118

Wavefronts corresponding to the envelope of afamily of horocycles
東京工業大学理学院数学系

青砥 禎彦

AOTO YosihikoDepartment of Mathematics
Tokyo Institute of Technology

1序cを平面曲線とする. \alpha\in \mathbb{R} を1つ取り固定する.曲線 c 上の各点において,接線との成す角が \alpha となるように直線をひく.ただし角度は反時計回りを正とする.この直線族の包絡線を evolutoid とよぶ ([6], [11] 参照). とくに \alpha=\pi/2 のときは c の縮閉線と一致する.

ポワンカレ円板において境界の円周に接する円をホロ円とよぶ.泉屋‐斐‐佐野 [7] はホ
ロ円を直線とみなす幾何学を展開した.このようにして得られる幾何学をホロ円的幾何学とよぶ.

\gammaを双曲面上の曲線とする.

\alpha\in \mathbb{R} を1つ取り固定する.曲線 \gamma 上の各点において,接線との成す角が \alpha となるようにホロ円を描く.このポロ円の族の包絡線を

horocyclic evolutoid とよぶ ([1] 参照).

距離 d における \gamma の平行曲線を鞄で表わす.距離 d を動かすと物の特異点の軌跡
は縮閉線となる.Giblin と Warder Iは , 与えられた角度 \alpha に対して,特異点の軌跡がevolutoid となるようなwavefront を対応させた.とくに \alpha=\pi/2 のときは通常の平行曲線となる ([5], §6参照).
本稿では,与えられた角度 \alpha に対して,特異点の軌跡がhorocyclic evolutoid となるよ
うなwavefront を対応させる.このwavefront は一般にはポワンカレ円板の境界に達し

そこで特異点をもつ.本概説は,このwavefront の幾何学的性質を特異点論の手法を用いて調べるものである.

119
2

ホロ円的幾何学
ポワンカレ円板において境界の円周に接する円をポロ円という.ホロ円を直線とみなす

幾何学をホロ円的幾何学とよぶ ([7] 参照). 相異なる2点を通るホロ円はちょうど2つあるので,ホロ円的幾何学は結合公理を満たさない.
\mathbb{R}^{3} 上の擬内積を

X=(\begin{ar y}{l x_{1} x_{2} x_{3} \end{ar y}) y=(\begin{ar y}{l y_{1} y_{2} y_{3} \end{ar y}),に対し\langle x, y\rangle=-x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}によって定める.3次元ミンコフスキー空間 (\mathbb{R}^{3}, \langle, \rangle) を \mathb {R}_{1}^{3} で表す.

D:=\{(x, y)|x^{2}+y^{2}<1\} とおく.双曲面 H_{+}^{2}=\{x\in \mathbb{R}_{1}^{3}|\langle x, x\}=-1, x_{1}\geq 1 } を微分同相写像 \Pi : H_{+}^{2}arrow D, (x_{1}, x_{2}, x_{3})\mapsto(x_{2}/x_{1}, x_{3}/x_{1}) により円板 D と同一視する.
次に \mathb {R}_{1}^{3} 上の擬外積を

x=(\begin{ar y}{l x_{1} x_{2} x_{3} \end{ar y}), y=(\begin{ar y}{l y_{1} y_{2} y_{3} \end{ar y})に対し

x\wedgey=(-|\begin{ar ay}{l} x_{2} x_{3} y_{2} y_{3} \end{ar ay}|- \begin{ar ay}{l} x_{1} x_{3} y_{1} y_{3} \end{ar ay}|, \begin{ar ay}{l} x_{1} x_{2} y_{1} y_{2} \end{ar ay}|)
によって定める.
以下では I によって開区間を表すものとする.
\gamma :Iarrow H_{+}^{2} を単位速度曲線とする. \gamma の測地的曲率を \kappa_{g}(s) で表す. \kappa_{g}(8) は\kappa_{g}(s)=|\gamma(s), \gamma'(s), \gamma"(s)|で与えられる.単位接線ベクトル \gamma'(s) を t(s) で表す.またベクトル e(s) を e(s):=\gamma(s)\wedge t(s) によって定める.このとき \{\gamma(s), t(s), e(s)\} は \gamma に沿う \mathb {R}_{\imath}^{3} の擬正規直交枠をなす.擬正規直交枠 \{\gamma(s), t(s), e(s)\} に対して次の Frenet‐Serret 型の公式\{ begin{ar y}{l \gam a'(s) =t(s) t'(s) =\gam a(s)+\kap a_{g}(s)e(s) e'(s) =-\kap a_{g}(s)t \end{ar y}が成り立つ. \alpha\in \mathbb{R} を1つ取り固定する.このとき

a_{1,\alpha}(s):=t(\mathcal{S})\cos\alpha+e(s)\sin\alpha, a_{2,\alpha}(s):=- t(s)\sin\alpha+e(\mathcal{S})\cos\alpha120とおけば \{\gamma(s), a_{1,\alpha}(s), a_{2,\alpha}(s)\} は \gamma に沿う \mathb {R}_{1}^{3} の擬正規直交枠となる.
各 s\in I に対して,点 \gamma(s) を通りその点において曲線 \gamma と角度 \alpha をなすようなホロ円

を r_{\alpha}(s) で表す.ホロ円の族 \{r_{\alpha}(s)\}_{s\in I} の包絡線を horocyclic evolutoid とよぶ ([1]参照).

