数理解析研究所講究録1100 巻 1999 年 117-130

117

ガウス型通信路容量に関する不等式
山口大理工
山口大工

1

陳雪餅 (Han Wu CHEN)
柳 研二郎 (Kenjiro YANAGI)

はじめに

先進国は 1990 年代に入り高度情報化社会を迎えたが, そのきっかけはすべて今から半世紀前の 1948 年前後におこった高度情報化社会の理論基盤の構築であるといっても過言ではない. 1948 年に.Shannon によって創設された情報理論は誕生以
来様々な評価を受けてきたが, いまや, 情報理論が今日の情報化時代を担う基盤技術の中核的理論体系をなしていることは何人も否定できないであろう. Shannon の情報理論では, ” 情報 ” から様々な意味の–切を捨てさった後に残る情報量 (エントロピ一 ;entropy) という量的な普遍概念を確早した. またその情報概念が符号化(encoding) 復号 (decoding) という二つの基本操作を媒介にして, 初めてその実体的内容を獲得するということを明らかにしてきた. 符号化された情報は雑音のない
通信路また雑音のある通信路で伝送された時 もし情報伝送速度が通信路容量よりも小さいならば, 符号化を工夫することにより誤り確率を限りなく に接近できる”と Shannon の第二定理で証明した. この論文では情報伝達の数学的モデルとしての通信路において, 特にガウス型の雑音が加法的に加わる場合について, その性質を明らかにすることを目的の 1 つとしている. まず次のようなフィードバックをもっ離散時間ガウス型通信路を考える.
$\mathrm{C}.\mathrm{E}$”$0$$\mathrm{Y}_{n}=S_{n}+Z_{n}$, $n=1,2,$$\ldots$,のガウス過程,と $\mathrm{Y}=\{\mathrm{Y}_{n};n=1,2, \ldots\}$ はそれぞれ入力信号と出力信号を

ただし $Z=\{Z_{n};n=1,2, \ldots\}$ は雑音を表す退化していない平均$S=\{S_{n\mathrm{i}^{n}}=1,2, \ldots\}$$0$

表す確率過程である. 通信路は雑音のかからないフィードバックをもつとする. しの函数であるとして表たがって呂、は送信するメッセージと出力信号巧, . . . ,される. レート$W\in\{1, \ldots, 2^{nR}\}$ と復号函数
の符号語
, 長さ
$\mathrm{Y}_{n-1}$$R$$g_{n}$:$\mathbb{R}^{n}arrow\{1,2, \ldots, 2^{nR}\}$$n$$x^{n}(W, \mathrm{Y}^{n}-1),$に対して、 誤り確率は$Pe^{(n)}=Pr\{g_{n}(\mathrm{Y}n)\neq W;Y^{n}=x^{n}(W,Y^{n-1})+Z^{n}\}$

,

118

で定義される. ただし $w$ は $\{1, 2, \ldots, 2^{nR}\}$ 上の–様分布で雑音 $Z^{n}=(Z_{1,2,.n}Z.., z)$とは独立である. 入力信号には平均電力制限が課せられる. 即ち$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E[S_{i}2]\leq P$である. またフィードバックは causal である. つまり $S_{i}(i=1,2, \ldots, n)$ は$Z_{1},$$\ldots,$$Z_{i-1}$に従属している. 同様にフィードバックがない場合は Si $(i=1,2, \ldots, n)$ は $Z^{n}=$$(Z_{12,.,n}, z..z)$ と独立である.

有限ブロック長容量は次のように定義される.
$C_{n,FB}(P)= \max\frac{1}{2n}\log\frac{|R_{X}^{(n)}+R_{Z}(n)|}{|R_{Z}^{(n)}|}$

ただし$|\cdot|$,は行列式を表し、 最大値は$Tr[(I+B)R_{X}n’(()I+B^{t})+BR_{z^{n}}^{()_{B^{t}}}]\leq nP$

についてとる. 同様にフィ一ドを満たす狭義下三角行列 $B$ と非負対称行列
バックがないときには容量 $C_{n}(P)$ は $B=0$ としたときの最大値である. これらの条件の下で Cover and Polnbra は次の結果を得た.
$R_{X}^{(n)}$Proposition 1(Cover and Pombra [5]) 任意の$\epsilon>0$

