数理解析研究所講究録
第 1658 巻 2009 年 108-111

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量子エネルギーテレポーテーション
東北大学大学院理学研究科

堀田昌寛 (Masahiro Hotta)
Graduate School of Science,
Tohoku University

量子テレポーテーションは量子通信をはじめ量子情報処理において重要な基礎プロトコルになっている。空間的に離れた 2 者 A と が量子的にもつれた状態を共有している時、任意の量子状態を局所的操作及び古典通信 (local operations
and classical communication 以下では LOCC と略す) で転送することができ$B$る。 しかしこれまでのプロトコルでは、励起状態を転送する場合に受信側は励起エネルギーと同じ量のエネルギーを用意し、 局所的操作によって量子系に注入する必要があった。局所的エネルギー保存則が大きく働き、 従来型のプロトコルはエネルギーを転送することはできない構造になっている。 これに対して、 最近新しいタイプのテレポーテーションプロトコル $[1]-[3]$ が提案された。 それは量子エネルギーテレポーテーション (quantum energy teleportation 以後 QET と略す)と呼ばれ、 LOCC で実質的にエネルギー転送を行なうことができる。
ある量子多体系の基底状態におけるサイトにおける量子揺らぎの局所的$n_{A}$測定を考える。例外的な測定を除いて測定後の状態のエネルギーは正となる。測定時間が十分に短ければ、 そのエネルギーはサイト近傍の部分系のみに集中している。 このサイト $nA$ 近傍に局在しているエネルギーを、 サイト近傍の$n_{A}$$n_{A}$部分系に対する任意の局所的量子操作を用いて系から完全に抜き去ることができるかを考えてみる。解析をするとすべてのエネルギーを取り去ることは一般的にはできないことが示せる [2]。これは基底状態に施した局所的測定が、 サイトから離れたサイトの部分系との間の量子もつれを壊してしまうことに起因す$n_{A}$$n_{B}$

る。測定後の励起状態からもとの基底状態に戻すには、 この壊した量子もつれを修復しなければならない。 しかし量子もつれは大局的操作でしか生成できないた
め、 サイト近傍の部分系に対する局所的操作だけでは、 量子もつれを復元することができない。 この局所的に使用不可能なエネルギーはサイト $n.$ . のスピンとの量子もつれを壊された遠方のサイトにおいて一部使用できることが示せる。 この具体的プロトコルが QE $T$ である。
以下では最近接相互作用をする 2 準位スピン鎖系を用いて QET を説明する。
スピン鎖系のハミルトニアンはエネルギー密度演算子のサイト和で以下のように書けている。
$n_{A}$$n_{B}$$T_{n}$$H= \sum_{n}T_{n}.\cdot$

ここで一般性を失わずに、 最低エネルギー固有値が零になるようにを定数だ$\langleg|T_{n}|g\rangle=0$けずらすことができる。従って基底状態に対して $H|g\rangle=0,$と$T_{n}$$|g\rangle$とることが可能である。次にスピン鎖系に現れる負エネルギー密度状態の存在をみておく。 もし全てのが互いに可換であれば、 それらは同時対角化が可能と$T_{n}$なる。 その時、 基底状態は各のの最低固有値に対応する固有状態となり、固有値は負の値をとらない。 しかし一般的なスピン鎖系ではは非可換となっており、 またその基底状態は各量子ビットが複雑に絡んでいる状態となっている。
このような場合には以下でみるようにには一般に負の固有値が存在する。 まずあるに対してスペクトラル分解を施す。
$T_{n}$$T_{n}$$T_{n}$$T_{n}$$T_{n}$

109$k_{\nu}\rangle\langle\epsilon_{\nu},$$k_{\nu}|$$T_{n}= \sum_{\nu,k_{\nu}}\epsilon_{\nu}|\epsilon_{\nu},$

またその基底ベクトルを用いて基底状態を以下のように分解する。
$k_{\nu}\rangle$$|g \rangle=\sum_{\nu,k_{\nu}}g_{\nu,k_{\nu}}|\epsilon_{\nu},$.

ここで $\langle g|T_{n}|g\rangle=0$ から$\sum_{\nu,\text{た_{}\nu}}\epsilon_{\nu}|g_{\nu,k_{\nu}}|^{2}=0$という関係を得る。 この結果は少なくとも$T_{n}$の最低固有値$\epsilon_{-}$が負であることを示している。
$\epsilon_{-}=-|\epsilon_{-}|<0$.

従って、 一般に$\langle\psi|T_{n}|\psi\rangle<0$となるような量子状態が存在することがわかる。 この負エネルギー密度をもつ量子状態の存在が QE において重要な働きをする。
始めに A と は多数のスピン鎖基底状態を共有しているとしよう。 QE
プロトコルは以下の 3 つのステップで構成される。 ここで $H$ が生成する全体系の時間発展に比べて量子測定や古典通信に掛かる時間は十分に短く、 QET の操作中には系の時間発展は無視できるとする。 また QET におけるエネルギー送信者 A はサイト
は $|n_{A}-n_{B}|\geq 5$ を満たす十分離れたサイトにおり、 受信者
$T$

$B$

$B$

$n_{A}$$n_{B}$$T$$|g\rangle$にいるとする。

(I) 基底状態$|g\rangle$

において、 A はある方向のスピン成分$\sigma_{A}=\vec{u}_{A}\cdot\vec{\sigma}_{n_{A}}$を測定する。 この測定値は $s=\pm 1$ のどちらかの値をとる。

