数理解析研究所講究録1089 巻 1999 年 186-190

186

正再帰マルコフ連鎖に関する初再帰時間の分数幕モーメントについて
東京工業大学名古屋市立大学
横浜国立大学1

志賀徳造 (SHIGA Tokuzo)
清水昭信 (SHIMIZU Akinobu)
曽雌隆洋 (SOSHI Takahiro)

問題と結果上の連続時間マルコフ連鎖とする。 マは状態空間は可算集合とし、$p_{t}(x,y),$$y\inS$で表し、 その生成行列を $\{q(x, y)\}x,y\in s$ で表す。
ルコフ連鎖の推移確率は$x,$
ここで、 $q(x)=-q(x, x)$ とおく。
は既約かつ正再帰を仮定する。 $T$ を初再帰時間、
ここで、マルコフ連鎖
すなわち

$S$

$S$

$(X_{t}, P_{x})_{t}\geq 0,x\in s$$(X_{t}, P_{x})_{t}\geq 0,x\in s${

and$T= \inf$ $t>0;X_{t}=X_{0}$$X_{s}\neq X_{0}$$s<t$ }

for someとする。 これらの仮定の下で、 $E_{x}[T]<+\infty$ であり、 唯– の定常分布\mbox{\boldmath $\pi$} $=(\pi(x))$ が存在と表される。
し、$\pi(x)=\frac{1}{q(x)E_{x}[\tau]}$$(\mathrm{X}_{t}, \mathrm{p}_{\mathrm{X}}^{(n)})$は推移行列$\{\mathrm{p}_{t}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\}_{\mathrm{x},\mathrm{y}}\in Sn$が$\mathrm{p}_{t}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\Pi_{j=1}^{n}p_{t}(X_{j,y_{j}})$,の 重直積集合、は粒子系とする。 ここで、$\text{ }\mathrm{y}=(y_{1}, y2, \cdots, yn)\in S^{n}$をの初再帰時間とする。
粒子系とする。

で与えられる$\mathrm{T}$、$\alpha$$S$$S^{n}$$n$$\mathrm{x}=(x_{1}, x_{2}, \cdots, X_{n})\in S^{n}$$\mathrm{n}$$(\mathrm{X}_{t}, \mathrm{p}_{\mathrm{x}}^{(n)})$$n$

我々は、 次の問題を議論する。
を 1 以上の実数、 を自然数とする。 このとき、$n$$E_{x}[\tau^{\alpha}]<+\infty$$\mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{(n)}[\mathrm{T}^{\alpha}]<+\infty$が成立するだろうか ?

に対して、 $E_{x}[\tau^{\alpha}]<+\infty$ ならば $S$ 上の任意の に対して、のモーメントについて述べるときに、 特にであるので、 この報告を通して、 $T$ と

ここで、 $S$ 上のある$+\infty$ならば$x$$x$

初期状態については注意しないことにする。
$\alpha=1$ の場合、 問題は自明である。 なぜなら、$\pi^{(n)}=(\pi^{(}(_{\mathrm{X})}n))$$E_{x}[T^{\alpha}]<$$\mathrm{T}$$n$粒子系は正再帰でありその定常分布は$\pi^{(n)}(\mathrm{x})=\Pi_{j=1}^{n}\pi(X_{j})$,for$\mathrm{x}=(x_{1}, x_{2}, \cdots, X_{n})\in S^{n}$187であるからである。
.
次の結果が得られる。
定理 $1.\alpha>1$ とする。 そのとき、 次の (a) と (b) は同値である。
$(a)$$E_{x}[\tau^{\alpha}]<+\infty$$(b)$$\lim_{\lambda\downarrow}\sup_{0}\int_{0}^{+\infty}e^{-\lambda}t^{\alpha}-2(t(ptx, x)-\pi(x))dt<+\infty$

に関する期待値を上の直積測度尾に対し、, を次で定義する :$\Omega\cross\Omega$$\otimes P_{x}$$\mathrm{T}_{i},$$i=1_{\gamma}2$$\mathrm{T}_{1}(\omega, \omega’)=T(\omega)$

尚、 この報告を通して、し‘$E_{x}\otimes E_{x}[\cdot]$で表す。任意の$(\omega, \omega’)\in\Omega\cross\Omega$$-$$\mathrm{T}_{1\text{、}}$

T2 をそれぞれ$\log_{+}x=(\mathrm{I}\mathrm{o}\mathrm{g}x)\vee 0_{\text{、}}x_{+}=x\vee 0$定理 2.

,$\mathrm{T}_{2}.(\omega, \omega’)=\tau(\omega^{;})$$T_{\text{、}}T’$で表すことにする。 任意の実数に対で表す。

.

.