3\gamma のhorocyclic evolutoid を g_{\alpha} で表す.

Wavefronts\gamma :Iarrow H_{+}^{2} を単位速度曲線とする. \alpha\in \mathbb{R} を1つ取り固定する.まず以下の条件をみたす曲線 \tilde{P} : Iarrow H_{+}^{2} を見つける.
(1) 関数 \varphi : Iarrow \mathbb{R} が存在して,各 s\in I に対して\tilde{P}(s)=\gamma(s)+\varphi(s)a_{1,\alpha}(s)+\frac{\varphi(s)^{2} {2} (\gamma(s)+a_{2,\alpha}(s)が成り立つ.

(2) 各 s\in I に対して\langle\overline{P}'(s), a_{1,\alpha}(s)+\varphi(s)(\gamma(s)+a_{2,\alpha}(s)) \rangle=0が成り立つ.
上記の2条件から微分方程式\varphi'(s)=\frac{1}{2}(\cos\alpha-\kappa_{g}(s) \varphi(s)^{2}+\varphi(s)\sin a-\cos\alphaを得る.この微分方程式の解は一般には爆発する.そこでこの微分方程式を \mathbb{R}P^{1} 上で考える. \sigma\in I を1つ取り固定する.各 r\in \mathbb{R} に対して (\sigma, r) を通るこの微分方程式の解を\varphi_{r}:Iarrow \mathbb{R}P^{1} で表す.以後,る.

\mathbb{R}P^{1} の局所座標を用いて \mathbb{R}\subset \mathbb{R}P^{1} とみなす. r\in \mathbb{R} とす

s_{0}\in I を \varphi_{r}(s_{0})\in \mathbb{R} なる点とすると曲線 \tilde{P}_{r} : (I, s_{0})arrow H_{+}^{2} を\tilde{P}_{r}(s) :=\gamma(s)+\varphi_{r}(s)a_{1,\alpha}(\mathcal{S})+ \frac{\varphi_{r}(\mathcal{S})^{2} {2}(\gamma(s)+a_{2,\alpha}(s)によって定義することができる.そこで曲線 P_{r} : 1arrow\overline{D} を

P_{r}(s):=\{ begin{ar y}{l \Pi cr\tilde{P}_r(s) \varphi_{r}(s)\in mathb {R} (\frac{\gam a_{2}(s)+a_{2,\alpha})_{2}(s){\gam a_{1}(s)+a_{2,\alpha})_{1}(s) ,\frac{\gam a_{3}(s)+a_{2,\alpha})_{3}(s){\gam a_{1}(s)+a_{2,\alpha})_{1}(s) } \varphi_{r}(s)=\infty \end{ar y}で定義する.

121
121

P_{r} をhorocyclic evolutoid g_{\alpha} に対応する wavefront とよぶ.とくに \alpha=\pm\pi/2 のとき耳をポロ円的平行曲線とよぶ.

注意. T\in \mathbb{R} を十分大きくとれば耳は必ず境界 \partial D に到達する ([4] 参照).
命題3.1. s_{0}\in I を P_{r}(s_{0})\in D かつ \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s_{0}) をみたす点とする.このとき曲線\tilde{P}_{r} が点 s=s_{0} において特異点をもつための必要十分条件は \tilde{P}_{r}(s_{0})=g_{\alpha}(s_{0}) が成り立つ
ことである.

4

Wavefront の特異点
本節では,前節で定義した wavefront の特異点について考察する.
\gamma :Iarrow H_{+}^{2} を単位速度曲線とする. \alpha, r\in \mathbb{R} をそれぞれ1つずつ取り固定する.次に\delta_{\alpha}(\mathcal{S}) :=2\kappa_{9}'(s)\sin\alpha-2\kappa_{9}^{2}(s)\cos\alpha+(3\cos^{2}\alpha+1) \kappa_{g}(s)-\cos^{3}\alpha-\cos\alphaと定義する.

注意.もし \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s) ならば[3, p. 60] において定義された不変量 \delta[0]_{1} および \delta[0]_{2}について\delta[0]_{1}(s)=0\Leftrightarrow\delta_{\alpha}(s)=0,\delta[0]_{2}(s)=0\Leftrightarrow\delta_{\alpha}'(s)=0が成り立つ.