に対して各 $n=1,2,$$\ldots$で個の符号語が存在して $narrow\infty$ のとき
でブロック長とブロック\epsilon
で $2^{n((P}c_{n,FB}.$ ) ) 佃の符号語からなるとできる. 逆に任意の任意の符号の列に対しても $Pe^{(?l\cdot)}arrow 0(narrow\infty)$ が成り立たない. これはフィ一ド
バックをもたない場合も成り立つ.
.
$n$$Pe^{(n)}arrow 0$$2^{n(c_{n}},FB(P)-\xi)$$+\epsilon$$\epsilon>0$$n$を固定したとき $C_{-n,FB}(P)$ と $C_{n}.(P)$ との間の関係に興味
ここではブロック長がある. $C_{?l}(P)$ は正確に求められている.
$n$

Proposition 2(Gallager [9])$C_{n}(P)= \frac{1}{2n}\sum_{i=1}.\mathrm{l}\mathrm{o}k\mathrm{g}\frac{nP+r_{1}+\cdots+r_{k}}{k^{\wedge}r_{i}}$ただし $0<r_{1}\leq r_{2}\leq\cdots\leq r_{n}$ は$R_{Z}^{(n)}$,の固有値、 $k(\leq n)$ は $nP+r_{1}+\cdots+r_{k}>kr_{k}$を満たす最大整数である.
ところで $C_{n,FB}’(P)$ は正確には得られないので、 今まで多くの人々によって様々な形の上界が得られている ([2], [3], [4], [5], [7], [8], [11], [12], [13], [14], [15]).
この論文では容量についてのある性質が成り立つことを示す. これによってブロッ

ク型ホワイトノイズをもつガウス型通信路の容量の上界の精密化が得られる. 以下計算の都合上、 対数は自然対数を用いることにする.

119

2

容量が満たすある不等式

Theorem 1 $P>0,$ $\alpha>0$ に対して(a), (b), (c) が成り立つ.

$F(P, \alpha)=\frac{1}{\alpha}C_{n,F}B(\alpha P)$(a) 任意の $P>0$ に対して $F(P, \alpha)$ は(b) 任意の $P>0\text{に対して}$. Jim$\alpha$とおく. このとき次のの減少函数である.

$F(P, \alpha)=\frac{P}{2r_{1}}$.

(c) 任意の $P>0$ に対して $\lim_{\alphaarrow\infty}F(P, \alpha)=0$ .

Corollary 1 $P>0,0<\alpha\leq 1$ に対して$\alpha C_{l,F},B(\frac{P}{\alpha})\leq cn,FB(P)\leq\frac{1}{\alpha}C_{n,FB}(\alpha P)$.

Corollary 2 $P>Q$ に対して$\frac{c_{l\mathrm{t},FB}(P)}{C_{n,FB}(Q)}\leq\frac{P}{Q}$

Theorem 2 $P>0,$ $\alpha>0$ に対してき次の (a), (b), (c) が成り立つ.

$G(P, \alpha)=Cn,FB(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$(a) 任意の $P>0$ に対して

$C_{\tau}(P, \alpha)$(b) 任意の $P>0$ に対して$\lim_{\alphaarrow 0}c(P, \alpha)=\infty$(c) 任意の $P>0[\mathrm{C}]$ Lr.

は$\alpha$とおく. このとの減少函数である.

.

$\lim_{\alphaarrow\infty}C_{\tau}(P, \alpha)=\frac{1}{2}\ln\frac{P}{\sqrt[\hslash]{r_{1}r_{n}}}$.

Corollary 3 $P>0,0<\alpha\leq 1$ に対して
$c_{n,FB}.( \frac{P}{\alpha})+\frac{1}{2}\ln\alpha\leq c_{n,FB}(P)\leq C_{n,FB}(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$

Corollary 4 $P>Q$ に対して
$C,n,FB(P)-C \prime B(n,FQ)\leq\frac{1}{2}\ln\frac{P}{Q}$

.

.

120

3

証明

Proof of Theorem 1(a). Baker [1] より$R_{S+Z}$

$=$

$=$

$R_{S}+Rsz$ \dagger $RZs+Rz$$R_{S}+R^{\frac{1}{s2}}VR^{\frac{1}{Z2}}+R^{\frac{1}{Z2}}V^{t}R^{\frac{1}{s2}}+R_{Z}$だから$R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}+Z}=R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}})^{\frac{1}{2}}VR^{\frac{1}{Z2}}+R^{\frac{1}{Z2}}V^{t}.(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}})^{\frac{1}{2}}+R_{Z}$.

