99
1 2夜
Mathieu Moonshine に対する群論的アプローチ
宮本雅彦

筑波大学数理物質系数学域

Dec. 12, 2017@RIMS

12夜とはシエイクスピアの三大喜劇の一つあり、双子の妹が兄の格好で働くことで起こるドタバタの後に、ハッピーエンドになる話である。それを念頭に私の話を聞いていただきたい。これは、熊本大学千吉良直紀氏との共同研究である。
ここでは、次の4つのものが関係する。
数理物理から
K3曲面の楕円種数
中心電荷6の(弱) Jacobi 形式

N=4 超共形代数

群論から

数論から

Mathieu 群 M_{24}

モックモジュラー関数

上記の4者が演ずる舞台は、超頂点作用素代数 ( S+VOA , Super Vertex Operator Algebra)であり、それぞれ次のような役で出てきます。
ウエイト 1の元によるトレイス関数

Jacobi form \div Jacobi form?

己同型群私の話では説明しません。

(1) プロローグ: マシ ュ \cdot-M_{24} ムーンシャインと予想の説明(2) 舞台設営 : 中心電荷1 2のSVOA の説明(3) Act 1: 上の舞台での K3曲面の楕円種数の振る舞いを紹介(4) Act 2: 上の舞台でのマシュー群 M_{24} の演技(5) Act 3: g ‐不変 N=4 中心電荷6の超共形代数の構成(6) Act 4: トラブル続発と良報、そして双子の出現と大団円

1

プロローグ

1.1

超共形代数

CFT‐型の超頂点作用素代数 V=\oplus_{n=0}^{\infty}V_{n/2} を使って説明する。CFT‐型とは1を真空とすると、 V_{0}=\mathbb{C}1 となるものをいう。

Vのヴイラソロ元を \omega\in V_{2} と置く。 V は超頂点代数なので、各 v\in V に対して,無限個の作用 v(n)\in End(V)(n\in Z) が定義されている。例えば、1 (n)=\delta_{n,-1} である。超頂点代数の重要な性質は、 v\in V_{wt(v)} に対して, v(n) : V_{m}arrow V_{m+wt(v)-n-1} であり、超交換関係式[v(n), u(m)](: def=v(n)u(m)-(-1)^{4wt(v)wt(u)}u(m)v(n) =\sum_{j=0}^{\infty} \begin{ar y}{l n j \end{ar y}100を満たしている。ウエイトの小さい順に超交換関係式を見ていくと、(1) もし v, u\in V_{1/2} なら, \mathbb{C}1\ni v(0)u=\{v, u\rangle 1 で内積 \{\cdot, \cdot\} が定義でき、 [v(n), u(m)]=\langle v, u\}\delta_{n+m,-1} となる。このような元は 『フェルミオン』 と呼ばれている。
(2) もし v, u\in 防かつ \omega(2)V_{1}=0 なら、 v(0)u\in V_{1}, v(1)u=\langle v, u\rangle 1 であり、( V_{1},0‐積)は不変内積を持つリー代数となっている。

(3) もし v, u\in V_{3/2} なら, v(0)u\in V_{2}, v(1)u\in V_{1}, v(2)u\in \mathbb{C}1 である。さらに、(3‐1) もし v(0)v=2\omega v(1)v=0 なら,1元 v で生成される部分超頂点代数 VA (v) をN=1 超共形代数と呼ばれている。これらは、りー超代数の表現として、Neveu‐Schwartz(n, m\in \mathbb{Z}/2) とRamond 代数 (n, m\in \mathbb{Z}) の2つの顔を持つ。
(3‐2) 2元 v, u 生成で、 \dim(VA(v, u))_{1}=1 となるものを N=2 超共形代数と呼ぶ。(こ代数

れはミラー対称性に使われ注目された。)(3‐3) 4元生成で、(VA (v, u, v^{*}, u^{*}))_{1}\cong sl_{2}(3 ‐ \dim) となるものを

N=4 超共形代数と呼ぶ。

1.2

マシュームーンシヤイン

江口、大栗、立川の3名が次の3つの間に神秘的な関係があることに気づいたのが出発点である。

(1)K3曲面の楕円種数 Z_{K3}^{ell}(z, \tau) (Witten 種数の変形)
弱Jacobi 形式 (wt =0 , index =1 ) であり, \lim_{qarrow 0}Z(0, \tau)=24 の条件で一意的に決まる。

