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2層準地衡流系に関する

Danilov 不等式の数値実験的検証
神戸大学 大学院理学研究科 岩山 隆寛 *, 岡崎正悟 †Takahiro Iwayama, Shogo Okazaki
Department of Planetology, Graduate School of Science, Kobe University

名古屋工業大学 工学研究科 渡邊 威 ‡Takeshi Watanabe
Department of Physical Science and Engineering,

Graduate School of Engineering : Nagoya Institute of Technology
\cdot

概要

2次元 Navier‐Stokes (NS) 系における強制散逸乱流の統計的定常状態では,エネルギーフラッ
クス \Pi_{E}(k) とエンストロフィープラックス \Pi_{Z}(k) の差, k^{2}\Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k) , ここで k は波数である,は強制波数帯域を除いて負符号であることが数学的に証明されている.この不等式はDanilov 不等式としばしば参照され,2次元 NS 乱流の慣性領域においてエネルギーフラックスとエンス \vdash ロフィーの向きを決定するための重要な関係式である.2次元 NS 系の渦度方程式の一般化である2層準地衡流渦位方程式に関して,Danilov 不等式が成立するか否かを,この方程式の数値実験により調べる.この系においてフラックス差は数学的に符号不確定であるが,数値実験によると全波数領域で Danilov 不等式が満たされることが示される.

1

はじめに準地衡流渦位方程式は,地球大気

海洋の人規模な循環を記述するモデル方程式のーつである.それは,非圧縮条件を課した2次元 Navier‐Stokes (NS) 方程式から導かれる渦度方程式と似た形をしている.そこで,準地衡流渦位方程式に従う乱流 (以降,地衡流乱流と参照する) は2次元 NS 方程式に従う乱流 (以降,2次元 NS 乱流と参照する) の一般化の一つとみなされ,物理学的興味,地球物
理学的興味から研究されてきた.

強制散逸2次元 NS 乱流において二つの慣性領域,エネルギー慣性領域とエンストロフィー慣性領

域,が共存することはよく知られている.(3), (12) (14) エネルギー慣性領域は,系を強制する波数帯 (強制波数帯) よりも低波数側に形成される.この領域のエネルギースペクトルは波数 k に対して k^{-5/3}の依存性を示し,エネルギーは低波数側に輸送される.それに対して エンストロフィー慣性領域はj

強制波数帯よりも高波数側に形成される.エンストロフィー慣性領域ではエネルギースペクトルは*\dag er

iwayama@kobe‐u.ac jp

okazakis@gfd‐dcnnou.org\d ag er
watanabe@nitech.ac jp

19k^{-3}に比例し. エンストロフィーが高波数側に輸送される.これらの性質は,エネルギーとエンスト\ovalbox{\t smalREJCT}

ロフィーが系の非粘性保存量であることに因っている.

準地衡流渦位方程式は二つの非粘性保存量,全エネルギー*1*2とポテンシャルエンストロフィー , を持つので,地衡流乱流の波数空間内の力学は; 2次元 NS 乱流のそれと似ていると信じられてきた.(5)しかしながら,Tung and Orlando ( 2003 )^{(19)} (以降 TO03と参照する) は 密度成層と傾圧性を考慮j

したもっとも簡単な準地衡流系である2層準地衡流渦位方程式の数値実験を行い,2次元 NS 系の慣性領域スペクトルとは異なる奇妙なエネルギースペクトル,強制波数帯の高波数側において k^{-3} を示し,さらに波数が大きな領域において k^{-5/3} へと転移するエネルギースペクトル,を得た.彼らはそのようなエネルギースペクトルが形成されるメカニズムも提唱している.この形のエネルギースペ

クトルはいわゆる Nastrom‐Gage (NG) スペクトルと呼ばれる大気のエネルギースペクトルと似た形をしている.したがって,TOO3の研究は2次元乱流とその地球物理的応用の両方の観点から興味深い.

NG スペクトルは地球大気の循環の普遍的性質とみなされている.Nastrom and Gagc ( 1985 )^{}

は,航空機観測によって得られた東西風 南北風 温度のエネルギースペクトルが,数千キロメートル
から数百キロメートルの波長では水平波数k0)-3 乗に比例するべき則に従い.
\ovalbox{\t smalREJ CT}

さらにそれよりも小さな水平波長ではこれらのスペクトルは k^{-5/3} に比例することを示した.この形のスペクトルは,大気大循環モデルを用いた数値シミュレーションやその後の観測データの解析によっても再現されている.(4), (11)

特に,2次元 NS 乱流や地衡流乱流の観点から NG スペクトルの形成機構を解明する努力が続けられてきた.NG スペクトルの k^{-3} スペクトルは強制散逸2次元 NS 乱流のエンストロフィー慣性領

域スペクトルの類似物とみなされている.(15) しかしながら k^{-5/3} スペクトルの形成機構は未解決問題である.多くの研究により k^{-5/3} スペクトルの形成に重力波が重要な役割を果たしているであろう,ということが示されてきた.(10)(11) それに対して,TOO3は重力波が濾過された系である2層準
地衡流渦位方程式の数値計算によって NG スペクトルのようなスペクトルを再現したのである.