したがって $0<\alpha\leq 1$ に対して$\alpha\frac{1}{2n}\ln\frac{|R_{\nabla^{S_{=+}}\alpha}z|}{|R_{Z}|}$$\alpha\frac{1}{2n}\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(R)^{\frac{1}{2}VR^{\frac{1}{Z2}}+R}=V^{t}\frac{1}{Z2}(RS)^{\frac{1}{2}}+Rz|7^{S}\alpha T\alpha}{|R_{Z}|}$$=$$\frac{1}{2_{l}},\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}})^{\frac{1}{2}}VR\frac{1}{Z2}\frac{1}{Z2}+RV^{i}(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}})^{\frac{1}{2}}+RZ|^{\alpha}}{|R_{Z}|^{\alpha}}$$=$$\frac{1}{2n}\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(RT\alpha 7^{=}s)\frac{1}{2}VR\frac{1}{Z2}+R^{\frac{1}{Z2}}Vt(RS\alpha)\frac{1}{2}+RZ|^{\alpha}|Rz|1-\alpha}{|R_{Z}|}$$=$$\frac{|\alpha R_{T\circ}s+\alpha(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}})^{\frac{1}{2}}V}R^{\frac{1}{Z2}\frac{1}{Z2}}+\alpha RVt(RS)^{\frac{1}{2}\dotplus\alpha}F\alpha^{=}.R_{z}+(1-\alpha)R_{Z}|}{|R_{Z}|}$$\leq$$\frac{1}{2n}\mathrm{l}\mathrm{I}\mathrm{n}$$=$$\frac{1}{2n}$

$=$

hn

$\frac{|R_{S}+\sqrt{\alpha}Rsz+\sqrt{\alpha}RzS+R_{Z}|}{|R_{Z}|}$.

$\frac{1}{2\mathit{7}l}\ln\frac{|Rs+R^{\frac{1}{s2}}\sqrt{\alpha}VR\frac{1}{Z2}+R\frac{1}{Z\mathrm{z}}\sqrt{\alpha}V\mathrm{f}R^{\frac{1}{s2}}+Rz|}{|R_{Z}|}$(1)

ここで任意の $0<\alpha\leq 1$ に対して $||\sqrt{\alpha}V||=\sqrt{\alpha}||V||\leq 1$ だから $Tr[Rs]\leq nP$ のもとで (1) の右辺を最大にすると次を得る.
$\alpha\frac{1}{2n}\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}+Z}|}{|R_{Z}|}\leq c_{n},FB(P)$

.

(2)

ここで条件
$Tr[R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}] \leq\frac{nP}{\alpha}$のもとで (2) の左辺を最大にすると次を得る.
$\alpha C_{n,FB}(\frac{P}{\alpha})\leq C_{n,FB}(P)$

.

(3)

121

ここで–般の $0<\alpha\leq\beta$ に対して (3) より$\frac{1}{\beta}c_{n.,FB}(\beta P)=\frac{1}{\alpha}\frac{\alpha}{\beta}c_{n},FB(\frac{\beta}{\alpha}\alpha P)\leq\frac{1}{\alpha}C_{n,FB}(\alpha P)$

したがって $F(P, \alpha)$ は$\alpha$.

に関して減少函数である.

$\square$

Proof of Theorem 1(b). Dembo [7] の結果より$\lim_{\alphaarrow 0}\frac{1}{\alpha}c_{n},FB(\alpha P)=\alphaarrow 1\mathrm{i}\mathrm{n}1\frac{1}{\alpha}c0n(\alpha P)$

ここで$\alpha$が十分小さいとき$\alpha P$$\frac{1}{\alpha}C_{n}(\alpha P)$

ここで $\alphaarrow 0$.

も十分小さいので次の関係式を得る.
$=$$\frac{1}{\alpha}\frac{1}{2n}\ln\frac{\uparrow \mathrm{t}\alpha P+r_{1}}{r_{1}}$$=$$\frac{1}{2n}\ln(1+\frac{n\alpha P}{r_{1}})1/\alpha$$=$$\frac{P}{2r_{1}}\ln(1+\frac{n\alpha P}{r_{1}})^{r_{1}}/(n\alpha P)$.

