数理解析研究所講究録1100 巻 1999 年 78-86

78

Mamdani 推論法の最適化問題への応用

三石貴志 (Takashi Mitsuishi)河邊 淳 (Jun Kawabe)

信州大学工学部
信州大学工学部
信州大学工学部
信州大学工学部1

和崎克己 (Katsumi Wasaki)
師玉康成 (Yasunari Shidama)

はじめに1965 年, カリフォルニア大学の Zadeh [8] によりファジィネスの概念がファジィ集合とともに提唱されて以来, ファジィ理論はさまざまな分野で応用されてきた. その主たるものが制御の分野であり, そこではファジィ制御として多くの実用的な研究がなされてきた. ファ

ジィ制御は人間の言語などによるあいまいさを含む表現, 例えば「部屋が寒ければ, 暖房を強くせよ」 などで記述された if-then 形式の制御アルゴリズムをファジィ理論により計算機で実行させるものである. この制御法で用いる推論法はロンドン大学の Mamdani [4] によって提唱され, 彼の名を取って Mamdani 推論法と呼ばれている.

本研究では, Mamdani 推論法によるファジィ最適制御問題を, その制御で用いる評価関数をファジィメンバシップ関数から成る集合上の汎関数とみなすことにより, コンパクト集

合上の連続関数の最小値 (最大値) 問題に帰着させることにより解決している.
筆者らはこれまでメンバシップ関数を, 傾きがある正の定数以下で押さえられている関数のクラスから選びファジィ最適制御の存在についての結論を得た. 本研究はその結果の拡張
空間から選び, メンバシップ関数集合である. メンバシップ関数をより応用範囲の広い$L^{2}$のコンパクト性とその集合上での Mamdani 推論法の連続性に関して考察し, ファジィ最適制御の存在を証明した.

Mamdani 推論法とメンバシップ関数集合2

まず初めに Mamdani 推論法について簡単に紹介する [4} [7]. ファジィ制御において, ルー$)$

嫁個が “or” 結合されている if-then 型ファジィルールが与えられたとする.

if
ただし
数,

$y$

$A_{ij},$$x_{1}$is$A_{i1}$and ... and$x_{n}$is$A_{in}$

then

$y$

is

$B_{i}$$B_{i}(i=1, \ldots, l;j=1, \ldots, n)$ はファジィ集合,

は後件部変数である. 各ファジィ集合$[a, b]arrow[0,1],$$\mu_{B_{i}}$:$[\mathrm{c}, d]arrow[0,1]$$A_{ij},$$B_{i}$$(i=1, \ldots, l)$$x_{j}(j=1, \ldots, n)$ は前件部変のメンバシップ関数をそれぞれで表す. このとき, 値$\mu_{A_{ij}}(x_{j}),$$\mu_{B_{i}}$$\mu_{A_{\mathfrak{i}\mathrm{j}}}$(y のはそれぞれ$x_{j}$

:
,

79

$y$

がファジィ集合$A_{ij},$$B_{i}$に属する度合 (グレード) を表している. このルールから制御出力を推論するために以下の計算を用いる.

(1) 第 番目のルールの前件部の適合度$i$$\alpha_{A_{i}}(x)$,$\alpha_{A_{i}}(x)=\triangle\bigwedge_{j=1}^{n}\mu Aij(x_{j})$を求める.

$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in[a, b]^{n}$.

(2) 第 番目のルールの推論結果を求める.
$i$$\beta_{B_{i}A_{i}}(X, y)=\triangle\alpha_{A_{i}}(x)\wedge\mu_{B_{i}}(y)$,$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in[a, b]^{n},$$y\in[c, d]$.

(3) ファジィルール全体における推論結果を求める.
$\gamma AB(x, y)=\triangle)i=1l\beta B_{i}Ai(X,y$,$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in[a, b]^{n},$$y\in[\mathrm{c}, d]$.

(4) 推論結果を数値化して制御量を定める (非ファジィ化).
$\rho AB(x)=\frac{\int_{\mathrm{c}}^{d}y\gamma AB(X,y)dy}{\int_{\mathrm{c}}^{d}\gamma_{A}g(x,y)dy}\triangle$,$x=(.x_{1}, \ldots, x_{n})\in[a, b]^{n}$.