Z_{K3}^{e}\iota l(z, \tau)=20+2(\zeta+\zeta^{-1})+f_{1}(z)q+f_{2}(z)q^{2}+ (q= e^{2\pi i\tau}, \zeta=e^{2\pi iz})(2) 中心電荷6の N=4 超共形代数 \mathcal{A}島 Ramond 既約加群の指標は
ch_{h=1/4,\ell=0}(z, \tau),ch_{h=n+1/4,\ell=1/2}(z, \tau)=q^{n-1/8}\frac{\theta_{1}(z,\tau)^{2} {\eta(\tau)^{3} , n=0,1,で与えられる。この時、Witten の結果より、ある整数係数 A_{n} があって、線形和

Z_{K3}^{el }(z, \tau)=24ch_{1/4,0}(z, \tau)+\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}ch_{n+1/4,1/2}(z, \tau)
ヨと表示できることが知られていた。そこで、大栗 [1988] はいくつかの係数を計算した。
A_{0}=-2, A_{1}=90, A_{2}=462, A_{3}=1540
2010年に上記の3人はこれらの数字が下の次数の簡単な和であることに気づいた。

(3) Mathieu 単純群 M_{24} の既約加群の次数1, 23, 45, 45, 231, 231, 252, 253, 483, 770, 770, 990, 990, 1035,

1.3

マシュームーンシャイン予想

そこで、3人は次のような質問 (予想) を立てた。
予想:
A_{n} は M_{24} ‐加群の次数ではないか?

期待として:

K3曲面と M_{24} と \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} の間に関係があるのではないか?

(例えば、 M_{24}\cross \mathcal{A}_{cc=6}^{N=4} が Z_{K3}^{ell}(z, \tau) を定義する空間に作用しているのではないかということである。)

101
101
この予想が広く注目された理由の一つは、 \sum_{n=0}^{\infty}A_{n}q^{n} が” Mock テータ級数” (Ramanujanが定義したもの) になっていたことである。これは、モンスター単純群にまつわるムーンシャイン予想における種数 0 のモジュラー関数を彷彿させた。モンストラスムーンシャ

インにおけるトンプソン級数のように、マシュームーンシャインでも、各 g\in M_{24} に、”

ツイスト楕円種数“ (江口、樋上)

Z_{g}^{el }(z, \tau)=(1+\chi_{2}(g) ch_{1/4,0}(z, \tau)+\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(g)ch_{n+1/4,1/2}(z, \tau)が与えられ、予想は、「 A_{n}(*) が M_{24} の指標ではないか?」の形になった。

その後、計算機を使って多くの係数 (\sim q^{300}) の指標の表示が求められ、最終的に、ギャノン [2012] が、この膨大なデータとモックテータ級数の性質を使って、予想を示した。(論文名は “Much Ado About Mathieu” である。Much Ado About Nothing (空騒ぎ) はシエイクスピアの喜劇の1つであり、この講演内容は上の論文に対する返歌のつもりである。)
しかし、 M_{24} と \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} と Z_{K3}^{ell}(z, \tau) の関係は以前不明である。

2

1 2夜の舞台の設営

1 2夜の舞台となる超頂点作用素代数 SVOA を構成する。
格子 SVOA V_{L}とは \mathb {Z}‐値正定値格子 L に対して、2つの性質(1) L の加法 :\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z} L\subseteq(V_{L})_{1},L(2) の群環 : 各 \alpha\in L に対して、(v\in \mathbb{C}Larrow v(-1)1\in(V_{L})_{1}) と

e^{\alpha}\in(V_{L})_{<\alpha,\alpha>/2}を利用して構成される SVOA であり、中心電荷は L のラン久 指標は次で与えられる。

