ∈ D, (Lσα V )(x) = 0

局所概漸近安定性「確率 1 で等しい」と言えそうである。これは重要な成(15)果であるが，定理 3 の条件 (15) はかなり厳しい。そこでがなりたち，

筆者は，不変集合の入れ子構造を緩めて「ある部分空間(1) D 上で (LV )(x) ≤ 0 となるならば，一様概安定での内部からは 100%出ていかない」という局所的な漸近安定性を定義した [28]。本節ではこの性質を紹介する。

ある。

【定義 3】 （局所概漸近安定） 確率システム (8) の原(2) D 上の原点以外で (LV )(x) < 0 となるならば，局点が確率安定であるとする。原点を含むある部分空間

所一様概漸近安定である。

(3) D = Rn として前項までの全てが成り立つならば，
大域一様概漸近安定である。
♦
上記では，Bardi and Cesaroni[4] の定義と違い「一様：uniform」という語を追加している1 。実は，大域確率漸近安定性のことを概漸近安定（almost sure asymptotic stability または同義の asymptotic stability with probability one）と表記する文献も存在するため [9,19,17,22,26]，
用語の衝突を避けている。
この用語の衝突は，大域確率漸近安定性と大域一様概D ⊂ Rn が存在して，全ての x(0) ∈ D および t > 0 に対して，確率 1 で x(t) ∈ D を保ちつつ limt→∞ x(t) = 0 となるならば，局所概漸近安定であるという。
また，これに対応する安定定理は次の通りである。
【定理 4】 システム (8) の原点は，正定プロパーな C 2級関数 V : D → R が存在して (LV )(0) = 0 となり，更に∀α = 1,2,...,d, ∀x ∈ ∂D, (Lσα V )(x) = 0(16)

がなりたち，かつ D 上の原点以外で (LV )(x) < 0 となる

漸近安定性がどちらも確率 1 での収束性を担保するこならば，局所概漸近安定である。

♦とに端を発している。しかし，この二つは異なる概念で局所概漸近安定性は，確率 1 での漸近安定性を保証すあり，両者の違いは収束の仕方に現れる。システムの原るために大域的性質まで求める確率安定論の使いづらさ

点が大域確率漸近安定であるとき，その解軌道は原点にを解消したいという動機から提案した。不変集合 D が一近づいたり遠ざかったり揺れ動きながら，長時間で観察

つ見つかれば，その内部を初期値に持つ解が D に留まりすれば原点に近づいていき，やがては原点に収束する。

つつ原点に確率 1 で収束する。定理 4 の条件 (16) と定理

そのとき，全状態空間 Rn のいかなる真部分空間も不変集合となる必要はない（原点のみからなる部分空間を除3 の条件 (15) との違いは，前者が D 内の全ての x への条
件なのに対し，後者は D の境界 ∂D 内の x のみへの条件く）。大域一様概漸近安定の場合も，その解軌道は原点となっている点である。

に近づいたり遠ざかったり揺れ動きながら収束していく

また，局所概漸近安定性では D の境界 ∂D を用いるこが，しかしどの時刻においてもその点を境界に含む不変とから D は有界集合だが，D を Rn に限りなく近づける

集合が存在する。つまり，大域一様概漸近安定性は，確と大域確率漸近安定性と一致する。このことは，大域確定システム（時不変システム）の大域漸近安定性と同様，

率漸近安定性を概漸近安定性と呼称することとも整合性

入れ子構造を持った不変集合の存在を要するのである。

が取れている。また，D の内部が入れ子構造を持った不なお，(15) 式の条件があることから，入れ子構造を変集合で隙間なく埋められるなら，局所一様概漸近安定

持った不変集合とは関数 V (x) のサブレベル集合である。

性と一致する。このように，局所概漸近安定性は，確率

この点も，確定システムのリャプノフ関数と定理 3 を満

漸近安定性と一様概漸近安定性の中間に位置する性質でたす関数 V (x) との共通点である2 。

ある。それらの関係を図 1 に示しておく。

1

Bardi and Cesaroni[4] の本文中においても uniform

して安定性を証明するため，確定システムの安定論とという語を使って説明している箇所がある。
2
元の文献 [4] では，定理 3 とは異なり関数 V (x) は上半

同様，粘性解に拡張しても安定性解析ができる。しかし，ここでは他の安定性との比較をする都合上，関数連続となっている。これは彼らが V (x) を確率偏微分
方程式の粘性解として特徴付けたかったためである。
一様概安定性では入れ子構造を持った不変集合を利用– 37 –

V (x) の無限小作用素が定義できない場合の安定性解析を避け，C 2 級に留めておく。

システム/制御/情報

38

4.

第 64B 巻確率リャプノフ安定論の発展

される安定性だが，前章で議論したような確率性そのもの以外においても，確定システムの安定性解析と異なる結果を導くことがある。
それは，原点が確率漸近安定であるにも関わらず定理

2 の条件を満たすような関数 V (x) が存在しないケースである。このことは Khasminskii[15] の Remark 5.5 において既に示されているので簡潔に紹介する。
スカラシステム(17)の原点は，a < c2 /2 を満たすとき大域確率漸近安定となる。このことは解析解 x(t) = x(0)exp{(a − c2 /2)t +cw(t)} から直ちに証明されるが，リャプノフ指数による安定判別 [15,26] でも証明可能である。しかし，確率リャプノフ安定論で証明しようとすると，定理 2 を満たす関2
数 V (x) が V (x) = |x|1−2a/c となることから，a と c の値によっては原点で C 2 級ではなくなってしまう。
つまり，上記の関数 V (x) は原点において無限小作用
素を持たないことがあるため，これまでのように無限小
作用素を微分作用素のように扱うだけでは安定性解析ができない。Khasminskii[15] は，システム (8) の原点が平衡点でかつ全ての係数が大域リプシッツであるとき，原点以外から始まる解が原点に有限時間では到達できない（inaccessible）ことを利用して，この特異性をある意味で無視している。しかし，それ以外の場合では安定性の証明には再検討が必要であるため，拙著 [31] ではこの点を主テーマに安定論を展開している。
このテーマは，確率安定性・モーメント安定性・概安
定性の関係 [42] にも深く関与していると考えられるため，筆者にとって興味深い。今はまだ理論を詰めている段階であるため，これについてはまたの機会に詳しく説明し
たい。

5.

おわりに

本稿は確率システムシンポジウム（SSS）50 回記念特集号別冊の一部として執筆させて頂いたこともあり，往年の結果と筆者の成果との関わりに比重を置いた解説記事にさせて頂いた。確率システムにおけるリャプノフ安
定論の不思議さと面白さをお伝えできていれば幸いである。

謝(2020)

参 考 文 献

確率漸近安定性は確率システム安定論で最もよく解析

dx(t) = ax(t)dt + cx(t)dw(t), a,c ∈ R

第 1B 号辞

本稿を企画して頂いた立命館大学の杉本末雄先生に厚く御礼申し上げます。また，本稿で紹介させて頂いた筆者の研究成果における共著者のみなさまに深く感謝申し上げます。本研究の一部は JSPS 科研費 17H03282 の助成を受けました。

– 38 –[1] L. Arnold, E. Oeljeklaus and E. Pardoux: Almost sure and moment stability for linear stochastic
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西村：確率リャプノフ安定論—ノイズが導く多様な安定性

39

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しい制御」特集号，システム/制御/情報，Vol. 60, No. 5(2016)[40] 伊藤，他：確率論ハンドブック，丸善出版 (2012)[41] 上原, 西村，星野：確率システムの有限時間安定性補償器，電子情報通信学会論文誌 A，Vol. J100-A, No. 8，
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Automatica, Vol. 92, No. 6, pp. 188–196 (2018)[32] Y. Nishimura and D. Tsubakino: Local controllability of single-input nonlinear systems based ondeterministic Wiener processes, IEEE Trans. Auto.
Contr., Vol. 65, No. 1, pp. 354–360 (2020)[33] Y. Nishimura, K. Tanaka, Y. Wakasa and Y. Yamashita. Stochastic asymptotic stabilizers for deter-

インシステムの概漸近安定化問題，計測自動制御学会論文集，Vol. 49, No. 4，pp. 432–439 (2013)[48] 飛田武幸：確率論の基礎と発展，共立出版 (2011)

著 者 略 歴
にし むら

西 村

ゆう

き

悠 樹 (正会員)
2009 年 3 月北海道大学大学院情報科学研究科博士後期課程修了．同年 4 月山口大学大学院理工学研究科助教．2012 年 4 月
鹿児島大学大学院理工学研究科准教授となり現在に至る．非線形制御や確率安定論を中心としたシステム制御理論および応用研究に従事．博士（情報科学）．計測自動制御学会，日本応用数理学会，電子情報通信学会，日本機械学会，IEEE，SIAMなどの会員．

– 39 –

システム/制御/情報，Vol. 46B, No. 1B, pp. 46–52, 202046||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「(別冊)『確率システムシンポジウム 50 回記念』特集号」

解説実問題への適用に向けたロバストフィルタ
石原新士*||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

はじめに

の安定性が失われる恐れもある [9]。著者が提案した近似
最小分散不偏フィルタは，パラメータ不確かさが状態量

状態推定手法の１つである Kalman Filter(KF) は，確の推定結果に与える影響を分離するように拘束条件付き率雑音を受ける線形システムにおける最適状態推定器との最適化問題を解くことで近似的に最小分散不偏推定をして知られている。また，推定対象が非線形システムの実現する手法である。このため，Joint 推定や Dual 推定

場合は，非線形システムを Taylor 展開によって線形シス

で問題になりえるパラメータ推定過渡期の状態推定精度

テムに近似して KF を適用する，拡張カルマンフィルタ(EKF) が広く知られている [1,2]。非線形性が強いシス
テムでも高い推定精度を期待できる Unscented Kalman
Filter(UKF)[3] も注目されている。
上記の線形/非線形 KF は対象システムのダイナミク
ス (モデル) を利用したモデルベース状態手法である。
よって，モデルが正確でない場合には十分な推定精度を保証することは困難である。モデルの不確かとしては，
確率雑音の確率分布モデルの違いや，パラメータの誤差比べても計算時間の増加が少ないため，実機への適用へのハードルは低いと考える。
また，本解説では，近似最小分散不偏フィルタを実機適用するにあたってのいくつかの工夫を紹介する。まず，
近似最小分散不偏フィルタは線形観測システムを前提としているが，これを非線形観測システムに適用する方法
における線形化誤差を考慮したロバスト近似最小分散不理パラメータは直接測定することが困難であるため，何偏フィルタを紹介する。さらに，ロバスト近似最小分散

らかの不確かさを含むことになる。このような課題は産不偏フィルタの設計パラメータを自動調整する方法も紹業分野で状態推定手法を利用しようとした際に頻繁に直介する。

面する。そこで，本解説では，モデルの物理パラメータ

本解説の最後に，近似最小分散不偏フィルタの有効性が不確かさを有するシステムを対象として，著者が検討を確認するため，誘導モータモデルを利用した数値シを行っている非線形ロバスト KF である，近似最小分散

ミュレーションを行った結果を示す。

不偏フィルタ [5,6] の紹介を行う。
なお，実問題においては，不確かさを有するパラメー

2.

タを持つシステムにおける状態推定のみでなく，不確か

準備

問題設定
未知パラメータ pk ∈ Rl を含む，次の離散時間非線形

2.1

さを有するパラメータ (未知パラメータ) の推定も重要な課題になり得る。例えば，故障時に変化するパラメータシステムを考える。

を逐次推定することで，システムの故障の有無を判断する手法が利用される [7]。
状態量と未知パラメータを推定する手法として，Joint
推定や Dual 推定が知られている [8]。しかし，対象が非xk = f (xk−1 ,pk−1 ) + g(xk−1 )uk−1 + wk−1

(1)

yk = Hk xk + vk

(2)

なお，xk ∈ Rn は状態量，yk ∈ Rm は観測量であり，

線形システムの場合，近似線形システムを演算する時に

wk ,vk はそれぞれ，wk ∼ N (0,Qk ),vk ∼ N (0,Rk ) に従もパラメータ推定値を利用するため，パラメータ推定結う正規白色性のプロセス雑音，観測雑音である。uk は制果が状態推定結果に大きな影響を与え得る。さらに，パ御入力であり，uk の次元は非線形関数 g(xk ) の次元に対ラメータ推定値がパラメータ真値から大きく離れてし応する。

まった場合，それに応じて近似線形システムの誤差も拡

本解説では，状態推定値の初期値を x̂0 ，共分散行列をP0xx ，未知パラメータの推定値の初期値を p̂0 ，共分散行
pp
列 P0 として，時刻 k の観測値 yk から状態推定値 x̂k とパラメータ推定値 p̂k−1 をそれぞれ算出する最適フィル

大する。このような状況では，状態量に関するフィルタ
株式会社 日立製作所 研究開発グループ
制御イノベーションセンタ
Key Words :最適化問題は解析解を求めることができるため，KF とを簡単に紹介する。その後，近似最小分散不偏フィルタなどを挙げることができる。例えば，粘性摩擦などの物∗

劣化の抑制が期待できる。なお，上記の拘束条件付きのState estimation, Nonlinear filtering, Robust

タの紹介を行う。

filtering– 46 –

石原：実問題への応用に向けたロバストフィルタ

近似線形システムの導出
まず (1) 式について，時刻 k −1 の推定値 (x̂k−1 , p̂k−1 )

2.2

3.2

状態予測ステップ (1)近似最小分散不偏フィルタにおける予測ステップでは，の周りで線形化を行うと次式を得る。

未知パラメータ pk−1 の推定値 p̂k−1 で表現される非線形

xk ≈ Fk x̃k−1 + Gk p̃k−1 + dk + wk−1

システムを使った一段先予測を行う。つまり，予測平均，(3)

予測誤差共分散行列をそれぞれ次式で与える。

なお， x̃k−1 は状態推定誤差，p̃k−1 はパラメータ推
定誤差であり，それぞれ x̃k−1 = xk−1 − x̂k−1 ，p̃k−1 =x̂k|k−1 =pk−1 − p̂k−1 で定義される。
線形化に USL[10] を利用した場合，各係数行列 Fk ,Gk ,dkは次式で近似的に計算できる。
[∑
]
2n
T
Wx,i {f (Xi , p̂k−1 ) + g(Xi )uk−1 }(Xi − x̂k−1 )
Fk ≈
i=0
xx
× {Pk−1
}−1
[∑
2l
Gk ≈
Wp,j {f (x̂k−1 ,Pj ) + g(x̂k−1 )uk−1 }

(4)

]
pp
× (Pj − p̂k−1 )T {Pk−1
}−1
2n
∑

(5)

Wx,i {f (Xi , p̂k−1 ) + g(Xi )uk−1 }

(6)

i=0

pp
xx
xx
Pk|k−1= Fk Pk−1
FkT + Qk−1 + Gk Pk−1
GTk

(12)

なお，行列 Fk ,Gk はそれぞれ (4),(5) 式で計算する。
さて，(11) 式と (6) 式が等しいことに注目し，(3) 式から(11) 式を引くことで，状態予測誤差 x̃k|k−1 := xk − x̂k|k−1を次式で与えることができる。

(13)

パラメータ推定ステップ
パラメータ推定式 (8) は次のように展開できる。

3.3p̂∗k−1 = p̂k−1 + Mk Hk x̃k|k−1 + Mk vk(14)p̂∗k−1 で定義すると，(14) 式に (13) 式を代入することであり，Wx,i はこれに対応するシグマ点列の重み列であ次式を得る。

る。同様に，Pj は未知パラメータベクトル pk についてのシグマ点列，Wp,j はこれに対応するシグマ点列の重p̃∗k−1 = {I − Mk (Hk Gk )} p̃k−1

み列である。

+Mk {vk − Hk (Fk x̃k−1 + wk−1 )}= {I − Mk (Hk Gk )} p̃k−1 + Mk ek

近似最小分散不偏フィルタ

本節にて，近似最小分散不偏フィルタの導出方法を簡(15)

なお，(15) 式の ek は次式で与えるものである。

単に紹介する。

3.1

Wx,i {f (Xi , p̂k−1 ) + g(Xi )uk−1 } (11)i=0

ここで，更新後のパラメータ推定誤差を p̃∗k−1 := pk−1 −ここで，Xi は状態ベクトル xk についてのシグマ点列で

3.

2n
∑

x̃k|k−1 ≈ Fk x̃k−1 + Gk p̃k−1 + wk−1

j=0

dk ≈

47

ek = vk − Hk (Fk x̃k−1 + wk−1 )近似最小分散不偏フィルタの構成(16)

近似最小分散不偏フィルタの導出に先立ち，フィルタ

ここで，時刻 k−1 の推定値 x̂k−1 が不偏推定値であると仮の構成を紹介する。近似最小分散不偏フィルタは次の 4

定し，wk−1 ,vk は平均 0 のガウス雑音であることに注意す

ステップを再帰的に計算することでパラメータと状態量

ると，E[ek ] = 0 が成り立つ。よって，Mk (Hk Gk ) = I を満を推定する。
Step1：状態予測ステップ (1)足するように，最適ゲイン Mk を設計すると E[p̃∗k−1 ] = 0x̂k|k−1 =2n∑が成立する。つまり，更新後のパラメータ推定値 p̃∗k−1 は不偏推定値になる。さらに，文献 [11] に従えば，最小分
Wx,i {f (Xi , p̂k−1 ) + g(Xi )uk−1 }(7)

散推定を実現するための最適ゲイン Mk は次式で与える

i=0

ことができる。

Step2：パラメータ推定ステップ()
p̂∗k−1 = p̂k−1 + Mk yk − Hk x̂k|k−1
Step3：状態予測ステップ (2)()
x̂∗k|k−1 = x̂k|k−1 + Gk p̂∗k−1 − p̂k−1
Step4：状態推定ステップ
x̂k|k = x̂∗k|k−1 + Nk
行列 Mk ∈ R

l×mと Nk ∈ R(

yk − Hk x̂∗k|k−1

n×m

}−1
{
ee
ee
Mk = (Hk Gk )T Pk−1
(Hk Gk )−1(Hk Gk )T Pk−1
(8)

(17)
ここで，(17) 式を計算するには，条件 rank(Hk Gk ) = lを満足する必要があることに注意されたい。また，(17)(9)

式における P ee は次式で与えられる。
ee
xx
Pk−1
= E[ek eTk ] = Hk Pk|k−1
HkT + Rk

)

(18)

(10)
さらに，(15) 式を利用すると，更新後のパラメータ推定p∗は，それぞれ 3.3，3.5 節値の共分散行列 Pk−1 を次式で与えることができる。

で紹介する更新ゲインである。

p∗
ee
T
Pk−1
= E[p̃∗k−1 p̃∗Tk−1 ] = Mk Pk−1 Mk

各ステップの導出を以下の節で簡単の紹介する。

– 47 –(19)

システム/制御/情報

48

第 46B 巻状態予測ステップ (2)時刻 k の観測値 yk を利用して更新したパラメータ推
定値 p̂∗k−1 を利用して，(9) 式で x̂∗k|k−1 を算出する。なお，(9) 式を利用するのは後の解析を容易にするためである。よって，状態推定ステップ (1) にならって，

x̂∗k|k−1 =(2020)

ここで Tr(A) は行列 A のトレースを意味する。(26) 式

3.4

2n
∑

第 1B 号

はラグランジュの未定乗数法を利用することで解析的に解くことができ，最適ゲイン Nk は次式で与えることができる。

Nk = Kk − {Kk (Hk Gk ) − Gk }
{
}−1
(
)−1
T
yy
× (Hk Gk ) Pk|k−1(Hk Gk )()−1Tyy
×(Hk Gk ) Pk|k−1
(27)
(
)−1
yy
xx
Kk = Pk|k−1
HkT Pk|k−1
(28)

{
}
Wx,i f (Xi , p̂∗k−1 ) + g(Xi )uk−1
(20)

i=0

で状態予測値を更新しても良い。ただし，計算負荷が多少増加することには注意が必要である。

状態推定ステップ(10) 式に (9) 式を代入すると次式を得る。

3.5

yy
xx
Pk|k−1= Hk Pk|k−1
HkT + Rk

(29)

なお，最適ゲイン Nk の導出過程の詳細は文献 [5] を参照

x̂k|k = x̂∗k|k−1 + Nk Hk x̃∗k|k−1 + Nk vk

(21)

されたい。

なお，上式における状態予測誤差 x̃∗k|k−1 := xk − x̂∗k|k−1は次式で与えることができる。

{()}
x̃∗k|k−1 = xk − x̂k|k−1 + Gk p̂∗k−1 − p̂k−1( ∗)= x̃k|k−1 − Gk p̂k−1 − p̂k−1= Fk x̃k−1 + Gk p̃∗k−1 + wk−1

(22)以上の準備の下，状態推定誤差 x̃k := xk − x̂k|k は次式で与えることができる。

x̃k = (I − Nk Hk )x̃∗k|k−1 − Nk vk()= (I − Nk Hk ) Fk x̃k−1 + Gk p̃∗k−1 + wk−1 − Nk vk= (I − Nk Hk )Fk x̃k−1 + (I − Nk Hk )Gk p̃∗k−1+(I − Nk Hk )wk−1 − Nk vk

アルゴリズムのまとめ
演算開始時刻を k − 1 として，具体的な演算手順を以下に示す。なお，時刻 k = 0 における初期化方法は通常の KF と同様である。
i). (4)，(5) にて線形化行列 Fk ，Gk を計算する。
xxii). (11)，(12) にて x̂k|k−1 ，Pk|k−1を計算する。
iii). (17) にてパラメータ推定ゲイン Mk を計算する。
iv). (8) で未知パラメータの推定値 p̂∗k−1 を計算する。
v). (9) にて状態予測値 x̂∗k|k−1 を計算する。
vi). (27)〜(29) にて最適ゲイン Nk を計算する。
vii). (10) にて状態量の推定値 x̂k|k を計算する。
xxviii). (25) にて状態量の推定誤差共分散 Pk|kを計算するix). 時刻を１つ進めて，i) ステップに戻る。

3.6

(23)

実機適用にむけた工夫

ここで，wk−1 ,vk は平均 0 のガウス雑音であることに注

4.

