技術紹介

穿孔法による直交異方性材料の残留応力測定技術（FEM による影響係数の検討）
三上隆男 *1

Mikami Takao

前田朝樹 *2郡

Maeda Tomoki

亜美 *3
Kohri Ami

（1）

前号 では、等方性材料に適用されている穿孔法（ASTM E837 規格）を直交異方性材料に適用する場合の理論について解説した。穿孔法ではロゼットひずみゲージにより測定した解放ひずみをベースに残留応力を算出するが、この際に解放ひずみと残留応力とを関係付ける解放ひずみコンプライアンス（以後、影響係数）が必要となる。等方性の場合は、ASTM E837 規格で与えられているが、直交異方性の場合は何らかの方法で算出する必要がある。
本稿では、平面応力場にある直交異方性を有する板の残留応力測定に必要な影響係数を FEM の解析値により算出した結果について報告する。
キーワード：残留応力、穿孔法、直交異方性、解放ひずみ、ロゼットひずみゲージ、コンプライアンス、影響係数、ASTM E8371. はじめに解放ひずみと残留応力とを関係付ける影響係数
（2）

（3）

については、Schajer 、Pagliaro らが論文で公開しているが、彼らが算出した影響係数は図 1 に示す
米国 Vishay 製のロゼットひずみゲージ（以後 RSG）と同等品を対象としている。
当社では図 2 に示す株式会社東京測器研究所（以（1）図1Vishay 製 RSG

図2

TML 製 RSG後、TML）製の RSG を使用することが多い。ただし、
図 2 は図 1 に対して +135°回転して表示していることに注意。両社のゲージ円直径は ASTM E837-13a 規（4）

格 に従っているので同じであるが、受感部のサイズ（ゲージ長 × ゲージ幅）が表 1 に示すように相違するため、影響係数は幾分異なることが推定される。

（5）*1：フェロー 博士（工学）、技術士（機械部門）、環境計量士（騒音・振動関係）、一般計量士、JSNDI ひずみ測定・レベル 3、
明星大学理工学部非常勤講師*2：計測事業部 計測技術部 磯子グループ 次長 計算力学技術者 1 級（固体部門）*3：計測事業部 計測技術部 福浦グループ—23—

IIC REVIEW/2019/10. No.62

表1（5）（6）

RSG の寸法比較

同様に、c21、c22、c23 はそれぞれ、sx、txy、sy の第 2 軸方向への解放ひずみ感度であり、c31、c32、c33はそれぞれ、sx、txy、sy の第 3 軸方向への解放ひずみ感度である。
図 3 で、RSG の第 1 軸と第 3 軸方向を測定対象材料の主弾性軸：x および y 軸に一致するように配置すると、txy = 0 となるので c12 と c32 は両方とも

そこで、TML 製 RSG について影響係数を算出した。

ゼロとなる。この場合は、式（1）は式（2）のように

2. 平面応力状態にある直交異方性板の残留応力測定書き換えることができる。
 c11 01 c21 c22
Ex E y  c31 0

図 3 のように残留応力（垂直応力：sx、sy とせん断応力：txy）および RSG の方向：1 ～ 3 軸を定（2）義する。そうすると、Schajer 論文 から、式（1）c13  s x   e1  c23  t xy  =  e2 c33  s y   e3 （2）したがって、この場合は、影響係数は 9 個からの 3 元連立方程式により残留応力を計算できる。
 c11 c121 c21 c22
Ex E y  c31 c32c13  s x   e1  c23  t xy  =  e2 c33  s y   e3 7 個に減少することになる。
3. FEM 解析による影響係数の算出（1）3.1 影響係数の算出方法

ここで、e1、e2、e3 は RSG で測定された 1 ～ 3 軸平面応力場の応力 3 成分（sx、sy、txy）について、方向の解放ひずみ、c** は影響係数であり、c11、c12、

以下に示すように、それぞれの単位応力に対するc13 は、それぞれ、以下のような意味を有する。

解放ひずみを求めることにより 7 個の影響係数をc11：sx の第 1 軸方向への解放ひずみ感度算出することができる。

c12：txy の第 1 軸方向への解放ひずみ感度（1）影響係数 c11、c21、c31

c13：sy の第 1 軸方向への解放ひずみ感度式（2）で、sx = 1.0MPa、txy = 0、sy = 0 とすると、式（3）のように書き換えることができる。
 c11 01 
c21 c22Ex E y  c31 0c13  1   e1 c23   0  =  e2 c33   0   e3 （3）したがって、
c11 = E x E y e1 , c21 = E x E y e2 , c31 = E x E y e3 （3a）（2）影響係数 c13、c23、c33
式（2）で、sx = 0、txy = 0、sy = 1.0MPa とすると、式（4）のように書き換えることができる。