以上の (1) $-(4)$ の推論法が Mamdani 推論法である.

この論文では, 後件部のファジィ集合のメンバシップ関数を閉区間関数から成る Hilbert 空間 $L^{2}[c, d]$ の要素と考え, その全体を$\mathcal{L}=\triangle\{\mu\in L^{2}[c, d] :

このとき,

(a)

補題.

(b)

$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$0\leq\mu(y)\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}.

$[\mathrm{c}, d]$

上の 2 乗可積分

で表す:.

y\in[c, d]\}$に関して以下の補題が成り立つ.
は凸集合.

は $L^{2}[c, d]$ の弱位相に関してコンパクト距離空間.

証明.

(a) は自明なので省略する. (b)$\mathcal{L}$が $L^{2}[c, d]$ の有界凸集合で, 強位相に関して閉集合であれば弱位相に関してコンパクト距離空間となるので [2] [3], 有界性と強位相に関して閉集合であることを示す. 任意の$\mu\in \mathcal{L}$に対して$|| \mu||_{L^{2}}\equiv(\int_{c}^{d}|\mu(y)|2dy)1/2\leq(\int_{c}^{d}1dy)^{1/}2=\sqrt{d-c}$となるので,$\mathcal{L}$は有界である. 次に,$\mathcal{L}$が閉集合であることを示すために関数列が $\mu\in L^{2}[c, d]$ に強位相に関して収束すると仮定する. このとき,

存在し,

$\mu$

$\{\mu_{n}\}$に概収束する [1]. それゆえ$0\leq\mu(y)\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}$となるので$\mu\in \mathcal{L}$である. したがって$\mathcal{L}$. $y\in[c$ , 司

は強位相に関して閉集合である.

$\{\mu_{n}\}\subset \mathcal{L}$

の部分列

.が

$\{\mu_{n_{k}}\}$

80
3

ファジィ最適制御への応用
この節では, 前節の結果を用いファジィ制御における最適制御の存在について述べる.

を $n$ 次元ユークリヅド空間とし, ノルムを$||\cdot||$で表す.

$f(y, v)$ :$\mathbb{R}^{n}\cross \mathbb{R}arrow \mathbb{R}^{n}$連続な非線型ベクトル値関数とする. また定数 $M_{f}>0$ が存在し, 任意の$\mathbb{R}^{n}$

を Lipschitz$(y, v)\in \mathbb{R}^{n}\cross \mathbb{R}$

に

対して

(1)

$||f(y, v)||\leq M_{f}(||y||+|v|+1)$が成り立つと仮定する.
この論文では, 以下の状態方程式によって与えられる非線型フィードバックシステムについて考察する :(2)$\dot{x}(t)=f(x(t), u(t))$

ここで,$x(t)$

は時刻$t$におけるシステムの状態を表し, 制御入力 $u(t)$ は $u(t)=\rho(x(t))$ のフィードバック形式で与えるものとする.

システムにおける初期値のとりうる値の集合を十分大きな正数 $r>0$ に対して
$B_{r}=\{X\in \mathbb{R}n :\triangle ||x||\leq r\}$とし, 十分大きな終端時刻を $T$ とする.

命題 1.

$\rho:\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}$は Lipschitz 連続,$x_{0}\in B_{r}$とする. このとき状態方程式(3)$\dot{x}(t)=f(x(t),\rho(X(t)))$は初期条件 $x(\mathrm{O})=x0$ のもとで $[0, T]$ において–意の解 $x(t, X0, \rho)$ をもち$(t, x\mathrm{o})\in[0, T]\cross B_{r}rightarrow.X(t, x0, \rho)$

は連続である. さらに任意の $r_{2}>0$ に対して:Lipschitz 透 r 売,$\Phi=\triangle\{\rho:\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}$$\sup_{u\in \mathbb{R}^{n}}|\rho(u)|\leq r_{2}\}$(4)

とおくと, 状態方程式の解について以下の (a), (b) が成り立つ.

(a) 任意の $t\in[0, T],$$x_{0}\in B_{r}$および$\rho\in\Phi$

に対して

(5)

$||x(t, x0, \rho)||\leq r_{1}$である. ただし$r_{1}\equiv e^{M_{f}T}\Gamma+$(b)$\rho_{1},\rho 2\in\Phi$とする. 任意の $t\in[0, T],$$(e^{M_{f}T} - 1)(r_{2}+1)$$x_{0}\in B_{r}$

.

