9リーマンゼータ関数とディリクレ L 関数の導関数の零点の分布
ADE IRMA SURIAJAYA

理化学研究所 分野横断型数理科学連携研究チーム

ABSTRACT. 本稿では,著者が得たリーマンゼータ関数とディリクレ L 関数の導関数の零点の分布に関する研究結果と知られている発展を紹介する.

1. 導入 : リーマンゼータ関数の導関数の零点の分 ]_{I}j

A. Speiser [7] はリーマンゼータ関数 \zeta(s) の一階導関数 \zeta'(s) が {\rm Re}(8)<1/2 で実数でない零点を持たないことがリーマン予想と同仙であることを示した.この結果は \zeta(s) の零点の分布がその導関数の零点の分布と関係していることを意味し,その後, \zeta(s) の k 階導関数 \zeta^{(k)}(s) の零点はたくさん調べられてきた.B. C. Berndt [3, Theorem] は正の整数k に対し, \zeta^{(k)}(\mathcal{S}) の実数でない零点の個数を調べ,N. Levinson とH. L. Montgonmery [5,Theorem 10] は零点の実部の分布を調べた.H. Akatsuka [1 , Theorems 1 and 3] と著者[8, Theorems 1 and 3] はリーマン予想を仮定し,Berndt [3, Theorem] 及び Levinson とMontgomery [5, Theorem 10] が示した評価を改良した.著者 [8] は次を示した.

定理1. (cf. [1, Theorem 1] (k=1) , [8, Theorem 1]) リーマン予想が成り立つとき,

0<{\rmIm}(\rho)\leqT\sum_{\rho}, ({\rm Re}( \rho)-\frac{1}{2})=\frac{kT}{2\pi}\log\log\frac{T}{2\pi}+\frac{T} {2\pi}(\frac{1}{2}\log 2-k\log\log 2)-k Li ( \frac{T}{2\pi})\zeta複複^{(.k度)_{}\}lcor)ner\-nearo1w\backT_{slash^{\backsla:sh}}み+O_{k}((\log\log T)^{2})が成り立つ.ここで,である.

Li(x):=\cdot/2^{x}\frac{dt}{\log t}定理2. (cf. [1_{\dot{\valbox{\t smalREJCT} Theorem 3] (k=1) , [8, Theorem 3]) N_{k}(T) を 0<{\rm Im}(s)\leq T における\zeta^{(k)}(s) の零点の重複度込みの個数とする.リーマン予想が成り立つとき,が成り立つ.

N_{1}(T)=\frac{T}{2\pi}\log\frac{T}{4\pi}-\frac{T}{2\pi}+O(\frac{\log T}{(\log \log T)^{1/2} )20ı0 Mathe7n_{\ovalbox{\tt\small REJECT}}atics Subject Clabsiftcation. llM06.

Key words and phrases. リーマンゼータ関数,ディリクレ L 関数,導関数,零点.

本研究は部分的に似鳥国際奨学財団,岩谷直治記念財団と科研費 (課題番号: 15J02325 ) の助成を受けたものである.

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F. Ge [ 4_{:} Theorem 1] は,以上の定理2における誤差項を k=1 に対して,O( \frac{\log T}{\log\log T})に改良した.Ge [4] は {\rm Re}(\mathcal{S})=1/2 付近の極小な範囲内における \zeta(s) と \zeta'(s) の零点の個数の関係を詳しく調べ,以上の改良に成功したが, k>1 に対して,この方法はうまく適用できず,高階導関数への拡張は未だ困難である.
2. ディリクレ L 関数の導関数の零点の分布
第1節で述べた研究は q>1 を法とする主指標でない原始的指標 \chi に付随するディリクレ
L 関数 L(s_{:}\chi) の郁皆導関数 L^{(k)}(s_{:}\chi) に対して,C. Y.と著書 [2] によって調べられた.

