実習「地球軌道の離心率を求めよう」＜教師用ガイド＞
１． 教材のねらい
太陽の視直径を精密に測定することによって、太陽地球間の距離が変化していること、地球が楕円軌道を回っていることについて気づかせ、その度合い(軌道の離心率)について定量的に認識させる。
２．内容
国立天文台 NAO（三鷹）の 10cm 黒点望遠鏡による白色光太陽全面像（fits 形式）
を使い、マカリでピクセル単位の光球の視直径を測定する。近日点と遠日点における視直径の比率から地球軌道の離心率を求める。
３．実習の流れ(1)実習の趣旨

光球の視直径の変化と地球太陽間の距離の関係から、地球軌道の離心率を求めることできることを理解する。

(2)視直径の測定 マカリのレベル調整機能で光球の明るさを強調して表示し、FITS 画像のピクセルの座標を利用して、光球の左右両端の X 座標の差から、ピクセル単位で光球の視直径を求め、グラフ化する。
(3)視直径の比較 約 1 年分の、１０日毎の光球視直径の変化を調べ、最大値と最小値を求める。
(4)離心率の算出 視直径の最大と最小の値から離心率を算出する。
(5)考察

太陽地球間の距離の変化を考え、楕円軌道の長半径・短半径を求め地球軌道の形について考える。

(6)感想
４．基本知識
楕円軌道による、近日点と遠日点での太陽地球間の距離の比を太陽の視直径の比から求め地球軌道の離心率を求めることができる。
「惑星は太陽を一つの焦点とする楕円軌道上を公転する」というケプラーの第一法則から、
太陽を S（楕円の焦点 S、S’）、楕円軌道の中心 O、近日点を A、遠日点を C とすると、

a=長半径（OA）
b＝短半径(OB)c＝OS である。

1

ここで、
L１：近日点距離

R１:近日点での光球視直径

L２：遠日点距離

R２:遠日点での光球視直径

見かけの大きさ（視直径）は距離に反比例する
ので
L２／L１ ＝R１／R２･･･････①
一方、楕円軌道の離心率は

e＝c／aa＝（L２＋L１）／２ 、

c＝（L２－L１）／２を上式に代入してe＝（L２－L１）／（L２＋L１）＝（L２／L１－１）／（L２／L１＋１）･･･････②①式を使って、②式を視直径Ｒの比で書き換えると
e＝（R１／R２－１）／（R１／R２＋１）となり、
R１／R２を太陽の光球画像の測光から求めることにより、離心率 e を求めることができる。
５．データ画像
国立天文台 NAO（三鷹）10cm 黒点望遠鏡による白色光太陽全面像（fits 形式）を国立
天文台の「太陽活動データベース」(http://solarwww.mtk.nao.ac.jp/jp/database.html)から、1 年間程度の 10 日毎の画像をダウンロードして使用する。10 日毎の画像がない場合は直近の観測日の画像を使用する。生徒用ワークシートでは、2009 年 11 月～2011 年２月の画像を使うことにしているが、この時期は黒点極小期から引き続き無黒点の日が長く続いた時期で、黒点がほとんど現れていないので、この点について説明を加えておくと良い。
また、この時期以外の画像を使用することもできるが、2008 年 8 月頃に観測機器の調整が行われており、その後、５ピクセル程度視直径が小さく写っており、2008 年の画像は使用しない方がよい。
６．実習の準備と授業案（１）実習の準備①マカリのダウンロードとインストール②「地球軌道の離心率を求めよう」教材セットのダウンロード③予備実習を行い、実習指導のポイントを整理する。
④生徒実習用ワークシートの準備（授業内容や生徒実態に合わせて改変可能）。