意すると，状態推定誤差 x̃k の期待値を次式のように整本章では，3. 節で紹介した近似最小分散不偏フィルタ

理できる。

を実機適用するにあたってのいくつかの工夫方法を紹介する。

E[x̃k ] = (I − Nk Hk )Fk E[x̃k−1 ]+(I − Nk Hk )Gk E[p̃∗k−1 ]未知パラメータのノミナル値が既知の場合
文献 [6] に示した通り，近似最小分散不偏フィルタは

4.1

(24)

ゆえに，(I − Nk Hk )Gk = 0 を満足するように状態推定ゲ

推定初期値に対するロバスト性がやや低い傾向がみられ

イン Nk を設計できれば，状態推定誤差 x̃k はパラメータる。このため，産業界で広く利用されている Joint 推定

推定誤差 p̃∗k−1 の影響を受けないことが分かる。さらに，に比べても推定精度が劣る場合がある。このような状況(I − Nk Hk )Gk = 0 が成立することを仮定すると，(23)では，未知パラメータそのものを推定するのではなく，式より状態推定誤差共分散行列を次式で与えられる。

ノミナル値からの変動量を推定する構成を採ると精度の良い推定結果が得られることが多い。つまり，未知パラxx
Pk|k= E[x̃k x̃Tk ]メータ pk がノミナル値 pnom と変動量 p̆k によって，

Txx= (I − Nk Hk )Pk|k−1(I − Nk Hk ) +Nk Rk NkT

pk = pnom
+ p̆k
k

(25)

(30)

以上より，次の拘束条件付きの最適化問題を解くことで，で表現されるものとし，p̆k を推定する問題として定式化す

最小分散不偏推定を実現する状態推定ゲイン Nk を得るる。このような表記を採ることで，USL は (x̂k−1 ,pnom)k

ことができる。

で実行されるため，線形化誤差が極端に大きくなることxx
arg min Tr(Pk|k) s.t. (I − Nk Hk )Gk = 0を回避できる。なお，本形式での近似最小分散不偏フィ(26)

ルタの導出は文献 [6] を参照されたい。

Nk– 48 –

石原：実問題への応用に向けたロバストフィルタ

49

非線形観測システムへの対応
3. 章では，(2) 式に示した線形観測システムを前提と強いシステムにおいては，線形化誤差の影響が推定精度していた。しかし，実際には，次式で与えられる非線形を陽に考慮したロバスト近似最小分散不偏フィルタにつ観測システムを扱う場合も想定される。

いて紹介する。

4.2

yk = h(xk ) + vkの大きな影響を及ぼし得る。そこで，本節にて，線形化

まず，ロバスト近似最小分散不偏フィルタでは，∆k ∆T
k ≤

(31)

このような非線形観測システムを扱う場合には，前章のI を満足する時変の未知行列 ∆k ∈ Rn×n と未知行列
Ek ∈ Rn×n を用いて，予測誤差のダイナミクス (13) をアルゴリズムがやや複雑になる。詳細な導出は紙面の関次式のように書き換える。

係で割愛し，変更箇所だけを紹介する。詳細は文献 [11]x̃k|k−1 = Fk (In×n + ∆k Ek ) x̃k−1 + Gk p̃k−1 + wk−1

を参照されたい。

(38)

まず，パラメータ推定ステップにおける (8) 式を次のように書き換える。

(p̂∗k−1 = p̂k−1 + Mk yk − ŷk|k−1)(38) 式より予測誤差共分散行列は次式で与えられる。
[]
xx
Pk|k−1= E x̃k|k−1 · x̃Tk|k−1

(32)

xx
= Fk (I + ∆k Ek )Pk−1(32) 式における ŷk|k−1 は次式で与えられる。
ŷk|k−1 =2n∑

Wi h(Xi )T

pp
×{Fk (I + ∆k Ek )} + Qk−1 + Gk Pk−1
GTk
pp
uu
+ Gk Pk−1
GTk= Pk|k−1

(33)

i=0

(39)

uu
上式において Pk|k−1は未知行列 ∆k ,Ek を含むため，実xx
ここで，Xi は N (x̂k|k−1 ,Pk|k−1) に従って生成したシグ

uu
際には計算することができない。そこで，Pk|k−1の上限

マ点列である。さらに，パラメータ推定ゲイン (17) を求

uu
xx
xx
Σk|k−1を計算することによって，Pk|k−1の上限 Σk|k−1

める際に利用する Hk は (31) 式を x̂k|k−1 周りで線形化を算出する方策を採用する。紙面の関係で詳細な議論はした際の Hk を利用する。

文献 [6] 任せるが，()

yk ≈ Hk xk − x̂k|k−1 + ŷk|k−1 + vk

xxT
ηI − Ek−1 Pk−1
Ek−1
> 0,

(34)

η>1

(40)

この線形化は EKF の考え方と同様に Taylor 展開を利用を満足する正のスカラ値 η の存在を仮定することにより，した局所線形化でもよいが，USL を利用することが望ま

(
)−1
uu
xx
Pk|k−1≤ 1 − η −1
Fk Pk−1
FkT + ηFk FkT + Qk−1

しい。

uu=: Σk|k−1

同様に，状態推定ステップにおける (10) 式を次のように書き換える。

x̂k|k = x̂∗k|k−1 + Nk(∗
yk − ŷk|k−1を得る。この正のスカラ値 η は実装時には設計パラメー

)

xx
xx
タとして扱われる。故に，Pk|k−1の上限 Σk|k−1
は

(35)

pp
xx
uu
Σk|k−1= Σk|k−1+ Gk Pk−1
GTk∗(35) 式における ŷk|k−1は次式で与えられる。
∗
ŷk|k−1=2n∑

Wi h(Xi∗ )xx
その上限値 Σk|k−1
を利用して，パラメータ推定ゲイン(36)

Mk ，および，状態推定ゲイン Nk を算出するアルゴリズ

i=0

ムがロバスト近似最小分散不偏フィルタである。

マ点列である。さらに，状態推定ゲイン (27) を求める際

適応ロバスト近似最小分散不偏フィルタ
設計パラメータ η を適切に設計することができれば，4.4に利用する Hk は (31) 式を x̂∗k|k−1 周りで線形化した際

(

(42)

xx
で与えることができる。共分散行列 Pk|k−1の替わりに，

xx
ここで，Xi∗ は N (x̂∗k|k−1 ,Pk|k−1) に従って生成したシグの Hk を利用する。

(41)

ロバスト近似最小分散不偏フィルタは近似最小分散不偏)∗yk ≈ Hk xk − x̂∗k|k−1 + ŷk|k−1+ vk

フィルタに比べて，良好な推定精度を示すだけでなく，(37)

推定初期値に関するロバスト性が大きく改善される。し以上のように，非線形観測システムを扱う場合には，

かしながら，設計パラメータ η には明確な設計指針がな

２つの異なる状態推定値 (x̂k|k−1 ，x̂∗k|k−1 ) での線形化をく，試行錯誤でパラメータを選定する必要があった。そ行う必要があるため，やや計算量が増加することに注意

こで，本節では，観測誤差共分散行列を利用した適応則されたい。

を利用することにより，設計パラメータ η を自動的に調4.3

整する方法を紹介する。
yy
まず，観測誤差共分散の上限値 Σk|k−1 は次のように展開できる。

ロバスト近似最小分散不偏フィルタ

3. 節で紹介した近似最小分散不偏フィルタは線形化の誤差の影響を考慮していない。しかし，非線形が非常に– 49 –

システム/制御/情報50

第 46B 巻

{
}
yy
uu
pp
Σk|k−1= Hk Pk|k−1+ Gk Σk−1
GTk HkT + Rk
{(
}
)−1
xx
= Hk 1 − η −1
Fk Σk−1
FkT + ηFk FkT Hk()
pp
GTk HkT + Rk
(43)
+Hk Gk Σk−1

角速度である。(50) 式における入力信号 uk は次式で与えるものである。

u1,k = 350cos(0.003k),

yy

える。

[

(44)

1 0 0 0 0
Hk =0 1 0 0 0

なお，ρ (0 < ρ < 1) は忘却係数である。

うものである。

Qk = 0.012 I5 ,各トレースの値を a,b,c と表記すると，次式を得る。

a + ηb + c = 0(50) 式中に現れる定数 Tr ,σ,K,γ の定義は次の通りで
ある。

Lr
M2
, σ = 1−
,
Rr
Ls Lr
Rs
Rr M 2γ=+σLs σLs Lr

Tr =

第1表

(48)

Rs
Rr
Ls
Lr
M
J
Tl
p
∆t

とすることが望ましい。

5.1

シミュレーション対象

M
σLs Lr定する。

なお，η > 1 を仮定しているため，適応則を利用する際には，ηmin > 1 を与えて)(√
a + b − c + (a + b − c)2 + 4bc
,ηmin
(49)
η = max2b

数値シミュレーション

K=

とめた。なお，本稿ではパラメータ γ が未知であると仮えることができる。

5.

Rk = 0.12 I2

ここで，各パラメータのノミナル値と定義を第 1 表にま(47)

上式は η に関する 2 次方程式であるので，次式で η を与√(a + b − c) ± (a + b − c)2 + 4bc
η=
2b

(51)

均値０のガウス雑音であり，その共分散行列は次式に従つまり，フロベニウスノルムを最小化する η を設計する
問題を考える。(43) 式を利用すると，上式は次のように展開できる。
)
(
)
(
)−1 (
xx
1 − η −1
Tr Hk Fk Σk−1
FkT HkT + ηTr Hk Fk FkT HkT
]
)
}
[ { (
pp
GTk HkT + Rk − Tr(Pkyy,o ) = 0 (46)
+ Tr Hk Gk Σk−1)−1]

また，プロセスノイズ wk ，観測ノイズ vk はそれぞれ平yyyyΣk|k−1は Pk|k−1 の上限値であるので，次式を満たす
ように η を決定することを考える。
()
yy
Tr Σk|k−1= Tr(Pkyy,o )(45)

1 − η −1

u2,k = 300sin(0.003k)

観測方程式は線形モデルとし，観測行列 Hk を次式で与((2020)

なお，x1 ,x2 は固定子電流，x3 ,x4 は回転子磁束，x5 は一方，観測誤差共分散行列 Pk はイノベーション νk =yk − ŷk|k−1 を用いて，次式で近似することができる。
ν1 ν1T(k = 1)yy,oyy,oPk = ρPk−1 + νk νkT(k > 1)
ρ+1

第 1B 号

紹介したロバストフィルタの有効性を示すため，誘導
モータモデルのシミュレーションを考える [5]。連続時
間ダイナミクスをサンプリング周期 ∆t で離散化すると，
非線形ダイナミクスを次式で与えることができる。
f (xk−1 ,pk−1 ) + g(xk−1 )uk−1 = xk−1 + ∆t ×K1
−γx1,k−1 + x3,k−1 + Kpx5,k−1 x4,k−1 +
u1,k


Tr
σLx


 −γx2,k−1 + K x4,k−1 − Kpx5,k−1 x3,k−1 + 1 u2,k 


Tr
σLs


M
1


x1,k−1 − x3,k−1 − px5,k−1 x4,k−1




Tr
Tr


M
1


x2,k−1 − x4,k−1 + px5,k−1 x3,k−1


T
T
r
r


pM
Tr
(x3,k−1 x2,k−1 − x4,k−1 x1,k−1 ) −
JLr
J
(50)

– 50 –

Simulation parameters

Parameter
Stator Resistance
Rotor Resistance
Stator Inductance
Rotor Inductance
Mutual Inductance
Rotor Inertia
Load Torque
Pole Pairs
Step size

Value
0.18[Ω]
0.15[Ω]
0.0699 [H]
0.0699 [H]
0.068[H]0.0586 [kg · m2 ]10 [Nm]1[-]0.0001[s]本節では，次の 4 つの非線形フィルタを使って，それぞれシミュレーションを行い，推定精度を比較する。

JUKF (Joint UKF)
未知パラメータ γ を含めた拡大系に UKF を適用したもの (Joint 推定)
AUMV
3. 章で紹介した近似最小分散不偏フィルタ（ただし，4.1 節に示したパラメータ変動量を推定する形式とした）

RAUMV (Robust AUMV)
4.3 節で紹介したロバスト近似最小分散不偏フィルタ
ARAUMV (Adaptive RAUMV)
4.4 節で紹介した適応ロバスト近似最小分散不偏フィ石原：実問題への応用に向けたロバストフィルタ

51

ルタ

5.2

シミュレーション結果

本節におけるシミュレーション初期条件として，状態初期値 x0 ，状態量推定初期値 x̂0 および共分散行列 P0xx
をそれぞれ次の通りとする。


 
50
100
 50 
 100 

 


 

x0 =  5  , x̂0 =  10  , P0xx (= Σ0xx ) = 104 I5 (52)  10  5 
200
0また，JUKF で必要となる拡大系の状態量及び共分散行列の初期値は次の通りとする。
xx= 101
x̂6,0 = γ nom ,P(6,6),0

なお，γ nom は第 1 表に示したパラメータで計算される γのノミナル値であり，γ nom = 50.7 となる。
さらに，RAUMV に利用する正のスカラ値 η ，スケー
リング行列 Bk を次式で与える。

1
η = 100,Bk = Fk
η

(53)
第1図

なお，パラメータ η は試行錯誤によって決定した。
未知パラメータ γ は 2 通りの値 ([1]γ = 0.7γ nom ，[2]γ =1.3γ nom ) をとるものとし，各パラメータ値においてフィルタの推定精度を検証した。なお，未知パラメータ γ は
1 回のシミュレーション中に値を変更しないものとする。
第 2 表はパラメータ真値を γ = 0.7γ nom としたときの，50 回のモンテカルロシミュレーションを行った結果の
RMSE をまとめたものである。なお，x6 は未知パラメー
タ γ の推定結果を示している。
第2表

x1
x2
x3
x4
x5
x6

JUKF
2.23
2.23
8.26
6.97
255
18.5

JUKF では推定結果が収束しない条件においても，提案手法のいずれでも推定誤差が収束方向にあることが確認できる。さらに，適応則を利用した ARAUMV は適応則を利用しない RAUMV よりも誤差が小さいことが確認できる。
第 3 表はパラメータ真値を γ = 1.3γ nom としたときの，50 回のモンテカルロシミュレーションを行った結果の
RMSE をまとめたものである。

RMSE of each state

AUMV
2.23
2.23
5.84
5.23
86.3
4.84

RAUMV
2.23
2.23
4.86
4.42
72.7
7.09

Estimation error of state and paramter

第3表

ARAUMV
2.23
2.23
4.78
4.36
69.5
7.00

x1
x2
x3
x4
x5
x6

第 2 表を見ると，全ての状態量の推定精度で適応則を

JUKF
2.23
2.23
8.05
6.75
268
22.6

RMSE of each state

AUMV
2.23
2.23
6.13
5.46
93.8
4.47

RAUMV
2.23
2.23
5.65
5.06
90.6
14.3

ARAUMV
2.23
2.23
5.57
5.01
89.5
14.2

第 3 表を見ると，第 2 表と同様に，状態量の推定精度利用した提案手法である ARAMVU が最も優れること

ともに適応則を利用した ARAUMV が最も優れることが確認できる。ただし，パラメータ推定値は AUMV がが確認できる。第 2 図に状態量 x5 とパラメータの推定

最も優れている。これは AUMV のみパラメータ変動量

誤差の時系列を示した。このように，パラメータ真値がp̆k を推定する形式にしたことが影響している可能性がある。第 1 図に状態量 x5 と未知パラメータ γ(= x6 ) の推異なる場合でも，ほぼ同様の傾向が確認できる。

6.

定誤差の時系列を示した。図中の青線が近似最小分散不おわりに偏フィルタの推定誤差であり，赤線がロバスト近似最小

本解説では，状態推定手法を実際に適用する際に課題

分散不偏フィルタ，緑線が適応ロバスト近似最小分散不になりえる，モデルの不確かさを扱う一手法として，著

偏フィルタ，黒線が JUKF の推定誤差の波形である。

者が検討している近似最小分散不偏フィルタについて紹– 51 –

システム/制御/情報

52

第 46B 巻第 1B 号(2020)

機大学出版局 (2012)[3] Dan Simon: Optimal State Estimation: Kalman , H∞
and Nonlinear Approaches; Wiley-Interscience (2006)[4] Arasaratnam, Ienkaran, Simon Haykin : Cubaturekalman filters; IEEE Transactions on Automatic Control Vol.54, No.6, pp.1254-1269 (2009)[5] 石原新士，山北昌毅：パラメータ不確かさを有する非線形システムにおけるロバストカルマンフィルタ；計測自動制御学会論文集，53 巻，10 号，pp.527-538，(2017)[6] 石原新士，山北昌毅：ロバスト近似最小分散不偏フィル
タによる状態量とパラメータの同時推定手法；計測自動制御学会論文集，54 巻，4 号，pp.389-401，(2018)

第2図[7] Zhiwei Gao,Carlo Cecati, Steven X. Ding : A Survey of Fault Diagnosis and Fault Tolerant TechniquesPart I: Fault Diagnosis With Model Based and Signal
Based Approaches; IEEE Transactions on Industrial
Electronics, Vol. 62, No. 6, pp.3757-3767 (2015)[8] Wan, Eric A., Van Der Merwe, R. : The unscented
Kalman filter for nonlinear estimation; Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, andControl Symposium, pp.153-158,(2000)[9] K.Xiong, H.Y.Zhang, C.W.Chan : Performance evaluation of UKF-based nonlinear filtering; Automatioca,
Vol.42-2 ,pp.261-270 (2006).
[10] Masaya Murata, Hidehisa Nagano, Kunio Kashino:
Unscented Statistical Linearization and Robustified
Kalman Filter for Nonlinear Systems with Parameter Uncertainties; Proceedings of the 2014 American
Control Conference, pp.5079-5084 (2014)[11] S. Ishihara and M. Yamakita: Approximated unbiased minimum-variance simultaneous states and parameters estimation for nonlinear systems; Proceedings of the 2017 IFAC World Congress, pp.1643-1648(2017)

Estimation error of state and paramter

介した。
近似最小分散不偏フィルタでは，状態量推定ゲインの設計問題を，パラメータ推定誤差が状態量の推定誤差ダ
イナミクスに影響を与えない条件を拘束条件とした最適化問題を利用している。このため，Dual 推定や Joint 推定において生じる推定過渡期における状態量の推定値とパラメータの推定値が互いに影響する状況を緩和することができる点に利点がある。
また，本解説では，近似最小分散不偏フィルタを実問

著 者 略 歴題に適用するためにフィルタのロバスト化を狙った，ロバスト近似最小分散不偏フィルタを紹介するとともに，
ロバスト近似最小分散不偏フィルタの設計パラメータを自動調整する方法の紹介も行った。

いし はら

石 原

しん

じ

新 士 (正会員)
1985 年 2 月生。2007 年 3 月東京工業大
学院理工学研究科制御システム修士修了。
同年 4 月株式会社日立製作所入社。2017年 9 月東京工業大学院理工学研究科制御シ

本解説が状態推定問題に取り組む研究者，技術者の一助になれば幸いである。

ステム博士課程修了。非線形システムの状
態推定の研究に従事。博士（工学）。計測

参 考 文 献

制御自動制御学会の会員。

[1] 片山 徹 ：非線形カルマンフィルタ；朝倉書店 (2011)[2] 足立 修一，丸田 一郎：カルマンフィルタの基礎；東京電– 52 –

システム/制御/情報，Vol. 64B, No. 1B, pp. 53–75, 202053||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||「別冊『確率システムシンポジウム 50 回記念』特集号」

随想SSS50 回記念「想い出 − 回想」随想集
および SSS に関連する受賞者・受賞論文名
SSS

参加者

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

1.