\sum_{n=0}^{\infty}\dim(V_{L})_{n}q^{n-rank(L)/24}=\theta_{L}(\tau)/\eta(\tau) ^{rank(L)}Duncan, et al. [2015] は中心電荷12の格子 SVOA V_{D_{{\imath} 2+}} を構成し、覧のいくつかの自己同型群と可換な中心電荷12の超共形代数を構成した。
マシュームーンシャインに出てくる超共形代数は中心電荷6なので、一見無関係のように見えるが、この中に隠れていたというのが今回の1 2夜の話である。それを見るために、上記の SVOA の性質を見ていこう。
x_{1},

x_{12} 正規直交基底とすると、

D_{12}= \{\sum_{i=1}^{12}a_{i}x_{i}|a_{i}\in \mathb {Z}, \sum_{i=1}^{12}a_{i} \equiv 0 (mod 2)\}はタイプ D_{12} の偶格子となる。その双対格子 D_{12}^{*} は、f=^{x+}\ovalbox{\t \small REJECT}_{2}+x と置いて、D_{12}^{*}=D_{12}\cup(D_{12}+x_{1})\cup(D_{12}+f)\cup(D_{12}+f-x_{1})となる。この時、格子 VOA 理論から、 V_{D_{12}} ‐既約加群は次の4つである。

V:=V_{D_{12}}, W^{1}:=V_{D_{12}+x_{1}}, W^{2}:=V_{D_{12}+f}, W^{3}:=V_{D_{12}+f -x_{1}}
補題1 D_{12}\cup(D_{12}+t) (^{\forall}t=x_{1}, f, f-x_{1}) は正則格子なので、 V\oplus W^{i} (i=1,2,3) は正則 SVO且となる。(正則 SVOA の重要な性質として、既約加群は自分自身だけ、トレースは SL_{2}(\mathbb{Z}) ‐不変となっている。)

102
3

舞台上での楕円種数の姿
weight 1の元 x_{i}(-1)1 と V\oplus W^{h} が正則 SVOA であることを使って、次を得る。

補題2 x_{1}(-1)1+x_{2}(-1)1 に対して、トレイス関数

Z^{h}(z, \tau):=Tr_{V\oplus w}h\zeta^{(x_{1}(0)+z_{2}(0))}q^{L(0)-12/24} ,ここで \zeta=e^{2\pi iz}, q=e^{2\pi x\tau}は弱 Jacobi 形式となる。(注釈 : q の幕は V 上で半整数で、 W^{i} 上では整数である.)
整数幕だけを考えて、定数項を比較してみると、次に事実が分かる。
事実

Z_{K3}^{ell}(z, \tau)=Z^{1}(z, \tau)-Z^{3}(z, \tau)(注釈 :W^{1}\oplus W^{3} は (V_{D_{12}}\oplus W^{2}) ‐ラモン加群である。)

3.1

V\oplus W^{1} への M_{24} の作用

散在型有限単純群マシュー群 M_{24} は24点集合上の5重置換群であり、位数は244823040

であり、ゴーレイ符号 G_{24}\subseteq \mathbb{Z}_{2}^{\oplus 24} (自己双対偶コード) の全自己同型群である。

定義1前に述べたフエルミノン a\in V_{1/2} の性質 a(n)a(m)+a(m)a(n)=\delta_{n+m,-1} から、(a)\frac{\imath}{2:24^{\backslash } \overline{\pi}

イジング模型と呼ばれる中心電荷1/2の単純頂点作用素代数であり、一元で生成した SVOA は L( \frac{1}{2},0)\oplus L(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})2 と同型であるあ。ここで\backslhL^{\backslh}(、 \frac{1}{2},\frac{1}{2(} ) は’は_{}\varpi\ov)albox{\t smalREJCT}\rflor\ovalbox次{\t smalREJCT}ウエ^{H} 0aL

イト①の既約加群である。

補題3格子 SVOA V_{Zx_{1}} において、

e^{x_{1}}+e^{-x} ’と i(e^{x_{1}}-e^{-x_{\iota}}) の2つが互いに直交したフェルミオンであり、である。それゆえ、

V_{\mathb {Z}x , \cong(L(\frac{1}{2},0)\oplus L(\frac{1}{2},0) \otimes(L(\frac {1}{2},0)\oplus L\prime(\begin{ar ay}{l} 1 \overline{2}'\overline{2} \end{ar ay})
V \oplus W^{1}\cong(L(\frac{1}{2},0)\oplus L (\begin{ar ay}{l} 1 \overline{2}'\overline{2} \end{ar ay}) ^{\otimes 24}

