数理解析研究所講究録
第 1668 巻 2009 年 121-147

121

Hermann 作用の軌道空間の層分解とその応用(福島高専)

井川治

既約ルート系の概念を拡張した対称三対を定義しその性質を調べる. それを応用して Hermann 作用の軌道空間を調べる.
概要

研究を遂行するに際し京都大学数理解析研究所の松木敏彦先生に有益なアドバイスを頂きましたので感謝致します.
謝辞

1

対称三対の幾何学
始めにルート系の定義を復習しておこう.

定義 1.1.

$\mathfrak{a}$$\Sigma\subset a-\{0\}$有限次元線形空間とする. 有限部分集合のルート系であるとは, 次の 3 つの条件を満たすときを

を内積
が

$a$

$\{,$

$\rangle$を持$\acute\supset$

言う.

.
(1) $a=$ span
に対して
(2)
に対して
(3)
$(\Sigma)$$\alpha,\beta\in\Sigma$$\alpha,$$s_{\alpha}\beta\in\Sigma$.

$\beta\in\Sigma$$2 \frac{\{\alpha,\beta\rangle}{||\alpha||^{2}}\in \mathbb{Z}$.

ルート系 が既約であるとは が互いに直交する空でない二つの部分集
合の和に分かれない場合を言う.
$\Sigma$$\Sigma$

を内積 , を持つ有限次元ベクトル空間とする.
定義 1.2.
が の対称三対 (symmetric triad) であるとは次の条件 (1) $\sim(6)$ を満たす場合を言う.
$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

$a$

$\{$

$\}$

$a$

(1) は の既約ルート系である.
(2) {は の レート系である.
(3) $W$ は $-1$ 倍に関して不変な の空でない部分集合で$\tilde{\Sigma}$$\mathfrak{a}$$\Sigma$$a$$J$$\mathfrak{a}$$\tilde{\Sigma}=\Sigma\cup W$.

122
とおくとき $\Sigma\cap W=\{\alpha\in\tilde{\Sigma}|\Vert\alpha||\leq l\}$ .
(4)(5) $\alpha\in W,$ $\lambda\in\Sigma-W$ に対して
$l= \max\{\Vert\alpha|||\alpha\in\Sigma\cap\ddagger/\gamma"\}$$2 \frac{\langle\subset y\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$が奇数.

$\Leftrightarrow s_{\alpha}\lambda\in W-\Sigma$(6) $\alpha\in W,$ $\lambda\in W-\Sigma$ に対して
$2 \frac{\{\alpha,\lambda\}}{||\alpha||^{2}}$が$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$\Leftrightarrow s_{\alpha}\lambda\in\Sigma-W$

条件 (4) より $\Sigma\cap W$ はの対称三対のとき,$\mathfrak{a}$.

が奇数$\mathfrak{a}$

のルート系

になる.

補題 $13$ .
に対しての対称三対とする. 任意の $\lambda\in(\Sigma-W)\cup(W-\Sigma)$$\beta\in\Sigma\cap W$ が存在して $\lambda=\alpha+\beta$ となる.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \mathfrak{h}\gamma)$$\alpha,$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$をを$\mathfrak{a}$の対称三対とする. 垣を$\mathfrak{a}$$\tilde{\Sigma}$と表し,ルートの全体を
単純ルートの全体を垣と表す.

$\Sigma^{+}=\Sigma\cap\tilde{\Sigma}^{+},$$\tilde{\Sigma}^{+}$

補題 14.
$a$$\tilde{\Sigma}$$\tilde{\Pi}$$W^{+}=W\cap\tilde{\Sigma}^{+}$

に関する正のとおく.

$\Sigma$のの任意の元は垣の元達の整数係数の線形結合で表せる.

の対称三対

に対して

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma_{:}\mathfrak{y}\eta_{j}^{r})$$\Gamma$$\Gamma_{\Sigma\cap W}$,$=$$\{X\in a|\{\lambda,$ $X \}\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$$(\lambda\in\Sigma^{\sim})\}$$=$$\{X\in a|\{\alpha,$$(\alpha\in\Sigma\cap W)\}$

とおく. 上の補題 13 より$X \rangle\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$$\Gamma=\Gamma_{\Sigma\cap W}$となる.

の点を全測地点と呼ぶ.

定義 15.

$\Gamma$

定義 16.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \mathcal{W}^{r}),$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \uparrow V)$の基本系としと$(\tilde{\Sigma}’,$$\Sigma’$と $Y\in\Gamma$ が存在して$\Sigma’-W’$$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, \nu V’)$$=$をそれぞれ $a,$$\mathfrak{a}’$の対称三対とする.

, It” が同値であるとは等長線形同型写像 $f$ : $aarrow a’$$)$$f(\tilde{\Sigma})=\tilde{\Sigma}’$かつ$\{f(r\nu)|c\nu\in\Sigma-\mathcal{W}_{\gamma}^{r}\{\alpha,$ $2Y\}\in 2\pi \mathbb{Z}\}$

俺 $\{f(\alpha)|\alpha\in \mathfrak{h}\gamma^{r}-\Sigma, \langle\alpha, 21^{\nearrow}\}\in\pi+2\pi \mathbb{Z}\}$ ,$W’-\Sigma’$$=$$\{f(\alpha)|\alpha\in\nu V-\Sigma,$$\langle\alpha,$$2Y\}\in 2\pi Z\}$

俺 $\{f(\alpha)|c\nu\in\Sigma-$ 聾 $’, \langle\alpha, 2Y\}\in\pi+2\pi \mathbb{Z}\}$

123と$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

このとき,

命題 1.7.

が同値のとき,の $W^{r}ey1$ 群の開集合$\mathfrak{a}$$7-|_{-}^{\Gamma}(\Sigma)$は$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, i/V)\sim(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$となる.

$f(\Sigma\cap 7\phi^{r})=\Sigma’\cap T,\eta^{r/}$$\Sigma$

定義 18.

$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, I4^{\gamma\prime})$$7l^{7}$$\sim$

は同値関係になる.

の置換を引き起こす.

を次で定義する.

$a_{r}$$H\rangle\not\in\pi \mathbb{Z},$$\{\alpha,$$H \rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}\}$$a_{r}= \bigcap_{\lambda\in\Sigma,\alpha\in W}\{H\in a|\{\lambda,$の点を正則点,$a_{r}$

定義 L9.
$\mathbb{Z}\}$の点を特異点という.

$\mathfrak{a}-a_{r}$と書く.

$a_{r}$の連結成分をセルという.

$\{(s_{\lambda}, \frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)|\lambda\in\Sigma, n\in \mathbb{Z}\}\cup\{(s_{\alpha}, \frac{(2r\iota+1)\pi}{||\alpha||^{2}}\alpha)|\alpha\in W,$で生成される $O(a)\ltimes a$ の部分群$|/\tilde{V}(\tilde{\Sigma}, \Sigma, 7V)$を対称三対$n\in$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$のAffine Weyl 群と言う.
$(s_{\lambda}, \frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)$$(s_{\alpha}, \frac{(2n+1)\pi}{||\alpha||^{2}}\alpha)$の $a$ への作用は超平面 $\{\lambda, H\}=n\pi$の $a$ への作用は超平面 $\{\alpha, H\}=\frac{2n+1}{2}\pi$ に関する鏡映である.

命題 1.10.
移的に作用する.

を対称三対とする.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

命題 1.11.

に関する鏡映であり,

セル$P_{0}$$7\tilde{V}(\Sigma, \Sigma, W)\sim$

はセルの全体に推を任意に選び固定すると $a=$$\bigcup_{\sim,s\in 1\tilde{V}(\Sigma,\Sigma_{\dagger}\mathcal{W}^{r})}s\overline{P_{0}}$.

$W_{0}=\{\alpha\in\nu V^{+}|\alpha+\lambda\not\in\nu\uparrow" (\lambda\in\Pi)\}$

とおく.

明らかに

定義 1.12.
おく. 写像 $m,$となる.

$\nu V_{0}\neq\emptyset$を$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$$a$$n;\tilde{\Sigma}arrow \mathbb{R}^{+}$(1) $m(\lambda)=m(-\lambda)$ ,の対称三対とする.

$\lambda\in\Sigma,$$\alpha\in W,$$\sigma\in W(\tilde{\Sigma}),$$n(\alpha)=n(-\alpha)$$\lambda\in\Sigma\cap W,$$\frac{2\langle\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$$\frac{2\{\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$$s\in \mathfrak{h}V(\Sigma)$

のとき,

のとき,

$\lambda\in\tilde{\Sigma}$,$\alpha\in 7\eta^{\gamma}$$\mathbb{R}^{+}=\{x\in \mathbb{R}|x\geq 0\}$で次の条件を満たすものを考える.

$m(\lambda)>0\Leftrightarrow\lambda\in\Sigma$

(2)
(3)
(4)

(1.1)

,

であり
$n(\alpha)>0\Leftrightarrow\alpha\in W$$m(\lambda)=m(s\lambda),n(\alpha)=n(s\alpha)$$n(\lambda)+m(\lambda)=n(\sigma\lambda)+m(\sigma\lambda)$とする.

が偶数のとき,$m(\lambda)=m(s_{\alpha}\lambda)$が奇数のとき,$rn(\lambda)=\uparrow\nu(s_{\alpha}\lambda)$

.

,

と

124
このとき,

$m(\lambda),n(\alpha)$

れた対称三対をそれぞれの重複度という. 重複度が与えら$\alpha$を重複度付き対称三対と言う.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \nu\iota/’)$$m_{H}=-$$\lambda,$$H\in a$ に対して

$H\rangle)\alpha$.

