数理解析研究所講究録
第 752 巻 1991 年 164-172

164

テータ級数と$S_{2}(\Gamma_{0}(q))$

高知大学理学部\S$0$の分解塩田研一(Ken-ichi Shiota).序

これは一変数の保型形式について行った数値実験の報告である。
保型形式の空間の Q-rational Hecke-module としての既約分解については一般的な結果は何も知られていない。たとえ実験的にでも、 これと「何か別のもの」 とを関連付けたい、 と思う。
手掛かりとしては Basis Problem がある。

Hecke に始まる Basis Problem–

二次形式に付随するテータ級数による保型形式の空間の生成問題– は、 Eichler が最初の証明を与え、 今では土方先生、 Pizer、Shemanske らによって elliptic modular case には非常に一般的な形で解かれている。
(cf. [HPS] 。尚、 Siegel modular case についは吉田先生の [Yo80]、[Yo84] 等を見られたい。)

これらのテータ級数から幾っかの Q-rational Hecke-submodule が得られることに着目しよう。 もしそれらの中に自明でない部分空間が現れれば、 そのことから「既約分解」の説明がつくことも考えられなくはない。実際、唯一つではあるがその様な例が知られていた。
そこで、 素数レベル、 重さ 2 の場合に絞って沢山の例を計算してみた。 すると、上述の「説明可能性」について或る判定条件らしきものが観察された。 また副産物として (一番弱い形での) 「 Hecke の予想」 の反例がみっかった。

1

165\S 1. 記号と準備
まずは記号から。
$q=$素数,$\Gamma_{0}(q)=\{(\begin{array}{ll}a bc d\end{array})\in SL_{2}(Z)|c\equiv 0(mod q)\}$$M_{2}(\Gamma_{0}(q))=$$S_{2}(\Gamma_{0}(q))=$$M_{2}^{\pm}(\Gamma_{0}(q)),${elliptic modular forms of weight 2 w.r.t.

{elliptic cusp forms of weight 2 w.r.t.

$S_{2}^{\pm}(\Gamma_{0}(q))=the(\pm 1)$$\Gamma_{0}(q)$$\Gamma_{0}(q)$},},-eigenspaces of the Atkin-Lehner involution$f-f|_{2}(\begin{array}{l}0-10q\end{array})$$f\in M_{2}(\Gamma_{0}(q))$,,

Fourier 展開をの

$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty}a(f, n)\exp(2\pi\sqrt{-1}nz)$と書く。

$a(f, 1)=1$ なる Hecke-eigenform $f\in S_{2}(\Gamma_{0}(q))$ を newfo $rm$ と呼び、

$S_{2}(\Gamma_{0}(q))$

Q-rational Hecke-module としての既約成分を簡単に facto と呼ぶことにする。
$r$以下の記号については、 詳しくは Pizer [Pi80] を見られたい。

-quaternion algebra over $Q$ ,$\mathcal{D}=$the$\mathcal{O}=$a maximal order in$H=$the class number of$\mathcal{I}_{1},$$(q,\infty)$$\cdots,\mathcal{I}_{H}$$\mathcal{I}_{1j}=\mathcal{I}_{j^{-1}}\mathcal{I}_{1}$$\mathcal{O}_{j}=\mathcal{I}_{jj}=$$\mathcal{D}$

,

$O$

,

:left O-ideal classes の完全代表系,,

the right order of$\mathcal{I}_{j}$(also a maximal order in $D$ ),$\theta_{1j}(z)=\frac{1}{\#\mathcal{O}_{j^{X}}}\sum_{x\in \mathcal{I}:}.\exp(2\pi\sqrt{-1}\frac{N_{\mathcal{D}/Q}(x)}{N(I_{ij})}z)$,:rank 4 の正定値二次形式に付随したテータ級数.
$\theta_{:j}$を $(i, 7)$ -成分にもつ $HxH$ -行列を2の166$( \theta_{1j})_{1\leq i,j\leq H}=\sum_{n=0}^{\infty}B(n)\exp(2\pi\sqrt{-1}nz)$with the Brandt matrices $B(n)\in M_{H}(Q)$と書く。 $n\geq 1$ ならば $B(n)\in M_{H}(Z)$ である。

素数レベルの場合の Basis Problem は、Theorem (Eichler)$\theta_{:j}\in M_{2}(\Gamma_{0}(q))$

であって: the C-span of(1)$M_{2}(\Gamma_{0}(q))=\{\theta:j|1\leq i,j\leq H\}_{C}$(2)$H=\dim_{C}M_{2}(\Gamma_{0}(q))$(3)$(\theta_{1j}|T(n))_{1\leq i,j\leq H}=B(n)(\theta_{1j})_{1\leq i,j\leq H}$$\theta_{1j}’ s$,,

ただし、 $T(n)=the$ n-th Hecke operator

Remark、各 $j(1\leq j\leq H)$ に対して、.

