数理解析研究所講究録
第 1666 巻 2009 年 135-138

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特異点定義方程式のパラメータに関する簡単化の提案
高橋正

TADASHI TAKAHASHI

神戸大学人間発達環境学研究科
GRADUATE SCHOOL OF HUMAN DEVELOPMENT AND ENVIRONMENT, KOBE UNIVERSITY

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*

はじめに
私は、 これまで、 グレブナー基底を用いて、 simple K3 特異点定義方程式の退化条件導出に関する研究を行ってきた。 特異点定義方程式のパラメータは、 様々な表示が可能であり、 その退化条件を表す関係式も、最初に設定するパラメータの表示に依存する。 そのパラメータ空間の構造は本質的には同じものを表している。 それならば、 その構造を端的に示す最も簡単な関係式が望ましい。

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これまでに調べたこと

Simple $K3$ 特異点定義方程式の退化条件導出に関して、 パラメータ空間の次元が 1,いては、 以下の結果を得た ([1])
。

パラメータが 1 つだと、 simple elliptic singlarities の時と同じような関係式となる。

’takahasi@kobe-u.ac.jp

2 であるものにつ136

パラメータが 2 つになると、 人間の煩悩のように $108=2^{2}3^{3}$ が沢山出てくる。 このくらいになると、 もっと、 簡単な表示ができないかと思えてくる。

3

特異点定義方程式のパラメータに関する簡単化とは ?
特異点定義方程式のパラメータを簡単化するとは、 表記するパラメータの個数を少なくするという考え方がある。 その考え方だけをとるのであれば、 上記の方法でよい。 しかし、 求める退化条件を簡単化するためには、 退化条件から逆に考えることが必要になる。

退化条件を最も簡単な表記にするパラメータ設定を考えてみる。 その時、 simple $K3$ 特異点定義方程式のパラメータを以下のように設定することができる

([1])

。

この 2 系統に関しては、 $\mu=0$ の時、 パラメータが 1 つの場合に一致する。

数学的な美くしさとは ?
その美しさの下での moduli 空間の構造とは ?137

私は、特異点定義方程式のパラメータの簡単化とは、退化条件を最も簡単な式として表現できるパラメータ表示をすることと提案したい。 数式処理システムを用いることで、 退化条件を最も簡単な式にするパラメータ表示を見出すことが容易になる。 このようにパラメータを設定をすることは、 退化条件導出計算を省力化することにもなる。

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まだ渾沌としていること3 であるものにつSimple K3 特異点定義方程式の退化条件導出において、 パラメータ空間の次元が 2,いても、 まだ、 以下のように美しいとは言いがたい状況のものが多い。

The non-degeneracy conditions are as follows:$f_{57}$$(a \neq 0)$:$(-2+\lambda)(2+\lambda)(108-108\lambda+27\lambda^{2}-16\mu^{3}-144\mu\nu+72\lambda\mu\nu-16\mu^{2}\nu^{2}-128\nu^{3}+$$64\lambda\nu^{3})(10S+10S\lambda+27\lambda^{2}-16\mu^{3}+144\mu\nu+72\lambda\mu\nu-16\mu^{2}\nu^{2}+128\nu^{3}+64\lambda\nu^{3})\neq 0$$f_{57}(a=0):(-2+\lambda)(2+\lambda)(-8+4\lambda-\mu^{2})(8+4\lambda-\mu^{2})\neq 0$

.

.

138

$f_{64}(a\neq 0):(-512+512\lambda^{2}-128\lambda^{4}+288\lambda\mu^{2}-16\lambda^{3}\mu^{2}+27\mu^{4}+768\nu-512\lambda^{2}\nu+64\lambda^{4}\nu-144\lambda\mu^{2}\nu-$$384\nu^{2}+128\lambda^{2}\nu^{2}+64\nu^{3})(512+512\lambda^{2}+128\lambda^{4}-288\lambda\mu^{2}-16\lambda^{3}\mu^{2}+27\mu^{4}+768\nu+512\lambda^{2}\nu+64\lambda^{4}\nu-$$144\lambda\mu^{2}\nu+384\nu^{2}+128\lambda^{2}\nu^{2}+64\nu^{3})\neq 0$$f_{64}(a=0)$ :.

.

$(108+4\lambda^{3}-10S\mu+27\mu^{2})(10S+4\lambda^{3}+10S\mu+27\mu^{2})\neq 0$$f_{68}:3125+16\lambda^{5}+4125\lambda^{2}\mu+16\lambda^{7}\mu+888\lambda^{4}\mu^{2}+16200\lambda\mu^{3}+16\lambda^{6}\mu^{3}+864\lambda^{3}\mu^{4}+11664\mu^{5}-5625\lambda\nu-$$16\lambda^{6}\nu-3420\lambda^{3}\mu\nu-13500\mu^{2}\nu-2592\lambda^{2}\mu^{3}\nu+2700\lambda^{2}\nu^{2}+216\lambda^{4}\mu\nu^{2}-5670\lambda\mu^{2}\nu^{2}+216\lambda^{3}\mu^{3}\nu^{2}-5832\mu^{4}\nu^{2}-$$216\lambda^{3}\nu^{3}+6075\mu\nu^{3}+729\lambda\mu\nu^{4}+729\mu^{3}\nu^{4}-729\nu^{5}\neq 0$.

