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直交概念2種の Radon plane における違い
水口 洋康

千葉工業大学 新習志野教務課 学生サポートセンター
Student Affairs Department‐Shinnarashino

Educational Affairs Section, Chiba Institute of Technologyhiroyasu.mizuguchi@p.chibakoudai.jp

1. Introduction

内積空間においては, \{x_{\grave{\ovalbox{\t \smal REJECT}} y\}=0 で2つの元 x, y の直交が定義される.この直交の概念は非常に有用かつ興味深く , 多くの数学者によって幅広く研究,応用されている.ノルム空間においては必ずしも内積が存在するとは限らないので,ノルムに関する等式及び不等式によって直交を拡張した概念が複数定義されている.ノルム空間 X の元 x, y に対し,(B)xが y に Birkhoff 直交する ( x\perp_{B}y と表記) とは,任意の実数 \lambda に対して\Vert x+\lambda y\Vert\geq\Vert x\Vert が成り立つ事を言う ([3]).

(I)

xが y に Isosceles 直交する ( x\perp_{Iy} と表記) とは, \Vert x+y\Vert=\Vert x-y\Vert が成り立つ事を言う ([6]).

数多くの拡張された直交の概念が存在し幅広く研究が行われている ([1] 等を参照).
内積空間においてはいずれも通常の直交と一致するものの,各直交が別々の概念であり,それぞれノルムに依存する.近年では各空間における直交の違いを計量する定数も定義,研究されている ([8, 11, 13]):

D(X)=\inf\{\inf_{\lambda\in \mathbb{R} \Vert x+\lambda y\Vert :x, y\in S_{X}, x\perp_{I}y\},D'(X)=\sup\{\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert :x, y\in S_{X}, x\perp_{B}y\},

BR(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert}{\Vert y\Vert} : x, y\in X, x, y\neq 0, x\perp_{B}y\},
BI(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert} : x, y\in X, x, y\neq 0, x\perp_{B}y\},35

IB(X)= \inf\{\frac{\inf_{\lambda\in \mathbb{R} | x+\lambda y\Vert}{\Vert x\Vert} : x, y\in X, x, y\neq 0, x\perp_{I}y\}.

とある直交 \perp がx\perp y\Rightarrow y\perp x ”を満たすとき, \perp は synmmetric であると言われる.内積空間における通常の直交やノルム空間における Isosceles 直交はsymmetric である一方,Birkhoff 直交は必ずしも symmetric ではない.
Theorem 1 ([5, 7]).

Xをノルム空間とする.このとき, \dim X\geq 3 ならば次は同値.

(1) X が内積空間.
(2) X において Birkhoff 直交が symmetric である\dim X=2 の場合,Bikrhoff 直交が symmetric である事と,X が内積空間である事は同値ではない.Bikrhoff 直交が symmetric になる2次元ノルム空間は Radon
plane と呼ばれている.
Remark 2. 2次元ノルム空間とその共役空間の単位球面を連結することで Radon

plane を形成できる ([5, 9, 10]). 従って, \mathbb{R}^{2} 上の absolute normalized norm および対応する凸関数により無数の Raáon plane を考える事が出来る.実際,次のように Radon plane が構成される.
\mathbb{R}^{2} 上の ab \mathcal{S} 0íute noTmalizeá no\tau m 全体を AN_{2},\max\{t, 1-t\}\leq\psi(t)\leq 1 (^{\forall}t\in[0,1])を満たす [0,1] 上の連続凸関数 \psi 全体を \Psi_{2} と表す、 AN_{2} と \Psi_{2} とが,1対1に対応している ([4, 14]), \psi\in\Psi_{2} に対し dualfunction \psi* が\psi^{*}(s)=\sup\{\frac{(1-t)(1-s)+ts}{\psi(t)} : t\in[0,1]\} (^{\forall} s\in[0,1])で定義される, \psi*\in\Psi_{2} であり, \Vert\cdot\Vert\psi*\in AN_{2} は \Vert\cdot\Vert\psi の dual no\tau m である.一方,\psi\in\Psi_{2} に対し \tilde{\psi}\in\Psi_{2} が \tilde{\psi}(t)=\psi(1-t)(t\in[0,1]) で定義される.