(I) P_{r}(s_{0})\in Ds_{0}\in I を P_{r}(s_{0})\in D なる点とする.

\lambda_{r}(s) :=\kappa_{g}(s)\varphi_{r}(s)-\varphi_{r}(s)\cos\alpha- \sin\alpha
とおく.このとき曲線君が点 s=s_{0} において特異点をもつための必要十分条件
は \lambda_{\bullet}(s_{0})=0 が成り立つことである.

[9, Proposition 1.22, Theorem 1.23, Proposition 4.9] により以下の定理を得る.
定理4.1. 曲線 P_{r} は点 s=s_{0} において特異点をもつものとする.このとき(A) \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s_{0}) .

(1) P_{r} が s_{0} において3/2 カスプをもつための必要十分条件は \delta_{\alpha}(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.

122(2) P_{r} が s_{0} において4/3 カスプをもつための必要十分条件は \delta_{\alpha}(s_{0})=0 か
つ \delta_{\alpha}'(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.

(B) \cos\alpha=\kappa_{g}(s_{0}) .

(1) P_{r} が s_{0} において5/2 カスプをもっための必要十分条件は \tilde{P}_{r}(s_{0})\neq\gamma(\mathcal{S}_{0})かつ \kappa_{g}'(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.

(2) \tilde{P}_{r}(s_{0})=\gamma(s_{0}) とする.このとき P_{r} が s_{0} において曲線 t\mapsto(t^{3}, t^{5}) になるための必要十分条件は \kappa_{g}'(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.

(II) P_{r}(s_{0})\in\partial D
定理4.2. \mathcal{S}_{0}\in I を君 (s_{0})\in\partial D なる点とする.このとき(1) 曲線 P_{r} は点 s=s_{0} において特異点をもつ.

(2) P_{r} が s_{0} において4/3 カスプをもつための必要十分条件は \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s_{0}) が成り立つことである.

定理4.1および [1, 命題4.1] により以下の系を得る.
系4 3. s_{0}\in I を君 (s_{0})\in D なる点とし \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s_{0}) とする.このとき\cdot(1) P_{r} が s_{0} において3/2 カスプをもつとき点 s_{0} は g_{\alpha} の正則点となる.

(2) P_{r} が s_{0} において4/3 カスプをもつとき g_{\alpha} は s_{0} において3/2 カスプをもつ.

5

Wavefronts からなる曲面\gamma :Iarrow H_{+}^{2} を単位速度曲線とする. \alpha\in \mathbb{R} を1つ取り固定する.本節では, r\in \mathbb{R} を動かしたときに得られる曲面の特異点について考察する.
曲面 F : I\cross \mathbb{R}arrow\overline{D}\cross \mathbb{R} をF(s, r) :=(P_{r}(s), r) で定義する.

\varphi :I\cross \mathbb{R}arrow \mathbb{R}P^{1} を\varphi(s, \tau) :=\varphi_{r}(s) で定義する.
(I) P_{r0}(s_{0})\in D(s_{0}, r_{0})\in I\cross \mathbb{R} を P_{r_{0}}(s_{0})\in D なる点とする.このとき曲面 F が点 (\mathcal{S}_{0}, r_{0}) において特異点をもつための必要十分条件は \lambda_{r_{0}}(s_{0})=0 が成り立つことである.

曲面 \overline{F} : (I\cross \mathbb{R}, (s_{0}, \tau_{0}))arrow H_{+}^{2}\cross \mathbb{R} を \overline{F}(s, r)
像 H_{+}^{2}ar ow \mathbb{R}^{3} により:=(\tilde{P}_{r}(s), r) で定める.包含写

H_{+}^{2} の接空間を \mathbb{R}^{3} の部分空間とみなす. \tilde{F} に沿う単位ベク

123
トル場 \nu を\nu(s, r):=\frac{1}{\sqrt{(\partial\varphi/\partial r(s,r) ^{2}+1} (\begin{ar ay}{l a_{1,\alpha}(s)+\varphi(s,r)(\gam a(s)+a_{2,\alpha}(s) -\partial\varphi/\partialr(s,\tau) \end{ar ay})
によって定める.

\nuは単位法線ベクトル場を定義するので \tilde{F} はフロンタルである.

\cos\alpha\neq K_{9}(S\circ) ならば \tilde{F} : (I\cross \mathbb{R}, (s_{0}, r_{0}))arrow H_{+}^{2}\cross \mathbb{R} は波面芽となる.
[8, Proposition 1.3] により以下の定理を得る.
定理5.1. 曲面 F は点 (s_{0}, r_{0}) において特異点をもつものとする.このとき(A) \cos\alpha\neq K_{g}(s_{0}) .

(1)

F が

(5_{0}, r_{0}) においてカスプ辺 (u, v)\mapsto(u^{2}, u^{3}, v) になるための必要十分条件は \delta_{\alpha}(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.