Y_{1}1d_{1\Gamma 1}m[10] , 著者 [9] とAkatsuka

Y_{1}1d_{i}rlm [ 10_{j} Theorems 2 and 3] は L^{(k)}(s_{:}\chi) の零点について,非零領域を調べ,それに基づいて L^{(k)}(s,\cdot\chi) の零点を次のように分類した :\bullet\bullet\bullet

ここで,\{\sigma+it:\sigma\leq-q^{K_{j}}|t|\leq\varepsilon\} にある自明な零点,\{s=\sigma+it: |s|\leq q^{K}, \sigma\leq-\varepsilon\} にある ((放浪” 零点と\{\sigma+it:\sigma>-\varepsilon\} にある非自明な零点.
\varepsilon>0 は任意であり,K>0 は k と \varepsilon に依存する大きな定数である.Akatsuka と著者 [2, Theorems 1, 2, and 4] は,

Y_{1}1_{(}hrn11 が示した非零領域をん =1 の場合に対して改良し,(‘放浪“ 零点が存在しないことを示した.詳しくは,次のようである.以下,\kap a:=\{ begin{ar ay}{l 0_{:}\chi(-1)=1, 1,\chi(-1)=-1 \end{ar ay}と m:= \min\{n\in \mathbb{Z}_{\geq 2} :\chi(n)\neq 0\} とおく.

定理3. (cf. [2, Theorems 1−4])(1) \Theta(\chi) := \sup\{{\rm Re}(\rho) :\rho\in \mathbb{C}, L(\rho, \chi)=0\} と\mathcal{D}_{1}(\chi):=\{\sigma+it:\sigma\leq 1-\Theta(\chi), |t \geq\frac{6}{ \log q}\}\backslash \{\rho\in \mathbb{C}:L(\rho, \chi)=0\},\mathcal{D}_{2}(\chi):=\{\sigma+it:\sigma\leq-q^{2}, |t \geq\frac{12} {\log|\sigma|}\}としたとき, s\in \mathcal{D}_{1}(\chi)\cup \mathcal{D}_{2}(\ovalbox{\t \small REJECT}) に対して, L'(s, \ovalbox{\t \small REJECT}\chi)\neq 0 である.
(2) j\in \mathbb{N} に対して,次が成り立つ.
\bulletL'(s, \lambda) は -2j-\kappa-1<{\rm Re}(s)<-2j-\kappa+1 に唯一な零点を持つ.

-2j- \kappa+O(\frac{1}{\log(\dot{j}q)}){\rm Re}(s)=-2j-fi. +1 上, L'(s, \chi)\neq 0 である.
(3) -h-1<{\rm Re}(s)<0 に対して,次が成り立つ.
\kappa=0 と q\geq 7 のとき, -1\leq{\rm Re}(s)\leq 0 に L'(s_{i}\chi)\neq 0 である.
h'=1 と q\geq 23 のとき,
-2\leq{\rm Re}(s)\leq 0 に L'(s, \chi) は唯一な零点を持つ.
\bullet\bullet\bullet11
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この新しい非零領域 (定理3) により, {\rm Re}(s)\leq 0 における L'(s_{:}\chi) の零点は,高々有限個を除いて L(\mathcal{S}, \chi) の自明な零点に一対一対応していることがわかる.また,それらのL'(s, \chi) の零点は L(s_{\dot{J}}\chi) の自明な零点の近くに存在する.よって, L'(s_{j}\chi) の {\rm Re}(s)\leq 0における零点を自明な零点とし, {\rm Re}(s)>0 における零点を非自明な零点と分類すればよい.その分類は L(s_{:}\chi) 自身の場合に一致することに注目.

注.(cf. [10, Theorem 2]) k\geq 1 に対して,{\rm Re}(s)> ı +において,L^{(k)}(s_{:}\chi)\neq 0 である.

\frac{m}{2}(1+\sqrt{1+\frac{4k^{2} {m\log m}})定理3を示すために,鍵となる式は, L(s_{:\lambda)} のアダマールの因数分解無限積表示の対数微分\frac{L'}{L(6,\chi)=B(\chi)-\frac{1}2\frac{\Gam a'}{\Gam a}(\frac{s+ \kap a}{2)-1\log\frac{q}\pi}+L(\rho,\chi)=0{\rmRe}(\rho)>0\sum_{\rho},(\frac {1}s-\rho}+\frac{1}\rho})(1)(cf. [6, Corollary 10.18]) と L(6, \chi) の関数等式の対数微分\frac{L'}{L}(s_{:}\chi)=-\frac{L'}{L}(1-s, \overline{\prime\sear ow\prime})- \log\frac{q}{2\pi}-\frac{\Gamma'}{\Gamma}(1-s)+\frac{\pi}{2}\cot(\frac{\pi(s+ \kap a)}{2})(cf. [6, p. 352]) である.
Akatsuka と著者 [2, Theorem 5] は以上の非零領域 (定理3) を用いて,Ylldlrlm [10, The‐
orem 4] が示した, {\rm Re}(s)>0, |{\rm Im}(s)|\leq T における L^{(k)}(.s, \chi) の零点の重複度込みの個数
N_{k}(T, \chi) の評価式の誤差項 O(q^{K}\log T) を k=1 の場合に対して改良できた.