\overline{(\psi^{*}) =(\tilde{\psi})^{*}

なので \tilde{\psi}* と表記する,このとき,Day‐James 空間 \el _{\psi-P_{\overline{\psi}* } は Radon plane となる,
Radon plane において IB(X), BR(X), BI(X) の値を考える.なお,一般の空間では 1/2\leq BI(X)\leq 1,0\leq BR(X)\leq 1,0\leq BI(X)\leq 2 である.

2.

IB(X) in Radon plane

Birkhoff 直交と Isosceles 直交の差異について,James [6] による次の結果が重要である.

36
Proposition 3 ([6]). ノルム空間 X において
(i) 0\neq x\in X, y\in X に対し x\perp_{I}y であるとする.このとき,任意の実数 k に対し\Vert x+ky\Vert>\frac{1}{2}\Vert x\Vert.

(ii) 0\neq x\in X, y\in X に対し x\perp_{I}y, \Vert y\Vert\leq\Vert x\Vert とする.このとき,任意の実数k に対し\Vert x+ky\Vert\geq 2(\sqrt{2}-1)||x\Vert.

(i) より一般のノルム空間で不等式 1/2\leq IB(X)\leq 1 が成立する.

2つの元 x, y\in S_{X} に対し,sine function s(x, y) が以下のように定義される ([15]):s(x, y)= \inf_{t\in \mathbb{R} \Vert x+ty\Vert.
V. Balestro, H. Martini, and R. Teixeira [2] が次を示している.
Proposition 4 ([2]). 2次元ノルム空間 X が Radon plane である事は,X において sine function が symmetric である事と同値である.
ここで,sine function が symmetric とは,任意の x, y\in Sx に対し s(x,yy)=\mathcal{S}(y, x) が成り立つ事を言う.Proposition 3 (ii), 4より,Radon plane X において2 (\sqrt{2}-1)\leq IB(X)\leq 1.
sine function がsymmetric である事を再度用いてProposition 5 ([12]). Radon plane X において,IB(X)= \inf

Proof.

\{ begin{ar y}{l l} x,y\inS_{X} \alpha \in[0,1] x \per _{I} \alphay |x+ky| \in[0, 1\dot{\imath}n\{1/2,\alpha\}],l in[0,1/2]k |x+ky|= m\dot{\imath}n_{\lambda\in mathb {R}|x+\lambday|= \min_{\mu\in mathb {R}|y+\mux|=y+lx| \end{ar y}\x,y\in Sx, \alpha\in \mathbb{R} に対し x\perp_{I}\alpha y であるとする. x\perp_{I}\alpha y が x\perp_{I}-\alpha y お

よび y\perp_{I}x/\alpha を意味するので \alpha\in[0,1] としてよい.X がRadon plane であるので \Vert x+ky\Vert=\min_{\lambda\in \mathbb{R}}\Vert x+\lambda y\Vert= \min_{\mu\in \mathbb{R}}\Vert y+\mu x\Vert=\Vert y+lx\Vert を満たす実数 k, l が存在し,更に k と l の符号が一致する.よって 0\leq k and 0\leq l とできる. x\perp_{I}\alpha yおよび \Vert x+ky\Vert=\min_{\lambda\in \mathbb{R}}\Vert x+\lambda y\Vert より k\leq\alpha である.
\Vert x+ky\Vert=\min_{\lambda\in \mathbb{R}}\Vert x+\lambda y\Vert から x+ky\perp_{By} . Radon plane においては Birkhoff
直交が symmetric なので y\perp_{B}x+ky . これより\alpha+k\leq\Vert x+ky-(\alpha+k)y\Vert=\Vert x-\alpha y\Vertが成立する.三角不等式および x\perp_{I}\alpha y と組み合わせると\alpha+k\leq\Vert x+ky-(\alpha+k)y\Vert=\Vert x-\alpha y\Vert=\Vert x+\alpha y\Vert=\Vert x+ky+(\alpha-k)y\Vert\leq\Vert x+ky\Vert+\alpha-k.

37よって, 2k \leq\Vert x+ky\Vert=\min_{\lambda\in \mathbb{R}}\Vert x+\lambda y\Vert\leq 1 で k\in[0,1/2].

同様に 2l\leq\Vert y+lx\Vert\leq 1 も得られるので, 1\in[0,1/2] .
Proposition 6 ([12]). Radon plane X において,,x,

口y\in Sx, \alpha\in[0,1] に対しx\perp_{I}\alpha y であるとする.