$0$$(\theta_{1j})$の第$j$列の生成する部分空間$\dot{W}_{j}=\langle\theta_{1j}|1\leq i\leq H\}_{C}$は、 (3) から $M_{2}(\Gamma_{0}(q))$ の Q-rational Hecke-submodule である。

$W_{j}$

は$H$個の元で生成された、 $H$ 次元 vector space $M_{2}(\Gamma_{0}(q))$ の部分空間だが、Hecke は次を予想した。

(小さいレベルの例を計算して)Conjecture 1 (Hecke)$\forall_{W_{j}}=M_{2}(\Gamma_{0}(q))$?

$\backslash$

これが正しくないことは次の 2 っの Theorems からわかる。 それを述べる為に、

Definition$\mathcal{O}_{j}$: of type I (resp. II)$\Leftrightarrow^{def}\mathcal{O}_{j}\cong no$

Fact
(2)

(1)

$\forall$Eachmaximal order in$O_{j}$

other (resp. just one another)$\mathcal{D}$ce some$\mathcal{O}_{j}$is of type I or II.

3,$0_{k}$

167
ここで

the type number of$T=$$=\#$$\mathcal{D}${ $isomorphism$ classes of maximal orders in }$\mathcal{D}$と置く と、Theorem (1)$T=\dim_{C}M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$,(2)$\frac{H}{2}<T\leq H$(3)$T=H\Leftrightarrow q\leq 31,$

Theorem (Ponomarev)$\mathcal{O}_{j}$$q=41,47,59$ or 71.

:of type I ならば、

for

(1)

$\theta_{1j}\in M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$(2)$\mathcal{O}_{i}\cong \mathcal{O}_{k}\Rightarrow\theta_{1j}=\theta_{kj}$(従ってExample,$\forall_{i}$i.e.

$W_{j}\subseteq M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$,.
$W_{j}$

は本質的に $T$ 個の元で生成される。 )$q=37$ の時は、$\dim_{C}M_{2}(\Gamma_{0}(37))=3$,$\dim_{C}M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(37))=2$

であって、 $\exists W_{j}\subseteq M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(37))\neq M_{2}(p_{0}(37))$ .

だが、 小さいレベルではまだ次が成り立っている:

Conjecture 2$\{\begin{array}{l}\mathcal{O}_{j}.oftypeI\Rightarrow W_{j}=M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))\mathcal{O}_{j}.oftypeII\Rightarrow W_{\dot{J}}=M_{2}(\Gamma_{0}(q\rangle)\end{array}$\S 2. 説明可能性
Conjecture 2 には次の反例が見っかっていた。

4?

168
Example (Pizer-Ohta)$q=67$ のとき、 $H=6$$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(67))=(f_{A})_{\mathcal{H}}$,、$T=4$ であって、$S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(67))=(f_{B}, f_{C})_{lt}$

.

1,2

2
ただし、
$f_{B},$$f_{A},$$\langle$$f_{C}$: newforms in$\rangle_{\mathcal{H}}=the$$S_{2}(\Gamma_{0}(67))$,

C-span of their conjugates,$\dim_{C}\langle f_{A}\rangle_{?t}=2$,$\dim_{C}\langle f_{B})_{?t}=1$,$\dim_{C}(f_{C})_{tt}=2$.

そして、$\mathcal{O}_{1},$$\mathcal{O}_{2}$: of type I,$\mathcal{O}_{3}\cong O_{4},$$\mathcal{O}_{5}\cong O_{6}$: of type II,$W_{1}=W_{2}=M_{2}^{-}(\Gamma_{0}(67))$$W_{3}=W_{4}$

$=$

$($,

Eisenstein 級数,$W_{5}=W_{6}=M_{2}(\Gamma_{0}(67))$

上の例では$f_{B},$$f_{C})_{?t}$.

$W_{5}=W_{3}\oplus(f_{B}\rangle_{\mathcal{H}}$となっていて、 factor $(f_{B})_{7t}$ の分解は 「テータ級数によって説明がつく」。

Problem

この様な現象はどのくらいの頻度でおこるのか ?

