男子部中等科２年

数学「図形と証明 －三角形の合同条件を中心に－」
髙田 貴

橘 隼人

中 学 の数 学で は 、「 証 明」を 本 格的 に始 め て扱 うも のと し て、 平面 上 で三 角形 の合 同 条件 に関 す
る考察がある。図形における様々な性質を確認することと、証明するとはどういうことか、そのス
タイルを身につけることを重視して授業を展開した。報告会を行うにあたっては、色々な模型を実際に作ってみて、試行錯誤しながら証明しようとする内容の意味を実感する機会を作るように努めた。

Ⅰ．報告会を行うにあたって勉強してきたこと「分かっているが説明が難しい」、「教科書と同じ

中等科２年生の数学の学習に、「証明」のスタイ

説明しかできない」、「短いものの名前の図形でもルを、二等辺三角形や平行四辺形などの図形を用

それの説明はとても難しい」などというものがあいた学習がある。

げられた。

それに先立ち、まず、図形として知っているもその上で、直線、半直線、線分、点、多角形等のには、どんなものがあるか、をクラス全体で列の図形を順次、説明していった。直線の説明では挙した。四角形では、正方形、長方形、平行四辺「まっすぐな線」という表現が使われているが、形、ひし形、台形、三角形では、正三角形、直角

ここは、既知のものとして、議論した。

三角形、二等辺三角形、そのほか、五角形、六角

報告会の基礎勉強として、二等辺三角形、平行形や、円、ハート型、点、直線、曲線などが平面四辺形に関係する性質の証明を全員共通の課題と図形ではあげられ、立体では、立方体、直方体、して与え、報告するグループごとに発表して、証球、円錐、四角錐などがあげられた。

明のスタイルを勉強する機会とした。

次に、あげられた図形の分類をグループワーク
として行い、平面図形と立体図形、角があるものとないものなどの大枠の分類のほか、同じようなⅡ．報告会で作った模型
報告するにあたって、以下の４種類の模型を作形でも、包含関係になるものがあることを確認し

製した。

た。

（１）三角形の合同条件を説明する模型

その中で、三角形についてとりあげ、「どのよう（２）２点 B,C を結ぶ線分の垂直二等分線上に点な図形か（知らない人に説明するつもりで）、説明A を取ると、△ABC は二等辺三角形になるこ文を作ってみる」という課題を取り上げ、三角形、とを表す模型

直角三角形、二等辺三角形、正三角形の定義文の考察を行った。
「定義することを学ぶ」目標は、「議論をより自由にするためにより厳密にさだめることが必要であることを理解すること」にあるとかんがえているが、中等科２年生においては、具体的な例を学習していない段階なので、あまり抽象的な議論を展開することよりも、三角形そのものを定義することは難しい、ということを実感する
ことにとどめた。生徒の中からの意見としては、（３）平行四辺形の２つの対角は等しくなることを表す模型（４）ストローを用いた正多面体の制作

（１）三角形の合同条件を説明する模型（２）２点 B,C を結ぶ線分の垂直二等分線上に点A を取ると、△ABC は二等辺三角形になることを表す模型

図１

図２

材料：長さの変えられる突っ張り棒
突っ張り棒を固定するクリップ
蝶つがい

３本
３つ

３つ

角を固定するためのダンボールとガムテープ

材料：角材５本、３セット

縦の角材の上下に挟む小さな木片２つ
蝶つがい

１つ

作り方：

長めの木ネジ①３本の突っ張り棒の伸び縮みする金具を一度は

金属の棒

２本

１つ

ずして、内側の管と外側の管が、自由に動くよ
うにする。
②３本の突っ張り棒の端を、蝶つがいで角度が自由になるように留める。
③辺を長さを決定する時には、クリップで太い管と細い管を挟んで、動かないようにする。
④角度を固定する時には、ダンボールとガムテー

作り方①２つの角材に、等間隔に色を付けて、その端を蝶つがいでつなげる（AB と AC になる）
②１つの角材に木ネジを２本、頭の部分が角材の厚さの分だけ飛び出すように、左右につける。
（点 B と C になる）

