数理解析研究所講究録1100 巻 1999 年 27-43

27

無限次元空間上の測度論における–DJ-測ノルムの役割について
お茶の水女子大学理学部 前田ミチエ (Michie Maeda)
同人間文化研究科 渋谷真由美 (Mayumi Shibuya)
同人間文化研究科 坂東寿恵 (Toshie Bandou)

1

序

無限次元位相線型空間上の測度論は 1950 年代の Prokhorov,Sazonov,Minlos の仕事. に始まったと言える。その後 1962 年に Gross が可測ノルムの概念を導入し抽象 Wiener
空間の理論を創った。 この可測ノルムであるが Gross は主に Gauss シリンダー測度に関するもののみを扱ったが、 1971 年に Dudley-Feldnlan-Le Cam が–般のシリンダー測度に対して radonifying の条件と同値になるような新しい可測ノルムの概念を導入した。 これら 2 種類の可測ノルムの概念 (これ以後 Gross による方を (G) 可測ノルム、
Dudley 等による方を (D) 可測ノルムと表すことにする) はかなり近いものではあるが微妙に異なる部分を持つ。 この両者の間の関係について first author は 1980 年代の初めにいくつかの結果を出している。その後、 目を転じて Banach 空間上の Sazonov 位相の研究において、再び可測ノルムが登場した。 これを用いることで従来の方法とは異なる方法で Sazonov 位相を求めることができる。そこで我々は無限次元実 Hilbert 空
間更には無限次元実 Banach 空間上の測度論においてこの可測ノルム (いずれにしても) がどのような役割を演じているのかをあらためて解明していきたいと思う。この論文ではその第–歩として主に Hilbert 空間上で二つの可測ノルムについていろいろな$\mathrm{G}_{\mathrm{s}}\mathrm{D}$方向から解析してみようと思う。
まず第 3 章では回転不変、回転準不変シリンダー測度について (G) 可測ノルムが連続になること又ある意味で metric approximation property を持つこと等を直接証明する。更に Gauss シリンダー測度を取り巻く回転不変、回転準不変シリンダー測度の間ではノルムが (G) 可測になることが同値であることを示す。第 4 章は二つの可測ノル
ムの条件に類似の条件すべてをもとめ (ここでは全体で 6 個) それらの間の関係を示しながら可測ノルムを取り巻く最近の結果を紹介する。第 5 章は前章で求められた条件について例を挙げて検証する。

28

2

準備

この論文を通して H で実可分 Hilbert 空間を E で実 Banach 空間、 E’ で E の位相的>でノルムは $|\cdot|=\sqrt{<,>}$ で $E$ と E’ の双対を表す事とする。又 H 上の内積はで表す。
natural pairing は$<\cdot,$$\cdot$$(\cdot, \cdot)$$\xi_{1},$のとき、$\ldots,\xi_{n}\in E’$$—$

を $E$ から$\mathrm{R}^{n}\text{への^{}\backslash }\prime \mathrm{A}\prime_{\mathrm{J}}\text{ような写像とす_{る}}$。

$(x\in E)$$—(x)=\{(x,\xi 1), \ldots, (_{X},\xi_{n})\}$

として $D\in B(\mathrm{R}^{n})$ のときに三-1 $(D)$ を $E$で表す。 これは algebra で上のシリンダー集合という。 $E$ のシリンダー集合全体をこのとき、 Rn 上の Borel -algebra を$\sigma$$\mathcal{B}(\mathrm{R}^{n})$$C_{E}$となる。 ここで\mbox{\boldmath $\sigma$}(CE) はから生成される -mlgebra. $B(E)$ は E 上の Borel -algebra であるから閉区間 $[0,1]$ への写像とし、次の二つの条件を満たすときに、 この\mu
次に\mu をあるが\mbox{\boldmath $\sigma$}-algebra ではない。 E が可分なら$C_{E}$$\#\mathrm{f}^{\backslash }\sigma(c_{E})=\mathcal{B}(E)$$\sigma$$\sigma$$0$$C_{E}$

をシリンダー測度という。
(1) $\mu(E)=1$から生成されるシリンダー集合からなる(2) を加法性を満たす。
$\mu$$\xi_{n}$$\xi_{1},$$\sigma-$$\ldots,$.

algebra に制限すると、$\sigma-$を $H$ の有限次元直交射影 $P$ の半順序集合とする。 ( $P,$ $Q\in F$ に対し、それらの値域が直交していることを $P\perp Q$ と表し、 $PH\supset QH$ であることを $P>Q$ と表すこ$F$とにする。)の Gauss シリンダー測度の定義)
次の条件を満たす $H$ 上のシリンダー測度 を、パラメータ一 $t.(t>0)$ の Gauss シ

定義 1(パラメーター

$t$

$\mu$

リンダー測度という。
$C=\{_{X}\in H : PX\in D\}$ のとき

ただし、 $P\in F,$ $n=dimPH,$ $D\in B(PH),$
このパラメーター$t$$\mu(C)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi}t)^{n}}\int D’,)\exp(-\frac{|a|^{2}}{2t^{2}}clx$$d_{X}$は PH 上の Lebesgue 測度とする。

の Gauss シリンダー測度を$\gamma^{t}$とかく。特に $t=1$ のときの$\text{を}\gamma k\mathrm{B}^{\mathrm{a}}\text{き_{}\tau}$$\gamma(C)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^{n}}\int D\exp(-\frac{|x|^{2}}{2})dX$のことを canonical な Gauss シリンダー測度という$0$

次に、 Hilbert 空間上で (G) 可測ノルムを定義する。

’$\gamma^{1}$

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定義 2(

$(\mathrm{G})$

任意の正の数

可測ノルムの定義)$\epsilon$

に対し、ある有限次元直交射影島が存在して、$P_{0}$に直交するどんな $F$ の元 $P$ に対しても、$\mu(\{x\in H : ||PX||>\epsilon\})<\epsilon$が成り立つとき、 $H$ 上のセミノルム$dimH=\infty$

