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数理解析研究所講究録
第 752 巻 1991 年 134-139

CM 型の退化について
愛知工業大学柳井裕道 (Hiromichi Yanai)

CM 型の rank の概念は, 虚数乗法によって得られるアーベル拡大の大きさを測るために, 久保田 [K]によって導入された. それは, 対応する CM 型のアーベル多様体 $A$ の Mumford-Tate 群の次元に他ならない.

rank の値が maximal (即ち $=\dim A+1$ ) のとき, その CM 型は非退化であると言う. その時の$A$

Hodge ring は divisor の class で生成され, したがって Hodge 予想が成立している ([H], [R2]).
本稿では, rank が maximal でない (退化) CM 型を系統的に得る一つの方法を述べる. また,

このような場合の moduli の体についても触れる.

1. CM$J$-ベ $Js$のHod$e$rank

以下, (Mumford-Tate 群の代りに) Hodge 群を用いた定式化を行う.

有限次代数体 $F$ に対し$\Gamma_{F}$で $F$の複素数体 $C$ への埋め込み全体を表す.

$F$

algebraic torus を $T_{F}(={\rm Res}_{F/Q}(6_{m/F}))$ とすると, その指標群 $X(T_{F})$ は
由 $Z$ 加群$\Gamma_{K},$$Z[\Gamma_{F}]$$S\cap\rho S=\emptyset$と (右) $Gal(\overline{Q}/Q)$ 加群として同型である.

を満たす$\Gamma x$$2d$に対応する$\Gamma_{F}$$Q$

上ので生成される自次 CM 体 $K$ に対し $S\cup\rho S=$の部分集合 $S$ を $K$ の CM 型と言う. ($\rho$

は complex conjugation. )

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$A$

を type $(K,S)$ の虚数乗法を持っ $d$ 次元アーベル多様体とする

指標群の間の homomorphism$\phi^{*}:$$X(T_{K})arrow X(6_{m})\cong Z$([S-T], [L]).
を,$\sigma\in\Gamma_{K}$に対して$\phi^{*}(\sigma)=\{\begin{array}{l}1(for\sigma\in S)-1(for\sigma\not\in S)\end{array}$

で定め, 対応する algebraic torus の homomorphism を\phi : $6_{m}arrow T_{K}$ とする.
$C$

上 $Im\phi$ を含む $T_{K}$ の algebraic $subgroup/q$ で最小のものを $A$ の Hodge 群と言い $Hg=$$Hg(A)$ で表す $([H])$. (それは type $(K,S)$ で定まる)

久保田 [K] で定義された CM type $S$ の rank は $\dim Hg+1$ に等しい.
知られている ([Hl, [K], [L], [R1], [R2])rank に関して次の事が。

(a) rank $S\leqq d+1$ .

(b) 任意の素数$p$に対し,rank $S=$ 適当な定義体上独立な(c) rank $S=d+1$ (このとき$\Leftrightarrow A$$\Rightarrow A$の任意個の積$A^{n}$$S$$Z_{p}$$A$

torsion points で生成される拡大の中の拡大の個数.

は非退化であると言う),

上の Hodge cycle は divisor の class で生成される,上の Hodge cycle は divisor の class で生成される,$(*)$$\Rightarrow A$のに対し Hodge 予想 Tate 予想が成立する.

$(\#)$

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注意

$(^{*})$の逆は $K$ がアーベル体の時には成立する (Lenstra). ー般の場合には不明.

.

一般には成り立たない $([Sh])$$t\#$) の逆は,.

2」胆 Lq\eta l@攪底$K$$\Gamma_{K}$の2$d_{1}$次真 ffl 駁分 CM 体

等の部分集合 $S$ に対し,$K$の条住

CM 型

$S$

$K_{1}$に対し,$\pi$:$t(S)= \sum_{\sigma\epsilon s}\sigma$

を canonical surjection とする.

$Z[\Gamma_{K}]arrow Z[\Gamma_{K_{1}}]$で対応する加群の元を表す.

が次の条件を満たすとする.

$a+b\cdot=[K:K_{1}],$ $a\geqq 0,$ $b\geqq 0$ なる整数 $a,$$b$と,$K_{1}$の$\pi(t(S))=at(S_{1})+bpt(S_{1})$CM 型$S_{1}$が存在して,.

この時, 次の不等式が成立する.