プで、角をなしている２本の管を固定する。

③②でつけた木ネジの中点を D とし、D のところ

⑤実際に、三角形の合同条件を満たすように固定から横棒に垂直になるように、縦の角材２本をすると三角形が形、大きさを変えなくなること

隙間をあけて取り付ける。
（隙間には、同じ厚さが確認できる。

の角材を上下で挟み込むようにつける）④縦に立てた２本の角材の間から金属の棒を出し模型を実際に作る際、苦労した点は、２本の突て、その上に、①の蝶つがいが乗るような形にっ張り棒の角に蝶つがいを固定する所と、角を動する。色を付けた角材は、A の金属の棒の上でかなくするために、どのような固定の仕方をすれ

角度を変えながら、また、B と C の木ネジの上ば、発表に際して三角形が形を変えたり、固定さを滑るようにする。

れることを見せることができるか、という点であ⑤この模型のメモリを見ることにより、A がどのった。最終的に、上記のような方法で、発表するような高さであっても、AB と AC の長さは同じことができた。

になることが観察できる。このことより、BC の垂直二等分線上に A を取ると、△ABC は二等辺三角形になることが確認される。

この模型で、２つの対角線を、ゴムなどの伸び縮みする素材で取り付け、その中点にそれぞれ印
をつけておくと、平行四辺形の対角線は、常にそ発表に際しては、数学的な証明を考え、それをの中点で交わることも確認できる。

模型上で実演しながら説明した。縦の角材が１ｍぐらいの大きなものになったので、重力を利用し（４）ストローを用いた正多面体の制作て形が定まるような模型とした。

①三角形の作り方（３）平行四辺形の２つの対角は等しくなること

図４

を表す模型

図３

材料：厚さ１㎝程度で長さが２ｍほどの角材２つ
厚さ１㎝程度で長さが 1.5ｍほどの角材２つボルトとナット

各４つ

分度器用の厚紙

２枚

作り方①角材で平行四辺形を作り、角のところに穴をあけて、ボルトとナットでゆるめに固定する。
②厚紙で大きな分度器を作り、対角線上の角一組のところの横棒に固定する。分度器には、15 度ずつぐらいの幅で、色分けしておくと、変化の様子が観察しやすい。

図４の様にして、ストローを三本使って三角形を作り、その周りに三角形を作っていく形を基本③隣接している辺がなす角度を変えると、それにとして、ストローで立体を作ることができる。こ応じて、平行四辺形の形が変わるが、対角は、のことを利用して、正多面体の作成をした。正多どのような形になっても等しくなることが確認面体のうち正四面体、正八面体、正二十面体は、される。

三角形を面としているので、そのまま作ることができるが、正六面体と正十二面体は、面の形がそ

対角が等しいことの数学的な証明は、平行四辺

れぞれ、正方形、正五角形なので、図５のように、形に１つの対辺を引いて、平行四辺形内部に２つそのままでは、形を保つことができない。たとえの三角形を作り、その合同を証明することによっば、正方形の場合は、ひし形になってしまう。

て与えられるが、この模型でそのことが動的に観察できた。

報告にあたっては、実際に支えがない正六面体
図５の模型も用意して、それが、斜めにつぶれてしまう様子も報告した。物の形が決定する際に、三角形の構造が重要であることが確かめられた。
最後に、これ等の構造が、建築物等の筋違にも使われていることであることを述べた。

そこで、図６のような斜線のようなストローを支えの構造として入れて、各面が正方形、正五角

Ⅲ．報告会全体を通して形として固定されるようにした。四角錐、五角錐

報告が、ただ、模型を作ることにならないよう、を作ることで、形を決定しているが、この側面は背景にある合同条件に関する証明は、全員が理解

すべて三角形になっている。

できるような勉強する機会を取りながら報告準備を進めるように心がけたが、『証明』することにな

図６

かなかなじめない生徒も少なからずいた。模型を作って現象を実感する中で、何が言いたいことであるのか、過程と結論はなんであるか、ということを何度も反芻することが大切であると考えて準備期間を過ごした。
学業報告会では、実際の報告の他に、自分たちで自分たちの時間を管理する、計画的に物事を進める、リーダーシップとフォロアーシップなども試される機会となり、これらの事に関しては、今後の課題となる多くの材料も与えられた。

この方法で、正十二面体を作ると、辺の数 30
本に各面の支え 5×12＝60 本が加わるため、合計90 本のストローが必要であった。

ストローを 90 本用いて作った正 12 面体の模型