技術講座

非破壊検査のための弾性体理論と古典制御理論入門
中島

富男 *1

Nakajima Tomio

近年、超音波探傷器や AE 計測器のデジタル化

1. はじめにによりデータ評価技術が著しく進歩している。特IIC REVIEW ではこれまでに何度か技術講座がにフェーズドアレイ超音波探傷装置に代表される

連載されている。荒川による「非破壊検査技術」

画像処理を用いた超音波探傷技術は日進月歩であ

（1）
（6）
-

。さらに、中代によるる。しかし、超音波探傷は電気パルスを超音波セが連載され、三上によるンサの圧電効果により機械振動に変換し、被検体

（10）
（13）
-

本号を含めて 4 回にわたる「機械振動入門」に弾性波である縦波や横波を伝播させ、再び超音が連載された。本技術講座では、これまでの技術

波センサにより電気信号に変換している。

と題した連載がされた

（7）
（9）
-

「残留応力の基礎」

講座を踏まえた上で、IIC が事業としているひず

ひずみ計測では、被検体の伸びや縮みを電気抵

み計測（SM）、振動計測、超音波試験（UT）およ

抗式ひずみゲージにより電気信号に変換していびアコースティックエミッション試験（AE）と弾る。縦波や横波の伝播およびひずみ変化は力学

性体理論および古典制御理論との関係について概的に扱われる現象である。理論的には連続体の力

説する。

学

（15）

（14）

や弾性体理論により記述される。しかし、

IIC ではひずみ計測や振動計測は主に計測事業

超音波探傷もひずみ計測も、超音波探傷器やひず部が担当し、超音波試験や AE 試験は主に検査事

み計測器の出力は電子回路を通過した電圧であ業部が担当している。ひずみ計測を行う場合にはる。電圧は電磁気学の範疇である。つまり、我々

電気抵抗式ひずみゲージが用いられ、超音波試験

は力学的な物理変化を電磁気学の物理量に変換しを行う場合には圧電式超音波センサが用いられるて計測を行っている。

という違いがあり、取得したデータの評価方法もこのように複数の物理法則を統合した系（シス異なる。しかし、被検体の弾性範囲内の現象であテム）を理解するためには、入出力信号を結びつ（14）ける『伝達関数』もしくは『状態方程式』などのれば、力学的には同じ弾性理論に基づいている

。

（16）

の知識があると取得したデータから

しかし、弾性理論の理解のためには一般的な力学

制御理論

で使用される数学に加えてベクトル解析やテンソの物理現象の理解に役立つ。弾性理論や電磁気学

ルなどの知識を必要とし、一般にやや難解である。

は理学的には 19 世紀に確立されている。しかし、

本技術講座の目的は弾性理論を概説することであ

制御理論は力学や電磁気学の統合的な取り扱いのる。

ために、レーダー技術を端緒として 20 世紀になってから発展した工学的分野である。制御理論はラ*1：研究開発センター

研究開発グループ

課長—

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（17）プラス変換、フーリエ変換

および Z 変換などに

2. 機械系と電気系の接続による計測とは加え、線形代数学の基礎を必要とする。本講座の二つ目の目的は、非破壊検査に必要と思われる古

ひずみ計測、振動計測、超音波検査、AE 検査は

典制御理論の解説である。

力学的現象を電磁気学の物量である電圧に変換し本講座は三回にわたって連載する。第一回目はて『計測』している。表 1 に各計測や検査で計測

本稿であり、機械系と電気系を接続した計測系にされる物理量、センサ、計測器の例を示す。表 1

ついて概説する。第二回は、弾性体として最も基からセンサとして電気抵抗線（導線）の抵抗値変

本的な等方性弾性体の力学について概説する。特化もしくは圧電素子が広く使用されていることがに、今後重要性を増すと思われる超音波シミュわかる。被検体の力学的変化の周波数帯域に対応