(i) $\alpha>-1$ とする。 そのとき、 次の (a) と (b) は同値である。
$(a)$

$(b)$

$E_{x}\otimes E_{x}[T\tau’(\tau\wedge T’)^{\alpha}+1]<+\infty$$1^{+\infty}t^{\alpha}(p_{t}(x, x)-\pi(X))^{2}dt<+\infty$(ii) 次の (c) と (d) は同値である。
$(c)$

$(d)$

定理 3.

2

$\alpha\geq 1$$E_{x}\otimes E_{x}[T\tau’\log_{+}(T\wedge T’)]<+\infty$$1^{+\infty}t^{-1}(p_{t}(_{X}, x)--\pi(X))2dt<+\infty$とする。 次の (a) と (b) は同値である。
$(a)$$E_{x}[\tau^{\alpha}]<+\infty$$(b)$$\mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{(n)}[\mathrm{T}^{\alpha}]\leq+\infty$

動機と応用において、 各 colony $x\in S$ に滞在する粒子数のみに着目したマルコフ連鎖を考える。 これは、 次の

$n$

粒子系

$(\mathrm{X}_{t}, \mathrm{P}_{\mathrm{x}}^{(n)})$$I_{n}= \{\alpha=\{\alpha_{k}\}_{k}\in s;\alpha_{k}.\in Z_{+},\sum_{k\in S}\alpha_{k}=n\}$188を状態空間とし、 生成行列 $Q$ は、$\alpha_{k}q(k, k’)$
$Q_{\alpha\beta}=\{$$\Sigma_{k\in s^{\alpha_{k}q}}(k, k)$で与えられる。
に対して、の元$S^{n}$。

$\mathrm{x}$$I_{n}$,,if
if$\beta=\alpha-\epsilon_{k}+\epsilon k^{J}$$\beta=\alpha$,,とする。 即ち、が唯– に定まる。 この写像をに対して、とおく。 任意のの元$\Gamma_{\alpha}=\{\mathrm{x}\in S^{n};.\varphi(\mathrm{X})=\alpha\}$$\alpha$$\varphi$$\varphi(\mathrm{x})=\alpha$$\mathrm{x}.\in.\Gamma_{\alpha}$$q( \mathrm{x}, \Gamma_{\beta})=\sum_{\mathrm{y}\in\Gamma_{\beta}}q(\mathrm{x}, \mathrm{y})$は、方、である。に依存しない。 これが上記からへの移住率とする。 stepping stone Fleming-Viot process の定を$Q_{\alpha\beta}$$\mathrm{x}\in\Gamma_{\alpha}$$\{q_{k’k}\}$

$k’$

$k$

常状態においてある遺伝的量 (無作為抽出した有限個の遺伝子の中の対立遺伝子数の平均の期待値) のみたす式を考える。 これは用いて表される。

$\epsilon_{k}=(\delta_{ki})_{i\in}s$を状態空間とし、 次の行列

$I= \bigcup_{n=1}^{\infty}I_{n}$$\{Q_{\alpha\beta}^{m}\}$をとして、$+ \frac{\theta}{2}\alpha_{k}$$\alpha_{k}mq_{kk}’$$Q_{\alpha\beta}^{m}=$$- \Sigma_{k\in S}(+\frac{\theta}{2}\alpha_{k})+\Sigma_{k\in}s\alpha_{kq}mkk$$0$$\iota$if
if,
if
otherwise,,,,$\beta=\alpha-\epsilon_{k}$,$\beta=\alpha-\epsilon_{k}+\epsilon_{k}’(k\neq k’)$,$\beta=\alpha$

この行列で生成されるマルコフ連鎖は、 1 つの colony に 2 個以上の粒子があるときは、一定の割合で、 粒子数が 1 つ減る (coalescent) という運動となっている。
は次の式をみたす :とすると、粒子数が 1 っ減る時間を$T_{0}$$E_{\alpha}[T_{0}]=u_{m}(\alpha)$$\sum_{k’}\alpha_{k}mqk\prime kum(\alpha-\epsilon_{k}+\epsilon k’)-V(\alpha)um(\alpha)=-1$$q(k, k’)=q_{k’k}$とすると.
$m \sum_{\beta}Q_{\alpha\beta}u_{m}(\beta)-V(\alpha)u_{m}(\alpha)=-1$である。 ここで、 $V( \alpha)=\sum k\in S(+\frac{\theta}{2}\alpha_{k})$ である。
この式は、$\mathrm{x}\in\Gamma_{\alpha}$のとき、$m \sum_{\mathrm{y}}q(\mathrm{x}, \mathrm{y})um(\varphi(\mathrm{y}))-V(\varphi(\mathrm{X}))u_{m}(\varphi(\mathrm{X}))=-1$とかける。 有界な解の–意性から$\overline{V}(\mathrm{x})=V(\varphi(\mathrm{x}))$として、$m \sum_{\mathrm{y}}q(\mathrm{x}, \mathrm{y})vm(\mathrm{y})-\overline{V}(\mathrm{x})v_{m}(\mathrm{x})=-1$