特に、 M_{24} は成分の置換として作用している。

Adermollo [1976] は12個の直交フェルミオンから中心電荷6のN=4 超共形代数 \mathcal{A}_{c =6}^{N=4}を V_{D}\oplus V_{D+x_{1}} の中に構成したが、今回必要なのは V_{D}\oplus V_{D+e} の中の中心電荷6の超共形代数である。

3.2

N=4V\oplus W^{2} への M_{24} の作用

V\oplus W^{1} は L( \frac{1}{2},0) と L( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) だけで構造が分かるが、 W^{2}, W^{3} はそれだけでは不十分である。 L( \frac{1}{2},0) の既約加群として上記以外に L( \frac{1}{2}, \frac{1}{16}) がある。これを使って、 W^{2}, W^{3} の構造を見ていこう。まず、ゴーレイ符号
G_{24}\subset {偶コード全体} \subset ( \mathb {Z} 2)24

M_{24} ‐不変部分群の列

103を考え、2元符号の内積を利用して、位数2の元 z による中心拡大2^{1+12}\subseteq 2^{1+23}\subseteq 2^{1+24}を考える。ここで、 2^{1+n} は位数2の中心元 z で商を取るとexstra‐special 2‐群である。

2^{n}の基本アーベル群となる\theta を 2^{1+12} の1次表現で z が自明でないものとすると、その誘導表現 T=Ind^{2^{1+23}}(\theta) は、次元が 2^{11} であり、 M_{24} ‐加群でもある。

命題1

W^{2} \cong L(\frac{1}{2}, \frac{1}{16})^{\otimes 24}\otimes T,( W^{3} もほぼ同じ)

上記の表現に対する M_{24} による固定元を計算してみると、\dim(V\oplus W^{2})_{3/2}^{M_{24}}=1

補題4\exists_{\xi\in}(W^{2})_{3/2}^{M_{24}} で、 \xi_{0}\xi=2\omega が存在する。この \xi は次の部分節で利用する。

それゆえ、V\oplus W^{2} の中の超共形代数 \mathcal{A}_{c =6}^{N=4}3.3

格子 SVOA の中に超共形代数を見つける方法として、最近発表された結果がある。

定理5 (Mason‐Tuite‐Yamskulna(2017))

L を正定値奇格子で、最小ウエイトwt (L)\geq2 とする。琉を格子 SVOA とする。以下の条件を満たす

A, B\subseteq V_{3/2} があるとする(I)とは2‐次元の sl_{2^{-} \not\supset D 群で、 \dim(A+B)=4(II) A(1)B\cong sl_{2}, A(1)A=B(1)B=0,(III) sl_{2} は L のあるノレートを含む。 i.e. \ni e^{x} ( x ノレート)
A

B

この時、A, B で生成される VA (A, B)\cong \mathcal{A}_{cc=6}^{N=4} である。

この定理の応用として、

定理6 H<M_{24} に対して、同型 \sigma があって、H ‐不変なsl_{2}\cong Span_{\mathbb{C}}\{e^{x_{1}+x_{2}}, e^{-x_{1}-x_{2}}, x_{1}(-1)1+x_ {2}(-1)1\}^{\sigma}\subset(V_{D_{12}})_{1}があれば、H ‐不変な超共形代数 \mathcal{A}_{c =6}^{N=4}を次のように構成できる。

G^{1}=(e^{x_{1}+x_{2}})^{\sigma}(0)\xi, G^{2}=(e^{-x_{1}-x_{2}})^{\sigma}(0) (e^{x_{1}+x_{2}})^{\sigma}(0)\xi\overline{G}^{1}=(e^{-x_{1}-x_{2}})^{\sigma}(0)\xi, \overline{G}^{2}=(e^{x_{1}+ x_{2}})^{\sigma}(0)(e^{-x_{1}-x}2)^{\sigma}(0)\xiとおくと、 A=<G^{1}, G^{2}>, B=<\overline{G}^{1},\overline{G}^{2}> は定理5の条件.を満たす。

4

マシュームーンシャイン現象と1 2夜 (トラブル)

