伝播時間と減衰のリアルタイム算定法群 CERS について

中村 豊
正会員

(株)システムアンドデータリサーチ、代表 工学博士
e-mail : yutaka@sdr.co.jp

要 約
地盤や構造物の現状を的確に把握することは、地震防災の基礎である。ここでは、地盤や建物の伝播時間や減衰の変化をリアルタイムに行うことができる状態把握法を提案する。
東北地方太平洋沖地震の際に東北大学工学部人間環境系研究棟の9Fと1Fで記録された加速度波形を用いて、提案手法と他の研究者の結果を比較して妥当性を検証し、さらに提案手法相互の比較を行った。

キーワード： 即時状態把握、伝播時間、減衰、地盤、構造物、人間環境系研究棟

1. はじめに地盤や構造物の劣化を評価する指標として、それらを伝搬する波動の伝播時間や減衰特性などがある。
二点間の波動伝播時間などを計測する手法には様々な方法があるが、ここではリアルタイム処理が可能な方法を新たに提案し、その検証例を挙げて、その妥当性と有効性を考察する。
2. 提案手法の考え方
2.1 波形合成法
例えば水平二層地盤を考えると、表層地盤内には基盤からの入射波または反射波である上昇波と地表面からの反射波である下降波の和として、表層地盤内の任意の地点の状態が記述できる。これを利用すると、地表面と表層地盤内の２点の観測値を使って、地表面から地盤内観測点までの波動伝播時間を計測することができる。これをC法（Complete Travel Time Tracer）と称する。具体的には、伝播時間を仮定して、地表観測値から地中観測値を推定し、実測値との差違が最小になる伝播時間を探ることになる。
地中の観測データがない場合、差違は推定値そのものとなるが、推定値が最小になるのは基盤面（主要な反射面）に相当する波動伝播時間である。つまり、地表面の観測だけから、基盤面までの伝播時間を推定することができることになる。これを、E法（Easy Travel Time Tracer）と称する。E法で次々に反射面からの反射波を消去して、層構造を推定することも原理的に可能と思われる。なお、棒状の端点と中間点の２点間の波動伝播時間についても同様に考えることができる。
2.2 相互相関法
リアルタイム相互相関法（R法と称する）も２点間の波動伝播時間を算定するのに有効である。

-1-

2.3 単純法
これは、単純に２点の観測値の差違が最小になる時間差をもって、波動伝播時間とするもので、S法（Simple Travel Time Tracer）と称する。この方法では、２点の内に端点が含まれている場合には、その振幅値を半分にする工夫が必要になることがある。
2.4 位相差法
２点間の位相差スペクトルの形状から伝播時間を推定する方法で、P法と略称する。本論文では詳しく言及しないが、波形がt時間だけずれている場合、周波数fと位相差の関係は次式で与えられる。
＝2f×tすなわち、伝播時間t＝/2f
3. 具体的な手法
ここでは、CERS法群の具体的処理方法について述べる。まず、使用する記号について、以下のように整理しておく。
T(t)：端点観測波形
G(x, t)：端点から距離ｘの地中観測波形、G(0,t)＝T(t)O(x, t)：地点xの観測波形
α：距離減衰係数（1/m）
h：減衰定数（%）
ω：角振動数（rad/s）
Δt：サンプル時間間隔（s）
V：波動伝播速度（m/s）
Err(t)：誤差関数
RE(t)：相対誤差関数
TR(t)：相互相関関数
3.1 C法
地中の観測波形G(x, t)は次のように表される。