としたときの両辺の極限をとると

liln$\underline{1}\underline{F}C_{n}(\alpha P)=$$\alphaarrow 0\alpha$$2r_{1}$となり結果を得る.

$\square$

Proof of Theorem 1(c). 次の不等式$\frac{1}{\alpha}C_{n,FB}(\alpha P)\leq\frac{2}{\alpha}C_{n}(\alpha P)$が成り立つことから$\lim_{\alphaarrow\infty}\frac{1}{\alpha}C_{n}(\alpha P)=0$を示そう.

$\alpha$が十分大きいとき$\alpha P$

は十分大きいので次の関係式を得る.

$\frac{1}{\alpha}C_{n}(\alpha P)$.

$=$$\frac{1}{\alpha}\frac{1}{2n}\ln\frac{(n\alpha P+r_{1}+.\cdots+rn)^{n}}{\uparrow\tau^{n}r1r_{n}}.$$=$$\frac{1}{2\alpha}\ln\frac{n\alpha P+r_{1}+\cdots+r_{n}}{ll\sqrt[n]{r_{1}r_{n}}}$$=$$\frac{1}{2\alpha}\ln(n\alpha P+r_{1}+\cdots+r_{n})-\frac{1}{2\alpha}\ln\{n\sqrt[n]{r_{1}r_{n}}\}$

.

122

ここで $\alphaarrow\infty$としたときの両辺の極限をとると結果を得る.

口

Corollaryl は容易に得られる.

Corollary2 は容易に得られる.
Proof of Theorem 2(a). Baker [1] より$R_{S+Z}$

$=$

$=$

$R_{S}+RSz+R_{ZS}+R_{z}$$R_{S}+R^{\frac{1}{s2}}VR^{\frac{1}{Z2}}+R^{\frac{1}{Z2}}V^{t}R^{\frac{1}{s2}}+R_{Z}$だから$R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}+Z}=R_{S,E\alpha}+(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}})^{\frac{1}{2}}VR_{Z}^{\overline{2}}+R \overline{\frac{}{Z},,}V^{t}(R\frac{s}{\sqrt{\alpha}})^{\frac{\wedge}{2}}+R_{Z}$.

したがって $0<\alpha\leq 1$ に対して$\frac{1}{27l}\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}+Z}|}{|R_{Z}|}$,$\frac{1}{2_{l}},\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}).\frac{1}{2}VR\frac{1}{\frac{}{Z},}+R^{\frac{1}{\frac{[mathring]}{Z}}}Vt(R_{S\tau_{\alpha}})\frac{1}{2}+R_{Z}|}{|R_{Z}|}$$=$.
$\frac{1}{2n}\ln\underline{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}}+(R_{\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\alpha}}S)}\frac{\frac 12(\sqrt{\alpha}V)(Rz\ovalbox{\tt\small REJECT}^{)}\alpha T\alpha T\frac{1}{2}+(RZ)\frac{1}{2}(\sqrt{\alpha}V)^{t}(R_{S\alpha 7^{\Rightarrow 1}})\frac{1}{2}+R_{Z\alpha}}{|R_{Z}|}$$\leq$$\frac{1}{2n}\ln\frac{|\frac{1}{\alpha}R_{S}+\frac{1}{\alpha}R^{\frac{1}{s2}}(\sqrt{\alpha}V)R\frac{1}{Z2}+\frac{1}{\alpha}R\frac{1}{Z2}(\sqrt{\alpha}V)^{t}R^{\frac{1}{s2}}+\frac{1}{\alpha}Rz|}{|R_{Z}|}$

$=$

$=$

$=$

$\frac{1}{2n}\ln(\frac{1}{\alpha})^{n_{\frac{|R_{S}+R^{\frac{1}{s2}}(\sqrt{\alpha}V)R^{\frac{1}{Z2}}+R^{\frac{1}{Z2}}(\sqrt{\alpha}V)^{t}R\frac{1}{s2}+R_{Z}|}{|R_{Z}|}}}$$\frac{1}{2n}\mathrm{l}\ln$$\frac{|R_{S}+R^{\frac{1}{s2}}(\sqrt{\alpha}V)R^{\frac{1}{Z2}}+R\frac{1}{Z2}(\sqrt{\alpha}\iota/)rtR\frac{1}{s2}+R_{Z}|}{|R_{Z}|}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$.