レーションへの応用を想定したものとする。第三し、センサが選択され、センサに応じた信号調節

回は、非破壊検査で日常的に使用されるゲインや器が用いられる。ひずみ計測では電気抵抗式ひず周波数特性といった用語に重点を置いて、古典制

みゲージとひずみアンプが用いられ、加速度計測

御理論について概説する。

では圧電型加速度計と電荷（チャージ）アンプがなお、本講座では数学的および物理学的な厳密用いられる。一方、超音波検査では超音波センサ性は省略している。本講座よりもさらに詳細な知とパルサーレシーバーが用いられる。パルサーは識の習得を望まれる方は、参考文献等を参照し、

超音波センサに能動的な信号を送信する装置であより高度な知識を身に付けられることを期待す

り、レシーバーは超音波センサの信号を受信し信る。

号調節をする装置である。一般に電気信号の送受信の機能が単一のユニットとなっているため、パルサーレシーバーと呼ばれる。AE 計測用のセン
サは被検体そのものから発振される信号を受信するため、基本的にパルサー部はなく、レシーバー
機能のみを有する。ただし、信号が微弱なためセンサ近傍にプリアンプが配置されることが特徴的である。
表1

主なセンサと原理および信号調節器—

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信号調節器は一般に四つの機能を有する。一つ

このように計測系の機能を分割していくと、制はセンサ原信号の電圧信号への変換である。次に御理論で使われるブロック線図で表すと理解しや信号の直流成分を通過させるか否かの機能であすい。すなわち、被検体からの時系列の入力信号る。この機能はカップリングと呼ばれる。ひずみを a(t)、出力信号を b(t) とすると、信号の入出力

信号は電圧の直流成分を通過させる必要がありはセンサに関わらず図 1 のように一般化できる。

DC カップリングが使用される。一方、超音波検

なお、超音波検査では、さらにパルサー機能もブ

査はセンサの直流成分を通過させる必要がないた

ロック化させる必要がある。

め AC カップリングが用いられる。DC カップリ

図 1 のブロック線図の各機能は古典制御理論に

ングと AC カップリングの電気回路的差異は信号

おいてはそれぞれ『伝達関数』と呼ばれる。この調節器の入力端子部にコンデンサを設けるかどう

ように機能を伝達関数で分割すると、力学的物理かである。三つ目の機能はセンサ信号の増幅であ量と電磁気学的物理量をそれぞれの入出力（コンる。これはゲインや利得という特性で呼ばれる。

ピュータ用語での I/O 処理）として関連付けるこ

四つ目の機能はアナログ周波数フィルタ処理であとができる。

る。ひずみ測定や振動計測ではローパスフィルタ

力学的物理量と電磁気学的物理量の変換を行うが用いられる。一方、超音波検査や AE 試験ではのがセンサの機能である。この物理量の変換も伝バンドパスフィルタが用いられる。

達関数として記述される。

図1

一般的な計測系の信号の流れ—

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圧電式加速度センサにより静加速度を計測できな

3. センサの代表例

いことも付記しておく。静加速度を計測する必要

3.1 電気抵抗式ひずみゲージがある場合にはひずみ式加速度計が用いられる。

電気抵抗式ひずみゲージは直接被検体のひずみを計測することにも用いられるし、その応用としてロードセル、圧力計、変位計および加速度計としても利用される。
導線の抵抗値変化によりひずみを計測する原理
は式（1）に基づく（18）。
e=

dR 1
R F

（1）

ここで、R はひずみゲージの初期抵抗値、抵抗値の変動および F はゲージ率である。ゲージ率 F

図3

は一般に定数として扱われる。

圧電型加速度センサ模式図（せん断タイプ）
4. 力学系の静的取り扱いと動的取り扱い

3.2 圧電式センサ
圧電素子に応力を加えると電極間に電位差（分弾性体の力学的取り扱いについては次回に解説極）が発生する。また、電極間に電圧を印加するする。その前段として、三上が解説してきた機械と圧電素子に応力が生じる。このような現象は圧振動系を例にして、力学系の静的取り扱いと動的。圧電素子は表 1 に示す通り、取り扱いが同一の関係から求まることに触れてお電効果と呼ばれる（19）