ならば、$|\cdot|$は$\gamma$$||\cdot||$

は

$\mu$

に関して (G) 可測であるという。

に関して (G) 可測なノルムではない。

定義 3 (抽象 Wiener 空間の定義)に関する $H$ の完備化、に関して (G) 可測なノルムとし、 $B$ をを $H$ から $B$ への埋め込み写像とする。このとき、$(i, H, B)$ を抽象 Wiener 空間という。
$||\cdot||$

を $H$ の$i$$||\cdot||$$\gamma$定義 4(回転不変測度の定義)
を $H$ 上のシリンダー測度とする。 $C$ を $H$ の任意のシリンダー集合とし、

$\mu$

$H$

$?l$,

を

上の任意のユニタリ作用素とする。
$\mu(C)=\mu(u(C))$

が成り立つとき、$\mu$を回転不変という。

は回転不変だが、$\gamma^{t}$$\sigma-$

加法的ではない。

また、回転不変シリンダー測度に関する極めて重要な性質を次の定理で示す。都合
上、原点での Dirac 測度をとかくことにする。
$\gamma^{0}$

定理 1[Umemura][16]を $H$ 上のパラメーター $t.(t, >0)$ の Gauss
を実可分無限次元 Hilbert 空間、シリンダー測度とする。 を $H$ 上の回転不変シリンダー測度とすると、 に対して、上の Borel 確率測度が対応して\mu は次のように表現される。任意のシリンダー
集合 に対して、$H$$\gamma^{t}$

$\mu$

$\mu$

$[0, \infty)$$\sigma_{\mu}$$A$$\mu(A)=\int_{0}^{\infty}\gamma^{t}(A)d\sigma_{\mu}(t)$この定理は回転不変シリンダー測度を扱う上で大変有効な働きをする。
次に、 回転準不変シリンダー測度を定義する。

30

定義 5(回転準不変測度の定義)
任意の正の数 に対して、ある正の数
任意のシリンダー集合 $A,\text{に対して_{、}}$が存在して、任意のユニタリ作用素$\delta$$\epsilon$$n$と$\mu(A)<\delta\Rightarrow\mu(u(A))<\epsilon$が成り立つとき、 $H$ 上のシリンダー測度
一般に、$\mu,$

$\nu$

$\mu$

を回転準不変シリンダー測度という。

を Banach 空間上のシリンダー測度とする。 このとき、任意の $\epsilon>0$に対して、ある $\delta>0$ が存在して、任意のシリンダー集合
に対して、 $\nu(A)<\delta$ な
らば $\mu(A)<\epsilon$ が成り立つとき、 はに関してシリンダー的に絶対連続であるとい
かつ
とかく。
い、
であるとき、 とはシリンダー的に同値であるといい、とかく。
したがって、定義 5 は、任意のユニタリ作用素 に対して、を意味しのもとでの の像測度である。
ている。ただし、 $u^{-1}(\mu)$ は写像
$A$

$\nu$

$\mu$

$\mu\ll_{c}\nu$$\mu\ll_{C}\nu$$\nu\ll_{C}\mu$

$\nu$

$\mu$

$\mu\sim_{c}\nu$$\mu_{!\sim}cu^{-1}(\mu.)$$u$$u^{-1}$$\mu$

最後に、 回転準不変シリンダー測度について既にわかっている定理を述べておく。

定理 2[12]上のシリンダー測度 が回転準不変であることと、を満たすような $H$
上の回転不変シリンダ一測度 が存在することとは同値である。
$H$$\mu\sim$ 。

$\mu$$\lambda$$\lambda$

次に (D) 可測ノルムの定義をする。

定義 6(
任意の
に対しても,$\epsilon$$(\mathrm{D})$可測ノルムの定義)に対し, ある $G\in FD(H)$ が存在して, $F\perp G$ となるどんな $F\in FD(H)$$\mu(\{x\in H;\text{ノ}||x-F^{\perp}||<\mathit{6}\})\geq 1-\epsilon$はが成り立つとき, $H$ 上のセミノルムに関して (D) 可測であるという.
で $FD(H)$ は H 上の有限次元部分空間の全体を表す。
$||\cdot||$

ノルムト 1 が,$\mu-(\mathrm{G})$$\mu$

可測ノルムならば,$\mu-(\mathrm{D})$

可測であることが, 次のように二つの条件を書き換えてみると分かりやすい。
$H$

上のセミノルム$||\cdot||$が$\mu-(\mathrm{G})$可測セミノルムである.
$\Leftrightarrow$

ここ

31

任意の に対し, ある $G\in FD(H)$ が存在して; $F\perp G$ となるどんな $F\in FD(H)$ に対しても,$\epsilon$$\mu(N_{\epsilon^{\cap}}F+F^{\perp})\geq 1-\epsilon$が成り立つ. ただし,$H$

$N_{\epsilon}=\{x\in H;||x||\leq\epsilon\}$

上のセミノルム$||\cdot||$が$l^{\mathrm{J}^{-}(\mathrm{D}}$である。

) 可測である.
$\Leftrightarrow$

任意の に対し, ある $G\in FD(H)$ が存在して,対しても,$\epsilon$$F\perp G$となるどんな $F\in FD(H)$ に$\mu(P_{p}(N_{\epsilon})+F^{\perp})\geq 1-\epsilon$が成り立つ. ただし,

$P_{F}$

は $H$ から $F$ への直交射影とする.