に対して

$||_{X}(t, x_{0}, p_{1})-X(t, X0, \rho_{2})||\leq\frac{e^{L_{f}()t}-1+L_{\rho_{1}}1}{1+L_{\rho_{1}}}\sup_{r_{1}u\in[-r1,]^{n}}|\rho_{1}(u)-\rho 2(u)|$である. ただし,$L_{f},$$L_{\rho_{1}}$はそれぞれ $f,$$\rho_{1}$(6)の Lipschitz 定数である.

(7)

81

証明.

$F(t, y)=f(y, \rho(y)),$$|t|\leq T,$$y\in \mathbb{R}^{n}$

とおく.

$f,$

$P$

はそれぞれ

$\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{p}_{\mathrm{S}\mathrm{C}\mathrm{h}}\mathrm{i}\mathrm{t}\mathrm{Z}$

連続な関

数ゆえ
$\exists L_{f}>0$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$.

$||f(y_{1}, v1)-f(y_{2}, v_{2})||\leq L_{f}(||y1-y2||+|v_{1}-v2|)$

for$\exists L_{\rho}>0$$\mathrm{s}.\mathrm{t}$が成り立つ. これより,.

$\forall(y_{1}, v_{1}),$ $\forall(y2, v_{2})\in \mathbb{R}^{n}\cross \mathbb{R}$$||\rho(y_{1})-\rho(y2)||\leq L_{\rho}||y_{1}-y2||$$\forall|t|\leq T,$$\forall y_{1},$$\forall y_{2}\in \mathbb{R}^{n}$for$\forall y_{2}\in \mathbb{R}^{n}$$\forall y_{1},$に対して$||F(t,y1)-F(t, y_{2})||=||f(y1, \rho(y_{1}))-f(y2,\rho(y_{2}))||$$\leq L_{f}(||y_{1}-y2||+|\rho(y_{1})-\rho(y2)|)$$\leq L_{f}(||y1-y2||+L_{\rho}||y1-y_{2}||)$$=L_{f}(1+L_{\rho})||y1-y_{2}||$となる. したがって, 関数 $F$ は$y$について Lipschitz 条件を満たすので,[5] により状態方程式の解の–意存在が得られる.

(a) $x(t)=x(t, x0, \rho)$ とおくと, $x(t)$ は初期条件$x(\mathrm{O})=x_{0}$を満たす $[0, T]$ における (3) の解であるので$x(t)=x_{0}+ \int_{0}^{t}f(X(s),\rho(x(s)))d_{S}$,.

$0\leq\forall t\leq T$(1), (4) より$||x(t)|| \leq||x_{0}||+\int_{0}^{t}||f(X(\mathit{8}), \rho(X(s)))||dS$$\leq r+\int_{0}^{t}M_{f}(||_{X}(S)||+|\rho(x(S))|+1)d_{S}$$\leq r+\int_{0}^{t}M_{f}(||x(S)||+r_{2}+1)ds$が得られる. よって$||x(t)||+r_{2}+1 \leq(r+r_{2}+1)+\int_{0}^{t}M_{f}(||x(s)||+r_{2}+1)ds$

となり,

for

$\forall t\in[0,T]$

Grownwall の不等式 [5] より$||x(t)||+r2+1\leq(r+r2+1)eMfT$となる. ゆえに$||x(t)||\leq re^{M_{f}T}+(r_{2}+1)(e^{M_{f}\tau_{-1}})$が得られる.

(b)$\rho_{1},$$\rho_{2}\in\Phi$$x(t, x0, \rho 1),$とし, フィードバック$x_{2}(t)=x(t, x_{0,\rho 2})$$\rho_{1},$$\rho_{2}$に対する状態方程式 (3) の解をそれぞれ $x_{1}(t)=$とすると$||x_{1}(t)-X2(t)|| \leq\int_{0}^{t}||f(X1(s),\beta_{1}(x_{1}(S)))-f(X2(s),.\rho 2(X2(s)))||d_{S}$82となる. (5) 式より $||x_{2}(S)||\leq r_{1}$ であるから$||f(x_{1}(_{S}), \rho 1(x_{1}(s)))-f(x2(_{S}), \rho 2(x_{2}(S)))||$$\leq L_{f}(1+L_{\rho 1})||_{X_{1}}(_{S)X}-2(_{S})||+L_{f}|\rho_{1}(x_{2}(S))-\rho_{2}(x_{2}(s))|$$\leq L_{f}(1+L_{\rho})1||x1(_{S)}-x_{2}(S)||+Lf$$|\rho_{1}(u)-\rho_{2}(u)|$$\sup$$u\in[-r_{1r_{1}1},n$となる.