加速度計や AE センサを含む超音波センサとしてく。

広く利用されているが、使われる周波数帯域に違

図 4 に例示するような質量 m および線形バネ定いがある。代表的な周波数帯域の違いを図 2 に示

数 k のバネ－マス単振動系について考える。三上す。なお、圧電式の加速度計と超音波センサの構が機械振動入門（最終回）（13） で解説したように造的な違いは、図 3 に示すように圧電式加速度計

図 16 の系は加振台が外力 F0e jw t で加振されるとすでは圧電素子に負荷質量が取り付けられている。

ると、系の運動方程式は、式（2）のようになる。

しかし、超音波センサには負荷質量はない。また、

式（2）において j は虚数単位である。一般に虚数

図2

圧電式センサの周波数帯域の違い—

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単位は i で表されるが、制御理論や電気回路学で式（4）は一次元のフックの法則を表している。

は j とされる。理由は後述する。

一般に構造物の強度剛性試験は準静的荷重試験と呼ばれる。厳密に静的な強度剛性試験をしようとすると、周波数はゼロとなり、試験に無限大の時間を要する。そのため、実際には構造物の共振周波数より十分にゆっくりとした荷重負荷の試験を行う。そのため、『準静的』と呼ばれる。
次に、w 2 = 2w 02の場合を考える。
このとき、式（3）は、式（5）のようになる。
F0 e j 2w t
F e j 2w t
F e j 2w t
=− 0
=− 0
2
2
2
m w 0 − 2w 0
m w0
m k
m
F0 j 2w t
（5）
=− e
k
0

x (t ) =図4

減衰無バネ－マス単振動モデル

00

式（5）の振幅は準静的な場合の式（4）と同じ（2）mx + kx = F0 e jw t

0

大きさである。

式（2）の解は、mx + kx = 0 の時の一般解と強制振動の特解の和である。ここで、初期条件が x = 0

よって、w 2 > 2w 02となると、変位振幅 x(t ) は式（4）かつ x = 0 ならば、式（2）の一般解は常に x = 0 ので与えられる準静的な振幅よりも小さくなる。周みとなるから、式（2）は強制振動の特解のみで波数 f で表せば式（6）のようになる。

表される。式（2）の特解は、式（3）となる。
F e jw t
x (t ) = 0 2
m w0 − w 2
ここで、w 02 =

f =

（3）

2w 02
w
2w 0
>
=
2p
2p
2p

（6）

また、w 2 >> w 02の場合を考える。この時、式（3）は、式（7）のように近似できる。

kであり、図 4 のバネ－マス単振mx (t ) ≈ −動系の固有値である。

F0 e jw t
m w2

（7）

ここで、強制振動の周波数が図 4 のバネ－マス式（7）は、強制振動の角振動数 w、すなわち振動系の固有値よりも非常に小さいw 02 >> w 2 場合

周波数 f が 2 倍になると、変位振幅 x(t ) は 4 分の 1、を考える。このとき、式（3）は以下のように近すなわち -12dB に小さくなることを表す。周波数似される。

が 2 倍になることを一般に 1 オクターブ変化する

x (t ) ≈さらに、w <<1 であれば、ex (t ) ≈と言う。よって、式（7）の関係は -12dB/oct と表F0 e jw t F0 e jw t F0 jw t=
= e
m w 02
m k
k
m
jw t

す。oct はオクターブの略である。
ここではバネ－マス単振動系を例に取ったが、弾性体についても同様に静的な現象と動的な現象≈ 1なので、を同一の関係式により記述できる。

F0k

これを書きかえると、式（4）のようになる。
F0 ≈ kx(t )（4）—

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表2

5. 伝達関数のラプラス変換表示およびバネ－マス
単振動系と電気回路の類似性

ラプラス変換表

図 4 のバネ－マス単振動系を 4 章では機械振動的扱いで検討した。5 章では制御理論との関わりの深いラプラス変換を用いて考えることとする。
時間 t の関数 x(t ) のラプラス変換の定義は式（8）で与えられる。
∞

X ( s) = ∫ e − st x(t )dt = L[ x(t )]0（8）L[mx + kx ] = L[ F0e jw t ]最右辺は関数 x(t ) にラプラス変換を適用したことを示す。次にラプラス変換でよく用いられる関s 2 mX ( s) + kX ( s) = L[ F0 e jw t ]係を三つ示す（20）。

