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数理解析研究所講究録
第2062巻 2018年 60-67

Right‐angled Artin 群の間の埋め込みに関する障害について
広島大学大学院理学研究科数学専攻

片山拓弥*Takuya Katayama

Department of Mathematics
Hiroshima University
本稿は right‐angled Artin 群の間の埋め込みの障害について概説し,問題を提示するものである.

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導入$\Gamma$ を(単純な) 有限グラフとし, V( $\Gamma$)=\{\mathrm{v}\mathrm{i}, \mathrm{v}_{2}, . . ., v_{n}\} を $\Gamma$ の頂点集合, \mathrm{E}(\mathrm{r}) を $\Gamma$の辺集合とする.このとき, $\Gamma$ 上の right‐angled Artin 群 (RAAG) とは,次の群表示によって与えられる群である:

A( $\Gamma$)=\langle v_{1}, v_{2} , . . . , v_{n}| [v_{i}, v_{j}]=1 if \{v_{i}, v_{j}\}\in E( $\Gamma$)\rangle.
例えば,有限階数の自由アーベル群 (完全グラフ上のRAAG) と有限階数の自由群 (辺のないグラフ上のRAAG) はRAAGの例である.また,有限グラフの同型類とRAAGの同型類は1対1に対応することが知られており,RAAGは自由群と自由アーベル群の中間に位置する群である.

よく知られているように,有限階数の自由アーベル群の (有限生成) 部分群は再び有限階数の自由アーベル群であり,有限階数の自由群の有限生成部分群は再び有限階数の自由群である.RAAGの間の埋め込みの研究は,このような古典的な研究から始まっていると言っていいだろう.上記の特別なRAAGでは,RAAGの有限生成部分群はまたRAAGである,という構図が成り立っている.一般のRAAGについて同様のことを最*tkatayamaQhiroshima‐u. ac. jp

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初に研究したのは Baudisch の論文 [2] であり,そこでは RAAG の2元が生成する部分群は再びRAAG, すなわち無限巡回群力\backslash , 階数2の自由アーベル群か\sear ow 階数2の自由群のいずれかである,ということが示されている.ところが,RAAGの一般の有限生成部分群は必ずしもRAAGでない一実際,RAAGの有限生成部分群としてRAAGでないものが存在するーということがDroms (有限生成であるが有限表示ではない部分群を発見)
らによって明らかにされた.現在ではRAAGの有限生成部分群の研究として色々なものをあげることができるが,ここでは深く立ち入らない.一つの大きな成果として,Agol[1] とWise [12] により,有限体積をもつ非常に多くの完備3次元双曲多様体の基本群がRAAGに埋め込まれているということが知られている.

RAAGの間の埋め込みの研究は,“与えられた2つのRAAGの間に埋め込みが存在するか否かを決定せよ” (cf. [8]) という古典的で素朴な問いに根差したものであるが,Baudisch の研究以降この方向の研究は30年ほど沈黙を保った.しかし近年になって

Kim‐Koberda [8] が写像類群の古典的な手法を RAAG の間の埋め込みの研究に持ち込み,発展のための口火を切った.そしてRAAGの間の埋め込みの研究の土台一定理2.1

及び定理4.6—が与えられた.この2つの定理によって埋め込みの研究の指針が与えられたわけであるが,埋め込みの存在を言う研究も非存在を言う研究もまだまだやるべきことが非常に多くある.本稿は,まだ組織的な研究の少ない,埋め込みの非存在の研究に焦点をあて,結果の紹介と問題の提示を行う.
本稿は次のような構成で書かれている.2章では,RAAGの間の埋め込みを研究する

うえで基本的な役割を果たすextension graph について簡単な紹介を行う.3章は,埋め込みの障害について知られている結果を紹介することに捧げられる.埋め込みの障害に関する問題の提示は4章において行われる.

2

Kim‐Koberda O) extension graph
以下は本稿全体に渡って使われているグラフの記号である.
\bulletK_{n} :n頂点からなる完全グラフ,すなわち, K_{n} は n 個の頂点からなり,2つの異なる頂点のペアは必ず辺を張る.
\bulletP_{n} : n 頂点からなる道グラフ,すなわち, P_{n} は n 個頂点からなり,かつ単位区間と同相である.
\bulletC_{n} : n (\geq 3) 頂点からなる巡回グラフ,すなわち, C_{n} は n 個頂点からなり,かつ単位円周と同相である.