SSS50 回記念「想い出ー回想」随想集

活発な討論が行われていた．予備知識一つない私にとっては全く別世界に入った感じであった．そのとき一編の論文（１９４５年）コピーを頂いたがそれがこれからの1.1

研究の端緒になった Wiener の論文であった．内容は勿椹木義一先生と私論それが自動制御とどういう関係にあるかもわからず，

徳島大学名誉教授 添田 喬

1.1.1

本当に悲壮な思いで研究室通いをしたことを覚えている．

原爆と広島

研究室には，当時大学院の学生であった中溝高好先生

昭和２４年，私は廃墟と化した広島文理科大学を終えがおられいろいろな面で指導や励ましをいただくことに広島大学の助手になった．恩師は通勤途中原爆に会い，なった．今でもお付き合いを続けている．

電車の中から川へ飛び込み九死に一生を得た森永覚太郎

昭和３２年から２年間，私は，日本学術研究振興会流先生である．大学では自然幾何学の勉強をした．これは動研究員として京都大学椹木先生の下で指導を受けた．

動座標の学問であるが歯車の理論に結び付く分野である．

当時，学位論文を作成していた砂原先生の手伝い，文献

森永先生は教授になられてから２０年，家族を愛媛に帰の調査，紹介，校正，下書き等を続けた．分からないこ

し一人不自由な下宿生活を続けていたが，定年後郷里へとだらけだったが，隣の中溝先生にきめ細かに教えてい帰り勉強部屋もできたし，やっと人間らしい生活がでる

ただいたことが印象にある．ずいぶんご迷惑をかけた．

と喜んでいた矢先肺炎で亡くなってしまった．原爆被害

今思うと，毎月椹木先生を中心に研究会が行われたが，のやけど (ケロイド) はいつまでも残っていた．

そこには同志社大，立命館大，京都工芸繊維大の先生方

1.1.2

応用数学会と城憲三先生がご一緒だった．

昭和２６年，応用数学会で，城先生は，これからはコ

本当に夜遅くまで研究室で頑張ったと思う．文献をまンピュータ，非線形振動論，自動制御などが重要になる

とめ，学会の講習会の原稿づくりにも手伝わせてもらっのではないかということを話された．先生は真空管の電た．関係する文献で読まないものはないと自負するほ子計算機の研究をされていた．

ど必死になって調査を行った．ロシア語やスペイン語な

当時は，専門学校と大學の切り替わりの時期で，専門どを聞くために大使館や宣教師のところへ通ったことも学校にいる先生は学位がないと大学に残れないといわれ，あった．具体的に，私のテーマは飛翔体や水中翼船のよ

年齢に関係なく，万年助手ということなどで，みな，つうな非線形システムが突風の様な外乱を受けた時飛翔体てを探して学位の取得方法を考えていた時代であった．

はどのような動きをするかまたそれをもとへ返すには制先生の資格はすべて文部省で行った．

御装置をどうするかを統計的等価線形化手法を用いて解

２０歳代の私たちは，研究のしはじめだったのでまだ析した．

気分的には余裕があったが，５０歳程度で今まで高専のそのうち私の研究は非定常非正規外乱をうける非線形教授と言われた先生がいきなり助手に降格なので悲壮感システムの解析が中心になるように思えてきた．立命館もあった．

の塚本幸雄先生らはアナログ計算機を組み立て実験で理

徳島大学工学部の仁田先生の紹介で京大の林千博先生

論の結果を確認していた．そのうち研究室には小野敏郎

を知り，椹木先生にお世話になることになった．

先生が入られ文献整理や計算機プログラミングの手伝い

新しい専門分野への取り組みをしてくれた．砂原先生の指導の下，中溝，小野両先生

1.1.3

昭和２７年，京都大学オートメーション研究施設が京のご支援により私の学位論文もまとまった．

都市の修学院にあったが，私はそこで砂原善文先生から

当時は，日本機械学会の論文集をあけると毎回どこか直接指導を受けることになった．当時先生は椹木先生のに私たちの論文が掲載されていたと思う. そのお陰で，徳助手であった．

島大学の芳村敏夫（徳大工学部長）, 田上重美 (徳大教

私は，初めて研究室を訪ねた時はゼミナールの最中で授)，原敬 (同志社大教授)，富田豊 (呉工学部教授) 先生あり，黒板には四角の枠，矢印，非線形，などが書かれらが学位を授与された．昭和５０年には，芳村先生とと– 53 –

システム/制御/情報

54

第 64B 巻第 1B 号(2020)

もに日本機械学会論文賞をいただいた．また，秋月影雄

だき，予測モデルやモニタリングステーションの見直し

先生が椹木先生の研究会に出席されるようになり，有意や最適配置問題を分担．公害研究所では近藤次郎，寺尾義な話題を提供された．

満先生，松本幸雄先生等のご指導をいただいた．また県別だった水質検査の全国統一化が藤原主任研究官の下でいまでこそノイズや外乱という用語はごく自然に使わ実現した．

れているが，それをいかに除去するかがあらゆる問題の基礎であろう

1.1.6

日本機械学会プラント異常診断，寿命予測

京都大学得丸英勝，井上紘一，中溝高好早稲田大学

1.1.4 様々な問題(1) 環境問題

秋月影雄先生らが中心になって行ったが，徳大関係の芳

環境問題は永遠に続くように思われる．椹木先生は熱村敏夫，大松繁，田淵敏明先生をはじめ中条義輝（文理心に取り組まれた．まず，環境汚染物質濃度の予測と制大），渡辺桂吾（岡山大）先生方がご指導をいただいた．
コンピュータによる対話型意思決定支援システムの開御である．昭和４０年から５０年にかけ椹木研究室を上げて取り組んできた．リモートセンシングの考えを使い，測定局で計測した実際のデータから統計的モデルを作り，発研究も特徴の一つである．

1.1.7

NPO 法人シニアパワーネットワークとくしま設立

その予測精度の良さを実データを用いて確認した．従来の拡散方程式を中心とした物理モデルに対し，ここで提平成 12 年，介護保険の導入を機に高齢者のための生案したモデルは非物理モデルと称した．次に，従来に比きがい対策事業（余暇有効利用）を行うため NPO 法人

べより精度の良い予測モデルとして GMDH(非線形モデ

を徳島市の産官学で立ちあげた．２０年続いている．具ル) の応用を試みた．これらの成果は国内外の学会に掲

体的内容は，

載されたが，昭和５２年 IIASA で，イタリアのフロンザ教授らとミラノで計測されたデータにより共同研がなさ(1) 高齢者をよみがえらせる対話型シニアパソコン教室
講師は徳大，文理大，四国大教員 OB，サポータは講習れた．それが縁でインドの国有鉄道 (RDSO) から，開発を受けた主婦やボランティア受講生は６０歳以上最初のしたプログラムを鉄道レールの亀裂予測や洪水予測に応受講者は 90 歳を超えた．サポータの育成には総務省の用したいという要請があり，インドのラクノウに大松支援を受けた繁先生，芳村敏夫先生等と出張した．

ステムダイナミックによる年齢別人口の推移，地域別産(2)ICT 事業（高齢者の交通事故予防対策，自動車短大
で 2 級整備士資格取得）(3) ささやか支援福祉事業（吉野川河川敷，花壇づくり）(4) シニア新聞発行（年４回，毎回 1 万 5 千部）(5) 講演研究会（名著購読）

業の振興育成について実質的な成果を上げた．

場所は(2) エネルギー問題
環境問題と並行してエネルギー問題に取り組んだ．特に，ごみ焼却炉の排熱を利用したハウス栽培の方法，シ

社会福祉協議会，県内病院，同友会支部（一太郎，花子，発祥の地）を借用パソコンの事業内容は ワー

経済性を考慮したローカルクリーンエネルギーの実用化は社会のために貢献すると思われる．オーストリアのド，エクセル，パワーポイント，

IIASA から共同研究の提案があり大松繁，馬場則夫先生

受講生一人毎週一回２時間８回で１クール（実費負担），

デジカメ散歩等，らが参加した．その後も芳村敏夫，大恵俊一郎先生等が欠員待ちの盛況である．

出張され研究成果を交代で発表した．IIASA は椹木先生

員交代次世代に移す予定．

令和２年から理事長はじめ役

大松先生とクンクンボディが役員をした国際的なシンクタンクであるが他国からの1.1.8

研究者と本当によく議論を交わした．いろいろな方の面

大松先生との付き合いは先生の大学院時代からなので50 年になる．徳島大から母校に移ってからも非常勤で工影が目に浮かぶ．

(3) 気候感度と最適化問題

学部学生の指導に当たっていただいている．いろいろな

気候科学の気候感度とは大気中の CO2 濃度が２倍に情報は先生からうかがうことが多い．

なるときの大気温度の上昇の値をしめす．気候科学は未

この４月から，広島大学の特任教授に就任されたこと．

知パラメータが多く確率的な方法で推定する以外に方法

もう一つは，コニカミノルタから売りに出された「クンはなかったが，当時の東京大学茅陽一先生の好意で研究クンボディ」のことである．スマホによる匂い（におい）費の交付を受け，仁田工吉，沖津泰先生らと実験的な方測定器を開発し，その特許を取ったという話である．大法での解決をこころみた．最初は経済性に主眼を置いた．

松先生が実用的な民衆のニーズに応えた製品を開発され

UCSD のソレンソン教授のもとには，推定論，最適解，線形化法のことで 3 回お邪魔した．一度は東京工業大学

たということは素晴らしいことである．

の古田勝久先生とご一緒だった．

ということであった．例えば，「学融合」を理念として掲

1.1.5

また，最近の研究開発の方式も随分変わってきている
げ，新しい学問領域の教育研究に携わる．或いは，今ま

環境統計整備のための基礎的問題の研究
豊田弘道，甘利俊一，竹内宏，内藤正明

でにない研究方法により，「科学」と「技術」の複雑性を（京都大学）の諸先生らとの共同研究に参加させていた解明するための教育研究，また，個別学問分野から派生

東京大学– 54 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して冒頭に述べたように，私は，昭和 32 年日本学術振興する未開拓領域等の研究である．

1.1.9

55

会流動研究員に採用され椹木先生の指導を受けることが自動制御の普及

自動制御を勉強する学生や技術者は，大学の工学部のできた．あれから６０年を過ぎた現在，孫が流動研究員

実態から，昭和 40 年ころは３千人程度と思っていたが，に採用され，東京大学の博士課程（新領域創成科学研究

日新出版の「わかる自動制御」，「自動制御の講義と演習」

科複雑理工学専攻）で勉強を続けている．また，母親はの売り上げ状況をみると今まで両方で５０〜６０版出て大阪府立大学で学位をいただき徳島文理大学情報デザイ

いるので８万〜９万人の方は利用しているように思われン学科の教授になり，いずれも日本自動制御協会でお世る．それは最近はフィードバックの考えが工学だけでな話になっていた．心から御礼を申し上げたい．

く社会科学等にも普及しているためと思われる．

この度，杉本末雄先生や大松繁先生のご配慮でお誘いをまた，最近はスクラッチプログラミング，ロボット，カ

受け執筆してみましたが，何か申し訳なかったような感

リキュラム，制御，VBA 等が，小学校時代から親子でじがしています．忸怩たる思いです．お世話になりなが勉強し，講習会に参加したりしているためかもしれない．

らお亡くなりになってしまった先生方のご冥福を心よりお祈りします．

椹木研究グループは学生教育にも関心を持ちそれぞれの分野で各自専門を生かし専門書や参考書を執筆する
ことを進めてくれた．出版社と相談し，話がまとまると1.2

分野を決めて執筆にとりかかってもらった．本を書くの早稲田大学名誉教授 秋月影雄

は論文原稿を作成したり講演原稿を作るのと違って「１

このシンポジウムが 50 年継続したということはすば

週２時間年間１５回の授業」あるいは「３０回」とすれらしいことだと思う．
「継続は力なり」という言葉がある

ば，内容をどうするか，どういう表現にするかとかいろが，まさにこの分野の研究発展のために寄与した力は大いろ工夫しなければならない．そうして話がまとまれば

きい．

出版にこぎつける．自動制御関連の図書として，理工学

初期の「統計学的制御理論シンポジウム」がはじまっ

基礎シリーズ，実用理工学入門講座座，情報処理基礎シ
リーズ，わかる工学全書等に分類し多くの方が出版した．
その数は２０種類程度になる．それ以外に共著書活動としてはコロナ，オーム社

私にとっての確率システムシンポジウム

た 1968 年私は 34 歳，今年 85 歳を超えて仕事も離れ，散歩や読書に毎日を過している．最近読んだ小説に，直木賞受賞作家の一人「乃南アサ」の「ピリオド」という著

培風館等から「統計的制御理作がある．その小説について著書自らが述べている次の論」，「ランダムデータの統計処理」，「計数・測定」，「いようなコンセプトに共感を覚えた．
「多くの人の人生には，

ま何をなすべきか」がある．

とりたてて何が起きるというわけではないと思う．それ

山川新二さんは私たちの計算プログラムをチェックしでも，かけがえのない時は流れ，人は自分の人生にいくてくださった．有難く思っている．また，ご著名な得丸

つかのピリオドを打ちながら進んでいく．進むしかない

英勝，秋月影雄，太田光雄，柴田浩先生等おられるが十分お礼を申し上げる機会を失ない申し訳なく思っている．

(追記)．申し訳ないのですが６ 0 歳の後半から 95 歳まからこそ振り返りたくなるのだと思う．
」
この小説自体の内容とは全く異なるが，私と「確率システムシンポジウム」とのかかわりはまさにその通りで

で研究論文はゼロです．

あった．毎年，このシンポジウムに研究成果を発表して文科省が昭和４０年代に情報工学科とその大学院設置を認め（当時は西日本地区では九州大学と徳島大学のみ）
さらに，学長時代に生涯学習のための大学開放実践セン

研究に一つの「，」を打ち，時々は少しまとまった結果を得て「．
」を打ちながら進んできた．そして「，」や「．
」を打つ時に結果を振り返り「たいした結果は出せなかっターを開設してくれたお陰で，開かれた大学としての使た」と思いながら過ごしてきた．

命を果たすことができた．また，日本学術会議も中曽根

初期の「統計学的制御理論シンポジウム」の時代では首相の肝いりで選挙から今の制度に変わった（第 13 期 5

古典制御理論の一つの分野として，周波数領域で「不規部会員）．学長は産官学共同事業の学の代表として，他の分野の方（銀行の頭取，新聞社長，商工会議所会長，
医師会長等）とともに知事の県政懇話会の役に付いたり

則入力を受ける制御系」に対する議論が主体であった．
当然線形近似することで議論され，その正当性の検証のためにシミュレーションが重要で，白色雑音発生器とアしたので研究らしい研究もしていない．学長職 30 年（徳ナログコンピュータが活躍した時代であった．

島大学，徳島文理大学，倉敷芸術科学大学）です．

その後，制御理論が微分方程式で表現されるダイナミ

最近，私は私立徳島工業短期大学（自動車短大）の理

カルシステムに対して展開され，「現代制御理論」と呼ば事，学監（非常勤）として ICT シニア事故防止対策事
業，国際交流に力を入れ，ベトナム，マレーシア，ミャ
ンマー，中国等からの外国人留学生の受け入れを図ってれるようになると，「統計学的制御理論」にもピリオドが打たれ，確率微分方程式で表わされるシステムを対象とした「確率システム」の議論へと移っていった．Ito 型

いる．中国江蘇省の南通総合大学，医学，南通市とは教確率微分方程式が対象とされたことからこの分野の日本員，研究者，職員との国際交流を行っている．

– 55 –

システム/制御/情報

56

第 64B 巻第 1B 号(2020)の研究が注目され，「確率システムシンポジウム」もその員長として手腕を振るわれた砂原善文先生をはじめとし，発展に大きな役割を果した．ディジタルシミュレーショ

そのスタッフの方々のご尽力のたまものであると特記しンによる数値解析が広くおこなわれ，この分野の研究はておかねばなりません．また，時には同じ場所に泊まり華々しく開花した．

込み，昼の講演会とは別に夜の好宴会では，忌憚のない

理論的な研究が発展するにつれ，多くの実システムへ

意見を交換し合うばかりでなく，人間的なつながりを深の適用も検討され，実際のデータの活用に関心が移ってめるたすけとなったことも忘れることができません．
この頃，私自身は 30 歳代から 40 歳代の多感な時期にいった．実データにもとづく推定・システム同定などかあたります．たまたま運悪く，私は日本にいなかったたら学習へと発展してきている．
元来，我々の世代では，「工学は物理学にもとづいてそ

め記念すべき SSS 第 1 回大会には出席していませんが，の対象の挙動を数学的に表現し，その数学モデルにもと

第 2 回大会以降第 30 数回大会までは皆勤賞のはずです．

づいて議論する」のが本筋とされていたが，この研究態

その分いろいろとご迷惑をおかけしたと思いながら，一度にも一つのピリオドが打たれたようにみえる．

方では研究生活における私自身の背中をおしていただいたと感謝しております．それにも拘わらず SSS の発展の今後，この「確率システムシンポジウム」ではどんなためは何の貢献もできず寒心のいたりです．

議論が展開されていくのだろうか？ 私は人生自体にピリオドを打って別世界からその展開を見守ることになる

慣習により組織委員長を下番するにあたってはシンポのだろう．

ジウム開催の世話をしなければならないということでしたので，第 33 回大会を，当時私が勤務していた足利工業

1.3

確率システムシンポジウム第 50 回大会によせて大学で開催し，委員長の職を片山徹先生にバトンタッチ

防衛大学校名誉教授 中溝高好

をくずし，その原因の同定に時間がかかり，それ以降のいたしました．私事ながら，たまたまそのころから体調

SSS には残念ながら出席する機会がありませんでした．

この度「確率システムシンポジウム」第 50 回大会が杉本末雄先生からは，しばしばお誘いを受けながら老弱とどこうりなく終了したこと，まことにご同慶にたえまを理由に平然として今日まで来てしまいました．

せん．こころよりお慶び申し上げます．

最後に，50 年といえば歴史上おおきな節目でありま

50 回といえば歴史は古く，その第 1 回大会は昭和 43
年に遡ります．それは半世紀も前であり，まだ 1 ドルが360 円の時代のことです．周知のように京都大学楽友会