(2) \partial\varphi/\partial r(s_{0}, \tau_{0})\neq 0 とする.このとき
尾F が(s_{0}, r_{0}) においてツバメの(u, v)\mapsto(3u^{4}+u^{2}v, 4u^{3}+2uv, v) になるための必要十分条件は\delta.(s_{0})=0 かつ \delta_{\alpha}'(s_{0})\neq 0 が成り立つことである.
注意. \partial\varphi/\partial r(s_{0}, \tau_{0})\neq 0 ならば点 (s_{0}, \tau_{0}) は非退化である.

(B) \cos\alpha=\kappa_{g}(s_{0}) .
F が(s_{0}, r_{0}) において5/2 カスプ辺 (u, v)\mapsto(u^{2}, u^{5}, v) になるための必要十分条件は点 (s_{0}, \tau_{0}) が非退化になることである.
注意.点 (s_{0}, r_{0}) が非退化であるための必要十分条件は \kappa_{g}'(s_{0})\neq 0 かつ \varphi(s_{0}, r_{0})\neq
0 が成り立つことである.

(II) P_{r_{0}}(s_{0})\in\partial D
定理5.2. (s_{0}, \tau_{0})\in I\cross \mathbb{R} を P_{r_{0}}(s_{0})\in\partial D なる点とする.このとき F が (s_{0}, \tau_{0})において曲面 (u, v)\mapsto(u^{3}, u^{4}, v) になるための必要十分条件は \cos\alpha\neq\kappa_{g}(s_{0}) が成り立つことである.

(s_{0}, r_{0})\in I\cross \mathbb{R} を P_{r_{0}}(s_{0})\in D なる点とし,とする.さらに

F は点(s_{0}, \tau_{0}) において特異点をもつ\cos\alpha=K_{g}(s_{0}) かつ \tilde{P}_{r_{0}}(s_{0})=\gamma(s_{0}) を仮定する.このとき \sin\alpha=0となり \kappa_{9}(s_{0})=\pm 1 を得る.したがって horocyclic evolutoid は曲線 \gamma とポロ円とからなり \gamma(s_{0}) を通るホロ円はその点において曲線 \gamma と接していることがわかる.さらに\kappa_{g}'(s_{0})\neq 0 かつ \partial\varphi/\partial r(s_{0}, r_{0})\neq 0 を仮定すると,曲線 \gamma に沿って3/2 カスプが連なり,\gamma(s_{0}) を通るポロ円に沿って5/2 カスプが連なる.そうしてそれぞれの曲線がカスプ辺に124なっている.さらに曲線 P_{r} . は s_{0} において曲線 t\mapsto(t^{3}, t^{5}) に汎同値となる.そこで次の予想をたてる.

予想5.3. 上記の仮定の下で F は点 (s_{0}, \tau_{0}) において曲面(u, v)\mapsto(u, v^{3}+uv^{2},12v^{5}+10uv^{4})に汎同値である ([2], [10] 参照).

参考文献

1. 青砥 禎彦,Horocyclic evolutoids, 京都大学数理解析研究所講究録,2049 (2017),
109‐115.

2. Arnol’d, V. I., Singularities of systems of rays, Proceedings of the International

Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Warsaw, ı983), 27‐49, PWN, Warsaw,
1984.

3. Ashino, T., Ichiwara, H., and Izumiya, S., Envelopes of slant lines in the hyperbolic

plane, Note Mat. 35 (2015), 51‐67.
4. Bahk, S. Y., Dyakevich, N. E., and Johnson, S. C., Long term behavior of solutions

for Riccati initial‐value problems, Electron. J. Differential Equations 2008 (2008),
1‐8.

5. Giblin, P. J., and Warder, J. P., Evolving Evolutoids, Amer. Math. Monthly 121(2014), 871‐889.
6. Hamann, M., A note on ovals and their evolutoides, Beiträge Algebra Geom. 50(2009), 433‐441.
7. Izumiya, S., Pei, D., and Sano, T., Singularities of hyperbolic Gauss maps, Proc.

London Math. Soc. 86 (2003), 485‐512.
8. Kokubo, M., Rossman, W., Saji, K., Umehara, M., and Yamada, K., Singularitiesof flat fronts in hyperbolic space, Pacific J. Math. 221 (2005), 303‐351.
9. Porteous, I. R., Geometric differentiation for the intelligence of curves and sur‐faces, Cambridge Umiversity Press, Cambridge, 1994.

10. Shcherbak, O. P., Singularities of families of evolvents in the neighborhood of an
inflection point of the curve, and the group H_{3} generated by reflections, Functional

Anal. Appl. 17 (1983), 301‐303.

125
11. Wunderlich, W., Über die Evolutoiden der Ellipse, Elem. Math. 10 (1955), 37‐40.