2

（２）授業案「地球の公転」「惑星の運動」「ケプラーの法則」などの単元で、地球軌道の形や楕円軌道の離心率、近日点距離や遠日点距離などについて、地球太陽間の距離の変化を太陽の視直径の変化としてとらえ、具体的な観測結果をもとに確かめていく。
基本的なマカリの使用方法はマスターしていることを前提として、授業案の１例を以下に示す。
１時間目：（講義）「楕円軌道と近日点・遠日点」「地球太陽間の距離と視直径の変化」な
ど基本的事項や実習の原理ついて説明。
２時間目：（実習１）使用する太陽画像をダウンロードして「光球の視直径」を測定。一人数画像を担当し、一枚の画像を 3 回測定できるようにクラス全員で分担する。
各自が測定結果を視直径計算表に入力し、全員分を集約して 1 年分の表とグラフを完成する。
３時間目：（実習２）「地球軌道の離心率」の算出と考察。
1 年分の視直径の変化をグラフで確認し、最小値と最大値を求めて、離心率を計算する。考察・感想、及び実習のまとめをする。
７．実習の進め方(1) 白色光太陽全面像（fits 形式）のダウンロード
国立天文台(NAO)の太陽活動データベース(http://solarwww.mtk.nao.ac.jp/jp/「10cm 黒点望鏡・全面画像(fitsdatabase.html) の「白色光全面像」のページの中段、形式デジタルデータ) 」から観測年をクリックする。

4 段目へ2009 年をクリック

3次に、画像ファイルの一覧表が表示される。上半分は「ｓｄ」で始まるファイル(例：sd091123)で周辺減光の影響を差し引いた画像であり、この実習では使わないので注意（YY 西が必要。下半分の「ｓｒ」で始まるファイルの中から必要な日付「ｓｒYYMMDD」
暦年数下 2 桁、MM 月、DD 日）(例：sr091123)の画像を選んで左クリックして、「ファイルのダウンロード」から「開く」または、「保存」をクリックする。
インターネットの接続環境によっては、あらかじめ必要なファイルをまとめてダウンロードしておき、サーバーや他の記憶媒体に保存しておく方法でも良い。
(2)光球視直径の測定
マカリで太陽画像を表示して、「表示範囲スライドバー」の右の△（最高輝度）を左の▲（最低輝度）の位置まで移動させ、光球面全体が白く表示されるようにする

背景

光球

白くなった光球の左右の端のピクセルにマウスカーソルを移動して、X 座標を読み取る。
上図右の、光球の端を切るように断面を取ったカウント値のグラフを見ると、周辺減光が極端に進んだ光球の端まで白く表示されていることがわかる。また、光球周辺の背景は光球の光による散乱光が緩やかに弱くなっていくことがわかる。光球部分のカウント値が光球の端に近づくにつれて急激に小さくなり、背景部分の散乱光になるとその変化の割合が小さくなっている。その境界を光球の端として X 座標を読み取っている。
（生4徒用ワークシートではグラフ機能は使用しない。）
画像のコントラストが低く、光球のカウント値の最高値が小さい画像の場合は、「表示範囲スライドバー」の右△を左一杯に移動すると、画像全体が白くなってしまうことがある。このようなときには、左右の▲△を中央に集めるように移動しながら、光球画像と背景のコントラストが大きくなるようにレベルを調整すると良い。あるいはこのような画像は使わず、直近の観測日の画像を使っても良い。
(3)視直径測定の分担と協力上の（実習１）の「光球の視直径」を 1 年分＋α（１５ヶ月程度）を測定するために、クラス全員で分担する方法はいろいろ考えられるが、一人の生徒が視直径の変化に気づきやすくするために、例えば３ヶ月置きに５日分程度を測定させ、３人で 1 ヶ月の３日分を1 日分ずつずらし、間の 2 ヶ月間を同様に 6 人で分担して、1 日分ずつずらして測定していけば、9 人で１５ヶ月分を測定できる。
さらに、人数が多ければ、1 つの観測日の画像を重複して分担させて、「視直径計算表１」（Ee_cal.xls）の測定者 B、測定者 C の欄に記入する。

ひとつの画像につき 3 人の測定値まで記入でき、それらの平均値を自動的に求めて、グラフ化できるようになっている。そのほかにも測定の分担方法はいろいろと考えられる。
下に 24 台の実習用 PC で分担した例を示しておく。