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有限グラフ $\Gamma$ に対して,その extension graph $\Gamma$^{e} とは, A( $\Gamma$) の語のうち, $\Gamma$ の頂点と共役なもの全てからなる集合を頂点集合とし,その2つの語が辺を張るのは可換なときかつその時に限る,として定義されるグラフである.また,グラフ $\Lambda$ からグラフ $\Gamma$ へ誘導
部分グラフとしての埋め込みが存在するとき, $\Lambda$\leq $\Gamma$ と書くことにする.

次の定理にあるように,extension graph はRAAGの間の埋め込みを与える.

定理2.1 ([8]). $\Lambda$, $\Gamma$ を有限グラフとする.もし $\Lambda$\leq$\Gamma$^{e} ならば, A( $\Lambda$)\mapsto A( $\Gamma$) .
定理2.1が一般にどれほどの埋め込みを与えているかは気になるところであるが,これについては次の事実が知られている.

定理2.2 ([4], [8]). 次の (1), (2) が成り立つ.

(i) $\Lambda$, $\Gamma$ を有限グラフとする.もし $\Gamma$ がtriangle‐free (i.e., C_{3}\not\leq $\Gamma$ ) ならば, A( $\Lambda$)\mapsto
A( $\Gamma$) なることと $\Lambda$\leq$\Gamma$^{e} なることは同値である.

(2) A(C_{5})\mapsto A(P_{8}^{c}) であるが, C_{5}\not\leq(P_{8}^{c})^{\mathrm{e} .

定理2.2(1) において, $\Gamma$ がtriangle‐free であることと A( $\Gamma$) に含まれる自由アーベル群の最高階数が2であることは同値であることに注意しておく.このような特別なRAAG

A( $\Gamma$) への埋め込みの存在性について考えるときには $\Gamma$^{e} を見れば十分である,ということ

を定理2.2(1) は主張している.一方,定理2.2(2) は,extension graph からは誘導されない埋め込みが一般の状況では存在することを主張している.このようなextension graphから誘導されない埋め込みは一般には非常に多く存在すると考えられる.この方向の研究については,[7] , [10], [11] が知られている.
次の定理は , 有限グラフ $\Lambda$ と $\Gamma$ が与えられたときに, $\Lambda$\leq$\Gamma$^{e} と $\Lambda$\not\leq$\Gamma$^{e} のいずれが成立するかという問題は決定可能であることを主張している.

定理2.3 ([3]). $\Lambda$ と $\Gamma$ を有限グラフとし,数,K を $\Lambda$ の連結成分の数とし,$\Lambda$\leq B( $\Gamma$, R) . ここで B( $\Gamma$, R) は,

R:=n,M, K をそれぞれ $\Lambda$ の頂点数, $\Gamma$ 頂点4Kn^{2}M^{K+1} とおく.もし $\Lambda$ \leq $\Gamma$^{e} ならば,$\Gamma$^{e} の頂点のうち A( $\Gamma$) における word length が R 以下の頂点たちが誘導する $\Gamma$^{e} の誘導部分グラフである.

B( $\Gamma$, 1)= $\Gamma$ に注意しておこう.また,定理で与えられている定数 R は特別なケースにおいては最良でない.例えば,からである.

$\Lambda$ が初めから $\Gamma$ の誘導部分グラフなら,R=1ととれる

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埋め込みの障害
この章ではRAAGの間の埋め込みに関する非自明な障害を解説する.まず,知られている埋め込みの障害を以下にリストアップしておく.
\bullet

他のRAAGに埋め込まれるときにそのRAAGに制限を与えるRAAG.

\bullet

有限生成であるが有限表示でない群.

\bullet

グラフの彩色数.

これらを上の順番通りに説明していこう.

まず,埋め込まれるときに制限を与える RAAG について述べる.有限グラフ $\Lambda$ がlinear forest であるとは,$\Lambda$ の各連結成分が道グラフのときをいう.次の定理は linearforest 上の RAAG の埋め込みに関する分類定理であるが,障害としても価値があるので紹介する.

