数理解析研究所講究録
1119 巻 1999 年 179-195

179

多体系の幾何、 力学、 制御
京都大学大学院情報学研究科
数理工学専攻岩井敏洋

1

概観

宇宙ロボットが現実のものとなっている現在、 非ホロノミック制御が多くの研究者の関心を引いている。 本講演では、 非ホロノミック制御が猫の宙返りを実現することを実証したい。

古典力学の分野では古くから、 角運動量ゼロの条件が非ホロノミック拘束であることはよく認識されて来た。 しかし、 角運動量ゼロの運動 (つまり非回転運動、 言い換えると振動運動)が結果として回転を引き起こすことがあるという認識は乏しかった。 非回転運
動が回転を引き起こすということが、 具体的には猫が宙返りをするということが、 何故可能なのかという問に微分幾何学は明確な原理で答えてくれる。 すなわち、 猫の宙返り
は、 原理的には、微分幾何学でいうところのホロノミーの実現と理解できるという答えである。

ホロノミーという術語は微分幾何学のなかの接続の理論に現れる。 70 年代には、 理論
物理学のなかのゲージ理論は、 微分幾何学にいうところの接続の理論と共通の内容をもっているという認識が確かなものになった。 80 年忌には、 接続の理論で理解できる物理現
象は、 ゲージ理論以外のもっと身近なところでみつかった。 1984 年の Berry の論文 1) に現れる幾何学的位相因子 (geometrical phase factor) というのがそれである。 同じ 1984)
年、は猫の宙返りがホロノミーの概念で理解できることを数学的に証明し$\mathrm{G}\mathrm{u}\mathrm{i}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{r}\det 2$た。 すなわち、 多体系が適当な “形” の変化にともなう振動運動 (全角運動量ゼロの運動)をすれば、 結果として回転を実現することを接続の理論を用いて厳密に証明した。 歴史
的にいえば、 彼の論文は多体系の運動のなかに接続の幾何学あるいはゲージ理論を見出したという意味で画期的である。 Berry の方は、 すぐに物理の世界でもてはやされ、 幾何
学的位相は–時大流行したが、 Guichardet の方はそれほどの注目も受けなかった。 しかし、 80 年代末から 90 年代にかけて微分幾何学的制御理論の観点から興味がもたれるよ

うになってきて、 J. Marsden 等のグループによって研究が続けられている 3,4)。筆者は、Guichardet の研究を力学の研究に活かそうと 80 年代後半から研究してきたが、 そのきっかけは量子化学の研究者との共同研究 5) からだった。 分子の Schr\"odinger 方程式を分子の結合手の長さや結合角を用いて記述するにはどうすればよいかという問題に共同で取り組んだ。 ここでの鍵は接続の理論あるいはゲージ理論である。 その旧いくっかの研究を)多体系の微分幾何学と古典力学について–応のまとめを得た 7)。なお、 この方面の総説は物理学の観点から. Littlejohn と M. Reinsch によって書かれた )
したのち

$6$

$\text{、}$$\mathrm{R}.\mathrm{G}$$8$$\circ$180

質点の多体系をモデルにして猫の宙返りが原理的に理解できるのだが、 しかし、 質点
系では質感として猫からほど遠い。 そこで、 質点の多体系を剛体の多体系に拡張して、 猫に近いモデルを作る。 この拡張は簡単である。 すなわち、 質点系がいくつかのクラスターに分かれていて、 各クラスター内では質点の相対的な配置変わらない、 つまり各クラス

ターは剛体であると仮定してこれまでの議論を適用すればよい。
振動運動が回転を引き起こすといっても、 Guichardet の解答は幾何学の問題としてその原理を述べているだけで、 なんらかの運動方程式に従う振動運動を扱っている訳ではない。 したがって、 猫を宙返りさせるには、 力学の問題として、 適当な運動方程式に従って振動運動をさせる必要がある。 さらに、 宙返りを実現するには何らかの入力が必要である。 こうして、 猫の宙返りを実現する問題は制御の問題となる。 適当な入力で猫モデルを制御して、 宙返りを実現せよという問題である。 ここでは、猫のモデルとして同じ形の軸対称円筒を 2 つ結合したものをとる。 ただし、 結合ジョイントは結合しているという以外の拘束は与えないものとする。 速度の制御ができるとして、 振動のエネルギーが最小になるようにモデルを動かして宙返りを実現するものと、制御入力は円筒結合角の変化と円筒まわりの回転を与える力であるとして、 モデルを動かすものとの 2 通りで、 宙返りを実現する。 その具体的実現を画像表示でお目にかけたい。
猫の宙返りを質感のともなったモデルで実現するために、 軸対称円筒結合系を考えたのであるが、 当初の量子化学の問題にもどって、 このモデルを量子化することができる。
すると、 このモデルを、 剛体近似できる 2 つのクラスターが結合した分子とみなしたとき日本語で書いた解説記事 10) も参考になるだろう。
の Schr\"odenger 作用素が得られる )$9$$\circ$2

主バンドルとしての重心系

ロボットの力学をするには、 剛体系を取扱うべきなのだが、 まずは空間
における質点の位置ベクトル、$x_{2,)}\ldots X_{n}$ を
質点系を取扱う。
$\mathrm{R}^{3}$$\mathrm{R}^{3}$における$m_{1},$ $m_{2},$ $\cdots,$$x_{1},$$m_{n}$

を

各質点の質量とする。 このとき、質点系の配位は各位置ベクトルの組 $x=(x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n})$で表される。 配位の全体を配位空間と呼ぶ。 配位空間から平行移動の自由度を取り除いてできる重心系を $X$ で表す。
$X= \{x=(x_{1}, X_{2}, \cdots, xn);x_{\alpha}\in \mathrm{R}^{3},\sum_{\alpha=1}^{n}m\alpha x_{\alpha}=0\}$

さて、 質点系の配置のなかには、 “ふくらみ” の少ないものがある。 たとえば、 原点を通るある直線上にすべての質点が載っている場合がそうである。 ふくらみを表すには、$x_{1},$$x$$x_{2,n}\ldots,$によって張られる$\mathrm{R}^{3}$の部分ベクトル空間$F_{x}=\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}\{X1, X2, , .