(4)

任意の $\alpha(0<\alpha\leq 1)$ に対して $||\sqrt{\alpha}V||=\sqrt{\alpha}||V||\leq 1$ だから $Tr[R_{S}]\leq nP$ の下で(4) の右辺の最大をとると次を得る.
$\frac{1}{2n}\ln\frac{|R_{\frac{s}{\sqrt{\alpha}}+Z}|}{|R_{Z}|}\leq c_{n},FB(P)+\frac{1}{2}\iota \mathrm{n}\frac{1}{\alpha}$

ここで条件$Tr[R_{7}s] \alpha==\frac{1}{\alpha}\tau_{r}[RS]\leq\frac{nP}{\alpha}$

.

(5)

123

の下で (5) の左辺の最大をとると次を得る.

.

$C_{n,FB}( \frac{P}{\alpha})\leq C_{n,FB}(P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$即ち$-$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$Ps

1$c,n,FB(^{-}\overline{\alpha})+_{\overline{2}}\ln\alpha\leq cn,FB(Parrow)$.

(6)

ここで–般の $0<\alpha\leq\beta$ に対して (6) より.

$C_{n,FB}( \beta P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\beta}=c_{n,FB}(\frac{\beta}{\alpha}\alpha P)+\frac{1}{2}\ln(\frac{\alpha}{\beta}\frac{1}{\alpha})\leq c_{n,FB(}\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$

したがって $G(P, \alpha)$ は$\alpha$に関して減少函数である.

口

Proof of Theorem 2(b). 次の不等式$C_{n}(\alpha P)\leq C_{n,FB}(\alpha P)$が成り立つことから$\lim_{\alphaarrow 0}\mathrm{t}cn(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}\}=\infty$を示そう.

$\alpha$が十分小さいとき$\alpha P$

も十分小さいので次の関係式を得る.

$C_{n}’( \alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{2n}\ln\frac{\uparrow l\alpha P+\prime^{\tau}1}{r_{1}}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}arrow\infty(\alphaarrow 0)$.

したがって結論を得る.

口

Proof of Theorem 2(c). Dembo [7] の結果より$\alphaarrow\infty 1\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\{C_{n,F}B(\alpha P)-cn(\alpha P)\}=0$

.

したがって
$\alphaarrow\infty 1\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\{Cn,FB(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}\}$

ここで$\alpha$$=$$\alphaarrow\infty 1\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\{c_{n,FB}(\alpha P)-cn(\alpha P)\}+\alphaarrow\lim\infty\{C_{n}(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}\}$$=$$\alphaarrow\infty 1\mathrm{i}\mathrm{n})\{cn(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}\}$が十分大きいとき$C_{n}( \alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$$\alpha P$.

も十分大きいので次の関係式を得る.

$=$$\frac{1}{2n}\ln\frac{(_{7l\alpha P}+r_{1}+.\cdot.\cdot\cdot+r_{n})^{n}}{n^{n}r_{1}\cdot r_{n}}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$$=$$\frac{1}{2}\ln\frac{n\alpha P+r_{1}+\cdots+r_{n}}{n\sqrt[n]{l_{1}r_{n}}}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}$$=$$\frac{1}{2}\ln\frac{nP+(r_{1}+\cdots+r)n/\alpha}{n\sqrt[n]{r_{1}r_{n}}}$

.

124

したがって
$\alphaarrow\infty 1\mathrm{i}\mathrm{n}1\{c_{n}(\alpha P)+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{\alpha}\}=\frac{1}{2}\ln\frac{P}{\sqrt[n]{r_{1}l_{n}}}$となり結果を得る.

口

Corollary3 は容易に得られる.
Corollary4 は容易に得られる.

4

ブロック型ホワイトノイズをもつガウス型通信路について次の定義を与える.

$R_{Z}^{(n)}$Definition 1 (Yanagi [13])$R_{Z}^{(n)}=\{z_{ij}\}$のとき $L_{k}=\{l(\neq k);z_{k}\iota\neq 0\}$ とおく.

このとき(a) 任意の$k$に対して$L_{k}=\emptyset$のとき$R_{Z}^{(n)}$をホワイトという.

(b) 任意の$k$に対して$L_{k}\neq\emptyset$のとき$R_{Z}^{(n)}$を完全非ホワイトという.