今までに知られているところでは、 (G) 可測と (D) 可測が同等になるようなシリン
ダー測度の範囲で最大のものは GRQI- シリンダー測度 ([14]) であるが、 この中には\mbox{\boldmath $\gamma$}t
は勿論、回転不変、回転準不変シリンダー測度も含まれる。 しかし–般には (G) 可測と (D) 可測の概念は–致しないということも [13] のなかで反例をあげて示している。

3

回転不変、 回転準不変シリンダー測度の性質
Hilbert 空間上の \mbox{\boldmath $\gamma$}-可測なノルムについては、今までに多くの結果が得られている。

一般のシリンダー測度$\mu$についても \mu \rightarrow 可測なノルムという概念は定義されているが、その性質についてはあまり検討されていない。 ここでは、特に が回転不変、 回転準不変な場合について調べてみたい。 Gauss シリンダー測度についてよく知られている
,

$\mu$

性質のうち、 どこまでが拡張できるのだろうかということを検討してみた。
まず最初に、 \mu -可測なセミノルムの連続性という重要な性質があることがわかる。
これを示すために、次の補題から始める。

補題 1$\mathrm{R}$上に次のような測度

$\mu$

を考える。

$\mu([a, \infty))=\int_{0}^{\infty}[\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\int_{a}\infty)\exp(-\frac{|x|^{2}}{2t^{2}})dX]d\sigma(t$ここで$\sigma$は $[0, \infty)$ 上の Borel 確率測度、 $dx$ は Lebesgue 測度、

$a$

は

$0$

以上の実数とする。

とおくと、 $\sigma(\{0\})=0$ ならば、 $F$ は $[0, \infty)$ で連続であり、 $0<$
に対して、$F(a)=\mu([a, \infty))$$b \leq\frac{1}{2}$

なる任意の

$b$

$F(a)=\mu([a, \infty))=b$

32

となる

$a$

が存在する。

(証明)
Fubini の定理より、$\mu([a, \infty))=\int_{a}^{\infty}[\int_{0}\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\exp(-\frac{|x|^{2}}{2t^{2}})d\sigma(t)]dX$が成り立つ。 ここで、
$f(x)$$= \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\exp(-\frac{|x|^{2}}{2t^{2}})d\sigma(t)$$g_{x}(t)$$=$とおく $00\leq x_{1}<x_{2}$ に対し ‘$\frac{1}{\sqrt{2\pi}t}\exp(-\frac{|x|^{2}}{2t^{2}})$$g_{x_{1}}(t)\geq g_{x_{2}}(t)$より $f(x_{1})\geq f(x_{2})$ となり、 は単調減少$f$関数である。
次に、 が $[a, \infty)$ で連続関数になることを示す。 $x\in[a, \infty)$ とし束する $[a, \infty)$ 上の任意の点列とする。 このとき、 $a>0$ ならば、$\int_{0}^{\infty}g_{a}(t)d\sigma(t)<\infty$

を

$x$

に収

$|g_{x_{n}}(t)|\leq j_{(\iota}((t)$

かつ

$f$

$\{x_{n}.\}$

なので、 Lebesgue の収束定理より、$\lim_{narrow\infty}f(x_{n})$$= \lim_{narrow\infty}\int_{0}^{\infty}g_{x_{\mathfrak{n}}}(t)d\sigma(t)$$= \int_{0}^{\infty}arrow\lim_{n\infty}g_{x}n(t)d,$ $\sigma(t)$$= \int_{0}^{\infty}g_{x}(t)d\sigma(t).=f(_{X})$で連続であることが示された。
$x_{n}arrow\infty(narrow\infty)$ のときも同様に、となり、戸は$x$$\lim_{narrow\infty}f(X_{n})=\int_{0}^{\infty}\mathrm{o}d\sigma(t)=0$$a=0$となる o さらに、とすると、
$F(0)= \mu([\mathrm{o}, \infty))=\int_{0}^{\infty}\gamma_{t}([0, \infty))d\sigma(t)=\frac{1}{2}\sigma(10, \infty))=.\frac{1}{2}$となることから、 $F(a)= \int_{a}^{\infty}f(x)dx$ は値域を$(0, \frac{1}{2}]$とする単調減少連続関数となることがわかる。
よって、 中間値の定理より、$0<^{\forall}b \leq\frac{1}{2}$に対して、$F(a)=\mu([a, \infty))=b$

となる

$a$

が存在する。

$\ovalbox{\tt\small REJECT}$

33

この補題 1 がこの章の主定理である定理 3, 定理 4 を導く重要な役割を果たす。
紙面の関係でこれらについては結果のみを示す。

補題 2
原点での Dirac 測度

ではない任意の回転不変シリンダー測度 はをみたす回転不変シリンダー測度 を使って、 $\mu=\alpha\delta_{0}+\beta\nu(0\leq\alpha<1,0<\beta\leq$,$\delta_{0}$$\mu$$\sigma_{\nu}(\{0\})=0$$\nu$$1,$ $\alpha+\beta=1)$とかける。 このとき、$\mu-(\mathrm{G})$

可測と

定理 3
\mu を ではない回転不変シリンダー測度、$\delta_{0}$とすると、 ある定数$c$$\nu-(\mathrm{G})$$||\cdot||\mathrm{g}_{H}$が存在して、任意の H の元$x$

可測は同値である。

上の$\mu_{l}-(\mathrm{G})$可測なセミノルムに対して、$||x||\leq c|x|$

となる。

つまり、

$\mu-(\mathrm{G})$可測なセミノルムは Hilbert 空間上で連続になるということがいえる。

定理 4
ではない回転不変シリンダー測度、\mu を$\delta_{0}$$||\cdot||$

を H 上の$\mu-(\mathrm{G})$可測なセミノルム、 $\{a_{n}\}_{n=0,1,2},\ldots$ を正数列とする。 このとき、次を満たすような有限次元直交射影の列{Qn}?1=0,1,2,... が存在する。
(1)$Q_{j}Q_{k}=\delta jkQ_{j}$(2)$||x||0 \equiv.n\sum_{=0}a_{n}||\infty Q_{n}X||$,$\sum_{n=0}^{\infty}QnI=$(強収束)が各 $x\in H$ に対し収束し、 ||x||。は$\mu-(\mathrm{G})$可測なセミノルムになる。