定理3.1 ([6]). $\Lambda$ をlinear forest の補グラフとし,$\Gamma$ を有限グラフとする.このとき,A( $\Lambda$)\mapsto A( $\Gamma$) なるための必要十分条件は, $\Lambda$\leq $\Gamma$ なることである.
この定理を具体的な埋め込みの問題に適用してみる.

例3.2. 自然数 n, m\geq 3 が n<m を満たすとする.この場合に A(C_{7n}^{c}) が A(C_{n}^{c}) に埋め込まれないことを定理3.1を使って証明してみよう.そこで A(C_{m}^{c})\mapsto A(C_{n}^{c}) と仮定して矛盾を導く.まず, P_{m-1} \leq C_{m} であるから P_{m-1}^{c} \leq C_{rn}^{c} である.従って,定理3.1
より A(P_{m-1}^{c})\mapsto A(C_{7n}^{c})\rightarrow A(C_{n}^{c}) である.よって再び定理3.1より, P_{m-1}^{c} \leq C_{n}^{c} であるが,これは n<m に反する.以上により A(C_{m}^{c}) は A(C_{n}^{c}) に埋め込まれない.

一方で, n\geq m のときには, A(C_{m}^{c})\mapsto A(C_{n}^{c}) が成り立つ [7].
定理3.1は次の定理を特別な場合に限って精密化したものである.
定理3. 3 ([3]) . $\Lambda$ をforest の補グラフとし,$\Gamma$ を有限グラフとする.このとき,A( $\Lambda$)\rightarrowA( $\Gamma$) なるための必要十分条件は, $\Lambda$\leq$\Gamma$^{e} なることである.
この定理と,定理2.3によって,forest の補グラフ上のRAAGから別のRAAGへの埋め込みがあるかないかを決定することが原理的にはできる.

次に,有限生成であるが有限表示でない部分群について解説する.

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定理3. 4 ([5]) .

$\Lambda$ を有限グラフとする.もし $\Lambda$ が長さ4以上の誘導巡回グラフをもつな

らば, A(\mathrm{A}) は部分群として有限生成だが有限表示でない群をもつ.
実例に適用してみよう.

例3 5. A(高) が A(C_{5}) を部分群にもたないことを証明してみよう.定理3.4により\cdot

A(C_{5}) は部分群として有限隼成だが有限表示でない群をもつ.一方, A(P_{4}) は3次元球面から長さ4のchain link を除いて得られる3次元多様体の基本群である (cf. [5]). 従って A(P_{4}) の任意の有限生成部分群は有限表示をもつ.以上により, A(P_{4}) は A(C_{5}) を部分群としてもたない.

この例は,定理3.1の適用限界を示しているように思われる.例3.5により, A(P_{4}) はA(C_{5}) を部分群として含まないことが分かっているが,今度は定理3.1を使って同じことを考えてみよう. C_{5} の補グラフは自分自身であり, P_{4} の補グラフも自分自身である.

すぐに分かるように, C_{5} に誘導部分グラフとして含まれる linear forest は,島にも誘導部分グラフとして含まれる.従って,例3.2のような (標準的とも思える) 使い方ではA(P③が A(C_{5}) を持つかどうかは分からない.
最後の障害としてグラフの彩色数を紹介する.グラフ $\Gamma$ の頂点彩色に関する彩色数をc(\mathrm{r}) と記す.

定理3.6 ([8]). 任意の有限グラフ $\Gamma$ に対して c($\Gamma$^{e})=c( $\Gamma$) が成り立つ.
この定理と定理3.3を組み合わせることで結論の情報は落ちるが扱いやすい系が得られる.

系3 7. $\Lambda$ をforest の補グラフとする.このとき, A( $\Lambda$)\mapsto A( $\Gamma$) が成り立つ任意の有限\cdot

グラフ $\Gamma$ に対して, c( $\Lambda$)\leq c(\mathrm{r}) が成り立つ.