H\})\lambda+$$\sum_{\alpha\in w+,z(a,lJ\rangle e_{\tau^{z}}^{\pi}}n(\alpha)\tan(\langle\alpha,$$\sum_{+,\langle\lambda,JJ\rangle e_{\tau}^{\pi}\lambda\in\Sigma}m(\lambda)\cot(\{\lambda.

とおき,$m_{H}$

を $H$ の平均曲率ベクトルという.

$F(H)=-$$H\rangle)|$$H \rangle)|-\langle\alpha,H\rangle\not\in\S Z\sum_{\alpha\in W+}n(\alpha)\log|\cos(\langle\alpha,$$\sum_{+,(\lambda,H\rangle\not\in\pi\tau^{Z}\lambda\in\Sigma}m(\lambda)\log|\sin(\{\lambda,$

とおく. $Vol(H)=\exp(-F(H))(>0)$ を $H$ の体積と呼ぶ.

注意

重複度付き対称三対$W,$ $\alpha\in\nu\gamma$$\frac{2(\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$$\frac{2(\alpha,\lambda\rangle}{||\alpha||^{2}}$が偶数のとき,$n(\lambda)=n(s_{\alpha}\lambda)$が奇数のとき,$n(\lambda)=m(s_{\alpha}\lambda)$$\sigma\in W(\tilde{\Sigma}),$$\sigma\in W(\tilde{\Sigma}),$$\tilde{\Sigma}$について次が成り立つ.

$\lambda\in\Sigma\cap$とする. 重複度の条件 (3), (4) より

重複度の条件 (3) より注意$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \nu V)$$\lambda,$$\sigma I\prime 7^{\gamma}(\tilde{\Sigma}),$$\sigma\lambda\in\uparrow\eta_{1-\Sigma}^{\gamma}$$\lambda,$.

$\sigma\lambda\in\Sigma-W$のとき,$\lambda\in\Sigma-M_{7}’\sigma\lambda\in$

,

垣,r–

のとき,

$n(\lambda)=n(s\lambda)$のとき,$\Sigma$$m(\lambda)=m(s\lambda)$.

.

$m(\lambda)=n(s\lambda)$.

は既約ルート系なので重複度の条件 (3) は次のように言い換えることができる.

$\lambda,$$\mu\in\tilde{\Sigma}$.

$\Vert\lambda||=\Vert\mu\Vert$のとき $m(\lambda)+n(\lambda)=m(\mu)+n(\mu)$ .

の重複度付き対称三対とする. $H\in a,$ $\sigma=$$(s, X)$ を Affine Weyl 群の元とし $H’=\sigma H\in \mathfrak{a}$ とおく. このとき,

命題 1.13.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を$\mathfrak{a}$$l^{\gamma}o1(H’)=l^{\gamma}o1(H)$,$m_{H’}=sm_{H}$の重複度付き対称三対とする.
あるとは $m_{H}=0$ となるときを言う.

定義 1.14.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, |/l^{\prime^{V}})$

定義 1.15.
tere 点であるとは$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$

を

を

$a$

$\{-\lambda\cot(\langle\lambda, H\})$$\cup\{\alpha\tan(\langle\alpha, H\rangle)$

によって定義されるになるときを言う.

$\mathfrak{a}$

/ $)$

$($
$\mathfrak{a}$

$($

$($

重複度付き対称三組とする.

重複度 $=m(\lambda))|\lambda\in\Sigma^{+},$$H\in \mathfrak{a}$が極小で$H\in a$ がaus-$\{\lambda, H\rangle\not\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}\}$

重複度 $=n(\alpha))|\alpha\in W^{+},$$\{\alpha,H\rangle\not\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}\}(1.2)$

内の部分集合が重複度も含めて $-1$ 倍に関して不変125
明らかに次の命題が成り立っ.

命題 1.16. 次が成り立っ。

(1) 全測地点は任意に与えた重複度に関して austere 点である.
(2) austere 点は極小点である.
定理 1.17. $H\in a$ が austere 点となるための必要十分条件は
が任意の
(1)
.
(2)
(3) $m(\lambda)=n(\lambda)$ がて成り立っ.
$\langle\lambda,$$H \}\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$$\lambda\in(\Sigma-\uparrow-7^{\gamma})\cup(W-\Sigma)$について成り立っ.

$2H\in\Gamma_{\Sigma\cap W}$$\langle\lambda,$$H \}\in\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$を満たす任意の $\lambda\in\Sigma\cap W$ につい次の定理を述べるために既約ルート系の正ルートを次のように表す :$B_{r}^{+}=\{e_{i}, e_{i}\pm e_{j}\}$,$C_{r}^{+}=\{2e_{i}, e_{i}\pm e_{j}\}$$BC_{r}^{+}=\{e_{i}, 2e_{i}.e_{i}\pm e_{j}\}$,,$D_{r}^{+}=\{e_{i}\pm e_{j}\}$,

その他のルート系の記号は [1] に合わせる.

定理 1.18.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, w^{\gamma},)$をのいずれかの形になる.
らなる.

(I)

(II)

これを穐

$\Sigma\supset W,$$\Sigma\subset W,$$=\{\tilde{\alpha}\}$$\Sigma\neq W$$\Sigma\neq \mathcal{W}^{7}$の対称三対とする. このとき,(1.1) によって定義される集合と表し, 下の表に記述する.

$(\tilde{\Sigma},\Sigma,W)$$\mathfrak{a}$

の場合

の場合

$W_{0}$

は次

は一元のみか126(I’) $\Sigma\neq W$ で (I),(II) 以外の場合$(I’- F_{4})_{R^{1J}}^{\pi}$$\Sigma^{+}$$W^{+}$$\tilde{\alpha}$$=$$\{F_{4}^{+}\sigma)$$=${

短いノレ $-|\sim\}\cup\{e_{1},\pm e_{2}, e_{3}\pm e_{4}\}\cong C_{4}$ ,の短いノレート}$e_{1}+e_{3}$ .

$=$$F_{4}^{+}$$\cup$$\{el\pm e_{3}, e_{1}\pm e_{4}, e_{2}\pm e_{3}, e_{2}\pm e_{4}\}$,$(I’- B_{r})_{R^{\downarrow}}^{ffl}(r\geq 3)$$\Sigma^{+}=B_{s}^{+}\cup B_{r-s}^{+}$,

垣’ $+=(B_{r}^{+}-\Sigma)\cup\{e_{i}\}$ ,$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{s+1}$.

$(I’- BC_{r}- A_{1}^{r})_{R}^{tPI}$$\Sigma^{+}=BC_{s}^{+}\cup BC_{r-s}^{+}$,$\uparrow\uparrow r+=(BC_{r}^{+}-\Sigma)\cup\{e_{i}\}$(III) $\tilde{\Sigma}=\Sigma=W$ となる場合,$\tilde{\alpha}$は$\tilde{\Sigma}$,$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{s+1}$.

の最高ルート.

同値関係$(I- F_{4})\sim(I’- F_{4})$,$(I- BC_{r}- A_{1}^{r})\sim(I’- BC_{r}- A_{1}^{r})$$(I- C_{r})\sim(I’- C_{r})$.

$(I- B_{\gamma}.)\sim(I’- B_{r})$,が成り立っ.

系 1.19.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を対称三対とする.

$P_{0}= \{H\in a|\{\tilde{\alpha}, H\}<\frac{\pi}{2},0<\langle\lambda,$ $H\}$$(\lambda\in\Pi)\}$とおくと鳥はセルになる.
垣 $=\{\alpha_{1}, \cdots,\alpha_{r}\}$ と表す.

補題 14 より整数

$m_{i}\in \mathbb{Z}$が存在して$\tilde{\alpha}=$. 定理 1.18 より $m_{i}\geq 1$ となることがわかる. よって $1\leq i\leq r$ となる任意の に対しては線形独立である.
よってを次の式で定義することができる.

$\Sigma m_{i}\alpha_{i}$$i$$\{\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{i-1}, \alpha_{i+1}, \cdots, \alpha_{r},\tilde{\alpha}\}$$H_{i}\in \mathfrak{a}$$\{H_{i},\tilde{c\nu}\}=\frac{\pi}{2}$.

$\{H_{i},$$x_{j}\}=0$$(j\neq i)$

.

このとき,
$P_{0}= \{\sum_{i=1}^{r}t_{i}H_{i}0<t_{i},$$\sum_{i=1}^{r}t_{i}<1\}$.

127
系 1.20.
$m_{i}=1$$H\in\overline{P_{0}}$となる

系 1.21.

$i$

が全測地点となるための必要十分条件は $H=0$ またはに対して $H=H_{i}$。

の重複度付き対称三組とする.
点となるための条件は次を満たすことである.

(1)
(2)
(3)
(4)

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, W)$を$a$$\lambda\in\Sigma^{+}-f\Psi^{+}$

に対して$\alpha\in M^{\gamma+}-\Sigma^{+}$に対して $\{\alpha, H\}=0,$$\alpha\in\Sigma^{+}\cap W^{+}$に対して$\{\alpha,$$H\in\overline{P_{0}}$$H \rangle=\frac{\pi}{4}$$\langle\lambda,$$\langle 0/,$$H\}=0,$$H\}=0,$$\frac{\pi}{2},$$\pi$$\pm\frac{\pi}{2}$$\frac{\pi}{4},$$H\in\overline{P_{0}}$が austere.

.

$\frac{\pi}{2}$.