定理$d+1-rankS\geqq d_{1}+1$ -rank$S_{1}$.

さらに $a=b$ の時,$d+1$ -rank $S\geqq d_{1}$

これより,$S_{1}$が退化かまたは $a=b$ ならば $S$ は退化となる. 特に,型の引戻しになっているとき (この時,なる.

$ab\neq 0$.

$S_{1}$$S_{1}$がさらに小さい部分体の CMは単純でないと言う) それは退化であって, 従って $S$ も退化とと取って置けば. 多くの場合 $S$ は単純 (即ち, 対応するアーベル多様体が単純) となる.

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$A$の次元定理は,$d$が素数の時, 単純な CM 型はすべて非退化であることがわかっている $([T], [Y1])$. 上のd が合成数で部分 CM 体がたくさんあるなら退化 CM 型が多く存在することを示している. (これについては [Do] を参照のこと)

注意\Delta -証正 今までに知られている退化 CM 型の例 (Mumford, Serre, Greenberg, Ribet 等による) の大部分 (講演の時,「全部」と言ったのは誤りです) はこの定理の条件を満たしているが,[R1] にある Lenstra の例はそうなっていないようである.

定理の証明の方針は次の通り.

CM 体 $K$ に対し,
$V_{K/K^{+}}$$K^{+}$

でその最大実部分体を表す.

$Hg_{1}$を CM 型*’Sl に関する Hodge 群とする.

等で対応する algebraic torus の norm 写像を表し. $T_{K}^{+}=Ker(\nu_{K/K}+)\subset T_{K}$ ,$T_{K}^{+_{1}}=Ker(\nu_{K_{1}lK_{1}^{+}})\subset T_{K_{1}}$$T=\nu_{K/K_{1}}^{-1}(Hg_{1})\cap T_{K^{+}}$とする.

とおくと,$Hg\subseteq T\subseteq T_{K}^{+}$

で$dim(T_{K}^{+}/T)=dim(T_{K_{1}}^{+}/Hg_{1})$となる. これより定理の前半が言える.
$a=b$ の時は,$T=Ker(\nu_{K/K_{1}})\cap T_{K}^{+}$

とおいて同様の議論を行えばよい.

3. Moduli の$ffi$
上記 1 の (b) で述べたように, ー般に rank が小さければ torsion で生成される体も小さくなっているが,moduli の体についても同様の傾向がある.

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$A$

を type $(K,S)$ の simple で principal なアーベル多様体とし, 9 を $Karrow\sim$End $A\otimes Q$ なる同型,$C$

を $A$ のひとつの polarization とする. $(K’,S’)$ を $(K,S)$ の reflex (dual ともいう) とす

る. 三つ組 $(A, \theta, C)$ の moduli の体を $M_{S}$ で表す.

でそれぞれ $F$ の fractional ideal と principal ideal の群を表すことにする.

$I_{F},$$P_{F}$$I_{K’}$の元 a で,とすれば,$M_{S}$$\prod_{\sigma\in S’}a^{\sigma}=(\alpha),$は ideal 群 $I_{K’}(S)$$\alpha\in K^{X},\grave{\alpha}\overline{\alpha}=N_{K’1Q}a$に対応するなる$\alpha$が存在するもの全体を $I_{K’}(S)$の不分岐アーベル拡大である $([S- T], [L])’$$K^{/}$.

以下 $K$ はアーベル CM 体とし, $G=Gal(K/Q)(=\Gamma_{K})$ とする. このとき $S$ が単純なら$K=K’,$ $S’=\{\sigma^{-1}|\sigma\in S\}$ である. $A$ の Hodge 群 $Hg$ の annihilator の群を$Hg^{\perp}=$命題{ $x\in X(T_{K})|x=1$ on $Hg$ } $\subset X(T_{K})=Z[G]$ とする.
$a\in I_{K},$ $x\in Hg^{\perp}$

これより,に対し,rank が小さければ$Hg^{\perp}$$a^{x}\in I_{K}(S)$.

が大きく, 従って moduli の体は小さい (傾向がある) ことがわかる. 与えられた CM 型について, 実際に moduli の体の大きさを決めることはー般には難しいが, 円分体の場合に若干の例がある $([Y2])$.

REFERENCES
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[Y1] H.Yanai, On the rank of CM-types, Nagoya Math. J. 97 (1985), 169-172.
[Y2] –, On degenerate CM types, to appear.
[K]

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