TO03が提唱した k^{-5/3} スペクトルの形成メカニズム (以降,TO メカニズムと参照する) は以ドの通りである: 傾圧不安定によって全エネルギーとポテンシャルエンストロフィーの両方がRossbyの変形半径程度のスケールに注入され. それらは共に高波数側へ輸送される.ポテンシャルエンスト\ovalbox{\t smalREJ CT}

ロフィーフラックスが全エネルギーフラックスよりも卓越する波数領域では,ポテンシャルエンスト
ロフィー慣性領域が形成され; 全エネルギースペクトルは k^{-3} の形をとる.全エネルギーフラックス
が,ポテンシャルエンストロフィーフラックスよりも卓越する波数領域では全エネルギー慣性領域が形成され,全エネルギースペクトルは k^{-5/3} となる.TOO3は全エネルギーフラックスのポテンシャ

ルエンストロフィーフラックスに対する卓越性を表現するために,以 \triangleright^{\wedg} のようなフラックス差を導入
した:

k^{2}\Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k) .

(1)

ここで, \Pi_{E}(k) は全エネルギーフラックスで,波数 k を通って, k よりも小さな波数から大きな波数*1

運動エネルギーと有効位置エネルギーの和*2

渦位の二乗の空間積分

20へ向けて輸送される単位時間当たりの全エネルギーを表している. \Pi_{Z}(k) はポテンシャルエンストロ

フィーフラックスで,同様に定義される.TO メカニズムは, k^{-5/3} スペクトルがk^{2}\Pi_{E}(k)-H_{Z}(k)>0(2)

を満足する波数領域に存在することを述べている.一方で,狭い波数帯域で強制された2次元 NS 乱流の統計的平衡状態では,強制波数帯を除いてk^{2}\Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k)<0(3)

が満たされることが数学的に証明されている. *3(9)(3) はしばしば Danilov 不等式と参照されるものである.もし散逸過程,\triangleright^{\wedg} 端境界の存在に伴う Ekman 摩擦や粘性,が上層と \triangleright^{-} 層とで対称であれば強制波数帯を除いて (3) は2層準地衡流系でも満足されることが示されている.(7) しかしながら,散逸過程が非対称な場合,(1) の符号は不確定である.
[\cdot,で述べたように,TO メカニズムは2次元 NS 乱流の性質の一般化としても,その地球物理学的応用としても興味深い.しかしながら,TO メカニズムの正当性は論争になっている.(17), (18) 興味深
いことに,TOO3以外,2層準地衡流渦位方程式の数値実験で k^{-5/3} スペクトルを再現した研究は未だない.さらに,Danilov 不等式は近年理論的に活発に研究されている (6) (7) にもかかわらず,数値実験によって Danilov 不等式の成否について調べた研究もない.このような背景のもと,本論文では2層準地衡流渦位方程式の数値実験によって. Danilov 不等式の成否に関する研究を行う.
\ovalbox{\t smalREJCT}

22層準地衡流渦位方程式
本研究で使用する支配方程式系は. 地衡流乱流の研究で標準的に用いられている設定のもとでの f\ovalbx{\t smalREJCT}

平面 I_{-} の2層準地衡流渦位方程式で,基本的に Larichcv and Held (1995)(13) と | 司様のものである:\frac{\partial}{\partial t}q_{t^{j_{\ovalbox{\t \smal REJECT} }.=-J(\psi, q_ {\psi})-J(T_{\backslash }-q_{\tau})-U\frac{\partial\nabla^{2}\tau}{\partial x}+(-1)^{\gamma-1} \nu\nabla^{2\gamma}q_{\psi}+(-1)^{\gamma-1}\frac{\triangle\nu} {2}\nabla^{2\gamma}(q_{\psi}-q_{\tau})- \nablaん^{22}(\psi-\tau)_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}}(4a)\frac{\partial}{\partial t}q_{\tau}=-J(\psi_{j}q_{\tau})-J(\tau, q_{\psi})- U\frac{\partial\nabla^{2}\psi}{\partial x}-Uk_{d}^{2}\frac{\partial\psi} {\partial x}+(-1)^{\^{i}-1} \nu\nabla^{2\^{i} q_{\tau}+(-1)^{\gamma-1}\frac{\triangle\nu} {2}\nabla^{2\gamma}(q_{\tau}-q_{\eta^{j}-})あ2+2\alpha k_{d}^{2}\tau ,--\nabla^{2}(\tau-\psi)

q_{\iota_{i} =\nabla^{2}\psi ,q_{\tau}=\nabla^{2}\tau-k_{d}^{2}\tau_{\grave{\ovalbox{\t \smal REJECT}}
上式は,上層の x 方向の流速と \triangleright^{\wedg} 層のそれとで

(4b)
(4c)
(4d)

2U

の差がある基本場からの摂動成分に関する2層準地衡流渦位方程式の順圧成分 ( I_{-} 層の渦位方程式と下層のそれとを足して2で割ったもの) と傾圧*3

ここで, \Pi_{E}(k) と ı‐Iz (k) はそれぞれ運動エネルギーフラックスとエンストロフィーフラックスと解釈するべきである
ことに注意しておく21
21
成分 (‐[層の渦位方程式から \triangleright^{\wedg} 層のそれを引いて2で割ったもので) である.ここで jq\psi と

q_{\tau}

はそI:

れぞれ渦位の順圧成分,傾圧成分である. \psi, \tau はそれぞれ流れ関数の順圧成分,傾圧成分である.