, , X_{n}\}$を用いるのがよい。 質点系が直線状の配置をとれば、 $\dim F_{x}=1_{\text{、}}$ 平面状の配置なら、$\dim F_{x}=2_{\text{、}}$
空間的に広がっておれば、 $\dim F_{x}=3$ である。 ここでは、 特異性の現れる

181$\dim F_{x}=1$の場合を除いて、(1)$\dim F_{x}\geq 2$の場合を取扱う。 $\dim F_{x}\geq 2$ の条件のついた重心系を文で表す。 文も簡単のために重心系と呼ぶ。
重心系には回転群 $SO(3)$ が作用する。 すなわち、 任意の $\mathit{9}\in SO(3)$ と $x\in\dot{X}$ と$\dot{X}$

に対し、

(2)

$\Phi_{g}(x)=gx=(gx1, gX_{2,\cdots,gn}X)$

で $SO(3)$の作用が定義される。 念のために、もあることを確認しておく。

$\sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha\alpha}X=0$

なら、$\Sigma_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha}gx\alpha=0$

での仮定のもとで、は固定点をもたない。 したがって、 商空間 $M:=\dot{X}/SO(3)$ は多様体となる。 これを内部空間または形状空間と称す
は $M$ を底空間、 $SO(3)$ を構造群とする主バンドルとなる。
る。 こうして、$\dim F_{x}\geq 2$$\Phi_{g}$$\dot{X}$$\pi$: $\dot{X}arrow M=\dot{X}/So(3)$形状空間 $M$ がどのような多様体か–般的にはよく分かっていない。 しかし、 空間 3

体系では次のように形状空間が明らかになる。
$r:=\sqrt{\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}(X_{2}-X_{1})$$S:= \sqrt{\frac{m_{3}(m_{1}+m_{2})}{m_{\iota}+m_{2}+m3}}(x_{3^{-)}}\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}X_{2}}{m_{1}+m_{2}}$を Jacobi ベクトルという。 これらは平行移動で不変だから、 重心系の点を指定
する、 つまり $(r, s)\in X$ と考えてよい。 ととが 1 次独立ということと $\dim F_{x}\geq 2$ と
$r\cross
s\neq
0$
$(r,
s)\in\dot{X}$は同値だから、のもとで、である。 このとき、 重心系笈からの$\dot{X}arrow\mathrm{R}_{+}^{3}=\{(x,y,z)\in\mathrm{R}^{3};z>0\}$
上半空間への写像を$r$$X\cong \mathrm{R}^{6}$$s$$\mathrm{R}^{3}$$(r, s)\vdasharrow(|r|^{2}-|S|^{2},2r\cdot s, 2|r\cross s|)$で定義する。 この写像は、 射影 : $\dot{X}arrow M$ を実現していて、 形状空間 $M$ は上半空間に同相であることが分かる 匁ではなくて、 $X$ そのものをとれば、 商空間 $X/So(3)$$\pi$$\mathrm{R}_{+}^{3}$$\circ$は境界をもつ多様体となる。 つまり、を付け加えたものになる。

3$\mathrm{R}_{+}^{3}$にその境界である平面$\mathrm{R}^{2}=\{(x, y, 0)\in \mathrm{R}^{3}\}$振動の微分方程式

多粒子系の振動運動を、 その全角運動量がゼロであるような運動と定義するのは自然である。 主バンドルに定義される “接続’ を用いて振動運動を定義するのが、 微分幾$\dot{X}$182

何学的取扱いの正当な流儀 ), ), ) なのであるが、 実質的には同じことだから、 全角運動量をいきなり考察する。
ゼロの条件
主バンドル
: $\dot{X}arrow M$ は局所的には積空間の構造をもつ。 このことは、 多粒子系ではもっと具体的な意味をもつ。 $U$ を形状空間 $M$ の開集合とする。 形状空間の定義から、$q\in U$ を任意に固定すれば、 多体系の形が決まる。 その決まった形をもった多粒子系を軸の正の側におき、の中におく手続きがある。 たとえば、 第 1 番目の粒子を空間の上半空間の側におき、 第 3 番目の粒子を空間
平面の第 2 番目の粒子をの側) におくといった手続きである。 このような手続きで空間内に粒子を配置する
(
$6$

$2$

$\Sigma_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha^{X}}$。

$7$$\mathrm{x}dx_{\alpha}=0$$\pi$$\mathrm{R}^{3}$$e_{1}$$\mathrm{R}^{3}$$+e_{2}$$e_{1^{-}}e_{2}$$+e_{3}$と、 $q\in U$ ごとに $-$ つの配位$\sigma(q)=(\sigma_{1}(q), \sigma_{2}(q),$$\cdots,$$\sigma n(q))$

は $U$ から重心画餅への写像である。 一旦内におかれた多粒子系を回転させて、 いろんな配位が得られる。 逆に、 空間内のいろんな配位は、 形の近いもの
なら ( $U$ が適当な “小ささ” なら) すべてこのようにして表すことができる。

ができる。

$\sigma$$x=g\sigma(q)$

i.e.

,

$g\in SO(3)$ ,$\mathrm{R}^{3}$$q\in U$$\sigma(q)$,(3)$(X_{1}, \cdots, X_{n})=(g\sigma_{1}(q), \cdots, g\sigma n(q))$

これが局所的積構造$\pi^{-1}(U)\cong U\mathrm{x}so(3)$$3n-6$ とする。 たとえば、$i=1,$の多体系における内容である。 $U$ の局所座標をである。 $SO(3)$3 体系なら、 3 体の作る 3 角形の 2 辺の長さとそれらの挟む角の局所座標は、 たとえば、 オイラー角を採用すればよい。 こうして、 空間内の配位を表す
局所座標系が $\pi^{-1}(U)$ において得られる。
の微これらを用いて、 全角運動量がゼロという条件を書き表してみよう。
分を計算して$(q^{i}),$$\ldots,$$(r_{1}, r_{2}, \theta)$$x_{\alpha}=g\sigma_{\alpha}$$d_{X_{\alpha}}=dg \sigma_{\alpha}+gd\sigma_{\alpha}=gg-1dg\sigma\alpha+g\sum_{i}\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}dqi$と書く。 ここで、 ベクトル空間としての同型写像 $R:\mathrm{R}^{3}arrow so(3)$ を$R(a)=,\cdot$$a\in \mathrm{R}^{3}$と書くことにして、$g^{-1}dg=R(\Theta)$