ここで記号を簡単にするために$\alpha=$$|\rho_{1}(u)-\rho_{2}(u)|$$\sup$$u\in[-r_{1},r1]^{\mathcal{R}}$とおくと$||x_{1}(t)-x2(t)|| \leq\int_{0}^{t}L_{f(1}+L_{\rho_{1}})\{||x_{1}(S)-X_{2(s)}||+\frac{\alpha}{1+L_{\rho_{1}}}\}ds$となる. 両辺に $\alpha/(1+L_{\beta 1})$ を加え, 再び Grownwall の不等式 [5] を用いると$||x_{1}(t)-x_{2()||+\frac{\alpha}{1+L_{\beta 1}}}t \leq\frac{\alpha}{1+L_{\rho_{1}}}e^{L_{f}()t}1+L_{\rho 1}$が得られ, (7) 式が示せた.

ファジィ制御におけるフ. イ一ドバック則
より構成されているとする :さて,if$x_{1}$is$A_{i1}$and... and$x_{n}$is$A_{in}$与えられた定数 $\Delta_{ij}>0(i=1, \ldots, l;j=1, .
$F_{\Delta_{ij}}=\triangle${$r_{1}$

then

$y$

is

$(i=1, \ldots, l)$$B_{i}$

は (6) 式による.

.

.‘’ n)$ および十分大きな定数 $r_{2}>0$ に対して

: $|\mu(x)-\mu(x^{i})|\leq\Delta_{ij}|x-X^{;}|$ for$\mu:[-r_{1},$ $r_{1}]arrow[0,1]$

とおく. ただしは以下の 個のファジィ if-then ルールに$l$$\rho$$\forall x,\forall x’\in[-r_{1},$$r_{1}]$

}

(8)

また

$\mathcal{L}=\triangle\{\mu\in L^{2}[-r_{2}, r2] :0\leq\mu(y)\leq 1\mathrm{a}.\mathrm{e}.

(9)y\in[-r_{2}, r_{2}]\}$

とおく.

以下では, ファジィ集合

シップ関数$\mu_{B_{i}}$はそれぞれ$A_{ij}$のメンバシップ関数$F_{\Delta_{ij}}$$\mu_{A_{ij}}$

およびファジィ集合$(i=1, \ldots , l;j=1, \ldots, n)$ および$\mathcal{L}$$B_{i}$のメンバに属しているとする.

このとき, メンバシップ関数全体の集合は以下の直積集合(10)$\mathcal{F}^{\triangle}=\prod_{i=1}^{\iota}\{=\prod_{j1}^{n}F\Delta_{i}j\}\mathrm{x}\mathcal{L}^{l}$で表すことができる. 表現を簡単にするために, 前件部と後件部のメンバシップ関数の多重対をそれぞれ以下のように表す.
$A_{i}=(\mu A_{i1}\triangle, \ldots, \mu_{A_{in}})$$(i=1, \ldots, l)$,$A=(A_{1}\triangle, \ldots, A_{l})$,$B=(\mu B_{1}, \ldots, \mu B\iota\triangle)$.

83ある定数 $\delta>0$ に対して$\mathcal{F}_{\delta}=\triangle\{(A, B)\in \mathcal{F}:\int_{-r_{2}}^{r_{2}}\beta_{B_{i}A_{i}}(x, y)dy\geq\delta$

とおき,for $\forall x\in[-r_{11}, r]^{n},\forall i=1,$

ファジィ規則 $(A, B)\in$ 乃に対するフィードバック則$\rho AB(X)=\rho Ae(x_{1},$ $\ldots,$

を以下の計算により構成する$[\cdot 7]$$x_{n}\rangle$

:

(11)

$\iota\}$$\ldots,$.