この定理 4 から次の系 1 がわかる。

系1\mu を ではない回転不変シリンダー測度とする。 $(i, H, B)_{\mu}$ を\mu について–般化し$\delta_{0}$た抽象 Wiener 空間とする。 このとき、以下を満たすような について–般化された
別の抽象 Wiener 空間と、 に強収束する有限次元直交射影の増加列が存在する。
ノルムは B- ノルムより強い。 (ゆえに(1))
は連続性により(2)の射影に拡張される。
はでノルムに関して(3)に強収束する。
$\mu$$I$$(i_{0}, H, B_{0})_{\mu}$$B_{0^{-}}$$B_{0}\subset B$$P_{n}$$\tilde{P}_{n}$$\{P_{n}\}$$\tilde{P}_{n}$$B_{0}$$B_{0^{-}}$$B_{0}$

$I$

34

注意

可測なノルムによって完備化された Banach 空間が mmetricproperty をもつという重要な性質が、上の結果から、\mu が回転不変な場合に\mu -(G) 可測
なノルムについてもいえることがわかった。
$\gamma-(\mathrm{G})$$\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{X}\mathrm{i}\mathrm{n}1_{\mathcal{L}}\backslash \mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$更に、回転不変シリンダー測度に関する (G) 可測性に関して次のようなことが成り立つことを直接証明する。

定理 5$RI(H)$ を $H$ 上の回転不変シリンダー測度の全体で、がする。 このとき、意の $\nu\in RI(H)$ に対して$||\cdot||$$\mu-(\mathrm{G})$$||\cdot||$

可測となるような$||\cdot||$

を $H$ 上のセミノルムとが存在すれば、任$\mu\in RI(H)\backslash \{\delta 0\}$は \nu (G)-可測である。

(証明)
がまずはじめに、可測となるような $i->0$ が存在すれば、任意の $t>0$
はに対して可測となることを示そう。
$H$ のシリンダー集合を $A=\{x\in H : Px\in D\}$ とすると、変数変換の定理より、
任意の $t,t_{0}>0$ に対して、$||\cdot||$$||\cdot||$$\gamma^{t_{0}}-(\mathrm{G})$$\gamma^{t}-(\mathrm{G})$(3.1)$\gamma^{t}(A)=\gamma^{t_{0}}(_{\perp}^{t}A)\underline{0}$が成り立つ。 したがって、定義より明らかである。
が次に、可測となるようなが存在するときに、が可測となるような $t>0$ が存在することを示そう。そのことを示す前に、任意のに対して、あるが存在して、 に直交する任意のに対して、$||\cdot||$$\mu-(\mathrm{G})$$||\cdot||$$\mu\in RI(H)\backslash .\{\delta_{0}\}$$\gamma^{t_{-}}(\mathrm{G})$$\epsilon>0$$P_{0}\in \mathcal{F}$$P\in \mathcal{F}$$P_{0}$

が成り立つということが、
ておこう。
そこで、

$||\cdot||$が$\mu-(\mathrm{G})$性の定義から、任意のの $P\in f$ に対して、$||\cdot||$が$\mu-(\mathrm{G})$可測であることと同値になることをを注意し可測となるような$\epsilon>0$(3.2)$(C>0)$$\mu(\{||Px||>\epsilon\})<c\epsilon$が存在するとき、可凝に対して、 ある $P_{0}\in F$ が存在して、に直交する任意$\mu\in RI(H)\backslash \{\delta_{0}\}$$P_{0}$.

$\mu(\{||Px||>\epsilon\})=\int_{0}^{\infty}\gamma^{t}(\{||Px||>\epsilon\})d\sigma_{\mu}(t)<\epsilon$

が成り立っている。 ここで、 $\sigma_{\mu}([u, \infty))=\alpha(0<\alpha\leq 1)$ となるようなとって固定すると、 この に対して、$u$$\int_{u}^{\infty}\gamma(t\{||PX||>\epsilon\})d\sigma(\mu t)<\epsilon$$\mathrm{c}\iota(>0)$

を1つ

35

が成り立つ。
に対し、$\forall_{t}\geq u$が成り立つとすると、$\gamma^{i}(\{||Px||>\epsilon\})\geq\frac{\epsilon}{\alpha}$$\int_{u}^{\infty}\gamma^{t}(\{||P_{X}||>\epsilon\})d\sigma_{\mu}(t)\geq\frac{\epsilon}{\alpha}\sigma_{\mu}([u, \infty))=\frac{\epsilon}{\alpha}\cdot\alpha=\epsilon$となり矛盾。 よって.

$\gamma_{t}(\{||P_{X}||>\epsilon\})<\frac{\epsilon}{\alpha}$となる $t\geq u$ が存在する。 このとき、$\forall_{t’}\leq u$に対しては $t’\leq t$ となるから、 (3.1) を

使うと、
$t’$
$\gamma^{t’}(\{||P_{X}||>\epsilon\})$

$=$

$<$

が成り立つ。 よって、 (3.2) より$||\cdot||$は$\gamma^{t}(\{||Px||>_{\overline{t}}C.\})$$\gamma^{t}(\{||Px||>\mathcal{E}\})<\frac{\epsilon}{\alpha}$$\gamma^{t’}-(\mathrm{G})$

可測となる

任意の $\nu\in RI(H)$ は定理 1 より$\nu(\{||Px||>\epsilon\})=\int_{0}^{\infty}\gamma(t\{||PX||>\epsilon\})d\sigma_{\nu}(t)$と表現され、$.\sigma_{\nu}$

は $[0, \infty)$ 上の Borel 確率測度なので、任意の $\epsilon>0$ に対して、$\sigma_{\nu}([u, \infty))<\frac{\epsilon}{2}$となるような $u>0$ が存在する。このに対して、可測より、任意の対して、ある P0\in F が存在して、恥に直交する任意の $P\in F$ に対して、とできる。 $0<t<u$ ならば、$u$$\gamma^{u}-(\mathrm{G})$$\epsilon>0$に$\gamma^{u}(\{||P!\cdot||>$$\epsilon\})<\frac{\epsilon}{2}$$\gamma^{t}(\{||Px||>\in\})=\gamma(u\{||P_{X}||>\frac{u}{t}\epsilon\})<\gamma^{u}(\{||Px||>\mathit{6}\})<\overline{2}\vee-\wedge$

なので、$\int_{0}^{u}\gamma^{t}(\{||P_{X}||>\epsilon\})d\sigma_{\nu}(t)<\frac{\epsilon}{2}\sigma\nu((0, u))\leq\frac{\epsilon}{2}$となり、 $t\geq u$ ならば、 $\gamma^{t}(\{||PX||>\epsilon\})\leq 1$ より.