(4)

183

で 1 次微分形式を成分とするベクトルて、は次のように表される。

$\Theta$を導入する。 すると、 $R(a)x=a\cross x$ を用い$dx_{\alpha}$(5)$dx_{\alpha}=g( \Theta \mathrm{X}\sigma_{\alpha})+g\sum_{i}\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}dqi$

これより、 全角運動量ゼロの条件は$\sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha^{X_{\alpha^{\cross d}\alpha}}}x$

$=$

$=$

$\sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha}g\sigma_{\alpha^{\mathrm{X}}}g(\Theta\cross\sigma_{\alpha})+\sum_{\alpha=1}\sum m\alpha g\sigma ni\alpha\cross g\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}dqi$.

$gA_{\sigma(q)}( \Theta)+g\sum_{i}m_{iq^{i}}d$と表される。 ただし、

$A_{\sigma(q)}$

$=$

(6)

$0$

は慣性作用素であり、 一般に$A_{x}(a)= \sum m_{O\alpha}\alpha=1X\cross(a\cross x_{\alpha})$,$x\in\dot{X},$(7)$a\in \mathrm{R}^{3}$で定義され、 (1) の条件のもとで対称正値である。 また、(8)$m_{i}= \sum_{1\alpha=}^{n}m_{\alpha}\sigma_{\alpha}\cross\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}$とおいた。 (6) の最後の等式に$g^{-1},$$A_{\sigma(q}^{-1}$)

を順に左からかければ、(9)$\Theta+\sum_{i}A^{-1}.(\sigma(q\rangle)m_{i}dq=0i$を得る。 さらに、 $R$ を作用させると、 全角運動量ゼロの条件は結局(10)$g^{-1}dg+ \sum_{i}R(A_{\sigma}-1(q)(m_{i}))dqi=0$と書くことができる。
したがって、 多粒子系の変形を $dq^{i}/dt=u^{i}(t)\text{と_{いう}よう^{に制御で}きると仮定すれば_{、}}$,
多粒子系を全角運動量ゼロで振動させるには、$dq^{i}$$\overline{dt}=u^{i}$(11)$\frac{dg}{dt}=-g\sum_{i}R(A_{\sigma(}-1(q)m_{i}))u^{i}$に従って $(q(t), g(t))$ を決めればよい。

があらかじめ与えられるなら、 つまり、 $M$ 内の曲線があらかじめ与えられれば、任意の初期値に対して、 (11) の第 2 式から $g(t)$ が決まり、初期点を通る$q(t)$$g(\mathrm{O})$$g(\mathrm{O})\sigma(q(\mathrm{O}))$184

内の振動曲線 $x(t)–g(t)\sigma(q(t))$ が得られる。 いま、 $M$ 内の曲線 $C:q(t),$ $0\leq t\leq L$ が
閉曲線 $(q(\mathrm{O})=q(L))$ だとするとき、振動曲線も閉曲線になるだろうか。答えは–般には否である。 つまり、一般的に (は $g(\mathrm{O})\neq g(L)$ だから、 $x(0)\neq x(L)$ なのである。 $g(L)=hg(\mathrm{O})$となる $h\in SO(3)$ が振動の引起こす回転である。 つまり、 多粒子系はその形を変えなの後もとの形にもどったとき振動運動をし $(x(t)=g(t)\sigma(q(t)))_{\text{、}}$ 時間
がら
回転 を実現している $(x(L)=hx(\mathrm{O}))$ のである。 を閉曲線 $C$ に関する$\dot{X}$$L$$(q(t))_{\text{、}}$$(q(L)=q(\mathrm{O}))_{\text{、}}$

$h$

$h$

ホロノミーと呼ぶ。 これが本稿の冒頭で触れた猫の宙返りの幾何学的内容である。
全角運動量ゼロの拘束条件 (10) が非ホロノミック拘束条件であるというのは、 全微分方程式として (10) が完全可積分ではないという意味である。 (10) は 3 個の全微分方
程式を含んでいるので、 もし完全可積分だとすると、 たとえば、 の 3 個のオイラー角$g$の関数として決まり、 その結果、 $g=g(q)$ が得られる。 そのとき、 (11) の解は$g(t)=g(q(t))$ の形に表されることになり、 形状空間の閉曲線 $q(t)$ に対して、 重心系の振動曲線 $x(t)=g(q(t))\sigma(q(t))$ も閉曲線となり、 つまり、 $x(\mathrm{O})=x(L)$ となり、 回転が引起こされない。 具体的にどのような回転が実現するのか、 平面多粒子系の場合についてではが$q^{i}$

あるが、 実例をお見せする。

接続形式自身は so (3) に値をもつ 1 次微分形式として、(12)$\omega=R(A_{x}-1\sum_{\alpha=1}m\alpha^{X}\alpha\cross dx_{\alpha})$で定義される。 $x=g\sigma(q)$ として、 $R(ga)=gR(a)g^{-1},$を利用すれば$\mathrm{A}_{g\sigma(q)}=gA_{\sigma(q)g^{-1}}$などと$\omega=dgg-1+\sum$$R|(A_{\mathit{9}}^{-}1(\sigma(q)gm_{i}))dq\mathrm{t}$

.

(6)

(13)

が得られる。 明らかに、 $\omega=0$ は全角運動量ゼロの条件 (10) と同値である。

4

最大値原理と Hamiltonian

を人為的に選ぶことができるとすれば、 (11) は多粒子系をを選べばよいかは、 制御理制御して振動運動させるための方程式となる。 どのように(11) において、 もし$u^{i}(t)$$u^{i}$論の問題である。 ここでは、 評価規範として多粒子系の振動エネルギーを採用する。 振動エネルギーを定義するには、 多少技巧的にはなるが、 次のように考える。 まず、 重心系$\dot{X}$に運動エネルギーに由来する計量$ds^{2}= \sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha}dx\alpha$.