𝐺𝑥, 𝑡 = 𝑇 𝑡 +𝑥𝑥∗ 𝑒𝑥𝑝+𝛼𝑥 + 𝑇 𝑡 −∗ 𝑒𝑥𝑝−𝛼𝑥𝑉𝑉/2

端面からx地点までの波動伝播時間（x/V）は、サンプリング時間間隔tを基準に次のように表わせる。

𝑥= 𝑘𝛥𝑡𝑉
端面から、y(=itV)の距離にある地点での推測波形H(i, j)は次のようになる。なお、t=jtVである。

𝐻𝑖, 𝑗 = 𝑇𝑗𝛥𝑡 + 𝑖𝛥𝑡 ∗ 𝑒𝑥𝑝+𝛼𝑖𝛥𝑡𝑉 + 𝑇𝑗𝛥𝑡 − 𝑖𝛥𝑡 ∗ 𝑒𝑥𝑝−𝛼𝑖𝛥𝑡𝑉 /2

𝐸𝑟𝑟𝑖, 𝑗 =𝐻𝑖, 𝑗 − 𝐺𝑥, 𝑡

ここで、[*]は*のある時間に亘る平均演算を意味する。

-2-2

𝐸𝑟𝑟𝑗 = min[𝐸𝑟𝑟𝑖, 𝑗 ]2𝑅𝑗 = [𝐺 𝑥, ｔ ]𝑅𝐸𝑗 =𝐸𝑟𝑟𝑗 /𝑅𝑗

観測波形と推測波形が一致するのはy=xの時である。時々刻々のjに対して、Err(i,j)を最少とするiは、i=kとなると期待される。つまりサンプリング時間間隔を基準にした伝播時間を得ることができる。一般には、αは不明であるから、始めは零置して、伝播時間が確定した後、α＝mΔとして、伝播時間と同様にいくつかのmに対してH(k, j)を算定して、誤差が最少になるmを算定すればよい。この計算は、想定する最大の伝播時間分だけは遅れるが、リアルタイムに算定可能であるという大きな特徴を有する。また、伝播時間などの算定分解能をサンプリング時間間隔よりも小さくすることは、種々の補間によって可能である。なお、距離減衰αと減衰定数hの関係は次の通りである。

𝛼=𝜋ℎ2𝐻

これは、以下のように導かれる。ここで、Hは表層地盤の厚さまたは建物の高さである。
距離xの間の減衰Dxは、

𝐷𝑥 = 𝑒𝑥𝑝(−𝛼𝑥)となり、固有円振動数ωの振動の、時間ｔの間の減衰Dtは、

𝐷𝑡 = 𝑒𝑥𝑝(−ℎ𝜔𝑡)となる。x＝Vtとして両者を等置すると、

𝛼𝑉 = ℎ𝜔となり、

𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2𝜋(𝑉)4𝐻であるから、先の関係式が得られる。
3.2 E法これは、C法において地中観測波形を恒常的に零置することで得られる。
3.3 R法ふたつの波形O(x,j)とO(y,j)の相互相関TR(j)は次のようにして算定することができる。

𝑅𝑖, 𝑗 = 𝑂𝑥, 𝑗 ∗ 𝑂𝑦, 𝑗 − 𝑖𝑅𝑥𝑗 = [𝑂𝑥, 𝑗 2 ]𝑅𝑦𝑗 = [𝑂𝑦, 𝑗 2 ]𝑇𝑅𝑗 =max 𝑎𝑏𝑠 𝑅𝑖, 𝑗𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑅𝑖, 𝑗 )𝑅𝑥𝑗 ∗ 𝑅𝑦𝑗-3-ふたつの波形について、時間差iまたは-iといった正負の時間差の相関を算定する場合、基準となる波形を入れ替えることにより、現時点までの波形データを使って、正負の時間差を考慮することができる。
つまり、時間差なくリアルタイムに相互相関を算定できる。R(i,j)の絶対値を最大とするiは、ふたつの波形O(x,j)とO(y,j)の時間差を、サンプル時間間隔を単位として、表したものとなる。算定分解能をサンプリング時間間隔以下にすることは適当な補完を用いることにより可能である。
4.4 S法ふたつの波形O(x,j)とO(y,j)の時間差iの波形振幅の相違の二乗平均Err(j,j)は次のようにして算定することができる。