定理4. (cf. [2, Theorem 5])

N_{1}(T, \chi)=\frac{T}{\pi}\log\frac{qT}{2\pi m}-\frac{T}{\pi}+O(m^{1/2}\log qT).

m=O(\log q) により,定理4における誤差項は Ylldırlm [10, Theorem 4] が示した
O(q^{K}\log T) を大幅に改良した.Akatsuka と著者 [2, Theorem 6] は定理1の L'(s, \lambda') への拡張も示した.

定理5. (cf. [2, Theorem 6]){\rmRe}(\rho)>0,|{\rmIm}(\rho)|\leqT\sum_{\rho}, ({\rm Re}( \rho)-\frac{ \imath} {2})=\frac{T}{\pi}\log\log\frac{qT}{2\pi}+\frac {T}{\pi}(\frac{ \imath} {2}\log m-\log\log m)-\frac{2}{q} (\frac{qT}{2\pi})Li

重複度 J^{\underli {\narow\bckslah})=\backsみ’lh+O(m^{1/2}\log qT).

これは,第1節で述べた Levinson とMontgomery のた =1 の場合に対する L(s, \chi) への拡張である.一般リーマン予想を仮定すれば,定理4と5における誤差項を次のように改良できる.

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定理6. (cf. [9, Theorelns 1.1 and 1.2]) 一般リーマン予想が成り立つとするとき,{\rmRe}(\rho)>0,|{\rmIm}(\rho)|\leqT\sum_{\rho}, ( R.e(p)-\frac{1}{2})=\frac{T}{\pi}\log\log\frac{qT}{2\pi}+\frac{T}{\pi} (\frac{1}{2}\log m-\log\log m)-\frac{2}{q} (\frac{qT}{2\pi})Li

重複度 J^{\backsl h})\underli {-\lambみd} ’+O(m^{1/2}(\log\log qT)^{2}+m\log\log qT+m^{1/2}\log q)とN_{1}(T_{:} \chi)=\frac{T}{\pi}\log\frac{qT}{2\pi m}-\frac{T}{\pi}+O(A(q, T) \frac{m^{l/2}\log qT}{\log\log qT}+\log q)が成り立つ.ここで,である.

A(q_{:}T) := \min\{(\log\log qT)^{1/2_{-} .1+\frac{m^{l/2}}{\log\log qT}\}

以上の定理6の N_{1}(T, \chi) の近似公式の 1^{-}1,\backsla h:1_{L}^{1 } 差項における A(q, T) は基本的に後者となり,1くらいの大きさになるが, m が T を上回り非常に大きいとき,前者のほうが小さくなる.

A(q, T) における 1 前者の誤差項は,Ge [4] の方法を使わない証明方法で得られたものである.

注.Ge は投稿中の論文に,以上の定理6の N_{1}(T_{:}\chi) における 1\hat{1}/\ovalbx{\t smalREJCT}-1_{L^1\prime} 差項をに改良した.

O( \frac{\log qT}{\log\log qT}+\sqrt{m\log 2m1ogqT})
3. 一般リーマン予想と L'(s_{\ovalbox{\t \smal REJECT}}.\chi) の零点の関係

第1節で述べた Speiser [7] の結果は L'(.s\cdot, \chi) に対して拡張できる.Levinson と Mont‐gomery [5, Theorem 1] は 0<{\rm Re}(s)<1/2 における \zeta(s) と \zeta'(\mathcal{S}) の零点の個数がほぼ等しいことを示し,Speiser の結果 [7] を再証明した.Akatsuka と著者 [2, Theorem 7] はこの
Levinson とMontgomery [5, Theorem 1] の結果を, L'(s_{:}\chi) に対して次のように拡張し,Speiser の結果 [7] の L(s. \chi) 類似を示した.
定理7. (cf. [2, Theorem 5]) N^{-}(T_{\grave{\ovalbox{\t \smal REJECT} }\chi) と N_{1}^{-}(T, \chi) をそれぞれ, 0<{\rm Re}(s)<1/2, |{\rm Im}(s)|\leq
T におけるL(s, \chi) と L'(.s\dot{}, \chi.) の重複度込みの個数とする.このとき,

N^{-}(T, \chi)=N_{1}^{-}(T, \chi)+O(m^{1/2}\log qT)が成り立つ.