層と \triangleright 層の流体は等しい厚さで,のみ作用する.

\kappa\triangleright^{-} 端に固体壁があり,がEkman 摩擦係数である.粘性は次数 \gamma の高階粘性で.\ovalbox{\t\smal REJ CT}-[ ‐‐層の流体の粘性係数が\triangleright^{\wedg} 層の流体の粘性係数が \nu+\triangle\nu\nu,\triangleright^{-} 層の渦度に比例した Ekman 摩擦が l^{\wedge}\rangle 層にと,上層と \triangleright 層とで粘性係数が \triangle\nu だけ異なる設定になっている.さらに,Ekman 摩擦. 高階粘性の他に,Newton 冷却によって温度場が減衰する機構も取り入れ\ovalbox{\t smalREJ CT}ている. \alpha がNewton 冷却の時定数である. k_{d} はRossby の変形半径の逆数である.理論的取り扱いを簡単にするため,擾乱場の境界条件に周期境界条件を課すことにし,流れの境域は L_{x}\cross L_{y} の矩形領域とする.

この方程式系にはコリオリパラメターの緯度依存性,ベータ効果は考慮されていない.なぜならばベータ効果によって渦位方程式に現れる項は 全エネルギー方程式やポテンシャルエンストロフィーj

方程式には影響を与えない.したがって,ベータ効果は Danilov 不等式の符号に影響を与えないからである.

3

Danilov 不等式

3.1

全エネルギー方程式とポテンシャルエンストロフイー方程式

二重周期境界条件を課しているので,流れ関数, \psi と \tau , はFourier 級数展開することができる:\psi(x, t)=\sum_{k}\hat{\psi}(k, t)e^{ik\cdot x} ,\tau(x_{:}t)=\sum_{k}\hat{\tau}(k, t)c^{ik\cdot x} .

(5a)
(5b)

ここで k= ( k_{x} ん) ( \frac{2\pi}{I_{\lrcorner}x_{-} n_{x}, \frac{2\pi}{L_{y} 廟であり, n_{x} と7勉は整数である.総和 \sum_{k} は全ての整数ベク
トル (n_{x_{\grave{\ovalbox{\t \smal REJECT} }n_{y}) に渡ってとるものとする.(4) に (5) を代入し. 波数空間における渦位方程式に書き直=\ovalbox{\t smalREJCT}し,さらにそれらから波数ベクトル k を持つモードの全エネルギー方程式,\frac{\partial\mathcal{E},(k)}{\partialt}=T_{\mathcal{E} (k) 十 F_{\mathcal{E}}(k)+D_{\mathcal{E}}(k) ,e(k)= \frac{1}{2}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)|^{2}+(k^{2}+k_{d}^{2})|\hat{\tau}(k) |^{2}\} ,

(6a)

(6b)

\tau_{\mathcal{E} (k)=\sum_{l_{?}n}\{, \ovalbox{\t \smal REJECT}+T_{\tau}^{I}(k, l, m)+T_{\tau}^{I }(k_{\dot{・} l, m)+T_{\tau}^{I I} (k_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} l, m)\}\delta_{k+l+\tau n_{:} 0_{\dot{\ovalbox{\t \small REJECT}} }

(6c)

22

T_{\psi}^{I}(k, l.m)= \frac{1}{2}(1\cros m)_{z}(m^{2}-l^{2})\mathfrak{R} \mathfrak{e}[\hat{\psi}(k)\hat{\psi}(l)\hat{\psi}(m)] ,T_{\psi}^{I }(k, l, m)= \frac{1}{2}(l\cros m)_{z}(m^{2}-l^{2})\mathfrak{R} \mathfrak{e}[\hat{\psi}(k)\hat{\tau}(l)\hat{\tau}(m)] ,T_{\tau}^{I}(k, l_{-}.m)= \frac{1}{2}(l\cros m)_{z}\mathfrak{R}\mathfrak{e}[m^ {2}\hat{\tau}(k)\hat{\tau}(l)\hat{\psi}(m)-l^{2}\hat{\tau}(k)\hat{\psi}(l) \hat{\tau}(m)] ;T_{\tau}^{[I}(k, l, m)= \frac{1}{2}(1\cros m)_{z}\mathfrak{R}\mathfrak{e} [m^{2}\hat{\tau}(k)\hat{\psi}(l)\hat{\tau}(m)-l^{2}\hat{\tau}(k)\hat{\tau}(l) \hat{\psi}(m)] ;T_{\tau}^{I I}(k, l, m)=\frac{1}{2}(lxm)_{z}k_{d}^{2}\mathfrak{R}\mathfrak{e}[ \hat{\tau}(k)\hat{\psi}(l)\hat{\tau}(m)-\hat{\tau}(k)\hat{\tau}(l)\hat{\psi}(m)] :F_{\mathcal{E} (k)=-k_{x}Uk_{d}^{2}J^{\sim}m[\hat{\psi}(k)\hat{\tau}^{*}(k)] ,D_{\mathcal{E} (k)=-\nu k^{2\gamma}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)|^{2}+(k^{2}+k_{d}^{2}) |\hat{\tau}(k)|^{2}\}
‐