$\int_{u}^{\infty}\gamma^{t}(\{||P_{X}||>\epsilon\})d\sigma_{\nu}(t)\leq\sigma_{\nu}([u, \infty))<\overline{2}c$

よって、任意の$P\in F$ に対して、$\epsilon>0$$\nu(\{||P_{X}||>\epsilon\})$に対して、ある$P_{0}$\in F が存在して、瑞に直交する任意の$=$$\int_{0}^{u}\gamma^{t}(\{||P_{X}||>\epsilon\})d\sigma_{\nu}(t)+\int_{u}^{\infty}\gamma^{t}(\{||P_{X}||>_{\vee}\overline{\vee}\})_{C}\iota\sigma_{\nu}(t.)$$<$$\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}<\epsilon$

36となって、任意の $\nu\in RI(H)$ に対して$||\cdot||$が$\nu-(\mathrm{G})$

可測となることがわかった o口注意\S 3 で今までに得られた定理の結果は、実はこの定理を使うと、 の場合に帰着でき$\gamma$

るので、別の証明で得られることになる。
がが可測であることが同可測であることとこの定理から、
値になることがわかったが、 このことを–般のシリンダー測度についても拡張することができる。それをまとめると次のようになる。
$||\cdot||$$||\cdot||$$\gamma-(\mathrm{G})$$\mu-(\mathrm{G})$系2を $H$ 上のシリンダー測度、 $A$ を $H$ のシリンダー集合とする。 $0<t<\infty$ のととし、新たにシリンダー測度 をき、$\lambda$$\lambda_{t}(A)\equiv\lambda(\frac{A}{t})$$\nu$$\nu(A)\equiv\int_{0}^{\infty}\lambda_{t}(A)d\mathcal{T}\nu(t)$上の Borel 確率測度とする。このとき、 $H$ 上のセミノと定める。ただし、 はルムがが可測であることと可測であることは同値になる。
$[0, \infty)$$\tau_{\nu}$$||\cdot||$$||\cdot||$$\lambda-(\mathrm{G})$$\nu-(\mathrm{G})$

最後に、定理 5 の結果が、回転準不変シリンダー測度の場合にまで拡張できること
を示す。

.

定理 6

$RQI(H)$ を $H$ 上の回転準不変シリンダー測度の全体で、ムとする。 このとき、$||\cdot||$が$\mu-(\mathrm{G})$ば、任意の $\nu\in RQI(H)$ に対して$||\cdot||$

を $H$ 上のセミノル可測となるようなは可測である。

$\mu\in RQI(H)\backslash \{\delta_{0}\}$$||\cdot||$が存在すれ$\nu-(\mathrm{G})$

このためには次の補題 3 と定理 2 を用いればよい。補題 3 の証明についてはやはり紙面の関係でここでは省略する。

補題 3$\mu,\nu$$\mu-(\mathrm{G})$を $H$ 上のシリンダー測度とする。

可測であることと$||\cdot||$が$\nu-(\mathrm{G})$ならば、 $H$ 上のセミノルム可測であることは同値である。
$\mu\sim$ 。 $\nu$$||\cdot||$が定理 6 から次の系がわかる。

系3$\mu\in RQI(H)\backslash \{\delta_{0}\}$空間上で連続になる。

とする o$||\cdot||$が$\mu-(\mathrm{G})$可測なセミノルムならば、$||\cdot||$

は Hilbert

37

また\tau$\{a_{n}\}_{n=0},1,2,\ldots$

を正数列とすると、定理 4 の (1) $,(2)$ を満たすような有限次元直交射影の列 {Qn}n=0,1,2,... が存在する。
注意

metric approximation property は、回転準不変シリンダ $-$ 測度に関して可測なノル
ムにまでいえたことになる。

4

可測セミノルムに準ずるいくっかの条件とその関係

無限次元の実可分 Hilbert 空間上のシリンダー測度を, 可算加法的測度に拡張するための条件としては, Gross や Dudley たちの定義した可測ノルムの他にも, Baxendale,Yan らによって, いくつか求められてきた. ここでは, それらの条件を紹介し, それらの関係について調べる.

まず次の定理を紹介しよう。

定理 7 [1,3,4,5,18]を実可分 Hilbert 空間 $H$ 上のシリンダー測度,
をノルム, $B$ をノルムによる $H$ の完備化とする. \mu の特性関数\mu ^ が $H$ 上で連続であると仮定する. このとき, 次の命題について, (5)が成り立つ.
$||\cdot||$$\mu$$||\cdot||$$\Rightarrow(3)\Rightarrow(4)\Rightarrow(6)\Rightarrow(1)\Leftrightarrow(2)$1.

上で可算加法的である. ここで像とすると、 $i(\mu)$ のことである。
$\mu^{*}$

は$C_{B}$

2. $H$ 上のノルム

3. $H$ 上のノルム
4.

$I$$||\cdot||$は$\mu-(\mathrm{D})$$||\cdot||\iota\mathrm{h}_{\mu-(\mathrm{G})}$に強収束する増加列$\mu^{*}$

は$i$

を $H$ から $B$ への埋め込み写可測である.