す．人間なら「５０にして天命を知る」（論語）とされています．長い経験を積み重ねて天命を理解し，さらに質の高い活躍をするときとしています．SSS も 50 年を経館において「統計学的制御理論シンポジウム」として第て，それまでの長い経験と実績を通じて天命を自覚し，

1 回大会が開催されました．初期のシンポジウムは，３

新しい令和の時代にふさわしい SSS としてより一層充実

日間シングルセッションを原則とし，しかも討論を重視発展されることを祈っています．

した点に特徴がありました．討論を効率的に進めるため，各講演ごとにあらかじめ討論者 1 名指名する方式

1.4が採られました．他人の研究は，わずかな時間の発表

私の確率情報システムへの履歴書を聞いただけではなかなか理解が難しいものもありま

東京電機大学名誉教授 稲葉 博

すが，格式張らない討論が加われば思わぬ勉強になった

1.4.1 Kalman Filter の論文は全く理解困難
私は 1963 年 4 月に東京電機大学の大学院修士課程に入学しました．その 3 年前の 1960 年に彼の有名な離散時間線形システムの Kalman Filter の論文 [2] が発表され，続いて次の 1961 年に連続時間の Kalman-Bucy Filter の論文 [3] が発表されていました．人づてにこれらの論文りしたものでした．その意味で指名された討論者も少なからぬ予習をしていたはずです．このような点が他のシンポジウムとの差別化であり，同時に若手研究者をエンカレッジするものでもありました．第１回大会から第

9 回大会までの会場は楽友会館で続きます．その間，第7 回大会からはその名を「確率システムシンポジウム」

は非常に画期的かつ多くの研究者から注目されている確と改めました上に，マンネリにならないように開催場

率的信号推定に関する論文であると聴き，直ぐにコピー

所も京都から離れて全国めぐりが始まります．さらにを手に入れたことを記憶しています．早速論文を読み始

第 17 回大会からは”Stochastic System Theory and its

めたが，とても手に負える内容ではないことを直ぐに知Applications”(SSS) と改名し，会議言語も英語を中心にらされた．特に Kalman-Bucy Filter の論文は当時の私して，特別講演講師に著名な外国人を招聘するだけでなの数学の力を遙かに超えた内容であり，大きな挫折を味く，英文の Proceedings を発行するなどと，国内シンポわったことを鮮明に覚えています．

ジウムとしては高く評価されるものです．このようなユ

基礎的な数学の力不足を感じていたのは私だけではな

ニークなシンポジウムを発足させ，着実に充実発展させく，多くの同僚も同じでした．特に確率の基礎，線形代ることができたのは，第 25 回大会まで一貫して組織委

数，解析学の理解が足りないことを痛感し，直ぐに同僚– 56 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して57を集め，数学の先生を顧問にお願いして，これらを勉強事にしてくれました．何度かの対話の中で，いくつかのするための輪講を始めたことを想いだしました．先ず確可能な研究課題を提示して戴きました．例えば，宇宙船率論は「確率論入門，赤池摂也著 倍風館 1958」をテキから観測した海面の情報から津波の予測問題，地球の重ストにして数人で開始した．続いて解析学は「函数解析

力分布の推定問題．宇宙船の最適軌道修正問題，地球のの基礎 (コルモゴルフ，フォミーン著)，山崎三郎訳，岩自転軸の北極面での移動経路の統計的解析，などであっ

波書店，1963」を使って勉強会を週に 2 回くらいの割合た．これらのいずれの問題にも雑音を含む観測情報からで，さらに夏休みには大学の寮などで 1 週間くらいの泊の推定問題であり，いずれも雑音に埋もれた情報を推定

まり込みの輪講を続けたように記憶しています．しかしするという課題で，雑音の研究が大変重要であると考え数学の準備のために Kalman Filter に関する研究は全くました．特にこのように時間的に連続した観測値から目進まず，修士論文の研究課題をパターン認識（音声認識）的とする情報を推定するには雑音の正確な定義，さらにに変えて修士を修了することになった [6]．

その性質を十分理解することが重要であった．

所に就職する内定をもらっていました．大学に入学する

Kalman-Bucy Filter などに現れる雑音は一般的に雑音の中でも最大の不確定さを持った 白色過程 (white
noise) が用いられる．しかし，少なくとも工学的応用

前に，北海道電力に就職して発変電所関連の仕事に 4 年

分野では，この白色過程は非常に直感的かつ非数学的な間従事し，何度か送変電系統の大きな事故・故障を経験

特徴付けにとどまっており，Kalman-Bucy Filter の導しておりました．そのために，パターン認識の理論を電出においても十分納得できる証明にはなっていなかった

力系統の故障検出に利用できる可能性があることを面接[3]．このような不明確さを払拭するために，通常の確率官に説き，割と簡単に電力中央研究所への採用が決まり

過程を一般化したました．

よって事態を明確にできるのではと，学位論文の研究課

1.4.2

テキサス大学への留学

修士課程を 1966 年 3 月に修了予定で，電力中央研究

一般化確率過程を導入することに

しかし私の指導教授から大学に残って助手として研究題として選択した．もちろん，確率微分方程式 [7] の枠することを薦められ，結局内定を取り消して大学の助手

組みで考察すれば，数学的曖昧さなしに導出は可能であを選びました．1966 年 4 月に助手になり半年たって，指る．しかし，一般化確率過程の枠組みでは白色過程は線導教授の薦めもあってテキサス大学への留学の可能性を形作用素と見なされるので，これまでの工学分野での取考慮して，私学研修福祉会の在外研修員への申請をしまり扱いとは大きく異なる．

した．幸い 6ヶ月間の在外研修員への採用が決まり，1967

1.4.4 博士論文は「一般化確率過程とその応用」
Kalman Filter に表れる雑音は 白色過程 またはガ

年 6 月の夏学期からテキサス大学の博士課程に入学することができました．しかし，こんなに早く留学の機会がウス特性を持つ与えられるとは全く想像しておらず，特に英会話の準備

Kalman Filter に表れる白色過程は通常の確率過程でそは殆どなく，会話や授業の聴講に大変な苦労・困惑をしの導出には数学的不正確さは起きない．しかし，連続時たことを想いだします．

間的線形システムに表れる白色過程は通常の確率過程で白色ガウス過程である．離散時間的

入学後は外国人のための英会話クラスなどに通いながらはないので，その導出には数学的曖昧さを避けることが専門科目も受講していたが，幸いにも 9 月から Research

できない [3]．実際，連続時間的な Kalman-Bucy Filter

Assistant にも採用された．そのためテキサス州での就の導出においては， 白色過程{

労になり，外国人授業料から州の学生の授業料に変更さ

w(t) は次の性質

少し経済的な状況が改善されました．そのため 1 年前にE[w(t)] = 0, −∞ < t < ∞E[w(t)w(τ )] = σ 2 δ(t − τ ), −∞ < t < ∞結婚していた妻を日本から呼び寄せることができ，少しを満たす雑音であると特徴付けられるのが普通である．

落ち着いて生活ができるようになった．

ここに，E は平均値，σ 2 > 0 は雑音の大きさ，δ(t) はデ

れ，それまでの約 4 分の 1 に減額されたこともあって，

1969 年 7 月 20 日には Apollo 11 で人類初めての月面ルタ関数（一般化関数または超関数）を表す．しかしこ

着陸が成功し，宇宙工学科に関係する教員や学生はもとのような 白色過程 の相関関数 K(t,s) := E[w(t)w(s)]より，世界中の人達が祝い一色になりました．さらにそはデルタ関数 δ(t−s) を含み，通常の確率過程ではなく，の直後の 8 月 13 日に長女も生まれ，私にとってはこれま

数学的に厳密な定義が必要であることが分かる．

での緊張した環境から少し余裕のある心境になり，より”白色過程 を数学的に明確に定義するために，通常

意欲を持って研究を進めることができるようになったよの関数を一般化関数（超関数）へ拡張したように，通常

うに思います [9]．

の確率過程を一般化することが必要であることに気づき

1.4.3

確率情報システムに関係した研究課題

ました．この課題を研究してまとめたのが，私の学位論

テキサス大学での指導教授は宇宙工学科の学科長を務文である [8]．この枠組みの中では， 白色過程

めていた Byron D. Tapley 教授で，NASA との共同研は（連続）線形作用素として定義され，さらに白色過程を含む

究などで大変多忙であったが，何時も学生との対話を大– 57 –

システム/制御/情報

58

第 64B 巻第 1B 号(2020)

線形システムの状態方程式（微分方程式）も一般化確率

維大学の砂原善文先生が中心になって，毎年開催されて微分方程式として位置づけられ，Kalman-Bucy Filter

いるはこの枠組の内で厳密に導き出すことができることが示ことを知りました．研究会での発表内容は私のこれまでされた [8],[10]．

の研究と多くの共通点があるように感じ，早速砂原先生

1.4.5

確率システムシンポジウムという研究会があるに学位論文のコピーを謹呈したのが，このシンポジウム

博士候補者資格試験と口頭試問

米国では一般的に博士論文を書くには，必要な授業科に参加することになったきっかけであった．実際，発表

目と取得単位数を満たすだけではなく，最大の難関であ

論文は投稿してなかったが，砂原先生から次回のシンポる博士候補者資格試験に合格しなければならない．多く

ジウムに参加するように招待され，どこで開催されたかの大学では，この資格試験は専門領域から選ばれた基本

定かではないが，宿泊するホテルまで手配して戴いたよ

的に重要な数分野の筆記試験から構成され，これらのすうに記憶をしています．このときのシンポジウムの内容

べての試験に合格しなければ博士候補者にはなれない．

は多くは記憶していないが，ただ大変活気に満ちた討論

合格できない学生は大学を去ることになります．私が属があり，特に大学院生の発表も多く，その内容の高さとした宇宙工学科では，専門領域で指定された 4 分野を選真摯な態度に感銘を受けたことが印象に残っています．

び，1 分野につき 3 時間の筆記試験を 2 日にわたり受験

初めての参加の後，何年か参加できなかった時期もし，4 分野すべてに合格しなければならなかった（さらあったが，その後は論文も投稿して発表させて戴き有益に私が在学した当時は外国語の試験にも合格する必要がな議論をさせて戴いただけでなく，多くの友人ができまあった．私はドイツ語で受験した）．

した．実際，砂原先生の大学の院生や先生の指導を受けこれらの試験に合格した後，準備ができた学生は 3 時られた研究者とは大変に難しい議論もさせて戴き，かな

間位の口頭試問が課せられ，これに合格して始めて博士

り緊張させられた記憶があり，また懇親会などでは防衛論文を準備するための科目（dissertation course）を登大学校の中溝高好先生，京都大学の片山徹先生，京都工録することが許され，学位論文が提出されるまで毎学期

芸繊維大学の大住晃先生，立命館大学の杉本末雄先生を登録を続けなければならない．学位論文が提出されると，はじめ多くの先生方に学問的な面だけではなく親しい友

日本の大学と同じように，論文内容に近い 4 名以上の教人として交流させて戴きました．

授からなる論文審査委員会 (dissertation committee) が最後に，九州工業大学の熊丸耕介先生とのある会話を構成され，3 時間位の学位審査会 (final defense) が開か紹介して記録しておきたいと思います．どのような状況れ，これに合格して学位の授与が決まることになる．

であったか記憶にはないが，確率測度の絶対連続に関す

実は，この学位審査会の数週間位前だったと思うが，る Radon-Nikodym Derivative という概念が話題にな

Kalman Filter に関して最大の貢献をしていたスタンフォード大学の T. Kailath 教授がテキサス大学に来られ，論文審査委員会のメンバーの 1 人から Kailath 教授

り，大変驚かされたことを今でも鮮明に記憶しています．

に学位論文の内容を聞いてもらうように提案がありましていたので，確率システムシンポジウムの参加者からこた．審査会で発表する資料の準備はかなり整っていたののような問題を話題にされたことに大変な驚きを感じたで，小さな部屋で Kailath 教授に私の学位論文の内容をからです．私は関数解析や確率論などの講義で，たまた

約 1 時間かけて説明しました．幸い Kailath 教授からは，

まこの概念を勉強してまだ忘れていなかっただけだった

新しい成果であり，とても興味ある内容であるという評のですから．

価を戴き，これからの本審査会にも自信を持って説明で

1.4.7

この概念は関数解析や測度論などを勉強した数学を専門にする人以外はあまり話題にしない概念であると理解し添田喬先生とテキサス大学からの招聘

添田先生にこの場を借りてお詫びをしたいことがありきると安心したことを覚えています．
その後，学位審査会が開かれ，全く問題なく 2 時間位

ます．おそらく 1973 年の第 5 回のシンポジウムに参加しで修了し，直後に指導教授から合格の知らせを受けまし

たおりだったと思うのですが，先生から 1974 年度からた．とても永い道のりであった．

の徳島大学での非常勤講師の依頼を受け，暫くの考慮の

1.4.6

確率システムシンポジウムと参加者との交流

後お引き受けすることになりました．どんな科目であっ私が始めて確率システムシンポジウムに参加したのはたかなど全く記憶していませんが，東京から徳島まで毎

1972 年（昭和 47 年）の第 4 回であったと記憶していま週出講するのは困難なので，2 週に 1 回徳島に行き 2 回

す．この年の５月に米国テキサス大学で学位を取得しての講義をこなすことで了解を戴いたように思います．し帰国し，その後たまたま電気学会のある委員会で早稲田かし，次の年（1974 年）の始めの頃だったと思うが，テ大学の秋月景雄先生と同席することがあり，日本での学

キサス大学から宇宙工学科の助教授として 1974 年秋学会活動の状況などいろいろ有益な情報をお聴きしました．

期から招聘したいという手紙を戴き，2 年間テキサス大

５年間の米国滞在で日本の学会活動の状況に飢えていた学で務めることになりました．
このテキサス行きには大きな問題がありました．1972

私にとってはすべてが新鮮な情報であった．

年 5 月に米国から帰国して東京電機大学の助教授に着

確かその会話の中であったと思われるが，京都工芸繊– 58 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して

59

ティーまで言い渡されました．このような状況を知った

1.4.9 スイスに Kalman 教授を訪ねる
Kalman 教授は世界的に大変著名な数理科学者の 1 人
です．1985 年には「京都賞」を，さらに 2009 年には米国のオバマ大統領から「National Medal of Science andMedal of Technology」を受賞されています．幸いに，私は 1990 年代にスイス連邦工科大学（ETH）の Kalman
教授を 2 回訪問する機会を得ました．一度目は 1992 年

学科長は，この件に関しては今後 自分がすべて処理すに「環上の線形システムのデカップリング制御」についるから，お前は全く関与しないように任したばかりであり，さらに徳島大学の非常勤講師の件もあり非常に難しい状況にありました．当時の私が所属する電気通信工学科の学科長からは，このような機会は滅多にないことだから，この招聘を受けることを強く進言されました．その後工学部長から呼び出しがあり，大変な叱責を受け，招聘を受けた場合のいくつかのペナルと言い渡され，て講演をさせてもらい，さらに当時 Kalman 教授は経済夏休み直前の教授会で私のテキサス行きが承認されまにシステム理論を応用する問題に関心を持っていた時期した．

であったためか，私のような素人を相手に経済システム

結果的に徳島大学の非常勤講師の件はお断りせざるをに関して黒板を使って 2 時間以上も議論をしました．こ得ない状況になりました．しかし，近づくテキサス行きのときは，筑波大学の大塚尚久助手（現東京電機大学教の準備と私の大学での講義の引き継ぎなどで，かなり忙授）も同行しており，夜は 2 人で Kalman 教授宅に招待しい時期に添田先生には十分な説明とお詫びをさせて戴され，Kalman 先生の親戚の家族，奥様，お嬢さんと一いたという記憶がなく，最近になっても大変気になって

緒に夕食を戴いたことを今も鮮明に記憶しております．

おりました．この場を借りて心からのお詫びを申し上げ，二度目の訪問の時期は定かではないが，システムに関すお許しを戴きたいと思います．

るいろいろな問題を議論して，レストランでの夕食に招1.4.8

待されたこと以外の詳しい内容は記憶にない．Kalman

私の確率情報システム研究への道しるべ

多くの数理科学者が私に確率情報システムへの感心

教授は 2016 年にこの世を去られました．親しくお付きを抱かせてくれた．特に大きな影響を受けた数理科学合いをして戴いたことに感謝すると共に，ご冥福をお祈者として N．Wiener [1], C. E. Shannon [5] と R. E.
Kalman [2]-[4] を挙げることができます．
Wiener からは, Wiener Process (Brownian Process)や Cybernetics などである．特に，Wiener Process の標
本関数は確率 1 で連続であるが確率 1 で微分不可能であるという性質をもつ大変特異な確率過程である．Wiener
Process は独立増分を持つので Stochastic Integral が定りします．

参 考 文 献義でき，したがって確率微分方程式が議論できる．一方，
一般化確率過程の枠組みでは [8],]10]，Wiener Processの微分が白色ガウス過程であり，したがって一般化

確率微分方程式が議論できる．

Shannon は，情報量，相互情報量，通信路符号化定理，
通信容量などを定義・議論して，情報とは何かを数学的に明らかにしてくれました．これは情報論的に非常に大きい意義と成果をもたらしただけでなく，私には数理科学が生んだ美しい 1 つの芸術作品のようにも思われます．

Kalman からは最も大きな影響を受けたと思います．
特に，離散時間線形システムに対する Kalman Filterの成果から受けた影響は計り知れないものがある．さ
らに，これを連続時間線形システムの状態に拡張した

Kalman-Bucy Filter は私の学位論文の課題になった一
般化確率過程を研究する端緒になりました．また，多くの若い研究者にも確率システムの研究を促す大きなインセンティブを与えたと推測します．さらに，Kalman は線形システムの可制御性や可観測性を明らかにし，これらの成果を用いてすべての線形システムは「Kalman の正準型」に分解できることを示した [4]．このように整理・整頓された美しい成果は芸術作品を超えた美しさをもっていると感じます．

– 59 –[1] N. Wiener:
Extrapolation, Interpolation, andSmoothing of Stationary Time Series, M. I. T. Press,
Cambridge, Massachusetts, 1949.
[2] R. E. Kalman: A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Trans. ASME, J. BasicEng., vol.82, pp.35-45, 1960.
[3] R. E. Kalman and R. S. Bucy: New Results in Linear Filtering and Prediction Theory, Trans. ASME,
J. Basic Engr., Ser. D, vol. 83, pp96-107, December
1961.
[4] R. E. Kalman, Mathematical Description of Linear
Dynamical Systems, SIAM Journal on Control, vol.
1, pp.152-192, 1963.
[5] C. E. Shannon and W. Warren: The Mathematical
Theory of Communication, The University of Illinois
Press, Urbana, 1964.
[6] 稲葉 博，平松啓二: パターン認識における特徴評価関数と判別関数，電気通信学会雑誌，第 50 巻第 3 号，453-469
頁，1967 年．
[7] R. S. Bucy and P. D. Joseph: Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance, Interscience Publ., New York, 1968.
[8] H. Inaba: A theory of generalized random processes
and its applications, AMRL vol.1039, Applied Mechanics Research Laboratory, University of Texas atAustin, USA. May 1971. （学位論文）[9] 稲葉博: 留学体験記−アメリカ・テキサス大学に 5 年間過ごして−，電気学会雑誌，第 92 巻第 9 号，909 − 913

システム/制御/情報

60

第 64B 巻第 1B 号(2020)

大学院生だけが出席して口頭発表して貰った場合もあっ

頁，1972 年．

た．1990 年代に入ってからはほぼ毎年 SSS に参加でき[10] H, Inaba and B. D. Tapley: Generalized Random
Processes, A Theory and the White Gaussian Process, SIAM Journal of Control, vol. 13, no. 3, pp.
719-735, 1975.