‐

(6d)
(6e)

(6f)
(6g)
(6h)

(6i)

\frac{\triangle\nu}{2}k^{2\gamma}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)-\hat{\tau}(k)|^{2}+ k_{d}^{2}(|\hat{\tau}(k)|^{2}-\mathfrak{R}\mathfrak{e}[\hat{\psi}(k)\hat{\tau} (k)^{*}])\}\frac{\kappa}{2}k^{2}(|\hat{\psi}(k)-\hat{\tau}(k)|^{2})-2\alpha k_{d}^{2} |\hat{\tau}(k)|^{2} ,(6j)と波数ベクトル k を持つモードのポテンシャルエンストロフィー方程式を得る:\frac{\partial}{\partial t}\mathcal{Z}(k)=T_{\mathcal{Z} (k)+F_{\mathcal{Z} (k)+D_{\mathcal{Z} (k) ,\mathcal{Z}(k)=\frac{1}{2}\{k^{4}|\hat{\psi}(k)|^{2}+(k^{2}+k_{d}^{2})^{2} |\hat{\tau}(k)|^{2}\}(7b)T_{Z}(k)=k^{2}\{T_{\psi}^{I}(k)+T_{t_{\ell})}^{II}(k)\}+(k^{2}+k_{d}^{2}) \{T_{\tau}^{I}(k)+T_{l^{-}}^{II}(k)+T_{\tau}^{III}(k)\} ,(7c)

F_{Z}(k)=-k_{x}Uk_{d}^{4}J^{\sim}\mathfrak{m}[\hat{\psi}(k)\hat{\tau}^{*}(k)] :D_{Z} (た)=-\nu k^{2\gamma}\{k^{\prime 1}|\hat{\psi}(k)|^{2}+(k^{2}+k_{d}^{2})^{2} |\hat{\tau}(k)|^{2}\}

(7d)

‐

‐

\frac{\triangle\nu}{2}k^{2\gamma}(|k^{2}\hat{\psi}(k)-(k^{2}+k_{d}^{2}) \hat{\tau}(k)|^{2})\frac{\kappa}{2}k^{2}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)-\hat{\tau}(k)|^{2}+k_{d}^{2}(|\hat{ \tau}(k)|^{2}-\mathfrak{R}e[\hat{\psi}(k)\hat{\tau}^{*}(k)])\}-2ak_{d}^{2}(k^{2}+k_{d}^{2})|\hat{\tau}(k)|^{2} .
3.2

(7a)

(7c)

Danilov 不等式

Gkioulekas and Tung ( 2007 )^{}と Gkioulekas (2014)^{(7)} に従って,現在の系におけるフラックス

差の不等式を議論する.この節での議論を簡単にするために流れの領域を無限の領域に拡張しする.

このとき,前節における t^{\hat{/i} (k) と \hat{\tau}(k) はそれぞれ \psi と \tau のFouricr 変換と解釈する.(6) の波数空間内における角度積分をとり,結果の式のアンサンブル平均をとることによって: 次の全エネルギー23
スペクトル方程式を得る :\frac{\partial E(k)}{\partial t}=-\frac{\partial\Pi_{E}(k)}{\partial k}+F_{E} (k)+D_{E}(k) ,(8a)E(k)=\langle \mathcal{E}(k)\rangle ,\Pi_{E}(k)=\int_{ん^{・} ^{\infty}\langle T_{\mathcal{E} (k')\rangle d

(8b)
(8c)

k

F_{E}(k)=\langle F_{\mathcal{E}}(k)\} ,D_{E}(k)=\{D_{\mathcal{E}}(k)\} .

(8d)
(8e)

ここで E(k) は全エネルギースペクトルで, \Pi_{E}(k) は全エネルギーフラックス; D_{E}(k) と F_{E}(k) はそれぞれ全エネルギースペクトル方程式における散逸スペクトルと強制スペクトルである.ここで角括弧は波数空間内における角度積分とアンサンブル平均を表す.同様にして. 以 r\wedge^{-} のポテンシャルエ\ovalbox{\t smal REJ CT}

ンストロフィースペクトル方程式が (7) から得られる:\frac{\partial Z(k)}{\partial^{\Gamma}t}=-\frac{\partial\Pi_{Z}(k)}{\partial k}+F_{Z}(k)+D_{Z}(k) ,(9a)Z(k)=\langle \mathcal{Z}(k)\rangle_{j}(9b)\Pi_{Z}(k)=\int_{k}^{\infty}\langle T_{\mathcal{Z} (k')\}dk' ,(9c)F_{Z}(k)=\{F_{\mathcal{Z}}(k)\rangle_{\dot{}}(9d)D_{Z}(k)=\langle D_{\mathcal{Z}}(k)\rangle(9c)

ここで Z(k) はポテンシャルエンストロフィースペクトルであり. \prod z (k) はポテンシャルエンストロ\ovalbx{\t smalREJCT}

フィーフラックス, D_{Z}(k) と F_{Z_{J}}(k) はそれぞれポテンシャルエンストロフィースペクトル方程式の散逸スペクトルと強制スペクトルである.