$[-r_{1}, r_{1}]^{n}arrow \mathbb{R}$.
(12)$\rho_{A\mathcal{B}(_{X)}}=\triangle\frac{\sum_{i=1}\iota\int-r_{2r_{2}}y\beta B_{i}Ai(X,y)dy}{\sum_{i=1}^{\iota}\int_{-}r_{2r_{2}}\beta BiAi(_{X},y)dy}$

ただし,$x=(x_{1}, \ldots, x_{n})\in[-r_{1}, r_{1}]^{n},$ $y\in[-r_{2}, r_{2}]$$\alpha_{A_{i\backslash }}(_{X})^{\triangle}=\bigwedge_{=j1}n\mu_{A}ij(X_{j})$に対して$(i=1, \ldots, l)$$\beta_{B_{i}A_{i}}(X, y)^{\triangle}=\alpha A_{i}(_{X)\mu B()}iy$$(i=1, \ldots, l)$

(13)
(14)

である.

(1)

注意.

$\mathcal{F}_{\delta}$の定義の中の条件を次のより弱い (実用的な) 条件$\sum_{i=1}^{l}\int_{-r}^{r\mathrm{z}_{2}}\beta B_{i}Ai(_{X}, y)dy’-\delta\backslash _{>}$$\forall x\in[-r_{1}, r_{1}]^{n}$に置き換えても, この論文の結果は証明の適当な変更により成り立つ.

これについては, 紙

面をあらためて別の機会に述べることとする.

(2) (12) $-(14)$ 式で構成されたフィ一ドバック則は上で述べた Mamdani の推論法を変更して(14) 式は演算 V のかわりに積を用い, 推論結果の計算と非ファジィ化の計算を同時に行う (12) 式を用いた.

いる.

命題 2.

(a)
(b)

$(A, B)\in$ みとする$\rho AB$は $[-r_{1}, r_{1}]^{n}$ 上で Lipschitz 連続.

に対して $|PAg(X)|\leq r_{2}$ .

$\forall x\in[-r_{1}, r_{1}]^{n}$証明.

. このとき以下の (a), (b) が成り立つ.

(a) 各 $i=1,$$l$$\ldots,$に対して写像$\alpha_{A_{i}}$は $[-r_{1}, r_{1}]^{n}$ 上で Lipschitz 連続である [6].

ここで$g(x)= \sum_{i=1}.\int_{-r_{2}}^{r_{2}}y\beta BiAi(x, y)dy$$h(x)= \sum_{i=1}^{l}\int_{-}r_{2}(_{X}r2\beta_{B}iAi’ y)dy$

とおくと, 任意の

$x_{1},$$x_{2}\in[-r_{1}, r_{1}]^{n}$に対して$|g(x_{1})-\mathit{9}(X2)|\leq r_{2}^{2}lL||x_{1}-x2||$

(15)

84

(16)

$|h(x\iota)-h(X2)|\leq 2r_{2}lL||x_{1}-X2||$となる. ただし $L$ は $\alpha_{A:}(i=1, \ldots, l)$ の Lipschitz 定数の最大値である.

任意の $x\in[-r_{1}, r_{1}]n$ に対して $h(x)\geq l\delta,$$|g(x)|\leq r_{2}^{2}l,$$|h(x)|\leq 2r_{2}l$であり, また (15),(16) 式より$|\rho Ag(X1)-\rho Ag(X_{2})|$$. \frac{|g(_{X_{1}})-g(x_{2})||h(x_{2})|+|h(_{X_{1}})-h(x_{2})||g(X_{2})|}{(l\delta)^{2}}$$\leq$$\frac{4r_{2^{3}}L}{\delta^{2}}||_{X_{1}}-x_{2}||$$\leq$

が成り立つ. ゆえに$\rho AB$の Lipschitz 連続性が証明された.

(b) 不等式 $g(x)\leq r_{2}h(x)$ が成り立つことに注意すると, 任意の $x\in[-r_{1}, r_{1}]^{n}$ に対して$| \rho_{A}\beta(X)|=|\frac{g(x)}{h(x)}|\leq r_{2}$が得られる.