るようになり，また研究テーマはスペクトル分解，（一般化）Riccati 方程式，部分空間同定法へと移っていった．

1998 年京大会館での第 30 回 SSS 実行委員長を引き受けてから SSS の運営にも力を入れるようになった．この記念シンポジウムでは通常の特別講演の他に，砂原善文

1.5

SSS をふり返って先生の SSS に対するご貢献を記念するための砂原記念

京都大学名誉教授 片山 徹

講演 Sunahara Memorial Lecture を新設することが組

確率シンポジウムの 50 年を回顧する 2018 年 11 月の織委員会で決定された．信号処理分野からの人選を酒井記念講演を基にした学会誌の記事を書き終えたが，それ英昭先生にお願いして，Stoica 教授（Uppsala 大学）とらの準備をしながら感じたこと，思い出したことなどを

位論文をまとめていた．指導教授の椹木義一先生からはGiannakis 教授（Virginia 大学）を招待して，第 1 回の砂原記念講演を実施した．砂原記念講演は 2009 年まで続き，この間常連の Ghosh 教授（Washington 大学）を始めとして，約 10 名の外国からの著名な研究者を招待することができた．この記念講演は SSS の国際色を出す

３年間で論文を提出するように言われており，そのことことにかなりの貢献をしたのではないかと考えているが，少し書いてみたい．
第 1 回 1968 年のシンポジウムの時は大学院博士課程の最後の時期であり，非線形システムの推定に関する学に集中していた．第 1 回 SSS での発表論文は 1969 年の外国からの参加者を増やすということにはあまり繋がら雑誌「制御工学」の特集号に掲載されたものを見れば分なかったのは残念であった．

かるが，それ以外はほとんど思い出すことがない．随分と時間が経ったと実感している．第 2 回 SSS では最短時

中溝高好先生に足利工業大学で開催する 2001 年の第33 回 SSS から，組織委員長を引き継いで欲しいと伝え間制御問題の確率版である到達確率を最大（最小）にす

られて，毎年緊張が続くことになった．以来，頻繁に連る最適 Bang-Bang 制御問題について，また第 3 回は観絡を取り合い色々とご相談した砂原賞委員会幹事の杉本測が確率的に欠損する場合の非線形フィルタリングにつ末雄先生には大変お世話になった．当時気になっていた

いて発表した．

ことは，英語による口頭発表を原則とするが，同時に日

第３回目までは続けて出席したが，その後 1974 年の本語による口頭発表がまだ認められ，発表方法が中途半

春先から 1975 年にかけて 1 年余り UCLA に滞在した

端な状態にあったことでした．これを早く 100% 英語にことなどで，出席できないこともあった．右も左も分かしたいと考えていたが，幸い 2009 年の第 41 回 SSS かららない Los Angeles では青木正直先生にずいぶんお世話

すべてが英語による口頭発表となった．砂原先生が 1985になった．滞在中の 1974 年 7 月アメリカ自動制御学会

年に提唱された件が四半世紀を経てやっと実現して，肩ACC が Texas 大学 Austin 校で開催され，青木先生に連の荷を下すことができた．そして 2011 年の第 43 回 SSS

れられて参加した．赤池弘次先生の正準相関解析によるを最後に組織委員長を退任した．

確率実現に関する講演に初めて出席したのがこの学会で私事になるが，定年後沖縄に移住した友人が計画してあった．後日，大学キャンパスで撮った写真を赤池先生にお送りしたことを覚えている．その後，この確率実現

1964 年 3 月学部卒業の 7 名による 2 泊 3 日の同窓会を2012 年 6 月に沖縄で開催した．真夏の青空の下，首里城理論にはずいぶん苦しめられたが，それが私なりに納得

正殿前で記念撮影をしたことが思い出される．その翌年して理解できるようになったのは部分空間同定法に関すが琉球大学での第 45 回 SSS であった．2 年続けての沖縄る研究が少し進んだ 1990 年代中頃であった．

訪問であり，この 2013 年の SSS は最も記憶に残ってい第 11 回 SSS からは京都を離れてシンポジウムが色々るものの一つです．その時の懇親会の写真は学会誌（第な場所で開催されたが，1980 年の金沢工業大学での SSS

64 巻 1 号, 2020 年）の記事，あるいは SSS ホームペー

開催は，その後上野季夫先生にお願いしてディジタル画

ジの英文記事をご参照下さい．
博士課程での等価線形化法を用いた非線形フィルタリ

像（モナ・リザ）を作成して頂くために再訪したこともングの研究以後は上述のように線形システムの研究にはあり，非常に思い出深いものとなった．

1981 年の IFAC 京都世界大会ではプログラム委員とまっていた．しかし定年後，再び非線形システムの研究して，投稿論文の処理およびプログラム編成など膨大に携わることになった．部分空間同定法の研究が一段落な（PC のない時代の）作業を経験した．IFAC 京都がした 2006 年頃に阿瀬 始氏と非線形システムの同定に関終わってから，徐々に研究テーマをフィルタリングからする共同研究を開始して，第 39 回および第 40 回 SSS

実現理論，システム同定，さらには線形サーボ系の研究

では Wiener システムの同定に関する論文を発表した．

にシフトした．その頃から仕事が忙しくなり，SSS には

また第 15 回システム同定シンポジウム SYSID2009 のためのベンチマーク問題の研究で，等価線形化法のアイ– 60 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して

61

デアを拡張して，定常ガウス過程を入力とする Wiener-ていたことで，確か一人当たり３０分（発表１５分，質Hammerstein システムの線形化に関する解析的結果を得て，2014 年の第 46 回 SSS で発表した．とっくに卒業したつもりであったが， 30 年の空白を経て等価線形

疑応答１５分）だったと思います．講演者にはあらかじ

化法に関連した問題に出会って非常に驚くと共に，最初な質問がなされました．特に継続的研究課題については，に学生の頃手掛けた非線形問題に対する考え方が自分

昨年とどの様な改善や発展が得られたのかなど聴衆と共の中で長く尾を引いていることを感じた．2015 年は北に熱心な議論がなされ，多くの他大学の先生方から発表

京で開催された第 17 回 SYSID に出席したので，ハワ者にとって大変参考になる助言が得られました．当初は

イで開催された第 47 回 SSS は欠席した．余談ではある

シングルセッションでしたが，一人当たりの長い講演ス

が，SYSID2015 北京での日本からの論文はわれわれの 2ケジュールを組むため，その後講演発表件数が増え並列チャンネル Wiener システムの同定に関する論文を含め

２−セッションに編成されました．また京都郊外の山中てわずかに 3 編と非常に寂しい思いをした．SYSID2018の研修所で開催され，泊り込みで議論し合ったこともあ

Stockholm には出席していないが，日本からの論文は 9りました．私は院生時代この SSS によって鍛えられたこ編となっている．いずれにしてもわが国のこの分野の研とを有り難く思っています．SSS で発表される講演内容

究者がもう少し増えることを期待したい．2016 年の第には，それぞれ大学の研究室によって特徴があり原稿を48 回 SSS からは 2 つの非線形要素をもつ非線形システ
ムである Hammerstein-Wiener システムの開ループお見ただけで著者を確かめるまでもなく何処の研究室からよび閉ループ同定について発表してきた．この非線形シ線形フィルタやシステム同定でしたが，京都工芸繊維大

ステムの線形化に関しては解析的な結果が得られないのグループは確率微分方程式記述に基づく難しい推定理論

で，便宜的な初期値を用いた最適化法に頼ることになり，の研究，広島大グループは，独特な確率密度関数の公知

やや不満足な結果となった．

理論による関数展開表示と暗騒音解析へ応用など等，今め指定された質問者（pre-assigned discusser）が割り当
てられ，講演内容について研究内容の核心を突いた的確の発表かが判りました．私の所属する九大グループは非学生時代だけでなく，何歳になってもシンポジウムででもその発表雰囲気が懐かしく想い起こされます．また，は口頭発表と討論が必要であると思う．休憩時間に頂い秋月先生（早稲田大）や中溝先生（防衛大），酒井先生

た短いコメントがヒントになることがあり，また自分で（京都大），魚崎先生（大阪大），上野先生（金沢工大），

発表することで問題点に気づき論文を再考する必要に迫稲葉先生（東京電機大）などなど，指導学生に任せず自られたこともあった．今後とも SSS が発展し，研究者がら演壇に立って発表されていた姿が今でも瞼に残ってい集う交流の場を提供し続けることを祈念して，この思います．
次に第二の特徴は，国内の他の学術講演会に先駆け出話を終わることにします．

て，論文執筆と発表に英語化が取り入れられたことで

1.6

す．これは SSS の創設者である京都工芸繊維大学の砂原SSS と共に過ごした私の研究・教育人生

先生の将来の国際化を見据えた先見力と情熱的推進力に

九州工業大学名誉教授 熊丸耕介よるもので，若い研究者にとっては英文論文作成や発表

確率システムシンポジウム（SSS）は，昨年５０周年の訓練を通して，国際学会への参加発表の予備経験を得記念を迎えられ誠に同慶の至り心よりお祝い申し上げまることが出来ました．更にには著名な外国研究者を招聘す．この度 SSS ５０周年記念に寄せて随想集を編纂されされ，特別講演が編成されていて最新のトピックスに関るに当たり，私への執筆依頼を頂きましたこと有り難くする大変貴重な話題を聞くことが出来ました．これも砂御礼申し上げます．

原先生の豊富な人脈とご尽力の賜物と感謝しています．

今では遠い昔の思い出を，資料も準備せず単に記憶を英文化が導入された当初は，聴衆者が日本人だけの場合辿りながら書き下した回想録になりますので，いささか
正確さに欠ける記述もあるかと思いますがご容赦下さい．
さて私は，大学院生から大学教官に至るまでの凡そ４

はイントロのみ英語で説明し後の発表は日本語で行う例も多かった様ですが，今では発表・質疑応答全てが完全英語化になっていることでしょう．この SSS の英文化

０年間，SSS と共に研究・教育人生を過ごして参りましを契機に，発表論文集が一定の査読を経て Proceedings

た．私の最初の講演参加は，大学院生（博士）の時，恩of the ISCIE International Symposium on Stochastic
Systems Theory and its Applications. として刊行され師である辻節三先生に勧められ SSS の前身である「統計学的制御理論シンポジウム：京都大学楽友会館」でした

ることになり，私の博士課程大学院生の研究指導においが，他の講演発表と違って著名な先生方から厳しい質問て，学位審査のための参考論文として他の権威ある国内を受け大変緊張し，その後の私の研究姿勢に大きな刺激

外の学会誌や Proceedings と同様に利用させていただきが得られたたことを今でも憶えています．

ました．この刊行に当たって，査読や諸々の発行業務に

SSS の特徴は，先ず第一に他の学術講演会と異なり発長年に亘ってご尽力いただいた砂原研究室の関係諸氏各

表者に十分長い発表時間と質疑応答時間が割り当てられ位に改めてお礼申し上げます．

– 61 –

62

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)

た．このように，SSS は将に若手研究者を育成する豊か

SSS の第三の特徴は，懇親会の雰囲気です． 他の学術講演会と違って SSS の懇親会では，スピーチのリレーな土壌であり，今後とも若手研究者の絶えない継承によ指名が行われ，特に各大学の大学院生へマイクが渡されり益々発展していくことでしょう．このような SSS を支ることも多く，彼等にとっては自己 PR の良い機会が与えていく若手研究者への想いに寄せて，私の回想録を締えられ，懇親会が他に見られない新鮮な雰囲気であった

めくくる言葉として，稚拙ながら最後に一句披露させてことが想い起こされます．このような若手への配慮に関いただきます．

連して，SSS の思い出の中で私の記憶に今尚鮮明に残っ「老木の落ち葉育む若木哉（ろうぼくのおちばはぐく
むわかぎかな）」ていることがあります．それは，シンポジウムの休憩時

有難うございました．

間にお茶を飲みながら中溝先生が私達若手２〜３名に言われたことで，「若い内は単に発表するだけではなく，他の人の講演に対して積極的に質問をすることです」，「質

1.7

問をすることで，若い時に他大学の偉い先生方から君達「確率システムシンポジウム」への思い
元大阪大学教授 魚崎勝司の存在を覚えてもらい，自己 PR の場として学会参加を「確率システムシンポジウム (SSS)」が 50 年の節目を利用すること」，「国内の学会の中で１〜２つ位，できれば迎えたこと、まことにめでたく、ご同慶に堪えない。心

国際学会も１つ位，それが開催される時は必ず参加・発からお祝い申し上げたい。第 1 回の開催が 1968 年という表するような自分の大事な学会をつくること」，「そうすと、テーマに共通点があって、このシンポジウムの参加れば，その学会でいずれ常連になり同世代の友人や研究者も多く参加している IFAC の Symposium on System
Identification and Parameter Estimation (SYSID) の第 1 回が 1967 年だったというから、僅かに 1 年の違いしかない。SYSID は 3 年ごとの開催であるのに対し、SSS仲間も得られるし，君達が将来偉くなった時や今後の研究人生に大いに役に立ちますよ」
・・・と．私にとってこのアドバイスは大変印象的で，その後この教えを守って大変役に立ちました．私にとってこのような大事な学会のは毎年の開催で、このように息長く継続しているという一つが SSS であり，また国際学会では 3 年毎に開催される IFAC 主催の国際シンポジウム（SYSID）です．特に，

SYSID では，1979 年ドイツ Darmstadt 開催から 2003
年オランダ Rotterdam 開催まで９回（２７年間）継続しことは、世界的にも珍しいのではなかろうか。その意味でも、SSS を立ち上げられた砂原先生 (京工大)、また砂原先生の急逝後、SSS を支え続けてこられた相良先生て参加発表し，そこで多くの外国人研究者との知己を得，

1997 年には相良先生（IPC 委員長）や砂原先生（NOC委員長）のご尽力で日本（北九州市）での SYSID 開催(九州大)、秋月先生 (早稲田大)、中溝先生 (防衛大)、片山先生 (京都大)、杉本先生 (立命館大) ほかの先生方に感謝するものである。(なお、ちなみに SSS の予稿集の表
紙には開催地が現在から遡って過去まで順に折り返されが実現され，私もそのお手伝いができました．また，私て記されているが、初期の SYSYFD の CFP も同じようのスウェーデン Uppsala 大学留学が叶ったのも SYSID

な形で開催地が順に記されていた。)

で知り合った Torsten Soderstrom 教授のお世話による

私が 2018 年春に、まがりなりにも 50 年余の有意義な大ものです．教授とはその後も共同研究者としてお付き合

学教員生活を終えることができたのは 1968 年 11 月に京都

いし，私のその後の研究に深く関る大切な友人となりま大学楽友会館で開催された「第 1 回統計学的制御理論シンした．将に中溝先生のアドバイスのお陰と心から感謝しポジウム」に参加して以来、オーストラリア・Adelaide 大ております．

学での 2 年間のポスドク生活の期間を除いて、2013 年 11

SSS は，制御関連学会の中ではある意味で「確率シス
テム」という限定された分野のシンポジウムであるため，参加者は特定の常連メンバーで占められてはいましたが，そこで育った若手研究者が各大学で教授となって大学院生を育成し，その指導を受けた若手研究者が後を引き継

月の沖縄での “45th ISCIE International Symposiumon Stochastic System Theory and Its Applications”
まで、毎年参加し、(晩年は聴講だけの場合もあったが)研究発表を行ってきたこの SSS で育まれた研究に対する姿勢と取り組み方、そしてシンポジウムで知己を得た多ぎ，硬直化することなく絶えず新しく研究者が入れ替わ

くの研究仲間のおかげであり、SSS には深い恩義を感じり発展しながら今日の５０周年記念を迎えたことは本当ている。後年、陳翰馥 (Han-fu Chen) 教授など海外研究に素晴らしいことです．このような毎年開催のシンポジ者を招聘したときには、佐野先生 (慶應大)、片山先生、

ウムの活性化が維持されてきたのは，杉本先生を始めと熊丸先生 (九工大)、中村先生 (佐賀大)、杉坂先生 (大分して長年 SSS の企画運営に携わってこられた方々のご尽力と共に，以上紹介した SSS の特徴が大きな要因となっていると思われます．SSS の開催地は大阪・京都を主と大)、田中先生 (山口大)、大住先生 (京工大) など SSS で培った研究仲間のネットワークを最大限に活かさせてい
ただいたこともありがたかった。

しながら，およそ隔年毎に地方でも開催されてきました

さて、「第 1 回統計学的制御理論シンポジウム」は、前が，その世話は，創設期の先生方の教えを受けた弟子達

年、修士課程を終え、大阪大学の助手になった私にとっがそれぞれ教授となって赴任した大学で行われてきまし– 62 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して63て、まだ学会発表の経験が少ない中での発表であった。

数が減り、確率システムに関する研究が低迷した時期も近衛通の楽友会館におっかなびっくりでおもむいた私は、あったが、SSS は経済分野などにもウイングを広げ、そ知人も全くいない不安の中で、動的確率近似法関連の発の危機を乗り切った。今や情報科学やデータサイエンス表を行った。当時はシングルトラックであったため、参など、確率や統計学に基づく思考が極めて重視される時

加者のほとんどが研究発表を聴講して討論に加わるとい代となっている。シングルトラック、指定討論者、合宿

うこととなり、しかも各発表は討論を含めて 30 分が割

形式、国際化など当時としては斬新な試みを続けながらり当てられており、十分な (あるいは十分すぎる) 討論が50 回の節目を迎えた SSS ではあるが、対象とする研究行われるよう配慮されていたが、私自身の発表に対する分野も含め、今後どのように展開していくのか、興味深

討論がどのようなものであったかは、今や全く記憶にないところである。

い。一方で、シングルトラックゆえに高名の先生の難し
い研究発表も、とにかく聴講することで刺激を受けるこ

1.8とができたのは幸いだった。当初隔年開催の計画だった

SSS と確率システムの周辺を歩いて半世紀
京都工芸繊維大学名誉教授

ためか、1 年おいて 1970 年に開催された第 2 回シンポジ

1.8.1

ウムでは、さらにフロアからの討論を誘発するために各

大住 晃

確率システムと SSS との出会い

確率システムシンポジュウム第 50 回と 50 周年を迎え発表にあらかじめ討論者が指定されていた。私の発表にたことに喜びを感じている．参加回数を数えてみると，

対しては九州大の辻先生が討論者として指定されていた

初回（1968 年，昭和 43 年）以後 39 回に及ぶ．したがっが、シンポジウムの数日前に質問内容についてご丁寧なて参加率は 39/50 = 78%，つまり約 8 割参加したことに手紙をいただき、恐縮したものである。いわゆる事前質なる．

問通知であり、発表内容を深めるのに役立った。この経

初回のシンポジュウムに参加したのは，筆者がまだ大験から、第 3 回のシンポジウムの際、東北大の阿部先生、

学院修士課程の 2 回生のときであった．大学院に進学し竹田先生らの発表の指定討論者になっていた私も事前にたのはよいが，学部 4 回生のときの指導教授が年半ばで質問をお送りしたことを覚えている。

他大学へ移動されたので，院 1 回生のときには指導教授

当時、予稿集は手書きであり、それぞれの個性あふれはなし（今では考えられない．形ばかりの指導教授はおた文字と文章表現は興味深いものがあった。その中でもられたが自動制御とは無縁）．そこで，J. T. Tou の『現太田先生 (広島大) のグループの芸術的な活字と見まがう

代制御理論』とポントリャーギンの『最適過程の数学的ような予稿は印象的であった。第 5 回シンポジウムでは理論』を関数解析の知識もないままに読んでいた．1 月

熊丸先生 (九州大) の予稿が日本語活字を用いて書かれて頃になって，京都大学から，何やら確率とかにうるさいいるが、数式はやはり手書きであった。当時日本語ワー

自動制御の先生が来るらしい，とのうわさが耳に入ってプロはまだ存在していなかったのではないかと思うから、きた．これはえらいことになる．筆者は確率なんてそれ

和文タイプライターを使われたのだろうか。シンポジウ

まで興味もなかったし，まして勉強もしていなかったか

ムが国際化を意図して、英語に移行するとともに、予稿

ら，大急ぎで研究室にあった Papoulis の “Probability,

集もタイピングした原稿や図表を A3 のマットに貼り付

Random Variables, and Stochastic Precesses” を読み始めた．そして 2 回生になった 4 月に砂原善文先生がけていくようになった。しかしタイピングがなかなかう
まくいかず、何回も打ち直すことが必要だった。これを着任されて，いよいよ同期の山下晃司君と一緒にご対救ってくれたのが、当時、静岡大におられた渡辺先生からシンポジウム中にいただいた英文 TeX のソフトだった。これによって数式作成も含め、予稿の作成がずいぶ

面ということになった．その第一声が「君ら，これから（卒業したら）どうするんや？」だった．二人声を揃えて「はぁ?，就職します」「なんや，もう勉強せえへんのか」．

ん効率的に行えるようになった。それでも原稿、図表をそれから 2，3 日経ってまた呼び出され，英語の論文

マットに貼って、郵送する (もしくは締切日ぎりぎりに事務局へもって行く) のは変わらなかったが ···。その後、（米国の博士論文）の中のひとつの数式を見せられ，「こインターネットの普及とともに、pdf の原稿をインターの式，わかるか？」と尋ねられた．筆者は急ごしらえで前出の本を読んでいたので，「これは… ベイズの式です

ネットで直接 upload するようになり、締め切り直前まか？」「よし，それならこの論文を読んでみよ」．これ

で推敲が可能となった。一方で講演発表の形式もスライが，筆者が確率システムの研究に触れた最初だった．幸ドから OHP に変わり、パワーポイントが用いられるな

運にも砂原先生の研究室の助手として大学に残ることがどの進展がみられた。PC やインターネットの発展に伴でき，それから半世紀（以上）も確率システムの研究にい、論文作成と発表手段のアナログからデジタルへの大携わることになった．

きな転換がなされたのが、この 50 年ということになる

砂原先生のご指導のお蔭でその年 (1968) の 9 月の第のだろう。

7 回 SICE 学術講演会，10 月の第 11 回自動制御連合講
演会と 11 月に開催された（SSS の前身である）統計学

高校の学習指導要領の改訂などによって、確率は難解であるという印象から確率システムに取り組む学生の– 63 –

システム/制御/情報64

第 64B 巻第 1B 号(2020)

的制御理論シンポジュウムで論文発表を行うことができがある．“stochastic” は自然の根本であり，アインシュ

た．このシンポジュウムは当学会（当時は日本自動制御

タインが確率的な考えは認めないといってもそれは今日協会, JAACE）主催の講演会で，これが第１回目であっでは通用しない．量子力学のシュレーディンガーはた．京都大学の椹木義一先生をトップに砂原先生が実質

Physical laws rest on atomic statistics and are
therefore only approximate.