定義2 (マシュー群の類関数) \forall_{g}\in M_{24,g} ‐不変な \exists_{\mathcal{A}_{c =6}^{N=4} が存在し、 g\ltimes \mathcal{A}_{cc=6}^{N=4} は W^{1}\oplus W^{3}に作用している。この時、 A_{n}(*) を次のように定義する。

ここで、\frac{\theta_{1}(z,\tau)^{2} {\eta(\tau)^{3} \cros \sum A_{n}(g)q^{n-1/8}= Tr_{M_{g}(W^{1}\oplus W^{3})-(W^{2}\oplus W^{3})g\zeta^{\alpha(0)}q^{L(0)-1/2} ,M_{g}(W^{1}\oplus W^{3}) は \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} のウエイトが1/4でない加群全体である。

104
質問 :

M_{24}\cross \mathcal{A}_{cc=6}^{N=4} が (W^{1}\oplus W^{3})-(W^{2}\oplus W^{3}) に作用している?
答: 否 (Bad News)
事実: ((V_{D_{12}})^{M_{24}})_{1}=0
M_{24} は sl_{2} さえ固定しない。
More bad news

1つの元でも、

5g=23A, 23B の場合には、g と可換な\mathcal{A}_{c =6}^{N=4} の作用は無 \ovalbox{\t smalREJCT}\ovalbox{\t smalREJCT}_{\cir}

朗報(1) 舞台の頂点作用素代数の中心電荷は12. 一方超共形代数の中心電荷6なので、双子\mathcal{A}_{c =6}^{N=4}\otimes \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} が必要。実際、組を作れる。(劇1 2夜の主人公は双子の兄妹)(2) Brauer の定理

群の類関数 \chi が一般指標 (2つの指標の差) である必要十分条件はすべての基本部分群 \forall_{H} への制限 \chi|_{H} が一般指標であることである。

即ち、マシュー群 M_{24} そのものが出てこなくても、 M_{24} の類関数が M_{24} の一般指標となることがある。しかも、 M_{24} の基本部分群 (か群と巡回群の直積) は、{巡回群, \mathbb{Z}_{3}\cross D_{8},\mathbb{Z}_{3}\cros (\mathbb{Z}_{2})^{2} , Sylow2‐群,Sylow3‐群} という簡単な構造を持ったものだけである。
(3) 基本部分群 H に対して、 V_{D_{2}},\oplus W^{2} の中に、H‐不変な双子 \mathcal{A}_{cc}:_{6}\otimes \mathcal{A}_{cc=6}^{N=4} が構成できる。(注釈 H の作用と可換というわけではない。)

5.1

双子の兄妹

左右の Virasoro 元を \omega^{1}, \omega^{2} とする。それぞれ中心電荷 cc=6 である。
右の \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} の中に含まれる Neveu‐Schwartz 代数の元 v を使うことで、v(1/2)v(1/2)= \frac{1}{2}[v(1/2), v(1/2)]=\omega^{2}(1)-1/4を得る。そこで、 (\mathcal{A}_{cc=6}^{N=4})^{even}\otimes(\mathcal{A}_{cc=6}^{N=4})^{even} の加群 W^{1}\otimes W^{2}\subseteq W_{D+x_{1}} に対して、

v(1/2):V_{D} rightarrow V_{D_{x_{1}+} .
W^{1}\otimes W^{2}rightarrow v(1/2)(W^{1}\otimes W^{2}).、

かつ、左 \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} ‐加群として、 W^{1}\otimes W^{2}-v(1/2)(W^{1}\otimes W^{2})=W^{1}\otimes(W^{2})_{1/4} となるので、
差 W_{D+x_{1}}-W_{D+e+x_{1}} には W_{1/4}^{2}\neq 0 となる massless 表現 W^{2} の相棒 W^{1} しか出てこな
い。結果として、左右の \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} は一つにしか見えない (これが双子 \mathcal{A}_{c =6}^{N=4}\otimes \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} をーつの \mathcal{A}_{c =6}^{N=4} と誤解した理由である。) それゆえ、予想に対する次の結果の別証明を得た。

定理 7A_{n}(*) は M_{24} の一般指標である。