𝐸𝑟𝑟𝑖, 𝑗 = [(𝑂𝑥, 𝑗 − 𝑂𝑦, 𝑗 − 𝑖 )2 ]𝑅𝑥𝑗 = [𝑂𝑥, 𝑗 2 ]𝑅𝐸𝑗 =min 𝐸𝑟𝑟(𝑖, 𝑗) /𝑅𝑥𝑗ふたつの波形について、正負の時間差に対する波形振幅の相違の二乗平均を算定する場合、基準となる波形を入れ替えることにより、現時点までの波形データを使って、正負の時間差を考慮することができる、つまり、時間差なくリアルタイムに二つの波形の振幅差の二乗を算定することができる。振幅差の二乗（相対誤差）が最少となる時間差iはふたつの波形の時間差を、サンプル時間間隔を単位として表わしたものとなる。算定分解能をサンプリング時間間隔以下にすることは適当な補完を用いることにより可能である。
4. 手法群の検証例
東北大学の人間環境系研究棟を取り上げ、2011年の東北地方太平洋沖地震（以下、311地震という）時の記録を用いたCERS法群による解析を行った。人間環境系研究棟は、1969年竣工で、1978年の宮城県沖地震を経験して大きな被害を受けている。2000年には大規模な耐震改修工事を受け、耐震強化されていた。この建物の詳細や被害状況、強震観測状況については、文献1）や文献2)などを参照されたい。
図1に人間環境系研究棟の9Fと1Fで記録された311地震時の加速度波形を示す。
CERS法群での平均化手法には指数平滑法を用い、その際の半減期は5秒に設定している。まずC法による結果を他の研究者によって同定された地震中の固有振動数や減衰定数の変化などと比較する。その後、CERS法群で推定された伝播時間を相互比較する。
4.1 C法による結果とほかの研究者の結果との比較
図2は建築研究所が同定した固有振動数の地震中の変化状況1)とC法による算定結果を比較したものである。なお、C法による固有振動数は、算定された9Fと1F間の伝播時間を4倍したものの逆数として求めている。C法による連続的な推定結果は、離散的に同定された建築研究所による固有振動数と一致しているとは言い難いが、大まかな傾向は類似している。
図3は源栄らが拡張カルマンフィルターによるシステム同定により評価した固有振動数と減衰定数の地震中の変化状況2)とC法による算定結果を比較したものである。C法により算定した固有振動数については源栄らのものとよく一致している。C法による減衰定数についても、源栄らのものの包絡線のようになっており、変動の傾向は良く類似しているといえる。
C法による結果は、既往の研究結果と比べて、メリハリのはっきりとした変化が算定されており、被害状況を彷彿とさせるものとなっている。つまり、最初の一撃で、南北の端柱はかなりの損傷を受け、二番めの衝撃（80秒以降）で完全に破壊されるに至ったことが推測される。

-4-Acceleration (m/s2)

109F

8X_NS
Y_EW

6Z_UD

420-2-4-6-8-10050

100150200250

Acceleration (m/s2)