図3

 c11 01 
c21 c22Ex E y  c31 0

平面応力状態にある板の穿孔法による残留（1）応力測定—

c13   0   e1 c23   0  =  e2 c33  1   e3 （4）したがって、影響係数 c13、c23、c33 は次のように24—なる。

s r = s x cos 2 q + s y sin 2 q + 2t xy sin q cos q

c13 = E x E y e1 , c23 = E x E y e2 , c33 = E x E y e3 （4a）（6）

s q = s x sin 2 q + s y cos 2 q - 2t xy sin q cosqt rq = (s y - s x )sin q cosq + t xy (cos q − sin q )2（3）影響係数 c222式（2）で、sx = 0、txy = 1.0MPa、sy = 0 とすると、
3.3 FEM 解 析 に よ る ひ ず み の 計 算（Schajer 論式（5）のように書き換えることができる。
 c11 01 c21 c22Ex E y  c31 0（6）文 を参考）

c13   0   e1 
c23  1  =  e2 
c33   0   e3 （5）図 5 にひずみゲージの格子領域を示す。受感部は 8 × 8 分割のメッシュとする。格子端部の X2 としたがって、影響係数 c22 は次のようになる。

X1 の節点変位差をゲージ幅方向 8 要素分について（5a）平均することにより、十分な精度でひずみを計算

c22 = E x E y e2することができるので、式（7）により、3 方向の3.2 載荷条件

ゲージの半径方向ひずみ（e1、e2、e3）を計算する。

残留応力を有する平板内に穴を穿孔すると、穴∑ (U ( X ,Y ) − U ( X ,Y ))e =82j =1

周囲の残留応力が解放される。解放残留応力は、

( j)

1( j)

8( X 2 − X 1 )*（7）

穿孔後の平板内部の残留応力分布と穿孔前の残留応力分布との差で与えられる。同様に、解放ひずみ e(r) は、板の穿孔後のひずみ e(ad) と板の穿孔前のひずみ e(bd) との差で与えられる（図 4）。重ね合わせの原理を適用することにより、解放ひずみ e(r)は、穴の縁に作用する実際の残留応力分布とは反対方向の残留応力分布を負荷することにより得ら図5れるひずみに一致することになる（図 4）。

ひずみゲージの格子領域

したがって、穴の縁に載荷する荷重とそれに3.4 解析ケース

よって生じるひずみ分布を把握することにより、実務的には、表 1 のサイズの RSG を使用する場

解放ひずみと残留応力分布との関係を決定するこ

合、測定対象物の積層厚さが約 2mm を超えていとができる。
ところで、穴の縁に応力荷重を載荷する場合、ると、それより深く穿孔しても RSG が解放ひずみ直交座標系よりも極座標系の方が扱いやすい。そを受感できなくなるため、貫通穿孔しないでブラこで、応力は式（6）のように座標系を極座標系にインド穴としている。そこで、影響係数が貫通穴（7）（8）変換して載荷させる

図4。とブラインド穴とで相違するかどうかを調べるた（3）

穿孔後の解放ひずみを評価する際に使用する重ね合わせの原理—

25—

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3.5 FEM 解析モデル

め、以下に示す 2 ケースの解析を実施した。

FEM 解析で使用した解析モデルのケース 1（貫（1）ケース 1：貫通穴通穴、二次元要素）を図 6 に、ケース 2（ブライン（2）ケース 2：深さ 1mm のブラインド穴
なお、ケース 1 の貫通穴については、解析モデド穴）を図 7 に示す。これらのモデルの円板の直ルに使用する要素が二次元要素（平面応力要素）か径は 60mm、板厚は 3.12mm（CFRP 試験体と同じ）、三次元要素（立体要素）かによって生じる違いを調穴径は 2mm とした。それぞれの図で彩色した要べた。

素が RSG の受感部に相当する領域となる。ケース 1 の三次元要素モデルは、二次元要素モデルをまた、参考のため等方性の場合についても解析板厚方向に 6 層分押し出すことで作成している。

