クロス集計表と諸種の検定

臨床研究センター
谷岡健資

医学統計セミナー2019 於 臨床講堂Ⅱ

2019年度 医学統計セミナー
開催日
5月21日（火）
6月18日（火）
7月25日（木）8月22日（木）9月26日（木）10月17日（木）11月14日（木）12月 3日（火）1月23日（木）2月27日（木）講義内容
記述統計・グラフ表示・統計ソフトウェア
単群・2群比較のための諸種の検定
分散分析と多重比較
相関分析と回帰分析
クロス集計表の解釈と諸種の検定
ロジスティック回帰分析
生存曲線の推定と比較
Cox比例ハザードモデル
感度・特異度・ROC曲線とその比較繰り返し測定の分散分析、混合効果モデル

目次

はじめに
一標本の母比率に関する検定
カイ自乗検定
Fisherの正確検定
因果関係と連関関係
オッズ比およびその信頼区間
対応のあるクロス集計表について
K×lクロス集計表におけるカイ2乗値

1.はじめに質的データについて （東京大学教養学部統計学教室, 1994）
名義尺度
観測値が単に対象のカテゴリーを示しているデータ
順序尺度
観測値が序数としての意味をもち，対象間の順序付けを示しているデータ
間隔尺度
観測値が任意の単位の何倍という形で示され，測定値の差が意味をもつデータ
比例尺度
観測値が任意の単位の何倍という形で示され，さらに原点0が絶対的な意味をもっていて，差や比率も意味を持つ
データ

1.はじめに質的データの例（一標本）介入研究の例

ある癌の臨床試験で，単群の試験治療の奏効率は下記の通りであった．
試験治療によって奏功した被験者の人数
試験治療を受けた被験者の人数＝ 0.60観察研究の例
冠動脈疾患(CHD)患者のうち，喫煙者の割合は下記の通り
冠動脈疾患でかつ喫煙者の人数
冠動脈疾患患者の人数＝ 0.56

1.はじめに質的データにおける気を付けないといけない点
割合は単純な指標であるが実は気を付けないといけない点が多々ある
発生率（incidence rate）
ある一定期間内に新たにその疾患にかかった人数
その期間内に存在したリスク保有者の人数
存在率（prevalence）
特定時点に集団中に存在する対象疾患罹患者の数
その時点でその集団に属する人の総数⇒ 存在率はリスクの指標にはならないが，発生率はなりうる
同じ割合でも母集団や時点，期間等に留意する必要がある

1.はじめに

クロス集計表の作り方

ID

2群の比較を行う際，質的2変量データからクロス集計表を作成する

表1：質的データ（2変量）
喫煙の有無

ケース

1

喫煙者

冠動脈疾患

2

喫煙者

コントロール3

非喫煙者

コントロール

4

喫煙者

冠動脈疾患

5

非喫煙者

コントロール

…

…

…

N

非喫煙者

コントロール

表2：クロス集計表(Gordis, 2010)

冠動脈疾患患者 コントロール

合計

喫煙者

112 (0.56)

176 (0.44)

288

非喫煙者

88(0.44)224 (0.56)

312

合計

200 (1.00)

400 (1.00)

600

1.はじめに

クロス集計表で気を付けないといけない点
ケースコントロール研究

要因
結果

曝露歴あり

曝露歴なし

曝露歴あり

疾患あり

曝露歴なし

疾患なし

「疾患あり」(ケース)のなかで曝露歴ありと曝露歴なしを集める「疾患なし」(コントロール)のなかで曝露歴ありと曝露歴なしを集める
表2：クロス集計表(Gordis, 2010)

質問：冠動脈疾患の存在率は0.33である．正しいか？

1.はじめに

クロス集計表で気を付けないといけない点
ケースコントロール研究

表2：クロス集計表(Gordis, 2010)

質問：冠動脈疾患の存在率は0.33である．正しいか？
⇒ 正しくない
ケースコントロール研究において，「ケース：コントロール」の比を研究者が選択できるから「1:2」や「1:4」等ひとえに割合といっても気を付けないといけない点が多々存在する．