の運営に当られ，当初 2 年に 1 度開催することになっていたので，第 2 回は１年おいて 1970 年に行われた．しといっている．

かし，その重要性と人気のためそれ以後毎年開催される

1.8.2

ことになって現在に至っている．初回から第 10 回まで
は京都で開催され，筆者も実施にあたっては何かと下働の間携わった研究は以下のとおりである（カッコは研究きをさせてもらった．講演会を活発にするために，論文期間）．

１件に１人の討論者を割り当て，それには前もって討論者を決め，論文コピーを同封して引き受けていただけるかどうかを尋ねる必要がある．当時は今日のようにインターネットのメールに論文を添付してお願いできるような状況にはなく，すべて郵送による手作業であったから，その手間ひまはいまでは考えられない．

1983 年に文部省の在外研究員として米国に留学する機会を得た．その間，米国の教授からこのシンポジュウ
ムを “Sunahara Symposium” といわれたので驚いた．
このシンポジュウムはれっきとした学会開催のシンポジュウムであるにもかかわらず個人の名称でいわれているのは，これははなはだまずいと思った．またシンポジュウムでは前刷り

筆者のストキャスティック遍歴

筆者は確率システムに身をおいて半世紀が経った．そと称して論文は（査読のないままに）講演時に手元にあるというスタイルであった．これは講演申込み時におけるアブストラクトの簡単な査読しかなく，学術的記録として残すにはどうかと思っていた．筆者は 1985 年ストックホルムで開催された MTNS

(Mathematical Theory and Network Systems) に参加したことがあり，そこでその運営方法を知った．これはいずれの学会にも所属せず，各国の研究者を中心に自主的に開催されている．この MTNS の方式，すなわち，開催実行者を全国の大学の先生方に順次バトンタッチし，また講演発表はアブストラクトのみで講演申込みを受け付け，発表後改めて論文を提出してもらって査読を経てA. 状態推定と制御 (1969-98)
B. 分布定数システムの推定・パラメータ同定・制御(1973-2001)
C. 確率システムのモデリング (1978-82)
D. 不規則雑音に埋もれた信号の検出・未知パラメータ推定 (1979- )E. 確率システムの安定性 (1981-82)
F. 移動体の最適探索 (1984-91)
G. 確率場の推定 (1986-93)
H. 柔軟構造物のアクティブ制御 (1989-2007 )I. フィルタリングと確率力学 (1995-97)
J. 非線形システムの制御 (1995-97)
K. 柔軟構造物のパラメータの同定 (1996-2002)
L. 部分空間システム同定 (1997-2007)
M. 不規則移動体のトラッキング (2000-07)
N. 確率システムの未知パラメータ同定 (2000-03)
O. 予測制御 (2001-03)
P. 不規則物理データのモデリング (2004-05)
Q. 環境問題への応用 (2005-07)
R. 擬似観測量の同定問題への応用（逆問題解決への新アプローチ） (2006- )この中でもとくに印象に残るのを 2, 3 述べておきたい．

Proceedings として出版するのがよいと考え，砂原先生(i) まず，L. の部分空間システム同定の研究についてに意見を具申した．

である．筆者は研究当初からシステムモデルは離散時間

それが聞き入れられ，これがベースとなって現在のよモデルではなく，伊藤型確率微分方程式でモデル化されうなスタイルに変わった．シンポジュウムの実行担当は

る連続時間モデルである．それは，筆者のような凡人に

その後，中溝高好 (防衛大), 秋月影雄 (早稲田大), 相良節

は離散時間モデルでは（数式の）先の見通しが立たない

夫 (九州大) 等の先生方を経て現在に至っている．これすからである．その点連続型は微分方程式であるから数学

べて MTNS の方式である．このことは参加者の間では的には見通しがよい．部分空間システム同定では，観測あまり知られていないので，ここで記録として残しておデータからなるマトリクスを用いて代数的な入出力表現

きたい．

式を得なければならない．しかし連続時間モデルでは観砂原研究室には，その後優秀な後輩諸君，杉本末雄

測データの（時間）微分値が必要であることが，関連論(立命館大), 狩野弘之 (東京電機大), 亀島鉱二 (大阪工業大), 相原伸一 (東京理科大), 太田垣博一 (岡山理科大),
森田洋二 (京都学園大), 小島史男 (神戸大), 福田得夫 (追手門学院大), 石川昌明 (山口大) らが常連として SSS を

文を読んでいてわかった．システムモデルとして白色雑音モデルを用いるとそれの時間微分値が必要となる．白色雑音の（何階もの）時間微分値とは一体何なのか？
それよりもそれをどのようにして求めればよいのか？と支えてくれた．

いう本質的な疑問に行きあたった．そこでひらめいたの

継続は力なり —まさにその通り．続けることに意味– 64 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して65の考えであった．得られた観測データ（多記念」特集号』(Vol. 64, No. 1, 2020) の解説記事で述

分微分可能ではないであろう）にテスト関数をかけてそべたように，それが確率システム制御理論を用いること

れを（何回も）時間微分すれば，その微分は C ∞ 級ので導出できることがつい最近わかった．まったく自然法

テスト関数に移るだけだ．観測データに少し工作するだ

則は神（自然）によって支配されている，という感を強けで入出力データ方程式が得られる．このアイデアで当くした．ぜひ筆者の解説記事を読んでその感を共有して

時博士課程にいた亀山建太郎君（現福井高専准教授）にいただきたく思う．

が超関数伝え，その方針で研究を進めシミュレーションを行った

1.8.3

ところ非常にうまく行った．論文は Automatica に発表

長年にわたる SSS を通して，他大学の先生方からも知し，さらに本学会より 2001 年度学会論文賞と砂原賞を己を得，また多くの学恩を受けた．中にはすでに鬼籍に受賞した．

入られた先生もおられるが，とくに学恩に感謝!

(ii) つぎに思い出すのは R. の擬似観測量を用いたシス

砂原善文 † (京都工芸繊維大), 椹木義一 † (京都大)，添

テムの同定である．システムモデルに未知パラメータが田喬 (徳島大), 中溝高好 (防衛大), 秋月影雄 (早稲田大),含まれていれば，それを一つの状態変数として，それが稲葉博 (東京電機大), 小野敏郎 † (大阪府立大), 西村敏

定数であれば θ̇(t) = 0 として，拡大システムを組んでカ充 † (宇宙科学研究所), 太田光雄 † (広島大), 片山徹 (京ルマンフィルタを用いればよい，とされていたがそれで都大), 熊丸耕介 (九州工業大)は決して良い結果は得られないことはよく知られていた．

の諸先生方にはここに記してお礼を申し上げたい．

ある現実的な問題で，未知パラメータをどのようにす

以上，SSS 50 回記念にあたり筆者の 確率システムのれば同定（推定）できるのかと悩んでいた院生が数式を周辺

いじくりまわして考えているのを，ある日研究室でみた．

室には有難いことに優秀な学生諸君が集まり，知恵を出「どうした？」と尋ね，その話を聴いていたが，「それなして筆者の研究を助け，供に歩いてくれた．さて，トボ

らこうすれば」とその学生の考えを引き延ばして考えつトボながらこれからも歩けるだけ歩いてみようと思っていたのが，擬似観測量のアイデアであった．

いる．

をヨチヨチ歩き時代からの話を述べた．途中研究

これは，システムモデル中の未知パラメータ θ について書き直すと，θ = {∗∗∗} という形になる．この右辺を

1.9

SSS の思い出取得された観測データで置き換え（近似す）れば，それ大阪府立大学名誉教授 大松 繁を改めて {観測データ} = θ という形にできる．そこでカ

SSS 開催 50 回記念の随想を書く機会を与えて頂き，

ルマンフィルタを用いるために，人為的にこの右辺に観有難うございました．私の博士論文および若かりし頃を測雑音としてコンピュータで発生した雑音を加え，左辺

振り返ることができ，大変嬉しく思っております．私はを擬似的に観測データとみれば，これはあたかも未知パ

愛媛大学工学部電気工学科を 1969 年 3 月に卒業し，引ラメータ θ を観測しているかのような観測方程式になき続き大阪府立大学大学院工学研究科修士課程に入学る．したがって，これにカルマンフィルタを用いれば θしました．大学院の「確率過程特論」の講義に伊藤清先が同定できることになる．実際にシミュレーションを行生の Lectures on Stochastic Processes, Tata Institute

うとこれがうまく行ったのである．この研究も当学会のof Fundamental Research, Bombay, 1960 が教材として用いられました．いきなり，Borel Algebra が出てきて measurable space および probability space が出てきて，ぼんやりとした間に 15 回の講義が終了しました．内

論文賞と砂原賞を受賞した (2009)．この同定法は拙著
『カルマンフィルタとシステムの同定—動的逆問題へのアプローチ』（森北出版，2016）においても１章を割いて紹介した．

容は未消化だったのですが，測度論の概念をマスターす(iii) もう一つ印象に残るのは，I. の延長線上の研究でることが必須に思えました．そこで，数理工学科に京都ある．学生時代に物理学で解析力学のハミルトン原理を

大学理学部溝畑研から着任されて間もない藤江徳雄助手

習った．これはラグランジアンの時間積分（作用と呼ばれる）が最小になるように自然の法則は成り立っている，（故）にお願いして，Halmos（著）の measure theoryということを述べている．このことが若い頃に強く印象(文献 [1]) を毎週 1 回の割合で 2 年がかりのゼミをして頂きました．その結果，確率過程の本が難なく読むことに残っていた．

ができるようになり，藤江徳雄先生には感謝の気持ちであるとき量子力学で基礎となるシュレーディンガー方
程式を確率過程から導出しようとする論文に出会った．

Nelson 力学である．それにはハミルトン・ヤコビ方程一杯です．
確率シンポジウム（当時は統計学的制御理論シンポジ
ウムで有った）には第 2 回 (昭和 45 年) から 13 年間欠か式が出てくる．これは制御理論に関係があるはずだとのさず出席し，論文発表を行ってきました．この間の思い

思いを強くした．しかし，そんな簡単に制御理論と結び出をいくつか述べさせて頂きます．まず，連続時間確率

つけることは不可能で諦め，それから随分と月日が過ぎ過程では Ito 型と Stratonovich 型の 2 つのモデル化が提去った．本学会誌『「確率システムシンポジュウム 50 回

– 65 –

システム/制御/情報

66

第 64B 巻

案されており，状態依存型ノイズを含む確率過程の場合

第 1B 号(2020)

Interscience Publication, John Wiley & Sons, 1978.

には，両者の差異が問題となり，その差異を定量的に評価したのが，第 2 回シンポジウムで私が発表した内容です．当時，砂原善文教授は雲の上の先生で質問するのが怖い存在でしたが，評価関数の最小値を求める最適制御

第 5 回統計学的制御理論シンポジウムの想い出の場合には，2 つのモデルのずれを考慮すべきではない

九州大学名誉教授 和田清

1.10

でしょうかと砂原先生に質問致しました．あまり納得し第５回統計学的制御理論シンポジウムに参加したのはて頂けなかったようでしたが，翌年に私が前述の 2 つの博士２年の時でした．相良節夫先生（九州大学工学部）

モデル化誤差による制御結果の差異を発表しました．その研究室に所属していましたが，先生が辻節三先生の研の後，エレべータ内で砂原先生とお会いしたとき，発表

究室の出身であったこともあり，ゼミに参加するなど辻が上手になりましたなと褒めて頂き，嬉しかったことが研究室との交流は深いものがありました．そのようなこ

記憶に残っています．また，第 2 回のシンポジウムのととから，私がシンポジウムに参加することとなったとき，

きに，大阪大学基礎工学部坂和愛幸教授が提案された関両研究室の先輩方からとても厳しく怖いシンポジウムで数解析による分布系の最適制御手法を確率系に拡張し，確率分布定数系の推定問題を第 3 回以降のシンポジウム

あり，参加するのはまだ早いのではないかと忠告を頂いたものです．しかし，砂原善文先生 (京都工芸繊維大学)

で発表致しました．

から相良先生に強い参加のお誘いがあり，ホテルの手配

この結果を纏めて，Lecture Notes in Control andまでしてくださったとのことでしたので，学生の私には

Information Sciences No. ll, Y. Sawaragi, T. Soeda,
and S. Omatu, Springer-Verlag から出版致しました (文献 [2])．その後，椹木義一先生のお取り計らいで，伊藤相良先生の参加要請を断る選択肢はなかったことはお分かり頂けるのではと思います．
私が修士課程に入った頃，両研究室の先輩方がすでに清先生の還暦のお祝いのための国際シンポジウムで論文

非線形 KalmanFilter を精力的に研究され成果を出して発表するように添田喬教授に依頼が有りました．添田先おられ，今さら入り込む余地はないような状況でしたの

生から私が発表するようにと依頼されました．工学分野

で，研究テーマをどうするかで悩んでいて，補助変数法

では砂原善文教授と添田喬教授の 2 人，国内の確率過程の考え方に基づくシステム同定法の開発にテーマを定めの研究者 138 人，海外からの研究者 13 名，合計 151 人

たのは修士１年の後半でした．補助変数法は元々計量経の参加者でした (文献 [3])．周りを見渡せば，片山徹先

済学の分野で開発されたものでしたので，制御工学より

生はじめ著名人がずらりと出席されており，穴が有ればも計量経済学の文献を多く読むこととなり，シンポジウ

入りたい気持ちでした．案の定，発表は無茶苦茶で自分ムでの講演題目も，「線形離散時間システム同定の I.V. 法が何を話しているのか分からないパニック状態になりまからみた考察」で，その内容は計量経済学の影響を強くした．見るに見かねたのだと思いますが，砂原善文教授受けたものでした．なお，参加した頃は，何とか学位論に Holiday-inn へ昼食に誘われ，牛肉をご馳走して頂き文をまとめる種のようなものが見つかったかなと思われました．拙い発表に対して，君は若いのだからこれからた時期でもありました．ところで，講演題目では「補助修行すれば良いと慰めて頂いたことが今でも脳裏に焼き変数法」ではなく「I.V. 法」としていますが，これはこ付いています．

の頃はまだ補助変数法と言う用語は定着しておらず，計以上のような失敗談もありましたが，引き続き 13 年

量経済学での用語「操作変数法」を用いて制御の学会で間確率システムシンポジウムで論文発表を行い，数多く批判を受けたことを反映した，ささやかな抵抗です．

の研究仲間ができました．このシンポジウムが存在しな

古い資料を見ると，司会は鈴木胖先生（大阪大学）でかったなら，研究仲間もできず，寂しく研究を継続してあらかじめ指定された討論者は竹田宏先生（東北大学）

いたのではないかと思います．このような素晴らしいシとなっています．鈴木先生だったのか竹田先生だったのか

ンポジウムを長年企画され，発展させて頂いた立命館大

それとも他の先生からなのか覚えていないのですが，「そ

学杉本末雄教授や砂原研究室の皆様および SSS に関連しのような大きな行列を使って実用的な意味があるの」とた皆様にお礼を申し上げます．

か「このような問題も状態依存の非線形 Kalman Filter
問題に帰着するのでは」とか言われたような記憶があり

参 考 文 献ます．先輩の忠告もあり覚悟を持って参加していたため[1] Paul R. Halmos:
Measure Theory , SpringerVerlag, 1974.
[2] Y. Sawaragi, T. Soeda, and S. Omatu: Modeling,
Estimation, and Their Applications for Distributed
Parameter Systems, Springer-Verlag, Berlin, 1976.
[3] K, Ito: Stochastic Diﬀerential Equation , A Wiley-

か，それほど怖いとほ感じませんでした．とは言え，２度目の参加が 10 年後の第 15 回確率システムシポジウムだったことを考えると，心の奥底では自分にまだ早いと思ったのかも知れません．それでも，シンポジウムには参加して良かったと言う記憶が強く残っているのは，お– 66 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して67

討論者赤池弘次先生（統計数理研究所）とのやりとりを確率システムシンポジウム 50 回記念に寄せて聞けたこと，また，赤池先生が「正準相関と時系列のマ大阪大学 西口憲一

ルコフ表現」を発表する場に立ち会えたことなどがある

初めて確率システムシンポジウムに参加したのは，と思います．なお，シンポジウムの期間中に，相良先生
が赤池先生と懇意だったことから，計量経済学の佐和隆

1983 年の 10 月に京都府立ゼミナールハウスで 3 日間にわたって開催された第 15 回でした．確率システムシンポ

光先生（京都大学経済研究所）の茶話会に参加でき，上ジウムのことを知ったのは学会誌「システムと制御」の記のマルコフ表現のより詳しい発表を聞くことができた

案内ページです．当時，私は三菱電機の技術者として忙ことも良い印象につながっているのではと思います．

しい製造現場でシステム/ソフト設計に携わっていたの

そらく，たとえば有本卓先生 (大阪大学) の発表に対する

1.12

平成の初め頃だったと思いますが，とある方から，正ですが，若手の技術者には希望すれば社外の研修に参加

準相関を使った多変数系同定法が提案されそのソフトができるというルールがあり，確率システムシンポジウム

販売されているとの話しがあり，この同定法について意までは会社として想定外だったのでしょうが，そのルー

見を求められました．このとき，ふっとあのシンポジウ

ルにしたがって，許可をもらって聴講に参加いたしましムの記憶が蘇り，赤池先生の研究と関連があるのではとた．初めて参加する泊まりがけのシンポジウムで知って回答したように覚えています．ただ，そのときは，あのいる人は誰もいないという状況でしたので相当緊張してときの話しが 20 年近く経った今頃という印象で，その後出かけたのですが，会場の受け付けには，当時大阪大学の部分空間同定法の研究へと進展して行くとは思いませにおられた杉本末雄先生が座っておられて友好的に迎えんでした．前述のように２度目の参加となった第 15 回ていただきほっといたしました．ゼミナールハウスの宿