となる $\alpha\in\Sigma^{+}\cap\nu V^{+}$ に対して $m(\alpha)=n(\alpha)$ .

を全測地点ではない austere 点とすると $H$ は次のいずれかの形になる.

,$H=\{$

部分集合$\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}$$\frac H_{i}\frac{H211}{2}(H_{i}+H_{j})i.(’(m_{i}=1)(m_{i}=2)$に対して$P_{0}^{\Delta}= \{H\in\overline{P_{0}}|\{\tilde{\alpha},H)\{\{\lambda,H\rangle=0(\lambda\in\prod_{\tilde{\mathcal{Y}}\in}\Delta)\langle\lambda,H\rangle>0(\lambda\in\triangle\bigcap_{-}\Pi)<\frac{\pi}{2}(.\triangle\sigma)$

$\}$

とき ,
$)$

$= \frac{\pi}{2}$$(\tilde{\alpha}\not\in\triangle$

のとき

$)$

とおくと

であり,

$\triangle_{1},$$\triangle_{2}\subset\Pi\cup\{\iota\tilde{\iota}\}$定理 1.22. 任意の
在する.

2

に対して

$\triangle\subset\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}$(1.3)(互いに素な和)$\overline{P_{0}}=\bigcup_{\Delta\subseteq\Pi\cup\{\tilde{\alpha}\}}P_{0}^{\Delta}$$\triangle_{1}\subset\triangle_{2}\Leftrightarrow P_{0}^{\Delta_{1}}\subset\overline{P_{0}^{\Delta_{2}}}$に対してただ一つの極小点.

$H\in P_{0}^{\Delta}$が存

全測地点と austere 点

各重複度付き対称三対 (の代表元) に対して全測地点と austere 点を分
類する.

128
2.1

$(I- B_{r})E^{I/}$$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$$\cdots,$$\alpha_{7-1}=e_{r-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=e_{r}\}$,$\tilde{\alpha}=e_{1}=\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}$となるので $H_{i}= \frac{\pi}{2||e1||’2}\Sigma_{j=1}^{i}e_{j}(1\leq i\leq r)$ .

が全測地点
は几の頂点.
重複度の条件より $m_{1}>0,$ $m_{2}>0,$ $n_{1}>0$ が存在して$H\in\overline{P_{0}}$$\Leftrightarrow H$$m_{1}=m(e_{i}),$$m_{1}=n_{1}$のとき,$H\in\overline{P_{0}}$$m_{2}=m(e_{i}\pm e_{j}),$ $n_{1}=n(e_{i})$が全測地的でない austere 点となるための条件は$H= \frac{1}{2}H_{r}$$m_{1}\neq n_{1}$

2.2

のとき

$(I-C_{r})$$H\in\overline{P_{0}}$.

.

が austere 点ならば全測地点である.

型

垣 $=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2}, \cdots , \alpha_{r-1}=e_{r-1}-e_{r}, \alpha_{r}=2e_{r}\}$ ,$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{2}=\alpha_{1}+2\sum_{i=2}^{r-1}\alpha_{i}+\alpha_{r}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}\Vert^{2}}e_{1},$$H\in\overline{P_{0}}$$r\geq 3$$(2\leq j\leq r)$$H_{j}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{i=1}^{j}e_{i}$が全測地点 $\Leftrightarrow H=0_{:}H_{1},$のとき重複度の条件より$H_{r}$.

.

$\prime rr\iota_{1}>0^{J}rr\iota_{2}>0$$m_{1}=m(e_{i}\pm e_{j})=n(e_{i}\pm c_{j}^{J})$

,

が存在して

$m_{2}=m(2e_{i})$.

$r=2$ のとき,
$m_{1}=m(e_{1}\pm c_{2}),$$H\in\overline{P_{0}}$$m_{2}=rn,(2c_{i}),$$n_{1}=n(e_{1}\pm e_{2})$.

が全測地点ではない austcrc 点になるための必要十分条件は$H=H_{i}(2\leq i\leq r-1),$$\frac{1}{2}H_{1}$

129
2.3

$(I-BC_{r}-A_{1}^{r})$$\tilde{\alpha}=\Sigma_{i=1}^{r}\alpha_{i}$

型

となる.

$H_{i}$

は$H_{i}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{j=1}^{i}e_{j}$$H\in$

几が全測地点$\Leftrightarrow H$$(1\leq i\leq r)$.

は –PO の頂点.

重複度の条件より $\gamma\gamma l_{1}>0,r\gamma\iota_{2}>0,rn_{3}>0,n_{1}>0$ が存在して$m_{1}=m(e_{i}),$ $m_{2}=m(e_{i}\pm e_{j}),$ $m_{3}=m(2e_{i}),$ $n_{1}=n(e_{i})$$m_{1}=n_{1}$のとき,要十分条件はのとき,$m_{1}\neq n_{1}$2.4

が全測地点ではない austere 点になるための必$H\in\overline{P_{0}}$$H= \frac{1}{2}H_{r}$.

.

$H\in\overline{P_{0}}$が austere 点ならば全測地点である.

$(I- BC_{r}- B_{r})E^{\mathfrak{l}\downarrow}$$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$ $\cdots,$ $\alpha_{7-1}=e_{7-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=e_{r}\}$,$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{2}=\alpha_{1}+2\sum_{i=2}^{r}\alpha_{i}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}\Vert^{2}}e_{1}$,$(2\leq j\leq r)$$H_{j}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{i=1}^{j}e_{i}$.

が全測地点 $\Leftrightarrow H=0,$.
重複度の条件は次のようになる. $r\geq 3$ のとき,
$H\in\overline{P_{0}}$$H_{1}$$m(e_{i})=n(e_{i})=coii_{\iota}st$,$?r|,(e_{i}\pm e_{j})=\gamma\iota(e_{/i}\pm e_{j})=$const,$rn(2e_{i})=$const.

$r=2$ のとき,
$m(e_{i})=n(c_{i})=$ const,$r\geq 3$ のとき,$H\in\overline{P_{0}}$$m(2e_{i})=$const.

が全測地点ではない austere 点になるための必要十分条件は $H= \frac{1}{2}H_{1},$ $H_{i}(2\leq i\leq r)$ .

130が全測地点ではない austere 点になるための必$r=2$ のとき,
要十分条件は次のようになる :$H\in\overline{P_{0}}$$m(e_{1}\pm e_{2})=n(e_{1}\pm e_{2})\sigma)f;$

き $|hH= \frac{1}{2}H_{1},$$m(e_{1}\pm e_{2})\neq n(e_{1}\pm e_{2})U)k$

き $\}hH=H_{2}$ .

2.5$H_{2}$.

$(I- F_{4})E^{1}$

垣 $=\{\alpha_{1}=e_{2}-e.\cdot,,$ $\alpha_{2}=e.’-e_{4},$ $\alpha.’=e_{4},$ $\alpha_{4}=\frac{1}{2}(e_{1}-e_{2}-e_{3}-e_{4})\}$ ,$\tilde{\alpha}=e_{1}=\alpha_{1}+2\alpha_{2}+3\alpha_{3}+2\alpha_{4}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}\Vert^{2}}(e_{1}+e_{2})$,$H_{2}= \frac{\pi}{4||e_{1}||^{2}}(2e_{1}+e_{2}+e_{3})$$H_{3}= \frac{\pi}{6\Vert e_{1}\Vert^{2}}(3e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4})$$H\in\overline{P_{0}}$が全測地点$\Leftrightarrow H=0_{:}H_{1}$,,$H_{4}= \frac{\pi}{2||e_{1}\Vert^{2}}e_{1}$.

重複度の条件より各 $\alpha\in TV$ に対して $m(\alpha)=n(\alpha)$ .
が全測地点ではない austere 点になるための条件は $H=H_{4}$ .

$H\in\overline{P_{0}}$2.6$(II- BC_{r})$ 型 $(r\geq 1)$$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}=e_{r-1}-e_{r}, \alpha_{r}=e_{r}\}$,$\tilde{\alpha}=2e_{1}=2\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}$となるので$H_{i}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{j=1}^{i}e_{j}$$H\in$

瑞が全測地点$\Leftrightarrow H=0$

重複度の条件より $n_{1}>0$$n_{1}=n(e_{i})=m(e_{i})$ ,よって$H\in\overline{P_{0}}$.

$(1\leq i\leq r)$.

.

$rl_{2}>0,$$n_{3}>0$ が存在して$n_{2}=n(e_{i}\pm e_{j})=m(e_{i}\pm e_{j})$,$n_{3}=n(2e_{i})$.

が全測地点ではない austere 点になるための必要十分条件

lf $H=H_{i}(1\leq i\leq r)$ .

131
2.7

$(III- A_{r})\ovalbox{\tt\small REJECT}^{I\downarrow}$

垣 $=\{\alpha_{1}=e_{1}-c_{2}^{J},$ $\cdots,$ $c\iota_{r-1}^{l}=e_{r-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=e_{r}-e_{r+1}\}$ ,$\tilde{\alpha}=e_{1}-e_{r+1}=\sum_{-,i-- 1}^{r}\alpha_{i}$となるので$H_{j}= \frac{\pi}{2(r+1)\Vert e_{1}\Vert^{2}}((r+1-j)\sum_{i=1}^{j}e_{i}-j\sum_{i=j+1}^{r+1}e_{i})$系 120 より

$H\in\overline{P_{0}}$が全測地点$\Leftrightarrow H$が$\overline{P_{0}}$重複度の条件より $m>0$ が存在して任意の$n(\lambda)$の頂点に対して $m=m(\lambda)=$$\lambda\in\tilde{\alpha}$.