2.一標本の母比率の検定

母集団と標本について母集団例) 試験治療の有効性に関する母比率
無作為化
抽出

統計的推測

標本例) 試験治療の有効性に関する標本比率
標本比率から母比率を推定する(区間推定・点推定)
母比率がある比率より小さいか（大きいか）等を検定する

2.一標本の母比率の検定
あるクリニックで有効率が0.6といわれている薬剤を10人の患者に投薬したところ，2人しか有効でなかった．
⇒ 薬剤の有効率が疑問
有効率が0.6より低いかどうかを確認せよ (柳川・荒木, 2010)．
母集団
当該薬剤の対象患者無作為抽出

観測値
10人中2人有効知りたいこと(有効率が閾値より低い？)

閾値0.6

有効割合

検定0.2 (20%)

参考：柳川・荒木：バイオ統計の基礎，近代科学社, 2010.

2.一標本の母比率の検定
帰無仮説：薬剤の母集団での有効率 = 0.6
対立仮説：薬剤の母集団での有効率 < 0.6
検定の概要
Step 1: 帰無仮説と対立仮説を設定する
Step 2: 帰無仮説が成り立つと仮定する
Step 3: 帰無仮説のもとで標本（データ）比率が得られる可能性を検討する
Step 4: 帰無仮説のもとで標本比率が得られる可能性が低い⇒そもそも帰無仮説のもとで得られた標本比率でないと考える
帰無仮説を棄却（対立仮説を主張する）
帰無仮説のもとで標本比率が得られる可能性を否定できない
帰無仮説を否定する根拠がない（帰無仮説を受容する）

2.一標本の母比率の検定
帰無仮説：薬剤の母集団での有効率 = 0.6
対立仮説：薬剤の母集団での有効率 < 0.6
帰無仮説：薬剤の母集団での有効率 = 0.6

Case 1
下側信頼限界

Case 20.6

Case 1: 帰無仮説のもとで当該母比率が得られる可能性低い⇒帰無仮説を棄却（対立仮説を主張する）
Case 2: 帰無仮説のもとで当該母比率が得られる可能性を否定できない⇒帰無仮説を受容2.一標本の母比率の検定
1：「分析」→「1変量の分布」で変数を選択
2： 変数(ここでは「有効か否か」)の▼から「割合の検定」を選択
3：「仮説割合」の右側の白い箱の中に0.60を入力し，「割合が仮説値より小さい」にチェックを入れる．

P値が0.0123⇒帰無仮説が棄却され対立仮説が支持される⇒当該クリニックでの当該薬剤の有効率が0.6よりも低いことが示された．

2.一標本の母比率の検定
母比率の点推定値
母比率の点推定値は通常の比率を計算可能
例）薬剤のさきほどの例
2 / 10 = 0.20
母比率の区間推定値
母比率の95%信頼区間の意味は下記の通り
例）95%の確率で当該区間に母比率が入る
例）薬剤のさきほどの例[0.035, 0.558]⇒母比率の95%信頼区間を狭く推定しようとすると量的なものと比較して（分散に勿論依存するが）広くなる傾向にある

2.一標本の母比率の検定

Kurokawa et al., BJC, (2014)

対象：HER2陽性の進行・再発胃がん患者
ヒストリカルコントロール：フッ化ピリミジン系抗がん剤(S1)＋CDDP
奏効率 = 35%
試験治療：S1+CDDP+Tmabの併用療法
奏効率＝68% ( 36例 / 53例 )母集団

HER2陽性進行・再発胃がん患者

無作為抽出

観測値
53人中36人
p値<0.001 ⇒ 有意
奏効95%CI ⇒ [0.535, 0.797]知りたいこと(奏効率が閾値より高い？)閾値0.35
HistoricalControl

奏効割合

検定

0.68 (68%)

本治療レジメンは，HER2陽性の進行・再発胃がん患者に対して，⇒ 非常に有望であると結論

3.カイ自乗検定

母集団と標本について2標本の比率の差の検定について扱う

母集団例)

試験治療の有効性に関する母比率

無作為化
抽出例)