$dX_{\alpha}$(14)を定義する。 次に、 (9) の左辺を参照して、 (5) を次のように書きかえる。
$dx_{\alpha}=g(( \Theta+\sum_{i}A_{\sigma(}^{-1}(q))m_{i}dq^{i})\cross\sigma_{\alpha})+g\sum_{i}(\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}-A^{-1}\sigma(q)(m_{i})\cross\sigma_{\alpha})dq^{i}$

(15)

185

(15) の右辺第 1 項は回転に関わる変位であり、 第 2 項は振動に関わる変位である。 実際、$m_{i},$$A_{\sigma(q)}$の定義を用いて$\sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha}g\sigma_{\alpha}\cross g\sum_{i}(\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}-A^{-1}\sigma(q)(m_{i})\cross\sigma_{\alpha})dqi=0$を示すことができるので、 (12) の右辺の第 2 項は、 全角運動量がゼロという意味で、 回転ではなく、 振動を表している。 そして、 多粒子系の振動的変位 ((15) の右辺第 1 項) と回転的変位 ((15) の右辺第 2 項) とは計量に関して直交する。
$ds^{2}$(16)$\sum_{\alpha=1}^{n}m\alpha g((\Theta+\sum A_{\sigma(}^{-}1(mi)diq)q)i\cross\sigma_{\alpha})\cdot g\sum i(\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}-A^{-1}\sigma(q)(m_{i})\cross\sigma_{\alpha})dq^{i}’=0$

これを示すには、の回転不変性との定義とを用いて丹念に計算すればよ(15), (16) を用いると、 計量は次のように計算される。
$ds^{2}$$A_{\sigma(q)},$$m_{i}$$\mathrm{A}\mathrm{a}_{\mathrm{O}}$$ds^{2}$(17)$ds^{2}= \varpi\cdot A\sigma(q)(\varpi)+\sum_{i,j}a_{i}jdq^{i}dq^{j}$

ただし、$\varpi,$$a_{ij}$は以下のように定義される。

(18)$\varpi=\Theta+\sum_{i}A_{\sigma()}^{-}1(q)midq^{i}$$a_{ij}= \sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha}(\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}-A^{-1}\sigma(q)(m_{i})\cross\sigma_{\alpha)\cdot(}\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{j}}-A_{\sigma()j}-1q(m)\mathrm{x}\sigma_{\alpha})$(19)(17) の右辺第 2 項を振動的計量と呼ぶ。 これを用いて、 評価規範を(20)$\frac{1}{2}\int^{T}\mathrm{o}t\sum_{i,j}a_{ij}u^{i}()u(jt)dt$で定義する。 これは質点系の振動エネルギーを表している。 実際、 拘束条件 (9) のもとでは、 (11), (17) により、 運動エネルギーは (20) の被積分関数に等しい。
すると問題は、の 2 点を結ぶ可能な振動曲線のうちで上の評価規範を最小にするようなものを探せ。」 ということになる。
$\frac{1}{2}\sum_{\alpha=1}^{n}m_{\alpha\alpha}\dot{X}\cdot\dot{X}_{\alpha}$$\mathrm{r}\dot{x}$最大値原理を用いてこれを解くために、 余接バンドル
さて、上の標準的な 1 次微分形式は$T^{*}\dot{X}$の上で問題を定式化する。

$T^{*}\dot{X}$$\theta=\sum_{\alpha=1}p\alpha$’$dx_{\alpha}$,$(x_{\alpha},p_{\alpha})\in T^{*}\dot{X}$(21)で与えられる。 これを利用して、 振動的変位に対応する “補助変数” を$P_{i}= \sum_{=\alpha 1}^{n}p_{\alpha}\cdot g(\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}-A_{\sigma}^{-}(q)1(m_{i})\cross\sigma_{\alpha})$

(22)

186

で定義する。 すると、 最大化すべきハミルトン関数は$\mathcal{H}=\sum_{i}P_{i}u-i\frac{1}{2}\sum_{i,j}aiju^{i}u^{j}$で表される。

$\partial \mathcal{H}/\partial u^{i}=0$

より、 最適制御 $u^{i}= \sum_{j}$ aij 乃が求まり、 その結果、 最適ハミルトン関数
$H= \frac{1}{2}\sum_{i,j}a^{\dot{\iota}\dot{g}}PiPj$

,

(23)

$(a^{ij})=(a_{ij})^{-1}$

上に最適制御のハミルトン力学系 $(T^{*}X, d\theta, H)$ が得られが得られる。 こうして、た。 ハミルトン方程式は、 ハミルトン力学の通常の手法で、 すなわち、 $\iota(X_{H})d\theta=-dH$
上の流れを
の定義する
から得られる。
をみたすハミルトンベクトル場$T^{*}\dot{X}$$T^{*}\dot{X}$$X_{H}$$X_{H}$

上に射影したものが最適軌道である。 (ここでは(5) を (21) に代入して$\mathcal{H}=\sum_{i}P_{i}u^{i}$$\dot{X}$の場合は取扱わない。 )

,

(24)

$\gamma=\sum_{\alpha=1}\sigma_{\alpha}\cross g^{-1}p\alpha$ ’(25)$\theta=\gamma\cdot\Theta+\sum_{i}p_{i}dq^{l}$を得る。 ただし、
れ$p_{i}= \sum_{\alpha=1}^{n}g^{-1}p\alpha$.