$H\in\overline{P_{0}}$が全測地点以外の austere 点になるための条件は$H= \frac{1}{2}H_{i},$2.8$\frac{1}{2}(H_{i}+H_{j})(i<j)$.

$(III-B_{r})$ 型

垣 $=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2}, \cdots, \alpha_{r\cdot-1}=e_{r-1}-e_{r}, \alpha_{r}=e_{r}\}$ ,$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{2}=\alpha_{1}+2\sum_{i=2}^{r}\alpha_{i}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}\Vert^{2}}e_{1}$$H\in\overline{P_{0}}$

が全測地点

,

$(2\leq j\leq r)$$H_{j}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{?,=1}^{j}e_{i}$$\Leftrightarrow H=0,\cdot H_{1}$

重複度の条件は次のようになる.

.

.
$r\geq 3$ のとき,$m_{\mathfrak{l}}>0,m_{2}>0$

在して$m_{1}=m(e_{i})=n(c_{i})$ ,$m_{2}=m(c_{i}\pm e_{j})=n(e_{i}\pm e_{j})$$(i\neq j)$

.

が存

132
$r=2$ のとき,

$m_{\rceil}>0,$ $m_{2}>0_{7}\iota>0$$m_{1}=m(e_{i})=n(e_{i})$ ,$H\in\overline{P_{0}}$$m_{2}=m(e_{1}\pm e_{2})$ ,$n=n(e_{1}\pm e_{2})$.

が全測地点でない austere 点になるための必要十分条件は$H= \frac{1}{2}H_{1},$

2.9

が存在して

$H_{i}(2\leq i\leq r)$.

$(III- C_{r})gI\downarrow$$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$ $\cdots,$ $\alpha_{r-1}=e_{r-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=2e_{r}\}$,$\tilde{\alpha}=2e_{1}=2\sum_{i=1}^{r-1}\alpha_{i}+\alpha_{r}$

となるので

.

$H_{i}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{=\dot{J}1}^{i}e_{j}(1\leq i\leq r)$

鳥が全測地点.
重複度の条件より $m_{1}>0,m_{2}>0,n_{2}>0$ が存在して$H\in$$\Leftrightarrow H=0,$$H_{r}$$m_{1}=m(e_{i}\pm e_{j})=n(e_{i}\pm e_{j})$ ,$m_{2}=m(2e_{i})$,$n_{2}=n(2e_{i})$が全測地点ではない austere 点になるための必要十分条件は次で与えられる.
$H\in\overline{P_{0}}$(1) $m_{2}\neq n_{2}$ のとき,
(2) $m_{2}=n_{2}$ のとき,

2.10

$H=H_{i}(1\leq i\leq r-1)$$H=H_{i}(1\leq i\leq r\cdot-1),$$\frac{1}{2}H_{r}$$(III-BC_{r})$ 型$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$ $\cdots,$ $\alpha_{7-1}=e_{r\cdot-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=e_{r}\}$$\tilde{\alpha}=2e_{1}=2\sum_{i=1}^{r}\alpha_{i}$

,

133
となるので
$(1\leq i\leq r)$$H_{i}= \frac{\pi}{4\Vert\prime}\sum_{j=1}^{\iota}e_{j}$.

が全測地点 $\Leftrightarrow H=0$ .
重複度の条件は次のようになる :$r=2$ のとき, $\gamma n_{1}>0$ が存在して $m_{1}=m(e_{i})=n(e_{i})$ .
$r\geq 3$ のとき,
$m_{1}>0,m_{2}>0,m_{3}>0,n_{3}>0$ が存在して$H\in\overline{P_{0}}$$m_{1}=\cdot m(e_{i})=n(e_{i}),$$m_{3}=m(2e_{i}),$$n,\cdot,$$m_{2}=m(e_{i}\pm e_{j})=n(e_{i}\pm e_{j})$$=n(2e_{i})$,.

よって $H\in\overline{P_{0}}$ が全測地点でない austere 点となるための条件は $H=$
$H_{i}(1\leq i\leq r)$

2.11

.

$(III-D_{7}.)$ 型$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2},$ $\alpha_{2}=e_{2}-e_{3},$ $\cdots,$ $\alpha_{r-1}=e_{r-1}-e_{r},$ $\alpha_{r}=e_{r-1}+e_{r}\}$$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{2}=\alpha_{1}+2\sum_{i=2}^{r-2}\alpha_{i}+\alpha_{r-1}+\alpha_{r}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{2||e_{1}\Vert^{2}}e_{1},$$H_{r-1}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}(\sum_{j=1}^{r-1}e_{j}-e_{r}),$ $H_{r}= \frac{\pi}{4||e_{1}||^{2}}\sum_{j=1}^{r}e_{j}$$H_{i}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}\sum_{\uparrow=1}^{i}e_{j}(2\leq i\leq r\cdot-2)$

系 1.20 より $H\in$ 几が全測地点 $\Leftrightarrow H=0,$
重複度の条件より.m $>0$ が存在して任意の$n(\lambda)$$H_{1},$ $H_{?}.{}_{-1}H_{r}$$\lambda\in\tilde{\alpha}$.

に対して $m=m(\lambda)=$.

$H\in\overline{P_{0}}$が全測地点以外の austere 点となるための条件は$H=H_{i}(2\leq i\leq 7^{\cdot}-2),$$\frac{1}{2}H_{1},$$\frac{1}{2}H_{r-1},$$\frac{1}{2}H_{r}$,$\frac{1}{2}(H_{1}+H_{7}.-1),$ $\frac{1}{2}(H_{\iota}+H_{r}),$ $\frac{1}{2}(H_{r-1}+H_{r})$

.

,

134
2.12

$(III-E_{6})$ 型$\tilde{\alpha}=\alpha_{1}+2\alpha_{2}+2\alpha,\}+3\alpha_{4}+2\alpha_{5}+\alpha_{6}$となるので系 120 より $H\in$ 瑞が全測地点となるための条件は $H=$
$0,$ $H_{1},H_{6}$.

重複度の条件より $m>0$ が存在して任意のに対して $m=m(\lambda)=$が全測地点でない aiistere 点になるための条件は.
$\lambda\in\tilde{\alpha}$$H\in\overline{P_{0}}$$n(\lambda)$$H=H_{2},$ $H_{3},$$H_{4}$$H_{\backslash )}\ulcorner$.

$\frac{1}{2}H_{1},$$\frac{1}{2}H_{6},$$\frac{1}{2}(H_{1}+H_{6})$は austere ではない極小点になる.

2.13$(III-E_{7})$ 型$\tilde{\alpha}=2\alpha_{1}+2c\ell_{2}+3\alpha_{3}+4\alpha_{4}+3\alpha_{5}+2\alpha_{6}+\alpha_{7}$が全測地点となるための条件は $H=0,H_{7}$ .
が全測地点でない austere 点になるための条件はとなるので系 1.20 より$H\in\overline{P_{0}}$$H\in\overline{P_{0}}$$H=H_{1},$ $H_{2},$$H_{3},$ $H_{4},$ $H_{5}$

2.14$H_{6_{\dot{\prime}}} \frac{1}{2}H_{7}$.

は austere ではない極小点になる.

$(III-E_{8})$ 型$\tilde{\alpha}=2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+4\alpha;’+6\alpha_{4}+5\alpha_{5}+4\alpha_{6}+3\alpha_{7}+2\alpha_{8}$となるので系 120 よりが全測地点となるための条件は $H=0$ .
重複度の条件より $rn>0$ が存在して任意のに対して $m=m(\lambda)=$$H\in\overline{P_{0}}$$\lambda\in\tilde{\alpha}$$n(\lambda)$.

$H_{1},$ $H_{8}$$H\in\overline{P_{0}}$が全測地点でない austere 点になるための条件は $H=$.

$H_{2},$ $H_{3},$ $H_{4},$ $H_{5},$$H_{6},$ $H_{7}$は austere ではない極小点になる.

135
2.15

$(III-F_{4})$ 型$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{2}-e_{3},$ $\alpha_{2}=c_{3}-e_{4},$ $c\iota_{3}=e_{4},$ $\alpha_{4}=\frac{1}{2}(e_{1}-e_{2}-e_{3}-e_{4})\}$$\tilde{\alpha}=e_{1}+e_{2}=2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+4\alpha:\}+2\alpha_{4}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{4\Vert e_{1}\Vert^{2}}(e_{1}+e_{2})$,$H_{2}= \frac{\pi}{6\Vert e_{1}\Vert^{2}}(2e_{1}+e_{2}+e_{3})$$H_{3}= \frac{\pi}{8\Vert e_{1}\Vert^{2}}(3e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4})$,$H_{4}= \frac{\pi}{2\Vert e_{1}||^{2}}e_{1}$,.

系 120 より次が従う.
が全測地点 $\Leftrightarrow H=0$ .
重複度の条件より $m_{1}>0,rn_{2}>0$ が存在して$H\in\overline{\Gamma_{0}}$ml $=$ m(短) $=$ n(短),

m2

$=$

m(長)

が全測地点でない austere 点 $\Leftrightarrow H=H_{1},$は austere 点ではない極小点になる.

$H\in\overline{P_{0}}$$H_{2},$ $H_{3}$

2.16

$=$

n(長)

$H_{4}$.