我々は定常性を仮定し,(8a) と (9a) の両方を k に関して k から無限まで積分する.このとき

E(k)=- \int_{h}^{\infty}\{F_{E}(k')+D_{E}(k')\}dk_{:}'\Pi_{Z}(k)=-\int_{k}^{\infty}\{F_{Z}(k')+D_{Z}(k')\}dk' ,

垣

(10a)

(10b)

を得る.ここで我々は全エネルギー保存則とポテンシャルエンス トロフィー保存則,\lim_{karrow\infty}H_{E}(k)=0 と\lim_{karrow\infty}\Pi_{Z}(k)=0 , を用いた.さらに,(10a) に k^{2} を掛けたものか

ら (10b) を差し引くと,k^{2} \Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k)=-\int_{k}^{\ovalbox{\t \small REJECT}\infty}\{k^{2} F_{E}(k')-F_{Z}(k')+k^{2}D_{E}(k')-D_{Z}(k')\}dk'(11)が導かれる.(6i), (6j), (7d) , (7c), (8d)_{\grave{\ovalbox{\t \small REJECT}} (8e)_{i}(9d) (9e) を (11) の被積分関数に代入し,最終的に以24
ドの式を得る:k^{2}\Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k)=- \int_{k}^{\infty}[(k^{2}-k_{d}^{2})\langle-k_{\lambda}'.Uk_{d^{J} ^{2\sim} m[\hat{\psi}(k')\hat{\tau}^{*}(k')]\rangle-\nu k^{\prime 2\^{i} \langle(k^{2}-k^{\prime 2})k^{\prime 2}|\hat{\psi}(k') |^{2}+(k^{2}-k^{\prime 2}-k_{d}^{2})(k^{\prime 2}+k_{d}^{2})|\hat{\tau}(k)|^{2} \rangle- \frac{\triangle\nu}{2}k^{\prime 2\gamma}\langle(k^{2}-k^{\prime 2})k^{;2} |\hat{\psi}(k')|^{2}-\{(k^{2}-k^{\prime 2})(k^{\prime 2}+k_{d}^{2})+k^{;2}(k^{2}-k^{\prime 2}-k_{d} ^{2})\}\mathfrak{R}\mathfrak{e}[\hat{\psi}(k')\hat{\tau}^{*}(k')]+\{(k^{2}-k^{\prime 2}-k_{d}^{2})(k^{\prime 2}+k_{d}^{2})\}|\hat{\tau}(k')|^{2} \rangle‐\frac{\kappa}{2}k^{\prime 2}\langle(k^{2}-k^{r2})|\hat{\psi}(k')-\hat{\tau} (k')|^{2}-k_{d}^{2}\{|\hat{\tau}(k')|^{2}-\mathfrak{R}\mathfrak{e}[\hat{\psi} (k')\hat{\tau}^{*}(k')]\}\rangle-2\alpha k_{d}^{2}(k^{2}-k^{\prime 2}-k_{d}^{2})\langle|\hat{\tau}(k')|^{2} \rangle]dk' .

(12)

我々は \mathfrak{R}\mathfrak{e}[\hat{\psi}(k)\hat{\tau}^{*}(k)] と \sim Jm[\partial\hat{\psi}(k)\hat{\tau}^{*}(k)] の両方の符号を確定することができない.それゆえ強制項,
非対称な超粘性項,Ekman 摩擦項はフラックス差の符号不確定性に寄与する.

(12) における積分は拶dk’ から - \int_{0}^{k} dk’ に書き換えられる,しかしその被積分関数は変わらないことを注意しておく.フラックス差のそのような形式は,全エネルギーフラックスとポテンシャル

エンストロフィーフラックスを求める際に. それぞれ (8a) と (9a) を k に関して 0 から k まで積分
\ovalbx{\t smalREJCT}すると得られる.この場合 保存則 \lim_{karrow 0}\Pi_{E}(k)=0 と\triangle\nu=0, \kappa=0_{\grave{c}}\hat{\tau}(k)=0,
k<k'<\infty では\alpha=0ととると,(12) は\lim_{karrow 0}H_{Z}(k)=0 を用いる.

2DNS 系の Danilov 不等式になる.積分区間

F_{E}(k) がゼロ,即ち積分区間に強制波数帯が含まれないなら.\ovalbox{\t \small REJECT} k^{2}-k^{\prime 2}\leq 0 なので,フラックス差は負符号に確定する.前パラグラフで述べたように,(12) の積分区間は \int_{k}^{\infty} dk から- \int_{0}^{k} dk に変換できる.このとき,フラックス差の符号は変わらない.なぜなら積分区間 0<k'<kで k-k'\geq 0 だからである.それゆえ,フラックス差は強制波数帯よりも低波数側でも高波数側でも負符号である.これが 2DNS 系の Danilov 不等式である. 2DNS 乱流の高レイノルズ数状態では

k^{-5/3} スペクトル領域におけるエンストロフィーフラックスはゼロであることが知られている.この

事実と Danilov 不等式を合わせると,エネルギーフラックスは k^{-5/3} スペクトル領域で負,即ち.r エ

ネルギーは低波数側に輸送される.同様に, 2DNS 乱流の高レイノルズ数状態では k^{-3} スペクトル領域におけるエネルギーフラックスはゼロであることが知られている.この事実と Danilov 不等式を合わせると,エンストロフィーフラックスは k^{-3} スペクトル領域で正. 即ち,エンストロフィーは高\ovalbx{\t smalREJCT}

波数側に輸送される.これらの性質は,いかなる完結近似も用いていないことを注意しておく.この観点から Danilov 不等式は 2D NS 乱流の波数空間の力学を議論する際において非常に重要な関係式
である.