彩色数と埋め込みの関係の研究のアイデア自体は写像類群の研究から来たのではないかと思われる.重要なのは彩色数が有限であるグラフの “clique graph” の彩色数もまた有限であるという事実 [9] であると著者は考えている.これにより,“forest の補グラフ” という仮定のない,一般のRAAGの埋め込みの障害を構成できるが,これに関する有効な研究はまだない.

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4

今後の課題
今後の課題について述べよう.次の問題は,与えられたRAAGが閉双曲的閉曲面の基本群を部分群にもつか否かという問題と深く関わっており,重要な問題であると思われる.この問題の性質を満たすグラフは現状では,“閉双曲的曲面の基本群を部分群として持たないと想定されているRAAGの定義グラフ” である.

問題4.1. 次の性質をもつ有限グラフ $\Gamma$ を決定せよ.任意の m\geq 5 に対して, A( $\Gamma$) はA(C_{m}) を部分群にもたない.
実際に上の問題の性質をもつグラフの例を与えておこう.

命題4.2. 有限グラフ $\Gamma$ が恥を誘導部分グラフに持たないならば,任意の m\geq 5 に対して A( $\Gamma$) は A(C_{m}) を部分群にもたない.

証明.ある m\geq 5 に対して A( $\Gamma$) は A(C_{m}) を部分群にもつならば,$\Gamma$ は島を誘導部分グラフに持つことを示す.まず, P_{4} \leq C_{m} であるから,A(島) \mapsto A(Cm) である.従って, A(P_{4})\mapsto A( $\Gamma$) が得られる.一方, P_{4}=P_{4}^{c} であるから高はlinear forest の補グラ
フであって,定理3.1より高 \leq $\Gamma$ .

口A(P_{4}) も任意の m\geq 5 に対して A(C_{m}) を部分群にもたないので,上の命題は問題4. 1の完全な解答にはならないことに注意しておく.
次の問題は問題4.2と類似の問題ではあるが,より具体的である.

問題4.3. m\geq 5,nを正整数とする. A(C_{m}^{c}) が A(P_{n}^{\mathrm{c} ) に埋め込まれるかどうかを決定せよ.

例えば, A(C_{5}^{c})=A(C_{5}) が A(P_{n}^{c}) (5\leq n\leq 7) に埋め込まれるか否かはまだ決定されていないと思われる.一般の場合には,次の定理が知られている.

定理4.4 ([6], [11]). 正整数 m, n に対して, 2m-2\leq n ならば A(C_{m}^{c})\rightarrow A(P_{n}^{\mathrm{c}}) . 逆に, A(C_{m}^{c})\mapsto A(P_{n}^{c}) ならば m-1\leq n.
定理3.3は色々な応用をもつので,一般化できるかできないかを検討することは有意義であると思われる.

問題4.5. 次の性質をもつ有限グラフ $\Lambda$ を決定せよ. A( $\Lambda$)\mapsto A( $\Gamma$) が成り立つ任意の有66限グラフ $\Gamma$ に対して, $\Lambda$\leq$\Gamma$^{e} が成り立つ.
定理3.1についても同様の問題を考えることができるが,これについては既に解かれている [6]. また,Casals‐Ruiz は定理3.3を得るために次の定理を用いている.従って,もしforest の補グラフ以外にも上の性質を満たすグラフがあるとすれば,次の定理から得られる可能性が十分にある.

定理4.6 ([8]). もし A(\mathrm{A})\mapsto A(\mathrm{r}) ならば,有限な誘導部分グラフ \overline{ $\Gamma$}\leq$\Gamma$^{e} と埋め込み$\psi$ : A( $\Lambda$)\rightar ow A(\overline{ $\Gamma$}) (\mapsto A(\mathrm{r})) が存在して次が成り立つ : 任意の頂点 v\in V(\mathrm{A}) に対して,$\psi$(v) \in A(\overline{ $\Gamma$}) の A(\overline{ $\Gamma$}) における最小表現 g_{i_{1}}g_{i_{2}} .. . g_{i_{n}} に現れる \overline{$\Gam a$} の頂点 g_{i_{1}}, 9i_{2} , . . . , g_{i_{n}}は互いに可換である.

また,問題4.5の性質を満たすグラフは次の問題の性質をも満たす.