$(III-G_{2})$ 型$\Pi=\{\alpha_{1}=e_{1}-e_{2}, \alpha_{2}=-2e_{1}+e_{2}+e_{3}\}$,$\tilde{\alpha}=-e_{1}-e_{2}+2e_{3}=3\alpha_{1}+2\alpha_{2}$となるので$H_{1}= \frac{\pi}{6\Vert e_{1}\Vert^{2}}(2\prime y_{1}+(x_{2})=\frac{\pi}{6\Vert e_{1}\Vert^{2}}(-e_{2}+e_{3})$$H_{2}= \frac{\pi}{12\Vert e_{1}\Vert^{2}}\tilde{\alpha}=\frac{\pi}{12\Vert e_{1}\Vert^{2}}(-e_{1}-e_{2}+2e_{3})$系 1.20 より次が従う.
が全測地点 $\Leftrightarrow H=0$ .
重複度の条件より $m_{1}>0,\uparrow n_{2}>0$ が存在して$H\in\overline{P_{(1}}$$m_{1}=m($ 短 $)=n($ 短,$m_{2}=m($ 長 $)=n($ 長が全測地点でない austere 点 $\Leftrightarrow H=H_{2}$ .
は austere 点ではない極小点になる.

$H\in\overline{P_{0}}$$H_{1}$

$)$

$)$

.

,

,

136

3

Hermann 作用の軌道空間

3.1

一般的な場合$(G, K_{1}),$ $(G, K_{2})$を二つの compact 対称対とする

: 即ち,

$G$

は compact

連結 Lie 群で $G$ 上に二つの回帰的自己同型写像 $\theta_{i}(i=1,2)$ が存在しては $G_{\theta_{i}}=\{g\in G|$が成り立つとする. ここで$(G_{\theta_{i}})_{0}\subset K_{i}\subset G_{\theta_{i}}$$G_{\theta_{i}}$はによって定義される $G$ の閉部分群での単位元を含を入れておく.
む連結成分である. $G$ に Aut $(G)$ -不変 Riemann 計量 ,商多様体 $M_{i}=G/K_{i}(i=1,2)$ は , から誘導される $G$-不変 Riemann
計量 (これもと表す) に関して compact Riemann 対称空間である. $G$$\theta_{i}(g)=g\}$$(G_{\theta_{i}})_{0}$$G_{\theta_{i}}$$\}$$\langle$

$\{$

$\{$

$\}$

$\rangle$)のLie 環を$K_{1},$ $I_{12}’(1)$$g,$Lie. 環をそれぞれの回帰的自己同型写像も
と表すと
固有空間を

$\theta_{i}$

と表す.

$g$

と表し,

の誘導する 上の $-1$
を二通りに標準分解する :$t_{1},$$t_{2}$$\theta_{i}$$g$$\theta_{i}$$\mathfrak{m}_{i}$$g=t_{i}\oplus \mathfrak{m}_{i}$(標準分解)$(i=1,2)$内の-軌道空間 $\{K_{2}\pi_{1}(g)|g\in G\}$
で自然な射影を表す.
を入れる :
について考察するために $G$ に次で同値関係$\pi_{i}:Garrow M_{i}$$K_{2}$$AtI_{1}$$\sim$$g_{1}\sim g_{2}\Leftrightarrow k_{1}\in K_{1},$ $k_{2}\in A_{1}^{\nearrow}$が存在して $g_{2}=k_{2}g_{1}k_{1}^{-1}$ .

このとき,$g_{1}\sim g_{2}\Leftrightarrow A_{l}’\pi_{\rceil}(g_{2})=K_{2}\pi_{\rceil}(g_{1})$となるので,

写像は$K_{2}$-軌道空間は$K_{2}\backslash G/K_{1}$$I\iota_{2}’\backslash G/K_{1}$と同一視することができる. 次の$K_{2}\backslash G/K_{1}\cong K_{1}\backslash G/K_{2};[g]rightarrow[g^{-1}]$

$G$

の閉部分群

$G_{12}$:と $K_{1}\backslash G/K_{2}$ の間の全単射を与える.

を$G_{12}=\{g\in G|\theta_{1}(g)=\theta_{2}(g)\}$と定める.

上の回帰的自己同型写像の閉部分群
位元を含む連結成分$G_{12}$$(G_{12})_{0}$$K_{12}$と定める.
環$g_{12}$

このとき,

$=$

$\theta=\theta_{1}=\theta_{2}$$K_{12}$

を考える.

$G_{12}$の単を$\{g\in(G_{12})_{0}|\theta(g)=g\}$$((G_{12})_{0}, K_{12})$は compact 対称対である.

の標準分解は$g_{12}=(t_{1}\cap t_{2})\oplus(\mathfrak{m}_{I}\cap \mathfrak{m}_{2})$.

$G_{12}$

の Lie

137
を極大可換部分空間とする. $\exp a$ は $(G_{12})_{0}$ の閉集合, 従っへのトーラスになる.
-作用は $\pi_{1}(\exp a)$ を切断とする超極作$a\subset \mathfrak{m}_{1}\cap m_{2}$て,$M_{1}$$K_{2}$

用であり, 余等質性は $\dim a$ になる ([3]).

るために群$\tilde{J}$$K_{2}$-軌道空間について更に調べを$\tilde{J}=\{([t^{-};], 1^{r})\in 4V_{h_{2}’}.

.

(\mathfrak{a})/Z_{K_{1}\cap K_{2}}(\mathfrak{a})\ltimes \mathfrak{a}|\exp(-Y)s\in K_{1}\}$と定義する. 積は $([s_{1}], Y_{1})([s_{2}], \}_{2}^{r})=([s_{1}s_{2}],Ad(s_{1})Y_{2}+Y_{1})$ となって $Aa$のる. 逆元は $([s], Y)^{-1}=([s^{-1}], -Ae1(s^{-1})I^{\nearrow})$ となる. $Z_{K_{2}}(a)1$ ま
正規部分群である. $i=1,2$ に対して商群 $N_{K_{i}}(a)/Z_{K;}(a)$ を $W_{i}(a)$ と表す.
$N_{K_{2}}(\mathfrak{a})$$\varphi_{2}:N_{K_{2}}(\mathfrak{a})/Z_{K_{1}\cap K_{2}}(\mathfrak{a})arrow T^{j}V_{2}(a)$で自然な全射準同型写像を表す.

$\tilde{J}$は$\mathfrak{a}$に次のようにして自然に作用する :.

$([s], Y)Z=Ad(\varphi_{2}(s))Z+l^{\nearrow}$

上を踏まえて以下, $[s]=$ Ad$\epsilon_{0}^{B}\not\in 3.1$.

$[13]$

注意 3.2. 群$(\varphi_{2}(s))$$I\zeta_{2}\backslash G/K_{1}\cong a/\tilde{J}$$\tilde{J}_{12}$を$\tilde{J}$

と表す.

.

の定義における$K_{1}$と$K_{2}$の役割を交換して$\tilde{J}_{12}=\{(Ad(t), Z)\in N_{/<\iota}(a)/Z_{l\backslash ’\iota\cap\kappa_{2}}.(a)\ltimes \mathfrak{a}|\exp(-Z)t\in K_{2}\}$と定義すると群の同型$\tilde{J}\cong\tilde{J}_{12};(Ad(s), l^{7})rightarrow(Ad(\exp(-l^{\nearrow})s), -Y)$が成り立っ.

これにより軌道の対応$a/\tilde{J}\cong IC_{2}’\backslash G/K_{1}\cong K_{1}\backslash G/IC_{2}\cong a/\tilde{J}_{12}$,$[H]rightarrow It_{2}^{r}\pi_{1}(\exp H)rightarrow K_{1}\pi_{2}(\exp(-H))rightarrow[-H]$が得られる.

補題 3.3.
$g_{12}$$K_{2})$$W_{i}(a)$は有限群である.

の $a$ に関する制限ルート系をの weyl 群$\Sigma$$N_{K_{1}\cap I\iota_{2}’}(a)/Z_{Ti\downarrow\cap K_{2}}(\mathfrak{a})$で表す. compact 対称対 $(G_{12},$ $K_{1}\cap$
は$\{s_{\lambda}|\lambda\in\Sigma\}$

れを $W(\Sigma)$ と表す : $7T”(\Sigma)=N_{\kappa_{\iota\cap’\langle 2}}(a)/Z_{lf_{1}\cap c_{2}}(a)$ .

で生成されるのでこ$W(\Sigma)$

は $W_{2}(a)$ の部

138
分群とみなせる. 同様にえに への変換群として$\mathfrak{m}_{\lambda}$$f_{\lambda}$$\mathfrak{m}_{\lambda}$との部分群とみることもできる. ゆに対して.
を次で定める :$(\mathfrak{a})$$M^{r}/(\Sigma)\subset I\ddagger_{1}^{7}(\mathfrak{a})\cap\dagger k^{\gamma_{2}}(a)$

$a$

の部分空間

を凧

$I\cdot\prime f^{\gamma}(\Sigma)$の部分空間$t_{\rceil}\cap t_{2}$$t_{\lambda}$$\lambda\in\Sigma$$\mathfrak{m}_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}$,$=$$\{X\in \mathfrak{m}_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}|[H, [H. X]]=-\{\lambda, H\rangle^{2}X (H\in a)\}$$=$$\{X \in t_{1}\cap t_{2}|[H, [H, X]]=-\langle\lambda, H\}^{2}X$$(H\in \mathfrak{a})\}$.