\Vert_{X+ky\Vert=\min_{\lambda\in \mathbb{R} \Vert x+\lambda y\Vert= m\dot{ \imath} n\Vert y+\mu x\Vert= ,\mu\in \mathbb{R} \Vert y+lx\Vertを満たす k \in[0, \min\{1/2, \alpha\}], 1\in[0,1/2] をとる.このとき,\Vert x+ky\Vert\geq\max\{\frac{(\alpha+k)(1-kl)}{(\alpha+k)(1-kl)+k(1-l)(\alpha-k)}, (1+ \alpha l)(1-kl)+l(1-k)(1-\alpha l)(1+\alpha l)(1-kl)\}.
F( \alpha_{\dot{\tau} k, l)=\frac{k(1-l)(\alpha-k)}{(\alpha+k)(1-kl)}, G(\alpha, k, l)=\frac{l(1-k)(1-\alpha l)}{(1+\alpha l)(1-kl)}とおくと先の propositi0n より( \Vert x+ky\Vert)^{-1}\leq 1+\min\{F(\alpha, k, 1), G(\alpha, k, l)\}\alpha\in[0,1], k \in[0, \min\{1/2, \alpha\}], 1\in[0,1/2] の範囲で \min\{F(\alpha, k, l), G(\alpha, k, l)\}は最大値1/8を取り,Theorem 7 ([12]).

Xを Radon plane とする.このとき, 8/9\leq IB(X)\leq 1.

Radon plane 全体の中で IB(X)=8/9 を特徴付ける事が出来る.2次元ノルム空間の単位球面が affine regular hexagon であるとは,六角形になっている単位球面の頂点を \pm u, +v, \pm(u+v) として表現できるような u, v\in S_{X} が存在する事を言う.

Theorem 8 ([12]). X を Radon plane とする.このとき以下は同値(1) IB(X)=8/9(2) その単位球面が affine regular hexagon.
Proof. X を Radon plane とし IB(X)=8/9 が成り立つとすると, x\perp_{I}\alpha y かつ

\Vert x+ky\Vert=m\dot{ \imath} n\Vert x+\lambda y\Vert=\frac{8}{9}= m\dot{ \imath} n\Vert y+\mu x\Vert=\lambda\in \mathb {R}\mu\in \mathb {R}\Vert y +lx\Vertを満たす x, y\in Sx , \alpha\in[0,1], k, 1\in[0,1/2] が存在する. \min\{F(\alpha, k, l), G(\alpha, k, l)\}は \alpha=1, k=1=1/3 のときに最大値1/8を取るので,このとき実際 \alpha=1,38=1/3 である.三角不等式 \alpha+k\leq\alpha\Vert x+ky\Vert+k\Vert x-\alpha y\Vert が \alpha=1,
k=l=1/3 に対し等式となり,

k=\'{i}1+ \frac{1}{3}=\Vert x+ky\Vert+\frac{1}{3}\Vert x-y\Vert=\frac{8}{9}+\frac{1} {3}\Vert x-y\Vert
で \Vert x-y\Vert=4/3. x\perp_{Iy} なので \Vert x+y\Vert も4/3である.
0\neq z\in X に対し \hat{z}=z/\Vert z\Vert と表記すると,\widehat{x+y}=\frac{3}{4}(x+y)=\frac{1}{2} (\begin{ar y}{l \overline{1} \overline{1} x+_{\overline{3}y+ _{\overline{3}^X} \end{ar y})であり,\Vert\fac{1}2 (\begin{ar y}{l \overline{1} \overline{1} x+_{\overline{3}y+ _{\overline{3}^X} \end{ar y}) \Vert=\Vert\widehat{x+y}\Vert=1.

一方,に対し,x= \frac{3}{4}(x+\frac{1}{3}y)+\frac{1}{4}(x-y),\Vert x+\frac{1}{3}y\Vert=8/9, \Vert x-y\Vert=4/3 より\Vert\frac{2}{3}(x\overline{+\frac{1}{3} y)+\frac{1}{3}(\overline{x-y})\Vert= \Vert x\Vert=1.

同様に\Vert\frac{2}{3}(y\overline{+\frac{1}{3} x)+\frac{1}{3}(\overline{-x+}y)\Vert= \Vert y\Vert=1.