有界な Lipschitz 連続関数となく, その定義域を$\mathbb{R}^{n}$$\rho:[-r_{1}, r_{1}]^{n}arrow \mathbb{R}$を, Lipschitz 定数および有界性を変えるこ

全体に拡張することができる. 実際,:$\tilde{p}$$\mathbb{R}^{n}arrow \mathbb{R}$を以下のように定義すればよい:.

$p(x_{1}$$\tilde{\rho}(x)=\tilde{\rho}(x1, \ldots,x_{n})=$,... ,$x_{n})$,$\{$$\rho(\in(X_{1})r_{1}, \ldots, \epsilon(x_{n})r_{1})$

.

.

,

if $x\in$if$[-r_{1},r_{1}]^{n}$$x\not\in[-r_{1},r_{1}]^{n}$

ただし$\epsilon(u)=$
である.

さて,

$(A, B)\in$ 乃とすると,Lipschitz 連続であり, さらに

命題 2 および上述の事実から$\rho AB$$\rho AB$の拡張$\tilde{\rho}AB$は$\mathbb{R}^{n}$

上でと同じ Lipschitz 定数を持ち$\sup_{u\in \mathbb{R}^{n}}|\tilde{\rho}A\beta(u)|\leq r_{2}$を満たす. ゆえに命題 1 から状態方程式 (3) はフィ一ドバック則$x_{0}$のもとで–意の解 $x(t,$$x_{0,\tilde{\rho}_{Ag)}}$$\tilde{\rho}_{A}e$を持つことがわかる. 1 的にに対して初期条件$\rho AB$

意には決まらない. しかし解 $x(t, x0,\tilde{\rho}AB)$ は命題 1 の (7) 式により定まる. そこで以下ではフィードバック則$\rho$$\tilde{\rho}A\mathcal{B}$を$\rho A\mathcal{B}$の拡張である$\rho AB$$x(\mathrm{O})=$$\tilde{\rho}AB$はによって–意的にと記述する.

によるこのシステムの性能を評価関数$J= \int_{B_{r}}\int_{0}^{T}w(X(t, \zeta,\rho), \rho(x(t, \zeta, \rho)))dtd\zeta$

によって評価する. ここで,$w$:$\mathbb{R}^{n}\cross \mathbb{R}arrow \mathbb{R}$(17)は連続な正値関数である. 以下の定理は, (17)式で与えられる評価関数を最小にするファジィ制御規則が存在することを保証している.

85

定理.

写像
$(A, B) \in \mathcal{F}_{\delta}-t\int_{B_{\mathrm{r}}}\int_{0}^{T}w(x(t, \zeta,\rho A\mathcal{B}), \rho AB(X(t, \zeta, \rho AB)))dtd($は (11) 式によって定義されるコンパクト距離空間において最小値 (最大値) を持つ.

$F_{\delta}$

分割して証明する.

証明(i) $F$ のコンパクト性: AscoIi の定理により, 各 $i=1,$
は区間$[-\Gamma_{1}, r_{1}]$$\ldots,$$l,$$j=1,$$\ldots,$

$n$

に対して,

上の連続関数空間 $C[-r_{1}, r_{1}]$ の部分空間として, 一様ノルム

パクト集合になる [3]. –方, 命題 1 の (b) により,$\mathcal{L}$$||\cdot||_{\infty}$$F_{\Delta_{ij}}$でコンは弱位相に関してコンパクト距離空間

Tychonoff の定理によりである. ゆえに,$F= \prod_{i=}l1\{=\prod_{j1}^{n}F\Delta_{i}\mathrm{j}\}\cross \mathcal{L}^{l}$は直積位相に関してコンパクト距離空間である.

(ii) みのコンパクト性:
対して,$karrow\infty$$\{(A^{k}, B^{k})\}\subset \mathcal{F}_{\delta}arrow(A, B)\in \mathcal{F}$と仮定すると, 各 $i=1,$$l$$\ldots,$にのとき$||\alpha_{A_{:}^{k}}-\alpha_{A_{i}}||_{\infty}=\triangle$$\sup$$|\alpha_{A_{i}^{k}}(_{X})-\alpha_{A}(_{X}i)|arrow 0$$x\in[-\gamma 1,r1]^{n}$および$\mu_{B^{k}}arrow\mu_{B_{i}}$weakly on$L^{z}[-r_{2}, r_{2}]$が成り立つ. そこで $x\in[-r_{1}, r_{1}]^{n}$ を固定すれば, 各 $i=1,$$l$$\ldots,$に対して$\int_{-r_{2}}^{r2}\beta_{B}iAi(x, y)dy=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}karrow\infty\int_{-r_{2}}^{r_{2}}\beta_{B^{k}A^{k}}ii(X, y)dy\geq\delta$が得られる. よってみの定義より $(A, B)\in$ 乃である. ゆえに乃は$\mathcal{F}$の閉部分集合としてコンパクト距離空間である.