4

数値実験による検証

4.1

数値実験の概要

この節では (4) に従う乱流の直接数値実験について報告する.まず初めに数値計算法の概要,用いた初期条件,解像度について述べる.(4) に含まれるパラメターの数値は,基本的に Larichev andHeld (1995) (13) と Arbic and Flierl (2004) (2) において用いられたものに従って選ばれている.

25[0,2\pi]\cross[0_{\dot{・}}2\pi] の正方領域に N^{2} の格子点を持つ解像度で,倍精度の擬スペクトル法を用いる.

切断波数 k_{T} は2/3 エリアジング除去法に従って選ぶ.時間積分には,時間間隔 \triangle t が固定のRunge‐Kutta‐Gill 法を用いる.用いた \triangle t が Courant‐Friedrich‐Lewy 条件を満足していることは確認している.

初期条件は流れ関数を与える.流れ関数の Fourier 成分の位相が 0 から2\piの範囲のń色ノイズであり,流れ関数の Fourier 成分の振幅は順圧エネルギースペクトル E_{\psi}(k) と傾圧エネルギースペクト
ル E_{\tau}(k) がともに k に依存せず.
\ovalbox{\t smalREJ CT}

E_{\psi}(k) \equiv\frac{1}{2}\langle k^{2}|\hat{\psi}(k)|^{2}\rangle=3.0\cros 10^{-8}, E_{\tau}(k)\equiv\frac{1}{2}\langle(k^{2}+k_{d}^{2})|\hat{\tau}(k)|^{2} \rangle=3.0\cros 10^{-8} , (13)の値を持つように設定する.まず初めにき続き高解像度

N=512

N=256

の解像度で t=t_{1} まで系をスピンアップさせ; 引で t=t_{2} まで計算を行う.高解像度の計算の結果を解析し,結果の統計的収束性をよくするために. 結果に t_{2}-t_{ave} から t_{2} の範囲で時間平均を施する.
\ovalbx{\t smalREJCT}

空間を k_{d}^{-1_{\dot{\ovalbox{\t smal REJ CT} 時間を (2Uk_{d})^{-1} , 流れ関数を 2Uk_{d}^{-1_{\dot{\ovalbox{\t \smal REJECT} } 渦位を 2Uk_{d} でスケーリングすることにより次の3つの無次元パラメターが支配方程式に含まれることが導かれる:\frac{2Uk_{d} {\kap a},\frac{2U}{\nuk_{d}^{2\^{i}-1} ,\frac{2U} {\triangle\nuk_{d}^{2\gam a-1}

.

(14)

特に (2Uk_{d})/\kappa , は Arbic and Flierl(2003)^{(1)} によって ‘throughput と名付けられた重要なパラ\ovalbox{\t smalREJ CT}

メターである.なぜならそれは全エネルギーの運動エネルギーと有効位置エネルギーへの配分,もしくは全エネルギーの順圧成分と傾圧成分への分配を制御しているからである.例えば,小さなthroughput では全エネルギーは有効位置エネルギーが支配的であり,系はあたかも等価順圧系としてふるまう.一方,大きな throughput では全エネルギーは運動エネルギーが支配的であり. 系はあ\ovalbox{\t smalREJ CT}

たかも順圧系としてふるまう.

地衡流乱流では k<\sim k_{d} の波数領域に通常興味があるが,我々は全ての波数領域に興味がある.特に,NG スペクトルでは k^{-5/3} は k_{d} よりも人きい波数領域に存在する.そこで,エネルギーの逆カスケードが起きるのに十分でなおかつ, k>k_{d} の領域も十分解像出来るように我々は全ての数値実験で k_{d}=10 と選んだ.さらに U=2.5\cross 10^{-2} と固定している.このときこの研究で使用した Uk_{d}の値は Larichev and Held (1995)(13) におけるその量と同じ値である. \kappa の値を変えることで. 我々\ovalbox{\t smalREJ CT}

は throughput の値を1. 25\cross 10^{-2} から25まで変化させた.throughput のこの範囲は Arbic and
Flicrl ( 2004 )^{}のそれと同じである.throughput を変化させる実験を TH 実験と呼ぶことにする.

この研究で使用した超粘性はLarichev and Held ( 1995 )^{}のそれと同様である.彼らは k_{T}=128のシミュレーションに対して \gamma\cdot=4 と \nu=5.12\cross 10^{-16^{\ovalbox{\tt\small REJECT}}} を用いた.我々は切断波数における超粘性による減衰の時定数が Larichev and Held ( 1995 )^{}
を設定している.それゆえのそれと同じ値になるように超粘性係数の値\nu=5.12\cross 10^{-16}\cross(128/k_{T})^{2\gamma} である.TH 実験で使用したパラメターの値は表1にまとめられている.