と表す.
の基本系を垣と表す. 垣に関する正の制限ルート全部をのでを含むの極大可換部分換 をとる.
に関するルート系を$\Sigma^{+}$$\Sigma$$t$$g_{12}$表す.
$t_{1}\cap$$tarrow a;H\mapsto\overline{H}$P2 の部分環$t_{0}$$\tilde{R}$$t$$g_{12}$で直交射影を表し,$a$$\tilde{R}_{0}=\{\alpha\in\tilde{R}|\overline{\alpha}=0\}$とおく.

を$t_{0}=\{X\in t_{1}\cap t_{2}|[a.X]=\{0\}\}$と定める.

補題 34.

$\lambda\in\Sigma_{7l}\in Z$

補題 3.5.

$\lambda\in\Sigma$

とする.

に対して

このとき,

$(s_{\lambda}, \frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)\in\tilde{J}$$rn(\lambda)=\dim \mathfrak{m}_{\lambda}$

とおく.

.

このとき,

次が成り

立っ.

(1) $m(\lambda)=m(-\lambda)$ .
に対して $m(s_{l}\lambda)=m(\lambda)$ .
(2)$\mu\in\Sigma$$g\in G$ に対して

$T_{\pi\iota(g)}(K_{2} \pi_{1}(g))=\{\frac{d}{rft}\exp tX\pi_{1}(g)_{|\iota=0}|X\in t_{2}\}$となるので$g_{*}^{-1}T_{\pi_{1}(g)}(K_{2}\pi_{1}(g))$$=$$\{\frac{d}{dt}\pi_{1}(\exp tAd(g^{-1})X)_{|\iota=0}|X\in t_{2}\}$$=$$(Ad(g^{-1})t_{2})_{m_{1}}$直交補空間は$g_{*}^{-1}T_{\pi_{1}(g)}^{\perp}(K_{2}\pi_{1}(g))$

これは$m_{1}$$=$$\{X\in m_{1}|\{X, Ad(g^{-1})t_{2}\rangle=0\}$$=$$\{X\in m_{1}| Ad(g)X\in m_{2}\}$

内の Lie triple system である.

$K_{2}$-作用の$\pi_{1}(g)$トロピー群は$(I\iota_{2}’)_{\pi\iota(g)}$$=$$\{k\in I\iota_{2}’|k\pi_{1}(g)=\pi_{1}(g)\}$$=$$\{k\in 1i_{2}^{\nearrow}|g^{-1}kg\in K_{1}\}$.
におけるイソ139
補題 3.6.

tem$\pi_{1}(g)$の $K_{2}$ -軌道のスライス表現は $(K_{\rceil})_{\pi_{2}(9^{-1})}$ の

Lie triple sys-への随伴表現と同値である.

$\{X \in \mathfrak{m}_{1}| Ad(g)X\in \mathfrak{m}_{2}\}$$x\in G$ の定める内部自己同型写像を$\tau_{x}$と表す.

Aut $(G)$ とする.

$\rho\in$$G$の等長同型写像 $Garrow G;g\mapsto p(g)x^{-1}$ は 2 っの compact 対称空間 $G/K_{1}$と $G/\tau_{x}\rho(K_{1})$ の間の等長同型写像$G/K_{1}arrow G/\tau_{x}\rho(K_{1});gK_{1}\mapsto\rho(g)x^{-1}\tau_{x}\rho(K_{1})$を引き起こす.
によって$K_{2}$: $Garrow G/\tau_{x}p(K_{1})$ で自然な射影を表すと上の同型写像-軌道 $\rho(IC_{2})\pi_{x}(\rho(g)x^{-1})$ にうつる. こ-軌道 $I’\pi(g)$ は$\pi_{x}$$\rho(K_{2})$の対応により同一視$K_{i}=G_{\theta_{i}}$$It_{2}’\backslash G/K_{\iota^{\cong}/}(K_{2})\backslash G/\tau_{x}\rho(K_{1})$ここでとしてみると$\rho(1i_{2}’)=G_{\rho\theta_{2}\rho^{-1}}$となる.

が得られる.

,$\tau_{x}.\rho(K_{1})=G_{\tau_{x}\rho\theta_{1}\rho^{-1}\tau_{l}^{-1}}$

以上をふまえて次の定義をする

定義 3.7. [14]同値関係$(\theta_{1},\theta_{2}),$$(\theta_{1}’,\theta_{2}’)$$(\theta_{1},\theta_{2})\sim(\theta_{1}’, \theta_{2}’)$を $G$ 上の 2 つの回帰的自己同型写像とする.

を次で定義する :と $x\in G$ が存在して$\rho\in Aut(G)$:$\theta$/1$=\tau_{x}\rho\theta_{1}\rho^{-1}\tau_{x}^{-1}$,$\theta_{2}’=\rho\theta_{2}\rho^{-1}$.

上の定義の Lie 環版として次の定義をする :定義 3.8. [14]同値関係
同型写像 が存在して$(\theta_{1},\theta_{2}),$$(\theta_{1},\theta_{2})\sim(\theta_{1}’,\theta_{2}’)$$\tau$

上の 2 つの回帰的自己同型写像とする.
を次で定義する :Aut(g) と の内部自己$(\theta_{1}’,\theta_{2}’)$を$g$$\rho\in$$\theta_{1}’=\tau\rho\theta_{1}p^{-1}\tau^{-1}$,$\mathfrak{g}$$\theta_{2}’=\rho\theta_{2}\rho^{-1}$.

-軌道-作用の切断なのでめには $g=\exp H(H\in a)$ と仮定してよい. このとき,$\pi_{1}(\exp a)\subset M_{1}$

は$K_{2}$$K_{2}$$I\zeta_{2}\pi_{1}(g)$を考えるた$g_{*}^{-1}T_{\pi_{1}(g)}^{\perp}(It_{2}’\pi_{1}(g))=\{X\in \mathfrak{m}_{1}| Ad(\exp H)X\in \mathfrak{m}_{2}\}$となるので$\mathfrak{a}$は$g_{*}^{-1}T_{\pi_{1}(g)}^{\perp}(It_{2}^{r}\pi_{1}(g))$の極大可換部分空間でもある. 更に$Ad$ $((K_{1})_{\pi 2(9^{-1})})\mathfrak{a}=\{X\in \mathfrak{m}_{1}| Ad(g)X\in m_{2}\}$となるので$\mathfrak{a}$は法空間の標準形である.

140
定義 3.9.

を Riemann 多様体,$\tilde{h}I$

イプ作用素を $A$ で表わす.
$A_{\xi}$$1\lambda I$を$4\mathfrak{h}^{\sim}\prime I$の部分多様体とし,$M$ のシェの任意の点の任意の法ベクトル に対しての固有値が $-1$ 倍に関して不変であり, $-1$ 倍で対応する固有値の重複度が等しいとき,$\Lambda/I$

$M$

$\xi$

を austere 部分多様体という.

この定義より austere部分多様体は極小部分多様体になる.

Austere 部分多様体の概念は Harvey-Lawson [4] が導入した. 上で述べたことから次の補題が成り立っ.
補題 3.10.

(1)$K_{2}\pi_{1}(q)\subset I\mathfrak{h}-\prime I_{1}$が austerc になるための必要十分条件は任意の $g_{*}\xi(\xi\in a)$ に対して形作用素$A_{q_{*}\xi}$の固有値が重複度も含めて$-1$ 倍に関して不変になることである.

(2)$IC_{2}\pi_{1}(g)\subset\Lambda/I_{1}$$\mathfrak{a})$に鏡映$\sigma_{g.\xi}$が弱鏡映になるための必要十分条件は任意の $g_{*}\xi(\xi\in$が存在することである.

$(t_{1}+t_{2})^{\perp}=\mathfrak{m}_{1}\cap$

m2 となるので(3.4)$g=(t_{1}+t_{2})\oplus(m_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$が成り立っ.

$\alpha\in \mathfrak{a}$

に対して

$g$

の複素化

$g^{\mathbb{C}}$の部分空間 $g(a,\alpha)$ を

佳 $(\mathfrak{a}, \alpha)=\{X\in g^{\mathbb{C}}|[H, X]=\sqrt{-1}\langle\alpha_{-}H\rangle X (H\in \mathfrak{a})\}$と定め$\tilde{\Sigma}=\{\alpha\in \mathfrak{a}-\{0\}|g(\mathfrak{a},\alpha)\neq\{0\}\}$

とおくと$g^{\mathbb{C}}=g(\mathfrak{a}, 0)\oplus$$\sum_{\sim,\mathfrak{a}\in\Sigma}g(a, \alpha)$$g^{\mathbb{C}}$の $g$ に関する共役をーで表すとならば$\theta_{1}\theta_{2}$$g(a, \alpha)$$-\alpha\in\tilde{\Sigma}$の$g^{\mathbb{C}}$.

$\overline{g(\mathfrak{a},\alpha)}=g(a, -\alpha)$

(3.5)
となるので

となる.

への作用の固有値の絶対値は 1の部分空間$g(\mathfrak{a}, \alpha, \epsilon)$$\grave\grave$-$\gammaarrow$から $\epsilon\in U(1)\}$ こ対してを$g(a, \alpha, \epsilon)=\{X\in g(\mathfrak{a}, \alpha)|\theta_{1}\theta_{2}X=\epsilon X\}$と定めると
$g(a_{:}\alpha)=\sum_{\epsilon\in U(1)}g(a,\alpha,\epsilon)$

補題 3.11.

$\partial$で$\alpha\in\tilde{\Sigma}$$g$の中心を表す.

$\tilde{\Sigma}$は$\mathfrak{a}\cap\delta^{\perp}$.

のルート系である.