した。

FEM 解析に使用したプログラムは ABAQUS v2017

図6

図7

ケース 1（貫通穴）での解析モデル図

ケース 2（ブラインド穴）での解析モデル図—26—

（Dassault 社）であり、使用した要素は二次元要素測した値を表 3 に示すが、この表からわかるようモデルでは 4 節点の平面応力要素（CPS4）、三次元に Ex /Ey は約 15 である。
FEM 解析モデルには、3.1 節で述べたように影要素モデルでは 8 節点の立体要素（C3D8I）である。
解析モデルの規模を表 2 に示す。

響係数を算出するために、各ケースにおいて以下に示す 3 つの荷重パターンを載荷した。

FEM 解析モデルに設定した材料は直交異方性とし、その特性値は検証試験で用いる一方向積層（1）荷重パターン 1：sx = 1.0MPa、txy = 0、sy = 0

CFRP 試験体から採取した実測値を適用する。実（2）荷重パターン 2：sx = 0、txy = 0、sy = 1.0MPa（3）荷重パターン 3：sx = 0、txy = 1.0MPa、sy = 0

表2

ケース 1（貫通穴）に、式（6）により計算した荷FEM 解析モデルの規模重（r 方向および q 方向）を載荷した様子を一例として図 8 に示す。

表3

FEM 解析モデルに設定した材料特性値

図 8（a） 荷重パターン 1（sx = 1.0MPa、txy = 0、sy = 0）の荷重分布図—27—

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図 8（b） 荷重パターン 2（sx = 0、txy = 0、sy = 1.0MPa）の荷重分布図

図 8（c） 荷重パターン 3（sx = 0、txy = 1.0MPa、sy = 0）の荷重分布図—28—

3.6 FEM 解析結果

は x 軸に対して反時計回りに 45°傾いた方向への解析結果の一例として、ケース 1（貫通穴）、二直応力に相当する。そのため、応力分布において次元要素モデルにおける各荷重パターンに対するは、45°反時計回りに傾いた方向の sx の応力分布

応力分布を図 9 ～図 11 に示す。なお、荷重パターとして表現している。また、凡例の単位はすべて

ン 3 においては、txy のみが作用しているが、これMPa である。

図9

ケース 1（貫通穴）、荷重パターン 1 における応力（sx ）分布図

図 10

ケース 1（貫通穴）、荷重パターン 2 における応力（sy ）分布図
—29—

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図 11

ケース 1（貫通穴）、荷重パターン 3 における応力（sx ）分布図（穴径：2.385mm）を穴径の 2 乗比で穴径 2mm に換

4. 解放ひずみの解析結果算した結果も同表に示した。

3.6 節の応力解析結果をベースに、式（7）により表 5 で、貫通穴（2D）と貫通穴（3D）を比較する解放ひずみを算出した。算出結果を表 4 に示す。と、FEM の二次元要素と三次元要素の違いにより、わずかな差異が認められるものの、両者はお5. 影響係数の算出結果と考察おむね良く一致している。

3.1 節にしたがって、表 4 の解放ひずみから影ブラインド穴の場合は、貫通穴（3D）と比較する響係数を算出した。算出結果を表 5 に示す。同一と、C11、C23、C33 は良く一致しているが、C13、（2）

材料特性の条件で Schajer が算出した影響係数
表4

表5C31 は差異が大きい。ASTM E837-13a 規格では、

解放ひずみの算出結果

影響係数の算出結果（異方性の場合）—30—

等方性材料をブラインド穴で測定する場合、板厚のように、ひずみゲージの格子領域の面積で平均は使用する RSG のサイズに依存し、表 1 の RSG化されるので、Vishay の方が TML より小さくなる。の場合は約 5mm 以上を規定している。今回の解

その結果、解放ひずみ感度（影響係数）は、Vishay析モデルは 3.12mm と薄く、規格で規定しているの方が TML より小さくなったと考えられる。C21

剛性よりも低いことが C13 と C31 に多大な影響をは約 40％と大きく相違しているが、これも上記の与えたものと考えられる。

三角関数分布からの逸脱が原因と考えられる。

Schajer の算出結果は、貫通穴を有する平板モデ

一方、C22、C23、C31、C33 は非常に良く一致

ルを対象とした古典的な弾性理論に基づいているしている。これらの影響係数が関係する応力方向ことを考慮し、貫通穴（2D）の結果と比較すると、と RSG との位置関係においては、解放ひずみの三C11 と C13 はそれぞれ、約 17％、28％相違してい角関数分布からの逸脱の程度が小さいためと考える。これらの相違は、q 方向（図 1 参照）の解放ひられる。