これを用いて,Speiser の結果 [7] の L(s, \chi) への拡張を示した. \zeta'(s) の非零領域を用いれば,Speiser [7] の結果は\zeta'(s)\neq 0 が 0<{\rm Re}(s)<1/2 に成り立つ \Leftrightarrow\zeta'(s)\neq 0 が 0<{\rm Re}(s)<1/2 に成り立つと書き換えられ,この L(s, \chi) への拡張は次のようである.

13定理8. (cf. [2_{\dot{\valbox{\t smalREJCT} Theorems 8 and 9])\bullet\bullet

f'i=0 とq\geq 216 であるとき,次の (i) と (ii) は同値である.
(i) 0<{\rm Re}(s)<1/2 において L(6, \chi)\neq 0 である.
(ii) 0<{\rm Re}(s)<1/2 において L'(s, \chi) は唯一な零点を持つ.
\kappa=1 と q\geq 23 であるとき,次の (i) と (ii) は同値である.
(i) 0<{\rm Re}(s)<1/2 において L(s_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} \chi)\neq 0 である.
(ii) 0<{\rm Re}(s)<1/2 において L'(s. \chi)\neq 0 である.

注.一般リーマン予想の必要条件 (i)\Rightarrow(ii) は既に Y_{1}1d_{1}rlm [ 10 , Theorem 1] により示された.
K'=0 の場合に対して,0<{\rm Re}(s)<1/2 に現れる L'(s_{:}\chi) の唯一な零点は,Akatsuka
s=0 における L(s_{:}\chi) の自明な零点に対応するため, L'(s_{:}\chi) の自明な零点と見なしてもよい.定理8が意味するのは, L'(5_{:X)} が0<{\rm Re}(s)<1/2 にそれ以外の零点を持たないことは一般リーマン予想の同値条件である.
定理8に付く g に関する条件は, L(s, \chi) のアダマールの因数分解無限積表示の対数微分 (1) により得られたものである.より詳しくは,非自明な零点の対称性を用いれば,
L(1/2+it_{:}\chi)\neq 0 を満たす t に対して,と著者 [2] の分類により非自明な零点であるが,{\rm Re} \frac{L'}{L}(\frac{1}{2}+it_{:}\chi)=-\frac{ \imath} {2}\log\frac{q} {\pi}-\frac{1}{2}{\rm Re}\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac{1}{4}+\frac{\kap a}{2}+ \frac{it}{2})\leq-\frac{1}{2}\log\frac{q}{\pi}-\frac{1}{2}{\rm Re}\frac{\Gamma'} {\Gamma}(\frac{1}{4}+\frac{\kap a}{2})が成り立つ (cf. [2, (4.3)]). そこで,{\rm Re} \frac{L'}{L}(\frac{1}{2}+it, \chi)<0(2)が成り立つように,

q> \pi\exp(-\frac{\Gamma'}{\Gamma}(\frac{1}{4}+\frac{\kap a}{2})を取る. q が小さいとき,(2) が成り立たない場合があることは確かめられたが,全ての1<q<216(\kappa. =0) または 1<q<23(\kappa=1) に対する確認は済んでいない.定理8のような結果は 1<q<216(\kappa=0) または 1<q<23(\kappa=1) に対して成り立つかどうかを示すために,の挙動を詳しく調べる必要がある.

{\rm Re} \frac{L'}{L}(\frac{1}{2}+it, \chi)
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[5] N. Levinson and H. L. Montgomery., Zeros of the derivatives of the Riemann zeta‐function, Acta
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〒 351‐0198埼玉県和光市広沢2‐1理化学研究所分野横断型数理科学連携研究チーム

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