分担する画像は測定値記入欄に PC の番号で示した。測定値は記入欄に上書きで記入して、ファイルを上書き保存する。
観測日や測定期間を変更する場合は、データ入力用セル以外のセルは保護されているので、「シート保護の解除」を行ってから変更し、その後「ワークシートの保護」をしておく。
(4)視直径測定値の集約分担して測定した視直径の値を、ひとつの「視直径計算表１」（Ee_cal.xls）のワークシートに集約する必要があるが、この集約の方法は使用するコンピュータ教室の環境や実習をする生徒の人数によって、いろいろな方法が考えられる。
① Excel の共有ブックを利用する方法「視直径計算表１」（Ee_cal.xls）ファイルを共有ブックに設定して、実習用 PC から直接アクセスできるネット上のホルダーに置いて、各実習者が分担した測定値を入力5して保存する。
②グループ毎の「視直径計算表１」を作る方法
実習者が多い場合は、共有ブックへのアクセスへの混乱を避けるために、適当な数の実習用 PC でグループを作っておく。あらかじめ、グループ毎の入力用の「視直径計算表１」（Ee_cal.xls）ファイルをコピーしておく（ファイル名は適宜変更）。各グループ毎に入力して保存し、完了した段階でひとつのファイルに測定値データをコピーしてまとめる。
③ グループの測定値をまとめて入力する方法
印刷した「視直径計算表１」に各自の測定値を記入し、これをグループ毎に集約して、一人がグループ全員分の測定値を手で入力する。完了した段階でひとつのファイルに測定値データをコピーしてまとめる。その他、実情に合わせて工夫していただきたい。
(5)視直径測定値の結果と誤差
このような方法で、得られた 1 年 3 ヶ月分の光球視直径の変化をグラフ化したものを掲げておく。

視直径の変化（ﾋﾟｸｾﾙ）
1750.0

視直径（ﾋﾟｸｾﾙ）

1740.01730.01720.01710.01700.01690.02009/11 2010/1/ 2010/3/ 2010/4/ 2010/6/ 2010/7/ 2010/9/ 2010/11 2010/12 2011/2//23
12322113119/8/2816

年月日
このグラフで、ピクセル単位で測った視直径には、画像撮影時のシーイングの影響により平均して±２ピクセル程度の誤差を含んでいる。シーイングが悪く光球の端が蛇行6して写っていることがあり、X1、X2 座標の値に誤差が含まれていることが原因である。
また、撮影時の太陽の高度が低いとき、大気差（大気による光の屈折のために実際の位置より高く見える）により、上下方向に縮んで見える影響が出てくる。使用した画像で最も低い高度で撮影された画像は約２０°程度で、上下方向が最大約４ピクセル程度縮んで見えている。しかし、視直径を測定している方向は、天球上の東西方向で、天球上での上下方向とは数１０°ずれており、大気差の影響が出にくくなっており、誤差の範囲内に納まっている。これらのことも説明を加えておくと良い。
(6)視直径測定の簡略化
実習に充てられる時間や、生徒の学習状況に合わせて、上の（実習１）の光球の視直径を、年間を通して測定する部分を簡略化して、地球が近日点・遠日点を通過する日付を与えて、その周辺（40 日間、5 日分程度）のみの画像を測定する。「視直径計算表２」（Ee_cal.xls）を使用して、視直径の最小値と最大値を求める。この方法を用いれば（実習
１）と（実習２）を合わせて、1 時間で実施することが可能である。
８．指導要領との関連
この教材に関連する新高等学校学習指導要領の項目を抜粋すると、以下のとおりである。
地学

基礎

内容
⑴

宇宙における地球
ウ

内容の取り扱い
イ 「探究活動」においては，各項目の学習活動

宇宙における地球に関する探究 と関連させながら観察，実験などを行い，活動宇宙における地球に関する探究活 報告書を作成させたり発表を行う機会を設けた動を行い，その学習内容の理解を深める りすること。また，その特質に応じて，情とともに，地学的に探究する能力を高め 報の収集，仮説の設定，実験の計画，野外観察，ること。