$\frac{\partial\sigma_{\alpha}}{\partial q^{i}}$(26)(22) で定義した変数君と (25), (26) との間には次の関係がある。
$P_{i}=p_{i^{-}}\mathrm{A}_{\sigma}^{-}1((q)m_{i})\cdot\gamma$

ハミルトンベクトル場$X_{H}$の計算の結果、 ハミルトンの運動方程式は次のように書ける。
$\partial H$$dq^{i}$$dt-\partial p_{i}$$_{t}^{a}= \frac{\partial H}{\partial\gamma_{a}}$ただし、$\gamma^{a},$$\Theta^{a}$はそれぞれ$\ominus$$\gamma,$$\partial H$$dp_{i}$

’

$dt-$

’
$\partial q^{i}$(27)$\frac{d\gamma_{a}}{dt}=\sum_{b,c}\mathit{6}_{C}ba\gamma^{c_{\frac{\partial H}{\partial\gamma_{b}’}}}$の成分を表し、 また、$\Theta_{t}^{a}=\Theta^{a}(d/dt)$

とおいた。 つまり、軌道に沿っての微分形式

ぞれの左の式は (11) において最適制御$\Theta^{a}$$u^{i}= \sum_{j}$の値である。 (27) の 1 行目、 2 行目それ

a 吻うを代入したものになっている。

187

5

Lagrange equationsの開集合 $W$ における座標系を
Lagrange の微分方程式$\mathrm{R}^{N}$$.(\xi^{i})$

とする。

,

$i=1,$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{\xi}^{i}}-\frac{\partial L}{\partial\xi^{i}}=f_{i}$を考える。 ただし、$(f_{i})$を $TW$ の局所座標系として、$(\xi^{i},\dot{\xi}^{j})$$\cdots,$

(28)

$N$

は外力である。 いわゆる擬座標の考え方でこれを書きかえる。

$X_{j}= \sum_{i=1}A_{j}^{i}\frac{\partial}{\partial\xi^{i}’}N$$\theta^{i}=\sum_{j=1}^{N}B_{j}^{i}d\xi^{j}$,$\sum_{k=1}^{N}A_{kj}^{i}B^{k}=\delta_{i}j$(29)

を $W$ における、 ベクトル場、 1 次微分形式の互いに双対的な局所基底とする。 また、(30)$\gamma_{jk}^{i}=d\theta^{i}(X_{j}, X_{k})$とおくと$\gamma_{jk}^{i}=\sum(\frac{\partial B_{h}^{i}}{\partial\xi^{\ell}}-\frac{\partial B_{\ell}^{i}}{\partial\xi^{h}})A^{\ell}A^{h}\ell,hjk$が得られる。 また、 あきらかにガ(31)$[X_{i}, x_{j}]=-k1 \sum_{=}\gamma_{ij}^{k}X_{k}$が成り立つ。 いま、ガ(32)$v^{i}= \sum_{j=1}B_{j}^{kj}\xi$

とおいて、 $TW$ の局所座標をて、$\pi^{i}$からを擬座標と呼ぶ習慣があった。) そして、$(\xi^{i}, \xi^{j})$に取り替える。 ($(\xi^{i}, v^{j})$$L(\xi^{i},\dot{\xi}^{j})=L^{*}(\xi^{i}, v^{j})$座標系での Lagrangian を記号の上で区別する。 このとき、 (れる。
$d\partial L^{*}$

$—$

“

–

$r$

$28\rangle$$\underline{N}$$\mathrm{L}-\cdot\partial L^{*}$$-$,$\frac{\mathrm{w}}{dt}.\overline{\partial^{-}v^{i}}\partial-x_{i}L^{*}-\sum_{k,j}\gamma^{k}ijv^{j}..=F_{i}\overline{v^{k}}$

ここで、

などと書い
とおいて、 新しいは次のように書きかえら$v^{i}=\dot{\pi}^{i}$$-$,$F_{i}:= \sum_{1k=}A_{i}kf_{k}$(33)$N=m+r$(34)個の拘束条件が$v^{m+a}= \sum_{j=1}^{N}B^{m}+a\dot{\xi}j=0j$,$a=1,$$\cdots,$ $r,$で与えられる場合を考える。 全微分方程式
架+a $=0$ ,$a=1,$$\cdots,$ $r$188が可積分でないとき、 この拘束条件は非ホロノームであるという。 ここで、 外力を真の拘とに分解する。
とそれ以外の外力
束力 (つまり、 拘束のためにだけ必要な力)$R_{i}$$\overline{f}_{i}$$f_{i}=\overline{f}_{i}+k$

すると、 真の拘束力は仕事をしないので、$\sum_{i}$a$d\xi^{i}=0$のはずだから、$\lambda_{a}$を未定乗数として$\sum_{i=1}^{N}R_{i}d\xi^{i}=\sum_{a=1}^{f}\lambda a\theta^{m+}a\sum_{1}=a=t\sum_{j=1}\lambda_{a}B_{j}m+adN\xi^{j}$が成り立つ。 こうして、 (33) の右辺は次のように分解される。
$F_{i}= \sum_{k=1}^{N}A_{i}k(\overline{f}_{k^{+}}a\sum_{=1}\lambda_{a}B_{k}m+a)=\overline{F}i+r.a\sum_{=1}^{r}\lambda_{ai}\delta^{m+a}$

,

(35)

$\overline{F}_{i}:=\sum_{k=1}^{N}A_{i}k\overline{f}_{k}$

したがって、 拘束条件のもとで Lagrange の運動方程式は次のように書ける。

$[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{i}}-x_{i}L^{*}-\sum^{N}\sum_{j=1=1}^{m}\gamma_{ij}v-k\dot{\mathrm{J}}_{\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{k}}}\overline{F}ki]_{v}m+1=0=\ldots=v^{N}=0$’$i=1,$$\cdots,$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{m+a}}-Xm+aL^{*}-\sum_{k=1}^{\mathit{1}}\sum_{j=1}\gamma m+a,jv\mathrm{v}mkj\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{k}}-\overline{F}_{m+}a\rfloor_{v^{m+0}}1=\ldots=v=N=\lambda_{a}$