( ms 2 + k ) X ( s) = L [ F0 e jw t ]L[dx(t )] = sL[ x(t )] = sX ( s)dt

（9）

( s 2 + w 02 ) X ( s) =F0e jw t が系への入力とし、出力が x(t ) と考えると、

同様に、

L[

1
L[ F0e jw t ]m

入力と出力の関係は、

d 2 x (t )dx(t )] = sL[] = s( sX ( s)) = s 2 X ( s) （10）2dt
dt

X ( s)

L[ F0e jw t ]

さらに、
1
s

L [∫ x(t )dt ] = L [ x(t )] =X ( s)s=

1
1
m ( s 2 + w 02 )（12）

式（12）の左辺の分母を任意の力入力 F(t ) に置

（11）

き換えると、な お、 式（9） か ら 式（11） に お い て、 初 期

X ( s)

条 件 x(0) = 0、dx(t )/dt = 0 を 前 提 と し て い る。 式

L[ F (t )]（9）は x(t ) の一階微分をラプラス変換した場合で式（12）と式（13）は入力に関係なく右辺が同sX (s )、式（10）は二階微分の場合であり、s X (s )一である。これは、図 4 のバネ－マス単振動系へとなっている。すなわち、原関数 x(t ) のラプラスの任意の力の入力 F(t ) と出力である変位 x(t ) の関変換後の X(s ) に s を掛けると微分を表す。一方、係は、ラプラス変換で表すと変化しないことを意

原関数 x(t ) を積分すると、X(s ) を s で割ることに味する。式（13）は古典制御理論において伝達関なる。これは式（11）に示した通りである。この数と呼ばれる。

2=

1
1
m ( s 2 + w 02 )（13）

ここまでは、力学系を用いて説明してきたが、ように、ラプラス変換を利用すると関数の微分操

簡単な電気系の例を示す。図 5 のコイルとコンデ

作と積分操作を簡略に表記できる。
表 2 にラプラス変換によく使用される原関数とンサが直列に接続された簡単な電気回路を示す。

変換後の関数を示す。制御理論において、オイラー

図 5 の回路を流れる電流 i (t ) は式（14）により計

数 e のべき乗や三角関数のラプラス変換は重要で

算できる。

ある。
式（9）
、
式（10）および式（11）と表 2 を用いて、式（3）の左辺と右辺両方にラプラス変換を行うと—IIC_REVIEW_49.indb

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11:56:43ム）を記述する。このことにより、力学系と電気系を区別せずに系（システム）を記述できる。
なお、式（13）において、s = jw と置き換えると、式（18）を得る。
X ( jw )L[ F (t )]図5

d 2i ( t ) 1de(t )+ i(t ) =
dt 2
C
dt

x (t )
1
1=
F0 e jw t m (w 02 − w 2 )（14）

動数 jw を同等に扱う。よって、4 章の w 2 と w02の大小関係に関する考察は、図 5 および式（15）（15）の LC 回路にもそのまま適用できる。
5. まとめいて虚数単位を j としたのは、電流 i との混同を我々の知りたい物理量は力学的な変位であった避けるためである。

り、ひずみであったり、圧力であったりするが、

式（14）をラプラス変換すると、式（16）を得る。

それらは、電圧に変換されて計測されることを概

なお、初期条件は全てゼロである。
de(t )1I ( s) = L[
] = sE ( s)C
dt

式（15）の入力を説した。計測器のデジタル化とともに計測原理の（16）

理解よりも装置操作方法の習得に多くの時間を割くことが必要になっている。しかし、ひずみ計測、

de(t )
として、出力を i(t ) とす
dt

振動計測および超音波検査は力学的物理量の計測が本質である。そのためには、使用しているセンる伝達関数は式（16）から式（17）のように求まる。
1) I ( s) = sE ( s)C