調査，データの分析・解釈，推論などの探究の方法を習得させるようにすること。その際，コンピュータや情報通信ネットワークなどの適切な活用を図ること。

地学
内容(4) 宇宙の構造

内容の取り扱い(2) 内容の範囲や程度については，次の事項に宇宙に関する事物・現象を観察，実配慮するものとする。

験などを通して探究し，宇宙の構造にエ

内容の(4)のアの(ｱ)の「自転」については，ついて理解させる。

フーコーの振り子を扱うこと。「公転」についア 太陽系ては，年周視差と年周光行差を扱うこと。また，(ｱ) 地球の自転と公転時刻と太陽暦にも触れること。(ｲ)の「太陽系7地球の自転と公転の証拠となる現象天体の特徴」については，観測や探査機によるを理解すること。

研究成果を踏まえて特徴を扱うこと。「惑星の(ｲ) 太陽系天体とその運動運動」については，視運動及びケプラーの法則

太陽系天体の特徴と惑星の運動を理とその発見過程を扱うこと。

解すること。

物

理内容⑴

内容の取り扱い様々な運動エ(2) 内容の範囲や程度については，次の事項に配万有引力(ア)慮するものとする。

惑星の運動

エの(ｱ)については，ケプラーの法則を扱うこと。

惑星の運動に関する法則を理解すること。

９．ワークシート答例
生徒用ワークシートの「結果」と「考察」について答例を以下に示す。ただし、使用画像や期間等で値は若干変わることに注意が必要。
「結果」や「考察」の計算は手計算で行わせた方が良いが、計算に手間取ったり、難しい計算がしにくい生徒には、「視直径計算表」（Ee_cal.xls ）に「離心率計算表」「考察の計算表」の計算シートを準備したので、これに必要データを入力すれば自動で計算ができるようにした。

結果(3)光球面の視直径の変化
視直径の最大値 R1

視直径の最小値 R2

１７４６

１６９１

１月

７月２日頃

視直径の比 R1／R2 視直径の差の割合％
１．０３３

３．２４日頃(4)地球軌道の離心率（R1／R2－１）（R1／R2＋１）

０．０３３

２．０３３

e＝(R1/R2－1)／（R1/R2＋1）
０．０１６8考察(1)太陽地球間の平均距離 a を 1 天文単位として、近日点・遠日点と太陽間の距離 L１、L２を求めよ（また km 単位でも）。それぞれの点を地球が通過するのは何月何日ころか。
（1 天文単位＝１．４９６０×１０８km）
近日点－太陽L１＝ a－ae ＝a（１－e）＝１．０（１－０．０１６）=０．９８４(天文単位)

１月（１．４７２×１０８km）
遠日点－太陽２日
ころ

L２＝a＋ae＝a（１＋e）＝１．０（１＋０．０１６）＝１．０１６(天文単位)

７月

８（１．５２０×１０ km）

４日
ころ(2)太陽地球間の平均距離(長半径)a を１０m として地球軌道を描いたとき、長半径 a と短半径 b＝a√(1－e２)の差は何 mm になるか。
a－a√(1－e２)＝a｛１－√(1－e２)｝＝10000×｛１－√(1－0.016２)｝＝１．２８（mm）(3)太陽地球間の平均距離を１．４９６０×１０８km としたとき、(2)の差は何 km になるか。
この差は、地球の直径の何倍か。（地球直径１．２８×１０４km）
a と b の差は地球直径のa と b の差
２８２a－a√(1－e )＝1.5×10 ×｛１－√(1－0.016 )｝

約

１．５倍

＝1.9×10４（km）(4)上の(2)(3)の結果から、地球の軌道の形はどんな形と言えるか。考察できたら、「視直径計算表」の軌道図シートの離心率の欄に求めた値を入力してみよ。
水星（離心率＝０．２０５６）と地球の軌道の形を確認することができる。
地球軌道の形はほぼほぼ円形

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