,

$m$

,

$a=1,$(36)$\cdots,$

$r$

,

(37)
次に、構造図を G、底空間を $M$ とする主バンドル $P$ の接バンドル $TP$ 上の Lagrange
力学を上述の方法で書き表す。 多粒子の重心系では $P=\dot{X},$ $G=^{so}(3)$ であった。 $P$ の局所積構造を $\pi^{-1}(U)\cong U\mathrm{x}G$ として、 局所座標系を $(q, g)\in U\mathrm{x}G$ とする。 ただし、 $U$
構とし、 その基底を$a=1,$
は $M$ の開部分集合。 $G$ の Lie 代数を
で表す。
造定数を
$E_{a},$$\mathcal{G}$$\cdots,$$r=\dim \mathcal{G}$$C_{bc}^{a}$(38)$[E_{a}, E_{b}]= \sum_{C=1}o^{C}E_{C}ab$$P$に定義される接続形式は (13) と同様にして、 その成分が(39)$\omega^{a}=\Phi^{a}+\sum_{i}\beta_{i}^{a}(_{\mathit{9}}\sigma(q))dq^{i}$のように表される。 ただし、 $dgg^{-1}= \sum\Phi^{a}E_{a}$ . このとき、 曲率テンソルを(40)$F_{ij}^{c}= \frac{\partial\beta_{j}^{c}}{\partial q^{i}}-\frac{\partial\beta_{i}^{c}}{\partial q^{j}}-\sum_{ba,=1}^{r}c^{c}ab\beta_{i}^{a}\beta^{b}j$で導入すると、$d \omega^{c}=\frac{1}{2}\sum_{a,b=1}^{r}C^{\mathrm{c}_{b}a}a\omega$A$\omega^{b}\dotplus\frac{1}{2}\sum_{i,j}F^{C}ijdq^{i}$A$dq^{j}$

(41)

189

が成り立つ。
$U\cross G$
における 1 次微分形式の局所基底を$.\theta^{i}=dq^{i}$,$\theta^{m+a}=\omega^{a}$,$i=1,$$\cdots,$$m=\dim M,$ $a=1,$$\cdots,$$r=\dim \mathcal{G}$(42)にとる。 このとき、 双対基底は$X_{i}= \partial_{i}^{*}:=\frac{\partial}{\partial q^{i}}-\sum_{a=1}\beta_{j}^{a_{J_{a}}}r$,$X_{m+a}=J_{a}:= \frac{d}{dt}\exp(tE_{a})X|_{t=}0$で与えられる。 また、 (30) で定義される$\gamma_{ij}^{m+a}=F_{ij}^{a}$,$\gamma_{jk}^{i}$,$x\in P$

(43)

はこの場合、 (41) より$\gamma_{m+b,C}^{m+a}m+=C_{bc}^{a}$

,

その他の

$\gamma_{jk}^{i}=0$となる。 いま、 多粒子系のときと同様、 拘束条件として、$\omega^{a}=0$,$a=1,$(44)$\cdots,$ $r$を課すると、 (36), (37) はそれぞれ次のように表される。
.
$[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{i}}-\partial_{i}^{*}L^{*}-a\sum_{=1j}^{r}\sum Favm=1ijj$$\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{m+a}}-\overline{F}_{i}]_{V^{m+r}}1+=0=0=\ldots=v^{m}$$[ \frac{d}{dt}\frac{\partial L^{*}}{\partial v^{m+a}}-JaL^{*}-\overline{F}m+a]v^{m}+1=\ldots=vm+r\lambda_{a}=0=$

6

.

’

(45)

(46)

剛体系

質点系で展開した制御系の議論は剛体系の場合に拡張することができる。 紙幅が尽きてきたので、質点系での議論との類似性をたどって、簡単に結果を述べるにとどめる。 全
く同じ 2 つの軸対称な円柱が、 対称軸に沿って特別なジョイントで結合されていて、 結合されているという以外の拘束は受けないとする。 したがって、 非現実的ではあるが、 2っの円柱は衝突しない (互いに他をすり抜ける) と仮定していることになる。 この剛体系の配位空間は、 それぞれの剛体の姿勢を指示する 2 つの回転行列からなる積空間$SO(3)\mathrm{x}SO(3)$ である。
この剛体系を全体として回転させるという仕方で回転群 $SO(3)$が作用する。
$(g_{1},g_{2})$$(g_{1}, g_{2})\mapsto(kg_{1}, kg2)$,$k\in SO(3)$この系の形状空間は $SO(3)$ となり、 射影は$\pi:(g_{1}, g_{2})rightarrow g_{1}^{-1}g_{2}$190で与えられる。 ここで $g_{1}^{-1}g_{2}\in SO(3)$ を次のように表す。
$g_{1g_{2}e}^{-1-}=e\theta 1\hat{e}2e2\emptyset^{\hat{e}\theta_{2}\hat{e}_{2}}1$$0\leq\theta_{1}\leq 2\pi,$,$0\leq\theta_{2}\leq 2\pi$$0\leq 2\emptyset\leq\pi,$

ただし、 簡単のため $\hat{e}_{j}=R(e_{j}),$ $j=1,2,3$ とおいた。 これより、 (3) に対応して次の式が得られる。
$(g_{1}, g_{2})=(h\sigma_{1}(\theta_{1}, \theta 2, \emptyset), h\sigma 2(\theta_{1}, \theta 2, \emptyset))$,$h\in SO(3)$ただし、$\sigma_{1}(\theta_{1}, \theta_{2}, \emptyset)=e-\emptyset^{e_{1}\theta_{1}e_{2}}e$,$\emptyset\neq 0,$$\sigma_{2}(\theta_{1}, \theta_{2}, \phi)=e1e\emptyset\hat{e}\theta_{2}\hat{e}_{2}$$\pi/2$,

これは、 円柱の姿勢を指示している。 たとえば、 円柱 1 の重心を– 旦原点におき、 その
軸にかさねる。 (これを円柱 1 の基準位置と呼ぶことにする。 ) そして対称軸対称軸を$e_{2}$

軸まわりに一\mbox{\boldmath $\phi$} だけ回転させる。 円柱 2 についても同様である。 円柱をそれぞれの対称軸に沿って移動させて、 結合手でつなぐ。 一体との回転をうける。 これが、 $(g_{1}, g_{2})=(h\sigma_{1,2}h\sigma)$ の内容である。 するなった 2 円柱系はは、 全系の重と、 たとえば、 円柱 1 の各点は $x_{\alpha}=g_{1}X_{\alpha}+$ 笥と表される。 ただし、のまわりにだけ回転させ、 さらに$\theta_{1}$$e_{1}$$h$$r_{1}$