(iii) フィードバック関数の定義式 (12) より$x \in[^{\sup_{r_{1}}}-r_{1},]^{n}|\rho A^{k}\mathcal{B}^{k}(X)-\rho Ag(X)|\leq\frac{r_{2}}{l\delta^{2}}\{2\sum_{i=1}^{l}|\int_{-}r2dy\mu_{B_{i}^{k}}(y)y-\int_{-r_{2}}^{r}2dy\mu B_{i}(y)y|r2$$+r_{2} \sum_{1i=}^{\iota}|\int^{\Gamma}-r_{2}.d2\mu B_{i}k(y)y-\int^{r_{2}}-r_{2}\mu Bi(y)dy|\}$$+ \frac{4r_{2}^{3}}{l\delta^{2}}\sum_{1i=}^{l}||\alpha A^{k}-\alpha_{A}|i|i\infty$が成り立つ. ここで$\mathcal{F}_{\delta}$

において $(A^{k}, B^{k})arrow(A, B)$ と仮定し, $(t, \zeta)\in[0, T]\mathrm{x}B_{r}$ を固定すれば上述の式から

lhn$\sup$$karrow\infty_{x\in[-r}1,r1]^{n}$$|\rho_{A^{k}B^{k}}(x)-\rho A\epsilon(x)|=0$

(18)

86

が成り立つ. よって命題 1 の (b) により$\lim_{karrow\infty}||x(t, \zeta, \rho_{A}kgk)-x(t, \zeta, \rho AB)||=0$(19)となる. さらに (18), (19) 式および命題 2 の (a) により$\lim_{karrow\infty}\rho_{A\mathcal{B}}kk(X(t, \zeta, \rho A^{k_{\beta}k}).)=\rho AB(X(t, \zeta, \rho Ae))$が成り立つ. ここで, $w$ :$\mathbb{R}^{n}\cross \mathbb{R}arrow \mathbb{R}$(20)は正値連続関数であるので, (19), (20) 式と Lebesgueの有界収束定理 [3] により, 写像$(A, B) \in F_{\delta}\vdasharrow\int_{B_{r}}\int_{0}^{T}w(x(t, \zeta,\rho AB), \rho AB(X(t, \zeta, \rho AB)))dtd\zeta$

はコンパクト距離空間ゐで連続となる. ゆえに最小値 (最大値) が乃上に存在する.

4

おわりに
本論文ではメンバシップ関数集合$\mathcal{L}_{\delta}$のコンパクト性および Mamdani 推論法の連続性を調べ, その結果を用いてファジィ最適制御の存在を証明した.

これらの結果はファジィ制御

規則の逐次近似の収束性の解析に有用な道具を与えるものと考える.

参考文献[1 梅垣壽春他, 測度積分確率, 共立出版株式会社, 1987.

[2 藤田宏他, 関数解析, 岩波書店, 1991.
[3 コルモゴロフ, フォミーン, 函数解析の基礎, 岩波書店, 1979.
[4] Mamdani, E.H., Application of fuzzy algorithms for control of simple dynamic plant,
Proc. IEEE 121, No. 12, 1585-1588, 1974.
[5] Miller,$\mathrm{R}.\mathrm{K}$. and Michel, A.N., Ordinary Differential Equations, Academic Press, New

York, 1982.
[6] 師玉康成他, ファジィ集合族のコンパクト性とファジィ最適制御の存在, 日本応用数理学会論文誌, Vol. 6, No. 11996.

[7] 菅野道夫, フアジイ制御, 日刊工業新聞社, 1991.
[8] Zadeh, L.A., Fuzzy algorithms, Information and Control 12, 94-102, 1968.