我々は高波数側の解像度について注意を払って数値計算を行っている.高波数側に散逸領域が十分に解像出来ていない場合には,慣性領域の統計の精度に影響を与えることが知られている (例えば,
Watanabe and Gotoh ( 2007 )^{}

) . もし,粘性係数 \nu と \nu+\triangle\nu が高波数側に輸送された全エネル

ギーとポテンシャルエンストロフイーを散逸させるのに十分人きくない場合,スペクトルは切断波数

26
表1TH 実験で使用されたパラメター.
t_{1}\kappa|\begin{ary}l \overlin{512} 512 ' 512 51'2 . 512\end{ary}|\fac{E6.xdpote25r10\^-}{2iUm.k_adt/\h}p062c5n.|Ndokt_1{T\c}52H.817|\b0egTin{ar3y}l1 H2710T6If\end{ary}|,01T5H97015 t_{2}|\TbegiHnar6y1l702 5 \eTnd{Hary4}|t_1v76.0co\db25egt1i^n{-4}6a\crdo.0y251l^{-4}6 0.251^{-4}6 0.25\cdot1^{-4}038rianglet|1\ u0d{ary}|近傍で浅いスペクトルに遷移する.散逸領域が解像されていることを判定するための一つの方法は,散逸波数が切断波数 k_{T} よりも小さいことである.次元解析により見積もられた超粘性による全エネ

ルギー散逸率に基づく散逸波数 k_{\epsilon} をエネルギー散逸波数と呼ぶことにする.それは以 \triangleright のように定義される:

k. \equiv(\frac{\epsilon_{l/} {\overline{\nu}^{3} )^{1/(6\gamma-2)} ,(15)\epsilon_{\nu}\equiv\sum_{i=1}\overline{\nu_{\dot{\lambda}\psi_{} \nabl ^{2\gam a}q_{i}2

(16)

.

ここで, \epsilon_{\nu} は超粘性による全エネルギー散逸率である. \overline{A} は A の空間平均を表し,添え字1; 2はそれぞれ I\wedge 層,下層の物理量を表す. \tilde{\nu} は \}_{\wedge}\wedge 層と下層の粘性係数の平均.\ovalbox{\t \small REJECT}\tilde{\nu}\equiv(\nu_{1}+\nu_{2})/2 , である.同様にして,超粘性によるポテンシャルエンストロフィー散逸率に基づく散逸波数砺をエンストロフィー
散逸波数と呼ぶことにする.それは,次元解析から次のように定義される:

k_{\eta}\equiv(\frac{\eta_{\nu}{\overline{\nu}^{3}) ^{1/6\gam a_{\dot{\ovalbox{\t smal REJ CT}\eta_{\nu}\equiv-\sum_{i=1}^{2}\overline{\nu_{i}q_{i}\nabla^{2\^{i}q_{i}.

(17)
.

(18)

ここで \eta_{\nu} は超粘性によるポテンシャルエンストロフィー散逸率である.これら2つの散逸波数は全ての TH 実験において切断波数よりも小さいことを確認している (図1).散逸領域が解像されていることを判定する別の方法は: 以下で定義される散逸スペクトル,

D_{\nu}(k)=\langle\nu k^{2\gamma}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)|^{2}+(k^{2}+k_{d}^{2}) |\hat{\tau}(k)|^{2}\}+ \frac{\triangle\nu}{2}k^{2\gamma}\{k^{2}|\hat{\psi}(k)-\hat{\tau}(k)|^{2}+ k_{d}^{2}(|\hat{\tau}(k)|^{2}-\mathfrak{R}\mathfrak{e}[\hat{\psi}(k)\hat{\tau} (k)^{*}])\}\rangle ,(19)

が k_{\epsilon}<\sim k<k_{T} において十分に減衰していることである.この点も本論文で行った数値計算では満足されていることを確認している.数値実験の結果のいくつかを表2に示す.

27
130

125 k_{\eta}^{\iota}k \wedge. .

120 k_{tm}\bulletB\in e 11011S
コ

6

. 番

10S

\simv\geq>1\alpha)\mathfrak{B}

.

w

8S
80

`

.

. .

`

“

‘

\ovalbox{\tt\small REJECT} 0^{:} \ovalbox{\tt\small REJECT} 0^{I} 10^{0} 10^{I} I0^{2}2Uk_{d}\prime\kappa

図1

すべての TH 実験におけるエネルギー散逸波数,エンストロフィー散逸波数 遷移波数のthroughput 依存性.
表2

TH 実験の結果.