は基準位置におかれた円柱 1 の各点の位置ベ心からみた円柱 1 の重心の位置を表し、とから決まる。 円
クトルである。 さらに、 暇は結合点から円柱 1 の重心までの長さと$X_{\alpha}$$g_{1}$

柱 2 についても同様である。
議論を簡単にするため、 捻れ無しの条件を課す。 つまり、 連結された円柱はそれぞれの対称軸のまわりに同じ回転角だけ回転するという条件をつける。 (雑巾を絞るような、は $SO(3)$ に同相と互いに反対向きの回転はしない。 ) このとき、 系全体の配位空間軸まわりの直交変換に限られ、形状空間 $M$
なり、 剛体系全体の姿勢の変化を表すのはに同相であることが知られている 9)。つまり、 このモデルでは $O(2)$は実射影空間$Q\mathrm{o}$$e_{2}$$\mathrm{R}P^{2}$を構造群とする主バンドル $SO(3)arrow \mathrm{R}P^{2}$ が用いられる。 このとき、 剛体系の配位は$g_{1}=ex^{\hat{e}_{2}-\emptyset^{\hat{e}_{1}\theta\hat{e}_{2}}}ee$,$0\leq\chi\leq 2\pi,$$\{$$g_{2}=e^{x\hat{e}_{2}\emptyset^{\hat{e}_{1}}\hat{e}_{2}}ee^{\theta}$$.0\leq\emptyset\leq\pi,$$0\leq\theta\leq 2\pi$

,

(47)

,

で与えられる。

であるが、 和をとるのは、 剛
全角運動量ゼロの条件は、 やはり
体ごとの和と剛体をわたる和とに分かれる。 剛体ごとの和では、 を連続パラメータとは当然積分と理解しなければならない。 また、慣性作用素の定義における和につし、いても同様の読み変えをする。 同様に、 接続形式も、 (13) を拡張して定義できる。 すると相当長い計算の結果、$\sum_{\alpha}m_{\alpha}x_{\alpha}\cross dx_{\alpha}=0$$\alpha$$\sum_{\alpha}^{\sim}$$\omega=(d\chi+\frac{A\vee\cup \mathrm{b}(\mu uU}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi})\hat{e}_{2}$

(48)

191

が得られる。 ここに、は円柱の対称軸のまわりの慣性モーメントの、 重心を通り対称軸に垂直な軸のまわりの慣性モーメントに対する比である。 詳しくいうと、 円柱の慣性モー
メント
を $I_{3}=I_{1}$ となるようにとって、とおいた。 (48) より、 (11) に対応する振動の微分方程式が次のように求まる。
$I_{1},$ $I_{2},$$\lambda$$I_{3}$$\lambda=I_{2}/I_{1}$$\frac{d\chi}{dt}=-\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos\phi 2}u_{2}$$\frac{d\phi}{dt}=u_{1}$$d\theta$$\overline{dt}=u_{2}$

,

,

(49)

.

最適制御問題は、 質点系の場合と同様である。 振動的計量を求めて、評価規範を作り、最大値原理を適用するという方針で進む。 計量も質点系の場合の定義を拡張して定義される。 座標系 (47) を用いての計算の結果、$ds^{2}=2I_{1}[(1+ \kappa\sin^{2}\phi)d\phi 2+\frac{\lambda\sin^{2}\phi}{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos\emptyset 2}d\theta^{2}]$(50)$+2I_{1}[( \sin\phi 2.\lambda+\cos\emptyset 2)(dx+\frac{\lambda\cos\phi d\theta}{\sin^{22}\phi+\lambda\cos\phi})^{2}]$であることが分かる。 振動的計量はこのうちの

2

(51)

$I_{1}[(1+ \kappa\sin^{2}\phi)d\phi 2+\frac{\lambda\sin^{2}\phi}{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos\emptyset 2}d\theta^{2}]$で与えられる。 は、 円柱の重心を通り対称軸に垂直な軸のまわりの慣性モーメントである。 は、円柱の質量を $m$ , 結合点から円柱の重心までの長さを としたとき、で与えられる。
の余接バンドルには通常の標準的 1 次微分形式$I_{1}$$l$$\kappa$$Q_{0}$$\kappa=m\ell^{2}/I_{1}$$T^{*}Q_{0}$$p_{\chi}d\chi+p_{\phi}d\phi+\mathrm{P}\theta d\theta$が定義され ((21) に類似)、 振動的変位に対応する補助変数が$P_{1}=p_{\phi}$,$P_{2}=p_{\theta}- \frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos\phi 2}p\chi$で定義される ((22) に類似)。 最大値原理の適用の結果、 最適ハミルトニアンが次のように得られる ((23) に類似)。.
$H= \frac{1}{4I_{1}}(\frac{1}{1+\kappa\sin^{2}\phi}p^{2}\phi+\frac{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos^{2}\emptyset}{\lambda\sin^{2}\phi}(p\theta-\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos\phi 2}p_{x})^{2})$(52)

このハミルトニアンから運動方程式を導き、 それを数値積分して、 実際に連結 2 円柱系に宙返りをさせることができる。
1’

192

を最大値原理で決めたものである。
ここで得られた運動方程式は (49) においてしたがって、 あくまで、 速度が制御できるという観点にたっている。 しかし、 制御入力は力であるべきだとの観点にたつと、 この手法はとれない。 第 5 節で述べた、 制御入力を力として扱う手法を執る。 配位空間は主バンドル $Q_{0}\cong SO(3)arrow \mathrm{R}P^{2}$ であり、 用いる局所である。 ベクトル場と 1 次微分形式の双対的局所基底はそれぞ
座標系はれ次のように与えられる。
$u_{1},$ $u_{2}$$(\xi^{i})=(\phi, \theta, \chi)$$X_{1}= \frac{\partial}{\partial\phi}$,$\theta^{1}=d\phi$である。 特に、$\theta^{3}$$X_{2}= \frac{\partial}{\partial\theta}-\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi}\frac{\partial}{\partial\chi}$,$\theta^{2}=d\theta$