$f_{74}:3125+16\lambda^{5}+500\lambda^{2}\mu-8\lambda^{4}\mu^{2}-225\lambda\mu^{3}+\lambda^{3}\mu^{4}+27\mu^{5}-200\lambda^{3}\nu-5000\mu\nu-16\lambda^{5}\mu\nu-430\lambda^{2}\mu^{2}\nu+$$8\lambda^{4}\mu^{3}\nu+216\lambda_{l}r^{4}\nu-\lambda^{3}\mu^{5}\nu-27\mu^{6}\nu+4000\lambda\nu^{2}+16\lambda^{6}\nu^{2}+704\lambda^{3}\mu\nu^{2}+1800\mu^{2}\nu^{2}-8\lambda^{5}\mu^{2}\nu^{2}-296\lambda^{2}\mu^{3}\nu^{2}+$$\lambda^{4}\mu^{4}\nu^{2}+36\lambda\mu^{5}\nu^{2}-192\lambda^{4}\nu^{3}-2560\lambda\mu\nu^{3}+64\lambda^{3}\mu^{2}\nu^{3}+32\mu^{3}\nu^{3}-8\lambda^{2}\mu^{4}\nu^{3}+768\lambda^{2}\nu^{4}-128\lambda\mu^{2}\nu^{4}+16\mu^{4}\nu^{4}-$$1024\nu^{5}\neq 0$.

$f_{83}:3125+16\lambda^{5}-5625\lambda\mu-16\lambda^{6}\mu+2700\lambda^{2}\mu^{2}-216\lambda^{3}\mu^{3}-729\mu^{5}+4125\lambda^{2}\nu+16\lambda^{7}\nu-3420\lambda^{3}\mu\nu+$$216\lambda^{4}\mu^{2}\nu+6075\mu^{3}\nu+729\lambda\mu^{4}\nu+888\lambda^{4}\nu^{2}-13500\mu\nu^{2}-5670\lambda\mu^{2}\nu^{2}+16200\lambda\nu^{3}+16\lambda^{6}\nu^{3}-2592\lambda^{2}\mu\nu^{3}+$$216\lambda^{3}\mu^{2}\nu^{3}+729\mu^{4}\nu^{3}+S64\lambda^{3}\nu^{4}-5S32\mu^{2}\nu^{4}+11664\nu^{5}\neq 0$$f_{90}$:$\mu(-2+\nu)(2+\nu)(64-\lambda^{4}-96\lambda\mu+\lambda^{5}\mu+30\lambda^{2}\mu^{2}+\lambda^{3}\mu^{3}+27\mu^{4}+8\lambda^{2}\nu-8\lambda^{3}\mu\nu+72\mu^{2}\nu-$$\lambda^{4}\mu^{2}\nu-36\lambda\mu^{3}\nu-16\nu^{2}+16\lambda\mu\nu^{2}+S\lambda^{2}\mu^{2}\nu^{2}-16\mu^{2}\nu^{3})\neq 0$$f_{92}$.

$(a\neq 0)$:.

$3125+16\lambda^{5}-5625\lambda\mu-16\lambda^{6}\mu+2700\lambda^{2}\mu^{2}-216\lambda^{3}\mu^{3}-729\mu^{5}+4125\lambda^{2}\nu+16\lambda^{7}\nu-$$3420\lambda^{3}\mu\nu+216\lambda^{4}\mu^{2}\nu+6075\mu^{3}\nu+729\lambda\mu^{4}\nu+888\lambda^{4}\nu^{2}-13500\mu\nu^{2}-5670\lambda\mu^{2}\nu^{2}+16200\lambda\nu^{3}+16\lambda^{6}\nu^{3}-$.

$2592\lambda^{2}\mu\nu^{3}+216\lambda^{3}\mu^{2}\nu^{3}+729\mu^{4}\nu^{3}+S64\lambda^{3}\nu^{4}-5S32\mu^{2}\nu^{4}+11664\nu^{5}\neq 0$$f_{92}(a=0)$ :$(10S+4\lambda^{3}-10S\mu+27\mu^{2})(10S+4\lambda^{3}+10S\mu+27\mu^{2})\neq 0$.

これらの関係式も、何か美しい表示が潜んでいるのではないかと考えている。 それを見出すことは、数式処理システムではなく、 人間の思考と洞察力であろう。

参考文献[1] T. Takahashi, An Application of Greobner Bases for the Moduli of Hypersurface Simple K3 Singularities, 数式処理, Vol. 11, No.3,4, PP. 43-55, 2005.