141
3.2

$G$

$\mathfrak{z}=\{0\}$

が半単純で
なので

$\tilde{\Sigma}$$\theta_{1}\theta_{2}=\theta_{2}\theta_{1}$の場合(は $a$ の’ ート系である.
$\triangleright$

このとき,$t_{1}+?_{2}=(t_{1}\cap t_{2})\oplus(t_{1}\cap m_{2})\oplus(m_{1}\cap t_{2})$となるので (3.4) より$g=(t_{1}\cap t_{2})\oplus(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})\oplus(\mathfrak{m}_{1}\cap t_{2})\oplus(\mathfrak{m}_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$また,$[\mathfrak{a}, t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}]\subset \mathfrak{m}_{1}\cap t_{2}$,$[\mathfrak{a}, \mathfrak{m}_{1}\cap t_{2}]\subset t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}$となる.
$\sum_{\alpha\in\Sigma}g(a, \alpha, 1)=\sim(\sum_{\lambda\in\Sigma}t_{\lambda}\oplus\sum_{\lambda\in\Sigma}\mathfrak{m}_{\lambda})^{\mathbb{C}}$となるので$\Sigma=\{\alpha\in\tilde{\Sigma}|g(a, \alpha, 1)\neq\{0\}\}$$\lambda\in\Sigma$.

に対して$g(a, \lambda, 1)\oplus g(a, -\lambda, 1)=(t_{\lambda}\oplus \mathfrak{m}_{\lambda})^{\mathbb{C}}$$t_{1}\cap m_{2}$と$m_{1}\cap\beta_{2}$の部分空間を$V(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$$=$$\{X\in t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}|[\mathfrak{a}, X]=0\}$$V(\mathfrak{m}_{1}\cap t_{2})$$=$$\{X\in \mathfrak{n}\tau_{1}\cap t_{2}|[a, X]=0\}$

,

と定める.
$g(a,0)$ は$\theta_{i}$-不変になるので$9(a, o)=(\prime r$が成り立っ.
$V^{\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$$=$$\{X\in t_{\rceil}\cap m_{2}|X\perp V(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})\}$$V^{\perp}(\mathfrak{m}_{1}\cap f_{2})$$=$$\{X\in m_{1}\cap t_{2}|X\perp V(m_{1}\cap t_{2})\}$,と部分空間を定めると$\mathfrak{e}_{1}\cap \mathfrak{m}_{2}=V(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})\oplus l^{r\perp}/(t_{1}\cap m_{2})$(直交直和),$m_{1}\cap t_{2}=V(\mathfrak{m}_{1}\cap \mathfrak{e}_{2})\oplus 1^{r\perp}(m_{1}\cap f_{2})$(直交直和)

142
補題 $3.12$ .
$[\mathfrak{a}, V^{\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})]\subset I^{\nearrow\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$,$[a, V^{\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})]\subset V^{\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$.

補題 3.12 より$V=$ 佳口$\alpha\in\Sigma\sum_{\sim}$

佳 $(a.\alpha$.

$-1)=I^{r\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})\oplus V^{\perp}(t_{2}\cap m_{1})$とおくと $V$ (は Riemann トーラス$\exp \mathfrak{a}$の表現空間になる.

$V(\alpha)=\{X\in V^{\mathbb{C}}| (adH)X=\sqrt{-1}\langle\alpha, H\}X$

とおくと,$\alpha\in \mathfrak{a}$に対して$(H\in \mathfrak{a})\}$

トーラスの複素既約表現は 1 次元だから部分集合 $W\subset a-\{0\}$が存在して$V^{\mathbb{C}}=$$\sum_{\sim,\alpha\in\Sigma}g(\mathfrak{a},\alpha, -1)=\sum_{\alpha\in tV}V(\alpha)$$V^{\mathbb{C}}$りの $v$ に関する$\alpha\in T\phi^{r}$$X\in I/^{\prime \mathbb{C}}$.

の共役を刃で表すと $\overline{V(\alpha)}=V(-\alpha)$ . これよ

ならば $-\alpha\in 7t^{r}$ であり,$V(\alpha)\oplus V(-\alpha)=\{X\in V^{\mathbb{C}}|$$($

ad $H)^{2}X=-\{\alpha, H)^{2}X (H\in a)\}$ .

よって$(V(\alpha)\oplus V(-\alpha))\cap\uparrow/=\{X\in\dagger/^{r}|$$($ad $H)^{2}X=-\{\alpha, H\rangle^{2}X (H\in a)\}$ .

そこで$V_{\alpha}^{\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$$=$$(V(\alpha)\oplus V(-\alpha))\cap V^{\perp}(t_{1}\cap m_{2})$$1_{\alpha}^{r\perp}/(f_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$$=$$(V(\alpha)\oplus V(-\alpha))\cap V^{\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$,と部分空間を定めると$V_{\alpha}^{\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})=\iota_{-\alpha}/^{r\perp}(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$

となる.

,

$t_{\alpha}^{r\perp}/(f_{2}\cap m_{1})=t_{-\alpha}^{r\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$更に$W=\{(J^{c}\in\tilde{\Sigma}|g(a,$が成り立つ.

$\alpha\in\nu V$$(\nu, -1)\neq\{0\}\},$$\tilde{\Sigma}=\Sigma\cup W$に対して$g(a, \alpha, -1)\oplus g(a, -\alpha, -1)=(L_{r\iota}^{\prime\perp}’(t_{1}\cap m_{2})\oplus V_{\alpha}^{\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1}))^{\mathbb{C}}$が成り立っ.

$\alpha\in\nu 1/^{7}$に対して $n(\alpha)=\dim_{\mathbb{C}}g(a, \alpha, -1)$ とおく.

(3.6)

143
補題 3.13.

$\alpha\in 7\phi_{\eta}^{r_{6}}\cdot\in I’L^{\gamma}(\Sigma)$に対して $n(\alpha)=n(-\alpha),$が$n(s\alpha)=n(\alpha)$成り立っ.
$\tilde{\Sigma}=\Sigma\cup W$

は$a$のルート系 (補題 3.11) だから

関する正のルートの全体をおく. このとき,$\tilde{\Sigma}^{+}$と表し,$V^{\perp}( t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})=\sum_{\alpha\in W+}T_{a}^{\prime\perp}/(t_{1}\cap \mathfrak{m}_{2})$系 3.14.

に関する鏡映を$\alpha\in\tilde{\Sigma}$$s_{\alpha}$,$\tilde{\Sigma}$$\Sigma^{+}=\Sigma\cap\tilde{\Sigma}^{+},$に$W^{+}=W\cap\tilde{\Sigma}^{+}$とと表すと $s_{\alpha}\in W_{2}(a)\cap W_{1}(a)$ .

$\lambda\in\Sigma$

系 3.16.

$\tilde{\Pi}$$V^{\perp}( t_{2}\cap m_{1})=\sum_{\alpha\in W+}V_{\alpha}^{\perp}(f_{2}\cap m_{1})$系 3.15. [2, Cor. 5.2] $q=\exp H(H\in \mathfrak{a})$ とする.
るための条件は任意のに対してとなることである.
対して$\langle\beta,$の基本系をとり,$\{\lambda,$が主軌道にな
かつ任意の $\beta\in W$ に

$K_{2}\pi_{1}(g)$$H\rangle\not\in\pi \mathbb{Z}$$H \rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}$とする.

$g\in G$

$I\iota_{2}^{J’}\pi_{1}(g)$が主軌道になることと $K_{1}\pi_{2}(g^{-1})$ が主軌道になることは同値である.
補題 3.17.
$a$$\lambda\in\tilde{\Sigma},$の開集合$\mathfrak{a}_{r}$$\sigma\in l/T^{f}(\tilde{\Sigma})$に対して $n(\lambda)+m(\lambda)=n(s\lambda)+m(s\lambda)$ .

を次で定義する :$a_{r}=\{H\in \mathfrak{a}|K_{2}\pi_{\rceil}(\exp H)$. の各連結成分をセルと呼ぶ. 各セル $P$ はセルの全体に置換を引き起こす.
$\mathfrak{a}_{7}$補題 3.18.

$\{(s_{\lambda},$$\alpha\in\nu V_{-}.n\in z$$\frac{2n\pi}{||\lambda||^{2}}\lambda)|\lambda\in\Sigma,$

で生成される$\tilde{J}$$\tilde{W}(\Sigma, \Sigma, W)\sim$

命題 3.20.

セル$K_{2}$$P_{0}$

このとき,$n\in Z\}\cup\{$の部分群を

命題 3.19.

内のとする.

$(s_{\alpha},$$I/\tilde{V}(\Sigma.\Sigma, T4’r)\sim$

は主軌道$\mathfrak{a}$$\}$の有界な凸開集合で, 」は$(s_{\alpha}, \frac{(2n+1)\pi}{||\alpha||^{2}}\alpha)\in\tilde{J}$$\frac{(2r\iota+1)\pi}{||\alpha\Vert^{2}}\alpha)|\alpha\in W,$.

$n\in \mathbb{Z}\}$と表す.

はセルの全体に推移的に作用する.

を任意に選び固定すると $a=$

-軌道の代表元として$\overline{P_{(1}}$$\bigcup_{\sim,s\in\tilde{W}(\Sigma,\Sigma_{r}W)}s\overline{P_{0}}$の元をとることができる.

. 特に$M_{1}$

144
命題 3.1 より軌道空間は
そこで以下,
を軌道空間の代用品として用いる.