サや計測装置の原理や特性を把握していることが1
1) I ( s) = sE ( s)LC
L

次回は本稿の 4 章で触れた力学的に静的な変化( s 2L +( s2 +（19）

古典制御理論ではラプラス変換演算子 s と角振

ここで、電流に記号 i を使用した。式（2）におs 2 LI ( s) +

（18）

である。

式（14）の両辺を一階微分すると、式（15）を得る。
L

1
1m (w 02 − w 2 )この式は式（3）を変形した、式（19）と等価

コイルとコンデンサの交流回路

di(t ) 1
L+ ∫ i(t )dt = e(t )dtC=

重要である。

I ( s)
11=
sE ( s) L ( s 2 + w 02 )と動的な変化について、等方性弾性体の理論を基に概説し、その基礎となる力学現象が同一の理論（17）に基づくことを示す。

式（17）において w0 =1/ LC であり、LC 回路（コ2イルとコンデンサの電気回路）の固有値である。
式（13）と式（17）の右辺は数学的に同一である。
つまり、ラプラス変換を適用することにより力学系と電気系から同一の関係が導出できる。古典制
御理論では主にラプラス変換を用いて系（システ—02-02古典制御理論.indd

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（9） 中代雅士、“残留応力の基礎（その 3 ）数値

参考文献

解析法による残留応力評価と今後の残留応力（1） 荒川敬弘、“非破壊検査技術 第 1 回 非破壊

技術動向の紹介”、IIC REVIEW、No.41（2009）、

検査技術の動向と基礎”、IIC REVIEW、No. 30、

pp.2-9（10）三 上 隆 男、“ 機 械 振 動 入 門（ 第 1 回 ）”、IIC（2003）、pp.13-23“非破壊検査技術（2） 荒川敬弘、

第2回

超音波

REVIEW、No.46（2011）、pp.3-9（11）三 上 隆 男、“ 機 械 振 動 入 門（ 第 2 回 ）”、IIC

探傷の基礎（超音波の性質）”、IIC REVIEW、

REVIEW、No.47（2012）、pp.3-9

No. 31、（2004）、pp.4-12（3） 荒川敬弘、“非破壊検査技術

第3回

超音

（12）三 上 隆 男、“ 機 械 振 動 入 門（ 第 3 回 ）”、IIC

波 探 傷 の 基 礎（ 探 傷 方 法 ）”、IIC REVIEW、

REVIEW、No.48（2012）、pp.3-8

No. 32、（2004）、pp.2-11（4） 荒川敬弘、“非破壊検査技術（13）三 上 隆 男、“ 機 械 振 動 入 門（ 最 終 回 ）”、IIC
第4回

超音

REVIEW、No.49（2013）、pp.2-12（14）L. D. Landau, E. M. Lifshitz,“Theory of Elasticity

波探傷試験の検出性”、IIC REVIEW、No. 33、（2005）、pp.2-11

3rd Edition”, Butterworth-Heinemann Linacre“非破壊検査技術 第 5 回 超音波（5） 荒川敬弘、House, Jordan Hill Oxford OX2（1986）（15）P. チャドウィック、“連続体力学”、ブレイン

探傷試験のサイジング”、IIC REVIEW、No. 34、書店（1979）（2005）、pp.2-11（6） 荒川敬弘、“非破壊検査技術

第6回

最近

“基礎制御工学”、森北出版（1977）（16）近藤文治編、の超音波探傷”、IIC REVIEW、No. 35、（2006）、“スペクトル解析”、朝倉書店（1977）（17）日野幹夫、

pp.2-11“新（18）岩田耕一、久保速雄、岩垣博行、岩橋善久、（7） 中代雅士、“残留応力の基礎”、IIC REVIEW、

版機械計測”、朝倉書店（1995）、pp.30-33（19）宇野良清、津谷昇、新関駒二郎、森田章、山No.38（2007）、pp.2-6（8） 中代雅士、“残留応力の基礎（その 2 ）残留下次郎

応力計測方法の紹介”、IIC REVIEW、No.39

版

訳、“キッテル固体物理学入門

第8下巻”、丸善（2005）、pp.515-516（20）一般社団法人日本機械学会、“機械実用便覧（2008）、pp.2-10

改訂

第 7 版”、丸善出版（2011）、pp26-27

研究開発センター
研究開発グループ課長

中島 富男
TEL. 045-791-3522
FAX. 045-791-3547—

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