以上より,3つの線分[\overline{x-y}, x\overline{+\frac{1}{3} y] \{ begin{ar y}{l \overline{1} \overline{1} x+_{\overline{3}y,+_{\overline{3}^X} \end{ar y}\ , [y\overline{+\frac{1}{3} x,\overline{-x+}y],が単位球面 S_{X} に含まれる.更に,( \widehat{x-y})+(y\overline{+\frac{1}{3} x)=\frac{3}{4}(x-y)+\frac{9}{8}(y+ \frac{1}{3}x)=\frac{9}{8}(x+\frac{1}{3}y)=x\overline{+\frac{1}{3} yが成立するので,単位球面 s_{x} は affine regular hexagon.
逆に単位球面 S_{X} が affine regular hexagon だとすると \pm u, \pm v, \pm(u+v) がS_{X} の頂点となる

u,とすると,
x=u+\frac{1}{3}v,y=\frac{1}{3}u-v. 更に,v\in S_{X} が存在する.

\Vert x+y\Vert=\Vert x-y\Vert=4/3 で x\perp_{I}yx+ \frac{1}{3}y=u+\frac{1}{3}v+\frac{1}{3} (-\frac{1}{3}u-v)=\frac{8}{9}uが成り立つので IB(X)=8/9 となる.□39
3.

BI(X) and BR(X) in Radon plane

BI(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert}{\Vert x\Vert} : x, y\in X, x, y\neq 0, x\perp_{B}y\}= \sup_{\alpha>0}\{\Vert x+\alpha y\Vert-\Vert x-\alpha y\Vert:x, y\in S_{X}, x \perp_{B}y\},

BR(X)= \sup\{\frac{\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert}{\Vert y\Vert} : x, y\in X, x, y\neq 0, x\perp_{B}y\}= \sup_{\alpha>0}\{\Vert\alpha x+y\Vert-\Vert\alpha x-y\Vert:x, y\in S_{X}, x\perp_{B}y\}と,それぞれ書き換えられるので,X が Radon plane であるときは BI(X)=BR(X) である.
Papini と Wu は次を示している:

Theorem 9 ([13]). X をノルム空間とする.このとき,[1] 0\leq BR(X)\leq 1.

[2] BR(X) =0 は,X が内積空間である事と同値.
[3] BR(X) の上限値1が具体的な元により与えられる事と,線分 [x, y], [x, x-\alpha y]が単位球面に含まれるような x, y\in Sx 及び \alpha\in(0,2 ] が存在する事が同値,
このとき, [x, y] の長さは1以上.
Theorem 9より以下を得る事が出来る.

Theorem 10. X を Raáon plane とする.このとき以下は同値(1) BI(X)=BR(X)=1(2) その単位球面が affine regular hexagon.
PTOof. X を Radon plane とし BI(X)=BR(X)=1 が成り立つとすると,Theo‐rem 9より [x, y], [x, x-\alpha y]\subset S_{X} となる x, y\in S_{X}, \alpha\in(0,2 ] が存在する.このとき x\perp_{By} である.X がRadon plane なので, y\perp_{B}x でもあり
1=\Vert x-\alpha y\Vert\geq\Vert\alpha y\Vert=\alpha.
よって, \Vert x-y\Vert\geq\Vert x-\alpha y\Vert=1 である. [x, y]\subset Sx より y\perp_{B}(x-y) .
Radon plane なので, (x-y)\perp_{By} も言え,\Vert x-y\Vert\leq\Vert x-y+(1-\alpha)y\Vert=\Vert x-\alpha y\Vert=1,Xが40
よって\Vert x-y\Vert=L x\perp_{B}y なので [x, x-y]\subset S_{X}. -y\perp_{B}x でもあり
[x-y, -y]\subset S_{X}. [x, y]\subset S_{X} と合わせ, Sx は affine regular hexagon である.
逆に単位球面 S_{X} がaffine regular hexagon だとすると \pm u, \pm v, \pm(u+v) が S_{X}の頂点となる

u, v\in S_{X}が存在する.

x=u+v,y=uとすれば

x\perp_{B}y, \Vert x+y\Vert=2 , \Vert x-y\Vert=1.
従って

1=\Vert x+y\Vert-\Vert x-y\Vert\leq\sup_{\alpha>0}\{\Vert\alpha x+y\Vert-\Vert\alpha x-y\Vert:x, y\in S_{X}, x\perp_{B}y\}=BR(X)\leq 1,BI(X)=BR(X)=1 .

口

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