既存治療の有効性に関する母比率

統計的
推測
標本

試験治療の有効性に関する標本比率

既存治療の有効性に関する標本比率

3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例(Tsujinaka et al., Lancet, 2013)．
消化器癌(上部消化器，下部消化器)に対する外科治療に対する縫合術(真皮縫合術，スキンステープラー)の比較の結果を以下に示す．
評価項目：創合併症の発現
創合併症あり創合併症なし計

真皮縫合術

47 (0.084)

511 (0.916)

558

スキンステープラー

59 (0.115)

455 (0.855)514計

106 (0.099)

966 (0.901)

1072

縫合術の違いによって，創合併症に違いがあるだろうか？

3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例

帰無仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立である
対立仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立とはどんな状況？
元の表

帰無仮説のもとでの表

3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例

帰無仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立である
対立仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立とはどんな状況？
帰無仮説のもとでの表
106 × 558
= 55.21072
106 × 514
= 50.81072

966 × 558
= 502.81072
966 × 514
= 463.21072

例：真皮縫合術のもとで創合併症が生じる確率が独立ということは「創合併症が生じる」の確率 と 「真皮縫合術を実施する」確率のはそれぞれ影響を与えない⇒それが各セル（上記だと4つのセル）で起こっている3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例

帰無仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立である
対立仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない状況とは？
帰無仮説のもとでの表「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立である状況の表から乖離している表を「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない状況の表とする

3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例

カイ2乗検定とは，縦の項目(変数)と横の項目(変数)に関連性がない状況(縫合術によって創合併症が違いがない)でのクロス集計表からの乖離を評価する．

期待度数(関連性がない状況)

観測データ

創合併症あり創合併症なし

真皮縫合術

47511

スキンステープラー

59455

乖離

創合併症あり真皮縫合術
スキンステープラー

創合併症
あり

創合併症
なし

106 × 558
= 55.21072
106 × 514
= 50.81072

966 × 558
= 502.81072
966 × 514
= 463.2
1072

創合併症
なし

511 − 502.8 =8.2(8.2) 2 / 502.8 = 0.134(−8.2) 2 / 55.2 =1.218

47 − 55.2 =−8.2

59 − 50.8 =8.2(8.2) 2 / 50.8 = 1.324

455 − 463.2 =−8.2(−8.2) 2 / 463.2 =
0.145

合計はカイ2乗値と呼ばれ，カイ2乗値を用いることでｐ値を計算することになる．

3.カイ自乗検定

カイ自乗検定を適用する具体例

帰無仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立であるc
対立仮説：「外科治療に対する縫合術」と「創合併症」は独立でない
カイ自乗分布（自由度1）
上側信頼限界

Case 1Case 2

Case1
手元の表が独立な表から得られた可能性を否定できない⇒帰無仮説を受容Case2
手元の表が独立な表から得られた可能性が低い⇒そもそも帰無仮説を仮定していたことが間違っていたのでは（棄却）

横軸：独立な表との乖離度（意訳）JMPの結果

3.カイ自乗検定
データセットからクロス集計表作成・検定の場合
1：「分析」→「2変量の関係」で変数を選択
・目的変数：創合併症
・説明変数：縫合術
クロス集計表から検定の場合
1：「分析」→「2変量の関係」で変数を選択
・目的変数：創合併症
・説明変数：縫合術
・度数：度数p値=0.0941であることから，有意水準α=0.05のもとで有意でなかった．したがって，縫合術によって創合併症に違いがあるとは言えなかった．

3.カイ自乗検定

何故検定で評価するのか？比に関する留意点
２重盲検試験で，200例の患者に新薬が，別の200例の患者に偽薬が投与された．
前者では10例が感染症に罹患し，後者では20例が罹患した．この新薬は感染症の予Reigier (1982) [土屋・肥田・後藤 (1988)]
防に有効か．

■ 誤った解析新薬での罹患率 pˆ 1 =5= 0.05
200

疑薬での罹患率 pˆ 2 =10= 0.10
200

偽薬を服用した患者の疾病発生は，新薬を服用した患者における疾病発生の２倍であった．したがって，この薬は罹患率を半分にする．

■ 正しい解析(カイ2乗検定)
感染非感染

合計

新薬

10(A)

190(B)

200(n1)