可測ノルムである.

$P_{n}\in \mathcal{F}$で, 任意の $\epsilon>0$ に対して$\lim\mu(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||>\epsilon\})=0$$n,marrow\infty$を満たすものが存在する.

5.

$I$

に強収束する $F$ の任意の列$P_{n}$が、 任意の$\epsilon>0$

に対して$\lim\mu(\{x\in H;||P_{nm}x-PX||>\epsilon\})=0$$n,marrow\infty$

を満たす.

38

6.

$I$

に強収束する $P_{n}\in F$ で,$\lim_{Narrow\infty}\lim_{narrow\infty}\mu(\{X\in H;\sup_{1\leq k\leq n}||P_{k}x||>N\})=0$を満たすものが存在する.

これらの条件が特殊なシリンダー測度に関しては同値になることを次に示す。

定理 8$\gamma$に対しては (1) $\sim(6)$ はすべて同値である.

定理 9
$\mu$

を $H$ 上の回転不変シリンダー測度とすると, 定理 7 の命題 (1) $\sim(6)$ はすべて同

値である.

(証明)
回転不変測度に関しては, (1), (2), (3), (4), (6) が全て同値になることはを示せばよい。
によってすでに証明されている。 ここでは (3)可測となることが可測ならば, ある $t>0$ が存在して, 卜 がが分かる.
は可測であることが分かる.
更に、任意の $t>0$ に関して,$\mathrm{M}_{\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{e}}\mathrm{d}\mathrm{a}[11]$$\Rightarrow(5)$$\mu-(\mathrm{G})$$||\cdot||$$||$$||\cdot||$$t(t>0)$ を固定すると,と, 任意の$\epsilon>0$$\gamma^{f}-(\mathrm{c}^{\mathrm{t}})$$\gamma^{t}-(\mathrm{G})$$||\cdot||\mathrm{B}\mathrm{a}’\gamma^{t}-(\mathrm{G})$

可測ならば,$I$に強収束する任意の$P_{n}\in \mathcal{F}^{\cdot}$に対して$\lim\gamma^{t}(\{x\in H;||P_{n}x-Pxm||>\epsilon\})=0$$n,marrow\infty$

が各

$t$

ごとに成り立つのは, 定理 8 より明らかである.

したがって, 任意の $t>0$ を固定した時,が決まり, $n,$に対し, あるの $\epsilon>0$$I$に強収束する任意の $P_{n}\in F$ と, 任意ならば,$m>n_{\mathit{0}}$$n_{0}$$\gamma^{t}(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||>\epsilon\})<\mathrm{c}^{\ulcorner}$が成り立つならば,$\mu(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||>\epsilon\})<\epsilon$が成り立つことを証明すればよい.

39$u>0$ を任意にとり固定すると,$\mu(\{||P_{n}x-P_{m}x||>\epsilon\})$.

$= \int_{\mathit{0}}^{\infty}\gamma^{t}(\{||Pxn-Pmx||>\epsilon\})d\sigma(\mu t)$$= \int_{0}^{u}\gamma^{t}(\{||P_{n^{X}}-P_{m}x||>\epsilon\})d\sigma_{\mu}(t)+\int_{u}^{\infty}\gamma^{t}(\{||P_{n}X-P_{m^{X}}||>\epsilon\})d’\sigma_{\mu()}t$が成り立つ. ここで,$u$に関しては, ある$n_{\mathit{0}}$が存在して, $n,$$m>n_{0}$ならば,$\gamma^{u}(\{||PnX-P_{m}x||>\epsilon\})<\frac{1}{2}\epsilon$

が成り立っているので,$0<t\leq u$ なる$t$については,$\gamma^{t}(\{||P_{n^{X}}-Pmx||>\epsilon\})<\frac{1}{2}\epsilon$が成り立つ. したがって,$\int_{0}^{u}\gamma^{t}(\{||P_{n}x-Pm^{X|}|>\epsilon\})d\sigma_{\mu}(t)<\frac{1}{2}\in\cdot\sigma_{\mu}([0, u))<\frac{1}{2}\epsilon$が成り立つ.
$t>u$ なる垣こついては,$\gamma^{t}$は有界測度であるから, どんな$\uparrow \mathrm{t},$$m$に対しても常に,$\gamma^{t}(\{||P_{n}X-P_{m}x||>\epsilon\})\leq 1$が成り立っている. したがって, 任意の\epsilon $>0$ に対し,を選べば,$\sigma_{\mu}([n, \infty))<\frac{1}{2}\epsilon$となるように$u$$\mu(\{||P_{n}x-P_{m}X||>\epsilon\})$$= \int_{0}^{u}\gamma^{t}(\{||P_{n}x-P_{m^{X}}||>\epsilon\})d\sigma_{\mu}(t)+\int_{u}^{\infty}\gamma^{t}(\{||P_{n}X-Pmx||>.c\})d\iota\sigma\mu(t)$$<\mathcal{E}$

したがって, (3)$\Rightarrow(5)$がいえた.

$\square$

定理 10
$\mu$

を $H$ 上の回転準不変シリンダー測度とすると, 定理 7 の命題 (1) $\sim(6)$ はすべて同値である.