問題4.7. 次の性質をもつ有限グラフ $\Lambda$ を決定せよ. A( $\Lambda$)\rightarrow A( $\Gamma$) が成り立つ任意の有限グラフ $\Gamma$ に対して, c( $\Lambda$)\leq c( $\Gamma$) が成り立つ.
グラフの不変量と埋め込みの問題を結びつけるのも面白いだろう.ここでは頂点数との関係について問題を1つ提示しておく.

問題4.8. 次の性質をもつ有限グラフ $\Lambda$ を決定せよ. A( $\Lambda$)\mapsto A( $\Gamma$) と | $\Lambda$| \geq| $\Gamma$| が同時に成り立つ有限グラフ $\Gamma$ は $\Lambda$ に限る.ここで, |\cdot| はグラフの頂点数を表す.
定理3. 1により,linear forest の補グラフは自動的にこの性質をもつことに注意せよ.
また,証明なしで次の例を紹介しておく.

命題4.9. $\Gamma$ を有限グラフとする.もし A(P_{1}\sqcup K_{n})\rightarrow A(\mathrm{r}) かつ |P_{1}\sqcup K_{n}|(=1+n)\geq| $\Gamma$|

ならば, $\Gamma$=P_{1}\sqcup K_{n}.
グラフ P_{\mathrm{i}}\sqcup K_{n} はforest の補グラフであるので,この方向から例を一般化することもできるだろう.実際,一部のforestの補グラフはこの性質をもつことが証明できる.しかし一般の forest の補グラフがこの性質をもつか否かはまだ分かっていない.また,forestの補グラフ以外のグラフはどうであるかいついては著者は何も知らない.

埋め込みの障害と言えるほどの結果がまだ発表されていないということと,,著者の調査不足もあって,完備双曲多様体の基本群からRAAGへの埋め込みについて何も書くことができなかった.しかし双曲多様体の基本群は埋め込みの障害の潜在的ではあるが非常に有力な候補である.これについては別の機会に詳しく書きたい.

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謝辞
京都大学数理解析研究所にて開催された研究集会 “離散群と双曲空間のトポロジーと解析” で著者が講演した内容の一部と,それを発展させた論文 [6] が講究録執筆の動機となっている.その研究集会を組織してくださり,著者に講演の機会と講究録執筆の機会をくださった藤井道彦先生に心よりお礼申し上げます.

参考文献[1] I. Agol, ‘The virtual Haken conjecture’, Doc. Math. 18 (2013) 1045‐1087.
[2] A. Baudisch, ‘Subgroups of semifree groups’, Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 38(1981), no. 1‐4, \mathrm{i}9-28.
[3] M. Casals‐Ruiz, ‘Embeddability and universal equivalence of partially commuta‐tive groups’, Int. Math. Res. Not. (2015) 13575‐13622.

[4] M. Casals‐Ruiz, A. Duncan and I. Kazachkov, ‘Embeddings between partiallycommutative groups: two counterexamples’, J. Algebra 390 (2013) 87‐99.

[5] C. Droms, ‘Graph groups, coherence, and three‐manifolds’, J. Algebra, 106 (1987)
484‐489.

[6] T. Katayama, ‘Right‐angled Artin groups and full subgraphs of graphs’, preprint,available at arXiv: 1612.01732.

[7] S. Kim, ‘Co‐contractions of graphs and right‐angled Artin groups’, Algebr. Geom.
Topol. 8 (2008) 849‐868.

[8] S. Kim and T. Koberda, ‘Embedability between right‐angled Artin groups’,Geom. Topol. 17 (2013) 493‐530.
[9] S. Kim and T. Koberda, ‘An obstruction to embedding right‐angled Artin groups

in mapping class groups’, Int. Math. Res. Not. 2014 (2014) 3912‐3918.
[10] S. Kim and T. Koberda, ‘Anti‐trees and right‐angled Artin subgroups of braid
groups’, Geom. Topol. 19 (2015) 3289‐3306.

[11] E. Lee and S. Lee, ‘Path lifting properties and embedding between RAAGs’, J.
Algebra 448 (2016) 575‐594.

[12] D. Wise, ‘The structure of groups with a quasiconvex hierarchy’, preprint (2011)available at http: / \mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w} .math.mcgill.ca /\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}/ papers.html.