と同一視される.
$G$ が単連結のときは$\overline{P_{0}}/\{\sigma\in.\tilde{J}|\sigma\overline{P_{0}}=\overline{P_{0}}\}$$\overline{P_{0}}$となることが知られている ([14, Prop. 3.1]).

$\tilde{J}=\tilde{W}(\Sigma, \Sigma, W)\sim$

補題 3.21. $g=\exp H(H\in \mathfrak{a})$ とおく.
について次が成り立っ.

(1) {$\alpha,$$H\rangle,$$\{\beta,$$H\rangle\not\in\pi Z$$A_{2}’\pi_{1}(g)\subset M_{1}$の第二基本形式に対して$g_{*}^{-1}h(g_{*}T_{\alpha}, g_{*}T_{\beta})=\cot(\{\beta, H))[T_{\alpha}, S_{\beta}]^{\perp}$(2)$\{\alpha,$$H\rangle,$$\{\beta, H\}\not\in\frac{\pi}{2}+\pi Z$

.

に対して

$g_{*}^{-1}h(g_{*}1_{\alpha,i}^{\prime’}, g_{*}I_{\beta,j}^{\nearrow})=-\tan(\{\beta, H\})[1_{\alpha,i}^{\nearrow}, X_{\beta_{2}j}]^{\perp}$

(3)
(4)
(5)
(6)

$Y_{0},$$Y_{1}\in V(t_{2}\cap nt_{1})$$\{\alpha,$$H)\not\in\pi \mathbb{Z},$$\{\alpha,$$H \rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z},$$\langle\alpha,$$H\}\not\in\pi Z,$.

に対して $h(g_{*}l_{\acute{0}},g_{*}Y_{1})=0$ .

$Y\in V(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$$\{\beta,$$h$に対して $h(g_{*}T_{\alpha},g_{*}Y)=0$ .

$Y\in V^{\perp}(t_{2}\cap \mathfrak{m}_{1})$$H \rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}_{arrow}-$に対して$h(g_{*}l_{\alpha,i}^{\nearrow},g_{*}l^{r})=0$.

対して$g_{*}^{-1}h(g_{*}T_{\alpha}, g_{*}Y_{\beta,i})=\tan(\langle\beta, H\})[T_{\alpha}, X_{\beta,i}]^{\perp}$

系 3.22. $g=\exp H(H\in a)$ とおく.
$m$

$If_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$の平均曲率ベクトルについて次が成り立っ.

.
$g_{*}^{-1}m_{\pi_{1}(g)}=-( \lambda.H\rangle\not\in\pi Z\lambda\in\Sigma\sum_{+}m(\lambda)\cot(\{\lambda,$[8, Cor. 2.8] において

$H \rangle)\lambda+\langle\cap.H\rangle\not\in\tau^{+\pi}\alpha\in w_{\pi}+\sum_{z}n(\alpha)\tan(\langle\alpha, H\rangle)\alpha$の平均曲率ベクトルは法接続に関して平行であることを示した. 次の系は [6] の拡張である.
$K_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$系 3.23. $g=\exp H(H\in a)$ とおく. 軌道 $If_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$ が全測地的となに対してるための必要十分条件は任意のとなることである.
$\lambda\in\tilde{\Sigma}^{+}=\Sigma^{+}\cup W^{+}$

系 324.

$A_{2}^{\nearrow}\pi_{1}(e)$は$M_{1}$の全測地的部分多様体であり,接空間とする全測地的部分多様体も存在する.
鏡映部分多様体は Leurig の論文 [12] で定式化された.

$\langle\lambda,$$H \}\in\frac{\pi}{2}\mathbb{Z}$$T_{\pi_{1}(e)}^{\perp}(K_{2}\pi_{1}(e))$

を145
定義 3.25.

$\tilde{M}$を完備 Riemann 多様体とする.

$A’\tilde{I}$の対合的等長変換の固定点集合の連結成分を鏡映部分多様体という. 鏡映部分多様体を定める
対合的等長変換は鏡映部分多様体に対して一意的に定まる. そこでこの一意的に定まる対合的等長変換をその鏡映部分多様体の鏡映と呼ぶことにする.

注意 3.26.

$IC_{2}\pi_{1}(e)$は$itI_{1}$の鏡映部分多様体である.

鏡映部分多様体は全測地的である ([10]) が, Hermann 作用の軌道の場
合は次の意味で逆 ) 成り立っ :$\not\subset$

命題 3.27.
$M_{1}$$G=$ Int(g) のとき,

$It_{2}’\pi_{1}(g)\subset M_{1}$が全測地的ならば$K_{2}\pi_{1}(g)\subset$

は鏡映部分多様体である.

系 3.28. ([2, Theorem 5.3] を参照) $g=\exp H(H\in a)$ とおく.の固有値の集合は次で与えられる.
対して $K_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$ の形作用素$\xi\in \mathfrak{a}_{-}\vee$$A^{q_{*}\xi}$$\{-\langle\xi, \lambda\}\cot(\langle\lambda, H\})($$\cup\{\langle\alpha,\xi\rangle\tan$$\cup$(

重複度 $=m(\lambda))|\lambda\in\Sigma^{+},$$\{\alpha, H\rangle)($

重複度$\{\lambda, H)\not\in\pi \mathbb{Z}\}$$=n( \alpha))|\alpha\in W^{+}, \langle\alpha, H\}\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}\}${0(重複度 $=\dim(l\nearrow(f_{2}\cap m_{1}))$ )}.

系 3.28 と [9, p. 459] の考察から次が従う

系 3.29. $g=\exp H(H\in a)$ とおく.
めの必要十分条件は 内の有限集合:$I_{t_{2}}’\pi_{1}(g)\subset$$\Lambda$

右が austere となるた$a$$\{-\lambda\cot(\{\lambda,$$H\rangle)$$\cup\{\alpha\tan(\langle\alpha, H\rangle)$$($

重複度 $=m(\lambda))|\lambda\in\Sigma^{+},$$\{\lambda, H\rangle\not\in\pi \mathbb{Z}\}$(重複度 $=-n,((y))|C\mathcal{Y}\in 7\eta^{7+},,$$\langle\alpha,$$H \rangle\not\in\frac{\pi}{2}+\pi \mathbb{Z}\}$が重複度も含めて $-1$ 倍に関して不変になることである.
系 3.22,系 3.23,系 329 より次がわかる.

系 3.30. $g\in G$ とする.

(1)
(2)
(3)

$K_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$が$If_{2}\pi_{1}(g)\subset i|/I_{1}$

が全測地的$K_{2}\pi_{1}(g)\subset M_{1}$が austere

命題 $3.31$ .
内の点

$p$

$(G,$ $K)$$\text{極_{}J}\rfloora\Leftrightarrow K_{1}\pi_{2}(g^{-1})\subset\Lambda\ddagger I_{2}$が極$\Leftrightarrow K_{1}\pi_{2}(g^{-1})\subset\Lambda I_{2}$$\Leftrightarrow K_{1}\pi_{2}((J^{-1})\subset hI_{2}$を compact 対称対とし,$/I^{a}$が全測地的

が austerecompact 対称空間 $M=G/K$の軌道 $Kp$ を考える. 軌道 $Kp\subset M$ が austere ならば全測地的である.

命題 331 の全測地的軌道は [6] によって分類されている.

146
3.3

$G$

が単純で

定理 $3.32$ .
かっの場合$\theta_{1}\theta_{2}=\theta_{2}\theta_{1}$(1) $(G, K_{1}, K_{2})$ を conipact 対称三対で $G$ は単純をと仮定する.
から構成した三対$\theta_{1}\theta_{2}=\theta_{2}\theta_{1}$$,$$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, T’\ddagger/)$$\theta 1\not\simeq\theta_{2}$

とすると

とおく.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \nu V)$$m(\lambda),$ $n(\alpha)$は$a$$(G, K_{I}, A_{2}^{\nearrow})$の対称三対である.

$m(\lambda)=$dimg$n(\alpha)=$dimg $(a, \lambda, -1)(\alpha\in W)$$(a, \lambda, 1)(\lambda\in\Sigma)$

,

(3.7)

は重複度の条件 (定義 1.12) を満たす.

(2) $(G, K_{1}, IC_{2}),$ $(G, K_{1}’, K_{2}’)$ を 2 つの compact 対称三対で $G$ は単純,$\theta_{2}\theta_{1},$$\theta_{1}\oint\theta_{2},$$\theta_{1}’\theta_{2}’=\theta_{2}’\theta_{1}’,$$\theta_{1}’\oint\theta_{2}’$Hermann 的対称三対をそれぞれ$(G, K_{1}, K_{2})\sim(G, K_{1}’, A_{2}’’)$

命題 3.33.

$H\in \mathfrak{a}$と仮定する.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, \nu V),$

ならば$\theta_{1}\theta_{2}=$それぞれに付随する$(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, |\psi’)$と表す. もし,となる.

$(\tilde{\Sigma}, \Sigma, T/V)\sim(\tilde{\Sigma}’, \Sigma’, W’)$の $K_{2}$ -軌道 $I_{1^{\nearrow}2}\pi_{1}(c!xpH)$について次が成り立っ.

が正則点(1) $K_{2}\pi_{1}(\exp H)$ が正則軌道
が全測地点(2) $K_{2}\pi_{1}(\exp H)$ が全測地的軌道
が austere 点(2) $K_{2}\pi_{1}(\exp H)$ が austere 軌道
が極小点(2) $It_{2}’\pi_{1}(\exp H)$ が極小軌道$\Leftrightarrow H$$\Leftrightarrow H$$\Leftrightarrow H$$\Leftrightarrow H$

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