(c).

$L_{k}$$=\emptyset$

かついう. またする.

$L_{\ell}\neq\emptyset$.

$L_{k}$$\neq\emptyset$となる $k,$となる$\ell$$k$が存在するときによって生成されるをブロック型ホワイトと$R_{Z}^{(n)}$$R_{Z}^{(n)}$の部分行列を$\tilde{R}z$と次の命題が得られている.

Proposition 3 (Yanagi [13]) 次の (1), (2), (3) が成り立つ.
(1)$R_{Z}^{(n)}$がホワイトのとき任意の $P>0$ に対して
$C_{n}(P)=C_{n,FB}(P)$(2)$R_{Z}^{(n)}$が完全非ホワイトのとき任意の $P>0$ に対して
$C_{n}(P)<c_{n,FB}(P)$(3)$R_{Z}^{(n)}$

を

.

.

がブロック型ホワイトのとき次の場合に別れる. ただし$r_{m}$としかつ $7\mathrm{t}P_{0}=?nr_{m}-(r_{1}+\cdots+r_{m})$ とおく.

(a) $P>P_{0}$ のとき$C_{n}(P)<c_{n,FB}(P)$.

$\tilde{R}_{Z}$の最小固有値

125(b) $P\leq P_{0}$ のとき.

$C_{n}(P)=c_{n,FB}(\dot{p})$$P>P_{0}$のとき $\alpha P=P_{0}$ とおくと Corollary 1 と$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\dot{\mathrm{p}}$osition 3 より次の関係式が得られる.
$C_{n},(P)<C_{n,FB}(P) \leq\frac{P}{P_{0}}c_{n,FB}(P0)=\frac{P}{P_{0}}C_{n}(P_{0)}$.

また Corollary 2 と Proposition 3 より次の関係式が得られる.
$C_{n}(P)<c_{n,FB}(P) \leq C_{n,FB}(P_{0)}+\frac{1}{2}\ln\frac{P}{P_{0}}$$=$$C_{n}(P_{0})+ \frac{1}{2}\ln\frac{P}{P_{0}}$.

ではあるがそれほど大きくない場合はこれらは $c_{n,FB}(P)$ の上界としては
今まで得られている結果のより精密なものとなっている.
$P>P_{0}$5例とグラフ
次のようなブロック型ホワイトノイズをもつガウス型通信路を考える.

$R_{Z}^{(4)}=$ .
このとき$r_{1}=1,$ $r_{2}=2,$ $r_{3}=3,$ $r_{4}=5$である. ここで今まで得られている結果の中で電力制限 $P$ が比較的小さい時に有効と思われる容量の上界の代表的なものを挙げる.

Proposition 4 (Yanagi [15])$C_{n}(P)\leq c_{n,FB}(P)\leq C_{n}(P_{2})$,ただし$\lambda_{n-1\mathrm{r}/_{\mathrm{B}}}$$\mathrm{r}$.

$P$$P_{2}= \frac{\prime\backslash n-1}{n}\{(1+\overline{\lambda^{\wedge}n-1})^{n}-1\}$

であり、 また$\lambda_{n-1}$は$R_{Z}^{(n)}$の 1, 2, . . . , $n-1$ 行、得られる部分行列の最小固有値である.

$R_{Z}^{(?l)}$の 1, 2, .. . , $n-1$ 列によって

126

Proposition 5 (Dembo [7], Yanagi [13])$C_{n}(P) \leq Cn,FB(P)\leq\frac{1}{2}\ln(1+\frac{P}{r_{1}})$.

Proposition 6(Cover and Pombra [5])$C_{n}(P) \leq Cn,FB(P)\leq on(P)+\frac{1}{2}\iota \mathrm{n}2$.

Proposition 7 (Cover and Pombra [5])$C_{n}(P)\leq C_{l\iota,FB}(P)\leq 2C_{n}(P)$.

上の例について Proposition 4, 5, 6, 7 及び Corolary 4, 3 との比較を表す
グラフを Fig. 1 で示す.

.