ずみ分布が、図 12 に示すように異方性の程度（Ex /Ey

一般的に Ex、Ey 方向はそれぞれ強軸方向、弱軸比）が大きくなるにつれて三角関数分布から大き方向と呼ばれている。上記の C11 の 17％の相違く逸脱することに起因する（今回の試験で用いたは、最も重要な強軸方向の残留応力：sx の計算値

試験体は Ex /Ey = 15 なので、図 12 の Ex = 16 の曲線に17％の影響を及ぼす。今回の計算事例では、TMLを参照する）。

で測定した結果に対して Vishay 用の影響係数を適表 1 に示すように RSG 受感部の形状（ゲージ用すると残留応力は 17％高く計算されることを長 × ゲージ幅）が TML と Vishay とで相違（面積は意味する。C13 の 28％の相違は、sx、sy、txy の計後者の方が約 30％大きい）し、解放ひずみは式（7）算値にほとんど影響を与えない。また、C21 の 40％の相違は txy には大きく影響するが、sx や sy には影響を与えない。
以上の結果から、異方性材料の残留応力測定においては、使用する RSG の製造メーカー（Vishayまたは TML）のゲージ寸法を考慮した適切な影響係数を適用する必要があることが明らかとなった。
補足：
TML 製 RSG について、材料が等方性の場合の影響係数を算出した。算出結果を表 6 に示す。なお、ASTM E837-13a 規格では等方性で均図 12一応力の場合の影響係数を規定しており、それ軸方向直交異方性の変化に対する材料内の（1）解放ひずみの角度変化
表6らの値も同表に記載した。

影響係数の算出結果（等方性の場合）—31—

IIC REVIEW/2019/10. No.62

表 6 から、FEM 解析結果は貫通穴（2D）、（3D）

参考文献の両ケースとも ASTM E837-13a 規格の規定値に非常に良く一致していることがわかる。等方性の（1） 三上隆男：穿孔法による直交異方性材料の残留場 合 は、C11 と C33、C13 と C31、C21 と C23 に応力測定技術、IIC REVIEW、No.61、2019/04、対称性があり、異方性の場合（表 5）と比べると影pp.13-23（2） Schajer G. S., Yang L.：Residual Stress Measurement

響係数自体の値も大きく相違することがわかる。

in Orthotropic Materials Using the Hole-drilling

6. まとめMethod, Exp. Mech., 34（4）, 1994, pp.324-333

穿孔法では RSG により測定した解放ひずみを（3） Pagliaro P., Zuccarello B.：Residual Stress Analysis

ベースに残留応力を算出するが、その際に解放ひof Orthotropic Materials by the Through-hole

ずみと残留応力とを関係付ける影響係数が必要とDrilling Method, Exp. Mech., 47, 2008, pp.217-なる。

236

本稿では、直交異方性を有する平板の穿孔時の（4） ASTM E837-13a：Standard Test Method for

解放ひずみを TML 製 RSG で測定する場合についDetermining Residual Stresses by the Hole-て、FEM により影響係数を算出し、米国 Vishay 製

Drilling Strain-Gauge Method, 2013

RSG を対象とした Schajer 等の算出結果と比較し（5） 株式会社東京測器研究所（TML）の技術資料た。その結果、影響係数の一部が相違することが（6） Schajer G. S.：Use of Displacement Data to

明らかとなり、とくに、sx 方向の残留応力値へのCalculate Strain Gauge Response in Non-Uniform

影響は約 17％相違する。

Strain Fields, Strain, 29（1）, 1993, pp.9-13

今後、TML 製 RSG により残留応力を測定する（7） Timoshenko S. and Goodier J. N.：Theory of

際、材料特性が表 3 と異なる場合は、今回構築しElasticity, 2nd edition, 1951,（McGraw-Hill, New

た FEM モデルはそのまま利用できるので、材料York）（8） Saint-Venant：Mém. Savants étrangers, Vol.14,

特性のみを変更して影響係数を算出することができる。

1855

フェロー 博士（工学）、技術士（機械部門）、環境計量士（騒音・振動関係）、一般計量士、JSNDI ひずみ測定・レベル 3
明星大学理工学部非常勤講師

計測事業部 計測技術部
磯子グループ 次長
計算力学技術者 1 級（固体部門）

前田 朝樹

三上 隆男

TEL. 045-759-2127
FAX. 045-759-2534

TEL. 03-6404-6583
FAX. 03-6404-6044
計測事業部 計測技術部
福浦グループ郡亜美

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