Pizer la $q\leq 97$ の範囲の例を計算していたが、 その中では $q=67$ の場合が唯一であった。

Remark Conjecture 2 が OK

Deflnition newform$\Leftrightarrow^{d\epsilon f}\{ii)i)$$f$$\Leftrightarrow$newform が次の意味で「説明不可能孔が「説明不可能」$f\in f\in S_{2}^{-}(\Gamma_{0}^{0}(q))S_{2}^{+}(\Gamma(q))$ののとときき、、

s.t.
$f\in W_{j}for^{\forall}jf\epsilon^{\forall}W_{j}$,

そうでないとき「説明可能」 という。

5$\mathcal{O}_{j}$: of type II,169(unexplainable, explainable と訳してみましたが、「あんな英語はない」 と不評でした 。 何か良い訳語はないものでしょうか。)

Example$q=67$ の場合は

$f_{A},$$f_{C}$

が「説明不可能」1$f_{B}$が「説明可能」。

筆者は Pizer-Hijikata のアルゴリズムと、 斎藤裕先生のアイデアを用いて、 997までの全ての素数レベルについて、 テータ級数、$W_{j\sim}S_{2}^{\pm}(\Gamma_{0}(q))$の既約分解等を計算した。 後半はそのデータの観察結果を述べる。

\S $. 一番弱い形の Hecke の予想$c_{0_{\dot{\mathfrak{U}}^{ecture}}}$

$3$

各$q$

ごとに $W_{j}=M_{2}(\Gamma_{0}(q))$ なる$W_{j}$が必ず存在するか ?

これにも反例がみっかった :Counter Example$q=307$ のとき、 $H=26,$ $T=16$$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(307))=(f_{A}\rangle_{\mathcal{H}}, S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(307))=\{f_{B},$

1,

10、

$f_{C},$$f_{D},$$f_{B},$$f_{F},$$f_{G})_{t},$1,1,1,2,9.

であって、

(

$\{f_{B}, f_{C}, f_{D}, f_{B}\}$

寡$\forall_{W_{j}}\neq M_{2}(\Gamma_{0}(307))$

!

$\#$

$W_{j}$)$\leq 3$for$\forall_{j}$.

従って、$H$個のテータ級数で $H$ 次元を張るのが Basis Problem の理想だったが、 それは夢に終わった。

6170\S 4. 観察$q\leq 997$の範囲の素数レベルについて次の事実が成立している。

Observation 1 newform$f$が「説明可能」$s.t$$\Rightarrow\exists_{i\neq j}$.

$W_{i}=W_{j}\oplus(f\rangle_{?t}$

この観察から「説明可能」という命名をした訳だが、これはたとえ事実であっても証明するのは難しそうだ。

Observation 2$f$の 1 次元 factor$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))$:「説明不可能」$\langle f\rangle_{\mathcal{H}}$($f$は newform) について、$\Leftrightarrow(f\rangle_{?i}=S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))$(特に dimc $S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))=1$ )ちなみに、 $q\leq 997$ の範囲で$\#${「説明不可能」 な$\#${「説明可能」 な

Observation $$f$$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))$$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))$の 1 次元 factor } $=24$ .の 1 次元 factor ($S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$: 「説明不可能」の 1 次元 factor } $=9$ ,$\Leftrightarrow f$$f\rangle_{H}$($f$は newform) について、に対応する strong Weil curve がrational torsion$poi_{\grave{I}^{n}}\iota t$をもっ。

rational torsion point の存在は Fourier 係数の合同式$a(f,p)\equiv 1+p(=a$ (Eisenstein 級数, )$p$( $\ell=torsion$ の order) を導くがTheorem (Brumer-Doi)$\ell$$\exists_{f}\in S_{2}(\Gamma_{0}(q))\cap W_{j}$を$s$$)$mod$\ell$

そうすると思い出すのが$\frac{q-1}{12}$for$\forall$prime $p\neq q$、の分子を割る素数とするとき、 各: newform,7$j$に対して、

171$\exists\iota|\ell$$s$:$f$のFourier 係数の体 $K_{f}=Q(a(f, n)s)$ の prime

. .
$t$

$a$

( , n)\equiv a(Eisenstein 級数, )$f$$mod l$$n$for$\forall_{n}\geq 1$

この形の合同式を Brumer-Doi の合同式と呼ぶことにすると、Observation 4$f$$S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$のnewform

$f$

について、

: 「説明不可能」$\Leftrightarrow f$$q\leq 997$は適当な乏について Brumer-Doi の合同式を満たす。の範囲で$\#${「謙明不可能」 な$\#${「説明可能」 な$S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$$S_{2}^{-}(\Gamma_{0}(q))$ののfactor } $=178$ ,factor } $=48$であり、 例外がひとっもなかった。

尚、$S_{2}^{+}(\Gamma_{0}(q))$の 2 次元以上の factor にっいては、 まだ判定条件らしきものはみつかっていない。

参考文献[Ei] M. Eichler, The basis problem for modular forms and the traces of the Hecke
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8

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[Pi80] A. Pizer, An Algorithm for Computing Modular Forms on$\Gamma_{0}(N)$, J. of Algebra

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[Sh] K. Shiota, On theta series and the splitting of$S_{2}(\Gamma_{0}(q))$, to appear.

[Yo80] H. Yoshida, Siegel’s Modular Forms and the Arithmetic of Quadratic Forms,Inv. math. 60 (1980), 193-248.

[Yo84] H. Yoshida, On Siegel modular forms obtained from theta series, J. reine9