$\mathrm{G}_{l}\{t_{\mathrm{a}})i\mathrm{h}\cdot\simeq_{\mathrm{a}}l_{\{(}\iota_{\frac{r}{\sim_{1}}}.1^{\cdot}-\iota 1$$(\mathrm{r}\cdot l$$\frac{\iota}{\mathrm{a}}1i\mathrm{W}(l\cdot\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{r}1})$C4$\{\mathrm{P})\mathrm{r}\frac{\iota}{\mathrm{a}}1\mathrm{r}\mathrm{z}$$2\mathrm{S}.(r\}$$G..i\cdot$$\frac{l}{-}$

(

G..n

$\mathrm{G}.(\mathrm{P})$.

$\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{r}\mathrm{h}\iota\epsilon\iota$$\alpha \mathrm{P}\mathfrak{l}\cdot\frac{\iota}{\mathrm{a}}f\mathrm{w}\frac{\iota}{\mathrm{r}}\ldots\triangleright\triangleright$

.
Fig.1

.

$\mathrm{t}^{qr}$).a$.**’ \triangleright\frac{\mathrm{r}}{r}$Cm$\{l.)$$\{\mathrm{p}_{1}$)$\cdot\frac{\iota}{\mathrm{a}}1\epsilon \mathrm{P}\doteqdot$

127

6

Concave 性について

ブロック長 の離散時間ガウス型通信路について, フィードバックのない場合の容量 $C_{n}(P)$ とフィードバックのある場合の容量は の函数として concave でであることは容易に証明できあるかないかを調べることにする. $C_{-n}.(P)$ が$(\alpha+\beta=1)$ と任意の $P,$ $Q\geq 0$
るが紙面の都合で省略する. 、つまり, 任意の$\mathrm{n}$$C_{?\iota,,FB}(P)$$\mathrm{P}$$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{a}\backslash \Gamma \mathrm{e}$$\alpha,$$\beta\geq 0,$に対して$C_{n}(\alpha P+\beta Q)\geq\alpha C_{n}(P)+\beta c_{n}(Q)$が成り立つ. そこで $C_{n,FB}’(P)$ も concave であるかどうかという問題が生ずる. この論文では $C_{n,FB}’(P)$ の性質として concave より弱い結果 (Corollary 1) が得られたが,でブロック型ホワイトの場合に $C_{4,FB}’(P)$の場合に $C_{2,FB}(P)$ のグラフと$\mathrm{n}=4$$\mathrm{n}=2$のグラフをそれぞれ描いてみることにする.
$\mathrm{n}=2$ の場合のフィードバックを持つガウス型通信路のメッセージ,
ノイズと$R2,$ $B$ で与えられる.
フィードバックを表す行列はそれぞれ次のような$R_{\mathrm{Y}dZ}^{(2)()},$$R_{\mathrm{Y}}^{(2)}.=$$B=$ .

$R_{Z}^{(2)}=$ ,,Yanagi [13] より $c_{2,FB}(P)$ は次の式で与えられることがわかる.
$C,2,FB(P)=_{0\leq} \max_{a\leq 2P}\frac{1}{4}\ln\frac{(a+k^{n})(b+\iota)-(|m|-\sqrt{ab})^{2}}{k^{\wedge}l-m^{2}}$,ただし$b= \frac{(2P-a)(a+k\prime)}{karrow}$

である.

ここで

$\frac{5+\sqrt{0^{\ulcorner}}}{2}-\tau^{\backslash }\backslash ,$$R_{Z}^{(2)}$$C_{2}(P)$,$c=-.\mathrm{s}gn(m.)^{\sqrt{c\iota b}}$,$t=- \frac{c}{a+k’}$

をと $c_{2,FB}(P)$ を比較したグラッ{は Fig. 2$\text{て},\backslash \overline{\tau\backslash }$される. また前節でをもつガウス型通信路において $C_{4}’(P)$ と $C_{4,FB}(P)$ を比較したグラフは与えたFig. 3 で示される. これらのグラフから $C_{n,FB}(P)$ が の函数として concave である
ことが予想されるが, この証明については今後の問題として残しておこう.
$R_{Z}^{(4)}$$\mathrm{P}$128$R_{Z}^{(2)}.=$ ,$r_{1}= \frac{5-\sqrt{5}}{2}$,$r_{2}= \frac{5+\sqrt{5}}{2}$$R_{z^{4)}}^{(}=$ ,$r_{1}=1$,$r_{2}=2$,$r_{3}=3$,$r_{4}=5$,$P_{0}=0.75$$C_{\iota FB}.(P)$$C_{4}(P)$

窃 g3

129

参考文献
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