Exper\dot{{\imath}} ment

\Vert c_{\ka\Vert0p.328419 503a7468.}1|05c92 ._718{049l6./\cdot}|\10^{-4}e3 t1a0^{-} _{\|\begin{arky}l0.23849a1cdot^{-p} 7304\1 .28a5lvdots}O^{-\|ucrn\e}0.l6793e1^{-o\ucrnte}0.a987261^{-_o\ulcrne}{0.45\931^{-62n8 l0}u\end{ary|}|0E.1526^{\\cdot}7041o. v9624017e38.r56\lcdoti10^{-2n} e10{^{-}|\b\eginarylo0.37984v\cdot1^{e}0.6935r2\cdolt1^{i}0.n5243\cdoet1^{-}0.{7623T58\cdot1^{H-}0.95382\1cdot1^{-}00.7452\.cdot1^{-}0.8763522\cdot1^{-}4enary7|0.64852\6cdot1-6430985^{}1742\cdot0^{-17}.3762T5 0\cdHot139264.^6{-}0 T9\cdot1^{H}0.2685\cd5ot1^{}}
TH2

0.83255986

TH3

0.16787132. 10^{-1}

0.89928054. 1 0^{}0.46390338

0.12371647. 1 0^{}0.37730208. 10^{0}TH40.34109427. 10^{-2}

0.12382602. 10^{-4}

0.15525511

0.14862513

0.59670985. 10^{-1}

TI 7TH8TH9

4.2

Danilov 不等式の検証

前小節で述べた数値実験について,フラックス差 (1) を計算した結果を図2に示す.図2に示すよ
うに,すべての波数領域 1\leq k\leq k_{T} においてフラックス差 (1) は負符号であり,Danilov 不等式が成立している.

g^{>}\tilde{backsh_X}^\wdge{backslh A\ve}wdg\sim^{\Xi^{s}\imeq.

図2

すべての TH 実 験におけるフラックス差\ovalbx{\tsmalREJCT}

エンストロフィー散逸率 \eta_{\nu} で規格化している.

k^{2}\Pi_{E}(k)-\Pi_{Z}(k) の波数依存性.縦軸は各実験の28
さらに我々は別の解析によって,フラックス差 (1) の符号が転換するか否かを調べる.TOO3は遷
移波数k_{tranb}\equiv\sqrt{\frac{\eta_{\nu} {\epsilon_{\nu} .

(20)を定義した.彼らは k<k_{trans}. の波数ではポテンシャルエンストロフィーが支配的でありポテンシャ

ルエンストロフィー慣性領域が形成される,一方, k>k_{trans} では全エネルギーフラックスが支配的であり全エネルギー慣性領域が形成される,と主張した.(15) と (17) を用いると,遷移波数は散逸波
数とた

tr\cdot,Ilb=(\frac{k_{\eta} {k_{c} )^{3\gam a}k_{\epsilon}(21)と関係づけられる.全エネルギー慣性領域が形成されるためには,遷移波数 k_{trans} はエネルギー散逸

波数醍よりも小さくなければならない.(21) は, k, >k_{\eta} であるなら遷移波数がエネルギー散逸波数
よりも小さいことを示している.しかしながら,図1 に示されているように, k_{\eta} は k_{\epsilon} とほとんど同じ値であるが,僅かに k_{\epsilon} よりも人きい.それゆえこの解析は全エネルギー慣性領域が形成される可能性がある波数帯 k>k_{tranb} は全て散逸領域に存在していることを示している.即ち,全エネルギー慣性領域は形成されないことを示している.TO メカニズムと合わせて考えると,このことは Dani1_{oV}

不等式が高波数側で破綻しないことを示唆しており , フラックス差の解析 (図2) と無矛盾である.
なお,いくつかの実験 (TH1, TH2, TH5, TH7, TH9) について N=1024^{2} の高解像度数値実験を行ったが,フラックス差は全ての波数領域で負であり , また遷移波数はエネルギー散逸波数よりも人
きい.つまり [で述べた結果は数値計算の解像度に依存しない.

さらに,TH2実験について \triangle\nu を-0.5\nuから9\nuの範囲で変化させた実験を行ったが,フラック

ス差は全ての波数領域で負であり,また遷移波数はエネルギー散逸波数よりも大きい.

\triangle\nu=-0.75\nu

以 \triangleright^{-} の値では,高波数側に十分な散逸領域は形成されないことを確認している.

図には示していないが,我々が行った全ての数値実験において全エネルギースペクトルは k_{d}\lessapprox
k<\sim k_{\epsilon} において k^{-\delta}(\delta\approx 3\sim 4) のべき則に従い, k^{-5/3} への転移は見られない.

5

まとめ
我々は,2層準地衡流渦位方程式に従う乱流,地衡流乱流,の数値実験を行い,この系において

Danilov 不等式が成立するか否かを数値的に調べた.流れの場に依存した系の強制,f‐‐ 層と下層でEkman 摩擦や超粘性が非対称であることにより: フラックス差 (1) は符号不確定である.しかしながら,系に含まれる無次元パラメターの値の非常に広い範囲で,数値実験の結果は全ての波数領域でフラツクス差 (1) は負符号である,即ち Danilov 不等式は成立していることが示された.TOO3によると,2層準地衡流渦位方程式の数値実験によって NG スペクトルと同様な形のスペクトルが形成されるためには,Danilov 不等式が破れる必要がある.そこで本論文の結果は; 2層準地衡流渦位方程式の数値実験によって NG スペクトルと同様な形のスペクトルは形成されないことを強く示唆している.
このことは2層準地衡流渦位方程式の数値実験で NG スペクトルと同様な形のスペクトルが TOO3
以外今まで再現されていないことと無矛盾である.

29

謝辞
本研究は日本学術振興会からの科学研究費 (基盤研究 (C) No.

15K05288 )の援助を受けて行われた.

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