(証明)
回転準不変測度に関しても, (1), (2), (3), (4), (6) が全て同値になることが Maeda,
を示せばよい。
[12] によっそすでに証明されている。 ここでは (3)$\Rightarrow(5)$40を満たすような $H$
は回転準不変シリンダー測度なので, 定理 2 より,に対し, $\mu(A)<\eta$
上の回転不変シリンダー測度\mbox{\boldmath $\lambda$} が存在する. よって, 任意のならば, $\lambda(A)<\epsilon(A\in cH)$ を満たすような\eta $>0$ が存在する.
ならば,とが存在して,
はに対し, ある可直なので,$\mu\sim_{c}\lambda$$\mu$$\epsilon>0$$\mu-(\mathrm{G})$$||\cdot||$$\epsilon_{1}$$P\text{ }P_{0}$$P_{\mathit{0}}\in\wp$$\epsilon_{\mathit{0}}$$\mu(\{||P_{X}||>\epsilon_{1}\})<\epsilon_{0}$を満たす. したがって,$P\text{ }P_{0}$ならば,$\lambda(\{||Px||>\mathcal{E}_{1}\})<\epsilon_{1}$は可測である.
が成り立つのでは (5) を満たす. すなわち,
定理 9 より,満たす.
に対し, あるとする. 任意の$||\cdot||$$\lambda-(\mathrm{G})$$\lambda$$\epsilon’>0$$\epsilon>0$$I$$n_{0}$に強収束するが存在して,$\mathcal{F}^{\cdot}$の任意の列濫が次を$n,$ $rn>n_{\mathit{0}}$ならば,$\lambda(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||>\epsilon’\})<\epsilon(4.1)$が成り立つ.

ならば I,(A) $<$という関係から, 任意の $\eta>0$ に対し,について$(A\in C_{H})$ を満たすようなが存在する. この によって決まるが存在は (4.1) が成り立っているので, このことから任意の $\eta>0$ に対し, あるならば,して, $n,$
ここで,$\lambda(A)<\epsilon$$\mu\sim_{c}\lambda$$\epsilon>0$$\eta$$\epsilon$$\uparrow?_{-}0$$n_{0}$$m>n_{\mathit{0}}$$\mu(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||>e’\})<\eta$が成り立つ.

口以上のことから, 定理 7 の命題がすべて同値になるようなシリンダ一測物で現在分かっている最も大きな集合は, 回転準不変なものの全体ということになる.

5$P^{2}$

空間上の例

空間上のノルムで, 前に示した定理 7 の 6 つの条件のうち, (1),(2), (4), (6) は満たすが (3), (5) は満たさないものを構成する.
ここでは,

5.1

\mu の構成の代数的双対空間で弱位相\mbox{\boldmath $\sigma$}((l2)’, ) を持つものとする. また,は番目が 1 の数列を含むものとする. ただし,の代数基底で,$(\ell^{2})^{*}$

を$\ell^{2}$$\ell^{2}$を$l^{2}$$l^{2}$$\{e_{n}\}_{n=1,2},\ldots$$\mathcal{I}$$e_{n}$

$n$

41

である.

$(0,0, \ldots,0,1, \mathrm{o}, \ldots)$$(l^{\mathit{2}})^{*}$との natural Pairing を$\ell^{2}$を次のように決める ;$\mathrm{a}\in(l^{2})^{*}$$(\cdot, \cdot)$$(\mathrm{a}, e_{n})=1$$n=1,2,$$(\mathrm{a}, e_{\alpha})=0$$e_{\alpha}\in \mathcal{I}\backslash \{e_{n}\}n=1,\mathit{2},\cdot\ldots$

で表す.

$\ldots$

このとき, ディラック測度を得るが, この\mbox{\boldmath $\delta$}a により導入される
上のシリンダー測度をとする. すなわち,
で表すと, 任意のの内積をの要素,
$y\in(l^{2})^{*}$$((y,\xi_{1}),$$(y, \xi_{n}))\in R^{n}$ に対応させる写像を三,
を
に対して,
また,
,
を $(<x, \xi_{1}>, \ldots, <x, \xi_{n}>)\in R^{n}$ に対応させる写像を
とする.
に対
して,
$\ell^{\mathit{2}}$$\delta_{\mathrm{a}}$$l^{2}$$\ell^{2}$$<\cdot,$ $\cdot>$$\mu$$\xi_{1},$$\ldots.,$$\xi_{n}$$x\in\ell\underline’$$\ldots,$$—$$D\in \mathcal{B}(R^{n})$$\mu((\text{三^{}\prime})^{-1}(D))=\delta_{\mathrm{a}^{(_{-}^{--}}}-1(D))$

とおけば,

5.2

$\mu$

は,

$\delta_{\mathrm{a}}$セミノルムにより導入されるシリンダー測度となる.
$||\cdot||$の構成を非負実数列で $m=1,2,$に対して, $\lambda_{2m}=0,$
は, 単調増加列
で, $\lim\lambda_{2m-1}=\infty$ を満たすものとする.
をによって張られる凸集合,
の開単位球
とし,
とおく. このとき,は, 開集合かつ, 円形凸, 吸収的である.
をに対しのゲージとする. すなわち,$\{\lambda_{n}\}$$\{\lambda_{2m-1}\}$$\ldots$$\dot{\Gamma}\text{を^{}marrow\infty}\{\pm\lambda_{n}(e_{1}+\cdots+e_{n});n=1,2, \ldots\}$$\mathcal{U}=\Gamma+B$$x\in l^{2}$$B$$\ell^{2}$$\mathcal{U}$$||x||$$\mathcal{U}$$||x||= \inf\{\alpha;x\in\alpha \mathcal{U}\}$が
このとき,で定義される連続ノルムであることは明らかである.
可測である (定理 7(1) (2) の条
上のように構或された連続なノルムが,可測ノルムではない (定理 7(3) の条件は満たさない) ことは,件を満たす) が,既に分かっている. (Maeda [13])上のことを整理すると, このノルムは, (1), (2) をみたし, (3), (5) を満たさないことになる. ここで, (4), (6) について調べてみることにする.
$||\cdot||$$\ell^{2}$$||\cdot||$$\mu-(\mathrm{D})$$\mu-(\mathrm{G})$5.3$||\cdot||$

は (4) を満たす

次に, ノルムが定理 7 の条件 (4) を満たすことを証明する. この証明によって, (6) を満たすことも明らかになった。
(証明)
をの有限次元部分空間への射影とすると, 明らかに,の張る$e_{2n+1}$である. このとき, $n>m$ とすれば, $(P_{n}-P_{m})$ {は yの張$||\cdot||$$l^{\mathit{2}}$$\ovalbox{\tt\small REJECT}$$P_{n}\uparrow I$$e_{1},$$\ldots,$$e_{2m+2,\ldots,2\mathcal{R}+1}e$42