偽薬20(B)

180(D)

200(n2)

合計

30(m1)

370(m2)400(n)n ⋅ (| A ⋅ D − B ⋅ C | −n / 2) 2
χ =n1 ⋅ n2 ⋅ m1 ⋅ m22
c400(| 10 ⋅180 − 20 ⋅190 | −400 / 2) 2=200 ⋅ 200 ⋅ 30 ⋅ 370= 2.92 p 値 0.087

したがって，有意差は認められない．

4.Fisherの正確検定
ある新薬の初期の臨床試験で，新薬19例，対照薬9例に割り当てた，その結果，副作用の有無が次の通りだった．副作用の発生率に差があるだろうか．
副作用

計あり

なし

新薬

11819

対照薬

459計

52328

Fisherの正確検定では，周辺度数(青色の部分)を固定したときに，現在のクロス集計表の状況が帰無仮説のもとでどれぐらいの確率で起こり得るかを評価する．
副作用

新薬対照薬
計

計あり

なし

O11

O12=n1-O11

n1O21=m1-O11

O22=N-O11-O21-O12n2m1m2N

周辺度数が固定されると，一つの度数(O11)が決まれば，残りの度数が定まる．

4.Fisherの正確検定

Fisherの正確検定とは

O11 = 1

O11 = 0
副作用

新薬対照薬
計

副作用

計

あり

なし

0519419新薬

9対照薬

52328計こうなる確率：p = 0.0013

新薬対照薬
計

副作用

計

あり

なし

1418519新薬

9対照薬

52328計こうなる確率：p = 0.0244

副作用

計

あり

なし

3216719新薬

9対照薬

52328計こうなる確率：p = 0.3549

計

あり

なし

2317619523289

こうなる確率：p = 0.01462

O11 = 4

O11 = 3副作用

O11 = 2

O11 = 5

副作用

計

あり

なし

4115819新薬

9対照薬

52328計こうなる確率：p = 0.3549

計

あり

なし

5014919523289こうなる確率：p = 0.1183

因みに，これらの確率分布は超幾何分布という確率分布を用いて計算できる．

4.Fisherの正確検定
0.40

確率

累積確率

0.35

1.000

1.00.882

0.90.80.30

確率0.25

0.6

0.527

0.20

0.5
0.4

0.15

0.3

0.10
0.05
0.00

0.2

0.172
0.001
00.026

0.1

0.026
123

45

累積確率

0.7

観測度数および観測度数よりも偏った確率の和(累積確率あるいは1-累積確率で0.5をまたがないいずれかの値)を求める．
両側対立仮説の場合は，0.026を2倍した0.052がp値である．

0.0O11

事例のp値は片側検定の場合に0.0256である:H1
両側検定の場合に0.0504である:H0

すなわち，両側検定のもとでは帰無仮説を支持できない(有意でない)

4.Fisherの正確検定

癌腫瘍をもつ20匹のマウスが得られているとする．
新しい試験薬の腫瘍に及ぼす効果を検討したい．
対照群のマウスにはプラセボだけを投与し，他方の群のマウスには新薬を投与する．腫瘍の大きさに変化があったかどうかを調べたところ，次のような結果になった．

Yang and Robinson (1986) [永井・後藤他 (1994)]

腫瘍の縮小

腫瘍の不変・拡大
合計

プラセボ

新薬

合計

1789312101020

この新薬は腫瘍の大きさを縮小するのに役立つといえるか．

4.Fisherの正確検定
誤った解析

正しい解析

■カイ２乗検定■Fisherの正確検定

p 値は0.023である．

p 値は0.0099である．

有意水準0.05のもとで，新薬は腫瘍の大きさを縮小する効果がある

有意水準0.01のもとで，新薬は腫瘍の大きさを縮小する効果がある■ 例数が少ないときにカイ2乗検定を用いるのは誤り．
■一部のセルに属する例数が少ない場合は要注意．

[帰無分布(p値を計算するための確率分布)での近似性能が悪くなる]