(II)A は測定結果$s$(III)B は測定結果を古典通信で$s$$B$に知らせる。に応じた下記のユニタリ変換を自分のスピンに対して施す。
$V_{B}(s)=I\cos\theta+is\sigma_{B}\sin\theta,$$(\sigma_{B}=\vec{u}_{B}\cdot\vec{\sigma}_{n_{B}})$(1)

は 3 次元実単位ベクトルであり、 実角度変数 は $B$ が最も多くのエネルギーのスペクトラル分解を得られるように決定する。 ここで$\theta$$\vec{u}_{B}$$\sigma A$$\sigma_{A}=\sum_{s=\pm 1}sP_{A}(s)$(2)

を導入しておく。 $P_{A}(s)$ は固有値 に対する固有ベクトル空間への射影演算子である。 (I) の後で、 スピン鎖系のエネルギーの期待値は$s$$E_{A}= \sum_{s=\pm 1}\langle g|P_{A}(s)HP_{A}(s)|g\rangle$

110と計算され、 そのエネルギーは A 近傍に局在している。
は一般的には零にならず正の値をとる。 前に議論したようにこの自体は A の目の前にあるにも拘らず、 量子もつれ破壊のためにその一部は A にとって使用不可能なエネルギーである。 (III) の直後では、 各測定結果の現れる確率で平均された量子状態は、 系の時間発展を無視して$E_{A}$$E_{A}$(3)$\rho=\sum_{s=\pm 1}V_{B}(s)P_{A}(s)|g\rangle\langle g|P_{A}(s)V_{B}^{\dagger}(s)$という混合状態で書ける。 最近接相互作用を考慮して周辺に局在するエネル
ギー演算子を $H_{B}=T_{n_{B}-i}+T_{n_{B}}+T_{n_{B}+i}$ で定義すると、 (III) の後の 周辺のスピン鎖のエネルギー期待値は Tfで与えられる。 (1) $-(3)$ 式を使って、 直接計算をすると
$B$

$B$

$[\rho H_{B}]$(4)$Tr$ $[ \rho H_{B}]=_{\vec{2}}^{\xi}(1-\cos(2\theta))+\frac{\eta}{2}\sin(2\theta)$という結果を得る。 ここでる。 また$\eta$$\xi$

はは A と $B$ の (準)$\xi=\langle g|\sigma_{B}^{\dagger}H\sigma_{B}|g\rangle$

で与えられる非負の実数であ局所的演算子による基底状態での 2 点相関関数はで与えられる。 ここでで与えられる準と局所的演算子である。というエルミート演算子は A の地点と $B$ の地点が空間的に離れているために互いに可換である。 このことから相関関数 の実数が A と $B$ 近傍のスピンの間の量子もつれをも性も導かれる。 また基底状態
つとき、 一般的には が零ではないことが示せる。 逆にが量子もつれを持たないときは常に $\eta=0$ となる。 $\eta\neq 0$ のときに の値をうまくとってやると必ずが負になる。 最も小さくなる はTr$\eta=\langle g|\sigma_{A}\dot{\sigma}_{B}|g\rangle$$\dot{\sigma}_{B}=i[H_{B}, \sigma_{B}]$$\dot{\sigma}_{B}$$\sigma_{A}$$\dot{\sigma}_{B}$$\eta$$|g\rangle$$|g\rangle$$\eta$$\theta$$[\rho H_{B}]$$\theta$$\cos(2\theta)=\frac{\xi}{\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}},$$\sin(2\theta)=-\frac{\eta}{\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}}$を満たす場合である。 この結果を (4) 式に代入すると $\eta\neq 0$ のとき(5)「$h\cdot[\rho H_{B}]=\frac{1}{2}[\xi-\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}]<0$という結果を得る。 (III) の前に $B$ 周辺のスピン鎖部分ではエネルギー密度が零だったにも拘らず、 (III) の過程終了後に負のエネルギー密度を持っているということは、 その差分の正のエネルギーが外部に放出されたことを意味する。 具体的には (III) のユニタリ変換を施す装置にスピン鎖が正の仕事を行ったことになる。
を $B$ は回収して自由に使うことができる。
その正のエネルギー $E_{B}=-$ Trについて述べておく。 このプロトコルの最後に A 近傍に残ったエネルギーが最後のステップの後でも、 A 近傍の量子ビットにステップ (I) で注入した残っている。 A はこのエネルギーを局所的操作だけで系から引き出すことができるであろうか。 もしこれが可能であれば、 が得たエネルギーはなんの代価もなく得られることになってしまう。 しかしこれはできないことが以下の議論か全部を系から引き出せたならば、 スピン鎖らわかる。 A がもし局所的操作でだけとなる。 これは負の値であるが、 全エネルギーでに残るエネルギーは一あるハミルトニアン $H$ が非負であることから、 これはあり得ない。 この議論から少なくとも局所的操作だけで A が引き出せるエネルギーは $E_{A}-E_{B}$ 以上にはなり$[\rho H_{B}]$$E_{A}$$E_{A}$$B$$E_{A}$$E_{B}$$E_{B}$

111
得ないことがわかる。 この引き出せないエネルギーの存在の物理的理由は、 既に述べたように、 A の測定による量子もつれ破壊である。 自分の近傍でエネルギー密度が零であるもとの状態を A が取り戻すには、 壊した量子もつれを再生する必要がある。 しかし一般的に量子もつれは局所的操作だけで再生されないため、 どうしても A 近傍には残留エネルギーができてしまう。 QEでは、 この取り出せない残留エネルギーの一部をスピン鎖から前借して は得ていると解釈される。
$T$

$B$

References$[$

1] M. Hotta, J. P. S.J. 78 (2009)034001.

[2] M. Hotta, Phys.Lett.A372(2008)5671.

[3] M. Hotta, Phys.Rev.D78(2008)045006.