る空間への射影なので, $\mu \mathrm{o}(P_{n}-P_{m})-1$ は $(e_{2m+2}+\cdots+e_{2n+1})$ でのディラック測度に対し,となることが分かる. したがって, 任意の$\epsilon>0$$\delta_{e_{2m+2}+}\ldots+e2n+1$$\lim\mu(\{x\in H;||P_{n}x-P_{m}x||\leq\epsilon\})=1$$n,marrow\infty$を証明するためには, 次のことが証明できれば良い.
が存在して, $n,$ $m>n_{0}$ のとき,
任意のに対し, ある$\epsilon>0$$n_{\mathit{0}}$$||e_{2m+2}+\cdot..$ $+e_{2n+1}||\leq\epsilon$

とおくと,$k= \frac{1}{\frac{1}{\lambda_{2m+1}}+\frac{1}{\lambda_{2n+1}}}$$k(e_{2m}+2+\cdots+e_{\mathit{2}n+1})$$=$$k(e_{1}+\cdots+e_{2n+1})-k(e_{1}+\cdots+e_{\mathit{2}m+1})$$=$$\frac{k}{\lambda_{\mathit{2}n+1}}\{\lambda_{\mathit{2}}+1(ne1+\cdots+e2n+1)\}$$+$$\frac{k}{\lambda_{2m+1}}\{-\lambda_{2m}+1(e1+\cdots+e_{2}+1)m\}$

ここで $\underline{k}+\underline{k}=1$ であり,$\lambda_{\mathit{2}m+1}$

で,$\Gamma$は $\{\pm\lambda_{\mathit{2}k+1}(e1+\cdots+e_{2k+1})\}_{k}=1,2,\ldots$ の凸包なの$\lambda_{2n+1}$$k(e_{2m+}2+\cdots+e2n+1)\in\Gamma\subset \mathcal{U}$すなわち,$||e_{2m+\mathit{2}}+ \cdot...+e2n+1||\leq\frac{1}{k}=\frac{1}{\lambda_{2m+1}}+$ $\frac{1}{\lambda_{2n+1}}$.

.

$\{\lambda_{2n+1}\}$は単調増加で$n,$ $m>n_{\mathit{0}}$$+\infty$に発散するので$\frac{2}{\lambda_{2n\mathrm{o}+}1}\leq\epsilon$となるように$n_{\mathit{0}}$を決めれば,

に対し,$||e_{2m+2}+ \cdots+e2n+1||\leq\frac{2}{\lambda_{2n\text{。}+}1}\leq\epsilon$

が成り立ち,$||\cdot||$

が (4) を満たすことが証明された$\square$

参考文献[1] Baxendale, P.: Gaussian Mesures on $Func\hslash on$ Spaces. Amer. J. Math. 98(1976),

891-952.
[2] Dudley,: Real Analysis and Probability, Wadsworth and Brooks Cole
Math.Series (1989),264-289.
$\mathrm{R}.\mathrm{M}.$[3] Dudley, R. M. ,Feldman, J. and Le Cam, L.: On semi-norms and probabilities. andabstract Wiener Spaces. Ann. of Math. 93(1971), 372-408.

43[4] Gong, F. : A note on generalized Gross and Minlos Theorems. Dirichlet forms andstchastic process (Beijing, 1993) 171-173, de Gruyter, Berlin, 1995.
[5] Gross, L.: Measurable funchons on Hilbert space, bans. Amer. Math. Soc. 105(1962),372-390.

[6] Gross, L.: Abstract Wiener spaces. Proceedings of the Fifth Berkeley Symposiumon Mathematical Statistics and Probability 1965, Vol.2 Part 1(1965), 31-42.
[7] Hewitt, E. and Stromberg, K.: Real and Abstrvnct Analysis, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg-New York (1969),453-455.

[8] Kakutani, S.:(1948),214-224.

On Equivalence of infinite Product Measures, Ann.Math. 49: Gaussian Measures in Banach space, Lsct. Notes in Math. 463,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York (1975).

[9] Kuo,$\mathrm{H}.\mathrm{H}.$[10] Linde, W.: Probability in Banach Spaces- Stable and Infinitely Divisible Distributions. A Wiley-Interscience Publication(1986).

[11] Maeda, M.: Rotationally$Inva\mathit{7}\dot{\eta}ani$

Cylindrical Measuers , Kodai Math. J. 6
$I$

(1983),14-25.

[12] Maeda, M.: Measurable norms and rotationally quasi-invari,ant cylindrical measures, Hokkaido Math. J. 12 (1983), 92-104.
[13] Maeda, M.: Some Examples of Measurable Norms. J. Math. Anal. Appl. 98(1984),

158-165.

[14] Maeda, M.: Generalized Rotationally Quasi-invariant Cylindrical Measures J.
Math. Anal. Appl. 114(1986), 100-110.
[15] Schwartz, L.: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Tata Institute of Fundamental Research Publication, Bombay 1973.
$n$[16] Umemura, Y.: Measuers on infinite dimensional Vector space, Publ. Res. Inst.
Math. Soc. Ser. A 1 (1965), 1-47.
[17] Vakhania, N. N., Tarieladge, V. I., Chobanyan, S. A.: Probability Distributions on
Banach Spaces Reidel Pulb. Co., Dordrecht. (1987)[18] Yan, J. A. : Generalization of Gross’ and Minlos’ Theorems. Lect. Notes in Math.,
1372, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
Hong Kong, (1989), 395-404.
$\mathrm{Y}o\mathrm{r}\mathrm{k}- \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}- \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{S}- \mathrm{T}_{\mathrm{o}\mathrm{k}}\mathrm{y}_{0-}$