4Xb

1F

3300

Yb

2Zb

10-1-2-3-4050

100

150200250

Time (s)図1 東北大学工学部人間環境系研究棟での311地震の加速度記録

図2 固有振動数比較：建研資料132号にある固有振動数同定結果図にC法による固有振動数の推定結果（赤線、青線）を重ね書きしたもの-5-300C9F1F-X_D

Damping constant

C9F1F-X_Fn

Natural Frequency

NS component
C9F1F-Y_D

Damping constant

C9F1F-Y_Fn

Natural Frequency

EW component
図3 固有振動数と減衰定数の推定結果比較：文献2）の評価結果（紫線と平滑化した緑線）にC法による推定結果（青線）を重ね書きしたもの
図4は、9Fでの観測波形を基に先に述べた波形合成法で推定した1Fでの推測波形と観測波形を比較したものである。伝播時間や減衰定数の変化が急激な箇所82秒付近を含む前後60秒間（60秒から120秒の間）を示している。両者は概ね一致しているが、変化が急激な時点などでは一致していない（ピンク帯で示した辺り）。推測波形と観測波形が一致しないということは、想定した波動場から逸脱していることを示している。特に83秒から85秒において著しい差異が認められるが、これは柱の破断などで9Fと1Fで観測される波動の連続性が失われたことを示唆している。
図5は相対誤差の変化を示した図で、青線は減衰を考慮しない場合、紫線は減衰を考慮した場合をそれぞれ示す。減衰を考慮して相対誤差が顕著に減少するのは伝播時間などが大きく変化する前後である。
二番目の衝撃の後は相対誤差がステップ的に大きくなっており不可逆的な損傷を受けたと推測される。
4.2 CERS法群の相互比較
図6は、CERS法群による伝播時間の変動を比較したものである。南北方向と東西方向について示している。C法は紫点、E法は橙点、R法は青点、およびS法は緑点で表示しているが、R法とS法はほぼ同じ結果を与えていることがわかる。図ではR法はS法に重なってほとんど見えないが、NS方向で一部S法の値が大きく異なる時点（一撃めや二撃めのあたり）で、R法の結果が見えている。

-6-

Acceleration (m/s2)

4Accelerogram at 1F

32
10-1-2-3-460657580Time (s)4Acceleration (m/s2)

70

3Disagreement portion

210-1-2XbObserved

Estimated
X_Dw-3-4808595100115120Time (s)4Acceleration (m/s2)

90

32
10-1-2-3-4100

図4105110Time (s)C法による9F観測波形を用いた1F加速度波形の推定波形と観測波形の比較（一部）

-7-

1.4

Relative error without damping
Relative error with damping

Relative error

1.2

X_ER
X_ERD

10.8
0.6
0.4

Relative error of NS component

0.20050

100150200250300Time (s)図5 C法による9F波形を用いた1F波形の推定誤差（相対誤差）の変動図
C法は前述のように拡張カルマンフィルターによるシステム同定の結果とよい一致を示すが、CERS法群による推定結果の相互比較では、すべてC法を中心に変動していることがわかる。南北方向は変動が大きく特にR法（S法も同じ）の変動は著しい。東西方向はすべての手法で同じような値であり変動となっている。南北方向の変動の激しさは、南北方向の損傷が著しいことを反映しているものと思われる。E法による推定結果は、建物屋上と反射基盤面の間の波動伝播時間を現しており、今の場合概ねC法の結果と等しく、9Fの情報だけから大まかな被害状況が判断できることを示唆している。
伝播時間の変動は物性の変化などと対応しており、被災程度の直接的な指標として利用することができる。C法によると、人間環境系研究棟の場合、いずれの方向でも当初16（単位1/100秒、以下同様）程度であった伝播時間が最初の一撃で、NS方向は急激に23程度に伸びて後漸増し、EW方向は24程度に漸増している。次の一撃でNS方向は30程度に急増後32程度まで漸増し、EW方向は28程度まで漸増している。
いずれもその後は回復傾向にあるが、記録終了時点でもNS方向は27程度の伝播時間であり、EW方向は23程度まで回復している。NS方向の剛性は一時当初の1/4に低下したと考えられ、損傷の激しさが伺われる。
図7は、R法による9Fと1Fの相互相関係数の変動を示したものである。地震動のはじめの部分ではいず
れの方向成分も約0.6の相関係数であったが、NS方向ではふたつの衝撃とともに急激に増大し、その直後に急減している様子がわかる。EW方向ではその変動はNS方向に比べて少なく、相関係数は概ね、0.6以上を保っている。
これに対して、NS方向では80秒付近の二番目の衝撃の直後0.8以上に高まった相関係数が、140秒過ぎに0.3近くまで低下している。その後増減を繰り返しながら回復しているが、概ね0.4程度までしか回復していない。この相互相関係数の変動をみても、NS方向の損傷が大きかったことが伺われる。
5. 手法群の応用に関する考察
5.1 地中伝播時間
水平２方向はS波、上下動はP波に対応すると考えられる。地震動では、P波初動部分ではP波が伝播し、S波以降にS波が伝播すると考えられる。これは建物も同じだろう。なお、いずれにおいても、地震動のほか、微動を用いることもできるし、打撃振動などを利用することもできる。また、これらに対しては、
CERS法群のいずれも適用可能であるが、R法やS法では、適用対象ごとに、波動の入射位置や方向などを厳密に考慮する必要がある。
5.2 地表伝播時間-8-40Travel time (x1/100s)