,

,

(53)

$X_{3}= \frac{\partial}{\partial\chi}$(54)$\theta^{3}=d\chi+\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi}d\theta$

は (48) で導入した接続形式の成分である。 (50) から Lagrangian は$L=I_{1}[(1+ \kappa\sin^{2}\emptyset)\dot{\emptyset}2+\frac{\lambda\sin^{2}\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi}\dot{\theta}2]$(55)$+I_{1}[( \sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\emptyset)(\dot{x}+\frac{\lambda\cos\phi\dot{\theta}}{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos^{2}\emptyset})^{2}]$で与えられることが分かる。 制御入力を(56)$\overline{f}=u_{1}(t)d\phi+u_{2}(t)d\theta$と各円筒の対称軸周りに回すトルの形で加える。 これは、 結合手で折り曲げるトルク
クで制御するという手法である。 (32) にならって、 変数$u_{1}$$u_{2}$$v^{1}=\dot{\emptyset}$,$v^{2}=\dot{\theta}$

,

(57)

$v^{3}= \dot{\chi}+\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi}\dot{\theta}$を導入すると、 Lagrangian は次のように表される。
$L^{*}=I_{1}[(1+ \kappa\sin^{2}\phi)(v^{1})^{2}+\frac{\lambda\sin^{2}\phi}{\sin^{2}\phi+\lambda\cos\emptyset 2}(v^{2})^{2}]$(58)$+I_{1}[(\sin\phi 2\lambda\cos^{2}\emptyset+)(v)32]$

また、 (35) で導入した変数瓦はこの場合$\overline{F}_{1}=u_{1},\overline{F}_{2}=u_{2}$となる。 また、$d\theta^{3}$

の計算

から、
$F_{12}=- \frac{\lambda\sin\phi(1+(1-\lambda))\cos^{2}\phi}{(\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi)^{2}}$のうち独立な成分はだけである。 ここで (45) を用を得る。 $r=1,$ $n=2$ だからについての微分方程式が得られる。 計算の結果、
いると、$F_{ij}^{a}$$v_{\backslash }^{1},$$F_{12}$$v^{2}$$\frac{dv^{1}}{dt}=\frac{1}{2I_{1}(1+\kappa\sin\phi 2)}[-2I_{1}\kappa\sin\phi\cos\emptyset(v1)2\frac{2I_{1}\lambda^{2}\sin\emptyset\cos\emptyset}{(\sin^{22}\emptyset+\lambda\cos\emptyset)^{2}}+(v)22u_{1}+]$

193$\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{\sin^{2}\phi+\lambda\cos^{2}\phi}{2I_{1}\lambda\sin^{2}\emptyset}[\frac{4I_{1}\lambda^{2}\sin\phi\cos\phi}{(\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos^{2}\phi)^{2}}v^{1}v^{2}+u_{2}]$を得る。 これに、 (57) から導かれる式$d\theta$$\frac{d\phi}{dt}=v^{1}$,$\overline{dt}=v$2,$\frac{d\chi}{dt}---\frac{\lambda\cos\phi}{\sin^{2}\emptyset+\lambda\cos\emptyset 2}v^{2}$をつけ加えて、 運動方程式が完成する。 $v^{3}=0$ のとき、$\partial L^{*}/\partial v^{3}=0$であるから、$\text{」 }$を含む項は現れなかった。 得られた運動方程式において、をうまく与えると宙返りが実現する。 具体的に宙返りをする例を本稿の最後に添付する。
$u_{1}(t),$ $u_{2}(t)$

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$n$

194
: Math.
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10))$\mathrm{a}^{\mathrm{u}}\#\iota:\text{多体_{}\nearrow\not\simeq_{\backslash }}<\sigma$$\prime \text{幾}\int\beta\urcorner^{\mathrm{R}}\mp\backslash$$-:?\backslash$$\mathrm{r}^{\lrcorner}\#\mu:f_{\mathrm{B}}^{\#}_{-}^{\backslash }arrow\mathrm{B}\backslash >\text{らする^{}\ovalbox{\tt\small REJECT}}\ovalbox{\tt\small REJECT}^{C}\int \mathfrak{g}^{\frac{\backslash \backslash }{\neq}}\urcorner$$\mathrm{T}\text{ノ、}\zeta l$

ノ ‘\\rightarrow ‘ノク$\#\mathrm{I}\mathrm{J}\text{ノ}ffl,$

コ $q$ )$\text{宙_{}\grave{\mathrm{J}}\xi \text{り}},$ム$/*\mathrm{I}\mathrm{J}’\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}/\mathrm{J}[_{\mathrm{H}}^{\mathrm{g}}\ovalbox{\tt\small REJECT},$, 30-12, 56/59 (1997);$37- 5$ , 349/353 (1998), Basic$arrow\neq\beta\grave{4}\backslash \mathrm{g}_{\mathrm{I}}\wedge \mathrm{J}\text{と}\# 1\mathrm{J}_{\acute{\{}}\mathrm{g},$$\backslash \grave{\nearrow}\text{ス_{}\overline{\mathcal{T}}}$$\text{数^{}\mapsto\backslash }*$$37- 9$,539/546 (1993);$\tau^{\mu}\Xi^{\mathrm{J}}\pi:/ffl_{J\mathrm{J}}^{\mathrm{I}\backslash \ovalbox{\tt\small REJECT}’}\ovalbox{\tt\small REJECT} f\mathrm{Q}\tau^{\frac{\backslash \backslash }{\neq}}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}\neq \mathrm{F}$195(a) $t=0$

(b)

(d)

$t= \frac{3\pi}{4}$(e) $t=\pi$

(f)

(g)

$t= \frac{3\pi}{2}$(h)(i) $t=2\pi$$t= \frac{\pi}{4}$$t= \frac{7\pi}{4}$

ねこの宙返り(c)$t= \frac{\pi}{2}$$t= \frac{5\pi}{4}$