Fisherの正確検定を用いる

5.因果関係と連関関係

因果関係

因果関係とは，クロス集計表において2変数の関係が原因(説明変数)と結果(応答変数)で表すことができる状況である．

原因薬剤

新薬

結果
有効性

既存薬

有効無効

因果関係では，原因のほうが結果に比べて時間的に先でなければいけない．

連関関係
連関関係とは，クロス集計表において2変数の関係のみを表す関係である．

副作用Aありなし

連関関係には，時間的な概念は存在しない．

副作用Bありなし

6.オッズ比およびその信頼区間
消化器癌(胃癌，大腸癌)に対する外科治療に対する縫合術(真皮縫合術，スキンステープラー)の比較のデータを用いる．
真皮縫合術

R

スキンス
テープラー

創感染症あり創感染症なし創感染症あり創感染症なし創感染症 創感染症
あり
なし

陽性率

真皮縫合術

47 (a)

511 (b)p1=0.084

スキンステー
プラー59 (c)455 (d)p2=0.115

オッズとは，ある結果が生じる比率とある結果が生じない比率との比である．

0.115
0.084
,0.130
ステープラー==
真皮縫合術= = 0.092
1 − 0.115
1 − 0.084
オッズ比は，結果(所見の有無)に対してどれぐらい要因（検査法）が寄与しているかを表す．
p / (1- p ) a × d 47 × 455

オッズ比 =

1=== 0.709
p2 / (1 - p2 ) b × c 59 × 511
1■ 真皮縫合術はスキンステープラーに比べて0.709倍の創感染症の上昇が認められる．
■スキンステープラーは真皮縫合術に比べて1/0.709=1.410倍の創感染症の上昇が認められる．

6.オッズ比およびその信頼区間
JMPの計算(カイ2乗検定の手順後)▼からオッズ比を選択する．
1/1.40982=0.7093なので，逆数をとると先ほどと同じになる．

1.410
0.942

2.111
0.468

0.0

0.5

1.0
1.0

0.701
1.5

2.0

2.5

オッズ比の95%信頼区間が1.0をまたいでいることから，帰無仮説「オッズ比が1である」が有意水準0.05のもとで受容される．

オッズ比をグラフ表現する場合に対数目盛を用いることで，左右対称な信頼区間で表現できる．
0.1

1.0

10.0

7.対応のあるデータにおけるクロス集計表
対応がある場合 (同一被験者に2種類の検査をした場合)
検査A
行う

検査B

検査B

陰性
陽性

検査

全被験者 両方にクロス集計表

陽性

陽性

陰性

A

陰性

陽性

陰性

abcd

対応がある場合 (同一被験者に2種類の治療をした場合)：クロスオーバー試験
治療A

イベント有りイベント無しWashout

イベント有り

治療B

クロス集計表治療B治療

対応がない場合では，2群に分けられた後でそれぞれの群に対して異なる治療が行われる．これに対して，対応がある場合には，治療前後の比較，あるいは同一の個体に異なる治療・検査法が施される．

イベント無し

ありなし

あり

abなし

cd

7.対応のあるデータにおけるクロス集計表

治療A

治療B
治療A:有効
治療B:有効

治療A:有効
治療B:無効治療A:無効
治療B:有効治療A:無効
治療B:無効治療間被験者が独立でない

いま，ある2種類の治療法(治療A，治療B)が同一の被験者に対して実施された(クロスオーバー試験)．このとき，治療効果は後治療に影響がないほどウォッシュアウトされているとする．治療Ａと治療Ｂのどちらがよいか．

比較という観点からいくと・治療Aで有効なのに治療Bで無効(Aが優れている)割合「の領域」「治療A無し」かつ「治療B有り」数pˆ A =
標本サイズ

・治療Bで有効なのに治療Aで無効(Bが優れている)割合「の領域」「治療A有り」かつ「治療B無し」数pˆ B =
標本サイズを比較することになる．このような検定がMcNemear検定である．

7.対応のあるデータにおけるクロス集計表
下表は，皮膚かぶれの患者51名に湿布薬Aを右腕，湿布薬Bを左腕に湿布して効果を見たデータであるA，Bに差があるかどうか有意水準0.05で検定しなさい(柳川・荒木, 2010)．
湿布薬Ｂ
湿布薬Ａ