3530

2520

R-CX_T15

S- EX_T10

E-RX_T
C-SX_T

50050

100150200250300

Time (s)(a) NS component
40

Travel time (x1/100s)

3530

2520
R-CY_T

15

S-EY_T10

E-RY_T

5C-SY_T0050100150Time (s)200250300(b) EW component
図6 CERS法群による推定伝播時間の比較
地表を上下に打撃して水平に伝播する波動はS波（SV波）と推測される。測点１から測点２、またはその逆、に向かって地表面を水平に打撃することによってP波の伝搬が、これに直交して水平方向に打撃すればS波（SH波）の伝搬が期待できる。微動においては、波動の種別や伝播方向が不明であるため、二点間の伝播時間としては、相関が高い（R法）か相対誤差の小さく（S法）かつ伝播時間が最大となる値を選択することになる。
5.3 建物伝播時間
一般に、建物では水平２方向はS波または曲げ波、上下は縦振動（棒中のP波）、捻り振動はS波と考えられる。これらに対しては、CERS法群のいずれも適用可能であるが、R法やS法では波動の入射位置や方向などを厳密に考慮する必要がある。

-9-

Coefficient of cross-correlation

1

Cross-correlation between 9F and 1F

0.9

EW component

0.8
0.7
0.60.50.40.3NS component

0.2

R- X_COR
R- Y_COR

0.10050100150200250300Time (s)図7 9Fと1Fの相互相関係数の変動
5.4 応用一般
ここで述べたCERS法群はリアルタイム処理が可能なので、構造物や地盤の状態をリアルタイムに把握して的確に対応することを可能とする画期的な技術である。なお、Ｅ法は、表層地盤ないしは対象構造物の固有振動数または卓越振動数を計測する手法としても利用できる。また、従来の波形の立ち上がりを比較して伝播時間を読み取る場合、計測される伝播速度は位相速度と考えられるが、ここで展開する波動合成法のC法やE法、S法を用いて計測される伝播速度は、誤差エネルギーを最小化するという意
味では、群速度に対応しているものと考えられる。一方、R法は位相速度を検出していると思われる。
6.あとがきここでは、伝播時間や減衰をリアルタイムに計測できる新しい方法群を提示した。
提案した方法群は、建物や地盤など、さまざまな対象を的確に監視するのに利用できるものと期待される。すなわち、地震前の耐震性評価や地震中の状態監視、地震後の損傷個所の特定と損傷程度の確認などを迅速に行うことができるものと期待される。
これまで、公開はしていないが数多くの適用事例の蓄積を行ってきており、現在、新たな計測機器や警報機器として確立すべく、リアルタイム実用機器の開発と試験を行っている。
謝 辞
本論文では、独立行政法人建築研究所により提供された強震記録を使用した。鹿嶋俊英博士はじめ関係各位に深甚の謝意を表します。
参考文献
1）2011年東北地方太平洋沖地震調査（速報）（東日本大震災）、国総研資料第636号、建築研究資料第132号、国土交通省国土技術政策総合研究所独立行政法人建築研究所、2011年5月
2）源栄正人、ツァンバ・ツォグゲレル、吉田和史、三辻和弥：東北地方太平洋沖地震における被災建物の振幅依存震動特性の長期モニタリング、日本地震工学会論文集、第12巻、第5号（特集号）、日本地震工学会、2012年
3）Y. Nakamura, J. Saita, T. Sato and G. Valente: Attempts to Estimate the Physical Property of Surrounding
Ground and Foundation Concrete of Colosseum using Microtremor, Proceedings of 4th International Workshop,
Dynamic Interaction of Soil and Structure_15, Rome, 12-13 November 2015, 1st edition October 2016.

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