確率システムシポジウム以降は，教育担当副研究院長と泊に割り当てられた同室の人達には当時大分大学におらなり会議に追われるようになるまで，ほぼ毎年参加しまれた井上勝裕先生を含め若手の人達が何人かおられて，したが，研究テーマを変更しようかなと揺らぐほどの刺

皆確率システムの研究に熱意をもっておられて自由なお激を受けた第５回統計学的制御理論シンポジウムが，一話をすることができました．すぐに仲良くなれて，日程

番の想い出があるシンポジウムなのです．

中に聴講をさぼって皆で付近のサイクリングに出かけたりしたことも覚えています．聴講した講演は皆面白いと

1.11

思いましたし，中溝高好先生がいつも会場におられて各

SSS の思い出講演に必ず質問やコメントをされていましたので，それ京都大学名誉教授 酒井英昭にまた興味をかきたてられました．これに刺激を受けて筆者が SSS に最初に参加したのは第 7 回（昭和 50 年

自分でも何か確率システムに関する研究を行って発表し11 月、楽友会館）でした．時系列解析，統計的信号処理

ようかという意欲が湧きました．

をテーマとしていましたので当時は最も身近なシンポジ

会社には研究部門に土屋和雄さん（あと大阪大学，京ウムでした．京都府立ゼミナールハウスで開催された第都大学に移られる）がおられたので，毎週のように会社

15 回のとき，ラフな服装で参加し，懇親会の際，砂原の定時後に会って，研究の指導をしていただきました．

先生からシンポジウムは筆者のようなリラックスした格

あと私も研究部門へ移ることになり，確率システムシン

好で行われるのが良いといった旨のご発言があったこと

ポジウムには 1985 年の第 17 回以降，できるだけ毎年参を記憶しております．京大会館での第 30 回記念シンポ

加して研究発表するようにいたしました．企業の技術者

ジウムのときは実行委員長の片山先生の下で Sunaharaとしての研究でしたので，テーマは，すばる望遠鏡の鏡

Memorial Lecturer の G. Giannakis 教授と P. Stoica 教授の応対に当たりました．Stoica 教授の講演には椹木先

材配置，レーダパルス列の検出，微小画像目標の検出，月面軟着陸のための障害物回避，スターセンサでの星像

生もお越しになられ，懇親会の際にご感想をお聞きしたような気はするのですが，残念ながら覚えておりません．

Giannakis 教授は乗り継ぎのトラブルで到着が遅れ，講検出，など毎回のように異なる題材になってしまいましたが，確率システムとしてモデル化して数理的なアプ
ローチで取り組むというやり方では一貫していたかと思

演時刻に間に合うかハラハラいたしましたが，ろくに睡います．第 30 回には，当時取り組んでいた大偏差理論と眠もとらずに無事講演を終えました．聞けばギリシャの

非線形フィルタリングに関して特別講演をさせていただ

プロサッカーの選手だったとのことで体力抜群というこいたのは良い励みになりました．

とでしょう．最後に，京大会館での第 40 回記念シンポジ

2007 年には大阪大学へ移りましたが，以後ベンチャー

ウムでは実行委員長を務め，SSS への責任を果たした思

企業との共同研究で光ファイバーの分布センシングへのいがしました．

数理的研究を行っています．これは光ファイバー中のブ
リルアン散乱光やレイリー散乱光を利用するもので，確率過程としてモデル化できる興味深い対象です．第 39– 67 –

68

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)

回以降の確率システムシンポジウムでは光ファイバーセ

くなりになられ，われわれの世代が研究室を運営する平ンシングに関するテーマで研究発表を行うことができま

成中頃になると，京都での開催はむずかしくなり，それした．

まで常連の先生方の地元での開催が主流となっていった．

振り返ってみると，研究活動のきっかけを与えていた

砂原研究室出身の先輩後輩の先生方により，諏訪，山口，

だいたのは確率システムシンポジウムですし，その後の岡山などで開催され，発表のために日本各地を訪問する

研究内容は確率システムに関するものになり，発表の場ことができた．このころになると，自ら発表する機会もも与えていただいたことを感謝しております．確率シス

だんだん遠のき，また発表風景もずいぶんおとなしくテムシンポジウムは 50 回の節目を過ぎて，今後も引きなってきたと感じた．このころからは，従来の確率過程

続き発展していかれることを望んでやみません．

論にもとづくシステム制御ばかりではなく，ニューラル
ネット・カオス・ファジイなどの複雑系，また２０００

1.13

確率システムシンポジウム ー３つの時代を超えて ー

年以降は統計学の先生方も参入され，会議の中身もずい

神戸大学名誉教授 小島史男

も，本シンポジウムは海外開催も含めて毎年開催され，ぶん変わって来たように感じた．定年間際になってから
システム制御情報学会と関わる国際会議としては異例の手元の記録によると，わたくしが初めてこのシンポジ

長期間にわたるシンポジウムとなったことは，当該学術ウムで発表したのは昭和 52 年 11 月 7 日から 9 日に開分野がいまなお発展し続けていることに他ならないと考催された第９回確率システムシンポジウムである．演題

えている．これまで長期間にわたって，本シンポジウム

は「不規則変動境界を有する確率分布定数システムの最を支え続けられた多くの先生方に敬意を表したい．特に適制御」となっている．６ページにわたる当時の予稿集

運営の礎を築かれた片山徹先生，Proceeding の発行やは手書き原稿を印刷したものであり，昭和・平成・令和

事務雑務全般を引き受けられた杉本末雄先生には，当方を経た今日から見ると，隔世の感がある．いかなる発表をして，どんな質問をどなたから受けたかについては，が学会運営をさせていただいた時に一方ならぬお世話になった．この場をお借りして深甚の謝意を表したい．本

もはや記憶の彼方にあるが，この会議に３つの時代を通シンポジウムの前身，統計学的制御理論シンポジウムをじて係ることになったことについては，いささか感慨深

はじめられた故椹木義一先生は，著書の中で「定常からいものがある．このシンポジウムに欠かさず参加されて非定常の時代」，確率システムシンポジウムに発展，国きた諸先生方に比べると，当方はあまりまじめな参加者

際化を進められた故砂原善文先生は「線形から非線形のではなかった．京都工芸繊維大学の砂原研究室に在籍し時代」とおっしゃったが，さていまの確率システムシンていた時代，アメリカから帰国して大阪工業大学，神戸大学での在職時，システム制御情報学会の運営に関わっ

ポジウムはどこからどこへ行こうとしているのか，皆さんのお考えをお聞きしたいこの頃である．

た神戸大学での後半から定年退職までの時代，この３つの時代のなかで，確率シンポジウムでの研究トレンドは生として参加させていただいたシンポジウム初期の時代

確率システムシンポジウム〜３つの時代を超えて〜

は，諸先生方が秋の京都での会議を特に楽しみとされて山口大学 石川昌明

いたこともあり，近衛通りにあった旧楽友会館や，高野確率シンポジウム (以下 SSS と表記) に初めて参加し橋近くのホリデイイン，松ケ崎会館など京都で開催されたのは今から 40 年以上前の大学院生時代であった．当ることが多かった．当時のシンポジウムの討議の激しさ

時は指名討論者制であり，難解な論文の討論者に割り当はいまの比ではなかった．まだインターネットのなかってられたときには内容を理解するのに非常に苦労した記

た時代，講演１件につき３０分が割り当てられ，その半憶がある．その後，SSS は国際会議になり，査読付プロ

分が討論時間，しかも２名の質問者が事前に登録されてシーディングの発刊などを経て現在のような姿に発展しいた．発表するほうも，質問するほうも口角泡を飛ばすていった．当初，SSS は確率システムに関する専門家の風情であった．現在は名誉教授になられているある高名学会であり，学会参加者の研究分野は比較的限られていな先生は，近衛通りを曲がって楽友会館が見えると胃がたため，かなり専門的かつ高度な質問が多かった．しか痛くなったと何かの記事で拝見したことがある．まだ学

し，確率システム理論の応用分野も格段に広くなった現者の入り口にも達していない時代，砂原先生のおられる

在は講演を聞いてもなかなか内容を理解しづらい面が生前で，おざなりの質問をするわけにいかず，事前に配布

じてきた気がする．

1.14

変貌し，発展してきたといえる．当方が大学院生・研究された別刷りを何回も読んで質問に臨んでいた．後年教SSS に参加し始めた頃，私は分布系における状態推定

科書の執筆を手掛けた時，ある年上の共著者の先生からや最適制御問題などを中心に論文発表を行っていた．状「あのときはいじめられました．
」といわれて，こちらは態推定などでは外乱は邪魔者という立場であるが，研究覚えておらず冷や汗がでたものである．砂原先生もお亡の進展と共に外乱の有用性に着目することになった．具

– 68 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して69

り感謝しております．

体的には適度な強度の外乱は自己組織化・秩序化 (相転移などにおいて) の促進作用，システムの安定化作用や信号の増幅作用 (確率共鳴) を有することを知った．特に，

1.16

私の確率システムシンポジウムとの関わり

確率分岐解析において成果を挙げられたのは大きな収穫

甲南大学 田中雅博

であり，SSS のお蔭である．さらに，現在，感染症の数

本シンポジウムに何度参加したか覚えていませんが，理解析に外乱の有用性を応用し，研究を続けている．

1990 年前後から様子を見るために参加し，1998 年か

私はオーバードクターで 6 年間研究生であった．そのら発表してきたようで，論文発表を伴って参加したの間，塾講師などのアルバイトで学費，生活費を捻出するという経済的，精神的，肉体的に厳しい生活であったが，今思えばその 6 年間で研究者としての忍耐力や心構えをは十数回です．2009 年には，実行委員長として，神戸（甲南大学）で開催する際のお世話を担当しました．私

身に付け，現在の研究の基礎を築くことができたと思う．
この経験を基に私のような苦しい研究生活を送ることがないように若い人たちが将来に希望を持てるように指導してきたつもりである．人生も多少 (研究生 6 年は長過ぎた！) 揺らぎがあった方が人間性が豊かになるように思う（ようにしている）今後も外乱を大事にし，健康に留意して研究を継続していきたいと考えている．

は，IFAC 90(Tallinn) で知り合った Royal Instituteof Technology (Stockholm) の Alf Isaksson 氏（現在はABB 社所属）とずっと親交を温めていたため，この時には彼に声をかけて，Gray Box Identification に関する特別講演をしてもらいました．Granular Computing の研究者である Nottingham の Andrzej Bargiela 教授やITS 専門の Evtim Peytchev 氏にも諏訪や福岡に来てもらったことがあります．このように，本シンポジウムは末筆ながら SSS が今後も益々発展していくことを祈念

外国の知り合いの先生を呼んで参加してもらうには格好している．

の機会を提供しています．
私は，不確実性を伴うシステムにおける推定をテーマ

1.15

SSS で育てていただいことにして研究してきました．不確実性の扱いについては，

広島工業大学 深山幸穂

ブレ，ボケ復元のための画像処理，本企画の解説にも書

SSS は講演や討論を専ら英語で行う日本発の国際会議

かせていただいた移動ロボット自己位置推定，歩行者やの老舗であり，私は英文によるプロシーディングスが発

移動ロボットなどに搭載した不安定な移動センサーの姿行されはじめた 1993 年ころから参加させていただいて勢推定などに，非線形カルマンフィルタの応用を行っている．私事で恐縮であるが，私には学生時代に英語の授きました．これらは，今振り返ってみますと，確率シス

業が苦痛で，企業勤務時代に輸出案件を命ぜられた因果テムの応用研究として，本シンポジウムの枠内にぴったを嘆き，20 代後半に急遽の代役で単身の初海外出張にり収まる研究であったと思います．これらの問題は，推死ぬ思いの緊張をした過去がある．30 代後半以降，SSS

定対象がボケのパラメータであったり，移動ロボットのへの参加を心掛けた動機には，確率システム論の分野で位置であったり，センサーの姿勢であったりと，多くの著名な先生方のご講演やご討論を身近にできる特典に加観測データから，データの取捨選択を行いながら比較的え，公用語英語の世界で場数を踏んで国際化の時代に通低次元のパラメータを推定するという共通した問題を含用する技術者に成長したいとの思いがあった．

んでおり，長年こういうことをしていることが，それ以学生時代より研究者を目指された方々には，世界を相外のことに及んでも自分自身のものの見方の基本にも手に情報の仕入れと発信を行うため，技術英語は当然のなっていることに驚きます．

スキルであろう．しかしながら，不得意科目「英語」で

私は，確率にとどまらず，多くの非確率ベースの手大学を卒業し，1970 年代後半に普通の技術者として入社

法も使ってきました．まず 1 つ目に，Set-Membership

した私には，普通の製造会社であっても英文の技術文書

音を気にせずに場数を踏んで「英語に慣れる」ことが重Approach (Unknown But Bounded Approach ともいう）の理論があります．80 年代最後に，オーストリア
IIASA (International Institute for Applied Systems
Analysis) で，1 年半くらいの期間，Kurzhanski というロシアから来ていたプログラムリーダーのもとで Setmembership の枠組みの中でのシステム同定・状態推定

要との，少しだけ悟った心境に至った．このころから，をしていましたので，その時にこのモデルに親しむこと

確率システム論を志す尊敬する学徒の皆様のご高見に接ができました．解の確率密度関数を推定するのではなく，し，講演，討論，執筆と技術英語を実践するため，SSS

解の存在可能領域を集合で表すというものです．状態推は私にとって重要かつ手近な機会となった．思えば以後定問題では，状態空間モデルにおいて，時間更新で解の30 年間，私は SSS に育てていただいたと存じており，本存在可能範囲がぐっと広がり，観測値を得て範囲がぐっ

シンポジウムを発展させてこられた関係者の皆様に心よと絞りこまれるという繰り返しです．確率モデルの場合や電子メール，国際電話等が一般化していったその後のビジネス環境の変化は悪夢に近かった．
やがて 30 代半ばになって「英語は避けて通れぬ」と観念し，観光であれ，国際会議であれ，先ずは文法や発– 69 –

70

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)

でも，共分散行列がその役割を果たしているのですが，シェラトン（私の記憶違いがなければ）だ．安いよ．
」とこのアプローチではそれが明確にわかり，非常に興味深言われました．私は，それまでは，名もない安いホテル

いものでした．ただ，現実のデータではなかなかノイズに泊まっていたのですが，その後，良いホテル（の安いの取り得る値は集合で限定できるようなものではなく，部屋）に泊るようになりました．この２つだけでも，私また，基本的に近似とは相性の悪いアルゴリズムですが，は砂原先生から受けた教えは大きかったと感じています．

繰り返し計算のために楕円近似をしたりしていました．

最後になりましたが，学生時代からご指導いただいて

しかし，そのために次第に集合が小さくなりすぎたりす

きた片山徹先生，勝手気ままにこのシンポジウムに関る問題もあり，実際の応用可能なものは多くないと思い，

わってきたにも関わらず，いつも暖かく受け入れていた

次第に興味が薄れました．この当時の研究は SSS で発表

だきました杉本末雄先生および諸先生方に深く感謝申しするには至らず，今に至っています．

上げます．これからも，SSS の懇親会での美味しいお酒を楽しみにしています．

その次は，いわゆる，ソフトコンピューティングの時代に突入し，私もニューロ，遺伝的アルゴリズム，ファジィと，次々に手を伸ばし，次第に実応用が可能な感触を得てきました．本シンポジウムでも何度か発表させて確率システムシンポジウム 50 回記念によせていただきました．しかし，これらの中でアルゴリズム自国士舘大学 大浦邦彦

1.17

身が確率システムの応用といえるのは，乱数を明示的に

秋月影雄先生のご指導を受けながら，「閉ループ系の同用いる遺伝的アルゴリズムだけです．しかし，こういう，ソフトコンピューティングや複雑系においては，それら定」をテーマとして大学院に在籍していた私は，博士課
程 2 年生の 1994 年になってやっと SSS での発表を許可の性能評価はシミュレーションに頼る以外はほぼ不可能されました．それまでは「SSS での発表は無理」というと思われ，実行結果を提示してそこで終わるということ

秋月先生のご判断があったためで，私自身は発表を契機が良いのか悪いのか，なかなか難しい問題と思われます．
なお，私自身は，この流れから当然のごとく推察されるに，博士論文に向けて弾みをつけたいと意気込んだもの
でした．

通り，現在は深層学習（ディープラーニング）の応用研

ただエントリーした後で冷静になってみると不安にな究に浸っています．

り，どれほど過激なシンポジウムなのかと，おそるおそ

私の在職現役期間はあと数年しかありませんが，深層る先輩に様子を聞いてみました．すると SSS の特徴とし学習の研究を深めていきたいと思っています．深層学習て，「英語で発表する」，「事前に討論者が決まっており厳には確率的扱いを行う部分が多数含まれますので，本シしい質問が来る」，「アットホームな学会である」などのンポジウムで発表することも可能かと思っています．

コメントを得ました．結局，雰囲気がよく分からず手探

SSS といえば砂原先生ですが，私自身，あまり早くかりのまま臨んだ初回の発表では，心配した通り質問攻め

らこのシンポジウムに参加していなかったこともあり，
シンポジウムの場での砂原先生はほとんど記憶がありで苦労した後に，懇親会で著名な先生方のリラックスした姿を拝見できてお言葉を頂くなど，貴重な経験をする

ません．しかし，個人的には，砂原先生のご指導をいたことができました．
「アメとムチ」ではありませんが，厳だいたことが今でも思い出されます．私は，岡山大学にしさと楽しさが両立したような SSS に魅せられ，以来 25勤務しているときに，岡山理科大学の非常勤講師を担当

回続けて物怖じもせず参加してきた次第です．なお私もしていた時期があります．あるとき，非常勤をしている

いま 50 歳であり，偶然 SSS とは同じ年齢になります．

ということで，砂原先生から，お食事の接待をいただきがんばって（無理をして？）SSS に毎年参加しているました（太田垣先生もご一緒でした）．その頃は，私もと，似たような研究をしている年齢の近い研究者と同じかなり若かったこともあり，砂原先生のコワオモテを思セッションで続けて顔を合わせることになり，研究テー

い出し，困ったことになったなあと実のところ思っていマも含め親交を深めることができて助かりました．何ました．しかし，お会いした瞬間から，非常に打ち解け

年か続けて発表を聞いてくださった先生からは，研究のてお話される方であることを知りました．授業の仕方の進捗について「順調に進めていて立派である」といった話になった時に，「教科書を授業で見て教えるようでは

過大な評価を頂き，ちょっとした自信に繋がりました．

だめだ．全部頭に入れておかなければ」と言われたことまた参加するだけでなく，関東で SSS が開催される時が非常に印象に残っています．その時は，そんなことはには運営側に回ることもあり，特に 1997 年（早稲田大

理想ではあっても無理と思いましたが，今思えば，蓋し学）は秋月先生の下で雑務全般を手伝い，2012 年（国士名言です．それ以来，毎年そのことが授業のときに気に舘大学）には僭越ながら Chair of Program & Steering

なっており，最近は，ともかく教科書をほとんど見ずに

Committee を拝命して，SSS の主要な先生方と連絡を授業をするようになりました．また，コペンハーゲンの取り合うなど貴重な機会を与えていただきました．これ

SYSID に行ったときに，砂原先生とすれ違った際に，「田らから顧みれば，これまでの拙い私の研究は SSS に支え

中君はどこに泊っている？私は，学会の開催されている– 70 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して71

も心強い限りです．

てもらったと言っても過言ではないと思います．

SSS には「確率」という大きなテーマが根幹にあり，筆者自身が確率システム論に興味を持った一番のポイ

私はどちらかというと枝葉の研究を細々と行ってきただ

ントは，ランダムさの科学や論理としてではなく，テイけですが，SSS に参加することで幹から栄養をもらい，ラー展開の二次項が消滅せずに浮き上がってくるという守られて育ったような気がしています．今後の SSS の発