189を考えることと同値である。 この式において、の極限を考える。 即ち、移住率が非常に大きいときのについて調べる。
を遺伝的意味のある関数から離れて、 ある $0<c_{1}<c_{2}<+\infty$ に対して、 $0<$をみたす関数全体をとする。 ,が正再帰マルコフ連鎖であるとき、 任意のに対して$\dot{m}arrow+\infty$$v_{m}(\mathrm{x})$$\overline{V}\underline{(}\mathrm{x})$$c_{1}\leq V(\mathrm{x})\leq c_{2}$$\mathcal{V}$$\overline{V}\in \mathcal{V}$$\{q(\mathrm{x}, \mathrm{y})\}$

は定常分布による$<\overline{V}>$$\lim_{marrow\infty}v_{m}(\mathrm{X})=\frac{1}{<\overline{V}>},$$\overline{V}$の平均,$(*)$

であるが、 この収束の速さを問題にする。
を自然数とする。 任意のと任意の以上の速に対して, 収束 $(*)$ が$E_{x}(T^{2})<+\infty$さであることととが同値であることがわかる。 ここで、が同値かどうかが問題となる。
定理 3 によれば、$\overline{V}\in \mathcal{V}$$n$$\mathrm{x}\in S^{n}$$\frac{1}{m}$$\mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{(n)}(\mathrm{T}^{2})<+\infty$$\mathrm{E}_{\mathrm{X}}^{(n})(\mathrm{T}^{2})<+\infty$$E_{x}(\tau^{2})<+\infty$と$\mathrm{E}_{\mathrm{x}}^{(n)}(\mathrm{T}^{2})<+\infty$とは同値である。

次の例において、 $E_{x}(T^{2})=+\infty$ の場合の収束のオーダーについて考察する。

3
$S$

例
は非負整数の集合とする。 生成行列$\backslash Q=\{q(i, j)\}i,j\in s$ を次で定義する。 $i\geq 1$ に対.

して、[1,,$-(1+\alpha_{i})$ ,,$\alpha_{i}$$0$$\cdot$if $j=i+1$ ,if $j=0$ ,if $j=i$ ,otherwise,

そして、$q(\mathrm{O}, j)=\delta 1,j$とする。 行列 $Q$ で状態空間は同値である。
1$S$, for $j\geq 1,$$q(\mathrm{o}, \mathrm{o})=-1$

上に生成されるマルコフ連鎖が再帰であることと条件$\alpha_{i}=+\infty$

ここで、$\{\alpha_{i}\}$が正数 $C$ に対し$\alpha_{i}=\frac{C}{i}$, $i\geq 1$ ,で与えられるときに、 $Q$ で生成されるマルコフ連鎖を考える。 ここで、 $T$ は以前同様、初再帰時間を表す。 次の命題が成立する。

命題 3.1.
$E_{0}(T^{\alpha})<+\infty$となるための必要十分条件は $\alpha<C$ である。

190

上の命題を示すために、 次の補題が必要である。
補題 32.
$E_{0}(e^{-\lambda\tau})= \frac{C}{1+\lambda}\int_{0}^{1}\frac{t\overline{1+\lambda}}{\lambda+l}dt$

このマルコフ連鎖に対して、 式$m \sum_{j\in S}q(i, j)vm(j)-\overline{V}(i)v_{m}(i)=-1$をみたす、 関数 $v_{m}(i)$ を考える。 ここで、 関数$\overline{V}(i)=1+I_{\{0}\}(i)=\{$$\overline{V}(i)$1,2,はif $i\neq 0$ ,if $i=0$ ,という特殊なものを考える。 このとき$\lim_{marrow+\infty}v_{m}(i)=\frac{1}{1+\pi(0)}$($\pi$は前と同様にこのマルコフ連鎖の定常分布)である。 このとき、 収束の速さについて次の事実がわかる。
$C>2$ のとき
$v_{m}(0)- \frac{1}{1+\pi(0)}\sim-k_{1}(C)\frac{1}{m}$$(marrow+\infty)$$v_{m}(0)- \frac{1}{1+\pi(0)}\sim+\frac{2}{9}\frac{1}{m}\log\frac{1}{m}$$(marrow+\infty)$$v_{m}(0)- \frac{1}{1+\pi(0)}\sim-k_{2}(C)(\frac{1}{m})^{C-1}$$(marrow+\infty)$$C=2$ のとき

$1<C<2$ のとき
ここで、 $k_{1}(C)_{\text{、}}k_{2}(C)$ は正であり、 $\lim_{2C\downarrow}k_{1}(C)=+\infty,$ $\lim_{C\dagger 2}k_{2}(C)=+\infty$ となっている。

また、 $\pi(0)=1-$ きである。

参考文献[1] T.Shiga, A.Shimizu and T.Soshi: On the fractional moments of the first returning time
for positively recurrent Markov chains. (preprint)