有効無効合計

有効11617無効102434

合計

213051■ 湿布薬Ａが有効，湿布薬Ｂが有効 ＝ 11名■ 湿布薬Ａが無効，湿布薬Ｂが無効 ＝ 24名■ 湿布薬Ａが有効，湿布薬Ｂが無効 ＝ 6名 (11.8%)：Ａ薬のほうが有効■ 湿布薬Ａが無効，湿布薬Ｂが有効 ＝ 10名 (19.6%) ：Ｂ薬のほうが有効

7.対応のあるデータにおけるクロス集計表
データセットからの場合

クロス集計表からの場合

1：「分析」→「2変量の関係」で変数を選択
・目的変数：湿布薬Ａ (湿布薬Ｂ)
・説明変数：湿布薬Ｂ (湿布薬Ａ)
2： ▼のなかから「一致制の統計量」を選択

1：「分析」→「2変量の関係」で変数を選択
・目的変数：湿布薬Ａ (湿布薬Ｂ)
・説明変数：湿布薬Ｂ (湿布薬Ａ
・度数：度数2：▼のなかから「一致制の統計量」を選択

p値=0.3173であることから，有意水準α=0.05のもとで有意でなかった．したがって，湿布薬Ａと湿布薬Ｂのあいだの有効率に違いがあるとは言えなかった．

＊Bowkerの検定(McNemar-Bowkerの対称検定)とは，オリジナルのMcNemar検定が2×2クロス集計表のみだったものをk×lクロス集計表に拡張したようなもの(体格を挟んで対称になっているか否かを評価する検定)であり，2×2クロス集計表ではMcNemar検定と同じになる．

8.K×lクロス集計表におけるカイ2乗値
観測度数

期待度数

12l計

1O11O12O1ln11E11E12

E1ln12O21O22O2ln22E21E22

E2 ln2k

Ok 1

Ok 2



Okl

nkk

Ek 1

Ek 2

Ekl

nk計

m1m2



ml

N計

m1m2



ml

N

計

期待度数の計算：Eij =ni m jN

観測度数と期待度数との乖離度を用いている点では，2×2分割表と全く同じ

帰無仮説H0：行方向の項目と列方向の項目に関連性がない．
対立仮説H1：行方向の項目と列方向の項目に関連性がある．

8.K×lクロス集計表におけるカイ2乗値
下表は，ある疾患に対する薬剤(新薬／既存薬)の有効性を3段階で評価した結果である．薬剤によって有効性に違いがあるか否かを検討しなさい．
改善不変悪化計

新薬1584233233

既存薬1126766245

計27010999478

観測度数期待度数(帰無仮説のもとでの度数)

改善

不変

悪化

改善

不変

悪化

新薬

158

4233

新薬

109×233/47
8＝53.13

99×233/478＝48.26

既存薬

112

67

66

270×233/47
8＝131.61

既存薬

270×245/47
8＝138.39

109×245/47
8＝55.87

99×245/478＝50.74

観測度数と期待度数の乖離度 ＝ カイ2乗値

8.K×lクロス集計表におけるカイ2乗値
観測度数

期待度数(帰無仮説のもとでの度数)

改善

不変

悪化

改善

不変

悪化

新薬

158

42

33

新薬

109×233/47
8＝53.13

99×233/478＝48.26

既存薬

112

67

66

270×233/47
8＝131.61

既存薬

270×245/47
8＝138.39

109×245/47
8＝55.87

99×245/478＝50.74乖離

観測度数で標準化

改善

不変

新薬

158-131.61=26.39

41-53.13=-12.1333-48.26=-15.26

既存薬112-138.39=-26.39

67-55.87=11.1366-50.74=15.26

JMPの結果

悪化

改善

不変

悪化

新薬(26.39)2/131.61= 5.29(-12.13)2/53.13= 2.77(-15.26)2/48.26= 4.83

既存薬26.39)2/138.39(11.13)2/55.87= 2.22(15.26)2/50.74= 4.59(-= 5.03

合計したものがカイ2乗値p値<0.0001であることから，有意だった．したがって，薬剤によって有効性に違いがあることが認められた．

6.おわりにご清聴ありがとうございました