ところにあります．ですので，確率システムの解析では，展を，心より祈念いたします．

非有界変動関数にまつわる特異な性質に面白さを見出しています．この特異さが，システム・制御・情報の各分

1.18

確率システムシンポジウム 50 回記念によせて野に今後どのような影響を与えていくのか，皆様ととも山口大学 若佐裕治

率システムシンポジウムに相応しい内容となり次第，順に楽しみながら研究を続けたいと思います．そして，確
次，発表させて頂きたいと考えています．末筆ながら，

確率システムシンポジウム (SSS) の開催が 50 回を数え

この度，50 周年特集号別冊にて確率システムの安定論にられたとのこと誠におめでとうございます．これまで運ついて拙稿を掲載させて頂くことになり，幸甚に存じま営に携わってこられた方のご努力の賜物であると存じます．私自身はそれほど多く参加した訳ではありませんが，いくつか印象に残ったことを述べさせていただきます．

す．恐らくは往年の成果のご紹介に漏れが多数あるかと存じますが，読者の皆様には何卒ご容赦頂けますようお願い申し上げます．

私が現在所属している山口大学に赴任したのは，2002 年
ですが，その翌年の 2003 年に，山口大学工学部の所在

1.20

する山口県宇部市で SSS が開催されました．赴任後としSSS と共に 10 余年−達成と今後の展望−
名倉 剛ては，初めて学会関係の仕事に携わり，主に懇親会関係を担当しました．まだ不慣れで緊張もしましたが，無事

1.20.1に宴を終えてほっとしたことを思い出します．

はじめに

システム制御情報学会 (ISCIE) における基幹国際会議

その後，確率的最適化手法の収束性解析の研究をの一つである確率システムシンポジウム (SSS) が開催 50

行った時期があり，何度か SSS で発表させていただきま回を数え，確率システム理論分野においてその末席を汚した．とくに，最初の結果を SSS で発表したことは私のしつつもここ 10 年以上にわたり SSS にて研究発表・聴中で印象に残っています．

講を通して当該分野における研鑽を積ませていただいた

これまで様々な開催の工夫があったと存じますが，小生にとって，大変喜ばしく感じられる．以下，この伝私が参加した中では，2011 年の琵琶湖をクルージングし

統ある SSS と小生との関わりと今後の展望について，継ながらのシンポジウムは，思い切った試みで心に残るも続して小生を叱咤激励して下さった SSS に集う皆様へののとなりました．

感謝の意を込めて，及ばずながら述べてみたいと思う．

参加者の中には片山徹先生の研究室関係の先輩方も中で確率システムを扱う研究室はある程度限定されます

1.20.2 SSS と共に 10 年以上
小生と SSS の最初の関わりは，2008 年秋まで遡る．小生は前年の 2007 年より複数ベクトル場を遷移するハイが，そのような縦のつながりが感じられつつも，閉鎖的ブリッドシステム研究に従事し始め，最初に取り組んだではないところが SSS の良さではないでしょうか．

課題は，ハイブリッドシステムにおいて最も単純なモー

多く，アットホームな雰囲気が感じられました．日本のSSS の益々のご発展を祈念しております．

ド遷移によって特徴付けられる切替システム (switchedsystems) における非因果的追従問題の最適解・最適ア

1.19

確率システムシンポジウム 50 回記念に寄せてルゴリズムを与える研究であった．幸いにもこの研究
成果は，主要著名国際会議として名高い HSCC(Hybrid

鹿児島大学 西村悠樹

Systems: Computation and Control) にて論文採択さ筆者は 2000 年代後半の博士後期課程時代から確率シ

れ，2008 年 4 月にアメリカ・ミズーリ州 (MO)・セントステム論を使ったシステム制御理論の研究をしておりま

ルイスにて口頭発表させていただき，Springer から出版

すが，伝統ある確率システムシンポジウムには，記念すされる Proceedings に収録していただく好機を得た (2))．

べき第 50 回に初めて参加させて頂きました．確率シス

そして，このような決定論的なハイブリッドシステムにテムに対する様々な視点による研究発表が一堂に会する関する研究と並行して，マルコフジャンプシステムに代とても貴重なシンポジウムだと感じました．また，歴史表される確率的なモード遷移から成るハイブリッドシス

あるシンポジウムであると同時に，筆者と同年代（アラテムに関する研究成果を調査していた小生は，2008 年

フォー）やより若い研究者が多数参加されており，今後11 月に京都にて離散時間マルコフジャンプシステムの最適予見追従制御に関して SSS08 で口頭発表させていただく機会を得た (3))．これが小生と SSS との最初の出会において益々意義深いシンポジウムになっていくと思われます．確率システム制御理論の研究者としては，とて– 71 –

72

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)

いであると同時に，確率ハイブリッドに関する小生の査が可能な機械学習の発展は目覚しいものがあり，今後，

読有 (peer-reviewed) 論文としての初めての採録決定とSSS は機械学習・創発システム分野の研究者ともコラボなった．その意味において，小生にとって SSS は，ここレーションを模索し，良好な関係を築きつつ革新的な確10 年以上にわたる小生の確率ハイブリッドシステム研究

率システム構築を目指していくことが強く望まれる．まの端緒を拓いてくれた国際会議といえる．その発表セッ

た，既に SSS においてもいわゆる古典確率論のみならションにおいて司会を務めて下さった武内良樹先生を初ず量子確率論に基づく量子情報・量子システム制御に関

め，SSS に集う先生方の素朴で実直かつ学問に真摯なおする研究を発表される研究者の貢献も見られ (16) 等)，

人柄に触れ，SSS は小生にとって，自らの確率システム

量子論的観点から確率システムを発展させる場として関連研究に関して研鑽を積むいわば道場として，積極的

SSS が充分に活用されることも望ましいと思われる．さに自論を展開させていただく場となってきた．SSS08 発

らに，小生の研究課題と密接な関わりを持つフォーメー

表論文は，タイアップして学術雑誌発表の場として企画

ション・コンセンサス等に関する研究においても，例えして下さった IJICIC 誌にも改稿論文を掲載していただ

ば，時間的あるいは事象に対する確率分布だけでなく，き (5))，小生オリジナルの研究成果を海外に問う絶好の相空間上における確率分布という意味で空間的に確率分

機会ともなった．以後，10 年以上にわたって，最適ス

布を探求することによって，巨視的・俯瞰的にシステム

ムージングおよび H ∞スムージング研究 (6),9) 等)・マを俯瞰する重要な鍵として確率システムの今後を模索す

ルコフジャンプシステムの非因果的追従制御系設計に関ることが強く望まれる．そして，この空間的確率分布もする変分アプローチ (4) 等)・最適状態と最適モード分布

また，量子論における波動方程式の概念と密接な関係をの同時推定等の研究成果を SSS を通じて世に問うこと持つ (8),15),17),18) 等)．微力かつ自己研鑽中の身ながができ (7) 等)，さらに近年は最適状態と最適モード分布

ら，小生も上述のような新しい確率システム研究の潮流の同時最適化制御に関する研究成果も部分的に発表させとこれまでの確率システム研究を牽引してきた SSS の役ていただいている (10),11) 等)．また，さらに特集論文

割を先輩・同輩諸氏と共に真摯に模索していきたいと考企画として SSS とタイアップ（コラボレーション）した
ISCIE 論文誌においても SSS 発表論稿を改稿した論文を掲載していただいてきた (9),12),13)14) 等)．小生の知り得る限り，SSS にて 10 年以上にわたり一貫して確率えている．

ハイブリッドシステムの推定と制御に関する研究成果を風通しの良い柔軟性に富む研究活性化を特長として，横発表し続けたのは，小生一人であるが，言い換えれば，断的にシステム研究に貢献してきた．そして，その SSS

SSS という挑戦的な研究課題を受け入れてくれる風通しに集う学究の皆様も素朴で率直かつ学者として高潔なおの良い国際会議があればこそ，小生は単独で独創性の高人柄を備えた人物が多く，SSS は小生が主に単独で自身い研究発表を試み続けることが可能であったと言える．

の研究を発展させるにあたって，心の拠り所として自身単独で時に 3 件の研究発表をさせていただいた年も複数の孤独を潤してくれる貴重な場であり続けている．とく

年に渡り，それらの経験は苦しくも迷いつつも小生に独に，まず SSS において大先輩であり師といえる市川朗

自の研究課題を歩み確実な進歩を実感する手応えを与え京都大学名誉教授静岡大学名誉教授・片山徹京都大学名てくれた．これらは，システム制御理論の歴史的発展を

誉教授・大住晃京都工芸繊維大学名誉教授には，継続し考慮しても，「システムおよびシステム理論のハイブリッて叱正と激励をいただいてきた．また，杉本末雄立命館

ド化と大規模データの融合の潮流」に沿う研究経験であ大学教授・武内良樹大阪教育大学教授には，その温かいり，その意味において，とくに我が国において確率シス

お人柄を反映したご助言等により，常に小生の研究活動

テム分野を牽引し続けた SSS の充分な意義を明確にするを励ましていただき，小生が研究生活を継続する支えと側面を強く意識できると信じている．

なってきた．さらに，石川昌明教授・藤崎泰正教授はじ

1.20.3 これからの SSS −展望と発展−
さて，Poisson 過程に代表されるジャンプ過程・事象の突発的変動に着目しつつこの 10 年以上 SSS にて研鑽

め，小生の研究と密接な関係にあるシステム制御分野にを積ませていただいた小生であるが，若干，最近の確率

良い刺激を与え続けてきた．拙文にて末筆ながら，これシステムの新しい潮流と SSS の今後の展望について言及

までの SSS50 年の達成を心より祝福すると共に，今後のしておきたい．まず最初に，近年の確率システムに関す革新的な発展を願う次第である．

1.20.4

おわりに以上，述べたように，ISCIE・SSS は，確率システム
において特定の研究テーマのみに特化するよりもむしろおいて毎年のように SSS でお会いさせていただく先生方からとのディスカッションや助言は，小生の研究活動にる潮流として押さえておくべきは，統計物理を基礎とす
る機械学習の発展であろう (1))．SSS においても従来はReferences
1) C. M. Bishop: Pattern Recognition and Machine
Learning, Springer, 2006.
2) G. Nakura: Noncausal Optimal Tracking of Lin-

確率微分方程式・差分方程式によるモデル化やモデルの同定等，動的モデルを意識した研究が中心を占めていたが，モデルレスで大規模データを効率的に処理すること– 72 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝して

73

Its Applications (SSS17), Hiroshima, Japan, pp. 50ear Switched Systems, Hybrid Systems: Computation
55, 2017.
and Control, 11th International Workshop, HSCC 2008,
12) G. Nakura: Hybrid Optimal Tracking Control
St. Louis, MO, USA, April 2008, Proceedings, LNCS
for Linear Continuous-time Systems by Simultaneous
4981, Springer (M. Egerstedt and B. Mishra (Eds.)),Optimization Approach of System States and Modepp. 372-385, 2008.
Distributions, Trans. of The Institution of Systems,3) G. Nakura: Stochastic Optimal Tracking with PreControl and Information Engineers, Vol. 31, No. 7,
view for Linear Discrete-Time Markovian Jump Syspp. 257-264, 2018.
tems, Proceedings of the 40th ISCIE International13) G. Nakura: H ∞ State Estimation for Linear
Symposium on Stochastic Systems Theory and Its
Continuous-Time Systems Driven by Wiener and PoisApplications (SSS08), Kyoto, Japan, pp. 53-60, 2008.
son Processes-Variational Approach, Trans. of The
4) G. Nakura: On Noncausal H ∞ Tracking Control
Institution of Systems, Control and Information Enfor Linear Continuous-Time Markovian Jump Sysgineers, Vol. 32, No. 2, pp. 47-54, 2019.
tems, Proceedings of the 41st ISCIE International
14) G. Nakura: Hybrid LQG Tracking Control for
Symposium on Stochastic Systems Theory and Its
Applications (SSS09), Kobe, Japan, pp. 172-177, 2009.
Linear Discrete-Time Systems by Simultaneous Opti5) G. Nakura: Stochastic Optimal Tracking with Premization Approach of System States and Mode Disview by State Feedback for Linear Discrete-Time Markotributions, Trans. of The Institution of Systems, Convian Jump Systems, International Journal of Innovatrol and Information Engineers, Vol. 32, No. 10, pp.
361-369, 2019.
tive Computing, Information and Control (IJICIC),
15) E. Nelson: Derivation of the Schrodinger EquaVol. 6, No. 1, pp. 15-27, 2010.
tion from Newtonian Mechanics, Physical Review, Vol.
6) G. Nakura: H ∞ Estimation for Linear Continuous150, No. 4, pp. 1079-1085, 1966.
Time Markovian Jump Systems by Game Theoretic16) K. Ohki: Quantum Smoother for Open Quantum
Approach, Proceedings of the 42nd ISCIE InternaSystems Driven by Quantum Jump-Diﬀusion Processes,
tional Symposium on Stochastic Systems Theory andProceedings of the 50th ISCIE International SympoIts Applications (SSS10), Okayama, Japan, pp. 154sium on Stochastic Systems Theory and Its Applica162, 2010.
tions (SSS18), Kyoto, Japan, pp. 25-28, 2018.
7) G. Nakura: An Approach to Hybrid Smoothing for17) A. Ohsumi: Derivation of the Schrodinger EquaLinear Continuous-Time Systems with Non-Gaussiantion in Quantum Mechanics from Stochastic Control
Noises, Proceedings of the 43rd ISCIE International
Theory, Proceedings of the 50th ISCIE International
Symposium on Stochastic Systems Theory and Its
Symposium on Stochastic Systems Theory and Its
Applications (SSS11), Shiga, Japan, pp. 63-72, FB2Applications (SSS18), Kyoto, Japan, pp. 103-110,
2 (CD-ROM), 2011.
2018.
8) G. Nakura: A Derivation Method of Wave Equa18) E. Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertprobtions Provided by Optimal Control Systems, Proceedlem (Erste Mitteilung), Annalen der Physik, Vol. 79,
ings of SICE Annual Conference 2013, Nagoya, Japan,
No. 4, pp. 361-376, 1926.
pp. 2233-2238, TuBT8.5 (CD-ROM), 2013.
9) G. Nakura: H ∞ State Estimation for Linear Impulsive Systems with Stochastic Uncertainties, Trans.
2. SSS に関連する受賞者・受賞論文名of The Institution of Systems, Control and Information Engineers, Vol. 29, No. 11, pp. 486-496, 2016.
10) G. Nakura: Hybrid Optimal Tracking Control by
Most Probable Trajectory Approach, Proceedings of
2.1 砂原賞
the 48th ISCIE International Symposium on Stochas1994 年 8 月 1 日に急逝された砂原善文京都工芸繊維大tic Systems Theory and Its Applications (SSS16), Fukuoka, 学名誉教授の，SSS 創設・研究・教育・学会活動などのJapan, pp. 131-136, 2A1-2 (CD-ROM), 2016.
多大なる業績を顕彰するため，システム制御情報学会が11) Gou Nakura: Hybrid Optimal Tracking Control
授与する学会賞 (論文賞，奨励賞) のうち，砂原名誉教授
for Linear Discrete-Time Systems by Simultaneousの専門に近い分野で顕著な研究業績を挙げた研究者に対Optimization Approach of System States and Mode
して、学会賞と並列して「砂原賞」が 15 年間に亘って贈Distributions, Proceedings of the 49th ISCIE Interna呈された．
tional Symposium on Stochastic Systems Theory and– 73 –

74

システム/制御/情報

第 64B 巻第 1B 号(2020)(論文賞) Jaafar ALMutawa, 田中秀幸, 片山 徹: EM ア
1995 年度 (第 1 回)
(奨励賞) 談議康晴: 不規則観測データ中の伝送信号の遅ルゴリズムに基づく異常値を含む線形システムの同定法

れ時間の最尤推定

ラメータチューニングとその応用

1996 年度 (第 2 回)
(奨励賞) 佐伯徹郎: 単純化したメンバシップ関数に基づ

2007 年度 (第 13 回)(奨励賞) 谷口忠大: 動的目標変化を含む協調タスクに対くランダム音響刺激の心理的応答予測する状況弁別型強化学習機構の適用

1997 年度 (第 3 回)
(奨励賞) 諏訪正樹: A New Relaxation-type Sampling
Method for Markov Random Image Fields
1998 年度 (第 4 回)
(論文賞) 吉川恒夫, 井村順一, 春名 隆志: ハイブリッド

2008 年度 (第 14 回)(論文賞) 金子 修, 藤井隆雄: ビヘイビアアプローチに基(奨励賞) 坂田智則: FRIT を用いた 2 自由度制御系のパづく離散時間最小二乗規範型推定について

定と制御(奨励賞) 田辺智子: Passive Radar Systems using Reflections of Satellites
2009 年度 (第 15 回)(論文賞) 木村琢郎, 大住 晃, 河野通夫: 擬似観測量の導(奨励賞) 山内浩一: Lyapunov 最急降下法の最適性とス

入による線形確率システムの未知外生入力の同定

ライディングモード(奨励賞) 安田和弘: Simulation on multidimensional
density functions through the Malliavin-Thalmaier formula and its application to finance

ニューラルネットワークによる非線形動的システムの同1999 年度 (第 5 回)
(奨励賞) 吉岡理文: ＩＣＡを用いた信号分離手法の検討
2000 年度 (第 6 回)
(論文賞) 清田洋光, 三平満司: 時間軸状態制御形による

2.2

Best Presentation Award

ドリフト項をもたない非ホロノミックシステムの安定化

2001 年度 (第 7 回)
(論文賞) 大住 晃, 亀山建太郎, 山口 憲一: 超関数の概念を用いた連続時間確率システムの部分空間同定(奨励賞) 黄 冬亮: A State-Space Model Identificationof Continuous-Time Systems Operating in Closed-loopby δ-Operator Model
2002 年度 (第 8 回)
(論文賞) 井前 讓, 井上和弘: 非線形最適制御問題の数値

SSS’10
Yusuke Watanabe: Collision Detection and Controlof Parallel-structured Two-link Flexible Manipulators
using Unscented Kalman Filter

2.3

Young Author Prize

SSS’11
Takuya Hirotani: Blind Deconvolution with IIR Filter(奨励賞) 國松禎明: 一般化リカッチ方程式とその確率的by Projecting the Learning Law in FIR Approxima平衡実現打ち切りへの応用
tion
2003 年度 (第 9 回)
SSS’12(論文賞) 大倉和博, 川上賢一郎, 上田完次: 均質な自律ロ
Emmanuel Manasseh: Preamble Design for Joint Esボット群による協調行動獲得問題―機能分化に基づくア
timation of Channel, CFO and Receiver I/Q-Imbalance
プローチ
in OFDM Systems(奨励賞) 中室 健: The Speech-Displaying System: KanNonSSS’13
Applying Minimum Cross Entropy Method
Kirati Thoednithi: Arbitrage Opportunity on Non2004 年度 (第 10 回)
linear Wealth Processes(論文賞) 榎本隆二, 島 公脩: 配位空間上の交叉理論とそ
SSS’14の応用-II –局所交叉数と零多様体の射影次元
Masaya Murata: Gaussian Unscented Filter(奨励賞) 藤岡寛之: 力学特性を考慮した文字フォントのSSS’15生成
Osamu Fukayama: Active Noise Reduction with the2005 年度 (第 11 回)
Wiener Filter for Vagal Nerve Recording of a Goat
(論文賞) 奥 宏史: 逐次部分空間同定を使った変化検出法
with an Implanted Artificial Heart Device(奨励賞) 仲田勇人: 逐次データクラスタリングに基づく
SSS’16
区分的アフィンシステムの逐次同定
Satoru Iwasaki: Estimation Distribution Algorithm(奨励賞) 武藤善之: 多周波 GPS/GNSS キネマティック
Based on a Molecular Target Detector Model
測位についての考察
SSS’17
2006 年度 (第 12 回)解導出に関する統一的解法– 74 –SSS 参加者：SSS50 回記念を祝してMuhammad Rizwan Tariq: Design of a ContinuousTime Loop Filter for ΔΣ Modulators with Excess
Loop Delay
SSS’1875

Shinya Funabiki: Modified JIT-Based Solar Irradiance Prediction Methods– 75 –